Текст
Е. К. ВОЙШВИЛЛО
f
i '
<
ПОНЯТИЕ
Е. К. ВОЙШВИЛЛО
ПОНЯТИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.
19 6 7
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
В книге делается попытка, во-первых, рассмотреть
вопросы традиционной логики, связанные с проблемой
понятия, используя точные методы современной симво-
лической логики, и, во-вторых, показать, как, пользуясь
этими методами, можно найти решение вопросов, не
поддававшихся ранее решению, и продвинуться дальше
в выяснении логической структуры понятия и его роли
в процессе познания.
Книга рассчитана на логиков, философов, занимаю-
щихся теорией познания, лингвистов, а также может
использоваться студентами в качестве учебного пособия.
1—5—7
67—15
ВВЕДЕНИЕ
Новый этап в развитии логической науки, возникший
с появлением символической логики, характеризуется
не только новыми методам и JTc с лед о в а н и я и изменения-
ми существовавших представлений о логических законах
и формах, но также и существенным изменением логиче-
ской проблематики. В центре внимания логиков в опре-
деленный период оказались разработка и исследование
формализованных логических языков (логических ис-
числений), а также анализ обычных (разговорных)
языков под углом зрения этих задач. Появилась даже и
нашла широкое распространение среди ученых капита-
листических стран философская концепция (представ-
ленная логическим позитивизмом), согласно которой
к этому, собственно, и сводится вся логика.
Многие проблемы, не связанные непосредственно с
логическими исчислениями, отошли на задний план или
вовсе выпали из поля зрения логики. Такая участь по-
стигла и традиционное учение о понятии, составлявшее
прежде один из основных разделов логики. Из всей сово-
купности вопросов, рассматривавшихся ранее в данном
разделе, развитие в современной формальной логике
получила, пожалуй, лишь теория определения, которая
при этом не связывается с теорией понятия и рассмат-
ривается опять-таки главным образом с точки зрения
потребностей построения формализованных языков. Не-
которые из вопросов прежнего учения о понятии рас-
сматриваются (под другим углом зрения) в логической
семантике (главным образом в теории значения языко-
вых выражений).
В трактовке самого понятия представители совре-
менной логики, как правило, ограничиваются представ-
лением его как пропозициональной функции-предиката.
3
Эта далеко не точная трактовка понятия оказывается
приемлемой опять-таки лишь применительно к потреб-
ностям построения и исследования логических исчисле-
ний определенного типа.
Интерес к логическим исчислениям, конечно, не слу-
чаен. Он обусловлен той важной ролью, которую играет
sb современной науке метод формализации. Формализа-
ция той или иной теории, собственно, и состоит в ото-
бражении ее содержания в виде некоторой формальной
системы (формализованного языка). Особое значение
при этом имеют формализованные логические языки, в
частности известные под названием исчисления преди-
катов.
Построение логических исчислений является для са-
мой логики средством анализа и отображения в точных
понятиях исследуемых ею логических связей и форм
рассуждения, зафиксированных в обычных (разговор-
ных) языках и в специальных языках науки. Благодаря
точному выражению логических отношений в формали-
зованном языке возникает возможность выводить одни
логические связи и формы из других и систематически
обозревать многообразие форм того или иного рода.
С другой стороны, логическое исчисление представ-
ляет собой точный логический аппарат, который может
быть использован в тех или иных областях знания.
Формированной логический язык_^^те—логическая
основадля аксиоматизаЦйй И^брмалиаации^тех иди
инй5Г ооластеи науки, пие’гроенйя формализованных
языков конкретных наук.
Применение логических формализованных языков
особенно эффективно и зачастую необходимо при реше-
нии наиболее сложных проблем науки. В случаях, когда
дело касается сложных связей и отношений, одной
интуиции и здравого смысла, представленного в формах
обычного рассуждения, оказывается недостаточно; нуж-
на/гочная логика формализованного языка.
Вёсьма удачным и ТОЧНЫМ являете я высказанное
основоположником логических исчислений и их приме-
нения в математике Г. Фреге сравнение значения фор-
мализованных языков в процессе познания со значением
телескопа и микроскопа.
Однако, подходя к делу с позиций диалектического
материализма, нельзя, конечно, свести процесс познания
4
к формально дедуктивному построению наук, а задачи
даже формальной логики — лишь к построению и изуче-
нию логических исчислений. Под влиянием потребностей
современной науки и практики постоянно снимаются те
ограничения задач логики, которые пытались устанав-
ливать метафизически и идеалистически мыслящие фи-
лософы. Преодолено было представление логических
позитивистов о логике как науке, исследующей лишь
синтаксические связи языка. Широкое развитие получи-
ла логическая семантика. В последние годы все боль-
шее число работ посвящается исследованию методов
познания, теории научного объяснения, анализу основ-
ных категорий науки. В результате сложилось и интен-
сивно развивается направление, называемое логикой
научного познания.
В свете задач логики научного познания важно ис-
следование и отдельных форм мысли, уяснение их роли
в процессе познания как определенных способов отра-
жения мира на ступени абстрактного мышления. Нет
надобности особо говорить о необходимости изучения
понятия в этом плане. Полезно здесь обратить внима-
ние на известные напоминания Ф. Энгельса и В. И. Ле-
нина естествоиспытателям о том, что искусство опери-
ровать понятиями не является прирожденным.
К теории понятия относятся, в частности, вопросы о
природе обобщения, абстракции, о роли общего в про-
цессе познания и т. д., имеющие важное значение для
понимания процесса познания, а также, очевидно, для
решения многих задач моделирования умственной дея-
тельности человека. Как утверждает В. С. Библер, «фи-
зики ждут от логики углубления в проблему понятия,
но отнюдь не устранения этой проблемы». Мы вполне
бы присоединились и к его словам о том, что «пробле-
ма понятия оказывается сейчас ключевой, определяю-
щей и в плане развития самой логики» (10, стр. 48] Ч
Автор, правда, имеет в виду и рассматривает проблемы
диалектики понятия. Но сама его работа приводит к
выводу, что решение этих проблем невозможно без вы-
1 Здесь и далее первое число ® квадратных скобках означает
порядковый номер, под которым определенная работа значится в
списке литературы, помещенном в конце книги.
5
яснения ряда вопросов теории понятия, относящихся к
формальной логике.
Не второстепенную значимость имеет задача выяс-
нения логической структуры понятия, выявление логиче-
ских связей и отношений между понятиями, а также
анализ операций с понятиями.
Едва ли может вызывать сомнение утверждение, что
без уяснения логической структуры мысли не могут
быть поняты и многие законы познания.
Понятие часто определяют как смысл слова и этим
оправдывают сведение проблем теории понятия к
проблемам логической семантики. При этом игнорирует-
ся тот факт, что сами смысловые содержания терминов
языка представляют собой определенные формы отра-
жения предметов и отношений объективного мира.
Эти формы действительно суть понятия и без само-
стоятельного исследования их нельзя объяснить процес-
сы развития языка, состоящие в постоянном уточнении
и углублении смысловых содержаний его выражений и
в появлении новых терминов для выражения вновь воз-
никающих понятий. И, конечно, роль понятия не сводит-
ся к тому, чтобы быть смысловым содержанием некото-
рого термина. Столь узкая точка зрения на понятие
лишает возможности усмотреть определенную общность
в логических структурах, с одной стороны, абстракций,
выражаемых в обычном языке, — с другой, таких, на-
пример, абстракций, как геометрические объекты, опи-
сываемые уравнениями, или объекты алгебры, описы-
ваемые системами аксиом. Несмотря на существенные
различия между этими образованиями, все они пред-
ставляют собой определенные формы понятий.
Основное внимание в данной работе уделяется фор-
мальнологическому аспекту. Вопросы диалектики (раз-
вития понятия) рассматриваются лишь в той мере, в
какой это необходимо для уяснения выдвигаемых проб-
лем или для иллюстрации значения их разработки с це-
лью конкретизации и уточнения некоторых утверждений,
относящихся к диалектике понятия.
Ясно, что все сказанное выше о значении метода
формализации и формализованных языков относится и
к интересующей нас проблеме. Потребность в точном
языке ощущалась многими авторами. Специальный
язык для выражения структуры понятий строил, наири-
6
мер, Ф. Линде [62]. Попытки в том же направлении пред-
принимает А. И. Уемов для описания выводов из поня-
тий [96, стр. 5—26].
Однако наиболее подходящим для выражения по-
нятий и отношений между ними является хорошо разра-
ботанный язык символической логики, именно — язык
исчисления_предйкятов Впервые этот Яяктк применил и
разрабатывал для этих целей Г. фреге. Использование
этого языка позволяет выявить связьструктуры понятий
со структурой суждений. Выводы из понятий, которые
подразумевает А. И. Уемов, оказываются при этом са-
мыми обычными выводами по правилам исчисления
предикатов из высказываний, выражающих содержание
понятий.
Поскольку проблема понятия включает ряд обще-
философских и теоретико-познавательных вопросов, тре-
бующих содержательного обсуждения, едва ли (по край-
ней мере на данном этапе) можно ставить задачу фор-
мализации теории понятия в целом или хотя бы основ-
ных ее разделов. Речь может идти лишь о применении
точных способов выражения некоторых отношений и
использовании ряда понятий современной логики. Но
уже и в этом случае, как мы увидим далее, возможно
уточнение многих положений традиционной логики и
устранение ряда недоразумений, возникших из-за отсут-
ствия точных методов решения спорных вопросов.
Разработка интересующих нас проблем невозможна
на данном этапе без использования ряда фундаменталь-
ных понятий современной логики (основные семантиче-
ские категории языковых выражений, понятий смысла и
значения имени, логической функции и др.). Этим обу-
словлена необходимость введения специальной части
(гл. I), где рассматриваются эти понятия, а также дает-
ся описание одной из систем исчисления предикатов.
Поскольку данная,работа предназначена в качестве
учебного пособия для студентов-философов, специали-
зирующихся по логике, при написании только что упо-
мянутой части имелись в виду также задачи педагоги-
ческого характера. В частности, учитывалась необходи-
мость в более или менее систематическом изложении
ряда вопросов, недостаточно освещенных в доступной
для студентов литературе. Значительное внимание уде-
лено здесь выяснению связи исчислений предикатов с
7
обычным разговорным языком. Едва ли могут быть со-
мнения в том, что понимание этой связи важно для
овладения аппаратом современной логики, а с другой
стороны — и для уяснения логической структуры обыч-
ного языка. Последнее имеет, конечно, значение и для
лингвистики.
В логической литературе часто подчеркивается су-
щественное значение понятий символической логики для
анализа разговорного языка и правильно отмечается
значительное несоответствие традиционных грамматик
современным представлениям о логической структуре
языка. Характерны в этом отношении высказывания
Райхенбаха, по мнению которого «традиционная грам-
матика отражает примитивную ступень логики». «Грам-
матика настоящего времени, — пишет он, — ...с ее искус-
ственными классификациями и необоснованными конст-
рукциями основана на очевидном непонимании структу-
ры языка. Нам хотелось бы надеяться, что настанет
день, когда результаты символической логики в виде
модернизированной грамматики найдут дорогу в на-
чальные школы» [84, стр. 255].
Имеется много пунктов, где теория понятия пересе-
кается с теорией множеств (поскольку множество, за-
данное каким-либо условием, представляет собой объем
некоторого понятия). Прямое отношение имеют к тео-
рии понятия — особенно если иметь в виду вопросы об-
разования понятий — те трудности, с которыми встре-
чается теория множеств в связи с проблемой парадок-
сов, и полученные в процессе их преодоления результа-
ты (в частности по вопросам, связанным с аксиомой
свертывания и с непредикативными определениями).
Однако при существующем состоянии теории понятия
на первый план в ней выдвигаются вопросы не столь
высокого теоретического уровня и поэтому, специально
обращаться к указанным проблемам в данной работе
не представлялось возможным.
Автор выражает благодарность Э. Г. Храстецкому
за большую и полезную работу по подготовке рукописи
к печати.
ГЛАВА I
Мы рассмотрим здесь некоторые принципы логиче-
ского анализа языковых выражений, на основе которого
строится язык исчисления предикатов. Без знания ука-
занных принципов невозможно успешное применение
этого языка. Связанные с этим анализом понятия полез-
ны также для уяснения логической структуры обычного
языка и в дальнейшем будут использованы для харак-
теристики логической формы понятия.
§ 1. Основные семантические категории языковых
выражений
В множестве выражений (слов и словосочетаний)
обычного языка, имеющих какой-либо самостоятельный
смысл, выделяются некоторые классы выражений, на-
зываемые семантическими категориями.
К числу" этих категорий относятся, во-первых, пред-
ложения и, во-вторых, некоторые типы выражений,
играющих определенную роль в составе предложений.
Из всех предложений (повествовательных, побуди-
тельных, вопросительных) для логики представляют ин-
терес прежде всего повествовательные предложения,
рассматриваемые как формы выражения суждений
(мыслей, представляющих собой утверждения или отри-
цания наличия свойств у предметов, связей и отношений
между~прёдметами и явлениями действительности), ко-
9
торые в дальнейшем и будут иметься в виду под терми-
ном «предложение».
Среди выражений, встречающихся в составе предло-
жений, полезно выделить .дескриптивные и логи-
ческие термины. ’
К дескриптивным терминам относятся: 1) т е п м ы—
слова или словосочетания, обозначавшие о т'д е л ь н ы е
предметы («Луна», «естественный спутник Земли»,
«Волга», «5» и т. п.); 2) дрепикатные в ы р а ж е-
н и я (сокращенно предикаторы) — слова или сло-
восочетания, свойства или отно-
шения, наличие которых'у^соответствующих предметов
утверждается или отрицается в суждениях; 3) функ-
циональные знаки — выражения (например, спе-
циальные знаки +, sin, log), представляющие 1 пред-
метные функции (см. § '
В дальнейшем мы будем различать в пределах каж-
дой семантической категории постоянные и пере-
менные выражения (знак^ символы).-Сейчас же
речь идет только о постоянных.
В предложениях термы выполняют роль логиче-
ских подлежащих или составных частей логи-
ческих сказуемых; предикатные выражения —
роль логических сказуемых, а также (в некоторых видах
предложений) и логических подлежащих. Отличитель-
ной чертой предикатного выражения, является его спо-
собность служить логическим сказуемым.
* 1 ejiМйны «логическое подлежащее» и «логическое
сказуемое» употребляются здесь в более широком смы-
сле сравнительно с тем, который им обычно придается
в логике (особенно в традиционной).
Согласно обычным характеристикам, логическим
подлежащим в некотором предложении является тер-
мин, обозначающий то, что является объектом утверж-
дения в этом предложении, а логическим сказуемым —
выражение, обозначающее тег, что утверждается о пред-
мете. Эти характеристики могут быть сохранены лишь
с некоторыми уточнениями.
1 Обратим внимание на специфику принятой нами терминологии.
Мы говорим, что термы «обрзнадаю*» предметы, а предикатные и
функциональные выражения**^рад^дрддод'» соответственно свой-
ства, отношения и функции. Обычно принято и в последних случаях
говорить «обозначают». Причины, заставляющие отказаться, от это-
го способа выражения, выяснятся ниже (стр. 47).
10
Во-первых, следует оговорить, что утверждение мо-
жет относиться не только к одному предмету (как в
предложениях «4 есть четное число», «Волга есть река»,
где логическими подлежащими являются соответственно
термы «4» и «Волга», а логическими сказуемыми пре-
дикаторы «четное число» и «река»), но и к отдельным
предметам некоторой последовательности из двух,
трех,... вообще п предметов или, как говорят еще, к пред-
метам некоторой упорядоченной пары, тройки,... вообще
п-ки предметов. Например, «5 больше 3», «Город Киров
расположен между городами Горьким и Пермью». Объ-
ектами утверждения в первом предложении естественно
считать члены упорядоченной пары (5, 3), во втором
таковыми являются города, составляющие упорядочен-
ную тройку (Киров, Горький, Пермь). В соответствии с
этим логическими подлежащими в первом случае надо
считать термы «5» и «3», во втором — «Киров», «Горь-
кий», «Пермь». Роль логических сказуемых в этих пред-
ложениях (при указанном их истолковании) играют со-
ответственно предикаторы «больше» и «расположен
между». Наличие нескольких подлежащих является осо-
бенностью _ предложений, выражающих суждения "“об
отношениях.
В рассмотренных случаях понятия «логическое под-
лежащее» и «логическое сказуемое» употреблялись в
соответствии с тем, как это принято в современной логи-
ке (одно из существенных отличий которой от традици-
онной логики состоит в учете специфики суждений об
отношениях).
Во-вторых, надо учитывать наличие в обычных язы-
ках и таких предложений, где утверждение относится ко
всем или некоторым предметам некоторого класса (или
классов). Таковы «Всякий металл есть химический эле-
мент», «Всякий студент изучает какую-нибудь науку».
В первом из этих предложений естественно считать
логическим подлежащим цредикатор «металл», во вто-
ром (если понимать его как суждение об отношении) —
препикаторы «студент» и «наука», представляющие
классы тех предметов, к которым относятся утвержде-
ния (слова «всякий», «какую-нибудь» указывают на то,
относятся ли утверждения ко всем или некоторым пред-
метам классов); логическими сказуемыми соответствен-
но будут «химический элемент» и «изучает».
11
Здесь мы расширяем смысл термина «логическое
подлежащее» в сравнении с принятььм употреблением
его в современной логике, в которой суждения только
что рассмотренного вида истолковываются (в соответ-
ствии с принципами выражения их в языке логики пре-
дикатов) таким образом, что все предикаторы оказыва-
ются лишь в роли сказуемых (см. стр. 117). Это свя-
зано со значительной перестройкой структуры этих суж-
дений и соответственно выражающих их предложений
обычного языка.
Суждения, в которых некоторый предикатор приме-
няется в качестве сказуемого к определенному _от-
дельному предмету или к отдельным предметам некото-
рой ТЮследовательности («4 есть четное число», «5 боль-
ше 3» и т. п.), называют е д и HjuULbLM и. Логическими
подлежащими предложенииТ^ыражающих такие сужде-
ния, являются, следовательно, постоянные термы, а
предметы, обозначаемые этими термами, — а р гу м ец-
т а м и предикатора в данном его применении.
' 6 зависимости от того, применим ли предикатор в
качестве логического сказуемого к одному предмету
как к аргументу или к паре, тройке и т. д., он назы-
вается О Д-ELOM естн Ы М, Д В V X М €L£LT н ы м, тр е X-
м^тнмм и т. д. (речь идет о числе аргументных мест
предикатора). Более чем одноместные предикаторы
обобщенно называют также ног_оместны мл.
Примеры одноместных предикаторов: «четное число»,
«город», «металл». Многоместные предикаторы: «боль-
ше», «меньше», «отец», «любит», «знает» (двухмест-
ные), «находится между», «дает», «сообщает» (трех-
местные), «встретил» (четырехместный, требующий ука-
заний кто?, кого?, где?, когда?).
Одноместные предикаторы, как принято считать,
представляют (менее точно — означают, выражают или
обозначают) св о й г ди^а 1 а многоместные — отно-
1 Слово «свойство» в современной логике употребляется в более
широком смысле по сравнению с обычным его употреблением. Оно
охватывает свойства в узком смысле (такие, как твердость, электро-
проводность), состояния, в том числе действия, выражаемые непе-
реходными глаголами «стоит», «бежит» и т. п., количественные
характеристики предметов и т. д. К числу свойств относятся и такие
характеристики, как «делимость на 3» (свойство, представляемое
предикатором «число, делящееся на 3») и «быть больше 5». Пред-
ставитель традиционной логики сказал бы, что здесь мы имеем дело
не со свойствами, а с отношениями.
12
шения. По поводу этих характеристик предикаторов,
в особенности одноместных, необходимы некоторые по-
яснения.
Известно, что в грамматических классификациях
такие выражения (существительные), как «город», «ме-
талл», «газ» и т. п., трактуют как выражения, обозна-
чающие предметы, а не свойства. В связи с этим их на-
зывают о бщ и ми им е н а_м и (в отличие от еди-
ничных имен, по нашей терминологии, постоянных
термов). Более точно их надо характеризовать как вы-
ражения, представляющие классы предметов, обобщае-
мых по некоторым свойствам (что специфично для слов
и словосочетаний, выражающих понятия) Ч
Райхенбах, специально занимаясь анализом разго-
ворного языка (используя понятия и методы современ-
ной логики), правильно отмечает, что серьезным недо-
статком грамматики является отсутствие понятия
пропозициональных функций (каковыми, как мы уви-i
дим далее, и являются предикаторы, когда они исполь-^
зуются в качестве логических сказуемых в предложе-
ниях), объединяющего различные грамматические
категории (существительные, прилагательные, глаголы).
Деление слов на прилагательные и глаголы, по его мне-
нию, вообще имеет сомнительное значение. Выделение
существительных в особую категорию ему представляет-
ся оправданным именно тем, что их можно интерпрети-
ровать как выражения, указывающие классы предметов
[84, стр. 251—255, 287—298]. Б. Рассел относит выра-
жения этого рода к числу обозначающих выражений
наряду с термами [83]. Особо выделяются эти выраже-
ния обычно и в конкретных науках. Так, в системе гео-
метрии Д. Гильберта в качестве исходных объектов
рассматриваются три различные системы вещей —
точки, прямою и плоскости и наряду с ними отношения
«лежать», «межд^Ги К д. [30, стр. 56].
Именно в силу отмеченной особенности предикато-
ров-существительных они используются в языке не толь-
1 Мы увидим далее (стр. 49), что они могут быть естественно
истолкованы как своеобразные переменные термы. Это относится и
к таким существительным, как «числа (пара чисел), находящиеся
в отношении „больше"», «города (тройка городов), такие, что один
из них находится между двумя -другими» и т. п.
13
ко в роли логических сказуемых предложений, но и
(как указывалось выше) в качестве логических подле-
жащих. В характеристике этих предикаторов как
свойств подразумевается их применение в качестве ло-
гических сказуемых, когда они действительно представ-
ляют свойства (признаки) «быть металлом», «быть га-
зом» и т. п.
Таким образом, исходя из основной логической
функции предикатных выражений, оказывается право-
мерным объединение в одну категорию грамматически
различных выражений. Учитывая это, мы будем придер-
живаться приведенной трактовки одноместных и много-
местных предикаторов до тех пор, пока не появится
надобность подойти к ним с другой точки зрения.
Одно и то же выражение обычного (разговорного)
языка в одних случаях может представлять, например,
свойство, в других — отношение. Так, слово «думает»
может представлять состояние (свойство) человека, а
также отношение (человек думает о чем-то). По сущест-
ву это разные по смыслу выражения.
Таким образом, различение предикаторов по числу
аргументных мест является важным условием уточнения
смысла языковых выражений.
Далее, в характеристике каждого предикатора суще-
ственно указание тех классов предметов, в пределах ко-
торых имеет смысл его употребление. Речь идет о клас-
сах (множествах) возможных аргументов пре-,
ди к а то р а. Следует заметить, чТб разЛИЧИЫе аргумен-
ты многоместного предикатора могут относиться к раз-
ным классам. Так, предикаторы «изучает», «знает» мож-
но понимать как отношение человека к той или иной
науке («Человек Л изучает логику», «Человек N знает
логику», «N знает математику» и т. п.). В таком случае
один из аргументов каждого из этих предикаторов при-
надлежит множеству людей, другой — множеству наук.
Для одноместного предикатора множество возмож-
ных аргументов предикатора называют также обла-
стью определения этого предикатора. Для много-
местного предикатора областью определения является
множество упорядоченных пар, троек, четверок и т. п.
(в зависимости от числа аргументных мест предикато-
ра) предметов — возможных аргументов предикатора.
Так, для «изучает», взятого в указанном смысле, это
14
будет множество всех возможных пар (а, 6), где а —
какой-либо человек, b — какая-либо наука.
Предикатор имеет определенный смысл, только если
указана область его определения. Одинаковые по зна-
ковой структуре предикатные выражения, но имеющие
различные области определения, являются разными
предикаторами.
Например, то же слово «знает» употребляется часто
как отношение между людьми («М знает Л1») и пред-
ставляет собой в этом случае предикатор, отличный от
приведенного выше. Отношение равенства в области
(или, как говорят, над множеством) комплексных чисел
отличается от отношения равенства в области (над мно-
жеством) вещественных или целых чисел.
Итак, выявление числа аргументных мест и указание
множеств возможных аргументов предикатора являют-
ся необходимым моментом его определения и состав-
ляют важное условие правильности его применения и
точности мысли вообще. Как будет видно из дальней-
шего, более точное определение указанных условий
правильного употребления предикаторов, как и других
выражений, достижимо в формализованном языке.
Для каждого предикатора в множестве его опреде-
ления можно выделить подмножество (часть) этого
множества, состоящее из всех тех и только тех элемен-
тов, для которых высказывание, получаемое в результа-
те применения этого предикатора в качестве сказуемого,
истинно; это множество называется мн о ж р сл_м
(или областью) и с тиан н о с т и п р е д йик а то и я: для
предикатора, представлЯТощегсГ свойство (т. е. одномест-
ного предикатора), это множество состоит из предме-
тов, обладающих данным свойством; для предикатора-
отношения элементами множества истинности являются
последовательности предметов, находящихся в данном
отношении. В частных случаях множество истинности
предикатора может оказаться пустым или совпадающим
с областью его определения.
Примеры. Областью определения предикатора «ме-
талл» естественно считать класс веществ, в множество
истинности его войдут железо, медь, свинец и прочие
металлы. Если в качестве множества возможных аргу-
ментов для предикатора «больше» взять класс целых
положительных чисел, то область его определения со-
15
ставит класс всех возможных пар таких чисел, а в мно- ,
жество истинности его войдут пары (2, 1), (3, 1), (3, 2)
и т. д.
Множество истинности предикатора называют также
о б ъ е м о м представляемого им свойства или отноше-
ний. —
Мы говорили уже, что термы (наибмним, что речь
пока идет о постоянных термах, т. е. именах определен*
ных предметов) играют роль логических подлежащих
или составных частей логических сказуемых. Терм ни-
когда не может быть логическим сказуемым в предло-
жении [99, стр. 193—194]. Правда, в обычном языке
можно встретить предложения, свидетельствующие, по-
видимому, об обратном (вроде: «3+5 есть 8», «Столица
СССР есть Москва» и т. п.). Однако при точном анали-
зе такого рода предложений оказывается, что они не
представляют собой исключений из общего правила.
Дело в том, что слово «есть» в предложениях может
иметь по крайней мере два различных смысла.
1. В одних случаях оно выражает утверждение о на-
личии у предмета некоторого свойства (а тем самым и
принадлежность данного предмета классу предметов,
обладающих этим свойством). Например, «Москва есть
город».
2. В других случаях оно выражает отношение тож-
дества (совпадения) предметов, обозначаемых некото-
рыми термами, как это имеет место в предложениях
«3+5 есть 8» и «Столица СССР есть Москва».
Во втором случае суждение, выражаемое первым
предложением, более точно надо было бы сформулиро-
вать так: «3 + 5 есть то же самое число, что 8». Для вто-
рого получили бы «Столица СССР есть не что иное, как
(или: тот же город, что и) Москва». В первом предло-
жении логическое сказуемое представляет свойство
«тождественное 8», во втором — «тождественное Моск-
ве» [99, стр. 194].
В иных случаях видимость того, что терм является
логическим сказуемым, возникает потому, что в обыч-
ном языке одни и те же выражения употребляются
иногда и в качестве термов, и в качестве предикаторов.
Так, «столица СССР» в одних случаях может обозначать
город Москву, а в других — представлять свойство
«быть столицей СССР». Этому свойству соответствует
16
единичный класс, т. е. объект совсем иного рода, неже-
ли город Москва как индивид. Трудно уловимо зача-
стую различие между предикаторами и термами, обо-
значающими те или иные вещества. «Вода» и «золото»—
здесь могут иметься в виду определенные вещества и
классы различных (находящихся в различных частях
пространства) скоплений воды, золота, обобщения раз-
личных видов этих веществ. Все зависит от контекста,
в котором употребляется слово. В предложении «Вода
есть сложное вещество» слово «вода» представляет со-
бой терм, обозначающий определенное вещество. В сло-
восочетаниях «морская вода», «дождевая вода», «тяже-
лая вода» и т. п. слово «вода» — предикатор, представ-
ляющий класс (ибо только класс может содержать
перечисленные виды). А. Черч рассматривает выраже-
ние «плотность гелия» как общее имя, которое можно
заменить формой «плотность А», где h — переменная,
значениями которой являются совокупности газа гелия
(103, стр. 27]. Ясно, что слово «гелий» в исходном выра-
жении также понимается как общее имя (предикатор).
Различие между термами и предикатными выраже-
ниями в отчетливой форме установлено было уже Ари-
стотелем. То, что мы называем термами, у Аристотеля
называлось «первыми сущностями». Предикатным вы-
ражениям соответствует у него ряд категорий (вторые
сущности, качества, отношения и др.). Характерная осо-
бенность «первых сущностей», по Аристотелю, состоит
в том, что о них нечто может высказываться, но сами
они «ни о чем не сказываются» [3, стр. 4, 7].
В дальнейшем в логике эти различия упускали обыч-
но из виду. Не видели, в частности, принципиального
различия между единичными и общими именами, счи-
тая, что те и другие выражают понятия и играют по
существу одинаковую роль в мышлении. Лишь в конце
прошлого столетия это различие снова было подчеркну-
то Фреге.
Характерную особенность предикатных выражений
и предметных функций, отличающую их от термов,
Г. Фреге усматривал в их ненасыщенности, т. е. в том,
что они всегда требуют некоторого дополнения, в соче-
тании с которым образуют предложения или термы.
Для предикатного выражения таким дополнением яв-
ляется терм или последовательность термов, выполняю-
17
щих роль логических подлежащих в предложении; име-
на предметных функций, например sin, log, также тре-
буют дополнения их термами-аргументами; лишь в
сочетании с таковыми они образуют нечто завершенное
(новые термы sin0, log5 и т. п.)1 (11, стр. 149, 155, 157].
Что касается указанного истолкования предикатных
выражений, то оно вызывает сомнение. Фреге исходит
из того, что эти выражения применяются в языке только
в роли логических сказуемых, и, более того, рассматри-
вает их именно в таком применении, по существу имея
в виду такие формы, как «...есть металл», «...есть боль-
ше 5».
Однако, как уже упоминалось, в естественном языке
предикаторы выполняют также роль логических подле-
жащих в таких предложениях, где утверждения отно-
сятся к предметам некоторых классов. Например, «Все
металлы суть химические элементы». В предикаторе
«металл» здесь не наблюдается никакой «ненасыщенно-
сти», он просто выделяет класс предметов.
Если учесть, что имена существительные могут обра-
зовываться и из многоместных предикаторов («число,
большее 5», «отец Сократа»), то окажется, что и много-
местные предикаторы употребляются не только в роли
логических сказуемых.
Указанные формы (формы применения предикаторов
в качестве логических сказуемых или, что то же, в роли
пропозициональных функций), которые Фреге отож-
дествляет с предикаторами, представляют собой, как мы
увидим далее, то, что в логике называют сейчас преди-
катами. Отождествление предикатных выражений с
предикатами привело Фреге к неправильному истолко-
ванию понятий как предикатов. Но этот вопрос подле-
жит обсуждению в дальнейшем.
Различие между термами и предикаторами не будет
достаточно ясным, если не уточнить, что понимается под
термином «предмет»^.
Говоря термы обозначают предметы (ве-
щи), слово «предметы» (вещи) понимают обычно в
1 Предикатные выражения Фреге рассматривал тоже как функ-
ции, но, в отличие от предметных, как логические пропозициональ-
ные функции (см. ниже). Поэтому все выражения языка у него де-
лились на имена предметов (к числу которых относились и предло-
жения) и имена функций.
18
весьма широком смысле, имея в виду любые объекты
мысли. К числу таковых наряду с конкретными предме-
тами объективной действительности относят определен-
ные (происходящие в определенном месте и в опреде-
ленное время) явления (события) действительности
(например, разгром гитлеровской Германии, XX съезд
КПСС, борьба за мир на современном этапе), а также
отдельные стороны, свойства, отношения материальных
предметов, отвлеченные от них и ставшие самостоятель-
ными объектами мысли, такие, как твердость, движение,
масса, скорость, химическая валентность, мышление,
память, воля и т. п.; предметами в указанном смысле
могут быть также создаваемые наукой теоретические
конструкты, такие, как дифференциал, n-мерное прост-
ранство, формальные системы алгебры и т. п., имеющие
зачастую весьма отдаленную связь с определенными
явлениями объективной действительности; далее, клас-
сы тех или иных предметов и явлений действительности,
когда они мыслятся как самостоятельные предметы; на-
конец, объектом мысли могут быть и сама мысль (по-
нятие, суждение), представление, образ вообще и даже
отдельные стороны, свойства мысли, образа (логическая
форма мысли, знаковая форма ее выражения).
Б. В. Бирюков характеризует столь широкое понима-
ние предмета как наивное, типичное для традиционной
формальной логики [12, стр. 10—11]. Однако по сущест-
ву его мысль состоит в том, что недопустимо объедине-
ние в одну предметную область (рассматриваемую,
например, в качестве множества возможных аргументов
предикатора) предметов произвольной природы, по-
скольку, как выявила современная логика, это может
приводить к противоречиям. В каждом конкретном слу-
чае необходимо уточнение, какие предметы имеются в
виду. Но вообще (в разных случаях) в логике и кон-
кретных науках приходится иметь дело с предметами
весьма разнообразного характера.
А. Черч характеризует вещь в самом широком смыс-
ле как то, что может быть названо [103, стр. 342]. Одна-
ко названо может быть и свойство, и отношение, и пред-
ложение. Между тем мы отличаем термы (как обозна-
чения предметов — объектов мысли) от предикаторов и
предложений. Черч имеет в виду возможные объекты
мысли. Нам же нужно сейчас отличить то, что является
19
объектом мысли, т. е. предметом в указанном широком
смысле, от свойств и отношений, представляемых преди-
каторами, а также от предложений и выражаемых ими
суждений.
Сами по себе свойства и отношения, суждения, пред-
ложения — не предметы. Они становятся таковыми,
когда оказываются объектами мысли. Таковы объекты
(подлежащие) в суждениях: «Свойство „быть метал-
лом” является сложным свойством»; «Отношение, пред-
ставляемое словом „больше”, является транзитивным»;
«Предложение „Волга впадает в Каспийское море” —
истинно».
Здесь «свойство „быть металлом”», «отношение,
представляемое словом „больше”», «предложение „Вол-
га впадает в Каспийское море”» суть обозначения пред-
метов, т. е. термы.
Чтобы сделать нечто объектом мысли, необходимо
употребить то или иное название его (исключение со-
ставляют те редкие случаи, когда объект мысли выде-
ляется посредством жестов, заменяющих словесные
обозначения). Таким образом, то, что может быть на-
звано, является возможным объектом мысли; будучи
названным, оно становится таковым и относится к кате-
гории предметов (а его название — к категории тер-
мов).
Предикаторы, представляя свойства и отношения, не
являются их названиями. Предикатор «больше» и терм
«отношение, представляемое словом „больше”» («отно-
шение „больше”») относятся к разным категориям.
Различие между ними сразу обнаруживается при по-
пытке заменить одно другим, скажем, в предложении
«5 больше 3». То, что мы отсюда получим: «5 отношение
„больше” 3», не является даже предложением. Это про-
сто последовательность термов. Очевидно, слово «боль-
ше» представляет отношение лишь в определенных
контекстах, в частности в предлржениях, и выполняет
в этих контекстах роль связующего звена между терма-
ми (видимо, благодаря тому, что выражает также
утверждение). И уже совсем очевидно отличие между
термом, называющим предложение, и самим этим пред-
ложением. Выражение «предложение „Волга впадает в
Каспийское море”» не является, конечно, предложением.
Оно обозначает предложение, ставшее объектом мысли.
20
Возвращаясь к определению вещи Черчем, сущест-
венно заметить, что сама возможность названия чего-
либо и превращения таким образом этого «нечто» в
объект мысли зависит от характера самого «нечто». По
существу объектом мысли может стать лишь то, что об-
ладает качественной определенностью, достаточной для
того, чтобы его можно было каким-то образом выделить,
(описать или указать) и более или менее точно отделить
от всего остального. Превращение чего-либо в объект-
мысли связано с определенной идеализацией и огрубле-
нием. Когда мы имеем дело, например, с конкретным
предметом или явлением объективной действительности,,
превращение его в объект мысли осуществляется по-
средством отождествления различных его состояний,
ступеней развития (принцип отождествления), путем
выделения каких-то тождественных (инвариантных),,
сохраняющихся в различных состояниях сторон пред-
мета и отвлечения от всех различий в этих состояниях.
Это дает возможность мыслить предмет именно как не-
что качественно определенное и тождественное самому
себе в этой определенности. Без этого не имело бы смы-
сла понятие «данный предмет», поскольку каждый пред-
мет действительности непрерывно изменяется, не оста-
ваясь тем же самым ни в какой промежуток времени.
Необходимость мыслить предмет как
самому себе представляет собой один из важнейших
принципов мышления (принцип^ то ж де ст в а).
Формулировку его можно встретить уже у Аристотеля:
«Невозможно ничего мыслить, если не мыслишь <каж-
дый раз> что-нибудь одно...» [5, стр. 64].
При правильном понимании этого принципа он вовсе-
не находится, как иногда думают, в противоречии с при-
знанием изменчивости предметов и не исключает воз-
можность познания их изменений. Наоборот, изменения,
переходы предмета цз одного состояния в другое могут-
быть поняты и описаны лишь при условии,-если-тачна-
зафиксир.овано, что именно подвергается изменению и-
что является его результатом. Не всегда просто выде-
лить и «обработать» те или иные реальные предметы
или явления в соответствии с требованиями этого прин-
ципа. См. об этих трудностях [12, стр. 10]. Но без этого-
они не могут стать объектами мысли.
Ясно, конечно, что приведенное выше различение
2 г.
«предмет — не предмет» имеет смысл в пределах опре-
деленного языка или фрагмента языка, поскольку нечто
характеризуется как предмет лишь в силу того, что оно
определенным образом обозначено. Когда же мы зани-
маемся анализом выражений языка, обсуждая, в част-
ности, вопрос о различиях между предметами, обозна-
чаемыми термами, и отношениями, представляемыми
предикаторами, нам приходится пользоваться некото-
рым метаязыком1, где для всех указанных катего-
рий употребляется термин «объект».
Все объекты мысли (предметы), кроме реально^у-
ществующих в пространстве и во вреМёНИ предметов и
явлений, принято называть я^т^актным» прп-я.
метами (Карнап, Котарбиньский и некоторые другие
авторы называют их абстрактными объектами).
Представители номиналистического направления в
логике, а также так называемой «концепции конкретиз-
ма», например Котарбиньский [53, стр. 31—43] (анало-
гичной позиции придерживается, видимо, и А. Шафф
[105, стр. 221—233]), считают, что объектами познания
могут быть только конкретные предметы действитель-
ности, только то, что существует в пространстве и во
времени; абстрактные предметы относятся к числу фик-
ций, гипостаз (гипостазы—результат гипостазирования,
т. е. превращения отдельных сторон или отношений ре-
альных предметов в самостоятельные предметы). Выра-
жения, содержащие наименования абстрактных предме-
тов (свойств, отношений, классов, чисел и т. п.), мо-
гут употребляться согласно этой концепции лишь
как замещающие обороты. Когда говорят, что округ-
лость присуща шарам, то этим, по мнению Котар-
-биньского, «хотят сказать только то, что шары круг-
лые»; «...термин „круглый”—это наименование не свой-
ства, а шаров, то есть определенных вещей, которые не
являются свойствами. Если все это верно, то можно с
-полным правом говорить, что свойства, собственно гово-
ря, не существуют и что когда мы говорим о свойствах,
то на самом деле мы говорим о том, что вещи являют-
ся именно такими» [53, стр. 31]. Подобным образом от-
рицается существование отношений [53, стр. 32, 227],
1 Сам язык, выражения которого анализируются в мет а язы-
ке, называется я з ы к о м-о б ъ е к т о м. См. об этом, например,
1103, стр. 48].
22
классов [53, стр. 39], а также и явлений или событий
(вроде «извержение Везувия», «открытие радиоактив-
ности» и т. д.) [53, стр. 226].
Каждый материалист согласится с тем, что свойства,,
отношения, классы не существуют в объективной дейст-
вительности как самостоятельные предметы. Утвержде-
ние противоположного свойственно идеалистам (пред-
ставителям так называемого <$реализкГа»). Однако свой-
ства, отношения существуют как черты, характеристики
предметов, их способности определенным образом взаи-
модействовать с другими предметами и т. п.
«Черты», «способности» и т. п. — это, конечно, опять
«гипостазы». Диалектический материализм точнее харак-
теризует подобные вещи как абстракции (отвлечения от
отдельных предметов и явлений объективного мира) и.
считает, что без абстракций невозможен процесс позна-
ния, ибо все конкретное, как подчеркивал В. И. Ленин,,
познается посредством абстракций.
Возможно, что любую мысль действительно можно*
выразить, не употребляя названий абстрактных предме-
тов (что пока, однако, не доказано, особенно в приме-
нении, например, к математике, где множества, числа
и другие абстрактные объекты составляют сам предмет
исследования). Выяснение возможностей этого рода мо-
жет быть даже весьма полезным для понимания зако-
номерностей познания. Хотя это вовсе не избавляет от
абстракций вообще. Выражение «шары круглые» вполне
устраивает Т. Котарбиньского. Он также удовлетворяет-
ся, если вместо «а есть элемент класса Л» употребить
«а есть А», Но как объяснить, что такое «круглые ша-
ры», если не указанием на то, что это шары, обладаю-
щие общим свойством округлости? И что такое «а есть
Л»? Например, «Петр есть человек». Петр тождествен,
общему («человеку»)? Как это может быть и что пред-
ставляет собой это общее? (см. об этом стр. 176—177).
Все это6 более сложно объяснить, чем смысл названий
свойств, отношений, классов. Изгнание этих категорий
из языка, судя по всему, практически ничего не дает,,
кроме значительного усложнения выражений. Имею-
щийся уже опыт построения формализованных языков-
в соответствии с принципами номинализма указывает,
что отказ от явного использования некоторых абстрак-
ций связан с серьезными осложнениями.
23>
К тому же надо различать задачи выражения уже
-имеющихся результатов и задачи познания. Трудно пред-
ставить себе, каким образом могли бы возникнуть в
математике понятия и соответствующие теории мнимых,
трансфинитных чисел, абстрактных алгебраических
структур, абстрактных систем геометрии без превраще-
ния отражаемых в них отношений в самостоятельные
-объекты мысли.
В этой связи важна и интересна мысль Ф. Энгельса:
для того, чтобы иметь возможность исследовать прост-
ранственные формы и количественные отношения, необ-
ходимо совершенно отделить их от содержания, оставить
его в стороне как нечто безразличное [70, стр. 37]. Но
отделить пространственную форму и количественное
-отношение от содержания, от предметов — это и значит
превратить их в объекты мысли. В создании абстракт-
ных предметов проявляется активность мышления. Оно
отражает природу не зеркально, не в ее «цельном»,
«непосредственном» виде; происходит разложение еди-
ного, обобщение и объединение в одной мысли много-
образий, выделение отдельных сторон предметов и пре-
вращение их в самостоятельные объекты мысли.
Использование в языке названий свойств, отношений
и других абстрактных предметов вовсе не свидетельст-
вует еще о признании объективного существования
этих предметов именно как самостоятельных сущ-
ностей.
Кстати, сам Т. Котарбиньский не может избежать их
употребления. Занимаясь формализованными языками,
он использует обороты типов «для всякого свойства f
верно то-то и то-то», «существует свойство f такое, что...»
(и отнюдь не как замещающие обороты). При этом, как
он пишет, мы не предрешаем существования свойств в
философском смысле [53, стр. 516]. «Существование в
философском смысле» означает, по-видимому, существо-
вание в смысле «реализма», т. е. в виде самостоятель-
ных объектов. Но тогда за что же ратует «конкретизм»?
Ведь все, кроме «реалистов», и не понимают этого иным
образом! Возможно, что Котарбиньский здесь подразу-
мевает то, что отчетливо выражено у Карнапа: в каж-
дом языке могут быть приняты некоторые предметные
области с определенными типами объектов, например в
качестве множеств возможных аргументов предикатов
24
(значений переменных). Естественны тогда и утвержде-
ния о существовании тех или иных объектов принятых:
типов. Но это будет означать лишь существование в.
принятой предметной области, а не в объективной дей-
ствительности (таков смысл утверждений о существова-
нии тех или иных чисел, точек пересечения прямых:
и т. п. в математике) [41, стр. 298—320].
Карнап, правда, как позитивист утверждает, что во-
прос о реальном (объективном) существовании вообще-
не имеет смысла. Это — псевдовопрос. Он признает ре-
альность только как нечто мыслимое. «Быть реальным
в научном смысле значит быть элементом системы...»
[41, стр. 301—302]. Как правильно отмечает С. А. Янов-
ская, для него язык—это лишь некоторая замкнутая:
в себе формальная система, а не средство познания тех
или иных явлений объективной действительности [111,.
стр. 1'5]. Между тем даже в тех случаях, когда исследо-
вание сосредоточивается целиком на абстрактных пред-
метах (как в математике), оно рассчитано все же в ко-
нечном счете на приложения к реальным объектам, с
которыми приходится иметь дело в практической дея-
тельности. А во многих языках науки предметную об-
ласть непосредственно составляют предметы и явления’
объективного мира. И если при этом употребляется имя
свойства (например, свойство некоторого вещества
соединяться, положим, с кислородом), то предполагает-
ся существование его в действительности в обычном
«философском» смысле (но именно как свойства пред-
мета, а не как самостоятельного объекта).
Вообще, как выражается обычно С. А. Яновская,,
любую абстракцию правомерно ввести и использовать
в рассуждении, если ее можно исключить. Но способы,
исключения возможны разные. Один состоит в том, что
рассуждение, в котором используется абстракция, заме-
няется другим, не содержащим ее, но приводящим к
тем же результатам из тех же исходных данных. Дру-
гой— указание некоторых реальных объектов действи-
тельности, представителями которых является эта
абстракция (что обеспечивает применимость выводов
теории, содержащей абстракцию, к этим объектам).
Т. Котарбиньский допускает для абстрактных объектов
только первый способ исключения. Однако для многих
свойств и отношений, используемых в мышлении, воз-
25.
можно указать их объективные прообразы или описать
их (например, посредством операциональных определе-
ний).
По существу мышление всегда имеет дело с абстрак-
циями, даже оперируя конкретными предметами.
Как мы видели выше, объекты мышления, если тако-
выми являются конкретные предметы действительности,
•существенно отличаются от самих этих предметов.
Замечательно в свое время возражал А. И. Герцен
эмпиристам, желавшим иметь дело только с конкретны-
ми предметами и притом такими, каковы они есть в дей-
ствительности: «...желание оставить предмет, как он
есть, и понять его, не разрешая в мысль, — не только
иллогизм, но просто нелепость: частный предмет, явле-
ние, остается неприкосновенным, если человек, не думая
о нем, смотрит на него, когда он к' нему равнодушен;
если он его назовет, то уже не оставил его в сфере част-
ностей, а поднял во всеобщее» [29, стр. 105].
Необходимо особо остановиться на том, что пред-
ставляет собой класс как объект мысли, и обратить вни-
мание на некоторые трудности в понимании термина
«класс» вообще.
/ Классом, (в логике) называют множество дредметов.
(облагающих нек^УЙдрыьГ общим для них свойством?-
впрочем, взяв (перечислив, например) любые предметы
(положим, книгу, которую читает сидящий за столом
человек, этот стол и самого человека), можно считать
их общим свойством то, что они являются объектами
нашей мысли или объектами данного рассмотрения, или,
наконец, что все они относятся к данному множеству.
Термины «класс» и «множество» (а также «совокуп-
ность») оказываются просто синонимами, как их обыч-
но и употребляют. Таким же образом они будут и нами
употребляться в дальнейшем. Множество не есть пред-
мет объективной действительности и отличается, напри-
мер, от таких предметов, как созвездие Большая Мед-
ведица или коллектив Московского университета. По-
следние, в отличие от множеств, можно было бы назвать
агрегатами^ Агрегат состоит из множества предметов,
но представляет собой нечто связное целое или, по
крайней мере, в некоторых отношениях выступает как
реальное целое (коллектив имеет общие задачи, несет
ответственность за их выполнение). Множество же
26
лишь в мышлении оказывается самостоятельным объек-
том. Конечно, объектом мысли может стать и сама сово-
купность предметов, составляющих агрегат (звезды
Большой Медведицы, члены данного коллектива).
Предметы, составляющие агрегат, — это его. ка сти^
Предметы множества — это элемедд^1 множества
(класса). Элементы множества мыслятся как отдельно
существующие, нр яямсимые друг от друдау» просто
как имеющие некоторое общее свойство (хотя свойство
может указывать на их зависимость друг от друга, как
в только что приведенных примерах).
Частями множества являются содержащиеся в нем
множества, т. е. erg подмножества. К числу подмножеств,
(частей) всякого множества, состоящего из п элементов.
(п>1), относятся: пустое множество (множество, не
содержащее ни о лн Лтл^ше^^гтаТ : ^диничныр
ва (множества, содержащие по одному элементу исход-
ного множества; единичное множество, состоящее из
одного элемента, отличается от этого элемента как объ-
ект принципиально иной природы); множества, содер-
жащие по два элемента и т. д.; наконец, сами исходное
множество (которое, конечно, является частью самого
себя). Таким образом, множество, состоящее из п эле-
ментов, имеет 2П различных подмножеств Ч
В логике и философии имеются разные мнения отно-
сительно того, существуют ли вообще классы (множест-
ва) предметов в действительности или они представ-
ляют собой лишь продукты мышления. В каком смысле,
например, можно говорить о множестве истинности
предикаторов «смеется», «бежит», «сидит» и т. д.? Име-
ются ли в действительности классы смеющихся людей,,
бегущих людей или животных? Конечно,, таких групп,
людей или животных, всех собранных где-то ^вместе, в.
действительности не существует. Тем не мене§, утверж-
дая, например, что бегущий человек затрачивает боль-
ше энергии, чем сидящий, естественно понимать это, как
относящееся к любому бегущему и любому сидящему
человеку, подразумевая тем самым существование со-
ответствующих классов. Под классом, следовательно, мьь
здесь имеем в виду просто совокупность всех возможных/
1 Подробнее о понятиях части и элемента множества см. гл. II,
§ 6.
27Г
случаев некоторого рода, предметов с некоторым общим
свойством.
По-другому обстоит дело, видимо, когда класс ста-
новится объектом нашей мысли. В таком случае он мыс-
лится уже как некая группа со всеми элементами, как
бы собранными вместе. Здесь уже имеется сильная
идеализация реально существующих множеств.
Особенно сомнительного рода объекты возникают,
когда в одно множество объединяются некоторые от-
дельные предметы и их множества. Вообще говоря, ни-
что не мешает нам, имея некоторые предметы, объеди-
нить их в одно множество и выделить также некоторые
его подмножества; затем мы можем образовать множе-
ство, состоящее из предметов и их множества и его
подмножеств; в свою очередь, это множество можно
превратить в самостоятельный предмет и объединить его
в одно множество с элементами ранее полученного
множества и т. д. Однако, как выяснилось еще в конце
прошлого столетия, таким образом можно получить
внутренне противоречивые объекты; относительно таких
объектов доказуемо как некое утверждение, так и его
отрицание, из истинности некоего утверждения следует
ого ложность и наоборот, т. е. возникают ситуации,
называемые в логике парадоксами. Один из парадоксов
(парадокс Кантора) указывает на противоречивость та-
кого объекта, как множество всех множеств. Этот пара-
докс связан с понятием кардинального числа [51, стр. 39].
Широко известен также следующий чисто логический
парадокс Рассела [51, стр. 40].
Рассмотрим множество всех таких и только таких
множеств, которые не содержат самих себя в качестве
своих элементов. Назовем такие множества формальны-
ми. Само множество всех нормальных множеств естест-
венно (в соответствии с законами логики) должно быть
или нормальным, или не быть таковым. Однако если
предположить, что оно нормально, то оказывается (по-
скольку оно является множеством всех нормальных
множеств), что оно содержит самого себя в качестве
элемента и, следовательно, не является нормальным.
Если же предположить, что это множество не является
нормальным, то это будет означать, что оно не содержит
себя в качестве своего элемента и является в силу этого
нормальным.
28
Одна из возможностей предотвратить появление па-
радоксов такого типа указана Расселом, выдвинувшим
так называемую теорию типов..
Согласно этой теории, различаются как объекты раз-
ных типов: индивиды — предметы некоторого рода;
классы этих предметов; классы этих классов и т. д.
(объекты нулевого типа, • первого типа, второго типа
и т. д.). Процесс образования множеств ограничивает-
ся таким образом, что не разрешается объединять в одно
множество объекты разных типов. Соответственно раз-
личаются по типам и свойства, объектов (свойства объ-
ектов нулевого типа, свойства объектов первого типа
и т. д.).
Указанные ограничения кажутся вполне естествен-
ными. Представляется нелепым, например, объединять
в одно множество членов какой-нибудь семьи и семью
(как множество) в целом. Вообще противоестественны-
ми кажутся такие множества, которые содержат в каче-
стве элементов самих себя или какие-нибудь другие свои
подмножества.
Имея некоторые объекты, мы образуем их множество
как самостоятельный объект. Ясно, что это объект иного
типа, нежели его элементы, хотя бы потому, что он
представляет собой (именно как объект мысли) более
позднее образование. И, конечно, в самой действитель-
ности это множество существует лишь постольку, по-
скольку существуют составляющие его предметы. Когда
(в наивной теории множеств) образуют такое понятие,
как «множество всех множеств» (которое включает в
качестве элемента и самого себя, поскольку оно тоже
является множеством), возникает странная ситуация:
среди предметов образованного множества, рассматри-
ваемого как самостоятельный объект, оказывается и
сам этот объект. Результат операции (образования мно-
жества) с некоторыми объектами оказывается в числе
этих объектов L И тем не менее подобные явления воз-
никают в процессе познания. Когда, например, мы
1 Операции такого рода относятся к числу так называемых
непредикативных способов образования понятий (и соответ-
ственно определений), которые характеризуются тем, что предмет
определяется посредством отношения ко всем предметам некоторого
множества, в число элементов которого он сам входит. См. [51, стр. 44].
29
утверждаем, что всякое суждение является либо истин-
ным, либо ложным, то естественно отнести это утверж-
дение и к самому этому суждению. Пигасов (персонаж
романа И. С. Тургенева «Рудин») утверждает, что
убеждений не существует, и в ответ на вопрос Рудина,
является ли это его убеждением, отвечает: «Да». Рудин
вполне резонно, конечно, замечает вслед за этим: «Вот
вам одно на первый случай».
В общем суждении типа «Все S суть Р» утверждение
относится к любому возможному предмету класса S.
Если в качестве S имеем «множество», то, поскольку
класс множеств сам есть множество, утверждение есте-
ственно отнести и к нему. Таким образом множество
всех множеств оказывается элементом самого себя.
Итак, есть определенные основания для образования
таких объектов, как множества, содержащие в качестве
элементов свои подмножества. В науке часто пользуют-
ся такого рода понятиями. Поэтому ограничения, кото-
рые устанавливает теория типов, являются довольно
сильными и не всегда принимаются, например при по-
строении теории множеств [21]. Для наших целей, одна-
ко, достаточно рассматривать лишь множества, удов-
летворяющие этим ограничениям.
В дальнейшем, говоря о различных множествах
(о множествах возможных аргументов предикаторов,
множествах значений переменных и т. д.), будем пред-
полагать всегда множества элементов одного типа.
Наряду с выражениями, обозначающими или пред-
ставляющими определенные объекты (постоянные
выражения), в формализованных языках, а также
в некоторых и неформализованных языках науки (ма-
тематики, физики и т. д.) используются п е р е м е
ные выражения или п р р ° ° > символы
(знаки). Или, может быть, лучше сказать — выраже-
ния с переменными значениями. В логике для логиче-
ского анализа обычных языков и при построении фор-
мализованных языков используют переменные всех
рассмотренных семантических категорий: переменные
для суждений (пропозициональные перемен-
ные), для предметов (предметные переу""
ные или п е р е ме н ные i е р М Ы), ~дЛй ивийс
отношений (преТпЛГа тинге- ' пiep е_менн ыа дли пе-
ременные предикаторы), переменные для пред-
30
метных функций (функциональные перемен-
ные). .
В отличие от постоянных, переменные символы не
обозначают и не представляют определенных объектов,
но могут лишь принимать значения из некоторых, зада-
ваемых в каждом случае множеств (множеств сужде-
ний, множеств предметов, свойств или отношений с
определенным числом мест в зависимости от того, к ка-
кой из семантических категорий принадлежит перемен-
ная). Эти множества называют предметными
областями соответствующих переменных или обла-
стями (мна-ягалтвями) их значений. Второе на-и
звание предпочтительнее, поскольку элементами этих
множеств не всегда являются предметы.
Некоторый знак может рассматриваться как пере-
менная лишь в случае, когда указана область его зна-
чений [91, стр. 31], [103, стр. 20].
В конкретных науках переменные выполняют при
выражении мысли ту же функцию, что и общие имена
(предикаторы-существительные), когда последние упо-
требляются в роли логических подлежащих. Если мы
хотим, например, высказать мысль, что некоторые из
чисел множества {1, 2, 3, 4, 5} являются простыми, не
прибегая к перечислению указанных чисел, то можем
употребить общее имя (понятие) «натуральное число,
большее или равное единице и меньшее или равное пя-
ти». Получим: «Некоторые из натуральных чисел, боль-
ших или равных единице и меньших или равных пяти,
являются простыми». То же самое возможно выразить,
используя переменную х, предметной областью которой
является указанное множество чисел. Тогда такое вы-
сказывание примет вид: «Существует такое х (в указан-
ной предметной области), которое является простым».
Поскольку при характеристике предметной области нам
пришлось бы снова перечислить указанные числа, в дан-
ном случае не получается по существу сокращения в
выражении мысли. Однако введение переменной стано-
вится эффективным, когда нужно выразить ряд выска-
зываний, относящихся к элементам одного и того же
множества. При этом и само описание предметной обла-
сти может быть упрощено, если воспользоваться для
этой цели общим именем.
Когда имеют дело с бесконечными множествами
31
предметов, употребление общих имен для этих целей
становится неп&*ппиМым.
*4временные для предметов множества, выделенного
/^посредством общего имени, будут играть роль замени-
I Телей этого имени в выражении тех или иных утвержде-
I ний о предметах множества. Подобная замена ведет к
I сокращению выражений, обеспечивает большую точ-
I ность и, при определенных условиях, возможность пре-
образования выражений по формальным правилам.
Используя общее имя «натуральное число», возможно
выразить, например, законы сложения (коммутатив-
ность, ассоциативность) натуральных чисел в обычных
словесных формах. Вводя же переменные для натураль-
ных чисел х, у, z, знак сложения и знак равенства, по-
лучим значительно более простые и легче понимаемые
выражения:
х + у = у + х и x + (y + z) = (x + y) + z,
причем подразумевается, что эти равенства справедли-
вы для всякого х, у, г.
* Введение переменных для чисел (и величин) вообще и
других объектов, а также специальных знаков операций
с этими объектами и знаков отношений между ними
привело к внедрению формальных методов исследования
и доказательств в математике и явилось одним из ре-
шающих условий ее интенсивного развития и достигну-
того ею совершенства.
Возникновение символической логики означало во-
площение методов формализации в логических исследо-
ваниях. И здесь возможность формализации обусловле-
на использованием переменных для изучаемых логикой
объектов, а также специальных знаков для логических
постоянных (логических операций).
При выражении логических законов (общих связей
между суждениями, классами и т. п.) переменные для
. соответствующих объектов играют ту же роль замени-
I телей общих имен. Однако имеется и другая важная
I функция переменных, которую они выполняют в логике.
Переменные используются здесь как средство логиче-
ского анализа, выявления логической структуры выра-
жений обычных языков и описания структуры выраже-
ний и правил вывода в формализованных языках.
32
Разъяснение этого утверждения будет содержаться
в дальнейшем изложении. Но прежде мы должны закон-
чить рассмотрение основных семантических категорий
языковых выражений, обратившись к характеристике
логических терминов.
К числу основных логических терминов (ко-
торые иначе называются также логическими по-
стоянными или логическими константами)
в русском языке относятся слова и словосочетания:
«есть» («суть»), «и», «или», «если..., то...», «не» (напри-
мер, в выражениях: «не металл», «не белый»), «неверно,
что...», «всякий» («каждый», «все»), «некоторые», «кро-
ме», «только», «тот..., который...». Некоторые из этих вы-
ражений («и», «или», «если..., то...») также представ-
ляют определенные связи и отношения действительно-
сти. В отличие от отношений, представляемых дескрип-
тивными терминами, их можно назвать логическими,
дцщдмннями. Только что перечисленные логические
отношения (называемые соответственно к.онъю н к;
иней, дизъюнкцией и и мп л и к я и ней! связы-
вают предложения, образуя нЬвые, более сложные пред-
ложения.
Подобным образом посредством выражения <шевер;
но птд» из одного предложения (например, «Волга" впа-
дает в Черное море») может быть образовано новое
предложение («Неверно, что Волга впадает в Черное
море»). Данная операция няяыняртся пл-р и ц а и и е м,
В дальнейшем будем пользоваться следующими сим-
волами для логических постоянных: конъюнкция будет
обозначаться знаком А, дизъюнкция —знаком V, им-
пликация — знаком Z), отрицание — знаком — (кото-
рый ставится над отрицаемым выражением).
Таким образом, вместо «р и р», «р или <?», «если р,
то </», «неверно, что р», где р и q — некоторые предло-
жения, будем соответственно писать
Р/\Я, РУЯ, Р^Ч, Р-
Слова «все» («всякий», «каждый») и «некоторые»
называются квантора ы м и для первого
обычно употребляется символ V (называемый кван-
т о рям о б щн ост и); для второго — 3 (к в а н тор
Гу ществ о в а и ия). . _ . —
Вопрос о роли кванторных слов в обычном языке
2 Е. К. Войшвилло
33
недостаточно выяснен. К нему мы вернемся в дальней-
шем в связи с вопросом об общих именах и понятиях
(см. стр. 49). В языке исчисления предикатов и в фор-
мализованных языках, которые могут быть созданы на
его основе, кванторы с в я з ы в а ю т переменнее. В ре-
зультате квантификации (ЦЬедёнйя кванторов) полу-
чаются аналогй^бЩИХ ичастных утверждений обычно-
го языка. Например, суждение «Все металлы — провод-
ники» может быть записано в форме ух_(х есть провод-
ник), где х— предметная переменная, областью значе-
ний которой является класс металлов, или в форме
ух (х есть металл Д>х есть проводник), если в качестве
области значений х взят класс веществ.
В первом случае полученное выражение может быть
прочитано: «Всякий предмет из предметной области
металлов (или просто всякий металл) есть проводник»,
во втором случае — «Для всякого вещества х верно, что
если оно есть металл, то оно есть проводник».
Частное суждение «Некоторые газы суть химические
элементы» может быть записано в виде дх (х есть хи-
мический элемент)., если предметная область для’ х есть
класс газов, или дх (х_есть газ Л х есть химический
элемент), где предметная область’для х — класс ве-
ществ. В первом случае имеем: «Существует газ х, кото-
рый является химическим элементом», во втором —
«Существует вещество х, такое, что оно является газом
и химическим элементом».
Слово «некоторые», употребляемое в частных сужде-
ниях в смысле’«по крайней мере некоторые», заменяет-
сй" эквивалентным ему по смыслу «существует»
Переменная, находящаяся в области действия кван-
тора со знаком этой переменной, т. е. в некотором кон-
тексте (в формуле), к которому относится квантор, на-
зывается связанной в этом контексте (формуле).
Переменная,- не являющаяся связанной в некотором
контексте (формуле), называется с в о б о л я п й в нем.
Смысл некоторых других логических постоянных
выяснится в дальнейшем.
Вообще логические константы в том или ином пред-
ложении выражают ту сторону смысла предложения,
которая представлена логической формой соответствую-
щего (выражаемого в предложении) суждения. При на-
личии точных правил построения предложений, что
3.4
имеет место в формализованных языках (или вообще в
так называемых языках со специфицированной структу-
рой), логическую форму суждения и логическую струк-
туру выражающего его предложения ложно_еыядить
отвлечением-дииконкретного смысл а_всех_ дескриптивных
терминов, предложения- -(что осуществляется заменой
всех дескриптивных. херми-новг'ТТёрёмёнными символами
соответствующих категорий). Из этого видно, что логи-
ческая форма суждения представляет общий для всех
предложений с одной и той же синтаксической структу-
рой смысл, а дескриптивные термины в совокупности с
логическими — конкретный для каждого данного пред-
ложения смысл (конкретное содержание суждения).
Аналогичное положение имеет место и для понятий?
Известно, что в выводах одних суждений из других
играет роль только их логическая форма. Поэтому ту
сторону смысла предложения, которая представлена ло-
гической формой суждения, можно назвать дедуктив-
ным содержащем продложсшитг
Таким образом, логические константы играют важ-
ную роль в предложениях, определяя их дедуктивное
содержание.
§ 2. Основные понятия теории имен.
Выражения языка как знаки
Согласно распространенным в современной логике
взглядам, все осмысленные (значимые) языковые выра-
жения рассматриваются как имена. Относительно полно
и точно разработанная теория имен принадлежит
Г. Фреге. Изложение этой теории дано в работе Б. В. Би-
рюкова [13]. Анализ основных ее положений, а также
других, более поздних взглядов содержится в книгах
Р. Карнапа [41] и А. Черча [103].
Именем называют слово или сочетание слов, обозна-
чающее какой-нибудь определенный предмет. Г. Фреге
различал, как уже упоминалось, имена отдельных пред-
метов, которые он называл собственными именамиДбо-
лее подходящее название длЯ~НЦХ —-единищцде-'ймена),
и имена функций. Собственные имена~="это то же са-
мое, 4'1'0 постоянные термы. К числу имен функций, по
Фреге, относятся выражения, названные нами предика-
торами (у Фреге они трактуются как имена свойств ~йли
2* ЗГ
отношений), а также выражения, представляющие пред-
метные функции (log, sin, cos и т. п.).
Каждое имя, по Фреге, обладает некоторым содер-
жанием, оно указывает на определенный объект (обо-
значает объект) и выражает некоторое знание об этом
объекте. Иначе говоря, каждое имя имеет з н a 4jjyte
И QJMbICJJ.
3н ачен ие м имени является обозначаемый им
предмет (часто употребляют иные названия: денотат,
де с и г н а т. н о м и н ат).
Многие авторы, занимающиеся проблемой значения
языковых выражений, возражают против того, чтобы
считать значением имени обозначаемый им объект. По
мнению одних, значением является то, что Фреге назы-
вает смыслом; другие настаивают на том, что под зна-
чением надо понимать отношение имени к объекту;
третьи понимают под значением способ употребления
имени- в языке (обзоры различных взглядов даны
А. Шаффом [105, стр. 218—308] и А. А. Ветровым [23]).
Однако споры такого рода имеют, как правило, толь-
ко терминологический характер и не затрагивают
существа дела. Суть дела в том, какие стороны в ха-
рактеристике имени выделяются, а вовсе не в том, как
называть те или иные стороны или называть ли тем
или иным словом то или другое. При этом выделение
тех или иных сторон зависит от задачи, которой подчи-
нен анализ. Теория имен и знаков в логике исходит,
естественно, из потребностей логики. Главное здесь*—
выяснение условий использования языка как средства
познания, выражения мысли и коммуникации.
В. И. Ленин, критикуя Каутского, считавшего, что
империализм есть «только система внешней политики»
и что нельзя называть империализмом известную сту-
пень развития капитализма, писал: «Каутский неправ.
Спорить о словах, конечно, не умно. Запретить употреб-
лять «слово» империализм так или иначе невозможно.
Но надо выяснить точно понятия, если хотеть вести дис-
куссию» [59, стр, 30].
Совершенно то же можно сказать в адрес тех, кто
возражает против того или иного употребления термина
«значение», тем более что нет установившегося способа
его использования (о чем как раз и свидетельствуют
^указанные споры).
36
Один из противников «предметной теории значения»
Райл аргументирует следующим образом: «Если значе-
ние выражения «первый человек, поднявшийся на вер-
шину Эвереста» тождественно Хиллари, то отсюда сле-
дует, что значение по крайней мере одного выражения
родилось в Новой Зеландии, дышало с помощью кисло-
родной маски, было награждено Ее величеством орде-
ном. Но это явная нелепость» (цит.по[23,стр.62]).Одна-
ко этот аргумент доказывает «слишком много» (а один из
принципов логики гласит: «Кто слишком много доказы-
вает, тот ничего не доказывает»). В самом деле, так
можно доказать, что предмет, обозначаемый словом,
нельзя называть «денотатом» (а также «номинатом»
и т. д.). Ибо опять окажется, что «денотат по крайней
мере одного выражения... родился... и т. д.». По сущест-
ву нет никакой нелепости, если мы скажем (как и сле-
дует сказать, если не стараться получить нелепость):
«Человек, который является значением выражения та-
кого-то... (или по крайней мере одного выражения)
родился в Новой Зеландии... и т. д.». Впечатление неле-
пости здесь возникает потому, что характеристика чело-
века (как значения или денотата некоторого выраже-
ния) не соответствует тому, что далее о нем высказы-
вается.
Смысл (или конпепт — по другой терминоло-
гии) _именд— это_способ, по Фреге, каким имя обозна-
чает предмет, информация о предмете, которую оно
содержит По существу имеется в виду совокупность
свойств (признаков), которыми характеризуется пред-
мет^ и ДО1 мннтпям- ин Ьыделяется из Множества других
предметов *. Так, значением (денотатом) имени «столи-
ца СССР» является город Москва, а смыслом (концеп-
том) — характеристика этого предмета именно как
города, и притом—столичного города Советского Союза.
Имена, имеющие одно и то же значение, могут разли-
чаться по смыслу (например, «административный центр
СССР» и «культурный центр СССР»). Однако имен с од-
ним смыслом и разными значениями быть не”~ТИОЖЬт;
•смысл однозначно определяет значение.
Значением обладает каждое действительное имя (в
отличие от мнимых имен, которые обозначают нечто
1 В дальнейшем мы увидим, что смысл имени представляет со-
*бой дрнятде.
37
лишь по видимости, так как в действительности обозна-
чаемых ими предметов не существует; таковы имена
«бог», «самая удаленная точка Вселенной» и т. п.).
Смысл, согласно взглядам Фреге и многих других ав-
торов, имеют вообще все имена (в том числе и мнимые).
Вопрос о том, насколько это верно и что представляет
собой этот смысл в тех или иных случаях, является весь-
ма существенным, ибо QyWfJT ПрРПГтяппаа^ тп QRP.
но. которое с тгррпмртпм, л одна из наи-
более важных задач теории имен в логике состоит как
раз в объяснении того, каким образом осуществляется*
связь имен с предметами внеязыковой действительности
и прежде всего, конечно, с предметами и явлениями объ-
ективного мира. Ясно, что только в силу наличия таких
связей имена выступают в качестве непосредственных
представителей предметов в процессах мышления и об-
щения.
Одни имена имеют явно выраженный смысл. Это —
сложные, или опимхельные, и м е н а, представ-
ляющие собой сочетания нескольких слов или, говоря
словами Фреге, состоящие из нескольких осмысленных
частей («столица СССР», «самая длинная река в Евро-
пе», «ближайшее к Земле небесное тело» и т. п.). Так на-
зываемые про стые, н е о njj с а т-а пь н ы^мена
(«Москва», «"Волга», «Луна») приобретают смысл, как
отмечает Фреге, черед другие имена Они могут иметь
лишь тот смысл, который им прибьется в данном общест-
ве и в данном языке вообще, или в той или иной конкрет-
ной ситуации. Придать смысл имени — значит поставить
ему в соответствие некоторое описательное имя. Смысл и
значение описательных имен, в свою очередь, определи-
имен. Смысл этих составляющих опять, очевидно, опре-
деляется через другие выражения и т. д. Но процесс оп-
ределения одних имен через другие не может быть бес-
конечным. Таким образом, возникает сомнение,
действительно ли каждое имя обладает смыслом. В каж-
дом языке существуют слова, которые должны приобре-
тать значение путем гнепосредственногл_ соотне^т?Г*их
с опретечеппымп предметами у^и свойствад№^г^тгноше-
ниями предметов. Такие соответсгвиЗГустанавливаются
прежде ВСёГ(гв процессе общественной практической дея-
тельности людей. Большую роль в этом (особенно в про-
зе
цессе овладения языком) игряе^ прш>м или,
как его еще называют, наглядного (остенсивного) опре-
деления [81, ч. 2, гл. II].' Разновидностью этого приема
можно считать также способ разъяснения значения слов
через примеры.
Выражения, значение которых определено таким не-
посредственным образом, строго говоря, не имеют смыс-
ла. Такое имя обозначает предмет, но не выражает зна-
ния того, что представляет собой этот предмет в отличие
от других предметов. По выражению Рассела [83], в та-
ком случае мы имеем знакомство с предметом, но не
имеем знания о нем.
Чтобы сохранить утверждение о наличии смысла у
каждого имени, допускают, как это делает Черч, «что в
некоторых специальных случаях смысл имени может
сводиться к тому, что денотат зовется так-то и так-то
(например, в случае личных имен <personal names>),
или к тому, что денотат есть то, что находится в данном
месте в данное время (как в некоторых случаях указа-
тельного «этот»)» [103, стр. 343].
Однако это допущение можно рассматривать лишь
как условное соглашение, удобное для достижения опре-
деленных обобщений. Существенная функции-смысла со-
стоит как раз в том, что^ указывая, зда—препстявлаа»
собой предмет, он связывает имя с_ определенным пред-
метом, являйсб пД^^сО^ющйм звеном между~л:рю1
ддхшм^«Св6ЙСТБШ^редмет7г, состоящее в том, что пред-
мет называетсЯ'Т'ЗКйм-то именем, само по себе (при от-
сутствии каких-либо других характеристик предмета) не
может выполнить такой роли, тем более в тех (весьма
многочисленных) случаях, когда носителем данного име-
ни является не один предмет. Так, характеристика Моск-
вы как города, который называется Москвой, не выпол-
няет функции смысла имени (не выделяет интересующий
нас предмет) хотя бы потому, что на земном шаре суще-
ствует несколько городов, называемых «Москва».
Понимание языковых выражений как имен характе-
ризуется следующими основными принципами, правиль-
но, как нам кажется, выделенными Р. Карнапом1 [41,
стр. 160].
1 Подход к выражениям языка как к именам Карнап называет
методом отношения именования.
39
1. Принцип однозначности. Каждое выражение, упот-
ребляемое в качеств имени (в определенном контексте),
является именем только одного объекта (Карнап назы-
вает этот объект номинатом данного имени).
2. Принцип поедмртнлгти Предложение говорит
(имеет дело, включает в свой предмет) о номинатах
(значениях — по терминологии Фреге) входящих в него
имен.
3. Принцип взаимозаменимости (или ппЛтапилм^
Первый из этих принципов подразумевается уже, по
существу, в определении имени. Здесь имеется в виду не
то, конечно, что имя не может иметь различных значений.
Многозначность имен — распространенное явление в
обычных (национальных, разговорных) языках. В спе-т
циальных языках науки и в особенности р формализован-
ных языках-стрёмятся к тому, чтобы каждое имя имело
лишь одно значение и один определенный смысл. Впро-
чемГв соответствии с понятием имени правильно было бы
считать имена с разными значениями разными именами,
поскольку именем является выражение, соотнесенное с
каким-либо выделенным предметом.
Согласно второму принципу, отношения, связи, кото-
рые выражает некоторое сложное имя, суть отношения,
связи между предметами, обозначаемыми именами, со-
ставляющими это сложное имя, а не между самими эти-
мизменами. В частности, утверждения', в формулиро”
кахкоторых употребляются те или иные имена, относя-г-
ся не к самим этим именам, а к обозначаемым ими пред-
метам. Чтобы высказать нечто р предмете, употребляют
имя» предмета (и лишь в некоторых случаях какой-ни-
будь заменитель его вроде жестов или других знаков).
Но объектом мысли является всегда сам препмат
ИмеютсяТправда, некоторые видимые нарушения это-
го принципа. Сюда относятся, например, случаи wo-
н и м н о г о_употребления имен, когда некоторый термин
употребляется в качестве имени самого себя. Нацример,
«Дом есть имя существительное». Объектом мысли здесь
является, конечно, не дом, а само слово «дом». Во избе-
жание двусмысленности в таких случаях употребляют
обычно кавычки («,,Дом“ — имя существительное»; имя
с кавычками есть имя имею!, заключенного в кавычки)
или вводят специальные имена для имры-
Третий принцип говорит о том, что если имя, входя-
40
щее в состав некоторого сложного имени, заменить име-
нем с тем же значением (денотатом), то полученное
сложное имя будет иметь то же значение (денотат), что
и исходное.
Это можно выразить в виде правила:
а = в
Ф (а) = Ф (в) *
Ф (а) — сложное имя, в составе которого имеется
имя а; Ф (в) — результат замены а в этом сложном име-
ни на в; равенство «=» означает совпадение значений
(денотатов) имен, стоящих слева и справа от него. В це-
лом правило гласит: если айв имеют одинаковые значе-
ния (денотаты), то Ф(а) и Ф(в) также имеют одинако-
вые значения (денотаты).
Ф(а), а, в— здесь любые имена, в том числе, воз-
можно, и предложения; мы уже упоминали, что предло-
жения в‘теории Фреге также рассматриваются как име-
на; значениями их являются абстрактные предметы «ис-
тина» или «ложь», а смысл предложения составляет
выражаемое им суждение.
Кажется, что'принцип взаимозаменимости является
непосредственным следствием принципа предметности.
Если объектами мысли в сложном имени являются не
составляющие его имена, а обозначаемые ими объекты,
то ясно как будто, что значение сложного имени должно
зависеть только от значений составляющих его имен.
Однако встречается немало случаев, противоречащих
этому. Например, предложение «Птоломей считал, что
Солнце вращается вокруг Земли»—истинно. Имя «Солн-
це» имеет, очевидно, то же значение, что и «центральное
тело Солнечной системы». Однако результат замены
первого вторым во взятом предложении «Птоломей счи-
тал, что центральное тело Солнечной системы вращается
вокруг Земли»—явно'ложное предложение. Или: «поиски
Шлиманом местоположения Трои» обозначает действи-
тельно имевшее место в истории действие. Но «поиски
Шлиманом холма Гиссарлык» не имеет денотата (хотя
холм «Гиссарлык» и есть «местоположение Трои», обна-
руженное Шлиманом).
Далее, известно, что «Число планет-9» и «9 необходи-
мо больше 7». По принципу взаимозаменимости послед-
41
нее предложение должно иметь то же значение, что и
«Число планет необходимо больше 7». Однако последнее
неверно, тогда как исходное истинно. Число подобных
примеров может быть значительно увеличено. Подобные
явления (несоответствие между тем, что должно быть
согласно принципу взаимозаменимости, и фактическим
положением дела) Карнап назвал а цетином ням и от-
нош ен и я именования^!. стр. 205JI
*И5"всего этого следует, что есть два рода контекстов,
в которых могут встречаться те или иные имена. В одних
случаях значение контекста Ф(а), содержащего имя а,
зависит только пт днанеиия (денотата) этого имени. В
других случаях значение контекста Ф(а) зависит-^og
смысла имени
Контексты первого рода называются экстенсил-
нальными относительно контексты второго рода —
неэкстенсиональными, или интенсиональ-
н ы м и, относительно а, ' " “ —*
Приведенное выше выражение «Птоломей считал, что
Солнце вращается вокруг Земли» является интенсио-
нальным относительно имени «Солнце», а также относи-
тельно имени «Земля», выражение «поиски Шлиманом
местоположения Трои» — интенсиональным относитель-
но имени «местоположение Трои». Предложение «9 не-
обходимо больше 7» является интенсиональным относи-
тельно 9 и относительно 7.
v Для интенсиональных контекстов принцип взаимоза-
менимости в том виде, как он сформулирован выше,
оказывается, очевидно, непригодным.
В настоящее время нет определения, посредством ко-
торого можно было бы отличить экстенсиональные кон-
тексты от интенсиональных. Конечно, если оказывается,
что при замене имени а в контексте Ф(а) равнозначным
именем изменяется значение контекста, то это указывает
на то, что контекст интенсионален относительно а. Одна-
ко таким образом нельзя доказать, что некоторый кон-
текст Ф(а) является экстенсиональным относительно а,
ибо для этого надо убедиться, что его значение не ме-
няется при замене а на любое имя, имеющее тот же
денотат.
Фреге заметил, что интенсиональными (по его терми-
нологии — косвенными) являются контексты, содержа-
щие косвенную речь. Например, «Георг IV однаж-
42
ды хотел узнать, является ли Вальтер Скотт автором
«Вэверлея». Этот контекст интенсионален относительно
«Вальтер Скотт» и «автор «Вэверлея»», поскольку эти
имена входят в состав косвенной речи. В дальнейшем
выяснилось, что класс интенсиональных контекстов зна-
чительно шире. К ним относятся вообще все так назы-
ваемые психологические контексты (содержащие
отношении человека тгкакий-то предметам или явлениям,
такие, как «знает», «ищет», «различает», «сомневается»
и т. п.; специфика этих отношений состоит в том, что
наличие или отсутствие их к некоторым предметам у того
или иного человека зависит от имеющейся у него инфор-
мации об этих предметах). Интенсиональными являются
также м о д а л ь н ы е контексты, выражающие необхо-
димую связь явлении? ~~
' Имеются различные попытки объяснить специфику
интенсиональных контекстов и причины возникновения
антиномий отношения именования. Обзор их имеется в
[41, § 32].
Одно из решений (Фреге, Черч) состоит в том, что
при употреблении имени в интенсиональном (относи-
тельно этого имени) контексте, — такое употребление
имени называют косвенным, в отличие от прямого или
обычного употребления его в экстенсиональных контек-
стах,— его денотат изменяется. Денотатом имени в кос-
венном его употреблении становится то, что в обычном
(прямом) употреблении этого имени является его смыс-
лом. Таким образом, согласно принципу предметности,
в интенсиональном контексте выражаются отношения не
между предметами — обычными денотатами имен, а
между смыслами их. Исходя из этого, Фреге и его после-
дователи сохраняют принцип взаимозаменимости и для
интенсиональных контекстов (но с учетом, конечно, того,
что равнозначным для имени а, употребленным косвен-
ным образом, является имя, имеющее тот же смысл, что
и а в прямом его употреблении).
По существу это решение означает отказ от принципа
предметности в строгом смысле этого слова. И более по-
следовательным является, например, решение Квайна,
по мнению которого имена в косвенном употреблении
вообще ничего не обозначают, т. е. не являются именами
в точном смысле слова. В соответствии с этим неприме-
нимым для них считается и принцип взаимозаменимости.
43
Подобные решения вопроса не представляются убе-
дительными. Во всяком случае возможно иное истолко-
вание интенсиональных контекстов, при котором прин-
цип предметности сохраняет силу в обычном своем виде.
Ключ к пониманию специфики употребления имен в
интенсиональных контекстах можно найти в некоторых
замечаниях Гегеля относительно различных способов;
употребления имен вообще. В более или менее отчетли-
вой форме аналогичные мысли были высказаны еще
Аристотелем.
Гегель рассматривает умозаключение: «Зеленое при-
ятно»; «Эта картина зеленая»; следовательно, «Эта кар-
тина приятна». Может быть действительно зеленое при-
ятно и картина зеленая и тем не менее она может быть
неприятной (например, отвратительной по своему сю-
жету). Между тем умозаключение по форме правильно.
Дело в том, пишет Гегель, что надо уточнить, имеем ли
мы в виду в первой посылке «зеленое» именно как зеле-
ное (тогда заключением должно быть «Картина как зе-
леный предмет приятна», и оно будет истинным, если
истинны посылки), или речь идет о зеленом предмете в
целом (тогда вывод логически правилен, а заключение
может быть ложным лишь из-за ложности посылки)
[27, стр. 135—136].
Итак, здесь определены разные способы рассмотре-
ния предмета, обозначенного некоторым именем, а по
существу и различные способы употребления имен.
1. В одних случаях признаки, составляющие смысл
имени, служат лишь средством выделения предмета, сам
же предмет, берется в целом, со всеми своими свойства-
ми; поэтому утверждение в предложении, где встречает-
ся имя, не зависиТтйг'смысля имени Это имя может быть
замейёно 'именем с другим смыслом. Важно лишь, что-
бы оно выделяло тот же предмет. Так обстоит дело в
экстенсиональных контекстах.
и других случаях признаки не только выделяют
предмет, но сам предмет рассматривается дищь^со_стр-
роны этих признаков. Например: «зеленой' именно как
зеленое»; '«Октябрьская революция как социалистиче-
ская революция» (как таковая она была направлена
против буржуазии города и деревни, но, поскольку в хо-
де ее решались также некоторые задачи буржуазной ре-
волюции, ее поддерживало на определенных этапах все
44
крестьянство). Представитель какой-либо страны в
ООН, являющийся в то же время председателем сессии
ООН, может выступать и как представитель страны, и
как председатель сессии; предложения «Человек N как
представитель страны М высказал то-то и то-то» и «Че-
ловек N как председатель сессии ООН высказал то-то
и то-то» не совпадают по смыслу.
Мы упомянули Аристотеля. Он различал случаи, ког-
да вещи присуще нечто не в связи с ее сущностью и ког-
да что-то присуще ей по ее сущности [4, стр. 187—189].
Это различение по крайней мере весьма близко к тому,
которое имеется у Гегеля.
Когда имя употребляется в интенсиональном контек-
сте, положим в предложении, утверждение также отно-
сится к обозначаемому им предмету (т. е. обычному его
денотату), но как к предмету, охарактеризованному оп-
ределенным образом, или как к предмету с некоторыми
подразумеваемыми характеристиками (например, в
предложении «Птоломей считал, что Солнце вращается
вокруг Земли» одним из объектов мысли является Солн-
це, но как предмет с теми характеристиками, которые
были известны Птоломею).
Обратимся к рассмотренному выше примеру (пример
Квайна, приведенный Карнапом (41, стр. 207]): «9 необхо-
димо больше, чем 7», «Число планет=9», следовательно
(по принципу взаимозаменимости), «Число планет необ-
ходимо больше 7». Первое высказывание говорит, что
9 именно как число необходимо больше, чем 7; в заклю-
чении должны получить «Число планет как число необ-
ходимо больше 7». Это истинно и никакой антиномии
не возникает.
Кстати, исходя из приведенного истолкования интен-
сиональных контекстов, мы не признали бы интенсио-
нальным, например, предложение «Древние греки не
знали о существовании Американского материка» отно-
сительно имени «Американский материк» (несмотря на
наличие здесь отношения «не знали»). Ясно, что значе-
ние этого высказывания не зависит ни от каких характе-
ристик Американского материка; поскольку греки не
знали о существовании материка, естественно, они не
знали и никаких его характеристик.
Итак, дело не в том, что имя имеет разные значения
в разных контекстах, и неверно, что утверждения отно-
45
сятся иногда не к предмету, а к смыслу имени. Разли-
чен просто характер утверждений, поэтому различны
условия взаимозаменимости имен в экстенсиональных
и интенсиональных контекстах. В интенсиональных кон-
текстах допустима замена имени только на имя с тем
же смыслом.
Различение условий взаимозаменимости составляет
рациональное содержание теории смысла, предложенной
Карнапом. Он формулирует разные принципы взаимо-
заменимости для экстенсиональных и интенсиональных
Контекстов. Однако Карнап отказывается от трактовки
языковых выражений как имен. я Каждое осмысленное
языковое выражение, согласно его концепции, просто
характеризуется наличием двух иторин — экстенсионала
и интенсионала. совпадающих соответственЯП гГобычным
аначеимрм и гмырдом выражения, однако не меняющих-
ся в зависимости от контекСТЭ, как последние.
Основной недостаток подхода к выражениям как к
именам Карнап видит в необходимости различать пря-
мые и косвенные значения. При построении формализо-
ванных языков во избежание многозначности имен при-
шлось бы, говорит он, вводить отдельные имена для
разных (обычного и косвенного) значений имени.
В определенных условиях процесс подобного удвоения
имен мог бы оказаться бесконечным [41, § 30].
Однако указанный недостаток вовсе не присущ, оче-
видно, методу отношения именования самому по себе.
Он обусловлен определенным истолкованием специфики
употребления имен в интенсиональных контекстах.
Отказ от метода отношения именования, или, точнее,
от понятия имени вообще, есть прежде всего отказ от
принципа предметности, поскольку смысл и денотат
имени рассматриваются просто как два самостоятель-
ных объекта. При этом затушевывается действительная
роль языка в процессах познания объективного мира и
общения людей в их практической деятельности.
Хотя Карнап и не связывает явным образом теорию
экстенсионала и интенсионала со своими философскими
взглядами, в ней, безусловно, отражается свойственное
позитивистам стремление очистить логику и семантику
от всякой «метафизики».
Вместе с тем сомнительна правильность истолкова-
ния всех осмысленных выражений языка как имен.
46
Определенные трудности вызывает такая трактовка пре-
дикатных выражений. Неясен прежде всего вопрос о их
значениях (денотатах). Как уже было сказано, одно-
местные предикаторы, по Фреге, являются именами
свойств или, что то же, понятий.
Предположим, что предикатор «город» обозначает
свойство «быть городом». Возьмем также терм, обозна-
чающий это свойство — «свойство „быть городом”».
Если согласиться с Фреге, то надо признать, что «город»
и «свойство „быть городом”» суть имена с одним и тем
же значением. Что это не так, сразу выявляется при
замене одного на другое, например, в предложении
«Москва есть город». Ясно, что мы не получаем при та-
кой замене истинного суждения, как это должно было
бы быть по принципу взаимозаменимости. «Город» не
обозначает также и класса городов. Для обозначения
этого класса имеется терм «класс городов».
Подобное положение имеет место и по отношению к
многоместным предикаторам и выражениям, представ-
ляющим предметные функции.
Если считать, например, что слово «больше» являет-
ся именем представляемого им отношения, то надо при-
знать предикатор «больше» и терм «отношение „боль-
ше”» именами с одним значением и, следовательно,
взаимозаменимыми в экстенсиональных контекстах. Мы
имели уже случаи показать, что эти выражения не взаи-
мозаменимы. Аналогичным образом убеждаемся, что
sin (синус) не есть имя представляемой этим выраже-
нием функции (таковым является терм «функция, пред-
ставляемая словом „синус”»).
Таким образом, предикаторы и функциональные вы-
ражения не^о^ззшитют свойств, отношений, функций;
поэтому мы говорим, что они лишь представляют эти
объекты.
Характерна трудность, с которой встречается Фреге.
Слово «лошадь», говорит он, обозначает понятие (свой-
ство). Однако слова «понятие „лошадь”» обозначают
предмет и поэтому не обозначают понятие (вспомним,
что Фреге различает слова, обозначающие предметы
(термы — по нашей терминологии), и слова, обозначаю-
щие свойства, отношения и т. п.) [99, стр. 195]. Полу-
чается странная ситуация. Предметом, к которому отно-
сится имя (терм) «понятие „лошадь”», является понятие
47
и тем не менее оно не обозначает понятия! Сам автор
объясняет это затруднение особенностью (жесткостью)
языка [99, стр. 196—197]. Однако дело здесь, очевидно,
не в особенностях языка, а в неточности его анализа.
Надо признать, что «понятие „лошадь”» обозначает по-
нятие так же, как «город Берлин» обозначает город, а
«вулкан Везувий» обозначает вулкан (примеры самого
Фреге), хотя сами эти выражения не являются понятия-
ми (поскольку термы отличаются от понятий). Фреге не
может с этим согласиться именно потому, что рассмат-
ривает само слово «лошадь» как имя понятия (свойст-
ва). Поскольку «понятие „лошадь”» — принципиально
иное образование, нежели «лошадь» (с чем согласен
Фреге), то нельзя, конечно, считать, что оно обозначает
то же самое, что и «лошадь».
Согласно точке зрения ряда логиков [73, гл. II, § 5],
[53, стр. 210], [1, § 4], значением (означением, по терми-
нологии Милля, или десигнатом, по терминологии Ко-
тарбиньского и Айдукевича) общего имени (одномест-
ного предикатора) является каждый из предметов
представляемого им класса. «Город», например, обозна-
чает Москву, Варшаву, Берлин и т. д. Однако это пред-
полагает расширительное употребление термина «имя».
В строгом смысле имя — это то, что обозначает что-то
определенное (см. принцип однозначности).
Если «город» является именем для Москвы, Варша-
вы и т. д., то оказывается, что это слово есть имя над
именами, поскольку каждый объект, который оно назы-
вает, имеет свое собственное имя. Его содержанием яв-
ляется, очевидно, нечто общее для отдельных предметов.
Может быть, оно обозначает город вообще, — абст-
рактный предмет, возникший в результате отождествле-
ния всех городов по их общим свойствам? Подобные
абстракции вполне правомерны и могут быть полезными
для науки. Таково, например, понятие абстрактной
буквы в теории алгорифмов. Наряду с многочисленны-
ми буквами а, которые могут встречаться в различных
местах того или иного текста, рассматривают абстракт-
ную букву а как их общего представителя. И, конечно,
когда мы говорим о слове «город», например, то также*
имеем в виду абстрактное слово, представляющее все
возможные случаи его употребления.
По-видимому, подобное отождествление предметов
43
нередко имеет место и в повседневной жизни. Для очень
голодного человека неважно, какую пищу ему предло-
жат. Он будет просить просто пищи, имея в виду нечто»
что может его насытить. И в предложении «Пища необ-
ходима человеку» тоже подразумеваются, по-видимому,
не «отдельные пищи» и не отдельные виды пищевых
продуктов (едва ли есть такие продукты питания, кото-
рые были бы необходимы; для каждого вида может
найтись более или менее подходящая замена).
Но когда в предложениях употребляются обороты
«всякая пища...» или «некоторые виды пищи...», слово
«пища» имеет уже какое-то другое значение. И в массе
своей общие имена употребляются аналогичным обра-
зом. Если под общим именем и подразумевается класс,
то он мыслится не как целое, не собирательно, а в ка-
ком-то р аз^елдтел ьно^хшд^л е.
Котарбиньский“отмечает (имея в виду, судя по все-
му, только что указанные способы употребления общего
имени), что «класс понимается... не как целое, отдель-
ные элементы которого являются частями, но как что-то
другое, нечто такое, что, говоря «об этом», посредством
этого самого говорят как-то косвенно о каждом из вхо-(
дящих в это что-то индивидов, а не о составленном из
них целом» [53, стр. 277].
Видимо, наиболее близок к правильному пониманию
значения общих имен Б. Рассел, когда он пишет, что
«человек» (a man) обозначает не многих людей, а не-
определенного человека» [83]. Таким образом, «челойетбГ
означает (или, лучше сказать, представляет) какой-то
(произвольный) элемент из класса аналогично тому,
как^переменная х, множеством значений которой явля-
ются числа, представляет какое-то произвольное число
(см. стр. 31 о связи предметных переменных с общими
именами). Это естественно приводит к трактовке общих
имен (предикаторов-существительных) как своеобраз-
ных предметных переменных. Отличие общего имени от
обыТООЙ прёдметной переменной состоит в том, что в
самом выражении здесь указывается область значений
переменной; «чеЛОВёк^ — это «х, такой, что он является
элементом класса людей», или «х, такой, что он обла-
дает свойствами, по которым выделяются люди». По-
добные переменные можно назвать специфици
ванными.
49
При такой трактовке общих имен (понятий) стано-
вится ясной и роль кванторных слов «всякий», «некото-
рые». Они, как и кванторы V» 3 в формализованных
языках, связывают переменные.
В__обычных языках мы пользуемся .только специфи-
цированными переменными. Появление обычных пред-
метных переменных можно представить как результат
преобразования специфицированной переменной, состоя-
щего в отделении характеристики предметной области
и введении специальных символов (х, у, z) как предста-
вителей предметов данной области. Это, как мы уже ви-
дели, приводит к сокращению выражений мысли, по-
скольку предметная область может быть охарактеризо-
вана лишь один раз для многих применений символов,
представляющих ее объекты.
При данном истолковании общих имен они не ока-
зываются уже именами в строгом смысле слова, так же
как не являются именами и обычные переменные.
Итак, мы приходим к выводу, что класс имен от-
нюдь не охватывает всех языковых выражений и по
существу совпадает с категорией постоянных термов.
Т. Котарбиньский замечает в одном месте: «Порой слы-
шатся предложения, чтобы слово «имя» сохранить толь-
ко для имен собственных, предикатные же термины на-
зывать предикатами» [53, стр. 518]. Очевидно, такого
рода предложения имеют веские основания. Не случай-
но (что отмечает и Котарбиньский) при построении
формализованных языков между указанными катего-
риями проводят обычно резкую границу1 * * * * * * В. Принципи-
альное качественное различие (с логической точки зре-
ния) между именами в строгом смысле слова (термами)
и остальными выражениями имеется также в обычных
языках. Вполне можно присоединиться к мнению аме-
1 Хотя имеются системы (формализованные языки) без подоб-
ных различений. При построении таких языков правила вывода
(преобразования выражений языка) подбираются таким образом,
что указанные различения становятся несущественными или учиты-
ваются автоматически. Поэтому существование искусственных си-
стем, где не учитываются те или иные различия между объектами,
не свидетельствует об отсутствии таких различий вообще.
В исчислении предикатов, например, не учитываются различия
между суждениями вида «а есть число, большее Ь» (атрибутивное
суждение) и «а и b находятся в отношении „больше”» (суждение
отношения), являющимися возможными интерпретациями предложе-
50
риканского философа Райла о том, что «большинство
терминов вовсе не используется для обозначения. Они
ничего не именуют... Так, например, «круглый» и «боль-
шой» ничего не именуют... Если бы мы хотели в этой
связи что-то наименовать, то мы должны были бы гово-
рить не о «круглом» и «большом», а о «круглости» и
«велшщнв»... Большинство терминов предикативно и
вовсе не субстантивно» [101, стр. 479—480].
Более подходящим иля грм^и-гтлиргкой характеристи-
ки языковых вражений является понятие знака.
Знаком называют любой матеоиальнь>ги,^^р?л)^] ип-
торый представляет в процессе общения или мышления
какие-то предметы, яв/темия или отношения действитель^
ности. Нас интересуют сейчас слове сны е знаки —
слова и словосочетания языка (которые, очевидно, явля-
ются материальными предметами; это определенные ко-
лебания воздуха или следы типографской краски, чер-
нил, графита на бумаге и т. п.).
Отношения между словесными знаками и объектами,
представителями которых являются знаки в процессе
общения или мышления людей, многообразны так же,
как многообразны функции знаков в языке.
Одним из типов этих отношений является отношение
именования (обозначения). Jakor характер свяби собст-
венных имен (постоянных термов) с представляемыми
ими предметами. Одноместные предикаторы, имеющие
формы глаголов («бежит», «летит», «улыбается», «из-
меняется»); многоместные предикаторы («больше»,
«меньше»); логические связки «и», «или», «если..., то»,
а также, видимо, предлоги «на», «к», «от» и т. п. пред-
ставляют определенные свойства, состояния, отношения,
но лишь в контекстах некоторого рода, в сочетаниях с
другими знаками. Сами по себе они ничего не обозна-
ния «а больше 6», поскольку правила вывода позволяют полу-
чить следствия из записи последнего предложения, соответствующие
той и другой интерпретации его. В расширенном исчислении
предикатов (где аргументами предикаторов могут быть представ-
ляемые предикаторами свойства и отношения) нет различения меж-
ду предикаторами и термами, обозначающими представляемые ими
свойства и отношения (стр. 20). Основания такого отождествления
нетрудно выяснить. Дело в том, что формулы этого исчисления
допускают такое истолкование, при котором оказывается, что в них
не используются предикаторы, а лишь термы, обозначающие свой-
ства и отношения (см. стр. 176).
51
чают (т. е. не являются именами). Здесь, очевидно, мы
имеем другой тип отношения знака к объекту. Иной тип
представляют собой отношения переменных символов-
к объектам. Переменные символы х, у,... представляют
какие-то (произвольные) предметы из заданной пред-
метной области, а тем самым в некотором смысле (не
как самостоятельный предмет) и всю область. Такова
же роль так называемых общих имен — одноместных,
предикаторов-существительных («человек», «город», «де-
рево») и, по-видимому, прдлягятрпкик.у _ («белый»,
; «твердый», если подразумевать «белый предмет», «твер-
дый предмет»). Это еще один тип отношения знака к
объекту.
Говоря более точно, необходимо учитывать двоякую
роль таких предикаторов, как «человек», «дерево» и т. п.
в обычных языках. Как логические сказуемые предло-
жений они представляют определенные свойства «быть
человеком», «быть деревом» и потому должны относить-
ся к числу постоянных выражений; как логические под-
лежащие в предложениях вида «Всякий человек смер-
тен», «Всякое дерево есть растение», где они собственно
и выступают в роли общих имен, эти выражения пред-
ставляют собой переменные.
Все словесные знаки, представляющие определенные
объекты (т. е. все постоянные выражения, а не только
термы), можно характеризовать как имеющие смысл и
значение. Значением является представляемый знаком
объект, смыслом — характеристика этого объекта. Тер-
мин «денотат» (или «номинат») естественно сохранить
при этом лишь для значений имен (постоянных термов).
На все постоянные знаки распространяются также
принципы однозначности, предметности и взаимозаме-
нимости (с учетом различий между экстенсиональными
и интенсиональными контекстами).
Переменные символы являются заместителями по-
стоянных символов соответствующих семантических ка-
тегорий. (Придать значение некоторой переменной,
входящей в определенный контекст, значит заменить ее
постоянным знаком объекта из области значений пере-
менной.) Не имея определенного значения, переменная
не имеет и определенного смысла (если под смыслом
понимать именно то, что выделяет представляемый зна-
ком объект). Поэтому нельзя признать точной следую-
52
щую характеристику переменных у Черча: «...пере-
менная есть символ, содержание которого совпадает
с содержанием собственного имени, или константы, за
исключением лишь того, что единственный денотат кон-
станты заменен здесь возможностью различных зна-
чений переменной» [103, стр. 20].
Однако и переменная имеет нечто подобное смыслу
и значению; таковыми являются соответственно харак-
теристика класса предметов, служащего областью зна-
чений переменной (совокупность свойств, по которым
данные предметы выделяются), и сам этот класс пред-
метов (который, как мы говорили, переменная опреде-
ленным образом представляет в мышлении). Иначе го-
воря, содержание переменной — это сод£ржааие-иеко-
торого. общего" имени. Ъ место «общее имя» предпочти-
тельнее название «понятийное выражение» или просто
«понятие». Чтобы отличить семантические характеристи-
ки"таких выражений от характеристик имен, мы будем
употреблять термины «содержание понятия» и «объем*
понятия» (см. стр. 162, 164). Итак, характеристиками
имени (терма) являются смысл и денотат; понятие же-
имеет содержание и объем.
Принцип предметности может быть распространен*
на понятийные выражения лишь в том смысле, что, упо-
требляя такое выражение в некотором предложении^
мы утверждаем нечто не об этом выражении, а о пред-
метах представляемого им класса (о всех или некото-
рых, на что указывают кванторные слова, употребление-
которых в этих случаях по существу обязательно; это-
ясно по крайней мере в таких случаях, когда понятий-
ное выражение употребляется в качестве логического-
подлежащего; относительно случаев употребления его-
в роли логического сказуемого в таких предложениях,
как «а есть человек», «а есть металл» и т. д., см.
стр. 176—177).
Принцип взаимозаменимости для понятийных выра-
жений: если в некотором выражении, содержащем не-
которое понятие и представляющем собой экстенсио-
нальный относительно этого понятия контекст, заменить,
это понятие иным понятием с тем же объемом, то значе-
ние полученного выражения будет тем же, что и значе-
ние исходного. В интенсиональных контекстах возможна
замена понятия другим с тем же содержанием.
53»
§ 3. Понятие функции. Предметные и логические
функции. Языковые выражения как функции
Одна из особенностей подхода современной логики
к анализу языковых выражений состоит в истолковании
ряда выряжрний кяк некоторых функций. Начало тако-
му подходу опять-таки положил Г. Фреге, введя наряду
с известным в математике понятием прзддетдод функ-
ции понятие логической функции^
Ф*ункци_я вообще — это некоторое соответствие
в силу которого объекту а или упорядоченной /Гке
обЗДктовДсй. аг. ...,~Onl jназываемых аргументами функ-
ниП'Г из некоторых -Множеств (множеств возможных ао-
гументов) соотносится определенный объект В (назы-
ваемый -зыачением~функции).
Множество значений функции (для возможных аргу-
ментов) называется областью (или цн о ж л ст.
во м! е е з н а ч е Н_и Й т"
Объектами си, аг,..., ап, а также р могут быть пред-
меты (обозначаемые термами) или суждения, свойства.
классы, отношения (представленные соответственно
предложениями и предикатными выражениями).
Функция может также трактоваться как о л е р а-
ц и некоторая, будучи примененной к объекту а или л-ке
объектов (ai, аг,..., ап), порождает определенный объ-
ект^ В зависимости от'>гбГЪ'А1фименима ли функция
к одному объекту а или л-ке объектов (<Zi, аг,..., ап),
различают, одноместные и многоместные (двух-, трех-
и т. д. местные в зависимости от значения л) функции
(операции).
Множество возможных аргументов одноместной
функции называется также о бластью ее о пр ед е-
ления. Для л-местной функций (л> I) ооластью опре-
деления является множество л-ок объектов, составляе-
мых из элементов множеств ее возможных аргументов.
В зависимости от характера значений функции (Р)
различают п.р е д мТтТ^бГе Уч‘я7Гги'ч е с к и е_ функ-
ции. Значениями предметной фунйвди являются*пред-
меты (оЦпхн<нэт;МЙетер>лмм^чня11Рнйями логических
функций могут быть: 1) высказывания *, 2) понятия (об-
1 Под термином «высказывание» будут иметься в виду предло-
жения, выражающие определенные суждения и формы предложе-
54
щие имена) (или соответствующие им классы). В пер-
вом случае л^гиыескую функпию будем называть пор-
П О 3 ИЦ и О Н_а л ь но й. во втором —д о н я т и й н о й.
Примеры предметных функций: "одноместные мате-
матические функции — sin (синус), log (логарифм);
двухместные — сумма (2), произведение (П) и т. д.
Так, операция 2 паре чисел (1, 2) соотносит 3; паре
(5, 10) соотносит 15. Т. е. 2(1,2) = 3; 2(5, 10)= 15.
Примером логической, (двухместной, пропозицио-
нальной ^функции может служить операция, обозначае-
мая словом <Ш£ХЬ», понимаемая как утверждение при-
надлежности пррпметя некоторому классу предметов.
Так, каждой паре (оь'Л), гДе а) — Предмет на неко-
торого класса М, а А—любой класс, составляющий
часть М, или, наоборот, содержащий его в качестве сво-
ей части, эта операция ставит в соответствие суждение
«си есть А».
Таковы же операции, представленные логическими
постоянными «или» (V), «и» (Д), «если..., то...» (ID)-
Каждая из них любой паре суждений (р, q) ставит в
соответствие новое суждение p\/q, Р /\q, Р^Ч- Выраже-
ние «неверно, что» (—) представляет одноместную про-
позициональную функцию, которая каждому суждению-
р ставит в соответствие новое суждение (отрицание пер-
вого) р.
Значения одних функций могут быть аргумен-
тами других. Таким образом возникают сложные
функции. Например, 2 (2 (1,2), 2(5, 3)) =2 (3, 8) = 11;
2(11(2,5), 2 (1, 3)) =2 (10,4) = 14. Впрочем, подобные
выражения можно записывать без скобок и запятых
в виде 221, 2 25, 3; 2П2, 5 21, 3 и т. п.; никакой неопре-
деленности в их истолковании не может возникнуть, по-
скольку известно число мест в каждой из операций.
Таким же образом можно представить любое слож-
ное суждение, составленное из некоторых сужденийг
р, q, г,... с помощью ‘логических связок ZD, V» А» —»-
рассматривая эти связки как пропозициональные функ-
ции (применяемые к р, q, г,... или получаемым из них
сложным суждениям).
Для функционального представления сложных суж-
ний (суждений), содержащие переменные, такие, как p/\q, Р^Я>
«х есть металл», «х больше у». Высказывания последних двух типов:
относятся к числу предикатов (см. § 4).
55
лений (характерного для так называемой бесскобочной
записи формул логики, введенной Я. Лукасевичем)
применяются обычно другие обозначения для логических
связок. Обозначим операцию «или» через Л,><и» — че-
рез К, «если..., то...» — через С, «неверно, что...» — че-
рез N. Тогда, например, суждение (pZJ?) V (г А $) запи-
шется в виде ACpNqNKrs. суждение (pZD?)ZD (О («V О)
примет вид CNCpqCNrAst и т. п.
Логические постоянные «если..., то...», «и», «или»,
«не» имеют (в обычном языке) не вполне определенный
•смысл. Особенно это касается импликации, т. е. союза
«если..., то...». Суждение вида «Если р, то q» (условное
суждение) имеет примерно следующий смысл: явления,
о наличии которых утверждается в высказываниях р и
?, связаны между собой так, что при наличии первого
«обязательно есть второе. При таком понимании «если...,
то...» эта операция представляет собой и^н т е i£C ир-
ща ль н у ю л о г и чес кую фу н к ц и ю. "ЭтсТ значит,
что истинность илг ложниёгь (т. е. Значение, валент-
ность) высказывания, получаемого при ее применении
(«если р, то 9»), зависит от_смысла р и ?, но не от их
значений самих по’сЕбе. ~
Иначе говоря, высказывание «Если р, то q» представ-
.ляет собой контекст, интенсиональный относительно р
и q. Суждение «Если число 336 делится на 3, то сумма
цифр его делится на 3» истинно (поскольку «делимость
некоторого числа на 3» (р) и «делимость суммы цифр
числа на 3» (?) связаны между собой таким образом,
что при наличии первого обязательно есть второе). Но
суждение «Если число 336 делится на 3, то оно делится
на 2» ложно (поскольку между делимостью числа на 3
(р) и делимостью того же числа на 2 (?) нет необходи-
мой связи). Между тем составляющие этих высказы-
ваний (взятые в качестве р и q) в том и другом случае
истинны. С другой стороны, суждение того же вида
может быть истинным и при ложности обеих его состав-
ляющих (например, «Если число 56 делится на 3, то
сумма цифр этого числа делится на 3»), а также при
ложности первого и истинности второго. Только при
истинности первого из составляющих (р) и ложности
второго (?) оно будет всегда (при любом содержании р
и ?) ложно.
•56
В так называемых классических системах
символической логики (называемых иначе си-
стемами с материальной импликацией)
импликация («=)») имеет более слабый смысл. Выска-
зывание (читается так же—«Если р, то q» или «р им-
плицирует <?») понимается примерно так: «Высказыва-
ния р и q (фактически) таковы, что при истинности р'
истинно q-» (т. е. р и q оба истинны, или оба ложны»,
или р ложно и q истинно, исключен лишь случай, когда
р истинно, a q ложно). Таким образом, здесь не-
утверждается, что между явлениями, представляемыми
р и q, есть необходимая связь.
При таком истолковании импликации она становится
экстенсиональной функцией (и называется ма-
териальной импликацией). Значение высказывания
P'ZZq зависит теперь только от значений (валентностей)
р и q. Ясно, что суждение «Если 336 делится на 3, то-
оно делится на 2», которое мы прежде считали ложным»
теперь (понимая «если..., то...» как материальную им-
пликацию) надо считать истинным, поскольку для р и ср
мы действительно не имеем здесь такой ситуации, когда
истинно р и ложно q. Более того, истинными надо считать
и высказывания «Если медь металл, то 2+2=4», «Если
медь сложное вещество, то 2+2 = 4». В обычном языке-
«если..., то...» не употребляется, по-видимому, в смысле-
материальной импликации (хотя есть мнение, что это-
имеет место в математике). Скорее всего эта имплика-
ция представляет собой своеобразную абстракцию, ко-
торая получается в результате отвлечения от опреде-
ленной стороны смысла обычных условных суждений
(именно от того утверждения, что между р и q имеется
необходимая содержательная связь). Мы можем пред-
ставить обычное условное суждение «Если р, то <?»
в виде Л (/О?), где h означает «необходимо», a Z2 есть,
материальная импликация. Этим представлением мы.
явным образом разделяем смысл условного суждения
на две составляющие: 1) утверждение, что между вы-
сказываниями р и q имеется такое отношение, что при
истинном р истинно также q (это и есть «/О?»), и
2) утверждение, что это имеет место в силу необходи-
мой связи между содержаниями р и q (т. е. «р2>7» необ-
ходимо, на что и указывает Л). При исключении второй
части (в результате отвлечения от этой стороны смысла
5г
условного суждения) у нас и остается лишь то, что
выражает материальная импликация.
Логика прибегает здесь к тому же приему, что и фи-
зика, например, когда она рассматривает тела как
абсолютно упругие или абсолютно черные и т. д.
Введение такой абстракции, как материальная им-
пликация, вполне оправдывает себя. Логический аппа-
рат, который при этом получается (совокупность правил
и законов рассуждения), обеспечивает возможность
получения в любом случае истинных результатов из
истинных суждений.
Константы «и», «или», «не» в обычном языке ис-
пользуются, видимо, двояко: в одних случаях как ин-
денсиональны^функции, в других — как экстрисионяль-
ныё" (-ни Терминологии, введенной Райхенбахом, то как
а д ъюн кд-вьв н ы е, то как кипи и к т и в н ы е опера-
торы [84, стр. 28]). В системах логики с материальной
импликацией все связки употребляются как экстенсио-
нальные операции. Определение импликации и только
что указанных операций как экстенсиональных функций
дано в следующей таблице:
р q Р^Я рКя PVQ р
и и л л и л и л и л Чч И л л л и и и л л л и и
Нетрудно заметить, что данное здесь определение
конъюнкции, дизъюнкции и отрицания вполне соответст-
вует тому смыслу, в котором они обычно употребляются
в естественном языке.
Остановимся на характеристике с функциональной
дочки зрения некоторых типов выражений обычного
. разговорного языка. Как мы увидим, некоторые выра-
* жения могут играть в языке роль как предметных, так
чи логических пропозициональных и понятийных функ-
-щий. Все зависит от способа применения выражения.
Есть такие слова, которые употребляются, по-види-
^мому, только в роли предметных функций: таковы
«вес», «масса», «рост», «состав», «расстояние», «поло-
жение» У1Мфострай£тве) и тГ1г. ---------
58
Одноместные предикатные выражения, когда они
употребляются в качестве логических сказуемых (такое
применение предикаторов будем называть далее по е*,
дикативным а всякое другое — н-е п р е д и к. я т илч-
ным), играют .роль пропозициональных функций. На-
пример, «металл» в Предикативном применении к «ме-
ди» дает суждение «Медь—металл» (в функциональной
форме записи — Металл (медь)).
Вместе с тем эти выражения используются в каче-
стве понятийных функций, аргументами которых могут
быть как предметы, так g свойства
Предика top” «город» в применении к (предмету)
СССР дает «город СССР», т. е. свойство (и соответст-
вующий класс). ~
В качестве предметных функций применимы лишь те
одноместные предикаторы, которые в приложении к
предметам из некоторого множества (области опреде-
ления функции) выделяют определенные предметы. Та-
ково, например, слово «здание». Применение его к
ГУМу дает терм «здание ГУМа»; «граница» в примене-
нии к СССР дает терм «граница СССР». Для предика-
тора «треугольник» в качестве множества возможных
аргументов может быть взято множество, элементами
которого являются свойства: «остроугольный», «тупо-
угольный», «прямоугольный» и т. п. В применении к
любому из них предикатора «треугольник» получаем
новое свойство («треугольник прямоугольный», «тре-
угольник остроугольный» и т. п.). Подобное применение
предикатных выражений имеет место в так называемых
операциях ограничения понятий.
Предикатные выражения, представлящие отношения,,
так же как и одноместные предикаторы, при употребле-
нии их в качестве сказуемых играют роль пропозицио-
нальных функций. Нередко они употребляются также в.
роли понятийных функций. В таких, например, сужде-
ниях, как «Москва есть столица СССР», «15 есть число,,
делящееся на 5» и т. п., «столица СССР», «число, деля-
щееся на 5» суть одноместные предикатные выражения,
образованные из двухместных «столица», «делится» в
результате непредикативного применения их соответст-
венно к «СССР» и «5».
Трехместное отношение «находиться между» в при-
менении его в качестве понятийной функции к городам
5»
Москва и Пермь образует одноместное выражение «на-
ходящийся между Москвой и Пермью», которому соот-
ветствует класс городов или населенных пунктов (в за-
висимости от выбора множества возможных аргумен-
тов), находящихся между Москвой и Пермью (имея в
виду, положим, отношение по долготе).
Наконец, возможно применение многоместных пре-
дикатных выражений в качестве предметных функций.
Возьмем рассмотренное выше выражение «столица
СССР». Мы его понимали как выражение, представ-
ляющее свойство. Но, поскольку это свойство принадле-
жит лишь одному предмету (в данном случае — горо-
ду, причем имеется в виду современная столица), дан-
ное выражение может рассматриваться и как терм, обо-
значающий этот предмет. В таком случае «столица»
использовано в качестве предметной функции. Подоб-
ным образом можем образовать термы «мать Сократа»,
«отец Сократа», «небесное тело, вокруг которого вра-
щается Земля»; «мать», «отец», «вращается вокруг» при-
менены здесь в качестве предметных функций.
Вообще если предикатное выражение, применяемое
к некоторым предметам как понятийная функция, обра-
зует предикатор, представляющий свойство, принадле-
жащее только одному предмету, то это выражение мо-
жет быть использовано и как предметная функция.
Отношения, удовлетворяющие указаТГнТТТТу^УсловйкГ, на-
зываются функциональными (см. [91, § 32], где,
правда, рассМатрйБакися лишь двухместные функцио-
нальные отношения).
Достаточно полную и систематическую классифика-
цию функций применительно к анализу выражений есте-
ственного языка, — приведенную, однако, с несколько
иной точки зрения, — можно найти в работе [35, § 1.2.3,
1.2.4, 1.2.5, 1.2.6]. Здесь выделяются в качестве основных
видов:
1. Функции, образующие предложения из предложе-
ний. Например: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция,
импликация.
2. Функции, образующие предложения из единичных
имен. Например: «работает», «отдыхает», «есть чело-
век», «меньше».
3. Функции, образующие предложения из общих
имен. Например: «каждый... меньше каждого...» г(1П1ри*
60
менении к общим именам «лисица» и «человек» такое
выражение дает: «Каждая лисица меньше каждого че-
ловека»).
4. Функции, образующие единичные имена из еди-
ничных имен. Таковы «отец», <<матБ$> и т. п. (в примене-
нии к собственному имени «Иван» имеющие в качестве
значений «отец Ивана», «мать Ивана»),
5. Функции, образующие единичные имена из общих
имен. Примерами функций этого рода могут служить
«наименьший», «наибольший», «наинизший» и т. п.
6. Функции, образующие общие имена из единичных
имен. Например: «дитя», «сын», «дочь», «внук». “
7. Функции, образующие общие имена из общих
имен. Например: «человек, достигший того веса, чГоН .т
(в применении к «двухлетний ребенок» образует «чело-
век, достигший того веса, что и двухлетний ребенок»).
Полезно иметь в виду возможность представления
каждой многоместной функции как комбинации одно-
местных. ' ' ' “
Обозначим объект, относящийся к категории предме-
тов (термов), через п, к категории суждений (предло-
жений) 1 — через s. Одноместную предметную функцию
обозначим через Fnn (функция, образующая из предме-
та предмет); одноместную функцию, образующую суж-
дение из суждения, — через Fss; одноместную функцию,
образующую суждение из предмета, — через Fns и т. п.
Тогда двухместную предметную функцию (сумму,
произведение и т. д.) можно понимать как Fn(Fnn)
(функция, образующая из предмета одноместную пред-
метную функцию), двухместную функцию, образующую
суждение из суждений («или», «и» и др.) — как Fs(Fss)
и т. п. (44, стр. 264—265]. Посредством n, s и F можно
выразить все другие категории функций.
Одноместное предикатное выражение (свойство) как
пропозициональная функция будет относиться к катего-
риям Fns, двухместный предикатор как пропозицио-
нальная функция — к категории Fn(Fns) 2.
* Поскольку, применяя функции к предметам или суждениям,
мы непосредственно имеем дело с термами и предложениями, то для
описания интересующих нас форм под п и s удобнее иметь в виду
соответственно терм и предложение.
2 При данном представлении функций различие между харак-
теристиками предикатора как пропозициональной и как понятийной
функции исчезает.
61
Таким образом возникает возможность определенной
генетической классификации функций по их
ф^рм’ЙЛЪИЫМ структурам, безусловно имеющей эвристи-
ческую ценность:
s, Fnn, Fns, Fsn, Fss, Fn(Fnn), Fn(Fns),
Fn(Fsri), Fs(Fnn), Fs(Fns), Fs(Fsn), Fs(Fss),
F(Fnn)n, F(Fnri)s, F(Fns)n, F(Fns)s и т. д.
Как отмечено, эта последовательность выписывается
лишь по формальным соображениям, и для того, чтобы
получить действительную классификацию, необходимо
убеждение в существовании соответствующих категорий
в естественных или сГГёЦИМБЬых языках науки. Но цен-
но уже то, что оддедвдздо направление поиска. Для
большинства из перечисл^ЬтвбГгл^По^^Т^^ 6—8,
13—17) функтши хорошо известны.
В качестве примера для Fsn можно указать опера-
цию заключения предложения в кавычки. Эта операция,
будучи примененной к предложению s, действительно
образует предмет (терм) «з» (имя предложения s).
Примером для Fn(Fsri) может служить выражение
«Предложение „х человек” эквивалентно „р”», которое
действительно «перерабатывает» предмет а, подставляе-
мый на место х, и предложение а, подставляемое на ме-
сто р, в предмет «Предложение „а человек” эквивалент-
но „а”».
При функциональном анализе языковых выражений
одно и то же выражение в разных контекстах и с раз-
личных точек зрения, как мы видели, может иметь раз-
ную характеристику. Мы объединяли, например, в одну
категорию одноместных предикаторов существительные,
глаголы, прилагательные. Однако если существительное
отнести к категории предметов, как это делается в грам-
матике (т. е. будем рассматривать его как обозначаю-
щее выражение, а не как выражение, представляющее
свойство. См. стр. 13), то прилагательное будет характе-
ризоваться как Fnn. Суффиксы с окончаниями, посред-
ством которых из существительных образуются прила-
гательные (например, «ный» в-«железный»), будут пред-
ставлять собой Fn(Fnn).
Приведем пример функционального анализа состава
предложения «Еще земли печален вид, а воздух уж
весною дышит» (Тютчев).
62
«Еще земли печален вид» — очевидно s;
«Воздух уж весною дышит» — тоже s;
«, а» (вместе с запятой) есть Fs(Fss).
Проанализируем второе из составляющих предло-
жений. Здесь «воздух» — п, «весна» — п, «дышит» —
Fn(Fns), «уж весною дышит» — это функция, которая,
будучи примененной к «воздух», дает $. Значит, это Fns.
«Уж весною» — нечто, что, будучи примененным к «ды-
шит», т. е. к Fn(Fns), дает «уж весною дышит», т. е.
Fns, следовательно, это F(Fn(Fns))(Fns). Наконец,
«уж» перерабатывает «весну» (п) в «уж весною», зна-
чит оно есть Fn(F(Fn(Fns)) (Fns)).
'§ 4. Предикатные выражения (предикаторы)
и предикаты. Язык логики предикатов.
Исчисление предикатов
В предыдущем изложении мы неоднократно встре-
чались с фактами, указывающими на необходимость
некоторой реконструкции естественного языка с целью
получения более точных средств выражения мысли.
В частности, как мы видели, одни и те же выражения
естественного языка в разных случаях могут выступать
в разных ролях, и результаты их применений в этих
случаях не всегда имеют различающиеся формы выра-
жения (так, терм, получаемый р результате применения
некоторого предикатора в качестве предметной функции,
не отличается от предикатного выражения, полученного
при применении того же выражения в качестве понятий-
ной функции).
Разговорный язык не имеет вполне определенных
правил построения предложений, а потому и точных спо-
собов выражения мысли. Мы уже не говорим здесь о
многозначности слов и недостаточной определенности
смысла многих выражений, в том числе и логических
терминов, играющих, как мы уже видели, важную роль
в выражении мысли.
В некотором отношении указанные особенности
естественных языков оказываются даже весьма полез-
ными, обусловливая их универсальность и большую гиб-
кость. Но, как обычно бывает, выигрыш в одном отно-
шении оказывается проигрышем в другом. Гибкость и
63
универсальность достигается за счет уменьшения точ-
ности языка как средства выражения мысли. Для науки
же возможность точного выражения мысли является
одним из наиболее существенных требований, предъяв-
ляемых к языку. В силу этого в каждой науке возникает
потребность в некотором, ^пецй^льном более, или менее
точном языке. Обычно такие языки строятся на основе
естественных посредством уточнения смысла их выраже-
ний, введения специальных терминов науки, использова-
ния математических средств. Однако все большее рас-
пространение в качестве базы для построения языков
науки получают язык^логикд^предикатов и особенно ре-
зультат его формЗЖ^аЖии—"и&Тйслениепредикатов.
Центральным понятием язьпй^лЭгйкйТтре^^ на
что указывает уже само его название, является понятие
предиката. Существенным для этого языка является
использование специальной символики для логических
констант (с точным определением их смысла), а также
переменных "для’^'а^ЛИЧНЫ^ категорий дескриптивных
терминов.
Понятие предиката в современном смысле связано
с определенным подходом к анализу суждений, отлич-
ным от того, который был свойствен традиционной ло-
гике.
Выше (стр. 10—11) при анализе предложений мы вы-
деляли наряду с логическими терминами дескриптивные
термины,,«выполняющие .роль логических подлежащих и
логических сказуемых. Анализируя суждение, выражен-
ное предложением (т. е. обращая внимание на смысло-
вую сторону предложения), мы выделим в нем, во-пер-
вых, то, о чем неч^о^т^ржддется (субъекты суждения).
Это, как йьГужезна^м/мо^^ыть предметы некоторых
классов, представленные общими именами, или отдель-
ные определенные предметы, обозначаемые термами.
Общие имена и термы, выполняющие эту роль в предло-
жениях, мы по-прежнему будем называть логическими
подлежащими. Во-вторых, естественно выделить то,^чту
То, что утверждается, —^это
и есть предикат суждения. Однако на вопрос, что утверж-
дается, например/в суждении «Медь есть металл», тра-
диционная логика отвечала: «металл», принимая логи-
ческое сказуемое предложения за предикат суждения
(выделяя в качестве отдельных частей суждения субъ-
ект, предикат и связку «есть»). Согласно принципам
анализа современной логики, предикатом здесь является
«—есть металла. Для предложения «5 больше 3» в за-
висимости от того, трактуется ли оно как выражение
атрибутивного суждения (суждения, в котором утверж-
дается наличие или отсутствйе свойства у предмета)
«5 есть то, что больше 3» или как выражение суждения
об отношении «больше» между 5 и 3, предикатом будет
«— больше 3» или «— больше —». Суждение «Каждый
человек живет в каком-нибудь населенном пункте» име-
ет предикат «— живет —» (логические подлежащие:
«человек», «населенный пункт»).
В рассмотренных случаях стоял вопрос о том, что
утверждается в суждении. Мы, естественно, имели в ви-
ду то, что утверждается о предметах — субъектах суж-
дения. Но в каиСП5КГчуждении хотя бы косвенным, не
непосредственным образом утверждается .нр.итл о свой-
ствах или/отношениях,) представленных предикаторами.
Почему бы^наПрИМеруйе’считать, что в $5Й1?ЙйИк'«МеД&
есть металл^нмеетоя утверждение «Свойство „металл"
есть свойство меди»; в суждении «5 больше 3» утверж-
дается, что отношение «больше» есть отношение, имею-
щее место между 5 и 3. Этот подход к анализу сужде-
ний приводит к понятию ^ппеликятлв от ппепикатооов.
или пррдикятов^втопой ступени? в отличие от них, пре’-
дикаты типа, рассмотренного выше, называют -ррепикя-
уами от индивидов, или предикатами первой ступени.
Па предикатах от предикаторов мы коротко остановим-
ся в дальнейшем. Сейчас же будем иметь в виду преди-
каты от индивидов.
Мы ограничимся пока анализом лишь единичных
суждений (суждений об отдельных предметах, обозна-
ченных постоянными термами). Собственно, предикаты
(от индивидов) имеют в принципе одни и те же формы
как в суждениях этого вида, так и в суждениях, где
утверждения относятся к .предметам класса. Различие
имеется лишь в способах выделения предиката. Нас же
сейчас предикаты интересуют лишь как некоторые фор-
мы выражений.
Применительно к единичным суждениям (или пред-
ложениям, поскольку непосредственно всегда приходит-
ся иметь дело с предложениями) предикат (имея в ви-
ду его знаковую форму) можно, очевидно, определить
3 Е. К. Войшвилло 85
как остов предложения, получающийся из него, если
опустить в нем подлежащие, оставив вместо них пустые
места.
Переходя к языку логики предикатов, употребим
предметные переменные для заполнения пустых мест
предиката. Выявленные только что предикаты запишут-
ся тогда в виде «х есть металл», «х больше 3», «х боль-
ше у». ,
Без применения переменных возникают определен-
ные трудности в представлении предикатов. Мы можем,
конечно, образовать предикат и из сложного предложе-
ния, такого, например, как «5 больше 3 и меньше 10».
Но прежде надо выразить содержащуюся здесь мысль
в более точной форме, выделив два содержащиеся здесь
суждения: «5 больше 3» и «5 меньше 10». (Уже этот про-
стой пример может служить иллюстрацией того, как не-
обходима в ряде случаев реконструкция предложений
обычного языка для выявления структуры выражаемых
в них мыслей:) Теперь, выделяя предикат этого предло-
жения, следует отразить то обстоятельство, что в обоих
простых предложениях, составляющих данное сложное,
утверждается отношение одного и того же числа (5)
к различным числам. Иначе полученный предикат не
выражал бы того, что утверждается во взятом предло-
жении. Не прибегая к помощи переменных, пришлось
бы ввести нумерацию мест в предикате. В данном слу-
чае получили бы «- больше -» и «-меньше -», с пере-
менными это выглядит проще: «х больше у» и «х мень-
ше г».
Вообще если какое-нибудь подлежащее имеет не-
сколько вхождений в предложение, то все места вхож-
дений должны рассматриваться как одное пустое место
в предикате, которое замещается одной переменной.
Поэтому предикатом предложения «5=5» будет «х=х»;
предикат «х=у» соответствовал бы, например, предло-
жению «5=2+3», в котором утверждается, конечно, не
то же самое, что в предыдущем.
Ясно, что множествами значений переменных в пре-
дикате должны быть множества возможных аргументов
соответствующих предикаторов.
' Строго говоря, есть разница между выражением с
пустыми местами, к примеру «- больше-», и выраже-
нием с переменными «х больше у». Первое представ-
ав
ляет собой пропозициональную функцию; применение ее
к некоторым предметам состоит в постановке имен пред-
метов на 'пустые места. Второе — общая форма выра-
жения значений этой функции (результат применения
ее к каким-то предметам х и у из соответствующих
множеств). Однако необходимость в различении функ-
ции и общей формы выражения ее значений возникает
лишь в особых случаях (когда, например, сама функция
становится объектом исследования).
Обычно в логике, как и в математике, сами выраже-
ния с переменными рассматриваются как функции. На-
пример, в математике sinx, logx трактуются как функ-
ции, зависящие от х, хотя, строго говоря, функции здесь
представляют sin и log. Аналогично этому могут трак-
товаться как функции и рассматриваемые нами выра-
жения.
Выражение «х больше у», например, может быть
истолковано как дцухместная-^гостгезипионял ьная фхнк-
ция; ее применение к каким-либо предметам (из мно-
жеств значений х и у) будет состоять в замене перемен-
ных соответствующими постоянными термами*.
В дальнейшем мы будем употреблять принятую в
логике так называемую функциональную форму записи
предикатов: Металл (ху (Вмести" О есть металл»),
БЪлъиПГ (х/ у) (вместо «х больше у») и т. п.
Первоначально, как мы установили, понятие преди-
ката возникает в результате анализа предложений.
В логике предикатов их рассматривают как некоторые
самостоятельные формы, из которых строятся предло-
жения или формулы (аналоги предложений естествен-
ных языков). Это — формы суждений (выраженных в
обычном или символическом языке), содержащие сво-
бодные предметные (индивидные) переменные или так-
же, если иметь в виду предикаты от предикаторов, пре-
дикатные переменные. Но сейчас пока, как уже было
оговорено, мы рассматриваем только предикаты от ин-
дивидов.
Подчеркнем, что для каждого n-местного предика-
1 Переменные рассматриваются при этом, по существу, лишь
как знаки пустых мест. У Клини, например, такая интерпретация
переменных называется предикатной интерпретацией
[51, стр. 133]. О других возможных интерпретациях переменных в
выражениях рассматриваемого типа см. стр. 80.
3* 67
тора А разговорного языка имеется соответствующий
«-местный предикат A(xi,хп), представляющий собой
общую форму применения предикатора в качестве логи-
ческого сказуемого или, что то же, в роли пропозицио-
нальной функции. Число мест предиката — это число
его различных свободных переменных.
Множество истинности предикатора мы будем назы-
вать также множеством истинности соответствующего
ему предиката. Вообще для предиката А (xi,..., хп) со
свободными переменными xi,..., хп, где «^1, множест-
вом истинности является множество «-ок предметов
(при п=1 — множество отдельных предметов), при под-
становке которых (точнее, при подстановке имен кото-
рых) вместо переменных xi,...,хп (в соответствующем
порядке) в Л(Х1,...,хп) это выражение превращается в
истинное высказывание. Такое множество мы будем
обозначать через W (хь ...,хп) Л(хь ...,хп), При «=1,
дохЛ(х) читается: «Множество предметов х (из заданной
предметной области), обладающих свойством Л»; при
«>1: «Множество «-ок предметов Xi,.... хп из заданных
предметных областей, находящихся в отношении Л».
В зависимости от числа мест предикат так же, как и
^предикатор, представляет свойство или отношение. Го-
^>воря точнее, это есть форма утверждения наличия свой-
ства у предмета или наличия отношения между какими-
-то предметами, представленными свободными перемен-
ными.
Если в «-местном предикате заменить постоянными
термами все свободные переменные (т; е. применить его
как пропозиональную функцию к «-ке предметов), полу-
чим, очевидно, суждение. При замене любых k перемен-
ных (l^'fe<«) получим новый п—местный предикат.
Так, одни предикаты могут быть образованы из других.
Из предиката Больше (х, у) можем получить Боль-
ше (5, у), Больше (х, 3) и т. п. Последние представляют
свойства (свойство предмета у такое, что 5 больше его;
свойство х быть больше 3). Подобные свойства могут
быть названы производными от отношений.
L- Суждение или 11редика'г_<! Меньшим числом мест мо-
гут быть также образованы из некоторого многоместного
предиката посредством связывания его свободных пере-
менных кванторами. Из Больше (х,у), например, полу-
чаем этим способом а у Больше (х, у) (одноместный
68
предикат, представляющий свойство х быть больше не-
которого у), у х Больше (х, у), у у g х Больше (х, у).
Последняя форма, поскольку она не содержит свобод-
ных переменных, выражает суждение «Для всякого
предмета у из заданной предметной области (каковой
в данном случае естественно считать числа) сущест-
вует х, такой, что он больше у».
Ясно, конечно, что одни свободные переменные в
предикате можно заменить постоянными термами, дру-
гие — связать кванторами.
Посредством логических связок Z), V» Л из одних
предикатов образуются другие, более сложные, с тем же
или большим числом мест. В частности, из предикатов,
представляющих свойства, возможно образовать преди-
кат, представляющий отношение. Таковым является,
например, Металл (х)Д Металл (у), выражающий от-
ношение сходства между х и у (состоящее в наличии у
них общего свойства «быть металлом»).
Предикаты, не содержащие логических констант, на-
зываются простыми, содержащие таковые — слож-
ными.
Из предыдущего рассмотрения видно, что при ис-
пользовании логических констант возникают возможно-
сти образования неограниченного множества предика-
тов, исходя из любого запаса предикаторов. При этом
выявляется многообразие свойств и отношений, произ-
водных от некоторых данных; к этому надо добавить,
что мы имеем для свойств и отношений отчетливые фор-
мы выражения, для которых трудно зачастую найти или
построить аналоги в естественном языке.
Нетрудно перечислить возможные способы образо-
вания предикатов, а тем самым осуществить обзор
(в некотором смысле перечисление) возможных их
форм. Этот обзор содержится в приведенном ниже опре-
делении формулы исчисления предикатов. Понятие фор-
мулы охватывает как предикаты, так и аналоги предло-
жений обычного языка. Последние строятся по опреде-
ленным правилам из предикатов. То же определение
формулы представляет собой обзор (классификацию)
возможных форм предложений (точнее, аналогов пред-
ложений обычного языка) в языке логики предикатов.
Предикатом от индивидов является каждая формула,
содержащая свободные предметные переменные. К при-
69
меру, формулы вида Р(х), ^xR(x, у) будут представ-
лять общие формы одноместных предикатов, образован-
ных из предикаторов Р и R, а ухР(х) и yy^xR(x, у)
суть общие формы (т. е. логические формы) суждений,
образованных из этих предикатов (а в конечном счете,
конечно, из тех же предикаторов Р и R). Но здесь под
знаками Р и R мы подразумеваем некоторые определен-
ные (фиксированные) свойства и отношения.
Подобным образом истолковываются все предикат-
ные, а также пропозициональные переменные в так на-
зываемом узком исчислении предикатов.
Это значит, что все только что указанные переменные
являются здесь фиксированными (см. стр. 80).
Но знаки Р, R и другие переменные в составе формул
можно понимать и как знаки, представляющие какие-то
неопределенные свойства или отношения (такое понима-
ние предполагается в расширенном исчислении преди-
катов; на этом основано введение в этом исчислении
кванторов по предикаторам). В этом случае, например,
V хР(х) или y/y^xR(x,y) должны быть истолкованы
как одноместные предикаты соответственно от предика-
торов Р и R. Первый выражает свойство (какого-то)
свойства Р, состоящее в том, что это последнее присуще
каждому из элементов области его определения (т. е.
области значений х), а второй предикат выражает свой-
ство отношения R, состоящее в том, что для каждого
предмета у (из области значений у) имеется предмет х
(из области значений этой переменной), такой, что хи у
находятся в отношении R.
Подобно тому, как вводятся сокращенные названия
для сложных свойств индивидов, могут вводиться тако-
вые и для свойств свойств и отношений. Например,
свойство двухместного отношения R, которое выражает
предикат ух7?(х,х), называют рефлексивностью.
Таким образом, по определению: Рефлексивно (R) —
— ух/?(х, х). Свойство R, выражаемое предикатом
V х уу (/?(х, у)ОА'(у, х)), называют симметрично-
стью. Значит, по определению: Симметрично (R) —
—у х у у (/? (х, yYDR (У, х)).
Свойство, выражаемое предикатом ухуууг ((₽ (х, у) Д
Д£ (у, z))Z3₽(x, z)), называют транзитивностью R.
В результате подобных сокращений появляются, как
мы видим, предикаторы («рефлексивно», «симметрично».
70
«транзитивно») и соответствующие им предикаты (Реф-
лексивно (Р) и т. п.) нового, более высокого типа, аргу-
ментами которых служат свойства и отношения. Не иск-
лючается, конечно, что в качестве аргументов предика-
тора могут быть одновременно и предметы — индивиды
и их свойства и отношения; в установленном выше ши-
роком понимании слова «предмет» и те и другие явля-
ются в таком случае предметами (а выражения, их
обозначающие, — термами). Но в соответствии с тео-
рией типов здесь мы имеем предметы разных типов.
Нет никаких препятствий к тому, чтобы рассмотреть
в качестве предикатов и сложные высказывания p,p\fq,
pZJq и т. п. В такой трактовке они выражают свойства
или отношения высказываний (например, р выражает
свойство высказывания р, состоящее в том, что истинно
его отрицание; p\/q выражает отношение между р и q,
состоящее в том, что какое-нибудь из этих высказыва-
ний истинно). Здесь мы имеем дело с предикатами от
высказываний.
В согласии с интерпретацией предикатных и пропо-
зициональных переменных в составе соответствующих
предикатов естественно их также связывать кванторами
(как это и делается в расширенном исчислении преди-
катов), образуя, например, выражения уРух(Р(хУ2Э
Z)P(x)), ЧР (р\/ р) и т. п.
Поскольку в последних выражениях нет свободных
переменных, они представляют собой’ предложения
(суждения). В данном случае мы имеем истинные суж-
дения, выражающие логические законы (для суждений
такого типа характерно то, что в них утверждается на-
личие некоторых общих свойств или отношений выска-
зываний или предикаторов).
При таком общем понимании предиката возможно
трактовать как предикат любое высказывание, имеющее
какие-нибудь (предметные, предикатные, пропозицио-
нальные) свободные переменные. Тогда, например, Р(х)
будет представлять собой двухместный предикат от
предикатора Р и индивида х.
Особенность выражения суждений на языке логики
предикатов состоит в том, что все предикаторы обычно-
го языка употребляются лишь в роли логических сказуе-
мых в составе предикатов. Суждения видов «Все S
71
суть Р», «Ни одно S не есть Р», «Некоторые S суть Р»,
«Некоторые S не суть Р» записываются соответственно
в формах: yx(S(x)ZDP(x)), yx(S(x)Z)P(x)), gx(S(x)A
A^W), 3x(S(x)/\Р(х)). Как видим, все выражения
в скобках после ух или дх— сложные предикаты.
Суждение «Всякое четное число кратно какому-нибудь
простому числу» пришлось бы выразить в форме:
ух (Четное (x)Z>3z/ (Простое (у) Д Кратно (х,у))),
имея в виду, что множествами значений х и у являются
числа. Буквальный перевод этого выражения на обыч-
ный язык: «Для всякого числа х верно, что если оно чет-
ное, то существует число у, такое, что оно является про-
стым и х является кратным ему».
При записи суждений могут использоваться предмет-
ные переменные с различными множествами значений
(разные сорта переменных). .
Например, суждение «Всякий студент изучает какую-
нибудь науку» запишем в виде: yxgz/ Изучает (х, у);
множество значений х — это множество студентов, а
множество значений у — множество наук. Но всегда
возможно выбрать единую предметную .область для всех
переменных — некоторый класс, включающий все мно-
жества истинности предикаторов, являющихся логиче-
скими подлежащими предложения. В данном случае
надо взять класс, включающий множества студентов и
наук. Это может быть, очевидно, лишь класс каких-то
неспецифицированных предметов (индивидов) — класс,
элементы которого просто «нечто»; то, что речь в исход-
ном предложении идет о студентах и науках, должно
быть отражено в самой записи. Итак, получим:
ух (Студент (х)2>3</ (Наука (у) /\Изучает (х, у))).
Вторая запись, очевидно, более полно выражает содер-
жание исходного предложения. В первом варианте не
находят явного выражения характеристики подразуме-
ваемых субъектов суждения («студенты» и «науки»).
Как видим, перевод предложений с естественного
языка на язык исчисления предикатов связан с опреде-
ленной перестройкой их структуры. Там, где утвержде-
ние относится ко всем предметам подлежащего (ко всем
студентам в последнем примере), появляется имплика-
ция, когда имеются в виду некоторые предметы (некото-
рые науки), вводится конъюнкция. В самой записи ни-
7?
какие предикаторы уже не выступают в роли подлежа-
щих, а если в качестве субъектов суждения и подразу-
меваются некоторые классы (студенты и науки в первом
варианте записи суждения в данном примере), то их
характеристики остаются за пределами самой записи.
Собственно говоря, здесь имеются в виду существую-
щие системы исчисления предикатов. Возможно, конеч-
но, построение систем с другим строением формул. Мы
проиллюстрируем эту возможность, введя аналоги об-
щих имен обычного языка.
Аналог общего имени можно образовать из любого
предиката и таким образом каждому предикату соотне-
сти выражение типа предикатора — существительного
естественного языка, выражающего некоторое понятие.
Для одноместного предиката А(х) таковым будет хА(х),
что означает: предмет (т. е. х) из заданной предметной
области, обладающий свойством А. Например, х (Окан-
чивается (х, 5) /\Д,елится (х, 3)) (предметной обла-
стью х являются числа) имеет своим аналогом в обыч-
ном языке «число, оканчивающееся на 5 и делящееся
на 3».
Для «-местного предиката A(xi,.... хп) получим
(xi,..., xn)A(xi,..., хп) — «n-ка предметов, находящихся
в отношении А». Например, (х, у) Параллельна (х, у)
(предметная область для х и у — линии) является ана-
логом общего имени «параллельные прямые».
По аналогии со способами образования общих имен
из предикатов от индивидов мы можем образовать
общие имена из предикатов от предикаторов РухР(х),
Р V У> Я xR (х, у) и т. п.
Выражение У/хР(х)Z)tiyQ(y) мы можем понимать
как двухместный предикат от предикаторов Р и Q. Ему
будет соответствовать общее имя (Р, Q) (ухР(х)^>
Z)ayQ(y)) («свойства Р и Q, такие, что если одно при-
суще всем предметам х, то второе присуще некоторым
предметам у»). Общие .формы так называемых катего-
рических суждений «Все S суть Р», «Некоторые S суть
Р» и т. п. также, естественно, могут быть поняты как
двухместные предикаты от предикаторов S и Р и допу-
скают образование общих имен (S, Р) (Все S суть Р),
(S, Р) (Некоторые S суть Р). Предикату Р(х) соответ-
ствует общее имя (Р, х)Р(х) («свойство Р, принадлежа-
щее предмету х»).
73
Обратим внимание на то, что мы исходим здесь из
высказанной выше трактовки общих имен как своеоб-
разных (специфицированных) переменных (см. стр. 49).
Пользуясь подобными выражениями, можно записывать
суждения в формах, более близких к предложениям
естественного языка. Например, суждение «Всякое чис-
ло, которое оканчивается на 5 и делится на 3, делится
на 15» запишется в виде ух (Оканчивается (х, 5) Д Де-
лится (х, 3)) Делится (х, 15). Квантор общности здесь
относится ко всему выражению (специфицированной
переменной) х (Оканчивается (х, 5)/\ Делится (х, 3)),
а то, что следует за ним, есть предикат суждения.
Суждение «Всякие параллельные прямые лежат
в некоторой (одной) плоскости» получит выраже-
ние: у(х, у) (Линия (х) Д Линия (у) Д Параллель-
на (х, у) )gz Плоскость (г) (Лежит (х, г) /\ Лежит (у, г)).
Первый квантор здесь связывает переменную, которая
является аналогом общего имени «параллельные пря-
мые», второй — переменную, которая является аналогом
имени «плоскость» (эти имена, очевидно, являются в
данном предложении логическими подлежащими), по-
следняя часть выражения есть предикат суждения.
Впрочем, предикатом можно было бы считать и всю
часть, начинающуюся с квантора д.
Это соответствовало бы истолкованию исходной мы-
сли как атрибутивного суждения «Всякие параллельные
линии (т. е. всякая пара линий) обладают тем свойст-
вом, что существует плоскость... и т. д. *.
Для сопоставления приведем запись того же сужде-
ния на языке обычного исчисления предикатов:
ухуу((Линия (х) Д Линия (у)Д Параллельна (х, y))ZD
ZDg2(Плоскость (г) Д Лежит (х, z) /\Лежит (y,z))). .
Общие правила перевода записи суждений по ука-
занному принципу (будем говорить, что эта запись осу-
ществляется на языке ИПТ) на язык обычного исчисле-
ния предикатов, очевидно, таковы. Всякое выражение
вида
V (х1» • • • - хт)А(х1> • • • > хт) В (Х1> • • • >Хт)
1 Исчисление предикатов с указанным строением формул и со-
ответствующими правилами вывода описано автором в статье
«Опыт построения исчисления предикатов, приближенного к естест-
венному языку» в [64].
74
заменяется на
V*i • V*m И (*1.хт) о В (хх.....xj), а
И(*1» • • • >хт)А(х1г ... ,хт)В(Х1..хт) на
gxi... 3xm (Л (х1( ..., хт) л В (хх.хт)).
Мы установили раньше, что в обычном языке преди-
каторы могут употребляться не только в роли пропози-
циональных функций (формы такого применения теперь
представляют предикаты), но также в качестве поня-
тийных и предметных функций. Остается показать, ка-
ким образом результаты двух последних применений
могут быть выражены через предикаты.
Применение, например, предикатора «спутник» в ро-
ли понятийной функции, положим к Земле, дает «спут-
ник Земли». На языке логики предикатов это, очевидно,
х Спутник (х, Земля).
Пусть вообще дан n-местный предикатор А (п>1).
Как пропозициональная функция он применяется к
n-кам предметов. Каждый из этих предметов относится
к определенному аргументному месту предикатора. По-
ложим теперь, что предикатор применяется в качестве
понятийной функции к предметам аь..., аг, причем для
определенности допустим, что эти предметы относятся
к г последним местам предикатора (1 <г<п). Тогда
результат указанного применения предикатора (значе-
ние его применения как понятийной функции) выразит-
ся в виде: (хь ..., хп_г) Л (xi.xn-r, ai.аг).
Несколько сложнее выразить результат понятийного
применения одноместного предикатора. Причина ослож-
нения состоит в недостаточной ясности смысла выраже-
ний такого рода, как «здание ГУМа» (результат приме-
нения одноместного предикатора «здание» к предмету
ГУМ). Очевидно, в подобных случаях неявно исполь-
зуется также двухместное отношение «принадлежать».
В соответствии с этим предположением «здание ГУМа»
следует выразить тай: х (Здание (х) Д Принадле-
жит (х, ГУМ)).
Выражения вида хЛ(х) (соответственно (xi,...,
..., xm)A(xi,..., хте)), которые мы будем трактовать в
дальнейшем как понятия, представляют собой функции,
в некотором смысле обратные пропозициональным.
А(х) мы рассматривали как пропозициональную функ-
цию, множеством аргументов (областью определения)
75
которой является область значений х, а множеством
значений — множество суждений, получающихся при
заменах х теми или иными постоянными термами. Иначе
говоря, эта функция соотносит каждому предмету а из
множества значений х суждение Л (а) (истинное или
ложное). Выражение хЛ(х) есть функция, которая соот-
носит каждому истинному суждению Л (а) предмет а.
Областью определения ее является множество истинных
суждений вида Л(х), соответствующих различным под-
становкам постоянных термов вместо х, а областью зна-
чений— множество таких предметов, для которых Л(х)
истинно. Например, для х Четное (х) область определе-
ния— это множество суждений Четное (2), Четное (4),
Четное (6) и т. д.; множество значений: 2, 4, 6 и т. д.
Функция вида (xi,.... хто)Л(хь .... хт) соотносит каждому
истинному суждению вида Л (аь ..., ат) m-ку предметов
(аь..., dm).
Для выражения результатов применения предикато-
ров в роли предметных функций, т. е. для выражения
получающихся при этом термов, в логике используется
специальный оператор дескрипции i (i— пере-
вернутое i — йота) или 1-оператор (йота-оператор).
Вообще этот оператор применятся для образования тер-
мов, представляющих собой описательные имена, из
одноместных предикатов. При этом множество истинно-
сти предиката должно представлять собой единичный
класс (иначе применение 1 не имеет смысла). Если Л(х)
есть одноместный предикат, удовлетворяющий указан-
ному условию, то 1 хЛ (х) есть терм (читается: «тот пред-
мет х, который обладает свойством Л») [ЮЗ, стр. 43].
Пусть Л(х)—это предикат уу(х^у), предметная
область х и у — натуральные числа. Тогда 'Х'уу(х^.у)
означает: «то натуральное число, которое меньше или
равно всякому натуральному числу». Денотатом этого
терма является, очевидно, 0.
Но 1 хЛ (х) может быть истолковано как результат
применения i к общему имени хЛ(х), представляюще-
му единичный класс. Возьмем теперь для примера пре-
дикатор «столица». Результат его понятийного примене-
ния к (предмету) СССР есть х Столица (х, СССР).
Результатом применения того же предикатора к (пред-
мету) СССР как предметной функции будет ix Сто-
лица (х, СССР).
76
Итак, мы имеем теперь возможность различать раз-
ные по смыслу выражения, не различаемые в разговор-
ном (например, в русском) языке («столица СССР» как
предикатор-существительное и как терм).
Для наших целей полезно расширить область приме-
нения допустив возможность образования с его помо-
щью термов вида i (xi,...,xn)A(xi,...,хп) — «та п-ка
предметов, предметы которой находятся в отношении Л».
Терм такого рода может быть образован из любого пре-
дикатора (xi,...,xn)A(xi,...,хп), множество истинности
которого W (*ь Xn)A(xi,..., хп) есть единичный класс.
Пример: 1 (х, у) (Мать (х, Сократ) /\уОтец (у, Со-
крат) ) — аналог выражения «родители Сократа».
Кроме того, мы будем применять >-оператор и для
образования имен свойств и отношений (термы-свойст-
ва, термы-отношения, в отличие от только что рассмот-
ренных термов-индивидов). Если предикат Ф (Рп) содер-
жит свободную «-местную предикатную переменную Р
и не содержит никаких других свободных переменных
и при этом есть только одно определенное свойство или
отношение (в зависимости от того, имеет ли Место п=1
или и>1), подстановка которого вместо Р в данный пре-
дикат обращает его в истинное суждение (т. е. выпол-
няющее этот предикат), то i РпФ(Рп) есть имя этого
свойства или отношения.
Пример. Из ух(Р(х)-^Треугольник (х)) получим:
1 Рух(Р (х)-^-Треугольник (х)), это не что иное, как
треугольиость». Однако условие единственности Р из-
лишне при экстенсиональном его понимании (когда все
свойства и отношения с одинаковыми множествами
истинности отождествляются).
Для выделения свойств или отношений из предикатов
в логике применяется обычно оператор % (л а м б д a-о п е-
р а т о р или оператор функциональной абст-
ракции). Положим, имеется предикат А (хь..., хп) со сво-
бодными предметными переменными хь ..., хп (п>0), тогда
X(xi,..., хп)А(Х1,...,хп) будет обозначать отношение (или
свойство, при п=1, а при п=0— просто суждение, кон-
станту «истина» или «ложь»), применение которого в
качестве пропозициональной функции к последователь-
ности предметов Xi,-..., хп дает (в качестве значения
функции) А (х1(..., хп).
Подобным образом посредством ^.-оператора могут
77
выделяться и предметные функции (если вместо преди-
ката Л(Х1...хп) взять переменный терм). См. [103,
стр. 28—29].
Например, из предиката Треугольник (х) получим
%х Треугольник (х). Это то же, что и полученное нами
ранее свойство «треугольность». Однако введенный нами
способ образования описательных имен, свойств и отно-
шений для нас предпочтительнее в силу его однотипно-
сти со способом образования имен индивидов. В том и
другом случае имена образуются из понятий посред-
ством одного и того же оператора.
По существу образование терма представляет собой
операцию выделения предмета из класса — множества
истинности предиката.
Наряду с i-оператором в логике и ее приложениях
применяется оператор неопределенной дес-
крипции т) (эта) (84, стр. 265], иначе ц-оператор. По-
средством этого оператора из любого одноместного пре-
диката А (к) с непустым множеством истинности может
быть образовано выражение цхЛ(х), обозначающее ка-
кой-то (фиксированный, но точно не определенный)
предмет из предметной области х, обладающий свойст-
вом А.
Выражение ч\хА (х) можно истолковать как результат
непосредственного применения т]-оператора к общему
имени хЛ(х). В таком истолковании эта операция пред-
ставляет собой выделение (фиксацию) какого-то пред-
мета из дохЛ(х). Целесообразно расширить область
применения ц-оператора, как сделали это и для i-onepa-
тора. Возможно применять его также к выражениям
вида (xi,..., хп)Л (xi,..., хп) с непустым множеством
истинности. Выражение тЦхь..., хп)Л(Х1,.... хп) означает
какую-то фиксированную n-ку предметов из w(xi. —.
..., х„)Л(хь ..., хп); т]*Л(х), т)(хь ..., хп)Л(хь ..., хп) — это
термы с неопределенным, но фиксированным значением.
Такого рода термы употребляются, в частности, в мате-
матических рассуждениях, когда говорят, например:
«Возьмем какую-нибудь точку на данной линии» или
«Пусть А — какая-нибудь точка данной линии» и в даль-
нейшем рассуждении имеют в виду все время одну
точку.
В дальнейшем (стр. 80) мы будем различать фикси-
рованные и не фиксированные предметные переменные
78
в исчислении.предикатов. Если бы в некоторой системе
применялись переменные вида (xi,..., хп)Л(х1,..., хп), где
п>1 (см. стр. ,49), тогда 1)(хь ...,хп)Л(хь ...,хп) пред-
ставляло бы фиксированную переменную.
Операторы 1, т), к и W, как и кванторы V и Я (кото-
рые также относятся к числу операторов), связывают
в предикатах те переменные, которые стоят непосредст-
венно за ними.
Переменные употребляют часто таким образом, что
одна и та же из них в одной части формулы может быть
свободной, а в других — связанной, или в' различных
частях связанной разными операторами.
Так, вполне осмысленными могут быть выражения
вида:- (v*H(x)ZDB(x,у)) /\ ЗуС(х, У, 'xD(x))); здесь
х и у связаны в одних частях, свободны в других, притом
в разных частях связаны разными операторами (у и 1)-
Имея в виду подобные ситуации, говорят о вхожде-
ниях переменных в выражение (формулу), различая
свободные и связанные вхождения. В приведенном вы-
ражении являются связанными I, 2, 3, 5 и 6-е вхожде-
ния х (считая слева направо, учитывая и вхождения,
непосредственно следующие за оператором, которые
всегда считаются связанными); 4-е вхождение х свобод-
но; причем .1, 2, 3-е связаны оператором V, а5и6-е —
оператором i, 2 и 3-е вхождения у — связаны, 1-е — сво-
бодно. Переменная, имеющая в некотором выражении
только связанные вхождения, по существу уже не яв-
ляется переменной; она не может принимать каких-либо
значений. Вообще (если иметь в виду, что одна пере-
менная может иметь свободные и связанные вхождения)
недопустимы никакие подстановки на места связанных
вхождений переменных.
Обратим внимание на возможность различных истол-
кований выражений, содержащих свободные перемен-
ные. Как мы уже знаем, высказывание А(х) со свобод-
ной предметной переменной представляет собой преди-
кат. Однако при использовании языка оно встречается
в качестве предиката лишь как составная часть других
высказываний (формул) или выражений для понятий,
которые мы эпизодически вводили и будем рассматри-
вать в дальнейшем. Наряду с этим подобные выражения
употребляются (например, в математике) и как само-
стоятельные высказывания. В таком случае Л(х) может
79
представлять собой: 1) утверждение, относящееся к лю-
бому (произвольному) предмету х из соответствующей
предметной области и, следовательно, равносильное
общему суждению ухА(х), которое называют замыка-
нием высказывания А(х), или 2) утверждение, справед-
ливое для какого-то (фиксированного), возможно и не-
известного, предмета из области значений х.
Примером первого случая могут служить формули-
ровки законов в алгебре х+у=у+х, х-у=у-х и др.
Примерами второго являются уравнения (положим,
Зх+6=0); мы можем понимать это как высказывание,
верное для какого-то числа, которое и ищем затем, ре-
шая уравнение.
В этих случаях, очевидно, по-разному используются
переменные. Можно сказать, что в первом случае для х
имеется интерпретация всеобщности, во вто-
ром— условная интерпретация [51, стр. 137] *.
Переменная, имеющая интерпретацию всеобщности, яв-
ляется подлинной переменной; в процессе рассуждения
ей могут придаваться различные значения или же она
может связываться квантором общности (в том и другом
случае, как принято говорить, происходит варьиро-
вание переменной, т. е. использование ее именно как
переменной, допуская возможность различных значений
для нее). Переменная в условной интерпретации по су-
ществу является обозначением какого-то определенного,
но не охарактеризованного явно, предмета. В процессе
рассуждения под знаком х все время должен подразу-
меваться в таком случае один и тот же предмет, поэтому
такие переменные называют также фиксированны-
ми переменными, неопределенными кон-
стантами или параметрами. Значение пара-
метра (фиксированной переменной) не меняется в опре-
деленном рассуждении или контексте (в котором данная
переменная фиксирована). Вне этого контекста он мо-
жет принимать различные значения.
Таким образом, указанное различение в интерпрета-
циях переменных имеет смысл лишь по отношению к
определенному контексту. Контекст, в котором перемен-
1 Интерпретация переменных в предикате, как указывалось уже
раньше (стр. 67), называется предикатной.
80
ная х представляет один и тот же (фиксированный)
предмет, Клини [5.1, стр. 137] называет областью
всеобщности для этой переменной, хотя скорее на-
прашивается название контекст (или область)
фиксированности х. Однако название область
(или контекст) всеобщности отражает то об-
стоятельство, что, несмотря на то, что переменная в
контексте представляет везде один и тот же предмет,
этот предмет произволен; все, что утверждается об этом
предмете в пределах данного контекста, может быть
отнесено к любому предмету из множества значений пе-
ременной. Областью всеобщности переменной х может
быть и отдельная формула (высказывание), и даже
часть формулы.
Формальным образом в таком случае этот контекст
определяется квантором общности. Например, в форму-
ле (ух(Р(х,y)ZDQ(x)) VR(y)) область действия кван-
тора общности — подформула (Р(х, y)Z)Q(x)) — со-
ставляет контекст всеобщности для х. Контекст всеобщ-
ности у явно не определен (возможно, им является вся
данная формула или некоторый, более широкий кон-
текст, например весь вывод, в котором эта формула
используется).
При осуществлении выводов из тех или иных выска-
зываний (посылок), содержащих свободные переменные,
с переменными обращаются в зависимости от смысла
высказываний и, следовательно, в зависимости от
интерпретации переменных, если она заранее определе-
на. С другой стороны, характер обращения с перемен-
ными в выводе указывает на смысл употребляемых в
нем высказываний.
Прежде чем перейти к описанию языка исчисления
предикатов, нам нужно остановиться на функциональ-
ной характеристике кванторов. Эти операторы могут
рассматриваться как пропозициональные функции (опе-
рации), областью определения которых является множе-
ство одноместных предикатов.
Результатом применения квантора общности V (со
знаком переменной е) к предикату Л(е), содержащему
одну свободную переменную 8, является суждение
уеЛ(е). Это суждение истинно в том и только в том
случае, если А (в) (как функция в) принимает значения
«истина» для каждого значения 8 (т. е. если множество
81
истинности А(г,) совпадает с множеством значений в).
В противном случае суждение увЛ (в) — ложно. Резуль-
татом применения квантора существования Н (со зна-
ком в) к тому же предикату является суждение зеЛ(е),
истинное в том и только в том случае, если Л (в) прини-
мает значение «истина» хотя бы для одного значения в
(т. е. если множество истинности Л(е) не является пу-
стым). В противном случае указанное суждение ложно.
При формализации логических связей (осуществляе-
мой посредством построения формализованных логиче-
ских языков) обычным является экстенсиональ-
ный (объемный) подход к ним. При таком подходе логи-
ческие связки СЭ, V» А»—) рассматриваются как функ-
ции, областью определения которых, как и областью
значений, является множество {И, Л} (истина и ложь)
(см. таблицу на стр. 58).
Предикат Л (в) трактуется как функция, областью
значений которой является то же множество {И, Л}, а
областью определения — множество возможных значе-
ний в. Предикаты, таким образом, не различаются по
смыслу. Все предикаты, представляющие одну и ту же
функцию, отождествляются.
Перейдем теперь к описанию исчисления пре-
дикатов. В качестве исходных символов для построе-
ния формул исчисления нужны переменные различных
семантических категорий, знаки логических операций,
а также знаки (несобственные символы), определяю-
щие последовательность логических операций в выска-
зываниях (обычно для этой роли употребляются скобки).
Можно выбрать, например, следующие символы.
1. Пропозициональные переменные р, q, г, s и те же
знаки с нижними числовыми индексами (pt, q\, rlt si,
P2, •••).
2. Предметные переменные x, у, zfu,v и те же знаки
с нижними числовыми индексами (xi, у\, Z\, и\, х2,...).
3. Предикатные переменные с различными числами
мест (на которые указывают верхние индексы): Р1, Q1,
Pl, S1, Р2, Q2, Р2, S2,... и те же знаки с нижними число-
выми индексами (Pi1, Qi1, PS,...).
4. Фиксированные предметные переменные (или
предметные параметры) a, b, с, d, ... и те же знаки с
нижними числовыми индексами (ai, &i, й, du...), кото-
рые будут употребляться в случаях, когда надо явным
82
образом указать на то, что некоторая переменная в
формуле представляет определенный предмет. Специ-
ально для описания правил вывода введем знаки пред-
метных .функций — фиксированные функциональные
переменные (или функциональные параметры)
^2> • • • > /р /г1 • • • Верхние индексы указывают число
аргументов функций. Нольаргументные функции
fi'iv • • • — это то же, что фиксированные предметные
переменные (параметры). В отличие от а, b, с, d они
(как и другие из только что введенных функциональных
параметров) будут встречаться лишь в некоторых про-
межуточных формулах того или иного вывода.
5. Знаки логических операций: Z>, Д, V. —» V» Я
(соответственно импликация, конъюнкция, дизъюнкция,
отрицание, квантор общности и квантор существования).
6. Скобки: (, ) (левая и правая).
При описании формул будет использоваться понятие
терма. К числу термов в самом формализованном языке
будут относиться: предметные переменные х, у, z, Xi
и т. д., фиксированные переменные a, b, с, d, е, g, ay
bi и т. д., нольместные функциональные переменные
и т. д., а также выражения вида /“(си,.... ат),
где — какая-нибудь из m-местных функциональных
переменных, a си,..., а™.— предметные переменные.
В применениях языка (в частности, для выражения
понятий) мы будем употреблять в числе термов имена
отдельных предметов (в частности, цифры ,1, 2, 3 и т. д.),
результаты применения предметных функций к некото-
рым термам, т. е. выражения вида <pm(/i,.... tm), где <pm —
m-местная предметная функция, а Л, ..., tm — термы, вы-
ражения классов, образованные посредством оператора
множества (до); термами являются, конечно, и выраже-
ния, образованные с помощью операторов i и л (хотя
они применяются обычнр лишь как сокращения для вы-
ражений некоторых других типов).
При построении той или иной формальной теории на
базе исчисления предикатов понятие терма определяет-
ся формально, применительно к потребностям этой тео-
рии. В данном случае мы должны будем ограничиться
приведенными здесь и ранее содержательными характе-
ристиками этого понятия.
83
Понятие формулы *.
1. Пропозициональные переменные суть формулы.
2. Если Рп п-местная предикатная переменная и
Л, ^2,.... tn — термы, то Р (Л, t%,..., tn) — формула.
3. Если А и В — формулы, то (AZ)B), (А/\В),
(А\/В), А — формулы.
4. Если А — формула и а — предметная переменная,
то V аЛ и ЭаЛ — формулы
• Как видим, это определение формулы содержит пе-
речисление возможных правил построения (образова-
ния) формул, а следовательно, и предложений.
Согласно этому определению, кванторы могут связы-
вать лишь предметные переменные. Предикатные и
пропозициональные переменные всегда свободны и пред-
ставляют собой по существу параметры. В любом про-
цессе вывода каждая из них представляет фиксирован-
ное свойство, отношение или предложение. Это соответ-
ствует потребностям конкретных наук, где имеют дело
с определенными свойствами или отношениями. Лишь
в некоторых областях математики (в теории множеств
и тех областях, которые строятся на ее основе) и в ло-
гике возникает потребность иметь утверждения, относя-
щиеся к классам свойств, отношений и высказываний,
в связи с чем возникает надобность вводить кванторы
по предикатным, а также пропозициональным перемен-
ным.
Описанные формулы относятся к языку, который на-
зывают уз ким исчислением предикатов. Если в пунк-
1 Формулы чистого (без дескриптивных постоянных) исчисления
предикатов представляют собой не что иное, как логические формы
предложений (суждений).
Напомним, что логическая форма предложения получается
заменой всех дескриптивных постоянных переменными соответст-
вующих семантических категорий. При подстановке в формулу вме-
сто свободных переменных соответствующих постоянных получает-
ся, наоборот, предложение.
2 Символы п, Р, t, Л, В, а являются метазнаками. Они,
как и средства обычного языка, необходимы для описания строя-
щегося языка. Напомним, что описываемый язык — это язык-объект,
а язык, посредством которого он описывается, является метаязы-
ком. Перечисленные только что знакй представляют собой перемен-
ные метаязыка, их значениями являются соответствующие знаки
языка-объекта. В числе выражений метаязыка мы будем употреб-
лять также выражения вида Л(хь ...,хп), и т. п., кото-
рые будут обозначать любые формулы языка, содержащие свобод-
ные переменные хь ..., хл(п> 1).
84
те 4 приведенного определения формулы вместо уаА из
даЛ введем уеЛ и деЛ, где е — любая (предметная^
пропозициональная, предикатная) переменная описан-
ного языка, получим класс формул языка, который на-
зывают расширенным исчислением предикатов или
исчислением второй ступени.
Дальнейшие расширения осуществляются за счет-
введения предикатных переменных, аргументные места
которых наряду с предметными переменными могут за-
полняться предикатными переменными узкого исчисле-
ния. Это исчисление третьей ступени. Мы ограни-
чимся описанием языка узкого исчисления предикатов,,
хотя в дальнейшем в нескольких случаях воспользуемся
формулами исчисления второй и третьей ступеней.
Применение данного языка для выражения тех или-
иных суждений всегда связано с необходимостью рас-
ширения его за счет введения постоянных (термов, пре-
дикаторов, функциональных констант). Однако для осу-
ществления выводов из тех или иных посылок можно»
обходиться только формулами чистого исчисления пре-
дикатов (т. е. исчисления, в котором нет никаких дес-
криптивных постоянных), поскольку выводимость или-
невыводимость одних суждений из других зависит толь-
ко от их логических форм.
Наличие точного понятия формулы (высказывания)
обеспечивает возможность точной формулировки пра-
вил вывода.
Существуют различные эквивалентные между собой5
системы исчисления предикатов. Для применения в ка-
честве логического аппарата наиболее удобными явля-
ются натуральные системы (системы нату-
рального вывода), содержащие только правила-
вывода (в отличие от аксиоматических систем, где-
наряду с некоторым необходимым минимумом правил
вывода в числе исходных постулатов содержатся аксио-
мы, представляющие собой логические законы).
Приведенная ниже система правил натурального вы-
вода эквивалентна известным системам исчисления пре-
дикатов так называемой классической логики.
Правила натурального вывода получили данное на-
звание в силу близости их к формам рассуждения в
естественных языках. В качестве основных (исходных)
берутся наиболее элементарные формы вывода. Имеется
85.
доказательство того, что из них выводимы любые фор-
мы вывода, обеспечивающие получение из истинных
посылок истинных заключений (в пределах класса вы-
сказываний, определенного правилами образования
формул).
Основные правила представляют собой правила вве-
дения и исключения логических констант. Те и другие
имеются для каждой из логических постоянных, употреб-
ляющихся при построении формул. Для сокращения
правило введения конъюнкции, например, обозначается
Дв, первое правило исключения конъюнкции — Ди, вто-
рое —Л«2; аналогично для других констант.
Под А, В, С подразумеваются любые формулы исчис-
ления предикатов первой ступени; Г, Д обозначают
некоторые множества формул, в частных случаях эти
множества могут быть и пустыми; |---знак следования.
Запись Г|— А обозначает, что имеет место вывод форму-
лы А из Г по правилам системы (читается: «Из формул Г
следует (выводимо) А» или «Если доказаны формулы Г,
то доказано Л»). Иногда (особенно при формулировке
г
исходных правил) вместо ГН А пишут также
в этом случае можно читать: «Если доказаны Г, дока-
зано Л». Вообще черта означает метазнак, заменяющий
содержательно понимаемое выражение «если..., то...».
Запятая между формулами, например в выражении
А, в
XJ\Bf обозначает содержательное «и». Запись ГнЛ, В
(«Из Г следуют А и В») будем понимать как сокращен-
ную запись для двух выводов Г|—Л, и Г\—В.
Буква t будет служить метазнаком для термов, а
а, р, Р], ..., рго — метазнаками для предметных перемен-
ных; выражение Л (а) обозначает любую формулу, ко-
торая может содержать свободные вхождения перемен-
ной а.
Для упрощения записей опускаем внешние скобки в
формулах, когда эти формулы берутся отдельно (не в
составе других формул).
Итак, имеем правила:
/хв ЛДВ
2-А«,— З.Да,:^М
A D
<86
6. v.:^4^-
7. 2) : Ai~в (если из Г и А по правилам си-
’ Г н A^J В с темы, в том числе, возможно, и
с применением данного правила»
следует В, то из Г следует А^В)~
с —* А, А ) В
8- ->и---п---
11.
А^)В
’ BJA
in ___ • А
._а
А
При формулировке правил для кванторов исполь-
зуем понятие подстановки в формулу терма вме-
сто переменной. Формула Д(/) является результатом'
подстановки терма t вместо предметной переменной а
в формулу Л (а), если она получена (или может быть-
получена) в результате замены всех свободных вхожде-
ний а в формуле Л (а) термом t.
Если в формуле Л (а) нет свободных вхождений а,,
то подстановка является тривиальной.
Примеры: 1) формула yz(Hi/P(a, y)Z^Q(a, z)) яв-
ляется результатом подстановки а вместо х в формулу
Vz(gi/P(x, t/)Z)Q(x, z)); 2) результатом подстановки у
вместо х в ту же формулу будет yz fayP(y, у) 1DQ (у, z));
3) при подстановке у вместо z в ту же формулу получим
ее же без изменения (подстановка тривиальна).
Будем говорить, что подстановка является п р а-
вильной, если выполнены условия: а) все свободные
вхождения предметных переменных в t, если таковые
имеются, остаются свободными и в выражении Д(0 и
б) значение, или возможные значения, t принадлежат
области значений а. Условие б имеет смысл лишь при
учете возможности употребления — при применениях
аппарата — предметных переменных с различными (но
не пустыми) областями значений.
В первом из приведенных выше примеров подстанов-
8Г
ка правильна, если а обозначает предмет из области
значений х; во втором случае подстановка неправильна
(из-за невыполнения условия а, ибо у, играющий роль t,
-оказывается связанным); в третьем примере подстанов-
ка правильна (поскольку она тривиальна).
В приложениях исчисления мы можем иметь, напри-
.мер, терм «х+у». Результатом подстановки его вместо х
в формулу w (Р(х,у) V Q(x,y)) будет ^у(Р(х+у, у)\/
V Q(X+«/,«/)); подстановка неправильна, так как вхож-
дение у в терм «х+у» при подстановке этого терма
оказалось связанным.
Правила для кванторов:
12. ув:—АР — ограничена.
Л(0) здесь — результат правильной подстановки 0
вместо а в формулу А (а). В остальном а и 0 — произ-
вольные предметные переменные, не обязательно раз-
личные. Смысл выражения «0 — ограничена» выяснится
ниже. Примеры. По данному правилу из формулы
(х, у) Z)Q (2, х) можем вывести:
1) VxfayP(x,y)TDQ(z, х)), когда в качестве 0 и а
взят х (в этом выводе х ограничена);
2) Vu (З!/^ (°, f/)Z>Q (z> v)), если v> играющая роль а,
.имеет ту же область значений, что и х, выполняющая
роль 0 (х в выводе ограничена);
3) ЧУ fayP (х, у) ZD Q (у, х)), если z и у имеют одну
и ту же область значений (г в выводе ограничена)
и т. п.; но неправилен был бы вывод формулы
yz (ai/P (г, у) ZDQ (z, z)), так как исходная формула
(играющая здесь роль Л(0) с х в качестве 0) не являет-
ся результатом подстановки х вместо z (выполняющего
роль а) в формулу gi/P(z,^)Z)Q(z, z), представляю-
щую собой Л (а).
Указанное условие выбора переменных а и 0 в при-
менении ув равносильно двум следующим: если а отли-
чается от 0, то в Л(0) не должно быть свободных вхож-
дений а и Л (а) должна быть результатом правильной
подстановки а вместо 0 в Л(0).
13 v • УаЛ(а) A(f) — результат правильной подста-
A{t) новки t вместо а в Л (а).
«88
Примеры. Из ух(Р(х,у) /\^zQ(x,z)) можем вы-
вести по этому правилу формулы: Р(х,у) AazQ(x,z)
и Р(У,У) f\tlzQ(y, z) (если область значений у та же»
что их); но неправилен был бы вывод формулы
A(z, y)AazQ(z, z), так как последняя является резуль-
татом неправильной подстановки z (играющего роль t)
вместо х в формулу Р(х,у) AhzQ(x,z).
Из высказывания УхЯ1/(1/<*), где область значе-
ний х и у — действительные числа, выводимо gi/(z/<0),
gi/(i/<5) и т. п., но нельзя вывести ^у(.У<у) (так как
подстановка у вместо х в формулу gi/(t/<x) является
неправильной).
14. q ; (Л Как и в предыдущем случае, A(t) —
' да Л (а) результат правильной подстановки £
вместо а в Л (а).
Когда t имеет несколько вхождений в A(t), мы мо-
жем при применении этого правила выделить только
некоторые (любые) его вхождения; Л (а) является ре-
зультатом замещения выделенных вхождений t в A(t)
переменной а.
Примеры. Из формулы yx(P(x,y)Z3Q(x,y,v)) вы-
водимы по данному правилу '3yyx(P(x,y)'Z)Q(x, у, о))
(у играет роль t и a), azyx(P(x,z)ZDQ(x, i/,v)) (пред-
полагая, что z, выполняющий роль а, имеет ту же об-
ласть значений, что и у, взятый в качестве t, причем
выделено первое его вхождение); но неправилен был бы
вывод формулы э»ух(Р(х, v)Z)Q(x,i/, v)), так как
исходная формула не является результатом подстанов-
ки у (который в данном случае играет роль t) вместо и
(взятого в качестве а) в формулу ух(Р(х, o)OQ(x,у,
Если, например, областью значений переменных
х, у, г являются натуральные (вообще целые или дейст-
вительные) числа, то из высказывания gx(x4-3z=z+3x)
можно вывести: 3^ax(x+3z=z+i/x) (взяв в качестве?
терм «3» и имея в виду его второе вхождение) или
gz/3x(x+i/=z+3x) (взяв в качестве t терм «3z»); но
неправилен был бы вывод высказывания a*/ax(x+3z=
=у), так как в таком случае исходное высказывание
оказывается результатом неправильной подстановки
терма «z+Зх» в выражение gx(x+3z=^).
89
Условия для t и а в, формулировке правила равно-
сильны следующим-: 1) а, если она отлична от t, не
должна иметь свободных вхождений в 4(t); 2) в соста-
ве t не должно быть вхождений переменных, связанных
в A(ty, 3) область значений а должна содержать воз-
можные значения t (см. условие б в определении пра-
вильной подстановки).
15. яа:----Pi> ••• .Pm)---------- д — ограничена.
Л (f™ (Pi..Pm) > Pi. • • • > Pm)
— любая функциональная переменная (из числа
/р /[,..., перечисленных в п. 4 списка исходных сим-
волов);/^1 (₽ьPm) — переменный терм, образованный
из ft заполнением ее аргументных мест предметными
переменными Pi,..., Pm, имеющими свободные вхождения
в исходной формуле. Нижняя формула — результат под-
становки этого терма вместо а в формулу A (a, Рь..., pm) •
Верхний индекс y/J* в выражении /f (Рь ..., рт) при
можно опускать, поскольку на число мест /< ука-
зывает уже число переменных в скобках.
Примеры. Из формулы ЭхР(х,у) выводима
(А («/),#), или Р(Ш,у) и т. п.
Из 3x(P(x)Z)V!/ Q (х> У)) выводима Р (/°) Z)
(/?> !/)•
fT (pi,..., Pm) в формулировке правила я„—это знак
какого-то неопределенного фиксированного предмета из
числа возможных предметов а, существование которых
утверждается в исходной формуле. Ясно, что для раз-
личных значений переменных Рь..., рт предмет (или
предметы) а, для которого верно утверждение
А (а, Рь ..., Pm), может быть не одним и тем же; поэтому
в качестве имени фиксируемого предмета и берется терм
/i (Pl, •••, Pm), указывающий на зависимость (строго го-
воря, не всегда функциональную) предмета от Pl, —, Pm-
Переменная (а. или /“), ограниченная в процессе
некоторого вывода, не может быть использована в этом
выводе вторично для применения ограничивающих ее
правил (соответственно VB и Ии ), за исключением тех
•случаев, когда правило вторично применятся для вывода
из той же формулы. Иначе говоря, одна и та же пере-
50
менная не может быть дважды ограничена в том же
выводе. При этом считаем, что повторение применения
правила V« Для вывода из одной и той же формулы
А (а) или правила gu для вывода из одной и той же
формулы даЛ(а, Рь..., 0т) (с использованием одной и
той же функциональной переменной /р) не создают но-
вых ограничений соответственно переменных а и
Если переменная а, ограниченная в выводе Г1-А,
имеет свободные вхождения в каких-либо формулах из
Г или в заключении А, или если в каких-либо из тех же
формул имеет вхождения функциональная переменная
ограниченная в данном выводе, то вывод не завер-
шен. Таким образом, ограниченные предметные пере-
менные (а) в качестве свободных переменных и ограни-
ченные переменные fi в завершенном выводе могут
встречаться лишь в его промежуточных формулах.
К правилам системы (языка=объекта) добавляются
метаправила, выражающие свойства отношения следо-
вания (Н):
I. Лн А (любая формула следует из самой себя);
II Г|~Л (при добавлении к посылкам выво-
В.ГнЛ да какой-либо формулы выводи- мость сохраняется);
ТТТ В , Г |— А (отношение следования сохраняется
В, Г н А при исключении повторений каких- либо посылок);
1У А,В,С,Г|-Л (отношение следования сохраняется
ь,С,В, ГI—Л при изменении порядка посылок);
V. Г (транзитивность следования).
Можно доказать, что при логической интерпретации1
этой системы (при которой знаки ID, A> V> —» V> 3
рассматриваются соответственно как материальная
импликация, конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, «все»
и «существует»; пропозициональные, предметные, преди-
катные и функциональные переменные понимаются со-
ответственно как переменные для высказываний, пред-
метов, свойств или отношений и предметных функций)’
98
по ее правилам из истинных предложений всегда выво-
дится истинное же предложение.
Все исходные (основные) правила системы, кроме
правила Z>e, являются прямыми. Правило Z)g—
непрямое. Прямые правила указывают на выводи-
мость формул из формул; непрямые дают возможность
заключать о наличии некоторых выводов из наличия
других выводов.
Из основных правил могут быть выведены и дру-
гие— производные правила, в том числе и непря-
мые. Например:
Г С (пРавил0 рассуждения по случаям);
Г, 4 н В, В (правило опровержения «путем сведения к
Г|- А _ абсурду»);
Г. 41- В, В .
—f---------(правило доказательства «от противного»).
Исходные выводы в применении непрямого правила
являются вспомогательными, полученный вы-
вод — результирующим.
Переход от вспомогательных выводов к результирую-
щему связан с исключением некоторых формул из числа
исходных формул вывода. Так, при применении правила
из числа исходных формул вспомогательного выво-
да Г, А j—B исключается А (поскольку в результирую-
щем выводе Г А^В эта формула не содержится уже
в числе исходных).
Пользуясь правилом Z>e, можно получить выводы
вида |— А (вывод формулы А из пустого множества по-
сылок) . Имея, например, вывод А [— В, по правилу
получаем |—A~Z)B (множество Г, имеющееся в форму-
лировке Эв, в данном случае пусто). Вообще, исходя из
вывода Ль...,Ат[— В, m-кратным применением правила
Z>e получим |— ЛО(Л2тЬ...(ЛтЗЭВ) ...). Выводимость
некоторой формулы А из пустого множества посылок
(т. е. наличие вывода НЛ) означает доказуемость
этой формулы в данной логической системе.
Формулы, доказуемые в данной системе, при содержа-
тельном их истолковании (при условии логической ин-
терпретации системы) представляют собой логиче-
ские законы. Каждая такая формула характери-
92
зуется тем, что для любых множеств, выбранных в каче-
стве областей значений предметных переменных, при
подстановке в формулу вместо свободных предметных
переменных произвольных постоянных термов, обозна-
чающих предметы из этих областей, вместо предикатных
переменных — любых предикаторов (с соответствующим
числом мест), определенных на указанных областях, и
вместо пропозициональных переменных — любых пред-
ложений, — она превращается в истинное предложение.
Иначе можно сказать, что такая формула при любых
значениях переменных принимает значение «истина».
В силу этого такие формулы называют также тожде-
ственно истинными.
Если некоторая формула А является доказуемой в
данной системе, то А опровержима в ней; при любых
значениях переменных такая формула будет иметь зна-
чение «ложь» и потому называется также тождест-
венно ложной. Предложения, получаемые из тож-
дественно истинных и ложных формул, называются со-
ответственно логически истинными и логи-
чески ложными.
Формула, не доказуемая и не опровержимая в дан-
ной системе и не являющаяся отрицанием доказуемой
формулы, при одних значениях переменных принимает
значение «истина», при других — «ложь». Она представ-
ляет так называемые фактически истинные и
ложные предложения, валентности которых зависят
от смысла составляющих их дескриптивных терминов,
и могут быть установлены в конечном счете (возможно,
через посредство других предложений) лишь на основе
эмпирических данных.
Когда формулы, не доказуемые в системе, использу-
ются в качестве исходных в выводе, они называются
посылками этого вывода.
В выражении ГН Л, которое встречается в формули-
ровке правил, в числе F могут быть любые формулы.
Однако если Г есть В, Г', где В — формула, выводимая
из пустого множества посылок, а Г' — множество посы-
лок, то имеется вывод из посылок Г'. Действительно,’ по
В; В, Г' и А
метаправилу V: *
Учитывая это, под выводом Г|- А всегда можно
иметь в виду вывод из посылок Г (частным случаем ко-
93
торого являются выводы из пустого множества посы-
лок).
Ограничение переменной а в выводе Г н В содержа-
тельно означает варьирование ее во всех посылках из Г,
где она свободна. По существу никакую из таких посы-
лок нельзя исключить применением какого-либо непря-
мого правила. Этим обусловлены обычные ограничения
в применении непрямых правил в других системах. От-
сутствие этих ограничений в описываемой системе ком-
пенсируется, в частности, введением понятия незавер-
шенного вывода.
При незавершенности вывода не обеспечена истин-
ность заключения при истинности посылок. Например,
согласно Ve, имеем Р(х) Н \хР(х). Отсюда по по-
лучаем Н Р(х) Z) ухР(х) (множество Г, фигурирующее
в формулировке правила в данном случае пусто).
Выводимость формулы P(x)ZDV хР(х) из пустого мно-
жества посылок должна означать, что она истинна при
любых значениях свободных переменных. Однако это не
так. Действительно, пусть область значений х — это
числа, а Р(х) — высказывание «х>5». Тогда Р(х) О
ТЭухР(х) ложно, например, при х=6. Но вывод
Н P(x)Z)\rxP(x) не является завершенным, так как
ограниченная переменная х имеет свободное вхождение
в его заключение.
Для завершения вывода в данном случае надо свя-
зать х. По правилу Ve этого сделать нельзя из-за огра-
ниченности х. Тем самым предотвращается возможность
получения неверного заключения у х(Р(х)^УфхР(х))
или Wi-
no правилу ge можем получить gx (Р (x)Z)Vx^ W) -
Это — тождественно истинная формула.
Логический смысл ограниченности /f1 при примене-
нии ди ясен. Если раз использовано то в другом
случае, имея какую-нибудь формулу g«B(a, Pi,...» 0™}
и применяя ди, мы не можем взять то же так как
предмет а/существование которого утверждается в раз-
ных случаях, не обязательно должен быть одним и тем*
же.
Всякий вывод ГН А полученный в результате при-
менения более чем одного из исходных правил или более
чем однократного применения какого-либо из этих пра-
94
вил, может рассматриваться как производное
правило системы. Такие правила могут применяться
в выводах наряду с основными для сокращения выво-
дов. Если в выводе ГН Л какая-нибудь переменная а
или ограничена и вывод не является завершенным,
то при применении этого правила в каком-либо выводе
также ограничивается указанная переменная.
Правила, при применении которых ограничиваются
переменные (в том числе исходные правила ув и яА
можно назвать слабыми. Например, может быть
выведено слабое производное правило Л(а)Н^(0
(правило подстановки), где а—ограничена.
Действительно, из Л (а) получаем по у® У.аЛ(а)
(причем а ограничивается), а отсюда по уи выводим
Л(/); полученный вывод является, очевидно, незавер-
шенным (так как ограниченная предметная перемен-
ная а содержится свободно в посылке) и, следователь-
но, полученное правило является слабым. Ради удобст-
ва можно записать это правило в виде Л(а)|—°Л(/);
знак а над знаком |— указывает на ограниченность a
в этом выводе (и на то, что а ограничивается в любом
выводе при применении этого правила).
Согласно метаправилам, вывод Г |— Л может быть
определен как некоторая последовательность формул.
Именно.
1. Если в последовательности формул Bi,.... Вт каж-
дая формула есть посылка из множества Г или полу-
чается из предыдущих формул по прямым правилам си-
стемы, то эта последовательность есть вывод Г Н Вт.
2. Если последовательность Bt,..., Вт представляет
собой вывод Г, Л |— Вт, причем все посылки из Г (за
исключением, быть может, повторных их вхождений)
предшествуют в ней формуле Л, то последовательность,
получаемая из нее исключением всех формул от Л до Вт
включительно и присоединением в качестве последней
формулы ЛЗ)Вт, представляет собой вывод Г|—•AZ)Bm.
В последнем случае вывод получается, очевидно, по
правилу ZDe из вспомогательного вывода Г, Л)— Вт. По-
скольку при этом осуществлено исключение посылки Л
вспомогательного вывода, то из этого вывода (при пе-
реходе к результирующему) надо, конечно, исключить
и все формулы, которые могли зависеть от Л.
95
Последовательность формул, представляющую вы-
вод, удобно записывать в виде колонки формул с ана-
лизом вывода (который состоит в указании, являет-
ся ли формула посылкой, получена ли из других, из ка-
ких именно и по какому правилу; в случае применения
указывается исключаемая посылка).
Пример 1. Осуществим вывод А^(В^С), ЛДВ н С.
1. Л 2D (В Э С)— посылка
2. ЛДВ 3. Л — посылка 2, Д«,
4. В — 2, Ди,
5. BDC 6. С -1, 3, Э„ -5, 4, 2Э„
Наличие правила дает возможность использовать
в процессе вывода любые произвольные посылки с по-
следующим их исключением. Так, вывод Г(— Ло(ЛО--«
...) может быть получен из Г, Ль Л2,..., ЛтонВ
m-кратным применением 2D». Второй из этих выводов
является вспомогательным с использованием произволь-
ных посылок Ль..., Ат.
Произвольные посылки будем отмечать знаком ( + )
перед номером формулы, а при исключении каждой про-
извольной посылки указывать ее номер со знаком (—).
Посылки исключаются в порядке, обратном их введе-
нию. При исключении каждой посылки исключаются все
формулы вспомогательного вывода от этой посылки до
формулы, непосредственно предшествующей тому шагу
вывода, на котором осуществлено исключение посылки.
Эти формулы будут выделяться скобкой [. Никакая из
этих формул не может быть использована в последую-
щей части вывода.
Пример 2. Осуществим вывод Л 2D (В Э С) |— (Л В)
Э(ЛЭС).
1. Л Э (В Э С) — посылка
96
— посылка
— 4-2. Az>B
4-3. Л — посылка
4. BZ)C — 1,3,
5. В -2,3, Ои
_6. С — 4,5,3)ц
'' (-3) 7. ЛЭС
(-2) 8. (ЛЭВ)Э(Л2)С)-=><
Последняя формула полученной последовательности
является заключением из всех посылок, не находящихся
в числе исключенных (отчеркнутых знаком [ ) формул.
Полученные в примерах 1 и 2 выводы представляют
собой производные правила.
Приведем в качестве примеров доказательства неко-
торых других производных правил.
В дальнейшем везде, где нет специальных оговорок,
предполагается, что все предметные переменные, ис-
пользуемые в выводах, имеют одну и ту же область зна-
чений.
Пример 3. Л,Л|— В (из противоречащих посылок Л иЛ
следует произвольная формула В).
Доказательство:
1. Л — посылка
2. Л —посылка
4-3. В —посылка
4. Л —посылка
(-3) 5. ВОЛ-Эв
6. Л Э В — 5, —
7. В —6,2,
8. В — 7, —u
4 Е. К- Войшвилло
Пример 4.
уауР А (а, Р) |— уРуа А (а, р).
Доказательство:
1. уауР А (а, р) — посылка
2. урЛ(а, р) — 1, у„
3. Д(а, р) —2, ув
4. уаД(а, р) —3, у,, а — ограничена
5. уруа Д(а, Р) — 4, у,, р — ограничена
Поскольку ограниченные переменные а и р в посылке
и заключении являются связанными, вывод завершен.
Пример 5.
аанрЛ(а, р) Н дрна Л (а, р).
Доказательство:
1. аааР А (а, Р) — посылка
2, ЭМ(/?« 0) — 1» Яи> /? — ограничена
3- Д(/р /°) —2, дв, /“ — ограничена
4. а<хД(а,/“) — 3, а,
5. аРааД(а, Р) — 4, а.
Пример 6.
ЗауР А (а, Р) Н уРаа Д (а> ₽)•
Доказательство:
1. а<хурД(а, р) — посылка
2. урД(/°, р) —1, ди, /о — ограничена
3. Д(/?,р) —2, уа
4. а«Д(а. Р) —з.а,
5. уРаа А (а, р) — 4, у,, р — ограничена
Но уРааД(а, Р) ь даурЛ(а, Р) нельзя доказать.
98
Попытаемся осуществить этот вывод:
1 • УРЛа А («> 0) — посылка
2. даЛ(а, р) — 1,уо .
3. Л(Д(Р), Р) — 2, ди, А —ограничена
4. уР Л(Д(Р), Р) —3, ye, р —ограничена
Следующий шаг, который бы привел к дауРЛ(а, Р),
невозможен, так как правило ав нельзя применить к
формуле 4: она не является результатом правильной
подстановки терма fi(P), который играет здесь роль t
в формулировке правила а8> вместо а в формулу
урЛ(а, Р), как требует ge.
Пример 7.
уа (Л (а) Д В (а)) уа Л (а) Д уа В (а).
Доказательство:
L уа(Л(а) Л В (а))
2. Л (а) ДВ(а)
3. Л (а)
4. уаЛ(а)
5. Л(р)ДВ(р)
6. В(р)
7. уаВ(а)
— посылка
— Ь Уа
— 2, Au,
— 3, ув, а — ограничена
— Ь Уа
3, Да,
— 6, ye, р — ограничена
8. уа Л (а) Д уа В (а) — 4, 7, Ав
Наряду с введенными выше логическими отношения-
ми в обычном языке встречается также отношение экви-
валентности между высказываниями. Обычно оно выра-
жается словами «если и только если..., то...». Мы обо-
значим его знаком — и введем в исчисление предикатов
как производное (определяемое через другие) понятие.
Именно, выражение «Л—В» («если и только если Л,
то В» или «Л эквивалентно В») будет рассматриваться
как сокращение для ((ЛОВ)Д(В;5Л)).
В исчислении предикатов доказуемо правило замены:
Л~ВьСа~Св, где Л и В — формулы, С — формула,
4*
99
в которой в качестве подформулы (части С) содержит-
ся формула А; СА означает, что в С выделено какое-
нибудь (любое) из вхождений формулы А, а Св — ре-
зультат замены выделенного вхождения А в С на В.
Если какая-нибудь переменная и имеет свободные
вхождения в формуле А или В и эти ее вхождения свя-
заны в формуле СА или Св, то а ограничена в выводе,
который представляет правило замены.
Например, в качеству С может быть взята формула
ух((Р(х) A32Q(x, z))ZDP(x)). Здесь есть два вхожде-
ния формулы Р(х), которая будет играть роль А. В клас-
сическом исчислении предикатов доказуема эквивалент-
ность А~~А. По правилу замены можем получить:
Р (х) — Р (х) н ух ((Р (х) А (х, z)) Э Р (х)) ~
~ vx ((Р (х) А 3ZQ (х» *)) О Р (х))-
Переменная х в выводе ограничена и, поскольку она
свободна в исходной формуле, вывод не является завер-
шенным. Однако если использовать ух (Р(х) ~Р (х)) |—
Ь- Р(х)—Р(х) и принять во внимание, что в исчислении
предикатов ух(Р(х)~Р(х)) доказуемо, то получим в
результате:
Н Vх ((Р (х) А Э2С (х, г)) О Р (х)) ~ ух ((Р (х) Д
A3ZQ(X> z))Z?P(x)).
Используя правило замены, легко вывести также
(при тех же условиях относительно А, В, СА, Св)
А^В, СА |— Св, которое можно назвать вторым вариан-
том правила замены. Здесь ограниченными являются
те же переменные, что и в первом варианте правила.
Применение правила замены (и в особенности вто-
рого его варианта) позволяет во многих случаях сущест-
венно сокращать выводы (перечень основных эквива-
лентностей, доказуемых в исчислении предикатов,
см. в [51, § 27, 35]).
ГЛАВА II
§ 5. Понятие как форма мышления. Понятие и слово.
Связь понятия с другими формами мысли
Понятие обычно определяют как одну из основных
форм мышления; этим подчеркивается важная роль его
в познании. Переход от чувственной ступени познания
к абстрактному мышлению характеризуется прежде
всего как переход от отражения мира в форме ощуще-
ний, восприятий и представлений к отражению его в
понятиях и на их основе в суждениях и других логиче-
ских формах. Само мышление, таким образом, может
рассматриваться как процесс оперирования понятиями;
именно благодаря понятиям мышление приобретает ха-
рактер обобщенного отражения действительности.
Ф. Энгельс подчеркивает, что «результаты, в кото-
рых обобщаются данные его (естествознания. — Е. В.)
опыта, суть понятия...» (70, стр. 14]. Согласно характери-
стике В. И. Ленина, «понятия высший продукт мозга,
высшего продукта материи» [61, стр. 157].
Естественно, что в логике большое внимание уделя-
лось понятию. Учение о понятии составляет один из
главных разделов традиционной логики. Однако в ана-
лизе этой формы в сравнении с другими (суждением,
умозаключением) имеется больше всего неясностей.
Остается невыясненным основное: что представляет со-
бой понятие как форма мысли? Это положение находит
отражение при попытках определения понятия. В нашей
101
учебной и специальной логической и философской лите-
ратуре наиболее распространенным является определе-
ние понятия как формы мысли, представляющей собой
отражение предметов и явлений со стороны их сущест-
венных признаков. Понятие есть «форма мышления,
отражающая и фиксирующая существенные признаки
вещей и явлений объективной действительности»
[90, стр. 75]. «Понятие — мысль, отражающая сущест-
венные признаки предметов» [7, стр. 94]. «Понятие в
марксистском его понимании есть итог, результат обоб-
щения явлений, их свойств, признаков, закономерных
связей» [88, стр. 205]. «Научное понятие как форма логи-
ческого мышления является концентрированным отра-
жением внутренних, существенных, определяющих
свойств и закономерных связей предметов материально-
го мира» [55, стр. 3].
Во всех этих определениях понятия оно не выделяет-
ся из множества других форм мысли, в ’йсгностйJre
отличается от суждения. И в суждениях, конечно, могут
отражатьсяГ^ТГ действительности часто отражаются,
существенные свойства, закономерные связи предметов
и явлений; в суждениях также осуществляются обобще-
ния, они могут представлять собой итоги познания
и т. п. Иначе говоря, все черты, которыми характери-
зуются здесь понятия, не исключены и у суждений. Меж-
ду тем все упомянутые авторы, судя по всему, подразу-
мевают под понятием особую, отличную от суждения
форму мысли.
Не выясняет вопроса также принятое у некоторых
польских авторов определение понятия как смыслового
значения имени!. «Значение имени мы называем поня-
тием», — пишет К. Айдукевич. Понятие лошади есть
значение имени «лошадь», понятие треугольника есть
значение имени «треугольник» и т. д. [1, стр. 18]. Значе-
ние же имени (слова), согласно приведенному здесь же
(стр. 15) разъяснению, есть установившийся в данном
языке способ понимания слова. Аналогично у Котар-
биньского: «Содержание понятия, соответствующего
имени «М», — это все равно, что и значение имени «А1»...
«Ян имеет понятие, соответствующее термину (обороту,
1 Под термином «смысловое значение» здесь имеется в виду то,
что мы подразумевали, употребляя термин «смысл». Айдукевич я
некоторые другие авторы при этом употребляют термин «значение»^
102
слову) А». Это то же, что «Ян понимает термин А»»
[53, стр. 270—271].
Едва ли обороты «понимать термин», «способ пони-
мания» более ясны, чем слово «понятие». Известно, что
разные бывают степени понимания слов, а тем более
различны представления о том, что значит понимать
слово. К тому же в понятиях представлено прежде все-
го понимание некоторых предметов и явлений. Понятие
треугольника представляет собой, очевидно, некоторое
знание о треугольниках и степень понимания слова
«треугольник» зависит от того, насколько отчетливо это
знание. С материалистической точки зрения понимание
(смысл) слов естественнее выводить из понимания пред-
метов, а здесь уже возникает проблема отражения.
Главное в проблеме понятия состоит именно в том, что-
бы выяснить его специфику как формы отражения мира
и уяснить тем самым его роль в процессе познания, а
также и в формировании (в понимании, усвоении) язы-
ка. Можно согласиться с тем, что смысловое содержание
имени представляет собой понятие, но надо объяснить,
что представляют собой эти смысловые содержания и
как они формируются. Это приводит к необходимости
исследования понятий как самостоятельных объектов.
Айдукевич, например, поясняет, что имя приобретает
отчетливое значение (а, видимо, только при наличии та-
кого значения и можно говорить об установившемся
понимании имени) посредством его определения. Опре-
деление же, как принято считать, вводит некоторое по-
нятие. Известно и то, что в науке термины нередко
вводятся для выражения уже сформировавшихся поня-
тий. В таком случае понятие становится см»^1рвмм зна-
чением термина ц определяет его понимани£_Мы вынуж-
дены рассматривать, следдвЗТелгаи; пинУГгие как нечто,
отличное от значения термина (по крайней мере данно-
го термина).
Одно и то же понятие имеет разные формы выраже-
ния в различных языках, а зачастую и в пределах одно-
го языка. Таким образом, понятие оказывается чем-то
общим, определяющим значения различных имен. Чтобы
уяснить это общее, необходимо рассматривать понятие
как нечто самостоятельное. «Быть значением слова» —
это двухместный предикат, «быть понятием» — одномест-
ный. Некоторая мысль, представленная в определенной
103
словесной форме, есть понятие. Можно представить ее
во многих других знаковых формах (в естественных или
искусственных языках), являющихся переводами одних
в другие, и мы будем иметь все то же понятие. Разные
формы как раз и признаются переводами друг друга в
силу того, что выражают одно и то же понятие.
В языке обычны, правда, такие выражения, как «по-
нятие треугольника», «понятие натурального числа», где
термин «понятие» употребляется как будто в качестве
двухместного предикатора. Однако указанное примене-
ние слова «понятие» аналогично, например, употребле-
нию слова «здание» в выражении «здание ГУМа». «По-
нятие треугольника» может означать «понятие, которое
связывается со словом „треугольник” или приписывает-
ся этому слову в качестве смысла». Возможно это выра-
жение интерпретировать и как «знание того, что пред-
ставляют собой предметы, обозначаемые словом „тре-
угольник”» (хотя для выражения этого смысла употреб-
ляют обычно словосочетание «понятие о треугольни-
ках»). В этих интерпретациях сам термин «понятие»
имеет разный смысл, но в том и другом случае он пред-
ставляет собой одноместный предикатор.
Согласно приведенной выше схеме Т. Котарбиньско-
го, «Ян имеет понятие преступления» означает лишь то,
что Ян понимает слово «преступление», и если Ян не
понимает, например, слова «Verbrechen», то он не имеет
выражаемого этим словом понятия, т. е. понятия пре-
ступления!
Заметив уязвимость указанной схемы, автор исправ-
ляет ее в другом месте. Согласно уточненному опреде-
лению: «У Яна есть понятие преступления» означает
лишь то, что «Ян понимает слово „преступление” или
какое-либо другое, равнозначное ему». К этому теперь
добавляется пояснение: «А понимает данное слово тот
и только тот, кто по меньшей мере наглядно уясняет
себе, что оно значит; следовательно, понимает^ напри-
мер, данное название тот и только тот, кто по меньшей
мере наглядно отдает себе отчет в том, какая совокуп-
ность признаков приписывается объекту, о котором это
слово высказывается» [53, стр. 637].
Вместо «отдавать себе отчет в том, какая совокуп-
ность признаков приписывается объекту...» в данном
случае точнее было бы употребить «знать, по ка-
104
ким признакам выделяется объект...». Но сама мысль,
представляющая собой результат выделения объекта по
определенным признакам, и есть, собственно, понятие,
а понимание слова — есть знание того, что оно выра-
жает это понятие.
По Котарбиньскому, Ян имеет понятие преступления,
если он знает, например, что словом «преступление»
обозначается общественно опасное действие или бездей-
ствие. Представим себе, что Ян знает о существовании
общественно опасных действий или бездействий, но не
знает, что слово «преступление» обозначает именно та-
кого рода действия, и (не владея, например, никакими
другими языками, кроме русского) не понимает никаких
других слов, обозначающих то же самое. Значит ли это,
что Ян не имеет понятия преступления? Ян может не
понимать слова «преступление», «Verbrechen» (нем.),
«crime» (англ.) и т. д. и все-таки иметь понятие, выра-
жаемое этими словами. Все дело в том, что для понима-
ния слова необходимо не только иметь выражаемое им
понятие, но и знать, что это слово выражает данное
понятие.
Наконец, рассмотрим следующую ситуацию: Ян и
Марк оба понимают слово «идеал». Однако один имеет
в виду под ним «мыслимый предел желаний, стремле-
ний», другой — известное, выражаемое этим термином,
понятие алгебры. Значит ли это, что один из них имеет
неверное понятие идеала? Ясно, что нет. Просто одно и
то же слово в разных случаях связывается с разными
понятиями.
Так, разными путями мы приходим к одному и тому
же выводу о необходимости рассматривать понятие как
самостоятельный объект, как специфическую форму
мысли, а тем самым и как специфическую форму отра-
жения действительности в мышлении.
Т. Котарбиньский решительно выступает против мни-
мых имен и объектов. «Понятие само по себе» как обо-
значение некоторого самостоятельного объекта он отно-
сит к числу мнимых имен; объект этого имени с его
точки зрения представляет собой типичный гипостаз.
Эта характеристика вполне справедлива по отношению
к понятиям в представлении философов (Платона, Ге-
геля, Гуссерля, реалистов), которые рассматривают их
как объективно самостоятельные сущности, обладающие
105
бытием вне мышления людей и вне языка. Однако как
абстракция, как выделенный мыслью момент познания
(хотя бы и превращенный в самостоятельный объект
рассмотрения и потому получающий специальное на-
звание) понятие по праву занимает место в числе объ-
ектов научного исследования.
Подойдем к делу с практической точки зрения: ана-
лизируя сложившийся в языке способ понимания неко-
торого имени, мы уже выделяем этот способ понимания
как самостоятельный объект (и притом оказывается, что
он представляет собой способ понимания обозначаемых
именем предметов). Характеристика понятия как смыс-
лового значения термина может быть полезной лишь
постольку, поскольку она указывает путь для выявления
сложившегося и зафиксированного в терминах языка по-
нятия, но она не дает ответа на вопрос о том, что такое
понятие вообще.
Нам надо выяснить понятие о самом понятии. При-
веденные определения польских логиков указывают нам
направление поисков: надо установить сложившийся
способ понимания термина «понятие». Однако мы долж-
ны иметь в виду, что если даже такое понимание дейст-
вительно оформилось, то оно представляет собой лишь
некоторый этап в развитии понятия «понятие». Задача
исследования состоит, в частности, в уточнении и углуб-
лении имеющихся понятий, и для этого необходим уже,
конечно, выход за пределы анализа языка.
В случае с термином «понятие» оказывается к тому
же, что этот термин употребляется (и употреблялся) в
логике, философии и конкретных науках в различных
более или менее определенных смыслах. А. С. Ахманов,
например, обращает внимание на то, что в традицион-
ной логике слово «понятие» употребляется в двух зна-
чениях: «1) С одной стороны, под понятием разумеют
законченную мысль о предмете или о множестве пред-
метов в их существенных признаках — мысль, отвечаю-
щую на вопрос «что это?»; 2) с другой стороны, под
понятием разумеют всякое необразное, отвлеченное от
условий восприятия предмета в определенный момент
времени и в определенном пункте пространства содер-
жание мысли», т. е., говоря проще, любое значение тер-
мина, будет ли этим значением мыслимая сущность,
качество, отношение или что-либо другое. Такое форма1
106
лизованное понятие является лишь элементом закончен-
ной мысли, требующим развития в ответе на вопрос:
«что это такое?». А. С. Ахманов устанавливает, что оба
эти смысла были выделены Аристотелем, у которого для
обозначения их употреблялись различные термины. По-
нятие в первом смысле называлось «логос», во втором—
«ноэма» [6, стр. 75—76].
Рассмотрим эти значения термина, а также и неко-
торые другие, не учтенные здесь (и встречающиеся от-
нюдь не только в школьной логике).
1. Понятием называют мысль, представляющую со-
бой знание сущности тех или иных качественно особых
предметов, ответ на вопрос о.том, что представляют со-
бой эти предметы по существу. Понятие в этом смыс-
ле — особое суждение, отличающееся от обычных лишь
тем, что здесь идет речь о сущности предмета.
Суждения такого рода известны в истории логики
как реальные определения предметов, Приме-
ром может служить суждение, выражающее выяснен-
ную К. Марксом сущность капитализма: «Капитализм
представляет собой общественно-экономическую форма-
цию, в которой господствуют товарные отношения тако-
го типа, когда товаром стала рабочая сила». Можно
напомнить также определение В. И. Лениным империа-
лизма и другие суждения такого рода.
П. С. Попов считает такие мысли понятиями в тес-
ном, или научном, смысле слова [79, стр. 72—73],
[78, стр. 167]. Подобным образом понимает термин «по-
нятие» и П. В. Копнин [52, стр. 45, 48—50]. Согласно
его определению, «понятие — это суждение, предикатом
которого является мысль о всеобщем в явлении».
Вопрос о названиях относительно обсуждаемой здесь
проблемы не является принципиальным. Можно, конеч-
но, называть понятием один из видов суждений, хотя
едва ли целесообразно занимать таким образом термин,
введенный для обозначения особой формы мысли.
(Кстати, указание на эту форму имеется, например, и
в только что приведенном определении в словах «мысль
о всеобщем»; являясь предикатом суждения, сама эта
мысль, очевидно, уже не является суждением.) Однако
нельзя согласиться с мнением А. С. Ахманова, что яко-
бы логика в своем учении о понятии имеет в виду поня-
тие в рассматриваемом сейчас смысле [6, стр. 75].
107
Как будет показано дальше, имеется тесная связь
между суждениями о сущности и понятиями, и это, воз-
можно, приводит иногда к тому, что одно принимается
I за другое. Прийти к суждению о сущности предмета —
I значит понять предмет, найти в нем то, что составляет
| основу его специфики. Понятия науки возникают на
I основе такого понимания предметов и явлений.
* 2. Далее, под словом «понятие» (как мы видели)
имеют в виду любую абстракцию, обозначаемую тем
или иным именем, независимо от того, возникла ли эта
абстракция непосредственно в практической деятельно-
сти на основе чувственных данных или является резуль-
татом логического процесса. Так, говорят, например,
«дерево» — это понятие, «человек» — это понятие, неза-
висимо от того, связываются или нет с этими словами
знания о том, что представляют собой по существу обо-
значаемые ими предметы, выделены ли в этих предме-
тах те признаки, которые составляют основу их обобще-
ния, или же имеются лишь более или менее ясные, не-
I расчлененные чувственные образы — представления.
1 Иначе говоря, понятием в этом значении термина
Сказывают просто любой предмет, ставший объектом
X мысли (следовательно, названный и в той или иной ме-
f ре идеализированный. См. стр. 20). Часто в философии
прошлого для этого употреблялся термин «идея». На-
пример, Д. Локк, используя этот термин, указывает, что
под ним подразумевается «все, что является объектом
। мышления человека» [65, стр. 75]. Оперируя таким поня-
} тием, человек может... не иметь о нем понятия. Это
парадоксальное на первый взгляд утверждение означает
лишь то, что дважды употребленный в этой фразе тер-
мин «понятие» имеет в одном и другом случае разные
(значения. Так, А. И. Герцен’в письме «Эмпирия и идеа-
лизм» говорит о существовании в науках понятий, кото-
рые еще не поняты [29, стр. 93]. *
* ъне логики (в повседневной жизни, в философии, в
конкретныхПнауках) последнее аначрипс термина «поня-
тие» является, пожалуй, няибплрр ряспрострянрнным
Нередко в этом смысле его употребляют и в логике,
правда, обычно имея в виду не сами по себе объекты
мысли, а обозначающие их выражения языка, рассмат-
риваемые вместе с их смысловым содержанием.
В одной из работ Лейбница, например, все мыслимое
108
подразделяется на простое и сложное. Под сложным
мыслимым подразумевается высказывание, т. е. предло-
жение, содержащее утверждение или отрицание; про-
стое мыслимое называется понятием [57, стр. 74]. Таким
образом, к числу понятий относятся любые слова, слово-
сочетания, нечто обозначающие, но не содержащие
утверждении или отрицания. Сюда относится все, что
может играть роль терминов (субъектов, предикатов)
суждений. В этом же смысле употребляли слово «поня-
тие» И. Кант (39, стр. 27, 83] и Дж. Милль [73, стр. 390].
Такова же по существу упоминавшаяся выше точка зре-
ния К. Айдукевича [1].
И. Н. Бродский в статье «К вопросу о процессе обра-
зования понятий» [17] доказывает, что большинство по-
нятий возникает непосредственно в практической дея-
тельности прежде, чем осознаются те свойства, которые
составляют основу обобщения соответствующих предме-
тов. Ясно, что автор пользуется термином «понятие» в
том же указанном выше смысле. Но его аргументация
особенно наглядно демонстрирует, что понятие в этом
смысле не является, собственно, формой мышления.
Действительно, как отмечал Маркс, люди непосред-
ственно в практической деятельности выделяют предме-
ты и целые классы предметов и дают им общие назва-
ния в силу способности этих предметов служить удов-
летворению тех или иных потребностей людей. Этот
процесс предшествует теоретическому осмыслению обоб-
щаемых и выделяемых "предметов [69, стр. 369—376].
Подобные образования не относятся еще, очевидно,
к формам мышления. Это абстракции предметов воз-
никающие на чу°^?оцц^& ступени пояняния Они не
являются даже специфическими для людей, если исклю-
чить применение языка (не являющееся здесь сущест-
венным, ибо предметы могут быть представлены просто
в форме общих-лдедсдавдений). Если речь идет о сло-
весноВЯрЗженных общих-..представлениях, то мы имеем
скорее всего здесь дело с формой, переходной пт иуд^-
врнной ступени ппаняний—тг^огической. По-видимому,
говоря о первых формах понятийного мышления,
Г. А. Курсанов имеет в виду йменно такого рода оора-
зования. Вполне можно согласиться с ним, когда он
подчеркивает «непосредственно эмпирический упрпитер»
этих форм и возможность -«с известным основанием
109
рассматривать их в качестве общих представлений»
[55, стр. 30]. /
3. В логике понятие трактуют так же как/ мысль,
представляющую собой обобщение предметов^ явлений
какого-либо класса по определенным (общим для дан-
ных предметов и в совокупности специфическим для
них) признакам (свойствам, качествам, отношениям к
другим предметам и т. д.).
Так, в понятии «треугольник» (евклидовой геомет-
рии) обобщаются предметы, характеризующиеся при-
знаками: геометрические фигуры, плоские, замкнутые,
ограниченные тремя прямыми. Совокупность этих при-
знаков является специфической для треугольников, вы-
деляющей их из множеств других предметов. В понятии
«простое вещество» обобщаются вещества, молекулы ко-
торых состоят из однородных атомов.
Это значение термина «понятие» наиболее близко
соответствует тому, что имеют в виду в теории понятия.
Достаточно обратить внимание на то, что, согласно по-
ложению этой теории, всякое понятие имеет содержа-
ние, под которым подразумевают обычно как раз~сов<^
, купность_ признаков, служащих основой обоби^ния
предметов' '
Рассмотренные в пункте 2 формы, в которых обобще-
ние и выделение предметов происходит без осознания
его основы, если их называть понятиями, окажутся
понятиями без содержания. Впрочем, в целях достиже-
ния общности йКГ миЖно^з определенном условном смыс-
ле приписать некоторое содержание и подвести (также
с определенной долей условности) их тем самым под
категорию понятия; так, положим, мы не знаем, какими
признаками выделяется лошадь из множества других
животных. Это значит, что у нас нет понятия о лошади
в строгом смысле слова. Однако можно считать, что
здесь осуществлено обобщение по признаку «быть ло-
шадью». Таким образом, любое общее слово можно
рассматривпть пДлямячение приЗт^Й||ыгН~?,цЦха;гь этот
прц^наксодержанием выражаемого этим словом~~Поня-
тид/1 Юдобные формы —своего рода |з£ЦЯЖденные слу-
чаи понятия. Подведение некоторого рода^Вйршйденных
объектов под ту или иную категорию'—обычный прием
науки, позволяющий достигать общности утверждений
той или иной теории. Объективно это оправдано в дан-
110
ном случае тем, что эти псевдопонятия имеют некоторые
существенные общие черты с рассматриваемыми сейчас
формам^ и общие с ними функции в познании. Но преж-
де всего\полезно подчеркнуть качественную особенность
рассматриваемых сейчас форм.
В отличие от неосознанных обобщений, эти формы
представляет собой результаты некоторого анализа
предметов и осмысления их специфики. Предметы в по- >
нятии отражаются уже не как некое нерасчлененное
целое (как это осуществляется, например, в форме об-
щего представления), а как нечто, характеризующееся
определенной совокупностью свойств. Совершенно верно *
подчеркивает А. А. Ветров в качестве основной харак- <
терной черты понятий именно их расчлененностк_Г241.
То, что имеется в виду под термином «понятие» в
данном его значении, действительно представляет собой
форму отражения мира, качественно отличную от чувст-
венных форм, и этим обусловлена особая ее роль в по-
знании. Качественное отличие этой формы состоит по
крайней мере в необразном (в смысле наглядности)
отражении. Это специфически словесная форма позна-
ния. Цер'азрывная связьпонятия с языком ооуслошГеня
как ряа АГО^ЙСЧЛРЯРЧИЛГТЫЛ '(-i-odUPM pui'Uлрнрннлгтюл
мыслимого в нем предмета). Невозможно осуществи*
расчленение предмета на отдельные свойства и тем бо
лее выделение определенной совокупности этих свойстр
и отвлечение ее от всего другого, не прибегая к языку
как средству фиксирования и выделения этих свойств
отношений.
Естественно отнести эту форму к числу форм мысли,
если считать формами мысли специфически словесные
(знаковые) формы воспроизведения предметов, явлений
и отношений действительности в сознании. Ясно также,
что данная форма мысли отлична от суждения, ибо не .
содержит утверждения или отрицания чего-либо о чем- 1
либо. Здесь лишь выделяются определенные предметы, \
могущие быть объектами тех или иных суждений.
В домарксистской философии (как, впрочем, и в не-
которых течениях современной буржуазной) часто не
видели качественных различий между формами чувст-
венного отражения мира и формами познания его на
ступени абстрактного мышления. Понятия, в частности,
не отличались от представлений.
111
Все авторы, трактующие понятия в широком смысле
(соответствующем второму из рассмотренных значений
термина), выделяют понятия в описанном только что
смысле лишь как частные случаи обобщений под назва-
нием ясных отчетливых понятий (см., например [57,
стр. 75]; [39, стр. 27]; [73, стр. 599]; [1, стр. 32])7
Уже из первых, приведенных выше определений по-
нятия видно, что многие склонны связывать его с позна-
нием существенного в предметах и явлениях действи-
тельности. Здесь правильно отражается основная тен-
денция в развитии понятий. При формировании научных
понятий в качестве признаков, составляющих основу
обобщения соответствующих предметов, стремятся вы-
делять наиболее существенные свойства и отношения
предметов,’"поЗйаИйе которых позволяет объяснить дру-
гие известные свойства и проявления этих предметов.
Выделение таких основных признаков и объяснение на
этой основе других свойств приводит к тому, что имею-
щаяся совокупность знаний о предметах превращается
в некоторую систему логически взаимосвязанных поло-
жений, а сами предметы представляются в виде опреде-
ленной системы взаимосвязанных свойств. Такую систе-
му знаний также называют иногда понятием (это упо-
требление термина будет рассмотрено ниже).
Именно то, что в понятиях предметы обобщаются
(и .выпепяются) по некоторым
отличает их от ряда других подобных форм, в частности
от описаний. В описаниях (например, тех или иных ви-
дов животных и растений, минералов и т. д.) предметы
также обобщаются и выделяются по определенным
совокупностям признаков, выделяющих их из множеств
других предметов. Однако здесь нет стремления к выбо-
ру существенных черт. Наоборот, предпочтительно То-,
что облегчает- ”?1шпи?игпн? представления чувствен-
ного образа предметов. В понятии осуществляется спе-
циальный отбор из множества известных признаков*!^2"
ких, которые бы определяли остальные, составляя^й£но-
ву качественной-спепифики предметов. Таковой оказы-
вается некоторая минимальная совокупность признаков,
достаточных (но только в данной совокупности), чтобы
отличить определенные предметы от всех остальных.
В современной буржуазной (особенно позитивист-
ской) философии установилось презрительное отноше-
112
ниех понятиям «существенный»- «сущность» И им подоб-
ным. Отчасти ЛО объясняется недостаточной ясностью
их и наличием большого количества философских спе-
куляций \вокруг этих понятий в философии прошлого.
Но главная причина в субъективном идеалистическом
пониманию как окружающего нас мира, так и процесса
его познания.
Вопрекщэтим взглядам наука всегда стремится к по-
знанию существенного. В дальнейшем (§ 6) мы специ-
ально остановимся на понятии существенного. Сейчас
ограничимся лишь общими, предварительными замеча-
ниями, необходимыми для того, чтобы в какой-то мере
выяснить специфику понятия как формы мысли.
Когда мы говорим, что понятие является отражением
предметов по существенным признакам, то допускаем
определенную идеализацию, имея в jRwny nr ионную тен-
денцию в пяапитии и формировании понятий. Однако та
или иная степень идеализации предметов характерна
для всех понятий науки.
Фактически, конечно, не всегда то, что принимается
за существенное, оказывается в действительности тако-
вым. К тому же надо учитывать, что имеются разные
уровни существенного (сущности); есть также различие
между существенным для некоторого предмета самого ,
по себе и существенным лишь в некотором отношении.
4. В ряде случаев понятиями называют упомянутые
выше системы знаний. Именно системы (совокупности) г
знаний "общих свойств и отношений предметов некото-
рого класса, обобщенных (объединенных в одной мысли (
под общим названием) по таким (основным существен-
ным, определяющим) их признакам, из которых в соот- (
ветствии с законами причинных или иных связей логи-
чески выводимы все известные общие свойства (кроме,
быть может, случайных, обусловленных внешними об-
стоятельствами) .
Так, понятием о треугольниках в этом смысле будет
следующая система: определение треугольника (указы-
вающее на то, какие предметы имеются в виду под
данным термином, выделяющее круг этих предметов по
определенным признакам) и совокупность теорем, выра-
жающих общие свойства треугольников, выводимых из
основных указанных в определении признаков.
В качестве другого примера системы такого рода
113
можно указать на созданное К. Марксом понятие 0пи-
тализма. В качестве основных, определяющих признаков
капитализма Маркс выделил следующую совокупность»
заключенную в принятом сейчас определении^ капита-
лизма: общественно-экономическая формация,^ которой
господствуют товарные отношения высшего типа, когда
* товаром стала также рабочая сила. Выявив эти призна-
ки и противоречия товара, Маркс показал, каким обра-
зом они объясняют все специфические черты капитализ-
ма, логически вывел все основные противоречия и зако-
номерности его развития, показав необходимость рево-
люционного перехода его в новую, социалистическую
формацию. По выражению В. И. Ленина, капиталисти-
> ческая формация предстала в освещении Маркса как
живая, со всеми ее отношениями и антагонизмами.
Подобную работу проделал В. И. Ленин по отношению
к империализму.
К такой системе знаний стремится, по-видимому,
каждая наука (ср. системы знаний об атомах, о хими-
ческих элементах, теории чисел, структур, групп и дру-
гие теории математики). Такова, собственно, любая
дедуктивная теория, исследующая предметы того или
иного определенного класса.
. В познании некоторого конкретного целого имеются
всегда, как указывал Маркс, два этапа: 1) разложение
(мысленное) этого целого на отдельные стороны, выде-'
ление некоторых определяющих свойств^ отношений,
т. е. движение «от донкдетдого. дадного в ппедсхавле-
нии, ко все более и оолеетощимабстракцйям, ~к про-
*CT&!iniHM определениям». На этом пути «полное пред-
ставление испаряется до степени абстрактного опреде-
ления»; 2) мысленное воспроизведение пелого да~нвнове
полученных абстракций «как богатой совокупности^ с
многочисленными определениями и отношениями». Та-
ким образом, на втором пути «абстрактные определения
ведут к воспроизведению конкретного посредством
мышления» [68, стр. 726—727].
Результат воспроизведения конкретного в мышле-
нии — это и есть понятие в рассматриваемом смысле.
Именно к такого рода понятиям-системам относится,
по-видимому, характеристика В. И. Лениным понятия
как высшего продукта мозга, высшего продукта мате-
рии.
114
Это значение термина, по всей вероятности, наиболее
соответствует смыслу, который придают слову «поня-
тие» неконкретных науках. Едва ли, конечно, кто-нибудь
из представителей математики согласится считать, что
некто ищеет понятие о треугольниках, если он не знает
ничего, кроме тех признаков, по которым обобщаются
в геометрии эти фигуры. Скорее всего под понятием в
таких случаях разумеют систему знаний.
Используя термин «понятие» в этом смысле, можно
охватить и то, что рассмотрено выше (под пунктом 3).
Понятие как мысль, представляющая собой обобщение
предметов по определенным их признакам, составляет
основу, ядро понятия как системы знаний. Если назвать
понятием систему, то эту мысль можно было бы назвать
понятием, взятом в основном его содер-
жании. Во всяком случае эту форму необходимо вы-
делить особо, ибо она играет в мышлении весьма важ-
ную самостоятельную роль.
Понятие как система знаний представляет собой,
очевидно, форму мышления, способ воспроизведения
предметов и явлений действительности в мышлении.
Однако его трудно назвать мыслью (обычно не принято
называть мыслью целую теорию). Иначе говоря, оно не
есть форма мысли. Понятие же в рассмотренном выше
смысле (понятие, взятое в основном его содержании)
представляет собой определенную мысль (подобные
мысли, например, являются составными частями сужде-
ний и умозаключений). Данная форма мысли есть в то
же время и форма мыслительной деятельности, т. е.
форма мышления, определенный прием в познании пред-
метов и явлений на ступени абстрактного мышления,
хотя и играющий лишь некоторую вспомогательную
роль в общем процессе познания. Это есть специфически
логический способ выделения предметов того или иного
особого качества (класса).
Все только что сказанное объясняет, почему в логике
этой форме мысли уделяется специальное внимание.
В дальнейшем мы будем употреблять термин «понятие»
в данном значении, а для обозначения рассмотренных
систем знания, когда это потребуется, применим выра-
жение «понятие как система знаний».
5. В современной логике широкое распространение
получила идущая от Фреге трактовка понятия как одно-
115
местного предиката; иногда термин «понятие» распро-
страняют на область любых предикатов. Подобное7упо-
требление термина обусловлено спецификой формализо-
ванного языка математической логики — исчисления
предикатов. /
В этом языке, как мы видели, нет прямых/аналогов
общих имен обычного языка, которые и представляют
собой формы выражения понятий. В отличи/ от преди-
катов, общие имена принадлежат к числу обозначающих
выражений. В них мыслятся предметы (в широком смыс-
ле слова, включая свойства и отношения материальных
•вещей, рассматриваемые как объекты мысли).
Иначе говоря, понятия как языковые выражения, взя-
тые с их смысловым содержанием, имеют предметный,
или субстанциальный, характер. В этом отношении
вполне можно присоединиться к мнению А. Тренделен-
бурга, который писал, что «понятие прежде всего суб-
станция» (это, как он разъясняет, может быть и деятель-
ность, но в понятии и деятельность становится вещью:
«воспоминание», «дыхание», «счисление»). «Понятие
есть всеобщее умопредставление субстанции» [94,
стр. 233]. Тренделенбург считал, правда, понятием
любую «духовно воспроизведенную вещь...». Он не раз-
личает, как и многие логики прошлого, предметы, пред-
ставленные собственными именами (термы), и обобще-
ния (общие имена). Более точно, понятие — это отраже-
ние общего, «духовное» воспроизведение предметов
некоторого класса, если говорить словами Тренделен-
бурга. В силу этого понятия (в отличие от термов)
могут играть роль предикатов в суждениях, что Фреге
справедливо считал их отличительным признаком.
Однако Фреге неправильно сводил роль понятий
только к тому, что они могут быть предикатами сужде-
ний, соответствующим образом истолковывая общие
суждения. «Против взгляда относительно предикативно-
го характера понятий, — пишет Фреге, — можно было
бы возразить, ссылаясь на то, что они играют также
роль субъекта. Но и в таких случаях, как, например, в
предложении «Все млекопитающие имеют красную
кровь», нужно признать, что понятие (очевидно, речь
идет о понятии «млекопитающие», играющем роль субъ-
екта в указанном предложении. — Е. В.) имеет преди-
кативную природу, ибо можно сказать: «То, что есть
116
млекопитающее, имеет красную кровь» или «Если млеко-
питающее, то оно имеет красную кровь» [99, стр. 197—
198]. \
Прй\ таком представлении суждения составными час-
тями его вместо понятий «млекопитающее» и «имеющее-
красную кровь» оказываются предикаты «— есть мле-
копитающее» и «— есть имеющее красную кровь». Отож-
дествление этих форм с понятиями и приводит, по-
Фреге, к утверждению о ненасыщенности понятий'
(см. стр. 17 данной работы, а также (99, стр. 138]).
Но и в составе этих форм мы имеем «млекопитаю-
щее», «имеющее красную кровь», т. е. завершенные*
(«насыщенные») выражения, в которых выделяются и-
обобщаются предметы определенных классов. Подобные-
выражения и представляют понятия в обычном языке.
Одна из основных функций понятия в процессе по-
знания состоит именно в том, что оно выделяет (пред-
ставляя в обобщенном виде) предметы некоторого клас-
са по некоторым определенным (как правило, в прин-
ципе существенным) их признакам.
Итак, мы называем понятием мысль, представляю-
щую собой результат обобщения (и выделения) предме-
тов или явлений того или иного класса по более или:
менее существенным (а потому и общим для этих пред-
метов и, в совокупности, специфическим для них, выде-
ляющим их из множества других предметов и явлений)»
признакам. Обобощение достигается за счет отвлечения
от всех индивидуальных особенностей предметов или-
тех или иных групп предметов в пределах данного клас-
са. По существу при этом происходит отождествление
всех предметов по тем их сторонам, которые выделены
в качестве основы обобщения, благодаря чему множест-
во предметов объединяется в одной мысли под одним’
общим для них названием. В понятии «квадрат» мыс-
лится квадрат как таковой — плоская прямоугольная1
фигура с равными сторонами; в понятии «капитализм»—
не английский, не французский и т. д., не домонопо-
листический капитализм, а капитализм вообще, общий’
представитель всех разновидностей капитализма: обще-
ственно-экономическая формация, в которой господст-
вуют товарные отношения высшего типа, именно такого*
типа, когда товаром стала рабочая сила.
Отвлечение (абстрагирование) от различий предме-
11 г
тов при обобщении их в понятии не означает игнорйро^
вания этих различий вообще. Более точно надо сказать,
что происходит отвлечение от того, каковы различия, а
не от самого факта наличия различий. Мы имеем, на-
пример, прямоугольники с равными сторонами и с
неравными сторонами. В понятии «прямоугольник» во-
обще мы не предполагаем ни равенства, ни неравенства
-сторон, но не упускаем из виду и того, что эти различия
имеют место. Вопрос о соотношении сторон остается
просто открытым. Именно в силу этого понятие пред-
оставляет собой не просто отождествление, а обобщение,
л когда мы употребляем слово «прямоугольник», то
имеем в виду не какой-то определенный предмет, а не-
'кий (любой) из прямоугольников.
Применяемый здесь прием абстрагирования (отвле-
чения) отличается от того, посредством которого обра-
зуется абстракция отдельного предмета, обозначаемого
термом. Природа подобных абстракций, правда, доволь-
но неясна. Что, например, имеется в виду, когда упо-
требляется имя «Москва», если в действительности есть
.дореволюционная Москва, Москва вчерашнего и сегод-
няшнего дня и одно имеет мало-общего с другим? Мы
говорим об Аристотеле как древнегреческом философе
таким образом, как будто человек, которого подразуме-
ваем, оставался (по крайней мере после того, как он
стал философом) все время тождественным самому себе.
Даже такие абстракции, как буква «а», слова «Мо-
-сква» или «Аристотель», не так уж просты, поскольку и
-буква, и слово имеют многообразные формы написания
(а слово к тому же можно и написать, и произнести).
Очевидно, введение имени предмета предполагает
отождествление различных состояний предмета, стадий
-его развития (хотя не всегда ясно, каковы основания
отождествления в различных случаях). Но если при
образовании понятия отождествление происходит за
счет отвлечения от того, каковы различия предметов, то
здесь эти различия просто игнорируются. В результате
уже нет обобщения, как это имеет место в понятии.
Можно было бы сказать, что при образовании поня-
тия осуществляется обобщающе-различающее абстраги-
рование, а при образовании терма — отождествляющее
абстрагирование.
Применяя прием отождествляюще-различающего
318
абстрагирования, мы могли бы образовать понятие-
«Москва в какое-то (неопределенное) время ее сущест-
вования». Здесь уже явно имелся бы в виду не опреде-
ленный предмет, а класс предметов (состояний или
стадий развития Москвы). Однажды упоминалась уже-
возможность трактовать «гелий», например, и как терм,
обозначающий определенное вещество, и как общее-
имя, представляющее класс различных порций этого-
вещества. В последнем случае мы имеем понятие как
результат отождествляюще-различающего абстрагиро-
вания. Можно представить себе образование абстракций
предмета как результат «склеивания» всех состояний-
предмета, обобщенных в понятии.
Наряду с указанными видами абстрагирования су-
ществует прием, состоящий в том, что предметы, имею-
щие в действительности некоторое свойство, мыслятся
как лишенные его. Есть более точное название для этого»
приема — идеализация. Результатом идеализации-
являются, например, такие абстрактные объекты, как
«абсолютно упругое тело», «идеальный газ», «абсолютно
черное тело». В математике, логике (особенно конструк-
тивной), в частности в теории алгоритмов, важное зна-
чение имеет «абстракция потенциальной осуществимо-
сти» — допущение того, что осуществление операций
(например, образование натуральных чисел прибавле-
нием единицы к уже полученному числу) может продол-
жаться сколь угодно долго (отвлечение от фактической-
ограниченности возможностей человека).
По существу здесь также применяется прием идеа-
лизации. Идеализация сама по себе не приводит к обоб-
щению.
А. Л. Субботин [90а] трактует прием идеализации как
переход к пределу (например, реальные тела в разной-
степени обладают способностью сохранять деформацию^,
мысленно располагая их в убывающий ряд по этому
свойству, в пределе получим абсолютно упругое тело).
Это хорошо объясняет объективные основания идеали-
зации как приема познания. Однако сам прием состоит-
скорее просто в игнорировании некоторого свойства.
Итак, мы видим, что понятие как мысль вместе-
со словесной формой его выражения является общим
представителем в нашем мышлении предметов некото-
рого класса.
11»
Вместе с тем понятие, как уже говорилось, есть одна
мз форм, в которых осуществляется процесс познания
на ступени абстрактного мышления. При характеристике
понятия как формы мышления важно подчеркнуть, что
юно представляет собой специфически логический способ
выделения некоторого класса предметов. Слово «логи-
ческий» указывает на то, что выделение осуществляется
мысленно и (в отличие от форм чисто чувственного ха-
рактера’ у животных, а также и у человека) по опреде-
ленным существенным признакам; при этом важно под-
черкнуть, что хотя в понятии выделяется класс предме-
тов, объектом мысли является не сам этот класс; объекты
мысли в понятии — предметы класса, представляемые в
обобщенном виде.
Выделение предметов — одна из основных функций
понятия в процессе познания. Выделяемые в понятиях
классы предметов (организмы, растения, животные, ме-
таллы, атомы и т. п.) — это опорные пункты в познании,
вокруг которых концентрируются все знания. По образ-
ному выражению Гегеля, это узлы, которые человек
завязывает (выделяет) в сети природы. Поскольку вся-
кий закон природы представляет собой связь, взаимо-
действие, отношение между предметами или явлениями
тех или иных классов, выделение этих предметов или
явлений (и притом по признакам, определяющим их
качественную специфику и характер их связей) — необ-
ходимое условие его познания.
Когда мы рассуждаем о каком-либо предмете, непо-
средственно данном нам в восприятии, не возникает еще
необходимости как-то особо (логически) выделять и
фиксировать его в нашем сознании. Однако, как прави-
ло, объектами мышления являются предметы и явления,
яе находящиеся в сфере восприятия. В таких случаях
непосредственными представителями предметов в про-
цессе рассуждения являются слова, термины языка, но
лишь постольку, поскольку они связаны с определенны-
ми предметами, поскольку мы знаем, что именно они
обозначают. Любое предложение, — например, «Метал-
лы — химически простые вещества», «Философия есть
-форма общественного сознания», — является суждением
(а не пустой фразой) лишь в том случае, если высказы-
вающий или воспринимающий его так или иначе отдает
себе отчет в том, что именно он называет соответствую-
320
щими словами («металлами», «химически простыми ве-
ществами», «философией», «формами общественного-
сознания»), если он как-то выделяет соответствующие
предметы и явления. В простых случаях связывающим
звеном между словом и предметом является представ-
ление. Представления уже выделяют соответствующие
предметы, через них мы соотносим слова с этими пред-
метами. Но возможности представлений весьма ограни-
чены, сами представления неустойчивы и не всегда от-
четливы. Может быть, металл вообще (или некоторые-
определенные металлы) можно более или менее ясно
представить; о химически простых веществах надо уже
знать, что это такое; такие вещи, как философия, обще-
ственное сознание, потенциал, счетное или несчетное
множество и т. п., можно выделить уже лишь логиче-
ски, в форме понятия. А это и означает, что надо знать,,
по каким именно признакам обобщаются и выделяются
соответствующие предметы и явления. Эти признаки
являются своеобразными логическими координатами,
позволяющими фиксировать предметы и удерживать их:
в сознании в процессах рассуждения.
Кроме того, если некто знает, о чем он высказывает
те или иные суждения, имея предметы лишь в представ-
лении, то он часто (во всех случаях, когда не может
непосредственно указать эти предметы) лишен возмож-
ности передать это знание другому, — в таком случае-
нужны соответствующие понятия о предметах.
Высказывая суждения, мы уже пользуемся понятия-
ми. Они являются элементами суждений. Можно, прав-
да, высказать такие суждения, как «Это — дерево»,.
«Это — человек», имея лишь представления деревьев и-
человека. Очевидно, так и возникают первые суждения-
еще на чувственной ступени познания, таков характер-
суждений ребенка. Но мышление в строгом смысле сло-
ва начинается лишь тогда, когда имеются более или-
менее точные понятия («дерево», «человек»), и сами-
суждения при этом состоят в том, что в отдельном-
устанавливается наличие общих признаков, по которым-
соответствующие предметы (деревья, люди) обобщены
в понятиях.
В суждениях типа «S есть Р» или «Все S суть Р»
(а по существу и в суждениях об отношениях) опреде-
ленные предметы (5) подводятся под те или иные клас-
121:
сы (Р). Если установлена принадлежность предмета
некоторому классу, то возникает возможность распро-
странить на него всю совокупность общих знаний, отно-
сящихся к предметам этого класса (а тем самым исполь-
зовать эти знания и в практической деятельности).
Но подобные суждения могут быть логически обо-
снованными только при условии, если Р представляет
собой более или менее отчетливое понятие. Знание тех
-отличительных признаков, по которым обобщаются и
выделяются предметы в понятии Р, служит логическим
основанием суждения. При отсутствии этого основания
суждение, сколько бы очевидным оно ни казалось, пред-
ставляет собой только мнение отдельного человека или
некоторого круга лиц, а часто не имеет даже определен-
:ного смысла. По-видимому, прав был Гегель, принци-
пиально отличая такие высказывания (под названием
предложений) от суждений [27, стр. 61]. И, конечно, для
понимания смысла суждения надо знать, что такое 3.
Закон постоянства состава гласит: «Всякое химиче-
ское соединение, каким бы путем оно ни было получено,
имеет постоянный состав». В качестве субъекта здесь
подразумевается «одно и то же химическое соединение»
(получаемое разными путями). Очевидно, что для пони-
мания закона нужно знание того, что принимается за
•одно и то же соединение.
Как уже упоминалось, понятие связывает слово с
предметами, которые это слово представляют в мышле-
нии. Во многих случаях, когда, например, речь идет о
предметах, недоступных восприятию, только благодаря
понятию слово становится знаком определенных предме-
тов. Теперь мы можем сказать, что понятие по отноше-
нию к слову есть не что иное, как то, что выше (следуя
Фреге) мы называли смыслом слова. В связи с этим
надо уточнить и само понятие смысла. Мы видим теперь,
что он не является простой совокупностью свойств
(признаков), а представляет собой определенную мысль
о предметах, специфическую форму отражения предме-
тов. Понятие является в таких случаях посредствующим
(связующим) звеном между словом и предметом. Для
слова «квадрат» таковым служит понятие «прямоуголь-
ный четырехугольник с равными сторонами»; для слова
«империализм» — «монополистическая стадия капита-
лизма» и т. д. Обычно, правда, говорят: «„Квадрат”
32'2
есть понятие», «„Империализм” есть понятие» и т. п_
Более точно сказать: «Смысл слова „квадрат” есть по-
нятие».
Понятие, выражаемое словом (т. е. составляющее
смысл слова), является лексическим правилом употреб-
ления этого слова, подчеркивает Л. В. Щерба [107,.
стр. 67].
Смысл может придаваться слову посредством так
называемых номинальных определений, представляю-
щих собой ответ на вопрос о том, что имеют в виду или
будут иметь, употребляя данное слово (что называется
или что будут называть данным словом). Так, вводя в-
курсе физики термин «дифракция», поясняют, что под
ним будут подразумевать явление загибания световых
лучей в область геометрической тени; относительно тер-
мина «перпендикуляр к некоторой прямой» в геометрии
условливаются, что будут обозначать им прямую, со-
ставляющую с данной прямой угол 90°. Нетрудно ви-
деть, что номинальное определение вводит понятие,
которое приписывается некоторому слову в качестве era
смысла ’.
Большинство слов разговорных языков приобретают-
значения (т. е. связываются с предметами) непосредст-
венно в практической деятельности людей. Установив-
шиеся связи передаются из поколения в поколение.
Процесс сознательного совершенствования языка со-
стоит, в частности, в стремлении к уточнению этих свя-
зей. Это достигается выработкой понятий тех предметов,
которые принято обозначать в данном языке теми или
иными словами. Такова, например, работа составителей
толковых словарей; ее результатами являются номи-
нальные определения, посредством которых словам при-
дается более или менее точный смысл.
В литературе часто обсуждается вопрос, все ли слова
1 Почти общепринятым в логике является мнение, что номи-
нальные определения ни истинны и ни ложны, что они суть лишь-
конвенции-относительно способа употребления термина. Вместе с
тем, известно, что определения этого рода употребляются в числе
оснований научных доказательств, а иногда их характеризуют даже
как построения понятий [56, стр. 37].
Очевидно, что конвенциональным в этих определениях является
то, что данному термину приписывается именно это, а не другое
понятие или что именно этот, а не другой термин вводится в каче-
стве сокращения для данного понятия.
12$
выражают понятия. Считается, что выражают их по
крайней мере знаменательные слова [87, стр. 43]; [26,
•стр. 42]. Из предыдущего ясно, что слово выражает по-
нятие, когда осознано, по каким признакам выделяются
представляемые этим словом предметы. Едва ли можно
говорить, например, что слова «кислое», «приятное»
и т. п. выражают понятия (в строгом смысле). К тому
же если вообще в данном языке и уточнен смысл того
или иного слова, то, возможно, не каждому он известен;
таким образом, если в данном языке слово выражает
понятие, то нельзя сказать этого про каждый случай его
употребления.
Имеется много сторонников концепции, согласно ко-
торой смысл слова (или значение слова, как обычно
предпочитают его при этом называть) представляет со-
бой отличную от понятия форму отражения действи-
тельности (см. работы В. А. Звегинцева [37] и А. И. Смир-
яицкого [89]). Иные (например, Л. О. Резников [86],
А. Шафф [105], П. С. Попов [77]) решительно возражают
против такого различения. В этих спорах обычно не
уточняют, в каком смысле употребляют термин «поня-
тие», молчаливо предполагая, что он известен и чуть ли
не общепринят.
Вместе с тем нельзя также решить вопроса, исходя
из следующего, предложенного А. И. Смирницким
(и принимаемого, по свидетельству П. С. Попова [77],
•большинством языковедов за основу) определения зна-
чения слова, согласно которому оно есть «известное ото-
бражение предмета, явления или отношения в созна-
нии.., входящее в структуру слова в качестве так назы-
ваемой внутренней его стороны, по отношению к которой
звучание слова выступает как материальная оболочка,
необходимая не только для выражения значения и для
сообщения его другим людям, но и для самого его воз-
никновения, формирования, существования и развития»
[89, стр. 89]. Неясно, что за форма отражения здесь
имеется в виду? Скорее всего подразумевается та самая
форма, которую мы называем понятием. Автор же упо-
требляет слово «понятие» в каком-то другом смысле.
Трудно уяснить, что значит внутренняя структура
слова. Как мы видели, смысл (значение) слова не нахо-
дится внутри слова, а имеет самостоятельную словесную
•форму выражения. Само слово (например, «квадрат»)
Л 24
вовсе не является материальной оболочкой по отноше-
нию к своему смыслу («прямоугольный четырехугольник
с равными сторонами») и не является .необходимым ни
для его выражения, ни для сообщения другим и, тем
более, для самого его возникновения.
Между прочим, в логической, философской и линг-
вистической литературе часто можно встретить утверж-
дение, что понятие не может возникнуть вне слова, кото-
рое его выражает и т. д. Понятие не может возникать
и существовать вне слова, поскольку оно и есть специ-
фически словесная форма отражения предметов, но оно
нередко возникает и существует без того слова, значе-
нием (смыслом) которого оно может стать. Последнее
вводится как сокращение для выражения уже возник-
шего понятия. Сначала как результат осмысления спе-
цифики определенных фигур может возникнуть понятие
«равносторонний четырехугольник», затем для них мо-
жет быть введено сокращенное название «ромб». Таков
естественный путь введения специальных терминов в
науке. Но в процессе формирования языка преобладает
обратный процесс: на основании представлений непо-
средственно в практической деятельности вводятся сло-
ва для обозначения предметов и лишь позже вырабаты-
ваются соответствующие понятия.
Л. О. Резников пишет: «Хотя весь процесс образова-
ния понятия опирается на словесный строй нашего мыш-
ления и невозможен без слов, но когда понятие только
зарождается, оно может и не быть еще облечено в соот-
ветствующую именно данному понятию словесную фор-
му. Мы иногда подыскиваем наиболее адекватное слово
для возникшего, но еще словесно не оформленного по-
нятия» [86, стр.-13].
В отличие от других авторов, здесь, как мы видим,
допускается по крайней мере возможность возникнове-
ния понятия без специального слова, его выражающего.
Однако автор, очевидно,' преувеличивает роль слов, ко-
торые вводятся как сокращение для некоторого выра-
жения (вроде «квадрат» для соответствующего поня-
тия), когда подчеркивает, что введение таких слов для
понятия «завершает процесс его образования» [86,
стр. 9], что «посредством слова понятие как понятие
приобретает в мышлении особое существование, отлич-
ное от других понятий» [86, стр. .18]. «Равносторонний
126
прямоугольный четырехугольник» — это вполне оформ-
ленное, «имеющее особое существование» и т. п. поня-
тие и без слова «квадрат». Введение сокращенных слов
упрощает оперирование понятиями, способствует, по-ви-
димому, запоминанию понятий и, возможно, важно еще
во многих отношениях, но не является принципиально
необходимым с логической точки зрения. Более близок
к истине по данному вопросу Вуджер. «В развитии си-
стемы, — пишет он, — могут создаваться определенные
комбинации предметных символов (по существу здесь
речь идет о понятиях. — Е. В.).., которые часто прихо-
дится использовать в теоремах. Удобно использовать
вместо этих громоздких комбинаций единый символ, и
все, что делает точное определение (дефиниция), — это
указывает, что этот символ может заменять сложное
выражение, где бы последнее ни встречалось и наоборот.
Такая процедура, таким образом, не предмет необходи-
мости, а скорее предмет удобства. Важно, что опреде-
ленные комбинации... символов имеют особую важность
в системе» [25, стр. 4—5].
Иные авторы решают проблему соотношения поня-
тия и словесного (лексического) значения так: смысло-
вые значения слов — это обыденные, повседневные по-
нятия; научные же понятия «уже не сводятся к простым
значениям слов» [77, стр. 47].
В весьма интересной и оригинальной работе
С. Д. Кацнельсона [46] различаются содержательные и
формальные понятия. Формальным понятием называет-
ся «тот минимум наиболее общих и в то же время отли-
чительных признаков, которые необходимы для выделе-
ния и распознания предметов». «Содержательное поня-
тие идет дальше формального и охватывает все новые
стороны предмета, его свойства и связи с другими пред-
метами» [46, стр. 18]. Формальные понятия, по мнению
автора, и составляют концептуальное ядро лексического
значения слова. Но здесь же оговаривается, что, по су-
ществу, формальное и содержательное понятие — это
лишь две части одного и того же понятия. Судя по все-
му, под содержательным понятием подразумевается
понятие как система знаний, а под формальным — по-
нятие, взятое в основном его содержании (см. стр. 115).
Такое различение и соответствующая ему трактовка
лексического значения слова не вызывают возражения*
126
Однако сам термин «формальное понятие» здесь
едва ли удобен из-за некоторых ассоциаций, которые
могут возникать в связи с его употреблением. Более
естественным было бы употребить его лишь для таких
лексических значений, в которых фиксируются несущест-
венные признаки предметов, хотя и достаточные для
выделения этих предметов.
Вообще при употреблении понятия как средства вы-
деления предметов некоторого класса могут преследо-
ваться разные цели. В некоторых случаях задача состоит
лишь в том, чтобы выяснить область применимости дан-
ного слова, указать критерий для распознавания пред-
ставляемых этим словом предметов, для отличения их
от других предметов. Для этой цели в качестве призна-
ков, по которым выделяются и обобщаются предметы в
понятии, более подходят внешние, чувственно восприни-
маемые, легко выявляемые и различимые признаки.
В других случаях — важно выделить предметы таким
образом, чтобы возникшее понятие наиболее полно пред-
ставляло их в нашем мышлении.
Эта функция понятия весьма существенна в научном
познании. Например, при дедуктивном построении науки
все выводы и доказательства совершаются только на
основе введенных понятий (определенных явно или
неявно в форме соответствующих аксиом). Но, чтобы
понятие представляло соответствующие предметы наи-
более полно, необходимо, чтобы эти предметы были вы-
делены в нем по наиболее существенным признакам, по
таким именно их качествам, свойствам или отношениям
к другим предметам, из которых можно было бы вывести
возможно большее число других признаков данных
предметов. Чем глубже проникает наука в сущность
предметов, тем больше возможностей получает она в
уяснении связей между предметами, в познании законов
природы, в которых проявляется эта сущность.
Таким образом, здесь, выявляются разные функции
понятия. С одной стороны, оно выступает лишь как
средство выделения предметов, с другой — является
представителем обобщаемого в нем класса предметов в
научном познании. Требования, предъявляемые к нему
в том и другом случае, находятся в противоречии меж-
ду собой. В зависимости от цели, которой служит поня-
тие, различными могут быть и основания обобщения
127
одних и тех же предметов в понятии. Обобщая, напри-
мер, химически простые вещества в понятии «вещества,
молекулы которых состоят из однородных атомов», мы
отражаем весьма существенные черты этих веществ,
позволяющие объяснить многие особенности их прояв-
лений в химических реакциях и других связях и отноше-
ниях. Однако не так просто использовать указанные
здесь признаки для распознавания простых веществ.
Для этой цели, как известно, используют другие при-
знаки (неразложимость в химических реакциях и др.).
Естественно, что определения в толковых словарях,
когда задача состоит лишь в выделении обозначаемых
словами предметов, существенно отличаются от таковых
в энциклопедических словарях. Введенный С. Д. Кац-
нельсоном термин «формальные понятия» скорее подо-
шел бы для понятий, которые сообщаются в первом
случае. Эти же понятия, если угодно, можно назвать
«обыденными», «повседневными», в отличие от научных.
Однако смысл слова, термина может составлять и
научное понятие. Под термином «счетное множество» в
математике подразумевают «множество, эквивалентное
множеству натуральных чисел». Это, конечно, не «обы-
денное» понятие.
Итак, нет никакой принципиальной разницы -между
«обыденными» и научными понятиями по их форме. Раз-
личие может быть только в степени точности и глубине
отражения.
Один из аргументов против отождествления смысла
слова с понятием состоит в том, что одно и то же слово
может иметь в разных контекстах различные смысловые
значения. Но это означает только то, что одно и то же
слово в разных случаях выражает разные понятия.
Характеризуя понятие как способ выделения предме-
тов, мы отличаем его от суждения. Выделяя что-либо,
мы ничего о нем не утверждаем и не отрицаем. Однако
здесь мы сразу встречаемся с противоположным мне-
нием. «Мы не можем, — пишет Л. О. Резников, — при-
знать правильным традиционное различение суждения
и понятия в том отношении, что в суждении утверж-
дается (или отрицается) ...чего-либо, тогда как в поня-
тии предмет лишь мыслится...» [85, стр. 45]. Автор счи-
тает, что утверждение в скрытой форме содержится и в
понятии. Здесь поднимается весьма принципиальный
128
вопрос, имеющий теоретическое и практическое значение.
Поэтому следуёт остановиться на нем подробнее. «По-
нятие, — пишет далее Л. О. Резников, поясняя свою
мысль, — существует лишь при условии: 1) наличия
мыслимого предмета; 2) наличия мыслимого в этом
предмете содержания (совокупность существенных при-
знаков); 3) отнесения данного содержания к предмету,
посредством чего определяется (характеризуется) при-
рода предмета. Это отнесение несомненно есть форма
мысленного утверждения» [85, стр. 45].
Итак, есть мыслимый предмет и мыслимое содержа-
ние. Но что представляет собой предмет без содержа-
ния? Может ли он вообще мыслиться иначе, как харак-
теризуемый какими-либо признаками и выделяемый по
ним? В процессе познания могут быть, очевидно, две
ситуации:
1. Предмет дан в представлении (или непосредствен-
но в восприятии); в результате анализа выделяется не-
которая совокупность признаков (мыслимое содержа-
ние). Тогда мысль, в которой фиксируется наличие этих
признаков у предмета (осуществляется отнесение дан-
ного содержания к предмету, что может быть осуществ-
лено только в форме утверждения, конечно), есть обыч-
ное суждение.
2. Предмет выделен по некоторым признакам в фор-
ме описания или понятия; анализ его приводит к выяв-
лению новых признаков. Мысль, фиксирующая наличие
этих признаков, опять-таки есть суждение.
Как в случае 1, так и в случае 2, установив и выра-
зив в суждении наличие у предмета некоторых призна-
ков, можно взять их в качестве основания для выделе-
ния предмета в дальнейшем. В первом случае осуществ-
ляется переход от представления к понятию о предмете,
во втором — переход от описания к понятию или от
одного понятия к другому (может быть, более глубоко-
му). Но понятие уже не ‘будет представлять собой ни
скрытого, ни явного утверждения.
Л. О. Резников ошибочно, как нам кажется, пола-
гает, что предмет может мыслиться без содержания, что
его можно мыслить и соотносить с ним что-то (утверж-
дать о нем что-либо), не выделяя его по каким-либо
определенным признакам, даже в тех случаях, когда oii
не дан в восприятии или представлении.
5 Е. К- Войшвилло 12ЙЙ
Для того чтобы можно было высказать что-либо
(утверждать или отрицать что-либо) о предмете, он
должен быть так или иначе выделен и зафиксирован.
Мысль, если она даже имеет вид утверждения чего-то
о чем-то, не является суждением, если неизвестно, к чему
она относится. «Аберрация есть видимое изменение по-
ложения звезд на небесной сфере», — это может пони-
маться только как ответ на вопрос, что называется
«аберрацией», если значение этого слова еще не уста-
новлено. Таков смысл всех номинальных определений,
которые нередко трактуют как суждения (и утвержда-
ют, что каждое определение есть суждение). Часто воз-
никают бесплодные словесные споры и обсуждения из-за
того, что неизвестно, что является объектом обсуждения
(оперируют словом, за которым либо вообще нет ничего
определенного, либо разные объекты у разных спорящих
сторон). Например, некто (назовем его Af) отстаивает
взгляд, согласно которому слово не может иметь раз-
личных значений: один и тот же звуковой комплекс с
разными значениями — это, по его мнению, разные
слова. Однако он не указывает (и сам, по-видимому, не
задумывался над этим), что имеет в виду под словом
«слово». Словом можно назвать звуковой или графиче-
ский комплекс независимо от его значения, подобно
тому, как это делается в современной логике (в частно-
сти, в теории алгоритмов), где словом (в некотором
алфавите) называют последовательность знаков данно-
го алфавита. В таком случае сразу обнаружится лож-
ность указанного утверждения N. Если же под «словом»
иметь в виду звуковой (или графический) комплекс с
определенным значением (как часто делается в лингви-
стике), то утверждение N просто тривиально. Таким
образом, если и имело бы смысл спорить с N, то лишь
о том, как целесообразно употребить слово «слово»
(что связано с вопросом о том, целесообразно ли для
решения тех или иных проблем выделять в качестве
самостоятельного объекта звуковой или графический
комплекс сам по себе или полезнее его рассматривать
только вместе со значением). Но это уже спор совсем
другого рода.
Слова не закреплены за предметами от природы.
Одни и те же слова многие употребляют по-разному, и
нельзя запретить называть тем или иным словом тот
.130
или другой предмет, связывать со словом то или иное
понятие.
Понятие есть некоторый концентрат знания, итог
познания на некотором этапе и вместе с тем исходный
пункт и средство дальнейшего познания. Первоначально
предметы некоторого класса (например, атомы, химиче-
ские элементы) выделяются, естественно, по неглубоким,
как правило, даже поверхностным, чувственно воспри-
нимаемым их свойствам. Формой выделения при этом
обычно служит описание. Дойдя на известном этапе до
знания наиболее глубоких основных признаков (опреде-
ляющих другие, известные признаки, а тем самым и ка-
чественную специфику предметов), принимают эти вновь
выявленные признаки в качестве основы для обобщения
и выделения тех же предметов в новом понятии. Далее
таким же образом происходит переход к более глубокой
сущности и к новому понятию. Хорошей иллюстрацией
подобного процесса является развитие понятия химиче-
ского элемента, прослеженное Б. М. Кедровым [47].
(См. также работу Ст. Амстердамского «Развитие поня-
тия химического элемента» в [75, стр. 153—214].)
Понятие в своем развитии неразрывно связано с
суждением. Знание сущности предметов, на основе ко-
торого возникает понятие о них, выражается в форме
суждения (или совокупности суждений, которые, одна-
ко, всегда могут быть объединены в одно суждение).
Это суждение, представляющее достигнутое понимание
предметов, и принимается за понятие, согласно третьему
из указанных выше значений термина «понятие». Субъ-
ект его представляет собой прежде осуществленное и
зафиксированное в языке обобщение предметов (в фор-
ме представления или менее глубокого понятия); преди-
кат выражает ту совокупность признаков, которая ста-
новится содержанием вновь возникающего понятия.
Таким образом, по мере углубления знания о предме-
тах меняется основа цх обобщения, в чем и состоит
переход от представлений к понятию, от одних понятий
к другим, более глубоким и точным.
Наряду с развитием понятия по содержанию проис-
ходит развитие его и со стороны объема (выявление но-
вых видов предметов, познание все более существенных
различий в пределах того общего, что отражено в со-
держании понятия).
5*
131
Обобщаемые в. понятии предметы не всегда доступ-
ны восприятию. Исходными для образования понятий
являются проявления свойств предметов, их связи и за-
кономерности. Сами объекты вводятся обычно гипотети-
чески (как это было с атомами и другими микрочасти-
цами), понятия о них буквально конструируются таким
образом, чтобы найти объяснение наблюдаемых явле-
ний. Нередко создание понятия о тех или иных предме-
тах предшествует появлению самих предметов. Основой
для построения понятия служат познанные закономер-
ности развития предметов и явлений. Таково понятие
коммунистического общества, понятие той или иной ма-
шины, системы и т. и., создаваемое конструктором в
качестве предпосылки для построения самого объекта.
В таких случаях объект создается в соответствии с по-
нятием. Причем в процессе создания объекта совершен-
ствуется и само понятие. Мысль заметно опережает
предмет в своем развитии. Оказывается, таким образом,
что не только понятия развиваются по линии приближе-
ния ко все более полному отражению предмета, но
нередко и, наоборот, предметы развиваются (создаются,
совершенствуются людьми), приближаясь к возникшим
о них понятиям. Замечательно выражают эту диалекти-
ку взаимоотношения предмета и понятия слова Ф. Эн-
гельса: «...то и другое, понятие о вещи и ее действитель-
ность, движутся вместе, подобно двум асимптотам, по-
стоянно приближаясь друг к другу, однако никогда не
совпадая» [71, стр. 482].
При построении абстрактных теорий, более или ме-
нее упрощенных моделей некоторых процессов создают-
ся понятия, представляющие собой теоретические конст-
рукты, связь которых с действительностью, выявляемая
через интерпретацию систем, является весьма опосред-
ствованной.
«В понятиях человека, — писал В. И. Ленин, — свое-
образно (это NB: своеобразно и диалектически!!)
отражается природа» [61, стр. 280]. На каждой ступени
познания отражение мира в понятии неточно, в той или
иной мере односторонне, огрубленно. По мере развития
знания оно становится все более адекватным. «Челове-
ческие понятия субъективны в своей абстрактности,
оторванности, но объективны в целом, в процессе; в ито-
ге, в тенденции, в источнике» [61, стр. 199].
132
§ 6. Признаки и их виды. Понятия существенного
признака и сущности предмета
Признаками в логике называют все, что так или
иначе характеризует предметы, в чем предметы сходны
или различны между собой. Имеются в виду любые
черты, характеристики предметов, которые могут быть
использованы в процессе познания в таких логических
целях, как выделение предметов, распознавание их,
отождествление и различение и т. п.
По этимологии самого слова, «признак» означает то,
по чему можно признать что-либо, заключить о чем-либо
(повышение температуры человеческого тела — признак
заболевания; делимость суммы цифр числа на 3 — при-
знак делимости самого числа на 3).
Примерно этот смысл имеет данное слово и в логи-
ке; знание признаков, по которым выделяются предметы
того или иного класса, дает возможность заключить о
принадлежности или непринадлежности некоторого
предмета этому классу, а тем самым отождествить его
с данными предметами, или отличить его от предметов
данного качества.
Указанным целям могут служить, очевидно, лишь
такие характеристики предметов, которые сами по себе
доступны различению и выявлению в такой мере, чтобы
высказывания о наличии или отсутствии их у тех или
иных предметов были с достаточной степенью точности
проверяемыми (конечно, когда речь идет об объектив-
ных качествах предметов, в отличие от таких субъектив-
ных их оценок, как «вкусный», «приятный», «отврати-
тельный» и т. п.).
«Проверяемый» — значит доступный проверке для
других лиц. Однако из этих характеристик уже видны
значительная неопределенность понятия признака и зна-
чительные трудности, возникающие на пути к его уточ-
нению.
Характеристики предметов, которые мы подразуме-
ваем, когда употребляем слово «признак», — это каче-
ства, свойства, отношения к другим предметами т. п.
Сами эти черты в процессе познания также выделяются,
обобщаются и фиксируются в терминах языка. В одних
случаях это осуществляется Биформах понятия, в дру-
133
гих — в формах более или менее отчетливых представ-
лений. Есть, видимо, и иные способы выделения и фик-
сирования в сознании (посредством знаков языка)
свойств и отношений предметов, как и самих предметов.
Трудно говорить о представлениях отношений, таких,
например, как отношение подобия или «следовать за»
(через которое часто определяют натуральные числа);
тем более это относится к логическим отношениям
(«или», «и», «если..., то...» и т. д.)1, играющим сущест-
венную роль в выражениях признаков. Навыки более
или менее точного употребления некоторых терминов
складывается в процессе усвоения языка просто на
основе понимания смысла целых контекстов, в которых
они обычно встречаются. По-видимому, подобные слу-
чаи и подразумеваются под названием интуиции (или
«духовной интуиции», «интеллектуальной интуиции», в
отличие от чувственного восприятия).
1 Вопрос о признаках связан с проблемой первичных (не опре-
деляемых явным образом через другие) терминов науки. Предста-
вители эмпиризма в философии прошлого считали, например, что
первичные термины, через которые определяются все понятия науки,
фиксируют некоторые элементарные («элементы» мира у махистов)
чувственные данные (вроде восприятий того или иного цвета, запа-
ха, твердости и т. п.). Карнап выдвинул концепцию, согласно кото-
рой основными элементами, из которых конструируется мир в по-
нятиях и в мышлении вообще, являются некоторые отношения
между восприятиями (отношение подобия, смежность, последова-
тельность и т. д.). Опровержение представлений эмпиристов (напри-
мер, махистов) Карнап видит, в частности, в употреблении терминов,
выражающих нечто более простое, чем элементарные чувственные
данные. Таковы, например, «цвет», «запах» и т. д. Подобные абст-
ракции могут возникать, очевидно, лишь в результате дальнейшего
разложения элементов восприятия (таких, как голубой цвет, крас-
ный цвет и т. п.). Такие абстракции могли, конечно, получиться
лишь за счет дальнейшего разложения «элементов» Маха. Карнап,
правда, представляет дело обратным образом: сами отдельные
чувственные данные абстрагированы, как он считает, из потока вос-
приятий с помощью -первичных отношений. Не ограничиваясь общи-
ми утверждениями, Карнап попытался систематически сконструиро-
вать основные классы понятий естественных наук из указанных
первичных терминов-отношений {42]. Как оказалось в дальнейшем,
далеко не все понятия удается построить таким образом, что дол-
жен был признать и сам Карнап [43]. Более того, обсуждение этих
вопросов привело к заключению о невозможности определить явным
образом все понятия в терминах непосредственных чувственных
данных.
Все эти проблемы имеют, очевидно, весьма важное значение
для теории познания.
134
Чтобы обнаружить признак, надо обнаружить его
признаки, последние опять должны быть выделены по
каким-то признакам. В конечном же счете наличие при-
знака может быть установлено или путем непосредст-
венного восприятия, или посредством некоторых опера-
ций (например, чтобы установить наличие у вещества
свойства растворимости в некоторой жидкости, надо
опустить его в жидкость и посмотреть, будет ли оно
растворяться), сочетающихся иногда с более или менее
сложными формами логических действий, в особенности
умозаключений. В последнем случае процесс также опи-
рается на восприятие и связан с использованием терми-
нов, значения которых воспринимаются интуитив-
ным образом. Ясно, что трудно сформулировать усло-
вия проверяемости восприятий и критерий их пра-
вильности.
Впрочем, неопределенность понятия признака отнюдь
не является для него специфичной. Таковы все достаточ-
но общие понятия науки. В основе всего научного зна-
ния лежат некоторые абстракции, представляемые пер-
вичными, неопределяемыми (явным образом) термина-
ми; употребление этих терминов основано только на
интуиции. Тем не менее вся практика научного познания
свидетельствует о том, что люди достигают все же зна-
ний достаточно точных, чтобы иметь возможность обме-
ниваться получаемыми результатами и использовать их
в совместной практической деятельности.
Обычно говорят, что признаки — это качества, свой-
ства и т. п. Вернее считать, что признак — это не каче-
ство, свойство и т. п., а наличие или отсутствие такового.
Например, в понятии «несклоняемые слова» основа
обобщения — это такой признак, как отсутствие скло-
няемости. В логике иногда говорят, что в подобных
(отрицательных) понятиях мыслится отсутствие призна-
ков. Это означало бы, что основой обобщения предметов
в таких случаях является нечто отсутствующее у них,
что, конечно, нелепо. И это даже приводит некоторых
авторов к мнению, что отрицательные понятия не явля-
ются понятиями [104, стр. 23—31].
Из сказанного ясно, что все признаки, с которыми
нам приходится иметь дело в познании (т. е. познанные
признаки), могут быть представлены в форме предика-
тов. Признак, представляющий собой наличие белого
135
цвета (у того или иного предмета х), выражается в виде
Белый (х), а признак, представляющий собой отсутствие
этого цвета, — Белый (х).
В современной логике вместо слова «признак» пред-
почитают употреблять слово «свойство», понимаемое
как одноместный предикат. Но признаками, по которым
предметы обобщаются в понятиях, могут быть и много-
местные предикаты. Таково положение во всех случаях,
когда предметами мысли являются n-ки предметов («по-
добные треугольники», «изотопы», «родственники»,
«тройка точек, определяющая некоторую окружность»
и т. п.). Это указывает на целесообразность сохранения
слова «признак» как болер потпрго. чем «свойство» или
«отношение» в современном их употреблении.
К тому же предикат, как мы уже знаем, это не
свойство, а форма высказывания о наличии или отсутст-
вии свойства или отношения. Свойство или отношение
может быть представлено предикатором или термом.
В выражениях признаков (а тем самым и понятий)
свойства, отношения всегда будут у нас представлены
термами так, что Белый (х) мы будем понимать как
«х имеет белый цвет», Белый (х) — как «х не имеет бе-
лого цвета» (подробнее об этом см. стр. 176).
Ясно, что * «белый цвет», «твердость» и т. п. сами
представляют собой некоторые абстракции (поскольку
как белый цвет, так и твердость встречаются в действи-
тельности в разных случаях и имеют различные оттенки
и степени). Эти абстракции (в отличие от понятий, в ко-
торых предметы обобщаются по признакам) являются
результатами отождествляющего абстрагирования
(см. стр. 118).
Нельзя заменять слово «признак» и термином «пре-
дикат», ибо неправильно, например, говорить: «Предме-
ты обобщаются по их предикатам». Предикаты, очевид-
но, не принадлежат предметам, они являются человече-
скими формами отражения (и выражения в языке) при-
знаков предметов. Поэтому везде, где признак трактует-
ся как предикат, имеется в виду не признак предмета
сам по себе, а признак, используемый нами и, следова-
тельно, отраженный в нашем сознании.
Трактовка признаков как предикатов позволит ха-
рактеризовать их как некоторую информацию, о предме-
136
тах, что, в- свою очередь, откроет возможность по-новому
подойти к решению ряда вопросов теории понятия.
В процессе познания мы имеем дело не только с
простыми признаками, имеющими формы простых
предикатов, ноГ и со с л о жн ы м и, представляемыми в
виде сложных предикатов. Совокупность признаков, по
которым выделяются те или иные предметы в понятии,
всегда может быть представлена и как один сложный
признак. Например, для понятия «число, которое боль-
ше единицы и делится (без остатка) на какое-нибудь
число, отличное от него и от единицы» таким признаком
будет: (Больше (х, 1) Дду (Равно (у, 1) /\Равно (у,х)/\
А Делится (х, у))). В качестве области значений для х
имеются в виду числа; Делится (х,у) обозначает:
«х делится на у без остатка».
В прошлом в логике ограничивались обычно рассмот-
рением признаков, представимых в виде простых одно-
местных предикатов (и, соответственно, описывались
только понятия, в которых обобщения осуществляются
по такого рода признакам). Существуют различные
классификации простых признаков. Знакомство с ними
может быть полезным для уяснения структуры понятий
и существа процессов их образования и развития.
В зависимости от того, представляют ли признаки
предметов наличие или отсутствие каких-либо качеств,
свойств, отношений к другим предметам и т. д., их де-
лят на положительные и отрицательные^,
Проводймость электричества у металлов является полсн
жительным их признаком, отсутствие этого свойства у
стекла — отрицательный его признак; делимость на 2 —
положительный признак, например, для 4, 8, 10, отсутст-
вие делимости на 3 является отрицательным признаком
тех же чисел.
Имеет значение деление признаков по содержанию.
Подробное подразделение их в этом отношении содер-
жится в осуществленной Аристотелем классификации
категорий [3, гл. 4], [5, кн. 5, гл. 7].
Категории, по Аристотелю, — это наиболее общие
типы смысловых значений слов, взятых вне предложе-
ний. По утверждению Аристотеля, им соответствуют
определенные роды бытия. Аристотель установил десять
категорий: субстанция, или сущность (человек, лошадь),
количество (в два локтя), качество (белое), отношение
137
(двойное, большее), место (на площади, в Ликее), вре-
мя (вчера), положение (лежит, стоит), состояние (обут),
действие (разрезает), страдание (разрезается).
Все эти категории, кроме, может быть, первой, пред-
ставляют различные признаки предметов (или, точнее,
такие черты предметов, наличие или отсутствие которых
у предметов может служить их признаками). Субстан-
ции, — если иметь в виду сами словесные формы, — суть
выражения, представляющие классы предметов *. В со-
временной логике такие выражения принято рассматри-
вать как обозначения признаков (свойств), поскольку
они могут быть предикатами суждений. Однако при
этом имеют в виду по существу не такие выражения,
как «человек», «лошадь» и т. п., а «быть человеком»,
«быть лошадью». «Быть человеком» может означать
«обладать свойствами, которыми характеризуются лю-
ди» (по которым они обобщаются под общим названием
и выделяются в множестве животных или организмов).
Но тогда «человек» берется уже не в смысле обозначе-
ния субстанции (по терминологии Аристотеля), а как
сокращенное выражение, представляющее некоторую
совокупность свойств или сложное свойство (сложный
предикат, представляющий собой конъюнкцию предика-
тов— признаков, по которым выделяются люди).
Сам Аристотель проводит определенное различение
между обозначениями предметов и тем, что выражает
те или иные характеристики предметов (см. об этом у
Минто (74, стр. 145]).
Сложнее вопрос о том, что означают выражения
«быть человеком», «быть лошадью» и т. п., если не уста-
новлены те свойства, по которым выделяются соответст-
вующие классы предметов. Если их считать признаками,
то, очевидно, простыми. Но под таковыми подразуме-
вают обычно нечто неразложимое на данном этапе по-
знания. Мы говорили уже, что применение термина
«признак» для подобных образований возможно лишь в
некотором условном смысле.
Однако эта классификация представляется излишне
подробной, некоторые из этих категорий не представ-
1 В составе этой категории Аристотель подразумевает только
вторые сущности (роды и виды бытия), которые он в этой же рабо-
те отличает от первых сущностей (отдельных предметов).
138
ляют интереса с логической и гносеологической точек
зрения. Аристотель сам замечал это и в ряде случаев
(например, в «Метафизике» (5, стр. 23—24]) особо вы-
делял категории: 1) субстанция, или сущность, 2) со-
стояние и 3) отношение.
Обычно в философии и логике выделяют качества
(кристаллическое строение металлов, наличие у них
свободных электронов), свойства (электро- и теплопро-
водность металлов), количества (удельный вес того или
иного вещества, величина, масса, объем тела, его темпе-
ратура), отношения («больше», «меньше», «правее»,
«параллельно», «отец»)1.
Очевидно, слово «свойство» здесь употребляется не
в том широком смысле, которое принято сейчас в логи-
ке (свойство как одноместный предикат).
Различие между качествами и свойствами часто
объясняют следующим образом. Качество —это нечто,
принадлежащее предмету caMOMylfo себе. Свойство есть
прояв.'тение качествтгБО' взаимодейств'й'йгс'другими пред-
метами. Наличие свободных электронов у металлов —
это их качество. Проводимость электричества — это
свойство, представляющее собой проявление указанного
качества во взаимодействии с электрическим полем.
Цвет предмета — это проявление определенного харак-
тера поверхности (качества) во взаимодействии со све-
товыми лучами.
Близким к этому (а возможно, и совпадающим с
ним) является имеющее существенное значение в совре-
менной логике понятие диспозиционального
предиката, под которым имеется в виду способность
(предрасположенность) вещи определенным образом
проявлять себя в определенных ситуациях (раствори-
мость в воде, упругость, ковкость и т. п.).
Особенно полезно выделить свойства, производные
от отношений (которые в традиционной логике называли
отношениями), ввиду 'специфической роли их в логиче-
ских связях и процессах. Причем отношения не следует
смешивать с так называемыми относительными
1 Точнее, поскольку речь вдет о признаках отдельных предме-
тов, имеются в виду отношения не сами по себе, а отношения ха-
рактеризуемого предмета к каким-нибудь определенным предметам,
вроде «больше 5», «меньше 0», т. е. одноместные предикаты, произ-
водные от многоместных (выше такие признаки были названы свой-
ствами, производными от отношений).
139
признаками предметов (качества и свойства, количест-
венные характеристики предметов, характер которых
зависит от отношений, условий или связей, в которых
находится предмет). Например, скорость движущегося
тела всегда определяется в зависимости от того, по от-
ношению к какому телу рассматривается его движение.
Как установлено в теории относительности, относитель-
ными являются также массы и размеры тел !.
В традиционной классификации не учитывались при-
знаки, представляющие собой связи и отношения неко-
торых сторон или частей предмета. Между тем во мно-
гих понятиях науки именно этого рода признаки предме-
тов составляют основу их обобщения. Основными ха-
рактеристиками атомов являются связи между ядром
атома и внешними электронами, между частицами, со-
ставляющими ядро, и электронами и т. п. В понятиях
геометрии в качестве признаков обобщаемых фигур
(окружностей, эллипсов и т. д.) используются отноше-
ния между точками, составляющими фигуру, или между
координатами точек.
С точки зрения логической роли признаков имеет
значение деление их на отличительные и неот-
личительные.
Отличительные признаки каких-либо предметов —
это признаки, присущие только этим предметам. Напри-
мер, отличительным признаком воды является то, что
она сжимается при нагревании от 0 до 4° С; отличитель-
ным признаком металлов является способность их ато-
мов отдавать свои внешние электроны в химических
реакциях; отличительным признаком треугольников
является равенство суммы их углов 180°. Для человека
отличительными признаками являются наличие речи,
способность мыслить.
Неотличительные признаки — это признаки, которые
принадлежат не только данным предметам. Например,
неотличительными признаками воды являются жидкое
состояние (при известных температурах) и способность
1 Хотя, согласно взглядам М. Борна, величины, которые здесь
принимают за массу, длину и т. д., представляют собой не свойст-
ва самого предмета, а свойства его отношения к другим предметам,
своего рода «проекции» действительных свойств (на системы отсче-
та). Действительные массы, длины и т. п. тел — это инварианты,
проявляющиеся в возможных проекциях (так называемая масса
покоя, длина покоящегося тела и т. п. [14, стр. 274]).
140
переходить в твердое и газообразное состояние; для
металлов неотличительными признаками являются кри-
сталлическое строение, электропроводность и т. п.
Отличительными и неотличительными могут быть
также совокупности признаков. В правильных описаниях
предметов указываются отличительные совокупности их
признаков. Отличительной является также совокупность
признаков, служащая основой обобщения предметов в
понятии.
Особенно важное значение имеет деление признаков
на существенные и несущественные. Чтобы
образовать понятие о предмете, надо выделить наиболее
существенное в нем или, как говорят, познать его сущ-
ность. Прежде всего обратим внимание на то, что тер-
мин «сущность» так же, как и многие другие, употреб-
ляется в разных значениях. Необходимо различать по
крайней мере два из них. В одном смысле «сущность»
означает «нечто», «вещь», «предмет», «некая субстан-
ция» (объект мысли). В этом смысле Аристотель гово-
рил о первых и вторых сущностях.
Во втором значении сущность — это нечто, что опре-
деляет качественную специфику той или иной вещи или
класса вещей. Если в первом смысле про саму вещь
(объект мысли вообще) говорят, что она есть некая
сущность, то, употребляя термин во втором смысле,
правомерно поставить вопрос: «Какова сущность этой
сущности?», например: «Какова сущность человека?»
(См. об этом различении статью Т. Котарбиньского
«Понятие „сущность вещей”» [53, стр. 72—78], содержа-
щую тонкое и оригинальное исследование вопроса. Ко-
тарбиньский характеризует первое как сущность в без-
относительном, второе — в относительном смысле; одна-
ко эти выражения мы будем употреблять в дальнейшем
в ином смысле.)
Нас интересует сущность лишь во втором значении
(для первого мы имеём термины «объект» или «пред-
мет» в широком смысле). Однако то, что здесь имеется
в виду, понимается разными представителями филосо-
фии и логики отнюдь не одинаково.
Надо сразу заметить, что понятие сущности в марк-
систско-ленинской философии принципиально отличает-
ся от всего того, что связывалось с этим термином в
философии прошлого и ассоциируется у представителей
141
современной буржуазной философии. В прошлом, в осо-
бенности в древности и в средние века, вокруг этого
понятия концентрировалось много схоластических спе-
куляций и даже мистики. Платон, например, наделял
сущности (под названием идей) самостоятельным суще-
ствованием вне и до отдельных предметов окружающе-
го нас мира в особом божественном мире идей, а сами
вещи считал лишь слабым отражением идей.
Аристотель представлял сущность (под названием
формы вещи) чем-то вроде души вещи, составляющей
ее активное начало, отличное от пассивной мертвой ма-
терии вещи. Она представляет собой основу, или, точнее,
источник, причину всех свойств предмета. В ряде слу-
чаев сущность трактуют как некую субстанцию, опреде-
ляющую все свойства предмета и скрепляющую, связы-
вающую их в единое целое (благодаря чему комплекс
свойств имеет «вещный», предметный характер). Впро-
чем, все сказанное относится к трактовке сущности в
онтологическом плане. Имеется и другой, интересующий
нас здесь, гносеологический аспект проблемы, где поня-
тие сущности рассматривается в связи с вопросами об
источниках, целях, направлении и возможностях позна-
ния.
В теоретико-познавательном плане обычной является
трактовка сущности как некой первоосновы всех свойств
предмета, а тем самым последней границы, до которой
может дойти познание вещи (если мы вообще способны
познать сущность, что представители некоторых направ-
лений в философии отрицали).
Диалектический материализм решительно отвергает
существование каких-либо пределов познания вещей и
явлений мира, а тем самым отрицает и указанное пред-
ставление о сущности. Познание мира, как и отдельных
его областей и явлений, есть бесконечный процесс углуб-
ления знания. Имеются лишь пределы, уровни достиг-
нутых на каждом этапе знаний. Сущность предмета в
диалектико-материалистическом ее понимании — это и
есть тот предел, до которого дошло познание предмета
на данной ступени [58, стр. 123, 249]. Это означает, что
сущность может быть менее и более глубокой. Познание
предметов движется, как пишет В. И. Ленин, «от явле-
ний к сущности и от менее глубокой к более глубокой
сущности» [61, стр. 214].
142
Таким образом, диалектический материализм не от-
брасывает/ понятия сущности вообще, но лишает его
того абсолютного характера, который ему придавала
прежняя метафизическая философия (которая вообще
каждый этап достигнутых знаний склонна была истол-
ковывать как предел познания вообще).
Для современной буржуазной философии (особенно
для позитивизма, эмпиризма, прагматизма) типичным
является отрицание сущности как объективной катего-
рии. Один из наиболее видных представителей логики
прагматистского направления Ф. Шиллер писал, что
«„сущность”, которую пытается установить каждое
определение, является просто пунктом, который важно
выяснить для данного времени» (в связи с данной це-
лью, ради которой рассматривается предмет). «Отсюда
следует, что сущности и определения вещей являются
неизбежно множественными, изменчивыми, относитель-
ными...» [106, стр. 70]. Так, например, по Шиллеру, нет
сущности человека как таковой. Каждый может ее
усмотреть в различном в зависимости от того, с какой
стороны его интересует человек. «Для теолога сущно-
стью человека является то, что он имеет душу; для вра-
ча — то, что он имеет тело; для повара — что он имеет
желудок. Все эти определения закономерны... с различ-
ных точек зрения. Для существования человека одина-
ково существенно и то, что он делает деньги и что он
может любить» [106, стр. 54]. За сущность предмета лю-
ди принимают обычно, по мнению Шиллера, то, что в
нем больше всего бросается в глаза или является наи-
более важным с точки зрения потребностей людей.
Ясно, что так понимаемой сущности не может быть
без человека. Только человек превращает те или иные
стороны предмета в существенные. Иные философы
предпочитают совсем отбросить это понятие как харак-
теристику предметов. «Понятие о сущности, — пишет
Б. Рассел, — является сокровенной частью каждой фи-
лософской системы после Аристотеля вплоть до нашего
времени. Это, по-видимому, безнадежно сбивающее с
толку понятие...». По мнению Рассела, сущностью мо-
жет обладать слово, а не вещь [81, стр. 221, 222]. Начало
этой точке зрения положил Д. Локк. Он, правда, разли-
чал реальную сущность вещей того или иного вида
(основа всех свойств этих вещей, которую, по его мне-
143
нию, мы не знаем и не можем знать) и номинальную
сущность — содержание имени (выражаемая именем
«сложная идея»), по которому выделяются предметы
вида, обозначенные данным именем (65, стр. 436]. Номи-
нальные сущности являются продуктами человеческого
ума, «их создает ум, а не природа» [65, стр. 448]. (Хотя,
создавая эти идеи, человек должен считаться с тем, как
отдельные свойства соединены в отдельных предметах
действительности: «Ум при образовании своих сложных
идей никогда не связывает идеи, которые не существуют
вместе в действительности или не предполагаются таки-
ми...» [65, стр. 451].) В вопросе о происхождении номи-
нальных сущностей (сложных идей) у Локка имеются
явные колебания. В одних случаях он склоняется к то-
му, что они являются более или менее точными копиями
природы, в других подчеркивает их произвольный в зна-
чительной мере характер. Но нам сейчас важно обра-
тить внимание на различие номинальных и реальных
сущностей и сведение понятия сущности к понятию но-
минальной сущности, поскольку реальные, будучи недо-
ступными для человека, вообще не играют роли в про-
цессе познания.
В дальнейшем понятие реальной сущности вообще
оказалось отброшенным (это видно из приведенного
высказывания Рассела). Милль, например, уже прямо
говорит, ссылаясь на авторитет Локка, что сущность
классов—это значения их наименований [73, стр. 98—99].
Естественно, что при таких взглядах нельзя видеть
цель науки в познании сущности, существенных связей
и отношений; она сводится к описанию явлений и связей
между ними. Впрочем, и сам окружающий мир пред-
ставляется при этом обычно как совокупность ощуще-
ний, «чувственных данных», «логических атомов» и т. п.
Однако те, кто разделяет подобные теоретические взгля-
ды, вынуждены признавать, что направление развития
науки не соответствует их представлениям. К примеру,
Бохенский, заявляя, что якобы в естественных науках
не говорят о сущности, тем не менее замечает: «Если
присмотреться ближе к естественному способу исследо-
вания, то часто бросается в глаза что-то вроде стремле-
ния к некоторой, правда, недостижимой, существенной
дефиниции. Ведь исследование проникает все «глубже»
в структуру предмета. Например, ответ на вопрос «Что
144
такое свет?» сегодня звучит по-другому, чем во времена
Ньютона...» [15, стр. 96]. Итак, сущность недостижима
(здесь же автор говорит о бесперспективности движения
к ней), но... познание «проникает все „глубже”»! Ясно,
что недостижима метафизическая абсолютная сущность.
Лоцк, как мы видели, признает, что номинальные
сущности в какой-то мере являются копиями природы.
Сложные идеи Локка — это не что иное, как понятия,
в которых отражается более или менее глубокая сущ-
ность вещей. Номинальная сущность есть, следователь-
но, отражение реальной в рациональном ее понимании;
свидетельством этому является сам факт постоянного
развития, углубления и уточнения понятий науки (в том
числе и содержания ее терминов), приводящего к объ-
яснению все более широкого круга явлений. Чем иным
можно было бы объяснить изменение номинальных
сущностей, как не углублением знания реальной сущно-
сти вещей! И Милль вынужден признавать, что «поня-
тия... развиваются в уме не сами собою, а даюгся ему
извне: они ? получаются всегда только посредством про-
цессов сравнения и отвлечения и в наиболее важных и
многочисленных случаях добываются посредством от-
влечения от тех самых явлений, которые они должны
связывать» [73, стр. 593]. «Отвлечение от явлений» —
это и есть выделение существенного в них.
Однако Локк, Милль, как и все эмпиристы, упрощен-
но представляют процесс образования понятий, сводя
его обычно к сравнению чувственных данных и извлече-
нию общих признаков предметов из числа чувственно
воспринимаемых. Упускаются из виду сложные приемы
мышления, позволяющие проникать в область более
глубокой их сущности.
Теорию Локка можно понять как стремление освобо-
диться от метафизически представляемой (непознавае-
мой, неуловимой) сущности при исследовании процесса
познания, противопоставляя ей (под названием номи-
нальной сущности) то, с чем люди действительно имеют
дело в познании.
Аналогичное стремление наблюдается у Канта, ко-
торый различает реальную и логическую сущность; для
реальной сущности вещи (esse rei) нужно знание тех
предикатов, от которых, как оснований определения, за-
висит все то, что принадлежит к ее наличному бытию,
145
«...но природную (реальную) сущность мы нигде не
можем усмотреть». «К логической сущности относится
лишь знание всех предикатов, в отношении которых объ-
ект бывает определен в своем понятии» [39, стр. 54—55].
И здесь, как мы видим, реальная сущность оказы-
вается недоступной и находится вне познания; сущность,
представленная в понятии, не имеет к ней никакого от-
ношения.
Если, по Локку, свойства, составляющие содержание
номинальной сущности, являются проявлением сущно-
сти вещи, то для Канта реальные вещи вообще непозна-
ваемы: человек познает в природе только то, что внесе-
но его рассудком.
Однако, как часто подчеркивается в настоящее вре-
мя, конкретные науки постепенно освобождаются от
влияния идеалистических и метафизических философ-
ских представлений. «Естественные науки, — пишет Ко-
тарбиньский, — прошли через фазу эпистемологии, ко-
торая отрицательно относилась к поискам сущности
чего-либо. Не потому ли, что само это понятие слишком
срослось со схоластикой и бесплодным ее вербализ-
мом?» [53, стр. 78]. «В настоящее время все чаще можно
слышать и читать о «сущности» того или иного явления.
Мы оказываемся свидетелями известного возврата к
этому понятию, которое полвека назад было еще весьма
непопулярным в научных кругах. Пора поэтому рас-
крыть его содержание и попытаться ответить на вопрос,
что именно подразумеваем мы, когда говорим о сущно-
сти культуры, о сущности познания, о сущности мате-
риализма и т. п.» [53, стр. 72].
Удовлетворительное с логической точки зрения опре-
деление сущности должно указывать путь для ее выяв-
ления в конкретных случаях исследования.
Этому требованию не удовлетворяет широко распро-
страненное определение, согласно которому сущность
(существенное) есть то, что необходимо принадлежит
предмету, без чего он не может существовать, не может
быть тем, что он есть [81, стр. 221]; [90, стр. 84]; [7, стр. 99].
Попытка применить его практически обнаруживает да-
же, что оно содержит скрытый круг. Попробуем, напри-
мер, руководствуясь им, выделить существенные при-
знаки квадрата. Для этого нужно установить, без каких
признаков квадрат не был бы тем, что он есть, или.
146
проще говоря, без каких признаков ту или иную фигуру
нельзя отнести к квадратам. Но Это уже требует знания
существенных признаков квадрата.. Мы не назвали бы
квадратом, например четырехугольник, углы которого
не являются прямыми, а стороны равными, но именно
потому, что уже знаем, что эти признаки являются су-
щественными для квадрата.
Вообще для решения вопроса о том, без каких при-
знаков предмет не был бы тем, чем он есть, надо знать,
чем именно этот предмет является, какими существенны-
ми признаками выделяется из числа других предметов Ч
Выражения «данный предмет», «тот же самый пред-
мет», «один и тот же предмет» имеют смысл только в
том случае, если установлен принцип, условие отожде-
ствления различных состояний предмета или различных
предметов, ибо в природе ничто не бывает абсолютно
тем же самым или одинаковым. Можно считать предме-
ты, встречающиеся в разных местах в разное время и
различные в каких-то отношениях, «теми же самыми»,
например, предметами одного и того же класса, если
они имеют установленные для данного класса сущест-
венные признаки. Значит, сами понятия «тот же самый»,
«данный предмет» должны быть определены через су-
1 Мы имели в виду случаи, когда в качестве предмета берется
уже результат некоторого обобщения и абстрагирования («квадрат»
вообще, «животное» вообще и т. п.). Если бы, исходя из указанного
определения, поставить «вопрос о существенных признаках какого-
либо конкретного «данного предмета», то нужно было бы признать
существенным любое его, даже самое незначительное, свойство,
так как без любого свойства предмет не был бы тем, чем он есть.
Более того, единичный конкретный предмет, если его брать именно
как конкретный, со всеми его признаками, вообще никогда не
остается «данным предметом» в силу непрерывного изменения, ко-
торому он подвержен. О нем можно говорить как о «данном пред-
мете», рассматривая его лишь с той или иной стороны, выделяя его
лишь по тем или иным определенным, более или менее устойчивым
признакам. Например, стол, за которым я пишу, можно рассматри-
вать как «данный стол», как «предмет, находящийся в данном ме-
сте», как «данный деревянный предмет» и т. д. В истории логики и
философии неоднократно высказывалась мысль о том, что право-
мерно говорить о сущности или существенных признаках лишь пред-
метов того или иного класса, но что для отдельных предметов эти
понятия вообще лишены смысла. Это не вполне точно. Однако верно
то, что вопрос о сущности отдельного предмета имеет смысл лишь
в том случае, когда этот предмет рассматривается как представи-
тель некоторого класса (определенный человек как общественный
деятель, как ученый и т. д., медь как металл, как элемент и т. д.).
147
щественные признаки, но не наоборот. Из сказанного
ясно также, что неправомерно говорить и о необходи-
мой принадлежности существенных признаков «данному
предмету», если сам «данный предмет» определяется
именно существенными признаками.
Если сущность предмета уже выявлена, то можно
установить, что одни признаки ему принадлежат необ-
ходимо, потому что вытекают из сущности, другие явля-
ются случайными, потому что не связаны с нею. Из
определения квадрата как прямоугольного и равносто-
роннего четырехугольника с необходимостью следует,
что диагонали его равны, что они образуют со сторона-
ми квадрата равные углы, что при пересечении их обра-
зуются равные треугольники и т. д. Все эти признаки
необходимо принадлежат квадрату. Но, поскольку
основные определяющие признаки не выводятся из чего-
либо, неясно, какой смысл может иметь утверждение о
их необходимой принадлежности квадрату.
Столь же неясно, что имеют в виду, когда говорят,
что без существенных признаков предмет «не может
существовать», если речь идет о предметах, уже сущест-
вующих или существовавших. Если же объектом мысли
является предмет, который предполагается создать, на-
пример корабль для межпланетных путешествий, то
здесь имеет смысл обсуждать вопрос не о том, без ка-
ких признаков предмет не сможет существовать, а о
том, без чего он не будет соответствовать своему назна-
чению. Но сущность предмета составляют здесь скорее
не эти признаки, а само назначение предмета. Сущность
шахматного коня, например, состоит в его роли в игре,
определяемой установленными для него правилами.
С другим определением мы встречаемся у А. И. Вве-
денского (и в несколько измененном виде в некоторых
наших курсах логики): «...существенными признаками
называются такие признаки, из которых каждый, взятый
отдельно, необходим, а все вместе достаточны, чтобы
отличить данный предмет, или же данную группу пред-
метов, от всех остальных предметов» [22, стр. 58]. Вве-
денский, правда, дает это определение лишь как пред-
варительное, отмечая его недостаточность, которая
состоит, по его мнению, в том, что в нем не отражается
относительный характер существенных признаков. Для
того чтобы отличить квадрат от остальных фигур, мож-
148
но использовать признаки: наличие четырех сторон,,
прямолинейность этих сторон, образование их пересече-
нием четырех прямых углов и равенство этих сторон
между собой. Каждый из этих признаков необходим
(отбросив любой из них, нельзя выделить квадрат), а
все вместе они достаточны. Это значит, что данные при-
знаки являются существенными, а все другие — несу-
щественными. Однако квадрат можно отличить и с по-
мощью другой группы признаков: четырехугольность и
обладание диагоналями, которые были бы взаимно
перпендикулярны, взаимно делились пополам и равны
между собой. В таком случае эти признаки оказывают-
ся существенными, а остальные, в том числе перечислен-
ные выше, оказываются несущественными. Точно так:
же Аристотеля (пример самого Введенского) можно’
отличить от всех других людей по тому, что это грече-
ский философ, живший между 384—322 гг. до н. э., или
же по тому, что он был воспитателем Александра Маке-
донского. Введенский считает, что можно и те и другие-
признаки принять за существенные, все зависит от на-
шей точки зрения на предмет. С одной точки зрения
более важными являются одни признаки, с другой —
другие. При изучении истории следует считать сущест-
венными для Аристотеля первые признаки, потому что-'
они оказываются важнее, чем то обстоятельство, что он
был воспитателем Александра Македонского. «От того-
то, — пишет Введенский, — он и сделался воспитателем
последнего, что был самым выдающимся философом
того времени, когда надо было пригласить воспитателя
к Александру» [22, стр. 60].
Учитывая указанную относительность существенных,
признаков, Введенский дает им следующее окончатель-
ное определение: «Это признаки, которые и необходимы,
и достаточны, чтобы с их помощью отличить предмет
или группу предметов от всех остальных, и которые,
вместе с тем, из всех подобных признаков (т. е. необхо-
димых и достаточных для той же цели) оказываются
более важными при рассмотрении данного предмета или
данной группы предметов с той точки зрения, с какой
мы хотим узнать последние» [22, стр. 59—60].
Если даже исправить это определение, как это де-
лается некоторыми советскими авторами, внеся в него»
указание на обусловленность точки зрения на предмет
149»
(атем-самым, и выбора той или другой группы его
признаков) потребностями практической деятельности,
то его все-таки нельзя признать удовлетворительным.
Во-первых, в нем подчеркивается отнюдь не основная
сторона самих существенных признаков. Существенные
признаки выделяются из числа других тем, что они
имеют особое значение по отношению к другим призна-
кам предмета или к признакам, которыми характери-
зуется та или иная связь данного предмета с другими
предметами, а не особой логической функцией их, ка-
ковой является отличение предмета от других предме-
тов. То обстоятельство, что мы используем существенные
-признаки для отличения одних предметов от других,
само обусловлено особым значением их для предмета.
=И, конечно, не всякие признаки, необходимые и доста-
точные 1 для того, чтобы отличить данный предмет от
всех других, являются действительно существенными.
(Еще древние философы обратили внимание на то, что
человека можно выделить из всего живого мира как
«существо от природы двуногое и бесперое).
Во-вторых, и это главное, обусловленность сущест-
венности точкой зрения на предмет (или даже потреб-
ностями практики) лишает эту категорию объективно-
сти.
В этом определении заслуживает, однако, внимания
указание (хотя и не выраженное достаточно ясно) на
взаимосвязь, взаимообусловленность признаков, кото-
рую необходимо учитывать для понимания существен-
ного.
У Аристотеля, который, по мнению многих исследо-
вателей истории философии, является основоположни-
ком теории сущности, сущность некоторого явления
представляется, как то в этом явлении, что причинно
обусловливает специфические общие его черты; а иногда
и то, что служит причиной самого явления (например,
•сущность солнечного затмения состоит в том, что Луна
загораживает Солнце).
1 «Необходимость» и «достаточность» в определении Введен-
ского представляют собой характеристику той или иной совокупно-
сти признаков. «Необходимость» здесь означает лишь то, что при
•исключении хотя бы одного признака совокупность оказывается уже
недостаточной для отличения предмета.
450
«Собирая различные примеры ответа на вопрос о»
сущности чего-либо, — пишет Котарбиньский, — мы
приходим к выводу, что, по мнению Аристотеля, эти во-
просы требуют ответов, указывающих в каждом случае,,
почему определяемое бытие является именно таким»
[53, стр. 77]. См. также [109, стр. 106], [36, стр. 3].
В более широком смысле (когда говорят о сущности/
не только конкретных предметов и явлений действитель-
ности, но также абстрактных предметов, например
квадрата, окружности, ромба) под сущностью имеют в^
виду совокупность свойств предмета, вообще каким-ни-
будь образом (не обязательно причинно) обусловли-
вающих все другие свойства предмета. Одним словом,
в основе понятия сущности лежит представление об»
определенных взаимосвязях (причинных, функциональ-
ных) между признаками предмета. Наличие взаимосвя-
зей, подчиненных тем или иным законам (причинных,,
количественных, пространственных отношений и т. п.),
позволяет логически выводить одни признаки из других,,
устанавливать между ними отношения субординации,,
выделять из всех известных признаков определенных,
предметов такую совокупность, из которой выводимы
все остальные (кроме, быть может, случайных, обуслов-
ленных некоторыми внешними обстоятельствами). По-
добные определяющие совокупности признаков и состав-
ляют сущности предметов. Причем, когда дело касается
абстрактных предметов (где связь между признаками
не является причинной), в качестве определяющих мо-
гут быть выделены различные группы признаков, и это-
указывает на то, что понятие сущности применятся
здесь в некотором условном смысле.
Введенский, как мы видели, считает, что в любом
предмете существенными могут быть различные группы?
признаков в зависимости от точки зрения. Фактически
он имеет в виду здесь лишь один из видов существенно-
сти — существенное в некотором отношении. Сведение-
понятая сущности к этому виду является, видимо, одним:
из источников той субъективистской концепции, которая'
выражена Шиллером.
Для уточнения понятия существенного признака не-
обходимо, во-первых, отметить (в соответствии с марк-
систским пониманием сущности), что признаки бывают
более или менее существенными; во-вторых, следует
15В
различать признаки, существенные в той или иной связи
или в том или ином отношении, и признаки, существен-
ные для предмета безотносительно к тому, в какой свя-
зи берется предмет или с какой точки зрения он рас-
сматривается.
В первом случае это будут относительно су-
щественные, во втором — безотносительно
существенные признаки.
Это различение намечено В. Ф. Асмусом [63, стр. 38—
39], хотя и проведено недостаточно последовательно;
в некоторых случаях все существенные признаки трак-
туются как относительные; так, например, утверждает-
ся, что «различие между существенными и несуществен-
ными признаками имеет относительный характер. Одни
_и те же признаки одного и того же предмета будут в
одном случае существенными, а в другом — несущест-
венными» [63, стр. 36]. Требует уточнения и имеющееся
здесь понятие относительной существенности (необходи-
мо выделить, в частности, объективную его основу, не
зависящую от тех или иных субъективных факторов,
таких, как «точка зрения», «интересы», «задачи челове-
ка» и т. п.).
Каждый конкретный предмет имеет множество раз-
личных сторон (качеств, свойств) и различными своими
сторонами связан с другими предметами, взаимодейст-
вует с ними. Так, например, вода при погружении в нее
твердого тела оказывает на него выталкивающее дей-
ствие, равное весу вытесненной телом воды. Некоторые
вещества вода растворяет, с другими вступает в хими-
ческие реакции, вода участвует в жизнедеятельности
организмов, служит жизненной средой для многих орга-
низмов, находит большое применение в домашнем
^хозяйстве и т. п. Но в каждой такой связи или взаимо-
действии не все качества и свойства воды играют оди-
наковую роль. Одни из них в той или иной мере опреде-
ляют характер взаимодействия, другие являются ин-
дифферентными. Первые называются существенны-
ми в той или иной мере в данной связи
или в данном взаимодействии, вторые— не-
существенными.
Например, в том взаимодействии воды с твердыми
телами, которое выражается законом Архимеда, играют
важную роль (определяют характер взаимодействия)
152
такие свойства воды, как ее подвижность, способность
передавать давление во все стороны с одинаковой силой
и т. п. Но не играют никакой роли химические и опти-
ческие свойства воды. В других взаимодействиях, на-
пример в химических реакциях, играют решающую роль
такие качества, как химический состав воды и связан-
ные с ним химические свойства, но не играют роли мно-
гие физические и, тем более, оптические свойства.
Собственно говоря, признаки, существенные в той
или иной связи, в некотором отношении существенны
не для самого предмета, а именно для данной связи.
Они существенны в том смысле, что обусловливают
определенный характер взаимодействия.
Способность предметов определенным образом взаи-
модействовать с другими предметами (в том числе и с.
нашим организмом) мы используем для своих практиче-
ских целей и оцениваем те или иные признаки предме-
тов как существенные или несущественные для дости-
жения этих целей.
Ясно, конечно, что существенное для наших целей
не всегда существенно для самого предмета. При выборе
пород овец или свиней существенным для нас является
качество шерсти или мяса, количество вытапливаемого»
жира и т. д. Эти признаки характеризуют существенным
образом соответствующие породы животных лишь с
определенной точки зрения, но не выражают их собст-
венной сущности (не определяют их качественной спе-
цифики). Вода, как известно, имеет наибольшую плот-
ность при 4° С, благодаря чему в зимнее время в глуби-
нах водоемов сохраняются плюсовые температуры. Это
имеет существенное значение для сохранения жизни
различных организмов в водоемах. Однако из этого не
следует, что указанный признак является существенным
для самой воды.
Можно сказать, что подобные признаки существенны
для предмета, взятого1 лишь с определенной стороны,,
именно как для предмета, служащего для такой-то цели*,
или как для предмета данного взаимодействия. Напри-
мер, мы можем установить существенные признаки во-
ды как вещества, вступающего в те или иные химиче-
ские реакции, как растворителя, как среды обитания
некоторых организмов и т. д.
Для воды как объекта ряда химических реакций
15»
существен ее сложный состав. Но этот же признак су-
ществен в подобных процессах для различных кислот,
-окислов и т. д. Это дает основание для объединения
качественно разнородных предметов в одном общем по-
нятии «сложное вещество». Таким образом образуются
понятия, в которых предметы обобщаются по призна-
кам, не существенным для них самих по себе, но суще-
ственным в некоторых связях. Это и создает представ-
ление, что понятия не только фактически, но и в прин-
ципе отнюдь не всегда отражают предметы по сущест-
венным признакам.
Заметим, что относительно существенные признаки
существенны объективно в некоторой связи независимо
ют каких-либо наших потребностей и от точки зрения.
Требованиями практики обусловливается лишь выделе-
ние той или иной связи или стороны предмета.
В. И. Ленин популярно разъяснил возможность рас-
смотрения одного и того же предмета с различных сто-
рон и относительность существенных признаков при
таком рассмотрении на простом примере со стаканом.
«Стакан есть, бесспорно, и стеклянный цилиндр и инст-
румент для питья. Но стакан имеет не только эти два
-свойства или качества или стороны, а бесконечное коли-
чество других свойств, качеств, сторон, взаимоотноше-
ний и «опосредствований» со всем остальным миром.
•Стакан есть тяжелый предмет, который может быть
инструментом для бросания. Стакан может служить как
пресс-папье, как помещение для пойманной бабочки,
стакан может иметь ценность, как предмет с художест-
венной резьбой или рисунком, совершенно независимо
от того, годен ли он для питья, сделан ли он из стекла,
является ли форма его цилиндрической или не совсем,
л так далее и тому подобное.
Далее. Если мне нужен стакан сейчас, как инстру-
мент для питья, то мне совершенно не важно знать,
вполне ли цилиндрическая его форма и действительно
ли он сделан из стекла, но зато важно, чтобы в дне не
было трещины, чтобы нельзя было поранить себе губы,
употребляя этот стакан, и т. п. Если же мне нужен ста-
кан не для питья, а для такого употребления, для ко-
торого годен всякий стеклянный цилиндр, тогда для ме-
ня годится и стакан, с трещиной в дне или даже вовсе
без дна и т. д.» [60, стр. 71—72].
154
Однако для познания предмета в целом недостаточ-
но простое перечисление его различных сторон, случай-
ное соединение различных определений предмета. Такое
соединение представляло бы собой, по характеристике
В. И. Ленина, «мертвый и бессодержательный эклекти-
цизм» [60, стр. 73], в корне противоречащий принципам:
диалектического подхода к предметам и явлениям дей-
ствительности.
Предметы не представляют собой простой механиче-
ской суммы различных сторон или признаков. Многочис-
ленные признаки, которыми характеризуются те или
иные качественно определенные предметы (например,
вода, металлы, животные, растения, капиталистическое
общество и т. д.), взаимосвязаны, как уже говорилось,
так, что одни из них определяют другие, одни обуслов-
лены другими или вытекают из других (вытекают логи-
чески в силу определенных законов сосуществования,,
как, например, это имеет место в геометрических фигу-
рах, или возникают как следствия по законам причинной1
зависимости). Например, металлам присущи такие ка-
чества и свойства, как хорошая проводимость электри-
чества и тепла, кристаллическое строение особого рода
(решетка их состоит из положительных ионов со сво-
бодными электронами между ними), пластичность, спо-
собность атомов отдавать свои внешние электроны в
химических реакциях и т. д. Эти признаки находятся в-
определенной зависимости друг от друга, одни из них
определяют другие; они относятся между собой как при-
чина и следствие, как сущность и явление (такие отно-
шения и называют обычно отношениями субординации).
Хорошая проводимость электричества и тепла обуслов-
лена наличием свободных электронов; наличие свобод-
ных электронов, в свою очередь, обусловлено особым*
строением атомов металлов (небольшое число электро-
нов в наружном электронном слое, определенное соотно-
шение величины заряда ядра и радиуса атома, в общем’
наличие таких факторов, в силу которых металлы имеют-
меньший потенциал ионизации по сравнению с металло-
идами). Характером,- строения атомов определяется И'
особое кристаллическое строение, а этим, в свою оче-
редь, пластичность металлов; кристаллическим строе-
нием объясняется наличие определенной температуры-
плавления у металлов и т. д.
155.
Итак, среди признаков есть более существенные и
менее существенные; признаки, обусловливающие дру-
гие и обусловленные другими.
Однако среди всех признаков предметов некоторого
класса, известных нам на той или иной ступени позна-
ния, видимо, всегда имеются такие, которые определяют
все остальные (кроме случайных, обусловленных внеш-
ними обстоятельствами) и составляют основу качествен-
ной специфики данных предметов в целом. Эти признаки
можно назвать осн о в н ы м и с у щ ественны ми
п о и з н я к ja м и данных предметов. Они и составляют
сущность предметов данного качества, представляющую
собой тот предел, до которого дошло познание на дан-
ной ступени его развития.
Например, основными существенными признаками
металлов, известными в настоящее время, наряду с
признаками, общими для всех химически простых ве-
ществ, являются те, которые определяют особое строе-
ние атомов металлов. Основными признаками воды яв-
ляются общие признаки химически сложных веществ и
особый состав и строение ее молекул. Именно тем, что
молекула воды состоит из двух атомов водорода и одно-
го атома кислорода, объясняются ее особые химические
свойства, а также такие специфические черты, как наи-
большая теплоемкость, увеличение плотности при нагре-
вании от нуля до 4° С. Каждый из атомов водорода,
единственный электрон которого связан с атомом кис-
лорода, представляет собой в молекуле воды как бы
оголенное ядро. В силу этого он, будучи положительно
заряженным, притягивает атомы кислорода других мо-
лекул. Таким образом, молекулы воды связываются
между собой, образуя сложные ассоциации. При нагре-
вании воды энергия расходуется не только на ускорение
молекул вообще и преодоление обычных связей между
ними, но и на разрушение указанных ассоциаций. Этим
«обусловлена повышенная теплоемкость воды по сравне-
нию с другими жидкостями. При нагревании воды от
нуля до 4° С происходит распад сложных молекулярных
образований на более компактные группы из двух мо-
лекул, при наличии которых вода имеет наибольшую
плотность.. Этим и объясняется специфическое свойство
воды, состоящее в том, что она сжимается при нагрева-
нии от нуля до 4° С. Дальнейшее повышение темпера-
156
туры приводит к расщеплению и этих пар и к умень-
шению плотности.
Выше мы уже упоминали об основных существенных
признаках капитализма, империализма, химически про-
стых веществ и т. д.
«Простое вещество» — это понятие возникло как ре-
зультат обобщения качественно разнородных предметов
по признаку, существенному в некоторых связях. Как
простые вещества все мыслимые в данном случае пред-
меты являются предметами одного определенного каче-
ства, которое, в свою очередь, может характеризоваться
многими признаками, среди которых одни более, другие
менее существенны, но уже в безотносительном смысле,
существенны именно для данных предметов самих по
себе. Основным существенным признаком, по которому
они выделяются вначале, наряду со свойствами, общими
для всех веществ, является их неразложимость в хими-
ческих реакциях. В дальнейшем выявляется их более
глубокая сущность, которая заключается в том, что мо-
лекулы их состоят из однородных атомов.
Хорошей иллюстрацией движения знаний от менее
глубокой к более глубокой сущности является развитие
понятия атома. Вначале атом представлялся как неде-
лимая частица вещества; затем возникло понятие о нем
как о сложной механической системе; дальнейшее раз-
витие знаний привело к созданию квантовомеханической
модели. По мере открытия новых данных выявляется
все более и более глубокая основа этих данных, исходя
из которой возможно их объяснение.
Выявление сущности явлений есть одна из форм,
известных в теории объяснения, представляющей собой
важный раздел современной логики.
Специфическими являются случаи, когда дело ка-
сается предметов, созданных людьми для тех или иных
определенных целей. Обычно сущность такого рода
предметов усматривают именно в их назначении, что
отражается в определениях. Часы — это прибор, с по-
мощью которого можно отсчитывать время; термометр—
прибор, служащий для измерения температуры, и т. д.
Назначением предмета определяются все его другие ка-
чества. Это и служит причиной того, что оно принимает-
ся за сущность. Хотя верно и другое: благодаря нали-
чию определенных качеств (особому устройству) та
157
или иная вещь выполняет определенные функции. Каче-
ства вещи, предназначенной для определенной цели,
вытекают из ее назначения логически. Способность вещи
служить определенной цели обусловлена ее качеством
фактически, как действие — причиной. Но поскольку че-
ловек мысленно конструирует вещь прежде, чем создает
ее, и при этом выводит все ее качества именно из пред-
полагаемого ее назначения, то последнее оказывается
решающим. Здесь, как мы видим, сущность вещей опре-
деляется практическими потребностями людей. Но это
не указывает на субъективный характер данного поня-
тия даже в этих случаях, поскольку и сами вещи, кото-
рые здесь имеются в виду, создаются людьми именно
для удовлетворения определенных их потребностей.
Мы уже упоминали и о таких вещах, где деление
признаков на основные и производные является услов-
ным. Например, определяя квадрат как прямоугольник
с равными сторонами, мы принимаем эти признаки за
основные. Из них логически выводимы (с использова-
нием аксиом геометрии) все другие общие для квадра-
тов признаки, в том числе и такие, как равенство и пер-
пендикулярность диагоналей и деление их в точке
пересечения пополам. Но можно рассматривать эти
последние признаки как основные и вывести из них все
остальные. Так обстоит дело со всеми геометрическими
фигурами и другими объектами математики. Однако
следует учесть, что здесь мы имеем не реальные пред-
меты, а абстракции, отражающие лишь некоторые сто-
роны реальных вещей. В таких случаях, как говорилось,
термин «сущность» употребляется в несколько условном
смысле. И, конечно, случаи этого рода отнюдь не свиде-
тельствуют в пользу субъективного истолкования сущ-
ности.
Авторы работ по диалектической логике обычно
определяют сущность как закон и противопоставляют
это понимание сущности «формальнологическому» ис-
толкованию ее как совокупности признаков. См., напри-
мер [88, стр. 217 и др.]. Не всегда ясно при этом, о ка-
ком законе идет речь. Имеется ли в виду закон развития
предмета, связи предмета (сущность которого нас инте-
ресует) с другими предметами или подразумеваются
законы связи частей или сторон самих предметов? Закон
связи между некоторыми предметами сам обусловлен
158
сущностью предметов (и выражает сущность отношений
между предметами, а не самих предметов). Например,
связь, именуемая законом Архимеда, обусловлена суще-
ственными свойствами жидкостей и твердых тел. Закон,
по определению В. И. Ленина, есть отношение сущно-
стей или между сущностями [61, стр. 142]. Закон связи
между частями, сторонами предмета действительно мо-
жет оказаться в числе основных существенных призна-
ков предмета. Таковым является периодический закон
для химических элементов (в формулировке Д. И. Мен-
делеева выражающий связь между атомными весами и
свойствами элементов) [47, стр. 194—206]; [75, стр. 198—
199]. Существенными характеристиками атома являются
законы связи между его частями и отдельными свойст-
вами; уравнения, определяющие геометрические линии
и поверхности, выражают законы связи между состав-
ляющими их точками (или координатами точек). Поня-
тия, в которых предметы выделяются и обобщаются по
признакам такого рода, представляют особую ценность
в науке (см. функциональные понятия, стр. 269). Одна-
ко не всегда сущность предмета составляют признаки-
законы. И тем более неправомерно противопоставлять
характеристику сущности как совокупности признаков
трактовке ее как закона.
Итак, среди всех известных признаков предметов не-
которого рода имеются: 1) основные существен-
ные признаки, 2) производные (обусловленные
первыми, выводимые из них) признаки и 3) случай-
ные признаки (признаки, обусловленные внешними
обстоятельствами) *.
Основные признаки обычно и служат основой для
обобщения предметов в понятии. Среди основных при-
знаков предметов различают, в свою очередь, родо-
вые — признаки, являющиеся основными для предме-
тов некоторого класса, в котором выделяются данные
предметы (этот класс называют родом по отношению к
классу выделяемых в нем предметов); например, для
металлов таковыми будут основные признаки простых
1 Надо заметить, что предметы, признаки которых здесь рас-
сматриваются, берутся изолированно от других предметов и без
учета их развития. Как основные, так и все другие их признаки
обусловлены в конечном счете какими-то внешними обстоятельст-
вами.
159
веществ, поскольку металлы выделяются в классе про-
стых веществ как его подкласс или особый вид простых
веществ; и видовые — выделяющие данные предме-
ты как вид в пределах рода (для металлов таковыми
являются признаки, характеризующие специфику строе-
ния атомов металлов).
Родовые признаки не являются отличительными для
данных предметов, видовые — отличительные их при-
знаки.
Среди производных признаков можно выделить так-
/же две группы: 1) признаки, присущие только данным
I предметам, т. е. отличительные для них (ионный харак-
I тер кристаллической решетки металлов, наличие свобод-
ных электронов в массе металла, особый «металличе-
ский» блеск и т. п.); такого рода признаки называют
собственными признаками данных предметов;
2) признаки, присущие не только данным предметам,
которые называют несобственными признаками
(наличие определенной температуры плавления 3^^е‘
таллов, пластичность и др.).
Среди случайных признаков могут быть такие, кото-
рые принадлежат всегда и всем предметам данного
класса. Их называют неотделимыми случай-
ными признаками. В качестве примеров таковых для
человека обычно указывают наличие мягкой ушной
мочки, для воронов — их черный цвет. Иные случайные
признаки таковы, что они присущи не всегда или не
всем предметам данного класса. Это так называемые
отделимые случайные признаки (наличие тех
или иных примесей у металлов, то или иное агрегатное
состояние их).
Эта классификация (как, впрочем, и любая другая,
где дело имеют с более или менее сложными явления-
ми) является довольно приблизительной. Она намечает
лишь некоторые основные качественные различия в мно-
жествах признаков по их месту и роли в общей системе
признаков тех или иных предметов.
Подобное подразделение признаков было намечено
уже Аристотелем. В некоторой мере оно содержится, в
частности, в известной классификации предикабилий
(родов сказуемых), данной комментатором Аристотеля
Порфирием (80]; [74, стр. 131—138]; [53, стр. 405—408J.
Порфирий указывает следующие пять возможных преди-
160
кабилий: род (genus), вид (specis), видовое отличие
(differentia specifica), собственный признак (propriunr)
и случайный признак (accidens).
Относительно смысла этого деления существуют раз-
ные мнения. Можно думать, что Порфирий имел здесь
в виду возможные сказуемые, относящиеся к одному и
тому же предмету. Строго говоря, это не совсем деление
признаков, поскольку род и вид представляют собой
классы, которые выделяются по некоторым совокупно-
стям признаков. Чтобы превратить схему Порфирия в
классификацию признаков какого-либо предмета или
предметов некоторого класса, надо вместо «род» и «вид»
взять соответственно «родовые признаки» и «видовые
признаки» и исключить, как особую рубрику, «видовое
отличие», так как эти признаки входят в число видовых.
К тому же надо заметить, что речь идет о родовых
и видовых признаках в числе основных существенных
признаков предметов, иначе члены этого деления не бу-
дут исключать друг друга. В современном понимании
родом по отношению к данному классу является любой
более широкий класс (включающий данный класс в ка-
честве подкласса). Ясно, что для предметов некоторого
класса имеется множество различных родов. Например,
для металлов родом являются и «простые вещества», и
«ковкие вещества». В зависимости от того, в каком роде
выделяются данные предметы как его вид, различными
будут и их видовые признаки.
Но в таком случае не исключено, что тот или иной
родовой и видовой признак окажется собственным или
даже случайным признаком данных предметов.
Аристотель и Порфирий, исходя из своих особых
философских взглядов, понимали род и вид иначе, необ-
ходимо связывая эти категории с сущностью предметов.
Собственными признаками предметов некоторого
класса Порфирий называет такие, которые присущи
всем предметам этого класса и являются следствием
основных (определяющих) признаков класса. Таким
образом, это не что иное, как признаки, названные выше
производными. Среди этих признаков Порфирий не
различает те, что присущи только данным предметам, и
принадлежащие не только им. Естественнее (как это и
делалось часто в логике и сделано выше) называть соб-
ственными только первые из этих двух групп.
Е. К. Войшвилло
161
§ 7. Логическая структура понятия.
Объем и содержание
Каждое понятие характеризуется наличием некото-
рого содержания и объема.
Содержанием понятия называют совокупность
тех признаков предметов, которые служат основой обоб-
щения этих предметов в данном понятии. Например,
содержанием понятия, выражаемого словом «параллело-
грамм» (четырехугольник с взаимно параллельными
сторонами), является совокупность признаков: четырех-
угольность, взаимная параллельность сторон, или, более
подробно (учитывая содержание понятия, выражаемого
словом «четырехугольник»),— «геометрическая фигура,
плоская, замкнутая, ограниченная четырьмя прямыми,
имеющая взаимно параллельные стороны».
Это определение содержания может быть принято,
если иметь в виду, что в числе признаков, составляю--
щих совокупность, могут быть и сложные, например:
«делиться на 5 или на 3», «не быть металлом или быть
проводником», и что отдельные составляющие таких
признаков («делиться на 5», «быть проводником» и т. п.)
уже нельзя считать элементами совокупности. Элементы
совокупности — это члены перечисления (или при выра-
жении этой совокупности в виде сложного предиката
посредством соединения отдельных признаков конъюнк-
цией — члены конъюнкции).
По соображениям, смысл которых выяснится в даль-
нейшем, указанную совокупность признаков точнее на-
зывать основным содержанием понятия, а под
содержанием его подразумевать всю совокупность при-
знаков, логически выводимых из основных (с использо-
ванием общих законов, доказанных утверждений теории,
к которой относится понятие).
В качестве основного содержания выбирают обычно,
как говорилось выше, основные существенные признаки
обобщаемых предметов. Если эти признаки выделены
правильно, то все вместе они достаточны для выделения
интересующего нас класса предметов, а каждый из них
необходим для этого (в том смысле, что при исключе-
нии его оставшаяся совокупность уже не окажется отли-
чительной для этих предметов).
Достаточность и необходимость признаков, взятых
162
в качестве основного содержания, можно рассматривать
как критерий того, верно ли образовано понятие, как
показатель точности понятия.
В одном учебнике по внутренним болезням сказано,
что болезнью можно назвать такое состояние организма,
когда под влиянием того или иного воздействия проис-
ходит изменение в отправлении (функции) или строении
какого-либо органа. Это определение можно понять как
ответ на вопрос, какие явления автор будет иметь в
виду под словом «болезнь», т. е. как определение поня-
тия «болезнь». В таком случае полагалось бы всякое
состояние организма, обладающее указанными призна-
ками, относить к числу болезней. Однако вслед за этим
определением автор оговаривается, что не всегда изме-
нение какой-либо функции или даже изменения в орга-
нах следует считать болезнью. Значит, состояния, назы-
ваемые болезнью, автор выделяет каким-то иным обра-
зом (а скорее всего, видимо, употребляет термин интуи-
тивно), а указанное определение дано как попытка от-
вета на вопрос, что представляют собой по существу эти
состояния. Причем это сделано, очевидно, неудачно.
Установленные признаки, как мы видим, оказались не-
достаточными для того, чтобы отграничить обобщаемые
в данном понятии явления от всех других явлений.
С другой стороны, если кто-либо определил квадрат
как прямоугольный четырехугольник с равными и вза-
имно перпендикулярными сторонами, то перпендикуляр-
ность диагоналей оказалась бы лишним (не необходи-
мым) признаком. Не всегда, конечно, "^Дается достичь
желаемой точности понятий даже в науке.
Причиной этого является сложность познаваемых
объектов, в силу которой иногда очень трудно выделить
их основные существенные признаки. Однако если на
данной ступени развития знаний не удается точно уста-
новить содержание того или иного понятия, то это не
означает, безусловно, что такой точности достигнуть во-
обще невозможно. По мере расширения и углубления
наших знаний достигается уточнение соответствующих
понятий. Обеспечение точности понятий является необ-
ходимым требованием всякой науки. Без этого невоз:
можна определенность и доказательность нашего мыин
ленйя. Поэтому всякая наука стремится к созданий
максимально точных понятий. . . :
6*
163
Вместе с тем на определенных этапах познания в
науках используются и недостаточно определенные по-
нятия. Возможно, что понятие, более или менее точно
отражающее некоторые явления, становится неточным
в применении его к новым явлениям. Так, понятия тра-
ектории движения тела или орбиты вращения тела, до-
статочно определенные для тел макромира, оказываются
весьма. неопределенными в применении к микрочасти?
дам, например к электронам, когда последние (согласно
взглядам квантовой механики) трактуются как образо-
вания, имеющие двойственную корпускулярно-волновую
природу. Такова, собственно, специфика всех понятий
классической физики в применении к описанию явлений
в современной атомной физике. Тем не менее современ-
ная физика, в том числе квантовая механика, вынужде-
на использовать эти понятия для описания явлений
микромира. Более того, как считают, например, В. Гей-
зенберг и другие представители копенгагенского на-
правления в квантовой механике, эти понятия нельзя
заменить ничем иным. «Мы должны иметь в виду огра-
ниченную применимость классических понятий, и не
пытаться выходить за рамки этой ограниченности»
[28, стр. 25]. Гейзенберг абсолютизирует здесь сущест-
вующее положение, что связано у него, в частности, с
априористской кантианской концепцией относительно
природы понятий [28, стр. 66—67]. По мнению физиков,
стоящих на позициях диалектического материализма
или стихийно подходящих к диалектико-материалисти-
ческому пониманию процесса познания, дальнейшее
развитие физики приведет к образованию понятий, адек-
ватно отражающих природу явлений микромира.
Объемом понятия называют класс обобщаемых в
нем предметов. Отдельные предметы этого класса (пред-
меты, мыслимые в понятии, объекты мысли) называются
элементами класса или элементами объема поня-
тия, а подклассы его — частями класса или частями
объема понятия.
Объем понятия, выражаемого словом «параллело-
грамм»,— это множество всех возможных параллело-
граммов; элементами этого объема являются отдельные
параллелограммы, а частями, например, множества пря-
моугольных или непрямоугольных параллелограммов.
164
Нетрудно увидеть, что объем понятия — это ие что
иное, как множество истинности предикатного выраже-
ния, служащего словесной формой выражения данного
понятия.
Заметим, что объем понятия — это класс реально
(вне понятия) существующих предметов. Следователь-
но, он не является (как иногда утверждают) составной
частью понятия. Это — то множество предметов, которое
понятие представляет в нашем мышлении.
Таким образом, говоря об объеме как характеристи-
ке понятия, мы имеем в виду характеристику понятия с
точки зрения отношения его к отражаемой им действи-
тельности. Объем — это категория объективная. И его
составляют отнюдь не только известные нам предметы
соответствующего класса. Когда говорят «Все люди
смертны», то утверждение относят ко всем элементам
объема понятия «человек», подразумевая людей суще-
ствовавших, существующих и тех, которые будут когда-
либо существовать в дальнейшем. Имея в виду подоб-
ную общность наших знаний о законах природы, Ф. Эн-
гельс подчеркивал, что «всякое истинное познание при-
роды есть познание вечного, бесконечного» [70, стр. 549].
В соответствии с подобным употреблением понятий есте-
ственно считать, что объем понятия представляет собой
класс всех возможных предметов, обладающих призна-
ками, составляющими основное содержание понятия.
Ясно в таком случае, что мы можем и не знать, каковы
предметы или виды, составляющие объем некоторого
понятия. И если, например, до некоторых пор людям не
были известны инертные газы, то с их открытием объем
понятия «химический элемент» безусловно не изменил-
ся. Изменилось лишь знание людей о составе этого объ-
ема.
Мы употребляли уже раньше такие термины, как
«вид» и «род», подразумевая, как это принято, соответ-
ственно классы Л и В, из которых первый составляет
правильную (не совпадающую с целым) часть второго
и объединяет предметы со специфическими для них (от-
личающими их от других предметов В) свойствами. Бо-
лее точно, вид — это модификация, особая форма суще-
ствования того качества, которым характеризуются пред-
меты рода. Мы будем, однако, и дальше придерживаться
принятого употребления терминов «вид» и «род», но
165
с оговоркой, что классы (Л и В в приведенном опреде-
лении) понимаются не как самостоятельные объекты.
Вид А некоторого рода В составляют (в совокупности)
предметы А. Так, хвойные деревья—вид деревьев; де-
ревья— род по отношению к хвойным деревьям.
Всякое понятие выделяет некоторый класс предме-
тов как вид в пределах некоторого рода, как особенное
в чем-то общем. Параллелограмм мы выделяем как вид
четырехугольников, деревья — как вид растений.
Соответственно этому и в основном содержании по-
нятия (различают родовые признаки (основные суще-
ственные признаки для предметов рода) и видовые,
или признаки, составляющие видовое отличие дан-
ных предметов (признаки, по которым выделяются эти
предметы в данном роде).
Для понятия параллелограмма («четырехугольник с
взаимно параллельными сторонами») родовыми явля-
ются признаки, характеризующие четырехугольники; ви-
довое отличие— взаимная параллельность сторон. Впро-
чем, это деление относительно. Все зависит от того, в
каком классе (роде) нам нужно выделить интересую-
щий нас класс (вид) предметов. Те же параллелограм-
мы могут мыслиться как замкнутые плоские геометри-
ческие фигуры (род), ограниченные четырьмя взаимно
параллельными сторонами (видовое отличие), или как
плоские геометрические фигуры (род), замкнутые, огра-
ниченные четырьмя взаимно параллельными сторонами
(видовое отличие), и даже как нечто (род), представ-
ляющее собой плоскую геометрическую фигуру и т. д.
Однако в качестве рода берется обычно более или ме-
нее определенный класс объектов. По крайней мере он
характеризуется указанием на принадлежность к той
или иной категории (к категории предметов, свойств,
состояний, отношений и т. д.); такие признаки естест-
венно назвать категориальными.
Ясно, что в пределах объема того или иного поня-
тия, в свою очередь, могут быть выделены виды обоб-
щенных в нем предметов.
Нетрудно заметить, что основное содержание поня-
тия представляет собой нечто тождественное (общее) в
предметах; по нему собственно и отождествляются
предметы в понятии. Когда же .мы обращаемся к объ-
166
ему (устанавливая наличие в нем тех или иных видов
и элементов), то, наоборот, выявляем различия, осо-
бенности тех или иных групп предметов в пределах
этого общего.
Виды представляют собой особенное в общем,
элементы — отдельное (единичное) в пределах это-
го общего. (Правда, при более широком понимании ка-
тегории особенного, единичное также относится к осо-
бенному.)
Элементы объема понятия являются носителями при-
знаков, составляющих содержание понятия; поэтому о
каждом из элементов объема понятия это понятие мо-
жет быть (истинным образом) высказано в качестве
логического сказуемого. О меди как элементе объема
понятия металлов истинно высказывание: «Медь есть
металл». Высказывание типа «а есть Р» можно пони-
мать именно как утверждение, что а является элемен-
том объема понятия Р и, следовательно, обладает
признаками, составляющими содержание этого по-
нятия.
Между тем часть объема понятия, будучи классом,
не обладает, вообще говоря, признаками, составляющи-
ми содержание понятия. Например, частями объема по-
нятия «металл» являются классы цветных металлов,
черных металлов, благородных металлов и т. п. Ясно,
что класс цветных металлов, как и черных или благо-
родных металлов, не есть металл.
В связи с этими замечаниями полезно обратить вни-
мание на некоторые неточности в использовании терми-
на «вид» в литературе. В учебнике Н. Л. Глинки «Об-
щая химия» (1952) на стр. 54 читаем: «... с точки зрения
атомно-молекулярной теории химический элемент есть
вид атомов, характеризующийся определенной совокуп-
ностью свойств. Каждый отдельный атом является хи-
мическим элементом, но всякое сочетание атомов уже
не будет химическим элементом...». Очевидно, что если
химический элемент есть вид атомов, то отдельный атом
нельзя уже считать химическим элементом, ибо отдель-
ный предмет некоторого вида и вид — это принципиаль-
но различные объекты. Вместо «вид атомов» в опреде-
лении химического элемента надо было сказать «атомы
определенного вида». Во всяком случае должно быть
выяснено, являются ли элементами объема понятия
167
«химический элемент» классы атомов или отдельные
атомы!.
Некоторые авторы считают, правда, что неправиль-
но рассматривать вид как подкласс (подмножество)
некоторого класса. Специально на этом останавливает-
ся И. Я. Чупахин. В обоснование упомянутой точки
зрения он ссылается на известное утверждение логики
о том, что «все то, что утверждается о роде, утверж-
дается и о его видах» [104, стр. 36]. Между тем само
это утверждение имеет весьма неясный смысл, если мы
не знаем, что подразумевается под «видами». Но ответа
на последний вопрос у представителей упомянутого
взгляда найти не удается. «Если ставится задача, — пи-
шет И. Я. Чупахин, — подвести под общее не единичное
явление, а другое общеее (как, например, в суждении
«Дерево есть растение»), то общее, которое подводится
под другое общее, называется особенным» [104, стр. 43].
Судя по всему, это особенное автор и считает видом.
Но что оно такое? И как можно «подвести общее под
другое общее»? Иначе говоря, какой смысл может иметь
утверждение «Дерево есть растение»? Мы говорим, что
«дерево» — это общее, но лишь в том смысле, что это
понятие обобщенно представляет в нашем мышлении
класс предметов. И «быть растением» — это, очевидно,
не свойство этого общего, а отдельных деревьев. «Дерево
есть растение» аналогично утверждению «х есть расте-
ние», где х употреблено в интерпретации всеобщности и
имеет множеством значений класс деревьев. «Дерево» —
это произвольное (любое) из деревьев, именно некий
предмет х из множества деревьев. Значит, рассматри-
ваемое утверждение относится к любому, но отдельному
предмету (дереву). По существу оно обобщенно пред-
ставляет множество единичных утверждений: «Это де-
рево есть растение», «То дерево есть растение» и т. д.
Итак, разбираемое суждение не есть утверждение об
общем, оно не является также суждением о деревьях как
виде растений. Когда суждения типа «Дерево есть ра-
стение» трактуют как утверждения о виде, то не разли-
чают понятие, обобщенно представляющее предметы ви-
1 Скорее всего под «элементом» подразумевают «вещество» ато-
мов определенного вида (например, когда говорят, что грамм-моле-
кула воды содержит 16 г-атомов элемента кислорода и 2 г-атома
элемента водорода).
168
да, и сам этот вид и не учитывают также, что, употребляя
понятие в суждении, мы утверждаем нечто не о виде,
а об отдельных предметах вида.
Заблуждения этого рода были свойственны Аристо-
телю. По мнению Рассела, отсутствие этого различения
у Аристотеля связано с представлением, что вид в неко-
тором смысле является субстанцией (что выражение
«все люди», например, т. е. класс людей, «обозначает
сущность такого же рода, как та, которая обозначается
словом «Сократ»). «Другая ошибка, в которую впадает
Аристотель вследствие того же заблуждения, — это
мысль, что предикат может быть предикатом исходного
субъекта. Если мы говорим «Сократ — грек, все греки—
люди», то Аристотель думает, что люди являются пре-
дикатом для «грека»... Но фактически «люди» — не пре-
дикат для «грека»...» [81, стр. 219}.
Мысль о том, что «предикат может быть предикатом
исходного субъекта», о которой здесь упоминает Рас-
сел, известна в логике как одна из формулировок так
называемого принципа категорического силлогизма:
«Признак признака есть признак самой вещи», который
представляется с современной точки зрения элементар-
но ошибочным.
Источник всех этих заблуждений с логической точки
зрения состоит, как отмечает Рассел, в отсутствии раз-
личения между именами отдельных предметов и общими
именами. Рассел считает даже, что отсутствие этого
различения имело гибельные последствия для филосо-
фии. Во всяком случае с этим действительно связано
много других ошибок и неясностей как в логике, так и
в философии (и в том числе в философии математики,
на что указывает Рассел). Но более глубокая причина
упомянутых заблуждений состоит, скорее, в непонима-
нии природы общего (в мышлении и действительности).
Понимание вида как подкласса некоторого класса
неприемлемо, по мнению. И. Я. Чупахина, потому, что
в таком случае происходит отождествление отношения
вида к роду с отношением части к целому. Логики же,
как он пишет, «всегда подчеркивали», что не следует
смешивать этих отношений [104, стр. 36].
Но признание того, что вид есть часть рода, вовсе
не означает, что отношения «вид—род» и «часть—
целое» отождествляются вообще. Первое является лишь
169
особым, частным случаем второго. Особенность его в
том, что оно есть отношение между классами и в силу
этого принципиально отличается от отношения «часть—
целое» между предметами. Земля есть часть Солнечной
системы, но не вид ее; атомы — части молекул, но не
виды молекул. Вид — это особенное в общем; предметы
вида— это более или менее конкретные, частные формы
существования предметов рода. Одни не существуют
наряду с другими. Нет деревьев наряду с хвойными,
лиственными и другими деревьями.
Иначе говоря, род есть только совокупность видов и
притом совокупность, не представляющая собой реаль-
ного предмета (как и каждый класс, являющийся видом
данного рода, есть лишь совокупность подклассов —
видов данного класса, а в конечном счете — индивидов).
Следовательно, род в противопоставлении видам (как и
вид в противопоставлении индивидам) есть лишь аб-
стракция. Между тем предмет, хотя и состоит из частей,
сам представляет собой реальную (существующую в
пространстве и во времени) вещь; таковыми же явля-
ются и его части.
Для понимания существа таких абстракций, как
«род» и «вид», а также специфики отражения мира в
понятиях вообще ценно следующее замечание К. А. Ти-
мирязева относительно биологического вида. Критикуя
взгляды представителей идеализма в биологии, в част-
ности Шлейдена, трактовавшего понятие биологического
вида в духе объективного идеализма, как некую боже-
ственную идею или божественный план творения,
К. А. Тимирязев подчеркивает объективное значение
этого понятия и в то же время отмечает специфику его
как понятия в сравнении с тем, что оно отражает.
«Слово «вид» по отношению к организмам имеет, оче-
видно, два значения и от неясного различения двойст-
венности этой точки зрения проистекают бесконечные
недоразумения и разногласия ученых. В одном смысле
вид, очевидно, только отвлеченное понятие, в другом —
он реальный факт. Мы, очевидно, то противополагаем
вид разновидности, то противополагаем его другим ви-
дам. Вид, противополагаемый разновидности, есть, ко-
нечно, отвлеченное понятие, но виды, целый ряд видов,
противополагаемых друг другу, представляют несомнен-
ный объективный факт и от этого-то объективного, а не
170
отвлеченного понятия и отправлялись первые классифи-
каторы, установившие учение о виде» [93, стр. 181—182}.
Биологический вид есть род (в логическом смысле)
по отношению к его разновидностям (логическим видам
его). Мысль К. А. Тимирязева по отношению к любому
роду можно интерпретировать так: род как совокуп-
ность тождественных предметов (как мы его мыслим в
понятии, т. е. в противопоставлении его видам) есть
абстракция, но как совокупность качественно определен-
ных форм (видов) и отдельных предметов, качественно
отличных от всех других предметов, есть реальный
факт.
Различение отношений «вид—род» и «часть—целое»
имеет важное значение для правильного понимания
многих процессов познания. Но столь же необходимо
различать и отношения «вид—род» и «элемент класса—
класс».
Если А и В — классы и А есть часть В, то это выра- '
жается посредством АСВ и называется отношением
включения (класса А в класс В). Здесь не исклю-
чается, что А совпадает с В. Если А—вид В (т. е. не
совпадает с В), то тогда верно (АСВ) Д(ВСС), Это
можно рассматривать как определение вида, а также и
рода, т. е. условимся считать, что два класса А и В
относятся друг к другу как вид и род, если и только
если для них верно указанное утверждение.
Утверждение, что индивид а является элементом
класса А, записывается в виде А. Данное отношение
называется отношением принадлежности эле-
ментов (или предмета) классу. Утверждение, что а не
есть элемент класса В, будем записывать в виде а£ А.
Отношения С и ( обладают разными свойствами.
Отношение С рефлексивно. Это значит, что, каков бы
ни был класс А, имеет место АСА. Оно также транзи-
тивно (переходно), что определяется следующим обра-
зом: каковы бы ни были классы А, В, С, если АСВ и
ВсС, то АС С.
Отношение же ( не имеет ни того, ни другого свой-
ства. Утверждение а£а, если а — индивид, вообще не
имеет смысла: если а — класс (множество), то оно озна-
чало бы, что этот класс является элементом самого се-
бя. Поскольку мы принимаем теорию типов (см. стр.
30), данное утверждение также надо считать неосмыс-
171
ленным *. Далее, из того, что а £ А и А£ В, не следует
а£ В. Например, медь (а) есть металл (является эле-
ментом класса металлов Л); класс металлов (Л) есть
элемент класса всех классов предметов нулевого типа
(т. е. индивидов); но медь не является элементом класса
всех классов. Если даже имеем А£ В и В £С, где Л, В,
С — классы, то В представляет собой более высокий
тип, чем Л, а С — класс более высокого типа, чем В.
А не может быть элементом С, так как этот последний
не может содержать Элементов разного типа.
Между отношениями С и £ имеется определенная
связь, которую можно выразить в виде следующей экви-
валентности:
(1) Л СВ = ух(х( Л В).
(А=В означает, что А^ЭВ и В^А. В отличие от
А—В, представляющего собой сокращенную запись од-
ного сложного высказывания (Л±)В) Д (ВД)Л), здесь
утверждается отношение между двумя отдельными вы-
сказываниями Л и В. Очевидно, что если Л=В, то вер-
но Л~В, и наоборот.)
Мы видим, таким образом, что Л СВ имеет место
тогда и только тогда, когда верно суждение «Всякий
предмет класса Л есть предмет класса В».
Если и только если ЛСВ и ВСА, то классы Л и В
совпадают, т. е. Л=В. \
Иначе говоря, имеем:
(2)Л = ВэЛс5 Д ВС Л.
Пора теперь обратиться к более точным средствам
выражения понятия, а также к более точным характе-
ристикам только что указанных отношений.
Выше говорилось уже, что совокупность признаков,
составляющих основное содержание понятия, может
1 В процессе мышления встречаются суждения вида «4 есть А».
В логике эта формула рассматривается иногда даже как выражение
одного из логических законов — закона тождества. На первый
взгляд это можно истолковать как утверждение того, что А являет-
ся элементом самого себя (т. е. как отношение А€ А). Однако в
случае, когда А есть понятие, смысл указанного суждения таков:
каждый предмет А есть А, объектами утверждения являются эле-
менты объема понятия А; утверждение «а есть а», когда а — терм
(индивид), означает: а есть то же самое, что а; здесь высказывается
принадлежность а к классу предметов, совпадающих с а.
(72
быть представлена в виде сложного предиката. Напри-
мер, «быть прямоугольником и иметь равные стороны»
запишется в виде: Прямоугольник (х) Л Имеет равные
стороны, (х), где х— переменная, область возможных
значений которой есть класс плоских геометрических
фигур.
Понятие, как это уже указывалось, обобщенно пред-
ставляет класс предметов, обладающих свойствами
(признаками), составляющими его основное содержа-
ние.
Для того чтобы записать понятие на языке логики
предикатов, мы будем выражать в виде сложного пре-
диката ту часть его основного содержания, которая
представляет видовое отличие обобщаемых предметов.
Род, в котором выделяются эти предметы, будет пред-
ставлять область определения этого предиката.
Так, понятие «плоская геометрическая фигура, прямо-
угольная и с равными сторонами» представимо в фор-
ме: х (Прямоугольник (х) Д Имеет равные стороны (х)).
Это может быть прочитано: плоская геометрическая фи-
гура (т. е. х), такая, что она является прямоугольником
и имеет равные стороны.
В общем виде структура понятия такова: хА(х).
Л(х)—предикат, выражающий видовое отличие пред-
метов, обобщаемых в понятии. Предметная область для
х в Л(х), т. е. область определения этого предиката,
есть род, в котором выделяются обобщаемые в понятии
предметы.
Характеристика предметов этого рода есть неформа-
лизуемая (не выражаемая явно в символической запи-
си) часть содержания понятия. Эту часть содержания
можно свести к минимуму (например, к указанию толь-
ко категориальных признаков), выбирая в качестве ука-
занного рода возможно более широкий класс предме-
тов.
Данная трактовка понятия соответствует, очевидно;
приведенному выше (стр. 49) истолкованию общего
имени как своеобразной (специфицированной) перемен-
ной. Это естественно, поскольку каждое понятие пред-
ставлено всегда некоторым общим именем. Однако одно
и то же понятие может быть выражено в разных знако-
вых формах. Это значит, что мы не связываем понятие
с какой-либо определенной знаковой формой. В этом со-
173
стоит отличие понятия от общего имени, хотя бы и взя-
того вместе с его смысловым содержанием. Каждое об-
щее имя, имеющее определенный смысл, т. е. выражаю-
щее понятие, является определенной формой выражения
этого понятия.
Объемом понятия хА (х) является множество УМхА (х)
(представляющее собой, очевидно, множество истинно-
сти выражающего это понятие общего имени).
В таких понятиях, как «подобные фигуры», «парал-
лельные линии», «однородные члены предложения»,
«изотопы» и т. п., элементами объема являются пары
предметов, находящихся в определенном отношении. Их
содержания представляют двухместные предикаты.
Структура таких понятий—(х, у) А(х, у). В общем
случае (хь ..., хт) А(х^ ..., хт). Объем такого понятия
,W(xi, ..., хт) Л(хь ..., хт) составляют упорядоченные
аи-ки предметов из областей значений переменных
хь ..., хт. Например, целые положительные числа, нахо-
дящиеся в отношении «больше»—(ха/)(х>г/). Объем
этого понятия —W(xj/)(x>y). Элементы объема — это
пары (2,1), (3,1), (3,2) и т. д.
Вообще говоря, любому имеющему определенный
смысл ж-местному предикату А (хь ..., хш), где т>1,
соответствует понятие (хь ..., хт) А (хь ..., хт).
Установленная выше возможность обозрения форм
предикатов обеспечивает возможность выявить также
многообразие форм понятий. Здесь выявляется связь
между структурами понятий и структурами высказыва-
ний, на что полезно обратить внимание в связи с суще-
ствованием у некоторых представителей традиционной
формальной логики, а иногда и у авторов работ по диа-
лектической логике, упрощенных взглядов на понятие,
как на нечто нерасчлененное, одночленное
Используя предикаты, содержащие предикаторные
переменные, мы можем также выражать понятия о свой-
1 Авторы работ по диалектической логике дискутируют также
о том, что является первичным: понятие или суждение, или — в
другой постановке вопроса, чтб является «клеточкой» мышления.
Мы видим, что понятия выражаются через высказывания-предикаты,
но не через суждения. Предикатные формы лежат также в основе
выражения суждений. Таким образом, именно предикаты оказыва-
ются искомой «клеточкой». По существу предикаты ие являются,
конечно, лишь искусственно введенными в специальном языке логи-
ки предикатов. Они встречаются и в обычном языке (и принимают-
174
ствах и отношениях. Например, Р(Р(Медь)) (в подоб-
ных случаях мы заключаем предикат (содержание по-
нятия) в скобки для облегчения 'понимания выражения).
Это .выражение означает «свойство (любое, произволь-
ное) меди». В объем данного понятия WP(P(Medb))
войдут, очевидно, свойства «металличность», «электро-
проводность», «способность соединяться с кислородом»
и т. п.; выражениеР(Р(7Иедь)/\Р(Железо)) будет озна-
чать «свойство, общее для меди и железа»; Рух(Ме-
талл(хУ2)Р(х)) выражает понятие «свойство, общее для
всех металлов». Аналогичные выражения получаем для
понятий об отношениях: /?(/?(6, 3)) —«отношение, в ко-
тором находятся 6 и 3» (в объем этого понятия
WR(R(6, 3)) войдут отношения «больше», «делится»
и др.); R х) — «рефлексивное отношение» и т. п.
Мы видели раньше, что постоянные термы, представ-
ляющие собой описательные имена предметов, могут
быть записаны в виде ixA(x). Здесь хА(х) —понятие,
объем которого состоит лишь из одного элемента. Это
понятие, очевидно, составляет смысл рассматриваемого
собственного имени. Значит, собственные имена (с опре-
деленным смыслом) также выражают понятия. Одна-
ко, в отличие от общих имен, постоянные термы явля-
ются названиями определенных предметов.
•Согласно концепции Рассела, имена предметов во-
обще могут быть исключены из языка науки и употреб-
ляются лишь ради сокращения некоторых выражений.
Так, утверждение вида A (ixB(x)) является сокраще-
нием для суждения дх(В(х)Дуг/(В(х)2Э*/=х)ЛА(х))
(существует предмет х, который обладает свойством В
и является единственным из обладающих этим свойст-
вом, и этот х обладает свойством А). Это означает, что
в качестве первичных терминов науки всегда могут быть
приняты только некоторые предикатные выражения.
Представляя каждое общее имя и понятие Р в виде
ся обычно за суждения). Сравним с обычными примерами в логике:
«Дождь идет», «Листья дерева зелены»; в каждом из них подразу-
мевается наличие некоторых переменных: «Дождь (в какое-то вре-
мя t, в каком-то месте $) идет», «Листья дерева (в какое-то время
t) зелены». И в обычном языке понятия выражаются, по существу,
через предикаты, хотя эта форма не выделена здесь явно, из-за чего
часто неопределенны границы между понятиями и суждениями.
См. об этом, например [38, стр. 168].
175
хР(х), мы не должны уже понимать Р(х) как «х есть
Р» (например, Человек(х) как «х есть человек»).
В противном случае получилось бы, что общее имя (по-
нятие) выражается через само это имя. Выражение
Р(х) следует трактовать как «х обладает свойством Р»
или «х обладает свойствами, по которым выделяются
предметы Р» (Человек (х) означает «х обладает свой-
ствами, по которым выделяются существа, называемые
людьми»). Это соответствует истолкованию предикатов
как признаков. В результате мы исключаем из обраще-
ния связку «есть». При этом достигается однородность
в истолковании одноместных и многоместных предика-
тов. В последних эта связка вообще не подразумевает-
ся. Например, в выражении Причина (х, у) утвержда-
ется, очевидно, не то, что х и у есть причина, а что
между х и у имеется отношение причинной зависимо-
сти.
Таким образом, в составе предикатов употребляют-
ся не понятия, а имена свойств и отношений, т. е. тер-
мы.
Смысл суждения вида «а есть Р» вообще не вполне
ясен. В современной логике его трактуют обычно как
«а обладает свойством Р» (в нашей трактовке преди-
катов — это Р (а)) или как «а является элементом клас-
са предметов Р (множества истинности Р)», т. е.
а £ WxP(x). Однако ни то, ни другое истолкование, по-
видимому, не передает точного смысла взятого выраже-
ния хотя бы потому, что в обоих случаях мы не имеем
понятия Р (общего имени Р). Ибо «свойство Р» и
«класс предметов Р» — это не понятия (не предикатные
выражения), а постоянные термы. В диалектической ло-
гике считают, что в предложении «а есть Р» («Сократ
есть человек», «Волга есть река») утверждается тож-
дество отдельного и общего. Однако остается открытым
вопрос о том, как оно должно быть понимаемо.
Поскольку а — отдельный предмет, а Р представляет
класс предметов, тождество а с Р может, очевидно, оз-
начать лишь тождество (сходство) а со всеми предме-
тами Р во всех общих для них свойствах. М. И. Ка-
ринский называл это логическим тождеством (в отличие
от «реального тождества между отдельными предмета-
ми», под которым понималось обычное тождество
а=&) [40, стр. 67—73]. Но это скорее следствие из ут-
176
верждения «а есть Р», а не непосредственный его смысл.
Мы-можем попытаться выяснить этот смысл исходя
из принятого выше истолкования понятия и общего име-
ни. Если Р — это «какой-то (произвольный) предмет
из класса предметов Р», то «а есть Р» означает, что а
есть некий из предметов Р (на языке исчисления пре-
дикатов—дх(Р(х) Л а=х). Отрицательное высказы-
вание «а не есть Р» должно быть понято как yx(P(x)Z)
Z)a=x).
Таким образом, отношение, выражаемое связкой
«есть», сводится к более ясным отношениям принадлеж-
ности свойства предмету (атрибутивное отношение) и
обычного («реального», по терминологии Каринского)
тождества.
Соответственно высказывания, записанные «а языке
исчисления предикатов, будут означать:
«Все S суть Р» — ух (S (х) Э ЗУ (Р (у) /\х = у))-.
«Некоторые S суть Р» — gx (S (х) Д ЗУ (Р (у) Л х = Р));
«Ни одно S не суть Р» —ух (S (х) 23 уу (Р (у)ZD х = у))',
«Некоторые S не суть Р» — gx(S(x) Д yy(P(y)ZDx = у)).
Употребляя упомянутый выше (стр. 73—74) принцип
записи в соответствии с субъектно-предикатной струк-
турой высказываний в обычном языке, получили бы:
«Все S суть Р» —yxS (х) дуР (у) (х = у)\
«Некоторые S суть Р» —gxS(x)gyP(y)(x — у)\
«Ни одно S не суть Р» —yxS(x)yyP(y)(x = у);
«Некоторые S не суть Р» — gxS (х) ууР (у) (х = у)\
Из этих представлений виден, между прочим, смысл
утверждений логики о распределенности предиката в
отрицательных суждениях и нераспределейности его в
утвердительных.
Атрибутивные суждения у нас превратились в суж-
дения об отношениях. По логической форме они не от-
личаются, например, от такого суждения, как «Всякое
177
четное число делится на како^нибудь простое число»,
логическая форма которого: ^xS(x)^yP(y)R(x, у).
Выше уже отмечалось/ что отношение тождества
(«—») можно рассматривать как логическое и присое-
динить в качестве единственного постоянного предиката
к исходным символам логической системы исчисления
предикатов. В качестве определяющих это отношение
могут быть приняты схемы:
1. (— а = а.
2. На = РЭ(Л(а)ОЯф)).
Все другие известные свойства равенства выводимы
из этих постулатов, в частности свойство симметрии
[76, стр. 286—291]
3. |-а = рэР = а.
Это постулаты (которые в дальнейшем будем назы-
вать соответственно 1-м и 2-м постулатами равенства)
можно рассматривать как правила вывода (из пустого
множества посылок) в нашей системе.
Полученную в результате такого расширения исчис-
ления предикатов логическую систему называют исчис-
лением предикатов с равенством.
Используя указанные постулаты, нетрудно доказать,
что :[х(Р(х) /\у=х) эквивалентно Р(у), т. е.дх(Р(х)Л
Лу=х)~Р(^).
Доказательство:
4-1. %х(Р(х)/\у = х) — посылка
2. Р(Цу)) Л y — f{y) — 1. Э«. /-ограни- чена
з. Ptf(y)) 4. У=Ку) 5. у = НуК>Ку) = у — 2, A«t 2, Аи2 —свойство симметрии (3)
6. Ку) = у -4, 5, Z)tf
7. f (У) = У О (Р(НУ))Т)Р (у)) — постулат равенст-
ва (2)
178
•8. P(f(i/))Z)P(i/) _9- Р(У) — 6, 7, Z>u -3, 8, Z>«
(—1)10. ах(Р(х) f\y = x)Z)P(y) -=><
+ П. Р(У) 12. y = y 13. P(y)/\y = y — посылка — постулат равенст- ва (1) -П, 12, Л.
_ 14. gx(P(x)A У = x) -13, ae
(—11)15. P(y)Z>^x(P(x) f\y = x) 16. дх(Р(х)Л У = х)~Р(у) -=>e -10, 15, Ae
Это позволяет записывать суждения «Все S суть Р»
и «Некоторые S суть Р» па языке исчисления предика-
тов соответственно в виде у х (S (х) (х)) и Эх (*$ (х) Л
Л Р (х)), как мы это in делали раньше.
Утверждение «а есть Р» в силу доказанного эквива-
лентно Р(а). Далее, можно доказать также yx(P(x)Z>
ZDy—x)^~P(y). В силу чего суждения «Ни одно S не
суть Р» и «Некоторые S не суть Р» возможно записы-
вать соответственно в виде yx(S(x)2DP(x)) ид;х(5(х)Д
ДР(х)), а «а не есть Р» заменять на Р(а).
Доказанные только что эквивалентности указывают
на то, что применение понятия хА (х) в качестве сказуе-
мого к предмету а («подведение» предмета под поня-
тие) в утвердительном суждении теперь сводится прос-
то к постановке терма а вместо х в предикат А(х).
Подобное применение его в отрицательном суждении
(типа_«а не есть А») равносильно подстановке а вмес-
то х в А(х). В случае же применения понятия вида
(хь ..., xn) A(xi, ..., хп) к n-ке предметов (а1г ..., ап)
совершается подстановка аг- вместо хг (i=l, 2, ..., п)
в предикат А (хь ..., хп).
Аналогично для понятий о свойствах и отношениях.
Если имеем понятие некоторого свойства или отноше-
ния РПФ(РП), (п>1), то утверждение, что некоторое
(определенное) свойство или отношение 91п есть Рп,
запишется в виде Ф(ЖП).
Пример. Имеем понятие рефлексивного отношения
РухР(х, х); в качестве выражения для утверждения
179
«Равенство (« = ») есть рефлексивное отношение» по-
лучим ух(=(х, х)).
Отсюда становится ясным следующее важное обстоя-
тельство: в содержании понятия (хь хп)А (xt,хп)
не может быть никаких свободных переменных, кроме
хь..., хп; аналогично в хЛ(х) может быть свободным
только х; в РпФ(Рп) —свободно только Рп. Иначе ре-
зультат применения понятия в качестве сказуемого пред-
ставлял бы собой не суждение, а пропозициональную
функцию. Представление каждого понятия как специфи-
цированной переменной еЛ(е) (где 8 — любая перемен-
ная или n-ка переменных) означает, что оно понимает-
ся как своеобразный терм. В отличие от обычных пере-
менных термов, например х, у, г, х+у и т. п., это об-
разование выражает определенный смысл (в силу того,
что в самой записи этой переменной указывается область
ее значений). Благодаря этой специфике понятия и мо-
гут выполнять функции сказуемых в суждениях.
Вернемся к отношениям С и €. Эквивалентность
(1) (стр. 172) применительно к объемам понятий1
хА (х) и хВ (х) примет вид:
щхА (х) CZ уцхВ (х) = ух (х ( yqxA (х) Z) х ( щхВ (х))
или в более общей форме, имея в виду понятия вида
(хь ...,х„)Л(хь ..., хп) и (xi, ...,x„)B(xi,..., хп):
(1.0) ^(х1,...,хп)А(х1...х„)В(х1..................х„)=
syx1...yx„((x1,...,xft)( w(xi»-"> х„)Л(х1,..., х„)Э
D(*i....х„)( w(xlt..., х„)В(х1,..., х„)), где л > 1.
Выражение (хь..., хп) при п>1 есть n-ка предметов,
при п=1 — индивид. В этом случае вместо (xi) будем
писать хь или просто х. Последовательность (х1(..., хп)
можно понимать как составной терм, рассматривая
1 Мы ограничимся (за исключением некоторых специальных слу-
чаев) рассмотрением понятий вида хА(х) или (xi...,xn) A(xit..., хп),
содержания которых выражаются формулами узкого исчисления
предикатов. Это — «конкретные» понятия, как их называют в тра-
диционной логике, в которых обобщаются некоторые индивиды или
последовательности индивидов. Хотя все соотношения, которые
ниже устанавливаются (в частности, закон обратного отношения),
справедливы также для понятий о свойствах и отношениях.
180
простой терм х как частный случай (вид) составного
(получающийся при п= 1).
На основе приведенной выше содержательной харак-
теристики отношения £ можно записать эквивалентно-
сти:
(1-1) (*i..>>хп)А(хъ..., хл) =
= Л(х1,...,хп);
(1.2) (xlr..., хп)~£ w (*i.ха) А (хь..., х„) =
=s А(хъ..., х„), где га > 1.
Для простых термов и понятий, содержания которых
выражаются одноместными предикатами, получим, оче-
видно:
х £ yflxA (х) е А (х) и х( щхА (х) = Л(х).
Из (1.0) и (1.1) получим:
(4.3) w(x1,...,xe)4(x1...-UCW(*i>- -. *JB(xt.....х„)=
s V*i....У*п(л(*1....*„)Z>B(Xi,..., x„)).
Формулу (исчисления предикатов), стоящую в пра-
вой части, можно понимать как выражение отношения
между содержаниями А (хь ..., хп) и В,(хь ..., хп) взятых,
нами понятий. Именно Л(Х].....хп)2ЭВ(хь..., хп) (вер-
ное для любых Xi,..., хп) означает, что В(хь ..., х„) (точ-
нее, информация, содержащаяся в этом высказывании)
есть часть (информации) Л(хь ..., хп) (см. стр. 203).
Таким образом, данная эквивалентность выражаег
закон обратного отношения между объемами
и содержаниями произвольных понятий (хь..., хп) Л(хь
..., хп) и (хь..., хп) В (хь ..., хп). Если объем одного по-
нятия составляет часть объема другого, то для со-
держаний имеет место обратное отношение. Эта форму-
лировка отличается от принятых для данного закона в
традиционной логике. Но подробнее мы остановимся на:
обсуждении этих вопросов в § 9.
Для упрощения дела мы будем в дальнейшем опе-
рировать с понятиями вида хЛ (х) (содержания которых
188
представляются одноместными предикатами). Однако все
соотношения легко получаются для понятий с «-местны-
ми предикатами (п>1).
Чтобы завершить анализ логической структуры по-
нятий, нам необходимо рассмотреть способы представле-
ния объемов понятий, содержания которых выражаются
сложными предикатами (сложные понятия). Для
этого следует выяснить связь между известными в тео-
рии множеств операциями с классами (которые нас бу-
дут интересовать как операции с объемами понятий) и
операциями над высказываниями-предикатами (посред-
ством которых выражаются содержания понятий).
§ 8. Операции с классами и их свойства.
Связь между операциями с объемами и операциями
с содержаниями понятий
Существуют четыре основные операции с классами,
с помощью которых из данных классов образуются но-
вые классы: 1) пересечение классов, 2) объеди-
нен и е классов, 3) о б р а з о в а н и е дополнения к
классу, 4) образование разности между клас-
сами.
Пересечением классов А и В (обозначается
ЛПВ) называют класс всех таких предметов, которые
одновременно являются элементами А и элементами В.
Графически ЛР|В может быть изображено как пересе-
чение двух кругов (на рис. 1 — заштрихованная часть
^кругов, изображающих соответственно классы Л и В).
Если Л и В — объемы понятий хА (х) и хВ (х) (пред-
полагается, что х в обоих случаях имеет одну и ту же
предметную область U), то (по определению):
(уухЛ (х) П щхВ (х)) = щх(х £ yjxA (х) Д х £ уцхВ (х)).
Используя эквивалентность (1.1), получим отсюда:
(2.0) (щхАх f) дохВ (х)) = дох (Л (х) Д В (х)).
’Правая часть представляет собой, очевидно, объем по-
нятия х (Л (х) ДВ (х)).
Поскольку, как сказано в определении, каждый эле-
мент ЛР]В есть элемент класса А, класс AQB является
982
частью А; точно так же он является частью В. Примени-
тельно к объемам наших понятий это означает:
(щхА (х) Q щхВ (х)) CZ дох А (х) и
(WxA (х) П wxB (х)) С wxB (х)
(отношения объемов понятий); или, в силу (2.0):
WX (А (х) Д В (х)) С WxA (*) и W* (A (*) Л В (х)) С У1*В (х)_
Используя закон обратного отношения (эквивалент-
ность (1.3)), получим отсюда:
ух ((А (х) Л В (х)) Z) А (х)) и ух ((А (х) Л В (х)) D В(х))
(отношения между содержаниями понятий).
Поскольку предыдущие высказывания (или, точнее,,
схемы высказываний, выражающие отношения между
объемами понятий) верны независимо от специфики’
(конкретного содержания) А и В, то и полученные (вы-
ражающие отношения между содержаниями понятий)
также верны лишь в силу логической формы их. Иначе-
говоря, те и другие являются логически истинны-
ми высказываниями.
Любое из таких высказываний, взятое в общей фор-
ме (с переменными вместо всех дескриптивных терми-
нов), выражает логический закон. Два последних вы-
ражения, являющиеся формулами исчисления предика-
тов, легко могут быть доказаны и по правилам этого'
исчисления.
Отметим еще одно свойство пересечения классов.
Поскольку AQ В охватывает все предметы, которые од-
новременно являются элементами А и В, постольку
АП В представляет собой наибольшую общую часть А
и В. Это значит, что если какой-нибудь класс С являет-
ся частью А и В, то он является частью А Г) В, и, наобо-
рот, если он часть АПВ. то он часть Л и часть В, т. е~
((С с Л) л (ССВ)) а (Сс(Л АВ)). £
Применительно к объемам понятий^
((WxC (х) С W*A (х)) Д (щхС (х) & щхВ (х))) э
= щхС (х) С Wx (А (х) А В (х)).
Используя (1.3), получим: >
ух (С (х) Э А (х)) Д ух (С (х) В (х)) в
= ух (С (х) Э (А (х) Д В $г))).
182&
Объединением классов А и В (обозначение его:
В) называют класс таких предметов, каждый из ко-
торых является элементом по крайней мере одного из
классов А и В.
На рис. 2 объединение A (J В классов А и В—это мно-
жество всех точек заштрихованной фигуры.
Для объемов понятий хА(х) и хВ(х) имеем (по оп-
ределению) :
(дохЛ (х) (J щхВ (х)) = уцх (х £ урсА (х)\/ х£ щхВ (х)).
Используя эквивалентность (1.1), получаем отсюда:
(2.1) (дохЛ(х) U W*B (х)) = дех(Л(х) V В(х)).
Правая часть представляет собой объем понятия
.х(Л (х) VB(x)).
Рис. 1 Рис. 2
Из определения объединения классов видно также,
что Л^ есть такой наименьший класс, частями кото-
рого являются Л и В. Имеем, следовательно, ЛС(ЛйВ)
и (ВС(Л1|В).
Применительно к объемам понятий:
у^хЛ (х) С wx (Л (х) V В (х)) и W^B (х) С Wx M (х) V В (х)))
(отношения объемов понятий).
Отсюда по закону обратного отношения (1.3):
ух(Л(х)Э(Л(х) V В(х))) и ух(В(х)Э(Л(х)\/В(х))
(отношения между содержаниями понятий).
Дополнением к классу Л (обозначается Л') на-
зывается класс, состоящий из всех элементов универсу-
ма U (класса, в котором выделен Л), не принадлежа-
щих Л. На рис. 3 А' соответствует заштрихованная
часть.
184
Применительно к объему понятия хА (х):
(У1ХА (х))' = дех (х щхА (х)).
Учитывая эквивалентность (1.2), получаем отсюда:
(2.2) (мхЛ(х))' = ыхА(х).
Р азность классов А и В (обозначается Л\В) есть
класс всех элементов А, не принадлежащих В. Графи-
ческое изображение на рис. 4.
Нетрудно заметить, что дополнение к классу А яв-
ляется разностью между универсумом и А.
Для объемов понятий хА (х) и хВ (х) имеем (по опре-
делению) :
дохЛ (х)\дохВ(х) = дох(х£ (х) Д х~£щхВ (х)).
С учетам (1.1) и (1.2) получим отсюда:
(2.3) (wxA (х)\дехВ (х))=wx (Л (х) Д В (х)).
Все рассмотренные операции с классами распростра-
няются на объемы понятий вида (хь ..., хп) Л (хь ..., хп),
где и>1. Соответственно этому обобщаются и все со-
отношения, выражающие свойства этих операций.
Данные операции применительно к классам, элемен-
ты которых есть n-ки предметов, называют часто опера-
циями с отношениями. При этом предполагается объем-
ное истолкование отношений, при котором отношение
Л (Х|,..., хп) отождествляется с множеством (объемом
185.
этого отношения) W(xi,...,xn) A (tx, ...,хп). В этом смыс-
ле мы можем говорить о пересечении, объединении, до-
полнении и разности отношений.
Далее, будут полезны следующие эквивалентности1
(доказуемые в исчислении предикатов; А, В, С — любые
формулы исчисления предикатов).
(3.0) AZDB = A VB
(3.1) A sb А (закон двойного отрицания)
(3.2) А/\Вв=А\/ В (первый закон де Моргана)
(3.3) А\/В = А /\В (второй закон де Моргана)
(3.4) А Л (В Л С) s (Л Л В) Л С (закон ассоциативно-
сти конъюнкции)
(3.5) А V (В V С) = (Л V В) V С (закон ассоциативно-
сти дизъюнкции)
(3.6) ЛДВ^ВДЛ (закон коммутативности конъюнк-
ции)
•(3.7) Л V В = В V Л (закон коммутативности дизъюнк-
ции)
•(3.8) Л Д (В V С) = (А А В) V (Л Д С) (закон дистри-
бутивности
конъюнкции
относительно
дизъюнкции)
1 Данные эквивалентности представляют собой законы алгебры
высказываний (булевой алгебры высказываний). Мы не упоминаем
здесь других, часто применяемых законов. Читателю, знакомому с
математической логикой, они известны. Для иллюстрации некоторых
положений нам достаточно перечисленных. Список законов (аксиом),
определяющих булеву алгебру, приведен на стр. 266.
186
(3.9) A V (В Д С) = (Л V В) А (Л V С) (закон дистри-
бутивности
дизъюнкции
относительно
конъюнкции)
(3.10) ЛДЛеЛ (закон идемпотентности для конъюнк-
ции)
(3.11) А\/ Лг А (закон идемпотентности для дизъюнк-
ции)
(3.12) А Д (В \/ В) s А (закон исключения тавтологии:
из конъюнкции)
Название последнего закона введено нами (посколь-
ку для него нет принятого названия в логике). В V В —
это тождественно истинная формула исчисления преди-
катов (закон исключенного третьего). Высказывание
этого вида не содержит никакой информации о предме-
тах и явлениях, которые в нем могут упоминаться (ло-
гическая тавтология). Присоединение его (конъюнктив-
ное) к какому-нибудь высказыванию не добавляет к.
этому высказыванию никакой информации.
Аналогичным (точнее_двойственным) закону (3.12)
является закон ЛV (ВДВ) =А\ однако для наших це-
лей удобнее ввести
(3.13) Л V (В Д (СДС))^Л,
к которому можно свести Л V (ВДВ) s А, поскольку
(ВДВ) всегда можно заменить на СД(ВДВ).,
Выражение ВД(СДС) всегда ложно и потому из двух
возможностей, указанных в левой части (3.13), может
осуществиться лишь Л. Этим объясняется наличие дан-
ной эквивалентности.
Если под А, В, С иметь в виду предикаты — содер-
жания понятий или составляющие сложных содержаний,,
то, используя эквивалентности (2.0), (2.1), (2.2) и закон
обратного отношения (1.3), получим для каждой из пе-
речисленных эквивалентностей некоторое соотношение-
равенство) для классов (объемов понятий). Формально*
такое равенство получается из некоторой эквивалентнос-
187’
ти заменой знаков высказываний на знаки классов, опе-
раций Д, V> соответственно «а а = на = 1.
Например, эквивалентность (3.8) — это две имплика-
ции:
<Л (х) Д (В (х) V С (х))) ZD ((Л (х) Л В (х)) V (Л (х) Д С (х)))
и обратная ей. Обе верны для любого х, т. е., беря пер-
вую импликацию, имеем:
ух ((Л (х) Д (В (х) V С (х))) ZD ((Л (х) Д В (х)) V (Л (х)Д
АС(х)))). - -
По закону обратного отношения получаем отсюда
•отношения для объемов понятий:
yjx (Л (х) Д (В (х) V С (х))) CZ дех ((Л (х) Д В (х)) \/
У(Л(х)дС(х))).
Далее по (2.0) и (2.1) это оказывается эквивалент-
ным:
дохЛ (х) f) WX (В (х) V С (х)) CZ (рух (Л (х) Д В (х)) (J
LI дох(Л(Х)ДС(Х))) или (1ухЛ(х)Г)(1ухВ(х) (J WxC(x))) С
CZ ((кхЛ(X) Г) wxB (х)) (J (рухЛ (х) П WXC (х))).
К отношению, обратному полученному, придем ис-
ходя из второй импликации, содержащейся в (3.8). На-
личие этих двух отношений указывает (по определению
равенства между классами) на равенство правой и ле-
вой частей в полученном сейчас отношении.
Пользуясь эквивалентностями (2.0) и (2.1), мы
имеем возможность разложить объем понятия со слож-
ным содержанием на некоторые элементарные состав-
ляющие, представив его как результат операций с
этими составляющими.
Возьмем понятие хЛ (х), содержание которого пред-
ставляет сложный предикат А(х), образованный из
других предикатов посредством каких-нибудь операций
Д, V. Э, ~ Составляющие его части, не представляю-
щие собой конъюнкцию, или дизъюнкцию, или имплика-
цию других предикатов, а также отрицание какого-ли-
1 Получающиеся при этом равенства представляют собой зако-
ны алгебры классов (булевой алгебры классов).
188
бо предиката, назовем элементарными состав-
ляющими данного предиката. Эти части,
вообще говоря, могут быть и сложными предикатами,
например, видов Л«/Р(х, у), ууР(х, у) или даже
Дх(Р(х, у) Л Q(y, х)) и т. п. Название «элементарные»
означает лишь рассматриваемые как целые, как эле-
менты, до которых разлагается в данном случае взятое
сложное выражение.
Итак, мы представляем .предикат А(х) как сложное
высказывание, составленное из элементарных высказы-
ваний (предикатов) Ai(x),.... Ап(х) посредством опера-
ций О. А» V. “• Элементарными составляю-
щими объема взятого понятия мы будем называть
какдохЛДх), так и дохЛДх), где t=l, 2, ..., п.
Чтобы осуществить разложение объема понятия
хЛ(х) на элементарные составляющие, надо устранить
по (3.0) в предикате Л(х) взятого понятия все вхожде-
ния импликации, не считая тех, которые могут входить
в элементарные составляющие этого предиката, и
опустить затем по (3.2) и (3.3) отрицания, стоящие над
сложными высказываниями, до элементарных составля-
ющих, затем исключить двойные отрицания по (3.1).
После этого мы можем воспользоваться эквивалентнос-
тями (2.0), (2.1).
Пример 1. Возьмем понятие «число, оканчивающее-
ся на 5 и не делящееся на 3, или оканчивающееся на 0
и делящееся на 6». По принятым нами принципам вы-
ражения понятий оно .может быть представлено так:
х((Оканчивается (х, 5) Л Делится (х, 3))V (Оканчи-
вается (х, 0) Л Делится (х, 6))). Обозначим (для уп-
рощения) предикаторы «оканчивается», «делится» соот-
ветственно через Р и Q. Объем взятого понятия:
Wx ((Р (х, 5) /\ Q (х, 3)) V (Р (х, 0) Д Q (х, 6))) = (2.1)
«= wx(P(x, 5) AQ(x, 3)) (J w‘x(P(x» 0) AQ(x, 6)) =(2.о)
= (WxP(x,5) П WxQ(x, 3)) □ (уухР(х, 0) f) wxQ(x, 6)).'
Для решения ряда задач (выяснение отношений
между понятиями и между высказываниями) можно
прибегать к графическим изображениям объемов поня-
тий. Удобны для этой цели диаграммы Венна.
189
Изобразим прямоугольником род (универсум), в ко-
тором выделяется объем понятия хД(х); в случае
/n-местного предиката это будет, как мы знаем, класс
т-ок предметов. Предполагаем, что в А(х) нет зна-
ков ZD (в противном случае они устраняются по (3.0)).
Взятый прямоугольник надо разбить теперь на 2п час-
тей, где п — число предикатов Ai,...,An элементарных
составляющих Д(х). Для этого сначала разбиваем его
на две части (полосы). Они должны изображать мно-
жества Wx 41 (х) и Wx Д](х). Затем каждую из по-
лученных частей (полос) делим снова на 2 части (по-
лосы), одна из_которых должна представлять Wx А2(х),
другая — Wx А2(х). Далее, полосы, представляющие
последние множества, снова делим на Wx А3(х) и
Wx43(x) и т. д. Вообще для каждого ДД<>1) выбираем
любые две полосы и делим их на Wx4f(x) и Wx4t(x).
Теперь по выражению, представляющему результат
разложения объема исходного понятия на элементар-
ные составляющие (или непосредственно по содержанию
исходного понятия, используя установленные связи меж-
ДУ Л и А- V и U). отмечаем штриховкой результаты
объединений и пересечений, содержащихся в этом вы-
ражении.
Для только что рассмотренного примера получим:
Рис. 5
Правой штриховкой покрыта часть, соответствующая
пересечению Wx Р(х, 5) (") WxQ(x, 3); часть, покрытая
левой штриховкой, соответствует Wx Р(х, 0) f) WxQ (х, 6).
Вся покрытая штриховкой часть прямоугольника соот-
ветствует объединению этих частей.
190
Эта часть представляет лишь логически воз-
можный или просто «логический» (определяемый ло-
гической формой предиката Л(х)) объем нашего поня-
тия. Если учесть конкретное содержание элементарных
предикатов (признаков), то некоторые составные части
этого объема могут оказаться пустыми. Таковым ока-
жется, очевидно, левый верхний прямоугольник (из
16 прямоугольников, на которые разбился исходный).
Он представляет собой пересечение Wx P(x,5)HWx
Р(х, 0)f|Wx Q(x, 6)AWx Q(x, 3) или Wx (P(x, 5)Л
ДР(х, 0)AQ(x, 6) AQ(x, 3)); но ясно, что таких чисел
(которые одновременно оканчиваются на 5 и на 0)
быть не может.
В результате подобного анализа для всех частей мы
найдем, что фактический объем нашего понятия есть
Wx (Р(х, 5)ДР(х, 0)AQ(x, 6)AQ(x, 3)) (изображае-
мый прямоугольником, отмеченным знаком +).
Пример 2. Построим диаграмму для логического
объема понятия х((Р(х)\ZQ(x))Z)(R(x) AQ(x))):
Wx ((Р (х) V Q (х)) О (Я (х) Д Q (х))) = (3.о)
= WX (^(x)VQ(xjj V (Р (х) Л Q (х))) = (з.з)
= № ((Я (х) AQ (х)) V (Я (х) A Q (х))) = (3.1)
= ((Я (х) A Q (х)) V (Я (х) A Q(х)))-
Имеем диаграмму (для краткости на чертеже вместо
191
Теперь мы можем выразить объем взятого понятия
в виде объединения элементарных пересечений (соот-
ветствующих отдельным заштрихованным прямоуголь-
никам)
(дехР (х) П wxQ (х)) (J (уухР (х) П WxQ’(х)).
Впрочем, к этому выражению мы могли прийти и
непосредственно из полученного выше выражения, ис-
пользуя (2.0) и (2.1).
В только что рассмотренных примерах элементар-
ными составляющими содержания понятия являлись
простые предикаты. В случаях, когда таковыми являют-
ся сложные предикаты, при выявлении логического
объема должны учитываться и их структуры и обуслов-
ленные последними логические связи. Пусть, например,
мы имеем понятие вида х(^у(Р(х, у) /\ Q(x, у))/\
/\ yjy Р(х, У))- Не учитывая структуры элементарных
составляющих его содержания Ai(x) и Л2(х) (каковы-
ми являются, очевидно, члены заключенной во внешних
скобках конъюнкции), мы считали бы, что его логиче-
ский объем предоставляет собой пересечение Wx.41(x)|''|
Г^хЛ2(х). Однако в действительности At(x) и Л2(х)
логически (т. е. независимо от смысла дескриптивных
терминов Р и Q) несовместимы. Это означает, что логи-
ческий объем взятого понятия представляет собой пус-
той класс.
Мы имели бы общий метод выявления логического
объема понятия хЛ(х) в случаях такого рода, если бы
умели осуществить разложение его на элементарные
составляющие WxPi(x), WxPi(x) (i=l, 2, ..., п), где
Pi (x),..., Pn (x) — все простые предикаты, имеющиеся в
составе А(х). Однако это возможно только тогда, когда
связанные переменные в составе элементарных составля-
ющих Л(х) имеют конечные области значений. При этом
используются известные эквивалентности, указывающие
на связь кванторов существования и общности, относя-
щихся к переменным с конечными областями значений,
соответственно с дизъюнкцией и конъюнкцией. Именно,
если областью значений переменной а является конеч-
ное множество предметов {аь.... ah}, то
и va^(«)s^(ai)A—A^(<*fc)-
Разложение объема понятия хЛ(х) на элементар-
ные составляющие может быть получено методами ал-
192
гебры логики. Для этого -высказывание А(х) надо при-
вести к совершенной дизъюнктивной нор-
мальной форме (сокращенно СДНФ), представ-
ляющей собой дизъюнкцию попарно различных конъ-
юнкций вида Л1(х)Д..,ДДп(х) (элементарные конъ-
юнкции), где Д i (х),..., Лп (х) — элементарные состав-
ляющие А(х), и каждый член ЛДх) при i=l, 2,...и есть
Лг(х) или Лг(х); СДНФ имеется для каждого выска-
зывания, кроме тождественно ложного. Причем для
каждого высказывания эта форма единственна с точ-
ностью до порядка конъюнктивных и дизъюнктивных
членов.
Приведение Л (х) к СДНФ осуществляется по пере-
численным законам алгебры высказываний. После того
как в Л(х) устраним по (3.0) все вхождения имплика-
ции (напомним, что логические константы, которые мо-
гут встречаться в составе элементарных составляющих
предиката Л(х), сейчас не принимаются во внимание) и
все отрицания опустим до элементарных составляющих
предиката Л(х) (по 3.2 и 3.3), можно раскрыть все
скобки по закону дистрибутивности конъюнкции относи-
тельно дизъюнкции. Эта операция подобна перемноже-
нию многочленов или умножению одночлена на много-
член в обычной школьной алгебре; при этом Д играет
роль операции умножения, а V — сложения. В резуль-
тате получим дизъюнктивную нормальную форму
(ДНФ) выражения Л(х), представляющую собой дизъ-
юнкцию некоторых элементарных конъюнкций. Если в
составе какой-нибудь из этих элементарных конъюнк-
ций некоторое высказывание ЛДх) или Лг(х) имеет бо-
лее одного вхождения, то все повторные вхождения его
надо исключить согласно (3.10) (в сочетании с закона-
ми ассоциативности и коммутативности конъюнкции);
при наличии элементарной конъюнкции, в которой имеет-
ся ЛДх) и Лг(х), ее следует исключить согласно
(3.13) (в сочетании с законами ассоциативности и ком-
мутативности конъюнкции и дизъюнкции). Теперь надо
достичь такого положения (как это требуется по опре-
делению СДНФ), чтобы в каждой элементарной конъ-
юнкции имелось вхождение Лг(х) или ЛДх) для каж-
дого / = 1, 2,..., п. Это можно сделать, пользуясь экви-
7 Е. К. Войшвнлло
193
валентностью (3.12); к каждой элементарной дизъюнк-
ции, в которой не достает какого-нибудь из высказыва-
ний А{(х), можем конъюнктивно присоединить (Л4(х)\/
VA(x)). Ясно, что к каждой элементарной конъюнкции
можно присоединить все выражения такого рода, об-
разованные для недостающих в ней элементарных со-
ставляющих предиката Л(х). После такого восполнения
членов дизъюнктивной нормальной формы снова необ-
ходимо раскрыть все скобки (по закону дистрибутивно-
сти конъюнкции относительно дизъюнкции) и в получен-
ном результате вычеркнуть (.согласно 3.11) все повтор-
ные вхождения каждой из элементарных конъюнкций.
В результате «получаем СДНФ исходного выражения.
Возьмем для примера понятие х((Р(х) VQ(X))A
Д(Р(х) V Q(x))). Имеем (пользуясь аналогией между
Д и умножением, будем опускать знак Л):
(Р (X) v Q (х)) (R (х) V Q (X)) = р (X) Р (X) V Р (х) Q (х) v
V Q (х) P(x)VQ (X) Q (х)=Р (x)P(x)VP(x) Q»V Q(X) Я(х>
- р да (х) (Q (х) V Q W) V Р W Q W (Я (х) V R W) V
V Q W я (х) (Р (х) V Р(х)) ^P(x)R (X) Q (х) v
V Р(х)Я(х)Q(х) VР(х)Q(х)R(х) V Р(х)Q [х)R(х) V
V Q W я (X) Р (х) V Q (X) R (X) Р (X) = Р (х) Q (х) R (х) V
V Р W Q W « W V р (х) Q (X)R (х) V р (X) Q (X) Р (х).
Каждому дизъюнктивному члену (конституэнте)
СДНФ Д(х) соответствует, очевидно, одна из частей
объема понятия хА(х), изображенного диаграммой Вен-
на, представляющая собой одно из пересечений его эле-
ментарных составляющих.
СДНФ выражения Л(х) представляет собой дизъ-
юнктивное разложение этого выражения по
элементарным его составляющим (которое
называют также разложением по конституэн-
там единицы). Очевидно, что, пользуясь эквивалент-
ностью (3.12), можно представить разложение содержа-
ния понятия (и соответственно объема его) не только
по его составляющим, но ввести также любые новые, не
Ю4
входящие в него, предикаты. Зачастую это оказывается
полезным для сравнения объемов двух понятий и вообще
для выяснения отношений между понятиями.
Если имеем, например, понятия хР(х) и x(P(x)V
VQ(x), то содержание того и другого можно разложить
по Р(х), Q(x). Получим:
Р(х)^Р (х) (Q (х) V Q (х)) s Р (х) Q (х) V Р (х) Q (х).
Р (х) V Q (х) = Р (х) (Q (х) V Q (х)) V Q (х) (Р (х) V Р (х)) -
= Р(х) Q (х) V Р(х) Q (х) V Р(х) Q (х).
Логические объемы этих понятий соответственно:
дох(Р(х) Д Q(х)) J щх(Р(х) AQ(х)) и
Wx (Р (х) Д Q (х)) (J Wx (Р (х) Л Q (х)) U Wx (Р (х) Л Q (х)).
Как видим, объем первого составляет часть объема
второго. Отношение содержаний (согласно закону об-
ратного отношения) должно быть обратным.
§ 9. Закон обратного отношения между объемами
и содержаниями понятий и вопрос о связи общего
и особенного
Закон обратного отношения был уже сформулирован
и выведен из некоторых простых эквивалентностей
(стр. 181).
Однако при этом не был выяснен содержательный
смысл полученного выражения. В эквивалентности
(1.3), которая должна служить выражением закона, как
левая, так и правая части могут быть логически истин-
ными и фактически истинными высказываниями, причем
если логически истинна одна, то логически истинна и
другая. Соответственно и для фактической истинности.
Естественно возникает вопрос, что соответствует этим
различиям в отношениях между содержаниями и объе-
мами понятий? Не было объяснено также, почему и в
каком смысле формула выражает от-
ношение между содержаниями понятий хА(х) и хВ(х).
К тому же, как было замечено, приведенная формули-
7
195
ровка закона не совпадает с принятой в логике. Это
также должно быть оправдано.
Закон обратного отношения играет важную роль во
многих логических операциях и отношениях, что ясно
уже из предыдущего изложения и в чем будет еще воз-
можность убедиться и в других случаях. Правильное по-
нимание указанного закона важно для решения ряда
вопросов диалектической логики и методологии вообще.
Между тем по поводу этого закона существуют про-
тивоположные мнения. Одни его признают, другие отри-
цают, относя к числу недоразумений, порожденных не-
правильным истолкованием процесса образования поня-
тий в формальной логике.
Считают, что впервые закон обратного отношения
был замечен в логике Пор-Рояля (60-е годы XVII в.).
Пожалуй, в наиболее отчетливой форме он выражен
И. Кантом. «Содержание и объем, — писал Кант,—
стоят друг к другу в обратном отношении. Именно, чем
больше понятие содержит под собой, тем меньше оно
содержит в себе и наоборот» [39, стр. 88]. То, что поня-
тие «содержит в себе», по Канту, — это содержание по-
нятия, а то, что оно «содержит под собой», — это объем
его. Поэтому закон формулируют обычно так: чем боль-
ше объем понятия, тем меньше (или уже) его содержа-
ние.
Смысл этих формулировок не вполне ясен хотя бы
потому, что каждое понятие имеет один более или ме-
нее определенный объем и одно (также более или менее
определенное) содержание, которые не могут ни расши-
ряться, ни сужаться (расширение или сужение его
объема или содержания означало бы переход к друго-
му понятию). Фактически имеется в виду отношение
между объемами и содержаниями двух понятий. Более
точно надо было бы сказать: если объем одного поня-
тия больше, чем объем другого, то содержание второго
меньше (уже), и наоборот. Но и здесь многое остается
еще неопределенным. Не вполне ясно, во-первых, в ка-
ком смысле можно говорить, что объем одного понятия
больше, чем объем другого, и тем более непонятен
смысл таких характеристик, как «больше» и «меньше»,
по отношению к содержаниям понятий. Мы не говорим
уже о том, что сами термины «содержание понятия» и
«объем понятия» у многих логиков трактуются по-раз-
196
ному, а чаще всего вообще не имеют точного опреде-
ления. Естественно, что все это порождает множество
недоразумений в понимании указанного закона.
Большинство логиков сходится в том, что в отноше-
нии объема понятия не применимы количественные ха-
рактеристики. Не принято, например, считать, что объем
понятия «планета нашей Солнечной системы» равен 9,
а объем понятия «союзная республика» равен 15. Эти
характеристики не применимы даже к объему понятий
«известные в настоящее время планеты нашей Солнеч-
ной системы» и «существующие «в настоящее время
союзные республики». А вообще к объему понятия отно-
сятся не только предметы, существующие в какой-либо
определенный момент времени.
Термины «больше», «меньше», «равно» в примене-
нии к объемам понятий выражают не количественные,
а некоторые логические отношения (хотя они и рассмат-
риваются также в теории множеств).
В силу того, что объем понятия не имеет количест-
венных выражений, нельзя сравнивать объемы двух
любых понятий. Например, нельзя сравнить объемы та-
ких понятий, как «животные» и «растения», «жидкости»
и «химически сложные вещества», и даже таких, как
«месяц» и «день недели», когда числа предметов соот-
ветствующих объемов вполне определенны. Во всяком
случае «больше» и «меньше» в применении к объемам
понятий выражают нечто иное, нежели сравнение их
количественных характеристик.
Сравнение объемов понятий с логической точки зре-
ния возможно лишь в тех случаях, когда объем одного
из двух понятий составляет часть объема другого. Если
при этом он не совпадает с объемом второго понятия
(т. е. составляет правильную его часть), иначе говоря,
если имеет место отношение вида к роду, то правомер-
но сказать, что объем первого понятия меньше объема
второго, а объем второго больше объема первого. Если
же объемы совпадают, то они равны.
Используя определение части класса (стр. 172), это
можно выразить иным способом. Объем понятия А
меньше объема понятия В, если всякий элемент объ-
ема А есть элемент объема В, но не всякий элемент
объема В есть элемент объема А. Объем понятия В в
этом случае больше объема понятия А. Объем понятия
197
А равен объему понятия В, если всякий элемент объ-
ема А есть элемент объема В и всякий элемент объема
В есть элемент объема Л, т. е. имеет место ACZB и
BZ1A. Например, объем понятия «животное» меньше,
чем объем понятия «организмы». Понятия «четырех-
угольники, у которых противоположные стороны попар-
но (параллельны» и «четырехугольники, у которых диа-
гонали делятся в точке пересечения пополам» имеют
равные объемы. Очевидно, что понятия «меньше»,
«больше» и «равно», употребляемые в таких случаях в
логике, не тождественны обычным арифметическим по-
нятиям. Сравнение классов, как мы уже сказали, про-
исходит здесь не по количеству составляющих их пред-
метов.
Если взять такие понятия, как «натуральные числа»
и «четные натуральные числа», то в обычном арифме-
тическом смысле нельзя сказать, что одно множество
(по количеству элементов) больше или равно другому.
Понятия «больше», «меньше», «равно» в том смысле,
как они обычно употребляются в математике, вообще
неприменимы к бесконечным множествам. Однако в
теории множеств имеется определенное обобщение этих
понятий и на этот случай. В более широком смысле два
множества имеют, например, «равное» количество эле-
ментов, если каждому элементу одного множества мож-
но каким-либо образом поставить в соответствие один
элемент другого множества, и наоборот (если между
этими множествами можно установить взаимно одно-
значное соответствие). В этом смысле множество всех
натуральных чисел и множество четных натуральных
чисел имеют одинаковое число элементов. Действитель-
но, каждому числу п соответствует четное число 2и, и
наоборот.
Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, ...,п, (пЦ- От -
четные натуральные числа: 2, 4,6, 8, 10,..., 2п, 2(/г+ 1),...
Но в логическом смысле объем первого из указан-
ных понятий больше, чем объем второго, так как всякое
четное натуральное число есть натуральное число, но
не всякое натуральное число является четным.
Итак, если А и В — объемы некоторых понятий, то
ЯСВ означает, что А меньше или равно В. Естествен-
на
нее, правда, говорить, что А часть В. Однако уже рань-
ше мы пришли к необходимости различать логиче-
ский (или логически возможный) объем понятия и
фактический его объем. Соответственно этому есте-
ственно говорить об отношениях логических и фактиче-
ских объемов понятий.
Мы видели (стр. 194), что объем всякого понятия
может быть представлен в виде объединения элемен-
тарных пересечений. Логический объем понятия пред-
ставляет объединение всех возможных элементарных
пересечений без учета смысла дескриптивных терминов,
посредством которых выражается содержание понятия.
Фактический объем —это объединение всех элементар-
ных пересечений, которые оказываются непустыми при
учете смысла дескриптивных терминов (если все такие
пересечения оказываются пустыми, то это свидетельст-
вует о пустоте фактического объема понятия).
Мы уже приводили примеры, иллюстрирующие раз-
личия между логическими и фактическими объемами
(стр. 191). Здесь полезно проиллюстрировать соответ-
ствующие различия :в отношениях между объемами.
Возьмем понятия х (Металл (х) ^Жидкость (х)) и
х (Металл (х) Д Сложное вещество (х)). Обозначим
металл через Р, жидкость через Q, сложное вещество
через S. Построим для объемов понятий диаграммы
Венна (разбивая универсум в каждом случае по свой-
ствам Р, Q, S). Заштрихованные площади -представля-
ют логические объемы. Знаком « + » отмечены факти-
чески непустые части объемов (рис. 7).
Как видим, логический объем первого понятия со
ставляет часть логического объема второго. То же отно-
шение имеет место и для фактических объемов.
199
Для простых понятий, т. е. понятий, содержания ко-
торых выражаются простыми предикатами Р\(х) и
Р2(х), логические объемы (представляющие собой ре-
зультаты разбиения объемов исходных понятий по
Р2) всегда будут только перекрещиваться (находиться
в отношении частичного совпадения).
Например, для объемов понятий «число, оканчива-
ющееся на 5» и «число, делящееся на 5» получим диа-
граммы (через Р(х) обозначим свойство «оканчиваться
на 5», через Q(x)— «делиться на 5»):
8
Логические объемы, как видим, имеют общую часть
W x(P(x)AQ(*)); фактический объем первого понятия
составляет часть объема второго (для которого факти-
ческий и логический объемы совпадают).
Высказывание ЛСВ, выражающее отношение логи-
ческих объемов, логически истинно. Если оно выражает
отношение фактических объемов, то оно фактически
истинно.
Легко можно доказать, что если отношение А(^В
имеет место для логических объемов А и В некоторых
понятий, то в таком же отношении находятся и факти-
ческие объемы этих понятий.
Что же может означать утверждение, что содержа-
ние одного понятия больше или меньше, уже или шире
другого? Обычно в курсах логики подразумевают срав-
нение по количеству признаков, составляющих основное
содержание. Или точнее: если в содержании одного по-
нятия имеется некоторая совокупность признаков, а в
содержании другого — та же совокупность и еще неко-
торые признаки, то содержание второго понятия шире,
чем содержание первого. Пример: «прямоугольный че-
200
тырехугольник» и «прямоугольный четырехугольник с
равными сторонами».
Но в таком случае сразу находятся примеры, проти-
воречащие закону обратного отношения в принятой его
формулировке. Содержание понятия «равносторонний
прямоугольный четырехугольник с равными диагона-
лями» шире (в указанном только что смысле), чем со-
держание понятия «равносторонний прямоугольный
четырехугольник». Но объемы этих понятий равны.
Объем понятия «число, оканчивающееся на 0» меньше
объема понятия «число, делящееся на 5», но содержа-
ние его не шире (и не уже) содержания второго (опять-
таки, конечно, в указанном смысле).
Спрашивается, как относятся между собой содержа-
ния понятий «число, делящееся без остатка на 3» и
«число, делящееся без остатка на 3 или на 5»? Если
подсчитывать количество простых предикатов (призна-
ков), то оказывается, что содержание второго понятия
больше содержания первого понятия. Однако и объем
его больше. Неясно, как можно сравнивать по указан-
ному принципу содержания таких, например, понятий,
как х Больше (я, 5) и х з у Больше (я, #)? Дело осо-
бенно осложняется, когда под содержанием понятия
подразумевают вообще всю совокупность общих приз-
наков, обобщенных в понятии предметов.
31ценка ^одержаний^понятий по „количесщу^ призна-
к объявляется одним из недоразумений традиционной
логики. Здесь сказалось, конечно, отсутствие точных
методов анализа логических отношений и критериев
проверки тех или иных утверждений.
Вопросы о том, где содержание шире, где уже, ча-
сто вообще решались, да и теперь часто решаются, по
интуиции. При таких условиях более или менее обосно-
ванное решение вопросов вообще невозможно. Г. Клаус,
например, считает, что при правильном понимании аб-
страгирующей деятельнорти, лежащей в основе образо-
вания понятий, закон обратного отношения теряет свое
значение и «трудно сказать с точностью, в какой обла-
сти он воообще имеет силу» [50, стр. 215]. Во всяком
случае, как считает автор, этот закон «имеет весьма
ограниченное значение и становится ложным, если его
абсолютизировать». «Научные понятия, — пишет он,—
при увеличении их содержания не делаются уже по
201
объему. Более общее понятие содержит менее общёе в
качестве частного случая. Если в математике мы riepe-
ходим от уравнения х2+у2=1 (которое, по мысли авто-
ра, очевидно, выражает содержание понятия окружно-
сти с центром в начале координат и с радиусом, рав-
ным 1. —В. Е.) к уравнению ах2+Ьу2=1 (представля-
ющему кривую эллиптического или гиперболического
типа, отнесенную к главным осям и с центром в начале
координат. — В. В.), то объем понятия, связанного с
этим уравнением, безусловно увеличивается. Однако не
может быть и речи о том, что содержание уменьшается,
ибо выражаемый последним уравнением класс кониче-
ских сечений шире и второе уравнение включает пер-
вое» [50, стр. 214—215].
Совершенно неясно, почему «не может быть и речи,
что содержание уменьшается» (следующее за этими
словами «ибо» не разъясняет этого; неясно, как надо
понимать, что одно уравнение включает/Другое, и гово-
рит ли что-либо такое включение об отношении содер-
жаний понятий). Ниже мы попытаемся показать, что
высказанное здесь убеждение не -соответствует действи-
тельности.
На протяжении многих десятилетий в логике обсуж-
дался так называемый «парадокс» Больцано. Рассмат-
риваются два понятия: «люди, знающие (все) европей-
ские языки» и «люди, знающие (все) живые европей-
ские языки». Считают, что второе понятие шире по со-
держанию, чем первое Дпоскольку содержит еще приз-
нак «живые», — опять-Даки, как видим, действует пре-
словутый принцип «количества признаков» вообще);
вместе с тем, объем этого понятия (вопреки закону
обратного отношения) также шире.
В действительности, при правильном анализе содер-
жаний понятий (и при наличии, конечно, правильного
принципа сравнения содержаний), элементарным обра-
зом выясняется, что здесь вовсе нет никакого пара-
докса.
Отношения между содержаниями понятий, такие,
как «часть», «шире», «уже» («больше», «меньше», «бо-
гаче», «беднее» и т. п.), естественно связывать с коли-
чествами содержащейся в понятиях информации.
Содержание понятий интересует нас именно как та ин-
формация о мыслимых в понятии предметах, на основе
202
которой эти предметы выделяются, которая необходима
и достаточна, чтобы решать вопросы о принадлежности
как^их-либо предметов к данному классу. Согласно тео-
рии информации, чем больше имеющаяся информация
о предметах в каком-нибудь опыте, тем меньше неопре-
деленность опыта, и наоборот. Представим себе, что
опыт состоит в случайном выборе предметов из клас-
са— объема понятия. Если имеем понятие хЛ(х), то
выбранный предмет может относиться к одному из его
видов и, следовательно, опыт имеет какую-то степень
неопределенности (которая равна нулю лишь в том слу-
чае, если в объеме всего один элемент). Ясно, что для
понятия х(Л(х)\/^(х)) степень неопределенности, во-
обще говоря, больше (поскольку выбираемый предмет
может оказаться элементом эдхЛ(х) или дохВ(х)).
И это свидетельствует о том, что заключенная в содер-
жании последнего информация о предметах меньше, чем
в содержании понятия хА (х) .Дакон обратного отноше-
ния, собственшьл^указьтвает на то. что меньше ин-
формация о предметах, заключенная в понятии, тем
шире класс предметов и неопределеннее его состав, и,
наоборот, чем больше информация, тем уже и опреде-
леннее круг предметов.
Конечно, для достижения полной ясности необходи-
мо при этом выяснить понятие информации, содержа-
щейся в высказывании, и принципы количественной
оценки ее. Заниматься этими вопросами здесь не пред-
ставляется возможным Ч Однако, исходя из интуитив-
ных представлений, естественно считать, что если вы-
сказывание А является логическим следствием выска-
зывания В, то информация, содержащаяся в первом,
составляет часть информации, содержащейся во втором.
Если исходить из того, что информация, которую несет
высказывание, это и есть его содержание, то указанное
отношение между А и В означает, что содержание А
составляет часть содержания В.
Если три этом В не‘является следствием Л, то со-
держание А уже (меньше), чем содержание В. В про-
1 Трактовке информации как содержания высказывания дана
Карнапом и Бар-Хиллелом [16, стр. 384—389]. Попытка решения
ряда вопросов предпринята автором в статье «Опыт семантической
интерпретации статистического понятия информации» [49].
208
тивном случае (если имеем А=В) содержания одина-
ковы Ч
Однако, обращаясь -к отношениям между содержа-
ниями, мы должны различать аналогично тому, как это
делалось для объемов, логические и фактиче-
ские содержания понятий и соответственно отношения
между логическими и фактическими содержаниями.
Логическим содержанием понятия хА(х) является
информация, которая определяется только логической
формой Л(х) (независимо от смысла имеющихся здесь
дескриптивных терминов, точнее, независимо от каких-
либо знаний о предметах, свойствах и отношениях, пред-
ставляемых этими терминами).
Для двух понятий хА(х) и хВ(х) логическое содер-
жание второго составляет часть логического содержа-
ния первого, если и только если А(х) В(х), имея в
виду завершенный вывод (см. стр. 91) по правилам
описанной системы исчисления предикатов или любой
другой системы классической логики.
1 Согласно этим определениям, содержания всех логически
истинных высказываний совпадают. Это общее содержание состав-
ляет часть содержания любого другого высказывания (поскольку
логически истинное высказывание выводимо из любого высказыва-
ния). Данное положение можно объяснить тем, что такие высказы-
вания не содержат никакой информации о предметах, являющихся
объектами содержащихся в них утверждений (не случайно они на-
зываются тавтологиями или логическими тавтологиями). Точно так
же одинаковое содержание имеют и все тождественно или логиче-
ски ложные высказывания. И это содержание таково, что оно вклю-
чает как часть содержание любого высказывания, ибо из тождест-
венно ложного высказывания следует любое высказывание. Инфор-
мация, содержащаяся в таких высказываниях, как бы бесконечна.
И этому опять-таки можно дать довольно естественное объяснение:
если кто-либо сумел доказать тождественно ложное высказывание
(а об информации высказывания имеет смысл говорить, только
предполагая, что оно доказано), то ему доступно решение всех
проблем науки (собственно это и означает то, что из тождественно
ложного, т. е. внутренне противоречивого, высказывания выводимо
все, что угодно).
Указанные обстоятельства связаны с экстенсиональным харак-
тером принятого логического аппарата и главным образом с особен-
ностями материальной импликации; они свидетельствуют о том, что
в рамках данного логического аппарата невозможен учет различий
в специфически логической информации, которую содержат логиче-
ские законы. В анализе смысла языковых выражений эти различия
имеют, вообще говоря, существенное значение. См. об этом [41,
стр. 98—101].
204
\ Согласно правилам 2ЭИ и 2ЭВ> утверждение о нали-
чии отношения Л(х) нВ(х) равносильно утверждению
о доказуемости в исчислении предикатов (т. е. о тож-
дественной истинности или логической истинности) им-
пликации Л(х)ОВ(х) или ух(Д(х)2ЭВ(х)).
Фактическое содержание понятия хЛ(х)—это ин-
формация, заключенная в Л(х) с учетом смысла входя-
щих \в это выражение дескриптивных терминов и того,
что н^м известно о связях предметов, свойств и отно-
шении, представляемых этими дескриптивными терми-
нами, т. е. некоторого множества Г суждений, выража-
ющих эти связи.
Если мы имеем понятия «(вещество, которое не яв-
ляется (металлом или является кристаллическим веще-
ством» и «вещество, которое не является простым или
является газом» и при этом не знаем о существовании
каких-либо связей между признаками «быть металлом»
(или «не быть металлом») и «быть кристаллическим
веществом», а также между признаками «быть простым
веществом» (или «не быть простым веществом») и
«быть газом», или не учитываем этих связей, то оба
понятия будут для нас заключать одну и ту же инфор-
мацию, представляющую логическое содержание поня-
тий. Тот факт, что в одном случае информация отно-
сится к таким объектам, как неметаллы и кристалличе-
ские вещества, а в другом — к не простым веществам и
газам, — не имеет существенного значения, если нас ин-
тересуют количественные оценки информации (которые
имеются в виду при сравнении содержаний различных
понятий). Это обусловливает различия, если так можно
выразиться, в качественном составе информации, но не
в -количественных ее характеристиках. Другое дело, ког-
да нам известно, что все металлы — кристаллические
вещества и что только некоторые простые вещества суть
газы. При учете этих знаний оказывается, что первое
понятие не содержит никакой фактической информации
(в силу чего понятие не выделяет никакого специфиче-
ского класса предметов), второе же имеет определенное
фактическое содержание.
Все только что изложенное означает, что о факти-
ческом содержании понятия хА(х) имеет смысл гово-
рить лишь в том случае, когда это понятие рассматри-
вается как составная часть некоторой системы знаний
205
(например, как понятие некоторой определенной тео-
рии). О логическом содержании понятия мы говорим,
имея в виду его выражение в некотором логическом
языке или вообще подразумевая некоторую систему/ло-
гики, где определен смысл логических констант. I
В работах по диалектической логике нередко йод-
черкивается мысль о том, что понятия должны рассмат-
риваться как звенья некоторой системы знания [34,
стр. 124]; [10, стр. 48]. Сказанное выше выясняет/ кон-
кретный смысл этого. } i
В соответствии с изложенным можно сказать, что
фактическое содержание понятия хВ(х) (в некоторой
определенной теории!) составляет часть фактического
содержания хА(х), если и только если (в данной тео-
рии) имеется некоторое множество истинных высказы-
ваний Г, таких, что Г, Л(х) |— В(х) (имея в виду, как и
прежде, завершенный вывод).
Легко усмотреть, что если логическое содержание
понятия хВ(х) составляет часть логического содержа-
ния понятия хЛ(х), то в том же отношении будут нахо-
диться и их фактические содержания. Действительно,
если имеется вывод Л(х) р-Щ*), то имеем Г, Л(х)|—
Н В(х), где Г — множество любых высказываний.
Но обратное утверждение, конечно, неверно. Учиты-
вая сказанное, при наличии вывода Л(х)нВ(х), мы
можем говорить, что содержание понятия хВ(х) состав-
ляет часть содержания хЛ (х).
Отношение «быть частью» между фактическими со-
держаниями двух понятий хВ(х) и хЛ(х) является, как
мы видим, более широким,, чем отношение между логи-
ческими их содержаниями. Последнее есть частный слу-
чай первого. Другим частным случаем является такое
отношение, когда существует Г, такое, что Г, Л(х) |— В(х),
но неверно, что Л(х) н В(х), т. е. когда отношение
1 Мы должны ссылаться здесь на определенную теорию потому,
что одно и то же утверждение может быть доказуемым в одной
теории и недоказуемым в другой. Например, в евклидовой геомет-
рии верно, что через точку, не лежащую на данной прямой, может
быть проведена только одна прямая, не пересекающая данную;
в геометрии же Лобачевского доказуемым является противополож-
ное утверждение: через точку вне прямой проходит не только одна,
а даже бесконечное множество различных прямых, не пересекающих
данную.
206
«часть—целое» имеется толькЬ между фактическими со-
держаниями хВ(х) и хА(х). Это соответствует случаю,
когда высказывание VхИ(х) ЭВ(х)) фактически
истинно.
Заметим, что если А(х) в понятии хЛ(х) логически
истинно, то содержание этого понятия оказывается
частью содержания любого понятия, и это означает, что
понятие не имеет никакого содержания — ни логического,
ни фактического. Если же А (х) (понимаемое как выска-
зывание, общее относительно х) фактически истинно,
т. е. ймеется множество Г фактически истинных выска-
зываний, такое, что Г н Д(х), то фактическое содержа-
ние понятия хА (х) является частью фактического содер-
жания любого понятия. Это значит, что понятие лишено
фактического содержания.
До сих пор мы называли сам предикат Л(х) содер-
жанием понятия хЛ(х). Более точно, видимо, надо ска-
зать, что предикат выражает (или представляет) содер-
жание понятия. Если понятие лишено логического или
фактического содержания, то это значит, что предикат
представляет пустое содержание !.
Очевидно, что фактическое содержание понятия рас-
ширяется с каждым новым открытием в теории (за счет
расширения множества суждений Г), приводящим к вы-
явлению ранее не известных признаков предметов этого
понятия, общих для этих предметов и выводимых из
основных признаков. По существу фактическое содер-
жание (если его трактовать как совокупность призна-
ков) представляет собой множество всех признаков, вы-
1 Заметим, что высказывание А(х), содержащее элементарные
(в смысле, определенном на стр. 188—189) предикаты Ль..., Ат, мо-
жет быть представлено как конъюнкция элементарных__дизъюнкций
(вида 41V- • -\Мт» где Л/, 1=1,2,..., т, есть Л/ или At). Эта фор-
ма представления выражения А(х) называется его совершенной
конъюнктивной нормальной формой, или СКНФ. Приведение к СКНФ
осуществляется по правилам, алгебры высказываний с использова-
нием, в частности, закона A\J(B/\B) = А. Каждое высказывание,
кроме тождественно истинного, имеет СКНФ и притом единственную
(с точностью до порядка конъюнктивных и дизъюнктивных членов).
Для наших целей удобно считать, что тождественно (логически)
истинное высказывание имеет СКНФ, множество членов которой
является пустым. СКНФ высказывания А(х) представляет собой
(конъюнктивное) разложение его по Ль...,Лт. Подобное разложе-
ние может быть осуществлено не только по содержащимся в Л(х)
предикатам Ль ...,Ат, но и по любой совокупности Ль..., Ат,
207
водимых из основных (включая, конечно, и сами эги
основные признаки), а логическое содержание есть ке
что иное, как основное содержание понятия. /
В свете всего этого различаются две основные ®ор-
мы развития понятия в составе некоторой теории, CJ од-
ной стороны, происходят изменения его фактического
содержания за счет возникновения новых суждений Г.
Это, так сказать, «количественные», «непрерывные» из-
менения. С другой стороны, на определенных этапах
развития теории изменяется (в связи с проникновением
в более глубокую сущность предметов и с переопреде-
лением понятия) основное (логическое) содержание
понятия. Изменения последнего рода представляют со-
бой своего рода «скачки» в развитии понятия, «качест-
венные» его изменения.
Благодаря относительному постоянству основного
содержания понятие сохраняет качественную определен-
ность, остается «тем же самым», несмотря на затраги-
вающие его изменения теории.
Ясно, каким образом следует определить сейчас от-
ношения «шире» и «уже» в применении к содержаниям
понятий. Если логическое (соответствённо фактическое)
содержание одного понятия составляет часть логиче-
ского (фактического) содержания другого, а это второе
не является частью первого, то первое уже, чем второе,
а второе, естественно, шире. Но из того, что логическое
содержание одного понятия уже или шире, чем логиче-
ское содержание второго, не следует, что таковы же от-
ношения между фактическими их содержаниями. Это
Вь Вп. Естественно считать, что множество всех конъюнктивных
членов любого такого разложения А(х) (понимаемых как высказы-
вания, общие относительно всех свободных предметных переменных)
представляет логическое содержание понятия хА (х), а множество
членов, не являющихся фактически истинными, — его фактическое
содержание. Отношения «быть частью» между логическими и фак-
тическими содержаниями понятий хА(х) и хВ(х) сводятся таким
образом к тем же отношениям («быть частью») между соответст-
вующими множествами членов разложений А (х) и В (х) по сово-
купности Ль..., Amt Bi,...tBn всех их элементарных составляющих.
Если Л(х) в понятии хА(х) логически или фактически истинно,
то множества, представляющие соответственно логическое или фак-
тическое содержание понятия, пусты и потому являются частями
любых других множеств. Однако данные выше определения отноше-
ний между фактическими и логическими содержаниями понятий
являются более широко применимыми.
208
обстоятельство осложняет анализ отношений между по-
нятиями в соответствии с традиционной формулировкой
закона обратного отношения (где фигурируют отноше-
ния «шире», «уже»); возникает необходимость всегда
разделять отношения логических содержаний (и соот-
ветственно объемов) и фактических.
Принятая нами формулировка закона (в которой,
как )мы уже видели, используется лишь отношение
«быт^ частью» как для объемов, так и для содержания)
избавляет от этих осложнений и к тому же расширяет
сферу применения этого закона.
При рассмотрении закона обратного отношения
обычно отмечается, что он применим лишь к понятиям,
находящимся в отношении рода и вида и не может быть
распространен, в частности, на равнозначащие понятия
(понятия с совпадающими объемами). «Равнозначащие
понятия, — пишет, например, В. С. Бачманов, — не мо-
гут входить в сферу действия закона обратного отно-
шения объема и содержания понятий уже потому, что
равнозначащие понятия имеют один и тот же объ-
ем и потому между их объемами не может быть тех
отношений («больше», «меньше»), которые предусмат-
риваются законом обратного отношения» [9, стр. 73].
Однако между объемами, как и содержаниями, упо-
мянутых здесь понятий имеется отношение «часть — це-
лое», и, пожалуй, во всех случаях, где мы используем
закон обратного отношения, существенно именно это
отношение. Коснемся попутно второго аргумента ©толь-
ко что цитированной работе, обосновывающего невоз-
можность указанного расширения закона обратного от-
ношения: «Что касается содержания равнозначащих
понятий, то оно у них всегда различное, а величина со-
держания не поддается фиксации в каком-либо общем
правиле» [9]. Мы уже видели, что невозможность фикса-
ции величины содержания в традиционной логике при-
водит к трудностям не /только при анализе равнознача-
щих понятий. Все эти трудности отпадают при введен-
ных выше уточнениях. Разберемся, например, в отноше-
ниях понятий, рассмотренных на стр. 201.
Содержание (логическое, а следовательно, и факти-
ческое) понятия «равносторонний прямоугольный четы-
рехугольник» составляет часть содержания понятия
«равносторонний прямоугольный четырехугольник с рав-
209
ними диагоналями», ибо ЛДВнЛ. Согласно закбну
обратного отношения в принятой нами формулировке,
объем второго понятия должен быть частью объема
первого. И это соответствует действительности. I
Пользуясь принятой в логике формулировкой зако-
на, мы бы сказали, что логическое содержание первого
понятия уже, чем содержание второго (поскольку
ЛДВ не выводимо из Л), и потому логический Объем
его шире, чем логический объем второго. И это/тоже
верно. Обычные недоразумения с примерами такого ро-
да [53, стр. 281] возникают из-за того, что, говоря об
отношениях между содержаниями понятий, имеют в
виду логические содержания, а обращаясь к отноше-
ниям объемов, берут фактические объемы. Фактические
содержания, а также объемы взятых понятий, конечно,
равны.
О понятиях «число, оканчивающееся на 0» и «число,
делящееся на 5» можно только сказать, что фактиче-
ский объем первого меньше фактического объема вто-
рого, значит, фактическое содержание второго понятия
шире. И действительно, Г, Оканчивается (х, 0) Н Делит-
ся (х, 5), где Г — некоторые законы арифметики. Меж-
ду логическими содержаниями и объемами здесь нет
отношения «часть — целое».
Отношение между понятиями «число, делящееся без
остатка на 3» и «число, делящееся без остатка на 3 или
на 5» также теперь совершенно ясно. Содержание вто-
рого (логическое, а следовательно, и фактическое) со-
ставляет часть содержания первого (ибо Л |— Л V В, по
правилу Ve). Значит, объем первого (как логический,
так и фактический) -составляет часть объема второго.
Для понятий х Больше (х, 5) и хд у Больше (х, у)
вопрос также решается просто: содержание (логиче-
ское, а значит, и фактическое) второго понятия состав-
ляет часть содержания первого (ибо Больше (х, 5) |—
\-^у Больше (х, у), по правилу ge); отношение между
объемами обратное.
Содержания понятий в формулировке «парадокса»
Больцано таковы: \у (Европейский язык (у) 2D Зна-
ет (х, у)) и у у ((Европейский язык (у) /\ Живой язык
(у) )Z) Знает (х, у)). Нетрудно осуществить вывод вто-
рого из первого («о обратного вывода не получится).
Следовательно, содержание второго понятия составляет
210
чАсть содержания первого, и естественно (в согласии с
законом обратного отношения), что объем его вклю-
чает как часть объем первого. Иначе, содержание пер-
вогр понятия можно было бы представить как конъюнк-
цию двух признаков х: «знание всех живых языков» и
«знАние всех мертвых языков»; тогда сразу видно, что
содержание второго понятия составляет лишь часть со-
держания первого.
Наконец, обратимся к примеру, предложенному
Г. Клаусом. Для анализа его необходимо уточнить ис-
пользуемые им понятия окружности и кривой, выража-
емой уравнением ах2+Ьу2=1.
Г. Клаус был, конечно, неточен, принимая уравнения
кривых за содержания соответствующих понятий. Урав-
нение окружности, например, выражает содержание по-
нятия точки окружности, а не самой окружности. Так,
понятие «точка окружности с центром в начале коор-
динат и с радиусом, равным 1» (подразумевая под точ-
кой пару действительных чисел хи у, координат точки)
можно выразить в виде (х, у) (х2+«/2=1). Множество
таких точек, именно w(x> У) (х2+«/2=1), и будет пред-
ставлять саму окружность. Содержанием же понятия
самой окружности должны быть свойства именно окруж-
ности. Очевидно, это понятие можно выразить так:
w (w = w (*» У) (х? + У* = 0)
(фигура w такая, что она представляет собой множе-
ство точек, т. е. пар координат х и у, удовлетворяющих
уравнению х2+«/2=1).
Понятие кривой, выражаемой уравнением ах2+
+ &«/2=1:
КУН?!з?2(w = до (х, у)(Zj х2 + z2y2 = I))1.
Теперь легко показать (вопреки утверждению
Г. Клауса), что содержание второго понятия составляет
часть содержания первого.
1 а и b в уравнении кривой заменены переменными и Z2, и
эти переменные связаны; иначе оказалось бы, что понятие не пред-
ставляет определенного смысла и потому не может быть логическим
сказуемым какого-либо суждения (например, утверждения, что не-
которая фигура S есть кривая данного вида. Точнее, если бы мы
использовали такое выражение в качестве сказуемого (что вырази-
лось бы в замещении да на S в предикате, представляющем содер-
211
1. ад = эд (x, z/) (lx2 + 1 z/2 = 1) — посылка (содержание
первого понятия) {
2. gz2 {w = эд (х, у) (lx2 + z2z/2 = 1)) — 1, ge
3 • az^Zj, (w = эд (х, у) (zxx2 + z2z/2 = 1)) — 2, нв
Итак,
a> = w(*» р)(*2 +*/2 = 1)На21Э22(^ =
= W У) (*i*2 + z2y2 = 1)).
В ряде случаев возражения против закона обратного
отношения возникают в силу иного (по сравнению с
приведенным выше) понимания объема или содержания
понятия.
Б. М. Кедров приводит следующий пример, который,
по его мнению, должен свидетельствовать в пользу то-
го, что понятия науки в своем развитии подчинены за-
кону прямого, а не обратного отношения между объема-
ми и содержаниями. До некоторых пор не были извест-
ны инертные газы. С их открытием произошло расши-
рение объема понятия «химический элемент». Но, вме-
сте с тем, обогатилось и содержание этого понятия,
поскольку стало известно новое свойство («химическая
инертность») элементов.
Очевидно, что «объем» и «содержание» здесь упот-
ребляются не в установленном выше смысле. Пользуясь
введенными понятиями, мы бы сказали, что с откры-
тием инертных газов изменился не объем понятия, а на-
ше знание объема. Не произошло в указанном случае
и изменения содержания, поскольку химическая инерт-
ность не является общим признаком химических элемен-
тов.
По мнению ряда авторов, закон обратного отноше-
ния действует лишь в сфере некоторых примитивных
жание понятия согласно установленной выше эквивалентности
S есть Р = P(S), то получили бы не суждение, а двухместный пре-
дикат с переменными а и Ь. (См. стр. 180). Собственно, и непосред-
ственно по смыслу выражения «какая-то (произвольная) линия,
уравнение которой ах2+Ьу2=1», ясно, что здесь подразумевается
линия с какими-то значениями а и b в ее уравнении. Когда в гео-
метрии рассматривают кривую ax2+fo/2=l, то по существу имеют
в виду хотя и неопределенную, но фиксированную кривую (см.
стр. 80).
212
\
формальнологических понятий, в которых обобщение
некоторых предметов достигается за счет отвлечения от
особенностей (отбрасывания признаков, выражающих
эти особенности) отдельных предметов и тех или иных
их видов и фиксации лишь общего (сходного) в пред-
метах. Считают, что в науках применяются и преобла-
дают иные способы обобщения предметов в понятиях,,
обеспечивающие сохранение в поднятии особенных и да-
же индивидуальных черт обобщаемых предметов. Иног-
да говорят, что подлинно научные понятия включают
все богатство частностей (особенного и отдельного)
[45, стр. 31—37]; [88, стр. 212—217]; [50, стр. 215];
[67, стр. 95, 100, 116].
Обсуждение вопроса о сущности и видах обобще-
ния предстоит в дальнейшем (§ 10). Сейчас интересно»
обратить внимание на те понятия, в которых общее
якобы включает особенное и единичное.
М. М. Розенталь считает таковыми вообще все науч-
ные понятия, отражающие сущность предметов!. На-
пример, понятие империализма как монополистического
капитализма. Здесь, как он пишет, «мы делаем обобще-
ние, которое не только фиксирует нечто сходное в мас-
се экономических процессов, но и вскрывает сущность
этого явления. В этом смысле понятие «монополия»
есть всеобщее, воплощающее в себе «богатство особен-
ного, индивидуального, отдельного», и в этом сила дан-
ного научного понятия» [88, стр. 217].
1 Такие понятия автор относит к числу понятий диалектической'
логики, противопоставляя их понятиям формальной логики; послед-
ние, как он пишет, не вскрывают сущность, а лишь фиксируют нечто*
сходное в предметах (88, стр. 211]. Читатель мог заметить, что, со-
гласно изложенному выше пониманию сущности, она тоже пред-
ставляет собой нечто сходное в предметах. Относительно деления’
понятий на понятия диалектической и формальной логики заметим
следующее. Как диалектическая, так и формальная логика иссле-
дуют формы и процессы, имеющие место в сфере познания. В част-
ности, объектом изучения той1 и другой (хотя и в разных аспектах)
являются понятия науки. Имеются в виду, конечно, понятия различ-
ных наук, а не самой только диалектической и формальной логики.
К числу понятий формальной логики относятся лишь те, которые*
она создает для описания изучаемых ею объекте®. Довольно стран-
но, если М. Розенталь считает, что все эти понятия принципиально*
отличаются неизбежной ограниченностью, состоящей в том, что они
ни в каком случае не отражают сущности обобщаемых в них явле-
ний.
213
Напомним, что согласно марксистско-ленинскому
пониманию «сущности она есть лишь предел, до кото-
рого дошло наше познание на той или иной ступени
(см. стр. 142). Следовательно, она составляет основу
отнюдь не «всех вообще свойств предметов. Общее,
включающее все богатство особенного, должно было бы
представлять собой метафизическую «последнюю», «аб-
солютную» сущность. К тому же из знания сущности
предметов некоторого класса самой по себе могут быть
выведены лишь общие свойства предметов этого
класса.
Неясно и то, каким образом можно согласовать раз-
бираемый сейчас тезис с диалектическим пониманием
познания как бесконечного углубления наших знаний.
Этот процесс потому именно и бесконечен, что ни в ка-
ком понятии не удается отразить всего богатства
свойств изучаемых предметов. Естественно, возникает
сомнение, в обычном ли смысле употребляет автор из-
вестные термины. «Как бы ни отличались и как бы мно-
гообразны ни были различные единичные проявления
империализма, — пишет он, — все они находят свое объ-
яснение в этой (выявленной в понятии. — Е. В.) сущно-
сти» [88, стр. 217]. Есть основания предполагать, что
именно это имеется в виду в утверждении: «Общее вклю-
чает богатство особенного и единичного». В таком слу-
чае мы имеем здесь весьма своеобразное употребление
термина «включает». И если общее лишь в том смысле
включает особенное, что позволяет объяснить его, то
как же это затрагивает закон обратного отношения?
Важное значение понятия в познании состоит, без-
условно, именно в том, что оно является основой для
понимания отдельного, но лишь в том смысле, что поз-
воляет усмотреть общее в отдельном и осознать отдель-
ное как специфическое проявление общего. Причем са-
ма специфика этого проявления в том или ином слу-
чае не может быть, как уже говорилось, выведена из
общего.
Таким образом, понятие способствует познанию бо-
гатства отдельного, но не включает его. «Развитие каж-
дой отдельной науки, — пишет М. М. Розенталь, — науч-
ного познания в целом идет в направлении ко все более
широким обобщениям, к открытию все более широко
действующих общих законов объективного мира. Эта
214
тенденция представляет собой закон Познания»~
Как же это можно согласовать с законом обратного от-
ношения? Ведь не становится же содержание научного-
знания (по мере его обобщения), продолжает М. М. Ро-
зенталь, все более и более бедным! Ведь неевклидова
геометрия, например, включает как частный случай;
евклидову и в то же время охватывает более широкий
круг явлений. То же соотношение между современной
теорией относительности и классической механикой,,
между квантовой механикой и классической механиков
и т. д. [88, стр. 226—227].
Если говорить о законе познания, то он состоит, каю
известно, не только в движении от отдельного к обще-
му. Это лишь одна сторона дела; вторую составляет*
движение от общего, абстрактного к конкретному, а в^
конечном счете к отдельному, с которым нам непосред-
ственно приходится иметь дело в практической деятель-
ности. Роль общего состоит в том, что оно составляет*
необходимую основу для познания отдельного, посколь-
ку всякое отдельное познается на ступени мышления не
иначе как через общее. «Значение общего, — писал*
В. И. Ленин,— противоречиво: оно мертво, оно нечисто»
неполно etc, etc, но оно только и есть ступень к по-
знанию конкретного...» [61, стр. 275].
Более широкое обобщение представляет собой более
широкую (и, как правило, более глубокую — в научных
обобщениях) основу для объяснения отдельных явле-
ний. И в этом именно состоит его научная ценность, а:
не в том, что оно содержит все богатство отдельного.
Ссылаясь на отдельные науки, М. М. Розенталь не учи-
тывает, что они представляют собой не только общее’
знание (относящееся к предметам некоторого рода), но*
также включают знание особых форм проявления об-
щего, знание о видах данного рода, а нередко и знание
об отдельных предметах. Развитие каждой науки как
раз может служить иллюстрацией дейстия общего зако-
на развития познания «от отдельного к общему, от об-
щего к отдельному»; в каждой науке наряду с процес-
сом образования абстракций имеется обратный процесс
восхождения от абстрактного к конкретному.
И, кстати, ссылку на отношение между неевклидо-
вой и евклидовой геометрией, механикой теории отно-
сительности и классической механикой и т. д. нельзя
21$
признать удачной. Геометрия Лобачевского, например,
не включает евклидову геометрию в том смысле, как
это определено для отношения «часть—целое» между
содержаниями понятий. Аксиомы второй вовсе не вы-
водимы как логические следствия из системы аксиом
.первой. Известно, что в геометрии Лобачевского пря-
мая (а), проведенная через некоторую точку параллель-
но другой прямой (&), составляет с перпендикуляром с,
опущенным из указанной точки на прямую &, острый
угол (угол параллельности). Чем меньше расстояние от
и до &, тем ближе этот угол к прямому, но всегда мень-
ше прямого.
Геометрия Евклида получается из геометрии Лоба-
чевского, если этот угол принять за прямой, т. е. в ре-
зультате введения дополнительных условий (равносиль-
ных предположению, что пространственные отношения
рассматриваются в пределах сравнительно небольших
расстояний, когда вводимая погрешность достаточно
мала). По существу мы не имеем здесь даже частного
случая в обычном смысле этого слова (как, например,
треугольник по отношению к n-угольнику, поскольку он
получается при одном из значений переменной и). Ина-
че говоря, евклидова геометрия не есть вид геометрии
Лобачевского.
Подобным же образом классическая механика полу-
чается из релятивистской (в результате того, что отлич-
V2
ная от нуля величина — в известных преобразова-
ниях Лоренца принимается за 0).
Итак, понятия, на которые указывает М. М. Розен-
таль, вовсе не выпадают из поля действия закона об-
ратного отношения. Мы не видим среди них таких,
которые бы действительно включали содержание более
частных понятий.
В. И. Мальцев, кажется, по-иному трактует диалек-
тические («конкретные») понятия. По его характеристи-
кам, это понятия, фиксирующие такое общее в предме-
тах, которое представляет «путь изменения, поступа-
тельного движения предметов», является «необходимой
линией развития, установленной при помощи диалекти-
ческого метода» [67, стр. 92—93]. Добавление насчет
того, что линия развития устанавливается при помощи
диалектического метода, очевидно, не является сущест-
216
венным. Указание метода, которым установлено содер-
жание понятия, не должно, конечно, входить в само это*
содержание. Можно представить себе, что речь здесь
идет о генетических понятиях типа: «объект, возникший
при таких-то и таких-то условиях, проходящий в своем!
развитии такие-то и такие-то стадии, по таким-то зако-
нам перехода от стадии к стадии». Поскольку подразу-
меваются общие понятия, то закон, который здесь фик-
сируется, является общим для некоторого класса пред-
метов. Но отнюдь не ясно, как можно было бы вывести
из него все специфические черты отдельных предметов,
класса и даже отдельных его видов. Едва ли В. И. Маль-
цев будет возражать, что примером понятия такого типа
можно считать изложенное К. Марксом в «Капитале»
понятие капитализма (имея в виду под понятием целую*
систему знаний). Но если бы это понятие содержало
«все богатство особенного и единичного», тогда лишь
посредством простой дедукции возможно было бы вы-
вести отсюда все черты английского, американского и
т. д. капитализма на всех стадиях их развития. И, ко-
нечно, В. И. Ленину не потребовалось бы специального
фактического и теоретического исследования специфики
монополистической стадии капитализма.
Э. Кассирер делит все понятия на понятия о функ-
циях (далее мы будем называть их функциональными)
и родо-видовые понятия. Первые, по его мнению, явля-
ются подлинно научными. К ним неприменим закон об-
ратного отношения, так как по самим способам их об-
разования они включают богатство частных случаев^
[45, стр. 31—34]. К числу понятий этого типа относятся
прежде всего понятия математики. В характеристике-
этих понятий Кассирер ссылается на Ламберта, который
подчеркивал преимущество математических общих по-
нятий, состоящее в том, что «в них не уничтожается, а
сохраняется во всей своей строгости определенность
частных случаев, к которым они должны быть примене-
ны» [45, стр. 31]. По мысли Кассирера, «понятие о>
функции содержит в себе всеобщую схему и образец,
по которому создалось современное понятие о природе
в его прогрессивном историческом развитии» [45, стр. 34].
«Истинное понятие, — пишет Кассирер, — не остав-
ляет беззаботно в стороне все характерные особенности
охватываемых им случаев...». Наоборот, оно «дает уни-
217
нереальное правило для связывания самого особен-
ного... Так, исходя из общей математической формулы,
•скажем, формулы кривых второго порядка, мы можем
получить частные геометрические образы круга, эллип-
са и т. д., рассматривая как переменный некоторый
определенный параметр, входящий в общую формулу,
и придавая ему непрерывный ряд значений. Общее по-
нятие оказывается здесь более богатым по содержа-
нию» (45, стр. 32—33].
Как мы видели, эти же геометрические понятия име-
ет в виду Г. Клаус [50].
Итак, рассмотрим, к примеру, понятие кривой вто-
рого порядка. Эта кривая в системе прямоугольных ко-
ординат определяется уравнением ax2+by2+cxy+dx+
+ еу+/=0. Переменные — параметры a, b, с, d, е, f
принимают любые значения из области действительных
чисел. При каждом наборе значений имеем некоторую
определенную (единичную) кривую, при некоторых со-
отношениях коэффициентов получаем уравнения отдель-
ных видов кривых — параболы, гиперболы, эллипса, ок-
ружности.
Э. Кассирер (и Г. Клаус, как мы видели выше) при-
нимает уравнение кривой за содержание понятия этой
кривой. В таком случае и оказывается, что из содержа-
ния общего понятия логически выводится содержание
более частных (видовых) и даже единичных понятий.
Однако его утверждение неверно в двух отношениях.
Во-первых, если уравнение какой-нибудь кривой, ска-
жем, кривой второго порядка, и считать содержанием
понятия, то не кривой второго порядка, а понятия «точ-
ка кривой второго порядка», ибо уравнение выражает
свойство именно точек. Во-вторых, из этого уравнения
можно было бы вывести какой-либо из упомянутых
частных случаев лишь при условии, если a, b, с, d, е, f
в нем рассматривать как переменные, употребленные в
интерпретации всеобщности, что содержательно означа-
ло бы равнозначность его выражению, которое можно
из него получить, связывая все эти переменные кванто-
рами общности. Однако понятие «точка кривой второго
порядка» (или, что то же, «пара чисел х и у, являющих-
ся координатами точки) должно иметь вид
^а^а^за^а^аМ^, «л 2i> 2г> 2з. 2<> 2s. 2з).
218
где А(х, у, Zi, z2, z3, z4, zs, z6) обозначает выражение,
полученное из приведенного уравнения после замены!
параметров a, b, с, d, е, f соответственно иа zif z2, z3r.
z4, z$, z6 (что надо было сделать лишь потому, что в-
описанном выше языке a, b, с, d, е, f обозначают фикси-
рованные переменные, не подлежащие связыванию кван-
торами).
И теперь мы видим, что из содержания этого поня-
тия нельзя вывести никаких из упомянутых выше част-
ных случаев. Например, не выводимо содержание поня-
тия «точка окружности»:
(*> у) (zxx2+z^2+z4x + z5y+ ze = o).
Это последнее можно обозначить через
(х, t/)azia243*6aM(*. у, zn zv о, z4, z6, ze),
отразив то обстоятельство, что оно получается из пер-
вого при Zi—z2; z3=0.
Точно так же из содержания понятия «кривая вто-
рого порядка»
ьуЭ2132232з324Я28Э2« (и» = W (х, у) А (х, у, zt, z2, z3, z4, z5, ze)>
не выводимо содержание понятия «окружность»:
«321Н24Я2вЭ2в(ay = w(*> У)А(х, у, zx, zv 0, z4, z5, ze)).
Нетрудно заметить, что переход от содержания не-
которого понятия рассмотренного типа к содержанию*
какого-либо видового его понятия, т. е. «выведение»
частного случая из общего, осуществляется по*
правилу1
дхЛ(х)|= A(t},
где t — произвольный предмет из области значений х~
Здесь |=, конечно, не означает отношения выводимости
в обычном смысле слова; правая часть приведенного
выражения не является следствием из левой. Это просто*
некоторый принцип, позволяющий осуществить обзор
1 Обратим внимание на то, что указанное правило является;
обратным по отношению к правилу дв:Л(/)|—зхЛ(х). Последнее на-
ряду с некоторыми другими правилами вывода представляет собой,
как мы увидим далее, также правило обобщения понятий. Каждому
правилу обобщения понятий естественно соответствует обратное-
правило ограничения понятий, т. е. перехода от общего к частному,
от рода к виду.
21»
«частных случаев проявления общего, отраженного в
•функциональном понятии. Подобная возможность пред-
ставляет, конечно, важную особенность функциональ-
ных понятий, но не исключает их из сферы действия за-
кона обратного отношения. И эти понятия, как оказы-
вается, не содержат в себе особенного и единичного.
§ 10. Обобщение и ограничение понятий
Здесь мы имеем в виду операции с понятиями, в ко-
торых непосредственно применяется закон обратного
отношения.
Мы должны отличать обобщение предметов
некоторого множества или отдельного предмета в поня-
тии и обобщение уже Имеющегося понятия. Обоб-
щение в понятии (в форме понятия) есть операция соз-
дания понятия, обобщенно представляющего наблюдае-
мые или возможные предметы того или иного класса.
Рассмотрим несколько типичных случаев обобщения
в понятии. Положим, имеется множество предметов
...» ^т. Для осуществления обобщения этих предме-
тов должен быть найден предикат Л(х), выполняющий-
ся для всех предметов данного множества (т. е. такой,
что верны суждения Л(Я1), ..., А(ат)) и только для этих
предметов. Тогда понятие хА (х) будет результатом
обобщения предметов взятого множества. Л(х) пред-
ставляет собой, вообще говоря, конъюнкцию признаков,
общих для предметов взятого множества и в совокуп-
ности отличительных для них. В зависимости от задач,
из которых мы исходим при создании понятия, указан-
ные признаки могут представлять собой основные при-
знаки предметов данного множества (т. е. признаки,
выражающие сущность этих предметов) или быть суще-
ственными лишь в некоторых связях этих предметов с
другими предметами (см. § 6), но формально необхо-
димо лишь, чтобы совокупность признаков была отли-
чительной для данных предметов.
Иначе говоря, предпосылкой для образования поня-
тия хЛ(х), обобщающего предметы множества {аь ...,
ат} (которое мы обозначим через Л4), является уста-
новление истинности суждений ух(х(Л1)Л(х) («для
всякого предмета х из множества М верно, что Л(х)>)
и ух(х£Л4)Л(х) («для всякого предмета х, не относя-
220
щегося к множеству М, верно Л(х)>) Ч Первое из этих
суждений, очевидно, выражает то обстоятельство, что
А(х) представляет признаки, общие для взятых пред-
метов, второе — что эти признаки в совокупности явля-
ются отличительными для этих предметов.
Когда создается понятие для некоторого неограни-
ченного множества предметов М (например, понятие
животного, растения, атома и т. п.) или множества с
неопределенным числом элементов, то эти предметы
предварительно выделяются по каким-то известным их
признакам (например, в форме описания) или на основе
общего представления. Возможно, конечно, что мы име-
ем уже некоторое понятие хВ(х) об этих предметах.
Тогда, установив суждения ухВ(х)А(х) и ухВ(х)Л(х),
где Л(х) выражает более глубокую сущность интересу-
ющих нас предметов по сравнению с В(х), мы получаем
новое понятие хА(х) (более глубоко отражающее и бо-
лее полно представляющее те же предметы).
Понятие хА (х) может возникнуть на основе единич-
ного суждения Л (а), в котором фиксируется какое-ни-
будь ранее не известное свойство А у предмета а. Если
установлено такое суждение, то предмет а может быть
представлен как х\хА (х) («некий — фиксированный —
из возможных предметов, имеющих свойство Л»). От-
сюда естествен переход к понятию хЛ(х). Возникшее
таким путем понятие представляет собой обобщение от-
дельного случая. По-видимому, многие понятия науки и
обычного языка создаются таким образом. Например,
когда Пьер и Мария Кюри установили, что открытый
ими элемент полоний обладает свойством радиоактив-
ности (Р) (под которым подразумевалась способность
испускать излучение) 1 2, они уже пришли по существу
к понятию радиоактивного элемента. На основании
суждения Р(а) полоний (а) мог быть представлен как
ЛхР(х), и отсюда возникает понятие хР(х). Конечно, в
подобных случаях получается понятие не исходного
предмета а, а класса возможных предметов, сходных с
1 Суждения мы записываем здесь на языке ИПТ (см. стр. 74).
2 Еще раньше, как известно, это свойство было открыто Бекке-
релем у урана. Однако тогда было еще неясно, является ли это
свойство специфическим или связано с явлениями флуоресценции.
221
данным в установленном свойстве. И при этом нет, ко-
нечно, гарантии существования других подобных пред-
метов. Получаемое понятие может оказаться и единич-
ным.
В частности, таким образам возникают понятия аб-
страктных систем, представляющие собой результаты
обобщений отдельных конкретных теорий (см. стр. 265).
Если известно, что свойство предмета а, выражаемое
в суждении Л (а), является отличительным для данного
предмета, то этот предмет представляется в -виде опре-
деленной дескрипции ixA(x). Отсюда получаем единич-
ное понятие хА(х). Пример: имеем суждение «Аристо-
тель есть древнегреческий философ (Р) и учитель (/?)
Александра Македонского (а)»; отсюда получаем опи-
сательное имя для Аристотеля — ix(P(x) А R(x, а)) и
понятие — х (Р (х) ДР (х, а)) («древнегреческий фило-
соф, учитель Александра Македонского»).
Операция обобщения понятия определяется
в традиционной логике как переход от некоторого поня-
тия к другому, более широкому по объему за счет ис-
ключения из содержания исходного понятия какого-
либо из признаков, составляющих видовое отличие обоб-
щенных в этом понятии предметов. Так, из понятия
«млекопитающее животное, обитающее на суше» полу-
чаем «млекопитающее животное», из него—«животное»,
затем можем получить «организм», «живое тело», «те-
ло» вообще. Естественно говорить также, что понятие,
которое получено в результате обобщения некоторого
понятия, является обобщением этого исходного понятия.
Имеется предел обобщения каждого понятия. Предель-
но широкие понятия называют категориями. По-ви-
димому, имеет смысл отличать пределы обобщения без-
относительно к той или иной науке и пределы обобще-
ния в рамках некоторой науки.
В рамках биологии, например, пределом обобщения
только что рассмотреного понятия было бы, очевидно,
«живое тело», переход к понятию «тело» означал бы
выход за эти рамки, поскольку тела вообще не являют-
ся объектами изучения биологии. Пределы обобщения
в некоторой Науке являются категориями этой науки.
Указанная форма обобщения понятия представляет
собой, очевидно, переход от понятия вида х(А(х)Д
ДВ(х)) к понятию хА(х). Логическое содержание А (х)
222
(а значит, и фактическое содержание) второго понятия
составляет часть логического (и фактического) содер-
жания первого понятия, ибо Д (х) ДВ(х)Н^4(х) (пра-
вило ДИ1), или|— (Д (х) ДВ(х))2ЭД (х). Согласно закону
обратного отношения, между логическими (и, следова-
тельно, также фактическими) объемами понятий имеет
место обратное отношение: Wx^4 (х) Д В(х)) CZWx4(x).
Однако это лишь частная форма обобщения. В об-
щем виде обобщение можно охарактеризовать как пере-
ход от понятия хД(х) к понятию хВ(х), если:
1) А(х)\-В(х), т. е. _ухИ(хО^(х)) ~ логически
истинно и 2) при этом ух(В(х)2ЭД (х)), или дх(В(х)Д
ДД (х)) — истинно. Последнее условие означает, что
ни логическое, ни фактическое содержание первого по-
нятия не является частью содержания второго. В силу
закона обратного отношения логический (и фактический)
объем второго понятия не является частью логического
(фактического) объема первого, т. е. объем второго
понятия шире, чем объем первого понятия. Без вы-
полнения этого условия (которое не учитывалось при
определении операции обобщения в традиционной логи-
ке) нет обобщения. Например, имеется лишь видимость
обобщения при переходе от понятия «прямоугольный
четырехугольник с равными сторонами и равными диа-
гоналями» к понятию «прямоугольный четырехугольник
с равными сторонами».
Таким образом, обобщение понятия связано с поня-
тием логического вывода.
Основные формы обобщения понятий (соответствую-
щие некоторым основным правилам вывода в исчисле-
нии предикатов):
1) понятие хД(х) есть обобщение х(Д(х)ДВ(х))
(традиционная форма).
2) х(Д (х) V^W)—обобщение понятия хД(х) или
хВ(х) (поскольку Д(х)[—>Ц*) V В (х) и В(х)|--Д(х)\/
VB(x)—правила \Д1 и У*)- Пример: «число, оканчи-
вающееся на 5 или на 0» есть обобщение понятия «чис-
ло, оканчивающееся на 5».
3) хД(х, а) есть обобщение хууД(х, у) (поскольку
VM (х, у)\—А (х, а) 'ПО правилу vu)-
Пример: «студент, сдавший экзамен по логике» —
хА(х, а) и «студент, сдавший все экзамены» —
хууА(х, у).
223.
4) х^уА(х, у) есть обобщение хА(х, а) (поскольку
А (х, а) НаМ (х, у) по правилу а«).
Пример: «человек, знающий какой-нибудь иностран-
ный язык» — хдг/Л(х, у) и «человек, знающий немецкий
язык» — хА (х, а).
Усложненным вариантом последней формы обобще-
ния является переход от понятия хД(х) к понятию
хВ(х), когда В(х) выводится из Л(х) многократным
применением правила ав. Так, из понятия
w(w = w(х, у)(х2 + у2 = 1))
(окружность с центром в начале координат и с радиу-
сом, равным 1) получаем обобщенное понятие
(^ = W (•*> «/) («1*2 + «2«/2 = О)
(кривая эллиптического или гиперболического типа с
центром в начале координат). Чтобы перейти от понятия
окружности к общему понятию кривой второго порядка
куаМ1а«2а«заы4а«5Н«в (о> = w (*> у) (“i*2 + «2У2 + и3ху+
+ ы4х 4- иьу = мв)),
надо было бы представить первое в виде
йУ(щ = М(х, ^)(1х2+ lt/2 + 0x^4-0x + 0«/= 1)).
Как видим, обобщение здесь достигается посредством
усложнения структуры исходного понятия. Обобщение
посредством усложнения исходного понятия является
важным приемом образования новых понятий науки.
Нередко полезное усложнение может быть осуществле-
но по чисто формальным соображениям; например, в
только что рассмотренном случае мы просто могли стре-
миться представить выражение в скобках как содержа-
щее все возможные члены не более чем второго порядка
относительно переменных х и У-
В евклидовой геометрии квадрат расстояния
р2(М, N) между точками М sN с координатами (хь уи
и (х2, у2, z2) определяется равенством
р2 (М, N) = (хх - х2)2 + (yt - у2)2 + (zx - z2)2.
Формально правую часть можно представить в виде
1 (-Ч — xz)2 + 1 (ух — У?)2+ 1 (гх— z2)2+ 0 (хх— х2) (уу— «/2)+
+ 0 (хх — х2) (zx — z2) + 0 (ух — у2) (zx — z2).
224
Пользуясь принятым у нас способом выражения по-
нятий, мы должны выразить понятие расстояния в ев-
клидовом пространстве в виде
РЭ (*1> У» 21) а (*2, Уъ г2) (р2 = 7)
(где Т обозначает только что выписанное выражение,
3 (*ь Уь Zi) —сокращение для
Отсюда (применяя 6 раз правило Эе к содержанию
данного понятия) получаем обобщенное понятие рас-
стояния (для различных трехмерных пространств):
РЭ (шх, а»2, w9, wb, we) a (xn i/x, yit z2)(p2 =
= a»i (*i — х3)г + w2 (y! — y2)2 + wa (zx — z2)a 4-
+ ®4 (*1 — X.) (У1 — y2) + ^5 (A'x — x2) (Zj — Z2) +
+ ®e(«/x—t/2)(Zx —z2)).
Естественно осуществить обобщение этого понятия и
для n-мерных пространств. (О значении этого обобще-
ния в современной физике ом. [54, стр. 15—23, 201—
209].)
Но отнюдь не всегда, конечно, формальные обобще-
ния приводят к научно значимым понятиям. Существен-
ные обобщения в науке получаются на основе сопостав-
ления и анализа предметов и явлений, выявления обще-
го и существенного в них. В особенности это верно,
когда заранее имеется в виду некоторый круг предме-
тов, на которые надо распространить уже имеющееся
понятие. Чтобы получить, исходя из понятия 4, более
общее понятие, надо усмотреть, в каком смысле пред-
меты, обобщенные в Д, можно истолковать как частный
случай (вид) предметов более широкого класса. Резуль-
татом этого истолкования в одних случаях и является
предварительное чисто формальное (не меняющее со-
держания) усложнение исходного понятия, подобное
тем, которые мы наблюдали в рассмотренных примерах,
а в других такое переосмысление самих предметов
исходного понятия, которое приводит к существенному
изменению самого этого понятия. И здесь происходит
усложнение исходного понятия как предпосылка для
его обобщения, но усложнение, приводящее по сущест-
ву к замене его иным понятием. Однако в любых слу-
чаях формальные приемы обобщения имеют определен-
8 Е. К. Войшвиллф 225
ную эвристическую ценность. Наиболее эффективными
являются методы исследования, проставляющие собой
сочетание формальных приемов с содержательным ана-
лизом.
Мы имеем, например, понятие суммы внутренних уг-
лов треугольника (в евклидовой геометрии) как вели-
чины, равной 2d, и хотим найти выражение для суммы
внутренних углов любого выпуклого многоугольника.
Исходя из содержательного анализа, нетрудно заметить,
что сумма углов многоугольника зависит (прямо про-
порционально) от числа его сторон. Тогда можно пред-
ставить исходное понятие в виде w(w = 2d(3—2)).
Отсюда по формальным правилам обобщения
получаем интересующее нас понятие w^n(w = 2d(n—2)).
Но, конечно, требуется еще доказательство того, что мы
действительно получили то, что надо, т. е. что -сумма
внутренних углов выпуклого многоугольника действи-
тельно равна всегда 2d(n—2) (хотя бы потому, что
имеется множество различных возможностей формаль-
ного обобщения исходного понятия и нет гарантии, что
выбранный вариант дает именно искомое обобщение).
В качестве примера, когда усложнение обобщаемого
понятия приводит к существенному его изменению, мы
приведем обобщение понятия скорости прямолинейного
движения. Но рассмотрим вначале по отдельности по-
нятия скорости прямолинейного равномерного движе-
ния и прямолинейного неравномерного движения. Это
позволит нам проиллюстрировать случай, когда общее
понятие (скорость прямолинейного движения вообще)
позникает как результат обобщения двух отдельных по-
нятий, а также выявить ряд новых логических момен-
тов процесса обобщения понятий.
Скорость v точки, движущейся прямолинейно и рав-
номерно, определяется, как известно, формулой
$2 — 51
v — —-----где $1 — положение точки в произвольный
^2 —tl
момент времени t\\s2— положение ее в момент ^кото-
рый также произволен, если не считать условия t2>t\
(si и s2— отрезки прямых на линии движения точки,
отмеряемые от некоторой начальной точки О, которой
соответствует / = 0, по направлению движения точки;
иначе говоря, это пути, проходимые точкой соответствен-
но за время Л и t2).
226
Понятие рассматриваемой скорости можно, следова-
у1 („ S2 — Sl \
тельно, выразить :в видеу( v — t t J • Ради точности
надо заметить, что здесь и в дальнейшем мы рассмат-
риваем понятие скорости движения которое харак-
теризуется некоторой заданной функцией, выражающей
зависимость пути s от времени t.
Для прямолинейного неравномерного движения не
имеет уже смысла говорить о скорости данной точки во-
обще. Здесь имеется понятие средней скорости в интер-
вале между s2 и £1 (или между моментами времени t%
S<>
и Zi), которая также равна ~г—~г. Используя понятие
предела, приходят к понятию скорости в момент време-
1 • ^2
ни ti (или в точке .Si): v — 1,m ~ ~~ •
tz^ti *2 — *1
Если обозначим положение движущейся точки в про-
извольный момент времени t через s(t), отражая зави-
симость пути от времени, то lim ———
^2
где s/(/i) —значение производной пути по времени для
/==/ь
Таким образом получаем понятие скорости прямоли-
нейного неравномерного движения в момент времени Л:
^(^ = $/(/1)), а отсюда понятие скорости (того же дви-
жения) в любой (произвольный) момент) L
Понятие скорости любого (произвольного) прямоли-
нейного движения должно быть обобщением понятий
скорости прямолинейного равномерного и прямолиней-
ного неравномерного движения. Для осуществления это-
го обобщения необходимо определенным образом пере-
осмыслить первое понятие.
1 На первый взгляд здесь получается странная ситуация. Ведь
скорость в любой момент времени t есть s/(/). Однако наше поня-
тие (как и (всякое понятие) обобщенно представляет класс предме-
тов, в данном случае — чисел, характеризующих скорость движения
в различные моменты времени. Для любого (произвольного) из этих
чисел, которое и представляет переменная v, существует момент
времени t (для каждого числа свой), когда v=s^(t). Если бы напи-
сали vyt (v=str (/)), то это означало бы, что v — постоянное число.
Когда в физике записывают равенство v«s/(/), то под v под-
разумевают число, характеризующее скорость в момент t (т, е. не-
кий выделенный элемент объема понятия скорости, соответствую-
щий времени /), поэтому более точно пишут y(f)=s/ (t).
8* 227 -
Нетрудно, конечно, усмотреть, что ———, представ-
/2 — tl
ляющее величину скорости прямолинейного равномер-
ного движения, равно st'(t) для любого момента вре-
мени t Это дает возможность понимать скорость этого
движения как скорость в произвольный момент време-
ни, но одинаковую для любого момента. В результате
($2 ~~~ ^1 \
v = ----------------------------------------------7~)
*2— *1 /
получим = Мы усложнили исходное поня-
тие, хотя это усложнение не меняет его по существу.
Чтобы получить интересующее нас общее понятие из
двух полученных, надо отвлечься от того, что в одном из
них в качестве s имеется в виду функция (от времени /),
определяющая прямолинейное равномерное движение, а
в другом — неравномерное.
Обобщение может быть осуществлено формальным
образом, но для этого необходимо отразить указанные
различия 1в самих формах выражения понятий.
Имея в виду также дальнейшие обобщения, будем счи-
тать, что движение точки в плоскости (рассмотрением
которого мы ограничимся) определяется двумя функция-
ми x(t) и у (t), значениями которых являются координа-
ты точки в декартовой системе координат. Ясно, что эти
функции определяют и s как функцию времени. Обозначим
эту пару функций через f и будем рассматривать ее как
переменную, область значений которой есть множество
пар функций, определяющих прямолинейные движения.
Тогда видовым отличием скорости равномерного прямо-
линейного движения будет постоянство ее в любой мо-
мент времени /, а для скорости неравномерного движе-
ния— непостоянство ее. В качестве выражений понятий
той и другой получим соответственно: ид/(3/(0 =Ц(/))Д
Av*(о = и t»a/(a*(y = s;(*))Av*(° = ^(*)))-
Понятие скорости прямолинейного движения вооб-
ще — v д f д t (v = s't (/)) — получается как результат
обобщения (по формальным правилам) каждого из этих
понятий.
Теперь наша задача состоит в том, чтобы проанали-
зировать переход от понятия скорости прямолинейного
движения к понятию линейной скорости произвольного
228
движения. Последнее должно охватывать, следователь-
но, и скорости криволинейного движения.
Криволинейное движение, как и прямолинейное не-
равномерное движение, не является инерциальным. Ина-
че говоря, это есть движение, происходящее под дей-
ствием некоторых сил. Обобщим скорость неинерциаль-
ного прямолинейного движения и скорость инерциаль-
ного прямолинейного (равномерного) движения. Обоб-
щение различных явлений в одном понятии всегда есть
отрждествление их в каком-то отношении. Скорость не-
равномерного прямолинейного движения мы тоже фак-
тически понимали как скорость равномерного движе-
ния, в которое превратилось бы исходное движение,
если бы в момент t прекратилось действие всех сил,
под влиянием которых это движение осуществляет-
ся. Естественно теперь таким же образом понимать
скорость криволинейного движения. Это приводит к
прежнему выражению этой величины как $/(/). Одна-
ко скорость криволинейного движения в разные момен-
ты времени различна по направлению и найденное вы-
ражение представляет собой характеристику ее только
по .величине. Более адекватным является ее понимание
как вектора, т. е. пары (», ф), где v — величина (число-
вая характеристика скорости), а ф — угол, который она
составляет, например, с осью абсцисс, т. е. осью х в де-
картовой системе координат. В момент t ф есть
. y't . du . ,
arctg —— = arctg = arctg у .
Xt(f) dx
Но теперь (для получения желаемого обобщения) и
скорость прямолинейного движения в произвольный мо-
мент времени следует истолковать как пару (вектор)
(v, ф). Если в качестве области значений f взять множе-
ство пар функций x(t) и y(t). определяющих вообще ка-
кие-нибудь движения, то видовое отличие скорости пря-
молинейного движения будет состоять в том, что ф для
нее одинаково для всех моментов времени. В результате
мы приходим к понятию:
(», ф) я/ (и* (v = s't (0) A v* (ч> = arctg О-
Это результат усложнения полученного прежде понятия
скорости прямолинейного движения, однако усложнения
229
отнюдь не только формального характера; изменился
сам характер обобщаемых в понятии объектов (посколь-
ку объектами стали пары).
Это значит, что теперь мы имеем принципиально
иное понятие. Д. П. Горский, имея в виду тот же при-
мер, специально отмечает, что «при историко-диалекти-
ческом обобщении понятий, т. е. при рассмотрении про-
цесса обобщения в ходе развития науки, обнаруживает-
ся, что последний может совершаться не в результате
отвлечения от каких-то свойств... а в результате введе-
ния в науку новых характеристик (например, вектора)
и включения их в содержание соответствующих поня-
тий» [32, стр. 318].
Здесь правильно отмечается действительно важная
черта научного познания. Однако данная автором логи-
ческая интерпретация фактов такого рода требует уточ-
нения. Если бы обобщение понятий в некоторых случаях
действительно осуществлялось за счет введения в их со-
держание новых свойств, то это црямо противоречило
бы закону обратного отношения. Д. П. Горский и пола-
гает, что указанный закон не имеет силы для развива-
ющихся понятий. «В самом деле, — пишет он, — добав-
ление нового признака к содержанию понятия о скоро-
сти, сформулированного первоначально в отношении
случая движения по прямой, а именно признака «иметь
направление», привело не к сужению объема понятия
«скорость» (как это должно было бы быть в соответ-
ствии с законами формальной логики), а к расширению
объема этого понятия» [32, стр. 328].
Однако, когда мы приняли во внимание новый при-
знак «иметь направление», не произошло ни обобще-
ния, ни ограничения понятия «скорость прямолинейного
движения»; этот признак не включается в содержание
понятия. Дело ведь не в том, что те же объекты (чис-
ла, определенным образом характеризующие движение)
мы выделяем теперь по другим признакам, а в том, что
под словом «скорость» имеем в виду не только числа,
но пару «число и угол», т. е. вектор. Изменилось, таким
образом, в определенном смысле само употребление
термина «скорость прямолинейного движения». Но, ис-
ходя из нового понятия, мы получаем интересующее
нас обобщенное понятие скорости любого движения:
(V, ф) а/ at ((» = s't (/)) Д (ф = arctg у’х))
230
(легко убедиться в существовании вывода дхЛ(х)Д
Л ухВ(х) н Э*(Л(х) Л В (х)), который служит в данном
случае формальной основой для обобщения).
Данное понятие является, очевидно, обобщением по-
нятий:
1) (у, ф) Е/(у/(и = st) A W = arctg УХУ)
(скорость прямолинейного равномерного движения,
представляющая собой вектор, величина и направление
которого постоянны) L
2) (и, ф) Е/ (д/ (v = S/) Д у/ (ф = arctg ух) /\ у/ (v = st))
(скорость прямолинейного неравномерного движения,
представляющая собой вектор, величина которого не-
постоянна, а направление постоянно).
3) (у, ф)Е/(у/ (п=^)Дд/ (ф = arctg ух) Д у / (ф = arctg ух))
(скорость криволинейного равномерного движения,
представляющая собой вектор, (величина которого по-
стоянна, а направление непостоянно).
4) (у, ф)Е/(а/((у=50Д(ф=аг^г/;))АуЦУ = 8/)Л¥*(Ф==
= arctg у'х))
(скорость криволинейного неравномерного движения,
представляющая собой вектор, величина и направление
которого непостоянны).
Содержательно логическая сторона процесса обоб-
щения скорости прямолинейного движения прекрасно
освещена в книге А. Эйнштейна и Л. Инфельда [108,
стр. 32—42], и мы в значительной мере заимствовали их
идеи.
Однако некоторые утверждения авторов требуют по
крайней мере разъяснений. «Когда мы говорим о кри-
вой, — пишут они, — мы .включаем в это понятие и пря-
мую... Поэтому, если скорость, изменение скорости и
сила введены для движения по кривой, то они тем са-
мым автоматически вводятся и для движения по пря-
мой» [108, стр. 40]. Но в действительности если термин
«кривая» употреблять в обычном его смысле (имея в
виду, например, линию, направление касательной к ко-
1 Вместо $/'(0 мы пишем s/.
231
торой меняется от точки к точке), то прямая никак не
войдет в это понятие, и отнюдь неверно, что если поня-
тие скорости введено для кривой, то оно автоматически
вводится и для прямой.
Понятие скорости движения по кривой (обобщение
3 и 4 из только что перечисленных понятий) есть
(». ф) а/ (а* ((^ = st) л (<р = arctg у'х)) Л v* (ф = arcfg ^))
(вектор с непостоянным направлением), и скорость пря-
молинейного движения (вектор с постоянным направле-
нием) не является его видом. Оба эти понятия представ-
ляют, очевидно, виды скорости движения вообще.
Эйнштейн и Инфельд не стали бы, конечно, утвер-
ждать, что скорость, постоянная по направлению, яв-
ляется частным случаем скорости, непостоянной по на-
правлению, и что все характеристики второй могут быть
автоматически перенесены на первую. Дело в том, что
под «движением по кривой» они имеют в виду «движе-
ние по произвольной траектории», т. е. «движение» во-
обще ((результат отвлечения от того, является ли на-
правление движения постоянным или изменяющимся).
Не учитывая этого. В. И. Черкесов усматривает здесь
указание на особый способ обобщения, свойственный
диалектической логике. Сославшись на существовавшее
ранее (в «формальной логике») обобщение понятий
«движение по прямой» и «движение по кривой» ib поня-
тии «движение тела вообще», В. И. Черкесов пишет:
«Такое обобщение, конечно, важно и его нельзя отри-
цать. Однако его нельзя считать ни единственно воз-
можным, ни самым важным для современной науки.
В процессе развития науки произошло иное и более важ-
ное обобщение указанных понятий. Понятие движения
тела по прямой по мере обогащения было развито до
более общего (курсив мой. — Е. В.) и сложного поня-
тия— движения тела по кривой, которое включало в
себя содержание понятия движение тела по прямой»
[102, стр. 74].
Ошибочность этого утверждения ясна уже из пре-
дыдущего. Она сразу выявляется, как только мы пере-
ходим от слов к анализу самих понятий. В. И. Черкесов
должен был бы ответить, что он подразумевает под
движением по кривой. Если имеется в виду движение»
232
направление которого не является постоянным во вре-
мени, то никак не удастся истолковать это понятие как
обобщение движения, направление которого постоянно,
если же это есть движение вообще (направление кото-
рого постоянно или непостоянно), то оно представляет
собой обобщение как прямолинейного, так и криволи-
нейного движения в обычном «формальнологическом»
смысле. Назвав (родовое понятие именем видового (дви-
жение вообще криволинейным движением), мы не по-
лучим, конечно, никакого нового способа обобщения.
В науке нередки случаи, когда один и тот же тер-
мин употребляется для выражения родового и видового
понятия. Так, под эллипсом имеют в виду часто кривую,
д^2 ^2
определяемую уравнением а->®> ^>0»
(а, b — полуоси эллипса). Видами эллипса в этом смысле
являются окружность (для которой а—Ь) и эллипс в
узком смысле слова (при а=£=Ь).
Аналогичное положение с употреблением слова
«ромб». Ромбом называют четырехугольник с равными
сторонами, а также часто и вид его — четырехугольник
с равными сторонами и непрямыми углами (называе-
мый иногда также ромбоидом). Эллипс (соответственно
ромб) в узком смысле наряду с окружностью (соответ-
ственно квадратом) являются видами (частными слу-
чаями) эллипса (соответственно ромба) в широком
смысле слова. Но окружность не является, конечно, ви-
дом эллипса в узком смысле (как и квадрат не есть
вид ромбоида).
При анализе отношений между понятиями полезно
иметь в виду, что всякий род имеет не менее двух ви-
дов. Если понятие хА(х) представляет вид предметов
некоторого рода, то этот род имеет также вид, пред-
ставляемый понятием хА(х). Или в более общей форме:
если для понятия хА(х) .имеется вид х(А (х)ДВ(х)), то
имеется также вид х (А (х) Д В (х)).
Например, в качестве вида четырехугольников с рав-
ными сторонами имеем четырехугольники с равными
сторонами и прямыми углами (квадраты). Значит, на-
ряду с ним имеется вид: четырехугольники с равными
сторонами и непрямыми углами. Или, приняв (как это
делают Эйнштейн и Инфельд) прямолинейное движение
233
за частный случай (вид) криволинейного движения и
учитывая, что прямолинейное движение есть движение
со скоростью, постоянной по направлению, мы придем
к заключению, что другим видом для исходного поня-
тия должно быть движение, скорость которого не яв-
ляется постоянной по направлению. В результате сразу
становится ясным, что наше «криволинейное движение»
есть не что иное, как движение вообще.
В заблуждение может вводить и двусмысленное упо-
требление термина «частный случай». Если одно поня-
тие является обобщением другого, то предметы, пред-
ставленные этим вторым понятием, составляют частный
случай предметов, обобщенных в первом. «Частный слу-
чай» здесь означает то же, что и «вид» (т. е. особенное
в пределах некоторого общего). Но говорят также, что
прямая линия составляет частный случай кривой, по-
скольку ее можно получить из кривой, «распрямляя» ее.
Эллипс в этом смысле окажется частным случаем окру-
жности (являясь результатом «сжатия» окружности в
одном направлении). При этом вполне естественно счи-
тать и окружность частным случаем эллипса, так как
она, в свою очередь, может быть получена из него
«растяжением» его меньшей оси. Но ясно, что эллипс не
является видом окружности, как и окружность не есть
вид эллипса (если под эллипсом иметь /в виду именно
«сжатую окружность», т. е. фигуру с неравными осями).
Иначе говоря, «сжатая окружность» не есть вид окруж-
ности, а «эллипс, превращенный в окружность» не яв-
ляется видом эллипса. По образному выражению
К. Маркса, идеальное есть материальное, пересаженное
в человеческую голову и переработанное в ней. Но это
не означает, что «материальное, 'пересаженное в челове-
ческую голову и переработанное в ней» есть вид мате-
риального.
Признаем, что прямая есть частный случай кривой
(и соответственно, что движение по прямой есть част-
ный случай движения по кривой) в только что рассмот-
ренном смысле (хотя с таким же успехом кривую мож-
но считать частным случаем прямой — «кривая есть
изогнутая прямая»). Но и это не дает основания для за-
ключения о том, что понятие кривой (и движение по
кривой) представляет собой обобщение понятия прямой
(соответственно движения по прямой).
234
Интересна для нас сейчас следующая мысль, выска-
занная в цитированной книге Эйнштейна и Инфельда:
«Обобщение понятий — процесс, часто применяемый в
науке. Метод обобщения определен «неоднозначно, ибо
обычно существует множество путей его осуществления.
Однако при всяком обобщении должно быть строго
удовлетворено одно требование: любое обобщенное по-
нятие должно сводиться к первоначальному, когда вы-
полнены первоначальные условия» [108, стр. 40]. Ука-
занное требование, очевидно, будет выполнено, если в
процессе обобщения выполняется указанный выше прин-
цип обобщения, состоящий в предварительном истолко-
вании предметов исходного (обобщаемого) понятия как
вида предметов того класса, который должен представ-
лять объем обобщающего понятия (и в соответствую-
щем формальном представлении исходного понятия).
Ф. Франк, рассматривая вопрос о роли понятий в
научном исследовании, приводит пример обобщения, в
котором особое значение имело понятие «ротор вектор-
ного поля». Вначале это понятие было введено формаль-
но в характеристику электростатического поля (для ко-
торого ротор поля равен нулю). «Введение понятия
«ротор» для электростатического поля есть чисто мате-
матический прием, который позволяет формулировать
законы весьма компактным образом, но ничего не до-
бавляющий к нашему физическому знанию о таком
поле... Очень многие сказали бы, что введение такого
сложного математического понятия, как «ротор», для
описания такой простой вещи, как электростатическое
поле, излишний каприз. Однако когда Максвелл сделал
свое обобщение, идя от электростатического поля к об-
щему электромагнитному полю, он обнаружил, что глав-
ным инструментом его обобщения было понятие ротора.
Он предположил, что в общем поле ротор больше не ис-
чезает, как в статическом поле, а изменяется во време-
ни» [98, стр. 459]. Очевидно, что здесь мы имеем один
из случаев применения приема усложнения понятия
(электростатического поля), о котором речь шла выше,
в качестве -способа обобщения. И не случайно это
усложнение приводило к упрощению формулировок
законов. Фактически усложненное понятие отражает со-
ответствующие объекты более адекватно. Отметим, что
операция обобщения естественно применяется также к
235
понятиям абстрактных систем, определяемых аксиома-
ми (см. стр. 265). Исключая, например, из совокупно-
сти (конъюнкции) аксиом те или иные аксиомы, неза-
висящие от остальных, получают более общее понятие
(более общую систему, имеющую более широкий 4<руг
моделей).
Но надо иметь в виду специфику некоторых систем,
состоящую в том, что при представлении их в виде по-
нятий составляющие их аксиомы объединяются не конъ-
юнктивно, а дизъюнктивно. Ясно, что в таких случаях
обобщение получается в результате добавления новых
аксиом (ибо A V---V Ди Н Al V ••• V AnV^)- Без уче-
та указанной специфики систем и здесь возникает оши-
бочное представление о том, что отношение между ис-
ходным и обобщенным понятиями не подчинено закону
обратного отношения. В качестве примера можно ука-
зать на отношение между классическим аксиоматиче-
ским исчислением высказываний и конструктивистским.
Вторая система может быть получена из первой про-
стым исключением из «ее некоторых аксиом. Между тем
система классического исчисления является более общей
в том смысле, что все формулы логики, доказуемые в
конструктивной системе, доказуемы и в классической,
но не наоборот. Все объясняется тем, что указанные си-
стемы представляют собой по существу индуктивные
определения доказуемых формул. Иначе говоря, каж-
дую из них можно рассматривать как понятие доказуе-
мой формулы, введенное посредством индуктивного
определения. Если система имеет аксиомы Alt ..., Ат и
правила ..., Вп, то это понятие таково: доказуемая
формула — это Ль или Л2, или, ..., или Лт, или же ка-
кая-либо из формул, выводимых из других доказуемых
формул по какому-либо из правил (или совокупности
правил) Вь ..., Вп.
Понятие доказуемой формулы (или доказуемости)
в классической системе логики слабее (т. е. «беднее» по
содержанию), нежели в конструктивной1. Это и выра-
жается в том, что из доказуемости (истинности) какой-
нибудь формулы Л в конструктивном смысле (в систе-
1 Это означает, очевидно, что более узким является смысл логи-
ческих констант классического исчисления по сравнению с тем, ка-
кой они имеют в конструктивной логике.
236
ме конструктивной логики) следует доказуемость (ис-
тинность) ее в классическом смысле, но не наоборот.
роясним высказанную мысль относительно специ-
фик^ систем исчисления высказываний на более про-
стомУпримере. Возьмем понятие х(х=щ \/ х=а2\/ ...\/
\Jx==um). Это своеобразное «перечислительное» поня-
тие, аналогичное понятию доказуемой формулы логиче-
ской системы. Разница состоит лишь в том, что в дан-
ном случае мы имеем конечное число членов, тогда как
индуктивное определение представляет собой своеобраз-
ное перечисление элементов бесконечного множества.
Но для нас сейчас существенно лишь то, что содержа-
ние понятия составляет указание возможных элементов
его объема.
Ясно, что понятие x(x=ai Vx=a2V...Vx=am V
\/х=ат+\) является обобщением первого (при условии,
конечно, что область значений х в обоих случаях оди-
накова). Объемы первого и второго составляют соответ-
ственно множества {аь а2, ..., ат} и {«i, а2, ..., Ят+i}-
Возвращаясь от этого примера к понятию исчисления
высказываний, нетрудно заметить, что перечисление до-
казуемых формул исчисления (посредством указания
аксиом и правил вывода) представляет собой не что
иное, как раскрытие объема понятия доказуемой фор-
мулы. Поскольку перечисление аксиом при этом имеет
вид Ai и А2 и ... Ат, все аксиомы могут быть объединены
в одну конъюнкцию Л1ДЛ2Л...ЛЛГП. Но эта конъюнк-
ция не представляет собой части содержания понятия
доказуемой формулы (которое, как мы видели, предста-
вляет собой дизъюнкцию); значит, большее число акси-
ом в классическом исчислении высказываний, чем в
конструктивном, указывает лишь на то, что объем по-
нятия доказуемой формулы в первом случае шире, чем
во втором (соответственно этому утверждение о выво-
димости всех аксиом конструктивного исчисления в
классическом исчислении означает, по существу, лишь
указание на то, что объем понятия доказуемой формулы
конструктивного исчисления составляет часть объема
соответствующего понятия для классической системы).
Д. П. Горский в числе способов обобщения понятий
и теорий указывает прием обобщения «посредством вве-
дения новых характеристик, правил, операций, законов»
[32, стр. 317].
237
Именно к этому типу относится только что рассмот-
ренный нами случай обобщения теорий. И, как мы ви-
дели, обобщение здесь осуществляется в соответствии
с общими принципами in с законом обратного отноше-
ния. Однако принципиально иной характер имеет /Обоб-
щение в случае, который указывает в качестве примера
Д. П. Горский. Речь идет о переходе от логики/выска-
зываний к логике предикатов. Автор справедливо отме-
чает, что вторая система получается из первой за счет
расширения алфавита, совокупности правил образова-
ния формул, аксиом и правил вывода (и в то же вре-
мя, подчеркивает он, вторая система является более
общей) [32, стр. 318]. Специфика данного случая состо-
ит в том, что одна система получается из другой за счет
расширения круга рассматриваемых объектов (расши-
рение алфавита и правил образования формул). По су-
ществу здесь произошло не обобщение прежней систе-
мы, а расширение ее.
Наряду с формулами исчисления высказываний по-
явились специфические формулы исчисления предика-
тов. К числу прежних доказуемых формул прибавляют-
ся некоторые формулы, содержащие кванторы.
Прежнее понятие (доказуемой формулы исчисления
высказываний) не изменилось; к нему добавилось но-
вое понятие, выделяющее из множества вновь введен-
ных формул, специфических для исчисления предикатов,
множество доказуемых формул.
Естественно, что новая система содержит больше ин-
формации (содержание понятия доказуемых формул,
специфических для исчисления предикатов, представ-
ляет собой характеристику новых логических констант,
введенных при расширении исчисления высказываний,
а именно кванторов).
Но, вместе с тем, новую систему можно трактовать и
как одно понятие доказуемой формулы исчисления пре-
дикатов. И интересен вопрос о том, каково отношение
его к понятию доказуемой формулы исчисления выска-
зываний. Непосредственно эти понятия несравнимы, по-
скольку классы доказуемых формул в том и другом
случае выделяются не в одном и том же множестве
формул. Для сопоставления их они должны быть при-
ведены к «общему знаменателю», т. е. к общему роду.
Это достижимо посредством некоторого преобразования
238
понятий (не изменяющего их логических и фактических
содержаний). Для пояснения сказанного мы опять при-
бегнем к аналогии.
S.M6M понятия вида x(x=Ai V ...\/х^=Ат) и
= = име-
ые области значений, соответственно Af и
Первое из этих понятий можно рассматривать как
упрощенную модель понятия доказуемой формулы ис-
численияу высказываний, второе — как модель соответ-
ствующего понятия для исчисления предикатов. Множе-
ству N будет соответствовать множество формул, специ-
фических для исчисления предикатов.
Преобразуем теперь понятия таким образом, чтобы
оба они имели один и тот же род в качестве основы для
выделения обобщаемых в них предметов. Этим родом
может быть класс Первое понятие заменяется на
z(z^A((2=A)V... V(z = 4m))),
второе может быть представлено в форме
Z((2( М/\ ((г = А) V • • • V (г = А,))) V (г£
^A((z = B1)V---V(2-B„)))).
Первое понятие, как видим, шире по содержанию.
Второе является обобщением его. Аналогичным обра-
зом можно установить, что понятие доказуемой форму-
лы исчисления предикатов является обобщением соот-
ветствующего понятия для формул исчисления выска-
зываний. И в согласии с законом обратного отношения
содержание первого уже, чем содержание второго. Это
подтверждается и тем, что из утверждения о доказуе-
мости некоторой формулы в исчислении высказываний
следует утверждение о доказуемости ее в исчислении
предикатов. Но обратное неверно.
Таким образом, расширение некоторой системы яв-
ляется в некотором смысле и обобщением ее. И это
обобщение подчиняется общим принципам.
Трактовка операции * обобщения предметов в поня-
тии, а также обобщения понятий в традиционной фор-
мальной логике как «отбрасывания признаков» неодно-
кратно подвергалась критике. Рядом логиков при этом
высказывалась мысль, что фактически в тех формах
обобщения, которые здесь имеются в виду, происходит
239
не отбрасывание признаков, а замена некоторых посто-
янных свойств переменными. /
«Мы не переходим, — пишет Э. Кассирер, — от рйда
aaipi, яа2₽2, а<хз₽з (где а, аг-, рг- представляют србой
свойства, которыми характеризуются обобщаемые пред-
меты.— Е. В,) непосредственно к их общей составной
части а, но представляем себе, что вся совокупность от-
дельных членов а дана через некоторое переменное вы-
ражение х, а совокупность членов р— через переменное
выражение у. Таким образом, мы охватываем всю си-
стему в выражении аху...» [45, стр. 36]. /
У Д. П. Горского читаем: «Пусть имеется понятие «рав-
ноугольный треугольник». В результате обобщения этого
понятия можно перейти к понятию «треугольник». Этот'
переход осуществляется за счет того, что мы отвлекаем-
ся от свойства равноугольных треугольников «иметь
равные углы». Однако отвлечение от этого свойства не
означает его упразднения, его простого забвения. Мы
это свойство стали мыслить как переменную (и), иначе
говоря, стали мыслить треугольник с любыми углами».
«...Понятие «треугольник» мы можем вслед за этим ог-
раничить и при этом различным образом, перейдя, на-
пример, к понятиям «равноугольный треугольник»,
«прямоугольный треугольник» и т. п. В ходе такого
процесса ограничения мы вновь переменную п, мысли-
мую в понятии о треугольнике... заменяем соотвествен-
но на конкретные по содержанию свойства «иметь рав-
ные углы», «иметь прямой угол»» [32, стр. 315—316].
Аналогичные утверждения содержатся в книге Г. Клау-
са [50, стр. 194]. Здесь есть указание на существование
определенного способа обобщения. Однако этот способ
не только не является всеобщим, как это представляет-
ся, например, Кассиреру, но имеет даже весьма ограни-
ченное значение.
Необходимо учесть прежде всего, что предметы и яв-
ления, обобщаемые в понятиях, имеют, вообще говоря,
неограниченные множества свойств, даже если прини-
мать во внимание только свойства, общие для предме-
тов того или иного класса. Если бы мы попытались за-
менять все эти свойства переменными, то вынуждены
были бы вводить в содержание понятия неограниченные
множества переменных. Так, образуя понятие человека,
надо было бы ввести переменную для роста, цвета ко-
240
жи, темперамента и т. д. Остается признать, что мы все-
таки вынуждены отбрасывать какие-то свойства и лишь
некоторые удерживать, представляя переменными. Что
даёт введение в содержание понятия переменных для
свойств и отношений?
Положим, мы хотим перейти от понятия «прямо-
угольный треугольник» к понятию «треугольник», не от-
брасывая свойство прямоугольности, а заменяя его пе-
ременной Р. Получаем х (Треугольник (х)ДР(х)).
Точнее, мы должны получить х^Р(Треугольник (х) Д
/\Р(х)),\рбо в содержании понятия, как уже подчерки-
валось раньше, не может быть свободных переменных,
кроме тех, которые представляют мыслимые в понятии
предметы (в данном случае х). В противном случае ут-
верждение, что данная (определенная) фигура а есть
треугольник, представляло бы собой не суждение, а про-
позициональную функцию Треугольник (а)/\Р(а).
Содержание полученного понятия логически следует
из содержания исходного понятия по правилу ge рас-
ширенного исчисления предикатов (представляющего
собой обобщение соответствующего правила узкого ис-
числения предикатов):
А(Т)
деЛ (е)
где Т — метазнак для термов узкого исчисления преди-
катов, а также для постоянных и переменных предика-
торов, предложений и пропозициональных переменных;
в — предметная, предикатная или пропозициональная
переменная узкого исчисления — в зависимости от того,
к какой категории относится Т.
В качестве предметной области для переменной Р в
полученном понятии мы можем выбрать любое множе-
ство свойств (треугольников или даже фигур вообще),
содержащее свойство «прямоугольность». Нам надо
рассмотреть имеющиеся, здесь возможности, чтобы ре-
шить вопрос о значимости обобщения рассматриваемого
вида. Если возьмем, например, множество всех свойств,
то ^(Треугольник (х) Д Р(х)) просто эквивалентно
Треугольник (х). Чтобы доказать это формальным мето-
дом, необходимо воспользоваться наряду с упомянутым
правилом ge также правилом дв расширенного исчис-
ления предикатов. Однако ввиду некоторой сложности
241
общей формулировки последнего мы ограничимся здесь
лишь содержательным анализом. Очевидно, что выска-
зывание ^(Треугольник (х) ДР(х)) не содержит ника-
кой дополнительной информации по сравнению с Тре-
угольник (х), поскольку в нем утверждается наличие у
предмета х наряду со свойством «треугольность» како-
го-то свойства Р, не обязательно отличного от первого.
Если х есть треугольник, то ясно, что он имеет / неко-
торое свойство Р, хотя бы ту же «треугольность». Итак;
полученное понятие то же, что х Треугольник ух). Вве-*
дение переменной Р не имеет никакого значения.
Пусть теперь предметной областью Р является неко-
торое множество определенных свойств треугольников,
но таких, что каждому треугольнику присуще по край-
ней мере одно из них, например множество {«прямо-
угольность», «остроугольность», «тупоугольность»}. Тог-
да фактические содержания понятий х Треугольник (х)
и хдР(Треугольник (х)/\Р(х)) одинаковы. Но из вто-
рого, по упоминавшимся ранее принципам выведения
частных случаев из общего функционального понятия
(стр. 219), мы можем получить виды треугольников:
«прямоугольный треугольник», «остроугольный треуголь-
ник», «тупоугольный треугольник». Однако знание о на-
личии этих частных случаев имеется уже в определении
предметной области Р. Значит, и в этом случае введе-
ние переменной Р в содержание понятия не дает ничего
существенного. Оно может иметь лишь то значение, что
позволяет представить в единой форме результат обоб-
щения некоторых явлений в понятии и разделения объ-
ема этого понятия на виды Ч Но трудно сказать, являет-
ся ли это в каких-нибудь процессах познания сущест-
венным (тем более что все равно необходимо перечис-
ление видов в характеристике предметной области Р).
Наконец, в качестве предметной области Р может
быть взято такое множество свойств, что не каждый
1 Операция разделения объема понятия на виды в логике назы-
вается делением понятия (или разбиением объема понятия). Деле-
ние всегда осуществляется по некоторому свойству S, называемому
основанием деления.
Есть два основных способа деления: 1) деление по разновидно-
стям свойства, принятого за основание (наш пример деления объе-
ма понятия «треугольник»), и 2) дихотомическое деление. В послед-
нем случае объем понятия делится на два класса: класс предметов,
имеющих свойство S, и класс предметов, лишенных этого свойства
242
треугольник обладает каким-нибудь из них. Положим,
что множество {«прямоугольность», «остроугольность»}.
Тогда хдР(Треугольник (х)ДР(х)) обладает более ши-
роким фактическим содержанием, а следовательно,
более узким объемом, чем ^Треугольник (х). Таким об-
разом, лишь в этом случае введение переменной Р не
является чисто формальным. Но и здесь оно не необ-
ходимо; так как полученное нами понятие есть то же,
что х (Треугольник (х) Д (Прямоугольный (х) \/ Остро-
угольный (х))). Следовательно, тот же результат мы
могли бы получить, пользуясь обычными способами
обобщения.
В этом рассуждении мы воспользовались тем, что
предметная область Р конечна. Трудно найти и даже
представить себе пример, когда бы область значений Р
была бесконечной (при сохранении других предположе-
ний, введенных при разборе данного случая). Но даже
допустив такую возможность, можно было бы показать,
что полученное понятие выразимо в форме, не содер-
жащей переменных свойств. Для этого пришлось бы
воспользоваться некоторыми понятиями расширенного
исчисления предикатов, но останавливаться на этом
здесь не представляется возможным.
Итак, представление Кассирера о том, что описан-
ный им способ обобщения является принципиально но-
вым (по сравнению с описанным в традиционной логи-
ке), явно ошибочно.
Ограничение понятий — операция, обратная
обобщению понятий; она представляет собой переход от
некоторого понятия к другому с более узким объемом
за счет расширения содержания исходного понятия.
В традиционной логике этот переход представлялся как
результат добавления к содержанию понятия новых
признаков. В действительности — это лишь одна из форм
ограничения.__________________________________________
(треугольники могут быть разделены, например, на прямоугольные
и непрямоугольные). При первом способе основание деления — это
свойство, представленное общим именем, т. е. некоторое понятие
(результат обобщающе-различающего абстрагирования), по сущест-
ву — это некоторая переменная; разновидности свойства, по кото-
рым происходит разбиение объема понятия, суть значения перемен-
ной. В рассматриваемом примере основанием деления является «ха-
рактер углов». Это и есть наше Р. При дихотомическом делении
основание деления есть свойство, представленное термом (результат
обобщающе-отождествляющего абстрагирования).
243
Вообще переход от понятия хЛ(х) к понятию хВ(х)
является ограничением исходного понятия, если:
1) В (х) (— А (х) и 2) истинно высказывание ух (Л (x)ZJB (х))
(т. е. содержание второго понятия не является частью
содержания первого).
Если вместо В(х)|— Л(х) напишем Л(х)|=В(х), то
в качестве основных форм перехода от содержания ис-
ходного понятия к содержанию ограниченного понятия
получим обратные тем, что указаны для обобщения:
А (х) |= Л (х) Д В (х); Л (х) V В (х) ’= Л (х);
Л (х, а) ]= ууА (х, г/); дг/Л (х, у) |= Л (х, а).
Примерами ограничения понятий могут служить все
примеры, рассмотренные выше для обобщения, при уче-
те того, что если одно понятие является обобщением
другого, то второе есть результат ограничения первого.
Очевидно, что ограничение понятия есть выделение
некоторого вида (частного случая) предметов, обобщен-
ных в исходном понятии. Ясно, что эта операция может
быть применена только к общим понятиям (поскольку
объем единичного или пустого понятия не имеет пра-
вильных частей). Если понятие, полученное в резуль-
тате ограничения другого, является общим, то оно, в
свою очередь, может быть ограничено и т. д. В учеб-
никах традиционной логики обычно утверждается, что
пределом ограничения является индивид. На самом деле
мы можем дойти в процессе ограничения до пустого
или единичного понятия. Так, отправляясь от понятия
«город», можем получить «город СССР», «город СССР,
расположенный в Европейской части СССР», «самый
большой город Европейской части СССР». Последнее
выражение есть понятие, хотя, как это бывает в естест-
венном языке, оно не отличимо от соответствующего
терма. Если выразить его в символической форме, то
нужный терм (описательное имя Москвы) получим,
применив к нему оператор дескрипции.
Операции обобщения и ограничения имеют в процес-
се познания весьма важное значение. Обобщение яв-
ляется условием расширения знания, выявления все
более широких связей и отношений действительности.
Однако знание общего является лишь основой для по-
знания конкретных предметов и явлений. Движение от
244
общего к частному (конкретному) осуществляется по-
средством ограничения понятий.
§ 11. Виды понятий
В традиционной логике все понятия принято делить
на виды по трем основаниям:
1) по количеству предметов, обобщенных в понятии
(причем имеются в виду лишь некоторые количествен-
ные градации, имеющие характер качественных разли-
чий);
2) по характеру объектов мысли — элементов объ-
ема понятия;
3) по характеру признаков, по которым предметы
выделяются и обобщаются в понятии, т. е. по характе-
ру признаков, составляющих основное содержание по-
нятия, или даже более точно — по характеру признаков,
играющих роль видового отличия обобщаемых предме-
тов.
При этом рассматривались лишь понятия вида
хА(х), в которых видовое отличие представляет собой
одноместный предикат А(х), не содержащий связок ZD,
A.V- Мы уже называли такие понятия простыми,
остальные — сложными. Некоторые из установлен-
ных в традиционной логике подразделений могут быть
отнесены как к простым, так и к сложным понятиям.
Иные имеют смысл лишь применительно к простым по-
нятиям. Мы изложим вначале традиционную классифи-
кацию (с некоторыми дополнениями и уточнениями ха-
рактеристик отдельных видов), имея в виду любые по-
нятия и оговаривая особо те случаи, где деление имеет
смысл лишь для простых понятий.
В дополнение к этому делению укажем некоторые
виды понятий, выделение которых существенно, но ко-
торые не учитывались в классификациях и теориях про-
шлого.
По первому основанию различают понятия с нуле-
вым (пустым) объемом (с объемом, представляю-
щим собой пустой класс)*, единичные понятия
(в объемах которых имеется лишь по одному элементу)
1 Понятия с пустым объемом обычно не выделялись в традици-
онной логике. Есть даже мнение, что это делалось по принципиаль-
ным соображениям. В. С. Бачманов пишет: «Пустой класс — абст-
245
и общие (срдержащие в объемах более чем по одно-
му элементу). Среди общих особо выделяют универ-
сальные понятия (объемы которых совпадают с уни-
версумом).
Различие между единичными и общими понятиями
имеет значение постольку, поскольку первые являются
основанием для образования описательных собственных
имен (см. стр. 76). В других отношениях оно несуще-
ственно; по форме отражения те и другие понятия пред-
ставляют собой обобщения. То или иное понятие ока-
зывается единичным лишь ib силу специфики содержа-
ния признаков, по которым выделяются мыслимые в нем
предметы.
В понятии выделяются классы предметов; в частном
случае класс может оказаться единичным. Однако функ-
ция единичного понятия не состоит в выделении отдель-
ного предмета. Эту роль выполняет собственное имя
(постоянный терм).
Нужна дополнительная информация, чтобы устано-
вить, например, что из двух понятий «точка, которая де-
лит пополам любую проходящую через нее хорду неко-
торой (данной) окружности» и «первый заместитель
Председателя Совета Министров СССР» одно является
единичным, а другое — общим. Эта дополнительная ин-
формация необходима для образования описательного
имени (см. стр. 76).
В традиционной логике различению общих и единич-
ных понятий придавали обычно принципиальное значе-
ние в силу того, что не отличали собственные имена
ракция, играющая большую роль в математической логике. Но для
традиционной логики понятие с «пустым классом» («нулевым объе-
мом») есть просто ложное понятие, отбрасываемое ею с самого на-
чала, как не соответствующее задаче чисто логических истинных
операций» [8, стр. 92]. Что подразумевает автор под «чисто логиче-
скими истинными операциями» — не вполне ясно. Но извест-
но, что логика исследует общие формы операций с понятиями и
высказываниями, применяемые в научном познании. Когда же в той
или иной науке имеют дело с некоторыми понятиями, то вовсе не
всегда заранее знают, не являются ли они пустыми (может быть,
например, таковым окажется понятие антиатома, которое употреб-
ляют сейчас физики), так же, как не всегда знают, являются ли
истинными те или иные суждения, с которыми приходится опериро-
вать. Логика, которая бы описывала операции, применимые только
к непустым понятиям и к истинным суждениям, оказалась бы про-
сто бесполезной для конкретных наук.
246
(термы) от единичных понятий. По этой же причине
некоторые авторы отрицают существование единичных
понятий. Так, Минто, правильно отмечая, что собствен-
ные имена играют качественно иную роль в познании и
принципиально отличаются по смыслу от общих имен,
выделяет их, а вместе с ними и единичные понятия, в
особую категорию; среди понятий остаются в его деле-
нии только общие понятия [74, стр. 70—72]. Аналогичны
мотивы отрицания единичных понятий у И. Я. Чупахи-
на [104, стр. 31—33]. Таким образом, обычно наблю-
даются две крайности: собственные имена, не отличае-
мые от единичных понятий, также включаются в число
понятий, или же единичные понятия, не отличаемые от
собственных имен, исключаются вместе с ними из- числа
понятий.
Содержание понятия с нулевым объемом составляет
такая совокупность признаков, которая не может при-
надлежать никаким предметам. Таковы, например, по-
нятия «треугольник, сумма углов которого равна 4 d»,
«тело, движущееся со скоростью, большей скорости све-
та в пустоте», «вещество, являющееся жидкостью, но не
упругое», а также любое понятие вида «предмет х, име-
ющий некоторое свойство Р и не имеющий его», т. е.
х(Р(х)ЛР(х)).
Нетрудно заметить, что в одних случаях пустота
объема понятия обусловлена спецификой признаков по
их содержанию, в других (как в последнем примере) —
логической структурой высказывания, в форме которого
выражается содержание понятия. В пустом понятии это
высказывание внутренне противоречиво.
Вообще предикат А(х), составляющий содержание
понятия хА(х) с нулевым объемом, не выполняется ни
для какого предмета из области значений х и ни из ка-
кой другой области, которую можно было бы выбрать
в качестве основы для выделения мыслимых в этом по-
нятии предметов. Когда понятие пусто в силу специфи-
ческого содержания признаков, тогда существует неко-
торое множество истинных высказываний Г, таких, что
конъюнкция их с А(х) противоречива, именно — А(х)
находится в противоречии с конъюнкцией высказываний
Г. При этом, очевидно, ГН^(*)- Например, если А(х)
есть Жидкость (%) Д Упруг (х), то это противоречит
247
истинному высказыванию у * (Жидкость (х) ТЭУпруг (х)),
т. е. «Все жидкости упруги». В подобных случаях по пра-
вилам логики (в описанной системе) для любого преди-
ката В(х) имеем Г, Л(х) |-В(х).
Это же имеет место и тогда, когда А (х) — логически
противоречиво (тождественно ложно). В таком случае
в качестве Г может быть взято любое множество вы-
сказываний.
Таким образом, оказывается, что содержание пусто-
го (по объему) понятия включает в себя как часть со-
держание любого другого понятия (см. стр. 204) *. По
закону обратного отношения объем его является частью
объема любого понятия.
Возможность появления пустых понятий объясняет-
ся тем, что в научном мышлении понятия возникают не
только о тех предметах, которые имеются налицо. На
основе познанных процессов, законов часто возникают
предположения о существовании или возможном появ-
лении тех или иных явлений с заранее определенными
признаками («антиатомы», «растительность Марса» и
т. п.). Здесь новые понятия возникают на основе дру-
гих понятий и знаний вообще, как проявления активно-
го и творческого характера мышления. Естественно, что
в таких случаях могут возникать понятия, которым, как
оказывается затем, ничего не соответствует в действи-
тельности («теплород», «мировой эфир» и прочее). Но в
ряде случаев наука использует для вспомогательных
целей (для обеспечения общности тех или иных поло-
жений, стройности и последовательности научных тео-
рий и т. п.) понятия, заведомо зная, что они имеют ну-
левой объем. Это своего рода научные фикции, которые
могут быть иногда не только полезными, но даже необ-
ходимыми. Таково, например, понятие точки пересече-
ния параллельных прямых в проективной геометрии,
понятие нуля как числа в математике, само понятие ну-
левого класса1 2.
Мы могли наблюдать, как понятия с пустыми класса-
1 Здесь мы действительно имеем пример понятия, включающего
все богатство особенного и единичного и не только особенного и
единичного, но и богатство всего содержания мира. Однако такому
понятию ничего не соответствует в действительности.
2 Метод введения в науку подобных понятий, играющих вспо-
могательную роль в познании, Гильберт называет «методом идеаль-
ных элементов». См. [30, стр. 355].
248
ми могут появляться и в процессе преобразования слож-
ных понятий. Таковыми оказываются некоторые из чле-
нов разложения объема сложного понятия на элемен-
тарные составляющие (см. стр. 191).
Каждому пустому понятию хА(х) соответствует уни-
версальное понятие хА(х) и,_конечно, наоборот, если
хА(х) —универсальное, то хА(х) —пустое.
Предикат А(х), представляющий содержание уни-
версального понятия хА(х), выполняется для любого
предмета из области значений х и из любой области,
которую можно взять в качестве рода для выделения
тех же предметов; поэтому множество его истинности
(т. е. объем данного понятия) всегда совпадает с этой
областью (с универсумом рассуждения).
Аналогично тому, как в случае с пустыми понятия-
ми, универсальность понятия хА(х) обусловлена или
спецификой конкретного содержания А(х), или его ло-
гической формой. В первом случае существует множе-
ство Г истинных высказываний, таких, что Г А (х); во
втором А(х)—логически истинное высказывание (и,
следовательно, доказуемо в описанной системе логики,
с расширением ее за счет введения необходимых де-
скриптивных терминов), т. е. верно f—A(x) и, конечно,
верно ГНА(х). В том и другом случае для любого пре-
диката В(х) имеем Г, В(х)Н А(х). Это и означает, что
А(х) составляет часть содержания любого поня-
тия (и, значит, не содержит никакой информации, до-
полнительной к той, что содержится в Г, и потому ни-
чего не выделяет в предметной области для х). Объем
этого понятия содержит как часть объем любого дру-
гого понятия (выделяемого в той же предметной обла-
сти).
Примеры универсальных (по объему) понятий: «ве-
щество, не являющееся жидкостью или упругое», т. е.
х (Жидкость (x)\j Упругий (х)), любое понятие вида
x(P(x)VP(x)).
В первом примере предикат, представляющий содер-
жание, является следствием истинного суждения «Все
жидкости упруги», во втором случае Р(х)\/Р(х)—для
любого Р логически истинно.
По характеру обобщаемых предметов (элементов
объема) понятия делятся, с одной стороны, на соби-
249
рательные и несобирательные, с другой сторо-
ны, на конкретные и абстрактные. Объекта-
ми мысли в собирательном понятии являются некоторые
совокупности отдельных предметов, мыслимые как од-
но целое, т. е. некоторые агрегаты. Например: народ,
коллектив, армия и т. д. В понятии «народ» обобщено
множество предметов — различных народов (поэтому
оно является общим), но каждый предмет (русский на-
род, украинский народ и т. д.) — это, в свою очередь,
некоторая совокупность отдельно существующих в дей-
ствительности предметов. В силу этого данное понятие
и является собирательным. Подчеркнем во избежание
недоразумений, что предметами, которые обобщаются в
данном понятии, элементами объема понятия являются
именно народы, а не люди. Предметы, составляющие те
или иные совокупности, существуют, вообще говоря,
отдельно и самостоятельно; но в некоторых отношениях
их совокупность выступает как одно целое (например,
перед всеми людьми, составляющими коллектив, стоят
некоторые общие задачи, все они в совокупности несут
ответственность за их выполнение и т. д.). Это обусло-
вливает возможность и необходимость в некоторых слу-
чаях мыслить совокупность как один предмет.
Мысленное объединение различных предметов в од-
но целое здесь нельзя смешивать с обобщением предме-
тов в понятии. Результат такого обобщения, как мы уже
знаем, играет роль представителя совокупности, это
некоторая переменная, «некий из предметов класса».
Здесь же сама совокупность оказывается объектом мыс-
ли. Обобщая, например, студентов МГУ, получаем
общее несобирательное понятие «студент МГУ», «соби-
рая» студентов (мысленно объединяя их в группу),
получаем единичное собирательное понятие «студенче-
ский коллектив МГУ».
Есть, видимо, смысл различать среди собирательных
понятий такие, в которых элементами объема являются
агрегаты (как в только что приведенном примере),
и понятия, где таковыми являются множества объектов
(«множество студентов МГУ», «множество действитель-
ных чисел»). В одном случае подразумевается наличие
какой-то реальной связи между предметами мыслимой
совокупности, в другом — нет, и если она даже имеется
в действительности, мы отвлекаемся от нее. Правомер-
250
ность рассмотрения совокупности как целого обуслов-
лена здесь лишь тем, что она выступает в качестве та-
кового (целого) в некоторых логических отношениях.
Существует неправильное мнение о том, что соби-
рательные понятия бывают только единичными [7, стр.
106]; [63, стр. 46]. На самом деле собирательные поня-
тия могут быть и общими, и единичными. Собиратель-
ным является всякое понятие, где имеется объединение
отдельных предметов в группу. Но это не исключает
того, что в понятии может содержаться и обобщение
таких групп. Понятие «народ» является общим, потому
что в нем обобщены разные предметы — народы, но оно
является и собирательным (так как предметами поня-
тия, элементами его объема являются совокупности
людей, составляющих тот или иной народ). Чтобы убе-
диться, что это понятие является собирательным, стоит
лишь ограничить его, выделив, например, «советский
народ». Это бесспорно собирательное понятие. Но раз-
личие между первым и вторым понятиями состоит лишь
в количестве предметов, в их объемах, а не в характере
предметов, которые являются элементами объема того
и другого. И если держаться принятого основания для
выделения собирательных понятий (каковым является
именно характер предмета), то надо признать и первое
понятие собирательным. Недоразумения с собиратель-
ными понятиями в логике являются следствием неясно-
сти основания, по которому они (как и понятия некото-
рых других видов) выделяются.
Несобирательные понятия имеют своим предметом
нечто единое целое. Например, животное, человек, зда-
ние или новое здание МГУ.
Когда мы употребляем собирательное понятие в не-
котором суждении или рассуждении, то все наши вы-
сказывания относятся к совокупностям или группам
предметов, взятым как нечто целое, и, вообще говоря,
не могут быть отнесены к отдельным предметам, состав-
ляющим группу. Например, «Коллектив завода выпол-
нил задание». Это высказывание относится к коллекти-
ву как целому и не может быть распространено на от-
дельных членов коллектива. «Народы не хотят войны»—
здесь опять-таки утверждение относится к различным
народам в целом, но не к отдельным составляющим их
людям. В некоторых случаях то, что относится к цело-
251
му, может относиться и к его частям. Но это устанав-
ливается всегда путем конкретного исследования.
Иногда говорят, что собирательные понятия могут
употребляться в разделительном смысле. Так, как буд-
то употребляется собирательное понятие «данный кол-
лектив» в суждении «Все члены данного коллектива
справились со своим заданием». Однако точнее сказать,
что в данном суждении сам предмет (данный коллек-
тив), а не понятие, берется разделительно (хотя бы по-
тому, что члены коллектива являются частями коллек-
тива, но не являются ни частями, ни элементами объема
понятия «данный коллектив») и потому выражается в
другом общем несобирательном понятии «члены данно-
го коллектива».
В зависимости от того, обобщаются ли в понятии
конкретные предметы и явления действительности по
тем или иным их сторонам, или предметом нашей мыс-
ли и, следовательно, понятия являются отдельные сто-
роны, овойства, отношения предметов и явлений действи-
тельности, понятия делят на конкретные и аб-
страктные. К числу конкретных относят «животное»,
«элемент», «твердое вещество», «белый предмет» и т. д.
Примеры абстрактных понятий: «талант», «твердость»,
«белизна», «вес», «движение» и т. д.
Приходится отметить, что разница между рассмат-
риваемыми видами понятий не вполне определенна.
Указанное деление имеет определенный смысл лишь по
отношению к определенному языку, в котором точно
установлена иерархия (в соответствии с теорией типов)
предметов. Если в этом языке какие-то объекты приня-
ты за индивиды (таковыми могут быть, например, от-
дельные числа, геометрические фигуры и т. п.), то
понятия об этих индивидах являются конкретными. По-
нятия же о свойствах и отношениях индивидов — абст-
рактными. И, конечно, при этом должны различаться,
как это обычно и делается, абстрактные понятия пер-
вого уровня (понятия о свойствах индивидов), второго
уровня (понятия о свойствах и отношениях этих свойств)
И т. д.
Более естественно называть абстрактными (безотно-
сительно к тем или иным системам) понятия, элемента-
ми объемов которых являются абстрактные предметы,
а конкретными — понятия, в которых обобщаются ре-
252
ально существующие в пространстве и во времени
предметы и явления.
Но для нас «существенно сейчас отметить некоторую
специфику понятий о свойствах и отношениях. Мы на-
блюдали уже (стр. 52) двойственный характер смысла
общих имен. «Металл», например, как мы видели, мо-
жет рассматриваться как обозначение определенного
свойства (в силу чего мы (рассматриваем его как пре-
дикатор) и как переменная «какой-то металл». Именно
в этом смысле мы трактуем слово «металл» как поня-
тие (общее имя).
Слова, выражающие понятия о свойствах и отноше-
ниях, также обладают этой двойственностью. Например,
слово «цвет» обозначает, с одной стороны, определен-
ное свойство и, следовательно, может рассматриваться
как предикатор и применяться в роли пропозициональ-
ной функции. Однако элементами области его опреде-
ления в таком случае окажутся уже не индивиды (ре-
альные предметы, носители тех или иных цветов), а
свойства этих индивидов — именно определенные цвета
(«зеленое», «красное» и т. п.). Мы не можем, напри-
мер, сказать, что «Снег есть цвет» (или что снег обла-
дает свойствами, по которым мы выделяем цвета, т. е.
признаками, составляющими содержание понятия
«цвет»). Но правомерны утверждения: «Белое (или бе-
лизна) есть цвет», «Зеленое (зеленость) есть цвет».
Значит, «цвет» не есть свойство предметов (как его
обычно принято характеризовать), а свойство опреде-
ленных цветов.
С другой стороны, «цвет» есть переменная («цвет»
означает «какой-то цвет»), т. е. представляет собой об-
щее имя, выражающее некоторое понятие. Не стремясь
к большой точности, сформулируем это понятие так:
«свойство реальных предметов, представляющее способ-
ность отражать лучи той или иной части светового
спектра (или свет той или иной длины волны)».
Символически: Р% и tfx(P(x) ^Отражает (х, и)) (где
область значений и — множество световых лучей, раз-
личающихся длинами волн; х— материальные предме-
ты; область значений переменной Р — множество
свойств). Элементами объема этого понятия являются,
очевидно, отдельные цвета. По общему принципу под-
ведения предмета под понятие (см. стр. 179) мы можем
253
получить отсюда, например, а и у х(Зеленый (х) ^Отра-
жает (х, и)) (аналог предложения «Зеленое есть цвет»).
Однако, поскольку Р в нашем понятии представляет
свойство предметов (индивидов), оно само может ис-
пользоваться также в качестве сказуемого по отноше-
нию к материальным предметам. Иначе говоря, оно са-
мо представляет собой переменный предикатор (одно-
местный), областью определения которого является
множество материальных предметов. В этом и состоит
специфика понятий о свойствах (как и об отношениях).
Мы можем сказать, например, что «Предмет а (из
области значений х) имеет какой-то цвет». Используя
полученное понятие (сокращением для которого являет-
ся -само слово «цвет»), получим аналог этого предло-
жения аР (а и у х(Р(х) ~ Отражает (х, и))ДР(а)).
Суждение «Всякий предмет имеет какой-нибудь цвет»
надо было бы записать в виде а Р (а и ¥Х(Р(Х) —
~ Отражает (х, и))Д Р (у)).
Здесь мы снова приходим к необходимости разли-
чать понятия свойств и постоянные термы, обозначаю-
щие определенные свойства («свойства-понятия» и
«свойства-термы»). Первые являются результатами
обобщающе-различающего, вторые — обобщающе-отож-
дествляющего абстрагирования. Свойства-понятия, как
и все понятия, суть некоторые переменные, представля-
ющие множества определенных свойств предметов (ин-
дивидов) и в то же время они являются определенными
свойствами, но уже не предметов (индивидов), а свойств
этих индивидов.
Отсутствие этого различения приводит к трудно-
стям 1 и неточностям в решении ряда логических вопро-
сов.
А. И. Уемов, классифицируя свойства предметов,
выделяет (в качестве видов свойств) линейные, много-
мерные и точечные свойства [95, стр. 101]. Линейными
и многомерными являются свойства, имеющие опреде-
ленные степени интенсивности. Сюда автор относит фи-
1 Например, в формулировке принципа абстракции, о котором
речь будет идти несколько ниже, Е. Г. Гонин находит выход из
трудностей, назьнвая определенные свойства предметов значениями
некоторого свойства, по существу приходя к понятию переменного
свойства, представляющего собой не что иное, как обобщение от-
дельных свойств некоторого класса [31, стр. 30].
254
зические величины (длина, масса, скорость и т. п.), та-
кое свойство, как «цвет» [95, стр. 102—104]. Речь здесь
идет по существу о свойствах-понятиях, тогда как под
точечными имеются в виду свойства-термы. Именно по-
следние только и представляют собой (определенные)
свойства предметов; линейные и многомерные свой-
ства — это свойства свойств (именно точечных свойств)
предметов. «Цвет» есть определенное свойство зелено-
го, желтого и других цветов и переменная для свойств
(цветов) материальных предметов. Аналогично для
свойств «форма», «положение», «национальность», «гра-
жданство», «склонение» (существительных), «спряже-
ние» (глаголов) и т. п., а также величин «масса», «ско-
рость», «расстояние» «стоимость» и прочее.
Мы можем некоторый вектор (соотнесенный опреде-
ленному движущемуся телу в определенный момент вре-
мени) назвать скоростью, -но само движущееся тело не
есть скорость; оно лишь имеет (е каждый данный мо-
мент времени) какую-то скорость. Если бы мы ска-
зали, что движущееся тело в данный момент времени
имеет скорость, то получили бы не суждение, а препо-
зиционную функцию — предикат со свободной перемен-
ной «скорость». Точно так же высказывания «Снег имеет
цвет», «Человек N имеет национальность» и т. п. пред-
ставляют собой предикаты со -свободными переменными
^соответственно «цвет», «национальность»).
Имеется -существенное различие между понятиями о
величинах (масса, скорость, расстояние и пр.) и поня-
тиями о свойствах всех других типов (цвет, форма и
пр.). Слова, представляющие классы свойств предметов
(«цвет», «форма»), а также величины («масса», «пло-
щадь», «скорость», «расстояние» и др.), могут употреб-
ляться в роли предметных функций, областями опреде-
лений которых являются те или иные классы индивидов.
«Цвет» в применении к -снегу дает «цвет снега», «фор-
ма» соотносит Земле «форма Земли», в результате при-
менения «масса» к Земле получаем «масса Земли».
«Расстояние», очевидно, двухместная функция, обла-
стью определения которой является множество пар то-
чек. Значениями всех перечисленных функций можно
считать предметы (термы). (Мы говорим «можно счи-
тать» потому, что эти значения возможно рассматривать
и как единичные понятия.) Но здесь как раз и обнару-
255
живаются упомянутые различия: «цвет снега», «форма
Земли» — это свойства, соответственно «белизна» и
«эллипсоид»; «масса Земли» — это число, т. е. индивид.
Имеет смысл сказать, что мел обладает белизной (бе-
лым цветом) или цветом снега, т. е., проще говоря,
«Мел бел». Но утверждение, что тело а обладает мас-
сой Земли, имеет смысл: «Тело а имеет массу, равную
массе Земли». Таким образом, масса Земли — это не
свойство (свойство тела, которое утверждается в при-
веденном предложении, представлено сложным преди-
катом «имеет какую-то массу и эта масса равна массе
Земли»). Итак, величины, строго говоря, не являются
свойствами.
Мы не останавливаемся на примерах символических
выражений понятий о величинах, поскольку в предыду-
щем параграфе подробно разобрано уже одно из поня-
тий этого типа (понятие скорости).
Общий принцип здесь прост. Если какая-нибудь ве-
личина а является определенной функцией переменных
..., хп, т. е. а(хь ..., хп)=(р(хь ..., хп), то для понятия
ее получаем выражение agxi ...gxn(a=<p(xi, ..., xn)).
Понятие свойства (как и отношения) возникает в
результате двойного абстрагирования. С одной стороны,
происходит отвлечение некоторого свойства от предме-
тов— изоляция его от предметов и превращение в са-
мостоятельный предмет (изолирующее абстрагирова-
ние) ; с другой стороны, осуществляется обобщение это-
го свойства с другими путем выделения общих основ-
ных свойств этих свойств и отвлечения от остальных
(обобщающе-различающее абстрагирование).
Возьмем, к примеру, понятие треугольника х(4(х) Д
ДВ(х)), где Л(х) означает Замкнутый (х), а В(х) —
Ограниченный тремя сторонами (х) или, точнее, Число
сторон (х) = 3; предметная область х — плоские геомет-
рические фигуры. Чтобы выделить (свойство «треуголь-
ность», которое представляет содержание данного поня-
тия, надо ввести для него описательное имя iPyx(P(x)~
— (Л(х)ДВ(х))) (образование этого имени и соответ-
ствует осуществлению изолирующего абстрагирова-
ния) 1.
1 Формально это выражение получается из определения тре-
угольника V* (Треугольник (х) (А(х) f\B(x))) заменой постоян-
256
Отсюда естествен переход к единичному понятию
свойства. «треугольность» — Рух (Р (х) — (Д (х) ДВ (х))),
а от него к более общему, например Рдлух(Р(х)~
— (А (х) /\ (Число сторон (х)=п))—«замкнутость мно-
гоугольников». Однако мы не можем получить из пре-
дыдущего понятия обобщение Рух(Р(х)~ Д(х)) («замк-
нутость геометрических фигур»), так как из его содер-
жания логически не выводимо содержание последнего.
Для этой цели пришлось бы взять понятие «замкнутая
фигура» — хД(х); из него сразу приходим описанным
образом к нужному понятию замкнутости Рух(Р(х)—
~Д(х)).
В данном случае наблюдается явление, не поддаю-
щееся объяснению. Понятие замкнутой фигуры полу-
чается путем обычного логического обобщения понятия
треугольника, но понятие «замкнутость фигур» не удает-
ся получить таким образом из понятия «замкнутость
треугольника». Возможно, здесь сказывается несовер-
шенство в способе выражения понятий о свойствах или
имеются какие-то более глубокие причины.
Среди абстрактных понятий особо важную роль (в
математике, физике и других науках) играют понятия,
образующиеся на основе принципа абстракции.
В формулировке принципа абстракции, как и самих
понятий, образующихся на его основе, используется по-
нятие эквивалентности (отношения типа ра-
венства).
Отношение 7?, определенное на некотором множестве
М, есть отношение эквивалентности (типа равенства),
если оно обладает свойствами:
1) для любого элемента х множества М .верно
/?(х, х) (свойство рефлексивности /?);
2) для любых элементов х и у множества М верно,
что если 7?(х, у), то R(у, х) (свойство симметрич-
ности);
3) для любых элементов х, у, z множества М верно,
что если /?(х, у) и /?(у, z), то J?(x, z) (свойство тран-
зитивности).
Примеры отношений эквивалентности: подобие фи-
гур, конгруэнтность отрезков, эквивалентность множеств
и т. п.
ной «треугольник» предикатной переменной Р с последующим при-
менением 1-оператора.
9 Е. К. Войшвилло
257
Два предмета некоторого множества Л4, между кото-
рыми имеется отношение эквивалентности, называются
эквивалентными.
Принцип абстракции утверждает, что все предметы
некоторого множества М, на котором определено отно-
шение эквивалентности, попарно эквивалентные между
собой, имеют некоторое общее свойство Р, присущее
только этим предметам. Так, все эквивалентные множе-
ства (множества, между элементами которых можно
установить взаимно однозначное соответствие) имеют
одну и ту же мощность, или одно и то же число элемен-
тов. Все конгруэнтные отрезки имеют одну и ту же дли-
ну и т. д.
Известно, что в любом классе попарно эквивалент-
ных предметов существует предмет, такой, что все пред-
меты класса эквивалентны ему (в качестве такого пред-
мета может быть взят, собственно, любой предмет клас-
са), и верно также обратное: если в каком-либо классе
все предметы эквивалентны некоторому предмету этого
класса, то все предметы класса эквивалентны между со-
бой. См. [2, стр. 24—25].
Учитывая это, принцип абстракции можно сформу-
лировать иначе: все предметы, эквивалентные некоторо-
му предмету а, имеют некоторое общее, присущее толь-
ко им свойство. Этот принцип позволяет, следовательно,
выразить (и выделить в понятии) некоторое свойство
через отношение.
Исходя из последней формулировки принципа аб-
стракции, общая форма понятия (свойства), образован-
ного на основе этого принципа, может быть представ-
лена в виде
Р^у((R(у, х) DP(У)) Д (И(у, x)Z)P(у)))
(свойство Р, общее для всех предметов у, эквивалент-
ных некоторому предмету х; х и у — элементы множе-
ства М, на котором определено отношение эквивалент-
ности R. В качестве М и R здесь подразумеваются ка-
кие-то фиксированные множество и отношение).
По принципу (сформулированному на стр. 219) об-
зора частных случаев можем получать из каждого та-
кого понятия отдельные модификации свойства Р, ис-
ключая эх и придавая х возможные значения.
258
Если в качестве М взять, например, множество мно-
жеств (тогда значениями х и у будут множества), в ка-
честве R — отношение эквивалентности между множе-
ствами, обозначаемое обычно знаком равенства («=»),
то Р в приведенном выражении будет представлять ко-
личественное число (понимаемое как свойство мно-
жеств) .
Если в качестве х взять, например, «множество паль-
цев на одной руке», обозначив его через а, то полу-
чим:
Руу {{У = a Z)P (у)) Л (У = а Э Р (У)))-
Здесь Р обозначает (вернее представляет, поскольку мы
имеем дело с понятием) свойство множеств «быть пя-
тью», т. е. число 5 (понимаемое как свойство).
Дальнейшее значимое ограничение свойства «чис-
ло» невозможно. Если бы перешли от данного понятия
к P((b = aZ)P(b))/\(b = aZ)P(a))), то получили бы
обобщение этого понятия, поскольку содержание полу-
ченного понятия логически следует из содержания ис-
ходного понятия (по правилу уи). И действительно,
фактический объем полученного понятия совпадает с
объемом Р(Р(Ь)) или P(P(b)) ib зависимости от того,
верно ли а = Ь или а=Ь. Первое представляет собой
«свойство» (любое, произвольное), принадлежащее &,
а второе — «свойство» (также произвольное), не при-
надлежащее Ь. Понятия числа 5, числа 10 и т. п., полу-
чающиеся в результате ограничения общего понятия
числа, надо, очевидно, считать его видами. Но посколь-
ку эти понятия являются единичными, то сами числа 5,
10 и т. п. надо считать элементами объема понятия
числа. Отсюда видно, что «быть числом» — это свойство
не классов (которые рассматриваются в данном случае
как индивиды), а свойство свойств этих классов. Имен-
но, «5 есть число», «10 есть число» и т. д. Уже из само-
го выражения полученного нами общего понятия числа
РЯХ¥У((У=ХЭ^(У)) Л(У=*2Э?(У))) видно, что мы
можем «подводить» под него (по принципу, сформули-
рованному на стр. 179) только числа, а не классы. На-
пример, для утверждения «5 есть число», используя толь-
ко что приведенное понятие числа, получим:
ЭТУ ((У = х О 5 (у)) Д (у = х ZD 5 (у))).
9*
259
Следовательно, термин «число» как предикатор пред-
ставляет определенное свойство отдельных чисел; в то
же время как общее имя он представляет класс свойств
определенных множеств. О каждом отдельном множе-
стве можно сказать лишь, что оно обладает каки м-т о
числом (мощностью)1.
В связи с этими пояснениями мы вернемся к прин-
ципу абстракции. Согласно этому принципу, как было
сказано, все эквивалентные между собой предметы не-
которого множества, на котором задано отношение эк-
вивалентности (или, иначе говоря, все предметы этого
множества, эквивалентные некоторому предмету), имеют
какое-то, только им присущее общее свойство (все мно-
жества, эквивалентные множеству пальцев .на одной ру-
ке, имеют мощность 5). Вместе с тем, заданное на мно-
жестве отношение эквивалентности определяет также
некоторое общее свойство этих отдельных свойств
(«быть числом»). Последнее представляет другой ас-
пект принципа абстракции. Только что упомянутое
общее свойство составляет содержание понятия (чисел,
например), которое мы получаем на основе принципа
абстракции; элементами объема этого понятия (значе-
ниями его как переменной) являются упомянутые рань-
ше свойства предметов. Все эти аспекты не всегда отчет-
ливо различаются, что обусловливает неточности в фор-
мулировках принципа абстракции. Одну из наиболее
четких формулировок можно найти ib «Теоретической
арифметике» Е. Г. Гонина: «Задание на множестве со-
отношения эквивалентности определяет свойство эле-
ментов, значения которого для эквивалентных элементов
тождественны, а для неэквивалентных элементов раз-
личны» [31, стр. 30]. Но для понимания сути дела и
здесь нужно уточнение: свойства отдельных элементов
не являются, как мы видели, значениями свойства, кото-
рое определяет отношение эквивалентности (это опре-
деленное, т. е. постоянное, свойство, и, следовательно, не
имеет значений); они являются значениями понятия (как
переменной), получаемого по принципу абстракции.
1 Здесь уместно обратить внимание на отличие единичного
класса от самого предмета, являющегося элементом этого класса
(и соответственно на отличие единичного понятия и терма, обозна-
чающего предмет — элемент объема этого понятия): единичный
класс имеет свойство 1 (т. ё. мощность, равную 1); подобное утвер-
ждение об отдельном предмете не имеет смысла.
260
К. Маркс в «Капитале» использует принцип абстрак-
ции в качестве первого шага в образовании понятия
стоимости; на это обратила внимание и подробно про-
анализировала эту сторону в исследовании Маркса
С. А. Яновская [ПО]. «Известный товар, — пишет
Маркс, — напр. один квартер пшеницы, обменивается на
х сапожной ваксы, или на у шелка, или на z золота
и т. д. ...Но так как и х сапожной ваксы, и у шелка и z
золота и т. д. составляют меновую стоимость квартера
пшеницы, то х сапожной ваксы, у шелка, z золота и т, д.
должны быть меновыми стоимостями, способными заме-
щать друг друга, или равновеликими. Отсюда
следует... что различные меновые стоимости одного
и того же товара выражают нечто одинаковое...» [72,
стр. 43] (разрядка моя. — Е. В.), Это одинаковое для
всех меновых стоимостей одного и того же товара, го-
ворит далее Маркс, есть сгусток лишенного различий
человеческого труда — стоимость. «Таким образом, то
общее, что выражается в меновом отношении, или мено-
вой стоимости товаров, и есть их стоимость» [72, стр. 43].
По характеру признаков, составляющих видовое от-
личие выделяемых предметов, понятия делят, с одной
стороны, на положительные и отрицательные, с другой—
на относительные и безотносительные. Если в понятии
выделяют предметы по наличию у них того или иного
качества, свойства или отношения (т. е. по положитель-
ному признаку), то получают положительное по-
нятие. Если предметы выделяются по отсутствию у них
того или иного качества, свойства и отношения, т. е. по
отрицательному признаку, то получают отрицательное
понятие. Ясно, что это разделение можно отнести к
сложным понятиям лишь при условии, что под призна-
ком, по которому обобщаются предметы в понятии,
имеется в виду предикат, выражающий видовое отли-
чие обобщаемых предметов (это замечание относится и
к следующему ниже подразделению понятий на относи-
тельные и безотносительные).
Примеры положительных понятий: «кристаллическое
вещество», «четное число». Примеры отрицательных
понятий: «некристаллическое вещество», «нечетное чис-
ло». Сложое отрицательное понятие: «фигура, которая
не является равносторонним четырехугольником» —
х (Четырехугольник (х) /\Равносторонний (х)).
261
Данное разделение имеет значение для понимания
некоторых важных отношений между понятиями. Для
простых понятий граница между положительными и от-
рицательными понятиями достаточно определенна.
Сложные отрицательные понятия всегда заменимы ло-
гически равнозначными положительными. Например,
вместо х(Л(х) ДВ(х)) можно взять х(Л(х)\/ЯСо-
относительным называют понятие, в котором
предметы обобщаются по признаку, представляющему
собой наличие или отсутствие свойства, производного
от отношения (т. е. по признаку, представляющему со-
бой одноместный предикат, образованный из многомест-
ного). В качестве примеров обычно приводят: «отец»,
«мать», «причина», «следствие», «начало», «базис»,
«надстройка», «зависимая страна» и т. д.
Очевидно, что общая структура приведенных поня-
тий такова: хд(/Л(х, у) (т. е. имеется в виду «отец ко-
го-нибудь» (вообще), «причина чего-либо» и т. п.). На-
ряду с этим возможны, конечно, и другие виды относи-
тельных понятий, например «отец Сократа», «страна, не
зависящая ни от какой другой страны».
Таким образом, можно выделить следующие основ-
ные типы (различения которых полезны по крайней ме-
ре для правильного понимания смысла языковых выра-
жений).
1. хЛ(х, а)—предмет х, имеющий отношение Л к
определенному предмету а. Например, «город, являю-
щийся столицей Франции».
2. хдт/Л(х, у)—предмет х, имеющий отношение к
какому-либо из предметов у (из определенной предмет-
ной области). Например, «европеец, знающий какой-ли-
бо из восточных языков». Подобный смысл имеют такие
слова обычного языка, как «мать», «отец», «столица» и
т. п., когда они употребляются самостоятельно, как
выражения определенных понятий. Слово «мать» в та-
ком случае означает «человек, являющийся матерью
кого-то», слово «столица» — «город, являющийся столи-
цей какого-то государства».
3. хууЛ (х, у) — предмет х, имеющий отношение Л
к каждому из предметов у (из определенной области).
Например, «человек, знающий все европейские языки».
В безотносительных понятиях основой обоб-
щения являются свойства в узком смысле, а также ка-
262
чества, состояния предметов. Примеры безотноситель-
ных понятий: «металл», «организм», «общественные
производственные отношения», «производительные силы
общества» и т. п.
Относительные понятия отличаются, конечно, от та-
ких понятий, где самим предметом является отношение.
Например, «явление, служащее причиной явления А» —
относительное конкретное понятие. Но «причинная связь
явлений» — безотносительное абстрактное понятие.
В первом случае мы предмет выделяем по его отноше-
нию к другому; во втором случае предметом является
само отношение, но этот предмет выделяется по своим
собственным свойствам. Другое дело, если бы мы взя-
ли, например, понятие «исторически первое производ-
ственное отношение». Здесь предметом служит отноше-
ние и выделяется оно по признаку, выражающему его
отношение к другим отношениям. Данное понятие яв-
ляется абстрактным и относительным.
Приведенная здесь классификация понятий, установ-
ленная, как упоминалось, в традиционной формальной
логике и лишь несколько уточненная и дополненная в
данном изложении, имеет определенное практическое и
теоретическое значение.
Выделенные выше виды понятий — это различные
формы или способы, какими пользуются для того, что-
бы выделить и выразить в мысли те или иные предме-
ты. В многообразии видов понятий выражается актив-
ный и сложный характер отражения мира в мышлении,
соответствующий сложности и многосторонности позна-
ваемой нами действительности. Можно обобщать в од-
ном понятии многие предметы по отдельным их сторо-
нам или эти отдельные стороны (качества, свойства,
отношения предметов). Можно обобщать предметы по
наличию тех или иных качеств, свойств, отношений и
по отсутствию их и т. д. Знание этих способов позволя-
ет овладеть понятием как одной из форм мышления.
Это важно также и для того, чтобы умело пользоваться
имеющимися в нашем .распоряжении понятиями в про-
цессе рассуждения.
Однако в приведенном делении понятий на виды не
учтены многие другие существенные различия в формах
понятий.
Существенное значение в науке имеют понятия, объ-
263
ектами которых являются последовательности предме-
тов; содержания их представляют собой соответственно
многоместные предикаты.
Такие понятия можно называть понятиями с от-
ношениями1. Например, «пара натуральных чисел
х и у. таких, что х>у». Символически это можно запи-
сать в виде (х, у) (х>у). Объем этого понятия
эд (х, у) (х>у) будет представлять множество пар, в ко-
торое войдут пары чисел (2,1), (3,1), (3,2) и т. п.
Таким образом, понятие с отношением, так же как
и другие понятия, выделяет некоторый класс предметов.
Специфичны здесь сами предметы — элементы класса.
Но имеется и еще одна специфическая черта у этих по-
нятий. Мы уже говорили, что класс предметов, мысли-
мых в любом понятии, выделяется как часть некоторого
более широкого класса, как вид некоторого рода. В по-
нятии с отношением, например, вида (х, у)А(х, у) роль
указанного рода играет множество возможных упорядо-
ченных пар предметов, которые можно составить из
элементов области значений х и у, если эти переменные
имеют одну и ту же область значений, или множество
всех пар, которые можно составить, беря каждый раз
по элементу из одной и другой области.
Нетрудно заметить связь между относительными по-
нятиями и понятиями с отношенйями, состоящую преж-
де всего в том, что те и другие образуются посредством
многоместных предикатов. Например, имея предикат
«х находится между у и z>, определенный на множестве
точек (сокращенно запишем Мжд (х, у, z)), можем
образовать:
1) относительные понятия хМжд (х, а, Ь) («точка,
находящаяся между точками а и Ь») или
xg ygzAbcd(x, у, z) («точка, находящаяся между неко-
торыми точками у и г») и т. п.;
2) понятие с отношением (х, у, г)Мжд (х, у, z)
(«тройка точек, таких, что первая находится между дву-
мя другими»).
Связь между различными понятиями, образованны-
ми на основе одного и того же многоместного предика-
1 Отличая их от таких понятий, где объектами мысли (элемен-
тами объема) являются сами отношения. Например, «двухместное
отношение». Объем этого понятия составляют такие отношения, как
«равенство», «неравенство», «больше»,* «меньше» и т. гь. '
264
та, выявляется более рельефно, если использовать неко-
торые понятия алгебры предикатов.
По аналогии с геометрическими понятиями множе-
ство Мт всех возможных m-ок предметов (хь хт),
получающихся при различных распределениях значений
хь ..., хт из заданных областей, называют /п-мерным
пространством с осями хь ..., xw; каждая m-ка есть точ-
ка этого пространства. Множество W(xi, ..., хт) A(xlt
...» хт), составляющее объем некоторого понятия
(Xi, ..., хт)Д(Х1, ..., хт), будет представлять собой 'не-
которую «фигуру» или «тело» в пространстве Mmf а
множества w(xb •••» *г-Ь *г’+Ь ...» Хт)ЭХгА(Х1, ..., Хт) И
W(xb *г-ь ...» Хт) ух£Л(Х1, ..., хт) —соответствен-
но (ортогональную) проекцию этого множества (или
этой фигуры) и его дополнения в Мт на ту часть про-
странства Мт, которая определяется осями хь ..., х^_ь
xi+1, ..., хт [18, стр. 27, 75—76]; [76, стр. 135—136].
Пример 1. W(x, у, z) (x2+y2+z2^‘l)—множество
точек шара с радиусом, равным 1 (с центром в начале
координат); W(х» y)t{z(x2+y2 + z2=l) — ортогональ-
ная проекция его на плоскость х, у. Здесь, как видим,
геометрическая терминология приобретает обычный
смысл.
Пример 2. Возьмем понятие «антагонистические клас-
сы» — (х, у) Экспл. (х, у) (имея в виду классы х, у, из
которых один эксплуатирует другой; Экспл. (х, у) вы-
ражает отношение эксплуатации). Тогда объемы поня-
тий «эксплуататорский класс»—х g уЭкспл. (х, у) и «экс-
плуатируемый класс» — у^х Экспл. (х, у) представляют
собой проекции объема исходного понятия соответствен-
но на «оси» х и у.
Для двухместного отношения R(x, у) проекции его
объема v\fxgy/?(x, у) и WffixR(x, у) называют соответ-
ственно областью и противообластью данного отноше-
ния.
Продолжая аналогию с геометрическими понятиями,
множество W (хь ..., х^_ь х<+ь ..., хт) A (Xi ..., хг_1, а,
xw, ..., хт) можно назвать сечением множества
W (хь •, xm)A(xlt ..., хт) «плоскостью» или вообще ча-
стью рассматриваемого пространства хг = а.
Пример 1. эд(х, у, г) (x2 + y2 + z2^l) —уже рассмот-
ренное множество точек шара; W(x, у) (х2+у2+ ~ ^'0
265
есть сечение его плоскостью z= (параллельной пло-
скости ху).
Пример 2. ]/$х Болыие (х, 5) есть сечение w(x, #) Боль-
ше (х, у) «плоскостью» у = 5.
К числу понятий с отношениями могут быть отнесе-
ны и абстрактные системы (по терминологии
Н. Бурбаки — структуры) математики и математи-
ческой логики.
Эти системы представляют собой множества объек-
тов неопределенной природы, для элементов которых
определены операции и отношения, свойства которых
выражаются совокупностью высказываний (называемых
в теориях таких систем аксиомами, или постулатами).
В частных случаях из всего множества особо выделя-
ются какие-либо его элементы.
Одной из таких систем является булева алгебра, ко-
торая определяется как множество объектов (Л4), среди
которых особо выделяются два элемента а и b (часто
обозначаются как 1 и 0); для любых элементов х и у
множества М определены операции ху, х+у и х', удов-
летворяющие следующим тождествам:
1. ху = ух 2. х + у = у 4- х
3. (xy)z = x(yz) 4. (x + y) + z = x + (y + z)
5. х(х + у) = х 6. х^ху = х
7. x(y + z) = ху + xz
8. х + х' а
9. хх'= b
Из принятых аксиом по правилам, выражающим
свойства тождества « = » (например, указывающим на
возможность всегда заменить х=у на у=х, из х=у и
y = z вывести х = г и т. п.), можно вывести ряд теорем.
В результате получается теория булевой алгебры.
Поскольку не указано, каково конкретно множество
М (т. е. не определена природа объектов х, у, г, а, Ь,
являющихся его элементами), не имеют никакого опре-
деленного смысла и знаки операций (отношение « = »
здесь понимается содержательно, по существу это логи-
266
ческая константа «есть не что иное, как...», означающая
совпадение объектов). В других системах наряду с опе-
рациями могут быть введены и некоторые неопределен-
ные отношения, также определяемые аксиомами.
Единственно, что известно об объектах и операци-
ях — это то, что они удовлетворяют указанным аксио-
мам. Но этим аксиомам могут удовлетворять объекты
разных множеств с различными операциями. Так, М
может быть множеством высказываний, имеющих зна-
чение «истина» или «ложь» (но не то и другое вместе);
а и b — это соответственно любое истинное и ложное
высказывание, которые можно обозначить через «И» и
«Л» (при алгебраическом и вообще экстенсиональном
подходе к высказываниям содержание высказываний не
играет роли в связях и отношениях между ними, благо-
даря чему все истинные высказывания могут быть ото-
ждествлены; их общим представителем и является «Я»,
аналогично «Л» представляет любое ложное высказы-
вание); выражению ху соответствует А/\В (где А_и В—
любые высказывания), х+у— A\JB, а х' — это А (от-
рицание высказывания); А = В означает совпадение зна-
чений высказываний А и В.
Все аксиомы выполняются для перечисленных объ-
ектов (если под конъюнкцией, дизъюнкцией и отрица-
нием подразумевать операции, определенные в § 4).
Указанное множество высказываний с операциями
Д, V» и с выделенными элементами «И» и «Л» (на-
зываемое алгеброй высказываний) представляет собой
одну из возможных моделей булевой алгебры. Вообще
моделью абстрактной системы является определенное
множество объектов с определенными операциями и от-
ношениями и выделенными элементами, удовлетворяю-
щих аксиомам системы.
Наряду с алгеброй высказываний моделью булевой
алгебры является также следующая система: М — мно-
жество классов, выделенных в пределах некоторого мно-
жества (универсума), иначе говоря, множество подмно-
жеств некоторого множества (универсума); b и а — со-
ответственно пустой класс (будем обозначать его даль-
ше посредством 0) и универсальный класс (обозначим
его через 1); ху будет соответствовать (Ар|В), (х+у)—
(^Ufi)» х — А', гДе и В —любые классы; Q, U,
знаки операций соответственно пересечения классов,
267
объединения классов и образования дополнения (см.
§8).
Рассматривая булеву алгебру как понятие, мы долж-
ны считать совокупность аксиом ее (конъюнкцию акси-
ом) основным содержанием этого понятия (или, точ-
нее, составной частью этого содержания; смысл этой
оговорки выяснится несколькими строками ниже, когда
будет приведена символическая запись понятия). Объем
его — это множество возможных моделей данной абст-
рактной системы. Элементы объема — отдельные мо-
дели.
Обозначим для краткости конъюнкцию аксиом через
А(х, У, г, а, Ь). Модель ее в общем виде представляет
собой последовательность (Л4, а, Ь),
Данная последовательность (шестерка объектов)
представляет собой составной переменный терм (по-
скольку множество Л1, операции •, +, ' и элементы а
и b здесь неопределенны).
Интересующее нас понятие, очевидно, имеет вид:
(7И, a, b) yxyjyyjz (х, у, z, a, b £ МZD А (х, у, z, а, &)).
Здесь х, у, z, a, b £ М — сокращение для конъюнкции
х ( М/\у £M/\z ( M/\d£ M/\b (М.
Объем этого понятия (множество моделей системы):
до (7И, •, + ,а, b) yxyz/yz(x, yt z,a,b£ AlzM(x, у, z,a,\b)).
Все свойства, которые устанавливаются для некото-
рой абстрактной системы (в частности, все доказывае-
мые теоремы), относятся к любой ее модели. В этом
проявляется важное значение формализации.
Суть формализации состоит именно в том, что вме-
сто построения теории для некоторой конкретной систе-
мы объектов (М, <р, R и т. д.), где М — множество опре-
деленных объектов; ср, R и т. д. — определенные функ-
ции и операции, для которых приняты некоторые утвер-
ждения (аксиомы), мы строим формальную теорию, от-
влекаясь от характера объектов М, от смысла <р, R
и т. д., сохраняя лишь ту информацию о них, которая
выражена самими логическими формами аксиом. От-
влечение от определенности объектов здесь аналогично
обобщению отдельных предметов в некотором понятии.
Например, если М — множество чисел, то для вся-
ких х, у, z£ М верны утверждения х^х; (х<^Дг/<х)2Э
268
~Z)x=lk (x^y Ay<z)Z>x<z. Приняв эти высказыва-
ния за аксиомы, мы можем построить теорию (в част-
ности, доказать ряд теорем) для данной системы объ-
ектов (М, Но мы можем отвлечься от того, что
элементы М — это числа, а вместо -С взять просто
произвольное двухместное отношение R. В результате
получим пару неопределенных объектов (М, R), о кото-
рых имеется только информация, выраженная в указан-
ных аксиомах (в них конечно, заменим на /?).
Это значит, что вместо исходной определенной си-
стемы объектов мы получили понятие
(Л4,/?) уху1/уг((х(Л1 ДМ Дг£
D (xRx Д ((xRy Д yRx) ^)х = у) Д ((xRy Д yRz) Z) xRz))).
Теперь теория может строиться для произвольных
систем объектов, возможных элементов объема этого
понятия.
Аксиомами (постулатами) этой теории являются аб-
страктные соотношения xRx, (xRy /\yRx)Z)x=yf (xRy/\
/\yRz)ZJxRz. Кроме рассмотренной выше эта система
имеет, например, следующие модели: М — множество
натуральных чисел, R — отношение «делит»; М — мно-
жество классов, выделенных в некотором универсуме,
7? — отношение (Z. В частности, под М может подразу-
меваться множество сравнимых (выделенных в общем
роде) понятий какой-либо науки, под R — отношение
ZD между их содержаниями.
Все такие системы Н. Бурбаки называет (или, точ-
нее, называют) структурами порядка [19, стр.
252]. Таким образом, полученное нами понятие пред-
ставляет собой общее -понятие структуры порядка.
А. Черч обращает внимание на разные способы ис-
пользования постулатов той или иной абстрактной тео-
рии. С одной стороны, они служат базисом теории как
специальной отрасли математики (булева алгебра, тео-
рия групп и т. п.). С другой стороны, «система посту-
латов может быть использована в ходе развития более
общей математической теории в качестве определения
какой-нибудь структуры частного вида, которая должна
быть рассмотрена в контексте более общей теории» [103,
стр. 317]. Очевидно, что в последнем случае совокуп-
ность постулатов рассматривается именно как содержа-
269
ние понятия соответствующей структуры. Определение
данной структуры — это и есть, по существу, выделение
ее (в форме понятия. Н. Бурбаки видит специфику со-
временной математики в том, что она представляет со-
бой систему или иерархию различных типов структур
(т. е. понятий описанного вида) [19, стр. 243—259]; см.
также [18].
Мы упоминали уже функциональные понятия
в связи с обсуждением некоторых утверждений Касси-
рера (стр. 217). Кассирер противопоставляет функцио-
нальные понятия, точнее (по его терминологии) поня-
тия о функциях, понятиям о родах и видах, описанным
традиционной логикой. Однако, поскольку он не прибе-
гал ни к какому точному способу выражения понятий,
из его характеристик функциональных понятий не удает-
ся установить, какова, по его представлениям, их логи-
ческая структура. Вернее всего здесь вообще не подра-
зумевался какой-либо определенный вид понятий, по-
скольку при правильном с его точки зрения истолкова-
нии родовых и видовых понятий они также оказывают-
ся функциональными [45, стр. 26—27].
Понятия о функциях трактуются, таким образом,
как некий общий тип научных понятий. Нужно заметить,
что Кассирер подходит к анализу понятий с неокантиан-
ских философских позиций. Согласно представлениям
этой философии, предметы окружающего нас мира, их
связи и отношения являются результатами синтезиру-
ющей деятельности мышления.
Понятие для Кассирера является одной из важней-
ших форм этой творческой деятельности мышления.
Основной замысел упомянутой его работы состоит в том,
чтобы привести теорию понятия в соответствие с этой
философской концепцией. Процесс создания каждого
понятия представляется Кассиреру как образование не-
которого ряда (либо посредством упорядочения и син-
тезирования чувственных данных, либо просто в форме
акта свободного творчества) согласно определенному
творческому принципу — некоторому отношению или
функции; «... всякое образование понятия связано с оп-
ределенной формой образования ряда. Мы гово-
рим, что некоторое чувственное многообразие логиче-
ски постигнуто и упорядочено, когда члены его не на-
ходятся друг подле друга без всяких взаимных отноше-
270
ний, вытекают и располагаются в необходимом по-
рядке согласно некоторому творческому основному
отношению из одного определенного начального члена.
Тождество этого творческого отношения, остающегося
неизменным при >всем разнообразии отдельных содер-
жаний сознания, и составляет специфическую форму
понятия» [45, стр. 27].
Основой упорядочения может быть отношение сход-
ства (его только и учитывала традиционная логика),
различия, равенства, количественны, пространственные,
причинные отношения и т. п.
Не говоря уже о философских предпосылках теории
Кассирера, она несостоятельна и с логической точки
зрения. Нельзя, например, без явной натяжки усмот-
реть, каким образом такие отношения, как сходство,
различие, равенство, могут быть основой расположения
предметов в ряды (известно, что к числу упорядочива-
ющих отношений, т. е. отношений, посредством которых
объекты могут быть расположены в ряд, принадлежат
лишь антисимметричные и транзитивные отношения).
В качестве примера понятий о функциях Кассирер при-
водит понятия аналитической геометрии, в частности
понятие кривой второго порядка (причем, как мы уже
видели, ошибочно считается, что это понятие представ-
ляет уравнение кривой). Но и здесь мы не имеем непо-
средственно никакого ряда. Приведенная выше харак-
теристика понятия как процесса создания ряда членов,
вытекающих из одного определенного члена, ближе все-
го подходит к понятиям, вводимым посредством индук-
тивных определений (на которых мы остановимся да-
лее), или, точнее, лишь к некоторому частному виду
таких понятий.
Мы назовем функциональными понятия вида
(Х1, .... XnOaz/j ... НУпЛ(Х1.хто, У1.уп), где т^\
и п^1.
Из данного понятия .мы можем получить понятия
вида
(хп ...,xja^... • • • aM(xv >хт>
У1, >Ук-1> aik> Ук+и ••• >&>)>
где Oik — какое-либо из возможных значений перемен-
ной ук (k=\, 2.. п). Каждое такое понятие представ-
271
ляет, очевидно, некоторый вид предметов, обобщенных
в исходном понятии. Содержание его получается из со-
держания исходного понятия по одному из возможных
принципов ограничения:
Sf/1 • • • ИМ (г/1.Уп) 1= • • • Я&-1Я&+1 • • •
• • • аМ (У1. • • • > Ук-1> aik, yk+l, ...»у„),
соответствующему принципу обобщения в согласии с
правилом вывода
3Z/1 • • • Я^-13№+1 • • • ЪУпА(Ул, • • •. yk-i’ aik’ Ук+1’•>Уп)^
НЭУ1 •^УпА(у1, ... ,уп),
которое легко доказывается в исчислении предикатов.
Таким образом, виды предметов (а иногда и отдель-
ные предметы), обобщенных в функциональномс поня-
тии, в некотором смысле логически «выводятся» из ис-
ходного понятия. Собственно «выведение» здесь употре-
бимо в том же смысле, как «выведение» частных значе-
ний некоторой функции. В данном случае функцией
переменных уь ..., уп (при фиксированных ..., хт)
является предикат Л(хь ..., хт, ..., уп). Значения ее—
предикаты с меньшим числом мест; выражения, полу-
чающиеся из них после связывания (кванторами суще-
ствования) оставшихся переменных yi (Z=l, 2, ..., и),
и представляют собой видовые отличия в «выводимых»
понятиях.
В дополнение к ранее приведенным примерам функ-
циональных понятий математики можно указать приме-
ры таких тривиальных понятий, как «реки, имеющие
крутой правый берег», «животные, имеющие окраску той
местности, в которой они обитают». В том и другом
случае подразумевается наличие некоторого параметра
(направление, цвет местности), от которого зависят
другие признаки. Если в качестве значений переменной
«направление» взять «с севера на юг», «с юга на север»
и т. п., то получим виды «реки, текущие с севера на юг
и имеющие крутой правый берег», «реки, текущие с юга
на север и имеющие крутой правый берег» и т. п.
Несомненно большое значение функциональных по-
нятий в математике (что ясно видно из приводившихся
ранее примеров). Вопрос о роли их в других науках
требует еще выяснения. Судя по всему, и здесь тенден-
272
ция такова, что во многих случаях совершается пере-
ход от нефункциональных понятий к функциональным.
Функциональным стало, очевидно, понятие химического
элемента после открытия Д. И. Менделеевым периоди-
ческого закона, устанавливающего зависимость свойств
элементов от их атомного веса (или, как позже было
уточнено, от величины заряда ядра атомов элементов).
Таково же современное понятие атома (включающее
знание зависимостей свойств атомов от ряда факторов,
таких, как число протонов и нейтронов в ядре, момент
количества движения электронов относительно центра
орбит и др.).
Идею создания функционального понятия о расте-
ниях имел, по-видимому, в виду Гете, когда писал, что
может с логической необходимостью предсказать не
только существующие формы растений, но и могущие
существовать (см. об этом [92, стр. 373]).
Особое место среди понятий занимают понятия, ко-
торые вводятся посредством индуктивных определений.
Для описания структуры этих понятий необходимы не-
которые пояснения относительно самого этого способа
определения. Как и всякое определение, индуктивное
определение представляет собой ответ на вопрос о том,
что представляют собой предметы, обозначаемые неко-
торым термином. Вообще говоря, ответить на этот во-
прос— значит сформировать понятие1, выделяющее эти
предметы, и тем самым соотнести это понятие с данным
термином в качестве его смысла. Таким образом, в ре-
зультате определения определяемый термин связывает-
ся с предметами через посредство понятия об этих пред-
метах2.
Особенность индуктивных определений состоит в том,
что сам определяемый термин используется в выраже-
нии понятия, которое ему приписывается в качестве его
1 Исключение составляют, пожалуй, лишь так называемые
остенсивные определения. Определение здесь сводится к простому
указанию соответствующих предметов. Например, желая ответить
на вопрос, что обозначают словом «красный цвет», показывают об-
разцы предметов этого цвета. Остенсивные определения относят
часто, и не без оснований, к числу приемов, сходных с определением.
2 В данном случае речь идет о так называемых номинальных
определениях, отличаемых от «реальных». «Реальные» определения
представляют собой ответ на вопрос о сущности предметов, обозна-
чаемых некоторым термином. Значение термина уже известно, воз-
можно, даже имеется некоторое понятие о предметах, которые он
273
смысла. Этим обусловлена и специфика возникающих
в этом процессе понятий. Мы уже встречались с индук-
тивным определением терма и формулы исчисления пре-
дикатов. Вообще индуктивное определение некоторого
термина S возможно в том случае, если в классе объ-
ектов, который этот термин должен представлять, мож-
но выделить некоторые элементарные объекты ..., ат
и совокупность -возможных правил (операций) построе-
ния любого неэлементарного объекта множества (из ка-
ких-либо более простых объектов того же множества,
а в конечном счете из элементарных). Тогда определе-
ние имеет вид: «к числу объектов S относятся следую-
щие (и только следующие) объекты: 1) ..., ат,
2) любой объект х, который может быть получен из
других объектов S по какому-либо из правил (следует
перечисление возможных правил построения)».
Пример. Определение натурального числа:
1) 0 — натуральное число.
2) Если п — натуральное, то п' — натуральное число.
3) Никаких натуральных чисел, кроме указанных в
1 и 2, нет (где п' означает «следующий за и»).
На основании этого определения может быть полу-
чен неограниченный ряд: О, О', О", О'", ... (или в других
обозначениях 0, 1,2, 3, ...) (это как раз пример упоми-
наемого Кассирером ряда, порождаемого «из одного
определенного члена»).
Итак, в выражении понятия натурального числа ис-
пользуется сам термин «натуральное число».
Если мы попытаемся представить это понятие в
обычной форме хЛ(х),то получим х(х=0\/3#(^(у) Л
Дх=у')) (где N означает «натуральное число», пони-
маемое как свойство, т. е. свойство «натуральность»).
Ясно, что это понятие, как и другие понятия, вводи-
мые посредством индуктивного определения, существен-
но отличается по структуре от других (не индуктивных)
понятий.
представляет. В результате определения или углубляется имеющееся
понятие, или только формируется. В том и другом случае «реаль-
ное» определение представляет суждение (и, как всякое суждение,
оно может быть истинным или ложным). Номинальное определение,
хотя и представляет некоторую характеристику предметов, не со-
держит какого-либо утверждения.
274
Возьмем для сравнения понятие простого числа
X (х = 1 л NU ((!/= 1 Л Целится (х, у)) ZD У = *))
В содержании этого понятия не употребляется сам
термин «простое число». Мы вводим последний лишь как
сокращение для данного понятия — обычно посредством
определения вида: Простое (х) = х = 1 Д у у ((у — 1 Д
/\Делится (х, у)) 2D У=х)\ в силу этого наше понятие
приобретает сокращенную форму х Простое (х).
Содержание индуктивно введенного понятия, как ви-
дим, не является признаком в обычном смысле. Поня-
тия этого вида, в отличие от понятий, в которых пред-
меты обобщаются по некоторым их свойствам, пред-
ставляют собой своеобразное (индуктивное) перечисле-
ние объектов класса.
Вместе с тем, введенное выше определение натураль-
ного числа можно истолковать (при замене в нем тер-
мина «натуральное число» переменным предикатором
Р) как понятие некоторого свойства
Ру* (Р (*) ~(х = О V ЗУ (Р (У) Л х = у'))).
Поскольку понятие единичное, можно применить к
нему i-оператор и получить терм-свойство — описатель-
ное имя для свойства «быть натуральным числом» (или
«натуральность»).
Аналогичным образом представимо, конечно, любое
понятие, введенное посредством индуктивного опреде-
ления.
Положим, определение некоторых объектов S та-
ково:
1) аь ^2 — суть S.
2) Если х и у суть S, то ф1(х) есть S и фг(х, у)
есть S.
3) Все предметы S исчерпываются указанными в 1
и 2. Тогда имеем понятие:
Syx (S (х) ~ ((х = GJ V (х = а2) V ЗУЗг (<$ (У) ЛЭДД
Л (* = <₽1 (У) V х = <р2 (У, z))))).
При данном истолковании понятий, вводимых ин-
дуктивным определением, они оказываются аналогичны-
ми понятиям числовых функций, определяемых по ин-
дукции.
275
В качестве примера возьмем определение умноже-
ния:
1. х • 1 = х,
2. х-(у + 1) = х-у + х.
При замене знака умножения функционально'й пере-
менной f данную систему равенств можно истолковать
как понятие
/ (Vх (f (х>1) = х) А ЧХЧУ (Hx>y+i) = f (х> У) + У))-
Используя это понятие (учитывая, что оно является
единичным), можем получить явное определение умно-
жения Ч
x-(/ = z = g/((vx(/(x, 1) = х) Духу«/(/(%, у+ 1) =
= /(*. у) + х)/\Кх> у) = z).
1 Определения этого вида Е. Слупецкий и Л. Барковский назы-
вают нормальными формами индуктивных определений (точнее на-
до было бы сказать — рекурсивных определений или определений
по индукции, в отличие от рассмотренных, для которых принято
название индуктивных) [88а, стр. 146].
ЛИТЕРАТУРА
1. A j d и к i е w i с z К. Abriss der Logik. Berlin, 1958.
2. Александров П. С. Введение в общую теорию множеств
и функций. М.— Л., Гостехиздат, 1948.
3. Арис т о т е л ь. Категории. JVL, Политиздат, 1934.
~ 4. Арис т от е лТГТкйЙЛЦтикиТИ.^Соцэкгиз, 1952.
5. Аристотель. Метафизика. М.— Л., Соцэкгиз,«1934.
6. А х м а н о в А. С. Логическое учение Аристотеля. «Уч. зап.
МОПИ», 1954, т. 24, вып. 2.
7. Бакрадзе К. С. Логика. Тбилиси, 1951.
8. Бачманов В. С. О логических связях понятия. Сб. «Вопро-
сы диалектики и логики». Изд-во ЛГУ, 1964.
9. Б а ч м а н о в В. С. Существует ли в действительности мыш-
ления закон обратного отношения. Сб. «Вопросы логики». Изд-во
ЛГУ, 1960.
10. Би б л ер В. С. Понятие как процесс. «Вопросы философии»,
1965, № 9.
11. Б и^р.юк ов. Б. B..CL работах Г. Фреге по философским воп-
росам математики. Сб. «Философские вопросы естествознания»,
вып. 2. Изд-во МГУ, 1959.
12. Бирюков Б. В. Крушение метафизической концепции уни-
версальности предметной области в логике. М., «Высшая школа»,
1963.
13. Бирюков Б. В. Теория смысла Готлоба Фреге. Сб. «При-
менение логики в науке и технике». М., Изд-во АН СССР, 1960.
14. Борн М. Физика в жизни моего поколения. М., ИЛ, 1963.
15. В о с h е n s k i J. М. Die zeitgendssischen Denkmethoden.
Bern, 1959.
16. Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М., Физмат-
гиз, 1960.
17. Бродский И. Н. К вопросу о процессе образования по-
нятий. Сб. «Вопросы логики». Изд-во ЛГУ, 1957.
18. Бур б аки Н. Архитектура математики. «Математическое
просвещение», 1960, № 5.
19. Б у р б а к и Н. Очерки по истории математики. М., ИЛ, 1963.
20. Б у р б а к и Н. Теория множеств. М., «Мир», 1965.
277
21. Ван Хао и Мак-Нотон Р. Аксиоматические системы
теории множеств. М., ИЛ, 1963.
22. В в е д е н с к и й А. И. Логика как часть теории познания.
М.— Пг., 1923.
23. В е т р о в А. А. Предмет семиотики. «Вопросы философии»,
1965, № 3.
24. В е т р о в А. А. Расчлененность формы как основное свойст-
во понятия. «Вопросы философии», 1958, № 1.
25. W о о d g е г J. Н. The axiomatic method in biology. Cambrid-
ge, 1937.
26. Галкина-Федорук E. M. Слово и понятие. Al, Уч-
педгиз, 1956.
27. Гегель. Сочинения, т. VI. М., Соцэкгиз, 1939.
28. Гейзенберг В. Физика и философия. М., ИЛ, 1963.
29. Герцен А. И. Избранные философские произведения, т. I.
АГ, Политиздат, il948.
30. Гильберт Д. Основания геометрии. М.— Л., Гостехиздат,
1948.
31. Г о нин Е. Г. Теоретическая арифметика. М., Учпедгиз,
1959.
32. Горский Д..П. Вопросы абстракции и образование поня-
тий. М., изд-во АЙ СССР, 1961. -L
— 3J. То р с к и й Д. П. О видах ^р^л^^^ий и их знании в
науке. Сб. «Проблемы логики научного познания». М., «Наука», 1964.
ям ’Д^Т'сГрт а р и Э. (де). Введение в диалектическую логику.
М., ИЛ, 1959.
35. G г е n i е w s k i H. Elementy logiki formalnej. Warszawa,
1955.
36. D u b i s 1 a w. Die Definition. Leipzig, 1931.
37. Звегинцев В. А. Семасиология. Изд-во МГУ, 1957.
38. 3 и н о в ь е в А. А. Об основных понятиях и принципах ло-
гики науки. Сб. «Логическая структура научного знания». М., «Нау-
ка», 1965.
39. Кант И. Логика. Пг., 11915.
4О. _ К л D И.ДХ.К и Й М. И А Классификация выводов «Избранные
труды русских логиков XIX в.». АТ; Изд-во АН СССР, 1956.
41. Карнап Р. Значение и необходимость. М., ИЛ, 1959.
42. К а г n а р R. Der logishe Aufbau der Welt. Berlin, 1928.
43. С a г n a p R. Testability and meaning. «Philosophy of Scien-
ce», 1936, vol. 3, No. 4; 1937, vol. 4, No. 1.
44. Curry H. and Feys R. Combinatory logic, vol. I. Ams-
terdam, 1958.
45. Кассирер Э. Познание и действительность. СПб., 1912.
46. К а ц н е л ь с о н С. Д. Содержание слова, значение и обо-
значение. М.— Л., «Наука», 1965.
47. К е д р о в Б. М. Эволюция понятия элемента в химии. М.,
Изд-во АПН РСФСР, 1956.
48. К е м е н и Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение
в конечную математику. М., ИЛ, 1963.
49. «Кибернетику — на службу коммунизму». М., «Энергия», 1966.
50. Клаус Г. Введение в формальную логику. AL, ИЛ, I960.
51. Клини Ст. К. Введение в метаматематику. М., ИЛ, 1957.
52. К о п н и н П. В. Формы мышления и их взаимосвязь. «Воп-
росы философии», 1956, № 3-
278
1963^ Котарбиньский Т. Избранные произведения. М., ИЛ,
54. К у з н е ц о в Б. Г. Беседы о теории относительности. М.,
Изд-во АН СССР, 1960.
55. Курсанов Г. А. Диалектический материализм о понятии.
М., Изд-во ВПШ, 1963.
56. Кутюра Л. Философские принципы математики. СПб., 1913.
57. L е i b n i z G. W. Einleite in die geheime Enzyklopadie. Frag-
mente zur Logik. Berlin, 1960.
58. Л e н и н В. И. Соч., т. 14.
59. Ленин В. И. Соч., т. 23.
60. Ленин В. И. Соч., т. 32.
61. Ленин В. И. Соч., т. 38.
62. Линде Ф. Строение понятия. Пб., 1915.
63. «Логика». М., Госполитиздат, 1956.
64. «Логическая структура научного знания». М., «Наука», 1965.
65. Л о к к Д. Избранные философские произведения, т. I. М.,
Соцэкгиз, 1960.
66. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки
зрения современной формальной логики. М., ИЛ., 1959.
67. М а л ь ц е в В. И. Очерк по диалектической логике. Изд-во
МГУ, 1964.
68. Маркс К. и Энгельс. Ф. Соч., т. 12.
69. Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. 19.
70. Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. 20.
71. Маркс К., Энгельс Ф. Избранные письма. М., Госпо-
литиздат, 1948.
72. Маркс К. Капитал, т. I. М., Госполитиздат, 1949.
73. Милль Дж. Ст. Система логики силлогистической и индук-
тивной. М., 1914.
74. Минто В. Дедуктивная и индуктивная логика. М., 1896.
75. «Мировоззренческие и методологические проблемы научной
абстракции». М., ИЛ, 1960.
76. Н о в и к о в П. С. Элементы математической логики. М.,
Физматгиз, 1959.
77. П о п о в П. С. Значение слова и понятие. «Вопросы языко-
знания», 1956, № 6.
78. П о п о в П. С. Некоторые основные вопросы логики в све-
те марксистской теории. «Уч. зап. МОПИ», 4954, т. 23, вып. 1.
79. П о п о в П. С. Суждение и его строение. «Философские за-
писки», т. VI. М., Изд-во АН СССР, 1953.
80. Порфирий. Введение в категории Аристотеля. В кнл
Аристотель. Категории. М., Госполитиздат, 1934.
81. Рассел Б. Человеческое познание. М., ИЛ, 1957.
82. Russell В. Logic and knowledge. London, 1956.
83. R u s s e 11 В. On denoting. «Mind», 1905, vol. 14, No. 56.
84. Reichenbach H. Elements of simbolic logic. N. Y„ 1952,
85. Резников Л. О. К вопросу об истинности понятий. Сб.
«Вопросы логики». Изд-во ЛГУ, 1960.
86. Резников Л. О. Понятие и слово. Изд-во ЛГУ, 1958.
87. Реформатский А. А. Введение в языкознание. М., Уч-
педгиз, 1955.
88. Р о з е н т а л ь М. М. Принципы диалектической логики. М.,
Соцэкгиз, 1960.
279
88а. Слупецюий Е. и Борковский Л. Элементы ма-
тематической логики и теория множеств. М., «Прогресс», 1965.
89. С м и р н и ц к и й А. И. Значение слова. «Вопросы языкозна-
ния», 1955, № 2.
90. Строгович М. С. Логика. М., Госполитиздат/ 1949.
90а. Субботин А. Л. Идеализация как средство научного по-
знания. Сб. «Проблемы логики научного познания». М., «Наука», 1964.
91. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктив-
ных наук. М., ИЛ, 1948.
92. Т и м и р я з е в К. А. Исторический метод в биологии. Из-
бранные сочинения, т. 3. М., Сельхозгиз, 1949.
93. Т и м и р я з е в К. А. Чарлз Дарвин и его учение. Избран-
ные сочинения, т. 4. М., Сельхозгиз, 1949.
94. Тренделенбург А. Логические исследования, ч. II. М.,
1868.
95. У е M -Q-EL А, И. Веши, свойства и отногпрннст^М Изд-во
АН СССР7; 1963.
96. У е м о в А. И. Выводы из понятий. Сб. «Логико-граммати-
ческие очерки». М., «Высшая школа», 1961.
97. У с п е н с к и й В. А. Лекции о вычислимых функциях. М.,
Физматгиз, 1960.
98. Франк Ф. Философия науки. М., ИЛ, 1960.
99. Frege G. Uber Begriff und Gegenstand. «Vierteljahrschrift
fiir wissenschaftliche Philosophic», 1892, Nr. 16.
100. Frege G. Uber Sinn und Bedeutung. Zeitschrift fiir Philo-
sophic und philosophische Kritik, 100 B., Leipzig, 1892.
101. Хилл T. И. Современные теории познания. M., «Прог-
ресс», 1965.
102. Черкесов В. И. Некоторые вопросы теории понятия в
диалектической логике. «Вопросы философии», 1956, № 2.
1ОЗ. гЧерч А. Введение в математическую логику, т. I. М., ИЛ,
1960.
104. Чупахин И Я. Вопросы трприи понятия Изл-нп ЛГУ,
,1961.
105. Ш а ф ф А. Введение в семантику. М., ИЛ, 1963.
106. Schiller F. С. S. Formal logic. London, 1912.
107. Щ е р б а Л. В. Преподавание иностранных языков в сред-
ней школе. М.— Л., Изд-во АПН РСФСР, 1947.
108. Эйнштейн А. и Инфельд Л. Эволюция физики. М.,
ОГИЗ — Техиздат, 1948.
109. Uberweg F. System der Logik und Geschichte der lo-
gischen Lehren. Berlin, 1882.
ПО. Яновская С. А. О так называемых определениях через
абстракцию. «Сборник статей по философии математики». М., Учпед-
гиз, 1936.
111. Яновская С. А. Предисловие к книге: Р. Карнап.
Значение и необходимость. М., ИЛ, 1959.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(в указателе отмечены страницы, где вводится соответствующий
термин или раскрываются существенные стороны его смысла)
Абстрагирование обобщающе-различающее и отождествляющее 118,
254
— изолирующее 256
Абстрактные и конкретные понятия 249, 252
Абстрактные предметы (объекты) 22, 251
Абстрактные системы (как понятия) 265
Аргументы предикатора 12
— функции 54
Булева алгебра (как понятие) 266, 267
Вид (и род) 165, 167, 170, 233
Виды понятий 244
— понятия, вводимые посредством индуктивных определений
272, 273
----единичные и общие 245, 246
----конкретные и абстрактные 249, 252
----образуемые на основе принципа абстракции 257
----относительные 261
----положительные и отрицательные 261
----простые и сложные 145
----с нулевым (пустым) объемом 245, 247
----с отношениями 263
----собирательные и несобирательные 249
----универсальные 246. 248
----функциональные 217, 269
Виды признаков 133
Дескриптивные термины 10, 35
Дизъюнктивное разложение содержания понятия 194
Дизъюнкция 33, 58
Закон обратного отношения (между объемами й содержаниями по-
нятий) 181, 195 - ,
281
Законы алгебры высказываний 186
Знак словесный 51
— типы отношений знака к объектам 51, 52
Значение (денотат, десигнат, номинат) имени 36, 47, 48
Идеализация 119
Имена 35
— свойств и отношений 173
— сложные (описательные) 38
— смысл и значение имен 36, 37
Импликация 33, 56
— материальная 56
— и условное суждение 57
Интенсиональные контексты 42
Интенсиональная функция 56
Исчисление предикатов 82
— исходные символы 82
— метаправила 91
— определение вывода 95
— определение формулы 83, 84
— правила вывода 85, 90
— производные правила 92
— прямые и непрямые правила 91, 92
— термы 83
Исчисление предикатов с равенством 178
Квантор 33, 49, 81
— общности 33, 81
— существования 33, 81
Кванторные слова 33, 49, 53
Класс (множество) 26, 49
— операции с классами (объемами понятий) 183
Конъюнкция 33, 58
Конъюнктивное разложение содержания понятия 207
Логический закон 92, 183
Логика предикатов 63
Логически истинные предложения и высказывания 93, 183
Логически ложные предложения и высказывания 93
Логические подлежащее и сказуемое 10, 16, 18, 64
Логические термины, логические постоянные (константы) 10, 33, 56, 58
Логическая форма 34, 83, 85
— функция 54
Множество (класс) возможных аргументов предикатора 14
функции 54
— в действительности и как объект мысли 27, 28
— и агрегат 26
— истинности предикатора 15
--предиката 68
— элемент множества, часть (подмножество) множества 27
Непредикативные способы образования понятий 29
— определения 29
Номинальные определения 123, 130, 273
282
Область значений переменной 31
---функции 54
— определения предикатора 14
Обобщение в понятии 219
— основные формы обобщения понятий 223
— понятия 219, 222, 232, 235, 237, 239
Обозначающие выражения 13
Общее имя 13, 17, 31, 48, 49, 52, 73, 116
--- и понятие 173, 174
Объект мысли 19
— класс как объект мысли 28
— типы объектов 29
Объем понятия 164
---логический и фактический объемы понятия 191, 199, 200
элементы и части объема понятия 164
— свойства и отношения 16
Ограничение понятий 243
Операторы 78
Оператор дескрипции 76
— неопределенной дескрипции 78
— функциональной абстракции 77
Операции с классами 172
— с отношениями 185, 186
Определение 39, 123, 130, 273
Остенсивные определения 39, 273
Отношение 12
— включения (класса в класс) и принадлежности элемента
классу 171
— общего, особенного и отдельного (в понятии) 212
— тождества 16, 178
отдельного и общего 176
— функциональное 62
— «часть — целое» между объемами понятий 180
----------содержаниями понятий 201, 202, 204, 206—207, 211
Отрицание 33, 58
Парадоксы (логические) 28
Переменные и постоянные 10, 52, 53
Переменные предикатные 30, 82
— предметные 30, 49, 50, 82
— пропозициональные 30, 82
— функциональные 31, 82
Переменные символы и общие имена 31, 49, 52
Переменная связанная и свободная 34, 79
— варьирование переменной 80, 93
— возможные интерпретации свободных переменных 79—81
— интерпретация всеобщности 80
— ограничение и варьирование переменной 93
— ограниченная (в выводе) 88, 89, 91
— предикатная интерпретация свободных переменных 67
— свободные и связанные вхождения переменных (в формулу) 79
— условная интерпретация 80
283
— фиксированная переменная (параметр) 80
Понятие 47, 49, 53, 101, 102, 117
— виды 244
— графическое представление объемов 189
— и общее имя 173, 174
— и смысл слова 103, 122, 124
— и суждение 128, 131, 179
логическая структура 162, 173
— логический и фактический объемы 191
— обобщение и ограничение 219
— объем 164, 165, 174
— основные значения термина «понятие» 106
— разложение объемов со сложными содержаниями 188
— символическое выражение 173
— содержание, основное содержание 162, 166, 173, 180
— фактическое и логическое содержание 204, 205, 206
— элементы и части объема 167
Понятийная функция 54, 59, 75
Постулаты равенства 178
Предложения 9
Предмет (вещь) 18, 20—22
Предметная область 19, 31
Предметная функция 10, 53, 54, 59, 60, 61, 71
Предикаты 64, 72
— и общие имена 73
— и суждения 72, 74
— от индивидов 65
— от предикаторов 70
— простые и сложные 69
Предикатные выражения (предикаторы) 10, 12, 14, 15, 17, 20, 46,
47, 52
Предикаторы 10
— в роли предметных, понятийных и пропозициональных функ-
ций 58—60, 75, 76
— и предикаты 67
Пропозициональная функция 54, 55, 58, 75
Признаки 133
— видовые и родовые 159, 160
— виды 137, 140
— деление признаков и классификация предикабилий; катего-
риальные признаки 160
— и предикаты 135
— основные существенные признаки предметов 156, 159
— отличительные и неотличительные 140
— относительно существенные и безотносительно существен’
ные 152
— положительные и отрицательные 137
— производные и случайные 159
— простые и сложные 137
— различение признаков по содержанию и категории Аристо-
теля 137
— случайные отделимые и неотделимые 160
— собственные и несобственные производные 160
— существенные и несущественные, сущность предметов 141
284
Принцип абстракции 257, 260
— взаимозаменимости (имен) 40—43, 45, 53
— однозначности 40
— предметности 40, 43
— тождества 21
Разложение объема понятия на элементарные составляющие 188
Реальные определения 107, 273
Род 165, 166, 170, 233
Родовые признаки 159, 166
Свободная переменная 34, 67, 79, 80, 93
Свойства и качества 139
— и диспозициональные предикаты 139
— и одноместные предикаторы 12
— как пропозициональные функции 61
— производные от отношений 68, 139
Свойства-термы и свойства-понятия 176, 254
Связанная ^переменная 34, 79 *
Семантические категории языковых выражений 9
Содержание понятия ПО, 162, 166, 173, 184, 204
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма выражения содер-
жания понятия 193
Совершенная конъюнктивная нормальная форма выражения содер-
жания понятия 207
Термы 10, 16—18
— свойства и отношения 176, 254
Типы объектов 29
Типы отношений между словесными знаками и объектами 51
Тождественно-истинная формула 93
Тождественно-ложная формула 93
Функция 10, 53—62
Эквивалентность (высказываний) 99, 172
Эквивалентности отношение 257
Экстенсиональная функция 57, 58
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I
§ 1. Основные семантические категории языковых выражений
§ 2. Основные понятия теории имен. Выражения языка как
знаки ....................................................
§ 3. Понятие функции. Предметные и логические функции.
Языковые выражения как функции...........................
§ 4. Предикатные выражения (предикаторы) и предикаты.
Язык логики предикатов. Исчисление предикатов .
Глава II
§ 5. Понятие как форма мышления. Понятие и слово. Связь
понятия с другими формами мысли.......................
§ 6. Признаки и их виды. Понятия существенного признака
и сущности предмета...................................
§ 7. Логическая структура понятия. Объем и содержание
§ 8. Операции с классами и их свойства. Связь между опера-
циями с объемами и операциями с содержаниями по-
нятий ................................................
§ 9. Закон обратного отношения между объемами и содержа-
ниями понятий и вопрос о связи общего и особенного
§ 10. Обобщение и ограничение понятий................
§11. Виды понятий...................................
Литература ..........................................
Евгений Казимирович Войшвилло
ПОНЯТИЕ
Тематический план 1967 г. № 15
Редактор Э. Г. Храстецкий
Переплет художника В. А. Шорца
Технический редактор Е. Д. Титова
Сдано в набор 18/V 1966 г.
Корректоры М. А. Гришаков,
Л. С. Клочкова, И. С. Хлыстова
Подписано к печати 24/11—1967 г.
Л-41670 Формат 84Х108/зг
Физ. печ. л. 9,0 Усл. печ. л. 15,12
Уч.-изд. л. 15,97 Изд. № 774
Зак. 176 Тираж 6250 экз.
Бумага тип. № 1 Цена 1 р. 16 к.
Издательство Московского университета
Москва, Ленинские горы
Административный корпус.
Типография МГУ, Москва, Ленинские горы
ДЛЯ УДОБСТВА ЧИТАТЕЛЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО МГУ ПРИНИМАЕТ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАКАЗЫ
НА ВЫХОДЯЩИЕ В 1967 ГОДУ КНИГИ:
ВАЗЮЛИН В. А. Логика «Капитала» К. Маркса.
15 л., ц. 1 р. 10 к.
В монографии сделана интересная попытка проана-
лизировать логику всех четырех томов «Капитала» и
показать ее теоретико-познавательное значение. Рас-
смотрение этой проблематики связано с детальным ис-
следованием всей политической экономии марксизма-
ленинизма. Логика «Капитала» показана как явление,
которое возникло, развивалось и совершенствовалось
в связи с углублением экономических взглядов
К. Маркса, и как явление, в свою очередь оказавшее
влияние на развитие его экономических взглядов.
Книга, затрагивающая ряд новых и нерешенных
проблем, будет полезна для философов, логиков, эко-
номистов, историков и представителей других отрас-
лей науки, интересующихся логикой научного познания.
Проблемы логики и теории познания. Под ред.
И. С. Нарского. 20 л., ц. 1 р. 40 к.
В сборнике, состоящем в основном из статей про-
фессоров и преподавателей кафедры логики философ-
ского факультета МГУ; рассматриваются три важные
проблемы: некоторые вопросы теории познания, при
решении которых могут быть полностью использованы
средства и аппарат современной формальной логики;
ряд специальных вопросов по строению формально-
логического исчисления, а также вопросы применения
логического анализа к лингвистике. До сих пор серь-
езных попыток развития теории познания диалектиче-
ского материализма с применением уточненных поня-
тий современной математики и логики почти не дела-
лось. В настоящем сборнике теоретические исследова-
ния в данном направлении рассматриваются автора-
ми как одно из направлений в развитии диалектиче-
ской логики.
Издание рассчитано на преподавателей, аспиран-
тов и студентов философских факультетов и всех ин-
тересующихся проблемами логики.
Заказы следует направлять по адресу: Москва,
В-234. Издательство МГУ. Отдел распространения.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА