Текст
Ч Ли
Введение
В
популяционную
генетику
FIRST COURSE
IN POPULATION
GENETICS
CHING CHUN LI, PH. D.
University Professor of Biometry
Graduate School of Public Health
University of Pittsburgh
THE BOXWOOD PRESS
PACIFIC GROVE, CALIFORNIA
1976
ч. ли
Введение
в популяционную
генетику
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
канд. биол. наук Е. А. САЛМЕНКОВОЙ
и Е. Я. ТЕТУШКИНА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
д-ра биол. наук Ю. П. АЛТУХОВА
и канд. физ.-мат. наук Л. А. ЖИВОТОВСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1978
УДК 575+577.1
Книга написана известным американским специалистом в области ге-
нетики популяций. Приведенный в ней материал последовательно знакомит
читателя со все усложняющимися математическими моделями популяций
вплоть до обобщающей модели, учитывающей воздействие систематических
и случайных сил эволюции. Простота и систематичность изложения мате-
матических основ популяционной генетики делают книгу доступной чита-
телям, не имеющим специальной математической подготовки. Одним из
достоинств является большое число примеров, приводимых в конце каж-
дой главы.
Книга предназначена для генетиков, цитологов, антропологов, экологов,
специалистов по селекции животных и растений и может быть использо-
вана в качестве учебного пособия студентами, аспирантами и преподавате-
лями.
Редакция биологической литературы
© 1976 by The Boxwood Press
© Перевод на русский язык, «Мир», 1978
21003—125
041(01)—78
125—78
ПРЕДИСЛОВИЕ к РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Среди направлений современной генетики и биологии в целом
генетика популяций занимает особое место, представляя собой наи-
более формализованную область исследования. Она буквально прони-
зана математическими методами и располагает целым рядом моделей,
которые важны как в теоретическом плане, так и при анализе фактиче-
ского материала. Без применения соответствующих приемов высшей ал-
гебры, аппарата дифференциальных уравнений и прежде всего матема-
тической статистики невозможны ни полноценное изучение, ни работа
с популяциями любых видов, будь то лабораторные, сельскохозяйствен-
ные или природные популяции животных и растений либо популяции
человека — «нативные» или же вступившие в фазу урбанизации и широ-
кой панмиксии.
В наши дни в связи с обострением проблем, касающихся биосферы,
вопросы эволюции и стабильности популяций приобретают особое зву-
чание: ' встает неотложная задача соотнесения темпов изменения окру-
жающей среды с адаптационными возможностями популяций различ-
ных видов, возникает необходимость найти подходы к оценке и прогно-
зированию темпов мутационного процесса в популяциях человека, а
также сохранить генетические ресурсы биосферы с помощью их консер-
вации, рационального хозяйственного использования и разумного управ-
ления ими.
Очевидно, в ближайшие годы следует ожидать возрастания общего
интереса к проблемам генетики популяций и значительного притока в
нее свежих сил. Эта тенденция уже ощутима, она находит отражение
и в формировании новых исследовательских коллективов, и во все воз-
растающей интенсивности публикаций популяционно-генетических ра-
бот— как теоретического плана, так и посвященных изучению природ-
ных и экспериментальных популяций. Важное значение имеет и то об-
стоятельство, что за последние годы в нашей стране вышло несколько
монографий по генетике популяций, написанных Н. П. Дубининым
(1966), Н. П. Дубининым и Я. Л. Глембоцким (1969), Н. В. Тимофе-
евым-Ресовским, А. В. Яблоковым и Н. В. Глотовым (1973). Издатель-
ство «Мир» в 1966 г. перевело на русский язык книгу Эрлиха и Холма
«Процесс эволюции», в 1972 г. — работу Л. Меттлера и Т. Грегга «Гене-
тика популяций и эволюция» и в 1978 г. — Р. Левонтина «Генетические
основы эволюции». В 1973 г. вышла книга П. Морана «Статистические
процессы эволюционной теории».
Следует, однако, признать, что теоретическим основам популяцион-
ной генетики все еще не отводится должного места в программах выс-
шей школы и на русском языке нет ни одной книги учебного характера,,
всецело посвященной неформальному изложению математического ап-
6
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
парата и постановке соответствующих биологических задач. За рубежом
такой книгой, по нашему мнению, является монография проф. Ч. Ли,
вот уже более 25 лет читающего курсы биометрии и популяционной ге-
нетики студентам Питтсбургского университета (Пенсильвания, США)
и ведущего плодотворные исследования.
Ч. Ли — автор шести книг и многих оригинальных публикаций, внес-
ший большой вклад в развитие теории популяционной генетики. Им не-
мало сделано для развития так называемого метода коэффициентов пу-
тей, создан удобный метод анализа родственных связей с использовани-
ем матриц условных вероятностей, детально исследована проблема
устойчивости генетического равновесия и т. д. Над совершенствовани-
ем своей книги «Популяционная генетика», выдержавшей несколько из-
даний в США и других странах, Ч. Ли очень много и долго работал. Пос-
ледней, наиболее основательной, редакции книга подверглась между
1969 и 1974 гг. и в 1976 г. была опубликована под названием «First Co-
urse in Population Genetics». Русский перевод этого издания и предла-
гается теперь читателю.
К достоинствам книги следует отнести исключительную последова-
тельность в изложении материала и его доступность. В ней освещены
практически все основные разделы генетики популяций. Ее можно ис-
пользовать и как практическое руководство по математическим методам
для биологов, и как вводный курс популяционной генетики для матема-
тиков. Педагогическая ценность книги чрезвычайно велика благодаря
обилию упражнений в конце каждой главы. Вместе с тем надо подчерк-
нуть, что монография Ч. Ли — не просто учебное пособие; ее материал
может служить фундаментом для понимания основных подходов и кон-
цепций генетики популяций; в ней очерчен круг проблем этой науки и
указана соответствующая литература. Терпеливый читатель — биолог
или маметатик, — изучив книгу, извлечет из нее много полезного.
Мы надеемся, что публикация русского перевода книги будет спо-
собствовать дальнейшему развитию в нашей стране исследований в об-
ласти популяционной генетики в соответствии с теми задачами, которые
поставлены сегодня перед этой наукой самой жизнью.
Ю. П. Алтухов,
Л. А. Животовский
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель настоящего издания, так же как и изданий 1948 и 1955 гг.,
состоит в том, чтобы дать общее введение в генетику популяций для сту-
дентов-биологов, не имеющих специальной математической подготовки.
В своей обзорной статье, опубликованной в 1967 г., автор писал: «В свя-
зи с тем, что в генетику популяций приходит все больше и больше ма-
тематически подготовленных исследователей, можно предсказать ее бур-
ное развитие, подобное тому, которое происходило в начале 30-х годов.
Как ни внушительны успехи, достигнутые за последнее десятилетие, в
предстоящие 10 лет можно ожидать еще большего!» Похоже, что это
предсказание сбывается. Настоящее издание представляет собой попыт-
ку создать учебник, более полно отражающий все достижения и в то же
время остающийся на уровне вводного курса. Чем дальше вглубь идет
развитие той или иной науки, тем острее потребность в обобщающем
элементарном курсе. Надеюсь, что эта книга окажется полезной в каче-
стве введения в генетику популяций.
Она не предназначена для какого-либо специального контингента
читателей. Генетики, цитологи, антропологи, экологи и представители
общественных наук могут почерпнуть из нее полезные сведения, имею-
щие отношение к их собственным исследованиям. Нет необходимости
изучать все главы этой книги. Для специалистов по медицинской гене-
тике не представляют особого интереса разделы, касающиеся самоопы-
ления, скрещиваний типа братХсестра, автотетраплоидии и т. д., расте-
ниеводам же ни к чему останавливаться на разделе, посвященном си-
стеме групп крови АВО. Преподаватель, использующий эту книгу в ка-
честве учебника, может без колебаний опустить некоторые главы или
параграфы и добавить материал по собственному усмотрению. Специа-
листы по генетике человека, возможно, разочаруются, не обнаружив
главы, посвященной менделевскому расщеплению в семьях. По мнению
автора эта тема выходит за рамки основного содержания книги. До-
вольно подробное рассмотрение классического метода (метода макси-
мального правдоподобия) анализа расщеплений дается автором в книге
«Генетика человека. Принципы и методы» [374]. Более новый и простой
метод оценки (в котором пренебрегают гомозиготами по редким рецес-
сивным генам) и метод подразделения статистической информации по
времени первого появления гомозигот были описаны автором в главе
«Неполное биномиальное распределение», вошедшей в книгу «Матема-
тические аспекты генетики популяций» под ред. Доджимы [317].
Материал, добавленный в настоящее издание, отобран в основном
по принципу общезначимости и простоты. Сложные специальные иссле-
дования здесь не рассматриваются, однако их можно найти по приве-
денным ссылкам. Вероятно, нет необходимости приносить извинения по
ПРЕДИСЛОВИЕ
поводу того, что автор не включил в этот вводный курс обширные экс-
периментальные данные и наблюдения. Я уверен, что работа по анали-
зу, интерпретации и обобщению экспериментальных исследований вско-
ре будет завершена специалистами. Конечно, без экспериментальных
исследований теоретическая популяционная генетика быстро стала бы
бесплодной; она лишь содержала бы упражнения для специалистов по
прикладной математике, не представляя интереса для биологов. Чем ско-
рее появятся работы по экспериментальной генетике популяций, тем бо-
лее плодотворной будет эта наука.
Ч. Ч. Ли
Питтсбург, Пенсильвания
Май 21, 1974
ГЛАВА 1
Большие популяции
со случайным скрещиванием
Усилия ученых, направленные на выяснение механизма наследст-
венности, привели в самом начале нашего столетия к открытию и обо-
снованию законов Менделя. Эти законы были выведены из данных по
отдельным семьям — исследования тех лет ограничивались анализом
сходства и различий между родителями и их потомством. Опыты тако-
го рода состояли, например, в скрещивании растений с красными и бе-
лыми цветками и определении соотношения между различными форма-
ми растений, выращенных из семян от такого скрещивания.
Генетика популяций в отличие от посемейного анализа рассматри-
вает статистические следствия из законов Менделя, проявляющиеся в
группе семей или особей. Предмет этой науки — явление наследствен-
ности на популяционном уровне. Механизм наследственности здесь
предполагается таким же, как и в менделевской генетике, но специали-
сты по генетике популяций изучают соотношения индивидуумов различ-
ных типов (например, растений с красными и белыми цветками), часто-
ты различных типов скрещивания, соотношения различных форм, полу-
чающихся от каждого типа скрещивания, в популяциях; кроме того, их
интересует изменение генетической структуры популяций в поколениях
при различных условиях окружающей среды.
Жизнь отдельной особи ограничена во времени, и ее генотип сохра-
няется постоянным в течение всей жизни, маскируя мутации. Популя-
ция в противоположность отдельной особи практически бессмертна; она
может быть большой или малой по численности, иметь обширный или
ограниченный ареал и от поколения к поколению может внезапно или
постепенно изменяться по своему генетическому составу. Поэтому изу-
чение генетики популяций неизбежно связано с изучением органической
эволюции, которая с генетической точки зрения является не чем иным,
как процессом кумулятивного изменения наследственных особенностей
видов. Анализ следствий из законов Менделя в применении к длительно
существующей популяции привел к выявлению определенных правил,
или законов. Мы рассмотрим здесь только те из них, которые считаются
твердо установленными.
Наше знакомство с популяционной генетикой мы начнем с описания
самой простой и наиболее распространенной ситуации — судьбы ауто-
сомных генов диплоидных организмов, размножающихся половым пу-
тем, в большой популяции со случайным (свободным) скрещиванием.
Первое правило, установленное для такой популяции, явилось важной
вехой в развитии популяционной генетики; именно оно будет предметом
рассмотрения этой главы. Однако прежде чем обсуждать само правило,
необходимо пояснить некоторые термины, постоянно используемые в на-
шей книге, но не всегда упоминаемые в учебниках по элементарной гене-
тике.
2—322
10
ГЛАВА 1
§ 1. ЧАСТОТА ГЕНА
Здесь и далее мы будем рассматривать только два аллеля (А и а),
относящиеся к определенному локусу. Пусть из N диплоидных особей D
несут только доминантные аллели (АА), Н гетерозиготны (Аа), a R об-
ладают только рецессивными аллелями (аа); D+H + R = N. Для крат-
кости обозначим такую группу особей следующим образом:
(D,H,R).
Эти три символа (Д, Н, R) соответствуют АА, Аа, аа. Наличие особей
трех типов в данной группе обусловлено существованием только двух
аллельных генов А и а. В сумме N особей несут 2N генов. Поскольку
каждая особь АА имеет два гена А, а каждая особь Аа — лишь один
ген этого типа, полное число генов А в группе составляет 2D + H. Следо-
вательно, доля генов А равна
= 2D + H = D+ 2 Н
Р — 2N ~ N
Это отношение называется частотой гена А. Аналогично определяется
частота гена a: q = (H+2R)/2N= (1/2H+R)/N; так что p + q=i. Напри-
мер, в группе из 40 особей (2; 12; 26) р= (2 4-6)/40 = 0,20 и </=(26 +
+ 6)/40 = 0,80.
Нередко фактические численности особей этих трех генотипов за-
меняют их долями от общего числа особей. Такая форма записи особен-
но удобна, когда имеют дело с большой по численности группой. В этом
случае принимают D+Н+R=\, где D означает теперь долю особей АА
в4группе, Н — долю особей Аа и 7? — долю особей аа. Отсюда следует,
что p = DA--Н и q= -±-H+R. В таких обозначениях приведенную выше
популяцию (2, 12, 26) можно представить в виде (0,05; 0,30; 0,65), где,
как и прежде, р = 0,054-0,15 = 0,20 и q = 0,154-0,65 = 0,80. В последующих
разделах мы будем рассматривать именно большие популяции, и сим-
волы D, Н и R будут обозначать доли (частоты) трех названных гено-
типов.
§ 2. СЛУЧАЙНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
В природе многие организмы—как животные, так и растения —
скрещиваются случайным или близким к случайному образом. По фор-
мальному определению, случайный подбор пар у двуполых организмов
означает, что любая особь одного пола с равной вероятностью скрещи-
вается с любой особью противоположного пола. Другими словами, ча-
стота любого типа скрещивания определяется случайными событиями.
Таблица 1.1
Частоты случайных скрещиваний
Самки Самцы
АА D Аа Н аа R _
АА D D2 DH DR
Аа Н HD Н2 HR
аа R RD RH R2
БОЛЬШИЕ ПОПУЛЯЦИИ СО СЛУЧАЙНЫМ СКРЕЩИВАНИЕМ
11
Так, если особи из популяции (D, Н, R) скрещиваются случайным обра-
зом, то частота скрещивания ЛЛхЛД для всей совокупности партнеров
будет равна D2 (при условии, что частоты генотипов одинаковы для обо-
их полов). Различные типы скрещивания и их частоты приводятся в
табл. 1.1. Следует, однако, подчеркнуть, что частоты, полученные тео-
ретически, будут реализовываться только в очень больших по численно-
сти популяциях.
Как синоним случайного скрещивания иногда используют термин
«панмиксия» и в этом случае говорят, что популяция является панмик-
тической.
§ 3. ЗАКОН ХАРДИ—ВАЙНБЕРГА
Рассмотрим большую панмиктическую популяцию, в которой ал-
лель А встречается с частотой р, а аллель а с частотой q\ p + q—\. Если
частоты трех генотипов, соответствующих данной паре аллелей, равны
D = p\ Н = 2pq, R = q\
то их пропорции в следующем поколении останутся такими же, как и в
предыдущем. В этом случае говорят, что популяция (р2, 2pq, q2) нахо-
дится в равновесии при условии случайного скрещивания. Под «равно-
весием» мы понимаем отсутствие изменений частот генотипов в после-
довательных поколениях одной популяции. Очевидно, что в этих усло-
виях и частоты обоих генов также остаются неизменными. Существует
немало и других типов состояний равновесия; некоторые из них мы рас-
смотрим в следующих главах. Особое состояние равновесия, обусловлен-
ное случайным скрещиванием, описывается с помощью закона, или пра-
вила Харди—Вайнберга (Харди и Вайнберг установили его независимо
друг от друга в одном и том же 1908 г.; историческую справку можно
найти у Штерна [598], который приводит в английском переводе важ-
ный раздел оригинальной работы Вайнберга). Для генетики популяций
этот закон имеет фундаментальное значение, поэтому мы рассмотрим
его подробно.
Таблица 1.2
Типы скрещиваний и потомство в равновесной панмиктической
популяции [644]
Тип скрещивания Частота скрещивания Потомство
АА Аа аа
ААХАА р* Р* 0 0
ААхАа 4p3q 2p3q 2рЗр 0
АаХАа 4р2р2 p2q2 2р2р2 р2р2
ААХаа 2р292 0 2р2р2 0
АаХаа 4pq3 0 2рр3 2pq3
ааХаа q* 0 0 q*
Для популяции в целом 1,00 р2 2рр q2
Если скрещивание осуществляется случайным образом, а популя-
ция достаточно велика, частоты различных типов скрещивания можно
очень просто определить, заменив D на р2 и т. д., как это показано в
табл. 1.1. Если объединить реципроктные скрещивания (это допустимо,
2*
1-2
ГЛАВА 1
поскольку мы рассматриваем аутосомные гены), то девять различных
вариантов скрещивания можно подразделить на шесть типов. В табл. 1.2
даны частоты каждого типа скрещивания и соответствующие частоты
потомков; из таблицы видно, что в поколении потомков получается то
же соотношение (р2, 2pq, q2). Отсюда следует, что при отсутствии воз-
действий, нарушающих равновесие, генетический состав популяции во
всех последовательных поколениях будет оставаться неизменным. Та-
кое равновесие обусловлено симметрией менделевского механизма по-
лового размножения.
В качестве примера рассмотрим большую панмиктическую популя-
цию (0,04; 0,32; 0,64), в которой р = 0,2 и # = 0,8. Читатели, встречаю-
щиеся с законом равновесия впервые, должны последовательно, шаг за
шагом, выполнить все расчеты в соответствии с табл. 1.2 и самостоя-
тельно убедиться в том, что частоты трех генотипов в поколении потом-
ков действительно остаются такими же, как и в поколении родителей. §
Таблица 1.3
Тип скрещивания Частота скрещивания Потомство
АА Аа аа
ААХАА D2 D* 0 0
ААХАа 2DH DH DH 0
АаХАа Н2 —н2 4 ——н2 2
ААХаа 2DR 0 2DR 0
АаХаа 2HR 0 HR HR
ааХаа R2 0 0 R2
Для популяции в целом 1,00 / 1 V р2 2р<? /1 V
§ 4. УСТАНОВЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
Рассмотренная нами теорема утверждает, что популяция (р2, 2pq,
q2) при условии случайного скрещивания равновесна. А что же проис-
ходит с популяцией, которая не находится в равновесии? Рассмотрим
произвольную популяцию (О, Н, R); D, Н и R — три любых положитель-
ных числа, дающих в сумме единицу. Взяв из табл. 1.1 частоты различ-
ных типов скрещивания при случайном подборе пар, объединив реци-
прокные скрещивания и рассчитав, как это сделано в табл. 1.2, частоты
потомков различных типов, мы найдем, что соответствующие частоты
трех генотипов принимают равновесные значения (табл. 1.3). Таким об-
разом, мы уже доказали вторую теорему, касающуюся больших панмик-
тических популяций: равновесие, при случайном скрещивании достигает-
ся через одно поколение и не зависит от первоначального состава по-
пуляции [649]. В символической записи эта теорема выглядит так:
(D,ff,R)^(p2,2pq,q2).
Следует подчеркнуть, что в равновесной популяции частоты геноти-
пов полностью определяются частотами генов. Таким образом, при слу-
чайном скрещивании произвольная исходная популяция (0,10; 0,20; 0,70)
БОЛЬШИЕ ПОПУЛЯЦИИ СО СЛУЧАЙНЫМ СКРЕЩИВАНИЕМ
13
с частотами р = 0,2 и <7 = 0,8 в следующем поколении превратится в по-
пуляцию (0,04; 0,32; 0,64), которая будет оставаться неизменной во всех;
последующих поколениях до тех пор, пока подбор пар остается случай-
ным. Действительно, все популяции с одними и теми же частотами ге-
нов (хотя частоты генотипов могут и различаться) при случайном под-
боре пар придут к одному и тому же равновесному состоянию. Поэтому
при случайном скрещивании каждая из следующих популяций: (0,05;.
0,30; 0,65), (0,01; 0,38; 0,61), (0,18; 0,04; 0,78), (0; 0,40; 0,60), (0,20; 0;.
0,80) и т. д. превратится в популяцию (0,04; 0,32; 0,64). Читатель может
убедиться в этом, проделав арифметические расчеты для одной из при-
веденных выше популяций, как это сделано в табл. 1.3. Поскольку при
случайном скрещивании сразу же устанавливается равновесие, в боль-
шинстве случаев можно считать, что естественная популяция находится
в равновесном состоянии, если в ней осуществляется случайное скре-
щивание, как мы увидим в следующей главе. Это положение имеет боль-
шое значение для решения практических задач.
§ 5. СЛУЧАЙНОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ГАМЕТ
Столь подробное рассмотрение вопроса о случайном скрещивании
и наступающем в результате него равновесии понадобилось нам как для
достижения большей ясности изложения, так и для того, чтобы исполь-
Р
Я
Рис. 1.1. Достижение равновесия за одно поколение при случайном скрещивании особей;
эквивалентном случайному объединению мужских и женских гамет.
зовать часть этого материала (в особенности табл. 1.2) в последующих
главах. Однако сами равновесные соотношения, установленные Харди
и Вайнбергом, можно получить гораздо более коротким путем, исполь-
зуя теорему, касающуюся случайного подбора пар. Интуитивно ясно,
что суммарный результат случайных скрещиваний между особями и по-
следующего объединения гамет, образуемых партнерами, эквивалентен
случайному объединению гамет, образующихся в популяции. Этот прин-
цип иллюстрирует рис. 1.1.
Одно это положение сразу приводит нас к выводам, полученным в
двух предыдущих параграфах, ибо из него с очевидностью следует, что
любая популяция (£), Н, R) при случайном подборе пар уже в следую-
щем поколении превратится в популяцию (р2, 2pq, q2) и с этого времени
будет неизменно пребывать в равновесном состоянии.
Приведенное положение понадобится нам в дальнейшем, когда мы
будем иметь дело с множественными аллелями, полиплоидами и генами,
сцепленными с полом, а также при рассмотрении любых ситуаций с во.-
14
ГЛАВА 1
влечением более одной пары генов, когда полное перечисление всех воз-
можных комбинаций генотипов партнеров становится слишком утоми-
тельным. Определение состава какого-либо поколения с использованием
этого принципа включает лишь рассмотрение суммарного образования
гамет родительским поколением и последующего объединения этих га-
мет случайным образом.
§ 6. КОМБИНАЦИИ РОДИТЕЛЕЙ, ДАЮЩИЕ ПОТОМСТВО
С РЕЦЕССИВНЫМ ПРИЗНАКОМ
До сих пор мы рассматривали частоты различных типов скрещива-
ния и соответствующих им потомков в панмиктической популяции. Рас-
смотрим теперь в некотором роде обратный вопрос. Пусть имеется группа
особей определенного генотипа; какие комбинации родителей воз-
можны для данных особей и какова их частота? Для примера рассмот-
рим возможные комбинации родителей для особей аа. Такими комби-
нациями могут быть только АаХАа, АаХаа и ааХаа. Просмотрев по-
следний столбец табл. 1.2, находим, что эти три комбинации имеют
следующие частоты:
Доля Комбинации родителей Сумма
АаХАа АаХаа ааХаа
От общего числа скрещиваний P2q2 2pq3 qi q2
От числа скрещиваний, дающих потомков аа Р2 2pq q2 1,00
Частоты в последней строке оказались такими же, как и частоты
различных генотипов в популяции. Отсюда следует практический вывод
о том, что если особи с рецессивным признаком составляют лишь не-
большую часть популяции, то подавляющее большинство их является
потомством от скрещивания АахАа. Например, альбинизм человека
считается простым рецессивным признаком. В некоторых европейских
странах он встречается в среднем приблизительно у одного из каждых
20 000 человек (q2 = 0,00005). Следовательно, частота рецессивного гена
альбинизма q равна приблизительно —=0,007. В то же время доля ге-
терозиготных индивидуумов в популяции намного выше и составляет
примерно 2pq=~. Из всех альбиносов (0,993)2 = 98,60% являются по-
томками от браков АаХАа, в которых оба родителя не альбиносы.
Приведенные выше выводы можно получить из вероятностных сооб-
ражений, не прибегая к табл. 1.2. Так как сам факт появления особи аа
подразумевает наличие по крайней мере одного гена а у каждого из ее
родителей, можно сразу догадаться, что этими родителями являются
особи типа ХаХХа-, X обозначает здесь неизвестный ген. Далее, вероят-
ность того, что случайно выбранный ген будет геном А, равна р, а ве-
роятность того, что им будет ген а, равна q. Следовательно, вероятность
того, что из двух неизвестных генов оба окажутся генами А, равна р2
и т. д. Таким образом, обращение с частотами генов как с вероятностями
значительно упрощает расчеты во многих генетических задачах; в даль-
нейшем мы сможем неоднократно в этом убедиться.
БОЛЬШИЕ ПОПУЛЯЦИИ СО СЛУЧАЙНЫМ СКРЕЩИВАНИЕМ
115
§ 7. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСНЫХ
ПОПУЛЯЦИИ
В популяции диплоидных особей доля гетерозиготных особей равна
H = 2pq-, значение Н никогда не превосходит 0,5. Положив
-^- = 4-2^1 -9)=2-49 = 0,
dq dq
мы увидим, что Н принимает максимальное значение, равное 0,50, при
p = q=—. Н может превышать как D, так и R [например, в популяции
(0,36; 0,48; 0,16)], но никогда не превосходит D+R. Если частота одного
гена более чем вдвое превосходит частоту другого, то доля гетерозигот-
ных особей будет промежуточной между долями особей двух гомозигот-
ных типов. Так, например, если p>2q, что имеет место при р>2/3, то
Р2 > 2pq > g2.
Другое свойство равновесной популяции состоит в том, что доля
(или численность) гетерозиготных особей равна удвоенному корню квад-
ратному из произведения долей (или численностей) двух гомозиготных
форм, т. е.
V (DX-R)
Это свойство дает нам простой тест на равновесие; преимущество его
состоит в том, что данное отношение равно 2 независимо от частот генов
в популяции. Вышеупомянутое свойство можно также представить
в виде
4DR = Н2.
В популяции со случайным скрещиванием частоты трех генотипов
связаны между собой еще и таким соотношением:
—V +—V =1>
которое фактически эквивалентно выражению 4DR = H2 для двух алле-
лей, но легко может быть распространено и на большее число аллелей.
Дробь Dl(D+~H^=D/p представляет собой долю аллелей А, находя-
щихся в гомозиготном состоянии; аналогичные выражения существуют
и для других аллелей.
Рассмотренные здесь свойства касаются частот генотипов. А теперь
остановимся на одном свойстве, связанном с частотами скрещиваний.
Обратившись ко второму столбцу табл. 1.2, мы увидим, что частота
скрещиваний АаХАа вдвое превышает частоту скрещиваний ААХаа,
причем это отношение совершенно не зависит от частот генов. Оно со-
храняется таким в любой равновесной популяции независимо от того,
поддерживается в популяции свободное скрещивание или нет (гл. 13).
§ 8. ОТНОШЕНИЕ ЧАСТОТ ГЕНОВ
Введем обозначение u = p/q и разделим все члены соотношения
Харди—Вайнберга на q2; тогда равновесную популяцию можно пред-
ставить в виде (и2, 2и, 1). При этом сумма всех трех членов соотношения
станет равной не 1, а (м + 1)2. При изменении р от 0 до 1 и изменяется от
0 до оо (оставаясь всегда положительным). Очевидно, что р= (и2 + ы)/
16
ГЛАВА 1
/(u+l)2 = u/(u+1). Подобным же образом, z?=l/(u+l) и p-.q = tr. 1.
Используя такую систему обозначений и приняв, например, и = 0,2/0,8 =
= —, мы получим, что популяцию (0,04; 0,32; 0,64) можно представить
как 1). В конечном счете все свойства большой популяции со
случайным скрещиванием, которые описаны в этой книге, можно легко
выразить через и. Холдейн в своей ранней работе [196] использует и
гораздо чаще, чем р и q. Формулы, применяемые в некоторых разделах
генетики, особенно в тех, которые связаны с естественным отбором, при
такой замене нередко значительно упрощаются.
§ 9. ЗАКОН КАСТЛА
Не так давно появился ряд сообщений [395, 598,605] о том, что закон
равновесия для популяций со случайным скрещиванием был установлен
еще в 1903 г., т. е. за 5 лет до Харди и Вайнберга, Кастлом [57], но эта
оригинальная работа была забыта его учениками и коллегами. Говоря
кратко, Кастл показал, что если нет отбора, то популяции (АА, Аа, аа)
(1,2,1) (4,4,1) (9,6,1)
(16,8,1) (25,10,1) (36,12,1)
и т. д. будут оставаться неизменными в последовательных поколениях при
условии случайного скрещивания. Кастл изучал в основном последствия
отбора против рецессивных особей (гл. 21). Его главный вывод о ста-
ционарном состоянии в отсутствие отбора гласит: «С прекращением
отбора порода остается в неизменном состоянии, достигнутом в процес-
се ее выведения, конечно, при условии, что все формы одинаково плодо-
виты и подвержены смертности в одинаковой степени». Как видно из
сказанного, Кастл представлял популяции через соотношения генных
частот, и его вывод фактически эквивалентен закону Харди—Вайнбер-
га. Именно поэтому в 1968 г. Килер предложил восстановить в правах
«закон Кастла», а в 1969 г. Мэнвелл и Бэйкер предложили термин «рав-
новесие К—X—В» (по первым буквам фамилий Кастл, Харди, Вайн-
берг) .
§ 10. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОПУЛЯЦИЙ
В этом разделе мы рассмотрим два метода представления менделев-
ской популяции с помощью диаграмм. Согласно первому из них
(рис. 1.2), популяцию изображают в виде равностороннего треугольни-
ка. Разделим основание треугольника на два отрезка в отношении р : q.
Через точку деления проведем прямые, параллельные сторонам тре-
угольника. Площади полученных таким образом фигур относятся как
р2 : 2pq : q2. Малый равносторонний треугольник соответствует квадра-
тичному члену для гомозигот, а параллелограмм — члену, представля-
ющему собой произведение для гетерозигот. Для двух аллелей одинако-
во пригодны как треугольная система координат, так и обычная прямо-
угольная. Однако, как мы увидим далее (гл. 5), для множественных
аллелей удобнее использовать первую.
Согласно второму методу, популяцию представляют точкой внутри
равностороннего треугольника [99, 652], который образует систему тре-
угольных координат. Пусть точка Р внутри треугольника на рис. 1.3 изо-
бражает популяцию (£), Н, R), и пусть длина перпендикуляра, опущен-
ного из этой точки на основание треугольника, равна Н, т. е. частоте
БОЛЬШИЕ ПОПУЛЯЦИИ СО СЛУЧАЙНЫМ СКРЕЩИВАНИЕМ
17
гетерозигот. Аналогичным образом, пусть длины перпендикуляров, опу-
щенных из точки Р на левую и правую стороны треугольника, соответ-
ственно равны D и R. Из планиметрии известно, что сумма длин трех
таких перпендикуляров, т. е. D+R + H, равна высоте равностороннего
треугольника, которую можно принять за единицу. Таким образом, лю-
бую популяцию Р= (D, Н, R) можно графически представить в виде
Рис. 1.2. Частоты трех ге-
нотипов в популяции со
случайным . скрещиванием
представлены в виде площа-
дей трех частей равносто-
роннего треугольника [327].
Рис. 1.3. Популяция пред-
ставлена точкой P~(D, Н,
R) в треугольной системе
координат.
точки внутри равностороннего треугольника с D+H+R= 1. Популяция,
представленная на рис. 1.3, примерно соответствует Р= (0,7; 0,2; 0,1).
Треугольная система координат широко применяется и в других облас-
тях науки; для облегчения построения подобных графиков можно ис-
пользовать бумагу, разграфленную на треугольники.
Если две популяционные точки Рх и Р2 лежат на одной прямой, сое-
диняющей вершину с основанием треугольника (как показано на рис.
1.4), то отношение частот двух гомозиготных типов в обеих популяциях
18
ГЛАВА 1
будет одинаковым, т. е. Di : Ri = D2 : R2. При этом частоты генов в попу-
ляциях разные.
Если две популяции Р{ и Р2 находятся на одной прямой, перпенди-
кулярной основанию, как это показано на рис. 1.5, то они имеют одина-
ковые частоты генов. Точки, изображенные на рис. 1.5, имеют следую-
щие координаты: Р{= (0,11; 0,46; 0,43) и Р2= (0,28; 0,12; 0,60), а соответ-
Рис. 1.4. Если две популя-
ции (Pi и Pz) находятся на
одной прямой, соединяющей
вершину треугольника с его
основанием, то отношения
D/R в этих популяциях
одинаковы.
Рис. 1.5. Если две популя-
ции представлены точками,
лежащими на одной пря-
мой, перпендикулярной ос-
нованию, то они имеют оди-
наковые частоты генов.
ствующие частоты генов pi = 0,11 +0,23 = 0,34 и р2=0,28 + 0,06 = 0,34.
Любая другая точка, лежащая на этой прямой, также будет иметь час-
тоту гена р = 0,34.
Как уже говорилось, для равновесной популяции со случайным
скрещиванием (D, Н, R) = (p2, 2pq, q2), а частоты генотипов связаны
уравнением WR = H2, которое графически изображается параболой
(рис. 1.6). Другими словами, парабола есть геометрическое место точек,
представляющих собой популяцию (р2, 2pq, q2). Если опустить перпен-
дикуляр из любой точки параболы на основание треугольника, разделив
БОЛЬШИЕ ПОПУЛЯЦИИ СО СЛУЧАЙНЫМ СКРЕЩИВАНИЕМ
19
тем самым основание на два отрезка точкой Т, то отношение длин лево-
го и правого отрезков будет равно р : q. Обе боковые стороны треуголь-
ника являются касательными к параболе в ее конечных точках. Вершина
параболы изображает популяцию , -у-; с частотами генов p = q =
~ 2
Из § 4 нам известно, что любая произвольно взятая популяция
(D, Н, R) при случайном скрещивании в следующем же поколении при-
мет вид (р2, 2pq, q2), где p = D-{—1—Н представляет собой частоту гена в
обеих популяциях— (D, Н, R) и (р2, 2pq, q2). Это значит, что точка
Рис. 1.6. Точки, представ-
ляющие популяции со слу-
чайным скрещиванием, Р=
= ([Р, 2pq, q2), лежат на
параболе H2=ADR.
Точка, изображающая любую
произвольную панмиктическую
популяцию (D, Н, R), через од-
но поколение опустится или
поднимется по вертикали до па-
раболы.
внутри треугольника на рис. 1.6, соответствующая произвольно взя-
той исходной популяции, будет смещаться к параболе по вертикали, так
как точки на одной и той же вертикальной прямой будут иметь одну и
ту же частоту гена. Следовательно, точки, находящиеся над параболой,
будут опускаться по вертикали на параболу, а точки, находящиеся под
параболой, — подниматься по вертикали до нее.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. К. Пирсон [503] никогда не был убежден в универсальности мен-
делевского наследования, сомневаясь, по-видимому, в дискретности
природы «фактора» (гена). Однако он был хорошо знаком с моделью
расщепления и рекомбинации генов. В 1904 г. он показал, что если особи
поколения ^2^—,-у, —от исходной комбинации родителей ЛЛХаа
размножаются путем случайного скрещивания, то состав следующего
поколения должен быть тем же самым, что и в F2.
2. Составьте таблицу величин (р2, 2pq, q2) для </=0,007; 0,004; 0,001.
3. Если частота одного из генов столь мала, что частота другого ал-
леля близка к единице, частоты Харди—Вайнберга принимают предель-
ные значения. Предположим, что q настолько мала, что величиной q2
можно пренебречь; наша равновесная популяция будет очень близка к
популяции (1—2q, 2q, 0). При этом почти все рецессивные гены будут
20
ГЛАВА 1
находиться в гетерозиготном состоянии, а доля гетерозиготных особей
будет приблизительно равна удвоенной частоте рецессивного гена [194,
465]. В случае с альбинизмом человека при q=0,007 доля гетерозигот-
ных индивидуумов равна приблизительно // = 0,014 = —, о чем мы уже
говорили в тексте.
4. Каким будет состав следующего поколения при случайном скре-
щивании, если исходная популяция имеет вид (0,16; 0,48; 0,36)? Прове-
дите детальный расчет, следуя табл. 1.2.
5. Рассчитайте доли трех генотипов в следующем поколении для
перечисленных ниже панмиктических популяций:
(0,25; 0,10; 0,65); (0,30; 0; 0,70); (0; 0,60; 0,40).
6. Укажите, какие из перечисленных ниже популяций равновесны,
а какие нет. Для последних найдите состояние равновесия.
(0,50; 0; 0,50); (25; 10; 1); (0,36; 0,15; 0,49); (1, 1, —
\ 4 /
(0,09; 0,10; 0,81); (0,45; 0,45; 0,10); (0,22; 0,36; 0,42);
(0,5625; 0,3750; 0,0625).
7. Покажите, что если ввести ц=— = —, то равновесная популя-
ция примет вид (1, 2ц, и2).
8. Покажите, что Н= --- принимает максимальное значение при
и= 1.
9. Найдите процент гетерозиготных особей в популяции со случай-
ным скрещиванием, в которой имеется 5% особей рецессивного фенотипа.
Ответ: 2(1—/ОДэ) Х]/оМ=34,7%.
10. Если в популяции особи с доминантным фенотипом составляют
5%, то какой процент от общего числа особей должны составлять гете-
розиготные особи? ___ ________
Ответ: // = 2(1—/0,95) X/0,95 = 2(0,02532) X (0,97468) =4,936%, в то
время как доля особей АА составляет только (0,02532)2=0,064%. Та-
ким образом, преобладающее большинство доминантных аллелей нахо-
дится в гетерозиготном состоянии, и поэтому скрещивания АаХаа бу-
дут происходить гораздо чаще, чем ААХаа.
11. Рассчитайте доли генотипов в равновесных популяциях с <? = 0,1;
0,2; ...; 0,9 и разместите соответствующие точки в равностороннем тре-
угольнике подобно тому, как это сделано на рис. 1.3.
12. Из 14 345 лисиц, изученных Ромашовым и Ильиной [557],
12 лисиц были черными, 678 имели промежуточную окраску, а 13 655 ли-
сиц— рыжими. Найдите частоты генов черной и красной окраски меха
в популяции лисиц. Соответствуют ли наблюдаемые численности ожида-
емым, исходя из закона Харди—Вайнберга? (Описание подходящего
статистического теста приводится в следующей главе.)
13. Пусть х, у, z соответственно доли особей АА,Аа и аав некоторой
популяции; x + y+z=l. Покажите, что
(2х + у) (у + 2z) = 4xz — у* + 2у.
Чему равно произведение (2х + у) (y + 2z), если в данной популяции
подбор пар случаен и, таким образом, 4xz—у2 = 0?
14. Если мы обозначим долю особей Аа в популяции (x+2y+z = 1)
через 2у, то многие математические выражения из этой и последующих
глав упростятся. В этих обозначениях р = х+у и q=y+z, а уравнение
БОЛЬШИЕ ПОПУЛЯЦИИ СО СЛУЧАЙНЫМ СКРЕЩИВАНИЕМ
21
параболы (рис. 1.6), являющейся геометрическим местом точек, пред-
ставляющих равновесные популяции, примет вид xz—р2 = 0. В более об-
щем виде это уравнение можно записать так:
= 1.
х + у у+г
Дробь ----- является долей одного из аллелей, находящихся в гомози-
х + у
готном состоянии. Далее мы увидим, что это обозначение можно с успе-
хом использовать и в случае множественных аллелей (гл. 5).
15. Зная, что p + q=\, проверьте правильность следующих соотно-
шений:
Р + 2q = 1 + q = 2 — р,
р + pq+ q2 = 1,
1 — 2q = р — q = р2 — <?2,
<7(1—g) = p(l—р),
р2 + <?2 = (р —<?)2+ 2р</,
(1 — 2</)2 = (1 —2р)2= 1 —4р<?,
р(1 + <?)= 1—<?2,
?3+р?2 = (1—р)2,
р3 + <73 —(Р~ <?)2 = W,
4-(1 +^ = р(3+<?),
?+4'р2=4_(1
4 4
р я ру
ГЛАВА 2
Применение закона Кастла-
Харди—Вайнберга
В предыдущей главе мы рассмотрели аналитическое выражение за-
кона Кастла, или Харди—Вайнберга, а теперь рассмотрим его практиче-
ское применение. Мы разберем несколько примеров и убедимся, что за-
кон на самом деле выполняется в природе, а затем выведем ряд теорем,
которые следуют из этого фундаментального закона.
§1. ОТСУТСТВИЕ ДОМИНИРОВАНИЯ
Простейшим является случай, когда все три генотипа распознаются
непосредственно. Примером такого рода служит система групп крови
?4N человека. Пусть а, b и с — наблюдаемые, численности особей гено-
типов AiAi, AtA2 и А2А2 соответственно в случайной выборке из п = а +
+ Ь + с особей. Такая выборка эквивалентна случайной выборке в 2п
генов, из которых 2xi = 2a+b — это гены At, а 2х2 = Ь+2с — гены А2. Все
вышесказанное можно свести в следующую таблицу:
Генотип Численность Л]Лз Л2Л2 а b с Сумма п (1)
Ген Число генов Лх Л2 2xl = 2а-\- b 2х2 = Ь + 2с 2п
Оценки частот генов А± и А2 в данной популяции соответственно равны
р'_________________Ъ_______ Х| . ._ b ~ 2с_ х2
Р ~ 2п ~ п ’ 4 ~ 2п ~ п '
с дисперсией выборки
V(p') = V(7') = v-. (2v)
2п
Такая оценка является оценкой максимального правдоподобия частоты
гена в популяции (упр.1 и 2).
Если выборка достаточно велика, то ожидаемые численности раз-
ных генотипов в выборке будут следующими:
Al Al АхА2 Д2Д2 Сумма
а' = пр2 = —b’ — 2npq = -Х1Х2 с' — nq2 — п
п п п
Для того чтобы выяснить, соответствуют ли наблюдаемые численности
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КАСТЛА — ХАРДИ — ВАЙНБЕРГА
23-
особей этих трех генотипов численностям, ожидаемым на основании
закона Кастла (Харди—Вайнберга), можно использовать критерий
хи-квадрат
Х2 = (Д- Д')2 + (Ь-Ь'У + (с —с')2
а' Ь' с'
с одной степенью свободы (потому что мы ввели два ограничения: а'+
+ Ь'+с'=п и p = Xi!ri).
Поскольку генотип AjAi образуется в результате объединения гаме-
ты Ai самца с гаметой Ai самки и т. д., то наблюдаемые численности ге-
нотипов можно представить в виде таблицы сопряженности признаков
(2x2), из которой можно рассчитать величину хи-квадрат:
Аллели Ai Аа Сумма
Ai 1 а —Ь 1 о + 2
Аг Т‘ -±-Ь + с
Сумма т6+с п
(4ас —fe2)2n
(2а +6)2(6+2с)2 ’
В идентичности двух выражений для хи-квадрат (4 и 4') легко убе-
/ О Z 2d Ь\
диться с помощью подстановок а = пр2- (где р = —!| и т. д.
2п I
В качестве числового примера можно рассмотреть данные Райда
[200а], который определил группы крови более чем у тысячи китайцев
в Гонконге и получил следующие результаты:
Численность Группа крови Общая численность
М MN N
Наблюдаемая 342 500 187 1029
Ожидаемая 340,6 502,8 185,6 1029
р = 0,5753; д= 0,4247; %2 = 0,032; уровень значимости 0,85
Почти полное совпадение наблюдаемых численностей с ожидаемы-
ми показывает, насколько точно биологическое явление можно описать
математически. Этого весьма простого примера вполне достаточно для
того, чтобы уяснить себе важность аналитической обработки генети-
ческих данных.
24
ГЛАВА 2
§ 2. ОЖИДАЕМЫЕ ЧИСЛЕННОСТИ
В МАЛЫХ ВЫБОРКАХ
Эффективный размер выборки в определенной степени зависит от
частот генов. Если частота гена очень низка и величина q2 поэтому
очень мала, выборка должна быть довольно большой, чтобы .в нее по-
пали несколько особей аа. Выборка среднего размера может вообще
не содержать особей аа. Изложенный ранее метод, связанный с исполь-
зованием соотношения а'=пр2 и т. д., может быть применен только к
большим выборкам или в тех случаях, когда частоты генов не слиш-
ком малы. Этим методом нельзя пользоваться, когда частота гена
столь низка, что nq2<l, т. е. при q<\l Vп.
Если выборка мала, то ожидаемые численности разных генотипов
можно найти выборочным методом из популяций конечного размера с
данной (наблюдаемой) частотой гена в выборке. Обратимся еще раз
к выборке (1). Ее можно рассматривать как некую конечную совокуп-
ность (pool) 2п генов, из которой сделаны два последовательных вы-
бора генов без возвращения. Вероятность выбора гена At в первый
раз равна Xi/n; тогда вероятность выбора гена At вторично будет рав-
на (2xt—1)/(2п—1). Таким образом, вероятность последовательного
выбора двух генов At (т. е. генотипа AiAi) из такой фиксированной
суммы генов будет равна %i(2xi—l)/n(2n—1). Умножив эту вероят-
ность на п, получим ожидаемую численность генотипа AiAi в данной
выборке. Аналогичным образом можно найти ожидаемые численности
особей AtA2 и А2А2. Итак, [240, 329]:
А± А1 А^ А2 А2 А2 Сумма
Xi (2X1— 1) 4xt х2 х2 (2х2— 1) (5)
2п—1 2п— 1 2п—1
Обратите внимание, что в примере (5) получается несколько боль-
шая численность гетерозигот, чем в примере (3), и соответственно не-
сколько меньшие численности гомозигот.
В приведенном выше рассуждении для совокупности 2п генов не
принят во внимание пол. В действительности здесь имеются два на-
бора генрв: один — из гамет п самцов, а другой — из гамет п самок.
Обычно когда говорят, что генотип AtA2 имеется у а особей из выбор*
ки, то подразумевают, что в каждом из двух наборов содержится по
крайней мере а генов Аь Точно так же наличие в выборке с особей
генотипа А2А2 говорит о том, что в каждом из двух наборов присутст-
вуют по крайней мере с генов А2. Далее, если b особей из выборки
имеют генотип AiA2, т. е. содержат как b генов Ai, так и b генов А2,
то вероятности получения каждой особью одного из генов от одного
пола и другого гена от другого пола равны. Обозначим через s чис-
ленность гетерозигот, которые получили ген At от самцов, а ген А2 от
самок. Остальные Ь—s гетерозигот получили ген At от самок и ген А2
от самцов. Все сказанное можно суммировать следующим образом:
Набор гамет самцов
(А) а + s
(А) c + (b — s)
Сумма п
Набор гамет самок
(А) а + (Ь — s)
(А) с + S
Сумма п
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КАСТЛА — ХАРДИ — ВАЙНБЕРГА
25
Величина s представляет
= 0, 1, 2...Ь с вероятностями,
что
собой биномиальную переменную: $ =
I 1 . 1 \ь
даваемыми разложением I--F—j ,так
4
где Е — математическое ожидание. Вероятность получения гомозиготы
А1Л1 при случайном объединении гамет от обоих полов представляет
собой Следующую ожидаемую величину:
Вероятность (Ах AJ = Е [fl—+ ь—f'j = Е (а2 + ab + bs — s2')/n2 =
\ п ] \ п /
Г/ 1 \2 11
— (а + — Ъ |--------— b \1п*.
1\ 2 ) 4 J
Умножив эту вероятность на п, получим ожидаемую численность осо-
бей AiAi в выборке. Таким же способом можно подсчитать численно-
сти AiA2 и А2А2. Каннинге и Эдвардс [55], введя Xi = a-j-— b и х2 =
=с-\-~Ъ, представили ожидаемые численности разных генотипов в
виде
Ai Ai л А А2 А2 А2 2 Сумма
Х1 ь 2xx , b х2 ь
п 4п 1 о п 2п п 4п
(6)
Сравнивая выражения (3) и (6), можно убедиться, что первые
члены (6) представляют собой обычные ожидаемые величины для
больших выборок, тогда как вторые члены дают отклонение от равно-
весных долей. Ожидаемые исходя из (6) численности гетерозигот ока-
зываются несколько большими; это же относится и к (5). В табл. 2.1
приведены ожидаемые численности, полученные разными методами
для малых выборок. Видно, что числа в столбце (5), рассчитанные на
основе представления о едином наборе 2п генов, почти не отличаются
от соответствующих цифр столбца (6), полученных исходя из пред-
ставления о двух отдельных наборах по п генов в каждом. Из выра-
жений (6) ясно видно, что даже при Ь=п отличие составляет только
1/2 гетерозиготы.
Таблица 2.1
Наблюдаемые и ожидаемые численности генотипов в малой выборке из популяции
со случайным скрещиванием
Генотип Наблюдаемая численность Число генов Частота гена Ожидаемые численности
(3) (5) (6)
Л1 Лг 7 (А) 24 р = 0,60 7,200 7,077 7,075
Д1 Л2 10 (Л2) 16 q = 0,40 9,600 9,846 9,850
Л2 3 3,200 3,077 3,075
Всего 20 40 1,00 20 20 20
26
ГЛАВА 2
§ 3. ДОМИНИРОВАНИЕ
Если имеются только два фенотипа — доминантный и рецессив-
ный, то определить частоту генов в выборке из панмиктической попу-
ляции довольно просто. Пусть D и R — наблюдаемые численности осо-
бей с доминантным и рецессивным признаками в случайной выборке
из G особей (2)-|-/? = G). Тогда частоту рецессивного гена (опуская
штрих) можно записать как
72 = R/g, q = V R/G, (7)
= = (7V)
G 4G
Вывод этих формул для дисперсии приведен в упр. 3 в конце главы.
Заметим, что выражения (7) справедливы только тогда, когда популя-
ция достаточно велика и скрещивания происходят случайно; в против-
ном случае доля рецессивных особей RJG ни в коей мере не может
быть использована для оценки q2. Именно в этом состоит отличие дан-
ного выражения от формул (2), которые справедливы независимо от
того, случайно скрещивание или нет.
Оценка частоты гена по двум фенотипам (D, R), конечно, менее
точна, чем по выборке (а, Ъ, с) без доминирования. Это отражается
и на величине соответствующих дисперсий (7 v), которые всегда пре-
вышают дисперсию (2v) при одинаковом размере выборок G = n.
В этом проще всего убедиться, если записать (7 v) в несколько другом
виде, заменив 1pq-\-p2 на 1—q2. Тогда, согласно [366], получим
Ш) =
1 — <72 _ рд । р2
4G 2G 4G ’
(7V)
Первый член этого выражения представляет собой (2 v), а из вто-
рого видно, что чем больше частота гена, тем больше приращение дис-
персии.
Хотя RJG представляет собой несмещенную оценку q2, для малых
выборок У R/G оказывается смещенной (заниженной) оценкой q.
Холдейн [212] предложил ввести следующую поправку:
(8)
(8v)
Эта поправка полностью не устраняет смещение, но значительно
уменьшает его даже для очень небольших выборок, как это видно из
табл. 2.2, где взята малая выборка G—5 из популяции с с/2=0,5 и
<7=0,7071 и использована поправка Холдейна. Выборочное распределе-
ние R дается формулой Среднее значение </ = 0,7054, полу-
ченное после поправки, ближе к истинному значению </=0,7071 в попу-
ляции, чем среднее </=0,6806, полученное обычным способом.
Можно записать (7v) и в другом виде, введя представление об
эффективном размере выборки. Большая дисперсия (1—q2)/4G для
случая с доминированием эквивалентна дисперсии для выборки мень-
шего объема без доминирования. Пусть Ge будет эффективным разме-
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КАСТЛА — ХАРДИ — ВАЙНБЕРГА
27
Таблица 2.2
Сравнение двух оценок частоты рецессивного гена в выборках
(с G = 5 особям) из популяции с <?2=0,5; <7=0,7071
Наблюдаемые численности особей с рецессивным признаком Число выборок Ут t + 4*1 — 4- | —
0 1 0 0,2182
1 5 0,4472 0,4880
2 10 0,6325 0,6547
3 10 0,7746 0,7868
4 5 0,8944 0,8997
5 1 1,0000 1,0000
Сумма Среднее 32 0,6806 0,7054
ром выборки (эквивалентным размеру в случае без доминирования).
Тогда мы получаем уравнение
У(/) =
’ 4G 2Ge
1 — <72 _ W
которое дает
Ge = G
Это означает, что информация, получаемая при каждом наблюде-
нии в случае доминирования, составляет [2q/ (1 -\-q) ] долю от соответ-
ствующей информации при отсутствии доминирования. Обратите вни-
мание на то, что это отношение имеет тот же смысл, что и эффектив-
ность оценки, определяемая обычно как
Эффективнее ть = — 21?
2G I 4G 1 + q ‘
Если q близко к единице, доминирование не дает какого-либо от-
личия в эффективности.
§ 4. ТИПЫ СКРЕЩИВАНИЯ; ОТНОШЕНИЕ СНАЙДЕРА
При наличии доминирования для проверки предположения о конт-
роле некоторого признака одной парой аутосомных генов обычно тре-
буются данные, охватывающие два поколения. Это предположение
можно проверить, основываясь и на данных по одному поколению, а
именно путем рассмотрения пар сибсов, согласно Коттермэну [73] и
Райфу [543]. Эти методы мы рассмотрим несколько позже. При нали-
чии доминирования имеется только три различных типа скрещивания.
Обратившись к табл. 1.2, мы увидим, что первые три варианта скре-
щивания являются скрещиваниями типа ДоминантныйХДоминантный
(ДомХДом); четвертый и пятый принадлежат к типу ДоминантныйХ
ХРецессивный (ДомХРеи), а последний относится к типу Рецессив-
ныйХРецессивный (РецХРец). Объединив два столбца с потомками АА
и Аа, можно получить долю особей с доминантным признаком. Тогда
табл. 1.2 примет вид табл. 2.3, из которой видно, что в семьях ДомХ
28
ГЛАВА 2
ХДом отношение долей потомков с доминантным и рецессивным при-
знаками равно (l-f-2<7) : q2, а в семьях ДомХРец— 1 : q. Доли особей
с рецессивным признаком среди потомков семей этих трех типов равны
соответственно
S2 =—q-—, S1 = -^-, S0=l.
Эти соотношения получены Снайдером [58]. Читателю полезно запом-
нить, что S является первой буквой фамилии Снайдер, а индекс при
S указывает на число доминантных родителей в семье.
(9)
Таблица 2.3
Типы и частоты скрещиваний и потомков от этих скрещиваний в панмиктической
популяции при доминировании
Тйп скрещивания Частота скрещивания Потомки
с доминантным признаком с рецессивным признаком
ДомХДом (1-<72)2=р2(Ц-<7)2 р2(1+2<7) р2.?2
Дом X Рец 2?2( 1 — <?2) = 2р<72( 1 2W2
РецXРец (<72)2 = q* 0
Для всех типов скрещивания 1,00 р2 + 2pq <72
Соотношения (9) представляют собой усредненные доли для раз-
личных менделевских расщеплений. Так, к примеру, в 5г включены осо-
би с рецессивным признаком, получившиеся в результате расщеплений
1:0 и 3:1, причем каждое из этих расщеплений берется с весом, со-
ответствующим частоте скрещивания данного типа. Результирующая
доля рецессивных особей является функцией частоты гена в популя-
ции, так как доля гомозигот от числа доминантных гетерозигот и час-
тоты скрещивания являются функциями частот генов. Очевидно, что
S^c— и 5i<—, потому что лишь у части семей ДомХДом рецессив-
4 2
1
ныи признак несет — потомства; другие же семьи этого типа совсем не
4
дают таких потомков и т. д. Отношения S2 и Si меняются от признака
к признаку в одной и той же популяции и от популяции к популяции
для одного и того же признака в противоположность менделевским от-
ношениям, постоянным для всех признаков и для всех популяций.
Снайдер [583] удачно назвал S2 и Si «популяционными соотношения-
ми» (population ratios).
Определив величину q (ее оценка производится из выборки), мы
можем рассчитать теоретические доли потомков с рецессивным призна-
ком от семей двух различных типов, сравнить их с наблюдаемыми ве-
личинами и таким образом проверить справедливость предположения
о контроле этого признака одной парой аутосомных генов с отношения-
ми доминирования.
Выборочные дисперсии S2 и Si можно очень просто найти с по-
мощью дельта-метода, вспомнив, что, согласно формуле (7v), V(q) =
= (1—q2)/4G. Далее мы имеем dS2/dq=2q/(l-\-q)3 n dSi/dq=i/(\~i-(l)2-
Следовательно, для больших выборок
V(S2) =f—Г V(g) = g2(1~<?8), (9v)
v [ dq / w G (1 + <?)« ’ '' ’
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КАСТЛА — ХАРДИ — ВАЙНБЕРГА
29
v (Sj) = (V (7) = . (9v)
7 \ dq ) W 4G(l + <7)4 '
Следует отметить идентичность этих выражений тем, которые приво-
дятся в различных работах Снайдера. Единственное замечание, кото-
рое стоит сделать по поводу формул (9 v),4 состоит в том, что G в них
обозначает число независимых особей, учтенных при определении q.
Таблица 2.4
Наследование людьми способности ощущать вкус фенилтиомочевины (ФТМ) [583]
Число семей с соответствующим типом скрещивания Число потомков Наблюдаемая доля неощущающих потомков
ощущающих неощущающих сумма
425 (ОЧ X О) 929 130 1059 S2 = 0,123
289 (ОХ Н2)) 483 278 761 Si = 0,365
86(НХН) (б)2) 218 218 So = 1,000
800 1412 626 2038
Ч О - ощущающий.
Н — неощущающий.
3) Такой результат может быть обусловлен незаконнорождением, усыновлением, ошибками в
диагнозе и т. д. При анализе данных мы не принимаем его во внимание.
Для числовой иллюстрации метода Снайдера рассмотрим данные
по наследованию человеком способности ощущать вкус фенилтиомоче-
вины (ФТМ). В табл. 2.4 приведены данные для 1600 родителей, не
находящихся между собой в родственных отношениях, и их 2038 детей,
которые уже не являются независимыми ни друг от друга (так как
среди них есть сибсы), ни от своих родителей. Поэтому наша выборка
эквивалентна такой выборке, которая включает более 1600, но менее
3638 независимых индивидуумов. Все же в соответствии с поставлен-
ной целью мы можем, используя данные табл. 2.4 (в которой не при-
водятся численности отдельных групп сибсов и размеры этих групп),
выбрать приближенный способ определения q, основываясь на данных
для всех 3638 индивидуумов. Так, мы имеем здесь 2-864-289 родите-
лей и 626 детей с рецессивным признаком. Поэтому q2 = 1087/3638 =
= 0,2988, откуда q = 0,5466. Подставив эти значения в уравнения (9),
мы получим следующие ожидаемые доли:
S2 = 0,125 и Sx = 0,353,
что хорошо согласуется с наблюдаемыми значениями. Это подтверж-
дает предположение о том, что способность ощущать вкус ФТМ явля-
ется простым доминантным менделевским признаком. (С оговорками
относительно применимости этого метода можно ознакомиться в гл. 10,
а также в работе [359].)
§ 5. ТИПЫ ПАР МАТЬ —РЕБЕНОК
Когда мы имеем дело с аутосомными генами, четыре типа пар род-
ственников: отец—сын, отец — дочь, мать — сын и мать — дочь не от-
личаются друг от друга; наиболее общий термин для обозначения пар
такого типа — это родитель — потомок (РП). Здесь, однако, мы ис-
пользуем термин «мать — ребенок» (МР), поскольку большая часть
30
ГЛАВА 2
имеющихся данных касается именно таких пар, и в этом случае мы
точно указываем родителя.
Рассматривая одну пару генов (без доминирования), можно пред-
ставить себе девять типов пар (сочетаний) МР. Однако два сочета-
ния (мать АА — ребенок аа) и (мать аа — ребенок АА) невозможны,
так что в действительности существует только семь различных сочета-
ний. Частоты этих семи сочетаний в популяции со случайным подбо-
ром пар можно определить самыми разными способами. Проще всего
переписать табл. 1.2, отделив при этом друг от друга реципрокные
скрещивания между родителями так, чтобы получить в таблице девять
различных скрещиваний, а затем выделить в ней три группы, соответ-
ствующие генотипу одного из родителей (скажем, матери). В резуль-
тате мы получим приведенную здесь табл. 2.5. Все эти действия чи-
тателю следует проделать в качестве упражнения.
Если А доминирует над а, мы обнаружим только четыре феноти-
пически различимых сочетания МР. Их частоты даны в табл. 2.6, для
составления которой были сложены частоты из табл. 2.5, соответству-
ющие фенотипически неразличимым сочетаниям. Другая форма записи
табл. 2.6 дана в упр. 10.
Таблица 2.5 Частоты сочетаний МР в популяции со случайным скрещиванием Таблица 2.6 Частоты сочетаний MP при наличии доминирования
Мать Ребенок Сумма Мать Ребенок Сумма
АА Аа аа А— аа
АА Р3 P2q 0 P2 А— pG+pq) pq2 P2+2pq
Аа РЧ qp2 2pq аа pq2 q3 q2
аа 0 pq2 q3 q2
Сумма Р2 2pq q2 1,00 Сумма p2+2pq q2 1,00
§ 6. ОЦЕНКА ЧАСТОТ ГЕНОВ ПО ДАННЫМ ПАР МР
Предположим, что табл. 2.7 представляет собой сводку данных
по группам крови человека, где а обозначает наблюдаемые численно-
сти пар МР, a Sa = G соответствует общему числу пар МР (включа-
ющих 2 G индивидуумов с 4 G генами). Мы можем определить частоты
генов, основываясь исключительно на данных о G матерях или только
на данных о G детях, однако при таком подходе отбрасывается инфор-
мация, поставляемая другими G индивидуумами. Применяя противопо-
ложный подход, можно определить частоты генов из данных по сум-
марным совокупностям матерей и детей, представленных в табл. 2.7.
Однако здесь- возникают трудности, связанные с тем, что эти 2 G ин-
дивидуумов не являются независимыми друг от друга, и поэтому в
нашей выборке нет 4 G независимых генов; таким образом, в этом
случае дисперсия оценок не равна pqlA G, как должно было бы следо-
вать из формулы (2v). Поскольку каждый ребенок имеет общий ген
со своей матерью, ясно, что на одну пару МР приходится только три
независимых гена (хотя полное число генов равно, очевидно, четырем).
Наиболее подходящим методом определения частот генов из дан-
ных по парам МР является метод максимального правдоподобия
(maximum likelihood method). Применяя его к известным численностям
отдельных сочетаний («I, а2,..., а7) совместно с соответствующими им
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КАСТЛА — ХАРДИ — ВАЙНБЕРГА
31
Таблица 2.7
Ожидаемые численности различных пар МР
Мать Ребенок Общее число матерей
М MN N
М «1 0 а1 + а2
MN а3 а4 «5 аз +а4+а5
N 0 а» «7 Дв + а7
Общее число детей Щ-г^з ’^4’< ^6 а5 + а7 G
вероятностями, приведенными в табл. 2.5, получим
А = ai log р3 + (а2 + aa) log р2 q + а4 log pq + (а5 + ae) log pq3 + а7 log q3.
Это выражение можно существенно упростить, учитывая то, что
logp2p = 2 log р +log q и т. д„ так что все члены этого уравнения будут
выражены через компоненты, включающие или log р, или log q. Объ-
единив эти члены, мы получим, что
L = В log р + С log q,
где
В = 3(Z4 -j- 2 ((Z3 4" «з) + ^4 + (^5 + ^в)>
а
С = ((?2 + «з) + + 2 (<?5 Яд) + Зй7.
Следует обратить внимание на то, что сумма В-\-С содержит утроен-
ные а всех видов, за исключением а4, которое в этой сумме только
удвоено. Следовательно, B + C=3G—а4. Положив dLldp = Q и разре-
шив это уравнение относительно р, мы получим
_ В _ 3aY 2 (а2 Дз) Н~ а4 (Дз + Дб) f 1 О')
Р В+С 3G—at ’ 1 ’
= = (10v)
.о ~~ С 3G —
Выражение (10) содержит информацию о количестве независимых ге-
нов. Так, в каждом сочетании мать(М)—ребенок (М) имеются три
независимых гена М, чему соответствует член 3«i. В сочетании мать
(М)—ребенок (MN) ребенок получает ген М только от матери, а его
ген N является независимым. Таким образом, из трех независимых ге-
нов этой пары здесь имеются два гена М, которым соответствует член
2а2, и т. д. Мы должны, однако, отметить, что сочетание мать(ММ) —
ребенок (MN) следует рассматривать так, как если бы здесь имелись
только два независимых гена, один из которых —• ген М; при такой
комбинации мы не можем судить о том, какой именно ген получил ре-
бенок от матери — М или N [75]. Теперь мы видим, что выражение
(10) дает долю независимых генов М в совокупности из 3 G—а4 неза-
висимых генов.
Поскольку каждая пара MN—MN обладает двумя независимыми
генами и частота таких пар в популяции со случайным скрещиванием
равна pq и поскольку пары всех других типов обладают тремя неза-
висимыми генами каждая, то в среднем на каждую пару МР будет
приходиться 2р<? + 3(1—pq) =3—pq независимых генов. Максималь-
ное значение pq равно V4; следовательно, на одну пару МР приходится
минимум 3,00—0,25=2,75 независимых генов. В случае с группами
32
ГЛАВА 2
крови MN, когда р и q близки к -у, сочетания MN—MN встречаются
в популяции чаще любых других, так что среднее число независимых
генов на одну пару МР приближается к своему минимальному значе-
нию. При малых р или q среднее число таких генов, приходящееся на
пару родитель — ребенок, очень близко к трем. Иными словами, роди-
тель и ребенок в этом плане эквивалентны приблизительно 1—незави-
симым индивидуумам.
§ 7. ТИПЫ ПАР СИБСОВ
Типы пар сибсов определяются типом скрещивания родителей.
Если, к примеру, родители типа АА\Аа имеют двоих детей, вероят-
ность получения пар сибсов АА—АА, АА—Аа, Аа—АА или Аа—Аа для
1
каждого из этих случаев равна —.
4
Если различать порядок рождения сибсов (первый ребенок, вто-
рой ребенок), то во всей популяции число типов пар сибсов будет рав-
но девяти; в противном случае это число равно шести. Семьи трех ти-
пов: ААХАА, АА\аа и аа\аа дают только пары из одинаковых сиб-
сов, тогда как семьи АА\Аа и аа\Аа могут производить пары сибсов
четырех типов. Единственным типом семьи, способным дать все девять
пар сибсов, является тип Аа\Аа. Вероятности получения этих девяти пар
задаются девятью членами выражения
(—АА+—АаА
\ 4 2
1 V г-г
—аа). Поэтому
для читателя, уже получившего представление о популяциях со слу-
чайным подбором пар, наиболее прямой способ расчета частот раз-
личных типов пар сибсов в общей популяции состоит в использовании
модифицированной схемы вычислений из табл. 1.2. Три столбца, соот-
ветствующих отдельным детям под общим заголовком «Потомки»,
заменяются девятью (или шестью) столбцами для пар сибсов; в эти
столбцы вносятся частоты различных видов пар сибсов для каждого
типа скрещивания. Суммируя частоты из столбцов такой таблицы, мы
получим частоты типов пар сибсов в обычной популяции, которые при-
водятся в табл. 2.8.
Если А доминирует над а, то, не принимая во внимание порядок
рождения, можно выявить фенотипически только три типа пар сибсов.
Поскольку доминирование встречается в практических задачад доволь-
но часто, мы приводим в табл. 2.9 результаты расчета частот пар
Таблица 2.8
Частоты типов пар сибсов в популяции со случайным скрещиванием
Полные сибсы АА Аа аа Сумма
АА -^-Ра(1 4- Р)а ~~p2q(l+p) Pa
Аа р27(1 + р) pq(l + pq) -~pq2(l + q) 2p<?
аа pq2 (1 + q) ~q2(l+q)2 q2
Сумма Р2 2pq q2 1,00
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КАСТЛА — ХАРДИ — ВАЙНБЕРГА
33
Таблица 2.9
Частоты пар сибсов в популяции со случайным скрещиванием при доминировании
Тип скрещи- вания Частота скрещивания Тип пары
Дом — Дом Дом — Рец Рец — Рец
ААХАА Pi Р4 0 0
АА X Аа 4р3<? 0 0
/ 3 \2 / 3 \ 1 1 \ / 1 \2
Аа X Аа 4p2q- w- т W-
АА X аа 2p2q2 2p2q2 0 0
1 1 V ! 1 \ / 1 v
Аа X аа 4pq3 4р<?3- 44 4pq' (т) 4р<?3- 44
аа X аа <?4 0 0 4*
Сумма 1,00 S11 Sio Sqo
сибсов этих трех типов: таблица служит также для иллюстрации мето-
дики, описанной в последнем параграфе. Для семьи АаХАа вероятно-
сти получения пар сибсов Дом—Дом, Дом—Рец и Рец—Рец соответ-
/ 3 \2 _ / 3 \ / 1 \ / 1 \2
ственно равны — ,2 — — и — . Само собой разумеется, что
\ 4 / \ 4 / \ 4 / у 4 /
суммы частот из столбцов для пар сибсов (5ц, 5ю, Soo) можно также
получить сложением частот фенотипически неразличимых пар, приве-
денных в табл. 2.8. Суммарная частота пар сибсов аа—аа во всей по-
пуляции, согласно табл. 2.8, равна
Soo = <74 + W3 + 4- Р2 ?2 = V ?2 (1 + ^2-
4 4
При наличии доминирования частота фенотипически неоднородных
(дискордантных) пар сибсов во всей популяции равна
= 4 Р2 <72 + 2w3 = 4 РЯ2 (3 + q).
Максимальное значение Si0 равно 0,272335; оно достигается при q =
=0,686. Следовательно, во всей популяции частоты фенотипически
однородных конкордантных пар всегда выше частот неоднородных пар
независимо от частоты данного гена. Разница между ними составляет
Su + Soo — Sio =1 — 2S10 =1 — pq2 (3 -f- q).
В § 4 отмечалось, что признаки, обусловленные одной парой ауто-
сомных генов с доминированием, можно изучать на основании данных
по парам сибсов, ничего не зная о родителях [73]. Для этого нужно
просто сравнить наблюдаемые доли трех типов пар сибсов с их теоре-
тическими частотами. Коттермэн [73] распространил этот метод на
группы сибсов большего размера: из трех, четырех, пяти и т. д. сибсов.
Однако в некоторых случаях данный метод не позволяет ответить на
вопрос, какой из фенотипов является доминантным. Чтобы проиллю-
стрировать здесь этот момент, мы привели в табл. 2.10 ряд числовых
значений 5ц, 5ю, 500 при различных значениях q. Обратите внимание
на то, что соответствующие частоты трех типов пар сибсов при *7=0,60
и <7=0,80 практически совпадут, если величины 5ц или SOo поменять
местами; следовательно, без привлечения данных по родителям нельзя
3—322
34
ГЛАВА 2
Таблица 2.10
Частоты типов пар сибсов в популяции со случайным подбором пар
при доминировании (из [543])
<7 5ц $10 Soo Примечания
0,01 0,9998255 0,0001490 0,0000255 SioiSoo — 6:1
0,10 0,983025 0,013950 0,003025
0,20 0,9344 0,0512 0,0144
0,30 0,858025 0,103950 0,038025
0,40 0,7584 0,1632 0,0784
0,50 0,640625 0,218750 0,140625
0,60 0,5104 0,2592 0,2304- 5ц и Soo при перестанов-
0,70 0,374025 0,27195g1 0,354025 ке практически совпада-
0,80 0,2384 0,2432 0,5184- ют
0,90 0,111025 0,157950 0,731025 Sio:Sn = 2:1
0,99 0,0101 0,0196 0,9703
1 Это значение близко к максимально возможному.
при анализе наследования редких признаков [546]. Если неко-
признак является редким, то по нему обычно невозможно подо-
однородные пары сибсов, поскольку вероятность отсутствия у
членов пары признака, присущего подавляющему большинству
общей популяции, весьма мала. Однако мы можем сравнить
сказать, какой признак в данном случае является доминантным, а ка-
кой — рецессивным.
Следует отметить, что при полном доминировании дискордантные
пары сибсов могут возникнуть в результате только двух типов скре-
щиваний: АаХ.Аа и АаХаа (см. табл. 2.9). Этот факт можно исполь-
зовать
торый
брать
обоих
сибсов
частоту дискордантных пар с частотой пар, конкордантных по редкому
признаку. Если редкий признак рецессивен, то практически все дис-
кордантные пары сибсов происходят от скрещивания Аа\Аа, которое
„ I 3 \ / 1 \ I 1 \2
дает 2 — — дискордантных пар и — конкордантных пар, обла-
\ 4 / \ 4 / \ 4 /
дающих редким рецессивным признаком (см. табл. 2.9). Поэтому во
всей популяции отношение частот пар сибсов этих двух типов должно
приближаться к 6:1 (см. первую строку табл. 2.10, когда <7=0,01).
Если же редкий признак определяемся доминантным геном, то практи-
чески все дискордантные пары будут возникать от скрещивания
АаХаа. Среди пар сибсов, производимых такими партнерами, будет
— неоднородных пар и — пар, члены которых обладают редким приз-
наком, так что для всей популяции отношение частот пар сибсов этих
двух типов будет близко к 2 : 1 (см. последнюю строку табл. 2.10, в
которой <7=0,99). Таким образом, отношение частоты дискордантных
пар к частоте пар, конкордантных по редкому признаку, указывает на
то, каким является этот признак — доминантным или рецессивным.
§ 8. РАЗЛИЧИЕ В ЧАСТОТЕ ГЕНА МЕЖДУ ПОЛАМИ
В большой популяции со случайным скрещиванием частоты генов
у самцов и самок равны. Если по тем или иным причинам в каком-ли-
бо поколении это равенство нарушается, то в дальнейшем при наличии
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КАСТЛА — ХАРДИ — ВАЙНБЕРГА
35
случайного скрещивания уже в следующем поколении оно восстановит-
ся. Однако в какой-то конкретной группе особей частоты генов у сам-
цов и самок могут несколько различаться. Пусть (pi, qi) и (р2, 9г)—
частоты генов соответственно у самцов и самок. Тогда у потомства
таких родителей частоты окажутся следующими:
АА Аа аа
Pi Рг Pifa + 91 9г 919г
Если бы у родителей частоты генов были равными p = -^-(pi+p2) и
q= -^-(91+92), т0 их потомство распределялось бы согласно обычному
биномиальному соотношению: р2, 2pq, q2. Следовательно, избыток ге-
терозигот, возникающий из-за неравенства частот генов у родителей
[554] и равный
Pi (h + Р2 9i — 2 W = (Р1 — р2)2,
сопровождается уменьшением частоты каждого типа гомозигот на ве-
личину— (pi—Р2)2 • В этом состоит еще одна из возможных причин из-
4
бытка гетерозигот в некоторых выборках.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Имея в виду читателей, еще не знакомых с методом максималь-
ного правдоподобия, мы . очень кратко остановимся на общих принци-
пах, лежащих в его основе, и в следующем примечании рассмотрим
простой пример его применения. Предположим, что наблюдаемые чис-
ленности особей в разных классах и соответствующие им вероятности
следующие:
Класс I II III Сумма
Наблюдаемые численности щ а2 а3 п
Вероятности Рг (6) Р2 (6) Р3 (6) 1
Методика применима к любому числу классов, однако мы не бу-
дем рассматривать ее в общем виде, а для облегчения задачи ограни-
чимся тремя классами. Предположим, что вероятности «появления»
классов Р,(0) (для краткости обозначаемые через Pi) являются функ-
циями основного параметра 0, который мы и хотим оценить. Вероят-
ность (Р) получения именно такой выборки будет:
Р (выборки) = —(Р^ (Р^ (Р3)\
ai! а2! а3!
Наша задача состоит в том, чтобы найти такую величину 0, при кото-
рой вероятность получения заданной выборки была максимально вы-
сокой, другими словами, нам нужно максимизировать Р (выборки).
Поскольку nj/aj а2! а3!— величина постоянная, мы ее из всех
дальнейших преобразований исключим и будем рассматривать лишь
член, включающий Pi (0); он носит название функции правдоподобия,
ее и следует максимизировать. Максимизация функции правдоподобия
эквивалентна максимизации ее логарифма. Прологарифмировав функ-
цию и приравняв ее производную по 0 нулю, получим
L = «1 log Рг + а2 log Р2 + а3 log Р3,
з*
36
ГЛАВА 2
dL _ at I dPj \ a2 / dP2 \ . a3 / dP3 \ _ q
dB ~ Pi Ld0 / p2 \ dB V P3 d0 J
Для большинства задач аналитического решения этого уравнения от-
носительно 0 не существует, но его можно найти с помощью различных
численных методов. Решение уравнения dL!dB=Q относительно 0 даст
л
искомую оценку параметра, которую мы обозначим через 0. В боль-
шинстве случаев такая оценка является смещенной, правда для боль-
ших выборок смещение весьма незначительно. Когда Pi является
простой функцией 0, можно без труда вычислить непосредственно
dPifdQ. Так, например, если Pi = 02, то с?Л/с?0 = 20. Дисперсия такой
А
оценки К(0) определяется по формуле
1 г Г - d*L\
V (0) 1 d02
Математическое обоснование этой формулы выходит за рамки нашей
книги. Однако некоторое неформальное, «на скорую руку», объяснение
поможет читателю-биологу проникнуть в эту «тайну». Итак, положив
/=1, 2, 3 и продифференцировав, получим
d2L _ yi Г 1 rf2 Pj dPj 1 dPj~
d02 — Pj ' d02 dB ’ P2 ‘ dB '
I 1
Подставив ожидаемое число nPj вместо наблюдаемого получим
I dB2 J Zj dB2 Pj \ dB J
Первый член правой части этого выражения равен нулю, поскольку
2Р3 = 1, откуда 2(dP3/c?0) =0 и 2(с?2Р3-/с?02) =0. Следовательно,
т -Г— ePL] v 1 / dPj \2
I = El------1 = «2------ —= т.
1 dB2 ) Pj dB )
Величина I=ni известна как количество информации о параметре, да-
ваемой выборкой из п независимых наблюдений; отсюда i определяется
как количество информации, получаемой при одном наблюдении.
Покажем теперь, почему величина, обратная I, является диспер-
сией оценки. Пусть Т — оценка параметра 0. При больших выборках
распределение величины Т близко к нормальному со средним значе-
нием 0 и дисперсией о2. Функция плотности равняется
_(т-ер
f =-----— е 2а"- »
Пренебрегая постоянным множителем и взяв натуральный логарифм
функции правдоподобия, получаем
L = — (Т — 0)2/2о2,
dL _ Т — В d2L _ — 1
dB о2 ’ dB2 а2
На этом мы завершаем рассмотрение метода. Для более полного оз-
накомления с ним следует обратиться к учебникам по математической
статистике.
2. Применим теперь метод, описанный в предыдущем примечании,
к генетической выборке (1). Введем следующее соответствие между
обозначениями:
Pi =* Р2, = 2р</, Р3 = у2.
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КАСТЛА — ХАРДИ — ВАЙНБЕРГА
37
Частота гена р играет здесь роль 0, т. е. того параметра, который мы
хотим оценить. Вероятность получения выборки (а, Ь, с), согласно (1):
Р (выборки) = (р2)« (2pq)b (дг)с = р2а+ь qb+*.
а! 6! с! а! 6! с!
В логарифмической форме функция правдоподобия (если пренебречь
постоянным множителем) сводится к выражению
L = (2а + b) log р 4- (b + 2с) logty.
Отметив, что dpldp = \ и dqfdp=—1, мы получаем
_2а + 6 6+2с = 0 р - 2а + 6 е /2)
dp р q ’ 2п ’
И
1 . г,/— d2L\ 2а+6 , Ь+ 2с 2п .
---- = Е ------- ---------Н —---=-----, т.е. (2v)
V (Р ) \ dp2 ) р2 q2 pq
путем подстановки ожидаемых численностей Е(2а-\-Ь)=2пр и £(&+
-\-2 с) —2nq.
3. Дельта-метод определения дисперсии. Как и в предыдущем слу-
чае, сначала мы кратко рассмотрим принципиальную основу метода, а
затем перейдем к применению его к генетическим задачам. Предполо-
жим, что х и у — две переменные, причем y=f(x); малые приращения
х и у связаны между собой следующим соотношением:
Ьу^^х).
Возведя это выражение в квадрат, получим
(Ai/)2=^-^-j2(Ax)2.
Дисперсия у представляет собой ожидаемую величину квадратичного
отклонения у, т. е. £(Дг/)2 = V(y), а £(Ах)2 = V(x).
Введя в обе части равенства ожидаемые величины, мы получим
V(y) = (-^V(x).
\ dx )
Очевидно, что для больших выборок эта зависимость носит прибли-
женный характер, однако она весьма полезна для решения многих
практических задач. С ее помощью можно 'рассчитать одну из диспер-
сий, когда известна другая.
Теперь рассмотрим генетическую выборку (D, R) из популяции со
случайным скрещиванием, где D-}-R = G. Вероятность встретить особь
с рецессивным признаком есть y=q2, а вероятность встретить особь,
обладающую доминантным признаком, равна 1—у=\—q2. Здесь мы
имеем дело с простой биномиальной переменной, выборочная диспер-
сия которой V(y') =у(1—y)/G. Следовательно, роль х здесь играет q;
поэтому dy/dx=dq2ldq=2q.
Таким образом,
V(72) = ^1^) = (27)2V(9),
и
= т.е. (7v)
4G u
Формулы для дисперсии (9v) выводятся таким же способом.
38
ГЛАВА 2
4. Для выборки из D доминантных и R рецессивных особей (Д-ф
+/? = G) q2—R!G или 1—q2=DjG. Покажите, что
y(g) = ^^2(i-^ = 2_
4G 4R 4G2 ’
из чего следует, что стандартная ошибка (SE, standart error) величи-
ны q равна
SE? = .
4 2G
5. Покажите, что оценка отношения частот генов и (см. гл. 1) в
выборке из G особей (а, Ь, с) и дисперсии методом максимального
правдоподобия приводит к формулам
2аД6
6 +2с’
У(ц) = ц(1. + ц)-2
’ 2G
Проверьте последнюю формулу с помощью соотношения
учитывая, что 1/(1—р) = l-f-u.
6. Пусть D, R и Н — доли особей трех генотипов в выборке из G
особей. Тогда и ]/"R будут соответственно оценками р и q при
условии, что скрещивание в данной популяции случайно, а сумма
]/£> + должна быть близка к единице. Справедливость послед-
него утверждения служит критерием правильности предположения о
том, что данный признак контролируется одной парой генов. Дисперсия
этой суммы равнаG [650].
Этот способ расчета, однако, менее эффективен, чем метод, предло-
женный в § 1. Если к тому же скрещивание в популяции не случай-
ное, то и ]//? вовсе не являются оценками р и q. Однако выра-
жения Д-|—~Н и Я по-прежнему дают наилучшие оценки частот
генов независимо от системы скрещивания.
7. У большинства человеческих рас частота гена М выше частоты
гена N, так что отношение частот генов и больше единицы, но очень
редко превышает два. Однако у айнов и австралийских аборигенов
частота гена М очень низка, тогда как у эскимосов и индусов с очень
низкой частотой встречается ген N. Ниже мы приводим результаты
изучения чистокровных эскимосов из восточной и западной Гренлан-
дии [142]:
Район Группы крови эскимосов Общая численность
М MN | N
Восточная Гренландия 475 89 5 569
Западная Гренландия 485 227 21 733
Найдите частоты гена N в данных популяциях эскимосов. Достоверны
ли различия этих частот?.
8. Наличие антигена Р в крови человека является простым доми-
нантным менделевским признаком. Индивидуумов, обладающих этим
антигеном, мы будем называть «положительными», а тех, у кого этого
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА КАСТЛА — ХАРДИ — ВАЙНБЕРГА
39
антигена нет, — «отрицательными». Подобно этому, присутствие груп-
поспецифического вещества в слюне человека также является простым
доминантным признаком. Те индивидуумы, слюна которых содержит
это вещество, известны под названием «секретирующих» (+), тогда
как индивидуумы, слюна которых не содержит этого вещества, назы-
ваются «несекретирующими» (—). Ниже мы приводим таблицу, сум-
мирующую результаты нескольких авторов [652], изучавших распро-
странение этих двух признаков. Рассчитайте ожидаемые значения S2
и Si и сравните их с наблюдаемыми значениями (см. отношение Снай-
дера).
Наследование способности
Наследование антигена Р к секретированию
Число и типы семей Дети Число и типы семей Дети
(-) сумма (-) сумма
249[(+)Х(+)] 79 756 150[(+)Х(+)] 23 274
134[(+)Х(-)1 179 465 62[(+)Х(-)] 67 170
34[(—)Х(—)] 94 94 18[(—)Х(—)[ 42 42
417 352 1315 230 142 486
9. В работе Винера [653] приводятся следующие частоты сочета-
ний мать — ребенок, изученных в отношении системы групп крови MN:
Мать Ребенок М MN N Сумма
м 93 74 0 167
MN 69 151 60 280
N 0 59 50 109
Сумма 162 284 ПО 556
Определите частоты генов и рассчитайте их стандартные ошибки по
формулам (10) и (10v).
10. Табл. 2.6 получена из табл. 2.5 путем сложения частот феноти-
пически неразличимых сочетаний. Ее можно получить и другим спо-
собом, приняв во внимание тот факт, что суммы, приведенные на «по-
лях» таблицы 2x2, постоянны. Если мать имеет генотип аа, то вероят-
ность того, что и ребенок ее будет обладать генотипом аа, равна при
панмиксии q. Поэтому вероятность получения сочетания мать — ребенок
аа—аа будет равна q2. Другие три частоты мы сможем получить путем
вычитания известных частот из суммарных величин на «полях» табл. 2.6.
Тогда таблица примет следующий вид:
Мать Ребенок А— аа Сумма
А— 1— + <?2 —<?3 1 —
аа <?2—<?3 <?3 <?2
Сумма 1-9* ?2 1, 00
40
ГЛАВА 2
В таком виде эта таблица была приведена в 1940 г. в работе Фишера
[169], который первым ввел взвешивание пар МР с помощью метода
максимального правдоподобия. Вес каждой пары лежит между 1 и 2,
изменяясь в зависимости от величины q, но для всех частот генов оста-
ется близким к 1,5. Иными словами, одна пара МР при оценке q равно-
ценна приблизительно 1,5 независимым индивидуумам.
11. В течение последних лет в изучении генетики Rh-фактора крови
человека были достигнуты значительные успехи. Однако в данном кон-
тексте мы можем все же считать, что этот признак контролируется од-
ной парой генов с отношениями доминирования. Приводим здесь данные
Бормана [32] по сочетаниям МР. Оценка q производилась как на осно-
вании данных по матерям и детям в отдельности, так и на основании объ-
единенных данных по матерям и детям. В последнем случае <у2 = 644/
/3980 = 0,1618, а (/ = 0,40225. При расчете дисперсии V (q) по формуле (7)
можно принять, что приближенно 6 = 1990-1,5 = 2985. (Для более стро-
гих расчетов см. работы [75, 169].)
Мать Ребенок Rh (+) Rh (-) Сумма
Rh (+) 1475 182 1657
Rh(-) 204 129 333
Сумма 1679 311 1990
12. Покажите, что при q2 = -~, т. е. при </ = 0,707, частоты конкор-
дантных пар сибсов двух типов равны между собой: 3ц=£оо=0,3643 и
Slo = O,2714.
13. Объясните, почему следует ожидать, что 30оН—=Sio=<72- Пока-
жите, что это соотношение выводится из формул § 7.
ГЛАВА 3
Генетическая дисперсия
и корреляции
Проблема наследования количественных (metrical, quantitative)
признаков в менделевской популяции составляет столь обширную об-
ласть генетики, что заслуживает не менее подробного рассмотрения, чем
приведенные здесь классические законы Менделя. Настоящую главу
можно рассматривать как введение в данный предмет и как основу для
вывода в последующих главах ряда теорем, касающихся количествен-
ных признаков. Первые три параграфа посвящены линейной регрессии;
приложения к генетическим задачам начинаются с четвертого парагра-
фа. Специальные вопросы генетики количественных признаков рассмот-
рены в работах [144, 280, 440].
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ
Прежде чем переходить к рассмотрению генетических задач, стоит,
пожалуй, вспомнить некоторые общие свойства линейной регрессии. Все
приведенные результаты должны быть известны читателю, знакомому
с вводным курсом статистики, и мы суммировали их здесь только для
облегчения расчетов и интерпретации корреляций между родственни-
ками, о чем будет идти речь в этой главе.
Пусть (Хг, У,) — пары чисел. Каждую пару можно представить точ-
кой на плоскости XY. Проведем прямую, отражающую распределение
этих точек на плоскости. Ее уравнение имеет вид
L = a+b(X — X), (1)
где L, в учебниках по статистике обычно обозначаемое через У, У', Уо
или У с другим индексом, называется предсказанным (predicted), рас-
считанным (calculated), теоретическим (theoretical), соответствующим
(fitted) или ожидаемым (expected) значением переменной У, определен-
ным по уравнению (1) —уравнению линейной регрессии У на X. Вели-
чины а и Ь из (1) должны быть выбраны так, чтобы сумма квадратов
отклонений D — Y—L была минимальной. Минимизировать надлежит
следующую величину:
Q = 2D2 = 2(F —L)2= 2[7 —а —&(Х —Х)]2. (2)
Положив dQ/da = 0 и dQ/db = O, мы получим два «нормальных» урав-
нения
2D = 2(F — L) = 2[F — а — Ь(Х — X)] = 0, (3)
2D(X — X) = 2 [У — а — Ь(Х — X)] (Х — X) = 0. (4)
Из них можно вывести все свойства линейной регрессии. Первое дает
4—322
42
ГЛАВА 3
D=Y—L = 0, или a = L=Y, и тогда уравнение (1) можно переписать в
виде
L — L = L — Y = b(X~X). (5>
Подставляя в (4) Y вместо а, мы получим
2(7 — У) (Х — Х) — Ь2 (X— Х)2 = 0,
откуда
b = S(Y-Y)(X-X) = Соу(У,Х) (6>
s(x-x)2 <4
b представляет собой тангенс угла наклона искомой прямой регрессии
Y на X. Возведя в квадрат обе части (5) и просуммировав, получим
2 (L —Z)2 = b22 (X —Х)2,
2 1 2 2 /*7\
oL = b ох. (7)
Последнее соотношение сразу же становится очевидным, если мы запи-
шем уравнение (5) в виде L = bX-f-const.
Следует отметить еще два свойства линейной регрессии. Одно из
них состоит в том, что значения L и соответствующие им отклонения
не коррелируют. Из двух нормальных уравнений 2Z) = 0 и 2П(Х—X) =0
следует, что ковариация для D и L также равна нулю:
2 (D —D) (L —Z) = b2D(X —X) = 0. (8)
Таким образом,
Y = L + D, o*Y = ol+ol. (9)
Приведенное разложение дисперсии, как это было отмечено выше, ши-
роко применяется в генетике количественных признаков.
Найдем теперь корреляцию между истинным значением Y и значени-
ем, вычисленным на основании линейной аппроксимаций L. Ковариация
этих двух переменных равна
Cov(K,L) = Е (Y — Y) (L —Z) = Е(L-L + D-D) (Е-L) =
= Е (L — L)2 = o2l,
так как E(D—D) (L—L) =0, согласно уравнению (8). Коэффициент кор-
реляции между Y и L равен
r = ПО)
YL~ aYaL aYaL aY ' (
Поскольку L = bX+const, а коэффициент корреляции не зависит от еди-
ниц измерения и начала отсчета, то rYL = rYX. При рассмотрении генети-
ческих задач мы будем пользоваться как rYL, так и rYx.
§2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА РЕГРЕССИИ
В ВИДЕ СРЕДНЕГО ТАНГЕНСА УГЛА НАКЛОНА
Выше мы показали, что тангенс угла наклона линии регрессии,
определенный из нормальных уравнений, есть Ь = 2(У—У) (X—Х)/2(Х—•
—X)2. Интуитивно, однако, неясно, почему отношение Cov (У, Х)/ах
равно тангенеу угла наклона прямой на диаграмме разброса. В этом па-
раграфе мы попытаемся дать непосредственную геометрическую интер-
претацию Ь. Пусть Pi=(Xj, Уг), а С=(Х, У) —соответственно произ-
ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИИ
43
вольная и некоторая фиксированная точки на плоскости (X, У). Тангенс
угла наклона прямой, проведенной через эти точки, равен
На рис. 3.1 представлены два случая, когда расстояние PC одинаково,
а тангенсы углов наклона сильно различаются. Значение тангенса в
первом случае, когда длина основания треугольника меньше, определя-
ется с меньшей точностью, чем во втором. Будем считать, что относи-
Рис. 3.1. Вес (w), соответствующий тангенсу угла наклона, равен квадрату основания
треугольника, которое определяет величину тангенса этого угла [388, 388а].
Длины отрезков PC на обеих диаграммах одинаковы, а веса различны.
тельный вес данного тангенса пропорционален квадрату основания, ко-
торым этот тангенс определяется. Вес bi равен
w^lX.-X)2.
Тогда средневзвешенный тангенс угла наклона отрезков PC равен [386,
387]
b = S6t- wj = S(yt--y) (Х{-Х)
Zwi 2 (X{ _ x)2
что совпадает с величиной, полученной по методу наименьших квадра-
тов (6). __
Введение центральной точки С=(Х, У) облегчает и упрощает ал-
гебраические выкладки, однако не является необходимым для обосно-
вания соответствия веса тангенсу угла наклона. Вместо введения фик-
сированной точки С можно взять любую возможную пару точек. При
этом тангенс угла наклона отрезка PiPj будет равен
~~ с весом wi} — (X — XX1.
, f J X. _ X • Jf
Средневзвешенный тангенс угла наклона для всех пар точек будет
равен
b = ZbijWjj = S(rt--F/) (Xi-XS)
Яиц Z(X;-XiP
4*
44
ГЛАВА 3
Это выражение идентично (6), поскольку как числитель, так и знамена-
тель (6") в п раз больше числителя и знаменателя (6), где п — число
точек (упр. 3).
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА РЕГРЕССИИ
В ВИДЕ КОНТРАСТА
Рассмотрим следующие выражения:
Yy-Y.,
37х+272 - 578,
7х-372 + 373 - 74.
Мы видим, что в каждом из них коэффициенты при У в сумме равны 0.
Таким образом, все они являются разностью двух групп величин У, каж-
дая из которых взята со своим весовым коэффициентом. Так, например,
третье выражение означает разность (У1+ЗУ3) — (ЗУ2+У4). В общем
случае выражение
b = C171 + c,72+...+ cn7n (11)
называется контрастом, если с1+.„+сп = 0. Понятие контраста расширя-
ет простые методы сравнения, основанные на разности У1—У2, опреде-
ляемой только между двумя величинами. Контраст — это сравнение двух
групп величин, причем любая величина любой группы берется с опреде-
ленным весом. Вклад этого контраста в общую дисперсию в соответст-
вии с общей теорией статистики равен
62 = (С1У1+...+ спУп)2 (12)
с?+...+^
Очевидно, что умножение с на любую константу не повлияет на вели-
чину (12). Элементарное изложение метода использования контрастов
в экспериментальной статистике можно найти в работе Ли [387].
Рассмотрим контраст для частного случая, когда У является линей-
нор функцией Х-. ;,
Ь = _7Х +... + - - 7,
2 (Х{ — X)2 2 (Х[ — Х)2
(13)
где Ci=(Xi—X)j'S(Xl—X)2 и 2сг=0. Если Xt больше X, то его отклоне-
ние положительно, а если меньше, то отрицательно. Следовательно,
контраст (13) является разностью между группой У, соответствующих
большим, чем X, значениям X, и группой У, соответствующих меньшим
значениям X, причем вес каждого члена группы пропорционален откло-
нению от X. Выражение (13) можно записать и таким образом:
b Z(Xi-X)Yi _ 2(Х;-Х)(У,-У)
2 (X;— X)2 2 (Хг— X)2
что в точности равно коэффициенту регрессии У на X [уравнение (6)].
Если мы имеем дело с популяцией, можно заменить 2(Х—X)2 на о%.
Тогда, согласно уравнению (12), дисперсия, обусловленная контрастом,
равна
Ь*
2с?
62
oVot
А А
= = а1 >
т.е. (7)
ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИИ
45
Таким образом, коэффициент регрессии У на X есть разность между дву-
мя группами У, подразделенными и взвешенными в соответствии с их от-
клонениями от X.
§ 4. ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ
И ЕЕ КОМПОНЕНТЫ
Теперь, когда мы рассмотрели основные свойства линейной регрес-
сии, мы сможем осмысленно и без труда применять ее для решения ге-
нетических задач. Рассмотрим популяцию со случайным скрещиванием
в отношении одной пары генов (табл. 3.1). Пусть Х=2, 1, 0 — незави-
симая переменная, представляющая генотипы АА, Аа и аа соответст-
венно. Значение X соответствует числу генов А в генотипе. Пусть У —
некое среднее значение количественного признака для данного генотипа
(среднее значение генотипа). Это значение есть среднее фенотипическое
выражение генотипа без учета происходящих с течением времени воз-
действий окружающей среды. Если его значение для гетерозиготы на-
ходится точно посредине между соответствующими значениями для двух
гомозигот, т. е. если 2У1 = Уз+Уо> то говорят, что между этими аллелями
нет доминирования в отношении данного количественного признака. Ве-
личину У2—У1 = У1—Уо можно тогда рассматривать как эффект единич-
ного генного замещения. В этом случае все точки (X, У) лежат на пря-
мой и корреляция будет полной. Дисперсию У можно рассчитать из дис-
персии X. В нашей прежней системе обозначений X=L, D = Q, uy=^gl',
дальнейшего разложения дисперсии У мы не производим.
Таблица 3.1
Линейная регрессия генотипических величин У на дозу гена А в популяции
со случайным скрещиванием
Генотип Частота f Доза генаД X Среднее значе- ние признака У Теоретическая величина L Доминантное отклонение D
АА h = P2 2 у2 l2 ' d2
Аа fi = 2РТ 1 Yi Li Di
аа fo — Q2 0 Го ' Lo Do
Сумма 1 X У У = 1 D = 0
Перейдем теперь к общему случаю, когда У может принимать лю-
бые три значения, не связанные никаким соотношением (табл. 3.1). Най-
дем сначала линию регрессии У на X. Так как X — биномиальная пере-
менная, мы имеем стандартные соотношения
X = 2р, 4 = 2pq. (14)
Среднее значение и дисперсия произвольно взятых У равны
Y = р2У2+2р<?У1-Н2У0, (15)
G2y = SfF2—К2. (16)
Ковариация X и У равна
Cov (X, У) = 2 fXY - X Y = 2р2 У2 + 2рдУг - 2р ^Y^pqY^YJ =
= 2pq[p(Y2-Yi) + q(Yi-Y0)]. (17)
46
ГЛАВА 3
Таким образом, коэффициент регрессии У на X есть
<’ = '>ху = 2!~2 = Р(Г2-Г,)+?Ц1-Т„). (18)
Если тангенс угла наклона линии регрессии_известен, значения L можно
сразу рассчитать из уравнения L = Y-\-b(X—X). Однако на практике нам
нужны не сами L, а дисперсии этих величин
of = b2 о2х = 2pqb\ (19)
где b дается формулой (18). Кроме того, поскольку L и D не коррели-
руют,
= °L + aD- (20)
D=Y—L в литературе по генетике известно под названием «отклонение,
обусловленное доминированием» — доминантного отклонения (domi-
nance deviation). Любое соотношение, приведенное в этом параграфе,
непосредственно следует из общих свойств линейной регрессии, рассмот-
ренных в § 1. Вероятно, это самый простой способ изучения данного во-
проса. Единственное упрощение здесь состоит в том, что X, являющаяся
в общем случае произвольной величиной, в генетических задачах пред-
ставляет собой биномиальную переменную.
Если расписать выражение для дисперсии У и ее компонентов (20),
можно получить подробное выражение для , однако при этом прихо-
дится иметь дело со сложными алгебраическими выкладками. В одном
из последующих параграфов мы приведем другой метод разложения
дисперсии У, который позволяет получить такое выражение в один при-
ем. И наконец, следует отметить, что между двумя компонентами дис-
персии из уравнения (20) не существует какой-либо определенной за-
висимости, за исключением той, что в сумме они составляют диспер-
сию У. Если & = 0, то o2l =0 и Оу= Од . В другом крайнем случае, когда
2У1 = У2-(-Уо, и Возможны также и любые промежуточ-
ные случаи.
§ 5. ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ
Некоторые не рассмотренные нами детали метода регрессии гораз-
до легче уяснить на числовых примерах, чем из алгебраических выкла-
док, поэтому мы советуем читателю самостоятельно проделать,все рас-
четы и убедиться в справедливости наших рассуждений. В табл. 3.2
приведены данные для панмиктической популяции с частотами генов
(р, д) = (0,6; 0,4) и средними значениями количественных. -Признаков
8, 7, 1 для АА, Аа и аа соответственно. Cov(X, У) — XfXY — XY = 9,12 —
— 7,68 = 1,44. То, что она оказалась равной Од = 1,44, в этом частном
примере чистая случайность. Коэффициент регрессии d = Cov(X, У)/
/и2х = 1,44/0,48 — 3,00 и является мерой количественного изменения У
при изменении X на единицу. В нашем случае X увеличивается на услов-
ную единицу при переходе от генотипа аа к Да и от Аа к А А; поэтому
величина b в генетических задачах совпадает с рассчитанной величиной
аддитивного действия гена. Эти теоретические значения равны 2,8; 5,8.и
8,8 и за каждый шаг возрастают на Ь = 3 (рис. 3.2). В итоге разложение
дисперсии будет таким:
Дисперсия ^1 = 4,32 Од = 1,44 <4 = 5,76
Проценты 75 25 100
генетическая дисперсия и корреляции
47
Таблица 3.2
Разложение генетической дисперсии на аддитивную (о^ )
и доминантную компоненты методом линейной регрессии
Генотнп f X Y fXY L D
АА Аа аа 0,36 2 8 5,76 0,48 1 7 3,36 0,16 0 1 0 8,8 —0,8 5,8 +1,2 2,8 —1,8
Сумма Среднее 1,00 9,12 1,20 6,40 7,68 X Y XY 6,40 0 1= Y D
Дисперсия и кова- риация 0,48 5,76 1,44 crx Oy Cov(X, Y) 4,32 1,44 al al
aY
В генетических задачах значения компонент дисперсии как тако-
вые не столь важны; решающую роль в генетике количественных приз-
наков при решении практических задач селекции играет отношение
. Читателю предлагается также проверить равенство rXY = rYL =
— 0,866, учитывая, что
_МТ__£32 =
АУ 0,48-5,76 5,76 YL
48
ГЛАВА 3
Если мы заменим аллель А на а, так что прежний генотип АА прев-
ратится в аа (т. е. X = 2 перейдет в X = 0) и т. д., но сохраним его ча-
стоту или количественный показатель, то получим зеркальное отображе-
ние исходной популяции, как показано на рис. 3.3. Коэффициент регрес-
сии, таким образом, станет равным —3, однако генетическая дисперсия
и ее компоненты, очевидно, останутся прежними.
Поскольку L и D не коррелируют, мы можем изменить знак величин
D из табл. 3.2. и, прибавив эти величины к L, получить новый набор Y:
Генотип аа Аа АА
Новые У 4,6 4,6 9,6
как это показано на рис. 3.4. Очевидно, что эта популяция будет иметь то
же самое среднее, ту же дисперсию и те же компоненты дисперсии, что и
прежде. Точки, находившиеся выше линии регрессии, окажутся теперь
ниже, на том же самом расстоянии от нее, и наоборот, что не сказывает-
ся на дисперсии. Это зеркальное отображение приведено на рис. 3.5. Все
четыре популяции имеют одни и те же компоненты дисперсии. Заметим
также, что D для двух гомозигот всегда имеют одинаковый знак, т. е. на-
ходятся по одну сторону от линии регрессии, тогда как точка, соответст-
вующая гетерозиготе, имеет противоположный знак, т. е. расположена
по другую сторону от линии регрессии. Для трех различных точек (каж-
дая из которых взята с весом, соответствующим частоте) можно прове-
сти лишь одну линию регрессии.
§ 6. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Для популяции с биномиальными частотами Ли [367] разработал об-
щий метод подразделения дисперсии на компоненты, число которых
равно степени бинома. Метод настолько прост, что лучше не объяснять
его, а показать, как им пользоваться. В верхней части табл. 3.3 приво-
ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИИ
49
Таблица 3.3
Разложение дисперсии У методом последовательных разностей
Класс X Частота f Величина Y Последовательные разности
7' bY | Г Д2К, f/ff Д3У
3 р3 Уз р2 ДУ2
2 3p3q У2 2pq ДУ1 Р Д2КХ 1 Д3У0
1 3pq3 У1
0 <73 Уо <72 ДУо Я Д2У0
Сумма Среднее 1 У = ₽0 1 Pi 1 ₽2 1 Рз
Для популяции диплоидных особей
Класс f Y г ДУ f" Д2У
АА Р2 Уз
Аа 2pq У1 р У2-Ух 1 у2-2ух + у0
аа Я2 Уо я Ух-Уо
Сумма 1 1 1
Среднее Y ь d
дится пример применения метода к более общему случаю — биному
третьей степени, а в нижней части дается его приложение к популяции
со случайным скрещиванием (бином второй степени). Записываем
АУП = Уп+i Уп и Д2УП = ДУп+1 ДУП = (Уп+2—Уп+1) — (Уп+1 —
— Уп) = Уп+2 — 2Уп+1+ Уп и т. д.; таким образом, Д3У0 — Уз — ЗУ2 +
+ ЗУ1—Уо. Пусть f — это исходная биномиальная частота в разложе-
нии бинома степени п, a f' — биномиальная частота в разложении би-
нома степени (п—1) и т. д. вплоть до (p + q)°=l. Среднее разностей
i-ro порядка равно
₽< = 2/<0(Д'У), (21)
в частности для биномиального распределения третьей степени
₽2 = Р (Г3 - 2У2 + Ух) + q (У2 - 2ГХ + Yo).
Можно показать, что приведенное ниже равенство является тождеством
(У = Ро):
2 fK2 = + Зр^р? + Зр® ^Р| + p'VPa2- (22)
Коэффициенты при членах_правой части тождества задаются разложе-
нием (1 + р</)3. Перенеся У2 — ро в левую часть, мы получим три ком-
поненты дисперсии У. Не представляет особого труда обобщить все
проделанные рассуждения на случай бинома степени п.
Рассматривая популяцию случайно скрещивающихся диплоидных
особей в отношении двух аллелей некоторого локуса, введем для удобст-
ва обозначения b = Pi и d = Рг- Тогда (см. табл. 3.3)
b=p(Y2-YJ +q(Y1-Y0), d = У2-2У1 + Yo> .(23)
о2, = 2pqb2 + р2 q2 d2 = о2 + о2. (24)
50
ГЛАВА 3
Мы видим, что эти уравнения идентичны (18), (19) и (20); из них
можно получить в явном виде выражение для Од = p2q2d2.
Из проделанного выше анализа видно, что если bud положитель-
ны, то следующие четыре популяции при любой частоте гена будут
иметь одни и те же компоненты дисперсии:
(b,d), (b, — d), (—b,d), (—b, — d).
Кроме того, поскольку коэффициенты р? задаются разложением (1 +
-\-pq)n, очевидно, что взаимная замена р и q не скажется на компонен-
тах дисперсии, определенных данными абсолютными величинами bud.
В табл. 3.4 представлено восемь панмиктических популяций с одним и
тем же средним, одной и той же дисперсией, с одинаковыми линейными
и доминантными компонентами (Ь = ±3, с? = ±5). Четыре верхние
популяции изображены на рис. 3.2—3.5.
Таблица 3.4
Восемь популяций с одинаковым средним (У=6,4), одинаковой дисперсией (<jy=5,76)
и одинаковыми линейными и доминантными компонентами = 4,32;<Тд =1,44)
Частота гена (р, <7) = (О,6; 0,4) Частота гена (Р, q) = (0,4; 0,6)
Y ДУ Д2У У ДУ Д2У
АА 9,6 5 АА 4,6 0
Аа 4,6 0 +5 Аа 4,6 —5 +5
аа 4,6 аа 9,6
АА 8,0 1 АА 1,0 6
Аа 7,0 6 —5 Аа 7,0 —1 —5
аа 1,0 аа 8,0
АА 4,8 —1 АА 11,8 6
Аа 5,8 —6 +5 Аа 5,8 1 +5
аа И,8 аа 4,8
АА 3,2 —5 АА 8,2 0
Аа 8,2 0 —5 Аа 8,2 5 —5
аа 8,2 аа 3,2
И наконец, выясним, каков геометрический смысл величин р. Рас-
смотрим для биномиального распределения третьей степени из табл. 3.3.
Можно показать, что коэффициент линейной регрессии У на X равен
₽х = Р2 (Гз - У2) + 4pq (У2 - Ух) + q2 (Ух - Уо),
где (Уз—У2) —• тангенс угла наклона прямой, проведенной через точ-
ки (Х2, У2) и (Х3, Уз), так как значения X от точки к точке изменяются
на единицу. Из рис. 3.6 видно, что каждая из разностей представляет
собой тангенс угла наклона прямой, проведенной через две соседние
точки, поэтому Pi есть средневзвешенная величина этих тангенсов.
В § 2 мы показали, что в общем случае коэффициент регрессии явля-
ется средневзвешенным тангенсом угла наклона прямых, проведенных
через точку Pi — (Xi, Yi) и центральную точку С = (X, У), или пря-
мых, проведенных через все возможные пары точек. Однако для про-
стого частного случая, когда точки распределены по биномиальному
закону, коэффициент регрессии сводится к средневзвешенному танген-
ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИИ
51
су угла наклона прямых, проведенных через соседние точки, р более
высоких порядков также можно представить в виде коэффициентов
регрессии (тангенсов); так, Pi+i является, очевидно, коэффициентом
регрессии Д*У на X для биномиальной популяции п — i. Для популяции
со случайным скрещиванием диплоидных особей коэффициент регрес-
сии (известный также под названием эффекта гена) равен средневзве-
Рис. 3.6. Линейная регрессия У на X для случая, когда величины У имеют биномиаль-
ные частоты, задаваемые членами разложения (p+q)n [367].
Коэффициент линейной регрессии равен средневзвешенному единичному приращению Y.у
веса являются членами разложения {p+q')1 * . У3, У2, Уь Уо в этом частном случае имеют частоты
р3, Зр2<?, Зр<72, q3 соответственно. Коэффициент регрессии Ь=рЦУз—Y2)+2pq(Y2— Yi)+q2(Yi—Уо).
шейному разностей (АА—Аа) и (Аа— аа), где символ генотипа имеет
двойной смысл, обозначая также среднее значение количественного
признака для данного генотипа, т. е. АА — У2 и т. д.
§ 7. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Метод последовательного дифференцирования очень похож на ме-
тод последовательных разностей. Он основан на последовательном оп-
ределении производных по р от среднего значения признака в популя-
ции. Чтобы показать его общность, для начала мы опять воспользуемся
биномом третьей степени.
у = Р3 Уз + Зр2дУ2 + 3W2 Гх + р3 К = ₽о,
IT = Y’ = 3 [р2 (Y 3 - Y2) + 2pq (У2 - Уг) + р2 (Ух - Уо)] 3₽ь
= Y" = 6 [р (Y3 - 2Y2 + Ух) + q (Y 2 - 2Y, + Го)] = 6₽2,
ар2
52
ГЛАВА 3
= Y'" = 6(Г3-ЗГ2 + З^-Уо) = 6₽3.
Подставив_эти выражения в (22), мы получим выражение для диспер-
сии через У, У', У", У'".
Для частного случая популяции со случайным скрещиванием дип-
лоидных особей имеем
P = p2r2 + 2Wyj+</%,
= Г = 2 [р (У2 - YJ + q(Yr- Уо)] = 2b,
ар
^ = Y" = 2 (У2- 2УХ + Уо) = 2d,
ар£
так что (24) превращается в
°у = V + 4 Р2 ?2 (И2- (25)
I 4
§ 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОПУЛЯЦИИ
В ВИДЕ ДВУХ ЧАСТЕЙ
Популяцию со случайным скрещиванием, рассматриваемую в от-
ношении двух аллелей некоторого локуса, можно подразделить на две ча-
сти, p2AA+pqAa и pqAa + q2aa. Пусть, как и прежде, У2, У±, Уо — сред-
ние значения количественных признаков для генотипов АА, Аа и аа
соответственно. Заметим, что «размер» первой части равен p2-\-pq =
= р, а второй — pq + q2 = q. Среднее значение признака для первой
части равно mi — (p2Y2 A~pqYi)/p = pY2 + qYi, а второй — m2 =
= рУ1 + qY0. Эту ситуацию можно представить в виде следующей схе-
мы:
Части Размер Среднее значение признака
з
АА Аа
р2, У2; pq, Ух
Аа аа
pq, Ух; q2, Уо
Вся популяция
= Р У2 + qYr
т2 = рУх + ?У0
У = ртг + дт2
Разность между средними значениями признака для частей
m1 — m2 = p(Y2—Y1) + q(Y1 — Y0) = b, (26)
что равно нашему коэффициенту регрессии (18) и названо в работе
[164] «средним эксцессом». Чтобы показать, что разделение популя-
ции на две части согласуется с понятием контраста, введенным в § 3,
напомним, что X—2, 1, 0 с Х=2р и ox=2pq. После подстановки
соответствующих выражений в (13) получим
ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИИ
53
b = {р2 (2 - 2р) У3 + 2pq (1 - 2р) Ух + <?2 (О - 2р) Уо] =
2pq
= (р^2 + <?Л) — (рУ1 + q¥o) = тг — т2.
Таким образом, мы видим, что для популяции со случайным скрещива-
нием контраст mi — т2 между двумя частями действительно эквива-
лентен коэффициенту регрессии и линейной компоненте дисперсии
2pq(mi — т2)2.
§ 9. ЭФФЕКТЫ АЛЛЕЛЕЙ
Все вышеописанные методы применимы лишь в частном случае
двух аллелей. Однако Кемпторн [280] модифицировал последний из них
(представление популяции в виде двух частей) и распространил его на
случай множественных аллелей. В данной главе мы рассмотрим этот об-
щий метод для двухаллельной системы, а применение его к случаю
множественных аллелей дадим в гл. 5. Модификация основана по су-
ществу на аналогии между менделевской популяцией и факторным
экспериментом. Менделевскую популяцию можно представить в виде
таблицы 2 X 2, в которой аллели выполняют роль анализируемых фак-
торов.
А а Вес строки Среднее по строке Отклонение=эффект аллеля
А Р2, г2 pq, Yi р nil ai=mi—г
а pq, Y1 q2, Го q т2 а2=т2—Y
Вес, среднее, отклонения для столбцов и для строк одинаковы. Общее
среднее равно У = рт.\ + qm2, а сумма отклонений средних по строкам
равна нулю:
рах + <?а3 = 0. (27)
Дисперсия между строками
V (строки) = pa2 + qa2
и, аналогично, между столбцами
V (столбцы) = pa2 + qa2.
Общая дисперсия
о2 = 2 [pa2 + qaQ. (28)
Для того чтобы показать эквивалентность (28) и (19), заметим, что
а1 = Ш1 _ Y = (pY2 + 7УХ) - (р2 У3 + 2pq Ух + q2 Yo) =
= Qlp(.y2-Y1) + q(Y1-Y0)] = qb.
Подобно этому a2 = — pb, так что
pa2 + qa2 = p(qb)2 + q(pb)2 = pqbz = ~(y2L. (28')
Главным преимуществом этого метода является то, что теоретические
аддитивные величины каждого генотипа выражены непосредственно
через а:
54
ГЛАВА 3
АА: L% = Y -Ь 04 "Ь
Аа: Ьг = Y + аг + а2,
аа: Lo = Y + ос2 + а2.
(29)
Рассмотрев в качестве числового примера данные, приведенные в табл.
3.2, можно найти, что ai = + 1,2 и аз = — 1,8, откуда L равны 8,8; 5,8;
2,8. Именно поэтому aj можно назвать эффектом аллеля А и я2 — эф-
фектом аллеля а, аналогично влиянию (эффекту) фактора в экспери-
ментальной статистике.
§ 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КОНТРАСТЫ
В заключение коротко остановимся на общем методе разложения
дисперсии — методе ортогональных контрастов, который широко ис-
пользуется в экспериментальной статистике. Элементарное введение в
понятие и метод построения ортогональных контрастов можно найти у
Ли (см. гл. 12 и 22 из [387]). С понятием контраста мы уже ознакоми-
лись выше (представление коэффициента регрессии в виде контраста и
его приложение к двум частям менделевской популяции). В этом па-
раграфе, следуя терминологии экспериментальной статистики, мы при-
меним ортогональные контрасты к анализу влияния фактора на трех
уровнях с равными интервалами, но неравным числом повторностей.
Аналогия между такой экспериментальной ситуацией и менделевской
популяцией ясна из табл. 3.5.
Таблица 3.5
Аналогия между структурой эксперимента по изучению влияния фактора
(на трех уровнях) с равными интервалами, ио неравным числом повторностей
и структурой менделевской популяции с тремя генотипами. В двух последних строках
даны коэффициенты двух ортогональных контрастов
Доза фактора А Три уровня 2 1 0 Три генотипа АА Аа аа
Обработка (генотипическое значение) Число повторностей (частота генотипа) т2 т\ То fz fl fo о cn С».
Линейный контраст (аддитивный эффект) Квадратичный контраст (доминантный эф- фект) С2 Со c2 cl c0 2q q—p —2р q2 —pq Р2
Коэффициенты контрастов должны удовлетворять следующим ус-
ловиям:
f2c2 + flC1 + foco = 0, + + fQc'o = 0,
(30)
fi С2 С2 + fl С1 С1 + f О С0 С0 = О’
Первые два равенства свидетельствуют о том, что с2, С] и с0 действи-
тельно коэффициенты контрастов (11), а третье показывает ортого-
нальность контрастов друг другу. Очевидно, что коэффициенты для мен-
делевской популяции из табл. 3.5 удовлетворяют этим условиям. В экспе-
риментальной статистике, если 0 есть контраст
9 ” /2 с2 A. ci /осо (91)
ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИИ
55
то дисперсия, обусловленная этим контрастом, равна
-7 = ^, (32)
где знаменатель является нормировочным множителем. Таким обра-
зом, коэффициенты контраста можно умножить на общий множитель,
не изменив при этом сумму квадратов. Например, коэффициенты (<у2,
— pq, р2) второго контраста для менделевской популяции можно так-
же записать в виде
Ясно, что изменение знака коэффициентов контраста также не скажется
на сумме квадратов. Если частоты дополняют друг друга до единицы,
сумма квадратов становится равной дисперсии. Используя теперь коэф-
фициенты контрастов и генотипические значения, приведенные в табл.
3.5, мы получим
0 = 2pq [р (У2 - Yr) + q{Y1- Уо)] = 2pqb,
0' = р2 q2 [Y2 - 2Y. + Уо] = р2 q2 d.
Преобразовав эти уравнения с помощью (32) в дисперсию и упростив
выражения, мы найдем, что, как и прежде, оД = 2pqb2 и — p2q2d2.
Этот метод подразделения полной дисперсии в простейшем случае од-
нолокусной системы с двумя аллелями, очевидно, не имеет преимуществ
перед другими методами, его возможности выявятся лишь при анали-
зе двухлокусной системы (гл. 10).
§ 11. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ
И ДЕТЬМИ
Совместное распределение пар мать—ребенок в популяции со слу-
чайным скрещиванием уже приводилось нами в табл. 2.5, которая, та-
ким образом, является таблицей корреляций между матерью (или от-
цом) и одним из ее (его) детей. Далее мы будем говорить о корреляции
родитель—ребенок по аутосомным генам; вышеупомянутая таблица
для удобства воспроизведена здесь под номером 3.6. Каждый генотип
характеризуется как величиной X, так и величиной Y. Поэтому сущест-
вуют два типа корреляций родитель — ребенок — одна по их величи-
нам X (гхх’) и другая по У(гуу'). Рассчитаем вначале гХхг- Как для
популяции родителей, так и для популяции потомков
X = 2р, о~х = 2pq.
Ковариация между X родителя и X' ребенка равна
Cov (X, X') = 4р3 + 4р2 q + pq — (2р)2 = pq. (33)
Следовательно, коэффициент корреляции родитель—ребенок по ве-
личинам X равен
_ Соу(Х.Х') Cov(X.X') pq_ _ 1 ,-4
хх' а(Х)а(Х') а2 2pq 2 ’ '
А
поскольку в равновесной популяции сг(Х) =o(Xz). Равенство (34)
впервые было получено Вайнбергом [645, 646]. Наиболее примечатель-
ной чертой этой корреляции является ее полная независимость от ча-
стоты гена в популяции; это внутреннее свойство менделевского насле-
56
ГЛАВА 3
Таблица 3.6
Корреляция между родителями и детьми в популяции со случайным скрещиванием
Ребенок
Генотип АА Аа аа
АА Родитель Аа аа Y X у2 Ух Уо. 2 1 0 Суммарная частота
У2. . .2 Yi • • • 1 Уо- • -0 рз p2q о р* 2<? pq pq2 0 pq2 q3 p2 2p<? 42
Суммарная частота p2 2pq q2 1
дования. Так как L, за исключением точки отсчета и единицы измере-
ния, аналогично X, то мы также имеем rLL' = —.
2
При вычислении корреляции между Y родителя и У потомка мы
вновь заметили, что дисперсия ву одинакова для обоих частных («без-
условных», marginal) распределений, так что нам остается найти лишь
ковариацию. Из совместного распределения, приведенного в табл. 3.6,
мы прямо, без использования какой-либо теории, получаем
Cov (У, Г) = Р3 У22 + 2р2 qY2 Y^pqYl+Zpq2 Y, Y0+q3 Y20 - Y2.
После подстановки Y = p2Y2-\-2pqY1-\-q2Y0 вышеприведенное выраже-
ние сводится к
Cov(r,r) = Wlp(r2-r1)+^(r1-r0)F = Wb2=y^’ (35)
так что
(36)
г _ Соу(У,У') 1 _ 1
YY' 2 '
Полученное соотношение является одним из самых фундаментальных
в количественной генетике, и этот факт оправдывает усилия, затрачен-
ные на расчет линейной компоненты дисперсии У. Теперь мы видим,
что корреляция между родителем и ребенком определяется отношени-
ем h2 = G2L/uy. Используя данные табл. 3.2 и 3.6 в применении к по-
пуляции с (р, q) — (0,6; 0,4) и У=8; 7; 1, можно прямым расчетом убе-
диться в том, что корреляция в паре родитель — ребенок по величине
У равна
гуу, = — (= — (0,750) = 0,375,
YY 2 \5,76/ 2 ’
если не учитывать влияние среды. Мы будем называть № показателем
наследуемости (heritability). Дополнительное отношение Пд/оу- Фишер
[162] называл доминантным отношением. Поскольку и а£,иа|. изменя-
ются с изменением величин У и частоты гена, показатель наследуе-
генетическая ДИСПЕРСИЯ и КОРРЕЛЯЦИИ
57
мости (и, следовательно, корреляция) для данной популяции варьирует
от признака к признаку, а для данного признака изменяется от популя-
ции к популяции.
§ 12. КОВАРИАЦИЯ МЕЖДУ РОДСТВЕННИКАМИ
При расчете корреляции между родственниками главная задача со-
стоит в том, чтобы выразить ковариацию между родственниками через
линейные компоненты дисперсии У. В данном случае ключевым выра-
жением служит уравнение (35) Соу(У, У/)=“с2> полученное с помо-
щью элементарной алгебры. Воспользовавшись некоторыми результа-
тами, полученными в предыдущих параграфах, мы можем не только
сократить алгебраические выкладки, но и убедиться в общности этих
результатов.
Возьмем родителя с генотипом АА. Все его гаметы будут типа (А).
Его брачный партнер — выбранный случайным образом индивидуум с
вкладом гамет р(А) и q(a). Следовательно, его потомство будет состо-
ять из pAA-{-qAa со средним значением признака /П1=рУ2+^У1. Возь-
мем далее родителя Аа, дающего гаметы (А) и (а) с частотами, равны-
ми Эти гаметы также объединяются с гаметами случайно выбранного
индивидуума р(А) и q(a). Следовательно, его потомки распределяются
как -^-(pAA-j-qAa) и-~ (pAa-j-qaa) со средним значением+-Z-/n2.
Подобно этому, среднее значение признака для потомков родителя аа
равно т2=рУ14-дУ0. Все эти данные суммированы в табл. 3.7. При рас-
чете ковариации между родителем и потомком постоянным членом У
как для обоих родителей, так и для потомка можно пренебречь, так что
для всех них среднее равно нулю.
Cov (У, Y') = р2 (2ах) ах + 2pq (ах + а2) -у (ах + а2) + q2 (2а2)а2,
так как D не коррелирует с L. Поскольку pai+^a2 = 0 и (pai+^a2)2 = 0,
вышеприведенное выражение сразу сводится к
Cov (У, У') = ра2^ + qa22 = у о2 . (37)
Если мы в данном примере воспользуемся тем, что L—L = L—У=си+
+aj, где i, / = 1, 2, и отметим, что среднее значение признака для потом-
ства от любого родителя равно — (ai+ctj), то все доказательство мож-
но записать в одну строчку:
Cov (У, У') = £[(£ — Z)+D]-y(L — L)=-~-a[. (38)
Таблица 3.7
Ковариация между родителем и потомком в популяции со случайным скрещиванием
Частота генотипа Значение признака у родителя Среднее значение признака у потомка
АА р2 У2 = Z-2 + D2 = У + ах + ах + D2 = У + «х
Аа 2pq У1 = L1 + D1 = У + «1 + «2 + D1 -у (m14-m2)= У + Y («1+ а2)
аа q2 Yо = Lq Do = Y Ч- o&2 -p o&2 Do Щ2 = У + а2
58
ГЛАВА 3
Таким способом, по-видимому, проще всего получить желаемый резуль-
тат. Полученное соотношение наглядно показывает один очень важный
момент: отклонения, обусловленные доминированием, и, таким обра-
зом, доминантная компонента не входят в ковариацию между роди-
телем и потомком.
§ 13. ТРИ ЗВЕНА КОРРЕЛЯЦИИ
РОДИТЕЛЬ — ПОТОМОК
Приведенные выше выражения для внутрипарной корреляции роди-
тель — ребенок в отношении величин У были получены чисто статисти-
чески. В этом параграфе мы представим другую интерпретацию, кото-
Родитель
1
Г — -Т-*
хх 2
Потомок
Рис. 3.7. Три звена корреляции между
родителем и потомком по количествен-
ному признаку У.
Цепь корреляции
между генотипами
Таким образом,
ч
г г г =--------
YX XXXY а
должна включать связь
(X) родителя и потомка,
г (родитель — потомок) —
I Ч 1 °L 1 ..
------------------ ----- h-
2 2 2
(по Ли [374, 396])
рая не только интересна с познавательной точки зрения, но и позволяет
сделать некоторые обобщения для более дальних родственников.
Значения X из табл. 3.6 задаются величинами генотипов АА = 2,
Аа = 1, аа = 0. Корреляция Гхх'=-~-независимо от того, какие значения
(У) принимают эти генотипы. Это основное менделевское соотношение
между родителем и потомком в популяции со случайным скрещиванием.
Пусть теперь особи генотипа АА = 2 развиваются, так что рассматривае-
мый признак принимает среднее значение У2. Аналогично Аа=1 и аа = 0
принимают значения У] и Уо. Мы можем рассматривать этот процесс
просто как рост и развитие; не являясь менделевским, он может варьи-
ровать от признака к признаку и подвергаться воздействиям среды. Од-
нако между X и У существует корреляция. Рис. 3.7 иллюстрирует со-
отношение между У родителя и У потомка через соответствующие им
величины X. Приняв во внимание, что, согласно (10), Гл-у = 7ьу = О1,/оу,
мы можем убедиться, что корреляцию в паре родитель — потомок (36)
можно записать в виде
гуу, rYX rxx, rx,Y,
(36')
генетическая ДИСПЕРСИЯ и КОРРЕЛЯЦИИ
59
Из этого выражения видно, что корреляция пары родитель — потомок
состоит из трех звеньев:
от У родителя к X родителя,
от X родителя к X потомка,
от X потомка к У потомка,
как показано на рис. 3.7. Эта оригинальная интерпретация была пред-
ложена Фишером [162; см. 396]. Одновременно и независимо от него
Райт [661—664] разработал теорию коэффициентов путей, которую мы
рассмотрим в гл. 14—15. Здесь же отметим лишь, что три «фактора»
Фишера в уравнении (36) идентичны коэффициентам путей, определен-
ным Райтом для такой же ситуации. С выражением (36z) вводится но-
вое как для статистики, так и для генетики понятие о том, что коэффи-
циент корреляции можно подразделить на несколько компонент, каж-
дая из которых соответствует определенному звену биологических
связей.
§ 14. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ ДРУГИМИ
РОДСТВЕННИКАМИ
Аналогичными методами можно получить и корреляцию между дру-
гими родственниками в популяции со случайным скрещиванием [280], од-
нако в следующей главе мы воспользуемся для этой цели совершенно дру-
гим, более простым методом. Здесь же остановимся кратко на одном
применении формулы (36х), а именно для установления корреляции меж-
ду двумя родственниками по одной «предковой линии», такими, напри-
мер, как прадед и его правнук. Эти отношения можно изобразить в ви-
де следующей диаграммы:
^Х^Х^Х^Х
Y
Корреляция между этими родственниками по величинам У равна
(39)
Величины У для промежуточных родственников нас сейчас не интере-
суют. Показатель степени множителя (-^-) равен числу поколений меж-
ду двумя родственниками, а ()п есть корреляция между ними по ве-
личинам X, определяемая принципами менделевского наследования.
§ 15. ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ ПРИ ПОЛНОМ
ДОМИНИРОВАНИИ
Если средние значения количественных признаков для генотипов
АА и Аа одинаковы, ДУ! = У2—У1 —0, то линейную и доминантную ком-
поненты генетической дисперсии можно легко вычислить, используя ме-
тод последовательных разностей:
60
ГЛАВА 3
АА р2 У1
Аа 2pq Ki р 0 1 -(Ki-Уо)
аа q2 Уо q У1-У0
Таким образом, в соответствии с общей формулой (24) получаем
4 = 2pqb2 = 2pqq2 (Kj — Уо)2,
a2D^p2q2d2 = p2q2[Y1-Y0)2, (40)
о2 =о2+о2 =^(1-^(У1-У0)2.
Очевидно, что при полном доминировании рассматриваемая популяция
эквивалентна простой биномиальной популяции, в которой индивидуу-
мы со значением признака У) встречаются с частотой 1—q2, а со значе-
нием Уо — с частотой q2.
§ 16. ВЛИЯНИЕ СРЕДЫ
До сих пор в этой главе мы пренебрегали влиянием среды и прини-
мали, что Y2, Уь Уо являются средними • значениями количественных
признаков для генотипов АА, Аа и аа соответственно. Когда учитывают
влияние среды, то делают допущение, что оно не коррелирует с геноти-
пами; на практике это означает, что влияние среды на все генотипы оди-
наково. Такое допущение в лучшем случае является грубым приближе-
нием к реальной ситуации, поскольку известно, что разные генотипы
реагируют на разнообразные условия среды по-разному. Однако для
упрощения математического анализа мы все-таки примем это допуще-
ние. Пусть Е — влияние среды, a P=Y+E— действительное (феноти-
пическое) значение количественного признака особи. Так как У и Е не
коррелируют, то
а1 = ау+а£ = а1+аЬ+<4- (41)
Вследствие принятого выше допущения Е не входит в ковариацию
между родственниками; следовательно, корреляция для пары роди-
тель — ребенок по их фенотипическим значениям Р равна
где отношение о£/Ор получило название «наследуемости» в узком смыс-
ле [414]. Это и есть та корреляция, которая действительно будет на-
блюдаться на практике.
§ 17. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
В РАЗНЫХ ШКАЛАХ
Если переменная У измеряется по какой-либо другой шкале, напри-
мер как У У или log У, то меняются не только абсолютная величина
дисперсии, но и относительные величины ее линейной и доминантной
компонент. Это означает, что наследуемость признака варьирует в за-
висимости от шкалы, по которой он измеряется. Чтобы убедиться в этом,
достаточно ознакомиться с примером, в котором не учитывается влия-
ние среды.
ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИИ
61
f АА 1/9 Аа 4/9 аа № Среднее Полная дисперсия Линейная компонента Наследуемость
Y 16 4 1 4 20 16 0,80
Vy 4 2 1 16/9 68/81 64/81 0,94
logK 1,2 0,6 0 0,40 0,16 0,16 1,00
С целью упрощения выражений, описывающих генетические соотноше-
ния для определенных признаков, специалисты по биометрии часто
стремятся подобрать такую шкалу, которая позволила бы уменьшить
компоненту генетической дисперсии, обусловленную доминированием
(а также уменьшить взаимодействие между локусами, о чем пойдет речь
в гл. 10). В приведенном выше примере log У — простейшая переменная,
которую используют в тех случаях, когда действия генов мультиплика-
тивны, а не аддитивны.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть di, d2... и Xi, Xi... — два числовых ряда. Если 2t/=0 и 2dx =
= 0, то Sdt/=O, где у = а-\-Ьх.
S dy = ~%d(a + bx) — aXid-Y- b~£dx = 0.
2; Используйте следующие четыре пары (X, У) для проверки всех
свойств линейной регрессии, рассмотренных в § 1:
X Y L D YL LD
1 4 2 +2 8 +4
2 2 5 —3 10 —15
4 12 11 + 1 132 + 11
б 14 14 0 196 0
Сумма 12 32 32 0 346 0
Среднее 3 8 8 0
Рассчитайте величины и проверьте соотношения: 2У£ = 2£2, V(X), V(Y),
Cov(X, У), 6=30/10=3, V(L), V(D), V(Y) =V(L)+ V (D) nrYL=rYX=
= 0,93.
3. Предположим, что имеется n точек и, таким образом, п(п—1)/2
возможных пар точек (хг-, у^ и (xj, yj) при условии, что i<j. Тогда
2 {yi - У}) (xi - xi)= 2 xi+yi xi - yi xi ~ yi xi}=
i<i
=n 2 yt xi - (2 y) (2x)=n2 & ~ -x) •
i
Заменив у на x, мы получим
2(х<—х/)2=«2(^—ХУ-
i<j i
Для тех, кто встречается с этими выражениями впервые, лучше всего
принять п=4, полностью выписать шесть произведений или квадратов
величин, а затем просуммировать их.
62
ГЛАВА 3
4. В общей статистике величины D = Y—L обычно определяют вы-
читанием, так как соответствующие величины L легко рассчитать из
найденного уравнения линии регрессии. Подобно этому, Ощ= — a2L
также получается вычитанием, если известно a'2L. В частном случае по-
пуляции случайно скрещивающихся диплоидных особей мы получим
выражение для в явном виде, а затем покажем, что в этом простом
случае можно получить выражения в явном виде и для индивидуаль-
ных D. Существуют только два независимых D. Вследствие коллинеар-
ности Z-2—2Li+Ao = O. Из табл. 3.3
d = Y2 - 2УХ + Yo = (L2 - 2LX + Lo) + (D2 - 2Z)X + Do),
d= D2 — 2D1 + Do,
Di = ~ (D2-\-Do —d).
Величина, которую надо минимизировать, равна
Q = Од = V fD2 = р2D2 + 2pqD2 + q2 D2.
Исключив Dx путем подстановки и положив dQ/dD2 = 0 и dQ/dDo = O, мы
получим два уравнения
2р2 D2 + pqD2 + pqD0 = pqd,
pqD2 + pqD(j + 2q2 Do = pqd,
из которых следует, что p2D2 = q2D0. Покажите, что D2 = q2d, Dx = —pqd,
Do=p2d. Это согласуется с приведенным в тексте утверждением о том,
что и Dq всегда имеют один и тот же знак, a — противоположный
им. При этих решениях мы имеем частное соотношение:
Од == р2 q2 d2 = D2.
Проверьте эти результаты на числовом примере, приведенном в табл. 3.2.
Эти выражения в явном виде для D идентичны тем, которые приводят-
ся в работе [693], за исключением системы обозначений.
5. Те, кто не боится сложных алгебраических выкладок, могут про-
верить справедливость тождества (22). Если же читателя интересуют
только генетические приложения, можно доказать более простое тож-
дество для бинома второй степени:
fY2 = У2 + 2pqb2 + р2 q2 d2.
Смысл приведенных символов понятен из текста.
6. Дисперсия количественного признака, как и ее линейная и до-
минантная компоненты, варьируют с изменением частот генов в по-
пуляции. Рассчитайте величины /i2 = o^/a^ по данным, приведенным в
следующей таблице, для четырех популяций с р = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8:
Г енотип Y I II III IV
АА 8 0,04 0,16 0,36 0,64
Аа 7 0,32 0,48 0,48 0,32
аа 1 0,64 0,36 0,16 0,04
7. Примените метод ортогональных контрастов к популяции из
табл. 3.2, для которой р = 0,60 и </ = 0,40. Для числовых расчетов коэф-
ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИИ
63
фициенты контрастов можно считать целыми числами. Например, для
линейного контраста (табл. 3.5)
2q:(q — р): (— 2р) = 0,80:—0,20:—1,20 = 4:—1: —6.
Систематизируйте результаты и представьте их в виде таблицы:
АА Аа аа Согласно (31) и (32)
У: 8 7 I
f: 0,36 0,48 0,16 0 6» Х/с2 02/Х/с2
с: 4 — 1 —6 7,2 51,84 12 Од =4,32
с': 4 —6 9 —7,2 51,84 36 05=1,44
Оу =5,76
8. Метод ортогональных контрастов в применении его к панмикти-
1
ческой популяции с p — q= —-дает следующие результаты:
У f 1 4 У1 1 2 Го 1 4 02 S /С2
Линейная + 1 0 — 1 / 1 \2/ \3 ] (т) У
Доминантная + 1 —1 + 1 / 1 \2/ \2 [~)[Y^Y1+Y^ 1
Отсюда
ГЛАВА 4
А.гтод матриц перехода
В этой главе нам потребуются некоторые элементарные сведения
из матричной алгебры. Тем, кто знаком с этим предметом, глава не
покажется трудной. Если же математическая подготовка читателя не-
достаточна, ему следует максимально использовать свои знания из
области генетики, так как большинство доказательств построено ско-
рее на генетической, чем на математической основе. В любом случае
для получения элементарных представлений о матрицах и приобрете-
ния необходимых навыков обращения с ними достаточно нескольких
часов самостоятельной работы. В качестве доступного источника ин-
формации по этому вопросу можно порекомендовать книги Сёрла
[566], Смита [571; т. 2] и Бэтшелета [18].
§ 1. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ;
МАТРИЦА ПЕРЕХОДА
Обычно вместо абсолютных частот пар родственников, таких, на-
пример, как приведенные в табл. 2.5 частоты для пар родитель — ре-
бенок и в табл. 2.8 для пар полных сибсов, удобнее пользоваться услов-
ными частотами или условными вероятностями, т. е. вероятностями для
рассматриваемого родственника иметь генотип АА, Аа или аа при дан-
> ном (фиксированном) генотипе другого родственника. Эти три вероятно-
сти обязательно будут дополнять друг друга до единицы, так как рас-
сматриваемый родственник должен иметь один из трех генотипов. В ка-
честве примера рассмотрим пару дядя — племянник.
Племянник
[ АА
Условие: дядя AAl t22
Условие: дядя Ла1
Условие: дядя аа \ t02
Аа
Д
tot
аа \ Сумма строк
^2> I 1
tie I 1
^00 / 1
(1)
Здесь, например, /21 — вероятность того, что племянник будет иметь
генотип Аа при условии, что его дядя имеет генотип АА; она называет-
ся вероятностью перехода от дяди «2» к племяннику «1» и т. п. Вероят-
ности каждой строки матрицы удовлетворяют условию /22+^21+^20=1
и т. д. Такая таблица условных вероятностей называется матрицей пе-
рехода (или стохастической матрицей). Основным инструментом в этой
главе будут именно такие матрицы, составленные для различных гене-
тических задач.
Предположим, что вероятности перехода t из приведенной выше
матрицы уже известны. Для того чтобы преобразовать матрицу пере-
хода в матрицу абсолютных частот (совместное распределение) для пар
МЕТОД МАТРИЦ ПЕРЕХОДА
65
дядя — племянник, нам следует лишь умножить условные вероятности
на «исходные» вероятности для дядей. В панмиктической популяции ве-
роятности для дяди иметь генотипы АА, Аа и аа равны соответственно
р2, 2pq и q2. Следовательно, элементы первой строки мы умножаем на
р2, второй-—на 2pq и третьей — на <?2; таким образом, девять элемен-
тов новой матрицы будут дополнять друг друга до единицы. Формаль-
но эта операция описывается так:
р2 0 0 А / ^22 ^21 ^2Э
0 2pq 0 1 Лг Л1 6о
0 0 ?2 / \ ^02 tai too
Исходное рас- Условное рас-
пределение пределение
Р%2 Р%1 Р%0
W12 2pqtn 2pqtw
9%2 42too
Совместное
распределение
(2)
Мы не будем приводить здесь всех выкладок, а просто отметим, что
строки умножаются на соответствующие исходные вероятности. Заме-
тим, что эта операция обратима. Для того чтобы превратить таблицу
совместного распределения в матрицу перехода, надо разделить все
элементы первой строки на р2, второй — на 2pq и третьей — на q2. Таким
образом, из одной матрицы можно получить другую и наоборот.
§ 2. ИДЕНТИЧНОСТЬ ГЕНОВ
Еще одно понятие, которое понадобится нам для изучения более
отдаленных родственников,— это фундаментальное понятие идентично-
сти генов. Проблема идентичности и независимости генов возникла во
второй главе при попытке оценить частоты генов из данных по сочета-
ниям мать—ребенок. Теперь настало время рассмотреть этот вопрос бо-
лее формально.
Пусть X — ген некоторого локуса, им может быть аллель А или ал-
лель а. Говорят, что ген X существует в двух -возможных состояниях:
в состоянии А с вероятностью р и в состоянии а с вероятностью q.
Если оба гена одного локуса — Xi и Х2— находятся в состоянии А или
в состоянии а, то говорят, что они находятся в одном и том же со-
стоянии. Привычным термином «генотип» обозначают как раз те состоя-
ния, в которых существуют два гена данной особи; это понятие не со-
держит никаких сведений о происхождении генов.
Если некоторый ген произведён другим геном в процессе деле-
ния с последующей передачей потомку, то принято говорить, что два
данных гена идентичны по происхождению [422]. Например, ребенок,
один из родителей которого имеет генотип Х^Х% (здесь неважно, каким
генотипом обладает сам ребенок), с необходимостью получает от это-
го родителя или ген или ген Х2 (и никогда не получает оба гена
вместе). Ген ребенка происходит от гена одного из родителей;
следовательно, эти два гена идентичны по происхождению. Идентичные
гены, не претерпевшие мутаций, обязательно будут находиться в оди-
наковом состоянии. Подобную идентичность генов можно проследить
на протяжении любого числа поколений.
Кроме того, возможен случай, когда родитель с генотипом XiX2
имеет двух детей, каждый из которых получил от этого родителя ген
Xi; тогда гены Xi детей также идентичны по происхождению, посколь-
ку оба они произошли от одного и того же гена Xt их родителя.
Каждый диплоидный индивидуум несет по два гена. Два «кров-
ных» родственника, которые в большинстве случаев имеют один иден-
тичный ген, называются однолинейными (unilineal) (или родственни-
ками по одной линии). Родитель и потомок всегда обладают одним
5 322
66
ГЛАВА 4
идентичным по происхождению геном и, следовательно, представляют
наиболее важный тип родства по одной линии. Бабка (дед) и внук
(внучка), дядя и племянник, двоюродные сибсы, полусибсы и т. д.—
все это родственники по одной линии.
Два родственника, которые обладают двумя идентичными по проис-
хождению генами, называются двулинейными (bilineal) (или родственни-
ками по двум линиям); наиболее важной их разновидностью являются
полные сибсы. Пусть первый ребенок родителей XiX2XX3Xi имеет генотип
ХхХ3. Их второй ребенок также может получить от одного из родите-
лей ген Xi, от другого — ген Аз; в результате это приведет к формиро-
ванию генотипа XiX3. В данном случае в отношении рассматриваемого
локуса X эти два сибса в точности подобны идентичным близнецам.
Но если второй ребенок получает от одного родителя ген Х2, а от вто-
рого — ген Хц, что приводит к формированию генотипа Х2Х^, то эти
два сибса в точности подобны двум независимым друг от друга (в от-
ношении локуса А) индивидуумам, так как они не имеют ни одного
идентичного по происхождению гена. И наконец, если второй ребенок
имеет генотип A]X4 или А2Хз, то сибсы имеют один идентичный ген,
и отношение между ними подобно отношению между родителем и по-
томком. Другой важный тип родства по двум линиям в популяциях .
человека — родство двойных двоюродных сибсов, чьи родители явля-
ются членами двух групп сибсов.
Содержание этого параграфа вкратце сводится к следующему: од-
нолинейные родственники могут иметь, а могут и не иметь один иден-
тичный по происхождению ген. Двулинейные могут иметь по два иден-
дентичных по происхождению гена, по одному такому гену или не
иметь их вообще. Все эти случаи будут детально обсуждаться в после-
дующих параграфах. Более подробно и широко вопросы, затронутые
в этой главе, рассмотрены в работе [542]. Специальные вопросы иден-
тичности генов по происхождению изложены в работе [281].
§ 3. МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА 1ТО
Итак, согласно вышесказанному, два родственных диплоидных ин-
дивидуума могут иметь в одном локусе 1) по два идентичных по про-
исхождению гена, 2) по одному идентичному гену или 3) не иметь ни
одного идентичного гена. Для популяции со свободным скрещиванием
мыслимы только эти три возможности. Прежде чем рассматривать
связи между определенными родственниками,, целесообразно соста-
вить три основные матрицы перехода. Они соответствуют ситуациям,
определяемым числом идентичных генов, которыми обладают два род-
ственника. Эти матрицы следующие [410]:
/1 0 0\ / р q
I = I 0 1 0 , Т = ( V2p Va
\0 0 1/ \ 0 р
0 \ /р2 2pq q2\
42q j, О = I p2 2pq q2 j. (3)
9 / \p2 2pp q2/
В первой матрице I даются вероятности перехода для двух родствен-
ников (при заданном генотипе одного из них) в случае, когда они не-
сут идентичные пары генов. Генотипы этих индивидуумов одинаковы:
если данный родственник имеет генотип АА, то и другой также дол-
жен иметь генотип АА и т. д., других возможностей здесь нет. Третья,
матрица, О, дает условные вероятности того, что два родственных ин-
дивидуума не будут иметь ни одного идентичного гена, т. е. между ни-
ми нет генетического родства. Независимо от генотипа одного инди-
МЕТОД МАТРИЦ ПЕРЕХОДА
67
видуума вероятности появления генотипов (АА, Аа или аа) у другого
индивидуума остаются равными р2, 2pq и q2 соответственно.
Вторая матрица, Т, дает вероятности перехода от одного родствен-
ника к другому, когда они несут по одному идентичному гену, и, веро-
ятно, требует краткого пояснения. Допустим, что данный родственник
имеет генотип АА. Другой родственник должен иметь один из этих
генов плюс ген, выбранный случайным образом из популяции. Их об-
щий ген будет А, а случайный выбор другого гена в соответствии с
частотами p(A)A~q(a) даст для генотипов АА, Аа и аа условные ве-
роятности р, q, 0. Если задан родственник с генотипом Аа (вторая стро-
ка Т), другой родственник обязательно будет иметь идентичный ген А
1 г.
или ген а с вероятностью — в каждом случае. Вторым геном, как и
прежде, является ген, выбранный из популяции случайным образом.
Вероятности перехода рассчитываются так:
АА Аа аа
Общий ген А 1 тр I т9 0
Общий ген а 0 I тр 1 2 q
Один общий ген 1 1 2 1 т9
Это есть вторая строка матрицы Т. Третью строку получаем таким же
образом.
Введение трех основных матриц (3) облегчает отыскание общего
распределения и корреляции между родственниками любого типа в
панмиктической популяции, так как при этом требуется всего лишь вы-
разить отношения между ними через матрицы I, Т, О.
§ 4. РОДСТВЕННИКИ ПО ОДНОЙ ЛИНИИ
Как отмечалось выше, родственники, которые обладают не более
чем одним идентичным геном, называются однолинейными. Наиболее
часто изучаемый тип таких родственников — это пары родитель — по-
томок, которые всегда имеют по одному идентичному гену. Матрицей
перехода для такой пары служит просто матрица Т: это можно про-
верить, обратившись к табл. 2.5. Разделив строки на р2, 2pq, q2 соот-
ветственно, мы получим условные вероятности Т. И наоборот, умно-
жив строки матрицы Т на р2, 2pq, q2, мы получим частоты. Любая
пара родственников, имеющих один идентичный ген и описываемая мат-
1 1 d
рицей Т, коррелирует с гХх=— и rYY =--------> согласно предыдущей
2 2
главе. Следует отметить, что Т дает вероятности перехода от ребенка
к родителю, так что эту матрицу можно использовать двояким образом.
Рассмотрим далее вероятности перехода от деда (бабки) к внуку
(внучке). Если дед имеет генотип АА, то вероятности появления со-
ответствующих генотипов у родителя (матери или отца) даются эле-
ментами первой строки матрицы Т. Вероятности того, что при каждом
5*
68
ГЛАВА 4
генотипе родителя ребенок получит генотип АА, задаются элементами
первого столбца матрицы Т. Таким образом, условная вероятность то-
го, что внук будет иметь генотип АА, равна сумме произведений соот-
ветствующих элементов первой строки и первого столбца матрицы Т,
а именно:
Аналогичным образом можно показать, что условные вероятности по-
лучения внуками различных генотипов при заданном генотипе деда
определяются элементами матрицы, полученной в результате умноже-
ния Т-Т = Т2. Маркировка и установление происхождения генов пока-
зывают, что пара дед—внук (внучка) с равной вероятностью может
иметь как по одному идентичному по происхождению гену, так и не
иметь ни одного.
Поэтому
Т2 = — Т + — О, (4)
2 2
что можно легко проверить прямым умножением Т на Т. Поскольку Т
представляет собой матрицу перехода от ребенка к родителю и наобо-
рот, то Т2 дает также условное распределение генотипов для полусиб-
сов, поскольку они имеют одного общего родителя. Из приведенного
выше соотношения видно, что громоздкая операция перемножения
матриц сводится к простому сложению. Дальнейшие рассуждения по*
называют, что
T3 = — T + — 0-,Ti = — T+—0, (5)
4 4 8 8
и в общем виде
1 ______ / 1
(6)
где п+1 есть число поколений между двумя родственниками. При
больших п
Тп^О. . (6')
Другими однолинейными родственниками являются группы сибсов; со-
отношения между полными сибсами мы рассмотрим в следующем па-
раграфе.
§ 5. ПОЛНЫЕ СИБСЫ
Чтобы упростить запись, обозначим родителей -Х^-Хг и через
соответствующие индексы, а именно (1,2) и (3,4). Символ X обозна-
чает ген локуса (А, а); им может быть А или а. Здесь нас больше все-
го интересует именно идентичность определенного гена (обозначенно-
го номерными знаками 1, 2, 3, 4), а не его состояние или фаза. В
такой системе обозначений четыре возможных генотипа детей этих ро-
дителей выглядят следующим образом: (1,3), (2,3), (1,4), (2,4). Так
как формирование генотипов второго ребенка происходит независимо
МЕТОД МАТРИЦ ПЕРЕХОДА
69
от образования генотипов первого, возможны 16 следующих пар
сибсов:
(1,3)
(2,3)
(1,4)
(2,4)
(1,3) (2,3) (1,4) (2,4)
оба один один ни одного
один оба ни одного один
один НИ одного оба один
НИ ОДНОГО один ОДИН оба
(7)
Слово в каждой ячейке таблицы означает число идентичных генов у
данной пары сибсов. Четыре пары, расположенные по главной диаго-
нали (от верхнего левого угла к нижнему правому), имеют по два
идентичных гена, например (1,3) и (1,3) и т. д. Эти два сибса, подобно
идентичным близнецам, обязательно должны иметь одинаковые гено-
типы и, таким образом, одни и те же значения У. Четыре пары, распо-
ложенные по другой диагонали (от верхнего правого угла к нижнему
левому), напротив, не имеют ни одного идентичного гена, например
(1,3) и (2,4) и т. д. Эти сибсы в отношении рассматриваемого локуса
подобны неродственным индивидуумам, поскольку все четыре гена
(1, 2, 3, 4) выбраны из популяции случайным образом. Все остальные
восемь пар имеют по одному идентичному гену. Генетические взаимо-
отношения между такими сибсами те же самые, что и между родите-
лем и ребенком, которые также имеют по одному идентичному гену.
И наконец, отметим, что таблица (7) приведена здесь для полноты, а
не по необходимости. Если мы рассмотрим любую строку или столбец,
например первую строку для сибса (1,3), то увидим, что один из четы-
рех возможных сибсов имеет два идентичных гена, двое несут по
одному идентичному гену и один не имеет ни одного. В более сложных
случаях требуется только точно задать генотип одного родственника
и перечислить соответствующие возможности для другого. Вероятности
перехода для полных сибсов даются матрицей [410]
s=T/ + tt + T0’ (8)
где I, Т, О —матрицы (3). Умножив первую строку S на р2, вторую —
на 2pq и третью — на q2, мы получим совместное распределение для
полных сибсов, приведенное в табл. 2.8. Если два сибса имеют по два
идентичных гена, то их ковариация будет такой же, как и дисперсия.
Если они имеют по одному идентичному гену, их ковариация равна
— 4
2 L
как было показано в предыдущей главе для пар родитель —
ребенок. Если у них нет ни одного идентичного гена, то их ковариация
равна нулю. Следовательно, ковариация между полными сибсами
равна
Cov (сибсы) = -у а2 + 6-^- а2
1 в । 1
= — а2 Н----------а
2 L 4
2
D-
(9)>
О')
70
ГЛАВА 4
Разделив все члены уравнения на cry, мы получим корреляцию между
полными сибсами
2
г (сибсы) = -L + -1- = (10)
4 4
которую другим способом впервые получил Фишер [162]. Корреляция
между полными сибсами обычно больше корреляции между родителем
и ребенком; ее минимальное значение равно независимо от вели-
чины У. Если Од = ву и Ор=0, то корреляция для полных сибсов та-
кая же, как для родителя и потомка, и обе они равны '/г- Полные сиб-
сы названы двулинейными родственниками, так как они могут иметь
по два идентичных гена. Условные вероятности для таких родственни-
ков содержат компоненту 7, а ковариация между ними — член o2D.
§ 6. ФОРМАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ МЕТОДА
КОВАРИАЦИЙ
Метод ковариаций включает нахождение среднего значения коли-
чественного признака для одного сибса, когда среднее значение этого
признака для другого сибса задано (см. выше), с последующим расче-
том ковариаций из таких парных величин, как это проделано нами для
пары родитель — потомок в табл. 3.7. Однако алгебраические выклад-
ки для полных сибсов значительно более громоздки, чем для пары ро-
дитель — ребенок. Здесь мы покажем, что при использовании формаль-
ного метода ковариаций для полных сибсов выкладки можно значи-
тельно сократить, применив метод ITO. Предположим, что задан сибс
с генотипом АА и средним значением У2- Для того чтобы найти сред-
нее значение генотипа парного сибса, мы просто берем первую строку
матрицы S и для каждого элемента (частоты) матрицы проставляем
соответствующую величину У:
Значения для другого сибса из этой пары
Заданный сибс У2 Уг Уо У2 Yi Уо У2 Yr Уо
ЛЛ, У2 Ла, аа, Уо 1 Т 0 0 0 — 0 4 1 0 0 — 4 1 1 р q 0 2 2 4 1 1 1 ~Г~Р ЕГ “Г? 4 4 4 1 1 0 —р — о 2 м 2 4 М ОЗ О —' 1 ' 1 — 1 S £ S — | с-1 — | С-1 — | сч от « сч Q. О. Q. — 1 ' 1 — 1
Умножив каждое значение У на соответствующую ему частоту и
просуммировав, мы получим среднее значение генотипа другого сибса:
Среднее для сибса (при заданном У2) =
= -L[Y2+2(pY2+<7Y1)+Yl. (12)
4
МЕТОД МАТРИЦ ПЕРЕХОДА
71
Имея в виду, что пъ =pY2A-qY} = У+сц и £2=У+2а1 (см. предыду-
щую главу), мы можем переписать (12) в виде
Среднее для сибса = — [У2 + 2 Y + £2]. (12')
Если задан сибс генотипа Аа со средним значением Уь то среднее зна-
чение для генотипа другого сибса можно рассчитать таким же обра-
зом, взяв вторую строку S, и т. д. При расчете ковариации постоянную
величину 2Y в (12') можно опустить. Полученные результаты сумми-
руются следующим образом:
Частота Первый сибс Среднее для второго сибса
Р2 4 \ /
2 pq Уг
92 Уо v(lWo)
(13)
Таким образом, ковариация между полными сибсами равна
Cov (сибсы) = -у (?2 + _L СТ2 = ± _L а2 ,
что идентично (9). Итак, мы видим, что ковариацию между полными
сибсами можно прямо получить, исходя из соотношения 5=^-/+
, или вывести, применив метод ковариаций и беря различ-
ные строки матрицы S.
§ 7. ДРУГИЕ ОДНОЛИНЕЙНЫЕ РОДСТВЕННИКИ
В § 4 мы показали, что связь однолинейных по предковой линии
родственников, разделенных п поколениями, характеризуется матри-
цей перехода Тп. Существуют, однако, родственники, связанные как
по предковой линии, так и через группу сибсов. К ним принадлежат,
например, дядя и племянник, поскольку дядя — это родной брат отца
(или матери) племянника, или, наоборот, племянник — это сын брата
(или сестры) дяди. Переходной матрицей условных вероятностей для
таких родственников будет поэтому TS и ST соответственно. Можно
показать (см. прим. 5), что
TS = ST = Т2. (14)
Это равенство означает, что генетические соотношения для пары дя-
дя—племянник такие же, как для пары дед—внук и для полусибсов.
Хотя S сама по себе не равна Т, в паре с Т она «подобна» Т. Рассмот-
рим, далее, двоюродных сибсов — этот часто встречающийся тип одно-
линейных родственников. Двоюродный сибс (first cousin) (кузен) —
это ребенок полного сибса родителя другого ребенка; поэтому матри-
цей перехода будет TST. Из (14) следует, что
TST = Т3---: ~Т + ~-0 (15)
7»
ГЛАВА 4
Таблица 4.1
Условные и совместные распределения вероятностей генотипов для пар
двоюродных сибсов в популяции со случайным скрещиванием
Условное распределение, Т3 = —Т -4- —О
4 4
АА Аа аа Сумма
АА 1 з „ У'’+T'’ 1 3 — q + ~ 2Pq 4 4 У’’ 1
Аа 4 \ 2 J 4 1 [ 1 \ . 3 „ —‘ — + — 2рр 4 \ 2 ) 4 4 у(т’Н’! 1
аа 1 3 — р+—-2р<? 4 4 У’+у’1 1
Совместное распределение
АА Аа аа »
АА Ц- Р2 (Р + Зр2) 4 -у p?(yp + 3p2j -у-<72 (0 + Зр2) 4 р2
Аа -у Р2 (q + Qpq) 1 ! 1 \ — pg(^Y + 6wJ -7 <?2 (Р + 6р<?) 4 2рр
аа -^р2 (0 + 3?2) 4 -i-p^-^p + 3^ “Р2 (<?+392) 4 <?2
Сумма Р2 2рр <72 1,00
и корреляция между двоюродными сибсами равна
[ 1 \з J
г (двоюродные сибсы) = — й2 == — —. (16)
\ 2 ) ° Оу
В табл. 4.1 даны условные и совместные распределения для двоюрод-
ных сибсов. Все это, конечно, можно отнести также и к парам праде-
ды—правнуки или к любым другим родственникам, эквивалентным
тем, которые разделены тремя поколениями.
§ 8. ДВОЙНЫЕ ДВОЮРОДНЫЕ СИБСЫ
Если члены одной группы сибсов вступают в брак с членами дру-
гой группы, то их дети называются двойными двоюродными сибсами
(double first cousin) (рис. 4.1). Этот тип двулинейных родственников
не настолько часто встречается в популяциях человека, чтобы его сто-
ило подробно исследовать. Мы рассмотрим его лишь затем, чтобы про-
демонстрировать возможности метода ITO. Совместное распределение
для двойных двоюродных сибсов было получено в работе [162] весьма
трудоемким способом. Если, однако, мы установим идентичность ге-
нов, то такое распределение можно получить более коротким путем,
используя матрицы перехода. На рис. 4.1 выписаны все возможные
генотипы одного из двойных двоюродных сибсов при любом заданном
МЕТОД МАТРИЦ ПЕРЕХОДА
73
генотипе другого сибса пары. Реализация этих возможностей дает в
одном из 16 случаев двоюродных-сибсов, имеющих по два идентичных
гена, в шести — по одному и в девяти — не имеющих ни одного иден-
тичного гена. Следовательно, условные вероятности задаются соотно-
шением
(17)
S2 = — 7 4- — Т + — О.
16 16 1-6
Заданный 1,5 1,5 ; 1,6 ; 1, 7; 1,8;
2,5; 2,6; 2,7; 2,8;
3,5; 3,6; 3,7; 3,8;
4,5; 4,6; 4,7; 4,8.
Рис. 4.1. Генетические взаимоотношения между двойными двоюродными сибсами.
Цифрами 1.... 8 обозначены восемь генов двух бабок и двух дедов, являющихся членами обеих
семей. Четыре пары цифровых обозначений для родителей указывают на возможную для них в со-
ответствии с происхождением генов генетическую конституцию. Для любого данного кузена (напри-
мер, 1, 5) возможны 16 кузенов, из которых один идентичен ему (1, 5), трое имеют ген 1 и не имеют
гена 5, трое имеют ген 5, но не имеют гена 1; итого — шесть возможностей иметь по одному иден-
тичному гену. Остальные девять генотипов при заданных условиях независимы [410].
Ковариация для таких кузенов равна
Cov (двойных двоюродных сибсов) = Су + o2l -р (18)
Корреляция между двойными двоюродными сибсами, как и обычно,
равна ковариации (18), деленной на дисперсию.
§ 9. РОДСТВЕННИК РОДСТВЕННИКА
Матрица перехода Т дает условные вероятности пар родственни-
ков, обладающих одним идентичным геном, поэтому ее можно приме-
нить к «переходу» как от родителя к ребенку, так и от ребенка к роди-
телю. Таким образом, родство полусибсов (имеющих одного общего
родителя) описывается матрицей Т2. Из рис. 4.2 видно, что индивидуу-
мы X и У— полусибсы и У и Z — также полусибсы. С первого взгляда
6—322
74
ГЛАВА 4
может показаться, что родство X и Z описывается матрицей Т~-Т2 =
= Ti, однако это неверно. Индивидуум X — ребенок родителей (1, 2) и
(3, 4), тогда как Z — ребенок родителей (5, 6) и (7, 8). Поэтому они
не обладают идентичными по происхождению генами. В общем случае
родственник родственника не обязательно является родственником в
генетическом смысле. Не следует применять матрицу Т вслепую, в от-
(1,2)
(5,6)
Рис. 4.2. Независимость
между индивидуумами X
и Z.
Из родословной видно, что X и
У, а также У и Z— полусибсы,
однако X и Z не имеют ни од-
ного идентичного по происхож-
дению гена [410].
рыве от ее биологического смысла. Как мы увидим позже (гл. 14),
правила применения матрицы Т те же, что и правила использования
коэффициентов путей.
§ 10. ФАКТОРИЗАЦИЯ МАТРИЦЫ Т
Рассмотрим еще раз взаимоотношения в парте родитель—ребенок.
Матрица Т дает условные вероятности для ребенка иметь тот или иной
генотип при заданном генотипе родителя. Другими словами, Т ' есть
1
матрица перехода от генотипа к генотипу, а Гхх=~^ корреляция
генотипа с генотипом, как это показано на рис. 3.8. Введем теперь про-
межуточный переход, который мы до сих пор опускали, — связь между
родительскими гаметами. Пусть — матрица перехода (3 строки,
2 столбца) от генотипа к гаметам, а T2S — матрица перехода (2 стро-
ки, 3 столбца) от гамет к генотипу.
(А) (а)
АА / 1 0 \ ЛА Аа аа
Т32=Аа| — — |, = q °V (19)
I 2 2 Г (а) \о р q) V ’
аа \Q 1 J
Первая матрица, Т32, дает вероятности формирования заданным гено-
типом двух типов гамет; они определяются менделевским расщеплени-
ем, не зависящим от частот генов. Вторая матрица, Т23, дает вероятно-
сти появления при случайном скрещивании различных генотипов с уча-
стием гаметы каждого заданного типа. Если задана гамета (А), то ее
случайное объединение с генами (гаметами), имеющими в популяции
частоты р(А) и q(а), приводит к появлению потомков рАА, qAa и не
дает потомков аа. Объединяя эти два процесса, мы получаем
МЕТОД МАТРИЦ ПЕРЕХОДА
75
(20)
т. е. прежнюю матрицу Т из (3). Таким образом, матрицу Т можно
представить в виде произведения двух сомножителей, каждый из кото-
рых соответствует некоторому генетическому процессу. Кратко это
можно записать так:
(генотип -> генотип) = (генотип -> гаметы) (гаметы -> генотип). (21)
Поскольку Т является произведением двух сомножителей, соответству-
ющую корреляцию Гхх — ~~ также можно представить в виде произ-
ведения двух величин. Умножая первую, вторую и третью строки Т32 со-
ответственно на р2, 2pq и q2, а первую и вторую строки Т23 соответствен-
но на р и q, мы получим совместные распределения для двух случаев.
(Л) (а) АА Аа аа
АА р2 0
Аа pq pq
аа 0 q2
(Л) р2 pq 0
(а) 0 pq q2
(22)
Видно, что эти две таблицы идентичны. Пусть, как и раньше, геноти-
пам АА, Аа и аа соответствуют величины Х=2; 1; 0, и пусть для гамет
(Л) и («) G = l; 0. Для распределения гамет средняя величина и дис-
персия равны G=p и Ga=pq, & для частного распределения генотипов
X—2р и° x=2pq. Ковариация между G и X равна Cov (X, G) =2р2+
-\-pq—2p2=pq, так что корреляция между G и X
гха ~~ гвх'
Cov (GX)
К <j2a-<s2x
pq
V pq-2pq
—— = 0,7071.
V 2
В соответствии с общей схемой (21)
_ _ 1 1 _ 1
rxx' ~ гха’гах' ~ ~ о
V 2 у 2 2
(23)
(24)
Таким образом, мы подразделили Т и гхх на два множителя. Связь
этих множителей с коэффициентами путей мы рассмотрим в гл. 15.
§ 11. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ДЛЯ ГАМЕТ
Обычно мы считаем поколения от генотипа родителя до генотипа
потомка, но можно, если это удобно для наших целей, вести такой счет
от гаметы родителя до гаметы потомка, т. е. (гамета->гамета) = (гаме-
та->генотип) (генотип->гамета). Используя (19), матрицу перехода
от гаметы к гамете можно определить как
(1
О
2
о
1
тр
2
1
1 \
2 9 \
= Г22. (25)
6!
76
ГЛАВА 4
Тогда
(26)
что аналогично Тп->0 [см. уравнение (6)]. Умножив первую и вторую
строки Т22 на р и q соответственно, мы получим совместное распреде-
ление.гамет, разделенных одним поколением.
А а
2,1 1
p2 + — pq -jpq
1 1 , 2
— pq —pq + qz
Р Я 1
1 ♦
— РЯ
= Cov(G.G') = 2 = -L
а2а РЯ 2
Можно показать (гл. 15), что корреляция между гаметой родителя и
гаметой потомка всегда равна — независимо от того, имеет ли место
случайное скрещивание или инбридинг. Ряд авторов [49, 106, 247, 324,
542] описали применение метода ITO к более сложным ситуациям.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Принципиальным результатом, полученным в этой главе, явля-
ется равенство
т2 = .Lt + — о.
2 2
Хотя из генетических соображений оно почти очевидно, читателю сле-
дует проверить его, перемножив матрицы.
2. Используя равенство Т — Т33=Т32Т23, покажите что
2
1
Т2 — (Т32Т 28) (Т 32 Т23) — Т32 (Т23 Т32) Т23 —
® \ {Р A- — q — <7 \
И 2 2 I (Р q 0 \=_Lr + JL0
I 1 । О п п / 2 2
— р —p + qpvpqj
3. Предельное значение Тп при
жно также записать в виде
неограниченном возрастании п мо-
/ i ° \
I 1 1 । / р q W р q
I 2 2 I \Р <7 / \0 Р
\ 0 1 /
Р2 2Р<7 q2 \
р2 2pq q2 I= О.
р2 2pq q2 J
4. Выпишем подробно матрицу перехода для полных сибсов S =
= — Z+— Т+— О
4 2 4
МЕТОД МАТРИЦ ПЕРЕХОДА
77
— +—/?+ —р2, —q + — pq, “Г'?2
4 2 4 2 2 4
1 , 1 , 1.1,1 1 , 1 ,
— pH р2, — + pq, — q Н Я
4 Р 4 И 4 4 2 4 4 1 4 7
1 , 1,1 1,1,1,
-л ур + ти. Т + У, + Т^
Умножьте ее строки на р2, 2pq и q2 соответственно и сверьте результат
с совместным распределением для полных сибсов, приведенным в
Рис. 4.3. Корреляция между некоторыми родственниками при различных величинах
наследуемости.
Если в результате сверхдомииирования ft2=0, то полные сибсы в любом случае будут по-прежиему
иметь корреляцию 0,25 (благодаря вкладу доминирования в их ковариацию), тогда как другие род*
ствеиники не будут коррелировать. Быстрее всего с увеличением наследуемости возрастает корреля*
ция в паре родитель — ребенок.
5. Проверьте равенство ST=T2 прямым перемножением матриц
SX.T и затем покажите, что
1 1 1 ’
— / + — т+~
4 2 4
О \т = т2.
ST—
Воспользуйтесь тем, что IT = Т и ОТ=О.
6. Последовательно применяя основное соотношение Г2=—Т+
+ -|-О, можно легко получить выражение для Т3, Ti и т. д. Напримерз
Т3 = Т2Т=(— Т + ~ О\Т ~ — Т2+— 0 = — (— Т + —О') +
\ 2 2 ) 2 2 2 \ 2 2 /
+ ±о=~Т +— О.
2 4^4
78
ГЛАВА 4
7. Корреляции для родственников четырех наиболее распростра-
ненных типов в популяции со случайным скрещиванием приведены на
диаграмме рис. 4.3. Если флуктуации условий среды не принимаются
во внимание, то корреляция зависит от показателя наследуемости
hz=o2L/Oy.
8. В предыдущей и настоящей главах (обозначив пары родитель —
ребенок через Р, С и полных сибсов через С, С) мы нашли, что
Cov(P,C) = yol, Cov(C,C) = ^-<j1 + -J-<jL
Отсюда путем вычитания получаем
оЬ = 4 [Cov (С, С) — Cov (Р.С)].
Это один из способов оценки из определенных эмпирическим путем
ковариаций.
ГЛАВА 5
Множественные аллели
и группы крови
Многие теоремы и следствия, выведенные в трех предыдущих гла-
вах, применимы и к множественным аллелям. Для целого ряда задач
наибольший интерес представляет случай трех аллелей; его мы и рас-
смотрим здесь наиболее подробно.
§ 1. РАВНОВЕСНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
При наличии трех аллелей, А, а' и а, встречающихся с частотами
р, q и.г соответственно (р+<?+г=1), доли шести генотипов в большой
панмиктической популяции равны
/А а' а\2 _ АА Аа' Аа а'а' а'а аа ..
\ р + q + г / /г + 2р<7 4- 2рг + <72 + 2<?г + г2
Правило Кастла (Харди — Вайнберга) к случаю множественных
аллелей впервые прямо применил Вайнберг [см. 598]. В том, что при-
веденные доли генотипов действительно являются равновесными, мож-
но убедиться разными способами. Например, можно выписать, как это
было сделано в табл. 1.2, двадцать один возможный тип скрещивания
и все типы потомков с соответствующими им частотами. При этом сум-
марные частоты каждого из шести типов потомков окажутся как раз
такими, какие приведены выше. Таблица, включающая двадцать одно
скрещивание, слишком длинна, чтобы полностью приводить ее здесь.
Отметим только, что из нее можно вывести ряд следствий, точно так же
как из табл. 1.2 было выведено множество свойств, относящихся к слу-
чаю с двумя аллелями. Гораздо легче убедиться в том, что (1) являет-
ся состоянием равновесия, если определить вначале соотношение раз-
личных типов гамет, продуцируемых популяцией, а затем использовать
принцип эквивалентности случайного скрещивания особей случайному
объединению гамет (гл. 1, § 5). Так, например, общее число гамет А в
популяции (1) составляет р2+р«7+рг=р; аналогичное соотношение
можно получить и для численностей гамет других типов.
Если исходная популяция не находится в равновесии, то, как и в
случае трех аллелей, уже через одно поколение случайное скрещивание
приведет к установлению равновесия (1).
Очевидно, что все упомянутые выше свойства присущи и системам
с более чем тремя аллелями. В общем виде при наличии k аллелей мы
будем иметь k гомозиготных и
k \ _ k(k — \)
2 ] 2
80
ГЛАВА 5
гетерозиготных генотипов; полное число генотипов будет равно
, , / k А _ М+ 1\ = &(&+!)
+ \ 2 J \ 2 / 2
Если частоту гена Аг обозначить через qi('Zqi = l, i=l, 2, k), то рав-
новесные доли генотипов в панмиктической популяции будут опреде-
ляться соотношением
(2 Яг 4? = 2 А + 2 2 Яг Я! Л А;. (Г)
' i < i i<i
Приведенное выше соотношение (1) является частным случаем (1').
Следует помнить, что законы Менделя позволяют рассматривать
любую группу аллелей как один аллель. Поэтому мы всегда можем
обращаться с k аллелями как с двумя аллелями, отграничивая, ска-
жем, аллель Ai от всех остальных k— 1 аллелей. Если же, к примеру, мы
не хотим делать различия между аллелями а'и а из соотношения (1),
то можно рассматривать (<?+г) как частоту лишь одного аллеля (а'+
+а). Таким образом, соотношение (1) примет вид, характерный для
двухаллельной системы:
А А Аа',Аа а'а',а'а,аа
p* + 2p(q + r)+(q + r)z. (Г)
С другой стороны, некоторые закономерности наследования при нали-
чии множественных аллелей можно вывести из соответствующих
свойств двухаллельных систем путем подразделения частот.
При наличии доминирования в случае трех аллелей выявляется ме-
нее шести различных фенотипов. Рассмотрим наслёдование окраски у
кроликов; этот случай наследования, обусловленного тремя аллелями,
был изучен раньше других. Сплошная окраска (А) доминирует как над
гималайской (а', окраска тела белая, но уши, нос, кончики лап и хвос-
та пигментированы), так и над белой (а, альбиносы) окрасками; гима-
лайская окраска доминирует над белой. Если кролики скрещиваются
случайным образом, то доли трех фенотипов в популяции должны быть
следующими: особи со сплошной окраской (p2-f-2pq-l-2pr), особи гима-
лайской окраски (<724~2 qr) и альбиносы г2.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ ГЕНОВ
ПО ВЫБОРКАМ
Если все генотипы различимы, то оценить частоты генов очень про-
сто. Так, например, частота гена Ai будет равна доле особей AHi плюс
половина долей всех гетерозиготных особей, содержащих Ai.
Процесс определения частот генов в случайной выборке и проверку
того, насколько существенно они отклоняются от равновесных соотно-
шений Вайнберга (1), лучше всего проиллюстрировать на следующем
примере. У Drosophila pseudoobscura хромосомы третьей пары весьма
изменчивы в отношении порядка расположения генов. Известно более
семнадцати различных типов размещения генов (являющихся по отно-
шению друг к другу одиночными или множественными инверсиями).
Добжанский и Квил [118, 119] воспользовались этим фактом в своем
первом исследовании генетики природных популяций D. pseudoobscura.
Эти исследователи собрали случайные выборки мух в горных лесах До-
лины Смерти на территории Калифорнии и Невады. Данные, получен-
ные ими для Грейпвайна (одной из нескольких горных вершин, на
которых они собирали материал), приводятся в табл. 5.1. Три типа хро-
МНОЖЕСТВЕННЫЕ АЛЛЕЛИ И ГРУППЫ КРОВИ
81
Таблица 5.1
Распределение типов хромосом у 115 особей D. pseudoobscura из Грейпвайиа [118, 119]
Численность «Генотип» Сумма
ST/ST AR/AR | СН/СН | ST/AR ST/СН | AR/CH
Наблюдаемая 12 27 3 36 10 27 115
Ожидаемая 10,65 29,76 4,02 35,60 13,10 21,87 115
Частоты хромосом ST—0,3043; AR—0,5087; CH—0,1870 1,00
%2=2,63 с тремя степенями свободы; уровень значимости — между 0,3 и 0,5.
мосом третьей пары D. p'seudoobscura обозначены здесь как ST — Стан-
дарт, AR— Эрроухед и СН — Чирикахуа. Частоту хромосомы ST, к при-
меру, определяют так:
= ,2.12+36 + 10 = 70 =
2-115 230
частоты хромосом AR и СН находят подобным образом. Расчет ожида-
емых численностей мух в табл. 5.1 основан на распределении (1); так,
ожидаемое число особей ST/ST равно 115-(0,3043)2= 10,65 и т.д. На-
блюдаемые и ожидаемые численности хорошо согласуются друг с дру-
гом, из чего следует, что в природе эти мухи скрещиваются случайным
образом.
Если каждый генотип отличим от другого, метод определения час-
тот генов сводится к простому подсчету генов в выборке. Эти оценки
имеют простую биномиальную дисперсию:
Г(Р-) = Ц=^, Г(И = ++^
2и 20 20
(2)
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ
В системе с множественными аллелями суммарная доля гетерози-
готных особей в отличие от двухаллельной системы может превышать
50%. Например, при трёхаллельной системе доля гетерозиготных осо-
бей равна 2(pq-\-pr-\-qr) =2 у. Нетрудно показать, что у принимает
1 1
максимальное значение, равное— , при p=q=r= — и> таким обра-
зом, максимальная доля гетерозиготных особей в популяции со случай-
2
ным скрещиванием равна — , или около 67%• Обратите внимание на
3
то, что в примере, приведенном в табл. 5.1, доля гетерозигот составляет
36+10+27 со со/ то с 1
--------=63,5%. Рис. 5.1 показывает, что минимальная доля гомозигот
115
р2+«72+г2 составляет 3(—) =—
Из соображений, аналогичных тем, которые сформулированы в § 7
и упр. 15 гл. 1, следует, что доли зигот в равновесной популяции с мно-
жественными аллелями также можно связать одним уравнением. Пусть
<7i — частота аллеля Д,- (i=l, ..., k). Пусть далее zit—доля особей
AfAi, a 2zu(i<Zj) —доля особей AtAj, так что Sz/t+2Szу=1. Частоты
генов равны тогда <7i=S+j- Так, к примеру, <7i = Zn+zi2+...+zife. Дробь
82
ГЛАВА 5
zalqt является долей генов Д, находящихся в гомозиготном состоянии,
от общей частоты этого аллеля. Сумма таких долей всех аллелей в попу-
ляции со случайным скрещиванием равна единице [357]. Таким обра-
зом, мы получаем уравнение
гц । z22 zkk _ j (3)
<71 <7г qk
Для трехаллельной системы популяция (включающая шесть геноти-
пов) может быть представлена точкой в пятимерном пространстве; рас-
р ч г
1/9 1/9 1/9
1/3
/А
Рис. 5.1. Доля гомозигот в системе с несколькими аллелями минимальна при равенстве
частот аллелей.
На схеме показан случай, когда частоты для трех аллелей равны р, q, г. Доля гомозигот р2+р2+г2
равна сумме площадей трех квадратов, изображенных в верхней части рисунка. Когда p==q=r=—*
доля гомозигот равна 1------1— = — ♦ как показано в нижней части рисунка. Когда р, q и г не
9 9 9 3
равны друг другу, сумма площадей квадратов, изображенных в верхней части рисунка, всегда боль-
ше суммы площадей квадратов в нижней части рисунка [см. 362].
стояния от этой точки до шести «сторон» будут долями генотипов.
Уравнение (в котором Zn+zi2+zi3=<7i и т. д.)
Z1I|г22|_ г33 _ J (3/)
211 4~ г12 Н~г13 z12 4* Z22 4-Z23 z13 + Z23 4*2зз
задает в этом пространстве некоторую поверхность — геометрическое
место точек, представляющих все равновесные популяции (аналогично
параболе в треугольнике на рис. 1.6). Уравнение (3) нетрудно обобщить
и на случай инбридинга (гл. 13).
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ ГЕНОВ
ПО ТРЕМ ФЕНОТИПАМ
При наличии доминирования типа сплошная окраска — гималай-
ская — альбинизм (А>й/>а, где знак > означает «доминирование
над») в системе выявляются три фенотипа:
множественные аллели И' ГРУППЫ КРОВИ
83
Генотип Фенотип (АА, Аа', Аа) Сплошная окраска (а'а', а'а) Г ималайская окраска (аа) Альбинизм Сумма
Частота Наблбздаемая числен- ность* Р2+2р?+2рг а q2+2qr b г2 с 1,00 G
где р, q и г — частоты генов А, а' и а. Поскольку р = 1—q—r, то нам
нужно определить только q и г.
Из таблицы (4) мы получаем следующие зависимости:
(«+г)"=‘-±^. (5)
Отсюда оценки
'•'н/Т ’'+''-1/^
и
Если рассматривать особей со сплошной и гималайской окрасками как
один доминантный тип, а альбиносов — как рецессивный, то мы полу-
чим
Е(/) =
1 —г2
4G
(7)
Аналогичным образом, если объединить гималайский тип с альбиноса-
ми и рассматривать их как один рецессивный тип, а особей со сплош-
ной окраской — как доминантный, то
v(/)=v (/+и-—(;г+л)2.
4G
(8)
Выражение для дисперсии q' несколько сложнее, чем простые стан-
дартные уравнения (7) или (8), и отличается от них наличием допол-
нительного члена. В следующем параграфе мы покажем, что
V (q') = 1=^-2 + -?~г ; (9)
7 7 4G 4G(<7-f-r) V ’
Рассмотренный в этом параграфе простой пример поможет нам перейти
к более сложному случаю с четырьмя фенотипами.
§ 5. ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ДИСПЕРСИИ
Предположим, что в популяции численности G (G достаточно вели-
ко) наблюдаемые численности и частоты разных классов следующие:
84
ГЛАВА 5
Класс Вероятность Наблюдаемая численность Наблюдаемая частота Производная функции (10)
I Pi(0, - • . ) fi = o,i/G di = dQ/dfi
II P2(0, • - . ) a2 /2 = a%/G rf2 = 00/0f2 • •
Сумма 1 G 1,00
и мы хотим оценить некоторый параметр 0 с помощью следующей функ-
ции:
0 = ^(f1J2)...,G), (Ю)
где ф— дифференцируемая функция. Дисперсия такой оценки для боль-
ших выборок равна примерно
V(0)=A{Sf d2_(Sf d )a}; (11)
(j
суммирование производится по всем классам. Эту формулу предложил
Фишер [см. 174а, а также 572]. В простых случаях можно получить вы-
ражение для 1/(0) в явном виде, заменив наблюдаемые значения fj на
ожидаемые (в соответствии с параметрами популяции). В более слож-
ных случаях, когда У(0) в явном виде получить довольно трудно, ее
численное значение всегда можно найти, приближенно вычислив dj =
=dd/dfj. По определению частная производная
j . д0 Ф (fi,. • , fj &j, • • •) Ф (fi- • • •, fj, ) (12)
j “ dfi " A; ’
где A; — сколь угодно малое приращение fj, например, 1/G. Рассмот-
рим в качестве примера систему (4)
Сплошная окраска Гималайская окраска Альбинизм
h = a!G f2 = b/G f3=c!G
и оценочную функцию (6) для q (которая играет роль параметра 0)
?=j/4~c-j/4=(f2+f3)2L_fb (6,)
Частные производные имеют вид:
dx = dqldfi = 0,
d2 = dq/df2 = ± (f2+f3)~^, (13)
d3 = dq/df3 =±(f2+f3)-^-±f;K
Возведя их в квадрат, мы получим
Sfj d2j = ^f2 + /зГ1 + ~ f3 [(f2 + f3F' + fr‘ - 2 (f2 + f3)~ Г V ] =
= T + 7~T(,! + w4ff = T~Tl/Vb'
4 4 2 2 z ' 12 ~г 13
МНОЖЕСТВЕННЫЕ АЛЛЕЛИ И ГРУППЫ КРОВИ
85
Если наблюдаемые f заменить ожидаемыми [т. е. [г+^з заменить на
(9+г)2 и т. д.], то это выражение сведется к
Таким же образом можно найти, что
yt j _ 1 /f J. f | 1 Jr __ 1
g (/2 H- fs) 2 3 %
Отсюда дисперсия оценки равна
= 1=£2 + (9Л)
4G 4G (q + г) ’
что фактически представляет собою формулу (9). Аналогично получа-
ют целый ряд других формул для дисперсии. В упр. 10 мы ознакомим-
ся с другими видами выражения (11) и другими примерами его приме-
нения.
§ 6. ГРУППЫ КРОВИ АВО ЧЕЛОВЕКА
Описание механизма наследования групп крови АВО можно най-
ти почти во всех учебниках генетики, поэтому нет необходимости под-
робно разбирать его здесь. Напомним только, что Бернштейн [24, 25]
выдвинул объяснение этого механизма, предположив существование
трех аллелей: А, а' и а. Аллель А, ответственный за синтез антигена А,
доминирует над аллелем а (не способным к образованию какого-либо
антигена); аллель а', вырабатывающий антиген В, также доминирует
над а. Аллели 4 и а' не доминируют друг над другом («кодоминант-
ны») и вырабатывают антигены независимо один от другого, так что
гетерозиготные индивидуумы Аа' обладают антигенами обоих типов."
Поэтому в популяциях человека представлено четыре различных фено-
типа (группы крови), которые встречаются со следующими частотами
(р, q, г — частоты генов А, а' и а соответственно):
Генотип
Аа' | АА, Аа а'а', а'а аа
Группа крови Частота АВ 2р<7 А Р2 + 2рг в q2 -\-2qr о А
Отметим, что эти частоты симметричны в отношении р и q. На рис. 5.2
приведена диаграмма, представляющая доли четырех фенотипов и трех
частот генов. Разделим основание равностороннего треугольника на
три отрезка в отношении p-.r’.q. Через точки деления проведем две пря-
мые, каждая из которых параллельна одной из сторон треугольника;
таким образом, весь треугольник разделится на четыре части; их пло-
щади пропорциональны частотам групп крови АВ, А, В, О, согласно
левой диаграмме рис. 5.2. Точку пересечения двух прямых, отмеченную
на диаграмме, можно рассматривать как популяционную точку для ча-
стного случая трех аллелей; длины перпендикуляров, опущенных из
этой точки на три стороны треугольника, пропорциональны р, q и г.
Разделив части треугольника А и В на области, соответствующие «го-
86
ГЛАВА 5
мозиготным» и «гетерозиготным» долям, получим правую диаграмму
рис. 5.2, на которой, таким образом, графически представлены частоты
шести разных генотипов. На этой диаграмме каждый равносторонний
треугольник соответствует квадратичному члену (например, р2), а каж-
дый параллелограмм — члену-произведению (например, 2pq). При р :
Рис. 5.2. Фенотипические (слева) и генотипические (справа) частоты в системе АВО
человека.
: г: 9=25 : 62 : 13 (ситуация, изображенная на этой диаграмме) боль-
шинство индивидуумов с группами крови А и В являются гетерозиго-
тами.
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ ГЕНОВ
СИСТЕМЫ АВО
Различие между частотами групп крови (14) и частотами типов
окраски у кроликов (4) состоит в том, что здесь фенотипически прояв-
ляется одна из гетерозигот (группа крови АВ) с частотой 2pq. В этой
главе мы рассмотрим несколько простых методов определения частот
генов системы АВО, отложив рассмотрение метода максимального
правдоподобия до следующей главы. Придерживаясь системы обозна-
чений, принятой в (4), для четырех групп крови можно составить сле-
дующую таблицу:
Группа крови АВ А в О Сумма
Частота 2W Р2 + 2рг q2 + 2qr г2 1
Наблюдаемая чис- ленность h а b С G
Очевидно, здесь имеются только два независимых параметра, посколь-
ку р4~9+г=1- Простые, хотя и неэффективные оценки р, q и г, приво-
димые здесь, дают значения этих величин, в сумме не обязательно со-
ставляющие единицу. Однако мы дадим метод коррекции, с помощью
которого эти предварительные оценки можно сделать эффективными.
Выпишем, согласно (15), следующие теоретические зависимости:
МНОЖЕСТВЕННЫЕ АЛЛЕЛИ И ГРУППЫ КРОВИ
87
г2 = c/G = О',
(q + ry = (b+c)/G = B' +о; (16)
(р 4- г)2 = (а + сУ0 = А' + О',
где А', В', О' — наблюдаемые доли особей с группами крови А, В и О в
выборке. Отсюда получаем следующие оценки частот генов [23]:
г' = Кб7,
р' = 1—]/В' + О', (17)
/ = 1—КА'4-0'.
Дисперсию этих оценок можно легко определить методом, описанным
в § 4. Таким образом, по аналогии с (7) и (8),
у(п'\ = 1 ~б + г)2 = pG-p) ,
И ’ 4G 2G 4G ’
V = 1-<р + г)2 = , (17V)
7 4G 2G 4G ’ v ’
V (И = IzK = + JlzirK
4G 2G 4G
На практике выражениями (17) или (17v) непосредственно не пользу-
ются, поскольку получаемые с их помощью значения величин не дают
в сумме единицы. Пусть p'-}-q'-{-r'-\-D=l, так что
0=1 -(/+/ + г'). (18)
Подставляя сюда значения р', q' и г' из (17), получаем
D = l/В' + О' + КА' + О' — Кб7— 1. (19)
Если D положительно, это означает, что грубые оценки (17) занижены
и их нужно увеличить, а если отрицательно, то оценки завышены и их,
напротив, нужно уменьшить. Бернштейн [24] и Стивенс [600] показа-
ли, что скорректированные оценки
Р = (1
q =(1 (2°)
'М1+Ю(г'+4К
практически эквивалентны тем, которые получаются методом макси-
мального правдоподобия. Записав выражение (18) как p'+q' + r'+
+-|-D=1-----Z), мы ПОЛУЧИМ> что сумма скорректированных оценок
р+'7 + гЛ=(1 + ^о)(1-----(21)
т. е., как правило, почти всегда равна единице, поскольку D обычно
мало. Выражения для точных дисперсий таких скорректированных оце-
нок (20) довольно сложны, но поскольку оценки близки к оценкам мак-
симального правдоподобия (которые будут введены в следующей гла-
ве), мы с полным основанием можем использовать их дисперсию в ка-
честве хорошего приближения. В своей работе Ли [400] составил
таблицу дисперсий оценок максимального правдоподобия; часть ее вос-
произведена в табл. 5.2
88
ГЛАВА 5
По аналогии с (17), Винер [652] предложил следующие оценки:
г" = уа,
р" = У А' + О' — Ко', (22)
q" = у В' + О' —Ко'.
Выражения для дисперсии этих оценок аналогичны формулам (7) и
(9), а именно:
v(r; ) = - 1 —г2 4G ’
17 (п''\ 1 — Р2 р — г V (а"\ 1 — । <7 —г
V \Р ) — “ -Г- - . . V \ч ) — л ~г я
4G 4G (р + г) 4G . 4G(<?+r)
Таблица 5.2
Дисперсия оценок частот генов системы АВО, полученных по методу
максимального правдоподобия (в А А сокращенном виде из [401])
I. Значения V(p). Чтобы найти V(<7), надо поменять местами р и q
Р <7 = 0,10 <7 = 0,20 <7 = 0,30
0,06 0,0291 0,0291 0,0291
0,07 0,0338 0,0338 0,0338
0,08 0,0384 0,0384 0,0384
0,09 0,0430 0,0429 0,0429
0,10 0,0475 0,0475 0,0475
0,11 0,0520 0,0519 0,0519
0,12 0,0564 0,0563 0,0563
0,13 0,0607 0,0607 0,0606
0,14 0,0651 0,0650 0,0649
0,15 0,0693 0,0692 0,0692
0,16 0,0735 0,0734 0,0733
0,17 0,0777 0,0776 0,0775
0,18 0,0818 0,0817 0,0815
0,19 0,0859 0,0857 0,0855
0,20 0,0899 0,0897 0,0895
0,21 0,0938 0,0936 0,0934
0,22 0,0977 0,0975 0,0972
0,23 0,1016 0,1013 0,1009
0,24 0,1054 0,1050 0,1046
0,25 0,1091 0,1087 0,1083
0,26 0,1128 0,1124 0,1118
0,27 0,1164 0,1159 0,1153
0,28 0,1200 0,1194 0,1188
0,29 0,1235 0,1229 0,1221
0,30 0,1'270 0,1263 0,1254
0,31 0,1304 0,1296 0,1287
0,32 0,1337 0,1329 0,1318
0,33 0,1370 0,1361 0,1349
0,34 0,1403 0,1392 0,1379
0,35 0,1435 0,1423 0,1408
0,36 0,1466 0,1453 0,1437
0,37 0,1497 0,1483 0,1465
0,38 0,1527 0,1511 0,1492
0,39 0,1556 0,1539 0,1518
0,40 0,1585 0,1567 0,1543
Таблица 5.2 (продолжение)
II. Значение У(г). Если p<q, то р и q следует поменять местами
р 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24
0,02 0,0194 — — — —, — — .
0,04 0,0287 0,0376 — — — — — — —. — .
0,06 0,0378 0,0463 0,0546 — — — — —. —
0,08 0,0467 0,0548 0,0627 0,0704 —- — — — — — —
0,10 0,0554 0,0631 0,0706 0,0779 0,0850 —— — — —. —
0,12 0,0639 0,0712 0,0783 0,0852 0,0919 0,0984 .— — — —
0,14 0,0722 0,0791 0,0858 0,0923 0,0986 0,1047 0,1106 — —— — —
0,16 0,0803 0,0868 0,0931 0,0992 0,1051 0,1108 0,1163 0,1216 — — —
0,18 0,0882 0,0943 0,1002 0,1059 0,1114 0,1167 0,1218 0,1267 0,1314 .— -— —
0,20 0,0959 0,1016 0,1071 0,1124 0,1175 0,1224 0,1271 0,1316 0,1359 0,1400 — —
0,22 0,1034 0,1086 0,1137 0,1186 0,1233 0,1278 0,1322 0,1363 0,1402 0,1439 0,1474 —
0,24 0,1107 0,1155 0,1202 0,1247 0,1290 0,1331 0,1370 0,1407 0,1443 0,1476 0,1507 0,1536
0,26 0,1177 0,1222 0,1265 0,1306 0,1345 0,1382 0,1417 0,1450 0,1481 0,1502 0,1538 0,1563
0,28 0,1246 0,1287 0,1325 0,1362 0,1397 0,1430 0,1461 0,1491 0,1518 0,1543 0,1566 0,1587
0,30 0,1313 0,1349 0,1384 0,1417 0,1448 0,1477 0,1504 0,1529 0,1552 0,1574 0,1593 0,1610
0,32 0,1378 0,1410 0,1440 0,1469 0,1496 0,1521 0,1544 0,1565 0,1585 0,1602 0,1617 0,1631
0,34 0,1441 0,1469 0,1495 0,1519 0,1542 0,1563 0,1582 0,1599 0,1614 0,1628 0,1639 0,1649
0,36 0,1501 0,1525 0,1547 0,1567 0,1586 0,1602 0,1617 0,1631 0,1642 0,1651 0,1659 0,1665
0,38 0,1560 0,1579 0,1597 0,1613 0,1627 0,1640 0,1651 0,1660 0,1667 0,1673 0,1676 0,1678
0,40 0,1616 0,1631 0,1645 0,1657 0,1667 0,1675 0,1682 0,1687 0,1690 0,1692 0,1691 0,1689
90
ГЛАВА 5 ’
Они эквивалентны выражениям, приведенным Бойдом [38]. По Винеру
дисперсия оценки р и q несколько выше, чем по Бернштейну, поскольку
последняя включает только одну наблюдаемую величину: К В'4~О', а
первая — две: КВ'+О'—КО'- Оценки Винера, как и Бернштейна, в
сумме не дают единицы. Пусть p"-j-q"-{-r"-}-W=l, так что
Г = l-(p'' + q" + r"). (23)
Подставляя сюда р", q" и г" из (22), получаем
W = 1 + Кб7— К А' + О' — КВ' + О'. (24)
Сравнивая это выражение с (19), имеем
W = —D. (25)
Бойд [37] указывает, что оценки (22) Винера, подобно оценкам
Бернштейна, также можно скорректировать и получить эффективные
оценки:
р =(1-^г)(р" + Г),
9 = (1--^)(<7" + П (26)
А / 1 \ / 1 \
г=Ц1----l-Wj |г"---
поскольку р' по Бернштейну равно p"-\-W и т. д.
§ 8. ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР
Таблица 5.3
Частоты групп крови у 6000 китайцев (данные собраны на донорском пункте
в Кунминге, Юннань, Китай; с разрешения д-ра Ч. С. Фаня, 1944,
неопубликованные данные)
Группа крови Наблю- даемая числен- ность Частота по Оценка Бернштейну (17) Оценка по Винеру (22) Скорректиро- ванная оценка (20) или (26)
У Частота
АВ А В 607 1920 1627 Л
О 1846 0,3077 0,5547 г = 0,5547 г" = 0,5547 г = 0,5535
А+О 3766 0,6277 0,7923 q = 0,2077 q" = 0,2061 9 = 0,2075
в + о 3473 0,5788 0,7608 р = 0,2392 р" = 0,2376 Л р = 0,2390
G 6000 — — D = 1,0016 = —0,0016 0,9984 W = 0,0016 1,0000
В табл. 5.3 приведен пример применения рассмотренного выше ме-
тода. По формуле (7) получаем оценку Бернштейна
р' = 1—КО,5788 = 1 — 0,7608 = 0,2392 и т. д.
множественные аллели и группы крови
91
По Бернштейну D =—0,0016, тогда 1-}-—^-D= 1—0,0008 = 0,9992. Скор-
ректированная оценка, согласно (20), будет равна
р = 0,9992-0,2392 = 0,2390 и т. д.
Оценка Винера, согласно формуле (22),
р" = /0,6277 — КО,3077 = 0,7923 — 0,5547 = 0,2376 и т. д.
Отклонение от единицы равно W = —23 = 0,0016. Заметим, что
р" + W = 0,2376 + 0,0016 = 0,2392 = р'.
Таким образом, скорректированные оценки (20) и (26) равны друг дру-
гу. Отметим также, что поправка к оценкам р и q весьма незначитель-
на; наиболее велика она для г. Следовательно, в отдельных случаях,
когда делать поправку необязательно, можно принять г'=1—р'—q'.
л л л
При коррекции оценок р и q можно просто взять г=1—р—q, поскольку
сумма оценок оказывается очень близкой к единице (см. последний
столбец табл. 5.3).
Дисперсии скорректированных оценок можно найти из табл. 5.2;
приведенные в ней данные относятся к выборке размером G = l.
Чтобы получить дисперсии для выборки размера G, нужно разделить
л л
табличные величины на G. Например, для р=0,2390 — 0,24 и 9=0,20
л
V(p), согласно табл. 5.2, равна 0,1050. Разделив это число на G = 6000,
л л
мы получим дисперсию для р. Чтобы найти V(q), в табл. 5.2 следует
А А
поменять местами р и q. Тогда для 9=0,2075 ~ 0,21 и р=0,20 мы мо-
А
жем взять приблизительно величину 0,0936. Дисперсии г приведены во
л л
второй половине табл. 5.2. Для р=0,24 и 9 = 0,21 надо взять среднее
между числами 0,1476 и 0,1507, т. е. 0,1491. Дисперсии и стандартные
ошибки будут следующими:
V (р) = 0,1050/6000 = 0,000 0175, SE (р) = 0,0042,
v(q) = 0,0936/6000 = 0,0000156, SE (9) = 0,0039, (27)
V (г) = 0,1491/6000 = 0,0000249, SE (г) = 0,0050.
Метод получения выражений для дисперсий оценок максимального
правдоподобия рассмотрен в следующей главе.
§ 9. ТИПЫ СКРЕЩИВАНИЯ
И СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ИМ ПОТОМСТВО
Выпишем все возможные в отношении шести генотипов варианты
скрещиваний и соответствующие им типы потомков. Внесем в этот спи-
сок частоты всех скрещиваний и потом объединим их по десяти фено-
типически различным типам браков, распределив также шесть геноти-
пов потомков по четырем группам крови. После всех операций получим
данные, представленные в табл. 5.4. Разделив доли потомков на часто-
ты соответствующих браков, мы найдем доли потомков различных ти-
пов, произошедших от любого из данных вариантов скрещивания. На-
пример, в скрещиваниях АХА доля потомков с группой крови О равна
92
ГЛАВА 5
Таблица 5.4
Частоты типов скрещивания и соответствующих потомков
Тип скрещи- вания Частота скрещивания Потомство
0 A В AB
0X0 г4
ОХА 2рг2(р + 2г) 2pr3 2pr2 (p + r)
охв 2qr2 (q 4- 2r) 2qr3 2qr2 (q + r)
ОХАВ 4pqr2 . . . 2pqr2 2pqr2
АХА p2(q+2r)2 p2r2 P2(P4-r)(p+3r)
АХВ 2pq(p + 2r)(q+2r) 2pqr2 2pqr (p 4- r) 2pqr (q 4- A 2pq (p+r) (q-\-r)
ВХВ q2(q-\-2r)2 q2r2 q2 (q+r) (q+3r)
АХАВ 4p2q(p-\-2r) - 2P2q (P 4- 2r) 2p2qr 2p2q (p 4- r)
В ХАВ ' 2pq‘- (q + 2r) 2pq2r 2pq2(q+2r) 2W2 (q + r)
АВХАВ 4p2q2 p2q2 p2q2 2p2q2
Сумма 1,00 r2 P2 4- 2pr q2 + 2qr 2pq
г2/(р-)-2г)2, тогда как при скрещивании АхО доля потомков с рецес-
сивным признаком равна г/(р+2г). Поскольку эти отношения касают-
ся двух связанных аллелей А и а, то они эквивалентны отношениям Снай-
дера S2=q2/(p-}-2q)2 и Si=q/(р+2 q) для двух аллелей при наличии
доминирования (гл. 2, § 3), за исключением того, что здесь р+г+1.
Эти обобщенные отношения Снайдера являются функциями частот ге-
нов; исключение составляют отношения для следующих типов скрещи-
вания с достоверно известными генотипами обоих родителей:
ОхО->О; ОхАВ-> —А + —В; АВ хАВ-> —А + — АВ + — В.
2 2 4 2 4
Отметим также, что ни одно из скрещиваний, в которых один роди-
тель имеет группу крови О, не дает потомков с группой крови АВ. И на-
оборот, в скрещиваниях, в которых один родитель имеет группу крови
АВ, не будет потомков с группой крови О. Если какой-нибудь антиген
отсутствует у обоих родителей, то их дети, очевидно, не могут обладать
этим антигеном. Таким образом, от скрещиваний АХА и АХО не мо-
жет родиться ребенок с генотипом В или АВ. Следовательно, скрещи-
вание Ах В — это единственный вариант скрещивания, в котором могут
рождаться дети всех четырех групп. В сущности он включает четыре
генотипически различающихся типа скрещивания, из которых только
один — АаУСа'а— может давать детей любой группы (—ОН-----------А +
\ 4 4j
+ 4в + -^ав).
4 4 /
Если в табл. 5.4 различать реципрокные скрещивания, то образу-
ется шестнадцать соответствующих фенотипических вариантов; четыре
из них принадлежат к типу ОХ (О, А, В, АВ), другие четыре — к типу
АХ (О, А, В, АВ) и т. д. Разделив эти шестнадцать типов скрещивания
на четыре класса в соответствии с фенотипом (группой крови) одного
из родителей, мы получим частоты пар родитель — ребенок в отноше-
нии групп крови АВО (нижняя часть табл. 5.5). Это классический спо-
соб вывода таких частот. Однако табл. 5.5 можно получить и методом
ITO, изложенным в гл. 4. Переходная матрица для пары родитель — ре-
бенок выглядит следующим образом:
МНОЖЕСТВЕННЫЕ АЛЛЕЛИ И ГРУППЫ КРОВИ
93
АВ АА АО ВВ ВО 00
1 1 1 1 1 1
АВ 1 <N + 2 Г Т9 — г 2 0
АА q Р т 0 0 0
н. АО Т= 1 Т9 1 ~2Г+1>Р 0 1 Т9 1 — г 2 (28)
вв р 0 0 9 Г 0
1 1 1 1 1 1
во Т9 0 ТР 2 9 7^79 2 Г
00 0 0 Р 0 Г
Таблица 5.5
Частоты пар родитель — ребенок по системе групп крови АВО
Г енотип Мать Ребенок
АВ АА АО вв во 00
АВ Р<7 (Р + 9) Р2? pqr pq2 pqr —
АА Р2д Р3 р2г — — —.
АО pqr р2г рг (р 4" г) — pqr pr2
ВВ pq2 — — q3 q2r —
ВО pqr — pqr q2r qr (q + r) qr2
00 — — рг2 — qr2 r3
Фенотип AB A в 0
AB pq (p + q) pq (p + r) pq (q + r) —
A pq (p + r) P (P2 + Зрг + r2) pqr pr2
В pq (q + r) pqr q (q2 4- 3?r 4- r2) ?r2
0 — pr2 qr2 r3
Умножив первую, вторую и т. д. строки на 2pq, р2 и т. д., мы полу-
чим абсолютные частоты пар родитель — ребенок в популяции, приве-
денные в верхней части табл. 5.5. Объединив элементы с одинаковыми
фенотипами, получим частоты пар родитель — ребенок в отношении
групп крови (нижняя часть табл. 5.5). Частоты пар сибс — сибс в отно-
шении групп крови можно получить и методом IT О.
94
ГЛАВА 5
§ 10. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ КРОВИ А
Аллель А, который мы рассматривали в предыдущих параграфах, в
действительности представляет совокупность нескольких аллелей, так
что группу А можно подразделить на подгруппы Аь Аг, А3 и т. д. Алле-
ли А3, А4 и т. д. встречаются в популяциях человека очень редко, в свя-
зи с чем в этом параграфе мы ограничимся аллелями Aj и А2. Аллель
А] доминирует над аллелем А2, так что гетерозиготный индивидуум
AiA2 относится к подгруппе Аь Следовательно, группа АВ также содер-
жит две подгруппы — AiB и А2В. Пусть pi и р2 — частоты аллелей А]
и А2 соответственно; тогда pi + p2 = p—-полная частота аллеля А. Ча-
стоты индивидуумов шести групп во всей популяции будут, таким обра-
зом, следующими (см. также рис. 5.3):
Г енотип
Aia' А2а' AiAi, .Д^-До Ai<z A2A2, A2a af a', a' a aa
Группа крови Частота AiB А2В Ai a2 в 0
2pi? 2р2<7 2W Pi + + 2P1r Рг+2Р/ q2 + 2qr r2
P2 + 2pr
Отсюда Ai+A2+O= (Pi+pz+r)2, А2+О= (р2-\-г)2. Неэффективные
оценки частот аллелей, согласно [648], равны
Р1 = Г(А1 + А2+ О)- Г(А2 + О)
р2 = К(а2 + О) - го
р = Г(А + О)-ГО,
(29)
^ = Г(В + О) —Ко иг = /о.
В качестве примера рассмотрим данные Тэйлора и Прайора [612].
Группа крови Сумма
AjB а2в Ai а2 В О
Численность Частота 4 0,0116 2 0,0058 124 0,3594 26 0,0754 29 0,0840 160 0,4638 345 1,00
Р1 = /0,8986 —КО,5392 = 0,2136
И ’___ р = 0,2669,
р2 = КО,5392 —/0,4638 = 0,0533 ]
7 = К0,5478 — К0,4638 = 0,0591, г = 0,6810.
Сумма этих четырех частот равна 1,0070. Чтобы сделать ее равной еди-
нице, мы можем принять г=1—рх—р2—q. Эти оценки вполне право-
мочны, но весьма приближенны. Их можно использовать как предвари-
тельные оценки для метода максимального правдоподобия. Хотя при-
менение метода максимального правдоподобия к оценке параметров
Pi, р2 и 7 не требует ничего принципиально нового, соответствующие
арифметические расчеты очень трудоемки; кроме того, приходится про-
водить систематизацию по Стивенсу [600].
множественные аллели и ГРУППЫ КРОВИ
95
Рис. 5.3. Шесть фенотипических час-
тот в системе A]A2BO человека [372].
Применение анализа частот генов групп крови в судебной медици-
не и антропологии рассмотрено в работах [34, 479, 580, 585, 652, 653].
§ 11. СИСТЕМА ГРУПП КРОВИ MNS
Система групп крови MNS контролируется четырьмя основными ал-
лелями (двумя парами тесно сцепленных локусов). Мы не будем
рассматривать второстепенные аллели, определяющие слабые реакции.
Представим четыре аллеля и их частоты следующим образом:
MS Шх NS
Ms т2 Ns «2
М т N п
mi + п1= 1 — s
(30)
^2 ^2 — S
m+ п = 1
Случайное объединение гамет дает стационарное распределение десяти
генотипов. Если использовать четыре антисыворотки, то удается разли-
чить девять фенотипов, поскольку два генотипа—MS/Ns и Ms/NS:—не-
различимы. В отсутствие сыворотки анти-s удается выявить только
шесть фенотипов: три S-положительных и три S-отрицательных (внут-
ренний треугольник на рис. 5.4). Частоты и соответствующие наблюда-
емые численности этих фенотипов представлены в табл. 5.6, где D=
=D1-\-D2-JrD3 — общая численность S-положительных, a R=Ri-}-R2-\-
+/?з — общая численность S-отрицательных (ss) индивидуумов; Z)+
+7? = G — общая численность индивидуумов в выборке. Общая числен-
ность индивидуумов М-типа равна Z)i+A>i = Gi, и т. д.
Из наблюдаемых численностей шести фенотипов необходимо далее
определить частоты генов. Решая эту задачу, Бойд [35] провел число-
вые расчеты по методу максимального правдоподобия, а Де Гроот
[101] с помощью репараметризации нашел матрицу, обратную инфор-
мационной, и получил выражения для дисперсий оценок в явном виде.
К сожалению, эти выражения слишком сложны, чтобы ими можно было
пользоваться в повседневной практике. В то же время есть ряд про-
стых, но неэффективных оценок [470а, 655]. В этом параграфе, следуя
за Де Гроотом и Ли [102], мы пойдем компромиссным путем. Метод,
который мы рассмотрим, арифметически так же прост, как и метод, пред-
ложенный иммунологами, и при этом почти так же эффективен, как ,ц
метод максимального правдоподобия; к тому же он приводит к очень
простым выражениям для дисперсий в явном виде.
96
ГЛАВА 5
Таблица 5.6
Теоретические частоты и наблюдаемые численности шести фенотипов по системе MNS
Фенотип Частота Численность MS От; + 2т{т2 Dr MNS 2/п^ + 2(m1n3 + + m2nx) d2 NS rij + 2гц n2 DS S-положительные 1—(m2 + n2)2 = 1—s2 D
Фенотип Ms MNs Ns S-отрицательиые
Частота т2 2m2n2 n2 [(m2 + n2)2 = s3
Численность Rz R3 R
Суммарная часто- та т2 2mn n2 1,00
Суммарная чис- ленность G1 Gz G3 G
Рис. 5.4. Шесть фенотипических и де-
сять генотипических частот в системе
MNS человека [372].
Начнем с суммарных величин, приведенных в табл. 5.6. Из нижней
строки таблицы можно оценить суммы m = m1-[-m2 и п=п\+«2, не ис-
пользуя данные по типам S. Имеем:
т' = 2Gt + G2 , = G2 + 2G3
2G 2G ’
При этом, как обычно, дисперсия V(m') = V(ti') =mn/2G. Аналогичным
образом из последнего столбца табл. 5.6 можно оценить сумму $=т2+
+/12, исходя из общей численности S-отрицательных индивидуумов и не
используя данные по типам MN.
s'=]/y <32>
с дисперсией У (s') = (1—s2)/4G для рецессивного гена. Остается ре-
шить вопрос о том, как разделить группу s на пг2 и п2. Заметим, что вто-
рая строка табл. 5.6, в которой представлены все возможные среди
S-отрицательных индивидуумов MN-типы, содержит элементы с
т2 и п2 в таком же виде, что и нижняя строка с т и п. Следовательно,
s можно подразделить на т2 и п2 следующим образом:
МНОЖЕСТВЕННЫЕ АЛЛЕЛИ И ГРУППЫ КРОВИ
97
= S
I 27?
= <зз)
\ /
Обратившись к нашей первоначальной схеме (30), мы увидим, что ве-
личины т\ и п\ можно получить путем вычитания. Таким образом мы
получим оценки частот всех четырех аллелей. Дисперсии таких оценок
имеют следующий вид [102]:
2 / 1 2\
,Пг^5) г(+ = Vм + , (34)
V(n.)-^+ . V(n,)=v^+ ,
Таблица 5.7
Оценки частот генов и их дисперсий для системы MNS у бенгальцев из Дакки,
Восточный Пакистан [35]. Штрихи при обозначениях оценок для удобства опущены
М MN N Сумма
СЛ t/J 1 + II 11 Q* £ D2 = 62 R2 = 47 £)3 = 21 7?з = 21 D= 127 R = 103
Сумма G1 = 79 G2 = 109 G3 = 42 G = 230
= 0,5804,
D/G — 1 —s2 = 0,5522
2?/G = s2 = 0,4478
s = 0,6692
2(79)4- 109
2(230)
109 + 2(42)
2(230)
= 0,4196
2 (35) + 47
а = ——------------- = 0,5680,
2(103)
т% = sa = 0,3801,
т1 = т — m2 — 0,2003,
ь==^7 + 2(21) =
2(103)
n2 = s6 = 0,2891
щ = Л — п2 — 0,1305
0,3801-0,2891 , 0,3801)2 0,5522) л ллл„„„ рт, л л„,л
V (т*) = —'-----'------Н -3-2------------- = 0,000727, SE = 0,0270
v 27 206 412 ’
0,3801-0,2891 (0,2891)2 (0,5522) ....._ л
V (п2) = —: ---------+ —-----------------= 0,000645, SE = 0,0254
I з/ 206 ^412 ’
0,4196-0,1798
V (т,) = 0,000727 — —----------= 0,000563, SE = 0,0237
v v > 460
0,5804-0,1586
V (щ) = 0,000645 — — --—2-------= 0,000445, SE = 0,0211
В табл. 5.7 рассмотрен числовой пример применения этого метода.
В верхней части таблицы приведены экспериментальные данные и рас-
четы т', п' и s', основанные на суммарных значениях. В средней части
таблицы даны оценки частот четырех аллелей. Для удобства мы рас-
считали сначала
/27?i + 7?2\ _/Л?2 + 2Л?3\
и = --------- и у — ---------
2R ) [ 2R )
а затем, воспользовавшись формулами (33), получили т2 и п2. В ниж-
ней части таблицы даны дисперсии оценок. В табл. 5.7 приведены все
7—322
98
ГЛАВА 5
расчеты, и она может быть использована как схема при соответствую-
щих вычислениях. Численные значения из табл. 5.7 отличаются от ре-
зультатов Бойда [35], полученных более сложным методом максималь-
ного правдоподобия, всего лишь на 0,0001 для частот генов и на
0,000001 —для дисперсий; стандартные же ошибки совпадают. С други-
ми методами можно ознакомиться в работах [59, 101, 470а, 570а, 655].
§ 12. НЕДОСТАТОК МЕТОДОВ,
КОТОРЫЕ ПРИВОДЯТ К НЕЭФФЕКТИВНЫМ ОЦЕНКАМ
Рассмотренный нами пример с группами крови MNS (табл. 5.6) по-
казывает, что метод, предложенный Де Гроотом и Ли [102], дает такие
же эффективные оценки, как и метод максимального правдоподобия.
Что же касается методов, дающих неэффективные оценки, то их нельзя
применять к очень малым выборкам, где наблюдаемые данные могут
не соответствовать генетической модели. Для иллюстрации этого по-
ложения рассмотрим следующий пример:
М MN N Сумма
S + 1 2 6 D = 9 Из (32):
S — 6 8 2 R = 16 s2 = /?/G = 0,64
Сумма 7 10 8 G = 25 s =/0^4 = 0,80
2(7)+ 10
Из (31):т' = -- — = 0,48
’ 2(25)
, 2 (6) + 8
Из (33): т„ = 7 —-0,80 = 0,50
1 ’ 2 2(16)
Полученный результат неверен, поскольку для генетической
модели m—mi-!rm2Z>tn2. Все неэффективные методы оценки должны
применяться лишь при достаточно больших выборках.
§ 13. ДИСПЕРСИЯ КАК ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН
Предположим, что X и У — независимые величины. Обозначим их
средние и дисперсии через X, Y и V(X), У (У).
V(ХУ) = Е (ХУ — ХУ)2 = Е (Х2У2) — X2У2 = Е (X2) Е (У2) —
— Х2У2 = [X2 +У(Х)] [У2 + У(У)]—Х2У2 = Х2У(У) + У2У(Х) +
+ У(Х)У(У). (35)
Если У(Х)У(У) мало по сравнению с другими членами выражения,
то мы получим обычно применяемую приближенную формулу
V (ХУ) = X2 V (У) + У2 V (X). (36)
В качестве примера рассмотрим оценку величины т2 для системы
групп крови MNS. Прежде всего оценим s через s'= ]/R/G, дисперсия
которой V(s') = (l—s2)/4G. s' нужно подразделить на две части —
т' и и'. Пусть действительные доли в популяции равны
множественные аллели и группы крови
99
а = -^-, Ь = ^-, а + &=1.
S S
(37)
Согласно табл. 5.7, их оценки (фактически один параметр) равны
а' _ 27\+Зг ъ, = ^+27?3. (38)
27? 27?
с обычной биномиальной дисперсией
V{a') = V(У) = = р-) (; (39)
^г\ \ S } \ S / ^i\
Оценки s' и а' статистически независимы, поскольку s' получено из
элементов второй строки конечных величин табл. 5.6, а а' — на основа-
нии данных, заключенных «между строк». Применяя приближенную
формулу (36), получим
V Ы = V (s' а) = s2V(a) + a2V (s') = s2/^ pVJA'fbl2 =
' 7 v 1 7 7 \ s ]\s jiR \ s j 4G
27? 47?
где замена 4Gs2 = 47? произведена для удобства. Это одна из формул
дисперсии (34).
§ 14. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПРИЗНАКИ
Если в системе с множественными аллелями для гомозиготного ге-
нотипа AjAt значение количественного признака равно Ун (его частота
р\ ), а для гетерозиготного генотипа Лг Aj— Y^ (его частота 2 рг р^),
то линейная компонента дисперсии У по всей популяции получается пу-
тем построения соответствующей гиперплоскости в многомерном про-
странстве [280]. Саму линейную компоненту можно очень просто рас-
считать, воспользовавшись методом разбиения на части, описанным в
§ 8 и 9 гл. 3. Мы ограничимся рассмотрением метода в применении
его к трехаллельной системе. Пусть р1у р2, рз—-частоты аллелей Ai, А2,
А3 в популяции со случайным скрещиванием; р1+р2+Рз=1- Разделим
эту популяцию на три части соответственно трем аллелям, как показа*
но ниже.
Л2 А3
Среднее для аллелей Отклонение
Аг
Az
Р21 Р& Р1Р3
Уи У12 У13
«1 = PiY п + р2У 12 + РзУ 1з «1 = «1 —У
Р1Р2 Р2 Р2Р3
У12 У 22 Угз
т2 — Р1У12 + Р3У 22 + РзУ 23 а2 — т2—У
P1P3 Р2Р3 Рз
У13 У 23 УзЗ
т3 — Р1У13 4- Р2У23 4“ РзУ33 «3 — т 3—У
У = Pimi 4- Р2ГП2 4- Рзтз Spi сц = О
Дисперсия «строки» равняется 2р;сс? . Если эту популяцию далее «под-
разделить» на несколько столбцов, то средние значения столбцов и их
7*
100
ГЛАВА 5
дисперсии будут такими же, как и для строк. Следовательно, линейная
компонента ву равна
ol = 2Spz = 22рг (т{ - Y) \ (40)
Тогда наблюдаемую величину У можно представить через линейное
(аддитивное) значение и доминантное отклонение в виде
У./ = У + а| + а/ + 6г/, (41)
Выражение имеет такой же вид, как и для двух аллелей. Мы не станем
рассматривать этот вопрос дальше, поскольку при наследовании коли-
чественных признаков очень редко бывает известно число участвующих
локусов и тем более число аллелей в локусе. Достаточно знать, что
дисперсию для системы множественных аллелей можно подразделить
на линейную и доминантную компоненты фактически таким же обра-
зом, как и для двухаллельной системы; корреляцию между родствен-
никами и наследуемость тоже можно рассчитать аналогичным спосо-
бом. Однако в дальнейшем при рассмотрении вопросов, связанных с
отбором, нам еще представится случай вернуться к формуле (40).
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Для каждой из следующих популяций постройте равносторонний
треугольник, аналогичный приведенному на рис. 5.2. Что можно ска-
зать относительно долей индивидуумов четырех групп крови? Каков
процент гетерозиготных индивидуумов в фенотипических группах
крови А и В?
р Я Г АВ А В О
0,30 0,10 0,60 0,060 0,450 0,130 0,360
0,2265 0,2265 0,5470 0,103 0,299 0,299 0,229
0,25 0,25 0,50 0,125 0,3125 0,3125 0,250
0,33 . 0,33 0,33 0,222 0,333 0,333 0,111
2. Покажите, что минимальное значение суммарной доли гомозигот
по трем аллелям в панмиктической популяции равно Указание-.
введите h = p2 3 + q2 + r2 и решите совместно два уравнения: dhldp = Q,
dhldq=Q.
3. Частота браков АхВ во всей популяции равна 2(р2 + 2р) (q2 +
+ 2qr)=2pq(p+2r) (q + 2r). Этот тип брака включает в себя четыре
генотипически различных сочетания родителей, частоты которых при-
ведены в таблице. Там же даются частоты потомков с различными
группами крови в браках каждого типа.
Сумма частот этих четырех генотипически различных скрещиваний и
их потомство приведены в табл. 5.4 (скрещивание АХВ). Отметим, что
семья АОХВО является единственным типом семьи, в которой могут
родиться дети всех четырех типов (частота каждого типа равна —).
4
МНОЖЕСТВЕННЫЕ АЛЛЕЛИ И ГРУППЫ КРОВИ
101
Г енотип Частота Потомство
О А В AB
АА X ВВ 2р2?2 2p2q2
АА X ВО 4p2qr 2p2qr 2p2qr
АО X ВВ 4pq2r 2pq2r 2pq2r
АО X ВО 8pqr2 2pqr2 2pqr2 2pqr2 2pqr2
4. Разделив частоты различных потомков на частоты соответствую-
щих им пар родителей, приведенные в табл. 5.4, мы получим доли по-
томков различных типов для каждого данного типа скрещивания. Так,
в семьях ВХАВ доли детей четырех типов будут следующими:
(О): нуль; (А):——д—(B):-f; (АВ):
2(q + 2r) 2 2 (g -р 2r)
5. Прямое перемножение показывает, что Т2=-^-Т4—^-0 (где О со-
стоит из шести одинаковых строк с элементами 2pq, р2, 2pr, q2, 2qr, г2),
образуя независимую матрицу. Фактически все зависимости,
приведенные в гл. 4, выполняются и в случае множественных аллелей.
Матрица перехода для родственников есть S=-I——T-\—— О. Выпи-
4 2 4
сав тридцать шесть элементов этой матрицы и перейдя от них к абсо-
лютным частотам, мы получим частоты пар сибс — сибс в популяции
(стр. 102). Объединив одни и те же фенотипы, мы получим частоты раз-
личных пар полных сибсов по группам крови. Из этой таблицы можно
также получить результаты, приведенные в работе [546] для случая
доминирования А над а' и а.
6. Для освоения метода, рассмотренного в § 13, разберем оценку
частоты р по Бернштейну для системы АВО.
р=1-17~±Т0,
др _ др ______1_ ,,
5/в “ dfo - 2 в + '°) ’
Производными более высоких порядков пренебрегаем. Покажите, что
= —г(?+г)21
G |_ 4 4 J
эквивалентно формуле (8).
7. Тейлор и Прайор [612] приводят следующие данные по системе
АВО для англичан:
(АВ): 6; (А): 179; (В): 35; (О): 202; сумма: 422.
Найдите частоты генов и их стандартные ошибки.
Ответ: по Стивенсу [600] р=0,2516±0,0157; <7=0,0500±0,0076;
г = 0,6984 ±0,0167.
Полные сибсы АВ АА АО ВВ ВО 00
АВ — pq (1+р + q + 2pq) ур!?(1+р) +2р) у р<?2(1 +р) ~ Pqr(l + 2q) 1 — Mr2
АА ур2<?(1+р) у-р2(1+р)2 -~р2г(1 +р) ~Р2?2 -~p2qr TpSf2
АО -у р?г(1+2р) -у p2r(l +Д> ~ pr (1+р+г+2рг) 1 „ -ур^ -~pqr(l+2r) -~P^(>+r)
ВВ уР?2(1 + <?) 1 . ТР?Г 4-?2(1-Н)2 4 -~-q2r(l+q) О2 r2 4 4
ВО ~pqr(\4-2р) Т₽г<?г ур9г(1+2г) qr (l+q+r+2qr) y ^2(!+r)
00 1 2 ф. 1 •— Чз ьэ "Та ~~pr*V+r) «а ^2 4 4 -^-qr2(l+r) 4~r2{l + r)3 4
множественные аллели и группы крови
103
8. Борман в своей работе [32] приводит следующие данные:
Мать Ребенок Сумма
О А В АВ
О 622 227 43 0 892
А 223 596 28 19 866
В 56 29 58 22 165
АВ 0 34 23 10 67
Сумма 901 886 152 51 1990
Он оценил частоты генов по данным, касающимся только матерей.
Если мы проведем оценку частот, основываясь на данных по 1990 па-
рам мать — ребенок с использованием приведенных в табл. 5.5 вероят-
ностей образования этйх пар, то оценки максимального правдоподобия
и их стандартные отклонения будут следующими (в качестве нулевого
приближения взяты оценки Бормана):
Нулевое прибли- жение Поправка Частоты после введения поправки Стандартное отклонение
р = 0,27108 4-0,00069 0,27177 0,00657
q = 0,06008 —0,00465 0,05543 0,00380
г = 0,66884 4-0,00396 0,67280 0,00708
Рассчитайте ожидаемые численности пар мать — ребенок, используя
оценки частот генов после введения поправки. При этом %2 будет равен
17,25 с И степенями свободы.
9. Оцените частоты генов, основываясь на приведенных здесь дан-
ных Уэллиша и Томсена [648].
Группа Сумма
AjB ASB Ai Ag В О
Численность Частота 10 5 139 42 32 162 390
0,0256 0,0128 0,3564 0,1077 0,0821 0,4154 1,00
Ответ: /?1=0,2146; р2 = 0,0787; 9=0,0608; г=0,6445; сумма = 1,0007.
10. Приближенную формулу Фишера для дисперсии (11) можно
представить в несколько ином виде. Возьмем производную от 0 не по
/, а по а:
, 00 00 г 00
df / а \ да
д\^)
104
ГЛАВА 5
Подставив ее в формулу (11), получим
V(0) = сШ-рУ-. (11')
Если fj заменить на ajJG, то формула сведется к
V(0)= Saj(— V — (SaJ—W/g. (11")
\ daj / \ \ daj J J f
Когда ожидаемые величины fj и dQ/daj заменены наблюдаемыми, в
формулу для дисперсии входят только параметры популяции и она
становится такой же, как и формула (9) § 5. Однако при расчетах неко-
торые специалисты по прикладной статистике и научные работники в
этой области предпочитают пользоваться формулой (11"), выраженной
через непосредственно наблюдаемые численности. В качестве примера
рассмотрим функцию
0 = log—— = log а — log ft — log с + logd,
be
где (a, b, c, d) = (ait a2, az, а4)—наблюдаемые численности четырех
классов или фенотипов. dQ/daj равны
1 — 1 — 1 1
a Ь ’ с d ’
так что Sa3 (d0/da3) =0 и формула (И") переходит в
V (0) = У = — + — + — ;
3 \ daj / а b с d
Это стандартная формула, применяемая на практике при решении раз-
нообразных генетических задач, таких, например, как оценка силы
сцепления по четырем фенотипам или оценка относительного риска из
таблицы 2X2, получаемая при ретроспективном исследовании (оба
вопроса не рассматриваются в этой книге). По последнему вопросу чи-
татель может обратиться к работам [71а, 212, 332, 374, 657а], где
формула для дисперсии выведена с помощью элементарной математи-
ки, без применения формулы Фишера.
ГЛАВА 6
Метод максимального правдоподобия
В связи с тем, что метод нахождения оценки максимального правдо-
подобия для одного параметра должен быть знаком студентам-биологам,
имеющим некоторую подготовку по статистике, мы довольно свободно
использовали его в предыдущих главах. Метод оценки двух или боль-
шего числа параметров, по-видимому, менее известен —• именно по этой
причине в гл. 5 были опущены некоторые детали технического харак-
тера. Вместе с тем нам кажется целесообразным посвятить системати-
ческому изложению этого вопроса отдельную главу, но так, чтобы не
знакомый со статистикой читатель мог пропустить ее и перейти к сле-
дующему разделу, не теряя нити изложения. В случае необходимости
такой читатель позже может обратиться к этой главе за справкой.
Здесь мы не будем излагать этот вопрос в абстрактной математической
форме, а просто продолжим разбор конкретных примеров из популя-
ционной генетики для иллюстрации метода.
§ 1. ТРИ ФЕНОТИПА, ДВА ПАРАМЕТРА
Вернемся к примеру с окраской кроликов.
Фенотип Сплошная окраска Г ималайская окраска Альбинизм Сумма
Вероятность / 2Р? + Р2 + 2рг 1 1-Q q- + 2qr Q — R г2 R 1 1
Наблюдаемая чис- ленность а b С G
(1)
Для упрощения алгебраических выкладок введем обозначения
/W и (М?-Д)2, (2)
что позволяет оценивать Q и R. Используемые здесь математические
выкладки чрезвычайно просты, и мы приведем их целиком, чтобы про-
иллюстрировать общие принципы метода максимального правдоподо-
бия. Логарифмической функцией правдоподобия будет
L = alog(l — Q) + fclog(Q — R) -j-clogR, (3)
—. ~~ a i b — ~~ b C | Ml
dQ 1—Q'Q—R’ dR Q~R R ’ ® '
Положив dL/dQ = 0 и dL/dR = Q и решив уравнения, получим
R' = ~. (5)
G G
8—822
106
ГЛАВА 6
Чтобы найти дисперсию этих оценок, возьмем вторые производные:
д2Ь — а . — b d-L b
5Q8 “ (1 -Q)2 + (Q - R)* ’ dQdR ~ (Q—Rf ’
— = ~ (6)
dR* (Q — Rf R3'
Теперь следует получить их ожидаемые величины. Для этого нужно
заменить наблюдаемые численности на соответствующие им ожида-
емые, т. е. а заменить на G(1—Q), b — на G(Q—R) и с — на G(Q—
—7?). Изменив теперь знак в получившихся выражениях, мы опреде-
лим количество информации о каждом параметре как отрицательные
значения ожидаемых величин вторых производных. Таким образом,
, _ p(d2L\= G I G I - p / d2L \ — G
W [dQ2 J l — Q^Q—R’ w UqdR J Q— R’
/„R=—= ; (7)
w \ dRt / Q — R R '
Представив эти величины в виде таблицы, мы получим так называемую
информационную матрицу
(/) =
Irr)
(8)
Используемый здесь символ / не следует смешивать с применяемым в
алгебре символом для единичной матрицы. Определитель матрицы ра-
вен
Д = |/| =
Iqr Irr
= у г ______/2
1PPIRR PR'
(9)
Последний и, как правило, наиболее трудный этап состоит в получении
матрицы, обратной информационной. Элементами обратной матрицы
являются дисперсии и ковариации полученных нами оценок, поэтому
обратная матрица называется дисперсионно-ковариационной. Если мы
имеем дело с матрицей 2X2, то (см. упр. 1)
(1рр1рн\ (Q') Cov(Q',/?')\
Vpr^r) '\-fPRJPph \Cov(Q',£') W)P (1и)
На этом и завершается процесс нахождения оценок максимального
правдоподобия. В нашем частном примере точные выражения для Iqq,
Iqr и 7дд уже даны формулами (7). Подставляя (7) в (9) и (10) и уп-
рощая выражения, мы получим искомые формулы для дисперсии. По-
скольку, согласно (7),
/ G (1 — R) j GQ
QQ (1-Q)(Q-R)’ ™ (Q—R)R’
мы имеем
A = /до =---------------- (1 1)
PP RR PR (1 _ Q) (Q _ ft) ft
ИЛИ
V (Q') = -^ = Q(1G—> Cov = (1 ,
= (12)
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
107
Приведенное выше рассмотрение в отношении параметров Q и R носит
вполне завершенный характер. Мы получили точные выражения как для
оценок (5), так и для их дисперсий (12). Однако в большинстве слу-
чаев не удается получить ни того, ни другого и приходится прибегать
к численным методам. Этот вопрос мы рассмотрим несколько позже.
Что же касается вероятностной модели (1), то поскольку нас интересу-
ют величины (р, q, г), а не Q и R, можно воспользоваться одним из двух
следующих способов. Первый из них состоит в том, что все операции
проделывают прямо с q и г, не используя Q и R, как мы и поступим
позднее, рассматривая систему АВО. Другой подход состоит в преоб-
разовании полученных здесь соотношений, в которые входят Q и R,
таким образом, чтобы они были выражены через q и г. Это будет сде-
лано в следующем параграфе.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕЛИЧИН И ДИСПЕРСИЙ
Рассматриваемый в этом параграфе метод преобразования резуль-
татов представляет собой обобщение дельта-метода (гл. 2). Рассмот-
рим уравнения (2): R=r2 и Q= (q-\-r)2. Элементарный расчет дает
dR = [—]dr=(2r)dr, (13)
\ dr J
dQ — (dr + dq = 2 (q + r) (dr + dq).
\dr / \ dq J
Будем считать, что для больших выборок все приращения (dR, dQ, dr,
dq) малы и E(dr)2 — V (г'), Е(dq) (dr)—Cov(q', г') и т. д. Возведя
обе части (13) в квадрат или перемножив эти два выражения и вычис-
лив математические ожидания, мы сразу получим (опуская для про-
стоты штрих)
V(R) = 4r2V(r),
Cov (Q,R) = 4r(q + г) [V (г) + Cov (q,r)], (14)
V (Q) = 4 (q + г)2 [V (r) + V(q) + 2Cov for)].
Дисперсия" и ковариация в левой части известны [соотношения (12)].
Теперь нетрудно определить дисперсию и ковариацию частот генов.
Используя (2) и (12), мы найдем (читатель может убедиться в этом),
что
V (г) =
Cov (q, г) = ------, (15)
W’ ’ 4G 4G(q + r) ’
w 4G 4G(q+r)
Отметим, что приведенное здесь выражение для V (q) идентично тому,
которое было получено другим методом в предыдущей главе (см. также
упр. 3). Поскольку р=1—(q-(-r), то
V (р) = V (Я + г) = V (q) + V (г) + 2 Cov (q, г).
Подставив сюда выражение (15), мы получим соотношение
V(p) = -~(Jr+f)a , (16)
4G
108
ГЛАВА 6
которое также хорошо согласуется с соответствующим выражением, по-
лученным ранее (гл. 4).
§ 3. ЧЕТЫРЕ ФЕНОТИПА, ДВА ПАРАМЕТРА
Примером такого рода может служить система групп крови АВО
человека, рассмотренная в гл. 5. Для удобства воспроизведем здесь еще
раз вероятностную модель этой системы.
Фенотип АВ А в О Сумма
Вероятность 2pq p2Jr2pr ?24-2<?г г2 1
Наблюдаемая числен- ность h а Ь С G
Впервые метод максимального правдоподобия для оценки частот генов
системы АВО применил Стивенс [600]. Если пренебречь членами, не
содержащими частот генов, то логарифмическая функция правдоподо-
бия будет иметь вид
L = h logpp 4- a log р (р 4- 2r) + b log q (q + 2r) 4- c log г2 =
= (a 4- h) log p + (b 4- h) log q 4- a log (p - 2r) 4- b log (q 4- 2r) :-2c logr. (18)
Из трех параметров p, q и г первые два можно считать независимыми
и их следует оценить. Третий параметр г = 1—р—q\ тогда dr/dp = — 1,
dr/dq——1 и частные производные L по р и q будут равны
dL __а \-h a 2b 2с .<Q.
др р р 4- 2r q+ 2г г ’
dL __b-~ h 2а Ь 2с
dq q р + 2r q+ 2г г
Оценки р и q мы получим, решив совместно уравнения дЦдр = § и
dL!dp = Q. В данном случае, однако, решений в явном виде не сущест-
вует; воспользуемся поэтому итерационным методом, взяв в качестве
нулевого исходного приближения величины р0, р0 и г0> составляющие в
сумме единицу. Если эти величины близки к истинным, то при подста-
новке их в (19) производные будут сравнительно невелики. Пусть, на-
пример,
Индекс 0 указывает на то, что производная (19) вычислена при
(р, q, г) = (р0, <7о, го)- В частности, для примера, приведенного в табл. 5.3,
имеем
h а b с G а + h b + h
607 1920 1627 1846 6000 2527 2234
Предположим, что исходные величины равны
(РоЛо,го) = (0,24; 0,21; 0,55) и р0 + 2г0 = 1,34; qQ + 2г0 = 1,31.
Подставив их в (19), получим
= К= —100,4, (—} = /<„ = — 182,3. (21)
др Л \ дЧ /о
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
109
Следующий шаг состоит в том, чтобы найти вторые производные (с об-
ратным знаком):
— 52L я + h , а + 4Ь + 2С
<Эр2 - + (р+2г)2 ' (q+2r)2
— d2L _ b + h , 4а . b + —, (22)
dq2 Я2 ' (р + 2г)2 (q+2r)2 г2
— o2L _ 2а 2Ь . 2с
dpdq (р 2г)2 ' (q + 2г)2 г2
Заменим наблюдаемые численности на ожидаемые, например a-\-h на
G(p2-j-2 pr-)-2 pq) = Gp(p-\-2 r-)-2 q) = Gp(2—p). Если разделить это
выражение на р2, то первый член правой части уравнения (22) примет
вид G(2—р) lp = 2Glp—G и т. д. Полученные таким образом ожидаемые
величины равны
/ -^£(~d2L'\T=G(2 + P I Р । 4? \ 2G(4pe,^r4r~~3pqS~2qr]
РР \ др2 ) \ Р р+ 2г Г q+ 2r) \ р(р + 2r) (q + 2г) )’
I _ с—/0/'2 + <? । 4Р I 9 о/о/'4Р‘?+4'—3Р2<?~2РУ
44 \ dq2 / I q +p+2rq+2r) \ q (p+2r) (q + 2r) ) ’
I ~ F ( k = 2G I $ I —3— 4-1 \ = 3pq + k
P? \ dpdq ) \P + 2r q+2r ) \(P + 2r) (q -f- 2r)/
Эти выражения эквивалентны тем, которые приводит Стивенс [601].
Матрицей, обратной информационной, является дисперсионно-ковариа-
ционная матрица:
/ Ар Ач 'l ' __ / Ач Ач\ 1 - _ ( V (Р) Cov (р, q)\ (24)
\АчАч) \~Ач Ар) Д \Cov(p,q) V(q) )'
При упрощении алгебраических выражений полезно обратить внима-
ние на то, что (1—р)(1—q)=pq+r и (p-)-2r) (q+2r) =pq-)-2r2+2r.
Наиболее громоздкой операцией является вычисление определителя
(А) информационной матрицы. Подставив выражения (23) в матрицу
(24), мы найдем, что
Д = / / _/2 = 1G2(4(Р? + r) (Р + 2г)(<? + 2г)\ =_16G2 (р<? + г) <25.
РР 44 РЯ k pq(p + 2r)2(q + 2r)2 ) pq (p + 2r) (q + 2r) ' ’
Используя этот определитель, Де Гроот [100, 101] получил точные вы-
ражения для ковариации и дисперсий:
V(A = -£-|4-3p +
o(j (
I
pq + r)
V(£)= ^(4-3,7 +
OU L
Cbv(;,J>^(4----
8и I Р#+ Г
Полезно иметь также выражение для дисперсии г
А А А А А А А
V (г) = V (р + q) = V (р) + V (q) + 2 Cov (р, q),
(26)
(27)
которое представляет собой сумму четырех элементов матрицы (24).
Чтобы было легче сравнивать эти выражения для дисперсий со стан-
дартными формами, Ли [356] переписал соотношения (26) и (27) в
следующем виде:
но
ГЛАВА 6
Л
У(р) =
р(1 — Р) , Р2 л I г \
2G 8G к Ря + г! ’
V(7) =
9(1 —?)
2G
Г
pq +г.
(28)
у Л = '(‘-A + U-')8 + (Р~ <7)а./—!—}
2G 8G 8G \pq+r)'
Значения этих величин, рассчитанные для G= 1, приведены в табл. 5.2.
Для ряда популяций человека г намного больше р и (или) q, а отноше-
ние r/(pq-\-r) лишь немногим меньше единицы. Например, для Англии,
где р —0,25, q 0,05 и г-—0,70, отношение rl(pq-\-r) больше 0,98, так
что У(р) лишь немногим меньше дисперсии (16)
у (м = J ~ (£+г).2_ = pU^spL + pL
4G 2G 4G ’
полученной для системы без кодоминирования (т. е. в случае, если бы
мы не могли отличать группу крови АВ). Если р действительно мало,
то дисперсия будет лишь немногим больше отношения р(1—p)l%G, ко-
торое представляет собой стандартную дисперсию в отсутствие домини-
рования.
Итак, мы нашли формулы для-дисперсии оценок, однако сами оцен-
ки нам еще не известны. Выше мы просто взяли численные значения pq,
qo и гй и получили Кр и Кд. В следующем параграфе рассмотрен способ
уточнения исходных величин р, q и г.
§ 4. ПОПРАВКИ И ИТЕРАЦИЯ
В этом параграфе мы не будем пользоваться точными выражени-
ями для дисперсий (28), поскольку в общем случае их получить невоз-
можно. Точно так же, как мы вычисляли первые производные
(dL/dp)o=Kp и (dL/dq)0=^q при (р0, qo, г0), мы можем вычислить и
вторые производные и найти численные значения (22) и (23). Таким
образом, взяв первоначальные значения (р, q, г) равными (0,24; 0,21;
0,55) и приняв G = 6000, по формулам (23) мы получим
/рр = 60 922, /?? = 68 403, lvq= 16073. (29)
Эти численные значения следовало бы записать как (1рр)о и т. д., чтобы
подчеркнуть, что они рассчитаны для (р0, qo, Го), однако мы обойдемся
без строгих обозначений, поскольку все ясно из контекста.
В соответствии с (24), взяв матрицу, обратную информационной,
мы получим дисперсионно-ковариационную матрицу
( V(p) Cov(p, <?)\ __760 922 16 073V1 _ / 17,5 - 4,1 \ 1()_6.
\Gov(p,q) V(q) / (.16073 68403/ \—4,1 15,1/ ’
V(r) =24,9-IO-6 [сумма элементов матрицы (30)]. Все эти расчеты
сделаны для нулевого приближения (0,24; 0,21; 0,55). Теперь мы пока-
жем, как можно получить более точные значения р, q и г. Предполо-
жим, что р и q — точные значения оценок, т. е. такие, при которых
dL/.dp = Q и dL/dq=Q. Тогда можно записать, что р=р0-\-8р и q=q0-{-
+67. Если отклонения 6р и 8q малы, то, согласно формуле Тэйлора,
dL IdL \ . ( d3L \ о ! дЧ, \ о _
V + ГТ б?+ ГГ= (31)
др _\дР/« \дР /о \dpdqlo
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
111
dL (dL \ , ( d2L \ о ( d3L \ я п
= + ГТ 8Р + ГГ б(7 = °-
dq \dq/0 \dpdq]0 \др2 /0
Индекс 0 означает, что производная определена при (ро> 7о> /о)- Преоб-
разовав выражения, получим
/— d2L \ х (— d2L\ с [dL \ ,„о.
Hv" бр+ 8? = ’ (32)
\ dp2 /о \ dpdq /о \ др /0
/— дЧ \ . , (— d2L \ . (dL \
\ dpdq /о \ dq2 /, \ dq /0
Используя ожидаемые величины, перепишем уравнения (32) в мат-
ричной форме:
/^рр Ipq \ ($Р \ _ / Кр \ /33ч
VpqtqqjM \KqJ
Умножив обе части на матрицу, обратную информационной, получим
/бр\ = / V (р) Cov (р, q)\ ( КР\ (34)
\6<7/ \Cov(p, </) V (q) )\Kq)
Переведем матричное уравнение (34) в обычные уравнения. Тогда
бр = V (р)-Кр + Cov (р,р) (35)
67 = Cov (р, q)-Кр + V (q)-Kq.
Величины в правой части уравнений (35) были получены нами при вы-
бранных исходных значениях р, q и г. Подставляя численные значения
из (21) и (30) в (35), мы найдем искомые поправки:
бр = {(17,5) (— 100,4) + (— 4,1) (— 182,3)} 10~6 = —0,0010, (36)
67 = {(_ 4,1) (— 100,4) + (15,6) (— 182,3)} IO-6 = — 0,0024.
Уточненные оценки равны
Р1 = Ро + бр = 0,2400 — 0,0010 = 0,2390,
р1 = ?0+ 6^ = 0,2100 — 0,0024 = 0,2076, ' (37)
Г1 = га + бг = 0,5500 + 0,0034 = 0,5534,
бг определяется из условия 6р+6р'+бг=0. Другими словами, ri = l—
—Pi—q±. Теперь (р1; rj можно использовать в качестве новых при-
ближенных величин для второго этапа расчетов и т. д. Однако в этом
частном примере полученные нами значения (37) совпадают со значе-
ниями, приведенными в предыдущей главе, и можно считать их оценками
максимального правдоподобия с дисперсией (30).
§ 5. ДРУГАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ИНФОРМАЦИИ
Обратимся снова к преобразованиям, проделанным нами в § 3; от-
метим, что, использовав равенства log pp=log p+log q и logp(p+2r) =
= logp+log(p + 2r) и т. д., мы уже упростили логарифмическую функ-
цию правдоподобия и получили из нее выражения для первых производ-
ных (19). В свою очередь из формул (19) были выведены вторые про-
изводные (22), и, наконец, заменив наблюдаемые численности на ожида-
емые, мы получили Ipp, Ipq, Iqq (23). Возможен, однако, и другой путь,
более короткий, чем первый. В нем используются непосредственно ча-
стоты классов (фенотипов) без каких-либо упрощений. Прежде чем
112
ГЛАВА 6
продолжить рассмотрение метода, сделаем несколько предварительных
замечаний. Если обозначить через Pi, Р2, Р3, ... вероятности «появле-
ния» классов (каждая вероятность есть функция параметров 0Ь 02) ...,
которые нужно оценить), то
Л + Р2 + Р3+...= 1,
дЛ ] dPz , дРз , _
00{ 00; 00;
дЧ\ + 02?2 , 02Р3 j
00? 00? "И 00?
(38)
+ 02Р2 ч_ 02?3 =о
00(00/ 00(00/ 00(00/
Мы используем эти равенства при получении производных более вы-
соких порядков. Пусть а\, а2, а3, ... — наблюдаемые численности клас-
сов. Тогда логарифмической функцией правдоподобия'будет
L = a1logP1 + a2logP2 + a3logP3 + ..., (39)
а ее производные по какому-либо параметру 0, (для удобства опустим
далее индекс I, пока не получим окончательное выражение) равны
0Т _ Q1 0?1 , д2 дРг I /40х
00 ?! 00 Р2 00 ’ k ’
02L
002 = ai
Р ^£1 __ 0Р1 0?1 ’
1 002 00 00
Pl
(41)
Подставив вместо наблюдаемых a.t ожидаемые GPi и переменив знак,
получим
(42)
Суммирование здесь производится по классам. Однако, согласно (38),
первая сумма равна нулю, и, следовательно, мы получаем простую
формулу
Подобно этому
(43)
(44)
Применим теперь два последних выражения к системе групп крови
АВО, где требуется оценить два параметра 0i=? и d2=q. Производные
соответствующих вероятностей приведены в табл 6.1.
Поскольку r= 1—р—q, dr]dp=—1 и dr/dq=—1. Воспользовавшись
выражением (43) и вспомнив, что (р-{-2г) (^+2r) =pq+2r-{-2r2, полу-
чаем
4^2
<?(<? + 2г)
Ц- —1 = 2G
г2
4pq + 4г — 2qr — 3pq2
Р (Р + 2г) (q + 2г)
(23')
что согласуется с уравнением (23). Выражение для Iqq аналогично (23'),
только р и q в нем поменялись местами. Воспользовавшись формулой
(44), получим
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
113
Таблица 6.1
Производные частот классов (групп крови) по р и q для системы
групп крови АВО человека
Класс (группа крови) Pk dPk dp dPk dq 7 dPk \ / \ dp Д dPk\ dq /
АВ 2pq 2q 2p 4pq
А P2+2pr 2r —2p —4pr
В q2+2qr —2q 2r —4qr
О г2 —2r —2r 4r2
Сумма 1 0 0 —
I = g№
pq L2pq
Apr
P(p + 2r)
4qr , 4r2 ~| = Г 3pq + 4r
q(q + 2r) r2 J L(P + 2r) (q+2r)
(239
что также согласуется с уравнением (23). Таким образом, с помощью
формул (43) и (44) можно получить информационные элементы 1РР,
IPg, 1дд другим способом. Остальные выкладки по определению оценки
остаются прежними.
§ 6. «НЕПОЛНЫЙ» МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО
ПРАВДОПОДОБИЯ
Если- процесс получения оценки максимального правдоподобия
слишком сложен, можно пойти обходным путем, рассматривая вопрос
в два или более этапов и (или) объединяя определенные статистические
наблюдения, что связано лишь с небольшими информационными поте-
рями. Примером этому может служить простой метод оценки частот
четырех аллелей системы группы крови MNS, рассмотренный в предыду-
щей главе. Процесс нахождения оценки разбивают на два этапа. Сна-
чала оценивают суммы и n=ni+n2 только из данных по
М, MN и N, не рассматривая типы S. Затем объединяют данные по ин-
дивидуумам S+ из табл. 5.6 и получают только четыре фенотипа:
М MN N
S+ D 1—(^2+«2)2=l—S2
S— 2m2n2 CO to to (m2-|-n2)2=s2 R (45)
К этим данным применим теперь метод максимального правдоподобия.
L = (2/?х + Т?2) logm2 + (/?, + 2А?3) log /г2 + D log (1 — s2)+ const. (46)
Заметим, что функция L зависит только от т2 и п2.
dL = 2Rr + _ 2Ds dL = R2 + 2/?3 _ 2Ds
dm2 m2 1 — s2 ’ dn2 n2 1 — s2
Приравнивая эти выражения к нулю и решая, получаем
2/?i + /?s R2 + 2R3 2R 2R
- — ----------= — (4о)
/^2 /2g /7^2 -|- S
114
ГЛАВА 6
(s')2 = (т’2 + и')2 = A7G, s' = т'2 + n' = ]/~R/G, (49)
, г /2Rt R2 \ ' ' > f IR2 ~f~~ 2Т?з \ ff , zm\
mQ = s —---------- = s a , n9 = s ----------- = s b . (50)
2 \ 2R ) 2 \ 2R ) '
Таким образом, мы получили те же результаты, что и в предыдущей
главе.
Вычислим теперь вторые производные. Подставив ожидаемые чис-
ленности и изменив знаки, мы получим
— d'2L \ = 2Gs 2G (1 s2)
дт2дт2 J m2 1 — s2 ’
= £ I ~d*L ) = 2G(l + s2)
\ dm2dn2 / 1 — s2 ’
f —d2L \ _ 2Gs 2G (2 + s2)
\ дп2дп2 / n2 1 —s2
Определитель информационной матрицы равен
а = ИнЛ2=. 8G2<
712^22 man2(l—S2)
(51)
(52
Теперь можно получить выражения для дисперсии оценок. Например,
используя равенство R=Gs2, найдем, что
у lm’\ 1 ~ст2___2? — т2П2 I 0 —sma) ,53,
( 2' Д 47? 4R 4R 47? * 1
Это выражение идентично выражению
у{т'\=а^ + п^
' 2' 27? 47?
полученному в предыдущей главе (§ 13) другим методом, что можно
показать с помощью простых алгебраических преобразований. Диспер-
сия
V [тп]) = V [т' — nty = V [/и') V [nty — 2Cov [т , т'^
находится аналогичным образом. Подробно это рассмотрено в работе
Де Гроота и Ли [102].
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Нахождение матрицы, обратной данной, — это, как правило, тру-
доемкий процесс с многочисленными арифметическими выкладками.
Существенно облегчает эту задачу использование быстродействующих
компьютеров. Однако «обращение» матрицы 2X2, которой мы пользо-
вались при оценке частот генов АВО, —простая и легко запоминающая-
ся процедура. Если
А = (а JI, то А-1 =
\с
[ d—b\_L
—с а) Д ’
где A=ad—be — определитель матрицы. Обратите внимание на то, что
элементы а и d поменялись местами, а b и с остались на своих местах,
но поменяли знаки.
2. Тем, кто знаком с матричной алгеброй, предлагается проверить
следующие соотношения (здесь a+6+c+d= 1):
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
115
Ll+j_ =l 0 —1
abb 1 1 1 1 /а (1—а) а (с + d) ad
— 1 1.1 А b Ь с с = I а (с+Ф (aA~b) (cA~d) d (a+b)
о =11 -1-4Л- \ ad d(a I- b) d (1 — d)
с cd
Указание: определитель Матрицы, к которой нужно найти обратную,
равен
Д=-1-.
abed
Алгебраическое дополнение первого элемента равно
Ац—
Ь+с —1
be с
— 1 С 4~
с cd
b Т- с d
bed
3. Вместо формулы (2) можно использовать следующие соотноше-
ния (опустив для удобства штрихи):
Г = '|/Г“к,7 = '|/Г'ё _]/7.
Отсюда
dq = fdQ + (~\dR = ---.
(dQ у V / 2К Q 2 V R
Возведя обе части в квадрат, перемножив эти два выражения и вы-
числив математическое ожидание, получим
V(r) = ®,
' 4R
у (а) = KI22. + ИЮ 2Cov(Q,j?)
4Q 4R
Cov(7(r)=-^^--------
Подставив из (12) V(Q), V(R) и Cov (Q, R) и упростив выражения,
мы опять получим формулы (15). Например:
у (м — 1~ Q 4 1 ~ 2/?(l—Q)
4G 4G 4СГТГГ
= 2q X~q2 + q~r = 1 [2 — «2 _ 2r
4G(^+r) 4G 4G 4G (<?+r) 4G [ Q + r
Последнее выражение приведено в работе Бойда [38].
4. Четыре фенотипа, три параметра (четыре аллеля). В этом разде-
ле мы рассмотрим несколько примеров применения метода максималь-
ного правдоподобия. Предположим, что существуют четыре аллеля с от-
ношениями доминирования А1>А2>Аз>А4, встречающиеся с частота-
ми р, q, t, г соответственно (выражение AR>Aj означает, что аллель Аг
доминирует над аллелем А,-). Тогда возможны четыре фенотипа, кото-
116
ГЛАВА 6
рые при случайном скрещивании будут встречаться со следующими ча-
стотами:
Фенотип At- Аг Аз— а4 Сумма
Частота 1-(<ж+о2 1-Q q2-s[-2qt->r‘2qr Q—T Z24-2/r Т—R г2 R 1 1
Наблюдаемая чис- ленность П1 п2 П3 «4 G
Произведем подстановки
R = r2, T=(t + г)2, Q = (q + t + г)2.
Логарифмическая функция максимального правдоподобия и ее первые
производные равны
L = пг log (1 — Q) + пг log (Q — Т) + п3 log (Т — R) + п4 log R,
dL __ — nt п2 dL — п2 й п3 dL _ — п3 . n4
dQ ~ 1 — Q Q — T’ dT Q — T ' T— R ’ dR~ T — R + ~R '
Положив эти производные равными нулю и решив уравнения, мы полу-
чим оценки
ту _ Щ q,, __ »3 ^4 _ ^2 4“ ^3 Н" ^4
Чтобы найти дисперсии этих оценок, нам потребуются вторые произ-
водные, которые лучше расположить в следующем порядке:
d2L___ — nt . — п2 d2T ___ n2 d2L ___
dQ2 ~ (1 — Q)2 + (Q— T)2 ’ dTdQ ~ (Q — T)2 ’ dRdQ ~ ’
d2L __ n2 d2L___ — n2 . — n3 d2L ________ n3
dQdT ~ (Q — T)2' dT2 ~ (Q ~T)2 + (T —R)2 ’ dTdR ~ (T + R)2 ’
d2L __q d2L __ n3 d2L __ — n3 . — nt
dQdR ~ ’ dTdR ~ (T — R)2 ’ dR2' ~ (T —R)2 + R2 ’
Подставив вместо наблюдаемых численностей ожидаемые и изменив
знак, мы получим информационную матрицу
G G — G 0
1-Q О’ Ь О’
— G G G — G
(0 = Q — Т Q— Т+Т — R Т— R
0 — G G , G
Т— R Т \а: г 17
Прежде чем приступать к нахождению обратной матрицы, читателю
полезно вновь обратиться к соотношению, полученному в упр. 2, приняв
во внимание, что (1—Q) + (Q—Т) + (Т—/?)4-^=1. Сопоставляя соот-
ветствующие члены обеих матриц, получим
v(Q) = ^, т =
Cov (Q, Т) = , Cov (Q, R) =
у (^ = ^11—-^,
Cov (Г, R) = .
МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
117
Следующая задача — вычислить дисперсии найденных частот генов с
помощью обычного дельта-метода.
dQ = 2 (q + t + г) [dq + dt + dr], dT = 2(jt + r) [di 4- dr],
dR = 2r [dr].
Возведя обе части уравнений в квадрат или попарно их перемножив и
вычислив ожидаемые значения, мы получим следующие шесть уравнений:
V(R) = 4r2 [V (г)],
Cov (Т, R) = 4г (t + г) [V (г) + Cov (t, г)],
V (Т) = 4 (t + г)2 [V (0 + V (г) + 2 Cov (t, г)],
Cov (Q, R) = 4r(q + t + г) [V (r) + Cov [t, r) +Cov (q, r)],
Cov (Q, T) = 4 (t + r) [q + t + г) [V (r) + V (() + 2 Cov (t, r) + Cov (q, r) +
+ Cov (q, t)],
V (Q) = 4 (<? + t + r)z [V (r) + V (t) + 2 Cov (t, r) 4- 2 Cov (q, r) + 2 Cov (q, t) +
+ V (<?)].
Величины в левых частях уравнений известны; эти шесть уравнений
можно решать в том порядке, в каком они записаны. Из первого мы по-
лучим V(r); подставив его во второе уравнение, найдем Cov (t, г)
и т. д.
У(г) = 4г!>
Cov (t,r) = —--------------,
’ 4G 4G (Z + г) г
-----------------------
' 4G 4G (Z + г)
Cov (q,r) = ------------—---------,
4G 4G (9-Н + г) (/+ г)
Cov (q, t) = ——------------—---------,
4G 4G(9+z + r)(Z + r) ’
V (q) =
4G 4G(<?+Z + r)
и, наконец, из последнего уравнения найдем
V(p)=V(q + t+r) = Ь-Я = ±2-
4G 4G
Отметим, что, если положить t=0, выражения для дисперсии и кова-
риации, включающие q и г, сведутся к тем, которые мы привели выше
для случая трех аллелей.
В свою очередь можно осуществить обратное преобразование:
r = V~R,t = V^T-V~R, q = V~Q-V^r,
dr= .......dlL , dq = -^_^.
2V R 2V T 2V R 2V Q 2]/~ T
Таким путем мы сможем проверить полученные выше соотношения.
К примеру,
у(а\ = КЖ Д- ИТ) _ 2Cov(Q, Т) = 1 -Q | 1-Т 2(1-Q) Т
4<2 4Т 4 у Q у т 4G 4G 4вУ цУ Т
118
ГЛАВА 6
Произведя подстановку и упростив выражение, получим соотношение
V (?) = ----4~t~r—
’ 4G 4G(q+t + r)
совпадающее с приведенным выше. Рассмотрим еще один пример:
Cov (q, r) = E (dq-dr) = =
4V~QR 4]^rR 4GVQR 4GVtR
Г 4G ~1 —Q 1 — Т ' у~у уу.
Произведя подстановку и упростив выражение, найдем
Cov(?,r)=-^
у
4GV~Q У~т
что также совпадает с полученным нами ранее соотношением, если
принять во внимание, что (q-^-t-j-r) = Q и = УТ. Читатель
может самостоятельно проверить и другие соотношения.
ГЛАВА 7
Гены, сцепленные с полом
Так называемые сцепленные с полом гены локализованы в поло-
вых хромосомах. Далее мы всюду будем считать, что гомогаметный пол
(XX) женский, а гетерогаметный (XY или ХО) — мужской (X обозна-
чает здесь половую хромосому).
§ 1. РАВНОВЕСНАЯ ПОПУЛЯЦИЯ
Можно убедиться в том, что популяция
/ А а
\р q.
АА Аа аа\
Р2 %pq q2)
(I)
при панмиксии является равновесной. Отметим, что для удобства мы
рассматриваем совокупности самцов и самок как две «популяции», в
каждой из которых частоты различных генотипов в сумме равны 1.
Отметим также, что частоты генов у самцов и самок в состоянии равно-
весия равны друг другу. В табл. 7.1 приведены шесть типов скрещива-
Таблица 7.1
Равновесие по сцепленным с полом генам
Мать Отец Частота Aa Дочери Aa aa Сыновья
A a
АА X А Р3 P3 0 0 P3 0
АА X а P2q 0 p2q 0 P2q 0
Аа X А 2P2q p2q p2q 0 p2q p2q
Аа X а 2РЯ2 0 pq2 pq2 pq2 pq2
аа X А pq2 0 pq2 0 0 pq2
аа X а q3 0 0 q3 0 q3
Сумма 1,00 p2 2pq q2 p q
ния с соответствующими частотами и определенными типами потомков
(отдельно потомки мужского и отдельно — женского пола); из этой
таблицы можно вывести ряд свойств признаков, сцепленных с полом.
§ 2. ДОСТИЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
Поскольку хромосомные наборы самцов и самок асимметричны,
равновесие в какой-либо произвольно взятой популяции не устанавли-
120
ГЛАВА 7
вается, как правило, за одно поколение, но все-таки достигается до-
вольно быстро; приближение к нему носит колебательный характер.
Представим исходную популяцию в виде
Z' = (р, q) и (г, 2s, t),
где p + p = r + 2s + f= 1. При расчете частот особей различных генотипов
в следующем поколении мы используем принцип, отражающий эквива-
лентность свободного скрещивания между особями случайному объеди-
нению гамет (гл. 1). Итак, самки продуцируют два типа яйцеклеток:
(r+sM и (sA-t)a. Объединение этих яйцеклеток с У-спермиями .дает
потомков мужского пола с таким же соотношением особей по призна-
ку А. При объединении яйцеклеток с Х-спермиями (p-A^q-a) получа-
ется потомство женского пола, и, стало быть, следующее поколение
представляется в виде
Z = (r + s,s+t) и [p(r + s), p(s + t) 4- q(r + s), p(s-M)]. (2)
Выражения Z и Z' (символ co штрихом относится к предшествующему
поколению) фактически являются рекуррентными уравнениями, свя-
зывающими смежные поколения (см. приложение о рекуррентных по-
следовательностях). Приведенные в табл. 7.2 данные можно получить
путем повторного применения этих уравнений.
Таблица 7.2
Приближение к равновесию для генов, сцепленных с полом
п Самцы Самки d—Я хх Ях
А а АА Аа аа
0 0,40 0,60 0,50 0,40 0,10 —0,30000
1 0,70 0,30 0,28 0,54 0,18 +0,15000
2 0,55 0,45 0,385 0,480 0,135 —0,07500
3 0,625 0,375 0,34375 0,48750 0,16875 +0,3750
4 0,5875 0,4125 0,3672 0,4781 0,1547 —0,01875
5 0,60625 0,39375 0,3562 0,4814 0,1624 +0,009375
6 0,596875 0,403125 0,3619 0,4794 0,1587 —0,00469
7 0,60156 0,39844 0,3591 0,4803 0,1606 +0,00236
8 0,5992 0,4008 0,3605 0,4798 0,1597 —0,0012
9 0,6004 0,3996 0,3598 0,4800 0,1602 +0,0006
10 0,5998 0,4002 0,3601 0,4800 0,1599 —0,0003
ОС 0,6000 0,4000 0,3600 0,4800 0,1600 0
Отметим некоторые свойства соотношений между Z и Z'. Во-пер-
вых, как можно легко убедиться, частоты генов у самцов некоторого
поколения равны частотам этих генов у самок предшествующего поко-
ления. Во-вторых, поскольку появление самок в равной степени обус-
ловлено как спермиями, так и яйцеклетками, частота генов у этих
потомков равна средней величине от частот генов их родителей муж-
ского и женского полов (упр. 2). Эти два замечания можно формально
записать так (табл. 7.3.):
qr = q', qrr=— (q'r + q'A, (3)
• x • xx1 >xx 2 \’X 1 fxx}1 x '
где qx и qxx — частоты генов у «гаплоидных» самцов и «диплоидных»
самок соответственно; величины, относящиеся к предшествующему по-
ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ
125
Таблица 7.3
Связи между частотами генов у самцов и самок
в последовательных поколениях свободно скрещивающихся
особей для локусов, сцепленных с полом
Поколение Частоты гена
Самцы Самки
Деды, Z" X / 1
Родители, 7,' .^хх
Потомки, Z “жж
колонию, помечены штрихом. Эти соотношения легко запомнить, и они
еще не раз пригодятся нам в дальнейшем.
В-третьих, если частоты генов у самцов и самок не равны, то их
разность уменьшается вдвое за каждое поколение:
d = 4xx-qx = —^-(<7xx-v') = --j-d'- (4>
Это показывает также, что изменение частот генов носит колебатель-
ный характер: если в одном поколении q у самок больше, чем у самцов,
то в следующем поколении последняя величина будет больше первой.
Рис, 7.1. Колебательный
характер приближения к
равновесию для генов,
сцепленных с полом,
в панмиктической по-
пуляции.
На график нанесены значе-
ния г? для самцов из табл.
7.2. q для самок можно по-
лучить, заменив по осн ор-
динат, на которой отложено
количество поколений, п на
я—1.
В-четвертых, мы видим, что хотя частоты генов у самцов и самок, взя-
тых по отдельности, меняются от поколения к поколению, общая часто-
122
ГЛАВА 7
та этого гена для всех Х-хромосом (безотносительно к полу) остается
постоянной во всех поколениях. Перекрестная передача генов от одного
пола к другому не влияет на относительные частоты А и а. В алгебраи-
ческой форме это можно записать так:
? = Y + 2<М = Т & + 2<4) = const (5)
Через достаточно большое число поколений частоты генов у представи-
телей обоих полов сравняются (d->0); q станет их общим равновес-
ным значением. Мы можем представить выражение (5) в форме
. ?х — ? = — 2(?хх — ?), (6)
откуда видно, что для любого поколения отклонение qx от равновесного
значения вдвое больше отклонения qxx, лежащего, кроме того, по
другую сторону от равновесного значения. Объединив это выражение
с равенствами (3), мы получим
= = <7)
Для обоих полов отклонение от равновесия уменьшается вдвое за каж-
дое поколение свободного скрещивания с переменой знака на противо-
положный. Все вышеприведенные свойства можно вывести из табл. 7.2.
Наглядно они представлены на рис. 7.1.
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ
У самок частота гена <?Хх в любом поколении равна среднему ариф-
метическому между частотами генов двух предшествующих поколений
самок, т.е., согласно формуле (3),
Поскольку <?хх в следующем поколении становится равным qx, отсюда
следует, что серии значений qx для последовательных поколений имеют
одинаковые свойства. Таким образом, последовательные значения q
для любого из полов образуют своего рода «рекуррентные последова-
тельности» (см. приложение о рекуррентных последовательностях). Это
свойство позволяет найти значение q для любого поколения, не рассчи-
тывая его для промежуточных поколений.
Общую частоту гена для обоих полов можно записать следующим
образом:
— 1 9 1 9
<7 = ~тЯх + — Яхх = Яхх---^d = qx + ~d, (9)
о о о о
где d=qxx—qx — начальная разность между частотами гена у
полов. Другими словами, q равно — расстояния (<7) от qxx и —
3 3
стояния от qx (см. также рис. 7.1).
Из всего вышесказанного следует, что если s-\-t=q, так что
для исходных частот генов среди самок и самцов, то равновесие
новится через одно поколение. Например,
(0,70; 0,30) X (0,50 ; 0,40; 0,10)->(0,70; 0,30) и (0,49; 0,42; 0,09).
Сравнивая этот результат с данными по двум первым поколениям
(табл. 7.2), мы видим, что при перекрывании поколений скорость до-
стижения равновесия будет увеличиваться, хотя окончательное значе-
ние q не обязательно будет равно задаваемому формулой (5); оно за-
висит от степени и характера перекрывания (см. также упр. 7).
двух
рас-
d=0
уста-
(10)
ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ
123
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
Рецессивные, сцепленные с полом признаки. Доля сцепленных с по-
лом рецессивных признаков всегда больше среди самцов, чем среди
самок. Общеизвестно, например, что у мужчин слепота к красному и
зеленому цветам встречается гораздо чаще, чем у женщин. Если часто-
та рецессивного гена цветовой слепоты равна q, доля мужчин с цвето-
вой слепотой от их общего числа также равна q, тогда как доля жен-
щин, обладающих цветовой слепотой, от общего числа женщин будет
равна только </2. Так, например, если ?==_jy > т0
Отношение численностей этих двух рецессивных фенотипов равно
И:??.
Доля индивидуумов с рецессивными признаками, получающихся
от скрещивания данного типа. Метод Снайдера для расчета доли рецес-
сивных индивидуумов в скрещиваниях определенного типа можно при-
менить и к анализу генов, сцепленных с полом. Однако от браков от-
дельных типов рождаются дети, из которых рецессивным признаком
обладают или все, или никто. Для других типов скрещивания их доля
изменяется в зависимости от q. К тому же у потомков мужского и жен-
ского пола эти доли обычно различаются, поэтому их следует вычис-
лять отдельно. Так, например, все потомки женского пола от скрещи-
ваний, в которых оба родителя обладают доминантным признаком.
(АА+Аа)ХЛ тоже будут обладать доминантным признаком, в то же
время среди потомков мужского пола доля индивидуумов с рецессив-
ным признаком будет равна
(11)
2 V 1 + ,'
что соответствует выражению для Si, полученному для аутосомных ге-
нов в скрещиваниях ДомХРец (гл. 2).
Редкие гены. Поскольку отношение численностей самцов и самок
с рецессивным признаком равно 1 : q, то если рецессивный ген редок,
число самцов с рецессивным признаком во много раз превосходит число
самок. Действительно, если q очень мало, то q2 будет столь небольшим,
что едва ли вообще будет существовать хоть одна самка, гомозиготная
по рецессивному гену. Рецессивные гены самок практически полностью
будут замаскированы в гетерозиготном состоянии. По-видимому, имен-
но так и бывает при гемофилии — одном из наиболее известных сцеп-
ленных с полом рецессивных признаков человека. У женщин гемофилия
встречается чрезвычайно редко.
Напротив, самки, обладающие доминантным признаком, всегда
многочисленнее аналогичных самцов, какой бы ни была частота гена.
Отношение первых к последним равно (p2-\-2pq) : р= (1+<?) : 1. Если
доминантный ген редок (</->1), это отношение приближается к 2:1,
т. е. в популяции в целом обладающие доминантным признаком самки
вдвое многочисленнее доминантных самцов.
Частоты скрещивания. В гл. 1 мы отмечали, что в равновесной по-
пуляции скрещивания АаУС.Аа происходят вдвое чаще скрещиваний
ААуаа. Аналогично для генов, сцепленных с полом, можно показать,
что независимо от их частоты в любой равновесной популяции скрещи-
вания Аа'Х.А происходят вдвое чаще скрещиваний АА\а, а скрещи-
вания АаХ« — в Два раза чаще скрещиваний аа\А. В панмиктических
популяциях частоты скрещиваний четырех вышеприведенных типов
равны 2p2q, p2q и 2pq2, pq2 соответственно (как показано в табл. 7.1).
124
ГЛАВА 7
§ 5. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ
И ДЕТЬМИ
Для аутосомных генов корреляции между родителем и потомком и
между сибсами одинаковы и равны —. Однако для генов, сцепленных с
полом, наличие асимметричных хромосомных наборов у самцов и са-
мок делает необходимым различение родственников по полу. Существу-
ют четыре типа пар родитель — потомок: отец — сын, отец — дочь,
мать — сын, мать —дочь. Подобно этому существуют три типа пар
сибсов: два брата, две сест'ры и брат — сестра. Эти семь типов родст-
венников следует рассмотреть по отдельности.
Таблицы корреляций для них составляют тем же методом, что и
в гл. 2. Как и прежде, мы выписываем шесть типов скрещивания с со-
ответствующими им частотами. Для каждого типа скрещивания полу-
чаем вероятности различных сочетаний детей. После этого одинаковые
сочетания группируем друг с другом. Все эти операции проделаны в
табл. 7.4. Очевидно, что между отцом и сыном не существует никакой
Таблица 7.4
Совместные распределения пар родитель — ребенок по локусу, сцепленному с полом
(исходя из данных табл. 7.1)
Мать—сын
А а
Мать—дочь
АА АА аа
АА
Аа
аа
р3 * p* 2q 0
P2q pq pq2
0 pq2 qs
АА
Аа
аа
р2 О
pq pq
О q2
Отец—сын
А а
Отец—дочь
АА Аа аа
A p2 pq 0
a 0 pq q2
р2 pq
pq q2
А
а
корреляции по сцепленным с полом генам, поскольку сын получает от
своего отца У-хромосому. Корреляция для пары мать — дочь такая же,
как и в случае аутосомных генов, потому что дочери получают от отцов
(как и от матерей) гены А и а с частотами соответственно р и q. Две
корреляции для пар отец — дочь и мать —сын одинаковы. Генетические
корреляции для всех четырех пар следующие:
Мать — дочь: г = — ;
2
Мать — сын: г = V1/2 = 0,707;
Отец — дочь: г = У1/2 = 0,707; (12)
Отец — сын: г = 0.
ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ
125
§ 6. МЕТОД/ТО
Метод переходных матриц (гл. 4) можно с успехом применить и к
генам, сцепленным с полом. В этом случае вместо одной матрицы Т,
используемой для аутосомных генов, применяют четыре переходные мат-
рицы, составленные для пар родитель—ребенок.
Мать — сын
О
£
2
О
Мать — дочь
О '
1
т*
q .
(1
2
О
Отец — сын
(13)
(р q
1 „ I
2^2
О Р
Отец — дочь
т - (Р У °')
1 23 — _ >
\0 р q)
Заметим, что переходная матрица для пары мать — дочь, Т33, равна
матрице Т для аутосомных генов. Как и раньше, буквой О с соответству-
ющими индексами обозначается матрица «независимости».
Я\
q •
q!
0 _(p* ^pq n p
\P* 2pq q\) \p
В такой системе обозначений переходная матрица для пары отец — сын
Т22 = О22, что говорит о независимости генотипов отца и сына. Как и для
Т, здесь тоже имеются четыре переходных матрицы для сибсов в соот-
ветствии с тем, что данный сибс может быть мужского или женского по-
ла. Для пар сестра — сестра, сестра — брат, брат — сестра,
соответственно эти матрицы следующие:
^33 = ~ Лз + Tgg,
(14)
брат — брат
(15)
^32— Т'зг Н О32,
+>3— ~ Т'43 + у ^23> ^22— Совместные распределения полных сибсов по генам Сестра — сестра АА Аа аа 4 ~ Озз- Таблица 7.5 сцепленным с полом Сестра — брат А а
АА Аа аа уР20 + р) уР24 о 1 2 3 1 2 у р2<? — pq ~ pq2 0 "г”^2 ""p-^2 (! + <?) АА Аа аа yp2(i+p) ~p2q -^-pq(.i+2p) -^-pq(i+2q) уР1?2 у<72 (1 + <7)
Брат — сестра АА Аа аа Брат — брат А а
А а —р2(1+р) ур«?(1+2р) “£Р<72 уР2<? -£Р<7(1+2<7) у<72(1 + <?) А а 1 1 ур(1+р) уР? 1 1 уР? у 4(1 +<7)
126
ГЛАВА 7
Коэффициенты в линейных выражениях для каждого из S обозначают
характер родства. Так, например, S22= — /22+-~ О22 означает, что
два брата либо имеют по идентичному гену, либо оба гена у них незави-
симы. Выписав условные вероятности (15) и умножив строки на началь-
ные вероятности, мы получим совместные распределения полных сибсов
в отношении сцепленных с полом локусов (табл. 7.5). Генетические
корреляции между полными сибсами будут следующими:
„ з Сестра — сестра: г = — ; Сестра — брат: г=—-— = 0,35355,. 2V 2
„ 1 Ьрат — сестра: г — ; Брат — брат: г = . (16)
Матрица условных вероятностей и корреляция между
Родитель — ребенок Мать — дочь Мать — сын
Т33 1 Г= 2 Т 32
Полные сибсы Сестра — сестра Сестра — брат
^зз = ^33 Н ^33 3 г — 4 Со СО to " ’1 1 н КЭ 1 — 1 1 S —W ч + to | — I W | — 0 СО to
Со стороны матери Бабка — внучка Бабка — внук
Тзз Т33 = Т33 + Озз 1 г = — 4 « о t к Ь г-—* — | О! —' | О) II II <N . со *- • ь. « «
Со стороны отца Т32Т23 — т33 1 г = — 2 Т32 Т22 — О32 г = 0
Со стороны матери Тетка — племянница Тетка — племянник
S33 Т33 = — т33 + — О33 4 4 3 г = — 8 Со СО со ч W т to II II | со | СО W о со ьэ
Со стороны отца S32 Т2з = ~ Т33 Н—— О33 1 Г~ 4 *$32 Т’га — О.з2 г = 0
ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ
127
Матрицу условных вероятностей для других родственников можно полу-
чить перемножением соответствующих матриц, как и в случае аутосом-
ных генов. Правда, типов родственных связей для генов, сцепленных с
полом, существует во много раз больше, чем для аутосомных генов, по-
скольку всех рассматриваемых индивидуумов надо дифференцировать
по полу. Здесь нет необходимости перечислять всех близких родственни-
ков; мы проиллюстрируем данный метод, рассмотрев пары дед—внук и
родственников типа дядя—племянник. Для каждого варианта существу-
ет восемь различных типов родства. Результаты представлены в табл.
7.6, где сделано допущение, что старший родственник задан.
Из средней части табл. 7.6 видно, что всюду, где последовательные
поколения представлены двумя мужчинами (например, звено отец—
сын), результатом будет матрица О, что свидетельствует о независимо-
Таблица 7.6
родственниками по сцепленным с полом признакам
Отец — дочь Отец — сын
11 “Н 7 22 г = 0
Брат — сестра Брат — брат
ео сч о — [ со | — | со + Ь I 1 — см 1 Il Е СО *>22 — g ^22 + g ^22 1 г = — 2
Дед — внучка Дед — внук
СО т е « Е-ч — — | см — | =м II II СО V со ь со сч ь 1 1 1 „ 72з732— ^22 ~Г 2 ®22 1 Г~ 2
*$22 723 — <?23 Г=0 722 722 = ®22 г = о :
Дядя — племянница Дядя — племянник
СО еч о col те , | t К — | тЬ — | -Т II II СО к. со ь со еч со ^23 732 = —— /22 + ~ О22 4 4 1 г = 4
со о" -Ь-|. Ь —-* ~|=Ч _|w И II СО < еч ь еч 01 СО S22 722 = 022 г = 0
128
ГЛАВА 7
сти между такими родственниками. Однако дед с материнской стороны
1
и внук связаны генотипическим родством и с вероятностью — имеют
идентичный ген. Вспомним (гл. 4), что
1 0 ' р q о
1 1 ~ р q О’ 1 1 1
т т = 1 32 * 2d 2 2 . о р q . Ч Q Ч ч = TS3 = T. (17)
_ 0 1 _ _ 0 р q _
Для сцепленных с полом генов выражение имеет следующий смысл: от-
ношение между бабкой со стороны отца и внучкой такое же, как между
матерью и дочерью, как будто бы отца как промежуточной ступени и не
было. Конечно, это объясняется тем, что отец всегда передает те же са-
мые гены Х-хромосомы, которые он получил от своей матери. Это произ-
ведение двух переходных матриц эквивалентно «факторизации» матри-
цы Т для аутосомных генов, происходящей в два этапа; на первом этапе
определяется вероятность того, что какой-либо ген будет передан от ро-
дителя к потомку, а на втором — вероятности образования трех геноти-
пов, если один ген задан.
Корреляции для сцепленных с полом генов находятся так же, как и
раньше, только в данном случае имеются четыре основные корреляции,
соответствующие компонентам ” - -
ния,
Гзз,-Г32, Т2Я и Т22. Если нет доминирова-
гт,
(18)
для родных сестер есть
1
гг = — , гт
У зз 2 :
Так, например, поскольку переходная матрица
S33=—/334——Т33, корреляция между родными сестрами по сцепленным
с полом генам равна
= — д- 1 (—— 3
Г(сестры) — 2 + 2 \ 2 / — 4
Другой пример — пара дядя (с материнской стороны)—племянница; пе-
1 3
реходная матрица в этом случае равна—Т2з-\---О2Я (табл. 7.6),корре-
4 4
1 1 I Г 1 тт - '
ляция составляет —гт^ = — I/ — . Найденные этим способом корре-
ляции полностью совпадают с теми, которые получаются классическим
методом или методом коэффициентов путей.
Для доминантных сцепленных с полом признаков фенотипические
корреляции для каждой из четырех матриц Т будут следующими:
(19)
— г
'г
(20)
Таким образом, фенотипическая корреляция между родными сестрами
равна
г* __ __। * f
2 2 [1+q)
(21)
л между дядей (со стороны матери) и племянницей
г* = 1 Г -J— .
4 V ! + <?
(22)
« Q >
гг = ——, г
1 -I- п
7”з2
тт.„ ~ 9-
4, = °-
ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ
129
Отметим, что для сцепленных с полом генов независимо от того, есть
доминирование или нет,
гта = гт,2 — гт2г- (23)
Доминирование, однако, не влияет на корреляцию между двумя родст-
венниками мужского пола.
Для количественного признака, контролируемого сцепленным с по-
лом локусом, компоненты дисперсии и ковариации, связанные с кова-
риацией между родственниками, были получены Боидером [31].
§ 7. СУММАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ДЕТЬМИ
Как мы видели, для сцепленного с полом локуса существуют четыре
типа пар родитель—ребенок с различными коэффициентами корреляции
[табл. 7.4 и (12)]. Однако суммарная (по всем детям и родителям) кор-
реляция между родителями и детьми остается равной-у-, т.е. такой же,
как и для аутосомного локуса [511, стр^Юб]. Чтобы убедиться в этом,
рассчитаем сначала отклонения d=X—X отдельно для женщин и муж-
чин:
Женщины f X d Мужчины f X d
АА Аа Р2 2pq 2 1 2q q—p А Р 1 о <7 (24)
аа <72 0 ~2р ч
1 Х=2р 2fd—O 1 Х=р 2/Д=0
С учетом этих отклонений из четырех частей табл. 7.4 можно составить
одну общую корреляционную таблицу по типу табл. 7.7. Величины, под-
черкнутые одной чертой, относятся к сочетаниям мать—дочь, двумя — к
сочетаниям отец—сын, а остальные — к сочетаниям отец—дочь и мать—
сын. Общая частота в этой сводной таблице равна 4. Из частного рас-
пределения и основных данных табл. 7.7 можно найти, что
3 3
Дисперсия =—pq, Ковариация = —pq, (25)
2 4
так что общий коэффициент корреляции между родителями и детьми
т (родители — дети) = -у (26)
для всех (р, q}. Алгебраические выкладки существенно упрощаются, ес-
ли к каждому отклонению, включенному в табл. 7.4, прибавить (р—р),
что не меняет коэффициент корреляции. Тогда мы получим
АА А Аа а аа /97\
+ 1 +р 0 -7—1 1 ’
Если рассмотреть полностью симметричный случай, т. е. p=q=-^, а от-
клонения d заменить на 2d (что тоже не повлияет на корреляцию), то
соответствующие величины для генотипов будут следующими:
АА А Аа а аа
+2 +1 0 —1 —2
9—322
130
ГЛАВА 7
Таблица 7.7
Объединенная таблица четырех типов пар родитель — ребенок для сцепленного
» полом локуса в панмиктической популяции (с любезного разрешения
проф. Л. Пенроуза, 1957, личное сообщение)
d АА 2q А <7 Аа q—p a —P aa -2p Сумма
АА 2q Р3 Р2 р2д 0 0 2p2
A q Р2 Р^ pq pq 0 2p
A a q—p Р2Я pq pq pq pq2 4pq
а —р 0 pq gL q2 2q
аа —2р 0 0 pq2 q2 q3 2q2
Сумма 2р2 2р 4pq 2q 2q2 4
т. е. аллель А как бы имеет величину 4-1, а аллель а — величину —1.
В общем случае подобные «величины» аллелей (А, а) берутся равными
(<7> —Р).
Четыре таблицы для детей одних родителей (т. е. для пар сестра—
сестра, сестра—брат, брат—сестра, брат—брат) можно скомбинировать
таким же образом; в этом случае общая корреляция также равна —.
§ 8. ВЫБОРОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ЧАСТОТ ГЕНОВ
Рассмотрим сначала простой случай без доминирования, когда все
три генотипа самок различимы. Пусть наблюдаемые численности в вы-
борке самцов для (гаплоидных) генотипов А и а будут Dx и R\ соответ-
ственно (£>1+#1=А/)). Аналогичным образом пусть наблюдаемые чис-
ленности в выборке самок для генотипов АА, Аа, аа, будут соответствен-
но D2, Н2 и R2 (D2-{-H2A-R2=N). Предположим, что эти две выборки
независимы. Частоту аллеля а можно оценить отдельно из данных по Ni
самцов и N2 самок; можно найти и одну суммарную оценку его частоты
по объединенной выборке. В любом случае она основывается на простом
подсчете генов (эквивалентном оценке методом максимального правдо-
подобия) :
По самцам
Ri
По самкам
„ _ H2 + 2R2
42 ~
2N2
Суммарная
__Ri Ч~ #2 4-
Q12 ~ Ni + 2N2
• (28)
Поскольку оценки получены прямым подсчетом генов, то все дисперсии
биномиального типа:
V(<7i) = ^=^-, V(<72) = £^), (29)
/Vi Z/Vg *»1 “Г" ^*2
Если оценки проводятся отдельно по двум полам и мы хотим узнать,
значимо ли их различие, то нам следует найти дисперсию разности </i—
q2. Когда самцы и самки принадлежат к двум независимым выборкам,
V (<?! - <72) = V (qj + V (q2) = <7(1-<7)Ц-+-Ч.
ц /Vi z/Vg J
Поскольку истинная величина q неизвестна и к тому же она может раз-
ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ
131
личаться для двух разных полов, то для численных расчетов мы восполь-
зуемся следующим соотношением:
V — <?2) = + 1/2(1 . (30)
727 2N2 v 7
Тогда величина (qi—^г)2/^(<71—92) распределена по %2 с одной степенью
свободы.
Рассмотрим теперь случай с доминированием, который относится,
конечно, только к самкам. Пусть теоретические частоты (или вероятно-
сти) и наблюдаемые численности будут следующими:
Самцы Самки
Генотип А а Сумма д— аа Сумма
Частота \—q <7 1 1—<72 <72 1
Наблюдаемая чис- ленность Di R1 Rz n2
Как и раньше, q можно оценить по данным для каждого пола отдельно.
qi = Ri/Ni, V (<7i) = q (I-9W1,
(31)
9г = ОД, V (<?2) = (1 - 92)/4Af2.
Для расчетов дисперсию разности (91—92) можно представить в виде
V(9i-92) = V(9i) + V(92) = 2d^i2- + -^-2- (32)
Как можно получить общую оценку по данным для двух полов, если
между ними нет различия по частоте гена?
Рассмотрим некоторые моменты определения такой оценки и ее дис-
персии; этот вопрос имеет практическое значение, поскольку у человека
известно большое число сцепленных с полом локусов, и по многим из
них есть доминирование. Логарифмическая функция правдоподобия для
суммарной оценки имеет следующий вид:
L — (для самцов) + Z.2 (для самок) = D± log (1 — 9) +
+ Rx log 9 + O2 log (1 — 92) + R2 log 92 + const,
dL dLr 1 dL2 — Dj । R± । D% ( 2q) । 2R2 (33)
dq dq dq 1 — q q 1 — <?2 q
Приравняв производную к нулю и умножив на (1—q2)q (чтобы изба-
виться от знаменателя), получим квадратное уравнение
(Л\ + 2N.2) q2 + Dxq - (R. + 2RZ) = 0,
решение которого
= -Pi + '|/~P?+4(1V1 + 2JV2)(/?1 + 27?2)
2(^ + 2^)
есть искомая оценка. Она всегда лежит между q\ и 92. Прежде чем опре-
делять дисперсию, найдем вес W, или информацию, которая обратна
9*
132
ГЛАВА 7
дисперсии. Взяв вторую производную d2Lldq2, изменив ее знак и заменив
наблюдаемые численности на ожидаемые [т.е. заменив Д2 на TV2 (1—
—<72)], мы получим вес, или информацию
Ni ! Ki t
1 —<7 9
2Л72(1 92) + 4^92 =
1-<72 2 <7d- <?) 1—<?2 1 2’
(35)
где W[ — вес выборки самцов и W2— вес выборки самок. Таким обра-
зом, дисперсия оценки равна
V Ы = -1- = —L- =---------------!--------= .
W Wr+W2 ^/?(1-?)+4^/(1-92) +
(36)
Для расчетов, по-видимому, удобнее получать вес W из (35), а не из
(36). Как и следовало ожидать, если Ni = 0 и оценка делается только по
данным для самок, выражение для дисперсии сводится к V (q2). Если
;V2z=0 и мы имеем только выборку самцов, то дисперсия равна V (<?i).
Естественно, У(<?12) меньше, чем V(<7i) и Е(<72)-
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Выписав для популяции (1) шесть типов скрещивания с соответ-
ствующими частотами и потомками (самцами и самками отдельно), по-
кажите, что она находится в равновесии.
2. Частота гена у потомков женского пола равна среднему между
частотами генов у их родителей. Используя выражения для Z и Z', по-
кажите, что -у[р($-Н) +<z(r+s)] +<?($+/) =^-(<7+s+Z).
3. Рассчитайте для исходной популяции (0,50; 0,50) и (0,40; 0,50;
0,10) доли самцов и самок, обладающих различными генотипами, в сле-
дующих десяти поколениях, считая, что скрещивание осуществляется
случайно. Какие частоты являются равновесными? Если равновесие
аналогично приведенному в табл. 7.2, то объясните, почему это так.
4. Каковы частоты генотипов в десяти последовательных поколени-
ях, если исходной является популяция (0;1) и (ДО; 0). Покажите, что
предельным состоянием является (—; — 1 и ; — 1. Это «общий
случай», который рассматривал Дженнингс [256].
5. Доля индивидуумов с рецессивным признаком для определенного
сцепленного с полом признака равна среди самок 19,39%- Каков процент
самцов, обладающих данным признаком? Ответ: 44%.
6. Какой будет доля индивидуумов с доминантным признаком среди
самок, если частота доминантного, сцепленного с полом гена р = 0,003?
Рассчитайте отношение долей самок и самцов, обладающих доминант-
ным признаком.
7. Допустим, что индивидуумы первых двух поколений (Zo и Zb см.
первые две строки в табл. 7.2) скрещиваются случайным образом. Пока-
жите, что поколение их потомков будет сходно с поколением Z3 (а не
Z2). Этот пример показывает, что перекрывание поколений ускоряет
достижение равновесия.
8. Пусть А доминирует над а; покажите, что частоты различных ти-
пов пар сибсов по сцепленным с полом признакам таковы, как в приве-
денной ниже таблице. Проверьте численные значения некоторых вели-
чин [543].
ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ
133
р Два брата Две сестры Один брат, одна сестра
Sn 1 ТрХ Х(1+р) •510 РЧ •Sqo 1 X(l-R) Sii 1 трх х (3—Р») Sio Р?2 Soo 1 — 92Х X (1-Н7) Sh 1 ТРХ Х(2-92) Sio Р<7Х Х(1+?) Soo р2Х Х(1+?)
0,20 0,120 0,160 0,720 0,296 0,128 0,576 0,136 0,288 0,576
0,40 0,280 0,240 0,480 0,568 0,144 0,288 0,328 0,384 0,288
0,80 0,720 0,160 0,120 0,944 0,032 0,024 0,784 0,192 0,024
9. Предположим, что для доминантного сцепленного с полом локу-
са по самцам и самкам имеются выборки одинакового объема (А^ =
=N2=N) и оценки частоты рецессивного гена сделаны отдельно по
каждому полу. Тогда формулы (31) приобретают вид
V (<7х) = V (<?2) = .
N w ' 4N
При каком значении q эти дисперсии будут равны? В каком случае
V(<7i) будет больше 1/(<?2)? Постройте и проанализируйте кривые
= 7(1—q) и «/=V4(1—<72).
п 1
Ответ: а = — .
3
10. Пусть имеются следующие наблюдаемые данные в отношении
некоего рецессивного сцепленного с полом признака:
Самцы Самки
Rr Nr D2 R2 N2
35 15 50 66 9 75
Определите частоту рецессивного гена из суммарных данных по самцам
и самкам. Рассчитайте ее дисперсию и стандартную ошибку. Ответ:
£»?+4(А^1+2^2) (7?i+27?2) =27625; ]Л27625= 166,2; <?12 = 0,328; V(<7i2) =
=0,001776; SE = 0,042.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Вопрос о рекуррентных последовательностях рассмотрен здесь по
двум причинам. Во-первых, частоты сцепленных с полом генов в смеж-
ных поколениях при свободном скрещивании образуют рекуррентные
последовательности. Во-вторых, и это более важно, мы встретимся в
данной книге с рядом других последовательностей сходной природы,
когда будем рассматривать последствия инбридинга. Знание настоящего
вопроса чрезвычайно облегчит понимание последующих глав.
Последовательность
u0, Ur, и2, иа,..., ип ...
называется рекуррентной, если каждый ее член является одной и той же
линейной комбинацией некоторых предшествующих членов. Простейший
пример — это последовательность
«п+2 = Ч+1 + сы<
134
ГЛАВА 7
Константы b и с известны под названием коэффициентов рекуррентной
последовательности (scales of relation). Для последовательности этого
типа, зная два ее первых члена и коэффициенты, можно выписать все
последующие члены. И наоборот, если даны несколько первых членов
последовательности, можно найти ее коэффициенты, решая следующие
два уравнения:
м2 — Ьиг 4- си0,
и3 = Ьи2 + сиг.
Выражение для общего члена нужно потому, что, во-первых, из него мо-
жно получить любой член последовательности, не рассчитывая всех
предшествующих членов, и, во-вторых, из такого общего выражения
можно найти предельное значение ип при п-+<х. Чтобы получить выра-
жение для ип, нужно доказать следующие три утверждения.
Утверждение I. Сумма соответствующих членов двух рекуррентных
последовательностей с одними и теми же коэффициентами образует ре-
куррентную последовательность с теми же коэффициентами. Пусть
хп = Ьхп_. + схп_2, уп = Ьуп_{ + суп_2.
Складывая эти два выражения, получим
ип = Хп + Уп = Ь К-! + Уп-х} + С (*Л-2 + Уп-2) = bun-! + CUn-2-
Итак, любая линейная комбинация хп и уп обладает теми же самыми
коэффициентами.
Утверждение II. Любук5 геометрическую прогрессию можно запи-
сать в форме рекуррентной последовательности с двумя или большим
числом коэффициентов. Например, n-й член геометрической прогрессии
х, х/., хХ2, X/.3, ..., в которой X — постоянная, можно также записать в
виде
ип = Ч-i = Kun-i — “п-i + «п-i = (^ — 0 «„-1 + Ч-2>
откуда видно, что это рекуррентное соотношение с коэффициентами
Ь — Х—1, с = Х. С другой стороны, поскольку Un = ?Mn-l = №Un-2, то мы
можем записать его и как
и = — Кип + — А,2 и 2
п 2 л—1 2 *
Утверждение III. Для любой рекуррентной последовательности с
двумя коэффициентами можно найти две соответствующие геометричес-
кие прогрессии с теми же самыми коэффициентами. Пусть исходное ре-
куррентное соотношение будет, как и раньше, un = bun-i+cun-2- Тогда
любая геометрическая прогрессия с теми же коэффициентами бис удо-
влетворяет рекуррентному соотношению
xV = ЬхХ1-' + схкп~2,
которое приводит к уравнению
А,2 — М — с = 0.
Два его корня равны _______
. b + V (b2 + 4c) . Ь — К(&2 + 4с)
Ai ~ , Ая = ---------------- .
1 2 2 2
Следовательно, две геометрические прогрессии со знаменателями XihX2,
представленные в рекуррентной форме, имеют те же самые коэффициен-
ты b и с, что и исходная рекуррентная последовательность.
ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ
135
Выражение для общего члена рекуррентной
последовательности
С помощью этих трех теорем можно найти выражение для общего
члена рекуррентной последовательности. Предположим, что несколько
первых членов рекуррентной последовательности и0, и2, и3,... извест-
ны и, таким образом, известны также коэффициенты & и с. Первый шаг
состоит в том, чтобы найти знаменатели для двух геометрических
прогрессий, которые имели бы те же самые коэффициенты b и с. Пусть
эти прогрессии будут, скажем,
х хХ1( хХ?,..., х%",...,
У УК, У$, — , у№,...
с произвольными у и х. Складывая соответствующие члены этих двух
последовательностей, мы получим другую рекуррентную последователь-
ность, коэффициенты которой, согласно теореме I, также равны b и с.
Поэтому п-й член нашего исходного ряда можно записать в виде
мп = “Ь У^2-
Поскольку первые члены и известны, х и у можно найти, решая два
уравнения для и0 и Ui (т.е. положив п=0; 1):
и0 — х 4* у, tiy = х/.г + ук2.
Теперь выражение для ип полностью определено. Мы доказали здесь
известную теорему о том, что любую рекуррентную последовательность
можно представить в виде суммы соответствующих геометрических
прогрессий.
Вышеприведенное доказательство можно, очевидно, распространить
и на рекуррентные последовательности более высокого порядка; так, на-
пример, если рекуррентное уравнение имеет вид ып+3 = £шп+2 + c«n+i+
-}-dUn, то общий член можно представить в виде суммы соответствующих
членов геометрической прогрессии с теми же самыми коэффициентами
ип = хЛ? + у№ +
где Xi, %2, /-з— знаменатели трех геометрических прогрессий. Они явля-
ются корнями уравнения
%з_. — сХ — d = 0.
Численные значения х, у, z можно определить по тем нескольким первым
членам последовательности, которые нам известны.
Пример 1. Рассмотрим последовательность q для самцов из табл. 7.2.
Несколько ее первых членов известны, и мы уже видели из (8), что ее
_ 1
Wn — —Un—1
рекуррентным
уравнением
является
4---«п-2 с коэффици-
ентами Ь=— и с=—. Знаменатели двух соответствующих геометри-
ческих прогрессий с теми же самыми коэффициентами будут тогда равны
Следовательно, общее выражение для частоты генов у самцов имеет вид
«п = *(!)"+ -тг)"*
136
ГЛАВА 7
Для определения численных значений х и у мы воспользуемся значения-
ми и для первых двух поколений (соответствующих n=0; 1), т. е.
м0 = 0,60 = х + у, иг = 0,30 = х+у(---—'j.
Решив эти уравнения, получим х=0,40 и у=0,20. Окончательное выра-
жение для ип этой частной последовательности равно
и = 0,40 + 0,20 —Г.
\ 2 )
Таким образом, «8=0,4008, «э = 0,3996 и т. д.; предельное значение рав-
но 0,40. Если в каком-то поколении ип будет больше 0,40, то в следующем
поколении оно станет меньше 0,40 (максимум наполовину). Отрицатель-
ный корень Х2 =----обусловливает колебательный характер последо-
вательности: ее члены принимают попеременно то большее, то меньшее
значения относительно предельного.
Пример 2. Одна из наиболее часто встречающихся в генетике после-
довательностей — последовательность Фибоначчи
1 1 2 3 5 8 13
’ 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 32 ’ 64 ’
Знаменатель каждого следующего члена удваивается, а числитель ра-
вен сумме двух предшествующих числителей. Иными словами, рекур-
рентное уравнение имеет вид
1 .I + 1 1 \
п+2 2 п+1 4 п ( 2 4 )
Знаменатели двух соответствующих геометрических прогрессий можно
найти из уравнения X2---^-Х--— = 0. Таким образом,
-|-+-Г(1/4+1) -^--Г(1/4+1) у-
__ 2. _ 1 у Ь 2 1 — V 5
1 2 _ - , 2 — _ _ - .
Следовательно, n-й член последовательности Фибоначчи представляется
в виде
п
п
ип = Х
4 J \ 4- )
Используя первые два известных члена этой последовательности
определения численных значений х и у, получим
«о=1=%+!/, +К5’) + уу(1 -УТ).
Решение дает
2
X =
£ — 2 /1 — И 5 '1
4 г уук 4 ?
Итак, выражение для общего члена последовательности имеет
ДЛЯ
вид
«п =
Поскольку Х1=— (1 +V5) =0,809 и Х2 = —(1 —]+5) =—0,309, то
4 4
при
достаточно больших п \п2 будет мало по сравнению с X” и «п+1^0,809«п.
ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ
137
Таким образом, каждый следующий член последовательности Фибонач-
чи будет меньше предыдущего приблизительно на 19,1%. Предельное
значение ип равно нулю, поскольку абсолютные значения обеих X мень-
ше единицы.
Пример 3. Рассмотрим последовательность
j 17 29 437
’ 18 ’ 36 ’ 648 ’ " ’
Рекуррентная связь между ее членами не столь очевидна, как в преды-
дущих случаях. Однако ее, как и ранее, можно легко установить, решив
уравнения u2 = bul + cu0 и т. д. Таким образом,
29 17 , ।
— = — о + с
36 18
437 29 , , 17
— = —b + —•
648 36 18
, 1 —5
получаем о = 1, с — —
36
Следовательно, un+2=un+i—— ип. Определив b п с, можно обычным
36
способом, по уравнению X2—Ьк—с=0, найти знаменатели двух соответ-
ствующих геометрических прогрессий, т. е.
‘ + 5
2^ _ г оо _ 5
1 ~ 2 ~ "б"’
Далее обычным способом находим
выражении для ип.
численные значения х и у в общем
и0 = х + у = 1
5,1 17
= — х + — у = —
6 6 18
7 —1
откуда х= — , у = —.
6 6
Следовательно, общий член последовательности будет иметь вид
7 I 5 \п 1 [ 1 \п 7/5 \n+l / 1 уЖ
-------— — — — — “Н
6 \ 6 Г 6 \ 6 5 \ 6 \ 6
Предельное значение ип при п-^оо равно нулю.
Пример 4. Очевидно, что коэффициенты определяют лишь соотно-
шения между соседними членами рекуррентной последовательности,
а общее выражение для n-го члена зависит как от коэффициентов, так
и от начальных членов последовательностей. Две рекуррентные последо-
вательности с одними и теми же коэффициентами могут иметь разные
общие члены:
un—Xi А,] 4г У 1^2, ип—x^^i //2^2,
где ип и vn — общие члены двух рекуррентных последовательностей
с одними и теми же коэффициентами b п с. Обратите внимание, что Xi и
Х2 в обоих случаях одинаковы, однако Х\, у\ отличаются от х2, г/2, посколь-
ку они определяются начальными членами последовательностей и и v
соответственно. Для примера рассмотрим последовательность, у которой
рекуррентное уравнение такое же, как и для последовательности Фибо-
наччи (ип+2= —-un+i-\—-ип)
2 4
1 2 3 5 8 13
’ 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 32 ’ '
Zi и %2 остаются теми же, что и раньше, поскольку они определяются
10-322
138
ГЛАВА 7
только Ь и с. х и у находим по двум первым членам последовательности
х + у=\, -±-х (1 +Г5~) + ^у (1-У5~) = 1,
откуда
х 5+ЗУ 5 . 10 5 — 3]/ 5 у = — > 10
__ 5+зУТ /1 +К?' 71 10 \ 4 Г , 5 — з К? р — УТ V / 10 V 4 /
Читатель может сравнить это выражение с выражением из примера 2_
Пример 5. Рассмотрим последовательность
1 1 3 5 11
2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 32 ’ ‘
1
с——,
2
Нетрудно определить, что
т.е. те же, что и в примере L
Следовательно, знаменатели соответствующих прогрессий должны быть
такими же: Zi = 1 и Хг=-Покажите, что общий член последователь-
ности равен
ип = х %" + у А.2 = -----М .
3 о \ 2 /
Каково предельное значение ип?
Пример 6. Рассмотрим две последовательности
„ 8 16 248 416 , 18 26 378 626
и: 0, — , — , ----, ----,.. .*, v: 1, —, — , --, ---,... .
36 72 1296 2592 , 36 72 1296 2592
Покажите, что их общие члены имеют вид
1 7 5 \" 1 I 1 1 7 5 , 1 I 1
ип— ---- ---------- - > Vn = ---- --- п------- •
3 \ 6 / 3 \ 6 / • 2 \ 6 / 2 \ 6 /
Каково приблизительное соотношение между двумя последовательными
членами при достаточно большом п? Каковы предельные значения ип
и пп?
ГЛАВА 8
Автополиплоиды
Полиплоиды очень широко распространены в мире растений, осо-
бенно среди покрытосеменных. Многие новые виды (и даже роды) воз-
никли посредством тетраплоидии, амфидиплоидии и полиплоидии бо-
лее высоких порядков. Полиплоидные формы обычно приспособлены
к более экстремальным условиям, чем их диплоидные родственники,
и, таким образом, имеют большое практическое значение.
По происхождению полиплоиды можно грубо подразделить на два
класса. При скрещивании двух различающихся разновидностей или
видов с «I и п2 парами хромосом образуется гибрид, обычно содержа-
щий П1-\-п2 хромосом. Если эти хромосомные наборы удваиваются, так
что гибрид содержит 2 (ni+пг) хромосом, образующих ni-\-n2 гомоло-
гичных пар, то такой гибрид называется амфидиплоидом-, в принципе
он 'все еще обладает диплоидной природой. В более общем смысле го-
ворят, что удвоение хромосом различных наборов приводит к образо-
ванию аллополиплойдов.
Если, с другой стороны, удваиваются хромосомы одного набора и,
таким образом, индивидуум содержит 4/г хромосом, образующих п го-
мологичных четверок, то говорят, что он является автотетраплоидом,
принадлежащим к более общей категории автополиплоидов. Полипло-
идные формы могут спонтанно появляться в природе и искусственно
создаваться под действием высокой температуры, облучения и некото-
рых химических веществ типа колхицина. Искусственное удвоение хро-
мосом делает возможным множество скрещиваний, включающих ви-
ды с различными числами хромосом.
Некоторые организмы являются полиплоидами смешанного типа;
одни хромосомы у них находятся в диплоидном состоянии, а другие —
в тетраплоидном и т. д. В этой главе мы рассмотрим только автополи-
плоидов с четным числом хромосомных наборов [195].
§ 1. ОБРАЗОВАНИЕ ЗИГОТОЙ ГАМЕТ
ПРИ СЛУЧАЙНОЙ СЕГРЕГАЦИИ ХРОМОСОМ
Рассмотрим сначала простейший случай — автотетраплоидию.
Для краткости обозначим генотип АААА через А4, АААа через А3а
и т. д. Поскольку четыре члена четверки (скажем, 1, 2, 3, 4) гомоло-
гичны друг другу, три типа расщепления—1, 2 и 3, 4; 1, 3 и 2, 4; 1,
4 и 2, 3 — равновероятны. Следовательно, при случайной сегрегации
хромосом образование гамет у автотетраплоидов будет следующим:
А4->все (АА)
A3a + ^(AA)+-~(Aa)
а4 -> все (аа)
Аа3 -> -у (аа) + -у (Аа)
(1)
10*
140
ГЛАВА 8
A2a2_^ _L (ЛЛ) + ± {Aa) + J_ (aa}
(1)
Эти соотношения гамет справедливы для генов, примыкающих к цен-
тромере.
Когда рассматривают полиплоиды более высокого порядка, разоб-
ранный выше метод перечисления генотипов становится слишком
громоздким. Ниже мы приводим общий метод получения гаметических
соотношений в предположении, что сегрегация хромосом в мейозе яв-
ляется полностью случайной. Рассмотрим 2т-плоидную зиготу с набо-
ром Ата2т~т. Каждая из ее гамет будет нести пг факторов. Общее
число способов образования гамет равно числу сочетаний из 2m по пг,
т. е. |2m} = (2m) !/m! m!. Далее, число способов, которым можно выб-
\ т )
рать t предметов из Т, равно а число способов выбора пг—t из
2m—Т равно Л. Следовательно, число способов,- которым мож-
\ т — t /
но образовать гаметы (Агат~г) из зигот АТа2т~Т, равно (2т
таким образом, вероятность получения гаметы с t генами А равна
1Т\12т — Т\
P(T,t) = m~t (2)
/2т \
\т J
Придавая t все возможные значения, можно с помощью этого выра-
жения получить доли гамет различных типов, образуемых зиготами
данного типа. Так, например, октоплоидная зигота А5п3 (для которой
2т=8, Т=5) продуцирует гаметы в соотношениях, приведенных в
табл. 8.1. Сумма Р(Т, I) для всех возможных значений t равна еди-
нице; таким образом,
S(T\[2m — Т\(2т\
\t )\ т— t) \т)' '
t
Таблица 8.1
Образование гамет зиготой А5а3 при случайной сегрегации
хромосом
i Гаметы Число способов Сумма
4 А* ю II со о LO тг
3 А3а “S СО СИ г- •— со II со о ( 4 ) =70
2 Агаг о со II со сч ' ю сч \4)
1 Аа3 S -S »— СП со со ' II СП
0 а4 Ни одного (невозможно)1
Возможно при случайной сегрегации хроматид (см. табл. 8.3).
АВТОПОЛИПЛОИДЫ
141
Отметим, что гаметические соотношения всегда симметричны, посколь-
(Т\ /Т \
= ). Так, в табл. 8.1 они составляют 1:6:6:1. Если типы об-
t) \T-tl
разующихся гамет известны, то мы непосредственно можем установить
результат скрещивания между двумя данными зиготами путем случай-
ного объединения их гамет.
§ 2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
Равновесные доли пяти генотипов в панмиктической популяции
автотетраплоидов задаются членами разложения (р+<?)4. Таким об-
разом, эту популяцию можно записать в виде
„ /А4 А3а А2а2 Аа3 а4\ ...
Z == . (4)
\ р4 + 4р3 q + 6р2 q2 -J- 4р<?3 + qi /
Чтобы убедиться, что Z действительно находится в равновесном состо-
янии, отметим, что общий выход гамет в соответствии с выражением
(1) равен
G = р2 (А А) + 2pq (Аа) + Ц2 (аа). (5)
Свободное объединение этих гамет опять приводит нас к Z (4); таким
образом, популяция действительно находится в равновесии.
Докажем теперь общую теорему о том, что равновесные доли зи-
гот авто-2/п-плоидной популяции со случайным скрещиванием задают-
ся членами разложения (p + q)2m и соответственно доля зигот Ата2т~т
в популяции равна pTq2m~T. Как следует из приведенного выше
простого примера, для этого нам нужно показать, что выход гамет в
такой популяции задается членами разложения (p + q)m, поскольку
случайное объединение этих гамет опять приведет к распределению, ха-
рактерному для родительской популяции. Таким образом, мы должны
показать, что доля гамет (Агпт-г), образуемых популяцией, равна
ptqm~t.
Общая доля гамет (Агат-г) (при фиксированном t), образуемых
всей популяцией (особями различных генотипов, т. е. при изменяющем-
ся Т), будет суммой по всем возможным Т
m-\-t
Р (Af) = рт q^-т X Р (Т, О} . (6)
T=t
Если записать выражение (2) для P(T,t) через факториалы, мы по-
лучим
р (Л*) = -— У---------------------рт q^-r =
v 1 t\(m—t)\ Jj(T — t)\(m — T+t)V 7
T
=ptдт~*^(т-t)pT~lqm~T+t=(7)pt-‘ (6'>
T
Сумма по всем возможным T, которое изменяется от t до mA-t (или,
другими словами, Т—t изменяется от 0 до т), в правой части этого вы-
ражения равна просто (q-\-p)m=l. Теорема доказана.
142
ГЛАВА 8
§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ к РАВНОВЕСИЮ
Если исходная популяция не находится в равновесии, то она не
придет к нему за единственное поколение свободного скрещивания. Ско-
рость приближения к равновесию зависит от степени полиплоидии: чем
она выше, тем ниже скорость. Далее мы будем рассматривать популя-
цию автотетраплоидов. Предположим, что некоторая популяция образу-
ет следующие гаметы:
G0 = x(AA) + 2у(Аа)-г г(аа), (7)
где x-\-2y-\-z=i. Частота А равна р = х-\-у, а частота а — q=y-\-z.
При случайном скрещивании образуется поколение
z /А4 А3а А2 а2 Аа3 а4\
\х2 4ху 4рад-2хг 4рг г2/
Из (1) следует, что доля гамет (АА) в этой популяции будет равна
х2 +—-(4ху) + — (4y2 + 2xz). Аналогичным образом можно записать доли
гамет (Аа) и(аа). Упростив выражения, получим, что выход гамет в
популяции (8) будет следующим:
(АА) (Аа)
9 4
Xi = X -т- ~ (у2 - xz), 2у± = 2у — — (у2 — xz),
о о
(аа)
zl = z + ~(y2~xz).
(9)
Доли гамет любого данного и следующего за ним поколений связаны
между собой рекуррентными соотношениями. Введем величину
у2—xz=d. Тогда, как следует из (9), для следующего поколения
= у\ — ч = [у —
2
Следовательно, через п поколений свободного скрещивания
1 , / 1 , п
= — art_! = — J d^- 0 при п -> оо
3 ( 3
— d.
з
(Ю)
(П)
Заметим, что хотя доли гамет от поколения к поколению изменяются,
частоты генов остаются постоянными; таким образом, Xi + yi = x+y = p
и т. д. Это позволяет нам выразить доли гамет через частоты генов и d.
d = у2 — xz = у2 — (р y)(q — у) ~ у — pq.
Следовательно,
Уп = РУ + dn = pq + (Ц-Г d^- pq
\ О J
Хп = р — уп = p2 — (~^nd-^p2
2п = 7 — Уп = 72 — ( у)" d -> q2
(12)
(13)
Эти предельные величины являются долями гамет в равновесном со-
стоянии. Величину d=y2 — xz можно рассматривать как показатель
отклонения от равновесия. За каждое поколение случайного скрещи-
вания она уменьшается на две трети, и таким образом популяция
очень быстро приближается к состоянию равновесия. Окончательные
АВТОПОЛИПЛОИДЫ
143
Таблица 8.2
Приближение к равновесию популяции автотетраплоидов, в которой р = О,ЗО; р = 0,70
Случайная сегрегация хромосом
п зиготы гаметы d
Д4 А3 а Д2а2 Аа3 а4 (ЛА) (Да) (аа)
0 0,1300 0,1600 0,0600 0,0800 0,5700 0,2200 0,1600 0,6200 —0,1300
1 0,0484 0,0704 0,2984 0,1984 0,3844 0,1333 0,3333 0,5333 —0,0433
2 0,0177 0,0888 0,2533 0,3555 0,2844 0,1044 0,3911 0,5044 —0,0144
3 0,0109 0,817 0,2583 0,3946 0,2545 0,0948 0,4104 0,4948 —0,0048
4 0,0090 0,0778 0,2622 0,4061 0,2448 0,0916 0,4168 0,4916 —0,0016
5 0,0084 0,0764 0,2638 0,4098 0,2417 0,0905 0,4190 0,4905 —0,0005
6 0,0082 0,0758 0,2644 0,4110 0,2406 0,0902 0,4196 0,4902 —0,0002
ОС 0,0081 0,0756 0,2646 0,4116 0,2401 0,0900 0,4200 0,4900 0
Случайная сегрегация хроматид
0 0,1300 0,1600 0,0600 0,0800 0,5700 0,2314 0,1371 0,6314
1 0,0536 0,0635 0,3111 0,1732 0,3987 0,1604 0,2192 0,5604
2 0,0257 0,0896 0,2577 0,3129 0,3141 0,1401 0,3198 0,5401
3 0,0196 0,0896 0,2536 0,3454 0,2917 0,1343 0,3314 0,5343
4 0,0180 0,0890 0,2533 0,3541 0,2855 0,1327 0,3347 0,5327
5 0,0176 0,0888 0,2533 0,3565 0,2837 0,1322 0,3356 0,5322
6 0,0175 0,0887 0,2533 0,3572 0,2832 0,1321 0,3359 0,5321
оэ 0,0174 0,0887 0,2533 0,3575 0,2830 0,1320 0,3360 0,5320
доли как зигот, так и гамет в равновесии полностью определяются ис-
ходными частотами генов. В табл. 8.2 приведен пример установления
равновесия в автотетраплоидной популяции с р=0,30 и д=0,70. Доли
гамет в последовательных поколениях можно получить путем повтор-
ного применения формул (9) или, проще, формул (13)—без расчета
этих долей в предшествующих поколениях.
Следствие. Из всего сказанного выше следует, что в любой произволь-
ной автотетраплоидной популяции, продуцирующей гаметы так, что
d=y2— xz=0, равновесие установится в следующем же поколении.
Так, например, популяция, состоящая из 50% А3а и 50%Ла3 (неравно-
весная), образует гаметы ’/4 (АА) -pfo (Аа) (аа). Доли зигот в сле-
дующем поколении будут равновесны: (1, 4, 6, 4, 1 )/16.
§ 4. СЛУЧАЙНАЯ СЕГРЕГАЦИЯ ХРОМАТИД
У диплоидных особей сегрегация хроматид, независимо от того,
происходит ли она совершенно случайно или является «эквационной»,
дает те же результаты, что и сегрегация хромосом для любого числа
локусов. Каждая гамета, образующаяся после мейоза, получает одну
из четырех хроматид. Однако у автополиплоидов картина иная. В этом
144
ГЛАВА 8
параграфе мы рассмотрим случайную сегрегацию хроматид у автотетра-
плоидов как пример существенно нового типа равновесия. При таком
механизме гамета может получить две сестринские хроматиды из вось-
ми имеющихся.
Применив рассмотренный выше метод, определим сначала выход от
каждого генотипа. Число способов, которым можно выбрать две хро-
(О \
° =28. Запишем генотип автотетраплоида
& J
ААаа в виде
АА аа\ I АА АА
или
АА аа) \аа аа
Здесь указаны не только восемь хроматид, но и то, как образована дан-
ная зигота: две хромосомы слева унаследованы от матери, а две пра-
вые— от отца. Происхождение и соотношение гамет, образуемых инди-
видуумом, приведены в табл. 8.3. Для вывода последующих формул нет
необходимости различать гаметы по происхождению, однако это помо-
жет нам выяснить различие между механизмами хромосомной и хро-
матидной сегрегации. Отметим, что из двадцати восьми возможных га-
мет четыре получают сестринские хроматиды, а оставшиеся двад-
цать четыре несут несестринские хроматиды. Если не считать гамет,
представленных сестринскими хроматидами, то расщепление здесь бу-
дет таким же, как и при случайной сегрегации хромосом (1). Суммар-
ный выход гамет (последний столбец табл. 8.3) у зиготы АА/аа такой
же, как и у зиготы Аа/Аа. Выход гамет у зиготы Аааа можно получить
из данных по зиготе АААа, взаимно заменив символы Айа.
Таблица 8.3
Образование гамет автотетраплоидами при случайной сегрегации хроматид
Зигота-* гаметы Несестринские хроматиды Сумма Сестринские хро- матиды Сумма
материн- ского проис- хожде- ния полови- на на по- ловину отцов- ского проис- хожде- ния материн- ского проис- хожде- ния отцов- ского проис- хожде- ния
/ АА АА ЛА 4 8 0 12 2 1 15
1 -* Аа 0 8 4 12 0 0 12
\ АА аа /\ аа 0 0 0 0 0 1 1>
/АА аа\ / АА 4 0 0 4 2 0 6
I ~* Аа 0 16 0 16 0 0 16
\ АА аа/ \ аа 0 0 4 4 0 2 6
/ АА АА \/ АА 0 4 0 4 1 1 6
1 ->- Аа 4 8 4 16 0 0 16
\ аа аа /\ аа 0 4 0 4 1 1 6
Каждый генотип 4 16 4 24 2 2 ' 28
Пусть исходные доли гамет, как и раньше, равны х(АА) +2#(Ла) +
-f-z(aa). Тогда доли гамет в следующем поколении будут определяться
соотношением (8). Используя сегрегационные соотношения, приведен-
ные в последнем столбце табл. 8.3, найдем доли гамет, образуемых
популяцией (8).
АВТОПОЛИПЛОИДЫ
145
X1=*2+(4ху) + (4i/2 + 2xz) + м{4уг}
2У1 = ~ &ху) + ~~ + 2xz) + Дуг)
20 20 20
Z1 = Дху) + Ду3 + 2xz) + Дуг) + г2
(14)
Приняв во внимание, что x4-2«/+z=l, х+у=р, y+z=q и что частоты
аллелей Айа остаются постоянными из поколения в поколение, мы полу-
чим из (14) рекуррентные соотношения между долями гамет в двух
последовательных поколениях (см. также упр. 5 к гл. 7). Для срав-
нения приведем в новом виде и рекуррентные соотношения при сегре-
гации хромосом [185].
Сегрегация хромосом, (9) Сегрегация хроматид, (14)
•*Л-Н 1 2 = хп + — р2 О о 2 4 1 = у хп+ ~р2+~р
2^+1 1 2 = ~(2уп) + — (2pq) О о 2 4 = у (2уп)+— (2pq)
Zn+l =4-г'’+4?2 о о 2 4 1 = у г„ + у?+у q
(15)
Скорость приближения к равновесию для случайной сегрегации хрома-
тид равна 2/7 на поколение по сравнению с 1/3 для случайной сегре-
гации хромосом. При п->оо компоненты хп, 2уп, zn обращаются в нуль,
так что предельные (равновесные) доли гамет будут равны
А 4 ] Ад Ад 1
Х = ~Р2 + —Р, 2y=~(2pq), 2=~q3 + ^-q\ (16)
о □ о 5 5
А ДА
равновесные доли зигот задаются членами разложения (x-\-2y-\-z)2.
Это совершенно новый тип равновесия по сравнению со старым (p-j-?)4-
Нижняя половина табл. 8.2 является числовым примером для той же
исходной популяции, что и верхняя.
Аналогичный анализ, основанный на предположении о том, что
сегрегация хроматид происходит всегда путем эквационного деления
[176], приводится также в работе Гейринджер [185]. Для гексаплои-
дов равновесные доли гамет представляются многочленом третьей сте-
пени из частот генов. Однако в действительности гены, находящиеся
вблизи участков прикрепления к веретену, обычно расходятся в ре-
зультате сегрегации хромосом, тогда как гены, расположенные на кон-
цах хромосом, — в результате сегрегации хроматид; таким образом,
большинство расхождений относится к промежуточному типу между
этими крайними случаями. \
§ 5. ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ
Пусть У4, У3, У2, У1, Уо — средние значения признаков для автотетра-
плоидных генотипов А4, А3а, А2а2, А а3, а4 соответственно. Для просто-
ты предположим, что хромосомы сегрегируют случайным образом, так
что генотипы распределены по биномиальному закону (p + q)4. Тогда
146
ГЛАВА 8
генетическую дисперсию можно определить методом последовательных
разностей (гл. 3). В табл. 8.4 ДУ0=У1—Уо и т. д. представляют собой
разности первого порядка, Д2У0 = ДУ1—ДУ0=Уг—2У1 + У0 и т. д. — раз-
ности второго порядка, а разности третьего и четвертого порядков вы-
глядят следующим образом:
Д3Г1 = У4 -ЗУ3 4- ЗУ2 —Ух,
А% = У3 — ЗУ2 4-ЗУ], —Уо,
Д4У0 = У4-4У3 + 6У2-4У1 + Yo. (17)
Таблица 8.4
Метод последовательных разностей
У f АУ Л Л2У ft А3У /3 А4У 4
У4 Р4 Уз 4р3<? У2 C++ У1 4р93 Уо + О d со ег О со Ci. Ci. CL 0 СО со СО СЧ r-t О 1111 СО « 1-1 а. £ 1 см сч гч о + + 4- со eq гч ь, сч сч 1 1 1 Tf< со сч А3У1 р А3У0 q Л4У0 1
Ро Р1 Рг Рз Рг
Исходные значения У имеют распределение (p-Yq)4. Разности первого
порядка берутся с весами, определяемыми членами разложения
(р+7)3, разности второго порядка — членами разложения (р+7)2, раз-
ности третьего порядка — членами разложения (р+7)1 и разности чет-
вертого порядка — членами разложения (р+7)° = 1.
Величины р являются взвешенными средними таких разностей. Сле-
довательно,
₽2 = Р2 (Y, - 2У3 + У2) + 2р7 (Ys - 2У2 + Ух) + 72 (У2 - 2Y, + Уо). (18)
Прямой подстановкой можно убедиться, что следующее выражение яв-
ляется тождеством [367, 368]:
Ж2 = р2 + 4ррр2 + 6pVP2 + 4р373Р] + р474р|, (19)
где ро=У представляет собой среднее значение количественного приз-
нака для популяции. Коэффициенты пяти членов (19) определяются
разложением
(1 + р7)4 = 1 + 4р7 + 6р272 + 4р373 + р474. (20)
Перенеся р2 в левую часть, мы получим компоненты дисперсии:
of =4 pq Р]
а2=6р2+₽2
=4pV р^
(обусловлена эффектами одного гена)
(обусловлена эффектами двух генов)
(обусловлена эффектами трех генов)
(обусловлена эффектами четырех генов)
(21)
Оу =2/У2—У2 (суммарная генетическая дисперсия)
Заметим, что термин «доминирование», применяемый для диплоидов,
не адекватен такому же термину для тетраплоидов. Любая из компонент
АВТОПОЛИПЛОИДЫ
147
дисперсии может варьировать от 0 до <т2. Несколько числовых примеров
и специальных случаев рассмотрены в работе [368]. Более общий ме-
тод разложения генетической дисперсии применительно ко множествен-
ным аллелям был дан Кемпторном [278]. Им же получена ковариация
между родственниками в популяции со случайным скрещиванием.
Cov (родитель—потомок) = о2 4—а2,
(22)
Cov (полные сибсы) = — + — а2 4—— с2 + —- (23)
2 9 12 36
Разделив ковариацию на общую генетическую дисперсию о2,, мы полу-
чим соответствующую корреляцию между родственниками.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. По данным Винга (цит. по [195]), у японского хмеля Humulus
japonicus растения женского пола имеют генотип XX, тогда как рас-
тения мужского пола обладают генотипом XXX, где X обозначает по-
ловую хромосому. В отношении генов, сцепленных с полом, первые
обычно диплоидны, а вторые являются автотриплоидами и дают два
типа пыльцы — XX и X. Когда яйцеклетка оплодотворяется Х-пыльцой,
она развивается в женское растение; при оплодотворении пыльцой XX
получается мужское растение.
Гетерозиготные мужские растения ААа и Ааа при случайной сег-
регации хромосом дают следующие гаметы:
1 2 1
— (71А)4- — (71а)= — (XX)—гаметы, дающие мужские растения
6 6 2
2 1 1
—• (71)4- — (а)= (X)—гаметы, дающие женские растения
6 6 2
2 1 1
— (Ла)+—(аа)= — (XX)—гаметы, дающие мужские растения
6 6 2
1 2 1
— (71)4- — (а)= — (X)—гаметы, дающие женские растения
6 6 2
Среди потомков от любого скрещивания численности мужских и
женских растений одинаковы, поскольку одинаковы численности пыль-
цевых зерен (X) и (XX). Особенности расщепления для двенадцати
типов скрещивания отражены в табл. 8.5.
2. Используя данные табл. 8.5, покажите, что популяция
(р2,2pq, q2) XX и (р3, 3p2q, 3pq2, q3) XXX
равновесна при случайном скрещивании. Отношение долей «рецессив-
ных» растений двух полов равно q2 : <?3= 1 : q. Если начать с произволь-
ной популяции, то равновесие за одно поколение не достигается, однако
скорость приближения к нему очень велика.
3. Пусть исходная популяция состоит из особей А2а2. Рассчитайте
доли гамет и зигот в нескольких последующих поколениях, предполагая,
что имеет место случайное скрещивание. Составьте таблицу отдельно
для хромосомной и хроматидной сегрегаций. Чему равны равновесные
доли?
148
ГЛАВА 8
Случайная сегрегация хромосом
п А* А:‘а Д2а2 Аа3 (А4) (Да) (аа)
1 4 1
0 0 0 1 0 0
6 6 6
1 8 18 8 1 2 5 2
36 36 36 36 36 9 9 9
о 4 20 33 20 4 13 28 13
81 81 81 81 81 54 54 54
1 4 6 4 1 1 2 1
16 16 16 16 16 4 4 4
Случайная сегрегация хроматид
0 0 0 1 0 0 3 8 3
14 14 14
1 9 48 82 48 9 27 44 27
196 196 196 196 196 98 98 98
2 9 24 34 24 9 3 4 3
100 100 100 100 100 10 10 10
Таблица 8.5
Расщепление в потомстве японского хмеля
(при случайной сегрегации хромосом)
Скрещивание Потомство Потомство Д'
?Хс? АА;Аа:аа ААА: ААа: Ааа: ааа
ААХААА 1 1
ААхААа 2 : 1 1 : 2
ААхАаа 1 : 2 2 : 1
AAXaati 1 1
АахААА 1 : 1 1:1
АаХААа 2:3:1 1:3:2
АаХАаа 1:3:2 2:3:1
АаХааа 1 : 1 1 : 1
ааХААА 1 1
ааХААа 2 : 1 1 : 2
ааХАаа 1 : 2 2 : 1
ааХааа 1 1
4. Желтый цвет цветка Dahlia variabilis наследуется как тетрасом-
ный признак [325]. Обладая самонесовместимостью, D. variabilis в при-
роде, вероятно, скрещивается случайным образом. Для синтеза флаво-
на — желтого пигмента — достаточно одного доминантного гена, поэто-
АВТОПОЛИПЛОИДЫ
149
му белыми являются растения только генотипа а4. Если в природной по-
пуляции растения с белыми цветками составляют 25%, то чему равна
частота рецессивного гена и каковы доли растений с «желтыми» геноти-
пами? Проделайте расчеты как для хромосомной (I), так и для хрома-
тидной (II) сегрегаций.
Ai А3а А2а2 Аа3 а< J (ДЛ) (Аа) (аа) Я
I 0,00736 0,07107 0,25736 0,41421 0,25000 0,0858 0,4142 0,5000 0,7071
II 0,02226 0,10468 0,27226 0,35080 0,25000 0,1492 0,3508 0,5000 0,6754
5. Если x+2z/+z=l, х+у=р и y-[-z=q, то
р2 = х2 _1_ 2Ху у2 = х (х + 2у + z) — xz + у2 = х — xz + у2.
Найдите соответствующие выражения для q2 и pq.
6. Рекуррентное соотношение для гамет при сегрегации хромосом,
согласно формуле (9), можно записать в виде
Xi = х + ~ (у2 — xz) = х + (х + у2 — xz) = -у х + Л р2.
Найдите соответствующие рекуррентные соотношения для z/x и zt.
7. Рекуррентное соотношение для гамет при сегрегации хроматид,
согласно формуле (14), можно переписать в виде
%! = -у {7х2 4- 15ху 4- бу2 + Зхг 4- уг} =
_ 1 ~ 7 2х2 + Аху + 4х2 + 8ху + Ау2 4- х2 + 2ху 4- 2xz 4- xz + yz . = у {2х 4-4р2 4-р}.
4 - ху + 2у2
Найдите соответствующие выражения для 2у{ и Zi
8. Пусть p = q=— в каждой из следующих четырех панмиктических популяций автотетраплоидов:
Генотип АААА АААа ААаа Аааа аааа
Частота 1 4 6 4 I
У У4 Уз Уа У1 Уо
Популяция I 9 7 5 3 1
Популяция II 1 7 9 7 1
Популяция III 9 3 5 7 1
Популяция IV 7 3 7 3 7
Величины У представлены на рис. 8.1. Покажите, что в соответствии
с (21)
для популяции I
для популяции II
для популяции III
для популяции IV
_2 _„2
ау — О]
2 2
ау = а2
л2 _ «2
— G3
-2 _ _2
— <^4
другие компоненты равны нулю.
150
ГЛАВА 8
Рис. 8.1. Значения количественного признака У тетраплоидных генотипов в популяциях
I, II, III, IV, приведенных в таблице к прим. 8.
Генотипы аааа, аааА, ааАА, аААА, АААА обозначены соответственно 0, 1, 2, 3, 4; эти цифры отра-
жают дозу гена А.
Зеркальные отображения популяций на рис. 8.1 имеют те же са'мые ком-
поненты дисперсии.
ГЛАВА 9
Аллели самостерильности
Самостерильность — явление, широко распространенное у высших
растений. В большинстве случаев она обусловлена серией множествен-
ных аллелей Si, S2, S3, ... . Пыльца, содержащая ген Si, попав на пестик,
содержащий тот же самый ген, не функционирует. Таким образом, рас-
тения SiS2 не могут быть оплодотворены пыльцой Si или S2 и оплодо-
творяются только пыльцой S3, S4. Этот механизм впервые обнаружили
Ист и Мангельсдорф [122b] у Nicotiana. Самоопыление и опыление меж-
ду экземплярами с одним и тем же генотипом стерильны, тогда как пере-
крестное опыление растений с различными генотипами фертильно. О та-
ких растениях говорят, что они обладают внутригрупповой стерильно-
стью и межгрупповой фертильностью. Обнаружено, что физиологическая
основа механизма этой стерильности заключается в подавлении роста
пыльцевой трубки. В пестиках, содержащих такой же аллель,
рост пыльцевой трубки подавляется, и она не достигает зародышевого
мешка. При данном механизме все растения должны быть обязательно
гетерозиготными по аллелям S, поскольку два одинаковых гена никогда
не смогут объединиться и образовать зародыш.
§ 1. ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ: ТРИ АЛЛЕЛЯ
Минимальное число аллелей самостерильности, естественно, равно
трем. Этот случай и был обнаружен первым. При наличии трех аллелей
SiS2S3 имеются три группы (генотипа) растений: SiS2, S1S3 и S2S3. Рас-
тения каждой группы стерильны при скрещивании с растениями той же
самой группы и фертильны при скрещивании с растениями двух других
групп. Таким образом, результаты скрещивания будут следующими:
SiS2?X(S1S3 или S2S3)d'^- SjSg —— S2S3,
SiSg? х (S^ или S2S3)c? -> -у SiS2 + S2S3, (1)
S2S3? x (SiS2 или S]S2 -}- S1S3.
Заметим, что во всех скрещиваниях женский родительский генотип ни-
когда не появляется у потомства и реципрокные скрещивания никогда
не приводят к одинаковым результатам. 50% потомков похожи на муж-
ского родителя, тогда как остальные 50% растений принадлежат к треть-
ей группе (иной, чем две родительские). Два скрещивания , SiS2$ X
XSiS3(y и SiS2^XS2S3ci', приводят к одинаковым результатам, посколь-
ку в обоих случаях в пестике растения, имеющего генотип SiS2, может
функционировать только пыльца S3 мужского растения.
152
ГЛАВА 9
Таблица 9.1
Случайное скрещивание трех групп растений
с внутригрупповой стерильностью и межгрупповой фертильностью
Родитель женского пола Частота Потомство
SjSa S1S3 5 2*$3
SiS2 х0 0 1 2 0 1 ТХо
SjS3 Уо 1 0 1 2 Уо
S2S3 г» 1 2 2° 1 2 0 0
Сумма 1,00 у (1—*о) -у(’-Уо) -у (’—г0)
Рассмотрим произвольную популяцию, состоящую из растений SiS2,
S1S3 и S2S3 в разных пропорциях. Предположим, что в каком-то поколе-
нии наиболее многочйсленным является генотип SiS2. Тогда, поскольку
материнский генотип никогда не появляется у потомка, можно сделать
вывод, что в следующем поколении этот генотип будет самым редким.
Если же, напротив, экземпляры с генотипом SiS2 в некотором поколении
встречаются реже всех остальных, то в следующем поколении они будут
наиболее многочисленными. Таким образом, при случайном скрещива-
нии равновесия достигнуто не будет, если только частоты генотипов не
равны друг другу. Равновесными являются такие условия, когда попу-
ляция содержит по */з экземпляров каждого генотипа и, следовательно,
частота каждого аллеля также равна !/з-
Алгебраические соотношения для популяции со случайным скрещи-
ванием проще всего получить следующим способом. Пусть исходной по-
пуляцией будет (x0SiS2, yoSiSs, z0S2S3), где Хо+Уо + го=1. Частоты раз-
личных фертильных скрещиваний и соответствующих им потомков при
панмиксии приводятся в табл. 9.1. Очевидно, что доля экземпляров SjS2
в поколении потомков равна
х1=~~(1—х0). (2)
Аналогично выглядят и выражения для г/i и zj. Таким образом, мы мо-
жем исследовать только изменения х в последовательных поколениях.
Используя повторно (2), получим
Х2 9 U “ Х1)— . (1 %0), Х3— “^*(1 -— Х°}’
^-4 z о
%4 = V(1 -*з) = -^(5 + *о), х6 = ^-(11-х0) (3)
10 о Л
и т. д.
Последовательность —, —, —, —, —, ...
2 4 8 16 32
приложение), и, следовательно, мы имеем
достигает предела, ’/3 (гл. 7,
АЛЛЕЛИ САМОСТЕРИЛЬНОСТИ
153
поскольку х0/2п->0. Последовательные значения х колеблются около его
предельного значения, равного-^-. Разность между двумя последова-
тельными хравна
^Хп = Хп-J-l Хп - 2 (1 %п) %п g (1 Зхп). (5)
Такими же свойствами обладают уп и zn. При равновесии Дх=0; следо-
вательно, х=—. Возможно, это более простой, чем изложенный выше
способ отыскания предельного значения хп.
До сих пор мы рассматривали только доли зигот в популяции. Най-
дем теперь частоты генов для каждого поколения. Пусть q\. — частота
гена и т. д. Ее величина в n-м поколении при свободном скрещива-
нии будет равна
<7i(«) = -j-xn+-j-yn= ~ (1— zn) = zn+i, (6)
что является долей зигот S2S3 в следующем поколении. Подобно этому,
Уз (частота S3) в некотором поколении будет долей экземпляров S1S3 в
следующем поколении. Следовательно, свойства частот генов аналогич-
ны свойствам долей зигот (2) и (5). В табл. 9.2 приведен пример, иллю-
стрирующий соображения, изложенные выше.
Одна из важнейших особенностей условия равновесия для аллелей
самостерильности состоит в том, что окончательные значения долей
зигот и частот генов — абсолютные константы, не зависящие от исход-
ных значений Хо, уо, £о- Отсюда следует, что если значительную долю
или даже все особи одного генотипа удалить из популяции, новое рав-
новесие установится через несколько поколений в той же са-
мой точке, ^=_к. Следовательно, по отношению к этим аллелям ника-
3
Таблица 9.2
Приближение к равновесию при случайном скрещивании для трех
аллелей самостерильности
п Частота зигот Частота генов
SiS2 SjSg S2S3 51 52 5з
0 0,8000 0,1600 0,0400 0,480 0,420 0,100
1 0,1000 0,4200 0,4800 0,260 0,290 0,450
2 0,4500 0,2900 0,2600 0,370 0,355 0,275
3 0,2750 0,3550 0,3700 0,3150 0,3225 0,3625
4 0,3625 0,3225 0,3150
5 0,31875 0,33875 0,3425
6 0,340625 0,330625 0,32875
7 0,3297 0,3347 0,3356
8 0,3351 0,3327 0,3322
9 0,3325 0,3336 0,3339
10 0,3337 0,3332 0,3331
оо 0,333- 0,333-.- 0,333- о,ззз... о,ззз... 0,333-
154
ГЛАВА 9
кой отбор не является эффективным. Популяция только с двумя такими
аллелями не может существовать. Если в популяции осуществляется
инбридинг, то в конце концов останутся только три аллеля. Кроме то-
го, популяция, состоящая из растений трех генотипов равных численно-
стей, будет находиться в устойчивом равновесии при любой системе скре-
щивания. К тому же ни один ген не может иметь частоту, большую 0,5,
какими бы ни были доли зигот.
§ 2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ: k АЛЛЕЛЕЙ
Пусть qt — частота аллеля S, (t= 1, 2, ..., k) и S</,= 1. Пусть, далее,
Gn — частота растений S,Sj (t#=y). Поскольку все растения гетерози-
готны, то
2,,= уОц> (7)
/ i
т. е. qi в любой популяции не может превышать-^-. Главная задача —
это найти рекуррентные соотношения между частотами генотипов для
двух последовательных поколений. В качестве конкретного примера рас-
смотрим ситуацию с 5 аллелями (k = 5). Десять [&(&—1) —1/2=10] ге-
терозиготных генотипов с частотами G-tj представлены в табл. 9.3. Рас-
считаем, например, частоту S]S2 в следующем поколении. Ясно, что гено-
типы SiS2, S3S4, S3S5, S4S5 не могут дать потомства S]S2. Из остав-
шихся шести генотипов, которые могут произвести потомство SiS2, мы
можем рассмотреть детально только один генотип; для всех остальных
случаев доказательство аналогично.
Таблица 9.3
Пять аллелей самостерильности и десять гетерозиготных генотипов
(SiSj) с частотами G,j О
Si S2 0 Si s3 G13 9з Sj St 614 ?2 S1S5 Gis 9g.
2(1 — 91 — 9з) 2(1 — 91 — 91) 2(1 —9i —9з)
S3 S3 @23 91 $2 S4 Sa S5 G25?l
2(1 — q2 — q3) 2G — 92 — 9t) 2 (1 — 92— 9b)
Ss St 0 $3 S5 0
S4 S5 0
’) Дроби под обозначениями генотипов представляют частоты потомков S1S2, про-
изводимых соответствующими родителями.
Пусть родителем будет S1S3. Чтобы дать потомка с генотипом З^г,
аллель Si должен содержаться в яйцеклетке, оплодотворенной пыльцой
с аллелем 32. Вероятность того, что яйцеклетка несет аллель St, равна
АЛЛЕЛИ САМОСТЕРИЛЬНОСТИ
155
На пестике StS3 пыльцевые зерна Si и S3 не функционируют. Доля
пыльцевых зерен S2 среди всей функционирующей пыльцы будет, таким
образом, равна 72/(1—71—7з). Поэтому, как показано в табл. 9.3, роди-
тель SiS3 даст GI372/2(1—7i—7з) потомков типа StS2. Частоты для дру-
гих родителей рассчитываются таким же образом. Для краткости запи-
шем
7713= -——------ и т. п. (8)
1 — 71 ~
Суммарная частота типа SjS2 в следующем поколении (отмеченном
штрихом) равна
± q2 (7/13 + Т/14 + Т/15) + -1- 7х (Т/2з + 7734 + 77аб). (9)
Для k аллелей и для любого потомка 5,5; рекуррентное соотношение,
согласно Фишеру [174а], имеет вид
+ (10)
и и
где суммирование производится по k — 2 членам (w#=t, /). Чтобы пока-
зать, как получить новую частоту гена q'. в поколении потомков, опять
возьмем, для примера пять аллелей. Выпишем выражения для G[3, G[4 ,
G[s, как мы это делали для G[2 . Тогда
2<7i = G12 + Gi3 + Gu 4- Cis. (11)
Принимая во внимание соотношение 1—q{—73 = 72 + 74 + 75, можно пока-
зать, что первый член правой части (И) равен -^-(Gi2 + ... + Gis) =71
и т. д. Таким образом,
271 = 71 + 71(7/23 + + Т/25 + H3i + Н35 + 7/45), (12)
где суммирование Н идет по всем i, /=^1. Аналогичные выражения мож-
но записать и для всех 7л Легко проверить, что в стационарном состоя-
нии 7г=— и Gij=—. Для k аллелей qt=\lk и Gij = 2jk(k—1) —это со-
5 10
стояние равновесия, которое локально устойчиво [474].
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что при наличии трех аллелей самостерильности
Mi = у (! — З7О и Д^ + Д72 + Д73 = 0.
2. Пусть 7, q', q"— частоты определенных аллелей самостерильно-
сти в трех последовательных поколениях, так что \q = q'—7 и i\'q = q"—
—q'. Предполагая, что имеются только три аллеля, покажите, что прира-
щение 7 на поколение уменьшается вдвое (с переменой знака) за каж-
дое поколение случайного скрещивания, т. е. Д4?=---------Д7.
3. Рассчитайте частоты зигот и частоты генов, а также их прира-
щения в десяти последовательных поколениях, предполагая случайное
скрещивание, если исходная популяция есть (0SiS2; 0,60 SiS3; 0,40 S2S3).
156
ГЛАВА 9
п Зиготы Гены Приращение
Si S2 S3 Sg S3 Si s2 S3 Д?1 Д<72 Д<7з
0 0 0,600 0,400 0,300 0,200 0,500 . . .
1 0,500 0,200 0,300 0,350 0,400 0,250 4-0,050 4-0,20 —0,250
2 0,250 0,400 0,350 0,325 0,300 0,375 —0,025 —0,10 4-0,125
3 0,375 0,300 0,325 0,350 / ... 4-0,05
4. Покажите, что популяция с частотой каждого из генотипов S^Sg,
SiS3, SA, S2S3, S2S4 и S3S4, равной
1
—, находится в состоянии равно-
весия.
ГЛАВА 10
Две пары генов
В этой последней главе, посвященной панмиктическим популяциям,
теоремы о равновесии будут распространены на системы, включающие
больше одного локуса.
§ 1. ЧАСТОТЫ ГЕНОТИПОВ И ВЫХОД ГАМЕТ
Если рассматривать популяцию по двум парам генов, то в ней об-
наруживается девять генотипов. Для удобства записи эти генотипы мож-
но систематизировать, а их доли представить элементами матрицы
зхз.
ААВВ ААВЬ A Abb ~ zn z12 z13 ”
АаВВ AaBb Aabb, Z = z21 z22 z2S
aaBB aaBb aabb L z3i z32 z33 _
Здесь сумма девяти z равна единице. Суммы трех строк дают доли осо-
бей АА, Аа, аа, тогда как суммы столбцов — доли особей ВВ, ВЬ и bb
соответственно.
Аналогичным образом можно записать четыре типа гамет, а их до-
ли представить элементами матрицы 2x2.
АВ Ab g = fg11 gvt
аВ ab ' [g31 g33 ’
Здесь сумма четырех g равна единице. Суммы двух строк дают частоты
генов для пары А—а, тогда как суммы столбцов — частоты генов для па-
ры В—Ь.
При заданных долях генотипов (z,j) легко рассчитать суммарный
выход гамет. Поскольку зиготы ААВВ дают только гаметы (АВ), зиго-
ты ААВЬ и АаВВ дают 50% гамет (АВ), а зиготы АаВЬ— 25% гамет
(АВ) и т. д., мы имеем (рис. 10.1)
£41 = Z11 + V2 (Z12 4~ Z21) 4~ 1/1Z22> gl3 = Z13 A" (z12 4“ Z2s) 4' (1)
= Z31 4~ ^2 (Z21 z32) 4~ 833 = Z33 + ^2 (Z23 4~ Z32) 4“ 4^22-
Пусть p и q — частоты генов А и а, и и v — частоты генов В и Ь. Эти ве-
личины можно получить прямо из долей зигот или образованных ими
гамет (рис. 10.1)
Р = gn + gis = zi. + ~ z2., и = gu + g31 = гл + -у z.2,
7 — £31 4~ 8зз ~ zs. 4 z2 , v = gl3 -t- g33 = z_3 -j- z 2, (2)
158
ГЛАВА 10
где Zi. = zn+z12 + z13 — сумма элементов первой строки матрицы для зи-
гот; z.3=zl3 + z33 + z23 — сумма элементов третьего столбца той же самой
матрицы и т. д.
Рис. 10.1. Соотношения между до-
лями зигот (Z), долями гамет (g) и
частотами генов [см. формулы (1),
(2), а также выражения для Z в
табл. 10.1].
§ 2. УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПРИ ПАНМИКСИИ
Можно показать, что при свободном скрещивании популяция
д р2и2 2p2uv p2v2 ' p2
Z = 2pqu2 4pquv 2pqv2 2pq (3)
q2u2 2q2uu q2v2 q2
и2 2uv V2
находится в равновесии. Если популяция находится в равновесии в от-
ношении двух пар генов, то она обязательно должна находиться в равно-
весии и в отношении каждой пары генов по отдельности. Действительно,
суммы строк матрицы (3) равны р2, 2pq, q2, а суммы столбцов — и2,
2uv, v2.
Если не дифференцировать реципрокных скрещиваний, то количе-
ство различных скрещиваний равно (9X10)/2 = 45. Чтобы убедиться в
равновесности популяции (3), совсем не обязательно перечислять их
здесь. Поскольку результаты свободного скрещивания будут такими же,
как и при свободном объединении гамет (гл. 1, § 5), нужно лишь найти
А
выход гамет у популяции Z. Из (1) мы имеем
gn = Р2и2 + p2uv + pqu2 + pquv = ри (ри pv + qu~\- qv).= ри.
Доли гамет остальных трех типов определяются аналогичным образом.
А
Итак, выход гамет для популяции Z равен
А __ £11 £13 Г Р» PV
& ~ л a qu qu
_ £31 £зз.
случайное объединение их дает
АВ Ab аВ ab 12= ГА aV [В Я2
_ ри 4- pv + qu + qv J Lp + 7j Lw +
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
159
Л
т. е. то же самое, что и для Z. Следовательно, популяция находится в
равновесии.
§ 3. ДОСТИЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
В произвольной популяции равновесие в отношении девяти геноти-
пов не может установиться за одно поколение случайного скрещивания,
однако достигается очень быстро. Пусть имеется популяция Z0=[zi:i],
продуцирующая гаметы с частотами (gu, gI3, g3I, gss)- Комбинируя эти
гаметы случайным образом и объединяя члены для одного и того же ге-
нотипа, мы найдем частоты зигот в следующем поколении, определяе-
мые элементами матрицы [355]
gh
2gngsl
8331
2£ц£13 gl3
2 (£п£зз ~hgi3gai) 2g13g33
2§з1 £зз £зз
Через одно поколение каждая из двух пар генов, взятая по отдельности,
будет находиться в равновесии. В этом можно убедиться, рассмотрев
суммы долей зигот по строкам и столбцам (4). Например, суммы строк
равны
fen ~i~ £1з)2, 2 (gxl 4~ g13) (g31 4~ £зз), (£з1 £зз)2>
т. е., согласно (2),
р2, 2рд, д2,
что соответствует долям АА, Аа и аа. Суммы столбцов равны и2, 2ии,
v2 и дают доли ВВ, ВЬ и bb соответственно. Однако если мы рассмотрим
обе пары генов вместе (обратившись, скажем, к долям девяти генотипов
в популяции), то Z\ вовсе не будет равновесной. Выход гамет в этой по-
пуляции, согласно (1), можно рассчитать следующим образом:
ё'и = Sh + Sil £1з +£и£з1 + -у- (£ц£3з + £1з£з1) =
= £п (£11 Н- £1з “Ь £з1 4~ £зз) ~ (gnSaa £1з£з1)-
Аналогично определяются доли гамет трех остальных типов. Если обо-
значить определитель матрицы гамет через d, так что
d0 —
£и £31
£з1 £зз
— £н£зз £1з£з1>
то продукция гамет Zi (с учетом того, что сумма четырех g равна еди-
нице) будет
£'п = £ц ~ 4" 4 8'1з = £1з + 4" do' (5)
£31 £з1 + 2 d°’ 8зз £зз 2 d°'
Следует отметить, что частоты генов от поколения к поколению не ме-
няются; так, например, g'll+g'13=gii + gi3=P и т. д. Таким образом, оп-
ределитель матрицы гамет, полученный из Z\, равен
160
ГЛАВА 10
di =
8ц 81з
831 833
§п S13
8ц 2 dQ
831 + "у
gn -у <4
1 ,
§1з------- do
£13 ~у
£зз d°
Р 1 ,
Td°
Sis
§33
Ssi §зз
у
-~d0
- +
— do — do (gn + §31)
---2~ d°
-~d0
---do (gis g33) + 0 = d0------— d0 - — d0.
Итак, мы видим, что доли гамет изменяются таким образом, что вели-
чина d=gug33—gi3g3i через каждое поколение уменьшается наполови-
ну. Следовательно, через п поколений
. 1 л ( i Y
“п — ~ “л-1 — у
В равновесии доли гамет составляют
gn = ри- = (gn + gis)(gii+g3i)=gii — ит. д.
!0 -> 0 при оо.
Таблица 10.1
Приближение к равновесию для двух пар генов при панмиксии (в исходной популяции
р=0,70; <7 = 0.30; « = 0,60 и и = 0,40)1>
120 = 0,25 0,02 0,12 0,16 0,24 0,02 0,14 1 0,04 0,01 „ — (0,40 8° ~ (0,20 0,30\ 0,10,1 d0 = —0,02
21 = ’ 0,16 0,16 0,04 0,24 0,20 0,04 0,09 ' 0,06 0,01 „ -(0,41 81 ~ \0,19 0,29\ о,п? di = — 0,01
23 = ‘ 0,1681 0,1558 _ 0,0361 0,2378 0,2004 0,0418 0,0841' 0,0638 0,0121 „ _(0,415 82 ~ (0,185 0,285\ 0,115,) da = — 0,005
23 = ’ 0,172225 0,153550 _ 0,034225 0,236550 0,200900 0,042550 0,081225 0,065550 0,013225 „ _ (0,4175 8s ~ (0,1825 0,2825\ 0,1175) d3 = — 0,0025
Z4 = Г 0,1743 0,1524 . 0,0333 0,2359 0,2012 0,0429 0,0798 ' 0,0664 0,0138 . „ _(0,41875 8t ~ (0,18125 0,28125\ 0,11875) = — 0,00125
25 = 0,17535 0,15180 _ 0,03285 0,23555 0,20140 0,04305 0,07910 0,06680 0,01410 _(0,4194 85 ~ (0,1806 0,2806\ 0,1194/ do = — -0,0006
z6 = Г 0,1764 0,1512 0,0324 0,2352 0,2016 0,0432 0,0784' 0,0672 0,0144 Л (0,420 8~ (0,180 0,280\ 0,120/ A d = 0
)
Начиная c Zl суммы строк равны 0,49;
0,42; 0,09; а суммы столбцов—0,36; 0,48; 0,16.
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
161
так что определитель матрицы для гамет, как и ожидалось, равен нулю:
л
d =
§11 §1з + L q
£зх ~r d0 g33 d01
Л А Л A
Иными словами, в равновесной популяции gug33—gi3g3i- Исходные до-
ли гамет отличаются от соответствующих значений в состоянии равно-
весия на величину do, которую, таким образом, можно рассматривать
как показатель отклонения произвольной популяции от равновесия. Мак-
, 1
симальное значение d не может превышать —, и, кроме того, оно умень-
шается вдвое через каждое поколение, поэтому равновесие достигается
популяцией очень быстро. В табл. 10.1 приведен пример, иллюстрирую-
щий рассмотренные выше положения.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
1. Если частоты двух пар генов равны, доли зигот в панмиктиче-
ской популяции симметричны по отношению к главной диагонали мат-
рицы для зигот, т. е. (поскольку р = и и q — v) независимо от то-
го, равновесна популяция или нет. Так как
Р = §11 + о!3 ~ §11 + £з1 ~ U>
то во всех поколениях gi3=g3i- Производя подстановки в матрицу для
зигот (4), мы увидим, что ее элементы симметричны по отношению к
главной диагонали. Иначе говоря, доли АаВВ и ААВЬ равны друг дру-
гу, так же как и доли ААЬЬ и ааВВ и т. д. С другой стороны, если p = v
и q — и, то доли зигот будут симметричны по отношению к другой диаго-
нали матрицы.
2. В любой произвольной панмиктической популяции, выход гамет
которой таков, что d=gng33—g\zg3\. — ^, равновесие установится через
одно поколение. Например:
'0,14 0,26 0,07 > /0,42 0,28\ 0,1764 0,2352 0,0784'
0,20 0,20 0,06 1 л 1 q 0 19/ 0,1512 0,2016 0,0672
„0,01 0,04 0,02 \ V, 1 о и, 1Z / _ 0,0324 0,0432 0,0144_
3. Особый случай представляет популяция, состоящая только из
двойных гетерозигот АаВЬ (например, особи первого поколения от скре-
щивания ААВВХааЬЬ или AAbbXaaBB). Здесь р = и= Равновесие
устанавливается за одно поколение, а доли зигот симметричны по отно-
шению к обоим диагоналям. Таким образом,
“12 1“
о о о
0 1 о
о о о
16 16 16
/_1_ _1_\ I 4 4 \ \ 4 4 J 16 16 16 2 4 2_ 16 16 16 J 2 1_
Таков состав популяции во втором поколении. При случайном скре-
щивании во всех последующих поколениях он останется таким же. Ряд
других частных случаев рассмотрен в работе [257].
11—322
162
ГЛАВА 10
§ 5. ЭФФЕКТ СЦЕПЛЕНИЯ
Если две пары генов расположены на одной и той же паре гомоло-
гичных хромосом, равновесие будет достигаться медленнее, чем в слу-
чае, когда они независимы. Чем больше сила сцепления, тем меньше ско-
рость достижения равновесия.
Очевидно, что сцепление не влияет на выход гамет у тех особей, чьи
генотипы содержат одну или две пары генов в гомозиготном состоянии.
Например, зигота ааВЬ будет давать 50% гамет (аВ) и 50% (ab) неза-
висимо от того, сцеплены эти два локуса или нет. Сцепление проявляет-
ся только в изменении частот гамет, образуемых двойными гетерозигота-
ми, и зависит от того, находятся они в фазе «притяжения» или «отталки-
вания». Пусть двойные гетерозиготы дают следующие гаметы:
Типы зигот Доля гамет
(ЛВ) (Л6) (аВ) (ab)
Фаза притяжения: АВ lab Г 1 : 1 Г
Фаза отталкивания: AbjaB 1 : г г 1
Здесь r> 1 и известно под названием «отношения сцепления»; R = 1/(1 +
4-г)—доля кроссоверов, 1—R = r(l + r)—доля некроссоверов (роди-
тельских комбинаций).
Частота двойных гетерозигот в (4) равна сумме частот гетерозигот
в двух различных фазах:
z'2 = 2gп g33 (фаза притяжения) 2g13g31 (фаза отталкивания),
а продукция гамет для каждой из фаз должна быть рассчитана отдель-
но. Рассуждая как и раньше, мы получим, что доля гамет (АВ), обра-
зуемых Zi, равна
^i = §п + £п £1з +£ii£si+ (1 ~ #) £ц £33 + ^£1з£зр
Выражения для трех других типов гамет аналогичны. Упростив их, по-
лучим [549—551]
£11 = §11 М- §13 = §13 ^0’
§31 ~ §31 + §зз = §зз' *4-
Поскольку г>1, R/ (14- г) <—,
так что изменение долей гамет за поко-
ление всегда меньше, чем при независимых генах. Определитель матри-
цы для гамет Z\ можно легко найти, заменив в (6) — на 7?; таким об-
разом,
£п
§м
§13
§33
= d0-/?d0 = (l-/?)d0,
(6L)
<4 —
где 1—R = r/(14-г) всегда меньше так что d уменьшается за поколе-
ние с меньшей скоростью. Его предельное значение, однако, также равно
нулю: dn= (1—/?)с/п-1=(1—R)nd0-+Q при В равновесии с!=0; это
означает, что
л л л л
£и£зз = £1з£з1,
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
163
как и в случае независимых генов. Отсюда следует, что зиготы ABjab в
фазе притяжения и зиготы АЬ/аВ в фазе отталкивания в равновесной
популяции одинаковы по численности (доля каждой из них составляет
2pquv), так что общий выход гамет, образуемых двойными гетерозиго-
тами, находящимися в этих двух фазах, равен выходу гамет 4pquv АаВЬ
для независимых генов. Окончательные доли гамет также будут совпа-
л
дать с долями гамет для независимых генов, а именно gn = pu=gn—а„
и т. д. Рассмотрим конкретный пример. Начнем с тех же самых долей
гамет g0, что и в табл. 10.1, но примем г=4, так что доля кроссоверов
Р = 20%. Доли гамет для нескольких следующих поколений при панмик-
сии будут такими (ср. с табл. 10.1):
„ - (0,40 _ (0,20 d0 = —0,0200 0,30] 0,10) „ _ /0,404 ё1 ~ (0,196 = —0,0160 0,296] 0,104) „ _ /0,4072 (0,1928 d2 = — 0,0128 0,2928] 0,1072)
_ /0,40976 (0,19024 0,29024] 0,10976/ „ _ /0,4118 (0,1882 0,2882] 0,1118) gs /0,41344 ~ (о,18656 0,28656] 0,11344)
<: = —0,01024 0,0082 d4 = —0,0082 d* = — 0,00656
_ /0,41475 ' 6~ (0,18525 0,28525] 0,11475) Л g = /0,420 - (О,180 0,2801 0,120)
de = — 0,00524 Л d = = 0
В этом примере доля кроссоверов Д = 0,20, и равновесие все еще до-
стигается довольно быстро. Так, мы видим, что через шесть поколений
случайного скрещивания d уменьшается до (1—0,20)6=0,262 от его пер-
воначального значения, т. е. до 0,00524 = 0,262- (0,02). Однако при очень
сильном сцеплении равновесие достигается лишь через большое число
поколений, например при Д = 0,01 через шестьдесят девять поколений d
уменьшается лишь наполовину: согласно (6L), (1—0,01)69^ 0,50.
Главный вывод, вытекающий из всего вышесказанного, состоит в
том, что в равновесной панмиктической популяции доля зигот в отноше-
нии двух пар сцепленных генов идентична долям зигот при независи-
мых генах. Иными словами, доли зигот полностью определяются часто-
тами генов независимо от того, как расположены эти гены — на одной
и той же хромосоме или нет. Следовательно, сцепление генов нельзя
выявить, рассматривая генотипические и фенотипические доли во всей
популяции в течение немногих поколений. Два признака, контролируе-
мые двумя парами сцепленных генов, распределяются совершенно
независимо, как показано на примере популяции (3). В этом заклю-
чается одна из главных трудностей в определении сцепления при насле-
довании у человека. Распространенное утверждение, состоящее в том,
что связь или корреляция между двумя признаками у человека обуслов-
лена сцеплением генов, без сомнения, ошибочно. Любая наблюдаемая
связь признаков в популяции может быть обусловлена различными при-
чинами: одинаковым влиянием среды, множественным действием одно-
го и того же гена или генов (илейотропией), подразделенностью популя-
ции на разнородные группы, дифференциальным инбридингом, физио-
логическими последствиями развития или просто систематической
ошибкой выборки и не доказывает существования генетического сцепле-
ния [360].
Любое систематическое изложение существующих методов для вы-
явления и оценки сцепления у человека потребовало бы многих страниц
11*
164
ГЛАВА 10
и вышло бы за рамки этой книги. Однако всем изучающим генетику
важно иметь ясное представление о том, где можно обнаружить эффек-
ты сцепления при рассмотрении равновесной популяции. Как отмеча-
лось выше, сцепление не влияет на образование гамет разными геноти-
пами, за исключением двойных гетерозигот. Поэтому оно проявляется
в пропорциях расщепления среди тех детей, у которых по крайней мере
один из родителей является двойной гетерозиготой. При наличии доми-
нирования сцепление можно изучать только на некоторых типах семей:
AaBbXaabb-, AabbxAaBb или aaBb\ ааВЬхАаВЬ. Принимая во внима-
ние, что, как правило, в популяции ABfab и AbjaB одинаковы по числен-
ности, в некоторых группах сибсов два признака будут иметь положи-
тельную корреляцию, тогда как в равном числе других групп сибсов —
отрицательную; таким образом, для популяции в целом эти два призна-
ка будут независимыми. Одним из убедительных доказательств суще-
ствования сцепления в приблизительно равных по численности группах
сибсов является поэтому наличие как положительных, так и отрицатель-
ных корреляций. Другой метод обнаружения сцепления заключается в
проверке пар сибсов на конкордантность и дискордантность в отноше-
нии обоих признаков (см.§ 11 и 12).
§ 6. ЧАСТОТЫ ФЕНОТИПОВ. ПРИЛОЖЕНИЯ
Частоты фенотипов в популяции зависят от схемы взаимодействий
между двумя парами генов. Вначале мы рассмотрим случай, когда А
доминирует над а и В — над b без какого-либо взаимодействия между
двумя локусами. Объединяя элементы матрицы (3), относящиеся к од-
ному и тому же фенотипу, мы получим следующие четыре частоты фено-
типов:
В — bb Сумма
А — аа (1-?2) (1-^) ?2(1 — ф2 (1—^2) V2 q2v2
Сумма 1 — V2 у2 1
Пусть [А—В—] — доля особей, имеющих в каждом локусе хотя бы один
доминантный ген, и т. д.; можно показать, что, какими бы ни были ча-
стоты генов, соблюдается следующее соотношение:
[А — В — ] [aabbl = [А — bb] [ааВ —].
Частоты генов можно рассчитать из сумм, приведенных в табл. (ЗР).
Так,
<72 = [ааВ —] ф [aabb], п2 = [А — bb] + [aabb].
В качестве примера приведем здесь результаты исследований Филипа
[515], который собрал и изучил случайную выборку жуков-полифагов
(Dermestes vulpinus), взятых с овчин, хранящихся в лондонских доках.
Путем различных скрещиваний было показано, что темная окраска
крыльев (А) доминирует над светлой (а), а черная окраска тела (В) —
над коричневой (&). Результаты классификации по этим двум признакам
152 жуков приведены в табл. 10.2. Из нее видно, что наблюдаемые и ожи-
даемые численности жуков очень хорошо согласуются друг с другом.
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
165
Таблица 10.2
Частоты встречаемости четырех фенотипов Dermestes vulpinus [515]
Фенотип Темные крылья Светлые крылья Сумма
черное тело А—В— коричневое тело А—bb черное тело ааВ — коричневое тело aabb
Наблюдаемая числен- ность Наблюдаемая частота 35 0,2303 24 0,1579 61 0,4013 32 0,2105 152 1,00
о2 = 0,3684 , <?2 = 0,6118
Ожидаемая частота Ожидаемая численность 0,2452 37,3 0,1430 21,7 0,3864 58,7 0,2254 34,3 1,00 152
%2 = 0,60; df = 4 — 2—1 = 1; 0,30< уровень значимости<0,50
§ 7. ОТНОШЕНИЯ СНАЙДЕРА ДЛЯ ДВУХ ЛОКУСОВ
Рассмотрим четыре фенотипа, получающиеся в том случае, когда
ген А доминирует над геном а, а ген В — над Ь. Обозначим эти феноти-
пы и их частоты следующим образом:
Я(1) = (Л —В—) L(2) = (A — bb)
Ях = (1-72)(1-^) Д = (1-У>2
L (3) = (ааВ —) R (4) = (aabb)
£3 = <72(1— и2) Я4 = <72^2
В нескольких словах объясним систему обозначений. Символы (1), (2)‘,
(3) и (4) обозначают четыре фенотипа по любой из двух пар генов с
доминированием. У человека преобладающее развитие правой или ле-
вой руки долгое время считалось признаком, определяемым двумя пара-
ми генов [544]. В частности, Леви и Нагилаки [342] предположили, что
фенотипы (1) и (4) свойственны праворуким людям, а фенотипы (2) и
(3) —левшам. Таким образом, дополнительные буквы R или L рядом с
цифрами (1), (2) и т. д. поставлены здесь для удобства в расчете на чи-
тателей, интересующихся наследованием право- и леворукости у челове-
ка. По-видимому, можно различить два типа левшей: L (2) — это левши
с доминантным центром речи в левом полушарии и L (3) — левши с до-
минатным центром речи в правом полушарии. Точно так же Я (1) —
обычный правша, имеющий доминантный центр речи в левом полуша-
рии, а Я (4) —-правша с доминантным центром речи в правом полуша-
рии; последние составляют лишь малую часть популяции. Для призна-
ков, не связанных с развитием той или иной руки, буквы Я и L можно-
опустить.
При наличии четырех фенотипов получается десять фенотипических
вариантов скрещиваний, как показано в табл. 10.3. Мы хотим узнать
тип расщепления для каждого фенотипического варианта скрещивания.
166
ГЛАВА 10
Напомним (гл. 2, § 4), что для одного локуса с доминированием (А, а)
среди скрещиваний типа ДомXРец и ДомХДом доли потомков, гомози-
готных по рецессивному гену, равны соответственно
S = -^-, 52=М-'Г. (9) 1+<7 U+W ’
Аналогичным образом для пары (В, Ь) соответствующие доли состав-
ляют
Т = T2 = pU|2. (9')
1 + » U + W
Одновременное и независимое расщепление по двумя парам генов можно
выразить в виде отношений Снайдера (9) и (10), выведенных для одной
пары. В качестве примера рассмотрим скрещивания типа R (1)ХД (1),
или просто (1)Х(1) = (А—В—)Х(А—В—). Фактически они представ-
ляют собой скрещивания типа ДомХДом для двух пар генов. Соотноше-
ния, получающиеся при расщеплении, можно рассчитать по следующей
схеме:
Доминатный (В —) Рецессивный (66)
1_уг уг
Доминантный, 1—S2 (А—)
Рецессивный, S2 (аа)
(1 — S2) (1 — Г2)
S2(l — Г2)
(1 — S2) Г2
S2 Г2
(Ю)
Эти величины даны в табл. 10.3. Тип (А—В—) х (А—В—) представлен
десятью генотипическими вариантами скрещивания, поскольку фено-
типу (А—В—) отвечают четыре генотипа. Соотношение (10) легко про-
верить, выписав десять генотипических вариантов скрещивания и рас-
считав частоты соответствующих генотипов в потомстве. «Соотношения»
при расщеплении всех других типов скрещивания получаются аналогич-
ным образом; их можно назвать соотношениями Снайдера для двух ло-
кусов.
Таблица 10.3
Две пары аутосомных генов с полным доминированием в каждой,
дающие четыре фенотипа. Десять фенотипических вариантов скрещиваний
и доли фенотипов, получающихся при расщеплении
в панмиктической популяции. S=q!(\-\-q), 7'=и/(1-[-о)
Родители Потомки
R (1) A — B — R(4) aabb L(2) A —66 L(3) aaB —
R(D хя(1) (1 — S2) (1 — T2) 5a уг (1 — S2) T2 S2(l — T2)
R (1) X R (4) (1—S)(l—У) ST (1—S)T S(\—T)
R (4) X R (4) 0 1 0 0
R(1)X£(2) (1 — S2) (1 — T) S2T (1 — S2) T S2(l — T)
R(l) XL(3) (1 —S) (1 — T2) ST2 (1 — S) T2 S (1 — T2)
R (4) XL(2) 0 . s 1—S • 0
R (4) XL(3) 0 T 0 1 — T
L (2) X L (2) 0 S2 1 — S2 0
L(2) XL(3) (1 —S) (1 — T) ST (1— S)T S(1 — T)
L(3) X L (3) 0 7^2 0 1 —T2
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
167
Из табл. 10.3 видно, что типы расщепления в скрещиваниях (1)Х
X (4) и (2) X (3) идентичны. Каждый вариант скрещивания (феноти-
пический) состоит из четырех генотипических скрещиваний. Идентичны
не только их групповые типы расщепления, но, кроме того, каждый ин-
дивидуальный вариант генотипического скрещивания в одной группе
имеет соответствующий ему вариант скрещивания в другой группе с та-
ким же типом расщепления (общий множитель 2 при частотах опущен):
(1) X (4) Частота (2) X (3)
AABBXaabb AABbXaabb АаВВ xaabb АаВЬХ aabb р2 q2 и2 v2 AAbb X ааВВ p2q2 2uv3 AAbb X aaBb 2pq3u2v2 AabbXaaBB 2pq3 2uv3 Aabb X aaBb RiRi—L2L3
Таким образом, в панмиктической популяции типы скрещиваний АаВЬх
Xaabb и AabbXaaBb встречаются с одинаковыми частотами и дают
каждый в потомстве-^-(AaBb, Aabb, aaBb, aabb).
§ 7. «ДУПЛИКАТНЫЕ» И КОМПЛЕМЕНТАРНЫЕ ГЕНЫ
Рассмотрим теперь случай «дупликатных» генов, когда рецессивный
признак дают только генотипы aabb, а другие восемь генотипов являют-
ся доминантными; их общая частота в обычной популяции равна 1—q2v2.
Таким образом, здесь имеется всего три различающихся типа скрещива-
ния (точно так же, как и в случае с одной парой генов при наличии доми-
нирования). Величины q и v нельзя оценить по отдельности из случайной
выборки. Мы можем узнать только их произведение qv, воспользовав-
шись соотношением (qv)2= [aabb].
Таблица 10.4
Типы скрещиваний и потомки для случая двух пар дупликатных генов
с доминированием
Тип скрещивания и его частота Потомство с рецессивными признаками, aabb
частота по всей популяции частота для данного типа скрещивания
36 Дом X Дом (1 —q2 v2)2 8 Дом X Рец 2q2 о2(1 — q2 v2) 1 РецХРец (<?2 V2)2 q2 v2(l — qv)2 2q3 o3( 1 — qv) ~ q* v* (———У = S2 \ 1 + qv 1 qy с 1 +qv 1
Для всех 45 скрещиваний ^2
Из 45 генотипически различных скрещиваний (8Х9)/2 = 36 скрещи-
ваний принадлежат к типу Дом X Дом, 8 — к Дом X Рец и один — к типу
РецХРец. Частоты скрещиваний и частоты появления соответствующих
потомков приведены в табл. 10.4. Дважды рецессивных потомков
Дают только 6 из 36 скрещиваний между доминантными форма-
ми (см. упр. 8), тогда как из 8 скрещиваний между доминантными и
рецессивными формами таких потомков дают 3 скрещивания. Отметим,
что доли рецессивных форм среди потомков от скрещивания данного
типа совпадают с отношениями Снайдера [(5), гл. 2], за исключением
168
ГЛАВА 10
того, что вместо q здесь стоит qv. Поэтому метод, изложенный в § 3
гл. 2, не позволяет различать случаи с дупликатными генами и одной
парой генов [359]. Это становится очевидным, если мы положим, что
«рецессивными» являются лишь гаметы (ab) (их частота равна qv),
тогда как три других типа гамет «доминантные» и встречаются с частотой
1—qv. Аналогичная ситуация имеет место при трех и большем числе пар
дупликатных генов. Два случая можно выделить по расщеплению в
семьях, способных давать потомков с рецессивным признаком. В случае
одной пары генов единственным вариантом скрещивания типа ДомХ
ХДом, дающим потомков с рецессивным признаком, является АаХАа.
Независимо от частоты генов во всей популяции */4 потомков от этого
скрещивания обладает рецессивным признаком. Как отмечалось выше,
в случае дупликатных генов число типов скрещивания, способных да-
вать потомков с рецессивным признаком, равно 6. Доли этих потомков
« 111
могут быть равны —, — или —; средняя доля зависит от частот скре-
щиваний (и, таким образом, от частот генов), но она всегда меньше— -
На практике, однако, из-за небольшого размера группы сибсов у чело-
века это различие не всегда выражено.
И наконец, рассмотрим случай комплементарных генов, когда при-
знак проявляется при наличии обоих доминантных генов. Назовем фено-
тип А—В—, встречающийся в популяции с частотой (1—q2) (1—v2),
«Дом», а другие фенотипы (А—аа, ааВ—, aabb все идентичные друг
другу), встречающиеся с частотой q2 + v2—q2v2, — «Рец». Здесь также
имеются только три различимых типа скрещивания: десять скрещиваний
типа ДомХДом, двенадцать — типа ДомХРец и пятнадцать.— типа
РецХРец. Характерной особенностью этого типа взаимодействия генов
в отличие от случаев дупликатных генов и одной пары генов является
способность скрещиваний всех трех типов давать потомков как типа
Дом, так и Рец. Можно показать, что доля Рец-потбмков от всех десяти
скрещиваний ДомХДом равна
Мы не будем перечислять здесь все результаты скрещиваний. Достаточ-
тт .9
но сказать, что Дом-потомки составляют более — потомства от скрещи-
7
вания ДомХДом, а Рец, таким образом, менее—; доля Дом-потомков
16
от скрещиваний ДомХРец обычно намного превышает—, поскольку
одни только скрещивания AaBbXaabb дают
АаВЬ-, остальные девят-
3
надцать скрещивании могут давать —,
8
Дом; от скрещиваний РецХРец можно
Рец-потомков. Применение метода IT О
ных локусов дано в работе [324].
1 з
—, —- или всех потомков типе
2 4
получить любые доли Дом- и
(гл. 4) к случаю двух сцеплен-
§ 9. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПРИЗНАКИ
и генетическая дисперсия
Определить генетическую дисперсию количественного признака,
контролируемого двумя локусами, гораздо сложнее, чем в случае одно-
го локуса. Чтобы сохранить преемственность в изложении, мы опять
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
169
применим метод ортогональных контрастов, уже использованный нами
в случае с одним локусом (гл. 3), а затем рассмотрим эквивалентную
методику для арифметических расчетов различных компонент генетиче-
ской дисперсии. Обозначим значения количественных признаков девяти
генотипов через У,-;:
ВВ вь bb
АА У22 у21 У-’0
Аа у18 Уп У1о
аа У 02 У 01 У 00
(Н)
Основное предположение, на котором основаны последующие рас-
суждения, заключается в том, что частоты девяти генотипов даются раз-
ложением (p+g)2(u + t>)2 [см. соотношения (3) для популяции со слу-
чайным скрещиванием]. Предполагается, что количественные значения
У генотипов не имеют селективной ценности (по ним нет отбора); если
отбор все-таки действует, то предполагается, что его влияние недоста-
точно для того, чтобы существенно нарушить равновесное распределе-
ние (3). Если количественное значение признака строго определяется от-
бором, то распределение генотипических частот должно выражаться
формулой (4), и анализ будет более сложным.
Напомним, что, согласно гл. 3, в панмиктической популяции линей-
ный и связанный с доминированием контрасты для трех генотипов по
любому единичному локусу будут следующими:
АА Аа аа ВВ Bb bb
L: 2q q-p ~2р 2v v—и 2и
D: q2 —pq Р* V2 —UV и2
Они приведены в верхней части табл. 10.5; первая группа контрастов
L и D относится к генотипам локуса (А, а), а вторая — к генотипам ло-
куса (В, Ь). Дисперсия, полученная из этих контрастов, обусловлена
«главными эффектами» «факторов» Л и В соответственно, если пользо-
ваться терминологией экспериментальной статистики. Оставшиеся че-
тыре контраста, приведенные в нижней половине табл. 10.5, связаны с
«взаимодействиями» двух факторов. Взаимодействие «линейный» X
X «линейный», обозначенное LL, определяется перемножением соответ-
ствующих коэффициентов двух контрастов L. Таким образом, пер-
вый коэффициент LL равен 2q2v. Аналогично взаимодействие «ли-
нейный» X«доминантный» (обусловленный доминированием), обозна-
ченное через LD, определяется перемножением соответствующих коэф-
фициентов контрастов L по локусу (А, а) и контрастов D по локусу (В,
Ь). Таким же образом находят коэффициенты остальных контрастов.
Итак, согласно табл. 10.5, всего получается восемь ортогональных конт-
растов, дающих восемь компонентов суммарной генетической дисперсии
о2у=2Л3У?;—У2.
С помощью коэффициентов (с), приведенных в табл. 10.5, обычным
образом можно рассчитать каждую компоненту генетической дисперсии.
Если 0 = SfcT — величина контраста, то для любого данного ряда дис-
персия, обусловленная таким контрастом, согласно гл. 3, равна 02/Sfc2.
Дисперсию главных эффектов (частных сумм) можно рассчитать любым
из рассмотренных в гл. 3 методов для одного локуса, используя три
частных средних значения У для трех генотипов такого локуса. Рассчи-
таем, например, первый контраст L из табл. 10.5.
12—322
Таблица 10.5
Значения количественных признаков (У) генотипов, их частоты (/') и восемь ортогональных контрастов: L—линейный контраст,
D — контраст за счет доминирования, LL — взаимодействие «линейный»Х«линейный» и т. д. [65]
ВВ AA Bb bb BB Aa Bb bb BB aa Bb bb
Y Y22 ^21 У20 r12 Yu Ya2 Y.t Yw
f р2 и2 p22uv p2 2pqu2 2pq2uv 2pqv2 q2 u2 q2 2uv q2 v2
L 2q 2q 2<? q — p q — p q — p -2p — 2p -2p
D q2 q2 — pq — pq — pq P2 P2 p2
L 2v v — u — 2u 2v v — u — 2u 2v v — u — 2u
D V2 — uv u2 u2 — uv u2 ^2 — uv u2
LL 2q2v 2q (v — u) — 2q2u (q — p) 2v (q-Р) (v — u) — (q— p)2u — 2p 2v — 2p(v — u) 2p-2u
LD 2qv2 — 2quv 2qu2 (q—p) v2 — (q — p)uv (q — p) u2 — 2pv2 + 2puv — 2pu2
DL 2q2 v q2 (v — u) — 2q2u — 2pqv — pq (v — u) 2pqu 2p2 v p2 (v — u) — 2p2u
DD q2 v2 — q2 uv q2u2 — pqv2 + pquv — pqu2 p2 V2 — p2 uv p2 u2
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
171
6 = 2/сУ = 2до2У, + 2pq (q —р) Уг — 2pqi Уо =
= 2pq [р (У2. - Ух.) + q (Л. - Уй.)1 = 2Wp,
где У2 = и2У22+2^У21 + и2У2о — среднее значение количественного при-
знака для генотипа АА. Аналогичным образом У] и Уо — средние значе-
ния для генотипов Аа и аа. Приведенное выше выражение для 9 иден-
тично (33) из гл. 3. Знаменатель 2fc2 преобразуется в 2pq, и для локуса
(А, а)
что совпадает с соответствующим выражением для одного локуса. Дис-
персию доминирования можно рассчитать таким же способом, как и
раньше. Соответствующий пример рассмотрен в табл. 10.6.
Таблица 10.6
Расчет главных эффектов и компонент дисперсии, связанных с «факторами»
(Л, а) и (В, Ь), которые имеют частоты (р, р) = (0,4; 0,6) и (и, и) = (0,75; 0,25)
Значения количественного признака для генотипа, Y ВВ Bb bb Частота генотипа, f ВВ Bb bb
лл' Аа аа 18 12 6 11 28 5 3 5 7 0,09 0,06 0,01 0,27 0,18 0,03 0,2025 0,1350 0,0225
Суммарная генетическая дисперсия о у =SfY2—У2=219—(12)3 =75,00
f Y Локус (Л, а) Г AY Д2У Локус (В / Y Ъ) f AY Д2У
АА 0,16 15 Аа 0,48 17 аа 0,36 4 0,40 —2 0,60 +13 — 15 ВВ 0,5625 9,24 ВЬ 0,3750 17,16 bb 0,0625 5,88 0,75 —7,92 0,25 +11,28 —19,20
Р = —3,12
Локус (А, а) Локус (В, Ь) Сумма
о2 = 0,48(7)2 = 23,52 о2 = (0,4)2 (0,6)2 (15)2 = 12,96 о2 =0,375 (3,12)2 = 3,6504 о2 =(0,75)2 (0,25)2 (19,2)2=12,96 Од = 27,1704 <rD =25,9200
Сумма = 36,48 <7^= 16,6104 53,0904
Компоненты, обусловленные взаимодействием, мы до сих пор не
рассматривали. Однако, пользуясь табл. 10.5 и общепринятой методикой
получения 02/Sfc2, всегда можно провести расчет для любого данного
ряда (контраста). Выполнив обычные алгебраические преобразования,
можно убедиться, что такой расчет эквивалентен следующей арифмети-
12*
172
ГЛАВА 10
Таблица 10.7
Расчет взаимодействий между двумя локусами. Значения количественных признаков
для генов У
АА Аа аа ВВ 18 ВЬ 12 bb 6
11 3 28 5 5 7
и V
Р +1 —1 +1 — 1 +1 —2 + 1
—1 +1 —1 + 1 —1 +2 — 1
Д22 = 23 Д21 = -17 Д22—Д21 = + 40
Я .
+ 1 —1 +1 — 1. + 1 —2 + 1
—1 +1 —1 + 1 — 1 +2 — 1
Au =— 15 Дц — +25 Д18—Дц = —40
+ 1 —1 +1 — 1 + 1 —2 + 1
—2 +2 —2 +2 —2 +4 —2
+ 1 = 1 + 1 — 1 + 1 —2 + 1
Д22 *— ^12 —38 Д21 — Ан — —42 д22 — Д21 — Д12 +Д и — £ 0
ческой процедуре. Выпишем значения количественных признаков для
девяти генотипов так, как это сделано в (11), чтобы было ясно соответст-
вие между генотипом и его значением. Найдем теперь разности первого
порядка значений У, используя коэффициенты, приведенные в табл. 10.7
для конкретного числового примера. Например, разность, приведенная
в верхнем левом углу табл. 10.7, есть
Д22 = У22 — У21 — У12 + Уи= 18— 12- 11 +28 = 23.
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
173
Другие три разности первого порядка рассчитываются таким же об-
разом.
Следующий шаг — это вычисление разностей между полученными
разностями первого порядка («поля» табл. 10.7). Например,
Д22 — Д21 = 23 — (— 17) = 40.
Их можно рассматривать как частные разности второго порядка. И на-
конец, вычисляем полную разность второго порядка, равную разности
между этими частными разностями:
(Д22 — Д21) (Д12 Дц) = Д22 Д21 — Д12 + Дп.
Все разности берутся с соответствующим весом аналогично тому, как
это было для случая одного локуса (гл. 3) или тетраплоидов (гл. 8).
Распределение исходных значений У определяется разложением
(p+q)2(u+v)2. Четыре разности первого порядка берутся с весами, рав-
ными соответствующим членам разложения (p+q)1(u+v)l=pu+pv +
+ qu + qv. Таким образом,
(V = /шД22 + /щД21 + qu\n + qvAlt =
= 0,30(23) + 0,10 (— 17) + 0,45 (— 15) + 0,15(25) = 2,20. (12)
Частные разности второго порядка «взвешиваются» по членам разложе-
ния (p + q)1 (u + v)° = p + q или (p + q)°(u + v)i = u+v. Таким образом,
= р (^22 ’ ^21) + (^12 Дц) = 8,00, 03)
Pnz. = и (^22 ’ Д12) + V (Д21 Дц) = 18,00.
Наконец, полная разность второго порядка имеет вес 1: (p + q)°(u +
+v)°=l.
$DD = д22 - Д21 - д12 + Дц = 23 - (-17) - (- 15) + 25 = 40+40=80. (14)
Рассчитав таким образом р, можно вычислить компоненты дисперсии,
обусловленные взаимодействием
= 2pq-2uv^2L L = (0,48) (0,375) (2,2)2 = 0,8712
o2ld = 2pq.uVf>2LD = (0,48) (9/256) (8)2 = 1,0800
o2DL = ^2.2uyp2 L = (0,576) (0,375) (18)2 = 6,9984
<72d = pV.«Vp2D = (0,0576) (9/256) (80)2 = 12,9600
Сумма — 21,9096
Согласно табл. 10.6, суммарная дисперсия, обусловленная главными эф-
фектами, равна 53,0904, поэтому
53,0904 + 21,9096 = 75,00 = о2у.
Таким образом, полная генетическая дисперсия для девяти генотипов
подразделяется на восемь компонент: четыре из’ них обусловлены
главными эффектами и четыре — взаимодействиями. Кокерхэм [65]
рассмотрел также более общий случай, чем простая панмиктическая
популяция. Восемь компонент дисперсии можно получить еще и ме-
тодом производных [314—315].
§ 10. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ РОДСТВЕННИКАМИ
Чтобы рассчитать корреляцию между родителями и потомками или
между полными сибсами (или любыми другими парами родственни-
ков), нужно найти только их ковариацию, поскольку дисперсия равна
174
ГЛАВА 10
Оу. Кокерхэм [65] разработал метод расчета ковариации, отметив при
этом, что «хотя конечный результат и прост, получить его довольно труд-
но...». Метод основан на построении таблицы совместного распределения
для двух родственников. Кемпторн [275—279] для популяции со свобод-
ным скрещиванием получил аналогичный результат другим методом.
Если мы обозначим через о£ и соответствующие суммарные дис-
персии для двух локусов (как показано в табл. 10.6), а через a2LD —
сумму из (15), то генетическую дисперсию можно подразде-
лить следующим образом:
4 = 4 + 4 + oL + oL + o2dd. (16)
Следует помнить, что пять членов этого выражения представляют собой
результат частичного объединения восьми компонент. Ковариация меж-
ду родственниками записывается в виде
Cov (родитель—потомок) = + }I^QLL, (17)
Cov (полные сибсы) = V2a^+ Ч4Од + Ч44£ + 484D + Vie4o, (18)
Cov (полусибсы) = Ч4ст£ + 1/1^‘2LL.
Разделив ковариацию на дисперсию , мы получим относительную кор-
реляцию между родственниками. Кокерхэм [65] рассмотрел также и
корреляцию в популяции с инбридингом. Выражения (16), (17), (18)
можно обобщить на случай любого числа локусов. Число компонент
очень быстро возрастает вместе с числом локусов, однако тех уравнений,
которые выводятся из наблюдаемых значений, недостаточно, чтобы най-
ти отдельные компоненты. Говоря словами Кемпторна [275], «цель в
этом случае состоит в том, чтобы найти полное решение лишь для мо-
дельной популяции».
§ 11. АДДИТИВНЫЕ ЭФФЕКТЫ ГЕНОВ
И ПОЛНОЕ ДОМИНИРОВАНИЕ
Рассмотрим два частных случая. Более простой из них — когда ген-
ные эффекты двух локусов аддитивны в отношении количественного
признака. Если ai —эффект гена А (т. е. 2aj, ai, 0 для АА, Аа, аа), а2—
эффект гена В (2а2, аг, 0 для ВВ, Bb, bb) и нет эпистаза, то значения
количественных признаков для генотипов будут следующими:
вв Bb bb
АА 2at + 2a2 2at 4- a2 2a j
Аа at + 2a2 «1 + a2 «1
аа 2a2 a2 0
(19)
Здесь 0 — произвольно выбранное начало отсчета. Зная частоты гено-
типов (3), легко найти среднее и дисперсию:
Y = 2ра{ + 2aa2, о2. = 2/л/а] + 2ut>a2. (20)
Они являются суммами средних и дисперсий для пар генов, взятых по
отдельности; это верно для любого числа локусов. Если генные эффек-
ты аддитивны, то среднее и дисперсия тоже аддитивны. В таком случае
a|.=a2 и доминирование или взаимодействие компонент отсутствуют.
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
175
Второй случай связан с полным доминированием генов А и В над
своими аллелями а и b в отношении количественного признака, так что
' имеются всего четыре различных значения У:
ВВ ВЬ bb
АА Гц Гц Г10
Аа Гц Гц
аа Гм Гог Гоо
Линейная и доминантная компоненты для одной пары генов (основанные
на частных средних У) уже были получены нами в гл. 3 [формулы (40)],
теперь в этих формулах нужно заменить средние Уь на У] и Уо. на Уо.
Отметим, что при полном доминировании Уг.= У1.. Это справедливо для
пары генов (В, Ь). Значит, нам нужно исследовать только компоненты,
обусловленные взаимодействием. Согласно табл. 10.7,
Д22 = 0, Д21 = 0, (22)
Д12 = 0, Дп = к1г-г10-г01 + г00 = /с,
и наши основные формулы (12) — (14) принимают вид
^qvK, $LD = -qK, f,DL = -vK, = (23)
а формулы для дисперсии (15) записываются так:
°1l = 2pq-2uv-(qvK)2, olD = 2pq-U2V2-(qK)2,
g2dl = p2q2-2uv (vK)2, a2DD = p2q2-u2v2-K.2.
Суммарная дисперсия, обусловленная взаимодействием (сумма четырех
компонент), записывается в виде
о2 = <?2(1 —q2)v2(\ — v2)Ki. (25)
Это выражение получил Райт [693].
§ 12. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАР СИБСОВ
И СЦЕПЛЕНИЕ
Как мы видели, при случайном скрещивании и в отсутствие отбора
равновесное распределение двух локусов (как сцепленных, так и несцеп-
ленных) определяется разложении (р + <7)2(и + у)2. Поэтому в популя-
ции в целом между двумя признаками, определяемыми двумя парами
сцепленных генов, не будет никакой связи. Для определения и оценки
сцепления в человеческих популяциях в каждом конкретном случае тре-
буются специальные методики. Этому вопросу посвящены две велико-
лепные книги [14, 438] и общий обзор [569а]. В приложении к этой гла-
ве мы вкратце остановимся на одном из таких методов, а именно методе
пар сибсов, предложенном Пенроузом [504, 507]. В этом случае нет не-
обходимости иметь данные по потомству — метод опирается на данные
только по одному поколению. Ниже предполагается полное доминиро-
вание по обоим локусам.
Девять генотипов дают 45 типов скрещивания. Из них информацию
о сцеплении несут лишь четыре типа, а именно:
176
ГЛАВА 10
АаВЬ X aabb, АаВЬ X Aabb,
АаВЬ X ааВЬ, АаВЬ X АаВЬ.
Чтобы выявлялся эффект сцепления, по крайней мере один из родите-
лей должен быть двойной гетерозиготой (АаВЬ). Другой родитель мо-
жет иметь генотип aabb, Aabb, ааВЬ. Все остальные скрещивания не
дают никакой информации о сцеплении. Сцепление выявляется легче,
если доминантные гены (Л или В) редки, поскольку тогда высоки часто-
ты генотипов aabb, Aabb, ааВЬ, АаВЬ. В общем сцепление для редких
рецессивных генов выявить очень трудно. Используя метод пар сибсов,
мы предполагаем, что как доминантные, так и рецесссивные признаки
встречаются в популяции достаточно часто. Поскольку большинство
скрещиваний в отношении сцепления не информативны, для доказа-
тельства сцепления необходимо просто иметь большое число пар сибсов.
По первому признаку (контролируемому А, а) все пары сибсов мож-
но разбить на три типа:
Дом—Дом, Дом—Рец, Рец—Рец.
Аналогичным образом можно разбить пары сибсов и по второму приз-
наку (контролируемому В, Ь). Следовательно, в отношении обоих при-
знаков пары сибсов можно подразделить на девять (3X3) типов. Суть
метода заключается в том, чтобы найти частоту этих девяти типов как
функцию силы сцепления и сравнить ее с частотой в отсутствие сцеп-
ления.
Рассмотрим в качестве примера самый простой тип скрещивания
из (26) — (AaBbXaabb). Двойная гетерозигота для одного из родите-
лей может находиться в фазе притяжения или отталкивания. Выход га-
мет, образующихся от такого скрещивания, уже был рассмотрен нами
[см. (7)]; мы приведем его здесь в несколько другом виде:
Гаметы: (4В) (4&) (аВ) (ab)
Фаза притяжения: 4(1”/?) 1 Т* Т* (27)
1 1 1 , 1
Фаза отталкивания: Т* y(i-tf) т( TR
Здесь В — доля кроссоверов между двумя локусами. Родитель с двумя
рецессивными признаками продуцирует только гаметы (ab). Следова-
тельно, доли гамет (27) являются также долями соответствующих фено-
типов среди потомства. Верхняя часть табл. 10.8 дает частоту 16 воз-
можных пар сибсов от скрещивания AaBbXaabb. Объединив пары сиб-
сов соответственно фенотипам в отношении признаков (А, а) и (В, Ь),
мы получим 3X3 = 9 типов пар сибсов, перечисленных в нижней части
табл. 10.8. Поскольку ABfab и BbjaB имеют одинаковую частоту и фаза
у родителя неизвестна, мы объединим две нижние части табл. 10.8 и по-
Признак (4, а)
лучим среднюю частоту.
Признак (В, Ь)
Дом—Дом Дом—Рец Рец—Рец
Дом—Дом 4о-^)2+ о о 1 2 /5(1 — 2?) 4- О (1 - я)2+4 r2 о 1 4
Дом—Рец - л)2+4 r2 4/?(1-/?) 2 4
Рец—Рец 4r2 о о 1 2 R(l — R) 4 О (1-яр+4я2 о 1 4]
1 2 1
—
4 4 4 (28)
Таблица 10.8
Пары сибсов, происходящие от скрещивания AaBbyaabb
Фаза притяжения (АВ/ab) у родителя________________ Фаза отталкивания (Ab/аВ) у родителя
Сибс Сибс Сибс Сибс
АаВЬ Aabb aaBb aabb I Ill у(!-Я) уЯ уЯ у(1-Я) АаВЬ Aabb aaBb aabb 111 1 уЯ у(1—Я) yd-Я) —R
АаВЬ у(1 —/?) Aabb R aaBb R aabb у (1 — R) yd-*)2 уЯО-Я) уЯ(1-Я) у(1-я)2 1 ЬО 1 •— ьо I — 1 кэ | — — кэ | — 3 78‘ уЯ(1-Я) уЯ(1-7?)
-у/?(!-/?) у. уЯ(1~Я) уЯ(1-7?) у (1-Я? у (1-Я? уЯ(1-Я)
Т*(М) уЯ(14) уЯ(1-Я) у (1-Я)2. у (1-Я? уЯ(1-Я)
у d-Я)2 4-Я(1-Я) 4 у«(1-Я) у (1-Я? т** уЯ(1-7?)
После объединения 16 пар сибсов в 9 типов по каждой фазе
Признак (В, &)
Дом—Дом Дом—Рец Рец—Рец
Дом—Дом у d-Я)2 >(!-«)
Признак (А, а) Дом—Рец уЯ(1-7?) у(1-Я?+у R* уЯ(1-Я)
Рец—Рец Т«- уЯ(1-Я) у (1-я?
Признак (В, Ь)
Дом—Дом Дом—Рец Рец—Рец
Т*1 уЯ(1-Я) у (1-Я?
уЯ(1-я) у (1-Я?+уЯ2 у-Я(1-Л)
у (1-Я? уЯ(1-7?) 7’’
178
ГЛАВА 10
Если сцепления нет
, то ожидаемые частоты этих пер сибсов
1 2
будут —, — и т. д. Превышение в частоте, обусловленное сцеплением.
для первого типа пар (т. е. Дом — Дом для признака А, а и Дом —Дом
для признака В, Ь) составляет
Lx = — (1 — Я)а + — Я2 — — = — (fl-----------------V.
1 8 4 ' 8 16 4 ( 2 /
(29)
Если R=~ ’ т0 Я1 = 0. Проделав те же выкладки для других типов пар,
мы получим следующие отклонения от ожидаемых величин при отсутст-
вии сцепления:
Дом—Дом Дом—Рец Рец—Рец
Дом—Дом +Lt —21,! +^i
Дом—Рец —21^ +4Z-1 -2Д
Рец—Рец +^i —2Lt +^1
(30
Этот тип распределения отклонений характерен для генетического сцеп-
ления. Частоты типов, расположенные по углам и в середине таблички
(30), при наличии сцепления увеличиваются, а частоты остальных четы-
рех типов уменьшаются. Исследование остальных трех вариантов скре-
щиваний (26) дает аналогичные результаты. Знак отклонений остается
прежним, изменяется только их величина.
1 I 1 \2
AaBbXAabb, AaBbX.aa.Bb, L2=L3=—\R— — \ ,
1 / 1 \2 Г 1 / 1 \2 Я (91)
АаВЬХАаВЬ, Ц= — I R— — I —- + I Д— — I
10 \ £ 1 \ 4 \ £ 1 J
Из сравнения (31) и (29) видно, что эффект сцепления в скрещивании
AaBbXAabb составляет только эффекта в скрещивании АаВЬХ
Xaabb. Последний тип скрещивания в отношении сцепления оказывается
наиболее информативным. При случайном объединении пар сибсов сред-
нее L (в предположении, что каждая семья дает одинаковое число пар
сибсов) равно
Я — ffsL3 + f4L4,
(32)
где fi = 2(Apquv)q2v2 — частота скрещиваний AaBbXaabb и т. п.
§ 13. ОБНАРУЖЕНИЕ СЦЕПЛЕНИЯ
Сцепление, конечно, не влияет на распределение пар сибсов в отно-
шении какого-либо одного отдельного признака. Пусть а, Ь, с — часто-
ты пар сибсов Дом — Дом, Дом — Рец, Рец — Рец в отношении при-
знака (А, а) в популяции со случайным скрещиванием, а х, у, z — час-
тоты трех типов пар в отношении признака (В, Ь). Точные выражения
для этих частот даны в гл. 4. При наличии сцепления распределение
пар сибсов в отношении обрих признаков будет следующим:
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
179
Дом—Дом Дом—Рец Рец—Рец
Дом—Дом ax-\-L ay—2L az-rL a
Дом—Рец Ьх—2L by+4L bz—2L b
Рец —Рец cx+L су—2L cz~-L c
X У 2 1
Пусть в некоторой сти равны выборке соответствующие наблюдаемые численно-
«и «12 «13 «1
«21 «22 «23 «2 (34)
«31 «32 «33 «3
N3 N3 G
Мы не будем здесь оценивать величину R, а найдем оценку L и устано-
вим, насколько она больше нуля. Отметим, что критерий хи-квадрат
здесь не подходит, поскольку он не учитывает знака отклонения — ус-
ловия, принципиально важного при анализе сцепления.
При числовых расчетах удобнее иметь дело с GL, а не с малой ве-
личиной L. Метод Пенроуза состоит в следующем. Во-первых, рассчиты-
вают ожидаемые в отсутствие сцепления численности Ец. Так,
Еи = G (ах) = G .
\ G / \ G / G
Во-вторых, находят отношения п^/Ец. При сцеплении они должны быть
больше единицы для ячеек в четырех углах матрицы и в центре и мень-
ше— для четырех других ячеек. В-третьих, определяют величину
W = пи1Еи — 2п12/Е12 + п13/£13 — 2д21/£21 + Ьп221Е22 — 2п23/Е23 +
-f- п31/Е31 2п32/Е32 ~f- п33/Е33. (35)
В идеальном случае пц = С (ах+•£-), Eu = G(ax) и т.д. и соотношение
(35) имеет вид
W = 1 + Ыах — 2 + MJay + 1 + Llaz — 2 + MJbx ! - 4 — \§Llby —
— 2 + MJbz + 1 + Ucx — 2 + MJ су + 1 + Llcz =
= gl-g(— + — + — V— + — + — L (36)
\щ n2 n3 / N2 N3 /
Следовательно, W есть оценка W. Если сцепления нет, то L—0, W=0,
и значения W колеблются около нуля. И наконец, на последнем этапе
делят W на
/ = Gf_L + A + _LWJ_ + A+ И
\ щ и2 п3 ) \Nt N2 N3 J
(37)
и получают оценку_СЛ. Дисперсия для GL равна просто 1/7, стандарт-
ная ошибка—1/]/7, так что предположение о том, что GL=0, можно
проверить обычным способом. Соответствующие примеры на примене-
ние этого метода можно найти у Ли [374].
180
ГЛАВА 10
В качестве альтернативы можно было бы оценить величину L ме-
тодом максимального правдоподобия, используя вероятности (33), на-
блюдаемые пц (34) и считая известными частные распределения. Про-
делав все это, получим уравнение для оценки
ди 2п12 га1з 2д21 । 4п22 ,, е ___ q (38)
ax-(-L ay — 2L az~rL bx — 2L by + 4L ’
решить которое очень трудно. Используя аргументацию Твиди [628, см.
в [571], т. 2, стр. 421—423], можно взять обратную величину каждого
члена уравнения (38), оставив, как есть, d(GL)]dL=G, и получить
следующее уравнение: ,
ax'+L 2 (ay — 2L) . az-r-L 2 (bx —2L) 4(by---4L) n ,QQ.
—' -7— • • • - U, («ЗУ)
71ц «12 ^13 rt21 ^22
которое линейно no L [411]. Полученная таким способом оценка явля-
ется асимптотически эффективной как оценка максимального правдо-
подобия и поэтому для больших выборок имеет такую же дисперсию.
Если каждая семья имеет по одной паре сибсов, то дисперсию можно
найти обычным способом.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Предполагая, что имеет место случайное скрещивание, рассчи-
тайте доли зигот и гамет в нескольких следующих поколениях приве-
денных ниже исходных популяций:
0,02 0,14 0,05 ‘ - 0,01 0,04 0,16 '
0,04 0,08 0,06 0,04 0,20 0,14
_ 0,07 0,12 0,42 _ _ 0,03 0,10 0,28
Обратите внимание на симметрию первой популяции. Что можно
сказать о второй популяции?
2. Имеются две популяции, одна из которых содержит в равных
долях особей четырех гомозиготных генотипов, а другая — особей че-
тырех типов, гетерозиготных по одному локусу:
0 -1“ 4 4 0 0 0 1 1 — 0 — 4 4 “ » Т 0 ’ 1 1 — о — 4 4 _0 ф 0.
Найдите в каждом случае продукцию гамет. Определите состав следу-
ющего поколения при свободном скрещивании. Каким будет состав
гибридной популяции, получившейся в результате скрещивания особей
этих двух популяций случайным образом?
3. Покажите, что
0
0
0
р2 I Г 0 0
2pq_ X 0 0
<?2 _ u2 2uv
0
0
V2
0 о -
ри pv
qu 4V
Приведенный выше символ X имеет биологический смысл —он обозна-
чает скрещивание популяций, а не перемножение матриц. Гибридная
популяция образуется при свободном объединении гамет, даваемых
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
181
двумя родительскими популяциями. Покажите, что продукция гамет и
частоты генов в популяции «FI» будут следующими:
В b Сумма
А 1 Три 1 , 1 ~ pv + — ри 1 тр
а I , I — qu+—pu qu + (pv + qu) 4- -у ри (1+4)
Сумма 1 •— и 2 1,00
Заметим, что определитель матрицы для гамет di=0. Каким будет в
этом случае состав следующего поколения при случайном скрещива-
нии? В работе [48] эти соотношения приведены в другом виде. Будет
ли следующее поколение находиться в равновесном состоянии?
4. Если две пары генов аддитивны и равноценны в своем влиянии
на количественный признак, то мы будем иметь пять различных феноти-
пов со следующими равновесными долями:
Генотип Ранг признака Доля в популяции
ААВВ 4 р2и2
АаВВ, ААВЬ 3 2ри (qu-^-pv)
AAbb, АаВЬ, ааВВ 2 p2v2-'--4pqav-\-p2u2
Aabb, ааВЬ 1 2qv(pvA-qu)
aabb 0 q2v2
Пусть [4]—доля особей с рангом признака 4 в популяции и т. д. По-
кажите, что отношение (по [547])
[4] [3]
— равно квадрату — .
Это соотношение может служить простым тестом на двухфакторную на-
следуемость, если действия генов кумулятивны и равны.
5. В упр. 4 мы в действительности предполагали, что ai = a2 = l-
Покажите, что средняя величина и дисперсия количественного призна-
ка равны соответственно Z=2p+2u и az — 2pq+2uv.
6. Популяция F2, полученная от скрещивания между двумя чисты-
ми линиями, всегда находится в равновесном состоянии. Кроме того,
1
частоты всех генов, участвующих в скрещивании, равны в ней <?j =— •
Покажите, что дисперсия количественного признака в F2 равна Зой,
предполагая кумулятивное действие генов (в отсутствие доминирова-
ния или эпистаза).
7. Доля потомков, рецессивных по двум парам дупликатных генов
(aabb), от всех восьми скрещиваний ДомХРец равна (табл. 10.4), а
их доля для трех типов скрещиваний, способных давать потомков
aabb, следующая:
182
ГЛАВА 10
Скрещивание Частота, f Отношение при расщеплении, г
AaBbXaabb 2q2v2X2pq-2uv 1 4
AabbXaabb 2q2v2X2pq-v2 1 2
aaBbXaabb 2q2v2 X q2 2uv 1 2
Суммарная частота таких скрещиваний=2/=2?3У3 {(2^+9) (2u-f-v)—qv}.
Суммарная частота рецессивных потомков=2/т=2<73г?3 {(р+ф («+«)—qv}.
Следовательно, доля рецессивных особей в таких семьях с одним до-
минантным родителем равна [359]
__ Sfr _ 1 — qv _____ 1 — qv
1 Sf (2 — q) (2 — v) — qv 2 (p + u)
Значение Ri лежит между — и — . Такая форма записи позволяет не-
посредственно обобщить формулу на k пар дупликатных генов.
8. Ниже в таблице представлены шесть дающих расщепление скре-
щиваний из 36 скрещиваний ДомХДом. Величина, приведенная внизу
третьего столбца, та же, что и в табл. 10.4. Доля особей с рецессивным
признаком для всех 36 скрещиваний ДомХДом, как отмечалось в тек-
сте, равна S2, а для шести дающих расщепление семей она равна
р __ (1 ?°)8 __ р2
7<2"4(p+U)2~y<1-
Значение ее лежит между и Можно показать [359], что соот-
ношения и S2=Si справедливы для любого числа дупликатных
генов.
Скрещивание Частота, f Доля aabb, r
АаВЬ X АаВЬ (2pq-2uv) X (2pq-2uv) 1 16
АаВЬ X ааВЬ 2(2pq-2uv) X (q2-2uv) 1 8
АаВбX Aabb 2(2pq-2uv) X (2pq-v2) 1 8
ааВЬ X ааВЬ (q2-2uv) X (q2-2uv) 1 4
ааВЬ X Aabb 2(q2-2uv) X (2pq-v2) 1 4
Aabb X Aabb (2pq-v2) X (2pq-v2) 1 4
Zf = 49M (p 4- u)2 Sfr — q2v2 (1 — qv)2
ДВЕ ПАРЫ ГЕНОВ
183
9. Как отмечалось в тексте, для комплементарных генов все три
типа скрещивания способны давать оба фенотипа. Из существующих
15 скрещиваний типа РецХРец четыре способны давать потомков ти-
па Дом.
РецХРец Частота Доля Дом-потомков
ааВВ'Х.ААЬЬ 2papa-uava 1
ааВВ X Aabb 4pp3-uat>2 1 2
AAbbX.aaBb 4p2pa-tw3 1 2
Aabb X aaBb 8рр3-ио3 1 4
Покажите, что доля Дом-потомков в этих четырех скрещиваниях
равна 1/( 1 -f-t?) (1+у).
10. Для любой таблицы сопряженности признаков 2X2 с пропорци-
ональными частотами (см. ниже) при а-{-Ь=1 и х-{-у = 1 разность
между суммами диагональных элементов равна произведению частных
разностей, т. е.
ах ау а
Ьх Ьу ь
X У 1
ах+Ьу—ау—Ьх=(а—Ь) (х—у).
И. Предположим, что два типа преимущественного развития пра-
вой руки неотличимы, так что по этому признаку имеются только три
фенотипа и Р=Р1+Р4=1—L2—L3. Как,'зная распределение феноти-
пов, оценить частоты генов? Два уравнения можно выписать сразу же:
A2 = (1-92)^=(1-Q)V, (I)
L3 = <?2(1 —-ц2) = Q(1 — V), (II)
где q2—Q и V2 — V — две неизвестные величины, которые требуется
определить. Из (I) К=Л2/(1—Q). Подставив V в (II), получим
Q = {(1 - La + L3) ± У (1-La + L3)2_4L3 }. (Ill)
V затем определяется из (I). Таким образом, при каждых L2 и L3 име-
ются два набора решений для Q и V.
Рассмотрим числовой пример. Предположим, что Л2=0,14 и L3 =
=0,24. Величина под корнем (III) равна
(1 - L2 + Л3)2 - 4Л3 = (1 + Lz - Д3)2 - 4Ла = 0,25.
Тогда получаются два набора решений:
(Q, V) = (0,30; 0,20) или (0,80; 0,70)
(см. приведенную ниже диаграмму). Выбор между двумя возможно-
184
ГЛАВА 10
стями зависит от того, что мы знаем об и Если они неизвестны,
то следует обратиться к изучению расщеплений, приведенных ь
табл. 10.3.
1-V V 1-V V
12. Проверьте, что арифметический способ получения компонент
дисперсии взаимодействия эквивалентен методу ортогональных конт-
растов. В качестве примера покажем это для g2dd', аналогичные вы
кладки читатель может проделать затем для других трех компонент.
Взяв из последней строки табл. 10.5 величины V, f и коэффициенты с,
мы получим
0 = V fcY = p2u2q2v2Y.li — p22uvq2uvY2X 4~ ... +
~ i/VpVY№ = p2qW [Уа2 - 2У21 :
+ У20 - 2У12 4- 4УП - 2У10 4- У02 - 2У01 4- Уоо].
Выражение в скобках равно роо=Аг2—Л21—Аы+Аи- Знаменатель
fc2 = р2и2 (q2v2)2 + p22uv (q2uv)2 4- ... =
= p2q2u2v2 (/J 4- q)2 (и + и)2 = p2q2uV,
гак что
&bD = = в (15).
Zjc2
13. Случаи трех и более пар генов, сцепленных или независимых,
с двумя или множеством аллелей, диплоидов или автополиплоидов
рассмотрены в сериях работ Гейринджер [180] и в более поздних ра-
ботах; ссылки на них и на близкие по тематике работы других авто-
ров можно найти в обзоре [185]. Для диплоидных форм равновесные
доли зигот при панмиксии задаются членами разложения (р>+
+7i)2(p2+<72)2... {ph+qk)2, где pt и qt —частоты генов различных пар.
Чем больше число рассматриваемых локусов, тем медленнее устанав-
ливается равновесие в отношении всей совокупности генов.
ГЛАВА 11
Самооплодотворение
В предыдущих главах мы имели дело только с панмиктическими
популяциями; в этой и нескольких последующих главах мы рассмот-
рим популяции с инбридингом. Проблема инбридинга более сложна,
чем проблема случайного скрещивания. Изучение в популяции только
частот гамет определенных типов не дает адекватной картины. Мы
должны изучить по отдельности каждый тип скрещивания, определяе-
мый той или иной системой инбридинга. Начнем с простейшего и са-
мого крайнего случая — самооплодотворения или скрещивания между
особями с идентичными генотипами.
§ 1. САМООПЛОДОТВОРЕНИЕ У ДИПЛОИДОВ
При самооплодотворении в отношении одной пары генов возмож-
ны только три родительские комбинации (ААХАА, АаХАа, ааХаа) в
отличие от шести при случайном скрещивании. Если гомозиготные
формы самооплодотворяются или скрещиваются с идентичными гомо-
зиготными формами, то все их потомки будут гомозиготными формами
родительского типа. Если гетерозиготные формы самооплодотворяются
или скрещиваются с другими гетерозиготами, то их потомство, как из-
вестно, будет -^-ААН—^-Аа-1—i- аа. Другими словами, гетерозиготы при
самооплодотворении дают ’/г гетерозигот и ’/г гомозигот, среди кото-
рых АА и аа имеют одинаковую численность. Отсюда следует, что ес-
ли Но — доля гетерозигот в исходной популяции, а Нп — их доля пос-
ле п поколений самооплодотворения, то
Дп = -у/Д_1 = Но Оприп оо.
(1)
Так как гетерозиготные формы дают равное число особей АА и аа в
каждом поколении с самооплодотворением, исходная популяция (D,
Н, R) в конечном счете превратится в популяцию (Р-|——Н, 0, — Н+
+ R) = (p, 0, q), где р и q — частоты генов А и а в популяции. Обра-
тите внимание на то, что частоты генов остаются постоянными из по-
коления в поколение. Сама по себе система скрещивания не изменяет
частот генов, но оказывает влияние на доли зигот в популяции. В са-
мооплодотворяющихся популяциях гетерозиготы быстро исчезают, а
окончательные доли гомозигот становятся равными соответствующим
частотам генов.
Все эти свойства продолжительного самооплодотворения хорошо
прослеживаются и для множественных аллелей. Пусть Но — общая до-
186
ГЛАВА 11
ля гетерозигот (ДИ2, Л^з, А2А3) в исходной популяции. Поскольку
при самооплодотворении каждый гетерозиготный индивидуум дает
50% таких же гетерозигот, как и он сам, а остальные 50% потомства
представлены двумя соответствующими гомозиготами, величина 7/ бу-
дет уменьшаться наполовину в каждом поколении. В конце концов
популяция будет состоять из qx (ЛИ1) +92(Л2Лг) +<7з(Л3Л3), где qt—
частота аллеля Аг, а = 1.
Рнс. 11.1. Результаты случайного скрещивания (одиночная длинная стрелка) и близ-
кого инбридинга (цепочка коротких стрелок) в популяции.
Рекуррентное соотношение Нп+\ = -^-Нп является свойством, внут-
ренне присущим системе скрещивания, в данном случае самооплодо-
творению. Мы ясно видим, каким образом частота гетерозигот умень-
шается в каждом поколении. Однако абсолютные доли различных ге-
нотипов зависят от состава соответствующей исходной популяции, а
также от числа поколений, на протяжении которых в ней поддержива-
ется определенная система инбридинга. Так, например, если исходной
является популяция (0,54; 0,32; 0,14), то при самооплодотворении ряд
последовательных поколений будет таким: (0,62; 0,16; 0,22), (0,66,
0,08; 0,26), (0,68; 0,04; 0,28); (0,69; 0,02; 0,29) и т. д. и наконец —
(0,70; 0; 0,30). Частным, но важным представляется случай, когда ис-
ходная популяция целиком состоит из гетерозигот (0; 1; 0). В этом
случае доли гомозигот (AA-j-aa) и гетерозигот после п поколений са-
мооплодотворения равны соответственно (2П—1)/2П и
Если, однако, в популяции с инбридингом в любое время возмо-
жен возврат к случайному скрещиванию, то уже в следующем поколении
она превратится в популяцию (р2, 2pq, q2) независимо от долей гомо-
зигот и гетерозигот перед тем, как началось случайное скрещивание.
Таким образом, последствия инбридинга (повышение уровня гомози-
готности популяции) ликвидируются за одно поколение случайного
скрещивания (рис. 11.1).
§ 2. НЕСКОЛЬКО ПАР ГЕНОВ
Сначала мы рассмотрим генотипы, представленные двумя парами
генов. Предположим существование двух независимых локусов АаВЬ,
которые при самооплодотворении дадут по — особей каждого из че-
16
2
тырех гомозиготных типов, по — каждого из четырех «смешанных»
4
типов (одна пара гомозиготна, а другая гетерозиготна) и — особей
САМООПЛОДОТВОРЕНИЕ
187
с таким же дважды гетерозиготным генотипом, как и исходный. По-
этому [ЛаВ&]п+1— — [АаВЬ]п. Доля «смешанных» типов в следующем
поколении будет уменьшаться наполовину (за счет типа ААВЬ) и воз-
растать на — (за счет типа АаВЬ). В итоге все гетерозиготы исчезнут,
8
и популяция будет содержать по — экземпляров каждого из четырех
4
гомозиготных типов. Используя обозначения гл. 10, мы можем пред-
ставить эффект продолжительного самооплодотворения следующим
образом:
ООО
/1\
'00
Подобно этому продолжительное самооплодотворение ААВЬ в кон-
це концов даст —ААВВ и — ААЬЬ и т. д. Следовательно, окончатель-
2 2
ный состав, получающийся при самооплодотворении в любой данной
популяции, будет
Z11 Z12 Z13
Z21 z22 Z23
Z3t Z32 Z33
Z/r
0
Z31
О zl3
О О
0 2зз
(2)
где Zii = Zn+-j-(zi2+z2i)+^-Z22 = g-ii и т. д. [гл. 10, уравнение (1)].
Иными словами, окончательные доли четырех гомозиготных типов рав-
ны частотам четырех соответствующих типов гамет, образуемых попу-
ляцией. Обратите внимание на то, что частоты генов не изменяются и
л л
доля А по-прежнему равна p=£n+zi3 и т. д.
Этот результат можно распространить на случай с любым числом
пар генов. Сцепление уменьшает скорость достижения полной гомози-
готности, не влияя, однако, на конечные результаты.
При рассмотрении нескольких пар генов удобно классифициро-
вать генотипы в соответствии с числом локусов, по которым они гомо-
зиготны или гетерозиготны. Для k пар независимых генов доли гено-
типов различных классов при самооплодотворении АаВЬСс... задаются
членами разложения
> [(2* — 1) + 11*,
в котором п — число поколений с самооплодотворением. Приближение
к полной гомозиготности происходит очень быстро. Даже если исход-
ные формы гетерозиготны по пятнадцати или двенадцати локусам, то
практически полная гомозиготность все равно будет достигнута в тече-
ние десяти или двенадцати поколений постоянного самооплодотворе-
ния. Расчеты для одного, пяти, десяти и пятнадцати независимых ло-
188
ГЛАВА 11
кусов даны в работе Иста и Джонса [122а]. В качестве иллюстрации
в левой половине табл. 11.1 приводятся результаты для трех локусов.
А теперь рассмотрим вопрос об уровне гетерозиготности с другой
точки зрения. Если отвлечься от генотипа как целого и рассматривать
его просто как k пар генов, то в любом поколении суммарное число ге-
терозиготных пар генов будет уменьшаться вдвое после каждого поко-
ления самооплодотворения, потому что каждая пара Агаг дает поко-
ление — ----АгАгН----aial. Таким образом, доли гетерозиготных
пар в последовательных поколениях равны, как показано в правой по-
- ,, , 1 1 1 1
ловине табл. 11.1, —, —, —, —........
2 4 8 16
И наконец, мы видим, что доли гетерозиготных пар генов, рассчи-
танные из правой половины табл. 11.1, можно также рассматривать
как среднюю долю гетерозиготных пар, приходящихся на одну особь.
Это приводит к другой точке зрения на изменение уровня гетерозигот-
ности.
Таблица 11.1
Доли потомков с генотипами различных классов, произошедшие
от самооплодотворения особей Д^ИзОг^зОз
Поколение с само- оплодотворением, п Число гетерозиготных локусов Суммарное число особей Суммарное число локусов
0 1 2 3 гетеро- зиготных всех
0 0 0 0 1 1 3 3
1 1 3 3 1 8=2‘ 12 24
2 27 27 9 1 64=26 48 192
3 343 147 21 1 512=29 192 1536
4 3375 675 45 1 4096=212 768 12 288
оо 1 0 0 0 1 0 1
Если исходная особь (или группа идентичных особей) гетерози-
готна по большому числу (/г) локусов, то средняя особь следующего
поколения, полученная путем самооплодотворения, будет иметь — k
локусов в гетерозиготном состоянии и т. д. В конце концов все особи
будут гомозиготными по всем локусам (т. е. они будут принадлежать
к 2/! различным «линиям»).
Подводя итог, скажем, что рекуррентное соотношение Нп+\ =
~НГ)
2
можно интерпретировать тремя способами. Простейшая интерпрета-
ция касается долей Аа в обычной популяции при рассмотрении одной
пары генов. Вторая включает в рассмотрение гетерозиготные пары ге-
нов по всем локусам популяции. Однако для решения реальных задач
селекционной практики наиболее важна третья интерпретация — она
включает измерение степени генетического единообразия особей, под-
вергающихся самооплодотворению или скрещиванию друг с другом.
Сходные истолкования приложимы ко всем рекуррентным соотношени-
ям для Н, выведенным в последующих главах. Этот факт оправдывает
ограничение нашего анализа случаем одного локуса: данное рекур-
рентное соотношение приложимо к степени гетерозиготности генотипов
особей независимо от числа рассматриваемых локусов.
САМООПЛОДОТВОРЕНИЕ
189
§ 3. САМООПЛОДОТВОРЕНИЕ У АВТОТЕТРАПЛОИДОВ
При последующем анализе для простоты предположим, что рас-
хождение хромосом происходит случайным образом. Рекуррентное со-
отношение для уровня гетерозиготности есть свойство, зависящее толь-
ко от системы скрещивания и не зависящее от исходного состава
популяции. Допустим, что все особи исходной группы принадлежат к
типу А2а2, как если бы они принадлежали к Fi от скрещивания п4хА4.
Продукция гамет у зигот каждого типа задается уравнением (1) из
Рис. 11.2. Соотношения между долями зигот в двух последовательных поколениях при
самооплодотворении.
гл. 8. При самооплодотворении особей каждого из генотипов формиро-
вание потомства будет происходить при случайном объединении роди-
тельских гамет. В качестве примера возьмем результаты самооплодот-
ворения А2а2, приведенные в третьей строке табл, из упр. 3 гл. 8. При
самооплодотворении А3а даст — А4-[—~А3а-1——А2а2 и т. д. Соотноше-
4 2 4
ния между долями зигот в двух последовательных поколениях иллюст-
рирует рис. 11.2. Числовые значения долей зигот в последовательных
поколениях приведены в табл. 11.2, составленной в предположении, что
все особи исходной популяции имеют генотип А2а2.
Таблица 11.2
Последствия самооплодотворения автотетраплоидов при случайном
расхождении хромосом
п д4 А!а Д2а2 Да3 а4 И
0 0 0 1 0 0 1
1 1 8 18 8 1 17
36 36 36 36 36 18
2 7 16 26 16 7 29
72 72 72 72 72 36
3 211 248 378 248 211 437
1296 1296 1296 1296 1296 648
4 567 416 626 416 567 729
2592 2592 2592 2592 2592 1296
оо 1 2 0 0 0 1 2 0
190
ГЛАВА 11
Обозначим через Н общую долю гетерозиготных особей всех типов
(Л3а4~Л2а2+Ла3). Из табл. 11.2 мы видим, что последовательные зна-
чения Н образуют рекуррентную последовательность. Ее рекуррентным
уравнением и общим членом являются соответственно (гл. 7, прило-
жение, пример 3) 4
нп+2=нп+1 - А нп, нп= 4 (тГ1 - (4-Г1- (3)
Предельное значение Н равно нулю, однако скорость приближения к
полной гомозиготности намного меньше, чем у диплоидов. Так, напри-
мер, после четырех поколений самооплодотворения Н=729/1296=
= 56,25%, т. е. величине все еще большей, чем та, которая была бы до-
стигнута диплоидными формами за одно поколение. После достаточно
большого числа поколений с самооплодотворением уровень гетерозигот-
ности будет уменьшаться приблизительно на — за поколение, т. е. Hn+i =
6
= ~Нп.
6
Если мы рассмотрим гетерозиготные типы по отдельности, то уви-
дим, что каждая серия величин для А3а, А2а2, Аа3 (табл. 11.2) также
является рекуррентной последовательностью с теми же коэффициента-
ми, что и для Я. Однако выражения для их общих членов различны
(гл. 7, приложение, пример 5), потому что их начальные члены отли-
чаются друг от друга. После достаточно большого числа поколений
. 1
все они будут уменьшаться на —за поколение.
6
Если мы начнем с произвольной популяции (г4, г3, г2, z\, го), в ко-
торой г4 — доля Ai и т. д., то постоянное самооплодотворение приведет
в конечном итоге к полной гомозиготности популяции, которая будет
состоять только из Л4 и а4 с отношением частот аллелей Айа, равным
р : q. Эти частоты определяются исходным состоянием популяции. Та-
ким образом,
, 3 ,1 ,1
Р = Ч + — *3 + ~~ + — Zj.
4 2 4
§ 4. БОЛЕЕ ОБЩИЙ МЕТОД
Простой метод нахождения рекуррентного соотношения для после-
довательностей с известными начальными членами приведен в прило-
жении к гл. 7. Там также показано, что общий член можно предста-
вить в виде суммы соответствующих членов двух или большего числа
геометрических прогрессий. Проблема самооплодотворения автотетра-
плоидов была вполне успешно разрешена с помощью метода, описан-
ного в предыдущем параграфе. Однако к той же самой проблеме мож-
но подойти с другой стороны с помощью более общего метода. Этот
метод широко применялся Холдейном, Бартлетом и Фишером Для ре-
шения различных задач, связанных с инбридингом; в следующей главе
мы применим его к случаю скрещивания чсибсов. В данном параграфе
наша главная цель состоит в том, чтобы понять алгебру этого метода.
1. Рассмотрим систему однородных линейных уравнений:
х' = спх ~ с12у + c13z,
У = Сгрс ~f~ Н- ^*23^» (4)
z — С31Х с?лу C33Z,
САМООПЛОДОТВОРЕНИЕ
191
в которых с — константы. Эта система называется линейным преобра-
зованием (отображением). Таким образом, при данных значениях х, у,
z мы можем рассчитать соответствующие значения х', у', г'. Пользу-
ясь языком геометрии, мы говорим, что точка (х, у, г) отобразилась в
точку (х', у', г').
2. Если функция от исходных переменных f(x, у, z) такова, что
она тождественно равна той же самой функции отображенных пере-
менных, т. е. f(x', у', z')=f(x, у, г), то ее называют инвариантой пре-
образования (4). Если первая функция пропорциональна второй, т. е.
f(x', у', г')=^(х, у, г), где величина X не зависит от х, у, z, то функ-
ция называется относительной инвариантой для системы (4). Если
в частности, относительно инвариантная функция f является линейной
функцией от х, у, z, так что
(кх' + l2y' + l3z') = % (ZjX + + 13г), (5)
где I — постоянные, то ее называют линейной относительной инвари-
антой преобразования (4). Для функции этого типа, очевидно, подхо-
дящими являются только пропорциональные величины 1г : 12 : Z3; любые
другие три числа, удовлетворяющие тем же соотношениям, также бу-
дут удовлетворять равенству (5).
3. Предположим, что мы хотим найти линейную относительно инва-
риантную функцию для данного преобразования (4). Это сводится
просто к тому, чтобы найти какие-то наборы из трех чисел, удовлетво-
ряющие тождеству (5). Для каждого данного значения X существует
набор Zb Z2, Z3. Для того чтобы найти X и I, подставляем (4) в (5):
/i(cux + c12z/4-c13z)
~l~ Z3 (c2jX -j- С22У H~c23z)
+ 4 tai* + С32У +c33z)
= % (1гх + 12у + l3Z).
Поскольку правая часть равна левой, коэффициенты при х, у, z в обе-
их частях равенства должны быть равны друг другу. Таким образом,
мы получим три следующих уравнения;
коэффициент при х
коэффициент при у
коэффициент при z
-J- с+ c31Z3
AZa = ~}~ C22Z2 C32Z3
AZ3 = -4- C23I2
(6)
из которых можно найти значения А и I (последние просто пропорцио-
нальны друг Другу). Обратите внимание; постоянные с здесь те же,
что ив (4), за исключением того, что строки и столбцы переставлены
(транспонированы).
Если рассматривать (6) как линейное преобразование, то три чис-
ла Zi, l2, h должны быть такими, чтобы преобразованные величины
AZj, AZ2, AZ3 находились в таких же пропорциях, что и сами числа. Тогда
говорят, что числа Zb Z2, Z3 определяют «полюс» системы (6).
Если мы перепишем систему однородных уравнений (6) в виде
(сп—X)Zi+c2iZ2+c31Z3=0 и т. д., то увидим, что решения относительно
Zi, Z2, I3 будут найдены только тогда, когда определитель их коэффици-
ентов обратится в нуль:
cu X с21
С12 С22
С13 С23
С31
С32
С33 А
= Г(А) = о.
(7)
Это уравнение называют характеристическим уравнением (6); из него
можно определить величины X. Оно имеет три корня; обозначим их
Ат, Аг, А3. Решение относительно Zi, Z2, Z3 можно найти только в том слу-
192
ГЛАВА 11
чае, если X принимает значение, равное одному из этих трех корней.
Например, при %=%] из уравнений (6) находят «полюс» (Ц, 12, 1з).
Следовательно, существуют три полюса, соответствующие трем случа-
ям: %=%], 2i2, %3. Для значений X, отличающихся от к2, %3, полюсов
не существует. Когда X и h, l2, h определены, линейная относительно
инвариантная функция (5) считается полностью найденной; для нее
тоже имеются три решения.
5. Рассмотрим еще раз исходное преобразование (4). Пусть х0, Уо,
z0— первый набор величин, которые , мы подставим в правую часть
(4), a Xi, yt, z\—преобразованные величины из левой части. Эти зна-
чения будут удовлетворять равенству (5), в котором все величины X и
I определены должным образом с помощью только что описанного ме-
тода. Если мы повторим операцию отображения, подставляя в правую
часть (4) хх, у\, Z\, то получим в левой части отображенные величины
х2, У2, z2 и т. д. После п таких последовательных отображений мы
получим величины хп, уп, zn. Конечно, это очень трудоемкая процеду-
ра. Поскольку величины х, у, г, участвующие в любых двух последо-
вательных отображениях, удовлетворяют соотношению (5), для каж-
дого подходящего значения X имеем
(4ЛП Д ^гУп ~1~ 73^п) — (4Лл—1 ' 12Уп—\ i) —
— (/]А'о ! 12у0 4* l3Z0).
Данное выражение свидетельствует о том, что величины (^х+^уД
+/3z) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем X и пер-
вым членом (Лхо+^Уо+^о). Это свойство дает нам возможность най-
ти величины хп, Уп, zn из исходных для них значений xq, уо, z0 без
проведения п последовательных преобразований. Для того чтобы най-
ти решение относительно хп, Уп, zn, выпишем следующие три уравне-
ния, соответствующие трем случаям A, = M, к2, кз".
hxn Д ЧУп hzn ~ (Ахо Д ~ ^з2о) = С ft
~f~ ЧУп 4Zn [hxo r l^Vo ^3Zo! ^2 ~ ^2^2
hXn Д /2-Д + ^3zn (A^O ^Уо AZo) ^3 = .
(8)
где Ci заменяет GiXo+^o+^Zo) и т. д. Постоянные С], С2, С3 опреде-
ляются исходными величинами Хо, уо, z0, с которых мы начали процесс
отображения.
6. Решение системы из трех уравнений относительно трех неизве-
стных не должно представлять никаких трудностей. Обратите внима-
ние, что (8) —система линейных уравнений, так как все I, С и к—
известные числа. Решая (8), мы найдем, что хп, уп, zn можно предста-
вить в виде
k.k" + kM + kM,
11 О О *
(9)
где k — константы. Поскольку к является знаменателем геометриче-
ской прогрессии, это означает, что каждая переменная х, у, z пред-
ставляет собой сумму соответствующих членов трех геометрических
прогрессий. Вспомним содержание приложения к гл. 7, откуда следу-
ет, что переменная х (или у, или г) при последовательных отображе-
ниях образует рекуррентную последовательность, каждый член кото-
рой является линейной комбинацией трех ее предшествующих членов:
un+3 — bun+2-{-cun+\-\-dun. Важно понять аналогию между двумя этими
методами. Так, например, характеристическое уравнение [(к)=0 явля-
ется тем же самым уравнением к3—Ьк2—ск—d — О, которое приведено
в приложении к гл. 7. Таким образом, наше характеристическое урав-
САМООПЛОДОТВОРЕНИЕ
193
нение даст нам рекуррентное соотношение для этой последовательно-
сти. Единственное различие между разобранными двумя методами
состоит в том, что в приложении мы начинали с рекуррентных после-
довательностей с известными коэффициентами, тогда как здесь мы
начали с ряда преобразований. Последний метод показывает, что все
три рекуррентные последовательности X, у, z имеют одинаковые коэф-
фициенты. К тому же любая линейная комбинация х, у, z также может
быть представлена в форме (9) и, таким образом, содержит те же са-
}иые коэффициенты.
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ПАРАГРАФУ
О САМООПЛОДОТВОРЕНИИ АВТОТЕТРАПЛОИДОВ
Проиллюстрируем теперь изложенный выше метод на примере са-
мооплодотворяющихся автотетраплоидных форм. Пусть 2хи=[А4+
+ а4], 2уи= [А3а+Аа3], гп=[А2а2] в n-м поколении при постоянном
самооплодотворении, причем 2xn-j-2yn-i-zn = l. В частной популяции,
данные которой представлены в табл. 11.2, [А4] = [а4]=хп и [А3а] =
= [Аа3] —уп во всех поколениях. В общем случае хп можно выразить как
среднюю долю А4 и а4 и т. д. При самооплодотворении доли зигот в
следующем поколении в соответствии с рис. 11.2 будут равны
х„+1 = хп 4- 4-г/п + Zn,
4 оо
Уп+i = —Уп + ~гп
Zn+i = ±-уп + -~гп
(4')
где 2xn+i+2z/n+i4-2'n+i = l. Последние два уравнения образуют незави-
симую систему относительно переменных у и z. Первое уравнение, ка-
сающееся доли гомозиготных форм, можно исключить из рассмотрения.
Все свойства самооплодотворяющихся автотетраплоидных организмов,
связанные с изменениями долей гетерозиготных форм, отражены в си-
стеме (4'). Следующий шаг состоит в том, чтобы найти линейную ин-
вариантную функцию, относящуюся к (4х), т. е. функцию, удовлетво-
ряющую тождеству
(iZ/n+i ~г (Jlyn — (5х)
Подставляя (4х) в (5') и приравнивая коэффициенты при уп и zn в
обоих частях тождества, мы получим
— G + — (2= мъ
2 2
9 1
— А- — 4= М2. (6х)
Эта система уравнений имеет решение только для определенных зна-
чений X. Характеристическое уравнение
-L
2 2 = X2 —— = о
2 1 . 36
--------------д
9 2
(79
13—322
194
ГЛАВА И
имеет корни
« 5 . 1
л, = — и л, = —.
6 6
Обратите внимание на то, что характеристическое уравнение дает нам
также рекуррентное соотношение последовательностей у или z, или
последовательности 2y-{-z—H. Следовательно,
ял+2-ял+1 + АЯп = 0,
оо
так как и Хг — знаменатели двух соответствующих геометрических
прогрессий. Теперь, когда мы определили значения К, из уравнений
(6') можно найти два соответствующих набора (/], 12). Итак,
%i = —, Z1:Za=3:2,
6
= 4.-4 = 3:(-2).
Уравнение (5') теперь полностью решено. Переключимся на отыскание
общих членов у и z. После п поколений самооплодотворения мы имеем
Зуп %гп ~ ~z~ (Зуп—i + 2гл_]) = (Зуд Ч~ 2z0),
о \ о /
Зуп 2zn = —- {Зуп—1 2z„_i) = (Зг/о 2z0), (8 )
о \_б у
откуда для любых данных исходных величин уо и z0 легко получают
величины, соответствующие им после п поколений. Отсюда видно, что
выражения как для уп и zn, так и для Нп будут иметь вид
const.i(5/6)n+const.2(l/6)n. В табл. 11.2, например, z0= 1, уо=О. Под-
ставляя эти значения в уравнение (8') и решая его, мы найдем
1 ( 5 \п 1 I 1 \п 1 I 5 V . 1 I 1 \п
Уп=—' —-----------— . zn = — — Н----------— • (9 )
п 3 \ 6 / 3 \ 6 / _ 2 \ 6 ) 2 \ 6 )
Полученные результаты идентичны результатам примера 5 из прило-
жения к гл. 7. Кроме того, Hn = 2yn + zn будет иметь форму, данную в
выражении (3). Как было отмечено раньше, приложение этого мето-
да к случаю самооплодотворения автотетраплоидных организмов не
вызвано необходимостью, так как все его свойства можно получить
более простым методом, рассмотренным в § 3. Однако полезно ознако-
миться с этим достаточно общим методом, так как мы будем исполь-
зовать его в более сложных случаях, описываемых в следующей главе.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Рассчитайте доли зигот в четырех последующих поколениях и
предельные их доли, предполагая, что имеет место постоянное самооп-
лодотворение, для следующих популяций:
АА
Р2
Аа аа 1 Г АА Аа' Аа а'а' а'а аа
2pq q2 J ’ L 0,05 0,20 0,10 0,06 0,28 0,31
[AA Aa* Aa a'a’ a’a aa ]
0,04 0,12 0,20 0,09 0,30 0,25 J '
2. Даны четыре исходные популяции, рассматриваемые в отноше-
нии двух пар независимых генов:
САМООПЛОДОТВОРЕНИЕ
195
Покажите, что при случайном скрещивании все они будут иметь одно
и то же равновесное состояние, а при постоянном самооплодотворении
все они, за исключением двух последних популяций, будут отличаться
друг от друга.
3. Если исходная популяция состоит только из зигот А3а и есть
самооплодотворение, то доли зигот будут равны значениям, которые
приведены в представленной ниже таблице. Проанализируйте рекур-
рентные соотношения и общие члены для 77.
п А4 А3а А2а2 Аа? а4 Н
0 0 1 0 0 0 1
1 1 4 2 4 1 4 0 0 3 4
2 55 44 36 8 1 11
144 144 144 144 144 18
3 67 30 31 12 4 73
144 144 144 144 144 144
4 2713 788 936 464 283 547
5184 5184 5184 5184 5184 1296
СО 3 4 0 0 0 1 4 0
4. Приведенная ниже таблица иллюстрирует общий случай. Пока-
жите, что в последовательных поколениях доли А2а2, так же как и объ-
единенные доли А3а и Аа3, связаны тем же самым рекуррентным соот-
ношением, что и 77.
п А4 А3а А2а2 Аа3 а4 Н
0 0,100 0,160 0,360 0,200 0,180 0,720
1 0,150 0,160 0,270 0,180 0,240 0,610
2 0,1975 0,140 0,220 0,150 0,2225 0,510
3 0,23861 0,11888 0,18250 0,12388 0,33611 0,42527,
4 0,2734 0,1000 0,1519 0,1025 0,3722 0,3544
СО 0,450 0 0 0 0,550 0
13*
196
ГЛАВА И
5. Пусть популяция содержит 40% особей Л3а и 60% особей Аа3,
размножающихся самооплодотворением. Какими будут доли зигот в
нескольких следующих поколениях? Каким будет предельное состоя-
ние популяции? Если оно то же, что и для популяции из предыдущей
задачи, то почему?
6. Рекуррентное соотношение для Н можно вывести прямо из си-
стемы (4х). Так,
/ 1 2 \ 1 / 1
Нп+2 = 2г/„_|_2 + гп_|_2 = 2 — уп^ + — zn^-i + — Уп+i + — Zn-н
\ / 2 \ 2
~ tyn+l + 414-1 - —- Уп+1 — Zn+1 =
2 1 о
„ 1/1 , 2 \ 1/1 . 1 \
~ п+‘ 2 \ 2 ‘ 9 у 18 \ 2 2 ZnJ ~
= Нп+1~ А (2г/п + гп) = Я„+1 - А Нп.
36 36
Покажите, что уп и zn имеют то же самое рекуррентное соотношение,
что и Нп-
7. Генетическая дисперсия (гл. 3) в популяции с инбридингом вы-
ше, чем генетическая дисперсия в панмиктической популяции.
п Z Генетическая дисперсия
2 1 0
0 Р2 2р? q2 2p<? = о3
1 P2 + ~y Pq pq q2+ Pq 3p<7 = ^l + Ajao
2 2 I 3 Р + ~Pq pqli 2 , 3 q + —pq i з \ 9 3,5p<? — 11+ ) ao
Общий член Р2 + Fpq 2pq(l —F) q2 + Fpq 2(l + f)W = (l +Л°о
Предельное значение Р 0 q 4p9 = 2al
Эту проблему мы обсудим более детально позднее.
8. Из (2) следует, что если популяция является панмиктической (и
равновесной), то постоянное самооплодотворение приведет к полной го-
мозиготности при следующих долях генотипов:
Генотип
AABB AAbb aaBB aabb
Частота pu pv qu qv
Значение Z 2(Xt^—pSctg 2ax 2a2 0
САМООПЛОДОТВОРЕНИЕ
197
Покажите, что средняя величина Z та же, что и для популяции со слу-
чайным скрещиванием, однако дисперсия Z вдвое больше (гл. 10).
Следовательно, если Од, <з2Р, о2 являются генетическими дисперсиями
соответственно панмиктической популяции, популяции с определенным
уровнем инбридинга (который оценивается отношением F) и полно-
стью гомозиготной популяции, то они будут связаны соотношениями
4 = (1 + F)O2, ц2= 2О2,
не зависящими от числа участвующих локусов в той мере, в какой
действия генов аддитивны. Более точное определение F будет дано в
гл. 13.
ГЛАВА 12
Скрещивание между сибсами
Для раздельнополых организмов наиболее распространенной си-
стемой инбридинга является скрещивание между полными сибсами,
называемое обычно скрещиванием братХсестра. Свойства этой систе-
мы изучались многими генетиками (Фишем, Холдейном, Перлом, Ро-
бинсом, Шафером, Райтом и др.) и важны как для теоретической, так
и для прикладной генетики, в особенности для практики разведения
животных.
§ 1. ТИПЫ КОМБИНАЦИЙ РОДИТЕЛЕЙ
И ГРУПП СИБСОВ
Как отмечалось в предыдущей главе, изучение проблем инбридин-
га должно включать нечто большее, чем анализ соотношений гамет
различных типов, продуцируемых популяцией. Знание долей зигот в
одном поколении популяции со скрещиванием сибсов не поможет нам
в расчете долей зигот следующего поколения, так как все скрещивания
происходят между сибсами и, стало быть, состав следующего поколе-
ния определяется частотами типов групп сибсов (см. упр. 1). В свою
очередь тип группы сибсов зависит от комбинации родителей. Поэтому
в популяции со скрещиванием сибсов мы должны изучать изменения
частот различных типов скрещивания в ряду поколений.
Предположим, что численности братьев и сестер в группе сибсов
всегда равны между собой. Предположим также, что члены группы
сибсов скрещиваются друг с другом случайным образом, так что каж-
дую группу сибсов можно рассматривать как небольшую совокупность,
внутри которой осуществляется случайное скрещивание. Тогда популя-
цию в целом можно считать объединением многочисленных мелких
«изолятов», каждый из которых представляет собой группу сибсов.
В отношении одной пары аутосомных генов имеется шесть типов
скрещивания. Каждому такому варианту будет соответствовать опре-
деленный тип группы сибсов, который в свою очередь в следующем
поколении даст различные типы скрещивания в определенных соотно-
шениях. Для двух типов (ААхАА) и (ааХаа) пояснений не требуется.
Все скрещивания между их потомками будут того же типа, что и скре-
щивание между их родителями. От скрещивания (ААХаа) получается
группа сибсов {Аа}, дающая в следующем поколении только скрещи-
вания типа (АаХАа). От скрещивания (ААХАа) получается группа
сибсов |——AA-|--~-Aflj, которая в следующем поколении даст-^-(ААХ
ХАА)Н——(ААХАя)-|—— (АаХАа). То же самое справедливо для ком-
2 4 t
СКРЕЩИВАНИЕ МЕЖДУ СИБСАМИ
199
бинаций (ааХЛа), за исключением того, что Айа здесь поменялись
местами. И, наконец, от скрещивания (АаХАа) получается группа сиб-
сов —— АА-1—-Аа+—аа, способная в следующем поколении давать все
4 2 4
шесть типов скрещивания в соотношениях —(ААХАА),— (ааХаа),
16 16
^(ААХаа),-^-(ААХАа),-±-(ааХАа),-^- (АахАа). Все эти соотноше-
ния представлены на рис. 12.1, где скрещивания (ДДхАА) и (ааХаа),
Рис. 12.1. Соотношения между частотами типов скрещивания сибсов в двух последова-
тельных поколениях.
так же как (ААХАа) и (ааХАа), попарно объединены. Частоты скре-
щиваний четырех групп обозначены через w, х, у, z, сумма которых
равна единице.
§ 2. УМЕНЬШЕНИЕ УРОВНЯ ГЕТЕРОЗИГОТНОСТИ
Из предыдущей главы мы знаем, что самооплодотворение умень-
шает уровень гетерозиготности диплоидных форм наполовину в каждом
поколении. В этом параграфе мы обсудим, каким образом происходит
уменьшение уровня гетерозиготности при продолжительном скрещи-
вании сибсов. Поскольку мы имеем дело с аутосомными генами, ре-
ципрокные скрещивания не отличаются друг от друга. Соотношения
между частотами четырех типов скрещивания в двух последователь-
ных поколениях со скрещиванием сибсов (рис. 12.1) можно выразить
в виде следующих уравнений [199]:
~1 Т* Уп ^п»
4 о
i/n-t-i
8 Zn
2 Уп “I %п
(1)
^«4-1 хп 4- уп zn
4 4
Последние три уравнения образуют независимую систему относитель-
но переменных х, у, z. Чтобы найти величины хп, уп, zn для любого
200
ГЛАВА 12
поколения, а также вывести рекуррентные соотношения между их зна-
чениями в последовательных поколениях, мы используем метод линей-
ных относительно инвариантных функций, описанный в предыдущей
главе. Сначала мы должны найти условия, при которых выполняется
тождество
~l~ lyjn "Ь ^Згп)- (2)
Подставляя (1) в (2) и приравнивая коэффициенты при х, у, z в обеих
частях тождества, получим следующую систему уравнений:
Z3 =
= (3)
— + — ?2 + “ ^3 = ^3-
Характеристическое уравнение имеет вид
— X 0
/(*) = 0 -1-А -L 2 4 = А3 — — № — — А + — = 0, 4 8 16
1 X -L-х
8 2 4
(4Х — 1)(4А2 — 2Х — 1) = 0
(4)
или
(4')
с корнями = X2=-J-(l + K5) =0,809, А3 = (1— /"5) =—0,309
(/5=2,236). Для каждого значения А из уравнений (3) можно най-
ти набор таких значений 1\ : /2 : h, которые бы удовлетворяли тождест-
ву (2). Таким образом,
h /г ^3
Ах= ’ 4 —1 1
^=Т^1 + 1/5) 4 4HW?) 14- Уб
Лз = (1—Кб) 4 1~Уб
(5)
Итак, условия, при которых выполняется тождество (2), найдены.
Все рекуррентные соотношения для х, у, z или их любых линейных
комбинаций в соответствии с (4) имеют вид
3,11
Zn+З = — Zn+2 + — Z„+1 — — Zn. (6)
4 о 10
Поскольку доля гетерозигот Аа равна Hn=~yn+zn, рекуррентное со-
отношение для Н имеет ту же форму (6). Однако для данной частной
линейной комбинации у и z рекуррентное соотношение Н может при-
СКРЕЩИВАНИЕ МЕЖДУ СИБСАМИ
201
Таблица 12.1
Последствия скрещивания сибсов для популяции, исходно представленной
только гетерозиготными особями
6 Типы и частоты скрещиваний в популяции Доли зигот в популяции Скрещи- вания с расщеп-
с О. KW S S ААХАА ааХаа ААХаа ААХАа ааХАа АаХАа АА Аа аа лением x+y+z
W X У Z Н S
0 0 0 0 1 0 1 0 1
1 1 1 4 2 1 ' 1 1 7
1 8 8 8 8 4 2 4 8
о 9 1 12 10 2 2 2 23
32 32 32 32 8 4 8 32
о 53 5 44 26 5 3 5 75
128 128 128 128 16 8 16 128
А 269 13 140 90 11 5 11 243
4 512 512 512 512 32 16 32 512
е 1261 45 460 282 24 8 24 787
О 2048 2048 2048 2048 64 32 64 2048
д 5645 141 1484 922 51 13 51 2547
О 8192 8192 8192 8192 128 64 128 8192
оо 1 0 0 0 1 2 0 1 2 0
нимать более простую форму, которая привычнее генетикам. Покажем
это, продолжая поиски общих выражений для хп, уп, zn и предпола-
гая, что нам даны некоторые подходящие исходные величины хо, Уо> £о-
Пусть, например, в исходной популяции все экземпляры обладают ге-
нотипом Аа, так что z0=l, х<о=уо=0 (табл. 12.1). Из (2) и (5) мы
имеем
Ч ~Уп +гп- Ц’
Ч + ± (з + /Т) Уп + (1 + |/Т) zn = (1 + 1/Т) (7)
Ч + 4" (3 - /Т)Уп +(1- = (1 - /Т)^.
При решении (исключив сначала хп) получим выражения в явном ви-
де для общих членов у и z\
an 5 1 1 5 21 5 3’
тх". (8)
где 2ц и т. д. приведены в (5). Общее выражение для хп здесь нас не
интересует, так как оно не включает гетерозиготных форм. Доля гете-
розиготных форм в n-м поколении будет равна
14—322
202
ГЛАВА 12
(9)
Нп = -Уп + гп =
п 2 п п 10 2 10 3
Член, включающий Ль мы сократили. Подставляя числовые значения
/.2 и Аз, получаем известное выражение Нп для особого случая Но=1:
(гл. 7, приложение, пример 2). Теперь мы видим, что величина Н не
зависит от Ai=—• Следовательно, характеристическое уравнение, отно-
(10)
сящееся к величине Н, имеет вид 4/Л—2/. —1=0 [см (4')]. Поэтому
рекуррентным соотношением для Н будет выражение 4Яп+2—2/7n+i—
—Hn — Q, или
нп+2 = -^нп+1 + ^-нп,
2 4
(Н)
которое образует хорошо известную последовательность Фибоначчи.
Как отмечалось в § 2 гл. 11, величину Н можно интерпретировать тре-
мя различными способами. Так, для группы мышей, у которых в тече-
ние шести поколений происходит скрещивание сибсов, следует ожидать
13
(табл. 12.1), что—=20,3% их исходных гетерозиготных локусов оста-
64
нутся гетерозиготными, а 79,7% станут гомозиготными. «Чистые» ли-
нии мышей, используемые в лабораториях, получены в процессе дли-
тельного инбридинга в течение многих поколений, так что можно счи-
тать, что все их локусы находятся в гомозиготном состоянии.
§ 3. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ ПАРТНЕРАМИ
И МЕЖДУ ОБЪЕДИНЯЮЩИМИСЯ ГАМЕТАМИ
Если бы мы ‘разбили величины w, х, у, г (табл. 12.1) на девять
составляющих, различая реципрокные скрещивания, то получили бы
таблицу корреляций между скрещивающимися генотипами. Например,
g
во втором поколении скрещивания сибсов имеется —(ААХАА)-]-
9 1 1
-|-(аау^аа), —-(ААХ^а)-]-(аа\АА) и т. д. Данные по корреляции
64 64 64
скрещиваний для первых пяти поколений скрещивания сибсов приве-
дены в табл. 12.2, начиная с популяции, в которой нет корреляции
между партнерами.
В дальнейшем коэффициент корреляции между партнерами (т) растет
вместе со степенью инбридинга и в конце концов, когда устанавлива-
ется полная гомозиготность, достигает предельной величины, равной
единице. Однако для более сложных систем инбридинга этот метод
становится слишком трудоемким. Намного более эффективный метод
определения величины т будет изложен в гл. 15 и 16.
В табл. 12.1 приводятся также суммарные частоты для всех скре-
щиваний, сопровождающихся расщеплением, S=x+z/+z. Рекуррент-
ное соотношение последовательности S также, конечно, имеет форму
(6); ее предельное значение равно нулю. Таким образом, в конце кон-
цов все скрещивания в популяции будут скрещиваниями внутри чистых
линий.
А теперь проверим таблицы корреляций между партнерами
(табл. 12.2) другим способом. Частоты различных типов скрещиваний
СКРЕЩИВАНИЕ МЕЖДУ СИБСАМИ
203
Таблица 12.2
Корреляция между партнерами при скрещивании сибсов
Первое поколение Второе поколение Третье поколение
2 1 0 2 1 0 2 1 0
2 1 2 1 9 6 1 53 22 5
1 2 4 2 6 20 6 22 62 22
0 1 2 1 1 6 9 б 22 53
4 8 4 16 32 16 80 96 80
т=0 1 Щ-2 3 т- 5
Четвертое поколение Пятое поколение Через бесконечное число поколений
2 1 0 2 1 0 2 1 0
2 269 70 13 1261 230 45 1 0 0
1 70 180 70 230 564 230 0 0 0
0 13 70 269 45 230 1261 0 0 1
352 320 352 1536 1024 1536 1 0 1
8 т= — 11 19 т= — 24 т=1
Таблица 12.3
Корреляции между объединяющимися гаметами при скрещивании сибсов
Первое поколение Второе поколение Третье поколение
1 0 1 0 1 0
1 4 4 20 12 88 40
0 4 4 12 20 40 88
8 8 32 32 128 128
F= =0 F = 1 4 F = 3 8
Четвертое поколение Пятое поколение Через бесконечное
число поколений
1 0 1 0 1 0
1 384 128 1632 416 1 0
0 128 384 416 1632 0 1
512 512 2048 2048 1 1
F = 8 16 F = 19 32 F= = 1
14*
204
ГЛАВА 12
между генотипами можно перевести в частоты объединения гамет.
Например, одно скрещивание ААХАА эквивалентно объединению га-
меты А с другой гаметой А; скрещивание АаХАа эквивалентно объеди-
нению гамет Д и Д (доля — ), А и а (доля , а и а (доля ).
4 2 4
Условно припишем гамете А величину 1, а гамете а — 0. При этом
таблицы корреляций между генотипами 3X3 можно перевести
в таблицы 2x2 для объединяющихся гамет (табл. 12.3). Для обо-
значения коэффициента корреляции между такими объединяющимися
гаметами мы используем букву F. Ясно, что табл. 12.2 и 12.3 являются
просто двумя различными способами представления одних и тех же
фактов, суммированных в табл. 12.1. Таким образом, последователь-
1 3 8 19
«ость т: —, —, -—, —,... для следующих друг за другом поколении эк-
2 5 11 24
„ 1 3 8 19
Бивалентна последовательности "в”’"16 ’ *32 ’’’’ для соответствУю'
щих поколений. Другими словами, т и F— два различных показателя
одного и того же эффекта инбридинга. В большинстве случаев гораздо
удобнее использовать F, чем т (что будет показано в последующих
параграфах), так как новый метод облегчает нахождение рекуррент-
ного соотношения F для любой системы инбридинга и так как F непо-
средственно связан с Н популяции.
§ 4. СЛУЧАЙ, КОГДА ИСХОДНАЯ ПОПУЛЯЦИЯ
ЯВЛЯЕТСЯ ПАНМИКТИЧЕСКОЙ
Особым представляется случай, когда исходной является популя-
ция (р2, 2pq, q2) с Ho=2pq. При этом ни одно из разобранных выше
рекуррентных соотношений не меняется, поскольку они не зависят от
начальных условий (а значит, и от частот генов). Однако общие выра-
жения для n-го члена последовательностей х, у, z, Н или S могут
иметь более простой вид благодаря наличию данной системы началь-
ных условий:
^о = Р4 + ?4 = 1-2Д0 + ^Я2,
x0 = 2pV = -±-Н2,
y0 = ^pq(p2-rq2) = 2Н0-2Н2, (12)
z0 = W = H2.
В первом поколении скрещивающихся сибсов частоты четырех групп
скрещивания из (1) и (12) будут равны
U11 = w0 + -L у0 + -L г0 = 1-1 я0 + _L #2,
4 о Л о
4zo= (12А)
о о
й = -у^» + т2"=
2i=*o + -j-a + 4"z«“ yh,+1'h°'
СКРЕЩИВАНИЕ МЕЖДУ СИБСАМИ
205
Следовательно,
# 1 = -у У1 + Д = Но,
Н3 = — Н2 + — Н х = Aw
3 2 2 4 1 8 °
Коэффициенты при Но образуют
. , 3 5 8
первыми членами 1, 1, —, —, —,
4 8 16
коэффициентов будет иметь вид (гл.
Нп = б + зКТ ( 1 + У~5~\п
Яо 10 V 4 У
Для
(13)
сиб-
//“ = ТЯ> + 4’"" = Л’Яо>
#, = -“?#« ит.д.
10
последовательность Фибоначчи с
Поэтому общее выражение
7, приложение, пример 4)
, б—з W /1 — п
10 \ 4 ) ‘
Доли зигот среди потомков первого поколения от скрещивания
сов при условии, что исходная популяция является панмиктической,
можно легко получить, исходя из частот типов скрещивания сибсов
[см. формулы (12А)]. Для того чтобы облегчить расчет частот геноти-
пов их потомков, мы можем по отдельности выписать шесть типов
скрещиваний сибсов, как это сделано в табл. 12.4. Особенно важна до-
Таблица 12.4
Частоты типов скрещивания сибсов в первом поколении и частоты генотипов
среди их потомков в предположении, что исходная популяция является панмиктической
Частота типов скрещивания Потомство сибсов
сибсов АА Аа аа
I (АА X АА) р* +р3<7"|—— р2<у2 1 4 1 (аа X аа) q* + pq3 + А р2^а Xi (ААХаа) P2q2 I (АА X Аа) 2p3q + p2q2 f/i ' 1 (аа X Аа) 2pq3 + p2q2 2i (Аа X Аа) p3q + pq3 4* 3p2q2 1 0 0 1 2 0 1 4 0 о: 1 1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 1 2 1 4
Потомки от всех типов скрещивания сибсов р2+ Aw 4 1 2р<? — РЯ <72 + “ Р<?' 4
ля потомков, гомозиготных по рецессивному гену (У?), полученных от
скрещиваний между сибсами, так как в действительности часто имеют
место отношения доминирования. Читатель, возможно, знаком с раз-
личными формами R, встречающимися в литературе:
= + А р7 = А^ + ±^ = 2.9(1+39). (14)
4 4 4 4
Приведенное выражение — частный случай более общего, результата,
'206
ГЛАВА 12
который дает нам долю потомков с рецессивным признаком от скрещи-
ваний родственников любого типа в панмиктической популяции. Под-
робно мы обсудим эти вопросы в последующих главах.
§ 5. ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ,
И ДРУГИЕ СЛУЧАИ
Поскольку среди самцов нет особей, гетерозиготных по генам,
сцепленным с полом, а система скрещивания не влияет на частоты их
генотипов, мы рассмотрим только долю гетерозиготных особей у самок
и>п Уп
wn+i хп+1 Уп+1
Рис. 12.2. Соотношения между частотами типов скрещивания сибсов в двух последо-
вательных поколениях для генов, сцепленных с полом.
(XX). Шесть типов скрещивания можно разбить на три группы в соот-
ветствии с типом расщепления в потомстве при скрещивании сибсов
(рис. 12.2). Поэтому отображение будет задаваться следующими урав-
нениями [199]:
шл+1 = wn + - j- уп,
4
Хп+1 = Y уп
Уп-\л хп -f~ 2 Уп
Последние два уравнения независимы. Обратите внимание на то, что
доля Аа среди самок равна просто Нп=уп. Чтобы найти условия, при
которых выполняется тождество
1^Уп+\ = + /2*/n),
мы проведем точно такой же анализ, как и раньше, и в результате по-
лучим уравнение
—х 1
4 2
/(%) =
= № — — X — — = О,
2 4
корни которого равны Хх = (1-[- ]/"5)/4 и Х2=(1—Рекуррент-
ные соотношения как для х, у, так и для Н имеют вид уравнения (11).
Иными словами, для самок свойства Н идентичны свойствам Н для
аутосомных генов при скрещивании сибсов. Выражение для общего
СКРЕЩИВАНИЕ МЕЖДУ СИБСАМИ
207
Таблица 12.5
Скрещивание сибсов и гены, сцепленные с полом
Поколе- ния п Типы и частота скрещиваний в популяциях Расщепление при скрещивании S = х + у
АА X А аа X а W АА X а аа X А X АаХА Аа X а У=Н
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
1 1 1 3
2 — — I
4 4 2 4
3 1 4 б
3 — - — 1 •
8 8 8 8
8 2 6 8
4 ... . — —
16 16 16 16
19 3 10 13
, , . -
32 32 32 32
43 5 16 21
6 - 1
64 64 64 64
... •. •
оо 1 0 0 0
члена Нп зависит от характеристик исходной популяции. Если исход-
ным является скрещивание ААу^а (табл. 12.5), так что х0=1, wQ —
—Уо=О> то Уп(.—Нп) образуют последовательность Фибоначчи, общий
член которой идентичен выражению (10). Последовательность S: 1, 1,
—, ... имеет общий член, идентичный выражению (13).
4 8
Если речь идет о множественных сцепленных с полом аллелях, то
максимальное их число для семей типа ДИгХ-^з в популяции со скре-
щиванием сибсов равно трем. Для аутосомных генов максимальное
число аллелей, которое может иметь одна семья, такая, как ДИгХ^зДь
равно четырем. Рекуррентные соотношения были получены Холдейном
[199] и во всех этих случаях оказались идентичными выражению (И).
Таким образом, зависимость Hn+2 — 1/2Hn+i-[-1liHn представляется
универсальным свойством скрещивания сибсов у всех диплоидов. Об-
щие выражения для Нп при. определенных начальных условиях также
были даны Холдейном [199]. Наибольший корень уравнения относи-
тельно к равен (1Д- 1^5)/4=0,809. Таким образом, после довольно
большого числа поколений со скрещиванием сибсов величина Н пони-
жается приблизительно на 19,1% за поколение, так как для этих по-
колений Нп+1 = 0,809Нп-
Последствия скрещивания сибсов у автотетраплоидных организмов
изучили Бартлет и Холдейн [16], которые обнаружили, что в этом слу-
чае приближение к полной гомозиготности происходит очень медленно.
Для уменьшения доли гетерозиготных особей наполовину требуется
десять поколений, а для снижения этой доли до 0,1 требуется 31 поко-
ление. Наибольший корень уравнения относительно А равен 0,92356.
Методы, использованные в этих более сложных случаях, в точности
те же, что и метод, примененный нами, однако алгебраические выклад-
ки усложняются.
208
ГЛАВА 12
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Доли зигот в трех следующих популяциях одинаковы, все они
1 4 1
содержат — ДАН----Аа-\-аа; однако их распределения по группам
6 6 6
сибсов различны:
Z,: — {АА} + — {Аа} + — {аа} + — (— АА + — Аа + — аа],
1 24 1 S 12 1 1 24 1 1 2 I 4 2 4 J
Z2: — ( — АА ~г — Аа] + — {Аа} + — (— Аа + — аа],
2 3 [ 2 2 J 3 1 J 3 I 2 2 J
Z3:-L{AA} + -?-{Aa} + 4{aa}.
6 3 6
Члены групп сибсов представлены в фигурных скобках. Покажите, что
если все скрещивания ограничены членами одной и той же группы
сибсов, то доли зигот в следующем поколении будут равны
_ /13 22 _13\ z, _ /_7_ Ю _7\ 2- = ( 1 1 J_\
1 Д 48 ’ 48 ’ 48 / ’ 2 \ 24 ’ 24 ’ 24 /’ 3 ~ \ 3 ’ 3 ’ 3 /'
2. Рекуррентное соотношение для Я при скрещивании сибсов мож-
но получить прямо из системы (1). Так,
„ _ I _ д_ /д_ । \ , i д__1_ _
“п+2 ~ 2 ^"+2 2п+2 — 2 \ 2 ^/1+1 2/1+1I ‘ X/1+I 4 ^/1+I ‘ 4 2/1+1 ~
1/1 , Ъ 1 / 1 , \ 1 и 1 1 w
= т(т^+1 + 2/1+1J + Т(т Уп + 2/1) Т^+1 +
Возможно, этот математический вывод убедит читателей в том, что
рекуррентное соотношение для Н полностью определяется особенностя-
ми системы скрещивания, которая описывается формулами (1), и не
зависит от состава популяции и частот генов в ней.
3. Пусть /1 — частота скрещивания ААХАА и т. д., а Sf=l. Для
того чтобы проверить рекуррентное соотношение (11), воспользуемся
следующей схемой:
Исходное поколение Первое поколение Второе поколение
(АА X АА) fi /1 =/i+ + ft
(аа X аа) fz /2 = /2 + — + f'2
Те же самые выра-
(АА X аа) fs 8 fe f3 жения, что и в предыдущем столб-
це, за исключением
(АА X Аа) h Q ft + fa f'4 того, что f2.. . er
2 4 заменены на fp f2..
(аа X Аа) ft /5 2 f'5
(Аа X Аа) fe fe — /3.+ ~ (ft + fs + fe) f’s.
ff0^Y(h + f6) + fe я1=^-(^+4)+/6 H2- = "y( A + fs) +fs
СКРЕЩИВАНИЕ МЕЖДУ СИБСАМИ
209
Проведите численные расчеты для произвольного случая:
Л = 0,05, = 0,09, /3 = 0,10, = 0,20, f6 = 0,24, ft = 0,32.
4. Рассчитайте частоты шести типов скрещивания для исходно'
панмиктической популяции (0,04; 0,32; 0,64), считая, что в трех после-
дующих поколениях осуществляется скрещивание сибсов. Каким будет
отношение Н3/Н0? Проверьте свой ответ с помощью формулы (13).'
5. Каковы будут частоты зигот у потомков первого поколения ука-
занной выше исходной популяции при скрещивании сибсов? Проверь-
те ваши числовые расчеты, используя формулу (14).
6. Равновесная панмиктическая популяция в отношении пары
генов, сцепленных с полом, записывается в виде (р, q) и (р2, 2рр, р2).
Предположим, что панмиксия заменяется системой скрещивания сиб-
сов. Рассчитайте частоты шести типов скрещивания в трех последу-
ющих поколениях и покажите, что рекуррентное соотношение для Н
самок идентично рекуррентному соотношению для аутосомных генов.
Рассчитайте также доли зигот у потомков первого поколения со скре-
щиванием сибсов. Выполните все расчеты для примера, в котором
исходной является популяция (0,20; 0,80) и (0,04; 0,32; 0,64).
7. В случае трех сцепленных с полом аллелей мы имеем шесть ге-
нотипов для самок и три для самцов. Восемнадцать различных скре-
щиваний можно разбить на четыре группы в соответствии с типом
расщепления в потомстве. Пусть частоты четырех групп скрещивания
в n-м поколении скрещивания сибсов будут равны
Wt X aiai X а} йг а.; X X аь
агах х < а2 ага2 х Й1 X а3
й2й2 X а2 < а3 й±й2 х й2 Й1 й3 X й2
й3 а3 X а3 й2й2 X йг ar а3 X «1 Й2Й3 X tZj
а2 й2 < а3 ara3 X й3
tz3 й3 X аг а2а3 X й2
а3а3 X й2 й2 й3 X й3
хп Уп %п
Основная система уравнений при этом имеет вид
, 1
wn+l = wn + —yn,
%n+i= -7^
^n+I = xn + y^ + TZ'1 2 ’
Zn+1 —
Отсюда получаем характеристическое уравнение
1 о
-—X о
2
—Л
1
4
о
Н*) =
—— %Ш2— — ь — — ^ = 0.
2 2 4 /
210
ГЛАВА 12
Рекуррентное соотношение для H=y-\-z также дается формулой (11).
Если исходным является скрещивание ЯгХ^з, так что 20=1 и w0=
=хо=уо=О, то последовательные значения 77 будут равны
I 1 3 5 8 13
’ ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 32 ’ ’
а общим выражением для них является формула (13). Рекуррентным
соотношением для у будет уп+ъ=Уп+ч----~£~Уп (то же самое и для *)>
так как /(/,) =А3—Х2+1/8=0.
8. Покажите, что последовательность F (табл. 12.3) 0,
19 г 1 г , 1 г- , 1
—,... имеет рекуррентное соотношение Fn+2 = — Fn+H—— г„ + —
43 94
и, таким образом, ее следующие два члена будут равны — и — .
9. Как в этой, так и в гл. 7 мы уже имели дело с ]/5 =2,236068.
Величина ф=-^-(1+]/5) = 1,618034 обладает очень интересными ма-
тематическими и геометрическими свойствами и тесно связана со свой-
ствами последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...,
каждый член которой равен сумме двух предыдущих. Предельное зна-
чение последовательности дробей 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34...
равно Ф = 1,618. Предельное значение последовательности обратных
величин 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55... равно 1/Ф=0,618.
Читателю предлагается проверить следующие свойства:
Ф~4=—ЗФ+ 5 = 0,145898
Ф-3 = 2Ф — 3 = 0,236068
Ф-2 = — Ф+ 2 = 0,381966
Ф~' = Ф— 1 = 0,618034
Ф° = 1 = 1,000000
Ф1 = Ф = 1,618034
Ф2 = Ф + 1 = 2,618034
Ф3 = 2Ф + 1 = 4,236068
Ф4= ЗФ +2 = 6,854102
ф5= 5Ф + 3= 11,090170.
Обратите внимание, что при разложении степеней Ф образуются дру-
гие последовательности Фибоначчи.
ГЛАВА 13
Равновесные популяции
с инбридингом
Закон Харди—Вайнберга выполняется лишь в частном случае рав-
новесия более общего типа, в поддержание которого определенный
вклад вносит инбридинг. В этой главе мы рассмотрим некоторые свой-
ства равновесных популяций с инбридингом.
§ 1. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ ОБЪЕДИНЯЮЩИМИСЯ
ГАМЕТАМИ
В предыдущей главе на примере со скрещиванием сибсов было
показано, что инбридинг приводит к корреляции между объединяющи-
мися гаметами. В популяции с частотами аллелей р(А) и q(a) вероят-
ность объединения двух гамет А равна р2 при свободном скрещивании и
будет превышать р2 при наличии определенной степени инбридинга.
Пусть эта вероятность равна р2+е, где е — положительная величина,
меньшая 1. Поскольку при инбридинге частоты генов не изменяются,
таблица корреляций для объединяющихся гамет примет форму
табл. 13.1, в которой, как и раньше, мы положили переменную g = l
для гамет А и g=0 для гамет а; через g' обозначены соответствующие
переменные для другого пола.
Таблица 13.1
Корреляция между объединяющимися гаметами
g g' Сумма
1 0
1 P2 + s pq — s P
0 pq — e <72 + e q
Сумма p q 1
Из табл. 13.1 мы имеем g=g'=p, a2s = <у|, =pq и 8gg' = p2-[-
4-е—р2=е. Следовательно, коэффициент корреляции между g и g' ра-
вен
F = —= — , т. е. e=Fpq.
<Vg' w
(1)
212
ГЛАВА 13
Доли зигот в этой популяции равны, таким образом [664, 665]
АА Аа аа
D = р2 + Fpq, Н — 2pq (1 — F), R = q2 + Fpq, (2)
где О+Я+7? = 1. Если F из поколения в поколение остается постоян-
ным (в условиях какой-либо упорядоченной или неупорядоченной си-
стемы скрещивания), то доли зигот D, Н, R также останутся постоян-
ными. Соотношения (2) называют законом равновесия Райта. Этот
закон представляет собой обобщение закона Харди — Вайнберга (для
которого F=0) и является одним из наиболее важных в популяцион-
ной генетике. Более детально мы разберем его в последующих парагра-
фах. Должно быть ясно, что F совершенно не зависит от частот генов:
частоты генов говорят нам о доле каждого аллеля в популяции, тогда
как F указывает на то, как они объединяются в пары.
§ 2. ДОЛИ ЗИГОТ
Доли зигот (2) являются промежуточными между долями зигот в
панмиктических популяциях (р2, 2pq, q2) и долями зигот в полностью
инбредных популяциях (р, 0, q) для любого значения частоты гена. Из
Р___Я_ Р______Ч р q. Р q р q
F=0
F-i F=-f F=j F=1
Рис. 13.1. Доли зигот в популяциях с различными степенями инбридинга при заданных
значениях частот генов (зачерненные участки — АА; заполненные точками — аа; бе-
лые — Аа).
рис. 13.1 ясно, что соотношения Райта можно выразить двумя эквива*
лентными способами: во-первых, через отклонения от случая с F=0
и, во-вторых, через отклонения от случая Е=1. Третий способ их вы-
ражения основан на том, что p2-\-Fpq = (1—F)p2-\-Fp и т. д. Таким об-
разом, (2) можно переписать в виде
(1 — F) (р2, 2pq, q2) + F (р, 0, q). (2')
Другими словами, можно считать, что популяция состоит из двух ком-
понент — панмиктической компоненты, содержащей (1—+)-долю всей
Таблица 13.2
Доли зигот, выраженные тремя эквивалентными способами [691]
Г енотип Отклонение от панмиксии Панмиктическая и «фиксированная» компоненты Отклонение от фиксации
АА Р2 + Fpq (1 — F) p2+Fp p~ (i — F)pq
Аа 2pq — 2Fpq 2(l-F)pq 2(1-F)pq
аа q2 + Fpq (1 — F) q2 + Fq q—(\—F)pq
Сумма 1+0 (l-F) + F 1—0
РАВНОВЕСНЫЕ ПОПУЛЯЦИИ С ИНБРИДИНГОМ
213
популяции, и «фиксированной» (полностью инбредной) компоненты,
которая содержит F-долю всей популяции. Три приведенных выше
различающихся между собой, но эквивалентных способа выражения
долей зигот сведены в табл. 13.2 [691].
Поскольку в данном случае коэффициент корреляции F есть мера
фиксации, его обычно называют коэффициентом инбридинга. Он по-
лезнее любого другого показателя, характеризующего свойства некото-
рой популяции в сравнении со свойствами панмиктических популяций.
Показатель (1—F) служит мерой относительной величины уровня ге-
терозиготности по сравнению с уровнем гетерозиготности панмиктиче-
ской популяции. Таким образом,
Hf = (1-F)H0,
где HF п Но — доли гетерозиготных особей в популяциях соответствен-
но с инбридингом и без инбридинга.
При наличии полного доминирования в популяции важно знать
долю особей с рецессивным признаком. Предположив, что RF—q2-\-Fpq
и R0=q2, мы обнаружим, что отношение RF/R0 всегда больше единицы.
Для любой данной величины F это отношение приблизительно равно
единице при промежуточных значениях q, однако при малых q оно
становится очень большим (табл. 13.3). Следовательно, в результате
инбридинга (скрещивания между родственниками) доля особей с ред-
ким рецессивным признаком в панмиктической популяции будет силь-
но увеличиваться, тогда как изменение доли особей с нередким рецес-
сивным признаком будет относительно небольшим. В генетике человека
такой феномен хорошо известен.
Таблица 13.3
Отношение, доли особей с рецессивным признаком при инбридинге к их доле
при панмиксии для различных частот генов и при двух уровнях инбридинга
Доля особей с рецессивным признаком в панмиктической популяции, 7?0 Частоты рецессивных генов, q Величина Rp/R0 при двух коэффициентах инбридинга
F =- 32
0,0000011 0,001 63,44 32,22
0,00001 0,00316 20,70 10,85
0,00011 0,010 7,19 4,09
0,0004 0,020 4,06 2,53
0,0025 0,050 2,19 1,59
0,0100 0,100 1,56 1,28
0,0400 0,200 1,25 1,125
0,2500 0,500 1,06 1,03
1 Эти величины сравните с данными для случая двухфакторных рецессивных
признаков (§ 13).
§ 3. КОЭФФИЦИЕНТ ИНБРИДИНГА ПО БЕРНШТЕЙНУ
Здесь уместно упомянуть еще об одной попытке найти показатель,
измеряющий степень инбридинга в популяции. Речь идет об а — коэф-
фициенте Бернштейна, который для популяций с частотами генов р и
q определяется следующим образом.
214
ГЛАВА 13
Пусть Р{А|А}=Р— условная вероятность объединения данной
гаметы А с другой такой же гаметой. Подобно этому P{a|a} = Q —
условная вероятность того, что данная гамета а объединится с другой
гаметой а. Поскольку для любой данной гаметы вероятность быть А
или а равна соответственно р и q, безусловные вероятности для любой
зиготы оказаться АА или аа равны рУ^Р и q'X.Q. Далее, вероятность
того, что любая зигота будет Аа или аА, равна 2р(1—Р) или 2^(1—Q).
Эти последние две величины должны быть одинаковы, что приводит к
равенству
1-Р 1 —Q
Я Р
Обратите внимание, что в популяции со случайным скрещиванием Р и
Q не зависят от типа данной гаметы: какой бы ни была данная гамета,
ее шансы объединиться с гаметой А равны р, а с гаметой а — q. Дру-
гими словами, в популяции со случайным скрещиванием Р=р и Q=q,
а приведенное выше выражение становится равным единице. Если,
однако, объединяющиеся гаметы сочетаются так, что Р больше р, ве-
личина (1—P)jq будет меньше единицы. Коэффициент Бернштейна а
определяется равенством
1 — Р , 1—Q
=I—а= - ,
Я--------------Р
где а — положительное число меньше 1. Решая эти уравнения относи-
тельно условных вероятностей, мы получим
Р = р + aq, Q = q + ар.
Следовательно, доли зигот в популяции равны
ДА: рР =p(p-j-aq),
Аа: 2р (1 — P) = 2q (1 — Q) = 2pq(\ — а),
аа: qQ = q(q + ap), (3)
что идентично выражению (2). Таким образом, мы видим, что коэффи-
циент а Бернштейна представляет собой то же, что и коэффициент F
Райта.
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОПУЛЯЦИЙ
В гл. 1 для изображения всех популяций со случайным скрещива-
нием была использована парабола 4DR—Н2 = 0, построенная в системе
однородных треугольных координат. Подобным образом можно графи-
чески представить соотношения Райта (2) для различных частот
генов при данной (фиксированной) величине F. Для примера возьмем
простой случай, когда F=—; при этом доли зигот при различных зна-
4
чениях частот генов будут равны приведенным в табл. 13.4. Доли зигот
при д>0,5 можно получить путем взаимной перестановки величин р
и q, а следовательно, и величин D и R. Если точки (D, Н, R) поместить
в треугольнике (рис. 13.2), то они также лягут на параболу, располо-
женную, однако, ниже параболы для популяций со случайным скрещи-
ванием, что связано с увеличением степени гомозиготности (перпенди-
куляры к двум боковым сторонам треугольника) за счет уровня
гетерозиготности (перпендикуляр к основанию). Обратившись к (2),
мы видим, что уравнение этой параболы имеет вид [242]
4DR — Н2--= 4Fpq = F (2D + Н) (Н + 2R) = — -2Н. (4)
1—F
РАВНОВЕСНЫЕ ПОПУЛЯЦИИ С ИНБРИДИНГОМ
215
Таблица 13.4
Доли зигот в популяции с F=0,25
р q D Н R D Р R q Сумма
0,1 0,9 0,0325 0,1350 0,8325 0,325 0,925 1,25
0,2 0,8 0,0800 0,2400 0,6800 0,400 0,850 1,25
0,3 0,7 0,1425 0,3150 0,5425 0,475 0,775 1,25
0,4 0,6 0,2200 0,3600 0,4200 0,550 0,700 1,25
0,5 0,5 0,3125 0,3750 0,3125 0,625 0,625 1,25
Применяя форму записи, принятую в упр. 14 гл. 1, мы увидим, что (4)
можно представить в более простом виде [357]:
---£----1----5— = А + А = 1 + F. (4')
D + -^H R + Р q
Мы предлагаем читателю самому убедиться в эквивалентности фор-
мул (4 )и (4'). Главное преимущество последней формулы состоит в-
Рис. 13.2. Верхняя парабола представ-
ляет все панмиктические популяции, тог-
да как нижняя — те популяции, в кото-
1
рых F= —.
4
Две популяции, Р и Р', имеют одни и те же
частоты генов, отношение которых равно
q : p=XQ : QZ. Точка Р' делит перпендикуляр
PQ в отношении РР' : PQ=F(1-F) (из [224] с
некоторыми изменениями).
том, что ее можно легко обобщить на случай множественных аллелей.
Правая половина табл. 13.4 дает числовую иллюстрацию соотношения
(4'). На графике действие инбридинга, как показано на рис. 13.2, про-
является в перемещении популяционной точки Р вдоль перпендикуля-
ра PQ к основанию треугольника в точку Р', так что частоты генов
остаются неизменными. (Инбридинг сам по себе не изменяет частот
генов, что было показано в двух предыдущих главах.) В общем дей-
ствие инбридинга проявляется в том, что парабола приближается к
основанию треугольника. В крайнем случае, при F=l, парабола вы-
прямляется, сливаясь с основанием треугольника; при этом D=p, Н =
= 0, R = q. В промежуточных положениях точка Р' делит отрезок
PQ в отношениях РР' : P'Q=F ; (1— F), так как (1—F)HO (что
было отмечено в § 2). Можно добавить, что изменение частоты гена
(например, под действием отбора) означает перемещение Р вдоль пара-
болы, тогда как при инбридинге эта точка перемещается в вертикаль-
ном направлении вдоль перпендикуляра к основанию.
216
ГЛАВА 13
§ 5. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О РАВНОВЕСНЫХ ПОПУЛЯЦИЯХ
Прежде чем углубляться дальше в свойства равновесия при ин-
бридинге, докажем очень общую, хотя и весьма простую теорему, ко-
торая применима ко всем равновесным популяциям. Припишем индек-
сы 2, 1, 0 генотипам АА, Аа и аа соответственно; пусть и22— частота
скрещиваний ААХАА и т. д. в равновесной популяции; предположим
далее, что частоты реципрокных скрещиваний одинаковы и, следова-
тельно, Mio(AaX««) = и01(ааХАа). Сумма девяти и из табл. 13.5 равна
единице, а суммы трех строк таблицы, так же как и суммы трех ее
столбцов, являются долями зигот родительской популяции.
Таблица 13.5
Частоты скрещиваний в равновесной популяции
Партнеры АА (2) Аа (1) аа (0) Сумма
АА (2) «22 «21 «20 D
Аа (1) «21 «11 «10 Н
аа (0) «20 «10 «00 R
Сумма D н R 1
Частоты генотипов потомков можно легко рассчитать из частот
родительских скрещиваний. Так, например, скрещивания 2и21 (ААХ
ХАа), включая реципрокные, дают в следующем поколении u2i по-
томков АА. Таким образом, мы имеем [224]:
Частота родителей A A: и22 + u2i + «20»
Частота потомков АА: и22 + и21 + — uu.
4
Поскольку популяция находится в равновесии, доли зигот в поколени-
ях родителей и потомков должны быть одинаковыми. Следовательно,
мы получим соотношение
«н = 4«2о = 2 («20 + и02). (5)
Другими словами, в любой равновесной популяции скрещивания АаХ
ХАа происходят вдвое чаще скрещиваний между двумя различными
гомозиготами (ААХаа и ааХАА). Это соотношение не зависит от ча-
стот генов и степени инбридинга. Для панмиктических популяций спра-
ведливость данного утверждения очевидна (гл. 1).
Эта теорема была изложена именно здесь потому, что мы соби-
раемся использовать ее при выводе некоторых других теорем в после-
дующих параграфах. Указанное свойство равновесия впервые было от-
мечено еще Фишером [162]. Его доказательство весьма просто. Из шести
типов скрещиваний в Популяции четыре типа (ААХ^А ааХ««> ААХ
ХАа, ааХАа) дают потомков с теми же самыми долями генотипов, что
и среди их родителей. Вместе с тем путем скрещивания ААХ«« два
гомозиготных родителя заменяются в следующем поколении гетерози-
готными особями, тогда как в результате скрещиваний Аах
ХАа в гомозиготном состоянии будет только половина потомков. По-
этому в равновесном состоянии скрещивания АаХ^« должны проис-
ходить вдвое чаще скрещиваний ААХ«я (включая реципрокные).
РАВНОВЕСНЫЕ ПОПУЛЯЦИИ С ИНБРИДИНГОМ
217
§ 6. ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ ПРИ ИНБРИДИНГЕ
। Приписав величины 2, 1, 0 генотипам АА, Аа и аа, частоты которых
в популяции равны соответственно D, Н, R, мы найдем, что средняя
величина равна 2Е>+Я=2р, а дисперсия равна
о2 = 4D + H — (2D + H)2 = 4DR — Н2 + Н. (6)
Обратите внимание на то, что при 4DR—№=0 дисперсия уменьшается
до o^=H=2pq; мы используем здесь символ ст2, которым обозначают
генетическую дисперсию соответствующей панмиктической популяции
с теми же самыми частотами генов. Подставляя величины D, Н, R, за-
данные формулами (2), в (6), мы получим
= 4 (р2 + Fpq) + 2pq (1 - F) - (2p)2=2pq (1 +К) = ст2 (1+F). (6')
Из этого выражения видно, что коэффициент инбридинга является
также мерой обусловленного инбридингом (гл. 11, упр. 7) возрастания
генетической дисперсии популяции (в процентах). Следует помнить,
что дисперсия (0') относится ко всей популяции. Дисперсия подгруппы,
возникшей в результате инбридинга, понижается на долю F и равна
2pq (1—F), как показано в гл. 25. В чистых линиях генетическая дис-
персия равна нулю.
§ 7. СВЯЗЬ МЕЖДУ m И F
Как и в предыдущей главе, мы будем использовать т для обозна-
чения коэффициента корреляции между партнерами. Коэффициент F
используют чаще главным образом потому, что он удобен в расчетах, а
также потому, что величина (1—F) непосредственно измеряет относи-
тельное снижение уровня гетерозиготности в линии под влиянием ин-
бридинга. Однако необходимо ясно представлять себе, что в действи-
тельности между скрещивающимися особями существует корреляция,
которая приводит к корреляции между объединяющимися гаметами.
В этом параграфе мы найдем соотношение между т и F для одной и
той же популяции, а также выразим их через частоты зигот.,
Величину т можно легко рассчитать из частот скрещивания
(табл. 13.5). Дисперсия популяции дается формулой (6') из предыду-
щего параграфа. Ковариация для партнеров равна
Cov = 4u22 + 4«2i + un — (2р)2.
Учитывая то, что
«и = 4ц20 И «22 + «21 + Щм = D = р2 4- Fpq,
мы получим
Cov = 4 (р2 + Fpq) — 4р2 = 4Fpq.
Следовательно,
Это хорошо известная теорема популяционной генетики, которая впер-
вые, другим методом, была доказана Райтом [664]. Величина т всегда
превышает величину F, за исключением тех случаев, когда обе они рав-
ны 0 или единице. Например, при /7=0,25 т=0,40.
Величины F и т можно прямо рассчитывать из частот зигот в
популяции. Так,из (4) следует
218
ГЛАВА 13
р = 4DR —Н2 = 4DR — И2 (8)
“ (20+//) (Н + 2R) 4DR — Н2 + 2Н'
И если мы выразим ковариацию между партнерами через D, Н, R, а
не через р и q, то, используя (6), получим
т =, 40 -(20 +Я)2 = 4DR — H2 (9)
40/? — Н2 + Н 4DR — H2 + H' V '
Легко показать [356], что выражения (8) и (9) согласуются с форму-
лой (6). Читатель может проверить различные выводы из двух послед-
них параграфов для популяции со следующими частотами зигот: (0,22;
0,36; 0,42).
§ 8. СОЧЕТАНИЕ ПЕРЕКРЕСТНОГО ОПЫЛЕНИЯ
И САМООПЫЛЕНИЯ
В природных условиях у многих растений в каждом поколении про-
исходит как свободное опыление, так и самоопыление. Цветок хлопчат-
ника может или самоопыляться или подвергаться перекрестному опы-
лению. Пусть —часть популяции, размножающаяся в каждом по-
колении путем самоопыления, а 1—и+—доля растений, размножаю-
щихся путем свободного опыления. Должно быть ясно, что приведен-
ное здесь wl не равно величине F из формул (2), в которых панмикти-
ческая и «фиксированная» компоненты рассматриваются так, как если
бы они составляли две отдельные группы растений, причем каждая из
групп имеет свою собственную систему скрещивания. Здесь же, как это
видно из примера с хлопчатником, каждое растение в любом поколении
может или опыляться свободно (с вероятностью 1—отО, или самоопы-
ляться (с вероятностью ®i); потомство также может опыляться пере-
крестно или самоопыляться.
При такой комбинированной системе скрещивания любая исходная
популяция в конце концов придет к равновесному состоянию, при ко-
тором частоты зигот будут находиться между соответствующими зна-
чениями для полной фиксации и для полной панмиксии. Пусть равно-
весным состоянием будет (D, Н, R), и, как и раньше, и22 будет часто-
той ААХАА и т. п. Частоты различных типов скрещивания в этой рав-
новесной популяции равны сумме произведений (1—Ш1) на частоты
свободного опыления и ац на частоты самоопыления (см. табл, скрещи-
ваний из упр. 16). Таким образом,
ААХаа :2и20 = 2£>7? (1—wj,
АаХАа :uu = Н2(1 —Wi) + wrH.
Однако при равновесии «ц = 4и2о; отсюда получаем следующее урав-
нение:
WR — Н2 = -^~Н. (10)
1— а>1
Сравнивая это выражение с (4), мы увидим, что
++=+- (11)
1 —F 1 —
Последняя формула на самом деле является формулой (7) в несколько
другом виде ск)1 = т (упр. 7). Следовательно, какой бы ни была перво-
начальная исходная популяция (которая определяет только частоты
генов),
F = —. (12)
2 — Wr
РАВНОВЕСНЫЕ ПОПУЛЯЦИИ С ИНБРИДИНГОМ
219
Подставляя (12) в (2), мы получаем равновесные частоты зигот при
данной системе скрещивания. Этот результат был впервые получен
Холдейном [194], позднее его подтвердили Холдейн и Мошинский
[224], а еще позднее к нему пришел Гарбер [179] для частного случая
панмиктической исходной популяции. Однако ни один из этих авторов
не отметил, что при равновесии Wi=m; следовательно, они не замети-
ли, что полученный ими результат является просто частным случаем бо-
лее общего соотношения F=m!(2—т), полученного Райтом в 1921 г.
Из изложенного выше можно сразу получить интересные и полез-
ные выводы для практики растениеводства. Если у хлопчатника или
пшеницы мы выберем «ген-маркер» без полного доминирования и бу-
дем в течение ряда поколений следить за случайно выбранной делян-
кой, то значения F и т можно будет рассчитать из частоты зигот [по
(8) или (9)] и таким образом оценить уровень естественного самоопы-
ления в процентах. Если бы, например, для делянки хлопчатника мы
нашли Е=0,081, то это указывало бы на наличие 15% естественного
самоопыления у растений хлопчатника. С помощью описанного метода
можно получить более точные данные, чем с помощью искусственных
схем, применяемых растениеводами; этот метод является также более
экономичным.
§ 9. СОЧЕТАНИЕ СЛУЧАЙНОГО СКРЕЩИВАНИЯ (ПАНМИКСИИ)
И СКРЕЩИВАНИЯ СИБСОВ
Генотипические взаимоотношения в комбинированной системе со
случайным скрещиванием и скрещиванием сибсов подобны описанным
в предыдущем параграфе. Если в каждом поколении имеется постоян-
ная доля скрещиваний сибсов, то популяция в конце концов придет к
равновесному состоянию. Продолжая наши рассуждения в предыдущем
параграфе, будем считать w2 частью популяции, размножающейся пу-
тем скрещивания сибсов, а 1—w2— частью популяции, размножаю-
щейся путем случайного скрещивания. Частоты различных типов скре-
щивания будут тогда равны сумме произведений величины (1—ш2) на
частоты типов скрещивания при панмиксии и wa на частоты типов скре-
щивания сибсов. В соответствии с рис. 12.1 мы имеем
ААХаа : 2и20 = 2DR (1 — ®2) + — ицw2,
8
Аа X Аа : un = Н2 (1 — w2) + (2и20 + — «и + 4“ 2u2i +
Поскольку при равновесии Иц = 4и2о, то, вспомнив, что Н=и2\ +
4-!«n+«io, путем подстановки и упрощения мы получим
4DR — Н2 = -^----1-Н. (13)
Приравнивая правую часть ко второму из выражений (4), получаем
__ 4F
1 — w2 1 — F ’
независимо от первоначальной исходной популяции. Равновесные ча-
стоты зигот при этой системе скрещивания можно получить путем под-
220
ГЛАВА 13
становки (14) в (2). Эквивалентность долей самооплодотворения и
скрещивания сибсов в популяции устанавливают, сравнивая этот вы-
вод с формулой (12), Таким образом, при достижении равновесия
Р__ т _____ w1 ____ w2
2 — т 2 — 4—3w2
m = w1 = —W2..-. (15)
2 — w2
Например, 15% самооплодотворения эквивалентны 26% скрещивания
сибсов в популяции в том смысле, что в этой популяции они должны
приводить к одним и тем же значениям F и т и сходным величинам
окончательных частот зигот. Интересно отметить, что w\ является та-
кой же функцией от w2, как и F от т.
§ 10. ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР И НЕКОТОРЫЕ ВЫВОДЫ
Приведенный ниже числовой пример поможет в уяснении алгебраи-
ческих соотношений, установленных в предыдущих параграфах, а
также даст читателю возможность проверить выводы для смешанных
систем скрещивания. Предположим, что в данной исходной популяции
с частотами генов р=0,20 и 9=0,80 имеется 40% особей, размножаю-
щихся путем самооплодотворения, тогда как остальные случайно скре-
щиваются в каждом поколении. Популяция быстро достигает равновес-
ного состояния (0,08; 0,24; 0,68). Частоты объединения гамет при рав-
новесии между особями приведены в табл. 13.6А.
Таблица 13.6А
Объединяющиеся
гаметы
А а
А 0,08 0,12
а 0,12 0,68
0,20 0,80
Таблица 13.6 Б
Скрещивающиеся особи
АА Аа аа
АА 0,03584 0,01152 0,03264
Аа 0,01152 0,13056 0,09792
аа 0,03264 0,09792 0,54944
0,08000 0,24000 0,68000
Из табл. 13.6А получаем F=0,25, тогда как табл. 13.6Б дает т=0,40 =
=и>1, что подтверждает общее соотношение (7)^ Частоты скрещиваний,
приведенные в табл. 13.6Б, являются суммой частот для свободного
скрещивания (доля — 60%) и частот скрещиваний при самооплодотво-
рении (их доля — 40%). Читатель может проверить, что популяция
потомков при такой системе скрещивания останется прежней (0,08;
0,24; 0,68). Используя (14), можно убедиться в том, что если бы мы при-
няли ^2=4/7 = 57% скрещивания сибсов вместо 40% самооплодотво-
рения, мы получили бы тот же самый результат.
Корреляция между родителями и потомками (гро ) и между полны-
ми сибсами (гоо ) в равновесной популяции с инбридингом зависят от
интенсивности инбридинга. Другими словами, при равновесном со-
стоянии они зависят от величин т и F. Найдем значения гро и г00 для
приведенного выше примера. Частоты различных комбинаций роди-
тель — потомок и сибс — сибс можно рассчитать из частот скрещива-
РАВНОВЕСНЫЕ ПОПУЛЯЦИИ С ИНБРИДИНГОМ
221
Таблица 13.7А
Комбинации родитель — потомок
АА Аа аа
АЛ 0,0416 0,0384 0
Аа 0,0384 0,1200 0,0816
аа 0 0,0816 0,5984
0,0800 0,2400 0,6800
Таблица 13.7Б
Комбинации сибс — сибс
АА Аа аа
0,04976 0,02208 0,00816
0,02208 0,15264 0,06528
0,00816 0,06528 0,60656
0,0800 0,2400 0,6800
ний (табл. 13.6Б) с помощью методов, изложенных в гл. 2. Сделав это,
мы получим таблицы 13.7А и 13.7Б.
Из этих таблиц можно легко рассчитать, что Гро =Гоо =0,70. В общем
соотношения этих корреляций с т при равновесном состоянии будут
такими [663, 664]:
гро ^''оо = V(1 +т)‘ (16)
Соотношение (16) можно, конечно, вывести и алгебраически, используя
табл. 13.5 и формулы (5) и (7). При m\=F = 0 эти корреляции стано-
вятся равными , как показано в гл. 3. Фишер [162] доказал соотно-
шение (16) другим способом.
§ 11. ИНБРИДИНГ ПРИ НАЛИЧИИ МНОЖЕСТВЕННЫХ
АЛЛЕЛЕЙ
Пусть qt частота аллеля (i=l, ..., А) в популяции, а 2<7г=1.
Частоты зигот в равновесной популяции с коэффициентом инбридинга
F равны
(1 - F) qt Д)2 + F (2 q< Д Д) = У '(1 ~ Л Д щ Аг А( +
i i i
+ 2(1-Г)2^дДД- (17)
Эти частоты зигот можно, как и раньше, представить в виде таблицы
комбинаций объединяющихся гамет. Такая запись, иллюстрирующая
случай трех (А=3) аллелей, приводится в табл. 13.8. Коэффициент кор-
реляции между объединяющимися гаметами (из таблицы) окажется
Таблица 13.8
Объединяющиеся гаметы и частоты генотипов для случая
множественных аллелей
Л-1 Л2 Л-з
41 (1—Л41 + Fqi (1 —Л <71 42 (1 — л 41 4з 4i
Л2 (1 — Л 42 4i (1 — Л 42 + Л2 (1—Л 42 4з 42
Л-з (1 —F) <7з 41 (1 — Л 43 42 (1 — Л ql+ Fq3 4з
<71 42 qz 1
222
ГЛАВА 13
Таблица 13.8 А Таблица 13.8Б
Компонента случайного скрещивания с относительным весом (1—F) «Фиксированная» компонента с относительным весом F
4j 42 4з 41 43 4з
91 91 92 91 93 91 4-1 91 0 0 91
42 9192 92 92 9з 92 43 0 9г 0 9г
А3 91 93 92 9з 9з 9з 4з 0 0 9з 9з
91 92 9з 1 91 92 9з 1
равным F независимо от того, какие произвольные величины приписа-
ны аллелям Аь Л2> Л3.
Последнее утверждение требует обоснования. Чтобы показать, что
коэффициент корреляции для табл. 13.8 по-прежнему равен величине F,
когда трем столбцам (или рядам для аллелей Ль Л2, Л3) ставятся в со-
ответствие какие-либо три произвольные величины (скажем, Хь
Х2, Хз), мы разложим данные табл. 13.8 на две компоненты: одна из
них — компонента случайного скрещивания с относительным весом, или
частотой (1—F), и вторая — «фиксированная» компонента с относи-
тельным весом F (что показано в табл. 13.8 А и 13.8 Б) [398]. Далее
можно убедиться в том, что коэффициенты корреляции для этих двух
таблиц не зависят от шкалы измерений. При любом наборе произволь-
ных величин, приписанных аллелям Ль! Д2, Л3, корреляция для табл.
13.8, Л всегда равна нулю, а корреляция для табл. 13.8, Б всегда равна
единице. Поскольку эти две таблицы имеют одинаковые частные рас-
пределения, их можно объединить, чтобы получить среднюю корреля-
цию [410], которая оказывается равной
(1-Г)(0) + Г(1) = Л (18)
Все, что показано нами для трех аллелей, верно также и для любого
числа аллелей. Поэтому при описании действия инбридинга с полным
правом можно говорить о корреляции между объединяющимися гамета-
ми независимо от числа аллелей.
Если мы через хп обозначим частоту А (Аг , а 2х^ будет частотой
AiAj (i</), так что 2хг;=.(/г, . то можно получить уравнение, представ-
/
ляющее все равновесные популяции, которое аналогично уравнению (4).
для двух аллелей [357]:
= + + <19)
где k — число аллелей. Например, при k=>3, <7i=Xh+*12+*/i3 и т. д.
Хц __ ] %22 %33 ___ | <2Р
Я1 Яз Яз
Читателю следует проверить это соотношение, используя табл. 13.8.
Суммарная частота гетерозиготных особей в полностью панмиктиче-
ской популяции равна Нй—2^дгд^ тогда как в популяции с ин-
бридингом (17) она составляет
2 (1 - F) qtqt = Нр = (1 - F) Но. (20)
Это соотношение не зависит от числа аллелей. Иными словами, (1—F)
измеряет относительный дефицит гетерозиготности, вызванный инбри-
дингом независимо от числа аллелей. Это еще одно свойство F, которое
делает его столь полезным в генетике популяций.
РАВНОВЕСНЫЕ ПОПУЛЯЦИИ С ИНБРИДИНГОМ
223
§ 12. ВЫБОРОЧНЫЕ ОЦЕНКИ F
Предположим, что мы имеем случайную выборку из G особей, в ко-
торой численность ЛИ1 равна а, А[А2 — b и А2А2 — с. Оценка частоты А\
равна <7i= (2a+&)/2G. Оценка F, как следует из (4), может быть най-
дена из выражения
f = •—4ас~&2— , (21)
(2а+&) (& + 2с)
в котором f обозначает выборочную оценку F. Легко убедиться в том,
что (21) является также максимально правдоподобной оценкой. Срав-
нивая (21) с (4') из гл. 2, мы видим, что
X2 = /2G, (22)
где х2 рассчитано в предположении полной панмиксии. Оценку F, осно-
ванную на величине х2, можно распространить на случай множествен-
ных аллелей. Используя частоты (17) как «наблюдаемые» и частоты
при панмиксии как «ожидаемые», можно показать, что [407]
Для случая множественных аллелей возможна другая оценка F в соот-
ветствии с соотношением (20), а именно
1-^, (24)
Но Но’
где HF является наблюдаемой частотой гетерозиготных особей, а Но
рассчитано в предположении панмиксии. В случае двух аллелей (24)
сводится к (21).
При доминировании, когда два аллеля дают только два различных
фенотипа, не существует прямого способа оценки ни частот генов, ни
коэффициента инбридинга, потому что доля особей с рецессивным приз-
наком является функцией как q, так и F. Для того чтобы получить оцен-
ку того и другого, необходимо с помощью какого-нибудь подходящего
анализирующего скрещивания подразделить особи с доминантным при-
знаком на гомозиготные и гетерозиготные. При наличии особей с ре-
цессивным признаком возвратные скрещивания с ними предпочтитель-
нее самооплодотворения или скрещиваний inter se, так как при этом
удобнее идентифицировать гетерозиготы, чем в двух последних методах.
Предположим, что в выборке G особей, в которой d особей имеют
доминантный, а с — рецессивный признаки (d-|-c=G), изданного коли-
чества первых удалось выявить а гомозиготных и Ъ гетерозиготных осо-
бей. Число а-\-Ь обычно меньше d, так как достоверно распознаются не
все особи с доминантным признаком. Используя полученную таким об-
разом информацию, мы можем составить следующие два уравнения:
— = <72 + fpq, — = . (25)
G 7 1ИЧг a p* + fpq ’
Решая их совместно (исключив сначала f из второго уравнения путем
подстановки fpq=c/G—q2), мы получим
_ d (2а + Ь)
Р~ 2G (а + Ь) ’
с — Gq2
Gpq
(26)
224
ГЛАВА 13
что эквивалентно выражению, приведенному в работе Ли [355]. Если
все d особей с доминантным признаком из выборки успешно идентифи-
цированы (т. е. a-\-b=d), то эта ситуация сведется к случаю без доми-
нирования, а (26) сведется к (21).
И наконец, следует сказать, что если доля гомозиготных особей
оказывается выше их доли, ожидаемой при полной панмиксии, то это
не обязательно означает, что данный эффект обусловлен действием ин-
бридинга. Могут быть и другие причины, приводящие к такому же ре-
зультату. Описанный метод является способом оценки степени инбри-
динга в естественной популяции, в которой действительно существует
инбридинг.
§ 13. ОСОБИ, ГОМОЗИГОТНЫЕ ПО ДВУМ
РЕЦЕССИВНЫМ ГЕНАМ
Если признак обусловлен двумя парами рецессивных генов (aabb),
то его частота в панмиктической популяции равна Ro—q2v2, где q и v—
частоты рецессивных генов а и b соответственно. При наличии инбри-
динга его частота возрастет до
RF = (<72 + Fpq) (v2 + Fmv).
В табл. 13.9 приводятся некоторые значения отношения RF/R0 при раз-
личных значениях q и v ( в предположении, что ни одно из них не близ-
Таблица 13.9
Отношение долей особей, гомозиготных по двум рецессивным генам, при инбридинге
и при панмиксии (ср. с табл. 13.3)
Доля гомозиготных особей в панмиктической популяции Ro = q2»2 Частоты рецессивных генов Величина (q + Fp) (v + F и)
Ro
9 V F 1_ ~ 16 1 F ~ 32
.0,100 0,010 11,23 5,25
0,000001 (qv = 0,001) । 0,050 0,020 8,89 4,03
0,0316 0,0316 8,49 3,83
0,50 0,02 4,32 2,61
0,000100 (qv = 0,01) । 0,20 0,05 2,73 1,79
0,10 0,10 2,44 1,64
ко к единице). Сравнение этих отношений с отношениями из табл. 13.3,
в которой приведены те же самые доли особей с рецессивным призна-
ком в общей популяции, обнаруживает, что, даже если рецессивный
признак является редким при инбридинге, доля особей, гомозиготных
по двум рецессивным генам, не увеличивается в той же степени, что
и доля особей, гомозиготных по одному рецессивному гену. Если, на-
1
пример, г—— ; то доля форм, рецессивных по одному гену, увеличи-
вается в 63,44 раза, тогда как в случае с двумя генами — всего лишь
в 11,23, 8,89 или 8,49 раза, даже если признак очень редок. Это приво-
дит к важному выводу: если не очень редкая аномалия человека обус-
ловлена множественными рецессивными генами, ее распространенность
едва ли заметно возрастет в результате близкородственных браков.
РАВНОВЕСНЫЕ ПОПУЛЯЦИИ С ИНБРИДИНГОМ
225
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Таблицу корреляций между объединяющимися гаметами для
популяции с частотами генов р и q и с долей гетерозиготных особей Н
можно представить в следующем виде, эквивалентном табл. 13.1:
А
а
А р— — И — Н р
2 2 р
1 1
а — Н а— — Н а
2 4 2 4
Р q 1
Покажите, что Т = 1—Hj2pq и Н—2pq(L—F).
2. Если частота объединения двух гамет А в популяции с частота-
ми генов р и q равна D, то коэффициент корреляции между объединя-
ющимися гаметами можно рассчитать из следующей таблицы:
А а
A D р—D р
а р—D q—p-\-D q
р q 1
Покажите, что F=(D—p2)/pq и D=p2-\-Fpq. В этой задаче дано D,
тогда как в предыдущей задаче дано Н. Получаемые результаты экви-
валентны друг другу.
3. Рассчитайте значение F для каждого из следующих случаев:
А а А а А а А а А а
А 0,828 0,072 0,672 0,128 0,532 0,168 0,408 0,192 0,300 0,200
а 0,072 0,028 0,128 0,072 0,168 0,138 0,192 0,208 0,200 0,300
0,90 0,10 0,80 0,20 0,70 0,30 0,60 0,40 0,50 0,50
Ответ-, для всех случаев Е=0,20.
4. Покажите, что 27//[ (2£>+7/) (H-{-2R) ] =1—F.
5. Обратившись к табл. 13.3, покажите, что Rp=2R0 при (I) q=
= 1/17=0,0588 и E = l/16; (II) q= 1/33 = 0,303 и Е=1-/32.
6. Постройте по точкам график (7), отметив, что m больше F.
т 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
F 0,053 0,111 0,176 0,250 0,333 0,429 0,538 0,667 0,818
m 0,182 0,333 0,462 0,571 0,667 0,750 0,824 0,889 0,947
F 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
7. Покажите, что соотношение (7) можно записать в виде
2F __ m
1—F “ 1—т '
15--322
226
ГЛАВА 13
8. Покажите, что при равновесии Н — 2pq (1 — F) = 4pq (---- .
\2 — mJ
9. Чему равны величины т и F в естественной популяции пшени-
цы, если каждый год у нее имеет место 1 % перекрестного опыления и
99% самоопыления? Рассчитайте частоты трех генотипов у пшеницы с
P=q=~. Воспользуйтесь формулой (12).
10. Покажите, что данная исходная панмиктическая популяция
(0,16; 0,48; 0,36), 60% особей которой (по условию) в каждом поколе-
нии размножаются путем случайного скрещивания, а остальные — пу-
тем самооплодотворения, будет иметь равновесное состояние (0,22;
0,36; 0,42) с F=0,25 и т=0,40. Покажите также, что гро= Гоо=0,70.
Выполните арифметические расчеты, необходимые для составления
следующих четырех таблиц.
(I) Объединяющиеся гаметы
А а
А 0,22 0,18
а 0,18 0,42
0,40 0,60
(III) Родитель—потомок
АА Аа аа
АА 0,1408 0,0792 0
Аа 0,0792 0,1800 0,1008
аа 0 0,1008 0,3192
0,220 0,360 0,420
(II) Скрещивающиеся особи
АА Аа аа
АА 0,11704 0,04752 0,05544
Аа 0,04752 0,22176 0,09072
аа 0,05544 0,09072 0,27384
0,220 0,360 0,420
(IV) Сибс- сибс
АА Аа аа
0,15466 0,05148 0,01386
0,05148 0,23544 0,07308
0,01386 0,07308 0,33306
0,220 0,360 0,420
11. Следующим поколением данной исходной панмиктической по-
пуляции (р2, 2pq, q2), ау-часть которой размножается самооплодотво-
рением и (1—w) -часть скрещивается случайно (индекс при w для
простоты опущен), будет
(1 — w) (р2, fyq, q2) + w (р2 + -у pq, pq, q2 pq
2 1 1
P2 + — Wpq,
2р<?(1 — у , q2 + -j- wpq^.
Продолжая подобные выкладки, мы найдем, что доля гетерозиготных
особей в следующем поколении равна
Я2 = 2pq (1 —w) + wpq 11---2~wj 2WP —fy W ~ \~2~ W J '
После n поколений в этой системе скрещивания
( / 1 \ /1 \2
Hn=2pq\l — —-о>) — | — •
п I к 2 L Д 2 /
Следовательно, при равновесии (п->-оо)
2
1
^ = 2pdl
РАВНОВЕСНЫЕ ПОПУЛЯЦИИ С ИНБРИДИНГОМ
227
Из (12) мы имеем £= -^.
2 — w
Очевидно, чем меньше величина w, тем быстрее популяция достигнет
равновесного состояния.
12. Чему равна величина F в популяции, если £>=0,432 и р=0,60?
Рассчитайте частоты зигот в этой популяции.
Ответ: £’=0,30; (0,432; 0,336; 0,232).
13. Оцените величины р, q и F для выборки из 180 особей (92; 56;
32).
2
Ответ: р=—, £’=0,30.
3
14. Предположим, что мы имеем выборку в 90 особей, из которых
74 имеют доминантный и 16 рецессивный признаки. Особи с доминант-
ным признаком были проанализированы путем возвратного скрещива-
ния с особями с рецессивным признаком и было найдено, что 23 из них
гомозиготны, а 14 гетерозиготны. Оцените частоты генов и коэффици-
ент инбридинга.
2
Ответ: используйте формулы (26). р=—, /=0,30.
3
15. Следует отметить, что из любой таблицы, имеющей вид
табл. 13.8, мы получим коэффициент корреляции равным доле неслу-
чайных сочетаний, какими бы ни были переменные по краям таблицы.
Таким образом, если 1—со популяции (£>, Н, R) размножается путем
панмиксии и со — путем самооплодотворения, то коэффициент корреля-
ции между скрещивающимися особями будет просто равен со. Проверь-
те этот результат, используя данную ниже таблицу частот скрещиваний.
Партнеры АА (2) Аа (1) аа (0) Сумма
АА (2) (1—<о)02+<оО (1—ю)ОЯ (1—ю)ОД D
Аа (1) (1—ю)ОЯ (1—со)№-|-йЯ (1— a)HR Н
аа (0) (1— a>)DR (1— a)HR (1—<о)/?2+й/? R
Сумма D Н R 1,00
Указание: ковариация = со (4£>/?—Н2+Н); используйте формулу (6).
16. Найдено, что выборка в 400 особей содержит:
32 АЖ; 36 AiA2; 60 А^;
А2А2; 90 Л2Дз; 125 А3А3.
Оцените частоты каждого из трех аллелей. Дайте оценку величины
F: 1) расположив данные в виде таблицы комбинаций гамет и рассчи-
тав коэффициенты их корреляций; 2) рассчитав величину %2 в предпо-
ложении полной панмиксии и используя уравнение (23); 3) используя
уравнение (19); 4) найдя общую долю гетерозигот и используя урав-
нение (24).
Ответ: (/1 = 0,20; (?2=0,30; ?3=0,50; f=-j-
17. Пусть доля популяции, в которой осуществляется самоопло-
дотворение, равна coi = l—р, а р —- доля популяции, в которой поддер-
живается случайное скрещивание. Используя уравнение (12), покажи-
те, что
£ = Wi — 1 ~~р
2 — С1Д 1 + р
15*
ГЛАВА 14
Теория коэффициентов путей
Алгебраические методы, рассмотренные в предыдущих главах, при
использовании их в случаях сложных или нерегулярных систем инбри-
динга, а также в случае более чем одной пары генов приводят к гро-
моздким выкладкам. Профессор С. Райт разработал совершенно дру-
гой метод, который оказался чрезвычайно эффективным как при
изучении многих проблем теоретической генетики и в практике разведе-
ния животных, так и для статистического анализа причины и следствия
в системе коррелирующих переменных. Его теория коэффициентов пу-
тей (path coefficients) дает, кроме всего прочего, простой и гибкий ме-
тод решения широкого круга проблем, связанных с инбридингом. Мы
рассмотрим вкратце только те немногие теоремы, которые соответству-
ют лишь поставленным нами целям. Читатели, интересующиеся общи-
ми статистическими свойствами коэффициентов путей, должны обра-
титься к оригинальным работам Райта [663, 664, 667, 673].
В этой главе теория коэффициентов путей будет представлена как
общий статистический метод, а ее приложение к генетике будет дано
в следующей главе.
Рассмотрим функцию у=а-\-Ъх, где а и b — постоянные числа, а
х и у — переменные. Эту зависимость можно исследовать чисто анали-
тическими методами, не прибегая к каким-либо графическим построе-
ниям. Вместе с тем, занимаясь планиметрией, мы проводим прямые
линии и окружности, не обращаясь к алгебраическим формулам. Если
же мы объединим эти два подхода и установим взаимное соответствие
между графиками и алгебраическими выражениями, то придем к ана-
литической геометрии. Графики используются также в дифференци-
альном и интегральном исчислении для иллюстрации некоторых
свойств зависимостей между двумя переменными и служат дополнение
ем к более строгому аналитическому рассмотрению, причем у нас не
возникает вопроса о том, нужны ли они здесь или нет. Если они помо-
гают нам понять результаты, полученные аналитическими методами, то
мы охотно используем их. Подобно этому, любое статистическое выра-
жение при желании можно также представить в виде диаграммы и та-
ким образом установить соответствие между диаграммой и статистиче-
ским выражением. Это и есть аналог аналитической геометрии в ста-
тистике. Диаграммы путей, предложенные Райтом, по существу явля-
ются представлением статистических зависимостей в виде диаграмм.
В своих попытках представить математическую зависимость в гра-
фической форме математики часто применяют специальные приемы
для того, чтобы график был более содержательным по отношению к ре-
зультатам аналитического исследования. Рассмотрим прямую линию с
точками А, В, С, D и Е.
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
229
АВ С D Е
------1---------------------1-------1------1------
Выражение AE=AB->rBC-\-CD->rDE, имеющее смысл для данной пря-
мой, лишено смысла для прямой, приведенной ниже.
С А Е В D
------1------------1------1---------------!------1------
Для того чтобы это аналитическое выражение имело смысл и для вто-
рой прямой, мы введем стрелку, указывающую направление этой ли-
нии, и теперь расстояние от Л до В в приведенном выше примере мож-
но считать положительным, а расстояние от В до С — отрицательным
и т. д. Мы видим, что при этом условии выражение АЕ=АВ-\-ВС-[-
-\-CD-\-DE справедливо независимо от порядка расположения точек на
прямой. Подобным образом, на диаграмме путей мы также указываем
направление прямой для того, чтобы отразить различие между зави-
симыми и независимыми переменными в соответствии с результатами
проведенного анализа.
Существует широко распространенное, хотя и ошибочное мнение,
что результаты, полученные методом коэффициентов путей, можно вы-
вести только этим методом. Такому мнению, вероятно, способствует
используемая в нем система обозначений и терминология. Все резуль-
таты, полученные с помощью коэффициентов путей, можно вывести,
используя традиционные методы, хотя при этом отдельные выкладки и
получаемые выражения, возможно, будут более громоздкими. В на-
дежде, что изучающие этот метод теперь поймут его лучше, чем это
бывало прежде, я представил большую часть результатов по возмож-
ности в традиционном виде, сократив до минимума специальную тер-
минологию и специфические обозначения. В некоторых случаях ре-
зультаты выведены как с помощью обычных статистических расчетов,
так и методом коэффициентов путей. Таким образом, читатель не дол-
жен думать, что какие-то результаты специфичны именно для анализа
с использованием коэффициентов путей (путевого анализа — path ana-
lysis) .
§ 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ
МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ В ВИДЕ ДИАГРАММ
Для начала покажем на примере, как можно представить стати-
стическое выражение в виде диаграммы. Рассмотрим простую сумму
двух переменных.
Y=A + B, (1)
qy = °а + Сот (А, В) + (j2B + Cov (В, А). (2)
Предположим, что гАВ=гВА — коэффициент корреляции между А и В.
Используя равенство Cov(A, В) =<уАгАВ<ув=овгВА<уА и разделив (2)
на (Уу , мы получим
1 _ °А I QArABQB . °В , aBrBAaA
2 '; 2 ; ’
Gy Gy Оу Оу СГу Оу
Четыре члена из правой части выражения (2) представлены теперь в
(3) в виде долей Оу . Введем, исключительно ради сокращения записи,
следующие обозначения:
230
ГЛАВА 14
Тогда выражение (3) примет вид
l=a2 + arb + b2 +bra, (5)
что и изображает диаграмма на рис. 14.1. Такая диаграмма читается
подобно .дорожной схеме в соответствии с принятой системой обозна-
чений или по определенным правилам, причем для удобства изложе-
ния различным участкам дают определенные названия.
Рис. 14.1. Диаграмма зависимости Y—
=А+В (А и В коррелируют); а =
~Ga/<jy, Ь = Св/&У и Г=Гав.
Величина a = vAl<jY называется коэффициентом пути от Л к У; по-
добно этому, величина Ь = бв/ат называется коэффициентом пути от В к
Y. Таким образом, прямую, направленную от А к Y, мы обозначим че-
рез а, а прямую, направленную от В к Y, — через Ь. Непрямые (со-
ставные) пути arb и bra являются произведениями трех элементарных
путей.
Диаграмма на рис. 14.1 обладает и другими свойствами. Пред-
ставьте себе, что Л, В и Y — три города, соединенные дорогами, и мы
находимся в городе Y. Сколькими различными путями можно совер-
шить поездку по замкнутому маршруту, чтобы из У снова попасть в У?
Таких путей четыре, а именно:
Пути Коэффициенты детерминации
1) У—А—У а2 = дд
2) У—В—У b2 ~&В
3) У—А—В—У arb 1 2 abr = dл В
4) У—В—А—У bra / ла
Сумма
dA + dB + dAB=l
(6)
Два пути из четырех прямые (У—Л—У и У—В—У) и два непрямые
(У—Л—В—У и У—В—Л—У). Числа а2, № и 2arb могут служить мерой
вкладов соответствующих путей в общую дисперсию У и на-
зываются коэффициентами детерминации (в отношении дисперсии У).
Исследуя рис. 14.1 описанным выше образом, мы видим, что он пред-
ставляет собой диаграммы выражения (3) или (5).
Однако эта диаграмма отражает нечто большее, чем просто про-
центные вклады факторов Л и В в дисперсию У. Рассмотрим корреля-
цию между суммой У=Л+В и одним из слагаемых (Л). Ковариация
У и Л равна
Cov (У,Л) = В(К —У)(Л —Л) = В(Л —Л + В-В)(Л-Л) =
= + Cov (Л, В) = СГ2, + ГАВ СГЛ СГВ. (7)
В итоге получаем
_ COV (У, А) _ gA + rABgAgB __ Чл , _ п .^hr
гуа~ ava4 ауогл ау Л" ав Су 1
(8)
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
231
Это и есть аналитический результат, полученный традиционным мето-
дом. Обратившись снова к рис. 14.1, мы увидим, что Y и А соединены
двумя путями: один путь (а) прямой, а другой— (Ь) непрямой. Таким
образом, сумма двух соединяющих путей между У и А равна полной
корреляции между Y и А. Подобно этому, ггв=&+аг. Подводя итог,
отметим, что на рис. 14.1 представлены все аналитические свойства,
которые выводятся из уравнений (1) и (2). Теперь, когда такая экви-
валентность установлена, некоторые результаты можно получать пря-
мо из диаграммы.
Рассмотрим уравнение (1) еще раз. Выражение У=А+В являет-
ся частным случаем более общего уравнения множественной регрес-
сии. Если мы выразим (1) через «нормированные» переменные (сред-
нее которых равно нулю, а дисперсия — единице), то получим
Y — Y = °а А-А В-В
аУ Су <3у <зв
т. е.
Y* = аА* + ЬВ*. (9*)
Звездочка указывает на произведенное нормирование: У*=(У—
—У)/сгу и т. д. Коэффициенты путей а=ал1ат и Ь = ав1а? — это не
что иное, как частные коэффициенты регрессии У* на А* и /^соответ-
ственно. Коэффициент корреляции между А и В равен ковариации нор-
мированных А* и В*.
г — r.R = Е = E(A*B*) = Cov(A*,B*) = r,_. (10)
АН — I I ~ J х ' ' ’ 1 Аг в* х '
\ °Л / \ ав /
Дисперсия У* из (9') равна
1 = a2 -j- Ь2 + 2abr, (5*)
что идентично выражению (5). Следовательно, рис. 14.1 можно также
рассматривать как диаграмму зависимости между нормированными
переменными с частными коэффициентами регрессии а и Ь. Теория ко-
эффициентов путей представляет собой систематическое развитие и
обобщение простой ситуации, описанной в этом параграфе.
§ 2. ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ
Теперь рассмотрим некоторые чисЛЪвые примеры, чтобы показать
сходство и различие между обычным уравнением множественной рег-
рессии и уравнением регрессии для нормированных переменных.
В табл. 14.1 и 14.2 представлены два набора данных, для которых тре-
буется найти уравнение регрессии, имеющее вид
У = ₽о + ₽М + ₽2В. (11)
Нормальными уравнениями, выведенными по методу наименьших
квадратов, будут
₽0/V + ₽1SA+p2SB = Sr,
P0S А + SA2 + p2S AB = S YA, (12)
p0S В + PiS AB + P2 SB2 = S YB.
Числовые значения SA, SB, ..., 2УА и 2 УВ приведены в нижней час-
232
ГЛАВА 14
Таблица 14.1
Представление У в виде линейной комбинации А и В
У А В
4,36 17 3
3,20 11 5
5,62 18 6
6,26 18 8
4,82 10 11
5,48 9 14
9,10 20 15
9,16 17 18
2У = 48,00 24 = 120 2В = 80
Y = 6 4 = 15 3 = 10
2 У2 = 320 242 = 1928 2В2 = 1000
о2у = 4 о2л=16 о2в = 25
оу = 2 ал = 4 ов=5
2УА = 758,40 T.YB = 544 24В = 1200
Cov (У, В) = 4,8 Cov (Y, В) = 8,0 Cov (4, В) = О
rYA = 0,60 rYB — 0,80 rAB = 0
ти табл. 14.1 и 14.2, в которых М=8. Производя подстановки и решая
уравнения, мы найдем, что
₽! = (),30, р2 — 0,32 и ₽0=У — М — М = — 1,7 (13)
для обоих наборов данных. Таким образом, уравнение множественной
регрессии для обоих наборов данных имеет вид
Y = — 1,7 + 0,30 Л + 0,32В,
Y— Y = 0,30 (Л — Л) + 0,32 (В— В). (14)
Можно сделать вывод, что зависимости между Л, В и У в обоих случа-
ях одинаковы. Они действительно одинаковы в том отношении, что
предсказанная величина У одинакова при одних и тех же значениях
Л и В. Читатель может убедиться в том, что в каждом случае У=
=—1,70+0,ЗОЛ+0,32В. Однако по этому уравнению нельзя судить о
зависимости между самими Л и В. Кроме того, относительные величи-
ны 01 = 0,30 и 02=0,32 не служат.мерой относительного вклада Л и В
в определение У, так как эти числа даны в произвольных физических
единицах, таких, например, как г/см или фунт/дюйм, и будут изменять-
ся с изменением используемых физических единиц.
Изучение данных табл. 14.1 и 14.2 показывает, что в некотором от-
ношении они сильно различаются. В первом наборе данных перемен-
ные Л и В не коррелируют, тогда как во втором гдв= • При норми-
ровании по способу (9) уравнение (14) принимает вид
/ (У я \ / (У D \
У* = 0,30 — Л* + 0,32 — В*.
\ / \ /
(15)
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
233
Таблица 14.2
Предстаилеиие У в виде линейной комбинации А и В
Y А В
2,26 10 3
2,60 9 5
6,22 20 6
5,96 17 8
5,12 11 11
8,18 18 14
8,50 18 15
9,16 17 18
2У = 48,00 2Л=120 2В = 80
ч —
У = 6 А= 15 В= 10
2У2 = 335,36 2Л2 = 1928 2В2 = 1000
о2у = 5,92 о2л=16 о2в = 25
оу = 2,4331 ол = 4 Од = 5
ZYA = 784 2УВ = 568 ZAB = 1280
Cov (У, Я) = 8,0 Cov (У, В)= 11,0 Cov (Л, В) = 10,0
+д = 0,8220 rYB — 0,9042 ГАВ = 0,5000
Подставляя численные значения сту, од, пв из обоих наборов данных,
мы получим нормированное уравнение множественной регрессии.
Для данных табл. 14.1 У* = 0,6000/1*+ 0,8000 В*. (16.1)
Для данных табл. 14.2 У* = 0,4932 А* + 0,6576 В*. (16.2)
Нормированные коэффициенты частной регрессии А* и В* из приве-
денных выше уравнений называют коэффициентами путей от А к У и
от В к У соответственно (рис. 14.2). Они уже не одинаковы для обоих
наборов данных. Кроме того, исходя из (5) и (6), мы находим, что про-
центные вклады (коэффициенты детерминации) А и В в дисперсию У
также весьма различны для двух наборов данных:
из (5) и (6) 1 = dA + dB + dAB,
из (16.1) 1 = (0.6000)2 + (0.8000)2 + 0, (17.1)
из (16.2) 1 = (0.4932)2 + (0,6576)2 + 2 (0,4932) (0,5676) (0,50) =
= — + — + — . (17.2)
37 37 37
На основании этих результатов можно говорить о некотором свойстве,
состоящем в том, что в отсутствие корреляции между А и В их прямые
эффекты (0,60 и 0,80) сравнительно велики, а при наличии корреляции
между А и В их прямые эффекты (0,4932 и 0,6576) сравнительно малы.
Между ними обнаруживается эффект взаимодействия. Отсюда следу-
ет, что чем выше корреляция, тем больше эффект взаимодействия А и
В и тем меньше их прямые эффекты. Если величина гЛВ отрицательна,
то возникают семантические трудности, так как приходится говорить об
отрицательных процентах. Смысл тем не менее ясен: отрицательная
16—322
234
ГЛАВА 14
корреляция уменьшает дисперсию Y, делая ее величину меньше по
сравнению с тем случаем, когда А и В не коррелируют.
По формулам (7) и (8) для данных табл. 14.1, для которых гАВ=0,
получаем Cov(У, Л) = оА и Cov(У, В) = ов.
Следовательно,
rVi = — = а = 0,60, rYB = — = b = 0,80. (18.1)
А Оу <3у
Другими словами, когда переменные («причины») А и В не коррелиру-
ют, коэффициент пути превращается просто в коэффициент корреляции.
Рис. 14.2. Диаграммы зависимости У=4+В для данных из табл. 14.1 (слева, г=0)
и из табл. 14.2 (справа, г=0,50).
Уравнение множественной регрессии (14) для обоих наборов данных одинаково: У=—1,7+0,304 +
+0,32В, однако нормированная регрессия (16) в этих двух случаях различна.
Для данных табл. 14.2 (причины коррелируют) в соответствии с фор-
мулой (8) и рис. 14.2 получаем
ГуА = а + гЬ=0,4932 +-|- (0,6576) = 0,8220.
ггв = b + ^=0,6576 + (0,4932) = 0,9042.
(18.2)
Для читателя будет поучительно проверить эти результаты, рассчитав
соответствующие коэффициенты корреляции прямо по данным, приве-
денным в табл. 14.2.
Мы уже отмечали, что полная корреляция, как, например, гУА =
= 0,8220, разлагается на две компоненты — одну, равную 0,4932 и обу-
словленную прямым влиянием А, и другую, равную-^- (0,6576) =0,3288
и обусловленную непрямым влиянием А через корреляцию с В. Таким
образом, диаграмма пути, подобная рис. 14.2, полностью отражает за-
висимости между А, В и Y. Другие свойства и правила анализа путей
мы обсудим, когда в этом возникнет необходимость. В последующих па-
раграфах мы будем называть переменные А и В причинами, а перемен-
ную У — следствием, вместо того чтобы использовать обычные термины
«независимая» и «зависимая» переменные.
§ 3. ЦЕПЬ НЕКОРРЕЛИРУЮЩИХ ПРИЧИН
Большую часть элементов метода коэффициентов путей мы уже
рассмотрели в двух предыдущих параграфах. Теперь можно было бы
перейти непосредственно к общим теоремам. Однако в этой вводной
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
235
части, перед тем как излагать более общие результаты, мы проанали-
зируем некоторые особые случаи.
Рассмотрим цепь некоррелирующих причин: Y=A-\-B-, Л и В не
коррелируют. Пусть в свою очередь Л=В+Т, где S и Т не коррелируют
как друг с другом, так и с В (рис. 14.3). Очевидно, эта система эквива-
лентна системе У=В+7’+В, в которой все три причины не коррелиру-
ют. В таких случаях, как нам известно из предыдущего параграфа, ко-
Рис. 14.3. Цепь некоррелирующих причин.
На левой диаграмме промежуточный фактор А указан. На диаграмме справа фактор А опущен, в
результате чего S и Т стали прямыми причинами У. Прямыми путями будут s—as и t=at.
эффициент пути от причины к следствию равен просто коэффициенту
корреляции между этими двумя переменными. Итак, a=rYA,, s = rA&,
s=rYS и т. д.
Cov (У, Л) = о2 , Cov (Л, S) = ст2, Cov (У, S) = o2s
а = Cov (У,Л) = °а s = Cov(4, S) = fs ~ = Cov (У, S) = 4s
аУаА аУ aAaS аА ay°S
Черта над з означает, что S и У соединены прямым путем, не включа-
ющим промежуточной переменной Л. Таким образом, цепь обладает
следующим простым свойством:
as = s, т. е. rYA rAS = rYS.
Подобно этому,
at = t, т. е. rYArAT = rYT. (20)
Коэффициенты детерминации (по отношению к дисперсии следствия)
равны
а2+Ъ2 = \, s2 + t2=\, s2 -U2 + b2 = 1,
так как
а2 = a2 (s2 + /2) = (as)2 + (at)2 = з2 4- t2. (2 1)
Очевидно, что эти соотношения можно распространить на любое число
некоррелирующих причин и на любое число промежуточных звеньев.
§ 4. ОБЩИЕ ПРИЧИНЫ И КОРРЕЛЯЦИЯ
Пусть, как и в предыдущем параграфе, все четыре причины Л, В,
С, D (рис. 14.4) не коррелируют друг с другом. Рассмотрим теперь два
следствия У и Z, причем У испытывает влияние Л, В и С, a Z — влияние
В, С и D. Тогда два следствия У и Z могут коррелировать вследствие
влияния на них двух общих причин В и С. Попытаемся выразить rYz
через коэффициенты путей от их общих причин к следствиям У и Z. Оче-
16*
236
ГЛАВА 14
видно, что факторы А и D не вносят никакого вклада в rYZ- Обратим-
ся к равенствам
Y = A + B+C, Z = B + C+D. (22)
Поскольку все причины не коррелируют, мы получаем, как обычно,
Cov (У, В) = Cov (Z, В) = o2B, Cov (У, С) = Cov (Z, С) = о2с
и
Cov (У, Z) = о2в + о2с
(23)
Рис. 14.4. Случай некоррелирующих
общих причин: гуг = ЬЬ'+сс'.
в связи с тем, что ковариации типа Cov(А, В), Cov(А, С) и т.д. обра-
щаются в нуль. Кроме того (рис. 14.4), корреляции
& = гув, с = rYC, b = rZB, с = rzc (24)
равны коэффициентам путей от некоррелирующих причин В и С к след-
ствиям У и Z соответственно. Корреляция между У и Z, согласно (23),
будет тогда равна
cov(y,Z) = gL+^L. (25)
YZ Оу az aZ aY aZ
Произведя нормирование-по образцу (9) и (9*), можно записать ис-
ходные уравнения (22) в виде
У* = а (А*) 4- b (В*) 4 с (С*),
Z* = Ь' (В*) 4- с' (С*) 4 d' (£)*), (26)
где
„ ° А . ° В „ °C
а = — , Ь = — , с = — ,
(У у СТу CFy
b' =— , d = — , d' = —
CTZ ^z °z
представляют собой нормированные коэффициенты частной регрессии.
Если причины не коррелируют, то эти коэффициенты регрессии
равны также коэффициентам корреляции между числителями и знаме-
нателями переменных, т. е. (24) можно переписать в виде
b = rYB=^, с = гус=^, (27)
Uy Uy
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
237
СТВ , °C
~ rZB ~ > С ~ rZC ~ ’
az az
и на основании (26) корреляция между Y и Z равна
rYZ = Cov (У*, Z*) = Е (аА* + ЬВ* + сС*) (У В* + с' С* + d' D*) --
= bb' + СС', (28>
а математические ожидания всех остальных произведений равны нулю.
Еще проще подставить (27) прямо в (25). Тогда мы получим
ryz = CovO^Z) = ^в + W = bV + (29)
ау aZ аУ az °У az
Обратившись к рис. 14.4, мы видим, что данное выражение — это сумма
двух путей, соединяющих Y и Z: один путь Y—В—Z, второй Y—С—Z,
причем других путей, которые соединяли бы Y и Z, нет. Подобный ана-
лиз можно распространить на случай с любым числом некоррелирую-
щих общих причин. Итак, мы подразделили полную корреляцию между
двумя следствиями на отдельные компоненты, каждая из которых обус-
ловлена определенной общей причиной.
§ 5. КОРРЕЛИРУЮЩИЕ ПРИЧИНЫ
Теперь перейдем к случаю, когда коррелируют сами причины.
Пусть, как и раньше, Y—A + B, однако в то же самое время А и В кор-
релируют посредством общей для них отдаленной причины С (рис.
Рис. 14.5. Коррелирующие причины: глв=сс', гУл = а+сс'Ь и с=ас+Ьс‘‘
Обратите внимание на то, что а = ад^у* Г¥А'
14.5). Предполагается, что отдаленные причины S, С и Т не коррелиру-
ют. Рассмотрим сначала связь между Y и его непосредственными при-
чинами Л и В, а потом связь между У и его отдаленными причинами 3,
С и Т.
Если считать А и В двумя следствиями, а С — их общей причиной
(рис. 14.5), то по теореме, приведенной в предыдущем параграфе, мы
получим,что
ГАВ = ГАС ГВС = СС • (30)
Свойства такой части цепи, как Y=A-\-B, идентичны свойствам зави-
симости, проиллюстрированной нами на самом первом примере, и за-
даются выражениями (1) — (5). Свойства части цепи, включающей А
238
ГЛАВА 14
и В в качестве двух следствий, определяемых некоррелирующими при-
чинами S, С и Т, описаны в предыдущем параграфе. Коэффициенты пу-
тей, образующих две части цепи, изображенной на рис. 14.5, будут сле-
дующими:
а = °Y ’ (Уд & = — , (31)
5 = ГА8 = °А ’ с = гАС = — ,
с гвс = ас °В ’ (У •7' / — г = ВТ • а В (32)
Обратите особое внимание на то, что коэффициенты путей в выраже-
нии (32) равны коэффициентам корреляции, потому что S, С и Т не
коррелируют, тогда как коэффициенты путей а и b [см. (31)] не равны
коэффициентам корреляции [см. § 1, формулы (7) и (8)], так как А и В
коррелируют. Коэффициенты путей а и b равны нормированным коэф-
фициентам регрессии, о чем свидетельствуют выражения (9) и (9*).
Если мы исключаем из рассмотрения промежуточные переменные
А и В (левая диаграмма на рис. 14.5), то тогда можно считать, что Y
определяется тремя некоррелирующими причинами S, С и Т, как это
показано на правой диаграмме рис. 14.5. При таком подходе необходи-
мо оценить влияние С на Y. Интересующая нас детерминация диспер-
сии следствия определяется следующими соотношениями (вспомним,
что гАВ=сс'):
Система Детерминация дисперсии
Y = A + B а2 + Ь2 + ЧаЬсс’ = 1
Я = S + С s2 + c2=l
В = С + Т c’2 + t2=\
Y = S + C + T Г2 +“^2 +12 = 1.
Черта над буквой указывает на то, что при построении прямого пути
были опущены промежуточные переменные. По формулам (20) as—s и
bt—t. Следовательно,
с2 = 1 — s2 — ?2 = а2 + b2 + 2abcc' — a2s2 — b2t2 = а2(1 — s2) -j-
+ 62(1 — t2) + 2abcc' = a2c2 + b2c'2 2abcc' = (ac + be')2,
c = ac + be'. (33)
Сопоставляя это выражение с двумя приведенными диаграммам^
(рис. 14.5), мы видим, что влияние С на У, мерой которого является с,
разлагается на две компоненты, а именно на C-A-Y и C-B-Y; мерами
последних являются соответственно ас и Ьс'. Поскольку S, С и Т не
коррелируют, величина с=ас-\-Ьс' также равна коэффициенту корре-
ляции между С и У. Таким образом, полная корреляция между отда-
ленной причиной и следствием равна сумме величин всех путей, соеди-
няющих данные причину и следствие. Это положение можно распрост-
ранить на случаи, в которых отдаленная на большое число звеньев це-
пи причина действует на следствие через любое число промежуточных
причин.
Любопытно, что выражение (33), относящееся к центральной час-
ти рис. 14.5 (где показано, что А и В влияют на У, подвергаясь в свою
очередь влиянию С), аналогично соответствующему выражению диф-
ференциального исчисления. Предположим, что У=У(А, В)—функ-
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
239
ция от А и В, которые являются функциями от С, т. е. А=А(С) и В =
В (С). Тогда полная производная У по С равна
dY = ЭУ Ж4,
dC дА dC дВ dC ’
что соответствует выражению (33).
И наконец, корреляция между У и его непосредственной причиной
А (рис. 14.5) аналогична корреляции на диаграмме рис. 14.1 и находит-
ся по формуле (8) с учетом уравнения гАВ—сс':
rYA = a^~ СС' Ь’ (34)
что представляет собой сумму двух путей, соединяющих У и А.
§ 6. ОБЩАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И ДЕТЕРМИНАЦИЯ
на простых системах, рассмотренных в предыдущих параграфах,
мы убедились, что на диаграмме можно опустить любые отдаленные
причины, заменив их коэффициентом корреляции между двумя пере-
Рис. 14.6. Общая схема корре-
ляции между двумя следствия-
ми (У и Z), испытывающими
влияние коррелирующих при-
чин (Хь Х2, Х3).
Y и Z соединены девятью путями,
что отражено в уравнении (37). Бо-
лее отдаленные причины учтены в
корреляциях между причинами X.
менными, испытывающими влияние этих отдаленных общих причин. Та-
кие случаи действительно встречаются на практике: в любом конкрет-
ном исследовании мы никогда не сможем учесть всех причин, так как
большинство из них нам неизвестны. Таким образом, рис. 14.6 можно
считать довольно общей диаграммой для корреляции между двумя
следствиями У и Z. Промежуточные общие причины обозначены через
Xlt Х2, Х3, причем в принципе можно ввести в рассмотрение любое чис-
ло причин. Отдаленные причины, предшествующие этим X, на диаграм-
ме не показаны, однако их совместное влияние на причины X выраже-
но в коэффициентах Гщ, г2з, Из; через г12 обозначен Гх,х2 и т. д. Такие
корреляции называются априорными. Чтобы упростить последующий
анализ, воспользуемся с самого начала стандартизованными уравнения-
ми регрессии (рис. 14.6):
Y = s-S+b1X1 + b2Y2 + b3X3, (35)
Z = t-T ~l~ ~l~ c2X2c3X3,
240
ГЛАВА 14
где S и Т не коррелируют ни друг с другом, ни с причинами X. Посколь-
ку эти уравнения сразу приведены в форме (9) и (9*) (звездочки мы
опустили)., коэффициенты s, t, все b и все с являются коэффициентами
путей. Здесь мы использовали сокращенные обозначения, в более под-
робной записи эти символы выглядят так:
= bvi = bYX, И Т- Д-> С1 = CZl = CZXt И т- Д- (36)
Так как теперь все переменные нормированы, их среднее равно нулю, а
дисперсия — единице. Полная корреляция между двумя следствиями
равна тогда
rYZ = Е (YZ) = Е (sS + b, Х1 + b2X2 + &3Х3) [tT + с,Х, + с2Х2 + с3Х3) =
= &iCj + brr]2 с2 + Ь^з + b^r12C! + b2c2 + Ь^Сз +
+ Ь3Г13С1 + b3r 23^2 + Ь^з. (37)
Математические ожидания всех произведений, содержащих S или Т, об-
ращаются в нуль. В соответствии с рис. 14.6 это аналитическое выра-
жение означает, что существует девять путей, соединяющих Y и Z. Из
аналитического результата (37) вытекают правила построения путей
для рис. 14.6 и для других диаграмм путей. Например, пути Y—Xi—
Хг—Z соответствует член &1Г13С3, а пути У—Х3—Х{—Z — член ЬзИз^В
таким образом, звено ri3 было использовано дважды: один раз при сое-
динении Xi с Х3 и другой раз при соединении Х3 с Хр, соответствующие
корреляционные связи имеют по две стрелки. При г13=0 два члена —
Ь1ПзСз и ЬзПзй—не войдут в выражение (37), так как в этом случае
связь между Xi и Х3 отсутствует. Отсюда можно вывести другое важ-
ное правило прочтения диаграмм путей. Аналитическое выражение
Г1з=0 означает, что на диаграмме отсутствует путь, соединяющий Xi и
Х3. Поэтому кажущийся путь У—Xi—Х2—Х3—Z, который соответство-
вал бы члену 61Г12Г23С3, запрещен, так как такого члена нет в выраже-
нии (37). Таким образом, аналитически из факта существования Г]2 и
г 23 нельзя сделать вывода о существовании пз. В переводе на язык пра-
вил чтения диаграмм путей это означает, что Г12Г23 нельзя использовать
в качестве соединяющего пути между Xi и Х3. Иными словами, при по-
строении диаграмм нельзя использовать два коэффициента корреляции
для последовательных звеньев. Когда все три X не коррелируют (г12 =
= г2з=Г1з=0),
rYZ ~ blCl^~ Ь2 С2 Ь3 С3> (33)
что является прямым обобщением формул (28) и (29).
Положение о том, что полная корреляция между двумя перемен-
ными равна сумме всех соединяющих их путей, можно использовать
неоднократно и в самом различном виде. Например, три строки выра-
жения (37) имеют и другую форму записи:
Ь1 (С1 + Г12С2 Г13Сз) = Ь1 Г1А = bl rX,Z’
Ь2 (Г12 С1 + С2 ~1~ Г23 Сз) = Ь2 r2Z ~ Ь2 rX2Z’ (3^)
Ь3 (Г13 С1 + Г23С2 Сз) ~ b3r3Z = Ь3ГХгг'
Обратившись еще раз к рис. 14.6, мы видим, что Xi и Z соединены тре-
мя путями: прямым путем Ci и непрямыми путями ri2c2 и г13с3. Сумма
этих трех путей равна riZ или, в более формальной записи, rx z, что от-
ряжено в уравнении (39). Подобным образом г\2С\+с2+г2зс3 = г2г и
т. д. Следовательно, выражение (37) можно представить в сокращен-
ном виде
rYZ bYl riZ ЬУ2 r2Z bY3 r3Z'
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
241
где в соответствии с (36) bYi = bi— коэффициент пути от к У и т.д.,
а индекс 1 используется как сокращение для Xi и т. д. Взаимно поменяв
У и Z (и оставив прежней величину корреляции), мы получим выраже-
ние
rYZ ~ rZY ~ CZiriY^~ CZ2 r2Y CZ3
к которому можно также придти прямым путем, суммируя члены из
трех столбцов (37). В общем виде
rYZ = riZ, где i — общие причины Хх,Х2,.... (42)
Дисперсия Y = s-S + ЬхХх + b2X2 + bsXs (35) равна
1 = s2 + bl + bl + bl + 2b. b2 r12 + 2b2 b3 r23 + 2b. b3 r13. (43)
Все члены, содержащие S в качестве сомножителя, равны нулю, так как
S не коррелирует ни с одним из X. Сравнивая (43) с (37), мы видим,
что, за исключением члена s2, остальные члены (43) те же самые, что
и в (37), однако с везде заменены на Ь. Таким образом,
1 = s2 + bYl rlY + bY2 r2Y + bY3 r3Y. (44)
Для того чтобы придать данному выражению симметричный и доста-
точно общий вид, воспользуемся записью s2=bys6sr- Подобно тому как
мы говорили о детерминации дисперсии У, можно сказать, что доля
s2 детерминирована некоррелирующей переменной S, а оставшаяся до-
ля 1—s2 детерминирована причинами Xi, Х2, Х-л. Далее, bj из (43) пред-
ставляет собой прямое влияние Xi на У, а 2представляет собой
совместное действие Х{ и Xj. Имея в виду выражение (44), говорят, что
bY1r1Y есть полное действие на У, а bY2r2Y есть полное действие Х2 на
У и т.д. Как выражение (43), так и выражение (44) дает нам полную
детерминацию дисперсии У. Вполне возможно прямое обобщение этих
выражений для случая более чем трех причин X.
§ 7. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ СОЕДИНЯЮЩИХ ПУТЕЙ
Этот параграф является дополнительным, так как все правила по-
строения диаграмм путей мы уже рассмотрели, используя аналитичес-
кие результаты, полученные в предыдущих параграфах. Однако для
тех, кто не специализируется по статистике, полезно еще раз сформу-
лировать и подробно изложить эти правила. Без аналитического рас-
смотрения, проведенного в предыдущих параграфах, они могли бы
показаться произвольными; вместе с тем следует иметь в виду, что опи-
санные ниже правила являются просто словесным выражением опреде-
ленных аналитических результатов.
Рассмотрим простейшую систему, приведенную на рис. 14.2, в ко-
торой А и В не коррелируют. Следствие У соединено с А единственным
путем, так же как и с В; однако мы не можем считать, что А и В связа-
ны путем через У. Иными словами, при построении соединяющего пути
не разрешается вначале следовать в прямом направлении (вдоль на-
правляющей стрелки, например от А к У), а потом в обратном (против
направления стрелки, например от У к В). Поэтому наше первое прави-
ло гласит: при построении соединяющего пути движение «сначала впе-
ред, а потом назад» запрещается. Стало быть, маршрут А—У—В на
рис. 14.2 не является соединяющим путем между А и В, которые не кор-
релируют друг с другом.
242
ГЛАВА 14
Вместе с тем обратное движение, сначала назад, а потом вперед,—
правильный способ построения пути. Таким образом, на рис. 14.4 мар-
шрут от Y к В (первый шаг назад), а потом от В к Z (второй шаг впе-
ред) является путем, связывающим У и Z. Подобно этому, маршрут
У—С—Z на том же самом рисунке также представляет собой соединя-
ющий путь.
Наше третье правило вытекает из теоремы о цепях переменных:
продвигаясь назад, следует продолжать движение в этом направлении
до тех пор, пока не будут пройдены все возможные шаги; затем надо
повернуть вперед и двигаться (не меняя направления) до исчерпания
всех возможных шагов. Таким образом, на рис. 14.5 маршрут от У к Л
и к С (два шага назад) является путем, соединяющим У и С, а мар-
шрут С—В—У (два шага вперед) является путем, соединяющим С и У.
И наконец, необходимо быть внимательными при использовании
корреляции с двумя стрелками. Такая линия является двусторонним
путем и может быть использована в любом направлении, однако она не
обладает свойством «цепи» коэффициентов путей. Для системы
->С было показано, что Л и С соединены путем, коэффициент которого
равен произведению коэффициентов двух отдельных шагов; однако для
такой системы, как А«В«С, хорошо известно, что если коррелируют
А и В и коррелируют В и С, то нельзя делать вывод о корреляции Л и
С. Поэтому система АоВоС не включает пути, соединяющего Л и С.
В некотором смысле эта ситуация эквивалентна ситуации в системе, по-
казанной на рис. 14.2, в которой Л и У коррелируют и У и В в свою оче-
редь также коррелируют, однако Л и В не коррелируют. Короче говоря,
не обладая свойством цепи, последовательность корреляционных линий
с двумя стрелками сама по себе не образует соединяющий путь. Если
Л и С коррелируют, то их следует объединить отдельной корреляцион-
ной линией (А<+ С) с коэффициентом гАС, который, как правило, не ра-
вен ГавГвс.
Построение соединяющих путей — это процесс, предшествующий
расчету полной корреляции между двумя переменными, потому что та-
кая корреляция является суммой всех путей, соединяющих эти две пе-
ременные на схеме причинности. Теперь, когда нами выведены правила
построения путей, мы-рассмотрим несколько примеров их применения
при расчете корреляции в более сложной схеме, приведенной на рис.
14.7. Выводы, полученные из рассмотрения этой схемы, будут следую-
щими (bij — коэффициент пути от Х} к Х{) :
1. Г4б=0. Это равенство следует из рассуждений, приведенных в
предыдущем параграфе. Две корреляции Г45 и Гз5 не составляют пути,
соединяющего Х4 и А6. Зигзаг по маршруту 4—1—5—2—6 запрещен,
так как он включает повороты типа «сначала вперед, а потом назад».
2. г33=Ьзв. Имеется только один путь, соединяющий Хв и Х3,— это
прямой путь от Xs к Аз, коэффициент которого равен Ь33.
3. ri3 = bi3r36b36. Маршрут 1—5—6—3 — это единственный путь, ко-
торый соединяет Х\ и Х3. Они связаны только потому, что А5 и Х3 кор-
релируют.
4. г14 не равен просто Ь14, поскольку Х4 коррелирует с Х3, который
влияет также на Х4. Полная корреляция между Ai и Х4 равна ri4 = b14+
+ Ь15^54.
5. Г2з = Ь2бЬзб+Ь25Г5б&зб. Здесь мы имеем два различных пути, соеди-
няющих Х2 и Х3: один путь через Xs (прямую общую причину) и дру-
гой — через Х3 с использованием ее корреляции с Х6.
6. rl2 = bi5b25+bl4r43b25A-bi5r56b26. Первый путь между А] и А2 обу-
словлен их прямой общей причиной А5, тогда как два других пути обу-
словлены тем фактом, что А5 коррелирует как с Х4, так и с А6. Обратите,
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
243
однако, внимание на то, что маршрут 1—4—5—6—2 не соединяет Хг с
Х2, так как г4б = 0.
Рассмотрим теперь некоторые соотношения для У в ситуации, по-
казанной на рис. 14.7.
7. Коэффициент пути от Х4 к У равен by4 = bylbi4. Заметьте, что он
не равен корреляции между У и Х4, так как последняя коррелирует с
другими причинами, влияющими на У.
8. Свойство цепи коэффициентов путей можно также проиллюстри-
ровать при построении пути, соединяющего У и Х2 (т. е. byibi5b25).
Рис. 14.7. Корреляции в сложной
схеме.
На этой диаграмме сведены в одну все
предыдущие диаграммы.
9. Соединяющий путь может включать один коэффициент корреля-
ции. Например, путем, соединяющим У и Хъ, является byibi4r45.
10. Корреляционный член соединяющего пути может оказаться в
любом месте цепи, а не обязательно в ее конце. Например, путем, со-
единяющим У и Х2, будет Ьу\Ь\4г4$Ь2ъ.
11. Коэффициент пути от Х5 к У включает две промежуточные пе-
ременные — и Х2. Полный путь от Х5 к У равен сумме двух соединяю-
щих путей: by5=-bYibi5+by2b25.
1’2. Если мы установили все пути, соединяющие две переменные, то
коэффициент корреляции между ними можно получить, просуммировав
все эти пути. Например, корреляция между У и Х$ равна
ГУ5 ~ ^У1 ^15 + ^У2 ^25 + ^У1 ^14 Г45 + ^У2 ^26 Г65’
При построении всех путей, связывающих две переменные, мы
должны избегать дублирования цепей. Лучше всего это можно проил-
люстрировать для системы, изображенной на рис. 14.8, в которой Т и S
определяют В — общую причину У и Z. Поэтому Т и S также представ-
ляют собой общие причины Z и У. Однако три соединяющих пути,
Z—Т—У, Z—S—У и Z—В—У, не являются независимыми. Отдаленные
факторы Т и S служат общими причинами Z и У только благодаря влия-
нию В. Цепь Z—В—У служит итоговым выражением всех причин кор-
реляции между Z и У этой схемы и, следовательно, rZy = bb'. Вместе с
тем на этой схеме можно опустить В и считать Т и S двумя независи-
мыми общими причинами Z и У. Таким образом, мы получим
ryz ~ bt-tb' + bs-sb' = bb' (t2 -f- s2) = bb',
так как t2-j-s2=l вследствие независимости T и S. Теперь становится яс-
но, что мы можем использовать либо В без Т и S, либо две последние пе-
ременные без В, но не все три переменные в одно и то же время, так как
влияния Т и S уже отражены в В.
Подобную же предосторожность против дублирования следует пред-
принять, когда мы рассматриваем степени детерминации переменной ее
244
ГЛАВА 14
различными причинами. Например, полную детерминацию У
(рис. 14.8) выражают либо через влияния А и В, либо через влияния А,
Т и S. Двумя способами выражения будут соответственно
а2 + b2 = 1, а2 4- (bt)2 + (bs)2 = 1.
Это равносильно тому, что полное влияние В подразделено на У- и S-kom-
поненты в соответствии с формулой b2 = (bt)2-\-(bs)2.
Рис. 14.8. Дублирование соединяю-
щих путей.
Можно использовать фактор В без S и Т
или последние без В. Корреляция гу2=
=bb'(s2+f)=bb'
§ 8. ПОСТРОЕНИЕ СХЕМЫ ПРИЧИННОСТИ
Наличие у коэффициента пути направления не означает, что каж-
дую из двух переменных нельзя рассматривать как определенную по
отношению к другой, просто противоположные пути Ьц и Ьц в общем
случае не равны. Это следует из нашего определения коэффициента пу-
ти. Понятно, что существуют различные способы формулировки причин-
ной схемы, зависящие от того, с какой точки зрения рассматриваются
взаимосвязи между образующими их переменными. Важно иметь в ви-
ду, что если мы изменим направление пути, то значение коэффициента
для него также изменится; кроме того, направления других путей на
схеме должны изменяться в соответствии с той точкой зрения, которой
мы придерживаемся.
В качестве простой иллюстрации приведенного выше положения
рассмотрим еще раз схему X — А + В, в которой А и В не коррелируют
(гав = 0). Для простоты предположим также, что А и В имеют рав-
ные стандартные отклонения (ста = сгв). Тогда X полностью и в равной
мере детерминирован А и В (левая схема на рис. 14.9). Дисперсия Y
равна
<4 = + = 2g2 = 2сг2в,
ГУА ГУВ-
Однако мы можем, соблюдая правила, обратить диаграмму и рассмат-
ривать А как следствие, определяемое причинами У и В, коррелирую-
щими друг с другом (рис. 14.9, правая схема). Соотношение причинности
станет тогда таким:
A = Y — B, rYB=yf=
Следует подчеркнуть, что коэффициент корреляции между двумя пере-
менными остается тем же самым независимо от того, под каким углом
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
245
зрения мы рассматривали пути. Пусть коэффициенты путей на этой но-
вой схеме равны х = Ьлв и у = Ьат- Из (8) и рис. 14.9 мы имеем следу-
ющие два уравнения:
гул ~ У + Хгув~
Гав ~ х + У-Гув ~ О*
Рис. 14.9. Два различных взгляда на одни и те же взаимосвязи.
На левой схеме У=Л + В (А и В не коррелируют). На правой схеме мы приняли, что Д = У—В (при-
чины У и В коррелируют с г уд=]/ —— • мы также предполагаем, что ад=сгв)
Решая их, мы получим значения двух новых коэффициентов путей
Ьау = У = К2’, bAB = x = — 1.
Наша теорема о полной детерминации переменной ее причинами спра-
ведлива и для этой новой схемы, в которой А является следствием
х2+ у2 + 2хугув= 1.
Важная особенность состоит в том, что обратные коэффициенты путей
тогда
не равны друг другу, как это было показано выше:
как у= V2 (рис. 14.9).
В чисто математическом плане мы можем рассматривать каждую из
двух переменных как фактор, вносящий свой вклад в детерминацию
другой переменной. Однако, если в основу нашего анализа положен ка-
кой-либо путь, при рассмотрении всей схемы мы должны последовательно
придерживаться определенной точки зрения.
Для того чтобы получать правильные результаты при последующем
анализе, формулировка схемы должна быть адекватной и полной, а так-
же непротиворечивой. В противном случае мы получим ошибочные и
вводящие в заблужение значения коэффициентов путей.
И наконец, можно добавить, что адекватная схема не обязательно
является сложной сетью, включающей множество отдаленных перемен-
ных. Сложную систему посредством ряда преобразований всегда можно
свести к более простой. Если две промежуточные переменные коррели-
руют благодаря нескольким отдаленным общим причинам, то произве-
дения отдаленных коэффициентов вдоль цепей, соединяющих две пере-
менные, всегда могут быть суммированы с получением корреляции меж-
ду ними без нарушения принципа адекватности и непротиворечивости
246
ГЛАВА 14
схемы. Таким образом, формальное построение схемы — весьма гибкий
процесс. Возможность упрощения схемы причинности придает общий
характер двум основным выражениям (40) и (44).
§ 9. ДРУГИЕ СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
И КОРРЕЛЯЦИЙ
Перечисляемые ниже свойства мы рассматриваем отдельно, пото-
му что хотя они и достаточно важны, чтобы быть упомянутыми при из-
ложении анализа путей, однако вряд ли встретятся в генетических за-
дачах.
1. Пример, приведенный на рис. 14.9, содержит два интересных
момента. Во-первых, коэффициент пути может быть больше единицы, а
также может принимать отрицательные значения. Он может быть боль-
ше единицы в силу того, что мы не накладываем каких-либо ограниче-
ний на относительные величины дисперсий следствия и причины. Когда
дисперсия причины больше дисперсии следствия, коэффициент пути
принимает отрицательное значение.
2. Во-вторых, две переменные могут и не коррелировать, а коэффи-
циент пути от одной переменной к другой тем не менее не будет равен
нулю. Так, на рис. 14,9 А и В «независимы» в том смысле, что гав = 0;
и все же путь от В к Л равен ЬАВ = х =— 1. Это помогает хорошо понять
различие между коэффициентом корреляции и коэффициентом пути.
Если первый дает абсолютную меру корреляции между двумя перемен-
ными для всех имеющихся данных, то последний является мерой влия-
ния одцой переменной на другую в той схеме причинности, которую мы
приняли. Таким образом, если мы рассматриваем схему A = Y—В, то
очевидно, что величина А частично детерминирована величиной В.
Величины х и у на рис. 14.9 почти очевидны, и их можно получить
сразу, не прибегая к формальным выводам, приведенным в последнем,
параграфе. Поскольку в соответствии с нашим предположением о 2у=
— 2сГд, мы находим, что у = ]/ о^/о^ = ]/ 2; и так как <у2а = о2в, коэф-
фициент пути от В к А, очевидно, будет принимать числовое значение,
равное единице. Интерпретируя отрицательные коэффициенты путей,
можно отметить, что в подобных случаях мы берем отрицательное зна-
чение корня из с>д , так как А и В связаны отрицательной зависимостью.
3. Даже если две переменные полностью детерминированы одними
и тем же общими причинами, они все же могут и не коррелировать друг
с другом. Пусть, например, А и В — две некоррелирующие общие при-
чины У и Z, и предположим, что А и В имеют равные дисперсии. Допу-
стим, причинная схема имеет вид
Y = А +В, Z = А — В. (45)
Мы видим, что как У, так и Z полностью детерминированы одними и те-
ми же причинами. Однако они не коррелируют, что видно из следующих
преобразований:
2 (Y — Y) {Z - Z) = 2 (А + В — А — В) (А — В - А + В) =
= 2{(А - А) + (В - В)} {(А -- А) - (В - В)} =
= 2 (А — А)2—2 (В —В)2 = 0, (46}
так как мы предполагаем, что А и В имеют равные дисперсии. Если мы
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
247
выразим корреляцию между Z и У через коэффициенты путей, то по-
лучим
rZY = аа' + ~
аа' = — bb'.
Поскольку о2а = сг^ и (Ту = 2<т^ , как и в предыдущем примере, мы имеем
а = а' — b =1/^_1_, Ь' = —_1_и rZy = 0. Эта схема — конкретный
Р 2 у 2
пример того, что корреляция между суммой и разностью пар случайных
чисел равна 0. Надо отметить, что для частной системы (45) член, явля-
ющийся суммой произведений (Л—Л ) (В — В), в преобразовании (46)
исключается. Отсюда следует, что даже при условии корреляции Л и В
Гху по-прежнему будет равен нулю, если Л и В имеют равные диспер-
сии. Табл. 14.3 иллюстрирует такую ситуацию.
Таблица 14.3
Числовой пример для случая, кюгда два следствия не коррелируют,
хотя оба они детерминированы одними и теми же общими причинами,
имеющими равные дисперсии
Причины Следствия
А В У=А+В Z=A—B
16 8 24 8
8 16 24 —8
17 20 37 —3
3 28 31 —25
44 40 84 4
59 52 111 7
42 56 98 —14
51 68 119 — 17
А = 30 В = 36 Y = 66 Z = —6
S(A—А)2 = S(B — В)2 = 3200 S(K — Y)(Z — Z) = 0
ГАВ = 0,84 rYZ = 0
§ 10. СВЯЗЬ МЕТОДА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
С МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИЕЙ
Для конкретности и простоты предположим, что мы рассматриваем
случай с пятью переменными. Эти пять переменных можно соединить
множеством различных путей; некоторые из них изображены' на
рис. 4.10. Возможные корреляции между причинами здесь не показаны.
Структура связей зависит от самого предмета, т. е. от физического или
биологического смысла рассматриваемых переменных. Истинная струк-
тура связей для любого данного набора переменных обычно неизвестна,
и установление ее — первая задача в предпринимаемом исследовании.
Метод путевого анализа дает нам возможность проверить некоторые из
наиболее вероятных схем причинности и оценить относительные досто-
инства каждой из них. В обычном уравнении множественной регрессии
одна переменная выражается через все остальные. С точки зрения путе-
вого анализа это эквивалентно выбору схемы причинности, приведенной
248
ГЛАВА 14
в нижнем правом углу рис. 14.10, где показан случай, когда одна пере-
менная детерминирована четырьмя остальными. Если требуется пред-
сказать зависимую переменную, то, вероятно, лучше всего воспользовать-
ся уравнением множественной регрессии, чем какой-либо другой схемой
причинности, приведенной на рис. 14.10. Говоря кратко, множественная
Рис. 14.10. Возможные зависимости между пятью переменными.
Схема в нижнем правом углу, на которой одна из переменных выражена через все остальные, эк-
вивалентна множественной регрессии.
регрессия используется главным образом для предсказания одной пере-
менной на основании всех других, тогда как путевой анализ используется
.для установления структуры или для интерпретации различных зависи-
мостей.
Из приведенного выше обсуждения должно быть ясно, что множест-
венная регрессия является частным случаем путевого анализа. Если в
путевом анализе мы будем считать определенную переменную следстви-
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
249
ем, а все остальные — непосредственными причинами, то тогда путевой
анализ и множественная регрессия приведут к одинаковым результатам.
Рассмотрим обычное уравнение множественной регрессии
Y-Y = b1(X1-X1) + b2(X2-X2) + b3(X3-X3) + S, (47)
где S — «ошибка», средняя величина которой равна нулю и которая не
коррелирует ни с одним из х (рис. 14.6 без Z). Пусть у=У—У, x^=Xi—Xi
и т. д. Нормальными уравнениями, определяющими величины Ь, будут
b, 2х| + b2 Ex, x2 + b3 Зя, x3 =
b, Ex.x, + b, Ex? + b, 2x, x, = Ex,z/,
b. 2x. x, + b, Ex, x, 4- b, 2x2 — 2x,y. (48)
1 1 «5 2 2 0 oO O*' ' '
Если в уравнении (47) нормировать переменные, то уравнение регрессии
примет вид
У _ 61CT1 Х1 , Ь2°2 х2 , &3°3 Х3 , °s S _
—------------J j j
Пуг Oy Oj Oy (?2 Hyr Og Qyr (?£
= Pi-^-+P2-^+P3^ + sf-, (47*)
CT! <J2 ^3
где нормированный коэффициент регрессии р\ является коэффициентом
пути от Xi к У и т. д. В этом параграфе мы для удобства обозначим ко-
эффициенты путей через р (от англ, path — путь). Тогда соответствую-
щие «нормальные уравнения» примут вид
Pl + р2 Г12 ~1~ Рз Г13 ~ rYl>
Pi ri2 Т- р2 4~ Р3 г23 = гУ2,
Р1 Г13 + р2 Г23 + Рз = rY3- (48*)
Это в точности соответствует тем результатам, которые мы получили из
путевого анализа в предшествующих параграфах (рис. 14.6 без Z;
см. также выражения (39) — (42), учитывая смену обозначений). Следо-
вательно, эти нормальные нормированные уравнения соответствуют об-
щей теореме о том, что полная корреляция между двумя переменными
равна сумме всех соединяющих их путей. Чтобы составить уравнение
множественной регрессии по имеющимся данным, мы решаем уравнения
(48) относительно величины Ь. Строя диаграмму путей, мы решаем
уравнение (48*) относительно величин р, так как все корреляции заданы
наблюдаемыми данными. Эти два набора решений совершенно эквива-
лентны, так как pi = bi<5j<5Y и т. д.
§ 11. КОЭФФИЦИЕНТ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
Зависимость между путевым анализом и обычным коэффициентом
множественной корреляции /?у(12з) можно вывести из теоремы о полной
детерминации дисперсии У. Обратившись к рис. 14.6 (на котором надо
опустить следствие Z) и рассматривая S как «ошибку», не коррелирую-
щую ни с одним из X, мы убедимся, что из уравнения (43) часть диспер-
сии У, детерминированная причинами Xi, Х2, Х3, равна 1—s2. Следова-
тельно, по определению
Ry(i23) = 1 — s2.
(49)
250
ГЛАВА 14
Учитывая (43), эту величину можно выразить так:
^У(123) = Р% Рз р2 Г12 2р2 Рз f23 ~'Г %Р1 Рз Г13 ~
= Р1 (Р1 + Рг г12 + р3г13) + р2 (р! г12 + р2 + Рз Газ) +
~Ь Рз (Р1 Г13 ~Ь Рг Г23 + Рз} = Pl ГУ1 Рз ГУ2 + Рз ГУЗ‘ (50)
Это равенство отличается от (40) только заменой Z на У и b на р. Та-
ким образом, метод анализа путей не только дает нам величину коэф-
фициента множественной корреляции, но и помогает разложить его на
компоненты, число которых равно числу независимых переменных, соот-
ветствующих промежуточным причинам.
Выражение (50), содержащее коэффициенты путей, может быть
и не знакомо читателю. Попробуем установить его связь с общеизвест-
ной формулой. Чтобы упростить последующую запись, целесообразно
обозначить зависимую переменную индексом О:У=Хо точно так же,
как мы обозначили Х\ индексом 1 и т. д. Тогда ryi примет вид rot
и т. д. В первую очередь введем определитель
1 Г01 Г 02 гоз
а = Го1 1 г;2 Ги , (51)
Г02 Г12 1 Г23
Г03 Г13 Г23 1
из которого можно получить другие определители вычеркиванием строк
и столбцов. Пусть Aij — новый определитель, полученный вычеркивани-
ем строки, содержащей переменную i, и столбца, содержащего перемен-
ную /, где i, j = 0, 1,2, 3. Например:
1 Г12 Г13 Пи Г12
^00 — Г12 1 Г 23 , Aqi — Г02 1 Г23
Г13 Г23 1 Г03 Г 23 1
(52)
Такие определители меньшего размера называются минорами. Выпи-
шем разложение исходного определителя по элементам первой строки
А — А(Ю 01^01 02^02 г03^03- (53)
Обратите внимание на то, что знаки определенных членов поменялись на
противоположные.
На втором этапе решим линейные уравнения. Рассмотрим систему
уравнений (48*), из которой мы попытаемся найти коэффициенты пу-
тей р, так как все г считаются известными (напомним, что p1=pY1=pOi и
Гу1 = го1 и т. д.). По правилу Крамера
о —
P°i — д
л00
__ —Д02
Р02 ~ .
Арр
п — ^21
Роз - д
аоо
(54)
Это достаточно общий и краткий способ выражения решений через из-
вестные величины (в данном случае через г). На заключительном этапе
мы выразим коэффициент множественной корреляции, используя (49),
(50), (53) и (54):
Ro( 123) = 1 8 = р01 Гр! Р02 П>2 Роз П)3 =
_ Api rpi Др2rр2 j Арзгрз Арр А __ । А (55)
Арр Дрр Дрр Арр Дрр
Это и есть классическое выражение для И наконец, если мы об-
ратимся к случаю, в котором одна (зависимая) переменная детермини-
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
251
рована множеством коррелирующих причин и некоррелирующей ошиб-
кой, то множественная регрессия и путевой анализ сольются в один ме-
тод и приведут к одинаковым результатам.
§ 12. КОЭФФИЦИЕНТ ЧАСТНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
Было бы поучительно установить зависимость между коэффициен-
том пути и коэффициентом частной корреляции. Для того чтобы пред-
ставить эту зависимость в простейшей из возможных форм (с использо-
ванием только трех переменных), а также привести ее в соответствие с
обычным выражением для коэффициента частной корреляции (напри-
мер, с выражением для Г12.3), гораздо удобнее поменять систему обо-
значений в начале, а не в конце. В случае трех переменных мы обозна-
чим зависимую переменную через и независимые переменные — через
Х2 и Хз. С целью придать этому параграфу более или менее самостоя-
тельное значение перепишем некоторые из приведенных выше общих
выражений для частного случая трех переменных. Пусть X., Х2, Х3 изме-
ряются в отклонениях от своих средних величин. Регрессия Х^ по Х2 и Х3
выражается уравнением
Xi = Ь12Х2 + Ь13Х3. (56)
Коэффициенты регрессии Ь12 и Ь{3 в более формальных выкладках сле-
довало бы записать в виде Ь12.3 и bj3.2, однако для краткости вторые ин-
дексы мы опустим. Эти коэффициенты можно определить из следующих
нормальных уравнений [эквивалентных уравнениям (48)]:
ЕХЛ, + b13 = SX.X,. (57)
1Z л* 0 1и О 1 0 *
Если теперь мы нормируем переменные xj=Xi/oI-H получим 2х2( /п= 1 и
SXiXj/n = rij, то нормальные уравнения для нормированных коэффициен-
тов регрессии примут вид [аналогично (48*)]
Р12 + Р13 Г23 = Г12>
Р1аг2з + Р1з= г13, (58)
где р — не что иное, как коэффициенты путей. Решая эти уравнения, по-
лучим
Г12 Г23
Р.2 = -^-4 = , (59)
1 Г23 1-'23
Г23 1 I
что является частным случаем решений (54). Коэффициент частной кор-
реляции между Х[ и Х2, исключающий влияние Х3 (которое мы будем
считать постоянным), дается формулой
Г.,,- (60)
У1 - 4, V 1 - 4
Простой вывод этой формулы приводится в прим. 15 и 16 в конце данной
главы. Сопоставляя выражения (59) и (60), получаем простую зависи-
мость
г1г.3 = Ра~У=г (61)
У'-ъ
252
ГЛАВА 14
Поскольку обычные коэффициенты регрессии (Ь) и коэффициенты пу-
тей (р) связаны формулой [см. (47*)] Р12 = &12(сг2/сг1), мы получаем урав-
нение
= h .
12 „
а1.3
(62)
где О2.з=02]/ 1—г1з — уменьшившееся стандартное отклонение Х2 после
того, как мы исключили влияние Х3. Подобно этому, знаменатель (62)
уменьшается до стандартного отклонения Х\. Из элементарной статис-
тики читатель может вспомнить, что если г=гХу — коэффициент корре-
ляции между х и у, то доля г2 от дисперсии у определяется через его кор-
реляцию с х, тогда как доля 1—г2 от дисперсии является остаточной дис-
персией у без учета влияния х. В этом случае дисперсия записывается
в виде оу,х =ау (1—г2). В выражении (62) используется уменьшившееся
стандартное отклонение. Последние четыре выражения (59) — (62) мож-
но обобщить на случай любого числа переменных. Их применяют также
и в случаях двух переменных, когда (62) сводится к знакомой формуле
Г]2 = &12 (СГ2/СТ1).
Это краткое рассмотрение коэффициентов путей представляет со-
бой достаточно полное введение в предмет. Развитие изложенной темы
можно найти у Райта [696, 697, 703].
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Рассмотрим нормальные уравнения (57). Если мы запишем
2Х2/п = о2 и l,XiXj/n = Cov(Xi, Xj)=rijol и}, то нормальные уравнения
(57) примут вид
^12 G2 г ^13 Г23 G2 G3 Г12 G1 СТ2>
^12 Г23 G2 G3 ~ ^13 G3 = Г13 G1 G3‘
___ Г12 — Г13 Г23 gj _ Oj
Покажите, что
1 — л23 °2 ' ” °2
2. Получите решение относительно &13 и представите его в таком же
виде.
3. Имеются наборы данных о трех переменных, которые измерены в
от своих средних.
Набор данных I Набор данных II
Ах *2 Хз Xi х2 Х3
—6 —4 —1 —5 —4 —1
+5 — 1 +3 0 —1 +3
—2 0 —1 +2 0 —1
—2 +2 —2 + 1 +2 —2
+5 +3 + 1 +2 +3 + 1
0 0 0 0 0 0
Чему равна величина г23? Рассчитайте значения г\2 и Г13 для обоих
наборов данных. Для какого набора г22=г23=1 и для какого эта сумма
меньше единицы? Почему? Найдите значения Ь\2 и &13 для обоих набо-
ров. Какими будут уравнения линейной регрессии А] на Х2 и Аз?
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
253
Ответ: (I) (И) Х\— &12Хг-|-^1зХз-|-£, где Е— некорре-
лированная «ошибка».
4. Предположим, что Y=X\-\-X2-\-...-\-Xk. Допустим также, что все
попарные корреляции между X одинаковы Цц = г) и что коэффициенты
путей от Xi к У одинаковы для всех Xi, т. е. что bt =b. Построим диа-
грамму путей, соответствующую этой ситуации. Чему равна полная кор-
реляция между У и Х{? По теореме о полной детерминации
kb2 4- klk — 1)b2r = 1, b2 =----------.
k [1 + (k - 1) г]
Сумма всех путей, соединяющих У и Xi, равна [230]
гУХ' = гу. ='b + (k — 1) br = b [1 + (k — 1) г].
Покажите, что, исключив г или Ь, мы получим
rYi = =
или
1 + (k - 1) г 1 Гl+(fe-l) г
/------------- |/ ъ
V k [1 + (k- 1) г] 1
5. Для случая суммы двух некоррелирующих переменных У=Л-|-В,
где Гав = 0, имеем
А В 34 2 3 4 40 5 28 7 14 25 31 10 13 14 25 17 200 72 to> >.1 II II О bo Си
Y 36 7 45 35. 24 38 45 42 272 Y = 34
2(4- -А)2 = 956 2 (В-В)2 = 200 2 (Г—У)2 = 1156
СТА = 119,5 Cg = 25 aY = 144,5
Проверьте следующие формулы и рассчитайте соответствующие число-
вые значения:
2(7 — 7) (В — В) = Ъ(В — В)2,
ГуВ =
ГУА " ГУВ = ~ ^В = 1 •
6. Цепи независимых причин (рис. 14.3). Пусть Y=A-]-B и Л = Т+5,
где А, В, так же как Т и S, не коррелируют. В последующем сокращение
«ssq» обозначает «сумму квадратов» отклонений от среднего для данной
переменной.
Сумма Среднее ssq
Т. . . 1 21 12 6 20 60 12 302
S . . . 3 5 8 6 3 25 5 18
А . . . 4 26 20 12 23 85 17 320
В . . . 25 1 39 1 34 100 20 1304
Y. . . 29 27 59 13 57 185 37 1624
254
ГЛАВА 14
Символ Pya используется ниже для обозначения коэффициента пути от
А к У.
1. Для части Y—A-j-B рассчитайте (Iya, Гуа, Pya-
2. Для части А = 7’4-3 рассчитайте dAT, г ат, Рат-
3. Считая У=34-^+Д покажите, что Дг84-^ут4-^ув= 1.
4. Покажите, что Дгг = Дга^ат и Pys=PyaPas-
7. Некоррелирующие общие причины (рис. 14.4). Пусть схемой при-
чинности является Х=В-\-С и Y=B-\-3C, тогда какгвс = 0.
Сумма Среднее ssq
В . . . 4 26 20 12 23 85 17 320
с. . . 11 12 2 11 14 50 10 86
X . . . 15 38 22 23 37 135 27 406
У . . . 37 62 26 45 65 235 47 1094
Сумма произведений отклонений пар переменных:
(ХВ) = 320 (ХС) = 86 (ХУ) = 578 = 320 4* 258
(У В) = 320 (У С) = 258 = 3 X 86
Сначала рассчитайте коэффициент корреляции между X и У прямо из
последующих двух строк величин, приведенных в таблице. Потом най-
дите значение четырых коэффициентов путей: Ь, Ь', с, с'. И в конце про-
верьте соотношение гХу = ЬЬ'Л-сс/.
8. Коррелирующие причины (рис. 14.5). Пусть схемой причинности
будет У=А4-3, где А=£>4-С и В = С-)-Е, так что промежуточные причи-
ны А и В коррелируют благодаря общей причине С.
Сумма Среднее ssq
D . . . 1 21 12 6 20 60 12 302
С. . . 3 5 8 6 3 25 5 18
Е. . . 58 36 65 1 40 200 40 2486
А. . . 4 26 20 12 23 85 17 320
В . . . 61 41 73 7 43 225 45 2504
У . . . 65 67 93 19 66 310 62 2860
1. Рассчитайте четыре коэффициента пути: а, Ь, с, с'.
2. Рассчитайте Гав прямым путем, а потом проверьте равенство
Гав = сс'.
3. Проверьте на числовых данных формулу (3) для дисперсии У.
4. Приняв Y=D-]-2C-]-E, найдите значения dy-D, dy .с и 4y-e и по-
смотрите, дополняют ли они друг друга до единицы.
5. Найдите значение величины ру. с прямо из приведенных данных,
не учитывая того, что схемой причинности является X=D + 2C-\-E, а
потом проверьте соотношение:
rYC = Рус = ас + Ьс',
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
255
Ответ: 1. а = 0,3345, 6 = 0,9357, с = 0,2372, с'= 0,0848. 2. гАВ= 18/ /(320X
Х2504) =0,0201= (0,2372) (0,0848). 3. #£-=320+2504+2(18) =2860.
4. о2; =с>2)+4о2 + , следовательно, dy. с = 4(18)/2860 и т. д. 5. гус =
= /dy.c = 0,15867 = ac+6c'. (Здесь ас = Ьс'. Почему?)
9. Пусть С, D, Е — три некоррелирующие переменные. Покажите,
что если А — C-{-D и В = С-\-Е, то
2(Л —Л)(В —В) = 2(С —С)2.
10. Коррелирующие общие причины. Пусть А, В, С, D — четыре при-
чины, из которых В и С коррелируют, а все остальные пары причин не
коррелируют. Предположим, что схемой причинности является
X = А + В + С и Y = 10В + ЗС + D.
Сумма Сред- нее ssq
А . . 34 3 40 28 14 25 31 25 200 25 956
В . . 2 4 5 7 10 13 14 17 72 9 200
С. . 16 8 3 3 44 59 42 51 240 30 3200
D . . 211,6 160,0 160,0 156,7 118,9 160,0 8,9 303,9 1280 160 47 901,08
X . . 52 15 62 38 68 97 87 93 512 64 5700
Y. . 279,6 224,0 261,0 235,7 350,9 467,0 274,9 626,9 2720 340 137 021,08
1. Найдите величины шести путей, а также величину Гвс-
2. Выпишите соответствующее выражение для полной детерминации
У и проверьте его на числовом примере.
3. Рассчитайте Гху прямо из величин X и У, а потом покажите, что
Гху = ЬЬ'-\-сс'-\- (Ьс'А-сЬ')ГвС’
Ответ: а2 = 956/5700 = 0,16772 и т. д. Представляется удобным системати-
зировать расчеты так, как это сделано ниже.
а2 = 0,16772 Ьг = 0,03509 с2 = 0,56140 d'2 = 0,34959 ft'2 = 0,14596 с'2 = 0,21019 а = 0,4095 ft = 0,1873 с = 0,7493 d’ =0,5912 ft' = 0,3821 с' = 0,4584 be = 0,14034 ftft'=0,07157 СС'= 0,34384 ft'c' =0,17515 be' = 0,08586 eft' =0,28631
2bcrBC=0,23578 2Z?c г “ = 0,29426 гвс = 0,840 (fte'+eft') rBC = 0,31262
[Л]1= 1,00 [Г] = 1,00 гху = 0,07157+0,34384+0,13262 = 0,72767
„ 20 336 20 336
Прямое определение: rXY — /(5700-137 021,08) = = 0,72767. 27 946,7
1 [X] — полная детерминация X.
11. Сумма некоррелирующих переменных. Для простой схемы У=
=Д1+Д2, в. которой две причины не коррелируют, существует важный
частный случай, когда две причины имеют равные дисперсии. При этом
У в равной степени детерминируется как Ль так и Л2. Для следующих
двух наборов данных покажите, что ai = a2 = a = 1/ _L.
V 2
256
ГЛАВА 14
^1 I I 1 1 1 1 0 0 0 6 2 3
1 1 1 1 0 0 1 1 0 6 2 3
Y 2 2 2 2 1 1 1 1 0 12 4 3
А, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 12 3 4
а2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 12 3 4
Y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 24 3 2
12. Пусть, как и в предыдущей задаче, У=Д1+Л2, где две причи-
ны имеют равные дисперсии, но коррелируют с гЛ1Л> — г.
1. Сначала найдите величину г = /'л1л,.
2. Найдите также величины двух коэффициентов путей ах и а2. Рав-
ны ли они? Если да, то почему? Обозначьте их величину через
а = а\ = а2.
3. Покажите, что при полной детерминации X
2az + 2a?r = 1,
и проверьте это соотношение численно.
Ответ: г= —, а= л/ = 0,57735.
2 г 3
13. На рис. 14.11 изображена некоторая система зависимостей (ко-
эффициенты путей обозначены строчными буквами).
1. Найдите выражения для rxw, rxz, rYW, rYZ и rXY через коэф-
фициенты путей.
2. Если w = w'=z = z' и a = b = c = d, то какими тогда будут выра-
жения для этих коэффициентов корреляции?
Ответ:
!. rxw = aw + czrWz и т. д„
2.
rXY = aw-w'b + cz-z'd -f- aw z'd ~r cz [rwz} wb.
rxw = rxz = rYz = aw awrwz = aw (1 -4- rwz),
rXY = 2aw-wa + 2awrwz wa = 2aW (1 + rwzy
14. Найдите коэффициенты корреляции между X и У для системы
зависимостей, приведенной на рис. 14.12, предполагая, что все коэффи-
циенты путей равны
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПУТЕЙ
257
Ответ: гх? = 4- (-^-)4= -р
15. Частная корреляция между Xi и Х2 без учета влияния Х3 (все
причины оцениваются по соответствующим средним) определяется как
простая корреляция между Х1.3 и Х2.3, где Х1,з=Х1—bi3X3, Х2,3 — Х2—
—Ь23Х3, а &1з — простой коэффициент регрессии Xi на Х3. Такой же смысл
имеет 623. Нормальными уравнениями, определяющими эти коэффициен-
ты регрессии, будут соответственно
2Х3 (Хх - 613Х3) = О, SX3 (Х2 - 623Х3) = 0.
Величина 613Х3 равна величине Х{, предсказанной (или оцененной) на
Рис. 14.11. (См. упр. 13.)
Рис. 14.12. (См. упр. 14.)
основании регрессии на Х3. Отсюда величина Х[.з=Х1—Ьу3Х3 и равна ве-
личине Хь когда она не испытывает влияния Х3. Сходный смысл имеет
Х2.3. Корреляция этих двух переменных равна
Cov (Хх.3, Х23) = Е (Хх - 613Х3) (Х2 - 623Х3) = ЕХх (Х2 - 623Х3).
Второй член обращается в нуль, так как SX3(X2—623Х3)=0. Следова-
тельно,
Cov (Хх.3, Х2.3) = г12охо2 — 6Й г13цха3.
Произведя подстановку Ь23 — г23а21а3, мы получим
Cov (Хх 3, Х2.3) = охст2 (гХ2 г хзг 23).
Отыскание дисперсии Х1.3 не составляет труда:
= Е (*1 (*,-к,Л) = (х, + о =
= “I-6!!'’IS®, "S = <4 (Чз)-
Подобно этому, о2.3=о2(1—г2з)- Следовательно, корреляция между Х^,3
и Х2.3 равна
, __ CoV(Xj.3, Х2.з) ГХ2--г13 Г23
' 12.3 — ----------— —; —tzzzzzzt: «
/1 - Ki - 4з
Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков, например
Г12.34> можно получить таким же образом, вычисляя Xi,34 и Х2.34, где
Х1.з4=Х1—643.4X3—644.3X4 и т. д. [711].
16. Коэффициент частной корреляции ri2.3 также может быть выве-
ден с помощью метода коэффициентов путей [703]. Используя систему
17—322
258
ГЛАВА 14
обозначений, введенную в предыдущем упражнении, мы запишем
= Хх.з 4~ 613X3, Х2 — Х23 ~f- 6^X3.
Каждое из этих выражений представляет простую систему типа У=А-{-В,
в которой А и В не коррелируют; в данном случае не коррелируют Xi,3
и 613Х3, а также Х2.з и 623Хз (рис. 14.13). Корреляция между 613X3 и
Ь1з&з
— ' 13>
<71
^23 <7з ___ _
„ ~ '23*
С>2
P'i =
Рис. 14.13. Схема причинности для частной корреляции rl2.3=r(Xi.3t Х2.3).
623X3 равна, конечно, единице. Корреляция между Х1-3 и Х2.з есть та част-
ная корреляция г12.з, которую нам надо найти. Итак, Хг и Х2 соединены
двумя путями:
Г12 ~ Р1 (Г12.з) Р2 Pl р2>
где р — коэффициенты путей, приведенные на рис. 14.13. Поскольку при-
чины X], а также Х2 не коррелируют,
Р, » V1 = /
°2
Производя подстановку, получим
Г12 = Г12.3Г13Г23 Г13Г23< (60 )
что и является искомым результатом (60). Частным корреляциям высо-
ких порядков, таким, как Г12.345, посвящена работа Ли и др. [409].
ГР2 =
ГЛАВА 15
Путевые зависимости
между родителями и потомками
Прежде чем изучать свойства и результаты продолжительного ин-
бридинга, полезно выразить соотношения между родителями и потомка-
ми через коэффициенты путей. Применяя метод путевого анализа в ге-
нетике, мы должны рассматривать все гаметы и зиготы как переменные,
которые принимают числовые значения, соответствующие их генному со-
ставу. Этот подход легко осуществить, когда эффекты генов аддитивны.
Анализируя генотипы, мы считаем, что гаметическая переменная g при-
нимает значение 1 для гаметы А и значение 0 для гаметы а. Следова-
тельно, зиготическая переменная Z принимает значения 2, 1, 0, относя-
щиеся соответственно к АА, Аа, аа. Приняв такую шкалу измерений,
можно без затруднений применить метод коэффициентов путей к гене-
тическим задачам. Кроме того, для большого числа пар генов при ус-
ловии аддитивности их эффектов (одинаковый вклад различных локу-
сов при этом не обязателен) приведенные ниже аргументы и выводы
будут справедливы для любого числа локусов, определяющих гаметиче-
ские и зиготические величины. Содержание этой главы основано на ра-
боте Райта [664].
§ 1. ДЕТЕРМИНАЦИЯ ЗИГОТЫ ОБЪЕДИНЯЮЩИМИСЯ
ГАМЕТАМИ
Прежде всего отметим, что зигота (как мы для краткости называем
здесь числовое значение для зиготы) может считаться линейно, полно и в
равной степени определяемой двумя образовавшими ее гаметами. Это
соотношение записывают в виде простого равенства (рис. 15.1)
Z (зигота) = Gj (сперматозоид) + G2 (яйцеклетка).
Поскольку в случае аутосомных генов Z в равной степени определяется
G[ и G2, два коэффициента пути (от яйцеклетки к зиготе и от спермато-
зоида к зиготе) должны быть равны. Используя обозначения Райта, мы
будем считать а коэффициентом пути от гаметы (яйцеклетки или спер-
матозоида) к зиготе и F — коэффициентом корреляции между объеди-
няющимися гаметами. Тогда для полной детерминации зиготы мы по-
лучим
2a2 + 2a2F=l. (1)
Следовательно,
°2= 2(1 + ^)’ a = (2)
17*
260
ГЛАВА 15
Чем больше величина F, тем меньше величина а. В то время как F изме-
няется от 0 до 1, величина а варьирует от 0,707 до 0,500, что показано
в табл. 15.1. В популяции со случайным скрещиванием (F=0) а =
=К 1/2 = 0,7071.
Таблица 15.1
Величины F, а и компоненты детерминации зиготы
F а2 а 2а2 2а2 F
0 1 2 0,7071 1,0000 0
1 2 0,6325 0,8000 0,2000
4 5
1 2 1 3 0,5774 0,6667 0,3333
3 4 2 7 1 0,5345 0,5714 0,4286
1 4 0,5000 0,5000 0,5000
Рис. 15.1. Путь от гаметы к зиготе.
Слева — общий случай a— 1Дг(1+Г). Справа — случай панмиксии Г=0 и a=V'/2=0.7071.
Уравнение (2), конечно, не применимо, когда вклады родителей в
наследственность потомка не равны, как, например, в случае генов, сцеп-
ленных с полом. Однако в таком случае легко получить модификации
этого уравнения, которые будут приведены ниже.
Следует также проявлять осмотрительность, применяя уравнение
(2) к скрещивающимся особям, принадлежащим к различным поколе-
ниям с системой близкородственных скрещиваний. Для них коэффици-
енты двух путей от зигот родителей к яйцеклеткам и сперматозоидам
будут различны. Этот случай мы рассмотрим в § 9.
§ 2. ОБРАЗОВАНИЕ ГАМЕТЫ ЗИГОТОЙ
Состав гаметы, без сомнения, определяется набором генов родите-
ля; однако один и тот же родитель может производить гаметы различ-
ных типов за счет случайной сегрегации. Пусть b обозначает коэффици-
ент пути от зиготы к ее гаметам (рис. 15.2). Тогда
b = raz, (3)
ПУТЕВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ПОТОМКАМИ
261
где roz — корреляция между зиготой и любой гаметой, произведенной
этой зиготой. Данная корреляция должна быть такой же, как и корре-
ляция между зиготой и одной из гамет предыдущего поколения, которая
внесла вклад в состав зиготы. Следовательно, мы имеем соотношение
b = rG,z = rGZ = a' F a'F'= а'(1 + F'), (4)
где штрихи означают пути для предыдущего поколения рассматривае-
мой зиготы. Мы будем пользоваться такими обозначениями в этой и в
Рис. 15,2. Путь от зиготы к гамете.
Слева — Ь=г„~ =а'+а'Р. Справа — обрат-
ив
иый процесс: b = r =
нескольких последующих главах при рассмотрении коэффициентов пу-
тей. Подставляя значение а', данное формулой (2), получим
1 + F'
2
(5)
Величина пути от зиготы к ее гамете полностью зависит от корреляции
между объединяющимися гаметами (предыдущего поколения), которые
образуют зиготу. В этом отношении она подобна а; однако в отличие от
а она возрастает с увеличением величины F.
Существует еще один интересный способ вывода выражения (5)
для Ь. Мы знаем, что raz = b. Используя аргумент, выдвинутый в § 8
гл. 14, мы можем на законных основаниях перевернуть рис. 15.2 и счи-
тать, что зигота определяется гаметами, вырабатываемыми ею же. Тог-
да полученные гаметы будут коррелирующими причинами Z. Пусть g
обозначает эту корреляцию между гаметами, произведенными одной и
той же зиготой. Поскольку это касается одной пары аллелей, очевидно,
гаметы, произведенные отдельной особью, должны иметь ту же связь,
что и те, которые объединились, чтобы создать эту особь. Следовательно,
g=F'. (6)
Пусть р — коэффициенты обратных путей от G к Z. Конечно, р не рав-
ны Ь, но (абсолютная) корреляция между Z и G останется той же са-
мой, с какой бы точки зрения пути ни рассматривались. Из теорем о пол-
ной детерминации и полной корреляции, выведенных в гл. 14, мы имеем
2р2 + 2р2£=1, (7)
р + pg = b = rGZ. (8)
Решая эти уравнения с учетом того, что g = F', мы получаем
6-К ф(1+й-}/ф(1+П.
т. е. выражение (5).
262
ГЛАВА 15
§ 3. ПУТЬ МЕЖДУ ДВУМЯ СМЕЖНЫМИ ПОКОЛЕНИЯМИ
Можно считать, что путь от зиготы к гамете b или путь от гаметы
к зиготе а соответствует половине поколения, если за одно поколение
мы примем переход от родителя к потомку. Составной путь от родитель-
ской зиготы к ее потомству (от Z к О на рис. 15.3), исходя из (2) и (5),
равен
, 1
ba ~ —
2
Во многих выражениях в настоящей и последующих главах а и b встре-
чаются в паре, так как объединенные в пару они составляют путь для
поколения зиготы.
(9)
Рис. 15.3. Путь для одного по-
коления.
В отличие от этого путь от гаметы, полученной особью, к гамете,
произведенной этой особью, можно рассматривать как одно поколение;
величина пути для него будет равна (рис. 15.3)
1 + F' _ _1_
2 2 ’
(Ю)
Замечательно, что путь для одного поколения
1
гамет всегда равен —,
причем он не зависит от величины F и системы скрещивания. Мы часто
будем использовать этот факт в следующей главе при обсуждении раз-
личных систем скрещивания.
§ 4. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ F И т
В гл. 11 и 12 отмечалось, что между скрещивающимися особями
существует корреляция (т), которая приводит к корреляции между
объединяющимися гаметами (F); одновременно там приводилось выра-
жение для соотношений между гаметами при равновесии. Общее соот-
ношение между ними для любого состояния популяции трудно получить
прямым алгебраическим методом. Если же мы применим метод путей, то
оно станет очевидным. Из рис. 15.4 видно, что
F = bmb = b*m. (11)
ПУТЕВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ПОТОМКАМИ
263
В данном случае существует только один путь, соединяющий две объ-
единяющиеся гаметы, — это путь через корреляцию между родителями.
Поскольку в соответствии с (5) b2= мы имеем
„ О + Е') 2F
F = 3—!—- т, т~-------. (12)
2 1+F' ’
Как а, так и b являются функциями F, величина которой в свою очередь
зависит от т. Поэтому т — ключевая величина по отношению к осталь-
ным величинам. Корреляцию и коэффициенты путей в каждом поколении
можно выразить через корреляцию и коэффициенты путей для предше-
ствующего поколения в том случае, если можно найти точное выраже-
*___т
□ О Р(родители)
J? b
Рис. 15.4. Корреляция между объеди-
няющимися гаметами (F), выраженная
через корреляцию между партнерами по
скрещиванию (т).
Прерывистая двойная стрелка F дублирует
цепь bmb’, любую из цепей, но не обе вместе
можно оставить в схеме причинности.
ние для пг. Последнее определяется системой скрещивания, существую-
щей в популяции. Для многих регулярных систем инбридинга совсем
нетрудно выразить т через а', Ь', т’ предыдущего поколения; поэтому
приведенные ниже выводы для частных систем инбридинга не составят
труда, что будет показано в следующей главе.
§ 5. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ ЧЛЕНАМИ СЕМЬИ
Напомним, что корреляции между ближайшими членами семьи при
условии панмиксии были приведены в гл. 3. Здесь же мы выведем более
общие соотношения между ними для случая, по отношению к которому
наши предыдущие результаты носят частный характер. Схема причин-
ности для семьи приведена на рис. 15.5. Пусть гРР, гРо, г00 — корреля-
Рис. 15.5. Корреляция между
членами семьи.
264
ГЛАВА 15
ции между родителями, между родителями и потомками и между сиб-
сами соответственно. Из анализа рис. 15.5 (см. также гл. 12, упр. 13 и
рис. 12.11) непосредственно вытекает, что
грр = т,
rpo — ab + abm = ab(l + tri), (13)
r00 = 2abba + 2abmba = 2а2Ь2(1 + т).
Можно сказать, что Гро дает корреляцию по аутосомным генам между
одним из родителей и любым отдельно взятым потомком. При построе-
нии соединяющих путей мы должны ограничиться одним из родителей
и одним из потомков.
§ 6. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
На языке путевого анализа условие равновесия определяется посто-
янством т (а также F) из поколения в поколение; и, следовательно, пу-
ти а и b также остаются постоянными. Положив т = т' = const, мы
получим F=F'\ из (2) и (5) а = а' и Ь = Ь' и эти величины можно выра-
зить через т. Так, например, подставляя (5) в (11) и опуская штрих,
мы имеем
b2 = i(l+F) = X(l+62m)>
ЛЬ2=——
2 — т
(И)
и
F = Ь2т = ——— , откуда т = —— . (15)
2 — т 1 + F
Последнее соотношение получают также, приняв в (12) F=F'. Напом-
ним, что мы уже выводили это прямым алгебраическим методом в гл. 13.
Выражая F через т, мы также получим
1 1 = 2 — т
2(1+Л ~ 2/ т \ ~ 4
\ 2 — т
(16)
Возможно, наиболее полезное упрощение, обусловленное равновесием,
состоит в том, что путь для одного поколения зигот (9) сводится к
, 1
Ьа = —
2
1
2 ’
(17)
какой бы ни была система скрещивания и независимо от степени инбри-
динга, существующего в популяции. В равновесных популяциях корре-
ляции между членами семьи также принимают более простую форму.
Заметив, что 2а2Ь2 = 2(-^-)2 = из (13) мы имеем
грр = tn = const, rpo=4-(l+m), rm = (1 + т). (18)
Раньше эти соотношения были проверены нами на числовом материале.
Очевидно, результатов этого параграфа достаточно, чтобы показать, как
можно очень просто получить генетические соотношения, используя ме-
тод коэффициентов путей.
ПУТЕВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ПОТОМКАМИ
265
§ 7. КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ РОДСТВЕННИКАМИ
ПРИ ПАНМИКСИИ
На этом этапе уместно рассмотреть, каким образом можно непосред-
ственно применить полученные результаты к панмиктической популяции.
В данном случае m = F = 0. Следовательно,
а = b = и ab ~ . (19)
С помощью путевого анализа легко найти корреляцию между любыми
двумя родственниками, если только соотношение между ними представ-
лено в виде схемы причинности независимо от отдаленности этих род-
ственников и степени нерегулярности родственных связей. Наиболее об-
щая формула для нахождения подобной корреляции будет дана в гл. 16,
где мы рассмотрим случаи, в которых скрещивающиеся особи могут кор-
релировать. В этом параграфе мы просто выведем корреляцию между
некоторыми родственниками, чьи родители не коррелируют (т = 0). На
рис. 15.6 приводится несколько примеров близкого родства (см. также
гл. 2 и 3). Рассчитывая корреляцию между двумя выбранными родствен-
никами, мы проследим все пути, соединяющие одного с другим, с учетом
того, что путь для любого отдельного поколения ab=-^-. Гаметы на
рис. 15.6 не показаны. Построение соединяющих путей между двумя ин-
дивидуумами является прямым применением важной теоремы, выведен-
ной в предыдущей главе, — теоремы о полной корреляции между двумя
переменными с общими причинами. По нашей старой терминологии «об-
щий родитель» эквивалентен «общей причине». Следует отметить сход-
ство между рис. 15.6 и схемами причинности из предыдущей главы. На-
пример, приведенная на рисунке схема для зависимостей типа дед —
внук идентична схеме, изображающей цепи независимых причин. По-
добно этому, полусибсы являются переменными с одной независимой
общей причиной, простые двоюродные сибсы — переменными с двумя от-
даленными общими причинами и т. д. Поскольку каждый из путей име-
ет величину ab = -^~, формула для полной корреляции между двумя пе-
ременными (здесь индивидуумами) сведется к
г = (20)
где L — число «звеньев» (стрелок или поколений) вдоль одной соеди-
няющей цепи между двумя выбранными родственниками, а знак 2 озна-
чает суммирование по всем таким соединяющим цепям. Таким образом,
мы видим, что в популяции со случайным скрещиванием величину г меж-
ду любыми двумя родственниками можно получить из (20), если только
для них построена схема причинности.
§ 8. СВОДКА ФОРМУЛ
Корреляции F и т уже рассматривались нами в нескольких преды-
дущих главах. Единственная особенность данной главы состоит в том,
что здесь введены пути от гаметы к зиготе и от зиготы к гамете. Нахож-
дение величин этих двух путей существенно упростило подход ко многим
проблемам генетики. Поскольку мы будем продолжать пользоваться
различными выражениями, приведенными в предыдущих параграфах,
no-видимому, для удобства будет полезно объединить некоторые из них
18—322
266
ГЛАВА 15
^Родственники по одной линии
Родитель-ребенок
Дядя-племянник
Простые двоюродные
сибсы,
^(i)4
Полисибсы
г=О)Ч
П.Родственники по двум линиям,
Идентичные
близнецы
г=1
Двойные двоюродные
сибсы
Рис. 15.6. Корреляции между двумя родственниками, обозначенными двумя темными
кружками.
Другие индивидуумы обозначены светлыми кружками. Гаметы на этом рисунке не показаны. Каж-
дая стрелка соответствует одному поколению с величиной —. (По Коттермэну с некоторыми из-
менениями [74].)
ПУТЕВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ПОТОМКАМИ
267
в одну таблицу. Многие выражения, внесенные в табл. 15.2, были дока-
заны или проверены на числовых примерах еще до введения метода пу-
тевого анализа. Однако теперь мы знаем, что если эффекты генов адди-
тивны, то эти выражения применимы к любому числу генов.
Таблица 15.2
Сводка формул
Близкородственное скрещивание Равновесие Панмиксия
т = <р {а', Ь', т') т -=- const т. = 0
t>2= Y(1 + fz) Ь2 = 1/(2 —т)
F = Ь2т F — т/(2 — пг) F = 0
„2 1 1
а1 — 2(1+F) аг — (2 — tn) 4 (Xй — 2
2 V 1 + Г 1 а6 = т 1
грр =* т Грр = т = const ГРР = °
Гро — аб (1 + т) гро = y(1 + ot) 1 ГРО= 2
r00 = 2a2b2 (1 + т) Тоо = Y(I+m) о1 о II ЬО | ~
1 По Райту [664] с упрощениями; мы пренебрегли влияниями среды и предполо-
жили полную детерминацию генотипом.
§ 9. НЕРАВНЫЕ ПУТИ ОТ ЗИГОТ К ГАМЕТАМ
Очевидно, что оба пути от объединяющихся гамет к образующейся
зиготе всегда равны по величине, так как для аутосомных генов зигота
в равной степени определяется обеими гаметами независимо от их про-
исхождения. Поскольку, однако, объединяющиеся гаметы происходят от
двух различных индивидуумов (рис. 15.7), пути (Ь) от родительских зи-
гот X и У к соответствующим им гаметам необязательно будут равными.
Это видно из формулы (5), которая показывает, что величина b зависит
от величины F' для предшествующего поколения, образовавшего рас-
сматриваемую зиготу. Чем больше величина F', тем больше будет вели-
чина Ь.
При нерегулярной системе инбридинга его уровень может быть не-
одинаковым для двух родителей X и У; другими словами, Fx и FY на
рис. 15.7 могут быть неравными. Следовательно, неравными будут и со-
ответствующие им величины Ь. Таким образом, из (5)
= (21)
а корреляция между объединяющимися гаметами gx и gv равна
Fz = bx mbY = -j- т / (1 + Fx) (1 + Fy) . (22)
18*
268
ГЛАВА 15
Это более общее выражение для формулы (И), в которой две величи-
ны b предполагались равными. Формула (21) полезна для построения
родословных с нерегулярным инбридингом (таких, как у домашнего
скота).
Рис. 15.7. Две величины b(bx и
bY) не равны, потому что 1:х=?=
=^=Fy, хотя ах = ау.
§ 10. ЧАСТОТЫ ЗИГОТ В ПОПУЛЯЦИИ
В предыдущих главах уже подчеркивалось, что корреляции между
родственниками и корреляции между объединяющимися гаметами не
зависят от частот генов в популяции. Действительно, величины F, т,
а, Ь, г и т. д. и соотношения между ними, приведенные в табл. 15.2, не
зависят от частот генов в популяции. Все они целиком определяются
свойствами аддитивности эффектов генов и системами скрещивания,
благодаря которым возможно или невозмцжно равновесное состояние.
Однако частоты зигот в популяции зависят как от частот генов, так и
от F (или т).
Пусть р и q обозначают, как обычно, частоты двух аллельных генов
(р+<7=1). Тогда в любом поколении частота гетерозигот равна
H = 2pq(\—F), (23)
где F — корреляция между гаметами, объединяющимися в зиготы в дан-
ном поколении. Доля зигот АА и аа в том же самом поколении равна
D = р---~Н = р2 4- Fpq, R = q---~ Н = q2 -;- Fpq. (24)
Эти частоты от поколения к поколению изменяются, так как при про-
должительном инбридинге F возрастает. При достижении равновесия
F и т остаются постоянными, и частоты зигот можно выразить через
эти константы. Пусть в состоянии равновесия F = tnl(2—т); при этом
равновесная частота гетерозигот будет равна
Н = 2pq (1 - F) = 4pq (. (25)
\2 — т /
§ 11. ПУТИ ДЛЯ ГЕНОВ, СЦЕПЛЕННЫХ С ПОЛОМ
Пусть гетерогаметным полом являются самцы, которых можно рас-
сматривать как гаплоидных особей в отношении сцепленных с полом ге-
нов. Сперматозоиды, вырабатываемые самцами, полностью определяются
их генотипами (для сцепленных с полом генов), поэтому единствен-
ная необходимая в данном случае модификация нашей прежней форму-
лы состоит в том, чтобы принять й = 1 для зигот родителей мужского по-
ла (рис. 15.8). Обратите внимание на то, что, поскольку сыновья не по-
ПУТЕВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ПОТОМКАМИ
269
лучают каких-либо генов, сцепленных с полом, от своих отцов, путь от
сперматозоида к сыну а = 0. Другими словами, сын получает все гены,
сцепленные с полом, от матери, и путь от яйцеклетки к сыну а=1. Вме-
сте с тем дочь получает по одной гамете от каждого из родителей, и пу-
ти от гамет к дочери остаются теми же самыми, что и для аутосомных
генов.
Используя модификации, приведенные на рис. 15.8, корреляции меж-
ду членами семьи в отношении признаков, сцепленных с полом, можно
получить непосредственно, если для данной семьи построена диаграмма
Рис. 15.8. Пути между членами семьи
для генов, сцепленных с полом
(см. рис. 15.2).
в виде схемы причинности, т. е. точно так, как это было сделано для
аутосомных генов. Легко убедиться в том, что для популяции со случай-
ным скрещиванием
rFS =
I Г 1 , , 1
Г FD ~ а ~ 1/ 9 ’ ~ ~ 9 ’
у £ А
r»s=i,= 1Z4-' 'oo=“a+“,i>a=4_+T_Z’
ф. (26)
где F — отец, М — мать, S — сын, D — дочь. Обратите внимание, что эти
результаты идентичны приведенным в гл. 5, в которой они были прямо
рассчитаны из частот различных комбинаций в панмиктической по-
пуляции.
§ 12. СЛУЧАЙНЫЕ И СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЛИЯНИЯ
ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ
Во всех предыдущих параграфах мы имели дело с чисто генетичес-
кими эффектами. Теперь мы рассмотрим влияние внешней среды. Во-
обще говоря, существуют влияния внешней среды двух типов: случай-
270
^ЛАВА 15
ное и систематическое, обозначаемые соответственно буквами Е л С.
Остановимся на генетической корреляции между полными сибсами (рис.
15.9). Когда количественный признак определяется генами с аддитив-
ным действием в отсутствие случайных колебаний внешней среды, тог-
да корреляция равна гоо = ~ , что показано в верхней части рис. 15.9.
Если случайное влияние среды Е вызывает случайные отклонения от
Рис. 15.9. Корреляция между полными сибсами с учетом влияния среды в панмикти-
ческой популяции.
теоретической аддйтивной величины, то корреляция между сибсами
в этом случае должна быть равна гоо = /1~^~Л=-^-^2, где /12 = <т^/<т2.
Символ обозначает дисперсию аддитивных величин, а с2р — диспер-
сию фенотипических величин (включая случайные колебания внешней
среды). Отсюда видно, что Н = представляет собой коэффициент
пути от теоретической аддитивной величины генотипа к его фактичес-
кому фенотипу, определяемому внешней средой. Пусть е — коэффици-
ент пути от случайного влияния среды к фенотипу, как показано на
рис. 15.9. Полная детерминация фенотипа равна й2+е2=1.
Учтем теперь систематическое влияние внешней среды. Полные сиб-
сы могут испытывать влияние общих факторов (С), существующих в
данных семьях. Подобные факторы должны увеличивать корреляцию
между сибсами, растущими вместе в таких семьях. Пусть с — коэффи-
циент пути от общих факторов к фенотипу. Тогда корреляция между
полными сибсами, подвергающимися общему влиянию, будет равна
^=Тл2 + с2’
где /г2-|-е2+с2=1. Различные компоненты корреляции (27) можно оце-
нить исходя из корреляций между другими родственниками. Диаграм-
мы путей, учитывающие эффекты доминирования, и применение коэф-
фициента наследуемости подробно обсуждаются в работах Ли
[403—405].
ПУТЕВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ПОТОМКАМИ
271
§ 13. АУТОСОМНЫЕ ГЕНЫ И ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ
В предыдущих главах корреляции между родителями и потомками
рассматривались отдельно для аутосомных и отдельно для сцепленных
с полом генов. Теперь предположим, что количественный признак нахо-
дится под влиянием как аутосомных, так и сцепленных с полом факто-
ров [536], и мы хотим выяснить относительные вклады этих факторов
в фенотипические корреляции, которые зависят от соответствующих им
показателей наследуемости. Можно считать, что генотип состоит из
Рис. 15.10. Связи между родителями и по-
томством по аутосомным и сцепленным с
полом генам в панмиктической популяции.
А — аутосомные гены; S — сцепленные с полом
гены. Сплошные стрелки относятся к аутосомной
компоненте; каждый путь имеет величину Ъа=
—— . Прерывистые стрелки относятся к сцеплен-
2
ной с полом компоненте (см. рис. 15.8). Верти-
кальная прерывистая стрелка от отца к дочери
обозначает путь величиной a=*|//^J_npH 6=1. Вер-
тикальная стрелка от матери к сыну обозначает
путь величиной 6=^/"^. при а = 1. Прерывистая
стрелка от матери к дочери относится к пути ве-
личиной Ьа=—. Прерывистой стрелки от отца к
2
сыну нет. Коэффициенты путей от генотипа к фе-
нотипу обозначены через h для аутосомных и че-
рез s — для сцепленных с полом генов. Индексом
1 отмечены самцы, а индексом 2 — самки. (Более
подробную диаграмму можно найти в работе
[536].)
Фенотип Фенотип
Фенотип
Фенотип
двух компонентов: аутосомных генов (на рис. 15.10 обозначенных через
А) и генов, сцепленных с полом (обозначенных через S), которые рас-
щепляются независимо от А. В панмиктической популяции все пути от
родительского генотипа к генотипу потомков для компоненты А, пред-
ставленного сплошными стрелками на рис. 15.10, имеют величину Ьа=
== "1/1/. Прерывистые стрелки относятся к факторам,
V 2 V 2 2
сцепленным с полом (S). Как показано на рис. 15.8, путь от отца к до-
чери равен просто а= ~\/ так как b= 1. Путь от матери к сыну ра-
_____________ У 2
вен Ь=р/" — > так как а=1- Путь от матери к дочери равен Ьа=~,
как и в случае аутосомных генов. Для генов, сцепленных с полом, пути
от отца к сыну не существует.
272
ГЛАВА 15
Обозначим коэффициент пути от генотипа к фенотипу через h для
аутосомных генов и через s—для генов, сцепленных с полом. Эти пути
не могут быть равными для самцов и самок. На фенотип самца влия-
ют hi и на фенотип самки влияют /г2 и s2. Отсюда фенотипические
корреляции между родителем и потомком будут следующими [536]:
г (отец—сын) = 1/2/г2 = ru
г (мать-дочь) = i/2/i2 + V2s2 = г22 (28)
Г (отец—дочь) 1 j / р
г (мать-сын) | = Т hlhi + \ T'S1S2= Г12 = Г21‘
Если показатели наследуемости для обоих полов равны (/ii = /i2=
= h и $1=s2=s), то этих уравнений вполне достаточно для определения
h2 и s2. Однако в общем случае мы должны найти четыре различные ве-
личины (hi, h2, Sb s2), а для этого необходимо еще одно уравнение. Пусть
of и о2 — фенотипические дисперсии для самцов и самок соответствен-
но. Рив [536] предложил принять вполне приемлемое допущение о том,
что аддитивная компонента генетической дисперсии, обусловленная ау-
тосомными факторами, одинакова для обоих полов, т. е.
/г2о2 = /г2(Т2. (29)
Эти четыре уравнения [(28) и (29)] помогают нам найти hi, h2, sj, s2,
так что мы получаем представление об относительных вкладах ауто-
сомных и сцепленных с полом генов в корреляцию родитель — потомок.
Рис. 15.10 и уравнения (28) составлены в предположении, что вклад
общих факторов среды отсутствует. Аналогичные, но более сложные
выражения можно вывести и для корреляций брат — брат, брат — сест-
ра и сестра — сестра.
§ 14. ДВА ПРИЗНАКА, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ОБЩИМИ ГЕНАМИ
Для простоты предположим, что имеет место свободное скрещива-
ние, а вклад общих факторов среды в корреляцию отсутствует. Рас-
смотрим два признака, скажем вес (да) и рост (/). Наследование и кор-
реляцию между членами семьи для каждого из этих двух признаков
можно изучать отдельно. Однако в результате влияния общих генов
данные признаки коррелируют. Если вес контролируется четырьмя
локусами (А, а; В, b; С, с; D, d) и рост — тоже четырьмя локусами (С,
с; D, d; Е, е; F, f), то и рост и вес будут коррелировать благодаря об-
щему влиянию (С, с; D, d). Гены, контролирующие рост («генотип»
роста), и гены, контролирующие вес («генотип» веса), «перекрывают-
ся», создавая тем самым корреляцию (rG) между двумя «генотипами».
Изучая одновременно два выбранных нами признака, мы смо-
жем оценить степень корреляции между двумя генотипами.
Сначала представим себе особь, состоящую как бы из двух отдельных
генотипов: б(да)—генотипа веса и G(t)—генотипа роста. Корреля-
цию между этими двумя генотипами обозначим на рис. 15.11 через
rG. Обычно коэффициент пути от генотипа к генотипу для одного при-
знака обозначают через h; теперь нам понадобится hw для веса и ht —
для роста. Однако с целью упрощения записи положим w=hw и t=ht,
как показано на рис. 15.11. В популяции со случайным скрещиванием
путь от генотипа родителя к генотипу потомка равен Ъа=х12 отдельно
как для веса, так и для роста. Теперь мы можем исследовать корреля-
цию родитель — потомок четырьмя разными способами, используя раз-
ПУТЕВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ПОТОМКАМИ
273
Фенотип: Вес, рост
Родитель
Генотип:
Генотип:
Потомство
Фенотип:
Вес, рост
Рис. io.li. два признака, находящиеся под
влиянием общих генов.
G(ay)—генотип для одного признака (например,
вес), a G(f)—генотип для другого признака
(например, рост). Эти два генотипа, имею-
щие общие локусы, коррелируют с коэффициен-
том корреляции-r^. В популяции со случайным
скрещиванием пути от родительского генотипа к
г 1 /
генотипу потомства равны Ьа= — (гаметы не ука-
2
заны). Путь от генотипа G(w) к фенотипу при-
знака w равен h = w. Путь от генотипа G(t) к
фенотипу признака /равен h —t. (Более подроб-
ную диаграмму можно найти в работе [536].)
личные признаки. Две корреляции обычны: вес родителя с весом ребен-
ка и рост родителя с ростом ребенка. А две другие часто называют «пе-
рекрестными» корреляциями: вес родителя с ростом ребенка и рост
родителя с весом ребенка. Эти четыре корреляции г (родитель — пото-
мок) непосредственно выводятся из рис. 15.11:
г (w, w) = у w2, r(t,t) = ~Yt2,
г (w, t) = г (t, w) = -у- wtra, (30)
где первая буква в скобках относится к признаку родителя, а вторая —
к признаку ребенка. Из последнего выражения следует, что
Г (w,t) 'Г (t, w) = -j- w2t2r20. (31)
Подставив первые два выражения из (30), мы получим
г2 = г(ш, /)г(/, w)
° г (w, w) r(t, t)
Это простой способ вывода формулы Хейзела [230] для генетической
корреляции между двумя признаками. Более сложные случаи, вклю-
чающие эффекты внешней среды и ассортативное скрещивание, рас-
сматриваются у Рива [536].
§ 15. КОРРЕЛЯЦИЯ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ ОБЩИМИ ФАКТОРАМИ
Некоторые аспекты вопроса о корреляции, обусловленной общими
причинами, уже рассматривались нами в гл. 14. Развиваемую здесь те-
274
ГЛАВА 15
орию можно непосредственно применить к корреляции между перекры-
вающимися генотипами (или любыми двумя переменными, на которые
влияет определенное число общих факторов). Предположим, что
G (w) = W = сумма и, факторов] , ,
' ’ J r I среди них с факторов — общие. (33)
G (I) = Т = сумма п2 факторов)
При построении диаграммы пути нам нужно только показать на ней
с общих факторов, которые обеспечивают корреляцию между W и Т.
Основная формула корреляции уже приводилась в предыдущей главе,
и теперь мы рассмотрим отдельные, весьма специальные случаи. Если
составляющие факторы не коррелируют и все имеют одну и ту же дис-
персию, то получаются следующие простые отношения:
= пх а2, о2 = п2 о2, Cov (IF, Т) = со2, (34)
так что корреляция между W и Т равна
Cov (IF, 7) с
ra — rwr ~ п__п_ ~ ’
V П1П2
(35)
°т
где V nin2 есть геометрическое среднее между и п2. Далее, если на W
и Т влияет одинаковое число факторов т = п2 = п, то
гс ~ г\рт ~ п • (36)
Для нашего примера с двумя перекрыващимися генотипами это озна-
чает, что если два признака находятся под контролем равного числа
локусов и не коррелируют, но имеют одинаковое значение (одинаковую
дисперсию), то га оценивает долю локусов, принадлежащих обоим ге-
нотипам. В общем коэффициент корреляции представляет собой долю
одинаково важных, но некоррелирующих факторов, которые проявляют-
ся в обоих выбранных признаках [703]. Если рассматривать гены как
указанные «факторы», то при п локусах (2п генов) генотипа родитель и
потомок будут обладать половиной общих генов, и их корреляция рав-
ю 1
на Гр0 = пГ2п—— .
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Корреляцию г с =a' + a'F, определяемую формулой (4), можно
вывести непосредственно обычными статистическими методами, не при-
бегая к терминологии метода коэффициентов путей. Предположим, что
Z=A-\-B с Глв = Соу(А, В)/одОв.
Тогда
Cov(Z, A) = E(Z — Z) (А — Д) = Е(А — А + В — В)(А-А) =
= оА +Cov (А, В).
Следовательно,
— Соу(г> А) = °а + с°у(л. В) =
rZA ~ <jzoA ~ ozoA ~
аА , Cov(4, В) ов оА ав
АВ
°Z °A aZ ° В aZ °Z
Если Од=Ов, то rAB=F и a'=UA/(Jz, и приведенное выше выражение
превращается в (4).
ПУТЕВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ПОТОМКАМИ
275
2. При данном щ=0,40 в равновесной популяции с p = q= — рас-
считайте следующие величины:
F а 6 Грр rpo r00 D Н
3. В некоторой популяции с инбридингом т = 0,50 и&= д/ Пред-
F 2
положив, что в процессе непрерывного инбридинга т возрастает до 0,60,
проверьте следующие результаты:
Предшествую- т=0,50 Г 1 а 1 /2 h 1 Л1 3 1 /1 3
щее поколение 4 а-|/ 5 b~ |/ 2 г РО~ 2 1 5 ГОО 5
Последующее поколение т=0,60 Г= 3 8 »=р /~ 4 II &= 1 /а / 8 Гр0~ 11 /I ГОО = 8 II
4. Используя (9) и (12), покажите, что
, . , 1 1 + 2F+F'
rpn = ab + abm =------ - ----
2 К(1 + F) (1+ F')
5. Сравните диаграмму для двойных двоюродных сибсов (рис. 15.6)
с диаграммой из упр. 14 гл. 14. Находите Ди вы какое-нибудь сходство
между ними?
6. Дана популяция(р—Х—Н, Н, q-—в кОТОР°й H=2pq(\—F).
Покажите, что генетическая дисперсия этой популяции равна
<т2 = 2/79(1 +F) = (T2(1 +F).
7. Измените рис. 15.8 для генов, сцепленных с полом: опустите га-
меты, но добавьте еще сына и дочь. Выведите для такого варианта внут-
рисемейные корреляции (26).
8. Хогбен [238] получил приведенные ниже корреляции для генов,
сцепленных с полом, прямым методом. Проверьте его результаты мето-
дом коэффициентов путей.
Родственники Тетка— племянница Дядя— племянница Тетка— племянник Дядя— племянник
По матери 3 1 3 1
8 4]/2 4V2 4
По отцу 1 1 0 0
4 2К2
Указание. Начертите упрощенную схему причинности для родствен-
ника каждого типа. Ее можно дополнительно упростить, используя из-
вестные корреляции (26). Например, диаграмма тетка (по матери) —
племянница может принять любую из двух форм, приведенных на
276
ГЛАВА 15
рис. 15.13. Следовательно, их корреляция равна ab(a2-]-a2b2) —
Q
= ab(rDD)= —.
О
Рис.'15.12. Наследование генов, сцепленных с полом.
Рис. 15.13. Две эквивалентные схемы взаимоотношения пары тетка (по матери)—пле-
мянница для генов, сцепленных с полом.
9. На рис 15.14 X и Y, а также Y и Z — полусибсы. Коррелируют ли
X и Z генетически? Помогают ли вам правила построения соединяющих
путей лучше понять биологический смысл явлений?
Рис. 15.14. Случай независимых X и Z.
Обратите внимание иа то, что rv.z =- и r.z„ = —, но rv„ =0 [410].
АУ Y £ 4 л X
10. Следует отметить, что многие выводы, полученные в этой главе,
особенно касающиеся корреляций между родственниками, эквивалент-
ны выводам, полученным Фишером [162], который использовал другой
метод и имел дело с более общими ситуациями. Если все генные эффек-
ты аддитивны, а условия среды не изменяются, то формулы Фишера
легко перевести в выражения, приведенные в данной главе.
ПУТЕВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ПОТОМКАМИ 277
Новая и вносящая упрощение особенность метода Райта (мы не
говорим здесь о самой технике метода коэффициентов путей) состоит
во введении в анализ «гаметических» величин. В действительности
только зигота может принимать поддающуюся измерению величину (та-
кую, как вес, высота и т. д.); следовательно, фактически можно наблю-
дать только корреляцию между зиготами. Однако при введении абст-
рактной гаметической переменной и абстрактной корреляции между га-
метами анализ становится намного проще. Одно из преимуществ общего
метода путей состоит в том, что он позволяет вводить ненаблюдаемые
переменные в схему причинности и последующий анализ.
ГЛАВА 16
Системы инбридинга
Последствия некоторых простых регулярных систем инбридинга
описаны в гл. 11 и 12. При усложнении системы инбридинга предпочти-
тельнее было бы заменить прямой алгебраический метод методом коэф-
фициентов путей, позволяющим кратко и в общем виде проанализиро-
вать последствия инбридинга в популяции. Если, как и в предыдущей
главе, гаметы и зиготы рассматриваются в качестве переменных (на
аддитивной шкале), то любая система скрещивания может быть пред-
ставлена диаграммой, подобной причинным схемам, к которым можно
применить метод коэффициентов путей. Для того чтобы показать уни-
версальность этого приема, мы начнем с систем самооплодотворения и
скрещивания сибсов. Тем самым мы достигнем двоякой цели: проверим
метод коэффициентов путей на известных для этих систем выводах, по-
лученных прямыми методами, и проиллюстрируем его общую методику
в применении к проблемам инбридинга.
§ 1. САМООПЛОДОТВОРЕНИЕ
Самооплодотворение эквивалентно скрещиванию между особями
с идентичными генотипами. Корреляция между партнерами по скрещи-
ванию является, таким образом, полной; принимая систему обозначений
предыдущей главы, имеем т=1. Корреляция между объединяющимися
гаметами в каждом поколении равна
F = bmb = b2= -|-(1 +F), (1)
где штрихом помечен коэффициент для предшествующего поколения.
Это рекуррентное соотношение для F в последовательных поколениях
самооплодотворения. Видно, что с каждым поколением самооплодотво-
рения F возрастает.
Поскольку уровень гетерозиготности (Я) пропорционален (1—F),
рекуррентное соотношение для него можно легко найти из рекуррентного
соотношения для F. Если Но—-исходная доля гетерозигот в самоопло-
дотворяющейся популяции, то Н = Н0(1—F) в любом поколении. Про-
изводя подстановку F из (1), получим
Н = Н0(1~ ----— F'
\ 2 2
) = — Яо(1— F') = — Н'.
} 2 2
(2)
Это равенство является уже знакомым нам выражением Нп+\=~Нп
для самооплодотворяющихся диплоидных форм (гл. 11). Обратите вни-
мание на то, что рекуррентное соотношение для Н не зависит от исход-
ного состояния (Яо) популяции.
СИСТЕМЫ ИНБРИДИНГА
279
Общая процедура использования метода коэффициентов путей, про-
иллюстрированная приведенным примером, может быть описана так:
сначала надо найти выражение для т, определяемого системой скрещи-
вания, затем отыскать рекуррентное соотношение для F и, наконец, вы-
вести рекуррентное соотношение для Н. Различные величины путей и
корреляций, относящихся к одному и тому же поколению, могут быть
рассчитаны прямо из первого столбца табл. 15.2. Детали этой процедуры
рассмотрены в следующем параграфе, посвященном скрещиванию
сибсов.
§ 2. СКРЕЩИВАНИЕ СИБСОВ
Популяция, размножающаяся путем постоянного скрещивания сиб-
сов, будет дробиться на всегда изолированные, но ветвящиеся линии ро-
дословных (рис. 16.1). Такая популяция состоит из множества изолятов,
Рис. 16.1. Постоянное скрещива-
ние сибсов.
Показаны пути от родителей к потом*
кам, стадии гамет опущены. Популя-
ция распадается на отдельные ветвя-
щиеся изоляты, состоящие из групп
сибсов.
каждый из которых является группой сибсов. Поскольку партнерами
по скрещиванию будут только сибсы (братья и сестры), корреляция
между скрещивающимися особями в любом поколении является корре-
ляцией между полными сибсами из предыдущего поколения. Обратив-
шись к § 5 гл. 15 или табл. 15.2, мы можем написать, что грр=г'оо (штри-
хом помечен коэффициент, относящийся к предыдущему поколению) или
т = 2а'2У2(1 +т'). (3)
Это ключевое соотношение для системы скрещивания сибсов — из него
выводятся все свойства этой системы скрещивания. Оно является ча-
стным случаем т = <р(а', Ь', т')—выражения, упомянутого в гл. 15.
Исходя из этой ключевой формулы, можно рассчитать величины путей
а и b и корреляций F, гро и т. д. в последовательных поколениях, если
заданы исходные значения а, Ь, т. В табл. 16.1 приведены результаты
280
ГЛАВА 16
для исходной панмиктической популяции, в которой а=Ь= т/______________
V 2
и т = 0. Для оценки значений Н мы предполагаем, что частоты доминант-
ных и рецессивных аллелей равны, так что исходная доля гетерозигот
в популяции H0—2pq= Это, однако, не влияет на рекуррентное со-
отношение для Н.
Таблица 16.1
Последствия скрещивания сибсов в исходно панмиктической популяции [664]
Поко- ление щ = г'00 = = 2а'2&'2(1+/п') &2=4’(i+/?,) F = Ь2т 1 = (1-Л
2(1+2=-)
1 1 2
и . . . 2 2 4
1 1 2 1 2 3
1 . . . 2 4 4 5 8
о 3 5 3 4 5
Z . . . 5 8 8 11 16
о 8 11 8 8 8
11 16 16 24 32
4 19 24 19 16 13
24 32 32 51 64
к 43 51 43 32 21
о . . 51 64 64 107 128
fi 94 107 94 64 34
107 128 128 222 256
10 . . . 0,953 0,9297 0,886 0,265 0,057
15. . . 0,985 0,9756 0,9606 0,255 0,020
20 . . . 0,995 0,9915 0,9863 0,252 0,0068
оо . . . 1,0 1,0 1,0 0,250 0,0
Для иллюстрации общего метода результаты, приведенные в табл.
16.1, были получены строка за строкой путем повторного использования
соотношений, приведенных вверху каждой графы. Обратите внимание
„ 1 3 8 „ 1
на то, что последовательные значения т — 0, —, —, — , ... и ,
2 5 II 4
3 8 , ,
—, ---,..., полученные здесь методом коэффициентов путей, иден-
8 16
тичны тем, которые даны в табл. 12.2 и 12.3 и получены с помощью
обычных алгебраических выкладок. Рекуррентное соотношение для F
при скрещивании сибсов также легко найти с помощью метода коэф-
фициентов путей, так что мы можем по отдельности выписать последо-
вательные величины для любого числа поколений без одновременного
расчета величин других переменных. Ключевую формулу (3) для т
можно представить в виде
т = %а'2 (Ь'2 + Ь'2т) = 2а'2 (&'2 4- F'). (4)
СИСТЕМЫ ИНБРИДИНГА
281
Произведя подстановку величин а'2 и Ь'2, выраженных через F' и F", мы
получим
т = 2----L/l+^ + FU.l + ^ + ^.,
2(1 + F') \ 2 ) 2(1+^')
Умножив данное выражение на &2= (1-|-К')/2, мы получим
b2m = F = — (1 +2F' +F"), (5>
что и является требуемым рекуррентным соотношением для F. Посколь-
ку Н=Н0(1—F), рекуррентное соотношение для Н может быть полу-
чено сразу из рекуррентного соотношения для F; таким образом,
Н = Яо(1 - F) = Яо(1 - ±-±F'~ -р") =
= -Lh0(1-F')+±H0(1-F”) = ±H' +-^Н", (6>
что является знакомым нам выражением Нп+% =—Яп+1 + Нп, ко-
торое было получено прямыми алгебраическими методами. Величины
других переменных (т, а, Ь, гРо и т. д.) также можно выразить в виде
функций от F или Н. Изложенное выше показывает, что метод коэффи-
циентов путей приводит к таким же результатам, как и трудоемкий ал-
гебраический метод. Чтобы убедиться в универсальности первого ме-
тода, рассмотрим теперь еще несколько систем инбридинга.
§ 3. СКРЕЩИВАНИЕ РОДИТЕЛЬ—потомок
При выводе общих соотношений между родителем и потомком мы
отметили, что если скрещивающиеся особи принадлежат к различным
поколениям в системе инбридинга, то величины коэффициентов путей и
корреляций должны быть изменены. Анализ системы скрещивания ро-
дитель— потомок хорошо иллюстрирует гибкость метода коэффициен-
тов путей. Ниже рассматриваются две простые системы скрещивания
родитель — потомок.
1. Первым типом скрещивания является скрещивание между про-
изводителем и его дочерью, внучкой, правнучкой и т.д., как это пока-
зано на рис. 16.2. При допущении, что два исходных родителя взяты из
панмиктической популяции, путь от производителя к его гаметам всег-
да принимает значение Ъ— д/ JL • Родителями особи D являются S
V 2
(производитель) и С, корреляцию между которыми мы обозначим через
т. Выразим это т через а', Ь', т' предшествовавшего им поколения.
Рассматривая рис. 16.2, мы видим, что ключевой формулой для такой
системы скрещивания будет
т = а'
]/"т + а'ь'т'>
(7)
где т' — корреляция между S и В (матерью С). Корреляция между
двумя объединяющимися гаметами, давшими начало особи D, равна
F = Ьт
-^-]/2 Ьт.
(8)
282
ГЛАВА 16
Рекуррентное соотношение для F найдем, выразив т через F'. Перепи-
шем ключевую формулу (7) для т в виде
•'’=)/-l--ta=|/^6-a'|/i.(l+2F') = -|-(l+2F'), (10)
считая, что ba'= —, какой бы ни была система скрещивания. Послед-
нее выражение (10) и является рекуррентным соотношением для F. Со-
Рис. 16.2. Возвратные скрещивания с
одним и тем же производителем.
ответствующее соотношение для Н можно найти обычным способом
Н = Но (1 — —-L F'\ = -Lh0+ — H’.
Ч 4 2 J 4 0 2
(И)
Обратите внимание, что при системе скрещивания с фиксированной
особью, в родословной которой никогда не было инбридинга, доля ге-
терозигот среди ее потомков не может достичь предельной величины,
равной 0, но имеет минимальную величину Если исходить
го, что H0=2pq=f-~ и, значит, исходная величина F=0, то их
из то-
после-
довательные значения при этой системе инбридинга, согласно (10) и
(11), равны соответственно
1 3 7 15 1
4 ’ 8 ’ 16 ’ 32 ’ ’ 2 ’
8 5 9 17 1
3 ’ 16 ’ 32 ’ 64 ’ ’’ ’ 4 ’
что согласуется с результатами, полученными прямыми методами [256].
2. Второй тип скрещивания родитель — потомок соответствует слу-
чаю, когда каждая особь последовательно скрещивается сначала со
своим родителем, а затем и со своим потомком, как это показано на
СИСТЕМЫ ИНБРИДИНГА
283
рис. 16.3. Корреляция между родителем 5 (производителем) и D (сам-
кой) равна
т = а! Ь' 4- а'Ь"т', (12)
где т'— корреляция между скрестившимися до этого особями, а имен-
но S и М (матерью D). Корреляция между объединяющимися гамета-
ми, образующими особь О (потомок), равна
F — bmb' или -у = mb', (13)
так что ключевую формулу для т (12) можно написать в виде
т = а'Ь' + а' . (14)
Рис. 16.3. Скрещивание
с родителем.
Таким образом,
F = bb' (а'Ь' + a'F'lb') = a'b (b'2 + F') =
= [4"(1 + F"} + (1 + 2F + F"), т. е. (5)
поэтому рекуррентное соотношение для Н будет одинаково с выраже-
нием (6). Другими словами, последствия скрещивания с родителем
будут теми же самыми, что и в случае скрещивания полных сибсов.
Эти результаты согласуются с приведенными Дженингсом [256].
§ 4. СКРЕЩИВАНИЕ ПОЛУСИБСОВ
Можно придумать множество систем скрещивания между полусиб-
сами. Мы, однако, рассмотрим только одну из простейших систем: один
самец скрещивается с любым числом своих полусестер, которые явля-
ются также полусестрами друг другу (рис. 16.4). Скрещивающиеся
особи А и В соединены четырьмя цепями: АСВ, АСЕВ, ADEB, ADCB.
Особи С и Е, D и Е, а также D и С, являющиеся полусибсами, коррели-
руют между собой с одним и тем же коэффициентом т'. Суммируя че-
тыре приведенные соединяющие цепи, мы найдем, что корреляция меж-
ду А и В равна (рис. 16.4)
т = а'2У2(1 +3т'). (15)
Эта формула является ключевой для данного типа скрещивания полу-
сибсов. Ее записывают также в виде
т = а'2(Ь'2 + ЗЬ'2т') = а'2
+ 3F'
(16)
2
284
ГЛАВА 16
Рекуррентное соотношение для F находят сразу, подставив эту величи-
ну т в формулу
F = b2m = + ЗрЛ,
\ 2 )
где Ьа'—~ . Таким образом,
F = — (1 + 6F + F"). (17)
8
Рекуррентное соотношение для Н затем получают обычным способом
Н = — Н'+~Н". (18)
4 8
Рис. 16.4. Скрещивание самца
с его полусестрами (стадии га-
мет не показаны).
Читателю рекомендуется проверить следующие последовательности ве-
личин в предположении, что в панмиктической популяции H0=1pq—
2
т 0 1 4 7 18 1 2 195 334 . . . 1
F 0 1 8 7 32 39 128 _195_ 512 1
Н 2 4 7 16 25 64 89 256 317 1024 0
Каждый числитель Н равен сумме утроенного числителя предыдущей
величины и удвоенного числителя стоящей перед ней величины Н, тогда
как знаменатель в каждом поколении умножается на четыре. Для до-
машнего скота, у которого большое число самок может скрещиваться с
одним самцом, эта система инбридинга является, возможно, наиболее
быстрым способом закрепления признаков, так как скорость увеличения
СИСТЕМЫ ИНБРИДИНГА
285
гомозиготности при этом довольно велика. Она меньше, чем при скре-
щивании полных сибсов (табл. 16.1), но полные сибсы не доступны в
большом числе, а иногда вообще могут отсутствовать.
§ 5. СКОРОСТЬ СНИЖЕНИЯ ГЕТЕРОЗИГОТНОСТИ
Обратившись вновь к «Приложению о рекуррентных последова-
тельностях» (гл. 7), мы видим, что Н с рекуррентным соотношением
(18) можно выразить в виде суммы соответствующих членов двух гео-
метрических прогрессий, знаменатели которых задаются корнями урав-
нения
X2---Lx_-L = o. (19)
Решая его, мы найдем, что два корня равны:
= 2-(3 + ]/T7") = 0,89, Х2=-А-(3 —К17) = —0,14.
После достаточно большого числа поколений член, включающий мень-
ший корень Л2> станет настолько меньше члена, включающего больший
корень Ль что мы можем в качестве приближения написать
Н = KLH' = 0.89Я'. (20)
Это показывает, что при скрещивании полусибсов скорость снижения
//равна 1—= 11 % на поколение (в отличие от 19,1% при скрещивании
полных сибсов).
Предельное отношение двух последовательных значений Н нахо-
дят и другим способом. Можно считать, что после достаточно большого
числа поколений т.е. это отношение равно опреде-
ленной положительной константе меньше единицы. Производя подста-
новку в (18), мы имеем
Н' Н" ’
т. е.
или
что идентично нашему предыдущему уравнению относительно Z (19);
следовательно, Л = 0,89. Допущение Н1Н'=Н'1Н" в методе, использо-
ванном Райтом, эквивалентно отысканию наибольшего положительного
корня в уравнении типа (19).
§ 6. СКРЕЩИВАНИЕ МЕЖДУ ДВОЙНЫМИ
ДВОЮРОДНЫМИ СИБСАМИ
Двойными двоюродными сибсами (double first cousins) называются
кузены, чьи родители принадлежат к двум группам сибсов. Если в каж-
дом поколении все скрещивания ограничены двойными двоюродными
сибсами, то популяция разобьется на отдельные линии родословных
286
ГЛАВА 16
(изоляты), которые, как и в случае скрещивания сибсов, могут развет-
вляться в любом поколении. В случае скрещивания сибсов каждая ли-
ния родословной включает только двух особей одной группы сибсов,
тогда как при скрещивании, ограниченном двойными двоюродными сиб-
сами, каждый изолят содержит четырех особей из двух групп сибсов.
Особи Ci и С2 на рис. 16.5 являются двойными двоюродными сибсами,
потому что их отцы J, так же как и матери I, — полные сибсы. Для слу-
чая аутосомных генов нет разницы в том, является ли отец Ci братом
(т")
(т')
(т)
Рис. 16.5. Постоянное скрещивание между двойными двоюродными сибсами (стадии га-
мет не показаны).
матери С2 или наоборот. Итак, Ct и С2—партнеры по скрещиванию, они
соединены четырьмя цепями:
C^J^J^Ci, С^/^/^С^, C-jJ-JdCz, Cyl^JiCi.
Поскольку и J и I являются полными сибсами, корреляция между ни-
ми равна
г^=г1А-г'00=2а^{\+ту (21)
Корреляция между /1 и /2 должна быть такой же, как и между Д и Д,
потому что I — полные сибсы, a J — двойные двоюродные сибсы. Следо-
вательно, rj —rIj2 =т'. Величины четырех соединяющих цепей равны
С/.ЛС, или Cyifi-. aW-r"
С^у12С2 или C-J^C^. a'2b'2-m'.
Корреляция между скрещивающимися двойными двоюродными сибсами
(Ci и С2), будучи суммой величин четырех приведенных выше цепей,
равна (рис. 16.5)
т = 2a'2b'2m' + 4a'2b'2a"2b''2 (1 + пг") =
= 2а'2 (Ь'2пг') + 4 (а"2Ь'2) а'2 (Ь"2 + Ь"2т2) =
= 2a'2F' + a'2 Г— (Ц-F") + К"1 = — а'2(1 + 4F’ + 2F” + F'"). (22)
I 2 I 2
Рекуррентные соотношения для F и Н получают непосредственно из
последнего выражения для т. Таким образом,
F = &т = — (1 + 4F' + 2F" + F"') (23)
8
СИСТЕМЫ ИНБРИДИНГА
287
Н = Яо(1 — F) - Яо(1 - -L- ±-F' - ^-F" - 2-F'j =
= Но Ц- (1 - F') + 4- (1 - F") + ±- (1 - F'")] =
= ~Н' + —Н" + ~ Н’". (24)
2 4 8
Если исходная доля гетерозигот в популяции равна H0=2pq==—, то
их последовательные величины будут
2 4 7 13 24 44 Q
Н-. , —
2 4 8 16 32 64 128
Каждый последующий числитель Н является суммой трех предыдущих
числителей, тогда как знаменатель удваивается в каждом поколении.
Предельное значение Н равно 0. После достаточно большого числа по-
колений величина Н будет уменьшаться в приблизительно одинаковой
пропорции. В предыдущем параграфе было показано, что допущение
Н1Н'=Н'/Н"=Н /Н"' эквивалентно нахождению наибольшего корня
уравнения
X3 — — X2 — — = 0.
2 4 8
Было найдено [173, 671], что наибольшим положительным корнем яв-
ляется Х=0,91964. Следовательно, после некоторого числа поколений
непрерывных скрещиваний двойных двоюродных сибсов Н — 0,920 Н'.
Конечная скорость уменьшения Н равна 1—2.=8 % на поколение.
§ 7. ОБЩИЙ РЕЗУЛЬТАТ
При системе скрещивания двойных двоюродных сибсов каждая
размножающаяся единица состоит из #=4 особей, принадлежащих к
двум группам сибсов. Обратите внимание на то, что скрещивания меж-
ду этими четырьмя особями не случайны, так как мы специально ука-
зали: партнерами могут быть только двойные двоюродные сибсы. Воз-
можные скрещивания между полными сибсами (из этих четырех осо-
бей) исключены, так же как исключена возможность самооплодотворе-
ния. Все эти особи — родственники, и наиболее отдаленным родством
для них является родство двойных двоюродных сибсов. Другими слова-
ми, система скрещивания такова, что близкородственные скрещивания
внутри группы из четырех особей в каждом поколении, насколько это
возможно, исключаются.
Подобно этому, постоянные скрещивания только между четырежды
троюродными сибсами (quadruple second cousins) [664] будут давать
изоляты с величиной N=8, в которых бабки и деды принадлежат к че-
тырем группам сибсов. Любые более близкие скрещивания для этих
восьми особей исключаются. Общие выводы для сходных систем скре-
щивания с еще большими по размеру группами даны в табл. 16.2.
Чем больше размер размножающейся единицы, тем медленнее сни-
жается Н. Однако предельное значение Н в каждом случае равно 0.
В ограниченной группе из N особей скорость снижения гетерозиготно-
сти равна за одно поколение, если близкий инбридинг, насколько'
288
ГЛАВА 16
Таблица 16.2
Рекуррентные соотношения для И в случае, когда близкий инбридинг внутри групп
размером N исключен [671, 691]
Типы скрещивания Размер группы Точная величина Н Приближенная предельная величина Н
Самооплодотворение (self-ferti- lization) 1 — Н’ 2 0,500 Н'
Полные сибсы (full sibs) 2 — Н’ + — Н" 2 4 0,809 Н'
Двойные двоюродные сибсы (double first cousins) 4 — И’ + —Н" + —Н"’ 2 4 8 0,920 Н'
Четырежды троюродные сиб- сы (quadruple second cousins) 8 —Н'+~Н"+^-Н"'+—Н’''' 2 4 8 16 0,965 Н'
Восьмикратно четвероюродные сибсы (octuple third cousins) 16 1 1 , 1 -Н' + -Н" + ~Н"' + 2 4 о 0,983 Н'
Более отдаленные сибсы N + — Н"" + — И'"" 16 32 (См. табл. 17.1.) 4^-1 ц. 4N
это возможно, предотвращен, и все скрещивания происходят между
наиболее удаленными родственными особями.
Вместе с тем если на основании случайного скрещивания внутри
группы из N особей допускается близкий инбридинг, то следует ожи-
1
дать, что скорость уменьшения Н будет больше, чем за поколе-
ние. Этот случай мы разберем в следующей главе.
§ 8. СКРЕЩИВАНИЕ МЕЖДУ ДВОЮРОДНЫМИ СИБСАМИ
При системах скрещиваний, приведенных в табл. 16.2, целая попу-
ляция разбивается на множество небольших и изолированных единиц
размножения определенного размера. Этот случай отличается от по-
стоянного скрещивания двою- или троюродных сибсов. В последних
случаях анализ обычно более сложен, и, что важнее всего, предельное
значение Н не обязательно равно 0, если партнеры по скрещиванию
находятся в очень отдаленном родстве. В этом параграфе мы рассмот-
рим последствия постоянных скрещиваний двоюродных сибсов, а в сле-
дующем— результаты скрещиваний троюродных сибсов.
Особи Ci и С2 на рис. 16.6— (единожды) двоюродные сибсы, по-
тому что только двое из их четырех родителей являются полными сиб-
сами (Pi и Р2); два других родителя (Si и S2) —троюродные сибсы, по-
тому что двое из их бабок и дедов (Gt и G2) являются полными сибса-
ми. Итак, партнерами по скрещиванию выступают Ct и С2, которые
соединены четырьмя цепями, а именно:
CiPiP2C2> CiS^, CiPiS2C2, Ci_SiS2C2.
Действуя также, каки раньше, рассмотрим сначала корреляции между
двумя промежуточными особями (отмеченными дугой-— ), которые сое-
СИСТЕМЫ ИНБРИДИНГА
289
диняют Ci и С2. Поскольку Pi и Р2— полные сибсы, корреляцию меж-
ду ними обозначим через г'оа Далее, корреляция между Si и Р2, будучи
той же самой, что и корреляция между Si и Pi (которые являются дво-
юродными сибсами и, значит, скрещивались в предыдущем поколении),
равна просто т'. Подобно этому, корреляция между Pi и S2 (та же, что
и корреляция между Р2 и S2) также равна т'. И наконец, два троюрод-
ных сибса Si и S2 сами соединены четырьмя цепями; пусть корреляция
между ними будет г'^. Следовательно, корреляция между партнерами
Ci и С2, являясь суммой четырех соединяющих цепей, равна
т = а'2Ь'2 (г'00+ 2т' + , (25)
где
4 = № (m'+24 + ry,
г;з = а’'^(г;2 + 2г3"з + г"4)ит.д.
Лзз является корреляцией между четвероюродными сибсами и т. д. По-
видимому, не существует иного метода для получения величины т, кро-
ме того, который сводит эти вспомогательные формулы для корреля-
ции между двоюродными сибсами (гпп) к формулам для панмиктичес-
кой популяции. При прежнем допущении, что исходные Но = ~ и т =
= 0, последовательные значения этих величин в данной системе скре-
щивания будут следующими:
19—322
290
ГЛАВА 16
Поколе- ние 0 1 2 3 4 5 10 15 оо
т 0 0,125 0,176 0,221 0,261 0,294 0,407 0,477 1
н 0,500 0,469 0,453 0,439 0,427 0,416 0,374 0,344 0
Доля гетерозигот снижается довольно медленно, падая всего лишь от
50 до 34,4% в пятнадцатом поколении. Тем не менее ее предельная ве-
личина равна 0 (равновесие, которое сократило бы достижение полной
'гомбзиготности при т— 1, невозможно).
§ 9. СКРЕЩИВАНИЕ МЕЖДУ ТРОЮРОДНЫМИ СИБСАМИ
Во всех ранее упомянутых регулярных системах инбридинга пре-
дельное значение Н равно 0. Если, однако, кровное родство является
более отдаленным, чем родство между двоюродными сибсами, то доля
(тт)
(т">
(т')
(т)
Рис. 16.7. Скрещивание между троюродными сибсами.
Только двое из восьми дедов и бабок являются полными сибсами.
гетерозигот в популяции в пределе будет приближаться к некоторой по-
стоянной (не равной нулю) величине и, таким образом, при данной си-
стеме скрещивания популяция будет находиться в равновесии. Приве-
денные ниже результаты постоянного скрещивания между троюродны-
ми сибсами иллюстрируют такой случай.
Особи Ci и С2 на рис. 16.7 —троюродные сибсы, потому что только
двое из их восьми дедов и бабок являются полными сибсами (Gi и G2).
Партнеры по скрещиванию Cj и С2 соединены тремя цепями
OiG1G2C2, CiS-jGzCz, C.G.S.C,.
Корреляция между Gi и G2 (полными сибсами) равна
^G-r00 = 2a"’^[l+tn”).
Корреляции между Sj и G2 и между Gt и S2, будучи теми же самыми,,
что и корреляции между 5[ и Gi и между G2 и S2, которые являются
партнерами по скрещиванию, все равны т". Обратите внимание на то,
что дед и бабка SihS2 независимы и, таким образом, не связывают дво-
юродных сибсов Ci и С2. Ключевая формула для корреляции между парт-
нерами по скрещиванию в настоящем поколении (Ct и С2) имеет вид
(рис. 16.7)
т = а2Ь’2-а2Ь’2 [г"00 + 2т]. (26)
СИСТЕМЫ ИНБРИДИНГА
291
Производя подстановку величины г"00 и упрощая эту формулу с по-
мощью соотношений a"br= —, b"2m"=F" и т. д., мы получим
т = а'2 (1 + 8F" + 2F'" + F""), (27)
F = b2m= — (1 +8F" + 2F'" + F""), 64 (28)
Н = — (26 + 8Я" + 2Н"' + Н""У 64 (29)
Предельное значение F не равно единице. Положив в (28) F=F"=F"'
и т. д., мы получаем уравнение (1 + 11F)/64. Таким образом, F= —
53
представляет собой равновесную величину при системе постоянных
скрещиваний троюродных сибсов. Это означает, что величина F будет
оставаться постоянной из поколения в поколение до тех пор, пока бу-
дут продолжаться скрещивания троюродных сибсов. Этот интересный
и важный вывод свидетельствует о том, что даже если все скрещивания
в популяции в течение определенного промежутка времени происходят
между родственниками, то это приводит не к полной гомозиготности, а
к равновесному состоянию с постоянным коэффициентом инбридинга.
Равновесные величины, представленные ниже в виде таблицы, почти
все равны равновесным величинам для панмиктической популяции.
= 0,019 1 + F 62 = —^- = 2 27 53 a2 = -J— 2 (1 + F) _ 53 — 108
F 1 1 Л 27* 1 1 14
т~ IF ~ 27 аЬ = \/ — = V 108 2 rOO = rPO= 2 (1 +от) = —
1 / 1 \ 26 1
Я = Я0(1 — F) = — 1—— = —= 49,06% при р = (? = —
2 \ Do / Do 2
Ситуация с постоянным скрещиванием между наполовину двою-
родными сибсами (упр. 6) очень близка к рассмотренной выше. Важ-
ный вывод состоит в том, что постоянные скрещивания между родст-
венниками, более отдаленными, чем двоюродные сибсы, приводят лишь
к весьма незначительному снижению гетерозиготности и поэтому в мас-
штабах популяции едва ли могут рассматриваться как инбридинг.
§ 10. СКРЕЩИВАНИЕ МЕЖДУ ОТДАЛЕННЫМИ
РОДСТВЕННИКАМИ
Предположим, что популяция состоит из неперекрывающихся по-
колений, так что между особями родительского поколения существует
корреляция т'. Корреляция между двумя случайно взятыми особями
следующего поколения будет равна (рис. 16.8)
т = 4а'2Ь'2т'. (30)
Если предположить случайное скрещивание особей одного и того же
поколения, то это т будет корреляцией между партнерами по скрещи-
ванию в следующем поколении. При достижении равновесия (m=m')
19*
292
ГЛАВА 16
мы имеем 4a'2b'2 = 1 или a'2b2'~ -i-, a'b'~ ab. К тому же при равнове-
сии F=F', поэтому F—b2m= (1+/7)т/2 или F=m/(2—т), что было
отмечено раньше. Величины а, b и Н те же, что даны в табл. 15.2.
§ 11. ИНБРИДИНГ В ОТНОШЕНИИ ГЕНОВ,
СЦЕПЛЕННЫХ С ПОЛОМ
Метод коэффициентов путей можно распространить на случаи ге-
нов, сцепленных с полом, введя модификации, рассмотренные в пре-
дыдущей главе. Ниже мы приведем в качестве примера только результа-
Рис. 16.8. Корреляция между отда-
ленными родственниками.
Рис. 16.9. Постоянное скрещивание
братХсестра для генов, сцепленных с
полом (связи, обозначенные пунктиром,
являются дополнительными).
ты постоянного скрещивания братХсестра для генов, сцепленных с по-
лом [671]. Из рис. 16.9 следует, что ключевая формула для корреляции
между братом и сестрой имеет вид
т = b'2a' + b'm'a't (31)
Величины а' и Ь' для генов, сцепленных с полом, те же, что и для ауто-
сомных генов, поэтому Ьа — — для любого гаметического поколения;
однако для генов, сцепленных с полом, F~bm, F'=b'm’ (в отличие от
F—b2m для аутосомных генов). Рекуррентное соотношение для F мож-
но найти обычным способом:
F = Ьт = b-а! (У* + b'm') = -j- Ц- (1 + F”) 4-Г] =
= у(1 +2F' +F"),
т. е. это выражение (5) для аутосомных генов. Следовательно, рекур-
рентное соотношение для Н идентично (6), только в данном случае Н
обозначает долю гетерозигот среди самок. Эти выводы согласуются с
выводами, приведенными в ранней работе Дженингса. Напомним, что
Холдейн [199] получил эквивалентный результат \Н — — Н'+—Н"1,
используя алгебраические методы, описанные в гл. 12.
СИСТЕМЫ ИНБРИДИНГА
293
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что при постоянном скрещивании братХсестра
Грр = пг
2F
1 + f'
1 + 2F+F'
ГРО = -->
2V (1 + F)(1 + F')
и рассчитайте значения этих величин для первых шести поколений (см.
табл. 16.1).
Рис. 16.10. Постоянное скре-
щивание полубрата с род-
ными сестрами.
(т")
(тг)
(т)
2. Покажите, что рекуррентные соотношения для Н при скрещива-
нии сибсов и скрещивании двойных двоюродных сибсов [аналогично вы-
ражениям (6) и (24)] равны соответственно
Н = Н'~ — Н'", Н — —
8 16
3. В системе обратных скрещиваний дочерей с одним и тем же про-
изводителем (рис. 16.2), если производитель считается чистопородным
(гомозиготным по всем локусам), коэффициент пути от S к его гаме-
там будет равен Ь=1 (а не д/ _!_) так как состав гамет полностью
У 2
определяется генотийом производителя. Учитывая это, выводим из (7)
следующие соотношения:
т — а’ а'Ь'пг',
F = bm = ba' (1 4- Ъ’т') = -^-(14- F'),
т. е. это выражение (1). Следовательно, Н будет уменьшаться
же образом, как и в случае самооплодотворения; Н— — Н'. Эта
At
таким
систе-
ма инбридинга широко применяется при разведении домашнего скота.
Поскольку самооплодотворение у домашнего скота невозможно, а по-
294
ГЛАВА 16
следовательные обратные скрещивания с чистопородным самцом дают
те же результаты, что и самооплодотворение, с ее помощью наиболее
быстро получают полную гомозиготность.
4. На рис. 16.10 показан другой тип скрещивания полусибсов.
Один самец (S) скрещивается со своими двумя полусестрами (£>i и
D2), которые друг для друга являются родными сестрами (обе дочери
родителей Р и М2). При этой системе скрещивания популяция разобь-
ется на отдельные линии, каждая из которых будет представлена тре-
мя особями. В каждом поколении происходит по два скрещивания:
P%Mi и Р%М2 в поколении родителей и S^Di и S%D2 — в следующем
поколении. Корреляции между партнерами по скрещиванию для двух
скрещиваний внутри одного и того же поколения одинаковы, так что
нам необходимо найти только корреляцию между S и Di. Они соедине-
ны четырьмя цепями (рис. 16.10)
SPDlt SMJDlt SPM2Dlt
Первая цепь проходит прямо через их отца Р. Во второй цепи корреля-
ция между Р и Mi равна т', так как эти скрещивающиеся партнеры
принадлежат к родительскому поколению. То же справедливо для Р и
М2. В последней цепи корреляция между двумя родными сестрами рав-
на rMM—r,00=2a"2b"2 (1 + т") в соответствии с известной формулой
для полных сибсов. Учитывая все это, мы получаем следующие соотно-
шения:
т = a'2b'2 (1 + 2т' + г'оо),
F = (3 + 8F' + 4F" + F'") ,
Н = — Н'+ — Н”+~ Н'",
2 4 16
^.2 4 8 132340 122
4 *8 ’ 16 ’ 32 ’ 64 ’ 128 ’ 512 ’
Чему равна окончательная скорость снижения Н за поколение? Указа-
ние. Найдите наибольший корень уравнения X3—=0.
Он равен Х = 0,87.-Таким образом, Х = 0,87 Н', а скорость уменьшения
гетерозиготности равна 1—Х=13% за поколение.
5. Было найдено, что при постоянном скрещивании троюродных
сибсов равновесные величины равны F= —и Н=— . Проверьте соот-
53 53
ношения (28) и (29), используя эти значения.
6. Наполовину двоюродными сибсами являются два индивидуума,
оба родителя которых являются полусибсами. Другими словами, два
потомка полусибсов (черные кружки и квадраты на рис. 16.11) в следу-
ющем поколении будут партнерами по скрещиванию в системе постоян-
ного скрещивания между наполовину двоюродными сибсами. Таким
образом, скрещивающиеся друг с другом индивидуумы С! и С2 — на-
половину двоюродные сибсы — соединены тремя цепями (рис. 16.11)
C^GP^, CjjGP^, CtPfijPfi2.
Первая цепь проходит «через» их родителей Pi и Р2, имеющих общую
бабку или общею деда G. Другие две цепи проходят через I и G и через
G и J, которые являются партнерами в скрещиваниях и поэтому кор-
СИСТЕМЫ ИНБРИДИНГА
295
релируют с величиной т". Учитывая это, выводим следующие соотно-
шения:
т = а'*Ь'2-а"2Ь"2(1 + 2 т"),
F = — (1 + 4F" + F'"),
32 ’
Н = — (13 + 4Я" + Н"').
32
Постоянное скрещивание этого типа приведет к равновесному состоя-
нию (отличному от полной гомозиготности). Приняв т"=т, F"'=F"—
Рис. 16.11. Скрещивание между наполовину двоюродными сибсами (half first cousins).
=F, H"'=H"=H, покажите, что равновесные величины будут следу-
ющими:
F = — г = Гро = — , Я = — = 48,15%.
27 14 28 27
7. Модификации метода коэффициентов путей в отношении генов,
сцепленных с полом, без сомнения, применимы к любому организму
гаплодиплоидного типа, например такому, как пчела. Самцы пчел
(трутни) развиваются из неоплодотворенных яиц, и поэтому гаплоид-
ны, тогда как самки (матки) — обычные диплоиды, развивающиеся из
оплодотворенных яиц. Другими словами, у пчел все гены сцеплены с
полом. Поэтому изучение последствий постоянного инбридинга у пчел
(который осуществляется с помощью удобных методов искусственного
оплодотворения и использования двуокиси углерода для стимуляции от-
кладывания яиц девственными, но искусственно оплодотворенными
матками) эквивалентно изучению подобных последствий для генов,
сцепленных с полом, у обычных организмов.
Результаты скрещивания братХсестра в отношении генов, сцеплен-
ных с полом (или для пчел), приведены в данной главе. Здесь же да-
ется другой пример. Рис. 16.12, на котором гаметические стадии для
простоты опущены, представляет систему постоянного скрещивания
теткаХплемянник (обозначенных соответственно Л и С). Корреляция
между А и С равна т. Поскольку А и В — родные сестры, корреляция
между ними равна
296
ГЛАВА 16
rAB = rDD = a'2 + a'2b'2 + ^a'2b'm
m = brDD
F = bm = b2 (a'2 + a'2b'2+ 2a'2b'm') = — (1 + b'2 + 2brm') =
4
= -Ц1 + у(1+Л + 2F'l = J-(3 + 4FZ + F").
Это и есть рекуррентное соотношение для F, выведенное Кроу и Робер-
тсом [91], которые также пришли к уравнению
Н = —Н' + —Н".
2 8
Решая уравнение X2-----— X----—=0, мы
t 2 8
находим его положительный
корень Ai= (1+ ]/3)/4=0,683. Следовательно, после достаточно боль-
Рис. 16.12. Постоянное скрещивание
теткаХплемянник для генов, сцеп-
ленных с полом.
шого числа поколений скорость уменьшения Н равна 1—0,683=31,7%
на «сдвоенное поколение» (т.е. по рис. 16.12 на поколение самок от
предыдущей тетки до последующей).
8. Следует отметить, что рекуррентное соотношение можно запи-
сать по-разному. Например, (6) и (24) можно также записать в фор-
ме, приведенной в упр. 2. Если мы запишем рекуррентное соотношение
для Н в упр. 7 как-Ья' = -L.и вычтем его из первоначаль-
ного выражения, то получим другую форму:
Н = —Н'-------Н’".
.4 32
СИСТЕМЫ ИНБРИДИНГА
297
Пусть теперь /г = 1—Н будет долей гомозиготных особей среди самок.
Для того чтобы получить для него рекуррентное соотношение, мы прос-
то пишем
ИЛИ
h = — h' + — (9 — К").
4 32
Последнее выражение получено Калмусом и Смитом [261], которые ис-
пользовали совершенно другой метод. Результаты для некоторых дру-
гих систем инбридинга у пчел опубликовали также Кроу и Робертс
(91].
20—322
ГЛАВА 17
Гетерозиготность в группах
ограниченной численности
Опираясь на материал предыдущей главы, проанализируем теперь
уменьшение гетерозиготности в ограниченной по численности группе
особей. Другие свойства ограниченных групп мы обсудим в более позд-
них главах книги. Пусть в нашем анализе N — число скрещивающихся
особей в группе, которое сохраняется постоянным из поколения в поко-
ление. Мы начнем с рассмотрения результатов для системы скрещива-
ния, при которой целая популяция подразделяется на изолирован-
ные группы постоянного размера N.
§ 1. МАКСИМАЛЬНОЕ ПРЕДОТВРАЩЕНИЕ ИНБРИДИНГА
При постоянном скрещивании восьмикратно четвероюродных сиб-
сов целая популяция разбивается на отдельные группы размером N=
= 16=24. Внутри каждой группы инбридинг между родственниками,
более близкими, чем восьмикратно четвероюродные сибсы, исключает-
ся. Другими словами, все скрещивания фактически происходят между
наиболее отдаленными из возможных родственников. Рекуррентное со-
отношение для Н в этом случае будет (табл. 16.2):
Н = (—)#<’> + (—Уя<2> + ?Я<3) + (—Уя<4> + Ш5Д(5)
\ 2 / * \ 2 ] \ 2 ) \ 2 ) \ 2 )
где вместо Н' мы написали Ж1), вместо Н"—НФ и т. д. Возвращаясь на
поколение назад и деля полученное выражение на два, мы имеем
_!_#(!) = {Л-^НФ + (— Уд'3) + (—У#<4) 4- f—?Д(5) 4- (— ?Д(6).
2 \2 ) \ 2 ) \ 2 J \ 2 ) \ 2 )
Вычитая из Н, получаем
н ——нф = — до) — (—
2 2 \ 2 )
Н = HW _ (—Уд(б),
\ 2 /
! 1 \6 1
ГДе (ТУ = 4W ’ так как -^=24- Если рекуррентные соотношения для
Н записаны в этой последней форме, то результаты табл. 16.2 можно
переписать в виде табл. 17.1. После достаточно большого числа поко-
лений смежные значения Н по абсолютной величине только немного от-
личаются друг от друга, особенно при небольшом N. Следовательно,
(1)
ГЕТЕРОЗИГОТНОСТЬ В ГРУППАХ ОГРАНИЧЕННОЙ ЧИСЛЕННОСТИ
299
откуда ясно, что Н уменьшается со скоростью за поколение, если
внутри группы из N особей близкий инбридинг предотвращен. Это ми-
нимальная скорость уменьшения Нв группе ограниченной численности.
Если N особей скрещиваются исключительно случайным образом, то
скорость уменьшения изменчивости больше, что будет показано ниже.
Таблица 17.1
Рекуррентные соотношения для Н (ср. с табл. 16.2)
Размер группы Величина H
N= 1 н = я(1) — (—Г я(2) \ 2 )
N = 2 н = Ут/(3) \ 2 )
N = 4 = 22 н = н(1) — (~Ун(4) \ 2 J
N = 8 = 23 Н = — (—Х \ 2 /
N = 16 = 24 Н =HW — н{6) \ 2 /
• . .
jV = 2* Я = Я(1>— f/у(2-|-*) = \ 2 / = H&+k) 4N
§ 2. ОБОЕПОЛЫЕ ДИПЛОИДЫ
Сначала рассмотрим простейший случай — группу из N обоеполых
диплоидных форм, гаметы которых объединяются в каждом поколении
совершенно случайно, причем возможно и самооплодотворение. Вероят-
ность того, что некоторая гамета соединится с гаметой той же самой
особи, равна 1/AZ, а вероятность ее соединения с гаметой другой особи
равна (N—1)/N. В первом случае корреляция между скрещивающими-
ся формами равна /п=1; во втором — т=4а'2Ь'2т' для двух случайно
скрещивающихся особей из группы [гл. 16, (30)]. Средняя величина
т для всей группы, таким образом, равна
т = — + —1 4а'2Ь'2т',
N N
F = b2m = — b2 + Л'~~ *- 4b2a'2b'2m'.
N N
Используя для упрощения известные соотношения Ьа'=-±-, Ь'2т' =
—F' и b2 = мы получим [669, 688]
г, 1 ,2 . N— 1 1 , 2АГ—1
F = — Ь2 4--------F' =------------
N N 2N 2N
(2)
20*
300
ГЛАВА 17
1 — F = ——-(1 — F'),
алг x
:.н = 2-^
2N
H' = (1-^Н'.
(3)
Из формулы (3) видно, что при полностью случайном объединении га-
мет внутри группы из N особей Н уменьшается на 1/2N за поколение.
Эта скорость вдвое выше, чем в случае, описанном в § 1, где инбри-
динг специально исключался.
Для полностью случайного объединения гамет (включающего воз-
можность самооплодотворения) формула (3) является точной форму-
лой и применима для любого значения N, как большого, так и малого.
Например, при N=4 Н будет уменьшаться на , т. е. на 12,5% за по-
коление, если особи скрещиваются совершенно случайно (включая са-
мооплодотворение), в отличие от уменьшения на 8% за поколение, ког-
да все скрещивания ограничены двойными двоюродными сибсами
(гл. 16, § 5). Интересно отметить, что формула (3) применима даже к
наиболее крайнему случаю постоянного самооплодотворения, когда
У=1; совершенно очевидно, что для потери гетерозиготности за поко-
ление она дает величину, равную — . Скорость потери гетерозиготности,
равная^
за поколение, может быть принята в качестве приближения
для некоторых других случаев.
§ 3. ГРУППА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ Уо САМОК
И У4 САМЦОВ
Теперь мы перейдем к общему случаю, в котором группа состоит
из Nq женских и Ni мужских скрещивающихся форм (рис. 17.1). Как и
раньше, мы предполагаем у этих (У0+У1) особей существование случай-
ного скрещивания. Вероятность того, что две случайно взятые особи
будут принадлежать к одной и той же группе сибсов, равна 1/У0Уь и
для скрещивания между сибсами m=Qa'2b'2 (l-J-nr). Подобно этому,
вероятность скрещивания полусибсов равна (Уо+У1—2)/У0У1 с т=
=а'2Ь'2 (l+3/n') в соответствии с формулой (15) из предыдущей гла-
вы. Остальные скрещивания происходят между отдаленными родствен-
никами с вероятностью (Уо—1) (У1—1)/УоУ1 и т—4а'2Ь'2т' по форму-
ле (30) из гл. 16. Следовательно, средняя величина т для всей группы
равна
т = а'№ ( 2(1+т') + (М0 + ^-2)(1 +3m>) + (N0-l)(Wi-l)4m,l =
t N0Ni I
= a'2b'2 ~ (АГ0ЛГ1) т' + (Л/о + Л\))
I Г V '
Это ключевая формула для т при случайном скрещивании в группе,
состоящей из (У0+У1) особей. Рекуррентное соотношение для F мож-
но получить обычным способом, учитывая, что b'2a'2—'l/i, какой бы ни
была система скрещивания, и что b'2m'—F'. Таким образом,
F = Ь2т = ' {IN^F' - (Уо + У]) F' + (Уо + Ух) Ь'2}.
4WO™1
ГЕТЕРОЗИГОТНОСТЬ В ГРУППАХ ОГРАНИЧЕННОЙ ЧИСЛЕННОСТИ
301
Подставляя мы получим
F = F' + (1 _ 2F' + F"), (5)
8NQNi V V ’
откуда обычным способом находят рекуррентное соотношение для Н.
Поскольку Н=Но (1—F), мы имеем уравнение
Н = Н0[1~ F' — ^о + ^(2 —2F— 1 +F")1,
°1 8^! V Ч
Л И = И' —N° + N1 (2Н' — И"), (6)
8^1
указывающее на то, что Н снижается в каждом поколении.
(О
(2)
Особи жен- , >
ского пола vv
• •
(ty)
Особи мужского пола
(1) (2) . (3) ... (N,)
• • • • • • •
• • * * •
Рис. 17.1. Число возможных скрещиваний равно NqNi.
Рассмотрим потомка какой-либо пары родителей, например пары мать (1)Хотец (1). Если брачный
партнер этого потомка также произошел от родителей (1)Х(1), то результатом будет скрещивание
сибсов с частотой l/N0Nt. Если же его партнер происходит из какой-либо другой семьи (из первой
строки или первого столбца), то тогда имеет место скрещивание полусибсов [число возможных скре-
щиваний (No—1) + (AG—1)вMj+Wi—2]. Когда родитель этого партнера происходит из какой-либо
семьи, не принадлежащей к первой строке или первому столбцу, говорят о скрещивании отдален-
ных родственников, ие имеющих общих родителей [число возможных скрещиваний (No— 1) (N[—1)1.
После достаточно большого числа поколений величина Н будет сни-
жаться за поколение приблизительно на одну и ту же долю. Для того
чтобы найти величину постоянного отношения Н1Н'=Н'1Н" — \, решим
приведенное здесь уравнение и найдем наибольший положительный
корень
(1 — -У°+ х — У° + _ о
__ X + , 1 1 Г . , +
4^1 / 2 V Ц 4N0Ni ) '
(7)
Следовательно, Н в конечном счете будет уменьшаться со скоростью
= —-------------------(8)
2 \ / 2 k \ 4N0Ni ) V ’
за поколение. Выражения (5) — (8) являются точными, а не прибли-
женными; они применимы к любым величинам No и Ni независимо от
того, велики они или малы. Например, скрещивание братХсестра мож-
но рассматривать как случайное скрещивание в группе двух особей, из
которых одна является самкой, а другая самцом. При подстановке No=<
= М=1 (5) сведется к F = ~ (1+ 2F'+F"); (6) даст Н= ±-Н'+±-Н„-,
302
ГЛАВА 17
из (7) получим %= —(1+]/5) =0,809; (8) покажет, что после боль-
4
шого числа поколений Н снижается на (3—]/~5) =19,1% за поко-
ление. Все это согласуется с результатами, полученными раньше.
§ 4. ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА СКОРОСТИ
УМЕНЬШЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ 7/
Выражение (8) для обычных расчетов неудобно. Вместе с тем
даже для небольших значений No и Ni дробь (A^o+A^i)/4М0М будет так
мала, что мы можем приближенно записать
1 Г। ! /Ур+У1\2 __ । ।_i_ /Ур + У1\2
V \ 4У0Ух ) ' 2 4У0Л\ / '
Следовательно, окончательная скорость снижения Н будет приблизи-
тельно равна
1 _ X = N» + Ni — 1 (N> + = ^o + ^i _
8^ 4 I, 4N0N1 ) 8N0Ni 8УОУХ J '
__ Ур + У1 /1 NB + ЛГЛ _ / _1 . 1_\ / j_1_i_\ ,g.
8NBNi 8NBNi ) \8NB 8Nj[ 8Nb 8nJ' k '
Чтобы показать, насколько хорошим является это приближение, рас-
смотрим пример, в котором ЛГ0=25 и = 10, так что \N0-\-N\) l4NaNx =
= 35/1000. Точная формула (8) дает
1 — X = -L (1,035) — -j- У 1 +(0,035)2 = 0,0172,
в то время как из (9) мы получаем тоже 0,0175 (1—0,0175) =0,0172.
Приближенную формулу (9) можно применять также в том случае,
когда число особей одного пола много больше числа особей другого
пола. Например, в системе скрещивания, при которой один самец скре-
щивается с любым числом своих полусестер, мы имеем Л71= 1, Ао=00-
Производя подстановку в (9), мы найдем, что скорость уменьшения Н
равна
1 — X = — f 1--— 'l = — = 11 % на поколение,
8 \ 8 / 64
что согласуется с результатом, приведенным в гл. 16. Таким образом,
мы видим, что формула (9) дает очень хорошее приближение. Для до-
статочно больших популяций дробь (Ао+М)/4W7i так мала по срав-
нению с единицей, что (9) можно дополнительно упростить до выра-
жения
1 — х = N°N1 = — + — . (Ю)
8NBNt 8NB 8Nj, ' '
Даже для небольшой группы, в которой N0=25 и Ni= 10, это прибли-
жение дает скорость снижения, равную 1—Х=0,0175, что очень мало
отличается от ее точной величины 0,0172.
Из предыдущего примера и из формулы (10) очевидно также, что
если один пол ограничен по численности, а другой многочислен, то
скорость снижения Н определяется главным образом меньшим по чис-
ленности полом и равна приблизительно l/8N0 или 1/8.V1 в зависимости
от того, какой пол имеет ограниченную численность.
ГЕТЕРОЗИГОТНОСТЬ В ГРУППАХ ОГРАНИЧЕННОЙ ЧИСЛЕННОСТИ
303
Здесь полезно вывести также приближенное соотношение между %
и F после достаточно большого числа поколений. Пусть Fn — значение
F в n-м поколении. Доля гетерозигот равна тогда Нп=Н0 (1—Fn). Од-
нако когда и велико, Нп приблизительно равно Н0Хп. Следовательно,
мы получим соотношение
l-Fre = V.
Для числовой иллюстрации можно обратиться к результатам постоян-
ного скрещивания сибсов, приведенным в табл. 16.1, для которых
Х=0,809.
п Fn Приближение: Fn = 1—№
15 0,9606 1—(0,809)15 = 0,9585
20 0,9863 1—(О,8О9)2о = 0,9856
К тому же, когда п велико,
FT 1—F'
И наконец, следует указать, что относительная скорость снижения Н
за поколение, задаваемая уравнением (10), отлична от скорости уве-
личения F. Пусть &Н~Н—Н' и &F=F—F'. Поскольку Н в любом по-
колении пропорционально 1—F, очевидно, что фактические значения
изменений этих двух величин на поколение пропорциональны, а имен-
но — АЯ ос А/7. Но относительное изменение Н за поколение равно
Н' — н = AF
Н ~ Н’ ~ 1—AF' ’
что отличается от AF/F', т. е. относительного изменения F.
§ 5. ВАЖНЫЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ: N0=Ni
Наиболее важным частным случаем, связанным с гетерозиготно-
стью в группах конечной численности, является случай, в котором груп-
па N раздельнополых особей состоит из равного числа самцов и самок:
No —= Последствия случайного скрещивания в такой группе
можно легко установить, используя результаты, полученные для преды-
дущего случая; в связи с их особым значением мы рассмотрим данный
вопрос подробно. Обратите внимание на то, что в этом случае дробь
(Ao+Ai)/8N0Ni превращается в А/в^-уА^-у ivj =Я/2№= 1/2Я. Таким
•образом,
7? = ^ + ^(1-27?' + Н, (5')
И = FF—^ (2Н' — Н"), (6')
или
я = J-W + _L н", (6")
\ N ) 2N v '
304
ГЛАВА 17
х = -1 = 1(1 - —W — 1/1 + (—У , (Т)
Н 2\ N ) 2 V \N ] '
= J---L==_L(i__LV (97
2N 2N \ 2N j '
= —-— = — даже для не больших N. (107
2W + 1 2N v f
Эта формула представляет собой наиболее важный результат в гене-
тике популяций. Анализ показывает, что при случайном скрещивании
внутри группы из N особей гетерозиготность будет падать в каждом
поколении приблизительно на 1/2.А7 ее прежней величины. Существен-
ный вывод состоит в том, что если не будет мутаций, иммиграции и т. д.,
группа в конце концов достигнет полной гомозиготности. Все приведен-
ные выше результаты получены Райтом [669]. Позднее вывод (10')
был на чисто вероятностной основе получен также Малеко [421] и
Феллером [153] (см. также (334]).
Если мы запишем (10') в виде дифференциального уравнения, в
котором N достаточно велико, то получим
dt
— 1 „ dH — 1 ..
= — Н, или — = -— at.
2N Н 2N
где t обозначает время, измеряемое числом поколений. Проинтегриру-
ем это уравнение:
In Я = —- 4- const или Ht.= HQe t/2N
2N to
где Ho — исходная доля гетерозигот, a Ht — доля гетерозигот после t
поколений свободного скрещивания в этой группе. Эта формула дает
нам возможность рассчитать величину Н в любой данный момент вре-
мени. При t—roa Hi—И), как уже было установлено ранее.
§ 6. ГРУППА ИЗ N ОБОЕПОЛЫХ ОСОБЕЙ
Вероятности разных типов скрещивания для групп из N обоеполых
особей, скрещивающихся случайно, но не самооплодотворяющихся,
представлены на рис. 17.2, где знаком X обозначено отсутствие само-
оплодотворения.
Вероятности скрещивания различных типов и соответствующие
корреляции между партнерами по скрещиванию имеют следующий вид:
Тип скрещивания Полные сибсы Полусибсы Отдаленные родственники
Вероятность т 2 4(У—2) (У-2) (У-3)
N(N— 1) N(N—\) У(У-1)
2a'2&'2(l+m') а'2Ь'2(\+?,т') а'2й'2.4т'
ГЕТЕРОЗИГОТНОСТЬ В ГРУППАХ ОГРАНИЧЕННОЙ ЧИСЛЕННОСТИ
305
Среднее значение т для всей группы равно
т = 4а'2У2 ((1 + ту) + (^-2)(1 + ЗтЭ + (ЛГ-2) (ЛГ-З)ш') =
I N(N—l) /
= 4а zb 2 — Н------т },
I. N N Г
F = b2m = —b'z + F' = (5")
N N '
= -J- {1 + 2 GV- 1) F' + F"}, t. e. (5')
Рис. 17.2. Имеется N обоеполых особей. В отсутствие самооплодотворения (что отмече-
но знаком X) число возможных скрещиваний равно N2—N=N(N—1).
Рассмотрим потомка от какого-либо скрещивания, например (1)Х(2), которое идентично скрещива-
нию (2)Х(1). Если он скрещивается с потомком от любого из этих двух скрещиваний, то результа-
том будет скрещивание сибсов. Если он скрещивается с потомком из другой семьи (из первых двух
строк или первых двух столбцов), то результатом будет скрещивание полусибсов, возможное число
которых равно 4GV—-2). Если его родитель принадлежит к какой-либо другой из оставшихся семей,
то имеет место скрещивание между отдаленными родственниками [число возможных скрещиваний
равно (N—2)2— (N—2) = (М—2)(ЛГ—3)].
Следовательно, соответствующие формулы для Я идентичны выражению
(6'). Другими словами, эта группа эквивалентна группе из N раздель-
нополых особей с равными численностями обоих полов. Обратите вни-
мание на то, что (5") отличается от (2) только заменой b на Ь'.
§ 7. МНОЖЕСТВЕННЫЕ АЛЛЕЛИ;
ГЕНЫ, СЦЕПЛЕННЫЕ С ПОЛОМ; ПОЛИПЛОИДИЯ
Райт рассмотрел также последствия панмиксии в группах ограни-
ченной численности в других различных случаях [691]. Здесь мы не
имеем возможности останавливаться на каждом таком случае, а при-
ведем лишь несколько типичных результатов.
306
ГЛАВА 17
1. Во всех предыдущих случаях для простоты предполагалось, что
каждый локус содержит только два аллеля. При наличии множествен-
ных аллелей полная потеря одного из них еще не означает гомозигот-
ности этого локуса. Однако с течением времени число аллелей в локусе
будет уменьшаться (что обусловлено процессом случайной элиминации
генов), и постепенно число аллелей уменьшится до двух. Начиная с это-
го момента Н будет понижаться со скоростью, приведенной в предыду-
щих параграфах, пока, наконец, в каждом локусе не останется только
по одному аллелю (полная гомозиготность).
2. Другим важным частным случаем является случай генов, сцеп-
ленных с полом. Рекуррентное соотношение для Н и предельная ско-
рость ее снижения у особей гомогаметного пола (к которому мы от-
носим здесь самок) при ограниченной численности были получены Рай-
том [671]:
Н = И' — - (2Н' — И") + /2Д"_ Н’”), (11)
8N0 SNgNx
где No — число скрещивающихся самок и IVi — число самцов. Приняв
Н1Н'—Н'1Н''=<Н"1Н"' или решив соответствующее уравнение относи-
тельно X, мы получим приблизительное снижение Н за
(в процентах)
Н’ — Н = Л^+_2Л\ _ 2 1
И’ 9ЛГ0Л\ 9ЛГ0 - 9ЛГХ '
Если, в частности, численности самок и самцов равны
=-i- N), то эта скорость будет равна 2I3N, что больше,
для аутосомных генов.
3. Оценка последствий инбридинга для автополиплоидов
полисомных локусов) обычно требует длинных математических вы-
кладок; пока мы рассмотрели только результаты самооплодотворения
тетраплоидов (гл. 11). Приведенные ниже выводы Райта [672, 691] ил-
люстрируют характер обобщений, получаемых методом коэффициентов
путей. Общая формула для группы из N особей опущена и описан толь-
ко простейший случай. Итак, при N=\, что соответствует полному са-
мооплодотворению, окончательная величина отношения двух последо-
вательных значений Н после достаточно большого числа поколений
равна для 2^-сомных локусов
поколение
(12)
(W0=M=‘
чем 1/2N
(или авто-
Таким образом,
Диплоиды (Й=1), Н' 5 Тетраплоиды (k=2), Н= — Н' 6
Гексаплоиды (k—З), Н= 9 —Н 10 13 Октаплоиды (fe=4), Н= — Н' 14
При М=2 и исключении самооплодотворения ситуация соответствует
постоянному скрещиванию сибсов и рекуррентное соотношение для Н
равно
Н = Н’-------!---(2Н'~ Н”).
4(2fc—1)' ’
ГЕТЕРОЗИГОТНОСТЬ В ГРУППАХ ОГРАНИЧЕННОЙ ЧИСЛЕННОСТИ
307
Таким образом,
Н (точное значе- ние) H=Mi' (приближенное значение)
Диплоиды — Н'+ — Н" 2 4 — (1+1/5)//'=0,80902//' 4
Тетраплоиды 5 1 — Н'+ — И 6 12 (5+ У 37) //'=0,92356//'
Гексаплоиды 9 гу,_] 1 п Н п 10 20 ± (9+у/01)//'=0,95249//'
Октаплоиды 13 1 — Н’+— Н" 14 28 Л13+]/197)Д' =0,96556//' 28
Выводы, приведенные выше для тетраплоидов и гексаплоидов в слу-
чаях самооплодотворения, согласуются с теми, к которым пришел Хол-
дейн [195], а результат для скрещивания сибсов у тетраплоидов иден-
тичен результату, полученному Бартлетом и Холдейном [16], а также
Фишером [173].
Завершая эту главу, вероятно, будет полезно еще раз повторить
одно положение, которое читатель должен очень ясно себе представ-
лять. На основании проделанного анализа можно подумать, что потеря
гетерозиготности в группе ограниченной численности обусловлена про-
исходящим иногда тесным инбридингом, который случайным образом
осуществляется при скрещивании. Однако это не так. Как показано в
§ 1, даже при максимальном предотвращении инбридинга в каждом
поколении Н продолжает снижаться, хотя и с меньшей скоростью (рав-
ной приблизительно половине скорости этого процесса при случайном
скрещивании). Снижение Н — это свойство, обусловленное ограничен-
ной численностью размножающейся группы. Другой подход к проблеме
размножающихся групп ограниченных численностей мы обсудим позд-
нее (гл. 26).
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. В группе из N=2h особей при максимальном предотвращении
инбридинга окончательная величина отношения двух последовательных
значений Н задается наибольшим положительным корнем (близким к
единице) уравнения
У+1
— (—\к+1
2 ) \ 2 /
Члены его, за исключением первого, образуют геометрическую про-
грессию. Это помогает упростить уравнение до выражения
^+2_^+1 + М?+2==о,
\ 2 /
которое также вытекает из новой рекуррентной формы, приведенной
в табл. 17.1. Теперь можно записать
хА+*(1— 1) = /'J_y+2 = J_.
\2 ) 4N
308
ГЛАВА 17
Приближенное решение состоит в том, чтобы принять %&+1 за единицу,
получив тем самым 1—X=l/4N— долю снижения Н за поколение. Если
N невелико, то можно получить лучшее приближение, положив К=
= 1—е, где 8 — небольшое положительное число меньше 1; таким об-
разом,
(1 _ е)Ж 8 =ql — (6 + 1)е] 8 =
Решая квадратное уравнение относительно 8, мы получим
_ 2fe ——2fe(fe+1)Т_ УУ —лА[1 —(& + 1)/дг]
8 2fe+*(A+l) 2AT(Jfe+l)
Например, при N= 16, k=4 приведенное выше решение дает
8 = 4~^и. = 0,017 и U 0,983,
40
что согласуется с величиной, упомянутой в предыдущей главе. Когда
2V велико, отношение (k-]-l)/N так мало, что V [1—(&-]-1)/Л7] можно
записать как 1—(k-]-l)/2N, а приведенное выше уравнение даст, как и
раньше, 8= 1/4Л\
2. Найдите рекуррентное соотношение для Н и окончательную ско-
рость уменьшения гетерозиготности в панмиктической группе, состоя-
щей из: 1) 60 самок и 20 самцов; 2) 50 самок и 30 самцов; 3) 40 особей
каждого пола. Используйте выражения (6) — (8).
3. Покажите, что если в панмиктической группе число самок в три
раза больше числа самцов, то
Это показывает, что данная группа эквивалентна группе численностью
No (половину которой составляют самки и половину — самцы) в той
мере, в какой это связано с влиянием на Н. Чему равны соответствую-
щие величины при N0=7N{>
4. В группе численностью N с равным количеством самцов и самок
1-уравнение, полученное из (6'), можно записать следующим образом:
2Л7Х2 —2(Л7— 1)Х— 1 =0,
Покажите, что
X = А = (ЛГ-р+У (7У3+ 1)
Н' 2W ( 1
Найдите соответствующие выражения для 1—"к—(Н'—Н)/Н'.
5. Переходя от (9') к (10'), мы использовали приближение
J_____1_ = 1
2W 4№ ~ 2W+ 1 '
Как его можно обосновать? [Указание: если х мало, то 1—х — 1/(1+х).]
J_ Л____1_\ = 1 / 1 \ _ 1
2ДГ \ 2ЛГ/ 2ЛГ , 1 Г 2W +1 ’
\1 + 2Т/
ГЕТЕРОЗИГОТНОСТЬ В ГРУППАХ ОГРАНИЧЕННОЙ ЧИСЛЕННОСТИ
309
6. Покажите, что для скрещивания сибсов у тетраплоидов наиболь-
ший корень уравнения
X2--------X------- = 0
6 12
равен (5+рП37)/12=0,92356.
7. Покажите, что если в не очень большой группе Nq=7Ni, то ско-
рости снижения Н для аутосомных и сцепленных с полом генов при-
близительно равны.
Указание: приравняйте (10) и (12).
ГЛАВА 18
Родословные с нерегулярным
инбридингом
В этой главе мы проиллюстрируем применение метода коэффици-
ентов путей к родословным с нерегулярным инбридингом, например к
таким, какие бывают у домашнего скота. Нам известно, что если в те-
чение нескольких поколений имеет место какой-либо тип близкородст-
венного скрещивания, то у потомков в ряду поколений накапливаются
определенные последствия инбридинга. Для количественной оценки
этих последствий нам необходим числовой показатель. Чтобы им мож-
но было пользоваться, нужна подходящая терминология, для чего нам
придется ввести несколько определений.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Коэффициент инбридинга особи. Пусть g и g' — две гаметы, при
объединении которых образуется особь Z. До сих пор F определялось
как корреляция между g и g', измеряющая степень инбридинга. Для
удобства Райт [665] назвал F также коэффициентом инбридинга осо-
би Z, которая образована при объединении g и g'. Это определение
можно записать символами
rgg'=Fz’ ?№g + g' = Z. (1)
Таким образом, мы говорим, что Fx— коэффициент инбридинга особи
X, вместо того чтобы говорить о корреляции между двумя объединяю-
щимися гаметами, которые образуют зиготу X. Такое изменение опре-
деления предпринято только для удобства и не приводит к новым по-
казателям инбридинга.
Коэффициент родства между двумя особями. Две особи коррели-
руют только тогда, когда они имеют одного или большее число общих
предков. На языке теории коэффициентов путей общие предки явля-
ются «общими причинами» двух следствий, а в данном случае — двух
родственных особей. Чтобы измерить близость между двумя особями
(скажем, В и С), Райт [665] определил коэффициент родства (coef-
ficient of relationship) между двумя особями как коэффициент корре-
ляции между ними. Последний является суммой коэффициентов всех
путей, которые их соединяют:
гвс ~ [^в а£ ^с а£] » (2)
где Дг—общий предок, через которого соединены В и С, pBAi —
(составной) коэффициент пути от общего предка A t к особи В, а сум-
мирование производится по всем независимым соединяющим цепям для
РОДОСЛОВНЫЕ С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ИНБРИДИНГОМ
зп
всех общих предков. Через одного общего предка может проходить боль-
ше одной соединяющей цепи. Если А отдаленный предок В и С, то
каждый из путей от Аг к В и С будет содержать несколько звеньев (по-
колений). Обратите внимание на то, что корреляция (2) существует
независимо от того, скрещиваются В и С или нет, коль скоро они име-
ют по крайней мере одного общего предка.
§ 2. ПУТЬ ОТ ПРЕДКА К ПОТОМКУ
Для того чтобы найти общее выражение для коэффициента инбри-
динга особи и коэффициента родства между двумя родственниками, мы
должны найти составной путь от предка к его потомку. Такой путь при-
веден на рис. 18.1. В соответствии с определением (1) F=Fz,F'=FА,г
F"=F А„ , и т. д., где А' — родитель особи Z, А" — ее ближайший пра-
родитель и т. д. В общем случае л(ю, где А(п>— предок рассмат-
риваемой особи Z в n-м поколении. Если предок А<п) не был инбредным
(т. е. его родителями были две некоррелирующие особи), то Яп)=0. Ве-
личины F, F', F" и т. д. в разных поколениях зависят от типа родства,
в котором состоят родители в каждом поколении.
Итак, коэффициент пути от родителя А' к Z равен (рис. 18.1)
, 1 + F' 1 -1 Z1 + FA'
Pz-A’ а 2 у 2 V 1 +
Из теоремы о цепи факторов путь от деда или бабки А" к Z равен
„ _n _ _ J-lZ1 + J^'l/ 1 + fa" _ ( 1 /^ + ^4"
Pz-A" Pz-А’'Ра' А" 2 V 1+FZ, ' 2 Г \ + Fa, \ 2 / V 1 + Fz
В общем случае коэффициент пути, относящийся к данной линии, кото-
рая соединяет предка в n-м поколении с Z, равен
PZ-A® V 2 / V 1 + Fz •
Если особь не инбредна, то, как это отмечено выше, Ел(«) = 0. Если
все предки по этой линии (рис. 18.1) являются случайно выбранными
особями, то все Е = 0 и, в частности, Fz = 0. В последнем случае выра-
жение (3) сведется просто к(—|п.
§ 3. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ
Предположим, что две особи В и С (верхняя часть рис. 18.2) явля-
ются потомками предка А и чтр А и В разделены п поколениями, а А
иС — п' поколениями. Тогда цепь, соединяющая В и С через их обще-
го предка А, равна рл-А Рс-а, если считать, что через А существует
только один независимый путь. Величины Рба и Рс-а можно найти
из (3); таким образом, эта соединяющая цепь имеет величину
/ 1 \п -»/" 1 + Ра / 1 \п' 1 1 + Fа _ / 1 \п+п'_0 + fл )__
U / И 1 + ^в V 1 + ^с ]/[(1 + fs)(1 + fc)] * ,
Если В и С имеют других общих предков, а значит, и другие соединяю-
312
ГЛАВА 18
Рис. 18.1. Путь от предка к его по-
томку в n-м поколении.
По определению. F=F~, F'—F .....F^=
£* А
^faw.
Рис. 18.2. Родство между двумя осо-
бями и степень инбридинга их по-
томка.
щие цепи, то полная корреляция между В и С, определяемая здесь как
коэффициент родства, равна сумме цепей, соединяющих всех общих
предков; таким образом,
„ Г/ 1 \n+n' , 1
Г[(1 + ^)(1 + ^с)] ’
(4)
где суммирование производится по всем соединяющим цепям для всех
А. Это общая формула для родства между любыми двумя особями,
имеющими общих предков. Величины FB и Fc Для этих особей постоян-
ны и не должны быть равными. К тому же, как отмечено выше, для
того чтобы В и С находились в таком родстве, они не обязательно
должны быть партнерами по скрещиванию, хотя нередко нас интересу-
ет именно родство двух родителей.
Теперь мы в состоянии найти коэффициент инбридинга любой осо-
би с данной родословной. Рассмотрим особь Z, чьи родители связаны
родством Гвс (нижняя часть рис. 18.2). Напомним (гл. 15, § 9), что
если два родителя имеют в своих родословных разные степени инбри-
динга или принадлежат к различным поколениям, то коэффициенты пу-
РОДОСЛОВНЫЕ С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ИНБРИДИНГОМ
313
тей от этих родителей к их гаметам не будут равными у обоих родите-
лей. Используя общее соотношение Ь =
, мы видим, что
Корреляция между объединяющимися гаметами, которые образуют
особь Z, и есть искомый коэффициент инбридинга
Fz = ьв Гвг ьг=— г вс 1/(1 +/=«) (1 (5)
L D DU Ь О ' \ 1 а) \ 1 G) v '
В этой формуле коэффициент инбридинга особи выражается через ко-
эффициент инбридинга ее родителей. Однако обычно удобнее выражать
Fz прямо через общих предков родителей особи в данной родословной.
Подставляя (4) в (5), мы сразу получим
fz = — уГ(— У+п'(1 + ЕЛ)1,
z 2 |Д 2 / ' Ai ]
(6)
что и является наиболее удобной формой для числовых расчетов. Если
особь А инбредна, то величину Fa следует рассчитывать отдельно из ее
родословной. Если же все общие предки подобраны случайно, то (6)
о 1 Т, / I \П+П'
сведется к Fz=—2—1 . Обратите внимание
2 \ 2 /
половине числителя Гвс-
на
то, что Fz равно
§ 4. ИЛЛЮСТРАЦИЯ НА ПРОСТОЙ
РОДОСЛОВНОЙ
Прежде чем анализировать сложные родо-
словные в следующем параграфе, для начала бу-
дет полезно рассмотреть очень простую родо-
словную только с одним общим предком и одной
соединяющей цепью (рис. 18.3). Поскольку В и С
удалены каждый на три поколения от .общего
предка А, коэффициент инбридинга Z, согласно
(6), равен
Отметим, что n + n'+\ = N является числом зигот
в соединяющем пути, который включает обоих
родителей Z. Таким образом, вдоль соединяю-
щего пути на рис. 18.3 расположено семь зигот.
Учитывая это, иногда выражение (6) записывают
как
(6')
Рис. 18.3. Простая родословная с одним общим
предком и одной соединяющей цепью.
314
ГЛАВА 18
где У=п+п'+1. Важно распознавать различные формы одной и той
же формулы, которые она принимает в различных обстоятельствах, и
помнить в каждом случае значение символов. Повторяя пройденное,
можно еще раз вспомнить, что N обозначает число зигот вдоль данной
соединяющей цепи (включающей обоих родителей), тогда как пип'
представляют собой числа поколений между общим предком и соот-
ветствующими родителями. Простая родословная на рис. 18.3 поможет
нам запомнить все эти соотношения и уяснить их смысл.
Выражения для коэффициентов инбридинга можно также прямо
вывести из рассмотрения «поколений гамет». Для этой цели мы опять
используем рис. 18.3. Поскольку Fz— корреляция между двумя гаме-
тами, которые объединяются с образованием зиготы Z, мы можем на-
чать построение соединяющей цепи с этих двух гамет. Так как каждое
гаметическое поколение имеет величину пути, равную Ьа'—Ь'а"=—,
составной путь от каждого из них к гамете, вырабатываемой общим
предком А, равен
его гаметам, тогда Ь1 2.=—
А о
—У. Пусть теперь Ьд
— коэффициент пути от Л к
(I+Fa). Следовательно, полная цепь, свя-
зывающая две гаметы, которые образуют Z, равна, как и раньше,
Выражения (6) или (6') можно вывести точно таким же способом, не
получая выражения (4) для гвс.
§ 5. ДВА ПРИМЕРА РОДОСЛОВНЫХ
У ДОМАШНЕГО СКОТА
1. Рассмотрим родословную Роуна Гоунтлита, знаменитого произ-
водителя— шортгорна (особь Z на рис. 18.4). Родословная этого быка
прослеживается назад по каждой линии вплоть до скрещивания Чем-
пиона Англии (Аг) с дочерью или внучкой Лорда Реглана (Aj). Сле-
довательно, Aj и Аг — два общих предка родителя Z. Для целей на-
стоящего рассмотрения предположим, что общие предки сами по себе
не инбредны и не находятся в родстве друг с другом, т. е. Кд, = Fa2 = О
и Гл,л2 =0. Через каждого общего родителя проходят по две соединя-
ющих цепи, так что имеются четыре независимые цепи, связывающие
двух родителей В в С. Они показаны в табл. 18.1. Коэффициент инбри-
динга особей, полученный таким образом из реально существующей ро-
дословной, можно сравнить с коэффициентом инбридинга особи при
любой регулярной системе инбридинга. Например, в первом случае
величина Fz = 0,14 намного меньше подобной величины для скрещива-
ния братХсестра, когда 7?=0,25; 0,375; 0,50; ..., или для скрещивания
родительХпотомок, когда К=0,25; 0,375; 0,4375; ..., для первого, вто-
рого, третьего, ... поколений соответственно (гл. 16, табл. 16.1).
2. В качестве второго примера рассмотрим родословную быка-
шортгорна Комета, приведенную на рис. 18.5. Особи В в С как роди-
тели Z соединены тремя цепями, одна из которых проходит через всех
общих предков (Аь Аг, Аз). Однако отец Комета (Z) —В — является
одновременно отцом матери С, так что В в С соединены также прямым
путем ВС в дополнение к трем путям через их общих предков. Сначала
мы рассчитаем три последних пути, предполагая, что предки А!—Аз
РОДОСЛОВНЫЕ С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ИНБРИДИНГОМ
315
Таблица 18.1
Расчет коэффициента инбридинга для Z на рис. 18.4
Общий
предок
Объединяющие, особн
Цепь между В и С
2_\л+п'
2/
г / 1 \3+3
B=M=M'=A1=Cz=Ca=C 1-1 = 0,015625
/ 1 \з+з
B=G=D=A1=Cz=Ca=C l-j =0,015625
/1 V+1
B=G=A2=e — =0,125000
\2/
I 1 \2“Н
B=M=A,=C — =0,125000
\2 )
Рис. 18.4. Родословная Роуна Гоунтлита (Z).
-Отец и мать: В (бык)—Ройял Дьюк оф Глостер (великолепный герцог Глостер), С (корова) —
Принцесса Ройял. Общие предки: Ai— Лорд Реглан, Д2 — Чемпион Англии. Другие особи: G —
Гранд Дьюк оф Глостер; DДачис оф Глостер IX (Герцогиня Глостер IX); ЛГ— Мистлоу; М —
Мимулус; Cz— Царь; Са — Кармин.
раньше не были инбредными (FA = 0 для всех i):
3+2
Однако прямой путь ВС не равен простор— \ ’+1, потому что производи-
тель В (как общий предок) сам в некоторой степени является инбред-
316
ГЛАВА 18
ным; таким образом, для расчета пути ВС необходимо знать коэффи-
циент инбридинга В.
Полагая, что на рис. 18.5 представлена родословная В (не обра-
щая сейчас внимания на особей С и Z), мы видим, что два его родите-
ля, К и Ль соединены двумя цепями, одной — через Л2 и другой— че-
рез Л3. Следовательно, его коэффициент инбридинга равен
и величина прямого пути ВС равна
(тГ (‘+fb)-t(I’I875)-
Коэффициент инбридинга Комета (Z) из (6) равен
1 Г/ 1 \2 / I \4 / 1 \5 1 1
^ = т[(т) +(т) + (у + т (1-1875)] = 0,46875.
Родословная Комета, приводящая к такому инбридингу, представляет
собой, следовательно, четыре поколения скрещиваний родительХпото-
мок^Е= -^—=0,46875] или приблизительно три поколения скрещива-
ний братХсестра (F=0,50).
Если родословная слишком велика и сложна, то объем работ, не-
обходимый для построения соединяющих цепей, может быть настолько
велик, что решение станет затруднительным. Райт и Макфи [707] пред-
ложили метод, заключающийся в проведении случайным образом одной
линии назад от производителя и самки. Подобные линии или выявля-
ют общего предка, или не выявляют его. Коэффициент инбридинга мож-
но оценить по доле линий, которые приводят к общему предку. Неко-
торые из систематизированных методов расчета коэффициентов ин-
бридинга изложены в работе Эмика и Террилла [126].
РОДОСЛОВНЫЕ С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ИНБРИДИНГОМ
317
§ 6. КОЭФФИЦИЕНТ ИНБРИДИНГА ДЛЯ ГЕНОВ,
СЦЕПЛЕННЫХ С ПОЛОМ
Все приведенные выше формулы применимы только к аутосом-
ным локусам диплоидных организмов. Для генов, сцепленных с полом,
они должны быть несколько модифицированы. Во-первых, так как сам-
цы гемизиготны, для них не существует никакого коэффициента инбри-
динга. Поэтому если общий предок А является самцом, то, какой бы
ни была его родословная, мы всегда принимаем FA = 0.
Рис. 18.6. Коэффициент инбридинга для генов, сцепленных с полом [691].
/ 1 \7
Соответствующая величина для аутосомных генов равна ^£”1 (^^д) В0 ВССХ тРех слУчаях
(см. рис. 18.3).
Во-вторых, поскольку конституция самцов полностью определяется
яйцеклетками их матерей и в свою очередь полностью определяет кон-
ституцию гамет, сцепленные с полом гены сперматозоида самца явля-
ются теми же самыми, что и сцепленные с полом гены яйцеклетки его
матери. Поэтому при построении любого данного пути можно исклю-
чать из соединяющего пути самца, как если бы его здесь не было, и
подсчитывать только число самок (п/). Следовательно,
(7)
При применении этой формулы необходимо помнить третье пра-
вило: если вдоль линии родословной последовательно располагаются
два (или большее число) самца, то она больше не является соединяю-
щей цепью, потому что конституция потомка мужского пола, опреде-
ленная его матерью, не имеет ничего общего с его родителем мужско-
го пола. Корреляция отец—сын для сцепленных с полом наследствен-
ных факторов равна, как это отмечено выше, нулю. Таким образом,
если последовательно появляются два самца, то цепь «разрывается».
318
ГЛАВА 18
Применение этих трех модификаций для генов, сцепленных с полом,
иллюстрирует рис. 18.6. Обобщение данного метода для полисомных ло-
кусов можно найти в работе Райта [691].
§ 7. БЛИЗКОРОДСТВЕННЫЕ СКРЕЩИВАНИЯ
И РЕДКИЕ ПРИЗНАКИ
В панмиктической популяции коэффициент родства между двумя
родственниками, согласно (4), равен
/ 1 ХпЧ-п*
Г=2Ы
Эта величина уже получена нами в гл. 15. При близкородственном скре-
щивании, если родители-родственники с коэффициентом родства гРР
раньше не были инбредными (т. е. не имели общего предка), то рож-
денный ими ребенок О будет иметь коэффициент инбридинга [из (5)
или (6)]
<8>
Например, коэффициент родства для двоюродных сибсов (в панмикти-
( 1 V-l/ 1 V 1 г
ческой популяции) равен г= — + — =—-. Следовательно, ко-
эффициент инбридинга ребенка от браков двоюродных сибсов равен
F= (табл. 18.2).
Таблица 18.2
Коэффициенты инбридинга и доля потомков с рецессивными признаками
при некоторых близкородственных скрещиваниях
Родство родителей Корреляция родителей Степень инбредиости ребенка Доля потомков с рецессив- ным признаком
Неродственные индивидуумы г=0 F = 0 q2 = q2
Брат—сестра (или родитель— ребенок) 1 Г ~ 2 r = -L 4 1 3 1 — q+~ 92=92 + ~pq
1 Дядя—племянница 1 Полусибсы 1 Двойные двоюродные сибсы 1 г = — 4 Д = — 8 1 , 7 . „ , 1 -г<? + — q-==q2+-pq о о о
Двоюродные сибсы 1 Г~ 8 16 1 15 1 •л q + — q2 = q2 + 77 pq Io 16 16
Наполовину двоюродные сибсы 1 Г~ 16 F = — 32 1 , 31 „ . , 1 32 9 + 32 q ~~q 32P<1
Троюродные сибсы 1 Т~ 32 F = — 64 1 63 „ „ , 1 — q + — q2 = q2 H— pq 64 4 644 64 ™
Редкие рецессивные признаки. Напомним, что F— корреляция ме-
жду гаметами, при объединении которых образуется данный потомок.
Поэтому среди потомков от близкородственного скрещивания опреде-
ленного типа (при фиксированном F) доля особей с рецессивным приз-
наком будет равна
q2 + Fpq = Fq + (l~F) q2,
(9)
РОДОСЛОВНЫЕ С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ИНБРИДИНГОМ
319
где q— частота рецессивного гена в популяции. Если q мало, то вели-
чина выражения (9) намного превышает q2 (см. табл. 18.2). Например,
при </=0,01 среди потомков неродственных индивидуумов <?2=0,0001
имеют рецессивный признак; однако в браках двоюродных сибсов бу-
1 15
дет— (0,01) + -—(0,01 )2=0,0007 детей с рецессивным признаком (гл.
16 16
13), т.е. в 7 раз больше.
Браки между двоюродными сибсами — единственный важный класс
близкородственных скрещиваний в человеческих сообществах. Если их
частота в популяции равна с, а остальная часть популяции (1—с) скре-
щивается случайно, то доля детей с рецессивным признаком в браках
двоюродных сибсов от общего числа детей с рецессивным признаком во
всей популяции составляет [196]
( 1 , 15 а\
' (1 — с) 4- е ? 4- д2)
\ 16 16 /
с (1 + 15?)
16g + с (1 — q)
(10)
Предположим, например, как и раньше, что </=0,01 и с=0,02 от всех
скрещиваний в популяции. Тогда отношение (10) будет равно 0,128.
Другими словами, от 2% браков двоюродных сибсов происходят 12,8%
детей с рецессивным признаком.
Поскольку для браков двоюродных сибсов мы используем F= —,
16
для обозначения коэффициента инбридинга всей популяции, в которой
доля с всех скрещиваний происходит между двоюродными сибсами, мы
будем пользоваться другим символом — Ф. Составив уравнение
(1_ф)92 + ф?=(1_с)92+с/ 1 2)
\ 16 16 )
мы получим равенство
ф = —
16
(11)
которое не зависит от частот генов. Таким образом, если в популяции
2% браков заключаются между двоюродными сибсами, то коэффициент
инбридинга всей популяции равен 0,00125.
Из любой совокупности наблюдаемых данных (случайные выбор-
ки индивидуумов с рецессивным признаком) можно прямо оценить
значение k, т.е. долю рождений детей с рецессивным признаком в бра-
ках двоюродных сибсов от общего числа новорожденных с рецессивным
признаком. Если процент браков двоюродных сибсов в целой популя-
ции известен из общего обследования, тогда в уравнении (10) частоту
рецессивного гена можно выразить через две частоты — с и k:
c(l-k)
16А— 15с — ck
(12)
Редкие доминантные признаки. Из предшествующего изложения нам
должно быть ясно, что частота возникновения рецессивных признаков
при близкородственных скрещиваниях гораздо выше, чем при случай-
ных. Однако для редких доминантных признаков это не так. В близко-
родственных скрещиваниях они не будут появляться с большей часто-
той. Поскольку возникновение доминантного признака зависит только
от одного гена, вероятность того, что любой родственник (по одной или
двум линиям) будет его носителем, равна коэффициенту родства меж-
ду этим родственником и индивидуумом, обладающим данным призна-
320
ГЛАВА 18
ком. Таким образом, проверяя родственников индивидуума с данным
1
признаком, мы ожидаем, что доминантный признак встречается у — их
родителей, детей и сибсов, у — их бабок и дедов, внуков и внучек, те-
4
1 п
ток, племянников и т. д., у — .их двоюродных сибсов и т. д. Следует
8
подчеркнуть, что это справедливо только в том случае, если доминант-
ный ген очень редок в популяции и всегда проявляет себя. Однако в
действительности многие известные доминантные гены, обусловливаю-
щие патологию у человека, являются «условными» и «нерегулярными»
или обладают неполной пенетрантностью и экспрессивностью.
§ 8. ДРУГИЕ ТИПЫ БЛИЗКОРОДСТВЕННЫХ
СКРЕЩИВАНИЙ В ПОПУЛЯЦИИ
В предыдущем параграфе мы предположили, что в общей популя-
ции доля случайных скрещиваний составляет (1—с), а доля браков
между двоюродными сибсами равна с. Эта ситуация обобщена в табл.
Таблица 18.3
Генетический состав популяции, размножающейся в основном путем
.случайного скрещивания, при наличии некоторой доли близкородственных браков [382]
Родство родителей Частота в попу- ляции Потомство Доля родителей, имеющих детей с рецессивным признаком
с доминант- ным призна- ком с рецессив- ным приз- наком
Неродственники «0 с0 (1 ^о) cQ Bq ^0 “ Bq/B
Двоюродные сибсы Cl ciU-Ri) ci Ri = Q В±/В
Троюродные сибсы с2 с2 (1 Rs) ^2 В% ^2 **2 В%/В
Сумма 1 1—R R 1
18.3 с включением также более отдаленных скрещиваний, что дает до-
вольно полное описание популяции. Хотя для краткости мы ограничи-
ваемся в таблице браками троюродных сибсов, совершенно очевидно,
что существуют и другие типы близкородственных скрещиваний [на-
пример, между наполовину двоюродными сибсами (first cousin once
removed]. Пусть Co, Ci, c2... частоты случайных браков соответственно
между двоюродными сибсами, между троюродными сибсами и т.д.;
Sci=l. При скрещивании каждого типа в потомстве имеется опреде-
ленная доля особей с рецессивным признаком.
Случайное скрещивание Двоюродные сибсы Троюродные сибсы
Яо=<?2 Ri=42 + ~~pq Rz=<ii + ~pq (13)
16 64
Общая доля особей с рецессивным признаком в популяции равна
R = с0 7?0 + Cj Rx + с2 R2=q? + + -g-) pq = + <&pq,
\ 16 64 J
(14)
где Ф=С1/16+сг/64 представляет собой коэффициент инбридинга для
целой популяции и является обобщением формулы (11). Итак, можно
РОДОСЛОВНЫЕ С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ИНБРИДИНГОМ
321
сказать, что если Fi— коэффициент инбридинга в потомстве от близ-
кородственного скрещивания определенного типа, имеющего в популя-
ции частоту Ci, то 0=2^/^ — коэффициент инбридинга для всей попу-
ляции. Он представляет собой взвешенное среднее отдельных F, если
принять во внимание, что Fo=O для с0 случайных скрещиваний.
Эмпирические исследования помогли бы оценить величину о из
случайных выборок браков в некой определенной популяции. Можно
также отдифференцировать родителей, имеющих детей с рецессивным
признаком (последний столбец табл. 18.3). Так, например, из всех детей
с рецессивным признаком на долю детей, родители которых не связаны
родством, приходится
k0 = -С(|<?2 - =--С-Д1-. (15)
<72+Фр<7 д + Ф(1—q)
Частоту рецессивного гена можно выразить через эту долю
q =----, (16)
с0—+ Фй0 с0 — k0
что представляет собой обобщение формулы (12). Для практических
целей вполне достаточно приближенного выражения (16), поскольку
обычно величина Ф много меньше единицы. Безусловно, величину q мо-
жно выразить также и через доли Cj и k\ для скрещиваний двоюрод-
ных сибсов (или для скрещиваний любого другого типа), однако при
этом получается более длинное выражение; мы приведем его в качест-
ве упражнения в конце настоящей главы.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Нет надобности получать коэффициент пути от предка в n-м по-
колении до некоей особи [выражение (3)] из данных для поколений
зигот. Его можно прямо получить, воспользовавшись тем, что для каж-
дого поколения гамет a'b = a"b"—, каким бы ни был тип скре-
щивания. Вдоль линии из п поколений от А<п> к Z (рис. 18.1) имеется
(п—1) поколений гамет плюс два пути, а и по одному на каж-
дом конце линии. Следовательно,
= ) = ]/"2(1+ ^z) ’(т) ’V т(1+7?л(п))’
что сразу приводится к виду (3).
2. Найдите коэффициенты инбридинга В и С на рис. 18.4, а потом
рассчитайте коэффициенты родства между В и С, используя формулу
(4) и предполагая, что FA — Q для всех А из родословной.
Ответ: Fr — 0 и = — Я—У + (—У1 = 0,78125.
Сумма соединяющих цепей между В и С уже приводилась в табл.
18.1: =0,28125. Корреляция между В и С в соответствии с
формулой (4) равна
= 0.28128 = J\2S125_ = 0127()868_
V (1,078125) (1,00) 1,038328
3. Вычисляя величины FB, Fc и Гвс Для родословных, приведенных
на рис. 18.4 и 18.5, покажите, что формулы (5) и (6) дают одно и то же
значение Fz.
21—322
322
ГЛАВА 18
Ответ: коэффициент инбридинга Z (рис. 18.4), согласно (5), равен
Fz = -j- (0,270868) (1,038328) = 0,140625,
т. е. идентичен коэффициенту, приведенному в нижней строке табл. 18.L
4. Найдите коэффициент инбридинга потомков В и С из родослов-
ной на рис. 18.7 (особи, обозначенные пунктиром, при расчете не учи-
тывать).
Рис. 18.7. Родословная с нерегулярным ин-
бридингом, включающая две семьи.
семьи.
Рис. 18.8. Родословная инбредной
особи Z, берущая начало из одной
цепями: одна проходит
Ответ: В и С соединяются двумя
семью J с пятью звеньями, а другая — через семью I с четырьмя
п г 1 If 1 V / 1 VI 3
ями. Следовательно, rz — —( — 4- — ) = — —0 047
2 (.( 2 / \ 2 / J 64 ’
через;
звень-
5. Найдите коэффициент инбридинга Z из родословной на рис. 18.8».
предполагая, что общие предки Ai и А2 не инбредны.
Ответ: В и С соединены четырьмя цепями: через JjAi, /1А2, /гА»
J2A2, каждая из которых состоит из шести звеньев. Fz= — гВс—
= — {4 В6 = — =0,03125.
2 1 \ 2 /) 32
6. Коэффициент инбридинга породы. Если мы случайным образом
выберем линии предков, дающие большое число животных мужского
и женского пола, образующихся также при случайном скрещивании, и
через I обозначим долю случаев, в которых пара линий приводит к об-
щему предку, то за коэффициент инбридинга породы в целом можно
принять Е=-^-/(1+Еа), где Fa — средний коэффициент инбридинга
общих предков.
7. В современных человеческих сообществах браки между близки-
ми родственниками довольно редки. Определенные типы близкого ин-
РОДОСЛОВНЫЕ С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ИНБРИДИНГОМ
323
бридинга запрещены законом. Дети родных братьев, являющиеся дво-
юродными сибсами, но носящие одну и ту же фамилию, на китайском
языке также называются «братьями и сестрами» и в китайском обще-
стве принимаются за братьев и сестер. Вопрос о возможности браков
между ними даже не ставится. Однако дети родных сестер или брата
и сестры, носящие различные фамилии, могут заключать браки друг с
другом. В Китае не могут заключать браки между собой даже трою-
родные братья и сестры по отцовской линии с одной и той же фамилией.
В Англии брак двойных двоюродных сибсов совершенно законен,
брак дяди и племянницы не узаконен, но и не является преступлением,
а брак полубрата и полусестры преступен. Однако с генетической точ-
ки зрения эти три типа родства одинаково близки и каждый из них име-
ет коэффициент родства, равный — .
8. Предположим, что при изучении популяции получены следую-
щие данные:
Тип скрещивания
Частота
скрещивания
Число детей
с рецессив-
ным призна-
ком
Частота родителей этих
детей
Не родственники со=0,96 1536 ^о=0,8982
Двоюродные сибсы Сх=0,01 65 ^=0,0380
Двоюродные полусибсы С] 5=0,02 81 й, 5=0,0474
Троюродные сибсы с2=0,01 ' 28 *2=0,0164
Сумма 1 1710 1
Какова частота рецессивного гена в этой популяции?
Ответ: сначала рассчитываем
ф=У] = —+ — + — = 0Д01406
Ы 16 32 64
и Ф&о = 0,001406-0,8982 = 0,001263. Из (16) получаем
а = ®fe<> = 0,001263 0 02
4 (Ч> —&о) + ф^о 0,0618 4-0,001263
Если мы хотим оценить q с помощью величин Q и klt то воспользуемся
тем, что
£ _ ci R1 _ С1 [?2+Р?/16] = ct[g4- (1 — д)/16]
1 R q + Ф (1 — q)
Решая это уравнение, получаем
<7= [cj./16 —^Ф]/[(^ — сх)+ (^/16-^0)]. (17)
Подставляя числовые значения Ci—0,01, ^ = 0,038 и Ф = 0,0014, нахо-
дим, что числитель равен
cj/l 6 — £j. Ф = 0,000625 — 0,000053 = 0,000572.
Теперь можно вычислить q.
0,000572 _ по
q =-------------- = 0,02.
0,0284-0,000572
Данное значение совпадает с предыдущим ответом. Если мы приравня-
ем друг другу два выражения для q, т.е. (16) = (17), то получим
ф = _c,l(co ~ t (18)
16 (Cofei —Cj^o) ‘
Для нашего числового примера мы получаем точное значение Ф=
=618/439968=0,0014.
21*
ГЛАВА 19
Ассортативное скрещивание
Мы уже обсудили результаты инбридинга, основанного на родстве
партнеров по скрещиванию. Теперь вкратце рассмотрим результаты
скрещивания, основанного на фенотипическом сходстве скрещиваю-
щихся индивидуумов. Прежде чем предпринять анализ подобного скре-
щивания, полезно остановиться на некоторых свойствах гармонических
последовательностей.
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Гармонической последовательностью называется последователь-
ность, члены которой обратны членам арифметической прогрессии. Та-
ким образом, ряд
С С С С ...
ип — — , и1 =------, и2~------,, ип =---------- (1)
ь ь k ь 2& ь tik
представляет собой гармоническую последовательность, в которой С,
Ь и k — константы и п=0, 1, 2, 3, .... Общий член последовательности
(1) можно выразить через uq. Так, умножая и числитель и знаменатель
ип на и0, мы получим формулу
ц = Сщ /2^
71 &«0+nfe/z0 С + nkug ’
позволяющую получить п-й член гармонической последовательности,
если дан ее первый член и заданы константы С и k. Обратив внимание
на то, что b-[-nk = Clun и
ГС С С
и.. —----------=---------=---------,
"+1 b + (n+l)A b + nk+k C/ttn + k
можно сразу получить рекуррентное соотношение между двумя сосед-
ними членами последовательности (1):
Оно известно также под названием «уравнения последовательности»
гармонического ряда.
§ 2. ПОЛНОСТЬЮ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
Предположим, что дана популяция (г, 2s, t), где r+2s+t= 1, и что
ген А полностью доминирует над а. Если все скрещивания происходят
между особями одного и того же фенотипа (т. е. особи с доминантным
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
325
признаком скрещиваются только с особями, обладающими доминант-
ным признаком, и особи с рецессивным признаком скрещиваются толь-
ко с особями, обладающими рецессивным признаком), то суммарная ча-
стота скрещивания особей с доминантными признаками будет равна r-f-
-|-2s=l—t, тогда как частота скрещивания особей с рецессивными при-
знаками будет равна просто Z-й доле всех скрещиваний. Частоты скре-
щиваний и соответствующих им потомков даны в табл. 19.1. Частоты
трех генотипических скрещиваний типа ДомХДом пропорциональны
членам уравнения (r-|-2s)2=r24-4rs-|-4s2.
Таблица 19.1
Полностью положительное ассортативное скрещивание
Скрещивание Частота Потомки
AA Aa aa
ААХАА Л3 r2 0 0
1 — t 1—i
ААхАа irs 2rs 2rs 0
1 — t 1 — t 1 — t
АаХАа 4s2 s3 2s3 s3
1 — t 1 — t 1 — t 1 — t
ааХаа t 0 0 t
Сумма 1,00 (r + s)2 2s (r + s) s2 4 4
1 — t 1 — t 1 — t I
При рассмотрении табл. 19.1 прежде всего следует отметить, что
при положительном фенотипически ассортативном скрещивании часто-
та гена не изменяется. В популяции родителей частота гена А равна
pn=r-[-s, тогда как в популяции потомков она равна
п _ (г + s)4 I s(r+s) _ (г + s) (г + 2s) _ ,
+ ------r + s-P»'
(4)
Однако частоты генотипов в популяции существенно изменяются. Обо-
значим через Н, как это принято, долю гетерозигот в популяции. Тогда
Hn=2s и
н 2s (г + s) _ (r + s)Hn
"+1 1 — t r + s + s*
:(5)
Умножив числитель и знаменатель на 2 и подставляя r+s=p и 2s=
=Нп, мы получим
Н 2РНп
"+1 2р + я„ ’
(6)
что является рекуррентным соотношением для Н при фенотипически
полностью положительном ассортативном скрещивании. Выражение
(6) имеет тот же вид, что и уравнение последовательности (3) гармо-
нического ряда, в котором k= 1 и С=2р. Здесь рекуррентное соотноше-
ние для Н зависит от частот генов. В этом плане оно не похоже на ли-
нейное рекуррентное соотношение для Н при инбридинге, основанном
на родстве. Являясь гармонической последовательностью, общее выра-
326
ГЛАВА 19
(7)
жение для Нп после п поколений ассортативного скрещивания в соот-
ветствии с формулой (2) будет иметь вид
Н = 2рЯ°
71 2р+пН0'
Поскольку р и Но — константы, предельная величина Нп при неограни-
ченном возрастании п равна нулю. Однако в данном случае скорость
снижения Н, вообще говоря, намного меньше, чем при близком инбри-
динге, особенно после нескольких начальных поколений.
Если исходная популяция панмиктическая, то мы имеем Ho=2pq\
уравнение последовательности (6) остается неизменным, однако выра-
жение для его общего члена (7) превращается в
Нп = —
1 + nq
Чем больше q, тем быстрее уменьшается величина Н.
(8)
§ 3. ПОЛНОСТЬЮ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
Если особи одинакового фенотипа не скрещиваются, а все скрещи-
вания происходят между особями с доминантным признаком и особями
с рецессивным признаком, то существуют только два типа исходных
скрещиваний, а именно
ааХАА и ааХАа.
Рис. 19.1. Гетеростилия у цветковых растений.
Генотипы: АА — нежизнеспособный, Аа — короткопестичный, аа — длиннопестичный.
Ясно, что в следующем поколении гомозиготы по доминантному аллелю
будут отсутствовать. Поэтому в последующих поколениях все скрещи-
вания обязательно будут типа ааХАа и дадут равные численности по-
томков аа и Аа. Следовательно, равновесное состояние
достигается сразу же, каким бы ни был первоначальный состав попу-
ляции. Этот вывод, по-видимому, дает удовлетворительное объяснение
гетеростилии у многих цветковых растений (Linaceae, Primulaceae,
Plumbaginaceae, Boraginaceae, Scrophulariaceae, Rubiaceae и т. д.).
Длина пестика, по-видимому, контролируется одной парой генов, при-
чем короткие пестики доминируют над длинными; гомозиготы, по гену
«короткопестичности», вероятно, нежизнеспособны (рис. 19.1). В есте-
ственных условиях короткопестичные цветки получают пыльцу от длин-
нопестичных, а длиннопестичные — от короткопестичных. Едва ли здесь
имеет место какое-нибудь самооплодотворение или скрещивание меж-
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
327
ду цветками с одинаковым генотипом. Поэтому в естественных попу-
ляциях растения обоих типов одинаково многочисленны.
Отрицательное ассортативное скрещивание фактически имеет мес-
то во всех раздельнополых популяциях вследствие существования ме-
ханизма определения пола. Если в приведенном выше обсуждении мы
отождествим ген а с Х-хромосомой и ген А с Y-хромосомой, то увидим,
что в популяции происходят скрещивания только типа XXXXY; следо-
вательно, в равновесном состоянии популяция состоит из равных долей
•особей XX и XY. Половой диморфизм можно, таким образом, рассмат-
ривать как результат фенотипически полностью отрицательного ассор-
тативного скрещивания в состоянии равновесия.
§ 4. НЕПОЛНОСТЬЮ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
При обсуждении полностью отрицательного ассортативного скре-
щивания было показано, что условие равновесия не зависит от перво-
начального состава популяции. Можно также показать, что это явля-
ется общим свойством отрицательного ассортативного скрещивания —
как полного, так и неполного. В отношении данного свойства отрица-
тельное ассортативное скрещивание несколько напоминает случай с ал-
лелями самостерильности, описанный в гл. 9.
Рассмотрим произвольную популяцию, состоящую из D особей с
доминантным и R особей с рецессивным признаками (О + Р=1). Если
бы скрещивания происходили случайно, то частоты скрещиваний ДомХ
ХДом, ДомХРец -и РецХРец были бы равны D2, 2DR и R2 соответст-
венно. Используя эти величины как стандартные, будем считать w дро-
лей недостающих скрещиваний между одинаковыми фенотипами в
сравнении с аналогичными частотами при свободном скрещивании. Тог-
да частоты скрещиваний в популяции будут равны
ДомХДом ДомХРец РецХРец
£>2(1— w) 2ОД(1— и>)+ш R2(l— w) (9)
Для того чтобы рассчитать соотношения в поколении потомков при
этой системе скрещивания, предположим далее, что из доминантных
особей d являются гомозиготами и h — гетерозиготами (dA~h=D) и
что скрещивание внутри группы особей с доминантным признаком осу-
ществляется случайно. Иначе говоря, частоты скрещиваний генотипов
внутри группы доминантных особей равны d2, 2dh, h2. Частоты потом-
ков от (1—w) (£’2+2Z)P+P2) скрещиваний можно получить сразу из
правила для случайного скрещивания (см. табл. 3.1). Частоты потомст-
ва от дополнительных w скрещиваний особей с несходными генотипа-
ми будут следующими:
w(AA х аа)->~ w {Да},
~w(AaXaa)~^^w{Aa} +^~w{aa}.
Поскольку p — d-\—^-h и q= -—h-^R, поколение потомков будет состо-
ять из особей:
АА
р2(1— W)
Аа
2pq (1— w) +-£- w
аа
„ h (Ю)
?2(1— ®)+~ w,
328
ГЛАВА 19
так что Новой частотой генов А станет
р' = р2(1—О1)+Р9(1 — &) + = — ® + ^}-
(И)
Последние два выражения доказывают, что при отрицательном ассор-
тативном скрещивании частоты генотипов, так же как и частоты ге-
нов, меняются из поколения в поколение. Однако из (11) мы видим, что, 1
когда р'=р, какой бы ни была величина ш. Это состояние яв-
ляется устойчивым равновесием, в чем можно убедиться благодаря то-
му факту, что при -j- р падает, а при D<Z~ р возрастает. Равно-
весные величины duh находят из дополнительного условия
Я = <72(1._Ш)+^ = [-Lh + R]\l-w)
Таблица 19.2
Условие равновесия в популяции с отрицательным ассортативным скрещиванием1
(12)
Частота генотипов Частота скрещиваний
АА Аа аа ДомХДом ДомХРец РецХРец
0,10 0,0742 0,4258 0,5000 0,225 0,550 0,225
0,30 0,0536 0,4464 0,5000 0,175 0,650 0,175
0,60 0,0359 0,4641 0,5000 0,125 0,750 0,125
0,70 0 0203 0,4797 0,5000 0,075 0,850 0,075
0,90 0,0064 0,4936 0,5000 0,025 0,950 0,025
1,002 0 0,5000 0,5000 0 1,000 0
1 В первом столбце выписаны величины w, означающие доли недостающих скрещиваний между
особями сходных фенотипов (по сравнению с частотами прн свободном скрещивании). При равнове-
сии w является коэффициентом корреляции между скрещивающимися фенотипами. Эти условия
равновесия не зависят от первоначального сЬстава популяции.
2 См. упр. 6.
После подстановки D=R= это уравнение примет вид
1 /1 1 \2
V = ( 2 + 2) (1— w) + hw-
Решая его, мы получим
h = -(1 + ш) + И2(1 + ш)]
1 — W
(13)
и ^=~-----h. Частоты генотипов в равновесной популяции для различ-
ных величин w даны в табл. ,19.2. Наиболее значительный вывод из
проведенного нами анализа заключается в том, что особи с доминант-
ным и рецессивным признаками присутствуют в популяции в равных
долях, даже если отрицательное ассортативное скрещивание является
неполным.
Частоты фенотипических скрещиваний при равновесии равны
Дом X Дом ДомХРец РецХРец
-у(1—а,) О4)
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
329
Величины (14) также приведены в табл. 19.2. Два варианта скрещива-
ния между особями одного и того же фенотипа встречаются с равной
частотой при любой степени отрицательной ассортативности. Коэффи-
циент корреляции между скрещивающимися фенотипами в равновесной
популяции равен —w (упр. 7).
§ 5. ОТСУТСТВИЕ СКРЕЩИВАНИЙ
МЕЖДУ ОДИНАКОВЫМИ ГЕНОТИПАМИ
В природе, несомненно, существует много различных типов положи-
тельного и отрицательного ассортативного скрещивания, и наши знания
о действительно имеющихся у разных организмов системах скрещива-
ния очень ограниченны. Специалисты по биометрии исследовали боль-
шое количество модельных систем, которые могут как соответствовать,
так и не соответствовать какой-либо реальной биологической ситуации;
в любом случае, однако, они проливают свет на некоторые свойства по-
пуляций. Можно построить бесконечное множество таких систем, одна-
ко здесь мы упомянем только одну довольно простую, для того чтобы
обсудить на ее примере те проблемы, которые были исследованы за по-
следние годы целым рядом авторов [51, 149, 159, 266, 267, 476, 564, 639,
€58 и др.]. Для одного из типов отрицательного ассортативного скре-
щивания характерно отсутствие скрещивания особей с одинаковым ге-
нотипом. Для простоты предположим, что все другие скрещивания про-
исходят случайным образом. Пусть D, Н, R— частоты в некотором по-
колении АА, Аа, аа соответственно; £>4-Д-|-/?=1. Тогда частоты
скрещиваний различных типов будут такими, как показано в табл. 19.3,
где
T = D(1 — D) А-Н(1 — Н) + Д(1—/?) = 1—D2—№ —Д2 =
= 2(DH +DR + HR). (15)
Можно рассчитать частоты в потомстве от скрещивания каждого типа
в предположении, что отбор по плодовитости отсутствует. В следующем
поколении частоты генотипов будут:
D' = DH/T,
Н' = (DH + 2DR + HR)/T,
R' = HR/T, (16)
так что £)'+#'+#'= 1. При такой системе скрещивания отношение ча-
стоты АА к частоте аа сохраняется постоянным из поколения в поко-
ление
= = D=RR. (17)
Величина отношения определяется, конечно, исходной популяцией. Это
означает, что в системе треугольных координат (гл. 1) популяционная
точка движется вдоль некоторой прямой линии (определяемой величи-
ной К) от вершины к основанию треугольника. Частота гетерозигот
равна
Н = \-D~ R~ 1)7?. (18)
Таким образом, нам осталось только найти стационарную величину R
при данной системе скрещивания. Приравнивая R'=HRIT—R, мы по-
лучим условие
Н --=Т
(19)
22—322
330
ГЛАВА 19
и из (18) и (15) имеем 1 — (К+ 1)Д= 1 -(W-H — (К+ 1)R12—R2. (19') Решая это уравнение, получим 4(^ + /<+1) • (20) Таблица 19.3 Частоты скрещиваний различного типа при допущении, что особи одинакового генотипа не скрещиваются, а все другие скрещивания происходят случайным образом АА Аа аа Сумма D И R
АА D Аа Н аа R 0 DH DR DH 0 HR DR HR 0 S' £ £ Ill Q S’ S
D(l-D) H(l-H) R(l-R) T
Итак, для каждой величины К, определяемой данной популяцией, су-
ществует некое стационарное состояние. Для всех возможных величин
К имеется некое геометрическое место точек стационарных популяций.
Соответствующее им уравнение можно получить из второго выражения
(16), заметив, что Н'=Н=Т. Оно сводится к следующему [149]:
н[н----y]^DR- (21) ’
Это уравнение аналогично уравнению H2=ADR для обычной популя-
рно. 19.2. Пути перемещения к стационарному состоянию для популяций с системой
скрещивания, заданной в табл. 19.3.
Горизонтальная штриховая линия соответствует Н = верхняя кривая соответствует н(н——
2 \ 2 )
•“DR, геометрическому месту стационарных точек для популяций с разными значениями D/R—K^
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
331
ции со случайным скрещиванием (гл. 1). Графически уравнение (21)
изображено на рис. 19.2. Ясно, что в стационарной популяции частота
гетерозигот должна превышать величину 0,50. Максимальное значение
Н поддерживается при D=R или К=\. Сделав подстановку в (20), мы
получаем D=R=(3—]/*3)/6=0,211235, а из (18) Н= ]/"3/3=
=0,577350. Подставляя в (21) D=R = ~-(\—Н), мы имеем
н(н — —}= —(1—Ну,
( 2 ) 4 '
откуда Я2= у и Н=у/Гу=0,57735.
Описанное выше равновесие устойчиво, оно подробно обсуждается в
работе Фолка и Ли [169]. Мы ограничимся здесь следующими двумя
„ 1
простыми числовыми примерами с д= —:
Поколе- ние D Пример I Н R Пример II
D И R
0 0,100 0,700 0,200 0,200 0,400 0,400
1 0,152 0,544 0,304 0,125 0,625 0,250
2 0,141 0,578 0,281 0,147 0,559 0,294
оо 1/7 4/7 2/7 1/7 4/7 2/7
Замена К на 1/К приведет к взаимной перестановке величин D и R, но
не повлияет на Н вследствие симметрии стационарной линии (21). Если
за счет случайной флуктуации величина DIR = R в популяции изменит-
ся, то популяция будет приближаться к стационарному состоянию, оп-
ределяемому новой величиной К., и не будет возвращаться к состоянию,
определяемому своей первоначальной величиной К. Другими словами,
перемещение популяции ограничено прямой линией, проходящей от
вершины к-основанию треугольника. Если популяция переместится на
другую линию, то она будет двигаться вдоль новой линии. Это очень
интересный тип равновесия, когда стационарная линия устойчива, а
различные величины К. нейтральны.
Можно построить много других систем ассортативного скрещива-
ния, а также ввести в них отбор. Для рассматриваемой системы скре-
щивания действие отбора проявляется в смещении стационарной линии
вверх или вниз [169].
§ 6. ДРУГОЙ ТИП АССОРТАТИВНОГО СКРЕЩИВАНИЯ
Еще один тип ассортативного скрещивания, исследованный Финне-
ем [159], Уоркманом [658] и Карлином и Фельдманом [266, 267], ха-
рактеризуется отсутствием скрещиваний типа ААХАА и АаХАа, одна-
ко при этом общая частота скрещиваний пропорциональна частоте ро-
дителей женского пола в популяции. Смысл подобной модели стано-
вится ясным, если обратиться к растениям. Пусть, как и раньше, D, Н,
R будут частотами АА, Аа, аа соответственно; DA-H-\-R = \. Рассмот-
рим родительское растение женского пола АА, которое образует D се-
мяпочек (А). Все семяпочки будут оплодотворяться пыльцой растений
Аа и аа, но не растений АА. Стало быть, среди участвующей в оплодот-
ворении пыльцы соотношение типов следующее: — Н: — H-\-R- Деле-
22*
332
ГЛАВА 19
Таблица 19.4 '
Система, в которой отсутствуют скрещивания и АаУ.Аа, а частота скрещиваний
других типов пропорциональна частоте родителя женского пола
Родитель женского пола Образуемые семяпочки Пыльца Потомки
(Д) (а) AA Aa aa
АА Аа аа D (А) Т* И) (о) R (а) > Tff+R — DM 2 D(~TH+R} 0 iDH
H + R Н 4- R D R H±R H + R H 2 r(d+-±-h^
D + R D + R ~H+R D±R 0 D + R R^H + R}
1,00 Сумма D' H’ R'
ние на H-\-R = l—D дает частоты, в сумме составляющие единицу
(табл. 19.4). Аналогичной будет ситуация и для родительского женско-
го растения Аа, которое образует ~Н(А) и Н(а) семяпочек; они
будут оплодотворяться пыльцой растений АА и аа, но не растений Аа.
Наконец, для родительского женского растения аа пригодна пыльца от
всех растений популяции. Соотношения в потомстве, получаемом при
таком скрещивании, даются в табл. 19.4, из которой можно получить
следующие рекуррентные соотношения:
2 D + Rl
?D(H + 2R) , И , R(2D + H)
2(H + R) 2 2
R' = R [-------+ — + R •
|.2(D+R) 2
(23)
(24)
(25)
Имеется много различных способов записи таких рекуррентных соотно-
шений. Например, (H-[-R) (D-{-R) = (1—D) (1—H)=R-[-DH. Приве-
денные выше выражения взяты из табл. 19.4. Разбирая уравнения
(23) — (25), можно сразу же прийти к двум решениям (стационарным
состояниям):
(Р,Я,/?) = (0,0,1) или^у, у, о). (26)
Более того, оба решения соответствуют устойчивым состояниям. Это
означает следующее: если популяция близка к стационарному состоя-
нию, то она будет приближаться к нему как к некоему пределу. Про-
блема устойчивости стационарного состояния будет детально обсуж-
даться в главах об отборе (гл. 21—23). Здесь же отметим, что сущест-
вование двух стационарных состояний приводит к существова-
нию третьего неустойчивого стационарного состояния, находяще-
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
333
гося где-то между двумя устойчивыми состояниями. Чтобы найти его,
будем иметь в виду, что p~D-\- -^-Н и q=-~-H-]-R являются частота-
ми генов. При равновесии R'=R; это означает, что величина в скобках
в формуле (25) равна единице, но ~H-]-R = q. Следовательно,
p = D+ — Н =--------1-1--
Г 2 2 (1 — Н)
2(1-Я)
(27)
Рнс. 19.3. Стационарные состояния в системе скрещивания, заданной в табл. 19.4.
Черные кружки — устойчивое состояние; светлый кружок — неустойчивое состояние. Штриховая ли-
ния служит границей между двумя областями притяжения.
И
R = I —D — H ==2~4^ + //2. (28)
2(1-Я)
Аналогично при равновесии D'—D. Из (23) мы имеем
Решая это уравнение, получаем
(29)
2 — ЗН
Приравнивая друг другу оба выражения для D, т. е. (27) и (29), имеем
[226, 227]
№ + 8№ — 127/ + 4 = 0. (30)
Решением, приемлемым с точки зрения генетики, будет Я* = 0,544198.
Один из двух других корней уравнения отрицателен, а второй равен
0,78755, что дает р>1, т. е. генетически оба бессмысленны. Используя
значение Н* = 0,5442 из (27) и (28), мы можем рассчитать величины/)*
и R*. Неустойчивая стационарная точка
(£>, Я, R)* = (0,3249; 0,5442; 0,1309)
изображена в виде светлого кружка на рис. 19.3; два устойчивых
334
ГЛАВА 19
положения отмечены черными кружками. Штриховая линия, проходя-
щая через неустойчивую точку, делит всю площадь треугольника на
два участка, или области. Все популяции из правой области будут стре-
миться к состоянию Oj , а популяции из левой области будут
приближаться к состоянию (0, 0, 1). Только те популяции, которые на-
ходятся точно на штриховой линии, будут приближаться к (£), Н, R)*.
Небольшое отклонение от этой кривой может заставить популяцию дви-
гаться в направлении к (0, 0, 1) или oj . Уравнение такой
штриховой линии (разделяющей граничной линии) еще не найдено.
§ 7. АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
ПО КОЛИЧЕСТВЕННЫМ ПРИЗНАКАМ
В предыдущих параграфах системы скрещивания рассматрива-
лись в отношении одного аутосомного локуса, а такое рассмотрение не-
сколько произвольно. Мы привели их главным образом для иллюстра-
ции возможных генетических последствий при разных системах ассор-
тативного скрещивания. Теперь обсудим обычное положительное
ассортативное скрещивание, основанное на фенотипическом подобии ро-
дителей в отношении какого-либо количественного признака (напри-
мер, роста), контролируемого многими локусами. Чтобы вкратце рас-
смотреть этот вопрос, обратимся к простой ситуации, когда генные эф-
фекты разных локусов равны и аддитивны и все гены разных локусов
имеют одинаковые частоты. Для дальнейшего упрощения эффект гена
можно принять за единицу. Все эти допущения можно суммировать
следующим образом:
частота (Л, а)=частота (В, Ь)= . . . =(р, <?),
эффект (Л, а)=эффект (В, Ь)= . . =(1, 0),
Y (Аа ВВ сс Dd)=Y (Ла)+У(ВВ)+У(сс)+У(Ш)=.1+2+0+1=4, (31)
где У —значение количественного признака для данного генотипа (ге-
нотипическое значение). Хотя некоторые из общих свойств, подлежащих
описанию, касаются п локусов, наш конкретный пример ограничивает-
ся только двумя локусами. Таким образом, значения генотипов по двум
локусам будут следующими:
ААЬЬ
Aabb ААВЬ
Генотипы aabb АаВЬ ААВВ
ааВЬ АаВВ
ааВВ
Фенотипические 0 1 2 3 4
значения
(32)
Видно, что генотипические значения всегда равны просто числу пропис-
ных букв (или положительных аллелей), содержащихся в обозначении
генотипа. В случаях двух локусов генотипическое значение 2 имеют осо-
би трех генотипов, а именно: ААЬЬ, АаВЬ, ааВВ- В общем случае п ло-
кусов фенотипические классы, кроме самых крайних, состоят из мно-
жества различных генотипов.
Положительное ассортативное скрещивание в отношении какого-то
количественного признака (например, роста) означает, что скрещива-
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
335
ния типа ВысокийХВысокий, СреднийХСредний, НизкийХНизкий
встречаются чаще, чем при случайном скрещивании. Предпочтение
партнеров по скрещиванию примерно одинакового роста приводит к
положительной корреляции по росту между партнерами и к положи-
тельной корреляции между аллелями локусов, определяющих рост.
Иллюстрируя в соответствующих главах влияние инбридинга на
популяцию, мы ограничились однолокусной моделью и не останавлива-
лись на случаях с двумя и более локусами, так как при инбридинге, ос-
нованном на генетическом родстве родителей, нет корреляции между
аллелями разных локусов. Ранее мы использовали F для обозначения
корреляции между объединяющимися гаметами, которая является так-
же и корреляцией между аллелями одного локуса. Здесь же при рас-
смотрении ассортативного скрещивания на основе фенотипических ве-
личин необходимо разграничить корреляцию объединяющихся гамет
(F) и корреляцию аллелей ([).
Пусть г (А, Л) будет корреляцией между двумя аллелями локуса
(Л, а); мы не даем здесь ее строгого определения. Положительное ассор-
тативное скрещивание приводит к ненулевому г (А, А), так как скре-
щивания типа ВысокийХВысокий и НизкийХНизкий встречаются ча-
ще, чем при случайном скрещивании. Точно так же будет существовать
и корреляция г (В, В). Опять же обходясь без строгого определения,
обозначим через г(В, Л) корреляцию между аллелями локуса (Л, а) и
аллелями локуса (В, &). Скрещивание, ассортативное по фенотипичес-
ким значениям, приводит также к установлению г {А, В), поскольку это
значение определяется как локусом (Л, а), так и локусом (В, Ь). Лю-
бой «положительный» аллель (или прописная буква) в генотипе имеет
одинаковое по величине действие на количественный признак независи-
мо от того, к какому локусу принадлежит этот аллель. Другими слова-
ми, в аддитивной модели (32) стирается отличие между локусами и
различается только состояние аллеля (соответствующее прописной или
строчной букве). Нет разницы между Л и В, а равно и между а и Ь, но
имеется разница между состояниями, обозначенными прописными бук-
вами (Л или В) и строчными буквами (а или &). Можно показать, что
в равновесной популяции [87, 664, 703] корреляции между аллелями
независимо от того, принадлежат они одному локусу или разным, оди-
наковы:
f = г(Л,Л) = г(В,В) = г(Л,В). (33)
Это равенство выражает характерное свойство ассортативного скрещи-
вания. При инбридинге г(Л, А)—г (В, B)=f=F, однако г (А, В)=0.
Отношение (33) подразумевает, что частоты генотипов по одному локу-
су и частоты гамет по двум генам одинаковы, что показано ниже:
Первый локус АА Аа аа
Или второй локус ВВ ВЬ ьь
Или гаметы АВ АЬ+аВ ab (34)
Частоты одинаковы p2+fpq 2pq—2fpq q2+fpq
Теперь введем случайные переменные. Пусть Л1 — случайная пере-
менная (или аллель), с вероятностью р имеющая величину 1 и с вероят-
ностью q имеющая величину 0. Среднее значение такой переменной рав-
но р, а ее дисперсия равна pq. Если Л2 — такая же переменная, корре-
лирующая с Л1 с коэффициентом корреляции f, то ковариация между
этими двумя переменными равна Cov (Ль A2)=fpq. Подобным образом
мы определим случайные переменные Bi, В2, Ci, С2 и т. д. Далее мы
предположим, что эти переменные коррелируют в равной степени, т. е.
любая пара из них имеет коэффициент корреляции f и ковариацию fpq.
336
ГЛАВА 19
Исходя из определенных таким образом случайных переменных,
значение количественного признака у любой особи (с генотипом из п ло-
кусов) можно выразить как сумму 2п одинаково распределенных и рав-
но скоррелированных переменных:
У = Д1 + Д2 + В1 + В2 + С1 + С2 + ... (35)
с общей дисперсией для популяции
cfy = 2п (pq) + 2п (2п — 1) (fpq) = 2п [1 + (2п — 1) f] pq. (36)
При случайном скрещивании общая дисперсия будет просто равна
2n(pq) без члена 2п(2п—l)fpq, обусловленного корреляцией между ал-
лелями. Дисперсия (36) популяции с ассортативным скрещиванием мо-
жет быть гораздо больше, чем дисперсия для популяции со случайным
скрещиванием вследствие ее зависимости от п и f. Ковариация между
величинами У1=А14-Аз4-В14-В34-... и Y2—A2+A4+B2+B4+... двух осо-
бей популяции равна
Cov (Уь У2) = Cov [(Ах + Д3 + + В3 +••.) (Д2 + Д4 + В2 + +••.)] =
= (2п)2 (fpq). (37)
Генетическая корреляция между партнерами по скрещиванию имеет вид
т = Cov(yi'.ygl =-----------------------2^------. (38)
4 1 + (2п—1) f
В последнем выражении выявляется еще одно фундаментальное разли-
чие между фенотипически ассортативным скрещиванием и инбридингом.
Когда f мало (т. е. очень мало увеличивается гомозиготность локусов),
корреляция между партнерами по скрещиванию может быть все-таки
очень высокой, если количественный признак определяется большим
числом локусов. Например, когда f=0,04 и п=12, генетическая корре-
ляция между партнерами по скрещиванию будет в соответствии с (38)
равна
24(0,04) 0,96 л
т = ————= 0,50.
1 4-23(0,04) 1,92
Основной вывод состоит в том, что сильная корреляция между партне-
рами по скрещиванию в отношении величин признака, определяемого-
многими локусами, вызывает очень слабое увеличение гомозиготности
локусов. Если бы величина т=0,50 была обусловлена инбридингом, то-
коэффициент инбридинга был бы F=mf(2—т) = 1/з, что подразумевает
большое увеличение гомозиготности локусов. Следовательно, при ассор-
тативном скрещивании, как и при инбридинге, происходит очень незна-
чительное увеличение частоты редкого рецессивного наследственного
заболевания у человека.
§ 8. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ ОБЪЕДИНЯЮЩИМИСЯ ГАМЕТАМИ
В терминах случайных переменных, определенных в предыдущем
параграфе, гаметы, состоящие из п генов (по одному из каждого локу-
са), можно представить как
= Ах 4- Bi 4- •••, ёг ~ Аа 4~ 4~ ... (39)
Каждая гаметическая переменная имеет дисперсию
ol = n(pq) + ti(n—l)(fpq) = n[l + (п — 1) f] pq, (40)
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
337
а ковариация между gi и gz равна
Cov (£х, g-2) = Cov [(Xi + Bi...) (Az +B2 + ...)] = n2 (fpq). (41)
Поэтому корреляция между двумя объединяющимися гаметами имеет
вид
F = г (glt g2) = CovU-1- g2)- --. (42)
02 l + («-l)f V f
Это выражение подобно (38), за исключением того, что 2п заменены на
п. Используя (38) и (42), легко убедиться в том, что
а эти равенства подобны соотношениям, свойственным равновесной попу-
ляции с коэффициентом инбридинга F. Это означает следующее: если
исследовать ассортативное скрещивание с помощью величин F, то неко-
рые свойства ассортативного скрещивания оказываются одинаковыми
со свойствами инбридинга. Так, например, пусть b — коэффициент пути
от особи к гамете, образованной ею, а а — коэффициент пути от объеди-
няющейся гаметы к образующейся особи; тогда &2 = (l+F)/2 и а2 =
= l/2(l-(-F), как показано в гл. 15. При этом в равновесной популяции
a2&2=_L ab = —, (44)
4 2 v ’
т. е. величина пути от родителя к ребенку равна ab = vl2 независимо от
того, происходит в популяции случайное скрещивание, инбридинг или
ассортативное скрещивание.
Состав равновесной популяции зависит от частоты генов, а также
от корреляции между партнерами по скрещиванию. Поскольку при скре-
щиваниях различных типов может возникать одна и та же корреляция
между партнерами по скрещиванию, общего выражения для состава
равновесной популяции нет. Чтобы определить состав данной популя-
ции, необходимы дополнительные допущения, касающиеся типа скре-
щивания. Райт [664] дает числовые примеры с р = <7 = -^-и при дополни-
тельном предположении, что гаметы всех типов имеют одинаковую дис-
персию. Пример Ли [403, 404] основан на предположении, что додя т
всех скрещиваний относится к скрещиваниям между особями с одина-
ковой величиной признака и 1—т скрещиваний происходит совершенно
случайным образом. В такой системе скрещиваний между партнерами
всегда будет возникать корреляция т. Алгебраические и арифметиче-
ские подробности примеров с двумя локусами можно найти в двух упо-
мянутых выше работах.
§ 9. НАСЛЕДУЕМОСТЬ И КОРРЕЛЯЦИЯ
Изложенный выше анализ проводился для количественного приз-
нака У, определяемого несколькими генами, без учета (случайных) воз-
действий на него среды. Теперь обозначим через Е случайное воздействие
среды на признак, так что в предположении аддитивности Z=Y+E, где
Z — наблюдаемая величина признака. Если предположить, что У и Е не
коррелируют, то мы имеем
а2 = 4 + <%. (45)
338
ГЛАВА 19
Пусть
/г2 = а2/а2, е2 =
(46)
так что h2 + e2=l. Отношение /г2 называется показателем наследуемости
данного признака, a h = GYlcz является коэффициентом пути от У к Z,
который представляет собой также коэффициент корреляции между У
и Z, как было показано в гл. 14. Сходным образом e = GElaz — коэффи-
циент пути от Е к Z.
При инбридинге (рис. 19.4, слева) главная корреляция между ро-
дителями равна т = г(У, У), что приводит и к фенотипической корреля-
ции между ними rPP=r(Z, Z) =h(tn)h — mh2. Однако при ассортатив-
Рис. 19.4.
I. Инбридинг. Первичной является корреляция между генотипическими значениями двух родителей:
ш=г(У, У). Отсюда их фенотипическая корреляция равна Грр =r-(Z, Z)tnh2 II. Ассортативное скре-
щивание. Здесь первичной является корреляция между фенотипическими величинами двух родите-
лей: Грр—riZ, Z). Тогда их генотипическая корреляция равна tn=r(Y, Y)=r pph2. В последнем слу-
чае имеет место также корреляция между генотипами и средой.
ном скрещивании (рис. 19.4, справа) главная корреляция между роди-
телями равна rPP=r(Z, Z), что приводит к генетической корреляции
между ними т = г(У, У) =h(rpp)h = rpph2. На двух диаграммах рис. 19.4
ясно показано различие между инбридингом и ассортативным скрещи-
ванием.
При инбридинге расчет корреляций между членами семей осущест-
вляется довольно просто (гл. 15). При ассортативном скрещивании, про-
исходящем на основании фенотипических величин признака, ситуация
сложнее, и генетическая корреляция между партнерами скрещивания
должна выводиться из их фенотипической корреляции. Следовательно,
прежде чем мы сможем рассчитать корреляцию между членами семьи,
мы должны преобразовать схему ассортативного скрещивания на рис.
19.4 в схему на рис. 19.5, показав, что исходная фенотипическая корре-
ляция rPP=r(Z, Z) возникла из четырех источников, а именно:
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
339
Переменные для двух партне- (Y, Y) (Y, Е) (Е, Y)
ров по скрещиванию
Корреляция h{rpp)h h(rpp)e e{rpp)h
Ассортативное скрещивание на основе фенотипического сходства харак-
теризуется тем, что оба родителя как бы стремятся иметь сходные фено-
типы независимо от причины такого сходства. Эта близость фенотипов
существует благодаря подобию их генотипов или из-за сходства среды
их обитания, или, наконец, из-за сходства, обусловленного средой для
(Е, Е)
(47)
е ₽р)е
Рис. 19.5. Четыре компонента первичной фенотипической корреляции между родителя-
ми rPp=r(Z, Z), возникающей при ассортативном скрещивании.
Диаграмма получена из диаграммы для ассортативного скрещивания (рис. 19.4, II).
одного из родителей и генотипом—для другого, что показано в (47). Об-
ратившись теперь к рис. 19.5, можно записать суммарную фенотипиче-
скую корреляцию между родителями
rpp = r(Z,Z) = h [грр h2)h + h (rpp he)e + e (rpp he) h + е [грр ей) е =
= грр (h* + 2/г2 е2 + е4) = грр (№ + е2)2 = грр . (48)
Это показывает, что рис. 19.5 согласуется с рис. 19.4. Из четырех источ-
ников, составляющих фенотипическую корреляцию между родителями,
только один имеет генетическую природу, а именно:
m = r(Y,Y) = rpphz.
Итак, опираясь на это обширное введение, мы сможем рассчитать фено-
типическую корреляцию между членами семьи. Для упрощения схемы
все причины корреляции, показанные на рис. 19.5, суммированы в верх-
ней части рис. 19.6 в одну корреляцию rPP, a m = r(Y, У) =гРР№ показана
прерывистой линией (дополнительно) как один из четырех источников
Грр. В равновесной популяции коэффициент пути от родителя к ребенку
равен ab = l/2. Если на время пренебречь общесемейным фактором С, то
из рис. 19.6 видно, что фенотипические корреляции в парах родитель —
потомок и сибс — сибс (т. е. от Z к Z) равны соответственно
(49)
340
ГЛАВА 19
Следует отметить, что при расчете rPo (Z, Z) мы используем фенотипиче-
скую корреляцию Грр, изображенную вверху на рис. 19.6, а при расчете
roo(Z, Z)—генетическую корреляцию tn = rPPh2, отмеченную прерыви-
стой линий.
Рис. 19.6. Фенотипическая корреля-
ция между родителем и ребенком и
корреляция между полными снбсами.
Генотипическая корреляция между роди-
телями показана штриховой линией, так
как оиа является частью корреляции
rpp=r(Z, Z). При расчете корреляции в
паре родитель — потомок используется
полная корреляция грр. При расчете кор-
реляции между сибсами учитывается толь-
ко связь m=m(Y, У) между родителями.
Общесемейный средовой фактор обозначен
через С; он может увеличивать корреля-
цию между живущими вместе сибсами.
Когда имеется какой-либо общесемейный фактор (например, систе-
матические воздействия среды, не скоррелированные со случайными
эффектами среды), который увеличивает корреляцию между растущими
вместе сибсами, следует к выражению (50) добавлять компонент с2, т. е.
'оо-у (1+^'Ф‘+са, (51)
что показано внизу на рис. 19.6. В такого рода случаях запись полной
детерминации фенотипа принимает вид А2 + е2 + с2=1. Соответствующий
числовой пример дан в конце этой главы в качестве упражнения.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Используя (6), покажите, что при полностью положительном
ассортативном скрещивании по одному локусу
ДЯ = Я - Н = -~Я»_,
" «+1 « 2р + Нп
что указывает на уменьшение Н в каждом поколении.
2. Найдите рекуррентное уравнение и общее выражение для
Нп популяций, в которых p = q= — и все скрещивания осуществляются
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
341
между особями с одинаковым фенотипом. Рассчитайте первые шесть
значений Н для исходной популяции (0,30; 0,40, 0,30). Проверьте свои
ответы, используя (4) и (5).
3. Если исходная популяция состоит только из особей, гетерозигот-
ных по доминантному гену, и имеет место полностью положительное ас-
сортативное скрещивание, то чему будут равны частоты зигот в последо-
вательных поколениях?
Указание. 770= 1, р= 1/2 и Нп= 1/(1-{-п).
Ответ: Н : 1, —, —, —, — ..., '/«. После нескольких поколений сниже-
2 3 4 5
ние происходит очень медленно.
4. Даны две исходные популяции (0,10; 0,40; 0,50) и (0,50; 0,40;
0,10). Рассчитайте значения Н в последующих шести поколениях, пред-
полагая, что все скрещивания осуществляются между особями одинако-
вого фенотипа. Какая из последовательностей Н уменьшается быстрее?
п 0 1 2 3 4 5 6
н °>24 " 0,6+0,4п 0,4000 0,2400 0,1714 0,1333 0,1091 0,0923 0,0800
0,56 " 1,4+0,4п 0,4000 0,3111 0,2545 0,2154 0,1867 0,1647 0,1474
5. Проделайте такие же расчеты, как и в упр. 4, для исходных попу-
ляций (0,09; 0,42; 0,49) и (0,49; 0,42; 0,09).
Указание. Используйте (8).
6. Подставляя щ=1 в (13), мы получим соотношение й = 0/0, кото-
рое известно под названием неопределенности и из которого ничего
нельзя сказать о предельном значении h при w->1. Чтобы найти предель-
ное значение h, возьмем по отдельности производные (по w) от числи-
теля и знаменателя (13) и затем в новом отношении для производных
произведем подстановку w= 1. Таким образом,
dt = — (числитель) = — 1 +
dw
1/2 =-1+Щ
2/(1+ш) 2
d« = — (знаменатель) = — 1,
dw
Ыт/г(при 1) = — = 1----------- = 0,5000.
d% 2
7. Коэффициент корреляции (т) между фенотипами в популяции,
где имеет место отрицательное ассортативное скрещивание, можно рас-
считать из следующей таблицы, в которой величина 1 соответствует до-
минантному фенотипу, а 0 — рецессивному. Покажите, что т=—w.
Партнеры по скре- щиванию 1 0 Сумма
1 Т(1~ю) -у (1+ш) 1 2
0 -у- (1+w) -i-(l-w) 4 1 2
Сумма 1 2 1 2 1
342
ГЛАВА 19
8. Приближение к равновесию происходит быстро даже при умерен-
ной степени отрицательного ассортативного скрещивания. Конечно, чем
больше величина w, тем больше скорость приближения к равновесию.
Приведенная таблица является числовой иллюстрацией этого процесса
в произвольной исходной популяции (0,10; 0,60; 0,30), в которой взято
to = 0,90. Частоты генотипов в последовательных поколениях (п) полу-
чены повторным применением формулы (10). Читатель может проде-
лать подобный расчет, используя другую величину w (например, w =
= 0,70) и (или) другую исходную популяцию.
п d h R D P q
0 0,1000 0,6000 0,3000 0,7000 0,4000 0,6000
1 0,0160 0,5623 0,4217 0,5783 0,2971 0,7029
2 0,0088 0,5042 0,4870 0,5130 0,2609 0,7391
3 0,0068 0,4963 0,4969 0,5031 0,2550 0,7450
4 0,0065 0,4941 0,4994 0,5006 0,2535 0,7645
5 0,0064 0,4937 0,4999 0,5001 0,2533 0,7467
6 0,0064 0,4936 0,5000 0,5000 0,2532 0,7468
9. Если все фенотипы А А, Аа, аа отличаются друг от друга и скре-
щивания являются неполностью положительно ассортативными, а сте-
пень корреляции между партнерами по скрещиванию (/и) остается од-
ной и той же в каждом поколении, то такая популяция вскоре достигнет
равновесного состояния. Пусть частоты скрещиваний и частоты потом-
ков будут следующими (k — положительная дробь, p = D+-^-H, q = R +
+ — Н nD + H+R=1A:
2
Партнеры no скрещиванию AA Aa aa Родитель AA Aa aa
AA Dz+k DH DR—k D AA Dp+k Dq—k 0 D
Aa DH H2 HR H Aa ~rHp H
aa DR—k HR R2+k R aa 0 Rp—k Rq+k R
D H R 1 P2+k 2pq—2k q2+k 1
Следовательно,при равновесии
D = р* + k, Н = 2pq — 2k, R = qz + k.
Таким образом, мы видим, что результаты неполностью положительно-
го ассортативного скрещивания этого типа эквивалентны последствиям
инбридинга при k=Fpq. Проверьте равенства
2k 2F
т —------=------,
pq + k 1 + F
pq+3k i t1 t
Стентон [595] приводит величины т и гР0 в последовательных поколе-
ниях, предполагая, что исходной является панмиктическая популяция.
10. Продолжительное полностью ассортативное скрещивание в отно-
АССОРТАТИВНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ
343
шении п локусов приводит к полной гомозиготности популяции. Такую
ситуацию можно проиллюстрировать примерами с двумя парами генов:
частота (Л, а) = (р, q) и частота (В, Ь) = (и, v).
ВВ Bb bb ВВ Bb bb ВВ Bb bb
А4 0,7 0 0 0,7 0,6 0 0,1 0,7 0,1 0 0,8 0,9
Аа 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
аа 0 0 0,3 0,3 0 0 0,3 0,3 0 0 0,1 0,1
0,7 0 0,3 1 0,6 0 0,4 1 0,1 0 0,9 1
Пример I Пример II Пример III
В примере I (р, д) = (и, V) и предельная популяция состоит только из
особей двух крайних типов — р(ААВВ) и q(aabb). В примере II р>и
и популяция состоит из и(ААВВ), (р—и) (ААЬЬ) и g(aabb). Если и>р,
то в популяции будет (и—р) (ааВВ). Промежуточные гомозиготы ААЬЬ
и ааВВ необязательно будут редкими в этой популяции; их частота за-
висит от различия в частотах двух генов. Пример III показывает, что ча-
стота генотипа ААЬЬ в предельной популяции равна 0,80. Подробное
доказательство этого можно найти у Гхая [186].
11. Дженкс и др. [254] нашли, что корреляция пары отец—мать в
отношении IQ равна гРР=0,57, корреляция пары родитель — потомок
гРо — 0,48 и корреляция между полными сибсами, выросшими вместе,
Гоо = 0,52. Поскольку генетическая корреляция между родителями равна
m=rPPh2, мы получаем следующие три уравнения:
rpp = m/h2 = 0,57,
'po“4-(i+rw)'1’ -°'48’
'«“у (1 И.
Решая их, приходим к следующим результатам:
Генетическая корреляция между родителями
Вклад общесемейного средового фактора
Наследуемость (генетическая компонента)
Случайные влияния среды
/п=0,35
с2=0,11
£й2=0,61
1-с2—Л2=е2=0,28
ГЛАВА 20
Мутации генов
Мутации — естественным образом происходящие внезапные и спон-
танные изменения, которые время от времени претерпевают гены,—явля-
ются первичным источником новых аллелей и, следовательно, генетиче-
ской изменчивости. «Новые» мутации, которые мы наблюдаем сегодня,
должно быть, многократно происходили в природе и раньше, так как у
нас имеется достаточно оснований считать, что одни и те же мутации
генов постоянно возникают вновь. Любое изменение, которое повторно
появляется в каждом поколении в течение длительного периода времени,
должно постепенно изменять частоты генов в популяции. Влияние таких
изменений на частоты генов не зависит от системы скрещивания (хотя
к частотам мутантных генотипов это не относится, что будет показано
позднее).
Мутации ведут к увеличению наследственной изменчивости популя-
ции. Данных, свидетельствующих об адаптивности мутационного про-
цесса, не существует. Направление мутирования случайно и не предска-
зуемо. Благодаря мутациям и новым комбинациям генов просто созда-
ется «сырье», с которым далее предстоит работать естественному отбо-
ру. Возникновение наследственных изменений есть часть, и только часть,
механизма эволюции. Происхождение видов — это другая и гораздо
более сложная проблема. Достаточно полное изложение этого предмета
читатель может найти в книге Добжанского «Genetics of the evolutiona-
ry process» (1970).
To, что мы будем говорить здесь о мутациях генов, в равной мере
применимо к хромосомным аберрациям различных типов, которые в при-
роде также возникают спонтанно и с конечной скоростью. Если в локусе
присутствуют множественные аллели, то мы все равно сможем приме-
нить тот же подход, сосредоточив внимание на определенном мутантном
аллеле и рассматривая остальные как один аллель.
§ 1. СУДЬБА ЕДИНИЧНОЙ МУТАЦИИ
Рассмотрим сначала судьбу единичной мутации в популяции, цели-
ком состоящей из особей А А. Предположим, что один из генов А мути-
рует в новый аллель а; тогда во всей популяции появится одна и только
одна особь Аа. При двуполом размножении эта гетерозигота должна
скреститься с особью А А. Если от скрещивания потомков не останется,
то новый аллель а в следующем поколении будет утрачен, и признаки
генотипа аа, полезные или вредные, останутся невыявленными. Если при
скрещивании появится только один потомок, то вероятность того, что
этим потомком будет ДА, равна она же, таким образом, является
МУТАЦИИ ГЕНОВ
345
вероятностью потери популяцией нового аллеля. Даже если потомок
будет иметь генотип Аа, то в следующем поколении по-прежнему будет
только один аллель а. При появлении в результате скрещивания двух
потомков вероятность потерять аллель а равна
так как вероятность
4 ’
иметь двух потомков АА равна -у-. Вместе с тем вероятность того, что
число аллелей а увеличится от одного до двух, также равна — . Это
4
рассуждение распространяется на любое число потомков. Существенно
то, что частота нового аллеля увеличивается и уменьшается или он сов-
сем может утратиться популяцией по чистой случайности.
Пусть k — число потомков, полученных от скрещивания ААхАа.
Вероятность того, что новый аллель а будет отсутствовать у k потомков,
равна j . Чтобы рассчитать общую вероятность потери аллеля а в
следующем поколении, мы должны знать распределение k (т. е. часто-
ты, с которыми скрещивание дает k=0,1, 2, 3, ... потомков). В отсутствие
других предположений подходящим и достаточно хорошим приближени-
ем для распределения k является распределение Пуассона [165, 168].
Чтобы не разбирать вопроса о возрастании абсолютного размера попу-
ляции, предположим дополнительно, что среднее число потомков на
семью равно m = k = 2, т. е. размер популяции остается постоянным. Ча-
стота семей, имеющих k потомков, равна
Pk=e
-mmk -2 2*
— = е —
k\ k\
(I)
Полная вероятность потери мутантного гена а в первом поколении
после появления, таким образом, будет (табл. 20.1).
G=^Pfe^ = e-2(l + l+^ + + + •••} =
k
= е~2 {е} = е-1 = 0,367879, (2)
Таблица 20.1
Вероятность потери новой мутации в следующем поколении после ее появления
Число потомков в семье, k 0 1 2 3 . . . k . . .
Вероятность для семьи иметь k потомков, рь Вероятность потери аллеля а, и е—2 1 2е~2 1 2 22 „ — е—2 2! / 1 \2 \ 2 ] 2s „ .—е-2 3! / 1 у \ 2 / . . . — е—2 k\ /_i_ у \ 2 /
3
что приблизительно равно —. Если он не будет потерян в первом поко-
8
лении, то опять подвергнется такому же риску быть потерянным во вто-
ром поколении. В первом поколении останется, так сказать, только 1—
—0,3679=0,6321 нового аллеля. Следовательно, вероятность того, что он
будет потерян в двух поколениях после своего появления, равна
/2 = е-<1-0,3679> = е~0,6321 = 0,5315.
346
ГЛАВА 20
Таблица 20.2
Вероятности потери (Z) единичного мутантного гена (по Фишеру [165])
Поколение п Без селективного преимущества При преимуществе в 1 %
вероятность потери In вероятность сохранения 1 In вероятность потери In вероятность сохранения 1 In
1 0,3679 0,6321 0,3642 0,6358
2 0,5315 0,4685 0,5262 0,4738
3 0,6259 0,3741 0,6197 0,3803
4 0,6879 0,3121 0,6811 0,3189
5 0,7319 0,2681 0,7246 0,2754
6 0,7649 0,2351 0,7572 0,2428
7 0,7905 0,2095 0,7825 0,2175
15 0,8873 0,1127 0,8783 0,1217
31 0,9411 0,0589 0,9313 0,0687
63 0,9698 0,0302 0,9591 0,0409
127 0,9847 0,0153 0,9729 0,0271
оо 1,0000 0,0000 0,9803 ' 0,0197
Обоснование этого метода расчета дается в следующем параграфе.
Итак, мы видим, что если в поколении имеется 100 новых мутаций, то
более половины из них (53%) будут потеряны их потомками за два сле-
дующих поколения после их появления.
Подобно этому, если новый мутантный ген сохранится в первых двух
поколениях, то он опять подвергнется такому же риску быть потерянным
в третьем поколении. Вероятность того, что он будет потерян в трех по-
колениях после своего появления, равна
13 = е-О-0.5315) = е-0.4685 = 0 >6259.
Используя этот метод вычисления, Фишер [165] составил таблицу ве-
роятностей потери (/„) и сохранения (1—/и) единичного мутантного гена
для 127 поколений (табл. 20.2). Как видно из таблицы, за 15 первых по-
колений 88,7%, или около генов, не сможет сохраниться из-за случай-
ной утраты. Предельная величина вероятности потери 1п равна 1. Мы
рассматриваем здесь только «нейтральные» гены, которые для облада-
ющей ими особи не являются ни полезными, ни вредными. Рассмотрение
благоприятных мутаций (правая половина табл. 20.2) отложим до тех
пор, когда мы будем готовы к обсуждению последствий отбора (гл. 24,
§ 7).
Поскольку потеря новой мутации представляет собой необратимый
процесс, большинство мутантных генов никогда не закрепится в популя-
ции. Огромное большинство их будет утеряно в течение нескольких по-
колений после появления, даже если некоторые из них в гетерозиготном
или гомозиготном состоянии окажутся благоприятными для особи. В ес-
тественных популяциях закрепятся лишь немногие «счастливцы». Этот
вопрос подробно разработан Эвенсом [131—133].
МУТАЦИИ ГЕНОВ
347
§ 2. МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
Теперь для обоснования словесного изложения, данного в предыду-
щем параграфе, рассмотрим в общих чертах формальный метод. Однако
для конкретизации мы будем и впредь использовать пример мутации
одного гена. Пусть k = 0, 1, 2, ... — число потомков, получившихся от
скрещивания ЛЛХЛа, где а — новый мутантный ген.
Если ро, Рь Р2> — вероятности иметь 0, 1, 2, ... потомков, то мы
определим вероятностную производящую функцию следующим образом:
G(s) = рй +P1.S + + ... + pksk + ..., (3)
где вероятность получения k потомков просто представляет собой коэф-
фициент при sh. В частности, G(0) =р0—• вероятность полного отсутствия
потомков. Выражение в явном виде для G (s) зависит от типа распреде-
ления (ро, рь р2 ...). Для распределения Пуассона (1) величины р име-
ют вид
k = 0, 1,2,3, ... ,k, ...,
—m (, m2 m3 mk
Ph=e l,m, —, —.....—
I 2! 3! k\
Следовательно, вероятностная производящая функция для распределе-
ния Пуассона с параметром т равна
G(s) = e-mems
(4)
(5)
где
(ms)2 (ms)ft
21 + " k\
ms
е
(6)
a ph есть коэффициент при sh.
Выше мы обозначали символом k число потомков генотипа АА или
Аа. При нормальном расщеплении и отсутствии отбора вероятность для
потомка иметь генотип АА или Аа равна 1/2. Обозначим через х число
потомков Аа в семье. Предположим, что для любой данной величины k
распределение х является биномиальным. Например, при k = 3 вероят-
ность получения 0, 1, 2, 3 мутантных гетерозигот определяется членами
/1 1 \з
разложения (——|——\ , т. е. равна 1/8, 3/8, 3/8, */s соответственно.
Распределение k является распределением Пуассона; для любой
фиксированной величины k условное распределение будет биномиальным.
Теперь попытаемся найти общее распределение х, которое является
сложным, состоящим из двух распределений. Вероятностная производя-
щая функция для основного биномиального распределения (й=1) равна
е(°) = 1А + + °)- Р)
Следовательно, если производящая функция для распределения k (дети)
имеет общую форму (3), то производящую функцию для распределения
х (гетерозиготные дети) можно записать в виде
н(S) = р0 + pj— +4- sf + Pafv + V SY+ +Ph(4" + ’TST’
за-
(3)
потому что при наличии k детей распределение х гетерозигот будет
даваться разложением 1 — 4——s\ . Выражение (8) получается из
путем замены каждого s на g(s) —2~s)' ^аким образом, производя-
348
ГЛАВА 20
щую функцию (8) для распределения мутантных гетерозигот можно
записать в краткой форме:
H(s) = G(g(s)). (9)
Когда распределение числа детей является пуассоновским, функция
G(s) имеет форму (5). Подставляя в этом выражении вместо з —Ь
мы получим производящую функцию для распределения х:
H(s) = e~me 2 ' = е 2 е2 , (10)
т. е. она имеет тот же вид, что и выражение (5), но в ней т заменено на
—т. Если E(&)=/n = 2, то Е(х) =-^-т— 1. Тогда (10) превращается в
равенство
77(s) = e“Ies, (11)
отражающее распределение числа (х) мутантных гетерозигот.
Теперь мы в состоянии рассчитать вероятности потери нового му-
тантного гена в разных поколениях. Вероятность такой потери в первом
поколении (п=1) получаем подстановкой s = 0 в производящую функ-
цию (11); тогда
Р (Х1 = 0) = Нг (0) = Н (0)=е-1 = 0,36788.
Согласно использованному выше принципу составных распределений,
вероятность потери во втором поколении равна
Р (Х2 = 0) = Н3 (0) = Н (Н (0)) = Н (0,36788) = е-1 е0’36788 = 0,53146
и в третьем
Р (х3 = 0) = Я3 (0) = Я(Я2 (0)) = Н (0,53146)=е~1 е0,53146 = 0,62591.
Именно эти величины приведены в табл. 20.2. Если через п обозначить
число поколений после появления мутации, то общее рекуррентное соот-
ношение имеет вид
Р Кн = 0) = нп+1 (0) = Н (Нп (0)) = Н [Р (хп = 0)),
т-е. 1п+г = Н{1п), (12)
где /и = Р(хи = 0) —вероятность исчезновения мутантов в n-м поколе-
нии. До сих пор нас интересовала только вероятность потери (х=0) му-
тантного гена. С помощью более сложных расчетов можно найти вероят-
ность сохранения любого числа мутантных генов в любом поколении,
так как вероятность xn = h, к примеру, равна коэффициенту при sh в
производящей функции Hn(s).
§ 3. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
РАЗМЕРА СЕМЬИ
В предыдущих параграфах мы предполагали, что размер семьи
(число детей в семье) подчиняется распределению Пуассона. В некото-
рых случаях это действительно так (см. примечание 1 в конце главы).
Коджима и Келлер [319] отмечают, что распределение человеческих се-
мей по размеру при одной и той же средней величине соответствует от-
рицательному биномиальному распределению, а не распределению Пуас-
сона. В этом параграфе мы рассчитаем вероятность потери новой мута-
МУТАЦИИ ГЕНОВ
349
ции в предположении, что распределение k является отрицательным
биномиальным, а не пуассоновским. Прежде всего мы скажем несколько
слов об отрицательных биномиальных распределениях с тем, чтобы дать
необходимую основу для дальнейшего изложения (см. также упр. 7).
Продолжим рассмотрение независимых «испытаний» с постоянной
вероятностью «успеха» р и вероятностью «неудачи» q = 1— р. Вероятность
k неудач подряд, следующих за первым успехом, равна qhp, где k = 0, 1,
2, 3, ... . Такое распределение известно под названием геометрического.
В более общей задаче требуется найти вероятность получения k неудач,
предшествующих г успехам. Эту вероятность легко находят путем
следующих рассуждений. Общее число испытаний равно k+r, причем
последнее из них является r-м успехом. В предшествующих k+r—1
испытаниях должно быть только г—1 успехов и k неудач с биномиальной
вероятностью.
Поскольку последнее испытание является успехом, чтобы иметь всего г
успехов, мы умножаем вероятность (13) на р для расчета вероятности
иметь k неудач и г успехов.
Pk=(k + r~l]prQk, * = 0,1,2,.... (14)
Такой тип распределения k известен под названием отрицательного би-
номиального распределения. Заметьте, что р представляет собой посто-
янную вероятность, а г — определенное число успехов. Следовательно, р
и г—параметры этого распределения, a k — переменная величина, как
и в геометрическом распределении. Среднее и дисперсия отрицательного
биномиального распределения имеют вид:
среднее М = — , дисперсия V = —
р Р2
(15)
Видно, что для отрицательного биномиального распределения дисперсия
всегда больше среднего. Для распределения Пуассона среднее и диспер-
сия равны.
Вероятностная производящая функция для отрицательного биноми-
ального распределения имеет вид
б(з) = РЦг,
\ 1 — qsj
(16)
так как при разложении, согласно биномиальной теореме, мы имеем
(?(s) = /(l — qq) r =
= /{1 +(-[j(-7S) + (-^(-7s)2 + -+(“^(-^)ft +...}, (17)
а коэффициент при sh в (17) равен вероятности (14). Чтобы в этом убе-
диться, нам следует установить следующее тождество для биномиальных
коэффициентов (опуская общие множители рг и qk):
М(-1)М* + ь“"1)' <18>
\ /& / \ ' Tv /
В справедливости этого выражения можно удостовериться непосредст-
венно, если выписать его полностью
(— г)! (— l)fe _ r(r+ 1) ••• (r + fe — 1) = /г + k — 1 \ л 9J
Щ— г — k)\ k\ \ k ]
350
ГЛАВА 20
Установив распределение (14) и его производящую функцию (16), мы
можем несколько расширить наше ограничение относительно г (г — по-
ложительное целое число) и просто считать (14) выражением для рас-
пределения, а (16) — соответствующей ему производящей функцией для
любого положительного значения г.
§ 4. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОТЕРИ МУТАЦИИ ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНОМ
БИНОМИАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ РАЗМЕРА СЕМЬИ
Теперь вернемся к проблеме определения вероятности потери нового
мутантного гена при отрицательном биномиальном распределении вели-
чин k. Воспользуемся тем же самым методом, который мы применили в
§ 2 для распределения Пуассона. Для упрощения арифметических рас-
четов предположим, что отрицательное биномиальное распределение чис-
ла детей, приходящихся на семью (А), имеет следующие среднее и дис-
персию:
А4 = — = 2, V = -^- = 4. (20)
Р Р2
Решая уравнения относительно входящих в них параметров, получаем
р = ? = 1иг=2. (21)
Мы используем А4 = 2, чтобы иметь возможность сравнить наши резуль-
таты с теми, которые получены из распределения Пуассона со средним
т=2. Строго говоря, точного соответствия здесь нет, так как отрицатель-
ное биномиальное распределение имеет два параметра вместо одного.
Дисперсия могла бы быть и больше, например равной 6, 7 или 8; наше
предположение, что У=4, произвольно и сделано исключительно ради
простоты арифметического расчета.
Как и прежде, обозначим через х число детей, гетерозиготных по
мутантному гену в семье с k детьми. При нормальном расщеплении и в
отсутствие отбора распределение х будет биномиальным для любой дан-
ной величины й; его производящая функция g(s)=-^—1~— s одинакова
с (7). Производящая функция H(s) для распределения х получается пу-
тем замены s в G(s) на g(s). На основании (16) мы имеем
Н (s) = G (g (s)) = /---?-------V = (-----------Y =
, / 1 , 1 \ k(l+p)-<7s/
/ \г
1-М- s
Р
1 — Qs
(22)
Отсюда следует, что распределение х также является отрицательным
биномиальным, но с новыми параметрами
Р = , Q --=-3—,
причем г сохраняется тем же, что и для распределения k. Подставляя
p = q=~B (21), мы находим Р=2/з, Q = 1/z, а производящая функция
(22) превращается в
МУТАЦИИ ГЕНОВ
351
Я(з) =
2/3 У
1 —х/з J ’
Среднее и дисперсия распределения х равны (см. также примечание 10)
Е(х) = — = — = 1, У(х) = ^- = — = 1,50.
' Р 2 ' Р" 2
(24)
Вероятность потери нового мутантного гена в первом, втором и третьем
поколениях по (23) равна соответственно
/ 9 \2 4
р (Х1 = 0) = (0) = А = А = 0,44444,
Р (х2 = 0) = Я2 (0) = Н (Н (0)) = Н (4/9) =
0,61248,
0,70172 и т. д.
/7(0,61248) =
Основное рекуррентное соотношение для вероятности потери мутации
идентично (12). В последнем случае вероятности потери при одинако-
вом среднем числе детей превышают те, которые получаются при рас-
пределении Пуассона. Подробные расчеты, но с другими параметрами
и с отбором представлены в работе Коджимы и Келлера [319].
§ 5. ДАВЛЕНИЕ ПОВТОРНЫХ МУТАЦИЙ
Большинство мутаций по воле случая утрачивается через несколько
поколений после своего появления, однако в каждом поколении мутации
возникают вновь. В этом состоит главная причина того, что в популяциях
поддерживается так много мутаций. Скорость мутирования на поколение
варьирует для различных локусов; некоторые локусы мутируют чаще
других. Тем не менее при постоянстве условий среды для определенного
локуса эта скорость из поколения в поколение остается довольно посто-
янной. Поскольку скорости мутирования значительно возрастают при
воздействии высоких температур, рентгеновских и других коротковол-
новых лучей, различных химических веществ и т. д., есть все основания
полагать, что эти скорости изменяются с изменением условий среды.
Однако при последующем изложении мы будем предполагать, что среда
однородна и что скорости мутирования остаются постоянными из поко-
ления в поколение.
Пусть «типичным» геном будет А, а мутантным — а, и пусть ц—
скорость мутирования от Л к а за поколение. Если частота гена А в по-
пуляции в некотором поколении равна рп и ц из них мутирует в а, то ча-
стота а в следующем поколении увеличивается на величину црп. Таким
образом,
Pi = Ро(1 — И),
Рп = Ро(1 — Н)п,
A = = (1 _ И)«. (25)
Ро 1 — Чо
352
ГЛАВА 20
Поскольку ц— небольшая величина, обычно имеющая порядок 10~5 или
IO§ **6, выражение (25) при больших п можно для любых практических
целей записать в виде
= 1—Чп = e-W' ^26)
Ро I — Яо
Когда qo и qn даны, число поколений, необходимых для того, чтобы выз-
вать такое изменение, легко рассчитать из последнего выражения,
используя натуральные логарифмы. Например, число поколений, необ-
ходимых для того, чтобы <7о=О,1О увеличить до </„ = 0,20, получим следу-
ющим образом:
— zip = In
1—0,20
1 —0,10
= шШ
\ 9 ]
zip = In
f—5) = 1111,125 = 0,1178.
\ 8 J
Число п обратно пропорционально скорости р. Если р=10-4, то необхо-
димо 1178 поколений, чтобы вызвать такое изменение частоты гена; если
р=10-5, то число поколений становится равным 11 780. При очень боль-
шом значении п= 1/р из выражения (26) следует
рп = рое-1 = 0,36788 р0 37% от р0.
Если мы хотим узнать число поколений, необходимых для того, чтобы
частота гена уменьшилась наполовину от своей прежней величины, то
решаем уравнение e~nil = ’А относительно п:
1п2 0,693
п =--= —— .
р Р
Предельное значение qn равно точно единице, тогда как при неограни-
ченном возрастании п e~nil->0. Таким образом, мы должны сделать вы-
вод, что если мутированию А в а не противостоят какие-либо силы, то
все гены популяции в конце концов превратятся в а, правда для полного
завершения такой замены может понадобиться огромное число поко-
лений.
Величина приращения q за поколение равна
Д?п = = И (1(27)
Это приращение больше, когда гены А преобладают (q мало) в популя-
ции, чем в том случае, когда они редки (q велико). Таким образом, если
<7о = О,8О возрастает до ^п = 0,90, то zip = In 2 = 0,69315 вместо 0,1178,
хотя величины изменения q одинаковы в обоих случаях.
§ 6. КОМПЕНСАЦИЯ ЗА СЧЕТ ОБРАТНЫХ МУТАЦИЙ
Все аллели мутируют.'Но когда аллель редок, его мутирование в
другой аллель трудно обнаружить вследствие низкой в большинстве
случаев скорости мутирования. Как только аллель становится довольно
частым в популяции, следует учитывать мутирование как к нему, так и
от него. Пусть р — скорость мутирования от А к a, a v — скорость об-
ратного мутирования от а к А. Результирующая величина изменения ча-
стоты а за поколение равна
Д<7 = рр (прирост) — vq (убыль). (28)
Процесс мутирования в обоих направлениях можно уподобить игре
«отдать и взять» между двумя игроками [374]. Стохастическую модель
МУТАЦИИ ГЕНОВ
353
такой игры можно найти у Де-Гроота и Рао [104]. Она применима к из-
менениям частот генов, когда скорости мутирования ц и v являются слу-
чайными переменными (а не константами).
Возрастание или снижение q зависит от относительной величины ее
прироста или убыли за поколение. Предположим, что на данном этапе
ее прирост больше убыли и, следовательно, q растет. Однако с ростом q
ее убыль \q также будет расти, так что в конечном счете величина убыли
за поколение будет уравновешена приростом. После достижения точки
равновесия в последующих поколениях не будет происходить никакого
[682, по
и ре-
(29)
Рис. 20.1. Равновесие между противоположно направленными мутациями.
Вертикальные шкалы для р, и v значительно растянуты для того, чтобы показать влияние
Л Л
личин. Обратите внимание на то, что Д<? положительно при q<q и отрицательно при q>q
Хаксли].
дополнительного изменения q. Положив в (28) Д<?=0 или pp-=vq
шая уравнение относительно величин р и q, мы получим
л „ л v
q = -r—, Р =---------------------------------,
v v
л
где знак «крышка» (Н) обозначает равновесную величину. Графическое
представление этой ситуации дано на рис. 20.1. Например, если ц =
л 3 л 2
= 0,00003 и v = 0,00002, то (/=“ =0,60 и р= ~=0,40; прирост или
убыль в противоположно направленных мутациях равны 0,00003X0,40 =
= 0,00002x0,60= 12X 10-6, так что никакого изменения q в следующем
поколении не произойдет.
Равновесие (29) устойчиво. Равновесная величина q не зависит от
исходных частот генов в популяции и полностью определяется относи-’
тельными величинами двух скоростей мутирования. Если q в некотором ’<
л
поколении выше q, то оно будет снижаться из поколения в поколение до
Л Л
тех пор, пока не достигнет q. И наоборот, если оно ниже q, то оно будет
постепенно возрастать до точки равновесия. Если бы величина q по ка-
л
кой-нибудь причине отклонилась от q, то постепенно она вернулась бы
Л
к q, когда причина отклонения перестала бы действовать. Скорость при-
ближения к равновесию очень мала и зависит только от преобладания
мутации в одном направлении над мутацией в другом.
Л
Когда фактическая величина q отличается от q, изменение q за по-
коление, которое дается формулой (29), может быть выражено через
Л Л
отклонение (q—q). Таким образом, записав у,= (p+v)<7 в соответствии с
(29), мы имеем
Л Л
&q = р(1 —-<?) —-Щ7 —v(?=(p+v) 9—(p+v)?=--(li+'v)(<7—<?)• (30)
23—322
354
ГЛАВА 20
Это выражение показывает, что скорость приближения к равновесию
пропорциональна отклонению фактического q от его равновесного зна-
чения.
На данном этапе следует ввести широко используемый в генетике
популяций метод расчета числа поколений, необходимых, чтобы вызвать
определенное изменение частоты гена. Поскольку Д«у — небольшая вели-
чина, мы можем превратить (30) в дифференциальное уравнение, заме-
нив Д<у на dq/dt, где t обозначает время, выраженное в поколениях. Та-
ким образом, (30) превратится в уравнение
уг = — (h+v) (? — Д, = — (j* + v) dt.
at A
q—q
Интегрируя обе части по времени, равному п поколениям, получим
чп п
J — (Н + v) Jdt,
Qo Q *7 О
( Л \
In ( 9л~ | = — (ц + v) п
I А )
Wo — q 1
или
/ А\
(ц + v)n = In -°~ 9 I. (31)
w« — q'
А
Например, когда ц=0,00003, v = 0,00002 и «у = 0,60, число поколений, не-
обходимых для увеличения от <70=0,Ю до qn=Q,2Q, будет задано фор-
мулой
(0,00005) n = In = ln j 25 = 0 22314,
' ' 0,2 —0,6
п = 4463 поколениям.
Обратите внимание на сходство выражения (31) с логарифмической
формой (26). В следующей главе мы еще раз воспользуемся представ-
лением разностного уравнения в дифференциальной форме в связи с
рассмотрением проблем отбора.
§ 7. МУТАНТНЫЙ ГЕНОТИП В ПОПУЛЯЦИИ
Приведенный выше анализ частот генов не зависит от систем скре-
щивания, однако к доле мутантных генотипов это не относится. Пусть
а — мутантный ген, встречающийся в популяции с частотой q. На на-
чальных стадиях, когда q очень мало, панмиктическая популяция содер-
жит 2pq 2q гетерозигот; долей генотипов аа мы пренебрегаем, так как
почти все мутантные гены находятся в гетерозиготном состоянии. Даже
когда q становится достаточно ощутимым, например равным 0,001, отно-
шение гетерозиготных мутантов к гомозиготным в популяции все еще
приблизительно равно 2000: 1. Только когда q увеличится намного боль-
ше, доля мутантных генотипов станет вообще заметной.
В чистых линиях с самооплодотворением (скажем, в линии из ге-
нотипов АА) новая мутация должна увеличивать число гетерозиготных
особей. Скорость мутирования ц(А-»-а) является вероятностью того, что
в любом данном поколении данная гамета гомозиготной особи будет не-
МУТАЦИИ ГЕНОВ
355
сти мутировавший ген. Следовательно, вероятность того, что гомозигот-
ная диплоидная особь станет гетерозиготной за счет мутирования одного
из двух аллелей в любом поколении, равна 2ц. Поскольку доля гетеро-
зигот в популяции с самооплодотворением в каждом поколении умень-
шается наполовину и в то же время в каждом поколении возникает ц
новых мутаций, доля гетерозигот, обусловленная наличием мутационно-
го давления, в такой «чистой линии» равна [198]
Г 1 ( 1 \2 I 1 \3 1
2|д1 + т++ (т) —}=4н-
Если в диплоидной популяции осуществляется скрещивание братХсе-
стра, то в отличие от предыдущего случая в каждое скрещивание будет
вовлечено два индивидуума (4 гена), и вероятность того, что в скрещи-
вании будет участвовать одна гетерозиготная особь, равна, таким обра-
зом, 4ц,. Поэтому доля гетерозигот в популяции со скрещиванием сибсов
равна
Если мутантный ген в гомозиготном состоянии летален, то гетерозигота
1 2
при самооплодотворении произведет -уАА-f- —Аа. Поэтому частота ге-
терозигот, обусловленная повторными мутациями в популяции с само-
оплодотворением, равна
С 9 /9\2/9\3 *)
241 +v+ V +(4 +’” = 6^
и \ и / \ и / )
Сходные выражения для некоторых других систем скрещивания были
получены также Холдейном [198]. При рассмотрении очень длительных
периодов времени необходимо учитывать обратные мутации [287],
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. При обсуждении многих биологических и генетических проблем
мы предполагаем, что число потомков от скрещивания k = 0, 1, 2, 3, ...
следует распределению Пуассона. Число k здесь означает число потом-
ков, которые доживают до зрелости и поэтому способны скрещиваться
и оставлять потомство. Другими словами, k — это число потомков, кото-
рые достигают такой же степени зрелости, как и их родители. Таким об-
разом, число родителей и потомков подсчитывается на одной и той же
стадии развития.
Однако многие организмы за один раз образуют громадное число
яиц, из которых только очень небольшая часть достигает зрелости.
Далее мы увидим, что если элиминация яиц и личинок происходит слу-
чайным образом, то количество получающихся в результате зрелых по-
томков все еще описывается распределением Пуассона.
Предположим, что k = 2 и число яиц, отложенных одцой особью, рав-
но К, причем из них только 1/п достигает зрелости. Средняя величина К
должна равняться 2п. Если К образует последовательность Пуассона со
средним значением К=2п, то вероятность образования К яиц будет рав-
на е~2п(2п)к/К\ Вероятность того, что из К яиц любого данного набора
k достигнут зрелости, задается членом бинома
А! /Д_и /п—
й (А — k)l \ п ) \ п /
356
ГЛАВА 20
При этом предполагается, что выживание — процесс случайный. Поэто-
му полная вероятность иметь k зрелых потомков (k фиксировано) при
различных возможных величинах К равна [168]
1^=03 7^=00
у ( 2п (2п)К К / 1 VI 2K~k(n~~1)K~k __
ZjI Л! k\(K-k)\ V п Д п J )~е k\ Ъ (K-k)\ ~
K=k H=k
= е~2п— {е2(,1-1) ’ = е~2 —
k\ 1 k\ ’
что является распределением Пуассона для k потомков со средним зна-
чением k = 2.
2. Выше мы использовали обычные алгебраические выкладки для
доказательства выражения, которое можно очень легко получить мето-
дом вероятностной производящей функции (в. п. ф.). Если F ($) — в. п. ф.
распределения Пуассона для большого числа К со средним К=2п, а
g-(s) =”—--1—Ls — биномиальная в. п. ф., где 1/п является вероятностью
выживания и достижения половой зрелости, то G (s) =F(g(s)) естьв.п.ф.
распределения Пуассона для числа взрослых потомков со средним k —
= —К = _L (2п)=2. Итак,
n n
F(s) = e~2n e2rls,
2n (—1 +— s']
G (s) = F (g (s)) = e-2ra e kn n } = e~2n+2n-2 e2s = e~2 e2s,
откуда получается распределение Пуассона со средним значением 2.
Численные величины
k О 1 2 3 4 5
pk 0,13534 0,27067 0,27067 0,18045 0,09022 0,03609
6 7 8 9 10
0,01203 0,00344 0,00086 0,00019 0,00004.
3. В данной главе мы установили, что производящей функцией Н ($)
для распределениях является G(g(s)), где G(s)— производящая функ-
ция для распределения k, a g(s) —биномиальная производящая функ-
ция. Это позволяет понять арифметический смысл равенства H(s) =
= G (g(s)). В табл. 20.3 иллюстрируется ситуация с распределением
Пуассона (т=2) и с отрицательным биномиальным распределением
(М=2, У=4), содержащим параметры г=2, р—
В первом столбце табл. 20.3 приведены величины k: 0, 1, 2,..., а во
втором-—соответствующие вероятности распределения Пуассона pk со
средним значением т=2. Для каждой величины k существует бино-
миальное распределение х (числа гетерозиготных детей). Ясно, что
сумма произведений соответствующих величин в столбцах pk и х=0
является вероятностью того, что х=0. Точно так же сумма произве-
дений в столбцах pk и х— 1 является общей вероятностью того, что
х = 1 ит. д. Эти вероятности даны в нижнем ряду таблицы и обозна-
чены через рх. Видно, что величины рх для х=0, 1, 2, ... образуют рас-
пределение Пуассона со средним значением -~т = 1.
С помощью точно такой же арифметической процедуры мы нахо-
дим распределение х для отрицательного биномиального распределе-
МУТАЦИИ ГЕНОВ
357
Таблица 20.3
Получение распределения х из распределения k
Чис- ло детей, k Распределение Пуассона, т = = 2, Pk Отрицательное биномиальное распределение, г=2, р=1/2, Pk Условное биномиальное распределение / 1 , 1 V для числа гетерозигот х 0 1 2 3 4 5
0 е -2.1 1/4 1
1 -2.2 2/8 1/2 1/2
2 е~ 2.-21 2! 3/16 1/4 2/4 1/4
3 е~ 2 3! 4/32 1/8 3/8 3/8 1/8
4 е~ 2.^1 4! 5/64 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
5 2 21 5! 6/128 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32
6 е~ 2 2L 6! 7/256 1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64
7 е~ 2 7! 8/512 1/128 7/128 21/128 35/128 35/128 21/128
Рх = 4/9 8/27 12/81 16/243 20/729 24/2187
Рх = >х { 1 1 1 2! 1 3! 1 1 4! 5! •1
ния k (столбец 3 табл. 20.3). Отрицательные биномиальные вероятнос-
ти (14) для параметров г=2 и Р—~^- имеют вид
ph = [k t 1) РП-Г = £ = 0,1,2,....
й \ k 2 ) \ 2 ) 4 \2 ]
Опираясь на приведенный в тексте анализ, мы находим, что распреде-
ление х также является отрицательным биномиальным с г=2, но с
р = 2/з- Таким образом, вероятность получения х мутантов равна
Р = (х+ Ш 2 \2/ 1 V 4(х+1) / 1
х [ X J \ 3 )[ 3 ) 9 к 3 / ’
х = 0, 1,2,
Эти величины приведены во второй строке нижней части таблицы.
И опять-таки значения рх представляют собой суммы произведений ве-
личин из столбца pk и соответствующего столбца х. Например, общая
вероятность х = 1 имеет вид
р(х= 1) = А(0) +
2 /_1_\ 3 /_2_\ 4 /_3_\ 5 /_4_\ ,
8 \ 2 / + 16 \ 4 / ' 32 \ 8 / ' 64 \ 16 / +
8
27’
358
ГЛАВА 20
В частности, можно отметить, что вероятность потери мутации в пер-
вом поколении равна
4 4 ' 8 \ 2 / 16 V 4 / 32 8 / 64 \ 16 / 9
что было получено в тексте методом производящих функций.
4. Из табл 20.2 видно, что вероятность сохранения (1—1п) Для
нейтральных мутаций при удвоении числа поколений уменьшается при-
мерно наполовину. В действительности, когда п велико, вероятность
сохранения равна приблизительно 2/п. Таким образом, после 255 по-
колений эта вероятность будет приблизительно равна 0,0078.
5. Если скорости противоположно направленных мутаций равны,
y,=v, то каковы будут равновесные значения частот генов? (см. [29]).
6. Используя (26), покажите, что
1п^^ = пц.
1 ~ qn
7. Уэллер и др. [635] делят бездетные семьи в человеческих попу-
ляциях на два биологически различных типа. Семьи одного из них —
плодовитые, они могут иметь детей, но не имеют. Такие семьи принад-
лежат к основному распределению размера семьи в популяции. Семьи
другого типа — стерильные, которые вообще не могут иметь детей.
Они не принадлежат к основному распределению размера семьи в по-
пуляции. Рао и др. [529] нашли, что без учета стерильных бездетных
семей распределение размера семьи действительно очень хорошо соот-
ветствует отрицательному биномиальному распределению.
8. Равновесные величины частот генов (29), обусловленные давле^
нием противоположных мутаций, можно вывести, отыскав сначала об-
щее выражение для qn> после чего выражение (28) переписывается
в виде
= Яп + И (1 -<7„) - = Н + (1 - И - v) qn.
Произведя повторные подстановки, мы найдем, что
= И + Н(1 — Н — v) +Н1 — Н — v)2 4---+ (1 — ц —v)"<70 =
ц + v \n + v ) ц-f-v \n + v j
Предельная величина qn равна, таким образом, p/(p,+v), так как
g—«(U+vJ—^Q При >оо.
9. Чему будут равны равновесные значения генных частот, если
g=0,0005 и v = 0,0015 за поколение популяции с р=0,80 и <7=0,20?
Рассчитайте число поколений, необходимых для того, чтобы q возросло
от 0,20 до 0,21. Ответ: подставляя известные величины в общее выра-
жение для qn, данное в предыдущей задаче, мы получим
0,21 = 0,25 — (0,25 — 0,20) e“n(0’002);
или
0,80 =
что дает п= 111 поколениям.
10. Статистическое примечание. Пусть для данного значения k ве-
личина х имеет биномиальное распределение так чт0
E(x\k')=-^-k и V(xlk)=-^-k. Теперь предположим, что k — переменная
МУТАЦИИ ГЕНОВ
359
со средним E(k) и дисперсией V(k). Тогда среднее и дисперсия х бу-
дут равны
Е (х) = Е {Е (x\k)} = Е (X = _L £ (k),
V (х) = Е {V (х|£)} + V (Е (x\k)) = Е (X + V (-j- /г) = X [Е (k) ±V (k)l.
В нашем генетическом примере число детей k имеет отрицательное би-
номиальное распределение со средним Е(й)=2 и дисперсией У(&)=4.
Следовательно, среднее и дисперсия числа гетерозиготных детей х
равны
Е(х) = -у(2) = 1, V(x) = yI2 + 4] = 1’50-
Это соответствует результатам, полученным в (24).
ГЛАВА 21
Отбор (простые случаи)
Естественный отбор — основная причина возникновения многих
адаптивных признаков организмов. Образование разновидностей и ви-
дов на основе наследственной изменчивости, возникающей в результате
мутаций, обусловлено действием среды с помощью механизма естест-
венного отбора. Математическая разработка этого вопроса принадле-
жит главным образом Холдейну, Фишеру, Райту и некоторым другим
генетикам.
Основное предположение, принимаемое в теории естественного от-
бора, состоит в том, что некоторые наследственные типы популяции
имеют определенное преимущество перед другими в выживаемости или
способности к воспроизведению. Число комбинаций генов, на которые
может действовать отбор, поразительно велико. Для каждого трехал-
лельного локуса у диплоидного организма возможны шесть генотипов.
Если бы в каждой зиготе сдержалось всего 200 локусов, то число воз-
можных генотипов равнялось бы 6200(!). Если бы в зиготе было 5000
локусов, то число возможных генотипов уже стало бы астрономически
велико. Для комбинирования генов имеются почти неограниченные воз-
можности, и неудивительно, что, какой бы большой ни была панмик-
тическая популяция, в ней не существует двух особей (за исключени-
ем идентичных близнецов), все гены которых были бы одинаковыми.
Поэтому большие популяции всегда обладают громадным резервом из-
менчивости. Это свойство можно назвать «пластичностью» популяции.
При изменении условий среды существующие генотипы могут ут-
ратить способность к выживанию; однако в пластичной популяции воз-
можна рекомбинация генотипов, что приводит к появлению новых, бо-
лее приспособленных форм. Таким образом, адаптация является от-
ветом скорее популяций, чем отдельной особи, которая не способна
адекватно и непосредственно реагировать на изменения среды с по-
мощью полезных мутаций в том месте и в то время, когда в них воз-
никает потребность.
Отбор действует на любой стадии жизненного цикла организма,
причем в разных случаях способы отбора могут быть самыми разнооб-
разными. Следует учитывать, что при использовании математических
методов биологические факты должны быть сведены к абстрактным
понятиям, отражающим их реальную сложность. Необходимо понять,
что такое упрощение является всего лишь методическим приемом. Ес-
ли мы его применяем -— это не означает, что сложность и целостный
характер биологических взаимосвязей игнорируются. Они, конечно, ос-
таются тем фундаментом, на котором строится любая математическая
модель.
Первичным результатом отбора является изменение частот генов,
связанных с признаком, который испытывает действие отбора. В боль-
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
361
шой популяции отбор является, вероятно, главной силой, ответственной
за изменение генных частот. Такое изменение представляет собой эле-
ментарный шаг эволюции. В большинстве последующих параграфов
мы будем иметь дело с простейшей моделью: одной парой аллелей, от-
носительно которой предполагается, что ее влияние на приспособлен-
ность организма не зависит от остальных локусов.
§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПРИСПОСОБЛЕННОСТЬ ГЕНОТИПОВ
И ЦИКЛ ОТБОРА В ПОКОЛЕНИИ
Когда изучают проблемы отбора, каждому генотипу ставят в со-
ответствие определенную величину «относительной приспособленности»
(relative fitness). Пусть неотрицательные величины аУ11:0^22:^33 обозна-
чают относительные приспособленности генотипов АА, Аа и аа соответ-
ственно. Эти величины w служат мерой относительных вкладов ука-
занных генотипов (в пересчете на одну особь) в генетический состав
следующего поколения. Смысл сказанного станет яснее из простого
числового примера. Рассмотрим популяцию (р2, 2pq, ^2) = (1/9, 4/9,
4/9) с /7 = 1/3 и относительными приспособленностями генотипов 2:3:1.
Это означает, что вклад каждой особи А А (в качестве родителя) в ге-
нетический состав следующего поколения в два, а каждой особи Аа
в три раза превосходит соответствующий вклад любой особи аа. Фак-
тические вклады особей данной популяции (после отбора) в генофонд
следующего поколения, обусловленные вкладами различных геноти-
пов, рассчитываются следующим образом:
Генотип АА Аа аа Сумма
До отбора 1/9 4/9 4/9 1,00
Относительная приспособленность 2 3 1
После отбора 2/9 12/9 4/9 2,00
В последней строке представлен реальный вклад родительской популя-
ции в следующее поколение. Тот факт, что сумма таких вкладов равна
2,00, не означает удвоения размера популяции. Просто он отражает
наш произвольный выбор чисел 2, 3, 1 в качестве величин относитель-
ных приспособленностей. Те же самые относительные приспособлен-
ности можно с равным успехом представить в виде 1,00; 1,50; 0,50;
в этом случае новая сумма частот после отбора была бы равна едини-
це; представив их в виде 2/3, 1, 1/3, мы получим сумму, равную 2/3;
иными словами, можно взять любые три положительные величины,
связанные отношением 2:3:1. Следует отметить, что после отбора (т. е.
с учетом отдельных вкладов различных генотипов) структура эффек-
тивно воспроизводящейся (родительской) популяции будет 2:12:4=
= 1:6:2 вместо исходной структуры 1:4:4. Новая частота гена в популя-
ции после отбора (1, 6, 2) равна
, 1+3 4 , 3+2 5
п =-----= — п = —I— = —.
' 9 9 ' 9 9
тогда как исходными частотами были (р, q) = (1/3, 2/3). Дифференци-
альные вклады родительских генотипов вызвали изменение частот ге-
нов в поколении потомков. При случайном скрещивании следующим
поколением будет
(/ +/)2 = (16, 40, 25)/81.
Это выражение описывает состав нового поколения до отбора. Теперь
мы можем обобщить наши расчеты и подвести итог в алгебраической
24—322
362
ГЛАВА 21
Таблица 21.t
Одно поколение отбора в популяции со случайным скрещиванием
Генотип Частота до отбора, f Относительная приспособлен- ность, W Частота после отбора, fw Новая час- тота гена; см, (1) Частота перед отбором в сле- дующем поко- лений, /'
АА Р2 &11 p2wn Р' Р'2
Аа 2рд ^12 2pqw13 2pV
аа q2 ^22 q2w22 q' q'2
Сумма 1 T 1 1
, psa>u + pqw12 pqw12 + q2w22
p =---~, q =------=--
(i>
форме, приведенной в табл. 21.1, в которой представлен основной цикл
отбора в поколении и уравнение (1), дающее рекуррентное соотноше-
ние для частот генов в двух последовательных поколениях.
Дифференциальная приспособленность генотипов возникает в ре-
зультате действия самых разнообразных механизмов, о большинстве
из которых мы лишь смутно догадываемся; только немногие из них мо-
гут быть раскрыты на основании экспериментов или наблюдений. Сам
факт отбора легко обнаруживается по изменению генетического соста-
ва популяции, однако точный механизм осуществления этого изменения
остается в значительной степени неясным. Генетики рассматривают
целый ряд возможных механизмов. Так, например, особи некоторых
генотипов могут быть более плодовитыми, чем другие. Не исключена
также, что приспособленность определяется не плодовитостью per se,
а способностью скрещиваться на более ранней стадии, благодаря чему
образуется большее число потомков. Компоненты приспособленности
рассматриваются в одной из работ, где затронуты упомянутые вопро-
сы [592]. Некоторые генотипы могут быть более, чем другие, воспри-
имчивы к определенным болезням, что уменьшает их шансы на участие
в размножении или ослабляет их воспроизводительные способности.
Причина дифференциальной приспособленности может быть связана
с любой стадией жизненного цикла — от оплодотворения до смерти.
Какой бы ни была при этом биологическая основа, дифференциальная
приспособленность определяется просто совокупностью всех причин,
приводящих к дифференциальному представительству генов от различ-
ных генотипов в следующем поколении. Поэтому Райт [694] писал,
что «отбор, подобно корзине для бумаг, вбирает в себя все причины
направленного изменения частоты гена, не связанные с мутациями или
привнесением генов извне». Должно быть достаточно ясно, что слово-
«приспособленность» используется в популяционной генетике только
как технический термин, полностью лишенный того значения, которое
ему придают в обыденной речи. В частности, приспособленность не на-
ходится в необходимой или прямой связи с физической силой, прият-
ной внешностью, математическим дарованием, деловитостью, спортив-
ными способностями. Единственное, что имеет здесь значение, — эта
число генов, привносимых данным индивидуумом в поколение потом-
ков. В генетической литературе термины «жизнеспособность» (viabili-
ty), «селективная ценность» (selection value), «адаптивное значение»
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
363
(adaptive value) часто используются как синонимы относительной при-
способленности.
Поскольку относительная приспособленность относится к дифферен-
циальной передаче генов различными генотипами потомкам, я называю
приводимое выше определение приспособленности ретроспективным.
Иначе говоря, в общем случае приспособленность особи нельзя опреде-
лить из ее собственных свойств; такое определение возможно лишь по
завершении процесса воспроизведения. Таким образом, термин «приспо-
собленный» имеет много общего с титулом «чемпион». Мы не в состоя-
нии определить чемпиона до окончания состязаний. Подобно этому,
нельзя оценить приспособленность особи, пока она не внесла генетичес-
кого вклада в следующее поколение.
Итак, должно быть совершенно ясно, что различия в приспособлен-
ности генотипов не обязательно приводят к каким-либо непосредственно
наблюдаемым явлениям, фиксируемым в традиционной статистике рож-
даемости и смертности или в эпидемиологических данных. При изуче-
нии двух поколений приспособленность генотипа измеряют средним чис-
лом его потомков, причем при расчете различные поколения рассматри-
ваются на одной и той же стадии жизненного цикла (ср. [524]). Однако
это скорее определение, чем общий практический метод оценки относи-
тельной приспособленности; в последнем требуется прежде всего иден-
тифицировать индувидуальные генотипы, а затем провести длительные
наблюдения. Даже если это окажется возможным, нас подстерегают
другие ловушки, о которых следует иметь представление. В качестве
иллюстрации рассмотрим следующий пример, который удовлетворяет
условиям исследования по двум поколениям.
Число при рож- дении Число до- живших до репродуктив- ного периода Общее число жи- вых детей Среднее число детей на одно- го родителя
Больные гемофилией 100 40 70 1,75
Здоровые мужчины 100 96 240 2,50
Здесь представлена развернутая информация о двух когортах равного
размера; оценка их относительной приспособленности производится
сравнительно просто. На первый взгляд кажется, что оценка относитель-
ной приспособленности больных гемофилией и здоровых мужчин будет
1,75:2,50 = 7:10, если исходить из среднего числа выживших детей, при-
ходящихся на одного родителя. Однако этот показатель здесь не приго-
ден. Обратите внимание на то, что смертность в этих двух когортах весь-
ма различна: у больных гемофилией она значительно выше, чем у здоро-
вых мужчин. Тем не менее отношение между численностями выживших
индивидуумов 40:96 также не дает подходящей оценки относительной
приспособленности, хотя оно и ближе к ней, чем прежняя оценка 7:10.
Наиболее приемлемая оценка этих данных основана на суммарной чис-
ленности детей, рожденных в двух исходных когортах; приспособлен-
ность больных гемофилией по отношению к здоровым равна 70:240 =
= 29: 100. Таким образом, мы видим, что оценку относйтельной приспо-
собленности нельзя получить ни из наблюдаемого среднего размера
семьи, ни из наблюдаемых уровней смертности per se, хотя каждый из
них и является компонентом приспособленности. «Суммарный выход»
потомства равен произведению выживаемости на средний размер семьи.
Так, для следующей совокупности данных как смертность, так и размер
24*
364
ГЛАВА 21
Число при рождении Число до- живших до репродук- тивного пе- риода Суммарное число Детей Среднее чис- ло детей на одного ро- дителя
Больные гемофилией 100 50 70 1,40
Здоровые мужчины 100 80 240 3,00
семьи имеют другие значения, однако относительная приспособленность
осталась той же самой, что и раньше (7 : 24).
Зависимость между смертностью и приспособленностью заслужи-
вает большего внимания, чем то, которое ей обычно уделяют генетики.
В простом приведенном примере смертность в двух когортах дает нам
по меньшей мере некоторое указание на их приспособленность: чем вы-
ше смертность, тем ниже приспособленность. Однако идентификация
генотипа при рождении или на очень ранних стадиях развития не
всегда возможна. Некоторые генотипы в большинстве случаев во-
обще не поддаются идентификации и мы вынуждены поэтому доволь-
ствоваться изучением определенных групп особей и их потомства.
В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию:
Группа Число семей Среднее число рожденных Детей Среднее число умерших детей Среднее число живых детей
I 100 7 3 4
II 100 2 0 2
Прежде всего не совсем ясно, чью приспособленность намерен определить
генетик из данных такого типа. Так, для изучения приспособленности
детей требуется информация о числе потомков, оставленных этими деть-
ми, которой мы не располагаем. Если мы будем определять приспособ-
ленность двух групп родителей, то в этом случае приспособленность
оказывается тем выше, чем выше смертность их детей! В группе I смерт-
ность составляет 3/7 = 43%, тем не менее родители из этой группы имеют
в среднем по четыре ребенка на семью. В группе II, где смертности нет,
в живых остаются только по два ребенка на семью. Во многих эпиде-
миологических исследованиях мы часто сталкиваемся с вопросом: «Кого
считать — мертвых или живых?» При исследовании приспособленности
всегда следует учитывать живых. Тем не менее некоторые генетики ис-
пользуют данные о смертности в качестве (обратного) показателя при-
способленности и в результате приходят к сомнительным или ошибоч-
ным выводам. Приведенный здесь пример дан не ради того, чтобы про-
демонстрировать такую ситуацию, хотя для иллюстрации нашей точки
зрения в нем и подчеркнуты определенные моменты. Ситуация, анало-
гичная рассмотренной в последнем примере, встречается во многих
человеческих популяциях. Например, можно допустить, что в группу I
входят семьи с низким социально-экономическим положением, а в груп-
пу II — семьи с высоким социально-экономическим положением. Для
группы с более высокой детской смертностью действительно характерны
большие размеры семьи.
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
365
Существует еще одна грань понятия относительной приспособлен-
ности, которая не так давно была источником затруднений для генети-
ков-популяционистов, и нуждается в дополнительном пояснении. Рас-
смотрим еще раз относительные приспособленности 2:3:1 для АА, Аа и
аа. Предположим, что каждый гетерозиготный индивидуум (Аа) имеет в
среднем по три взрослых ребенка. В такой модели вовсе не подразуме-
вается, что у каждого гомозиготного индивидуума АА или аа также ро-
дится по три ребенка при смертности 1/3 и 2/3 соответственно. Приведен-
ные соотношения могут быть обусловлены более низкой плодовитостью
(fertility, или fecundity) гомозиготных индивидуумов, т. е. в первую оче-
редь меньшим числом самих рождений, а не тем, что часть детей уми-
рает после рождения. Дело в том, что генетический отбор не обязательно
связан с какими-либо регистрируемыми смертями. При описании послед-
ствий генетического отбора мы действительно пользуемся такими
терминами, как «элиминация» и «потери», однако эти термины являются
чисто риторическими и не означают действительной гибели или смерти.
§ 2. ОТБОР ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА
И РЕЦЕССИВНЫЕ ЛЕТАЛИ
Обсуждая проблемы отбора, мы можем выражать частоты геноти-
пов в панмиктической популяции или непосредственно через частоты ге-
нов (р2, 2pq, q2), или в виде (u2, 2и, 1), используя отношение частот ге-
нов u~plq. Выражения, содержащие и, обычно проще выражений,
включающих р и q. Мы будем широко пользоваться теми и другими
(табл. 21.2). Результаты, полученные в этих системах обозначений, лег-
ко переводятся из одной формы в другую с помощью формул
Таблица 21.2
Три простых типа отбора, для которых известны общие решения
Генотип Частота, f Отбор геометричес- кого типа, w Полностью рецес- сивные летали, w Рецессивные лета- ли; общий случай, w
АА р2 и2 т2 1 W
Аа 2pq 2и т 1 1
аа q2 1 1 0 0
Сумма 1 (м+1)2
Рекуррентное уравнение (1) связывает величину р для некоторого по-
коления с величиной р для следующего поколения. Оно представляет
собой уравнение типа р«+1=Чг(р/), где f = 0, 1, 2, 3,... — время, изме-
ряемое поколениями. Таким образом, по исходной частоте р0 можно
рассчитать р\, из которой затем рассчитывается р% и т. д. В принципе
это всегда осуществимо. Если pt после t поколений отбора одного и
того же типа (о>ц, w 12, W22 — константы) выражают функцией от р0 и
t в явном виде, например
Pt = Фх (Ро» О или ut = ср2 (м0, t), (3)
то мы говорим, что (3) является общим решением рекуррентного со-
366
ГЛАВА 21
легко
(пред-
(4)
(5)
т~> 1
отношения. Например, можно рассчитать р20 прямо из (3), не рассчи-
тывая промежуточных величин р\, р2, pig.
К сожалению, большинство даже простых задач по отбору не име-
ют общих решений, и мы вынуждены довольствоваться определенны-
ми приближениями, полученными для некоторых условий. Тем не ме-
нее в табл. 21.2 приведены три типа генотипического отбора, для ко-
торых такие общие решения известны. Эти три случая мы и разберем
в данном параграфе.
Первый случай. Если величины трех относительных приспособлен-
ностей образуют геометрическую прогрессию [370] wn:wl2:w22=
—т2:т:1, то отношение частот генов в следующем поколении
находят, проделав общие выкладки в соответствии с табл. 21.1
ставляющей цикл отбора в поколении). Таким образом,
, р' и2 т2 + ит
и =— =-----------------------------!---= ит
q' ит-г-\
и
t Ра tn*
ut = и0 т или pt = —.
Ро т[ + q0
Если т=\, то отбора нет, и pt—po остается постоянным. Если
то с возрастанием t pt приближается к единице. Когда m<l, pt при
неограниченном возрастании t стремится к нулю. Интересное свойство
геометрического отбора заключается в том, что результаты t поколений
отбора с интенсивностями (m2, т, 1) могут быть достигнуты за одно
поколение отбора с интенсивностями (m2t, rrP, 1), так как подстановка
в (4) А4 = /и( дает щ = иоМ = идггР, что соответствует выражению (5).
В популяции, испытывающей действие отбора (столбец fw табл.
21.1), частоты генотипов (p^wu, 2pqwi2, q2w2z) обычно не подчиняются
биномиальному соотношению (закону Кастла—Харди—Вайнберга) и
рассматриваются как три произвольных числа (D, Н, R), в сумме да-
ющих Т. Однако если значения w образуют геометрическую прогрес-
сию, то частоты генотипов после отбора окажутся равными (р2т2, 2pqm,
q2), т. е. будут соответствовать биномиальным частотам из разложе-
ния (pm+q)2 и практически не будут отличаться от тех частот, кото-
рые были до отбора [349а, 632].
Отбор геометрического типа эквивалентен гаметическому отбору
у обоих полов [105]. Для того чтобы убедиться в этом, предположим,
что отношение относительных приспособлений гамет (Л) и (а) у обоих
полов одинаково и равно т : 1. Случайное объединение прошедших
отбор гамет дает генотипы АА, Аа и аа в тех же соотношениях, что и
при относительных приспособленностях генотипов т2, т, 1.
Второй случай. Когда мы говорим о летальности рецессивного гена
(а), это не обязательно означает, что особи (аа) на самом деле уми-
рают. Они считаются генетически летальными, если не оставляют по-
томков. Таким образом, под этим термином подразумевается полная
стерильность и т. п. Ситуация, при которой величины приспособленно-
етей равны (1, 1, 0), очевидно, является специальным случаем типа
(w, 1, 0), однако мы рассмотрим ее отдельно. Выполняя опять основ-
ные выкладки, заданные в табл. 21.1, мы найдем, что после отбора
частоты генотипов равны и2, 2и, 0; новое соотношение частот генов бу-
дет равно [256]
«/ = «о + «ли qt = . (7)
1+tyo
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
367
Если t=\lqQ, т. е. tqa=\, то qt=-^qQ. Частота рецессивного гена за
t=\.]qQ поколений уменьшится вдвое. Если мы начнем с qo=— ,то ре-
куррентные соотношения (6) дадут гармоническую последовательность
1 1 1 1 1 1 1
2 ’ 3 ’ 4 ’ 5 ’ 6 ’ 7 ’ 8 ’
Это по существу то же самое, что получил Кастл [57] для случая пол-
ной элиминации рецессивных генов из каждого поколения панмикти-
ческой популяции. Обратите внимание на то, что если мы примем qo=
= V2, то для уменьшения q до */4 потребуется два поколения. Для того
чтобы уменьшить q от до 1/s> потребуются еще четыре поколения,
а чтобы уменьшить q от Vs до 716, необходимо восемь поколений и т. д.
Общее решение (7) можно записать также в виде [657]
/ — — J______L П’\
Чо qt qt ?о
Эта формула дает число поколений, необходимых для уменьшения час-
тоты рецессивного гена от qQ до qt при полной элиминации особей с
рецессивным признаком.
Полная элиминация в каждом поколении определенного генотипа
представляет собой наиболее жесткую форму отбора. По отношению к
эволюционному процессу, время которого обычно измеряется в сотнях
и тысячах поколений, это очень быстрый способ уменьшения частот
генов.
Следует, однако, отметить, что отбор такого типа не очень эффекти-
вен в применении к популяциям человека. Пусть, например, (?о=1/5О=
= 0,02 и, таким образом, доля генотипов, гомозиготных по рецессивному
гену (предположительно дефектных), в популяции равна 0,0004. Если
в каждом поколении каждый из индивидуумов с рецессивным признаком
будет принудительно стерилизован, а сам процесс элиминации будет
продолжаться в течение пятидесяти поколений (так что ^0=1), то окон-
чательная частота а снизится только наполовину: qt будет равно 0,01, а
доля аа—-0,0001. Приняв продолжительность одного поколения равной
тридцати годам, найдем, что для уменьшения частоты этого рецессивно-
го гена наполовину потребуется тысяча пятьсот лет принудительной
стерилизации всех индивидуумов с простым дефектным рецессивным
признаком. Если же величина q меньше 0,02, то, для того чтобы умень-
шить ее наполовину, потребуется еще более длительный период времени.
Отсюда следует, что результаты даже самой жесткой стерилизации
проявятся не так скоро, как этого ожидают некоторые евгеники. При сте-
рилизации на добровольной основе, когда в каждом поколении осущест-
вляется только частичная элиминация, скорость снижения q будет зна-
чительно меньше. Эти соображения приведены здесь не затем, чтобы
высказать протест против идеи стерилизации. Тем не менее они пока-
зывают, что элиминация рецессивного дефекта из панмиктической по-
пуляции путем стерилизации — очень медленный по сравнению с чело-
веческой жизнью процесс, вероятно не имеющий непосредственной цен-
ности для практической евгенической программы.
Третий случай. Если величины относительных приспособленностей
равны (w, 1, 0), то новое отношение частот генов в следующем поколе-
нии примет вид
и =------—— = uw 4-1. (8)
и
Это выражение представляет собой рекуррентное соотношение весьма
368
ГЛАВА 21
общего типа, которое решается стандартными методами. Простейшим из
них является метод последовательной подстановки: U] = uow+1, и2 =
= uiw-l-l = uow2-i-w-i-l, U3—U2W-[-l — UoW3-j-w2-j-w-[-l и т. д.; общим ре-
шением будет
uf = uowt + w*-1 + • • • + w + 1. (9)
Когда w= 1, выражение (9) сводится к ut = u0Jrt [т. е. к (7)]. Если w=£
#=1, то мы находим сумму геометрической прогрессии и получаем [146]
ut = и0 wf + ~ 1, (10)
а> — 1
ИЛИ
(«И----Ц~'j = (и0 4----Ц-). (10')
\ w — 1 / \ W — 11
Величины ut+l/(®—1) образуют простую геометрическую прогрессию.
Если и)>1, то ut будет неограниченно возрастать, т. е. с возрастанием
t рг^А и Частота рецессивного гена будет, конечно, падать бы-
стрее в случае и>>1, чем в случае ш=1.
Если мы начнем, к примеру, с u0=l, q0=-±- и примем w = 2, то по-
лучим
и: 1, 3, 7, 15,...,
q: U2, 1/4, 1/8, 1/16, ....
Обратите внимание, что иг+1=2, 4, 8,... образуют геометрическую про-
грессию со знаменателем w=2.
Когда ау<1, приспособленность гетерозиготы Аа больше приспосо-
бленности гомозиготы АА и с возрастанием t wt—^Q, Общие решения (10)
и (10') свидетельствуют о том, что предельные величины равны
1 1 — /т
и — и =-------или q = q =--------. (11)
00 1— w 2~w
При ю=1—s получим
р = (1Г>
14-5 1 4- s
ТТ 1 1
Начав, как и прежде, с и0= 1 и приняв w——, находим
щ: 1, 3/2, 7/4, 15/8, ...,2,
qt: 1/2, 2/5, 4/11, 8/23,..., 1/3.
В этом случае величины щ—2 =—1, —V2, —Vs, • • образуют геоме-
трическую прогрессию со знаменателем w = —. Общий случай, когда
гетерозигота обладает большей приспособленностью, чем обе гомозиго-
ты, мы рассмотрим позднее подробно. Стационарное состояние (11) яв-
ляется частным случаем. Если общее решение (10) выразить через qt,
то оно будет эквивалентно результатам Тейсье [613а, Ь] и Андерсона
([5, 6]; наше \/w он обозначил через 1F).
§ 3. НЕПОЛНАЯ ЭЛИМИНАЦИЯ ОСОБЕЙ
С РЕЦЕССИВНЫМ ПРИЗНАКОМ
Когда величины приспособленностей трех генотипов равны 1, 1,1—s
(как показано в табл. 21.3), где s — положительное число, обычно назы-
ваемое коэффициентом отбора, в соответствии с общими выкладками
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
369
Таблица 21.3
Неполная элиминация гомозиготных по рецессивному гену и гетерозиготных особей
Г енотип Частота, f Отбор против особей с рецессивным приз- наком, W Общий случай, W Случай промежуточной приспособленности гетерозиготных особей, w
АА Р2 1 1 1
Аа 2pq 1 1—hs 1 2 5
аа У2 1—S 1—S 1—S
(см. табл. 21.1) получаем T=p2-}-2pq-{-q2( 1—s) = l—sq2, а из уравнения
(1) находим
(12)
(13)
, = ру+ у2(1 —s) = q — sq2
4 Т l—sq2
Общее решение для этого рекуррентного соотношения неизвестно. Вели-
чина изменения q за одно поколение отбора равна
л / — sct2 (1 — у)
Д(? = q' — q = 4
1 — sq2
Отсюда следует, что величина q уменьшается в результате отбора про-
тив гомозигот по рецессивному гену. Разностное уравнение (13) показы-
вает также, что при больших q величина Дд вполне ощутима, тогда как
при малых q величина Дд очень мала, так как она приблизительно про-
порциональна величине q2. Это еще раз указывает на тот факт, что отбор
против редких рецессивных генов неэффективен. Более того, если s так-
же невелико (например, s=0,01; 0,001), то Т = 1—sq2 приблизительно
равно единице, а разностное уравнение (13) можно заменить дифферен-
циальным уравнением
= — sq2 (1 — q), —— = — sdt.
dt y2(l-y)
Это приближение достаточно удовлетворительно, когда процесс отбора
протекает очень медленно. Интегрируя обе части по поколениям, мы
получим (см. также упр. 5)
С dq
J у2(1 — у)
% 0
. Г 1 । , 1 уТ^/г _______
.. sn =------Ь In----- =
L у у J^o
_ 1_______1 । |п 1 Уп|п 1 qo __ qo qn । |n Уо (1 Pn.)
qn qo qn qo ЦоЯп qnd yo)
Пусть, например, s = 0,001. Число поколений, необходимых для
чтобы уменьшить долю особей с рецессивным признаком с 50 до1°/о, т. е.
уменьшить ^0=]/0,50=0,7071 до qn— V 0,01 = 0,100, будет равно (на-
туральные логарифмы заменим на десятичные):
0,001п= + 2,303 lg(°’707'0’9°j = 11,665,
0,0707 ',0,293-0,10/
.’. п = 11 665 поколениям.
(14)
п
= —S С
— sn,
того,
(15)
(15z)
370
ГЛАВА 21
Как отмечалось выше, отбор эффективен только для не очень больших
и не очень малых значений частот генов. При малых q процесс снижения
q становится чрезвычайно медленным. Например, если, как и раньше,
s=0,001, то для уменьшения доли особей с рецессивным признаком от
1 до 0,001% в большой панмиктической популяции должно пройти
309 783 поколения. Ниже приведены соответствующие расчеты, где qo=
= 0,10 и gn = ]A),00001 =0,00316228; из (15') получаем
0,00In = °’09683772 4.2,3031g (°’10—v-968377 > = 309,783.
0,00031623 ь V 0,90-0,0031623/
Расчеты этого типа носят чисто схематический характер. Принимаемое
в них условие постоянства окружающей среды в течение многих миллиг
юнов лет едва ли соответствует реальности. Условия среды могут изме-
няться и действительно изменяются постепенно или внезапно. Соответ-
ствующим образом будет меняться интенсивность отбора по определен-
ному признаку, поэтому величина s не может оставаться постоянной в
течение длительного периода времени. Признак, неблагопрятный
при одном наборе условий, может стать полезным при совершенно дру-
гом комплексе условий. Важный вывод, вытекающий из подобных рас-
четов, состоит в том, что благодаря давлению отбора может медленно
изменяться вся популяция, даже если селектйвная невыгодность опреде*
ленного генотипа мала (s=0,01 или 0,001). Относительные приспособ-
ленности различных генотипов могут непрерывно изменяться за счет
сравнительно слабых изменений среды, последние способны обеспечить
эволюцию более быструю, чем та, которая иногда представляется воз-
можной.
Когда отбор направлен против особей, гомозиготных по рецессивно-
му гену, а также в определенной степени и против гетерозиготных (ю= 1,
1—hs, 1—s, второй случай в табл. 21.3), благодаря отбору q изме-
няется намного быстрее, так как гетерозиготных особей, на которые дей-
ствует отбор, в популяции больше, чем гомозиготных. В нашей схеме
h— положительное число меньше 1; если /i=0, то остается только отбор
против гомозиготных особей. Если /г=1, то Аа и аа будут иметь одина-
ковую приспособленность 1—s. Можно считать, что h обычно имеет ве-
личину порядка 0,05 или около того. Действуя в соответствии с основны-
ми правилами табл. 21.1, мы находим
t = р2(1) + 2pq (1 —hs) + 72(1 —s) = 1 —2pqhs — q2 s,
p — pqhs
T
q — pqhs — <?2S
(16)
где
Aq = q' — q=—jp(h + q — 2qh), (17)
что при /1=0 сведется к (13).
Если /г=’А (третий случай в табл. 21.3), то относительная приспо-
собленность гетерозиготы является средней величиной между приспо-
собленностями двух гомозигот. Подставляя в (16) и (17) 2/i=l, мы по-
лучим
1 1
q—~zspq —sq ~~^spq
^q = q'-q=—^-------------q = ----- ;(18)
I — spq — sq2 1 — sq
Когда s мало, отбор арифметического типа [1, 1—’As, 1—s] почти иден-
тичен отбору геометрического типа [1, 1—’As, (1—’As)2], так как при
(1 \2
1---— sj приблизительно равно (1—s). Например, при s = 0,02
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
371
как тот, так и другой отбор имеют вид [1,00; 0,99; 0,98]. Как было отме-
чено выше, отбор такого типа эквивалентен гаметическому отбору при
малых s. Таким образом, разностное уравнение (18) можно заменить
дифференциальным
dq_________1_
~dt ~ 2
(1 — q),
dq
?(!—?)
----- sdt.
2
Интегрируя обе части
по п поколениям (от qQ до qn), получим
— sn = Г1п -—-1?" = In .
2 L <7 к ?л(1—?о)
(19)
Пусть, например, s = 0,02. Число поколений, необходимое для того, что-
бы уменьшить <7о=0,40 до </« = 0,04, равно
п = 100-2,3031g °’40--0’96 = 277.
0,04-0,60
При постоянной интенсивности отбора q снижается быстрее при га-
метическом отборе, чем при отборе зигот. Если отбор действует только
против гамет одного пола (скажем, против пыльцы), то результаты ос-
танутся теми же самыми, за исключением того, что s заменится на V2S
для панмиктической популяции, в которой отношение полов равно еди-
нице, как, например, у кукурузы (упр. 7).
§ 4. ОТБОР В ПОЛЬЗУ ГЕТЕРОЗИГОТНЫХ ОСОБЕЙ
В отсутствие противодействующих сил отбор тех типов, которые рас-
сматривались в предыдущем параграфе, приводит к предельному со-
стоянию 7оо=0, так как он действует главным образом в одном напра-
влении: Щц>®12>®22. Когда относительная приспособленность гетеро-
зигот выше приспособленностей гомозигот, схема отбора имеет вид
®п<®12>®22; такой отбор приводит к стационарному состоянию, от-
личному от состояния <7=1 или 0. Иными словами, подобный отбор сам
по себе без вмешательства других сил приводит к промежуточному ста-
ционарному состоянию. Возвращаясь к основным рекуррентным уравне-
ниям (1), приведенным в нижней строке табл. 21.1, мы видим, что в
•общем
р' _ Р (pwn + gw12)
q' q(pw12+qw22)
О')
В состоянии равновесия p'lq'—p']q. При этом должно иметь место урав-
нение
pwn + qw12 = pw12 + qw22. (20)
Решая его, получаем
р = ,________<^18 — ^22
(да18 — даи) + (w12 — w22) ’
q =----------, (21)
(«42 — дап) + (ш1а — да22)
где знак Д обозначает равновесные (стационарные, stationary) частоты
генов. Таков один из основных результатов генетической теории отбора
[163, 194, 669]. Одновременное изменение знака и числителя, и знаме-
нателя никак не сказывается на величинах р и q, поэтому две разности
(21) можно также записать в виде (W22—wi2) и (ад—Ю12).
372
ГЛАВА 21
Имея в виду последующее обобщение для случая множественных
аллелей, решения (21) можно выразить с помощью определителей, полу-
ченных из «матрицы приспособленностей»
WU ^12
W =
0У22
1 а>12
1 w22
Kill 1
^12 1
(22)
Z)1 =
где Di — определитель матрицы, полученной заменой элементов первого
столбца матрицы w единицами, а Д — определитель матрицы, полу-
ченной заменой элементов второго столбца матрицы w единицами. Итак,
решения (21) имеют вид
Di л _ о2
Di + D2 О14-£>2
(23)
л л
Так как р (или q) —величина положительная, Di=w22—w12hD2=wu—
—Wi2 должны иметь одинаковый знак: или отрицательный или положи-
тельный. Это означает, что отбор должен быть или типа
wn<w12>w22, или типа tei11>tei12<te;22.
Из трех генотипов гетерозигота должна обладать наибольшей или наи-
меньшей приспособленностью. В первом случае состояние равновесия ус-
тойчиво, во втором—неустойчиво. Более детально проблему устойчиво-
сти стационарного состояния мы будем обсуждать позднее. Здесь же
мы рассмотрим некоторые специальные системы обозначений (табл.
21.4) для случая преимущества гетерозигот в отношении приспособлен-
ности.
Таблица 21.4
Отбор в пользу гетерозигот; три системы обозначений
относительной приспособленности
Г енотип Частота w I II III
AA P2 1 1 — b2 1 — t
Aa 2p<? ®12 1 +h 1 +&c 1
aa <72 ^22 1— k 1 —c2 1 —3
Три системы обозначений, приведенные в табл. 21.4, выражают один
и тот же факт: приспособленность гетерозиготы выше приспособленно-
сти обеих гомозигот. Поэтому мы можем просто приравнять их отноше-
ния
1 :(1 +/i):(l-k) = (1 — 62):(1 + Ьс):(1 — с2) = (1 — t): 1 :(1 — s). (24)
А А
Независимо от используемой системы обозначений решения для р и q
будут одинаковыми. Для любого данного отношения : oii2: ^22 всегда
можно подобрать такие два положительных числа b и с, чтобы отноше-
ние (1—Ь2) : (14-Ьс) : (1—с2) равнялось отношению величин w. Подста-
вив приведенное отношение в основную формулу (21), мы получим рав-
новесные частоты генов:
л h + k
Р = ------»
r 2h + k
(I)
(И)
с
&+ с’
л h
v 2h + k
Л b
q b + c'
(25)
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
373
л з л t
р =------, q =-------------•
з + t s + t
Следует подчеркнуть, что эти решения при выполнении условий (24)
идентичны. Для стационарного состояния величина Т—Hfw в табл. 21.1
л л
рассчитывается путем подстановки приведенных выше р и q. Итак, мы
находим, что
(I) Т = 1 + /г2/(2/г + k),
(II) Т=1, (26)
(III) Т= 1 — st/(s + t).
л
Величина Т может быть больше, равна или меньше единицы в зависи-
мости от того, какую из систем обозначений использовали для получе-
ния величин относительной приспособленности. Отсюда ясно, что из са-
л
мого выражения для Т никаких биологических выводов сделать нельзя,
точно так же как нельзя вывести никаких биологических заключений из
одного выражения а)=1. Поскольку мы рассматриваем относительные
приспособленности трех генотипов, их генетический смысл задается от-
носительными величинами Wu, Wi2, W22 и Т. Ни одну из этих величин
нельзя интерпретировать по отдельности.
Если относительными приспособленностями будут (w, 1, 0), где
®<1, то общее решение по формуле (21) имеет вид
А 1 А 1 —w
р ~------ q =----------,
2—w» 2—w
что согласуется с формулами (11), полученными другим методом.
Из выражений (21) видно также, что линейные преобразования ве-
личин приспособленностей w*=a-\-bw (при условии, что w*^0) не
влияют на стационарные значения частот. От прибавляемой константы
можно избавиться путем вычитания, а от множителя — путем деления.
Таким образом, при любом из наборов относительных приспособленно-
стей (1, 3, 0), (8, 10, 7), (101, 103, 100) популяции приходят к стационар-
л
ному состоянию с q = 2/s = 0,40. Однако интенсивность и жесткость отбора
в этих трех случаях различны: в первом случае они наибольшие, а в
третьем — наименьшие. Изменения частоты гена за поколение \q = q'—q
в данных наборах также различны: в первом случае равновесие дости-
гается быстро, а в третьем — медленно. Из основного рекуррентного
уравнения (1) мы получаем
bq = q'_q =-----------------------q =
р2 tOu + 2pqw12 + q2 W22
= -jT tp (“'ll — “'la) + q (“'n — “'аг)] • (27)
Для трех систем обозначений из табл. 21.4 это выражение имеет вид
(I) Д<? = -у (ph — q(h + k), где Т = 1 + 2pqh — q2k,
(И) Ду = (Ь + с) (pb - qc), где Т = 1 - (pb-qc)\ (28)
374
ГЛАВА 21
(III) Д<7 — ~-(pt— qs), где T = 1 —p2t—q^s.
Числовые расчеты \q с помощью этих трех выражений, конечно, дадут
нам одинаковый ответ. При р = 17=0,50 новые частоты генов в следую-
щем поколении для рассматриваемых ниже случаев отбора будут:
Относительная приспособлен- ность, Шц(Ш12,Ш22 Исходная частота, q Частота после отбо- ра, q' Изменение частоты, Д<7 = q' — q Стационар- ное состоя- Л ние, q
Пример I 1 3 0 0,500 0,42857 —0,07143 0,400
Пример II 8 10 7 0,500 0,48571 —0,01429 0,400
Пример III 101 103 100 0,500 0,49877 —0,00123 0,400
Отсюда видно, что чем сильнее селекционные различия, тем больше из-
менение частоты гена за поколение. Уравнения (27) и (28) показывают,
что при Др=0
р (вуп — су12) + q (да12 — ау22) = 0 (29)
и
ph — q (h + k) = 0, pb — qc = 0, pt — qs — 0. (30)
Решения последних уравнений идентичны (21) и (25) соответственно.
Наиболее известным примером генетического полиморфизма у человека,
обусловленного преимуществом в приспособленности гетерозигот, явля-
ется серповидноклеточная анемия в некоторых африканских популяциях
[2, 3]. Интересный пример полиморфизма ферментов у пресноводных
рыб, на которых показано, что изменение частот аллелей происходит с
изменением температуры, представлен в работе Коэна [313].
§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
Думается, что читателю-биологу, впервые сталкивающемуся с про-
блемой устойчивости равновесия, поначалу лучше всего ограничить-
ся простейшей ситуацией. Затем по мере необходимости можно рассмот-
л
реть и другие более сложные случаи. Предположим, что </=0,40 есть
равновесная частота при определенном типе отбора (или при наличии
каких-либо других сил или их комбинаций, приводящих к равновесному
состоянию). Каким образом должна изменяться частота гена, если на-
Л
блюдаемая величина не равна ^ = 0,40, а составляет 0,20 или 0,70? В тех
л
случаях, когда наблюдаемая величина q меньше q и в последовательных
поколениях возрастает, приближаясь к своему предельному значению
Л Л
q, или когда она больше q и уменьшается в ряду поколений, также стре-
л л
мясь к q как к своему пределу, говорят, что q — это точка устойчивого
равновесия. Из представленной ниже диаграммы (слева) видно, что не-
л 1 п -с л 1
и ’ q < 1 1 и 4 1 *7 ' > 1 1
1 ! । 1 । (31>
неустой- чивая устойчивая неустой- чивая устой- чивая неустой- чивая устой- чивая
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
375
зависимо от местонахождения точки q (при условии, что она не равна О
А
или 1) в конечном счете эта точка остановится в точке q. Если наблю-
л
даемая величина q меньше q, то она продолжает уменьшаться и в после-
д
дующих поколениях достигает еще меньших значений, а при q>q она
продолжает увеличиваться в последующих поколениях, достигая еще
А
больших значений; в данном случае мы говорим, что q является точкой
неустойчивого равновесия. Последняя ситуация проиллюстрирована в
правой части диаграммы (31). При таких условиях популяция останет-
А Л
ся в точке q только в том случае, если величина q точно равна q. Если
л
величина q не равна q, то в конце концов она станет равной 0 или 1.
л
Ие существует таких значений q, которые не смещались бы к q\ в отли-
Л
чие от случая устойчивости все величины q (не равные q) будут сме-
л
щаться от q к крайним точкам (0 или 1).
Л
Из диаграмм (31) видно, что если q есть точка устойчивого равнове-
сия, то две крайние точки и q— 1 должны быть неустойчивыми; ес-
ли величина q слегка отклоняется от 0 или 1, то она будет продолжать
Л Л
движение по направлению к q. Наоборот, если q неустойчива, то две
крайние точки должны быть устойчивыми; если величина q слегка от-
Л
клоняется от q, то она будет продолжать движение к 0 или 1. Для удоб-
ства можно сравнить устойчивое равновесие с точкой притяжения, а
неустойчивое равновесие — с точкой отталкивания. В общем можно ска-
зать, что устойчивые стационарные состояния чередуются с неустойчи-
выми: неустойчивое — устойчивое — неустойчивое — устойчивое и т. д.
Две соседние устойчивые точки не могут не быть разделенными точкой
неустойчивости, точно так же как две соседние точки неустойчивости
не могут не разделяться точкой устойчивости. Для направленного отбо-
ра типа или WnCwi2<w22 не существует никаких проме-
жуточных стационарных состояний, и величина q стремится к 0 или 1,
как показано ниже.
0 --------------- I 0 ---------------- I
|-------------------1 I----------------1 (32)
устойчивая неустойчивая неустойчивая устойчивая
В предыдущем параграфе мы уже показали, что при отборе типа
®п<Щ12>Щ22 или wii>wi2<(w22 существует промежуточное стационар-
ное состояние; далее мы установили, что для первого типа оно устойчи-
во, а для второго — неустойчиво. Прежде чем рассматривать математи-
ческие методы проверки устойчивости равновесия, полезно попытаться
понять причины существования промежуточного стационарного состоя-
ния при отборе указанных двух типов. Рассмотрим отбор первого типа.
Левая часть неравенства Wu<ZWi2 отражает «силу», снижающую часто-
ту гена А, а правая часть неравенства ^12>^22 отражает «силу», сни-
жающую частоту гена а. Эти две силы действуют в противоположных
направлениях. Стационарное состояние представляет собой точку рав-
новесия, в которой две разнонаправленные силы уравновешивают дей-
ствие друг друга. В то же время такой отбор никогда не способен устра-
нить ни один из аллелей, так как генотип, содержащий одновременно
гены Айа, имеет наибольшую приспособленность, что и обеспечивает
376
ГЛАВА 21
устойчивое существование обоих аллелей. При отборе второго типа две
разнонаправленные системы также уравновешивают друг друга, но в
этом случае гетерозигота обладает самой низкой приспособленностью.
Потеря гетерозиготы (Аа) означает одновременную элиминацию из по-
пуляции одного гена А и одного гена а. Равная потеря обоих аллелей
означает пропорционально большую потерю аллеля, имеющего меньшую
частоту, точно так же как равное налоговое обложение богатого и бед-
ного причиняет больший ущерб бедному, чем богатому. Другими слова-
ми, отбор против гетерозигот (за исключением самой точки равновесия)
равнозначен отбору против более редкого в популяции гена и способст-
вует тому, что он становится еще более редким. Поэтому равновесие и не-
устойчиво.
Теперь приступим к аналитическому рассмотрению проблемы устой-
чивости. Изменение частоты гена за одно поколение отбора равно Aq =
= q'—q. Сейчас нас интересует главным образом знак Aq, поскольку
когда Aq=q'—q положительно, величина q возрастает, а когда Aq=
— q'—q отрицательно, величина q уменьшается. В простых случаях знак
Aq при различных q можно определить непосредственно. Рассмотрим
(28), заменив в последнем множителе р на 1—q~.
&q=^(b + c) [ft - q (b + с)] = (b + c)* R----d , (28')
1 T [о + c J
A
где b!(b-\-c)—q — равновесная величина (25). Таким образом, когда q
л
меньше q, Aq положительно, что указывает на возрастание q. И наобо-
л
рот, когда q больше q, Aq отрицательно, что свидетельствует об умень-
л
шении q. Поэтому стационарная точка q=b](Ь-\-с) является точкой
устойчивости. Если гетерозигота имеет наименьшую приспособлен-
ность, то мы имеем дело с обратной ситуацией, когда стационарное
состояние неустойчиво.
Ниже мы остановимся на двух эквивалентных графических методах
изучения устойчивости равновесия, каждый из которых является пря-
мым следствием самого определения понятия устойчивости. Сначала
опишем более простой метод. Рассмотрим основное рекуррентное соот-
ношение (1)
= У(р). (Г)
рЪц + 2pqw12 + <72ш22
По определению, стационарное состояние задается условием
р' = р. (33)
В единичном квадрате (рис. 21.1) построим прямую р'=р с тангенсом
угла наклона, равным единице, а затем проведем кривую р'=у¥(р). Пе-
ресечение кривой и прямой линий дает стационарную точку, так как она
удовлетворяет условиям р' = у¥(р)—р. Относительно природы равнове-
сия в стационарной точке напомним, что при р'>р частота гена растет,
а при р’<.р падает; поэтому в состоянии устойчивого равновесия кри-
вая р' = у¥(р) лежит выше прямой р' = р, когда величина р меньше рав-
новесной, и ниже — когда величина р больше равновесной. Для неустой-
чивого равновесия справедливо обратное. На рис. 21.1 [145] представле-
но четыре примера, иллюстрирующих эту ситуацию. Первые два
соответствуют диаграммам (31), а два последних — диаграммам (32).
Из диаграмм также ясно, что поскольку тангенс угла наклона прямой
р'—р равен единице, значение dp'ldp в точке пересечения при устойчи-
вом равновесии должно находиться между 0 и 1. Вместе с тем в точке
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
377
пересечения при неустойчивом равновесии значение dp'/dp должно быть
больше единицы. Фолк [145] первым использовал этот метод при реше-
нии задач генетического равновесия, тогда как к другим проблемам,,
касающимся равновесия в биологических системах, его впервые приме-
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,00,9 1,0
> Р <
Вверху слева
p'—V(p);w =2,4,1
Устойчивое равновесие р=0,6
Внизу слева
p'=V(p); 10 = 4,2,1
Равновесие р=1
◄-------------
Вверху справа
pr=V(p); w= 3,1,4
Неустойчивое равно-
весие р = 0,6
Внизу справа
р'=Ч^(р); го= 1,2,4
Равновесие р=0
Рис. 21.1. Графики уравнений (Г) и (33) при различных значениях приспособленпостей
v генотипов.
Диагональная прямая — график зависимости р'=р с тангенсом угла наклона, равным единице.
Когда кривая p'=T*(p) лежит выше этой прямой, р увеличивается. Стрелки указывают направление
изменения р при отборе. (С любезного разрешения Фолка.)
нил Уотсон [638]. Математическое описание метода можно найти у Леви
и Лессмана [341], а применение метода к более сложным генетическим
ситуациям разработал Каннинге [52, 53].
Второй графический метод изучения устойчивости состоит в постро-
ении кривой
Ьр = р'-р = Ч(р)-р, (34)
как показано на рис. 21.2 для тех же самых типов отбора, что и на рис.
378
ГЛАВА 21
21.1. Если Ар положительно (расположено выше горизонтальной линии
Ар=0), то величина р возрастает. Если Ар отрицательно (расположено
ниже горизонтальной оси), то величина р уменьшается. Точка пересече-
ния кривой с горизонтальной осью дает точку равновесия. Очевидно, что
рис. 21.2 эквивалентен рис. 21.1, повернутому на 45° по часовой стрелке,
в результате чего диагональная прямая р'=р последнего заняла поло-
жение горизонтальной оси Ар=р'—р=0 первого. При устойчивом рав-
новесии тангенс угла наклона кривой в точке пересечения (рис. 21.2)
Устойчивое Неустойчивое
равновесие равновесие
Рис. 21.2. Зависимость между Др=р'—р и р.
При равновесии Др=0. На левой диаграмме величины приспособленностей равны w=2, 4, 1, что
приводит к равновесию р=0,60. На правой диаграмме w—3, 1, 4 и равновесие р=0,60 неустойчи-
во. Эти диаграммы эквивалентны двум верхним диаграммам на рис. 21.1, повернутым на 45е по
часовой стрелке.
должен быть отрицательным: dApldp=d(p'—p')ldp=dp'ldp—КО, в
полном согласии с приведенным утверждением о том, что производная
dprldp в точке пересечения на рис. 21.1 должна быть меньше единицы.
При неустойчивом равновесии кривая Др=ф(р)—р пересекает горизон-
тальную ось, имея положительный тангенс угла наклона: d&p[dp=dp'l
Idp—1>0 в полном согласии с приведенным выше утверждением о том,
что в точке равновесия производная dp'jdp должна быть больше едини-
цы. Таким образом, методы, представленные на рис. 21.1 и 21.2, совер-
шенно эквивалентны. Более сложные ситуации мы рассмотрим в после-
дующих параграфах и главах.
§ 6. ПРИСПОСОБЛЕННОСТЬ КАК КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ
ПРИЗНАК
При сравнении табл. 21.1 и 3.2 и некоторых алгебраических выра-
жений из этих двух глав обнаруживается довольно близкое их сходство.
В гл. 3 мы ввели обозначение Х==2, 1, 0 для генотипов АА, Аа и аа, а
также соответствующие им значения количественного признака У=Уг,
УьУо. Если в данной главе мы будем рассматривать w=wu, w12,w22
как количественный признак и для удобства введем Х=1, —, 0, то ана-
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
379
Таблица 21.5
Относительная приспособленность как количественный признак
Г енотип f X W fw fxw
АА р* 2 1 РЧ1
Аа 2pq 1 2 U>ii 2р<?ш12 pqwii
аа 0 <72ш22 0
Сумма 1 — — W p(pa>ii + gay12) = pa>i
логия будет совершенно полной. Другими словами, результаты отбора
можно изучать с помощью тех же количественных методов, которые бы-
ли описаны в гл. 3. Табл. 21.5 представляет собой модификацию табл.
21.1 с использованием величин х. Если w рассматривать как значение
количественного признака, то суммарное Т после отбора (табл. 21.1)
можно считать средней величиной всех w.
w = p‘i wn + 2pqwVi + q* ю22, (35)
что аналогично У=р2У2+2р<7У1-|-<72Уо из гл. 3. Из табл. 21.5 также
видно, что pwu-}-qWi2~Wi аналогично среднему «частей» m.\=pY2-\-
+(?У1 из гл. 3. Среднее и дисперсия для Х=2, 1, 0 равны соответственно
Х=2р и u^=2pq. Следовательно, среднее и дисперсия для х=1, */2, О
— ' * 1
равны соответственно х=р и = —• pq. Ковариация х, w равна
Cov (х, w) = 2 fxw—х w — р2 wn 4- pqw12— Pw, (36)
Cov (x, w)_p2 Wn-^-pqwii
w w
Первое слагаемое из правой части, согласно (1), равно просто р', если
учесть, что w = T. Следовательно. [392, 393, 520],
= = (37)
W
Аналогично регрессии У на X из гл. 3 здесь мы имеем регрессию w на х:
, Cov (а», х) Cov (и, х) „ . . Л. , ,00,
bw,x =-----= - ~779 ~ . cov (^. *) = Pqbwx. (38)
о2 1/X pq
Осуществив подстановку (38) в (37), получаем
bp=-&=bwx. (39)
2 W
Когда регрессия w на х положительна, р возрастает. При отрицательной
регрессии w на х р уменьшается. Когда bwx — Q, популяция находится
в стационарном состоянии. Для того чтобы выразить приращение Ар
через величины w, произведем подстановку (35) в (36) и после упроще-
ния получим
Cov (х, w) = pq [р (а>п — о>12) + q (ayJ2 — ш22)]. (40)
Разделив обе части на ст^=-^-р9, мы найдем, что коэффициент регрес-
сии равен
380
ГЛАВА 21
bwx = 2[p(w11 — wlz) + q(wlz — wzz)], (41)
Др = [р (шц — а>12) + q (а>12 — ау33)]. (27')
W
Последнее выражение эквивалентно выражению (27). Поскольку Др =
=—Др, мы постоянно использовали данные величины как взаимозаме-
няемые. Формула регрессии (41) аналогична выражению Ьух = р(1/2—
—У1)+р(У1—Уо) из гл. 3 (18), где Х=2,1,0. Здесь х=-^-Х= 1,-у, 0, так
как в выражении (41) стоит множитель 2. Таким образом, 6ЮЖ=2|3, где
р — регрессия w на X [393]. Из проведенного анализа, и в частности из
формулы (37) , следует, что изменение частоты гена обусловлено корре-
ляцией между генотипами (представленными величинами х = 1, ’/г, 0)
и силами отбора (представленными величинами w=wn, ^12, ^22). При
равновесии эти две переменные не коррелируют. Это справедливо и для
всех популяций независимо от того, являются ли они панмиктическими
или нет, что будет показано далее.
Для частного случая случайного скрещивания, когда частоты гено-
типов предполагаются равными членам разложения бинома (или поли-
нома), из (35) мы получим
^ = 2[p(wu—w^ + q(wlz — wzz)] = bwx, (42)
dp
что аналогично регультатам из § 7 гл. 3. Тогда формула (39) примет
вид
Д/) = Р1.л, (43)
2 w dp
Это и есть главный результат, полученный Райтом [675, 676] при анали-
зе проблем отбора. Если мы запишем
, — dQ 1 dw
£2 = In w, так что — = —----,
dp w dp
то формула (43) примет вид
д (44)
2 dp
Результат (43) приводит к другому представлению эффекта отбора,
дополняющему корреляционную или регрессионную концепцию, выра-
женную формулами (37) и (39). Из него следует, что при равновесии
(Др=0) dw/dp—G, т. е. при равновесии w принимает свое максималь-
ное или минимальное значение. Из (42) следует, что
d^w с,, п , .(если производная положительна, то w минимальна,
-—=2(w11—2wlz+wzz)\ н _ (45)
dp (если производная отрицательна, то w максимальна.
Когда вторая производная отрицательна, это означает, что самой боль-
шой из трех величин w будет a?i2 (если существует промежуточное рав-
новесие); следовательно, равновесие устойчиво ^гогда, когда w прини-
мает максимальное значение. И наоборот, если w минимальна, то рав-
новесие неустойчиво. Рис. 21.3 иллюстрирует ситуацию с отбором того
же типа, который представлен на рис. 21.1 и 21.2. Тот факт, что при ми-
нимальном значении w равновесие неустойчиво, а при максимальном —
устойчиво, свидетельствует о том, что средняя приспособленность w при
действии отбора всегда возрастает до тех пор, пока не достигнет макси-
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
381
мального значения (т. е. состояния стационарности). Эти изложенные
нами вкратце соображения были положены Райтом в основу его «адап-
тивной топографии» — теории об эволюционных изменениях популяций.
В ней утверждается, что популяция как генетическая система всегда
движется вдоль кривой w (или поверхности более высокого порядка)
по направлению к вершине (стационарному состоянию) и, попав на дно
впадины (минимум w), стремится выйти из нее, двигаясь по кривой w.
Итак, отбор делает среднюю приспособленность популяции максималь-
ной. Данный вывод подтверждается тем, что dwjdp равно bwx [о чем
Рис. 21.3. Зависимость между средней приспособленностью w и частотой гена р.
Левая диаграмма: величины приспособленностей равны w = 2, 4, 1, что приводит к устойчивому рав-
новесию р = 0,60, при котором средняя приспособленность популяции максимальна. Правая диаграм*
ма: w=3, 1, 4; равновесие р=0,60 неустойчиво, оно соответствует минимуму w.
свидетельствует выражение (42)] или кратной ему величине. Следова-
тельно, это справедливо для одного локуса с двумя или большим числом
аллелей в панмиктической популяции (где частоты генотипов соответ-
ствуют биномиальному или полиномиальному распределению); для дру-
гих случаев это утверждение не совсем верно, хотя при определенных
условиях оно служит хорошим приближением к реальности. Этот вопрос
мы обсудим в последующих параграфах и главах.
§ 7. ВОЗРАСТАНИЕ СРЕДНЕЙ ПРИСПОСОБЛЕННОСТИ
__ В предыдущем параграфе мы установили, что при наличии отбора
w всегда возрастает до тех пор, пока не будет достигнуто состояние
равновесия. Теперь мы дадим выражение в явном виде для величины
изменения w—w за одно поколение отбора, в котором w'—сред-
няя величина (35); для следующего поколения вместо р и q подставим
р' и q'. Согласно общей теории линейной регрессии, компонента диспер-
сии для зависимой переменной w, обусловленная ее регрессией на не-
зависимую переменную х, дается формулой [см. формулы (7) и (19) из
гл. 3]
382
ГЛАВА 21
= = (46>
Мы будем называть линейной компонентой . Далее отметим, что
w' является той же самой функцией, что и w от р, причем p'=p-JrAp.
По теореме Тейлора
—, — 1 dw \ , I d2w ) (Ар)2
• ”+Ым + Ы i (47)
Все производные функции (35) более высоких порядков равны нулю.
Производные в формуле (47) определяются в точке р. Подставив величи-
ны производных, даваемые формулами (42) и (45), а также выражение
для Др из (39) и перенеся w в левую часть, с учетом (46) мы получим
[392]
Aw = w' — w = (bwx) bwx ) + (aylx — 2w12+w2J (Др)2 =
= al/w + (&yu — 2&yia + w22) (Др)2. (48)
Первое слагаемое всегда положительно. Величина второго слагаемого,
включающего (Др)2, невелика независимо от того, положительно или
отрицательно значение (&Уц—2wi2-}-W22)- Покажем, что сумма в правой
части (48) всегда положительна. Для этого воспользуемся формулой
(39) для Др и перепишем (48) в виде
Д^ = -4- b2wx [1 + (дап — 2а>12 + w22) pq/2w\.
2w
Однако
(а>ц — 2ay12 + w22) pq = pwn + qw22 — p?wa — 2pqw-ts—q2 да22=
= + 7^22 — W,
Aw =—b2 Г1 + pW11 + q™22_-1 = P9 b2 Г1 + pWli + qw™1 . (49)
2w WX 2w 2 4w WX w
Последняя величина положительна, что означает возрастание w до тех
пор, пока bwx не станет равным нулю. Когда —2wi2+w22—0, т. е.
да12=-—(^11+^22) > мы имеем
оу = PXi + РЯ (&Уц + W22) + q2w-22 = pwu + <7®22>
так что выражения (48) и (49) сведутся к
Aw = b2wx = GlIw, (50)
2w
где о£ —линейная компонента дисперсии приспособленности . При
равновесии о£ =0, так как bwx=Q (46).
В предыдущем параграфе мы исследовали некоторые особенности
Др. В этом параграфе мы рассмотрели выражения для Aw. Зависимость
между двумя этими величинами представлена на рис. 21.4. Ясно, что
Др и Aw отражают две стороны одного и того же результата отбора.
Другими словами, они представляют собой два способа описания одного
и того же факта.
Фишер [164] сформулировал свою «фундаментальную теорему ес-
тественного отбора» следующим образом: «Скорость возрастания приспо-
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
38®
собленности каждого организма в любой момент времени равна генети-
ческой дисперсии его приспособленности в данный момент». В нашей
модели приспособленность любой особи (&Уц, и>12 или W22) есть величина
постоянная. Впоследствии Фишер [170] дал более четкую формулировку
своей теоремы: «Скорость возрастания средней приспособленности по-
пуляции равна генетической дисперсии приспособленности этой популя-
ции». Генетическая дисперсия по Фишеру эквивалентна введенной на-
ми линейной компоненте о£ . В основу модели Фишера положены непре-
рывное время и логарифмические приспособленности, тогда как основу
Рис. 21.4. Зависимость между Др и Да) для приведенной схемы отбора.
Одновременные изменения частоты геиа и средней приспособленности обусловлены отбором. Когда
р стремится к устойчивому состоянию, w стремится к максимуму.
нашей модели составляют дискретные поколения и сами относительные
приспособленности. Поэтому наш результат (48) можно считать диск-
ретным аналогом фундаментальной теоремы естественного отбора Фи-
шера. Поскольку w есть относительная приспособленность, величину w
всегда можно принимать за единицу. Из выражения (48) видно, что
Дау немного больше или немного меньше о! в зависимости от знака
и»п—2wi2-}-w22. В отсутствие доминирования по приспособленности те-
ореме Фишера соответствует формула (50). Однако в этом случае =
= о^,, так что \W-GwlW.
§ 8. ИЗМЕНЕНИЕ СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ
КОЛИЧЕСТВЕННОГО ПРИЗНАКА
В предыдущем параграфе мы рассмотрели изменение средней при-
способленности панмиктической популяции при отборе по генотипам.
В этом параграфе мы остановимся на соответствующем изменении
средней величины количественного признака (У) в такой же популяции.
Лучше всего начать с числового примера, который даст точное предста-
вление об этой проблеме. В табл. 21.6 приведены частоты генов (р, q) =
= (0,60; 0,40), численные значения приспособленностей и величины
384
ГЛАВА 21
количественных признаков У,;. Средние величины w и У рассчитаны для
популяции в данный момент времени. Затем для следующего поколения,
в котором определяется новая средняя величина количественного при-
знака, рассчитаны новые частоты генов (p't q') и новые частоты геноти-
пов (/'). Изменение средней величины количественного признака равно
ДУ = Y' — Y = 4,618 — 5,200 = — 0,582.
Таблица 21.6
Изменение средней величины количественного признака при отборе
f w У fw fY Р', Я' Г f'Y
АА 0,36 1,2 10 0,432 3,60 0,54 0,2916 2,9160
Аа 0,48 2,7 3 1,296 1,44 0,46 0,4968 1,4904
аа 0,16 1,7 1 0,272 0,16 0,2116 0,2116
Сумма 1,00 w = 2,00 У=5,20 1,00 1,0000 Г'=4,618
Метод получения общего выражения ДУ идентичен тому, который мы
применили в предыдущем параграфе для получения Ди», но при этом w
заменяется на У. Если мы выразим частоту гена через одну переменную
(например, р при р=1—р), то непосредственно из (47) получим
SY = Y'— У = (Др) — + . (51)
dp 2 dp2
Производные в этой формуле взяты по р, и выражения в явном виде для
них, конечно, также похожи на прежние, а именно:
= 2 [р (Уп - У12) + q (У12 - У22)] = 2 [Ух — У2],
-^- = 2(УП-2У12 + У2г). (52)
Здесь У1=рУ11+<?У12 и У2=рУ12+<7^22 являются средними значениями У
для частей (гл. 3). В числовом примере, приведенном в табл. 21.6, мы
нашли, что \р=рг—р=0,54—0,60=—0,06; с?У/с?р=2 [0,6 (10—3) +
+0,4(3—1)] = 10 и с?2У=10—6+1 = 5. Таким образом, по форму-
ле (51)
ДУ = (_ 0,06) 10 + (0,0036) 5 = — 0,582,
что согласуется с результатом, получаемым из таблицы путем длитель-
ных вычислений. Этот пример мы подобрали так, чтобы ДУ было отри-
цательным в отличие от Ди», которое для одного локуса всегда положи-
тельно. __
Чтобы обобщить выражения для ДУ на случай с множественными ал-
лелями, будем рассматривать частоты генов р и q как две переменные и
используем частные производные, так как ограничение р+р=1 выпол-
няется благодаря тому, что Др и Др в сумме дают нуль. Введем опера-
торы частных производных:
П = Др-^ + Др-^-, (53)
др dq
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
385
О2 = (Др)2 + 2 (Др) (Д7) (Д^ -JL- .
др др др др _ dq dq
Тогда мы получаем краткое выражение
ДУ = DY + -^- О2 Y. (54)
Для т аллелей
D = \P1^- + ... + Дрт^_
дР1 дРт
и общее выражение (54) остается в силе. В случае двух аллелей выра-
жение (54) сводится к (51), так как Др ——Д</. Однако, для того чтобы
показать, какой вид принимают эти выражения в случае множественных
аллелей, мы можем обобщить выражение (54), не прибегая к упроще-
нию. Поскольку Ap = p(wi—w)fw, где Wi=pwu.-Yqwi2 есть среднее зна-
чение для «части», или средняя приспособленность аллеля А, мы запи-
шем первый член правой части выражения (54) следующим образом:
DY = (Ар -А + Aq -A) Y = Др (2рУи + 27У12) + Aq (2pYK + 27У22) =
\ др dq 1
— 2Р (Ш1 ~ *Т + 2t? (^2 —w)Y2 _ 2 CoV/7 (w. у) (55)
W W
где Covh(w, У) —ковариация средних величин w и У. Так как популя-
цию можно подразделить на части как по строкам, так и по столбцам
(2x2 или тхт), величину 2Со\щ(да, У) можно рассматривать как
«линейную» или «аддитивную» компоненту полной ковариации между
w и У в панмиктической популяции. (Читатель, быть может, вспомнит,
что это один из методов расчета линейной компоненты дисперсии У,
приведенный в гл. 3.) Индекс Н напоминает нам о том, что эта ковариа-
ция получена для гаплоидной модели, т. е. является ковариацией между
средней приспособленностью аллеля (одного компонента) и его сред-
ним количественным значением.
Второй член правой части (54) равен
j- Z)2y = X [(Др)2.2Уп + 2 (Др) (Д7)• 2У1а + (Д<7)2-2У22] =
= (Др, Aq) f I11 M = A' (Y) A, (56)
\ ^12 ^22 / \Aq]
где A'=(Ap, Aq), а (У) —матрицаУг/- . На основе этого и предыдущего
выражений можно сделать прямое обобщение на случай множественных
аллелей. Если Др и Aq записать в развернутом виде, то выражение (56)
примет вид
~{pi(w1—w]!iY11 + 2pq(w1 — w) (да2 — да) Ei2 + (даг —да) 2F22}. (56')
Численно величина (56) меньше величины (55), так как первая включа-
ет величины в квадрате (Др)2. Поэтому знак ДУ определяется Соун(да,
У). Если к тому же влияние генов на количественный признак полно-
стью аддитивно, так что Уп—2У12+^22=0, то величина (56) обращает-
ся в нуль, a AY=DY=2Co4h(w, Y)/w.
Возрастание средней приспособленности можно, конечно, изучать
уже описанным методом, используя (53) и (54), но заменив У на да.
Следовательно, результаты этого и предыдущего параграфов можно для
сравнения суммировать следующим образом:
25—322
386
ГЛАВА 21
— 2 CovH (w, Y)
ДУ =--------gj + д' (У) д,
. — 2 Cov„(w, w)
Aw =--------—------ + A' (w) A,
w
(57)
(58)
где 2Covh(w,w)=2Vh(w) =o[—линейная компонента общей диспер-
сии для w. Сходная проблема, связанная с изменением приспособленно-
сти в результате отбора по количественному признаку, рассмотрена
О’Дональдом [489].
§ 9. ЖИЗНЕСПОСОБНОСТЬ И ПЛОДОВИТОСТЬ
При рассмотрении проблем отбора в этой и последующих главах ве-
личины относительной приспособленности (которые для краткости бу-
дем обозначать через Wi, w2, w3 вместо &Уц, wi2 w22) были поставлены
нами в соответствие отдельным генотипам АА, Аа, аа, так что эффектив-
ная структура родительской популяции имеет вид p2Wi: 2pqw2: q2w3. Это
можно назвать моделью отбора по «жизнеспособности». Ситуация, при
которой отдельные генотипы имеют одинаковую жизнеспособность, но
среди потомков от шести типов скрещивания (ЛЛХ^А ААу^Аа и т. д.)
наблюдаются различия в способности к воспроизводству, положена в
основу модели отбора по плодовитости. В природе, по-видимому, суще-
ствует отбор обоих типов одновременно. Когда плодовитость скрещива-
ния равна произведению жизнеспособностей двух родительских геноти-
пов, результаты отбора обоих типов одинаковы, что показано в табл.
21.7. В некоторых случаях, например при анализе проблем несовмести-
мости, возникает необходимость в изучении плодовитости скрещиваний.
Важность разграничения индивидуальной жизнеспособности и плодови-
Таблица 21.7
Панмиктическая популяция, в которой плодовитость потомков от скрещивания
разных типов равна произведению величин жизнеспособности (относительной
приспособленности) скрещивающихся особей
Тип скрещи- вания Частота скрещи- вания Плодо- витость АА Потомки Аа aa
ААХАА Р4 Р*и>1 0 0
ААхАа 4p3q 2p3qw1w3 2p3qw1w2 0
АаХАа 4p2q2 p2q2w^ 2p2q2w2 p2?M
ААХаа 2p2q2 0 2p2q2w1w3 0
АаХаа 4pq3 W2W3 0 2pq3wiw3 2р<73ш2ш з
аахаа Я* w3 0 0
Сумма 1 w1 (р^х+р^з)2 2 (p2w1+pqw3) (pqw 2+7^3) (pqw3+q2w3)2
Общая частота потомков АА равна (p2Wi-f-pqws)2/tv2=p'2 и т. д., где, согласно мо-
дели отбора по жизнеспособности, p'=(p2a)1-{-pqw2)/w и w = p2Wi-l,-2pqw2~l,-q2W3.
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
387
тости скрещивания уже подчеркивалась Кемпторном и Поллаком [282] .
Они также предложили модель, в которой учитываются различия в жиз-
неспособности и плодовитости.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Используя (6) и (7), покажите, что если особи с рецессивными
признаками полностью элиминируются в каждом поколении панмикти-
ческой популяции, то доли гетерозигот будут равны
и = 2д /7 = 2g(i +д) н = 2g (1 + 2g)
1 (1 + g)2’ 2 (1 + 2g)2 ’ 3 (l+3g)2 ’
= 2g (1 4- 3g) ... jY __ 2g [ 14- (n — 0
4 (l-(-4g)2 n (l + nqy »
Рассчитайте частоты генотипов в первых пяти поколениях, взяв за ис-
ходную популяцию (0,25; 0,50; 0,25).
2. Пусть Rn = q2 — доля особей с рецессивным признаком в популя-
ции со случайным скрещиванием, as — коэффициент отбора, направлен-
ного против них. Проверьте некоторые из следующих результатов с по-
мощью формулы (12) для исходной популяции (0,25; 0,50; 0,25).
3=0,10 s=0,25 s=0,50 з=1,00
0,2373 0,2178 0,1837 0,1111
0,2253 0,1901 0,1374 0,0625
R* 0,2140 0,1664 0,1051 0,0400
Rt 0,2033 0,1461 0,0822 0,0278
Rs 0,1932 0,1287 0,0656 0,0204
3. Рассчитайте величины \q, заданные формулой (13), для приве-
денных ниже величин q, предположив, что против особей с рецессивным
признаком действует отбор с интенсивностью s=0,20, и постройте соот-
ветствующую кривую.
q 0,01 0,10 0,30 0,50 0,60 0,70 0,90 0,99
Ag
4. Используя (15), покажите, что при отборе с интенсивностью s =
= 0,01, направленном против особей с рецессивным признаком в панмик-
тической популяции, для уменьшения величины q от 0,50 до 0,02 по-
требуется 5189 поколений.
5. Если использовать отношения частот генов u = plq, то популяция
(u2, 2u, 1) после отбора против особей с рецессивным признаком пре-
вратится в (u2, 2и, 1—s). Покажите, что
* / su
Au = и — и =-------.
«4-1 — s
При малых s эту формулу можно заменить дифференциальным уравне-
нием du/cf/=su/(u+l). Интегрируя его, получаем [194]
25*
388
ГЛАВА 21
sn — ип — u0 In ,
и0
что является упрощенной формой (15).
6. Покажите, что для отбора гамет выражение (19) эквивалентно
In— = sn, ип = uoesn.
и0
Выведите эти формулы независимо друг от друга, показав, что, когда s
мало, Ди — su. Покажите, что если против рецессивного гена действует
отбор с интенсивностью s = 0,01, то для увеличения и0=1 до ип = 10 по-
требуется 230 поколений.
7. Если отбор действует на гаметы только одного пола, ситуация бу-
дет такой:
Р
q (1—s)
р
q
Р2 pq (i—s)
pq q2 (i—s)
Доли генотипов в следующем поколении будут равны
р2АА + (2pq — spq) Аа + (<?2 — sq2') аа
при 7=1—spq—s<?2=l—sq. Покажите, что
1 1
Pq — — spq + q* — sq2 — — spq
Aq =-------------------- — q =-------.
1 —sq 1 — sq
8. В гл. 5 упоминались различные типы генных перестроек в треть-
ей хромосоме у Drosophila pseudoobscura. Добжанский [107] обнаружил
циклические изменения частот определенных типов хромосом в популя-
циях из Сан-Джасинто в Калифорнии. Частота «стандартного» типа
(Standard type, ST), наиболее редкого в июне, за лето возрастает и
остается высокой в течение осени и зимы, но затем опять снижается в
течение следующей весны. Частота типа «чирикагуа» (Chiricahua type,
СН) претерпевает циклические изменения, прямо противоположные из-
менениям ST. Сходные изменения наблюдались в популяционных ящи-
ках, где воспроизводились условия, близкие к естественным [704]. Луч-
ше всего такие изменения частот хромосомных перестроек объясняются
действием естественного отбора при сезонных изменениях условий среды.
Из полученных данных были определены значения адаптивной цен-
ности для мух ST/ST, ST/СН, СН/СН при 20° С, соответственно равные
примерно 0,70; 1,00; 0,30. Эти значения были подтверждены в последую-
щих экспериментах. В одной из серий экспериментов Добжанский [108]
поместил в экспериментальный ящик исходную популяцию из 1366 мух.
Частота хромосом ST была равна р = 0,203, а частота хромосом СН —
<7 = 0,797. Выборки яиц, отложенных в ящике, производились приблизи-
тельно с четырехнедельным интервалом, и в каждой выборке идентифи-
цировали перестройки генов для 300 хромосом из 150 личинок. Ожидае-
мые и наблюдаемые частоты двух типов хромосом приведены в левой
части (эксперимент I) следующей таблицы:
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
389
Эксперимент I Эксперимент II
месяц (1945) наблюдаемая частота ожидаемая частота месяц (1945) наблюдаемая частота
ST СН ST СН ST СН
Исходная частота Октябрь Ноябрь Декабрь Предельная частота 0,203 0,323 0,427 0,547 0,797 0,677 0,573 0,453 0,203 0,351 0,470 0,548 0,700 0,797 0,649 О', 530 0,452 0,300 Исходная частота Ноябрь Декабрь Январь (1946) 0,896 0,867 0,850 0,800 0,104 0,133 0,150 0,200
Ожидаемые частоты хромосомных перестроек рассчитаны, согласно (1),
с учетом того, что
ST/ST ST/СН сн/сн
: ау12 : w22 = (1— — s) = 0,70:1,00:0,30,
откуда
q' =___P4^i2 + 92ш22 _ <? — sg2
р2Шц + 2pqw12 + q2w22 1 — tp2 — sq2 ’
где ( = 0,30, a s = 0,70.
Приняв длину поколения равной приблизительно одному месяцу, нашли
ожидаемую частоту СН в октябрьской генерации:
= 0,797 — 0,70 (0,797)2 = 0,3523 _ g g4g
1 — 0,3 (0,203)3 — 0,7(0,797)3 ~ 0,5430 “ ’
Между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами обнаруживается пре-
красное соответствие. К сожалению, «ящичные» популяции были уничто-
жены клещевыми инфекциями в начале января 1946 г. и проверить спра-
ведливость теоретического предсказания о том, что окончательные час-
тоты ST и СН должны соответствовать 0,70 и 0,30, не удалось.
Однако коль скоро наша гипотеза верна, то из нее следует, что ес-
ли исходная частота СН меньше равновесной, то она должна постепен-
но увеличиваться, стремясь к своему пределу. Чтобы проверить это,
Добжанский в другой серии экспериментов в октябре 1945 г. поместил
в популяционный ящцк, поддерживаемый при той же температуре, что
и раньше, 2235 мух, содержащих 89,6% хромосом ST и 10,4% хромосом
СН. Выборки яиц производились с месячным интервалом, причем в каж-
дой выборке изучалось по 300 хромосом третьей пары. Полученные час-
тоты приведены в правой половине упоминавшейся таблицы. Частота СН
неизменно возрастала. Наблюдаемая скорость изменения опять соответ-
ствовала ожидаемой при допущении, что отбор с интенсивностью Si =
= 0,30 и s2 = 0,70 направлен против «гомозиготных» типов. Точка устой-
чивого равновесия (25) может быть достигнута по любому из двух на-
правлений. Следует отметить, что если бы эксперимент продолжался еще
в течение нескольких поколений, то величина \q на поколение по мере
л
приближения q кд становилась бы все меньше.
При температуре 16,5° С или ниже не наблюдалось никаких измене-
ний в частотах хромосомных перестроек. Это означает, что адаптивные
ценности мух различных типов при низких температурах приблизитель-
но одинаковы, и показывает, что «приспособленность» организма варьи-
рует в зависимости от условий среды. Увеличение в естественных усло-
виях частоты СН весной указывает на значительное изменение величин
390
ГЛАВА 21
Si и s2 в течение этого времени года. Какие физиологические свойства
особей, связанные с генными перестройками, ответственны за различия
в выживаемости, неизвестно. Было, однако, показано, что действие от-
бора приходится на период между личиночной и взрослой стадиями мух.
Превосходство по приспособленности гетерозиготных особей над го-
мозиготными, возможно, лежит в основе механизма поддержания инвер-
сионного полиморфизма.
9. Пусть относительные приспособленности генотипов АА, Аа и аа
в панмиктической популяции (0,36; 0,48; 0,16) равны соответственно
1,2500; 0,9375; 0,6250, так что w = l. Покажите, что в следующем поко-
лении новая средняя приспособленность этой популяции будет равна
w'—1,046875, а дисперсия приспособленности о® =0,046875. Каким будет
равновесное состояние?
10. Чтобы облегчить числовую проверку различных результатов, по-
лученных в § 6 и 7, воспользуйтесь приведенными здесь численными ха-
рактеристиками популяции с р = 0,75.
Генотип f X W fw fxw р' q’ f fw
АА Аа аа 9 1 2 6 V 10 1 0 2 18 18 60 30 2 0 0,60 0,40
Сумма 16 ш=5 80 48 1,00 1,00 a?=5,84
Подводя итог расчетам, проверьте выражения (47), (48), (49).
Ответ: Ар =—0,15 и Д&у=5,84—5,00=0,84.
11. Отбор симметричного типа. В общем случае (табл. 21.1) ве-
личины приспособленности АА, Аа и аа были обозначены соответствен-
но через Wn, w-i2, w22- Допустим, что Wn = w22. Покажите, что
p'—q' = .
w
Покажите также, что если wn — w22— 1, то
p'—q' =
р — д
W
Поскольку wn =w22=l, средняя величина w будет больше или меньше
л в зависимости от того, больше или меньше единицы Wi2- Следова-
тельно,
если &у12 >
если &у12 <
1, w > 1
1, w < 1
и (р — q) уменьшается;
и (р — q) возрастает.
Чему равны предельные значения р и q в этих двух случаях?
12. Покажите, что
— . . / И’п \ / Р
w = (р, q)( I
vr’ "' w12 w22\ q
ОТБОР (ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ)
391
Имея в виду, что Др=—Ду и (Др)2 = (Ду)2, покажите также, что
(Др, \q) (Wu Wli) f = (wn — 2ay12 + w&) (Др)2.
\w12 wS2/ \Ду/
13. Разностные и дифференциальные уравнения. Рассмотрим про-
стую функцию у='Сх2, где с — константа. Тогда dy!dx=2cx. Подстав-
ляя с=у!х\ получаем дифференциальное уравнение
dy = 2у
dx х
Вместе с тем если использовать конечную разность, предполагая для
простоты Дх=1, то мы получим у-j-Ду=<с(х+1)2, что приводит к раз-
ностному уравнению
Ду = 2сх + с •= Я—— .
X X2
Оно больше дифференциального на один член. В этом и заключается
существенное различие между выражением (48), включающим (Др)2,
и теоремой Фишера для непрерывной модели.
ГЛАВА 22
Отбор (продолжение)
В предыдущей главе мы рассмотрели простейший случай отбора
для двух аллелей одного аутосомного локуса в панмиктической попу-
ляции с постоянными величинами относительных приспособленностей.
В этой главе мы обсудим более общие ситуации, отказываясь постепен-
но от ранее принятых ограничений. Мы не будем пытаться давать пол-
ное обобщение, снимая все ограничения одновременно, так как это
привело бы к слишком громоздким математическим выкладкам.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОТБОР
В РАЗНЫХ ЛОКАЛЬНОСТЯХ
Предположим, что в большой популяции осуществляется отбор не-
скольких различных локальных типов. Пусть в одной локальности от-
бор с w — (20; 10; 11), в другой — с w= (5; 10; 11) нт. д. Наше основное
допущение состоит в том, что несмотря на локальные различия в отбо-
ре, особи из различных локальностей после отбора по-прежнему обра-
зуют одну единую популяцию со случайным скрещиванием. Именно
благодаря этому допущению исходные частоты генотипов в каждом но-
вом поколении до отбора одинаковы во всех локальностях и равны
р2, 2pq, q2. В данном параграфе мы рассмотрим только эту простую мо-
дель; более сложные случаи проанализировали Смит [576], а также
Левине и Мак-Артур [339].
Пусть Ci — относительный размер или вес i-й локальности, так что
SCi=l, где i=l, 2, ..., tr, общее число локальностей равно k. Отметим,
что обусловленное отбором изменение частоты гена в каждой локаль-
ности задается формулой (43) из предыдущей главы; так как исходные
частоты генотипов в любой локальности определяются одним и тем же
биномиальным разложением, изменение частоты гена во всей популя-
ции будет равно
Ар = ct (Ар)г + • •• + ck (&p)h = Г+ •" + , (1)
£ 70)1 rin Whd.o
где Wi — средняя относительная приспособленность в i-й локальности,
изменение частоты гена в которой равно (Ар)ь Стационарные состоя-
ния задаются такими величинами р, которые приводят в итоге к Ар = 0.
Если мы определим среднюю приспособленность всей популяции как
[363]
W = Wi' ••• wckk,
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
393
то
й = log w = Cl log wx + • • • + ch log wh (2)
и д pg dQ
P 2 dp
Это выражение имеет тот же вид, что и формула (44) из предыдущей
главы. Нетривиальное условие стационарности Др=0 эквивалентно
О q 0,40 0,65 1,0 0 0,15 0,50 0,85 1,0
Рис. 22.1. Стационарные состояния при различном отборе в двух локальностях
[см. (3)].
Две диаграммы слева относятся к примеру I, две диаграммы справа — к примеру II [см. (3)].
На двух верхних диаграммах построена кривая q'—^iq) и проведена прямая q'—q. Пересечения
двух линий дают стационарные величины q. На двух нижних диаграммах представлена зависимость
w от q. Точки максимума и минимума на кривой w соответствуют стационарным значениям q.
Для популяции I точка устойчивости q=0,40, а точка неустойчивости <7=0,65. Для популяции II
точки устойчивости <7=0,15 и </=0,85, а точка неустойчивости </=0,50. Можно также построить кри-
вую зависимости Ад от q. Тогда частоты q, для которых Д<7=0, будут стационарными.
условию dQ/dp = Q, которое в свою очередь означает, что dwldp — Q. Точ-
ки стационарности соответствуют максимальным и минимальным w. Еще
раз напомним, что это свойство вытекает из определения средней при-
способленности по формуле (2) и нашего допущения о единой панмик-
тической популяции, которая существует независимо от различий в ло-
кальностях.
26—322
394
ГЛАВА 22
Для того чтобы проиллюстрировать возможности такой модели от-
бора, будет достаточно двух числовых примеров. В каждом из этих
примеров предполагается существование только двух локальностей
(&=2) равного размера: с1=с2= Предполагается, что имеет место
локальный отбор следующих типов [331]:
Локальность I
&12 W22
Локальность II
“’ll ю12 w22
(3)
Пример I
Пример II
20 10 11
1 2 1
5 10 11
3 1 3
Равновесные состояния для этих двух примеров указаны на рис. 22.1.
Можйо построить либо кривую q'=W (q), приведенную в верхней части
диаграммы, либо кривую зависимости w от q, приведенную в ее ниж-
ней части. Две диаграммы слева иллюстрируют пример I, для которого
стационарное состояние </=0,40 устойчиво, а состояние </=0,65 неус-
тойчиво. Две диаграммы справа иллюстрируют пример II, для которого
стационарное состояние <7=0,50 неустойчиво, а состояния </=0,146447
и </=0,853553 устойчивы. Когда локальностей много, создаются усло-
вия для существования многих устойчивых и неустойчивых стационар-
ных состояний.
§ 2. МНОЖЕСТВЕННЫЕ АЛЛЕЛИ
В предыдущей главе при изучении влияния отбора на частоту гена
А
двухаллельной системы мы ввели переменную х= 1
1 л
—, 0, значения
2
которой соответствуют генотипам АА, Аа и аа. Чтобы исследовать из-
менение частоты гена а, мы могли бы для тех же трех генотипов ввести
л 1 1
и другие переменные: 0, —, 1, однако не сделали этого, так как в случае
двух аллелей Ар=—Aq. Для трех аллелей Ад, А2, Аз мы введем три
соответствующие переменные Xi, х2, %з, (табл. 22.1). Средняя величина
* Таблица 22.1
Отбор в случае множественных аллелей
Генотип f *3 W fw f*l.W
ЯдЛх Pl 1 0 0 “’ll P\Wn Pl “’ll
•41^2 2pip2 1 V 1 1 2 0 1 ®12 2pip2w12 P1P2W12
А-4 з 2piPs 2 0 2 “>13 2piP3Wi3 PiPawi3
А2А2 Р2 0 1 0 W22 2 P2 W22 0
4 2^4.3 2раРз 0 1 1 Т О’23 2p2p3w23 0
Л3Л3 Рз 0 0 1 W33 „2 ... P% ^33 0
Сумма 1 Р1 Рз Рз Pi“’i, где
нли среднее *1 х3 W1 — P1®11+ Р2®12+ Psw13
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
395
X] равна xi = '2,fx1=p1, а в общем случае Xi=pt. Ковариация между
Х[ и w равна
Cov (да, Xi) ZfxiW — хх да p±wr — рхда = рг (дах — да), (4)
где Wt = piWtt-\-p2Wt2-\-p3Wi3, как это показано в правом столбце
табл. 22.1. Тогда
Соу(ю, xt) _ Рх^х _ _ . _
_ — Р\ — Р\ Ру
W W
так как (pf &Л1+р1р2^12+Р1Рз^1з)/^— новая частота аллеля Л] после
отбора. Следовательно,
Api = pi — Pi — Cov (да, хх)/да.
В общем виде
&Pi = Pi — Pt = Cov (да, хг)/да. (5)
Это самое краткое и общее выражение для изменения частоты гена,
обусловленного отбором. Из табл. 22.1 мы находим
a2Ui) = -^P/(1“Р^' Cov(x” = — у-АРд (6)
так что So2(xt-) +2SCov (хг,х3)=0, поскольку х1+х2+х3=1. Так же
как и в случае двух аллелей, коэффициент регрессии да на Xi равен
b = Cov(^’ Xf) , Cov(да, хг) = ^{xt)bwx. (7)
Подставляя (6) и (7) в (5), мы получим
\Pi = = bwXl = . bWXi, (8)
w w 2w
что является другим общим выражением для Др при наличии отбора.
Обратите внимание на то, что эти уравнения и соответствующие
уравнения для двух аллелей имеют одинаковый вид. Изменение в ча-
стоте гена обусловлено корреляцией между величинами приспособлен-
ностей и генотипами. При равновесии эти переменные не коррелируют;
все ковариации Cov (да, Хг) и регрессии bwxi равны нулю. Из (4) мы
получаем условия стационарности
дах = да, да2 = да, да3 = да. (9)
Вместе с тем если мы используем концепцию средней приспособленно-
сти популяции, то желательно знать, соответствуют ли точки максиму-
ма или минимума на поверхности да решениям системы (9). Чтобы
сохранить симметрию алгебраических выражений, продифференцируем
по pi функцию
да* = w — 2А. (рх + р2 + р3 — 1).
Здесь Л—константа, известная под названием множителя Лагранжа,
величина (Sp(—1) равна нулю, так что равенство да* = да всегда спра-
ведливо. Положив dw*!dpi = 0, мы получим следующие три уравнения:
Pl^ll + р2^12 + Рз^13 = К
Р1^12 “Ь р2^22 Рз*-^23 ~ (19)
Р1^13 + Р2^23 + Рз^ЗЗ =
26*
396
ГЛАВА 22
Сразу видно, что левые части этих уравнений точно равны wb w%, w3.
Следовательно, система уравнений (10) идентична системе (9), при-
чем константа К=<а>. Это означает, что стационарное состояние, зада-
ваемое условиями Дрг = 0, идентично тому, которое определяется усло-
вием dwldpi=0. Другими словами, точка стационарности соответствует
максимальной или минимальной величине w точно так же, как в случае
двух аллелей. Решение системы неоднородных уравнений (10) не пред-
ставляет труда. По правилу Крамера
Pi =
X ку12 да13
X w22 w23
X 1^23 Wgg
ВУЦ U>12 ^13
ЙУ12 ®22 ^23
ЙУ13 ®23 ®33
(И)
Решения для р2 и р3 получаем, поместив величины X во второй и тре-
тий столбцы определителя w. Поскольку X и определитель w — констан-
ты, величины рь Р2, р3 должны быть пропорциональны определителям
1 ЙУ12 ®13 «'ll 1 ЙУ13 «’ll «'ll 1
1 ^22 ^23 , d2 = a»i2 1 ^23 , D3 = «'12 ®22 1 (12)
1 ^23 Wgg 0У13 1 Wg3 «ЙЗ ®23 1
где D{ — определитель матрицы w, i-й столбец которой замещен едини-
цами. Если все три определителя имеют одинаковый знак, то
Pi Рз
Р1 ~ . Pi = ----— , Рз ~ .
ZDc ZDt ZDi
(13)
так что р1+р2+Рз = 1- Для случая двух аллелей это выражение сведется
к выражению (23) из гл. 21, где также у соответствующих определите-
лей необходимы одинаковые знаки. Если величины D имеют разные
знаки, то никакого нетривиального равновесия для популяции с тремя
аллелями не существует.
Прежде чем продолжить наше обсуждение, будет полезно поуп-
ражняться на числовом примере. Предположим, что действует отбор
следующего типа:
wla w13
w = I к>12 u>22 u>23
V13 W^g K>33
1 2 4\
2 2,2 3 ,
4 3 0/
(14)
1 2 4
(15)
Bee D положительны и SZ?i= 1,6. Следовательно, стационарные часто-
ты генов, согласно формулам (13), равны
P1 = J- = 0,125; р2 = —= 0,625; р3 = — = 0,250/ (16)
8 8 8
Советуем читателю в качестве упражнения проверить наличие равно-
весия, используя значения pi из (16) и коэффициенты отбора w, приве-
денные в (14).
Является ли такое состояние равновесия единственным? Да, так
как система неоднородных линейных уравнений (10) имеет единствен-
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
397
ное решение, если вообще какое-либо решение существует. Устойчиво ли
такое стационарное состояние или нет? Более детально эту проблему
мы обсудим позднее. Здесь же мы можем проверить наличие устойчи-
вости расчетами, вводя небольшие отклонения от стационарного со-
стояния (0,125; 0,625; 0,250). Например, если мы возьмем за исходные
частоты генов (0,10; 0,60; 0,30), то в следующем поколении частоты ге-
нов будут равны (0,106; 0,615; 0,279), что ближе к стационарной точке.
Расчет частот генов еще для нескольких поколений показывает, что это
равновесие устойчиво.
Здесь, так же как и в случае двух аллелей, равновесные частоты
генов инвариантны по отношению к линейному преобразованию w*=>
=a-\-bwl>0. Прибавление константы к элементам определителей Di
не изменяет их величины. При делении множитель b сокращается. Одна
и та же стационарная популяция может возникать благодаря отбору
разных типов и разной интенсивности.
§ 3. СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ
ДЛЯ МНОЖЕСТВЕННЫХ АЛЛЕЛЕЙ
Форма решения (13) применима к любому числу аллелей. Частные
решения для трех аллелей были даны целым рядом авторов [335, 363,
495, 704]. Во многих работах были получены общие решения [293, 294,
514]; особенно следует отметить некоторые из них [428, 560]. Позднее
Мандель [427] показал, что все найденные решения и условия стабиль-
ности эквивалентны друг другу. Общее решение (13) можно записать
несколькими различными способами. Способ Таллиса [610] дается в
примечаниях. Чтобы познакомиться с более полным и детальным мате-
матическим исследованием устойчивости для системы множественных
аллелей, читателю следует обратиться к перечисленным выше работам.
Некоторые из более простых свойств мы можем продемонстрировать на
нашем примере (14). Относительные приспособленности A]Ai, А]А2,
А2А2 равны 1,0; 2,0; 2,2; отбор в популяции направлен против аллеля Aj.
Если в популяции отсутствует аллель Аз, то для аллелей А] и А2 не бу-
дет существовать никакого нетривиального равновесия, а конечная ча-
стота А2 будет равна р2=1- Однако в соответствии с приведенной схе-
мой отбора в трехаллельной системе потеря аллеля At в этой части по-
пуляции компенсируется его приростом за счет особей AtA3, которые об-
ладают самой высокой приспособленностью, равной 4. Этот пример по-
казывает, что для устойчивого равновесия в многоаллельной системе
существование гетерозиса по приспособленности
(17)
для каждой пары аллелей (i, /) не является обязательным. Читатель мо-
жет подумать, что условие гетерозиса (17) достаточно для обеспечения
устойчивого равновесия. Рассмотрим следующую схему отбора, в кото-
рой условие (17) выполняется для каждой пары аллелей (i, /):
Ai А2 А3
Ах/ 1 2 10\
w = aJ 2 1 3 . (18)
А3\10 3 0/
Расчеты показывают, что Dt = + 17, D2 = —53, Z)3= + 10. Не все опреде-
лители имеют одинаковый знак, и, следовательно, в данном случае не-
тривиального равновесия для трех аллелей не существует. Причина этого
очевидна. Приспособленность AjA3 настолько высока по сравнению с
398
ГЛАВА 22
Таблица 22.2
Сведение равновесия для трех аллелей (pi = l/8, 5/8, 2/8) к равновесию
для двух аллелей (р; = 1/8, 7/8)
Исходные три аллеля Сведение к случаю двух аллелей
генотип частота, f приспособ- ленность, W генотип частота, f приспособ- ленность, W
Д1Д1 1 1 Д1Л1 1 I
Л1Л2 10 2
Л1Л3 4 4 Л1Л23 14 18/7
^2-^2 25 2,2
^2^3 20 3 23^23 49 115/49
Л3Л3 4 0
Сумма 64 5=2,375 Сумма 64 5= 2,375
другими, что именно она определяет направление отбора: в конце кон-
цов в популяции будут содержаться только аллели А[ и А3. До некото-
рой степени неожиданным оказывается вывод о том, что условие гете-
розиса (17) само по себе не является ни достаточным, ни необходимым
условием устойчивого равновесия в системе множественных аллелей.
Для некоторых пар (i, /) приспособленность гетерозигот должна быть
выше приспособленностей соответствующих гомозигот, однако не на-
столько, чтобы нарушить равновесие целой системы
Для того чтобы найти некоторые из необходимых условий, предпо-
ложим, что устойчивая система множественных аллелей уже существу-
ет. Формально систему с любым числом аллелей всегда можно рассма-
тривать как систему двух аллелей, объединяя некоторые аллели в одну
группу. На практике именно этот случай встречается чаще всего, но не
потому, что мы предпочитаем игнорировать различия между определен-
ными аллелями, а просто из-за того, что с помощью существующих ме-
тодов мы не в состоянии обнаружить различия между ними. Предполо-
жим теперь, что в примере (14) мы не можем отличить Л2 от А3 и счи-
таем их, следовательно, одним аллелем Д23, имеющим частоту р23=р2 +
+р3. В этом случае следовало бы описывать наблюдаемый нами поли-
морфизм так, как это показано в табл. 22.2, в которой для удобства мы
умножили частоты генотипов f на 64. Относительная приспособленность
«гетерозигот» AiA23 будет равна средней величине приспособленностей
AiA2 и AtA3: (20+16)/14=-у . Приспособленность «гомозигот» Д23Д23
будет равна средней величине приспособленностей А2А2, Д2Д3, Д3Д3:
115
(55 + 60 + 0)/49= — . Относительные приспособленности «трех геноти-
пов» в такой приведенной популяции равны
w, . :w. 9n'.w„„ „, = 1:18/7:115/49.
1,1 i, до до,до
К этой приведенной популяции применимы все теоремы и формулы, вы-
веденные нами для случая двух аллелей, в частности решение (21) из
гл. 21. Имея в виду, что-----1=— = — и-------------= —, мы полу-
7 7 7 49 7 49 49 J
чим стационарные частоты генов
, . . II I , . . 77 7
Р ~ 77+ II ~ 8 ’ 23 77+ 11 ~ 8 ’
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
399
причем эти частоты являются устойчивыми. Аналогичным образом мы
можем рассматривать эти три аллеля как два: А2 и А13 или А3 и А]2.
В каждом из этих случаев мы обнаружим, что «гетерозиготные» особи
превосходят по приспособленности обеих «гомозиготных» особей. В об-
щем виде условие, состоящее в том, что приспособленность «гетерозиго-
ты» АМгз должна быть больше приспособленности AiAi, записывается
так:
. №12 ± Рз^1з > да111 piWi2 + pgWi3 > +
₽2 + РЗ
Прибавив к правой и левой частям величину piWu, получим, что в ста-
ционарном состоянии
+ р2®12 + PiW13 = W > wn. (19)
Подобные условия должны выполняться также для пар А2, А13 и Аз, Д12.
Следовательно,
w > шгг.
(20)
В нашем примере наибольшая приспособленность гомозиготы равна
сс22=2,2, однако w = 2,375. Ни одна из гомозигот не обладает приспособ-
ленностью большей, чем средняя приспособленность популяции. Совер-
шенно очевидно, что при этом приспособленность какой-то из гетерозигот
должна быть больше w. Условие, состоящее в том, что приспособлен-
ность АИгз также должна быть больше приспособленности «гомозиго-
ты» А23А23, опять сводится к выражению (19). Мандель [426b] получил
условие w>wu с помощью другого доказательства.
Необходимо еще раз отметить, что наличие гетерозиса для двух
«сведенных» аллелей является только необходимым, но не достаточным
условием для существования устойчивого равновесия по всем аллелям.
Для того чтобы более отчетливо выявить эту особенность, рассмотрим
случай с отбором типа
/1
w — I 4
\3
= Сц + С21 + С81 =
D2 = С12 + С22 + С32 =
D3 — С13 Д- С23 + С33 =
(21)
+ 4 — 8 — 6 = —10,
— 8 —7+ 12 = —3,
— 6 + 12 — 14 = — 8,
где С — алгебраические дополнения (см. также прим. 3). Стационарные
10 3 8 л —
частоты генов равны —, —, — , а средняя приспособленность w —
21 21 21
46
= — =2,19 выше приспособленности любой из гомозигот. Если мы све-
дем эти три аллеля к двум, образующим три «генотипа» (например,
А2А2, A2Ai3, А1зА13), то обнаружим, что приспособленность «гетерозиго-
ты» всегда выше приспособленности гомозигот. Тем не менее это равно-
весие неустойчиво. В зависимости от начальных условий либо А2, либо
А3 будет элиминирован из популяции.
Отбор обоих типов [(14) и (21)] приводит к стационарному состоя-
нию для всех трех аллелей. В первом случае все три величины D поло-
жительны и равновесие устойчиво; в последнем — все три величины D
отрицательны и равновесие неустойчиво. Это простейшее утверждение
следует всегда иметь в виду при изучении случая трех аллелей.
400
ГЛАВА 22
Свойство устойчивости можно проиллюстрировать и на диаграмме
(рис. 22.2), вспомнив условия стационарности (9) или (10). Внутри рав-
ностороннего треугольника проведем три прямые линии (две из кото-
рых независимы)
= даг, и>г = йу3, w2 = w3.
При этом pi будет расстоянием до левой стороны треугольника, р2 —
расстоянием до его основания и р3— расстоянием до его правой сторо-
Рис, 22.2. Используя систему треугольных координат, можно изучать устойчивость рав-
новесия для трех аллелей, строя трн прямые линии: tc'i = tc2, tc'i = сс'з, а>2=Шз,
где Wi=PiBDn + p2Wi2+p3t^i3 — средняя приспособленность аллеля Ai и т. д.
Изображение этих линий в обычной системе координат для двух независимых переменных приво-
дит Киркман [311], который наносит на график отношения частот генов Рз/pi и рг/ръ А. Устойчивое
равновесие [см. (14)]. Б. Равновесия нет [см. (18)]. В. Неустойчивое равновесие [см. (21)].
ны. Уравнение прямой ау1 = ау2, выраженное через величины р и w, в со-
ответствии с (10) будет следующим:
Pi (^и — «ha) + р2 (®12 — ®22) + Рз («Чз — йу23) = 0. (22)
Точка пересечения всех трех линий будет точкой стационарности. На
рис. 22.2 показаны ситуации для отбора типов (14), (18), (21). Если три
прямые не пересекаются, то никакой стационарной точки для трех алле-
лей не существует. Более детальное обсуждение этого вопроса дает
Киркман [311], который подставил в уравнение (22) pi = l—р2—Рз и
провел соответствующие прямые на плоскости р2рз-
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
401
§ 4. ПРИРАЩЕНИЕ СРЕДНЕЙ ПРИСПОСОБЛЕННОСТИ
В СЛУЧАЕ МНОЖЕСТВЕННЫХ АЛЛЕЛЕЙ
В § 2 мы уже отмечали, что точка стационарности соответствует
максимальной или минимальной величине w. Рядом авторов [10, 308,
309, 471, 560] было показано, что при отборе средняя приспособленность
всегда возрастает, т. е. w'>w или \w = w'—да>0 до тех пор, пока не
будет достигнуто стационарное состояние, при котором w'=w. Это озна-
чает, что при стационарных значениях частот генов величина w макси-
мальна, а само равновесие является устойчивым. Стационарное состоя-
ние при минимальном w неустойчиво. Дадим теперь общее выражение
для величины приращения Ада за поколение с отбором. Средняя при-
способленность данного поколения равна
Ml ^12 ^13\ /Р1\ М
= (р1РгРз) I ЙУ12 да22 да23 I р2 = (рх р2 Рз) I w1
\да13 да23 да33/ \pj \да3/
Новая частота генов после отбора равна р,• = ptWi/w, так что
(23)
(24)
где 1=1, 2, 3 и S(Api)=0. Подставляя эти новые величины частот генов
в (23), получаем новую среднюю приспособленность w' в следующем по-
колении. Для того чтобы получить выражение в явном виде, требуется
ввести две величины, определяемые следующим образом:
<2 = 2рг(даг— да)2 = £рг(даг—да) да.( (25)
/а»и да]2 ^13\/СД
Z = (Дрь Др2, Др3) ( да12 да22 да23 I Др21 = (Дрь Др2) Др3) I С2 . (26)
\^1з да23 да33/ \Др3/ \С3/
Величина 2Q = cr^ является линейной или аддитивной компонентой об-
щей дисперсии величин приспособленности. Если да рассматривать
как количественный признак и в гл. 3 заменить У на да, то мы увидим,
что 2Q является линейной компонентой о|. Выражение (26) сходно с
выражением (23), за исключением того, что величины р заменены в нем
на приращения Др. Величина Z может быть положительной, равной ну-
лю или отрицательной; однако ее абсолютное значение обычно намного
меньше Q, так как она включает величины второго порядка малости —
(Api)2 и (Арг) (Ар,). Мы покажем, что приращение средней приспособ-
ленности равно [397]
2
Ада = Д'--да = 4S- + Z=^-+Z. (27)
w w
Численную проверку этого выражения приведем в виде упражнения. Ра-
венство (27) можно вывести различными способами. Приведенный ни-
же вывод основан на обобщенном разложении Тэйлора для функции
нескольких переменных. Рассмотрим функции
w = f(Pi, р2, р3) и w' = f (р[, р2, рз) ,
где знак «штрих» указывает на то, что данные величины относятся к
следующему поколению; f— однородная функция второго порядка, за-
данная выражением (23). Согласно разложению Тейлора,
402
ГЛАВА 22
w' — w + Dw Н—— D2w,
2
(28)
где D — символ операции частного дифференцирования
° = + 4лЧг + 4',»Чг'
OPi др2 др3
a D2 — символический квадрат приведенного выше выражения, обозна-
чающий операцию частного дифференцирования второго порядка. Эти
производные берутся по pit р2, Ръ- Выражение (28) является точным,
так как все производные более высоких порядков обращаются в нуль.
Имея в виду, что dwldpi=2wi, и используя формулу (24) для крг, по-
лучаем
D~ %Pi(wi — w) (2a>t) _ _2Q
w w
(28a)
Сходным образом учитывая, что
Э2И) п
-------= 2о)и,
dPidPi
д2ш о
—- = 2о)12 и т. д.,
дргдр2
находим
-у D2 w = (Дрх)2 и»и + 2 (ApJ (Др2) и»12 Ч-- Z. (28b)
Подставив (28а) и (28b) в (28) и перенеся член w в левую часть, мы
получим формулу (27) и тем самым завершим доказательство.
Следует отметить два частных случая. Если имеются только два
аллеля, то Др = —Aq и (Др)2=(Д<?)2=— (Др)(Д<7). При этом (26) све-
дется к выражению
Z = (Др)2 (о)и — 2о)12 + и>22),
полученному в предыдущей главе [393]. Другой частный случай — от-
сутствие доминирования по приспособленности. Если
=у(а»«4-а»я)»
то можно легко убедиться в том, что 7=0. Таким образом, величина Z
отражает влияние доминирования на приращение средней приспособ-
ленности.
§ 5. ОТБОР В ПОПУЛЯЦИЯХ С ИНБРИДИНГОМ
Генетический состав популяции с инбридингом, мерой которого яв-
ляется коэффициент инбридинга F, обсуждался нами в гл. 13. Теперь
мы введем в эту систему отбор, положив величины относительных при-
способленностей генотипов АА, Аа и аа равными соответственно ад, ta>2i,
w22 (табл. 22.3). Легко убедиться в том, что
X = P, Ох = pq (1 + F), (29)
гдеуР7— дисперсия х в панмиктической популяции. Увеличивая ча-
стоту гомозиготных особей, инбридинг вызывает увеличение дисперсии
х в соответствии с величиной F. Из табл. 22.3 следует, что
w = (1 — F) w0 + Fwlt
(30)
где wq — средняя относительная приспособленность панмиктической по-
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
403
Таблица 22.3
Отбор в популяции с инбридингом
Генотип f X w fw fxw
АА Аа аа D=(l-F) p^+Fp Н=2 (1-F) pq R=(l-F) q*+Fq 1 1 2 0 ®ii Da>u a>i2 Hw12 w22 Rw22 Dw1± ~^Wi2 0
Сумма 1 = (1-F) + F x=p w=2fw TJxw
пуляции и Wi=pt£)n4-ga)22—средняя приспособленность полностью ин-
бредной популяции (р, 0, q). Ковариация между w и х равна
Cov (w, х) = 2fwx — w х — Dwir + Hw12— pw. (31)
Следовательно,
-C°v^’ < + - p = P' - P = Др, (32)
w w
так как (/)сг>цЧ—^-Hwl2)/w — новая частота гена после отбора. Таким
образом, общее выражение Др = Соу(ш, x)/w применимо как к популя-
циям с инбридингом, так и к панмиктическим популяциям. Коэффи-
циент регрессии w на х равен
bwx = C°V(^’ Х) . Cov (w, х) = a2xbwx,
где о2 задается формулой (29). Произведя подстановку, получим
Др = .Cov(tp, х) = pqSL±FLbwx, (33)
w 2w-
Для того чтобы получить выражения в явном виде через частоты генов
и коэффициент инбридинга, подставим в (31) Z)=(l—F)p2+Fp и т. д.
Cov (w, х) = [(1 — F) р2 + Fp] и»п + (1 — F) pqw12 — [(1 F)w0 + F t^Jp.
Посредством несложных алгебраических преобразований упростим это
выражение до
Cov (w, х) = pq [(1 — F) (р (и>и — и>1г) + q (wi2 — да22)} + F (дап — да22)], (34)
bwx = ~~ ((1 — Л {р (о>и — «Им) + q (®i2 — ®2.3)} + F (и»ц — да22)], (35)
1 + F
&Р = -=-1(1 — Л {Р (и»11 — к>12) + q (®12 — ®22)} + F (®11 -- иу]. (36)
W
Промежуточная (р=И= 1 и рт^О) равновесная величина частоты гена за-
дается уравнением
(1 — F) {р (wn — и»12) + q (да1а — ш22)} +F (Шц — да22) = 0, (37)
404
ГЛАВА 22
решение которого [363] имеет вид
р = С1 ~ f) (^12 — ^22) + F (шц — ш22) = , F . шц — ш22
F (1 — F) {(а>12 — Шц) + (a>i2— ®22)} R 1— F (а>12—Шц)+(Ш(2—ш22) ’
где рл— равновесная частота гена в отсутствие инбридинга. Решение
(38) ограничено положительными значениями pF, меньшими 1. Свойства
выражения (38) можно проиллюстрировать на числовом примере, при-
няв w = 2, 4, 1. Тогда
Коэффициент инбридинга
F=Q
F=l/2
Р=2/3
Равновесное состояние
(р, ?)=(0,60; 0,40)
(р, 9)=(0,80; 0,20)
(р, ?)=(!; 0).
Инбридинг увеличивает частоту гена А, так как гомозигота АА имеет
более высокую приспособленность, чем аа. Без инбридинга равновесное
состояние достигается при рл = 0,60. С возрастанием F р также возраста-
ет, причем, когда Е^2/3, популяция становится полностью гомозигот-
ной. Можно представить стационарное состояние как равновесие двух
противодействующих сил: отбора, направленного на поддержание поли-
морфизма, и инбридинга, который стремится сделать популяцию гомо-
зиготной. Когда эти Две силы уравновешивают друг друга при
рл=0,80. Поскольку при инбридинге частота гомозигот увеличивается,
значение различий между шп и w22 повышается, а роль кц2 уменьшает-
ся. При значительном инбридинге гомозиготность популяции будет уве-
личиваться, несмотря на более высокую приспособленность гётерозиго-
ты. Давление инбридинга, приводящее к гомозиготности, может преоб-
ладать над давлением отбора, приводящим к полиморфизму. Для того
чтобы в выражении (38) р было положительным числом, меньшим 1, не-
обходимо, как показал Ли [363], чтобы
(39)
(40)
Р ~ И>22 jyjjj р < “'ll — W12
®12 — “'ll ®22 — ®12
в зависимости от того, какая дробь больше подходит. Если данные усло-
вия соблюдаются, то равновесие (38) будет устойчивым, когда приспо-
собленность гетерозигот будет превышать приспособленность гомозигот.
В заключение этого параграфа, вероятно, следует сказать несколь-
ко слов о зависимости между равновесной величиной при инбридинге
и адаптивным пиком (максимумом средней приспособленности). Если
мы продифференцируем уравнение (30) по р и решим его относительно
р, приняв dwjdp = Q, то получим
_ р । F___________________а>ц — ш22_______
w F 2(1— F) (а>12 — Шц) + (а>12 — ш22)
что не соответствует равновесной величине (38). Другими словами, от-
бор при инбридинге уже не приводит к максимальной величине средней
приспособленности. Подставляя, как и раньше, F—~ и w = 2, 4, 1, мы
найдем, что рту = 0,70, т. е. находится точно посредине между рл=0,60
и рР=0,80. Средние приспособленности при этих величинах р равны
w(pR) =w(pP) =2,200 и w(pw) =2,225, как показано на рис. 22.3. Об-
щее свойство Рту=-^-(рв+рк) можно обнаружить путем прямого срав-
нения (38) и (40). Тот факт, что ю(рл)=ю(рР), также легко поддается
проверке. Таким образом, когда р возрастает от 0,70 до равновесного
значения 0,80, средняя приспособленность понижается от 2,225 до 2,20.
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
405
Обобщение условия равновесия в случае множественных аллелей с ин-
бридингом дано Уэйром [647]. Отбор против гомозигот при постоянных
регулярных системах инбридинга подробно рассмотрен в работах Хэй-
мена и Мазера [229], а также Рива [537].
Рис. 22.3. Зависимость между равновесной частотой гена (р) и средней приспособлен-
ностью (ш) популяции при инбридинге.
Величины приспособленностей трех генотипов предполагаются равными w—2, 4, 1, а коэффициент
инбриднига F—'l2. На диаграмме Рр =0,80 — точка устойчивого равновесия с w = 2,20. Точка =0,60
должна быть равновесной величиной для той жг схемы отбора в отсутствие инбриднига. В этой
точке средняя приспособленность также равна w=2,20. И наконец, р^=0,70 есть величина р, прн
которой средняя приспособленность популяции максимальна, w=2,225. В тексте показано, что
р^ ——+ точка Рур не является точкой стационарности.
§ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОТБОР СРЕДИ ОСОБЕЙ
РАЗНОГО ПОЛА
Во всех предыдущих моделях мы предполагали, что приспособлен-
ность определяется только генотипом независимо от того, самец это или
самка. Однако мы, конечно, не можем ограничиться этим допущением.
Я рискнул бы высказать мнение, что дифференциальный отбор среди
особей разного пола встречается чаще, чем это обычно думают [384].
Экспериментальные исследования дифференциального отбора среди
самцов и самок стали проводиться только в последнее десятилетие, и,
несомненно, число их увеличится в ближайшем будущем. Если величи-
ны приспособленностей генотипов у обоих полов различаются лишь не-
много, а тип отбора один и тот же, то среднюю величину приспособлен-
ности у двух полов можно принять в качестве общей величины приспо-
собленности для особей обоего пола; при этом наша прежняя модель все
еще применима. Когда интенсивности отбора для самцов и самок силь-
но различаются, соответствующие равновесные частоты генов или гамет
уже не равны друг другу, что является характерной чертой дифферен-
циального отбора среди особей разного пола. Обычно задачи по опре-
делению стационарных состояний при отборе такого рода оказываются
более сложными, чем в случае равной приспособленности особей обоих
406
ГЛАВА 22
полов. Чтобы проиллюстрировать методологию подхода, начнем с рас-
смотрения простого случая рецессивных деталей.
При анализе проблем дифференциального отбора среди особей раз-
ного пола, как правило, удобнее пользоваться отношениями частот ге-
нов, чем самими частотами. Обозначив, как обычно, частоты аллелей А
и а через р и q, запомним, что обозначение x=q/p относится к самкам,
a y=qlp — к самцам. Следовательно, частоты гамет у самок относятся
друг к другу как 1(Л) :х(а), а у самцов —как 1(Л) :у(а). При случай-
ном скрещивании поколение потомков будет иметь состав:
Генотип А А Аа аа
(4П
Отношение частот I : х-\-у : ху v '
До отбора такое соотношение частот генотипов характерно для обоих
полов. Пусть величины приспособленностей генотипов будут следую-
щими:
Самки АА Аа аа Самцы АА Аа аа
Приспособленность 1—s 1 0 Приспособленность I—t I 0
Гомозиготы по рецессивному гену мы считаем летальными. Предполо-
жим также, что s и t положительны и, значит, существует устойчивое
равновесие. После действия отбора новые отношения частот генов у осо-
бей двух полов будут равны
/ =_______Х_±У_____ ц' =________х+_У_______ /42)
2(1 -s) + х + у ’ а 2(l-t) + x + y
Это рекуррентные соотношения для двух последовательных поколений.
Если в левой части мы опустим знак «штрих» (х'=х и у'=у), то выра-
жения (42) превратятся в уравнения стационарности (43), которые тре-
буется решить:
1 — s = (х 4- у) (1 — х)/2х, 1—t = (х + У)(1—у)/2у. (43)
Обозначив буквой Z дробь
-1 ~~s = - , имеем у = Zx/(\ — х + Zx). (44)
1— t (I — у) х
Производя подстановку в (43), мы получим уравнение равновесия отно-
сительно х
х2 (s — f) — 2х (1 — s + s2 — st) + s t — 2st = 0. (45)
Введя обозначения
А = s — t, В ~ 1 — s 4- s2 — st, С ~ s + t — 2st,
получим
х = (В — ]/ В2 —АС)/А. (46)
Поскольку х известно, у можно найти из (44). Эти отношения можно
преобразовать обратно в частоты генов, используя соотношения
q (самки) = —-— , q (самцы) = —-— . (47)
1-f-x 14-1/
Из рассмотренного видно, что даже для простого случая подобного от-
бора алгебраические выкладки намного длиннее, чем для соответствую-
щего случая в отсутствие половых различий в приспособленности. Чис-
ловой пример условий равновесия (s = 0,325, / = 0,100) дан в работе
Ли [384].
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
407
Обсудим теперь модель разнонаправленного отбора особей двух по- лов. Предположим, что у самок отбор идет против аа, а у самцов — про- тив АА, как это показано ниже:
Генотип АА Аа аа
Исходное отношение частот 1 : х+у ; ху
Приспособленность самок 1 1 1—з (40)
Приспособленность самцов 1—t 1 1
Здесь s и t — положительные числа меньше 1. Условие равновесия по-
лучается путем приравнивания нового отношения частот генов после от-
бора к отношению частот генов до отбора:
х = х+У + ?ху(1 — s) = х+у+ 2ху
*+(/+2 х + ^ + 2 (1 — t)
2sxy = (1 + х) (у — х), 2ty = (l+y)(y — x). (49)
Следовательно,
= = (самцы). = с (константа)> (50)
t \ 1 + У) \ х j qf (самки)
s = ct и рт (самцы) = cqf (самки) = cq.
Поскольку частоты генов у особей разного пола связаны таким простым
соотношением, мы будем непосредственно иметь дело с частотой q = qt
для самок. Случайное объединение женских гамет (1—q)-А и q-a с
мужскими гаметами cq-A и (1—cq)-a приведет к следующему поколе-
нию потомков:
АА Аа аа Сумма
cq(l — q) C72 + (1— т)(1 — cq) q(l—cq) 1,00 (51)
Будем считать потомков (51) самками и допустим, что на особей этих
трех генотипов действует отбор типа 1, 1, 1—s. Уравнение равновесия ‘
q'^q после нескольких алгебраических преобразований примет вид
2cs<73 —2s(l+с)92 +(1+с + 2$)<7—1=0. (52)
Если, например, $ = 0,30 и t=0,10, так что c=s/t=3, то уравнение пред-
станет в виде
1,8<73 —2,4<72 + 4,6<7—1 =0, 7 = 0,242491,
а два других его корня являются комплексными числами. Частоты генов
в равновесной популяции приблизительно равны:
Самки р = 0,7575 q — 0,2425
Самцы р = 0,7275 q — 0,2725
Это равновесие устойчиво. Если величины $ и t приблизительно одного
и того же порядка, то мы можем взять их среднее значение $ = -^-($-Н),
и тогда равновесная частота для обоих полов будет равна q = s/(1+s) .•
Рассмотрим теперь отбор симметричного типа. Если у особей одно-
го пола отбор направлен против гетерозигот, а у особей другого пола,
напротив, благоприятствует гетерозиготам, то разумно предположить,
что условие равновесия достигается в том случае, когда две противодей-
ствующие силы уравновешивают друг друга. Как и в предыдущих пара-
графах, будем считать, что отношение женских гамет равно 1(Л) :х(а),
а мужских—1(Л) :у(а). Величины приспособленностей потомков муж-
ского и женского пола будут следующими:
408
ГЛАВА 22
Генотип
Исходное отношение
Приспособленность самок
Приспособленность самцов
АА Аа аа
1 : х + у : ху
1 : 1— k : 1
1 : 1+й : 1 (53)
Здесь k — положительное число и /г>0. Состояние равновесия получаем,
приравнивая новое отношение частот генов после отбора к отношению
частот генов в предыдущем поколении:
X = С1 — ^) (x+yj + ^xy = (1 -{- А) (*+ у)А-Чху
(1-й)(х+(/) + 2 ’ У (1 +h)(x + y) + 2 ’
k(x + y)(l— х) = (1 + х)(у — х), h(x + y)(l — z/) = (l +у)(у— х).
(54)
Следовательно,
k = (1 +*) (1 — у)
h (1+у)(1—х) '
(55)
Из двух последних уравнений можно вывести несколько следствий. Во-
первых, из (54) х=у=\, т. е. для особей обоего пола р = <?=-у, что всег-
да будет решением уравнений независимо от значений h и k. Однако
устойчивость такого решения зависит от величин h и k\ в этом мы убе-
димся позже. Во-вторых, если h=k, то х = у и самки и самцы имеют од-
ну и ту же равновесную частоту гена. В-третьих, чтобы отношение (55)
было положительным, х и у должны быть оба больше или оба меньше
единицы. И наконец, если Хо и уо являются решениями уравнения, то и
обратные им величины 1/х0 и 1/уо также будут решениями вследствие
того, что
(I 4-I/х) (1 — 1/у) _ (1 + х)(1—у)
(1 + 1/у) (1 — 1/х) (1+у)(1-х)
(56)
Из этого равенства следует, что при взаимной перемене частот генов А
и а у особей разного пола равновесие останется прежним; очевидно, это
обусловлено симметрией такого отбора. Остальные этапы определения
точек равновесия те же, что и прежде, а именно: выражаем у через х,
подставляем его в одно из уравнений равновесия и решаем получившее-
ся кубическое уравнение. Уравнение для отбора симметричного типа со-
держит множитель (1—х)\ оставшаяся квадратичная часть имеет дей-
ствительные корни при (1—k) (1 + h) <1. Проиллюстрируем это число-
вым примером. Пусть отбор у особей двух полов будет следующего типа:
Самки
Приспособленность 7:3:7
1—й=3/7, й = 4/7
Самцы
Приспособленность 7:15:7
1+Л=15/7, Л = 8/7
так что ~ и -у • -у-<1. Уравнение (55) дает у= (1 + 3х)/(3+х).
Подставляя у в одно из уравнений стационарности (54), например в то,
которое содержит k, мы получим уравнение
(1— х) (Зх2 — 10х + 3) = 0,
и три стационарных состояния будут следующими:
Самки
Самцы
(1)х = 3 (р = 0,25)
(П)х = 1 (р = 0,50)
(III) х=4- (р=0,75)
О
у = 5/3 (р = 0,375)
у=1 (р = 0,50)
у =3/5 (р = 0,625)
Характеристика
состояния равновесия
Устойчивое
Неустойчивое
Устойчивое
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
409
Подобный разнонаправленный отбор особей двух полов приводит к су-
ществованию двух симметрично расположенных устойчивых точек и од-
ной неустойчивой между ними [494]. Характер приближения к равнове-
сию довольно интересен (рис. 22.4). Популяция, в какой бы начальной
точке она ни находилась, уже в следующем поколении вплотную «по-
дойдет» к тому пути, по которому достигается точка равновесия. Глав-
ная диагональ.является границей между двумя областями стационар-
Рис. 22.4. Дифференциальный отбор среди особей разного пола.
Приспособленности самок — 7:3:7, приспособленности самцов — 7 : 15:7. Тремя стационарными
состояниями являются: (р самки; р самца) —(0,25; 0,375), (0,50; 0,50), (0,75; 0,625). Центральная
точка неустойчива и достигается за одно поколение случайного скрещивания из любой начальной
точки, расположенной на главной диагонали, которая служит границей между двумя «областями»
устойчивости. Начальные точки, расположенные ниже диагонали, будут приближаться к точке
(0,25; 0,375), а те, что расположены выше диагонали, будут приближаться к точке (0,75; 0,625).
Стрелками указан путь, по которому происходит приближение [393].
ностей. Популяции, «расположенные» на диагонали (у=1/х), достигнут
/ 1 1 \
точки неустойчивости I—, — I заодно поколение.
Мы уже видели, что, когда (1—k) (1 + h) <1, центральная точка
равновесия x=z/=l является неустойчивой, а две симметрично располо-
женные по краям точки устойчивы. Когда (1—k) (1 + h) 1, отбор в
пользу гетерозигот одного пола уравновешивает или пересиливает отбор
против гетерозигот другого пола; в этом случае состояние равновесия
х=у= 1 устойчиво. Простая модель отбора (53) иллюстрирует существо
вопроса. Нетрудно построить и более сложные модели, в которых отбор
среди особей разных полов действует в противоположных направлениях.
§ 7. ОТБОР ПО ГЕНАМ, СЦЕПЛЕННЫМ С ПОЛОМ
Пусть самки гомогаметный (XX), а самцы — гетерогаметный
(XY) пол. Как и раньше, мы принимаем, что отношение женских гамет
равно 1(A) :х(а), а отношение мужских—1(A) :у(а). Частоты и вели-
410
ГЛАВА 22
чины приспособленностей потомков женского и мужского пола (по от-
дельности) при случайном скрещивании будут следующими:
Самки А4 Аа аа Самцы А а
Частота 1 х + у ху Частота 1 X (57)
Приспособленность w2 w3 Приспособленность И
Следует отметить, что частоты генов (или их отношения) у потомков
мужского пола одинаковы с частотами у родителей женского пола, поэ-
тому в своем исследовании мы можем ограничиться только самками.
Равновесные условия задаются уравнениями /
(х ~г У) 2ху1Г3 __ У3
(х + у)М2 + Ж\ ’ У
(58)
Исключая из первого уравнения у и решая его, мы получим выражение
для стационарного состояния [426а]
-|-(Р1+Рз)И72-Р1^1
х —--------------------------
(59)
Если числитель и знаменатель положительны, то равновесие устойчиво,
если тот и другой отрицательны, то равновесие неустойчиво. Если они
имеют разные знаки, то нетривиального стационарного состояния не су-
ществует. Выражение (59) можно привести к виду
। V3) V2
1 + х ~ VrWi + 1/3IF3 - (Уг + У3) W2 ’
(60)
Условия устойчивости здесь те же, что и в случае аутосомных генов.
Иными словами, гетерозис по приспособленности для генов, сцепленных
с полом, представлен произведениями соответствующих приспоссибленно-
стей для особей двух полов; среднюю величину -^-(Vi + Ез) мы принима-
ем за приспособленность некоего гипотетического «среднего самца». Ес-
ли эти произведения таковы, что
то будет поддерживаться нетривиальное устойчивое равновесие. Стаци-
онарные частоты генов у самок и самцов в общем случае различаются.
Результаты, полученные Холдейном и Джейякаром [223], эквивалентны
тем, которые представлены выше. Ли [393] отметил, что при равновес-
ной частоте (60) средняя приспособленность по аутосомному локусу в
следующей популяции со случайным скрещиванием максимальна:
Генотип АА Аа аа
Приспособленность ^-(Г1+Г3) Г2 VgWg (61)
Частота Р2 2pq Р2
Поскольку стационарное состояние зависит от соотношения между при-
способленностями особей обоих полов, условие гетерозиса для одних
только самок TEi< 1Е2> 1Ез по'сцепленным с полом генам перестает быть
как необходимым, так и достаточным для поддержания устойчивого рав-
новесия [20]. Ниже приведены три примера.
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
411
Приспособ- ленность Самки Самцы Vi Уз Аутосомный эквивалент
VilTi -у (Vj + V3) 1Г2 v3r3
WT 1П2 rs
Пример I 8 10 12 3 2 24 25 24
Пример II 9 10 9 3 2 27 25 18
Пример III 9 10 7 1 1 9 10 7
В примере I гетерозис по приспособленности у самок отсутствует,
однако существует устойчивое равновесие при х=1, р = 0,50 для самок
2
и при у=—, р = 0,60 для самцов. В примере II самки обладают гетеро-
3
зисом по приспособленности, однако никакого стационарного состояния,
за исключением тривиального р=1, не существует. Пример III приведен
с целью показать, что, когда отбор среди самцов отсутствует (V1 — V3),
уравнение (59) сводится к х=(И72—Wi)/(W2—Ws). Из последнего вы-
ражения следует, что гетерозис самок по приспособленности будет
в этом случае необходимым и достаточным условием поддержания
устойчивого равновесия; кроме того, х=у и особи обоих полов имеют
одинаковые частоты генов.
§ 8. ПЕРЕМЕННАЯ ПРИСПОСОБЛЕННОСТЬ;
ЧАСТОТНО-ЗАВИСИМЫЙ ОТБОР
Во всех рассмотренных моделях величина приспособленности гено-
типа считалась постоянной. Экологические данные говорят о том, что
это не всегда так. Можно себе представить, что генотип имеет селектив-
ное преимущество, когда он редок в популяции, но испытывает более
сильное давление отбора, оказавшись в избытке. Тогда приспособлен-
ность генотипа в некотором поколении будет функцией частоты генотипа
в этом поколении, а сила отбора будет регулироваться частотой (fre-
quency-regulated). Экспериментальные исследования, открывшие преи-
мущество редких особей в скрещиваниях у видов Drosophila, описаны в
нескольких работах [589, 591, 593]. Ли [379] назвал механизм контроля
значения частоты «частотостатом» (frequency-stat) по аналогии с меха-
низмом, контролирующим значение температуры и известным под на-
званием термостата. Величины w изменяются от поколения к поколению
до тех пор, пока не будет достигнуто стационарное состояние. Существу-
ют многочисленные возможности, приводящие к зависимости между
приспособленностью и частотой. да-Функции могут быть линейными
функциями частоты гена (например, а-\-Ьр), квадратичными (а + &р +
+ ср2 или а+ср2) или функциями некоторых других типов (например,
а + с[р2). Кроме того, да-функции для различных генотипов необязатель-
но должны иметь одинаковую степень. Например, в ситуации, изученной
Ли [357], рассматривается отбор (73), описываемый функциями трех
типов (константой, линейной и квадратичной). Другие исследования,
касающиеся переменной приспособленности, обсуждаются в работах
Райта [684, 689, 690, 694], Левонтина [344], Кларка и О’Дональда [64],
а также Кларка [62]. Когда приспособленность генотипа оказывается
функцией частоты гена, концепция адаптивных пиков становится не-
приемлемой. Простые модели частотно-зависимого (frequency-dependent)
отбора можно построить так, что максимум средней приспособленности
будет соответствовать неустойчивому равновесию, тогда как минимум
средней приспособленности — устойчивому равновесию [558]. Так как
412
ГЛАВА 22
число возможных функций отбора велико, мы не будем подробно обсуж-
дать многие модели, а дадим общее уравнение равновесия и приведем
два примера, чтобы проиллюстрировать новое свойство частотно-зави-
симого отбора.
Пусть u>i(p), w2(p), w3(p)—функции отбора для генотипов АА,
Аа и аа соответственно, а частоты этих генотипов равны fi(p)=p2, 2pq,
q2; при этом w (р) = 2f< (р) Wi (р). Подставляя функции w (р) для соот-
ветствующих констант а?ц, te>i2, ш22 и действуя в точном соответствии с
табл. 22.3, мы получим уравнение состояния равновесия [344]:
=---------^Р)-^2(р)---------_
[иц (р) — w2 (р)] + [ги3 (р) — (р)]
Это уравнение имеет тот же вид, что и выражение (21) из гл. 21, в кото-
ром постоянные коэффициенты отбора заменены на соответствующие
функции отбора. Однако следует отметить, что, в то время как исходное
выражение (21) из предыдущей главы отражает непосредственно ста-
ционарное состояние, выражение (62) является уравнением, которое
надо еще решить, чтобы получить стационарные величины. Когда
w-функции квадратичны, уравнение равновесия (62) будет, как правило,
кубическим уравнением, для которого потенциально существуют три
стационарных состояния, причем одни из них устойчивы, а другие — не-
устойчивы. Уравнение (62) представляет собой наиболее употребитель-
ную общую формулу, используемую при изучении частотно-зависимого
отбора.
В простейшей модели, приводящей к устойчивому равновесию, ве-
личина снижения приспособленности генотипа пропорциональна его ча-
стоте в популяции, а именно:
U>1 (р) = 1 — tp2, w2 (р) = 1 — 2tpq, wa (р) = 1 — iq2, (63)
где t — положительная константа (множитель пропорциональности).
Относительные величины (63) для больших и малых р будут следую-
щими:
W-L (Р) W2 (р) W3 (р)
когда р = 0,1, 1—0,01/> 1—0,18/>'1—0,81/;
когда р=0,9, 1—0,81/< 1—0,18/< 1—0,01/.
Следовательно, если частота р мала, то она будет возрастать, а если она
велика, то будет уменьшаться. Подставляя (63) в основное уравнение
(62), мы получим уравнение для равновесия
6р3 —9р2 + 5р—1 = (2р — 1) (Зр2 —Зр + 1) = 0, (64)
' , „ 1
не зависящее от множителя пропорциональности t. Поэтому p = q=—
будет состоянием равновесия; другие два корня уравнения (64) — комп-
лексные числа. В стационарном состоянии относительные приспособлен-
ности трех генотипов равны
W, - 1----— t, w, = 1---— t, w3 = 1-----t.
1 4 2 4
Приспособленность гетерозиготы ниже приспособленностей' обеих гомо-
зигот, и тем не менее равновесие устойчиво. В этом заключается новое
свойство частотно-зависимого отбора. Мы посвятим анализу такой устой-
чивости отдельный параграф.
Прежде чем приводить аналитическое доказательство, для начала
рассмотрим числовой пример. Пусть р = 0,520, </ = 0,480, так что отклоне-
ние от равновесия равно е=0,020; и пусть t=\, так что Wi(p) = l—р2
и т. д. Расчеты проводим как обычно.
(65)
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
413
f W fw Р' и <?'
АА р2= 0,2704 0,7296 0,1973 3223/6246 = 0,516
Аа 2 pq =0,4992 0,5008 0,2550 3023/6246 = 0,484
аа = 0,2304 0,7696 0,1773
Сумма 1,0000 (2,000) 0,6246 1,000
Таким образом, р снижается от 0,520 до 0,516, приближаясь к 0,500, и
новое отклонение от равновесия равно &'=0,016, несмотря на то, что от-
бор направлен против гетерозигот. Для более общей ситуации примем
1 , 1
р = —+е и ^=— 8> гДе 8 — столь малое отклонение от равновесного
состояния, что можно принять
2 ( I , \2 I ,
Р = \---Г 8 —--- +8,
\ 2 / 4
о оП , V1 \ 1
. 2pq = 2 —4-8------8 —,
[ 2 / \ 2 / 2
1
--------6.
4
Сходным образом
/ 1 , \2 1 ,1
— 4~ е —------4----е и т. д.
\ 4 / 16 2
Это значит, что членами, содержащими е в квадрате, мы пренебрегаем и,
следовательно, эти выражения являются линейными относительно е.
Эту процедуру иногда называют процессом «линеаризации». Дальше мы
будем действовать так же, как и в приведенном выше числовом примере.
Таким образом,
Сумма Sf&y
8
Следовательно, новое отклонение от состояния равновесия равно [64]
, , 1 8 — 4/ , ,СС\
8 =р--------= ----- 6 < 8. (66)
2 8—3/
Отклонение от равновесия становится меньше; поэтому равновесие ус-
тойчиво. Приняв в нашем числовом примере / —1, мы видим, что с хо-
414
ГЛАВА 22
рошим приближением 8'=—-е = 0,8-0,02 = 0,016. Если читатель проде-
5
лает расчет для другого поколения, он найдет, что приблизительно
р"=0,5128 и новое отклонение равно ez/=0,8 - 0,016=0,0128. Основной
момент, который хотелось бы здесь подчеркнуть, состоит в том, что в
схеме переменного отбора приспособленность гетерозиготы в стацио-
нарном состоянии может быть ниже приспособленностей гомозигот;
оценка приспособленности генотипа в какой-то определенный момент
времени почти ничего не говорит о природе отбора или о его устойчи-
вости. Поэтому необходимо длительное изучение генетического отбора
в популяциях.
Однако не для всех типов частотно-зависимого отбора характерно
снижение приспособленности гетерозигот в стационарном состоянии;
это зависит от характера связи между частотой и приспособленностью.
Если, к примеру, приспособленность гетерозигот зависит от частоты в
меньшей степени, чем приспособленность гомозигот, то вместо (63)
можно ввести следующие соотношения:
(р) = 1 — tp1 2, (р) = 1 — tpq, ws 1 — tq2. (67)
Производя подстановку в основное уравнение (62), мы получим усло-
вие равновесия
(2р — 1) (2р2 — 2р + 1) = 0. (68)
Состояние равновесия устойчиво, так как с помощью метода ис-
пытаний из предыдущего параграфа мы имеем
, 4 — 2/
8
-------8.
4 — /
Приближение к равновесию происходит быстрее, чем в предыдущем
случае (66). Приспособленности генотипов в стационарном состоянии
будут теперь равны
1 1 4
= w3 = 1------ i,
4
т. е. все генотипы имеют одинаковую приспособленность. Ли [379]
обобщил модель (67) частотно-зависимого отбора на случай множе-
ственных аллелей.
В заключительной модели отбора мы можем объединить постоян-
ные величины приспособленностей (ffi>i, а>2, о»3) с переменными функ-
циями отбора (63), так что результирующие приспособленности гено-
типов АА, Аа и аа станут равными
W^l-tp2), Wz(l-2tpq), Wa(l-tq*). (69)
Такой подход приводит нас к понятию «компонент» приспособленно-
сти; мы считаем, что W— это постоянные компоненты, а функции
(1—tp2) и т. д. — частотно-зависимые компоненты. Обычно даже так
называемые постоянные компоненты состоят из большого числа не
поддающихся идентификации субкомпонент. Подставляя (69) в ос-
новное уравнение (62), мы получаем условие равновесия
Т(р) = С(р), (70
где
Т (р) = t [р3 (Г, + 4Г 2 + Г3) - Зр2 (2Г2 + Г3) + р (2Г2 + ЗГ3) - Г3]
и '
с (р) = Р (W\ - 2Г2 4- Г3) - (Й73 - WJ.
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
415
Это уравнение проливает свет на природу взаимодействия между дву-
мя компонентами приспособленности. Когда частотно-зависимый
компонент отсутствует (/ = 0), левая часть (7) становится равной ну-
лю, и уравнение принимает вид С=0, свидетельствующий о том, что
равновесие обусловлено постоянным компонентом. Вместе с тем, если
отсутствует постоянный компонент (Wi = W2= W3), то в нуль обра-
тится правая часть (С), и уравнение сведется к Т=6р3—9р2+5р—1 =
Рис. 22.5. График для уравнения (70)
при №=10, 8, 10 и <==0,30.
Жирная линия Т=15,6рэ—23,4р2+13,8р—3 соот-
ветствует частотно-зависимому отбору. Пря-
мая С—4р—2 соответствует постоянному дав-
лению отбора. Три стационарных состояния
(72) соответствуют трем значениям р, при ко-
торых Т=С. Стрелки указывают направление
отбора (по Ли 1393]).
Рис. 22.6. График для уравнения (70)
при №=10, 12, 10 и /—0,30.
Жирная линия Т=20,4р3—30,6р2+16,2р—3 соот-
ветствует частотно-зависимому отбору. Пря-
мая Св—4р+2 соответствует постоянному
давлению отбора. Существует только одна
точка устойчивого равновесия, так как оба
типа отбора имеют одинаковое направление
(по Ли (393]).
=0, которое совпадает с (64). Очевидно, уравнение (70) отражает
равновесие между силой Т частотно-зависимого компонента (левая
часть) и силой постоянного компонента отбора (правая часть). Если
эти силы противоположны по направлению и сравнимы по величине, то
здесь возможны три стационарных состояния, следующих в порядке:
устойчивое — неустойчивое — устойчивое или неустойчивое — устой-
чивое— неустойчивое. Кларк и О’Дональд [64], к примеру, принимают
для силы частотно-зависимого отбора /=0,30, что ведет к р = а по-
стоянный компонент принимают равным 117=10, 8, 10, что ведет к р =
= 0 или 1. Таким образом, эти два компонента действуют в противо-
положных направлениях. Подстановка этих величин в (70) дает урав-
нение
15,6р3 — 23,4р2 + 13,8/? — 3 = 4р — 2
416
ГЛАВА 22
ИЛИ
15,6р3 — 23,4р2 + 9,8р — 1 = (2р — 1) (7,8р2 — 7,8р + 1) = 0. (71)
Три стационарных состояния будут следующими:
р = 0,151, р = 0,500, р = 0,849. (72)
Центральная точка неустойчива; две боковые точки, в которых две силы
имеют равную величину, устойчивы (рис. 22.5). Итак, если в природе
действует много противостоящих друг другу сил отбора, вероятность
существования устойчивого равновесия в различных точках сильно
возрастает. Как мы увидим в следующей главе, уравнение (70) в ка-
кой-то мере отражает случай отбора по двум локусам, где кубическая
функция приравнивается к линейной.
§ 9. ОТБОР И КОМПЕНСАЦИЯ ПО ЛОКУСУ Rh
Вскоре после открытия агглютиногена Rh (Rh-фактора) Холдейн
[204] установил, что в данном случае отбор действует против гетеро-
зигот, так как дети с эмбриональным эритробластозом, рожденные от
матерей, гомозиготных по рецессивному гену rh (Rh-отрицательных),
погибают. Он отметил, что современная популяция американцев, ха-
рактеризующаяся высокой частотой Rh-отрицательных индивидуумов,
вероятно, пребывает в неустойчивом состоянии и ген rh постепенно
элиминируется. Несколько позднее Фишер (см. [526]) предположил,
что частота гена rh в популяции может поддерживаться на существу-
ющем уровне за счет стремления матерей возместить потерю умерших
детей рождением новых; они хотят создать семью среднего или даже
большого размера. Выжившие дети будут Rh-отрицательными, и бла-
годаря им потеря гена rh в результате смерти гетерозиготных сибсов
компенсируется или даже восполняется с избытком. Гласс [187] на
уникальных данных Балтиморской лаборатории по типированию Rh
показал, что часть Rh-отрицательных матерей действительно стремится
к такой компенсации. Так, он обнаружил, что у белых американцев
среднее число живущих детей, приходящихся на одну Rh-отрицатель-
ную мать, равно 1,45, их среднее число на одну сенсибилизированную
Rh-отрицательную мать равно 1,62, а число детей, приходящееся на
Rh-положительную мать, равно только 1,38.
Поскольку мы рассматриваем лишь основные положительные и
отрицательные аллели, мы будем использовать вместо Rh (доминант-
ного гена) символ А, а вместо rh (рецессивного гена) символ а; через
р и q обозначим их частоты в панмиктической популяции (р+<7=1).
Отбор против гетерозиготных детей, рожденных Rh-отрицательными
матерями, и стремление части таких матерей возместить их потерю за
счет дополнительных рождений (Rh-отрицательных детей) выразим
алгебраическими символами, приведенными в табл. 22.4, в которой s
означает коэффициент отбора и t — коэффициент компенсации (и тот
и другой — положительные числа). Из нижней строки табл. 22.4 (сум-
ма потомков) видно, что
= 1, ш12 = 1 — s<7> ®22 = 1 + tpq (73)
и
w = 1 — spq2 + tpq3.
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
417
Таблица 22.4
Отбор против гетерозигот, рожденных от Rh-отрицательных матерей,
которые компенсируют потерю умерших детей последующим рождением
Rh-отрицательных потомков [357]
Мать X отец Частота Потомки Относительный размер семьи
АА Аа аа
АА X любой Р2 Р3 P2q 0 1
Аа X любой 2р<7 P2q pq pq2 1
аа X АА PV 0 р^(\ — s) 0 1 — S
аа X Аа 2pq3 0 р?3(1 — s) Р<?3(1+0 -M(l-S)+ (!+/)]
аа X аа <74 0 0 <74 1
Сумма 1,00 Р2 2р<? — spq2 ч <72 + tpq3
В результате отбора с одновременной компенсацией частота а изме-
нится к следующему поколению от q др
q' = -X]q---J- spq3 + tpq3] , (74)
w I. 2 )
так что
Aq = q' — q = -^-[—-^-s+(t + S)q — tq2]. (75)
w ( 2 J
Очевидно, что q = 0 и q=i являются двумя точками устойчивого рав-
новесия. Равновесие в точке, заданной корнем квадратного уравнения
tq2~(t-\-s)q-\-—s = Q, будет неустойчивым; этот корень равен
где тильда над q указывает на неустойчивость равновесия. Другой ко-
рень больше единицы и поэтому не представляет интереса для гене-
тиков. Следует отметить, что q определяется скорее относительными,
чем абсолютными величинами s и t. Когда s=t, q=(2—]/2)/2 =
=0,2929; когда s : £=4 : 3, q = — и т. д. Фактическая величина приро-
ста зависит, конечно, от абсолютных величин q. Примеры, рассмот-
ренные Спенсером [587], представляют собой частные случаи с этими
двумя относительными значениями s и t. В современной популяции
белых американцев приближенное значение ^=0,39, т. е. заметно
больше, чем </=0,29. Если эффект компенсации больше эффекта отбо-
ра (/>s), то q будет возрастать. Более детально эти вопросы изложе-
ны в работах Гласса [187] и Ли [357]. Если не ограничиваться отбо-
ром против гетерозигот и компенсацией за счет детей, гомозиготных по
рецессивному гену, и ввести полное преимущество гетерозигот по при-
способленности, то можно построить модель, в которой существует
устойчивое равновесие по локусу Rh [150]. Пока никаких фактических
данных, указывающих на преимущество по приспособленности гетеро-
зигот Rh, не существует. В критическом обзоре данных по репродук-
тивной компенсации Рид [535] отмечает слабость аргументов в пользу
27—322
418
ГЛАВА 22
распространенности этого явления в популяциях европеоидов. Он де-
лает вывод, что если компенсация и имеет место, то редко или в незна-
чительной степени.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Даны величины относительных приспособленностей для трехал-
лельного локуса:
А, Аз А3
А, / 7 12 22\ £>х = 5
а2 12 13 17 1, £>2 = 25
А3 \22 17 2/ £>з=Ю,
где D — определители, задаваемые формулой (12). Какими будут рав-
новесные частоты генов? Будут ли они устойчивыми? Какова зависи-
мость между этим набором величин приспособленностей и тем, кото-
рый приведен в (14)?
2. Пусть селективные ценности генотипов в трехаллельной системе
будут следующими:
А, Аз А3 Ai - -Л А1 Ад
Ai ®12 ®1Я\ /®и — ®12\ /Wn — Wu
Аз 1 ^12 ™33 ^23 1’ 1 ^12 — ^22 I , 1 0У12 — ш23
А3 \ш13 W33 W33J \ЙУ13 — ®23/ \да13 — ш33.
Покажите, что регрессия w на Xi равна
, _Соу(ш, хх)__ Pi^i —
2 Г Р1{р2(®11 —^12) + Рз(®11 —®13>}
= 1—Pl +p2{p2(®i2 —гМ + Рз(®12—®2з)}
. + Рз {р3 (&У13 — да23) + Рз (®13 — ®зз)!_
Когда р3=0 и, следовательно, 1—Pi=p2, приведенное выше выраже-
ние сведется к новому
bwxx = 2 [pi (t^ll ®12) Рз (®12 ^22)1»
которое идентично известному выражению для двух аллелей.
3. Рассмотрим определители (12), представленные числовым при-
мером (15). Разлагая Di по элементам первого столбца (состоящим из
одних единиц), мы получаем алгебраические дополнения Сц элементов
первого столбца исходной да-матрицы, для которой =
1 ЙУ12 ®13
1 да22 да23
1 ®32 ®33
®22 ^23
^32 W33
D.
®12 ®13 । ®12 ^13
Ш32 ^33 ®22 ®23
= Сц + С21+С81 = —9+ 12-2,8.
Сходным образом мы можем разложить определители D2 и D3 по эле-
ментам второго и третьего столбцов соответственно и получить все ал-
гебраические дополнения элементов ш.
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
419
Сумма по строкам
12
— 16
5
— 2,8\
5
— 1,8/
0,2
1;0
0,4
1,6
Разделив суммы строк алгебраического дополнения матрицы на сум-
му всех алгебраических дополнений, мы получим стационарные часто-
ты генов pi = l/8, 5/8, 2/8. Чтобы записать равновесные частоты генов
в компактном виде, введем обозначения (1)'=(1, 1, 1) для вектор-
строки, (1)—для вектор-столбца и (р)—для частот генов. Тогда
решение (13)
_____ Di i - я строка суммы (С)
Р/___— ----------------------------
2D/ сумма всех элементов (С)
можно записать в виде [610]
(р) = ... (С)(1)— . 03')
’ (О'(C)(1)
Если мы разделим каждое алгебраическое дополнение Сц на |лу| [оп-
ределитель (ш)], то получим обратную матрицу (w)~l и выражение
(13х) примет вид
(р) - (7)~1 ? • аз")
(1) И~‘ (1)
Эти решения применимы к локусу с любым числом аллелей.
4. Среднюю приспособленность стационарной популяции можно
также выразить через (лу)-1. Напомним условия стационарности (9):
W = W! = ргшп + p2w12 + p2w13 = w2 = prw2l + p2w22 + Рз®23 =
= W3 = P1W31 + P2®32 + PaW33.
Подставляя стационарные величины pi (13х) или (13хх) в любое из
приведенных выше выражений, мы получим [610]
(1)'(C)(1) (1)'(®)-1 0)
с учетом того, что
Сцлуп 4- C12w12 + С13лу13 = | w | и т. д.,
Сг1®и 4~ б?22®12 4“ С23^13 = 0 и т. д.
Средняя приспособленность стационарной популяции равна обратной
величине суммы всех элементов обратной матрицы (лу)-1.
5. Общий метод проверки на устойчивость мы проиллюстрируем
на числовом примере. Рассмотрим отбор типа (14), для которого было
найдено равновесное состояние р{ = (1, 5, 2)/8. Мы хотим показать ус-
тойчивость этого состояния. Введем небольшое возмущение по сосед-
ству с точкой равновесия, приняв частоты генов равными
Pi = “т- 4- 4i, р2 = — F (4, р3 = — d2
О о о
. 2
где d— малые отклонения; величинами второго порядка малости, а~р
2
d и dyd2, мы пренебрегаем, так что
р2Рз-[-у — dl — di)~ 64 “ 8 dl 8 d2‘
27*
•420
ГЛАВА 22
Тогда частоты генотипов и величины приспособленностей можно запи-
сать в виде следующей таблицы, полученной в процессе «линеари-
зации».
41 f W f W 43 f W
41 /Д_ ( 64 + ОО | no 1 (^+ 5 8 ^1+ 2 О / Н + ( 64 8 dz) 4
42 /_5_ (б4 , 5 , 1 + Trfl-r т +j 2 /25 (64 , 10 . '1 + "Г- Ч 2,2 О / /_10 \64 “ ^dl~ 14 о / 3
43 / 2 \~бТ + — d1— — 8 8 +) 4 1 10 (,64 ~ 5 8 о / / 4 (64 ” Tdl~ Cl ч<| оо 0
2/® 19 64 + °°|s ОО I N0 6?2 95 64 — 5 , , !5 , yrfi+ —d2 38 _ 64 "" - 8 d2
Разделив все столбцы (или строки) на итоговую сумму %fw = 152/64,
мы получим новые частоты генов после отбора:
Р\ = 19+128+ —16d2 152 = — + — 8 19 di — 2 Чэ"
95 — 40+ + 120+ 5 5 di + 15 ^2»
Р2 152 8 19 19
38 — 88+ — 104rf2 __ 2 И di 13
рз — 152 8 18 19
Новые отклонения от точки равновесия
разом,равны
/Г = 16 л 2 ,
------------------ U1 U0,
19 1 19 2
d' = — dr+ — da,
2 19 1 19 2
5 2 \ л й
—> — будут, таким об-
8 8 j
/
.. I 19
м —
I --j5
\ 19
— 2
19
15
19
Эта система уравнений связывает старые и новые отклонения от точки
равновесия. При устойчивом равновесии приведенные величины долж-
ны уменьшаться и приближаться к нулю как к пределу. Для этого
требуется, чтобы характеристические корни (характеристические чис-
ла) матрицы М были положительными, но меньшими единицы. Эти
корни являются решениями уравнения
16 . — 2
19 19
— 5 15
19 19
— X
= 0, 361Х2 — 589Х+230 = 0.
Они равны = 0,984 и А,2=0,647; оба корня положительны и меньше
единицы. Равновесие устойчиво. Этот метод достаточно прост, чтобы
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
421
применять его к любым числовым данным, тогда как в аналогичной
ситуации общий анализ с использованием w был бы очень сложен.
6. Проверьте (27), приняв pj=0,4; 0,1; 0,5 и используя следующий
набор величин:
Wij PiPj WijPiPj Pi®i Pi' Д Pi
1 0 2 0,16 0,04 0,20 0,16 0 0,40 0,56 0,28 —0,12
0 14 4 0,04 0,01 0,05 0 0,14 0,20 0,34 0,17 +0,07
2 4 2 0,20 0,05 0,25 0,40 0,20 0,50 1,10 0,55 +0,05
Сумма 0,40 0,10 0,50 0,56 0,34 1,10 2,00 1,00 0
В данном поколении w= 2,00. С помощью прямого расчета, используя
новые частоты гена (0,28; 0,17; 0,55) вместо (0,40; 0,10; 0,50), мы най-
дем w'^hwupip'; =2,452, откуда приращение равно Ада=0,452.
Wij Pi Pi ®ii p'i Pi t f Piwi
1 0 2 0,0784 0,0476 0,1540 0,0784 0 0,3080 0,3864
0 14 4 0,0476 0,0289 0,0935 0 0,4046 0,3740 0,7786
2 4 2 0,1540 0,0935 0,3025 0,3080 0,3740 0,6050 1,2870
Сумма 0,28 0,17 0,55 0,3846 0,7786 1,2870 2,4520
Вместе с тем мы можем рассчитать величины (25) и (26), используя
Wi—piwjpi =0,56/0,40= 1,4 и т.д.
Wi Pi Pi — w) Pi (Wi—W)Wi (ш) (Др) = (C) Ci& Pi
1,4 0,4 —0,24 —0,336 / ! ° 2 \ /—0,12\ [ 0,02\ 0,0024
3,4 0,1 +0,14 4-0,476 1 0 14 4 1 4-0,07 1 = 1,18 0,0826
2,2 0,5 +0,10 4-0,220 \ 2 4 2 / \4-0,05/ ’ \ 0,14/ 0,0070
w = 2,0 1,0 o Q = 0,360 Z = 0,0920
2(0,36) , „
Aw =------ + 0,092 = 0,452 (точно)
7. Приведем еще один способ записи формулы (27).
= w’—w=2 2 pi p'i wa—^^Pi Pi wa =
i / i 1
= ^^(Pt + ДР«)<Pi + ^Pi) wa- 22Pi piWii =
i 1' i i
=2 2 2(Лрг) Pj Wij+2 2(Д/?г) w"-
i . i i i
422
ГЛАВА 22
Таблица 22.5
Отбор в популяциях с инбридингом (F= 1 2
f при р = 0,60 f w Следующее поколение
АА 2 ~ (0,36)+ -у (0,60) = 0,48 0,960 p' = 0,6545
Аа 4 у (0,48) 0,24 0,960
аа 1 -у (0,16)+ -у (0,40) = 0,28 0,280 q' = 0,3455
Сумма 1 1 2 + 2 ~ 1,00 2,200 1,0000
f при р = 0,70 fw Следующее поколение
АА 2 -j- (0,49)+ -у (0,70) = 0,595 1,190 p' =0,7236
Аа 4 -у (°>42) 0,210 0,840
аа 1 -у (0,09)+ -у (0,30) = 0,195 0,195 q' = 0,2764
Сумма т + т - 1,000 2,225 1,0000
f при р = 0,80 fw Следующее поколение
АА 2 (0,64)+ -у (0,80) = 0,72 1,440 p' =0,800
Аа 4 -^-(0,32) + 0,16 0,640
аа 1 (0,04)+ -у (0,20) = 0,12 0,120 q' = 0,200
Сумма +^- = 2 2 1,00 2,200 1,00
W f при р = 0,90 fw Следующее поколение
АА 2 -у (0,81)+ у-(0,90) = 0,855 1,710 p' = 0,8894
Аа 4 -у (0,18) 0,090 0,360
аа 1 -у (0,01)+ -у (0,10) = 0,055 0,055 q' = 0,1106
Сумма — + — = 2 2 1,00 2,125 1,000
ОТБОР (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
423
Учитывая, что и Дрг=рг (юг —w)/w), произведем соответст-
вующую подстановку._М.ы увидим, что первый член равен 22рг(юг —
—w)wt /w=2QIw=ol/w, а второй равен Z=SS(Api) (Др3-)юг;, т. е. мы
опять приходим к (27).
8. Для данных w.—2, 4, 1 и Р — рассчитайте по формулам (38)
и (40) значения рп, pw, Pf и среднюю приспособленность популяции с
инбридингом в этих точках так, как это сделано в табл. 22.5. Для под-
тверждения устойчивости равновесия рассмотрите случай Про-
ведите подобный расчет для w=2, 3, 1 и F=—.
ГЛАВА 23
Отбор: два гена
В двух предыдущих главах, посвященных отбору, мы рассматри-
вали однолокусную систему, поэтому термины ген и гамета представ-
ляли собой синонимы. В данной главе мы будем иметь дело с двумя
генами в гамете, такими, как один локус у автотетраплоидов или два
локуса у диплоидов. Согласно гл. 8 и 10, в отсутствие отбора в стацио-
нарном состоянии распределение двух генов в гаметах случайно; если
же случайное распределение почему-либо нарушено, то в панмиктиче-
ской популяции оно очень быстро восстановится. Отбор обычно нару-
шает процесс случайного распределения генов по гаметам. Это новое
явление, не встречавшееся нам ранее, когда мы рассматривали единич-
ный локус диплоидной популяции. По сравнению с двухлокусной си-
стемой количество работ, посвященных проблемам отбора у тетрапло-
идов, и интерес к ним весьма ограничены; поскольку оба эти случая
математически описываются сходным образом, мы начнем с краткого
рассмотрения тетраплоидов, что послужит введением в проблемы, воз-
никающие при анализе двухлокусной системы.
§ 1. ПРОСТЕЙШИЙ ТИП ОТБОРА У ТЕТРАПЛОИДОВ
Пусть, как и в гл. 8, х, 2у, z — частоты гамет (АА), (Аа) и (аа)
соответственно. Рассмотрим следующий тип отбора пяти тетраплоид-
ных генотипов:
Генотип АААА АААа ААаа Аааа аааа
Частота f X2 4ху 4у2 + 2 хг 4уг г2 fn
Приспособлен- 1 1+ft 1 1 1
НОСТЬ W
(здесь h — положительная величина). Средняя (относительная) при-
способленность равна W='SfW—l + 4hxy. Используя свойства хромо-
сомной сегрегации [гл. 8, (1)], мы получим новые частоты гамет после
отбора. Например, частота гаметы (АА) будет равна
х2 + ~ (1 + h) 4ху + -у (4z/2 + 2хг)
х' =-----------------------------------------------
1 4- 4hxy
(2)
Аналогичные соотношения имеют место для 2у' и z'. Упростив выра-
жения и опустив при частотах гамет штрих, получаем условия равно-
весия
2
(1 + 4hxy) х = х —— (хг — у2) Ц- 2hxy,
ОТБОР: ДВА ГЕНА
425
(1 + 4hxy) 2у = 2у + — (xz — у2) + 2hxy,
3
(1 + 4hxy) z ~ z — (xz — у2).
(3)
Пусть здесь, как и в гл. 8,
d==
= xz — у2.
(4)
(5)
х у
У 2
Тогда из уравнений (3) находим
d = 3hxy(\—2х), 2d = 3hxy(4y—1), d = —Ghxyz.
Из последнего выражения видно, что d — отрицательная величина; из
первых двух уравнений следует, что 2(1—2x)=4z/—1. Значит, равно-
весные частоты генов Айа равны
। 3 , 1
х + У = р = — , y + z = q = —
4 4
(6)
и не зависят от h при условии, что h^=0. Сами же значения х, 2у, z
3 1
зависят от h. Подставив в любое из выражений (5) х =-------у, z —-----
4 4
3
—у (при этом d = —-—у), получим кубическое уравнение относительно
16
неизвестного у. Если, например, h= 1, это уравнение будет иметь вид
96г/3 — 96г/2 + 2у + 3 = 0. (7)
Его приближенное решение z/=0,21293. Два других корня не имеют
генетического смысла: один из них отрицательный, а второй дает ра-
венство 2у= 1,885. Таким образом, стационарные частоты гамет равны
х у\ /0,53707 0,21293 \ /оч
(8)
[у z) = \0,21293 0,03707 /, d--— 0,02540.
р q 0,75000 0,25000
Даже из такого простого примера можно сделать несколько интерес-
ных выводов. Во-первых, отметим, что стационарные состояния долж-
ны выражаться через частоты гамет, а не через частоты генов. В рас-
смотренном примере при любом /г>0 популяция находится в стацио-
3 1
нарном состоянии с р—— и о =; в то же время каждое конкретное
4 4
значение h приводит к своему кубическому уравнению относительно у,
из которого определяются частоты гамет. Во-вторых, величина d =
=xz—у2 в отсутствие отбора равна нулю. В нашем примере под дав-
лением отбора в стационарном состоянии d=—0,0254. Такое состояние
можно назвать состоянием постоянного «неравновесия». В-третьих,
полученное в этом примере состояние равновесия устойчиво. Хотя тер-
мин «гетерозигота» в применении его к тетраплоидным генотипам (А3а,
А2а2, Аа3) неоднозначен, отбор типа (1), очевидно, соответствует
случаю слабо выраженного преимущества гетерозигот по приспособ-
ленности. Примеры такого соответствия можно найти у Ли [393].
Возникает вопрос, не вызвано ли отчасти состояние стационарного
неравновесия (d=^0) асимметрией отбора по типу (1). Чтобы ответить
на него, рассмотрим следующую симметричную схему для пяти гено-
типов:
W: 1, 1, 2. 1, 1.
(9)
28—322
426
ГЛАВА 23
Рассуждая точно так же, как и раньше, мы найдем, что в стационар-
ном состоянии и, таким образом, x+y = z+y=p = q= Средняя
приспособленность W= l-{-2xz+4y2 = 1+2^-------У^ +^У2- Выписав ре-
куррентные соотношения и положив у' = у, мы получим
36z/3 — 24г/2 + Пу — 2 = 0 (10)
и
х у\ /0,2181 0,2819 \
у 2^ = ^0,2819 0,2181 ) , d = — 0,0319.
р q 0,5000 0,5000
Это стационарное состояние устойчиво. Здесь опять d=#0. Следова-
тельно, случайное комбинирование генов в гаметах предотвращено
именно давлением отбора.
§ 2. СИММЕТРИЧНЫЙ ОТБОР У ТЕТРАПЛОИДОВ
В общем случае относительные приспособленности генотипов Л4,
А3а, А2а2, Аа3, а4 различны— W4, W3, №2, Wi и И70. Никаких серьезных
исследований этого общего случая до сих пор не существует, и пока
мы ограничимся рассмотрением отбора симметричного типа, когда
W4 = Wo и W3 = Wi. (Аналогичная ситуация имеет место и в случае
двух локусов.) Итак, рассмотрим следующую популяцию:
Генотип А3а А2а2 Аа3 а4
f х2 4ху 4г/2 + 2xz 4yz г2
W Fo W,. Г2 Wi Го
(11)
Считая, как и прежде, что сегрегация хромосом происходит случайным
образом, мы получим рекуррентные соотношения
Wx' = xW0 + 2ху^\ + -у- (2у2 + х2) W2,
W2y' = 2xyW1 + — (2y2 + xz)W2 + 2yzW1, (12)
3
Wz'= — (2z/2 + xz)r2 + 2yzlF1 + 22r0,
3
в которых W=2,fW. Чтобы не пользоваться дробными числами, Пар-
сонс [497] принял W2 равным 1, а Ли [393] —3. Здесь мы для общно-
сти не придаем W2 никакого конкретного численного значения. Чтобы
найти состояния равновесия, положим х'=х и т. д. и рассмотрим от-
ношение
х = x2W0 + 2xyWv + (2у2 + xz) W2/3 ,j„
г z2W0 + 2yzW1 + (2y2 + xz)W2/3 ' 1 '
Упростив его, получим
(x — z)xzW0 = (x — z)(2y3 + xz)W2/3. (14)
При этом два члена, содержащие Wi, взаимно уничтожились. Из урав-
нения (14) видно, что существуют два различных типа стационарных
состояний (точек): одно из них, для которого x=z, называется симмет-
ричным, соответствующая точка называется центральной точкой ста-
ционарности; два других, удовлетворяющих уравнению хгИ70= (2г/2-!-
ОТБОР: ДВА ГЕНА
427
+xz)U72/3, называются асимметричными (х=#г); им соответствуют
две асимметричные стационарные точки. Естественно ожидать, что
симметричное решение существует, так как мы рассматриваем отбор
симметричного типа. Найти его не составляет труда. Поскольку x=z,
ху = zу = р ~ q =,
(1 \ 2 1
— — у\ = -у + %У2
2/4
И
W = 2х2Ц70 + 8xyW1 + 2 (2г/2 + хг) W2 =
= 2^(Го-4Г1+ЗГ2)-2г/(Го-2Г1 + Г2) + ^-(Го + Т172). (15)
Подставив все эти выражения во второе из уравнений (12) при y'=yvL
упростив соотношение, мы получим кубическое уравнение относитель-
но у.
4£3z/3-4£2z/2+£1z/+(4z/-l)U72/3 = 0, (16)
где
Ез^Го^и^ + ЗГ,,
£2= Ц70 —31Fi + 2^2,
£1=1^0 — 21^1+1^2
представляют собой линейные контрасты для относительных приспо-
собленностей. Величину у для любого данного набора W можно найти,
решив (16) и затем приняв х=з= -у. Например, для симметричного
отбора типа (9), когда U70=U7i = l и 1¥72=2, кубическое уравнение
(16) сведется к (10), что даст г/=0,2819. Вследствие симметрии отбора
симметричное решение (x==z) существует всегда и может быть как
устойчивым, так и неустойчивым. Хотя кубическое уравнение имеет
три корня, из всех решений уравнения (16) только одно будет иметь
генетический смысл. Соответствующие примеры мы рассмотрим после
того, как найдем асимметричные (х+=з) решения.
§ 3. АСИММЕТРИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Вернемся к общему условию стационарности (14), выведенному
для симметричного отбора (11). Предположим теперь, что x+=z. Тогда
условие стационарности примет вид
ЗхгЦ70 = (2г/2 + хг) Ц7г, (17)
хг(ЗГ0 —И72) = 2г/2И72. (17')
Для существования асимметричного решения необходимо, чтобы вы-
полнялось неравенство
31J70>JJ72,
поскольку обе части (17') должны быть положительными. Подставив
(17), а также xzl2y=yWs/ (3W0—И72) и х+г=1—2у в первые два ре-
куррентных уравнения (12), заменив X' на х и у' на у и упростив выра-
жения, получим
Ц7 == (1 — 2^/) Ц70 + 2г/ТГх,
28*
428
ГЛАВА 23
r==(l-2z/)H71 + -|^. (18)
OlV0 — W 2
Приравнивая правые части этих двух уравнений, имеем
Ъу [- Го) + fwx - - Wo. (19)
L \ *^"0 — "2/J
Чтобы 2г/ было положительным числом, меньшим 1, величины (ITi—
Ц70) и Wt—2U^oW2/(ЗИ^о—W2) должны быть обе положительными или
отрицательными аналогично случаю с одним локусом диплоидной попу-
ляции (гл. 21). Предположим теперь, что Wo. Тогда должно вы-
полняться неравенство
W > т. е> Зя? > W h + 2^!’.'), (20s)
3F0 — W2 \ }
Это неравенство уточняет основное условие 31Fo>1F2. Подобным обра-
зом, если I^jClFo, необходимое условие будет иметь вид
ЗГ0<1Г2(1 +-^г-К (20и)
Можно показать, что равновесие при условии (20s) устойчиво, а при
условии (20п) —неустойчиво. Пусть, например, в (20s) I¥71=2Wzo; тог-
да приспособленностям
U70:U7i;U72 = 2:4:3 — 6
(3—б — величина, меньшая 3) будут соответствовать устойчивые
асимметричные стационарные точки. Асимметричные точки всегда пар-
ны, так как условие (17) симметрично относительно х и z. Они лежат
на параболе (31Г0—1Г2)xz=2W2y2 (17') внутри координатного тре-
угольника.
«Тривиальные» стационарные точки (х, 2у, z) = (l; 0; 0) или (0; 0;
1), которые мы назовем угловыми точками, могут быть как устойчивы-
ми, так и неустойчивыми в зависимости от устойчивости других ста-
ционарных точек. Устойчивые и неустойчивые стационарные точки
должны чередоваться — две соседние точки не могут быть одновремен-
но устойчивыми или неустойчивыми. Таким образом, условия устойчи-
вости тривиального равновесия являются условиями для неустойчиво-
сти асимметричных точек, если они существуют, или же условиями
Таблица 23.1
Свойства стационарных состояний для популяций тетраплоидов
(по Парсонсу [497], с изменениями)
Относительные Г приспособленности Пример Точки стационарности
Го Fj Г2 Ft Го угловая асимметричная центральная
3 12 13 Устойчивая Неустойчивая
ЗГо<1₽’2>1171 Г0<Г2<Г1 1 2 4 2 1 2 3 4 3 2 1 3 2 3 1 Неустойчивая » » • • • Неустойчивая Устойчивая »
^>^>1^2 ^<^<^2, но ЗГ0>Г2 2 3 13 2 2 13 12 Неустойчивая Устойчивая Устойчивая Неустойчивая Неустойчивая Устойчивая
ОТБОР: ДВА ГЕНА
429
неустойчивости центральной точки, когда асимметричных точек нет.
Независимое рассмотрение этих условий устойчивости приведено в
упр. 2. Все эти данные суммированы в табл. 23.1.
§ 4. ПРИМЕРЫ И ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
Рассмотрим простую схему отбора:
Генотип А4 А3 а А2а2 Аа3 а4
Приспособленность 41214
Отбор по такой схеме представляет собой отбор первого типа из
табл. 23.1. Отметим, что 1¥72=2 не является ни наибольшим, ни наи-
меньшим коэффициентом приспособленности. В соответствии с усло-
Рис. 23.1. Отбор у автотетраплоидов: 1Г=4, 1, 2, 1, 4.
Центральная точка, обозначенная кружком, неустойчива и достигается только в том случае, если
популяционная точка лежит на центральной вертикальной прямой (x=z). Популяция, расположен-
ная слева от центральной прямой, будет стремиться к аа, а популяция, расположенная справа, —
к АА, двум устойчивым точкам.
виями (20) никаких асимметричных стационарных точек здесь не су-
ществует, поэтому с помощью кубического уравнения (16) будем
искать центральную точку.
£3 = 4 —4 + 6 = 6; Е2 = 4 —3 + 4 = 5; £'1 = 4 —2+2 = 4.
36г/3 —30z/2 + Юг/—1 =0;
у =1/6; 2г/=1/3; х = г=1/3.
Два других корня этого кубического уравнения комплексные. Стацио-
нарная точка (1/3; 1,3; 1/3) неустойчива (рис. 23.1). Она может быть
достигнута только в том случае, когда в исходной популяции x—z. Во
всех остальных случаях популяция будет приближаться к устойчивым
угловым точкам (1; 0; 0) или (0; 0; 1) в зависимости от того, каково
исходное неравенство: х~>г или х<г. Поскольку 1FO=4 — наибольшая
из приспособленностей, отбор рассматриваемого типа по существу на-
правлен против гетерозигот.
430
ГЛАВА 23
В качестве второго примера рассмотрим более сложную схему от-
бора:
Генотип Л4 А3а А2 а2 Аа3 а*
Приспособленность 2 8 18 2
Вначале найдем симметричную (x=z) стационарную точку, так как
она существует всегда. Уравнение (16) в этом случае примет вид
— 324z/3 + 240г/2 — ЗЪу -г- 1 = 0,
2у = 0,4845, х = г = 0,2577.
Существует три нетривиальных стационарных состояния: центральная точка (0,2577; 0,4845; 0,2577)
неустойчива и может быть достигнута только из популяционных точек, лежащих на центральной
вертикали; две боковые точки (0,5046; 0,4545; 0,0410) и (0,0410; 0,4545; 0,5045) устойчивы. Стрелками
показаны пути приближения к устойчивым точкам из различных исходных состояний.
Чтобы найти асимметричные решения, сначала определим из уравне-
ния (19) 2у.
2у [(8 — 2) + (8 — 4/5)] = 8 — 2,
2у = 5/11 = 0,454545, х + г = 6/11 = 0,545455.
Из (17') получаем
xz(6 — 1) = 2г/2 = (2г/)2/2, 4xz= 10/121.
Из двух новых уравнений, х+з=6/11 и 4xz=10/121, легко найти х и z:
/ I 1 л 36— 10 26
(х — Z 2 = (х + г)2 — 4хг =-------=-------,
7 121 121
х — Z = ± 5,0990/11 = ± 0,463547,
х = 0,5045, г — 0,0410 или х = 0,0410, г = 0,5045.
Рассмотренная схема отбора (И71>Ц70>Ц72) соответствует первому
из условий (20) и пятому типу отбора из табл. 23.1. Центральная и уг-
ловые точки неустойчивы, а две боковые — устойчивы. Характер при-
ближения к устойчивым состояниям иллюстрирует рис. 23.2.
ОТБОР: ДВА ГЕНА
431
Представляет интерес частный случай, когда И70=Ц72. Схема сим-
метричного отбора включает только две 'различающиеся приспособ-
ленности:
Wo Wo Го
В таком случае центральной стационарной точкой, согласно (16), всег-
да будет
2___1^
4 4
]_
4 4
d= хг — У2=0,
что является также решением уравнений (17) и (19). Другими слова-
ми, две боковые точки совпадают с центральной. Когда Wi, на-
пример при отборе по схеме (3, 1, 3, 1, 3), угловые точки будут устой-
чивыми, а центральная — неустойчивой. Когда например при
отборе типа (1, 3, 1, 3, 1), центральная точка устойчива, а угловые —
неустойчивы.
И наконец, отметим одно существенное различие между свойства-
ми отбора у диплоидов и тетраплоидов. Напомним, что в первом слу-
чае преобразование величин приспособленности w*=a-\-bx^0 не
сказывается на окончательном равновесном значении частоты гена.
У тетраплоидов, как видно из следующих примеров, в которых 1F* =
= —2, это не так.
Приспособленность генотипов Стационарная частота гамет
IFo 1F3 Wo X 2У г d
2 3 4 3 2 0,2244 0,5512 0,2244 —0,0256
0 1 2 1 0 0,1956 0,6088 0,1956 —0,0544
Чем больше различие в отборе, тем больше отклонение (d) от того со-
стояния, при котором осуществляется случайное комбинирование генов.
§ 5. ДВА ЛОКУСА; СИММЕТРИЧНЫЙ ОТБОР
Число работ, посвященных отбору по двум локусам, и интерес к
этому вопросу намного больше, чем к отбору у тетраплоидов, поскольку
многофакторное наследование представляет важную область генетики.
Литература по этому вопросу становится все более и более обширной,
и изложить на нескольких страницах все известные на сегодня данные
невозможно; поэтому нижесказанное следует рассматривать только как
введение в предмет. За последние годы появился ряд книг, посвящен-
ных специальным вопросам [89, 138, 317, 703], и читатель, ознакомив-
шись с некоторыми общими принципами и основными результатами,
может с их помощью изучить этот предмет более глубоко. Предпола-
гается, что со свойствами случайного скрещивания в случае двух локу-
сов (гл. 10) читатель уже знаком. Для удобства мы будем обозначать
частоты гамет не через gIb g13, g3b g33 (гл. 10), а через xb x2, x3, x4
соответственно. Частоты гамет и генотипов будут теперь записываться
так:
432
ГЛАВА 23
В ь
х = хЛр
а \*з *4/ Q
и v
ВВ Bb bb
АА / 2х, х2 - \ Р2
f ~ Аа I 2%х х3 2 (ххх4 + x2xg) 2х,х4 I 2pq
аа \ 2х3х4 х^ / q2
u2 Чис у2 1
В следующих параграфах мы будем постоянно пользоваться этими вы-
ражениями.
Схема I
/Го Г2 ГД /п0
I W3 Г4 Г31 ос I с
\ГХ Г2 wj \аг
b аЛ /1— а0
lc I = I 1 — у
b aj \1 — ах
1 — аД
1 —Y I
1 — а0/
(a b а\ [а3 b аЛ
с 1 с I | b 1 b I Схема III
a b а) \а2 b ай/
'aba
b 1 Ъ
aba
Схема IV
Рис. 23.3. Различные схемы симметричного отбора для девяти генотипов по двум ауто-
сомным локусам.
Схема I является общей симметричной схемой; ниже показаны три ее варианта. Используемая в ле-
вой части верхней строки система обозначений (через W) является наиболее общей; если мы поло-
жим №4=1, то получим схему, приведенную вверху в центре; если мы положим а0=1—а0 и т. д.,
то получим схему, приведенную вверху справа. Все другие типы представляют собой частные
случаи схемы I. Когда аов^1=а, мы получаем схему II, а когда Ь — с, приходим к схеме III.
Если ao=ai==a н Ь = с, получается схема IV.
В наиболее общем случае каждый из девяти генотипов имеет свою
величину относительной приспособленности, из которых восемь незави-
симы. Чтобы уменьшить число независимых параметров, мы ограни-
чимся рассмотрением лишь некоторых схем симметричного отбора,
аналогичных ситуации с автотетраплоидами. Наиболее общая среди
них —схема I (рис. 23.3), содержащая пять различных приспособлен-
ностей [28], одну из которых можно положить равной единице (или
любой другой произвольной константе). Для дальнейшего упрощения
можно принять a0=ai=a, в результате чего мы получим схему II
[352] или, положив Ь = с, прийти к схеме III [30]. К частным случаям
схемы I относится также ряд других вариантов отбора [293, 333, 695].
Будем считать а0, щ, и у .положительными числами, меньшими 1.
Пусть R — доля рекомбинантов по этим двум локусам, а (1—7?) —
доля некроссоверных форм. Таким образом, двойная гетерозигота
ОТБОР: ДВА ГЕНА
433
Ab/аВ будет продуцировать гаметы АВ, Ab, аВ, ab в пропорции
-^-(1——R),~R. Если R=—, то сцепление между локусами
отсутствует.
При анализе отбора следует прежде всего выписать рекуррентные
соотношения для частот гамет. Здесь мы приведем такие соотношения
для схемы I, из которых, объединив отдельные члены, можно будет за-
тем легко вывести различные частные случаи. Из схемы I и выражения
для частоты генотипа (22) видно, что средняя приспособленность (или
«суммарная» приспособленность после отбора) равна
W = «0 (х? + х%) + «1 (хг + Хз) +
+ 2b (ххх2 + х3х4) + 2с (хгх9 + х2х4) + 2 (ххх4 + х2х3). (23)
Частота гаметы АВ после отбора равна х' , причем
Wx’i = aoxi + bx4x2 + сх4х3 + Ххх4 (1 —R) + Rx2xs.
Аналогичным образом записываются выражения для частот трех дру-
гих гамет. Пусть
D =
Xi х2
Хз Х4
XjX4 Х2Х3
(24)
есть мера отклонения частот гамет от ожидаемых при случайном ком-
бинировании генов (гл. 10). Используя (24), получим четыре рекур-
рентных соотношения:
Wx’. = апх? + Ьх.х., + сх.х^ + х.х, — RD,
1 U i 1 л 1 J 1 *
Wx2 = axx\ + bxtx2 + cx2x4 + x2x3 4- RD,
Wx3 = cijXl + bx3x4 + cxxx3 + x2x3 + RD, (25)
Wx4 = aox% + bx3x4 + cx2 x4 + x.tx4 — RD.
Сумма этих четырех выражений равна W из (23).
Заметим, что схема I приведена с использованием трех систем обо-
значений. Каждая из них имеет свои преимущества и свои недостатки;
на практике все три применяются одинаково часто. Если мы вместо
«о подставим (1—а0) и т. д., то средняя приспособленность будет
= 1 — “о И + Х1) — “1 (Х1 + Х1) — 20 (Х1Х2 + X3Xi) —
— 2? (ххх3 + х2х4), (23')
а четыре рекуррентных соотношения примут вид
Wx\ = хх -— аох% — х2 — уху х3 — RD,
Wx2 = х2 — ау х| — pXj х2 — ух2 х4 + RD,
Wx'3 = х3—ауХ23 — $х3х4 — уХуХ3 + RD, (25')
Wx'4 = х4 — а0 х\ — рх3 х4 — ух2 х4 — RD.
Сумма этих четырех выражений равна W из (23'). При равновесии
Ху —х. Поэтому, опустив штрих при х в левой части (25), мы получим
уравнение, позволяющее найти положение равновесия. Следующая за-
дача— найти равновесные значения х, т. е. решить эти уравнения от-
носительно х.
434
ГЛАВА 23
§ 6. СИММЕТРИЧНОЕ РАВНОВЕСИЕ
Далее мы всюду будем применять уравнения (25) без знака
«штрих». Аналогично случаю с тетраплоидами, для диплоидов мы име-
ем стационарные состояния (равновесные значения частот гамет) двух
типов: симметричное и несимметричное. Найдем сначала симметричные
решения. Вычитая попарно выражения (25), получим
— +) =«о(Х1 — *1) +&(А*2 —*3*4) + С(^1Х3 —Х2Х4)>
W (х2 — х3) = «! (х2 * —• х|) + b (х1 х2 — х3 х4) + с (х2 х4 — Х1 х3). (26)
Очевидно,
хг = х4 и х2 = х3. (27)
Тогда из (21) имеем
Xi + Х2 = ха + Х4 = р = q = -у
и
. , 1
Х1 + х3 = х2 + х4 = и = V = —.
Стационарные состояния, которые отвечают решениям, полученным при
данных условиях, называют —
1 л.
х2=х3= ——х, по формуле
соответствующих частот при
D =
симметричными. Положив xi=x4=x и
(24) найдем отклонение частот
случайной комбинации генов.
гамет от
Х1
Х3
х3
Xi
1
--------X
2
1
= х —----
4
(28)
х
1
— — X
2
х
Поскольку Sx=l, в принципе существуют три независимых неизвест-
ных, которые следует найти. Теперь, имея в виду, что Xi=x4 и х2=х3,
остается определить только одно неизвестное (х). Подставив в (23)
1
Xi=x4=x и %2=Яз=— —х, получим следующее выражение для сред-
ней приспособленности:
W = 2а0х2 + 2ах —- xj +4&х -------xj +
+4сх ------х) + 2х2 + 2 ----xj .
Сгруппировав члены, будем иметь
W = 2 (Ео + Ег) х* - 2Е1Х + -L(a1+1), (29)
где
Ео = «0— b— с + 1, Е1 = а1 — b — с + 1. (30)
Произведя те же самые подстановки в первое (или любое другое) из
уравнений (25) и используя (29), получим
W = я0х2 + &х f—---х] + сх (—----х'1 + х2 — R (х-— 'j,
\2 / \2 / \ 4/
2 (Ео + E1)xs- (Ео + 2Ej) Х2+ 4- + R (х- 4 W <31 >
2 \ 4 /
ОТБОР: ДВА ГЕНА
435
'из которого можно найти х, лежащее в интервале допустимых значе-
ний 0<х<—. Таким образом, для того чтобы найти симметричные
стационарные состояния, надо решить кубическое уравнение. В общем
случае выражения для х в яНном виде не существует, однако для каж-
дого конкретного примера совсем нетрудно найти численные значения
х, удовлетворяющие уравнению (31).
Это кубическое уравнение всегда будет иметь решение, лежащее в
интервале ^0, а при определенных условиях таких решений может
быть два или три. Чтобы выяснить, сколько в каждом конкретном слу-
чае существует допустимых решений (одно, два или три), можно вос-
пользоваться тем-же графическим методом, который мы уже применя-
ли при изучении отбора с постоянными и переменными компонентами
приспособленности (гл. 22, § 8; см. также [393]). Первые три члена вы-
ражения (31) определяются схемой отбора (Ео и Ej), а последний за-
висит от силы сцепления. Пусть
S (х) = 2 (Ео + Ех) Xs - (Ео + 2EJ х2 + -j- Е1Х=
~ х (х-[2 (Ео + Е])х—EJ, (32)
Тогда уравнение (31) примет вид S(x)=L(x). Теперь, построив кри-
вую S(x) и прямую L(x), по точке их пересечения найдем решение это-
го уравнения. Если кривые пересекаются в одной точке, существует
только одно решение (31), если таких точек три, решений тоже будет
три. Отметим, что при х=0, х~и x=Ei/2(E0-t-E1) 8(х)=0. Преж-
де чем продолжать обсуждение дальше, рассмотрим какой-нибудь при-
мер, поскольку ряд свойств решений уравнения (32) можно получить
прямо из таких графиков. Пусть мы имеем следующую схему отбора:
/0,7 0,5 0,9\ Ео = 1,7 —1,0= 0,7,
— I 0,5 1,0 0,5 1; Ех = 1,9 — 1,0 = 0,9.
\0,9 0,5 0,7/ Ео + Ег = 1,6, Ео + 2Е± = 2,5.
Предположим далее, что имеет место тесное сцепление (R=0,04). Тог-
да (32) примет вид
5 (х) = 3,2х® — 2,5х2 + 0,45х,
L (х) = 0,04 ---х) = 0,01 - 0,04х. (32')
Графически эти зависимости представлены в левой части рис. 23.4. От-
метим, что кривая S(x) пересекает ось абсцисс в точке х=Ех/2(Ео+
4-E'i) =0,9/3,2 = 0,28; прямая пересекает эту ось в точке х=0,25. Кри-
вая и прямая пересекаются в точках х = 0,0230; 0,2893; 0,4689. Таким
образом, получаем следующие три набора симметричных стационарных
частот гамет (при —0,04):
_ /0,0230 0,4770) (0,2893 0,2107) /0,4689 0,0311)
х~ (0,4770 0,0230)’ (0,2107 0,2893)’ (о.ОЗН 0,4689)’
устойчивое неустойчивое устойчивое
Из рис. 23.4 ясно, что для того, чтобы прямая L(x)=E^---xj пересе-
кала кривую S (х) в трех точках, Е должно быть достаточно мало. С во-
436
ГЛАВА 23
врастанием R прямая Цх) поворачивается по часовой стрелке относи-
тельно фиксированной точки х—0,25. При некотором значении R две
точки пересечения совпадут друг с другом и, таким образом, уравнение
(31) будет иметь два различных решения, одним из которых является
кратный корень (правая часть рис. 23.4). При значениях R, больших
этой величины, прямая Цх) пересекает S(x) только в одной точке. Та-
ким образом, при слабом сцеплении существует только одно имеющее
генетический смысл решение кубического уравнения (31).
Рис. 23.4. Симметричное равновесие для симметричного отбора по двум аутосомным
локусам.
Эффект отбора задается кубическим уравнением (32) и в численной форме—(32').
S (х) = х (х — —) [2 (£„+£,) х — £,] = 3,2х3 — 2,5х2 + 0,45х.
Кривая пересекает ось абсцисс в точке xr=:£'i/2(£'o+£'i) = O,28. Влияние сцепления представлено пря-
мой (график слева)
Цх) =R (-1- —= 0,04 (0,25 — х) = 0,01 — 0,04х.
Эта прямая пересекает, ось абсцисс в точке х=0,25. Точки пересечения S(x) и L(x) дают стационар-
ные значения х, поскольку в этих точках S(x)=L(x), откуда и получается уравнение (31). На ле-
вом графике (/?=0,04) точек пересечения три — х=0,0230; 0,2893 и 0,4689; они являются стационарны-
ми значениями частот гамет. На правом графике (/?=0,1157) только две точки пересечения: х—0,0718
и 0,3547, так как в данном случае прямая является касательной к кривой в этой последней точке.
Если продолжать поворачивать прямую по часовой стрелке (/?>0,1157) вокруг фиксированной точ-
ки х=0,25, то прямая пересечет кривую только в одной точке.
Нетрудно найти те значения х и R, при которых прямая L(x) яв-
ляется касательной к правой части кривой S(x). Для нашего случая
кубическое уравнение S(x)=L(x) имеет вид
(I) 3,2х3 —2,5х2 + 0,45х =7?^-— х
Взяв производную от обеих частей, получим
(II) 9,6х2 — 5,Ох + 0,45 = - R.
Совместное решение этих двух уравнений относительно х и R дает по-
ложение точки касания и тангенс угла наклона касательной. Подставив
(II) в (I), получим новое кубическое уравнение
(III) 25,6х3 — 19,6х2 + 5х — 0,45 = 0,
ОТБОР: ДВА ГЕНА
437
имеющее кратный корень, приблизительно равный х=0,3547. Подста-
вив это значение в (II), мы получим 7?=0,1157. Таким образом, куби-
ческое уравнение
(IV) 3,2х3 — 2,5х2 + 0,45х-=0,1157(— — х
имеет два различных корня: кратный корень х=0,3547, при котором
тангенс угла наклона равен 0,1157, и х=0,0718. Эти свойства иллюстри-
рует правая часть рис. 23.4. При 7?>0,1157 существует только одно
симметричное стационарное состояние.
Форма кривой 3(х) определяется схемой отбора. В нашем примере
она имеет вид, изображенный на рис. 23.4, поскольку Ео и Ei больше 0.
Если хотя бы одна из этих величин отрицательна, то независимо от R
будет существовать только одно стационарное состояние.
Отметим, что приспособленности b и с всюду входят в виде суммы
(&+с), так что если мы положим & = с, это не повлечет за собой поте-
ри общности. Следовательно, рассуждение, проведенное в этом пара-
графе, и полученные результаты с таким же успехом можно применить
к схеме III [30] (рис. 23.3).
Из рис. 23.4 также видно, что когда R очень мало, т. е. когда пря-
мая L(x) почти горизонтальна, внутренняя точка пересечения
ся приблизительно там же, где кривая 3(х) пересекает ось
Тогда, согласно (32), равновесная величина х~ Е1/2(Е0-1-Е1).
гие точки — х — 0их~у . При малых R всегда существует
находит-
абсцисс.
Две дру-
одно или
два устойчивых симметричных равновесия. При больших R существует
только одно симметричное равновесие; оно может быть как устойчи-
вым, так и неустойчивым.
В частном случае, когда сумма E0+£i [т. е. коэффициент при х3 из
(31)] равна нулю, кубическое уравнение превращается в квадратное;
тогда существует только одно имеющее генетический смысл решение
(примечание 9).
§ 7. АСИММЕТРИЧНЫЕ РАВНОВЕСИЯ
Система уравнений (25) в зависимости от ограничений, налагае-
мых на х, может иметь и другие решения. Оставим одно из ограниче-
ний (27), сняв другое. Пусть, например, Хг = Хз, но Xi=#=*4- Состояния,
соответствующие этим решениям, называются асимметричными, или
полусимметричными. Чтобы выявить аналогию между этим случаем и
асимметричным равновесием у тетраплоидов и избавиться от индексов,
положим Xi=x, Xi=z и х2=х3 = «/, так что частоты гамет будут следу-
ющими:
/хх х2\ /х D = xz — y*. (33)
\*3 xj \у Z/
Ясно, что когда x=z, то для обоих локусов p = q= —; это равновесие
является симметричным, мы рассматривали его в предыдущем парагра-
фе. Если же x=j£=z, то частоты генов уже не будут равны 0,5 и для обоих
локусов останутся прежними (р, q). При наличии только одного огра-
ничения (х2=х3) существуют два неизвестных (Xi и х<), которые нуж-
но определить.
Вернемся еще раз к результатам, полученным для случая тетрапло-
идов. Чтобы найти равновесные значения х и г, найдем сначала равно-
весные значения их суммы ($) и произведения (f)
438
ГЛАВА 23
s = х + z, t = xz, (34)
а потом воспользуемся равенством
(x — z)2 = (x + z)2 — 4xz = s2 — 4/ > 0.
Тогда
x — z = ± Уs2 — 4t.
Так как
x + z = s,
то, складывая и вычитая обе части последних двух уравнений, получим
х = xt = {s ± |As2— 4/}, z = х4= -у {s + J/s2 — 4/ }
и
x2 = xs = y = -у(1 — s). (35)
Эти решения всегда существуют парами, поскольку взаимная замена
Xi и х4 никак не сказывается на s и t. Нахождение х и z сводится к оп-
ределению s и t. Для начала рассмотрим одно из уравнений (26)
W(x2 — х3) =ах (х2-х2) +Ь(х1х2 —х3х4) + с(х2х4 —XjX3).
При условии х2 = Хз=у и x^=z с использованием системы обозначений
(33) оно примет вид
0 = 0 +b(xy — yz) + c(yz — ху),
откуда
b = с. (36)
Таким образом, генотипы с одним гомозиготным и одним гетерозигот-
ным локусами имеют одинаковую приспособленность. Во всех последу-
ющих выражениях мы заменим с на Ь. Рассмотрим далее отношение
Xi/x4 при равновесии; из (25) следует
х _ а0х2 + 2Ьху + хг — RD
г а^г2 + 2Ьуг + xz — RD
Упростив выражение, получим [402]
(х — z) xz (1 — «0) = RD (х — z),
xz (1 — «0) = xza0 = RD = R(xz — у2), (37)
где 1—ao=ao есть разность между приспособленностями генотипов
АаВЬ и ААВВ (или aabb) (схема I, рис. 22.3). Решив (37), получим
‘ = «= ДЬг = ДЫ-дг)1- <38>
Чтобы t=xz было больше 0, необходимо, чтобы R было больше «о. Это
означает, что сцепление должно быть достаточно слабым (R велико),
или приспособленности двойной гетерозиготы АаВЬ и гомозигот ААВВ
и aabb приблизительно одинаковыми (ао мало). Так как RD = aoXZ, D
всегда положительно. Используя (37) и (38), получим
пл _ „„„ _ ,,2 п_ аоУ2
Г\1У — Л£<Лл ---- Ц , U ------
7?-а0 Я-«о
Теперь остается найти выражение для s=x-[-z. Это очень просто. Под-
(39)
ОТБОР: ДВА ГЕНА
439
ставляя в первое из условий равновесия (25) RD = (1—a0)xz и сокра-
щая х-Xi в обеих частях уравнения, получим
W = a0(x + z) + 2bt/.= a0s + b(l—s). (40)
Аналогичным образом, подставляя (39) во второе из уравнений (25) и
сокращая х2—у, находим
W = + b(x + z) + у + -^-у =
R — «о
= bs+L1 + i + -^-l(-L=^y (41)
L R — a0]\ 2 /
Приравнивая эти два выражения для W, мы получим линейное урав-
нение относительно s:
2a0s + 2b (1 — s) = 2bs + «x + 1 +
Rap
Отсюда
(1 — «)•
Я-а0]
s = gi + Raof(R — «о)
2 (а0 -&) + £]. + Ra0/(R - а0) ’
где, согласно (30), Ei = ai—2b-j-l, поскольку b=c. Равенство (42) пред-
ставляет собой выражение для s=x4-z=Xi4-%4 в явном виде. Подстав-
ляя его в (38), мы получим t=xz=XiX4. И наконец, подставляя s и t
в (35), мы получим стационарные значения Xi, х2, х3, х4. Имея в
что t задается (38), получим условие s2>4^ в виде
s2 > —4R /= —R (J _ s)2
R — a0 \ 2 / R—a0
/ s V > R j
\1 — s) R — a0
Это означает, что s>-^-, т- e- -Ч+х4>*2+хз-
Воспользуемся теперь системой обозначений а0— 1—а0=1—б, ai —
= 1—ai = l—а и Ь=1—р; тогда
Ег = — 2b + 1 = 2р — а
и окончательный результат (42) примет следующий вид [269]:
в J- R8
Р 2 К+ 2 (R —6)
20 — 6 — — a + —
2 2 (/? — 6)
Чтобы сделать рассмотрение вопросов устойчивости более доступным,
введем 0= — а—R8/2(R—б). Тогда (42') превращается в
Р-9
(42)
виду,
(43)
(42')
s =
(₽ —6)+(₽ —0)
Эта формула аналогична известному нам выражению для равновесия
в случае двух аллелей одного локуса. Чтобы s было больше 0, величины
(Р—б) и (р—0) должны иметь одинаковый знак. Кроме того, посколь-
ку s> ~, численное значение (р—0) должно быть больше, чем у (р—б).
Условия устойчивости всесторонне исследовали Карлин и Фельдман
[269]. Они получили, что при
(42")
(44)
440
ГЛАВА 23
т. е. когда (р—6) и (р—0) оба отрицательны, а последнее из них больше
по абсолютной величине, равновесие (42) устойчиво. Если переменить
знаки неравенства в (44) на обратные, то равновесие будет неустойчи-
вым.
Для примера
/0,7
^=0,5
\0,9
возьмем •
0,5 0,9
1,0 0,5 I;
0,5 0,7/
ту же схему отбора, что и раньше.
1,9—1,0 = 0,9,
2 (а0 — Ь) = 2 (0,7 — 0,5) = 0,4,
б = а0 = 1 — а0 = 0,3.
Поскольку для существования несимметричного равновесия требуется
выполнение неравенства 7?>а0=0,3, мы положим 7?=0,40, так что
R—ао=О,1О,
получаем
Яао=0,12, 7?ао/(Я—ао) =0,12/0,10 = 1,2. Тогда из (42)
! 0,9+1,2 .. о.
s = Xi + -+ =-------------= 0,84,
1 4 0,4 + 0,9+ 1,2
х2 = хэ = y (1 — 0,84) = 0,08,
а из (38)
Подстановка
. 0,40
t = ххх4 = — (0,08)2 = 0,0256,
]/s2 — 4/ = КО,7056 — 0,1024 = + 0,77666.
в (35) дает два состояния равновесия:
= /0,80833 0,08000\ /0,03167 0,08000\ .
Х\0,08000 0,03167/’ \0,08000 0,80833/’
Д=х1х4—х2х3=0,0192. Этот результат совпадает с (39), откуда D —
= а0у2/ (R—а0) = 0,3 (0,08) 2/0,10=0,0192.
Эти состояния равновесия неустойчивы, поскольку для данного
примера справедливо неравенство, обратное (44). С другой стороны,
если схема отбора имеет вид
/0,80 0,90 0,10\
№=(0,90 1,00 0,90 >
\0,10 0,90 0,80/
£х = 1,1 —1,8 = — 0,7,
2 (а0 — Ь) = 2 (0,8 — 0,9) = — 0,2,
б = а0 = 1 — а0 = + 0,2
и если, как и раньше, положить 7? = 0,40 и 0= -^-а—Яб/2(7?—б) =0,45—
—0,4(0,2)/2(0,4—0,2) =0,25, мы получим, что s = 0,60, / = 0,08, а два
состояния равновесия
/0,40 0,20\ /0,20 0,20\
\0,20 0,20/ \0,20 0,40/
устойчивы, поскольку 0 >б > р.
Возможно также существование подобной пары несимметричных
состояний равновесия при условиях Xi = %4, но Х2=+х.з- И наконец, воз-
можно равновесие наиболее общего типа при и Х2#=-+ [269]. При
соответствующих условиях может быть семь внутренних точек равнове-
сия: три симметричные и четыре несимметричные.
§ 8. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИММЕТРИЧНОГО ОТБОРА
Когда Г0=Г1, ситуация значительно упрощается; так, если при-
нять приспособленность двойной гетерозиготы за единицу, можно запи-
сать a0=ai = a и ao=ai = a. Это означает, что все четыре гомозиготы
ОТБОР: ДВА ГЕНА
441
(ААВВ, ААЬЬ, ааВВ, aabb) имеют одну и ту же приспособленность
(схема II, рис. 23.4). Этот вопрос исследован в работах [135, 352]. Ког-
да &У=с, никакого несимметричного равновесия типа Х2—х3, но Xi=/=X4
(или наоборот) не существует. Поэтому мы будем рассматривать толь-
ко симметричное равновесие (xi=x4 и Х2=Хд).
Соответствующие соотношения для этого частного случая легко
получить из уравнений § 6, приняв а0=«1=а. Два первых члена в вы-
ражении для W (23) можно объединить. Рекуррентные соотношения
(25) также становятся более симметричными. Выражения упрощаются
в основном благодаря соотношениям (30), которые принимают вид
Ео = Ег = Е — а — b — с + 1, (45)
так что основное кубическое уравнение (31) предстает в виде
4Ех3 — ЗЕх2 + — Ex + R(x-------Ц = 0,
2 \ 4 /
(х — -у) (4£х2 — 2Ех + 7?) = 0. (46)
Очевидно, что
х = -i-, D = 0 (47)
всегда будет решением уравнения независимо от знака и величины
эпистаза по отбору (selection epistasis) Е и доли кроссоверов R. Если
£ = 0, то х=-j- при данном типе отбора будет единственной внутренней
стационарной точкой. Чтобы найти две другие точки, решаем квадратное
уравнение
4£х2 —2£х + 7? = 0,
х = —— + —К 1 — 47?/£ = — ± D.
4 4 4
(48)
(49)
Чтобы решение такого типа существовало, необходимо, чтобы 4RIE
было больше 0 и меньше 1, а это значит, что знаменатель Е=а—b—с+
+ 1 должен быть положительным и превышать 47?. Следовательно, необ-
ходимыми условиями существования (49) будут
а + 1 >Ь + с и 7? < £/4. (50)
Если эти условия выполняются, то существуют три стационарных значе-
ния х. Теперь мы можем перейти к свойствам устойчивости этих трех
состояний.
Состояние х — — достигается за счет случайного распределения ге-
4
нов двух локусов; частота гаметы АВ равна произведению частот алле-
лей А и В, т. е.---—=— . Далее, интуитивно ясно, что для устойчиво-
2 2 4
сти в точке х= — сцепление должно быть слабым (т. е. R относительно
большим), что обеспечивает случайное комбинирование генов двух ло-
кусов и устраняет тем самым влияние, вызванное эпистазом. С другой
стороны, для точек х=— ±D как очень тесное сцепление (R мало), так
4
и слабое (7? велико, но меньше верхнего предела Е/4) может приводить
к устойчивому состоянию (математическая сторона вопроса рассмот-
рена в работе [135]). В табл. 23.2 приведены условия устойчивости для
442
ГЛАВА 23
трех точек. Таким образом, мы видим, что когда точка х=~ устойчива
(/?>£/4), две другие точки = не существуют. Более деталь-
но условия устойчивости этих последних точек рассмотрены в работах
[135, 269].
Таблица 23.2
Условия устойчивости симметричных решений при отборе
по схеме II (все двойные гомозиготы имеют одинаковую
приспособленность)
Точки Х= ~ :±: D 4 1 Точка х = —— 4
а+1>й+с R<E/4 R велико (но меньше верхнего предела) 1—a>fb—с| При малых R всегда устойчиво Ограничений нет R>E/4 1—а>|6—с|
Далее, если в дополнение к a0—ai=a еще и Ь — с, то разных при-
способленностей будет только три (схема IV, рис. 23.3). В этом случае
возможно существование всех четырех асимметричных равновесий. При
соответствующих условиях имеются семь равновесных точек — четыре
асимметричные и три симметричные. Картина в целом и точные условия
устойчивости выглядят весьма сложно. Всесторонне этот вопрос рас-
смотрен в работе [269].
§ 9. ДРУГИЕ СХЕМЫ ОТБОРА
Помимо схем, приведенных на рис. 23.3, был исследован ряд дру-
гих типов отбора. Кимура [293], к примеру, рассмотрел следующую си-
туацию:
/1 + s 1 +1 I — s\
W = 1 l+t 1 • (51)
\1 — s 1 -j- t 1 -j~ s J
Поскольку b^=c, асимметричного равновесия здесь не будет. Симме-
тричное равновесие устойчиво при R<Z (t2—s2)/4/(l-]-^).
Если схема отбора симметрична относительно диагонали, например
имеет вид
(ву0 w± w2\
w2 wr I. (52)
w2 Wj, wj
картина будет очень сходна с той, которая имеет место для автотетра-
плоидов при Xi=x, %4 = 2 и Х2 = х3=у. Тогда, поступая так же, как и в
случае с тетраплоидами, получим
wx = x2w0 + 4xywl + (4у2 + 2хг) ш2. (12)=(53)
Если провести такой же анализ, как и в случае двух локусов, то
wx = x2w0 + 2ХУ&! + [(1 — R) хг + ty2] w2. (54)
ОТБОР: ДВА ГЕНА
443
Эти два выражения при /? = 2/3 тождественны. Приведенная схема отбо-
ра аналогична также модели отбора на оптимум для двух локусов, ко-
торую рассмотрел Райт [693].
Тёрнер [625] изучал схемы отбора следующего типа:
(ai ai \
с 1 с I • (5^)
а2 &2 а2 /
Одно из частных решений имеет вид xi=X2=x и Хз=Х4=у, таким об-
разом, несмотря на существование эпистаза по отбору,
(х х \
1 1 ), £> = 0. (56)
----X -~х I
Полное решение и относительное значение отбора этого типа еще не
исследованы.
Когда приспособленность генотипа по двум локусам равна сумме
приспособленностей генотипов по отдельным локусам, говорят, что при-
способленность аддитивна. Пусть wt — приспособленность генотипов
(Л, a), a w't — приспособленность генотипов (В, Ь). Тогда
ВВ Bb bb
w'l ^2 w3
АА W! , f w1 + w[ + ^2 w1 4- w3
W = Аа W2 + w't W2 + ®2 w2 + w'3
аа \a>3 + w3 + w2 W3 + W3.
(57)
Умножая эти приспособленности на соответствующие частоты геноти-
пов (22) и объединяя члены (имея в виду, что +2х1х3+х^ =и2 и т. д.),
мы получим [138]
W = p2w{ + 2pqw2 + q2w3 + a2w\ + 2uvw2 + и2да'= wA + wB, (58)
где wA и wb — средние приспособленности для локусов (Л, а) и (В, Ь),
взятых по отдельности. В этом случае многие свойства отбора по одному
локусу присущи и отбору по двум локусам. Например, средняя приспо-
собленность по двум локусам (IT) при отборе монотонно возрастает, по-
скольку wa и wb для каждого локуса также возрастают (пока не до-
стигнут стационарного состояния). Условия, при которых средняя при-
способленность по двум локусам возрастает, всесторонне исследовал
Арунашалам [9].
Все схемы отбора (у тетраплоидов и в случае двух локусов), приве-
денные в этой главе, очень искусственны, и рассмотрение носит главным
образом теоретический характер. Вероятно, качественные познания, ко-
торые мы приобрели, разбирая такие модели, не менее важны, чем точ-
ные математические детали. Главный вывод состоит в следующем: даже
для популяций со случайным скрещиванием картина в случае двух ге-
нов очень сложна, и никакой четкой аналогии между свойствами отбора
по отдельному локусу и свойствами отбора по многим локусам провести
не удается.
Франклин и Левонтин [177], рассмотрев общую, близкую к
реальной ситуации модель влияния отбора на множество сегрегирую-
щих локусов с различной силой сцепления и с мультипликативной гете-
444
ГЛАВА 23
розисной приспособленностью, обнаружили существование многих ус-
тойчивых состояний равновесия при различных степенях корреляции
между генами в гамете или хромосоме. Они пришли к важному выво-
ду, что отбор действует на гаметы или на целые хромосомы как на еди-
ницы, состоящие из совокупностей коррелирующих генов. Авторы утвер-
ждают, что можно построить такую теорию популяционной генетики,
в которой отдельные локусы в явном виде не фигурируют, а рассматри-
ваются только целые хромосомы, их рекомбинационные свойства и влия-
ние гомозиготности по хромосомным сегментам различной длины. Та-
кая теория больше согласуется с экспериментальными данными, чем
теория, построенная с использованием частот генов.
§ 10. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛУЧАЕВ
МНОГИХ ЛОКУСОВ
Как мы видели, строгое рассмотрение отбора по двум локусам
весьма сложно и с ситуацией для одного локуса имеет лишь отдаленное
сходство. Однако когда различия в отборе малы и действие генов приб-
лизительно аддитивно, а сцепление если и существует, то слабое, частоты
девяти генотипов (22) не будут заметно отличаться от тех, которые при-
ведены в гл. 10, т. е. в любом поколении будут равны (р2-|-2р<7+<72)Х
X (w2+2wn+v2). При таких условиях хорошее приближение удается по-
лучить, рассматривая частоты генов двух локусов, а не частоты гамет.
Это значительно упрощает задачу, поскольку ситуация становится ана-
логична ситуации для одного локуса. Более того, такое приближение
можно обобщить и на любое число локусов. Если qi — частота гена i-ro
локуса, то изменение qi, обусловленное отбором, будет равно
(59)
2Г dq(
где W — средняя приспособленность популяции в целом (и, следова-
тельно, функция всех генных частот). Это классическое рассмотрение
вопросов полифакториального отбора. Выражение (59) говорит о том,
что теория адаптивной топографии Райта по-прежнему является хоро-
шим приближением при слабом отборе и слабом сцеплении или его от-
сутствии. Всесторонне этот вопрос рассмотрен в работе [703].
Аналогичным образом, при небольшом различии в отборе в случае
автотетраплоидов частоты генотипов не будут существенно отличаться
от членов разложения (p-\-q)4, приведенного в гл. 8. Здесь мы опять
можем рассматривать частоты генов, а не частоты гамет. Райт [684,
686] показал, что при слабом отборе в случае тетраплоидов формула
Д<7 = (60)
4 Г dq
по-прежнему справедлива. Эту формулу можно обобщить и на случай
2т-плоидных случайно скрещивающихся особей при малом различии
генотипов по приспособленности.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Кубическое уравнение (16) для симметричных состояний (x=z)
у тетраплоидов выражено через у. Не составляет труда получить экви-
валентное уравнение относительно х. Поскольку x=z и 2у=1—2х, бу-
дем иметь:
ОТБОР: ДВА ГЕНА
445
Генотип А* А3а А2а2 Аа3 а4
Частота X? 2х( 1 —2х) (1—2х)2+2х2 2х(1—2х) X2
Приспособленность Го rt W, Г: Го
W = 2х2Г0 + 4х (1 — 2х) Гх + (1 — 4х + 6х2) Г2=
= 2х2 (Го — 4ГХ + ЗГ2) + 4х (Гх — Г2) + W2.
Подставив это выражение в первое из рекуррентных уравнений (12)
при х'=х, получим
Wx = х2Г0 + х (1 — 2х) + — (1 — 4х 4- 6х2) W2.
6
После упрощения получим уравнение
2х® (Го — 4ГХ + ЗГ2) — х2 (Го — 6ГХ 4- 5Г2) —
— х(Гх — Г2)4-(4х— 1)Г2/6 = 0, (16х)
из которого можно найти стационарное значение х. Сделав подстановку
2х=1—2у, убедитесь в том, что (16х) сводится к (16).
2. Устойчивость угловых точек для популяции тетраплоидов. Рас-
смотрим угловую точку (х, 2у, z) = (l, 0, 0). Чтобы исследовать ее ло-
кальную устойчивость, введем небольшое возмущение в ее окрестности,
получив (1—б—е, б, е); б и е столь малы, что их квадратами и произведе-
ниями можно пренебречь и считать (1—б—е)2равным (1—26—2е) и т.д.
При случайном скрещивании популяция будет иметь следующий вид:
Л4 А3а A2az Аа3 сА
/4 1—26 —2s 26 2е 0 0
Г: Го Гх Г2 Гх Го
Так как 6 и е малы по сравнению с единицей, можно считать,
что Г=^ Го. Тогда общее рекуррентное уравнение (12) при 2г/' = 6' и z' =
= е' можно записать в виде
б'=6р-
\Г0
-8^
3 \г0
е' — 0 4——е
3
Характеристическим уравнением для этой системы будет
Гх
Го
о
о
с корнями Л1 = Г1/Го и %2 = Г2/ЗГ0. Чтобы угловая точка была устой-
чивой, обе % должны быть меньше единицы. Следовательно, условия-
ми устойчивости будут неравенства Г0>Г1 и ЗГ0>Г2. (Отметим,
что здесь мы применили тот же метод линеаризации, что и в прим. 5
гл. 22, касающемся множественных аллелей.)
3. Когда у тетраплоидов Го = Г2, равенство (х, 2г/, z)=^-,
удовлетворяет всем трем рекуррентным соотношениям (12). Для
кубического уравнения (16)
£8 = 4(ГО-ГХ), £2 = 3(Г0-Гх), £х = 2(Г0-Гх);
при у={А уравнение превращается в
4Е3у3 — 4Е^ 4- Егу = 0.
446
ГЛАВА 23
4. Покажите, что при 2W7o=21Fi+3W'2 центральной (симметрич-
ной) точкой равновесия будет , —j. Таким образом, все приве-
денные ниже схемы отбора имеют одну и ту же стационарную точку.
Указание: подставьте (х, 2у, г)-у-, -g-j в первые два уравнения
(12) и приравняйте их.
Л4 А3а А2а2 Ла3 а4
W 3 0 2 0 3
W 4 1 2 1 4
W 5 2 2 2 5
W 6 3 2 3 6
Центральная точка во всех случаях неустойчива, а концевые — устой-
чивы. Асимметричных стационарных точек нет.
5. Пусть относительные приспособленности пяти генотипов в по-
пуляции автотетраплоидов сО случайным скрещиванием равны
Генотип Л4 А3а А2а2 Аа3 а*
Приспособленность 2,6 1,3 3,0 1,3 2,6
Используя кубическое уравнение (16) для получения симметричного
решения и уравнения (17) и (19) —для получения асимметричных ре-
шений, покажите, что тремя стационарными точками будут
/0,2396 0,2604\
\0,2604 0,2396/
0,50 0,20 \ /0,10 0,20 \
0,20 0,10 / 1,0,20 0,50)
Проверьте их на устойчивость, используя условия, приведенные в
табл. 23.1.
6. Даже если читатель не склонен вникать в алгебраические тон-
кости, желательно, чтобы он умел решать простые задачи на отбор по
двум локусам. Пусть мы имеем отбор типа
/1 1 0\
аУ = ( 1 2 1-
\0 1 1/
Чтобы дополнительно упростить задачу, будем считать, что
т. е. два локуса не сцеплены. Тогда симметричные частоты гамет запи-
шутся в виде
/ 1 \
/ х------------х X
/ Ху Х2\ I 2 j 1
х = =1 1 I, D = x------.
\*з XJ I ---------х х I 4
\ 2 /
Выпишите четыре рекуррентные соотношения. Первое из них будет
wx\ = X2 + х1 х2 + Xj х3 + Xj х4 + х2 х3 = Xj + х2 х3.
Средняя приспособленность при равновесии равна
w = 2х2 + 8х {—---х) + 4 [х2 + ------xV) = 1 + 2х2.
\ 2 / I к 2 J j
ОТБОР: ДВА ГЕНА
447
Производя подстановку, мы получим состояние равновесия, соответст-
вующее корню кубического уравнения
wx — (1 + 2х2) х = х 4-1 —---х\,
2х3 — х2 4- х---— = 0.
Два корня комплексные, генетический смысл имеет корень х— 0,28492,
так что стационарные частоты гамет равны
Mi х2\ = /0,28492 0,21508\ D = 0,03492.
\х8 \0,21508 0,28492/
Итак, мы видим, что даже для несцепленных генов существует значе-
ние Z)=#0. Селективный эпистаз нарушил случайное комбинирование
генов.
7. Рассмотрим теперь схему отбора, представляющую собой зер-
кальное отображение предыдущей схемы,
/0 1 1
ау = 1 1 2 1
\1 1 0
по-прежнему предполагая, что ^=~. Производя те же выкладки, что
и раньше, мы получим, что равновесные частоты генов также будут
зеркальным отображением полученных в прим. 7 частот, a D будет
таким же по абсолютной величине и противоположно по знаку.
Mi х2\ /0,21508 0,28492\ п= о 03492
\х3 xj to,28492 0,21508/
8. Пусть в «двухлокусной» панмиктической популяции относи-
тельные приспособленности девяти генотипов будут следующими:
/1 1 1\
w - I 1 5 1 |;
\1 1 1/
R = 0,128, 1—7? = 0,872,
£=14-5—1 — 1=4.
Покажите, что решениями приведенного ниже кубического уравнения
будут три симметричные точки
Ц7х = х24-2х('-|- —х)4-5
0,872х2 + 0,128 f-M—x
где
W = 1 4- 8 Гх2 4- — xYl = 3 — 8х 4- 16х2.
Упростив выражение, получим
16х3 — 12х2 4- 2,64х — 0,16 = 0.
Проверьте следующие решения:
/0,25 0,25\
to,25 0,25/
/0,10 0,40\ /0,40 0,10\
to,40 0,10/ to.lO 0,40/
448
ГЛАВА 23
Существуют ли при данной схеме отбора какие-либо асимметричные
решения?
9. Рассмотрим частный случай, когда
Ео 4- Е1 — а0 + — 2Ь — 2с + 2 = О,
так что кубическое уравнение (31) превращается в квадратное
Х2Е±---------------------— xEt— r(x----—'j = 0.
2 4 /
В этом случае существует только одно имеющее смысл решение,
а именно:
в предположении, что Ei положительно. Другой корень — х> —. Отме-
тим, что если E0-\-E\ = Q, то
2ЕХ = 2а1 — 2Ь — 2с 4- 2 = 2аг — (а0 ~г аг) — —
и решение принимает вид [269]
х = 4- + ----5- V1 + 16/?2/(а1-а0)2,
4 — а0 4
D = х —4 = —---------+ 16/?2/(а1-а0)2.
4 аг — а0 4
10. При ограничениях Xi=X4=x, хг=Хз=^—хиЕ = х ^-часто-
ты гамет (28) и определитель соответствующей матрицы можно запи-
сать в виде
— + D ------D
jy _ _ 4 4
хз Xi J------£) J_ -J- D
4 4
Кубическое уравнение (31), выраженное через D = x---—,принимает
4
вид
2 (£0 + EJ Ds+~ (Ео ~ + B^D~
£ о
-4(£о-Е1)+ЯО = 0. (31D)
Оно совпадает с уравнением, которое получили Бодмер и Фельзен-
штейн [28], если учесть, что Ео—Е\ = ай—сц. Интервал допустимых
значений D—(----4 + ’ УРавнение (31D)
можно записать также
в виде S (£>) — L (D), где
S(D) = 2 (Ео + Ет) D3 + 4 (Ео - Ех) D2— ~ (Ео + EJ D -
2 о
—4 (Ео - EJ = 42- 4) |2 (Ео + Et) D + 4 (Ео-Е,)] , (32D)
\ io / l £
L(D) = — RD.
Здесь кривая S(D) определяется типом отбора, а прямая L(D) — си-
лой сцепления. График зависимости (32D) совершенно аналогичен
ОТБОР: ДВА ГЕНА
449
графику зависимости (32). Если обе Е положительны, то при доста-
точно малых 7? будут существовать три стационарных состояния.
В противном случае существует только одно стационарное состояние.
В рассмотренном нами примере значения D равны (—0,2270; +0,0393;
+0,2189), а соответствующие стационарные точки х есть (0,0230;
0,2893; 0,4689). Покажите, что S(D)=0 при £) = +— и £>=(Е1—Ео)1
4
/4(Е1+Ео) и что последнее эквивалентно x=El/2(Ei-\-E0).
11. Рассмотрите схему отбора по Тёрнеру (55)
Ь1 ал /0,1 0,5 0,1
1 С 1 1 , например (0,8 1,0 0,8
^2 ^2 / \0,4 0,6 0,4
Одно из частных решений можно получить, положив xi = x2=* и х3 =
= Xi=y, так что х+г/=— и 7=0.
/0,2 0,2
например
\0,3 0,3
Соответственно можно упростить и частоты генотипов (22). Поскольку
доли двойных гетерозигот в фазе отталкивания и в фазе притяжения
равны, то значение R не скажется на результате. Пусть
7i = ai + bi — с — 1 = — 1,2,
Т2 = а2 + &2 — с —1 = — 0,8.
Аналогично тому, как это делалось ранее, выпишите рекуррентные
соотношения и среднюю приспособленность и найдите стационарные
состояния. Очевидно, что в нашем примере состояния х==~ или х=0
являются стационарными, но неустойчивыми. Другое решение равно
х ~__________________________Тл____== о 20
2(Т1 + Т2) 2(20)
и соответствует устойчивому состоянию.
29—322
ГЛАВА 24
Совместное действие мутаций
и отбора
В двух предыдущих главах действие мутаций и отбора рассматрива-
лись нами по отдельности; каждый из этих факторов способен за достаточ-
но продолжительное время постепенно изменить частоты генов от 0 до
1 или наоборот. В природных популяциях, однако, эти процессы про-
текают одновременно, и поэтому имеет смысл изучать их совместное
действие.
Совершенно ясно, что если мутационный процесс и отбор направ-
лены в одну и ту же сторону, то частоты генов будут изменяться
быстрее, чем в случаях, рассмотренных в предыдущих главах. И на-
оборот, если они направлены в разные стороны, их действия могут
взаимно уравновеситься, и в итоге установится устойчивое равновесие.
Далее мы будем иметь дело главным образом с такими равновесными
состояниями. Поскольку равновесная частота гена является функцией
интенсивности отбора и скорости мутирования, многие из полученных
результатов дают нам косвенный метод оценки скорости мутационного
процесса, основанный на наблюдаемых величинах частоты гена и ин-
тенсивности отбора.
§ 1. РАВНОВЕСИЕ МЕЖДУ МУТАЦИЯМИ И ОТБОРОМ
Начнем с простейшего случая. Предположим, что отбор действует
против особей с рецессивным признаком с интенсивностью s (т. е.
Ц7аа=]—$) и что мутации от Л к а возникают с частотой ц на поко-
ление. Давление отбора будет уменьшать величину q, а давление му-
таций — увеличивать ее. Результирующее изменение q за поколение в
панмиктической популяции будет
Д<7 = ц(1 — q) — sq2(l — q). (1)
Первый член представляет собой приращение частоты за счет мута-
ций, второй — уменьшение ее, вызванное отбором, в предположении,
что s мало. Когда действия этих двух взаимно противоположных фак-
торов уравновешиваются, так что никакого изменения частот генов
больше не происходит, Д^=0. Равновесное значение q, таким образом,
задается формулой
р = sq2, q2
(2)
Д
s
Графически функции (1) и (2) представлены на рис. 24.1.
Это равновесное состояние является устойчивым, хотя достигается
оно очень медленно; отсюда становится ясно, почему в природных по-
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ МУТАЦИЙ И ОТБОРА
451
пуляциях обычно присутствует определенная доля неблагоприятных
рецессивных генов, а не происходит полная их элиминация. Поскольку
существование рецессивного гена поддерживается только за счет му-
л
таций, величина q обычно сохраняется на очень низком уровне. Напри-
мер, если для рецессивного гена р,=0,000018 и отбор с s = 0,02 направ-
лен против рецессивных гомозигот, то доля рецессивных особей в
Л
равновесной популяции будет равна <?2 = p,/s = 0,0009, а частота q =
= 0,0009 = 0,03. Большинство рецессивных генов находится в
гетерозиготных комбинациях, так как доля гетерозигот в рассматри-
ваемой популяции равна 2 (0,97) • (0,03) =0,0582, т. е. приблизительно
Рис. 24.1. Совместное действие мутаций и отбора [графическое изображение зависимо-
сти (1)].
Л Л
Здесь |i=0,04s, или $=25|Л, так что из (2) </=0,20. Когда q<q, Aq положительно и q возрастает.
Л
Когда q>q, Aq отрицательно и q понижается (из [6821, по Хаксли).
в 65 раз выше доли рецессивов. К тому же отбор неэффективен, если
q мало. Даже если q настолько мало, что доля особей с рецессивным
признаком незначительна, рецессивный ген все же будет присутство-
вать в популяции, хотя он замаскирован в гетерозиготных комбинаци-
ях. Таким образом, мы видим, что избавиться от рецессивного гена в
большой популяции, если он возникает путем повторного мутирования,
фактически невозможно.
Если сочетание аа почти летально, так что s—1, то доля особей
аа в популяции будет приблизительно равна скорости мутирования:
H = s<72~<72, q^-Ур. (2L)
Если отбор направлен против доминантных гомозигот, то устойчи-
вое равновесие может устанавливаться за счет мутаций от рецессив-
ного гена к доминантному. Эта ситуация идентична (2), за исключени-
ем того, что q заменено на р и р на у (скорость мутирования от а к
А). Таким образом, р= У (v/s).
Хорошо известным примером доминантного дефекта является
брахидактилия (короткопалость) у человека. Было показано, что все
индивидуумы с брахидактилией гетерозиготны, тогда как гомозиготные
комбинации детальны или почти детальны (т. е. s = l). Следователь-
но, р — Уу. Это небольшая величина, так что 1—p=q приблизительно
равно 1. Значит, наблюдаемые данные дают нам непосредственно долю
29*
452
ГЛАВА 24
гетерозиготных (страдающих брахидактилией) индивидуумов в попу-
ляции. Эта доля должна быть равна
Н = 2р (1 — р) 2р ~ 2 /7,
отсюда
(3)
Если далее доминантные гомозиготы нежизнеспособны, а гетерозиготы
имеют приспособленность W=\—s, как в случае ахондроплазии (хон-
дродистрофии, разновидности карликовости), то всю картину можно
приближенно представить следующим образом:
Генотип До отбора Аа Н аа R=1~H
Относительная приспо- собленность W 1—S 1
После отбора H—sH 1-Н
Новые мутанты
2v(l— Н)
В равновесном состоянии элиминация доминантного гена при отборе
против гетерозигот должна уравновешиваться новыми мутациями от
нормального рецессивного гена к вредному доминантному. Следова-
тельно, если Н мало, то мы получим уравнение
2v(l — Н) = &Н,
•откуда
v= —— — sH = — (1— W)H. (4)
2(1 — И) 2 2 х 7
Примеры применения этой формулы можно найти в работе [207].
Если гетерозиготные индивидуумы тоже нежизнеспособны, как, на-
пример, в случае ретинобластомы, то скорость мутирования от нор-
мального рецессивного гена к вредному доминантному гену будет
приблизительно равна (при или s-*l)
v = -j- Н = р. (4L)
Таким образом, частота доминантного летального гена, или половина
частоты доминантного признака, равна скорости мутирования к этому
гену. Эти выражения дают нам косвенный метод оценки скорости му-
тирования от рецессивного гена к доминантному в популяциях чело-
века.
Когда равновесная частота гена мала, эффект обратных мутаций
незначителен, и им можно пренебречь. Если q имеет промежуточное
значение, то следует принимать в расчет мутации в обоих направлени-
ях, если нет данных о том, что мутации в одном направлении происхо-
дят намного реже, чем в другом. Суммарное действие мутаций в обоих
направлениях и отбора против особей с рецессивным признаком равно
Д<7 = fi(l — q) — vq — sq2(l — q). (5)
Следовательно, &q является кубической функцией q, и поэтому урав-
нение Д<7=0 может иметь три корня (корни меньше 0 или больше 1
не представляют интереса для генетики). Отметим, что если Q=0, то
Д<7 = (1 положительно, а если q = l, то Д<?——v отрицательно. Согласно
гл. 21, между 0 и 1 существует по крайней мере одно равновесное зна-
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ МУТАЦИИ И ОТБОРА
453
чение q. Однако при определенных условиях возможно существование
двух различных устойчивых равновесных значений (в последнем слу-
чае между ними будет находиться неустойчивая точка). Число и устой-
чивость равновесных точек зависят от конкретных ц, v и s.
§ 2. РАВНОВЕСИЕ ПРИ ОТБОРЕ, НАПРАВЛЕННОМ
ПРОТИВ ГЕТЕРОЗИГОТ
Напомним, что отбор против гетерозигот приводит к неустойчиво-
сти внутренней точки равновесия и ведет к устойчивым значениям q=
= 0 или 1 в зависимости от исходного состояния популяции. Предполо-
1
жим, что исходное значение — и, следовательно, снижается в каж-
2
дом последующем поколении, поскольку отбор направлен против гете-
розигот. Этот процесс может уравновешиваться мутациями от А к а, и
в результате будет поддерживаться устойчивое равновесие. Так как
существование редкого гена обеспечивается только давлением мутаций,
его равновесное значение обязательно будет низким.
Рассмотрим простой пример. Пусть относительные приспособлен-
ности АА, Аа, аа равны соответственно (1, 1—s, 1). В результате дей-
ствия отбора значения частот генов в следующем поколении будут
равны
/ = P — spq , = q — spq
1 — 2spq ’ 1 — 2spq
Предположим далее, что вначале pZ>q, так что q уменьшается, но му-
тации от А к а мешают q достичь нулевого значения.
Уменьшение за счет отбора — q' — q — ~ 2*?).. .
1 — 2spq
Увеличение за счет мутаций = ип'= .
1 — 2spq
В равновесном состоянии прирост q за счет мутаций должен быть ра-
вен уменьшению ее в результате отбора. Поэтому мы получим следу-
ющее уравнение [знаменатели (1—2spq) в обеих частях равенства со-
кращаются] :
[1 (р — spq) = spq (1 — 2q). (6)
Упростив выражение, получим
р, — ^sq(\ — 2q) sq, или q ~ , (7)
1 — sq s
если и s и q малы. Равновесная частота гена q=ujs намного меньше
q = задаваемой выражением (2), где отбор направлен против
рецессивных гомозигот, а не против гетерозигот. Это сразу становится
очевидным, если мы вспомним, что когда q мало, доля гетерозигот в,
панмиктической популяции намного выше доли рецессивных гомози-
гот; таким образом, отбор против гетерозигот более эффективен, и:,,
следовательно, равновесное значение q меньше.
Далее, если q=p,/s — малая величина, то q2 становится пренебре-
жимо мало. Равновесная популяция будет состоять только из двух ге-
нотипов, встречающихся со следующими частотами [194, 204, 207]:
(1 — 2q) АА + 2qAa = 11 — АА + ~ Аа. (7Z).
\ S / S
454
ГЛАВА 24
Следует отметить, что все сказанное выше, и в особенности выражение
(7), применимы только тогда, когда все гетерозиготы популяции име-
ют одинаковую жизнеспособность (1—s). Ситуация, в которой отбор
направлен против гетерозиготных детей, родившихся от гомозиготных
по рецессивному гену матерей, как в случае с Rh-фактором, уже об-
суждалась в гл. 22.
Отметим также, что предельная ситуация для отбора против гете-
розигот, чему посвящен этот параграф, аналогична отбору против до-
минантного вредного гена, рассмотренному в предыдущем параграфе.
Таким образом, в (7Z) мы имеем //=2p/s, или ц=у- SH> что совпа-
дает с (4), за исключением того, что вместо ц стоит v.
§ 3. ОТБОР ПО СЦЕПЛЕННЫМ С ПОЛОМ ГЕНАМ
Хорошо известным рецессивным, сцепленным с полом признаком,
полулетальным для мужчин и очень редким у женщин, является гемо-
филия. Поскольку мужчины, страдающие гемофилией, как правило, не
доживают до такого возраста, когда они могут иметь детей, этот при-
знак быстро исчез бы из популяций, если бы в результате мутаций не
возникали новые гены, обусловливающие гемофилию. Последнее, по-
видимому, действительно имеет место в некоторых родословных.
Предположим, что популяция находится в состоянии, близком к
равновесному по данному локусу, и q— частота рецессивного гена ге-
мофилии. Тогда q — это также доля больных гемофилией среди муж-
чин. Пусть их жизнеспособность —s. Тогда мужчины за одно по-
коление будут терять sq генов гемофилии. Равновесие должно поддер-
живаться за счет такого же количества новых мутаций от нормальных
аллелей. Поскольку каждая женщина имеет две Х-хромосомы, а каж-
дый мужчина — одну, общее число мутаций для всех половых хро-
мосом популяции должно быть приблизительно равно [ 197J
Зр, = sq, или р = -у- sq. (8)
Точных данных о распространенности гемофилии нет, поскольку этот
дефектный признак очень редок. Однако, согласно оценкам, сделан-
ным на основании больничных записей, q, вероятно, находится между
0,00004 и 0,00017. Если жизнеспособность больных гемофилией принять
за 0,25 (s = 0,75), то скорость мутирования для этого гена в соответ-
ствии с (8) будет лежать между 0,00001 и 0,00004. Поэтому Холдейн
[197] пришел к выводу, что значение р = 0,00002, или 1 на 50 тысяч,—
достаточно хорошая оценка.
Выражение (8) относится к случаю, когда отбор действует только
против особей мужского пола. Если отбор действует против рецессив-
ных гомозигот у обоих полов и q не слишком мало, соответствующее
выражение для q можно получить, выписав Aq, обусловленные отбо-
ром для каждого пола, а потом приравняв среднее значение Aq для
обоих полов к приросту q в результате новых мутаций.
§ 4. РАВНОВЕСИЕ В ПОПУЛЯЦИЯХ С ИНБРИДИНГОМ
Прежде чем перейти к рассмотрению популяции с инбридингом, вы-
ведем более общее выражение для любой равновесной популяции.
Пусть D, Н, R — частоты АА, Аа, аа, приспособленности которых равны
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ МУТАЦИЙ И ОТБОРА
455
соответственно 1; 1; 1 — s, так что средняя приспособленность попу-
ляции равна 1—s7?. Тогда частота рецессивного гена после отбора бу-
дет (гл. 21)
q' =
±-H+R(l-s)
\—sR
q — sR
1—sR’
(9)
так что при малых s
А9 = 9'— q = —
1 — sR
(10)
В равновесии такое изменение q, обусловленное отбором, компенсиру-
ется изменением q за счет новых мутаций от А к а. Последнее равно
цр = ц(1—q). Приравнивая эти две величины, мы получаем, что не-
зависимо от системы скрещивания
Я = (11)
S
при условии, что эта величина мала. Для панмиктической популяции
это выражение сводится к R = q2 = ^/s (2).
D, Н, R для равновесной популяции с коэффициентом инбридинга
F даны в гл. 13. Используя (11), мы получим [203]
R^q2 + Fpq = (l-F)q2^Fq= , (12)
S
откуда
= -F+/[f2 + 4(l-f) p/s] . , j
4 2(1 — F) ’ V
для вычисления равновесного значения q мы берем- положительный ко-
рень. Для панмиктической популяции при одинаковом ii/s значения q,
получаемые с помощью (13), всегда меньше, чем те, которые следуют
из (2). Это обусловлено инбридингом, который «поставляет» пропор-
ционально большее число рецессивных гомозигот для действия отбора.
Если, например, p = 0,000018 и s = 0,02 (как это предполагалось выше),
но Е = 0,05, доля особей с рецессивным признаком (R) в равновесной
популяции будет в соответствии с (12) по-прежнему равна 0,0009.
Однако q будет намного меньше 0,03 — значения, отвечающего свобод-
ному скрещиванию. Из (13) мы получим
q = -0,05+ /[0,0025+ 4 (0,95) (0,0009)] = Q Q g
7 2(0,95)
Ясно, что действие инбридинга уменьшает равновесную величину q,
а не долю гомозигот R, которая определяется только параметрами ц
и s. Когда F и q малы, так что членом Fq2 по сравнению с другими чле-
нами (12) можно пренебречь, доля особей с рецессивным признаком в
равновесной популяции будет равна
92 + Fq^ — , или q=^- — 11 /~ F2 + —---------------(14)
$ 2 ( \ s I
Это приближение можно использовать для оценки частоты редких де-
фектных рецессивных генов в популяциях человека, когда величина F
мала. Например, если в приведенном выше примере Е=0,005, то (13)
дает 9 = 0,0277, тогда как, согласно (14), 9 = 0,0276.
456
ГЛАВА 24
§ 5. УМЕНЬШЕНИЕ ИНБРИДИНГА
Уменьшение инбридинга в популяции будет увеличивать q до тех
пор, пока не будет достигнуто новое равновесное значение, соответст-
вующее новому (более низкому) значению F. Рассмотрим еще раз по-
пуляцию с ц = 0,000018 и s = 0,02, когда Д=0,0009. Если коэффициент
инбридинга в этой равновесной популяции равен Е=0,011282, то в со-
ответствии с (13) 9=0,025. Теперь рассмотрим крайний случай: пред-
положим, что инбридинг полностью прекращается. Доля рецессивных
гомозигот в следующем поколении в результате свободного скрещива-
ния будет равна (0,025)2 = 0,000625. Непосредственным проявлением
ослабления инбридинга является резкое падение доли особей с рецес-
сивным признаком (в нашем примере — с 900 до 625 на миллион). Это
новое понизившееся значение R меньше равновесного p/s=0,0009, при
котором давления отбора и мутаций уравновешивают друг друга. По-
скольку теперь число особей с рецессивным признаком, на которых
будет действовать отбор, меньше, частота рецессивного гена будет
постепенно возрастать от 0,025 до тех пор, пока не достигнет 0,030,
так что R опять будет равно 0,0009 (табл. 24.1).
Таблица 24.1
Установление новЬго равновесия при уменьшении инбридинга (ц = 0,000018, s = 0,02)
Стадия I Стадия II -> Стадия III
Исходное состояние: старое равновесие Е=0,0113 7=0,0250 D=pH-fW=0,9509 #=2(1— F)pq=0,0482 R=q2+Fpq=0,0009 Сразу после ослабления инбридинга F=0 7=0,0250 D=p2=0,950625 Н=2pq=0,048750 у? =Q2=0,000625 F=0 (Увеличение 4) (Увеличение R) Конечное состояние: новое равновесие F=0 7=0,0300 £)=Р2=о94О9 #=2р7=0,0582 #=72=0,0009
Сумма 1 1 1
Поскольку возрастание q зависит исключительно от избытка вновь
появляющихся в каждом поколении мутаций (сверх тех, которые эли-
минируются отбором), приближение к новому равновесному состоя-
нию— действительно очень медленный процесс. В приведенном выше
примере для возрастания q от 0,025 до 0,030 потребуется несколько со-
тен или тысяч поколений. К тому же, даже если q достигнет нового, бо-
лее высокого равновесного значения (0,03), доля особей с рецессивным
признаком будет равна 0,0009, т. е. в точности такой же, как до умень-
шения инбридинга (хотя и более высокой, чем 0,000625 — сразу после
уменьшения). Другими словами, уменьшение инбридинга увеличивает
конечное значение q, но не R. Величина R не может увеличиваться, коль
скоро ц и s остаются постоянными. В свете всего сказанного вопрос о
том, могут ли частоты определенных дефектных рецессивных генов чело-
века возрастать вследствие недавнего ослабления инбридинга, является
в значительной мере академическим. Более серьезные последствия мо-
жет иметь снижение s против индивидуумов, гомозиготных по рецес-
сивным генам, обусловленное успехами современной медицинской на-
уки, поскольку это увеличивает равновесное значение R, а также и q.
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ МУТАЦИЙ И ОТБОРА
457
§ 6. ГИПОТЕЗЫ ГЕТЕРОЗИСА
Для объяснения «гибридной силы» и «вредных» последствий ин-
бридинга существуют, вообще говоря, две основные гипотезы. Одна из
них основана на том факте, что рецессивные гены обычно вредны в
гомозиготном состоянии (гипотеза о преимуществе доминантных форм).
Инбридинг увеличивает гомозиготность и, таким образом, приносит
вред. Гибридизация переводит гомозиготные локусы обоих родителей
в гетерозиготное состояние, которое маскирует вредные проявления
рецессивных генов. Другими словами, «сила» гибридов обусловлена при-
сутствием у них большего числа доминантных, обладающих преиму-
ществом генов, чем у обоих родителей. В соответствии с этой гипоте-
зой теоретически максимальная гибридная сила достигается в том слу-
чае, когда в каждом локусе организма имеется по крайней мере один
доминантный аллель. Различие в силе между любыми двумя особями
определяется числом гомозиготных рецессивных локусов у этих особей.
Согласно другой гипотезе, сила гибридов обусловлена гибрид-
ностью как таковой. Это означает, что существуют локусы, гетерозиго-
ты по которым обладают преимуществом перед любой из гомозигот,
и что увеличение эффектов гетерозиса пропорционально величине ге-
терозиготности (гипотеза сверхдоминирования).
В дальнейшем будем предполагать, что гибридная сила измеряется
селективными ценностями генотипов, и рассмотрим, какие получаются
результаты, если следовать каждой из гипотез. Пусть, как и раньше,
приспособленность рецессивных гомозигот равна IFaa=l—s, а ско-
рость мутирования от доминантного аллеля к рецессивному за поко-
ление равна [л. Тогда средняя приспособленность популяции [200] вы-
ражается в виде
W = 1— s£= 1— s(—)= 1— Н- (15)
Таким образом, среднее уменьшение W, обусловленное вредным ре-
цессивным геном, равно скорости мутирования к этому гену и не зави-
сит от его приспособленности. Теперь, если в популяции имеется п
вредных рецессивных локусов, то уменьшение W в предположении, что
действия генов аддитивны, будет составлять
р-i + р-2 + Из + • • • + р-п =
здесь [л — средняя скорость мутирования для п локусов, пр, как прави-
ло, невелико, например если р=10-5 и п = 5000, пр = 0,05 [82]. Это
означает, что даже если все 5000 вредных генов заменить их доминант-
ными аллелями, W возрастает только на 5% (1^ мы приняли за меру
гибридной силы). Это хорошо объясняет тот факт, что многие само-
опыляющиеся растения (например, пшеница, ячмень и т. д.) в природе
проявляют лишь слабый гетерозис при гибридизации. В действитель-
ности пр бывает значительно меньше 0,05, поэтому W увеличивается не
более чем на 1% [173]. ___
Если свободно опыляющийся вид с q= ]/ p/s в течение нескольких
поколений -размножается путем инбридинга до тех пор, пока большин-
ство особей не станут гомозиготными по определенному локусу, доля
гомозиготных по рецессивному гену форм в этой инбредной популяции
будет равна q (гл. 11). Для инбредных популяций
IF = 1 — sq = 1 — s
- ]/sp
(16)
30—322
458
ГЛАВА 24
и уменьшение W, обусловленное п рецессивными локусами, в предпо-
ложении, что действие генов аддитивно, равно п У sp. Эта величина
намного больше пр. Гипотеза о преимуществе доминантных форм мо-
жет объяснить потерю мощности инбредными растениями (например,
кукурузой) и ее восстановление при скрещивании различных инбред-
ных линий, но едва ли в состоянии объяснить большое возрастание
мощности (на 15, 20%, а иногда и больше) по сравнению с исходной,
до инбридинга.
Когда мощность гибридов, полученных в результате скрещивания
между инбредными линиями, значительно больше «мощности» роди-
телей в панмиктической популяции, более правдоподобной представ-
ляется гипотеза сверхдоминирования. Если гетерозиготы по приспособ-
ленности превосходят обеих гомозигот, то
W= 1 — S1p2 —s#= 1 (17)
Si + s2
и уменьшение W для такого локуса намного больше, чем ц [200]. Для
объяснения резко выраженной избыточной мощности гибридов, полу-
ченных от скрещивания инбредных линий, не требуется рассматривать
очень большое число таких локусов, поскольку отдельный локус со
сверхдоминированием оказывает гораздо большее действие на при-
способленность популяции, чем в рассмотренном выше случае.
Наиболее обоснованный вывод, который можно сделать из всего
сказанного выше, состоит в том, что явление «гетерозиса», по-видимо-
му, обусловлено двумя (или большим числом) разными причинами.
Потерю мощности искусственно полученных гибридных линий у расте-
ний, которые опыляются перекрестно, и восстановление у них исход-
ной мощности при гибридизации можно объяснить на основании ги-
потезы о преимуществе доминантных форм. С другой стороны, любое
значительное увеличение мощности по сравнению с мощностью исходной
равновесной популяции, по-видимому, обусловлено генами, которые бо-
лее благоприятны в гетерозиготном состоянии. Подробно этот вопрос
рассматривает Кроу [82, 83].
§ 7. БЛАГОПРИЯТНЫЕ МУТАЦИИ
Как мы видели, отдельная нейтральная мутация в конечном сче-
те случайным образом теряется популяцией (гл. 20). Бывает, однако,
что новый ген дает определенное селективное преимущество несущим
его особям, и тогда ситуация меняется. Пусть приспособленность та-
ких особей (несущих недавно мутировавший ген) равна 1 + s. Вслед-
ствие случайных процессов, рассмотренных в гл. 20, преобладающее
большинство новых полезных генов в течение нескольких первых по-
колений после своего появления будет потеряно, точно так же, как и в
случае нейтральных генов. Однако отличие здесь состоит в том, что по-
лезная мутация имеет шанс закрепиться в конечном счете в популя-
ции. Когда s мало, такая вероятность выжить равна приблизительно
2s. Рассмотрим вкратце доказательство этого утверждения.
Аналогично тому, как это было сделано в гл. 20, найдем произво-
дящую функцию
Н (х) = р0 + р±х + р2х2 + р3х3..., (18)
где pi — вероятность того, что в поколении потомков от родителя, ко-
торый нес новый ген, останется i таких генов. Далее, следуя тем же
самым рассуждениям, получаем, что
«„+,(<>)-* (Д,(°)). "Л" и. = я(У. <19>
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ МУТАЦИИ И ОТБОРА
459
где 1п — вероятность элиминации гена через п поколений после его
появления. Предположим вновь, что число потомков, полученных от
особи, распределено по закону Пуассона. Единственное отличие от слу-
чая нейтральных мутаций состоит в том, что среднее число гетерози-
готных потомков (и, значит, среднее число новых генов), приходящееся
на одного родителя, для генов, обладающих преимуществом, равно
(l-j-s), а не 1. Поэтому величины в (18) равны
е-(Ж) И (]+s) Д (20)
1 ,v 21 ’ 31 J 4 '
Следовательно,
Н (х) = e“(I+s) {e(1+s)x} = e(I+s)(x-I) (21)
и
/„+1 = e(I+s)(V1). (22)
Значения 1п приведены в правой части табл. 20.2 для s = 0,01. Для при-
мера найдем несколько первых значений 1п:
Zx = Н (0) = е-1’°' = 0,3642,
Z2 = ^1,01(0,3642—1) = 0,6421 = 0>5262 и т_ д.
В табл. 20.2 приведены вероятности элиминации в первых семи поко-
лениях. Видно, что даже если мутации с самого начала выгодны, все
же более трех четвертей новых, генов уже в первых шести поколениях
после своего появления будут случайно потеряны при воспроизведении.
Предельное значение 1п можно найти из соотношения ln+i=H(ln).
Это значение должно быть таким, чтобы при больших п ln+i и 1п были
равны, другими словами, должно удовлетворять уравнению, получен-
ному Кёнигсом (см. приложение в [196]):
Z = 77(Z) = e(1+s)(/~I). (23)
Чтобы решить его, положим Z=1—у, где у — вероятность сохранения
мутации, обладающей преимуществом. Тогда (23) примет вид
1-у = е~(1+^,
откуда
-(1 + s)y=ln(l-y). (24)
Поскольку у мало, In (1—у) можно разложить в ряд:
— У — sy = ~ у — — -----, (25)
Л о
откуда
+ (26)
Л о
Уравнение (26) представляет собой соотношение между селективным
преимуществом и итоговой вероятностью выжить. Положив s=0,01 и
пренебрегая членами большего порядка малости, чем у2, мы получаем
у—0,0197 и 1—y=Z=0,9803, которые и являются предельными значе-
ниями, приведенными в табл. 20.2. Когда s мало и, следовательно, ве-
роятность выживания также мала, то
y^2s. (27)
Это соотношение получил другим методом Райт [669, стр. 133].
30*
460
ГЛАВА 24
Предположим, что и s, и у настолько малы, что выполняется соот-
ношение (27) и 1=\—2s. Возникает вопрос, сколько требуется мутаций
или сколько раз должна произойти мутация, чтобы вероятность выжи-
вания была больше, чем вероятность элиминации? Если в популяции
в одном поколении происходит N таких мутаций, вероятность того, что
все они в конце концов будут потеряны, равна lN=(l—2s)N. Нам
нужно, чтобы эта вероятность была меньше так чтобы вероятность
сохранения некоторых из N мутаций оказалась больше-^-. Таким об-
разом,
(1 — 2з)л' < — , или (1 — 2$)-Л' > 2; (28)
— А1п(1 — 2s)^ — N{— 2s} > 1п2,
т. е.
у 1п1 = ода5,1
2s 2s
Поэтому если s = 0,01, то новая мутация должна возникнуть более
0,69315-50 = 35 раз, прежде чем она закрепится в популяции. Если
скорость мутирования составляет 1/105 за поколение, то для того, что-
бы эта мутация могла возникнуть 35 раз за поколение, численность
популяции должна быть равна 3,5 млн. Таким образом, приходится кон-
статировать, что даже если новые мутации полезны, они практически
не имеют шансов закрепиться в небольшой популяции. Роль мутаций
в эволюционных изменениях малых по численности природных популя-
ций относительно невелика. Ведущий фактор в такого рода изменени-
ях— случайная фиксация генов (гл. 26).
Если мутация нейтральна в гетерозиготной, но полезна в гомози-
готной комбинации, то вероятность сохраниться для неё намного мень-
ше рассчитанной, поскольку отбор не может благоприятствовать ей до
тех пор, пока две такие (рецессивные) мутации не окажутся в одной
и той же зиготе. Это будет только в том случае, когда частота нового
гена станет довольно большой. Однако, прежде чем это произойдет,
новый ген скорее всего случайным образом элиминируется. Поэтому
начальное увеличение частоты рецессивного гена зависит главным об-
разом от скорости мутирования и от случая. Когда частота этого гена
станет настолько большой, что в популяции появятся особи с рецессив-
ным признаком, отбор начнет увеличивать частоту гена.
Проявления совместного действия мутаций и отбора в популяциях
человека слишком сложны, чтобы обсуждать их здесь. Для основа-
тельного ознакомления с этим предметом можно обратиться к обзору
Мюллера [473].
§ 8. ПРЕИМУЩЕСТВО ГЕТЕРОЗИГОТ И МУТАЦИИ
Рассматривая различные типы равновесия между отбором и му-
тациями, мы совсем не упоминали о зависимости, которая имеется
между отбором в пользу гетерозигот и скоростью мутирования, по-
скольку она не так сильно сказывается на равновесном значении часто-
ты гена. Если относительные приспособленности генотипов АА, Аа, аа
равны соответственно (1—/, 1, 1—s) (табл. 21.4), то равновесная час-
тота гена в отсутствие мутаций будет q = t/(s~l-t). Если теперь ввести
мутации от А к а, возникающие с частотой у, на поколение, так чтобы
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ МУТАЦИЙ И ОТБОРА
461
возрастание q было р (I—q), то суммарное изменение частоты гена за
счет отбора и мутаций станет равным
= 4г {7 (1 - 7) 11 - (s + f) q] + р (1 - <?)} - (30)
Положив Д<7=0 и сократив оба члена на (1—q), мы получим следую-
щее уравнение:
(S+ t)q2-tq-li=O, (31)
откуда
__ 4~ 1^2 4~ 4 (s 4~ ^)р _/ + / ]/ 14-4 (s4~/) р//2 .дпч
Ч~ 2(s+t) ~ 2(s + t) *
Величины s и t одного и того же порядка, а р гораздо меньше; поэто-
му мы можем использовать приближенное равенство]/ 1-|-е = 14—— е,
пренебрегая более высокими порядками е. Тогда выражение (32) пред-
станет в виде
I + И1 +2 (« +1) р//2] _ 2t ,2(s + t)n t p
q —.--------------------—-------------------==------—— м)
2(s-H) 2(s-H) 2(s+t)t s+t t
которое отличается от //(s+/) на p//— очень малую величину. Подоб-
ным образом, если мы введем мутации от а к А, возникающие с часто-
той v, то равновесная частота будет q—t/(s-]-t)—v/s. Такой же ре-
зультат был получен Райтом [703] (он отличается только системой
обозначений). Поскольку равновесная частота гена имеет промежу-
точное значение («далекое» от 0 и 1), то, возможно, в наши расчеты
следует включить мутации в обоих направлениях. Тогда уравнение для
равновесия будет кубическим:
Д<? = 7 (1 — <?) [/ — (s + t) 7] + ц (1 — 7) — V7 = 0,
или
(S 4- t) qs — (s + t + t) q2 + (t — p — v) 7 + p = 0. (34)
Пренебрегая членами, включающими p2, pv, v2, и членами более высо-
ких порядков, мы получим равновесную частоту гена
<7 =
t__
s+t
(35)
p V
+ -
которая отличается от //(s+7) меньше, чем при учете мутаций только
в одном направлении. Легко показать, что выражение (35) является
решением кубического уравнения (34). Пусть
7з = Г z—у + 3 (—*— У р- - —)
\ s 4-1 / \ s 4-1 ) \ t s )
(36)
Подставляя эти выражения в (34) и пренебрегая величинами второго
порядка малости (p + v) I—----—), мы действительно убеждаемся в
\ t S /
том, что приращение становится равным нулю. Итак, эти результаты
показывают, что при рассмотрении вопросов, связанных с преимущест-
вом гетерозигот, влиянием мутаций можно пренебречь.
462
ГЛАВА 24
§ 9. «УЛУЧШЕНИЕ» ПУТЕМ СЕЛЕКЦИИ
Сельскохозяйственные культуры и сельскохозяйственных животных
можно усовершенствовать с помощью искусственного отбора, что и
используется на практике. Однако после прекращения отбора улучшен-
ная линия иногда возвращается к своему исходному состоянию; люди,
не знающие генетики, удивляются, что успех, полученный с помощью
селекции, оказывается не постоянным. Этому явлению можно дать два
объяснения. Согласно одному из них, появление новых вредных мута-
ций не встречает противодействия со стороны отбора. Другое объясне-
ние заключается в том, что признак, по которому велся отбор, имеет
пониженную приспособленность в естественных условиях, которые за-
ставляют популяцию вернуться к исходному, благоприятному для нее
состоянию. В биологическом мире нет ничего действительно постоян-
ного.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Уравнение (1) можно представить графически другим способом,
чем это сделано на рис. 24.1. Изменение частоты под влиянием отбора
и мутаций изображают графически по отдельности, используя следую-
щие уравнения:
Д1=р.(1 — q) и A2 = S72(1— q).
Рис, 24.2, Совместное действие мутаций и отбора.
Уравнение прямой: = q)\ уравнение кривой: Д2-»$42(1—q). Здесь |i=0,04s, так что из (2)
А
4=0,20 (по Райту [669], с изменениями).
Точка пересечения этих кривых, изображенных на рис. 24.2, дает рав-
новесное значение q, поскольку в этой точке Д1=Д2, так что Д^=0.
Расстояние между двумя кривыми дает величину &q.
2. Если отбор интенсивности s направлен против аа и частота му-
таций от А к а за одно поколение равна pt, то условие равновесия мож-
но также получить, приравнивая отношения частот генов в данном и
следующем поколениях; таким образом,
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ МУТАЦИЙ И ОТБОРА
463
Р __ р2 + рд — р-Р
Ч (1— s)q2 + pq+pp'
Покажите, что этому соотношению удовлетворяет равенство <72 = ц/$,
совпадающее с (2).
3. Покажите, что если особи с рецессивным признаком полностью
элиминируются из панмиктической* популяции, а мутации возникают с
частотой ц за поколение, то частота нового гена будет равна
= + а Д? = ^.
14- <7 1 + ? 1 + q
Чему равно равновесное значение ql Проверьте по формуле (2 L).
4. Покажите, что если скорость мутирования от А к а за поколе-
ние равна ц, а селективная ценность гамет а равна 1—s по сравнению
с единицей для гамет А, то
Д<7=Н(1 —q) — sq(l — q) и q = .
S
Отметим, что эта равновесная величина намного меньше равновесной
величины при зиготическом отборе.
5. Если в большой панмиктической популяции двое индивидуумов
из тысячи страдают брахидактилией и если предположить, что гомози-
гота по брахидактилии является летальной, то какой должна быть ско-
рость мутирования от нормального гена к гену брахидактилии для
того, чтобы уравновесить потерю вредного гена в результате отбора?
Ответ: используйте (3); v= -j-(0,002)2=10-6.
6. Предположим, что все гомозиготные доминантные формы уми-
рают, а приспособленность гетерозиготных особей равна U7=l—s. Ес-
ли скорость мутирования от нормального рецессивного гена к вредно-
му доминантному гену за поколение есть v=0,000016, то распростра-
ненность доминантного признака, т. е. доля гетерозиготных особей (Я)
в популяции, будет следующей:
W Равновесное состояние н
1,00 v=0,000016= — Н2 4 0,008000
0,75 v=0,000016=-у (0,25)Я 0,000128
0,50 v=0,000016= ~ (0,50)Я 0,000064
0,25 v=0,000016= (0,85)77 0,000043
->0 v =0,000016= — н. 2 0,000032
7. Какой будет доля особей с рецессивным признаком в следующем
поколении равновесной популяции с Е=0,05 при отборе против них
s=0,02 и частоте мутирования р=0,000018 от доминантного гена к
рецессивному, если инбридинг внезапно и полностью прекращается?
Что произойдет в следующих поколениях?
Указание: (0,01418)2(=0,000201.
464
ГЛАВА 24
8. Покажите, что если оба гомозиготных типа в одинаковой степе-
ни «хуже» гетерозиготного (т. е. s!=s2=s), то U7 = l—~s.
9. Предельное значение 1п для s=0,01 равно 0,9803. Проверьте со-
отношение
0,9803 = е1,01(0'9803-1),
которое показывает, что /=0,9803 есть решение уравнения (23).
10. Чтобы убедиться в том, что (35) представляет собой решение
уравнения (34), положим /=0,20; s = 0,30; ц = 0,000014; v=0,000006.
Уравнение для равновесия принимает следующий вид:
0,50?3 — 0,70?2 + 0,199980? + 0,000014 = 0. (34')
Его решение есть
0,20 0^00014 _ О00006 = 0050.
. 0,50 0,20 0,30 v ’
Отсюда
?2 = 0,160040; q3 = 0,064024. (36')
Подставив в (34'), находим
0,032012— 0,112028 + 0,080002 + 0,000014 = 0.
ГЛАВА 25
Подразделенность и миграция
Изучение природных популяций показывает, что они, как правило,
не представляют собой единой панмиктической единицы, как это пред-
полагалось в модели, использованной в предыдущих главах. Подраз-
деленность большой популяции на субпопуляции или группы, пред-
ставляющие более или менее самостоятельные единицы, обусловлена
изоляцией, полной или только частичной. Изоляция может быть вызва-
на различными физическими или физиологическими причинами. Вне
зависимости от причины подразделенность приводит к последствиям,
которые нельзя игнорировать при генетическом анализе популяции как
целого.
Многие из явлений, описываемых в этой главе, уже давно извест-
ны натуралистам и экологам, однако формулировка последствий изо-
ляции в количественной форме является главным образом заслугой
Райта.
§ 1. ФОРМУЛА ВАЛУНДА
Рассмотрим простейший случай, когда большая популяция подраз-
делена на К групп равного размера и внутри каждой из этих групп
скрещивание осуществляется случайным образом. Пусть qi — частота
гена а в i-й группе (рг+<7г = 1), a q — частота гена а во всей популя-
ции (р+<7=1). Предположим далее, что каждая группа достаточно
велика для того, чтобы частоты зигот были в точности равны р2, 2piqi,
q2. . Средняя величина и дисперсия частот гена в группе равны
2qt
К ’
Ji
Un --
а?-
А
(О
где суммирование производится по всем группам. Если теперь мы рас-
смотрим популяцию в целом, то частоты зигот в ней (упр. 1) будут
равны
2р2
АА: ^ = p2 + cfl
К 4
Аа: = 2pq - 2<rg, (2)
Эти выражения впервые получил Валунд [631]. Если бы популяция
представляла собой единую панмиктическую единицу, а не была под-
466
ГЛАВА 25
разделена на несколько групп, то частоты зигот в ней были бы равны
р* 2, 2pq, q2. Подразделенность, как мы видим, проявляется в увеличе-
нии доли каждой из гомозигот на величину и2 за счет уменьшения
доли гетерозигот. Таким образом, этот эффект подобен последствиям
инбридинга в неподразделенной популяции. Данный вопрос мы рас-
смотрим в следующем параграфе. Соответствующий числовой пример
приведен в табл. 25.1.
' Таблица 25.1
Подразделенность большой популяции на пять (К=5)
панмиктических групп равного размера
Группа Pi Pi 2pi?i <7?
I 0,9 0,1 0,81 0,18 0,01
II 0,8 0,2 0,64 0,32 0,04
III 0,7 0,3 0,49 0,42 0,09
IV 0,5 0,5 0,25 0,50 0,25
V 0,1 0,9 0,01 0,18 0,81
Популяция в целом 0,6 0,4 0,44 0,32 0,24
Частоты генотипов в отсутствие подразделенности 0,36 0,48 0,16
Разность +0,08 —0,16 +0,08
Дисперсия частоты гена в группе о2 =о^ =0,40/5=0,08
Если группы неодинаковы по размеру, то каждой из них можно
приписать соответствующий вес w. Для простоты примем 2о» = 1; тогда
среднее значение и дисперсия q будут
q = 'Lwiq{ и diq='Zwl(jli—q2. (Г)
Частота зигот аа во всей популяции будет равна
q} = q2 + о2. (2')
Следовательно, формула Валунда применима независимо от того, оди-
наковы группы по размеру или нет. Фактическая величина и2 , конечно,
зависит от того, как распределены qi в различных группах. Иными
словами, она определяется тем, насколько эти группы отличаются друг
от друга.
§ 2. ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И ИНБРИДИНГ
Сравнивая частоты генотипов (2)’ с частотами в равновесной по-
пуляции, имеющей коэффициент инбридинга F (гл. 13), мы получим
соотношение [685J
2
<?ч = Fq (1 — V). или F = . (3)
<7(1—<?)
Следует подчеркнуть, что в данном случае F относится к популяции в
целом. Это означает, что частоты зигот в популяции (например, те, что
ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И МИГРАЦИЯ
467
приведены в табл. 25.1) равны частотам, которые были бы в том слу-
чае, если бы популяции была свойственна определенная степень (F)
инбридинга. Что же касается каждой отдельной группы, то скрещива-
ние в них происходит случайным образом. Иначе говоря, если Fi —
коэффициент инбридинга группы и FT — коэффициент инбридинга
популяции в целом, то для примера из табл. 25.1 мы имеем Л=0 и
согласно (3) Ft=0,08/(0,6-0,4) =— . Таким образом, мы видим, что
3
величина F зависит от популяции, к которой она относится. При дан-
ной системе скрещивания чем больше популяция, тем выше значение/7.
Для иллюстрации соотношения между подразделенностью и ин-
бридингом рассмотрим пример из гл. 12. Вспомним, что длительное
скрещивание сибсов приводит к подразделению всей популяции на
множество мелких изолятов, каждый из которых состоит только из
двух индивидуумов. Однако внутри каждой группы сибсов братья и
сестры скрещиваются случайным образом. Поскольку каждая «группа»
состоит только из двух индивидуумов (четырех генов), возможные зна-
чения 9, в группах будут равны 0; 0,25; 0,50; 0,75; 1,00. Результаты,
представленные в табл. 12.1, где q= можно рассмотреть теперь под
новым углом зрения. Частота скрещиваний ЛЛХЛЛ в этой таблице —
это относительная частота групп, в которых <71 = 0, а частота скрещи-
ваний ААХАа означает относительную частоту изолятов с 92 = 0,25 и
т. д. Для примера результат скрещивания сибсов в течение двух поко-
лений переписан в виде табл. 25.2.
Таблица 25.2
Результат скрещивания сибсов в течение двух поколений;
исходные популяции состояли из одних гетерозигот
(использована строка табл. 12.1 для п=2)
Скрещивание qi fi ftqt frf
ААХАА 0 9 0 0
АА ХАа 0,25 12 3 0,75
АА Хаа 1 Аа Хаа J 0,50 22 11 5,50
Аа X аа 0,75 12 9 6,75
аа X аа 1,00 9 9 9,00
Сумма — 64 32 22
32 1 22 / 1 \2 3
Среднее и дисперсия о=-----= —, о? =--------— — = —
4 64 2 4 64 I 2 / 32
С другой стороны, в гл. 12 было показано, что для двух поколений
3 3 113
скрещивания сибсов 77=—. Следовательно, Fpq=-^—-——=—=ц2
в соответствии с соотношением (3). Таким образом, мы видим, что под-
разделенность популяции на отдельные скрещивающиеся группы экви-
валентна наличию инбридинга во всей популяции.
468
ГЛАВА 25
§ 3. ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И ГЕНЕТИЧЕСКАЯ
ДИСПЕРСИЯ
Рассмотрим количественный признак (У), который принимает зна-
чения 2, 1, 0, соответствующие генотипам АА, Аа, аа. Пусть q — часто-
та гена а во всей популяции, которая была подразделена на К равных
панмиктических групп с частотами генов qt (i=l, 2,..., К). Если под-
разделенности нет, дисперсия У в популяции в целом будет равна про-
сто 2pq = a2. При наличии подразделенности величины У (2, 1, 0)
имеют частоты (/), определяемые выражениями (2). Тогда среднее
значение У для популяции равно У=2/У=2р и дисперсия У для всей
.популяции (2) равна
°т = Ж2-V2 = 2W + 2о2 = 2pq + 2Fpq = 2W(1 + F) = о£(1 + F), (4)
где T — обозначение для популяции как целого. В любой панмиктиче-
ской группе среднее значение и дисперсия количественного признака У
равны соответственно 2рг- и 2piqt. Средняя дисперсия внутри групп,
таким образом, равна
^^ = 2W-2u2 = 2W(l-E) = u20(l-E) = (^, (5)
л
где W — индекс для обозначения внутригрупповой дисперсии. Диспер-
сия средних величин У различных групп (короче говоря, дисперсия
средних по группам) равна
S(2Pi-2p)* = 4g2 = ^Fpq = 2F(j2 = (6)
А
где М означает, что использовались средние по группам. Такую вели-
чину обычно для краткости называют межгрупповой дисперсией. Все
эти соотношения приведены в табл. 25.3.
Таблица 25.3
Дисперсионный анализ количественного признака У
в подразделенной популяции [691]
Уровень изменчивости Дисперсия У
Внутри групп Между группами ~ (1 Р) ао ~ О Р) РЧ 4 = 2F ао = 4F РЧ
Во всей популяции <4 = (1 + f) о2 = 2 (1 + F) pq
Итак, мы имеем следующую простую теорему о дисперсии количе-
ственного признака:
<4 = 4 + о2м. (7)
Если далее мы используем о2 =2р?, ожидаемое при панмиксии, в ка-
честве «стандартной» величины, то увидим, что F является мерой про-
порционального уменьшения дисперсии признаков внутри панмиктиче-
ских групп, а также дает пропорциональное увеличение дисперсии для
популяции в целом. Из табл. 25.3 можно также получить следующие
соотношения:
ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И МИГРАЦИЯ
469
2F __Рм 2F Рм
1—F о2 ’ 1 + F а2 '
Следовательно,
2 2
F = --СТм = .... (8)
2(4 + 2сФ - <4
Хотя рассмотренный выше пример включает только одну пару генов с
аддитивными действиями, формулы (7) и (8) применимы также и к
полигенным признакам при условии, что все генные взаимодействия
(как меж-, так и внутрилокусные) аддитивны. Для одной пары генов
(3) эквивалентно (8); через дисперсию генных частот выражена только
первая формула, вторая же выражена через дисперсию признаков
(вспомните, что для межгрупповых средних 4о^ = <4) • Следует также
отметить, что отношение сг^/о^ = 2Е/(1 Д-Р) представляет собой коэф-
фициент корреляции между партнерами по скрещиванию для всей по-
пуляции (гл. 13).
В этой главе все формулы для .дисперсии относятся к случаю, ког-
да гетерозиготы занимают промежуточное положение между двумя
гомозиготами. Влияние инбридинга или подразделенности на генети-
ческую дисперсию при доминировании исследовал Робертсон [552].
Тот же самый эффект в равновесной популяции описал Райт [692].
§ 4. ПОСЛЕДСТВИЯ МИГРАЦИИ
В предыдущих параграфах мы считали, что подгруппы полностью
изолированы друг от друга, так что каждая из них имеет собственную
постоянную частоту гена. Частота гена в группе может, однако, изме-
ниться вследствие миграции особей. Предположим, что большая попу-
ляция со средней частотой гена q подразделена на множество групп,
и m-я часть каждой из этих групп в каждом поколении замещается
случайной выборкой из целой популяции. Пусть частота гена в некото-
рой рассматриваемой группе равна qi. Тогда, учитывая, что часть
группы замещается иммигрантами, мы получим частоту гена в следу-
ющем поколении
= m)q. + mq = q. — m[q. — q). ' (9)
Тогда
Mi = Q'i-gl= — fn[qt — q'), . (10)
т. е. пропорционально отклонению групповой частоты гена от средней
для всей популяции.
Постулированные выше условия являются, конечно, очень искусст-
венными. В действительности обмен между соседними группами проис-
ходит чаще, чем между отдаленными, так что иммигранты не представ-
ляют собой случайной выборки из целой популяции. В таких случаях
А<7 должна быть меньше, чем это следует из (10), поскольку соседние
группы имеют тенденцию к сближению частот генов; это связано с
продолжительным обменом между ними. Было бы правильнее через q
обозначить в (10) частоту гена у иммигрантов, входящих в группу, а
не частоту гена в целой популяции. Еще одним усложняющим факто-
ром является селективная миграция (некоторые генотипы мигрируют в
большей степени, чем другие). Однако простая формула (10), которой
470
ГЛАВА 25
мы будем в дальнейшем пользоваться, вполне пригодна для иллюстра-
ции влияния миграции на частоты генов.
Наиболее очевидное следствие продолжительных межгрупповых
миграций состоит в том, что частоты генов в разных группах все более
и более приближаются друг к другу и, таким образом, в отсутствие
каких-либо противодействующих сил делают популяцию в целом более
гомогенной. Отклонение локального qi от его средней величины равно
{qi—q). В следующем поколении после обмена особями это отклоне-
ние уменьшится.
Новое отклонение = q'.— q= [?z~ т (q.— ?)] — q = (1 — tri) [q.— 9). (11)
Если является дисперсией q среди подгрупп одного поколения, то
в следующем поколении в предположении, что q остается постоянным,
эта дисперсия также уменьшится:
= (1 — /и)2 of. (12)
Поскольку величина является мерой гетерозиготности или «диффе-
ренциации» целой популяции, ее снижение означает, что подгруппы ста-
новятся более сходными. Из (3) следует, что F для целой популяции в
результате миграции также будет снижаться. Предельное значение
любого локального qi равно q.
Влияние миграции на локальные частоты генов, как это видно из
приведенных ниже соотношений, сходно с влиянием на них мутаций
[напомним, что при давлении мутаций <7 —p/(p-|-v)]:
Миграция Д<?= — tn (qi—q) =mq (1—<7z) -mp-qt
Мутации Д<7= — (p-J-v) (qi—q) ^^(l—q^ — vqi (13)
Совместное действие 6q= — (m+p+v) (qi—q) = (mq-~u,) (1—q) — (mp+v) q
Поэтому во многих случаях результаты для давления миграции можно
получить прямо из результатов для давления мутаций простой заме-
ной констант ц на mq, v на тр—т{\—q) и p+v на tn (см. гл. 27).
§ 5. МИГРАЦИЯ И ОТБОР: ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ
При изучении совместного действия миграции и отбора мы для
простоты предполагаем, что по приспособленности гетерозиготы зани-
мают промежуточное положение между гомозиготами двух типов, так
что №Аа=1—s и Waa=l—2s. Тогда совместный эффект миграции и
отбора на частоту гена будет равен [683]
\q =— sq{\ — q) — m[q — q] = — s)q + mq. (14)
(Здесь, следуя Райту [683], мы опускаем индекс i при обозначении
локальной частоты гена и вводим q для обозначения частоты гена в
популяции.) При равновесии (Д<7 = 0)
л _ (т + s) + У l(m + s)2 — 4msq ]
Q ~ , (1Ь)
л
где q — равновесная частота гена в группе, которая подвергается от-
бору с интенсивностью s и в каждом поколении получает т иммигран-
тов со стороны. Отклонение этой равновесной частоты от среднего для
всей популяции значения зависит от относительных величин т и s в
этой группе. Поскольку UZAa=l—s и U7aa=l—2s, то, если s положи-
тельно, это означает, что отбор направлен против гена а, а если отри-
ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И МИГРАЦИЯ
471
цательно, то благоприятствует ему. В дальнейшем это различие всегда
А
нужно иметь в виду, поскольку величина q, очевидно, зависит от того,
каким является ген а — благоприятным или в'редным. Рассмотрим три
случая, различающиеся по соотношению величин s и т, и получим
А
приближенные выражения для q в каждом из них.
Случай I: т = |s |. Если влияния миграции и отбора примерно оди-
наковы (величины одного порядка), то мы можем для простоты счи-
тать m=|s|. Тогда m+s=2s или 0 в зависимости от того, положи-
тельно s или отрицательно. Произведя подстановку в (15), мы полу-
чим равновесные частоты генов, которым отбор благоприятствует (s
отрицательно) и не благоприятствует (s положительно) соответст-
венно: !
q=V~q или<7=1 — V (1—9). (15Е)
Например, если для всей популяции <7 = 0,40, то равновесное значение
будет
q = 'J/'ОДО = 0,6325 или q = 1 — ]Л\60 = 0,2254
в зависимости от того, в какую сторону направлен отбор — за или про-
тив данного гена. Как мы видим, частоты генов в локальных группах
в данном случае могут очень сильно отличаться друг от друга, а это
означает, что различные группы будут обладать существенной диффе-
ренциацией при различающихся силах отбора.
Случай II: m<^|s|. Если интенсивность отбора намного выше, чем
частота замещения иммигрантами, то локальные частоты генов будут
определяться в основном отбором и лишь в незначительной степени —
«разбавляющим» влиянием иммигрантов. Следовательно, можно ожи-
дать, что локальные значения q будут широко варьировать в различ-
ных группах и сильно отличаться от среднего значения q для популя-
ции. В качестве примера примем опять q = 0,40 с т=0,01, но s =—0,15
и +0,15 соответственно. Тогда (15) для генов, которым отбор благо-
приятствует или не благоприятствует, дает соответственно
а = —0,14 —0,0024) п 96,,
4 —0,30
или
л = 0,16 —Ц(0,16а— 0,0024) = 0
0,30
Как мы видим, здесь локальные группы различаются гораздо силь-
нее, чем в предыдущем случае, — наблюдается высокая степень ло-
кальной дифференциации, зависящая от локальных условий отбора.
Иммигранты же просто предотвращают фиксацию генов или их элими-
нацию, играя роль, подобную роли новых мутаций.
Можно показать (упр. 6), что когда численное значение s намного
больше т, равновесная частота для полезных или вредных генов соот-
ветственно будет приблизительно равна
q = 1--— (1 — <7) или q = — q. (15S)
s s
_ A
Подставив сюда <7=0,40, m = 0,01, s = ±0,15, мы получим q=
= 1—0,60/15=0,960 или 9=0,40/15=0,0267. Оба эти значения очень
близки к тем, которые получены ранее по формуле (15).
472
ГЛАВА 25
Случай III: m^>|s|. Если в противоположность случаю II давле-
ние миграции намного больше, чем интенсивность отбора, положитель-
ного или отрицательного, то влияние иммигрантов будет перекрывать
действие отбора и, таким образом, сводил» на нет обусловленную им
тенденцию к дифференциации. В результате локальные равновесные
значения частот для групп будут незначительно отличаться от средней
частоты гена в популяции. Таким образом, при q, равном, как и рань-
ше, 0,40, но при т = 0,15 и s=±0,01, мы из (15) имеем
л 0,14—К(0,142 + 0,0024) „
q =--------------------— = 0,416
— 0,02
или
а = °’16 -К(0,162 - 0,0024) = 384
4 0,02
Оба значения близки к </=0,40. Чтобы получить приближенное выра-
жение (15) при этом условии, разделим уравнение Д<7=0 на
т. Тогда
-----7(1 ~q) — q + q = Q.
т
Поскольку q близко к q, мы получим
q = q ± — 7(1 —q)- (15М)
т
То что эта формула является хорошим приближением, показывает под-
Л
становка q=0,40± (0,4 • 0,6) /15 — 0,416 или 0,384. Чем больше т по
сравнению с s, тем ближе будут располагаться локальные частоты ге-
нов к средней величине q. Небольшая интенсивность отбора вызывает
лишь незначительную дифференциацию локальных групп. Это, по-ви-
димому, наиболее важный и наиболее часто встречающийся в природе
случай.
§ 6. МИГРАЦИЯ И ОТБОР: ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
В предыдущем параграфе мы считали, что приспособленности ге-
нотипов А А, Аа, аа равны соответственно (1, 1—s, 1—2s). В более об-
щем случае соответствующие величины равны (1, 1—Si, 1—s2). Легко
показать, что тогда изменение частоты гена, обусловленное только от-
бором, будет равно
Aq = q (1 — q) [(2s! — s2) 7 — sj
(в предположении, что 1Е=1—2sxpq—s2q2 очень близко к единице).
Изменение частоты при совместном действии отбора и миграции бу-
дет равно
Aq = q(l — q)[(2si~s2)q — s1] — m(q — q). (16)
При равновесии Aq=0, и мы получаем кубическое уравнение. Равно-
весное значение q для любых заданных условий (при известных Si,
s2 и т, q) можно без труда найти из этого уравнения, хотя в общем
случае решения в явном виде не существует. По аналогии с предыду-
щим параграфом найдем приближенные решения для случаев, когда
преобладает отбор или миграция.
ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И МИГРАЦИЯ
473
Случай I. Преобладающее влияние отбора. Когда $! и s2 положи-
тельны (s2>Si>0) и относительно велики, частота гена q близка к
нулю; такая частота поддерживается за счет малой иммиграции в каж-
дом поколении. Если в (16) принять (1—q) равной единице,
а —m(q—q) принять за -\-tnq, то уравнение примет вид —S\q-\-mq=
= 0. С другой стороны, если Si и s2 отрицательны (s2<Si<0, т. е.
отбор благоприятствует гену а) и относительно велики, то равновесное
значение q будет близко к единице. Если теперь принять m(q—q) рав-
ным m(l—q), уравнение (16) можно записать как (1—<?) («1—s2) —
—m(l—<7)=0. Следовательно, равновесные частоты будут приблизи-
тельно следующими:
л _
Отбор не благоприятствует гену (<7“*"0) q = mq!sx.
A _
Отбор благоприятствует гену (</—> 1) q = 1 -—m (1—^')/(s1—S2). (16S)
Случай II. Преобладающее влияние миграции. Когда коэффициент
иммиграции m гораздо выше коэффициентов отбора, равновесная часто-
та q будет приближаться к средней частоте гена q независимо от того,
является ли отбор в какой-то степени благоприятным или неблагопри-
ятным. Принимая в уравнении (16) все величины q равными q и оста-
вив без изменения отклонение (q—q), получим уравнение
Я = <7 + 1^-^- [(2sx — s2) q — sj. (16M)
m
§ 7. МИГРАЦИЯ И ОТБОР: СВЕРХДОМИНИРОВАНИЕ
Пусть приспособленности генотипов АА, Аа, аа равны соответст-
венно (1—t, 1, 1—s). Изменение частоты гена на поколение отбора
равно pq\t—(s-|-/)q]/W, где 1Е=1—tp2—sq2 предполагается прибли-
зительно равным единице. Тогда изменение частоты при совместном
действии отбора и миграции равно
\q = q{\—q)[t — (s + t)q\ — m[q — q). (17)
Если интенсивность миграции т, как и в предыдущем случае, гораздо
больше коэффициентов отбора s и t, равновесная частота будет близ-
ка к q. Заменяя в уравнении (17) все q на q и оставляя в прежнем виде
только член m(q—q), мы- сразу же получим уравнение
д = [t^fs + t^q], (17М)
т
которое имеет такой же вид, что и уравнение (16М), если отбор игра-
ет совсем малую роль. С другой стороны, если интенсивность иммигра-
ции ничтожно мала и главную роль играет отбор, то частота гена бу-
А
дет близка к //(«+/). Запишем q=tj (s+7) +х, где х — отклонение от
равновесной величины, и заменим в (17) q на эту величину; произве-
дение q(l—q) заменим на st/(sA-t)2.
Уравнение А^=0, полученное из (17), примет вид
—— U — t — (s + t)x] — т\ —-----k х — q] = 0,
(s-H)2 [ $+/ j
474
ГЛАВА 25
откуда
Равновесная частота равна
= m(s + t)q-mt_ (17S
s + i s + Z m(s-rZ)— st
Все эти результаты получил Райт, который, кроме того, рассмотрел и
другие случаи [703].
§ 8. МИГРАЦИЯ В ПОПУЛЯЦИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ
ЧИСЛЕННОСТИ
Предположим, что популяция подразделена на множество неболь-
ших групп численностью IV; каждая из них сама по себе является
панмиктической единицей, однако между группами существует опреде-
ленная миграция. В гл. 17 было показано, что свободное скрещивание
в небольшой группе из N особей в конечном счете приводит к умень-
шению гетерозиготности со скоростью приблизительно 1/2N за поколе-
ние и что окончательным уделом такой группы является полная гомо-
зиготность, если нет притока иммигрантов. F в такой группе увеличи-
вается (по мере того, как гетерозиготность уменьшается). На самом
деле, если в некотором поколении эта величина равна F, то в следую-
щем поколении она увеличится до 1/2A+[(2W—1)/(2Д7)]/? при усло-
вии, что гаметы объединяются случайно (гл. 17).
С другой стороны, иммигранты будут не только препятствовать
достижению полной гомозиготности в группе, но и смещать групповые
частоты генов к средней для всей популяции величине, так что о2 в
следующем поколении уменьшится до (1—т)2 с>2(§ 4). Следовательно,
F в соответствии с соотношением (3) также пропорционально умень-
шится. При равновесии возрастание F вследствие ограниченного раз-
мера группы из-за притока иммигрантов должно прекратиться. Поэто-
му равновесные величины F для двух последовательных поколений
равны, откуда [691]
F = (l — m)2l— + 2jV~1 Я- (18)
\2N 2N I
Это основное соотношение между величинами F и т в состоянии рав-
новесия при наличии миграции и в отсутствие отбора. (Процент им-
миграции т не следует смешивать с т, означающим корреляцию меж-
ду партнерами скрещивания в гл. 16 и раньше.) Его можно записать
двумя другими способами: в одном случае т выражено через F, в
другом — F через т, т. е.
(1 — т)2 =-------—--------
(2А7 — 1) F-j-1
или
________(1 —от)2_________
27V — (27V — 1) (1 — от)2 ’
(19)
(20)
Из этих выражений ясно, что чем больше т, тем меньше F. Если имми-
ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И МИГРАЦИЯ
475
грантов относительно мало (пг мало), то числитель (20) можно принять
равным 1, а (1—т)2 в знаменателе заменить на (1—2m); тогда (20)
сведется к
F =—?--
Wtn + 1
(20а)
Функция распределения групповых частот генов в этом равновесном
состоянии будет дана в гл. 27, однако уже сейчас ясно, что, согласно
(3) и (20), для малых пг [321, 669] дисперсия этого распределения бу-
дет приблизительно равна
a2 = Fq(l—q) = ^=^1. (21)
Более точное выражение для <з2 мы дадим после того, как рассмотрим
случайные флуктуации q в малых группах (гл. 26).
§ 9. ИЗОЛЯЦИЯ РАССТОЯНИЕМ
Для упрощения математических выкладок мы предположили, что
популяция подразделена на множество изолированных групп, которые
обмениваются друг с другом определенной долей мигрантов. Иногда
это называют «островной моделью» изоляции. Случай, противополож-
ный рассмотренному,—это большая непрерывно распределенная на
большой площади популяция, в которой скрещивание индивидуумов
ограничено «соседством» («окрестностью», «neighborhood»), так что две
отдаленные особи практически не могут скреститься друг с другом. Та-
кая неявно выраженная форма подразделенности большой непрерыв-
ной популяции известна как изоляция расстоянием (isolation by distan-
ce) [685, 691]. Здесь мы рассмотрим только наиболее элементарные
теоремы, относящиеся к изоляции. Пусть размер «соседства» (числен-
ность «соседей») равен А; тем самым мы подразумеваем, что два ро-
дителя любой особи обитают в одной окрестности, включающей N осо-
бей. Предположим далее, что распределение особей по всей площади
однородно, так что N прямо пропорционально площади соседства.
Тогда можно считать, что четыре ближайших прародителя любой осо-
би взяты случайным образом с площади, соответствующей численности
2А; в общем случае предков k-ro поколения можно рассматривать как
случайную выборку с территории размером kN. Если представлять со-
седство размером N в виде круга радиусом г, то круг, соответствующий
2N, будет иметь радиус г ]/2, поскольку площадь круга пропорциональ-
на квадрату его радиуса^Площадь размером kN будет ограничена ок-
ружностью радиусом г k. Таким образом, если площадь соседства уве-
личивается в 9 раз, радиус или расстояние увеличиваются втрое.
Пусть F{ — корреляция между объединяющимися гаметами для
соседства размером N, F2 — то же для 2N и Fh—то же для группы
kN особей; штрихи при F будут указывать на корреляции для пред-
шествующих поколений. Предполагая полностью случайное объедине-
ние гамет и вспомнив, что 62=-^-(l+F/), с помощью модифицирован-
ного соотношения (2) из гл. 17 мы получим величину F для соседства
конечного размера:
476
ГЛАВА 25
' , 1 / 1 + F"i , 2Л' — 1
Т „ -- ---- ----------- I H------------
2 2A7 \ 2 / 2Л'
3A7 — 1
3N
ГУ Ш
г\ и t. л.
Если такая структура популяции сохраняется неограниченно долго
или, другими словами, популяция находится в стационарном (равно-
весном) состоянии, то штрихи при F можно опустить, поскольку вели-
чина Fk будет оставаться одной и той же из поколения в поколение.
Тогда последовательные подстановки для некоторой конечной группы
со свободным скрещиванием в- пределах «основного» соседства разме-
ром N дадут
1 + F Г| _j_ 1 /ТУ — 1 \ 1 /iV-lW2W-l\
2АГ [ ! 2 ( N ) 3 \ N Д 2Л' J
, 1 /АГ — 1 \ /27V— 1 \ I 3N — 1 \ , 4
н---------------- ------ ....
4 ( W j\ 2N J\ 3N I J
(23)
Например, величина F для территории, в десять раз превышающей
размер основного соседства, будет задаваться суммой первых девяти
членов выражения (23) в предположении, что Е10=0. В общем случае
величина F для территории, в k раз превышающей размер основного
соседства N, задается суммой первых (k—1) членов последовательнос-
ти (23).
Очевидно, что чем больше данная группа, тем выше будет F для
этой группы с фиксированным основным соседством размером N. Пре-
дельное значение F, если размер популяции неограниченно увеличива-
ется, равно 1. Это предполагает, что сумма неограниченной последова-
тельности внутри квадратных скобок (23) равна N (упр. 10).
Пусть ti представляет i-й член последовательности внутри квад-
ратных скобок (23) и Sii = + ... +бг-i — сумма ее первых (k—1) чле-
нов. Тогда величина F для группы размером kN равна
F = [2/] или F = * . (24)
2Л' 2AZ —5< 4 '
Здесь полезно рассмотреть простой числовой пример. Предположим,
что основное панмиктическое соседство имеет размер, равный лишь
N= 10, и надо узнать величину F для группы, большей в /?= 10 раз.
Тогда
<1== 1,000000 tt=0,206625 ’ <,=0,110937
<2=0,450000 <5=0,161168 /8=0,095683
<3=0,285000 <6=0,131620 <9=0,083989
S<=2,525
/? = £1525 = 0 1445
20 — 2,525
и
(рис. 25.1). Когда N и (или) k велики, расчет суммы 2/ представляет
ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И МИГРАЦИЯ
477
собой трудоемкий процесс. Однако формулу (24) можно представить
и в другом, более простом виде. Обратите внимание, что k-й член по-'
следовательности можно записать в общем виде
£-1
th= — (1-—)... (i—-—)=—П f1 V
h k \ N ) ( (k - 1) N ) k 1 1 ( IN )
k=i
Таким- образом, соотношение между двумя последовательными
ми будет
_ (£— 1) Л7 — 1 ,
k~ kN k^‘
С помощью этого соотношения можно показать (упр. 9), что
первых (k—1) членов (23) равна
2^ = ^(1-^).
Подставляя эту величину в (24), мы получим
Р__ St _____ 1 — ktk
~ 2N — St ~ 1 + ktk
Убедимся в справедливости (28) на предыдущем числовом примере,
где Д7=10 и £=10. Путем прямого расчета или используя соотноше-
ние (26), мы получим, что /ю= (0,89) (0,083989) =0,07475, так что
Ю/1о=О,7475. Таким образом, как и раньше,
р = 1 -0,7475 = 0,2525 = q 1445
Ц-0,7475 1,7475
На рис. 25.1 представлены значения F для групп размером kN при
различном размере основного соседства N. При больших k величину
ktk можно рассчитать, взяв от нее логарифм, а затем по (28) найти F.
(25)
члена-
(26)
сумма
(27)
(28)
Рис. 25.1. Коэффициенты инбридинга (F) для популяций, в k раз больших основного
соседства N [691].
Поскольку для разных групп или соседств является мерой сте-
пени «дифференциации» (гетерогенности, или изменчивости) большей
популяции и так как F прямо пропорционально о2, мы можем исполь-
зовать F как меру дифференциации в большой непрерывно распределен-
ной по ареалу популяций. Из свойств функции распределения q (кото-
рые будут рассмотрены в гл. 27) можно сделать вывод, что когда
77>— это эквивалентно тому, что Nm в выражении (20а) меньше
478
ГЛАВА 25
~^-j, то популяция в целом очень сильно дифференцирована. Даже
когда /7='0,05, между группами или соседствами будет существовать
значительная дифференциация. С другой стороны, если Е^0,005,
дифференциация будет весьма незначительна. Таким образом, из
рис. 25.1 очевидно, что если панмиктическая единица (соседство) не-
велика (равна, например, 10), то даже на участке, в 100 раз превы-
шающем размер основной единицы (который занимает площадь ра-
диусом, только в 10 раз большим радиуса соседства), существует зна-
чительная локальная дифференциация. Если размер соседства N =
= 100, дифференциация становится значительной только при гораздо
больших расстояниях. Если размер совокупности больше 1000, то кар-
тина становится аналогичной той, которая имеет место при свободном
скрещивании во всей популяции. Следовательно, наиболее важным
фактором при изоляции расстоянием является размер основной пан-
миктической единицы.
§ 10. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ИЗОЛЯЦИИ
Если большая популяция непрерывно распределена вдоль узкого
пояса, например вдоль берега реки, то размер группы будет прямо про-
порционален расстоянию, а не корню квадратному из расстояния, как
при непрерывно заселенной площади. Все соотношения для такой попу-
ляции аналогичны (26), (27) и (28) за исключением того, что (k—1) и/г
заменяются соответственно на V (k—1) и k. Таким образом, диф-
ференциация водномерном случае для того же самого расстояния намно-
го выше, чем при непрерывно заселенной площади. Например, если раз-
мер основной панмиктической единицы меньше 100, то в различных
частях пространства, которое только в 100 раз больше основной едини-
цы, могут фиксироваться разные аллели [685, 691].
Хотя в больших популяциях может обнаруживаться одинаковая
степень дифференциации, мерой которой служит величина F, тип диф-
ференциации в случае непрерывного распределения при ограниченном
размере соседства совершенно отличается от типа дифференциации изо-
лированных групп с ограниченной долей иммигрантов. В первом случае
смежные соседства имеют большое сходство и дифференциация усили-
вается постепенно с расширением площади; в последнем же случае две
смежные группы могут в корне отличаться друг от друга и не корре-
лировать между собой.
Модели с изолированными группами («островами») и с однородным
непрерывным расселением — это два крайних случая. В действительно-
сти могут существовать все градации промежуточных типов распределе-
ния и соответствующие им типы дифференциации могут иметь смешан-
ную природу. По-видимому, когда рассматривают различие между
сравнительно большими площадями, более применима модель диффе-
ренциации островного типа, а когда рассматривают вариацию
внутри одной такой площади, более адекватна модель дифференциации
непрерывного типа. Как мы отмечали раньше, при математическом рас-
смотрении структуры популяции приходится прибегать к простым мо-
делям. Именно по этой причине для решения вопроса изоляции расстоя-
нием мы предложили непрерывное и однородное распределения особей
на площади или вдоль узкого пояса. Любой биолог-полевик знает, что,
как правило, фактическое распределение любых видов бывает каким
угодно, только не однородным. Усложняющим фактором является из-
менение плотности популяций от участка к участку. При этом размер
ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И МИГРАЦИЯ
479
N на участке с высокой плотностью просто может быть больше, чем на
скудно заселенном участке такого же размера. Если распределение
очень нерегулярно, то дифференциация большой популяции может быть
значительнее, чем это следует из любой приведенной здесь формулы.
§ 11. ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ В СЛУЧАЕ
МНОЖЕСТВЕННЫХ АЛЛЕЛЕЙ
Во всех предыдущих параграфах предполагалось наличие только
двух аллелей в локусе или же один аллель рассматривался как аль-
тернатива по отношению ко всем остальным. При одновременном рас-
смотрении всех аллелей формула Валунда для частот генотипов оказы-
вается уже не столь простой. Приводимые ниже рассуждения справед-
ливы для любого числа аллелей, однако здесь достаточно проиллюстри-
ровать их для трех аллелей. Пусть pt, qt, rt—частоты аллелей Аь
А2, А3 соответственно в i-м изоляте (или группе) относительного размера
wt, Pt + rt = \ и 2ауг=1. При случайном скрещивании в каждом
изоляте частоты генотипов будут р2 А[А1г 2ptqt А]А2 и т. д. Частоты ге-
нотипов для целой популяции приведены в табл. 25.4; черта над всеми
средними значениями частоты генов опущена, т. е.
р = р = %wt pt и т. д.
Таблица 25.4
Частоты генотипов в популяции, состоящей из панмиктических групп [398].
о2— дисперсия частоты аллеля А, и Оц— ковариация частот аллелей А, и Aj
Ai А2 Ag Частота гена
Ai Р2+о21 pq 4- o!2 pr + Oj3 P
pq + ^12 ^+of qr + O23 q
Аз рг + 013 qr + о23 r2+o^ r
Частота гена р q r 1
Дисперсия частоты аллеля Ai сел—р2; таким образом, частота
генотипа AiAj во всей популяции равна 2р2.щ{. =p2+of. Ковариация
частот аллелей Ai и А2 —pq, так что qt wp^pq+oiz
(табл. 25.4). Эти величины дисперсии и ковариации взаимозависимы,
поскольку Pt + qt + Г{=1. Например, дисперсия частоты аллеля Aj
равна дисперсии объединенных частот (Аг+А3), так как рг=1— (<7г +
+г <)•
of = °(2-|-з) = о2 4~ оз + 2а2з. (29)
Таким образом, все ковариации можно выразить через дисперсии:
2oi2 = Оз — о? — о2; 2ffi3 = о2 — of—о3; 2о23 = of— о|—о3. (30)
Суммы дисперсий и ковариаций в каждой строке табл. 25.4 равны нулю:
о? + ом + 01з = 0; 012 + о2 4~ а23 = 0;
013 + о23 + о3 = 0. (31)
Каждая из ковариаций в зависимости от типа подразделенности всей
480
ГЛАВА 25
популяции может быть отрицательной, положительной или равной ну-
лю. Так, например, если сц2 положительна, то, согласно (31), обе кова-
риации— О]з и о2з — должны быть отрицательными.
Из всего сказанного выше можно сделать вывод о существенном
различии между инбридингом и подразделенностью. В первом случае
(табл. 13.8) частота каждого гетерозиготного генотипа уменьшается в
(1—F). В последнем же случае (табл. 25.4) частота отдельной гетеро-
зиготы по сравнению с соответствующей частотой для панмиктической
популяции с теми же самыми частотами генов может либо уменьшиться,
либо увеличиться, либо остаться той же самой в зависимости от знака
и величины соответствующей ковариации. Общая частота всех гетеро-
зигот, конечно, уменьшается вследствие увеличения частоты гомозигот.
§ 12. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОБЪЕДИНЯЮЩИМИСЯ ГАМЕТАМИ
Коэффициент инбридинга F определялся нами как коэффициент
корреляции между объединяющимися гаметами. Как мы видели, при
инбридинге (табл. 13.8) корреляция действительно равна F независимо
от выбора шкалы измерения условных величин, приписываемых алле-
лям Ai, Д2, А3. Однако для подразделенной популяции это не так. Из
табл. 25.4 видно, что коэффициент корреляции изменяется в зависимости
от шкалы условных величин аллелей А1; Аг, А3. Поэтому единого пока-
зателя степени связи между объединяющимися гаметами не существу-
ет. Это становится совершенно очевидным, если рассматривать сим-
волы Ai, А2 и Аз как три качественные градации некоторого признака.
Тогда табл. 25.4 превращается в обычную таблицу сопряженности приз-
наков, для которой нет единого показателя степени связи. Иными слова-
ми, единого показателя (подобного F), который мог бы характеризовать
распределение генотипов, представленное в табл. 25.4, не существует.
Тем не менее нам хотелось бы ввести какую-то меру связи между
объединяющимися гаметами в целой популяции. По аналогии с F вве-
дем для каждого из аллелей Aj величину ф3-, определяемую следующим
образом:
= Ф1Р (1 — р), о2 = Ф2(1 — 7), <4 = ФзГ(1 —г). (32)
В качестве общей меры связи Ясуда [708] предложил средневзвешенное
величин qij, где вес берется по частоте аллеля:
°1 а2 аз
<Р(зз)=Ф1р+ф2<7 + <Рз/'= ---h~-----Ь-----• (33)
1 —р 1— q 1— г
Хотя Ясуда и сохраняет для величины (33) символ F, следует подчерк-
нуть, что он не имеет смысла или свойств коэффициента корреляции.
Несколько иные меры связи были предложены Ли [398]. Самая
простая из них основана на общей частоте гетерозигот в целой популя-
ции. Пусть Но—2(pq-\-prA-qr)—общая доля гетерозигот в соответст-
вующей панмиктической популяции, а На — общая доля гетерозигот в
подразделенной популяции (табл. 25.4). Тогда общую меру связи
можно представить таким образом:
Ф (34) = H0 — Hd — °1 + °2 + Рз _ <Р1 Р ( 1 — Р) + <Р2 ? (1 — 7) + <РзГ (1 — <)
но 2 (pq + pr + qr) р (1 — р) ф- q (1 — q) + г (1 — г)
(34)
Видно, что мера ф (34) также является средневзвешенной величин ф3- с
весами, равными р(1—р~), q(l—q), r(l—r), а не р, q, г, как в (33).
ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И МИГРАЦИЯ
481
Еще одна простая мера основана на частотах гомозигот. Пусть хц—
частота гомозиготы AjAj. Ли [356] отметил, что прр истинном инбри-
динге S (Xu/Qi} = 1 + (k—1)F, где k — число аллелей (гл. 13). В случае
подразделенной популяции можно ввести величину, аналогичную F. Та-
ким образом, для трех аллелей запишем
(k — 1) ср (35) = — 1.
Р q г
Подставив сюда хи=р2+О1 и т. д. и упростив выражение, получим
1 [ о? о? а? ] j
ф(35) = — — Ч------1--= —- {Ф1(1 — р) +<р2(1 — q) +ф8(1 —г)},
2 [ р q г } 2
(35)
что является еще одним средневзвешенным индивидуальных величин
Ф;, так как (1—р) + (1—<?) + (1—г) =2. Если мы используем метод
наименьших квадратов, считая частоты генотипов в подразделенной по-
пуляции (табл. 25.4) «наблюдаемыми» величинами, а частоты генотипов
в популяции с инбридингом (табл. 13.8)—«ожидаемыми», то путем
минимизации суммы квадратов отклонений (наблюдаемое—ожидаемое)
получим еще одну, наиболее общую меру связи. Такая мера была также
получена Ли [398]. И наконец, можно взять невзвешенное среднее ин-
дивидуальных величин ф3-, т. е.
Ф (36) = -у (Ф1 + Ф2 + Фз). (36)
Безусловно, существует немало других показателей для оценки связи
между объединяющимися гаметами в подразделенной популяции. На
современном уровне наших знаний ни одному из них нельзя отдать пред-
почтение, поскольку их математические свойства исследованы пока не
полностью. Ясно, однако, что единого показателя, который бы полностью
описывал подразделенную популяцию в случае множественных аллелей,
не существует.
§ 13. СМЕШЕНИЕ ЧЕРНОЙ И БЕЛОЙ РАС В США
Поскольку в США потомки от смешанных браков между белыми и
неграми считаются неграми, любое скрещивание между двумя этими
популяциями приводит к одностороннему потоку генов от популяции
белых к популяции «негров». Пусть qG—исходная частота гена в негритян-
ской популяции до того, как началось скрещивание с белыми, a Q —часто-
та, того же самого гена у белых американцев. Пусть, далее, т — доля
генного пула негров, которая оказалась замещенной генами белых, «им-
мигрировавшими» в результате смешанных браков в каждом поколении.
Тогда через одно поколение со смешанными браками частота гена в
негритянской популяции изменится от qo д,о
Яг = (1 — т) q0 + mQ.
Аналогично этбму для ft-го поколения при продолжающемся смешении
qh = (1 — т) qk-\ + mQ. (37)
Выразим qi, через q0. Поскольку вес q0 в каждом поколении уменьшается
в (1—т), через ft поколений мы будем иметь
<7ft = (l-m)4 + U-(l-«)*}<?• (38)
Если исходные и существующие в настоящее время частоты генов у аме-
31—322
482
ГЛАВА 25
риканских негров, так же как и у белых американцев, известны, а нам
требуется найти т для данного числа поколений, то приведенное выше
уравнение можно представить в более удобной форме [189]:
(l-m)ft = ^=^-. ' (39)
Qo Q
Например, для частоты аллеля /?° (один из аллелей серии Rh) qa =
= 0,630, б?й = 0,446 и Q = 0,028. Если принять, что за 275 лет (1675—
1950) сменилось &=10 поколений, считая одно поколение равным 27,5
года, мы получим
/1 мп 0,446 — 0,028 пеплос
(1 — т)10 = —=---------= 0,69435.
0,630 — 0,028
Отсюда
т = 0,0358, или 3,58% на поколение.
Используя это значение т, можно «реконструировать» частоты аллеля
/?° для десяти поколений американских негров.
Поколение 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
q 0,630 0,608 0,588 0,568 0,548 0,530 0,512 0,494 0,478 0,462 0,446
Если т от поколения к поколению меняется, что вполне естествен-
но, то ее значение, определенное изложенным выше методом, есть сред-
нее т за k поколений.
Мы выразили однонаправленный «поток» генов от белых к черным
через скорость т за поколение. Однако точно число поколений для это-
го процесса неизвестно, а, кроме того, в Соединенные Штаты существо-
вал непрерывный поток негров в течение длительного времени. Исследо-
вателей интересует, как правило, лишь общее совокупное количество
генов белых, имеющихся в популяции американских негров. Рассмотрим
частоты аллеля R° в виде следующей диаграммы:
0,028 0,446 0,630
|---------------------------1-----------------1
Q qk qo
Ясно, что расстояние (qo—Qk) определяется потоком генов белых в не-
гритянскую популяцию, а расстояние (qk—Q) соответствует остальным
генам негров. Тогда можно составить следующие пропорции:
ц/ ~ Qo — qk °,184 __ q jpg (гены белых),
q0 — Q 0,602
В — —2. — 0,418 = 0,694 (гены негров),
q0 — Q 0,602
учитывая, что согласно (39), В=(1—m)h. Из этих данных можно сде-
лать вывод, что у американских негров 30% генов — от белых людей.
Гласс и Ли [189] исследовали ряд других локусов и получили ана-
логичные результаты. С тех пор появилось немало исследований на эту
тему. Модель потока генов стала более усложненной, так как в нее вве-
дена скорость перехода генов от негров к белым (обратный поток) и
от других рас (например, от американских индейцев), которые также
участвовали в процессе смешения.
Рид [532, 533] сделал обзор экспериментальных данных, а также
представил свои собственные, рассмотрев еще целый ряд других локу-
ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И МИГРАЦИЯ
483
сов. Он справедливо подчеркнул также, сколь важно в таких исследова-
ниях знать выборочную ошибку. Его основной вывод сводится к тому,
что оценка 1Е=30% генов белых, полученных по аллелю 7?°, по-видимо-
му, сильно завышена. Средняя оценка для различных регионов по раз-
ным локусам равна, вероятно, 22—27%.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Если популяция подразделена на К изолированных панмиктичес-
ких групп с частотами генов qi в i-й группе, то доля гетерозигот во всей
популяции будет равна
Н = ,) = = 2, -2 « + „’) = 2?(1 - ,) -24
А А
2. Когда популяция подразделена на множество групп, частоты ге-
нов которых принимают всевозможные значения, можно рассматривать
q как переменную, непрерывно изменяющуюся от 0 до 1 с функцией рас-
пределения ф(б?). Таким образом, .
1 1
J<p(7)<ty = 1, ^qv(q)dq = ^
о о
и
а4= f (v — ?)2Ф (<Z)^ = J 72<Р G?) dq — q2.
6 о
Для этого непрерывного случая также справедлива формула Валунда
Н = 2 J q (1 — q) ф (q) dq = 2q (1 — q) — 2<J2.
0
3. Рассмотрев результаты постоянного скрещивания сибсов (табл.
12.1), которое подразделяет целую популяцию на множество изолятов
размером N—2, мы увидим, что через три поколения (п=3 в табл. 12.1)
q будут распределены следующим образом:
q 0 0,25 0,50 0,75 1,00 Сумма
f 53 44 62 44 53 256
Покажите, что q = —, о2 — —, F = —, a2=Fpq.
4 2 q 8 2 q
4. Проанализируйте дисперсию У (для количественного признака,
по отношению к которому действие генов является аддитивным) для
пяти групп, приведенных в табл. 25.1,. и проверьте соотношения, приве-
денные в табл. 25.3, и выражение (8).
5. Мы показали, что при т = 0,01 и s=—0,15, 67 = 0,9611, а (? = 0,40.
л
Покажите, что при этом Дб? = О (§ 5). Проделайте то же самое для q =
= 0,0256 с s = 0,15.
6. При выводе соотношения (15) мы воспользовались тем, что
}/(1 ±е) = 1 ± ~ е> когда е мало по сравнению с единицей. Если s много
31*
484
ГЛАВА 25
больше т, то величиной (m/s)2 можно пренебречь, так что квадратный
корень в (15) можно записать так:
s 1/71+^-^ S(1 + ЛЬ -2-^U s + т-2m?.
F \ S S / \ S S J
Отсюда получаем выражение (15S) для положительных и отрицатель-
ных s:
л _ (т + s) — (и + s) + 2mq 2mq т —
q ~ 2s ~ 2s ~ s
л (m — s) + (m — s)—2mq —2s -f- 2m — 2mq j m if ~)
9 “ —~2s ~ ^2s ~ Г — q‘‘
7. Совместное давление миграции и мутаций формально можно
представить в том же виде, что и давление одной миграции. Следова-
тельно, равновесную величину, соответствующую (15), но включающую^
влияние мутаций, можно получить, просто подставив mq+v вместо mq
и /и(1—б7)+р вместо т(1—q). Таким образом [680], при больших s
9 = m7+v или
S S
При больших т
Ч = q + [s?(2 —+p(1 —q} —vq],
причем последнее является приближенным решением уравнения
Д7=— S<7(1— q) — m(q — q} + ц (1 — q) — vq = 0.
8. Если в панмиктической группе отбор интенсивности s направлен
против особей с рецессивным признаком, но в каждом поколении в эту
группу поступает r-я доля гомозиготных по рецессивному гену иммигран-
тов, то частоты зигот в следующем поколении будут равны р2, 2pq, q2(l—
—s) +r. В таком случае
д = q~sq2 +г __ r(\~q)—sq2(\—q)
9 1 — sq2 + г 4 \—sq2 + г
Если s и г малы, так что знаменатель приведенного выше выражения
можно принять за единицу, то равновесные величины будут равны [194]
или 9=1, или q=]/ ~ Последнее условие показывает, что равнове-
сие возможно только при r<s. Очевидно, что если частота иммигрирую-
щих особей с рецессивным признаком больше частоты рецессивов, кото-
рые элиминируются в каждом поколении, то в конце концов все особи
популяции будут гомозиготными по рецессивному гену и окончатель-
ным будет состояние 9=1. Это простейший пример селективной мигра-
ции. Холдейн [194] описал еще ряд случаев равновесия между отбором
и миграцией.
9. Соотношение (26) для двух последовательных t можно записать
в следующем виде (Хутон, по [691]):
kNt. = {k — 1) Nt. , — tk р
Отсюда
(k-l)Ntk^ = (k-2)Ntk^~tk_2
ПОДРАЗДЕЛЕННОСТЬ И МИГРАЦИЯ
485
(Л —2)^ft_2= (А —3)^ft_3 —/А_3
3Nt3 = 2Nt2 — t2
2Nt2 = — tj
kNtk= N — S^(t = l, ... , k — 1).
Все остальные величины взаимно уничтожатся и первым членом после-
довательности будет t\ — 1. Следовательно,
SZ = N — kNth = N (1 — kth),
т. е. (27).
10. Для доказательства того, что сумма бесконечной последователь-
ности внутри скобок (23) равна N, нам нужно лишь убедиться, что
при неограниченном возрастании k, что как раз иллюстрирует
соотношение (27). Теперь мы запишем
,, [N—l\ j 2N—l\ [3N — \ \
kth = ----- ------- ------- ... =
\ N )\ 2N ]\ 3N )
1
где 2(1/X) = 1+ 4-+ 4 + Г + -
£ о 4
Известно, что этот ряд расходится .
(его сумма «бесконечна»). Поэтому при й->оо и
ГЛАВА 26
Малые популяции
и эффективная численность
В основе нашего анализа менделевской популяции, за исключением
той его части, которая дана в гл. 17, лежит предположение, что популя-
ция и даже группы, на которые она подразделена, достаточно велики,
чтобы в них при постоянных внешних условиях поддерживалась устой-
чивая равновесная частота гена. Однако, если численность группы огра-
ничена, ситуация становится более сложной, поскольку частоты генов
подвергаются изменениям особого типа, совершенно не зависящим от
изменений, вызванных мутациями, отбором и миграцией. В данной гла-
ве мы вкратце рассмотрим этот путь изменения частот генов в малой по
численности популяции.
§ 1. СЛУЧАЙНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ЧАСТОТЫ ГЕНА
Рассмотрим популяцию из N диплоидных раздельнополых особей.
Будем считать, что такая популяция представляет собой случайную вы-
борку 2N гамет из популяции предыдущего поколения. Если частота
гена а в родительской популяции равна q, то в популяции из 7V потом-
ков она будет случайной величиной, распределенной по биномиально-
му закону
[р(Л) + <? (а)12\ (1)
(27V4-1) возможных значений q в популяции потомков из N особей равны
О 1 2 / 2 А —2 2У-1 j (1,
’ 2У ’ 2N ’ " ’ 2N ’ " ’ 2N ' 2N ’ ’ ' ’
Вероятность того, что в следующем поколении q примет значение q$ =
= i]2N, равна, таким образом, [669]
p™-iq1 = / 27V \ p2NpiqWqi' (2)
\ ! / \2Ngj /
Она известна как вероятность перехода для цепи Маркова, описываю-
щей этот процесс [153]. Короче говоря, частота гена варьирует в резуль-
тате случайного извлечения выборки ограниченного размера. В следую-
щем поколении она может возрасти или уменьшиться, причем такое из-
менение может быть как большим, так и малым. Изменения этого типа
происходят случайным образом. Пусть §q = qi—q—-случайное отклоне-
ние частоты гена от его значения в предыдущем поколении в отличие от
систематического отклонения \q, вызываемого мутациями, отбором и
(или) миграцией. Тогда дисперсия 6q за одно поколение равна
МАЛЫЕ ПОПУЛЯЦИИ И ЭФФЕКТИВНАЯ ЧИСЛЕННОСТЬ
487
4? =
?(!—?)
2N
(3)
Это есть не что иное, как дисперсия распределения q, задаваемого раз-
ложением (1). Чтобы получить представление об амплитуде случайного
изменения q в малой группе, рассмотрим выборку из М = 50 особей, для
родителей которых . Частота гена для 50 особей будет, таким об-
разом, варьировать около средней величины, равной ~~,со стандартным
отклонением
Вероятности, с которыми q принимает различные значения, приведены
в табл. 26.1 (использована аппроксимация нормальным распределе-
нием) .
Таблица 26.1
Распределение вероятностей q в выборке потомков (А7=5О) из родительской популяции
1
с?=Т
q <0,35 0,35— 0,40 0,40— 0,45 0,45— 0,50 0,50— 0,55 0,55— 0,60 0,60— 0,65 0,65+ Сумма
Вероятность 0,002 0,021 0,136 0,341 0,341 0,136 0,021 0,002 1,000
Распределение из табл. 26.1 можно представить и по-другому.
Если мы одновременно рассматриваем в родительской популяции боль-
шое число локусов каждый с частотой 0,50, то в следующем поколении
вследствие случайностей процесса выборки некоторые из локусов будут
иметь более высокую, а другие — более низкую, чем 0,50, частоту. Ве-
роятности, приведенные в табл. 26.1, дают долю локусов в определенном
интервале частот. В данном случае следует ожидать, что в следующем
поколении более 2% этих локусов будут иметь частоту между 0,60 и
0,65.
Табл. 26.1 можно интерпретировать еще одним способом. Если мы
рассмотрим некоторый локус (скажем, А, а) и предположим существо-
вание множества малых групп одинакового размера N с одной и той же
равной 0,50 частотой генов у родителей, то вероятности из табл. 26.1 да-
дут нам долю таких групп со значением q в определенном частотном ин-
тервале. Мы видим, что более 2% этих малых групп численностью по 50
особей каждая в следующем поколении будут иметь частоту гена между
0,60 и 0,65. Обе интерпретации еще пригодятся нам в дальнейшем.
Для локусов, сцепленных с полом, дисперсия случайного отклонения
8q за одно поколение в группах из 2V особей, половина которых самцы,
а половина самки, приблизительно равна
2 __ 2<?(1 — д)
3N
(4)
Это на 50% больше, чем в случае аутосомных генов. Если в размноже-
нии участвует один родитель (например, при вегетативном размножении
или самоопылении у некоторых растений) и родительская популяция со-
488
ГЛАВА 26
стоит из р особей одного типа и q — другого, то дисперсия 69 для N по-
томков будет равна
„ = (5)
что вдвое больше той, которая задается формулой (3).
§ 2. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ СУДЬБА МАЛЫХ
ПО ЧИСЛЕННОСТИ ГРУПП
Случайные флуктуации q в малой группе иногда называют генети-
ческим дрейфом1 (qenetic drift), так как q в последовательных поколени-
ях как бы дрейфует, не стремясь ни к какому определенному значению
Рис. 26.1. Случайные изменения q
в малой популяции, которые при-
водят в конце концов к элимина-
ции или фиксации гена; чем мень-
ше популяция, твм быстрее дости-
гаются конечные точки.
в отличие от ситуации, возникающей при систематических ее изменени-
ях. Поскольку q заключена между 1/2AZ и (27V—l)/2Af, дрейф q происхо-
дит в обоих направлениях. Независимо от исходного значения q, через
достаточно большое число поколений случайного скрещивания она мо-
жет оказаться практически любой. Если в итоге в результате кумулятив-
ных случайных отклонений q станет малой, то в следующем поколении
это не помешает ей или уменьшиться еще больше, или, наоборот, воз-
расти; может оказаться так, что из-за случайностей процесса выборки
ген в следующем поколении будет совсем потерян или фиксирован. Как
только это случится (q равно 0 или 1), дальнейшие изменения q в после-
дующих поколениях прекратятся. Точки q = 0 и 1 являются как бы «ту-
пиками», в которых прекращаются всякие изменения частоты. Это необ-
ратимый процесс (рис. 26.1).
Из (3) видно, что когда q близка к 0 или 1, ее случайное изменение
меньше, чем в случае, когда q имеет промежуточное значение. Однако в
связи с высокой вероятностью элиминации или соответственно фиксации
гена в последующих поколениях случайный фактор с большей «опреде-
ленностью» действует в первом, чем в последнем случае.
Так как q могут достигать «тупиковых» конечных точек 0 и 1, часто-
та генов в малой популяции (независимо от исходного значения) будет
1 В отечественной литературе нередко употребляют термин «генетико-автоматиче-
ские процессы» вслед за Н. П. Дубининым и Д. Д. Ромашовым (1931, 1932), открыв-
шими это явление независимо от Райта. — Прим. ред.
МАЛЫЕ ПОПУЛЯЦИИ И ЭФФЕКТИВНАЯ ЧИСЛЕННОСТЬ
489
в конце концов равняться нулю или единице, если такая популяция будет
существовать в изоляции в течение длительного времени (измеряемого
в поколениях). Другими словами, популяция будет состоять только из
особей АА или аа, даже если имеет место случайное скрещивание. Зна-
чение этого процесса для эволюции будет обсуждаться в последнем па-
раграфе данной главы.
Чтобы не прибегать к абстрактным рассуждениям, читателю-биоло-
гу, пожалуй, стоит разобрать сейчас простой пример, иллюстрирующий
процесс окончательной фиксации и полной элиминации генов в малых
популяциях. Этот пример в биологическом смысле нереален, однако он
настолько прост, что даже те, кто не знаком с основами теории случай-
ных процессов, смогут вникнуть во все детали метода и оценить полу-
ченные результаты. Читатели, интересующиеся математической стороной
вопроса, могут обратиться к работам по теории случайных процессов
[153, 502а, 262а, 299, 273b и т. д.].
Пусть число обоеполых особей в некоторой группе равно N=2, т. е.
они несут 2А7 = 4 гена (Л или а). Тогда число генов а в этой группе (/)
может быть 0, 1, 2, 3, 4, и частоты генов будут равны соответственно
(4) р=1 3/4 1/2 1/4 0
(a) q=0 1/4 1/2 3/4 1
Состояние j=0 12 3 4
(число генов а)
Будем рассматривать пять возможностей (/=0, 1, 2, 3, 4) как пять
«состояний», в которых может находиться популяция. Так, если /=1,
это означает, что популяция находится в состоянии 1 и т. д.
Пусть далее популяция из /V особей образована 27V гаметами, из-
влеченными случайным образом из родительской популяции с данной
частотой гена. Как указывалось в предыдущем параграфе, мы будем
рассматривать простой случай, в котором вероятности «перехода» зада-
ются разложением бинома (2) при условии, что выбор производится с
возвращением или что число родителей очень велико, хотя популяция
потомков мала по численности. Иными словами, в нашей модели рас-
сматривается малая выборка из большой популяции.
Предположим, что родительская популяция имеет частоты генов
(р, q). Тогда, согласно формуле (2), вероятность того, что случайная
выборка четырех генов из такой популяции будет состоять из трех генов
/ 4 \
А и одного гена а, будет равна ( Если, например, родительская
популяция находится в состоянии 2, т. е. если p = q=~, вероятность того,
что популяция потомков окажется в состоянии 1, равна
4 w_LY7_LV = 4._l = 1
21 1 j\ 2 Д 2 ) ’16 4 ‘
Приведенную здесь вероятность /21 называют вероятностью перехода из
состояния 2 в состояние 1 за одно поколение. Таким же образом мы по-
лучим все возможные вероятности перехода t-ц из состояния популяции
родителей к состоянию популяции потомков. Систематизируем их ука-
занным на стр. 490 образом.
Столбец (0, 1, 2, 3, 4) слева от матрицы представляет состояние по-
пуляции родителей, строка (0, 1, 2, 3, 4) над матрицей — состояние по-
пуляции потомков. Сумма вероятностей перехода для каждой данной
родительской популяции (т. е. фиксированной строки t) равна единице.
Такая таблица условных вероятностей называется матрицей перехода
(или стохастической матрицей).
32—322
490
ГЛАВА 26
Состояние популяции потомков
(0) (1) (2) (3) (4)
(0) ~ 1 0 0 0 0 ~
(1) /10 /ц /12 /13 /14
Г = (2) ^20 tzi /22 ^23 /24 = (6)
(3) /30 isi /32 /33 /34
(4) 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 -
_з_у (4 'j / 1 у /_з_у / 4 w 1 у/3 У /4 V АУ АА /АУ
4 / ( 1 ; ( 4 Д 4 / (2Д4Д4/ ( 3 Д 4/(4/ ( 4 /
А У ( 4 ) / JV /JV / 4 у-АУАУ Ay/A'i
2 / ( 1 / ( 2 Д 2 / ( 2 Д 2 / ( 2 / ( 3 К 2 Д 2 / Ы =(6а>
АУ ( 4 'i / АУ /А У / 4 //АУ/АУ / 4 \/ з_у / а\ /Ау
Т/ ( 1 ) 0 ( 4 Д 4 / 0 1 81 256 _ А ~ 256 1 256 0 (2 Д 4 Д 4 / 0 0 0 0 108 54 12 256 256 256 64 96 64 256 256 256 12 54 108 256 256 256 0 0 0 \ з /\ 0 - 1 256 16 256 81 256 1 4/(4/ 0 (6Ь) X 4 / 1
Отметим, что если родительская популяция находится в состоянии
0 (т. е. состоит только из особей АА), то популяция потомков должна
быть в состоянии 0, и других возможностей здесь нет. Следовательно,
соответствующая строка будет иметь вид (1, 0, 0, 0, 0). Точно так же если
родительская популяция находится в состоянии 4 (все особи аа), то по-
пуляция потомков тоже должна быть в состоянии 4, если не учитывать
мутации или иммиграцию; следовательно, строка вероятностей имеет
вид (0, 0, 0, 0, 1). Эти два состояния (0 и 4) называются «поглощающи-
ми» (absorbing state); к ним популяция может перейти из других состоя-
ний, однако, однажды оказавшись в одном из них, уже не сможет из него
выйти.
Для большей ясности будем называть состояние 4, в котором попу-
ляция представлена только особями аа (ген А отсутствует), состоянием
фиксации для гена а. Из самой природы вероятностей перехода и погло-
щающих состояний уже интуитивно ясно, что все популяции независимо
от их начальных состояний в конце концов перейдут в состояние 0 или 4.
Найдем теперь вероятность того, что ген а когда-нибудь зафиксируется
при разных начальных состояниях популяции.
Если исходная популяция находится в состоянии 0 или 4, то она
останется в этом состоянии и в дальнейшем не будет изменяться. По-
этому нам остается изучить только состояния 1, 2 и 3. Пусть Х\, Х2, Х3—
вероятности фиксации (достижение состояния 4), когда исходная попу-
ляция находится в состояниях 1, 2, 3 соответственно. Рассмотрим попу-
ляцию в исходном состоянии 1. В нашем примере вероятность того, что
/ 1 \4
популяция перейдет за одно поколение в состояние 4, есть tn= — =
МАЛЫЕ ПОПУЛЯЦИИ И ЭФФЕКТИВНАЯ ЧИСЛЕННОСТЬ
49!
= 1/256. С вероятностью t\\ = 108/256 она может остаться в состоянии 1,
причем после этого вероятность фиксации по-прежнему будет равна Хр
Популяция может с вероятностью t\2 = 54/256 перейти за одно поколение
и в состояние 2, причем вероятность фиксации после этого будет равна
Х%. И, наконец, с вероятностью /13= 12/256 она может перейти в состоя-
ние 3, после чего вероятность фиксации будет равна Хз. Таким образом,
мы перечислили все возможные пути достижения состояния 4 из состоя-
ния 1. Подобные рассуждения можно провести и в тех случаях, когда
исходными являются состояния 2 и 3. Итак, мы получаем три уравнения:
Хх = + t11X1 4- /12Х2 4- /хзХ3,
Х2 = + *21 Хх + t22X2 + t23X3, (7)
Хз = *34 + *3i Хх 4~ t32 X2 4- *33 X3,
в которых вероятности перехода tn известны [численные значения при-
ведены в (6а) и (6Ь)], а вероятности фиксации Xt можно найти. Под-
ставив значения t, перенеся члены, содержащие X, влево и умножив обе
части уравнения на 256, получим
148Хх — 54Х2 — 12Х3 = 1,
— 64Хх + 160Х2 — 64Х3 =16, (8)
— 12Хх — 54Х2+ 148Х3 = 81.
Решив эту систему уравнений, найдем
Хх = 1/4, Х2 = 1/2, Х3 = 3/4. (9)
Эти величины в точности равны частоте гена а в исходных родительских
популяциях, так как состояния 1, 2, 3 соответствуют частотам q=4t, ’/г
и ЗД. Аналогично, если мы рассматриваем вероятность фиксации гена А
(т. е. вероятность перехода в состояние 0, когда все особи— АА), то
для начальных состояний 1, 2, 3 эти вероятности будут равны p = zli, '/2,
’/4 соответственно. В общем можно показать, что для исходной популя-
ции размером N с частотами генов р(А) и q(a) вероятности фиксации
для состояния, в котором все особи будут А А или аа, равны соответст-
венно р и q.
Систему уравнений (7) можно представить в более компактном
виде — в матричной форме. Отметим, что девять коэффициентов tn при
Xi, Х2, Хз из правых частей уравнений (7) являются внутренними эле-
ментами полной матрицы перехода Т (6) (без первой и последней строк
и без первого и последнего столбцов). Эта подматрица играет решаю-
щую роль в задачах такого типа и обычно обозначается через Q. В на-
шем примере
/7ц *12 *13\ /Ю8 54 12\
Q = *21 *22 *23 = 64 96 64 ^- (10)
'*з1 *32 *33/ \ 12 54 108/
Если далее считать X вектор-столбцом, элементы которого — вероят-
ности фиксации Хь Х2, Х'з, a t — вектор-столбцом, элементы которого —
вероятности прямого перехода в состояние фиксации /24, /34, то си-
стему уравнений (7) после перестановки можно записать в общем виде
(Z-Q)X=L (11)
Решение ее дает
X = (7-Q)-1/, (12)
где I — единичная матрица. В конкретном случае уравнение (12) име-
ет вид
32*
492
ГЛАВА 26
I 632 270 168 \ /1 \ /1/4\
320 680 320 I 16 |i= 2/41,
\168 270 632 7 \81 7 \3/4/
что соответствует полученным ранее решениям (9). Подводя итог, мож-
но сказать, что все популяции малого размера в конечном счете стано-
вятся гомозиготными, несмотря на случайные скрещивания. Для малых
популяций доминирующей силой является ошибка выборки.
§ 3. ПОТЕРЯ ИЗМЕНЧИВОСТИ
Процесс, в результате которого малая группа в конце концов до-
стигает полной гомозиготности (если пренебрегать эффектами мутаций
и миграции), известен под названием «потери» (decay) изменчивости, по-
скольку группа теряет свою способность к генетическим изменениям.
Определим скорость этого процесса.
Рис. 26.2. Распределение q в малых группах; как
фиксация, так и элиминация генов происходят со
скоростью 1/47V за поколение, так что общая ско-
рость уменьшения изменчивости в отсутствие му-
таций, отбора или миграции равна 1/27V [из 669].
1. Прежде всего из табл. 26.1 видно, что частоты генов у родителей
(#=0,50) в следующем поколении «растекутся» по широкому интерва-
лу. Если этот процесс продолжается в течение многих поколений, рас-
пределение величин q (по многим группам для одного и того же локуса
или по различным локусам в одной и той же группе) будет практически
однородным (рис. 26.2); никаких причин для неоднородного распределе-
ния q не существует, поскольку такое «растекание» является случайным
! 1
2
процессом. Для равномерного распределения среднее значение # =
2. Частоты двух крайних классов (# = 0,1) от поколения к поколе-
нию возрастают. Промежуточные классы распределены почти равномер-
но (частота соседних с крайними классов несколько меньше частоты
центральных классов, однако этим небольшим различием мы пренебре-
гаем). Следовательно, дисперсия #, если не рассматривать два крайних
класса, равна
/ 1 \2
2?
О
(13)
число слагаемых равно 2N—1, f— частота класса. Если вид распреде-
ления # (без крайних классов) в последовательных поколениях остается
одинаковым, то дисперсия о2 также не меняется.
3. Однако в следующем поколении эта дисперсия будет увеличивать-
ся из-за «растекания» каждого частотного класса в результате случай-
ностей процесса выборок. Дисперсия, отражающая «растекание» отдель-
МАЛЫЕ ПОПУЛЯЦИИ И ЭФФЕКТИВНАЯ ЧИСЛЕННОСТЬ
493
ного класса, задается формулой (2). Ее средняя величина по всем клас-
сам равна приращению а2 в следующем поколении:
_ s( 02— д-р — — —'l f
да2 = = Г v 4 4 )' =
4 2N2f 2NZf
2NSf 2N\ 4 Г
В этой дисперсии отражены также и локусы, по которым только что про-
изошла фиксация.
4. Пусть теперь k — скорость фиксации (или элиминации) генов за
поколение. Так как распределение q равномерно, скорости, с которыми
q становится равным 0 и 1, одинаковы и составляют за поколение
Вклад этих только что фиксированных генов в приращение дисперсии
равен x/ik, так как вклад каждого гена равен—, а дисперсия частоты
каждого гена pq= */2 X '/2 = 'А-
5. Оставшиеся (1—k) незафиксированных генов по-прежнему име-
ют дисперсию а2, поскольку распределение их остается тем же самым
(равномерным). Следовательно, мы получаем соотношение [669, 680]
+ До* = -~k + (1 - k) о2. (15)
Подставив сюда Да2 из (14) и упростив выражение, находим, что
(k — —\[g2 Ц = 0. (16)
( 2N q 4 ) '
Следовательно, 1/27V за поколение, а скорость фиксации есть
= \fbN для каждого из альтернативных аллелей. Это положение иллю-
стрирует рис. 26.2.
6. Если ft — доля локусов, по которым еще нет фиксации (высота
на рис. 26.2), то через t поколений
ft = foe~t/2N-^O при / + оо. (17)
Результаты, полученные в этом параграфе, аналогичны приведен-
ным в гл. 17 данным для падения уровня гетерозиготности в ограничен-
ной по численности панмиктической группе. Потеря или фиксация гена
означает уменьшение доли гетерозигот. Однако в данном случае дока-
зательство основано на рассмотрении дисперсии q без использования
коэффициентов путей. Вспомним, что при случайном объединении гамет,
не исключающем возможность самооплодотворения, скорость k в точ-
ности равна 1/2А7. Если это условие не выполняется, 1/22V все же будет
очень хорошим приближением для k при не слишком малых N. Точное
распределение q для некоторых частных случаев (N=2 или 3) также
было дано в работе [669].
Чтобы опять избежать абстрактных рассуждений, рассмотрим еще
раз пример, когда W=2. В этом случае полная матрица перехода Т за-
дается (6Ь), а внутренние элементы, соответствующие трем переходным
состояниям, составляют матрицу Q [см. (10)]. Последовательные степе-
ни Т дают вероятности соответствующего перехода для различных по-
колений. Например, Т2 дает вероятности перехода (и, в частности, фик-
сации) за два поколения, Т3 — это матрица перехода за три поколения
и т. д. Численные значения степеней матрицы Т приведены в табл. 26.2;.
494
ГЛАВА 26
Таблица 26.2
Последовательные степени матрицы перехода Т (6Ь).
Первая и последняя строки опущены, поскольку они
для всех поколений равны (1, 0, 0, 0, 0) и (0, 0, 0, 0, 1).
Средняя часть представляет собой последовательные
степени матрицы Q (10)
(0) Состояние популяции (4)
(1) (2) (3)
(1) 0,3164 0,4219 0,2109 0,0469 0,0039
т (2) 0,0625 0,2500 0,3750 0,2500 0,0625
(3) 0,0039 0,0469 0,2109 0,4219 0,3164
(1) 0,463 0,233 0,178 0,092 0,034
7 = (2) 0,166 0,211 0,246 0,211 0,166
(3) 0,034 0,092 0,178 0,233 0,463
(1) 0,548 0,147 0,135 0,094 0,075
7з (2) 0,249 0,160 0,181 0,160 0,249
(3) 0,075 0,094 0,135 0,147 0,548
(1) 0,604 0,100 0,102 0,080 0,114
7*4 (2) 0,312 0,120 0,136 0,120 0,312
(3) 0,114 0,080 0,102 0,100 0,604
— — — —
(1) 0,725 0,016 0,018 0,016 0,225
710 (2) 0,467 0,021 0,024 0,021 0,467
(3) 0,225 0,016 0,018 0,016 0,725
(1) 0,731 0,012 0,014 0,012 0,231
Л1 (2) 0,475 0,016 0,018 0,016 0,475
(3) 0,231 0,012 0,014 0,012 0,731
— — — — — —
Предель- (1) 0,750 0 0 0 0,250
ные (2) значения ' ' 0,500 0 0 0 0,500
(3) 0,250 0 0 0 0,750
центральная часть таблицы представляет собой последовательные степе-
ни матрицы Q; их можно также найти непосредственно из (10), не
используя матрицу Т. Некоторые свойства описанного выше процесса
можно получить непосредственно из числового примера. Во-первых, мы
видим, что вероятности в центральной части табл. 26.2, соответствующие
малые популяции и эффективная численность
495
состояниям 1, 2, 3, в последовательных поколениях уменьшаются, тогда
как вероятности, соответствующие поглощающим состояниям, 0 или 4,
увеличиваются. Во-вторых, хотя исходные вероятности в центральной
части (т. е. 0,4219; 0,2109; 0,0469) сильно отличаются друг от друга, из
поколения в поколение они становятся все более близкими. Если бы N
было больше 2 (например, равнялось бы 5), то эти вероятности перехода
через достаточное число поколений стали бы практически равны друг
другу, как это видно из табл. 26.2.
Согласно той же таблице, в частном случае при N=2 и 2М = 4 ве-
роятности для популяции, начальными состояниями которой были 0, 1
и т. д., находиться в переходных состояниях через 10 поколений равны
соответственно 0,016; 0,018; 0,016. Это согласуется с результатами, пер-
воначально полученными в работе [669]: 32, 36, 32% для переходных
состояний (конечные состояния исключены). Такое распределение (или
соотношение 8:9:8) через достаточное число поколений устанавлива-
ется при любом исходном состоянии; это соотношение является стацио-
нарным, несмотря на то что частоты уменьшаются. При N=3 и 2Л/=6
стационарные частоты для переходных состояний в процентах равны
18,3; 21,0; 21,4; 21,0; 18,3 [669].
Из данных, приведенных в табл. 26.2, можно вывести и предельную
скорость уменьшения вероятностей перехода, хотя распределение этих
вероятностей не является вполне равномерным. Рассмотрим еще раз
первую строку вероятностей перехода в Г10. Отметим, что (0,016; 0,018;
з
0,016)----- (0,012; 0,014; 0,012) — это первая строка для следующего по-
4
коления, так что предельная скорость уменьшения равна на
поколение. При более формальном подходе нужно найти корни харак-
теристического уравнения, соответствующего матрице Q:
108 256 А 54 256 12 256
64 — —А, 64 = 0,
256 256 256
12 54
256 256 256
А3 — 39 32 А2-/- — 256 А—— = 1024 0. (18)
Корни этого уравнения равны (в порядке убывания)
Ах = 3/4, = 3/8, = 3/32. (19)
Через достаточно большое число поколений вероятности перехода будут
уменьшаться в геометрической прогрессии, знаменатель которой равен
наибольшему из корней Zi = 3/4. К примеру, /["+1) где п — число
поколений. Следовательно, скорость уменьшения в конечном итоге будет
равна k = l—В общем случае k=\/2N на поколение.
§ 4. СЛУЧАЙНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ПРИ ИНБРИДИНГЕ
ИЛИ ПОДРАЗДЕЛЕННОСТИ
Хотя инбридинг и подразделенность влияют на частоты зигот в це-
лой популяции сходным образом, дисперсии случайного отклонения 67
в этих двух случаях различаются и будут рассмотрены по отдельности.
Инбридинг. Напомним, что популяцию с коэффициентом инбридинга
F можно считать состоящей как бы из двух частей: полностью инбредной
496
ГЛАВА 26
(ее доля равна F) и панмиктической [ее доля равна (1—F); табл. 13.2].
Пусть q — частота гена в популяции размером А. Тогда, согласно (3)
и (5), выборочная дисперсия равна
olq = £П=£) (1 _ F) + F = (20)
4 2N v ’ N 2N '
что в (1 + F) раз больше, чем в «стандартном» случае (3).
Подразделенность. Если популяция подразделена на К панмикти-
ческих групп размером N каждая, то выборочная дисперсия для каждой
группы равна qi (1—qi) /2Nгде qt —частота гена в i-й группе. Следо-
вательно, средняя дисперсия по К. группам равна
„2 _ 1 V _ 22^(1-9г)
&q К 2N 4Л'А
Но 227,(1—qi)IK— это доля гетерозигот в целой популяции и, таким
образом, согласно гл. 25, есть 2</(1—q) (1—F). Сделав подстановку, мы
получим [685]
2 _?(1— <?)(1~F)
"ь---------W—
(21)
что меньше, чем в «стандартном» случае (3), при той же самой числен-
ности и частоте гена.
Дисперсию, обусловленную «случайными отклонениями» частот ге-
нов, не следует смешивать с дисперсией количественного признака, о
которой шла речь в предыдущих главах.
§ 5. ДИСПЕРСИЯ q ПРИ МИГРАЦИИ
Для подразделенной популяции, согласно гл. 25, о, = 7(1—q)F. При
выводе этой зависимости мы считали частоту гена в каждой группе по-
стоянной; следовательно, она справедлива только в том случае, если все
группы достаточно велики. Если группы малы, то приведенная выше
формула не отражает вклада, вносимого в дисперсию случайными флук-
туациями частот генов. Средняя величина этого вклада определяется
соотношением (21). Поскольку меж- и внутригрупповая изменчивости
независимы, дисперсия q, отражающая 67 в этих группах, будет равна
сумме двух дисперсий
ов2 = 7 (1 -7) F + -^^-(1 -F), (22)
где первый член представляет собой межгрупповую, а второй — внутри-
групповую дисперсии. Это выражение дано в сокращенном виде. Напом-
ним, однако, что в гл. 25 мы уже нашли основное соотношение для рав-
новесия между миграцией и инбридингом (следующие три выражения
перенесены сюда из предыдущей главы для цельности изложения).
F = f— + Я (1 — га)2; гл. 25 (18)
(2У 2N J ' 7
это выражение можно представить в двух эквивалентных формах: выра-
зив F через tn или же, наоборот, tn через F. Вот эти выражения:
г (1—пг)2 м 2NF
F =------------------ , (1 — nip = ---------.
2N — (2AZ — 1) (1 — m)2 ' (2N — l)F-f-l
МАЛЫЕ ПОПУЛЯЦИИ И ЭФФЕКТИВНАЯ ЧИСЛЕННОСТЬ
497
Подставляя это выражение для F в (22), мы получим
c2q = —,-, (23)
4 2N — (2iV—1) (1 — т)2
где дисперсия q выражена через N и т. Формула (23) была получена
Райтом [685] непосредственно при рассмотрении влияния миграции
(прим. 3). Подставив в уравнение (23) (1—tri)2 = 2NF/[(2N—1)Е+1],
мы получим выражение для дисперсии через параметр F
а?„ vd-^W-DF+li т
4 2N ’
аналогичное выражению, впервые полученному Райтом [685]. Очевид-
но, что оно идентично (22). Если изоляция отсутствует совсем, т. е. т = 1,
то выражение (23) сводится к (22). При полной изоляции (/п = 0), т. е.
когда в каждой из групп происходит фиксация, дисперсия между груп-
пами становится равной q(\—q). Если т мало, то хорошим приближе-
нием (23) будет выражение(21) из гл. 25 — 7(1—q)/(4Nm+l).
§ 6. ЭФФЕКТИВНАЯ ЧИСЛЕННОСТЬ ПОПУЛЯЦИИ
В природных популяциях общее число особей всех возрастов может
быть очень большим, но далеко не каждая особь достигает половой зре-
лости и скрещивается. Даже те, которые скрещиваются, не обязательно
оставляют потомство, доживающее до зрелого возраста. Особи, не
оставившие потомства, независимо от их генотипов не внесут никакого
вклада в генетический состав следующего поколения. Число фактиче-
ских предшественников (численность репродуктивной группы, breeding
size), вносящих вклад в генетический состав следующего поколения,
может быть намного меньше числа особей, входящих в состав этой по-
пуляции в данное время. Кроме того, численность скрещивающихся осо-
бей может быть намного больше того, что называют «эффективной» чис-
ленностью популяции (см. далее).
В «идеальной» панмиктической популяции имеется N размножаю-
щихся особей, половина из которых самки и половина — самцы, скрещи-
вающиеся случайным образом; дисперсия случайного отклонения частот
генов равна 7(1—q)/2N и скорость потери изменчивости равна 1/2 А.
Используем ее как «стандартную» величину, с которой будем сравнивать
другие величины; фактический размер размножающейся единицы све-
дется к числу особей в идеальной популяции. Такое число будет назы-
ваться эффективной численностью группы; смысл этого термина станет
ясен из рассмотрения следующих четырех случаев.
Неравные численности особей разного пола. Пусть /Уо и Ni — чис-
ленности родителей соответственно женского и мужского пола. Вернув-
шись к гл. 17, сравним выражения (10) и (10') для предельных скорос-
тей уменьшения гетерозиготности при неравном и равном числе самок
и самцов соответственно.
8N0Ni. 8N0 8Nj. 2N
Приравняв скорость уменьшения при неравных численностях к эквива-
лентной скорости для случая равных численностей обоих полов,
получим
1 , 1 = N0~Nj = 1
' 8Л'О 8Мг 8N0 Nt 2Ne ’
498
ГЛАВА 26
откуда
л,
Afo + Afi
(24)
Здесь Ne — эффективная численность группы из Af0+M скрещивающих-
ся особей. Заметим, что Ne является удвоенным среднегармоническим
значением No и Ni, так как
1 _ 1 /_1_ _1_\
Ne ~ 4 (ДГ0 ‘ Nt )'
(24')
Предположим, что в группе свободно скрещивающихся особей имеется
280 самок и 40 самцов, участвующих в размножении. Гетерозиготность
в такой группе будет снижаться с такой же скоростью, как если бы в
группе с равным числом особей обоих полов было только
4 (280) (40) 14()
280 + 40
скрещивающихся индивидуумов. Неравенство численностей двух полов
всегда уменьшает эффективную численность популяции. Следует отме-
тить, что эффективная численность зависит от малочисленного пола в
большей степени, чем от многочисленного. Так, при ограниченном числе
самцов, но очень большом числе самок Ne будет только немногим больше
4AZb Другой вывод соотношения (24), основанный на рассмотрении слу-
чайных отклонений q, приводится в упр. 7.
Аналогичным образом, для сцепленных с полом генов мы имеем
[см. (12) из гл. 17]
2 , 1 = No + 2Nj = 1
ЭЛТ, 9ЛГГ $NoN1 2Ne’
откуда
N = 9N0Nj
е 2N0 + 4Ni
(25)
Различие особей по репродуктивной способности. До сих пор мы
предполагали, что гаметы родительской популяции объединяются слу-
чайно. Однако в природных популяциях это условие, как правило, не
выполняется. Число выживающих потомков, оставляемых различными
родителями, может очень сильно варьировать. Это обусловлено давлени-
ем отбора или рядом случайных событий. Вариация числа потомков так-
же приводит к уменьшению эффективной численности группы. Пусть
k — число гамет, оставляемых родителем, и N— действительное число
родителей. Число гамет будет равно S&, где суммирование производится
по N родителям. Среднее число гамет, приходящихся на одного родите-
ля, равно k=^k!N- дисперсия k равна
О2 = = —J— ,
отсюда
v^ = (jV_ \)&k + Nk*.
Поскольку имется Nk гамет, то число возможных их пар равно Nk(Nk—
—1)/2. Для гамет данного родителя существует k(k—1)/2 возможных
пар; поэтому общее число пар гамет равно %k(k—1)/2. Доля пар
гамет одного и того же родителя от всех возможных пар гамет равна
S A; (fe —-1) _ (N—l)al+Nk(k — l')
Nk(Nk— 1) ~ Nk(Nk — 1)
(26)
малые популяции и эффективная численность
499
(27)
В идеальной популяции из N обоеполых особей с полностью случайным
объединением гамет (включая самооплодотворение) доля пар гамет, по-
лученных от одного и того же родителя, равна 1/N. Приравнивая эти две
эквивалентные доли, мы получим
N = Nk(Nk-l)
е (N— Vfdl + Nk (k— 1) ’
Если гаметы выбираются совершенно случайным образом из роди-
тельской популяции, так что числа k образуют последовательность Пуас-
сона с = общая формула (27) независимо от величины k сводится
к Ne=N. Как и следовало ожидать, при случайном выборе гамет эффек-
тивная численность совпадает с численностью всей группы. Ясно, что при
как это, вероятно, имеет место в большинстве природных популя-
ций, эффективная численность будет меньше численности размножаю-
щихся особей. _
В другом частном случае, когда k = 2, численность группы в после-
довательных поколениях остается одинаковой. Тогда o£=S(k—2)2/N;
отметим, что в знаменателе при расчете указанной средней величины
мы взяли N вместо (N—1). Подставив в общую формулу (27) k = 2 и
Д7ц2 вместо (М—1)а&> мы получим известную формулу [679, 683]
Ne = 44^. !
^+2
Можно показать (упр. 5), что для случайной выборки из 2N гамет эф-
фективная численность также будет равна численности размножающих-
ся особей. При больших N распределение k становится пуассоновским.
Периодическое уменьшение численности. В природе часто случается,
что размер популяции в различные сезоны года или при других цикли-
ческих изменениях сильно варьирует из поколения в поколение. Если
существует регулярный цикл из нескольких поколений, то можно найти
приблизительную эквивалентную численность популяции. Так как дис-
персия выборки кумулятивна, средняя дисперсия выборки для цикла
из t поколений с численностями популяций N\, N%, , Nt приблизительно
равна
(28)
<7(1-9) М , 1 , ... _Ц
t (2A7t 2N2 ' 2Nt)
Приравнивая ее к соответствующей величине для идеальной популяции,
т. е. </(1—q)/2М, мы получим формулу для определения эффективной
численности [680]
(29)
1
Ne ~ t
_1_
М
Другими словами, эффективная численность популяции является сред-
негармонической ее численностей в различных поколениях цикла. На-
пример, если имеются четыре поколения с эффективными численностями
20, 100, 800 и 5000, их средняя эффективная численность будет равна
только 65, что гораздо ближе к минимальной для этого цикла численно-
сти, чем к максимальной. Полученную формулу можно применять толь-
ко в тех случаях, когда число поколений достаточно мало, чтобы изме-
нения, обусловленные отбором и мутациями в периоды большой числен-
ности, не нарушали кумулятивности выборочной дисперсии.
Изменение численности популяции не обязательно бывает регуляр-
ным или циклическим и иногда может приводить к сильному уменьшению
численности. Одно такое изменение в состоянии сдвинуть частоты генов
(30)
500
ГЛАВА 26
настолько, что сведет к нулю все влияние отбора и мутаций в предыду-
щих поколениях; после этого частоты генов могут сместиться к новой
точке равновесия. Реальное существование циклов и возникновение
сильных изменений в размере популяций специально рассматривал Эл-
тон [125 а, с]. Он сделал вывод, что случайные отклонения признаков
у особей, выживающих в периоды наименьших численностей, могут
иметь очень важные эволюционные последствия.
Уменьшение, обусловленное инбридингом. Сравнив выборочную
дисперсию (20) с дисперсией в идеальном случае (3), мы увидим, что
эффективный размер инбредной популяции равен
"'=ГТ7- <31>
Таким образом, в предельном случае, когда F=l, эффективная числен-
ность равна половине фактической численности популяции, что отраже-
но в формуле для выборочной дисперсии (5).
В каждом из четырех рассмотренных выше случаев эффективная
численность группы меньше, чем фактическая. Рассмотрим теперь об-
ратный случай.
Если все родители передают следующему поколению в точности
одинаковое число гамет, k=k и <4 = 0, то общая формула (27) примет
вид
• (32>
В частности, когда k = k — 2, Ne=2N—1, т. е. почти вдвое больше факти-
ческой численности группы. В предельном случае, когда k=k=\, Ne-+oo.
Это эквивалентно бесконечно большой популяции, поскольку здесь нет
двух гамет, которые могли произойти от одного и того же родителя. Од-
нако в природе случай, когда k для всех родителей одинаково, невоз-
можно даже представить.
§ 7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ
В этой главе мы вначале рассмотрели вариации частот генов, обу-
словленные случайным характером выборок из каждого поколения. Эти
отклонения проявляются в малых популяциях и в конце концов приво-
дят к случайной фиксации во всех локусах. В таких небольших популя-
циях влияние новой мутации пренебрежимо мало. Скорость уменьшения
изменчивости (скорость потери гетерозиготности или скорость фикса-
ции в локусах) равна 1/2А за поколение, где N — эффективная числен-
ность популяции. Эффективная численность может быть намного мень-
ше фактической численности размножающихся особей, которая в свою
очередь может быть намного меньше численности всей популяции. Поэ-
тому большая популяция может приближаться по своим характеристи-
кам к малой, если рассматривать ее с точки зрения случайного отклоне-
ния частот генов.
Вследствие описанного выше процесса небольшие изолированные
популяции с одинаковыми исходными частотами генов будут с течением
времени все больше и больше дивергировать и через достаточно боль-
шое число поколений они будут сильно различаться по своему генетиче-
скому составу, даже если условия среды для всех этих групп одинако-
вы. Такой процесс способствует значительной «дифференциации» изоли-
рованных локальных групп. Этот тип дифференциации, происходящей в
МАЛЫЕ ПОПУЛЯЦИИ И ЭФФЕКТИВНАЯ ЧИСЛЕННОСТЬ
501
результате случайного изменения частот или случайной фиксации ге-
нов, стохастичен и поэтому не имеет адаптивного значения. Некоторые
гены при определенных условиях могут быть неблагоприятными, и все
же они случайным образом фиксируются, несмотря на давление отбора.
Короче говоря, в малых группах изменением генных частот управляет
фактор случайности, а давление отбора может оказаться совершенно не-
эффективным.
Группы, состоящие из большого числа особей, обычно распределе-
ны по обширному ареалу, однако они не всегда составляют однородную
панмиктическую популяцию, поскольку в их фактическом распределе-
нии существует много разрывов. Действительно, на большой площади
организмы обычно размещаются небольшими группами, а не непрерыв-
но и однородно. (Если даже они распределены однородно, все-таки име-
ет место некоторая изоляция расстоянием.) Работа Андерсона [4] по
распределению Iris ясно иллюстрирует это положение. Разрывы и нере-
гулярности в распределении по площади подразделяют большие группы
на множество малых изолятов, в каждом из которых происходит случай-
ное изменение частот генов.
Превосходный пример случайной фиксации генов в малых популя-
циях дает дифференциация локальных форм улиток, например Achati-
nella на Гавайях (особенно на острове Оаху) или Partula на Таити и
Моореа (см. ссылки в работе [111]). Улитки из каждой долины или да-
же из разных частей одной долины варьируют по цвету, размеру, форме,
право- и левозакрученности раковины и т. д. Эти вариации не согласу-
ются с какими-либо систематическими изменениями условий среды в до-
линах. Объяснить эти крайние различия локальных форм с помощью
принципа «выживания наиболее приспособленных» невозможно. Много
других примеров этого типа было описано Добжанским (1970). Однако
следует сказать, что не связанная с отбором дифференциация не обяза-
тельно неадаптивна. Поскольку процесс дифференциации в основном
случаен, некоторые адаптивные типы могут игрой случая фиксировать-
ся наряду с неадаптивными типами.
Небольшие популяции, в которых фиксированы все локусы, не про-
являют никакой генетической изменчивости. При изменении условий
среды такие популяции окажутся не в состоянии путем генетических ре-
организаций приспособиться к новой ситуации. Поэтому каким бы бла-
гоприятным ни был фиксированный тип при существующих условиях,
конечной его судьбой в длительном процессе эволюции является, веро-
ятно, элиминация. Вот почему частичная изоляция (с миграцией между
группами, которая предотвращает полную изоляцию, но все же допу-
скает значительную дифференциацию) создает гораздо более благопри-
ятные условия для успешной эволюции. Она обеспечивает тонкий баланс
между адаптацией в данный момент и способностью к адаптации в бу-
дущем.
К сожалению, в большинстве случаев прямую информацию об эф-
фективной численности природных популяций получить довольно труд-
но. Некоторые косвенные оценки величины N были сделаны Райтом и др.
[684, 703], однако очень многое в этой области остается неисследован-
ным. И, наконец, можно сказать, что между «большими» и «малыми»
популяциями не существует четкой границы. Популяции могут быть лю-
бой численности. Кроме того, эффективный размер популяции в опреде-
ленных отношениях связан с интенсивностью отбора и частотой мута-
ций. Более подробно это положение будет обсуждаться в следующей
главе.
502
ГЛАВА 26
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Поставьте следующий эксперимент: положите в урну 50 черных
и 50 белых шаров и затем случайным образом вытащите из нее 4 шара
(с возвращением). Предположим, что вы вытащили 3 черных шара и
1 белый. В другую урну положите 15 черных и 5 белых шаров и опять
случайным образом извлеките 4 шара; пусть в этом случае числа черных
и белых шаров равны, т. е. 2 и 2. Затем положите 10 черных и 10 белых
шаров в новую урну, опять извлеките 4 шара и вновь подсчитайте число
черных и белых шаров. Продолжите этот процесс до тех пор, пока все
4 шара в нашей выборке не будут черными или белыми. Отметьте число
серий (поколений), необходимых для достижения этого результата.
Сравните ваш результат с теми, которые получены другими студентами
из вашей группы. Какой вывод вы можете сделать?
2. Имеются две популяции следующей численности:
Сумма Самки Самцы
50 = 45 + 5
18 = 9 + 9
Покажите, что скорости уменьшения гетерозиготности при свободном
скрещивании в обоих популяциях одинаковы. Указание-, используйте
формулы (24).
3. В результате миграций между группами дисперсия о2 в следую-
щем поколении уменьшится до (1—т)2 о2. При стационарном распре-
делении частот генов (дисперсия из поколения в поколение имеет одну
и ту же величину) уменьшение дисперсии должно компенсироваться
выборочной дисперсией новой частоты гена за счет иммигрантов, q-\-
+&q=q—т (q—q). Теперь для каждой группы размером N выбороч-
ная дисперсия будет равна (q + \q) (1—q—kq)/2N. Пусть q(q) —функ-
ция распределения q по группам. Тогда средняя величина этой выбо-
рочной дисперсии для всех групп равна
1
0-^= f (7 — tn (q — 7)] [1 — q + т (q — 7)] <р (q) dq.
О
Подынтегральное выражение можно записать в виде
q — q) 2mq (q — q) — т (q — q) — tn2 (q — q)2
и легко проинтегрировать. Вспомним (гл. 25, упр. 2), что J<?(1—
—7) Ф (7^/7=7(1—7)—о». Далее, f (7—7)<р(7)6/7=0 и \q(q—q)Ф(7)dq =
= f(7—7)2<р(7)6/7=0ff. Поэтому после интегрирования мы получим
2 _ 7 (1 — 7) — — т2 __ ?(1 —?)— (1 — ту1 о2
6 ~ 2N ~ 2N ’
что представляет собой вклад в дисперсию за счет случайных откло-
нений. Следовательно, в стационарном состоянии мы имеем следующее
соотношение [685]:
2 /1 \2 2 I — m)2Off
о2 = (1 — т)2 о2 Н-----------------*.
« v ’ ч 2N
Решив это уравнение относительно о2, мы получим выражение (23).
МАЛЫЕ ПОПУЛЯЦИИ И ЭФФЕКТИВНАЯ ЧИСЛЕННОСТЬ
503
4. Если не принимать в расчет случайные отклонения q в группах,
то (1—m)2G2q=q (1—q) F. Следовательно, = (1—q)F/(l—m)2. При-
равняв эту величину к (23), мы получим соотношение
g(l-q)F
(1—m)2 2N — (2N — 1)(1— т)2
(выражение (20) из гл. 25).
5. Формулу (28) можно получить прямым способом. Если среднее
число гамет, вносимых одним родителем, есть k=2, то мы имеем
А\у2=2 (k—2)2=S&2—4N и 2k=‘2N. Число возможных способов объ-
единения в пары 2N гамет, включая и самооплодотворение, равно
2N (2N—1)/2, но только (k—1)/2 из них происходит от одного и то-
го же родителя. Следовательно, частота самооплодотворения равна
Sfeffe—1) = Mj + 47V —2А/ _ о|+2
2ДЦ2АГ—1) ~ 2N (2N — 1) 4N — 2'
Приравняв ее к \]Ne для идеального случая N раздельнополых особей
при случайном объединении гамет, мы получим эффективную числен-
ность, задаваемую формулой (28). Кроме того, для любой гаметы ве-
роятность того, что она происходит от данного родителя, равна 1/АГ, а
вероятность того, что она не происходит от этого родителя, равна
(N—1)/N. Если 2N гамет извлечены совершенно случайным образом,
то распределение k будет задаваться разложением
/_1_ . fl - 1 W
\ N N )
с дисперсией
k \N I \ N ) N
Подставляя эту дисперсию в (28), мы получим, как и ожидалось, АГе=
=N [680]. Если N велико, то распределение k приближается к распре-
делению Пуассона и о|->2=А.
6. Эффективную численность, заданную (24) для неравного коли-
чества самцов и самок, можно получить из следующих соображений:
выборочная дисперсия 2N0 гамет, давших No самок, равна приблизи-
тельно q(l—q)/2N0- подобно этому, для гамет, из которых получились
самцы, она приблизительно равна <?(1—q))2N\. Если эффективная час-
тота генов в популяции (самок и самцов) равна (70+71) > то при-
ближенно выборочную дисперсию можно записать так:
<= у (<40 + <4) =
<?(!—<?) Г 1 । 1
4 [2А/0 2#!.
Приравнивая эту величину к «стандартной» величине q(l—q)J2N, мы по-
лучим (24).
7. Покажите, что для цикла из шести поколений с численностями по-
пуляций 10, 102,..., 106 средний эффективный размер равен только 54.
8. Гласс и др. [190] приводят пример случайного отклонения час-
тот генов в небольшом религиозном изоляте с эффективным размером
Л^ = 90. Читателю, возможно, будет интересно прочесть их работу в свя-
зи с содержанием гл. 25—27. Гласс [188] дал хороший обзор доказа-
тельств генетического дрейфа в популяциях человека. См. также книгу
Кавалли-Сфорца и Бодмера [58].
ГЛАВА 27
Стационарные распределения
частот генов
При постоянных условиях окружающей среды частоты генов в бес-
конечно большой популяции из поколения в поколение остаются посто-
янными и находятся в точках устойчивого равновесия, которые опреде-
ляются противодействующими систематическими давлениями отбора,
миграции и мутаций. Однако в небольших по численности популяциях
возможны случайные флуктуации частот генов за счет случайностей
процесса выборки (гамет, формирующих следующее поколение). Воз-
врат к точке устойчивого равновесия, обусловленный систематическими
давлениями (Ас/), и дрейф от этой точки, обусловленный случайными от-
клонениями (8q), в конечном счете приведут к некоторому (постоянного
вида) распределению частот генов. О распределении q в состоянии рав-
новесия мы неоднократно упоминали в предыдущих главах; рассмотрим
теперь точные функции распределения этого типа, которые дают более
полное описание целой популяции при различных условиях. Это цент-
ральная проблема популяционной генетики.
Стационарное распределение частот генов можно представить тремя
способами: во-первых, в виде относительных частот для определен-
ного локуса в большом числе поколений, если все указанные выше фак-
торы (миграция, отбор и т. д.) остаются неизменными; во-вторых, в виде
вероятностного распределения частот генов по всем локусам, подвер-
гающимся систематическим давлениям одинаковой величины, в каком-то
поколении одной популяции, и, в-третьих, можно представить, что име-
ется большое число изолированных или частично изолированных групп
одинакового размера, подвергающихся одним и тем же систематическим
давлениям; тогда это будет ожидаемое распределение величин q неко-
торого гена в данный момент времени по всем изучаемым группам. Хотя
эти три способа представления распределений с математической точки
зрения эквивалентны, последний, по-видимому, наиболее прост. Его мы
и используем в данной главе.
Понятие стационарного распределения нам поможет уяснить сле-
дующая аналогия. Предположим, что рост у 10 000 отцов подчиняется
нормальному распределению; среднее значение его составляет 174 см,
а стандартное отклонение — 2 см. В общем случае рост сыновей не
совпадает с ростом их отцов. Однако если измерить рост у всех 10 000
взрослых сыновей, то окажется, что соответствующее распределение так-
же является нормальным, причем среднее и стандартное отклонение бу-
дут такими же. Хотя маловероятно, что данные отец и сын имеют оди-
наковый рост, распределения по росту в этих двух поколениях будут оди-
наковыми. Аналогичным образом, несмотря на то, что q в некоторой
произвольной группе в следующем поколении может измениться, распре-
деление q по всем группам в равновесном состоянии останется прежним.
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
505
Именно эту функцию распределения мы и рассмотрим в настоящей
главе.
Согласно гл. 23, при наличии сильного эпистаза по отбору, особенно
в случае тесного сцепления, следует пользоваться частотами гамет, а не
частотами генов. Однако в этой главе мы ограничимся рассмотрением
частот генов, предполагая, что если эпистаз и сцепление существуют, то
они не настолько сильны, чтобы заметно нарушить случайное комбини-
рование генов. Такое допущение существенно упростит математические
выкладки.
Задача построения стационарных распределений с учетом различ-
ных факторов отнюдь не проста и требует применения сложных мате-
матических методов. В этой главе мы, как и прежде, ограничимся при-
менением довольно простого аппарата. Возможно, вывод приводимых
формул дан не самым лучшим образом и не в самом общем виде; одна-
ко такое упрощенное изложение обладает тем преимуществом, что оно
понятно читателю-биологу. В вводной части даются основные типы рас-
пределений. Более подготовленные читатели могут подробнее изучить
этот вопрос, обратившись к первоисточникам.
§ 1. ГАММА- И БЕТА-ФУНКЦИИ
Рассмотрим сначала некоторые элементарные свойства гамма- и бе-
та-функций, имея в виду прежде всего тех читателей, которые с ними ни-
когда не встречались.
1. Интеграл
Г (n) = е~х х^1 dx
о
сходится, если п положительно; он называется гамма-функцией с аргу-
ментом п. Если п — положительное целое число, то, интегрируя по час-
тям, можно показать, что
Г (n) = (n—1) Г(п—1) = (п—1)! (1)
Именно поэтому гамма-функцию называют также факториальной функ-
цией. Она является интерполяционной функцией для факториалов, ког-
да п — не целое число.
2. Интеграл
1
В (п, т) = j* хп~' (1 — xf-'dx (2)
6
также сходится при положительных п и т; он называется бета-функци-
ей (с аргументами п и т). Можно показать, что бета- и гамма-функции
связаны соотношением
г, i . Г (я) Г (т)
В = ЬГГ~7 • <3)
Г (п + т)
Пример.
В (4 3) = Г (4) Г (3) = 3! 2! 1
' ’ ' Г (7) 6! ' 60 ’
3. Если х — непрерывная переменная, изменяющаяся от 0 до 1,—
распределена с плотностью вероятности
ф(Х) = = П2+£0 (1 _хГ~\ (4)
В (я, т) Г (я) Г (яг) ' ’ v '
506
ГЛАВА 27
так что, согласно (2),
1
J Ф (х) dx = 1,
о
то говорят, что х является бета-переменной (первого рода) с параметра-
ми п и т, а распределение (4) есть бета-распределение (первого рода).
Оно принадлежит к пирсоновским кривым типа 1.
Пример.
ф(х) = = 60x3(1 “х)2-
4. Так как В(п, т) в формуле (4) — константа, вид этого распреде-
ления можно найти, просто построив график функции z/=xn-1(l—х)т~1.
Форма кривой зависит от значений параметров пит. Например, если
и п и т больше единицы, то кривая будет иметь максимум (моду). По-
ложив dy/dx=0, получим уравнение
(п - 1)х"“2 (1 - х)"1-1 - х"-1 (т - 1) (1 - х)т~2 = 0,
или
(п— 1)(1 —х) — х(т— 1) = 0,
поэтому
п — 1
X = ---------
п + т — 2
(5)
является модальным значением х. В приведенном выше примере модаль-
ное значение х равно (4—1)/(7—2) =—=0,60. Когда п = т и оба они
5 '
больше единицы, распределение (4) становится симметричным, а его мо-
1
дальное значение х=—.
5. Важна также форма кривой у обоих концов. Если п>2, кривая
касается оси х в начале координат (х=0). Если 1<п<2, то она касает-
ся оси у в начале координат. И, наконец, если 0<п<1, то кривая асимп-
тотически приближается к оси у. То же самое можно сказать о зависи-
мости формы кривой с другого конца (х= 1) от т.
6. Средняя величина х бета-распределения (4), согласно соотноше-
ниям (3) и (1), равна
- т-./\ С /\л С хп (1— х)т~1 dx В (п + 1, т) п ,с.
х = Е (х) = х ф (х) dx = — -----------= —-—1——- =--------. (6)
J J В(п,т) В(п, т) п -|- т
о о
Аналогично
Е /%2\ = в(» + 2, т) = п(п+ 1)
В (п, т) (п + т) + 1)
Следовательно, дисперсия х равна
= Е (х2) — х2 =------—-----— . (7)
х (п -j- т)2
Эти простые теоремы очень пригодятся нам в дальнейшем. В качестве
предварительного упражнения постройте кривые (0<х<1)
г/=х8(1—х)4; у = х1/2 (1—х)2; г/=х-1/2 (1 •—х)2
и проверьте некоторые из приведенных выше формул, подобрав соответ-
ствующие численные значения В(п, от). Превосходный разбор бета- и
гамма-распределений можно найти в работе [643].
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
507
§ 2. ОБЩАЯ ФОРМУЛА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
При выводе общей формулы для распределения q мы предполага-
ли, что если распределение стационарно, то средняя величина и диспер-
сия q в данном и следующем поколениях одинаковы. Райт [692] дал
более строгий вывод формулы, основанный на том факте, что если рас-
пределение из поколения в поколение остается одинаковым, то все его
моменты (относительно средней величины) также не меняются. Сле-
дующие выкладки заимствованы из его статьи 1952 г. Читатель, не же-
лающий вникать в детали интегрального исчисления, может обратиться
прямо к окончательным результатам (14) и (15).
Таблица 27.1
Свойства q, \q и Sq
Частота гена Случайное отклонение
Интервал Частота класса Суммарная частота Среднее значение Дисперсия 0<q < 1 f(q) Zf (q) = 1 2 (q—q)2 f (<z) = — q<Sq< 1 — q g(8q) ^g (Sq) = 1 ZSq-g (Sq) = 0 2 (Sq)* g (Sq) =
Сумма произведений ZZ(q-q) (Sq) f (q) g (Sq) 22 (A<?) (Sq) f (q) g (Sq) = о II О
Предварительные замечания. Частота гена в каждой группе изме-
няется двумя способами: систематически и случайно, поэтому распре-
деление должно быть функцией Д<? и 8q. Если f(q) и g(8q) —-частоты
классов, на которые разбиты соответственно q и 8q, то мы получим со-
отношения (табл. 27.1), относительно которых можно сделать несколько
замечаний. Предположим, что частота гена в определенной группе неко-
торого поколения равна q. Из-за случайного отклонения в следующем
поколении она может стать меньше (в этом случае мы говорим, что 8q
отрицательно) или больше (в этом случае 8q положительно). Поэтому
границами интервала для 8q будут —q и 1—q, как это указано в
табл. 27.1. Сумма (а значит, и среднее) этих случайных отклонений, ко-
нечно, равна нулю. Их средний квадрат является дисперсией
Кроме того,_ являясь случайной величиной, сумма произведений 8q на
Д<7 или (q—q) должна быть равна нулю (нижняя часть табл. 27.1); дру-
гими словами, предполагается, что изменения этих двух типов не кор-
релируют.
Основное уравнение. Если q — частота гена в какой-то группе в не-
котором поколении, то n-й момент относительно среднего значения в
этом поколении равен S(^—q)nf{q), где суммирование производится по
всем классам q. В следующем поколении частота гена для этого класса
вследствие указанных выше изменений двух типов будет равна q-]-\q-\-
так что отклонение от среднего станет равным (q—q)-\-(&q-\-8q).
Поскольку n-Й момент в следующем поколении останется таким же, как
и в предшествующем, мы получим основное уравнение
2 2 [(7 - q) + (Д<7 + 8q)]п f (q) g(8q) = ^(q-~q)nf (q). (8)
Я 6q Я
508
ГЛАВА 27
Это соотношение справедливо для момента любого порядка (п=1, 2,
3...). Разлагая член в левой части уравнения по степеням (q—q) и (Д<?+
+69), получим, что первый член разложения взаимно уничтожается с
соответствующим членом из правой части. Таким образом, (8) примет
вид
^^n(q-q)n~l(Aq+8q) +!L(!^{q_qy~^^
Q 64
Пренебрегая членами (Д7)2, (8q)3, (\q)(8q)2 и их более высокими сте-
пенями и введя упрощающие обозначения, приведенные в табл. 27.1, мы
сведем это уравнение к
[(? - уГ1 &qf (7)] + 1=11 -фГ2 = о. (9)
о я
Непрерывная аппроксимация. Как отмечалось в предыдущей главе,
q для группы из N диплоидных особей могут принимать только значения
0; 1/2А7; ...; //2ЛГ; ...; (2jV—1)/2Л7; 1 с минимальным шагом в 1/2N. Ког-
да ЛГ достаточно велико, удобно рассматривать q как непрерывную ве-
личину и заменить суммирование интегрированием, записав ср (q)dq вме-
сто f(q), где <р(7) —искомая функция распределения q. Это достаточно
хорошее приближение, если не считать некоторых искажений в крайних
классах (q = 0 или 1). После преобразования Aq(f(q)dq = d%(q) уравне-
ние (9) превратится в
1 1
[ (Я — ЯГ' (q) + l^-1 f (q — q)n~2 o2q <p (q) dq = 0. (10)
b 0
Его первый член после интегрирования по частям будет равен
[х (я) (Я — <7)П-1] о — (« — 1) f X (Я) (Я — Я)П~2 dq.
о
Подставив его в (10) и положив п=1, мы получим
[x(<7)]J = 0, или х(1) = Х(0).
В общем случае
[Х(<7)• (Я-?)П-1]о = X (1) • (1 - Я)П~Х - X (0) •(- фГ =
= Х(1) [(1 -Я)п-Х - (-Г’1] = (n- 1)Х(1) j (p-tf~2dq.
о
Подставляя все это в (10) и сократив на общий множитель (п—1), по-
лучим
1
j (Я — 7)п-2{х(1) — Х(<7) + у = °- (И)
о
Это окончательный вариант нашего исходного уравнения (8).
Выражение для функции распределения <$(q). При условии, что в
последовательных поколениях все моменты остаются неизменными,
уравнение (1) должно быть справедливо при любых п. Тогда подынте-
гральное выражение в скобках должно обратиться в нуль:
Х(<7) —Х(1) = у (12)
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
509
Это основное уравнение, из которого можно найти выражение для ср (7)
через Дд и Для этого возьмем производную от логарифма левой
части, а потом произведем соответствующие подстановки.
ainlxto)—х<1)} = -M- =
Проинтегрировав, получаем
In {х (?) — X (О) = 2 f + const.
J abq
Отсюда
X (?)- Х(1) = С'е (13)
где С' — константа. Приравнивая два выражения для {%(^)—%(1)} из
(12) и (13), получаем искомую функцию распределения
ф(,) = 4 ДМ", (14)
%
или
ф(?) = Со-2ехр[2 J (Д?/о^) dq], (14')
где константа С( = 2С/) такова, что
1
f <p(7)d?= 1.
6
Это общая формула для распределения частоты гена в состоянии устой-
чивого равновесия (при совместном действии Ду и Sq).
Поскольку для группы с эффективной численностью N ol(l=q(l—
—q)!2N, то общую формулу (14) можно записать так:
ф (о) = --Q-- eW^qMl-q)ldQ , (15)
<7(1 — 7)
где С — другая нормировочная константа (в 2N раз больше предыду-
щей). Следует отметить, что эта функция распределения справедлива
лишь для групп с постоянной численностью, для которых Д? в каждом
отдельном поколении мало, поскольку мы пренебрегли членами уравне-
ния (9) с (Ду)2 и т. д. Хотя величина и знак Sq неизвестны, дисперсия
— известная конечная величина. Рассмотрим теперь, какой вид при-
нимает выражение (15) при различных условиях, когда \q точно из-
вестно.
§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИ НЕЗНАЧИТЕЛЬНОМ
СИСТЕМАТИЧЕСКОМ ДАВЛЕНИИ
Если группы совершенно изолированы и настолько малы, что влия-
нием мутаций можно пренебречь, а отбор незначителен по сравнению
с относительно большими случайными отклонениями q, можно принять
Ду~0. При этом распределение (15) становится очень близким к
^^^—^z-Cq-Xl-qr1, (16)
<7(1 ~<7)
510
ГЛАВА 27
если не рассматривать два крайних класса, в которых q — Q, 1 (рис. 27.1).
Распределение имеет U-образную форму; это означает, что q для боль-
шинства генов близка к 0 или 1 и лишь немногие гены имеют промежу-
точные значения q. Это согласуется с данными предыдущей главы о том,
что изолированные малые группы по истечении длительного времени до-
стигают полной гомозиготности. Существование такого стационарного
распределения всецело обусловлено очень редкими мутациями.
Рис. 27.1. Распределение q в малых по числен-
ности популяциях (16) при незначительном си-
стематическом давлении: rf(q)=Cq~'(\—7)”1-
Поскольку интервал значений q из уравнения (16) ограничен qx=
= 1/2А7 и 72= (2N—1)/2Л7=1—7i, константу С в первом приближении
можно определить из соотношения
— = f —— = Г- In = 2 1п(2ЛС — 1).
С J 7(1—7) 7
91
Однако в действительности q принимает дискретные значения, опреде-
ляемые интервалом 1/2А7, а не распределена непрерывно, так что пра-
вильнее С определять суммированием
Разность между точным значением С, полученным при суммировании
2(1/7), и ее приближенным значением, задаваемым интегралом
J (1/7)с?7 для 0<7< 1, равна
St-E1-0’577^’
где у = 0,577 известно под названием постоянной Эйлера. С этой поправ-
кой мы имеем l/C = 2 1n(2.(V—1) +2(0,577). Таким образом, (16) прини-
мает вид [669]
ф(7) =---------------7~1 (1 — 7)—(16')
2 [In (21V — 1) +0,577] 7
если не рассматривать два крайних класса.
Следует еще раз подчеркнуть один момент. Распределение принима-
ет приближенный вид (16), когда \q очень мало (т. е. когда преоблада-
ют случайные отклонения), но все-таки не равно нулю; в противном слу-
чае ни о каком стационарном распределении не было бы и речи и ситуа-
ция свелась бы к случаю, представленному на рис. 27.2. Здесь распре-
деление однородно, но абсолютные частоты уменьшаются за поколение
на 1/2N и в конце концов полностью фиксируются.
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
511
Рис. 27.2. Распределение q при давлении мутаций (17) в предположении, что p=v:
ф(9) = Cqu~1(l—q) v-l = C[q(l~q)]W'1-1 '
§ 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИ ДАВЛЕНИИ МУТАЦИЙ
Рассмотрим теперь распределение при давлении повторных мута-
ций, происходящих в обоих направлениях. Влияние мутаций становится
заметным только в том случае, когда популяция достаточно велика. Тог-
да, согласно гл. 20, А7 = р,(1—q)—vq. При подстановке этой величины в
формулу (15) показатель экспоненты превращается в
4N 0 p(1-<7)-v<7 <4N С --------dg = ln + 4Nx ln (1_д) =
J q (i — q) J \ q 1—q)
= t/In<7 + VIn(l —q),
где для краткости мы обозначили 4Ар через U и 4Nv через V. Следова-
тельно, функция распределения (15) примет вид (рис. 27.2)
Ф (?) = -77^-'sV Xnq+V 'n °"’' =-77^Т^(1 ~ ?/= Cqv-\y-qY~\ (17)
9(1—9) 9(1—9)
т. е. представляет собой бета-распределение (4). Здесь константа равна
с_ 1 Г (£/ + V)
В (U,V) Г([/)Г(И)
Формула (17) также дает хорошее приближение для достаточно боль-
ших по численности популяций, если не рассматривать два крайних
класса. Среднее и дисперсию для этого распределения можно легко най-
ти прямым применением (6) и (7). Так,
- _ U _ 4А7р _ р
U V 4Wp-f-4JVv р + v
Вспомним, что эта величина является также устойчивой равновесной ве-
личиной q, когда давления мутаций действуют в двух направлениях.
Вследствие случайных отклонений, происходящих в каждой группе,
q не будет оставаться постоянной, но будет изменяться с дисперсией
о2 =_________uv __ 9 (1 — 9) _ 9(1—9)
q (С + V)2(C + V+ 1) C+V-Ы 47V(p + v)+l’
поскольку U/(U+V) =q и V/(U+V) = 1—q. Это дает нам более полную
картину для целой популяции, чем та, которую мы получили в главах,
где мутация и случайные отклонения рассматривались отдельно. Теперь
мы видим, что последствия совместного действия этих факторов состоят
в том, что частоты генов в группах распределяются относительно точки
устойчивого равновесия как своего среднего значения с конечной дис-
(17М)
(17V)
512
ГЛАВА 27
Персией. Естественно, чем меньше N, тем больше будет дисперсия. По-
этому необходимо исследовать зависимость форм распределения (17) от
эффективной численности N (рис. 27.2).
Некоторые свойства бета-распределения уже были рассмотрены в
пп. 4 и 5 § 1. Если и 4Ац, и 4Nv много меньше единицы, распределение
(17) имеет U-образную форму и оказывается аналогичным (16). Если
они равны единице, то cp(q) =С, т. е. распределение равномерное. Одна-
ко когда и 4Ац, и 4Nv больше единицы, распределение имеет моду. Мо-
дальная величина q в соответствии с (5) равна [669]
4Аф- 1
9 ~ 4N (ц + v) — 2 ’
Когда N так велико, что 4Np и 4Nv намного больше единицы, частоты
будут тесно сгруппированы около своего среднего значения с небольшой
дисперсией. Для простоты предположим, что p=v, так что кривые на
рис. 27.2 симметричны относительно среднего значения <7 = 0,50. Из фор-
мы этих распределений ясно, что популяцию можно считать «малой»,
когда ее эффективная численность такова, что 4Ац и 4Nv меньше еди-
ницы. С другой стороны, если они больше единицы (по крайней мере
больше 2), популяция будет рассматриваться как «большая», потому
что частоты генов в группах не отклоняются очень сильно от своего
среднего значения. И, наконец, если 4Ац и 4Nv лежат между 1 и 2, по-
пуляцию можно назвать «промежуточной» и изменчивость частот генов
в группах все еще значительна.
§ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИ ДАВЛЕНИИ МИГРАЦИИ
Миграция приводит к_группировке частот генов около среднего для
всей популяции значения q с А<? = —m(q—q). В то же самое время слу-
чайности процесса выборки приводят к дрейфу частот от этой точки, так
что в конце концов устанавливается стационарное распределение q.
Точное выражение для ст^ дается формулой (20) из гл. 26, в которой
было оценено влияние на группу новых иммигрантов:
а2 = (1-П<7(1-<7) Fq (1-д) = (1 + F) <? (1 - <?)
6l> 2W 1 N 2N
Здесь, однако, мы можем приближенно принять Og9=<7(l—q)!2N, если
доля иммигрантов т мала. Тогда функцию распределения можно найти,
сделав следующие подстановки в формулу (17):
т вместо (ц Т v), mq вместо ц, тр вместо v.
Производя те же действия, что и раньше, получим
<p(q) = Cq (18)
Это также бета-распределение с U=4Nmq и V — 4Nmp. Все, что было
сказано о (17), применимо также к (18). В частности, среднее значение
q из этого распределения равно, как и ожидалось, частоте гена во всей
популяции. Ее дисперсию можно получить прямо из (17V):
а2 = ?(1—?)
’ 4Nm + 1
Это выражение при малых т согласуется с (21) из гл. 25. В упр. 2 в
конце данной главы более детально рассмотрена дисперсия ст^ для слу-
чая, когда доля иммигрантов не очень мала.
(18V)
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
513
В простейшем случае, когда p = q=-^-, формы распределения (18)
такие же, как на рис. 27.2 с
Конкретная форма кривых определяется значением 2Nm (или, в общем
случае, ^Nmq и 4Nmp) — тем, больше или меньше она 1 или лежит в
интервале (1, 2). Очевидно, что при любом т частоты генов в группах
будут лишь очень незначительно отличаться друг от друга и будут сгруп-
пированы около общего для всей популяции среднего значения. В боль-
шинстве частично изолированных групп в природе т, вероятно, больше,
скорости мутирования. Однако в полностью изолированных группах
распределение опять сведется к (16).
§ 6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИ ДАВЛЕНИИ ОТБОРА
Распределение при наличии отбора более сложное, так как, соглас-
но гл. 21—23, существует много разных типов отбора. Рассмотрим вна-
чале общий случай, из которого затем выведем некоторые более простые
частные случаи. Общее выражение для изменения частоты гена в одном
локусе под действием отбора, согласно формуле (43) из гл. 21, будет
следующим:
- 9(1—?) dW
2W dq
где W — средняя приспособленность популяции в целом. Подстав-
ляя эту величину в формулу (15), мы получим показатель экспоненты
?(1.=-?)-£^- —dq— = 2А f = 2А In IF.
2W dq „q (I—q) ] w
Следовательно, функция распределения при наличии одного только от-
бора будет иметь вид
С w In w = CW2N
?(!—?) ?(!—?)’
(19)
Эту формулу можно представить в явном виде, если найти выражения
для Д<? или W. Последние в свою очередь зависят от типа отбора, дей-
ствующего в популяции. При рассмотрении приведенных ниже частных
случаев следует учитывать, что если е мало по сравнению с единицей, то
1п(1— е) —е и (1—s)2^e-2№ .
Промежуточная приспособленность гетерозигот. Если Waa=1,
^Аа = 1—s и Waa=l—2s, то для популяции со случайным скрещиванием
IF=1-—2sq; если 2sq мало, то ——s<?(l—q), где q — частота неблаго-
приятного гена. Следовательно, распределение принимает вид (рис. 27.3)
ф(7) = С(1-2^Г7-1(1-7)"1 = Се-4№Ч-1(1-7Г1. (19.1)
В отсутствие случайных отклонений стационарным состоянием было бы
<7 = 0, и практически никакого разброса q не наблюдалось бы. При слу-
чайных отклонениях и высокой интенсивности отбора большинство не-
благоприятных генов оставалось бы все еще близким к исчезновению.
Однако некоторые из них могли бы, по-видимому, иметь большие часто-
33—322
514
ГЛАВА 27
ты, а отдельные были бы даже близки к q=l, если группа достаточно
мала. Поэтому форма распределения (19.1) для промежуточных значе-
ний 4Ns будет J-образной (рис. 27.3, где 4A/s = 5). Если s и N настолько
малы, что 4Nsq<gA, множитель e~iNsri будет очень близок к 1, и распре-
деление (19.1) опять примет, как и ожидалось, вид (16). С другой сто-
роны, если действует сильный отбор или популяция достаточно велика,
то e~iNsi будет близко к нулю, и большинство q сосредоточатся вблизи
нулевой точки. (Примечание. Во многих работах Райта этот множитель
записан в виде eiNsi. Это объясняется тем, что он принял \q = sq(l—q),
где s — сама по себе отрицательная величина. Райтовское q можно рас-
сматривать также как частоту благоприятного гена.)
Рис. 27.3. Распределение (19.1) при
4Ws = 5 и <р(д) =Се^5«/^(1—.-/).
О q f
Рис. 27.4. Распределение (19.3) при
4./Vs=10 и <р(<?) =Се“1°7<1-з)/д(1—()).
Отбор против рецессивных гомозигот. При полном доминировании и
Waa=l—s мы имеем At? ——st?2(1—q) и Ц7=1—sq2. Следовательно,
функция распределения будет иметь вид
ф (?) = C(\-sqT,<Fl (1 - ЧГ' = Ce-^q-Xl-q)'1. (19.2)
Форма этого распределения более или менее близка к форме предыду-
щего распределения (19.1) (если заменить 4Nsq на 2Nsq2).
Превосходство гетерозигот. Для простоты предположим, что гомо-
зиготы АА и аа имеют равную приспособленность (которую мы примем
за единицу) и что IEAa=l-|-s, так что точкой устойчивого равновесия бу-
А 1 --
дет q = ~^. Тогда W=l-(-2spq и Aq = spq(l—2q). Показатель экспоненты
в формуле (14) равен
2 f — dq = 4Ns f (1 — 2q)dq = 4Ns (q — q2) = 4Nsq (1 — q).
J a6g J
Следовательно,
?(7) = Ce4W<1“‘?)7'1(l — q)~l. (19.3)
Когда популяция имеет среднюю численность, распределение принимает
вид, изображенный на рис. 27.4; оно симметрично относительно q = q —
= -|- и имеет моду в той же самой точке. Когда q очень мало или близко
к 1, довольно велика вероятность фиксации ее в результате случайно-
стей процесса выборки.
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
515
§ 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ
РАЗНЫХ ФАКТОРОВ
Теперь, когда мы рассмотрели распределение частот Тенов при дей-
ствии различных факторов по отдельности, обратимся к более реальной
ситуации, в которой осуществляется совместное давление двух или боль-
шего числа факторов. В таких случаях распределение определяется,
с одной стороны, относительной эффективной численностью групп, а с
другой — скоростью мутирования, интенсивностью отбора и частотой
миграций. В этом параграфе мы рассмотрим только несколько простых
примеров.
Мутации и миграция. Поскольку выражение для &q при давлении
мутаций имеет тот же вид, что и при миграции, совместное систематиче-
ское действие этих факторов на частоту гена будет выражаться сходным
образом, т. е.
Д<7 = рр — vq + m qр— mpq = (р + mq) р — (v + mp)q.
Производя такие же действия, как и в § 4, получим <p(q), которая будет
по-прежнему бета-распределением, аналогичным (17) и (18), за исклю-
чением того, что теперь
U = 4А (ц + m q) и V = AN (v + mp). (20)
Поэтому в дальнейшем мы будем изучать совместное действие только
мутаций и отбора, имея в виду, что сюда включается и влияние миг-
рации.
Мутации и отбор. Сравнивая функции распределения при мутаци-
онном давлении (17) и при отборе (19), можно заметить, что s (от ко-
торой зависит IF) входит в множитель, отличный от тех множителей,
в которые входят ц и v (определяющие U и V). Поэтому функция рас-
пределения при совместном действии мутаций и отбора является произ-
ведением соответствующих этим процессам функций, а ст^ — общим
множителем. Это станет ясно, если мы запишем их совместные система-
тические эффекты в виде
л /1 \ । q (1 — q) dw
Д<7 = |i (1 — q) — vq + ,
2 Г dq
4N f---М— yq = 4ДГИ in q + 4ДГу ln (1 — <7) + 2N In W,
J 9(1—9)
^(q) = CWw qu-\\-q)v-\ (21)
где U = 4Np и V=4Nv. Если U_ и V принимают значения, соответствую-
щие (20), то приведенное выше распределение будет включать также
эффект миграции. Таким образом, формула (21) является такой же об-
щей, как и (15), и все частные формулы, приведенные ранее, можно по-
лучить, приписав IF, U и V конкретные значения. Например, в отсут-
ствие отбора мы имеем s = 0 и IF=1, а (21) сводится к (17) или (18).
С другой стороны, если мутации и миграция отсутствуют, то 77=У=О,
и (21) сводится к (19). Различные формы (21) зависят от конкретных
значений IF, U и V. Рассмотрим несколько примеров.
1. В отсутствие доминирования IF = 1—2sq и (рис. 27.5)
<р(7) = Ce~Ws4qWtl-' (1 — q)Wv~l. (21.1)
Вспомним, что если в отсутствие отбора p=v, то распределение сим-
1 _ .
метрично относительно q——. Если отбор направлен против а, то
33*
516
ГЛАВА 27
средняя частота а уменьшится до уровня, определяемого интенсивно-
стью отбора, даже если скорости мутирования по-прежнему равны.
Если s мало, (21.1) приближенно сводится к (17).
2. Для вредных рецессивных генов IF=1—sq2, и
<р (7) = Ce“2W 74,V|I_1 (1 — q)iNv~l. (21.2)
Это функция, с которой обычно имеют дело при обсуждении вопросов,
связанных с распределением частот генов. Если за счет отбора q под-
держивается на низком уровне, то эффект всех обратных мутаций vq
Рис. 27.5. Распределение q в отсутствие доминирования (21.1); предполагается, что ско-
рости мутирования постоянны и равны (p.=v).
Сплошная линия — слабый отбор ($ = ц/10); штриховая — умеренный отбор пунктирная —
сильный отбор (5 = 10ц). Если 4/Уц и 42W много меньше единицы, то кривая принимает U-образную
форму, как на рис. 27.1; отбор делает эту кривую несколько менее симметричной [680].
Рис. 27.6. Распределение (21.4) ред-
кого рецессивного летального гена
при р = 10“5.
Отметим, что среднее значение q=* V ц—
== V 0,00001=0,00316 в больших популяци-
ях и уменьшается при уменьшении N
[676, 680].
пренебрежимо мал, так что распределение редкого рецессивного гена
является приблизительно таким:
Ф (<7) = Ce-2NsqS 74ЛГц-1 (1 — q)-{. (21.3)
Напомним, что равновесная величина в таком случае равна q =
= (ц/s) [(2) из гл. 24]. По форме это распределение сходно с рас-
пределением, имеющим место в следующем_крайнем случае.
3. Для рецессивных летальных генов IF=1—q2. Поскольку леталь-
ные гены редки, влиянием обратных мутаций можно пренебречь
(4jVv=0). Таким образом, (21) принимает вид (рис. 27.6)
ф(<7) = С(1 -q2)wqw^ (1 -9)-1. (21.4)
В равновесии, согласно (2L) из гл. 24, q= ]/ ц. Распределения в ма-
лой, средней и большой популяциях показаны на рис. 27.6.
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
517
§ 8. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА —ПЛАНКА1.
Общая функция распределения (14) эквивалентна следующему
дифференциальному уравнению, которое в физике известно под назва-
нием уравнения Фоккера—Планка и нередко называется «диффузион-
ным уравнением» [321, 686]:
А [Д<7.ф(7)] = Ф И• (22)
Его можно получить независимо из условия, что распределение q в
последовательных поколениях остается тем же самым, несмотря на
изменения \q и 8q. Если читателя интересует вывод уравнения, он мо-
жет обратиться к работам Кимуры [290, 291]. Мы же здесь хотим по-
казать, что (14) является решением (22); для этого просто дважды
проинтегрируем (22) по q. Первое интегрирование дает
(?) = -у 1 <%, Ф (?)] + const. (23)
Здесь интересно отметить, что левая часть (23), &q<p(q), представляет
собой часть распределения, которая обусловлена смещением Aq под
действием систематического давления. Поскольку распределение явля-
ется стационарным, правая часть уравнения (23) после подстановки
=«(1—?)/2".
Т S’f
будет частью распределения, которое обусловлено диффузией за счет
случайных отклонений.
Чтобы упростить повторное интегрирование, перепишем (23) сле-
дующим образом:
^КФ(<7)] =
2 (А?) _ ф
<4 Ф (я)
Интегрируя, получим
2 f Ч" dq = 1п [а&7ф + const’ (24)
J °6q
откуда
2 f
что является общей функцией распределения (14).
§ 9. СОВМЕСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ ГЕНОВ
До сих пор мы выводили формулы для распределения частот ге-
нов только для отдельных пар генов с постоянными коэффициентами
отбора. Иначе говоря, мы предполагали, что приспособленность по од-
ному локусу не зависит от действия всех остальных локусов. При
1 Это уравнение называют также прямым уравнением Колмогорова. — Прим. ред.
518
ГЛАВА 27
более строгом рассмотрении необходимо принимать во внимание фак-
торы взаимодействия. Например, в случае двух пар генов возможна
ситуация, когда неблагоприятными (с W=1—s) являются только
двойные гомозиготы по рецессивным генам (aabb), тогда как все ос-
тальные восемь генотипов являются нормальными. Или если эффекты
генов аддитивны в отношении количественного признака, то отбор
благоприятствует только тем особям, которые имеют промежуточное
значение количественного признака. Короче говоря, селективная цен-
ность генотипа больше зависит от определенной комбинации генов, чем
(4)
Рис. 27.7. Совместное распределение частот двух пар генов (д-р Кроу, неопубликован-
ные данные).
По вертикальной оси отложено <р(<7ь квадрат в основании представляет собой плоскость (q\, qi).
1. Популяция мала по численности: гены в основном зафиксированы. Генотипы ААВВ (0, 0)
ААЬЬ (0,1), ааВВ (1, 0), aabb (1, 1) встречаются наиболее часто.
2. Популяция средней численности. Здесь предполагается, что хуже приспособлены только
двойные рецессивные гомозиготы (ааЬЬ)\ приспособленность их IF=1—s, так что W=l—sc^q^.
Предполагается, что интенсивность отбора и скорости мутирования — величины одного и того же
порядка.
3. Большая по численности популяция при тех же самых условиях, что и (2). Поверхность
Л Л
превращается в узкий высокий конус, в вершине которого находится точка равновесия (qi, qA-
4. Средняя по численности популяция. Здесь предполагается, что действие двух пар генов на
количественный признак равны и аддитивны, отбор действует против генотипов, отклоняющихся от
среднего значения признака (пропорционально квадрату отклонения), а скорости мутирования рав-
ны. Седлообразная линия соответствует частотам вдоль диагонали, соединяющей два наиболее бла-
гоприятных типа — ААЬЬ и ааВВ. Другая линия относится к частотам, соединяющим неблагопри-
ятные типы ААВВ и aabb. Вся поверхность имеет вид спины двугорбого верблюда.
5. Большая по числеииостн популяция при тех же условиях, что и (4). Здесь на поверхности
имеются два далеко отстоящих друг от друга крутых пика, соответствующих точкам наибольшей
приспособленности.
от присутствия или отсутствия некоторого аллеля. Вопрос совместного
распределения по нескольким генам был рассмотрен Райтом во многих
статьях, например в работе [676]. Мы не можем здесь рассматривать
этот предмет так же подробно, как это было сделано для частот от-
дельных пар генов. Приведенная ниже краткая сводка не претендует
на полноту; это только введение в теорию совместного распределения.
Как мы видели, ответ на вопрос о том, какова эффективная чис-
ленность популяции — большая или малая, определяется интенсивно-
стью отбора и скоростью мутирования. Если эти факторы от локуса к
локусу сильно варьируют, то популяция может быть «малой» в отно-
шении одного гена и «большой» — в отношении другого. Ясно поэтому,
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
519
что совместное распределение нескольких генных частот может выгля-
деть очень сложно. В примерах, приведенных на рис. 27.7, чтобы упрос-
тить построение поверхности распределения, предполагается, что
прямые и обратные мутации для двух локусов совершенно одинаковы.
Функция совместного распределения именно для таких двух пар генов
с учетом только давления отбора и мутаций имеет вид
ф(<Д, <7г) = С W2N-q^ (1 ^-‘(1 —7/2-1, (25)
где П1=4Ац1 и т. д., a W — средняя приспособленность популяции (по
9 генотипам). Эта формула является обобщением (21); ее можно обоб-
щить и на случай k пар генов. На рис. 27.7 приведены некоторые
поверхности распределения для малых, средних и больших по числен-
ности популяций. Придавая U, V и W различные значения, можно по-
лучить ряд других поверхностей. Для п пар генов совместное распре-
деление <p((?i;..(7n) изображается поверхностью в («+1)-мерном про-
странстве. Отметим здесь один важный момент: поверхности имеют
весьма неправильную форму и содержат множество пиков различной
высоты.
§ 10. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ЭВОЛЮЦИИ:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Понятие распределения частот генов играет большую роль при
решении вопросов биологической эволюции на популяционном уровне;
изменение частоты гена следует рассматривать как элементарный шаг
Рис. 27.8. Три основных типа распределения q, отвечающих определенной эффективной
' численности популяции.
этого процесса. Формы распределения зависят от. соотношения между
различными факторами, которые вызывают изменения частоты гена,
однако всех их, вообще говоря, можно подразделить на три основных
типа в соответствии с эффективной численностью популяции (рис. 27.8).
В большой панмиктической популяции все частоты генов группи-
руются вокруг определенной точки устойчивого равновесия, которая
определяется противодействующими систематическими давлениями му-
таций, отбора и миграции. Таким образом, распределение q является
I-образным. Когда все гены достигают своих равновесных частот, ни-
какие дальнейшие генетические изменения состава популяции при по-
стоянных условиях окружающей среды невозможны, и эволюция может
зайти в тупик. Приспособленности различных генотипов и вместе с
ними равновесные частоты будут изменяться соответствующим образом
только при изменении условий среды. В таких условиях частоты генов
520
ГЛАВА 27
будут стремиться к новым точкам равновесия. Можно сказать, что
эволюция в таких больших панмиктических популяциях направляется
внутригрупповым отбором. Однако иногда этот процесс настолько мед-
ленный, что он не в состоянии обеспечить эволюционные изменения.
В небольших полностью изолированных популяциях частоты генов
отклоняются от своих равновесных значений случайным образом и,
следовательно, большинство генов игрой случая в конце концов фикси-
руются или элиминируются, образуя случайную комбинацию. Распреде-
ление q в таких популяциях U-образное. Следствием этого является
главным образом неадаптивная дифференциация небольших локаль-
ных разновидностей, поскольку доминирующий фактор здесь — случай-
ное отклонение, а не отбор. Поскольку большинство таких случайно
зафиксированных комбинаций генов не принадлежит к типам, которым
больше всего благоприятствует отбор, и так как в малых популяцион-
ных группах полностью отсутствует генетическая пластичность, их
конечной судьбой является, вероятно, вымирание.
В популяциях средней численности отбор в какой-то степени влия-
ет на направление эволюционного изменения; однако в то же время
здесь большую роль играют случайные флуктуации частот генов. Это
состояние более благоприятно с эволюционной точки зрения, чем рас-
смотренные ранее очень большая и очень малая по численности по-
пуляции. Однако наиболее благоприятным состоянием является такое,
при котором большая популяция подразделена на множество частично
изолированых групп (с миграцией между ними). Тогда все эволюци-
онные факторы — мутации, отбор, миграция и случайные отклонения —
могут действовать одновременно. В таких случаях в частично изолиро-
ванных группах будет идти дифференциация; одни из этих групп ока-
жутся более приспособленными, другие — менее; это определяется
относительным влиянием миграции и отбора в каждой группе. Полная
фиксация в любой группе будет предотвращаться обменом особями
между ними. Отбор, изменяющийся от одной локальности к другой,
можно назвать межгрупповым; он гораздо эффективнее внутригруппо-
вого отбора в одной большой популяции. Если группы малы, то неко-
торые из них в результате отбора будут вымирать, тогда как другие—
процветать. Когда группа становится большой, она опять может под-
разделяться на частично изолированные подгруппы. Можно сказать,
что такое состояние создает своеобразный механизм проб и ошибок,
с помощью которого системы частот генов могут в конце концов до-
стичь наиболее благоприятных для популяции точек равновесия. Вид
(вся популяция) может эволюционировать непрерывно даже в отсут-
ствие существенных изменений окружающей среды. Если условия из-
менятся, то популяция как целое с ее разнообразными и гибкими
подгруппами окажется в состоянии приспособиться к новой ситуации,
избежав вымирания.
Из всего сказанного выше ясно, что какого-то одного ведущего
фактора эволюционных изменений не существует. Характер изменения
популяции определяется тем, что Райт назвал «репродуктивной струк-
турой» (breeding structure) популяции. Эффективная численность по-
пуляции, инбридинг, изоляция, миграция, отбор, мутации и частота
гена — все это в различных случаях может иметь большое значение.
Наиболее благоприятным состоянием для эволюционного развития
является такое, в котором все эти силы при данных условиях среды
определенным образом уравновешивают друг друга, нежели состояние,
когда ситуацию все время определяет один фактор.
Процесс эволюционного изменения можно дополнительно пояс-
нить, рассмотрев среднюю приспособленность популяции. Напомним,
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
521
что W является функцией частот генов и отбор изменяет q таким
образом, что W становится максимальным. Простейшим является слу-
чай, когда отбор благоприятствует гетерозиготам и 1^=1—Sj (1—q)2—
A
—S272, достигая максимума в точке 7 = si/(si+s2). Аналогичным обра-
зом, если это касается двух пар генов, W будет функцией частот двух
генов (в предположении, что гены распределены по двум локусам не-
зависимо) . Если по одной оси отложить «yi, по другой — 7г, а по треть-
ей — W, то величины W образуют поверхность в трехмерном простран-
стве, каждая точка которой соответствует определенной точке на пло-
скости 7172. Действие отбора должно «подогнать» величины 71 и q<2
так, чтобы пара (71, 72) при условии слабого эпистаза и незначитель-
ного сцепления соответствовала максимальному W. Поверхность W
может иметь больше одного максимума, и эти максимумы не обяза-
тельно равны по высоте. Какого именно максимума достигает W, за-
висит от условий отбора, а также от частот генов в данное время.
При наличии одновременно п локусов W можно представить по-
верхностью в («4-1)-мерном пространстве; каждая точка этой поверх-
ности соответствует конкретной точке n-мерного подпространства. Эта
поверхность будет иметь много максимумов («пиков»). Действие от-
А А __
бора состоит в «выборе» точки (71,..., qn), в которой W достигает одно-
го из своих максимальных значений. Эта схема известна под названи-
ем адаптивной топографии Райта («peak-valley» model): поверхность
W представляется «топографической картой», изображающей пики и
долины на общем «ландшафте» возможных комбинаций генов [670,
680]. Принимая во внимание этот способ изображения, вопросы, рас-
смотренные в предыдущих параграфах, можно обсудить по-другому.
Большая панмиктическая популяция с системой частот генов,
А А __
близких к точке (71,..., qn), занимает пик на поверхности W и его окре-
стность. С возрастанием интенсивности отбора или уменьшением час-
тоты мутирования (так что 4Ns и становятся очень большими)
приспособленность популяции как целого увеличивается и, таким обра-
зом, она стремится занять меньшую область на пике адаптивной по-
верхности. Если же интенсивность отбора уменьшится, то популяция
займет большую область около пика, т. е. в окрестности точки
А А
(7i,...,7n) будет существовать значительная изменчивость. Большим
видам присуща высокая степень устойчивости.
При изменении условий окружающей среды изменяется топогра-
фия поля: пики могут превратиться в долины, благоприятные сочета-
ния генов стать неблагоприятными и наоборот. Действие отбора пере-
водит популяцию из долины на ближайший к ней пик, а это означает,
что система частот генов постепенно перемещается по направлению к
новой точке равновесия, определяемой новыми условиями.
В очень малой популяции или в популяции с тесным инбридингом
в конце концов образуется случайная комбинация генов; поэтому она
может занимать практически любую точку поля с любым значением W.
Такие популяции вообще имеют мало шансов попасть в какой-либо
максимум.
Средняя по размеру популяция случайно «блуждает» вокруг пика
и, вероятно, располагается на поверхности не очень далеко от ближай-
шего пика. Такая популяция не спускается с пика в долину, но иногда
.«натыкается» на подъем, ведущий к другому пику, и «передвигается»
34—322
522
ГЛАВА 27
к нему. Здесь, следовательно, существует механизм проб и ошибок, с
помощью которого вид со временем находит свой путь к более высо-
ким участкам поля. Процесс этот, однако, медленный, поскольку из-
менение частоты гена за поколение очень мало (того же порядка, что
и скорость мутирования).
И наконец, рассмотрим вид, подразделенный на множество ло-
кальных частично изолированных групп. Каждая группа с флуктуиру-
ющими частотами генов будет занимать значительный участок поля,
и, таким образом, вся популяция окажется «рассеянной» по очень
большой площади адаптивной поверхности. Хотя каждая из этих ло-
кальных рас может непрерывно изменяться в основном неадаптивным
образом, тем не менее если условия отбора в различных частях ареала
варьируют, в больших регионах будет существовать широкая адаптив-
ная дифференциация. Скорость изменения частот генов может быть
намного больше, чем в предыдущем случае, поскольку теперь измене-
ние за поколение имеет тот же порядок, что и частота миграции (вме-
сто скорости мутирования). При обширном ареале и относительно-
высокой скорости расселения существует высокая вероятность того,
что какая-то одна из рас в силу «преадаптированности» обоснуется на
другом пике. Если этот пик окажется более высоким (соответствую-
щим лучшей адаптации), то численность расы увеличится, и путем
скрещивания с другими группами, а также за счет фактического вытес-
нения их она переместит вид в целом в направлении к новой адаптив-
ной вершине. На этом пути подразделение большого вида на частично
изолированные локальные группы создает основу для существования
высокоэффективного механизма проб и ошибок на поле генных комби-
наций и обусловливает эволюционное развитие путем межгруппового
отбора.
Для более детального ознакомления с этой проблемой следует
обратиться к оригинальным статьям Райта. Превосходное изложение
этой концепции в целом без использования математического аппара-
та приводит Добжанский [111]. Основной вывод его работы состоит
в следующем: эволюционный процесс зависит от непрерывно изменя-
ющегося, но никогда не нарушающегося равновесия между факторами
стабильности и динамики; наиболее благоприятной для этого процесса
является подразделенная популяция, в которой изоляция и обмен осо-
бями соответствующим образом сбалансированы.
В заключение следует сказать несколько слов о телеологической
и механистической теориях эволюции. Мы убедились, что даже так
называемая «преадаптация» может возникнуть в результате действия
определенного механизма. Обсуждая доказательства «пригнанности»
генетической адаптации, формируемой естественным отбором, Мёллер
[472] показал, что организмы, имеющие вначале сходные потребности,
но различающуюся генетическую структуру, тем не менее имеют тен-
денцию к развитию одних и тех же признаков, причем с самой высокой
степенью точности. Это можно объяснить, только основываясь на до-
пущении о селективном преимуществе этих признаков. Такой резуль-
тат действия отбора напоминает результат, достигаемый в процессе
сознательного использования жизненного опыта. Он подобен цели,
которую требуется достичь любыми средствами. Таким образом, в
этом смысле .телеологический подход к изучению организмов вполне
оправдан. Мёллер делает вывод: «Телеология, по сути дела, является
одной из сторон механицизма».
Исследования последних лет показывают, что модель адаптивной
топографии, описывающая «движение» и эволюцию популяций, о кото-
рых говорилось выше, не совсем адекватна при описании наиболее
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
523
общих ситуаций. Например, устойчивая стационарная точка для двух
локусов не обязательно находится в точке локального максимума на
поверхности W. Однако эта модель всегда была несколько условной,
поскольку она предполагала слабый эпистаз по отбору и незначитель-
ное сцепление, благодаря чему гены разных локусов в основном ком-
бинируются случайным образом и популяцию все еще можно описы-
вать с полющью частот генов. При этих простых условиях модель
адаптивной топографии все-таки верна. Математические исследования
зависимости между отбором и средней приспособленностью для двух
локусов можно найти в работах Тёрнера [626], Фельдмана и Кроу
[149а] и Левонтина [349]. Эволюцию нейтральных генов исследовали
Кимура и Ота [306]. Всесторонне вопрос о стационарных распределе-
ниях частот гамет при эпистатической селекции в популяции ограничен-
ной численности пока не изучен.
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Поскольку 0,577 1п 1,78, постоянный множитель в (16) при
средних значениях N можно записать так:
— = 2 [In 2N + In 1,78] = 2 In 3,56 N.
С
2. Если \q является линейной функцией q, дисперсию q можно
определить более точно [точнее, чем это позволяют сделать формулы
[17V] и [18V], Пусть Aq=—c(q—q), где с — константа. Хотя q в
следующем поколении превратится в q+Aq+bq, для стационарных рас-
пределений дисперсия останется той же самой; таким образом, в
предположении, что не зависит от <?+Д<7, справедливо следующее
приближенное уравнение:
1 1 1
— J (7 — 7)2 Ф (7) dq = ^(q+\q — q)2 <р (q) dq + j* Ф (7) dq. (26)
oo b
Первый член в правой части этого уравнения дает вклад, вносимый
в дисперсию новыми частотами генов, если мы учитываем А<у, но не
учитываем случайных отклонений. Так как новое отклонение равно
q + Д<7 —~q = q — с (q — q) — q = (1 —c) (q—q),
первый член сведется к
1
(1—c)aJ(<7— 9)2ф(7)е/7 = (1—c)2q2. (I)
о
Второй член, отвечающий вкладу в дисперсию случайных отклонений,
легко проинтегрировать:
Crq(l — q) q(d—q) — rf ....
]Лга’’(”'г’ =—<"’
0
Подставив (I) и (II) в исходное уравнение (26), получим
9 /1 \9 о I 4 (1 q)
о2 = (I — с)2 0-2 4-----ч-,
ч ’ Ч 2N
34*
524
ГЛАВА 27
откуда
ст2 = ? (1 — <?) = <?(!—<?)
9 2ЛН-1—2ЛЦ1—с)2 Ц-4ЛГс — 2Nc* ’
(27)
Здесь при давлении мутаций c = p4-v, при давлении миграции с=т,
при совместном давлении миграции и мутаций c = m4-y,4-v. Отметим,
что выражение для очень похоже, но все же не идентично выраже-
нию (23) из гл. 26, где с=т. Обусловлено это тем, что вклад слу-
чайных отклонений в дисперсию не равен в точности J[<у(1—q)J2N]\
Xsf(.q)dq, как это предполагалось здесь, а равен f [ (q+hq) (1—q—
—&q)/2N]q)(q)dq. Выражение (27) уточняет выражения (17V) и (18V).
Для сравнения три отклонения б3 сведены в таблицу.
Вклады
систематического
отклонения
случайного
отклонения
Дисперсия q при ста-
ционарном распределении
(1—2с)
(1-<»Ч
(1-^)4
?(1 —<?)— о2
2N
?(1 — ?) —о2
2W
<Д1—д)—(1—c)2gg
2W
ч \ + 4Nc
2 = 7(1 — ?)
9 } + 2Nc2
7(1—7)
°ч 2N — (2ЛГ — 1) (1 — с)2
3. Постройте кривые (18) для случаев Nm = 0,Q5, 0,50, 5 и 50
(рис. 27.9), считая, что во всей популяции q=—.
4: Приняв в (17) У=4Л^= 1, мы получим
<р (<?) = —И qU—1 _
1/7 Г(17)Г(1)*
Это приближенное распределение справедливо для случая, когда му-
тации действуют преимущественно в одном направлении. В качестве
упражнения постройте кривую <p(gj=4(73. Здесь 4Д1ц = 4 и A/ji=l.
5. Постройте график функции распределения (21.1) для больших
популяций при 4Л7р.=4ЛЛу = 5 и сильном отборе без доминирования;
л 5 I
4Д/з=40. Заметим, что приближенно <7 = p/s=^y---> что также
очень близко к модальному значению для этой кривой (рис. 27.10).
6. В общем случае слабого отбора зигот, когда адаптивные цен-
ности трех генотипов различаются, можно записать Д<у = <7(1—<7) X
Х(—s+/</), где t в зависимости от степени доминирования может быть
положительным или отрицательным. Покажите, что функция распреде-
ления для этого случая имеет вид
^q) = Ce-iNs^qu-\\-q)v-\
7. Вопрос о распределении аллелей самостерильности (гл. 9)
в популяции ограниченной численности требует специального рассмот-
рения, поскольку частота аллеля варьирует не от 0 до 1, а от 0 до
*/2- Это связано с тем, что каждая особь является гетерозиготой SiSj.
Когда существуют только три аллеля, ситуация сравнительно проста.
СТАЦИОНАРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ ГЕНОВ
525
Однако когда аллелей 4 и больше, выражение для Aq и для выбороч-
ной дисперсии в популяции из N особей необходимо модифицировать.
Подробно этот вопрос рассмотрен в работах [129, 703].
Рис. 27.9. Распределение q при наличии
только миграций (18) (в предположении,
что <7 = 0,50, А0п=0,50 эквивалентно
4Nmq=l и т. д.) [682, 683].
8. Моду общего распределения (15) можно найти, решая урав-
нение dq(q')ldq = 0, но проще взять логарифм функции распределения;
тогда, согласно (15), мы имеем
L = In <р (g)=41V С—-------In н(1 —9) + const,
J 9(1—9)
dL __ In <p (q) _ 4N-kq 1 — 29 _ q
dq dq 9(1—9) 9(1—9)
Рис. 27.10. Распределение (21.1):
<P (9) =Ce~w4qi(\—qi).
Например, при совместном действии мутаций и отбора в отсутствие до-
минирования
А<7 = — sq (1 — q) + р (1 — q) — vq.
Подставив это выражение для Aq в уравнение dL[dq=Q и приняв во
внимание, что 1—2^= (!—</) —q, мы получим [669]
_ 4Ns + ---L+_L = 0,
q I—9 9 I—9
526
ГЛАВА 27
ИЛИ
-4Ms + 4Л>—=
q i — q
В частности, если эффекты обратных мутаций пренебрежимо малы, то
уравнение превратится в
4Ns = Wizl t
q
откуда
W-l ~ (X
4 4Ns s’
Это указывает на то, что модальная величина очень близка к равновес-
ной величине для больших популяций.
9. Более полно вопросы стохастического изменения и стационар-
ных распределений частот генов изложены в книгах Морана [457],
Эвенса [138], Райта [703], Кроу и Кимуры [89]. В них имеется также
обширная библиография.
Список литературы
1. Allard R. W., Jain S. K., Workman P. L., The genetics of inbreeding populations, Adv.
Genet., 14, 55—131 (1968).
2. Allison A. C., Protection afforded by sickle-cell trait against subtertian malarial infec-
tion, Brit. Med. J., 1, 290—294 (1954).
3. Allison A. C., Notes on sickle-cell polymorphism, Ann. Hum. Genet., 19, 39—51
(1954).
4. Anderson E., The species problem in Iris. Ann. Missouri Bot. Garden, 23, 457—509
(1936).
5. Anderson W. W., Selection in experimental populations I. Lethal genes, Genetics, 62,
653—672 (1969).
6. Anderson W. W., Polymorphism resulting from the mating advantage of rare male
genotypes, Proc. Nat. Acad. Sci., 64(1), 190—197 (1969).
7. Anderson W. W., Genetic equilibrium and population growth under density-regulated
selection, Amer. Nat., 105, 489—498 (1971).
8. Anderson W. W., King С. E., Age-specific selection, Proc. Nat. Acad. Sci., 66, 780—
786 (1970).
9. Arunachalam V., Fundamental theorem of natural selection in two loci, Ann. Hum.
Genet., 34, 195—199 (1970).
10. Atkinson F. V., Watterson G. A., Moran P. A. P., A matrix inequality, Quart. J. Math.,
11, 137—140 (1960).
11. Ayala F., Evolution of fitness. IV. Genetic evolution of interspecific competitive abi-
lity in Drosophila, Genetics, 61, 737—747 (1969).
12. Bailey N. T. J., The estimation of the frequencies of recessives with incomplete multip-
le selection, Ann. Eugen., 16, 215—222 (1951).
13. Bailey N. T. J., A classification of methods of ascertainment and analysis in estima-
ting the frequencies of recessives in man, Ann. Eugen., 16, 223—225 (1951).
14. Bailey N. T. J., Introduction to the mathematical theory of genetic linkage, Oxford,
Clarendon Press, 1961.
15. Barber H. N., Selection in natural populations, Heredity, 20, 551—572 (1965).
16. Bartlett M. S., Haldane J. B. S., The theory of inbreeding in autotetraploids, J. Genet.,
29, 175—180 (1934).
17. Bartlett M. S., Haldane J. B. 8., The theory of inbreeding with forced heterozygosis,
J. Genet., 31, 327—340 (1935).
18. Batschelet E., Introduction to mathematics for life scientists. Springer-Verlag, 1971.
19. Bennett J. H., On the theory of random mating, Ann. Eugen., 18, 311—317 (1954).
20. Bennett J. H., Selectively balanced polymorphism at a sex-linked locus, Nature, 180,
1363—1364 (1957).
21. Bennett J. H., The existence and stability of selectively balanced polymorphism at a
sex-linked locus, Aust. J. Biol. Sci., 11, 598—602 (1958).
22. Bennett J. H., Random mating and sex linkage, J. Theor. Biol., 4, 28—36 (1963).
23. Bernstein F., Zusammenfassende Betrachtungen fiber die erblichen Blutstrukturen des
Menschen, Ztschr. f. Abstamm.- u. Vererbungslehre, 37, 237—270 (1963).
24. Bernstein F., Ueber die Erblichkeit der Blutgruppen, Ztschr. f. Abstamm.- u. Verer-
bungslehre, 54, 400—426 (1930).
25. Bernstein F., Fortgesetzte Untersuchungen aus der Theorie der Blutgruppen, Ztschr. f.
Abstamm.- u. Vererbungslehre, 56, 233—273 (1930).
26. Bodmer W. F., Discrete stochastic processes in population genetics, J. Roy. Stat. Soc.
B, 22, 218—236 (1960).
27. Bodmer W. F., Differential fertility in population genetics models, Genetics, 51, 411 —
414 (1965).
28. Bodmer W. F., Felsenstein J., Linkage and selection: theoretical analysis of the de-
terministic two locus random mating model, Genetics, 57, 237—265 (1967).
528
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
29. Bodmer W. F., Parsons P. A., The initial progress of new genes with various genetic
systems, Heredity, 15, 283—299 (1960).
30. Bodmer W. F., Parsons P. A., Linkage and recombination in evolution. Adv. Genet.,
11, 1—100 (1962).
31. Bohidar N. R., Derivation and estimation of variance and covariance between relati-
ves under sex-linked transmission, Biometrics, 20, 505—521 (1964).
32. Boorman К. E., An analysis of the blood types and clinical condition of 2000 conse-
cutive mothers and their infants, Ann. Eugen., 15, 120—134 (1950).
33. Bosso J. A., Sorrain О. M., Favret E. E. A., Application of finite absorbent Markov
chains to sib mating populations with selection, Biometrics, 25, 17—26 (1969).
34. Boyd W. C., Genetics and the races of man, Boston: Little, Brown and Co., 1950.
35. Boyd W. C., Maximum likelihood method for estimation of gene frequencies from MNS
data, Am. J. Hum. Genet., 6, 1—10 (1954).
36. Boyd W. C., Shortened maximum likelihood estimation of Rh gene frequencies, Am.
J. Hum. Genet., 6, 303—318 (1954).
37. Boyd IT. C., Gene frequencies in anthropology: simple methods, Am. J. Phys. Anthro,
12,241—251 (1954).
37a. Boyd W. C., Am. J. Human Genet., 7, 444—445 (1955).
38. Boyd IF. C., Variances of gene frequency estimates, Am. J. Hum. Genet., 8, 24—38
(1956).
39. Boyd IF. C., Li С. C., Rates of selective action on unifactorial and multifactorial trails,
Am. J. Phys. Anthro., 21, 521—526 (1963).
40. Breese E. L., The genetical consequences of assortative mating, Heredity, 10, 323—343
(1956).
41. Brown A. H. D., The estimation of Wright’s fixation from genotypic frequencies, Ge-
netica, 41, 399—406 (1970).
42. Brues A. M., Selection and polymorphism in the ABO blood groups, Am. J. Phys.
Anthro., 12 (4), 559—597 (1954).
43. Brues A. M., The cost of evolution vs. the cost of not evolving, Evolution, 18, 379—
383 (1964).
44. Brues A. M., Genetic load and its varieties, Science, 164, 1130—1136 (1969).
45. Bryce L. M., Jakobowicz R., McArthur N., Penrose L. S., Bloodgroup frequencies in a
mother and infant sample of the Australian population, Ann. Eugen., 15, 271—275
(1950).
46, Bulmer M. G., The stability of equilibria under selection, Heredity, 27, 157—162 (1971).
47. Bulmer M. G., Multiple niche polymorphism, Amer. Natur., 106, 254—257 (1972).
48. Bunak V. V., Changes in the mean values of characters in mixed populations, Ann.
Eugen., 7, 195—206 (1936).
49. Campbell M. A., Elston R. C., Relatives of probands: models for preliminary genetic
analysis, Ann. Human Genet., 35, 225—236 (1971).
50. Cannings C., Equilibrium, convergence and stability at a sex-linked locus under natu-
ral selection, Genetics, 56, 613—617 (1967).
51. Cannings C., Equilibrium under selection at a multi-allelic sex-linked locus, Biomet-
rics, 24, 187—189 (1968).
52. Cannings C., Unisexual selection at an autosomal locus, Genetics, 62, 225—229 (1969).
53. Cannings C., A graphical method for the study of complex genetical systems with
special reference to equilibria, Biometrics, 25, 747—754 (1969).
54. Cannings C., Edwards A. W. F., Natural selection and the de Finetti diagram, Ann.
Hum. Genet., 31, 421—428 (1968).
55. Cannings C., Edwards A. W. F., Expected genotypic frequencies in a small sample:
deviation from Hardy-Weinberg equilibrium, Am. J. Hum. Genet., 21, 245—247 (1969).
56. Carr R. N., Nassar R. F., Effects of selection and drift on the dynamics of finite po-
pulations. I. Ultimate probability of fixation of a favorable allele. II. Expected time
to fixation or loss of an allele, Biometrics, 26, 41—49; 221—227 (1970).
57. Castle W. E., The laws of heredity of Galton and Mendel and some laws governing
race, improvement by selection, Proc. Amer. Acad. Arts and Sci., 39, 223—242 (1903).
58. Cavalli-Sforza L. L., Bodmer W. F., The genetics of human populations, W. H., Free-
man and Co., San Francisco, 1971.
59. Ceppellini R., Siniscalco M., Smith С. A. B., The estimation of gene frequencies in a
random-mating population, Ann. Hum. Genet., 20, 97—115 (1955).
60. Cesari L., Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differential equa-
tions, Ergebnisse der Math., 16, Springer, Berlin, 1959.
61. Chetverikov S. S., On certain features of the evolutionary process from the point of
view of modern genetics, J. Exp. Biol., 2, 3—54 (1926).
62. Clarke B., Frequency-dependent selection for the dominance of rare polymorphic ge-
nes, Evolution, 18, 364—369 (1964).
63. Clarke B., Density-dependent selection, Amer. Nat., 106, 1—11 (1972).
64. Clarke B., O’Donald P., Frequency-dependent selection. Heredity, 19, 201—206 (1964).
65. Cockerham С. C., An extension of the concept of partitioning hereditary variance for
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
529
analysis of covariances among relatives when epistasis is present, Genetics, 39, 859—
882 (1954).
66. Cockerham С. C., Analysis of quantitative gene action. Genetics in plant breeding,
Brookhaven Symp. Biol., 9, 53—68 (1956).
67. Cockerham С. C., Effects of linkage on the covariances between relatives, Genetics,
41, 138—141 (1956).
68. Cockerham С. C., Partitions of hereditary variance for various genetic models, Ge-
netics, 44, 1141—1148 (1959).
69. Cockerham С. C., Variance of gene frequencies, Evolution, 23, 72—84 (1969).
70. Cockerham С. C., Higher order probability functions of identity alleles by descent, Ge-
netics, 69, 235—246 (1971).
71. Cormack R. M., A boundary problem arising in population genetics, Biometrics, 20,
785—793 (1964).
71a. Cornfield J., A method of estimating comparative rates from clinical data; applica-
tions to cancer of the lung, breas and cervix, J. Natl. Cancer Inst, 11, 1269—1275
(1951).
72. Gotterman C. W., The detection of sex-linkage in families collected at random. Ohio
J. Sci., 37, 75—81 (1937).
73. Cotterman C. U7., Indication of unit factor inheritance in data comprising but a single
generation, Ohio J. Sci., 37, 127—140 (1937).
74. Cotterman C. W., Relatives and human genetic analysis, Scient. Monthly, 53, 227—
234 (1941).
75. Cotterman C. W., A weighting system for the estimation of gene frequencies from
family records, Contr. Lab. Vert. Biol. 33, 1—21, Univ, of Michigan (1947).
76. Cotterman C. W., Regular two-allele and three-allele phenotype systems, Am. J. Hum.
Genet., 5, 193—235 (1953).
77. Cotterman С. IV., Estimation of gene frequencies in non-experimental populations. In:
Statistics and Mathematics in Biology, O. Kempthorne (ed.), pp. 449—465, Ames,
Iowa State College Press, 1954.
78. Cotterman C. W., Snyder L. H., Studies in human inheritance. XVII. Gene frequency
analysis of double recessive inheritance involving one autosomal and one sex-linked
gene substitution, Genetica, 19, 537—552 (1937).
79. Crawford M. H., Workman P. L. (ed.), Methods and theories of anthropological ge-
netics, Univ, of New Mexico Press, 1973.
80. Cress С. E., Heterosis of the hybrid related to gene frequency differences between two
populations, Genetics, 53, 269—274 (1966).
81. Crosby J. L., The evolution and nature of dominance, J. Theor. Biol., 5, 35—51 (1963).
82. Crow J. F., Alternative hypotheses of hybrid vigor, Genetics, 33, 477—487 (1948).
83. Crow J. F., Dominance and overdominance. In: Heterosis, J. W. Gowen (ed.), pp. 292—
297, Ames, Iowa State College Press, 1952.
84. Crow J. F., Breeding structure of populations. II. Effective population number. Im
Statistics and Mathematics in Biology, O. Kempthorne (ed.), pp. 543—556, Ames,
Iowa State College Press, 1954.
85. Crow J. F., Random mating with linkage in polysomics, Amer. Nat., 88, 431—434
(1954).
86. Crow J. F., Some possibilities for measuring selection intensities in man, Hum. Biol.,
30, 1—13 (1958).
87. Crow J. F., Felsenstein J., The effect of assortative mating on the genetic composi-
tion of a population, Eugenics Quar., 15, 85—97 (1968).
88. Crow J. F., Kimura M., The measurement of effective population number, Evolution,
17, 279—288 (1963).
89. Crow J. F., Kimura At., An Introduction to Population Genetics Theory, New York,
Haper and Row, 1970.
90. Crow J. F., Morton N. E., Measurement of gene frequency drift in small populations,
Evolution, 9, 202—214 (1955).
91. Crow J. F., Roberts W. C., Inbreeding and homozygosis in bees, Genetics, 35, 612—
621 (1950).
92. Da Cunha A. B., Genetic analysis of polymorphism of color pattern in Drosophila po-
lymorpha, Evolution, 3, 239—251 (1949).
93. Daday EL, Gene frequencies in wild populations of Trifolium repens. I. Distribution
by latitude, Heredity 8 (1), 61—78 (1954).
94. Dahlberg G., Inbreeding in man, Genetics, 14, 421—454 (1929).
95. Dahlberg G., On rare defects in human populations with particular regard to inbree-
ding and isolate effects, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 58, 213—232 (1938).
96. Dahlberg G., Mathematical Methods for Population Genetics, New York, Interscience
Publishers, 1948.
97. Dahlberg G., Genetics of human populations, Adv. Genet., 2, 69—98 (1948).
98. Danforth С. EL, The frequency of mutation and the incidence of hereditary traits in
man, Proc. 2nd Int. Cong. Eugen., New York, 11, 120—128 (1923).
530
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
99. DeFinetti В., Considerazioni matematiche sul 1’ereditarieta mendeliana, Metron, 6,
1-41 (1926).
100. DeGroot M. H., Efficiency of gene frequency estimates for the ABO system, Am. J.
Hum. Genet., 8, 39—43 (1956).
101. DeGroot M. H., The covariance structure of maximum likelihood gene frequency esti-
mates for the MNS system, Am. J. Hum. Genet., 8, 229—235 (1956).
102. DeGroot M. H., Li С. C., Simplified method of estimating the MNS gene frequencies,
Ann. Hum. Genet., 24, 109—115 (1960).
103. DeGroot M. H., Li С. C., Correlation between similar sets of measurement, Biomet-
rics, 22, 781—790 (1966).
104. DeGroot M. FL, Rao M. M., Stochastic give-and-take, J. Math. Anal, and Appli., 7,
489—498 (1963).
105. Dempster E. R., Maintenance of genetic heterogeneity, Cold Spring Harbor Symp-
Quant. Biol., 20, 25—32 (1955).
106. Denniston C., An extension of the probability approach to genetic relationships: one
locus, Theor. Popn. Biol., 6, 58—75 (1974).
107. Dobzhansky Th., Genetics of natural populations. IX. Temporal changes in the com-
position of populations of Drosophila pseudoobscura, Genetics, 28, 162—186(1943).
108. Dobzhansky Th., Genetics of natural populations. XIV. A response of certain gene
arrangements in the third chromosome of Drosophila pseudoobscura to natural selec-
tion, Genetics, 32, 142—160 (1947).
109. Dobzhansky Th., Adaptive changes induced by natural selection in wild populations
of Drosophila, Evolution, 1, 1—16 (1947).
110. Dobzhansky Th., Genetics of natural populations. XIX. Origin of heterosis through
natural selection in populations of Drosophila pseudoobscura, Genetics, 35, 288—302
(1950).
111. Dobzhansky Th., Genetics and the origin of species, 3rd ed., New York, Columbia
Univ. Press, 1951.
112. Dobzhansky Th., What is an adaptive trait? Amer. Natur., 90, 337—347 (1956).
113. Dobzhansky Th., Genetic loads in natural populations, Science, 126, 191—194 (1957).
114. Dobzhansky Th., How do the genetic loads affect the fitness of their carriers in Dro-
sophila populations? Amer. Natur., 98, 151—166 (1964).
114a. Dobzhansky Th., Genetics of the evolutionary process, Columbia Univ. Press, New
York, 1970.
115. Dobzhansky Th., Levene FL, Genetics of natural populations. XVII. Proof of opera-
tion of natural selection in wild populations of Drsophila pseudoobscura, Genetics,
33, 537—547 (1948).
116. Dobzhansky Th., Levene FL, Development of heterosis trough natural selection in
experimental populations of Drosophila pseudoobscura, Amer. Natur., 85, 247—264
(1951).
117. Dobzhansky Th., Pavlovsky O., How stable is balanced polymorphism? Proc. Nat.
Acacd. Sci., 46, 41—47 (1959).
118. Dobzhansky Th., Queal M. S., Genetics of natural populations. I. Chromosome va-
riation in populations of Drosophila pseudoobscura inhabiting isolated mountain ran-
ges, Genetics, 23, 239—251 (1938).
119. Dobzhansky Th., Queal M. S., Genetics of natural populations. II. Genic variation in
populations of Drosophila pseudoobscura inhabiting isolated mountain ranges, Gene-
tics, 23, 463—484 (1938).
120. Dobzhansky Th., Spassky B., Genetics of natural populations. XXXIV. Adaptive norm,
genetic load and genetic elite in Drosophila pseudoobscura, Genetics, 48, 1467—1485
(1963).
121. Dobzhansky Th., Wright S., Genetics of natural populations. V. Relations between
mutation rata and accumulation of lethals in populations of Drosophila pseudoobscu-
ra, Genetics, 26, 23—51 (1941).
122. Дубинин H. П., On lethal mutations in natural populations, Genetics, 31, 21—38
(1946).
122a. East E. M., Jones D. F., Inbreeding and outbreeding, London and Philadelphia,
J. B. Lippincott Co., 1919.
122b. East E. M., Mangelsdorf A. J., A new interpretation of the hereditary behavior of
self-sterile plants, Proc. Nat. Acad. Sci., 2, 166—171 (1925).
123. Edwards A. W. F., On the method of estimating frequencies using the negative bi-
nomial distribution, Ann. Hum. Genet., 24, 313—318 (1960).
124. Edwards A. tt7. F., Fundamental theorem of natural selection, Nature, 215, 537—538
(1967).
125. Elandt-Johnson R. C., Probability Models and Statistical Methods in Genetics, New
York, John Wiley and Sons, 1971.
125a. Elton C. S., Periodic fluctuations in the numbers of animals: their causes and ef-
fects, Brit. J. Exp. Biol., 2, 119—163 (1924).
125b. Elton C. S., Animal ecology and evolution, Clarendon Press, Oxford, 1930.
125c. Elton C. S., Voles, mice and lemmings, Clarendon Press, Oxford, 1942.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
531
125d. Elton С. S., Population interspersion: an essay on animal community patterns, J.
Ecology, 37, 1—22 (1949).
126. Emik L. 0., Terrill С. E., Systematic procedures for calculating inbreeding coeffi-
cients, Heredity, 40, 51—55 (1949).
127. Ewens W. J., Numerical results and diffusion approximations in a genetic process,
Biometrika, 50, 241—249 (1963).
128. Ewens W. J., The maintenance of allels by mutation, Genetics, 50, 891—898 (1964).
129. Ewens W. J., On the problem of self-sterility alleles, Genetics, 50, 1433—1438 (1964).
130. Ewens W. J., The adequacy of the diffusion approximation to certain distributions
in genetics, Biometrics, 21, 386—394 (1965).
131. Ewens W. J., The probability of survival of a mutant, Heredity, 22, 307—310 (1967).
132. Ewens W. J., The probability of survival of a new mutant in a fluctuating environ-
ment, Heredity, 22, 438—443 (1967).
133. Ewens IF. J., The probability of fixation of a mutant: the two-locus case, Evolution,
21,532—540 (1967).
134. Ewens W. J., Random sampling and the rate of gene replacement, Evolution, 21,
657—663 (1967).
135. Ewens W. J., A genetic model having complex linkage behavior, Theor. and Appl- Ge-
net, 38, 140—143 (1968).
136. Ewens W. J., Mean fitness increases when fitnesses are additive, Nature, 221, 1076
(1969).
137. Ewens W. J., A generalized fundamental theorem of natural selection, Genetics, 63,
531—537 (1969).
138. Ewens W. J., Population Genetics, London, Methuen and Co., 1969.
139. Ewens W. J., Thomson G., Heterozygote selective advantage, Ann. Hum. Genet., 33,
365—376 (1970).
140. Faberge A. C., The physiological consequences of polyploidy, J. Genetics, 33, 365—
382 (1936).
141. Fab rictus-Hansen V., Blood groups and MN types of Eskimos in East Greenland, Im-
munology, 36, 523—530 (1939).
142. Fabricius-Hansen V., Blood groups and MN types of Eskimos in West Greenland,
Immunology, 38, 405—411 (1940).
143. Falconer D. S., Validity of the theory of genetic correlation, Heredity, 45, 42—44
(1954).
144. Falconer D. S., Introduction to Quantitative Genetics, New York, Ronald Press, 1960.
145. Falk С. T., A new way of looking at the stability of a simple genetic equilibrium,
Proc. 3rd Int. Cong. Hum. Genet., Chicago, 1966, p. 31.
146. Falk С. T., A general solution to a genetic selection problem involving recessive
lethals, Heredity, 61, 49—50 (1970).
147. Falk С. T., Falk H., Correlations in multi-locus genetic systems: a mathematical mo-
del, Genetics, 77, 591—605 (1974).
148. Falk H., Falk С. T-, Stability of solutions to certain nonlinear difference equations
of population genetics, Biometrics, 25, 27—37 (1969).
149. Falk С. T., Li С. C., Negative assortative mating: exact solution to a simple model,
Genetics, 62, 215—223 (1969).
149a. Feldman M. IV, Crow J. F., On quasilinkage equilibrium and the fundamental
theorem of natural selection, Theor. Popn. Biol., 1, 371—391 (1970).
150. Feldman M. W., Nabholz M., Bodmer W. F., Evolution of the Rh polymorphism: a
model for the interaction of incompatibility, reproductive compensation and heterozy-
gote advantage, Am. J. Hum. Genet., 21, 171 —193 (1969).
151. Feller V7. J., On the influence of natural selection on population size, Proc. Nat.
Acad. Sci, 55, 733—737 (1966).
152. Feller W. J., On fitness and the cost of natural selection, Genet. Res., 9, 1—15 (1967).
153. Feller W. Z., An Introduction to Probability Theory and Its Applications. New York,
John Wiley and Sons, 1968.
154. Felsenstein J., The effect of linkage on direction selection, Genetics, 52, 349--363
(1965).
155. Felsenstein J., Taylor B., A bibliography of theoretical population genetics.
RLO-2225-5-18, Natl. Techn. Information Serv., US. Dept. Commerce, Springfield,
Virginia, 1973.
156. Finney D. J., The estimation of gene frequencies from family records. I. Factors
without dominance, Heredity, 2, 199—218 (1948).
157. Finney D. J., The estimation of gene frequencies from family records. II. Factors
with dominance, Heredity, 2, 369—389 (1948).
158. Finney D. J., The truncated binomial distribution, Ann. Eugen., 14 (4), 319—328
(1949).
159. Finney D. J., The equilibrium of a self-incompatible polymorphic species, Genetica,
26, 33—64 (1952).
160. Finney D. J., Genetic gains under three methods of selection, Genet. Res., 3, 417—
423 (1962).
532
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
161. Fish Н. D., On the progressive increase of homozygosis in brother-sister matings,
Amer. Natur., 48, 759—761 (1914).
162. Fisher R. A., The correlation between relatives on the supposition of Mendelian inhe-
ritance, Trans. Roy. Soc., Edinburgh, 52, 399—433 (1918).
163. Fisher R. A., On the dominance ratio, Proc. Roy. Soc., Edinburgh, 42, 321—341
(1922).
164. Fisher R. A., The Genetical Theory of Natural Selection, Oxford, Clarendon Press,
1930. (Slightly revised, 1958, Dover.)
165. Fisher R. A., The distribution of gene ratios for rare mutations Proc. Roy. Soc., Edin-
burgh, 50,205—220 (1930).
166. Fisher R. A., The measurement of selective intensity, Proc. Roy Soc. B, 121, 58—62
(1936).
167. Fisher R. A., The wave of advance of advantageous genes, Ann. Eugen., 7, 355—369
(1937).
168. Fisher R. A., Stage of development as a factor influencing the variance in the num-
ber of offspring, frequency of mutants, and related quantities, Ann. Eugen., 9, 406—
408, (1939).
169. Fisher R. A., The estimation of the proportion of recessives from tests carried out on
a sample not wholly unrelated, Ann. Eugen., 10, 160—170 (1940).
170. Fisher R. A., Average excess and average effect of a gene substitution, Ann. Eugen.,
9, 53—63 (1941).
171. Fisher R. A., The fitting of gene frequencies to data on Rhesus reactions, Ann.
Eugen., 13, 150—155 (1946).
172. Fisher R. A., Note on the calculation of the frequencies of Rhesus allelomorphs, Ann.
Eugen., 13,223—224 (1947).
173. Fisher R. A., The Theory of Inbreeding, London and Edinburgh, Oliver and Boyd,
1949.
174. Fisher R. A., Standard calculations for evaluating a blood group system, Heredity,
5,95—102 (1951).
174a. Fisher R. A., Statistical methods for research workers, 14th ed., Oliver and Boyd,
Edinbergh, Hafner, New York, 1970.
175. Fisher R. A., Immer F. R., Tedin O., The genetical interpretation of statistics of the
third degree in the study of quantitative inheritance, Genetics, 17, 107—124 (1932).
176. Fisher R. A., Mather K., The inheritance of style length in Lythrum salicaria, Ann.
Eugen., 12, 1—23 (1943).
177. Franklin I., Lewontin R. C., Is the gene the unit of selection? Genetics, 65, 707—734
(1970).
178. Gale J. S., Uncle-niece inbreeding for autosomal genes, Heredity, 12, 97—100 (1958).
179. Garber M. L, Approach to genotypic equilibrium with varying percentages of self-
fertilization and cross-fertilization, Heredity, 42, 299—300 (1951).
180. Geiringer H., On the probability theory of linkage in Mendelian heredity, Ann. Math.
Stat., 15, 25—57 (1944).
181. Geiringer H., Futher remarks on linkage theory in Mendelian heredity, Ann. Math.
Stat., 16, 390—393 (1945).
182. Geiringer H., On the mathematics of random mating in case of different recombina-
tion values for males and females, Genetics, 33, 548—564 (1948).
183. Geiringer IL, Contribution to the linkage theory of autopolyploids, Bull. Math. Bio-
phys., 11,59—82; 197—219 (1949).
184. Geiringer FL, Chromatid segregation of tetrapioids and hexapioids, Genetics, 34,
665—684 (1949).
185. Geiringer FL, On some mathematical problems arising in the development of Mende-
lian genetics, J. Am. Stat. Assn., 44, 526—547 (1949).
186. Ghai G. L., Limiting distribution under assortative mating, Genetics, 75, 727—732
(1973).
187. Glass B., The action of selection on the principal Rh alleles, Am. J. Hum. Genet., 2,
269—278 (1950).
188. Glass B„ Genetic changes in human populations, especially those due to gene flow
and genetic drift, Adv. Genet., 6, 95—139 (1954).
189. Glass B., Li С. C., The dynamics of racial intermixture — an analysis based on the
American Negro, Amer. J. Hum. Genet., 5, 1—20 (1953).
190. Glass B., Sacks M. S., Jahn E. F., Hess C., Genetic drift in a religious isolate: an
analysis of the causes of variation in blood group and other gene frequencies in a
small population, Amer. Natur., 86, 145—159 (1952).
191. Griffing B., Influence of sex on selection. I. Contribution of sex-linked genes, Aust.
J. Biol. Sci., 18, 1157—1170 (1965).
192. Griffing B., Influence of sex on selection. II. Contribution of autosomal genotypes
having defferent values in the two sexes. Aust. J. Biol. Sci., 19, 593—606 (1966).
193. Griffing B., Influence of sex on selection. III. Joint contribution of sex-linked and
autosomal genes, Aus. J. Biol. Sci., 19, 775—794 (1966).
194. Haldane J. B. S., A mathematical theory of natural and artificial selection, Proc.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
533
Camb. Phil. Soc, 23, 19—41; 158—163; 363—372; 607—615; 838—844; 26, 220—230;
27, 131—142; 28, 244—248 (1924—1932).
195. Haldane J. B. S., Theoretical genetics of autopolyploids, J. Genet., 22, 359—372
(1930).
196. Haldane J. B. S., The Causes of Evolution, London, Harper and Bros, 1932 (reprin-
ted by Cornell Univ. Press).
197. Haldane J. B. S., The rate of spontaneous mutation of a human gene, J. Genet., 31,
317—326 (1935).
198. Haldane J. B. S., The amount of heterozygosis to be expected in an approximately
pure line, J. Gentt., 32, 375—391 (1936).
199. Haldane J. B. S., Some theoretical results of continued brother-sister mating, J. Ge-
net., 34, 265—274 (1937).
200- Haldane J. B. S., The effect of variation on fitness, Amer. Natur., 71, 337—349
(1937).
200a. Haldane J. B. S., Estimation of the frequencies of recessive conditions in man, Ann.
Eugen., London, 8, 255—262 (1938).
201. Haldane J. B. S., The spread of harmful autosomal recessive genes in human popula-
tions, Ann. Eugen., 9, 232—237 (1939).
202. Haldane J. B. 5, The equilibrium between mutation and random extinction, Ann.
Eugen., 9, 400—405 (1939).
203. Haldane J. B. S., The conflict between selection and mutation of harmful recessive
genes, Ann. Eugen., 10, 417—421 (1940).
204. Haldane J. B. S., Selection against heterozygosis in man, Ann. Eugen., 11, 333—340
(1942).
205. Haldane J. B. S, The theory of a cline, J. Genet., 48, 277—284 (1948)-
206. Haldane J. B. S., Parental and fraternal correlations for fitness, Ann. Eugen-, 14
288—292 (1949).
207. Haldane J. B. S., The association of characters as a result of inbreeding and linkage,
Ann. Eugen-, 15, 15—23 (1949).
208. Haldane J. B. S., The rate of mutation of human genes, Proc. Eighth Int. Cong. Ge-
net, 1949, pp. 267—273. (supplement to Hereditas)-
209. Haldane J. B. S., An exact test for randomness of mating, J. Genet., 52, 631—635
(1954).
210. Haldane J. B. 5, The complete matrices for brother-sister and alternate parent-
offspring mating involving one locus, J. Genet., 53, 315—324 (1955).
211. Haldane J. B. S., On the biochemistry of heterosis and the stabilization of polymor-
phism, Proc. Roy. Soc., B, 144, 217—220 (1955)-
212. Haldane J. B. S., The estimation and significance of the logarithm of a ratio of
frequencies, Ann. Human Genet., 20, 309—311 (1956).
213. Haldane J. B. S., The estimation of viabilities. J. Genet., 54, 294—296 (1956).
214. Haldane J. B. S., The conflict between inbreeding and selection. I. Self-fertilization,
J. Genet., 54, 56—63 (1956).
215. Haldane J. B. S, The cost of natural selection, J. Genet., 55, 511—524 (1957).
216. Haldane J. B. S., Conditions for stable polymorphism at an autosomal locus, Nature,
193, 1108 (1962).
217. Haldane J. B. S., Natural selection in a population with annual breeding but over-
lapping generations, J. Genet-, 58, 122—124 (1962).
218. Haldane J. B. S, The selection of double heterozygotes, J. Genet., 58, 125—128.
(1963).
219. Haldane J. B. S., Tests for sex-linked inheritance on population samples, Ann. Hum.
Genet., 27, 107—111 (1963).
220. Haldane J. B. S., Jayakar S. D., The solution of some equations occurring in popula-
tion genetics, J. Genet., 58, 291—317 (1963).
221. Haldane J. B. S., Jayakar S. D., Polymorphism due to selection of varying direction,
Genet., 58 (2), 237—242 (1963).
222. Haldane J. B. S., Jayakar S. D., Polymorphism due to selection depending on the
composition of a population, J. Genet., 58, 318—323 (1963).
223. Haldane J. B. S., Jayakar S. D., Equilibria under natural selection at a sex-linked
locus, J. Genet., 59, 29—36 (1964).
224. Haldane J. B. S., Moshinsky P., Inbreeding in Mendelian populations with special
reference to human cousin marriage, Ann. Eugen., 9, 321—340 (1939).
225. Hardy G. H., Mendelian proportions in a mixed population, Science, 28, 49—50
(1908).
226. Hayman В. I., Mixed selfing and random mating when homozygotes are at a disad-
vantage, Heredity, 7, 185—192 (1953).
227. Hayman В. I., Maximum likelihood estimation of genetic components of variation
Biometrics, 16,369—381 (1960).
228. Hayman В. I., The gametic distribution in Mendelian heredity, Aust. J. Biol. Sci-, 15,
166—182 (1962).
534
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
229. Hayman В. I., Mather К., The progress of inbreeding when homozygotes are at a
disadvantage, Heredity, 7, 165—183 (1953).
230. Hazel L. N., The genetic basis for constructing selection indices, Genetics, 28, 476—
490 (1943).
231. Hecht M. K., Steere W. D. (ed.), Essays in Evolution and Genetics in Honor of Theo-
dosius Dobzhansky, Appleton-Century-Crofts, New York, 1970.
232. Hill W. G., The rate of selection advance for non-additive loci, Genet- Res., 13, 165—
173 (1969).
233. Hill IF. G., Robertson A., Linkage disequilibrium in finite populations, Theor. and
Appl. Genet., 38, 226—231 (1968).
234. Hogben L., The genetic analysis of familial traits. I. Single gene substitutions, J. Ge-
net., 25, 97—112 (1931).
235. Hogben L., The genetic analysis of familial traits. II. Double gene substitutions, with
special reference to hereditary dwarfism, J. Genet., 25, 211—240 (1932).
236. Hogben L., The genetic analysis of familial traits. III. Mating involving one one
parent exhibiting a trait determined by a single recessive gene substitution with spe-
cial rtference to sex-linked conditions, J. Genet., 25, 293—314 (1932)-
237. Hogben L., The factorial analysis of small families with parents of undertermined
genotype, J. Genet., 26, 75—79 (1932).
238. Hogben L., Filial and fraternal correlations in sex-linked inheritance, Proc. Roy. Soc-,
Edinburgh, 52, 331—336 (1932).
239. Hogben L., A matrix notation for Mendelian populations, Proc. Roy. Soc., Edinburgh,
53, 7—25 (1933).
240. Hogben L., An Introduction to Mathematical Genetics, New York, W. W. Norton and
Co., 1946.
241. Holgate P., Two limit distributions in evolutionary genetics, J. Theor. Biol., 11, 362—
369 (1966).
242. Holgate P., Interaction between migration and breeding studied by means of gene-
tic algebras, J. Appl- Prob., 5, 1—8 (1968).
243. Hotelling H., Relations between two sets of variates, Biometrika, 28, 321—377
(1936).
244. Hubby J. O., Lewontin R. C., A molecular approach to the study of genic heterozy-
gosity in natural populations. I. The number of alleles at different loci in Drosophila
pseudoobscura, Genetics, 54, 577—594 (1966).
245. J kin E. W., Prior A. M., Race R. R., Taylor G. L., The distributions in the A]A2BO
blood groups in England, Ann. Eugen., 9, 409—411 (1939).
246. Jacquard A., Evolution of genetic structure of small populations, Social Biology, 16,
143—157 (1969).
247. Jacquard A., Structures Genetiques des Populations, Paris, Masson and Cie, 1970.
(The genetic structure of populations. Translated by D and В Charlesworth, Sprin-
ger-Verlag, New York.)
248. Jacquard A., Genetic information given by a relative, Biometrics, 28, 1101 —1114
(1972).
249. Jain S. K., Allard R. W., The nature and stability of equilibria under optimizing se-
lection, Proc. Nat. Acad. Sci., 54, 1436—1443 (1965).
250. Jain S. K., Allard R. W., The effects of linkage, epistasis and inbreeding on popula-
tion changes under selection, Genetics, 53, 633—659 (1966).
251. Jain S. K„ Workman P. L., Generalized F-statistics and the theory of inbreeding and
selection, Nature, 214, 674—678 (1967).
252. James J. W., Selection in two environments, Heredity, 16, 145—152 (1961).
253. James J. W., Conflict between directional and centripetal selection, Heredity, 17,
487—499 (1962)-
254. Janeks C. et al., Inequality; a reassessment of the effect of family and schooling in
in America, Basic Books, New York, 1972.
255. Jennings H. S., Formula for the results of inbreeding, Amer. Natur., 48, 693—696
(1914).
256. Jennings H. S., The numerical results of diverse systems of breeding, Genetics, 1.
53—89 (1916).
257. Jennings H. S., The numerical results of diverse systems of breedings, with respect to
two pairs of characters, linked or independent, with special relation to the effects
of linkage, Genetics, 2, 97—154 (1917).
258. Jensen L., Pollak E., Random selective advantages of a gene in a finite population,
J. Appl. Prob-, 6, 19—37 (1969).
259. Jones D. F., Dominance of linked factors as a means of accounting for heterosis, Ge-
netics, 2, 466—479 (1917).
260. Kalmus H., Smith С. A. B., Production of pure lines in bees, J. Genet., 49, 153—158
(1948).
261. Kalmus H., Smith S. M., Some evolutionary consequences of pegmatypic mating sy-
stems. Amer. Natur-, 100, 619—633 (1967).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
535
262. Kaplan S., Li С. C., Wald N., Borges W„ ABO frequencies in mongols, Ann. Hum.
Genet., 27,405—412 (1964).
262a. Karlin S., A first course in stochastic processes, Academis Press, New York and
London, 1966.
263. Karlin S., Equilibrium behavior of population genetic models with non-random ma-
ting. I. Preliminaries and special mating systems, J. Appl. Prob., 5, 231—313 (1968)-
264. Karlin S„ Equilibrium behavior of population genetic models with non-random ma-
ting. II. Pedigrees, homozygosity, andi stochastic models, J. Appl- Prob., 5, 487—566
(1968). I
265. Karlin S., Rates of approach to homozygosity for finite stochastic models with va-
riable population size. Amer. Natur., 102, 443—455 (1968).
266. Karlin S., Feldman M. W., Analysis of models with homozygoteXheterozygote ma-
tings, Genetics, 59, 105—116 (1968).
267. Karlin S., Feldman Л4. IF., Further analysis of negative assortative mating, Genetics,
59, 117—136 (1968).
268. Karlin S., Feldman M. W., Linkage and selection: New equilibrium properties of the
two-locus symmetric viability model, Proc. Nat. Acad. Sci., 62, 70—74 (1969).
269. Karlin S., Feldman M. W., Linkage and selection: two-locus symmetric viability mo-
del, Theor. Pop. Biol., 1, 39—71 (1970).
270. Karlin S., McGregor J., On a genetics model of Mcran, Proc. Camb- Phil. Soc., 58,
299—311 (1962).
271. Karlin S., McGregor J., The number of mutant forms maintained in a population,
Proc. 5th Berkeley Symp. Math. Stat- Prob., 4, 415—438 (1967).
272. Karlin S., McGregor J., Rates and probabilities of fixation for two-locus random ma-
ting finite populations without selection, Genetics, 58, 141—159 (1968).
273. Karlin S., Scudo ,F- M., Assortative mating based on phenotype. II. Two autosomal
alleles without dominance, Genetics, 63, 499—510 (1969).
273a. Keeler C„ Some oddities in the delayed appreciation of «Castle’s law», J. Heredity,
59, 110—112 (1968).
273b. Kemeny J. G., Snell J. L., Finite Markov chains, Van Nostrand, New York and Lon-
don, 1960.
274. Kemp W. B., Genetic equilibrium and selection, Genetics, 14, 85—127 (1929).
275. Kempthorne O., The correlations between relatives in a random mating population.
Proc. Roy. Soc-, B, 143, 103—113 (1954).
276. Kempthorne O., The theoretical values of correlations between relatives in random
mating populations, Genetics, 40, 153—167 (1955).
277. Kempthorne O., The cocrrelations between relatives in random mating populations,
Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 20, 60—75 (1955).
278. Kempthorne O., The correlation between relatives in a simple autotetraploid popula-
tion, Genetics, 40, 168—174 (1955).
279. Kempthorne O., The correlations between relatives in inbred populations, Genetics,
40,681—691 (1955).
280. Kempthorne O., An Introduction to Genetic Statistics, New York, John Wiley and
Sons, 1957.
281. Kempthorne O., The concept of identity of genes by descent, Proc. Fifth Berkeley
Symp. Math-, Stat. Prob., 4, 333—348 (1967).
282. Kempthorne O., Pollak E., Concepts of fitness in Mendelian populations, Genetics
64, 125—145 (1970).
283. Kempthorne О., Tandon О. B., The estimation of heritability by regression of
offspring on parent, Biometrics, 9, 90—100 (1953).
284. Kerr W. E., Wright S., Experimental studies of the distribution of gene frequencies
in very small populations of Drosophila melanogaster. I. Forked, Evolution, 8, 172—
177 (1954).
285. Kerr W. E., Wright S., Experimental studies of the distribution of gene frequencies
in very small populations of Drosophila melanogaster. III. Aristapedia and spinelless,
Evolution, 8, 293—301 (1954).
286. Khazanie P. G., McKean H..E., A Mendelian Markov process with binominal transi-
tion probabilities, Biometrika, 53, 37—48 (1966).
287. Kidwell J. F., Heterozygosis due to mutation in a self-fertilizing population, Here-
dity, 60, 41—42 (1969).
288. Kimball A. W., Approximate confidence intervals for specific locus mutation rates,
Amer. Natur., 90, 369—376 (1956)-
289. Kimura M., Process leading to quasi-fixation of genes in natural populations due to
random fluctuations of selection intensities, Genetics, 39, 280—295 (1954).
290. Kimura M., Stochastic processes and distribution of gene frequencies under natural
selection, Cold Spring Harbor Symp., 20, 33—53 (1955).
291. Kimura M., Solution of a process of random genetic drift with a continuous model,
Proc. Nat. Acad. Sci., 41, 144—150 (1955).
292. Kimura M., Random genetic drift in multi-allelic locus, Evolution, 9, 419—435 (1955).
536
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
293. Kimura М-, A model of a genetic system which leads to closer linkage by natural
selection, Evolution, 10, 278—287 (1956).
294. Kimura Л4., Rules for testig stability of a selective polymorphism, Proc. Nat. Acad.
Sci., 42, 336—340 (1956).
295- Kimura M., Random genetic drift in a tri-allelic locus; exact solution with a conti-
nuous model, Biometrics, 12, 57—66 (1956).
296. Kimura M., Some problems of stochastic processes in genetics, Ann. Math. Stat., 28,
882—901 (1957).
297. Kimura Л4., On the change of population fitness by natural selection, Heredity, 12,
145—167 (1958)-
298. Kimura M., On the probability of fixation of mutant genes in a population, Genetics,
47, 713—719 (1962).
299. Kimura M„ Diffusion models in population genetics, J. Appl. Prob., 1, 177—232
(1964).
300. Kimura M., A stochastic model concerning the maintainance of genetic variability in
quantiative characters, Proc. Nat. Acad. Sci., 54, 731—736 (1965).
301. Kimura M., Attainment of quasi linkage equilibrium when gene frequencies are chan-
ging by natural selection, Genetics, 52, 875 (1965).
302. Kimura M., The rate of molecular evolution considered from the standpoint of popu-
lation genetics, Proc. Nat. Acad. Sci., 63, 1181—1188 (1969).
303. Kimura M., Crow J. F., The measurement of effective population number, Evolution,
17, 279—288 (1963).
304. Kimura Л4., Crow J. F., The number of alleles that can be maintained in a finite po-
pulation, Genetics, 49, 725—738 (1964).
305- Kimura M., Ohta T., The average number of generations until fixation of a mutant
gene in a finite population, Genetics, 61, 763—771 (1969).
306. Kimura M., Ohta T., Theoretical Aspects of Population Genetics, Princeton Univ.
Press, 1971.
307. King С. E., Anderson W. W., Age-specific selection. II. The interaction between r and
К during population growth, Amer. Natur., 105, 137—156 (1971).
308. Kingman J. F. C., A matrix inequality, Quart. J. Math., 12, 78—80 (1961).
309. Kingman J. F. C., A mathematical problem in population genetics, Proc. Camb. Phil.
Soc., 57, 574—582 (1961)-
310. Kirkman FL N., Properties of X-linked alleles during selection, Am. J. Hum. Genet.,
18 (5), 424—432 (1966).
311. Kirkman H. N., Haemoglobin abnormalities and stability of tri-allelic systems, Ann.
Hum. Genet., 31, 167—171 (1967).
312. Klopfer P. H., MacArthur R. H., Niche size and faunal diversity, Amer. Natur., 94,
293—300 (1960).
313. Koehn R. K., Esterase heterogeneity, dynamics of a polymorphism, Science, 163,
943—944 (1969).
314. Kojima K-, Role of epistasis and overdominance in stability of equilibria with selec-
tion, Proc. Nat. Acad. Sci., 45, 984—989 (1959).
315. Kojima K-, Stable equilibria for the optimum model, Proc. Nat- Acad. Sci., 45, 989—
993 (1959).
316. Kojima K, Effects of dominance and size of population on response to mass selec-
tion, Genet. Res., 2, 177—188 (1961).
317. Kojima K. (ed.), Biomathematics. Vol. I. Mathematical topics in population genetics,
New York, Springer-Verlag, 1970.
318. Kojima K, Kelleher T. M., Changes of mean fitness in random mating populations
when epistasis and linkage are present, Genetics, 46, 527—540 (1961).
319. Kojima K, Kelleher T. M., Survival of mutant genes, Amer. Natur., 96, 329—346
(1962).
320. Kojima K-. Schaffer H. E., Survival process of linked mutant genes, Evolution, 21,
518—531 (1967).
321. Колмогоров A., Deviation from Hardy’s formula in partial isolation, Compt. rend-
Acad. d. sc. de T’URSS, 3 (7), 129—132 (1935).
322. Kudo A., A method for calculating the inbreeding coefficient, Amer. J. Hum. Genet.,
14,426—432 (1962).
323. Landsteiner L., Levine P., On individual differences in human blood, J. Exp. Med-,
47, 757—775 (-1928).
324. Lange K., Relative-to-relative transition probabilities for two-linked genes, Theor.
Popn. Biol., 6, 92—107 (1974).
325. Lawrence W. J. C„ The genetics and cytology of Dahlia variabilis,, J. Genet., 24,
257—306 (1931).
326. Lerner I. M., Population Genetics and Animal Improvement, London, Cambridge
Univ. Press, 1950.
327. Lerner I. M., The Genetic Basis of Selection, New York, John Wiley and Sons, 1958.
328. Lerou FL L., Statistische Methoden der Populationsgenetik, Basel, Birkhausen Ver-
lag, 1960.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
537
329. Levene Н., On a matching problem arising in genetics, Ann. Math. Stat., 20, 91—94
(1949).
330. Levene H., A new measure of sexual isolation, Evolution, 3, 315—321 (1949).
331- Levene H., Genetic equilibrium when more than one ecological niche is available,
Amer. Natur., 87, 331—333 (1953).
332. Levene H., Selection genetics in man, Ann. N. Y. Acad. Sci., 65, 3—11 (1956)-
333. Levene H., Inbred genetic loads and the determination of population structure, Proc.
Nat- Acad. Sci., 50, 587—592 (1963).
334. Levene H., Dobzhansky Th., New evidence of heterosis in naturally occuring inversion
heterozygotes in Drosophila pseudobscura, Heredity, 12, 37—49 (1958).
335. Levene H., Pavlovsky O., Dobzhansky Th., Interacion of the adaptive values in po-
lymorphic experimental populations of Drosophila pseudoobscura, Evolution, 8, 335—
349 (1954).
336. Levings C. S„ Genetic relationships among autotetraploid relatives, J. Heredity, 55,
262—266 (1964).
337. Levins R., Theory of fitness in a heterogeneous environment. V. Optimal genetic sy-
stems, Genetics, 52, 891—904 (1965).
338. Levins R., Evolution in Changing Environments, Princeton Univ. Press, 1968-
339. Levins R., MacArthur R., The maintenance of genetic polymorphism in a spatically
heterogeneous environment: variations on a theme by Howard Levene, Amer. Natur.,
100, 585—589 (1966).
340. Levit S. G., The problem of dominance in man, J. Genet., 33, 410—434 (1936).
341. Levy H., Lessman F., Finite Difference Equations, New York, Macmillan, 1961.
342. Levy J., Nagylaki T„ A model for the genetics of handedness, Genetics, 72, 117—128
(1972).
343. Lewontin R. C., The effects of population density and composition on viability in
Drosophila melanogasier, Evolution, 9, 27—41 (1955).
344. Lewontin R. C., A general.method for investigating the equilibrium of gene frequency
in a population, Genetics, 43, 419—434 (1958).
345. Lewontin R. C., The interaction of selection and linkage- I. General considerations —
heterotic models, Genetics, 49, 49—67 (1964).
346. Lewontin R. C., The interaction of selection and linkage. II. Optimum models, Gene-
tics, 50, 757—782 (1964).
347- Lewontin R. C., Population genetics, Ann. Rev. Genet, 1, 37—70 (1967).
348. Lewontin R. C., The meaning of stability, Brookhaven Symp. biol., 22, 13—24 (1969)
349. Lewontin R. C., The effect of genetic linkage on the mean fitness of a population,
Proc. Nat. Acad. Sci., 68, 984—986 (1971).
349a. Lewontin R. C., Cockerham С. C., The goodness-of-fit test for detecting natural se-
lection in random mating populations, Evolution, 13, 561—564 (1959).
350. Lewontin R. C., Hubby J. L., A molecular approach to the study of genic heterozygo-
sity in natural populations. II. Amount of variation and degree of heterozygosity in
natural populations of Drosophila pseudoobscura, Genetics, 54, 595—609 (1966).
351. Lewontin R. C., Hull P., The interaction of selection and linkage. III. Synergistic
effect of blocks of genes, Der Zuckter, 37, 93—98 (1967)-
352. Lewontin R. C., Kajima K., The evolutionary dynamics of complex polymorphisms,
Evolution, 14, 458—472 (1960).
353. Lewontin R. C., Matsuo Y., Interaction of genotypes determining viability in Dro-
sophila buskii, Proc. Nat. Acad. Sci., 49, 270—278 (1963).
354. Li С. C., Note on estimation of the amount of inbreeding from random samples of a
natural population, Chinese J. Agric., 1, 43—52 (1948).
355. Li С. C., An Introduction to Population Genetics, Natl- Peking Univ. Press, 1948.
356. Li С. C., A direct proof of the relation between genotypic mating correlation and
gematic uniting correlation in equilibrium populations, J. Heredity, 44, 39—40
(1953).
357. Li С. C., On an equation specifying equilibrium populations, Science, 117, 378—379
(1953).
358. Li С. C., Is Rh facing a crossroad? A critique of the compensation effect, Amer. Na-
tur., 87, 257—261 (1953).
359. Li С. C., Some general -properties of recessive inheritance, Am. J. Hum. Genet., 5,
269—279 (1953).
360. Li С. C., Some methods of studying human genetics. I—IV, Methods in Med. Res.,
6, 1—38 (1954).
361. Li С. C., The correlation between parents and offspring in a random mating popula-
tion, Am. J. Hum. Genet., 6, 383—386 (1954).
362. Li С. C., Population genetics, Univ, of Chicago Press, 1955.
363. Li С. C., The stabiliy of an equilibrium and the average fitness of a population, Amer.
Natur., 89, 281—296 (1955).
364- Li С. C., A diagrammatic representation of the sum of squares and products, J. Amer.
Stat. Assn., 50, 1056—1063 (1955).
538
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
365. Li С. С., The concept of path coefficient and its impact on population genetics, Bio-
metrics, 12, 190—210 (1956).
366. Li С. C., The components of sampling variance of ABO gene frequency estimates,
Am. J. Hum. Genet., 8, 133—137 (1956).
367. Li С. C., Repeated linear regression and variance components of a population with
binomial frequencies, Biometrics, 13, 225—234 (1957).
368. Li С. C., The genetic variance of autotetraploids with two alleles, Genetics, 42, 583—
592 (1957).
369. Li С. C., Genetic variability in populations, Quar. Rev. Biol., 32, 167—170 (1957).
370. Li С. C., Notes on relative fitness of genotypes that forms a geometric progression,
Evolution, 13, 564—567 (1959).
370a. Li С. C., Numbers from experiments: a basic analysis of variation, Boxwood Press,
Pacific Grove, Calif., 1959.
37T Li С. C., The genetic basis of selection, Am. J. Hum. Genet., 11, 84—86 (1959).
372. Li С. C., A diagrammatic representation of the proportions of genotypes and pheno-
types in a panmictic population, Ann. Hum. Genet., 24, 117—119 (1960).
373. Li С. C., The diminishing jaw of civilized people, Am- J. Hum. Genet., 13, 1—8 (1961).
374. Li С. C., Human Genetics: principles and methods, New York, McGraw-Hill Co., 1961.
(paperbacks available from author).
375. Li С. C., Genetical methods for epidemiological investigations: a synthesis, Ann.
N. Y. Acad. Sci., 91, 806—812 (1961).
376. Li С. C., Genetics and animal and plant breeding, Sciences in Communist China,
p. 297—321, AAAS. Publ. 68 (1961).
377. Li С. C., Mutation, selection and population genetics, Mutation and Plant Breeding,
pp. 30—47, Nat. Acad. Sci.. Nat. Res. Council Publ. 891 (1961)
378. Li С. C., Estimating the degree of mating propensity, Evolution, 15, 535—544 (196i)-
379. Li С. C., On «reflexive selection», Science 136, 1055—1056 (1962).
380. Li С. C., Blood groups and disease, Lancet, 2, 98—99 (1962).
381. Li C. C„ Decrease of population fitness upon inbreeding, Proc. Nat. Acad. Sci., 49,
439—445 (1963).
382. Li С. C., Genetic aspects of consanguinity, Am. J. Med., 34, 702—714 (1963).
383. Li С. C., The way the load ratio works, Am. J. Hum. Genet., 15, 316—321 (1963).
384. Li С. C., Equilibrium under differential selection in the sexes, Evolution, 17, 493—
496 (1963).
385. Li С. C. (with Lewis, Didisheim and Ferguson), Genetic considerations in familial
hemorrhagic disease. I. The sex-linked recessive disorders, hemophilia and PTC defi-
ciency, Am. J. Hum. Genet., 15, 53—61 (1963).
386. Li С. C., The hemophilia gene in the population. In: The Hemophilias (Brinkhouse,
ed.), 393—404, Univ, of N. C. Press, 1964.
387. Li С. C., Estimate of recessive proportion by first appearance time, Ann. Hum. Genet.,
28, 177—180 (1964).
388. Li С. C., Two additional views of linear regression coefficients, Amer. Stat., 18,
27—28 (1964).
388a. Li С. C., Introduction to experimental statistics, McGraw-Hill, New York, 1964.
389. Li С. C., Segregation of Ellis-van Creveld syndrome as analyzed by the first appea-
rance method, Am. J. Hum. Genet., 17, 343—351 (1965).
390. Li С. C., Mutation as a dynamic agent in Mendelism. Mutation in Population, p. 13,
Prague, Academia Publishing House, 1966.
391. Li С. C., A new method of studying Mendelian segregation in man. Mutation in Po-
pulation, pp. 155—166, Prague, Academia Publishing House, 1966.
392. Li С. C., Fundamental theorem of natural selection, Nature, 214, 505—506 (1967)-
393. Li С. C., Genetic equilibrium under selection, Biometrics, 23, 397—484 (1967).
394. Li С. C., The maximization of average fitness by natural selection for a sex-linked lo-
cus, Proc. Nat. Acad. Sci., 57, 1250—1261 (1967).
395. Li С. C., Castle’s early work on selection and equilibrium, Am. J. Hum. Genet., 19,
70—74 (1967).
396. Li С. C., Fisher, Wright and path coefficients, Biometrics, 24, 471—483 (1968).
397- Li С. C., Increment of average fitness for multiple alleles, Proc. Nat. Acad. Sci., 62,
395—398 (1969).
398. Li С. C., Population subdivision with respect to multiple alleles, Ann. Hum. Genet.,
33, 23—29 (1969).
399. Li С. C., The incomplete binomial. In: Mathematical Topics in Population Genetics
(Kojima, ed.), 337—366, Springer-Verlag, 1970.
400. Li С. C., Human genetic adaptation. In: Essays in Evolution and Genetics in Honor
of Theodosius Dobzhansky, pp. 545—566. (Hecht M. K. and Steere W. C„ eds.), Apple-
ton-Century Crofts, New York, 1970.
401. Li С. C., Table of variance of ABO gene frequency estimates, Ann. Hum. Genet., 34,
189—194 (1970).
402. Li С. C., Unsymmetric equilibria under two-locus symmetric selection model, J. Here-
dity, 62, 47—48 (1971).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
539
403. Li С. С., Assortative mating in man, Proc. Ilnd Mexican Soc. of Genetics, 1975.
404. Li С. C., Path analysis: a primer, Boxwood Press, Pacific Grove, Claif., 1975.
405. Li С. C., Path coefficients and derivatives, Biom. Zeit., 17, 213—215 (1975).
406. Li С. C., Falk С. T., Random mating between two sets of genotypes, Biometrische
Zeitschrift, 11,361—373 (1969).
407. Li С. C., Horvitz D. G., Some methods of estimating the inbreeding coefficient, Am.
J. Hum. Genet., 5, 107—117 (1953).
408. Li С. C„ Mantel N., A simple method of estimating the segregation ratio under comp-
lete ascertainment, Am. J. Hum. Genet., 20, 61—81 (1968).
409. Li С. C„ Mazumdar S., Rao B. R., Partial correlation in terms of path coefficients,
Am. Statistician, 29, 89—90 (1975).
410. Li С. C., Sacks L., The derivation of joint distribution and correlation between rela-
tives by the use of stochastic matrices, Biometrics, 10, 347—360 (1954).
411. Li С. C., Smith С. A. B., Estimation of linkage using Tweedie’s method, Proc. 2nd
Int. Cong. Hum. Genet., p. 211 (1961).
412. Lotka A. J., Elements of Physical Biology, Baltimore, Williams and Wilkins Co., 1925
(Dover, 1956).
413. Lotka A. J., The extinction of families, J. Wash. Acad. Sci., 21, 377 (1931).
414. Lush J. L., Animal Breeding Plans, Ames, Iowa State College Press, 1945.
415. Lush J. L., Chance as a cause of changes in gene frequency within pure breeds of
livestock, Amer. Natur., 80, 318—342 (1946).
416. McPhee H. C., Wright S., Mendelian analysis of the pure breeds of livestock. III.
The shorthorns, Heredity, 16, 205—215 (1925).
417. McPhee H. C., Wright S., Mendelian analysis of the pure breeds of livestock. IV. The
British dairy shorthorns, Heredity, 17, 397—401 (1926).
418. MacArthur R. FL, Population effects of natural selection, Amer. Natur., 95, 195—199
(1961).
419. MacArthur R. FL, Some generalized theorems of natural selection, Proc. Nat. Acad.
Sci., 48, 1893—1897 (1962).
420- MacCluer J. W., Schull W. J., Estimating the effective size of human populations,
Am. J. Hum. Genet, 22, 176—183 (1970).
421. Malecot G., Sur un probleme de probabilities en chaine que pose genetique, Comp,
rend. Acad. d. sc, 219, 379—381 (1944).
422. Malecot G., Les mathematiques de l’heredite, Paris, Masson et Cie, 1948. (Translated
by D. M. Yermanos, 1969, Freeman, San Francisco).
423. Malecot G-, Decrease of relationship with distance, Cold Spring Harbor Symp. Quant.
Biol, 20, 52—53 (1955).
424. Malecot G., Identical loci and relationship, Proc. 5th Berkeley Symp. Math. Stat.
Prob., 317—332 (1967).
425. Mandel S. P. H., Stable equilibrium at a sex-linked locus, Nature, 183, 1347—1348
(1959).
426. Mandel S. P. FL, The stability of a multiple allelic system, Heredity, 13, 289—302
(1959).
427. Mandel S. P. FL, The equivalence of different sets of stability conditions for multiple
allelic systems, Biometrics, 26, 840—845 (1970).
428. Mandel S. P. FI., Hughes I. M., Change in mean viability at a multi-allelic locus in
a population under random mating, Nature, 182, 63—64 (1958).
429. Mantel N., Li С. C., Estimation and testing of a measure of non-random mating,
Ann. Hum. Genet, 37, 445—454 (1974) •
429a. Manwell C., Baker С. M. A., Hybrid proteins, heterosis and the origin of species,
Comp. Biochem. Physiol, 28, 1007—1028 (1969).
430. Maruyama T., Rate of decrease of genetic variability in a subdivided population, Bio-
metrika, 57 (2), 299—311 (1970).
431. Maruyama T., On the fixation probability of mutant genes in a subdivided popula-
tion, Genet. Res, 15, 221—225 (1970)-
432. Mather K-, Reductional and equational separation of the chromosomes in bivalents
and multivatents, J. Genet, 30, 53—77 (1935).
433. Mather K., Segregation and linkage in autotetraploids, J. Genet, 32, 287—314 (1936).
434. Mather FL, Variation and selection of polygenic characters, J. Genet, 41, 159—193
(1941).
435. Mather FL, The balance of polygenic combinations, J. Genet, 43, 309—336 (1942).
436. Mather FL, Polygenic inheritance and natural selection, Biol. Rev, 18, 32—64 (1943).
437. Mather FL, Dominance and heterosis, Amer. Natur-, 80, 91—96 (1946).
438. Mather K., The Measurement of Linkage in Heredity, London, Methuen and Co. and
New York, John Wiley and Sons, 1951.
439. Mather FL, Variability and selection, Proc- Roy. Soc, B, 164, 328—340 (1966).
440. Mather FL, Finks J. L., Biometrical Genetics, Cornell Univ. Press, 1971.
441. Maynard-Smith Penrose L. S., Smith С. A. B., Mathematical tables for research
workers in Human Genetics, Boston, Little, Brown and Co, 1962.
540
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
442. Mayo О., On the maintenance of polymorphisms having an inviable homozygote, Ann.
Hum. Genet., 33, 307—317 (1970).
443. Mayr E., Population, species and evolution (Abridgement), Harvard Univ. Press,
1970.
444. Merskey C., The occurence of haemophilia in the human female, Quar. J. Med., 79,
299—312 (1951).
445. Mettler L. E., Gregg T. G., Population Genetics and Evolution, New Jersey, Prentice-
Hall, 1969. (Л. Меттлер, T. Грегг. Генетика популяций и эволюция, изд-во «Мир»,
М., 1972.)
446. Milkman R. D., Heterosis as a major cause of heterozygosity in nature, Genetics, 55,
493—495 (1967).
447. Miller G.. F„ The evaluation of eigenvalues of a differential equation arising in a
problem in genetics, Proc. Camb. Phil. Soc., 58, 588—593 (1962) •
448. Mode C. J., A stochastic calculus and its application to some fundamental theorems
of nature selection, J. Appl. Prob., 3, 327—352 (1966)-
449. Mode C. J., On the probability a line becomes extinct before a favorable mutation
appears, Bull. Math. Biophys., 29, 343—348 (1967).
450- Moran P. A. P„ The distribution of gene frequency in a bisexual diploid population,
Proc. Camb. Phil. Soc., 54, 468—474 (1958).
451. Moran P. A. P., A general theory of the distribution of gene frequencies. I. Overlap-
ping generations. 11. Non-overlapping generations, Proc. Roy. Soc. B, 149, 102—116
(1958).
452. Moran P. A. P., The rate of approach to homozygosity. Ann. Hum. Genet., 23, 1—5
(1958).
453. Moran P. A. P., The theory of some genetical effects of population subdivision Aust.,
J. Biol. Sci., 12, 109—116 (1959).
454. Moran P. A. P., The survival of a mutant gene under selection, J. Aust. Math. Soc.,
1, 121—126 (1959).
455. Moran P. A. P., The survival of a mutant gene under selection. II, J. Aust. Math. Soc-,
1,485—491 (1960).
456. Moran P. A. P., The survival of a mutant under general conditions, Proc. Camb. Phil.
Soc., 57, 304—314 (1961).
457. Moran P. A. P., The Statistical Processes of Evolutionary Theory, Oxford, Clarendon
Press, 1962.
458. Moran P. A. P., Blanced polymorphisms with unlinked loci, Aust. J. Biol. Sci., 16,
1—5 (1963).
459. Moran P. A. P., On the measurement of natural selection dependent on several loci,
Evolution, 17, 182—186 (1963).
460. Moran P. A. P., Some general results on random walks, with genetic applications, J.
Aust. Math. Soc., 3, 468—479 (1963).
461. Moran P. A. P., On the non-existence of adaptive topographies, Ann. Hum. Genet.,
27, 383—393 (1964).
462. Moran P. A. P., Unsolved problems in evolutionary theory, roc. 5th Berkeley Symp.
Math. Stat. Prob., pp. 457—480 (1967).
463. Moran P- A. P., «Haldane’s dilemma» and the rate of evolution, Ann. Hum. Genet.,
33, 245—249 (1970).
464. Moran P. A. P., Smith С. A. B., Commentary on R. A. Fisher’s Paper on the correla-
tion between relatives on the supposition of Mendelian inheritance, Cambridge Univ.
Press, 1966-
465. Moree R., A modification bf the Hardy-Weinberg Law, Science, 111, 691—692 (1950).
466. Morton N. F. Sequential tests fbr the detection of linkage, Am. J. Hum. Genet., 7.
277—318 (1955).
467. Morton N. E., Segregation analysis in human genetics, Science, 127, 79—80 (1950).
468. Morton. N. E., Human population structure, Ann. Rev. Genet., 3, 53—74 (1969).
469- Morton N. E., Yee S., Lew R., Complex segregation analysis, Am. J. Hum. Genet., 23,
602—611 (1971).
470. Morton N. F., Yee S., Harris D. E., Lew R., Bioassay of kinship, Theor. Pop. Biol., 2,
507—524 (1971).
470a. Mourant A. E., The distribution of the human blood groups, Blackwell Sci. Publ.,
Oxford, Charles C Thomas, Springfield, Illinois, 1954.
471. Mulholland H. P., Smith С. A. B., An inequality arising in genetical theory, Amer.
Math. Monthly, 66, 673—683 (1959)-
472. Muller H. J., Evidence of the precision of genetic adaption. The Harvey Lectures,
pp. 165—229, Springfield, Ill, Charles C Thomas, 1948.
473. Muller H. J., Our load of mutations. Am. J. Hum., Genet., 2, 111—176 (1950).
474. Nagylaki T., The deterministic behavior of self-incompatibility alleles, Genetics, 79.
545—550 (1975)
475. Nassar R. F., Distribution of gene frequencies under the case of random genetic
drift with and without selection, Theor. and Appl. Genet., 39, 145—149 (1969)-
476. Naylor A. F., Mating systems which could increase heterozygosity for a pair of al-
leles, Amer. Natur., 96, 51—60 (1962).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
541
477- Naylor A. F., A theorem on possible kinds of mating systems, which tend to increase
heterozygosity, Evolution, 17, 369—370 (1963).
478. Neel J. V., Mutations in the human population. In: Methodology in Human Genetics
(Burdette W. J., ed.), 203—224, Holden-Day, San Francisco, 1962,
479. Neel J. V., Schull W., Human Heredity, Univ, of Chicago Press, 1954-
480. Nel M., Variation and covariation of gene frequencies in subdivided populations,
Evolution, 19, 256—258 (1965).
481. Nel M., Modification of linkage intensity by natural selection, Genetics, 57, 625—641
(1967).
482 Nel M„ Frequency distribution of lethal chromosomes in finite, populations, Proc.
Nat. Acad. Sci. 60 (2), 517—524 (1968).
483. Nel M., Heterozygous effects and frequency changes of lethal genes in populations,
Genetics, 63, 669—680 (1969).
484. Nelder J. A., Statistical methods in biometrical genetics, Heredity, 7, 111—119 (1953).
485. Norton FL W., One likelihood adjustment may be inadequate, Biometrics, 12, 79—81
(1956).
486. O’Brien W. M., Li С. C., Taylor F. FL, Penetrance and the distribution of sib-pair
types, exemplified by taste ability and rheumathoid arthritis, J. Chron. Dis., 18, 675—
680 (1965).
487. O’Donald P., The evolution of selective advantage in a deleterious mutation, Gene-
tics, 56, 399—404 (1967).
488. O’Donald P., «Haldane’s dilemma» and the rate of natural selection, Nature, 221,
815—816 (1969).
489. O’Donald P., Change of fitness by selection for a quantitative character, Theor. Popn.
Biol., 1, 219—232 (1970).
490. Ohta T., Kimura M., Linkage disequilibrium due to random genetic drift, Genet. Res.,
13,47—55 (1969).
491. Ohta T., Kimura M., Linkage disequilibrium at steady state determined by random
genetic drift and recurrent mutation, Genetics, 63, 229—238 (1969).
492. Otto P. A., A note on the graphical representation of genetic equilibrium. I. Sex-lin-
ked genes in random mating populations, J. Heredity, 65, 186—187 (1974).
493. Owen A. R. G., A genetical system admitting of two stable equilibria, Nature, 170,
1127—1128 (1952).
494. Owen A. R. G., A genetical system admitting of two distinct stable equilibria under
natural selection, Heredity, 7, 97—102 (1953).
495. Owen A. R. G., Balanced polymorphism of a multiple allelic series, Caryologia, 6,
1240—1241 (1954).
496. Parsons P. A., Selfing under conditions favouring heterozygosity, Heredity, 11,
411—421 (1957)-
497. Parsons P. A., Equilibria in autotetraploids under natural selection for a simplified
model of viabilities, Biometrics, 15, 20—29 (1959).
498. Parsons P. A., The initial progress of new genes with viability differences between
sexes and with sex linkage, Heredity, 16, 103—107 (1961).
499. Parsons P. A., The initial increase of a new gene under positive assortative mating,
Heredity, 17, 267—276 (1962).
500. Parsons P. A., Complex polymorphisms where the coupling and repulsion double
heterozygotes differ, Heredity, 18, 369—374 (1963).
501. Parsons P. A., Polymorphism and the balanced polygenic combination, Evolution,
17, 564—574 (1963).
502. Parsons P. A., Bodmer W- F., The evolution of overdominance; natural selection and
heterozygote advantage, Nature, 190, 7—12 (1961).
502a. Pearson K-, On a generalized theory of alternative inheritance, with special refe-
rences to Mendel’s laws, Phil. Trans. Roy. Soc. A, 203, 53—86 (1904).
503. Parzen E., Stochastic processes, Holden-Day, San Francisco, 1962.
504. Penrose L. S„ The detection of autosomal linkage in data which consist of pairs
of brothers and sisters of unspecified parentage, Ann. Eugen., 6, 133—138 (1935)-
505. Penrose L. S., Autosomal mutation and modification in man, Ann. Eugen., 7, 1—16
(1936).
506. Penrose L. S., Some practical considerations in testing for genetic linkage in sib da-
ta, Ohio J. Sci., 39, 291—296 (1939).
507. Penrose L. S., A further note on the sib-pair linkage method, Ann. Eugen., 13, 25—
29 (1946)-
508. Penrose L. S., The meaning of „fitness” in human populations, Ann. Eugen., 14,
301—304 (1949).
509. Penrose L. S., Genetics of the human race- In: Genetics in the 20th Century (Dunn
L. C., ed.), pp. 393—399, New York, Macmillan Co., 1951.
510. Penrose L. S., The general purpose sib pair linkage test, Ann. Eugen., 18, 120—124
(1953).
511. Penrose L. S., The Biology of Mental Defect, New York, Grune and Stratton, 1954.
542
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
512. Penrose L. S, Some formal consequences of genes in stable equilibrium, Ann. Hum.
Genet., 28, 159—166 (1964).
513. Penrose L. S, Notes on the interpretation of intrafamilial correlation coefficient, Ann.
Human Genet., 34, 291—293 (1971).
514. Penrose L. S., Smith S. M., Spratt D. A., On the stability of allelic systems with
special reference of haemoglobins A, S and C, Ann. Hum. Genet-, 21, 90—93 (1956).
515. Philip U., Mating systems in wild populations of Dermestes vulpinus and Mus mus-
culus, J. Genet., 36, 197—211 (1938).
516. Pirchner F., Population Genetics in Animal Breeding, San Francisco, W. H. Freeman
and Co., 1969.
517. Pollak E., On the survival of a gene in a subdivided population, J. Appl. Prob., 3,
142—155 (1966)-
518. Pollak E., Some effects of fluctuating offspring distributions on the survival of a
gene, Biometrika, 53, 391—396 (1966).
519. Pollak E., On random genetic drift in a subdivided population, J. Appl. Prob., 5,
314—333 (1968).
520. Price G. R., Selection and covariance, Nature, 227, 520—521 (1970).
521. Price G. R., Extension of the Hardy-Weinberg law to assortative mating, Ann. Hum.
Genet., 34, 455—457 (1971).
522. Price G. R., Extension of covariance selection mathematics, Ann. Hum. Genet., 35,
485—490 (1972).
523. Prout T., Some effects of the variations in segregation ratio and of selection on the
frequency of alleles under random mating, Acta Genet. Stat. Med., 4, 148—151
(1953).
524. Prout T., The estimation of fitness from genotypic frequencies, Evolution, 19, 546—
551 (1965).
525. Prout T., Sufficient conditions for multiple niche polymorphism, Amer. Natur., 102,
493—496 (1968)-
526. Race R. R., Some recent observations on the inheritance of blood groups, Brit. Med.
Bull., 2, 165 (1944).
527. Race R. R., Mournat A. E., McFarlane M. N., Travaux recents sur les antigenes et
anticorps Rh avec une etude particuliere de la theorie de Fisher, Rev. d’Hem., 1, 9—
21 (1946).
528. Rao B. R., Garg M., Li С. C., Correlation between the sample variances in a singly-
truncated bivariate normal distribution, Biometrics, 55, 433—436 (1968).
529. Rao B. R., Mazumdar S., Waller J. H., Li С. C., Correlation between the numbers
of two types of children in a family, Biometrics, 29, 271—279 (1973).
530. Rasmuson M., Genetics on the population level, Svenska Bokforlaget, 1961.
531. Reed T. E., The definition of relative fitness of individuals with specific genetic traits,
Am. J. Hum. Genet., 11, 137—155 (1959).
532. Reed T. E., Caucasian genes in American Negroes, Science, 165, 762—768 (1969).
533. Reed T. W., Critical tests of hypotheses for race mixture using Gm data on American
Caucasians and Negroes, Am. J. Hum. Genet., 21, 71—83 (1969).
534. Reed T. W., The population variance of the proportion of genetic admixture in human
intergroup hybrids, Proc- Nat. Acad. Sci., 68, 3168—3169 (1971).
535. Reed T. E., Does reproductive compensation exist? An analysis of Rh data, Am. J.
Hum. Genet, 23, 215—224 (1971).
536. Reeve E. C. R., Studies in quantitative inheritance. III. Heritability and genetic cor-
relation in progeny tests using different mating systems, J. Genet, 51 (3), 520—542
(1953).
537. Reeve E. C. R., Inbreeding with the homozygotes at a disadvantage, Ann. Hum. Ge-
net, 19, 332—346 (1955).
538. Reeve E. C. R., The variance of the genetic correlation cocefficient, Biometrics, 11,
357—374 (1955).
539. Reeve E. C. R., Inbreeding with selection and linkage. I, Selfing, Ann. Hum. Genet,
21, 277—288 (1957).
540. Reeve E. C. R., Gower J. C, Inbreeding with selection and linkage. II, Sibmating,
Ann. Hum. Genet, 23, 36—49 (1958).
541. Reeve E. C. R., Robertson F. W„ Studies in quantitative inheritance. II. Analysis of
a strain of Drosophila melanogaster selected for long wings, J. Genet, 51 (2), 276—
316 (1953).
542. Richardson W. H., Frequencies of genotypes of relatives, as determined by stochastic
matrices, Genetica, 35, 323—354 (1964)-
543. Rife D. C, Simple modes of inheritance and the study of twins, Ohio, J. Sci, 38,
281—293 (1938).
544. Rife D. C., Handedness with special reference to twins, Genetics, 25, 178—186 (1940).
545- Rife D. C, An application of gene frequency analysis to the interpretation of data
from twins, Hum. Biol, 22, 136—145 (1950).
546. Rife D. C., A method for analyzing multiple allelic inheritance, J. Heredity, 42, 105—
106 (1951).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
543
547. Rife D. С., A method for testing two-factor inheritance, J. Heredity, 42, 162 (1951).
548. Robbins R. B., Some applications of mathematics to breeding problems. I, Genetics,
2, 489—504 (1917).
549. Robbins R. B., Some applications of mathematics to breeding problems- II, Genetics,
3, 73—92 (1918).
550. Robbins R. B., Some applications of mathematics to breeding Problems. Ill, Genetics,
3, 375—389 (1918).
551. Robbins R. B., Random mating with the exception of sister by brother matings, Ge-
netics, 3, 390—396 (1918).
552. Robertson A., The effect of inbreeding on the variation due to recessive genes, Ge-
netics, 37, 189—207 (1952).
553. Robertson A., Selection for heterozygotes in small populations, Genetics, 47, 1291—
1300 (1962).
554. Robertson A., The interpretation of genotypic ratios in domestic animal populations,
Animal Prod., 7, 319—324 (1965).
555- Robertson F. W., Reeve E. C. R., Studies in quantitative inheritance. IV. The effects
of substituting chromosomes from selected strains in different genetic backgrounds in
Drosophila melanogaster, J. Genet., 51 (3), 586—610 (1953).
556. Robinson H. F. (ed.), Papers on quantitative genetics and Related Topics, North Ca-
rolina State College, 1963.
557. Ромашов Д. Д., Ильина E. Д., Analysis of fox populations after Hardy’s formula,
Doklady Acad. Sci., USSR, 37, 193—196 (1942).
558. Sacks J. M., A stable equilibrium with minimum average fitness, Genetics, 56, 705—
708 (1967).
559. Sanghvi L. D., The concept of genetic load: a critique, Am. J. Hum. Genet., 15, 298—
309 (1963).
560. Scheuer P. A. G., Mandel S. P. H., An inequality in population genetics, Heredity,
31, 519—524 (1959).
561. Schmalhausen I. I., Factors of Evolution: The Theory of Stabilizing Selection, Dod-
rick, New York, Blackiston Co., 1949.
562. Schull W. J„ Neel J. V., The Effects of Inbreeding on Japanese Children, New York,
Harper and Row, 1965.
563. Schull W. J., MacCluer J. W., Human Genetics — structure of population, Ann. Rev.
Genet., 2, 279—304 (1968).
564. Scudo F. M., Sex population genetics, La Ricera Scient., 34, 93—146 (1964).
565. Scudo F. M., Karlin S., Assortative mating based on phenotype: I. Two alleles with
dominance, Genetics, 63, 479—498 (1969).
566- Searle S. R., Matrix Algebra for the Biological Sciences, New York, John Wiley and
Sons, 1966.
567. Sheppard P. M., Naturral Selection and Heredity, London, Hutchinson, 1958.
568. Singh M., Lewontin R. C„ Stable equilibria under optimizing selection, Proc. Nat-
Acad. Sci., 56, 1345—1348 (1966).
569. Skellam J. G., The probability distribution of gene differences in relation to selection,
mutation and random extinction, Proc. Camb. Phil. Soc., 45, 364—367 (1949)-
569a. Smith С. A. B., The detection of linkage in human genetics, J. Roy. Stat. Soc. B, 15,
153—192 (1953).
570. Smith С. A. B., A test for segregation ratios in family data, Ann. Hum. Genet., 20,
257—265 (1956).
570a. Smith С. A. B., Counting methods in genetical statistics, Ann. Human. Genet., Lon-
don, 21, 254—276 (1957).
571. Smith С. A. B., Biomathematics. Vol. I and II, New York, Hafner, 1966—1969.
572. Smith С. A. B., Notes on gene frequency estimation with multiple alleles, Ann. Hum.
Genet. 31, 99—107 (1967).
573. Smith С. A. B., Local fluctuations in gene frequencies, Ann. Hum. Genet., 32, 251—
260 (1969).
574. Smith С. A. B„ A note on testing the Hardy-Weinberg Law, Ann. Hum. Genet., 33,
377—383 (1970).
575. Smith С. A. B., Measures of homozygosity and inbreeding in populations, Ann. Hu-
man Genet., 37, 377—391 (1974).
576. Smith J. M.. Disruptive selective polymorphism and sympatric speciation, Nature,
195, 60—62 (1962).
577. Smith J. M., «Haldane’s dilemma» and the rate of evolution, Nature, 219, 1114—1116
(1968).
578. Smith J. M.t Mathematical Ideas in Biology, Cambridge Univ. Press, 1968.
579. Smith S. M., Appendix to notes on sickle-cell polymorphism, Ann. Hum. Genet., 19,
51—57 (1954).
580. Snyder L. H., Blood Grouping in Relation to Clinical and Legal Medicine, Baltimore,
Williams and Wilkins Co., 1929.
581. Snyder L. H., Studies in human inheritance. IX. The inheritance of taste deficiency in
man, Ohio J. Sci., 32, 436—440 (1932).
544
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
582. Snyder L. Н., Studies in human inheritance. X. A table to determine the proportion
of recessives to be expected in various matings onvolving a unit character, Genetics,
19, 1—17 (1934).
583. Snyder L. H., Studies in human inheritance XXX. A gene frequency analysis of ma-
ternal-fetal incompatibility, Immunology, 56, 281—285 (1947).
584. Snyder L. H., The principles of gene distribution in human populations, Yale J.
Biol, and Med., 19, 817—833 (1947).
585. Snyder L. H., The principles of Heredity, 4th ed., Boston, D. C. Heath and Co., 1951.
586. Snyder L- H., Cotterman C. W., Studies in human inheritance, XIII. A table to deter-
mine the expected proportion of females showing a sexinfluenced character correspon-
ding to any given proportion of males showing the character, Genetics, 21, 79—83
(1936).
587. Spencer W. P., On Rh gene frequencies, Amer. Natur., 81, 237—240 (1947).
588. Spiess E. B. (ed.), Papers on Animal Population Genetics, Boston, Little, Brown and
Co., 1962.
589. Spiess E. B., Low frequency advantage in mating Drosophila pseudoobscura karyoty-
pes, Amer. Natur., 102, 363—379 (1968).
590. Spiess E. B., Experimental population genetics, Ann. Rev. Genet., 2, 165—208 (1968).
591. Spiess E. B., Mating propensity and its genetic basic in Drosophila. In. Essays in
Evolution and Genetics in Honor of Th. Dobzhansky (Hecht M. K. and Steere W. C.,
eds.), pp. 315—379, Appleton-Century-Crofts, New York, 1970.
592. Spiess E. B., Spiess L. D., Selection for rate of development and gene arrangement
frequencies in Drosophila persimilis. II. Fitness properties at equilibrium, Genetics,
53, 695—708 (1966).
593. Spiess L. D., Spiess E. B., Minority advantage in interpopulational matings of Dro-
sophila persimilis, Amer. Natur., 103, 155—172 (1969).
594. Sprott D. A., The stability of a sex-linked allelic system, Ann. Hum. Genet., 22,
1—6 (1957).
595. Stanton R. G., Filial and fraternal correlations in successive generations, Ann.
Eugen., 13, 18—24 (1946).
596. Stanton R. G., Genetic correlations with multiple alleles, Biometrics, 16, 235—244
(I960).
597. Steinberg A. G., Jones A. R., Allen F. H., Diamond L. K., On the inheritance of the
antigen f of the Rh complex, Am. J. Hum. Genet., 6, 11—15 (1954).
598. Stem C., The Hardy-Weinberg Law, Science, 97, 137—138 (1943).
598a. Stern C., Mendel and human genetics, Proc. Am. Phil. Soc., 109, 216—226 (1965).
599. Stern C., Principles of Human Genetics, 3rd ed., San Frarncisco, W. H. Freeman and
Co., 1972.
600. Stevens W. L., Estimation of blood group gene frequencies, Ann. Eugen., 8, 362—375
(1938).
601. Stevens W. L., Statistical analysis of the ABO blood groups, Hum. Biol., 22, 191—•
217 (1950).
602. Stevens W. L., Statistical analysis of the ABO system in mixed populations, Hum-
Biol., 24, 12—24 (1952).
603. Strandskov H. H., The genetics of human populations, Amer. Natur., 76, 156—164
(1942).
604- Strandskov H. H., Genetics and the origin and evolution of man, Cold Spring Har-
bor Symp. Quant. Biol., 15, 1—11 (1950).
605. Sturtevant A. H., A History of Genetics, New York, Harper and Row, 1965.
606. Sukhatme P. V., On Bernstein’s improved method of estimating bloodgroup gene
frequencies, Sankhya, 6, 85—92 (1942).
607. Sved J. A., The stability of linked systems of loci with a small population size, Ge-
netics, 59, 543—563 (1968).
608. Sved J. A., Possible rates of gene substitution in evolution, Amer. Natur., 102, 283—
293 (1968).
609. Sved J. A., Reed T. E., Bodmer W. F., The number of balanced polymorphisms that
can be maintained in a natural population, Genetics, 55, 469—481 (1967).
610. Tallis G. M., Equilibria under selection for k alleles, Biometrics, 22, 121—127 (1966).
611. Tallis G. M., A migration model, Biometrics, 22. 409—412 (1966).
612. Taylor G. L., Prior A. M., Blood groups in England II. Distribution in the popula-
tion, Ann. Eugen., 8, 356—361 (1938).
613. Taylor G. L., Prior A. M., The distribution of the M and N factors in random samp-
les of different races, Ann. Eugen., 9, 97—108 (1939).
613a. Teissier G., Persistence of a lethal gene in a population of Drosophila (French),
Comptes Rendus Acad. Sciences, 214, 327—330 (1942).
613b- Teissier G., Equilibrium of lethal genes in stationary panmictic populations (French),
Revue Scientifique, 82, 145—159 (1944).
613c. Teissier G., Conditions for equilibrium of a pair of alleles and the superiority of
heterozygotes (French), Comptes Rendus Acad. Sciences, 238, 621—623 (1954).
614. Thomas D. L., Crumpacker D. W., Dynamics of chromosomal polymorphism and ge-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
545
netic load: an application of the two-locus multiplicative model with heterosis, Ge-
netics, 64, 367—385 (1970).
615. Thomson G. J., Selectively disadvantageous mutants, Biometrics, 26, 229—241 (1970).
616. Trustrum G. B., The correlation between relatives in a random mating diploid popu-
lation, Proc. Camb. Phil. Soc., 57, 315—320 (1961).
617. Turner J. R. G., Fundamental theorem of natural selection, Nature, 215, 1080 (1967).
618. Turner J. R. G., Why does the genotype not congeal? Evolution, 21, 645—656 (1967).
619. Turner J. R. G., Mean fitness and the equilibria in multilocus polymorphisms, Proc.
Roy- Soc. B, 169, 31—58 (1967).
620. Turner J. R. G„ The effect of mutation on fitness in a system of two со-adapted lo-
ci, Ann. Hum. Genet., 30, 329—334 (1967).
621. Turner J. R. G., On supergenes. I. The evolution of supergenes, Amer. Natur., 101,
195—221 (1967).
622. Turner J. R. G., On supergenes. II. The estimation of gametic excess in natural po-
pulations, Genetics, 39, 82—93 (1968).
623. Turner J. R. G., The basic theorems of natural selection: A naive approach, Here-
dity, 24, 75—84 (1969).
624. Turner I. R. G., Epistatic selection in the rhesus and MNS blood groups, Ann. Hum.
Genet., 33, 197—206 (1969).
625- Turner J. R. G., Some properties of two-locus systems with epistatic selection, Gene-
tics, 64, 147—155 (1970).
626. Turner J. R. G., Wright’s adaptive surface and some general rules for equilibria in
complex polymorphisms, Amer. Natur., 105, 267—278 (1971).
627. Turner M. E., Stevens C. D., The regression analysis of causal paths, Biometrics, 15,
236—258 (1959).
628. Tweedie M. С. K., An asymptotically efficient formula for estimating parameters
from grouped data (preliminary report), Ann. Math. Stat., 24, 498—499 (1953).
629. Van Valen L., Haldane’s dilemma, evolutionary rates and heterosis, Amer. Natur.,
97, 185—190 (1963).
630. Van Valen L., Selection in natural populations. III. Measurement and estimation,
Evolution, 19, 514—528 (1965).
631. Wahlund S., Zusammensetzung von Populationen und Korrelationserscheinungen von
Standpunkt der Vererbungslehre aus betrachtet, Hereditas, 11, 65—106 (1928).
632. Wallace B., The comparison of observed and calculated zygotic distributions, Evolu-
tion, 12, 113—115 (1958).
633. Wallace B„ Topics in Population Genetics, New York, W. W. Norton and Co., Inc.,
1968.
634. Wallace B., Genetic Load, Its Biological and Conceptual Aspects, New Jersey, Pren-
tice Hall, 1970.
635. Waller J. H., Rao B. R., LI С. C., Heterogeneity of childless families, Social Biology,
20, 133—138 (1973).
636. Ward'R. H., Neel J. V., Gene frequencies and microdifferentiation among the Maki-
ritare Indians. IV. A comparison of a genetic network with ethnohistory and migra-
tion matrices — a new index of genetic isolation, Am. J. Hum- Genet., 22, 538—561
(1970).
637. Waterman Th., Morowitz H. J. (eds.), Theoretical and Mathematical Biology,
Waltham, Mass., Blaisdell, 1965. (Теоретическая и математическая биология, изд-во
«Мир», М, 1968.)
638. Watson G. S., The cytoplasmic «sex-ratio», condition in Drosophila, Evolution, 14 (2),
256—265 (I960)-
639. Watterson G. A., Non-random mating and its effect on the rate of approach to ho-
mozygosity, Ann. Hum. Genet., 23, 204—220 (1959).
640. Watterson G. A., Markov chains with absorbing states: a genetic example, Ann.
Math- Stat., 32, 716—729 (1961).
641. Watterson G. A., Some theoretical aspects of diffusion theory in population genetics.
Ann. Math. Stat., 33, 939—957 (1962).
642. Watterson G. A., The application of diffusion theory to two population genetic mo-
dels of Moran, J. Appl. Prob., 1, 233—246 (1964).
643. Weatherburn С. E., A First Course in Mathematical Statistics, Cambridge Univ.
Press, 1952.
644. Weinberg W., Ueber den Nachweis der Vererbung beim Menschen, Jahresh. Verein f.
vaterl. Naturk. in Wruttemberg, 64, 368—382 (1908).
645. Weinberg W., Ueber Vererbungsgesetze beim Menschen, Ztschr. Abst. u. Vererb., 1,
277—330 (1909).
646. Weinberg W., Weitere Beitrage zur Theorie der Vererbung, Arch. Rassenges. Biol., 7,
35—49; 169—173 (1910).
647. Weir B. S., Equilibria under inbreeding and selection, Genetics, 65, 371—378 (1970).
648. Wellisch S., Thomsen O., Ueber die Vier-Gen-Hypothese Thomsens, Hereditas, 14,
50—52 (1930).
35—322
546
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
649. Wentworth Е. N., Remick В. L., Some breeding properties of the generalized Men-
delian population, Genetics, 1, 608—616 (1916).
650. Wiener A. S., Heredity of the agglutinogens M and N of Landsteiner and Levine. II.
Theoretico-statistical considerations, Immunology, 21, 157—170 (1931).
651. Wiener A. S., Heredity of the aggulutinogens M and -N of Landsteiner and Levine.
IV. Additional theoretico-statistical considerations, Hum. Biol. 7, 222—239 (1935).
652. Wiener A. S., Blood Groups and Transfusion, 3rd ed., Springfield, III, Charles C
Thomas, 1943.
653. Wiener A. S„ Heredity of the Rh blood types. IX. Observations in a series of 526
cases of disputed parentage, Am. J. Hum. Genet., 2, 177—197 (1950).
654. Wiener A. S., Heredity of the MNS blood types. Theoretico-statistical considerations,
Am. J. Hum. Genet., 4, 37—53 (1952).
655. Wiener A. S., Serology, genetics and nomenclature of the MNS types, Acta Gen.
Med. et Gemell., 3. 314—321 (1954).
656. Wiener A. S., Lederer M., Polayes S. H., Studies in isohemagglutination. I. Theoretical
considerations, Immunology, 16, 469—482 (1929).
657. Wilson E. O., Bossert W. H., A Primer of Population Biology, Stamford, Connecticut,
Sinauer Associates, Inc., 1971.
657a- Woolf B., On estimating the relation between blood group and disease, Ann. Hu-
man Genet., London, 19, 251—253 (1955).
658. Workman P. L., The maintenance of heterozygosity by partial negative assortative
mating, Genetics, 50, 1369—1382 (1964).
659. Workman P. L., Jain S. K., Zygotic selection under mixed random mating and self-
fertilization: theory and problems of estimation, Genetics, 54, 159—171 (1966)-
660. Wricke G., Populationsgenetik, Walter de Gruyter, Berlin and New York, 1972.
661. Wright S., On the nature of size factors, Genetics, 3, 367—374 (1918).
662. Wright S„ The relative importance of heredity and environment in determining the
piebald pattern of guinea pigs, Proc. Nat. Acad. Sci-, 6, 320—332 (1920).
663. Wright S., Correlation and causation, J. Agric. Res., 20, 557—585 (1921).
664. Wright S., Systems of mating, I—V, Genetics, 6, 111—178 (1921)-
665. Wright'S., Coefficients of inbreeding and relationship, Amer. Natur., 56. 330—338
(1922).
666. Wright S., The effects of inbreeding and crossbreeding on guinea pigs. III. Crosses
between highly inbred lines, U- S. Dept. Agric. Bull., 1121 (1922).
667. Wright S., The theory of path coefficients, Genetics, 8, 239—255 (1923).
668. Wright S., Mendelian analysis of the pure breeds of livestock. I. The measurement
of inbreeding and relationship. Heredity, 14, 339—348 (1923).
669. Wright S., Evolution in Mendelian populations, Genetics, 16, 97—159 (1931).
670- Wright S., The roles of mutation, inbreeding, crossbreeding and selection in evolu-
tion, Proc. 6th Int. Cong. Genetics (Ithaca), 1, 356—366 (1932).
671. Wright S., Inbreeding and homozygosis, Proc. Nat. Acad. Sci., 19, 411—419 (1933).
672- Wright S., Inbreeding and recombination, Proc. Nat. Acad. Sci., 19, 420—433 (1933).
673. Wright S., The method of path coefficients, Ann. Math. Stat., 5, 161—215 (1934).
674. Wright S., The analysis of variance and the correlation between relatives with respect
to deviations from an optimum, Genetics, 30, 243—256 (1935).
675. Wright S., Evolution in populations in approximate equilibrium, Genteics, 30, 257—
266 (1935).
676. Wright S., The distribution of gene frequencies in populations, Proc. Nat. Acad. Sci.,
23, 307—320 (1937).
677. Wright S., The distribution of gene frequencies under irreversible mutation, Proc. Nat.
Acad. Sci., 24, 253—259 (1938).
678. Wright S., The distribution of gene frequencies in populations of polyploids, Proc.
Nat Acad. Sci., 24, 372—377 (1938).
679. Wright S., Size of population and breeding structure in relation to evolution, Science,
87,430—431 (1938).
680. Wright S., Statistical Genetics' in Relation to Evolution, Paris, Hermann and Cie,
1939.
681. Wright S., The distribution of self-sterility alleles in populations, Genetics, 24 538—
552 (1939).
682. Wright S„ The statistical consequences of Mendelian heredity in relation to specia-
tion. In: The New Systematic, (Huxley J. S., ed.), pp. 161—183, Oxford Univ. Press,
1940-
683. Wright S., Breeding structure of populations in relation to speciation, Amer. Natur.,
74, 232—248 (1940).
684. Wright S., Statistical genetics and evolution, Bull. Amer. Math. Soc., 48, 223—246
(1942).
685. Wright S;, Isolation by distance, Genetics, 28, 114—138 (1943).
686, Wright S., The differential, equation of the distribution of gene frequencies, Proc.
Nat. Acad. Sci., 31, 382—389 (1945).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
547
687. Wright S., Isolation by distance under diverse systems of mating, Genetics, 31, 39—
59 (1946).
688. Wright S., On the roles of directed and random changes in gene frequency in the
genetics of populations, Evolution, 2, 279—294 (1948).
689. Wright S., Adaptation and selection. In: Genetics, Paleontology and Evolution (Jep-
son G. L., Simpson G. G- and Mary E., eds.), Princeton Univ. Press, 1949.
690. Wright S., Population structure in evolution, Proc. Amer. Phil. Soc., 93, 471—478
(1949).
691- Wrignt S., The genetical structure of populations, Ann. Eugen., 15, 323—354 (1951).
692. Wright S., The theoretical variance within and among subdivisions of a population
that is in a steady state, Genetics, 37, 312—321 (1952).
693. Wright S., The genetics of quantitative variability. In: Quantitative Inheritance (Ree-
ve E. C. R. and Waddington С. H., eds.), p.p. 5—41, London, Her Maj, Stationary
Office, 1952:
694. Wright S., Classification of the factors of evolution, Cold Spring Harbor Symp.
Quant. Biol., 20, 16—24 (1955)-
695. Wright S., Modes of selection, Amer. Natur., 40, 5—24 (1956).
696. Wright S., On the number of self-incompatibility alleles maintained in equilibrium by
a given mutation rate in a population of a given size: a re-examination, Biometrics,
16, 61—85 (1960).
697- Wright S., Path coefficients and path regressions: alternative or complementary con-
cepts? Biometrics, 16, 189—202 (1960).
698. Wright S., The treatment of reciprocal interaction, with or without in path analysis.
Biometrics, 16,423—445 (1960).
699. Wright S., Pleiotrophy in the evolution of structural reduction and dominance, Amer.
Natur., 98, 65—69 (1964).
700- Wright S., The distribution of self-incompatibility alleles in populations, Evolution,
18, 609—619 H964).
701. Wright S., Tne interpretation of population structuie by F-statistics with special
regard to systems of mating, Evolution, 19, 395—420 (1965).
702. Wright S„ «Surfaces» of selective value, Proc. Nat. Acad. Sci-, 58, 165—172 (1967).
703. Wright S„ Evolution and the Genetics of Populations, Vol. I. Genetic and Biometric
Foundations, Vol. II, The Theory of Gene Frequencies, Univ, of Chicago Press, 1968—
1969.
704. Wright S., Dobzhansky Th., Genetics of natural populations. XII. Experimental re-
production of some of the changes caused by natural selection in certain populations
of Drosophila pseudoobscura, Genetics, 31, 125—156 (1946).
705. Wright S., Dobzhansky Th., Hovanitz W., Genetics of natural populations- VII. The
allelism of lethals in third chromosome of Drosophila pseudoobscura, Genetics, 27,
363—394 (1942).
706. Wright S„ Kerr W. E., Experimental studies of the distribution of gene frequencies in
very small populations of Drosophila melanogaster. II. Bar. Evolution, 8, 225—240
(1954).
707. Wright S., McPhee H. C., An approximate method of calculating coefficients of in-
breeding and relationship from livestock pedigrees, J. Agric. Res., 31, 377—383
(1925).
708- Yasuda N., Estimation of inbreeding coefficient from phenotype frequencies by, a
method of maximum likelihood scoring, Biometrics, 24, 915—936 (1968).
709. Yasuda N„ An extension of Wahlund’s principle to evaluate mating type frequency.
Am. J. Hum. Genet., 20, 1—23 (1968).
710. Yasuda N., Kimura M., A gene-counting method of maximum likelihood for estima-
ting gene frequencies in ABO and ABO-like systems, Ann. Hum. Genet., 31, 409—
420 (1968).
711. Yale G. U., Kendall M. G., An Introduction to the Theory of Statistics, 14th ed„ New
York, Hafner Publishing Co., 1950.
35*
Предметный указатель
Автополиплоиды 139, 143, 189, 424
Аллеля эффект (allele effect) 53, 99
Бета-функция 505
Валунда формула 465
Гамма-функция 505
Гены, сцепленные с полом 119
---------в популяциях конечной чис-
ленности 306
---------инбридинг 292
---------коэффициенты пути 268
---------оценка частоты 130
Гетерозиготность 185, 199, 298
Гетерозис (heterosis) 457
Группы крови человека 85—98, 416
Детерминации коэффициент 230
Дисперсия генетическая (genetic varian-
ce) 45, 100
----компоненты 45, 173
----при инбридинге 217
----самооплодотворении 196
Дрейф генетический (genetic drift) 488
Идентичность генов по происхождению
(identity of genes by descent) 65
Изоляция 469
— расстоянием 475
Инбридинг (a) 185, 198,211
— в популяциях ограниченной численно-
сти 298
— графическое изображение 215
— коэффициент 213, 310
— нерегулярный 310
— системы 278
Инверсии 80, 388
Количественный признак (quantitative
trait) 41, 168, 378
----влияние среды 269
----два локуса 168
----изменение при отборе 383
----множественные аллели 99
----положительное ассортативное скре-
щивание 334
----преобразование шкалы измерений
60
----стандартизованное значение 231
Контраст линейный 44
— ортогональный 54
Корреляция (и) коэффициент 42
---генетической 273
---множественной 249
---частной 251
— между родственниками 55, 126, 173,
270
---— при положительном ассортатив-
ном скрещивании 337
Крамера правило 396
Матрица (ы) мииор 250
— определитель 250
— перехода 64, 125
Метод максимального правдоподбия
(maximum likelihoad method) 35, 105
— два параметра 105, 108
— один параметр 36
-----г- - три параметра 115
-------частичный 113
— последовательного дифференцирова-
ния 51
— последовательных разностей 48
Миграция 496
- - и отбор 470
------ дисперсия частот генов в подразде-
ленных популяциях 496
Множественные аллели 79
---в подразделенной популяции 479
-------популяциях ограниченной числен-
ности 306
— — инбридинг 221
---отбор 394
Мутация (и) единичная 344
— и инбридинг 454
— — отбор 458
— нейтральная 346
— обратные 352
— повторные 351
Наследуемости показатель (heritability)
56, 270, 337,
Отбор (selection) 360, 386, 432
— арифметического типа 370
— в пользу гетерозигот 371
— геометрического типа 365
— дифференциальный по нишам 392
— по локусу 416
---сцепленным с полом генам 409
— при инбридинге 402
549
Отбор против гетерозигот 453
----рецессивных генов 365
— разнонаправленный у разных полов
405
— симметричного типа 390
— у тетраплоидов 426
— частотно-зависимый (frequency-depen-
dent) 411
Отклонение, обусловленное доминирова-
нием (dominance deviation) 46
Перехода вероятность (transition proba-
bility) 64
— матрица 64, 125
Популяция панмиктическая 11
----графическое представление 16
— подразделенная 465
----и генетический дрейф 496
-------инбридинг 466
----стационарное распределение частот
генов 507
Последовательность рекуррентная 133
— гармоническая 324. . .
— Фибоначчи 136
Приспособленность (и) генотипов относи-
тельная (relative fitness of genotypes)
361
---- компоненты 362
----матрица 372
— средняя (average) 381
Причины коррелирующие 237
Производящая функция 347
Пути коэффициент (path coefficient)
230
Равновесие(я) между мутациями и от-
бором 450
— при инбридинге 211
----отборе 372, 428
— устойчивость 374
Регрессия 41
— множественная 247
Родства коэффициент (relationship coef-
ficient) 310
Родственник двулииейный (bilineal rela-
tive) 66
— однолинейный (unilineal) 65
Самооплодотворение (selfing) 185
Самостерильность 151
Сибсы двоюродные (first cousins) 71
----двойные (double first) 72
—• — наполовину (half first) 294
— троюродные (second) 288
----четырежды (quadruple second) 287
— четвероюродные (third) 289
Скрещивание ассортативное отрицатель-
ное 326
----положительное 324
— между родственниками 199, 278,292
— случайное 10
Снайдера отношения 27, 166
Состояние поглощающее 490
Сцепление генов (linkage of genes) 162
----обнаружение 179
Уравнение в нормальной форме 249
— линейное однородное 190
— характеристическое 191
Фазы отталкивания (repulsion) и при-
тяжения (coupling) 162
Фишера фундаментальная теорема есте-
ственного отбора 382
Харди — Вайнберга закон 11
•---графическое представление 19
Хи-квадрат критерий 23
Частота (ы) гена 10
— генотипа 10
— — оценка по данным о сибсах 32
----по данным пар родитель—потомок
30
----при доминировании 26
----— отсутствии доминирования 22
Эффективная численность популяции
(effective number of population) 497
Оглавление
Стр.
Предисловие к русскому изданию.......................................... • 5
Предисловие................................................................................ 7
Глава 1. Большие популяции со случайным скрещиванием ......... 9
§ 1. Частота геиа..................: ..................... 10
§ 2. Случайное скрещивание..................................... - 10
§ 3. Закон Харди — Вайнберга..................................... . . П
§ 4. Установление равновесия ................................. ..... 12
§ 5. Случайное объединение гамет........................... 13
§ 6. Комбинации родителей, дающие потомство с рецессивным признаком 14
§ 7. Некоторые свойства равновесных популяций. 15
§ 8. Отношение частот генов............................ 15
§ 9. Закон Кастла..................................................................... 16
§ 10. Графическое представление популяций.............................................. 16
Приме чания и упражнения............................................................. 19
Глава 2. Применение закона Кастла — Харди — Вайнберга..................................... 22
§ 1. Отсутствие доминирования........................................................ 22
§ 2. Ожидаемые численности в малых выборках.......................................... 24
§ 3. Доминирование................................................................... 26
§ 4. Типы скрещивания; отношение Снайдера............................................ 27
§ 5. Типы пар мать — ребенок......................................................... 29
§ 6. Оценка частот генов по данным пар МР............................................ 30
§ 7. Типы пар сибсов............................................ . 32
§ 8. Различие в частоте геиа между полами........................................... 34
Приме чания и упражнения............................................................. 35
Глава 3. Генетическая дисперсия и корреляции............................................. 41
§ 1. Линейная регрессия и корреляция................................................... 41
§ 2. Представление коэффициента регрессии в виде среднего тангенса
угла наклона............................................................ 42
§ 3. Представление коэффициента регрессии в виде контраста............................ 44
§ 4. Генетическая дисперсия и ее компоненты........................................... 45
§ 5. Числовые примеры................................................................. 46
§ 6. Метод последовательных разностей................................................. 48
§ 7. Метод последовательного дифференцирования........................................ 51
§ 8. Представление популяции в виде двух частей....................................... 52
§ 9. Эффекты аллелей.................................................................. 53
§ 10. Ортогональные контрасты ......................................................... 54
§ 11. Корреляция между родителями и детьми............................................. 55
§ 12. Ковариация между родственниками......................... 57
§ 13. Три звена корреляции родитель — потомок.......................................... 58
§ 14. Корреляция между другими родственниками................. 59
§ 15. Генетическая дцсперсия при полном доминировании.................................. 59
§ 16. Влияние среды . . ............................................. . 60
§ 17. Представление переменных в разных шкалах......................................... 60
Примечания и упражнения........................is...................................... 61
Глава 4. Метод матриц перехода.......................................................... 64
§ 1. Условные вероятности; матрица перехода........................................... 64
§ 2. Идентичность генов .............................................................. 65
ОГЛАВЛЕНИЕ 551
Стр.
§ 3. Матрицы перехода ITO................................................................ 66
§ 4. Родственники по одной линии......................................................... 67
§ 5. Полные сибсы . . . . .............................................................. 68
§ 6. Формальное рассмотрение метода ковариаций . ........................................ 70
§ 7. Другие однолинейные родственники.................................................... 71
§ 8. Двойные двоюродные сибсы............................................................ 72
§ 9. Родственник родственника........................................................... 73
§ 10. Факторизация матрицы Т.............................................................. 74
§ 11. Матрица перехода для гамет.......................................................... 75
Примечания и упражнения.................................................................... 76
Глава 5. Множественные аллели и группы крови ............................................... 79
§ 1. Равновесные соотношения.................................... 79
§ 2. Определение частот генов по выборкам.............. 80
§ 3. Некоторые свойства равновесного состояния.. 81
§ 4. Определение частот генов по трем фенотипам.. 82
§ 5. Приближенная формула для дисперсии .. 83
§ 6. Группы крови АВО человека.................................... 85
§ 7. Определение частот генов системы АВО.. 86
§ 8. Числовой пример........................................................ 90
§ 9. Типы скрещивания и соответствующее им потомство ..................................... 91
§ 10. Подгруппы группы крови А ....................................: 94
§ 11. Система групп крови MNS............................................................. 95
§ 12. Недостаток методов, которые приводят к неэффективным оценкам . . 98
§ 13. Дисперсия как произведение двух независимых величин................................. 98
§ 14. Количественные признаки............................................................. 99
Примечания и упражнения................................................. 100
Глава 6. Метод максимального правдоподобия................................. 105
§ 1. Три фенотипа, два параметра......................................................... 105
§ 2. Преобразование величин и дисперсий.................................................. 107
§ 3. Четыре фенотипа, два параметра..................................................... 108
§ 4. Поправки и итерация..........................................: ПО
§ 5. Другая форма представления информации............................................... 111
§ 6. «Неполный» метод максимального правдоподобия........................................ 113
Примечания и упражнения................................................................... 114
Глава 7. Гены, сцепленные с полом . ........................................................ 119
§ 1. Равновесная популяция............................................................... 119
§ 2. Достижение равновесия..............• : .......... 119
§ 3. Некоторые следствия................................................................. 122
§ 4. Приложения.......................................................................... 123
§ 5. Корреляция между родителями и детьми................................................ 124
§ 6. Метод ITО.......................................................................... 125
§ 7. Суммарная корреляция между родителями и детьми...................................... 129
§ 8. Выборочные оценки частот генов..................................................... 130
Примечания и упражнения................................................................... 132
Приложение. Рекуррентные последовательности............................................... 133
Глава 8. Автополиплоиды................................: . :................................ 139
§ 1. Образование зиготой гамет при случайной сегрегации хромосом . . . 139
§ 2. Условия равновесия ................................................................ 141
§ 3. Приближение к равновесию............................................................ 142
§ 4. Случайная сегрегация хроматид ...................................................... 143
§ 5. Генетическая дисперсия и корреляция................................................. 145
Примечания и упражнения.........................:..........................................147
Глава 9. Аллели самостерильности............................................................. 151
§ 1. Простейший случай: три аллеля....................................................... 151
§ 2. Общий случай: k аллелей............................................................. 154
Примечания и упражнения................................................................... 155
Глава 10. Две пары генов .................................................................. 157
§ 1. Частоты генотипов и выход гамет.............. 157
§ 2. Условие равновесия при панмиксии . .............. 158
§ 3. Достижение равновесия.......................... 159
§ 4. Некоторые частные случаи.............. 161
§ 5. Эффект сцепления.......................... 162
§ 6. Частоты фенотипов. Приложения.......................... 164
552
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
§ 7. Отношения Снайдера для двух локусов................. 165
§ 8. «Дупликатные» и комплементарные гены .............. 167
§ 9. Количественные признаки и генетическая дисперсия. 168
§ 10. Корреляция между родственниками....................................................... 173
§ 11. Аддитивные эффекты генов и полное доминирование....................................... 174
§ 12. Распределение пар сибсов и сцепление................................................. 175
§ 13. Обнаружение сцепления................................................................. 178
Примечания и упражнения.....................: :.............................................. 180
Глава 11. Самооплодотворение.................................................................... 185
§ 1. Самооплодотворение у диплоидов......................................................... 185
§ 2. Несколько пар генов.................................................................... 186
§ 3. Самооплодотворение у автотетраплоидов.................................................. 189
§ 4. Более общий метод......................................: : . 191
§ 5. Приложение к параграфу о самооплодотворении автотетраплоидов . . 193
Примечания и упражнения..................................................................... 194
Глава 12. Скрещивание между сибсами............................................................. 198
§ 1. Типы комбинаций родителей и групп сибсов............................................... 198
§ 2. Уменьшение уровня гетерозиготности.................................................... 199
§ 3. Корреляция между партнерами и между объединяющимися гаметами 202
§ 4. Случай, когда исходная популяция является панмиктической .... 204
§ 5. Гены, сцепленные с полом, и другие случаи.............................................. 206
Примечания и упражнения.....................:................................................ 208
Глава 13. Равновесные популяции с инбридингом................................................. 211
§ 1. Корреляция между объединяющимися гаметами..... 211
§ 2. Доли зигот..... 212
§ 3. Коэффициент инбридинга по Бернштейну..... 213
§ 4. Графическое изображение популяций............. 214
§ 5. Общая теорема о равновесных популяциях ......... 216
§ 6. Генетическая дисперсия при инбридинге............. 217
§ 7. Связь между т и F..................................................... 217
§ 8. Сочетание перекрестного опыления и самоопыления........................................218
§ 9. Сочетание случайного скрещивания (панмиксии) и скрещивания сибсов 219
§ 10. Числовой пример и некоторые выводы.................................................... 220
§ 11. Инбридинг при наличии множественных аллелей . ........................................ 221
§ 12. Выборочные оценки F................................................................... 222
§ 13. Особи, гомозиготные по двум рецессивным генам ........................................ 224
Примечания и упражнения.....................:................................................ 224
Глава 14. Теория коэффициентов путей............................................................ 228
§ 1. Представление зависимостей между переменными в виде диаграмм 229
§ 2. Числовые примеры...................................................................... 231
§ 3. Цепь некоррелирующих причин........................................................... 234
§ 4. Общие причины и корреляция . ......................................................... 235
§ 5. Коррелирующие причины..............:.................................................. 237
§ 6. Общая корреляция и детерминация ...................................................... 239
§ 7. Правила построения соединяющих путей ................................................. 241
§ 8. Построение схемы причинности.......................................................... 244
§ 9. Другие свойства коэффициентов путей и корреляции ..................................... 246
§ 10. Связь метода коэффициентов путей с множественной регрессией . . . 247
§ 11. Коэффициент множественной корреляции.................................................. 249
§ 12. Коэффициент частной корреляции ....................................................... 251
Примечания и упражнения...................................................................... 252
Глава 15. Путевые зависимости между родителями и потомками...................................... 259
§ 1. Детерминация зиготы объединяющимися гаметами........................................... 259
§ 2. Образование гаметы зиготой............................................................ 260
§ 3. Путь между двумя смежными поколениями................................................. 262
§ 4. Соотношение между F и т............................................................... 262
§ 5. Корреляция между членами семьи......................................................... 263
§ 6. Условия равновесия.................................................................... 264
§ 7. Корреляция между родственниками при панмиксии......................................... 265
§ 8. Сводка формул......................................................................... 265
§ 9. Неравные пути от зигот к гаметам...................................................... 267
§ 10. Частоты зигот в популяции............................................................. 268
§ 11. Пути для генов, сцепленных с полом.................................................... 268
§ 12. Случайные и систематические влияния внешней среды . .................................. 269
ОГЛАВЛЕНИЕ 553
Стр.
§ 13. Аутосомные гены и гены, сцепленные с полом.......................................................................... 271
§ 14. Два признака, обусловленные общими генами........................................................................... 272
§ 15. Корреляция, обусловленная общими факторами.......................................................................... 273
Примечания и упражнения.................................................................................................... 274
Глава 16. Системы инбридинга.............•.................................................................................... 278
§ 1. Самооплодотворение ................................................................................................. 278
§ 2. Скрещивание сибсов ................................................................................................. 279
§ 3. Скрещивание родитель — потомок...................................................................................... 281
§ 4. Скрещивание полусибсов . .......................................................................................... 283
§ 5. Скорость снижения гетерозиготности.................................................................................. 285
§ 6. Скрещивание между двойными двоюродными сибсами...................................................................... 285
§ 7. Общий результат..................................................................................................... 287
§ 8. Скрещивание между двоюродными сибсами .............................................................................. 288
§ 9. Скрещивание между троюродными сибсами............................................................................... 290
§ 10. Скрещивание между отдаленными родственниками ...................................................................... 291
§ 11. Инбридинг в отношении генов, сцепленных с полом......................................................................292
Примечания и упражнения.................................................................................................... 293
Глава 17. Гетерозиготность в группах ограниченной численности................................................................. 298
§ 1. Максимальное предотвращение инбридинга............................................................................... 298
§ 2. Обоеполые диплоиды...............'................................................................................... 299
§ 3. Группа, состоящая из No самок и Ni самцов............................................................................ 300
§ 4. Приближенная оценка скорости уменьшения величины И.................................................................. 302
§ 5. Важный частный случай: No=Nl......................................................................................... 303
§ 6. Группа из N обоеполых особей........................................................................................ 304
§ 7. Множественные аллели; гены, сцепленные с полом; полиплоидия . . . 305
Примечания и упражнения.................................................................................................... 307
Глава 18. Родословные с нерегулярным инбридингом.............................................................................. 310
§ 1. Определения....................................................................................................... 310
§ 2. Путь от предка к потомку............................................................................................ 311
§ 3. Общие формулы.............................................. . 311
§ 4. Иллюстрация на простой родословной. 313
§ 5. Два примера родословных у домашнего скота. 314
§ 6. Коэффициент инбридинга для генов, сцепленных с полом........... 317
§ 7. Близкородственные скрещивания и редкие признаки. 318
§ 8. Другие типы близкородственных скрещиваний в популяции .... 320
Примечания и упражнения.................................................................................................... 321
Глава 19. Ассортативное скрещивание........................................................................................... 324
§ 1. Гармонические последовательности.................................................................................... 324
§ 2. Полностью положительное ассортативное скрещивание................... 324
§ 3. Полностью отрицательное ассортативное скрещивание........... 326
§ 4. Неполностью отрицательное ассортативное скрещивание. 327
§ 5. Отсутствие скрещиваний между одинаковыми генотипами........... 329
§ 6. Другой тип ассортативного скрещивания. 331
§ 7. Ассортативное скрещивание по количественным признакам........... 334
§ 8. Корреляция между объединяющимися гаметами. 336
§ 9. Наследуемость и корреляция.......................................................................................... 337
Примечания и упражнения.................................................................................................... 340
Глава 20. Мутации генов . .................................................................................................... 344
§ 1. Судьба единичной мутации............................................................................................ 344
§ 2. Метод производящих функций.......................................................................................... 347
§ 3. Отрицательное биномиальное распределение размера семьи.............................................................. 348
§ 4. Вероятность потери мутации при отрицательном биномиальном рас-
пределении размера семьи ............................................. 350
§ 5. Давление повторных мутаций.......................................................................................... 351
§ 6. Компенсация за счет обратных мутаций................................................................................ 352
§ 7. Мутантный генотип в популяции....................................................................................... 354
Примечания и упражнения.................................................................................................... 355
Глава 21. Отбор (простые случаи).............................................................................................. 360
§ 1. Относительная приспособленность генотипов и цикл отбора в поколении 361
§ 2. Отбор геометрического типа и рецессивные летали.......... 365
§ 3. Неполная элиминация особей с рецессивным признаком................. 368
§ 4. Отбор в пользу гетерозиготных особей . ................. 371
§ 5. Устойчивость равновесия....................................................................... 374
554
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
§ 6. Приспособленность как количественный признак................................................................ 378
§ 7. Возрастание средней приспособленности....................................................................... 381
§ 8. Изменение средней величины количественного признака......................................................... 383
§ 9. Жизнеспособность и плодовитость............................................................................ 386
Примечания и упражнения............................................................................................ 387
Глава 22. Отбор (продолжение)......................................................................................... 392
§ 1. Дифференциальный отбор в разных локальностях................................................................ 392
§ 2. Множественные аллели........................................................................................ 394
§ 3, Свойства равновесия для множественных аллелей............................................................... 397
§ 4. Приращение средней приспособленности в случае множественных
аллелей............................................................. 401
§ 5. Отбор в популяциях с инбридингом............. 402
§ 6. Дифференциальный отбор среди особей разного пола.......................... 405
§ 7. Отбор по генам, сцепленным с полом............. 409
§ 8. Переменная приспособленность; частотно-зависимый отбор....... 411
§ 9. Отбор и компенсация по локусу Rh............................................. 416
Примечания и упражнения....................: :..................................................................... 418
Глава 23, Отбор: два гена............................................................................................. 424
§ 1. Простейший тип отбора у тетраплоидов........................................................................ 424
§ 2. Симметричный отбор у тетраплоидов........................................................................... 426
§ 3. Асимметричные равновесия.................................................................................... 427
§ 4. Примеры и частные случаи.................................................................................... 429
§ 5. Два локуса; симметричный отбор.............................................................................. 431
§ 6. Симметричное равновесие..................................................................................... 434
§ 7. Асимметричные равновесия................................................................................... 437
§ 8. Частные случаи симметричного отбора ....................................................................... 440
§ 9. Другие схемы отбора......................................................................................... 442
§ 10. Приближенные методы анализа случаев многих локусов.......................................................... 444
Примечания и упражнения............................................................................................ 444
Глава 24. Совместное действие мутаций и отбора...................................................................... 450
§ 1. Равновесие между мутациями и отбором..................................... 450
§ 2. Равновесие при отборе, направленном против гетерозигот. 453
§ 3. Отбор по сцепленным с полом генам. 454
§ 4. Равновесие в популяциях с инбридингом. 454
§ 5. Уменьшение инбридинга....................................... 456
§ 6. Гипотезы гетерозиса. 457
§ 7. Благоприятные мутации............. 458
§ 8. Преимущество гетерозигот и мутации............. 460
§ 9. «Улучшение» путем селекции....................................... 462
Примечания и упражнения............................................................................................ 462
Глава 25. Подразделенность и миграция................................................................................. 465
§ 1. Формула Валунда............................................................................................. 465
§ 2. Подразделенность и инбридинг................................................................................ 466
§ 3. Подразделенность и генетическая дисперсия................................................................... 468
§ 4. Последствия миграции........................................................................................ 469
§ 5. Миграция и отбор: простые случаи..................................................................... 470
§ 6. Миграция и отбор:общий случай........................................................................ 472
§ 7. Миграция и отбор: сверхдоминирование ... .. 473
§ 8. Миграция в популяциях ограниченной численности....................................................... 474
§ 9. Изоляция расстоянием........................................................................................ 475
§ 10. Дополнительное рассмотрение изоляции........................................................................ 478
§ 11. Подразделенность в случае множественных аллелей............................................................. 479
§ 12. Связь между объединяющимися гаметами........................................................................ 480
§ 13. Смешение черной и белой рас в США........................................................................... 481
Примечания и упражнения............................................................................................ 483
Глава 26. Малые популяции и эффективная численность................................................................... 486
§ 1. Случайные флуктуации частоты гена........................................................................... 486
§ 2. Окончательная судьба малых по численности групп............................................................. 488
§ 3. Потеря изменчивости......................................................................................... 492
§ 4. Случайные флуктуации при инбридинге или подразделенности . . . 495
§ 5. Дисперсия q при миграции.................................................................................... 496
§ 6. Эффективная численность популяции........................................................................... 497
§ 7. Заключение и обсуждение..................................................................................... 500
Примечания и упражнения......................................................................................... 502
ОГЛАВЛЕНИЕ 555
Стр.
Глава 27. Стационарные распределения частот генов.................................... 504
§ 1. Гамма- н бета-функции...................................................... 505
§ 2. Общая формула распределения................................................ 507
§ 3. Распределение при незначительном систематическом давлении .... 509
§ 4. Распределение при давлении мутаций..................... 511
§ 5. Распределение при давлении миграции.................... 512
§ 6. Распределение при давлении отбора...................... 513
§ 7. Распределение при совместном действии разных факторов.. 515
§ 8. Уравнение Фоккера — Планка................................. 517
§ 9. Совместное распределение частот генов...................................... 517
§ 10. Некоторые вопросы эволюции: заключение..................................... 519
Примечания и упражнения . . .’................................................... 523
Список литературы................................................................ 527
Предметный указатель............................................: . : 548
ч. ли
ВВЕДЕНИЕ
В ПОПУЛЯЦИОННУЮ ГЕНЕТИКУ
Редакторы Т. Жиляева, Н. Шафрановская
Художник В. Стуликов
Художественный редактор В. Бисенгалиев
Технический редактор Е. Потапенкова
Корректор Т. Пашковская
ИБ № 1019
Сдано в набор 18.10.77. Подписано к печати 04.05.78.
Формат 70X108Vte. Бумага типографская № 2. Гарнитура
латинская. Печать высокая. Объем 17,50 бум. л.
Усл. печ. л. 49,00. Уч.-изд. л. 42,01. Изд. № 4/9384.
Тираж 7400 экз. Зак. 322. Цена 3 р. 20 к.
Издательство «Мир», Москва, 1-й Рижский пер., 2
Владимирская типография «Союзполиграфпрома»
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7
Опечатки
Стра- ница Строка Напечатано Следует читать
136 1 сн. П^2 « ,п2
271 8—7 сн. представленного представленной
273 Подпись под рис. 15.11 3 сн. ll = W hw = w
2 сн. h=t ht=t
304 4 св. даже для не больших N даже для небольших N
419 3 сн. 2 d 1 А
419 2 сн. Л 2 dl
Зак. 322