Автор: Дженкинс Г. Ваттс Д.
Теги: математика астрономия астрофизика исследование космического пространства геодезия спектральный анализ
Год: 1971
Текст
SPECTRAL ANALYSIS
AND ITS APPLICATIONS
Г. ДЖЕНКИНС, Д. ВАТТС
СПЕКТРАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
GWILYM M. JENKINS
University of Lancaster, U. К
and
DONALD G. WATTS
University of Wisconsin, U. S. A
ВЫПУСК 2
Перевод с английского
В. Ф. ПИСАРЕНКО
С предисловием
А. М. ЯГ ЛОМА
HOLDEN-DAY
San Francisco, Cambridge, London, Amsterdam
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1972
УДК 51=52 + 53
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ВЫПУСКУ
Спектральный анализ — новая и весьма важная отрасль
прикладной математики, посвященная выделению из наблю-
наблюдаемых явлений или процессов периодических компонент,
т. е. правильно меняющихся со временем составляющих. По-
Подобные задачи очень часто встречаются в инженерном деле,
различных разделах физики, механики, геофизики, электро-
электротехники и радиотехники, а также в экономике и статистике.
Цель книги — дать читателю руководство, позволяющее
овладеть приемами и методами спектрального анализа для
применения их в практической работе. Большая ценность
книги — наличие в ней вычислительных схем для обработки
спектров на ЭВМ, запрограммированных на ФОРТРАН'е.
Вып. 1 издан в 1971 г. Вып. 2 включает спектральную
теорию стационарных процессов, спектральные оценки, полу-
полученные с помощью сглаживания периодограмм, спектраль-
спектральный анализ двух временных рядов, методы статистической
оценки характеристик линейного фильтра, обобщение изло-
изложенных методов на случай многомерных случайных про-
процессов.
Книга будет с большим интересом встречена инженерно-
техническими работниками, физиками, геофизиками, матема-
математиками-прикладниками, экономистами, статистиками — как
специалистами, так и студентами старших курсов, для кото-
которых она послужит ценным учебным пособием.
Во второй выпуск вошли гл. 7—11. В гл. 7 разбираются при-
примеры оценивания спектров искусственных и практических времен-
временных рядов. В гл. 8 методы и понятия, введенные при анализе од-
одномерных рядов, обобщаются на случай пары временных рядов.
Гл. 9—10 посвящены задачам оценивания взаимного спектра двух
рядов и частотной характеристики линейной системы. Наконец,
в гл. 11 излагается спектральный анализ многомерных временных
рядов и методика оценивания матрицы частотных характеристик
многомерной линейной системы,
А. М. Яглом
Редакция космических исследований, астрономии и геофизики
2-6-2; 2-3-2; 2-9-2
1972
Глава 7
ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНОГО
СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В этой главе теория, изложенная в гл. б, применяется для по-
получения практических способов оценивания спектров по наблк>
даемым временным рядам. Для того чтобы читатель приобрел
опыт в вычислениях, которые нужно при этом проводить, в разд. 7.1
проиллюстрировано влияние изменения полосы частот окна и его
формы на спектральные оценки искусственных временных рядов.
В разд. 7.2 веодится один практический метод оценивания спек-
спектров, названный стягиванием окна. Для этого метода нужно сна-
сначала использовать окно с широкой полосой частот, а затем посте-
постепенно уменьшать полосу до тех пор, пока не выявятся все важные
детали спектра. Однако такая процедура бывает иногда очень не-
неустойчивой из-за сильной изменчивости выборочных оценок спек-
спектра, обусловленных малой длиной временного ряда.
В разд. 7.3 обсуждаются практические вопросы, возникающие
при оценивании спектров, а также приводится стандартный метод
оценивания, который можно применять на практике. Подчерки-
Подчеркивается важность предварительной фильтрации данных для устра-
устранения низкочастотных трендов. В разд. 7.4 даются примеры спек-
спектрального анализа в трех прикладных областях: построении
моделей, планировании экспериментов и изучении частотных
характеристик.
7.1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИСКУССТВЕННЫХ
ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
В этом разделе вычисляются выборочные оценки спектров для
искусственных временных рядов. Это сделано для того, чтобы чи-
читатель приобрел опыт в интерпретации выборочных спектральных
оценок. В разд. 7.1,1 даются формулы, непосредственно пригодные
для вычисления на цифровых машинах выборочных сглаженных
спектральных оценок, а также приводятся результаты вычислений
выборочных характеристик. Затем в разд. 7.1.2 проиллюстрировано
влияние изменения точки отсечения корреляционной функции на
спектр. Для этого функция Txx(f) сравнивается с Vxx(f) и Cxx(f)
с Тхх (/) в случае, когда процесс является авторегрессией первого
или второго порядка. Чтобы подготовить приведенное в разд. 7.2
Глава 7
обсуждение практических способов сглаживания, проводится ис-
исследование влияния точки отсечения (разд. 7.1.2) и формы спек-
спектрального окна (разд. 7.1.3) на спектральные оценки.
7.1.1. Формулы для дискретного оценивания
В предыдущих главах статистическая теория спектрального
оценивания была развита в предположении, что данные x(t) не-
непрерывны. Однако во многих случаях данные являются дискрет-
дискретными по существу, как, например, данные о партиях продукта на
рис. 5.2, и, следовательно, необходимы дискретные формулы. Кро-
Кроме того, все более широкое распространение в настоящее время
получают цифровые вычислительные машины благодаря своей точ-
точности, универсальности и относительной доступности. Поэтому
можно предположить, что в большинстве случаев спектральный
анализ будет теперь проводиться с помощью цифровых вычисли-
вычислительных машин. Следовательно, непрерывный, или аналоговый,
сигнал нужно отсчитывать в дискретные моменты времени, как это
описывалось в гл. 2, и отсчитанные значения переводить в числа,
содержащие конечное число цифр. Процесс перевода из аналого-
аналоговой в цифровую форму называется квантованием. Детальный раз-
разбор влияния этого процесса на корреляционный анализ можно
найти в [1]. Мы будем предполагать, что квантование произво-
производится с достаточно малым шагом, так что при переводе из ана-
аналоговой в цифровую форму не вносится никаких ошибок. Прак-
Практически это означает, что данные нужно отсчитывать с точностью,
равной одной десятой (или одной сотой) от полного диапазона
изменения сигнала.
Предположим, что цифровые данные xt, t — \, ..., N, соответ-
соответствуют значениям сигнала х(t), отсчитанного через интервалы Д.
В таком случае сглаженная выборочная оценка спектра Cxx(f)
получается с помощью замены интеграла F.3.28) соответствую-
соответствующей суммой
?-1
-±^f<±. G.1.1)
k—(i-i
В G.1.1) выборочная оценка cxx(k) ковариационной функции
равна
N-k
c«(ft) = |Sfe-*)(%*-4 -(#-1)<Л<#-1, G11.2)
t-\
и L — М/А. Как и раньше, w(k) обозначает корреляционное окно
с точкой отсечения М, но теперь оно определено лишь в дискретные
Примеры одномерного анализа
моменты времени и = kA. Отметим, что до оценивания коварна*
ционной функции может возникнуть необходимость фильтрации
данных по формулам E.3.27) или E.3.31).
Так как Cxx(f)—четная функция частоты, ее нужно вычислять
лишь для интервала частот ()•</¦< 1/2А. Но для сохранения соот-
соотношения преобразований Фурье между выборочным спектром и
выборочной ковариационной функцией нужно удвоить мощность
в интервале частот 0^f^l/2A. Таким образом, обычно исполь-
используемая формула имеет вид
= 2Дс
1-1
@)+2
k=i
G.1.3)
и функцию G.1.2) требуется вычислять лишь при k^-0.
Для удобства вычислений предположим, что Д = 1. При этом
все группы данных можно будет обрабатывать одинаково. Таким
образом, вычислительная формула принимает вид
L-\
Схх (/) = 2
@) + 2
w (k) cos 2nfk
j. G.1.4)
При Л Ф 1 выборочную оценку G.1.1) можно восстановить по
G.1.4), умножив G.1.4) на А и построив ее в зависимости от Д/,
а не от f.
Наконец, если вместо ковариаций использовать корреляции, то
можно получить сглаженную выборочную оценку нормированной
спектральной плотности по формуле
Z.-1
СХХ (k)
G.1.5)
В работе [2] было предложено вычислять Rxx(f) лишь в точках
f = 0, 1/L, 2/Х, ..., '/а• Такой шаг по частоте слишком велик, и мы
считаем, что для получения более детального графика R~xx(f) ее
нужно вычислять с шагом, составляющим лишь некоторую долю
от ML.
В действительности нет никакой необходимости связывать шаг
по частоте для TLxx(f) с точкой отсечения L. Таким образом, шаг
по частоте для Rxx{f) можно взять равным 1/2/7, где F в 2—3 раза
больше, чем L. Следовательно, окончательная формула для
10
Глава 7
цифровых вычислений сглаженной выборочной оценки нормирован-
нормированного спектра принимает вид
?-1 -1
\rxx(k)w(k)cos^-\, / = 0,1 F. G.1.6)
Г
=2 1
L
Логическая схема соответствующей вычислительной программы
приведена в Приложении П7.1.
Вычисление выборочных характеристик. Выборочные корреля-
корреляции для дискретного процесса авторегрессии второго порядка
Ширина полосы частот окна, L-3
0,125
0,25
0,375
0,50 Г,гц
Рис 7.1. Сглаженная выборочная оценка нормированного спектра процесса
авторегрессии второго порядка (oci = 1,0; аг = —0,5) с помощью окна Бартлетта.
E.3.36) приведены в табл. 5.2. Эти величины можно использовать
для получения выборочной оценки нормированного спектра
21Л хх (f)/ox следующим образом. Воспользовавшись, например,
корреляционным окном Бартлетта
w{k) =
10, k>L,
получаем из G.1.6) сглаженную выборочную оценку нормирован-
нормированного спектра
Г
***(/) =2 l
L
L~l
>^|. 1 = 0,1,..., F.
Примеры одномерного анализа
11
Например, при L — 3 эта выборочная оценка равна
Rxx (/) = 2 [l + 2 (j)rxx(l) cos f + 2 A)^BH03^-1,
/ = 0,1 F.
Если нужны выборочные оценки с шагом по частоте Vie гц (так
чт0 F = 8),то, взяв значения выборочной корреляционной функции
из табл. 5.2, можно расположить вычисления так, как показано
в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Пример вычисления выборочной спектральной оценки
1
F
0
1
8
1
4
3
8
1
2
5
8
3
4
7
8
1
'-?
0
1
16
1
8
3
16
1
4
5
16
3
8
7
16
1
2
Hi
cos —
г
1,0
0,924
0,707
0,383
0
-0,383
-0,707
-0,924
-1,0
2 (Jf) @,645) cos Ц-
A)
0,860
0,794
0,608
0,329
0
-0,329
-0,608
-0,794
-0,860
2л/
cos—
1,0
0,707
0
-0.707
-1,0
-0,707
0
0,707
1,0
2(-i)@,.95)cosi^
B)
0,130
0,092
0
-0,092
-0,130
-0,092
0
0,092
0,130
«^(/)-2[l + (l) + B)J
3,980
3,773
3,216
2,474
1,740
1,158
0,784
0,596
0,540
Эти выборочные оценки нормированного спектра показаны точ-
точками на рис. 7.1. Видно, что через эти точки можно вполне одно-
однозначно провести плавную кривую. На этом же графике крестиками
отмечены выборочные оценки с шагом '/з, как это рекомендуется
в [2]. Видно, что шаг по частоте в этом случае слишком велик для
того, чтобы можно было точно построить график и провести ин-
интерполяцию. На графике показана также ширина полосы частот
использованного спектрального окна. При L = 3 эта ширина для
окна Бартлетта равна
6 = 6 ,/Z.A = 1,5/C • 1) = 0,5 гц.
12
Глава 7
Мы видим, что в этом случае ширина полосы равна всему частот-
частотному диапазону, и, следовательно, выборочная оценка сильно
сглажена.
7.1.2. Влияние ширины полосы частот на сглаживание
В этом разделе эмпирически исследуется влияние изменения
полосы частот, или, что эквивалентно, точки отсечения L, на сгла-
сглаживание выборочной спектральной оценки. Временные ряды, ко-
которыми мы будем пользоваться, являются реализациями процессов
авторегрессии первого и второго порядков с известным спектром
Тхх{!)- Вычисляются средний сглаженный нормированный спектр
хх
Г 1
= 2 l+2^lpxx(k)w(k)cos2nfk\ G.1.7)
и сглаженная выборочная оценка нормированного спектра Rxx(f)
по формуле G.1.6). Средний сглаженный нормированный спектр
rxx(f)jax есть математическое ожидание сглаженной оценки нор-
нормированного спектра, и, следовательно, нанося его на график
вместе сТхх(f)jах, мы получим представление о том, как смещение
изменяется с частотой. Нанося на график семейство кривых с раз-
различными значениями L, мы наглядно выявим зависимость смеще-
смещения от ширины полосы частот окна. Точно так же, нанося на гра-
график сглаженную выборочную оценку Rxx(f) вместе с Гxx(f)joхяля
различных значений L, мы получим ясную картину влияния ши-
ширины полосы на дисперсию оценки.
Процесс авторегрессии первого порядка (си = —0,4). Мы будем
использовать для вычислений процесс авторегрессии первого по-
порядка E.2.26) при cci = —0,4, Д = 1, ц = 0, т. е.
Согласно формуле F.2.20), нормированный спектр этого процесса
равен
тхх М _ 2 (а84) 1
ах ~ 1,16 + 0,8 cos 2nf ' ^ ~^ 2 '
Этот спектр показан на рис. 7.2. Видно, что он изменяется очегу>
плавно, имеет широкий пик при / = 0,5 гц, и диапазон его измене-
изменений в вертикальном направлении очень мал. На этом рисунке при-
приведены также средние сглаженные нормированные спектры
Txx(f)jox для значений L = 4, 8, 16, соответствующие окну Тьюки.
Анализируя эти кривые, мы видим, что при L = 4 средний сгла-
Примеры одномерного анализа
13
женный спектр имеет сильное смещение, особенно вблизи пика,
где смещение отрицательно. При увеличении t до 8 соответствие
между Yxx(f) и Глгл(/)_улучшается, особенно для частот, меньших
0,375 гц, для которых Txx(f) и Txx(f) фактически неразличимы.
Поэтому при L — 8 выборочная оценка имела бы допустимо малое
смещение в большей части частотного диапазона. Однако вблизи
пика смещение все еще оставалось бы значительным, и, следова-
следовательно, чтобы точно оценить значения спектра вблизи пика, не-
Q/25
0,25
0,375
О.5О Р,гц
Рис. 7.2. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авто-
авторегрессии первого порядка (aj = —0,4).
обходимо взять L еще больше. Снова удвоив L до L — 16, мы ви
дим, что все еще остается небольшое смещение вблизи пика,
Уменьшение смещения при этом удвоении L значительно меньше,
чем при удвоении от L = 4 до L = 8. Поэтому увеличивать L боль-
больше 8, возможно, уже нецелесообразно. Этот факт нетрудно объяс-
объяснить, если заметить, что для k > 8 выполняются неравенства
\pxx{k) | < @,4)8 < 0,001, и, следовательно, увеличение L больше 8
приводит лишь к незначительным изменениям суммы в G.1.7).
К аналогичным выводам можно прийти и для средних сглаженных
спектров, полученных с помощью окон Бартлетта и Парзена. Для
окна Бартлепа хорошая выборочная оценка получается, когда L
принимает значение где-то между 12 и 16, а для окна Парзена
при L = 12.
На рис. 7.3 и 7.4 показаны сглаженные выборочные оценки нор-
нормированных спектров, полученные с помощью окна Тьюки для
реализаций, состоящих из iV = 400 и 100 членам этого процесса.
На рис. 7.3 мы видим, что увеличение i от 4 до 8 существенно
14
Глава 7
изменяет выборочную спектральную оценку. Дальнейшее увеличе-
увеличение L от 8 до 16 дает лишь незначительные изменения, и, следова-
следовательно, разумную выборочную оценку спектра можно было бы по-
получить при /- = 8. Число степеней свободы на каждое оцениваемое
значение спектра в этом случае равно 133, так что доверительные
интервалы очень узкие.
6,0 -
5,0 -
3,0-
2,0-
1,0
тТхСМ—
L полоса частот окна
16 -* >
ОКНО ТЬЮКИ
г 1
1 1 -^
0,125
¦О,25
0,375
O,Sf,eu
Рис. 7.3. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса
авторегрессии первого порядка (<Х\ = —0,4; JV = 400).
Ситуация меняется для показанных на рис. 7.4 выборочных
оценок, полученных по реализации из N = 100 членам. Здесь уве-
увеличение L от 4 до 8 приводит к существенным изменениям выбо-
выборочной оценки спектра, но еще большие изменения получаются,
когда L возрастает до 16 или до 32. Отметим, что при этом вполне
явно обозначаются ложные пики на частотах 0,22 и 0,44 гц, воз-
возникающие благодаря увеличению дисперсии оценки.
Заметим также, что число степеней свободы на каждое оцени-
оцениваемое значение спектра равно соответственно 33, 17 и 8 для L =
= 8, 16 и 32. Выборочная оценка при L = 8 разумно близка к тео-
теоретическому спектру, однако, не зная истинного ответа, мы, ко-
конечно, испытывали бы некоторую неуверенность при интерпретации
этих выборочных оценок. В частности, трудно было бы решить,
стоит ли выбрать плавную выборочную оценку при L — 8 или же
более детальную, но с большей дисперсией, выборочную оценку
при L = 16.
Примеры одномерного анализа
15
Отрезки, равные ширине полосы частот используемого окна,
для разных точек отсечения изображены на рис. 7.3 и 7.4. Они
представляют собой очень полезную наглядную характеристику,
так как дают возможность правильно судить о степени детально-
детальности спектра в зависимости от ширины полосы частот используе-
используемого окна.
7,0
6,0
5,0
,0
3,0
2,0
1,0
-kfk-
L полоса частот окна
~ 32-—*¦
16 * ^
Q ^ ^,
'¦ г
ОКНО ТЬЮКИ
/2
f\
\
-И
к
If/
V
0,125
0,25
0,375
0,5
Рис. 7.4. Сглаженные выборочные оценки нормированного снектра процесса
авторегрессии первого порядка (cti = —0,4; N = 100).
Процесс авторегрессии первого порядка (си ф —0,9). Анало-
Аналогичный анализ был проведен для авторегрессии первого порядка
Xt=-0,9Xt-\+Zt. G.1.8)
Теоретический нормированный спектр этого процесса равен
XX
2@,19)
1,81 + I,8cos2jlf
График этой функции показан на рис. 7.5. Она имеет очень узкий
пик вблизи f = 0,5 гц и изменяется от 0,105 до 38,0, так что при-
пришлось построить ее в логарифмическом масштабе. Практическое
преимущество логарифмического масштаба состоит не только
в том, что он лучше выявляет детали спектра, но также и
в том, что для этого масштаба, как указывалось в разд. 6.4.3,
16
Глава 7
доверительные интервалы одинаковы для всех частот, и, следова-
следовательно, их легко изобразить на рисунке. Поэтому выборочные спек-
спектральные оценки всегда следует изображать в логарифмическом
масштабе. В то же время масштаб по частоте должен быть линей-
линейным, так как ширина полосы частот окна остается константой
именно для такого масштаба.
20
10
2,0
0,4
0,2
О, Г
L полоса частот окна
32 ¦*-¦*¦
16 *. ^
8 * *
ОКНО БАРТЛЕТТА ///',
I
0,125
0,25
0,375
0,5 Г,ги
Рис. 7.5. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авто-
регрессии первого порядка (ai = —0,9).
Средние сглаженные нормированные спектры Г
хх
для
процесса G.1.8) показаны на рис. 7.5 для окна Бартлетта с точ-
точками отсечения L — 8, 16 и 32. Как и раньше, для всех этих зна-
значений L смещение велико вблизи пика и убывает с увеличением L.
Судя по этим графикам, ни одна из этих точек отсечения не ка-
кажется явно хорошей (возможно, требуется значение L = 48). Это
подтверждается также, если рассмотреть корреляционную функ-
функцию pxx(k), так как |р^х(&)| равен 0,034 для k = 32 и 0,0012
для k = 64. Следовательно, можно прийти к заключению, что для
Примеры одномерного анализа
17
этого процесса необходимо выбирать очень большое L, если тре-
требуется малое смещение. При этом для того, чтобы получить оценку
с малой дисперсией, нужно будет использовать очень длинные ре-
реализации. Из рис. 7.5 видно, что при малых L средний сглаженный
спектр проявляет некоторые осцилляции. Они возникают из-за бо-
боковых лепестков окна Бартлетта, которые мы обсуждали
в разд. 7.2.5.
го
ю
2,0
о,г
0,1
L полоса частот окна
*f8 *-*¦
32 ——
IB * *¦
80%-ные доверительные интервалы
L */8 32 16
\ t
\\
ОКНО БАРТЛЕТТА
0,25
0,375
0,5 f,eu
Рис. 7.6. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса
авторегрессии первого порядка (ai = —0,9; N = 100).
Трудности при попытках дать хорошую выборочную оценку
узкого спектрального пика проиллюстрированы на рис. 7.6. Здесь
показана функция Rxx(f) для окна Бартлетта при L = 16, 32 и 48,
причем реализация состояла из jV = 100 членам процесса G.1.8)!
При L = 16 получается разумно плавная выборочная оценка, но
для точки пика она дает в три раза меньшее значение. Увеличе-
Увеличение L до 32 слегка улучшает выборочную оценку вблизи пика и
Глава 7
Примеры одномерного анализа
19
оценка становится очень ненад^ноТ^з чего следует что дГГ
лучения более надежной выборочной оценки вбл/зи пика нужн°ы
более длинные реализации. Заметим, однако что можно по™
удовлетворительную выборочную оц нку в интервале частот'от^
L полоса частот окна
32 -*—¦*.
Рис. 7.7. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авто-
авторегрессии второго порядка («i = 1,0; <Хг = —0,5).
до 0,45 гц при L = 32 или, возможно, при еще меньшем значении,
скажем, L = 24.
Сравнение рис. 7.6 с рис. 7.4, на котором показаны выборочные
спектральные оценки для случая ai = —0,4 и Л' = 100, выявляет
тот важный факт, что одна и та же длина временного ряда N =
•= 100 может давать приемлемую выборочную оценку для плав-
плавного спектра, но быть недостаточной для получения хорошей вы-
выборочной оценки спектра с узким пиком.
Процесс авторегрессии второго порядка. Чтобы сравнить труд-
трудности, возникающие при оценивании спектрального пика, рас-
расположенного внутри частотного диапазона, по сравнению с
80%-ные доверительные интервалы
L W 24 8
t
t
0,2
0,1
ОКНО ПАРЗЕНА
L полоса частот окна
0,1'25
0,25
0,375
0,5 ?,гц
Рис. 7.8. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса
авторегрессии второго порядка (cii = 1,0; 0.2 = —0,5; iV = 50).
рассмотренным выше случаем пика на крайней частоте, рассмот-
рассмотрим процесс авторегрессии второго порядка E.3.36), т. е.
Xt = Xt^-0,5Xt-2 + Zt. G.1.9)
Этому процессу соответствует нормированный спектр F.2.22),
а именно
Гууф 2@,417)
а'х 2,25 -3cos2n/ + cos 4я/' ~"
Этот спектр изображен на рис. 7.7, где показаны также средние
сглаженные нормированные спектры ^хх^1ахг соответствующие
20
Глава 7
Примеры одномерного анализа
21
окну Парзена при L = 8, 16 и 32. Как и раньше, с увеличением L
функция Га-л-(/) приближается к Txx(f). Из табл. 6.6 видно, что
значениям L = 16 и 32 соответствуют значения ширины полосы
частот спектральных окон 0,12 и 0,06 гц. Если за определение ши-
ширины пика принять расстояние между точками, в которых мощ-
мощность убывает в два раза от пикового значения, то в нашем случае
80%-ные довери-
доверительные интервалы
32 W
tit U
ото парзена
I полоса частот окна
зг *¦—>
ю
Рис. 7.9. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса
авторегрессии второго порядка (ai = 1,0; а2 = — 0,5; N — 400).
эта ширина будет около 0,08 гц. Из рис. 7.7 видно, что при 1 = 8
и 16 пик оценивается плохо, однако при L = 32 смещение доста-
достаточно мало из-за того, что ширина полосы частот окна равна
0,06 гц, т. е. меньше ширины пика 0,08 гц. Это наводит на мысль
о том, что значение точки отсечения, необходимое для получения
выборочной оценки с приемлемо малым смещением, зависит от
ширины пика в спектре. К этому замечанию мы еще вернемся
'в разд. 7.2.4.
Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра
Bxx(f), полученные по реализации из N = 50 членам процесса
G.1.9) с помощью окна Парзена, показаны на рис. 7.8. Использо-
Использованные в этом примере данные представляют собой первые 50 зна-
значений из таблицы данных П7.1 в Приложении П7.4. Выборочные
корреляции для этих 50 значений приведены в табл. П7.2. При
L = 8 получается плавная выборочная оценка, но без всякого на-
намека на пик внутри частотного интервала. Утроив L до 24, полу-
получаем слабо выраженный пик около 0,125 гц, т. е. истинной частоты
пика.
Когда L возрастает до 40, появляются многочисленные другие
небольшие пики из-за увеличения дисперсии оценки. Следова-
Следовательно, у нас не было бы полной ясности относительно истинной
формы спектра, если бы мы заранее не знали, какое L лучше
всего соответствует теоретическому спектру.
На рис. 7.9 показаны выборочные спектральные оценки для
того же самого процесса, сосчитанные по реализации из N —
= 400 членам. Эти 400 значений приведены в табл. П7.1, а выбо-
выборочные корреляции, сосчитанные по ним, даны в табл. П7.3. При
L — 48 выборочная оценка ближе к истинному спектру, чем любая
из выборочных оценок для N = 50, но улучшение не столь велико,
как этого можно было бы ожидать. Поскольку при L = 48 число
степеней свободы на каждое оцениваемое значение спектра равно
31, по-видимому, следовало бы считать, что пик вблизи частоты
0,125 гц действительно существует. Заметим, однако, что этот пик
значительно уже теоретического.
7.1.3. Влияние формы окна на сглаживание
Другим относящимся к сглаживанию вопросом, которым мы
сейчас займемся, является влияние использования различных спек-
спектральных окоп. Мы сравним между собой окна Бартлетта, Тьюки
и Парзена.
Для вычисления средних сглаженных нормированных спек-
спектров был использован процесс авторегрессии первого порядка
G.1.8). Эти спектры соответствовали корреляционным окнам wB,
wT и Wp при фиксированных значениях точки отсечения и обозна-
обозначались
Гв/
|,
и Гр/сг|. Такие спектры показаны на рис. 7.10
вместе с теоретическим нормированным спектром ^хх^I°2х-
сглаженные спектры получены при значении точки отсечения L,
равном 12.
Большое смещение и осцилляции сглаженного спектра для
окна Бартлетта явно заметны. Однако вблизи пика окно Барт-
Бартлетта дает небольшое смещение. Этого следовало ожидать, исходя
из формулы F.3.37), дающей смещения для этих трех окон. Таким
22
Глава 1
Примеры одномерного анализа
23
образом, смещение для окон Бартлетта связано с первой произ-
производной спектра, которая мала в окрестности пика, но велика там,
где спектр имеет крутой склон. Равенство F.3.37) показывает, что
главный член в выражении для смещения в окнах Тьюки и Пар-
зена зависит от второй производной спектра, которая мала там,
о, г
О.25
0,375
Рис. 7.10. Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авто-
авторегрессии первого порядка (ai = —0,9).
где спектр приблизительно линеен, и относительно велика вблизи
пика.
В целом окно Тьюки имеет при данном значении точки отсече-
отсечения наименьшее смещение. Впрочем, если сравнить окна Парзена
и Тьюки с одинаковой шириной полосы частот, то сглаженные
спектры будут почти одинаковы по форме.
То же самое можно сказать при сравнении дисперсий оценок,
соответствующих этим двум окнам. Согласно F.4.25),
Ширина полосы частот X Дисперсия = Константа.
Следовательно, если ширина полосы частот у двух оценок одина-
одинакова, то они имеют одну и ту же дисперсию. Из табл. 6.6. видно,
что ширина полосы частот окна Парзена в 1,4 раза больше, чем
окна Тиюки. Поэтому окно Тьюки с точкой отсечения L — 1? "меет
такую же ширину полосы
частот и такую же диспер-
дисперсию, что и окно Парзена с
L = 12 X 1,4 ~ 16.
Таким образом, для
двух оценок, соответствую-
соответствующих окнам с одинаковой >о\
шириной полосы частот, и
дисперсия, и смещение при-
приблизительно одни и те же.
Отсюда следует, что если
два спектральных окна име- г,о\
ют приемлемую форму и
одну и ту же ширину поло- ,Л
сы частот, то соответствую-
соответствующие им выборочные оценки
спектра должны быть очень
похожи. На рис. 7.11 как раз
проделано такое сравнение пу\_
окон Тьюки и Парзена для
реализации процесса авто-
авторегрессии первого порядка
с ai = —0,9 и N = 100.
Сплошная линия обозначает
выборочную оценку Тьюки Рис. 7.11. Сравнение окон Тьюки и Пар-
Ч _ оо зена, имеющих эквивалентную полосу ча-
При L oZ, а крестики стот, на процессе авторегрессии первого
выборочную оценку Парзе- порядка (щ = —0,9; N = ЮО).
на при L = 45. Аналогично
пунктирная линия обозначает выборочную оценку Тьюки при L = 8,
а сплошные кружки — выборочную оценку Парзена при L = 12.
Согласие при этом столь велико, что можно без опасения утвер-
утверждать, что при использовании одного из этих окон вместо другого
мы не упустили бы ни одной важной особенности спектра. Следо-
Следовательно, эмпирические результаты этого раздела показывают, что
важным вопросом в практическом спектральном анализе является
выбор ширины полосы частот, а не выбор формы окна. Эти вопросы
мы обсудим полнее в разд. 7.2.4 и 7.2.5.
7.2. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА СГЛАЖИВАНИЯ
¦ В разд. 7.2.1 обсуждаются различные теоретические попытки
получить оптимальные методы сглаживания. Мы приходим к за-
заключению, что эти теоретические решения неудовлетворительны и
24
Глава 7
Примеры одномерного анализа
25
что для спектрального оценивания требуется более эмпирический
подход. Основными требованиями при оценивании спектров яв-
являются высокая устойчивость и малая степень искажения. Эти
требования кратко обсуждаются в разд. 7.2.2. Для того чтобы им
удовлетворить, в разд. 7.2.3 вводится эмпирический подход к оце-
оцениванию спектров. Этот подход назван стягиванием окна, он по-
подробно обсуждается в разд. 7.2.4. В последнем разделе рассматри-
рассматривается вопрос о формировании окон, т. е. о выборе формы
спектральных окон.
7.2.1. Оптимальное сглаживание спектральных оценок
Было сделано несколько попыток определить сглаженные спек-
спектральные оценки, которые были бы оптимальны в некотором
смысле. Идея такого подхода состоит в выборе такого корреляци-
корреляционного окна w(u) на интервале 0^|ы|<СГ, которое минимизи-
минимизировало бы некоторую величину, характеризующую погрешность
оценки. Обычно еще накладывают практическое ограничение
w(u) = О при |ы| > М, для того чтобы вычислять ковариации лишь
до запаздывания М. Так как большая часть времени при вычис-
вычислениях уходит на подсчет ковариации, то представляется разум-
разумным выбирать М малым по сравнению с длиной записи Т. Один
критерий оптимальности корреляционного окна, упоминавшийся
в разд. 6.3.5, заключается в минимизации среднеквадратичной
ошибки
G.2.1)
Этот критерий был предложен в [3]. Одно из возражений против
такого подхода состоит в том, что хорошая для одной частоты
оценка может оказаться плохой для другой частоты, и, следова-
следовательно, нужно принимать компромиссное решение, которое было
бы наилучшим в некотором смысле для всех частот.
Критерий оптимальности, охватывающий все частоты, предло-
предложен в [4]. Он заключается в минимизации интеграла от средне-
среднеквадратичной ошибки
E[{Cxx(f)-Txx(f)?]df.
G.2.2)
Корреляционное окно, дающее минимум интегралу G.2.2), имеет
Отметим, что это окно не приводит к отсечению ковариационной
функции. Как уже упоминалось, основная цель, которую пресле-
преследуют, вводя отсечение, состоит в сокращении вычислений ковариа-
ковариации. Специалисты по теории связи и по теории управления узнают
в выражении G.2.3) для оптимального корреляционного окна точ-
точный аналог выражения для частотной характеристики фильтра,
дающего минимальную среднеквадратичную ошибку. Пользуясь
терминологией теории связи, можно проинтерпретировать G.2.2)
следующим образом. Txx(f) соответствует полезному сигналу,
a Cxxif) --сумме сигнала и шума. Точно так же в G.2.3) w{u)
соответствует частотной характеристике оптимального фильтра,
у^(и)-спектру сигнала, a Var[cxx(u)] — спектру шума.
Другой критерий, предложенный в [5] и также представляющий
собой "попытку получить оценку, пригодную для всех частот, со-
состоит в минимизации математического ожидания максимума по
частоте от среднеквадратичной ошибки
E[max\Cxx(f)-rXx(f)\2]-
G.2.4)
Можно было бы еще предложить критерий минимума интеграла
f{?Ii?-^?-ffl.]rff. G.2.5)
Txx(f)
Последний критерий отличается от G.2.2) тем, что математическое
ожидание среднеквадратичной ошибки на данной частоте сумми-
суммируется при интегрировании с весом, обратно пропорциональным
величине теоретического спектра на этой частоте. Таким образом,
минимизируется интеграл относительной среднеквадратичной
ошибки, и очевидное преимущество такой процедуры перед G.2.2)
состоит в том, что оценка образуется с весом, обратно пропорцио-
пропорциональным дисперсии ошибки.
Ниже мы покажем, что значение приведенных здесь критериев
в спектральном анализе невелико. Единственная цель, для которой
можно ими воспользоваться, состоит в том, что они дают возмож-
возможность сравнить спектральные окна Бартлетта, Тьюки, Парзена и
другие по этим критериям. Например, прямоугольное окно wR(u)
из табл. 6.5 является плохим по всем этим критериям, и поэтому
его можно отбросить. Остальные окна из табл. 6.5 имеют сходные
показатели по этим критериям, и, следовательно, можно считать,
что форма этих окон является, вообще говоря, «хорошей». Однако
при решении вопроса о выборе подходящей формы окна могут
играть роль и другие факторы, например количество мощности,
утекающей в боковые лепестки. Так, из рис. 7.10 видно, что окно
Бартлетта хуже окон Тьюки и Парзена, поскольку барлеттское
окно дает большие ложные осцилляции в среднем сглаженном
спектре.
26
Глава 7
Примеры одномерного анализа
27
Критические замечания относительно использования критериев
оптимальности при сглаживании.
1. Критерии оптимальности произвольны. Поэтому для любого
критерия соответствующее ему оптимальное спектральное окно бу-
будет наилучшим лишь с некоторой произвольно принятой точки
зрения.
2. Критерии оптимальности представляют собой не слишком
гибкую математическую формулировку требований спектрального
анализа. Например, физика или инженера могут интересовать не-
некоторые характерные черты спектра, такие, как ширина пика или
наклон спектра в некотором диапазоне частот, в то время как эти
критерии не предназначены для таких характеристик. Поэтому,
как будет показано в разд. 7.2.2, необходима более подходящая
и гибкая формулировка требований спектрального анализа, кото-
которую мы и изложим в этом разделе.
3. Оптимальное в любом смысле корреляционное окно, напри-
например G.2.3), будет зависеть от неизвестного спектра Fxx(f). Этот
недостаток свойствен не только спектральному анализу. Вообще
говоря, справедливо правило, согласно которому наилучший план
действий должен опираться на некоторые представления об истин-
истинном положении вещей. Следовательно, очень важно проводить чет-
четкое различие между планированием спектрального анализа до
сбора данных и самим анализом данных, после того как они со-
собраны. Мы хотели бы использовать критерий минимума средне-
среднеквадратичной ошибки или какой-нибудь аналогичный критерий до
проведения спектрального анализа, чтобы решить, например, какой
длины нужно взять запись. Но после того как данные собраны,
могло бы оказаться, что наши представления относительно Txx{f)
были абсолютно неправильны.
Чтобы избежать этого, любой практический метод спектраль-
спектрального анализа должен предусматривать самостоятельный план дей-
действий и не зависеть решающим образом от каких-либо существен-
существенных предположений относительно Txx(f). Другими словами, дан-
данные должны говорить сами за себя.
4. Если бы даже существовали ситуации, когда имелась бы
точная информация о Гхх(П, подход, использующий критерий
оптимальности, указывает лишь, какой способ действия является
наилучшим в среднем. Так, оптимальное корреляционное окно
G.2.3) будет наилучшим лишь в среднем [если при этом пользо-
пользоваться критерием G.2.2)]. Однако оно, возможно, окажется очень
плохим для некоторой конкретной реализации случайного про-
процесса.
Например, один и тот же процесс может дать две реализации
одинаковой длины, для которых потребуются совершенно различ-
различные значения ширины полосы частот окна, обеспечивающие
хорошую выборочную оценку спектра.
Эти недостатки существенны, и поэтому требуется более гибкий
и устойчивый подход к сглаживанию. Для того чтобы предложить
подходящий эмпирический метод сглаживания, необходимо вновь
обратиться к общим задачам спектрального анализа и сформули-
сформулировать их в точном и пригодном для наших целей виде. Это
делается в следующем разделе, где вводятся понятия степени
искажения и устойчивости. Далее, в разд. 7.2.3 предлагается эмпи-
эмпирический способ сглаживания выборочных оценок.
7.2.2. Степень искажения и устойчивость
Общая цель любого спектрального анализа состоит в том,
чтобы как можно точнее оценить функцию Txx{f). Для этого
требуется выполнение двух условий_.
1. Средний сглаженный спектр Тхх(!) должен как можно мень-
меньше отличаться от Txx(f), т. е. должно быть малым смещение
B(f) = Txx(f)-Txx(f).
Если это требование выполняется одновременно для всех f, то
говорят, что Txx(f) воспроизводит Txx{f) c малой степенью иска-
искажения (fidelity).
2. Дисперсия сглаженной спектральной оценки
Var[Cxx(f)]
1 XX
(f)
' м\
Ml
должна быть мала. Если это верно, то говорят, что оценка имеет
высокую устойчивость.
Чтобы проиллюстрировать, что требования уменьшения степени
искажения и увеличения устойчивости являются противоречивыми,
мы снова вернемся к некоторым эмпирическим выводам разд. 7.1.
Малая степень искажения. Рассмотрим сначала на рис. 7.2 гра-
график функции Txx(f) для процесса авторегрессии первого порядка
с ai = .—0,4. С помощью окна Тьюки можно получить малую сте-
степень искажения для частот, меньших 0,375 гц, если взять точку
отсечения L = 8, т. е. ширину полосы частот окна 6 = 1,33/8 =
= 0,167 гц. Истинный спектр имеет широкий пик с центром на
частоте / = 0,5 гц, и, чтобы получить сравнимую степень искаже-
искажения в окрестности / = 0,5 гц, нужно взять точку "отсечения L = 16,
т. е. Ъ = 0,083 гц.
Процесс авторегрессии первого порядка с ai = —0,9 имеет го-
гораздо более узкий пик на той же частоте f = 0,5 гц. Из рис. 7.5
видно, что для умеренной степени искажения при использовании
окна Бартлетта требуется, чтобы значение точки отсечения L было
не менее 48, т. е. ширина полосы частот окна составляла 0,031 гц.
28
Глава 7
Примеры одномерного анализа
29
Заметим, впрочем, что в этом случае TXx(f) изображена в лога-
логарифмическом масштабе, так что степень искажения измеряется
величиной
а не величиной
как в предыдущем примере. Нам кажется, что степень искажения
логичнее измерять в логарифмическом масштабе, а не в линейном,
поскольку существенны относительные, а не абсолютные искаже-
искажения мощности. Отметим, что при L = 32 степень искажения вблизи
пика такого же порядка, как и в интервале 0—0,375 гц. Следова-
Следовательно, в этом случае окно с одной и той же шириной полосы ча-
частот подходит для оценивания всего спектра.
Процесс второго порядка на рис. 7.7 имеет более сложный
спектр, в котором пик, в отличие от предыдущего примера, распо-
расположен внутри интервала частот. На рис. 7.7 показана функция
Txx(f) Для окна Парзена, и мы видим, что при L = 32 график
воспроизводит пик с малой степенью искажения, в то время как
при L = 8 и 16 кривые на графиках идут намного ниже пика. Если
ширину пика определить как расстояние между точками, где мощ-
мощность уменьшается до половины пиковой, то в этом случае, как
видно из рис. 7.7, ширина равна примерно 0,08 гц. Значения ши-
ширины полосы частот окна Парзена при L = 16 и 32 равны 0,11 и
0,06 гц соответственно. Следовательно, при L = 32 полоса частот
окна меньше ширины пика, в результате чего и получается малая
степень искажения.
На рис. 7.12 показан еще более сложный спектр, соответствую-
соответствующий случайному процессу, состоящему из двух узкополосных ис-
источников белого шума, причем расстояние с между полосами
мало*). Для получения малой степени искажения в этом случае
требуется спектральное окно с шириной полосы частот порядка с,
т. е. порядка расстояния между полосами спектра. Следовательно,
можно сделать следующий общий вывод: для получения малой
степени искажения ширина полосы частот окна должна иметь тот
же порядок, что и ширина самой узкой существенной детали
спектра. Таким образом, при планировании спектрального анализа
до того, как собраны данные, нолезно иметь приблизительные оцен-
оценки ширины самой узкой детали спектра. Этот вопрос мы обсудим
в разд. 7.3.1.
Термин разрешающая способность был введен в [2] для описа-
описания аналогичного явления. Эта оптическая аналогия предполагает,
*) На рис 7.12 видны три полосы частот. Однако следует помнить, что спектр
является четной функцией, так что его график при / ^ 0 есть зеркальное отраже-
отражение графика при / ^ 0. Таким образом, речь здесь идет о двух полосах частот
при / ^ 0. — Прим. перев.
что делается попытка разрешить линии в спектре, т. е. разрешить
спектр вида
В этом случае говорят, что б-функции, или пики, спектра разре-
разрешены, если ширина полосы частот окна меньше расстояния между
пиками по частоте. Это наводит на мысль о том, что такое понятие
не является очень полезным в спектральном анализе, так как ре-
реальные спектры не могут быть описаны с помощью б-функций;
Ширина полосы
частот*с
\ I
Рис, 7.12. Степень искажения при оценивании белого шума, состоящего из
двух полос.
иначе говоря, пики никогда не имеют нулевой ширины. Кроме того,
как показано выше, важна именно ширина существенных деталей
спектра, а не просто расстояние по частоте между пиками.
Высокая устойчивость. В разд. 7.1 было показано, что малая
степень искажения достигается при определенном значении ши-
ширины полосы частот окна, однако и при этом все же могут полу-
получаться плохие выборочные оценки спектра, если длина записи
слишком мала. Так, например, из рис. 7.7 видно, что пик процесса
второго порядка можно оценить с малой степенью искажения при
L = 32. Однако изображенная на рис. 7.8 для этого L выборочная
оценка спектра, сосчитанная по N = 50 членам, дает очень плохую
картину пика.
С другой стороны, как мы видим из рис. 7.9, выборочная оценка
спектра, сосчитанная по N = 400 членам, показывает, что можно
с разумной точностью оценить спектр при L = 32. Это было пред-
предсказано теорией, развитой в разд. 6.3, и объясняется тем, что малая
дисперсия, т. е. высокая устойчивость, получается при больших от-
отношениях TIM = NIL. Следовательно, для хорошего спектрального
30
Глава 7
анализа М должно быть достаточно велико, чтобы обеспечить
малую степень искажения, и Т/М также должно быть большим,
чтобы обеспечить высокую устойчивость. Эта идеальная ситуация
приблизительно выполняется для выборочной оценки спектра про-
процесса авторегрессии первого порядка на рис. 7.3. Однако во многих
практических задачах приходится останавливаться на некотором
компромиссе между малой степенью искажения и высокой устой-
устойчивостью. Вопрос о том, как практически выбрать такое компро-
компромиссное решение, обсуждается в следующем разделе.
7.2.3. Эмпирическое сглаживание выборочных
спектральных оценок
Проведенное в разд. 7.2.1 обсуждение использования критериев
оптимальности при сглаживании и, в особенности, недостатки та-
такого подхода указывают на то, что необходим некоторый эмпири-
эмпирический способ сглаживания. В частности, чтобы избежать недостат-
недостатков 2, 3 и 4, нужен такой гибкий подход, который допускал бы раз-
различные способы проведения сглаживания, подсказанные самим
анализом данных. Иными словами, нужен метод, дающий возмож-
возможность узнать достаточно много о спектре Гхх (/) по имеющимся
данным, с тем чтобы выбрать подходящее сглаживание для любого
интересующего нас диапазона частот.
Пользуясь терминологией предыдущего раздела, это требова-
требование можно сформулировать так: нужно, чтобы решение о том, ко-
когда достигается разумный компромисс между малой степенью ис-
искажения и высокой устойчивостью, можно было получить из самих
данных. Если принять, что желательна экономия в вычислениях
ковариаций и что оценка типа F.3.28) является подходящей, то
сглаживание спектральной оценки полностью определится видом.
т. е. математической формой, окна и его шириной полосы частот.
или, что эквивалентно, его точкой отсечения.
Поскольку влияние формы окна на выборочные спектральные
оценки имеет второстепенное значение, как видно из рис. 7.11, эм-
эмпирический подход к сглаживанию должен основываться на изме-
изменении полосы частот. Ниже мы изложим один эмпирический под-
подход, который удовлетворяет этим требованиям и укладывается
в изложенную выше схему. Во-первых, нужно выбрать некоторое
спектральное окно приемлемой формы. Во-вторых, следует сосчи-
сосчитать несколько сглаженных выборочных спектральных оценок, взяв
сначала широкую полосу частот окна, а затем постепенно сужая
ее. Этот эмпирический метод спектрального анализа был предло-
предложен в [6], а в дальнейшем проиллюстрирован на практических за-
задачах в [7, 8]. Ниже эта процедура использования постепенно стя-
стягивающихся полос частот будет называться стягиванием окна (win-
(window closing). Полнее мы ее обсудим в разд. 7.2.4. Несколько менее
Примеры одномерного анализа
31
важный вопрос о конструировании спектрального окна приемлемой
формы, названный Тьюки формированием окна (window carpentry),
обсуждается в разд. 7.2.5.
7.2.4. Стягивание окна
Метод стягивания окна состоит в вычислении нескольких сгла-
сглаженных выборочных спектральных оценок сначала для широкой
полосы частот, а затем для все более и более узких. Первая цель
такого подхода заключается в той гибкости, которую он дает. При
этом любую существенную особенность спектра, интересующую нас
с практической точки зрения или же выявившуюся в процессе ана-
анализа, можно затем исследовать подробнее.
Этот метод позволяет узнать многое о форме спектра. Так, вы-
выбранная первоначально широкая полоса частот окна обычно будет
скрадывать некоторые детали в спектре. Сужая полосу частот, мож-
можно исследовать более тонкие детали. Наконец, как указывалось
в разд. 7.2.2, когда ширина полосы частот становится уже самой
узкой существенной детали спектра, нет никакого смысла стяги-
стягивать полосу частот еще дальше. При этом, однако, возникают прак-
практические вопросы интерпретации, связанные с неустойчивостью
выборочных оценок. Эти вопросы обсуждаются ниже.
Поскольку некоторые записи содержат мало информации о спек-
спектре точно так же, как некоторые функции правдоподобия дают
мало информации о параметре и не имеют слабо выраженного мак-
максимума, этот метод дает возможность выбрать наилучшую полосу
частот, соответствующую имеющейся записи*). Важный практиче-
практический вопрос состоит в том, когда остановить процесс стягивания
полосы частот, т. е. когда следует окончить поиск дальнейших де-
деталей спектра, с тем чтобы удержать устойчивость. В ответ на этот
вопрос нельзя дать никаких строгих рекомендаций, так как наи-
наилучший момент остановки будет зависеть от таких факторов, как
степень детализации спектра, количество имеющейся априорной
информации относительно Г(/) и определяемая неустойчивостью
возможность отличия действительных деталей от выборочных флук-
флуктуации. Тем не менее можно различить три типа ситуаций, встре-
встречающихся на практике.
*) При изложении процедуры стягивания окна авторы допускают некоторую
неточность. Выбирая ширину полосы частот окна Ь в зависимости от имеющейся
записи, они тем самым делают Ь случайной величиной. Но для такого случайного
Ь, строго говоря, нельзя считать, что устойчивость и степень искажения спек-
спектральной оценки будут теми же, что и для неслучайного Ь, точно так же, как
нельзя считать, например, что минимум из нескольких одинаково распределенных
величин имеет то же распределение, что и каждая из этих величин. Учесть точно,
как влияет такой случайный выбор b на характеристики спектральной оценки,
трудно, хотя, возможно, что это влияние и не слишком существенно. — Прим.
перев.
Глава 7
1. Иногда можно стянуть полосу частот настолько, что боль-
большинство существенных деталей выявится до того, как мы дойдем
до неустойчивости. В этом случае, начиная с некоторого момента,
не должно происходить существенных изменений в спектре, несмо-
несмотря на дальнейшее заметное уменьшение полосы частот. Такой
благоприятный случай показан на рис. 7.3, где изображены выбо-
выборочные спектральные оценки процесса авторегрессии первого по-
порядка. Видно, что при уменьшении полосы частот в 4 раза (что
соответствует изменению L от 4 до 16) происходят лишь незначи-
незначительные изменения формы спектра. Можно считать, что удовлетво-
удовлетворительная выборочная оценка спектра в интервале частот от О
до 0,375 гц получается при L = 8, однако в окрестности пика тре-
требуется большее значение L, скажем L = 12.
2. В некоторых случаях выясняется, что выборочная оценка
спектра не сходится ни в каком смысле к устойчивому значению.
Пример такой ситуации изображен на рис. 7.8, где показаны выбо-
выборочные оценки спектра процесса авторегрессии, сосчитанные по
N = 50 членам. Выборочная оценка при L = 8 сравнительно плав-
плавная, однако невозможно понять, вызваны ли существенные изме-
изменения в спектре при переходе от L = 8 к L = 24 неустойчивостью
или же выявлением новых деталей спектра. Поэтому, вероятно, сле-
следовало бы считать, что выборочная оценка при L = 8 показывает
крупные детали спектра, но для выявления более тонких деталей
требуются более длинные ряды. Заметим, впрочем, что выборочная
оценка спектра при L = 8 содержит много полезной информации,
и, следовательно, спектральный анализ никоим образом не является
бесполезным.
3. Обычно ситуация представляет собой нечто среднее между
случаями 1 и 2. Рассмотрим, например, показанные на рис. 7.4
выборочные спектральные оценки процесса авторегрессии первого
порядка с а\ = —0,4 и /V = 100. Отметим, что при L — 16 появ-
появляются вполне определенные пики на частотах / = 0,22 гц и f —
— 0,44 гц. Не зная структуры этого процесса, возможно, было бы
соблазнительно принять эти пики за действительные, поскольку вы-
выборочная оценка имеет приблизительно 17 степеней свободы. Эти
пики становятся еще более определенными при L = 32, так что
имеется некоторое сомнение относительно того, когда следует оста-
остановить процесс стягивания окна. Аналогичные замечания справед-
справедливы и для выборочных оценок, показанных на рис. 7.6.
Все эти ситуации характеризуются тем, что сначала выборочные
оценки проявляют тенденцию к сходимости, но затем из-за не-
неустойчивости начинают расходиться, прежде чем можно сделать
определенные выводы. Так как невозможно сказать, какая из эти*,
выборочных оценок спектра ближе к истине, то мы предлагаем
изображать три выборочные оценки, соответствующие тем точкам
отсечения, где после сходимости появляется расходимость. Важно,
Примеры одномерного анализа
33
однако, помнить, что при стягивании полосы частот выборочная
спектральная оценка становится полиномом от 2л/ все более и бо-
более высокой степени, что облегчает появление ложных пиков.
В пределе, когда выборочная оценка стремится к несглаженному
выборочному спектру, можно получить ложные пики всюду. По-
Поэтому требуется некоторая осторожность при интерпретации выбо-
выборочных спектральных оценок. Наконец, спектр должен иметь физи-
физический смысл, в противном случае анализ не представляет собой
большой ценности. Короче говоря, основная цель стягивания окна
состоит в том, чтобы использовать понимание физической сущности
явления в процессе оценивания и интерпретации спектров.
I ,
7.2.5. Формирование окна
»¦ В разд. 7.1 было эмпирически показано, что стягивание окна
гораздо важнее, чем формирование окна. Тем не менее известное
значение имеет и конструкция окна, которое будет использовано.
Как отмечалось выше, один из возможных подходов к такому кон-
конструированию дает использование критериев оптимальности при
сглаживании (разд. 7.2.1). Однако можно показать, что окна, яв-
являющиеся плохими с точки зрения критерия среднеквадратичной
ошибки или аналогичного критерия, имеют плохую форму и с дру-
других точек зрения. В этом разделе указан перечень некоторых важ-
важных свойств, которыми должны обладать спектральные окна. Ана-
Аналитический подход к этой задаче применен в работе [1]; здесь изла-
излагается более описательный метод.
1. При заданной точке отсечения М смещение, обусловленное
спектральным окном W(f), будет мало, если это окно сосредото-
сосредоточено вблизи нуля. Из рис. 6.12 и 6.13 видно, что соответствующее
прямоугольному корреляционному окну wR(u) спектральное окно
Wp(f) сконцентрировано около центральной частоты теснее, чем
любое другое. Из табл. 6.6 следует, что спектральное окно WR(f)
имеет наименьшую полосу частот. Следовательно, ширина полосы
частот служит мерой сконцентрированности спектрального окна.
2. Спектральное окно WR(f) имеет наименьшую полосу частот
за счет того, что боковые лепестки этого окна самые большие, как
видно из рис. 6.13. Влияние боковых лепестков выражается в том,
что из-за них значения спектра Txx(g) на частотах g, отстоящих
довольно далеко от /, могут давать большой вклад в смещение на
частоте /. Этот эффект называют утечкой (leakage). Из рис. 6.13
видно, что окна WB, WT и WP имеют гораздо меньшие боковые
лепестки, чем WR, а лепестки спектрального окна Бартлетта WB
больше, чем у окон WT и WP, что, как показывает рис. 7.5, может
приводить к неприятностям в случае узкого пика в спектре. Если
нужно, чтобы боковые лепестки были минимальны, то окно WP
предпочтителыгей, чем другие.
2 Зак. 1178
34
Глава 7
3. Спектральные окна WR(f), WB(f) и WP(f) имеют вид
Примеры одномерного анализа
35
.-1.1,4.
G.2.6)
и, следовательно, корреляционные окна wR{u), wB(u) и wP(u) свя-
связаны между собой с помощью операции свертки. Другими словами,
корреляционное окно a»B(u) = (l—\u\/M), 0^С\и\*СМ, можно
получить, свертывая окно wR(u)= 1, 0-^ \и\ -<М/2, с самим собой.
Аналогично, корреляционное окно wP(u) получается с помощью
свертки окна wR(u) = 1, 0 ^С |«| -<М/4, с самим собой 4 раза. То же
самое можно сказать несколько по-иному: окно wR пропорциональ-
пропорционально плотности вероятности равномерно распределенной случайной
величины; окно wB пропорционально плотности вероятности полу-
полусуммы двух равномерно распределенных величин и окно wP про-
пропорционально плотности вероятности среднего арифметического из
четырех равномерно распределенных величин. Ясно, что распреде-
распределение среднего арифметического из п равномерно распределенных
величин будет сходиться к нормальному, или гауссовскому, распре-
распределению при п—*оо. Таким образом, корреляционное окно сходится
к нормальной кривой, и, следовательно, к этой же кривой сходится
и спектральное окно G.2.6), как показано в гл. 2. В действитель-
действительности, Даниэльс [10] и рекомендует использовать для спектрального
анализа нормальное окно.
С одной стороны, увеличение п приводит к уменьшению высоты
боковых лепестков, что видно из G.2.6). Однако, с другой стороны,
спектральное окно также становится более сплющенным и широ-
широким, поскольку оно в первый раз обращается в нуль на частоте
f = 2n~xl2M. Следовательно, для получения заданной ширины по-
полосы при этом потребуется большое М. Например, для получения
заданной ширины полосы частот с помощью окна Парзена wP тре-
требуется значение М, примерно на 40% большее, чем для окна Тью-
ки wT.
4. Влияние изменения формы окна при фиксированной точке
отсечения можно проиллюстрировать, построив график коэффициен-
коэффициента корреляции между сглаженными спектральными оценками на
частотах fu f2. Из F.4.11) этот коэффициент корреляции равен
Pec (A
G.2.7)
На рис. 7.13 корреляционная функция G.2.7) изображена в зави-
зависимости от разности fi — f2 для окон WB, WT и WP из табл. 6.5.
Видно, что для широкого окна, такого, как WP, корреляция оценок
для малых значений f\—f2 относительно велика, в то время как
для больших /i — f2 эта корреляция мала. Наоборот, для узкого
окна, подобного WB, корреляция при малых f\ — f2 относительно
мала, а при больших fi—f2 относительно велика.
Блэкман и Тьюки [2] предложили из-за корреляции оценок на
близких частотах наносить на график лишь некоррелированные
выборочные оценки. Однако эта рекомендация опасна для приме-
применений, так как при этом можно, например, пропустить пик, верши-
вершина которого попала как
раз между нанесенны-
нанесенными на график некорре-
некоррелированными выбороч-
выборочными оценками. Наш , ух .
0,8
0,2
i/гм
1/М
з/гм
г/м If, -fe)
опыт говорит, что же-
желательно строить гра-
график выборочной оцен-
оценки с шагом по частоте,
по крайней мере вдвое °>в
меньшим, чем расстоя-
расстояние между некоррели-
некоррелированными оценками, 0^
т. е. с шагом не боль-
больше 1/2L.
Из сказанного вы-
выше можно заключить,
что окна WB, Wt и Wp
имеют приемлемую
форму, но, видимо, сле-
следует отбросить WB
из-за его больших бо-
боковых лепестков. Вы-
Выборочные оценки спек-
спектра, получаемые с по-
помощью окон WB и WP, всегда неотрицательны, в то время как с по-
помощью окна WT можно получить иногда отрицательные выбороч-
выборочные оценки, что нежелательно. Хотя у окна WP боковые лепестки
меньше, чем у WB и WT, оно более широкое, и, следовательно, при
использовании этого окна требуется вычислять больше ковариаций,
чтобы получить заданную ширину полосы частот. Это означает,
что если в процессе стягивания окна используется WP, то для
того, чтобы выборочная оценка перестала колебаться, потребуется
больше времени, чем при использовании окна WT-
7.3. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОЦЕНИВАНИЯ СПЕКТРОВ
В этом разделе обсуждаются некоторые более практические
аспекты оценивания спектров, первый из которых (разд. 7.3.1) от-
относится к планированию спектрального анализа. В следующем
Рис. 7.13. Корреляция по частоте спектральных
оценок для различных окон с одинаковой точкой
отсечения.
36
Глава 7
разделе описывается пробное оценивание спектра, которое иллк>
стрируется на примере с партиями продукта, изображенными на
рис. 5.2. Затем в разд. 7.3.3 дается полезная практическая методика,
которой следует придерживаться при выполнении спектрального
анализа. Эта процедура иллюстрируется в разд. 7.3.4 на двух прак-
практических примерах, показывающих пользу метода стягивания окна.
В разд. 7.3.5 показывается, как можно использовать цифровую
фильтрацию для улучшения выборочных спектральных оценок.
7.3.1. Планирование спектрального анализа
Сейчас мы покажем, как можно планировать спектральный
анализ до сбора данных и, в частности, как можно выбирать
длину записи, чтобы выполнялись некоторые требования. Имеются
четыре основных требования, которые должны быть удовлетво,-
рены.
1. Интервал отсчета А должен быть настолько мал, чтобы спектр
можно было оценить в интересующем нас диапазоне частот О <С
</•</„• Следовательно, Д должно быть не больше 1/2/0.
2. Следует позаботиться о том, чтобы избежать наложения ча-
частот. Это можно осуществить одним из двух способов. В первом
надо взять А столь малым, чтобы Txx(f) можно было считать фак-
фактически равным нулю при / > 1/2А. Однако для этого нужны исход-
исходные сведения о спектре, которых может и не быть. Кроме того, нас
могут интересовать значения спектра TXx(f) лишь для частот меньше
некоторой частоты /о- Если /о гораздо меньше той частоты, за кото-
которой Txx(f) можно считать нулем, то нужно будет брать расчеты
с гораздо меньшим интервалом по времени, чем это требуется для
интересующих нас частот f^Cfo- Второй способ состоит в фильтра-
фильтрации сигнала до взятия отсчетов, так что мощность на частотах
выше /о фактически устраняется. Это легче всего сделать в анало-
аналоговом виде. Следует отметить, что некоторая предусмотрительность
на этой стадии обработки данных может в дальнейшем избавить
от значительных неприятностей и сэкономить усилия.
3. Допустим, что можно сделать предположение о ширине а са-
самой узкой существенной детали спектра или, наоборот, требуется
«обнаружить» деталь спектра шириной не меньше а. Тогда точку
отсечения М нужно выбрать так, чтобы ширина полосы частот
окна Ь была меньше а. Например, для окна Тьюки это означает,
что Ь— 1,33/М^Са, или М = LA ^ 1,33/а. При этом для числа L
значений дискретной ковариационной функции, которые нужно
сосчитать, должно выполняться неравенство L^- 1,33/аД. В общем
случае точку отсечения следует выбирать из равенства
G.3.1)
Примеры одномерного анализа
37
где b] — нормированная ширина полосы частот. Отсюда необхо-
необходимое число ковариаций
G.3.2)
/ — м —
4. Для конечных записей возможность точного оценивания ши-
ширины пиков или степень выявления тонких деталей спектра зависит
также от дисперсии оценки. Следовательно, чтобы можно было ве-
верить в тонкую структуру выборочной оценки спектра, нужно иметь
возможность удерживать заданный уровень устойчивости. Этого
можно добиться, задавая желаемое для каждого оцениваемого
значения спектра число степеней свободы v, скажем от 15 до 30, и
определяя затем длину записи Т из F.4.26) и G.3.1). Это дает
т — — JiL —
~ 2 ft ~
у
~2а~
и, следовательно, из G.3.2) получается
v vL
2аД
26,
G.3.3)
G.3.4)
Затем на рис. 3.10 можно найти значение 80%-ного или 95%-ного
доверительного интервала, соответствующего данному числу степе-
степеней свободы. Если полученный таким способом доверительный ин-
интервал слишком велик, то, увеличив v (и, следовательно, увеличив
Л'1), мы уменьшим его, правда за счет увеличения времени вычис-
вычислений и усилий, потраченных на сбор данных.
Простую интерпретацию формулы G.3.4) можно получить, рас-
рассматривая сглаженные спектральные оценки, отстоящие по частоте
на ширину полосы частот b спектрального окна. Ковариация этих
оценок приблизительно равна нулю, так как при таком расстоянии
по частоте спектральные окна почти не перекрываются. Поэтому
число независимых сглаженных спектральных оценок в полосе ча-
частот от 0 до 1/2А равно A/2АN = L/2bu так что b = bJLA. Однако
несглаженные спектральные оценки, отстоящие на 1/Г = 1/NA, рас-
распределены как независимые ^-величины с двумя степенями сво-
свободы. Поскольку в интервале от 0 до 1/2А содержится Т/2А таких
независимых несглаженных оценок, полное число степеней свободы,
относящееся к каждой сглаженной оценке (т. е. к каждому оце-
оцениваемому значению спектра), равно v = 2(Tj2A)l (L/2b\) = 2bjN/L.
Следовательно, Л' = vL/2b\.
Важная особенность формулы G.3.3) состоит в том, что длину
записи можно задавать независимо от спектрального окна и она
зависит лишь от v и а.
Пример. Предположим, что требуется оценить спектр мощности
в диапазоне до /о = 2 гц и можно без опасений считать, что за этой
частотой нет сколько-нибудь заметной мощности. Таким образом,
38
Глава 7
не будет неприятностей из-за наложения частот. Тогда, согласно
требованию 1, мы имеем
А = -кг- = -т- = 0,25 сек.
Если можно предположить, что ширина самого узкого пика в спек-
спектре равна по крайней мере 0,20 гц, а устойчивость, даваемая 30 сте-
степенями свободы, представляется подходящей, то из G.3.3) длина
записи должна быть не менее
30
2 @,2)
= 75 сек.
Следовательно, требуется N = 300 точек данных. Из рис. 3.10 на-
находим, что для 30 степеней свободы 80%-ный_доверительный интер-
интервал для Txx(f) приблизительно равен @,7Cxx(f); 1,ЗСХХ(/)), т.е.
получается 30%-ная относительная ошибка_. Чтобы уменьшить этот
доверительный интервал, скажем, до @,8Cxx(f); U2Cxx(f)), потре-
потребовалось бы v = 80 и, следовательно, Т = 200 сек, N = 800.
Приведенные выше вычисления имеют некоторое значение, ко-
когда заранее решается вопрос о длине записи, однако следует под-
подчеркнуть, что после того, как данные собраны, требуется другой
подход. Таким образом, если анализ предназначен для разделения
пиков шириной а, то может случиться, что после сбора данных пе-
перед началом анализа обнаружится неправильность наших пред-
предположений о величине а. Следовательно, нужно приспособить, как
указывалось в разд. 7.2, действительный анализ спектра к имею-
имеющимся данным. Это и дает основание воспользоваться процедурой
стягивания окна, описанной в разд. 7.2.4.
7.3.2. Пробный анализ (pilot analysis)
Иногда полезно получить грубую выборочную оценку формы
спектра, не вычисляя сначала ковариационную функцию и затем
сглаженную выборочную оценку по формуле G.1.6). В частности,
если нужно предварительно отфильтровать данные, как, например,
в некоторых задачах из гл. 9—11, то грубый пробный анализ мо-
может оказаться достаточным, чтобы приближенно синтезировать
хорошую частотную характеристику фильтра. Поскольку такой
пробный анализ легко выполнить и без вычислительных машин, он
служит также полезным упражнением, показывающим, какого рода
информация содержится в спектре.
Описанную ниже форму пробного анализа удобно применять в
том случае, когда число наблюдений N = 2р, где р — некоторое це-
целое число. Впрочем в разд. 7.3.5 показано, как этот анализ можно
Примеры одномерного анализа
39
Таблица 7.2
Воображаемый план эксперимента для данных о партиях продукта
Модификация
Неделя
День
Рабочая смена
Партия 1
1
1
1
47
64
23
71
2
38
65
55
41
1
59
48
71
35
2
2
56
40
58
44
1
80
55
37
74
2
3
2
51
58
50
60
1
44
57
50
45
1
2
25
59
50
71
2
1
56
74
50
58
3
2
45
54
36
54
1
48
55
45
57
S
2
50
62
44
64
1
43
52
38
60
4
7
2
55
41
53
49
1
34
35
54
45
3
2
68
38
50
60
видоизменить для любого числа N. Чтобы объяснить эту процеду-
процедуру, представим себе, что первые 64 наблюдения о партиях продук-
продукта из табл. 5.1 были получены из эксперимента, в котором некото-
некоторые параметры процесса намеренно изменялись согласно схеме,
изображенной в табл. 7.2. Предполагается, что эксперимент по-
построен таким образом, что выход продукта может зависеть от пар-
партии используемого сырья, рабочей смены, еженедельной чистки
дистилляционной колонки и от двух основных модификаций про-
процесса дистилляции. Заметим, что имеет смысл производить лишь
сравнения типа «между разными партиями сырья, в одни и те же
дни, недели и для одной из модификаций», поскольку каждый раз
партии используемого сырья различны. Поэтому естественно ис-
использовать для анализа этих данных метод, называемый диспер-
дисперсионным анализом факторного эксперимента с группировкой. При
этом полная сумма квадратов отклонений, поделенная на N, разла-
разлагается на следующие слагаемые:
t=\
где слагаемые в правой части G.3.5) обозначают вклады в полную
сумму квадратов, обусловленные соответственно изменчивостью
при повторении, изменчивостью партий сырья, смен, изменчивостью
40
Глава 7
в разные дни, в разные недели и, наконец, различием модифика-
модификаций. Таким образом,
(*2-*lJ | (*4-*зJ ,.
' 2 ' ' " "'
. (*8 + х7 - хв — xsJ ,
' 4 Н---)
2 ' 2
(х4 + х3 — х2 - XiY
(*8 + •<
(*1в +
(*32 +
_ (*64 +
<7 +
«15
•«31
«63
¦ xs +.
+...
+...
+...
X$ — Xi — X3 —
8
+ Xg — Xs - X
16
+ xi7 — xis —
32
+ *33 ~ «32 ~
¦ x2- xxJ
7 — . . . —
^15 — ...
хг1- ...
|
1
-x}J
~x,J
Видно, что 5д получается с помощью коррелирования данных
с прямоугольной волной периода 2 и последующим возведением
в квадрат. Следовательно, SR будет велико, если данные содержат
сильную периодическую компоненту с периодом 2. Аналогично,
SB увеличилось бы при наличии компоненты с периодом 4 и т. д.
В табл. 7.3 приведены вклады в средний квадрат (т. е. в сумму
квадратов отклонений, поделенную на N) от каждого из этих ис-
источников.
Таблица 7.3
Пробная выборочная оценка спектра для данных о партиях продукта
Источник
Между повторениями
Между партиями
Между сменами
Между днями
Между неделями
Между модификациями
Вклад в сред-
средний квадрат
99,30
15,24
11,77
4,10
4,16
0,71
Выборочная
оценка
спектра
397,20
121,92
188,32
131,20
266,24
90,88
Диапазон частот,
гц
0,25 -0,50
0,125 -0,25
0,0625-0,125
0,0313-0,0525
0,0156-0,0313
0,0078-0,0156
В сумму квадратов Sr входят вклады не только от компонент
с периодом 2, но, как будет показано в разд. 7.3.5, и вклады от
компонент с периодами от 2 до 4, т. е. с частотами от 0,25 до 0,5 гц.
Поэтому средняя мощность в интервале частот от 0,25 до 0,5 гц
равна 99,30/0,25 = 397,2 (единиц продукцииJ/гц. Аналогично SB
дает полную мощность в интервале частот от 0,125 до 0,25 гц, и,
следовательно, средняя мощность в этой полосе частот равна
Примеры одномерного анализа
41
15,24/0,125=121,92 (единиц продукции) 2/гц. Выборочная оценка
нормированного спектра, полученная из пробного анализа, пока-
показана на рис. 7.14 вместе с выборочной спектральной оценкой, по-
полученной с помощью более точного анализа, описанного
6,0
5,0
</,0
3,0
2,0
',5
1,0
0,9
0,8
Пробный спектр
I
\ 1
О,125 0,25
0,375
0,5 Р.ги
Рис. 7.14. Пробный спектральный анализ для данных
о партиях продукта.
в разд. 7.1.1, причем было использовано окно Тьюки с М — 12.
Видно, что пробная спектральная оценка хорошо согласуется с бо-
более точной выборочной оценкой.
7.3.3. Практическая методика оценивания спектров
В этом разделе описана практическая методика, которой сле-
следует придерживаться при оценивании спектров. Она состоит из
следующих четырех стадий.
1. Предварительная стадия. Исследуем временной ряд с целью
обнаружить в нем явные тренды или периодичности. Это полезно
для решения вопроса о том, использовать ли исходные данные или
же предварительно отфильтровать их, как будет описано
42
Глава 7
в разд. 7.3.5. Особенно полезным и простым фильтром, который мы
часто будем использовать в дальнейшем, является фильтр первых
разностей
yt — xt — xt-x.
На этой стадии можно было бы провести и пробный анализ. Ре-
Решается вопрос о числе Lmax запаздываний, для которых нужно счи-
считать ковариации и корреляции. Первоначально следует выбрать
¦^тах примерно равным NJ4, если только это не потребует слишком
большого времени на вычисления. В тех редких случаях, когда
оказывается, что N/4 значений корреляционной функции недоста-
недостаточно, следует продолжить вычисление корреляций.
2. Первая стадия вычислений. Затем вычисляются выборочные
корреляционные функции для исходных данных и для их первых
разностей при й = 0, 1, ..., Lmax- Строятся графики этих функций
для того, чтобы решить вопрос, брать ли исходные данные или
первые разности от них и какой диапазон точек отсечения исполь-
использовать. Точки отсечения можно выбрать, проверяя, с какого места
выборочные корреляции становятся пренебрежимыми. Три значе-
значения точек отсечения Li, L2, L3, которые будут использованы в про-
процедуре стягивания окна, нужно выбирать так, чтобы они отлича-
отличались довольно сильно, например L3/L] = 4.
3. Вторая стадия вычислений. Вычисляются и строятся в ло-
логарифмическом масштабе на одном графике выборочные спек-
спектральные оценки, соответствующие этим трем точкам отсечения.
Шаг по частоте надо брать 1/2F, где F ^ 2L или 3L. Нужно нанести
на график горизонтальными отрезками значения ширины полосы
частот окон F.4.24), чтобы детали выборочных оценок спектра
можно было сравнить с этими значениями. Следует также нанести
на график вертикальные отрезки, каждый из которых равен по
длине доверительному интервалу F.4.21) для соответствующей
ширины полосы частот окна.
4. Интерпретация выборочных спектральных оценок. Общий гра-
график спектров, полученный на 3-й стадии, попадет, вообще говоря,
в одну из трех категорий, которые можно назвать: идеальной, про-
промежуточной и плохой.
а. Идеальный спектральный анализ. Исследуется вариация вы-
выборочных спектральных оценок при увеличении значения точки
отсечения, т. е. при уменьшении ширины полосы частот окна. Если
после некоторого значения L* дальнейшее увеличение L сопрово-
сопровождается лишь незначительными изменениями в выборочных оцен-
оценках, то можно считать, что процедура стягивания окна уже вы-
выявила большую часть деталей спектра. Если при этом доверитель-
доверительный интервал для спектра на одной частоте получается достаточно
малым, то можно принять выборочную оценку, соответствующую
Примеры одномерного анализа
43
L*. В таком случае выборочная оценка имеет малую степень иска-
искажения и высокую устойчивость. Иногда случается, что наибольшее
значение точки отсечения LM оказывается слишком мало. В этом
случае выборочная спектральная оценка, возможно, будет схо-
сходиться к некоторому предельному виду, однако для подтверждения
этого поведения может возникнуть необходимость дальнейшего вы-
вычисления выборочных оценок при L > LM.
б. Промежуточный случай спектрального анализа. На практике
ситуации, когда одновременно можно достичь высокой устойчиво-
устойчивости и малой степени искажения, редки. Как правило, выборочная
оценка проявляет признаки сходимости при малых L, а затем на-
начинает расходиться при дальнейшем росте L, Обычно это означает,
что выборочная оценка стала неустойчивой до того, как в спектре
выявились тонкие детали. В таких ситуациях мы предлагаем
строить несколько спектров, перекрывающих промежуточный слу-
случай, где сходимость выборочных спектральных оценок уступает
место расходимости, так чтобы эти эффекты были видны при ин-
интерпретации спектров. Как показано в разд. 7.1, нетрудно полу-
получить ложные пики в спектре, сужая полосу частот окна. Поэтому
в такой ситуации лучше проявить осторожность, отдавая пред-
предпочтение в использовании небольшим значениям точек отсе-
отсечения.
Иногда случается так, что выборочная спектральная оценка
быстро сходится в одних частотных интервалах, где спектр плав-
плавный, и медленно в других, где спектр меняется быстро. Поэтому
в разных частотных интервалах могут потребоваться разные зна-
значения L.
в. Случай плохого спектрального анализа. Иногда выборочные
спектральные оценки настолько заметно меняются при уменьшении
полосы частот окна, что невозможно рекомендовать даже несколь-
несколько спектров. В такой неблагоприятной ситуации, возможно, следует
предпочесть выборочную спектральную оценку с малым значением
точки отсечения, сознавая, что при этом широкое спектральное
окно может замаскировать важные тонкие детали спектра. Однако
основная неприятность в том, что N слишком мало, поэтому нужно
собрать больше данных.
Следует подчеркнуть, что приведенные выше рекомендации не
являются строгими, а скорее должны рассматриваться как наво-
наводящие соображения. В конкретных задачах может потребоваться
другой способ действий. Например, нас может интересовать пик
с известной средней частотой, но с шириной, которая известна
лишь приближенно. В этом случае полосу частот окна можно было
бы стягивать к этой частоте для исследования данного пика, не
слишком заботясь об устойчивости на других частотах. Изложен-
Изложенную выше процедуру мы сейчас проиллюстрируем на двух прак-
практических примерах.
44
Глава 7
7.3.4. Два практических примера оценивания спектра
Спектральный анализ данных о партиях продукта. /. Предвари-
рительный анализ. Проверка данных о партиях продукта на
рис. 5.2 не выявила какого-либо очевидного тренда. Поэтому была
использована выборочная оценка ковариационной функции G.1.2),
6,0
5,0
3,0
2,0
1,5
1,0
0,9
0,8
полоса частот окна
16 —¦
8 —
/
80%-ные доверительные интервалы //
и
L 1В 8 Ч
Ц/25
О,25
0,375
О,5 Г,гц
Рис. 7.15. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра для данных
о партиях продукта.
которая вычислялась до запаздывания LmaK = 18. Проверка проб-
пробного спектра на рис. 7.14 показала, что спектр весьма плавный,
так как диапазон его изменений равен примерно четырем. По-
Поэтому не стали брать первые разности от данных.
2. Первая стадия вычислений. Выборочная корреляционная
функция rxx(k) для этих данных изображена на рис. 5.6. Из этого
графика видно, что она фактически равна нулю при k > 10. По-
Поэтому было решено взять точки отсечения L — 4, 8 и 16.
3. Вторая стадия вычислений. С помощью окна Тьюки для этих
значений L вычислялись выборочные оценки нормированного
спектра, графики которых были построены все вместе на рис. 7.15.
Примеры одномерного анализа
45
На этом рисунке нанесены также отрезки, показывающие значения
ширины полосы частот окна и доверительные интервалы для ка-
каждого из выбранных значений L.
Следует отметить, что этот спектр похож на спектр искусствен-
искусственного процесса авторегрессии первого порядка с oci = —0,4 и N =
= 100, показанный на рис. 7.4. Очевидно, что полоса частот, соот-
соответствующая L = 4, слишком широка для того, чтобы выявить ка-
какие-нибудь детали в спектре, но изменения при переходе от L = 8
к L = 16 показывают, что спектр очень плавный и что нет смысла
стягивать окно еще больше. Несмотря на то что N мало, можно
0
-as
to
-
20
30 *
0^ 50
^» *
во
Рис. 7.16. Выборочная ав-
автокорреляционная функция
для данных об отраженном
радиолокационном сигнале,
изображенном на рис. 5.1.
считать, что спектральный анализ является удовлетворительным и
что мы немногое потеряли бы, взяв L = 8. Для окна Тьюки и L =
= 8 число степеней свободы равно 23, что является приемлемой
величиной.
Спектральный анализ радиолокационных данных. Рассмотрим
другой пример, иллюстрирующий метод, изложенный в разд. 7.3.3.
На рис. 7.16 показана выборочная корреляционная функция отра-
отраженного радиолокационного сигнала, изображенного на рис. 5.1.
На рис. 7.17 приведены выборочные оценки нормированного спек-
спектра, полученные с помощью окна Бартлетта при L = 16, 48 и 60
для ряда, состоящего из N = 448 членов. Частотный диапазон обо-
обозначен от 0 до 0,5 гц, поскольку настоящий диапазон несуществен.
Мы видим, что при L = 16 выборочная оценка плавная и не вы-
выявляет пика, существование которого можно было бы ожидать
из-за осцилляции корреляционной функции. При L = 32 (этот слу-
случай не показан на рисунке) появляются вполне различимые пики
приблизительно на частотах / = 0,07 гц и 0,25 гц. Увеличение L
до 48 выявляет эти пики очень наглядно, и далее видно, что при
увеличении L до 60 спектр меняется мало. Поэтому было взято
значение L = 60, для которого эквивалентная ширина полосы ча-
частот равна 1,5/60 = 0,025 гц, и выборочная оценка на каждой из
оцениваемых частот имеет 3-448/60 ~ 22 степени свободы, что яв-
является приемлемой величиной. Доверительный интервал при L =
46
Глава 7
Примеры одномерного анализа
47
= 60 показан на рисунке вертикальным отрезком, а ширина по-
полосы частот — горизонтальным.
В этом конкретном эксперименте потребовалось вычислять кор-
корреляции для 60 запаздываний, чтобы подходящим образом описать
3,0
г,о
1,0 -
о,г -
0,1 -
0,04 -
о,ог
ч
\ 7ч\
К
\\
|\
I L=60
¦ 80%-НЫи
доверительный
интервал
1
Полоса
частот
окна
1,
L
16
\
\
\ \ л
\/ v/
V v
1
—
0,125
0,35
0,375
0,5
Рис. 7.17. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра отражен-
отраженного радиолокационного сигнала, изображенного на рис. 5.1.
пик на частоте 0,07 гц. В то же время для частот, больших чем
0,1 гц, спектр можно довольно точно определить с помощью лишь
32 значений корреляций. Это еще раз иллюстрирует важный прак-
практический факт: в то время как для оценивания очень узкого пика
в определенной части спектра могут понадобиться очень большие
значения L, остающуюся часть спектра, возможно, удастся про-
проанализировать при гораздо меньших L. В настоящем примере
с радиолокатором пик на частоте 0,07 гц не представлял большого
интереса, поскольку он был вызван частотой сканирования радио-
радиолокатора. В действительности интересен был частотный диапазон
выше 0,1 гц, который можно было бы успешно проанализировать
с помощью относительно небольших значений L, таких, как 32
или 40.
7.3.5. Цифровая фильтрация
Иногда в результате предварительного исследования (напри-
(например, пробного анализа или визуальной проверки) становится ясно,
что спектр очень плохой. Под этим подразумевается, что большая
часть мощности сосредоточена в одной или нескольких узких по-
полосах. Из-за утечки мощности в боковые лепестки спектральных
окон такие пики могут сильно исказить выборочные спектральные
оценки в тех местах, где мощность невелика. Поэтому для улучше-
улучшения выборочных оценок на этих частотах может оказаться полез-
полезной цифровая фильтрация данных,
Цифровая фильтрация — это просто преобразование набора
входных данных xt в набор выходных данных yt с помощью ли-
линейного соотношения вида
yt= 2л
t=-co
G.3.5)
где hi — подходящим образом выбранные веса. Заметим, что не-
необязательно требовать условия «физической осуществимости», из
которого следует hi = 0, / < 0. Таким образом, фильтр G.3.5) мо-
может использовать как значения х слева от yt («прошлые» значе-
значения х), так и значения х справа от yt («будущие» значения х).
Как показано в гл. 2, передаточная функция цифрового фильтра
G.3.5) равна
H{z)= 2 htz~l G.3.6)
;= —оо
где использовано обозначение ^-преобразования.
Подставляя в G.3.6) z = e+iZltfA, получим частотную характери-
характеристику фильтра. Частный случай такого фильтра, который в даль-
дальнейшем нам понадобится, получается при hi = Л_(. Для таких сим-
симметричных фильтров частотная характеристика равна
Н if) = К + 2 2 ht cos 2я//Д, - JL
< -±-.
G.3.7)
Таким образом, фазовый сдвиг между входом и выходом будет
равен либо нулю, либо л, поскольку G.3.7) не имеет мнимой части.
48
Глава 7
Функция усиления G(f) получается, если взять модуль от Н (f)
в G.3.6). i
В разд. 7.3.2 мы отмечали, что пробное оценивание спектра
мощности заключается в применении подходящих цифровых филь-
фильтров к временному ряду с последующим возведением в квадрат
выходных значений этих фильтров. Одно из первых применений
цифровые фильтры нашли при сглаживании временных рядов. Так,
например, иногда сглаживают экономические временные ряды,
чтобы снизить влияние краткосрочных (высокочастотных) флукту-
флуктуации и, таким образом, сделать возможным изучение трендов
экономических величин.
Примеры цифровых фильтров. Сейчас мы определим некото-
некоторые простые цифровые фильтры и обсудим их свойства. Для про-
простоты предположим, что в этих примерах интервал дискретизации
по времени Д равен единице.
1. Сглаживание тройками. Временной ряд можно «сгладить
тройками», группируя наблюдения следующим образом:
Если веса равны, эта формула становится симметричной
откуда получаем передаточную функцию
Частотная характеристика равна
Отсюда функция усиления и фазовая характеристика имеют вид
G(f) ' sin;
2. Суммирование. Рассмотрим суммирующий фильтр
yt = (xt + х^{).
Передаточная функция этого фильтра равна
Примеры одномерного анализа
49
откуда получаем частотную характеристику
//(/) = A + е-/2л0 = 2е-™ cos я/, - ~ < / < 1.
Функция усиления и фазовая характеристика имеют вид
G{f) = 2cosnf, -1</<1,
Таким образом, этот фильтр действует как низкочастотный.
3. Взятие разностей. Разностный фильтр определяется фор-
формулой
yt = (x,-xt-i) G.3.8)
и имеет частотную характеристику
Я (/) = 2/e-W sin nf = 2е-''ли-'М sin nf, ~
f <
1.
Функция усиления и фазовая характеристика равны
G (f) = 2 1 sin Ttf |, -±</<±,
Следовательно, разностный фильтр действует как высокочастот-
высокочастотный. Функция усиления эгого фильтра показана на рис. 1.4.
4. Суммо-разнсстные фильтры. Рассмотрим теперь фильтр, со-
состоящий из m суммирующих и из п разностных фильтров. Из
B.3.26) и B.3.27) полная функция усиления и полная фазовая
характеристика равны
1яЛ\ -!</<!, G.3.9)
Отметим, что функция усиления имеет максимум на частоте
1 I m — n
т + п
G.3.10)
Теорема Слуцкого. Если на вход описанного выше суммо-
разностного фильтра подается процесс со спектром rzz(/), то,
50
Глава 7
используя формулу G.3.9), можно получить спектр выходного
процесса
Г*х (/) = 2m+n+I (cos nfJm (sin nfJn Tzz (f), 0 < f < 1.
С помощью формулы G.3.10) можно убедиться, что для белого
шума, т. е. когда Tzz(f) = 2, 0^.f<-^, функция Txx(f) стремится
при т—*оо, п-+оо, п/т-+в к б-функции 6(/ — /о), где
о f 1-е
cos 2nf0 = j^q- .
В разд. 6.2.2 было показано, что случайный процесс, спектр кото-
которого есть б-функция, является синусоидальной или косинусоидаль-
ной волной. Таким образом, этот результат показывает, что если
белый шум подвергать суммированию и взятию разностей доста-
достаточное число раз, то получится синусоидальная волна. Эта тео-
теорема принадлежит Слуцкому [11], который отмечал, что в некото-
некоторых случаях периодическое или квазипериодическое поведение
экономических временных рядов объясняется процедурой сглажи-
сглаживаний, примененных к этим рядам.
5. Фильтры для пробного спектрального анализа. Фильтры, ис-
использованные в разд. 7.3.2 для пробного анализа, получаются из
операций суммирования и взятия разностей с подходящими за-
задержками. Например, передаточная функция фильтра, соответ-
соответствующего сумме квадратов SM из разд. 7.3.2, равна
Я (z)
"W- 8B-1)
откуда функция усиления имеет вид
rih_ 2(sin32nfJ I
Аналогичные выражения можно получить и для других фильтров.
Как отмечалось в разд. 7.3.2, фильтр, соответствующий Sp, имеет
максимум на частоте f = 0,5 гц и обращается в нуль первый раз
при f = 0,25 гц. Следовательно, величину на выходе этого фильтра
нужно распределить, грубо говоря, по интервалу от 0,25 до 0,5 гц,
если требуется выборочная оценка мощности в этом интервале.
6. Фильтры типа скользящего среднего — авторегрессии. Обоб-
Обобщением -описанных выше фильтров являются фильтры типа сколь-
скользящего среднего — авторегрессии, определяемые соотношением
atyt+t = 2
t l
G.3.11)
Основное отличие этого фильтра от предыдущих состоит в том, что
выход yt зависит как от входных значений, так и от других выход-
Примгры одномерного анализа
51
ных значений, т. е. эти фильтры используют обратную связь. Пере-
Передаточная функция фильтра G.3.11) равна
"^-a_m2m+ ...
Фильтры этого вида обладают большей гибкостью, чем описанные
выше, а также более экономичны в том смысле, что хорошее при-
приближение к заданному фильтру можно получить с меньшим числом
параметров в правой и левой частях равенства G.3.11). Этот факт
проиллюстрирован на рис. 5.20, где показано, что согласие с дан-
данными у процесса авторегрессии второго порядка лучше, чем у про-
процесса скользящего среднего десятого порядка.
Суммирующие и разностные фильтры или их обобщения можно
использовать в большей части случаев, когда нужна цифровая
фильтрация. Однако если при проектировании фильтра требуется
особая тщательность, то параметры ссь р, в G.3.11) можно подби-
подбирать эмпирическим способом, описанным в [12]. Сначала задается
форма требуемого идеального фильтра. Затем параметры а*, |3;
подбираются так, чтобы минимизировать некоторую величину, ха-
характеризующую качество приближения для нескольких выбранных
частот. Например, можно было бы минимизировать среднеквадра-
среднеквадратичную ошибку отклонений фильтра G.3.11) от идеального филь-
фильтра на выбранных частотах. Или же можно было бы минимизиро-
минимизировать, как это делается при наилучшем чебышевском приближении,
наибольшее расхождение между фильтром G.3.11) и идеальным
фильтром. Такие вычисления нетрудно выполнить с помощью вы-
вычислительной машины.
Использование цифровых фильтров. Ниже перечислены неко-
некоторые из наиболее важных случаев использования цифровых филь-
фильтров.
а. Пробное оценивание спектров. Для этого нужен набор поло-
полосовых фильтров, например таких, которые приведены в [13].
б. Сглаживание данных. Эта процедура устраняет высокоча-
высокочастотные осцилляции. Для этого нужен низкочастотный фильтр.
в. Устранение трендов из данных. Для этого нужен высокоча-
высокочастотный фильтр, который можно получить, применяя низкочастот-
низкочастотный фильтр и затем вычитая результат низкочастотной фильтрации
из исходных данных. Устранение низкочастотного тренда часто яв-
является необходимой операцией перед оцениванием спектра. Ниже
приводится пример, гДе из-за невозможности устранить тренды
появляется значительное смещение в выборочной спектральной
оценке.
г. Разделение временного ряда на компоненты. Часто при изу-
изучении соотношений между временными рядами лучше разложить
52
Глава 7
исходный временной ряд xt на компоненты
G.3.12)
с помощью набора полосовых фильтров. Например, из предвари-
предварительных сведени-й может возникнуть предположение, что низкоча-
низкочастотные компоненты, содержащиеся в xt, можно лучше предсказать
по низкочастотным компонентам, содержащимся в некотором дру-
другом ряде у,, чем по самим рядам xt или yt. Поэтому каждый ряд
хМ в G.3.12) можно использовать по отдельности для дальнейшего
анализа. Применение такого подхода при анализе метеорологиче-
метеорологических временных рядов изложено в [14], а при анализе экономиче-
экономических рядов — в [13].
Биномиальные фильтры. Особенно простой набор фильтров, ко-
который можно использовать для этой цели, приведен в [15]. В этом
наборе используются введенные ранее суммирующие и разностные
фильтры. С помощью г-преобразований разложение на компоненты
можно записать в виде
1)*
[A + г-1)* + k A + z-1)*-1 A - z-1) + ...
+ z-*)k-1 A - z-1)'+ ... +A-2-1)*]*,.
Таким образом, временной ряд xt можно расфильтровать на k + 1
временной ряд с помощью k + 1 фильтров, причем передаточная
функция i-ro фильтра равна
Следовательно, выход х^ этого фильтра получится, если исход-
исходный сигнал пропустить через k — i суммирующих фильтров и i
разностных фильтров, а затем умножить на коэффициент
()'(?)
)
Из G.3.10) следует, что t-й фильтр имеет пик на частоте /0:
k~ ' i 0lk
Например, при k = 4 пики расположены на частотах 0; 0,167;
0,25; 0,417; 0,5 гц.
Пример цифровой фильтрации. Этот пример относится к оце-
оцениванию спектра отраженного радиолокационного сигнала и опи-
Примеры одномерного анализа
53
сан подробнее в [16]. По техническим причинам при измерении
отраженного сигнала нельзя отделить эффект, вызванный ры-
рысканьем самолета, за которым следит радиолокатор. На рис. 7.18
показан участок записи, где рысканье достигает экстремума и на-
намного превышает высокочастотный шум, спектр которого нужно
проанализировать.
Рис. 7.18. Исходный и отфильтрованный отраженный радиолокационные сигналы.
С этой записи были взяты отсчеты в 320 точках и отфильтро-
отфильтрованы с помощью симметричного фильтра G.3.5) со следующими
весами:
Ао=1-
т+ 1 '
1/1
in
-j, i= I, 2, ..., m,
где т = 9. Значения в скобках совпадают со значениями окна
Тьюки Wt из табл. 6.5; они нормируются так, что их сумма рав-
равна единице, и вычитаются из весов, дающих тождественное пре-
преобразование, чтобы получился высокочастотный фильтр.
Отфильтрованный ряд yt показан на рис. 7.18 вверху, и мы
видим, насколько эффективно устранил фильтр низкие частоты.
Были вычислены выборочные ковариационные функции исход-
исходного и отфильтрованного рядов, и затем с помощью окна Барт-
летта получены выборочные спектральные оценки при разных
значениях точки отсечения L. Выборочные оценки спектра отфиль-
отфильтрованного ряда переставали изменяться, когда L достигало зна-
значения 30, в то время как для исходного ряда потребовались
гораздо большие значения L. Чтобы сравнить эти два спектра
ня высоких частотах, на рис. 7.19 приведены выборочные
54
Глава 7
спектральные оценки обоих рядов при одном и том же L. Мы ви-
видим, что на высоких частотах исходный ряд дает оценку в 10 раз
больше, чем отфильтрованный. Это происходит из-за того, что в ис-
исходном ряде мощность на низких частотах очень велика, и проис-
происходит ее утечка в высокочастотную часть выборочной оценки, при-
приводящая к большим смещениям.
Имелось несколько записей такого типа с различными степе-
степенями рысканья, в том числе и такие, на которых эффекта ры-
1,0
ю-'
ю-*
ID'3
ю-*
ю-5
ю-6
*xJf)—
l=SO
Полоса частот
окна
0,125
0,25
0,375
0,5 Г,гц
Рис. 7.19. Выборочные спектральные (не нормированные) оценки исходного
и отфильтрованного радиолокационных сигналов.
еканья совсем не было видно. После того как записи, содержав-
содержавшие эффект рысканья, были отфильтрованы до оценивания спект-
спектров, получилось хорошее согласие со спектрами, оцененными по
записям без рысканья.
7.4. ПРИМЕРЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
С тех пор как 15 лет назад Бартлетт и Тьюки ввели спект-
спектральные методы, в литературе появилось много сообщений об их
применениях в различных областях. Большинство этих примене-
применений можно разделить на три широкие категории: построение мо-
моделей, планирование экспериментов и изучение частотных харак-
характеристик.
Некоторые дальнейшие применения спектрального анализа мы
приведем ниже, а в настоящий момент уместно показать, какую
пользу может принести знание спектра одиночного временного
ряда в этих трех областях.
Примеры одномерного анализа
5S
7.4.1. Построение моделей
Форма спектра иногда выявляет особенности временного ряда,
которые должны быть учтены в любой модели, предложенной для
этого ряда. Например, наличие пиков в спектре и их величины
могут выявить основные периодичности, требующие физического
объяснения.
В тех случаях, когда спектры изучаются с целью лучшего
понимания физического механизма, порождающего временной ряд.
одиночный спектр редко бывает очень полезен. Наиболее важные
0,015\-
o,oio\-
0,005\-
~0,0t 0.080,1 0,2 O,4 0,81,0 2,0 4,O 8,010 fZ/V
Рис. 7.20. Спектры горизонтальной компоненты скорости ветра.
наводящие соображения относительно моделей можно получить
при изменении внешних условий и совместном изучении несколь-
нескольких спектров. Эти внешние условия могут находиться вне нашего
контроля, как в первом из приводимых ниже примеров, или же
их можно преднамеренно изменять в виде запланированного экс-
эксперимента, как во втором примере.
Пример 1. На рис. 7.20 показана выборочная спектральная
оценка горизонтальной компоненты скорости атмосферной турбу-
турбулентности, приведенная в [17]. Верхний график получен по изме-
измерениям, сделанным при ясной погоде (высокий уровень солнеч-
солнечной радиации), а нижний — по измерениям, проведенным в об-
облачную погоду (низкий уровень солнечной радиации). Отметим,
что мощность спектра гораздо больше в периоды высокой радиа-
радиации и что эта мощность сосредоточена в основном на низких ча-
частотах. В частности, пик спектра сдвигается в сторону низких ча-
частот с увеличением радиации, в то время как мощность на высо-
высоких частотах, по-видимому, не зависит от радиации. Эти выводы
Глава 7
получены в результате детального изучения в работе [18], где
предлагается следующее физическое объяснение такого поведения
спектров: на высоких частотах основными причинами атмосфер-
атмосферной турбулентности являются механические силы, или силы тре-
трения, а на низких частотах причиной служит конвекция, вызванная
солнечной радиацией. _
На рис. 7.20 ордината пропорциональна fCxx(f), так как по
абсциссе откладывается lg/. В результате, несмотря на логариф-
логарифмический масштаб, пло-
щадь, ограничиваемая
кривой, равна полной дис-
дисперсии, или мощности. По-
Поскольку средняя скорость
ветра V изменяет интен-
интенсивность турбулентности
и ее распределение по
частоте известным обра-
образом, то оказалось естест-
естественней построить на рис.
7.20 графики безразмер-
безразмерных величин fCxx(fZ/V)/V2
j i iiiiii, и fZ/V.
0,05 о,ю 0,20 о,зоo,wQsoQ.ec'о,зо 1,0 fz/v Пример 2. На рис. 7.21
Рис. 7.21. Спектры вертикальной компоненты показаны три выбороч-
скорости ветра. ные спектральные оценки,
относящиеся к измере-
измерениям вертикальной компоненты скорости атмосферной турбу-
турбулентности на трех различных уровнях над поверхностью зем-
т (см._[18]). На рисунке нанесены безразмерные величины
fCxx(fZ/V)/V2 и fZ/V, где 1т- высота над поверхностью земли. Мы
видим, что два верхних спектра очень похожи по форме и имеют
максимум на одной и той же частоте. Нижний спектр не похож на
остальные. На основании этих и других выборочных спектральных
оценок, приведенных в [18], было найдено хорошее согласие в диа-
диапазоне частот, где спектр существен, между эмпирическими спек-
спектрами и двумя предложенными теоретическими выражениями
0,05 \-
где h = yZf/V и у— константа. В литературе можно найти много
других примеров объяснений сложных физических явлений, пред-
предложенных на основе спектрального анализа или частично прове-
проверенных с его помощью.
Примеры одномерного анализа
7.4.2. Планирование экспериментов
В качестве примера применения спектрального анализа в пла-
планировании экспериментов рассмотрим следующую задачу. Пусть
требуется составить план эксперимента для оценивания наклона
поверхности отклика r)(ui, ..., vn), имея в виду использование
этой поверхности для нахождения максимума или минимума ц.
Например, t\(v) при п = 1 могло бы быть выходом химического
продукта или себестоимостью одной его тонны, аи — скоростью
подачи сырья в реактор. На практике можно различать две си-
ситуации. В первой значения процесса получены из отдельных пар-
партий, а переменные и* устанавливаются перед началом выпуска
каждой партии. Первая ситуация имеет место и тогда, когда про-
процесс является непрерывным, но его регулировки проводятся столь
часто, что в промежутках между ними изменением характеристик
процесса можно пренебречь. Во втором случае процесс является
непрерывным и наклон также измеряется непрерывно, как в уп-
управляющих системах поиска максимума [19]. Используя выборочную
оценку наклона, управляющая система может подправить значения
переменных, управляющих процессом, с тем чтобы максимизиро-
максимизировать выход продукции или минимизировать ее себестоимость.
Предположим, что в первой ситуации значения v подправляют-
подправляются через единичные интервалы времени
vt = a cos -г-, t = 1, 2, . .., N.
G.4.1)
Предположим далее, что амплитуда а косинусоидальной волны
фиксирована и что требуется выбрать ее период 2Ь так, чтобы
минимизировать дисперсию оценки наклона. Считая, что модель
линейная, т. е.
где Zt — шум, или ошибка, получим обычную выборочную оценку
наименьших квадратов для 0!
6, =
N
2
N
t=\
В приложении П7.2 показано, что дисперсия соответствующей
оценки @i приблизительно равна
4
Varie,]-^!^ ¦?
G.4.2)
58
Глава 7
Следовательно, при фиксированном а дисперсия достигает мини-
минимума, когда частота 1/2& возмущающего сигнала соответствует
минимуму в спектре шума. Другими словами, максимизируется
отношение сигнал/шум a2/2Fzz(l/2b).
Для второй ситуации возмущающий сигнал есть косинусои-
дальная волна
v (t) = a cos 2nf0t.
В Приложении П7.2 показано, что дисперсия наклона в этом слу-
случае минимизируется тогда, когда достигает максимума величина
(/о)
Примеры одномерного анализа
2Г
zz
(/о) ¦
G.4.3)
В G.4.3) G(f0) есть значение функции усиления системы на ча-
частоте /о.
Пример 3. Данные о партиях продукта на рис. 5.2 были полу-
получены без каких-либо преднамеренных изменений переменных, уп-
управляющих процессом. Таким образом, функция Cxx{f), показан-
показанная на рис. 7.15, дает выборочную оценку спектра TZz{f) шума
процесса. Эту информацию можно использовать при планирова-
планировании эксперимента, где некоторая переменная, управляющая про-
процессом, намеренно изменяется по косинусоидальному закону
G.4.1) или по другому периодическому закону, скажем, в виде
прямоугольной волны с периодом 26.
Из рис. 7.15 видно, что спектр почти плоский от / = 0 до
/ = 0,25 гц, но резко возрастает при / > 0,25 гц. Поскольку b = 1
соответствует частоте / = 0,5 гц, а ^2 соответствует диапазону
от 0 до 0,25 гц, то, очевидно, любое значение b > 2 было бы при-
приемлемым. Однако имеются серьезные причины выбирать возмож-
возможно более высокую частоту, поскольку существуют низкочастотные
тренды и сносы, увеличивающие дисперсию на этих частотах.
Поэтому значение Ь = 2 представлялось бы разумным, учитывая
форму выборочного спектра.
7.4.3. Изучение частотных характеристик
Применение спектрального анализа, в этой области основано
на использовании соотношения F.2.15), связывающего спектры
входа Z(t) и выхода X(t) линейной системы, т. е.
rx.v(/) = Tzz(/)G2(/). G.4.4)
На практике можно различать два типа ситуаций. Либо функция
усиления системы G(f) фиксирована и единственной изменяемой
величиной в G.4.4) является входной спектр TZz{f), либо фикси-
фиксирован входной спектр, а функцию усиления можно изменять.
Пример 4. В качестве примера изучения частотной характери-
характеристики системы с фиксированной функцией усиления рассмотрим
задачу о неровностях взлетной полосы [20]. Важность этой задачи
при конструировании са-
самолетов заметно возрос-
возросла в последние несколько
лет, так как от ее реше-
решения зависят поломки са-
самолета, срок его устало-
усталостной сопротивляемости, а
трудности с отсчетом по-
показаний приборов и не-
неудобства пассажиров
Результат действия
неровностей взлетной по-
полосы на самолет зависит
от частотной характери-
характеристики шасси. Например,
шасси типичного самоле-
самолета гражданской авиации
имеет функцию усиле-
усиления с большими значе-
значениями в интервале от 1,5
до 2 гц.
Один способ измере-
измерения неровностей взлетной
полосы заключается в
том, чтобы измерять не-
непосредственно высоты не-
неровностей примерно че-
через полметра вдоль взлет-
взлетной полосы. Затем эти
измерения можно исполь-
использовать для характеристи-
характеристики неровностей взлетной
полосы с помощью вы-
выборочной оценки ее спек-
спектра. Спектр Tzz(f) в этом
случае . измерялся бы ,
В единицах (высота) У р и с. 7.22. Влияние пиков на входе, аморти-
/ЧИСЛО колебании, укла- зации и скорости на частотную характеристи-
ДЫВЭЮЩИХСЯ на 1 М, т. е. ку самолетного шасси.
м2/A/м) — м3. Зная функ-
функцию усиления шасси и спектр неровностей взлетной полосы, мож-
можно узнать, какое напряжение возникнет в крыльях самолета
и т. д. Предположим, например, что спектр неровностей такой,
Примеры одномерного анализа
61
XT'
- Грубые дорански, по которым
самолет подруливает к
аэровокзалу
Очень ровные
полосы гражданских
Граница, за которой'
неоохоаим ремонт
L
Норматив для
строительства новых полос
0.О328
3,28
Приведенная частота
(число нолеваний на /метр)
Рис. 7.23. Типичные спектры неровностей взлетной полосы.
как показан на рис. 7.22, а, где он имеет некоторый пик, обуслов-
обусловленный тем, что неровности чаще всего встречаются на определен-
определенном расстоянии (на определенной длине волны) друг от друга.
Квадрат функции усиления шасси показан на рис. 7.22,6 при
одной и той же амортизации для двух разных скоростей (V ~
— 64 км/час — кривая 3 и V ~ 32 км/час—кривая 2) и для двух
разных амортизации при одной и той же скорости V«
«32 км/час (для слабой амортизации — кривая / и для сильной
амортизации — кривая 2).
Полоса
частот
80% -ный I окна
Хдоверительныи '
интервал
Рис. 7.24. Выборочная оценка спектра поперечных движений хвоста самолета.
Предсказываемая частотная характеристика, полученная по
формуле G.4.4), показана на рис. 7.22, в для этих трех случаев.
Отметим, что при фиксированной скорости ослабление аморти-
амортизации приводит к увеличению мощности спектра и, следователь-
следовательно, к увеличению эффектов, приносящих ущерб. Кроме того, уве-
увеличение скорости сдвигает максимум функции усиления в сто-
сторону более низких частот, где спектр неровностей больше, и
снова мощность выходного процесса увеличивается. Наконец, мак-
максимум функции усиления, сдвинутый из-за увеличения скорости,
может еще больше увеличиться спектром неровностей, что при-
приведет к резкому возрастанию спектра выходного процесса (кри-
(кривая 3 на рис. 7.22, в). То же самое происходит, когда автомобиль
движется по неровной дороге со скоростью, вызывающей его ре-
резонанс.
Некоторые типичные спектры неровностей показаны на
рис. 7.23. На основании упоминавшихся выше расчетов можно вы-
выработать нормативы (допуски) для спектров проектируемых
взлетных полос и для ремонта существующих. Эти допуски обо-
обозначены прямыми линиями на рис. 7.23.
62
Глава 7
Пример изучения частотной характеристики системы с фикси-
фиксированным входным спектром дает задача проектирования узлов
подвески мотоциклов и автомобилей. Поскольку качество дорог
в различных странах разное, измерение спектров неровностей до-
дорог все больше начинает влиять на проектирование частотных ха-
характеристик мотоциклов и автомобилей, особенно предназначен-
предназначенных на экспорт. Другой пример задачи такого типа возникает
при проектировании самолетов, когда требуется минимизировать
усталостные эффекты, обусловленные атмосферной турбулент-
турбулентностью. Этот вопрос обсуждается ниже.
Пример 5. На рис. 7.24 показана выборочная спектральная
оценка поперечных движений хвоста самолета, летевшего в не-
неблагоприятных метеоусловиях на низкой высоте. Спектр имеет
узкий пик в точке / = 4,85 гц, приблизительно соответствующей
частоте собственных колебаний самолета. Имеется также более
широкий пик в точке / = 10,3 гц, по-видимому, соответствующей ча-
частоте собственных колебаний хвоста, поскольку измерения произ-
производились на хвосте. Эти спектры могут дать при конструировании
самолетов полезные наводящие соображения о том, как нужно
видоизменить различные части самолета, чтобы уменьшить риск
разрушения из-за ударов турбулентного потока.
ЛИТЕРАТУРА
1. Watts D. G., A general theory of amplitude quantization with application to
correlation determination, Proc. Inst. Electr. Eng., Part C, 109, 209 (May,
1962).
2. Blackm an R. В., T u k e у J. W., The Measurement of Power Spectra from
the Point of View of Communications Engineering, Dover, New York, 1958.
3. Grenander U., Rosenblatt M., Statistical Analysis of Stationary Time
Series, John Wiley, New York, 1957.
4. Lomnicki A. A., Zaremba S. K., On estimating the spectral density fun-
function of a stochastic process, J. Roy. Stat. Soc, B19, 13 A957).
5. Parzen E., Mathematical considerations in the estimation of spectra. Techno-
metrics, 3, 167 A961).
6. Jenkins G. M., General considerations in the analysis of spectra, Techno-
metrics, 3, 133 A961).
7. Jenkins G. M., An example of the estimation of a linear open loop transfer
function, Technometrics, 5, 227 A963).
8. Jenkins G. M., A survey of spectral analysis, Appl. Statistics, 14, 2 A965).
9. W a 11 s D. G., Optimal windows for power spectra estimation, Mathematics
Research Center Technical Summary Report 506 Sept., 1964.
10. Daniels H. E., The estimation of spectral densities, J. Roy. Stat. Soc, B24,
185 A962).
11. Слуцкий Е. Е., Сложение случайных величин как источник случайных
процессов, Избранные труды, Изд-во АН СССР, М., 1960, стр. 99—132.
12. Robertson H., Approximate design of digital filters, Technometrics, 7, 387
A965).
13. Cr ad dock J. M., An analysis of the slower temperature variations at Kew
Observatory by means of mutualy exclusive band-pass filters, J. Roy. Stat.
Soc, A120, 387 A957).
Примеры одномерного анализа
63
14. Godfrey M. D., Frequency methods in economic analysis, Ph. D. Thesis,
London University, 1962.
15. Tick L. J., Some time series techniques useful in life sciences, Proc. I. В. М.
Scientific Computing Symposium, Statistics, 265 A963).
16. Alavi A. S., Jenkins G. M., An example of digital filtering, Appl. Sta-
Statistics, 14, 70 A965).
17. P a no f sky H. A., Van der Hoven I., Spectra and cross-spectra of velo-
velocity components in the mesometeorological range, Quart. J. Roy. Meteorol. Soc,
81, 603 A955).
18. Pa not sky H. A., McCormick R. A., Properties of spectra of atmospheric
turbulence at 100 meters, Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 80, 546 A954).
19. Box G. E. P., Chanmugan J. R., Adaptive optimization of continuous
processes, Industrial Eng. Chem. (Fundamentals), 1, 2 A962).
20. H о u b о 11 J. C, Runway roughness studies in the aeronautical field, J. Air
Transport Div., Amer. Soc. Civ. Eng., 87, 11 A961).
Примеры одномерного спектрального анализа
65
ПРИЛОЖЕНИЕ П7.1
ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ПОДПРОГРАММЫ
ВЫЧИСЛЕНИЯ СПЕКТРА
Ниже приводится логическая схема подпрограммы для вычислительной ма-
машины, входными данными для которой служат выборочные оценки ковариаций *)
COV(K, J, J) или DCOV(K, J, J), К = О, МАХМ из программы MULTICOR, опи-
описанной в Приложении П5.3. Дополнительно вводятся также интервал отсчета
DELTA, число точек по частоте NF, в которых должна вычисляться сглаженная
выборочная оценка спектра, и значения точек отсечения М (причем М ^ МАХМ),
с которыми надо вычислять сглаженные спектры. В общем случае NF в два или
три раза больше максимального из используемых М. В данной подпрограмме
используется спектральное окно Тьюки (табл. 6.5). Выход состоит из печати
ковариаций (повторная проверка), значений сглаженных спектров для каждой
точки отсечения М и графика, на котором одновременно показаны в логариф-
логарифмическом масштабе сглаженные спектры для всех использованных точек от-
отсечения М.
Подпрограмма AUTOSPEC
1. Ввести параметры N, МАХМ, DELTA, NF.
2. Произвести считывание массива IDENT, COV(K); К = О,
МАХМ.
3. Произвести считывание числа М, вычислить веса
W(K) = 0,5*(l. + COS(nK/M)), K=l, M-1.
4. Вычислить сглаженную выборочную спектральную оценку
SPEC(I) =
М-1
= 2 * DELTA * COV @) + 2 J] COV (К) * W (К) * COS
k=i
1 = 0, NF.
Эти вычисления можно очень быстро провести, используя алго-
алгоритм быстрого преобразования Фурье (сокращенно БПФ, см. [1])
или же указанный ниже алгоритм, в котором преобразование
Фурье получается как решение разностного уравнения.
5. Вычислить логарифм спектра LOGSPEC(I) = LOG10
(SPEC(I)); I = 0, NF. В этом месте следует позаботиться о том,
i
I
чтобы логарифм всегда брался от положительного числа. Если
SPEC(I) окажется отрицательным или нулем, то для графика
нужно принять LOGSPEC(I) = —100.
6. Напечатать сглаженные выборочные спектральные оценки
SPEC(I); 1 = 0, NF, ширину полосы частот В = 4/CM*DELTA)
и число степеней свободы D = (8*N)/C*M) для окна Тьюки и
соответствующих значений N, М и DELTA.
7. Построить на одном и том же графике логарифмы сглажен-
сглаженных спектров в зависимости от частоты для всех использованных
значений М.
Для построения графика последовательности чисел
LOGSPEC(I) нужно найти максимальное из этих чисел, которое
мы обозначим MLOG. Далее мы пользовались следующей методи-
методикой построения графика. Находим ближайшую к MLOG степень
десяти D так, чтобы D ^> MLOG, и строим логарифм спектра
в диапазоне от D — 4 до D. Если, например, максимальное зна-
значение спектра было 2, так что MLOG = 0,303 и, следовательно,
D = 1, то логарифм спектра строился в диапазоне от —3 до 1,
что соответствовало значениям спектра от 0,001 до 10. Диапазон
значений 104 можно считать подходящим для большинства целей,
так как если требуется еще больший диапазон, то, вероятно, це-
целесообразней расфильтровать данные, чтобы получить лучшие
выборочные спектральные оценки на тех частотах, где мощность
мала. Значение LOGSPEC(I) = —100 автоматически строится на
графике ниже самой нижней линии, ограничивающей выбранный
диапазон.
Алгоритм
Для вычисления SPEC(I)
(К)
*) См. примечание переводчика на стр. 253, вып. 1. — Прим. перев.
~-, V0 = 0., VI =0.
Dol, K = M-1, 1
V2 = 2. • С * VI - V0 + W (К) *
V0 = Vl
1 V1=V2.
SPEC (I) = 2. * DELTA * (COV @) + 2. * (VI * С - V0)).
Пример. Рассмотрим приведенный в разд. 7.1.1 пример,
для которого М = 3, DELTA = 1.0, NF = 8 и COV@)=1.,
WA)*COVA) = 0.430, WB)*COVB) = 0.065.
3 Зак. П78
66
Глава 7
Тогда для 1 = О, С = COS j @) = 1.,
V0 = 0.,Vl=0., и, проходя через цикл „do", получаем
К = 2, V2 = 2 A) @) - 0 + 0.065 = 0.065
vo = o
VI =0.065
К = 1, V2 = 2 A) @.065) - 0 + 0.430 = 0.560
V0 = 0.065
VI =0.560
И затем SPEC@) = 2 • 1 [1+2@.560 • I-0.065)] = 3.980, что
совпадает с величиной, приведенной в табл. 7.1.
Для I = 1
С = COS (я/8) = 0.924, V0 = 0, VI =0.
Проходя через цикл „do", получаем
К = 2, V2 = 2 @.924) @) - 0 + 0.065 = 0.065
V0 = 0
VI =0.065;
К = 1, V2 = 2 @.924) @.065) - 0 + 0.430 = 0.550
V0 = 0.65
VI = 0.550.
Тогда SPEC(l) =2A) A +2@.550) @.924) —0.065)) =3.772. Этот
алгоритм, хотя работает и не так быстро, как БПФ, тем не ме-
менее имеет относительно высокую скорость, высокую точность и
требует вычисления косинуса только один раз на каждую точку
по частоте.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cooley J. W., Tukey J. W., An algorithm for the machine calculation of
complex Fourier series, Math, of Computation, 19, 90, 297 A965).
ПРИЛОЖЕНИЕ П7.2
ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНОК НАКЛОНА
Дискретное время. Выборочная оценка наклона
смотренной выше (разд. 7.4.2) модели
в рас-
(П7.2.1)
Примеры одномерного спектрального анализа
67
имеет вид
0, = 2 wtyt,
t-i
(П7.2.2)
где wt = B/N a) cos (nt/b). Действуя так же, как и при выводе
формулы E.2.9), получим дисперсию соответствующей оценки
N N
Var [в,] = 2 2 wtwryyy It - /")•
(П7.2.3)
Если теперь предположим, что наблюдения производятся через
единичные интервалы времени, то
(П7.2.4)
(П7.2.5)
(П7.2.6)
Подставляя (П7.2.4) в (П7.2.3), получаем
'/2
Var[e1]= l\W(f)?Tyy(f)df,
где
W (/) =
Теперь предположим, что wt = B/Na)cos(nt/b), как в G.4.1). Тогда
W Kl) Na\
, 1-ехр[/(АГ+1Jя(/+1/26)П
i - exp [j2n(f- 1/26)] ^ 1-ехр[/2я(/+1/26)] Г
Подставляя квадрат модуля этого выражения в (П7.2.5), получаем
—
Na*
Г Г sin2 (M +1) я (f- 1/26)
J L iVsin2n(/:-l/26)
-Vj
"i
г
N sin2 n (/+1/26) J l YY
{J> aj
плюс члены с перекрестными произведениями.
Используя тот факт, что выражение в квадратных скобках
стремится к
при Л^ —»¦ oo, а члены с перекрестными произведениями имеют по-
порядок 1/iV2, мы получаем
(П7.2.7)
68
Глава 7
Для конечных значений N отсюда следует
Уаг[в,
tvv[~\.
(П7.2.8)
Поскольку для модели (П7.2.1) имеет место равенство
ГУуA/2й)= Vzz(l/2b), то формула (П7.2.8) эквивалентна G.4.2).
Таким образом, дисперсия минимальна тогда, когда частота воз-
возмущения 1/26 равна частоте, на которой спектр шума достигает
минимума.
Непрерывное время. В случае дискретного времени изменения
характеристик процесса между регулировками были пренебрежи-
пренебрежимо малы. Если на входе имеется непрерывное синусоидальное
возмущение х (/) = a cos 2nfot, то модель (П7.2.1) нужно видоиз-
видоизменить следующим образом:
Y (/) = 9,aG (/„) cos 2лУ + Z (t),
где G(fo)—значение функции усиления на частоте /о. Дальней-
Дальнейший вывод вполне аналогичен случаю дискретного времени.
Окончательный результат имеет вид
Var[e,]
yy\
G* (/о) •
Следовательно, дисперсия минимальна тогда, когда частота воз-
возмущения /о соответствует максимальному отношению сигнал/шум
G2(fo)/IYy(/o).
ПРИЛОЖЕНИЕ П7.3
АЛГОРИТМ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Недавним новшеством в спектральном анализе является алго-
алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). С помощью этого
алгоритма дискретное преобразование Фурье вычисляется гораз-
гораздо быстрее, чем с помощью прямого метода, приведенного
в разд. 2.1.2, и с той же самой точностью. Так, используя прямой
метод для вычисления дискретного преобразования Фурье ряда
из N членов, потребовалось бы приблизительно N2 операций, в то
время как БПФ требует лишь 2A/log2iV операций. Экономия вре-
времени вычислений может быть очень велика, если нужно прово-
проводить анализ Фурье длинных рядов. Например, для вычисления
с помощью БПФ коэффициентов Фурье ряда яз N — 8192 членов
[1] требовалось около 5 сек на вычислительной машине IBM 8094,
в то время как для прямого метода нужно было около 30 мин.
Важность БПФ для спектрального анализа заключается в том,
Примеры одномерного спектрального анализа
69
что теперь оказалось быстрее вычислять выборочный спектр пря-
прямо с помощью БПФ и затем сглаживать его, чем вычислять кор-
корреляционную функцию, сглаживать ее корреляционным окном и
затем, наконец, брать ее преобразование Фурье. Несмотря на эти
вычислительные преимущества, мы не считаем, что доводы за ис-
использование БПФ в спектральном анализе столь же сильны, как
в анализе Фурье, по следующим причинам.
1. По опыту авторов быстродействующие вычислительные ма-
машины, имеющиеся в настоящее время, вполне удовлетворяют тре-
требованиям спектрального анализа и даже перекрывают их. Сейчас
наши вычислительные возможности намного превосходят нашу
способность правильно истолковать практические данные.
2. Мы рассматриваем корреляционную функцию как очень
ценную промежуточную ступень спектрального анализа *). Гра-
Графики корреляционных функций исходного ряда и ряда из его пер-
первых разностей нужны для того, чтобы решить:
а) необходимо ли брать разности или нет,
б) где выбрать подходящие точки отсечения,
в) какая требуется величина выравнивания при анализе вза-
взаимной корреляции двух рядов.
Описание алгоритма быстрого преобразования Фурье. Полное
описание БПФ приведено в'[2]**), а история его открытия и
повторного открытия изложена в [3]. Эти статьи входят в спе-
специальный выпуск журнала [4], где помещены также статьи об ис-
использовании БПФ при вычислении некоторых других преобразо-
преобразований [5, 6]. Мы будем следовать изложению [2].
Предположим, что требуется найти преобразование Фурье
Хт, т = 0, 1, . . ., N — 1, ряда хи t = \, 2, . . ., N, где N — чет-
четное. Один из способов [6] заключается в расщеплении ряда xt на
два вспомогательных ряда yt и Zt, где
Dt — хп-ъ
N
Zt ~ X2t> t — 1, 2, . . ., -5- .
(П7.3.1)
*) Следует отметить, что корреляционную функцию также можно вы-
вычислять с помощью БПФ гораздо быстрее, чем прямым методом. Для этого
нужно 1) вычислить с помощью БПФ коэффициенты Фурье исходного ряда,
2) снова с помощью БПФ вычислить преобразование Фурье от квадратов мо-
модулей этих коэффициентов и 3) пронормировать результат нужным образом. —
Прим. перев.
**) См. также Б. М. Н а й м а р к, Г. А. П о г р е б и н с к и й, Е. Л. Рез-
Резников, Практические методы преобразования Фурье. Теоретическая и вычисли-
вычислительная геофизика, М, изд-во «Наука», 1971, где БПФ скомбинировано с мето-
методом Филона для вычисления интеграла Фурье, что позволяет увеличить интер-
интервал отсчета Д и сэкономить время вычислений. — Прим. перев.
70
Глава 7
Каждый из рядов yt, Zt содержит N/2 членов, и преобразова-
преобразования Фурье этих рядов имеют вид
ЛГ/2
Nil
(П7.3.2)
t~\
где верхний индекс преобразованных величин указывает число
членов ряда, которое совпадает с числом членов преобразования.
Величины Xm\ Ym'2\ Zml2) связаны следующими соотноше-
соотношениями:
N/2
: ei Bnm/N) _L V
N/2
= T S [yte-1Bnmm m~l) + zte
t=\
N/2
-^22<e~/DItm"iv> =
t=\
2t] =
J BnmlN)
AN 12) , 1 7(W2)
N
(П7.3.3)
Кроме того,
так что
(Л0 _
+ (ЛГ/2) —
pl{2a/N)(m + NI2)
„/
v(N/2) , I 7(Л//2)
¦fm T—^m =
2
i-j-1. (П7.3.4)
Следовательно, окончательный результат равенств (П7.3.3) и
(П7.3.4) имеет вид
„I Bnm/N)
W)
v(N/2) , 1 7ш/2)
' m '~2 m '
Xm+W/2) — ~~
72) ,
1 y(N/2)
(П7.3.5)
и мы видим, что преобразование Фурье ряда xt легко получить из
преобразований Фурье вспомогательных рядов yt и zt. Подоб-
Подобным Щ1 образом при четном N/2 можно расщепить каждый из
рядов yt и zt на два ряда y't, у" и z't, z" соответственно и §ы-
Примеры одномерного спектрального анализа
71
вести соответствующий вариант формулы (П7.3.5), который выра-
выразит преобразования У^/2) и Zm/2) через преобразования рядов
длиной jV/4.
Для рядов длины N = 2h эту процедуру можно продолжать
до тех пор, пока расщепление не приведет к рядам, состоящим
из одного члена; в этом случае преобразование Фурье этого чле-
члена совпадает с ним самим. В случае если N не равно степени
двойки, расщепление на два ряда продолжается до тех пор, пока
либо легко взять преобразование Фурье вспомогательного ряда,
либо пока не встретится новый множитель N, скажем 3. Проце-
Процедура при этом остается той же самой, что и выше, с той лишь
разницей, что очередной вспомогательный ряд расщепляется на
три ряда. Подробности приведены в [2]. Ниже разобран пример.
Пример. Рассмотрим ионосферные данные из гл. 2, где
п = 12 = 22-3. Данные таковы:
t
xt
1
-6
2
-20
3
-28
4
-8
5
-I
6
7
7
-20
8
-6
9
-7
10
14
11
19
12
12
Расщепление на два дает следующие ряды:
t
tJt
Zt
Zt на
l
-6
-20
два
t
Vt
z't
Vt
rr
zt
2
-28
-8
дает
1
-6
-28
-20
-8
3 4
-1 -20
7 -6
ряды
2
-1 ¦
-20
7
-6
5
-7
14
3
-7
19
14
12
6
19
12
72
Глава 7
Преобразование Фурье рядов y't, z't, у", z" уже нетрудно вычис-
вычислить. Каждое из них состоит из трех членов, как показано ниже.
Значение
преобразования
Фурье
у'C)
т
7'C)
у" C)
7"C)
0
-4,6667
-9,6667
0,3333
-0,6667
Номер гармоники т
1
-1,1667+ /1,4433
14,3333+ /2,3093
6,8333 + /7,7940
6,3333 + /0,5773
2
-1,1667-/1,4433
14,3333-/2,3093
6,8333 - /7,7940
6,3333-/0,5773
Затем с помощью формулы (П7.3.5) вычисляются преобразова-
преобразования Фурье У{!?, zS?@<m<5). Например,
'C)
'C)
у F) I у'<3)
ум=±гГ+±гГ =-7,1666,
+ YZ'iC' =6,2500+ /1,0103,
VyZf =8,0833-/1,2990,
= — 2,5000,
;CL-i.zf3' = 8,0833+ /1,2990,
ff + -L zf = 6,2500 - /1,0103.
Преобразование Zm получается аналогично, и, сводя вместе
и Zm, получаем таблицу.
Значение
преобразования
Фурье
у(в)
* m
*F)
Номер гармоники m
0
-7,1667
-0,1666
1
6,2500
+ /1,0103
1,5000
+ /5,1960
2
8,0833
-/1,2990
4,8333
+ /4,6187
3
-2,5000
-0,5000
4
8,0883
+ /1,2990
4,8333
- /4,6187
5
6,2500
-/1,0103
1,5000
-/5,1960
Примеры одномерного спектрального анализа
73
Комбинируя эти значения по формуле (П7.3.5), получаем оконча-
окончательное преобразование Х{т\ Например,
V(|2> I v<6) I 1
jrA2) _ 1
К 3 , . 1
= — 3,667,
--5-Zi6) = 3,204 + /4
Полное преобразование имеет вид
m
vA2)
лт
0
-3,667
1
3,204
+ /4,598
2
5,000
+ /5,485
3
-0,250
-/1,250
4
-0,167
+ /0,866
5
-1,704
-/0,598
III
6
-3,500
7
-1,704
+ /0,598
8
-0,167
- /0,866
9
-0,250
+ /1,250
10
5,000
- /5,485
11
3,204
-/4,598
С точностью до сдвига фазы, вызванного изменением начала
отсчета времени, эти значения совпадают со значениями, приве-
приведенными в табл. 2.2, которые были вычислены с помощью метода
разностного уравнения, описанного в Приложении П7.1, или же
с помощью прямого метода гл. 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кок р ел и др., Что такое быстрое преобразование Фурье?, ТИИЭР, т. 55,
№ 10, стр. 7—17 (октябрь 1967).
2. Кули, Льюис, У э л ч, Исторические замечания относительно быстрого пре-
преобразования Фурье, ТИИЭР, т. 55, № 10, стр. 18—21 (октябрь 1967).
3. IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, Vol. All-15, № 2, June 1967.
4. Cool ey J. W., Lewis P. A. W., Welch P. D., Application of the Fast Fou-
Fourier Transform to Computation of Fourier Integrals, Fourier Series, and Con-
Convolution Integrals, IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, Vol.
AU-15, № 2, June 1967, p. 79.
5. Helms H. D., Fast Fourier Transform Method of Computing Difference Equa-
Equations and Simulating Filters, IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics,
Vol. AU-15, № 2, June 1967, p. 85.
ПРИЛОЖЕНИЕ П7.4
ДАННЫЕ И КОРРЕЛЯЦИИ ДЛЯ ИСКУССТВЕННОГО ПРОЦЕССА
АВТОРЕГРЕССИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Таблица П7.1
400 значений процесса авторегрессии второго порядка
/_2 + Zt
t
I — 10
11-20
21-30
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
101-110
111-120
121-130
131-140
141-150
-0,83
-2,76
0,06
0,14
-0,87
1,31
0,19
-2,11
-1,63
3,24
-0,03
-0,17
1,40
1,02
-0,87
-0,12
-1,77
-0,17
1,59
-0,62
1,10
-1,59
-2,43
-2,29
1,86
1,07
0,70
2,46
1,10
-0,90
-0,89
0,98
-1,01
-0,76
0,28
1,94
-2,25
0,72
-0,77
0,76
0,28
2,14
1,74
1,72
0,64
-1,38
1,00
-1,04
-1,08
1,90
0,33
0,29
3,09
1,91
2,24
-1,38
1,24
0,78
1,80
2,29
xt
-0,07
-0,70
-0,66
-1,77
2,14
1,82
1,73
4,96
1,92
0,76
-0,63
0,42
0,90
-0,46
2,75
1,03
-1,01
-1,12
-1,20
1,05
1,15
2,30
1,81
0,85
-0,15
-1,48
0,61
1,11
-1,27
1,43
2,14
-1,30
-0,51
0,45
0,31
0,61
0,80
-0,46
-0,65
0,18
0,19
-0,76
2,20
0,39
0,47
0,35
-0,85
-0,71
-0,07
1,07
-1,08
-0,40
-0,33
0,35
0,60
-1,14
-1,75
0,52
0,93
1,80
-1,10
-0,46
-0,20
-0,63
2,67
-1,62
0,30
0,04
0,78
0,92
0,31
-0,37
-0,22
0,55
0,46
-1,78
1,63
-0,13
-0,35
2,44
-0,39
-0,50
0,82
1,62
-0,70
0,39
1,21
1,12
-0,45
0,32
151-160
161-170
171-180
181-190
191-200
201-210
211-220
221-230
231-240
241-250
251-260
261-270
271-280
281-290
291-300
301-310
311-320
321-330
331-340
341 -350
351-360
361-370
371-380
381-390
391-400
-0,81
-1,81
-0,75
0,58
0,46
0,55
0,02
1,55
0,46
-0,70
1,06
0,85
-0,15
1,32
-0,67
-0,82
0,20
2,54
0,47
2,08
-0,16
-0,57
-0,91
2,59
1,40
-1,81
-1,61
-0,70
0,70
1,12
-0,37
-0,30
1,39
1,06
-1,25
2,86
-0,36
1,56
0,06
-2,41
-0,81
0,64
0,86
1,07
1,74
-0,29
1,58
-2,09
3,04
0,62
-2,07
-1,01
0,45
-0,32
0,11
-0,62
-0,23
1,51
1,37
-0,25
0,72
0,25
2,23
0,87
-1,82
-0,33
1,95
0,10
0,85
-0,34
-0,66
1,78
-2,01
1,16
0,36
0,96
-1,36
-0,13
-1,62
-1,11
-1,23
-0,63
2,39
1,67
0,14
-1,79
1,57
2,01
0,51
-0,45
-0,65
1,55
-0,04
-0,35
-1,85
-3,41
1,09
-1,12
0,50
-0,09
1,20
-1,78
-1,03
1,08
-0,85
-0,76
-1,61
1,68
0,29
1,43
-2,26
-0,08
0,42
-0,25
0,31
-1,86
1,74
-1,18
-0,69
-1,29
-2,33
-0,54
-0,02
0,56
1,93
0,77
0,04
-1,19
1,25
-1,86
-0,79
-1,66
-0,04
-0,31
0,47
-1,87
0,78
-0,75
0,12
0,12
-0,94
-0,22
-0,40
-0,63
1,74
-2,57
0,29
0,98
0,45
1,80
-0,98
1,44
-0,31
0,19
-0,74
-1,99
-0,80
-1,24
-2,08
-1,16
-1,53
-0,56
-0,47
1,54
-1,01
0,50
-2,14
-0,53
-2,08
2,58
-1,78
-0,26
0,50
0,35
1,13
-1,46
, 2,58
1,77
-0,93
-1,04
-1,56
-1,71
-2,24
-2,67
-3,68
-0,25
-1,22
1,55
1,37
-1,12
1,05
-2,33
0,70
-1,56
1,64
-1,31
0,01
2,12
0,10
-1,34
-1,30
0,54
1,89
-0,61
-0,42
-0,36
-0,87
-1,31
-1,50
-3,41
1,40
0,07
3,60
1,97
-1,69
1,40
-1,01
-0,14
-1,00
1,85
-2,69
1,05
1,68
2,16
-1,94
-2,29
0,27
0,88
0,83
0,16
1,00
-0,74
-0,10
-1,71
-1,43
3,37
-0,33
2,07
0,81
- 1,52
1,52
0,42
-0,20
0,55
-0,01
-1,77
0,94
2,28
2,60
-0,89
Таблица П7.2
Выборочные оценки корреляций для процесса авторегрессии второго порядка
+ Zt, N = 50
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
rxx(k)
0,574
0,086
-0,166
-0,130
0,096
0,225
0,244
0,032
-0,180
-0,199
k
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
rxx(k)
-0,068
0,124
0,109
0,000
-0,063
-0,043
0,062
0,103
-0,047
-0,152
к
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Г (k) fy
-0,217
-0,124
0,035
0,165
0,137
-0,045
-0,136
-0,156
-0,027
0,109
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
0,049
-0,051
-0,200
-0,213
-0,097
0,004
0,007
-0,060
-0,096
-0,086
Таблица П7.3
Выборочные оценки корреляций для процесса авторегрессии второго порядка
Xt = Xt-X - 0,5*,_s + Zt, N = 400
к
1
2
3
4
6
6
7
8
9
10
11
12
0,645
0,196
-0,080
-0,099
-0,009
0,057
0,066
0,040
0,030
0,052
0,088
0,051
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
'xx (k)
0,012
-0,021
-0,074
-0,119
-0,070
0,008
0,064
0,069
0,017
-0,026
-0,032
-0,044
k
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
'XX '*'
-0,075
-0,116
-0,078
-0,038
-0,013
-0,036
-0,044
-0,037
-0,015
0,047
0,080
0,066
k
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
rxx '*'
0,019
-0,020
-0,045
-0,035
0,021
0,083
0,081
0,017
-0,004
0,042
0,081
0,069
Глава 8
ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ
ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНЫЙ
СПЕКТР
В этой главе понятия, введенные в гл. 5 и 6 (вып. 1), распро-
распространяются на случай пары временных рядов и случайных про-
процессов. Первым таким обобщением, приведенным в разд. 8.1, яв-
является взаимная корреляционная функция двумерного стационар-
стационарного случайного процесса. Эта функция характеризует корреляцию
двух процессов при различных запаздываниях. Второе обоб-
обобщение представляет собой двумерный линейный процесс, образуе-
образуемый с помощью линейных операций над двумя источниками
белого шума. Важными частными случаями такого процесса яв-
являются двумерный процесс авторегрессии и двумерный процесс
скользящего среднего.
В разд. 8.2 мы обсудим вопрос об оценивании взаимной кор-
корреляционной функции. Мы покажем, что если не применять
к обоим рядам фильтрации, переводящей их в белый шум, то
при оценивании могут возникать ложные завышенные значения
взаимной корреляции. В разд. 8.3 вводится третье обобщение —
взаимный спектр стационарного двумерного процесса. Взаимный
спектр содержит два различных вида информации, характеризую-
характеризующей зависимость между двумя процессами. Информация первого
типа содержится в спектре когерентности, являющемся эффектив-
эффективной мерой корреляции двух процессов на каждой из частот. Ин-
Информация второго типа дается фазовым спектром, характеризую-
характеризующим разность фаз двух процессов на каждой из частот.
В разд. 8.4 оба эти типа информации иллюстрируются на про-
простых примерах.
8.1. ФУНКЦИЯ ВЗАИМНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
8.1.1. Введение
В этой главе мы будем заниматься вопросами описания пары
временных рядов, или двумерного временного ряда. Используе-
Используемые при этом способы являются обобщением способов, применяв-
применявшихся в гл. 5, б, и поэтому все относящиеся к временным рядам
общие положения, изложенные в разд. 5.1, применимы и в этом
случае. В разд. 5.1 под заголовком «Многомерные временные
78
Глава 8
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
79
ряды» кратко упоминалось о том, что отдельные временные ряды,
образующие многомерный ряд, могут быть неравноправны по от-
отношению друг к другу. Рассмотрим, например, систему, показан-
Физическая
система
•ыч
Рис. 8.1. Физическая система с двумя входами и двумя выходами.
ную на рис. 8.1, которая имеет два входа Xi(t), x2(t) и два вы-
выхода X3(t), Xi(t).
Можно различать две ситуации. В первом случае два ряда
находятся в одинаковом положении по отношению друг к другу,
56 t,cen
56 t, сек
Рис. 8.2. Синфазный и сдвинутый по фазе токи на выходе турбогенератора.
как, например, два входа на рис. 8.1. В этом случае Xi(t), Xz(t)
могут быть двумя коррелированными переменными управления,
взаимодействие которых мы хотим изучить. Пример пары вре-
временных рядов, попадающих в эту категорию, приведен на рис. 8.2,
где приведены записи синфазного и сдвинутого по фазе входных
токов турбогенератора.
Во втором случае два временных ряда причинно связаны, на-
например вход X] (/) на рис. 8.1 и зависящий от него выход x3(t).
В такой ситуации обычно требуется оценить свойства системы
в такой форме, чтобы было удобно предсказывать выход по вхо-
входу. Пример пары временных рядов такого типа приведен на
рис. 8.3, где показана скорость впуска газа Xi(t) и концентрация
3,27-Ю'9
2,80-Ю-
Входная скорость газа,
м3/сек
so
50
Выход
(Содержание
— углекислого газа,
12
15 18
21
1,мин
_L
I
I
3 6 9 12 15 18 21 8*f 1,мин
Рис. 8.З. Сигналы на входе и выходе газовой печи.
двуокиси углерода x2(t) на выходе газовой печи. Видно, что вы-
выход Xi{t) запаздывает по отношению ко входу xL(t) из-за того,
что для доставки газа к реактору требуется некоторое время.
В первой ситуации обычно интересуются описанием взаимо-
взаимодействия, или корреляции, между двумя рядами, так чтобы это
взаимодействие можно было подвергнуть любому дальнейшему
исследованию. Например, если мы хотим управлять значениями
выхода Хз@ с помощью двух коррелированных управляющих
переменных и хотим получить определенный результат на выходе,
то нужно изучить эту взаимную корреляцию входных процессов.
С другой стороны, во второй ситуации обычно интересуются соот-
соотношениями между Xi(t) и x2(t), такими, например, как
оо
*2 @ = \ h (и) х\ (t ~ и) du,
о
так что x2{t) легко предсказать по Xi(t) (этот вопрос кратко об-
обсуждался в разд. 5.1.5). Эта и следующая за ней главы посвяще-
посвящены рядам, находящимся в одинаковом положении по отношению
друг к другу. Причинно связанные ряды обсуждаются в гл. 10.
80
Глава 8
8.1.2. Взаимная ковариационная и взаимная
корреляционная функции
Так же, как и в одномерном случае в гл. 5, полезное средство
описания пары случайных процессов дают их младшие моменты.
Как и раньше, наблюденный двумерный временной ряд
{xi(t), x2(t)} рассматривается как реализация двумерного случай-
случайного процесса {X{(t), X2(t)}. Четыре случайные величины X{(t),
X2(t), Xi(t + и), X2(t + и) в моменты времени t и t + и будут
иметь совместную плотность вероятности, которую можно описать
(хотя и неполностью) ее моментами первого и второго порядков.
Если предположить, что процессы стационарны, то эти моменты
будут зависеть лишь от разности моментов времени и и не будут
зависеть от t. Таким образом, первые моменты будут равны
E[Xl{t)] = lil, /=1,2.
Они не зависят от времени t. Вторыми моментами совместной
плотности вероятности будут автоковариационные функции
yXiXi (и) = Е [(Xl (t) - (х,) (Х{ (t + u)- ц,)],
ухл (и) = Е [(Х2 (t) - ъ) (Х2 (t + u)- ix2)}
и взаимные ковариационные функции
yXA(u) = E[(Xl(t)-lil)(X2(t
ух х (и) =
u)- (i2)],
Функция ух Хг (и) называется взаимной ковариационной функ-
функцией, зависящей от запаздывания и, причем процесс Xx(t) за-
запаздывает относительно процесса X2(t). Аналогично yXiX (и) назы-
называется взаимной ковариационной функцией для запаздывания
процесса X2(t) относительно процесса Xi(t). В тех случаях,
когда нет никакого риска спутать обозначения, мы будем записы-
записывать функции yXiXi(u), УХ!х2(и), yXiXJu), yXiXi(u) более простыми
обозначениями уи(и), у22(и), yi2(u), y2i(u).
Свойства ковариационных функций. Автоковариационные функ-
функции действительного двумерного процесса обладают теми же са-
самыми свойствами, что и ковариационная функция одномерного
процесса, т. е.
{t)] = o
/= 1, 2.
(8.1.2)
Таким образом, уц(и) являются четными функциями запазды-
запаздывания и.
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
81
Взаимная ковариационная функция двух действительных про-
процессов имеет следующее свойство:
Yi2(«) = Y2i(—«). ' (8-1.3)
так как
= Е [(Х2 (t) - (х2) (*, (t-и)-
= Y2. (- «).
Аналогично y2i(u) = Y12(—и). Таким образом, ковариацию двух
случайных процессов можно описать одной взаимной ковариа-
ковариационной функцией уп(и), где —oo-^u^Coo. Отметим, что, в то
время как автоковариационная функция является четной, взаим-
взаимная ковариационная функция в общем случае не будет четной
функцией.
Взаимная корреляционная функция. В общем случае приходится
изучать взаимодействие двух процессов с различными масштаба-
масштабами измерения, или с различными дисперсиями. В таком случае
необходимо определить взаимную корреляционную функцию
У и (и) __ Yi2 («)
У Yn @) Y22 @) CTi<T2
Первое ее свойство заключается в том, что
(8.1.4)
Это следует из того, что дисперсия случайной величины
неотрицательна. Второе свойство состоит в том, что
Pl2<«) = Р21 ( «)-
Это следует из (8.1.3).
Взаимная корреляционная функция подобно ковариационной
не является в общем случае четной функцией. Рассмотрим, напри-
например, на рис. 8.4 выборочную взаимную корреляционную функцию
данных о газовой печи, приведенных на рис. 8.3. Эта функция
имеет большой пик при и = 5 и явно несимметрична относитель-
относительно и = 0. Отметим также, что большинство взаимных корреляций
положительно. Это объясняется тем, что увеличение скорости
впуска газа приводит к увеличению концентрации на выходе и
наоборот.
Самый тривиальный случай взаимной корреляции двух случай-
случайных процессов имеет место, когда взаимная корреляционная
функция тождественно равна нулю для всех запаздываний. От-
Отсюда следует, что такие процессы полностью некоррелированы.
82
Глава в
Если в дополнение к этому процессы {Xi(l), X2(t)} нормальные,
то они будут также и независимыми, как показано в гл. 3.
Другой простой случай взаимной корреляции имеет место,
когда pi2(«) отлична от нуля при и = 0 и равна нулю для осталь-
остальных запаздываний. Отсюда следует, что у этих случайных про-
Ю к
-ЦП- -
Рис. 8.4. Выборочная взаимная корреляционная функция для данных о газовой
печи.
цессов коррелированы только одновременные значения. Более об-
общие модели взаимной корреляции двух случайных процессов бу-
будут приведены в разд. 8.1.3 и 8.1.4.
8.1.3. Взаимная корреляционная функция линейного процесса
Один из простейших способов, которыми может осуществляться
корреляция двух случайных процессов {Xi(t), X2(t)}, имеет место
тогда, когда Xi(t)—вход линейной системы, a X2(t) состоит из
выхода этой системы и шума, т. е.
оо
Х2 (t) = J h (и) Xt {t-u)du + Z (/).
(8.1.5)
Для дискретного времени соответствующая модель имеет вид
X2i =
Zt.
r=o
(8.1.6)
Пример 1. Как частный случай процесса (8.1.6) рассмотрим
простую модель регрессии D.3.5), которая в наших новых обозна-
обозначениях имеет вид
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
83
Если средние значения Хи и Zt равны пулю, то из (8.1.1.) по-
получаем взаимную ковариационную функцию входа Хи и выхо-
выхода X2t
Yl2 (k) = Е [Хи (h0Xlt+k + Zt+k)\ = h0E [XltXu+k] + E [XuZl+k].
Если предположить далее, что шум Zt некоррелирован со входом
Хц, то
т. е. взаимная ковариационная функция отличается(-лишь на по-
постоянный множитель от автоковариационной фунции входа. В ча-
частном случае, когда Xi(t)—белый шум, взаимная ковариацион-
ковариационная функция отлична от нуля лишь при k = 0, и в этом случае
Заметим, что, хотя с первого взгляда кажется, что шум Zt не
входит в эти вычисления, тем не менее его влияние сказывается
на увеличении дисперсии процесса Хц. Таким образом, мы имеем
Var [X2t] = Е [ХЦ = Е [(h0Xu + Ztf\ = A§Yu @) + 4zz @).
Следовательно, взаимная корреляционная функция в этом при-
примере равна
VYn @) \h20Vn @) + yzz @)] Vh20 + yzz @)/Y|l @)
Таким образом, корреляция между входом и выходом зависит от
отношения сигнал/шум yi[@)/yzz@), т. е. от отношения диспер-
дисперсий входа и шума. Если это отношение велико, то pi2@) близко
к единице, а если отношение мало, то шум доминирует и р12@)
соответственно мало.
Пример 2. В качестве менее тривиального примера рассмот-
рассмотрим процесс
X2t = hQXu + hiXlt-l + Zt,
где Xit и Zt — некоррелированные процессы белого шума с оди-
одинаковой дисперсией а2.
Тогда
Y.2 @) = Е [Хп (h0Xu + А,*,,., + Zt)\ = V2,
Yl2 A) = Е [Хи (h0Xlt+l + htXlt + Zt+i)] = h{o\
Дисперсии этих двух процессов равны
Y22@) = Е №0Хи + А,*,,., + Zt) (h0Xlt +
Zt)\ = (hi
84
Глава 8
Отсюда взаимная корреляционная функция имеет вид
р12(о)=-==!=,
Kl+Ag + Af
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
85
Если веса hh в (8.1.6) положительны, то два процесса Xt(t), X2{t)
будут «выглядеть похожими», а взаимная корреляционная функ-
функция будет положительной. Наоборот, если веса отрицательны, то
эти два процесса будут выглядеть как зеркальные отражения
друг друга, т. е. увеличения одного процесса будут сопровождать-
сопровождаться уменьшениями другого и наоборот.
Взаимная корреляционная функция произвольного линейного
процесса. Общее выражение для взимной корреляционной функ-
функции процесса (8.1.5) можно получить, умножая (8.1.5) на
Xi(t — и) и беря математические ожидания от обеих частей ра-
равенства. Если средние значения процессов Xi(t) и Z(t) равны
нулю, то при условии, что \xz(u) = 0 для всех и, взаимная кор-
корреляционная функция равна
Y,2 (и) = В \Х1 (t - и) J h (v) Xl (t -v)dv + Xx (t-u)Z (t) =
oo
= J h(v)yn(u-v)dv, -оо<ы<оо. (8.1.8)
о
Ниже нам понадобится выражение для автоковариационной
функции выхода. Его можно получить, перемножив почленно два
равенства (8.1.5), относящиеся к разным моментам времени, и
взяв математические ожидания. Предполагая, что E[X{{t)] =
= E[Z(t)] = 0 и ухz(u) = 0, в качестве окончательного результата
будем иметь
Y22(«)= J J h(v)h(v')yn(u + v — v')dvdv' + yzz{u), — oo ^и^; оо,
о о
(8.1.9)
что является простым обобщением формулы E.2.9)
Теперь нетрудно получить взаимную корреляционную функ-
функцию
-7=^M=fj (8.1.10)
KY @)Y@)
Для дискретных процессов формулы, соответствующие (8.1.8),
(8.1.9) и (8.1.10), легко получаются из (8.1.6). Таким образом, мы
имеем
оо
Yi2(*)= 2 ArYu (*->¦). * = 0, ±1, ±2,... (8.1.11)
оо оо
" г), (8.1.12)
= 0, ±1, ±2,...,
'2 {k) " /vn@)Y,,@) •
8.1.4. Двумерные линейные процессы
(8.1.13)
В модели (8.1.5) предполагалось, что флуктуации процесса
X\(t) вызывают флуктуации процесса А"г(О- Более общая модель
взаимной корреляции двух случайных процессов получится, если
предположить, что флуктуации процессов Xi(t) и X2(t) вызы-
вызываются двумя другими источниками Zi(t) и Z2(t), которые вли-
влияют на эти процессы по-разному. Например, в простейшем случае
где Zi(t), Z2(t) —некоррелированные процессы белого шума с ди-
дисперсиями а], а\. Отсюда получаем
Y12 @) = Е [(hnZl (t) + hl2Z2 (/)) (A21Z, (t) + h22Z2 (/))] = hnh2la\ + hi2h22oj,
Переходя к более общему случаю, предположим, что двумерный
случайный процесс {Xi(t), X2(t)} порождается так, как указано
на структурной схеме на рис. 8.5. Два источника белого шума
Zi(t), i= I, 2, подаются на входы четырех линейных систем
с функциями отклика на единичный импульс Лц(ы), hi2(u), h2i(u)
и кгг{и) соответственно. Выходы от первой и третьей систем
складываются и образуют процесс Xi(t), а выходы от второй и
четвертой систем, складываясь, дают процесс Х2@- Таким обра-
образом, мы имеем
(8.1.14)
где Y22@) получается из (8.1.9), если положить и — 0.
Хх (t) = J А„ (у) Z, (t~v)dv+ j hl2 (v) Z2 (t ~ v) dv,
0 0
CO OO
A'2 (t) = J A21 (v) Z, (t - v) dv + J /z22 (v) Z2 (t ~v)dv.
Глава
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
87
Случайный процесс (8.1.14) называется двумерным линейным
процессом.
Ковариационные функции двумерного линейного процесса.
Если источники белого шума взаимно некоррелированы, т. е.
Е [Z, (t) Zi {?)] = 0 для всех t, t', I = 1, 2, у = 1, 2,
то, используя E.2.10), получаем
о о
оо оо
Y22 («) = о-? J Л21 (v) h21 (v + и) dv + a\ J /г22 (v) h22 (v + u) dv,
(8-1.15)
Y2I (и) = a? J A21 (o) An (v + u) dv + o\ J h22 (v) hl2 (v + u)dv,
о о
oo oo
YI2 (и) = a? J An (o) /i21 (о + и) dw + a| J A12 (v) h22 (v + u) dv.
о о
Для дискретных процессов формулы получаются из приведенных
выше с помощью замены интегралов на соответствующие суммы.
г,®
Рис. 8.5. Схематическое представление двумер-
двумерного линейного процесса.
Формулы (8.1.15) показывают, что, подбирая соответствующие
функции отклика на единичный импульс ha(и), можно получить
двумерный случайный процесс №(/), X2(t)} с любыми наперед
заданными взаимной ковариационной и автоковариационными
функциями.
Можно получить еще более общую модель, если допустить
возможность корреляции белых шумов в (8.1.14) в одинаковые
моменты времени, т. е.
E[Zl(t),Z2(t')] = o126(t-t').
8.1.5. Двумерные процессы авторегрессии
и скользящего среднего
Простейший тип двумерного линейного процесса получается,
когда функции отклика на единичный импульс hi}(u) равны нулю
вне некоторого интервала. Рассмотрим, например, дискретный
процесс
X\t~ ^И+ Pll^lfl + Pl2^2<-1> ,
(8.1.1Ь)
Если Zit, Ztt — некоррелированные процессы белого шума с ди-
дисперсиями о\ и о\, то взаимная ковариационная функция двумер-
двумерного процесса {Xit, X2t) равна
Y12(/e) = 0, k^O, ±1.
Отметим, что в отличие от примера 2 из разд. 8.1.3 эта взаимная
ковариационная функция отлична от нуля как для положитель-
положительного запаздывания, так и для отрицательного.
Двумерные процессы авторегрессии. Для этих процессов функ-
функции отлика на единичный импульс Пц(и) в (8.1.14) не обращают-
обращаются в нуль вне какого-то ни было конечного интервала. Можно,
например, определить непрерывный процесс первого порядка, ко-
который будет обобщением процесса E.2.24). Так если Z\{t) и
Z2(t)—процессы белого шума, коррелированные только в одина-
одинаковые моменты времени, то двумерный процесс авторегрессии для
непрерывного времени определяется с помощью равенств
+ a2lXx (t) + a22X2 (t) = Z2 @,
а для дискретного времени — равенствами
X\t = U{\X\t-\ + a12^2<-l
(8.1.17;
(8.1.18)
Глава 8
где без ограничения общности мы предположим, что процессы
имеют нулевые средние значения.
Вычисление авто- и взаимных ковариаций непрерывного про-
процесса (8.1.17) с помощью равенств (8.1.15) довольно трудоемко,
и его можно проделать изящнее, используя матричные методы,
которые будут описаны в гл. 11. Сейчас мы лишь отметим, что
авто- и взаимные ковариаций процесса (8.1.17) молено записать
в виде
а^ + Ь22е-а-и,
y2l{u) = bue-a"u + b2le-a«u,
где bjj — некоторые функции от а.ц. Интересно, что автокорреля-
автокорреляционная функция двумерного процесса первого порядка имеет
такой же вид, что и корреляционная функция E.2.35) одномер-
одномерного процесса авторегрессии второго порядка.
Явные выражения для авто- и взаимных ковариаций дискрет-
дискретного процесса (8.1.18) выводятся очень просто в гл. 11 с по-
помощью теории матриц. Однако их можно также получить рекур-
рекурсивно с помощью скалярного рекуррентного соотношения для
ковариаций, аналогичного соотношению E.2.43). Так, умножая
первое уравнение в (8.1.18) на X2t-u и беря математические ожи-
ожидания от обеих частей равенства, мы получим
или же
Ct12Y22 (k - О,
Аналогично
(8.1.19)
Y22
a21Y2i (k - 1) -f a22Y22 {k - 1), k > 1.
Следовательно, значения ковариаций для запаздывания k легко
получаются из значений для запаздывания k—1. Чтобы начать
этот процесс, нужно знать значения для k = 0. Их можно полу-
получить, возводя в квадрат и перемножая равенства (8.1.18) и беря
затем математические ожидания. Таким образом, мы получаем
Yu @) = af.Yn @) + a?2Y22 @) + 2aMaI2YI2 @) + a\,
Y22 @) = c&y,, @) + a|Y22 @) + 2a21a22Y,2 @) + o%
Y12 (°) = ai ia2i Yi 1 @) + al2a22Y22 @) + (a,,a22 + a12a2I) Yi 2 (°) + <*\2,
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр 89
где a2 = ?[Z2/|, ol=E[Zl] и al2 = E[ZuZ2t\. Значения Yn@),
YJ2@) и \'гг(О) можно при этом выразить через известные пара-
параметры аг, а\, ol и а12, решая приведенные выше уравнения.
Пример 1. С помощью двух, независимых множеств случайных
нормальных чисел Zu, для которых выполняются условия
х„
'20
-0,5
Рис. 8.6. Реализация И теоретическая взаимная корреляционная функция дву-
двумерного процесса авторегрессии.
= O, E[ZltZ2t] = 0, Var[Zit] = 1, была получена состоящая
из N = 100 членам реализация процесса
Хи = 0,6Х„_, - 0,5X2i_, + Z\ t,
X2i = 0,4Х„_, + 0,5X2,_, + Z2t. {ЬЛ-2(})
Значения этого двумерного ряда приведены в Приложении П8.1 и
построены на рис. 8.6, где видно, что строение обоих рядов ана-
аналогично. Так, оба ряда имеют, как правило, одинаковые знаки,
и за пиком или впадиной процесса Хи через одно или два наблю-
наблюдения обычно следует пик или соответственно впадина процесса
Хи- Чтобы объяснить такое поведение, необходимо вычислить
авто- и взаимные корреляционные функции этого двумерного про-
процесса. С помощью описанной выше процедуры получаем рекур-
рекуррентные соотношения для ковариаций:
Y12 (k) = 0,4vi, (й - 1) + 0,5Yl2 (k - 1),
Y21 (k) = 0,6Y2I (* - 1) - 0,5Y22 (k - 1),
Y22 (k) = 0,4Y2i (k - 1) + 0,5y22 (* - 1),
k -"
90
Глава 8
причем
0,64Yl, @) - 0,25Y22 @) + 0,6Yl2 @) = 1,
-0,16у11@) + 0,75\22@)-0,4у12@)=1,
0,24Yll @) - 0,25Y22 @) - 0,9Yl2 @) = 0.
Отсюда получаем
YlI@)= 1,15/0,52 = 2,21,
Yl2@) = 0,04/0,52 = 0,08,
Y22@) = 0,96/0,52 =1,85.
Рекуррентные соотношения для корреляций имеют вид
Рп (k) = 0,6Pll (ft - 1) - 0,5 j/0,96/1,15 Pl2 (k - 1),
Pl2 (k) = 0,4 V 1,15/0,96 Pll (k - 1) + 0,5р12 (k - 1),
р21 (k) = 0,6p21 (k) - 0,5 j/0,96/1,15 p22 (k),
Р22 (*) = 0,4 1/1,15/0,96 р21 (k) + 0,5р22 (Л),
причем Рц@) = р22@)= 1 и р,2@) = 0,04/1/1,15 -0,96 = 0,038.
Значения корреляционных функций приведены в табл. 8.1,
а взаимная корреляционная функция показана на рис. 8.6. Вид-
Видно, что, в то время как pi2@) очень мало, р12 A) и р1гB) велики
Таблица 8.1
(8.1.21)
Теоретические
процесса
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Рп (ft)
1,00
0,52
0,07
-0,18
-0,24
-0,17
-0,07
0,01
0,04
0,04
0,03
0,01
0,01
-0,01
-0,01
-0,01
0,00
корреляции
для двумерного
авторегрессии (8.1.20)
Р2! (ft)
1,00
0,58
0,14
-0,14
-0,22
-0,17
-0,08
0,00
0,04
0,04
0,03
0,01
0,00
-0,01
-0,01
0,00
—
p»(ft)
0,04
0,46
0,48
0,30
0,09
-0,05
-0,10
-0,09
-0,04
-0,01
0,02
0,02
0,01
0,01
0,00
—
—
—•
ft. (ft)
0,04
-0,43
-0,50
-0,33
-0,11
0,04
0,10
0,09
0,05
0,01
-0,01
-0,02
-0,02
-0,01
0,00
—
—
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
91
и имеют положительный знак. Это объясняет упоминавшуюся
выше тенденцию онережения процессом X2t процесса Xit на одно-
два наблюдения. Рассматривая рис. 8.6, можно обнаружить так-
также, что взаимная корреляционная функция имеет определенную
периодичность, период которой равен примерно 10, т. е. частота
равна 0,1 гц. Отсюда следует, что любой участок одного из про-
процессов будет с некоторым искажением повторен другим процес-
процессом, т. е. вызовет его резонанс. Из рис. 8.6 видно, что чаще всего
повторяются периодичности с периодом около 10.
Пример 2. В качестве второго примера двумерного линейного
процесса рассмотрим процесс
Xit = 0,6Х^_[ -f- Z\f,
"¦it = 0,5л2;_] + 2Х i^-io + У it*
где
и Zu, Z2t — некоррелированные процессы белого шума с еди-
единичной дисперсией. Это пример модели (8.1.6), рассматривавшейся
в разд. 8.1.3. Таким образом, процесс X2t получается в ре-
результате пропускания процесса Xlt через линейный фильтр и до-
добавления шума, который не является белым. Отметим, что имеет-
имеется начальная задержка, равная 10 единицам, перед тем как про-
процесс Xit начинает влиять на X2t.
Действуя так же, как и выше, можно вывести следующие ре-
рекуррентные соотношения для ковариаций:
причем
Y,2(*) = 2Y,,(*-10) + 0,5Y12(ft-l), k>l
y22 (k) = 2 y21 (k - 10) + 0,5 Y22 (k - 1) + yXlY (k-l),
yY v(k) = 0 для всех k,
^
Y,,@)= 1/0,64 =1,56,
Ykk@)= 1/0,75 =1,33,
¦ 4Yn @) + 0,75y22 @) - 2Yl2 (9) = Yyy @) + уш A),
l,2Yn(9)-0,7Yl2@) = 0,
O,75Y;f2y(O)-O,5Yyr(l)=l,
(8.1.24)
92
Глава 8
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
93
Решая уравнения (8.1.24) и подставляя решения в рекуррент-
рекуррентные соотношения (8.1.23), можно вычислить ковариации. Норми-
Нормируя их, получаем корреляции этого процесса (они приведены
в табл. 8.2). Взаимная корреляционная функция имеет весьма
широкий пик, центр которого соответствует величине запаздыва-
запаздывания 10, как и следовало ожидать из-за задержки в 10 единиц
между процессами Xit и Хи-
Таблица 8.2
Теоретические
корреляции
для двумерного
линейного процесса с задержкой (8.1
ft
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Ра (*)
1,00
. 0,60
0,36
0,22
0,13
0,08
0,05
0,03
0,02
0,01
0,01
0,00
—
_
_
_
_
_
—
Р22 (ft)
1,00
0,84
0,62
0,43
0,28
0,18
0,12
0,07
0,04
0,03
0,02
0,01
0,01
0,00
—
_
_
_
_
—
Pi! W
0,00
0,01
0,01
0,02
0,04
0,06
0,11
0,18
/ 0,30
0,50
0,83
0,77
0,59
0,42
0,29
0,19
0,12
0,08
0,05
0,03
0,02
.22)
Р21 (ft)
0,00
—
—
—
_
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Двумерные процессы авторегрессии — скользящего среднего.
Более общий двумерный процесс можно получить, если к членам
авторегрессии добавить члены скользящего среднего. Например,
взяв комбинацию моделей (8.1.16) и (8.1.18), получим дискрет-
дискретный процесс
= " "'" " " """" (8.1.25)
Как уже отмечалось выше, для сжатого математического опи-
описания такие процессы удобнее всего записывать в матричной
форме. Мы отложим более общее рассмотрение их свойств до
гл. И.
8.2. ОЦЕНИВАНИЕ ВЗАИМНОЙ КОВАРИАЦИОННОЙ
ФУНКЦИИ
8.2.1. Выборочная взаимная ковариационная функция
В разд. 5.3.1. было показано, что разумной оценкой взаимной
ковариационной функции при условии, что средние значения про-
процессов равны нулю, является функция
[ Г 12-и
у- J Xi{f)X2(t + u)dt, 0<м<Г,
(8.2.1)
Х,Х:
(«) =
j X, (t) X2(t + и) dt, -
-Т/2+и
Как и при оценивании автоковариаций, делить на Т предпочти-
предпочтительнее, чем на Т—и, поскольку в первом случае оценка имеет
меньшую среднеквадратичную ошибку.
Беря математическое ожидание от обеих частей (8.2.1), полу-
получаем
откуда видно, что cXiXj(u) является смещенной оценкой Yi2(") и
смещение стремится к нулю лишь при Т—> оо.
Если средние значения процессов могут быть отличны от нуля,
то нужно рассмотреть оценку
Г/2-и
у- J
-Т/2
0<ы<7\
Т/2
(8.2.2)
-Т/2 + и
где
Г/2
/
= j- \ Xt(t)dt, /=1,2.
-Г/2
Г/2
В этом случае вычисления, аналогичные приведенным
в разд. 5.3.3, показывают, что
Ы + (
94
Глава 8
Следовательно, из-за введения поправки на среднее значение сме-
смещение увеличилось на величину порядка 1/7\ Выборочная взаимная
ковариационная функция имеет те же самые недостатки, что и
выборочная автоковариационная функция, и, в частности, ее сосед-
соседние значения сильно коррелированы. В Приложении П9.1 пока-
показано, что ковариация оценок cx,x,(ui)' схххХи^ для ДВУХ различ-
различных запаздываний щ и ы2 дается формулой Бартлетта
Кл(«|)> сх,х,Ы\ =
Г Т"
jr\T' \у
-Г
{г){\~Щйг-Т" J
(8.2.3)
-Т"
где
Т'=Т-
Г/г
—
Y(г) = Y
х,х, \'
I «2 I -I «1 1
«2~И|
2
+ Yv
«2 + «1
и /C(r, «I; и2) ~ совместный кумулянт случайных величин Х] (t),
X^t + щ), x/(t + r) и X2(t + r + u2).
При больших Т для (8.2.3) можно дать следующее прибли-
приближенное выражение, которое аналогично выражению E.3.22):
\CX A (".)• СХ^ («2)] « У"
— со
В дискретном случае это приближение имеет вид
w, (г + 0 Уад (г - Щ- (8.2.5)
Влияние автокорреляции на взаимную корреляцию двух вре-
временных рядов. Интересный случай формулы (8.2.4) получается,
когда ухXj(u) = 0 для всех и, т. е. когда два процесса некорре-
лированы. Тогда если пренебречь членом, содержащим кумулянт
(который отличен от нуля лишь для негауссовских процессов),
то (8.2.4) перейдет в
^ Y
«2-«1
I'M.
Г +
«2 -«1
dr. (8.2.6)
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
95
Аналогично для двух некоррелированных дискретных процессов
формула (8.2.5) переходит в
Cov
i (k),
-L
(8.2.7)
Если A'^^), X2@ —процессы авторегрессии первого псрядка с па-
параметрами щ и р4 соответственно, то
и, подставляя эти выражения в (8.2.7) для случая I ~ k, полу-
получаем
Для белого шума соответствующая формула имеет вид
??
(8.2.9)
Следовательно, если a(pi положительно, то дисперсия (8.2.8)
оценки взаимной ковариации увеличена по сравнению с диспер-
дисперсией (8.2.9) для случая белого шума. Если же a(pi отрицатель-
отрицательно, то (8.2.8) меньше, чем (8.2.9). Обычно афх бывает положи-
положительно, т. е. два процесса или оба имеют положительные автоко-
вариации, или же оба — отрицательные. В таком случае из ра-
равенства (8.2.8) следует, что могут получиться очень большие вы-
выборочные взаимные ковариации (ложные!) между двумя некорре-
некоррелированными процессами из-за больших значений автоковариа-
ций внутри каждого из процессов.
Пример. Чтобы проиллюстрировать этот эффект, мы вычисли-
вычислили выборочную взаимную корреляционную функцию rXtX, (k) для
реализаций двух независимых процессов авторегрессии первого
порядка с параметрами at = Pi = —0,9 при jV = 100. Эта выбо-
выборочная оценка получена при использовании дискретного выбороч-
выборочного аналога функции (8.2.2), а именно
XlX! Ш
где
N-k
cx.Xj (k) = ~jf 2 (xit - xt) {xit+k - Stj),
Л<0,
(8.2.10)
S6
Глава 8
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
97
/=1,2.
t=\
Выборочная оценка взаимной корреляции ноказана на рис. 8.7
пунктирной линией. Мы видим, что rXlXl(k) достигает значений
1
\-о,з
Рис. 8.7. Выборочные взаимные корреляции двух процессов авторегрессии пер-
первого порядка до и после фильтрации.
±0,3, в то время как теоретическая корреляционная функция,
конечно, равна нулю.
8.2.2. Улучшение оценки взаимной корреляционной функции
Чтобы понять, как можно улучшить оценку взаимной корре-.
Ляционной функции, рассмотрим следующую модель двух взаим-
взаимно коррелированных процессов авторегрессии первого порядка:
X -й X +7 (8'2Л1)
A2t — PlA2i-l "т" L2t-
Предположим, что ковариация Zit и Zu-h равна нулю для k, от-
отличных от нуля. Тогда, считая, что Zit и Z%t имеют двумерное
нормальное распределение, получаем с помощью формулы C.1.17)
логарифмическую функцию правдоподобия для параметров oti,
Рь Yi2:
Pi,
2 9
aiar,
( M-k 2
2yi2(k)
at,
ZHZ2t-k
z\t — xu ~~
Z2t-k — X2t~k
где
Дифференцируя l(au рь Yi2(?)) п0 всем тРем параметрам и
приравнивая производные нулю, находим из полученных уравне-
уравнений выборочную оценку максимального правдоподобия для Yi2(^):
N-k
Ы*0 = 1п4гГ S (*и - «i^u-i) (хя-к- Pi^-ft-i). (8.2.12)
где fij, fit —выборочные оценки максимального правдоподобия
для ai, Pi. Наглядный смысл этой оценки ясен:
Если нужен критерий корреляции двух временных рядов, то
следует сначала отфильтровать эти ряды так, чтобы превратить
их в белые шумы, а затем сосчитать взаимную ковариационную
функцию.
Для двух независимых процессов из примера разд. 8.2.1 па-
параметры оценивались с помощью выборочных оценок макси-
максимального правдоподобия E.4.5). Например,
t~2
t-2
Затем производилась фильтрация двух рядов по формулам
хн = хн~ aixu-v
X2t ~ X2t ~~ riX2t-V
и, наконец, вычислялась выборочная взаимная корреляционная
функция отфильтрованных рядов (х'и, x'2i) по формуле (8.2.12).
Эта функция изображена сплошной линией на рис. 8.7, где видно,
что ее значения гораздо меньше, чем до фильтрации. Поскольку
отфильтрованные ряды являются белыми шумами, то по формуле
(8.2.9) стандартное отклонение выборочной оценки взаимной кор-
корреляции равно Yl/N = 0,1. Отсюда 95%-ные доверительные ин-
интервалы можно получить, если отложить от наблюденных значе-
значений ±0,2. Мы видим, что только один из этих интервалов не
включает нуля. Если бы два процесса были некоррелированы, то
следовало ожидать, что из 30 доверительных интервалов с уров-
уровнем доверия 95%; в среднем два интервала не будут содержать
4 Зак, 1178
Глава $
нуля. Поэтому наблюденная взаимная корреляционная функция
не противоречит гипотезе о том, что эти два процесса некоррели-
рованы.
8.3. ВЗАИМНЫЙ СПЕКТР
В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных времен-
временных рядов в частотной области. Будет показано, что обсуждав-
обсуждавшаяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная
функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным
взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной
функцией, которую можно записать в виде произведения дей-
действительной функции, называемой выборочным взаимным ампли-
амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой вы-
выборочным фазовым спектром. Аналогично преобразование Фурье
теоретической взаимной ковариационной функции называется
взаимным спектром. Его можно представить в виде произведения
взаимного амплитудного и фазового спектров. Взаимный ампли-
амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных ча-
частотных комнонент в двух рядах на определенной частоте. Анало-
Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или
опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответ-
соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты. В сле-
следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных1
и фазовых спектров,- полученные из взаимного спектра двумерно-
двумерного линейного процесса (8.1.14). Затем вводится несколько более
полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно
спектр когерентности. Мы покажем, что спектр когерентности и
фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального
случайного процесса.
8.3.1. Применение анализа Фурье к двумерным
временным рядам
Анализ Фурье можно применить к двумерным временным ря-
рядам точно так же, как и к одномерным. Предположим, например,
что xi(t), x2(t) —две косинусоидальные волны одинаковой часто-
частоты /о, но с разными амплитудами Ль А2 и фазами фь срг, т. е.
xt{t) =
(8.3.1)
Если длина имеющихся записей равна Г, то с помощью B.2.11)
получаем преобразование Фурье X\(t), x2(t), —Г/2 4^^ Г/2:
^f/ф,. Г sin я (/-Ц
-/ф, Г sin я
L я
7
П /=Г2
Л' 1 1)Л
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
99
Отсюда выборочные спектры F.1.6) этих двух сигналов равны
СХЛ(^ЩШ1, ?-1.2.
Эти выражения при Т -*¦ оо стремятся к
Таким образом, дисперсия, или средняя мощность косинусоидаль-
ной волны, равная A)J2, распределена в виде б-функций на ча-
частотах / = ±/о-
Предположим теперь, что требуется описать ковариацию двух
косинусоидальных волн. В таком случае естественно воспользо-
воспользоваться выборочным взаимным спектром мощности, или, короче,
выборочным взаимным спектром
cXlXAf)-
Xt(f)X2(f)
(8.3.3)
где звездочка • обозначает комплексное сопряжение. Подставив
(8.3.2) в (8.3.3), мы находим, что выборочный взаимный спектр
двух косинусоидальных волн равен
ЛИ2
4Г
/„, Г Sin Я (/-/о) Г
[ я (/-/„)
X ( е/Ф. Г зшя (f-Ц Г 1 ч Г sin я (/ + /„) Г 1 1
что при Г—>оо стремится к
j А, Л2 [е-' *ч>»-ф.>
(f - f0].
(8.3.5)
Определение (8.3.3) является естественным, так как оно со-
содержит всю информацию о зависимости двух сигналов. В част-
частном случае косинусоидальных волн равенство (8.3.5) показывает,
что эта информация состоит из разности фаз ср2 — фь показы-
показывающей, насколько одна из косинусоидальных волн опережает
другую, и взаимной амплитуды А^А2, показывающей, как велики
на данной частоте соответствующие амплитуды в двух сигналах.
Выборочный фазовый и выборочный взаимный амплитудный
спектры. В более общем случае предположим, что X\(t), x2(t) —
произвольные действительные сигналы с преобразованиями Фурье
%i(f), X2(f) соответственно. Эти преобразования дают амплитуд-
амплитудное и фазовое распределение сигналов, т. е.
Xi(f) = Ai{f)eiF'{!), »=1,2, (8.3.6)
100
Глава 8
где Ai(f)—неотрицательная четная функция и Fi(f)—нечетная
функция. Согласно (8.3.3), выборочный взаимный спектр в этом
случае будет равен
Cll).*"*"^', (8.3.7)
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
101
что можно записать также в виде
C12(f) = A12(/)e/^<f>. (8.3.8)
Следовательно, ковариацию двух рядов Xi(t) и x2(t) можно
описать с помощью выборочного фазового спектра
F1Af) = F2(f)-Fl(f) (8.3.9)
и выборочного взаимного амплитудного спектра
Д2(/) = ММ. (8.3.10)
Выборочный фазовый спектр Fi2(f) показывает, запаздывает
или опережает частотная компонента одного ряда компоненту
другого ряда на той же частоте. Аналогично, выборочный взаим-
взаимный амплитудный спектр Л]2(/) показывает, насколько велики в
двух рядах амплитуды соответствующих компонент на некоторой
частоте. Заметим, что Al2(f)—неотрицательная четная функция,
a Fi2{f) —нечетная функция частоты.
Выборочный коспектр и квадратурный спектр. Так как функ-
функция Ci2 (f) из (8.3.8) является комплексно-значной, ее можно за-
записать в виде произведения амплитудной и фазовой функций, как
в (8.3.7). Выражение (8.3.8) можно записать и в другом виде,
выделив вещественную и мнимую части:
Cl2(f) = Ll2(f)-jQl2(f),
где
L,2 (/) = Л12 (/) cos Fi2 (f), Q12 (f) = - Al2 (f) sin Fa (f)
A\2 (f) = L% (/) + Q\2 {f), Fi2 (f) = arctg [ - %*
(8.3.11)
Отметим, что L12(f) —четная, a Qi2{f) —нечетная функция часто-
частоты из-за того, что Ai2(f) — четная, a FiZ{f) — нечетная функция.
Для иллюстрации рассмотрим приводившийся выше пример
с двумерной косинусоидальнои волной.
Можно показать, что в пределе при Т —> оо
L,2 (/) = A^k cos (ф2 - ф1) [б (f + /о) + б (f - /0)] =
, Л) sin Ф1Л2 sin ф2 \ г§ /* _j_ f \_^_g /F _ f \1<
Так как сигналы xt(t) можно записать в виде
х, @ = А{ cos B%f0t + ф,) = (Л, cos ф() cos 2nfot - (Л, sin ф() sin 2nfut,
х2 @ = Л2 cos Bnf0t + ф2) = (Л2 cos ф2) cos 2nfQt — (Л2 sin ф2) sin 2nfQt,
то, следовательно, Li2(/) состоит из ковариации двух ко.синусои-
дальных компонент и ковариации двух синусоидальных компо-
компонент, т. е. Li2(/) измеряет ковариацию синфазных компонент.
Поэтому функция LJ2(f) называется выборочным синфазным
спектром, или выборочным коспектром. Аналогично, функция
Ql2 (/) = ^Г- Sin (Ф2 - Ф,) [б (/ + fo) + б (/ - /0)] =
_ (Ах cos фИ; sin фг
- [ 4
Л, sin q>xA2 созф2
4
~ /o)J
состоит из ковариации между синусоидальными и косинусоидаль-
ными компонентами, т. е. между компонентами, сдвинутыми по
фазе, или квадратурными. Поэтому Qi2(f) называется выбороч-
выборочным квадратурным спектром. Аналогичным образом, для произ-
произвольных сигналов Xi(t), x2(t) преобразования Фурье
Ll2(f) = Al2(f) cos F12(f)
Qi2(f) = Ai2(f) sin Fl2(f)
служат мерами ковариации соответственно синфазных и квадра-
квадратурных компонент на частоте f.
8.3.2. Соотношение между выборочным взаимным спектром
и выборочной взаимной ковариационной функцией
В гл. 6 было показано, что выборочная автоковариационная
функция и выборочный спектр связаны между собой преобразо-
преобразованием Фурье F.1.9). В этом разделе мы обобщим формулу
F.1.9) и покажем, что выборочная взаимная ковариационная
функция и выборочный взаимный спектр точно так же образуют
пару преобразований Фурье.
Из определения (8.3.3) выборочного взаимного спектра имеем
Г/2 Г/2
Ci2(f) = -~Xl(f)X2(f)^-L J J xl(t)xa{t')e-P*fW-f)cUdt>.
-Г/2 -Г/2
Заменяя переменные интегрирования /' — t = и, t = v и действуя
дальше так же, как в разд. 6.1.3, мы получаем
г
С12(/)=|с,2(ы)е-'ЭД«й«, (8.3.12)
-г
102
Глава 8
Таким образом, выборочный взаимный спектр является преобра-
преобразованием Фурье от выборочной взаимной ковариационной функ-
функции, определяемой соотношениями
Г/2-и
Ci2(«) = y- J x](t)x2(t + u)dt, 0<и<7\
-Г/2
Г/2
, (8.3.13)
-Г/2 + Ы
| и |> Г.
Обратным по отношению к преобразованию (8.3.12) является
преобразование
оо
\f. (8.3.14)
Подставляя (8.3.11) в (8.3.14), получаем важное равенство
с,2(и)=
= j Ll2(f) cos 2nfи df + j Q12{f)sin2nfudf, (8.3.15)
при выводе которого мы воспользовались тем, что Ll2(f) —четная
функция, a Q12(/)—нечетная функция частоты. Наконец, полагая
в (8.3.15) и = 0, получаем
оо
с,2@)= JLl2(f)df. (8.3.16)
— оо
Следовательно, выборочный коспектр дает разложение по частоте
выборочной взаимной ковариации при нулевом запаздывании ана-
аналогично тому, как выборочный спектр F.1.11) дает разложение вы-
выборочной дисперсии по частоте.
Запишем теперь (8.3.15) в виде
ci2(u) = ll2(u) + ql2(u), (8.3.17)
где т
Ll2(f)= \h2{u)cos2nfudu, (8.3.18)
-г
г
Qi2 (/) = j <7i2 («) sin 2nfu du.
-T
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
103
Нетрудно проверить, что k2(u)—это четная часть функции.ci2(и),
т. е.
1^(и) = ^[с12(и) + с12(-и)]. (8.3.19)
Аналогично, qi2(u) —нечетная часть с12(и), т. е.
<7i2 («) = у fci2 (") ~ ci2 (- ")]• (8-3.20)
8.3.3. Взаимный спектр
В предыдущем разделе мы рассматривали xt(t) и x2(t) как
заданные функции времени t. Если считать, что [Xi(t), x2(t)} —
реализация стационарного двумерного случайного процесса
{Xi(t), X2(i)}, то возникают те же самые проблемы, что и в одно-
одномерном случае. Так, например, выборочные коспектры и квадра-
квадратурные спектры, сосчитанные по реализации двумерного случай-
случайного процесса, не сходятся ни в каком статистическом смысле
к предельным значениям, когда длина реализации Т стремится
к бесконечности. В действительности, они ведут себя так же, как
выборочный спектр, показанный на рис. 6.1. Чтобы понять, почему
это так, нужно исследовать свойства случайной величины Сх,х. (f)>
для которой выборочный взаимный спектр является реализацией.
Из (8.3.12) случайная оценка, соответствующая выборочному
взаимному спектру, имеет вид
-oo<f<oo.
-г
С помощью (8.2.2) получаем среднее значение этой величины
г
E[CXlX!(f)]= J (l -lp-)yXiXi
-г
(8.3.21)
При Т—> оо это среднее значение стремится к взаимному спектру
мощности, или, короче к взаимному спектру *). Таким образом,
(8.3.22)
Равенство (8.3.22) показывает, что взаимный спектр является пре-
преобразованием Фурье от взаимной ковариационной функции. От-
Отметим, что в определении взаимного спектра для случайного
*) Более точно было бы называть функцию (8.3.22) взаимной спектральной
плотностью. Однако ради краткости мы будем пользоваться и термином «взаим-
«взаимный спектр». — Прим. перев.
Таблица 8.3
Краткая сводка формул для взаимных спектров
Функция
Автоспектр
Взаимный
спектр
Взаимный
амплитудный
спектр
Теоретические величины
обозна-
обозначение
Гц (/)
Гц (/)
«12 (!)
определение
ОО
Гц (fl- j уп (и) е~ i2nfudu
— ОО
со
— ОО
•»(n-|r.,<M-
Выборочные величины
обозна-
обозначение
с» (!)
С, (Я
л12 (/)
определение
Г
Сц(Л= J cu(u)e-'2nfu du
-т
т
Си (!) = J с12 (и) e~l2nfu du =
-г
Л12 (f) = 1 С„ (f) I =
= nf-2(/)+Q?2(/>
Фазовый
спектр
Коспектр
Квадратурный
спектр
Ф12 (/)
Д„»
ОО
А„Ш- jh
— ОО
ОО
— ОО
ОО
— ОО
ОО
~п
— ОО
A,.WJ
2 (г/) e~'2nfu du =
[Yl2 («)+Yl2(- «)] X
X cos 2nfu du
[Yi2(«)-Yi2(- «)] X
X sin 2nfu du
Fu (!)
Lu(f)
Q12 (!)
ct Г Ql2
Г
-r
Г
J (¦
-Г
Г
Qi2(/)= J 1i2(u)e~
-T
T
= Y J[cn(«)
-T
(!)]
(/)
X cos 2nfu du
-с„(-и)]Х
X sin 2я/и rf«
106
Глава 8
процесса (8.3.22) rXlXl (f) будет непрерывной функцией частоты
в области —оо <! f ^. оо.
Еще раз подчеркнем, что приводимое обычно в технических
пособиях определение
ГлЛ (f) = lim CXlX, (f)
Г-»оо
не имеет смысла для случайных процессов, так как дисперсии
действительной и мнимой частей случайной величины Сх,хг (/) не
стремятся к нулю при Т—>оо, как будет показано в разд. 9.1.
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
107
Коспектр и квадратурный спектр. Разложим
ную и нечетную части
Я-12 («) = [Yi2 (и) + Yi2 (- «)],
¦Ф12 («) = " [Y12 («) — Y12 (— «)]•
Подставляя эти выражения в (8.3.22), получим
где
(и) на чет-
(8.3.23)
(8.3.24)
(8.3.25)
(8.3.26)
Функция Л12 (/) называется коспектром, а функция 4^2 (/)—
квадратурным спектром двумерного процесса {X{(t), X2{t)}. Эти
же самые функции можно определить и с помощью соотношений
(8.3.21) и (8.3.22), а именно:
Л12 (f) = Г Я,2 (ы) cos 2я/и
Л12 (f) = lim Е [La (/)],
12 (ft = lim ? [QI2 (/)].
Г-»оо
Взаимный амплитудный и фазовый спектры. Взаимный спектр
можно записать также в виде
Г12(/) = а12(/)е/ф|гШ> (8.3.27)
где функции cci2(f), Ф1г(/) называются взаимным амплитудным
спектром и фазовым спектром соответственно. По аналогии
с (8.3.11) мы получаем
(8.3.28)
(8.3.29)
Следовательно, взаимный амплитудный и фазовый спектры можно
получить, вычисляя функции Xiz(u) и г|51г(и) по взаимной кова-
ковариационной функции [формулы (8.3.23)], затем вычисляя коспектр
и квадратурный спектр [формулы (8.3.25) и (8.3.26)] и подставляя
эти спектры в (8.3.28) и (8.3.29).
Краткая сводка. В табл. 8.3 дана краткая сводка формул, ко-
которые мы определили в этой главе.
8.4. ВЗАИМНЫЕ СПЕКТРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
8.4.1. Простые примеры взаимных спектров
Прежде чем выводить формулу для взаимного спектра произ-
произвольного линейного процесса (8.1.14), полезно рассмотреть неко-
некоторые простые примеры взаимных спектров. На этих примерах мы
покажем, какая информация содержится во взаимном спектре, для
чего выведем формулы взаимных спектров некоторых простых
дискретных процессов. Для дискретного процесса взаимный спектр
определяется равенством
-^-</<^г- (8-4.1)
k=-oo
В приводимых ниже примерах мы будем предполагать, что
E[Zu} = 0, E[Z2t} = 0, E\Z\t] = o],
Е[Щ = а\ и Д=1, так что -72</<72.
Пример 1. Предположим что
Хц = 2-<ц, Xlt = ?ц,
где Zu, Z2t — взаимно некоррелированные белые шумы. Мы имеем
У12(к) = E[ZitZ2t+k] = 0 для всех k,
и из (8.3.22) получаем
г,2 (/) = «12 (/) Л/ф1°(»= УаЪ(П + чЩ = о.
Отсюда видно, что взаимный амплитудный спектр тождественно
равен нулю л, следовательно, коспектр и квадратурный спектр
тоже тождественно равны нулю. Фазовый спектр неопределен.
Пример 2 (двумерный эквивалент белого шума). Предполо-
Предположим, что
так что
(8.4.2)
108
Глава 8
Отсюда
Из (8.4.1) получаем
откуда следует, что
Y12 (*) = 0,
Следовательно, если два процесса взаимно коррелированы
только в одинаковые моменты времени, то взаимный амплитудный
спектр равен константе, подобно спектру белого шума. Далее, эти
два процесса находятся в фазе, поскольку ф1г(/) = 0. Взаимный
амплитудный и фазовый спектры для этого примера показаны на
рис. 8.8, а. Таким образом, процесс (8.4.2) можно рассматривать
как фундаментальную модель взаимного спектра, аналогично
тому как белый шум можно считать фундаментальным при изу-
изучении одномерного спектра.
Пример 3 (влияние задержки). Предположим, что
так что
-d + %2t>
т. е. эти два ряда сдвинуты по отношению друг к другу на вре-
временной интервал d. Отсюда
Yl2 (ft) =
= d,
О, в остальных случаях.
Поэтому из (8.4.1) получаем
А12 (/) = Pjaf cos 2nfd, %2 (/) = P,a2 sin 2nfd.
Снова взаимный амплитудный спектр равен константе, но фазо-
фазовый спектр теперь представляет собой линейную функцию частоты,
как показано на рис. 8.8, б. Это означает, что косинусоидальная
волна частоты f гц совершает fd колебаний за время задержки d,
и, следовательно, фазовое запаздывание составляет 2nfd pad.
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
109
Пример 4. Более интересную модель мы получим, если по-
положим
XU = ZU,
что можно переписать в виде
X2t = Pi-^if
Отсюда, как показано во втором примере из разд. 8.1.3, следует,
что
[P
.af, k = 0,
р2(Т|, к = 1,
10, в остальных случаях.
Поэтому
«,8 if) =
A12 @ =
PI
cos
Приведенная формула для взаимного амплитудного спектра
показывает, что ковариация двух процессов больше на низких
частотах при Рг/Pi > 0 и на высоких при p2/pi < 0. Следовательно,
взаимные корреляции, не меняющие знак, соответствуют низко-
низкочастотным взаимным амплитудным спектрам, а осциллирующие
взаимные корреляции — высокочастотным. Соответствующие фазо-
фазовые спектры показаны на рис. 8.8, в и рис. 8.8, г.Мы видим, что при
Рг/Pi > 0 процесс Хц опережает по фазе процесс Хги а при
Рг/Pi < 0, наоборот, отстает от него.
Используя более сложные модели, можно получить множество
разнообразных взаимных амплитудных и фазовых спектров. Важ-
Важное положение, которое необходимо сейчас подчеркнуть, заклю-
заключается в том, что изучение взаимных амплитудных спектров двух
эмпирических временных рядов может привести к заключению, что
требуются разные модели для различных частотных диапазонов.
Например, фазовый спектр, образованный двумя прямыми с раз-
разными наклонами, мог бы навести на мысль, что один ряд запазды-
запаздывает по отношению к другому, но эта задержка во времени раз-
различна для разных частотных диапазонов.
по
Глава 8
Отсюда видно, что выборочные взаимные спектры эмпирических
временных рядов могут служить очень гибким средством при вы-
выборе моделей, описывающих поведение этих рядов. В тех случаях,
h f
\ *,г(Р)
-гл
¦
яг
?
-я:
.Ул:
г
А
«*W
Рис. 8.8. Взаимные амплитудные и фазовые спектры некоторых простых дву-
двумерных процессов.
когда есть подозрение, что в разных частотных Диапазонах дей-
действуют разные модели, дальнейший анализ будет более эффектив-
эффективным, если, как отмечалось в разд. 7.3.5, сначала расфильтровать
исходные ряды на компоненты с помощью набора полосовых
фильтров, а затем вычислить взаимные спектры соответствующих
компонент.
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
111
8.4.2. Взаимный спектр линейной системы
В разд. 8.1.3 отмечалось, что иногда два случайных процесса
Xi(t) и X2(t) связаны линейным соотношением вида
Х2 (/) = J h (a) Х{ (t-u)du + Z (t).
Таким образом, Xi(t) является входным процессом линейной си-
системы, a X2(t) представляет собой соответствующий выход, сло-
сложенный с независимым шумом Z(t). Из (8.1.8) находим взаимную
ковариационную функцию выхода
оо
Yi2(«) = J Yn(« — v)h(v)dv, — о
о
Взяв преобразование Фурье от (8.4.3), получаем
Г12(/) = Я(/)ГИ(/).
Отсюда находим частотную характеристику
(8.4.3)
{8ЛЛ)
(8А5)
Сравнивая (8.4.3) с (8.4.4), мы видим, что изучение линейных си-
систем легче проводить с помощью методов Фурье. Так, свертка из
(8.4.3) переходит в произведение в (8.4.4). Переписывая (8.4.5)
в виде
H(f)=G (f) A((°
получаем следующие выражения для коэффициента усиления G(f)
и фазы cp(f) линейной системы:
Г„(/)
^. (8.4.6)
(8.4.7)
Вспоминая, что взаимная амплитуда ctt2(/) есть мера «ковариа-
ции» между Xi(t) и X2(t) на частоте f, а Гц(/) —«дисперсия» вхо-
входа на этой же частоте, мы видим, что усиление G(f) играет роль
коэффициента регрессии D.3.7), но теперь он оценивается на ка-
каждой частоте.
Квадрат спектра когерентности. Эту аналогию можно продол-
продолжить дальше с помощью соотношения (8.1.9) для автоковариации
112
Глава 8
выхода, а именно
оо со
У22(«)= J j h(v)h(v')yu(u + v~vf)dvdv'-
— OO — 00
Взяв преобразование Фурье от этого равенства, получаем
(/) + rzz(f). (8.4.8)
Это выражение отличается от F.2.15) только тем, что к выраже-
выражению, полученному из входного процесса, добавляется спектр шума
Z{t). Подставляя (8.4.6) в (8.4.8), получаем
Г22(/)- r..m ~Tzz(/)
р1,, (/)
или же
где
I2V// rn(f)r22(/)
(8.4.9)
(8.4.10)
называется квадратом коэффициента когерентности между входом
и выходом на частоте /. Функция частоты x?l2(f) называется квад-
квадратом спектра когерентности.
Следует отметить сходство между (8.4.9) и уравнением C.2.19),
содержащим обычный коэффициент корреляции. Фактически ко-
коэффициент когерентности играет роль коэффициента корреляции,
определенного для каждой частоты /. Таким образом, равенство
(8.4.9) показывает, что когда спектр шума совпадает с выходным
спектром, то коэффициент когерентности равен нулю. Другими
словами, этот коэффициент равен нулю, если выход состоит из
одного шума. Наоборот, если Fzz(f) = 0, то квадрат коэффициента
когерентности равен единице, а выходной спектр просто равен
входному, умноженному на квадрат коэффициента усиления си-
системы. Исключая Ггг(О из (8.4.8) и (8.4.10), получаем
(f) г„ (/) * (8.4.11)
K ^ =
Равенство (8.4.11) показывает, что квадрат коэффициента коге-
когерентности мал, когда мало отношение выходного сигнала к шуму
G2 (f) Гп (f)/Гzz(f), и близок к 1, когда это отношение велико.
8.4.3. Взаимные спектры двумерных линейных процессов
В разд. 8.1.4 было показано, что весьма общая модель двумер-
двумерных случайных процессов получается, если пропустить два белых
шума Zi(t) и Z2{t) через систему, показанную на рис. 8.5. Авто-
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
113
и взаимные ковариации этого процесса задаются выражениями
(8.1.15). Мы воспользуемся ими сейчас для того, чтобы вывести
соответствующие авто- и взаимные спектры. Обозначим частотные
характеристики четырех систем в структурной диаграмме на
рис. 8.5 через
оо
Ни (/) = J hU (и) e-l2nfu du' '. /=-1.2.
— оо
Выражения для авто- и взаимных спектров можно теперь полу-
получить, беря преобразования Фурье от равенств (8.1.15). Так, взяв
преобразования от первых двух из этих равенств и используя
F.2.16), мы находим автоспектры
Чтобы получить взаимный спектр, заметим, что последние два
из равенств (8.1.15) можно объединить в одно:
оо оо
Yl2 (и) = о* j A,, (v) A21 (v + и) dv + о\ \ AI2 (v) h22 (v + и) dv, (8.4.13)
— оо —оо
которое теперь справедливо при —оо<!и<[оо. Взяв преобразова-
преобразование Фурье от обеих частей этого равенства, получаем взаимный
спектр
Г,2 (Я = °\НП Ш НП W + <^2 (/) #22 if)- (8-4.14)
Таким образом, вычисление взаимного спектра сводится к нахо-
нахождению частотных характеристик соответствующего двумерного
линейного процесса (8.1.14).
Частотные характеристики #ij(/) можно получить очень про-
просто, взяв преобразование Фурье от равенств (8.1.14). Подставив
Htj(f) в (8.4.12) и (8.4.14), можно получить явные выражения для
авто- и взаимных спектров. Эту процедуру лучше проиллюстриро-
проиллюстрировать на примере.
Пример. Рассмотрим непрерывный двумерный процесс авторе-
авторегрессии
jf^X, {t) + а22Х2 (t) = Z2 (/).
Беря преобразование Фурье от этих равенств и используя свойство
дифференцирования (П2.1.2), получаем
f
a2lXx
получаем
(f) + al2X2
+ j2nf) X2 (f) = Z2 (f).
114
Глава 8
Эти уравнения можно решить относительно Xt(f)
у /а_
1 К1>
(ап + j2n{) (a22 + j2nf) - al2a2i '
х
2 У1> (a,, + ;2я/) (а22 + /2jt/) - а12а21 '
Аналогичным образом, взяв преобразование Фурье от (8.1.14),
получим
Отсюда
H22(f)Z2(f).
±
где D = аиа22 — al2a2i — Bл/J + /2л/(а,, + а22).
Наконец, воспользовавшись равенствами (8.4.12) и (8.4.14), полу-
получаем авто- и взаимный спектры двумерного процесса
Гц (/)= ГпТг '
г22(/) = -
ст2
- а, ,а,2а| -
-М\1/ |Д|2
Взаимные спектры дискретных двумерных линейных процессов.
Выражения для авто- и взаимных спектров дискретных двумерных
линейных процессов можно получить аналогичным образом. Для
иллюстрации этой процедуры рассмотрим дискретный двумерный
процесс (8.1.20)
X\t ~ 0,6Xi^_] — 0,5Х2<_1 + Zxt,
где Zu, Zu — некоррелированные белые шумы. Взяв г-преобразо-
вание, получим
J, (г) = О.бг-1*, (г) - 0,5z-% (г) + Z, (г),
J2 (г) = 0,4г-% (г) + 0,5г-% (г) + Z2 (г).
Эти уравнения можно решить относительно Xl(z), X2(z)
у (~\ - П ~ °'5г~'> г' (г> ~ 0.5z-'Z2 (г)
1 - 1,1г-' +0.52-2
- Мг-'г, (г) + A - О.бг-1) 22 (г)
1 — l.lz-1 +0,5г-2
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
115
Делая замену г = е-*2"/, получаем частотные характеристики
я m
D
0,4e~i2nf
и <t\
D
l_0,6e-'2lTf
где
= 1 - 1,1 cos 2л/ + 0,5 cos 4л/ + / A,1 sin 2л/ - 0,5 sin 4л/).
Наконец, воспользовавшись равенствами (8.4.12) и (8.4.14), по-
получаем авто- и взаимный спектры двумерного процесса
Г„(/) =
ст2 A,25-cos 2я/)+0^@,25)
of @,16) + а| A,36 — 1,2 cos 2я/)
a2 ( - 0,2 + 0,4 cos 2я/) + a2 @,3 - 0,5 cos 2nf) - j sin 2nf @,4(f[ + 0,5a2)
(8.4.15)
где | D |2 = 2,46 - 3,3 cos 2л/ + cos 4я/.
В частном случае при a2 = a2=l равенства (8.4.15) сво-
сводятся к
у /гл _ 1,5 — COS 2я/
Г22(/)=1'52~|1Д2|Г2"/, (8.4.16)
г lfs 0,1 A - cos 2jtQ - / @,9) sin 2я/
112 \l) ГпТг •
8.4.4. Квадрат спектра когерентности
В разд. 8.4.2 было показано, что корреляцию входа и выхода
линейной системы на частоте / можно было бы описать с помощью
квадрата коэффициента когерентности х22(/). Этот коэффициент
напоминает коэффициент корреляции для каждой из частот. Он
измеряет влияние шума в системе, причем высокому уровню шума
соответствует малый коэффициент когерентности и наоборот.
В гл. 11 будет показано, что спектр когерентности существует у лю-
любого двумерного случайного процесса. В настоящем же разделе
мы проиллюстрируем это основное понятие, вычислив спектр ко-
когерентности двумерного линейного процесса.
116
Глава 8
Рассмотрим двумерный линейный процесс, изображенный на
рис. 8.5. Он имеет следующие авто- и взаимные спектры:
Гп (/) =
г12 (/) =
(8.4.17)
я2
н
22
Квадрат спектра когерентности двумерного процесса можно те-
теперь получить, подставляя (8.4.17) в (8.4.10). В результате по-
получим
к?2(/) = . °'2(f) - |Г'2(П'2
Гц(/)ГИ(/) Г„(/)ГИ(/) "
(8.4.18)
Рассмотрим далее некоторые частные случаи формул (8.4.17) и
(8.4.18).
Случай 1. Предположим, что hl2(u) = 0, h22(u) = 0, так что
Я12(/) =0, #22 (f) =0. Тогда
Г
Воспользовавшись (8.1.14) при /zi2(«) =0, Л22(«) =0, получаем
оо
= J
= / A2i (и)
- и) А
Следовательно, квадрат коэффициента когерентности тождествен-
тождественно равен единице. Это означает, что процесс X2(t) можно пол-
полностью восстановить по Xi(t). Для этого нужно было бы превра-
превратить X\(t) в белый шум Zi(t) с помощью фильтра, имеющего ча-
частотную характеристику 1/#н(/), и затем получить X2(t) из Zi(t).
Случай 2. Предположим, что в (8.1.14) h2i{u) =0, hi2(u) =0,
так что
оо
X2{t)=\ h22{u)Z2{t-u)du.
Из (8.4.17) видно, что Fi2(/) = 0 и, следовательно, x2l2(f) = 0. Так
как Zi(t) и Z%(t)—два различных белых шума, то из равенства
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
117
коэффициента когерентности нулю следует, что невозможно вос-
восстановить, или предсказать, X2(t) по X\(t).
Случай 3 (пример 2 из разд. 8.4.1). Значения квадрата коэффи-
коэффициента когерентности между 0 и 1 соответствуют случаям, где
X2(t) можно частично вос-
восстановить, или предсказать,
по Xi(t). Рассмотрим, на-
например, двумерный процесс о,з
(8.4.2), для которого
Следовательно, Я,,(/)=1,
ВД)=1, Я12(/) = 0, Я21(/) =
= Р,, и если а\ = а2 то
0,7 -
0,6 -
Ofi -
o,i -
'2 V'/- j+p2 • ??Ь
Таким образом, при Pi = 0 о,г
квадрат коэффициента ко- -
герентности обращается в
нуль и при fii—>¦ оо стремит-
стремится к единице. Это следова-
следовало ожидать, так как при о 0,125 0,25 0,375
Pi —»¦ 0 шум преобладает над
сигналом, а при Pi-юо, на- Р и с. 8.9. Теоретический спектр когерент-
оборот, сигнал PiZJf пре-
превосходит шум.
Случай 4 (влияние задержки). Рассмотрим двумерный процесс,
обсуждавшийся в третьем примере из разд. 8.4.1, а именно
0,5 Р,гц
ности двумерного процесса авторегрессии
(8.1.20).
= Z
— Z
2t
При а2 = о2 квадрат спектра когерентности равен
о2
9 /t\ Pi
12"' 14-ft2'
1 + р,
что совпадает с выражением для к22(/) из предыдущего примера.
Однако, как показано в разд. 8.4.1 и как видно из рис. 8.8, а и
8.8,6, процессы из этих двух примеров имеют заметно отличаю-
отличающиеся фазовые спектры. Таким образом, квадрат спектра коге-
когерентности не выявляет каких-либо фазовых отличий этих двух
118
Глава 8
Взаимная корреляционная функция и взаимный спектр
119
процессов, и, следовательно, для полного описания двумерного
процесса в частотной области требуется как спектр когерентности,
так и фазовый спектр.
Случай 5. Рассмотрим дискретный двумерный процесс (8.1.20),
имеющий авто- и взаимный спектры, даваемые формулами (8.4.16)
при 0j = o\. Соответствующий спектр когерентности имеет вид
2 (f\ — 0.42 - 0,02 cos 2nf - 0,4 cos Anf _ 1 ^ , 1 ,
Ki2 \i> — 2,88 - 3,32 cos 2я/ + 0,6 cos 4я/ ' У ^ ' < ~2 ' '°'4''9^
Этот спектр показан на рис. 8.9.
Наиболее важную отличительную черту этого спектра коге-
когерентности составляет большой пик на частоте приблизительно
Лги
-so -
-во -
-до
Рис. 8.10. Теоретический фазовый спектр двумерного процесса авторегрессии
(8.1.20).
0,125 гц, а также тот факт, что спектр стремится к нулю как в сто-
сторону низких, так и в сторону высоких частот. Появление пика сле-
следовало ожидать, поскольку взаимная корреляционная функция со-
содержит периодичность. Это говорит о том, что корреляция этих
двух процессов сосредоточена в основном в полосе частот около
0,125 гц. С помощью (8.4.16) находим фазовый спектр этого про-
процесса:
(Л =
= arctg (- 9 ctg л/). (8.4.20)
Этот спектр показан на рис. 8.10. Мы видим, что низкочастотные
компоненты ряда 1 отстают от компонент ряда 2 примерно на 90°,
но с увеличением частоты эта разность фаз стремится к нулю.
Практическое использование квадрата коэффициента когерент-
когерентности. Спектр когерентности полезен на практике, поскольку он
является безразмерной мерой корреляции двух временных рядов,
зависящей от частоты. Таким образом, его следует предпочесть
взаимному амплитудному спектру, зависящему от масштаба изме-
измерений Xi(t) и X2(t). Следовательно, свойства взаимной корреля-
корреляции двух временных рядов можно описать с помощью квадрата
спектра когерентности rf2(f) и фазового спектра ф1г(/). В разд. 9.2
будет показано, как можно оценить эти спектры по записям ко-
конечной длины.
8.4.5. Линейные операции над двумерными
временными рядами
В разд. 9.4.2 мы увидим, что, перед тем как проводить взаим-
взаимный спектральный анализ, необходимо отфильтровать временные
ряды. В настоящем разделе мы исследуем влияние такой предва-
предварительной фильтрации на спектр когерентности и на фазовый
спектр.
Предположил!, что процессы Xi(t), Xz(t) подвергаются филь-
фильтрации, в результате которой они переходят в процессы Yi(t),
Yz(t):
= j hl(v)Xl(t-v)dv,
(8.4.21)
Y2(t)= J h2(v)X2(t-v)dv.
Действуя так же, как и в разд. 5.2.2, получаем взаимную ковариа-
ковариационную функцию профильтрованных процессов
оо оо
Yk,k2 («) = J J A, (v) h (v') Yx.x, (u + v- V) dv do'. (8.4.22)
о о
Взяв преобразование Фурье от (8.4.22), получим взаимный спектр
Гк1уг(/) = ЯК/)Я2(/)Гад(/)- (8-4-23)
Так как
х.(/), /=1,2,
то спектр когерентности профильтрованного двумерного ряда
равен
к^{П ~ | н\ (/)
*
| я2
,Х] (П г№
120
Глава 8
Следовательно, после фильтрации спектр когерентности остался
тем же самым.
Из (8.3.27) и B.3.17) получаем
= Gt(f)
Таким образом, фазовый спектр изменяется на величину cp2(f) —
— 9i(/). Заметим, однако, что если hi(u) =к2(и), то (pi(f) = q>2(f)
и фазовый спектр не меняется в результате фильтрации. Следова-
Следовательно, если оба входных процесса подвергаются одинаковой филь-
фильтрации, то взаимный амплитудный спектр умножается на G2(f),
а спектр когерентности и фазовый спектр остаются неизменными.
Остаточный спектр (гл. 10) для отфильтрованных данных изме-
изменится при фильтрации так же, как и автоспектр ГГгК!(/), т. е. оста-
остаточный спектр для отфильтрованных данных будет равен остаточ-
остаточному спектру для исходных данных, умноженному на G\{f).
ПРИЛОЖЕНИЕ П8.1
РЕАЛИЗАЦИЯ ДВУХ ДВУМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Таблица П8.1
X
t - 1 - 25
-0,88
-0,16
-1,87
-1,12
1,38
2,13
2,76
0,56
-0,69
-1,79
-3,82
-2,38
1,00
0,70
-0,15
0,98
0,11
-0,35
-0,73
0,89
-1,63
-0,44
-1,37
-1,71
-1,22
Реализация
t - 26 - 50
-2,00
-0,22
0,38
1,31
0,71
0,32
0,48
-1,88
-0,94
-1,54
-0,13
1,02
0,02
-0,77
0,11
-0,60
-0,52
-0,09
1,23
1,46
0,61
0,42
2,16
3,18
2,10
t - 51 - 75
0,37
-0,24
0,57
-0,53
2,44
1,02
-0,53
-2,49
-2,12
-1,04
-0,12
-1,88
—1,50
1,54
3,33
3,08
1,71
0,79
1,55
0,89
-0,89
-1,18
0,89
1,71
3,05
двумерного линейного процесса
'и
0,15
-1,04
0,12
0,08
0,11
-2,62
-1,28
1,07
3,20
1,92
0,53
-1,08
0,49
-0,58
0,17
1,15
-0,97
-1,63
1,14
-0,67
-0,88
-0,07
0,24
0,55
-2,16
X2t
t — 1 - 25
0,79
1,12
-1,10
-2,39
-1,75
-0,82
-0,36
1,27
1,75
2,44
0,36
-2,10
-1,93
-1,30
-1,75
-0,34
0,74
0,49
0,70
0,71
0,09
0,59
1,54
0,14
0,55
t - 26 - 50
-1,40
-2,55
-1,66
-0,43
0,58
2,18
—0,24
0,58
—0,18
-1,55
—0,64
-1,09
0,90
-0,66
-0,35
0,48
0,50
0,05
—0,68
0,24
0,58
-1,26
—0,25
0,25
2,18
fO,5*2<_,+
( = 51-75
2,96
1,56
—0,36
-0,59
—0,12
3,03
2,11
0,78
0,89
-1,45
—0,36
—0,37
—1,39
-4,19
—0.73
-0,98
0,36
0,06
— 1,94
—0,08
0,17
1,00
—0,05
0,43
0,15
zn
, = 76-100
2,69
0,57
0,29
1,10
0,48
—1,06
-2,28
—2,03
-0,75
1,00
1,71
0,58
1,97
0,99
1,94
2,18
3,14
0,60
0,51
1,35
0,56
0,11
0,00
2,34
1,88
Таблица 178.2
t = 1 - 25
-2,07
-1,15
0,69
-0,46
-1,49
-0,70
-1,07
-0,69
-0,68
1,27
-1,05
-0,05
-0,84
-0,62
-0.49
-1,29
-0,49
-1,06
-0,38
-0,52
-0,13
1,30
-1,51
-0,43
-1,33
Реализация ;
/ = 26 - 50
-0,78
0,31
-0,95
-0,90
-0,30
-1,02
-0,53
0,15
1,40
1,22
0,59
0,70
1,70
2,78
1,98
1,39
1,85
2,60
0,51
2,77
1,16
1,07
-0,48
-0,52
0,37
t = 51 -75
0,00
-1,99
-1,75
0,70
0,73
1,16
0,06
-0,02
1,10
-0,35
-1,67
-1,57
1,16
1,84
3,35
0,40
0,45
1,30
0,93
1,17
-1,74
-1,28
-0,07
1,50
0,53
(вумерного
/ = 76-100
0,20
-0,42
1,18
0,82
1,50
2,92
1,18
1,23
3,16
0,79
0,68
1,14
1,02
1,02
-0,71
-0,17
-1,50
-0,26
-0,38
0,93
-0,33
-1,12
-2,95
-2,09
-1,11
процесса
*2/
t = 1 - 25
0,32
0,35
-2,03
-4,16
-3,55
— 1,04
2,60
0,67
-0,25
—0,90
-4,69
—3,50
1,62
0,81
-0,95
-2,24
-4,50
-4,55
-3,85
0,78
-0,02
-0,72
-1,84
-1,78
-2,77
с задержкой
У n t = 0,5и
/ = 16 - 50
-3,65
-3,38
-3,04
-3,03
-2,64
-1,01
2,88
-1,18
-1,91
-3,75
-3,61
-3,08
-4,18
-4,75
—2,62
—2,15
-1,61
-1,28
1,14
2,89
4,68
4,94
6,41
10,54
9,06
/ = 51-75
8,00
7,91
8,81
2,36
5,92
2,94
2,05
-1,52
—4,87
—2,96
—2,26
-4,23
—5,26
-0,96
0,37
3,58
1,63
1,05
3,77
1,60
—3,67
-6,24
— 1,82
2,11
7,51
/=.76-100
4,88
3,01
6,05
5,67
7,23
2,32
1,27
1,26
4,86
4,75
3,55
1,50
3,37
5,69
7,52
10,32
8,41
7,55
10,38
9,14
6,93
6,54
4,13
3,49
0,40
Глава 9
ОЦЕНИВАНИЕ ВЗАИМНЫХ
СПЕКТРОВ
В разд. 9.1 показано, что выборочный взаимный спектр обла-
обладает тем же нежелательным свойством, что и выборочный авто-
автоспектр: его дисперсия не зависит от длины записи. Однако из него
можно получить выборочную коспектральную функцию и выбороч-
выборочный фазовый спектр и построить с их помощью частотный крите-
критерий корреляции двух временных рядов.
В разд. 9.2 выводятся выражения для дисперсий и ковариаций
сглаженных коспектров и квадратурных спектров, а также для
сглаженных спектров когерентности и фазовых спектров. Пока-
Показано, что эти дисперсии и ковариаций зависят как от неизвестного
теоретического спектра когерентности, так и от способа сглажи-
сглаживания, влияние которого можно учесть.
В разд. 9.3 приводятся некоторые численные примеры оцени-
оценивания взаимных спектров, в которых показано, что если максимум
взаимной корреляционной функции сдвинут относительно нуля, то
получаются очень большие смещения. Теоретический анализ этих
смещений показывает, что их можно минимизировать с помощью
взаимного сдвига, или выравнивания, рядов, в результате которого
взаимная корреляционная функция достигает максимума в нуле.
В разд. 9.4 описана практическая методика оценивания взаимных
спектров и приведен пример.
9.1. СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНОГО ВЗАИМНОГО СПЕКТРА
9.1.1. Моменты выборочного взаимного спектра
для двух некоррелированных белых шумов
В этом разделе мы выведем выражения для средних значений,
дисперсий и ковариаций оценок, соответствующих выборочным ко-
коспектрам, квадратурным спектрам, а также выборочным фазовым
и взаимным амплитудным спектрам, предполагая, что два рассмат-
рассматриваемых процесса являются некоррелированными белыми шу-
шумами. Эти выражения окажутся полезными в двух случаях.
В разд. 9.1.2 мы используем их при выводе критерия корреляции
двух временных рядов, а в разд. 9.1.3 и 9.2.1 — при выводе момен-
моментов оценок, соответствующих обычным и сглаженным выборочным
124
Глава 9
взаимным спектрам, при довольно общих предположениях относи-
относительно случайных процессов Xi(t) и X2(t).
Как и раньше, процессы белого шума мы обозначим через Zi(t)
и Z2(t). Предполагается, что они имеют нулевые средние значения.
Преобразования Фурье отрезков этих процессов обозначим через
Г/2
Zt(f)= J ZtWe-Wdt^AtW-jBtW,
-772
где Ai(f), Bi(f) —синус- и косинус-преобразования Zi(t). Опуская
аргумент / в этих преобразованиях, можно записать случайные
функции, соответствующие авто- и взаимным спектрам, в виде
zt(f)
i=\, 2,
Z,(f)Z2(f)
+ В{В2) - j (B2At - ВХА2)].
(9.1.1)
(9.1.2)
Отсюда случайные функции, соответствующие коспектрам и квад-
квадратурным спектрам, имеют вид
L (f) = — (А А + В В ) (9 13)
Далее, если Zi(t)—гауссовские процессы, то, как было показано
в разд. 6.3.1, Ai и В{ являются гауссовскими случайными величи-
величинами. Было показано также, что если процессы Zi{t) имеют нуле-
нулевые средние значения, то
E[At] = E[Bt] = 0, (9.1.5)
и для гармонических частот fm = т/Т имеют место равенства
Cov [Л;, В;] = 0, г=1, 2.
Если, кроме того, процессы Zi(t) и Z2(t) некоррелированы, то
Cov [Л!, Л2] = 0 = Cov [В„ В2],
з„ л2]. (9л-7)
Моменты выборочного коспектра и квадратурного спектра.
С помощью этих формул можно вывести моменты выборочного
Оценивание взаимных спектров
125
коспектра и квадратурного спектра. Например, с помощью (9.1.3)
и (9.1.7) получаем
Е [112 (/)] = y {Е [А{А2] + Е [ВХВ2]} = О,
а с помощью (9.1.6) —
Var [Ll2 (/)] = ±- Е [A\A\ + В\В\ + 2В, VHJ =
9 9
° А
_L_J__] L_A
2 2^2 2
Аналогично,
Cov[LI2(f), Q12(/)] = 0.
Можно показать, что Li2(f) и Qi2(f) некоррелированы с Сц(/) и
Сгг(/)- Поэтому ковариационная матрица оценок Сц(/), Czz(f),
Li2(f) и Qi2(/) будет иметь вид
О
О о\
о
о
о
о
О 0 4
0 О
U -^гО. (То
(9.1.8)
Распределение оценок, соответствующих выборочному взаим-
взаимному амплитудному спектру. Случайная оценка, соответствующая
выборочному взаимному амплитудному спектру, по определению
равна ЛJ([) = |Ci2(f)|, так что ее квадрат, используя (9.1.1),
можно записать в виде
= | Са (/) I2 =
= Си (/) С22
Удобнее сейчас ввести случайную величину
Щ2 (/)
9 9
2Cn(f) \[2C22{f)
= UV.
Используя независимость процессов Zi(t) и Z2(t) и тот факт, что
Cu(f) с точностью до множителя имеет %2"Распределение
(разд. 6.3.3), получаем, что случайная величина Y2(j) равна
произведению двух независимых величин U, V, имеющих
126
Глава 9
Оценивание взаимных спектров
127
^-распределение с двумя степенями свободы. Отсюда с помощью
C.3.6) получаем
E[Y4f)] = E[U]E[V] = 4,
Е [Y* (/)] = Е [U2] Е [V2] = (8) (8) = 64.
Следовательно,
Var[F2(/)] = 48,
(9.1.9)
Var \А\2 Щ = D^-) Var [Y2 (f)] = Zo\o\.
Отметим, что, в то время как дисперсия выборочного спектра
равна квадрату его среднего значения, дисперсия выборочного
взаимного амплитудного спектра равна утроенному квадрату сво-
своего среднего значения. Это увеличение дисперсии произошло из-за
того, что при оценке амплитудного спектра изменчивость создается
двумя процессами, а не одним.
Распределение оценки, соответствующей выборочному фазовому
спектру. Из (9.1.3) и (9.1.4) получаем случайную оценку, соответ-
соответствующую выборочному фазовому спектру:
/•12(/)-arctg|_ LiA{) j -
Рассмотрим теперь случайную величину Z.i2(/"). Случайные вели-
величины Аи Вг распределены по нормальному закону, так что область
изменения величины AtA2 + В^В2 простирается от —оо до +оо и,
следовательно, ее естественно аппроксимировать с помощью нор-
нормального распределения. Аналогичные соображения применимы и
к случайной величине Qiz(f)- Таким образом, можно считать, что
Lu(f) и Qi2@ распределены приблизительно нормально, незави-
независимо друг от друга и с одинаковой дисперсией. Отсюда Fi2(f)
имеет приблизительно равномерное распределение на интервале
(—я/2, л/2). Мы воспользуемся этим фактом в следующем разделе
при выводе критерия корреляции двух временных рядов.
9.1.2. Критерии корреляции двух временных рядов
Часто встречаются ситуации, когда бывает нужно проверить,
коррелированы два временных ряда или нет. Например, может
возникнуть необходимость проверки корреляции двух управляю-
управляющих переменных или остаточных шумов двух экономических вре-
временных рядов после подгонки соответствующей модели. Из
разд. 8.2.2 следует, что если оба временных ряда профильтровать
так, чтобы они превратились в белые шумы, то для проверки кор-
корреляции этих рядов можно будет использовать их выборочную
взаимную корреляционную функцию. Однако эта функция полезна
лишь для выявления корреляции определенного типа. Например,
если коррелированы соседние точки двух временных рядов, то сле-
следует ожидать, что выборочная взаимная корреляционная функция
будет велика при малых значениях аргумента и мала при больших
значениях. С другой стороны, если есть подозрение, что взаимная
корреляционная функция содержит гармоническую компоненту, то
этого, возможно, нельзя будет выявить с помощью выборочной
корреляционной функции. Поэтому нужно построить частотный
критерий корреляции двух временных рядов, который был бы
обобщением критерия белого шума, приведенного в разд. 6.3.2.
Этот частотный критерий следует использовать в сочетании с кри-
критерием, основанным на выборочной взаимной корреляционной
функции.
Выбор функций для критерия. Обсуждение в разд. 8.4.4 наво-
наводит на мысль о том, что в качестве исходных количеств для ча-
частотного критерия корреляции двух временных рядов можно было
бы использовать случайные функции, соответствующие выбороч-
выборочному спектру когерентности К\2 (f) и выборочному фазовому
спектру Fi2(f). Заметим, однако, что
2
x\(f)x2(f)
С„ (/) С22 (/)
= 1.
Таким образом, независимо от того, каков двумерный случайный
процесс, выборочный спектр когерентности тождественно равен
единице. Следовательно, необходим другой подход, использующий
выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый
спектр. Эти функции характеризуют два различных типа взаим-
взаимной корреляции процессов.
1. Выборочная коспектральная функция (integrated sample со-
spectrum). Рассмотрим коспектральную функцию
f
характеризующую полную синфазную ковариацию двух процеС'
сов для всех частот, не превосходящих /*). Тогда оценка ЛгШ
*) Более естественно в приведенном интеграле положить нижний предел
равным —оо. В этом случае определение коспектральной функции соответство-
соответствовало бы обычному определению спектральной функции. — Прим. перев.
128
Глава 9
определится как случайная величина, соответствующая выбороч-
выборочной коспектральной функции
к
(9.1.10)
Удобнее, однако, использовать нормированную оценку
i-0
где Si, S2 — оценки стандартных отклонений двух процессов. Если
процессы некоррелированы, то Ai2(/) тождественно равно нулю и,
0,2 -
О,) 0,2 0,3
Рис. 9.1. Выборочные коспектральные функции трех двумерных рядов.
следовательно, Jiz(fh) тождественно равно нулю, но если процессы
коррелированы, то Juifh) отлично от нуля. Используя (8.3.16),
получаем, что из-за нормировки (9.1.10) /^(/й) = ri2@) при fh =
= 1/2Агц.
На рис. 9.1 показаны выборочные оценки, соответствующие
(9.1.10), сосчитанные по выборке объема N = 100 из трех двумер-
двумерных гауссовских процессов. Эти процессы имели вид
X2t = aZlt + Z2i,
где Zi, Z2 — случайные нормальные числа и а принимало значения
0; 0,1 и 0,3. Таким образом, взаимные корреляции равнялись нулю
для всех ненулевых запаздываний, а для нулевого запаздывания
pi2@) =0; 0,20 и 0,55 соответственно. На рис. 9.1 видно, что при
pi2@) =0 выборочная коспектральная функция колеблется около
нуля и не указывает на существование корреляции между двумя
Оценивание взаимных спектров
129
процессами. При pi2@) = 0,20 выборочная коспектральная функ-
функция систематически возрастает до значения 0,20 при / = 0,5 гц, что
говорит о корреляции двух процессов. Так как ?i2(l/2A) = rJ2@),
то значение 0,20 при / = 0,5 гц является в этом случае хорошей
выборочной оценкой величины р1г@) =0,20. При pt2 @) =0,55 кор-
корреляция двух рядов становится весьма заметной. Таким образом,
поведение трех функций на рис. 9.1 подтверждает то, что исполь-
используемый критерий очень хорошо обнаруживает корреляцию двух
временных рядов. Значения выборочного коспектра и квадратур-
квадратурного спектра для случая pi2@) =0 приведены в табл. 9.1. Чита-
Читатель может воспользоваться ими для вычисления выборочной ко-
коспектральной функции, изображенной на рис. 9.1.
Таблица 9.1
Выборочные коспектр и квадратурный
h
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
*12('*)
0,08
0,03
0,71
—0,10
-0,39
—0,19
0,63
0,00
-0,03
—0,79
0,17
-0,15
—0,27
0,09
-0,40
-0,42
0,21
0,49
-0,15
-0,79
0,23
—0,08
0,02
0,90
0,21
1,53
— 1,44
—0,57
—0,78
-1,17
0,38
0,81
—0,04
0,28
-0,15
0,43
—0,35
0,18
—0,16
0,79
0,78
0,31
0,04
—0,76
1,19
1,49
—0,31
0,04
0,61
0,21
белых
F.2 (h)
—
—
—
—
(
—
(
1,52
1,35
3,75
,44
,25
,10
3,91
,47
,47
3,19
,19
,17
—0,57
— 1,09
— 1,10
-1,08
0,97
0,08
1,38
—0,98
1,42
1,31
1,06
0,60
(
),78
спектр для двух некоррелированных
шумов
h
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0.39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
— 1,20
—0,38
0,22
—0,21
-0,15
0,26
0,12
0,37
0,02
0,01
0,16
—0,86
0,39
-1,05
—0,63
-0,50
—0,53
0,23
-0,41
1,71
0,04
—0,52
1,39
-0.67
0,10
«i»(f»)
-0,47
0,08
1,24
0,05
—0,45
0,08
—0,14
—0,52
—0,48
1,11
—0,60
—0,54
0,31
0,29
0,78
—0,45
0,18
0,03
2,42
— 1,00
1,23
—0,25
1,36
0.08
—0,91
Fii (f*)
0,39
—0,22
1,40
—0,22
1,25
0,32
—0,89
—0,96
-1,54
1,56
-1,32
0,56
0,67
—0.27
-0,89
0,73
—0,32
0,11
—1,40
—0,53
1,54
0,45
0,77
-0,12
0,00
2. Фазовый спектр. Другой функцией, которая может указы-
указывать на корреляцию двух рядов, является оценка фазового спек-
спектра Fi2(f). В разд. 9.1.1 было показано, что если два процесса
некоррелированы, то эта оценка фазового спектра будет распреде'
лена Приблизительно равномерно в интервале (—я/2, я/2),
5 Зак. 1178
130
Глава 9
Следовательно, функция распределения фазового угла будет вы-
выглядеть как наклонный отрезок прямой в этом интервале.
Численные значения выборочных оценок фазы для двух белых
шумов [случай рJ @) =0] приведены в табл. 9.1 вместе с выбо-
выборочными коспектром и квадратурным спектром. Выборочная функ-
функция распределения фазы показана на рис. 9.2. Мы видим, что
имеется хорошее согласие между выборочной и теоретической
функциями распределения. Чтобы увидеть, значимы ли отклонения
от линейности, можно нанести на рисунок 95%-ные доверительные
Доверительные jq-
границы
95%
-75% пд.
,'У-
-*/2
я/г
Рис. 9.2. Выборочная функция распределения фазы для одного двумерного
процесса.
пределы на расстоянии ± 1,Зб/]/Л72 от теоретической функции
распределения и 75%-ные пределы на расстоянии ± \ ,02/ YN/2.
Мы видим, что выборочная функция распределения лежит це-
целиком внутри этих пределов при pi2@) =0. При pi2@) =0,20 и
0,55 выборочная функция распределения также лежит вблизи тео-
теоретической прямой. Таким образом, при pi2 @) = 0 ни выборочная
коспектральная функция, ни выборочный фазовый спектр не об-
обнаруживают корреляции двух рядов. Когда pi2 @) = 0,20 и 0,55,
поведение выборочной коспектральной функции указывает на кор-
корреляцию рядов, но выборочный фазовый спектр ведет себя так
же, как и в случае некоррелированных рядов. Этого следовало ожи-
ожидать, так как теоретический фазовый спектр при этом равен нулю.
Конечно, в общем случае коррелированные двумерные процессы
будут иметь как отличный от нуля коспектр, так и ненулевой фа-
фазовый спектр. В таких случаях можно ожидать, что корреляция
будет обнаружена как с помощью выборочной коспектральной
функции, так и с помощью выборочного фазового спектра.
Оценивание взаимных спектров
131
9.1.3. Общие свойства моментов оценок,
соответствующих выборочным взаимным спектрам
В этом разделе мы обобщим результаты разд. 9.1.1 на случай
коррелированных процессов, не являющихся белыми шумами.
Строгий вывод этих результатов довольно сложен, и мы поместили
его в Приложении П9.1. В настоящем же разделе мы восполь-
воспользуемся эвристическими методами, которые являются обобщением
методов, применявшихся в разд. 6.4.1 для одномерных спектров.
Вычисление ковариационной матрицы величин Сц(/), С22(/),
^-12G) и Q12(/) для коррелированных негауссовских процессов про-
проводится в три этапа. Сначала вычисляется ковариационная ма-
матрица каждой из этих оценок на двух различных частотах для
случая негауссовских некоррелированных белых шумов. Затем
можно найти ковариационную матрицу величин Сц(/), С2г{1),
Ciz(f), C2i(f). С помощью этой матрицы можно выписать такую
же матрицу, но уже для произвольного двумерного процесса. И на-
наконец, из ковариационной матрицы величин Сц(/), С2?,(f), Ci2(/),
CZi(f) получается ковариационная матрица величин Cu(f), C^lf),
Luif), Q12(/) Для произвольного процесса.
Обобщенная ковариационная матрица взаимных спектральных
оценок для некоррелированных белых шумов. Формулы разд. 9.1.1
были выведены для гармонических частот fm = rn/Т и для некор-
некоррелированных гауссовских белых шумов. В Приложении П9.1 ана-
аналогичные формулы получены в более общем случае: для всех
частот и для некоррелированных, негауссовских белых шумов. Из
этих формул следует, что
Далее, ковариации оценок Cn(f), С22(/), La(J), Qiz(f) на двух
частотах /i и /2 можно получить из матрицы
о
о
о
9 ¦>
СТГ0о
( » J
(9.1.12)
132
Глава 9
Например, элемент из первой строки и первого столбца равен
Cov[Cn(/i), Cu(f2)], элемент из первой строки и второго столбца
равен Cov[Cn(/i), С22(/2)] и т. д. Матрица (9.1.12) называется
обобщенной ковариационной матрицей оценок. При A = f2 = / она
переходит в обычную ковариационную матрицу величин Сц(/),
C22(f), Li2(f) и Qi2(f). В (9.1.12) использованы следующие обозна-
обозначения: Wo = Л2/Л/ и
A sin ЛМ&. (fi - /2)
N sin яД (/, - /2)
(
для дискретных процессов. Аналогичным образом Wo = l'/Т и
sin лТ (fj - f2) m 1л л __ sinjtT (h±J2l
(9.1.14)
для непрерывных процессов. Буквами К{1) и /С® обозначены чет-
четвертые кумулянты процессов Zt(t) и Z2(/) соответственно (для
гауссовских процессов они равны нулю).
Из (9.1.12) видно, что каждая из спектральных оценок некор-
релирована с любой другой оценкой на одной и той же или на
разных частотах. Кроме того, значения любой из этих оценок на
достаточно разнесенных частотах также некоррелированы. Отме-
Отметим, что при А =/2 дисперсии оценок не зависят от Т— длины за-
записи. В этом смысле взаимные спектральные оценки обладают
теми же нежелательными свойствами, что и оценки автоспектров.
Отметим еще, что коваркации оценок коспектра и квадратурного
спектра не содержат членов с четвертым кумулянтом, так что они
всегда имеют порядок 1/Г2 для больших |А— fz\-
Обобщенная ковариационная матрица величин Cu(f), C22(f),
С12О), C2l(f). Поскольку
ковариационную матрицу величин С1Ь С22, Ci2 и Си нетрудно по-
получить из матрицы (9.1.12). Например,
Cov [C12 (f,), С21 (Ш = Е [{L2 (А) - /Q12 (A)) (L12 (f2) + jQl2 (Ш =
[Ll2(A), Ll2(/2)J + Cov[Q12(A), Q12(f2)] = o*olW*(-).
Оценивание взаимных спектров
133
Окончательное выражение для обобщенной ковариационной ма-
матрицы величин Cu(f), C22(f), Ciz(f), C2i(f) имеет вид
A»
+ o\{W4-)+W2( + )}
0
0
0
0
0
a]o\W2 \
oy2w2(-)
o\o\W2
(9.1.15)
Мы воспользуемся сейчас этим выражением, чтобы получить ко-
ковариационную матрицу взаимных спектральных оценок для про-
процессов, отличных от белого шума. Отметим, что если расстояние
между частотами А и f2 не является достаточно малой величиной,
то все эти ковариации приблизительно равны нулю.
Обобщенная ковариационная матрица взаимных спектральных
оценок для произвольных процессов. Воспользуемся теперь тем,
что двумерный случайный процесс с произвольными спектрами
мощности Ги(/), F22(f), Fi2(/) можно получить, пропуская два про-
процесса белого шума через цепь, состоящую из четырех линейных
систем (разд. 8.1.4). Таким образом, беря преобразования Фурье
от равенств (8.1.14) и делая те же приближения, что и в F.4.3),
получаем
X^f) ~ Hn(f)ZlT(f) + Hl2(f)Z2r(f),
X2(f)~H2l(f)ZiT(f)
где
—Г/2 -
с22 (/)
cI2 (f)
r(f)—преобразование Фурье от Zi(t) на интервале
t < 772. Отсюда получаем
Я„ (f) Р CZlZl (/) +1 Я12
+ я;, @ я12 (/) с
яи (/) я;2
я21 (f) р cZlZl (/) +1 я22 (f) р cZ2Z2 (/) +
Я21
Я
22
Я21 (/) Я22 (J) C
(9. \.щ
(9.1.17)
я;, (f) я
21 (f) cZiZ
+ я;, (f) я
я;2 (/) я22
22
ад (f) + я;2 (/) я21 (/) cZiZi (/). (9.1 л 8)
134
Глава 9
Следовательно, воспользовавшись (8.4.17), мы будем иметь
Е [С22 (/)] « | Я21 (/) р а] + | Я22 (/) р о\ = Г22 (/), (9.1.20)
Ковариационная матрица величин Сц({) легко получается из
равенств (9.1.16) —(9.1.18) и из ковариационной матрицы (9.1.15).
Например, учитывая, что ковариационная матрица приблизительно
равна нулю для всех частот, кроме /i «* f2, получаем из (9.1.16)
и (9.1.17)
I. (h) H12 (f,) Я;, (/2) Я22 (/2) a]a\W2 (+) +
и (f,) я12 (/,) я21 (/2) я; (/2) a*oiw (-) +
„(Л) "и (/,) ^, (/2) Я22 (/2) а^Г» (-) +
; (/.) ^2. &) /^ (/2) °\°w2 (+)¦
„ (f о
Члены W2( + ) малы по сравнению с W2(—), и ими можно прене-
пренебречь. Воспользовавшись для fi ~ ^ приближенным равенством
fz) ~ ffij(fi) и записывая Hij(fi) в виде Я,^-, получаем
Поэтому, опуская аргумент fi, обобщенную ковариационную ма-
матрицу величин Си, Cxi, Z.12 и Ql2 на частотах fi и f2 (fi ~ f2) для
произвольного процесса можно записать в виде
Г2 I Г 12 Г Л Г* УГГ
11 Ц 12 Г Ац-Л-12 1цТ12
W2(-)
г„л12 г22л12 ^
Л|
(9.1.22)
Выражение (9.1.22) для ковариационной матрицы спектральных
оценок приведено в [1, 2]. Оно справедливо для очень малых зна-
значений ||/i! — |/Ч|. Если разность частот больше 1/Г, то эти ко-
вариации приблизительно равны нулю. Более строгий вывод этих
формул приводится в Приложении П9.1. Отметим одно обстоя-
Оценивание взаимных спектров
135
тельство, которое нам пригодится впоследствии: W2(—) стремится
к -зг 6 (Д —/2) Для непрерывных процессов и к -ttt-6 (/, —/2) Для
дискретных процессов при очень больших Т.
9.2. СВОЙСТВА СГЛАЖЕННЫХ ОЦЕНОК
ВЗАИМНЫХ СПЕКТРОВ
9.2.1. Сглаженные оценки взаимных спектров
В разд. 9.1.3 было показано, что выборочные оценки взаимных
спектров обладают тем же нежелательным свойством, что и вы-
выборочный автоспектр: главный член их дисперсии не стремится
к нулю с увеличением длины записи. Поэтому оценки взаимных
спектров необходимо сгладить с помощью спектрального окна
точно так же, как нужно было сгладить оценки автоспектров.
Сглаженная сценка взаимного спектра определяется следую-
следующим образом:
т
С и (f)= / w (и) с12 (и) e-i2"f« du, (9.2.1)
-т
где корреляционное окно w(u) обладает обычными свойствами
F.3.29). Разлагая ci2(u) на четную и нечетную части [см. (8.3.19),
(8.3.20)], получаем
т т
С12 (/) = \ w {и) /12 (и) cos 2nfu du — j J w (u) qn (u) sin 2nfu du =
-Г -T
= I12(f)-jQi2(f), (9.2.2)
где Li2(f) и Qi2(f) —сглаженные оценки коспектра и квадратур-
квадратурного спектра.
Математическое ожидание сглаженных оценок взаимных спект-
спектров. Оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру
Cii(f), определяется следующим образом:
Ci2(f)= I cl2{u)e-i^udu.
-т
Ее математическое ожидание можно найти с помощью (8.3.21)
т
-т
136
Глава 9
Последнее выражение можно переписать в виде
оо
Е [С12 (/)] = J Т {^ff Г12 (/ - g) dg « Г12 (/). (9.2.3)
Приближенное равенство в (9.2.3) справедливо из-за того, что
при большом Т спектральное окно становится очень узким. Таким
образом, с хорошей степенью приближения можно считать, что
Ci2(f) является несмещенной оценкой Г12(f)- Взяв математическое
ожидание от обеих частей (9.2.1) и воспользовавшись равенствами
(8.3.21) и (9.2.3), получим среднее значение сглаженной оценки
взаимного спектра:
[С12 (/)] = J w (и) (l - -Lfi-) Yl2 (и) е-
-Г
du
оо
J W(g)rl2(f-g)dg~Ta(f).
(9.2.4)
Функцию Fi2(/) назовем^ средним сглаженным взаимным спектром.
Так как Е[Сл{!)] = E[Ln{f)] — jE[Qu(f)\, то средние сглаженные
коспектры и квадратурный спектр можно записать в виде
т
Е[112 (/)] = J w {и) A - i|l) Я,2 (и) cos 2я/м dw «
J
(9.2.5)
[Q.2 (/)] = J a> (и) A - ifi
T
во
(9.2.6)
Равенства (9.2.4) — (9.2.6) по биду Похожи на равенства F.3.35) —
F.3.37) для математического ожидания оценки автоспектра. Од-
Однако имеется и существенное отличие, состоящее в том, что авто-
автоковариационная функция Yn(") B F.3.37) является четной. По-
Поэтому можно ожидать, что если |уи (и) | —> 0 достаточно быстро
при «—*оо, то смещение Bu(f) = Tn(f) — Гц(/) также будет стре-
стремиться к нулю весьма быстро с увеличением значения М точки
отсечения корреляционного окна. Для оценки взаимного спектра
Оценивание взаимных спектров
137
ситуация меняется, так как взаимная корреляционная функция не
является четной. Таким образом, в том крайнем случае, когда один
процесс в точности повторяет другой, но с некоторой задержкой
т во времени, взаимная корреляционная функция будет равна
автокорреляционной функции, сдвинутой по времени на величи-
величину т. Из-за этого среднее значение (9.2.4) сглаженной оценки
взаимного спектра будет иметь заметное смещение, если точка
отсечения М меньше задержки т. При этом, если т велико, то при
и = х значения корреляционного окна w(u) будут малы. Поэтому
для того, чтобы смещение было невелико, потребуются очень боль-
большие значения точек отсечения. Мы продемонстрируем этот эффект
в разд. 9.3. Там же будет показано, что от такого нежелательного
эффекта можно избавиться с помощью выравнивания двух рядов,
после которого их взаимная корреляционная функция принимает
максимальное значение при малом значении аргумента.
Ковариационная матрица сглаженных оценок взаимных спект-
спектров и автоспектров. Используя свойство свертки (П2.1.8), сгла-
сглаженную оценку взаимного спектра (9.2.1) можно записать в дру-
другом виде:
= | Ca(f-g)W(g)dg.
(9.2.7)
Отсюда
00 00
= j J Cov[C/y(/,-g), Ckt(f2-h)]W(g)W(h)dgdh. (9.2.8)
~oo —00
Ковариационную матрицу сглаженных спектральных оценок мож-
можно вывести с помощью матрицы (9.1.22). Например, для боль-
больших Т из (9.1.22) следует, что
Cov [с„ (/,), с22 (f2)] «1 г12
Отсюда
- J J I rI2 (Л - g) p6 (/' ~ /2r~
— oo — oo
oo
W(g)W(h)dgdh
138
Глава
Предполагая, что Tizif) мало меняется в полосе спектрального
окна, и делая в (9.2.9) замену /i — g = h, получаем
оо
Cov[Cu(/i), C22(/2)] ~ lr'2^l)|2 J W{fl-h)W{f2-h)dh. (9.2.10)
— оо
При /, = /2 = / равенство (9.2.10) сводится с помощью F.4.13) к
Cov [Си (f), C22(f)]
J W*
. (9.2.11)
Аналогичные выражения можно получить и для других спектраль-
спектральных оценок.
Таким образом, эффект сглаживания состоит в уменьшении
дисперсий и ковариаций несглаженных оценок в ЦТ раз. Следо-
Следовательно, ковариационная матрица сглаженных оценок получается
из ковариационной матрицы (9.1.22) несглаженных оценок с по-
помощью замены множителя W2(—) на ЦТ. Более строгий вывод
этих результатов приведен в приложении П9.1.
Сама ковариационная матрица сглаженных спектральных оце-
оценок непосредственно не представляет особого интереса. Она нужна
лишь как промежуточная ступень при выводе ковариационной ма-
матрицы сглаженных оценок взаимного амплитудного спектра, спек-
спектра когерентности и фазового спектра. Эта последняя матрица
выводится в следующем разделе.
9.2.2. Сглаженные оценки взаимного амплитудного
и фазового спектров и квадрата спектра когерентности
Как показано в разд. 8.4.4 для описания корреляции двух слу-
случайных процессов, в частотной области можно воспользоваться их
взаимным амплитудным и фазовым спектрами. Однако удобнее
взять квадрат спектра когерентности и фазовый спектр.
Имеется несколько способов определения сглаженных оценок
этих спектров. Один простой способ состоит в том, чтобы в теоре-
теоретические выражения для этих спектров подставить сглаженные
оценки коспектра и квадратурного спектра. В результате с по-
помощью (8.3.28) сглаженная оценка взаимного амплитудного спек-
спектра будет иметь вид
Л2 (/) = УШпу+Ж{[). (9.2.12)
Аналогично с помощью (8.3.29) можно определить сглаженную
оценку фазового спектра
h~). (9.2.13)
= arctg 1--Q
Оценивание взаимных спектров
139
Наконец, пользуясь равенством (8.4.18), определяем сглаженную
оценку квадрата спектра когерентности
(9.2.14)
"' спA)С,АП
Заметим, что, даже если бы оценки Li2(f) и Qi2{!) были несме-
несмещенные, оценки (9.2.12) — (9.2.14) все равно имели бы смещение.
Однако это смещение было бы мало но сравнению со смещением,
вызванным отсечением концов взаимной корреляционной функции
и ее несимметричностью относительно нуля. Поэтому можно счи-
считать, что среднеквадратичная ошибка из-за этого не увеличится.
Так как все оценки _ (9.2.12) — (9.2.14) я_вляются нелинейными
функциями от оценок Liz(f), Qi2(f), Cn(f), C22U), то для нахожде-
нахождения их моментов нужно разложить эти нелинейные функции в ряд
Тейлора, как показано в разд. 3.2.5 и в [2]. В качестве примера
найдем среднее значение и дисперсию сглаженной оценки взаим-
взаимного амплитудного спектра (9.2.12). _
Для удобства записи опустим аргумент f, так что (9.2.12) за-
запишется в виде
А12 =
Q?2.
Рассмотрим теперь малые возмущения 6Li2 и &Qi2 около матема-
математических ожиданий E[Li2] = Аи, E[Qu] = tyu, с помощью которых
можно записать
Аналогично
Разлагая (9
д2 - V{i
Отсюда
Е[А12]~
Уаг[Л12]~
E[6L12] = 0 = E[6Ql2].
получаем
Е [б!212] = Var [L12]..
Е [oQ?2] = Var [Q12],
Е [6L12 6Q12] = Cov [Ll2,
.2.12) в ряд Тейлора, имеем
VI2 + 6Z.1# + (%2 + 6Q12)^a12(l
: a,2,
Л*2 Var [Zl2] + ??2 Var [QI2] + 2Л12Т,
«12
i
Q,2]-
2Cov[L|2,
2 + ^12
«?2
Q12]
*
(9
(9
)
.2.
.2.
15)
16)
140
Глава 9
Заменяя в ковариационной матрице (9.1.22) W2(—) на ЦТ, по-
получаем
Var [I12] « -L- {Г„Г22 + Л?2 -
Cn\r\F П 1 — Л W
v-"UV[/^i2, *x12j '"^ т 12*12*
Подставляя эти выражения в (9.2.16), находим дисперсию сгла-
сглаженной оценки взаимного амплитудного спектра
(9.2.17)
Заметим, что, когда процессы Xt и Х2 одинаковые, Ai2 = Си,
• = Гц и к22 = 1. Следовательно, в этом случае (9.2.17) имеет вид
что совпадает с формулой F.4.13), полученной ранее. Аналогич-
Аналогичным образом_можно получить формулы для дисперсий и ковариа-
ковариаций оценок Am, F\2 и Ки. Они будут следующими.
Дисперсия сглаженной оценки спектра когерентности и его
квадрата
~~ --4-A - х22J, (9.2.18)
Var
ЧТ
Дисперсия сглаженной оценки фазового спектра
Var'^~i(i-')-
(9.2.19)
(9.2.20)
Отметим, что эти дисперсии не зависят от теоретической функции
фазового спектра.
Свойства ковариаций:
Cov [Fl2,
0.
(9.2.21)
Полученными формулами мы воспользуемся в следующем разделе
при выводе доверительных интервалов для фазового спектра и
спектра когерентности.
Оценивание взаимных спектров
141
9.2.3. Доверительные интервалы для квадрата спектра
когерентности и для фазового спектра
В этом разделе мы обсудим некоторые практические примене-
применения формул, выведенных в разд. 9.2.2, и используем их при по-
построении доверительных интервалов для спектра когерентности и
фазового спектра.
Из формул (9.2.17) — (9.2.20) видно, что дисперсии этих оценок
зависят от фактора сглаживания ЦТ, которым можно управлять
с помощью стягивания окна, и от спектра когерентности x?i2(f)
двух процессов A'i(^) и X2(t):
Кроме того, мы видим, что во всех случаях, кроме (9.2.17),
дисперсия оценки равна нулю, когда коэффициент когерентности
равен единице, и возрастает, когда этот коэффициент стремится
к нулю. В действительности дисперсии оценок взаимного ампли-
амплитудного и фазового спектров стремятся к бесконечности, когда ко-
коэффициент когерентности обращается в нуль. Этого следовало
ожидать, так как малые значения когерентности соответствуют
большому уровню шумов и, следовательно, неэффективной оценке.
Таким образом, мы получаем важный практический вывод: выбо-
выборочные свойства оценок фазового и взаимного амплитудного спек-
спектров могут зависеть в большей степени от спектра когерентности,
которым мы не можем распоряжаться, чем от находящегося в на-
нашем распоряжении фактора сглаживания ЦТ.
Доверительные интервалы для спектра когерентности. Из свой-
свойства ковариаций (9.2.21) следует, что оценки фазы и когерентности
некоррелированы, и, следовательно, доверительные интервалы для
соответствующих спектров можно строить_ по отдельности. Фор-
Формула (9.2.18) для дисперсии величины |ЛГ1г(/)| похожа, если не
учитывать эффект сглаживания, на формулу для дисперсии обыч-
обычного коэффициента корреляции. Поэтому можно применить г-пре-
образование Фишера [3]. Таким образом, с помощью C.2.28) по-
получаем, что оценка
имеет дисперсию
Var[K12(/)]
(9.2.22)
не зависящую от частоты. Это наводит на мысль_о том, что лучше
строить график выборочной оценки величины Fi2(/), чем график
самого коэффициента когерентности, поскольку для этой величины
доверительный интервал будет постоянным.
Чтобы получить этот доверительный интервал, естественно
предположить, что случайная величина Yuif) имеет приближенно
142
Глава 9
нормальное распределение. В таком случае приблизительный
100A — а) %-ный доверительный интервал для Arth x\2(f) имеет вид
Y ¦ (9.2.23)
Предположим, например, что наблюденная величина коэффициен-
коэффициента когерентности \Ki2(f)\ = 0,8 и что 1/2Г = 0,09. Тогда yi2(f) =
= 1,099 и 95%-ный доверительный интервал для Arth[%i2(/)] имеет
вид 1,099 ± 1,96 1/0^09, т. е. @,511; 1,687).
Возвращаясь к исходным величинам, получаем 95%-ный дове-
доверительный интервал для х^2(/): @,22; 0,87). Для практических це-
целей удобней построить график преобразованного спектра когерент-
когерентности Y и затем нанести на этот график постоянный доверительный
интервал (9.2.23). Примеры преобразований коэффициента коге-
когерентности будут приведены в разд. 9.3.
Доверительные интервалы для фазового спектра. Приближен-
Приближенное распределение для оценки фазы получить труднее, чем для
оценки когерентности. В [1] получено довольно точное приближе-
приближение распределения этой оценки, но оно очень громоздко. Однако
можно воспользоваться формулой (9.2.20), чтобы получить грубые
доверительные интервалы для фазового спектра [2]. Более точные
совместные интервалы для усиления и фазового сдвига будут
даны в гл. 10.
В разд. 9.1.1 было показано, что если истинный коэффициент
когерептности равен нулю, то оценка, соответствующая выбороч-
выборочному фазовому спектру, распределена равномерно на интервале
(—я/2, я/2). Далее, формула (9.2.20) показывает, что влияние
сглаживания сеодится к уменьшению дисперсии оценки фазы. По-
Поэтому следует ожидать, что сглаживание приведет к тому, что
распределение оценки фазы будет сосредоточено в более узком
интервале, чем (—л/2, я/2). Чтобы упростить задачу, желательно
найти такое преобразование фазы, чтобы преобразованная вели-
величина имела приближенно нормальное распределение. Мы предла-
предлагаем преобразование tg.Fi2, так как при этом интервал изменения
преобразованной величины будет простираться от —оо до +оо.
С помощью (9.2.20) и C.2.26) получаем
Var[tgf,2]«sec4i2 — (—"
2Г \ xfo
(9.2.24)
Отсюда, аппроксимируя распределение величины igF\2 нормальным
распределением, получим приближенные 100A—а)%-ные довери-
доверительные интервалы для tg Ф12:
sec4
_?_»,. (9.2.25)
Оценивание взаимных спектров
143
Заметим, что истинные коэффициенты когерентности к\2 и фаза (pi2
в (9.2.24), (9.2.25) неизвестны и их надо заменить на выборочные
оценки. Так как из (9.2.20) следует, что дисперсия величины Fx2 не
зависит от ф12, то можно ожидать, что интервал (9.2.25) после обрат-
обратного преобразования, переводящего его в интервал для cpi2, почти
не будет зависеть от cpi2.
Половине доверительного
1 интервала (в градусах)
W 50 „60 v
Число степеней свободы
Р ис. 9.3. 95%-ные доверительные интервалы для фазового спектра.
На рис. 9.3 показаны 95%-ные доверительные пределы для раз-
различного числа степеней свободы выборочной спектральной оценки.
Эти значения взяты из [4]. Например, при v = 27 и К\ч= 0,5 полу-
получаем доверительный интервал (F ± 17°).
9.3. ВЗАИМНЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ИСКУССТВЕННЫХ РЯДОВ
В этом разделе мы проиллюстрируем понятия, введенные в пре-
предыдущих разделах, сравнивая сглаженные выборочные оценки
спектров фазы и когерентности искусственных рядов с соответ-
соответствующими известными теоретическими спектрами. В первом раз-
разделе приведены формулы для вычисления дискретных сглаженных
выборочных оценок. Раздел 9.3.2 предназначен для того, чтобы
144
Глава 9
читатель приобрел некоторый опыт в интерпретации выборочных
взаимных спектральных оценок. После этого станет ясно, что ме-
методы, описанные' до настоящего момента, нужно видоизменить,
чтобы получить удовлетворительные выборочные спектральные
оценки. В разд. 9.3.3 показано, что этого можно добиться с по-
помощью выравнивания двух рядов, т. е. сдвига по времени одного
ряда относительно другого так, чтобы их взаимная корреляцион-
корреляционная функция достигала своего максимального значения при нуле-
нулевом запаздывании.
9.3.1. Формулы для дискретного оценивания
Формулы для оценивания сглаженных взаимных спектров по
дискретным данным аналогичны формулам для автоспектров, опи-
описанным в разд. 7.1.1. Как и там, мы предположим, что ряды xit,
X2t,t = 1, ••-, N, получены при отсчете по времени с интервалом
А сек и что выборочные спектральные оценки вычисляются лишь
для положительных частот. Для удобства записи предположим
также, что А = 1, так что O^f^V2 гц. Если А ф 1, то сосчитан-
сосчитанную по приводимым ниже формулам выборочную оценку надо
умножить на А и построить график ее в интервале частот 0-^.f <1
¦*С1/2Агц. Как и в разд. 7.1.1, число запаздываний ковариационных
функций, используемых в спектральных оценках, обозначается че-
через L. Сглаженные выборочные спектральные оценки нужно вы-
вычислять в точках О, 1/2F, ..., 7г, где F в два-три раза больше L.
Корреляционное окно может быть одним из трех окон, описанных
в разд. 7.1.1.
Если присутствуют тренды, то могут получаться ложные связи
между рядами. В таких случаях желательно взять первые разно-
разности от обоих рядов. Как показано в разд. 8.4.5, операция взятия
разностей не изменит теоретические спектры фазы и когерентно-
когерентности. Всюду далее мы будем предполагать, что ковариации отно-
относятся либо к исходным рядам, либо к профильтрованным, если
это требуется.
Ниже приведены необходимые формулы и указан порядок вы-
вычислений.
1. Вычисления для ряда Хц-
а) Выборочная оценка автоковариационной функции
N-k
-l, (9.3.1)
t=\
где x^
Оценивание взаимных спектров
145
б) Сглаженная выборочная спектральная оценка
n(i) = 2 c
L
ная
-I
(9.3.2)
2. Вычисления для ряда x2t.
а) Выборочная оценка автоковариационной функции
N-k
(9-3.3)
где х2 = -ц-
t=\
б) Сглаженная выборочная спектральная оценка
1-\ Т
[L-\
с22@) + 2^<
с22 (k) w (k) cos
nki
. (9.3.4)
3. Совместные вычисления для рядов хи и x2t.
а) Выборочная оценка взаимной ковариационной функции
N-k
С12 (&) = -jf 2 (Хц ~ Xi) (X2t+k - X2), 0 < k < L - 1,
N-k
-l. (9.3.5)
б) Четная и нечетная части выборочной взаимной ковариа-
ковариационной функции
1
/(h\ __ Гр {Ь\ ^ р I — ЬМ С\ <^ 1> <^ Т 1 /Q Q (?\
12 \ / ~~ о L12 \/ *^ 12\ /J' ^^^ ^^^ ^ "~~ ^> \j.O.\Ji
1
/т A?\ — — Г/"* (t?\ ¦.. Z1 1 — Z?il О ^^*" b ^* J ^— I /Q Q V\
т 12 V / ~"~ ^Т^ L 12 \ / ^^ 12\ /J* ^^5 ^^^ ^ ^~ ^ * \ ч/« О* / I
Заметим, что <7i2(O) = O.
в) Сглаженные выборочные оценки коспектра и квадратурного
спектра
^•<Л (9.3.8)
Qt2@ = 4 2i<7i2(fe)^(^)sin^, l^^F-l, (9.3.9)
fe=i
с,2(о) = д,2(л = о.
146
Глава 9
г) Сглаженная выборочная оценка взаимного амплитудного
спектра
/l (9.3.10)
д) Сглаженная выборочная оценка фазового спектра
0 =
(9.3.11)
е) Сглаженная выборочная оценка квадрата спектра когерент-
когерентности
К\2A) = -
С
С,
(г)
(9.3.12)
Множитель 2 в уравнениях (9.3.2), (9.3.4), (9.3.8), (9.3.9) по-
поставлен для того, чтобы сохранить соотношение преобразований
Фурье между выборочными спектрами и выборочными ковариа-
циями, как и в разд. 7.1.1. В приложении П9.2 приведена логиче-
логическая схема вычислений взаимного спектрального анализа.
Нормировка. Иногда при изучении корреляции двух рядов
с различными масштабами измерения полезно их предварительно
нормировать так, чтобы получались выборочные оценки корреля-
корреляций и нормированных спектров. Формулы при этом останутся
теми же самыми, если заменить ковариации на корреляции. От-
Отметим, впрочем, что взаимный амплитудный спектр уже не будет
иметь смысла. Нормированные выборочные оценки корреляций по-
получаются из выборочных оценок ковариации по формулам
rl2(k) =
Vcn@)c12@)
(9.3.14)
9.3.2. Некоторые численные примеры взаимного
спектрального анализа
Детали вычислений. В этом разделе приводятся численные
примеры взаимного спектрального анализа искусственных двумер-
двумерных временных рядов с известными спектрами. Мы сравним тео-
теоретические спектры и сглаженные выборочные оценки спектра
когерентности (9.3.12) и фазового спектра (9.3.11), Влияние ши-
ширины полосы частот окна на дисперсию сглаженных выборочных
оценок мы проследим, сравнивая теоретические спектры с выбо-
выборочными оценками, сосчитанными по реализациям двумерных
временных рядов. Во всех численных примерах этого раздела для
сглаживания используется окно Тыоки.
Оценивание взаимных спектров
147
Аналогичным образом мы исследуем смещение, вычисляя сред-
средний сглаженный коспектр и квадратурный спектр
Я12 @) + 2 2 Я12 (k) w (k) cos 2nfk | ,
Z.-1
(9.3.15)
а также средние сглаженные автоспектры Гц(/), Ггг(/)- Из них
получаются средний сглаженный фазовый спектр и спектр коге-
когерентности по формулам
| = arctg[--J^-],
L л12(/) J
й?2(/) = ^
(9.3.16)
Г„(/)Г22(/)
Кроме того, вычисляются сглаженные выборочные взаимные спек-
спектральные оценки Ll2(f), Q12(/), Fl2{f) и К\2 if) по формулам
(9.3.8) — (9.3.12).
Два независимых процесса авторегрессии первого порядка
(он = —0,9). Первыми процессами, которые мы рассмотрим, явля-
ляются два независимых процесса авторегрессии первого порядка
с «1 = —0,9, N = 100. Взаимную корреляционную функцию этих
процессов мы оценивали в разд. 8.2.1. Теоретический и средний
сглаженный спектры когерентности этого двумерного процесса то-
тождественно раины нулю, а теоретический фазовый спектр не
определен. Поэтому мы не будем сравнивать теоретический п
средние сглаженные спектры. Основная цель этого примера —
сравнить теоретический спектр когерентности, который тожде-
тождественно равен пулю, с выборочными оценками когерентности для
реализаций двух рядов по 100 членов в каждой. На рис. 9.4 по-
показаны сглаженные выборочные оценки спектра когерентности при
L = 4, 8, 16 и 40.
Рис. 9.4 демонстрирует очень отчетливо влияние стягивания
окна на сглаженную выборочную оценку когерентности, теорети-
теоретическое значение которой в этом примере равно нулю. При L = 4
и 8 выборочные спектры достаточно плавны и близки к нулю, но
с ростом L (и, следовательно, с уменьшением полосы частот окна)
появляются очень большие значения когерентности. В разд. 9.1.3
это частично объясняется тем, что дисперсия оценки увеличивается
с уменьшением полосы частот окна. Кроме того, как показано
0,8
0,7
0,6
0,5
ОЛ
0,3
0,2
o,t
Полос] частот окна
0,125
0,25
0,375
0,5 /]гц
Рис. 9.4. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двух некор-
некоррелированных процессов авторегрессии первого порядка.
0,3
0,2
Полоса частот окно
<•—16 *¦ Исходные ряды
¦*—16 *Отфильтрованные
ряды
0,125
0,25
0,375
0,5
Р и с. 9.5. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двух некор-
некоррелированных рядов до и после фильтрации.
Оценивание взаимных спектров
149
в разд. 9.1.2, при уменьшении полосы частот окна сглаженный
спектр когерентности стремится к 1 на всех частотах, так как вы-
выборочная оценка спектра когерентности по несглаженным данным
тождественно равна 1 на всех частотах.
Полоса частот окна
0,8
0,7
0,6
0,5
о,ч
о,з
0,2
0,1
О,125
О,5
0,375
0,5 Г.гц
Рис. 9.6. Средние сглаженные спектры когерентности двумерного процесса
авторегрессии (8.1.20).
На рис. 9.5 доказана сглаженная выборочная оценка квадрата
когерентности К\2 ПРИ ? = 16 для исходных и профильтрованных
рядов (способ фильтрации описан в разд. 8.2.2). Мы видим, что
фильтрация лишь незначительно улучшила выборочную оценку
когерентности. Этот вывод следует сравнить с полученным в
разд. 8.2.2 выводом о том, что фильтрация может привести к суще-
существенному улучшению выборочных оценок взаимной корреляцион-
корреляционной функции. Это отличие выборочной оценки спектра когерент-
когерентности будет объяснено в разд. 9.3.3.
150
Глава 9
Двумерный процесс авторегрессии. Второй из рассматриваемых
нами процессов — двумерный процесс авторегрессии (8.1.20):
Хи — O,6Z1Z_! + 0,5Х2/_[ = Zu,
X2t-0,4Xlt^-0,5X2^ = Z2t,
где Zu, Ztt — независимые белые шумы.
О,375
0,5
f,eu
Рис. 9.7. Средние сглаженные фазовые спектры двумерного процесса авто-
регресеии (8.1.20).
Теоретические спектр когерентности и фазовый спектр даются
формулами (8.4.19) и (8.4.20) соответственно. Квадрат теоретиче-
теоретического спектра когерентности х\2 изображен на рис. 9.6 вместе со
средними сглаженными спектрами когерентности %\2 при L — 4, 8
и 16. Видно, что при L — 4 и 8 имеется значительное смещение,
причем пик смещен при L = 4 приблизительно на 0,1 гц, а при
L = 8 на 0,05 гц. При L = 16 наблюдается хорошее согласие меж-
между %\2 и у?12, а при L = 32 теоретический и сглаженный спектры
уже почти неразличимы. Следовательно, для этого процесса оцен-
оценка спектра когерентности имела бы достаточно малое смещение
при L = 16.
Оценивание взаимных спектров
151
На рис. 9.7 показаны теоретический и средние сглаженные фа-
фазовые спектры процесса (8.1.20) при L = 4, 8 и 16. Превосходное
согласие между <pi2 и cpi2 получается при L = 8, а при L = 16 сред-
средний сглаженный фазовый спектр уже неотличим от теоретическое.
Поэтому для оценки фа-
фазового спектра потребова-
потребовалось бы еще меньшее зна-
значение L, чем для оценки
спектра когерентности.
В табл. П9.1 приведе-
приведены значения выборочных
авто- и взаимной корре-
корреляционных функций, со-
сосчитанные по реализации
процесса (8.1.20) из .-V =
= 100 членов. Эти функ-
функции показаны на рис. 9.8.
Исходные значения для
этих рядов взяты из
табл. П8.1. На рис. 9.9
изображены теоретиче-
теоретический спектр когерентно-
когерентности и его выборочные
оценки, сосчитанные по
этим корреляционным
функциям. Выборочная
оценка К\2 при L = 4
Рис. 9.8. Выборочные авто-
и взаимные корреляции дву-
двумерного процесса авторег-
авторегрессии (8.1.20) (N = 100).
значительно отклоняется от теоретического спектра, так же как и
соответствующий средний сглаженный спектр к% на рис. 9.6.
Вдвое большее значение L = 8 приводит к заметному изменению
выборочной оценки К]2, однако дальнейшее увеличение L до 16
уже не дает существенных изменений. Поэтому в данном
случае при использовании метода стягивания окна, описанного в
разд. 7.2.4, можно было бы остановиться на выборочной оценке,
соответствующей значению L = 16 или, возможно, даже L = 12.
Отметим, что при L = 16 наблюдается весьма хорошее согласие
между К% и к\2. Однако дальнейшее увеличение L до 32 приводит
к сильным осцилляциям К2,».
152
Глава 9
Теоретический фазовый спектр и его сглаженные выборочные
оценки изображены на рис. 9.10 при L = 4, 8 и 16. Метод стягива-
стягивания окна показывает, что при L <[ 8 изменения фазы незначитель-
незначительны, а при L = 16 в выборочной оценке появляются ложные пики.
Поэтому можно было бы, по-видимому, взять выборочную оценку
Полоса частот окна
0,125
Рис. 9.9. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двумерного
процесса авторегресии (8.1.20) (Af = 100).
при L = 8. Из рис. 9.7 мы видим, что при этом наблюдается хоро-
хорошее согласие теоретического и среднего сглаженного фазовых
спектров в диапазоне от 0 до 0,4 гц. Для частот, больших 0,4 гц,
кривая выборочных оценок уходит вниз, в то время как теоретиче-
теоретический спектр идет вверх. Из рис. 9.9 видно, что частота / = 0,4 гц
соответствует точке, где когерентность снижается до малой вели-
величины. Взяв для этой области частот среднее значение квадрата
коэффициента когерентности 0,1, находим из рис. 9.3, что 95%-ный
доверительный интервал для фазы при L = 4 равен приблизи-
приблизительно ± 30°.
Оценивание взаимных спектров
153
Шум, пропущенный через линейную систему с задержкой.
Третьим из рассматриваемых нами процессов является процесс
(8.1.22), где X2t — выход линейной системы первого порядка с за-
задержкой на 10 единиц времени
В качестве входного процесса Xit берется процесс авторегрессии
первого порядка
Хи = 0,6J^_, + Zu.
Шум Yt является процессом авторегрессии первого порядка
и Zu, Zzt — два независимых белых шума. Теоретические корреля-
корреляционные функции этого процесса приведены в разд. 8.1.4.
0,5
-180°
'¦270'
SS0' -
Рис. 9.10. Сглаженные выборочные оценки фазового спектра двумерного про-
процесса авторегрессии (8.1.20) (Л^ = 100).
Теоретические спектры когерентности и фазы, полученные с по-
помощью методов, изложенных в разд. 8.4.3, имеют вид
5 — 4 cos 2nf
2 у.ч
6,36 - 5,2 cos 2л/ *
0,5
f, гц
-3240°
-3600°
Рис. 9.11. Теоретический и средние сглаженные фазовые спектры линейного
процесса (8.1.22) (до выравнивания).
0,3
0,8
0,7
0,6
0,5
0,"
0,3
0,2
0,1
-»w—
-^^^^-——
Полоса частот окна
— -!$—*•
_
-
-
^ . .
1 1 i i „
0,125
0,25
0,375
О,5 f, eit
Рис. 9.12. Теоретический и средние сглаженные спектры когерентности линей-
линейного ппоиесса (8.1.22i (по И
Оценивание взаимных спектров
155
Теоретический и средние сглаженные фазовые спектры этого
линейного процесса показаны на рис. 9.11. Мы видим, что хорошие
оценки фазы можно получить, лишь когда L = 1G или по крайней
мере L = 12.
Теоретический спектр когерентности xj2 построен на рис. 9.12
вместе со средними сглаженными спектрами когерентности %\2 при
L = 16, 24 и 32. Видно,
что эти средние сглажен-
сглаженные спектры заметно от-
отличаются от теоретиче-
теоретического даже при L = 32 и
что это отличие нельзя
приписать недостаточной
гладкости теоретического
спектра. Причина в том,
что смещепие появляется
из-за большой задержки
между входом и выхо-
выходом, как было предска-
предсказано в разд. 9.2.1.
При L = 8 средний
сглаженный спектр коге-
когерентности приблизитель-
приблизительно равен нулю, как мож-
можно было бы предвидеть,
поскольку задержка ме-
между двумя рядами пре-
преР и с. 9.13. Выборочные авто-
и взаимные корреляции ли-
линейного процесса (8.1.22)
(N = 100).
0
0,8
0,6
«4
о,г
Пг
г"
М
г1
Г
/о го зо к
К
д
V
ю
го
зо
восходит максимальное запаздывание ковариаций. Следовательно,
в этом случае смещение равно самой функции x2l2(f).
Из теоретических рассмотрений ясно, что немногое можно уз-
узнать из спектрального анализа реализации ытого процесса, содер-
содержащей около 100 членов, если только не проводить этот анализ
очень тщательно. Чтобы проиллюстрировать этот вывод, мы сосчи-
сосчитали авто- и взаимные корреляции по реализации, состоящей из
N = 100 членов. Они приведены в табл. П9.2 и изображены на
рис. 9.13. Исходные данные для этого примера взяты из табл. П8.2.
На рис. 9.14 показаны выборочные оценки спектра когерентности,
сосчитанные по реализации из N = 100 членов при L = 8, 16 и 32
Оценивание взаимных спектров
157
5:
I
s * ' i
§ $ !
j i
ts
Щ
о *
о «S
за"
за
я Щ Я
а я
ш о я
1&
1
1
О* О
"
1
«J О
a =t
I
1
* t
f
T 1
s>
cl —
———
V
«-
Видно, что они не сходятся к какой-либо функции и что при L = 32
выборочная оценка начинает резко «скакать». Поэтому нельзя по-
получить никаких удовлетворительных выводов относительно выбо-
выборочных оценок когерентности. Выборочные оценки фазового спек-
спектра показаны на рис. 9.15 при L — 4, 8, 16 и 32. Видно, что они
очень плохи, когда L меньше или сравнимо с величиной задержки
(т = 10). Но когда L становится больше 10, выборочные оценки
быстро улучшаются, и при L — 32 наблюдается превосходное со-
согласие с теоретическим фазовым спектром.
Примеры этого раздела иллюстрируют то общее положение,
что хорошие выборочные оценки фазового спектра можно полу-
получить и в тех случаях, когда спектр когерентности оценивается пло-
плохо. В следующем разделе мы покажем, что обычне можно значи-
значительно улучшить выборочные оценки спектров когерентности и
фазы с помощью выравнивания двух рядов.
9.3.3. Улучшение выборочных взаимных спектральных оценок
В последнем разделе было показано, что при оценивании спе-
спектра когерентности может получаться значительное смещение, осо-
особенно когда имеется большая относительная задержка рядов.
В настоящем разделе мы вычислим смещение спектральных оце-
оценок когерентности и фазы и покажем, что это смещение можно
существенно уменьшить с помощью выравнивания. Выравнивание
заключается в центрировании взаимной корреляционной функции
таким образом, чтобы ее наибольшее абсолютное значение прихо-
приходилось на нулевое запаздывание.
Смещение оценок когерентности. Приближенные выражения
для смещения сглаженных оценок когерентности можно получить
С помощью метода, подобного тому, который мы использовали
в разд. 6.3.5. Например, смещение сглаженной оценки спектра ко-
когерентности равно
B(f) = E [К\2 (f) - 4 (/)] - Е Г ' f" <» '' - 'Т» У М . (9.3.17)
С помощью C.2.23) это смещение можно аппроксимировать выра-
выражением
где Ba(f), Bu(f), B22(f) — смещение оценок |Ci2(/)|2, Cu (/) и С22(/)
соответственно. Предположим на время, что автоспектры почти не
меняются на частотном интервале, равном ширине спектрального
окна, так что смещением оценок автоспектров можно пренебречь.
158
Глава 9
Найдем сначала смещение квадрата взаимного амплитудного спек-
спектра, т. е. величину
В12(/) = ?[Л22(/)-а22(/)].
Мы имеем
Г оо оо
E[\Cl2(f)\2] = E\ \c{2(g)W{f-g)dg \c\2(h)W{f-h)dh\ =
I —ОО —OO -I
оо со
= J lw(f-g)W(f-h)E[ci2(g)Cl2(h)\dgdh. (9.3.19)
— ОО — ОО
Так как
Е [С,2 (g) С12 (А)] = Cov [С12 (g), С]2 (А)] + ? [С12 (*)] ? [С^ (А)],
то с помощью (9.1.22) и (9.2.3) это выражение приближенно равно
Е [С12 (я), С12 {h)\ « -1 Г„ (g) Г22 (g) 6(g-h) + Г12 (g) Г;2 (h).
Следовательно,
J
(9.3.20)
Так как мы предположили, что Fn(f) и Г22 (f) почти не меняются на
интервале частот, равном ширине спектрального окна, то (9.3.20)
сводится к
и из (9.3.18) получаем
Г,,(/)Г22Ш
(9.3.21)
(9.3.22)
Равенство (9.3.22) показывает, что, даже если теоретический взаим-
взаимный спектр равен нулю, средний сглаженный спектр когерентности
может быть очень большим. Этим объясняются показанные на
рис. 9.5 большие значения выборочных оценок когерентности для
двух независимых процессов авторегрессии первого порядка, об-
обсуждавшихся в разд. 8.2. Например, при L = 40
/ _ @,75L0 _ п „
г ~" юо -U>J>
что в среднем хорошо согласуется с выборочными значениями,
приведенными на рис. 9.4. Заметим, что с ростом L (и, следова-
следовательно, с ростом I/T) выборочные значения когерентности в сред-
среднем также возрастают. Как указывалось в разд. 9.1.2, когда М =
Оценивание взаимных спектров
159
= LA —> 7', коэффициент когерентности стремится к единице для
всех частот /.
Из формулы (9.3.22) видно также, что фильтрация независи-
независимых рядов не улучшает выборочных оценок когерентности. Этот
факт продемонстрирован на рис. 9.5, где приведены выборочные
значения когерентности независимых процессов до и после филь-
фильтрации. На этом рисунке видно, что в обоих случаях значения
квадрата спектра когерентности в среднем равны 0,1. Эта вели-
величина хорошо согласуется со значением ЦТ = 0,75 • -щ = 0,12,
которое получается по формуле (9.3.22).
Чтобы получить явное выражение для смещения (9.3.22), нуж-
нужно вычислить величину |Г12(/)|2 — |Г12(/)|2. Из (9.2.4) имеем
Г12(/)=
так что
оо ии
|Г12(/)|2= J J w{u)w(v)yl2(u)yl2{v)e-l2*f(u-v>dudv.
— 00 — 00
Отсюда
ir12(f)p-|r12(/)p =
— 00 —00
Записывая
w(u)w(v)- I =[w(u)- \][w(v)~
получим
|Г12(/)Р-|Г12(/)р =
(и) w(v)-\]dudv. (9.3.23)
- 1],
= ^[w{u)-l]yl2(u)e-i2nf"du J [w (v) - 1] Yl2 (v) e'2*f° dv +
—00 ¦ — °°
c» 00
+ J [w(u)-l]yl2{u)e-i2nf"du J yl2(v)ei2nf*dv +
— 00 —°o
00 00
+ J Y12(«)e~>2nfudu J [w(v)~ I]y[2(v)ei2*f"dv.
leo
Глава 9
Оценивание взаимных спектров
161
С помощью приближения F.3.37) для смещения при использова-
использовании окна Тыоки получаем
°'063
1Г те (°'063 \ г'2' (°'063 ^ Г<2)* i ( °'
(9.3.24)
где ГA22 — вторая производная взаимного спектра на частоте f. За-
Записывая Yi2{f) в виде ai2(f)e34>"(/) и дифференцируя по /, получим
Г (f) I2 IГ (А I2
12 " >\ — | 12«/|
°'126
а аB) — а2 /'а)A?1
12 12 U12Vn2/J»
где опущены члены порядка 1/Л14. Следовательно, если в (9.3.18)
можно пренебречь смещениями fin(f) и #22 (f), то смещение оценки
спектра когерентности при использовании окна Тьюки прибли-
приближенно записывается в виде
(f)
0.75Л1 0,126
+
(9.3.25)
При использовании окна Парзена 0,75 надо заменить на 0,54 и
0,126 —на 0,304.
Наиболее важная отличительная черта формулы (9.3.25) со-
состоит в том, что смещение пропорционально квадрату производной
фазового спектра. Если пренебречь в (9.3.25) постоянным членом
и членом с а*2], то получим формулу
?(f)~T*12(<2J> <9-3'26)
так что смещение оценки спектра когерентности пропорционально
величине когерентности и быстроте изменения ф}2> фазового спек-
спектра. Следовательно, если имеются большие относительные задер-
задержки двух процессов, то выборочные оценки когерентности могут
сильно ухудшаться, так как ф^' будет велико. Смещение взаимных
спектральных оценок было впервые обнаружено Акаике [51.
Выравнивание. Смещение оценки когерентности, вызванное
фазовым сдвиюм, можно существенно уменьшить с помощью вы-
выравнивания (alignment) двух процессов. Предположим, что взаим-
взаимная корреляционная функция достигает наибольшего по абсолют-
абсолютной величине, или пикового, значения для запаздывания S. Вырав-
Выравнивание процессов, переводящее это пиковое значение к нулевому
запаздыванию, изменяет функцию ri2(/) от значения
Лифе'1
(f)
к значению
Следовательно,
и в результате смещение (9.3.26) можно существенно уменьшить,
как мы покажем в следующем разделе.
Использование фазового спектра для определения параметра
выравнивания. Выбор в качестве параметра выравнивания вели-
величины 5, соответствующей пику взаимной корреляционной функции,
не всегда приводит к удовлетворительным результатам. Может
случиться так, что фазовый спектр выравненных рядов все еще бу-
будет содержать линейную фазовую компоненту ср(/) = 2nfd. Это
будет указывать на то, что необходимо дополнительное выравни-
выравнивание на величину d. В качестве практической рекомендации мы
предлагаем первое приближение к параметру выравнивания де-
делать исходя из пика взаимной корреляционной функции. В некото-
некоторых случаях этого достаточно для того, чтобы фазовый спектр по-
после выравнивания уже не содержал линейной компоненты. В дру-
других же случаях, когда остается линейная компонента cp(f) = 2nfd,
можно взять в качестве второго приближения к параметру вырав-
выравнивания 6' + d и т. д.
Смещение оценок фазы. Приближенные выражения для сме-
смещения оценок фазы можно получить тем же путем, что и для коге-
когерентности. Окончательный результат при использовании окна Тыо-
ки имеет вид
Вф
0,063
м2
i'»^lna22 . (9.3.27)
При использовании окна Парзена надо заменить 0,063 в (9 3 27)
на 0,152.
Из (9.3.27) видно, что смещение состоит из двух слагаемых,
первое из которых пропорционально второй производной фазового
спектра, а второе — произведению производной фазового спектра
на производную логарифма взаимного амплитудного спектра. Для
двумерных процессов, имеющих большие относительные задержки
компонент, величина ф^ будет, по-видимому, превосходить вели-
величину ф',2). Однако из-за того, что ф<2> умножается на d(lna22)/df,
результирующее полное смещение может оказаться незначитель-
незначительным. Такой случай имеет место в примере с линейной системой,
изображенном на рис. 9.11, где показаны теоретический и средние
сглаженные спектры. Видно, что они очень хорошо согласуются
уже при L = 16.
6 Зак. 1178
162
Глава 9
9.3.4. Формулы дискретного оценивания
для выравненных процессов
Предположим, что выборочная взаимная ковариационная функ-
функция имеет пик в точке S, причем S может быть и положительным,
и отрицательным. Тогда в выравненных выборочных оценках ис-
используется центрированная взаимная ковариационная функция,
имеющая пик в нуле. Таким образом, выравненная выборочная
оценка взаимной ковариационной функции имеет вид
c'B(k) = c{2(S + k). (9.3.28)
Если для выравненной выборочной оценки используется корреля-
корреляционное окно длины L, то
и, следовательно, нужно вычислять C\2{k) для следующих значений
аргумента:
Далее можно пользоваться формулами, приведенными в разд. 9.3.1,
применяя их к выравненным выборочным оценкам взаимной кова-
риации. Формулы (9.3.6) и (9.3.7) для четной и нечетной частей
выборочной взаимной ковариационной функции переходят в
1" (h\ -\г ( Ъ 4- k\ 4- г (Ч b\l (Q Ч 9Q\
*io\'W —' о ^loV*^ г К) т~ С,9\О К) , 1У.О.ЛУ1
k) - cl2(S - k)],
(9.3.30)
и далее можно применять формулы (9.3.8) — (9.3.13) без изме-
изменений.
9.3.5. Примеры взаимного спектрального анализа
с выравниванием
На рис. 9.16 показаны средние сглаженные спектры когерент-
когерентности при L = 8, 16 и 32 для примера с шумом, пропущенным че-
через линейную систему с применением выравнивания. Параметр
выравнивания S = 10 был найден по пику взаимной корреляцион-
корреляционной функции на рис. 9.13. На рис. 9.12 соответствующие сглажен-
сглаженные спектры приведены до выравнивания. Сравнение рис. 9.16 и
9.12 показывает, что выравнивание приводит к существенному
уменьшению смещения, т. е. к уменьшению степени искажения.
На рис. 9.17 показаны средние сглаженные фазовые спектры
при L = 4 и 32 после выравнивания, а на рис. 9.11 —до выравнива-
выравнивания. Сравнение этих рисунков показывает, что выравнивание силь-
сильно ускоряет сходимость к истинному значению.
а»
U
ч-
и
^
ct га
О) О
U g
о
<и 5
С о
ш
3
164
Глава 9
На рис. 9.18 приведены сглаженные выборочные оценки коге-
когерентности после выравнивания для шума, пропущенного через ли-
линейную систему. На рис. 9.14 даны соответствующие оценки до вы-
выравнивания. Сравнение рис. 9.18 и 9.14 показывает, что выравни-
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
о,з
O,2
o,r
Полоса частот окна
^—W—»
-= 5
0,'2S
0,25
0,375
0,5 ?,гц
Рис. 9.18. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности линейного
процесса (8.1.22) (N = 100, после выравнивания, S = 10).
вание заметно улучшило выборочные оценки. Заметим, что при
L — 16 начинаются осцилляции выборочной оценки на рис. 9.18, и,
следовательно, нужно остановиться на значении L = 8 или, воз-
возможно, L = 12. Отметим, что при L = 8 наблюдается очень хоро-
хорошее согласие с теоретическим спектром когерентности. Выбороч-
Выборочные оценки фазового спектра после выравнивания не показаны,
Оценивание взаимных спектров
165
поскольку они почти совпадают со средними сглаженными спект-
спектрами на рис. 9.17. Как отмечалось в разд. 9.3.3, смещение оценки
фазы обычно мало, так что отличие выравненных выборочных фа-
фазовых оценок от невыравненных не так существенно, как для оце-
оценок когерентности.
0,125
0,25
0,375
0,5 Р,гц'
Рис. 9.19. Выборочные оценки спектра преобразованной когерентности линей-
линейного процесса (8.1.22) (/V = 100, после выравнивания, S = 10).
Таким образом, приведенные примеры показывают, что с по-
помощью выравнивания очень плохие выборочные оценки когерент-
когерентности можно преобразовать в хорошие.
Доверительные интервалы для коэффициентов когерентности и
фазы. Сглаженные выборочные оценки когерентности, показанные
на рис. 9.18, вновь изображены на рис._9.19 в масштабе, соответ-
соответствующем преобразованию Yi2 = Arth|Ka\ ¦ Кроме того, указаны
доверительные пределы, не зависящие от частоты, которые были
вычислены по формуле (9.2.23). Поскольку до выравнивания сме-
смещение для фазы было очень мало, то допустимо считать, что до-
доверительные интервалы можно применять к выравненным спект-
спектрам, показанным на рис. 9.17. Взяв в качестве средней величины
квадрата когерентности во всем частотном диапазоне значение 0,8,
получаем при L = 4 и 32 с помощью рис. 9.3 95%-ные интервалы
± 5 и ± 15°.
166
Глава 9
9.4. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОЦЕНИВАНИЯ
ВЗАИМНЫХ СПЕКТРОВ
В этом разделе обсуждаются практические вопросы,, возникаю-
возникающие при оценивании взаимных спектров. Они аналогичны вопро-
вопросам, обсуждавшимся при оценивании автоспектров в разд. 7.3.
9.4.1. Планирование анализа взаимных спектров
Как и в анализе автоспектров, при анализе взаимных спектров
желательно выбрать длину записи до начала сбора данных. Во
всех вычислениях такого рода нельзя сделать никаких точных ут-
утверждений, поскольку наилучший выбор длины записи может быть
только тогда, когда точно известны спектры. Однако если имеются
предположения о поведении спектра, то в основу сбора данных
можно положить полуколичественные рассуждения, а не слепые
догадки.
В разд. 7.3.1 указывалось, что имеются четыре стадии в плани-
планировании анализа автоспектров.
1. Выбор интервала отсчета, который должен быть не больше
l/2/o, где fo — максимальная интересующая нас частота.
2. До перевода записи в цифровую форму может потребоваться
аналоговая фильтрация, чтобы устранить все составляющие с ча-
частотами выше /а на непрерывных записях.
3. Нужно сделать предположение относительно ширины а са-
самой тонкой из представляющих для нас интерес деталей когерент-
когерентности. В разд. 9.3 показано, что спектр когерентности обычно труд-
труднее оценивать, чем фазовый спектр. Поэтому планирование должно
исходить полностью из спектра когерентности. Малую степень ис-
искажения при оценивании спектра когерентности можно получить,
выбрав ширину спектрального окна меньше а — ширины самой
тонкой детали. Следовательно, число запаздываний L можно найти
по формуле G.3.2), а именно
где bi — стандартизованная ширина полосы частот окна. Заметим,
что в вышеупомянутых выкладках предполагается, что выравнива-
выравнивание двух рядов уже произведено. Поскольку сдвиг S, требуемый
для выравнивания двух рядов, будет обычно мал по сравнению с
их полной длиной, то на стадии планирования этого можно не учи-
учитывать.
4. Чтобы тонкие детали спектра когерентности можно было счи-
считать реальными, доверительный интервал должен быть достаточно
мал. В разд. 9.2.3 было показано, что доверительные интервалы
для спектра когерентности можно вычислять по формуле
Оценивание взаимных спектров
167
где bi — стандартизованная ширина полосы частот окна. Для
Arth|Й121 95%-ные доверительные пределы задаются по формуле
(9.2.23), т. е.
" ,^-=±^Е. (9.4.1)
Следовательно, если мы хотим, чтобы доверительные пределы рав-
равнялись ± с, то для этого в среднем надо взять следующее количе-
количество точек записи:
и - _L ШЁЛ2
iV ~ 26, I с >
или с помощью G.3.2) это можно переписать в виде
N__ . (i,w
(9.4.2)
(9.4.3)
Пример. Предположим, что спектры когерентности и фазы
нужны для частот до /о = 2 гц. При этом требуется еще оценить
пик ширины а = 0,20 гц с такой точностью, чтобы 95%-ный дове-
доверительный интервал для преобразования спектра когерентности
равнялся ± 0,2 при использовании окна Тьюки.
В таком случае
А = ^=0,25 сек,
2/о
1,333
0,2 • 0,25
¦ = 27,
N =
2-0,2-0,25 \ 0,2 I
= 960.
Число степеней свободы для каждой точки, где вычисляется вы-
выборочная спектральная оценка, равно приблизительно 95, а длина
записи должна быть по крайней мере 240 сек.
9.4.2. Практическая методика оценивания взаимных спектров
Мы предлагаем проводить оценивание взаимных спектров в
пять последовательных этапов:
/. Стадия предварительных решений
а) Ряды проверяются визуально с целью обнаружения очевид-
очевидных трендов. Если имеются тренды, то от них можно избавиться,
используй выборочные оценки ковариаций, сосчитанные по первым
разностям каждого из рядов или же по записям, профильтрован-
профильтрованным с помощью одного из цифровых фильтров, указанных в
разд. 7.3.5.
б) Может возникнуть вопрос, анализировать ли данные в широ-
широком диапазоне частот или же расфильтровать их на компоненты,
168
Глава 9
соответствующие более узким частотным диапазонам. Если можно
ожидать больших различий мощности в полном частотном диапа-
диапазоне, то как минимум нужно отдельно анализировать низкочастот-
низкочастотные и высокочастотные компоненты. Для этого решения требуются
некоторые априорные сведения о спектрах. Если их нет, то, воз-
возможно, следует провести пробный анализ или же выполнить ста-
стадии 1—4 и, воспользовавшись их результатами для проведения
нужной фильтрации, повторить затем анализ вновь.
в) Решается вопрос о выборе максимального числа запаздыва-
запаздываний авто- и взаимных ковариаций Lmax.
2. Первая стадия вычислений
а) Вычисляются авто- и взаимные ковариаций и корреляции
исходных рядов и их первых разностей. Строятся их графики.
б) Даже если тренды явно и не видны, они все же могут при-
присутствовать. Это можно обнаружить по тому, что авто- и взаимные
ковариаций не затухают. Как отмечалось в разд. 7.3.5, тренды при-
приводят к большим значениям мощности на низких частотах, утечка
которой происходит и в другие места частотного диапазона и вы-
вызывает искажение спектра. При анализе взаимных спектров она
приводит также к ложным увеличениям когерентности двух рядов.
3. Стадия промежуточных решений
а) Выносится решение о том, использовать ли ковариаций ис-
исходных данных cn(k) или же ковариаций данных после устране-
устранения тренда с'ц (k).
б) Выбранная в пункте а) взаимная ковариационная или корре-
корреляционная функция проверяется и отмечается запаздывание S,
соответствующее ее максимальному по абсолютной величине зна-
значению.
в) Исходя, из быстроты затухания авто- и взаимной корреля-
корреляционных функций, выбираются 3 точки отсечения Ц < L2 < Ц.
4. Вторая стадия вычислений
а) Вычисляются два автоспектра, а также фазовый спектр и
спектр когерентности по взаимным корреляциям выравненных ря-
рядов (9.3.28).
б) Для каждого из выбранных значений L строятся 4 спектра.
Два автоспектра нужно строить в логарифмическом масштабе,
фазовый спектр — в линейном масштабе, а спектр когерентно
сти — в масштабе, соответствующем преобразованию
y = Arth|K12(/)|.
5. Стадия интерпретации
а) Проверяется фазовый спектр с целью узнать, требуется ли
дальнейшее выравнивание. Если выравнивание необходимо, то
вторая стадия вычислений повторяется с новым параметром вы-
выравнивания, определенным из этого фазового спектра.
Оценивание взаимных спектров
169
б) Если не требуется дальнейшего выравнивания, то оцени-
оцениваются результаты стягивания окна и анализ признается хорошим,
средним или плохим, как описано в разд. 7.3.3. Окончательные
графики, представляющие спектры, должны быть построены исходя
из этого решения.
в) Для каждой ширины полосы частот окна с помощью рис. 9.3
находятся доверительные интервалы для фазы, которые наносятся
на график в виде вертикальных отрезков. Точно так же наносятся
доверительные интервалы для когерентности, получаемые с по-
помощью формулы (9.2.23).
г) Следует нанести горизонтальные отрезки, соответствующие
значениям ширины полосы частот окна для того, чтобы можно
было оценить детальность спектра.
9.4.3. Пример практического оценивания взаимных спектров
В этом разделе мы применим методику, описанную в
разд. 9.4.2, к данным, показанным на рис. 8.2. Анализ этих данных
приведен в [6], и подробнее он будет описан в гл. 11. Сейчас мы
укажем лишь, что используемые в этом анализе взаимных спек-
спектров величины представляют собой входные значения синфазного
и сдвинутого по фазе токов X\(t), X2(t) турбогенератора. Нас ин-
интересуют спектр когерентности и фазовый спектр этих двух токов,
поскольку они являются равноправными входными переменными.
Эта информация понадобится нам в гл. 11, где она будет исполь-
использована при анализе входных и выходных соотношений для опреде-
определения частотных характеристик турбогенератора. Данные состоят
из 4000 пар точек, отсчитанных через Vs сек.
1. Стадия предварительных решений
а) При просмотре данных очевидных трендов не обнаружено.
Однако, поскольку данные содержат такую скрытую низкочастот-
низкочастотную компоненту, мы предвидели, что для анализа нужно будет
использовать ковариаций первых разностей.
б) Так как отсчет данных производился через '/в сек, частота
Найквиста равна 4 гц. Заранее было известно, что в диапазоне
частот выше 1 гц мощность незначительна. Поэтому решено было
отфильтровать ее с помощью фильтра с передаточной функцией
3 14
Н(г) =
Поскольку в отфильтрованной записи мощность в диапазоне выше
1 гц пренебрежимо мала, было решено оставить лишь каждую
четвертую точку. Таким образом, окончательный данные состояли
из 1000 пар точек. Первые 100 значений отфильтрованных величин
тока приведены в табл. П11.1.
170
Глава 9
в) для Ln,ax первоначально было взято значение 80.
2. Первая стадия вычислений
а) Авто- и взаимные корреляции данных, описанных в пункте
б) предыдущей стадии, были сосчитаны и нанесены на график. На
рис. 9.20 показана выборочная оценка взаимной корреляционной
функции (сплошная линия), построенная для запаздываний k от
—70 до +70. Видно, что взаимные корреляции затухают очень
медленно (так же как и не показанные на рисунке автокорре-
автокорреляции).
Рис. 9.20. Выборочные взаимные корреляционные функции исходных данных
и их первых разностей (N = 1000).
б) Взаимные корреляции первых разностей также показаны
на рис. 9.20 (пунктирная линия). Видно, что они спадают до нуля
очень быстро и колеблются около нуля с вполне определенным
периодом. Важной отличительной особенностью взаимной корре-
корреляционной функции является дельтаобразный пик вблизи начала
координат и ее периодический характер. Из рис. 9.20 видно, что
низкочастотный тренд маскирует большое число деталей взаимной
корреляционной функции исходных данных.
3. Стадия промежуточных решений
а) Из приведенных выше рассуждений следует, что для спек-
спектрального анализа нужно использовать взаимные корреляции пер-
первых разностей.
б) Взаимная корреляционная функция почти симметрична от-
относительно начала координат. Максимальное по модулю значение
достигается при k = — 2, так что параметр сдвига S был взят рав-
равным — 2.
в) В качестве исходных значений L для вычисления спектров
были взяты 32, 48 и 64.
Оценивание взаимных спектров
171
4. Вторая стадия вычислений
а) С помощью окна Тьюки и при S = —2 были сосчитаны авто-
автоспектры, фазовый спектр и спектр когерентности в преобразован-
преобразованной форме.
б) При L = 64 автоспектры показаны на рис. 9.21. Преобразо-
Преобразованные спектры когерентности и фазовые спектры показаны при
L = 32 и 64 на рис. 9.22 и 9.23 соответственно.
100
ю -
C(f)
л
f
1
° \
\
\Синфазный
\ ток
—'V'-^
\80%-нш~\
}доверитель- X/*
ны в пределы
Полоса частот
окна
I
к Сдвинутый
\пофазе ток
1 1 i ^
0,25
0,5
0,75
Ifi /;ец
Рис. 9.21. Выборочные оценки автоспектров для первых разностей от данных
о токах турбогенератора (N = 1000).
5. Стадия интерпретации
а) В фазовом спектре выравненных рядов не заметно никаких
линейных трендов. Поэтому мы решили, что дальнейшее выравни-
выравнивание не нужно.
б) Стягивание окна показывает, что для получения удовлетво-
удовлетворительных выборочных оценок всех четырех спектров требуется
значение L не меньше 32. Например, из рис. 9.22 видно, что умень-
уменьшение ширины полосы частот окна при переходе от L = 32 к L = 64
не изменяет широких деталей спектра когерентности. Однако при
L — 64 из-за неустойчивости появляются осцилляции. Поэтому
в качестве окончательного значения L было выбрано 48 (на
рис. 9.22 соответствующий спектр не показан). Аналогичные рас-
рассуждения справедливы и для выборочных оценок фазы, показан-
показанных на рис. 9.23.
в) Доверительные интервалы для фазы и для когерентности
в преобразованной форме были сосчитаны с помощью формулы
(9.2.23) и рис. 9.3, где мы полагали
v =
2- 1,33- 1000
172
Глава 9
a L было равно 32 и 64. Эти 95%-ные доверительные интервалы
для преобразованной когерентности легко перевести в доверитель-
доверительные интервалы для к\2{!), воспользовавшись масштабом для %\2{f),
нанесенным на оси ординат на рис. 9.22. Так как ряды состоят из
1000 наблюдений, доверительные интервалы получились довольно
узкие.
69 &
95%-ные доверительные
пределы
Полоса частот окна
Рис. 9.22. Выборочные оценки спектра преобразованной когерентности для пер-
первых разностей от данных о токах турбогенератора (N = 1000).
г) Значения ширины полосы частот вычислялись по формуле
»-¦?
и наносились на рисунки.
Выводы. Отличительная особенность результатов проведенного
анализа взаимных спектров состоит в наличии большого пика в
спектре когерентности около 0,07 гц и плоской области со значе-
значением K\2{f) около 0,18, занимающей почти весь частотный диапа-
диапазон. Большой пик около 0,07 гц объясняется тем, что спектры
обеих составляющих тока имеют пики вблизи этой частоты, а в по-
полосе частот от 0 до 0,1 гц содержится большая часть мощности.
Оценивание взаимных спектров
173
Следовательно, можно было бы предвидеть, что синфазный и сдви-
сдвинутый по фазе токи сильно коррелированы в этой полосе. Фазовые
спектры на рис. 9.23 показывают, что сдвинутая но фазе компо-
компонента тока опережает синфазную примерно на 2 сек. На рис. 9.23
при L — 32 наряду со спектром для выравненных рядов показан
360 V
270 У
1=64 выравненные
ряды, S'-г
L=32 выравненные
ряды, S=-2
L =32 невыравненные
ряды
1,0 f, гц
Рис. 9.23. Выборочные оценки фазового спектра для первых разностей от дан-
данных о токах турбогенератора [N = 1000).
и спектр рядов без выравнивания. Видно, что значение S = —2
весьма эффективно устраняет линейный фазовый сдвиг между
двумя составляющими тока.
ЛИТЕРАТУРА
1. Goodman N. R., On the joint estimation of the spectra, co-spectrum and quad-
quadrature spectrum of a two-dimensional stationary Gaussian process, Scientific Pa-
Paper 10, Engineering Statistics Laboratory, New York University, 1957.
2. Jenkins G. M., Cross-spectral analysis and the estimation of linear open
loop transfer functions, Chapter 18 of Time Series, M, Rosenblatt, ed. John
Wiley, New York, 1963.
3. H a 1 d A., Statistical Theory with Engineering Applications, John Wiley, New
York, 1952, p. 609. (Русский перевод: Х а л ь д А., Математическая статистика
с техническими приложениями, под. ред. Линника, ИЛ, М., 1956.)
4. G r a n g е г С. W. J., Spectral Analysis of Economic Time Series, Princeton
University Press, Princeton, 1964.
5. Akaike H., Yamamouchi Y., On the statistical estimation of frequency
response functions, Ann. Inst. Stat. Math., 14, 1 A962).
6. S t a n t о n K- N., Measurement of turboalternator transfer functions using nor-
normal operating data, Proc. Inst. Electr. Engrs., 110, 11 A963).
ПРИЛОЖЕНИЕ П9.1
КОВАРИАЦИЯ ОЦЕНОК КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
В этом приложении выводится формула для ковариации оце-
оценок ковариационной функции (8.2.3). Оценки ковариационной
функции можно записать в симметричном виде
сц(и) =
(Г-|«
(П9.1.1)
О \и\>Т,
Предполагается, что случайные процессы Xi(t), i=\, 2, 3, 4,
имеют следующие свойства:
?[^@] = 0, /=1,2,3,4, (П9.1.2)
Cov [X, (t), X, (t + и)] = уц (и), / = 1, 2, 3, 4, (П9.1.3)
— оо ^ и ^ оо,
И
Cov[Xt(t)Xi(t + и,), Xk(v)Xi(v + us)] = ylk(v -1)yn(v-t + u2-u1) +
+ yu(v-t + u2)yjk{v-t-Ui) + K{v-t, «„ н2), (П9.1,4)
где К — четвертый совместный кумулянт. Взаимный спектр про-
процессов Xi(t) и Xj(t) определяется соотношениями
— oo
oo
(«)= J
(П9.1.5)
(П9.1.6)
Вывод формулы для ковариации. Из (П9.1.1) и (П9.1.4) кова-
риация оценок c,-j(mi) и cf:i(u2) равна
Cov [cif («,), см (ы2)] =
Т* J J
(П9.1.7)
Оценивание взаимных спектров
175
Замена переменных v — t = r, / = s преобразует область инте-
интегрирования из прямоугольника в параллелограмм, как показано
на рис. 5.11. Этот параллелограмм можно разделить на 3 области
интегрирования, которые будем обозначать A), B) и C). В ре-
результате формулу (П9.1.7) в случае |«г| > |«i| можно переписать
в виде
Cov[cj/(m,)> cki(u2)] =
-|В,| + |Вг|)/2
Т2
| + |Вг|)/2 (Г|«2|)/2
| y(r)dr J ds + [область A)]
— (Г—I
(|вг|-|в,!)/2 [(Г-|в,|)/2]-г
^2- J y(r)dr J ds+ [область B)]
-<|«i|-|a,|)/2 -ЦТ-\иг\)/2]-г
-(|мг||в,|)/2
— [Г—Aи, 1 + 1 № |)/2J
(Г-|и,|)/2
J ds, [область (З)] (П9.1.8)
-(Г-|и,|)/2
где
Y @ = Ун, {г -
r +
, щ, и2).
Интегрирование (П9.1.8) по s и приведение подобных членов дают
следующее выражение:
Cov [сц (щ), си (Щ)] =
[г т" л
Г [ y(r)[\-]-^-)dr-T" I y(r)(l-^)dr\, (П.9.1.9)
где
| «2
При |«i| > 1м2| в формуле (П9.1.9) нужно положить Т" =
(||||)/2
Упрощение формулы. Оценим теперь, какой вклад в выраже-
выражение (П9.1.9) дает член с четвертым кумулянтом К(г, щ, «2). Если
процессы Xi гауссовские, то К = 0 и полученное ниже прибли-
приближенное выражение является точным. Для негауссовских случайных
176
Глава 9
процессов, которые являются линейными и представляются в виде
E.2.6), E.2.7), вклад кумулянтного члена равен интегралу
г
J К (г, щ, u2
С помощью E.2.15) можно показать, что этот интеграл имеет по-
порядок ya(Ui)yki(U2). Следовательно, вкладом этого члена в выра-
выражение (П9.1.9) можно пренебречь. Для больших Т членами по-
порядка 1/Т2 также можно пренебречь, и (П9.1.9) сводится к
оо
Cov [са (и,), ckl (ы2)] ~ -у J y (r) dr =
Если в (П9.1.10) положить i = j = k = l=l и сделать замену
r = s—(ы2— "i)/2, то получится формула Бартлетта E.3.22).
В частности, при «2 = «i из этой формулы получаем
Уаг[с„(и)] «у" 1 Y?,(r)dr.
(П9.1.11)
Ковариация спектральных оценок. Формулу для ковариации
спектральных оценок Cij(fi) и Cu{h) можно получить из преды-
предыдущих формул следующим образом:
Cov[Cu(f1),Ckl(f2)] =
J сц (и,) е-^Ь"'
т ' т -,
J сц (и,) е-^Ь"' dui, J ckl (u2) e-iw^'dUi
-т -т J
т
= J J Cov [ctt (и,), сы (I е-'2л№".+Ь«г) du, йы2.
т т
(П9.1.12)
-Г -Г
С целью упрощения (П9.1.12) мы выведем выражение (П9.1.10)
в другом виде.
Оценивание взаимных спектров
177
Другой вариант формулы для Cov[cij(«i), Сы(и2)]. Из (П9.1.9)
и (П9.1.6) получаем
Cov [си («О, cki (и2)] =
-г
оо оо
— со — оо
X
[7"
-Г
_ Т" J e/»"<*+*> (l - Щ dr\
-T" J
dgi dg2.
' ' J
Это выражение сводится к
J_ 7 Г rpj sin2 л (g, + ga) Г - sin2 я (g, + g2) T"
— oo —oo V
i dg2,
где {Г} обозначает выражение в фигурных скобках из предыду-
предыдущего равенства. Поскольку
sin2 аГ - sin2 аТ" = sin а (Т -1 щ \) sin a (T - \ и21),
то, делая замену gi = f + g, g2 = f — g, dgldg2 = 2dfdg, получаем
= ^ J
— oo —со
(П9.1.13)
что и является другим вариантом выражения (П.9.1.9), дающим
точный результат в случае гауссовских процессов.
Если \ut\ и |м2| малы, а Т велико, то интегрирование по /
в (П9.2.2) дает
Cov[сц(щ), сы{и2)] =
со
= Т llrik(g)rn(-g)el2lle(Ul-u>]
— оо
sin2 2nfT 6(f)
(П9.1.14)
так как
при
178
Глава 9
Подставляя (П9.1.13) в (П9.1.12), получаем
Cov [С„ (f,),Cw (fa)] =
= f Г e-v*(f.«.+f.««)Л f Г-—"f (T~Ull) sin2nf (--~' j
-r
2я/
2я/
X
(/ - g)
Меняя порядок интегрирования, собирая одинаковые члены и про-
производя некоторые упрощения, мы получаем
Cov[Cll(fl),CklM =
со оо
_ 1 Гр , , sin яГ (f 1 - л:) sin яГ (f2 + *) ,
-72- J *«(*) „(/,-,) я (/, + *) ах
оо
оо
sinnT(f2-y)
х
n(f2-y)
sin
X
sin nT (ft-x)
n(h-x)
sin nT (/, + у) sin яГ (/2 + j/)
n(fi+y)
Упрощение формулы. Формула (П9.1.15) является точной для
гауссовских процессов. Ее можно упростить, если спектры про-
процессов приближенно равны константе в диапазоне от /i до /2, так
как в этом случае члены I\ft(/i) можно вынести за знак интеграла.
В результате для таких случайных процессов, которые имеют при-
приблизительно постоянный спектр в диапазоне частот от /ч до /2, мы
получаем
[ctl (/,), сы
+ г«(Л)г/1Ь (- Л) [ * „г №{/17.)я> Т• (п9ллб)
Равенство (П.9.1.16) является точным для гауссовских белых шу-
шумов. В остальных случаях эта формула приближенная. Все полу-
полученные выше формулы применимы и в дискретном случае, если
члены T(f) умножить на Д и проводить интегрирование по частоте
от —1/2Д до 1/2Д. Так, формула (П9.1.16) в дискретном случае
переходит в
Cov [Ct, (/,), C
kl
,)Г#1 (-
Ш9.1.17)
Оценивание взаимных спектров
179
Если в (П9.1.16) и (П9.1.17) положить Xt = Xj = Xh = Xt = Z, то
получим формулы F.3.17) и F.3.15) для белого шума и более об-
общую формулу F.4.9) для шума, не являющегося белым.
Формулы (П9.1.16) и (П9.1.17) показывают, что при больших
Т ковариация двух спектральных оценок имеет порядок 1/Г2 во
всех случаях, кроме fi = fa. Следовательно, с хорошей степенью
приближения можно считать, что спектральные оценки, относя-
относящиеся к частотам, разнесенным больше чем на 1/Г, являются не-
некоррелированными.
Обобщенная матрица ковариаций. Общие формулы (П9.1.16)
и (П9.1.17) можно использовать для вывода обобщенной матрицы
ковариаций (9.1.22). Например, член Cov[Li2(f), Qi2(f)] можно по-
получить следующим образом:
In (f) = \ [Сi2 (/) + С12 (- /)] = ~ [Са {f) + C2l (/)],
Q.2 (/) = ^ [С,2 (/) - С12 ( - /)] = i [С12 (/) - С21 (/)].
Следовательно,
= -1- {Cov [C12 (/), С12 (/)] - Cov [C12 (/), С21 (/)]
+ Cov [C2I (f), С12 (/)] - Cov [C21 (О, С21 (/)]}.
Замена Cov[Cjj(f), Chi(f)] на (9.1.15) приводит к выражению
Cov[LI2(f), Q,2(/)] = -^tr
где мы использовали обозначения (9.1.13) и (9.1.14). Последнее
выражение сводится к
Cov [МЛ, Q,2(/)] =
Так как
Г22 (/) - Ц2 (- f) = Л22
) + 2/Л12 (/) Vi2 (f)
22 (f) - 2/Л12
- W212 (f) -
= 4/Л1
180
Глава 9
то, пренебрегая членом с W2( + ), получим
Cov [Ll2 (/), Q12 (/)] - Л12(f) Wi2(f)W2(-).
^-свойства оценок автоспектров. Рассмотрим гауссовский про-
процесс Xi(t) с нулевым средним значением и дисперсией о\. Спех-
тральная оценка Cn(f) имеет вид
Г/2
-Т/2
{г- Г/2
L-r/2
Xl (t) cos 2nft dt
-, 2 г Г/2
J L-r/2
¦I)
(П9.1.18)
где Xc{f) и Xs(f) —соответственно косинус- и синус-преобразова-
синус-преобразования процесса Xi(t). Так как преобразование Фурье является линей-
линейной операцией, процессы Xc(f) и Xs(f) также будут гауссовскими.
Из (П9.1.18) мы видим, что Сн(/) есть сумма двух гауссовских
случайных величин, возведенных в квадрат. Следовательно, Cu(f)
имеет ^-распределение с двумя степенями свободы. Отсюда не-
немедленно получаются результаты разд. 6.3.3.
Для негауссовских процессов преобразования Xc{f) и Xs(f)
представляют собой взвешенные суммы зависящих от времени
случайных величин Х{. Поэтому вышеупомянутые формулы будут
приближенно верны и для негауссовских процессов.
Ковариация сглаженных спектральных оценок. Сглаженная
спектральная оценка Сц{1) получается из СцA) с помощью ра-
равенства
Ct,{f)= jCil(g)W(f-g)dg,
(П9.1.19)
где W(f)—спектральное окно, соответствующее корреляционному
окну w(t). Отсюда
и. (П9.1.20)
-т
Ковариацию сглаженных спектральных оценок можно получить
следующим образом. Так как
то
Cov [си (и,), hi («2)] = w («,) w (щ) Cov [ctl (ы,), ск1 (и2)]. (П9.1.22)
Оценивание взаимных спектров
181
Отсюда с помощью (П9.1.12) и (П9.1.22) получаем
Cov [Ctl (U), Сы(/2)] =
т т
= J J w(u{)w{u2)Cov[cu(ux), ckl{u2)]e-№ti^+^duxdu2. (П9.1.23)
-г -т
Далее, ш(и)=0 при |u|>M и М «С Т. Следовательно, для
Cov[c,j(«i), см(и2)] в (П9.1.23) можно воспользоваться приближе-
приближением (П9.1.14). В результате получим
tf,). Cw(f2)]« f f »Ыт»Л4-е
-т
оо
X J [Tik(g)T,t(- g)
Ya(g)Tjk(~ g)
Изменение порядка интегрирования дает
Cov [С(, (/,), Ckl (f2)] ~ у \W(h- g) Fik (g) Гу/ (-g)W(f2
(П9.1.24)
+ Г„ (g) Tik (-g)W(f2- g)] dg. (П9.1.25)
Если предположить, что функции Г изменяются незначительно
при изменении частоты в интервале, равном ширине полосы частот
окна, то их можно вынести из-под знака интеграла. В результате
(П9.1.25) переходит в
Cov [Сti (f,), Ckl (f2)]
М f W (/, -g)W (f2 + g)dg +
00
— lw(ft-g)W (f2 - g) dg. (П9.1.26)
Следовательно, если спектральные окна достаточно узки и пере-
перекрываются незначительно, то ковариация сглаженных оценок
очень мала. При f\ = /2 (П9.1.26) дает
Cov
+
(~ /1)
J W2(fl-g)dg. (П9.1.27)
Поскольку перекрытие окон незначительно, первым членом в пра-
правой части (П9.1.27) можно пренебречь. В результате, применяя
182
Глава 9
Оценивание взаимных спектров
183
теорему Парсеваля, получим
Г,7 (/,)!>(-/,)
j w2 (u) du.
(П9.1.28)
Формулой (П9.1.27) можно воспользоваться для вывода обобщен-
обобщенной матрицы ковариаций сглаженных спектральных оценок. Как
отмечалось в разд. 9.2.1, эта матрица совпадает с матрицей
(9.1.22), за исключением того, что множитель W2(—) надо заме-
заменить на I/T, где
м
1= j w2(u)du.
-м
ПРИЛОЖЕНИЕ П9.2
ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНОГО
АНАЛИЗА ДВУМЕРНОГО РЯДА
Ниже приведена логическая схема вычислительной программы
CROSSPEC, входными значениями для которой служат выбороч-
выборочные оценки авто- и взаимных ковариаций COV(K, I, J) или
DCOV(K, I, J), К = 0, МАХМ, 1 = 1, 2, J = 1, 2, из программы
MULTICOR, описанной в Приложении П5.3. Дополнительными
входными величинами являются DELTA, NF, М-^МАХМ— |S| и
S — число запаздываний, требуемое для выравнивания процессов
(так чтобы наибольшая по модулю взаимная ковариация была
в нуле). Выход состоит из печати ковариаций (повторный кон-
контроль), сглаженных автоспектров для каждой точки отсечения М,
фазового спектра, квадрата спектра когерентности и графиков ло-
логарифмов автоспектров, а также квадрата спектра когерентности
и фазового спектра, которые строятся вместе для всех используе-
используемых точек отсечения.
Программа CROSSPEC
1) Входные параметры N, МАХМ, DELTA, NF, S.
2) Произвести считывание IDENT(l), COV(K, 1, 1), К = 0, МАХМ
IDENTB), COV(K,2, 2), К = О, МАХМ
COV(K, 1,2), К = 0, МАХМ
COV(K, 2, 1), К = 0, МАХМ.
3) Произвести считывание М, положить COV(K) =
= COV(K, I, 1), К = О, МАХМ.
4) Вызвать подпрограмму AUTOSPEC. (Приложение П7.1)
5) Запомнить SPEC (К, 1) = SPEC (К), К = О, NF.
6) Положить COV(K) = COV(K, 2, 2), К = О, МАХМ.
7) Вызвать подпрограмму AUTOSPEC.
8) Запомнить SPEC (К, 2) = SPEC (К), К = О, NF.
9)Вызвать подпрограмму EVOD.
Подпрограмма EVOD
Вычислить EV(K) = COV(K + S, 1, 2)+COV(K —S, 2, 1),
к = о, м
OD(K) = COV(K + S, 1,2)-COV(K-S,2, 1), К = 0, M
(Отметим, что COV(K, 1, 2) = COV(-К, 2, 1).
10) Вызвать подпрограмму CROSPEC.
Подпрограмма CROSPEC
Вычислить сглаженные коспектр и квадратурный спектр и ква-
квадрат взаимного амплитудного спектра
COSPEC(I) = 2. *DELTA* EV@) + 2. *
М-1
K=i
M-l
QSPEC(I) = 4. *DELTA* J 0D (K) W(K)
K=i
яК1
NF
SQ (I) = COSPEC (I) * COSPEC (I) + QSPEC (I) * QSPEC (I)
Как и в подпрограмме AUTOSPEC, преобразование Фурье
можно выполнить очень быстро, воспользовавшись либо алгорит-
алгоритмом БПФ, либо алгоритмом, приводимым ниже.
11) Вычислить PHASE(K) = ARCTAN(-QSPEC(K)/COSPEC(K))
COHSQ (К) = SQ (K)/(SPEC (К, 1) * SPEC (К, 2)).
12) Вычислить LOGSPEC(K, 1) = LOG 10 (SPEC (К, 1))
LOGSPEC(K, 2) = LOG 10(SPEC(K, 2)),
соблюдая предостережения E) из подпрограммы AUTOSPEC.
13) Напечатать сглаженные автоспектры SPEC (K,l), SPEC(K,2),
фазу PHASE (К), квадрат коэффициента когерентности COHSQ(K),
ширину полосы частот окна В и число степеней свободы D.
14) Построить на одном графике:
LOGSPEC(K, 1) для всех использованных значений М,
LOGSPEC(K, 2) для всех использованных значений М,
PHASE (К)
COHSQ(K)
184
Глава 9
Алгоритм
Чтобы найти COSPEC(I), QSPEC(I),
Я1
положить C = COS
NF
V0 = <
Z0 = 0
VI =0.
Zl =0.
Do 1, K = M- J, 1
V2 = 2. * С * VI - VO + W (K) * EV (K)
Z2 = 2. * С * Zl - Z0 + W (K) * OD (K)
VO = V1
VI =V2
ZO = Z1
Z1 = Z2
COSPEC(I) = 2. *DELTA*{EV@) + 2. *(V1*C-VO)}
QSPEC(I) = 4. * DELTA * Zl * SN.
ПРИЛОЖЕНИЕ П9.3
ВЫБОРОЧНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ДАННЫХ
ИЗ ПРИЛОЖЕНИЯ П8.1
Таблица П9.1
Выборочные корреляции данных из табл. П8.1
0-7
8-15
16-23
24-31
1,000
0,009
-0,031
0,083
0,505
0,103
-0,019
-0,031
0,071
0,110
0,116
-0,167
-0,139
0,028
0,195
-0,140
-0,137
-0,097
0,138
-0,069
-0,092
-0,096
0,049
0,025
-0,124
-0,025
-0,010
0,026
-0,092
0,011
0,058
-0,080
Автокорреляции rn (k)
0-7
8-15
16-23
24-31
-0,075
-0,050
-0,039
0,234
0,409
-0,035
-0,071
0,245
0,452
0,056
-0,121
0,153
0,320
0,133
-0,110
0,026
0,195
0,082
-0,059
-0,037
0,080
-0,033
0,044
-0,027
0,123
-0,098
0,072
-0,020
—0,004
-0,048
0,156
0,004
Взаимные корреляции л12 (к)
0-7
8-15
16-23
24-31
-0,075
0,087
-0,049
-0,014
-0,498
-0,005
0,085
-0,064
-0,485
-0,066
0,175
0,001
-0,278
-0,067
0,101
0,081
-0,114
0,017
-0,077
0.063
-0,050
0,040
^0,102
0,027
0,042
0,043
-0,042
-0,064
0,109
0,001
0,043
-0,049
Взаимные корреляции г2\ (к)
0-7
8-15
16-23
24-31
1,000
0,006
-0,051
-0,063
0,536
0,054
-0,084
-0,081
0,186
-0,020
-0,063
-0,155
-0,056
0,005
0,014
-0,045
-0,121
-0,060
0,166
-0,049
-0,080
-0,042
0,107
-0,011
-0,066
0,018
0,019
-0,080
-0,048
0,025
0,032
-0,096
Автокорреляции л22 (к)
Оценивание взаимных спектров
185
Таблица П9.2
Выборочные корреляции данных из табл. П8.2
0-7
8-15
16-23
24-31
1,000
0,030
-0,107
0,059
0,540
0,058
-0,123
0,052
0,335 0,219 0,262
0,017 -0,035 -0,113
-0,066 0,026 0,037
-0,030 -0,043 -0,062
Автокорреляции ru (k)
0,274
-0,139
0,024
-0,055
0,151
-0,101
-0,027
-0,028
0,056
-0,101
0,016
-0,091
0-7
8-15
16-23
24-31
0,013
0,369
0,195
-0,016
0,098
0,460
0,081
0,003
0.114
0,752
0,017
0,012
0,116
0,661
0,038
0,008
0,176
0,505
0,031
0,034
0,264
0,385
0,033
0,062
0,338
0,328
-0,012
0,074
0,336
0,307
-0,040
0,059
Взаимные корреляции r{2 (k)
0-7
8—15
16-23
24-31
0,013
-0,120
-0,101
-0,163
-0,057
-0,089
-0,095
-0,079
-0,131
-0,074
-0,105
-0,026
-0,147
-0,071
-0,109
0,003
-0,152
-0,042
-0,143
-0,013
-0,172
0,003
-0,185
-0,009
-0,171
0,018
-0,209
-0,007
-0,163
-0,012
-0,191
0,073
Взаимные корреляции r2l (k)
0-7
8-15
16-23
24-31
1,000
0,145
0,028
0,045
0,848
0,124
0,024
0,058
0,678
0,084
0,026
0,029
0,546
0,071
0,020
0,023
0,473
0,043
0,010
0,030
0,400
0,044
-0,012
0.037
0,299
0,051
-0,018
0,002
0,200
0,041
0,012
-0,026
Автокорреляции ггг (k)
Оценивание частотных характеристик
187
Глава 10
ОЦЕНИВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
В этой главе рассматривается задача оценивания частотной
характеристики линейной системы по имеющимся записям, соот-
соответствующим входу и выходу системы.
Во введении обсуждается решение этой задачи с помощью
оценивания функции отклика на единичный импульс. Оказывается,
что такой подход неудовлетворителен как из-за того, что он тре-
требует оценивания слишком большого числа параметров, так и из-за
того, что выборочные оценки при таком подходе имеют плохие
статистические свойства. Это происходит потому, что оценки со-
соседних значений функции отклика на единичный импульс сильно
коррелированы. От этих трудностей можно избавиться, если пе-
перейти к оцениванию частотной характеристики с помощью ана-
анализа взаимных спектров. Показано, как можно получить хорошие
оценки функций усиления и фазы с помощью метода стягивания
окна, а также выводятся доверительные интервалы для этих
функций. Мы приходим к выводу, что, хотя анализ взаимных спек-
спектров и является иногда полезным исследовательским средством
при оценивании характеристик линейных систем, все же конечной
целью такой ргботы должно быть оценивание параметров некото-
некоторой модели методом наименьших квадратов, видоизмененным так,
чтобы учесть корреляцию остаточных ошибок.
10.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы будем иметь дело со второй из обсуждав-
обсуждавшихся в начале гл. 8 задач для двумерных временных рядов, а
именно с задачей, в которой известно, что случайные процессы
^i@> X%(t) являются соответственно входом и выходом некоторой
физической системы. Имея реализации этих процессов x^t), x2(t)
на интервале 0-^.1 *СТ, требуется оценить характеристики этой
системы. Например, xi (t) могла бы быть скоростью впуска газа
в газовую печь, a x2(t)—выходным продуктом, как показано на
рис. 8.3.
Проблемы такого рода часто возникают при изучении промыш-
промышленных процессов. Здесь можно различать два случая: когда
Xi(t) и x2(t) являются обычными рабочими записями и когда вход
Xi(t) меняют умышленно, а ^(^—соответствующий этим изме-
изменениям выход. Опасности, возникающие при анализе данных пер-
первого типа, хорошо известны. Наиболее важная из них заключается
в том, что любое связывающее Xi(t) и x2(t) соотношение, согла-
согласующееся с наблюдаемыми данными, может оказаться совершенно
бесполезным для предсказания изменений x2(t), вызванных пред-
преднамеренными изменениями Xi(t). Это может произойти, например,
если Xi(t) непосредственно не влияет на x2(t), но коррелировано
с некоторой третьей переменной x3(t), непосредственно воздей-
воздействующей на x2(t). Поэтому данные второго типа предпочтитель-
предпочтительней для анализа систем, однако их не всегда можно получить, так
как эксперименты с такими системами иногда невозможны. Заме-
Заметим также, что классические методы оценивания характеристик
системы с помощью единичного скачка или синусоидальной вол-
волны могут оказаться неудачными из-за больших флуктуации, воз-
возникающих внутри системы. Поэтому необходимо обратиться к ста-
статистическим методам, рассчитанным на то, что внутри системы
имеется шум.
Оценивание функций отклика на единичный импульс. Для того
чтобы оценить характеристики системы, примем прежде всего
упрощающее предположение, что система линейна. В таком слу-
случае соотношение между входом и выходом можно точно описать
с помощью динамической случайной модели
оо
Х2 @ - Ц2 = J h (и) [X, (/ - и) -
Z (t),
A0.1.1)
где h(u)—функция отклика системы на единичный импульс и
Z(t)—шум, или член ошибки, который предполагается некоррели-
некоррелированным со входом Xi(t). Вероятно, модель A0.1.1) неадекватна
в некоторых случаях из-за нелинейности соотношения, связываю-
связывающего вход и выход, либо из-за обратной связи входа с выходом
через регулятор, как описано в [1], либо, наконец, из-за влияния
других входных переменных на выход (гл. 11). Но в настоящий
момент мы предположим, что модель A0.1.1) адекватно описы-
описывает реальную ситуацию. Это будет действительно так, если изме-
изменения Xi(t) достаточно малы и нет обратной связи.
Для дискретного случая модель A0.1.1) имеет вид
,-ц2= Zi hm{Xit-m-\
m=0
A0.1.2)
Этой моделью часто пользуются для оценивания весов hm по за-
записям входа и выхода. Такой подход может быть неудовлетвори-
неудовлетворительным по двум причинам. Во-первых, число весов hm, кото-
которое нужно знать для характеристики системы, может оказаться
188
Глава 10
большим. Поскольку физические системы обычно можно описать
дифференциальными уравнениями вида B.3.18), содержащими не-
небольшое число параметров, разумнее параметризовать задачу,
подбирая следующую модель:
j-ji,) + Zt. A0.1.3)
При такой параметризации число оцениваемых параметров ос-
остается небольшим. Во-вторых, оценки метода наименьших квадра-
квадратов для hm, полученные из A0.1.2), сильно коррелированы, так же
как оценки авто- и взаимных корреляционных функций. Пример
такой корреляции оценок hm будет приведен в разд. 10.2.
Оценивание частотных характеристик. Характеристики системы
можно оценивать также в частотной области с помощью спект-
спектрального анализа. Основное преимущество такого подхода состоит
в том, что он устраняет трудности, обусловленные второй из пере-
перечисленных выше причин. В разд. 10.3 будет показано, что с по-
помощью взаимного спектрального анализа можно оценить частот-
частотную характеристику
H(f)= J
взяв в качестве ее оценки функцию
Cud)
A0.1.4)
A0.1.5)
В A0.1.5) Ci2(f)—сглаженная оценка взаимного спектра входа и
выхода, a Cu(f)—сглаженная оценка спектра входа. Значения
оценки A0.1.5) на соседних частотах некоррелированы. Следова-
Следовательно, оценка функции h(u), полученная с помощью обратного
преобразования Фурье от A0.1.5), будет гораздо более гладкой,
чем при непосредственном оценивании h(u).
Поскольку используемый в спектральном анализе метод стяги-
стягивания окна сам подстраивается под локальные свойства частотной
характеристики, можно ожидать, что в частотной области понадо-
понадобится меньше параметров, чем во временной. Однако при спек-
спектральном анализе требуется все же оценивать больше параметров,
чем при подгонке надлежащим образом выбранной параметриче-
параметрической модели. Поэтому в работах подобного рода как окончатель-
окончательную цель следует рассматривать параметрическое оценивание.
Основное значение спектрального анализа при анализе систем
состоит в том, что он служит методом, полезным для выдвижения
возможных моделей. Впрочем спектральный анализ имеет и не-
Оценивание частотных характеристик
189
сколько преимуществ по сравнению с параметрическим подходом.
Во-первых, как показано в гл. 11, его легко обобщить на много-
многомерные системы. Во-вторых, во многих практических задачах ин-
инженеры заинтересованы в описании функций усиления и фазы
лишь в очень ограниченном диапазоне частот, в то время как па-
параметрическая модель дает описание в гораздо более широкой
области. И наконец, благодаря гибкости спектрального подхода
временные ряды можно расфильтровать на компоненты, соответ-
соответствующие различным частотным диапазонам, и затем анализиро-
анализировать их по отдельности. В некоторых приложениях это необходимо,
ибо предположение о том, что одна и та же параметрическая
модель верна в широком диапазоне частот, может быть
неоправдано.
10.2. ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОТКЛИКА
НА ЕДИНИЧНЫЙ ИМПУЛЬС
10.2.1. Непосредственное оценивание функций отклика
на единичный импульс
В разд. 10.1 утверждалось, что непосредственное оценивание
функции отклика на единичный импульс h(u) представляет собой
неразумный подход. Чтобы проиллюстрировать трудности, скры-
скрывающиеся в этом подходе, рассмотрим искусственные данные, по-
полученные с помощью линейной модели
X2t = Xj + Ztl
X, = 0,25Х(_, - 0,5Xt-2 + Xlt, A0-2Л)
где Zt — белый шум и Xit — вход системы. Выход системы X2i ра-
равен сумме белого шума Zt и отклика линейной системы Xt на
входной сигнал Хи. Использованные для анализа данные, состояв-
состоявшие из пар значений хи и x2f, приведены в Приложении П10.1.
К этим данным подбиралась модель вида
м
(X2t -ц2)=
h
Zt,
A0.2.2)
где Xi — средний уровень входного процесса. Поскольку значение
М, за которым hm становятся пренебрежимо малыми, неизвестно,
нужно попробовать несколько значений М и остановиться тогда',
когда выборочные оценки hm станут малы по сравнению с уров-
-нем шума. При фиксированном М веса hm можно оценить методом
наименьших квадратов, т. е. предполагая, что шум белый, надо
минимизировать выражение
s=
N
2
М
**-*)-2/>„(*
0
12
00-2-3)
190
Глава 10
по р,2 и hm, т = 0, 1,
ниям
N
2
., М. Это приводит к нормальным уравне-
уравне(•% - Х2) {xu-k - X,) =
= 0, 1, 2,
M.
A0.2.4)
Заметим, что уравнения A0.2.4) вполне справедливы лишь для
белого шума Zt. Но так как первоначально корреляционная струк-
структура шума неизвестна, оценивание подразделяется на два этапа.
Сначала из уравнений A0.2.4) вычисляются выборочные оценки
hm и оценивается автокорреляционная функция остаточных оши-
ошибок. Зная эту функцию, можно предложить более эффективный
способ оценивания, который учитывал бы корреляционную струк-
структуру шума. Пример такого подхода приводится в разд. 10.2.2.
Так как в рассматриваемом нами примере известно, что шум
Zt белый, мы использовали нормальные уравнения A0.2.4) для
оценивания параметров по ряду из 100 членов, полученных с по-
помощью модели A0.2.1). В табл. 10.1 приведены выборочные оцен-
оценки hm для значений М = 10, 12, 16. Сравнение со значениями тео-
теоретической функции отклика на единичный импульс показывает,
что выборочные оценки плохие. Это объясняется большой диспер-
дисперсией оценок и их сильной корреляцией, проявляющейся в замет-
заметных колебаниях Ьт при больших т.
10.2.2. Параметрическое оценивание функций
отклика на единичный импульс
Правильный параметрический анализ во временной области
включает в себя оценивание параметров модели A0.1.3) (см. [1]).
Число параметров, которые нужны для такой модели, можно опре-
определить, увеличивая количество членов в обеих частях равенства
A0.1.3) и оценивая каждый раз дисперсию и,автокорреляционную
функцию остаточных ошибок. Модель является адекватной, когда
нет признаков корреляции остаточных ошибок (эти ошибки нужно
проверить с помощью одного из двух критериев белого шума,
обсуждавшихся в разд. 5.3.5 и 6.3.2).
Сначала мы испробовали модель вида
X2t - |i2 = а, (Ха-1 - ц2) + а2 (Х2<_2 - (х2) + р0 (Хи - X,) + Zt A0.2.5)
для данных, полученных из модели A0.2.1). Предполагая, что
Zt — белый шум, нормальные уравнения можно вывести,
'О
(¦«,
I
s
•s
3
4
В
В!
Я
Я
о.
о
еп
"~
о
е
о
о"
CD
О
о"
Ю
О
о"
о"
со
—о,
00
со
7
S
о"
g
—"
X
иче«
ения
S.I
о g
N-
О
о"
СП
см
о*
СО
СО
о"
о"
СО
о
о"
см
ю.
о"
ем
•ч1
СО
о"
CD
О,
о
II
СО
СО
о"
со
о"
CD
ю
о
о
СО
о"
о
см
о"
CD
N-
о"
ем
о"
00
о
II
00
см
о"
00
со
1
—о,
eg
ю
о"
N.
О
со
о"
00
—.
о"
см
о
СО
о*
см
о"
а
о
CD
II
to
—,
т
сч
о
СП
СО
S
о
S
о"
см
о
о
о"
eg
,00
о
CD
,00
о
8
—о,
о
о"
о
о
—о,
о
о"
см
см
Ч.
о
V
S
а
II
еореп
значе
н
со
со
о"
о
eg
см
о"
О5
00
ем
с
3
о
II
ем
-^
о*
о
о"
N
О
—
о"
00
ю
о
1
II
о
о
о"
1
N.
О
о"
о
00
о
о"
§
о"
ем
со
о
о"
181
о*
eg
о"
ем
ю
о"
•ч*
о
ю
о"
CD
II
192
Глава 10
минимизируя сумму квадратов
N
2 [x2t - М-2 - a, {x2t-i - Ц2) - а2 (x2t-2 - Иг) - Ро (*» ~ *i)l2
< = 3
по ц2, аь а2 и р0.
Считая, что входной и выходной временные ряды стационарны,
нормальные уравнения можно заменить более простыми прибли-
приближенными уравнениями, как описано в разд. 5.4.1, что в результате
приводит к приближенным равенствам
A0.2.6)
1Г
Оценивание частотных характеристик
193
с22A)
с22B)
с12@) ~ а,с12(- 1) + а2с12 (-2) + рос„ @).
Если взять для ковариаций их выборочные оценки из табл. П10.2,
то решение системы уравнений A0.2.6) будет следующим: af =
= 0,072, a2 =—0,276, Ро = 1,182. Затем были вычислены остаточ-
остаточные ошибки по формуле
zt = x2t — х2 — a, (%_, — х2) - а2 {x2t-2 — х2) — р0 {хи — *,) =
= (x2t - 0,21) - 0,072 {x2t_x - 0,21) +
+ 0,276 (*2t_2 - 0,21)-1,182 (*„-0,17)
и сосчитаны их автокорреляции. Первые 10 значений выборочной
автокорреляционной функции остаточных ошибок приведены в
табл. 10.2. Эти автокорреляции противоречат гипотезе о том, что
остаточные ошибки zt являются реализацией белого шума. Они
наводят на мысль, что модель A0.2.5) нужно подправить и взять
модель
X2t - ц2 = сц (Х2<_, - ц2) + a2 U2<-2 - Иг) +
+ р0 (Хи - Г,) + Zt + bxZt.x + 62Z,_2,
чтобы учесть свойства скользящего среднего, которые проявляют
автокорреляции остаточных ошибок.
Таблица 10.2
Автокорреляции остаточных ошибок после подгонки
динамической модели
k 1
rzz(k) I-0.14
2
0,31
3
—0,02
4
0,08
5
0,05
6
0,05
7
—0,07
8
—0,08
9
0,00
10
—0,12
При подгонке авторегрессионной модели для пары временных
рядов вход — выход в том случае, когда на выходе имеется шум,
1
I
легко видеть, что остаточные ошибки будут иметь свойства про-
процесса скользящего среднего. Порядок этого процесса равен по-
порядку системы, связывающей пару рядов. Следовательно, в нашем
случае, для того чтобы остаточные ошибки стали белым шумом,
нужно взять два параметра скользящего среднего: 6i и бг.
Был выбран некоторый набор значений пар F1,62), и входной
и выходной ряды пропускались через следующие фильтры:
Затем для профильтрованных рядов уи, у it при каждой паре значе-
значений Fь 62) вновь подгонялась модель A0.2.5) и вычислялись выбо-
выборочные оценки A0.2.6) для параметров oti, ссг и Ро. Окончательно
были выбраны те оценки, которые минимизировали сумму квадра-
квадратов остаточных ошибок. Для нашего примера наилучшими значе-
значениями Si и 62 оказались б\ = —0,3 и 62 = 0,8, а соответствующие им
выборочные оценки параметров подправленной системы были рав-
равны: ш = 0,251, ot2 =—0,479, ($0=1,10. Выборочная автокорреля-
автокорреляционная функция для этой модели принимает малые значения, что
подтверждает адекватность модели.
Функция отклика на единичный импульс, соответствующая под-
подправленной модели, приведена в табл. 10.3. Видно, что она гораздо
лучше согласуется с теоретической, чем та, которая получена при
непосредственном оценивании.
Таблица 10.3
Теоретическая функция отклика на
выборочные оценки, полученные при
m
Теоретические зна-
значения hm
Параметрическое
оценивание hm
m
Теоретические зна-
значения hm
Параметрическое
оценивание hm
0
1,00
1,10
1
0,250
0,276
6
—0,066
—0,038
единичный импульс и ее
параметрическом оценивании
2
—0,438
—0,458
7
—0,044
—0,083
3
—0,234
-0,235
8
0,022
—0,003
4
0,154
0,160
9
0,028
0,039
5
0,055
0,153
10
—0,004
0,011
7 Зак. 1178
194
Глава 10
10.3. ОЦЕНИВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
10.3.1. Оценки функций усиления и фазовой характеристики
Чтобы можно было применять спектральпые методы для оцени-
оценивания частотных характеристик, необходимо отбросить условие фи-
физической реализуемости системы: h(u) = 0 при и < 0, и рассмот-
рассмотреть модель
оо
-«2= J
Если шум Zt белый, то с помощью рассуждений, аналогичных ис-
использованным в Приложении П5.1, можно показать, что выбороч-
выборочная оценка наименьших квадратов h(и) для функции h (и) удовле-
удовлетворяет интегральному уравнению
оо
cl2(u)= J h(v)cn(u-v)dv, -
A0.3.1)
Если данные получены из линейной физической системы, то условие
h(u) =0 при и < 0 будет автоматически выполнено, если не учиты-
учитывать выборочные ошибки, обусловленные конечной длиной записи.
Фактически, если бы мы имели запись бесконечной длины, то урав-
уравнение A0.3.1) было бы справедливо для функции h (и), тождест-
тождественно равной нулю при и < 0.
Решение интегрального уравнения A0.3.1) можно существенно
упростить с помощью преобразования Фурье. Так, если от обеих
частей A0.3.1) взять преобразования Фурье, то получим
= H(f)Cu(f),
где
оо
H(f)= J
A0.3.2)
Отсюда оценка частотной характеристики равна
Си (!)
A0.3.3)
т. е. оценка равна отношению оценки взаимного спектра к оценке
входного спектра. Выражение A0.3.3) можно переписать в виде
= ^i§e/^(f), A0.3.4)
Оценивание частотных характеристик
195
где Н (/) = G (/) е^{1). Таким образом, оценки функций усиления и
фазы имеют вид
G(/) = -^4?T A0.3.5)
F(f)=Fl2(f). A0.3.6)
В разд. 9.1.1 было показано, что дисперсию оценки фазового спект-
спектра в первом приближении можно считать не зависящей от длины
записи Т. Поскольку дисперсии функций Ai2(f) и Си(/) точно_так
же можно считать не зависящими от Т, то дисперсия оценки G(f)
не зависит от Т. Следовательно, оценки A0.3.5) и A0.3.6) необхо-
необходимо сгладить, чтобы уменьшить их дисперсию.
Один способ, с помощью которого можно этого добиться, со-
состоит в том, что вместо несглаженных оценок в A0.3.5) и A0.3.6)
подставляют их сглаженные варианты. Это приводит к следующим
сглаженным оценкам функций усиления и фазы:
12 (/)
A0.3.7)
A0.3.8)
Смещения и ковариации этих оценок можно вывести с помощью
методов, применявшихся в разд. 9.2. Другой способ сглаживания,
рассматриваемый в следующем разделе, получается, если решать
задачу оценивания частотной характеристики методом наименьших
квадратов в частотной области. Этот подход имеет то преимуще-
преимущество, что приближенные доверительные интервалы вычисляются
с помощью распределений, возникающих в методе наименьших
квадратов, а не с помощью первых двух моментов спектральных
оценок, как это делается в первом способе сглаживания.
10.3.2. Применение метода наименьших квадратов
в частотной области
В этом разделе показано, что задача оценивания частотной ха-
характеристики формально эквивалентна задаче оценивания регрес-
регрессии методом наименьших квадратов, проводимого на каждой из ча-
частот. Показано также, что многие из формул метода наименьших
квадратов, выведенные в разд. 4.3, можно без изменений перенести
в частотную область.
В разд. 6.4.1 было доказано, что равенство A0.1.1) приближен-
приближенно выполняется для двух конечных отрезков процессов Xi(t) и
X2(t), если только отклик на единичный импульс h(u) убывает
196
Глава 10
практически до нуля за время, малое по сравнению с Т. Поэтому,
если обозначить
г
то преобразование Фурье выражения A0.1.1) запишется в виде
X2(f)^H(f)Xl(f) + Z(f). A0.3.9)
Далее, A0.3.9) также можно записать в виде
Z (/) - [Х2 (f) - Xt (f) H (f)} + X, (f) [H (f) - H (f)]
и, следовательно,
I Z (f) р ~ | Х2 (/) - Хх (!) Я (/) р + | X, (/) Р | Я (f) - Я (f) р. A0.3.10)
Перекрестные члены исчезают, так как из A0.3.2) следует, что
*;(№(/)=я (/)!*,(/) р.
Отметим, что представление A0.3.10) по форме аналогично раз-
разложению D.3.10) остаточной суммы квадратов в обычном регрес-
регрессионном анализе, проводимом методом наименьших квадратов. Из
A0.3.9) получаем наилучшую выборочную оценку шума на часто-
частоте /
Разделив A0.3.10) на Т, находим
(ю.з.п)
Входящий в A0.3.11) выборочный спектр процесса, образованного
остаточными ошибками, можно вычислить с помощью A0.3.9).
В результате получим
с22 (/) = -1| z (/) р = -11 х2 (/) - х, (f) н (f) p =
, A0.3.12)
где Км (/) — выборочный спектр квадрата коэффициента когерент-
когерентности. Но в разд. 9.1.2 было показано, что K2l2(f)== 1, так что,
Из равенства A0.3.11) следует, что имеющиеся у Czz(f) две
степени свободы целиком затрачиваются на регрессионный член
|Xi(/)|2. \H(f) —H(f)\2. Таким образом, из-за того, что выбороч-
выборочным автоспектру и взаимному спектру соответствует узкое спекТ'
Оценивание частотных характеристик
197
ральное окно, вся информация на каждой из частот / полностью
уходит на оценивание функций усиления и фазы и не остается ни-
никакой информации на оценивание спектра шума. Сейчас мы пока-
покажем, что это положение можно исправить с помощью сглаживания.
10.3.3. Применение метода наименьших квадратов
к сглаженным оценкам в частотной области
В этом разделе показано, что примененный в предыдущем раз-
разделе метод наименьших квадратов можно видоизменить так, что
получатся эффективные сглаженные оценки функций усиления и
фазы линейной системы, а также спектра шума YZz(f)- Затем мы
покажем, как использовать эти оценки при построении критерия
значимости для проверки гипотезы о равенстве нулю истинной ко-
когерентности и при выводе приближенных доверительных интерва-
интервалов для функций усиления и фазы.
Предположим, что сглаженные оценки функций усиления и фазы
получаются по формулам A0.3.7) и A0.3.8). Тогда A0.3.11) можно
заменить на формулу, содержащую соответствующие сглаженные
величины:
CZz if) ~ C~zz if) + С и if) I Я (f) - Н (f) р. A0.3.13)
Когда операция сглаживания применялась к A0.3.11), то предпо-
предполагалось, что истинная частотная характеристика Н(!) остается
почти постоянной на интервале, равном ширине спектрального окна.
Как отмечалось в разд. 9.2, это предположение может быть не-
неверным, если не произведено выравнивание рядов, в результате ко-
которого максимум модуля взаимной корреляционной функции до-
достигается в нуле. Для того чтобы вывести приближенное распреде-
распределение оценок, мы будем предполагать, что выравнивание рядов
произведено.
Пусть в результате сглаживания авто- и взаимных спектров на
выборочную оценку в каждой из оцениваемых частот приходится
v степеней свободы. Тогда величина
vCzz (f)
имеет х2-распределение с v степенями свободы, и A0.3.13) можно
записать в виде
zz
zz
zz
A0.3.14)
Разложение A0.3.14) показывает, что случайная х2-величина
с v степенями свободы в левой части равенства разлагается на две
случайные ^-величины. Первая из них имеет v — 2 степени свободы
198
Глава 10
и может быть использована в качестве оценки спектра шума. Вто-
Вторая имеет две степени свободы и может быть использована для.
оценивания функций усиления и фазы. Этот результат следует из,
того, что, как нетрудно показать с помощью методов разд. 3.2.5,,
второй член в A0.3.13) всегда имеет две степени свободы незави-
независимо от степени сглаживания. Кроме того, можно показать, что-
слагаемые в правой части A0.3.14) статистически независимы. От-
Отсюда, пользуясь аддитивным свойством х2-распределения, выведен-
выведенным в разд. 3.3.5, находим, что первый член в A0.3.13) имеет х2-
распределение с (v — 2) степенями свободы.
Наконец, взяв аналогичную A0.3.12) формулу для сглаженных
спектральных оценок, можно найти сглаженную оценку спектра:
шума
C2z(f) = C22(f)[l-^2(f)]. A0.3.15)
Полученными формулами мы воспользуемся сейчас для построе-
построения критерия значимости.
Критерий значимости для проверки гипотезы о равенстве нулю
истинной когерентности. Предположим, что H(f) тождественно
равна нулю для всех f, т. е. входной и выходной процессы пол-
полностью некоррелированы и, следовательно, теоретическая когерент-
когерентность тождественно равна нулю.
Так как Я (f) = 0, то в силу (9.3.12) и A0.3.7) второй член
в правой части A0.3.14) равен
vCn(f)G4f)
zz
if)
(lU.o.lb)
Разложение A0.3.14) показывает, что случайная величина
A0.3.16) распределена приблизительно как х2 с двумя степенями
свободы, а величина
vCg2(/) _ vC22(f)[l-/C22(/)]
распределена приблизительно как х2 с (v — 2) степенями свободы.
Следовательно, если Я (f) = 0, то случайная величина
(у - 2) /Cf2
A0.3.17)
распределена приближенно как F2iV_2.
В качестве примера предположим, что выборочная оценка
(f) = 0,3 получена при использовании окна Тьюки, причем Д = 1,
= 20, N = 100. Тогда
8 100
Оценивание частотных характеристик
199
Из рис. 3.12 находим, что верхняя 95%-ная граница f2, и @,95) рав-
равна 4,0. Так как наблюденное значение статистики A0.3.17) меньше
4,0, то можно заключить, что нет никаких признаков того, что ис-
истинная когерентность отлична от нуля.
Ситуации, когда требуется применять описанный выше крите-
критерий значимости, крайне редки. Его можно было бы, например, ис-
использовать в качестве грубого критерия наличия взаимной корре-
корреляции двух временных рядов, требующего меньше вычислений, чем
описанный в разд. 9.1.2 критерий, использующий выборочную ко-
спектральную функцию. Гораздо чаще возникает задача оценива-
оценивания функций усиления и фазы и построения доверительных ин-
интервалов для них. Эти вопросы рассмотрены в следующем разделе.
10.3.4. Доверительные интервалы для функций
усиления и фазы
Полученными в предыдущем разделе формулами можно вос-
воспользоваться, чтобы вывести приближенные доверительные интер-
интервалы для функций усиления и фазы. Из A0.3.14) получаем
Рг
v-2
¦ zz
- а) = 1 - а.
Отсюда находим доверительную область для неизвестной функции
H(f) с уровнем доверия 1 —а:
' zz
v-2 С„(/)
f2iV_2(l-a). A0.3.18)
Из A0.3.18) получаем доверительную область для функций усиле-
усиления и фазы:
(G coscp — G cosF12J + (G sincp — GsinF12J ^
2 C99 (f) .
v-2
A0.3.19)
где опущен аргумент f. Если рассматривать величины Gcoscp,
G sin ф как новые параметры, то область A0.3.19) представляет со-
собой круг радиуса k, как показано на рис. 10.1, а. Если отобразить
этот круг на плоскость (G, ср), то он перейдет в область, показан-
показанную на рис. 10.1,6. В качестве грубого приближения эту область
200
Глава 10
можно заменить почти покрывающим ее прямоугольником. В ре-
результате для функции усиления получится доверительный интервал
ОТ ± TR, а для функции фазы доверительный интервал будет ра-
. в sin
точная
приближенная
вcos р
¦ Рис. 10.1. Доверительные области для функций усиления и фазы.
вен углу, образованному прямыми ОР и OQ. Эту область можно
записать с помощью неравенств
Учитывая, что
_
v-2
100A — а) %-ные доверительные интервалы для G и ф можно запи-
записать в виде
G(f) I ± J/
v-2
/2, v-2G -a)
К 2 (/)
A0.3.20)
Оценивание частотных характеристик
201
Fl2(f) ± arcsin
V
¦/2, v-г О —'
'-f«»
A0.3.21)
Заметим, что доверительные интервалы уменьшаются с увеличе-
увеличением числа степеней свободы и когерентности K\i (/)•
Пример. Предположим, выборочное значение Д"?2 равно 0,8 и
на выборочные оценки усиления G = 10 и фазы Fi2 = 70° прихо-
приходится v = 17 степеней свободы. Тогда 95%-ные доверительные ин-
интервалы A0.3.20) и A0.3.21) имеют вид
70 - arcsin YJt C>68) (-Ц) < Ф < 70 + arcsin "|/^ C,68) (||
т. е.
6,7<G<13,3, 51°<ф<89°
Смещение оценки функции усиления. Доверительные интерва-
интервалы A0.3.20), A0.3.21) для функций_ усиления и фазы получены
в предположении, что оценки G(f) и F(f) —несмещенные, что верно
лишь с некоторым приближением. Как показано в разд. 9.3.3, сме-
смещение оценок спектров фазы и когерентности можно уменьшить,
выравнивая временные ряды. Сейчас мы покажем, что смещение
оценки функции усиления также можно уменьшить с помощью вы-
выравнивания. Чтобы показать это, воспользуемся методом, анало-
гичным методу разд. 9.3.3.
По определению смещение оценки функции усиления равно
^Щ-. A0.3.22)
1 Ш
Считая, что смещение оценки входного спектра пренебрежимо
мало, A0.3.22) можно переписать в виде
В if)
E{Alt(f)]-alt(f)
Г,, (/)
так что нужно определить лишь смещение E[Au(f)] — aa(f). Дей-
Действуя так же, как и в разд. 9.3.3, можно получить смещение оценки
функции усиления при использовании окна Тьюки
^ К» - а|2 (ф</2>J + 2а(ЭД!> sin 2q>12]. A0.3.23)
Заметим, что в этом выражении появляется тот же член <х12 (ф*^J,
который входил в выражение (9.3.26) для смещения оценки
202
Глава 10
спектра когерентности. Следоьательно, смещение оценки функции
усиления уменьшается при выравнивании по тем же причинам,
которые указаны в разд. 9.3.
10.4. ПРИМЕРЫ ОЦЕНИВАНИЯ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
В этом разделе мы применим методы, развитые в разд. 10.3, для
оценивания частотных характеристик искусственных рядов и рядов,
полученных из реальных физических систем. Сначала мы кратко
опишем стадии оценивания частотных характеристик.
10.4.1. Практическая методика оценивания
частотных характеристик
Формулы оценивания в дискретном случае. Вычисления, не-
необходимые для оценивания частотных характеристик, почти совпа-
совпадают с вычислениями при оценке взаимных спектров, описанными
в разд. 9.3.1. Дополнительно нужны лишь следующие вычисления:
1. Вычисление выборочной оценки функции усиления
G (/) = ##.
A0.4.1)
2. Вычисление выборочной оценки спектра остаточного шума
. С«(Я = С22 (/)[l-*«(/)]. A0.4.2)
3. Вычисление приближенных 100A — а)%-ных доверительных
интервалов для функции усиления
A0.4.3)
где v — число степеней свободы, соответствующее степени сглажи-
сглаживания выходного спектра, и ^2, v-2 A—а) есть 100A—а)%-ный
квантиль F-распределения.
4. Вычисление приближенных 100A — а)%-ных доверительных
интервалов для функции фазы
Г~2
i ± arcsin 1/ -—-f2t v_2(l-a)
(П
A0.4.4)
Стадии оценивания функций усиления и фазы. Пять стадий,
описанных в разд. 9.4.2 при оценивании взаимных спектров, приме-
применимы также и при оценивании усиления и фазы. Существенные из-
изменения имеются лишь во второй стадии вычислений, которая долж-
должна теперь выглядеть следующим образом.
Оценивание частотных характеристик
203
Вторая стадия вычислений
а) Вычисляются два автоспектра, спектр остаточного шума и
функции усиления и фазы, причем используются взаимные корре-
корреляции выравненных рядов (9.3.28).
б) Строятся графики перечисленных выше спектров для не-
нескольких точек отсечения. Оба автоспектра и спектр остаточного
шума нужно строить в логарифмическом масштабе. Затем следует
построить графики Бодэ для функций усиления и фазы, т. е. лога-
логарифм функции усиления нужно отложить в зависимости от лога-
логарифма частоты и фазовую функцию — в зависимости от логарифма
частоты.
в) В некоторых случаях, возможно, потребуется построить гра-
график преобразованной когерентности.
Последнее изменение состоит в том, что на стадии 5в довери-
доверительные интервалы для функции усиления получаются по формуле
A0.4.3), для фазовой функции — по формуле A0.4.4) и для коэф-
коэффициента когерентности — по формуле (9.2.23). Логическая схема
вычислений выборочных оценок частотных характеристик приво-
приводится в Приложении П10.2.
10.4.2. Анализ частотных характеристик
искусственных систем
С помощью искусственных рядов была имитирована линейная
система второго порядка. Выходные данные xlt получались с по-
помощью модели A0.2.1), а именно
и
Xt = ОДО,., - 0,5Х,_2 + Хи, A0.4.5)
где Zt — белый шум, а Хц — вход.
В качестве входных данных xit использовалась реализация про-
процесса авторегрессии второго порядка G.1.9), т. е.
Хи = Хц-1 — 0,5Хи-2 + Z't.
Входные и выходные данные приведены в Приложении П10.1.
Теоретический спектр входного процесса равен
Г" О " 2,25 -3cos22n/ + cos 4nf • °<f<0,5eu. A0.4.6)
Этот спектр показан на рис. 7.7 сплошной линией. Поскольку шум
белый, его спектр имеет вид
A0.4.7)
204
Глава 10
Теоретическая частотная характеристика линейной системы A0.4.5)
равна
^o*-™' -i<f<i- A0Л8)
Отсюда теоретические функции усиления и фазы имеют вид
1
G(f) =
и
qp(/)=arctg
/1,3125 - 0,75 cos 2я/ + cos 4я/
n2n/ Dcos2n/- 1)
A0.4.9)
A0.4.10)
2 + cos 2я/ D cos 2я/ - 1) "
Функция усиления A0.4.9) показана сплошной линией на рис. 10.3,
а фазовая функция A0.4.10)—сплошной линией на рис. 10.4.
Квадрат теоретического коэффициента когерентности равен
К2 5
12 1+A3125-0,75 cos 2л/+ cos 4я/) B,25-3 cos 2л/+ cos 4я/) "
A04 1
Эта функция показана сплошной линией на рис. 10.5. Видно, что
коэффициент когерентности весьма высок в диапазоне от 0 до 0,25 гц,
где велики входной спектр и функция усиления. Однако когерент-
когерентность очень мала в диапазоне от 0,3 до 0,5 гц, где входной спектр
и функция усиления системы- также малы. Следовательно, можно
ожидать, что для диапазона от 0 до 0,25 гц получатся хорошие
оценки функций усиления, фазы и спектра когерентности, а для
диапазона от 0,3 до 0,5 гц — плохие.
Поскольку используемые временные ряды были искусственными,
многие стадии из описанной в разд. 9.4.2 и разд. 10.4.1 методики
не нужны. Тем не менее поучительно проследить все эти стадии
подряд, как если бы данные были получены из реального процесса.
). Стадия предварительных решений
а) Данные не обнаруживают никаких трендов (что можно было
бы предвидеть, ибо вход и выход были получены с помощью ста-
стационарных моделей). Поэтому цифровая фильтрация для устране-
устранения трендов не нужна.
б) Расфильтровывать данные на отдельные частотные полосы
не требуется.
в) Так как входной и выходной ряды содержат по N = 100 чле-
членов, авто- и взаимные корреляции вычислялись первоначально до
запаздывания 30.
2. Первая стадия вычислений
Вычислялись авто- и взаимные корреляции исходных данных и
их первых разностей. Корреляции исходных данных показаны на
рис. 10.2, а ковариации приведены в Приложении П10.2.
3. Стадия промежуточных решений
а) Корреляции исходных данных были использованы для спект-
спектрального анализа.
Оценивание частотных характеристик
205
стадия вы-
1,0
б) Так как взаимная корреляционная функция имела максимум
в нуле, выравнивания не потребовалось.
в) Исходя из быстроты затухания корреляционных функций, для
дальнейшего анализа были выбраны следующие точки отсечения1
L = 8, 12 у 16.
4. Вторая
числений
а) С помощью окна
Тьюки были вычислены
автоспектры, функции
усиления и фазы, спек-
спектры когерентности и шу-
шума без применения вы-
выравнивания.
б) На рис. 10.3—10.6
показаны соответственно
функция усиления, фазо-
фазовая функция, квадрат
спектра когерентности и
спектр шума при L = 8,
12 и 16.
5. Стадия интерпрета-
интерпретации
а) Метод стягивания
окна показывает, что во
всех спектрах происходят
некоторые изменения при
переходе от L = 8 к L =
= 12, но при дальнейшем
увеличении L до 16 из-
изменения малы. Поэтому
окончательно было вы-
выбрано L = 16, Отметим,
что выборочные оценки
функций усиления и фа-
фазы и квадрата спектра
когерентности очень хорошо согласуются с теоретическими значе-
значениями в диапазоне частот от 0 до 0,35 гц, но для более высоких
частот появляются большие расхождения, так как коэффициент
когерентности резко уменьшается. Как видно из рис. 10.6, выбо-
выборочная оценка спектра остаточного шума превосходно согласуется
с теоретическими значениями во всем диапазоне от 0 до 0,5 гц.
б) Доверительные интервалы для функций усиления и фазы, вы-
вычисленные по формулам A0.4.3) и A0.4.4), показаны на рис. 10.3 и
10.4. Видно, что они резко увеличиваются для частот, превосходя-
превосходящих 0,35 гц, из-за уменьшения коэффициента когерентности. Таким
Рис. 10.2. Выборочные авто- и взаимные кор-
корреляции искусственной линейной системы
(N = 100).
206
Глава 10
образом, доверительные интервалы дают полезную информацию
при интерпретации графиков функций усиления и фазы.
Вычисление функции отклика на единичный импульс. Описан-
Описанный в разд. 10.2 временной способ оценивания отклика на единич-
единичный импульс был сравнен с частотным способом. Для этого мы по
2,0
1,0
0,8
0,6
ОЛ
0,2
в (Г)
- L =24
'- 16
в
Верхняя 95%-ная
доверительная граница
- Нижняя 95%-ная
доверительная граница
I I
0,006Q.O!
III I
0,0010,002а.№ аооа о,ог о,040,обо,г о,г о,ь o,s f, ец
Рис. 10.3. Теоретическая функция усиления и ее выборочные оценки
для искусственной линейной системы (N = 100).
выборочным оценкам взаимных спектров при L — 16 вычислили
функцию отклика на единичный импульс
1/2 _
1/2 _
hm= Г hlM. Cos 2nftndf+ f Я^-sm2nf mdf. A0.4.12)
0J Gn (/) 0J С„ (/)
Эта функция сравнивалась с выборочными оценками отклика на
единичный импульс, полученными непосредственно и с помощью па-
параметрического оценивания во временной области. Все эти оценки
приведены в табл. 10.4. Мы видим, что оценка, полученная из спект-
спектров, более плавно меняется, чем при непосредственном оценивании
во временной области, и хорошо согласуется с теоретическими зна-
значениями. Однако она не так хороша, как параметрическая оценка.
90
-90
'135
Р)
1=24
16
8
Верхняя 95%-ная /
доверительная граница!
"I
/ Нижняя 95%-ная
X\Jдоверительная граница
Рис. 10.4. Теоретическая фазовая функция и ее выборочные оценки для искус-
искусственной линейной системы (N = 100).
0,125
0,25
0,375
0,5 f,eu
Рис. 10.5. Теоретический спектр когерентности и его выборочные оценки для
искусственной линейной системы (N = 100).
208
Глава 10
Оценивание частотных характеристик
209
В соответствии с рекомендацией, предложенной в [4], значения hm
были вычислены также для отрицательных ш, чтобы определить,
является ли система физически реализуемой. Наибольшим из них
оказалось значение /i_i = 0,11, в то время как остальные не превос-
10,0
2,0
1,0
0,5
1
Си
-
-
-
Полоса частот окна
¦ 8 *
1 1
_—~*
1 . 1 ,
0,125
0,25
0,375
0,5 Р,гц
Рис. 10.6. Теоретический спектр остаточных ошибок и его выборочные оценки
для искусственной линейной системы {N — 100).
ходят по модулю 0,1. Отсюда мы заключили, что выборочные оцен-
оценки функций усиления и фазы приближенно описывают физически
реализуемую систему.
Таблица 10,4
Сравнения трех способов оценивания функции отклика
на единичный импульс
т
Теоретические
значения
Параметрический
способ
Спектральный
способ
Непосредствен-
Непосредственный способ
0
1,000
1,100
1,108
1,056
I
0,250
0,276
0,271
0,324
2
-0,438
-0,458
—0.468
—0,572
3
—0,234
—0,235
-0,184
0,037
4
0,154
0,160
0,139
-0,141
5
0,055
0,153
0,120
0,373
6
-0,066
-0,038
—0,87
-0,249
7
—0,044
-0,083
—0,40
0,107
8
0,022
-0,003
—0,002
-0,289
9
0,028
0,039
0,017
0,220
10
-0,004
0,011
—0,060
-0,163
10.4.3. Анализ данных о газовой печи
Описание данных. Изображенные на рис. 8.3 данные получе-
получены при наблюдении за работой газовой печи, вырабатывающей уг-
углекислый газ. Выходной переменной была концентрация углекис-
углекислого газа, измерявшаяся в процентах по отношению к выходу газа
из печи. Эта концентрация зависит от двух входных переменных:
скорости воздуха и скорости газа. В описываемых здесь экспери-
экспериментах входная скорость воздуха была фиксирована, так что мож-
можно было определить частотную характеристику, связывающую вход-
входную скорость газа с выходной концентрацией.
Имелись непрерывные измерения как входного, так и выходного
процессов. При просмотре непрерывных записей не было обнару-
обнаружено сколько-нибудь заметных изменений на интервалах меньше
SO ~"'-2Q
1,0'
0,8
о,е
OfiJ
/0,2
\:io \ о
\
Пг(*)
. ! \
i
- 1
1
1
1
i-0,2
\
\
\
Для исходных даняь/х
Для первых разностей
от исходных данных
J. Л^ у' Ту, ¦ ,. ' ¦^
/ 20\У 30^-' W Н
Рис. 10.7. Выборочные взаимные корреляции исходных данных о газовой печи
и их первых разностей (Л/= 296).
9—10 сек, поэтому отсчеты на записях были взяты через 9 сек. В ре-
результате получилось 296 пар точек, которые приведены в Приложе-
Приложении П10.1.
Оценивание функций усиления и фазы. Ниже приводится опи-
описание процесса оценивания, в котором использовались основные
стадии, описанные в разд. 9.4.2 и 10.4.1.
/. Стадия предварительных решений
а) При проверке данных (рис. 8.3) не обнаружено каких-либо
явных трендов. Тем не менее были сосчитаны авто- и взаимные
корреляции как исходных данных, так и их первых разностей по
формулам (9.3.13), (9.3.14).
б) Частота Найквиста, соответствующая интервалу отсчета
Д = 9 сек, равнялась Vis Щ-
в) Предварительно было решено вычислять корреляции до мак-
максимального запаздывания Lmax = 80.
2. Первая стадия вычислений
Авто-и взаимные корреляции были сосчитаны, нанесены на гра-
график и подвергнуты анализу. Взаимные корреляции исходных дан-
данных и их первых разностей изображены на рис. 10.7. Приближенные
210
Глава 10
значения ковариаций первых разностей приведены в Приложе-
Приложении П10.1.
3. Стадия промежуточных решений
а) Из графика взаимной корреляционной функции исходных
данных видно, что имеется тренд. Поэтому было решено использо-
использовать корреляции первых разностей.
б) Взаимная корреляционная функция первых разностей имеет
максимум, когда сдвиг S равен 5.
6(f), L=30
Оценивание частотных характеристик
211
0,5
d,3
0,2
0%
0,06
0,02
qoi
\-Верхняя 95%-ная доверительная границ0
Нижняя 95%-ная доверительная граница
QOOOIQ0002 0,0т QOOl 0,002QOm 0,01 0,02 0,0ч0,055 f, ец
Рис. 10.8. Выборочная оценка функции усиления для данных о газовой печи
(ЛГ = 296).
в) Принимая во внимание затухание этой взаимной корреляци-
корреляционной функции, для оценивания спектров были выбраны следую-
следующие значения точек отсечения: L = 20, 30 и 40.
4. Вторая стадия вычислений
После применения выравнивания со сдвигом 5 = 5 были вы-
вычислены автоспектры, функции усиления и фазы и спектр шума
для указанных выше точек отсечения. График функции усиления
показан на рис. 10.8, фазовой функции — на рис. 10.9 и спектра
шума — на рис. 10.10.
5. Стадия интерпретации
Метод стягивания окна показывает, что очень незначительные
изменения этих спектров получаются при изменении L от 30 до 40.
На всех перечисленных рисунках изображены спектры, соответст-
соответствующие значениям L = 30 и 40, и мы видим, что уменьшение поло-
полосы частот окна вызывает небольшие изменения в диапазоне до
0,02 гц, но для больших частот возникают резкие колебания.
Интерпретация выборочной оценки функции усиления. График
Бодэ на рис. 10.8 показывает, что наблюденным данным соответст-
соответствует система второго порядка. Выборочные оценки постоянных вре-
времени, полученные при под-
подгонке всевозможных систем
второго порядка до тех пор, °
пока не было получено хо-
хорошего визуального согла- -шо
сия, оказались равными
Ту = 6,7 сек и Тг — 13 сек. -seo
Отметим, что 95%-ные до-
доверительные интервалы рез- _
ко возрастают для частот,
превосходящих 0,025 гц, из-
за уменьшения коэффициен-
коэффициента когерентности. Выбороч-
Выборочная оценка функции усиле-
усиления на нулевой частоте
равна 0,31. Следовательно, усиление постоянной составляющей
в системе равно 0,31.
Интерпретация выборочной оценки фазовой функции. Дискрет-
Дискретная система второго порядка с постоянными времени 7\ = 6,7 сек и
Т2 = 13 сек имеет следующую фазовую функцию:
Выборочная оценка, L -30
Оценка после учета подобранной
задержки =31 сек
Рис. 10.9. Выборочные оценки фазовой
функции для данных о газовой печи
(ЛГ = 296).
/t\ j. 0,13 sin 2itf — 0,76 sin 4nf
<Pi2(f)-arctg ! J0,76 cos 2П/ +0,13 cos 4n/
l /in* io\
Выборочная оценка фазовой функции при L = 30, показанная на
рис. 10.9, намного больше A0.4.13), что наводит на мысль о том,
что в системе имеется время нечувствительности, или задержка.
Разность между выборочной оценкой фазовой функции и A0.4.13)
была нанесена на график, и к этой разности была подобрана при-
приближающая ее прямая. Этой прямой при / = 0,055 гц соответство-
соответствовало значение ф = —11, поэтому была взята задержка d = 11/Bя-
•0,055) = 31 сек. Полученная после учета этой задержки фазовая
функция F(f) = Fad)—62я/ показана на рис. 10.9 пунктирной ли-
линией.
Таким образом, работу газовой печи можно описать с помощью
системы второго порядка, имеющей усиление постоянной состав-
составляющей 0,31 ед., постоянные времени 6,7 и 13 сек и задержку 31 сек.
Интерпретация спектра шума. Поскольку мы использовали пер-
первые разности от исходных данных, шум zr для которого
212
Глава 10
производилось оценивание спектра, связан с исходным шумом zt
соотношением z't = zt — zt_x. Отсюда, пользуясь формулой F.2.17),
выборочную оценку спектра шума в исходных данных C^z(f)
0,0/39
0,0278
Q0W7
0,055 f,m
Рис. 10.10. Выборочные оценки спектра остаточных ошибок для данных о га-
газовой печи (N = 296).
Оценивание частотных характеристик
213
велика. Более убедительные результаты обычно можно получить
с помощью параметризации задачи, рассматривая модели типа
A0.1.3).
ЛИТЕРАТУРА
1. Box G. E. P., Jenkins G. M, Time Series Analysis Forecasting and Con-
Control, Holden-Day, San Francisko, 1970.
2. Jenkins Q. M., An example of the estimation of a linear open-loop transfer
function, Technometrics, 5, 227 A963).
3. Matusita K. (ed.), Studies of the statistical estimation of frequency response
functions, Reprinted from Ann. Inst. Stat. Math., Suppl. Ill A964).
4. A k a i k e H., Some problems in the application of the cross-spectral method,
Seminar on Spectral Analysis of Time Series, Madison, Wisconsin, 1966. Proc.
of an Advanced Seminar on Spectral Analysis of Time Series, B. Harris (ed.),
John Wiley, New York, 1967.
можно выразить через выборочную оценку спектра шума после
взятия первых раз-ностей С?? (/):
Сi
Cz'z'
Спектр C^(f) показан на рис. 10.10, откуда видно, что он похож
на белый шум, пропущенный через данную систему.
Дальнейшие примеры оценивания частотных характеристик.
Пример применения методов спектрального анализа взаимных
спектров для оценивания частотной характеристики теплообменни-
теплообменника приведен в [2]. Ряд интересных применений такого рода описан
также в сборнике статей [3].
Общий вывод состоит в том, что спектральные методы часто
очень полезны при выдвижении динамических моделей, описываю-
описывающих физические системы, как это было в примере с газовой печью.
Однако, поскольку при спектральном анализе для каждой частоты
нужно оценивать свои параметры, эффективность этих методов не-
ПРИЛОЖЕНИЕ П10.1
ДАННЫЕ И ИХ КОВАРИАЦИИ ДЛЯ ДВУХ ЗАДАЧ
ОЦЕНИВАНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Вход и выход искусственной линейной системы, ЛГ = 100
Вход: Хи = Хи-\ - 0,5Х„_2 + Zu
Таблица П10.1
1-10
11-20
21-30
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
-0,88
-2,76
0,06
0,14
-0,88
1,31
0,19
-2,12
-1,64
3,25
-0,12
-1,78
-0,18
1,59
-0,62
1.11
-1,60
-2,43
-2,29
1,87
-0,89
0,98
-1,02
-0,77
0,29
1,94
-2,26
0,73
-0,77
0,76
-1,38
1,00
-1,05
-1,09
1,91
0,34
0,30
3,09
1,92
2,25
-0,08
-0,71
-0,66
-1,77
2,15
1,83
1,73
4,97
1,93
0,77
1,04
-1,01
-1,13
-1,21
1,05
1,16
2,31
1,81
0,85
-0,16
2,14
-1,31
-0,52
0,46
0,32
0,62
0,81
-0,46
-0,65
0,19
0,36
-0,85
-0,71
-0,08
1,07
-1,09
-0,40
-0,34
0,35
0,61
-1,11
-0,47
-0,21
-0,64
2,67
-1,62
0,30
0,04
0,79
0,92
-1,78
1,64
-0,14
-0,36
2,45
-0,40
-0,51
0,82
1,62
-0,70
1-Ю
11-20
21-30
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
-1,03
-2,81
2,01
0,80
0,48
1,23
1,06
-3,27
-0,63
2,73
-1,09
0,11
-2,39
2,09
-0,36
-0,40
0,06
-3,84
-2,09
2,02
-0,47
3,22
-0,94
-0,46
-0,55
1,20
-3,25
0,53
-1,38
0,15
Выход: ^
-2,07
1,92
-0,67
-2,66
1,54
-2,02
0,21
4,73
4,42
1,28
-1,52
0,06
-1,25
-1,95
2,83
1,97
2,59
5,84
3,86
3,49
2,27
-3,48
0,05
-0,84
2,68
-0,93
4,48
1,24
0,03
-0,73
Kit = X( + Zt, Xt = 0,25Х,_, - 0,5А
3,14
-2,37
-1,32
-0,51
-0,57
-0,12
-0,92
-3,62
-2,11
-0,28
't-г Л-Хи
0,26
-0,34
0,52
0,82
0,54
-2,34
-1,55
0,59
-0,18
-0,84
-1,78
0,43
-1,15
-1,62
4,70
-4,42
0,77
1,04
4,13
1,37
-1,82
1,97
0,40
-0,16
1,90
0,10
0,34
3,56
2,67
-0,34
0,44
—0,56
-1,021
0,04
0,72
0,90
-0,33
-0,76
-0,25
0,68
0,
-0,
oooooooo —jo
co"o"o*co"co—"^"осо со
I I I M
SOOOOOOC
л "L- — Ъо'•— о *о "¦— "—
о о
III II
ооооооооор
ю'ю"^ о слЬ о ^ л. с
СЛ"-О>и(ОО000>Ч
ОЮСЛОФОООО—
^S II ar
к
SCH
00
II III
OOOOOOO —
о оррр
о о бооро
Ill
ООО
оюьомююгою toto
in i i
о 0.0 о о © о о о о
oo
1 i
о о о о &P>P'F>~~
моо"-"--- ю — — ю
О00Л.ЮСПОСЛ00СЛ00
DC*Cn^OCOrf»
Mi
о о о о о о
кэ О <О О О ь~
Mill
о о о о о
Э Vi СО — "— — О
п Ш (О *¦ СО W ^-1
п -о — to а> аю
a
Е
О1
о
¦о
о
Л
Е
S
X
X
я
W
н
р
О1
U
a
о
о
о о
Таблица П10.3
Условные значения входной скорости впуска газа в газовую печь
Таблица П10.4
Концентрация углекислого газа в процентах к общему выходу газовой печи
1-9
10-18
19—27
28—36
37—45
46—54
55—63
64—72
73-81
82—93
91—93
100—108
109-117
118—126
127-135
136-144
145—153
154—162
163-171
172—180
181-189
190—198
199-207
208—216
217—225
226—234
235-243
244-252
253—261
262-270
271—279
280-288
289—296
-1,09
—1,80
0,88
19,76
1,15
24,83
5,35
11,21
-15,51
-16,16
7,88
—3,14
3,30
—13,46
0,00
6,48
3,99
3,01
14,60
-6,76
— 12,18
5,56
-23,78
-0,24
-11,75
-16,28
-15,25
—9,18
7,09
0,25
-9,47
2,51
0,34
0,00
—5,88
4,35
19,34
0,88
19,29
1,22
12,23
-17,99
-18,75
9,43
-2,88
1,02
— 10,81
4,03
5,77
—1,61
5,17
13,53
-0,33
-11,83
7,82
-24,99
-0,50
—8,13
-16,19
-18,58
-7,98
6,05
3,82
-10,29
2,80
2,04
1,78
—10,55
7,71
18,66
3,31
14,85
0,09
12,57
-18,25
-18,91
9,30
-1,53
—4,23
-9,10
8,41
5,77
—5,53
5,66
7,72
5,56
—8,73
8,58
—24,73
-1,35
—6,34
-11,49
-20,29
-8,67
5,01
9,22
-9,28
-0,00
2,53
3,39
-14,21
8,66
18,32
6,45
12,14
1,64
11,57
-14,56
-17,46
10,06
-1,09
-11,39
-8,76
12,85
6,32
-6,03
5,60
2,18
6,43
—3,36
9,18
-23,30
-2,76
-5,82
-4,88
-20,24
-10,47
6,03
10,32
-6,45
-4,93
1,95
3,73
-15,20
8,75
17,67
9,60
12,39
6,71
9,13
-9,44
-14,74
11,37
—1,87
-22,75
-8,85
16,07
7,47
-4,24
5,73
-2,37
4,84
0,63
8,62
-20,53
-5,34
-6,25
— 1,60
-19,61
-11,23
9,43
8,66
-4,24
-7,59
1,31
4,41
-13,02
8,91
16,08
14,09
16,08
10,19
6,20
—5,70
— 12,01
11,98
-2,55
-25,94
-8,00
17,46
9,00
-1,94
5,92
-7,14
1,09
0,84
4,16
-17,39
-8,71
-7,13
-0,07
-19,52
-8,76
12,23
5,27
-2,76
-8,24
0,17
4,61
-8,14
9,87
12,65
26,70
19,05
11,46
2,55
-4,31
-9,27
10,54
-2,29
-27,16
-5,44
16,83
9,93
-0,49
6,71
-10,99
—3,10
0,00
-3,36
— 12,61
-12,43
-8,48
-0,92
-17,94
-3,95
12,49
0,93
-1,58
-7,40
-1,82
3,48
-4,75
12,63
7,90
28,34
20,23
11,55
-2,80
-5,77
—5,24
5,95
-0,07
-25,10
-4,16
14,85
9,68
0,60
9,33
-12,69
-6,97
0,01
-9,59
-5,69
-14,39
-10,39
-6,20
-13,02
1,85
8,24
-4,58
-0,33
-5,28
-2,62
1,27
-1,93
17,75
3,60
28,12
18,15
11,12
-10,80
-9,60
0,40
-0,80
2,54
-17,90
-2,71
9,93
7,90
1,61
13,37
-11,75
-10,47
2,09
-18,13
-1,37
-14,22
-13,46
-10,86
-10,30
6,62
1,02
-7,48
1,02
-2,04
Действительные значения скорости газа (мУсек) = 0,0028 — 1,87- 1Q~8 (условных значений).
1-9
10-18
19-27
28-36
37-45
46-54
55-63
64-72
73-81
82-90
91-99
100- 108
109-117
118-126
127-135
136-144
145-153
154- 162
163-171
172- 180
181-189
190-198
199-207
208-216
217-225
226-234
235-243
244-252
253-261
262-270
271-279
280-288
289-296
53,8
52,0
56,4
50,5
48,1
48,3
47,9
50,5
50,3
56,0
57,7
50,4
53,8
59,4
55,7
48,8
50,5
54,0
51,4
53,0
52,3
53,7
52,4
59,7
55,5
55,3
55,0
58,8
56,4
50,4
50,8
54,4
57,0
53,6
52,0
55,7
50,0
49,0
47,0
47,2
50,1
51,3
55,4
57,0
51,0
53,8
60,2
55,3
48,5
50,4
53,6
51,2
54,0
53,0
53,6
53,5
59,0
56,2
55,2
54,1
58,8
56,0
50,0
51,2
53,7
58,0
53,5
52,4
55,0
49,2
50,0
45,8
47,2
49,8
52,8
55,4
56,0
51,8
53,3
60,0
55,0
48,7
50,2
53,2
50,7
55,3
53,8
53,6
55,6
57,6
57,0
55,4
54,3
58,6
55,2
50,0
52,0
53,3
58,6
53,5
53,0
54,3
48,4
51,1
45,6
48,1
49,6
54,4
56,4
54,7
52,4
53,0
59,4
54,4
49,2
50,4
53,0
50,0
55,9
54,6
53,2
58,0
56,4
57,3
56,0
55,3
58,0
54,0
52,0
52,8
52,8
58,5
53,4
54,0
53,2
47,9
51,8
46,0
49,4
49,4
56,0
57,2
53,2
53,0
52,9
58,4
53,7
49,8
51,2
52,8
49,4
55,9
55,4
52,5
59.5
55,2
57,4
56,5
56,4
57,4
53,«
54,0
53,8
52,6
58,3
53,1
54,9
52,3
47,6
51,9
46,9
50,6
49,3
56,9
58,0
52,1
53,4
53,4
57,6
52,8
50,4
52,3
52,3
49,3
54,6
55,9
52,0
60,0
54,5
57,0
57,1
57,2
57,0
52,0
55,1
54,5
52,6
57,8
52,7
56,0
51,6
47,5
51,7
47,8
51,5
49.2
57,5
58,4
51,6
53,6
54,6
56,9
51,6
50,7
53,2
51,9
49,7
53,5
55,9
51,4
60,4
54,1
56,4
57,3
57,8
56,4
51,6
54,5
54,9
53,0
57,3
52,4
56,8
51,2
47,5
51,2
48,2
51,6
49,3
57,3
58,4
51,0
53,7
56,4
56,4
50,6
50,9
53,9
51,6
50,6
52,4
55,2
51,0
60,5
54,1
55,9
56,8
58,3
56,3
51,6
52.8
54,9
54,3
57,0
52,2
56,8
50,8
47,6
50,0
48,3
51,2
49,7
56,6
58,1
50,5
53,8
58,0
56,0
49,4
50,7
54,1
51,6
51,8
52,1
54,4
50,9
60,2
54,4
55,5
55,6
58,6
56,4
51,1
51,4
54,8
56,0
Оценивание частотных характеристик
219
Таблица П10.5
Выборочные ковариации первых разностей от исходных данных
для газовой печи
Продолжение
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Си <*>
10,9
8,1
3,9
-0,2
-3,1
-3,9
-3,6
-2,9
-2,1
-1,1
k
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
с„ (к)
0,8
0,9
1,0
0,9
0,3
-0,4
-0,6
-1,0
-1,4
-1,3
к
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
-0,6
0,1
0,7
0,9
0,6
0,3
-0,1
-0,5
-1,1
-1,3
к
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Си (к)
-0,8
0,0
-0,9
1,7
1,8
1,4
0,6
0,0
-0,5
-1,0
Автоковариации входа
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
с,2 (к)
0,79
0,43
-0,30
-1,23
-1,92
-2,10
-1,70
-0,94
-0,14
0,42
k
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
сп (к)
0,69
0,74
0,68
0,55
0,42
0,22
0,00
-0,15
-0,23
-0,23
к
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Сп (к)
-0,12
0,01
0,17
0,30
0,32
0,25
0,10
-0,06
-0,10
-0,14
к
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
с,2 (к)
-0,13
0,00
0,10
0,15
0,20
0,20
0,17
-0,01
-0,20
-0,36
Взаимные ковариации входа и выхода
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ft, (k)
0,79
0,89
0,79
0,55
0,29
0,05
-0,15
-0,20
-0,15
0,02
k
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
ft, ik)
0,17
0,26
0,30
0,29
0,24
0,13
-0,02
-0,12
-0,13
-0,08
к
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
сп W
-0,05
-0,01
0,01
0,04
0,09
0,12
0,06
-0,10
-0,28
-0,33
к
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
сп (к)
-0,27
-0,15
0,02
0,09
0,12
0,15
0,11
0,02
-0,13
-0,20
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
«22 (k)
0,598
0,465
0,294
0,093
-0,073
-0,168
-0,201
-0,193
-0,156
-0,116
к
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
ft2(fc)
-0,054
0,002
0,034
0,038
0,028
-0,004
-0,030
-0,065
-0,083
-0,083
к
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
С22 (к)
-0,060
-0,027
0,004
0,025
0,032
0,036
0,033
0,024
0,004
-0,035
k
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
сп (К)
-0,056
-0,054
-0,025
0,037
0,064
0,075
0,061
0,026
-0,002
-0,020
Автоковариации выхода
Взаимные ковариации входа и выхода
ПРИЛОЖЕНИЕ П10.2
ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИИ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ
ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Ниже приводится логическая схема для вычислительной про-
программы FRQRSP, входными данными которой служат те же вели-
величины, Что и для программы CROSSPEC (Приложение П9.2). Вы-
Выходная печать программы FRQRSP состоит из ковариации (по-
(повторная проверка), сглаженных автоспектров для каждой из точек
отсечения М, функций усиления и фазы, квадрата спектра коге-
когерентности и спектра остаточного шума, а также из приближенных
верхних и нижних 95%-ных доверительных границ для функций
усиления и фазы. Графический выход состоит из графиков вход-
входных, выходных и остаточного спектров в логарифмическом мас-
масштабе, графика логарифма функции усиления в зависимости от
логарифма частоты с верхними и нижними доверительными гра-
границами и графика фазовой функции в зависимости от частоты,
причем для каждой из функций на одном и том же рисунке по-
помещаются графики для всех используемых точек отсечения.
Программа FRQRSP
Пункты от 1 до 11 целиком переносятся из программы
CROSSPEC, так что после этого уже вычислены следующие вели-
величины для К = 0, NF:
SPEC (К, 1), SPEC (К, 2), SQ(K)
PHASE (К), COHSQ(K).
220
Глава 10
Оценивание частотных характеристик
221
12. Вычислить
GAIN(K) = SQRT(SQ(K))/SPEC(K, 1),
RESID (К) = SPEC (К, 2) A. - COHSQ (К)).
13. Вычислить приближенную 95%-ную границу /2, с-г@,95) F-
распределения по следующей формуле *):
D = 8 * N/C * М),
E = D-3,
А = 3.+ 9.2/Е + 6.8/Е*Е.
14. Вычислить верхние и нижние 95%-ные доверительные интер-
интервалы для функций усиления и фазы
G (К) = SQRT (А * RESID (K)/SPEC (К, 1)),
Р (К) = ARCS IN (G (K)/GAIN (К)),
GU(K) = GAIN(K) + G(K),
GL(K) = GAIN(K)-G(K),
PU (K) = PHASE (K) + P (K),
PL (K) = PHASE (K)-P(K).
15. Вычислить логарифмы в правых частях равенств и обозна-
обозначить полученные величины так, как указано в левых частях:
LOGSPEC(K, 1) = LOG 10 (SPEC (К, 1)),
LOGSPEC(K, 2) = LOG 10 (SPEC (К, 2)),
LOGRESID (К) = LOG 10 (RESID (K)),
LOGGAIN (K) = LOG 10 (GAIN (K)),
LOGGU (K) = LOG 10 (GU (K)),
LOGGL (K) = LOG 10 (GL (K)).
16. Напечатать: автоспектры (входные, выходные и остаточного
шума), квадрат спектра когерентности, функции усиления и фазы,
а также верхние и нижние 95%-ные доверительные границы для
функций усиления и фазы.
17. Построить графики: автоспектров (входных, выходных и ос-
остаточного шума) в логарифмическом масштабе в зависимости от
частоты, фазовой функции с 95%-ными доверительными интерва-
лами в зависимости от частоты, логарифма функции усиления
с 95%-ными доверительными интервалами в зависимости от лога-
логарифма частоты. Для разных точек отсечения графики соответ-
соответствующих спектров построить вместе.
Замечание. Из-за того что фаза может делать резкие скачки от
+ 90 до —90°, графики фазовой функции иногда очень трудно ра-
разобрать, особенно после наложения нескольких графиков, соответ-
соответствующих точкам отсечения, а также при использовании логариф-
логарифмического масштаба по частоте. Из-за этого предлагается каждый
фазовый спектр строить на отдельном месте и в зависимости от ча-
частоты, а не от логарифма частоты.
* Для f2 D-2 @>95) использована следующая приближенная формула:
f2,D_2@,95) = 3 + ^ + 7^,
где (Р — 2) — число степеней свободы. — Прим. перед.
Многомерный спектральный анализ
223
Глава 11
МНОГОМЕРНЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
В этой главе методы анализа двумерных временных рядов, раз-
развитые в гл. 8—10, обобщаются на случай произвольного числа вре-
временных рядов. Показано, как можно описать в частотной области
q временных рядов, которые не являются причиной и следствием
по отношению друг к другу, и как оценить многомерную частотную
характеристику системы с q входами и г выходами. До сих пор мы
оставляли в стороне теорию матриц, чтобы свести к минимуму ма-
математический аппарат, необходимый для понимания основных идей
спектрального анализа. Однако дальнейшее изложение невозможно
без использования матричных методов.
В разд. 11.1 некоторые из понятий, применявшихся в анализе
одномерных и двумерных рядов, заново формулируются в терминах
теории матриц. В частности, дается определение матрицы ковариа-
ций временного ряда и показывается, что спектр тесно связан с ее
собственными числами. В разд. 11.2 вводится многомерная линей-
линейная система. Линейный многомерный процесс определяется как
выход такой системы, когда на ее входы поступают несколько не-
некоррелированных белых шумов. Важными частными случаями мно-
многомерных линейных процессов являются двумерные процессы авто-
авторегрессии и скользящего среднего.
В разд. 11.4 изложены основные идеи многомерного спектраль-
спектрального анализа и оценивания многомерных частотных характеристик.
Для изложения этих идей потребовалось заново рассмотреть в
разд. 11.3 важнейшие понятия многомерной регрессии и многомер-
многомерного статистического анализа. Наконец, в разд. 11.5 обсуждаются
наиболее важные практические аспекты оценивания многомерных
частотных характеристик и приводится пример анализа данных
турбогенератора, имеющего два входа и два выхода.
Обычно векторы обозначают строчными буквами, а матрицы —
прописными. Однако в этой книге мы не сможем всегда пользо-
пользоваться этим правилом, поскольку строчными буквами мы обозна-
обозначили величины во временной области, а прописными — в частотной.
Мы будем обозначать векторы и матрицы жирным шрифтом. По
возможности прописными жирными буквами будут обозначаться
матрицы, но иногда такие буквы будут относиться и к векторам.
Точный смысл обозначения будет ясен в каждом конкретном слу-
случае из контекста.
11.1. СВОЙСТВА МАТРИЦЫ КОВАРИАЦИЙ
11.1.1. Матрица ковариаций действительного
случайного процесса
В разд. 3.1.5 было показано, что зависящие от вторых моментов
свойства набора случайных величин определяются их матрицей ко-
ковариаций C.1.20). Поскольку случайный процесс содержит беско-
бесконечное множество случайных величин, его свойства, зависящие от
моментов второго порядка, определяются матрицами ковариаций
наборов значений процесса в произвольные моменты времени
ti, .. ., tN. Для дискретного стационарного процесса и для равно-
равноотстоящих отсчетов по времени мы будем иметь
Cov[X(f,), X(t,)] = a2p{i-j), (ll.l.l)
где p(k) —автокорреляционная функция. Матрица ковариаций, со-
соответствующая ./V таким отсчетам, представляет собой таблицу,
в которой на пересечении i-й строки и /-го столбца стоит элемент
Cov [X(ti),X(tj)]. Таким образом, пользуясь равенством A1.1.1),
матрицу ковариаций можно записать в виде
1 РA) РB) ... р(#-1
}. A1.1.2)
рB)
-l) p(N~2) p(N-3)
1
Матрица, обладающая тем свойством, что ее элементы на линиях,
параллельных главной диагонали, равны (как, например, в матри-
матрице A1.1.2)), называется тёплицевой.
Свойство положительной полуопределенности. Как отмечалось
в разд. 3.1.5, матрица ковариаций набора случайных величин явля-
является положительно полуопределенной. Следовательно, для любого ./V
матрица ковариаций стационарного случайного процесса Vjv яв-
является положительно полуопределенной, т. е. все главные миноры
определителя этой матрицы неотрицательны. Отсюда следует, что
автокорреляции стационарного временного ряда должны подчи-
подчиняться некоторому множеству ограничений. Например, при N = 2
из |V2|>0 следует, что
1рAI<1.
Аналогично, рассматривая пару случайных величин X(t),X(t + s)t
получаем для любого s
224
Глава И
Многомерный спектральный анализ
225
Более интересный пример получается при N = 3. В этом случае'
1 рA) рB)
|V3| =
1
A1.1.3)
pB) p(l) 1
Как нетрудно проверить, из A1.1.3) следует
1рB)
A1.1.4)
Первое из условий A1.1.4) не добавляет ничего нового, но второе
дает ограничение, которому должны удовлетворять рA) и рB).
Чтобы проиллюстрировать это ограничение, рассмотрим процесс
авторегрессии первого порядка, для которого рB) = р2A), рC) =
= р3A) и т. д. Функция
яB)= i-»2/n A1.1.5)
для процесса авторегрессии первого порядка равна нулю. Следова-
Следовательно, когда яB) отлична от нуля, она дает меру избыточной кор-
корреляции по сравнению с процессом авторегрессии первого порядка.
Таким образом, я B) можно использовать для проверки возможно-
возможности описания эмпирического временного ряда с помощью процесса
первого порядка (разд. 5.4.3).
В более общем случае, рассматривая |Vft|, можно показать, что
»(*-1) = 4т*7Г (П-1.6)
лежит между —1 и + 1, где ||Vft|| — алгебраическое дополнение эле-
элемента p(k—1) в матрице Vft. Зависящая от k функция я (/г) назы-
называется частной автокорреляционной функцией. Она обладает тем
свойством, что для процесса авторегрессии m-го порядка
я F) = 0, k>m.
Следовательно, n{k) можно использовать для проверки возможно-
возможности описания эмпирического временного ряда с помощью процесса
авторегрессии данного порядка.
11.1.2. Собственные числа матрицы ковариаций и спектр
В этом разделе мы покажем, что собственные числа матрицы
ковариаций VN приблизительно равны значениям спектра мощно-
мощности на частотах i/N. Некоторые элементарные свойства собственных
чисел и собственных векторов, которые понадобятся в этом разде-
разделе, изложены в Приложении ПИЛ.
Линейное преобразование коррелированных случайных вели-
величин в некоррелированные. Предположим, что матрица ковариаций
случайных величин (Хи Х2, . ¦ ., XN) = X' равна V. Рассмотрим ли-
линейные функции 1;Х и 1/Х от этих случайных величин, где 1,-, \j —
левосторонние собственные векторы матрицы V. Из (П 11.1.7) полу-
получаем
Cov[lfX, 1JX] = 1{V1, =
Поэтому преобразование
Yi = Yt\, i=l, 2,
A1.1.7)
N,
переводит коррелированные случайные величины Х{ в некоррели-
некоррелированные величины Y{. Далее, дисперсия У,- равна Кг — собствен-
собственному числу, соответствующему вектору 1;. Например, при N = 2
собственные числа получаются из уравнения
1-Я
1 -К
= 0,
A1.1.9)
так что Я, = 1 + р, Я2 = 1 — р. Собственные векторы равны
Следовательно,
/2" ' /2
A1.1.10)
A1.1.11)
и можно проверить, что У4 и К2 некоррелированы и Var[Ki] = 1 +'
+ р, Var[K2] =1 —р. Обратное A1.1.8) преобразование, а именно
... +lNiYN,
A1.1.12)
показывает, что Хг можно записать в виде линейной функции от
некоррелированных случайных величин Уг-. Наконец, с помощью
C.2.18) дисперсию Хг можно разложить на слагаемые
Var [X,] = 2 lW
A1.1.13)
8 Зак. 1178
226
Глава 11
Собственные числа циклического случайного процесса. В об-
общем случае собственные векторы матрицы ковариаций A1.1.2) слу-
случайного процесса зависят от ковариаций очень сложным образом.
Однако ситуация существенно упрощается для периодического, или
циклического, процесса с периодом N. Это означает, что
и, следовательно, автокорреляции удовлетворяют условию
k). A1.1.14)
Если циклический процесс построен из обычного процесса с по-
помощью первых N членов, то при N —> оо он будет стремиться к это-
этому исходному процессу. Следовательно, при конечном N, свойства
циклического процесса будут приближенно совпадать со свой-
свойствами исходного процесса.
В силу условия A1.1.14) матрица ковариаций циклического
процесса имеет вид
P(N-I) 1
PB)
P(l)
рB)
. A1.1.15)
Собственные числа матрицы W^ удовлетворяют уравнению
а, а2 ... aN
aN а, ... aN.
а2 а3
= 0.
A1.1.16)
где ai=l—К, а2 = рA), ..., aN = p(N—1). Определитель
A1.1.16) называется циркулянтом. Его можно представить в виде
следующего разложения:
-М|=П 2 <*,<-',
A1.1.17)
где сой = ехр [/ Bnk/N) ] — один из корней N-Pi степени из единицы.
Подставляя вместо аг их значения в A1.1.17) и считая, что N = 2л,
собственные числа матрицы Wjv можно записать в виде
п-1
i=\
-1.18)
Многомерный спектральный анализ
227
Все собственные значения, за исключением значений с индексами
k — N и k = N/2, попарно равны, а именно Kk = Kn-ь- Собственные
векторы, соответствующие значениям Кк и tav-ь, имеют вид
т. е. они представляют собой синусоидальную и косинусоидальную
волны с частотой fn = k/N, k = 0, 1, ..., п.
Отсюда, применяя преобразование A1.1.8), получаем некорре-
некоррелированные величины
cos
t-i
N
1 = 0, 1, .... п,
i= 1, 2, .. ., п-
A1.1.19)
t=\
Далее, с помощью A1.1.12) находим
п-1
i=o
и с помощью A1.1.13) получаем
п-1
Var [Xt] = Яо + 2 S Я/ + Я„.
A1.1.20)
A1.1.21)
Равенство A1.1.18) показывает, что при N—*oo собственное число
Xh-*-2T(k/N), т. е. собственные числа выписывают кривую спектра.
Аналогично, при N->-oo равенства A1.1.19) и A1.1.20) переходятв
2 **
«=.1
A1.1.22)
'/2 V2
Xt=. J U(f)cos2nftdf+ j V(f)sin2nftdf. A1.1.23)
о о
Равенство A1.1.23) показывает, что процесс Xt можно представить
в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных волн
8*
228
Глава 11
в непрерывном диапазоне частот. Амплитуды A1.1.22) этих волн
сами образуют ортогональный (некоррелированный) процесс, или
процесс с ортогональными приращениями, обсуждавшийся
в разд. 5.2.2.
11.1.3. Матрица ковариаций комплексного
случайного процесса
В разд. 8.2.1 было показано, что при спектральном анализе не-
нескольких временных рядов появляются комплексные случайные ве-
величины, например случайная оценка, соответствующая выборочно-
выборочному взаимному спектру двух процессов. Хотя можно обойтись дей-
действительными величинами, рассматривая отдельно синфазную и
сдвинутую по фазе компоненты, большее математическое изящество
достигается при их совместном использовании как вещественной и
мнимой частей некоторой комплексной величины. В этом разделе
излагается исчисление комплексных случайных величин.
Среднее значение и ковариация комплексных случайных вели-
величин. Комплексная случайная величина определяется равенством
где Uи Vi — действительные случайные величины. С помощью
C.2.15) находим среднее значение этой комплексной величины
Ковариация двух комплексных случайных величин определяется
равенством
Cov [Xt ,Xl] = E [(X, ~Е[Х,]){Х2-Е [xl])] =
= Cov[(?/,+yT,), (U2-jV2)] =
= Cov[[/b U2] + Coy[Vu V2] +
+ }{Cov[Vu ?/2]-Cov[?/b V2}}, A1.1.24)
где звездочки обозначают комплексное сопряжение. Мы видим, что
ковариация комплексных величин будет, вообще говоря, комплекс-
комплексным числом, но дисперсия — всегда действительное число, так как
Var[X,] = Cov[Xb *!] = Var [?/,] +Var [1Л]. A1.1.25)
Ковариация двух действительных величин симметрична, в то время
как ковариация комплексных величин удовлетворяет соотношению
Cov[Xu X*2} = {Cov[X2, Xl]}\ A1.1.26)
которое получается непосредственно из определения A1.1.24).
Матрица ковариаций комплексных случайных величин. Пред-
Предположим, что X'= (Хи Xz,..., Ллг)—вектор-строка, состоящая из
Многомерный спектральный анализ
229
N комплексных случайных величин. Тогда матрица ковариаций
этих величин имеет вид
У„ = ?[(Х-?[Х])(Х*-?[Х*])'] =
Var [*,] Cov [Х{, Х*2] ... Cov \XX, X'N]
Cov [X2, X]] Var [X2] ... Cov [X2, X'N]
iv, X\]
X'2
Из A1.1.26) следует, что матрица Vjv — эрмитова, а, кроме того,
она положительно полуопределенна, т. е. все главные миноры \N
неотрицательны. Например, при N = 2 имеем
Var [J,] Cov[Xi, X2\
Cov [X2, X*] Var [Х2]
откуда
Cov [Xlt X*2] |2
Л12 ~ ViFpTJ Var [Х2] ^ 1 ¦ A1.1.27)
Таким образом, к\2 похож на квадрат коэффициента корреляции и
называется квадратом коэффициента когерентности двух комплекс-
комплексных величин.
Авто- и взаимные ковариационные функции комплексных про-
процессов. Предположим, что средние значения комплексных процес-
процессов Xi(t) и X2(t) равны |Xi и [i2 соответственно. Тогда автоковариа-
автоковариационные функции этих процессов определяются равенствами
,.) , 1=1,2, A1.1.2о)
A1.1.29)
а их взаимная ковариационная функция
yl2{u) = E[(Xl(t)-
Из A1.1.26) следует, что
(П.1.30)
Для действительных процессов A1.1.30) сводится к равенствам
(\Z.i1u) (П.1.31)
что совпадает с формулами (8.1.2) и (8.1.3), приводившимися ранее,
230
Глава II
С помощью A1.1.24) авто- и взаимные ковариации комплексных
процессов можно выразить через ковариации соответствующих дей-
действительных процессов. Таким образом, мы получаем
lv,
Спектры и взаимные спектры комплексных процессов. Рассуж-
Рассуждения, приведенные для действительных процессов в разд. 6.2.1 и
8.3.3, полностью применимы и к комплексным процессам. Таким
образом, взаимный спектр комплексного процесса определяется
равенством
Автоспектр комплексного процесса является действительной и неот-
неотрицательной функцией, но она не является, вообще говоря, четной,
и, следовательно, ее нельзя записать в виде косинус-преобразова-
косинус-преобразования от ковариационной функции на полуоси в силу свойства
A1.1.30). Для действительных процессов такое представление авто-
автоспектра в виде косинус-преобразования G.1.3) имеет место в силу
свойства A1.1.31).
Взаимный спектр двух комплексных процессов обладает теми
же свойствами, что и взаимный спектр двух действительных про-
процессов (эти свойства указаны в разд. 8.3.3).
11.2. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В этом разделе с помощью теории матриц выводятся основные
свойства многомерных случайных процессов. В результате понятия,
введенные в гл. 8—10, приобретают большую общность. Мы уви-
увидим, что при рассмотрении более чем двух процессов появляются
новые и интересные особенности.
11.2.1. Матричная ковариационная функция
Действительные процессы. В разд. 8.1.2 было показано, что два
стационарных случайных процесса удобно описывать во временной
области с помощью их авто- и взаимной ковариационных функций.
Предположим теперь, что требуется описать действительный мно-
многомерный случайный процесс, т. е. векторный процесс
компоненты которого являются одномерными процессами. Если ог-
ограничиться свойствами, зависящими от моментов второго порядка,
Многомерный спектральный анализ
231
то многомерный процесс можно описать матричной функцией, опре-
определяемой для каждого значения запаздывания и соотношением
= ? [(X (/)-ц) (X (*
Yn(«0 Y12 («) •
Y21 («) Y22 («) •
•И)-И)']
• Yi<?(")
• Y2,(«)
• Учч{и)
A1.2.1)
Матричная функция V(u), —оо ^«< оо, называется матричной ко-
ковариационной функцией (lagged covariance matrix) многомерного
случайного процесса. Так как уо'(ы)> вообще говоря, не равно уц(и),
матрица V(«) в общем случае несимметрична. Однако она удов-
удовлетворяет соотношению *)
A1.2.2)
так как
Комплексные процессы. Матричная ковариационная функция
комплексного многомерного случайного процесса определяется со-
соотношением
Ее элементы такие же, как и у матрицы A1.2.1), но комплексные
ковариации определяются равенствами
уа (и) = Е [{Xt (t) - ц,) (X, (t + u)- ц,)'].
Другой способ представления вторых моментов многомерного про-
процесса состоит в том, что задаются таблицы каждой авто- и взаим-
взаимной ковариационной функции. Для наглядности предпочтительно
иметь графики отдельных авто- и взаимных ковариационных функ-
функций.
Матричная корреляционная функция. Для многих практиче-
практических целей и, в частности, для анализа временных рядов с различ-
различными масштабами измерения удобнее работать с матричной корре-
корреляционной функцией, состоящей из корреляций рц(и).
*> В A1.2.2) и далее V'(«) означает транспонированную матрицу V(u).~
Прим. перев.
232
Глава 11
11.2.2. Спектральная матрица
Далее мы всюду будем считать, что каждый отдельный про-
процесс, входящий в многомерный процесс, является комплексным.
Как показано в разд. 11.1.3, каждой паре процессов соответствует
взаимный спектр, определяемый равенством
A1.2.3)
A1.2.4)
Обратное A1.2.3) преобразование имеет вид
Состоящая из авто- и взаимных спектров матрица
пц(/) ri2(/) ... r,,tf)
¦2ЛП Ги(/) ... Г2,(Д
A1.2.5)
называется спектральной матрицей случайного многомерного про-
процесса.
Свойства эрмитовости и положительной полуопределенности.
Сейчас мы выведем очень важное свойство, которым обладает
спектральная матрица. Это свойство заключается в том, что авто-
и взаимные спектры должны удовлетворять некоторым совместным
ограничениям.
Поступая так же, как и в разд. 6.2.1 при введении автоспектра,
определим комплексный случайный процесс Y(t), являющийся ли-
линейной комбинацией q отдельных случайных процессов, а именно
Y @ = X* X @ = Я.ТА-, (/) + &Х2 @ + ... + X'qXq (/),
где Я; — произвольные комплексные константы. Тогда автокова-
автоковариационная функция процесса Y(t) равна
Ууу (и) = Е {{Y (/) - цу) (Y (t + u)- цуу] =
= Е[Х"(X @ - ц)(Х(/ + и) - nf X] =
= Г\(и)\. A1.2.6)
Взяв преобразование Фурье от A1.2.6) и используя равенство
A1.2.4), автоспектр процесса Y(t) можно выразить через спект-
Многомерный спектральный анализ
233
ральную матрицу многомерного процесса. В результате получим
ГУУ(/) = Г'Г (/)*,. A1.2.7)
Так как Гкк(/) —действительная скалярная функция, то FyY(f) =
= Т*уу (/) = ГуУ {f). Поэтому из A1.2.7) следует, что
Таким образом, имеем
так что спектральная матрица — эрмитова, т. е.
A1.2.8)
Кроме того, так как квадратичная форма A1.2.7) неотрицательна
при всех значениях К, то T(f) —эрмитова, положительно полуопре-
полуопределенная матрица. Это значит, что любой главный минор Г(/) неот-
неотрицателен. Например, при q = 2 мы имеем
откуда следует, что квадрат коэффициента когерентности удовлет-
удовлетворяет неравенствам
О<К (_11Ш
и^к12ш- rM(f)rM(/)
Аналогично, при q — S получаем
r23(f)
A1.2.9)
В разд. 11.3 будет показано, что, пользуясь A1.2.9), можно опреде-
определить квадрат множественного коэффициента когерентности xf23(f),
такого, что
11.2.3. Многомерные линейные системы
В разд. 10.3 была описана методика оценивания частотной ха-
характеристики системы, имеющей один вход и один выход. В общем
случае физическая система имеет несколько входов и несколько
234
Глава 11
Многомерный спектральный анализ
235
выходов. Например, на рис. 11.1 приведены участки некоторых не-
непрерывных записей, соответствующих двум входам и двум выходам
турбогенератора. Теперь мы покажем, что многомерную линейную
систему во временной области можно описать матрицей откликов
15 -
Отклонения синфазного 10
шока (в амперах)
2,0
Отклонения сдвинутого q
по фазе тока (в амперах)
2,0
-4,0
Отклонения напряжения
(в вольтах)
-270
/, сек,
-300
-330
0,1 -
Отклвнения частоты q
(в герцах)
Рис. 11.1. Входные и выходные процессы 50-мегаваттного турбогенератора.
на единичный импульс, а в частотной — матрицей частотных харак-
характеристик.
Матрица откликов на единичный импульс. Если многомерная
система является линейной, то любой ее выход представляет собой
сумму вкладов от q входных переменных, т. е.
оо
** @ - \lXi = J A«i (и) [2, (*-«)- fe]] du+ ...
о
hlq(u)[Zq(t-u)-iiz]du.
Полный отклик системы, состоящий из г выходов Xi(t), i = q+ 1,. ..
..., q + г, можно записать в матричном виде следующим образом:
оо
X(O-J**= fh (и) [Z (*-«)-|*z]rfu, A1.2.10)
о
где матрица откликов на единичный импульс h(u) задается соотно-
соотношением
h(u) =
... h
(q+2)q
{u)
h(q+r)l(u) hiq+rJ{u) ... h{q+r)q{u)
. A1.2.11)
Пример. Рассмотрим общую многомерную систему, которая
в двумерном случае имеет вид (8.1.17),
Эта система имеет следующую матрицу откликов на единичный им-
импульс:
Например, в двумерном случае, когда
dt
матрица откликов на единичный импульс равна
h(«) = f
A1.2.12)
Матрица частотных характеристик. Другой способ описания
многомерной системы состоит в задании матрицы частотных харак-
характеристик, т. е. матрицы, элементы которой являются преобразова-
преобразованиями Фурье от элементов матрицы откликов на единичный им-
импульс, а именно
Hu(f)=j
236
Глава 11
Таким образом, матрицу частотных характеристик можно записать
в виде
Н(/)= J \i{u)e-'2
A1.2.13)
Взяв преобразование Фурье от A1.2.10), мы находим, что спект-
спектральные амплитуды выходов на частоте f можно получить из ра-
равенства
X(/) = H(/)Z(f), A1.2.14)
которое является матричным аналогом равенства B.3.23). Напри-
Например, для двух выходов и трех входов из A1.2.14) получаем
х, (/) = я41 {f) z, (/) + я42 (/) z2 (/) + я43 (f) z3 (/),
Х5 (f) = Я51 (/) Z, (f) + Я52 (/) Z2 (f) + Я53 (/) Z3 (/).
В частном случае, когда на входы подается комплексный сигнал
exp (j2nft), отклик г'-го выхода равен
Xi{t) = [Hll(f) + Ht2(f)+ ... +Hiq(f)]e'W. A1.2.15)
Для всей системы равенства A1.2.15) можно записать в матрич-
матричном виде
A1.2.16)
где 1 — вектор, целиком состоящий из единиц.
Из A1.2.14) можно получить полную частотную характеристику
системы на данной частоте. Таким образом, полные функции уси-
усиления равны
G<(/) = [G?,(f)+ ... +G%(f)]\
а полные фазовые сдвиги равны
Ф» (/) = Ф<1 (/) + Фй @ + ••• + Ф/,(Л-
Пример. Рассмотрим многомерную систему
«+AX-Z.
Ее матрица частотных характеристик равна
Н(/) = (/2я/1+АГ1, A1.2.17)
где I — единичная матрица, у которой на главной диагонали стоят
единицы, а на остальных местах — нули.
Для обсуждавшейся выше системы второго порядка
dt
Многомерный спектральный анализ
237
мы имеем
J2nf+2 ^
2 }2nf + 2
1
-i
(/2я/+2J-1
rt/ + 2 - 2
- у /2nf + 2
-2
(j2nf + 3) (j2nf
i2nf + 2
(j2nf + 3) (j2nf
J
2 1 2 -1 , i
/2я/ + 1 + j2nf + 3 /2я/ + 1 ^ /2я/ + 3
1 ^ j2nf + 3 /2я/ + 1 ' /2я/ + 3
Взяв обратное преобразование Фурье от этого выражения, полу-
получаем уже упоминавшуюся выше формулу A1.2.12)
з-Зм
11.2.4. Многомерные линейные процессы
Стационарность. Если входы Zi(t) в A1.2.10) представляют
собой набор белых шумов, то модель A1.2.10) определяет много-
многомерный линейный процесс. Для полной общности предполагается,
что эти белые шумы коррелированы в одинаковые моменты време-
времени, а в остальные моменты некоррелированы. Таким образом,
Cov[Z,@, Zk(t')] = wikb{t-t').
Отсюда матричная ковариационная функция белых шумов имеет
вид
Vz(M) = Wfi(«). A1.2.18)
С помощью A1.2.10) находим матричную ковариационную функ-
функцию процесса Х(^)
сю оо
= f J h(v)Cow[Z(t-v), r'(t + u-s)]htf(s)dvds. A1.2.19)
о о
238
Глава 11
Если матричная ковариационная функция Z(t) имеет вид A1.2.18),
то A1.2.19) сводится к
оо
Vx(u)= J
A1.2.20)
Следовательно, этот многомерный процесс является стационарным
второго порядка, так как его матричная ковариационная функция
зависит только от запаздывания и. Впрочем, для стационарности
Х(/) нужно, чтобы выполнялось еще одно условие. Поскольку при
любом и элементы матрицы Vjc(u) не превосходят по модулю со-
соответствующих диагональных элементов матрицы Vx@), нужно
еще потребовать, чтобы Vx @) была конечной, т. е.
оо
J
где неравенство выполняется для всех элементов матрицы.
Спектральная матрица линейного процесса. Взяв преобразова-
преобразование Фурье от A1.2.19), находим спектральную матрицу линейного
процесса A1.2.10)
r*(/) = H(-/)rz(f)H"(-/), A1.2.21)
где
Н* (/) = J K{u
В частном случае, когда матричная ковариационная функция
имеет вид A1.2.18), спектральная матрица A1.2.21) переходит в
r*(/) = H(-/)WH"(-/). A1.2.22)
Пример. Предположим, что
где А — действительная матрица. Так как для действительной h(u)
имеет место равенство Н*(—/) = Н(/), то
Г*(f) = (- /2я/1 + A) W(/2я/1 + АО.
Для случая с двумя входами и двумя выходами, который мы об-
обсуждали выше,
dXi
dt
" "о"-^2 — Zi,
dX2
dt
Многомерный спектральный анализ
239
отсюда получаем
-I
i2nf + 2 - 2
и, следовательно,
-2
X WX
:(-;2я/ + 3) ^ --L -/2я/+2
/2я/ + 2 -1
- 2 /2я/ +
X
- j2nf + 2
¦2 \
j2nf
X
X WX
j2nf ¦
1
Если
- 2 /2я/ + 2
1 О
w =
О I '
то это выражение сводится к
+ Bя/J] [9 + Bn/)*j у _ 5 + fa
+ Bя/J -5-/3nf
11.2.5. Многомерные процессы авторегрессии
и скользящего среднего
Многомерные процессы авторегрессии и скользящего среднего
получаются из линейных процессов, когда матрица откликов на
единичный импульс принимает специальную форму. Эти процессы
можно выписать, если в их одномерном представлении заменить
скаляры на векторы и матрицы. Например, дискретный многомер-
многомерный процесс авторегрессии получится, если переделать запись
E.2.26) следующим образом:
X,-|i = a(X,_,-n) + Z,. A1.2.23)
Равенство A1.2.23) для случая, скажем, двух переменных можно
расписать в виде
Хи - Hi = а,, ц {Xu-i - Hi (
= ai. 21
,, 12
. 22
240
Глава 11
Аналогично, дискретный многомерный процесс скользящего сред-
среднего первого порядка имеет вид
и в случае двух переменных он записывается в виде равенств
%U М-1 == %и + Pi, ll^U-l + Pi, \2^2t-U
%2t ~~ M-2 = %2t + Pi, 21% It-I + Pi, 22^2t-l-
Процессы скользящего среднего. Общий многомерный процесс
скользящего среднего можно записать в виде
X,-n = Z, + p,Z,_,+ ... +P/Z*-/- A1.2.24)
Соответствующую матричную ковариационную функцию можно вы-
вычислить с помощью определения A1.2.1)
(
0, k~>l.
Процессу A1.2.24) соответствует частотная характеристика
и, следовательно, спектральная матрица
. . . + P^'f) W (I + Pfe"'2
A1.2.26)
Процессы авторегрессии. Общий дискретный многомерный про-
процесс авторегрессии можно записать в виде
Xt-n = a,(Xt_,-n)+ ... + ат (Х,_т - и) + Zt. A1.2.27)
Его матричная ковариационная функция удовлетворяет разностно-
разностному уравнению
Vx(fc) = a,Vx(fc-l)+ ... +amVx(k-m), k>0.
В частном случае т = 1 это уравнение имеет решение
так что матричная ковариационная функция легко находится с по-
помощью возведения в степени матрицы щ. Остается еще вычислить
матрицу Vx@), что можно сделать прямыми методами, проиллю-
проиллюстрированными в примере из разд. 8.1.5.
Рассматривая A1.2.27) как линейную систему с матрицей ча-
частотных характеристик
Многомерный спектральный анализ
241
и пользуясь равенством A1.2.21), находим спектральную матрицу
Y (f\ _ fi д[ gl'2nf d gj2nmf\~l у
v/ w v fi a'e~i^nf ¦ ¦ • o' e~/2itmfl~' A12 28)
Аналогично матричная ковариационная функция непрерывного
процесса авторегрессии
rfm*@ . , „ v^) = Z(f) A1.2.29)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Пусть, например, m = 1 и am = I. Тогда
Спектральную матрицу, соответствующую процессу A1.2.29),
можно получить, рассматривая его как линейную систему с матри-
матрицей частотных характеристик
Н (/) = [am (J2nf)
+ао1
Г'
Смешанные процессы. Еще более общим является многомерный
смешанный процесс авторегрессии — скользящего среднего
A1.2.30)
С помощью модели A1.2.30) можно получать разнообразные мат-
матричные ковариационные функции. Поэтому эта модель является
мощным средством для описания многомерных временных рядов.
11.3. МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ ВО ВРЕМЕННОЙ
ОБЛАСТИ
В гл. 9—10 мы видели, что анализ взаимных спектров и оцени-
оценивание частотных характеристик представляют собой распростране-
распространение обычного корреляционного и регрессионного анализов на час-
частотную область. Точно так же многомерный спектральный анализ
и оценивание многомерных частотных характеристик представляют
собой распространение идей анализа множественных корреляций и
многомерного статистического анализа на частотную область.
В этом разделе мы дадим обзор основных понятий множественной
корреляции и множественного регрессионного анализа. Предпола-
Предполагается, что читателю полностью известен метод наименьших квад-
квадратов, изложенный в Приложении П4.1.
г
242
Глава 11
11.3.1. Множественный регрессионный анализ,
единственный выходной процесс
Модель. Рассмотрим частный случай многомерной динамической
модели A1.2.10), когда имеется только один выход, и предположим,
что отклик системы на импульс затухает столь быстро, что ее мож-
можно эффективно описать с помощью установившихся усилений. Тогда
после соответствующего изменения обозначений равенство A1.2.10)
можно записать в виде
A1.3.1)
где Zt — шум. Как отмечалось в разд. 4.3.4, из регрессионных пере-
переменных полезно вычесть их средние значения для того, чтобы при
использовании метода наименьших квадратов оценки параметров
оказались некоррелированными с оценкой среднего уровня [ig+i.
Нормальные уравнения. Предполагая, что шум Zt белый и что
наблюдения производятся в моменты t = \, 2, . .., N, получаем, со-
согласно (П4.1.7), следующую систему нормальных уравнений:
(Х'Х) h = Х'х,
fiq + l ~ xq + \i
где
Хц Х\ Х\2 Х2 ... X\q Xq
Х2[ Х\ Х22 Х2 ... X2q — Xq
х =
XN\~X\ XN2 X2 . . . XNq — Xq
' = (/2b h2, .... hq), A1.3.3)
A1.3.2)
x =
— X
q+U
С помощью выборочных оценок ковариаций
N
t=\
уравнения A1.3.2) можно записать в виде
A1.3.4)
A1.3.5)
где Cqq — матрица ковариаций входов, a cg+i — вектор взаимных
ковариаций между входами и выходом.
Многомерный спектральный анализ
243
Пример. При q = 2 модель A1.3.1) имеет вид
Xt3-[i3 = к{(Хи- Х{) + h2(Xt2-X2) + Zt, /=1,2 N,
и оценочные уравнения A1.3.5) записываются следующим образом:
ft,cn
Аз = ^з-
11.3.2. Множественная корреляция
Выражение (П4.1.11) для остаточной суммы квадратов после
подгонки линии регрессии имеет вид
2z* = x'x-h'(X'X)h, A1.3.6)
или, воспользовавшись A1.3.4) и A1.3.5), его можно переписать
в виде
Равенство A1.3.6) показывает, что остаточную сумму квадратов
можно записать как разность между полной, или выходной, суммой
квадратов и некоторой положительной величиной, называемой рег-
регрессионной суммой квадратов. Если регрессионную сумму квадра-
квадратов записать в виде '¦B<7+1I2...д "й Д°ли полной суммы квадратов,
то A1.3.7) перейдет в
причем гB+1I2 называется квадратом множественного коэффи-
коэффициента корреляции выхода xq+i и q входов. Дисперсию выхода
можно записать и по-другому:
с =г2 с + A — г? )с . A1.3.9)
Из A1.3.9) мы видим, что дисперсию выхода можно разложить
на регрессионную сумму квадратов, представляющую ту часть вы-
выхода, которая может быть «учтена», или предсказана, по входам, и
обусловленную шумом остаточную сумму квадратов, которую нель-
нельзя предсказать по входам. Таким образом, квадрат множественного
коэффициента корреляции представляет собой ту долю дисперсии
выхода, которую можно учесть, зная входы.
Из A1.3.7) и A1.3.8) мы видим, что множественный коэффи-
коэффициент корреляции можно оценить из уравнения
= h'c
A1.3.10)
244
Глава 11
Если подставить сюда h из уравнения A1.3.5), то получим дру-
другую форму выборочного множественного коэффициента корреляции
_ 1
д с
С(д+])(д+\)\
A1.3.11)
где C(g+i)(g+i) — матрица ковариаций всех q + 1 переменных (одно-
(одного выхода и q входов), a Cqq — матрица ковариаций одних входов.
Равенство A1.3.11) можно записать также через соответствующие
корреляционные матрицы
i» i
A1.3.12)
Пример. При q — 2 равенство A1.3.10) переходит в
й,с13 + h2c2r
A1.3.13)
Пользуясь выражением A1.3.12), получаем
Г 21
Г 31
1
Г 21
Г12
1
'з2
Г12
1
Г13
'23
1
'23
A1.3.14)
Выборочная теория множественных коэффициентов корреляции.
Для применения выборочного подхода заменим в приведенных выше
формулах все выборочные величины на соответствующие им слу-
случайные величины. Заметим, что эти случайные величины предпола-
предполагаются гауссовскими, так же как и остаточные ошибки Zt в A1.3.1).
Тогда равенство A1.3.9) представляет собой разложение %2N_{ на
X2q и з& _,. Таким образом, если верна нулевая гипотеза, согла-
согласно которой все параметры ht в модели A1.3.1) равны нулю, то слу-
случайная величина, соответствующая выборочной величине
'(<? + !) 12 ... д
N-l -q
A1.3.15)
будет распределена как F,, N-i-q-
Доверительные интервалы. В общем случае, когда параметры
модели отличны от нуля, совместная доверительная область для
них дается неравенством (П4.1.14), которое в новых обозначениях
имеет вид
(h-h)'CM(h-h)
-a)
A1.3.16)
Многомерный спектральный анализ
245
где s2 — выборочная оценка остаточной дисперсии. Например, при
q = 2 доверительная область для (hu h2) выглядит следующим об-
образом:
A1.3.17)
Формулы для теоретических величин. Полученные выше фор-
формулы были выведены с помощью выборочных функций. При над-
надлежащей интерпретации они применимы также и к теоретическим
величинам. Так, например, вместо A1.3.8) мы будем иметь
где p(g+i)i2...g
ляции.
1 иЛ$<,+т*...<) )
...g — теоретический множественный коэффициент корре-
корре11.3.3. Частная корреляция
Множественный коэффициент корреляции измеряет корреляцию
между выходом и наилучшим прогнозом выхода с помощью всех
входов. Однако полезно также уметь измерять корреляцию между
выходом и одиночным входом. При решении этой задачи мы прихо-
приходим к понятию частного коэффициента корреляции.
Чтобы проиллюстрировать основную идею, положим q = 2, так
что модель A1.3.1) имеет вид
Xf3 - Цз = Ai {Хп ~ XJ + h2 (Ха - Х2) + Zt.
Если hi и /i2 отличны от нуля, то случайная величина Х3, очевидно,
будет коррелирована как с Хи так и с Х2. Однако коэффициенты
корреляции рз1 и р3г, описывающие корреляцию внутри пар (Х3, Xi)
и (Х3, Х2) по отдельности, не полностью характеризуют нужную
нам корреляцию, так как сами Xt и Х2 могут быть коррелированы.
Если принимать в расчет лишь рзг и рзь то могло бы случиться в ка-
качестве крайней ситуации, что Х3 и Xi порознь сильно коррелирова-
коррелированы с Х2, в то время как «непосредственная» корреляция между Х3
и Xi очень мала.
Таким образом, до вычисления корреляции между Х3 и Xi необ-
необходимо устранить влияние переменной Х2. Этого можно добиться,
если взять наименьшую среднеквадратичную регрессию величины
Х3 на Х2 и величины Х\ на Хг. После этого частный коэффициент
корреляции определяется как коэффициент корреляции между
остаточными ошибками этих двух регрессий. Этим остаточным
ошибкам соответствуют случайные величины
Y22
246
Глава II
гДе \ik ~ ковариация Xt и Хк. Тогда
Cov[?b ?3] = Yi3—
A1.3.19)
Отсюда корреляция между Е3 и ?, равна
P13-I
A1.3.20)
Эта величина называется частным коэффициентом корреляции
между Х3 и Xt после учета влияния Х2. Соответствующий выбороч-
выборочный частный коэффициент корреляции получается в результате за-
замены теоретических корреляций рц на их выборочные оценки Гц.
Частный коэффициент корреляции рзг 11 получается с помощью пе-
перестановки индексов в A1.3.20).
Отметим, что в частном случае, когда случайные величины Xi,
Х2 и Х3 являются тремя последовательными значениями стационар-
стационарного случайного процесса, мы имеем pi3 = рB), р12 = р2з = рA),
где p{k)—автокорреляционная функция, зависящая от запазды-
запаздывания k. В этом случае A1.3.20) сводится к
РB)-Р2С)
что совпадает с выражением для частного коэффициента автокор-
автокорреляции, который мы обсуждали в разд. 5.4.3 и 11.1.1.
В общем случае для q входных переменных частный коэффи-
коэффициент корреляции между выходом Хд+1 и любым из входов Xh оп-
определяется как обычный коэффициент корреляции между (Xq+i —
— Хд+1) и (Xh — Xh), где Xq+U Xk — полученные методом наимень-
наименьших квадратов из всех величин Xit кроме Xh, прогнозы случайных
величин Xq+l, Xh- Величины, по которым строится прогноз, имеют
индексы 1, 2, ..., k — I, k + I, ..., q. Это множество индексов мы
обозначим К- Можно показать [1], что частный коэффициент корре-
корреляции записывается в следующем общем виде:
A1.3.21)
где П(т — соответствующий элементу pim минор матрицы корреля-
корреляций R(g+i)(9+i) всех переменных.
Многомерный спектральный анализ
247
Пример. Равенстро A1.3.20) можно получить из A1.3.21) сле-
следующим образом:
1 Pi2
Р21 1 Р23
Р31 Р32
так что
Л31 = Pl3 ~ Pl2p23.
Л33 = 1 - Р?2«
я,, = 1 — р|3>
откуда и получается A1.3.20).
Дисперсионный анализ. Из A1.3.14) и A1.3.20), заменив теоре-
теоретические корреляции на их выборочные аналоги, можно получить
равенство
A -'-I.2) = A-'-l2)(l -r|1|2). A1.3.22)
Если мы хотим проверить, насколько значимо величина A1.3.22)
отличается от нуля, следует воспользоваться формулой A1.3.8),ко-
A1.3.8),которая показывает, что остаточная сумма квадратов после подгонки
Xi и х% дает долю 1 — г|12 от полной суммы квадратов. В этом слу-
случае равенство A1.3.22) показывает, что уменьшение суммы квад-
квадратов, обусловленное подгонкой Хг, пропорционально величине
П —г\^, а дальнейшее уменьшение, обусловленное подгонкой Х\,
пропорционально A — г^|2). Заметим, впрочем, что если сначала
подгонять хи то A1.3.22) можно записать и в другом виде:
Таким образом, разложение A1.3.9) можно записать в виде двух
таблиц дисперсионного анализа, как показано в табл. 11.1.
Если мы хотим проверить гипотезу, что лг4 не участвует в про-
прогнозе Хз, то надо взять отношение
(N-3)r231
и сравнить его с вероятностной границей, получаемой из /ч, jv-з-
распределения. Точно так же, если желательно проверить, что х2 не
дает вклада в прогноз х3, после того как Xi уже подогнано, надо
взять отношение
Л312
и сравнить его с вероятностной границей для Flt лг_з-распределения.
248
Глава 11
Таблица 11.1
Таблица дисперсионного анализа для множественной регрессии
Источник
Сумма квадратов
Число степеней
свободы
Случай, когда сначала подгоняется
Подгонка Хх
Подгонка х2 при задан-
заданном *]
Остаточная
Полная
1
N-3
N- 1
Подгонка х2
Подгонка Х\ при
ном х2
Остаточная
Полная
Случай,
задан-
когда сначала
d
V312 ~
A-г
4)
З1г)
подгоняется х2
Xt3 ~ hf
S ixt3 ~ Х3?
S (xt3 - ч?
а ~ хзJ
N
N
1
1
-3
- 1
Пример. Чтобы проиллюстрировать введенные выше понятия,
рассмотрим данные, полученные при изучении работы электро-
электростанции (рис. 11.1). Эти данные были профильтрованы с помощью
низкочастотного цифрового фильтра
^B24+ ... +2+1+2-'+ ... +2~2
Выходной переменной была частота турбогенератора F, а вход-
входными переменными служили синфазный ток id и сдвинутый по
фазе iq. Поскольку цифровой фильтр устраняет большую часть
мощности на частотах выше f = 0,04 гц, мы оставили в профиль-
профильтрованном ряде лишь каждый двадцатый отсчет. В результате
осталось 41 значение.
В модель
X3t ~ Из = Ai (Xlt ~ Xi) + h2 (X2t - Х2) + Zt
входят параметры fti и Л2, характеризующие установившиеся усиле-
усиления, связывающие токи id и iq с F. Нормальные уравнения A1.3.5)
имеют вид
100?з = 82,558,
5.879Й, + 2,907/г2 = 1,145,
2,907й, + 43,488й2 = 2,033,
откуда получаем выборочные оценки: уа = 0,8256, hi = —0,2253 и
/г2 = 0,06181. Множественный коэффициент корреляции, вычислен-
Многомерный спектральный анализ
249
ный по формуле A1.3.14), равен 0,977, а частные коэффициенты
корреляции, вычисленные по формуле A1.3.20), равныг31|2= —0,98
и /211= 0,97. Результаты дисперсионного анализа этих данных при-
приведены в табл. 11.2.
Таблица 11.2
Таблица дисперсионного анализа для данных о токах и частоте
турбогенератора
Источник
Подгонка синфазного
тока
Подгонка сдвинутого
по фазе тока при
заданном синфаз-
синфазном
Эстаточная
Полная
Сумма
квадратов
9,1265
6,5825
0,3655
16,0745
Число
степеней
свободы
1
1
38
40
Источник
Полгонка сдвинутого
по фазе тока
Подгонка синфаз-
синфазного тока при за-
заданном сдвинутом
по фазе
Остаточная
Полная
Сумма
квадратов
3,8958
11,8132
0,3655
16,0745
Число
степеней
свободы
1
1
38
40
Имеющие f-распределение отношения, приведенные в табл.
11.2, очень велики. Поэтому можно считать, что вклад обоих токов
в прогноз частоты весьма значителен. Это сразу видно и из боль-
больших значений частных коэффициентов корреляции. Из табл. 11.2
видно также, что синфазный ток более важен для прогноза часто-
частоты, так как соответствующая ему доля уменьшения полной суммы
квадратов больше, чем для тока, сдвинутого по фазе. Это следует
из того, что г13 = 0,75, в то время как г2з = 0,49. Однако большая
величина частного коэффициента корреляции Гз2ц = 0,97 показы-
показывает, что сдвинутый по фазе ток также вносит существенный вклад
в прогноз частоты.
11.3.4. Многомерный анализ, несколько выходных процессов
Модель. В предыдущих разделах предполагалось, что имеется
лишь одна выходная переменная и несколько входных переменных.
В общем случае будет несколько выходных переменных, так что
модель регрессии можно записать в виде
X i (Xtl — Z|) +....+ fl(q + i) q (Xtq — Xq) + Z(q + l) t,
(q+2) t,
(q+2)
h{q+2) q (Xtq — Xq) + Z
Xt
(Xtl — Xt) +
(Xtq - Xq) + Z
(q+r)
A1.3.23)
250
Глава 11
Раздел статистики, в котором рассматриваются модели вида
A1.3.23), называется многомерным статистическим анализом. Та-
Такой анализ изложен в [1].
Нормальные уравнения. Можно показать [1], что выборочные
оценки параметров, минимизирующие определитель матрицы выбо-
выборочных ковариаций, совпадают со значениями параметров, мини-
минимизирующими по отдельности остаточные суммы квадратов
S
\, q + 2, ..., q + r.
Это означает, что во всем, что касается оценочных уравнений, мно-
многомерный анализ сводится к q отдельным схемам многомерного
регрессионного анализа. Отсюда с помощью A1.3.5) получаем нор-
нормальные уравнения
С,Л = С«+*. /г=1, 2, .... г. A1.3.24)
Уравнения A1.3.24) можно записать после транспонирования в ви-
виде одного матричного уравнения
HCj, = Cjr, A1.3.25)
где Cqq — матрица ковариаций входных переменных, имеющая раз-
размеры q X q, a Cqr — матрица взаимных ковариаций входных и вы-
выходных переменных, имеющая размеры q X г.
Пример. Рассмотрим систему с двумя входами и двумя выхо-
выходами, в которой
Xt3 — Из = «31 \Хц — Х^ + «32 \Xt2 ~~ Х2) + Z3t,
Хи - И4 = «41 (Xtl ~ X,) + Л42 (Xt2 ~ Х2) + Z4i.
Выборочные оценки Аз и А4 равны
Аз = х3,
А4 = х4,
а нормальные уравнения имеют вид
з\ /с„ с
С2, C22J\H32J \С23)' \С21 С22/Кп42/ Ки24
или в единой матричной форме A1.3.25)
'«31 «32WC1I C2i\fcl3 C23
I \ С12 С22 / V С14 С24
Матрица ковариаций остаточных ошибок. Так как с помощью
модели A1.3.23) описываются системы со взаимодействием между
Многомерный спектральный анализ
251
входами, естественно считать, что случайные величины Ziq+h)t,
Z(q+i)t коррелированы в одинаковые моменты времени и имеют мат-
матрицу ковариаций с элементами o\v Соответствующая матрице Vz
матрица выборочных ковариаций имеет элементы
"(q+k)
N
X[xt{4+l)-h{g+t) {xtl -
xiq).
qxiq
1.3.26)
Равенства A1.3.26) можно упростить с помощью нормальных урав-
уравнений A1.3.24), что дает
S(q+k)
((/+0
2(q+l)
A1.3.27)
Матрица ковариаций оценок. Поскольку нормальные уравне-
уравнения получены при отдельном рассмотрении каждой из регрессий
в A1.3.23), из (П4.1.9) следует, что матрица ковариаций оценок
параметров, входящих в какое-нибудь одно из уравнений A1.3.23),
равна
= (X'X)
С помощью A1.3.24) остальные ковариаций оценок параметров,
входящих в разные уравнения A1.3.24), можно найти из равенств
E[hq+k, h/9+;] = ?[(X'XrIX'x?+ftx/,+ ;X(X'Xr1] = (X'X)-1a(?+ft)(?+0.
A1.3.28)
Отсюда матрицу ковариаций оценок всех параметров, имеющую
размеры qr X qr, можно записать в виде
V(h) =
... С a
* 2
jqqa(q+2){q+l)
(q+2) (q+2)
0(q+2) (q+r)
A1.3.29)
где h' = (h?+1,hq+2,... ,hq+r). Матрицу A1.3.29) можно компактнее
записать в виде прямого произведения матрицы входных ковариа-
ковариаций Cqq и матрицы ковариаций остаточных ошибок CZz
:. A1.3.30)
252
Глава И
Выборочную оценку матрицы A1.3.30) можно получить, если заме-
заменить а2и в A1.3.29) на выборочные оценки A1.3.27). С помощью
A1.3.30) можно получить доверительную область для полного век-
вектора параметров h'
(h-fi)'V(h)(h-h)<f-sV,(Af-i-r)(l-a)- (П.3.31)
Пример. Для упоминавшейся выше системы с двумя входами и
двумя выходами выборочная матрица ковариаций остаточных оши-
ошибок из A1.3.27) равна
V =
* zz
S2 S2
''ЗЗ Л34
44
C43~'
C34~'
Матрицы ковариаций оценок параметров, входящих либо в одно
уравнение, либо в другое, по отдельности равны
D
33'
vrh.l =
Си С21
D
где и = cnc
Отсюда
Соу[йЗР У = -^а|, Соу[й41, Й42] = ^^4>
[й32, ft31] = ¦?¦ <&, Cov [й42, й41] = ^- а*4,
Далее, матрица ковариаций оценок всех параметров A1.3.29)
равна
/ Cov [h3l, h3l] Cov[^3I, й32] Cov [h3uh4i] Cov[ft31, ft42]
л J Cov [йз2, h3\] Cov t^32> ^32] Cov[^32, h4i] Cov[^32, h42]
\ Cov[h4Uh3l] Cov[h4Uh32] Cov[hiU й41] Cov[/j41)
\Cov[#42, й31] Cov [h42, h32] Cov [h42, h4l] Cov[h42, h42]
И наконец, выборочная оценка матрицы V(h) да«тся равенством
V(h) = '
C..S2.,
/^ q2
''2Г44
i S2
г с2
^ 12й 43
C22S33
г С2
С22Л43
O12S34
C12S44
/, о2
Многомерный спектральный анализ
253
11.4. МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
В этом разделе мы обобщим методы разд. 11.3 таким образом,
что их можно будет применять в частотной области. Имеются два
основных отличия моделей, используемых в этом разделе, от моде-
моделей разд. 11.3. Во-первых, модели разд. 11.3 описывали регрессии и
корреляции в одинаковые моменты времени, так что они фактиче-
фактически описывали лишь свойства установившихся значений системы,
В этом разделе мы рассмотрим динамические модели, являющиеся
обобщением моделей предыдущего раздела. Во-вторых, в разд. 11.3
предполагалось, что шум (остаточные ошибки) является белым.
В настоящем же разделе шум может быть совершенно произволь-
произвольным стационарным процессом.
11.4.1. Анализ многомерных частотных характеристик,
единственный выходной процесс
В этом разделе мы покажем, как можно оценить частотные ха-
характеристики модели
оо
= J hig+1)l(u)[X1(t-u)-Xl]du+ ...
hiq+l) q(u)[Xq(t - и) + Xq]du + Z (t), A1.4.1)
которая является динамическим обобщением модели установивших-
установившихся состояний A1.3.1). Для того чтобы не усложнять изложение ос-
основных идей анализа, мы предположим, что имеются записи беско-
бесконечной длины единственного выходного процесса X(q+i)(t) и q вход-
входных процессов. Чтобы еще более упростить задачу, рассмотрим
частный случай, когда число входов q равно 2.
Действуя так же, как и в Приложении П5.1, можно показать,
что выборочные оценки функций отклика на единичный импульс
hsi(u) и h3z{u), дающие минимальную среднеквадратичную ошибку,
должны удовлетворять системе уравнений Винера — Хопфа
Yi3<") = [ А31 (v) Yn (« - v) dv + [ h32(v)yl2(u~v)dv,
00 00
= J h31(v)y21{u-v)dv+ J h32(v)y22(u-v)dv.
A1.4.2)
Заметим, что уравнения A1.4.2) можно получить также, умножая
все члены равенства A1.4.1) сначала на Xi{t— и)—хх и беря ма-
254
Глава 11
тематическое ожидание, а затем на X2(t— ы)—Хг и также беря
математическое ожидание.
Взяв от A1.4.2) преобразование Фурье, получим уравнения в ча-
частотной области
(f). A1.4.3)
Решая эти уравнения относительно H^if) и Язг(/), получаем сле-
следующие выражения для частотных характеристик, включающие
авто- и взаимные спектры:
г„ШГ22(/)-1Г12(/)|2
гз(рГ„а)-Г,3(ПГ2, (f)
32
A1.4.4)
Чтобы получить выражения для функций усиления и фазы,
нужно взять модули и аргументы комплексных функций A1.4.4).
Например,
g3I =
где
(Л,3Гг2 + ?23^12 -АгзЛ1г)
3
A1.4.6)
31 ~ (Г„ГИ-|Г12|*)
Для ^ входов уравнения A1.4.2) имеют вид
(w)= J
A1.4.7)
где Y(?+i)(") —имеющая порядок g + 1 матричная ковариационная
функция одного выхода и <? входов,hriq+l) = (h(q+l)l,h(q+lJ h{q+l)Q),
a Y (и) ~ матричная ковариационная функция входов. Взяв
преобразование Фурье от A1.4.7), получаем
), A1.4.8)
где Гй+1)(/) —вектор взаимных спектров выхода X(q±i)(t) и входов,
Г^Ш-спектральная матрица входов и Н('G+1)(/:) = (Я(G+1I(О,
Я(?+1J(/) #(,+,),(/))• Решая эти уравнения и беря модули и
аргументы решений, как это делалось выше, можно найти функ-
функции усиления и фазы.
Многомерный спектральный анализ
255
11.4.2. Спектр множественной когерентности
В.этом разделе мы дадим определение спектра множественной
когерентности. Он является частотным аналогом множественного
коэффициента корреляции, введенного в разд. 11.3.2. Прежде всего
необходимо вывести выражение для спектра шума (или остаточных
ошибок), которое необходимо для получения выборочных оценок
функций усиления и фазы и само по себе представляет значитель-
значительный интерес.
Спектр остаточных ошибок. Чтобы вычислить спектр остаточ-
остаточных ошибок Tzz(f) в модели A1.4.1), необходимо найти их автоко*
вариационную функцию. Действуя так же, как и в разд. 11.3.2, на-
находим, что автоковариационная функция процесса Z(t) равна
«)- J
о
оо
••• -J hiq+Ug{v)\{q+l)q(u-v)dv.
Взяв от этого выражения преобразование Фурье, получим спектр
¦остаточных ошибок
^ZZ (f) = ^ (q + l) (q + ])(f) — Н (q + 1) 1(f)T{q + l) ^f) — . . .
••• -Я(,+п, №,+!),(/), (П.4.9)
что является частотным аналогом выражения A1.3.7).
Квадрат спектра множественной когерентности. Действуя так
же, как и в разд. 11.3.2, выражение A1.4.9) можно записать в виде
...,(/)], A1.4.10)
где величина
(й+ ... +Hiq+i)q(f)r{q+l)q(f)
называется квадратом спектра множественной когерентности вы-
ходного процесса и q входных процессов. Спектр множественной
когерентности дает долю спектра выхода, которая может быть
предсказана по входам. Как показывает равенство A1.4.10), остав-
оставшаяся доля [1-и^,,,2...,(/)]спектра выхода представляет собой
шум.
Подставляя в A1.4.9) выражения A1.4.8) для частотных ха-
характеристик, мы получим другую форму записи квадрата спектра
256
Глава 11
множественной когерентности, аналогичную записи A1.3.11), а
именно
,Гч , 1Г(<7 + 1) (q + l) (f) I
\q+l)l2 ... qy
(f) I Tqq (f) I
A1.4.11)
В A1.4.11) Г(д+1)(д+1)(/) —спектральная матрица всех (q + 1) пе-
переменных, a rqq(f) —спектральная матрица q входных перемен-
переменных. При q = 2 равенство A1.4.11) запишется, если опустить ар-
аргумент/, следующим образом:
Л312
= 1 -
Гц
г2,
Гз,
Гзз
Г12
Г22
Гз.
Г,,
г„
Г,з
Г2з
Гзз
Г,2
Г22
A1.4.12)
что соответствует выражению A1.3.14). Если разложить опреде-
определитель в A1.4.12), то получим
где действительную часть
Re[ri2r23r31| = Л12Л23Л13 + Л
Гп|Гз2|2-2Ке[Г,2Г23Гз,]
Гзз(ГпГ22-|Г12|2)
+
A1.4.13)
A1.4.14)
можно выразить через коспектры и квадратурные спектры этих
трех процессов.
11.4.3. Взаимные спектры частной когерентности и фазы
Как и в анализе множественной регрессии, полезно знать
взаимный спектр выходного и одного из входных процессов после
учета влияния остальных входных процессов. Эта задача приводит
к понятию взаимного спектра частной корреляции, который яв-
является частотным аналогом частного коэффициента корреляции
A1.3.21).
Чтобы проиллюстрировать основную идею изложения, пред-
предположим, что имеется всего две входные переменные. Обобщая
методы разд. 11.3.3, будем считать, что выход Л'3(^) предсказы-
предсказывается сначала только по прошлым значениям процесса X2(t),4TO
дает остаточную ошибку
е3
оо
(t) = (*3 @ - из) ~ J Ь {u)(X2(t- и) - ц2) йи,
Многомерный спектральный анализ
257
г
I
S
где ?зг(м) —решение соответствующего интегрального уравнения
Винера — Хопфа. Аналогично прогноз входа Xi(t) только по прош-
прошлым значениям X2(t) приводит к остаточной ошибке
оо
е, (t) = (X, @ - ц.) - J gn (и) (Х2 (t-и)- ц2) du.
о
Взаимная частная ковариационная функция. Теперь можно опре-
определить взаимную частную ковариационную функцию между X\(t)
и X3(t + и) после учета влияния X2(t) следующим образом:
(«) = Cov[e1@. ез(* + «)] =
ОО ОО
= Yi3 (") - J Й32 (v) Y12 (" - v) dv - J g-12 (v) y23 (u + v) dv +
A1.4.15)
о о
Взаимный частный спектр. Взаимный частный спектр можно
получить, если взять преобразование Фурье от A1.4.15) и заме-
заменить G\2 на Г12/Г22, a G32 на Г23/Г22. В результате получим
is 12
СП = 11з (А)
Г23 (f) Г12 (/)
^if—
Нормированный взаимный частный спектр
(/) = "
13 | 2 '
A1.4.16)
A1.4.17)
получается из A1.4.16) с помощью соответствующей нормировки.
Спектр частной когерентности. Квадрат спектра частной коге-
когерентности равен квадрату модуля величины xi3|2(f). Проще всего
его вычислить, используя спектральный аналог равенства A1.3.22),
а именно
A1.4.18)
Коэффициент K2i3]2(f) равен квадрату коэффициента корреляции
двух процессов «на частоте f» после учета влияния процесса X2(t).
Частный фазовый спектр. Частный фазовый спектр равен аргу-
аргументу комплексного выражения A1.4.16) или выражения A1.4.17).
9 Зак. 1178
258
Глава 11
Его можно записать в виде
¦¦]¦
A1.4.19)
Аналогичные выражения для квадрата частной когерентности
X23|i(/) и частной фазы ср2з|1 можно получить с помощью переста-
перестановки индексов в A1.4.18) и A1.4.19).
Следует отметить отличие частной фазыф1з|г(/) от фаз qKi(/) и
Фз2(/), полученных из частотных характеристик модели A1.4.1).
Фаза фз1 (/) является мерой фазового сдвига между Xi(t) и X3(t),
когда X] G) изменяется по синусоидальному закону, но X2(t) не
меняется. А частная фаза ф]з| ?(/) является мерой «непосредствен-
«непосредственного» фазового сдвига между X\(t) и X3(t), после того как учтены
фазовые сдвиги между X2(t) и X3(t) и между X2(t) и Xi(t). В слу-
случае когда имеется только одна входная переменная, частный фа-
фазовый угол равен обычному фазовому углу.
Для q входов взаимный частный спектр является частотным
аналогом A1.3.21), а именно
\q+l)k\K*
Vn{q+1){g+i)(f)Jikk(f)
A1.4.20)
где Яш — соответствующий элементу Y[m мипор спектральной мат-
матрицы всех (q + 1) переменных.
Из A1.4.20) можно получить частные спектры когерентности
и фазы.
Резюме. Как и при анализе двумерных временных рядов, основ-
основной интерес для нас представляют различные виды спектральных
оценок: либо для случая, когда ряды находятся в одинаковом
положении по отношению друг к другу, либо же когда некоторые
из них являются входами, а остальные — выходами физической
системы. Если все ряды равноправны, то основной интерес пред-
представляет спектр множественной когерентности. Кроме него, обычно
вычисляют еще спектры частной когерентности и фазы для неко-
некоторых отобранных пар переменных. Если же часть рядов пред-
представляет собой входы, а остальные ряды — выходы некоторой фи-
физической системы, то самая важная часть анализа заключается
в оценивании частотных характеристик системы. Другую важную
выборочную оценку представляет собой спектр остаточных оши-
ошибок, описывающий шум в системе. В этом случае спектр множе-
множественной когерентности интересен лишь постольку, поскольку от
него зависят доверительные интервалы для функций усиления и
фазы. Оценивание спектра множественной когерентности обсу-
обсуждается в разд. 11.4.5. Доверительные интервалы для функций
усиления и фазы выводятся в разд. 11.4.6.
Многомерный спектральный анализ
259
11.4.4. Анализ многомерных частотных характеристик;
несколько выходных процессов
Модель. В этом разделе мы перенесем в частотную область
многомерный анализ, который для временной области был изло-
изложен в разд. 11.3.4. В качестве обобщения модели установившихся
состояний A1.3.23) рассмотрим динамическую модель
ОО
= J h(u)[xq(t-u)-~xq]du
), A1.4.21)
где x(q+r)(t) —вектор выходных переменных, \q(t) —вектор вход-
входных переменных и z(q+r)(t) —вектор переменных шума. Например,
для q = 2 входов и г = 2 выходов модель A1.4.21) можно запи-
записать в виде
-^= J h3l(u)[Xl(t-u)-Xi]du
h32(u)[X2(t - и) - X2]du + Z3(t),
A1.4.22)
X, (t) - Щ = J Л41 (и) № ('-«)- *il du +
— 00
00
+ [ hi2 (u) [X2 (t - u) - ~X2] du + Z4 {t).
— 00
Как и в предыдущем разделе, предположим сначала, что имеют-
имеются записи бесконечной длины для всех входов и выходов.
Оценочные уравнения. Как и в разд. 11.3.4, выборочные оцен-
оценки функций отклика на единичный импульс h{j(u), минимизирую-
минимизирующие среднеквадратичную ошибку, можно получить, минимизируя
по отдельности среднеквадратичные ошибки
Ы Z2i(t)dt\.
Этот процесс приводит к системе уравнений вида A1.4.7), а именно
Y(,+ft)(«)= j \qq{u-v)hiq+k){v)dv, k=l,2,...,r. A1.4.23)
— oo
9*
260
Глава 11
Эти уравнения можно записать в виде одного матричного урав-
уравнения
Sqr(u)= J \qq(u-v)h'(v)dv,
A1.4.24)
где Xqr(u) — матричная взаимная ковариационная функция между
q входами и г выходами, п(ы) —матрица откликов на единичный
импульс и \qq — матричная ковариационная функция входов.
Взяв преобразования Фурье от A1.4.23), получаем оценочные
уравнения для частотных характеристик
Г(,+*,@ = Г„(ПН(,+к)(а k=\,2,...,r. A1.4.25)
Как и A1.4.23), уравнения A1.4.25) можно записать в виде одного
матричного уравнения
r,rtf) = r,,(/)H'tf). A1.4.26)
Спектральная матрица остаточных ошибок. Кроме оценивания
матрицы частотных характеристик, нужно еще охарактеризовать
свойства шума. Для этой цели вычисляется спектральная матрица
Fzz остаточных ошибок, или шума, элементами которой служат
авто- и взаимные спектры Тш(!) процессов Zk(t) и Zb(t). Действуя
так же, как и в разд. 11.3.4, находим корреляционные функции
(")- J
- \»
(q + k)q*
A1.4.27)
Взяв преобразования Фурье от A1.4.27), получаем авто- и взаим-
взаимные спектры
^ZkZt if) = r(G + fc) (q + l) (f) — H{q + k) 1 (f) ГG + 0 l (f) — ...
••• -H(q+k)q(f)T{q+l)q(f). (Ц.4.28)
Равенства A1.4.28) можно объединить в одно матричное равен-
равенство
r'zz(f) = Г(„+г) (,+г) (/) - Н (f) Г;г (/), A1.4.29)
Отметим, что с помощью равенства A1.4.29) можно вычислить
спектральную матрицу остаточного шума, если известны матрица
частотных характеристик Н(/), теоретическая спектральная матри-
матрица T(q+r)(q+r)(f) всех переменных и теоретическая спектральная
матрица взаимных корреляций входов и выходов rqr(f). Соответ-
Соответствующая задача оценивания рассматривается в разд. 11.4.6.
Многомерный спектральный анализ
261
11.4.5. Оценивание многомерных спектров
В разд. 11.4.2 п 11.4.3 было показано, как вычислить спектры
множественной и частной когерентностей, зная авто- и взаимные
спектры входов и выходов. В этом разделе мы рассмотрим задачу
оценивания этих спектров по записям конечной длины. Метод пред-
представляет собой непосредственное обобщение метода, использован-
использованного в разд. 9.3.1. Поэтому детали будут опущены.
Оценивание множественной когерентности. По определению
A1.4.11) квадрат множественной когерентности выражается через
авто- и взаимные спектры. Случайная величина, соответствующая
выборочной оценке множественной когерентности, получается при
замене теоретических спектров их сглаженными оценками. Напри-
Например, при q — 2 сглаженная оценка множественной когерентности
равна
771 /гч _ С22 | С1312 + Сц | С2з I2 — 2Re [Ci2C23C3i]
A14 30)
где
Re [C12C23C31] —
Так как оценка A1.4.30) является функцией от оценок авто- и
взаимных спектров, ее дисперсию можно вычислить с помощью
метода разд. 3.2.5 и формулы (П9.1.28). В результате получим
A1.4.31)
Действуя так же, как и в разд. 9.2.2, находим окончательный
результат
что совпадает с формулой (9.2.19) для дисперсии оценки обычной
когерентности ](\2t В разд. 11.4.6 мы выведем для д|12 подходящее,
распределение, рассматривая задачу оценивания множественной
когерентности как задачу множественной регрессии в частотной
области.
Оценивание частной когерентности и частной фазы. Сглажен-
Сглаженные оценки спектров взаимной частной когерентности и фазы по-
получаются при подстановке в A1.4.17) вместо теоретических спек-
спектров их сглаженных оценок и последующем взятии квадрата мо-
модуля и аргумента. Например, при q = 2 сглаженные оценки двух
262
Глава 11
частных когерентностей можно получить, подставляя сглаженную
оценку множественной когерентности д^|2 в A1.4.18):
1 — /Сзз 11 =
\312
— Kl3\2 =
\-К
A1.4.32)
312
Аналогично получаем сглаженные оценки спектров частной фазы
A1.4.33)
(ц.4.34)
Fia12 = arctg [ fl"g" ~ S12-23 ~ g'3?2
\ I I Л П П I Г
12^23 "г V12V23 ~ ^13^2
= arctg [Mi±|ifclMn|.
L ^12'-3 ~ V12V13 ~ ^23 L 11 J
11.4.6. Оценивание многомерных частотных характеристик
В этом разделе мы покажем, как оценить частотные характе-
характеристики модели A1.4.1) и вывести доверительные области для
функций усиления и фазы. Эти результаты будут получены с по-
помощью простого распространения результатов разд. 10.3.3 на мно-
многомерный случай.
Выборочные оценки, получаемые из выборочных спектров.
Рассмотрим, как мы это делали и раньше, случайную функцию,
являющуюся преобразованием Фурье от отрезка случайного про-
процесса:
г
Взяв преобразование Фурье от A1.4.1) и предполагая, что функ-
функции отклика на единичный импульс /z(9+i)j(«) убывают почти до
нуля за достаточно малое по сравнению с длиной записи время,
найдем преобразование Фурье от выхода
A1.4.35)
Как и в разд. 10.3.1, оценки наименьших квадратов для функций
отклика на единичный импульс можно получить, заменяя в A1.4.7)
теоретические авто- и взаимные корреляции на их оценки. В ре-
результате получим
= { Cqq(u-v)h{q+l)(v)dv, -
A1.4.36)
Многомерный спектральный анализ
263
Взяв преобразование Фурье от A1.4.36), найдем оценочные урав-
уравнения в частотной области
= Cqq(f)ii(q+l)(f).
A1.4.37)
Если в A1.4.37) заменить оценки спектров их теоретическими зна-
значениями, то получатся уравнения A1.4.8).
Случайная оценка, соответствующая выборочному спектру ос-
остаточных ошибок. Действуя так же, как и в разд. 10.3.2, получаем
случайную оценку, соответствующую выборочному спектру оста-
остаточных ошибок
¦•¦ +Xq(f)[H{q+i)q(f)-H{q+i)Q(f)]f. A1.4.38^
Выборочный спектр остаточных ошибок имеет аналогичный вид
Czz{f) =
I — #(«7+l)
-H
(f)C(
q + l)q(f)>
или
A1.4.39)
i2...,(/)J- A1.4.40)
Равенства A1.4.39) и A1.4.40) являются соответственно аналога-
аналогами равенств A1.4.9) и A1.4.10). Однако, как отмечалось в
разд. 10.3.2, Сгг (/) тождественно равно нулю, так как выбороч-
выборочный коэффициент когерентности тождественно равен единице.
Вследствие этого, а также из-за того, что дисперсии этих оценок
не убывают с увеличением длины записи, нужно применить сгла-
сглаживание.
Сглаженные оценки наименьших квадратов. Уравнения для
сглаженных оценок частотных характеристик получаются при за-
замене спектральных оценок в A1.4.37) на соответствующие сгла-
сглаженные оценки. Аналогичным образом получаются из A1.4.39)
или из A1.4.40) сглаженные спектральные оценки остаточных
ошибок.
Критерий отличия множественной когерентности от нуля.
Предположим, что в A1.4.38) Hiq+i)k = 0, k = 1, 2, ..., q. Тогда
процессы на выходе совпадают с соответствующими шумами. Ис-
Используя A1.4.40), можно написать разложение A1.4.38), но для
сглаженных оценок:
(Л
(Л
(q + l) i!)
Г(G+1) (<?+1) (Л
vC,
Т?2
(Л
A1.4.41)
264
Глава 11
Равенство A1.4.41) показывает, что случайная величина в левой
части, имеющая ^-распределение с v степенями свободы, разла-
разлагается на две %2-величины с (v — 2q) и 2q степенями свободы со-
соответственно. Отсюда случайная величина
12 ... q
V-2.
A1.4.42)
распределена как F2g,v~2q- Как показано в разд. 10.3.2 для случая
q = 2, формулу A1.4.42) можно использовать для критерия отли-
отличия множественной когерентности от нуля.
Доверительные интервалы для функций усиления и фазы.
Чтобы проиллюстрировать общий метод, рассмотрим случай, ко-
когда имеются два входа, т. е. q = 2. Тогда, опуская аргумент /, ва-
вариант формулы A1.4.38) для сглаженных оценок можно записать
в виде
ZZ ~ Z Z
I 1 31 I
22 | "" 32 2
21 С1211 (Я31 - Я31) (Я32 - Я32) |. A1.4.43)
Действуя так же, как и в разд. 10.3.4, получим из A1.4.43) сов-
совместную доверительную область для G3i, G32, Ф31 и ф3г:
С„ [Яз. - Я3, |2 + С221 Я32 - Я321? + 2 | С,„ 11 (Я3, - Я31) (Я32 - Я32) |
(П.4.44)
По-видимому, не существует простого способа записать эту об-
область в виде отдельных областей для спектров усиления и фазы.
Однако иногда бывает полезным грубое приближение этой обла-
области, состоящее в том, что левая часть в A1.4.44) заменяется ее
нижней границей
Си I Я31 - Я31 14- С221 Я32 - Я3212
Это приближение эквивалентно тому, что мы пренебрегаем кова-
риациями членов, образующих #3i(f) и Я32(/), и поэтому полу-
получаются независимые доверительные области для G3i, Ф31 и для
G32, фз2- Применяя к полученной области дальнейшее приближе-
приближение, которое мы уже совершали в разд. 10.3.4, находим отдельные
Многомерный спектральный анализ
265
доверительные интервалы:
I G31 — G31 K&1,
— ^
32 I
Sin фэо — I
k2 = -——~f - (\-a)
1 v-4 С„ 4'v 4V
A1.4.45)
fti-
v-4 C2
Отметим, что этими интервалами можно пользоваться лишь для
очень грубой ориентировки, так как они могут давать ошибочные
значения при наличии сильной корреляции оценок двух частотных
характеристик.
Смещение и выравнивание. Как показано в гл. 9 и 10, если
ряды не выравнены, то при оценивании взаимных спектров по-
появляется заметное смещение, которое переходит в оценки функ-
функций усиления и фазы. Это смещение сведется к минимуму, если
все входные ряды выравнять по отношению к выходному ряду по
модели A1.4.1). Приближение распределения величин, встречаю-
встречающихся в спектральном анализе, с помощью %2-распределения до-
допустимо лишь в том случае, когда произведено выравнивание.
11.4.7. Оценивание многомерных частотных характеристик
В данном разделе кратко описывается оценивание матриц ча-
частотных характеристик модели A1.4.21).
Оценочные уравнения. Оценочные уравнения можно получить
из A1.4.26), заменяя там спектры на их сглаженные оценки. В ре-
результате получим
С,Г(/) = С„(/)Н'(/)- A1.4.46)
Например, при q = 2 имеются две пары оценочных уравнений:
A1.4.47)
Оценивание спектральной матрицы остаточных ошибок. Эле-
Элементы спектральной матрицы остаточных ошибок получаются при
266
Глава 11
подстановке в A1.4.28) сглаженных оценок. Таким образом, для
взаимного снектра процессов Zh(t) и Zt(t) получаем оценку
Z[ (f) = C
(f) — H{q + k) 1 (f)C(q + l) 1 (f) — ...
.. -H{q+k)q(f)Ciq+l)q(f).
аналогом
Равенство A1.4.49) является частотным
A1.3.27).
A1.4.49)
равенства
Доверительные интервалы. Получить из неравенства A1.3.31)
отдельные доверительные области для функций усиления и фазы
нелегко. Для практических целей часто достаточно рассмотреть
по отдельности каждое из соотношений A1.4.21) и получить до-
доверительные интервалы способом, описанным в разд. 11.4.6.
11.5. ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ МНОГОМЕРНОГО
СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В этом разделе приводится краткая сводка формул, необходи-
необходимых для оценивания двумерных частотных характеристик. В разд.
11.5.2 кратко изложены стадии, из которых состоит практическая
методика оценивания этих функций. Наконец, в разд. 11.5.3 про-
проводится оценивание частотных характеристик реальной системы,
имеющей два входа и два выхода (система описывает работу тур-
турбогенератора) .
11.5.1. Формулы дискретного оценивания
Уравнения, описывающие дискретную систему, имеют вид
= 2j
1 = 0
2j
1=0
Zit.
/=o i=o
Для этой системы получаются следующие дискретные оценочные
уравнения:
Clk(f) = Hkl(f)Cu(f) + Hk2(f)Cl2{f),
при k — 3, 4 и
/=1,2.
Опуская аргумент f, выборочные оценки можно записать в сле-
следующем виде.
Многомерный спектральный анализ
= 3, 4,
где
QikC
L2kC\
Q2^o
D
22 - Q2kLu ~
D
! ~ QlkQl2 ~
D
\i-QikLn +
r,
2feQl2
klX2
feQl2
D=CnC22-|C12|2.
Выборочные оценки когерентности
Квадраты спектров когерентности
1= 1, 2, Л = 3, 4.
Квадраты спектров множественной когерентности
'22(Mfe-
[С22 {L\k + Q]k)
CkkD
где
R — Ll2L2kL
l2L2kLlk
267
Выборочные оценки функций усиления и фазы
Квадраты спектров частной когерентности
/С|,, m = 1 - j——^-, т=1,2 =
Спектры остаточных ошибок
Логическая схема программы MULTSPEC, выполняющей все
эти вычисления, приведена в приложении П11.2.
268
Глава 11
Многомерный спектральный анализ
269
11.5.2. Практическая методика оценивания
многомерных спектров
Стадии оценивания многомерных частотных характеристик
очень похожи на соответствующие стадии оценивания взаимных
спектров (разд. 9.4.2) и частотной характеристики системы с од-
одним входом и одним выходом (разд. 10.4.1). Поэтому мы опишем
здесь эти стадии лишь очень кратко.
1. Стадия предварительных решений. Как и в разд. 9.4.2, дан-
данные наносятся на график и просматриваются с целью обнаружить
очевидные тренды, а также для решения вопроса о том, следует
или нет расфильтровывать процесс на несколько компонент. Вы-
Выбирается максимальное запаздывание для вычисления автокова-
автоковариационных и автокорреляционных функций.
2. Первая стадия вычислений. Вычисляются и наносятся на гра-
график авто- и взаимные корреляции исходных данных и их первых
разностей. Графики автокорреляций проверяются, чтобы обнару-
обнаружить отличия в затухании корреляций исходных данных и их раз-
разностей. Если такое отличие есть, то необходимо избавиться от
трендов. Находятся пики взаимных корреляций.
3. Стадия промежуточных решений. Решается вопрос о том,
использовать исходные данные или их первые разности. Опреде-
Определяются величины сдвигов для выравнивания и выбираются три
значения точки отсечения для последующих вычислений спектров.
4. Вторая стадия вычислений. Вычисляются спектры и для ка-
каждого из них на одном и том же рисунке строятся три варианта,
соответствующие выбранным точкам отсечения.
5. Стадия интерпретации. Производится анализ и интерпрета-
интерпретация графиков и с помощью полученной информации решается
вопрос о необходимости дополнительного спектрального анализа.
11.5.3. Анализ данных о турбогенераторе
Описываемые ниже данные были проанализированы ранее в [3].
Они получены с работавшего в обычном режиме 50-мегаваттного
турбогенератора, действовавшего параллельно с объединенной си-
системой, имевшей мощность примерно 5000 Мет. Турбогенератор
можно рассматривать как изображенную на рис. 8.1 систему с дву-
двумя входами и двумя выходами. Входными переменными являются
синфазная (или активная) мощность и сдвинутая по фазе (или
реактивная) мощность, измеряющая нагрузку на турбогенератор
со стороны энергетической системы. Выходными переменными
являются амплитуда и частота напряжения, создаваемого на клем-
клеммах турбогенератора. Знание передаточных функций, связываю-
связывающих эти переменные, очень важно при конструировании систем
регулирования, в особенности для распределения нагрузки и ча-
частоты.
Делая замену переменных, можно вместо синфазной и сдвину-
сдвинутой по фазе мощностей использовать соответствующие токи. По-
Поэтому измерялись следующие переменные: отклонения синфазного
и сдвинутого по фазе токов от их номинальных значений и соот-
соответствующие им отклонения амплитуды и частоты напряжения
от их номинальных значений. Отсчеты токов и напряжения бра-
брались 8 раз в 1 сек, в результате чего получилось 4808 значений,
а частота измерялась 2 раза в 1 сек, что дало 1202 значения.
Линеаризация системы теоретических уравнений [2] показала,
что турбогенератор приближенно можно рассматривать как линей-
линейную двумерную систему, входами которой являются отклонения
синфазного и сдвинутого по фазе токов, а выходами — соответ-
соответствующие им отклонения амплитуды и частоты напряжения. В обо-
обозначениях разд. 11.4.4 xx(t) —синфазный ток, x2(t) —сдвинутый
по фазе ток, x3(t) —выходное напряжение и x^{t) —частота на-
напряжения на выходе.
Анализ аналогичных данных от этой же самой системы [2] по-
показал, что токи и напряжения почти не несут мощности в диапа-
диапазоне частот выше 2,5 гц, а изменения частоты на выходе очень
малы в диапазоне выше 0,8 гц. Поэтому было решено отфильтро-
отфильтровать записи токов и напряжения с помощью цифрового фильтра
с передаточной функцией
Я (г) = [у (г3 + г2 + г + 1 + г + z~2 + z~3)]4.
Частотная характеристика этого фильтра равна
Фильтр является низкочастотным, причем мощностью, которую он
пропускает на частотах выше 0,75 гц, можно пренебречь. Поэтому
отсчет отфильтрованных данных производился лишь 2 раза в се-
секунду. Затем были подвергнуты анализу первые 1000 значений
отфильтрованных токов и напряжения, а также частоты, причем
анализ проводился по стадиям, описанным в разд. 11.5.2.
/. Стадия предварительных решений. Графики данных, приве-
приведенные на рис. 11.1, проверялись с целью обнаружить тренды
или другие нежелательные особенности. Не было замечено ника-
никаких явных трендов, но тем не менее из-за большого количества
наблюдений можно было ожидать, что некоторые тренды все же
существуют. Первоначально в качестве максимального запаздыва-
запаздывания было выбрано 125.
2. Первая стадия вычислений. Были вычислены авто- и взаим-
взаимные ковариации исходных данных и их первых разностей и по-
построены графики корреляционных функций.
270
Глава 11
3. Стадия промежуточных решений. Автокорреляционные функ-
функции rn(k) и гц(к) синфазного тока и частоты почти не обнару-
обнаруживали трендов и имели довольно сильные осцилляции с часто-
частотой примерно 0,06—0,08 гц. Наоборот, автокорреляционные функ-
Рис. 11.2. Взаимная корреляционная функция входных токов.
ции сдвинутого по фазе тока и напряжения г22(&) и r33(k) имеют
незначительные осцилляции и значительный тренд.
Взаимная корреляционная функция r\2{k) показана на рис. 11.2,
r\z{k) и г2з(к) —на рис. 11.3 и rH(k) и г24(й) —на рис. 11.4. Эти
.--*
Рис. 11.3. Взаимные корреляционные функции токов и напряжения.
рисунки еще раз подтверждают наличие трендов и, следователь-
следовательно, необходимость использования первых разностей от данных.
Первоначально были выбраны значения точек отсечения 32, 48 и
64, так как казалось, что этих значений достаточно для выявле-
выявления пиков, существование которых можно было предвидеть по
осциллирующему поведению некоторых корреляционных функций.
Исходя из положения максимумов взаимных корреляций, были
Многомерный спектральный анализ
271
выбраны следующие параметры сдвигов для выравнивания: 5J =
= -2, 513 = О, S23 = 2, Su = 3 и 524 = 5.
*
0,8
0,5
синфазный ток
сдвинутый по фазе ток
Рис. 11.4. Взаимные корреляционные функции токов и частоты.
4. Вторая стадия вычислений. Были проведены описанные в
разд. 11.5.1 спектральные вычисления, относящиеся к выравнен-
выравненным рядам, образован-
пым первыми разностями
исходных данных. Затем °'9
были построены графики
спектров.
5. Стадия интерпре-
интерпретации. Поскольку в по-
подобном спектральном
анализе имеется очень о,5
много графиков, мы при-
приведем здесь для обсу-
обсуждения лишь самые важ- цз
ные из них. Для всех
спектров метод стягива-
стягивания окна показал незна- о,г
чительные изменения при
переходе от L = 32 к L =
= 64. Ввиду того что для
анализа использовалось
цг
О 0,25 0,5 0,75 1,0 Г,ец
Рис. 11.5. Спектры когерентности между
токами и частотой.
1000 точек, окончательно
было принято значение L = 32, для которого выборочная оценка
автоспектра имеет 83 степени свободы.
Спектры когерентности. Квадраты спектров когерентности сип-
фазного и сдвинутого по фазе токов показаны на рис. 11.5, а спек-
272
Глава 11
тры множественной и частной когерентностеи этих токов и от-
отклонений частоты на выходе приведены на рис. 11.6.
Эти рисунки показывают, что когерентность между синфазным
током и отклонениями частоты велика в большей части частот-
частотного диапазона. Рис. 11.5 наводит на мысль о том, что когерент-
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,3
0,2
0,1
-
1
¦ U
\ \
-" \у\Х
1
А
Г
II
/
1
\
Ц
о
0,25
0,5
0,75
1,0 f, ец
Рис. 11.6. Спектры множественной и частных когерентностеи между токами
и частотой.
/ — множественная когерентность между токами и частотой, 2 — частная коге-
когерентность между частотой и синфазным током при учете сдвинутого по фазе
тока, 3 — частная когерентность между частотой и сдвинутым по фазе током
при учете синфазного тока.
ность сдвинутого по фазе тока и отклонений частоты также ве-
велика. Однако показанный на рис. 11.6 спектр частной когерент-
когерентности между отклонениями частоты и сдвинутым по фазе током
принимает очень малые значения. Это указывает на то, что высо-
высокая когерентность сдвинутого по фазе тока и отклонений частоты
обусловлена не их прямой связью, а очень высокой когерент-
когерентностью между токами. Поэтому следует ожидать, что выборочные
оценки функций усиления и фазы между сдвинутым по фазе то-
током и отклонениями, частоты будут давать мало информации.
О 0,25 О,5 0,75 Г,О$ец
Рис. 11.7. Спектры когерентности между токами и напряжением.
1,0
0,5
0,25
0,5
0,75
Рис. 11.8. Спектры множественной и частных когерентностеи между токами
и напряжением.
/ — множественная когерентность между токами и напряжением, 2 — частная
когерентность между напряжением и синфазным током при учете сдвинутого по
фазе тока, 3 — частная когерентность между напряжением и сдвинутым по фазе
током при учете синфазного тока.
274
Глава 11
Квадраты спектров когерентности, множественной когерент-
когерентности и частной когерентности между двумя токами и напряже-
напряжениями на выходе показаны на рис. 11.7 и 11.8. Значения когерент-
когерентности между синфазным током и напряжением на выходе отно-
05-
аз
0,2
0,1
0,05
0,1
J I U
0,001
0,01
0,1 0,2 0,40,6
1,0 Г,гц
Рис. 11.9. Функция усиления между синфазным током и частотой.
сительно велики вплоть до 0,5 гц, где они начинают уменьшаться
и затем снова возрастают на частоте 0,7 гц. Очень высокие значе-
значения когерентности за частотой 0,75 гц, по-видимому, ложные и не
считаются надежными из-за очень малой мощности на этих ча-
0,01
0,8
I
0,001 0,01 0,1 0,2 Q4Q6 1,0 f, гц
Рис. 11.10. Функция усиления между сдвинутым по фазе током и частотой.
стотах. Значения когерентности между сдвинутым по фазе током
и напряжением, как правило, меньше, причем большие значения
лежат вблизи нуля и в диапазоне от 0,25 до 0,5 гц. Как и раньше,
очень большие значения когерентности для частот больше 0,75 гц,
по-видимому, являются ложными.
Многомерный спектральный анализ
275
Функции усиления. На рис. 11.9—11.12 показаны четыре функ-
функции усиления. Функция усиления между синфазным током и от-
отклонениями частоты приведена на рис. 11.9. Она имеет пик при-
приблизительно на частоте 0,12 гц, от которого убывает с наклоном
\
0,001 0,01 0,1 0,2 0,4 08
Рис. 11.11. Функция усиления между синфазным током и напряжением.
примерно 2:1 в логарифмическом масштабе, что наводит на
мысль о том, что система имеет второй порядок. Фактор затуха-
затухания системы, полученный с помощью отношения максимального
значения функции усиления к ее значению на нулевой частоте,
о,*
аз
0,2
0,1
О.О8
0,06
0,04
0,05
0,001 0,01 0,1 0,2 0,40,61,0 f, ей
Рис. 11.12. Функция усиления между сдвинутым по фазе током и напряжением.
равен приблизительно 0,2. Функция усиления между сдвинутым по
фазе током и отклонениями частоты показана на рис. 11.10. Она
ведет себя крайне неустойчиво, что можно было предвидеть по
спектру частной когерентности. Можно сделать вывод, что сдви-
сдвинутый по фазе ток и отклонения частоты, по-видимому, не свя-
связаны линейным соотношением.
276
Глава 11
Функции усиления между каждым из двух токов и напряже-
напряжением похожи на упомянутые выше, но их пики выражены не столь
четко. Так, показанная на рис. 11.11 функция усиления между
синфазным током и напряжением имеет небольшой уплощенный
1,Of,eu
'720
Рис. П.13. Фазовая функция между синфазным током и частотой.
пик на частоте около 0,025 гц, от которого она убывает с накло-
наклоном 2 : 1 в логарифмическом масштабе, что говорит о том, что си-
система имеет небольшие осцилляции, усиление имеет завал на ча-
частоте около 0,05 гц и фактор затухания равен 0,6. Принимая во
внимание поведение функции усиления между сдвинутым по фазе
Рис. 11.14. Фазовая функция между сдвинутым по фазе током и частотой.
током и напряжением, можно предложить систему третьего по-
порядка, составленную из системы первого порядка с постоянной
времени 20 сек, и системы второго порядка с точкой завала около
0,04 гц и фактором затухания 0,5. В этом анализе мы не прини-
принимали во внимание значения функций усиления на частотах выше
0,1 гц из-за малой мощности входных токов в этом диапазоне.
Многомерный спектральный анализ
277
Фазовые спектры. При интерпретации фазовых спектров, сосчи-
сосчитанных по выравненным рядам, возникают трудности, поскольку
в формулы для вычисления фаз входят взаимные корреляции, со-
1,0 Г.ец
Рис. 11.15. Фазовая функция между синфазным током и напряжением.
считанные при разных сдвигах. Чтобы обойти эту трудность, мы
вычислили фазовые спектры без применения выравнивания. Они
показаны на рис. 11.13—11.16. Поскольку смещение фазовых спек-
0
-зво
-720
•1080
-HW
""Ч 0,25
x
N—.
¦
0,5
0,75
ч
1,0 f,an
Рис. П.16. Фазовая функция между сдвинутым по фазе током и напряжением.
тров, обусловленное тем, что выравнивание не применяется, не
столь велико, как смещение спектров усиления, мы считали, что
при этом не возникнет серьезных ошибок.
11.5.4. РЕЗЮМЕ
Результаты спектрального анализа данных о работе турбоге-
турбогенератора удобно представить в виде частотных характеристик,
полученных из графиков функций усиления и фазы.
Частотная характеристика между синфазным током и напря-
напряжением. Из рис. 11.11 и 11.15 находим выборочную оценку #3i(/)
частотной характеристики H3\(f).
~ , 0,55
1 U)— 1 + у48/ — 1600/2 '
278
Глава И
Эта характеристика соответствует системе второго порядка с фак-
фактором затухания 0,6, резонансной частотой 0,025 гц, усилением
на нулевой частоте 0,55 и нулевой задержкой.
Частотная характеристика между синфазным током и откло-
отклонениями частоты. Из рис. 11.9 и 11.13 находим
-2 '
1 v/; 1+/3,3/-70/
т. е. соответствующая система имеет второй порядок, фактор зату-
затухания равен 0,2, резонансная частота 0,12 гц, усиление на нуле-
нулевой частоте 0,26 и задержка равна двум интервалам отсчета, т. е.
1 сек.
Частотная характеристика между сдвинутым по фазе током и
напряжением. Из рис. 11.12 и 11.16 находим
1 + /25/ - 625/2) "
Соответствующая система составлена из системы второго порядка
с фактором затухания 0,5, резонансной частотой 0,04 гц, усиле-
усилением на нулевой частоте 0,22 и задержкой 1,5 сек и системы пер-
первого порядка с постоянной времени 20 сек.
Следует подчеркнуть, что графическое оценивание параметров
этих систем, которым мы пользовались, не очень эффективно. По-
Поэтому полученные таким путем модели следует рассматривать как
пробные модели, которые затем, если потребуется, нужно тща-
тщательнее подогнать к данным с помощью параметрических мето-
методов. Примеры подобных методов мы проиллюстрировали в гл. 5.
Впрочем, для многих задач регулирования достаточно графиков
функций усиления и фазы, приведенных на рис. 11.9—11.16.
ЛИТЕРАТУРА
1. Anderson T. W., Introduction to Multivariate Statistical Analysis, John Wi-
Wiley, New York, 1958. (Русский перевод: Т. Андерсон, Введение в много-
многомерный статистический анализ, Физматгиз, М., 1963.)
2. Stanton К. N., Estimation of turbo-alternator transfer functions using nor-
normal operating data, Proc. Inst. Electr. Engrs., 112, 9, 1713 A965).
3. Stanton K. N., Measurement of turbo-alternator transfer functions using nor-
normal operating data, Proc. Inst. Electr. Engrs., 110, 11, 2001 A963).
ПРИЛОЖЕНИЕ П11.1
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ВЕКТОРЫ
Собственные значения >»,-, i = 1, ..., N, и соответствующие
правосторонние собственные векторы г{ матрицы А по определе-
определению должны удовлетворять уравнению
Аг, = Л,г,. (П11.1.1)
Уравнения (П11.1.1) можно записать в скалярной форме:
ацгн + ax2r2i + ... +alNrNi =Кггп,
a2lrH + a22rn + ... + a2NrNi = ^г21,
Геометрически (П11.1.1) означает, что в Л^-мерном векторном про-
пространстве векторы г,-, i=l, ..., N, инвариантны при линейном
преобразовании А. Инвариантным правосторонним векторам Tj со-
соответствует двойственная, или сопряженная, система векторов 1,,
удовлетворяющих левосторонним уравнениям
\'t\ = U'i. (ПИ. 1.2)
Можно показать, что левосторонние векторы ортогональны к пра-
правосторонним. Умножая справа (П 11.1.2) на г,-, получаем
Отсюда с помощью (П 11.1.1)
Предполагая, что собственные значения различны, отсюда полу-
получаем
При соответствующей нормировке векторов будем иметь
Vr — 1
liri — L>
1?г. = 0, если 1ф],
если / = /.
280
Глава 11
т. е. правосторонние и левосторонние векторы ортонормальны.
Если собственные векторы объединить в матрицы L и R
L = (li, 12, ..., lN) и R = (r,, ..., rN),
у которых столбцы образованы соответственно левосторонними и
правосторонними векторами матрицы А, то приведенные выше
условия ортонормальности можно записать в виде
LR = I, (ПИ.1.3)
где I — единичная матрица, имеющая на главной диагонали еди-
единицы, а на остальных местах нули.
Симметричные матрицы. Матрица ковариаций набора действи-
действительных случайных величин действительна и симметрична. По-
Поэтому ее собственные значения действительны, собственные век-
векторы ортогональны и, следовательно, матрицы L и R являются
ортогональными. Из последнего свойства следует, что различные
векторы, инвариантные при преобразовании, ортогональны. Чтобы
показать это, удобно записать равенства @11.1.1) и (П11.1.2)
в матричной форме
RA, (ПИ.1.4)
где Л — диагональная матрица,'образованная собственными зна-
значениями. Аналогично,
1/А = Л1/. (ПИ. 1.5)
Транспонируя матрицы в (ПИ.1.5) и пользуясь тем, что А' = А и
L/ = L, получаем
AL' = L/A.
Сравнивая это равенство с (ПИ.1.4), находим
R = L',
и (ПИ.1.3) переходит в
LL' = I = R'R, (Ш 1,1.6)
т. е. собственные векторы ортогональны. Отсюда, умножая
(П11.1.4) слева на R', получаем
R'AR = R'RA = A. (ПИ.1.7)
Геометрический смысл равенства (П 11.1.7) для симметричной А
состоит в том, что квадратичная форма
у'Ау = С (ПИ.1.8)
задает в многомерном пространстве поверхность эллипсоида,оси
которого проходят через начало координат. После преобразования
y = Rx (ПИ.1.9)
Многомерный спектральный анализ
281
равенство (П.11.1.8) переходите
x'R'ARx = C,
т. е.
х'Лх = С
или
V
ff = с-
Следовательно, эллипсоид преобразуется к каноническому виду
с помощью преобразования (ПИ. 1.9), а собственные значения
равны квадратам обратных длин главных осей эллипсоида.
ПРИЛОЖЕНИЕ П11.2
ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ
МНОГОМЕРНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Ниже приводится логическая схема вычислительной программы
MULTSPEC, входными данными для которой служат выборочные
оценки ковариаций двух входных рядов XI (t), X2(t) и двух вы-
выходных рядов X3(t), X4(t). Программа вычисляет частотные ха-
характеристики #31, #32, #41, #42, связывающие эти ряды. Преду-
Предусмотрен вывод на печать основных функций, но более важными
являются графики этих функций. Вывод на график состоит из всех
автоспектров (в логарифмическом масштабе, в зависимости от
частоты); обоих спектров остаточных ошибок (в логарифмическом
масштабе, в зависимости от частоты); квадратов спектров всех
полных и частных когерентностей и графиков всех функций усиле-
усиления и фазы, причем для каждого спектра на одном рисунке
строятся графики, соответствующие всем выбранным точкам от-
отсечения.
Программа MULTSPEC
1) Ввести N, MAXM, NF, DELTA, M.
2) Ввести COV(K, I, I), К = О, МАХМ, 1 = 1,2.
3) Вычислить автоспектры SPEC (К, I), К = 0, NF, I = 1, 2 с по-
помощью подпрограммы AUTOSPEC (приложение П7.1).
4) Произвести считывание массива COV(K, 3, 3), К = 0, МАХМ.
5) Вычислить SPEC (К, 3) с помощью подпрограммы AUTOSPEC.
6) Произвести считывание массивов
COV(K, 1,2), COV(K,2, 1), К = 0, МАХМ, со сдвигом S12,
COV(K, 1,3), COV(K, 3, 1), К = 0, МАХМ, со сдвигом S13,
COV(K, 2,3), COV(K, 3, 2), К = 0, МАХМ, со сдвигом S23.
7) Воспользоваться подпрограммой EVOD (Приложение П9.2)
для вычисления четных и нечетных частей.
282
Глава 11
8) Вызвать подпрограмму CROSPEC (Приложение П9.2) для вы-
вычисления
COSPEC(K, 1,2), QSPEC(K, 1,2), SQ(K, 1,2),
COSPEC(K, 1, 3), QSPEC(K, 1, 3), SQ(K, 1, 3),
COSPEC(K, 2, 3), QSPEC(K, 2, 3), SQ(K, 2, 3).
9) Вычислить DENOM(K) = SPEC(K, 1)* SPEC(K, 2) —
SQ(K, 1,2).
10) Вызвать подпрограмму ENDALL.
11) Запомнить для последующего вывода па график все те вели-
чипы, выдаваемые подпрограммой ENDALL, которые отмече-
отмечены звездочкой на полях.
12) Произвести считывание COV(K, 4, 4), К = 0, МАХМ.
13) Вычислить с помощью подпрограммы AUTOSPEC величины
SPEC (К, 4).
14) Произвести считывание
COV(K, 1, 4), COV(K, 4, 1), К = 0, МАХМ, со сдвигом S14,
COV(K, 2, 4), COV(K, 4, 2), К = 0, МАХМ, со сдвигом S24.
Повторить пупкты 7—11, затем произвести считывапие
другого зпачения М и воспользоваться хранящимися в па-
памяти автоковариациями, а также четными и нечетными ча-
частями взаимных ковариаций для вычисления с помощью под-
подпрограмм AUTOSPEC, CROSPEC и ENDALL функций уси-
усиления, фазы, квадратов спектров когерентностей и спектров
остаточных ошибок. После того как все выбранные значе-
значения М использованы, построить и расположить все логариф-
логарифмические спектры, все фазовые спектры и квадраты спектров
когерентностей в зависимости от частоты, а все логарифмы
функций усиления в зависимости от логарифма частоты.
Подпрограмма ENDALL
Эта подпрограмма вычисляет функции усиления и фазы, пол-
полные и частные когерентности и спектры остаточных ошибок. Если
опустить индекс К, то формулы для вычислений будут выглядеть
следующим образом:
A31=COSPECA, 3)*SPECB) + QSPECB, 3) * QSPEC A, 2) -
-COSPECB, 3)* COS PEC A,2).
SQA31=A31 *Д31.
B31 =QSPEC(l,3)*SPECB)-QSPECB,3)*CbSPEC(l,2) -
-COSPECB, 3)* QSPEC A,2).
SQB31 =B31 *B31.
* PHASE31=ARCTAN(-B31/A31).
GAIN 31 = SQRT(SQA31 + SQB31)/DENOM.
Многомерный спектральный анализ
283
LOGGN31 =LOG 10(GAIN31).
A32 = COSPECB,3)«.SPECA)-COSPECA,2)*COSPECA,3)-
-QSPECA,2)*QSPECA,3).
SQA32 = A32*A32.
В 32 = QSPEC B, 3)* SPEC (l)-COSPEC A,2)* QSPEC A, 3)+
+ COSPECA,2)*QSPECA,3).
SQB32 = B32*B32.
PHASE 32 = ARCTAN (- В 32/А 32).
GAIN32 = SQRT(SQA32 + SQB32)/DENOM.
LOGGN 32 = LOG 10 (GAIN 32).
COHSQU, 3) = SQA, 3)/(SPEC(l)*SPECC)).
COHSQ B, 3) = SQ B, 3)/(SPEC B) * SPEC C)).
R = COSPEC A, 2) * COSPEC B, 3) * COSPEC A, 3) +
+ COSPECA,2)*QSPECB, 3) * QSPEC A,3) -
- QSPEC A, 2) * QSPEC B, 3) * COSPEC A, 3) +
+ QSPECA, 2)*QSPECA, 3)*COSPECB, 3).
COHSQ = (SPEC B) *SQA, 3) + SPEC(l) * SQ B, 3) -
COMP = 1 - COHSQ. - 2- * R)/(SPEC <3> * DEN0M)-
RESID = COMP * SPEC C).
LOGRESID = LOG lO(RESID).
СОН 132 = 1 - (COMP/A - COHSQ B, 3))).
СОН 231 = 1 - (СОМРД1 - COHSQ A, 3))).
ПРИЛОЖЕНИЕ П11.3
ДАННЫЕ ДЛЯ ПРИМЕРА С ТУРБОГЕНЕРАТОРОМ
Таблица ПИ.1.1
100 значений из данных турбогенератора в условных величинах
0,92
0,89
0,60
0,65
1,09
0,73
0,33
0,47
0,47
0,72
0,40
0,19
0,95
0,85
0,55
0,69
1,10
0,60
0,33
0,44
0,46
0,72
0,28
0,99
0,76
0,54
0,74
1,05
0,48
0,34
0,47
0,43
0,68
0,24
1,07
0,65
0,60
0,76
1,04
0,45
0,36
0,52
0,42
0,70
0,26
1,13
0,59
0,62
0,72
1,05
0,44
0,38
0,52
0,46
0,77
0,21
1,16
0,59
0,54
0,69
1,03
0,37
0,41
0,50
0,52
0,75
0,16
1,15
0,58
0,50
0,71
1,00
0,30
0,46
0,50
0,58
0,64
0,18
1,08
0,58
0,58
0,81
0,92
0,27
0,50
0,49
0,61
0,56
0,19
0,97
0,60
0,65
0,96
0,81
0,30
0,50
0,48
0,66
0,50
0,18
Отклонения синфазного тока
Продолжение табл. П11.1'.
УКАЗАТЕЛЬ
-0,75
-0,14
0,87
1,18
0,81
0,77
1,54
0,89
0,86
0,79
0,38
0,36
-2,11
-2,30
-2,22
-2,25
-2,33
-2,32
-2,26
-2,10
-2,14
-2,28
-1,98
-1,77
4,75
4,81
5,10
5,09
5,00
4,88
5,20
5,10
5,10
5,11
4,96
5,16
-0,32
-0,02
0,91
0,96
0,67
0,80
1,64
0,99
0,79
0,67
0,37
-1,04
0,12
0,98
0,64
0,38
0,86
1,60
1,21
0,80
0,53
0,33
-1,01
0,32
1,10
0,60
0,17
1,01
1,46
1,31
0,91
0.44
0,26
-0,83
0,54
1,17
0,80
0,17
1,22
1,41
1,25
1,10
0,43
0,25
-0,64
0,68
1,09
0,84
0,29
1,10
1,41
1,13
1,26
0,39
0,31
-0,55
0,72
1,00
0,68
0,41
1,49
1,39
1,04
1,26
0,32
0,40
-0,46
0,77
1,06
0,63
0,52
1,49
1,26
0,98
1,10
0,29
0,47
Отклонения тока, сдвинутого по фазе
-2,08
-2,25
-2,21
-2,27
-2,32
2,26
-2,25
-2,15
-2,10
-2,26
-1,90
-2,10
-2,21
-2,22
-2,28
-2,25
-2,22
-2,23
-2,23
-2,09
-2,22
-1,83
-2,22
-2,20
-2,25
-2,28
-2,21
-2,23
-2,21
-2,27
-2,14
-2,20
-1,78
-2,39
-2,22
-2,26
-2,26
-2,23
-2,27
-2,23
-2,26
-2,24
-2,20
-1,77
-2,50
-2,21
-2,20
-2,19
-2,28
-2,30
-2,25
-2,22
-2,32
-2,17
-1,78
-2,49
-2,23
-2,15
-2,13
-2,32
-2,30
-2,26
-2,20
-2,34
-2,11
-1,81
-2,43
-2,20
-2,18
-2,15
-2,33
-2,28
-2,22
-2,19
-2,30
-2,07
-1,83
Отклонения напряжения
4,75
4,84
5,10
5,09
5,01
4,90
5,21
5,09
5,15
5,08
4,97
4,74
4,88
5,05
5,06
4,97
5,00
5,20
5,11
5,10
5,05
4,9Э
4,75
4,94
5,00
5,06
4,88
5,11
5,15
5,08
5,10
5,01
5,08
4,75
4,96
5,01
5,04
4,81
5,15
5,15
5,10
5,10
4,90
5,16
4,77
4,99
5,00
5,01
4,81
5,24
5,14
5,10
5,11
4,90
5,21
4,78
5,05
5,00
4,99
4,79
5,20
5,10
5,15
5,11
4,95
5,19
4,76
5,11
5,01
4,97
4,79
5,20
5,11
5,15
5,10
4,94
5,19
Отклонения частоты
-0,31
0,82
1,17
0,74
0,67
1,47
1,04
0,93
0,92
0,34
0,45
-2,37
-2,22
-2,21
-2,25
-2,34
-2,26
-2,14
-2,17
-2,28
-2,05
-1,82
4,81
5,11
5,04
4,99
4,85
5,20
5,10
5,15
5,11
4,90
5,20
Автоковариационные функции 80
Анализ частотных характеристик 203
Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
Взаимные ковариационные функции 80
— — — выборочные 93
— корреляционные функции 81, 90
¦— — — линейного процесса 82
— спектры 98, 103
— — амплитудные 103
— — выборочные 99
— — линейных процессов 107
— — — — двумерных 132
фазовые 106. 138
256
ictot 12
Выборочная коспектральная функция 127
Выборочные характеристики 10
И t |Л^\Г*/"М1 IT Г. I l'j TlT'lHHfTlI I ГГ S* П rtl'Trt 1 OQ I Ql
Выборочные характеристики
Выборочный взаимный спект
Выравнивание 160
Данные ионосферные 71
— об атмосферной турбулентности 55
— о выходе продукции 57
— о газовой печи 216
— о неровностях взлетной полосы 59
— о партиях продукта 39, 44
— радиолокационные 45. 53
— турбогенератора 234, 249, 268, 283
Двумерные временные ряды 77
— — —линейные операции 119
— линейные процессы S5
— процессы авторегрессии н скользящего
среднего 87
Дисперсионный анализ 247
Дисперсия оценок наклона 66
— — сглаженных 140
Доверительные интервалы коэффициентов
когерентности и фазы 16о
— — спектра когерентности 141
— — фазового спектра 142
— — функций усиления и фазы 199, 264
Изучение частотных характеристик 58
Квадрат спектра когерентности 112, 115, 138
— коэффициента когерентности 112
Квадратурный спектр 101, 106
Квантование 8
Ковариации 89
Ковариационная матрица оценок 125, 131
— — — обобщенная 132, 179
— — — сглаженных 137
Ковариация оценок ковариационной фупк
ции 174
Корреляция множественная 243
— частная 245
Коспектр 100, 106
Критерии значимости 198
— корреляции 126
— оптимальности 24
Матрица ковариации действительного про-
процесса 223
— — комплексного процесса 228
— — остаточных ошибок 250
— — оценок 251
— — собственные числа 224
— откликов на единичный импульс 234
— частотных характеристик 235
Матрицы симметричные 280
— тенлицевы 223
второго порядка
Матричная функция ковариационная 230
— — корреляционная 231
Методика оценивания спектров 41
— — — многомерных 268
— — частотных характеристик 202
Метод наименьших квадратов 195
Многомерный анализ во временной области
241
— — в частотной области 253
Моменты выборочного коспектра 124
Наложение частот 36
Оценивание спектров 8, 35
— — взаимных 167
— — — сглаженных 144, 162
— — многомерных 261
— функции отклика па единичный им-
импульс 187, 206
— — усиления и фазы 209
— частотных характеристик 186, 194, 214
— — — методом наименьших квадратов 195
— — — многомерных 262, 265
Планирование анализа взаимных спектров
166
— — спектрального 36
— экспериментов 57
Постпоение моделей 55
Пробный анализ 38
Программа вычислений 64
— CROSSPEC 182
— FRORSP 219
— MULTSPEC 281
Процессы авторегрессии
19, 74
— — двумерные 150
многомерные 239
— — первого порядка 12, 147
— скользящего среднего 210
— смешанные 241
Разрешающая способность 28
Регрессионный анализ 242
Сглаженные оценки взаимных спектров 135
Смещение оценок когерентности 157
— — (Ьазы 161
— — функции усиления 201
Собственные значения 27е*
Спектральная матрица 232
— -— линейного процесса 238
— — остаточных ошибок 260
Спектральное окно Бартлетта 21, 25
— — Парзена 22, 25
— — Тьюки 23, 25, 41
Спектр множественной когерентности 255
Степень искажения 27
Стягивание окна 24, 31
Теорема Слуцкого 49
Устойчивость 27, 29
Утечка 33
Фазовый спектр 129
Формирование окна 24, 33
Формулы взаимных спектров 104
Функции отклика на единичный импульс
206
Цифровые фильтры 48
— — использование 51
— — биномиальные 52
Частный коэффициент корреляции 246