О. А. Олейник, Г. А. Иос,ифьян,
А. С. Шамаев
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ
СИЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ
УПРУГИХ СРЕД
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
1990

УДК 517.9+539.3
Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические
задачи теории сильно неоднородных упругих сред. — М.: Изд-во
МГУ, 1990. — 311 с. — ISBN 5—211—00947—9.
Монография посвящена изучению математических задач теории упругости,
возникающих при рассмотрении процессов, происходящих в композиционных и
перфорированных средах. Основное внимание уделено задачам усреднения
уравнений теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в пер-
перфорированных областях с различными краевыми условиями, нахождению эф-
эффективных характеристик Отдельная глава посвящена вопросу усреднения час-
частот собственных колебаний композитов и перфорированных конструкций
Для математиков, физиков, а также инженеров, изучающих и использую-
использующих композиты и перфорированные конструкции.
Рецензенты: профессор М. И. Вишик,
профессор Б. В. Лидский
В '603040000-118
077@2)-90
ISBN 5—211—00947—9 © Олейник О. А., Иосифьян Г. А.,
Шамаев А. С, 1990 г.

Оглавление
Предисловие •..,.. «
ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ 8
§ 1. Основные функциональные пространства и их свойства. Вспомо-
Вспомогательные предложения 8
§ 2. Неравенства Корна 17
2.1. Первое неравенство Корна 17
2 2 Второе неравенство Корна 18
2 Э. Неравенства Корна для периодических вектор-функций . 24
2 4 Неравенства Корна для звездных областей 25
§ 3. Краевые задачи для стационарной системы линейной теории уп-
упругости 29
3>1. Некоторые свойства коэффициентов системы теории упру-
упругости 29
3 2. Основные краевые задачи теории упругости 31
3 3i. Первая краевая задача (задача Дирихле) 32
3 4 Вторая краевая задача (задача Неймана) 35
3 5 Смешанная краевая задача 36
§ 4. Перфорированные области с периодической структурой. Теоремы
о продолжении . 38
4.1. Основные типы перфорированных областей 38
4.2. Теоремы о продолжении вектор-функций, заданных в перфо-
перфорированных областях ... ... ... 39
4 3 Неравенства Кориа для перфорированных областей . . 44
§ 5 Оценки решений краевых задач для системы теории упругости в
перфорированных областях 46
51 Смешанная краевая задача .46
5 2 Оценки решений задачи Неймаиа в перфорированной области 47
§ 6. Периодические решения системы теории упругости .... 49
6 1 Решения системы теории упругости, периодические по всем
переменным 49
6.2 Решения системы теории упругости, периодические по части
переменных 50
6 3. Задачи теории упругости в перфорированном слое с условия-
условиями периодичности ... 53
§ 7. Принцип Сен-Венана для периодических решений системы теории
упругости 55
7 1. Обобщенные моменты и их свойства .... 55
7 2 Принцип Сеи-Веиана для однородных задач .... 58
7.3. Принцип Сен-Венана для неоднородных задач .... 60
§ 8. Оценки и теоремы существования для периодических решений
системы теории упругости в бесконечных областях .... 67
8.1. Теоремы типа Фрагмена—Лииделефа 67
3

8 2. Существование решений в бесконечных областях . . . 7Э
8.3. Решения, стабилизирующиеся на бесконечности к постоянной
вектор-функции 74
§ 9. Сильная G-сходимость операторов теории упругости ... 77
9.1. Необходимые и достаточные условия сильной G сходимости 77
9 2. Оценки скорости сходимости решений задачи Дирихле для
последовательности сильно G-сходящихся операторов . . 88
ГЛАВА II. УСРЕДНЕНИЕ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ КОМ-
КОМПОЗИТЫ И ПЕРФОРИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ... 94-
§ 1. Краевая задача в перфорированной области с условиями Дирихле
на внешней части границы и условиями Неймана на поверхности
полостей .... . . . 94
1.1. Постановка задачи Усредненные уравнения . . 94
1-2 Основные оценки и их приложения ... ... 98
§ 2. Краевая задача с условиями Неймана в перфорированной области 106
2 1. Усреднение решений задачи Неймана в области Й для эллип-
эллиптического уравнения второго порядка с быстро осциллирую-
осциллирующими периодическими коэффициентами . . . 106
2 2. Усреднение решений задачи Неймана для системы теории
упругости в перфорированной области Формулировка основ-
основных результатов 111
2 3 Некоторые вспомогательные результаты ,. .113
2 4. Доказательство оценки отклонения решения задачи Неймана
в перфорированной области от решения усредненной задачи 118
2 5. Оценки энергии и тензоров напряжений 124
2.6. Некоторые обобщения . . 125
§ 3. Асимптотические разложения решений краевых задач для систе-
системы теории упругости в перфорированном слое 128
3.1 Постановка задачи . . 128
3 2. Построение формального асимптотического разложения . 130
3 3. Обоснование асимптотического разложения Оценки остаточ-
остаточного члена .... . . . 136
§ 4. Асимптотическое разложение решений задачи Дирихле для си-
системы теории упругости в перфорированной области . . 141
4.1|. Постановка задачи Вспомогательные результаты . . . 142
4.2. Обоснование асимптотического разложения .... 147
§ 5. Асимптотическое разложение решений задачи Дирихле для би-
гармонического уравнения в перфорированной области Некото-
Некоторые обобщения на случай перфорированных областей с неперио-
непериодической структурой . . . 152
5 1. Постановка задачи Вспомогательные предложения . . . 152
5.2. Построение и обоснование асимптотического разложения ре-
решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в
перфорированной области . . . . . . 158
5 3. Перфорированные области с непериодической структурой . 163
§ 6. Об усреднении системы теории упругости с почти-периодическими
коэффициентами 165
61 Пространства почти-периодических функций . . . 165
6 2 Система теории упругости с почти-периодическими коэффи-
коэффициентами Почти-решения . . . ... 168
6 3 Сильная G-сходимость операторов теории упругости с быст-
быстро осциллирующими почти-периодическими коэффициентами 174
§ 7. Усреднение слоистых структур .... 176
71 Формулы для усредненных уравнений. Оценки решений 176
7 2 Необходимые и достаточные условия сильной G-сходимости
для операторов, описывающих слоистые среды . . . 185
§ 8. Оценки скорости сходимости решений задачи Дирихле для силь-
сильно G-сходящейся последовательности эллиптических операторов
высокого порядка 196
4

8 1. Эллиптические операторы в многомерных областях ... 196
8 2 Обыкновенные дифференциальные операторы . ... 204
ГЛАВА III. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УСРЕДНЕНИЯ .
§ 1 Некоторые сведения из функционального анализа. Спектральные
задачи для абстрактных операторов .... . . 210
1,1 Оценки разности собственных значений двух операторов,
действующих в одном пространстве . 210
12 Оценки разности собственных значений и собственных век-
векторов двух операторов, действующих в разных пространствах 215
§ 2. Усреднение собственных значений и собственных функций крае-
краевых задач теории упругости для сильно неоднородных сред . 222
2.1. Задача Дирихле для сильно G-сходящихся операторов . 222
2 2 Задача Неймана для операторов теории упругости с быстро
осциллирующими периодическими коэффициентами в перфо-
перфорированной области 225
2 3. Смешанная краевая задача теории упругости в перфорирован-
перфорированной области 231
2 4 Собственные колебания сильно неоднородных слоистых тел 234
§ 3. О поведении собственных значений и собственных функций зада-
задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в пер-
перфорированной области . 236
3.1. Постановка задачи Формальные построения .... 236
3.2. Пространства Соболева с весом Обобщенные решения урав-
уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической
формой 238
3.3. Усреднение эллиптического уравнения второго порядка, вы-
вырождающегося на границе области .... . 248
3 4 Усреднение собственных значений и собственных функций
задачи Дирихле в перфорированной области . 252
§ 4. Третья краевая задача для эллиптического уравнения второго
порядка в йбласти с быстро осциллирующей границей . . . 255
41. Оценки решений 255
4 2. Оценка собственных значений и собственных функций . . 260
§ 5. Собственные колебания тел с концентрированными массами . 262
5.1. Постановка задачи 262
5 2 Случай —оо<щ<2, п>3 264
5 3 Случай т>2, п»3 . . .267
5.4. Случай т=2, п>3 . . . ... 273
§ 6 Поведение собственных значений краевых задач в области с от-
отверстиями малой суммарной концентрации и краевым условием
Дирихле на границе 278
§ 7. Усреднение собственных значений обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных операторов . . , 283
§ 8. Асимптотическое разложение собственных значений и собствен-
собственных функций задачи Штурма—Лиувилля с быстро осциллирующи-
осциллирующими коэффициентами 284
§ 9 О поведении собственных функций и собственных значений О-схо-
дящейся последовательности несамосопряженных операторов . 292

Предисловие
В последние два десятилетия возникла новая область в теории
уравнений с частными производными — усреднение дифференци-
дифференциальных операторов. В теории обыкновенных дифференциальных
уравнений такой раздел был создан уже давно, главным образом
в связи с задачами нелинейной механики. Возникновению нового
раздела в теории уравнений с частными производными способст-
способствовали многочисленные проблемы механики, физики, современной
техники, приводящие к асимптотическому анализу задач для урав-
уравнений с частными производными, в основе которого лежит усред-
усреднение дифференциальных операторов.
Настоящая книга посвящена в основном задачам усреднения
в теории упругости, математическим вопросам теории композици-
композиционных и перфорированных материалов. Этот раздел механики
выдвигает большое число важных для приложений математичес-
математических проблем, связанных с изучением микронеоднородных сред,
композитов и перфорированных материалов.
Вопросам усреднения уравнений с частными производными и
их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая
книга почти не имеет пересечений с другими монографиями,
в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных опе-
операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные
с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для
удобства читателя первая глава книги содержит материал, отно-
относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости.
В ней рассматриваются вопросы существования и единственности
решений основных краевых задач теории упругости, неравенства
Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства,
краевые задачи в так называемых перфорированных областях
и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомо-
вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти резуль-
результаты используются в последующих главах, многие из них излага-
излагаются впервые.
Вторая глава книги посвящена задачам усреднения краевых
задач для системы теории упругости с быстро осциллирующими
периодическими коэффициентами и краевых задач теории упругос-
упругости в перфорированных областях. Здесь даны формулы для коэф-
коэффициентов усредненной системы, оценки отклонения вектора сме-

щения, тензора напряжений, интеграла энергии системы теории
упругости, описывающей процессы в сильно неоднородной среде,
и усредненной системы; в ряде случаев даны полные асимптоти-
асимптотические разложения решения относительно малого параметра, ха-
характеризующего период микроструктуры упругой среды; изучены
также среды со слоистой структурой.
Третья глава относится к теории собственных колебаний уп-
упругих сильно неоднородных тел. Эти вопросы до сих пор мало-
освещены в монографической литературе. В начале третьей главы
даны теоремы общего характера о поведении спектра семейства
абстрактных операторов, зависящих от параметра и действующих
в различных пространствах, также зависящих от параметра. На
основе этих общих теорем исследуется поведение собственных
значений и собственных функций краевых задач, асимптотический
анализ которых представлен в гл. II, а также некоторых других
родственных задач. Даны оценки отклонения собственных значе-
значений и собственных функций задачи с параметром и усредненной
задачи. Все задачи исследованы единым, предложенным в § 1
гл. III, методом. Этот метод может найти дальнейшие широкие
применения, так же как и теоремы, изложенные в § 8 этой главы
о несамосопряженных операторах. Общий метод исследования
спектров операторов, зависящих от параметра, применяется также
для исследования спектральных задач в областях с осциллирую-
осциллирующей границей, задач для эллиптических уравнений в перфориро-
перфорированной области, вырождающихся на границе полостей, а также
для изучения свободных колебаний тел с концентрированными
массами.
Хотя в книге рассмотрены стационарные задачи, предложенные
в ней методы могут найти дальнейшие применения при изучении
нестационарных задач.
Все результаты в книге приведены с полными доказательства-
доказательствами, причем используются лишь основные сведения из функцио-
функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.
Книга основана на исследованиях авторов, проводившихся
ими на протяжении последних более чем десяти лет.
В каждой главе принята своя нумерация формул с указанием
номера параграфа и порядкового номера формулы в этом параг-
параграфе. В книге принята также единая нумерация лемм, теорем и
замечаний в каждой главе с указанием номера параграфа и по-
порядкового номера предложения. При ссылках на формулы, леммы
и теоремы из других глав указывается также и номер главы.
Мы надеемся, что результаты и методы, представленные в нас-
настоящей книге, будут способствовать дальнейшим исследованиям
математических моделей процессов в композиционных и перфори-
перфорированных средах, процессов теплопередачи, переноса энергии из-
излучением, диффузии и фильтрации в пористой среде и многих
других задач математической физики, а также в самой теории
уравнений с частными производными.

Глав а I
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Настоящая глава содержит все основные результаты, относя-
относящиеся к системе теории упругости, которые используются в после-
последующих двух главах. Вводятся функциональные пространства,
которым принадлежат решения основных краевых задач теории
упругости, а также ряда специальных краевых задач, которые
необходимы в гл. II для построения теории усреднения и в гл. III
для изучения спектральных свойств операторов теории упругости
в сильно неоднородных средах.
Ряд результатов представляет общий интерес для математи-
математической теории упругости. Это — неравенства Корна в конечных и
перфорированных областях, обоснование принципа Сен-Венана,
асимптотика решений системы теории упругости на бесконечности
и ряд других вопросов. Много места уделено теоремам существо-
существования и единственности обобщенных решений краевых задач тео-
теории упругости в конечных и бесконечных областях. Эти задачи
исследуются единым функциональным методом на основе теоремы
Рисса о представлении функционала в гильбертовом простран-
пространстве.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА И ИХ СВОЙСТВА.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
В этом параграфе приведены определения основных функцио-
функциональных пространств, а также даны формулировки теорем из
функционального анализа, которые будут использоваться в даль-
дальнейшем. Доказательства этих теорем можно найти во многих мо-
монографиях и учебниках (см., например, [26; 43; 90; 89; 93]).
В евклидовом пространстве Rrt будем обозначать точки через
х=(хи ..., хп), у=(уи ••-, Уп), 1=((и ••-, Ы. через А обознача-
обозначается замыкание в Rrt множества А.
Пусть Q — область в R", т. е. связное открытое множество
точек в R". Если не оговорено противное, будем предполагать,
что область Q ограничена.
Далее мы будем использовать следующие обозначения для
основных функциональных пространств:
8

Co°°(Q) — пространство бесконечно дифференцируемых функ-
функций х компактным носителем, содержащимся в Q; _
Ck(Q) — пространство функций, определенных в Q и имеющих
в Q частные производные до порядка [k] включительно, причем
эти производные непрерывны в Q и удовлетворяют условию Гель-
дера с показателем k—[ft], если k—[k] >0; [k] означает целую
часть k;
LP(Q) (lsQ?=^°°) — пространство вещественных функций f,
определенных в Q и таких, что \|/|Мх<оо, если р<оо, и сущест-
существенно ограниченных по лебеговой мере, если р=оо.
Норма в LP(Q) задается равенством
если
=esssup|« (л:)|;
при р=2 получаем гильбертово пространство L2(Q) со скалярным
произведением
(и, vH=\)u(x)v{x)dx;
Ь
#m(Q) (т — целое неотрицательное число) — пополнение
пространства Cm(Q) по норме
( \\Dau\\l4Q))l/\ A.1)
|a|<m
где Dau— ¦ ¦ , а—мультииндекс, а=(а1, .... ал), |а|==
дх^ ... дхпп
=ах+ . .. +ап, 0^, ..., ап—целые неотрицательные числа;
Hom(Q) — пополнение пространства С0°°(п) по норме A.1).
Введем теперь понятие липшицевой области, а также области
с границей класса С1". Граница области Q обозначается через dQ.
Обозначим через CRi L цилиндр
{y=G, Уп)-\У\<Я, -LR<yn<LR),
где L, R — положительные постоянные, у=(уи ..., уп-\).
Область Q называется липшицевой, если для любой точки
x°^dQ можно ввести координаты у=В{х—л:0), В — постоянная
ортогональная матрица, так, что в координатах у пересечение dQ
с CRtL задается уравнением Уп=у{у), где ср(#) удовлетворяет ус-
условию Липшица в шаре {у: \y\<R} с постоянной Липшица, не
превосходящей L, и
Числа R и L для данной области Q фиксированы.

Скажем, что граница дп области Q принадлежит классу Сг,
если функции <р(#), определенные выше, принадлежат пространст-
С(|0|<Д) @<)
у(|0|) ()
Пусть y — множество, лежащее на границе д?1 области Q
с липшицевой границей. Предположим, что у имеет ненулевую
меру Лебега на дп.
Введем пространства функций, обращающихся в нуль на у, и
пространство следов на у;
№"(п, у) — пополнение по норме A.1) пространства функций
С00 (Q), равных нулю в некоторой окрестности у (т — целое по-
положительное число); очевидно, #m(Q, dQ)=H%(Q);
Ят+'/2(у) — фактор-пространство #m+1(Q)///m+1(Q, у).
Скажем, что функция ue#m+1(Q) совпадает на ус функцией
#+1 (Q) вместе с ее производными до порядка т включитель-
включительно, если и—cpe#m+1(Q, у).
Норма в Ят+1/2(у), как обычно в фактор-пространстве, зада-
задается равенством
II ф HHm+l/2(v) =inf {|| W || дт+1@), W\ v = q>} =
При сделанных предположениях относительно у пространство
Нт+1/2(у) нетривиально, поскольку #m+1(Q) не совпадает
с #m+1(Q, у). Действительно, имеет место
Лемма 1.1 (Неравенство Фридрихса). Пусть й — ограничен-
ограниченная область в Rrt с липшицевой границей и у — подмножество
д?2, имеющее ненулевую меру Лебега на dQ. Тогда для любой
#'(Q, у) справедливо неравенство
(О), A.2)
гое С — постоянная, не зависящая от а>; уф= —-?-, ..., —
\ дхх дхп
Вели у=дп, то A.2) справедливо для любой ограниченной Q.
Доказательство этой леммы и более общих утверждений можно
найти в [56; 44].
Поскольку функции, тождественно равные постоянной, принад-
принадлежат пространству #'(Q) и неравенство A.2) не может быть
выполнено для таких функций, заключаем, что #'(Q, у)ФН1 (Q),
так как #'(Q, у) не содержит q^const^O. Отсюда следует также,
что Hm+l(Q)?=Hm+l(Q, у),
Через #~'(Q) будем обозначать пространство, сопряженное
Следующая теорема описывает свойства функций, заданных
в липшицевых областях. Эти свойства вытекают из более общих
результатов, полные доказательства которых можно найти, напри-
например, в [49; 93; 61].
Теорема 1.2. Пусть Q — ограниченная область с липшицевой
границей. Тогда
10

/. Вложение #'(Q) в L2(Q) компактно.
2. Если Qc=Q°, где Q° — область в R", то всякая функция не
Q) продолжается в Q0 до функции v^Hl(Q°), такой, что
\\v\\h40')<C\\v\\h,{Q), A.3)
постоянная С зависит только от Q,
3. Любая функция шеЯ'(О) имеет след на дп [93; 61] и выпол-
выполняется неравенство
||о'1Ь(во)<С1||ш||я.@), A.4)
где постоянная С\ зависит только от Q.
4. Для функций шеЯ'(й), таких, что j wdx=O, справедливо не-
Q
равенство Пуанкаре
\\w\\lhq)<C2\\s/w\\L4q), A.5)
где C2=const и зависит только от Q.
5. Пространство Hl(Q) совпадает с пространством функций, при-
принадлежащих L2(Q) и имеющих обобщенные производные пер-
первого порядка из L2(Q).
В дальнейшем, если не оговорено противное, всюду предпола-
предполагаем, что все рассматриваемые области имеют по крайней мере
липшицеву границу.
Нам также потребуются некоторые пространства периодичес-
периодических функций.
Пусть Z" — множество векторов z= (zu ..., zn) с целочислен-
целочисленными компонентами, Обозначим через sz(G) сдвиг множества G
на вектор г, т. е. sz(G)=z+G.
Через eG обозначим множество таких точек х, что e~'*eG,
e=const>0.
Скажем, что неограниченная область ю является областью
с 1-периодической структурой, если <о инвариантна относительно
сдвигов sz, zeZ". Здесь, как и ранее, <о предполагается связным
открытым множеством.
Определим пространства периодических функций:
_С°° ((о)— пространство бесконечно дифференцируемых функций
в юи1-периодических по ^ хп\
Wl((a)—пополнение пространства С00 (<о) по норме ^((oflQ).
Q={x:0<Xi<\, i=l, .... «};
Со°((о)— пространство бесконечно дифференцируемых функций
в со, 1-периодических по Х\, ..., хп и равных нулю в окрестности
да;
о ^
W(u>)—пополнение пространства Со° (<о) по норме пространства1
>П<2)
и

Скажем, что функция ф является I-периодической по х и при-
принадлежащей Hl(a[\Q), понимая под этим, что ср есть элемент про-
пространства $У(Ш)-
Пусть со — неограниченная область с 1-периодической структу-
структурой. Положим
со (a, b)=a[}{x:a<xn<b),
со(а, b)=aft{x:0<xi<:l, /=1, ..., и—1, а<хп<Ь}.
A.6)
Введем пространство Я1 (со (а, ft)) как пополнение пространства
бесконечно дифференцируемых в со (а, ft) функций, периодических
по Х\, ..., хп-\ с периодом 1, по норме пространства Я'(со(а, ft)).
Элементы Я1 (со(а, ft)) называем 1-периодическими по х=*
= (хи ..., хп-{) функциями, принадлежащими Я1 (со(а, ft)).
Пусть множество y лежит на сЭсо(а, ft) и является инвариант-
инвариантным относительно сдвигов на векторы z=(z, 0), zeZ", Для
функций и, v на Я1 (со (а, ft)) будем полагать u=w на у, если
ы—иеЯ1 (со(a, ft), уП<5ш(а, ft))-
„ Отметим, что пространства #m(Q), Ho1(Q)— гильбертовы.
Скалярное произведение в этих пространствах задается формулой
(и, v)Hm{Q)= Yi $DauDavdx. A.7)
Q
Пространства Wl(&), Я1 (со (a, ft)) также являются гильбертовыми,
причем скалярное произведение в них задается той же формулой,
что и скалярное произведение в пространствах а Hl(<u[)Q),
Я1 (со(a, ft)) соответственно.
Далее мы часто будем иметь дело с вектор-функциями и мат-
матрицами, элементы которых принадлежат одному из определенных
выше пространств. При этом пользуемся следующими обозначе-
обозначениями.
Если и=(иь ..., ип)*, v=(vi, ..., vn)* — вектор-столбцы, то
через {и, v) обозначается сумма u,u,-, и, как обычно, \и\=(и, иI12.
Здесь и в дальнейшем, если не оговорено противное, предполагаем
суммирование по повторяющимся индексам от 1 до п; знак ¦
в вектор-столбцах ради сокращения записи иногда опускаем.
Для матриц А, В с элементами {a,/}, {ft,/} соответственно пола-
полагаем
(А, В)=пиЬи, |Л|=(ДЛI/2. A.8)
Пусть все компоненты векторов и, и, или элементы матриц
А, В, принадлежат гильбертову пространству Ж со скалярным
произведением (•, •)», Мы будем использовать обозначения
12

(и, v)ye={Ui, Vi)x, \\и\\ж — (и, u)U2,
A.9)
(А, В)*=(а„, Ъи)х, ||Л||Ж=(Л, A)U2
и писать и, иеД А, Ве^Ж вместо и, ь<=Жпу А,
Для доказательства теорем существования и единственности
решений различных краевых задач неоднократно будет приме-
применяться
Теорема 1.3 (Лаке—Мильграм). Пусть Н — гильбертово
пространство и а(и, v) — билинейная форма, определенная на
ЛН такая, что
\а(и, lOKQI
A.10)
\а(и, и)|>С2||и||2я> Си C2=const >0.
Тогда для любого линейного непрерывного функционала I на Н
{т. е. te#*) существует единственный элемент и^Н, такой, что
l(v)=a(u, v) для любого иеЯ [26].
Из теоремы вложения С. Л. Соболева [93] вытекает
Лемма 1.4. Пусть Qc:Rrt — ограниченная область с липшице-
еой границей. Тогда если 1 1 ^ 0, то для любой функ-
функции u^Hl(Q) справедливо неравенство
11«1Ца)<с'111№(й). (l.ii)
где постоянная С не зависит от и.
Положим р(Л, B)=inf{|-ic—у\, у)
Лемма 1.5. Пусть Q — ограниченная область с гладкой гра-
границей и B6={x<=Q, p(x, <3Q)<6}, 6>0. Тогда существует бо^О,
такое, что при всех бе@, 60) для любой ue#'(Q) справедлива
оценка
IMb(fie)<C61/2!iuH№(Q)> A.12)
где постоянная С не зависит от 8 и v.
Доказательство. В силу гладкости д?2 существует семей-
семейство гладких поверхностей 5t, те [0, So], где So — достаточно
малое положительное число, таких, что Sx ограничивает область
QQ QU при т'>т, йо=&, Ci%^.p(x, дп)^.С2Т, если jce5n
0, So], Ci, C2=const, Q\Qt=>-6x- Согласно теореме вложения
|c;||^(Q)) те[0, бо],
где постоянная С3 не зависит от т. Интегрируя это неравенство
по т от 0 до S, получим \\v\2dx^C^W'vWii'iu). Из этого нера-
венства вытекает A.12). Лемма доказана.
13

Пусть Q — ограниченная область с липшицевой границей.
Обозначим через ?(R"XQ) множество функций /(?, я), 1-периоди-
ческих по |, которые ограничены и измеримы по (?, x)^RnXQ и
удовлетворяют условию Липшица по х равномерно по |eRn, т. е.
-x*\ A.13)
для любых х, x°^Q, ?eR", причем постоянная С/ не зависит от
х, х°, I
Лемма 1.6. Предположим, что g(t, x)^C(K.nXQ),] g(l,x)d?—
_ Q
=0 для любого хеп. Тогда при всех и, veHl(Q) справедлива
оценка
^, x)dx
<Ce||tt||«.@)|M|№(Q), A.14)
где постоянная С не зависит от ее@, 1), и, v.
Если F(l, x)^?(RnXQ), то для любой ty^Ll(Q) имеем
$\pF (—, x\dx-**$\pF(x)dx при e-vO, A.15)
] Q=}0, l[B«{g:0<^< 1, /=l, .... «}.
Q
Доказательство. Обозначим через Iе множество всех ze
", таких, что e(Q + z)c=Q. Положим ?2X=U t{Q-\-z), G=Q\Q1.
26/-
Определим функции m(x), Z,(x), ц(х), постоянные на множествах
вида e(Q-f-z) и заданные равенствами
(х)=егя J g (-^-, xj dx, t(x)=er» j v(x)dx,
(Q+) "
е(О+г)
и {х) dx при д: е
Тогда
—, x\ uvdx—fg(-?~, x)"uvdx+ [
Q О Q,
(u-4)v[gl-Z-,x)-t
Й1
^m)dx. A.16)
Qi

Пусть х°, x^e(Q + z). Поскольку g(%, х) удовлетворяет условию
Липшица по х и имеет нулевое среднее по |, имеем
lm(x)|=e—
f-'Mf- *))
*
<Се, C=const. A.17)
Легко видеть, что неравенство A.17) имеет место, когда х пробе-
пробегает множество полной меры в Q{.
Применяя неравенство Пуанкаре A.5) в e(Q + z), получим
о —Ellz.«(Q,)<Cie|IV0|U.'(o,).
A.18)
I и—
По определению функции ц{х) имеем
A.19)
Множество G лежит в С2е-окрестности дО, (C2=const), поэтому
в силу леммы 1.5
\\и\кН0)^С3г^\\и\\нча), |Mb<0)^C3ei/2|MI№(Q). A.20)
Последний интеграл в A.16) равен нулю. Из A.16), пользуясь
неравенством Гельдера и оценками A.18) — A.20), заключаем,
что
gt—, х) uvdx
+ ess sup I m (x) | \\u\\LHQi)\\v\\LHQi) + \\u — y\\\L49i)\\v\\L4Ql)
+ e II« Wlhq,) II v\\L4Qt) + e
ui) IIv lb(o.) + e l| u \\L4Qt) || V" l
где постоянная С$ не зависит от е. Отсюда вытекает неравенство
A.14).
Докажем соотношение A.15). Для ty^Cl(Q), очевидно, A.15)
следует из A.14) при u=i|), v=l, g(g, x)=F(l, x)—P(x). Прибли-
Приближая любую функцию из Ll(Q) функциями из C'(Q) и пользуясь
ограниченностью F(^, x), получим A.15) для ty^Ll(Q). Лемма
доказана.
15

Следствие 1.7. Пусть © — неограниченная область с 1-пе-
риодической структурой, {ij)J, {фе} — последовательности функций
из Ь2(п[)ги>), такие, что при е->-0
1И>„—Ф|Ц.»(оп«ю-*-0. 11фв— фНушпм»-». A.21)
где \|з, фе^2(й). Тогда для любой /(|, x)^C(RnXQ) имеем
dx -> Jf (*) № dx A.22)
Q
при е->0, gCe
J(g, x)d|. A.23)
J %Фе
Доказательство. Легко видеть, что
A.24)
ЙПеи
Последние два интеграла стремятся к нулю при е->0 в силу
A.21). Полагая в лемме 1.6 F(|, x)=f{l, x)x*>, где х»A) — харак-
характеристическая функция области со, получим
Отсюда и из A.24) следует A.22), так как
*\F(t x)d-= J /(g,
Q СП©
Лемма 1.8. Пусть a(Q — 1-периодическая по ? ограниченная
кусочно-непрерывная функция, \ a(g) = 0. 7"ogCa существуют l-ne-
Q
риодические по | ограниченные, кусочно-непрерывные функции
n
aid), i=l. •••¦ «. такие, что аЙ) =
Доказательство. Воспользуемся индукцией по числу неза-
независимых переменных. При я=1 утверждение леммы очевидно: дос-
достаточно взять % (?i)=^ a@<#. Предположим, что оно верно для
о ^ ^
функций от п—1 независимой переменной. Пусть |=(|, |п), |е
R1 и аA) удовлетворяет условиям леммы. Положим

С(gj = Ja (?, t)dt, bl(l)=.-- =6n-i0 = 0,
о
in
о
Функции &/(?), /=1, ..., и, являются 1-периодическими по | и
а(Э = -^- + С(§, A-25)
причем Jc(§df=O, Q={5:O<I/<1. / = !> •••> я—!}• По пред-
Q
положению индукции С (|) = \ 1 . Отсюда и из A.25) получаем
LA dt,j
/=i
искомое представление для а(|). Лемма доказана.
§ 2. НЕРАВЕНСТВА КОРНА
При доказательстве разрешимости основных краевых задач
теории упругости и получении оценок решений фундаментальную
роль играют неравенства Корна (см. [99; 45; 46, 15]).
В этом разделе через и, v обозначаются вектор-функции и=
= (ыь ..., «л), v=(vi, ..., vn), а через Vw и е(и) обозначаются
матрицы с элементами
f f %) B.1)
OXj 2 \ dXj ЙХ; /
Очевидно, что
В теории упругости и= (ии ..., н„) — вектор перемещений, а мат-
матрица е(и) — тензор деформаций.
2.1. Первое неравенство Корна
Теорема 2.1. Пусть Q — ограниченная область в R". Тогда
для любой вектор-функции u^.Hol (Q) справедливо неравенство
). B.2)
Доказательство. Легко видеть, что ввиду плотности
С" (Q) в Яо(й) неравенство B.2) достаточно доказать для век-
17

тор-функций ueC™(Q). Применяя формулу Гаусса—Остроград»
ского, получаем
duh
2 dxh дхн ^ 2 dxh дх
h)dx=
2 IV J 2 dxhdXi h 2 J V 2 J dxt dxh
a a a a
Учитывая, что второй интеграл в правой части этого равенства
неотрицателен, получаем B.2). Теорема доказана.
Заметим, что неравенство B 2) теоремы 2.1 выполнено для
лроизвольной ограниченной области Q.
2.2. Второе неравенство Корна
Неравенство
II" \\нча) < С (|| и \\L4Q) +1| е (u)\)LHQ)) B.3)
для любой и=(ии ..., мп)еЯ1(О) называется вторым неравенст-
неравенством Корна. Его доказательство представляет значительные труд-
трудности и требует .в отличие от доказательства первого неравенства
Корна дополнительных условий на Q. Для широкого класса облас-
областей неравенство B.3) и его обобщения установлены во многих
работах (библиографию см. в [45] и п. 2.4).
Следуя работе [45], приведем здесь простое доказательство
второго неравенства Корна для липшицевой области. При этом
важную роль играют следующие две леммы.
Предполагаем, что Q — ограниченная область в R" с липши-
липшицевой границей. Через р(х) обозначается расстояние от точки х
до dQ, через Д — оператор Лапласа.
Лемма 2.2. Пусть и<=С°°{п)(]ЬЦп) и p2Au<=L2(Q). Тогда
pVueL2(Q) и справедлива оценка
IIPW Ik-(Q) < С (|| v |ЬШ) + I! Р2 А" \\lhq)), B.4)
где постоянная С не зависит от и.
Доказательство. Функция р(х) удовлетворяет неравен-
неравенству р(х)—р(#)^|*—у\ для любых х, y^.Q. Действительно, обо-
обозначим через zy точку на dQ, такую, что р(у) = \у—zy\. Тогда
р(х)—р(#)^|*—Zy\ — \у—z^l^l^—zy—y + zy\. Таким образом,
функция р(х) удовлетворяет условию Липшица в Q и, значит,
[93] имеет ограниченные обобщенные производные в Q первого
порядка.
Пользуясь формулой Гаусса—Остроградского в области
)=Qf){* : р(х) >б} и учитывая ограниченность первых произвол»
ных функции р(а;), находим
18

QF)
Отсюда выводим, что
где постоянная С2 не зависит от б. Устремляя в этом неравенстве
б к нулю и учитывая, что в Q(«> имеем р(х) >i6, получим
IIРIV» I 1!у(О < С3 [|| v \\ща) +1| р2 Ау ||^о)]
для любой области G, такой, что Сей, причем постоянная Сз
не зависит от G. Отсюда следует, что pVyeL2(fi) и выполняется
оценка B.4). Лемма доказана.
Лемма 2.3. Пусть w <= С°° (О) П 1г(Щ, р d*w eL2(Q). Тогда
dxi dxj
(fi) и справедлива оценка
п
y] ^|| 1 B.5)
~^-|| 1,
dXidxj \\ща)\
где постоянная С не зависит от w.
Доказательство. Очевидно, что для любой функции
'[0, Ь] имеет место неравенство
t. B.6)
Пользуясь теоремой о среднем, выберем т таким, чтобы выполня-
выполнялись соотношения
6/2 i
Отсюда и из B.6) получаем
ь ь ь
Irdt^drdt + lilftdt), B.7)
6 6/2 0
где постоянная С\ не зависит от /.
19

Покроем область Q такими областями fi;, t=0, 1, ..., N,
<что й0 = {х: р (х, 0Q) > б}, б =const > 0 и
(быть может, после ортогонального преобразования координат х),
причем функции г|п удовлетворяют условию Липшица и 3Qf\dQi=
={х : Хщ =tyi(x'), /eQ/}. Пользуясь леммой 2.2, находим
„6/2
x{ dxj
'dx\ B.8)
<->0/ '¦'
где Q(/ — б/2-окрестность области fi0, постоянная С2 зависит
только от б.
Пусть теперь область ?it задана условиями ¦ty(xf)<Xk<'ty(x') +
+ Ы, x'eQ/. Воспользуемся неравенством B.7), полагая
dw йш
dw
b=?, /= , t=xk и рассматривая как функцию
f/Y.i riYi
Имеем
dxj
dw
dxj
dw
.]. .=
=const>0.
B.9)
В силу липшицевости функции 1|з(х') имеем [ гр (х') + е—х&|^
^Ср(х), где постоянная С зависит только от постоянной Липшица
функции ty(x'). Поэтому, интегрируя B.9) по Q/ и устремляя е
к нулю, получим
dw
[Jp-W
a,-
dxj дхъ
dx+\
.)
dw
dx
если б выбрано достаточно малым. Суммируя эти неравенства по
i от I до N и пользуясь B.8), находим
/2 г.;=1
я i,/=i
2
Sd2w 2 , . С
dx-\- \
дх: dxj J
в/2
Q0
20

Отсюда вытекает оценка B.5), поскольку р(*)^8>0 в Qoe.
Лемма доказана.
Теорема 2.4 (второе неравенство Корна). Пусть О, — огра-
ограниченная область с липшицевой границей. Тогда для любой век-
вектор-функции we#'(Q) справедливо неравенство B.3) с постоян-
постоянной С, зависящей только от Q.
Доказательство. Очевидно, что неравенство B.3) доста-
достаточно доказать для вектор-функции u^.C°°(Q). По определению
матрицы е{и) имеем —~7=2 ец (и)—¦——ец{и) (по i, / нет
OXj @Xj (JX?
суммирования).
Рассмотрим уравнения
k)tk'f'- BЛ0)
Положим F) = 0 вне Q, i, /=1 п. Пусть и,- —^решение урав-
уравнения B.10) в области Q0 с гладкой границей, QcQ°, причем
и{еЯо(й°), т. е. уг=0 на дО>. Согласно известной априорной
оценке [62]
B.11)
У-1
Зто неравенство следует из интегрального тождества для решения
задачи Дирихле для уравнения B.10) и неравенства Фридрихса.
Положим v=(v\, ..., vn)*, w=u—v. Тогда
Ада=0 в Q, aieC"(fi),
b(eu{w))=Q в Q, e(/(iii)EC"(Q).
В силу B.11) имеем
\\ФШча> ^ IIe(u)\]L.la> +1|е(v)\\L4u) <С31|е(u)\\L4Q), B.12)
где постоянная С3 не зависит от и. Поэтому, пользуясь оценкой
B.4), находим, что
|| еи (Щ\ща> < Сь \\ е (u)\\L4a). B.13)
Легко видеть, что
xi дх d% H ОХ
дхр dxi дхр
Поэтому из B.13) вытекает неравенство
п
р
«,/=1
<Ce\\e(u)\\L4B).
21

Отсюда, пользуясь оценкой B.5) леммы 2.3, устанавливаем,
что
Так как w—u—v, из этого неравенства заключаем, что
\v ||„,<й))
Учитывая B.11), отсюда выводим неравенство B.3). Теорема до-
доказана.
В ряде приложений важное значение имеет несколько иная
форма второго неравенства Корна, а именно неравенство
И*(а), B-14)
которое выполняется, если v принадлежит некоторому подпрост-
подпространству V из Hl{Q). Такие подпространства неоднократно будут
встречаться в дальнейшем.
Обозначим через 31 линейное пространство жестких перемеще-
перемещений в R", т. е. множество вектор-функций т]=(т]ь ..., г\п) вида
г\=а+Ах, где а=(аи ..., ап) — вектор с постоянными действи-
действительными компонентами, А — кососимметрическая (пХп)-матрица
с действительными постоянными элементами. Здесь r\, a, x — век-
вектор-столбцы. Легко видеть, что 31 — конечномерное пространство
п(п— 1) ,
и что его размерность равна (-га-
Теорем а 2.5. Пусть Я — ограниченная область с липшице-
вой границей и V — замкнутое подпространство вектор-функции
из Hl(?i), такое, что Vf\ 9t={0}, где Ы — пространство жестких
перемещений. Тогда для любой иеУ справедливо неравенство
B.14).
Доказательство. Предположим противное. Тогда сущест-
существует последовательность вектор-функций итеУ, такая, что
||ут11ячо) = 1, \\e(vm)\\L4Q)-+0 при т^оо. B.15)
Поскольку вложение #'(Q)cL2(fi) компактно (см. теорему 1.2),
то существует вектор-функция ueL2(Q) и последовательность
rrij-*-oo, такие, что vmi-+v в L2(Q). Согласно второму неравенству
Корна B.3), которое в силу теоремы 2.4 выполняется в й, имеем
-vm \\1ча) +1|е(кт+"-
Отсюда и из B.15) следует, что vmi-+v в Hl(Q) при т\-»-оо. Так
как V замкнуто в Hl(?i), то на основании B.15) заключаем, что
22

Из последнего равенства вытекает, чт» выполняются соотношения
.^-+-1^=0, Л Л=1,..., п. B.16)
dxk dxt
Покажем, что отсюда следует, что ие 91. Рассмотрим усреднения
вектор-функции v:
где v=0 вне Q, q> © е Cg" (R"), <p©>0, \ф(|)^=1, ф(|)=0 при
R"
|||>1. Как известно, iP^C^iG) и ve-*~v в tf*(G) при е->0 для
любой подобласти G, GczQ. Из B.16) следует, что при достаточно
малых е
do? dv%
1 =0 в G, i, h = l, ..., п.
Так как u8eC°°(G), то отсюда вытекает, что в G
¦=0.
dx^ Зл:/, dxiPxh дх
Поэтому v<t=a'iiXj-{-bBc, где a?/, b\—постоянные, причем a?/= — a?/.
Так как ие сходятся к v в Hl (G) при е -»- 0, то v e 3t. Таким образом,
«eVfl^. 1|у||ячп) = 1> а эт0 противоречит условию УП^={0}.
Теорема доказана.
Следствие 2.6. В частности, за V в теореме 2.5 можно взять
юдно из пространств
Приведем другие примеры пространств V, для которых выпол-*
нено неравенство B.14) и которые будут неоднократно использо-
использоваться при изучении краевых задач для системы теории упругости.
Теорема 2.7. Пусть Q — ограниченная область, имеющая
липшицеву границу. Пусть у лежит на dQ и представляется в виде
хп—(р(Л), где %=(xh ..., хп-\) пробегает открытое множество
в R"-1, ф(х) — непрерывная функция. Тогда для любой вектор-
функции ue#'(Q, у) выполняется неравенство B.14).
Доказательство. Покажем, что Hl(Q, у)(]Ш={0}, и при-
применим теорему 2.5 при V=Hl(Q, у). Пусть ^еЯ^Й, y)f\8t. Сле-
Следовательно, т}=0 на у- Жесткое перемещение т^ имеет вид т^=
= (Ь+Ах), где А — кососимметрическая матрица с постоянными
элементами, а Ь — постоянный вектор. В силу линейности систе-
23

мы Ax+b = O очевидно, что (п—1)-мерная поверхность у = {х : хп —
= ф(х)} должна быть частью гиперплоскости, если АфО. Поэтому
размерность многообразия решений системы Ах+Ь=0 должна
быть не меньше п—\ и, значит, в этой системе может быть самое
большее одно линейно независимое уравнение, т. е. все остальные
уравнения получаются из него умножением на постоянную. Отсю-
Отсюда следует, что в этом уравнении все коэффициенты при перемен-
переменных хи ..., хп равны нулю, поскольку в матрице А на главной
диагонали стоят нули. Таким образом, tj=O. Теорема доказана.
2.3. Неравенства Корна для периодических вектор-
функций
Установим теперь неравенства Корна типа B.14) для 1-перио-
1-периодических вектор-функций.
Теорема 2.8. Пусть со — неограниченная область с 1-перио-
дической структурой и множество coflQ является областью с лип-
шицевой границей. Тогда для любой вектор-функции ?'
такой, что
0, Q={x:0<x}<\, j=\ n}, B.17У
справедливо неравенство
1М1яч<опо<С|1ФIкч<опс), B.18)
где постоянная С не зависит от v.
Доказательство. Обозначим через V пространство огра-
ограничений на область coflQ вектор-функций v из $У(о>)> таких, что
выполнено условие B.17). Легко видеть, что V замкнуто в
/Z1 (ooflQ) и любое жесткое перемещение, 1-периодическое по х, яв-
является постоянным вектором. Поэтому если v^Vf] 9t, то в силу
B.17) v=0. Применяя теперь теорему 2.5 в случае области Q=
=conQ, получаем неравенство B.18). Теорема доказана.
Получим второе неравенство Корна типа B.14) для вектор-
функций, 1-периодических по х.
Теорема 2.9. Пусть со — неограниченная область с 1-перио-
1-периодической структурой, со (a, b)t со (а, Ь) @<а<Ь<оо) определены
равенствами A.6). Предположим, что со (а, Ь) имеет липшицеву
границу. Тогда для любой вектор-функции и^Й1(ю(а, Ь)), такой,,
что
справедливо неравенство
24

Доказательство этой теоремы полностью повторяет доказательство
теоремы 2.8. При этом следует учесть, что жесткое перемещение,
1-периодическое по х, также может быть лишь постоянным векто-
вектором.
2.4. Неравенства Корна для звездных областей
Приведенное ниже элементарное доказательство неравенства
Корна для звездных областей дает возможность выяснить зави-
зависимость постоянной в неравенстве Корна от геометрии области.
Неравенства Корна в ограниченных и неограниченных областях,
а также их обобщения на случаи норм в Lp{Q) и весовых прост-
пространств рассматривались в [45; 46; 65] и многих других работах.
Область Q называется звездной относительно шара G, принад-
принадлежащего Q, если отрезок, соединяющий любую точку шара G и
любую точку области Q, принадлежит Q.
Теорема 2.10. Пусть область Q — ограниченная и звездная
относительно шара Qj^г ^= {л:: ] л:| <С /?i}, диаметр области Q равен
R, «=(«ь ..., un)^Hl(Q). Тогда
JLy \\Vu\\l4QRih B.20)
где постоянные Си С2 зависят только от п.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать теорему
для гладких вектор-функций и(х). Пусть Ri=l Через С,- будем
обозначать постоянные, зависящие только от п. Пусть v=(vu ...
..., vn) — решение системы уравнений
с граничными условиями
vt = 0 на дп, г = 1, ..., п. B.22)
Умножая уравнение B.21) на V;, интегрируя полученное равенст-
равенство по Q и преобразуя интегралы интегрированием по частям, на»
ходим, что
1а). B.23)
B-24)
Положим w=u—v. Из B.21) и тождеств
хрдхя
25

i, p, q=\, ..., n, которые справедливы для компонент любой глад-
гладкой вектор-функции v=(vu ..., vn), вытекает, что
Дпу=О в Q B.25>
Aet,(w)=0 в fi, /, /=1 п. B.26)
Из оценки B.23) для v следует, что
l|e(a»)lb(Q)<C4||e(U)|!x.,(Q,. B.27)
Отсюда на основании леммы 2.2 и соотношений B.26) получаем
|b(Q), B.28)
где р=р(х) — расстояние от x^Q до dQ. Из B.28) и соотноше-
соотношения B.24) вытекает, что
2 \\\\l,m. B.29)
Воспользуемся следующим элементарным неравенством
а а
\ Г @ dt < С (J t2 (f'f dt + af* (a)), B.30)
о о
где постоянная С не зависит от а и /. Это неравенство следует
из неравенства Харди (см., например, [47; 45])
<Х>
о
при /-*.<», B.31)
где постоянная С не зависит от ф. Для доказательства B.30)
нужно положить функцию f(t) равной f(a) при t>a и применить
неравенство B.31) к ф@=/@~Не-
ф@=/@~Неприменим B.30) к функциям f=dwt/dxj и отрезку АР луча ОР,
где Р — любая точка на 6Q, О — начало координат. Перенеся
начало координат в точку Р, получаем
B.32)
Точку А выберем так, что ЛеBя„ И!=Яе[—, 1],и в силу
теоремы о среднем
J [уо>(ЛI2Ло^Св \|vtt)(x)ladx, B.33)
i
26

где do — элемент поверхности единичной сферы. Из B.32) оче-
очевидно следует неравенство
\P\ , \P\ n
|Л| \А\
d\x\
dxk dxi
B.34)
Проинтегрируем B.34) по сферическим переменным. Из звезд-
ности области Q относительно Q«, при Ri = l следует, что
\Р—x\^.p(x)R. Поэтому из соотношений B.33), B.34) находим,
что
_dxk dxi
B.35)
Учитывая, что ш=ы—и, из B.23), B 29), B.35) получаем оценку
B.20) при #i = l. При любом /?i>0 неравенство B.20) получаем
из него же при Ri = l заменой переменных y=x/Ri.
Замечание 2.11. Коэффициент при втором члене в правой
части неравенства B.20) является асимптотически точным и не«
улучшаемым в следующем смысле. Для векюр-функции и=Ах+
+ В, где А — кососимметрическая матрица с постоянными эле-
элементами, В — постоянный вектор, неравенство B.20) имеет место
в виде равенства с коэффициентом C12(#/#i)n, если объем обла-
области Q имеет порядок Rn.
Замечание 2.12. Неравенство вида B.20) имеет место для
любой гладкой ограниченной области Q (достаточно, чтобы dQ
удовлетворяла условию Липшица), так как в этом случае Q мож-
можно представить как сумму конечного числа звездных областей.
Замечание 2.13. Несколько усложняя доказательство тео-
теоремы 2.10, можно уточнить коэффициент при первом интеграле
в правой части B.20). Именно, при предположениях теоремы 2.10
имеют место неравенства Корна вида
B.36)
n=2. B.37)
27

Для доказательства B.36) нужно воспользоваться неравенст-
неравенством
а а За/4
I f2 (t) tpdt^c[$(t- aJ1" (f1J dt + аР+* I if'J tp dt +
a/4
1
+ ap+1 J t"f2 (t)dt], a=const > 1, p=const > 1, B.38>
о
где постоянная С не зависит от а и /. Неравенство B.38) также
доказывается с помощью неравенства Харди. Для доказательства
B.37) вместо B.38) используется неравенство
а а За/4
[tf2(t)dt^c[ ^(t—aftif'fdt + aHnAa J
, a=const>l,
(f'ftdt +
где постоянная С не зависит от а и /.
Оценка B.36) является неулучшаемой в следующем смысле.
Для вектор-функции u=ty(Ax+B)t где А — постоянная косо-
симметрическая матрица, В — постоянный вектор, \|5(x)=(>
в QRt, t|)(x)=l вне шара Q2Rl = {х : |х|< 2^}, Q2Rt с Q, i|)eC°°(Rn),
неравенства B.36) выполняются в виде равенства с коэффициен-
коэффициентом Ci(R/Ri)n при первом интеграле в правой части, если объем
области Q имеет порядок Rn.
Теорема 2.34. Предположим, что Q удовлетворяет условиям
теоремы 2.10, ue#!(Q). Тогда
^A^Y-2||u||L2J(ft)> B.39)
где у — расстояние от Q«, до dQ.
Доказательство. Пусть феСо°(?2), ф^1 в
в Q, Согласно теореме 2.1
Отсюда следует, что
IIV" 1|Ь(вя,) < 2 || е (u)\\l4Q)l + Сз7-21| и ||Ь(а). B.40)
Из неравенств B.20) и B.40) получаем B.39). Теорема доказана.
Теоремы 2.10, 2.14 могут быть применены при изучении задач
усреднения для областей типа решеток, каркасных конструкций и
других структур.
28

§ 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
3.1. Некоторые свойства коэффициентов системы,
теории упругости
Рассмотрим в области QczR" дифференциальный оператор ли-
линейной теории упругости
М^1 C.1)
Здесь «=(«i, ..., ип) — вектор-столбец с компонентами щ, ..., ип,,
Ahk(x) — (яХя)-матрицы, элементы которых uif{x)— ограничен-
ограниченные измеримые функции, удовлетворяющие условиям
=<${х)=(Я,(х), C.2)
(x) r\r\ < xT|T|C• 3).
y
хей, хь х2=const>О,
где {r\ih} — произвольная симметрическая матрица с действитель-
действительными элементами.
Будем говорить, что матрицы Ahk принадлежат классу
Е(к\, хг), если их элементы ац являются ограниченными измери-
измеримыми функциями, для которых выполнены условия C.2), C.3).
В этом случае мы также будем говорить, что оператор SB принад-
принадлежит классу Е(ки хг).
Таким образом, оператор S в координатной записи имеет вид
=l п. C.4),
В классической линейной теории упругости для однородного
изотропного тела коэффициенты оператора C.4) задаются форму-
формулами
где к>0, fx>0 — постоянные Ламэ, б»/ — символ Кронекера:
б»7=0, если 1Ф\, 6,7=1 при i=j. В этом случае
allhihr\m=^hhr\n + 2FMift C-5)
для любой симметрической матрицы {цш}, и матрицы Ahk принад-
принадлежит классу ?Bfx, 2ц+пК). Действительно, равенство Xi=2jx
очевидно, а равенство хг=2{г+п% вытекает из C.5) и неравенства
(fli + ... + апJ ^ я (ai + • • • + ап), которое в свою очередь следует
из неравенства Коши—Буняковского.
29

Таким образом, для однородного изотропного тела оператор
теории упругости C.4) имеет вид
Mi» i = l> • • • i Л,
где ui,hk= _ "'-¦ .
Прежде чем приступить к изучению основных краевых задач
теории упругости, приведем некоторые простые свойства коэффи-
коэффициентов, которые легко выводятся из C.2), C.3) и которые будут
многократно использоваться в дальнейшем.
Набору матриц Ahk(x) из класса ?(хь хг) при каждом фикси-
фиксированном х мы можем сопоставить линейное преобразование 91,
действующее в пространстве (яХя)-матриц и переводящее матри-
матрицу | с элементами ?,*. в матрицу 91| с элементами
Тогда в соответствии с обозначениями A.8)
Лемма 3.1. Пусть матрицы Ahk принадлежат классу ?(хь хг).
Тогда для любых действительных матриц ?={?(/>}, i\=b\id имеют
место следующие соотношения:
Щ, т|)=(?, Чг\), C.6)
(«6, ri)<—li+rih+ri*l, C.7)
4
16+П "< — (*?. I), C-8)
.где |*, tj* — матрицы, сопряженные с \, т^ соответственно.
Доказательство. Пользуясь первым неравенством в C.2),
получим
(Щ, T|)=a^iftTi/4=a
В силу C.3) и C.6) билинейная форма ( 9{g, ц) задает скалярное
произведение в пространстве симметрических матриц. Поэтому,
^используя C.2), C.3) и неравенство Коши—Буняковского, полу-
получим
(Щ, г|)=-~-(*й+Г), л+л'Х-^-ll+rih+VI-
.Из C.3) при Tj= (g+!*) с учетом C.2) также получаем
xilE+ri"<(*(E+r), 1+П=4(Щ, I).
Лемма доказана.
-30

Лемма 3.2. Оператор C.1) класса Е(х\, х2) (xi, хг>0) явля-
является эллиптическим, т. е.
0 при
Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму
= -7 $
п
j
i,ft=l
при фиксированном 1-ФО. Если при каком-либо т)?=0 квадратичная
форма ^(т^) обращается в нуль, то из C.9) следует, что
^ + ^=0, i, h = l, ... , п.
Умножая каждое из этих равенств на li\\k и суммируя по i, h от
1 до п, получим |&т1,-|2+|||2М2=0. Отсюда следует, что ti=0.
Полученное противоречие показывает, что 3^(г\)">0 при г\Ф0. Лем-
Лемма доказана.
3.2. Основные краевые задачи теории упругости
Пусть & — оператор теории упругости класса Е(н\, хг), имею-
имеющий вид C.1), и Q — ограниченная область в R", занимаемая уп-
упругим телом, и= (щ, ..., ип)* — вектор перемещений.
В линейной теории упругости обычно рассматриваются следу-
следующие краевые задачи.
Первая краевая задача (задача Дирихле):
3(u)=f в Q, и = Ф на дй, C.1Q),
которая соответствует нахождению вектора перемещений и в точ-
точках упругого тела, на границе которого заданы перемещения ц=
=Ф и к внутренним точкам которого приложена сила f=
"=(/1 М*.
Вторая краевая задача (задача Неймана):
)=f в а
= vhAhk(x)~^-=(D на dQ,
dxh
C.11).
т. е. на границе упругого тела заданы нагрузки <х(ы)=<р. Здесь
v==(vj, ..., Vn) — единичный вектор внешней нормали к dQ.
Третья краевая задача (смешанная задача):
<«>='в°. 1 C.12).
ы=Ф на Г, а(ы)=ф на 5. J
31

При этом предполагается, что граница области Q представляется
как объединение множеств Г и S, T[]S=0.
Для доказательства существования и единственности решений
этих краевых задач необходимо наложить определенные ограни-
ограничения на dQ, Г, S, о которых будет сказано ниже.
В § 6 мы также изучим некоторые другие краевые задачи для
системы теории упругости, в частности задачи с условиями перио-
периодичности по части переменных.
Пусть и=(щ,...,ип)—вектор перемещений и е(и)—тензор
деформаций, т. е. матрица с компонентами ^/(и) =— [ ——-j-
д \ ^ ^Х'
-\—— |. Положим
dxt )
dxh dxh
Тогда в силу неравенств C.7), C.8), полагая |=Vu, |*=(Vu)*,
получим
.—1
C.13)
3.3. Первая краевая задача (задача Дирихле)
Пусть Q — ограниченная область в Rn, не обязательно лишци-
цева, f'eLs(Q), /=0, 1, ... , п, фб№(Й).
Будем говорить, что вектор-функция и(х) является обобщен-
обобщенным решением задачи.
&(u)—f°-\—— в Q, ы=ф на dQ, C.14)
*если и—<реЯ0(О) и справедливо интегральное тождество
hk , v ди ди
dxk ' dxh
и а ¦ "
для любой оеЯо(Q).
Теорема 3.3. Существует единственное обобщенное реше-
решение и(х) задачи C.14), и для этого решения справедлива оценка
где постоянная C0(Q) зависит только от постоянных хь хг в не-
неравенствах C.3) и постоянной в неравенстве Фридрихса A.2) при
y=dQ.
32

Доказательство. Из C.15) вытекает, что для вектор-
функции w=u—ф должно выполняться интегральное тождество
C-17)
при любой ue#0'(iQ). Заметим, что в силу неравенства Фридрих-
са A.2), первого неравенства Корна B.2), а также неравенства
C.13) квадратичная форма
а(и, v)=[(Ahk{x)^-, -^-)dx, и, vc=Hl0(Q),
J \ dx dx )
удовлетворяет всем условиям теоремы 1.3, если за Н взять про-
пространство вектор-функций с компонентами из Hq(Q). Очевидно,
что правая часть C.17) является непрерывным линейным функ-
функционалом от и в Hq(Q). Поэтому в силу теоремы 1 3 существует
единственный элемент шеЯо(й), для которого выполняется тож-
тождество C.17). Полагая u=w + q>, получим искомое решение.
Установим теперь оценку C.16). Для этого положим в C.17)
w=u—ф, v=u—ф. Пользуясь неравенством Фридрихса A2) и
первым неравенством Корна B.2), а также равенствами C.13),
устанавливаем
J2
в
\e(w) \*dx^C2 Г !1(и—<
Q Я
п
з > 11/ЧЬ(йI1"-ф11я.(й) + 11ф11ячйI1"-ф!1ячп) , C.18)
\
4-0
где постоянная С3 зависит только от постоянных в неравенстве
Фридрихса A2) и xi, х2. Из C.18), учитывая неравенство |||«[|—
— ИфЩ^Ни—ф||, получим оценку C.16) Теорема доказана.
В книге [99] подробно изучен вопрос о гладкости обобщенно-
обобщенного решения, полученного в теореме 3 3 Доказано, что если грани-
граница области Q, коэффициенты системы C.14) и вектор-функции /\
Ф являются гладкими, то и обобщенное решение задачи C.14)
также является гладким.
Обозначим через Н~х (Q) пространство непрерывных линей-
линейных функционалов на пространстве вектор-функций Hq(Q). Нор-
Норма элемента /еЯ"'(О), как обычно, определяется формулой
II/ll*-4o>=sup{I/Ml, veHl(Q), Цо|1„1@) = 1}.
2 Зак 269 33

Как показано в доказательстве теоремы 3.3, выражение /=/° +
+ ——, /;eL2(Q), /=0, ...
ный функционал на Hq(Q):
к п
+ ——, /;eL2(Q), /=0, ... , п, определяет линейный непрерыв-
C-19)
для любой вектор-функции иеЯо@). Очевидно, что
II / ||я-(а) < С J !l fm \Ыи), С= const.
С другой стороны, для любого /еЯч(й) существуют вектор-
функции /meL2(Q), m=0, ...,«, такие, что
/=/o+-?i- C.20)
в смысле тождества C.19), причем
f/-1(Q), C1=const. C.21)
Действительно, по теореме Рисса [89] любой непрерывный
функционал f(v) на #o(Q) (т. е. /eff~'(Q)) представляется в ви-
виде скалярного произведения в Н1(?2), т. е. существует единствен-
единственный элемент ией0(О), такой, что
, v)dx=f(v). C.22)
Полагая в этом равенстве и=ы и учитывая определение нормы в
Я1^), находим, что
.(«). C-23)
Полагая f°=u, f' = —, получаем в силу C.22), C.23), что
ОХ;
имеет место представление C.20) и выполняется оценка C.21).
Замечание 3.4. В частном случае, когда <р=0 в C 14), для
любого /еЯ-1(й) в силу представления C.20) можем рассмот-
рассмотреть задачу
=/, uetfi(Q). C.24)
34

Тогда по теореме 3.3 и вследствие оценки C.21) имеем
/11я-<°>. C-25)
где постоянная С зависит только от xi, x2 и постоянной в нера-
неравенстве Фридрихса A 2) при у=дп.
3.4. Вторая краевая задача (задача Неймана)
В этом разделе предполагаем, что Q — ограниченная область,
имеющая липшицеву границу. Пусть S\ — подмножество на <3Q,
имеющее ненулевую (п—1)-мерную меру Лебега на дп. Положим
o(u) = vhAhk(x)-^-. C.26)
dxk
Скажем, что вектор-функция и(х) является обобщенным ре-
решением задачи
(«)=/0+4^- в ^
C.27)
)=<p+V;/< на Slt ст(ы)—V;/' на
где f eL2(fi), /=0, ... , n, cpeL^Sj, если для любой и<
выполняется интегральное тождество
{
$[(''¦¦?¦)-М**- C-28)
+
Заметим, что поскольку fi принадлежат L2(Q), то граничные
условия в C.27) выполняются лишь в обобщенном смысле, а
именно в смысле тождества C.28). Интеграл по Si в правой ча-
части C.28) существует в силу того, что согласно утверждению 3
теоремы 1.2 имеем
IMU.(s,)<C(Q)|M|«,(a) C-29)
для любой ue#'(Q).
Теорема 3.5. Пусть
J(<p,
C.30)
Q
для любого жесткого перемещения ц^Ш. Тогда существует един-
единственное с точностью до слагаемого ц^Ш обобщенное решение
и(х) задачи C.27), такое, что
1=0
35

где постоянная Сх(п) зависит только от xi, x2 и постоянных в не-
неравенстве C 29) и неравенстве B.14), когда VczHl(Q) состоит из
вектор-функций, ортогональных Ш в L2(Q), или V — ортогональ-
ортогональное дополнение к Ш вЯ'(С).
Доказательство. Обозначим через Н гильбертово про-
пространство, состоящее из вектор-функций, принадлежащих Hl(Q)
и ортогональных в L2(Q) пространству жестких перемещений St.
За Н можно также взять ортогональное дополнение к Ш в Л1 (?2).
Легко видеть, что правая часть интегрального тождества C 28)
есть непрерывный линейный функционал относительно v на Я, по-
поскольку справедливо неравенство C.29). Как и при доказатель-
доказательстве теоремы 3.3, с помощью второго неравенства Корна B 3) и
неравенства C.13) устанавливаем, что билинейная форма в ле-
левой части C 28) удовлетворяет всем условиям теоремы 1.3. Та-
Таким образом, по теореме 1 3 существует единственный элемент
меЯ, для которого справедливо интегральное тождество C 28)
при всех иеЯ. Если »е Щ., то левая часть C.28) равна нулю в
силу того, что 57(и)=0 в Q, ст(и)=0 на дп. Правая часть C.28)
равна нулю при оей в силу условий C.30). Поэтому интеграль-
интегральное тождество C.28) выполнено при всех ue#'(iQ). Оценка
C.31) вытекает из C 28) при v=u, второго неравенства Корна и
неравенств C.13), C.29). Теорема доказана.
Замечание 3.6. Если в теореме 3.5 выбрать решение и(х),
ортогональное в L2(Q) или в Я'(Ф) пространству жестких пере-
перемещений Ы, то для него будет справедлива оценка
ф|1«5,,), C.32)
где постоянная C2(Q) зависит от тех же величин, что и постоян-
постоянная Ci(Q) в неравенстве C.31). Это вытекает из второго неравен-
неравенства Корна B.14) (см. теорему 2 5).
Замечание 3.7. Так же, как и для обобщенного решения
задачи Дирихле, можно доказать гладкость обобщенного реше-
решения задачи Неймана, предполагая достаточную гладкость коэф-
коэффициентов системы ац (х), границы области Q и данных задачи
<р,/< (см. [99]).
3.5. Смешанная краевая задача
В ограниченной области QcRn рассмотрим краевую задачу
для оператора SE из класса Е(щ, хг), xi, хг>0:
' C 33)
cr(u)=<p+V;/< на Slt a(u)=Vj/' на S2,
ы=ф на у,
36

где fleEL2(Q), ) = 0, 1, ... , п, ?eL'(S1), Фей'^у), v=(vlt ...
.-• . vn)—единичный вектор внешней нормали к dQ., .г ф
Прежде чем дать определение обобщенного решения этой за-
задачи, наложим некоторые ограничения на dQ, у, Su S2.
Предполагаем, что
1. dQ = YUSiUS2, nPH4eM Y> Si» S2 — взаимно непересекающиеся
множества на dQ. ,
2. Q — область с липшицевой границей dQ, у содержит под-
подмножество, удовлетворяющее условиям теоремы 2.7.
Заметим, что все дальнейшие результаты справедливы и при
некоторых более слабых ограничениях на Q и у, обеспечивающих
выполнение неравенств A.2) и B.14).
Обобщенным решением задачи C.33) называем вектор-функ-
вектор-функцию u^Hl(Q), такую, что и=Ф на у (т. е. и—Oe#'(Q, у)) и для
любой i>e#'(Q, у) выполняется интегральное тождество
f
J
Ahk(x)f-, -f-W*=f [(/<', J5L)_(/of 0)]Л+Г(ф, v)dS.
dxh dxh 1 J L \ дЧ j \ J ,„ „.
fi S, \д.6Ъ
Отметим, что по определению пространства <Н1/2(у) мы можем
считать, что ФеЯ'(й).
Теорема 3.8. Существует единственное обобщенное решение
задачи C.33), и для этого решения справедлива оценка
< С (Q) (? |j /' i|L.(B) + |! ф |Ь№) + || Ф ||„1/2(я), C.35)
где постоянная С (О,) зависит только от %и к2, постоянной в нера-
неравенстве C 29) и постоянных в неравенстве Корна B.14) для век-
вектор-функций из #'(Q, у) (c-W- теорему 2.7).
Доказательство. Из C.34) заключаем, что вектор-функ-
вектор-функция w=u—ф должна удовлетворять интегральному тождеству
J
s,
для любой v^.Hl(Q, у). В силу утверждения 3 теоремы 1.2 для
иеЯ^О, y) выполняется неравенство C.29). Согласно теореме
2.7 для ue/Z^Q, у) выполнено неравенство B.14).
Неравенства B.14), C.13) показывают, что билинейная фор-
форма в левой части C.36) удовлетворяет всем условиям теоремы 1.3
при H=Hl(Q, у). Вследствие C.29) правая часть C.36) задает
линейный непрерывный функционал на Я1 (Q, y). По теореме 1.3
существует единственный элемент w^Hl(Q, у), для которого име-
37

ет место интегральное тождество C.36). Очевидно, что и=хй)-\-Ф
является искомым решением задачи C.33). Установим оценку
C.35). Положим v=w в C.36). Тогда согласно B.14) и C.13)
II w \\%,lQ) < С || е (w) ||?.@) < ~ ||1 И ||?.@) <
Учитывая неравенство C.29) для v=w, отсюда получаем
Так как да=ы—Ф, то
II и \\нча) < С3 (? || f' |Ь@) +1| Ф \\LHSt) +1| Ф ||я,@)). C.37)
()
1=0
Заметим, что при выводе этого неравенства за Ф можно было
взять любую вектор-функцию Ф, такую, что Ф—Фе Я1^, у),
при этом постоянная С3 не зависит от Ф. Поэтому согласно опре-
определению нормы в Я1/2(у) из C.37) выводим C.35). Теорема до-
доказана.
§ 4. ПЕРФОРИРОВАННЫЕ ОБЛАСТИ
С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ.
ТЕОРЕМЫ О ПРОДОЛЖЕНИИ
4.1. Основные типы перфорированных областей
Пусть и — неограниченная область в R" с 1-периодической
структурой, т. е. область, инвариантная относительно сдвигов на
векторы z= (zu ... ,zn)eZn.
Как и ранее, используются обозначения
Q={*:O<*/<1, /=1, ... , п},
р(Л, В)—расстояние в R" между множествами Л и В, е — малый
параметр.
Далее рассматриваем только такие области «, для которых
выполнено
38

Условие В:
81. и — гладкая область в R" с 1-периодической структурой;
82. ячейка периодичности ©f|Q является областью с липшицевой
границей;
83. Множество Q\«, а также пересечение Q\a> с б-окрест-
ностью [б<—-) границы 0Q состоят из конечного числа лип-
\ 4 /
шицевых областей, отстоящих друг от друга и от ребер ку-
куба Q на положительное расстояние.
В дальнейшем рассматриваем два типа ограниченных перфо-
перфорированных областей с периодической счруктурой, зависящей от
малого параметра е.
Область Q8 типа I:
Qe = Qf|8C0, D.1)
где Q — ограниченная область в R" с гладкой границей, и — об-
область с 1-периодической структурой, удовлетворяющая усло-
условию В. Предполагаем, что Qe — область с липшицевой границей.
Граница области Qe типа I имеет вид <3Qe = reU58, где Г8 =
= dQ|Jeco, Se=(dQe)nQ.
Область Qe типа II:
, D-2)
где Q — ограниченная область с гладкой границей,
Qi= U e(z-r-Q), О?=Й1Пей, D.3)
геге
Тг — подмножество точек 2eZ", таких, что
е — малый параметр. __
Предполагается, что Qlt Qf, Qe (множества внутренних точек Qlt
Qf, Qe) являются областями с липшицевыми границами.
Граница дпг области Qe типа II состоит из дп и границы полостей
SeczQ, Se=dQ
4.2. Теоремы о продолжении вектор-функций,
заданных в перфорированных областях
Для получения оценок решений краевых задач теории упруго-
упругости в перфорированных областях Qe нам потребуются различные
оценки продолжений вектор-функций, определенных в Qe, на об-
область ?>, равномерные по е. В основе доказательства этих оценок
лежит
39

Лемма 4.1. Пусть Gcz2>czRn и каждое из множеств G, 3>
является непустой ограниченной областью с липшицевой
границей. Пусть множество y=(dG){]2) непусто. Тогда для век-
вектор-функций из HlC)\G) существует линейный оператор про-
продолжения P:Hl(g)\G)-+HlB))> такой, что
Рт)=т), VneSR,. D.4)
D.5)
\\Pw\\hhs»
Ct ||e{w)\\LH&\a)> DЯ>
где постоянные С\,...,Сь не зависят от weH1 (S)\G).
Доказательство. Покажем сначала, что всякую вектор-
функцию w^HlB)\G) можно продолжить до вектор-функции
w^Hl(S)) так, что выполняется оценка
\Щ\нч@)<:С'№\\нч@\с), D-9)
где постоянная С не зависит от w Действительно, пусть В — шар
в Rn достаточно большого радиуса, содержащий некоторую
окрестность множества 2). Тогда по утверждению 2 теоремы 1.2
вектор-функция w продолжается с 3)\G на весь шар В до век-
вектор-функции wl^H1(B). Взяв ограничение да1 на область <?>, по-
получим вектор-функцию w, для которой имеет место D.9).
Обозначим через W обобщенное решение следующей краевой
задачи для системы теории упругости:
] DЛ0)
=w на 3)()dG, a(W) = 0 на dG[\d® )
где 3? — произвольный оператор из класса Е(т, хг) с постоянны-
постоянными коэффициентами. Заметим, что если dGf\d?g)=0, то последнее
краевое условие в D.10) отсутствует. По теореме 3.8 вектор-функ-
вектор-функция W существует и удовлетворяет оценке
Учитывая D 9), отсюда получаем
\\W\\H4e)^M2\\w\\H4^G). D.11)
Положим
e2i\G, DЛ2)
W(x)npn xeG.
Легко видеть, что P(w) — вектор-функция из пространства
Я1 {3)). Из D.10) следует, что Рч\=ч\ для любого T^eSR. На осно-
40

ваши D.11) и неравенства Корна B.3) для 3)\G (см. теорему
2.4) заключаем, что выполнены неравенства D 5), D 6), где по-
постоянные Сь С2 зависят только от G, 3).
Докажем, что для Pw имеет место оценка D 8). Предположим
противное. Тогда существует последовательность вектор-функций
vN^HlB)\G), такая, что
но
Не (PvN)\\L4m > N \\е <p»)\\LH0sgi, D.14)
-^ DЛ5)
Можем считать, что f (vN,i\)dx=0 для любого жесткого пере-
мещения г\, поскольку P(v-\-r\)=Pv-\-r\ в силу D.10), D.12) и для
любой ограниченной области «о и любой уеЯ^соо) имеем
f | е(ю-\-г\)\* dx = f \e(v)\2dx. Согласно второму неравенству
(Оо (Do
Корна B.14) (см следствие 2 6 из теоремы 2.5) для области 3)\
\G имеем, учитывая D.15),
Поэтому и^->0 при N-+<x> в HlB>\G) и, значит, 4)
при N-+oo вследствие D.13). Однако, как видно из D.14),
||e(/V)||L,(#)^ 1. Полученное противоречие доказывает неравен-
неравенство D.8).
Установим неравенство D.7). Пусть постоянный вектор С вы-
выбран так, что [ P(w + C) dx = 0. Тогда из D.5) следует, что
w + )\\L4m < Ко i\\ ( + Q\\L
г), Ко, K^
При выводе последнего неравенства мы воспользовались неравен-
неравенством Пуанкаре A 5) для S>\G. Поскольку VC=0, PC=C, отсю-
отсюда следует D.7). Лемма доказана.
Теорема 4.2 (о продолжении вектор-функций для областей
п' типа II). Пусть \Q' — перфорированная область типа II. Тогда
для вектор-функций из Hl (Qe) существует линейный оператор
продолжения Р,: Я1^*)-»-//1^), такой, что
Р&ц=г) УцеШ, D.16)
II^IW^CJMW,, D-17)
41

|M|L!(qE) + ||e HIIL!(q6)), D.18)
UD,vo||L,(ae), D-19)
№ (PBv)\\L4a)<CtMv)\\L.la*y D-20)
где постоянные С\, ,.., С4 не зависят от е, вектор-функция v при-
принадлежит Н1 (п*).
Доказательство. Пусть о^еЯ^Й'). Положим V(l) —
=у(е|). Фиксируем zeTt, где множество Tt такое же, как и в
определении области Qe типа II (см. равенство D 3)). Рассмотрим
V(l) в липшицевой области cofKz+Q). В силу леммы 4 1 можем
продолжить V(l) до вектор-функции RiV^Hl(z+Q)t такой, что
PXV = V V Fe3l,
D.21)
Продолжая V(|) таким образом для любого z^Tt, получим век-
вектор-функцию P\V, удовлетворяющую неравенствам D,21) при
любом .геТ, с постоянными Ко, К\, Дг, -Кз, не зависящими от z.
Если множество Q\« лежит строго внутри куба Q, то вектор-
функция (PiV) (х/е) является искомым продолжением, т. е мож-
можно положить (Рек) (х) == (PXV) (х/е), где V (|) = о (е|).
Однако, если Q\« имеет непустое пересечение с dQ, то век-
вектор-функция PiV(l) может не принадлежать НЦе^п), поскольку
ее следы на соседних гранях кубов z+Q, z^T,, могут не совпа-
совпадать. Вблизи таких граней изменим PiF(g) следующим образом^
В силу условия ВЗ на и пересечение б-окрестности dQ с Q\co
состоит из конечного числа липшицевых областей, отстоящих друг
от друга и от ребер Q на расстояние, большее некоторого б[Е
е@, 1/4). Для /=0 или 1=1 обозначим через у{, . .. , ylm те из
указанных подобластей б — окрестности dQ, граница которых
имеет непустое пересечение с объединением граней Q вида gft=/;
k=\,...,n.
Пусть область fii и множество TtczZn те же, что и в определе-
определении перфорированной области Q* типа II. Обозначим через 7У
множество геГе таких, что (у1. + г) f| д(е^'й^ Ф 0 при некотором
/=l,...,mi. Пусть через Gu...,Gn обозначены все взаимно непе-
непересекающиеся области, каждая из которых имеет вид 'Y/ + Z' ze
еГ8, или у)+г, z<sTle. Очевидно, что p(Gs, G/)>6i при s?=t; чис-
число N неограниченно растет при е-й), но области G,, ,.., Gn явля-
являются сдвигами конечного числа ограниченных липшицевых обла-
областей. _.,;
42

Рассмотрим продолжение P\V(l). По построению, множество
iU... [)dGN содержит все участки граней кубов z+Q, геТ„, на
которых, как указано выше, следы PiV(l) могут не совпадать.
Положим G0=GiU. • • l)GN. Обозначим Si/2-окрестность Gj через
Gj. Легко видеть, что PxV^Hl (z~lQ\Gu). Пользуясь леммой 4.1,
продолжим P\V на каждое из множеств Gj до вектор-функции
Р^У, удовлетворяющей неравенствам
\\P,V\\L4gj) + \\e (P^Uhgj) < M2 (\\PxV\\LHo}\Gj)
в})^Мя \toiPiV\\LtGj\o,), D.22)
G]) < Mt |je
причем P2V=V, если Уе R, постоянные М\,...,Мц не зависят от
V, ]. Положим U(l) = (PlV)H) для l^(e-lQ)\G0, U&) =
= {P2V){1) для |eG0. Пользуясь оценками D.21), D.22), заклю-
заключаем, что вектор-функция (Pev) (x) = U(х/е) является искомым
продолжением. Теорема доказана;
Теорема 4.3 (о продолжении вектор-функций в перфориро-
перфорированных областях Qe типа I). Пусть йв — перфорированная область
типа I и Qo — ограниченная область, такая, что QcsQo, p(dQo,
Q)>1, Тогда при достаточно малых е для вектор-функций из
Н1 (Q8, Ге) существует линейный оператор продолжения Ре: Я1 (QE,
ГЕ)->-Яо(Qo), такой, что для любой «е Я1 (QE, Ге) выполнены
неравенства
мо6)' D.23)
\\e (и)\\щаву D.25)
где постоянные С\, С2, С3 не зависят от в, и, причем (Ptu) |g=0
(Эля любого открытого g, такого, что gczQo\Q, если е достаточно
мало.
Доказательство. Обозначим через Те множество z^Zn,
таких, что e(Qf]a + z)f]Q?=0. Обозначим через Qf множество вну-
внутренних точек множества |J e(Qfl« + z), а через Qj—множество
внутренних точек множества \J z{Q-\-z). Пусть меЯ'(йе, ГЕ).
г6ГЕ
Определим вектор-функцию U (х) следующим образом:
и(х), xe=Qe,
U(x) =
О, «
43

Легко видеть, что U(x)^Hl(Qi'). Согласно теореме 4 2 можем
продолжить U(x) в область Qo. Обозначим это продолжение че-
через PeU. Положим Ptu=PeU. Очевидно, что выполнены условия
,D.23) — D.25). Последнее утверждение теоремы справедливо, по-
поскольку РЕи=0 на QqXQ^ Теорема доказана.
4.3. Неравенства Корна для перфорированных
областей
В этом разделе мы установим неравенства Корна для перфо-
перфорированных областей QE с постоянными, не зависящими от е. Эти
оценки будут использоваться в гл. II для усреднения решений
краевых задач.
Теорема 4.4 (неравенства Корна для перфорированной об-
области Qe типа II). Пусть Qe — область типа II и вектор-функция
Hl(Q°). Тогда
() С (\\u\\L4Qe} + \\е («)||L2(qE)), D.26)
где постоянная С не зависит от и и г.
Кроме того, если выполнено одно из двух условий
(и, nW,=0 Vile!» D-27)
или
(«,il)L,(ae)=0 VtieSR, D.28)
то
я'у D-29)
где постоянная С\ не зависит от и, г.
Доказательство. Hepавенство D.26) — простое следствие
неравенства Корна B.3) в области Q (см. теорему 2.4 и теорему
4.2 о продолжении). Действительно, пусть Р, — оператор продол-
продолжения из теоремы 4.2. Тогда
Пусть выполнено условие D.27). Тогда, очевидно,
(и, «)я1(йЕ) < (и—л, и—irfl/fKo8)
для любого жесткого перемещения т]еЭ1. Пусть РеИеЯ^)
продолжение вектор-функции и, существование которого 'утвер-
'утверждается в теореме 4.2. Обозначим через щ ортогональную проек-
проекцию в Н1(п) вектор-функции Реи на пространство 31. Следова-
Следовательно,
(Рви-т1о,0я«(о)=0 VSeSR. D.31)
44

Тогда в силу следствия 2.6 из теоремы 2.5
(Ре«—-По, РЕы-т]0)я<(га<(й)
так как \\е(Реи—ц0)\\^{п) = \]е(Рви)\\щи). Из этого неравенства, учи-
учитывая D.30) и теорему 4.2, устанавливаем
( W(<(РР)
Пусть выполнено условие D.28). Тогда
1М1Ь<ов> < IIk-^IIW, VrieiR. D.32)
Выбирая t]=tio так, чтобы для и—т]о выполнялось условие D.27),
получим в силу D.29)
Поэтому Hulll^ejS^CJIeMll^ej вследствие D.32). Отсюда и из
D.26) вытекает неравенство D.29) для вектор-функций, удовле-
удовлетворяющих D.28). Теорема доказана.
Установим теперь неравенство Корна в случае перфорирован-
перфорированной области Q" типа I для вектор-функций из //'(Q8), равных ну-
нулю на Гг. Заметим, что теорема 2.7 гарантирует выполнение этого
неравенства с постоянной, вообще говоря, зависящей от е, однако
для дальнейшего необходимо иметь это неравенство с независя-
независящей от е постоянной.
Теорема 4.5. Пусть Qe — перфорированная область типа I.
Тогда для любой вектор-функции иеЯ1 (QE, Ге) имеет место нера-
неравенство
1М1я.и.>?)<С1И^ийЕ)' D 33)
где постоянная С не зависит от v и е.
Доказательство. Пусть oetf (Qe, ГЕ) и PEv <~ Hl0 (Qo) —
продолжение вектор-функции v на область Qo, существование ко-
которого утверждается в теореме 4.3. По теореме 2.1 для Pev вы-
выполняется неравенство Корна типа B 2) в области Qo. Поэтому в
силу D.25) имеем
1И1ячй?) < НЗДячзд <сх IHPetOHLI@o) < с, Mv)\\L4Q*y
где постоянные Си С2 не зависят от г, v. Теорема доказана.
Непосредственно из теоремы 4.2 и утверждения 3 теоремы 1 2
вытекает
Лемма 4.6. Пусть Яг — перфорированная область типа II.
Тогда для любой уеЯ1 (Q") справедливо неравенство
где постоянная С не зависит от е.
45

§ 5. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В ПЕРФОРИРОВАННЫХ ОБЛАСТЯХ
В § 3 установлены существование и единственность решений
основных краевых задач теории упругости и получены оценки ре-
решений через данные задачи. Если область, в которой рассматри-
рассматривается решение, и коэффициенты системы зависят от параметра е,
то и постоянные в этих оценках, вообще говоря, будут зависеть от
е. В этом параграфе покажем, что в случае перфорированных об-
областей Q% описанных в § 4, постоянные в оценках типа C,31),
C.35) можно считать не зависящими от е при условии, что матри-
матрицы коэффициентов системы теории упругости принадлежат клас-
классу E(%i, %ч) с постоянными хь Х2, не зависящими от е.
5.1. Смешанная краевая задача
Пусть Q' — перфорированная область с периодической струк-
структурой типа I (см, соотношение D,1)), <3Qp = S?Ure где Se— грани-
граница полостей: 58='Qn<5QE; r8=<5Qfl<5Q8.
Рассмотрим краевую задачу
в Q
на ГЕ, o(u)=vjm на
E.1)
где /j'eL2(iQe), j=Q,...,n, Ф^Н1(пе), S — оператор теории упру-
упругости вида C.1) из класса ?(хь к2).
Эта задача в общем случае рассмотрена в § 3 (см. теорему
3.8). Следующая теорема уточняет теорему 3,8 для перфорирован-
перфорированных областей QE.
Теорема 5.1. Пусть Q* — перфорированная область типа I и
матрицы коэффициентов оператора 5? принадлежат классу
Е(щ, «г) с постоянными xi, x2, не зависящими от е, Тогда сущест-
существует единственное обобщенное решение и(х) задачи E,1), для
которого справедлива оценка
< С
/=о
где постоянная С не зависит от е.
Доказательство. Существование и единственность реше-
решения задачи E.1) вытекают из теоремы 3.8 при 5i=0, S2—Se, y=
=Ге. Согласно теореме 3,8 постоянная С в E.2) зависит от ки хг
и постоянной в неравенстве Корна D.33) для вектор-функций из
Я1^8, ГЕ). Как следует из теоремы 4.5, эту постоянную можно
считать не зависящей от е, и потому E,2) справедливо с постоян-
постоянной С, также не зависящей от е. Теорема доказана.
46

Замечание 5.2. Вектор-функция /°eL2(QE) определяет ли-
линейный непрерывный функционал l(v) на пространстве Hl(QE, Ге)
по формуле l(v) = (f°, v)L2{QEy Обозначим норму этого функциона-
функционала в (Я^Й8, Г.))* через ||/°|U. Тогда
4>l,(qE)|, ve=W(Q\ Ге), \\v\\HHQe^ 1}. E.3)
Очевидно, что ||/°||,^ У^щ^у ^3 Доказательства теоремы 3 3
вытекает, что оценку E 2) можно заменить оценкой
7=1
5.2. Оценки решений задачи Неймана
в перфорированной области
В перфорированной области QE типа II рассмотрим вторую
краевую задачу теории упругости
а> лл to I d/' oe
oxt E.5)
a(u)=<p + v,/' на <5й, а(и)==\{^ на Se, ,
где
fl e L2 (СО", /=0, ...,я,фе12 №), E.6)
Уточнением теоремы 3 5 является
Теорема 5,3. Пусть Qe — перфорированная область типа П.
х=0 E.8)
для любого жесткого перемещения T]e3i и коэффициенты опера-
оператора 3? принадлежат классу ?(xi, x2) с постоянными хь х2, не за-
зависящими от е. Тогда существует единственное решение и(х) за-
задачи E.5), такое, что
справедлива оценка
t=0
постоянная С не зависит от е.
Доказательство. Существование и единственность реше-
решения задачи E.5) вытекают из теоремы 3.5 и замечания 3.6, при-
47

чем постоянная С в неравенстве E,9) зависит от xi, хг, а также
от постоянной во втором неравенстве Корна D,29). Все эти посто-
постоянные не зависят от е, поэтому неравенство E.9) справедливо с
постоянной С, не зависящей от е. Теорема доказана,
При изучении спектральных свойств задачи Неймана типа
E.7) рассматриваем следующую вспомогательную краевую за-
задачу:
a(u)=vift' на SE, ст(«)=ф-|^г/< на
E.10)
где /^eL2(Qe), y=0, l,,..,n, cp<=L2(dQ), матрицы Ahh(x) принад-
принадлежат классу ?(xi, х2), р(х)—ограниченная измеримая функция
в Q\
0<с0^р(х)^с1; с0, c1=const. E.11)
Обобщенным решением задачи E,10) называется вектор-функ-
вектор-функция и(х)еЯ'(й'), удовлетворяющая интегральному тождеству
E.12)
для любой ()
Билинейная форма от и, w, стоящая в левой части этого ра-
равенства (обозначим ее через а(и, w)), удовлетворяет условиям
теоремы 1.3 при #=#1(Qe) с постоянными С, Си не зависящими
от е. Это следует из неравенства Корна D.26). Поэтому сущест-
существование, единственность и оценка решений задачи E.10) доказы-
доказываются, исходя из E.12), точно так же, как теоремы 3.5, 3 8. Та-
Таким образом, справедлива
Теорема 5.4. Пусть Q" — перфорированная область типа
II, матрицы Ahk(x) принадлежат классу Е(х\, хг) и выполнены
условия E.11), причем постоянные с0, си xi, X2 не зависят от е.
Тогда существует единственное решение и(х) задачи E.10), та-
такое, что
%чаЪ тдй)) E-13)
i=0
где постоянная С не зависит от е.
48

§ 6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
При изучении задач усреднения для системы теории упругости:
будем использовать теоремы существования решений некоторых
специальных краевых задач для таких систем,
6.1. Решения системы теории упругости,
периодические по всем переменным
Пусть со —неограниченная область с 1-периодической структу-
структурой, удовлетворяющая условию В (см. § 4 гл, I),
Рассмотрим краевую задачу
dxh
a(w)=vmFm на dco,
1-периодична по х, S. wdx=0,
Qh a
F.1)
где вектор-функции F'(x) являются 1-периодическими по х, /^е
eL2(conQ), /=0,...,«, элементы матриц Ahk—1-периодические по-
х функции, матрицы Ahh принадлежат классу Е(%\, хг).
Обобщенным решением задачи F 1) называем вектор-функ-
вектор-функцию w^W\ifi>), такую, что С wdx=0 и при любой v e ^(со)
справедливо интегральное тождество
Теорема 6.1, Пусть ^ F°dx=0. Тогда существует един-
ственное обобщенное решение задачи F.1) и для этого решения
справедлива оценка
()) F-3)
/=о
где постоянная С зависит только от xi, v.% со.
Доказательство этой теоремы проводится при помощи
теоремы 1.3 аналогично доказательству теоремы 3.5. При этом за
пространство 'Я следует взять множество вектор-функций v из
W~2 (со), таких, что V vdx=0. Неравенство Корна в этом слу-
чае дается теоремой 2.8.

В дальнейшем нам потребуется теорема о кусочной гладкости
решений задачи F 1) при условии, что коэффициенты системы и
вектор-функции F\ j=Q,...,n, являются кусочно-гладкими, и раз-
разрывы могут лежать лишь на поверхностях, не пересекающихся
с дсо.
Будем предполагать, что существуют взаимно непересекаю-
непересекающиеся открытые подмножества со с 1-периодической структурой
Go, Gb...,Gm, такие, что Gjf]dco=0, /=l,...,n, Go=co\(GiU...
... LJGm), причем Gi, .., Gm имеют гладкую границу.
Скажем, что 1-периодическая по х функция <р принадлежит
классу С, т. е. является кусочно-гладкой в со и гладкой в окрест-
окрестности дсо, если для каждого G,-, /=0,...,т, функция <р имеет огра-
ограниченные в G; производные любого порядка.
Теорема 6.2 Пусть вектор-функция w (х) e W\ (со) является
обобщенным решением задачи F.1), причем Ahh(x), Fi(x) при-
принадлежат классу С. Тогда w также принадлежит классу С, т. е.
является гладкой в окрестности да и кусочно-гладкой в со.
Доказательство. Гладкость w в окрестности точек хедсо
вытекает из общих результатов о гладкости решений системы тео-
теории упругости вблизи границы (см. [99]).
Пусть x°^dGj, х°^д(?>. Рассмотрим множество Gj[\{x:\x—х°|<
<Z8} = q8j(x0). В [99, п. 13, ч. I] показано, что при достаточно
малом б вектор-функция w имеет ограниченные производные лю-
любого порядка в <7?(xV Гладкость решения во внутренних точка^с
<о, не принадлежащих dG/, также доказана в [99]. Поэтому С
6.2. Решения системы теории упругости,
периодические по части переменных
Пусть матрицы коэффициентов Ahh(x) оператора 9? принадле-
принадлежат классу ?(xi, хг) и их элементы являются 1-периодическими
по x=(xi,... ,xn_i) функциями. В этом разделе со — неограничен-
неограниченная область с 1-периодической структурой, для которой выполне-
выполнено условие В § 4, области о (а, Ь) и at (a, b) заданы равенствами
A.6). Положим
6,=соПК = 0- F-4)
Пусть gt — непустое открытое множество, лежащее на 0/ и ин-
инвариантное относительно сдвигов на векторы z=(zi,.. .,zn-i, 0)e
•eZn. Пусть
, jl, .... n1},
gt=gtO{x-Q<X/<l, /=1, ••• . n—l).
-50

Рассмотрим краевую задачу
в со (а, Ь)\
дхт
(х) на ga;
[х) на gb,
a(w)=vmF'" на (да (a, b))\(ga\jgb);
w 1-периодична по х, С wdx=0,
где ty , tyb, F'—l -периодические по х вектор-функции,
F.6)
(a, 6)) /=0, ... , п, teL2(?), ieL!(?),
сх>, vn= — 1 на g'a, vn = l на g6. Предполагается, что
область со (a, b) имеет липшицеву границу.
Вектор-функция шеЯ^со (а, Ь)) называется обобщенным ре-
решением задачи F.6), если для любой уеЯ1(со(а, Ь)) имеет место
интегральное тождество
J
J
а (a.6)
ш(а,6)
V)dX.
F.7)
Теорема 6.З. Пусть
?
F.8)
Тогда существует единственное обобщенное решение w задачи
F.6) и для этого решения выполнена оценка
и f'
И %
/=0
где постоянная С зависит только от со, а, Ь, щ, v.%
Доказательство этой теоремы проводится по той же схе-
схеме, что и доказательство теоремы 3.5. В этом случае за простран-
пространство Н следует взять подпространство в Л1 (со(a, b)), состоящее
из вектор-функций v, таких, что ^ udx=0. Тогда второе нера-
<i)(a,6)
венство Корна есть следствие теоремы 2.9. При оценке правой
части F.7) нужно воспользоваться неравенством
). »6fl, F.10)
51

которое есть следствие утверждения 3 теоремы 1.2 и неравенства
Корна B.19).
Приведем также теорему об однозначной разрешимости для
следующей смешанной краевой задачи:
в со (а, ft);
хю=Ф(х)
F.11)
на оа;
на gb;
a(w)=\mF" на да(а, b)\(Qa\)gb);
w 1-периодична по х,
•где Ф{х), \{х), F'(x), <=0, ... , п, 1-периодичны по Я
Вектор-функция шеЯ'(о)(a, ft)) называется обобщенным решением
задачи^ F.11), если w = Ф на 9а и для любой v е Нх((л(а, b))f[
ЛЯ (со(а, ft), ба) справедливо интегральное тождество
Г= $ [
d* +
F.12)
Теорема 6.4. Существует единственное обобщенное petue-
яие задачи F.11), и для этого решения выполняется оценка
(El
ф I
. F-13)
где постоянная С зависит от со, щ, х2, а, ?.
Доказательство. Для любой вектор-функции
Ь))ПЯ1(со(а, ft), 9a) (т. е. v=0 на в0) выполняется неравенство
Корна B.14). Это вытекает из теоремы 2.7. Кроме того, как сле-
следует из утверждения 3 теоремы 1.2 и неравенства Корна,
)). F.14)
Учитывая неравенства B.9), F.14) и следуя схеме доказатель-
доказательства теоремы 3.8, устанавливаем разрешимость задачи F.11) и
оценку F.13).
52

6.3. Задачи теории упругости в перфорированном
слое с условиями периодичности
В этом разделе Qe обозначает перфорированный слой:
Q*={x: 0<х„< d} П есо,
где со — область с 1-периодической структурой, удовлетворяющая
условию В § 4, d=const>l — параметр, е~1— целое положитель-
положительное число.
Положим
/=1, ... , я—1},
, /=1, ... , п — Ц.
В перфорированной области Qe рассмотрим краевую задачу
и(х, О)=ф'(х) на Го, и(х, й)=Ф2 (х) на Td; F.15)
a(u)=vmfm на (dQe)\(r0 (J Г^);
«(х) 1-периодична по х.
Предполагается, что матрицы коэффициентов оператора 3?
принадлежат классу Е(ки х2) и их элементы являются 1-периоди-
1-периодическими по х функциями, fi, Ф1, Ф2— 1-периодичны по х,
), /=0,1,...,п, Ф1^Н1/2(Тп), Ф2еЯ1/2(Г,).
Вектор-функция и(х) называется обобщенным решением задачи
F.15), если u^H{(Qs), и=Ф1 на Го, «=Ф2 на Г,, и при любой t>e
е HX(QS), v=0 на Tourrf (т. е. вей1 @е) П Я1 @е, ГоиГй)) выпол-
выполняется интегральное тождество
Теорема 6.5. Существует единственное обобщенное реше-
решение и(х) задачи F.15), и для этого решения справедлива оценка
/=-0
постоянная С не зависит от е.
Доказательство этой теоремы проводится так же, как и
доказательство теорем 3.8 и 6.5. При этом нужно воспользоваться
следующей леммой.
53

Лемма 6.6. Любая вектор-функция oe#'(Qe), такая, что
v=0 на ToljTd, удовлетворяет неравенствам
НоНцае^С^Нв^Ну^е,, F-17)
где постоянные С\ и С2 не зависят от е, d, v.
Доказательство этой леммы проводится тем же мето-
методом, что и доказательство теорем 4 2, 4.3, и основано на продол-
продолжении вектор-функций, заданных в Q'. Пусть v^fil(Q*), v=0 на
ГиГй. Продолжим v на область еш следующим образом:
ею, 0 <хп<d;
Е ею, xnt^.v.
Пусть
1 = {х:0<х,<1, /=1,
Точно так же, как в доказательстве теоремы 4.2, мы можем про-
продолжить о на все множество В до вектор-функции Pv из Я1 (В),
^о=0 при хп=—1, xn=d+ 1 и такой, что
F.19)
Для области В справедливо неравенство Фридрихса вида
L(B)L(S) F.20)
и неравенство Корна
22CB) . F.21)
Из неравенств F.19) — F.21) вытекают оценки F.17), F.18). Не-
Неравенство F.20) вытекает из представления
—1
которое справедливо для любой w^C°°(B), такой, что w(x, —1) =
=0.
Неравенство F.21) доказывается точно так же, как и неравен-
неравенство B.2) в теореме 2.1. Для этого нужно приблизить Pv после-
последовательностью гладких вектор-функций wm, 1-периодических по
54

х и равных нулю в окрестности гиперплоскостей хп=—1, xn=d+ 1,
а затем воспользоваться формулой Гаусса—Остроградского в об-
области В, учитывая 1-периодичность по х вектор-функций wm.
§ 7. ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА
ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Принцип Сен-Венана был сформулирован в 1851 г. и нашел
широкое применение при исследовании различных задач механи-
механики и при решении практических задач Математической формули-
формулировке и обоснованию принципа Сен-Венана посвящено большое
число работ [154; 121; 143; 157 и др.]
Мы используем асимптотические свойства решений системы
теории упругости, которые тесно связаны с этим принципом, для
построения пограничных слоев при получении асимптотических
разложений решений краевых задач для системы теории упруго-
упругости с быстро осциллирующими коэффициентами.
7.1. Обобщенные моменты и их свойства
В этом разделе со — неограниченная область с 1-периодической
структурой, удовлетворяющая условию В § 4.
Введем обозначения:
a (a, b)=af\{x:a<xn<b}\
а(а, Ь)=а{] {х : 0<х/< 1, / = 1, .. . , л —1; а<хп<Ь);
Г,=юП{* :*»=*}; G1
Г<=ю(—оо, оо)П{х ¦¦ xn=t}\
S(a, Ь)=(да)Г\{х-а<хп<Ь};
S(a, b) = S(a, b)(]{x:0<xj<l, } = l, ... , л—1}.
Предполагается, что матрицы коэффициентов Ahh(x) операто-
оператора 3? принадлежат классу В(х\, хг) и являются 1-периодически-
1-периодическими по х= (х\,..., хп-\), щ, x2=const>0.
Вектор-функция и(х) называется 1-периодическим по х реше-
решением системы
и)=/° +f-B» (h, Q @ < tx < /, < оо), G.2)
удовлетворяющим граничным условиям
o(u)=vtf' mS(tlt g, G.3)
55

если ие. Нх {(?>{tu t2)) и для любой »еЯ'(м(/,, /2)), v=0 на
выполняется интегральное тождество
Вектор-функция и(х) называется обобщенным 1-периодическим
по х решением системы G.2) в со@, оо) с граничными условиями
G.3) на S@, оо), если и(х) является обобщенным 1-периодиче-
1-периодическим по х решением системы G.2) с условиями G.3) при любых
Предполагается, что /teL2(co(/b t2)), j=O,...,n, 0</i</2<°°,
и вектор-функции р являются 1-периодическими по х. Если t2=°°,
то р могут не принадлежать пространству Z,2(co(/i, оо)).
Для обобщенного 1-периодического по х решения системы
G.2) в a(t\, t2) с граничными условиями G.3) на S(t\, t2) рас-
рассмотрим векторы P{t, и), которые назовем обобщенными момен-
моментами. Они определяются с помощью формул
Р(/, ы)= lim s-> f A^-^-dx, /€=[/„ /J,
s->-+o J dxk
P(tt, w)=lims-' V Ank—~ dx.
s-v+O J dxk
'aUz-s, t,)
Существование P(t, и) вытекает из леммы 7.1.
Лемма 7.1. Пусть вектор-функция fn такова, что
limh~1 [ fndx=limh-1 [ fndx=[fndx G.6)
\ [ f
л->+о ^ J л-н-о
a>{t-h,t)
и и(х)—обобщенное 1-периодическое по х решение системы G.2)
в «>(t\, t2), удовлетворяющее граничным условиям G.3) на S(t\,
t2). Тогда для обобщенных моментов Р {t, и) имеют место сле-
следующие формулы:
Р(t, u)= lim s-i Г Ank-^-dx=
s—»-4-0 J dxk
= lim s-i f Ank-^-dx, te-i^U), G,7)
s_.4-o ^ J dxk
P(t", u)—P(t', u)= [ Iй dx— J fndx +
+ 1 Fdx, h<t'<f <tz. G.8)
56

Доказательство. В случае, когда коэффициенты системы
G.2), вектор-функции f>, /=0, ..., п, и и{х) достаточно гладкие,
формулы G.7) очевидны, а формулы G.8) проверяются интегри-
интегрированием по частям. Когда же мы рассматриваем обобщенные
решения и{х), нужно воспользоваться интегральным тождеством
G.4).
Пусть е1,.. ,еп — канонический базис в Rn Возьмем в инте-
интегральном тождестве G.4) v=Q(xn)er, где 9 — непрерывная функ-
функция, 6@ = 1, 8(*п)=0 при ti<xn<t~hi и при t+h2<xn<t2,
Q{xn) линейна на отрезках [t—hu t], [t, t + h2], где hu h2— до-
достаточно малые положительные постоянные. Из G.4) имеем при
г=\,...,п
С Ы^L eAdx + hl' Г (*•*-*-,
дхк
= Г (f°, v)dx-hT* J (fn, ^dx+hT1 Г (fn, e)dx.
ait-h^t+h,) ait-lh.t) ~a(t,t+h,) ' G-9)
Отсюда следует, что первый интеграл в левой части этого равен-
равенства имеет предел при /ii-> + 0 и второй интеграл имеет предел
при h2-*~+0 Устремляя в G.9) сначала hi к 0, а затем h2 к 0, по-
получим равенство G 7).
Докажем теперь равенство G 8). Положим в интегральном
тождестве G.4) u=9j (xn)er, где 6i — непрерывная функция, такая,
что 9i(O=9i(n=0, 9=1 на (t' + h, t"—h), Q(xn) линейна на [Г,
t' + h] и на [t"—h, t"), h>0 и достаточно мало. Из G.4) получаем
a(t,t+ht)
Г (Л»*-^-, e^dx+h-1 f
J (f°, и)Лс-А-' J (p,
ш (t'J'+h) "u(t"—h,t«)
, r=l, . . , n.
Отсюда и из условий G.6) вытекает G.8). Лемма доказана.
Если вектор-функции /', и и элементы матриц Апк достаточно
гладкие, то легко видеть, что
P(t, ")= J
дхь
Всюду далее в этом и следующем параграфах предполагаем,
что для системы вида G.2) справедливы условия G.6) при /е
57

7.2. Принцип Сен-Венана для однородных задач
В механике сплошных сред основной интерес представляет
принцип Сен-Венана в том случае, когда на границе цилиндриче-
цилиндрической области задано граничное условие а(н)=0. Этот случай по-
подробно изучен в [143]. Для приложений в теории усреднения не-
необходимо рассмотреть случай задач с периодическими граничны-
граничными условиями.
Теорема 7.2 (принцип Сен-Венана). Пусть s, h — целые
числа, такие, что s>/i>0, и пусть и(х)—обобщенное 1-периоди*
ческое по х решение системы
2(и) = 0 в co(s—Л, s+l+/i), G.10)
удовлетворяющее граничным условиям
о(и) = 0 на S(s—h, s+l+h). G.11)
Предположим, что P(s+l, u)=0. Тогда
\${u)\*dx, G.12)
CO(S,S+1)
где А — положительная постоянная, не зависящая от и, s, h, А за-
зависит только от со@, 1) и коэффициентов системы G.10),
Доказательство. Положим g = со(s — h, s + 1 + h), g1 =
= со (s—h,s), ga=<o(s+l, s+l+h). Пусть {umj—последовательность
вектор-функций из С°°((о@, оо)), 1-периодических по х и таких, что
и-* и в H1(g) при т->-оо. Определим скалярную функцию Ф (хп),
полагая Ф(хп) = ехр[А(хп — (s—h))] при xg[s—h, s], Ф(хп)=ехр(Л/г)
при *ne[s, s+1], Ф(хп) = ехр[ЛE+1+/1—хп)] при xne[s + l, s +
+ l + /i], где Л — положительная постоянная, которая будет вы-
выбрана ниже. Полагая и=(Ф—l)um в интегральном тождестве для
и(х) в g, получим
= _ Г (A^JH-, -^-uAdx. G.13)
J \ dxk dxn J
- h~1-\ l - -.
Легко видеть, что g-1=lj coit где со< = соE—h + t, s—h + t + l), g* =
t0
j
- Q ©?, где co?=©(s+l+/, s+ 1
i0
58

Фиксируем t и выберем постоянный вектор С таким, чтобы
выполнялось условие
J {u
Тогда согласно неравенству Пуанкаре (см. теорему 1.2) при
?2=0)}, второму неравенству Корна B.19) и неравенству C.13)
имеем
где Мо — постоянная, не зависящая от t и т.
Принимая во внимание G.14) и тот факт, что Р (хп, и) = 0 при
дФ
xn^(s—h, s), = ЛФ при xne(s—h, s),
-1)] при лгесо}, получаем
S
dxk
S
/•
|«(u) |2 Ф dx + em,
G.15)
где постоянная С2 не зависит от s, t, h, ;em->0 при m->oo. Из
G.15) заключаем, что
Oil дФ ^.т\ J . -/"ifl/f /I-Jl I9/..MS* J-. \ Ur. /у 1g\
Аналогичное неравенство имеет место для g2 и доказывается в
точности так же, как и G.16) Устремляя т к оо, из G 16) и
G.13) находим, что
\$1и)\2Фйх.
в1 U в*
Отсюда вытекает оценка G.12), если постоянная Л выбрана та-
такой, что СМоАеА=\. Теорема доказана.
Еще один вариант принципа Сен-Венана устанавливает
Теорема 7.3. Пусть w {x) — обобщенное {-периодическое по
X решение системы
)=0 в ю@, k + N),
59

где k>0, N>0 — целые числа, причем
ш=0 на Го, с(ад)=О на S@,
Предположим, что P(t, w)=0 при te (О, k + N'). Тогда
™ J \§(w)\4x, G.17)
А — та же постоянная, что и в теореме 7.2.
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
доказательству теоремы 7.2.
7.3. Принцип Сен-Венана для неоднородных задач
Рассмотрим (п—1)-мерные открытые множества gjCzTj, /=0,
1, 2,.., такие, что gj?=0, g,-=go+ @,...,0, /), gj + z=gj для всех
2GZ" вида z=(zu...,zn-u 0). Наличие таких множеств g$ обес-
обеспечивается условием В § 4 на и. Положим gj=gjC\Tj, /=0, 1, 2,... .
Докажем сначала несколько вспомогательных результатов.
Лемма 7.4. Пусть q><=L2(g-0), ty<=L2(gN) и при некотором
целом N>0
J J /»dx. G.18)
Тогда существует 1-периодическое по х обобщенное решение U (х)
задачи
(U)=fo + JIL в @@, N),
1
+v;/' на g-fl, a((/)=i|3 + vJ/' на gN,
)=vi/' на
а
v=(vi, ..., v«) — единичный вектор внешней нормали к
до)@, Л'), ы для этого решения справедлива оценка
i=0 т=0
постоянная С не зависит от N и
, т=1, ... 7V—1, G.21)
Доказательство. Существование решения задачи G.19)
есть непосредственное следствие теоремы 6.3, поскольку имеет
место равенство F.8) при а=0, b=N' в силу G.18).
60

Установим оценку G.20). Полагая в интегральном тождестве
F.7) w=v=U, получим
- J
ш@, N)
+ j (ф, f/) dx + j (if, 60 <?. G.22)
? ?
Обозначим через Vm, m=l,. ..,N, обобщенные 1-периодические
по x решения краевых задач:
a (Vm) =v,/
в (o(m—I, m),
на gm_,,
на &o(m-1, m)\(gm {
m=l, ... , N,
G.23>
где ijjo, i|3i, ¦.. t i|5jt — вектор-функции, определенные равенствами
G.21), (vi, ..., vn) — единичный вектор внешней нормали к
до{т—1, /и). Проверим для задачи G.23) выполнение условий
разрешимости.
При /и=1, пользуясь условиями G.18) и формулами G.21),
находим
J $odx— J qtdx= j ц>йх~ J f°d
o>(i, j
?o
go gjtf go
При т=№ из G.21) имеем
— J"
f°dx=
@@,1)
@@,1)
gJV-l ?JV a(N-l,N) ?jv
Если т=2 N—1, то из G.21) получаем
mdx= J /Ш
- J
ш(т— 1,
g/V
f°dx.
ш(т—l,
61

Таким образом, условия разрешимости для задачи G.23) выпол-
выполнены и, следовательно, по теореме 6.3 Vm существуют и удовле-
удовлетворяют неравенствам
I! в (n niM-(m_lim)) < с [ ? и р \\2L,a{m_hm)) +
1=0
Сравнивая это равенство с G.22), заключаем, что
(О.Л) m==1 io(m— l
io@,ЛГ) m==1
J
G.24)
• — in- j
где постоянная С не зависит от /и, М
Из интегрального тождества для Vm имеем
Г / лиь д]/т ди \ , f Г,г„ ,п [ 6U \ 1 , .
_ J \ dxh dxh J J [ V ' dxt J }
io(m— l,m) io(m—I,m)
;^m_i, f/)ic. G.25)
sm em-i
Суммируя эти равенства по т от 1 до Л/1, находим
N
-V V Лй/! —, dx= \ \(f°, U)—[fl, \\dx—
LA J \ дхъ дхи J J I \ dxt J \
m=l
Отсюда и из неравенств G.24) вытекает оценка G.20). Лемма до-
доказана.
Аналогично доказывается следующая
62

Лемма 7 5. Пусть U(х) — Х-периодическое по х обобщенное
решение задачи
д
, АО,
и=Ф на Го, а(^=г|} +vj/' на gN,
o{U)=v,f' на (йо@, N))\(T0{jgN).
Тогда для U (х) справедлива оценка
G.26)
и /' Hi, Лол» + Е»
(-0 m-0
где постоянная С не зависит от N и
eN
ф
N—l,
G.28)
Доказательство. Пусть шеЙ'(ш@, Л^)), ш=Ф на ГО, ау=О
в © f —, N j. Из интегрального тождества для ?/ вытекает равенство
ш@,A
J
dxh
)dx. G.29)
J
Обозначим через Vm обобщенное 1-периодическое по х реше-
решение задачи G.23), где i|jm заданы равенствами G.28). Разреши-
Разрешимость этих задач проверяется точно так же, как и разрешимость
соответствующих задач в лемме 7.4. Для V™ справедливы оценки
G.24), причем ч|эо, %,.--.ipw определены формулами G.28). Из
интегрального тождества для Vm следует, что
_ г
J
Щ НУ-») )dx=
dxh dxh
ш(т—l,
ш(т—\,m)
¦0}U_w)_(f^ HU-») \]dx +
\ дХ; J J
+ J MW U-w)dx-
-i, U-w)?i.

-Суммируя эти равенства по т от 1 до Л/1 и учитывая, что U—ш=0
на go, получим
Li J V dxh dxh )
dxh dxh )
ш(т— 1,т)
Из этого равенства и G.29) заключаем, что
==1 io(m— l,
— \,m)
f
ш@,1/2) *о@.1/2)
Из этого неравенства и G.24) вытекает оценка G.27). Лемма до-
доказана.
Лемма 7.6. Пусть «еЯ1 (и (О, N)), н=0 на Го. Тогда
IMU'fijv) + IMIl«(S(o.jv)) <AfoiV ||е(и)|Ьй<о.ло), G.30)
где постоянная Мо не зависит от N и и.
Доказательство. Рассмотрим вектор-функцию до, которая
является 1-периодическим по х обобщенным решением задачи
J?(w)=u в ©@, iV),
= — и на gN, )
)
а(ш)=0 на й»@, Л0\(ГоОЫ. ^=° на ГО.
По лемме 7.5 для до справедлива оценка
f
N
оо(О.Л')
m=o
J |«|2dx+5 \u\2dxj. G.32)
1
€4

Полагая v=u в интегральном тождестве для до, получим
\u\*dx+ J \u\*dx=-
;?(о,ло
Из этого неравенства, учитывая G.32), получим оценку G.30).
Лемма доказана
Для приложений важно иметь обобщение теоремы 7 2 в случае
неоднородных краевых условий и ненулевых обобщенных момен-
моментов. Для решений неоднородной системы теории упругости имеет
место
Теорема 7.7 (обобщенный принцип Сен-Венана). Пусть
и(х) является обобщенным l-периодическим по х решением си-
системы
X(u)=f°+-^- ea^t,) G.33)
с граничными условиями
a(tt)=v,/< HaS{tx,Q, G.34)
где t<i>t\-\-2, t\, t2— целые положительные числа, причем для лю-
любого Ш{и, t2) выполнены условия G.6).
Тогда для любых целых s, h>0, таких, что s—h>tu s+\ + h<
<t2, справедлива оценка
Ah J \e(u)\*dx +
"m(s—ft,s+l+ft)
"a(s-ft,s+l+ft)
2ft+l
f°dx- J fndx\2}, G.35)
?
где постоянная С не зависит от s, h; A — постоянная из теоре-
теоремы 7.2.
Доказательство. Рассмотрим вектор-функцию U(x), ко-
которая является 1-периодическим по х обобщенным решением за-
задачи
G.36)
)=/о + Л_ в a(s—h, s+h + l),
на gs-h, o{U)=ty + vifi на gs+h+u
о(и)=хг{' на da(s—h, s-\-h-\- l)\(gs~h\Jgs+h+i)
3 Зак. 269 65

где ф, if — постоянные векторы, выбранные такими, чтобы выпол-
выполнялись равенства
P(s—h,u) = P(s—h,U), P(s + h+l,u)=P(s + h+\,U). G,37)
Имеем
P(s + h+l,U)= J o{jJ)dx= J %? + jj /"<?,
rs+ft+i es+ft+l rs+ft+l
P(s—h,U) = — J o{U)dx = — J <pdx+ j /ndx.
rs-A «s-ft rs-ft
Из соотношений G.37) определяем фиф:
G.38)
Ф=(те5?0Г1 [-Р (s-A, и)+ J fn?c].
Покажем, что для ф и ¦ф выполнены условия разрешимости зада-
задачи G.36). Действительно, пользуясь равенствами G.8), получаем
Ц?с+ J <pdx=P(s+h + l,u)—P(s—h, и)—
s+ft+l g s-ft
— I fndx+ J fndx= I f°dx.
Г5+Л+1 ?s_ft -S(s_ft,s+ft+l)
Следовательно, по лемме 7.4 решение задачи G.36) существует и
для него справедлива оценка
¦щ(8—ft,s+ft+l) "S(s—A.s+A+1)
2Л+1
J
6 s-ft+m
G-39)
где
4>m=(mesi0)~1( J f°dx— J ^dx), m=0, ... ,2A+ К
"S(s—ft+m,s+ft+l) Ss+ft+1
Поскольку
1,и)=РE—А, и)+ I f°dx+ I fdx— J fndxt
? ?
M(s-ft,s+ft+l) ?s+ft+1 ?s.ft
66

то из G.37) следует, что
H>m=(mes ?„)"'( I f°dx-P(s-h,u)-
- J f°dx- J /"dx + J fn?c+ J f
Таким образом,
-h, u)- J /"<?). G.40)
s—/i,s—ft+m)
Легко видеть, что вектор-функция ы—i7 является обобщенным
1-периодическим по jc решением системы G.10) с граничными ус-
условиями G.11), причем Р(и—U, s—h)=0. Согласно теореме 7.2
\8(u—U)\*dx^e-Ah [ \g(u—U)\2dx.
Отсюда и из C.13) следует, что
+ J
ft)(S—ft,S+l+ft)
Из этой оценки, учитывая G.39) и G.40), устанавливаем оценку
G.35). Теорема доказана.
§ 8. ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ
В этом параграфе мы будем использовать те же обозначения,
что и в § 7.
8.1. Теоремы типа Фрагмена—Линделефа
Классическая теорема Фрагмена—Линделефа для уравнения
Лапласа обобщалась для эллиптических уравнений и систем в
различных направлениях (см обзор в [50]).
Следующая теорема представляет собой вариант теоремы ти-
типа Фрагмена—Линделефа и является следствием обобщенного
принципа Сен-Венана (теорема 7 7).
3* 67

Теорема 8.1. Предположим, что
(-M, 5=0,1,2,..., (8.1)
i=0
где Си аг — положительные постоянные. Пусть и(х)—обобщен-
и(х)—обобщенное 1-периодическое по х решение системы
/°+^всо@, оо), (8.2)
a{u)=vifi на S@, oo),
такое, что
Р@,и)=-
f»dx, (8i3)
5 = 1,2,..., (8.4)
где C=const не зависит от s, 6o=const, О<бо^Л А — постоянная
из теоремы 7.2. Тогда существуют не зависящие от s положитель-
положительные постоянные С2, Сз, а2, а3 и постоянный вектор до», такие, что
справедливы оценки
IIе ("IЬ («(..ц-0) ^ Са ехр (~
II"—w~h'(S(s.s+D) <сзехр (—а^). (8.6)
Доказательство. Согласно формулам G.8) и (8.3)
Р (s, и) =Р @, и) + J /°dx— Jj /nd? + J /nd^ =
Учитывая неравенства (8.1), получаем
\P(s, ы)|<Сехр(— bos), s = 0, 1,2, ... ,b0=const>0. (8.7)
Положим в неравенстве G.35) h=[s/2]. Тогда, принимая во вни-
внимание условие (8.4) и неравенства (8.7), (8.1), устанавливаем не-
неравенство (8.5).
Докажем теперь оценку (8.6). Для каждого s=0, 1, 2,... по-
положим
a>s=(mesc0(O, 1)) С u(x)dx. (8.8)
68

В области co(s, s + 2) рассмотрим 1-периодическое по & обобщен-
обобщенное решение задачи
^(t>)=(mesS@, l)r1(X^(s.s+1)-XS(s+1,s+2)) B <*><*,*+ 2), (8.9)
а(и)=0 на da>(s, s + 2),
где Xs — характеристическая функция множества g. Из интеграль-
интегрального тождества для решения задачи (8.9) и равенства (8.8) по-
получаем
\ws—ws+i\ =
С
J
@(s,s+2)
co(s,s+2) @(s,s+2)
В силу теоремы 6.3 ||§(w)IL«E(S S+2)^C. гДе постоянная С не за-
зависит от s. Поэтому, пользуясь уже доказанными неравенствами
(8.5), находим
| ws—Ws+i | < С exp (— aos), a0=const > 0.
• Следовательно, существует вектор шоо=Нтг4'5. Кроме того,
+ ... + \ws+t-i— Ws+t\
exP (- «o (s + /)) < K2 exp (-
где постоянные /Сь /Сг не зависят от s, t. Устремляя в этом нера-
неравенстве t к оо, получим
\ws—Woo\^K2exp(— aos). (8.10)
Для доказательства оценки (8.6) воспользуемся неравенством
Корна B.9) в области co(s, s+ 1). Имеем
exp (- aos)),
где постоянная /Сз не зависит от s. Отсюда и из (8.5) устанавли-
устанавливаем неравенство (8.6). Теорема доказана.
Замечание 8.2. Пусть выполнены условия теоремы 8.1 и
пусть /г'=0, i=l,...,n. Если вектор-функция /° и коэффициенты
системы 8.2 при больших х являются достаточно гладкими, то из
априорных оценок для решений эллиптических систем [1] сле-
следует, что при больших s
69

), m>0.
Из теоремы 8.1 и теоремы вложения [93] вытекает, что при
2
max \и—Wool ==
8.2. Существование решений в бесконечных
областях
В этом разделе мы будем изучать существование решений за-
задачи
X («)=/« + -^- в со@Hо),
1 (R 1 П
и=Ф на Г„ o(u)=vifl на S @, оо), { '
и 1-периодична по х.
Существование таких решений будет использоваться в гл. II при
построении пограничных слоев в задачах усреднения.
Предполагается, что в (8 11) ФеЯ'/2(Го), 1-периодична по х,
р 1-периодичны по х, ^е12(ш(^, ^)) при любых t\, ti, 0^^<^2<
<оо,/=0, 1.....Я.
Обобщенным решением задачи (8.11) называется вектор-функ-
вектор-функция и(х), такая, что м=Ф на Го, и(х) принадлежит пространству
ftl(<?>(tu t2)) при любых 0^^<^2<°о и удовлетворяет интеграль-
интегральному тождеству G.4).
Оценки решений типа Сен-Венана (см. теоремы 7.2, 7.3, 7.7)
позволяют доказать существование и единственность решений для
задачи (8.11) в классах растущих при хп->оо вектор-функций.
Теорема 8.3. Пусть
^\\1%ч^о.$)) + ^П\\Ь(т$)^МехР[(А-Ь)з], *=1,2, .... (8.12)
1=0
где М, 6=const, А — постоянная из теоремы 7.2,
Тогда для любого постоянного вектора q=(qlt... ,qn) сущест-
существует единственное {-периодическое по х обобщенное решение
и(х) задачи (8.11), такое, что Р@, u) = q, и справедлива оценка
С Iм ехР Р-fii)
, ? = 1,2,..., (8.13)
70

где С — постоянная, не зависящая от k, 61 — любая постоянная из
интервала @, б).
Доказательство. Обозначим через vN обобщенное 1-пе-
риодическое по х решение задачи G.26) при
^=(mesior1[<7+ J /°d*-$/"<?]. (8.14)
«!@,ло Г,
Легко видеть, что
N)=q. (8.15)
Действительно, по формуле G.8) имеем
, vN)—P@, vN)= \ f°dx + J fndx—
Учитывая, что
J J fndx,
а также равенство (8.14), отсюда получаем
Р @, vN) = J Wx + J fndx — J f°dx — J fndx +
При таком выборе я]) вектор-функции Hpm из G.28) имеют вид
^m=(mesior! [-q- J /»dA; + J fndx). (8Л6)
"и@,т) fi
Таким образом, из неравенства G.27) леммы 7.5 вытекает, что
h < С [
i=0
K^S Pdx-fr&f], (8.17)
и@,т) Гв
m=0
где постоянная С не зависит от N.
Вектор-функция vh+N+l—vN+k удовлетворяет всем условиям
теоремы 7.3, поскольку в силу (8.15)
Р@, vk+N+1—vk+N)=0.
Следовательно, из неравенства G.17) получаем
1 < Cer™ \\e(pN+k+l-vN+k)\\bao,k+N)).
71

Учитывая (8.17), из этого неравенства заключаем, что
1=0
m=0
J /°dx-J/«
(O@,m)
Оценим вторую сумму, стоящую в правой части (8 18). Имеем
N+k+l
co@,m) fl
т=0
mes5
Г,
«7 —
@,т) J
+ СЛ1 exp((Л—60 (JV + Л + I)), (8.19)
где 6i — любая постоянная из интервала @, б), С зависит от 6i и
не зависит от jV и k. При выводе последнего неравенства мы вос-
воспользовались условиями (8.12), а также неравенством mesco@,
)^С. Таким образом, из (8.12), (8.18), (8.19) выводим
Поэтому
М2
х
X
q-
(8.20)
где постоянная М2 не зависит от k и N.
Из (8.20) следует, что
t-i
1=0
72

/—1
1=0
X
q-
>(s + / + ?+l)X
(M2M)
l/2 e{A~W2 e-
X
•—\fndx +M2
1/2,
Поэтому
f
x
1=0
1
где 6i — любая постдянная из интервала @, б), постоянные Mj
не зависят от k, s, t. Из неравенства (8.21) вытекает, что
\\e(vk+s-vk+s+t)\\L4«(O,k))-+O при s, t-+ оо. (8.22)
Заметим, что vh+s—vh+s+t=0 на Го. Поэтому мы можем применить
к этой вектор-функции теорему 2.7, из которой заключаем, что
||yfc+s yfe+s+^jj ^ ^.C1\\e(vk+S yfe+s+0ll 2~ , (8.23)
где постоянная С\ зависит от k, но не зависит от s, t.
Из (8.22), (8.23) следует, что при всяком k последователь-
последовательность Vs сходится в Я1 (со@, k)) при s->oo к некоторой вектор-
функции и. Переходя к пределу в интегральном тождестве для
Vs при s->oo, получим, что и — решение задачи (8.11).
Устремляя t к оо в (8.21) при s=0 и пользуясь (8.17) при jV=
=k, получаем
. i_ mJa~Wfe i
q- J fndx
f
f".
Таким образом, неравенство (8.13) установлено.
73

Для завершения доказательства осталось показать, что
Р@, u)=q. Согласно формуле G.8) имеем при s<m
j" ndx
P(s,vm)—P@,vm) = f f4x + J fndx — j" fn
¦S(o,s) fs f;
Проинтегрируем это равенство по s от 0 до t. Тогда
t
¦i[P(s, vm)ds=q+-~\ds C f°dx+j- Г fndx — Undx,
0 ° ft>@,s) и@,О F,
Переходя в этом равенстве к пределу при m-ж» и затем в полу-
полученном равенстве для и переходя к пределу при t-*-+0, получаем,
что Р@, u)=q. Единственность построенного решения следует из
теоремы 7.3, Теорема доказана
8.3. Решения, стабилизирующиеся
на бесконечности к постоянной вектор-функции
Следующая теорема устанавливает существование и оценку
решений задачи (8.11) при быстро убывающих правых частях.
Теорема 8 4. Предположим, что выполнены условия (8.1).
Тогда существует единственное обобщенное решение задачи
(8.11), такое, что
г=0
} (8-24)
| J
т=0 ш(т,оо)
Кроме того, существует постоянный вектор Сх, такой, что
^, s= 1,2, ..., (8.25)
где Mi, М2, а0 — положительные постоянные, не зависящие от s.
Доказательство. Поскольку выполнены условия (8.1), то
тем более выполнены условия (8.12). Положим в теореме 8.3
q=^fndx— J f°dx. (8.26)
fi Ш@,оо)
Пусть и(х)—решение задачи (8.11), существование которого
утверждается в теореме 8.3 при Р@, u)=q. Докажем, что для это-
этого решения справедливы оценки (8.24), (8 25). Сначала проверим,
что для и(х) выполнены оценки (8.4). Действительно, для /', /=
=0,...,«, неравенства (8.12) имеют место при 8=А. Следова-
Следовательно, для и(х) неравенства (8.13) справедливы при 8i=3/l/4<6.
74'

Из (8 13) следует, что оценки (8 4) выполнены при бо=Л/4. Та-
Таким образом, выполнены все условия теоремы 8.1 и, значит, име-
имеют место неравенства (8.5), (8.6).
В силу неравенства Корна типа B.3) для co(s, s+1) имеем
Поэтому из (8.5), (8.6) следует (8.25).
Докажем теперь оценку (8 24). Рассмотрим вектор-функции
vN, построенные при доказательстве теоремы 8 3. Для этих функ-
функций справедливы оценки (8.17). Подставляя в (8.17) q, заданное
формулой (8 26), и устремляя jV к оо, получим оценку (8 24).
Осуществляя этот предельный переход, мы воспользовались оцен-
оценками (8.1), а также сходимостью vN к и в Я1 (со@, k)) для любо-
любого фиксированного к, которая установлена при доказательстве
теоремы 8.3. Теорема доказана
Для вектора С<х, в оценке (8 25) может быть получена явная
формула, выражающая С<х> через fi, j=O,...,n, и значения и(х)
на Го. При этом нам потребуются вспомогательные вектор-функ-
вектор-функции V, г=1,... ,п, существование которых обеспечивается теоре-
теоремой 8.3.
Вектор-функции V, г=\,...,п, определяются как 1-периодиче-
ские по х обобщенные решения следующих краевых задач:
?(V)=0 в со @, оо), Ч
vr=0 на Го, 0@0=0 на S @, оо), (8.27)
P{0,v)=-en r=l, . ...n, J
где еи...,еп— канонический базис в Rn. Согласно теореме 8 3 vr
могут быть выбраны такими, что выполняются оценки
\\e(V)\\bwo,N))<M0N, N=l,2,..., M0=ronst. (8.28)
По лемме 7.6 для vr также выполняются неравенства
М\1ыс,ю) ^M,N3, # = 1,2,..., M1= const. (8.29)
Теорема 8.5. Пусть выполнены все условия теоремы 8 4.
Тогда постоянный вектор С^^уСос, ... ,С^), входящий в (8.25),
определяется равенствами
()]"$ ? (8-30)
где V — решения задач (8.27), удовлетворяющие неравенствам
(8.28), (8 29).
Заметим, что если V и коэффициенты оператора 2 достаточ-
достаточно гладкие, то интеграл
(а (V), и) dx= ^ (а (У), Ф) dx
г, и
75

определен очевидным образом. Придадим смысл этому интегралу,
когда vr являются лишь обобщенными решениями задачи (8.27).
Легко видеть, что в случае гладких vr
J (а И, iwO dx = J (Л** -g-. *-) d* (8.31)
@@,<х>)
для любой 1-периодической по х функции ¦фвеС'(со@, оо)), та-
такой, что \|)в=1 в со@, б), i]>e=0 в соB6, оо), где 6=const>0. Из ин-
интегрального тождества для vr следует, что интеграл в правой ча-
части (8.31) не зависит от Цр6 и б. Этот интеграл мы и будем рас-
рассматривать как \(o(V),u)dx в случае обобщенных решений vr
vr
Доказательство теоремы 8.5. Фиксируем целое число
s>l. Рассмотрим функцию ср(хп) еС°(R1), такую, что cp(xn) = l
при л:пе@, s), <p(xn) линейна на отрезке [s, s+1], ф(л;„)=0 при
xns[s+l, оо).'Положим v=q>vr в интегральном тождестве G.4)
при ti=0, t2=s+\. Учитывая интегральное тождество для vT и ра-
равенство (8.31), получим
*eo(s,s+l)
=- t I»
л J \ dxk dxh
-T
a(s,s+l)
a(s,s+l) co(s,s+l)
dxk \
f
J
U)(S,S+1 ) "S(S,S+1 )
+l) ^(s
dxh
Легко видеть, что второй и четвертый интегралы в правой части
последнего равенства могут быть оценены величиной
( I
5(s,s+l)
76

и потому экспоненциально затухают при s-*-oo в силу (8.25),
(8.29), (8.28). Рассмотрим третий интеграл в правой части (8.32).
Учитывая определение P(t, vr) и равенство P(t, vr)=P@, w) =
=—ег, находим
С
J
да*
dxk
S+1
Л dx=- С (
I j
a(s,s+l)
Таким образом, устремляя в (8.32) s к оо, получаем формулу
<(8 30). Теорема доказана.
Замечание 8.6. Из этой теоремы вытекает, что условия за-
затухания решения задачи (8.11) при выполнении условий теоремы
8.4 имеют вид
[(/°, ur)-(/'.-fr)]dx +$(*И, Ф)^=0, (8.33)
ш@,°о) То
где Ф — граничные значения вектор-функции и на Го.
§ 9. СИЛЬНАЯ G-СХОДИМОСТЬ
ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
С задачами усреднения операторов теории упругости, которые
рассмотрены в гл. II, тесно связано понятие сильной G-сходимо-
сти. Вопрос о G-сходимости и сильной G-сходимости исследовал-
исследовался во многих работах, начиная с работ [148; 149] С. Спаньоло
60-х годов (см. [116—118] и обзор [22]).
9.1. Необходимые и достаточные условия
сильной G-сходимости
Рассмотрим последовательность операторов теории упругости
M4''(x)-^-), xeQ, (9.1)
ox I
где ее@, 1)—параметр, Atli(x)—набор матриц из класса Е(щ,
х2), причем щ, У.Ч — положительные постоянные, не зависящие от
е, Q — ограниченная липшицева область в R". Рассмотрим также
оператор теории упругости
класса Е{у,\, хг), где
может, отличные от щ,
дх{ \ ' дх;
— положительные постоянные, быть
77

Последовательность операторов {&*} называется сильно G-
^\ G ^\
сходящейся к оператору j? при e-+0(J?e=$J?), если для любой
/e#~(Q) последовательность иг решений задач
<?e{u?)=f в Q, и?=0 на дп (9.2)
при е-И) слабо в Hl(Q) сходится к и° — решению задачи
В («°)=/ в Q, «°=0 на дп (9.3>
и, кроме того, V' (х) = Аге'——-+¦ у('(х)== А'1'—— слабо в L2(Q) при е-*-
дх) dxj
~+0, /=1, 2, .... п [22].
Замечание 9.1. В определении сильной G-сходимости до-
достаточно требовать соответствующей сходимости и1 к а0 и уге к у'
при е-*-0, когда / принадлежит подпространству VczH~l (iQ), всю-
всюду плотному в #-1(!Q),
Действительно, покажем, что тогда указанная сходимость
иг к ы°, Ye к у' имеет место для любой ^ёЯ"'(й).
Для этого рассмотрим последовательность fmeV, fm-*-f no
норме H~l(Q) при i/n->oo. Обозначим через ы^, ыт решения за-
задач
%е (uem) = f'\ iL s Я^ (О), j? (гГт)-/т, ит е Н\ (Q).
Обозначим через Ге(и) матрицу со столбцами Ле;——, г = 1, ...5.
п, а через Г(и)—матрицу со столбцами А'' —^-, i= 1,...
За;/
..., п. Тогда для любой вектор-функции ve Яо(й) и любой мат-
матрицы ajeL2(,Q) имеем
Отсюда легко видеть, что левые части этих равенств стремятся к
нулю при е->0, так как согласно теореме 3.3 и замечанию 3.4
с постоянной С, не зависящей от е, т, а
при е->0 и фиксированном т, так как мы предположили выпол-
выполненными условия сильной G-сходимости при f=fm^V.
78

Матрицы Гг(ыг),Г(ы°) со столбцами уе, у1', t = l, .... л, иногда
называются обобщенными градиентами, или потоками.
Важную роль в исследовании сильной G-сходимости играет
следующее условие N [22].
Будем говорить, что последовательность операторов теории
упругости {2?^ удовлетворяет условию N, если существуют мат-
матрицы А*3(х), i, /=1,..., л, и матрицы Nl(x)^.Hl{Q), s=l, ...,л,
такие, что при е->0 имеем-
ЛЧ. Nl-t-0 слабо в №(О), s=l, .... л;
N2. %'' = А]!-^ + А1>-^А!1(х) слабо в L2(Q), г, / = 1, .... л;
N 3. -J-(AlJ—All)-+0 по норме Я~'(Й), /=1, .... л.
Отметим, что в условии N не предполагается, что матрицы
А*3(х) задают коэффициенты системы теории упругости, т. е. что
для них справедливы соотношения типа C.2), C.3). Непосред-
Непосредственно из условия N вытекает лишь, что элементы матриц Aii
являются функциями из L2(iQ). Тем не менее, как будет показано
в теореме 9.1, из условия N вытекает выполнение соотношений
C.2), C.3) для матриц А*3 и, в частности, ограниченность их эле-
элементов.
Теорема 9.1 Предположим, что для последовательности
операторов ,2% класса Е(хг, хг) справедливо условие N, причем
v.u X2 — положительные постоянные, не зависящие от е. Тогда для
любой функции ф^Со00 (iQ) имеем
ф(х) А"» (х) dx=\im ГФ IllpL + 6g/E) Aik(x) 1-р- -+¦ ЬрНе) dx,
e-»-0 J \ dxj } \ dxk }
а
а а
р, <7=1. ¦.-, п. (9.4)
где А* — матрица, сопряженная с А, Е — матрица с элементами
Ьц, Ьрн — символ Кронекера.
Кроме того, система уравнений, коэффициенты которой опре-
определяются матрицами Ачр, также принадлежит классу Е{у.и х2).
Доказательство. Установим сначала формулу (9.4). Обо-
Обозначим через 31Р интеграл в правой части (9.4). Тогда
ох/
79

(9.5)
где через $*, ..., &\ последовательно обозначены интегралы,
стоящие в левой части последнего равенства. Оценим эти инте-
интегралы.
В силу ограниченности слабо сходящейся последовательности
в гильбертовом пространстве и компактности вложения #'(Q) в
L2(Q) из условия N\ заключаем, что
NI-+0 сильно в L2(Q),
3NS
0 слабо в L2(Q),
(9.6)
(9.7)
при е-Я), s, /=l,...,n, где C=const и не зависит от е. Легко ви-
видеть, что
Таким образом, сХ?->-0 при е->0 в силу (9.7) и условия N3.
Пользуясь неравенством Гельдера и равномерной ограничен-
ограниченностью по е элементов матриц А11, выводим, что
г (|| N1 \\та) \\Nl \\тп) + \\(Nlr\\L4a)).
(9.8)
Поэтому оХг-^О при е->0 вследствие (9.6) и (9.7). Из (9.6) выте-
вытекает, что с7з-*- 0 при е->0, а из условия N2 вытекает, что &\ при
е-*-0 стремится к левой части равенства (9.4). Таким образом,,
формула (9.4) доказана.
80

Покажем теперь, что матрицы Л>« принадлежат классу E(x,ir
Х2). Это означает, что их элементы а?/ (х) удовлетворяют соотно-
соотношениям C.2), C.3).
Равенство dih = all вытекает непосредственно из равенств C 2)
для элементов матриц Al" и условия N2 Для доказательства
равенства a%=a^i остается показать, что Л>« =(¦?«>)*. Это ра-
равенство есть следствие формулы (9.4) и соотношения A'J = (A'e1)*,
которое выполнено в силу C 2) для элементов матриц А^(х).
Установим теперь неравенства C.3) для А*Цх). Докажем
оценку снизу. Пусть {цш} — симметрическая (пХп)-матрица с по-
постоянными элементами. Обозначим через r\h столбец с компонен-
компонентами Tiifc...,Tbfc, а через r\h* — строку (r\hu ¦.., r\hn) ¦ В силу фор-
формулы (9.4) имеем
=lim С фТ1Р-
= Г
8
для любой
дх,- ) \ дхк
(Q;, ф > 0. Положим
r? dx (9.9>
Легко видеть, что ^&(е, х) —столбец с компонентами
где NIh—элементы матриц N\. Обозначим через d/E интеграл, стоящий
в (9.9) под знаком предела. Тогда
e, x)dx.
(9.10)
Согласно лемме 3.1
Легко видеть, что
8Г-

а-де Mle=Nli,r]sq. Поэтому
к „ у, (
-ЗЦЕ + БТ^т- НлцЛа
4 4 \
Е д е+6—?-
2 —-r\ih
dx
r\ih + 2.
dxt dxk dxt /
Умножая это равенство на ф(х)>0, интегрируя по Q и учитывая,
что
ф
дМ\ дМ\ f dMl
dxt J dxi dxh
Q
Q
а также (9.11), получаем
дМг J
—-dx—
2
я
где |лг-»-0 при е-*-0 в силу (9.6), (9.7). Поскольку второй и третий
интегралы в правой части этого неравенства неотрицательны, то
согласно (9.10)
(•
Переходя в этом неравенстве к пределу при е-*-0, получаем вслед-
вследствие (9.9)
xiTlife'rlife \ ф dx ^
я
Отсюда в силу произвольности ср вытекает первая оценка C.3).
Установим теперь второе неравенство C.3) для элементов мат-
матриц Арч. Фиксируем симметрическую (пХп)-матрицу Т1={т1гл} с
постоянными элементами. В первой части доказательства этой
теоремы установлено (см. (9.4), (9.5)), что для любой феСо°(й),
<р ^ 0,
Т вг f ф (х) r\«*AQP {х) г\" dx=lim С щ«* [Af ^L + Af J ц" dx=
J e^oj \ dxh I
я я
82

Следовательно,
(9.12)
Поскольку согласно лемме 3.1 rf*
дх,-
-ь
"Пр
= 0, отсюда-
вытекает, что найдется последовательность е'->-0, такая, что
Учитывая, что (А'ер)*—А11, имеем
Поэтому
—^
dxh
Ввиду того, что r\i*AlPr\p ^ щЦщЦ^, из условия N 2 получаем
оценку Т ^ 5vniA%A j ф йа;. Отсюда вытекает верхняя оценка C.3).
л
Теорема доказана.
Теорема 9.2. Пусть для последовательности операторов
теории упругости 2г выполнено условие N, 2?г^Е(ку, х2) " по-
постоянные хь х2>0 не зависят от е. Тогда при е->-0 последователь-
последовательность 2?i сильно G-сходится к оператору теории упругости 2, ко-
коэффициенты которого задаются матрицами A{i(x) из класса
?(хьх2).
Доказательство. Тот факт, что матрицы А^{х) задают
систему теории упругости, и их принадлежность классу Е(х\, х2)
установлены в теореме 9.1. Докажем сильную G-сходимость St к
§ при е-Ю.
В силу представления элементов из Н~1(п) в виде C.20) и
оценки C.21) условие N3 можно переписать в виде
dxh
fL-
-0 сильно в L2(Q) при
, / = 0, ..., п, s = l, ..., п.
(9.13)
83

При этом мы использовали равенства
{A[sy=Asi, (А~"У=& (9.14)
(см. доказательство теоремы 9.1).
Рассмотрим вектор-функцию еры", где <р — произвольная ска-
скалярная функция из CS°(Q), uE— обобщенное решение задачи
f)=P + ^L в Q, ifieHlm. (9.15)
dxh I dx
Мз (9.13) получаем
dxh t
q
[F<LW°-Fi^-}dx. . (9.16)
a
По определению обобщенного решения задачи (9.15)
) . (9.17,
j h J
a a
Вычитая (9.16) из (9.17), получаем
ldx. (9.18)
dxt J
В силу теоремы 3.3 имеем
(9Л9>
где yle=A'ek—— и постоянные Сь С2 не зависят от е.
OXfr
Вследствие компактности вложения Я:(й) в L2(Q) из (9.19)
вытекает существование вектор-функций ?/e#o(Q), y'ezL2(Q),
таких, что
и?/-*-11 слабо в Яо(й) и сильно в L2(Q). \
, ~ (9.20)
у'8-+у' слабо в L2(Q), /=1 я, j
по некоторой подпоследовательности е'->-0.
84

Заметим, что в силу (9.6), (9.7), (9.13), (9 19) первый инте-
интеграл в левой части (9.18) и интеграл в правой части (9.18) стре-
стремятся к нулю при e-vO. Поэтому из (9.18) заключаем
f_|!L l^A^ + At-A^} u*dx + f <p(Alk-Ask)^-dx=pe, (9.21)
J dxh I dxj J J dxk
a a
где ц,е-»-0 при e->-0. Поскольку иг'—?/->-0 сильно в L2(Q) при
г'-vO, то, переходя к пределу в (9.21) по подпоследовательности
e'-vO и учитывая условия N2 и (9.14), (9.20), устанавливаем, что
первый интеграл в левой части (9.21) стремится к нулю при е'-»-
—>-0, а второй интеграл стремится к
Г еру5 (х) dx— f q>A
J J
я й
Ask dx=Q.
я
Следовательно, в силу произвольности ф е Со° (Q)
~s=Ask-^-, ь = 1, ..., п. (9.22)
dxh
Покажем, что U(x) является обобщенным решением задачи
3 J!L в Q, U(=Hl(Q). (9.23)
Для любой матрицы М (х) е Но (Q) имеем по определению обоб-
обобщенного решения задачи (9.15)
Переходя в этом равенстве к пределу при е'-Ю в силу (9.20) и
(9.22), получаем
^dxMf
dx, dxh Л dXJ
dx
Это означает, что U(x)—обобщенное решение задачи (9 23).
Как вытекает из только что приведенных рассуждений, из лю-
любой- последовательности (иг',ухг, у?,) можно выбрать подпо-
подпоследовательность, такую, что u'"-+U слабо в H\(Q), yle»-+-yl сла-
слабо в L2(Q) при е"->-0, т. е. последовательность операторов 2г
сильно G-сходится к оператору 2. Теорема доказана.
Теорема 9.3 (о единственности сильного G-предела).
g ^ g -х
Пусть Jz?E=4i? и «??8=4«?? при е->-0, где {2\} — последователь-
последовательность операторов класса Е(х\, Хг) и х\, х% — положительные по-
постоянные, не зависящие от е, 2, 2 — некоторые операторы тео-
85

рии упругости с ограниченными измеримыми коэффициентами.
Тогда матрицы коэффициентов операторов & и 2 совпадают по-
почти всюду в Q.
Доказательство. Пусть й — произвольная вектор-функ-
вектор-функция с компонентами из Co°(Q). Положим \=2й и рассмотрим по-
последовательность и?еЯо(й) решений задач 2t(u')=f в Q, ые=0
на дО, В силу сильной G-сходимости 2г к 2 и 2 при е-^-О имеем
и°-+й слабо в Hl(Q), A'J—-^Ai} — слабо в L2(Q), 4;—->
dx# dxj дх)
-*»-Лг/ слабо в L2(Q), где Лг'з, А^—матрицы коэффициентов
OXj
операторов ^и^1 соответственно. Поэтому Л'/--^-=Л'/—^- по-
^ dx/ dxj ^
чти всюду в Q для любой ыеСо°(й). Отсюда следует, что Лг'^~
=Л^' почти всюду в Q. Теорема доказана.
Теорема 9.4. Пусть {3?с} — последовательность операторов
теории упругости класса Е(х\, х2), причем щ, х2>0 — постоянные,
не зависящие от е, и 2 — некоторый оператор теории упругости.
Тогда условие N для матриц коэффициентов операторов 2е и 2
является необходимым и достаточным для сильной G-сходимости
&>к 2 при е-^0.
Доказательство. Достаточность условия N для сильной
G-сходимости 2г к 2 установлена в теореме 9.2. Докажем необ-
g ^
ходимость. Пусть ^fE"^<5f при е-»-0. Рассмотрим последователь-
последовательность матриц BJ (/=1, ...,«, е—>-0), являющихся решениями задач
^E(fie) = — АЧ в Q, Bl=0 на E0.
дх-,
В силу равномерной ограниченности элементов матриц AlJ (x) n
теоремы 3.3 ||5в|| i ^C, где постоянная С не зависит от е.
В силу слабой компактности шара в гильбертовом пространстве
существует подпоследовательность e'-vO, такая, что
Bi'-^Bi слабо в HJ(Q) при е'-^О, / = 1, ..., п.
Определим матрицы Ы'г- как решения краевых задач
J?,'N{' = ^Bi ~Аг1 в Q, N1=0 на dQ. (9.24)
Пусть JV{-=—В('-|-Ме'. В силу сильной G-сходимости 2г к 2
имеем
86

слабо в tfo(Q), /=1, • •., л,
^'^- слабо в L*(Q), *, /=1, .... п.
dx
(9.25)
Отсюда следует, что выполнено условие N1 для подпоследова-
подпоследова'
тельности е'->-0, т.е. jV/' —>-0 слабо в Ях(й).
Ввиду равномерной по е ограниченности в L2(Q) элементов
матриц Ае=А'Е1 Nb + AI1, i, / = 1, ..., я, существует подпо-
dxi
следовательность е" последовательности e'-vO, такая, что
Л^ — Ni'>-\-AlJ'-+A'li{x) слабо в La(Q), (9.26)
dxi
где ЛУ— некоторые матрицы с элементами из L2(Q)
Рассмотрим условие N3 для последовательности e"-vO и мат-
матриц ^»:
A4(AA\\. (9.27)
dx( dxt \ dxi )
Из интегрального тождества для задачи (9.24) получим для лю-
любой матрицы МбЯо(Q):
+ Ai)dx {Adx.
dxi dxt dxi I J dxi dxi
a q
Переходя в этом равенстве к пределу по подпоследовательности
«"-vO и пользуясь (9.26), получаем
,1х№
дх{ J dxt
Отсюда следует, что \Ап— Л1/]=0 и в силу (9.27)
dxs \ dxi }
Д Р ь л * i
1 *1\,—Alj) =0. Таким образом, для подпоследовательности e"-vO
выполнено условие Л^ с матрицами AlJ. По теореме 9.3 о един-
единственности сильного G-предела и теореме 9.2 получаем, что А\!=
=АЧ почти всюду в Q.
Покажем теперь, что условие iV имеет место для всей последо-
последовательности е-*-0. Определим матрицы Nl как решения задач
NleHlW. (9.28)
87

Как следует из (9.27), эти уравнения выполнены при е=е", N{=
=N{, Таким образом, из любой последовательности N{, опре-
определенной (9.28), можно выбрать подпоследовательность, удовле-
удовлетворяющую условиям jVI—jV3 с коэффициентами A{J(x). Отсюда
следует, что вся последовательность N'J удовлетворяет условию
N. Теорема доказана.
Следствие 9.5. Пусть ?г — операторы из класса Е(хи х2)*
о ^
-у.\, х2>0 и не зависят от е, 2?е*$2? при е->-0. Тогда коэффициен-
коэффициенты оператора 2 также принадлежат классу Е{щ, щ).
9.2. Оценки скорости сходимости решений задачи
Дирихле для последовательности
сильно G-сходящихся операторов
Как показано в предыдущем разделе, выполнение условия N
обеспечивает лишь слабую сходимость в Яо(й) решений и' задач
(9.2) к решению ы° задачи (9.3). Если наложить дополнительные
требования на сходимость соответствующих функций в условии
N, то оказывается возможным оценить ы°—и"—vt в норме Я'(й),
где vt — так называемый корректор.
Будем предполагать, что граница области О, и коэффициенты
оператора & являются гладкими.
Введем функциональные пространства, которые в дальнейшем
используем для характеристики близости коэффициентов операто-
операторов 2* t И §.
Обозначим через #~m>°°(Q) (/n>0 — целое) пространство, эле-
элементами которого являются обобщенные функции вида
/(*)=? D%(x), . (9.29)
|a|<m
где fa e L°° (Q). Норму в Я~т>0° (Q) зададим равенством
||f||_m,cx> = inf max ||/a|| «,
где нижняя грань берется по всевозможным представлениям f(x\
в виде (9.29).
Лемма 9.6. Пусть g= ? Dagae=H-m'°°(Q), gaeL°°(Q), ие
еЯт(й), Тогда определен элемент ug^.H"m(Q), действующий па
формуле
<«?. Ф>= Е (-1){а{1 gaDa(u<p)dx, <pe^(Q), ,(9.30>
причем
\\ug\\H-~m(Q)^C\\g\\-miCO\\u\\Hm{Q), C=const.
88

Доказательство. Покажем, что равенство (9.30) коррект-
корректно определяет линейный функционал на H™(Q). Действительно,
пусть g — 2] Daga~~ Другое представление g e #~m'°° (Q), g'a<=
!a|<m
^L°°(Q). Тогда в смысле теории распределений имеет место ра-
равенство
*«>)= S (-l)'
la|<m
для любой i|>eCS°(Q). В силу ограниченности норм ga, ga в
L°°(Q) последнее равенство справедливо при ty, таких, что
'3)a^^.Lx(Q), |a|^/n, и, значит, при -ф=ыф. Неравенство (9.31)
вытекает из (9.30) и определения норм в #-m°°(iQ) и Н~т(п).
Лемма доказана.
Скажем, что последовательность операторов теории упругости
{3?,} из класса Е(щ, х2) удовлетворяет условию №, если сущест-
существуют матрицы А" (х), /, /= 1,..., п, и матрицы Nss (x) e Я1 (Q) П L°° (Q),
такие, что при е->-0 имеем:
N' 1. ^-Ar|(x)eL"(Q), t, s = l л, ЛГ» (*)->• 0 в L°°(Q);
JV' 2. yj = Al'-^- + AlJ-^All(x) по норме пространства W-ll00(Q);
dxi
N' 3. —(Ле'—Лг/)->-0 по норме пространства Я~''°°(й).
Нетрудно проверить, что из выполнения условия Л"' следует спра-
справедливость условия N. Поэтому матрицы A*i определяют опера-
оператор теории упругости &, также принадлежащий классу Е{щ, х2).
Введем числа, характеризующие скорость сходимости в усло-
условиях iV'l—Л^З:
ae= max \\N\(x)\\ . ; (9.33)
s=l, ..,n *• v»)
P8= max H^-^H ,, ; (9.34)
-(^-^|| . (9.35)
/=1,. ,n ()
Теорема 9.7. Яг/сгь 5ля операторов &*, S выполнено усло-
условие JV и коэффициенты ^(х) оператора SB —гладкие функции.
Тогда для решений задач (9.2), (9.3) при /еЯ1 (|Q) гше/or жесго
оценки
89

дхш
ш], (9-36)
II«Е-«° ||у«а < II fE \\LHQ) + К2 [Р. II / 1|№(в) + (а, + Y?) II / ЫвЛ, (9-37)
постоянные Ки /С2 не зависят от е, через уе обозначено реше-
решение задачи Дирихле
(h?)=0 в О, v°=m— на 5Q.
dxs
(9.38>
Доказательство. Положим u=^u°-\-N% . Применяя
dxs
оператор 2г к вектор-функции и'—п+v', получим следующие ра-
равенства, понимаемые в смысле теории обобщенных функций:
dxh \
t_ \
dxh
.
dxh
dxk
dxs
dxh
8
dxh dxs
д2и°
Согласно (9.39) /1, Ft e Z/ (Q), причем
(9.39)
(9.40)
где уг, ps определены равенствами (9.35), (9.34), постоянная С
не зависит от е. Легко видеть, что /V также принадлежит
где Ci=const и не зависит от е, а, определено равенством (9.33).
Поскольку и'—U+v'<=Hq1(Q), то из (9.39) —(9.42), пользуясь
замечанием 3.6, устанавливаем, что
(й)], (9.43)
90

где постоянная С2 не зависит от е. Так как оператор 3? является
эллиптическим и его коэффициенты — гладкие функции, то в силу
известных априорных оценок для решений эллиптических крае-
краевых задач (см., например, [1]) имеем
ll«ellfl»«(Q)<Cm||/||/f«(u), т=0, 1, 2, .... (9.44)
Отсюда и из (9.43) вытекают оценки (9.36), (9 37). Теорема до-
доказана.
Таким образом, очевидно, что для оценки близости решений иг
и ы° достаточно построить матрицы Nse, удовлетворяющие усло-
условиям N'\—jV'3, а затем оценить величины аЕ, {5Е, yt, a также норму
Укажем простейший пример, когда условие N' выполнено.
Пример 9.8. Пусть AlJ(х)->¦ А1'(х) по норме пространства
L°°(?2) при е->-0. Положим Nl(x) = 0 в Q, s = l, ..., п. Тогда ус-
условия Л^1—ЛГ'3 выполнены, причем а,=0, Ре, те< sup \\AlJ—
Таким образом,
—A4'\\L<>
.
\\нчо) < С max || АУ-A'i \\l<X{q) || / \\LHQ), C=const. (9.45)
Вообще говоря, согласно теореме 9.7 в правой части последнего
неравенства вместо II/||l2(?» Должно стоять Ц/Ця^о) однако в дан-
данном случае, как видно из вывода оценки (9.41), имеем||Fill —i <
Н (Я)
uplHe7—A1'\\lX -\\ио\\н,{ау Поэтому справедлива оценка
(9.45)!
Ниже мы рассмотрим менее тривиальные случаи, когда имеет
место условие N'.
Пример 9.9. Предположим, что матрицы коэффициентов
AlJ (х) операторов 3?, имеют вид, AlJ{x)=Al*(х/г), причем эле-
элементы afti(|) матриц А1'' (|)— гладкие 1-периодические по | функ-
функции. Этот случай в более общем виде и другим методом изучен в
гл. II.
Определим матрицы Nl(x) по формуле Nl(x) = eNs (х/г), где Ns (|)—
1-периодические по | решения системы уравнений
-1г® в r> s=1> ••- "• (9-46)
Как показано в § 6.1, эта система разрешима в классе 1-периоди-
ческих по | гладких функций. Определим теперь матрицы коэффи-
коэффициентов АН, отвечающие оператору &, который является сильным
G-пределом последовательности {,2%} при |->-0. Положим
91

(9.47)
где </>=J/(|)dg, Q={g:O<g,<l, / = 1, .... п).
Проверим, что для рассматриваемых AlJ, A'1, Nl справедливо
условие N'.
Условие N'1 выполняется очевидным образом в силу гладко-
гладкости функций №(?,) причем а^Се, C=const.
Условие ЛГ'З выполнено в силу уравнений (9.46), причем уг=0.
Проверим выполнение условия N'2. Легко видеть, что A'J (х)—
—А1' = В1' 1 —), где В (?)— матрицы, элементы которых глад-
\ 8 /
кие 1-периодические по | функции, причем в силу (9.47) J В1' (?) X
<3
XdS=0. Согласно лемме 1.8 В1'( — )=г F/(е, х), где эле-
\ е / dxi
менты матриц F'l(г, х)— гладкие функции, равномерно ограни-
ограниченные по е, х. Это означает, что \\Вг! \~\\\ ^.Сг. Таким
6
9eeC°°(Q), фе(х) = 1 при
Ф8(л;)=0 при p(x, <3Q)>2e
С=const.
Легко видеть, что V является решением задачи
образом, ps^Ce, C=const.
Теперь для получения эффективной оценки и'—ы° нам доста-
достаточно оценить величину ||u8||№(Q). Рассмотрим срезающую функ-
функцию <ft{x), такую, что
(9.48)
У„ (t^=0 в Q, ае='ф;=ефЕЛГр -i- — [на dQ, (9.49)
е \ в ) дхр '
причем
——=е—— Np —-—\-ц) -——\-eq>Np —. (9.50)
дх) dxj дхр ос,] охр dxpdxj
Поскольку элементы матриц N", , р, j=l, ..., п,— ограни-
ограниченные функции, то
II 'Фе ||Я'(Й) < Сг [|| VU0 \\ЩКВ) + 8 || Ы° \\н*Ш)], (9.51)
где постоянная Ci не зависит от е, К, — множество точек jteQ, в
которых уе(х)?=0. Легко видеть, что К, лежит в окрестности dQ
92

порядка е, поэтому в силу леммы 1.5 !1у1к!(Хе
Таким образом,
Ш\нча)^С^\\и°\\нна), C3=eonst. (9.52>
Применяя теорему 3.3 к решению задачи (9.49), получим
Поэтому из теоремы 9.7 можем заключить, что имеет место
оценка
х \ ди.о
е ) дх0

Глава II
УСРЕДНЕНИЕ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ. КОМПОЗИТЫ
И ПЕРФОРИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Настоящая глава посвящена вопросам усреднения в механике
-сильно неоднородных сред. Рассматривается стационарная систе-
система линейной теории упругости с быстро осциллирующими перио-
периодическими коэффициентами в областях, которые могут содержать
мелкие полости, расположенные периодически с периодом е Та-
Такие области называются в механике перфорированными. Основ-
Основной задачей является построение эффективной среды, т. е. по-
построение таких приближений к решению системы, которые удов-
удовлетворяют системе с медленно меняющимися или постоянными
коэффициентами в области без полостей. Такие системы называ-
называются усредненными. В гл. II даны оценки отклонения вектора
смещения, тензора деформаций, энергии, тензора напряжений ми-
микронеоднородной упругой среды от соответствующих величин, от-
отвечающих усредненной системе при различных граничных усло-
условиях. Задачам усреднения для уравнений с частными производны-
производными посвящены многие монографии и статьи (см. [107; 91, 3; 22;
133] и приведенную там библиографию, а также список литера-
литературы в конце настоящей книги).
§ 1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПЕРФОРИРОВАННОЙ
ОБЛАСТИ С УСЛОВИЯМИ ДИРИХЛЕ НА ВНЕШНЕЙ
ЧАСТИ ГРАНИЦЫ И УСЛОВИЯМИ НЕЙМАНА
НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОСТЕЙ
1.1. Постановка задачи. Усредненные уравнения
Пусть Qe=QD8co — перфорированная область типа I с периоди-
периодической структурой, определенная в § 4 гл. I.
В области Qs рассмотрим краевую задачу вида
dxh { V е I dxh
ые=Фе на Ге; о,Иеу/ — = 0 на Se,
dxk

где Ahk(I) — (nXn)-матрицы класса ?(хь х2), xi, x2=const>0,.
элементы которых а?*(?)— 1-периодические по | функции. Пред-
Предполагается также, что коэффициенты с$($ кусочно-гладкие в со,
причем поверхности, на которых они могут иметь разрывы, не пе-
пересекаются с дсо (т. е. ahife.C, см. п. 6.1 гл. I).
Существование и единственность решения задачи A.1) при
/eeL2(Qe), Феёй'(Й') обеспечиваются теоремой 5.1 гл. I.
Наша задача — исследовать поведение решения и" задачи
A.1) при е->-0 и найти оценку отклонения иг от ы°, где и° — реше-
решение краевой задачи для некоторой усредненной системы теории
упругости с постоянными коэффициентами в области Q. Исполь-
Используя построенные приближенные решения, вычислим эффективные
характеристики перфорированного сильно неоднородного упруго-
упругого тела, упругое состояние которого описывается условиями зада-
задачи A.1), такие, как энергия, тензор напряжений и частоты соб-
собственных колебаний.
Усредненная система уравнений, соответствующая задаче
A.1), имеет вид
дх„
А
pq dv
дх„
A.2)
где матрицы коэффициентов АРЧ (р, q=\, ... , п) определены по-
формуле
g)+ Л« (g)
'
A.3).
а матрицы N9(Q, q=\,...,n, являются решениями следующих
краевых задач для системы теории упругости:
в со,
o(Nq) = —vkAM на дсо,
N"A) 1-периодична по \,
N"(l)dl=0,
Существование матриц № является следствием теоремы 6.1 гл. I.
В силу теоремы 6.2 гл. I элементы матриц № являются кусоч-
кусочно-гладкими функциями в со из класса С.
К системе A.2) можно прийти, используя метод асимптотиче-
асимптотических разложений, изложенный во многих монографиях и статьях
[3; 91; 107]. Мы не проводим здесь эту хорошо известную про-
процедуру. Для системы теории упругости она проводится точно так
же, как и для эллиптического уравнения второго порядка (см ,
например, [107]).
95

Теорема 1.1. Система A2) является системой теории упру-
упругости, т. е. матрицы Аы с элементами afj удовлетворяют усло-
условиям
^ = а*=3), A.5)
а"Лitf\n < \чшЧш A.6)
любой симметрической матрицы tj={tj,-/i}, где хь х2— положи-
положительные постоянные, т. е. оператор 3? принадлежит классу
-Е(щ, х2).
Доказательство В частном случае, когда co=Rn, т. е.
QB=iQ, соотношения A.5), A.6) можно вывести из теоремы 9.2
хл. I, поскольку для матриц N\(х) = sNq(х/г) и Аы выполнено ус-
условие N, которое легко проверяется исходя из A.3), A.4). В об-
,щем случае, когда со может отличаться от R", т. е. йв может быть
лерфорированной .областью, теорема 9.2 гл. I неприменима. По-
Поэтому докажем соотношения A.5), A.6) другим способом.
Пусть ? — вектор-столбец с компонентами ?ь...,?п. Обозна-
Обозначим через ?* строку (?i,...,?n). Через А* обозначим матрицу,
транспонированную к матрице А, через At,=y — вектор-столбец с
компонентами yj=a,it,i, j—i, ..., п, через у*—t,*A — вектор-строку
*с компонентами у^иаа, /=1,..., п.
Легко видеть, что второе равенство в A.5) вытекает непосред-
непосредственно из формулы A.3) и свойств элементов матриц Арз(|), по-
поскольку
\apsUl)-~N4mt{l) + aps?{l^dl, A.7)
;где N"mt—элементы матриц N".
Установим первое равенство в A.5), которое равносильно со-
соотношению (Лр?)*=Лда.
Из интегрального тождества для решения задачи A.4) выте-
вытекает, что для любой матрицы М(|)е^2(со) справедливо равен-
равенство
Пользуясь тем, что (Ak%))* =Afk(%), (AB)'=B'A\ для матриц А, В,
гиз A.8) получаем
J
Qflco
¦96
Q

Полагая в этом равенстве M=Np* и учитывая A.3), а также со-
соотношение (Аы)*—А'р, находим
Qflco
ч
Отсюда выводим, что матрицы коэффициентов усредненной систе-'
мы представляются в виде
-|r(^ + ^dg. A.10)
Qnco
Меняя местами в этой формуле р и q и транспонируя получен-
полученное равенство, получим Лр17=(.Д'7р)*.
Для доказательства неравенств A.6) заметим, что ai/'Hifc'4/fc=
=т]'1*Л'1*т1*, где r\h—столбец с компонентами т]1й,... ,у\пк, т)/1*==>
= ('nih»--4rlnh)- Для любой симметрической матрицы к] с постоян-
постоянными элементами т|»а получаем в силу A.10)
=ПР*ЛРУ = (mes Q П со) С ~- [Пр* №" + |p?)J
X
Пусть ш=(Л^«+|д?")т]9 — вектор-функция с компонентами
a»i wn. Тогда из A.11) имеем
Г
off-?*- -f*- d|. A.12)
Допустим, что для некоторой симметрической матрицы г\ выпол-
выполняется равенство ар/л1р%=0. Тогда из A.12) и оценки C.13)
4 Зак. 269 97

гл. I вытекает, что ||с(ш) Цг.*«гпш)^О и, значит, w является жест-
жестким перемещением (см. доказательство теоремы 2.5 гл. I). С дру-
другой стороны, w—(N"+lqE)i\('. Поэтому ввиду периодичности N"A)
вектор-функция Л^г|9 должна быть постоянной, а матрица г\ дол-
должна быть кососимметрической. Следовательно, т]=0. Поэтому
cii{lf\ipy\fq>0 при г\фО. Отсюда вытекает оценка A.6) снизу.
Оценка A.6) сверху легко следует из формулы A.7) для а™ и
ограниченности коэффициентов а?'(?). Теорема доказана.
1.2. Основные оценки и их приложения
В качестве приближенного решения задачи A.1) возьмем век-
вектор-функцию
77—,,д(г\ I одгр / * \ """ /1 \г>\
\ е / дхр
где Np(l) — матрицы, определенные из A.4), а вектор-функция
и°(х) является решением задачи
j2(«e)=/e в Q, ы°=Ф° на дп. A.14)
Теорема 1.2. Пусть и'(х)—обобщенное решение задачи
A.1) в Qe
fe e L2 (QE), Фе е Я1 (Qe), f° e Я1 (Q), Ф°е Я3 (Q),
и°(х) —решение усредненной задачи A.14). Тогда
)-u°(x)-i
\ в
+ || Фе—Ф° ||н1/2(Ге) + е'/21| /о цН1(й) +81/2 || фо ||н5/2(ай) ], A.15)
где постоянная с не зависит от е, норма ||-||, определена форму-
формулой E.3) гл. I.
Доказательство. Применяя оператор 2% к ие—п, полу-
получаем следующие равенства, которые понимаются в смысле теории
обобщенных функций:
4Ц(Atf + N
дхн \ дхк I dxh \ dxh \ dx
xs
д I Ahk дие \ д С\ь.к дФ \ . д !~thk дФ „hk дФ
— —-— л ——I—*-— л —— -f--
oxh \ oxh f дхь \
дхк ) dxh \ dxk dxk
f Bhk _?_
dxj j dxk j dxh \ dxhdxs
98

Так как для матриц Ns выполнены уравнения A.4), то
(^-Z) = r~fo+(Ahk-Ahk-ey
д2и»
hkNs)
_e-±- (AhkNs)
eAhkN
hkNs
dxi,dxkdxs
dxj j дхфхн
= f—f_zAhkNs
Pi-^- d—(AhpN'')]
A.16)
Определим матрицы Npi(Q, (p, q=l,...,n), как обобщенные ре-
решения краевых задач
a
^(|)
а (ЛГМ) = — уйЛ*р (I) N" (I) на Ав,
Npq 1 -периодична по |,
в со,
СП®
A.17)
Существование Л^р"(|) вытекает из теоремы 6.1 гл. I и равенств
A.3). Таким образом, из A.16), A.17) заключаем, что
dxhdxkdxs
сЛк1
с а гл>,
dxh [
dxhdxhdxs
J'
dxpdxq
Поэтому
A.18)
где
mpq
dxhdxhdxs
A.19)
Рассмотрим граничные условия вектор-функции и'—« на Se.
Имеем
99

dN ^eV
dxs h dxsdxk
В силу граничных условий на да для № и N"»i отсюда следует,
что
сте (ые—и)=егАЛ*> Ш1 9й =evhFk. A.20)
На внешней части границы области fie имеем
ие—й=^Фв— Ф°—eNs-^-=^e на Г8. A.21)
Покажем, что
), A.22)
где постоянная с не зависит от е. Для этого достаточно показать,
что существует вектор-функция ^^^'(Q'), такая, что
11 wr II е ^ . gl/2 |1уО|| Л 23i
Пусть ф8—скалярная функция из С00 (Q), такая, что ф„(х)=1 при
р(х, дй)^е, фе(х)=0 при р(х,
Положим
IXt / л Л X Тс CU
Легко видеть, что ^ееЯ1(Ор) и
а?е ашЕ ... аи"
^l —— р ~ i\lS —^_» от
ад:> а^- dx е
Поэтому, учитывая свойства фе и ограниченность NS(Q, dNs(Qf
/^^устанавливаем неравенство
eW)ll"°ll"'<Ke) +е||мо1!ячке)). A-24)
Пользуясь леммой 1.5 гл. I, получаем
где постоянная с4 не зависит от е. Отсюда и из A.24) выводим
неравенство A 23). Следовательно, справедлива оценка A.22).
100

Таким образом, на основании A.18), A.20) — A.22) заклю-
заключаем, что и'—и — обобщенное решение следующей смешанной
краевой задачи, изученной в § 5 гл. I:
Z e^-Fh в Qe,
dx
иг—ы=т1>в на Ге; oe(u°—u) = evkFk на Se,
причем для <§>г справедлива оценка A.22) и, кроме того,
где постоянная с5 не зависит от е, поскольку элементы матриц
Ahh, Np, №ч — кусочно-гладкие функции (см. теорему 6.2 гл. I).
По теореме 5.1 гл. I и замечанию 5.2 отсюда получаем
!1«е-«ПячЛ < Се (е'/2 Ри°||я.(о) + \\Г~П. + !1Фе-Ф°1!я1/2<г8)).
Из этого неравенства следует A.15), поскольку в силу априорных
оценок для решений сильно эллиптических систем (см. [1])
Теорема доказана.
Получим теперь некоторые следствия из этой теоремы. >
Формула A.13) для приближенного решения задачи A.1)
позволяет оценить эффективные характеристики сильно неодно-
неоднородных тел, такие, как тензор напряжений, энергия и др.
Пусть Q' — подобласть области Q с гладкой границей,
Положим
Q'
Величины Ее(ие), Е0(и°) задают энергию, сосредоточенную в Й'П
Пй' и Q' соответственно.
Теорема 1.3 (о сходимости интегралов энергии). Пусть вы-
выполнены условия теоремы 1.2. Тогда
(\\Пнчя) + llOilWcan)) + И/°-Л12. + ЦФ°-
Ге)I, A-27)
где постоянная с не зависит от г.
101

Доказательство. В силу теоремы 1.2
ди° dNP(erlx) dtp
—ЙГ+—i?—i^
где
1/2
[е1
+ Г-Л1. + 1|Ф°-Фв||я'/»(гв)], A.29)
с0 постоянная, не зависящая от е. Поэтому
J \ dxi dxs
e
вегш' A.30)
где
aena'
а6 па' вепв'
Отсюда, принимая во внимание ограниченность элементов матриц
А1' и —— (см. теорему 6.2 гл. I), получаем
[ J $
а8 па' аепа'
Из этого неравенства и из A.29) вытекает, что
IP.I < с*(е (ПШяча) + 1|Ф011я5/2(аа)) +1|/°-f||! + ||Ф0-Фе||я1/2(г,)
Следовательно,
ip.l <сл[е>/2(||/0||яча) + 1|Ф011я5/2<аа)) + П/°-П|2. + ||Ф°-Фе|1я1/2<гв) +
+ A1Пк.(О) + 1|Ф0||я1/2Eа))(Г|/<'-П|. + ||Ф0-Фе||я1/2(Ге))]. A.31)
Введем матрицы
102

Будем считать, что Л'7(|), Ns(%), dNsld%i продолжены нулем в
Rn\co. Тогда в силу формулы A.10) имеем
0, A.33)
и в A.30) область интегрирования Q'ftQ' можно заменить на Qf.
Поэтому, преобразуя A.30), получаем
1 (^
Q'
Отсюда и из A.32) заключаем, что
Ее И - (mes Q П со) Ео (ы°) = [ ^L Н« (—)-^- dx+ps. A.35)
J oxs \ г j axt
а'
Заметим, что в силу теоремы 6.2 гл. I элементы матриц Hst явля-
являются ограниченными функциями.
Обозначим через 3d множество индексов zeZn, таких, что
8(<3+z)oQ', а через 3V — множество индексов zeZ", таких, что
e(Q+z)f\dlQ'?=0. Тогда
-S I
у (+<3)ПЯ'
Легко видеть, что первую сумму в правой части этого равенства
можно представить в виде
dxs
Ge
где G, — открытое множество, примыкающее к dQ' и лежащее в
ее б — окрестности, б порядка е. Поэтому, пользуясь леммой 1.5
гл. I, выводим, что
Рассмотрим /Сг — вторую сумму в правой части A.36). Обо-
Обозначим через Q" множество, составленное из кубов e(z+Q), ко-
когда z пробегает множество Sf,.. Положим
Ъ(х) = ~ Г ^dxnpH хее(z + Q).
mes eQ J dxt
103

Векторы yt(x) постоянны на каждом из множеств e(z+Q).
Имеем
a"
(i.oo)
Легко видеть, что
f \yt\>dx=YmeseQ ! ( С ^
J Г ' U (meseQJ \ J dx,
s
meseQ
(meseQJ
¦mesi
+
dxt
Учитывая неравенство Пуанкаре в e(z + Q), получаем!
dtfi
dx. A.39)
A.40)
Оценим теперь /Сг- В силу A.33) последний интеграл в A.38) ра-
равен нулю, так как yt постоянны на множествах e(z+Q),
Следовательно,
а"
<=1 а
sfnxi
<=i a" s=i a"
Учитывая A.39), A.40), отсюда получаем
1/2
Из A.31), A.36), A.37), A.41) и неравенства
A.41)
получаем оценку A.27). Теорема доказана.
Рассмотрим теперь вопрос о сходимости тензоров напряжений,
т. е. матриц со столбцами
A-42)
где ы* — решение задачи A.1).
104

Усредненной задаче A.14) соответствует тензор напряжений
вида
^, p=l, ...,п. A.43)
дхк
В теории усреднения матрицы со столбцами а,р, а<Р называ-
называются также обобщенными градиентами, или потоками.
В следующей теореме предполагаем, что
и что
А» (I) зе -2ZM- = N" (I) = 0 в Q\g>.
oil
Теорема 1.4. Пусть выполнены предположения теоремы
1.3. Тогда
< с [е1/2 (Ц/°|1ям<з) + ЦФ011я5/2(аа)) + II/0—flL + ЦФ° —^
A.44)
где постоянная с не зависит от е, матрицы Gpv{1) определены
формулами
)A"S при ge
°Si A.45)
Gp* (I) = — (mes Q П <») ^Ps при {¦ e Q\co.
Кроме того, если fe=f°, Фе=ф°, mo ap (x) ->¦ (mes Q П <») ^o W слабо
() р
Доказательство. Воспользуемся соотношениями A.28),
^ 1.29), вытекающими из теоремы 1.2. Тогда, согласно A.42)" имеем
д№ ди°
Учитывая A.43), отсюда получаем
ор (х) - (mes Q(\a)oP(x) = G»'(-*-)-$?- + A"q\ (x),
\ г ] oxs
Из этого равенства и из A.29) вытекает оценка A.44).
105

Слабая сходимость аре(х) к (mes Q П со) а о (х) при /е=/°, Ф8=Ф°
вытекает из A.44) и равенства \ GPs (|) d|=0, в силу которого по лем-
лемме 1.6 гл. I GPs (—) J^--^0 слабо в L2(Q) при е~>-0. Теорема до-
казана.
§ 2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С УСЛОВИЯМИ НЕЙМАНА
В ПЕРФОРИРОВАННОЙ ОБЛАСТИ
Результаты, аналогичные полученным в § 1 для смешанной
краевой задачи с условиями Дирихле на внешней части границы
й'ис условиями Неймана на границе полостей, могут быть дока-
доказаны и для задачи Неймана в перфорированной области Qe типа
II (см. § 4 гл. I).
Однако в последнем случае возникают дополнительные труд-
трудности при оценке граничных значений конормальной производной
быстро осциллирующего корректора вида е№ (— | ——. Поэто-
\ е / dxs
му, чтобы прояснить основные идеи доказательства теоремы, ана-
аналогичной теореме 1.2, рассмотрим сначала задачу Неймана в об-
области Q, не зависящей от е, для одного эллиптического уравнения
второго порядка с быстро осциллирующими гладкими периодиче-
периодическими коэффициентами. Отметим, что отсутствие полостей суще-
существенно упрощает доказательство.
2.1. Усреднение решений задачи Неймана
в области Q для эллиптического уравнения
второго порядка с быстро осциллирующими
периодическими коэффициентами
В ограниченной области Q с гладкой границей рассмотрим за*
дачу Неймана
г ) дх}
дае ,, I х \ dus
B.1)
где (vi,...,vn) —единичный вектор внешней нормали к d?i. Пред-
Предполагается, что ai5'(?)—гладкие 1-периодические по | в R" функ-
функции, удовлетворяющие условиям
Их | л 12 < а" © тьт), ^ ха | т||2 V t| e R", а«.= а»,
106

где иь x2=const>0. Функции / и <р достаточно гладкие и удовле-
удовлетворяют условию разрешимости задачи B.1), т. е.
J/dx=Jq>dS. B.2)
а аа
Определим функции №>(?), p=\,...,n, как решения задач
Np(® 1-периодична по g, \Np&)dt=0.
B.3)
Положим
Q={x:0<x,<l, / = l,... , «}.
В качестве приближенного решения задачи B.1) рассмотрим
функцию
Z()^~, B.4)
x
B.5)
где «° — решение усредненной задачи Неймана
ди* -4,, аи0
Vj=9 на
Нетрудно проверить (см. вывод формулы A.16)), что
Определим функции Nis (g) как решения задач
а
в со,
N's(?) 1-периодична по |, f
Q
B.6)
Тогда
a^fe \ a^
dsu?
-=8
B.7)

где
П»1?™ k = \ n, B.8)
B9)
Рассмотрим граничные условия
а . ~ ,, гНиг—7л
dxs
Таким образом,
(а8—и) = ais—ais 1 — | —а1' — -—— vt
dvAa I \ г ) \ г j d\j J dxs
—egi'xtN* a2"° . B.10)
Введем обозначения
^~, BЛ1)
Лемма 2.1. Функции ais(|), определенные равенствами
B.11), удовлетворяют соотношениям
=0, *,s=l n; B.12)
a's(i)=0, s=l n; B.13)
J o/s (I) df/= 0 V.* e R1, s, / = 1 л B.14)
J
(no j суммирование не проводится).
Доказательство. Равенства B.12) и B.13) вытекают не-
непосредственно из B.3) и определения ahh. Докажем B.14). Обо-
Обозначим через 0!tltt множество
108

Умножим B.13) на
j—tx и проинтегрируем по Q^,. Имеем
«L
Здесь по / нет суммирования. Полагая t\=t2—1 и учитывая
B.12), получим B.14) при t=t2. Лемма доказана.
Лемма 2.2. Пусть ais(Q — 1-периодические по | функции из
Hl(Q), удовлетворяющие условиям B.1) — B.14). Тогда для лю-
любой оеЯ1 (Q) справедливы неравенства
1С aik С — )xtvdS <се'/2 (С \уи\ЫхУ/2, k=\,...,n, B.15)
да а
где постоянная с не зависит от г и v.
Доказательство. Обозначим через /,• множество всех
таких векторов zeZ", что e(z+Q)crQ, p(e(z+Q), ^iQ)>e. Поло-
Положим Qx= U {ez + Q). Легко видеть, что
Л
0 =
Следовательно,
Очевидно, что
a\Bi
— C aik—dx,k = l,...,n.
g\q,
= f ai\vdS+ f a'fc— dx.
dQ Q\f
B.16)
Q\f>i
U\Ci
1/2
<
B.17)
Оценим первый интеграл в правой части B.16).
Легко видеть, что д&\ состоит из (п—1)-мерных граней кубов
e{z+Q) при некоторых ге4, Через о},...,о)> обозначим (п—
— 1)-мерные грани кубов e{z+Q) при z&ll, параллельные ги-
гиперплоскости xj=0 и лежащие на дпи /=1,..., п. Тогда
^1=0 U ст^-
109

Куб s(z + Q), на поверхности которого лежит о*., обозначим через
(f.. Легко видеть, что среди qs., /=1, .. • , п, s=l, ... ,1/, один и
тот же куб может встретиться не более 2п раз.
В силу условия B 14) для любого <т^ имеем
[aik\tdS=
=0, так как v4=0 при 1Ф\, B.18)
(по / нет суммирования). Положим
r\(x)=(mesq!p-1 ^vdx, xea*. / = 1 n, s=l, ... %lh
Таким образом
получаем
. 1\{Х)
J a'*v,
an,
aa,
постоянна
vdS
1
an,
r\\2dS=C]
на
a"
n
E
каждом о
v,(r;-Ti)dS
0
*, Учитывая
|'<
l2d5<
B
18)
B.19)
При выводе этого неравенства мы воспользовались тем, что
среди q*t имеется не более 2п одинаковых кубов, а также нера-
неравенством
\v—
dx,
B.20)
для доказательства которого нужно сделать замену переменных
%=е~1х и применить утверждения 3 и 4 теоремы 1.2 гл. I для об-
области Q=e~l qst.
Из B.16), B.17) и B.19) вытекает B.15). Лемма доказана.
Таким образом, в силу B.7) — B.10) имеем
(и*-?) = 6-2-4 + 6^ в О,
(иЕы)а'Ч>
oxs
на
B.21)
где Flt Ft, F2—ограниченные (равномерно по е) функции.
ПО

Полагая w=W—п+х\', где постоянная х\* выбрана из условия
$wdx=0, из B.21) получаем
Q
wdS
f Fh\hwdS I + е I Г
an aa
да
ди°
Применяя лемму 2.2 при v= w и неравенство Пуанкаре
0-5) гл. I, получаем, что
Таким образом, доказана
Теорема 2.3. Пусть и\ и0 — решения задач B.1), B.5). со-
ответственно, причем f, ф — гладкие функции, для которых выпол-
выполнено условие разрешимости задач B.1), B.5). Тогда найдется та-
такая постоянная tf, что имеет место оценка
<се./2>
где постоянная с не зависит от е.
Аналогично тому, как это сделано в § 1, можно получить оцен-
оценки отклонения энергии и обобщенных градиентов, отвечающих за-
задачам B.1), B.5). Мы не будем останавливаться на этом. Такие
оценки для системы теории упругости в перфорированной области
будут получены ниже.
2.2. Усреднение решений задачи Неймана
для системы теории упругости в перфорированной
области. Формулировка основных результатов
Всюду далее в этом параграфе Q' обозначает перфорирован-
перфорированную область типа II, определенную в § 4 гл. I. Ее граница д<п°
состоит из dQ и поверхности полостей ScaQ.
В области Qe рассмотрим краевую задачу Неймана для систе-
системы теории упругости
)=0 на SE =
) = И^ на аи.
B.22)
Предполагается, что элементы матриц Ahh удовлетворяют тем же
условиям, что и коэффициенты системы A.1), f'^L2(Q'), фе<=
111

eL2(dQ) и выполнены условия разрешимости задачи B.22), а
именно
а8
где 3? — пространство жестких перемещений.
Существование и единственность (с точностью до слагаемого
из SR ) решения этой задачи вытекают из теоремы 5.3 гл. I.
Рассмотрим также краевую задачу Неймана для усредненно-
усредненного оператора теории упругости
f» Wbq, )
dxh { dxk J B.23)
(mesQnco)o(u0)=iJ>0 на dQ, ]
где a(u°)=vhAhk , матрицы Ahk определены формулами A.3),
дхк
ijHeL2(<JQ), /°eL2(Q) и выполнены условия разрешимости
(mes Q П со) f (i}>0, r\) dS = \ (f°, r\) dx V r\ e W.
Следует отметить наличие множителя mes Qflco в граничных
условиях Неймана на dSi, который равен 1, если область Q' со-
совпадает с п (см. формулу B 5) п. 2.1).
Для характеристики близости f°, if>° и f', v|)e введем следующие
обозначения.
Для любых вектор-функций feL2(,Qe), ifeL2(dQ) скалярные
произведения (/, v)LHQey {ty, v)LHdQ) задают непрерывные линейные
функционалы на Hl(W), и поэтому / и -ф можно рассматривать
как элементы из #'(Яе)*. Обозначим нормы этих функционалов
через ||/||Н1», l№||Hi», т. е.
), иеЛ
Отметим, что ||/||н1.< H/H^aV 1№11н"^с11^1иаа)-
Приближенное решение задачи B.22) ищем в виде
и (х) = и0 + еф (*) Ns(~) —. B.24)
\ е / дх$
Здесь «° — решение задачи B 23), Ns — решения задач A.4),
<р(х) —срезающая функция, такая, что
ф(х)=1 при лей,и таких, что
112

где си с — не зависящие от е постоянные, Qi определена форму-
формулой D.3) в гл. I.
В отличие от рассмотренного в п 2.1 случая одного эллипти-
эллиптического уравнения второго порядка (см. формулу B.4)) здесь при
определении вектор-функции п используем срезающую функцию
ф. Это связано с тем, что решение и' рассматривается в перфори-
перфорированной области Q'h в окрестности д& матрицы Ы"(х/г), вооб-
вообще говоря, не определены.
Основным результатом этого параграфа является
Теорема 2.4. Пусть f e=L2(Qe), feff(Q), г|)е е ZJ CQ), f<=
eH3/2(dQ), ue, u°—решения задач B.22), B.23) соответственно. Тог-
Тогда имеет место оценка
(х \ difl II
е / dxs \\HH
<сW'2 (\\f°\\H4Q) + lif 11„8/2(в0)) + H/°-/ElU + W-V\\Hl.b B-26>
HQe)
где постоянная с не зависит от г, t)' — некоторое жесткое переме-
перемещение, которое может зависеть от г.
Доказательство этой теоремы изложено ниже, в разд. 2.4. Оно
опирается на леммы, приведенные в следующем разделе.
2.3. Некоторые вспомогательные результаты
Введем обозначения
"(ЮЛг/®^> i,s=l п,
/-1. S/4-Ь • • • > in)
QU={1: k < % < tt, 0 < Ь < 1, l ф j).
Лемма 2.5. Матрицы ais(?,) удовлетворяют соотношениям
0, i,s = l n.
— о"(В=0 в a, s = l л, B.27)
аи ™
гга"=г,Л" на dco, s=l, . .. ,п, B.28)
J a's © a%i=(mes S{—mes Q f] ©) ^/s. B.29)
s/
Здесь не предполагается суммирование по ].
Доказательство. Равенства B.27), B 28) непосредствен-
непосредственно вытекают из A.3), A.4). Установим равенство B.29).
113

Умножим систему A.4) на (|3-—t\)E, где Е — единичная мат-
матрица, и проинтегрируем по Q^fl©, (^i<4)- Имеем
Интегралы в B.30) по <3@^1<2ПСО) можно представить как сум-
суммы интегралов по множествам
Учитывая, что на Q^2 П дсо выполнены условия
и подынтегральные функции 1-периодичны по всем |г, г?=/, г
= 1,...,л, из B.30) получаем
_ Г
J
где по индексу / суммирование не производится.
Полагая в этом равенстве ^=4—1 и учитывая A.3), находим
Из этого равенства и определения a;s(|) имеем
щ
slt
=(mes Щ A's — (mes Q П со) A's= (mes S^'—mes Q П со) A's.
Лемма доказана.
114

Замечание 2.6. Если область QE не является перфорированной,
т. е. co=R'1, QE=Q, то С a/s (?)<#/=0, поскольку mesS^=mesQf|
5
«
щ
Л« = 1 (см. лемму 2.1).
Лемма 2.7. Пусть ai,...,a2n—(я—I)-мерные грани куба
гС}={х:0<Х1<г, /=1,...,л}. Тогда для любой ue#'(eQ) имеет
место оценка
clluH2H4eQ), 1ф\, B.31).
где постоянная с не зависит от i, j, е.
Доказательство. Пусть a1 = {*] =0}fleQ, сг2 = {А;2=0}П^.
S1^&~lo1, 82=г-1о2. Рассмотрим на гранях S1( S2 куба Q точки
У1 =@. г/2. Уз Уп),у = (У2, 0, г/3 У*)- Отрезок g(t, y_2, г/3. • • •
••• .УтО^^ + О—0У2 ПРИ ^^[0. 1] целиком лежит в Q. Легка
видеть, что для любой oetf(Q) имеем
1
Уг Уп))—v2(g@, у2 yn))=^-^-
о
1
= 2 Г0(г(/, г/2 Уп)) -jZ-
j
о
Интегрируя это равенство по У2,...,уп от 0 до 1, получим
(VdS— Cu2dS<cCliM \4iv\dt, I——,
a, eQ
Отсюда следует B.31). Для других граней ои в, оценка B.31)
доказывается аналогично.
В следующих двух леммах устанавливаются некоторые равно-
равномерные по е неравенства для функций, определенных на границе
dQi области Qb которая зависит от е и состоит из (л—1)-мерных
граней кубов eB+Q), z^Ts (см. формулу D.3) гл. I).
Через о[., ... ,qjj обозначим (л—1)-мерные грани кубов e(z +
+ Q) при z^Ts, параллельные гиперплоскости х,=0, /=1,...,л,
и лежащие на dQb Тогда
д^=[\ И Ъ1 B.32)
/=1 5=1
Куб e(z+Q), геГе, на поверхности которого лежит множество
of, обозначим через qf. Легко видеть, что среди кубов qf, ]—
115.

— 1,...,л, s=l,...,/j, один и тот же куб может встретиться не бо-
более 2л раз.
Лемма 2.8. Пусть u^H[(Q). Тогда
1М11,(аа1)<с1М1нчй). B-33)
где постоянная с не зависит от г.
Доказательство. Согласно B.32) dQ) состоит из мно-
множеств а/, каждое из которых является гранью куба q}. Посколь-
Поскольку граница дп— гладкая, то у каждого куба qf найдется (л—1)-
мерная грань os,j, параллельная плоскости xm^,S)=Q, причем объ-
объявляется ортогональной проекцией вдоль оси 0xm(j,s) поверхности
SStjddQ, которая задается уравнением
, m=m(j,s),
\x—у\ <с2е при x<=oSjj, г/е SStl,
где постоянные си с2, М не зависят от е, s, /.
Обозначим через QStj множество, образованное отрезками нор-
нормалей к as,j, соединяющих точки as,j и Ss,3-. Тогда, пользуясь глад-
гладкой заменой переменных х, переводящей Qs,j в eQ, и учитывая
лемму 2.7, устанавливаем, что
\\u\\l4aStI) < С (M\UsStj)
Снова пользуясь леммой 2.7, из этого неравенства получаем
Суммируя эти неравенства по /, s, получаем оценку B.33). При
этом мы воспользовались тем фактом, что ввиду гладкости дп
найдется не зависящее от е число k, такое, что каждое Qs,3- мо-
может пересекаться лишь с конечным числом множеств Qi,t, не пре-
превосходящим k. Лемма доказана.
Лемма 2.9. Пусть матрицы уш(х)^Ь°°(дп\) таковы, что
f yhk(x) dS=O (суммирование no h не производится).
B 34)
sup 1y 1 ^Y> К &=1, ... , л, m^l, ... , lh,
где of me же, что в B.32), y=const.
Тогда для любых вектор-функций u0eff3(Q), w&Hl(Q) справед-
справедливо неравенство
чо). B-35)
dxk
га,
где постоянная с не зависит от г.
116

Доказательство. Рассмотрим вектор-функцию Г(х), за-
заданную почти всюду на dQi и определенную равенством
Г (х) = (mes оТГ1 [ vbyhk — dS при х е of,
J дхк
о?
Легко видеть, что Г (х) постоянна на множестве а?. Поэтому,
лолагая
lh (x) = (mes аГГ1 Г-2?- dS при х е о?,
J дхк
имеем, учитывая B.34) и неравенство Пуанкаре на а?
\V\*dS=
s=l s
n 4
s-=l
_
л '/ n
s=l
'rfS.
Отсюда, учитывая лемму 2.8, получаем
fir
аа,
где постоянная сг не зависит от е.
Легко видеть, что
;w)ds=l(Г'w)dS+ J
an,
da.
Согласно B.36) и лемме 2.8
da,
B.36)
17"-r> w)dS- B-37)
B.38)
117

'Оценим второй интеграл в правой части равенства B.37). Опре-
Определим вектор-функцию г\(х) на дп\, полагая
¦ц (х) = (mes q'm)~l [ wdx при хеа'т.
I
Тогда
/=-1 S=l
/=1 s=l
\yw\2dx.
B.39)
При выводе этого неравенства мы воспользовались тем фактом,
что среди qf один и тот же куб может встретиться не более
2л раз, а также неравенствами B.20) при v=w.
По определению вектор-функции Г имеем
Поэтому в силу того, что г| (х) постоянна на а1т, устанавливаем,
учитывая B.39), B.36) и лемму 2.9, что
J
(J
аа,
х
X
Из этого неравенства, а также из B.37), B.38) следует оценка
B.35). Лемма доказана.
2.4. Доказательство оценки отклонения
решения задачи Неймана в перфорированной
области от решения усредненной задачи
Приведем теперь доказательство теоремы 2.4.
Применим оператор 2?t к вектор-функции и'—п, где п задана
формулой B.24). Тогда
118

dxh \
dxh \ dxk } dxh \ dxk \ ^ Y dx
(a* ^lU (л** л>*
q (a (л л
dxk j dxh \ dxk ) дхн \ dxk dxk
dxh \
dxh I \ dxk dxs dxkdxs
д /-fan ди° Ahk ди« ^. дщ№ ди?
—e-
дхк дхк дх} дхк
д
дхи
dxh [ \ дх] j dxk J дхи \ т дхфх$
^T ¦•""¦" J —j *" ¦"¦ "i-i" III "^^ t) v** """™"¦^^^ / "~" I i """'"¦¦ I CD I r\ "^^
dxj J dxk J axh [ dxj dxk J axh \ dxkdxs
Далее, учитывая, что Ns удовлетворяют системе A.4), получаем
A Ф) (ЛЛ)
dxh I dxk
1 + Гл"*_Ahk-
J [
dxk)
-\- A™—Л"й—еЛ"' —¦ e Ф 1 — a"ft
t a^ ax j a^a^ a^ dx
ефЛ^ .
dxkdxs dxkdxhdxs
Определим матрицы N^A,) как обобщенные решения следующих
задач:
в ш,
B.40)
<j(Nhk)=— v'sAshNk на б©, W1*® 1-периодична по ?.
J19

Тогда
1 Фс а (Л» dNkk ) д2и° | дф а**
8
дхц
--A- f A-
av | аФ
dlt dx/,dxiidxj dxh dxk
— e^^ 1 —^- Л1" TV "-—1-е—2
Таким образом,
1 9Ч
^? (ые_^л_/8—/o-i i.-] lL-|-f?+/^ + F3, B.41)
8 dxh dxj
где
B.42)
¦_ Р__1_л"—— - - - дф ihk^s дЧ"
— —с /1
ag/ dxkdxhdxj dxkdxhdxs
pQ a<p а^ ац°
ax/, ах?
Рассмотрим теперь граничные условия для и"—п. Имеем
a.(«•-«)=A'/vJ-*L-А'Ы— ' ди°
'/ — -evHw -^ N> -^--
ах,-
!, dNs ди«
—svtA ф
аху axs
120

ди° ли dNl ди° .,-,¦ rd<p ,„ аи0
г\мА" г\Л11 —±-Ns ———
дх/ dxt dxj dxj dxs
,,s au°
Ns
dxs
Заметим, что в силу граничных условий в A.4), B.40)
— на
Поэтому, учитывая B.42), получаем
; дх/
на 5Q8. B.43)
Положим ш=и°—й+ц', где if — жесткое перемещение (rfe 3d),
такое, что
(tf, 'П)н.(й8)=0 Для любого Tie3l.
Учитывая граничные условия для ы°, ы' и равенство ф=0 в Q\
\Qi, из B.41), B.43) получаем для w
dx+
4- V |^Л!/A— ф)-^~,a>WS + \ ((mesQflft))"Ч°—^Р , w) dS. B.44)
J \ Y/ dxj / J
Оценим интегралы в правой части этого равенства. Заметим, что
в силу B.25) функции _?2_) i—ф равны нулю в Q2={#:
dxj
121

p(x, dQi)^Ciz} и |еУф|^с, где с, С\ не зависят от е. Поэтому,
пользуясь леммой 1.5 гл. I, получаем
B.45)
где постоянная с3 не зависит от е.
Непосредственно из B.42) вытекает
где постоянная с4 не зависит от е.
В силу соотношений B.27), B.28), полагая a=mes QH<o, имеем
Q8
• a"
dxk
-, w j dx—
J
f
J
w) dS- С ((ф-
°—Г, w) dS=
a
hk
of
w
) dx-
B.47)
причем в интеграле по (<3Qi)\SB нормаль v — внешняя по отно-
отношению к dQ\, а в интеграле по dQiflS, v — внешняя нормаль к
Q". Последние два интеграла в правой части B.47) оцениваются
аналогично B.45) величиной се1/2||ы°||я>(а) Уа>||ячй8).
Введем матрицы $hh(Q, полагая
ш,«_|«"(9 в со,
122

Тогда
Aft [?] / x> e B.48)
I Ahk Haa
Из B.47), B.48) получаем
чОе), B-49)
где
ah, ' ' " ' во
J \ \ e / axft / mesQfl ш J
dQ
B.50)
да
Из интегрального тождества для ы° вытекает, что
ц\о, . ей
— Г (ан\ ——, w\ dS = \ (f°, w) dx.
dtli
Следовательно, в силу леммы 1.5 гл. I
=(mes Q\co) J (VftA** -^-,») d« + ^., B.51)
где
I. B.52)
Таким образом, из B.50), B.51) получаем
d/j= \ ((mes Q\co) vhAhk—vApAft) -
(^o_^et w) dS + dX3. B.53)
da
Положим в лемме 2.9
Легко видеть, что для таких yhk выполнены условия B.34). Дей-
Действительно, пользуясь B.48) и B.29), получим
123

vhftdS=e"-1 (mes Q\<x>)Ahk — [ $hkdS — J $hkdS =
=e"-1(mesQ\(uK't*— f ahfcdS—(mes a" (]Se) AHk =
(mes Q\co) Л"*—e" J aw (g) dS—(mes a? fl 5E) A~hk =
=8""' (mes Q\a>) ЛА*—е" (mese E^\5e)—mes
—(mes a?1 П Se) Анк=гп~1 (mes Q\co—mes e
+ mesQn со—mese (a" f| Se))Ahk=0,
поскольку
mes Q\co + mes Q П ©= 1,
mes в (a^1 \5e) + mese (a? П 5e)=1.
Из B.52), B.53) и леммы 2.9 заключаем, что
я(в«I- B-54)
Из B.44) —B.46), B.49), B.54) следует, что
Так как dQ —гладкая и f°(=Hl(Q), $0e=HV2(d®), то
B-56)
Поэтому из B.55) в силу теоремы 4.4 гл. I, учитывая B.56), по-
получаем оценку B.26). Теорема доказана.
2.5. Оценки энергии и тензоров напряжений
Следуя схеме доказательства теорем 1.3 и 1.4 о сходимости ин-
интегралов энергии и тензоров напряжений, с помощью оценки
B.26) устанавливаем аналогичные теоремы в случае задачи Ней-
Неймана.
Теорема 2.10 (о сходимости интегралов энергии). Пусть
выполнены условия теоремы 2.4 и Ее(ие), Е0(и°) определены ф
мулами A.25), A.26). Тогда имеет место оценка
124

I Ee (и*) - (mes Q(] со) Е0(ы<>) | ^
/eli№, + l№0-^||Hl,+
.. + l№0-1MlH..)J, B.57>
где постоянная С не зависит от е.
Отметим, что при доказательстве этой теоремы берем такие
и° и и", что
JV, тОЛ= $(ы°, л)^=0 VTj'e». B.58)
Такой выбор возможен, поскольку решения задач B.22), B.23)
определены с точностью до слагаемого из 91. В этом случае в
оценке B.26) можно положить г|е=0. Кроме того, используем
оценки
!!«° !1я.(о) < с (|| /»||я.(В) +1| f !1нз/2(ай)).
которые известны для решений эллиптических краевых задач [1]..
Аналогично теореме 1.4 устанавливается
Теорема 2.11 (о сходимости тензоров напряжений). Пусть-
выполнены предположения теоремы 2.4 и и", и0 удовлетворяют ус-
условиям B.58) ортогональности пространству жестких перемеще-
перемещений. Пусть тензоры напряжений ор(х), о^х) определены форму-
формулами A.42), A.43). Тогда имеет место оценка
¦'(Q)
B.59>
где постоянная с не зависит от е, матрицы Gpq определены фор*
мулами A.45). Кроме того,
(mesQ[)<x>)op(x) слабо в L2(Q) при г->-0.
2.6. Некоторые обобщения
При усреднении собственных значений задачи Неймана для
системы теории упругости в перфорированной области нам пона-
понадобятся результаты об усреднении решений задачи Неймана для
некоторой вспомогательной системы уравнений.
Рассмотрим краевую задачу Неймана
| /260v
=ф на дп, а8(ые)=0 на Se, j V " ;

а также задачу Неймана для усредненной системы
.?(и°)-р0(х)и°=/°вО, J
(mes Qf] со) а (ы°)=г|>° на Xi, j
где SB'„ i?— те же операторы, что и в задачах B.22), B.23),
функции pBeL°°(Qe), po^L^Q), такие, что
причем постоянные с0, сь с2, с3 не зависят от е.
В теореме 2.4 установлена оценка близости решений задач
B.60), B.61) при ре=0, ро^О. Если ввести величину, характери-
характеризующую отклонение рв от рОт то оказывается возможным доказать
аналогичную теорему для задач B.60), B.61) при условии B.62).
В частности, представляет интерес случай, когда ре(*)=р X
XI—, х\, где р(?, х) 1-периодична по | и удовлетворяет условию
Липшица по x^Q равномерно по |, т. е. в обозначениях леммы 1.6
гл. I p(g, x)(=C(KnXQ). пУсть ро(*) = <р(*. x)>, где р( )
-определено в гл. I формулой A.23) и является средним функции
р(|, х) по |.
Из леммы 1.6 гл. I следует, что для любых вектор-функций
и, иеЯ' (Qe) выполняется неравенство
.Действительно, положим в лемме 1.6 гл. I g(g, *) = (р(?, х) —
— Ро(х))%ыA), где %a(Q —характеристическая функция области
со с 1-периодической структурой. Легко видеть, что g(%, x)el(R"x
xQ), J g(?,, x)d?,=0. Рассмотрим продолжения Реи, Pev вектор-
Q
¦ функций ы, v на область Q, существование которых утверждается
в теореме 4.2 гл. I. Тогда
Eu, P,v)dx
Заметим, что множество Q\Qi лежит в окрестности dQ порядка
.е. Поэтому, применяя лемму 1.6 гл. I для оценки первого слагае-
слагаемого в правой части этого неравенства и лемму 1.5 гл. I для оцен-
126

ки второго слагаемого, получим qs^.c1E \\Раи\\нца) ||-Р8и||нчо)- От-
Отсюда и из D.17) гл. I следует неравенство B.63).
Таким образом, функции р[ —, *) и р0 (л;) близки в смысле
неравенства B.63). В более общем случае мы будем характери-
характеризовать близость ре и ро с помощью нормы
|||p|||=sup{| Jp(«, v)dx\, \\u\\mae)>=\\v\\mQe) = l}, B.64)
где верхняя грань берется по всем вектор-функциям и, v из
Н1(п°). Соотношение B.64) означает, что для любых и,
#'(Qe) справедливо неравенство
р(и, v)dx <|||р|1|||и||я,(ое)||«||Я1(ое). B.65)-
Непосредственно из оценки B.63) вытекает
Лемма 2.12. Пусть p8(x)=p/-i-, х\, ро=(р(., х)), р(|, х)е
eI(R"xQ). Тогда
|||рв-р„|||<се, B.66).
где постоянная с не зависит от е.
Теорема 2.13. ПустьЦ*<= L2(Qe), /°e№(Q), ij;se L2(dQ), fe
efl3/2(ffi), poeC!(Q) u ые, и°—решения задач B.60), B.61) coom-
ветственно. Тогда
II E— °— Л/s /^—"i -^- <
II \ e / 5xs яма8)""""
< С l(e'/2 + IK pe_p0 HI) (|| /o ||№@) +1| Г ||яз/2(аа)) + !l f°-fe \\Hi* +
i.], B-67)'
где постоянная С не зависит от е, функция ф — та же, что и в
теореме 2.4, и удовлетворяет условиям B.25).
Доказательство этой теоремы почти повторяет доказа-
доказательство теоремы 2.4. Укажем основные его этапы.
Приближенное решение задачи B 60) ищется в виде
ди°
где и0 — решение задачи B.61), Ns — те же, что и в теореме 2.4.
Применяя оператор S7,—ре/ к и'—п, получим
ari uf?
ахЛ ax/
B.68)-
127

где Fh, F), F°, F°, Fl определены формулами B.42), a
^ B.69)
Для at{№—й) справедлива формула B 43).
Полагая w=№—п, из интегрального тождества для решения за-
задачи B.68), B.43) получаем для w аналогично B.44):
0е Q8
^tf+Fl+FS + fi, w)dx +
Г ((mesQn»)*0—^ ^)^5- B-70)
В силу B.65), B.69) имеем
Формулы B.45)—B.50) сохраняют прежний вид. При выводе
B.53) нужно воспользоваться интегральным тождеством в Q\Qi
для решения и° задачи B.61). Дальнейшие изменения в доказа-
доказательстве теоремы 2.4 очевидны.
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИИ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПЕРФОРИРОВАННОМ СЛОЕ
3.1. Постановка задачи
Пусть область Qe имеет вид
тде о — неограниченная область с 1-периодической структурой,
удовлетворяющая условию В (см. п. 4.1 гл. I), e— малый пара-
параметр, е~' — целое положительное число.
Положим
Г, = {х :*„=*} П«ю,
Tt=Yt(]{x:O<x,<l, / = 1 я—1}.
328

Если co^R™, to область Qe представляет собой перфорированный
слой.
В Йе рассмотрим краевую задачу
на Го, «Е(х, ф=Ф2(х) на rdf i J
=0 на (aQE)\(rUr
dxk
uE(x) 1-периодична по x=(xl, ..., xn~i)-
Здесь Ahh(l) — (nxti)-матрицы из класса ?(хь х2) (хь х2>0),
элементы которых с№ (|) являются 1-периодическими по \ функ-
функциями.
Существование, единственность и оценки решений задачи C 1)
при соответствующих условиях на /, Ф1, Ф2 установлены в § 6.3
гл. I (теорема 6 5).
В этом разделе предполагаем, что feC°°(Rn), Ф->еС°°(Rn-1),
f, фЭ являются 1-периодическими по х, /=1, 2
Наша цель — получить асимптотическое разложение решения
иг задачи C.1) по степеням малого параметра е и дать оценку
остаточного члена этого разложения.
В случае одного эллиптического уравнения второго порядка
такое разложение было построено в [85] Здесь излагаем резуль-
результаты, полученные в работе [79].
Для любого целого k>0 решение и" задачи C 1) может быть
представлено в виде
(-J-, е) У?,(х, е)+е*Ме,
/=0 /п=0
где Рт(|, е)—(пхи)-матрицы, которые имеют вид
причем Р1тП являются 1-периодическими по Е, PlmX (Q и Р1т2[1, ?ч
задают пограничные слои, компоненты векторов Ym(x, e) явля-
являются многочленами по е, коэффициенты которых определяются че-
через решения краевых задач для усредненной системы теории
упругости с постоянными коэффициентами в слое {x:0<xn<d},
остаточный член разложения удовлетворяет оценке
II Me, Jf)||Ht(Se)<Afft, k=> 1, 2
с постоянной Mk, не зависящей от е.
5 Зак 269 129

3.2. Построение формального
асимптотического разложения
Будем искать решение задачи C 1) в виде
x), 1=ег*х. C.2)
В этом параграфе, в отличие от главы I, используем следую-
следующие удобные здесь обозначения.
илаг •••ила1
<Xi может принимать любые значения среди 1, ..., п; Na(Q—матрицы,
1-периодические по g; ve(x) = (vl, ..., v%)—вектор-функция, 1-перио-
дическая по х.
Подставляя ряд C 2) в C.1) и учитывая, что
получим формальное равенство
dxk \ \г f dxjj U U W aW dxkdxj
1=0 (a)=l
j dlj \dxk
1=0 (a)=l
1=0 (a)=l
1=1
130

/=0
i=0
Здесь мы обозначили
при (а)>2,
если (а} = 1,
если <а>=0.
Подстановка ряда C.2) в граничные условия C.1) приводит к
формальным равенствам
? Na (I 0) Dave | ^=о -
e
=ф2(*}>
Для х е dQe \ (Го U rd), ^e-1*, имеем формально
/=0
/=0 <a)=/
131

i=0 <a)=/
где
Ba (I)=vft ^ © a'di"<F). + Л*а' (|) iVaj. .a/ ©), C.3)
если (a) > 0, и
если (а) =0.
Будем искать iVa(|) в виде
где iVa(|)—1-периодические по | матрицы, а jVi, ^ соответствуют
пограничным слоям вблизи гиперплоскостей хп=0, xn=d соответ-
соответственно.
Положим Nq—E, Nl0=Nl=0,rne Е~ единичная (пХп)-мат-
(пХп)-матрица. Обозначим
«,©, р = 0, 1, 2,
где iVa с отрицательной длиной индекса а считаются равными нулю.
Положим
Q
J
Qfl©
H=mes(Qfla)). C.4)
Матрицы A'ad) определим как решения рекуррентной последователь-
последовательности 'задач
132

°(g) 1-периодична по ?, J W°(g)d?=0,
Qfl©
C.5)
1, 2,... .
Существование и единственность Na легко выводятся по ин-
индукции, исходя из теоремы 6.1 гл. I.
Матрицы Na, Na определим последовательно из рекуррентных
последовательностей задач при <а>=1, 2,... :
2-) = —П в а@, оо),
a (Nla) = -Za(I) на даП да(О, оо),
ha на дсо@, оо)\а<»,
Na(l) 1-периодична по |,
C.6)
= —Z|(|) на
оо,
;!(?,-i) = -tf« (б.-?-)+/? на &>
1-периодична -по |,
-оо, ^-ПЗо,
C.7)
где ha, ha—(га х га)-матрицы с постоянными элементами, выбран-
выбранные так, чтобы выполнялись неравенства
-xis), s=0, I, 2, ..., C.8)
C.9)
С", С", У-а, У-а— положительные постоянные, не зависящие от е.
Существование решений задачи C.6), C.7) и наличие таких
постоянных матриц ha, ha, что выполнены условия C.8), C 9),
легко доказываются по индукции на основании теоремы 8.4 гл. I.
Заметим, что в силу граничного условия при |n==d/e задачи
C.7) матрицы Na и ha зависят от е Если d кратно е, то вслед-
вследствие 1-периодичности по | матриц Ahh(?.) зависимость No(|) от е
определяется тем, что Na E) представляется в виде jVa (Н) =
=Na(?,?,n—dje), где iVj© являются решениями соответствующей
133

рекуррентной последовательности задач вида C.7) в области
<о(—оо, 0) с граничными условиями
Очевидно, что N%, 1& не зависят от е.
Определив таким образом N%,, р = 0, 1, 2, после подстановки
vt в C.1), получаем формальные равенства
*). x6=Qe, C.10)
(а)=/
C.11)
/=0 (а)=/
где, как нетрудно проверить,
^=^=0, hl=hl = E, C.12)
граничные условия на (<3Qe) \(Foljr(j) выполнены в силу гранич-
граничных условий в C.5) — C.7) для матриц Л^„, N^, N^. Отметим,
что в силу формул C.4) постоянные матрицы /ia,a2 определяются
соотношениями
Qfl©
Сравнивая эти равенства с A.3), заключаем, что h\j = A1', i, /=
— \,...,п, т. е. что hi; являются матрицами, задающими коэф-
коэффициенты усредненной системы теории упругости.
Будем искать ve в виде ряда
. C.13)
Подставим формально вектор-функцию vt, заданную формулой
C.13), в C.10). Учитывая C.12), получаем
/=0 <a)=/ /=0 /=0
134

5> Е
k—O m=O(<x)=m
k=2 m=2 (a)=m
E
/=0 m=2 (a)=m
Отсюда и из C.10) находим формальное равенство
1+2
= Ее''Е Е hl
/=0 т=2 (а)=т
C.14)
Рассмотрим первое равенство C.11). Легко видеть, учитывая
C.13), что
Е hlaDaVf =
/=0/=0 (а>=/
е ib
=-0 m=0 (a)—m
N11—, 0
Отсюда, принимая во внимание, что в силу C.9)
_ _v_
^ се е , у, c=const>0, из первого равенства C.11) получаем фор-
формальное равенство
оо к
ФМ^^Е^Е Е hlaDaVk-m х =-0. C.15)
Аналогично находим, что
Е f&
fe^O m=0 (a)=m
!-ти„-<С
C.16)
Приравнивая в C.14) — C.16) члены одного порядка по е, полу-
получим рекуррентную последовательность задач для Vj(x):
dxs
=Wi в {x:0<xn<d},
Vf(x, 0)=ф}(х), Vf(x, ф=ц>21(х),
Vf(x) 1-периодична по х, j=0, 1, 2, ....
C.17)
135

Здесь
hpaDaVf-i, P=U 2,
2_/, /=1,2,....
C.18)
(a)-I
Существование Vj следует из теоремы 6.5 гл. I в случае, когда
to=Rn и коэффициенты системы теории упругости не зависят от е.
3.3. Обоснование асимптотического разложения.
Оценки остаточного члена
В предыдущем разделе мы построили формальное асимптоти-
асимптотическое разложение для вектор-функции и', которая является ре-
решением задачи C.1), в виде C.2), где Na=Na + Na+Na, Na, Nla,
^а— решения задач C.5) — C.7) соответственно, vt имеет вид
C.13) и V,- являются решениями рекуррентной последовательно-
последовательности задач C.17).
Приближенное решение задачи C.1) ищем в виде
(-=0
Na ( —
C.19)
где
C.20)
/-o
В следующей теореме дается оценка остаточного члена асимп-
асимптотического разложения решения и' задачи C 1).
Теорема 3.1. Пусть и' — решение задачи C.1). Тогда при
любом целом ?>0 имеет место оценка
где постоянная Mh не зависит от е, «'fe) задано формулой C.19).
Доказательству этой теоремы предпошлем лемму, в которой
устанавливаются оценки матриц Na, p=0, 1, 2.
Лемма 3.2. Для решений Na, р=0, 1, 21,1
C.7) справедливы, оценки
задач C.5) —
C-22)
136

*(f)
Уз
?
нЩт.)
C.23)
C.24)
где Ма, с/, у/— положительные постоянные, не зависящие от е.
Доказательство. Получим оценку C.22) при р=0. По ин-
индукции относительно <а>=0, 1, 2,... , используя теорему 6.1 гл I,
выводим, что
on»
Переходя к переменным х=е? и учитывая, что Na(%) 1-периодич-
ны по | и область Qe содержит не более (d+l)e~n ячеек вида
e(z+Qn«), zeZn, получим оценку C.22) при р=0.
Докажем теперь C.22) при р=1.
Суммируя оценки C.8) по s=0, 1,..., устанавливаем, что
где Ma=const и не зависит от е. Переходя в этом неравенстве к
переменным #=е| и учитывая, что область Q8 состоит из г~^п~п
областей вида e(z + o)@, d/e)) 2eZn, г=(?, 0), а также что эле-
элементы матриц N& О являются 1-периодическими по | функция-
функциями, получаем оценку C.22) при р=1
При р=2 оценка C 22) выводится аналогично случаю р=1, но
при этом следует воспользоваться неравенствами C.9).
Оценки C.23), C.24) вытекают непосредственно из C.8), C.9)
и определения нормы в пространствах #1/2(Г0), Н /2(Td). Лемма
доказана.
Доказательство теоремы 3.1. Покажем, что вектор-
функция M<ft>, заданная равенством C.19), является решением за-
задачи
дх
е) на
\
аЕ («(*>) =v
ц(*)(д:) 1-периодична по х, где
е) на Го,
^ е) на Td,
на (dQE)\(T0[]Td),
C.25)
137

/=0
IIв,& е)Ня1/2(?о)
(x,
г1) < Aft.
C.26)
C.27)
Mo, Мь Мг — не зависящие от е постоянные.
Тогда оценка C 21) будет прямым следствием теоремы 6.5
гл. I.
Рассмотрим сначала граничные условия для вектор-функции
и(к)(х). Имеем
fe-rl к
2/Ц-1 k
s=0 /=0
\
Z
s=0 <=0<o)=<
2/4-1
л
s=l
2fc+l
+ S
где
(=.0 <o)=/
/=0
C.28)
Ла2 с отрицательной либо большей ?+1 длиной <а> индекса а счи-
считаются равными нулю. В силу условий C.18) имеем
2*+1
s=*+l /=0 (a)=s—/
Учитывая, что вектор-функции Vj являются бесконечно диффе-
дифференцируемыми в слое {х:0<х„<^}, а также оценки C.23), из
C.28), C.29) выводим, что иРЦх, й)=ФЦх) +ieife+162(i, e) и вы-
выполнено второе неравенство C.27). Аналогично доказывается, что
uik)(x, 0)=Ф! (х) +efe+16i (x, е) и выполнено первое неравенство
C.27).
Вычислим теперь ae(«(ft)) на (<5йе)\(ГоиГ</). при ^е*, учи-
учитывая C.3), имеем
138

*+l
/=.0
k+2
C.30)
При этом мы воспользовались равенством Ва(|)=0 при |е
ее (д&°(Г0{]Га)), которое выполнено в виду граничных условий
в C.5) —C.7).
Подставляя и^ в систему C.1), получаем
Н-1
C.31^
Пользуясь тем, что Л;а, Л/'а, Л^« суть решения задач C.5) — C.7)
соответственно, можем заменить выражение, стоящее в квадрат-
квадратных скобках в C.31), на
ь° д I лт' а\ д м N
Поэтому
'~2 ? h^v(k) W + Y?°. C-32)
139

S
<a>=*ft+2
(a)=ft+:i
Преобразуем теперь выражение C.32), полагая /г„=/г? при
+ 2, л? = 0 при (a)>yfe + 3. Имеем
ft+2 ft
S ^Da
ft+2
s=0 /=0 <a)=s—/ s=0 (=0 (a)=t
2ft+2 ft
s=ft+3 /-^0 (a)=s—/
"" " ~ s-<) +
s=3
2ft+2 ft
. + S '-!S S
s=ft+3 /=0 <o>=-s—/
Отсюда и из C.17), C.18), C.33) следует, что
ft+2
° (х, е) + е*+! -^- вт (х, е), C.34)
дхт
W @m = _ ^ Am!(JL)^_Nai ^JJL)D^{x)t C.35)
(a)=ft+2
(D
J V / l} ft+2 \ е / дхт
(a)=ft+2
s=ft+3 /=0 {a)=s—j
140
gS-(fe+3) VI VJ hlDaVt(x). C.36)

Вследствие неравенств C.22) леммы 3.2 и гладкости вектор-
функций Vj справедлива оценка C.26).
Очевидно, что вектор-функция и^ удовлетворяет соотноше-
соотношениям C 25). Теорема доказана.
Замечание 3.3. Из оценки C.21) и равенств C.19), C.20)
следует, что
и? (х)=«<*) (х) + ek+l q (x, e) =
ft+l к
где \\q(x, е)||я, ~е ^.
сюда вытекает, что
/=0
с постоянной Л/, не зависящей от е. От-
ОтS Na(-f-
t—0 /=0 <a>=<
где Uft (х, е)H^fnEj^ Мь Mj^const и не зависит от е, iVa=0 при
отрицательных <а>. В частности, при k=0 получаем
где с — не зависящая от е постоянная
Из C.37) при k=Q получаем также
дхр
где Ci=const и не зависит от е.
Отметим, что, построив пограничные слои, в первом прибли-
приближении можем получить оценку остаточного члена порядка s, то-
тогда как без учета пограничного слоя удается получить лишь оцен-
оценку порядка е1/2, как это сделано в теореме 1.2 при ф°=фе, /°=/5
(см. оценку A.15)).
§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ В ПЕРФОРИРОВАННОЙ ОБЛАСТИ
В этом параграфе рассмотрим асимптотические разложения
по е решений задачи Дирихле для системы теории упругости в
перфорированной области Qe с периодической структурой в слу-
случае однородных краевых условий на границе полостей 5е.
Впервые асимптотические разложения для решений задачи
-Дирихле для уравнения А«в=/ в перфорированной области Q8
были получены Ж. Л. Лионсом [126], где были даны оценки
остаточного члена разложения при условии, что /eC0
141

Для обоснования асимптотических разложений при /еС
оез предположения финитности / мы строим функции типа погра-
пограничного слоя, которые экспоненциально затухают при удалении
от дп.
4.1. Постановка задачи. Вспомогательные
результаты
Рассмотрим перфорированную область Qe, которая имеет вид
и, где со — неограниченная область в R" с 1-периодической
структурой, т. е. со инвариантна относительно сдвигов на векторы
причем Q\(o содержит поверхность класса С1, Q={x:0<
1, /=1,...,л}, Q — ограниченная область в R" с гладкой
границей.
Заметим, что здесь мы не требуем гладкости границы обла-
области со.
В Qe мы будем изучать следующую задачу Дирихле:
D.1)
И - -j- Uhk (-) 4-) =/ W в
dx \ \ г ) дх 1
= 0 на
где Ahk{\) — (лXл)-матрицы класса Е(х\, х2), элементы которых
aUhh{l) — 1-периодические по | функции.
Основной результат этого параграфа — обоснование асимпто-
асимптотического разложения решения задачи D.1):
иг {х) ^ ? Е1+2 ^ ^ (е> Ю D*f {x)y g =e-lx> D.2)
где а, Da — те же обозначения, что и в § 3, iVa(?) —матрицы вида
Na=Na-{-Na, такие, что элементы N^ являются 1-периодиче-
скими по | функциями в со, a Na (е, — J экспоненциально зату-
затухают в Qe при удалении от <3Q, причем Na и Na не зависят от /.
Прежде чем перейти к строгому обоснованию разложения
D.2), приведем некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 4.1. Для любой вектор-функции шеЯ0(йе) имеют
место оценки
fh D.3)
.,, D.4)
где постоянная М не зависит от е.
Доказательство. Неравенство D.4) вытекает из первого
неравенства Корна B.2) гл. I в области Q, поскольку можно про-
продолжить w нулем на множество Q\Qe до вектор-функции из
142

Докажем неравенство D.3). Продолжим вектор-функцию w
нулем на Яп\Яе. Обозначим через Тг множество zeZ", таких,
что z{z+Q)f}u?=0. Рассмотрим вектор-функцию fl?(g)=a>(eg).
Поскольку W(g)=0 на да, то, учитывая условия на (Эсо, в силу не-
неравенства Фридрихса, установленного в лемме 1.1 гл. I, получаем
d\. D.5)
(z+Q)n<o
Производя в этом неравенстве замену переменных х=е% и сумми-
суммируя полученные неравенства по z^T', получим, учитывая D.4),
неравенство D.3). Лемма доказана.
Лемма 4.2. Пусть V(х)еЯ^е)—обобщенное решение за-
задачи
= Ф на
где /JeL2(Qe), /=0,.. ,п,
в Яе
D-6)
'). Тогда имеют место оценки
D.7)
Доказательство Из интегрального тождества вида 'C.15)
гл. I для w=U—Ф получаем
dxk oxh
D.8)
В силу неравенства C.13) гл.I имеем
Отсюда и из D.3), D.4), D.8) выводим
143

где постоянные /С2, Kz не зависят от е.
Из этих неравенств, учитывая, что w—U—Ф, получаем оценки
D.7). Лемма доказана.
В следующей теореме устанавливается, в частности, тот факт,
что решения задачи D 6) имеют вид пограничного слоя, сосредо-
сосредоточенного вблизи <3Q, при условии, что Ф=0 на (<3Qe)DQ и вектор-
функции /'(х), i=0,...,n, достаточно быстро убывают в Q* при
удалении х от 3Q.
Рассмотрим скалярную функцию r(x)eC1(Q), такую, что т=
= 0 в окрестности дп, т>0 в Q, | Vt| <M=const. Далее считаем,
что е настолько мало, что существует подобласть Q'czQ, замыка-
замыкание которой Q' состоит из кубов eQ + e2, где z пробегает некото-
некоторое подмножество TeczZn. Предположим также, что <3Q' лежит в
окрестности <3Q, где т=0.
Теорема 4.3. Пусть U (х) является обобщенным решением
задачи D.6), причем Ф(х)=0 на (dQe) \dQ (г. е. ФеЯ1^*, Se)).
Тогда
е-2 Г \U\2exp(-^-\dx+ С \x?U\2exp(-^-\dx+ <\\e(U)\2 x
aentr йепй' йе
. 2 х
С
/ от \ , , г /г; г,\ / от \ , /л п\
X ехр \ dx + \ (/ , / ) ехр ) ах , D.9)
QEHQ'
г<Эе /С, б — положительные постоянные, не зависящие от е.
Доказательство. Возьмем v=(e^— \)U в интегральном
тождестве C.15) гл. I для U(x), где (i=const>0—параметр, ко-
который будет выбран ниже. Имеем
(expO*T)-l)dx
Поскольку т=0 вне Q', учитывая неравенство C.13) гл. I, уста-
устанавливаем
144

|e(?7)|2exp(nT)dxj
1/2
x
x( J ||р(ц))+Ч J
aena'
x(gi
(J
веп
_ xf f | и?/12 exp (lit) dx)l/2 + \ic3 { \ (f!, /;) exp (lit) dxV/2
Согласно неравенству Корна для вектор-функций w^H1 (Qflco,
3f) (T- e- w=0 на (<3co)riQ) имеем
I J D.11)
Это неравенство вытекает из теоремы 2.7 гл. I, если продол-
продолжить w нулем на Q\co и учесть, что ф\со содержит поверхность
класса С1.
Пользуясь неравенством, получающимся из D.11) при замене
переменных 1 = г~1х, устанавливаем, что для каждого множества
(Q ' T
р 1 у
вида сог=е(Qflco) +ezaQc[}Q', z<=Te, выполняются неравенства
<:
t/. JL JL. + 1//JL _*L^ exp J^
e2 С |e (U) 12 exp (цт) dx + cee2^2 Г | U\2 exp (рт) dx. D.12>
145

Полагая ц=1аB]1с6г)~1, где 0=conste(O, 1) и будет выбрано ни-
ниже, из D.12) выводим
|?У|2ехр(|лт)с/х<с7е2 [ \е(U)|2 ехр(цт) dx
для любого tozCiQl[}Q'. Следовательно,
| e (U) |2 ехр (рт) dx. D.13)
Q'
В силу неравенства D.11) имеем
J
Из этого неравенства получаем
J |V?7|2exp(nT)dx^c8[n( J 11/j»ехр (рт) dxI/2 X
Х( J
nEna'
+ J
Отсюда с помощью D.13) и равенства ц=о/2]/с6е выводим оценку
J
\e(U)\2exp(\ix)dx.
'Таким образом, при всех ое @, min(l, l/4c9)) имеем
J |V[/|2exp(F)dx<c10 J | е (t/)|« exp (jit)<&. D.14)
ЙЕПй' !2ЕПЙ'
Из D.10), D.13), D.14) следует, что
Г ! е (U) |2 ехр"цтс/х < си [ це ^ | е (?/) |2 ехр (jit) dx +
J
146

/2
+ \\e(U)\2dx]. D.15)
Выбирая а достаточно малым и не зависящим от е и учитывая ра-
равенство ц.=о/2Ус6е, из D.15) — D.13) получим оценку D.9)'.
Теорема доказана.
Для обоснования асимптотического разложения используем
также следующую теорему.
Рассмотрим краевую задачу для системы теории упругости
D.16)
w=0 на да, w 1-периодична по j
где Ahk(l) — матрицы из класса Е(хък2), w = (w1, ... ,wn)*, F1 e
eL2(Qn<»), ^' 1-периодичны по |, /=0, 1, ... ,п.
Обобщенным решением задачи D.16) называется вектор-функ-
о „, _
ция w е^(ю)=^2((о)П-^1 (Qfl®. Q П <Эсо), которая удовлетворяет
о
интегральному тождеству F.2) гл. I при х = | для любой ye W(u>).
Теорема 4.4. Существует единственное обобщенное решение
w задачи D.16), и для этого решения справедлива оценка
/=0
Доказательство этой теоремы основано на теореме 1.3 гл. I и
проводится аналогично доказательству теорем 6.1 и 3.5 гл. I.
4.2. Обоснование асимптотического разложения
Формально подставляя в уравнение D.1) ряд
оо
и» - J] е<+2 ^ Afe(e, ®Daf (х), 1~, D.17>
точно так же, как в § 3.2, устанавливаем формальное равенство
%гСие(Х)) - ? е' ? Ha(l)Daf(x)^f(x), D.18)
где
147

ot,k
ft
а"' (g)
«s (g) -f Ла№ (g)
2.
Ищем yVa(g в виде Na = JV°(|) + JVi(!), где ^©—матрицы, эле-
-менты которых являются 1-периодическими функциями по g из
о .
W(u>), а элементы матриц Na(x/e) экспоненциально затухают
лри удалении х от дп.
Введем следующие обозначения:
где / — единичная матрица.
Определим матрицы Na
вых задач
I 9=0, 1, D.19)
как обобщенные решения крае-
a(l)^0 на да>, Na(%) 1-периодична по g.
D.20)
Определим матрицы Л^а(Н) как обобщенные решения краевых
задач
D.21)
Пользуясь индукцией по / и теоремами 4.3, 3.3 гл. I о сущест-
существовании и единственности решений соответствующих краевых за-
задач, легко доказать существование матриц JV«, Na.
Лемма 4.5. Матрицы N'a {х/г) удовлетворяют неравенствам
, /-0,1, D.22)
где постоянные са не зависят от е.
148

Доказательство. На основании D.19), D.20), D.21) лег-
легко видеть, что матрицы Na(x/E)=Na(x/s)-{-Na(?, x/e) являются ре-
решениями следующих краевых задач:
ife(yV0)=8/ в QE, JVO=O на <3QE, D.23)
дх,-
— )nJ— )) в QE, ^«,=0 на dQe, D.24)
" (-?-) Na, «,(-^-), в Q*. />2, #«, в,=0 на 5Qe. D.25)
Воспользуемся индукцией по I. Пусть /=0. Тогда из D.23)
согласно D.7) при Ф=0 получаем
IIV^olk'(ae) < Сое, ||tfo||L.(a',<co, D.26)
где постоянная с0 не зависит от е.
Пусть 1=1. Снова пользуясь D.7), из D.24) находим
\WatiL4if) < М2 (г HvJVnllt.jo», + ||Лд|*(ае))-
Из этих неравенств и D.26) следует, что при
с«. «ft8»
Пусть по предположению индукции соотношения D.27) выполне-
выполнены при &<:/—1. Докажем,, что они выполнены при k = l. Из D.25),
D.7) получаем
1 \\Na3 azllL.(ae)]'
Отсюда и из D.27) при k^il—1 вытекает D.27) при k=l. Элемен-
Элементы матриц Nad) являются 1-периодическими по | функциями.
Поэтому оценки D.22) при /=1 очевидны. Оценки D.22) при / = 2
вытекают из D.22) при /= 1 и неравенств D.27). Лейма доказана.
149

Лемма 4.6. Элементы матриц Na (е, х/г) имеют вид погра-
пограничного слоя вблизи дп, т. е. для любой подобласти п°, такой,
что Q°cQ, выполняются оценки
1^саехр(—уг-1), D.28)
Н'(Я°ПЯ )
где са, у — положительные постоянные, не зависящие от в.
Доказательство. Рассмотрим область п', такую, что
п'ап, п°ап', расстояние между Q0 и дп' больше некоторой по-
постоянной х>0, не зависящей от е, и Q' состоит из кубов e(Q + z),
z<=T, где Т — некоторое множество индексов из Z". Мы пред-
предполагаем е столь малым, что п' с указанными свойствами суще-
существует.
Построим скалярную функцию т(х), такую, что теЭДдэ!
на Q0, т=0 вне х/2-окрестности п°, \ух\^.схГ1. Пользуясь ме-
методом- математической индукции по s=0, 1, 2,..., докажем, что
при а=(аь ... , as) удовлетворяют неравенствам
|JVi|2exp | —— \ dx-\- \ lv^a|2exp (——] dx^. ca%~2, D.29)
„-2
где са, 6 — положительные постоянные, не зависящие от е.
Покажем сначала, что D.29) имеет место для матрицы Л'о, ко-
которая является решением краевой задачи
J?E(Nl) = 0 в QE, Nl0 (-^-\=-№0 (~\ на дп\
Поскольку N\ (— ) =0 на dQe\dQ, можем воспользоваться оценкой
\ е /
D.9) теоремы 4.3 для Nx0 [ — ]. Получаем
ег2 \ | Л/о 12 ехр ( j dx-{- \ |у^о|2ехр [ Ыл:^
яепя' яе
Из этого неравенства и D.22) выводим D.29) для No.
Пусть теперь s — произвольное натуральное число. Предполо-
Предположим, что неравенства D.29) выполнены для всех NJ при <х=
= (аь..., аг), /<s—1. Покажем, что тогда D.29) имеет место при
l=s, т. е. D.29) выполнено для матрицы #„, Oj> которая являет-
является решением задачи
150

Учитывая, что Na(x/v) =0 на д&*\дп, и пользуясь оценкой D.9)
теоремы 4 3, примененной к Nai .as< устанавливаем
ЙеПй'
Пользуясь соотношением D.22) для оценки первого интеграла
в правой части этого неравенства и предположением индукции
для оценки остальных интегралов, получаем неравенство D.29)
для Nat ag. Оценки D.28) следуют из D.29), поскольку т=1
на Q0. Лемма доказана.
Теорема 4.7. Пусть и"(х) — обобщенное решение задачи
D.1), /eCsf2(Q). Пусть
{a)=l D.30)
f)Daf(x),
гдеNa=Na + Na, Na, Nla— обобщенные решения задач D.20),
D.21) соответственно. Тогда
>>. D.31)
E), D-32)
Q0 — подобласть Q, такая, что Q°c:Q, постоянные со, С\ не за-
зависят от г; С\ может зависеть от Q0.
151

Доказательство. Применим оператор ??г к и\—ие. Счи-
Считая N„ = 0 в формуле D.17) при <a>>s, так же как и при выводе
D.18), устанавливаем
A
a,. ,as+1 = l
use—ме=0 на dtf.
Заметим, что в силу D 22) нормы в L2(Q") элементов матриц
No (—), Na I — | ограничены постоянной, не зависящей от е.
Поэтому применяя к и\—ие лемму 4.2 при /J'=0, / = ], ..., п, Ф = 0,
получим оценку D.31).
Для вывода оценки D.32) достаточно заметить, что в Na =
=NaJrNa и для Na справедливы неравенства D.28). Теорема до-
доказана.
§ 5. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ В ПЕРФОРИРОВАННОЙ ОБЛАСТИ.
НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ НА СЛУЧАЙ
ПЕРФОРИРОВАННЫХ ОБЛАСТЕЙ
С НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ
5.1. Постановка задачи.
Вспомогательные предложения
Методы, использованные в § 4.1, 4.2, могут быть также при-
применены для обоснования асимптотических разложений решений
задачи Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядка.
Рассмотрим здесь важный для механики частный случай таких
152

уравнений — бигармоническое уравнение — и получим полное
асимптотическое разложение решения задачи
х) =/(*) в QE, «^ = -^ = 0 на дп\ E.1)
cv
Здесь Qe — перфорированная область типа I с периодической
структурой, описанная в § 4 1, f(x) — достаточно гладкая функ-
функция в Q, v — внешняя нормаль.
Искомое асимптотическое разложение решения задачи E.1)
имеет вид
? Na(s, l)Daf(x), |=е-Ч E.2)
1=0 (a)=t
где Da и а определены в § 3.2.
Для обоснования асимптотического разложения E.2) приве-
приведем сначала некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 5.1. Для любой i>& #o(?2e) справедливо неравенство
(Qe)<Al1!l?,(o)!U.(Qe), E.3)
v i \ / d2v d2v \ 1/2
где ?, (v) = ) , М,—постоянная, не зависящая от г.
\ dxfdxj dxidxj j
Доказательство. Легко видеть, что неравенство E.3) до-
достаточно доказать для о?С"(Qfc). Положим v=0 на R"\Qe. Обо-
Обозначим через Р множество 2eZn, таких, что е (z + Q) []О^Ф0. Рас-
Рассмотрим W'(i) =t»(e|). Поскольку W=0 в Rn\co, то, применяя в
каждом из множеств «Z = 2+Q неравенство Фридрихса, получаем
Суммируя эти неравенства по всем z^.T" и переходя в них к пе-
переменным х = в|, получаем E.3). Лемма доказана.
Пусть Фе Я2(ЙЕ), feL! (QE), /=0, 1,2, .. . , п.
Будем говорить, что U(x) является обобщенным решением за-
задачи
AStf(*)=/o+i/L в ф
dXi E.4)
и=Ф, ™-=™- на Xi\
dv dv
если функция W=U—Ф принадлежит пространству Яо2(Йе) и
удовлетворяет интегральному тождеству
153

dx\dxj dx
<5-5)
для любой веНо(й8).
Обозначим через Яо(ю) пополнение по норме 1Н1яг(<2п«) ПР°*
странства функций v(|), таких, что t>eC2(co), v = 0 в окрестности
да>, v(l) 1-периодична по |. Здесь © — неограниченная область
с 1-периодической структурой, такая же, как в § 4.1.
Будем говорить, что w является обобщенным решением задачи
Д|Ш=Г"(|) + - В ©,
ш=—— =0 на (Зю, E.6)
ш(|) 1-периодична по |,
где /7j'eL2(©f)Q), ^(i) 1-периодичны по |, / = 0, ..., п, если
©еЯо(и) и для любой »бйо(й) выполняется интегральное тож-
тождество
Qn<o СП©
Существование и единственность решения задач E.4), E.6)
вытекают из теоремы 1.3 гл. I.
Лемма 5.2. Обобщенное решение U(x) задачи E.4) удов'
летворяет неравенствам
V ||/ib(s, + ||2(a%2(Q)j, E.8)
\\E2 (ФЛи,(а«, + НуФЦ^о8)]. E-9)
EЛ0)
где постоянные К\, Яг, Къ не зависят от е.
154

Доказательство. Положим в интегральном тождестве
E.5) v=W=U—Ф. Тогда, учитывая неравенства E.3) для v=W,
получаем
< С [||?2(Ф)||^ое, ||?, (W)l'z.>(QE) + ЦЛ k.(u
i [ ||?2 (<Dj||l.<0°) j|?
Отсюда следует, что
Поскольку W=f/—Ф, из этого неравенства выводим E.8).
В силу E.3)
Из этих неравенств и E.11) получаем E.9), E.10), снова поль-
пользуясь тем, что W=U—Ф. Лемма доказана.
Пусть %{х) —функция из класса С2 (О), такая, что т=0 в ок-
окрестности дп, т>0 в Q.
Пусть Q' — подобласть Q, определенная непосредственно пе-
перед теоремой 4.3, т=0 вне Q'.
Теорема 5.3. Пусть U(х)—обобщенное решение задачи E.4) и
Ф=— =0 на <3QE\<3Q, т. е. ФеЯ2^6, дпг\д0). Тогда
dv
г \ \U\ ехр \dx-\-e~2 \ |yt/12ехр ( \dx-\-
J V е / J V е /¦
EЛ2)
ЙЕПЙ' ЙЕ
где Ло>О» б>0 — постоянные, не зависящие от г (заметим, что
Кй и б могут зависеть от О' и ||т||с«(р)).
155

Доказательство. Функция U(x) удовлетворяет интеграль-
интегральному тождеству
(* дЮ d2v , С /„ до (Л ,
\ dx= \[ f°v /' dx
J dxidxj dxtdxj J \ dxj J
для любой иейо(йЕ). Положим ь=(е^х~-\)U, где [х>0 — пара-
параметр, который будет выбран ниже. Имеем
(* дЮ d2U . , „С d2U dU дх ,
1 с ил л.[Л \ о с*л
QE Qe
Г дЮ п д2х „т , 2 (* дЮ
—(j, I U е>п dx—[i2 \
J дх-fixj dxidxj J dxidxj
d2x „T . 2 (* дЮ т, dx dx
дх{
Г fin dx .. , . Г дЮ дЮ , /c 1Q4
— \jU\x, -e^dx-t \ dx. E.13)
J dxc J dx^Xj dxfixj
Учитывая, что т=0 вне Q' и применяя неравенство Гёльдера,
на основании E.13) устанавливаем, что
!! 1
J f^e^dxf
oEriQ' eena' qe
Аналогично тому, как получено неравенство D.14) в доказа-
доказательстве теоремы 4.3, находим, что
dx, E.15)
где ц—а/Кг, К — постоянная, не зависящая от е, постоянная
ае@, 1) и будет выбрана ниже.
156

Поскольку функцию U(x) можно приблизить в #2(Qe) функ-
функциями из C2(Qe), равными нулю вблизи dQe\dQ, то неравенство,
аналогичное E.15), справедливо для первых производных U(x)
т. е.
J lvt/|2e^dx</C2e2 J \E2 (U)\2e^dx. E.16)
а8 па' йепя'
Из E.15), E.16) получаем
j E.17)
где Ki, Кг— не зависящие от е постоянные.
На основании E.14), E.16), E.17) заключаем, что
яЕпа'
^ M
аепа' ae E.18)
где n,=fcr/7ire. Выбирая а достаточно малым, но не зависящим от е,
из E.18) получим неравенство
E.19)
где постоянные Мь Af2, M3 не зависят от е.
Оценка E.12) вытекает из неравенств E.19), E.16), E.17).
Теорема доказана.
157

5.2. Построение и обоснование асимптотического
разложения решения задачи Дирихле
для бигармонического уравнения
в перфорированной области
Пусть в задаче E.1) /еО+4(й). Ищем асимптотическое раз-
разложение решения этой задачи в виде E.2), где a, Da такие же,
как в § 3.2, AUe, i) — функции вида Na(B, l)=Na(l) + Na(e, Q,
причем Na(t) 1-периодические по ?, а Ыа(г, х/г)— функции типа
пограничного слоя в Q8, экспоненциально затухающие при удале-
удалении от dQ.
Нетрудно проверить, что
Отсюда получаем, что
L Д^аОа -^- + 48-2
+2e-i ^.BFJ^L+e-2^aPp^j+ {520)
+ e-i 2 -^ D« д JL + Л^а?»аД2,/.
Из E.2)
L
s+2
m=2
, E.20)
s+1
n
2л
заключаем, что
s
m=o <Xi,.
n
" E
«•. .«m=i
/
i
4 d
158

m=3 a,, .«m=l s
s+4 n
Je- ? 6a1as6asa^a,...«mDa' ¦««/, E.21)
m=4 a,,. ,am=l
где 6Pg — символ Кронекера.
Определим Na(e, |) как обобщенные решения следующих крае-
краевых задач:
Д1#о = 1 в e-'Q8, JVo = ^=0 на ^(e-'Q8),
dv
=-^-=0 на
dv
= 0 на ^e-'Q6), E.22)
,..a
—lr»E
По индукции легко показать, что функции Л^„(|) существуют в
силу теоремы 1.3 гл. I.
Покажем, что Na(s,Q = Nl-{-N1a, где #„(?) —функции, 1-периоди-
1-периодические по | и принадлежащие Hl(at), а Ыа(г, х/г) имеют вид погра-
пограничного слоя в Q6. Положим
159

~4
„
-S«t«A,«X. ¦ аот, /=0, 1, т>4;
-^.(9=-4 -щ- AE<«.-2fiai«1AE<-4 ijQ^-
r°o = i, rj=o.
Определим функции Л^(|) как решения следующих задач:
Д!ЛГ°©=7°(9 в со,
Na=—^-^0 на да, N^ (|) 1-периодична по ^.
dv '
E-23>
Существование Л^(?) вытекает из теоремы 1.3 гл. I.
В области e-'Q8 определим функции Л^„ как обобщенные ре-
решения задач Дирихле
на
Легко видеть, что Na=Na + Na.
Лемма 5.4. Для функций Ni(x/e), Na(e, х/г) справедливы
оценки
е2 \\Е2
E.25)
где постоянные Ма не зависят от е, /=0, 1.
Доказательство этой леммы проводится по индукции ана-
аналогично доказательству леммы 4.5.
Лемма 5.5. Функции Л^(е, х/г) имеют вид пограничного слоя,
а именно, для любой области Q°, такой, что QPczQ, выполняются
оценки
-уе-1), E.26)
где Са, у — положительные постоянные, не зависящие от е (Са
и у могут зависеть от области Q0).
Доказательство. Оценка E.26) получается тем же путем,
что и оценка D.28) в лемме 4.5. Укажем основные этапы ее до-
доказательства.
160

Пусть Q' — подобласть Q, состоящая из кубов b(z + Q), и функ-
функция t(x)eC2(Q) обладает теми же свойствами, что в доказатель-
доказательстве леммы 4.5.
Функция Nau ,am(e, x/s) является обобщенным решением Задачи
_е-24 «'"«* 4в-36а,аг
djcd*
а,
Поскольку Na=dNa/dv~0 на dQE\dQ, to к A^i можем применить
теорему 5.3. В силу оценки E.12) для U=Na, ..O(n получаем
I2X
X
-^-) dx+ J |?2(< am)|aexp (-^
где постоянная Къ не зависит от е.
Пользуясь этими неравенствами и оценками E.25), с помощью
индукции по т==0, 1, 2,... устанавливаем неравенства
6 Зак 269 161

где постоянная Kai am не зависит от e. Поэтому, учитывая, что
т=1 на Й°, выводим оценки E.26). Лемма доказана.
Теорема 5.6 (об асимптотическом разложении решения за-
задачи EЛ)). Пусть ие(х)—обобщенное решение задачи E.1),
где Na(e,l)=Na-T-Nla и Na, Na являются решениями задач E.23)
E.24). Тогда
E.27)
C2es+311/11^+4B), E.28)
постоянные С,, С2 не зависят от е, iQ° — подобласть области й,
такая, что Q°c:Q, постоянная С2 может зависеть от Q0.
Доказательство. Легко видеть, что в силу E.21), E.22)
функция ы|—ие является обобщенным решением задачи
«
a, . ,as+1=l
s+2
m=s+l a,, .am = l
3 dN
162

S-+4
а,, .ат=1
и'—и«=—(mS—и'НО на дп\
s dv
Согласно оценкам E.8) получаем
п
+1ee3 Е
г> .as+1=l
s-l-2
+l a3. ,am
s+3
E E
S+4
E Г
Отсюда, пользуясь неравенствами E.25) и тем фактом, что Na =
l находим
\\Et D- ue)\\L4a +1
,
=Na-\-Nl, находим
, Mu M=const.
Из этой оценки и E.9), E.10) вытекает E.27). Неравенства E.28)
являются следствиями E.27) и E 26). Теорема доказана.
5.3. Перфорированные области
с непериодической структурой
Из доказательства теорем 4.3, 5.3 нетрудно увидеть, что оцен-
оценки, аналогичные D.9), E.12), могут быть получены для некоторых
перфорированных областей, имеющих непериодическую структуру.
- ?Е
Рассмотрим подобласть Q'c=Q, такую, что Q'c= Q, Q'=\J Ж,
s—l
где Bf—ограниченные области в R", В!Г|?/ = 0 ДЛЯ ьф]- Пусть
Т\, 6=1, .. , dt, ;а\'кнутые множества TgCiBs и для любого ве
6* 163

d=Ob окрестности П, справедливо неравенство Фридрихса
E-29>
где постоянная С* не зависит от е и s.
Пусть %{х) —функция класса C2(Q), такая, что т=0 в ?l\Qr,
тз>0 в Q, || тЦ^.^^М*, где M*=const и не зависит от е
Теорема 5.7. Пусть U(x) —обобщенное решение задачи
OXl s= 1
и=Ф, == на dQE,
dv dv
дФ ¦ p.
причем OefffQ), Ф= =0«аЙ'ПоЙ, /' g r (Qt /=0. n.
dv
Тогда имеет место неравенство E.12), где постоянные /Со>О,
б>0 зависят только от постоянных С* в E.29) и М*.
Пусть //==0, /=0, .., «, в QenQ', Ф= =0 на Q'flQ8 и область
dv
Q° такова, что Q°c=Q', p(^Q°, дп')ж>0, где постоянная к не за-
зависит от г. Тогда решение V (х) удовлетворяет неравенству
Iф IU«E> + LWf IIl.(o\0') J e/28 - E-30>
/=0
где C>0 — постоянная, зависящая только от С*, Q°.
Оценка вида E.12) доказывается точно так же, как теорема
5.3. Оценка E.30) вытекает из оценки E.12), если за х(х) взять
функцию, такую, что_т(*) = 1 на Q0, т(*)=0 вне х/2-окрестности
Q°, норма х(х) в C2(Q) ограничена постоянной, не зависящей от г.
Рассмотрим теперь систему теории упругости.
Пусть множества П, s = l, .... dE, таковы, что для любой вектор-
функции v^C1(Bs), о=0в окрестности П, справедливо неравенство
E-31)
где постоянная Cj* не зависит от е. Пусть т(х)еС'(й), т(х)=0
вне Я', ||т|| -<:Л4* и постоянная /W* не зависит от е.
Теорема 5.8. Пусть U(x)—обобщенное решение краевой
задачи для системы теории упругости
дх i
^/ = Ф на
164

где pt=L2{u'), /=0,..../г, ФеЯ'(йе), Ф=0 на О,'[\дп\ матрицы
Ahh(x, г) принадлежат классу Е(к\, х2) с постоянными щ, хг>0,
не зависящими от г. Тогда для U(x) выполняется оценка D 9) с
постоянными /0>0, б>0, зависящими только отС*\ в E.31) и М\,
' Пусть р'=0, / = 0, ..., п, в Q"f\Q', Ф=0 на п'[\дп\ и область Q0
такова, что p(<5Q°, <?Q')>x>0, x=iconst и не зависит от г. Тогда
решение U (х) удовлетворяет неравенству
/=0
где постоянная с зависит только от с\, М\, щ, х2, Й°.
Оценка вида D.9) в этом случае доказывается тем же спосо-
способом, что и соответствующая оценка в теореме 4.3. Оценка E.32)
вытекает из D.9), если за х(х) взять функцию, такую, что т=1
на Q0, т=0 вне х/2-окрестности Q0, норма ЦтИс^ ограничена не за-
зависящей от е постоянной.
§ 6. ОБ УСРЕДНЕНИИ СИСТЕМЫ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
С ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об усреднении реше-
решений задачи Дирихле для системы теории упругости с быстро ос-
осциллирующими почти-периодическими коэффициентами.
6.1. Пространства почти-периодических функций
Обозначим через TrigR™ множество тригонометрических по-
полиномов, т. е. действительных функций, представимых как конеч-
конечные суммы вида
?(y, |)}, у, |eRn, (у, Ъ)=у&,
F.1)
С%=С-Ь Cg=const.
Пополнение TrigR" по норме sup\u(y)\ называется простран-
ством почти-периодических функций Бора и обозначается через
AP(Rn) (см. [51; 52]).
о
Обозначим через Trig R" множество конечных сумм вида
F.1), для которых Со = О.
165

Число M{ty} называется средним значением функции
(±L\Oz(Rn), если
при е->0 слабо в L2(G) для любой ограниченной области G в R".
Как известно, для любой Г-периодической по у функции
c(R«) имеем
M{g} = ~ J g(y)dy,
iO.Tf
[О, Лп={у:0<у/<Г, / = 1, .... n}.
Таким образом, каждая функция из TrigR" обладает конеч-
конечным средним значением, и потому в пространстве TrigR" можем
ввести скалярное произведение по формуле
(Ч>, g) =M{$, g}. F.2)
Пополнение Trig Rn по норме, соответствующей скалярному
произведению F.2), обозначается В2(Кп) и называется простран-
пространством почти-периодических функций Безиковича. Скалярное про-
произведение двух элементов \Jj и g из B2(Rn) обозначаем тем же
символом M{tyg}.
Далее мы будем говорить, что матрица, или вектор-функция,
принадлежит одному из пространств TrigR", B2(Rn), AP(Rn),
если элементы этой матрицы, или вектор-функции, принадлежат
соответствующему пространству, при этом матрица, или вектор,
составленные из средних значений их элементов, называется сред-
средним значением матрицы, или вектор-функции, соответственно.
Для матриц и вектор-функций также используем обозначения
A.8), A.9) гл. I.
Для любой вектор-функции и(у) = (ии ...,ип), как и ранее,
обозначим через е(и) симметрическую матрицу с компонентами
2 \ dyj дуг )~e<l(U)
Лемма 6.1. Пусть функции /, geTrigR" и вектор-функция
и= (щ, ,,,,«n)eTrigRn. Тогда
/ = i я.
M{\s/u\2}zg2M{\e(u)\2}. F.4)
Для любых функций /w/teTrig R", таких, что Fih=Fhi, I, h—l, ..., n,
существует вектор-функция oy^Trig Rn, такая, что
delh{w) =_jfj^> / = 1> _t n F5)
dyh dyh
1G6

Доказательство. Заметим, что
М{е'<*-В)}=0, если |=?0. F.6)
Пусть
Тогда, учитывая F,6), имеем
Докажем теперь неравенство F.4). Пусть и= («ь,.., ип),
=^с1е1(У'®. Тогда, пользуясь F,6), находим
г 1
AM {еи (и) еи (и)} =М { - ? (ф + с$) (с^Л/ + crt\,) е*<*.8+л>} =
'_? + с!_?) =? <21
дУ}
Отсюда следует F.4).
Покажем теперь разрешимость уравнений F.5), Пусть
Ищем w в виде w = ^wiei(y^). Тогда
•elh(w) = —l-
167

Очевидно, что при каждом g#0 коэффициенты ыЛ должны удов-
удовлетворять системе
При каждом g=5^=0 эта система имеет единственное решение,
так как соответствующая ей однородная система имеет лишь три-
тривиальное решение. Действительно, при \ф0 и cf=O, I, h =
= 1, ..., п, умножая уравнения F.7) на цу| и суммируя по / от
1 до п, получим
Поэтому wi = 0.
Заменяя в F.7) | на —|, переходя в полученном уравнении к
комплексно-сопряженному и пользуясь равенствами Cjh= с1!^, на-
находим, что ге)| = ш?_|. Лемма доказана.
Рассмотрим прямое произведение я2 пространств B2(Rn) и обо-
обозначим через W замыкание в нем множества S={e(«): «=(«j, ...,
..., M,,)eTrigR"}. Элементы пространства W обозначим через
е, ё.
Норма элемента ее№ задается величиной
M(ellell}l/2=M((e,e)f2.
Отметим, что не всякий элемент ее№ представим в виде е —
— е(и), где ueB2(Rn). Тем не менее для любого eef существует
последовательность вектор-функций {и6} с компонентами из
TrigR", такая, что
М{\е—е(ыв)|2}->0 при 8->0.
6.2. Система теории упругости
с почти-периодическими коэффициентами.
Почти-решения
Рассмотрим систему теории упругости
^ F.8)
дун \ дук ) ду;
где Ahh(y) —матрицы из класса Е(к\, х2), xi, X2 = const>0, эле-
элементы которых а^(у) принадлежат АР(Цп), ы= (щ, ...,«„), fj =
= (h, -,fni) —столбцы, 1и = 1ц^АР(Ъ»), I, j = l, ..., п.
В общем случае почти-периодических коэффициентов не уда-
удается доказать существование решения ue52(R") системы F.8).
Тем не менее, как показано в работе [24], можно построить так

называемые почти-решения ы4 системы F.8) с компонентами из
TrigR".
Изложим метод построения таких почти-решений, следуя ра-
работе [24].
В силу соотношений C.2) гл. I систему F.8) можно записать
в виде
д ¦(a4Hy)eih{u))=-^-, 1 = 1, ..., п. F.9)
дун Ч ' " dyj
Далее в этом параграфе для матрицы т) с элементами (г),^}
через щ будем обозначать столбец (цщ,..., r\nh). Тогда систему
F.9) можно переписать в виде
дун ' й " ду}'
где eh(u) = (eih(u),..., епк(и)).
Если коэффициенты alf(y) и функции fa являются 1-периоди-
1-периодическими по у, то по определению обобщенного 1-периодического
по у решения (см. § 6, гл. I) справедливо интегральное тождество
М {(Же (и), е(v))~(f, e(v))} =0 F 11)
для любой oet^R"), /— матрица с элементами \щ,
В почти-периодическом случае по аналогии с F.10), F.11)
рассмотрим систему
д k(yOh)=^-, eh={elh, ..., enh), F.12)
дун v w' " дуГ
и определим ее обобщенное решение как элемент ёбЦ7, ё=
= {ёц}, удовлетворяющий тождеству
М{(Ш1 e)-(f, e)}=0 F.13)
для любого eeF.
Из леммы 3.1 гл. I следует, что форма М{(Шё, е)} непрерывна
на WXW, т. е.
\e\^12 М{\е\>}1/2 F.14
для любых ё, eef, так как если a(y)^.AP(Rn),
), то а/еБ2(Г) и l|a/l|B,(Rn)<sup|a|||/||B,(R,.).
Кроме того, из условия C.8) гл. I получаем, что
М{(Ше, e)}>Mq|e|2} F.15)
для любого ее W.
169

Из F.14), F.15) вытекает, что билинейная форма М{(Шё, е)}\
удовлетворяет всем условиям теоремы 1.3 гл. I при H = W. Поэто-
Поэтому разрешимость задачи F.12) в пространстве W следует из тео-
теоремы 1.3 гл. I.
Покажем, что можно выбрать вектор-функции U6(у)=A)\, ...,
С/п) ^ Trig R", приближенно удовлетворяющие системе F.9) в
смысле теории распределений. Для этого докажем следующую
лемму.
Лемма 6.2. Пусть fj, Ahk^AP(Rn) и e^W — обобщенное ре-
решение системы F.12). Тогда существуют последовательность б->0,
6>0, и вектор-функции L^eTrigR", а также матрицы gu^.AP(Rn)
со столбцами g?=(g6ir ..., g6n), gfj=g6jV К /=1 «. такие,
что
2}-*0, F.16)
б-» о
UmM{\e—e(U6)\2}-+0 F.17)
e-»o
и выполняется интегральное тождество
)-f.. f-) dy= С (f, f-)dx+ [ U max F.18)
dyk dyh j J \ dyj I ,J \ ' дщ j
R" hn
для любой вектор-функции §{у) = (т):ь ...,i|]'n)eCo00(Rn).
Доказательство Согласно определению пространства W
найдется последовательность вектор-функций L/4eTrigRn, такая,
что выполнено соотношение F.17). Поэтому в силу F.13), F.14)
имеем
\М{Щг{и\ e)-{f, e)}\ < уф)М {\е\*}1/2 F.19)
для любого cgF, где yF)->0 при о->0.
Положим
Фй=ЩеA16)-!.
Так как элементы Ф?/, матриц Ф" принадлежат AP(Rn), то Ф4
можно представить в виде
фв=/=-в + Ов, F.20)
где Фв, F6, G6—симметрические матрицы с элементами Ф?л, Fm, G*ih,
F6 e Trig Rrt, G6 e ЛP(Rrt)) причем
limM{|G6|2}=0. F.21)
6->0
Поскольку
M {(F6, e)} =M {(Фв, е)}-М {G6, e)},
170

то в силу F.19), F.21) имеем
\M{(F6, e)}\^yi(8)M{\e\2}1'2 F.22)
для любого ее?, где \ч F)->-0 при 6->-0.
Согласно лемме 6.1 существует вектор-функция m>eeTrigRn,
такая, что
? = ^, 1 = 1, .... п. F.23)
Умножая каждое из этих уравнений на ш^, суммируя по I от 1
до п и пользуясь равенством F.3) леммы 6.1, находим, что
M{\e(w*)\2}=M{(F6, e(w%^M{\F6\2}i/2M{\e(w*)\2}l/2. F.24)
Следовательно,
M{\e(w*)\2}^M{]F6\2}. . F.25)
Из представления F.20), а также из соотношений F.17), F.21)
вытекает, что M{\F6\2}ограничены постоянной, не зависящей от 6.
Поэтому из F.24), F.25) следует, что
M{\e{w6)\2}->0 при 8->0. - F.26)
Очевидно, что в силу F.20) имеет место равенство, понимае-
понимаемое в смысле теории распределений:
-^-{a^(y)e!h(U6})-^.=^-gl, / = 1 п, F.27)
где gi=e(wtl)+Gi.
Соотношение F.16) выполняется в силу F.26), F.21), а ин-
интегральное тождество F.18) следует из F.27) и условий C.2)
гл. I на ah*. Лемма доказана.
Вектор-функция U& называется почти-решением системы F.9)
с почти-периодическими коэффициентами.
Установим теперь некоторые дополнительные свойства почти-
решений U6, которые играют существенную роль при исследова-
исследовании G-сходимости операторов теории упругости с быстро осцил-
осциллирующими почти-периодическими коэффициентами.
Лемма 6.3. Пусть /,-, Ahh^AP(Rn) и ё — обобщенное реше-
решение системы, F.9), feF, a U\ 6->0 — последовательность почти-
решений системы F.9), тогда из любой последовательности е->0
ложно выбрать подпоследовательность е«-^0 при 6->0, такую, что
г6 (ll* l-f-\ + Сй\ -*• 0 слабо в Я1 (Q), F.28)
171

где Сь — некоторый постоянный вектор,
ГвР (—)-+M{APk7h-fp} слабо в L2(Q), р=1, ..., п, F.29)
-4т гбл (—) -»- 0 по «ор^е Я (Й), F.30)
где
QcrRn — ограниченная область с липшицевой границей.
Доказательство. Поскольку ?/eeTrigRn, то, учитывая
неравенство F.4) леммы 6.1 и соотношение F.17), получаем, что
^K, F.32)
где постоянная К не зависит от 6.
Обозначим теперь Gt>c(x) матрицы с элементами
Заметим, что матрицы Ge>e необязательно симметрические.
По определению среднего значения имеем
dx=
(^ ^jj F.33)
Аналогично получаем
{^, F.34)
где g6 — матрицы, построенные в лемме 6;2,
Очевидно, что
%e(U6) (—\ ¦^¦МЩе(и6)} слабо в L2{Q) при е-*0. F.35)
Кроме того,
G6-°(x)->0 слабо в L2(Q) при е->0, F.36)
поскольку 4г^- (—) eTrigR" и e^i^-^Q слабо в L2(Q)"npH 1фО,
ау1 \ е /
172

Пусть У= {тI, тJ,...}—счетное множество матриц, элементы
которых являются функциями из L2(Q), и это множество всюду
плотно в (L2(Q)) .
Пользуясь соотношениями F.33) — F.36), каждому 6 можем
Сопоставить такое ев, что
|
L4Q)
8° —
I е
L4U)
— (mesQ) M{\gu\*}
F.37)
F.38)
F.39)
F.40)
F.41)
при
\ т = \, 2,...;
Из F.32), F.39) следует, что нормы \\G ' eHL2(Q) ограничены
постоянной, не зависящей от б, а из неравенств F.40) следует,
что для любой Ti™eF
6'4, r\m)dx->0 при 6->0.
G6>f6(a)->0 слабо в L4Q) при 6-»-0.
Поэтому
Положим
)
Ч ) \ ев
где постоянные С6 выбраны из условия
№.42)
a>
:=0. F.43)
Тогда в силу неравенства Пуанкаре
G e||L'@), F.44)
где постоянная С не зависит от 6. Так как правая часть F.44)
ограничена по 6, то из F.42) и F.44) следует, что по некоторой
'подпоследовательности б'->0 ев'Ув' (—^— \ -> V слабо в Я1 (Q)
\ ев' /
и сильно в L2(Q). При этом мы воспользовались слабой компакт -
173
\

ностью шара в гильбертовом пространстве и компактностью вло-
вложения Hl(Q)<-L2(Q). В силу F.43), F.42) V=0. Таким образом,
соотношение F.28) доказано.
Из F.17), F.37) и ограниченности элементов а1}* матриц Ahh
л / х \ I
следует, что Ше(иI— " ограничена постоянной, не зави-
зависящей от 6. Поэтому, учитывая, что в силу F.17)
limM{Me(U6)}=M{Ue},
6-*0
из F.41) заключаем, что при 6->0
%е (U6) (—)-у М {Щ слабо в L2(Q).
ч
I х \
' Для доказательства F 29) достаточно заметить, что Г^ I —) оп-
ределяется формулой F.31).
Докажем F.30). Пусть 4>(x)=('4'i t)eC(fi). Тогда в
силу F.31), F.18) имеем
Поэтому
fJL\
Отсюда, а также из F.38) и F.16) следует справедливость соот-
соотношения F.30). Лемма доказана.
6.3. Сильная G-сходимость операторов теории
упругости с быстро осциллирующими
почти-периодическими коэффициентами
В ограниченной области Q с липшицевой границей рассмотрим
задачу Дирихле для системы теории упругости
—)^L)=f(x) в Q, ме ЗД, F.45)
е / dxh }
где /еЯ-'(О), матрицы Ahh(y) принадлежат классу ?(хь Хг),
xi, X2 = const>0, и их элементы а^(у) являются почти-периодиче-
почти-периодическими функциями класса AP(Rn).
174

Если Ahh(y) являются 1-периодическими по у, то, как показано
в § 1 гл. II, коэффициенты усредненной системы теории упругости,
соответствующей сильному G-пределу операторов .2%, задаются
формулами
Q
Q={y.0<yt<l, i>=l,...,n}, F.46)
где N"S=(Nis, ..., NQns)—s-й столбец матрицы N", e!h{N4s) = — x
/ dNl dNQ- \
X - + д /s J> причем столбцы N"s являются 1 -периодическими по у
\ dyi °У I
решениями системы
= —2-all, 1 = 1,..., п. F.47)
Полагая Л?*=« арп\), ЛГ = (а??, ..., 2%), можем перепи-
переписать F.46), F.47) в векторном виде:
-— (Ahke (N4)) — —А19
dyh {A eh{Ns))- ^ As .
Пусть теперь ak'(«/)e AP(Rn). В этом случае при фиксированных
q, s, как показано выше, можно построить обобщенные решения
?sef (egs—матрица с элементами eft) системы
^(Л%)^=--^\ «/, s = l, .... п, F.48)
oyh оу]
/которая аналогична системе F.12) при
fi=-(a[\ <U)=-Al9. F.49)
Положим
1»=М {а?/ + ЛГеПO %«=М {А? + Ahk~eV). F.50)
Обозначим через АНч матрицы с элементами аи .
Теорема 6.4. Пусть Арч(у) —матрицы из класса ?(xi, x2),
ь x2 = const>0, с почти-периодическими элементами а?*(у)е
^PR". Тогда последовательность операторов
175

при е->0 является сильно G-сходящейся к оператору теории упру-
упругости §?, коэффициенты которого заданы равенствами F.50).
Доказательство. Покажем, что существуют последова-
последовательность д->0 и матрицы N, q=\, я, такие, что для матриц
Ahh (— ), Ahh при б->0 выполняется условие N % 9 тл. I, где
Ahh—матрицы, элементы которых заданы формулами F.50). По
g ^
теореме 9.2 гл. I это означает, что S?e&^^? при 6->0. В силу
единственности сильного G-предела (см. теорему 9.3 гл. I) отсю-
а ^
да следует, что J?&=$J?.
При фиксированных q, s рассмотрим почти-решения И% =
={U46U, ¦-., Ulns) системы F.48), построенные в лемме 6.2. Поло-
Положим
( (^] C) F.51)
где Cls—постоянные векторы, для которых выполнено условие F.28)
при U6=Us- Обозначим через N(x) матрицы, столбцы которых
имеют вид F.51).
Проверим, что для матриц N1 выполнено условие W при 6-^-0.
Действительно, условие ЛП есть следствие соотношений F.51) и
F.28). Проверим, что условия Л^2, N3 также имеют место.
В силу соотношений F.29) — F.31) имеем при 6-Я)
A!» (JL\ +Apk (JL) -±-№6$(х)->М{АР>Г~е? + А!*} F.52)
\е6 I \ в6 1 dxh
слабо в L2(Q),
дхр L \'Ч
JL\M{AP%V +АЫ -0 F.53)
е6 ) J
по норме H~l(Q).
Эти соотношения означают, что выполнены условия N2 и jV3, по-
поскольку выражение в правой части F.52) в силу F.50) равно
As" и является вектором с постоянными компонентами. Теорема
доказана.
§ 7. УСРЕДНЕНИЕ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР
7.1. Формулы для усредненных уравнений.
Оценки решений
Рассмотрим последовательность {i?e} дифференциальных опе-
операторов линейной теории упругости
176

= -^г D' (Ф (x), x1, ..., xn) -^у G.
принадлежащих классу Е(%\, иг) с постоянными щ, иг>0, не за-
зависящими от е, х (см. § 3, гл. 1), е — малый параметр, ее@, 1).
Предполагается также, что элементы матриц AlJ(t, у) являются
ограниченными (равномерно по е) измеримыми функциями teR1,
yeR" с ограниченными (равномерно по е) первыми производными
по уи ..., уп, (f(x) —скалярная функция класса C2(Q), 0<:ф(х)<:1>
| V<p| >const>0, Q — ограниченная область с гладкой границей.
Рассмотрим также систему теории упругости
)f G.2)
класса Е{щ, хг), где хь хг — положительные постоянные, быть
может, отличные от хь иг, элементы матриц A^{t, у) являются
ограниченными измеримыми функциями ^eR1, yeRn, с ограни-
ограниченными первыми производными по уи ..., Уп-
В этом параграфе изучим следующие задачи Дирихле:
J?e(uE)=f в Q, ие = Ф на аи, G.3)
2щ)=! в Q, и = Ф на аи, G.4)
С помощью задач типа G.3) можно, в частности, описать ста-
стационарные процессы в упругих телах, имеющих сильно неоднород-
неоднородную слоистую структуру, со слоями малой толщины, расположен-
расположенными вдоль поверхностей уровня функции у(х).
Дадим оценки отклонения функции и* от и через величины,
выраженные посредством коэффициентов систем G.3) и G.4), а
также оценки отклонения тензоров напряжений, энергий, частот
собственных колебаний, соответствующих системам G.3), G.4),
установим необходимые и достаточные условия сильной G-сходи-
мости операторов 3?г к 3? при е-»-0, получим в этом случае явные
формулы для коэффициентов оператора 3?.
Определим матрицы N)(t, у), MEij(t, у):
t
№ (t, у) s J [Ф/ (у) <pfe (у) AkJ (т, у)Г1 Фр (у) (А"8 (т, if)—ЛГ (т, у)) dx,
G.5)
t
M%(t, г/) = |{Ф/.(г/)Л^(т, y)l<piiy)<ph(y)A?(x, у)Г* %(y)(Aps(x, у)-
о
ls(x, y)-Ais(x, y)}dx,
177

где (Фг(#), •¦-,
дуп )
^гуФ, В ' — матрица, об-
ратная к В. Ниже в лемме 7.5 будет показано, что матрица
[ч>1(у)Ч>ь(У)Ае1(х> У)]~1 существует и ее элементы являются ограниченны-
ограниченными (равномерно по е) функциями.
Определим параметр бе, посредством которого будем характе-
характеризовать близость решений задач G.3) и G.4).
Положим
max
(х), х)\,
х), х)|
-5
Для матрицы В с элементами brs полагаем
G.6)
Теорема 7.1. Пусть W, и — решения задач G.3) и G.4)
«соответственно, ue#2(Q). Тогда
u*-u-NU<p(x), x)-?-
dxs
G-7)
G.8)
постоянные Со, ci не зависят от г.
Доказательство. Обозначим через v,(x) обобщенное ре-
решение задачи Дирихле
J?e (ve)=0 в Q, vE=N*j (Ф (х), х) — на 5Q, ve e= Я1 (Й). G.9)
Тогда
dxs
dxs дх
dxt
д*и
dxtdXj
dXj
Щ ди
dxj dxs
dxs
JL(AHn;-2-.
oxt \ dxsi
178

Отсюда следует, что
dxi
xs дх,-
причем правая часть этого равенства понимается как элемент
пространства #-'(Q).
Пользуясь определением бе, Ne/, Mff, покажем, что имеют
место следующие соотношения:
dt
-—Mfs(y(x), x)=as(x, e),
<, e), G.11)
G.12)
_d_
dt
где \$is(x, е)|^с2бе, \as(x,
с2, Сз, С\ не зависят от е.
Действительно,
. X)
!,(*, в),
ais(x, ?
dNes(<?(x), x)
dxj
G.13)
и постоянные
д Mfs(cp(x), x)=t
dMfs
dxh
+ -
Умножая это равенство на ф^, суммируя по k и пользуясь нера-
неравенством " ^сбе, получим G.11). Полагая в G.14) k = i и
ду,
пользуясь G.5), находим
JL.Mls(<p(x), х) =
dxt
"] %(Aps-Apes) +
Отсюда следует G.12). Согласно формулам G.6) и G.5) имеем
Als als лij s _!____ AiS j^s Al^wt ~ - A ~ —
dx/ dt e dy]
«j-' (A^-AT) +
-ais(x, e).
ais(x, e) = .
dt
179-

Оценим норму правой части равенства G.10) в пространстве
#-'(Я). Пусть ij;= (-$\,..., tyn)—вектор-столбец с компонентами
ti i|jne=CoB(Q). Имеем, учитывая G.13), G.11),
dt dxs
ais(x, e)—Pis(x, г))
dxs '
dxh)
дх
д ( щ _ди_
¦dxs ) '
а
Отсюда, принимая во внимание G.12) и определение б8, находим,
что
dx
G.14)
где постоянная Съ не зависит от е.
Оценим второй член в правой части равенства G.10) по нор-
норме #-'(Я), пользуясь определением бе. Имеем
@). G.15)
xs ox;
Таким образом, из G.10), G.14), G.15) следует, что
G-16)
где С7 не зависит от е.
180

Из G.10), G.16), замечания 3.4 гл. I и теоремы 3.3 гл. I сле-
следует, что
dU ' " "„1(я)<сА11«11ячр)- G-17)
где постоянная с8 не зависит от е.
Оценим норму ||ае||я<(а). Положим a>e=yg—Ge, где Ge =
. *ге/ / \ ч ди it -i/-w r> nt
=а|уу/г(ф(л:), х) , я|5==1 в ое-окрестности оУ, л|? =0 вне 2о-окре-
дх,
стности дп, i|>eeC°°(Q), 0^т|зе^1, бе|sjtyeI^const. По теореме 3.1
гл. I получаем
Оценим ||6е||я1(й)- По определению бе имеем
^ й / _/ ^ dxh dxf
Поэтому
II 6е ||J.@, < с1об| || и fHHa) + cn || ум ||Ь(И1,,
где coi—2бе-окрестность 3Q. В силу леммы 1.3 гл. I Hvulli!(<o,) <
с32бЕ ||u||h2(q). Таким образом,
G.18)
Оценка G.7) есть следствие G.17), G.18).
Докажем неравенства G.8). В силу G.7)
диг _ ди , dNes ди
d
oxj axj oxs '
где
MWma^c^WuWHHa). G-19)
Применяя равенство G.13), получаем
Отсюда вытекает G.8). Теорема доказана.
Следствие 7.2. Предположим, что коэффициенты системы
G.4) являются гладкими функциями в Q, f^L2(Q), Ф^Я3/2(дЙ).
Тогда в условиях теоремы 7.1 имеем
G.20)
181

dt dxs
l|(fl) + || Ф \\нЩда)), G.21)
где Co, C\ — постоянные, не зависящие от е.
Оценки G.20), G.21) следуют из G.7), G.8) в силу неравен-
неравенства
II и \\hhq) ^ с2 (|| / |Ь(Ш +1| Ф \\нг/2{ди), G.22)
которое, как известно, имеет место для решений эллиптических
систем в предположениях гладкости коэффициентов и границы dQ
области Q (см. [1]).
Получим теперь эффективную оценку энергии, содержащейся
в части тела GaQ.
Пусть G — гладкая подобласть Q. Определим энергию, соот-
соответствующую № и и, по формулам
Теорема 7.3. Пусть ие(х) и и(х)—решения задач G.3),
G.4) соответственно, ue#2(Q), Тогда
где C\{G) — постоянная, не зависящая от е.
Доказательство. Предположим для простоты, что элемен-
элементы матриц Л? являются гладкими функциями. Нетрудно пока-
показать, что теорема остается справедливой и при негладких коэф-
коэффициентах. Для этого нужно приблизить коэффициенты системы
G.3) гладкими функциями.
Из G.19) и G.8) вытекает, что
- Г / , Л / ,р\ / ДЛЛЕ , , „ \ 1
\ We» Т~) — \У1' -^-)~\—^Г—Г-' 1Г-) \dx <
J L V ОХ[ I \ ох\ j \ at oxs дх[ j J
в
<Cс б'^ 11 и I' 11иг11 G 24Ъ
Принимая во внимание соотношения G.19), G.11), находим
dt dxs ' dxi
в
dt dxs dxi dxj i
и
182

dJL
dxh 1уф12 dxs '
dJL
dxh
dxs
dx+q\=*
' dx} dxh
dxs ) '
iv<pi2
ди
д2и
дхк |уф|» dxs
dx~
H
50
dxh I уф |2
G.25)
где
Вследствие G.12) имеем
dxt j |уф|г dxs ' '
(
№
1
da
!уф!2
Поэтому, пользуясь G.25), получим
ди диг
dt dxs '
dx
+ 6* Ци11н.(ш1.
G.26)
183

В силу G.19) имеем
IJ У dxi ) J У dxt ) J V дх,-' dxt dxs ) ' P*
G G G
J
dG
e(||u||w.(Q)||u||H.(B) +1|u ||^@) +1| v«||!.(fl0)L- IPel, G.27)
где |pl|<co6'/2||u||;W
Поскольку согласно утверждению 3 теоремы 1.2 гл. I для лю-
любой ue#2(Q) справедливо неравенство |IVwlk2EG)^c||«||W2(G), то
из оценок G,24) — G.27) вытекает G.23). Теорема доказана.
Следствие 7.4. В предположениях гладкости коэффициен*
тов системы G.3) в силу неравенства G.22) из оценки G.23) вы-
вытекает, что
Напомним, что в определении матриц NES, Mf/ присутствует
матрица (чадр/Л^). Покажем, что эта матрица существует и
имеет равномерно по е ограниченные элементы.
Лемма 7.5. Пусть А^(х), i, /=!,...,л, набор матриц класса
?(иь Хг), sde xi, x2 — положительные постоянные, не зависящие
от х. Пусть феС'(Й), | Vtp|»const>0, Уф=(фЬ... ,<рп)-
Тогда существуют постоянные х3, щ, зависящие только от ки
Х2 и ф, такие, что для любого ?eR™
W) g, 9 < н41ЕI •. «3. >«4 > 0. G.28)
Доказательство. В условиях C.3) гл. I положим r\ih=
&. Имеем
Со j
Пусть К(х)=фд(
C.3) гл. I получим
. Тогда для любого
" в силу
где постоянные Cj, Mi зависят только от щ, хг. ф- Отсюда следует
существование матрицы К~1. Полагая |=/С~'С. находим
Из этих неравенств вытекает G.28). Лемма доказана.
184

7.2. Необходимые и достаточные условия
сильной G-сходимости для операторов,
описывающих слоистые среды
В случае слоистых сред общие результаты о сильной G-сходи-
мостн, изложенные в § 9 гл. I, а также формулы G.5) и теоре-
теорема 7.1 позволяют сформулировать необходимые и достаточные
условия сильной G-сходимости последовательности &, к опера-
оператору & в терминах сходимости некоторых комбинаций коэффи-
коэффициентов операторов 2",, при этом оказывается возможным полу-
получить явные выражения для коэффициентов 3? через слабые пре-
пределы соответствующих комбинаций коэффициентов операто-
операторов i?..
Нам потребуются некоторые вспомогательные результаты о
компактности в пространствах функций.
Обозначим через С°<в пространство ограниченных измеримых
функций g(t, у), (/, г/)е[0, 1]ХЙ, имеющих конечную норму:
ф|*(, *)| p f!
t,y *-у',у" \У
у, у', /е=Й, у'ФУ", 0<р<1,
t пробегает множество полной меры на [0, 1].
Через С1'* обозначим множество функций g(i, у), таких, что
g(t,y), -|^€=С°'Р, j = \ п.
Лемма 7.6. Пусть семейство функций ijpt(t, у), ее@, 1), рав-
равномерно ограничено по норме С°>р. Тогда существуют последова-^
тельность е'-Я) и функция Ф^С°Р, такие, что при каждом г/eQ
¦»М'. y)^®(t, У) слабо в L2@, 1) при е'->0.
Доказательство. Пусть Т — счетное множество функ-
функций, всюду плотное в L2@, 1). При фиксированной аеУ рассмот-
рассмотрим семейство функций от у:
1
{]%(t, y)v(t)di), ее @, 1).
о
В силу предположения леммы 7.6 это семейство равностепен-
равностепенно непрерывно и равномерно по е ограничено. Поэтому вслед-
вследствие теоремы Арцела существует подпоследовательность е'-^-О,
такая, что
1
-^v(y) равномерно по у, G.29)
где ^?v(y)—функция от |/eQ, Поскольку У — счетное множест-
множество, то диагональным процессом можно выделить последователь-
последовательность е', такую, что сходимость G 29) имеет место при всяком
185

Пусть теперь w — произвольная функция из L2@, 1) и Vf-*-w
в L2@, 1) при у-мх>, где v^T,
Покажем, что существует_ функция Ww(y), такая, что
YOj. (^)-»-ЧгИ) (у) равномерно в О при j-*-oo. Действительно, легко
видеть, что
t, y)v,dt-
Выбирая е° столь малым, что
1
при е/<е°, получим
для любых /, k, i/ей. Отсюда следует, что {4V(t/)}— последова-
последовательность Коши в пространстве C°(Q) при /->-оо и, значит, най-
найдется функция WW^C°(Q), такая, что WVj(у)-*• Ww(у) равномер-
равномерно по уей при j-*-oo.
Из неравенства
t, y)(w-vf)dt
о о
выбирая достаточно большое /, устанавливаем, что
1
t, y)w(t)dt-+4?w{y) при е'
равномерно по i/efl. Очевидно, что при каждом yeQ 4w(y) —
ограниченный линейный функционал на L2@, 1), действующий
на функцию w. Поэтому
ч*(у)=\ф(*, y)w(t)dt,
186

где Ф(/, t/)eL2@, 1) при каждом J/eQ. Следовательно,
1 1
J 1|>е.(/, y)w(f)dt-*.\<b(t, y)w(t)dt при е'->0
о о
для любой iw(f)GL2@, 1). Функция Ф(/, у) удовлетворяет нера-
неравенствам
-С\у'-у'\»^Ф% у')-ФЦ, у")<С\у'-у"\$, G.30)
поскольку если /,.->/ слабо в L2@, 1) при е->0, и т</е<:Л1, то
m^.f^.M для почти всех te@, 1). Таким образом, исправляя, ес-
если необходимо, функцию Ф на множестве нулевой меры, в силу
G.30) получим, что ФеС°'р, Лемма доказана.
Следствие 7.7. Пусть семейство функций {iM^> у)}, ее
е@, 1), равномерно по в ограничено в С1-8.
Тогда для некоторой подпоследовательности е'->0 имеем
*«' (t, У)-+ЦИ, У), —Ч > *\ -, 7 = 1 я,
3 3y
в L2@, 1) пры каждом у^п, где ty
Доказательство Из леммы 7.6 вытекает, что для некото-
некоторой подпоследовательности е'->-0 имеет место сходимость
дй ,<t, у)
b'(t, у)-+Ъ -!±i-^--+<p1(t, у)
слабов!2@, 1) при всех уей, где т|з, f'eC0^, /=l,... ,п.
Очевидно, что для любой g e Co° (Q) имеем
1
-Iim Г Гч>8'(^ y)v(t)-^M
о q
^^lAv(t)g(y)dydt={[<f'(t, y)v(t)g(y)dydt.
о q о а
Это означает, что <pi (t, y)——?-(t, у) в смысле обобщенных
i
функций. Так как tyi, iJjeC0^, то это равенство выполнено и в
классическом смысле при почти всех t.
Лемма 7.8. Пусть семейство функций tyt(t, у) равномерно
по е ограничено в С°>р и $,(t, J/)->0 слабо в L2@, 1) при е->0 для
любого y&Q..
Тогда при е->-0
187
ФЁН, у) = 1 % (т, у) dx ->¦ 0 по норме С0 ([0, 1 ] х Q).
6

Если, кроме того,
п, равномерно по в огра-
ничены, то
ФЕ (ф (х), х)-*-0 слабо в Н1 (Q)
для любой ф()()
Доказательство. Семейство {Фе (/, «/)}, ее@, 1), равно-
равномерно ограничено и равностепенно непрерывно в [О, 1]ХЯ. По
теореме Арцела существует функция if, такая, что Q),»-+ty по
норме С°([0, 1]х?2) для некоторой подпоследовательности е'-^О.
t
Так как ФЕ- = ^^(т, y)dx-+ty{t, у) при всех (t, f/)e=[0,
то в силу слабой сходимости в L2@, 1) последовательности \|з,(/,
у) к нулю при е->-0 и фиксированном yefl получим, что г|з==О.
Докажем, что Ф,(ф(*), х)-+0 при е->~0 слабо в Я1(Q), Дей-
Действительно, по доказанному Ф,(ф(л;), х)->0 при е->0 по норме
г //-^ 17 дФе (ф (*)> х)
^{il). Кроме того, производные —- равномерно по с
ограничены. Следовательно, в силу слабой компактности шара в
L2(Q) для некоторой подпоследовательности е'->0 имеем
Фе'(ф(*)> *)"*" X слабо в L2(u) и, значит, %=0. Лемма до-
казана.
Введем обозначения:
Bl(t, y)^[^i(y)^(y)Akel{t, у)Г\
Bl (t, у) *в [Ф/ (у) Ф, (у) AkJ (t, у)]-\(у)А? «, У),
Belt, y)**<p/(y)Ai'(t, y)to,{y)vh{y)Ail(t, y)r\p(y)Apes(t, у)—
-AUt, у), G.31>
BHt, y)^\ifl(yL>k(y)Ak!(t, у)Г\
& (t, y) = [Ф/ (у) ifh (у) Akl (t, у)ГХ % (У) Aps (t, y),
Bis(t, y)^q>/(y)Aii(t, y)[<pt(y)<s>h(y)Akl(t, y)r\P(y)Aps{t, y)-
-Ais(t, y).
Пользуясь результатами о сильной G-сходимости, изложенны-
изложенными в § 9 гл. I, установим необходимые и достаточные условия
сильной G-сходимости операторов, описывающих слоистые среды,
в терминах слабой сходимости комбинаций коэффициентов си-
системы G.1).
Теорема 7.9. Предположим, что элементы матриц AlJ (t, у)
имеют равномерно по е ограниченные нормы в пространстве С1'9.
188

Последовательность операторов 3?t является сильно G-сходящей-
ся к 3? при е->-0 (J?e=$%) тогда и только тогда, когда при г~*-0
Bl(t, y)-+B*(t, у), s = 0, 1 п,
G.32)
BlJ(t, У)-+В11а, у), i, / = 1 я,
слабо в L2@, 1) для любого y
Доказательство. Предположим, что выполнены условия
G.32). Покажем, что в этом случае 86->-0 при е->-0, где б, опреде-
определено формулой G.6). Действительно, нетрудно проверить, что
имеют место равенства
1 В\, А" = - В"
Поэтому
t
N!(t, y)=
Ml (t, y) = \ \(B\ (т, у))' (В" (т, у))"' Bs (т, у) -Bi' (т,
is
- (В< (т, у))' (В* (т, у)Г' В» (т, у) -Bis (х, у)] dr. G.33)
Обозначим подынтегральные выражения в определениях N*(t, у),
Mtsit, у) через nf(t, у), mt(t, у) соответственно. Тогда по условию
теоремы 7.9 nes, mfseC1'^. В силу G.32) имеем
nes(t, У), tnfs{t, у)-*0 слабо в L2@, 1) G.34)
при е~*-0 и любом #
Пользуясь следствием 7.7, отсюда заключаем, что
?m*s(t, у)-*0 слабо в L2@, 1) G.35)
y)>0,
дщ
при е->0 и любом yeQ.
Согласно лемме 7.8 из G.34), G.35) вытекает сходимость к
— о dN\ (t, у)
'нулю по норме С°([0, 1]ХЙ) матриц №s(t, у), Mb(t,y), —s— ,
dMels(t, у)
¦ при е-»-0. Поэтому в силу G.6) имеем
б.-»-0 при е->0. G.36)
189

Кроме того, из леммы 7.8 также следует, что
Nf((p(x), х)-*-0, M%(q>ix), х)-*-0 слабо в Я1^) при е-*¦(). G.37)
Принимая во внимание G.11), G.36), G.37), устанавливаем, что
— Affs(<p(je), *)-*¦() слабо в L2(Q) при е-*-0, G.38)
dt
поскольку — Mfs((f(x), x)-*-0 слабо в U(Q).
IV<Pl3 dxh
Докажем сильную G-сходимость операторов &* к &.
Пусть в теореме 7.1 иеСй, / = i(«)eiT'(Q), Ф=0.
Тогда имеют место оценки G.7), G.8). В силу G.36)—G.38) при
е->0
ие -> и слабо в Н1(®), уё-^У' слабо в L2(Q).
Отсюда на основании замечания 9.1 гл. I заключаем, что
J?e=$J? при е->0, так как множество {-?(f), oeC?°(Q)} всю-
всюду плотно в #-'(Q). Действительно, согласно замечанию^З.1 гл. I
любой функционал getf-^fi) представляется в виде?=<#(?>), ое
еЯо(й), и для любого функционала f = ^?(w), o>eCo°(Q) имеем
Докажем теперь необходимость условий G.32) для сильной
•G-сходимости Jz?8 к J?. Пусть J?E=$J? при e->0.
В силу предположений на коэффициенты системы G.1) и лем-
леммы 7 5 элементы матриц BsE(t, у), s=0, 1, ..., п, BlI (t, у),
i, /=1, , п, принадлежат классу С1>р и имеют равномерно по е
ограниченные нормы в С1Р. Поэтому, принимая во внимание след-
следствие 7.3 из леммы 7.6, можем заключить, что существуют матри-
матрицы B°(t, у), Es(t, у), B^(t, у), s, i, /=1,...,я, с элементами из
C1>s, такие, что для некоторой подпоследовательности е'-*-0 имеем
-?^В1,у, y)-+-f^B°(t, у), s = 0, I, .... я,
dyf dyf
G.39)
слабо в L2@, 1) для любого
Положим
Ан=(В'У(В°)-1&~Bis, i, s=l, ..., п. G.40)
Определим матрицы N^-(t, у), M\j{t, у) формулами G.5), заменяя в них
А1' (х, у) на А1' (т, у), и определим б? посредством G.6), заменяя там
( у) (
N), Меч на Щ, Щ.
J90

Аналогично тому, как это сделано в начале доказательства
этой теоремы, устанавливаем, что при е'->0
dt
V-H.0,
Nf (cp(x), х)->0 слабо в НЦО.),
' Ми(у(х), х)->0 слабо в L2(Q).
G.41)
Пусть ueCS°(Q). Обозначим через и8 решения следующих за-
задач:
dxh
Положим
Лк дие ~, Jik ди
dxk 8 дхк
Совершенно аналогично доказательству теоремы 7.1 устанавли-
устанавливаем, что
иь —и—Ns
dxs
'1/2 ,
LHQ)
dt dxs
Отсюда и из G.41) вытекает, что при е'-*-0 имеем
иЕ'-*-и слабо в Я1(Q), Ye'-*Y' слабо в
Обозначим через ы° решение задачи
R О »0f= Н}
JJ uHj t-t С ,Z" It Q
G.42)
По определению сильной G-сходимости ifE к ^ и в силу G.42) имеем
и°=и, Ahk——z=Ahk—— почти всюду в Q. Поскольку и—произ-
дхь дхь ^
вольная вектор-функция из C?°(Q), то отсюда следует, что А —А
почти всюду в Q.
Таким образом, из любой подпоследовательности е"-*-0 можем
выбрать последовательность е'->0, такую, что справедливы соот-
соотношения G 39) с BS = SS, Б«=в1!, s=0, ..., п; i, /=1, ..., п, где
В\ В*> выражаются через коэффициенты G-предельного операто-
оператора 3? по формулам G.31). Ввиду произвольности подпоследова-
подпоследовательности е"->0 отсюда следует выполнение условий G.32) при
е->-0. Теорема доказана.
При доказательстве теоремы 7.9 мы получили следующее
утверждение.
191

Теорема 7.10. Пусть элементы матриц AlJ(t, у) имеют рав-
равномерно по е ограниченные нормы в С1-9 и существуют матрицы
Bs(t, у), B^{t, у), s~0,...,n, i, j=\,...,n, такие, что имеет место
сходимость G.32). Тогда последовательность операторов SF., от-
отвечающая матрицам коэффициентов AlJ(cp(x), x), сильно G-cxo-
дится к оператору S с коэффициентами А{Ц(р(х), х), где A{i(t, у)
имеют вид
Ah=(B<)'(B°)-lBs—Bis, i, s=\ п. G.43)
Рассмотрим некоторые примеры последовательностей сильно
{/-сходящихся операторов, для которых выполнены условия G.32).
Теорема 7.11. Пусть элементы матриц AlJ (x) класса
Е(к\, хг) имеют вид а^(е~ 1лг1), где а^(?) почти-периодические
а _
функции из^АР(К1). Тогда %г*$??,, где матрицы коэффициентов
оператора & задаются формулами
'/ / д'(\ I Ап IАи\~1 А1'\ л- (А'1 (АЩ \/{Аа\~1\~1 /М^Г1 41/-\
причем <Л^> определяется как матрица с элементами
т
J
—Т
Кроме того, выполняются оценки G.7), G.8) и 6„->0 при е->0.
Доказательство. В рассматриваемом случае A)J(t, y) =
= А1' (t/e), q(x)=X\. Положим
Zit (s)=Лп E)(Л" (s))-1 (A'l-A4 (s)) + Ali (s)-AVl.
Элементы матриц Yjt Z,-3- — почти-периодические функции, так как
для любых почти-периодических функций f, g, ^>const>0, функ-
функции fg, — также являются почти-периодическимн, Легко ви-
видеть, что в рассматриваемом случае
=Jf^ Ds)
0
Отсюда следует, что 6е->0 в теореме 7.1, поскольку (Zj/) = O,
(У/) = 0, Щ, M)t образуют равномерно ограниченные и равносте-
равностепенно непрерывные семейства и в каждой точке х^@, 1) они
сходятся к нулю при е-+-0. Сильная G-сходимость 2?г к 3? выте-
вытекает из условий G.32), которые справедливы, поскольку для лю-
192

бой почти-периодической функции f(t) имеем /( — )-*•{/) слабо
V е /
в L2@, 1) при е-»-0 Теорема доказана
Рассмотрим примеры, когда G-предельный оператор 3? имеет
коэффициенты, зависящие от х.
Введем класс j#0, состоящий из функций f(t, у), таких, что су-
существуют функции Cf(y), gf{t, у), для которых
f(s, y)ds-cf{y)t=gf(t, у),
причем f{t, у), -^-, cf{y),
dcf (У)
, /=1
непрерывными по Гельдеру по
д
равномерно по
\gf(t, у)\
и у)
1—<г
где постоянные с0, а не зависят от t, се @, 1].
Положим
~r^f(s, У) ds.
G.44)
п, являются
= [0, 1] и
G.45)
Очевидно, что если /е^„, то </(•, y))=Cf{y).
Рассмотрим примеры функций, принадлежащих s4-a
1. Функции /(?, г/) из класса С1-» и 1-периодические по ^ принад-
принадлежат «s$0 при а=1.
2. Пусть /(?) имеет вид f{t)=M-\- (p(t), где M=const, |ф@1<
^C(l+1^| )~N, iV>0 Легко проверить, что f<=s&\, если iV>l;
fei, для любого ое@, 1), если N=\; f<=s&N, если 0<iV<l.
3. Сумма ^Ч-'Фг, где ^(= uia,, $2^<Ао2, принадлежит сА3, о3 =
=min(a1, a2), оъ а2е@, 1].
Лемма^7.12 Яг/сгь f(t, у) <=s4-a и ае@, 1], </(-, у) >=О (Зля
любого i/eQ Тогда для функции /(е^1 т, г/)
а=0, 1; / =
.... л, G.46)
О G.47)
как функции т слабо в L2@, 1) при каждом f/ей, где постоянная
С\ не зависит от е, г/, Т.
Доказательство Установим неравенство G.46) при а=0.
Поскольку </(•, г/)>=0, то в условии G.44) cf(y)=O и, значит,
7 Зак 269
193

\ f{s, y)ds=g(t, у). Полагая s=t/e, получим e \f (—, y) dx =
n J \ e /
0 о
= g(t, у). При Г=е^ отсюда получаем, учитывая G.45), что
Т
е
1 +-L-V <Cie°(T+l).
Таким образом, оценка G.46) доказана при а=0. При а=1 G.46)
доказывается аналогично, так как G.44) можно почленно диффе-
дифференцировать по yi и при этом dCf(y)/dyi=O.
Сходимость G.47) есть простое следствие неравенств G.46).
Действительно, для характеристических функций %[a,b](s) на (О,
1) при 0<а<й< 1, очевидно, \—'—[—, у \\а,ь] (s)ds->0 при
J ду? \ е /
о
е->0 в силу G.46). Приближая любую v<=L2(Q, 1) линей-
линейными комбинациями характеристических функций и учитывая
ограниченность /, df/dyi, получим, что f —-— (—, у) v (s) ds ->- 0.
J "У i \ e /
о
Лемма доказана.
Пусть B(t, у)—матрица с элементами Btj(t, у). Через <?(-,
у)> обозначается матрица с элементами <S,-j(-, у)У.
Теорема 7.13. Пусть элементы матриц Aji, отвечающих опе-
оператору 2\, имеют вид
е
и пусть
. 1-1
У,
G.48)
Предположим, что элементы матриц В°(т, у), Bs(x, у), Ви(х, у)
принадлежат классу ^а при некотором 0^@, 1]. Тогда последо-
последовательность операторов 9?г, отвечающих матрицам коэффициентов
194

Al'( ф'^ , x\, сильно G-сходится к оператору ЗУ с коэффициен-
коэффициентами
при этом б» в теореме 7.1 удовлетворяет неравенству бв^Се",
где C==const и не зависит от е.
Доказательство. По лемме 7.12 имеем
+ {В*(-, у)), s=0, 1, ..., п,
+ (В1'(-, у)), i, / = 1, ..., л,
при е->0 слабо в L2@, 1) при каждом yeQ. Поэтому согласно
теореме 7.9 можно взять
В силу формулы G.43) коэффициенты G-предельной системы
имеют вид G.49).
Покажем, что б8 в теореме 7.1 удовлетворяет оценке бе^Се". Лег-
Легко видеть, что
<?Р(У)АР$(У) = (В°(-, у)Г1(В*(ч У)),
<?/(y)Aii(y) = (B4-, у)У(В°(; у))'1.
Поэтому матрицы Л^;(^, у), Mts(t, у), заданные формулами G.5),
согласно G.48) имеют вид
о
t
(-, у))-
-, у)} dr.
' G.50)
Обозначая подынтегральные выражения в G.50) через «j(t/e, у),
тг-3-(т/е, у) соответственно, имеем <«3-(-, у)У=<т^(-, у)>=0 и эле-
элементы матриц iij(t, у), m,ij(t, у) суть функции класса s4-a. Поэто-
Поэтому из оценок G.46) и определения бг получаем, что б^Се". Тео-
Теорема доказана.
7* 195

Следствие 7.14. В случае, когда в теореме 7.13 ^(x)—X
коэффициенты G-предельной системы определяются по формуле
х)).
§ 8. ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ СИЛЬНО G-СХОДЯЩЕЙСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
8.1. Эллиптические операторы в многомерных
областях
Рассмотрим в ограниченной области QczR" с гладкой грани-
границей дифференциальные операторы вида
С/ /fi\ ^t^ / I \& ТУ*" //у (y\ Tr 'аЛ Y fTTtT О (R 1 \
где аа$(х) — ограниченные измеримые функции в Q, a, p e Z" |а| =
=ах + • • • +ап. и(х) — скалярная функция из Щ{Щ.
Будем говорить, что дифференциальный оператор J?: Н™(п)-*-
-vH"m(Q) вида (8.1) принадлежит классу Е (Хо, А,ъ А,2), если его коэф-
коэффициенты удовлетворяют условиям
ess sup |ааР(л;)| <ХЪ |a|, |P
a
|a|=|P|=m fl
для любой ые С~(Й), где kb, Ки A,2 = const>0 и не зависят от и.
Из последнего неравенства следует (см [26; 10]), что для любого
вектора geR" и ,teQ имеем
|a|=|P|=m
где C(, = const>0, Ьа=|"'... 1"^, т. е. оператор J? из класса
Е (А,о, Хи А,2) является эллиптическим.
Дадим определение сильной G-сходимости последовательности
операторов {3?и} [22]. Будем говорить, что последовательность
оператора {2\} из класса E(k0, h, A,2) сильно G-сходится к опера-
оператору 3? из класса Е(Хо, Я], А,г), если для любого Х>% (A,=const>
>0) и /e//~m(Q) последовательность решений задач Дирихле
Wk + b)(uh)=f, uh<sH'on(Q), (8.2)
196

слабо в Щ (О) сходится к решению задачи Дирихле
(<?±Щи)=1, И6=Я?(О), (8.3)
и, кроме того, последовательности функций
сходятся при fe-»-oo к функциям
Гв(и, &)=Y* ^P
слабо в L2(Q).
Здеаэ {а-а^(х)} и {^арМ} — матрицы коэффициентов операторов
Л?к и «^ соответственно. Из приведенного определения видно,
что условие сильной G-сходимости отличается от условия обыч-
обычной G-сходимости требованием сходимости функций Ya(uk, J?k) к
Та(и, Jz) слабо в L2(Q) при /г-*-св.
В работе [22] доказано, что сильная G-сходимость J?fe к X
при fc-»-oo эквивалентна следующему условию («условие iV)
Существуют последовательности функций {Ny(x)}, такие, что
k
при
N1. JV'er(Q), Л'^О слабо в Hw(Q), |т1<т;
N2. S?p= J a*vZ)v^ + a^->aaP слабо в L2(Q),
lvl=m |a|, |p|</n;
N3. J] Da(aaP—aa|3)->0 по норме H~m(Q), |P|<m.
|a|— m
Аналогичное условие для системы теории упругости приведено в
§ 9 гл. I.
Если наложить дополнительные условия на функции Ny, то
получим более сильное условие («условие Л7/»), при выполнении
которого можно оценить разность решений задач (8 2) и (8.3), а
не только утверждать слабую сходимость ик к и при fe-voo в
ЯЗД.
Будем говорить, что последовательность операторов {3?и} из
класса Е(Х0, Ки А,2), которым соответствуют матрицы коэффици-
коэффициентов {аа$(х)}, \а\, |Р| ^т, удовлетворяет условию N' в области
Q, если существует оператор J?eE?(X0, А^ А,2) с матрицей коэф-
коэффициентов {аа$(х)} и система функций Ny^Hm(Q), \y\^.m,
удовлетворяющие при й->оо условиям:
N'l. DaJVv€EL°°(Q) при |a|<m, \y\^m,
DaNy-*-0 по норме L00^ при |a| <m, |y! ^m;
197

N'2. a*p= ? akayDyNl + aka(i -*аар по норме H~h°° (Q), \a\, |PI<m;
N'3. ? Da (aap— aaP)-»0no норме tf-m'°°(Q), |P| <m.
la|=m
(Определение пространств tf-m'°°(Q) см. в^§ 9.2 гл. I.) Для про-
простоты предполагаем, что коэффициенты aap и граница области
Q — бесконечно гладкие.
Введем также числа, характеризующие скорость сходимости
в условиях N'\, N'2, N'3. Положим
aV*lk~<n>, (8.4)
|a|<m
II
Pi"= max ||а?р-^р||я-1.«(а), (8.5)
\a\=m,
IP |<m
Pi2) = max |Йэ-ааЭ||я-1.-(й), (8.6)
|a|<m,
IPKm
l
|a|<m
Теорема 8.1. Пусть для операторов 2?h, 3? выполнено усло-
условие N", Тогда при s^.m—1 и \i>\i (\i — некоторая постоянная)
для решений задач Дирихле
(uk) = f ей, uh<= Я?(Й), (8.8)
(S+ |*)(и)=/ в п, неЯотЙ, f<sHx(Q) (8.9)
имеют место оценки
IVKm
>], (8Л0)
ll«ft-«li^(Q) < Ш\н\а) +К[№ |1Л1//ЧШ + К + Pi2' + 7ft) HfllL-(a)].
(8.11)
где /C=const we зависит от k, f, а через vh обозначено решение за-
задачи Дирихле
(¦2* + Н-)(Чк)=0 в Q, vh— ? NyDyue=HZ(Q). (8.12)
Доказательство. Как известно (см., например, [53; 10]),
для любого оператора 2'е?1(А,0, ^ь ta) существует постоянная (х,
198

зависящая только от fa, fa, fa, такая, что при |0,>|д, для решения
задачи Дирихле
справедлива оценка
INUm<Q)<C||fl!tf-m(n), (8.13)
где постоянная С зависит только от Ко, fa, fa Пусть [х>ц>0— та-
такая постоянная, что решения задачи Дирихле, отвечающие опера-
операторам Jgk-\-ii, J? + M<> удовлетворяют неравенству (8.13) с общей
для всех k постоянной С>0.
Далее используем следующие формулы Лейбница (см , напри-
например, [98]):
a^uDV (8.14)
=?j (- l)lpl («\ Da-p lu&v], (8.15)
где
_ а!
.Р, ~~
а означает, что Pj^oj для каждого j=l,...,n.
Положим
ui=u+ ? NkyDyu,
\y\km
где и — решение задачи (8 9), iV*—функции из условия N'.
Пользуясь равенством (8.14), находим
a|<m, Й |a|,
E (
^P
(8.16)
199

Обозначим последний интеграл через 3V Тогда в силу (8.4)
имеем
IeX I <Ca Hull//2/ Hull m (8 17)
где постоянная С\ не зависит от k.
Из (8.16) далее получаем, меняя местами мультииндексы у и
Р в предпоследнем интеграле:
(.?к(«*),0)= ? f;
|a|<m, а
J
|P|<m
a|<m, |7l=>n
Ipk
Q 'a <m, lvl<m
IPK
где через &х, ?f2, ?f3 обозначены соответственно интегралы в
левой части последнего равенства
В силу (8.4) имеем
Q>. (8-19)
Из (8.6) согласно лемме 9 1 гл I получаем
1^2К Pi2) !1«11нт+1(а) Н^Чн^о) • (8-20)
Оценим 2f\. Пользуясь равенством (8.15), находим
&г = \ ? {ak^~aab) D\Davdx=
IPK
= 5 I (aU-aa,)Tj(--ir^)D
fit |a =m,
IP<
P<
|a|=m,
|p|<m
x (8.21)
200

Применяя лемму 9 6 гл. I и равенства (8 7), (8.5) для оценки
первого и второго интегралов в правой части этого равенства, по-
получаем
)Ь (8.22)
Таким образом,
0h + ц) (и\), v)= ((# + Ц) (и), v) + qh (и, v)
для любой ней?1 (Q), где
2'"(й,||Ы!ят(с,, + Р</г1)|И|я'"Aг,1И|я2т+1(П,]. (8.23)
Поскольку ui — vk — uh^ Hq1(Q) и
то, полагая в этом равенстве v = u\ — vh — uh и пользуясь оценка-
оценками (8 23), (8.13), получаем
\\и1-ик-ик\\нтШ) < С3 [(ah + Pf + yO ||«!1я2"'(Ь„ + № \\и\\н™*ш)\-
Отсюда следует оценка (8 10), так как для решения задачи (8 9)
справедлива априорная оценка (см , например, [53])
1/Н/Ла). (8.24)
При s^.m—1 имеем в силу (8.4)
Теорема доказана.
Укажем простейший случай выполнения условий N', когда
Дар {х)-+ ааР (л:) при k ->• сх>
по норме пространства L°°(Qj. В этом случае можно положить
iVv = 0, и условия N"\—Л^'З будут, очевидно, выполнены, причем
«ft=0, PL" < C6ft, pi2) < C6ft, yh < C6ft,
201

где С постоянная, не зависящая от k,
8ft = max Ijflap—M
Согласно теореме 8 1
||/||ячп). s<m—1.
В действительности, в рассматриваемом случае выполнено более
сильное неравенство ~"
шп), s<m-l, Кг, Kl=con<t (8.25)
Для доказательства этого неравенства заметим, что в доказатель-
доказательстве теоремы 8.1 норма ||/ii«i(Q) оценивает ||ы||н2т+1(а) в
неравенстве (8.22). Норма ||и||н2т+1 возникает при оценке первого
интеграла в правой части (8.21). Легко видеть, что в данном слу-
случае этот интеграл оценивается величиной
Рассмотрим теперь менее простой случай, когда выполнено
вие N'. Предположим, что коэффиц
зависят только от переменной х\, т. е.
условие N'. Предположим, что коэффициенты а?р(х) операторов
Пусть коэффициенты аа^{х1) оператора 3? таковы, что для
всех
|a|<m, |P|<m, a = (m, 0, ... , 0)
1 1 aap aap aaa v aaa /Я 9fi\
4o
5.B—^^- слабо в L«[0, /]
при fe->oo, / — такое число, что область Q заключена в слое {х:
0<Xi<l}.
Определим функции Nl(xi) как решения уравнения
k4 U (8-27)
la;=m, |a|>=/n
l7|=m
202

такие, что
йт
\ X.S [0, /], (8.28)
_=0, s = l,...,m-L (8.29)
dx\
Отсюда вытекает, что справедливо условие Ы"Ъ и Р^'-^О при
fe->oo, 7ft=0 в равенствах (8.5), (8.7).
В силу условий (8.26) правая часть (8.28) стремится к нулю
при k-+oo слабо в L2 [0, /]. Поэтому
-^-^(^->О при k-*- оо по норме С0([0, /])
s=0, l,...,m—1. Очевидно, что в силу (8.28), (8.4) имеем
= sup
[0/
¦Щ(Х1)
<C sup 1С "QP^-^W dt\ C=const, (8.30)
причем <ift-»-0 при fe-voo. Таким образом, условие ЛГ1 также имеет
место. Проверим выполнение условия N. Пользуясь (8.28), по-
получаем
a
oa
Согласно (8.26) имеем aap(*i)—aae(^i)->-0 слабо в L2@, /). По-
Поэтому
<fi(x1) = ](aka(i(s)-aaii(s))ds-+0 по норме С»([0, /}).
о
Поскольку aae(*i) — aap^)^ Фав(*1), то в (8.6) можно считать, что-
dx1
причем Pt2)->0 при /г-»-оо, С = const.
20S

Теперь для нахождения эффективной оценки отклонения uh(x)
от и(х) осталось оценить величину ||ий||ят(а). Имеем
1/2
При выводе последних неравенств мы воспользовались определе-
определением ал, априорной оценкой (8.24), неравенством
<+tm), s>Q,t>0 [10],
а также равномерной по k ограниченностью производных функ-
функций TVp до порядка т включительно.
Определим теперь величину 8&, полагая 8ft=max{aft, pj?'}. То-
Тогда на основании теоремы 8.1 получаем неравенства
Л/2ПЛ1««(а) - (8-31)
\ик-и- j; Nl{Xl)D\\Hm <С7б1/2||/||ямш, C/=const.
8.2. Обыкновенные дифференциальные
операторы
Результаты п. 8 1 для эллиптических операторов высокого по-
порядка могут быть уточнены для обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных операторов. Приведем здесь некоторые теоремы в этом на-
направлении.
Пусть Q=@, 1) и S'k, & — обыкновенные дифференциальные
операторы:
П / \f-^j (ам(х)-~\, же (О, 1), ^фО. (8.33)
Теорема 8.2. Для решений Uk и и задач Дирихле
)=ft (^ + ц)(и)=/, ац,ибйо(О,1), (8.34)
где &h, 3? — обыкновенные дифференциальные операторы вида
(8.32), (8.33), выполняются оценки
204

где постоянная С не зависит от f, k,
I
Aft = max
хеюлч,
p=l, ,m 0
4- max
функции Nvk являются решениями уравнений
Ощр
(8.35)
(8 36)
(8.37)
(8.38)
с начальными условиями
diNkp
dxl
=0, j=0,...,m-l.
(8.39)
Доказательство. В силу результатов, установленных вы-
выше для одного эллиптического уравнения, коэффициенты которо-
которого зависят только от одного переменного, легко видеть, что для
доказательства оценок (8 35), (8.36) нужно оценить функцию vh,
которая является решением задачи (8.12):
¦№=0 на @, 1),
(8.40)
Функции Л^'рй удовлетворяют соотношениям
-о,
dfN*
<Aft, /=0, ...,m-l. (8.41)
Кроме того, если p^.2m—1, то на основании леммы Соболева
имеем
max
dPn
Ham(o.i),
205

c=const и не зависит от и. Поэтому согласно оценке (8 24)
max
o,o, P<2m—1.
(8.42)
Положим
dPu
*=!
. , m— 1.
Тогда из неравенств (8.41), (8.42) вытекает, что
f ?»( о) j i/rfi)] <г/'„Л. iifll
I ^^! h \ 5 *^* j (ч I ^*^^^^ л ft II 11/2^Л 1\*
(8.43)
Для любого 5=1, 2,... можно построить непрерывный опера-
оператор продолжения Р: RmXRm-»-#s@, 1), ставящий в соответствие
двум наборам чисел {а|0)}, Щ1)\, »'=0, 1, . .. , т— 1, гладкую
функцию ф(х) на [0, 1], такую, что
х=0
1 ' dxi
Для этого достаточно определить функцию ф(х) формулой
т—1 т—1
(8.44)
i=0
где e|°>(jc) и е\1){х)—гладкие функции, удовлетворяющие усло-
условиям
х—о
=0
х=\
dxi
х=\
= 0, /,/=0, 1,...,т-1.
Поэтому функцию vh можно рассматривать как решение задачи
Дирихле
=O на @, 1), Oik_
, 1),
где через фь обозначены функции, построенные по формуле (8 44)
при a\O)=a\ok\ a\l)—a\]L Тогда на основании (8.43) и (8.44)
._omaxm_1
o.!). (8-45)
206

Положим wh—vh—щ. Тогда функция wk является решением за-
задачи Дирихле
На основании неравенства (8.13) и оценки (8.45) имеем
Следовательно, ||%ilwm^c7Aft||/||t,@1), и окончательно получаем
1Ы1ят<СА ll/llr..@,l)-
Легко видеть, что Yh=$il) =0; Р*2), aft<cAft, и поэтому из
(8.10), (8 11) следуют оценки (8.35). Теорема доказана.
Замечание 8.3. В случае, когда коэффициенты акрд{х) опе-
операторов S'k имеют вид ahpQ(x)=aPQ(kx), где aPQ(l) — 1-периодиче-
ские ограниченные функции, из условия (8.26) вытекает, что ко-
коэффициенты G-предельного оператора 3? вычисляются по форму-
формулам
атт * ' атт I \ йтт
итт
1
где (/) —
6
При этом оценки (8.31) принимают вид (поскольку
,k dPu
dxP
т
где c=const>0 и не зависит от k и f,
В случае, когда Xk=-*-(ak(х)—\, ?=-%- (а(х)~), оцен-
dx \ dx I dx \ dx I
жа (8.31) принимает простой вид:
X
Шь — M(ilk«fo.n^C max
f / a it)
l)dt
\ а* (О
о
Рассмотрим этот случай более подробно, с тем чтобы получить
явное выражение для постоянной С.
207

Легко видеть, что
w У fl'
i)dt
Поэтому
М > Г i с
— max , \ I —
б0 x€[o,i] I J v a
a(t)
(t)
dx
dt
dx2
где Ьй^ак{х)^М для любого k=l, 2,... и функция уа является
решением задачи
vh@)=Nk@)
du
dx
Пусть R>0 такая постоянная, что
Существование R следует из оценки (8 24). Ниже покажем, как
R зависит от коэффициентов уравнения 27(ы)=/. Тогда
vh\\mo,i),
где
а* (О
о
оценить величину ||ufc||r.«(o(i)- Ha основании принципа
максимума имеем
I. КОМ)-
max
Следовательно,
max \vh\ ^
x€I0,l]
du(\)
dx
поскольку, как нетрудно видеть,
du(\)
dx
208
Mo.i)
d2u || I! du
-'@,1) I dx
|i"@.1)

Таким образом,
Постоянную R>0 можно оценить через величины, зависящие от
коэффициентов G-предельного оператора. В самом деле, возведем
~ d2u da du
обе части равенства а——=/¦— в квадрат и проинтегри-
dx2 dx dx
руем по отрезку [0, 1]. Получим, используя неравенство
<2Ь2
Отсюда следует, что
f
\\щол)
H/'liw),
где P>0—такая постоянная, что max
d2a
da
dx
. Таким образом,
dx2
1 "I
2
1/2
Следовательно, в качестве R можно взять постоянную
21/2
1/2
Итак, мы получили неравенство
где постоянные М, R, б0 оцениваются через коэффициенты предель-
предельного и допредельного операторов.

Глава III
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УСРЕДНЕНИЯ
§ 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ АБСТРАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Здесь мы приводим некоторые известные результаты из тео-
теории операторов, которые будут использоваться в дальнейшем.
Кроме того, в § 1 гл. III дано доказательство теорем о сходимо-
сходимости собственных значений и собственных элементов для последо-
последовательности абстрактных операторов, определенных на разных
пространствах. Подобные результаты для несамосопряженных
операторов изложены в книге [11]. На этих теоремах основаны
все дальнейшие исследования спектральных задач теории усред-
усреднения, а также вопросов о поведении спектров сингулярно возму-
возмущенных операторов, рассмотренных в данной главе.
1.1. Оценки разности собственных значений
двух операторов, действующих в одном
пространстве
Приведенные ниже теоремы из теории операторов использу-
используются в дальнейшем в отдельных частных случаях при исследова-
исследовании спектральных задач теории усреднения и вопросов о поведе-
поведении спектров сингулярно возмущенных дифференциальных опера-
операторов. Приводим для полноты эти теоремы для абстрактных опе-
операторов в их более общем виде.
Пусть Я — сепарабельное гильбертово пространство со ска-
скалярным произведением (и, и)н и зФ — линейный непрерывный
оператор «5# : #->-#. Через \\st\\ обозначается
где верхняя грань берется по всем
Пространство линейных непрерывных операторов s4-. H-+H
обозначим 9?{Щ. Как известно, пространство 3? (Н) с нормой
1!г^||г(я) = ||о€!! является банаховым
Лемма 1.1 (см. [13]). Пусть s4-:H-^-H — линейный самосо-
самосопряженный компактный оператор в гильбертовом пространстве
210

Н. Пусть существуют число ц>0 и вектор и^Н, \\и\\н=1, такие,
что
\\Jlu—(д,и||я^а, a=const>0. A.1)
Тогда найдется собственное значение щ оператора s4-, такое, что
Ifi,— fiKa. A.2)
Кроме того, для любого d>a существует вектор п, такой, что
u\ п 1, A.3)
и п является линейной комбинацией собственных векторов опера-
оператора S4-, отвечающих собственным значениям зФ из интервала
[VL—d, ii+d).
Доказательство. Рассмотрим ортонормированныи базис
{ф*} пространства Я, состоящий из собственных векторов опера-
оператора Л, б4-щ=\1кщ, k=\, 2,... . Такой базис существует по теоре-
теореме Гильберта—Шмидта [43]. Тогда
По условию леммы 1.1 имеем
Тогда, если min \\xh—ц|^|Цг—ц|, то |цг—М-!2^ с*^а2> и. следо-
вательно, |р,г — \i\ <a, так как
Докажем теперь второе утверждение леммы 1.1. Пусть
оо
Ли—\iu=w и до=
Тогда V ск(]лк—р,)фй=у a,hyk, где V a^^a2. He ограничивая общ-
ности, можем считать, что ц ф ц/ для любого /. Поэтому cfe=(nft—(j,)-'afe.
Положим "о^Лс'(Рь где суммирование проводится по тем индек»
сам /, для которых ^/^[р-—d, p- + ^]- Имеем
211,

где суммирование проводится по всем к, таким, что \ik^[\x—d, |л +
+ d]. Покажем, что вектор ы^ЦЫиЦй'мо является искомым. Действи-
Действительно, поскольку ||« —и„||н = 1М1н<ad~~\ ll^oi!//^1. Н«о11н>11«11н —
— \\v\\n, имеем
Ци-IKIIh1 ио\\н < \\и-ио\\н + ||ц,_',№' ио\\н =
= Ы\н + 1 - ||ио||н < \[v\\H + 1 - ||u|!H + \\v\iH
Лемма доказана.
В дальнейшем потребуются некоторые сведения из вариацион-
вариационной теории собственных значений (см. [42; 93]).
Теорема 1.2. Пусть А — линейный оператор в гильбертовом
пространстве Н с плотной областью определения SDA и удовлетво-
удовлетворяющий следующим условиям:
1. А — симметрический оператор, т. е. (Ах, у)И=(Ау, х)н, х, г/е25л;
2. (Аи,и)н^с„\\и\\2„, c0=const>0, uefe
3 если последовательность {uh} векторов из $А такова, что
sap (Auh, uk)H<C oo, то {uh} содержит подпоследовательность, сходя-
сходящуюся в Н.
Тогда собственные значения %k оператора А определяются по
формулам
lk= sup inf {(Аи, и)н1{и, и)н, ифО, [u,Vf)=0,
j = \, ...,k-\}, 0<к1^Х2^..., A.4)
где каждое собственное значение повторяется столько раз, како-
какова его кратность. Верхняя грань в A 4) достигается, в частности,
если v\,..., ufe_i являются взаимно ортогональными собственными
векторами оператора А, отвечающими первым k—1 собственным
значениям А.
Равенство A.4) можно переписать в эквивалентной форме:
{КГ1= ^ sup {(u,u)Hl(Au,u)H, ифО, (и, v})H=r),
;=i k-\). (i.5)
Теорема 1.3. Пусть B^J?(H) — положительный компактный
самосопряженный оператор(Ви, u)H^c\\u\\2H, c=const>0, (ij^^^
;> ,.. \ak. . . > 0—последовательность всех собственных значений опе-
оператора В, причем каждое собственное значение повторяется
столько раз, какова его кратность. Пусть ерь ф2,... взаимно орто-
ортогональные собственные векторы оператора В, отвечающие соб-
собственным значениям цк, k=\, 2,..., соответственно. Тогда
]ik= inf sup {(Bf, Пи, №\H = h if, ht)H=0, i = \, ... , k-\),
•212

причем нижняя грань в A 6) достигается, в частности, если h\ =
=фЬ . ,/г?г„1=фй_1.
Доказательство этой теоремы приведено в [89, 63].
Теорема 1.4 (см [89]) Пусть Ви В2^2'{Н)—компактные
положительные самосопряженные операторы в гильбертовом про-
пространстве Н; [iiik—k-e собственное значение оператора Ви [i2tk—
— k-e собственное значение оператора В2 (Предполагается, что
собственные значения операторов Ви В2 занумерованы с учетом
монотонности и кратности, как в теореме 1 3 )
Тогда
ll3i-52||. A.7)
Доказательство Обозначим через cpi.k, ф2)ь, k-e собствен-
собственные функции, отвечающие собственным значениям jii^, ц2,ь опе-
операторов Ви В2 соответственно Положим А—В\—В2. Пользуясь
A 6) при В=В2 + А и учитывая, что для собственных значений
оператора В2 нижняя грань в A6) достигается при /ij=cp2j. /=
= 1,. , k—1, получим
f Л)/,/)„, ||/|!я=1. (ЛФ2./)„=О,
где hi — наибольшее положительное собственное значение опера-
оператора А. Поскольку |ii^||5i—В2\\, имеем Hi,*—1^2,*^ 11^—5г||.
Рассматривая оператор А=В2—В\, аналогично устанавливаем
Ц2,*г—Ц1,*^ \\В2—5il|. Теорема доказана.
Обозначим через N{%, А) пространство всех собственных век-
векторов оператора А, отвечающих собственному значению Я. Для
любого хеН через р(х, N (К, А)) обозначается расстояние от х до
подпространства N (К, А), т. е
\\x-g\\H. A.8)
Теорема 1.5. Пусть В^З?(Н)—компактный положитель-
положительный самосопряженный оператор в Н и А—линейный оператор в
Н. Пусть цв, \ia — собственные значения операторов В и А соот-
соответственно, причем Af=\iAf, (хв=^0. Тогда
р(Л#(цв,Я))<( inf
где нижняя грань берется по всем собственным значениям \ц опе-
оператора В, отличным от \iB.
Доказательство Обозначим через <рь ф2,.. ортонорми-
рованный базис в Н, образованный собственными векторами опе-
00
ратора В, Bq>i=\xiyi. Пусть f=X\ С/Ф/'- Очевидно, что p(f,N(B,
гДе ^==У] с№ и суммирование производится по
215

всем индексам /, для которых iij?=iiB. По условиям теоремы име-
имеем (и-д/—5)/=(|гв— ца)/+ И—5)/ и, значит,
Отсюда получаем
inf ||i/-|1в1а
и/*ив У
Таким образом,
Из этого неравенства в силу A.10) вытекает оценка A.9). Теоре-
Теорема доказана.
Для любых банаховых пространств V и W через 3?(V, W)
обозначим пространство линейных непрерывных операторов, дей-
действующих из К в If. Норма оператора В из 3?{V, W) обознача-
обозначается через ||?||s?(v,w) и определяется как нижняя грань постоян-
постоянных М, таких, что ||5t>||w^sAf|Mlv для любого »еК
Теорема 1.6 Пусть Н — сепарабельное гильбертово про-
пространство, V — банахово пространство, VczH. Пусть Ви Б2е
е2'(Я)П5'(Я, V)—компактные самосопряженные положительные
операторы в Н, B1—B2gJ?(V,H) и {ц*}, {ц*}, k=l, 2,..., —по-
—последовательности собственных значений операторов В\, В2 соот-
соответственно, занумерованные в порядке невозрастания и с учетом
кратности. Тогда
I Ю21 -(И*J| < {[Вг-В^^щ (\\В1\\^{ну) + \\Ba\\&(H,V))- О-")
Доказательство. Поскольку Въ 52е J?(H,V) и Вг—Б2е
е^(К.Я), то (В1—В2)В1, (B1~B2)Bi^^(H). Легко видеть, что
В2)
< \\ВХ —
При этом мы воспользовались тем фактом что норма в %'(Н)
оператора Bx(Bx—В2) равна норме сопряженного с ним операто-
оператора (Bi—B2)Bi. Отсюда в силу теоремы 1.4 для операторов Bi2l
В22 вытекает оценка A.11). Теорема доказана.
214

1.2. Оценки разности собственных значений
и собственных векторов двух операторов,
действующих в разных пространствах
В этом разделе мы докажем основные теоремы о поведении
собственных значений и собственных векторов последовательно-
последовательности операторов, заданных в различных гильбертовых простран-
пространствах, при определенных ограничениях на эту последовательность
(условия С1—С4). Этим условиям при подходящем выборе гиль-
гильбертовых пространств удовлетворяют многие операторы, возни-
возникающие в задачах усреднения и других сингулярно возмущен-
возмущенных задачах, что позволяет исследовать их спектральные свой-
свойства
Пусть в/6г, <5^о — сепарабельные гильбертовы пространства со
скалярными произведениями
(и\ v*)xe, (и, v)*t
соответственно и пусть
линейные непрерывные операторы, причем \ms4-QCzy<^.2f6o, где
Т — линейное подпространство в 3@0,
В дальнейшем рассматриваем пространства <3$0, Жг, У и опера-
операторы бФй, бФг, для которых выполнены следующие условия С1—С4.
С1. Существуют линейные непрерывные операторы Re:3f§o->-3f8e,
такие, что для любого /°eF
(RJ*, RJ°)*e + y(f\ ft», при 8^.0, A.12)
где y=const>0 не зависит от f°.
(Если #0 = T = L2(Q), тг=О{пе) и QE—перфорированная об-
область типа I или II из § 4 гл. I, то за Re можно взять оператор
ограничения, ставящий в соответствие функции /eL2(JQ) ее огра-
ограничение /|Qe на Qe, при этом, как будет показано далее, у—
=mes(Qnco).)
С2. Операторы Л,ъ : Жг-+9Се, tA0' Я?()-+-Жо являются положи-
положительными, компактными и самосопряженными, причем нормы
II <At \\g?C%s) ограничены постоянной, не зависящей от е
СЗ. Для любой fe=T
II^A/-^e^o/IUE->O при е-^0. A.13)
С4. Семейство операторов {s4e} равномерно компактно в следую-
следующем смысле. Из любой последовательности fe^3@e, такой,
215

что sup||/e||^ <oo, можно выбрать подпоследовательность
/е' и найти вектор w°^.T, такие, что
IMe'f-
при е'
П.14)
Замечание 1.7. Из условия С1 следует, что если последо-
последовательности /е, g'e^t и элементы /°, g°<=T таковы, что
то
(Г,
fe-»-0 при е ->-0, A.15)
A.16)
\\RBf°\\ge -*-0 при е->0
в силу A.12), A.15). Легко видеть, что из A.12) вытекает, что (RJ°,
Действительно,
(Г, ГК-ЩД R^)xs=(r~RJ°,
0, так как
2-|| а-и
Замечание 1.8. Из условия СЗ следует, что если f
fef,
то
при 8->0,
при е-*0,
A.17)
A.18)
поскольку || Л/ - ЯгЛ^ ||Же < I! Ле (f - Rjo) ||*е + ^t
— Re<Aof0 \\жЕ и нормы операторов Л& ограничены постоянной, не за-
зависящей от е.
Рассмотрим спектральные задачи для операторов s4-z, s&o'-
- |А*>0,
k=\, 2
A.19)
A.20)
где 8im — символ Кронекера, 6;m=0 при l?=m, бгт=1 при l=m, соб-
собственные значения занумерованы в порядке невозрастания, при-
причем каждое собственное значение повторяется столько раз, како-
какова его кратность.
216

Наша цель — оценить отклонение собственных значений и соб-
собственных векторов задач A.19) и A.20) при малых е
Теорема 19. Пусть для пространств Же, Жъ, Т и операто-
операторов Mb, «s$o выполнены условия С1—С4. Тогда существует после-
последовательность рь->0 при е->0, 0<ре< |Д.О, такая, что
sup \\JlEREu-R^Aou\WE, й=1,2 A.21)
p
гЗе [г*, ц*— собственные значения задач A.19), A.20) соответ-
соответственно, N(^o' <Ай) = {и*=Ж(>, ,Aou=[ikau}— собственное подпро-
подпространство оператора s?0, отвечающее собственному значению (А*.
Прежде чем доказывать эту теорему, изучим некоторые свой-
свойства операторов «я?е, s?u.
Лемма 1.10 Пусть а, е Т и {ukj, {^*} -=- последовательно-
последовательности собственных векторов и собственных значений задачи A.19),
такие, что
\\u;—Reu.\\Xe-+Q, ц*->ц. при e-»0 A.22)
и фиксированном k. Тогда а*, д* — собственный вектор и соб-
собственное значение оператора s4-0, т. е. ЛоИ-=ц.*ы*, и*?=0.
Доказательство Полагая в A,17) f = ukE, f° = ut, находим,
пользуясь A.22), A.18), что
ИД,"*"#e«4)".ll*e-»-0 При 8-^0. A.23)
Легко видеть, что
При е->-0 первые два слагаемых в правой части этого неравен-
неравенства стремятся к нулю в силу условий A 22), а третье слагаемое
стремится к нулю в силу A.23) Таким образом,
Н#е(И.««—^о",I1же->О при 8->0.
Отсюда, пользуясь A.12), заключаем, что ^oa*=)i*w*. В силу
A.22) ||"*||jpe— II#ь"Ляге-»-0 при е-^-0, поэтому согласно
A.12) yl/2\\ut |1жо=1, и, значит, и, =/=0. Лемма доказана.
Лемма 1.11. Пусть выполнены условия С1—С4 Тогда
[i*-*[ig, A:=l, 2 при е->0,
217

где \ik, ц*— собственные значения задач A.19), A.20) соответ-
соответственно.
Доказательство. Установим сначала, что
co>H>c(j)>O, /"=1, 2, ... , A.24)
где с0, c(j) —постоянные, не зависящие от е, с0 не зависит от /.
Ограниченность \х'Ё сверху следует из равномерной по е огра-
ограниченности норм операторов s4-z. _ _
Фиксируем целое />0. Пусть_ цо> \il> ¦ . Цо'— собствен-
собственные значения оператора Лй и и\, ... , и0+1— отвечающие им
собственные векторы ||«oli*>0==l> ^=1. ¦•¦ . /+!¦ Такие Сосуще-
Сосуществуют, поскольку каждое собственное подпространство операто-
оператора s4-o конечномерной ^0^=0, ^ = 1, 2, ... .
Полагая в условии СЗ при каждом /г=1, ... , / + 1, f=uQy
получим из A.13)
-> 0 при е -> 0.
Следовательно,
"~ ~ -*-0 при е -*-0.
Тогда по лемме 1.1 при iA = iAe, H=fflE, ц = Цо, и = |1 Rei& |\%eReuo
существует последовательность
ц?(*'Е)->цо при е->0, k=\, 2, ... , у+1,
где ц™(*'Ё) — собственные значения задачи A.19), причем
при всех е, меньших некоторого бу. Поскольку [i^ (х«(/.?) и ц^Ж.е) ->.
->цЬ+1, то имеет место неравенство A.24).
Так как Леи[ = \)»\,и'1:, и выполнены условия A.24), то с помощью
диагонального процесса, пользуясь условием С4, устанавливаем
существование векторов u'^'V и чисел \V, таких, что
II iA, -и' < R 'и) II — 0 П 25)
и/, ->и/>0 A.26)
по некоторой подпоследовательности е'->0, у'=1, 2,... .
Из A.25), A.26) следует, что
' \. — и>\ ->0, /=1, 2, .Г. . при е'-*0. A.27)
218

По лемме 1.10 и' является собственным вектором оператора tAo, от-
отвечающим собственному значению ц/, т. е.
Полагая в A.15) fe = ulE, fo = -L.u{, gE=ukF, go=-Lw*, получим
в силу A.16), A.27), что при е'->-Ь
(и'",, uk)x ->—г-г(иу'. Uk)ye0 = bk/. A.28)
Покажем, что векторы ?/у=(ц0~У/2"{> у = 1, 2, ... образуют
ортонормированный базис в Шо- Предположим противное Тогда
существует вектор t/eF, такой, что при некотором ц*
=vkQU, (U, U!U,=0, / = 1, 2, .... \\и\\*о=1. A.29)
Положим в условии СЗ /°=?Л Тогда
|| <AE.Rb.U-RE.,A0U |UE, -s. 0 при е' -> 0.
Это означает, что
|МЕ^-(г^||^е=а(е')-^0 прие'-^0, \\Ue.\\xe. = U A-30)
где UB' = \\Re>U\&e,Re'U, поскольку
!l^e'f/|Ue^Y1/2l!^ll^=Y1/2-
Воспользуемся теперь леммой 1.1 при
<А = <Ае-, Н=Жг-, а=а(е'), u = Ur, ц=ц*.
По лемме 1.1 из A.30) следует существование последовательности ц8'
собственных значений оператора Л&', стремящихся к ц* при е'->0.
Поэтому в силу A.26) среди ц/, у = 1, 2, ... , найдется \>^k—^.
Положим в лемме 1.1 d = — inf |[x* — \iJ\ и допустим, что крат-
ность [Ать равна /, [i"h= ... =pmk+l~l. Тогда на отрезке [[i* — d,
|i* + d] лежат только собственные значения оператора t/fo> равные p™h,
и, значит, в силу A.26) при достаточно малых е' на [ц*—d, ^Q + d]
могут лежать только собственные значения ц^Л, ... , n^",fe+ ~ опера-
оператора Ле', отвечающие собственным векторам «™ь, . .. , u"fe+'~'. Сог-
219

.ласно A.30) и лемме 1.1 при достаточно малых е' существует вектор
t—i _
"к' =Е ^'"Г'*^' 11"е'||же,= 1, такой, что
Выбирая последовательность е"->0, для которой с?„-»-сг' при е"->0,
получим в силу A.27), что || не» — /?-"«, Ц>ре„—*-0 при г"-*-0, где «, =
/—1
1 c>mfe+i Поэтому согласно A.31)
e,-^O При 8"->0,
и, значит, U является линейной комбинацией векторов и™ь+1, / =
= 0, ... , /—1, что противоречит A 29).
Таким образом, установлено, что векторы U>, /=1, -, . об-
образуют ортонормированныи базис в Ж-i Поскольку LH соответ-
соответствует собственному значению [if и ц'^ц^ ... то мчжем
считать, что в A.20) ^о=К и U' = ui, /=1, 2, ... Лемма до-
доказана.
Доказательство теоремы 1.9 Фиксируем k и рас-
рассмотрим последовательность векторов Hg«*=iyfeM*. Поскольку по
лемме 1.11 [1*->-Цо при е-»-0, то, как установлено в доказатель-
доказательстве леммы 1 11 (см A27)), существуют последовательность г'-*-
->-0 и вектор ukt е Л' ^*, Ji0) cz T, такие, что
прие'->0, ||а*||^о=1^|2Т-'. A.32)
В силу самосопряженности операторов ,Ае имеем
Поэтому
и, следовательно,
Oi*-|i*)(K*, ^)^f = (W*, Д«|-^е. A.33)
Из A.32) и A.16) вытекает, что
220

Полагая (ы*„ Яе
A.32) получаем
«Ь?
-, где
при е'->0, из A.33)„
*.
\—1
Таким образом, оценка A21) выполняется для подпоследователь-
подпоследовательности е'->0 при Ре'= |аЕ'|. Докажем, что она выполняется при
При каждом фиксированном ее @, 1) обозначим через ос
нижнюю грань чисел рЕ^0, для которых справедлива оценка
A.21). Легко видеть, что 0^ае<ц* и оценка A.21) выполнена
при Ре=сте- Покажем, что ае-^0 при е-^0. Допустим противное.
Тогда существует последовательность е"-М), такая, что (т?">с>0-
По доказанному найдется подпоследовательность е' последова-
последовательности е", для которой имеет место оценка A.21), причем
ре-->-0. По определению оъ- имеем ое-<РЕ', но это противоре-
противоречит неравенству стЕ//>>с>0. Теорема доказана.
Следующая теорема устанавливает близость собственных век-
векторов задач A.19), A.20).
Теорема 1.12. Пусть k^Q, т^\—целые числа и ц*
= .. = ц*+т> ^о+т^', т. е. кратность собственного значения ц*+1
задачи A.20) равна т, ц°=оо. Тогда для любого w^N(\i*+l, jt0),
11^11^=1, существует линейная комбинация ие собственных векто-
векторов «*+', ... , «*-fm задачи A.19), такая, что
A.34)
где постоянная Mk не зависит от е.
Доказательство Положим в лемме 1.1 Н = ЖЪ, Jt = tAE,
и = \\ REw \\j(eRbw, ц^|1*+1 и d выберем столь малым, чтобы на от-
отрезке [Hq+1—d, n^+' + d] не содержалось точек спектра оператора <Л0,
отличных от [i*+l = ... =ц*+т. Поскольку || R&w \\2%> ->¦ у || w \\2jg = у
при е->0, то существование «Е и оценка A.34) вытекают непосред-
непосредственно из леммы 1.1. Теорема доказана.
221

§ 2. УСРЕДНЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СИЛЬНО !
НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД
2.1. Задача Дирихле для сильно G-сходящихся
операторов
Пусть 3?г, SB — операторы теории упругости в области Q, рас-
рассмотренные в § 9 гл. I, и пусть 3?,, сильно G-сходится к SB при
4
(8
Рассмотрим следующие задачи на собственные значения для
операторов 2:\ и &:
в Й, «*=0 на 0Q,
B.1)
uo в Q, «о=О на
К, u*)dx=blm,
B.2)
где bim — символ Кронекера, собственные значения задач B.1) и
B.2) занумерованы в порядке неубывания, и каждое собственное
значение повторяется столько раз, какова его кратность. Предпо-
Предполагается, что функции рЕ(х), ро(х) удовлетворяют условиям
B.3)
0 < с0 < р0 (х) < Су, 0 < с2 < ре (х) < с3;
pg_>p0 слабо в L2(Q) при е^-0,
где постоянные с2, с3 не зависят от г.
G ,-.
Теорема 2.1. Если Jz?E =^>if при г->-0 и выполнены условия
B.3), то
Хг-^-Хо при г->0, k = l, 2, ...
Кроме того, если кратность собственного значения Хо=А,о
равна от, т. е.
Ло <С Ло —. . . =Ло <. Ло , Ло^У,
и и(х) является собственной функцией задачи B.2), отвечающей
собственному значению Яо, ||«1U«(q) = 1, to существует последо-
последовательность пе-*-и в L2(Q) при е->0, где ыв — линейная комбина-
222

ция собственных функций задачи B.1), отвечающих собственным
« 1+1 * l+m
значениям ле , ..., ле
Доказательство этой теоремы сведем к применению абст-
абстрактных теорем, изложенных в § 1, введя подходящим образом
пространства Шг, 2ва, Т и операторы ste, s&0.
Обозначим через Шь гильбертово пространство, состоящее из
вектор-функций ueL2(Q) со скалярным произведением
Жере(х)(и, v)dx.
Через Ж$=Т обозначим пространство L2(Q) со скалярным про-
произведением
(и, vO/ = \р0 (*)(", v)dx.
Лемма 2.2. Пусть выполнены, условия B.3). Тогда
J ре (ие, vs)dx ->¦ \ р0(и0, v°)dx при е-»-0, B.4)
а а
если vE^-v°, иг-+и° по норме L2(Q) при е-*0.
Доказательство. Из условия B.3) следует, что
j реф dx -> j роф dx при е -*- 0 B.5)
Q Q
для любой функции ф, непрерывной в Q. Пользуясь равномерной^
по е ограниченностью функций р„ и плотностью непрерывных в Q
функций в пространстве L'(Q), легко показать, что B.5) справед-
справедливо для у^ЬЦп). Пусть теперь vg-+v°t иг^и° в L2(Q) при е->-
->-0. Тогда
р0 (и0, v°)dx=$pe(u°, v°)dx— |ро(ы°, v°)dx +
Q3 О.
+ <\pe(v&—v°, u°) dx + ^ pe{иг, u*—u°)dx.
a Q
Переходя в этом равенстве к пределу при е-^0, получим соотно-
соотношение B.4), поскольку последние два интеграла в правой частит
этого равенства стремятся к нулю при е-М) в силу сходимости
Iе, V по норме L2(Q) и равномерной по г ограниченности рг, а
разность первых двух интегралов в правой части стремится к ну-
нулю в силу B.5) при ф=(м°, v°). Лемма доказана.
Из леммы 2.2 вытекает, что условие С1 выполняется, если
Т=Ж0 и за Re взять тождественный оператор R?u=u, при этом
Y=l.
Определим операторы ^е:Жг-^-Жг. Положим s?<,f*=ue, где и'
является решением задачи
J?e(uE) = —Р,/е в Q, «е=0 на dQ, /e€=L2(Q). B.6)
Из теоремы 3.3 гл. I вытекает, что ||^е|1 ограничены постоянной,
223

не зависящей от г. Компактность s?z есть следствие компактности
вложения Hl(Q) в L2(Q) и теоремы 3 3 гл. I Пользуясь инте-
интегральным тождеством для решения задачи B.6) и равенством
(Ahk)*=Akh, получаем при
dx =
dxk ' dxh
для любых f, g'^L2(Q). Поэтому s4-z является положительным и
самосопряженным оператором в Жг
За ^о-^о-^^о возьмем оператор, который ставит в соответст-
соответствие /0е5^0 вектор-функцию и0, которая является решением задачи
^(ы°) = —pof° в Q, и°=0 на д?1, B.7)
т е. s&of°=u°. Так же, как для оператора яФг, устанавливаются по-
положительность, компактность и самосопряженность s4-o- Таким об-
образом, выполнено условие С2 § 1
Проверим теперь справедливость условия СЗ Пусть f°&T.
Определим W как решение задачи
J?e(ws) = — pof° в Q, и)е=0 на dQ.
Поскольку u°=s?of° является решением задачи B.7), то. из G-cxo-
димости S'.kS1 при 8-^0 следует, что
w°—u°-+0 сильно в L2(Q). B.8)
Так как ue=s?ef° является решением задачи B 6) при /e = f°, то
вектор-функция vs=u"—ws — решение задачи
^е(иЕ)=(р0—p6)f° в Q, иЕ=0 на dQ. B.9)
Из интегрального тождества для Vs вытекает, что
B.10)
Нормы Vs в Hl(Q) ограничены постоянной, не зависящей от е,
так как v"=ue—w\ Поэтому
vz'-+v° слабо в Hl(Q) и сильно в L2(Q)
по некоторой подпоследовательности е'-й)
Из леммы 2 2 следует, что интеграл в правой части B.10)
стремится к нулю при е'-*0 и, значит, иг'-*-0 сильно в Hl(Q),
224

Поскольку из любой последовательности иг можно выбрать такую
подпоследовательность иЕ'-»-0 в Hl(Q), то ve-*0 при г-*-0 в Hl(Q).
Отсюда, пользуясь B 8), получаем \\и° — ие \\$% е->-0. Это озна-
означает, что выполнено условие СЗ.
Условие С4 имеет место в силу компактности вложения Н1(п)
в L2(Q) и того факта, что \\гЛ^\\нцо)^:С\\р\\ща), где постоянная
с не зависит от е. Это неравенство есть следствие теоремы 3.3
гл. I.
Легко видеть, что в рассматриваемом случае собственные зна-
значения задач B.1), A.19) и задач B.2), A.20) связаны соотноше-
соотношениями
Таким образом, выполнены все условия теорем 1.9 и 1.12. По-
Поэтому теорема 2.1 является простым следствием теорем 1.9, 1.12
и соотношений B 11), поскольку в силу СЗ имеем
\]Лги—^0Ь(й)->-0 при е-»-0.
Отметим, в частности, что из теоремы 2.1 следует сходимость
спектров и собственных функций для операторов теории упругости
с почти-периодическими коэффициентами, рассмотренных в § 6
гл. II
В случае периодических быстро осциллирующих коэффициен-
коэффициентов возможно получить оценки отклонения собственных значений
и собственных функций задач B.1), B.2). Такие оценки в более
общем случае перфорированных областей будут получены в
разд. 2.3.
2.2. Задача Неймана для операторов теории упру-
упругости с быстро осциллирующими периодическими
коэффициентами в перфорированной области
В этом разделе изучим спектральные свойства операторов, от-
отвечающих краевым задачам B.22) и B.23) гл. II. Здесь Q8 —
перфорированная область типа II, 9?* — оператор теории упруго-
упругости вида A.1) гл. II с быстро осциллирующими периодическими
коэффициентами, 3? — соответствующий ему усредненный опера-
оператор, коэффициенты которого заданы формулами A.3) гл. II.
Для упрощения доказательства отклонения собственных зна-
значений задач B.22), B.23) гл. II удобно сдвинуть на единицу
спектры соответствующих операторов. Поэтому будем рассмат-
рассматривать следующие задачи на собственные значения для операто-
операторов вида B.60), B.61) гл. II:
81/а Зак 269 225

=O на
B.12)
5
Q8
M{4)-p0(xL=-XkoPo(x)uko в Q8,
)=O на
B.13)
где 8im — символ Кронекера, собственные значения занумерова-
занумерованы в порядке неубывания и каждое собственное значение повто-
повторяется столько раз, какова его кратность.
Как показано в теореме 2.4 гл. II, операторы 3?е и S близки
в том смысле, что для решений задач B.22), B.23) гл. II имеют
место оценки B.26) гл. II В этом разделе по сравнению с п. 2.1
сделаем дополнительные предположения относительно функций
рЕ, ро, а именно будем требовать, чтобы выполнялись условия
B.14)
ре«=гт
- О при е -¦¦ О,
где постоянные Сг, с% не зависят от г, норма III• III определена в
'B.64) гл. II и Шро—pJH характеризует близость функций р0 и р„.
Аналогично тому, как это сделано в § 2.1 для G-сходящихся
операторов, сведем изучение близости спектров задач B.12),
B.13) к теоремам 1.9, 1.12 для абстрактных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве. Основным результатом настоящего разде-
раздела является
Теорема 2.3. Пусть выполнены условия B.14). Тогда для
собственных значений задач B.12), B.13) справедливы оценки '
B.15)
где постоянная Си we зависит от е.
Если кратность собственного значения Яо=Ао'+1 равна т, т. е.
226

и ио(х) является собственной функцией задачи B.13), отвечаю-
отвечающей собственному значению Хо, |[Мо1к2(а) = 1> то существует после-
последовательность {пг}, такая, что
IK-Hol^sSAMe^-HllPo-p.lll), B.16)
где постоянная Mi не зависит от г и и0, причем пе является линей-
линейной комбинацией собственных функций задачи B.12), отвечают
щих %i+\ ..., %[+m.
Прежде чем доказывать эту теорему, установим некоторые
вспомогательные результаты.
Введем в пространстве L2(Q8) скалярное произведение по фор-
формуле
(и», &)х = \ Ре (*) ("8. Vе) dx B-17)
и обозначим полученное пространство через Же. Пространство
L2(Q) со скалярным произведением
(««, iF)Xb = \ р0 (х) (и?, о°) dx B.18)
обозначим через Жй. Положим У=Ж§ и в качестве оператора Rt
в условии С1 § 1 возьмем оператор ограничения вектор-функции
/eL2(Q) на область Qe, т. е.
/?,/=/loeSLa @е). B.19)
Чтобы проверить выполнение условия С1 для таким образом
выбранных 2ё0, Ж, У, Re, нам потребуется
Лемма 2.4. Пусть Q" — перфорированная область типа II и
выполняются условия B.14). Тогда если и0, v°^L2(Q), то при
е-Ю имеем
J PE (u°, v°) dx -> (mes (Q П ©)) $ Ро («°. и°) <**• B.20)
йе а
Доказательство. Воспользуемся следствием 1.7 гл. I, по-
полагая в нем /(?, x)=xm(s), где х» — характеристическая функция
области со, г|з=а[зЕ=роы0, ф=фЕ=и°. Тогда в силу A.21), A.22)
гл. I имеем при е->-0
Ро (и\ и») dx -> (mes (Q П ©)) J Po (u°, o°) dr. B.21)
Поскольку вследствие формул D.2), D.3) гл. I Qe=(Q\Qi)U^ifl
Песо и множество Q\Q[ имеет меру порядка г, то из B.21) выте-
вытекает, что
J Ро (и°, v") dx-+ (mes (Q П ©)) J Po (u°, o°) rfx B.22)
Qe ¦ й
8V2* 227

при 8-»-0. Из ограниченности ре, ро, оценки B 65) гл. II и условия
Hip*—polil->-O получаем, что для любых и°, v°^Hl (Q)
It — Ро)(и°. v°)dx-+0 при е-»-0. B.23)
а°
Сходимость B.20) для и0, v°<=L2(Q) вытекает из B.22), B.23),
поскольку их можно приблизить в L2(Q) вектор-функциями из
Hl(Q). Лемма доказана.
Из соотношений B.19) и B.20) заключаем, что при RJ=f\Qe
для пространств Зёо, Же справедливо условие С1 при Y=mes(Qn
Псо).
Введем операторы s&t:d6i-*-3eb, полагая s&tf'=W, где и' — ре-
решение задачи
-^Е(«Е)"РЕ«Е=— Р8/Е в ^8, M"E)=° на дРД B.24)
Ограниченность норм ||j^,|| постоянной, не зависящей от е, есть
следствие теоремы 5.4 гл. I, а компактность s4-z вытекает из ком-
компактности вложения Hl(Q") в L2(Qe). Покажем, что з4-г является
положительным самосопряженным оператором в Ж*.
Действительно, пользуясь интегральным тождеством для реше-
решения задачи B.24) и полагая ws—tAege, находим
2е
для любых fs и g8 из пространства Жг, так как (Ahk)*—Akh. От-
Отсюда следуют положительность и самосопряженность оператора
Обозначим через s&0 оператор, ставящий в соответствие вектор-
функции f0e5^0 вектор-функцию ы°, которая является решением
задачи
^(и0)—Ро«° = — pof° в Q, а(ы°)=0 на 5Q. B.25)
Очевидно, что s?q — положительный самосопряженный, компакт-
компактный оператор из Жо в Ж$.
Таким образом, в рассматриваемом случае справедливо усло-
условие С2 § 1.
Докажем, что условие СЗ также имеет место.
Пусть 1°^Жо. Покажем, что
\\u--Reu0\\L4QE)^0 при 8 + 0, B.26)
228

где u?=v&J*, «°=Ло/°- Пусть ТеЯЧЙ). Тогда
<QE)
/° -7IЬ<ое> + II <Л G- /0Iк.<ае> + II Л]- <Aj\\L4if) B.27)
В силу равномерной ограниченности норм ||«я?е|| отсюда следует,
что
««'-«•IWj^cnir-Tll^^ + ll^-^ll^o»,!. B-28)
где постоянная с не зависит от г. По определению операторов
s4-i и ^о вектор-функции w'—s4-t], w°=s?of являются решениями
задач
—р?куе= — р/в Qe, сте(даЕ)=0 на 5Qe,
B.29)
—Рода° = — РоГв Q, а(ау°) = 0 на 5Q .
Согласно оценке B.67) теоремы 2,13 гл, II имеет место неравен-
неравенство
*-W« \\L4Q) ^ СДО/2 + ||| Ро-Ре КО || pj ||№(ов) + ||(Р8-РоO ||Я1.],
q^const. B,30)
По определению в § 2,2 гл, II нормы ||-||wi* имеем
так как
Н(Р8—PoOllHi*= sup^ | J(PB-p0)G t»)dx|<|||pe—
° НЦпг)~
Поэтому из B.28) — B.31) заключаем, что
Выбирая / так, чтобы первый член в правой части этого неравен-
неравенства был меньше б/З, и выбирая ее так, чтобы при е<ев второй
член был меньше б/З, получим, что \\ив—и0\\L4ae)^с8 при е^еб,
c=const. Отсюда следует соотношение B,26), которое озна-
означает, что
\\яв-*>О при 8-^0.
Таким образом, условие СЗ доказано,
8 Зак 269 229

Установим справедливость условия С4
Пусть Ре — оператор продолжения из теоремы 4.2 гл, I и
пусть \\fe\\^e^c, где с — постоянная, не зависящая от е. Тог-
Тогда в силу теоремы 5,4 гл I
Поэтому \\PetAJs\\n4Q) =^сз и постоянная с3 не зависит от е.
Ввиду компактности вложения Hl(Q) в L2(Q) существует вектор-
функция w°<=Hl(Q), такая, что \\Ре'(Аг'Г'— дао|Ь(р)-»-0 по
некоторой подпоследовательности е'—>-0, Это означает, что
\\iAe'fe'—^e'ro°llz.»(Qe) ~* и. следовательно, имеет место условие
С4.
Обратимся теперь к задачам на собственные значения A.19) и
A.20), Легко видеть, что
1. B.32)
Как показано в § 1,
co>V-ke>c(k)>O, B.33)
где постоянные с0, c(k) не зависят от е. Если /еЯ'(О), то в силу
B.14)
где и', и0 — решения задач B.24), B.25) при f"=f, f°=f соответст-
соответственно. Пользуясь оценкой B.67) теоремы 2.13 гл. II, получаем
< с f(el/2 + ill Ре-Ро III) И Ро/ Н«ча> +
.(а), B.34)
где Cj — постоянная, не зависящая от е. При выводе последнего
неравенства мы воспользовались оценкой B.31) при ]=!. Таким
образом, теорема 2.3 есть следствие теорем 1 9, 1.12 и оценок
B.33), B.34).
Следствие 2 5. Если ре(х)=р(х/е, х), р(|, х) 1-периодична
по | в R" и удовлетворяет условию Липшица по хей равномерно
по |, то согласно лемме 2 12 гл. II lllps—ро!11«:се. В этом случае
из B.15) вытекает оценка
\Xke—Яо|<4е1/2, B.35)
где постоянная с*1 не зависит от е
Замечание 2.6. Оценка A.21) позволяет уточнить вид по-
постоянной Си в неравенстве B.15). Действительно, согласно A 21)
вместо Ck в оценке B.15) можно поставить величину
6 \ 0' /ч ~^ оК ~* /л ™\ ~1 /О ОЛ\
Cfc= U ^. pe <C. (Aoj , (Z.oOf
230

где Ре-*-0 при е-»-0 и постоянная с не зависит от k. Отметим,
что при доказательстве леммы 1.11 установлено, в частности, что
где Vfc— не зависящая от е постоянная
2.3. Смешанная краевая задача теории упругости
в перфорированной области
Здесь мы рассмотрим свободные колебания упругих перфори-
перфорированных тел с периодической структурой, внешняя часть грани-
границы которых закреплена, а граница полостей является свободной
от нагрузок.
Соответствующая краевая задача теории упругости изучена в
§ 1 гл. II. Напомним, что в этом случае Q8 — перфорированная
область типа I, 9?г — оператор теории упругости вида A.1) гл. II
с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами, & —
усредненный оператор, коэффициенты которого имеют вид A.3)
гл. II. Для таких операторов рассмотрим следующие спектраль-
спектральные задачи:
— Xkepe(x)uke в Qe,
на Sc, ut=O на Ге,
B.37)
= — ^оРоМ^о в Q,
ukQ=0 на dQ,
B.38)
где bin — символ Кронекера, собственные значения занумерова-
занумерованы в порядке неубывания и с учетом кратности, как и в задачах
B.12), B.13).
В разд. 2 1, в частности, рассмотрен случай задач B.37), B.38),
когда Qe=Q, т. е. область Qe не является перфорированной.
В предположениях B,3) на ре, р0 доказана сходимость собствен-
собственных значений задачи B.37) к соответствующим собственным зна-
значениям задачи B 38). Если Qe — перфорированная область и ко-
коэффициенты системы являются е-периодическими, оказывается
возможным получить более точные результаты по сравнению с
§ 2.1. При этом существенную роль играет близость операторов 9?г
и &, которая выражается оценкой A.15) гл. II для решений со-
соответствующих краевых задач. Как и в случае задачи Неймана,
231

рассмотренной в п. 2,2, для получения оценок отклонения собст-
собственных значений задач B,37), B,38) необходимо охарактеризо-
охарактеризовать бЛИЗОСТЬ фуНКЦИЙ ре И р0. ЕСЛИ ре (х) =р (х/е, х) И р(|, х) S
eL°°(R«xQ) 1-периодична по | и удовлетворяет условию Липши-
Липшица по x<=Q равномерно по |, то мы покажем, в частности, что соб-
собственные значения задачи B,37) стремятся к собственным значе-
значениям задачи B,38) при
J х)),
В этом разделе близость р8 и р0 характеризуем посредством нор-
нормы Illplllo, которая определяется равенством B,64) гл, II, где
верхняя грань берется по всем и, v^Hl(Qt, Ге).
Легко видеть, что при любых и, v<^H*(Q\ Г„) имеем
|(рн, о)^ив)К|||р|||о11"!1ячае)||1'|1„Чав). B.39)
Лемма 2,7, Пусть р(%, x)eL(R", Q) (см. A.13) гл. I) ре(*) =
= р(х/е, х), ро(х)==(р(-, х)). Тогда
|||ре-Ро|||„<се, B.40)
где постоянная с не зависит от е.
Доказательство этой леммы вытекает из оценки вида
B,63) гл, II для вектор-функций и, v^.Hx(Q\ Ге), которая с со-
соответствующими упрощениями доказывается аналогично оценке
B,63) гл, II для и, v<=Hx(Q*),
Будем предполагать, что функции ре, ро в B,37), B,38) удов-
удовлетворяют следующим соотношениям:
Ро е О (Q), Ре €Е U° (Qe), c0, Cl=const, B.41)
III Ре—РоН1о-*О при е-*-0, j
где постоянные Сг, с3 не зависят от е.
Близость собственных значений и собственных векторов задач
B,37), B,38) устанавливает
Теорема 2.8, Пусть выполнены условия B,41). Тогда для
собственных значений задач B.37), B,38) имеют место оценки
|||рв-ро|||о), *=1, 2 B.42)
где постоянная ск не зависит от г.
Если кратность собственного значения Я0=Я0 равна т, т. е.
232

и ио(х) является собственной функцией задачи B,37), отвечающей
собственному значению XQ, ||WolU'(B)=l, to существует последо-
вательность пе, такая, что
II «8-"«\Ы) < Mk (8>/2 +1|| р8_Ро |||0), B.43)
где постоянная Mk не зависит от е, и0, а пг является линейной
комбинацией собственных векторов задачи B,37), отвечающих
собственным значениям Я8 , ., ,, Ке .
Доказательство этой теоремы, как и доказательство тео-
теоремы 2 3, сводится к простой проверке условий С1—С4, При этом
в качестве Же также берется пространство L2(Qe) со скалярным
произведением, заданным формулой B,17), а за Жо берется
L2(fi) со скалярным произведением B,18), У=Ж§. Оператор Rt
определяется как ограничение вектор-функций из L2(Q) на QE.
Операторы з?е:Же-+Ж<,, ?Фо:Жо-+Жо определяются по формулам:
u», B.44)
где иг, и0 являются решениями краевых задач
B 5
ов(ие)=0 на Se, и?=0 на Г8, J К '
J?(u:>) = —pof° в Q, ы°==0 ни 6Q. B,46)
Проверка условия С1 опирается на следующую лемму.
Лемма 29, Пусть Qe — перфорированная область типа I и
выполнены условия B.41). Тогда при и0, u°eL2(Q) имеет место
сходимость B.20).
Эта лемма доказывается аналогично лемме 2.4, при этом схо-
сходимость B.22) следует из B.21), поскольку Qe=Qf]eco.
Выполнение условий С1—С4 проверяется так же, как и в § 2.2.
При этом задачи типа B.24), B 25) следует заменить на задачи
типа B.45), B.46) и вместо теоремы 2.5 гл. II воспользоваться
теоремой 1.2 гл. II. При доказательстве условия С4 нужно рас-
рассмотреть продолжение Рги, построенное в теореме 4.2 гл. I, и вос-
воспользоваться компактностью вложения Hi (Q) с: L2 (Q).
Как ив следствии 2.5, если ре=р(х/е, х) и ро=<р(-, х)У,
р(?, x)sL(R"xQ), то имеет место оценка B.35).
Неравенство A.21) позволяет уточнить постоянную ck в B.42)\
Так, в качестве Ck можно взять величину B.36), где %\, %а— соб-
собственные значения задач B.37), B.38).

2.4. Собственные колебания сильно неоднородных
слоистых тел
Рассмотрим задачи B.1) и B.2), где 2%, & — операторы
теории упругости, изученные в § 7 гл II. Как установлено в § 7
о л
гл II, J?e=^J? при е-»-0, если выполнены условия G.32) По-
Поэтому при условиях G 32) гл II имеет место общая теорема 2.1.
Для получения оценок отклонения собственных значений задач
B.1), B 2) для слоистых сред предположим, что коэффициенты
С-предельного оператора 2? являются гладкими в Q и. что поми-
помимо условий B.3) для рс, ро имеем
Illfe-Polllo-O при е->0, B.47)
где Illplllo определена формулой B.64) гл. II, причем
Qe=Q, и, v<eeHo{Q).
Теорема 2.10. Пусть 2%, & — операторы вида G.1), G.2)
гл. II, причем коэффициенты 9? — гладкие функции в О, и выпол-
выполнены условия G.32) гл. II. Тогда для собственных значений задач
B.1), B 2) выполняется оценка
IХ*-Х5|< ckф\12 + ]|| р8-р0 ||р, B.48)
где бе определено формулой G.6) гл. II, постоянная Си не зависит
от е.
Если кратность Яо = Яо+1 равна ш, т. е.
= . . . ==ло <Z.
и ио(х) —¦ собственная функция задачи B.2), соответствующая
^о. II wolU!(a>—1> то существует йг — линейная комбинация собст-
собственных функций задачи B.1), соответствующих Яе , .... Яе т,
такая, что
'/2Ё-Ро|Но). B-49)
где постоянная с не зависит от е, и0.
Доказательство этой теоремы проводится точно так же,
как доказательство теорем 2.3, 2.8. При этом вместо оценок
B.67), A.15) гл. II следует использовать оценку
я(р) (й)] B.50)
dxs ; нча) '
для решений задач
?e(u°)=fe в Q, ue еЯо(Й),
?(u°)=f в Q, ийеЯи^).
где /Е, /et2(Q).
234

Докажем неравенство B.50). Обозначим через й' решение за-
задачи
.S?f("W bQ, u*«=//J(Q).
Тогда для иг—ы° справедлива оценка G,7) гл. II при (DsO. Вектор-
функция ие—ие является решением задачи
^8(ые—ые) = /е—/ в Q, ue—ue6EtfJ(Q).
Поэтому согласно неравенству C.25) гл. I имеем \\ие—ие||нчо)^
<с||/8—/llw-i(a). Отсюда вытекает B.50).
Рассмотрим некоторые примеры функций ре, р0, когда выпол-
выполнены условия B,47),
Пусть pe(x)=p((p(x)/e, x), ф(х) определена в § 7.1 гл. II,
р(/, у) принадлежит классу $&а, as@, I), Ро(*)=<р(-, х)> (см,
§ 7.2 гл, II). Покажем, что в этом случае
в0, c=const, B.51)
Очевидно, что
Ф(*)
Фг а ffi /„,_ Ф> и /v-ч
1УФ12 dxi h Кф|2
где через g\, f*e обозначаются соответствующие интегралы в пра-
правой части первого равенства. Поскольку <р(-, у)—ро(у)>=О, то по
лемме 7,12 гл, II имеем
причем постоянная с не зависит от е. Для любых и, »ейо
имеем
а
д 1 Фг&> \ д 1 ш; \ , Ф,- ,-Л , ,„ -„
— ——— ge —— f4uvax , B,53)
а
235

Так как феС2(Й), ]V<p]>c=const>0, то в силу неравенства
B.52) отсюда следует, что правая часть B.53) оценивается через
cie" II" Няча) II v\\hhq), причем постоянная С\ не зависит от е. Этим
устанавливается B 51).
Таким образом, если коэффициенты операторов 3?t, 9? удовлет-
удовлетворяют условиям теоремы 7.13 гл, II и Р8М=Р(ф(хУг> х)' Р(*>
y)^iA<j> то оценки B,48), B,49) можно записать в виде
|Яв—Яо|<4ест/2, II "в—«oll^^^Me^, с», yW=const>0,
Как и в замечании 2.6, исходя из A 21) и равенств B,32),
можно уточнить вид постоянных Си в неравенстве B.48), Для сло-
слоистых сред также имеет место формула B 36), где Ке, %*— соб-
собственные значения задач B,1), B.2) соответственно.
§ 3. О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА В ПЕРФОРИРОВАННОЙ ОБЛАСТИ
3.1. Постановка задачи. Формальные построения
Здесь рассмотрим вопрос о собственных колебаниях перфори-
перфорированной мембраны, закрепленной по всей границе.
В § 4 гл. II мы построили полное асимптотическое разложение
решения задачи Дирихле для системы теории упругости в перфо-
перфорированной области. Тем же методом можно построить асимптоти-
асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для эллиптического
уравнения второго порядка, В последнем случае наличие принципа
максимума и известные свойства первой собственной функции поз-
позволяют исследовать спектральные свойства соответствующих опе-
операторов.
Рассмотрим семейство эллиптических операторов второго по-
порядка:
? М)^()- <зл>
где es@, 1), щ,-(%), Ь(%) — I-периодические по | гладкие функ-
функции в R", удовлетворяющие условиям
Ti<=Rn, хь х2=const>0,
C.2)
Будем предполагать, что Qe — перфорированная область ти-
типа I (см. § 4 гл. I), Qe=QDe(o, причем границы областей Й иа яв-
являются гладкими.
236

В этом параграфе мы изучаем собственные значения следую-
следующей задачи:
C.3>
где р(е) — гладкая 1-периодическая функция в R", рA)>со=
=const>0, и собственные значения занумерованы в порядке не-
неубывания и с учетом кратности, как и в задачах, рассмотренных в-
§2-
Вопрос о поведении Ле при e-vO изучался ранее в работах
[155; 156; 128]. В них доказано, что А^=г-2А0^-Хк&, где Ло>0—
не зависящая от k постоянная, а Хг-+- Хо при е->-0, причем %о
является собственным значением задачи Дирихле для эллиптиче-
эллиптического оператора второго порядка с постоянными коэффициентами
в области Q. Здесь покажем, в частности, что \К—^oK^fee,
ck~const, а также изучим поведение собственных функций зада-
задачи C.3) при е-Я).
Пусть Ф(?) — собственная функция, соответствующая перво-
первому собственному значению Ло следующей краевой задачи в обла-
области со с 1-периодической структурой:
-щ- ("НИ)-— Ф ©) + АоР© Ф©=0 в со,
ф^О на <9со, ф(|) 1-периодична по g,
C.4)
Граничное условие в C.4) понимается в смысле принадлежности"
о
Ф(|) пространству DF(co)(cm. § 1 гл. I).
Как известно [42; 62], Ф — гладкая функция в со, Ф(?)?=0 »
со и | УЕФ|т*0 в окрестности дсо.
Формально представим собственную функцию Ue задачи C.3)
в виде
Uhe(x)=O ^
C.5)
Нетрудно проверить, что для v^(x) должны выполняться равенст-
равенства
237

dXi \ { e ) "\ e J dxj ) U / I
(-j-) Ф2 (-j-) у* = 0 в Qe, w*=0 на Ге,
C.6)
причем %\ = Аке—\г-\ Гф2 (-±.\ р /-J-
Гф2 (-±.\
о"
Таким образом, получаем задачу на собственные значения для
эллиптического уравнения второго порядка, вырождающегося на
границе области. Подходящим образом вводя пространства обоб-
обобщенных решений для соответствующей вырожденной краевой
задачи, сведем задачу C.6) к задаче на собственные значения для
положительного компактного самосопряженного оператора в гиль-
гильбертовом пространстве, покажем, что задача C.6) имеет дискрет-
дискретный спектр, состоящий из собственных значений:
где %'е занумерованы в порядке неубывания и с учетом кратности.
Если у*—собственная функция задачи C.6), соответствующая Я*, то
функция Ф(х/г)ие принадлежит Яо(йе), является собственной для зада-
задачи C,3) и отвечает собственному значению
Применяя к вырожденным операторам вида
методы теории усреднения решений и собственных значений, из-
изложенные в гл II и в § 1 и 2 гл. III, получим оценки вида
где %о — k = e собственное значение некоторой задачи Дирихле
для эллиптического уравнения второго порядка с постоянными ко-
коэффициентами Эти коэффициенты определяются через коэффици-
коэффициенты операторов C.7) с помощью процедуры усреднения, описан-
описанной в гл II.
3.2. Пространства Соболева с весом. Обобщенные
решения уравнения второго порядка с неотрица-
неотрицательной характеристической формой
В дальнейшем нам потребуются следующие пространства пе-
периодических функций:
238

V1 (со) — пополнение С?* (со) по норме
У°((о)—пополнение С^°((о) по норме
У (со) — пополнение С" (со) по норме
<1, / = 1, .... п).
Легко видеть, что если и гладкая и ||м||у-(м)=0, то м=0 в и,
так как если и?=0 в точке х0, то м>ао>О в некоторой окрестности
<оо этой точки, но тогда J !уФ|2<$;=0. Из уравнения C 4) сле-
слеше
дует, что Ф=0 в «о, что противоречит неравенству Ф>0 в coflQ-
Для доказательства этого нужно умножить C.4) на я|з(^)Ф(^) и
проинтегрировать по Qfl«, где ^(?) еС5° (соо), ^(|)^0 в со.
о ^
Рассмотрим также пространства №(«), ^(ш), определенные в
§ 1 гл. I.
Лемма 3.1. Имеют место непрерывные вложения
W(со) cf>)c V1 (со), C.8)
C.9)
(зло)
причем вложение C.9) компактно, и для любой »gF'(<o)
4
Доказательство. Пусть uEflto). Рассмотрим функцию
<рвеС"((о), такую, что фв(^) = 1, если р(?, <9со)>26, фв(|)=0, если
р(|, da)X6, 0<фв<1, Iv^el^^"'- Тогда
Qfl»
Отсюда следует C.8), поскольку в 26-окрестности да> имеем
| ф | -^rcjS, и потому правая часть этого неравенства стремится к
нулю при 6-Я).
239

Покажем теперь, что для любой меСо°((о) справедливы нера-
неравенства
J «1'^<с0 J !O)(E)|2(H2+lvs«IVE, (З.П)
Qfleo
C.12)
Умножая уравнение C.4) *на Фи2, ueCJ'W, получим
f ЭФ ЭФ , ,, «. „ Г» ЭФ _ ди J9. ,
— \ о-кь \u\2dt—2 \ ahk Ф udl +
J dlh dlh J a|fc [din
2 2
J
BГ1Ш
Г
Qflto
Поэтому
j J
( J
Qfito
J
Отсюда следует C.11). Неравенство C.12) вытекает из C.11), по-
поскольку
Легко видеть, что для любой we У1 (со) неравенства C.11),
о
C.12) также справедливы и, кроме того, Фией7(ш). Непрерыв-
Непрерывность вложения C.9) очевидна. Докажем его компактность.
Пусть {ит} — последовательность элементов V^co), такая, что
sup||wmj|p- )<с<оо. Из C.12) вытекает, что ||Фыт||я>«гп<»)<
ТП
< съ где постоянная сх не зависит от т. В силу компактности
вложения Я'((ЗП(о) в L2(Qf|(o) существует подпоследовательность
m'-voo, такая, что Фмт'-> w f= Я1 (Q П<») по норме L2(Qf|(o). Сле-
Следовательно, Фи' является последовательностью Коши в L2(Qf|(o)
и, значит, ит' — последовательность Коши в У0(со). Поэтому
ит'->¦ и0 е V0 (со). Лемма доказана. ^
Лемма 3.2 (неравенство Пуанкаре). Для любой we У1 (со),
такой, что
{ Ф*ий1=0, C.13)
с*
240

справедливо неравенсгво
C.14)
где постоянная с не зависит от и.
Доказательство. Предположим противное. Тогда сущест-
существует последовательность иы^91(а>), такая, что
в) = 1. C.15)
В силу компактности вложения 91(а>) в Р°(со) можем считать, что
Поэтому ||uN—и^+'П^ш)-^^» и. значит, существует ие?1^), такая,
что ||ы^—и\\уце>)~*'® "Р11 N-voo. Принимая во внимание (C.15),
отсюда заключаем, что Ф|у|М| =0 почти всюду в Qflw- Поскольку Ф
обращается в нуль только на ды, то w=const в Qfla и 1|"||^{(В) = 1.
Это противоречит C.13). Лемма доказана.
Пуси> У" — перфорированная область типа I, рассмотренная
в § 4 гл. I. Введем пространства Vo (Qe), V°(Qe), V(Qe) как попол-
пополнения С^° (Q ) по соответствующим нормам:
Лемма 33. Для любой и
ства
C.16)
C.17)
C.18)
(QE) справедливы неравен-
, C.19)
6 )||И||и..@«,
C'20)
241

Если и <= Уё (Q8), то Ф f-i-Л м е Яо (Q8). [Вложение Уо (Я8) с У0 (Q8)
компактно, Я1 (Q8, ГЕ) с У о (Q8).
Доказательство. Функция Ф(х/е) удовлетворяет уравнению
и граничному условию Ф(х/е) = О на dew. Умножая C.21) на Ф(х/е)иа,
где ы eCo°(Qe), и интегрируя по Qe, получим
Отсюда выводим, что
+— и2Ф2<
е2 J
Следовательно,
C-22)
Учитывая, что I у^Ф(д;/8)|2 =е-2|у|Ф(л;/{;)|а, отсюда получаем нера-
неравенство C.19). Неравенство C.20) вытекает из C.22), поскольку
|(Ф)|2<2(|Ф|2 Ф2!12)
Из C.20) следует, что если для фиксированного е и'-у-и по норме
У о (Я8) при /-*¦ оо, u'ea Со°(Я8), то {Ф(л;/е)м'} является последова-
последовательностью Коши в пространстве Яо (ЯЕ) и, следовательно, Ф (х/е) и'-у-
->да в Wj (Qe) при j-y-oo. Из сходимости и' к и в Уо (й8) [следует
сходимость Фи' к Фи в L2(Q8). Поэтому мф=да. Это означает, что
для любого ие Уо (й8), Ф(х/е)ue/fj (Q8).
Компактность вложения Уо (Q8) с У0 (Q8) при фиксированном е
доказывается аналогично компактности вложения У1 (со) с У0 (со) в лем-
лемме 3.1, а вложение Я1^8, ГЕ)сУ0 (QE) аналогично вложению ^(«)с:
с У^со). Лемма доказана.
242

Лемма 3.4. Предположим, что
<оо C.23)
для последовательности функций uEf=V0(Qe)- Тогда существуют
подпоследовательность &'-*-0 и функция и0еЯо(С), такие, что
11"о—«е'Н е' ->-0 яры е'->-0.
Доказательство. Заметим, что область Qe имеет вид Qf|
Песо, где со — гладкая область с 1-периодической структурой, удов-
удовлетворяющая условиям В1—ВЗ § 4 гл. I. В силу этих условий при
любом 6<60 (бо достаточно мало) существует гладкая область
собСГсо с 1-периодической структурой, такая, что сов удовлетворяет
условиям В1—ВЗ и 0<Ci6<p(jc, да>)<с2д для хедсое, си с2 не за-
зависящие от б постоянные.
Положим Ql = Qf\eti>6,T6e=dQf]dQe6, St=dQe6[]Q.
Легко видетьгчто Qac:Qd также является перфорированной об-
областью типа I, Еес:Г8.
Поскольку Ф(|)>0 в to, то из условия C.23) вытекает, что
где постоянная с6 не зависит от е; бе@, бо), причем ме(в
Ге). При фиксированном бе@, бо), пользуясь теоремой 4 3 гл. I,
построим продолжения Р%иг е Яо (Q) функций и* на область Q,
содержащую Q. Согласно теореме 4.3 гл. I из C 24) следует, что
В силу компактности вложения #о (Q) с: L2 (Q) выберем последователь-
последовательность е'->-0, такую, что
Р6г,ие'->-и6(х) слабо в ЯоЙ и сильно в L2(Q). C.25)
По теореме 4.3 гл. I usg^o(Q). Таким образом,
в)->О при е'->0.
Совершенно аналогично, при любом 6ie@, б) из последователь-
последовательности е' можем выбрать подпоследовательность е"->-0 и построить
функцию u6l e Яо (Q), такую, что
6i при е"->0.
Покажем, что и^^иь. Действительно,
»coe)- C-26)
243

Правая часть этого неравенства стремится к нулю при е"-*-0. По-
Полагая в следствии 1,7 гл. I /=1, 1|>е='ф=фЕ=ф=Мв1—и6, полу-
получим, что левая часть C.26) стремится к (mesQnwaI/2|l w«i—welk»(Q)-
Поэтому U(,1 — «e=0.
Таким образом, установлено, что существует функция ио =
=ивеЯо@), такая, что для любого бе @, 8о) имеет место схо-
сходимость
Н"е'-«о1Ь(9Пе'соб)-»-0 при в'-»-0. C.27)
Из неравенства C.19) и равномерной ограниченности по е норм
\\ue\\v\(QE) вытекает, что
sup
e
их ^ са < оо
и, значит,
sup t |ME|2dx<c3<oo, C.28)
Е
где постоянная с3 не зависит от е, б, если б<:б0 и б0 достаточно
мало, поскольку | V5<J>(|) \Ф0 на да>. Легко видеть, что
об'
"
C.29)
Поскольку Ф(^)=0 на дсо, то для любого о>0 в силу C.28) суще-
существует такое б, что II <ст/2 при всех г'. Пользуясь C.27), выбе-
выберем е° таким, что при всех е'<ео выполняется неравенство
1\ <ст/2. Отсюда вытекает сходимость к нулю левой части C.29)
при с'->0. Лемма доказана.
В качестве следствия из леммы 3.4 получим неравенство типа
•Фридрихса для функций из Vo (Q8).
Лемма 3.5. Для любой функции «еУо(?!Е) справедливо не-
неравенство
$() fv*"№ C>30)
где постоянная с не зависит от г.
244

Доказательство. Предположим противное. Тогда сущест-
существует последовательность е->-0, такая, что
2' "¦ " ' C.31)
SNf)
{3-32)
где а?->0 при е-И). Согласно лемме 3 4 найдутся последователь-
последовательность е'-^0 и функция Moe#J(Q), такие, что
'->0. C.33)
Пусть, как и в доказательстве леммы 3.4, Q*— подобласть об-
ласти Qe, бе @, бо) фиксировано и Реие— продолжение функции
ме с области Q& на область Q, содержащую Q. Поскольку
<D(x/e):>ce=const>0 при xeQe, где сб не зависит от е, то из тео-
теоремы 4 3 гл I и соотношений C.31) имеем
• ¦ г>б рг и _^*~ || _ g' и _^- /Q ОЛ\
|| Vjc* ?г^ II •?.*(?!) ^5 II ух IIг*/ ^'л ^^ 1 е'> V ^/
где постоянные с, С] не зависят от е. На основании C.25) можем
считать, что Р*'«Е' -> ы0 (х) счабо в Hi (Q) при е'->0.
Поэтому в сичу C.34) и C.31) мо= const e Hj(Q) и, значит, мо=
^0. Из C.33) вытекает, что \\иь' \\Vo{qe') ~^0 при е'-^-О. С дру-
другой стороны, ввиду C.31), C.32) || ме'||1/0(пЕ')->• 1 при е'->0. По-
Полученное противоречие устанавливает справедливость неравенст-
неравенства C.30). Лемма доказана.
Введем также пространство V^Q") как пополнение C°°(Qe) по
норме C.16). Рассмотрим следующую краевую задачу для урав-
уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической фор-
формой, которое является эллиптическим в области Qe и вырождает-
вырождается на части границы Se области Q":
(<№ (JL\ ft 1Х)\ в QE
I ') ' C.35)
"=¦* на Ге-
где /'е= У0 (QE), /^0, ... , л, ^eV'fQ8), оператор Мг имеет вид
C.7).
Обобщенным решением этой задачи называется функция
ме Vх (QE), такая, что м—1|> e Vi (Qe) и справедливо интегральное
тождество
ме («)=ф2 f-1) /° W+-TT (ф2
для любой tw e Fj (Q?).
245

Теорема 3.6. Существует единственное обобщенное решение
"'(Qe) задачи C.35), и для этого решения справедлива оценка
где постоянная с не зависит от е, /\ t|>.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 3 8 гл. I. При этом нужно воспользоваться теоремой 1.3
гл. I, взяв ^=F1(Qe), и неравенством Фридрихса C 30).
Далее нам понадобится принцип максимума для обобщенных
решений задачи C.35).
Лемма 3.7 (принцип максимума). Пусть и(х) является обоб~
щенным решением задачи
УИЕ<м) = 0 в Q?, м=г|) на ГЕ, C.37)
причем $е= У1 (QE)П С0 (Щ, \\!?\ <M = const. Тогда \и(х)\^М поч-
почти всюду в Q8.
Доказательство. Рассмотрим области 12б=ЙПе<»>б' по-
построенные при доказательстве леммы 3.4. Обозначим через v6 ре-
решение задачи Дирихле
Л1?(у6)=0 в Q?, v6=^ на dQl. C.38)
Поскольку функция Ф(|) обращается в нуль только в точках да,
то уравнение C.38) является эллиптическим и, значит,
xeQI. C.39)
Из интегрального тождества для решения задачи C.38) получаем
J
C.40)
для любой veH]0(Ql), где w6 = v6—ty^Hl
Положим v=wb и продолжим ее нулем на QE\Qe. Тогда из
C.40) при помощи неравенства Фридрихса C.30) устанавливаем,
что
тми*. C-41>
где постоянная с не зависит от б. Поскольку w^—O на QE\Qe, то
в силу C.41) при 6-*¦(). имеем последовательность функций
246

такую, что supHob'Li, ». < °°- В силу компактности вложения
Fo (fiE) с: V° (Qe) и слабой компактности шара в гильбертовом
пространстве существуют последовательность 8->-0 и функция
wo&Vl(Qe), такие, что
w6-+w0 слабо в Vl(Qe) и сильно в V° (QE). C.42)
При фиксированном ueCo°(QE) интегральное тождество
C.40) справедливо для всех достаточно малых б, так как Qlcz
с Qg,, если 8Х<6. Переходя в C.40) к пределу при 6->-0 и поль-
пользуясь единственностью решения задачи C 37), получим, что wu+
"+г|)=и, где и — решение задачи C.37). Легко видеть, что в силу
<3.42)
^ Ф2!о6— ы|2dx = Г \w6—мо\2ФЧх-+0 при в-»-0,
и, значит, || и—v6\\l'{G)-*-0 для любого открытого множества G,
такого, что (/c=Qe. Поэтому |м(х)|<:М, так как |об|^Л4. Лемма
доказана
Рассмотрим задачу
'®) в со,
N (?) 1-периодична по |, F' ^V° (а), /=0, ... , п.
Обобщенным решением этой задачи называется функция
Р1 (а), такая, что
С <&а™ М- 4= С [ф^А_ф^1 d| {3.44)
f1 Qp
Qf1<o Qpto
1
для любой TJJ e F1 (to).
Положим в теореме 1.3 гл. I Я= joe У (со), С
л возьмем в качестве билинейной формы а(ср, t|)) левую часть
C.44), а в качестве l(ty) — его правую часть. Тогда с помощью
оценки C 14) аналогично теореме 6.1 гл. I доказывается
Теорема 3 8. Предположим, что
J =0. C.45)
Qf1<o
Тогда существует единственное (с точностью до аддитивной по-
«247

стоянной) обобщенное решение задачи C.43) и для этого решения
справедлива оценка
п.
г=0
где у\ — некоторая постоянная, постоянная с не зависит от N, F1.
3.3. Усреднение эллиптического уравнения второго
порядка, вырождающегося на границе области
Определим теперь коэффициенты усредненного уравнения, со-
соответствующего задаче C.35). Обозначим через Nq{\), q=\, ...
..., п, решения задач
Ф2 О ahi (I) -A_ Nq (I) ) = - -А_ (akq
Qflto
Положим
C-47)
j ^^ ], C.48)
Qn<o
где
=( J Ф2©^)-1. C.49)
Покажем, что ap9ripri9 > с | л 12, c=const>0.
Исходя из C.47), нетрудно проверить, что apq имеют вид
(з.5О)
Поэтому aPq=aqp. Полагая w^=(Np + \p)'x\py получим в силу C.50)
Если при каком-то ri=^0 имеем apqr\Pr\q=§, то а;,,^ (¦р Ы1р
=const при почти всех ?eQf|(o. Отсюда в силу периодичности
Np(l) следует, что г)=0.
Положим b=Q f 02(Q6(Qd^. Таким образом, опре-
делен эллиптический оператор второго порядка с постоянными ко-
коэффициентами:
— Ьи. C.51)
248

Следующая теорема устанавливает близость решения краевой
задачи для оператора Ме к решению соответствующей краевой
задачи для усредненного оператора М. Введем обозначение
р=8 J Ф2(?)рШ4(Р = 6 в силу C.4)). C.52)
Теорема 3.9. Пусть иЕ, м°—решения задач
м («е)= —р (—) Ф2 (—) f* в Qe, «e e Vl (Q% ' C.53)
М (и°)= — р/° в Q, и0 е= Я^ (Q), C.54)
причем f е С2 (Q), /8 е У0 (Qe). Гог^а имеют место оценки
-**•* г и гО и г и гВ гО и 1 /о г*с\
v»(aE) ^=clell/ 1'с»(й) ~г "' —' Н^Чп8) J» (<э.оо;
<^* /-I Гр1/2 II fO l| _ —L || f f^ || _ "I
-ч "^^ 1 l Ч ' 4C*fD^ II / / 4V0(Q) •»'
XJ l/1(QB) C.56)
где постоянные с, С\ не зависят от е.
Доказательство. Положим
JL)^. 0 C.57)
е / axj
где чеГ(УЕ) и является решением задачи
Me(i))=0 в Qe, v=nN,(-l-\— на Г.. C.58)
Таким образом, функция й принадлежит пространству
Vo (ЙЕ). Применяя оператор Ме к функции ие—п, аналогично
соотношениям A.16) гл. II получим следующие равенства, кото-
которые понимаются в смысле теории обобщенных функций:
dxh
dxj дхн
аГ~ ^"° лчг ди°
dxh \ m dxk nn dxk
а^А [шаАЯ\" a^ft a^s ' "'s dxkdxs Л""" ' """ "' ex/
=MB (м?)—Ф2М (ы°) + Ф2 (Ь—Ь) и0—с
9 Зак. 269 249

-8
дх^ \ dxkdxs j dxj
dxk dxh "" dxh dxk
рФ2 (/°—f) + (p — p) Ф2/0 + Ф2 (p ~b)u°
Определим функции Л^Р9(^), S(g) и /?(|) как 1-периодические ре-
решения следующих краевых задач:
= (ft(|)—Ь)Ф2 в (о, Be V1 (со);
-JL (Ф2аг, JL./?j =(p(|)_p)ф* в ш, /?е V1 И,
k, h — 1, ... , п.
Эти задачи разрешимы, так как согласно C.48), C.49), C.52) при-
применима теорема 3.8.
Таким образом,
_/е)+
dxkdxh
250

Отсюда следует, что и"—п удовлетворяет уравнению
Ме(ие—и)=еФ*Р° +г-$-(<&?)+ pQ>2(f°—fe), C.59)
где
dxhdxhdXi hH dxhdxhdx
efc ' ' " all ' " «I
В силу периодичности функций R, В, Nhk, N5 имеем
i=0
Отсюда по теореме 3.6 при ч|з=О заключаем, что
" "е~" П^(йе) < ci Iе< II f° "ей) + II"° "eta)) +11^-/° llvdi»)!' C-6°)
где постоянные с2, с3 не зависят от е.
Поскольку й имеет вид C.57), то для доказательства C.55),
{3.56) осталось проверить, что
||«°11счй), C.61)
где постоянные Сг, Сз не зависят от е.
Доказательство оценки C.61) опирается на принцип максиму-
максимума для решения задачи C.58), установленный в лемме 3.7. Пока-
Покажем, что функции Nj(x/e), /=1, ..., п, непрерывны в Q" и ограни-
ограничены постоянной, не зависящей от е.
о
Как следует из леммы 3.1, Ф(|)Л^(|)ef(io). Поскольку N4
является решением задачи C.47), то
дФ
д I дФ\ d(ONt) дФ _
'Г'^Г) огГ~ аы оь ~
9* 251

о
Следовательно, функция ФЛ^=а)е№((о) удовлетворяет уравне-
уравнению
д I ,у, dw \ , А даъа о дФ
(ahi (I) —-
так как Фт^О в со. В силу гладкости решений эллиптических крае-
краевых задач и предположений относительно гладкости со и а^,
w(l) — гладкая функция в со. Кроме того, w=0 на да. Поскольку
Ф(|) имеет нуль первого порядка на <?со, то Nq=w/<$> непрерывна
в со.
Таким образом, по лемме 3.7 имеем М^с4еП«° !1счй> • и- зна"
чит, справедлива оценка C.61).
Докажем оценку C.62). Пусть <(ЛХ) — срезающая функция,
определенная непосредственно после формулы A.23) гл. II. Поло-
Поло(
жим Ч'в=Фее^,(—)— • Тогда
• г I dx
Легко видеть, что
dxs
дх;
дх;
dxs
дх/ дх$
дх/дх$
Учитывая гладкость «° и периодичность Ns, отсюда получаем, что
где постоянная Сь не зависит от е. Пользуясь интегральным тож-
тождеством для v—W,,, получим оценку C.62). Теорема доказана.
3.4. Усреднение собственных значений и собствен-
собственных функций задачи Дирихле в перфорированной
области
Рассмотрим теперь вопрос об отклонении собственных значе-
значений и собственных функций задач
C.63)
o<4<^<
0_ <-i ..*. T-
C.64)
где постоянная р задана равенством Р — ( \
252
-1

Теорема 3.10. Пусть hi и к*— k-e собственные значения за-
задач C.63) и C.64) соответственно. Тогда
Ь Ь л
где постоянная Ck не зависит от е.
Если кратность собственного значения Яо=А,о равна m, m. е,
1+1 л 1+т
¦О = . . . —Ло <^
и vo(x) — собственная функция задачи C.64), соответствующая
собственному значению Ко, \\v0 ||l*(q)= 1, то при всех 8^@, 1)' су-
ществует функция v% такая, что \\ve—t>0 Нуо(Ие) ^М/е, M;=const
и не зависит от е, v0; v" — линейная комбинация собственных фун-
функций задачи C.63), отвечающих собственным значениям К1^1, ....
Доказательство. Применим абстрактную схему, изложен-
изложенную в § 1 гл. III. Обозначим через Ж пространство V°(Qe) со ска-
скалярным произведением
QE
Через Жо обозначим пространство L2(Q) со скалярным произведе-
произведением
и положим Т=Жй.
Обозначим через Re оператор ограничения функции u^L2(Q) на
область Qe.
Проверим выполнение соотношения A.12). Имеем согласно
лемме 1.6 гл. I и равенствам C.49), C.52)
С|и°Гр(—)Ф2 (—)dx-»-C |u°|zdx=
QB Q
=e-'fe |u°i2dx=e-1(U°, u
при
Таким образом, условие Cl § 1 выполнено.
Введем операторы Л^.Жг-^Шг, Л0:Жй-^Ж0, полагая ^8/Ё=ив,
s?of°=u°, где иЕ и и0 — решения задач C.53) и C.54) соответст-
соответственно. Пользуясь интегральным тождеством, устанавливаем, что
эти операторы являются положительными и самосопряженными.
Компактность s?E и Мо вытекает из компактности вложений
Vl (Q?) с V° (Q?) и Н10 (Q) с I? (п) соответственно. Равномерная по
253

е ограниченность норм операторов Мг есть следствие оценки
C.36). Поэтому условие С2 § 1 также имеет место.
Справедливость условия СЗ обеспечивается оценкой C.55) тео-
теоремы 3.9 и плотностью функций из Cl{Q) в L2(Q).
Проверим выполнение условия С4. Если sup||/?|| < оо, то со-
согласно оценке C.36) sup ||o€e/ellv«(ne) <^ °°> и> значит, по лемме
3.4 существуют подпоследовательность е' и функция ш°
c:L2(Q), для которых имеет место сходимость A.14).
Собственные функции задачи C.64) являются гладкими, поэто-
поэтому для любой и* согласно оценке C.55) имеем
Меед—Яв«^1жв < che.
Поскольку собственные значения задач C.63), C.64) и A.19),
A.20) связаны соотношениями B.11), то справедливость утверж-
утверждения теоремы 3.10 вытекает непосредственно из теорем 1.9, 1.12.
Исходя из доказанных результатов, можем сравнить собствен-
собственные значения и собственные функции задач C.3), C.63), C.64).
Легко видеть, что справедлива
Теорема 3.11. Пусть Ле, Хе, ко—k-e собственные значения
задач C.3), C.63), C.64) соответственно. Тогда
где Ло—\=е собственное значение задачи C.4), постоянная
не зависит от е.
Если кратность собственного значения A,0=A,q+1 равна m
и vo(x) — собственная функция задачи C.64), соответствующая
собственному значению к0, ||ио1кгш) = 1» то существует функция
U% такая, что
где постоянная М\ не зависит от е, v0, и IIе является линейной
комбинацией собственных функций задачи C.3), отвечающих соб-
собственным значениям Af+1, .... л1+т.

§ 4. ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В ОБЛАСТИ С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ
ГРАНИЦЕЙ
4.1. Оценки решений
Пусть Q — односвязная ограниченная область в R2 с гладкой
границей dQ и s — натуральный параметр, т. е. длина кривой dQ,
отсчитываемая от фиксированной точки на dQ. Будем считать, что
s меняется от 0 до 1. В окрестности dQ введем координаты (s, t),
где t — расстояние от данной точки до кривой dQ по нормали к
dQ, проходящей через эту точку.
Рассмотрим область QtR2, содержащую Q и ограниченную
кривой:
dQ8=J(s, O
где е=1/т, т>0 — целое число, ¦§(%) — 1-периодическая гладкая
функция, leR1, i|)(!)>0. Таким образом, при малых е область Qe
имеет быстро осциллирующую границу.
Пусть & (и)= (flj/W—— )— эллиптический опера-
dxt \ дх) I
тор второго порядка, ац(х) — гладкие функции в R2,
ait=aiu aj/
х0=const > 0, т| е R2.
Через а (и) на dQ или на dQe обозначается конормальная произ-
производная а(и)=ац——V/, где v=(vx, v2) — единичный вектор внеш-
dxt
ней нормали к границе существующей области.
Рассмотрим краевые задачи
E = -f в Q8, feLa(Qe), | DЛ)
+ а(х)ие=0 на dQe, ]
а(ио) + Та{х)и=О на dQ, J
i
где Г = С A + [¦»!?'(s)|2I/2ds, a(x)—гладкая функция в R2, а
= const >0.
Наша цель — оценить разность решений задач D.1) и D.2)
через правые части /°, f' и далее на основе полученной оценки и
результатов, изложенных в § 1.2, установить близость собствен-
255

ных значений и собственных функций операторов, соответствую-
соответствующих задачам D.1), D.2).
Положим
ае (и, v)= Гаи (х) -?- JE- dx + Г а (х)uvdse,
J axi ox) J
a0 («, v)= f ai/ (л;) —- -^- dx + С Та (х) uvds,
J dxt dxj J
a da
где dse — элемент длины дуги dQe.
Обобщенные решения задач D.1) и D.2) определяются как
функции u'^.Hl(Q'), «"еЯ^О), удовлетворяющие соответствен-
соответственно интегральным тождествам
ае (ие, v) =(/e, v)L.(Q*h a0 (u\ w)=(f\ w)LHQ)
для любых иеЯ (Q?), ()
Теорема 4.1. Пусть и', и0 — обобщенные решения задач
D.1), D.2) соответственно. Тогда имеет место оценка
П«е-«°Пячш <с [е1/2 ||/0|k'(Q) + e1/2 If |Ь(а\й) + ll/8-f0lb(Q>]. D-3)
где постоянная с не зависит от е, f°, f'.
Приведем вначале некоторые вспомогательные результаты, ко-
которые будут использованы при доказательстве этой теоремы.
Заметим, что существование, единственность и равномерные
по е оценки в Hl(Q') решений задачи D.1) через ||/eIU«(Qe) выте-
вытекают из теоремы 1.3 гл. I и следующей леммы.
Лемма 4.2. Существует постоянная М, не зависящая от е а
такая, что для любой и^Н1 (Q") выполняется неравенство
ав(и,и)>М\\и\\2тое). D-4)
Доказательство. В силу ограниченности Qe существует не
зависящая от е постоянная Ь, такая, что 1^2—еДС1^2при всех
x<=Qe. Положим и=B—ebXi)v. Тогда
Г lv«l2d*= С
2B—e^fdx+ f
Qe Q8
f [6aB— ^.)eftjCl—We^xPdx— С b{2—eb^)
q8 ne
—dx= \ I
256

Поэтому
$b*B—ebx>)ebx*v2dx^ f \yu\2dx + f b{2 — ebx^) e^v^ds^
Qe Qe dQB
Отсюда и из условий на а<7(я), а(х), b вытекает неравенство
D 4). Лемма доказана.
Обозначим через Ge б-окрестность д?1, а через Q<4) — б-окрест-
ность области Q. В приграничных координатах (s, ^ имеем
G6={(s, t):0<s<l, -6<^<6}, Q(e)=QUGe.
Считаем параметр е настолько малым, что при е ^ е„ имеем 0 <
<e\|5(s/e)<6/2. Поэтому дпгdG6/2.
Лемма 4.3. Для любой v^W(Q') существует продолжение
H^)), такое, что справедливо неравенство
\v\\H4Qey D.5)
Кроме того, имеет место оценка
где постоянные с0, С\ не зависят от г, v.
Доказательство, Функция v определена на множестве
Gtf\Q'. Продолжим ее на Ge следующим образом. В Ge перейдем
от координат s, t к координатам s'=s, f=t—e\|j(s/e). В перемен-
переменных s', f множества GidQ', GsXQ" имеют вид
О
},
(G6\Qe)'={(s', /'):
Положим
w(s',t')=v(s(s',t'), t(s',t'))=v(s,t) при
Согласно утверждению 2 теоремы 1.2 гл. [I функцию w(s', t') можно
продолжить с множества {(s't t')\ O^s'^ 1, —26^r^0}^G0Ha
множество "S^{(s', t'): O^s' ^ 1, —26 ^^'^26} до 1-периодичес-
1-периодической no s' функции Pw из Н1 (G), такой, что справедлива оценка
|№аI1№E'):^с||а>||//1@()), где с не зависит от w. Полагая (Ptv)(s, t) =
=v(s, t) при (s, f)e Q?, (PEv)(s, t)=Pw(s, t—ei|j(s/e)) при e\fi(s/e)^
^ t ^ б, получаем искомое продолжение.
Докажем оценку D.6). Множество Qe\Q лежит в б-окрестно-
сти dQ, б имеет порядок е. Поэтому, применяя лемму 1.5 гл. I к
области Q(a)\Q, получим
Лемма доказана.
25Г

Лемма 4.4. Пусть y{i\) — гладкая {-периодическая функция
R\ [y(r\)dr\=O. Тогда для любых ue#2(Q), v^Hl(Q) cnpa-
о
ведлива оценка
D.7)
где постоянная с не зависит от е, и, v.
Доказательство этой леммы совершенно аналогично до-
доказательству леммы 2.9 гл. II. При этом на Qj нужно взять об-
область G={(s, 0-'0<5<1» —6<^<0} и вместо множеств о™ рас-
рассмотреть множества Om={(s, t):t=O, в(т—l)<s<em}, m—\, ...
.... е-1.
Доказательство теоремы 4.1. Считаем, что функция
и0 продолжена в область Q(fl) так, что
(Н
-
ВОЗМОЖНОСТЬ такого продолжения обеспечивается гладкостью
Запишем интегральные тождества для и", и0:
au*vds
= \fvdx,
- <>xj dxi
й8 даЕ пЕ
Г аи ——— dx + Г TmPvds = f f °vdx
J dxj dxi J J
Q dQ Q
при v=ul—и0. Вычитая из первого равенства второе, получаем
ae(u?—u°,v) = — f au°vdse+ С
- f at/^—p-dx+[(r-nvdx+ С fvdx. D.8)
J dxj dxt J J
E
nE\fi
Переходя от координат х к s, t в б-окрестности dQ и полагая
имеем
С au°vdsB— f rau°yds = Cg- ('—j a> (s, ег|з ^-1-\ \ ds —
8 до о
ас8 до
258

- Г Tw(s, 0) ds= f (g (-Ц — Г) w(s,- 0)ds +
о о
Применяя лемму 4.4 в случае u=a(s, t)u°(s, t), v=v(s, t), y(r\) =
=g(il)—Г, получаем
I^Ka^lHlfl^ailNfl'ti,). D.Ю)
Легко видеть, что
= J
Поэтому
eq>(s/e)
"¦'<|i I «(t
о о
||«°Нячяе\я) 1|о1!я'(ов\р).
В силу оценки D.6) имеем ||"°||ячоЕ\о) ^ с2е1/2 ||"°||н«(ае). Следова-
Следовательно,
|/2!<с3е1/2||а0||Я2(й)||У||я1(авча). D.11)
Таким образом, из D.9)—D.11) получаем
J au°vdsE- J raa<Ws | < с/12 ||и»||„,@) Н^Цямп8). D.12)
Оценим оставшиеся члены в правой части равенства D.8). Поль-
Пользуясь оценкой D.6), находим
J
J
ое\я
[е1/2 ||а°||я
D-13)
259

Из D.8) согласно лемме 4.2, учитывая D.12), D,13), выводим
Отсюда следует оценка D.3). Теорема доказана, ~~--
4.2. Оценка собственных значений и собственных
функций
Рассмотрим следующие спектральные задачи:
$ (иЧ) + ХкЕи1=0 в Й8, и\ е Я1 (О8),
а (*4) + а (х) «е = 0 на dQ8,
| ueuEdx=8ht, 0<Яе^Яе^ ...;
J? («о)+ 4«o=O в й, «о^ЯЧЙ),
D.14)
ио^0 на
D.15)
где собственные значения, как и в § 2, занумерованы в порядке
неубывания и с учетом кратности.
Для исследования близости Яе, %о применим общую схему, из-
изложенную в п. 1,2.
Положим 2ee=L2(Q°), 3%0=L2(Q)=T,
(и, 0)*е=(и, v
Определим оператор Re'L2(Q)->L2(Qe), полагая RJ=f(x) при ^е
eQ, Ref=O при xeQe\Q. Очевидно, что условие С1 выполнено
при y=1-
Введем операторы Лъ: 5^Е-> Я?е, о^0: Жй-^Ш^ полагая JtJE=i?,
t>^0f0 = u0, где и8, ы°—решения задач D.1), D,2) соответственно. Лег-
Легко убедиться в том, что «s^E, «s?0 — положительные самосопряжен-
самосопряженные компактные операторы, причем нормы ||^е|| ограничены по-
постоянной, не зависящей от е, в силу леммы 4.2.
Докажем справедливость условия СЗ. Пусть /°eL2(Q). Тогда
MeR4°=u° — решение задачи D.1) при /'=/° в Й, /е=0 в ЙВ\Й.
Очевидно, что
Первое слагаемое в правой части этого равенства стремится к ну-
нулю при е->0 в силу оценки D.3), а второе слагаемое стремится к
260

жулю, поскольку Н"8Нячйе) ограничены постоянной, не завися-
зависящей от е, и mes Qe\Q->0 при е->0.
Покажем теперь, что условие С4 также имеет место. Пусть
\\П\тав) < °°- ТогДа sup|iu8||№(n8)<oo, tiz=Jlf. Рассмотрим
г г
продолжения Реие е Я1 (Q(e)) функций иЕ, построенные в лемме 4.3.
В силу компактности вложения Н1 (QF>) с: L2 (Q(j)) существуют U е
^ Н1 (QF>) и подпоследовательность е' -> 0, такие, что
!|Pe,a«'-t/|UMQ(e))-^O при e'-vO. D.16)
Тогда
Отсюда, из D.16) и леммы 1.5 гл. I следует С4.
Таким образом, мы установили выполнение условий С1—С4
§ 1 и можем применить теоремы 1.9, 1.12 для оценки близости соб-
собственных значений и собственных функций задач D.1), D.2) точно
так же, как это было сделано в § 2 для краевых задач теории
упругости.
Теорема 4,5. Пусть Хв, Хо — к-е собственные значения за-
задач D.14), D.15) соответственно. Тогда
где постоянные Си не зависят от е
Ьсли кратность собственного значения Хо = а0 равна пг, т. е.
^о< ho = ... =Хо+т <iX , Х0=0, и и0— собственная функция
задачи D.15), соответствующая Хо, !luolk2(n)==l> то существует
последовательность {иг}, такая, что
где Mi — постоянная, не зависящая от е, и0; пг — линейная ком-
комбинация собственных функций задачи D.14), отвечающих собст-
собственным значениям Хе , ... , Х^1".
Замечание 4.6. Случай -ф(т])>0, т. e. Qc:Qe, рассмотрен
лишь ради простоты. Аналогично, проведя несколько более слож-
сложные вычисления, можно доказать теоремы о близости решений и
собственных значений задач D,14), D 15), если ^(ц) знакопере-
менна
Замечание 4.7. Построив пограничные слои, можно также
получить оценки отклонения решений задач D 1), D 2) порядка е.
Замеч-ание 4.8. Методы, использованные в этом параграфе,
применимы и в случае п независимых переменных, когда граница
дп в локальных координатах имеет вид {х:хп—^{х)}, а граница
имеет вид \x:xn=^i(x) + eg(x)(p [ — ) 1> где х=(хи ...,
261

хп-\) пробегает ограниченное открытое множество GcrR" ,g(x)^
е Co°(G), ф (rj) = 1 - периодическая по г\ гладкая функция.
Замечание 4.9. Аналогичная задача может быть рассмот-
рассмотрена для системы теории упругости.
Основные результаты этого параграфа другим путем получены
в работе [4] (см. также [91]).
§ б. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТЕЛ .
С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ МАССАМИ
5.1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора Ла-
Лапласа с граничными условиями Дирихле и с плотностью, постоян-
постоянной всюду в области QcR", n>3, кроме малой окрестности неко-
некоторой ее внутренней точки О. Предполагаем, что точка О являет-
является началом координат в Rn, Q — ограниченная гладкая область.
Пусть задача на собственные значения имеет вид
EД>
«* = 0 на дп.
«
=bh!, о <
где е>0, Х'е занумерованы в неубывающем порядке и с учетом
кратности, %(|) — ограниченная измеримая функция, %(^)>М—
=const>0, если |eG, х(^)=0 при \&G, G — открытое множест-
множество положительной меры, такое, что GaQ, 0^G.
Изучим поведение собственных значений и собственных функ-
функций задачи E.1) при е->0, «>3 и различных действительных т.
Возможны три качественно различных случая.
1) —оо<т<2. При таком т собственное значение задачи E.1) с
номером k стремится при е-»-0 к k-щ собственному значению за-
задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области Q.
2) т>2. В этом случае Хее2~т, где Хъ — k-e собственное значе-
значение задачи E.1), стремится к й-му собственному значению задачи
для оператора Лапласа в R" вида
Asu*=-Agx(g)"Me:.Rn, !IVi«felkwn) < »¦ E.2)-
3) m=2. Множество предельных при е->0 точек спектра задачи
E.1) состоит из точек спектра задачи Дирихле для оператора Ла-
Лапласа в области Q и точек спектра задачи E.2).
262

Поведение собственных значений задачи E.1) будет изучено
на основе общей схемы, описанной в § 1 гл. III. Для этого при
каждом т нужно подходящим образом ввести пространства
Mo* ЯРЕ, V, операторы и40, <Ле, Re и проверить выполнение усло-
условий С1—С4 J
Задача о собственных колебаниях тел с присоединенными мас-
массами другими методами изучалась в работах [146; 133- 67—69- 83-
14—18] (см. также [147; 97; 96]). ' ' '
Нам потребуются следующие вспомогательные сведения.
Для любой ug Co°(R") (п^З) справедливо неравенство Харди
J \и(х)\* \x\-2dx^c J |v,«№ E.3)
R" R"
где постоянная с не зависит от и (см. [45; 47]).
Лемма 5.1. Пусть п>3. Тогда для любой
lim е-2 f \u\2dx=0 E.4)
8-+0 «I
8-+0
eG
и справедливо неравенство
J |u|2dx<ce2 J \yxu\2dx, <5.5)
G
EG Q
где постоянная с не зависит от г, и\ множества G, Q те же, что
и в E.1).
Доказательство. Оценка E.5) вытекает непосредственно
из неравенства Харди. Установим соотношение E.4).
Для любого 8>0 рассмотрим функцию v6^C™(Q), такую, что
с1/2\\и—Уб||я1(й)< б, где с—постоянная в неравенстве E.5).
Тогда, пользуясь оценкой E 5) для и—v6, имеем
eG eG eG
Поскольку п>2, отсюда следует сходимость E.4). Лемма дока-*
зана.
Лемма 5.2 Пусть и" (х) — решение задачи
uE€=Hl0(Q), а, Ре [0,1], т>—оо, п>3.
263

Тогда имеет место оценка
f(\ l, E.6)
где постоянная с не зависит от а, 6, пг.
Доказательство. Из интегрального тождества, учитывая
E.5) и неравенство Фридрихса, получаем
Q Я EG
(j)j)J
Я Q еО
X
eG
((J)J)
eG Q
Отсюда вытекает неравенство E.6). Лемма доказана.
5.2. Случай — оо<т<2, я>3
Обозначим через Ж и Жо пространство L2(Q) со скалярным
произведением
(Г, g%e=J (l+e-X(-f-)) rgedx, E.7>
соответственно. В качестве У возьмем пространство Яо(й). Поло-
Положим /?е/°=/° для любой /°е^0. Если /°eF, то
Q
-»"(/*,/°)ж. при
в силу леммы 5.1. Это означает, что справедливо условие С1 при
Обозначим через Ле:Же-*-Же оператор, ставящий в соответ-
соответствие функции fe5?B решение wE задачи Дирихле
BQ, /еЯо(Q). E.9>

Через <Ао:Жо-*-Жо обозначим оператор, переводящий /°&9#о в
решение и° задачи Дирихле
Дяио= _/о до в Q> „о е= Я1 (Q) E.10>-
Легко проверить, что операторы j^t и s?0 являются положи-
положительными компактными и самосопряженными в пространствах Зё,
и Жо соответственно. Неравенство sup ||о€81Ы(же)< °° следует из
E.6), поскольку при т<2 в силу E.5), E.6) и неравенства Фрид-
рихса
f (l+e-m%) \u*\2dx^c JA 4-е—25С) |we|adx<
h a
х) \tfdx.
Таким образом, условие С2 имеет место.
Докажем выполнение условия СЗ. Пусть /0е5^0- Тогда
JlsRJ»=u\ RstAofo=u°,
где
Согласно лемме 5.2 при а=0 имеем
\ I ^i* (^ ^ / Q3C ^^- С 6 I Г I (XX» (О» X X/
j|VJ J ' v '
й EG
Пользуясь оценкой E.5) и неравенством Фридрихса, устанавли-
устанавливаем
f iv(w8—u°)
Отсюда и из E.11) заключаем, что
J \fo\*dx E.12)
eG
для любой foe5lo, где с3 — не зависящая от е и /° постоянная.
Если /° е Т = Я1 (й), то по лемме 5.1 при е-> 0 имеем
s" l|/°l|z.2(eG) —*" 0. Поэтому из E.12) в силу того, что т<2, следует
сходимость A.13).
26S

Докажем справедливость условия С4.
Если supHfHjw„<оо, то из E.6) вытекает, 4TO.sup||wE|| i ,<oo,
тде иъ—решение задачи E.9). Следовательно, существуют w°e Н\ (Q) =
= f и подпоследовательность е'-*-0, такие, что
ue'-*-w° слабо в #o(Q) и сильно в L?(Q). E.13)
Поэтому, пользуясь неравенством E.5), выводим
eG
Г \иЕ —иР\2йх-\-схг2~т f |v(«E—w»
где «е=^е/° и постоянная сх не зависит от е. Отсюда получаем
соотношение A.14), так как т<2 и имеет место сходимость
E.13).
Таким образом, условие С4 выполнено и, значит, можем при-
применить теоремы 1.9, 1.12.
Задача на собственные значения для оператора s4-u имеет вид
Awo= —А-оМо в Q,
UoUodx=Sht, 0 <. ..u ^; -.u ^ -,
Теорема 5.З. Пусть m<2, n^3 w Я-о, Хг являются собст-
собственными значениями задач E.14), E.1) соответственно. Тогда
iWKv 2 , E.15)
постоянная Ck не зависит от е.
Если кратность собственного значения %й задачи E.14) равна
г, т. е. Ло = А,о+1= •.. =А,0 , то для любой собственной функции
щ задачи E.14), соответствующей собственному значению Хо,
||«0||iJ(n)^l, существует линейная комбинация п' собственных
функций задачи E.1), соответствующих собственным значениям
АЕ+1, .... К1Е+Г, такая, что
266

г 2 , E.16).
где постоянная Ci не зависит от г и и0.
Доказательство. Как было показано, для операторов .s$t,
•s^o справедливы условия С1—С4, и поэтому имеют место теоремы
1.9, 1.12. Для вывода оценок E.15), E.16) из A.21), A.34) доста-
достаточно заметить, что \il=()?)~l, и-о^Яо) и, кроме того, любая
собственная функция оператора s4-u является гладкой, поэтому,
как следует из E.12) при |°е N (\>%, <Д>), имеем
5.3. Случай пг>2, я>3
Перейдем в задаче E.1) к переменным |=е-1х. Положим
л ft 2—m \k /-че „—1/-\
%ег =Ае, Q=e Q,
Тогда задачу E.1) можно переписать в виде
в Q8, 1>*<
E.18)
Изучим поведение собственных значений и собственных функций
этой задачи при е->-0.
Введем сначала оператор, спектр которого является предель-
предельным при е->-0 для собственных значений задач E.18).
Обозначим через Н пополнение пространства CoHR") по норме
\\и\\н= jJ(M2l?n2+!w!a)<*i- E-19)
В силу неравенства Харди E.3) для любой иеЯ имеем
НиНя^СоНУ^Н^цП). Поэтому норма E.19) в Н эквивалентна
норме IIV?«IIl«(r")-
Рассмотрим задачу
Д6и°=—х©/° в R", и»еЯ, /° е Li20C (R"). E.20)
267

Определим обобщенное решение задачи E.20) как функцию
#, удовлетворяющую интегральному тождеству
^- -^dl=[x(l)f°vdt Vi,б Я. E.21)
R" G
В силу теоремы 1.3 гл. I это обобщенное решение существует и
для него справедлива оценка
' 11«°11я<с||/°Ь@). E.22)
Это неравенство вытекает из E 21) при v=u° и неравенства
Харди.
* Определим пространство Шй в L2(G) со скалярным произве-
произведением
Всюду далее считаем, что функции из Шй продолжены нулем на
R"\G. Поэтому можем считать, что любая функция из Lioc(R"),
обращающаяся в нуль вне G, принадлежит пространству Жй.
Зададим оператор s4-q\Mq-^>-Mq, полагая s?of°=XG(I)u°, где
v,g — характеристическая функция множества G, w°e# — реше-
решение задачи E 20).
Покажем, что s&0 — положительный самосопряженный опера-
оператор. Действительно, пусть v#0/°=xG(i)«0, сА)?°=*о(?)у0. где и0 —
решение задачи E 20), at»0 — решение задачи E.20) при f°=g°.
Пользуясь интегральным тождеством E.21), получаем
Из этих равенств вытекают положительность и самосопряженность
оператора s?0. Докажем его компактность. Пусть sup ||/s IIjs? < °°,
s
/s=0 вне G. Пусть us — решения задач AE"S=—%(l)fs B R",
use#. По определению s^o]s=y,G (|) us. Из оценки E 22) и неравен-
неравенства Харди следует, что sup || us ||ячо,)< °° для любого ограничен-
s
ного измеримого множества Gu содержащего G. Поэтому сущест-
существует подпоследовательность s'->-0 и w°eL2(G), такие, что us'-*-u°
по норме L2(G) и, значит, с?0Г -*-нв(?,)и° по норме ,Жо при s'-*~0.
Рассмотрим задачу Дирихле
vj.23)
we е Я5 (QE), /е е= L2 (QE), a=const e [0, 1].
568

Лемма 5.4. Пусть m>2. Тогда для решения и' задачи E.23)'
¦справедлива оценка
I Vs«E12 dl<с J (агт + Х©) I/E12 а%, E.24)
пЕ п8
где постоянная с не зависит от е, а.
Доказательство. Из интегрального тождества для ые име-
¦ем
ne
Выбирая б достаточно малым и учитывая неравенства Харди и
Фридрихса, отсюда выводим E.24). Лемма доказана.
Определим пространство Ж, как L2(QE) со скалярным произ-
произведением
(Л Пя?Е
Через Rt:3eo-*~a@t обозначим оператор продолжения fQ^L2(G) ну-
нулем на Qe\G. Положим У—Зёо- Проверим, что выполнено усло-
условие С1.
Легко видеть, что
в
причем || RJ° ||дее-Ч1/° ||де0 при е-»-0.
Введем операторы Л& : S%e-+%B, полагая ЛаГ = иг, где ые—ре-
ые—решение задачи
А|Ые = — (ет + %(D) /8 в ^Е «Е е Я^ (QE). E.25)
Нетрудно показать, что ^е —' положительный самосопряженный
компактный оператор в Шг. Из оценки E.24) вытекает, что
sup llt^ell^j?.) < °°' поскольку в силу неравенств Харди и
С
Фридрихе а
'¦dl, m>2.
269

Докажем выполнение условия СЗ. Пусть /fteS?0. Тогда tAof° =
=xG(|)u°, где ы°—решение задачи E.20); Re<Aof° = «в > <ABRtf0=uef
где ыЕ является решением задачи
8 E-26>
Тогда
E.27>
Для ы°—иЕ имеем
А6(и°—и«)=втхо/0 в QE, и°—ие=и° на dQE. E.28)
Обозначим через we решение задачи
Д6ше=0 в QE, ^е=ы° на дпе. E.29)
Функция ы° является гармонической в Rn\G и и°еН, поэтому, как
известно [47; 124], при достаточно больших ||| имеем
\иЧт<с\\П)щв)№2~п. E.30)
Это неравенство вытекает из представления решения u°(Q в виде
«°(E)=CnJ/°(Ti)|g-Ti|2-T1dTi, Cn=const.
G
В силу принципа максимума
ItWOK qe'-Mi:/0 ||l.@), geQe. E.31)
Тогда>Е = ы°—ыЕ— ш8еЯо (QE),
Al^=e'"xfl(|)/0 в Q8.
Пользуясь леммой 5.4 при ые=а8, а=0, xG=X, ^^/V, a также
неравенствами Харди и Фридрихса, получаем
f e2|w0_wE_roE|2d|+ f |Ы° —Ые —ЮЕ|2
2^. E.32>
в
Из E.32) выводим, учитывая E.30), E.31), что
ет|ые—
270

§}\l $ em\ue—ы°—х
a
J
a\a q\g
-* + в»»-2 + e"H*-4j ц /о ||?,(G> + Cb8« J | ы
Q8V?
В силу E.30) имеем

Легко видеть, что
 Г MiS При П = 3;
J 2|1пе-Ч при п=4; E,33)
1 [ УИ3 при п > 4,
где постоянные Мх, М2, М3 не зависят от е. Поэтому
н oteRJ°-Reue0fo \\he <c Iе2"+*т~Уп1 и /° нЬ<о>. "E-34)
где 6
Y3=1» Y4=conste@, 1], Yn=0 при п>4. E,35)
Отсюда следует выполнение условия СЗ.
Проверим равномерную компактность операторов Л& (условие С4).
Пусть sup Il/Elljsfe< o°. Из неравенства E.24) и неравенства Харди
E.3) следует, что sup ||"Е||я«(<з1)< °°. где Qx—шар, содержащий G,
uB=tAJe- В силу компактности вложения Н1 (Qx) <= L? (Qx) существуют
подпоследовательность г'-*-0 и функция w, такие, что ||ыЕ'—wWmQ^f-*"
-»-0 при е'->-0. Полагая w°(Q=w(l) при ^eG, ш°(?)=() при %е
e^R" \ G, получим, что
|| и«'—ш°|Ь(О)-^0 при е'-^О. E.36)
Пользуясь неравенством Фридрихса, получаем
,= J((e')
J
о»'
a8'
271

= — Л& (|) ?/* в Rn, ?/* е= Я,
Первое слагаемое в правой части этого неравенства стремится
к нулю вследствие E.36), а второе стремится к нулю в силу
E.24). Это означает, что условие С4 также имеет место.
Аналогично теореме 5.3 на основе оценки E.34) и теорем 1.9,
1.12 устанавливается теорема об асимптотике собственных значе-
значений и собственных функций задачи E.18). Предельная задача на
собственные значения имеет вид
E.37).
Как следует из оценки E.34) и теоремы 1.9, для собственных,
значений задач E.18) и E.37) справедливы неравенства
| (Air1 -(Л^Г11 < ch (е«-2+e'-V/S), E.38>
где постоянная ск не зависит от е.
Из теоремы 1.12 вытекает, что для любой собственной функции
U задачи E.37), такой, что ] X(?)|t/|2d? = l, отвечающей собст-
в
венному значению Ло кратности г(Ло:=Ло+1 = ... :=Ло+г)> сущест-
существует последовательность V, такая, что
E.39>
где Vе — линейная комбинация собственных функций задачи1
E.18), отвечающих собственным значениям Ле+1, ..., Ag+r, при-
причем постоянная cs не зависит от е и V.
Таким образом, поскольку собственные значения и собствен-
собственные функции задач E.18) и E.1) при /п>2 связаны соотноше-
соотношениями E.17), доказана
Теорема 5.5. При /п>2, л^З собственные значения задачи
E.1) имеют вид
еде Pg^cfe(e"-2 + e(m~T«)/2), Л*— собственное значение задачи:
E.37), уп определено в E.35).
Для любой собственной функции U задачи E.37), такой, что
Щ/Х?/||i.«(G) —1, отвечающей собственному значению Ло кратности
г (Л0=Л0+1 = .. . =Ло+г), существует последовательность функ-
функций п"(х), являющихся линейными комбинациями собственных
функций задачи E.1), отвечающих собственным значениям
Я|+1, ..., Х|+г, такая, что для Ve(?)=uE(eE) имеет место оцен-
оценка E.39).
272

5.4. Случай m=2,
Рассмотрим задачу E.1) при т=2, гС^З. Асимптотика собст-
собственных значений этой задачи при е->-0 определяется собственными
значениями задач E.37) и E.14), точнее, собственными значени-
значениями следующей системы:
«о (*
Легко видеть, что мы имеем задачу на собственные значения
.в пространстве JeQ=L2(G) XL2(Q), элементами которого являются
пары функций (?/(?), и(х)) и скалярное произведение задано би-
билинейной формой
X (?
Введем оператор ^0: Жо-+Жо, соответствующий задаче E.40) и
переводящий элемент @A), и(х))^Жо в элемент (xo()V(l)
v(x)), где V(l-), v(x) являются решениями задач
Ve=H,
Axv(x) = -u(x), vesHl{Q),
где xG(?)— характеристическая функция множества G.
Нетрудно проверить, что .s#o — положительный, компактный
самосопряженный оператор в Жо.
Определим пространство Жг как L2(Q) со скалярным произве-
произведением E.7) при т=2. За ТаЖо возьмем пространство L2(G) x
Ъ
()
Пусть и<=3@0, U=(U{\), и(х)). Введем оператор
Mi с помощью равенства
Тогда
f,a
+ 2 C(l+e-2X)u(A;)8>-«/2t//—\ dx.
273,

Если (/ef, то u(x)e#o(Q). Поэтому по лемме 5.1 первый ин~
теграл в правой части последнего равенства стремится к
11ы1|?«(о). Очевидно, что второй интеграл при е^>-0 стремится
к ^ X(D| ?/(?)| 8d?, а третий интеграл стремится к нулю. Поэтому-
g _
IIRBU\\же~*~ ll^llJ?o для лю^ой О^Т и, значит, справедливо
условие С1.
Операторы Л^.Шъ-^Шг зададим равенством t4Je=ue, где и8
решение задачи E.9) при /п=2. Легко видеть, что «s?e —
положительные, компактные и самосопряженные. Если
SUP II f8 Н^е < °°» т0» как следует из леммы 5.2 при /п=2, имеем
<оо.
E.41)
Из неравенства Фридрихса и оценки E.5) заключаем, что
Поэтому в силу E.41) sup||ly^e||jj»(i%'e)<oo и, следовательно,
имеет место условие С2.
Докажем выполнение условия СЗ.
Пусть /°еЯГ0, /0=CP»©, Г(х)). Тогда «>У =(хеО?/(9, и(х)),
где
хи=—Ц°(х) в Q, и
E.42)
С другой стороны,
E.43)
Обозначим через и8 решение задачи Дирихле
AJtue=0 в Q, ов = е1-п/2?/(—] на дп.
274
E.44)

Так как ?/©—гармоническая функция вне G, то аналогично E.30)!
имеем
и, значит,
U (— ) I < се"-21| ?° ||i4G) при х е= dQ.
\ е )\
По принципу максимума отсюда следует, что
где постоянная сх не зависит от е. Функция We (x)=u(x) -\-е1-п/2х
(х \
— I—if является решением задачи
е /
(Y \ ! К \
ДЛ 1 *?1—/1/2W0 / •* \ о О П7е ^0 ня /Ю
е / \ е /
E.46)
Вычитая уравнение E.43) из E.46), получаем
)
(
E.47)
We—x
Применим лемму 5.2 при а=0, % ( — )
V е )
[ \ e-2|f> (x)|2
в
( —). Тогда
\ в /
e4 С е-«
E.48)
Учитывая E.42), E.43), имеем
-" W -e-^ (
275

Q\EJ
E.49>
При выводе последнего неравенства мы воспользовались оценка-
оценками E.5) и E.45). Поскольку ?/(?) — гармоническая функция
вне G, то, как показано в разделе 5.3,
п(в)||Ч»||Е.(е), E.50>
J
Q\eG
где а„(е) определяется соотношениями E.33).
Таким образом, из E.48)—E.50) выводим
\\L4tG) + е21| Ч» \\L.m +
E.51)
Если f°eT, то f еЯо(Й) и в силу леммы 5.1 первое слагае-
слагаемое в правой части E.51) стремится к нулю при е->-0. Поэтому
из E.51) следует, что справедливо условие СЗ, т. е. имеет место
соотнощение A.13).
Заметим, что если ty°(x) — гладкая функция, то из E.51) по-
получаем неравенство
IIUJtJP-RjAJ* \\Жя < сх [е2 + б"/*-» + ш\/2(е)]<c28B-v«)/2, E.52)
где постоянные с\, с2 не зависят от е, но зависят от /°, уп — то
же, что и в E.35).
Установим теперь выполнение условия С4. Пусть
Ахи°=—(l+e-4)fE в Q,
Axve=—fe в Q, аЕеЯо@),
А,.шЕ=— е-2%(—)/е в Q,
E.53)
), u*=u€Je,
В силу E.53), компактности вложений Я1 (Q)czL2(Q), ()
сгЯ^Й), а также оценки !!fe||H2(Q)^c!lf?!U!(Q) c постоянной с,
не зависящей от е (см. [10]), существуют подпоследовательность
е'->0 и функции и0, у°еЯо(Й), такие, что
иЕ'-+и° слабо в Яо(Й) и сильно в L2(Q),
ys'->y° сильно в Яо(Й)
при е'->0.
276
E.54)

Взяв в интегральном тождестве для W пробную функцию^
СЙ, получаем
I
dxt
cG
EG
Первый сомножитель в правой части этого неравенства ограничен-
равномерно по е, а второй стремится к нулю в силу соотношения
E.4). Поэтому шЕ< s= ие'—у?'->0 при е'->-0 слабо в Hol(tQ) и,,
значит, v°—uQ.
Функция №8(?)=8"/2~1дое(е?) является решением задачи
А^е О = —X © е"/2-1/8 (eg), WE ев Но (Qe),
причем S|e"/a-1f (eg)|sdg =e-2 f |/Е|2с(д;. Поэтому sup || W8||H< оо-
и существуют подпоследовательность е'
такие, что
И) и функция
W
слабо в Я и сильно в L2(Gi)
E.55)
для любого ограниченного измеримого GicrR". Очевидно, что мож-
можно считать последовательность е'->-0 в E.54), E.55) одной и
той же.
Обозначим через w° в условии С4 пару (хо(?)№(?), и°(х)).
Тогда, учитывая равенство ы?=уе + ше и пользуясь леммой 5.1 для
Vе—и0, получаем
J| ^ j|2 dx =
Vе—
A+е-2Х)|уе—ы°|2
= С \uE—u°\2dx+ СA+е-2Х)
Q\eG EG
Е—ы°|2с(д;+ С
G
/_|_\ Г
f
EG
J
eG
Переходя в этом неравенстве к пределу по подпоследователь-
подпоследовательности е'-Я) в силу E.54), E.55), получаем соотношение A.14).
277

Это означает, что справедливо условие С4, и мы можем приме-
применить теоремы 1.9, 1.12 для сравнения собственных значений и
собственных функций задач E.40), E.1) при /п=2.
Теорема 5.6. Пусть %е и Л*— собственные значения задач
E.1) и E.40) соответственно. Тогда
IXe-A*|<cfeeB-v«)/2, E.56)
где уп определено в E.35), постоянная Ck не зависит от е.
Если Л° — собственное значение задачи E.40) кратности г,
As+1 = ... = As+r=A° и ?/=(?/(?), u(x))— соответствующая ему
собственная функция, \\U\\^o = l, то при любом е существует
линейная комбинация п" собственных функций задачи E.1) при
т=2, отвечающих XSE+1, ..., Kl+r, такая, что
С (
/-М]|ыЕ—и(х)—е1-«/2хЛ—\ U (—
а
где постоянная Ms не зависит от е, п.
Отметим, что для получения неравенства E.56) из A.21)
мы воспользовались гладкостью собственных функций задачи Ди-
Дирихле для уравнения Лапласа и неравенством E.52).
Замечание 5.7. Аналогично могут быть рассмотрены случаи
n=2, meR1 и n=\, meR1. Другим путем эти задачи были рас-
рассмотрены в работах [67; 68; 133] и [83; 16—18].
§ 6. ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТИ С ОТВЕРСТИЯМИ
МАЛОЙ СУММАРНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ
И КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ ДИРИХЛЕ НА ГРАНИЦЕ
Пусть Q — область в R3 с гладкой границей, G0={x: |*
единичный шар в R3. Положим Qe=Q\ U (e3G0 + 2ez). Таким
zez3
образом, QE — область с шарообразными полостями радиуса е3,
расположенными периодически с периодом 2е.
Рассмотрим следующие краевые задачи:
FЛ)
веЯо(Й), ц=—л/2.} { '
Оценим разность ||ме—и|Ь(ое). Для этого, следуя [108], опре-
.делим вспомогательную функцию wt(x), x^R3, следующим обра-
.зрм: L
278

we (x)=0 на U (&3°о + 2ez),
zGZ»
w.(x) = l на R3\ U e(G0 + 2z),
zGZa
Да, =о в И (eG0\e3G0) + 2ez.
zgZa
Теорема 6.1. Для решений задач F.1), F.2) имеют место-
оценки
где С, a=const>0, С не зависит от е и f(x).
Доказательство. Нетрудно видеть, что в области eG0\
\e3G0 функция ше имеет вид we (x) = (г~1— е-3)/(е~1—е-3), где-
г(х) — расстояние от х до начала координат. Покажем, что
||ш8—1|Ыо?)<С0е2.: F.3>
где постоянная С0>0 не зависит от е. Имеем
!f/i 2 — 4- —
j \ ее
где постоянная С\ не зависит от е. Учитывая, что количество об-
областей вида (eGo\e3G°) + 2e2, 2eZ3, принадлежащих йе, пропор-
пропорционально е~3, получаем оценку F.3).
Принимая во внимание F.1), F.2), имеем
А (ы8—uwE) =/—Auwe—2 (\/ы, ушв)—ы Аш8 =
=/A — ше)—(Аше—|1)и + ц(а»в— 1)и—2(уи, V^e)^
F.4>
Равенство F.4) понимается в смысле обобщенных функций.
В силу F.3) и согласно оценке Шаудера
имеющей место для решения задачи F.2), где С2>0 не зависит
от и, получим
F-5)
114 Пя-1(Ое) < II К 1Ь<ае> < 82С4 || / ||са(-г F.6)
279

Оценим слагаемое At в норме пространства H~l(Qe) Имеем
lHtllw-i(a)< sup 2| J(v«, vK-
8 МГ1 u
<С5 sup!Dau[ ||а;в-1!Ь(Ов)<Св sup \Dau\e\
хеа, *еа.
|о|<2 |а|<2
-Используя оценку Шаудера, получаем
-\
Ия-\ре)<С'е2 11/НсЛаг F-7)
Для оценки величины 1И2||я-1(а) введем вспомогательную
функцию дг, которая в шаре eG0 является решением задачи
—A<7S=— 3 в eG0)
д\
= 8,
v — внешняя нормаль к edG0. Решение этой задачи определено
с точностью до постоянного слагаемого. Выберем это слагаемое
так, чтобы <7„=0 на edG0, и продолжим qt сначала нулем на куб
eQo={x :—8<*/<е, /=1, ..., л}, а затем на все пространство R3
по 2е — периодичности. Тогда q6= т ' — в e(G0 + 2z), ге Z3,
г(х) — расстояние от х до центра шара e(G0 + 2z) и
еб1 в
ZGZ'
где Х„=1 при лге U e(G0 + 2z) и Хе=0, если д:е U e(G0+2z),
ZGZJ ZGZ»
б|—б-функция, сосредоточенная на поверхности шара e(G0 + 2z),
ед{в„+2г)
В самом "деле, "полагая 7'е= \J e(G0 + 2z), имеем для любой ф?
^
R*
где
280
VI -
- внешняя нормаль
к
ЙГ?
dTt.

Поскольку Л<7в=3 в ТЕ, Aqe±=0 в R3\Te, -^=е, ?е=0 на дТя
имеем
(А<7е. Ч>)=3 |фЛс—е J q>dSc = CXe, Ф>_е ?(85, Ф).
те дТе *ez»
Таким образом,
zGZ'
С другой стороны,
dwF
где у8—обобщенная функция с носителем, принадлежащим множеству
И е3 (G0-j-2z), т. е. (уЕ, ^)=0, если ^eCo°(R3) и обращается в нуль
ez»
e _
на множестве (J e3(G0 + 2z). Конкретный вид -f для дальнейшего
не имеет значения.
Следовательно,
Поскольку среднее функции 3%Е + ц по кубу eQo равно нулю, ее
можно представить в виде
где fi(l) — некоторые ограниченные в R3 функции (см. лемму 1.8
гл. I).
Поскольку |V^8|^8, имеем
где <7?—равномерно по е ограниченные функции в R3.
Следовательно,
J0 Зак. 269 281

где |/i!|^C7, С7 не зависит от е. Тогда
1а, F.8>
Из неравенств F 5) —F.8) и оценки
имеющей место для решения задачи Ди«=/, ы^Яо'^е), получаем;
неравенство ||ие—куьи11 i ^ Се Ц/Ц^-j. Отсюда в силу F.3)
следуют неравенства теоремы 6.1. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь вопрос об отклонении собственных значе-
значений задач, отвечающих F 1), F.2).
Положим 3@,=L2(Qt), 3@o=Y=L2(Q). За Rt возьмем оператор
ограничения /eL2(S) на область й„. Определим операторы $&t,
зФа по формулам k-i]=—и«, stof = —и, где и\ и — решения задач:
F.1), F.2) соответственно. Пользуясь методами § 2.2 и теоремой
6.1, легко проверить, что выполняются условия С1—С4 § 1.2. По-
Поэтому, как и в § 2.2, можем применить теоремы 1.9 и 1.12 для
оценки отклонения собственных значений и собственных функций
задач:
Д* А&4=0 в ?, &offJ,]
F-9>
Ge
o = O в Q,
F.10>
где собственные значения Яе, Я* занумерованы в порядке неубы-
неубывания и с учетом кратности.
Теорема 6.2. Пусть Ке, № — k-e собственные значения за-
задач F.9), F.10) соответственно. Тогда
где постоянная c(k) не зависит от е.
Кроме того, если кратность собственного значения %1+1=К0 рав-
равна m, )J+l= ... =Х'^т, и «о — собственная функция F.10), соот-
соответствующая Ко, || «ollz.!(Q) = 1. то существует последовательность
{п,}, такая, что
282

еде Mi — постоянная, не зависящая от е, «о; пс — линейная ком-
комбинация собственных функций задачи F.9), отвечающих 1^1
л l+m
Л
Аналогично может быть изучен случай л^З, а также задача
такого рода для общих эллиптических уравнений второго порядка
и системы теории упругости, и случай, когда Go — произвольное
.открытое множество, такое, что Goc=Qo.
§ 7. УСРЕДНЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
Q л ^
Пусть J?ft=^ St при ft->oo и J?h, it, — обыкновенные дифферен-
дифференциальные операторы вида (8.32), (8.33) гл. II, для которых выпол-
выполнено условие N' § 8.1 гл. II. В настоящем параграфе также пред-
предполагаем, что
cff (х)=<й? U), 'а~м(х)='а~'">(х) G.1)
и что задачи
i?fc(«*)=/= на @, 1), «,еЯ?@, 1),
j?(«)=f на @, 1), иеЯ?@, 1)
однозначно разрешимы, причем выполнены оценки
«с постоянными с0, Си не зависящими от k, f. Эти условия означа-
означают, что в теореме 8.1 гл. II можно считать |л=0.
Рассмотрим задачи на собственные значения для операторов J?ft, ??:
$h{ulk)=%{ph{x)ulk на @, 1), ul&HZiO, 1),
?(ul)=klp(x)ul на @, 1), и'еНоФ, 1), J
с1 ^ G-3)
О < Я1 < Я2 < ..., \ и'и'р (х) йх^Ьц, I
6 i
агде ki, kl занумерованы в порядке неубывания и с учетом крат-
кратности. Предполагается также, что
pfc, ?еГ°@, 1); J (? 4)
IIP — Pftll/r-m,co((M)-*0 При fe-^OO, j
30* 283

где постоянные с2, сз не зависят от k, норма Н~т< °° определена?
в, § 9.2 гл. I.
Теорема 7.1. Пусть Kk, Я'— собственные значения задач^
G.2), G.3) соответственно. Тогда
I \1-Х \< с, (\h + ||рк-р||я_т..), G.5>
где постоянная ci не зависит от k, Ak определены формулой (8.37)
гл. II.
и — собственная функция задачи G.3), ||ы|к«=1, отве-
отвечающая К0, и кратность Х° равна г (ks+l = ... =Xs+r=Х°), то при
любом k существует функция пь такая, что
)< Cs (Aft+||pft — РНя-т,ос), Cs=COnst,
причем пи является линейной комбинацией собственных функции-
задачи G.2), отвечающих собственным значениям Л|+1, ..., Хр~\.
cs не зависит от k и и.
Доказательство этой теоремы основано на абстрактных
результатах, изложенных в § 1.2, и проводится совершенно ана-
аналогично доказательству теоремы 2.3. При этом за пространства
<5#о> {Жг=<%>\/к) нужно взять L2@, 1) со скалярным произведением.
J fgpdx, (] fgPhdxj соответственно, f}=^^0, /?E—тождествен-
0 0 ^
ный оператор, Jlofo=u0, где ы°—решение задачи Дирихле 5(ы°) =
= р7° на @, 1), и°еЯог(О, 1), tAhfk—uh< ГДе wft—решение задач»
Дирихле 3kuk = pkfk на 1@, 1), к4еЯ?@, 1).
В силу условий G.1) на коэффициенты операторов &k, 3?
операторы s&k, sJ-ъ удовлетворяют условиям С1—С4 § 1, и потому
к ним применимы теоремы 1.9, 1.12.
§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим теперь вопрос о построении полного асимптотиче-
асимптотического разложения собственных значений и собственных функций
задачи Штурма—Лиувилля [35]
дх
—\ >p0=const>0, Ь (—
284

Предположим, что а®, 6®, р®, аг1 (I), а' ® е Л*, где #*—
множество ограниченных непрерывных функций переменного ?(=
eR1, удовлетворяющих условиям:
1. Ж — кольцо функций, содержащее все константы;
2. для любой /ejjf существует постоянная Cf, такая, что функ-
х
ция g'(x)=§f(t)dt + CfX принадлежит К.
о
Приведем примеры колец, удовлетворяющих условиям 1 и 2.
I. Непрерывные периодические функции на R1 с периодом Т.
II. Непрерывные функции, представимые в виде М + ц>(х), где
M=const, |ф(д:) |<СлгA+ 1*1)-" для любого натурального N.
III. Функции, являющиеся ограничениями на прямую Xi=\itt
(t=l, ..., п) гладких 2я-периодических по Х\, ..., хп функций
F(xu ..., хп), где числа уц, ..., \хп удовлетворяют условию
п,|)~\ (8.2)
С>0, s>0 — постоянные, не зависящие от т\, ..., тп, rrij —
любые целые числа, т^+ ... +т„2?=0.
Очевидно, что для классов I, II условия 1 и 2 выполнены. Про-
Проверим, что класс III также удовлетворяет этим условиям. Для
этого разложим функцию F в ряд Фурье
F(xv ..., xj = JCme«m'*\ m={tnx, .... тп), (т, х) =
ТП 1=1
Ограничение этой функции на прямую Xi=\nt, t=l, .,., /г, равно
F(\iit, ..,, |^яО и имеет первообразную вида
со*+ У, ~-Мы'-х)> i*=(i*i. ¦••' ^)- (8-3>
- (т, ц)
Гладкость функции F и условие (8.2) обеспечивают сходимость
ряда (8.3) и, следовательно, выполнение условия 2.
Для построения асимптотики собственных значений и собствен-
собственных функций нам потребуются следующие вспомогательные ут-
утверждения.
Лемма 8.1. Для каждой fej существует предел
т
Hm-L \f(t)dt-=(f) = -ch
у
Доказательство. Согласно свойству 2 функция h(x)=
X
= J f(t)dt-\-2cfx принадлежит Ж и, следовательно, ограничена.
—X
285

Лемма 8.2. Пусть М{Ъ)^Ж и <СМ>=0. Тогда уравнение
d
имеет решение N(\), принадлежащее Ж и представимое в виде
N (9 = j" a~l (s) (J M(t)dt) ds—C \ or» (s) ds, (8.4)
об о
где постоянная С определяется по формуле
M(t)dt), (8,5)
При этом dN/dl также принадлежит Ж.
Доказательство. Поскольку <7И>=0, первообразная L(|)
функции Af('l) принадлежит Ж. Так как Ж — кольцо и a-1(g)e
ej, то L(g)a-'(|)eX. Первообразная функции L (|) а~1 (|) име-
имеет вид P(l) + <L(l)a-l{l)yi, где Р(^)еХ Первообразная функ-
функции а~1A) имеет вид Q (g) + <a-1 (g)>g, где С}^Ж. Подбирая мно-
множитель С согласно (8.5), получим, что линейные компоненты ин-
интегралов, входящих в (8.4), сократятся и iV(^)eX Лемма дока-
доказана.
Прямые вычисления показывают, что справедлива
Лемма 8.3. Краевая задача
^ на [0, 1], и@)=а, «A)=р,
где A=(nkJh, wo(x) =sinnkx, h>0, X, a, f$ — постоянные, разре~
шима, если
¦k=2nkh[{— l)fc+
При этом
x
u(x)=a cos nkx + f sinnk(x~y) [w (у) + хщ (у)] dy +С sin nkx,
J nkh
о
С=const.
Будем искать (пока формальное) асимптотическое разложение
собственного значения А*(е) и соответствующей ему собственной
функции uek(x) задачи (8.1) в виде (индекс k для упрощения
записи опускаем)
286

(8) =ко + гк1 (8) + ... +в«км(8), (8.6)
М i
^ (?V'S(|)^-), E=f. (8-7)
i^O s=0
где Л1^2 — целое число, Лг('-*>(?), ve(x) — подлежащие опреде-
определению функции, Я,(е) — некоторые числа. В дальнейшем считаем,
что функции jV(''s) определены для всех целых значений индексов
i, s, причем N^s)=0, если t<0 или s<0, а также iV(*>s>=0, если
s>i. Там, где пределы суммирования по индексам s, i не указа-
указаны, предполагаем, что суммирование проводится по всем тем ин-
индексам s, U при которых функция JV''-^ не равна нулю тождест-
тождественно.
Подставим выражения (8.6), (8.7) в уравнение (8.1). Получим
- (т) ^) +4(т) -«и+^'мр (f
м-2 г
i=l s=0
s r=0
где У7"(л;) есть сумма слагаемых вида e'm(E) —~, I<М + 2,
ф(|) ограничена.
Пусть iV@'0) = l, iV(ll0) = iVB>1) = 0 и функция JVA>1)(g) есть ре-
решение задачи
287

Существование iVA>1} вытекает из леммы 8.2.
Функцию iV'2'2)(|) определим как решение задачи
(iVB'2)(i)p(i)> = 0, iVB'2)efl\ (8.8)
где постоянная /i<2>2) задается формулой
^} (8.9)
Заметим, что правая часть уравнения (8.8) принадлежит классу
Ж в силу леммы 8.2. Далее определим функцию Л^B-°>(|) как ре-
решение задачи
(8.10)
<;vBiO)(Sp(i)>=o, ivB'0)etf,
где постоянная /iB>0) задана равенством
{2Л) С» 11)
Для значений индекса /, больших двух, определим функции
NV, *)(|) как решения задач
(a i
/=о
(8.12)
geR1, (iV(i+2's)p(|))=0, iVa+2|S)e^, 1=1 M—2,
где
rii's)) + (p)K, s=o,
Введем обозначения:
(8.13)
288

Функции ЛД''s) определим из (8.12) последовательно с помощью
индукции по i, s. При этом в качестве базиса возьмем функции
дг(о,о)) ^(i.o)^ JV(i.i)i iVB,o)) JVB.i)i ^B,2)_ заданные выше. Легко
видеть, что имеет место равенство
е
М-2 i+2
i=0
где Fle(x) имеет вид, аналогичный F°(x). Будем искать vR(x) в виде
ve (x) =v0 (x) + ev1(x) + ...+ em-2vm-2 (x).
Подставив это выражение для vt{x) в (8.14), получим
е
MS i i-p+2 i
(а (-) 4^-)+ь (-
\ \ е / dx ) \ ъ\
p+
j=0 p=0 s=0 p—0
Определим теперь vp(x), p=0, ..., M—2, как функции, удовлет-
удовлетворяющие уравнениям
i i-P+2 i
p=0 s=0 p=0
(8.15)
и краевым условиям
p=-0 s=0 p=0 s=0
г=0, 1 M—2. (8.16)
Перепишем равенства (8.15), (8.16), выделив в отдельные слага-
слагаемые члены, содержащие vu Для t==0
S ^)t'o=0. »о@)=е„A)=0. (8Л7>
При i = l,2, ... ,М—2 имеем краевые задачи
28»

i-1 i-p+2
i-1
p=0 s=0
p=l
p=0 s=0
<i.vs
(8Л9>
P=0 s=0
Считая найденными Я,о, • • • , h-x, v0, ... , i>,-_b iV@>0), ... , t
подберем теперь постоянную А;(е) так, чтобы задача (8.18), (8.19)
была разрешима. Пусть Яо=Яо* является k-ы собственным значе-
значением задачи (8.17). Тогда l0 = (p)~l((nkf h{2'2)—(b)). Положим
в лемме 8.3
h=h{2>2\ Л = (я/гJ/гB>2), wo=vo=smnkx,
г_1 г-р+2 г—1
w{х)=-S S "( ^^
р=0 s=2 р=1
^ [ (8'20)
p=0 s=0
(—1 i—p
л
p=0 s=0
Согласно лемме 8.3 получаем
(-iw'f
LA w
p=0 s=0
i—X i—p
[
V V
p=0 s—0
i—X i-p+2
i-1
s=0
ar
P=0 s=0
i-1 i-P+2
1-Х
p=0 s=0
p=0
, (8.21)
(8.22)
299

С помощью формул (8.21), (8.22), а также (8.18) — (8.20) можно
построить по индукции величины Я;(е) и функции vt(x), N{l+2's)>
если ранее определены Яо, ..., fa-\, v0, ..., fj-ь jV@'0>, -•¦ ,N{l+l's)-
Таким образом, мы построили формальное асимптотическое разло-
разложение собственного значения Я,*(е) задачи Штурма—Лиувилля
(8.1) и соответствующей ему собственной функции и*(х).
Замечание 8.4. Для Ai из равенства (8.21) получаем
-Мр>=2л/У1
B)
N{0)
ds ds
s=0
где t»oG/) =sinnky. Так как /гC'0)=/гC>2) = 0 в силу (8.13), то
^i=0 при любом k, если е~' — целое число и функция а(|) 1-пе-
риодична по |.
Отметим, что согласно § 7 гл. II операторы
сильно G-сходятся к оператору
Как доказано в § 7, для собственных значений задач (8.1), (8,17)
имеют место оценки
+ ||Ре(л:)-(р)!!я-1,сс), C=const, (8.24)
где
и по определению нормы в Н
Цн-i-00
~и°°
rnax
(8.25)
В силу предположений на коэффициенты уравнения (8.1) правая
часть неравенства (8.24) стремится к нулю при е->0. Из (8.24)
следует, что Я"->-Яо при е->-0 для любого п.
• С другой стороны, на основании леммы 1.1 гл. III, поскольку
формальное асимптотическое разложение удовлетворяет равен-
равенствам
291

(uiM) (x)) + КШ) (г) р -L) иГ (х) =гм~% (х),
где
||FE||L'(o.i)<co, i^o(e)| + |%(е)|<с1) с0, с1 = const,
dx \ \ г ) dx
получаем, что существует собственное значение К1(е) задачи (8.1), та-
такое, что |А/(е) — кШ)(е)\ ^.сем~1. В самом деле, пусть tye(x)—глад-
tye(x)—гладкая функция, такая, что J?e(tys(x))=0 на @, 1), 1|)8@)=г|зо(е), г()ЕA) =
=:'ф1(е). Тогда |^e(a:)! <jcz, где с2 не зависит от е, в силу принципа
максимума. Поэтому к функции и^Цх) — eMtyE(x) и оператору Ае,
действующему в пространстве L2@, 1) со скалярным произведением
я / X \
(и, v) = \ р — uvdx и заданному формулой Ле/=«е, где ие—реше-
J \ & I *
о
ние задачи
=_p(JL)f „а @, 1), и^Н'оф, 1),
е
применима лемма 1.1 гл. III.
Таким образом, l=k при достаточно малом е, поскольку
Afe(e)->-A,o, КШ)(г)-^-Ко и Ко— однократное собственное значение,
и потому в его окрестности при достаточно малом е лежит только
одно собственное значение оператора 3:\ с однородными гранич-
граничными условиями Дирихле. Приведенные рассуждения обосновыва-
обосновывают формальное асимптотическое разложение (8.6). Доказана
Теорема 8.5. Для собственных значений и собственных функ-
функций задачи (8.1) имеют место неравенства
\1Ш)(е)~ ^(e)|<c1(ft
НЩ W-«e МЬ@,1> < С2 (k)
где постоянные c\{k), c2(k) не зависят от е.
§ 9. О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ G-СХОДЯЩЕЙСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ
ОПЕРАТОРОВ
В § 8 гл. II было введено понятие G-сходимости операторов
вида if(w)= V (—l)'a|Da(aag(x)Dpw), принадлежащих классу
|a|,|p|«m
?¦(^0, ^ь ta). При этом операторы G-сходящейся последователь-
292

аности могут быть, вообще говоря, несамосопряженными. В § 2
гл. III мы исследовали вопрос о поведении собственных значений
и собственных функций G-сходящейся последовательности опера-
операторов теории упругости, которые являются самосопряженными.
Покажем, как можно распространить некоторые результаты § 1, 2
тл. III на случай G-сходящейся последовательности несамосопря-
несамосопряженных эллиптических операторов.
Нам потребуются некоторые известные [11] утверждения
о сходимости собственных значений и собственных векторов пос-
последовательности компактных операторов. Мы даем формулировки
соответствующих теорем в меньшей общности, чем в [11], в том
зиде, как это понадобится в дальнейшем, и приводим их доказа-
доказательства.
Пусть A^S'(Я) — ограниченный линейный оператор в сепа-
^рабельном гильбертовом пространстве Я над полем комплексных
^чисел.
Через а (А) обозначим спектр оператора А, т. е. множество
точек (х комплексной плоскости, таких, что оператор А—(д/ не
имеет ограниченного обратного. Здесь / — тождественный опера-
оператор.
Если для \ло^о(А) существует такой элемент хеЯ, хфО, что
(А—(до/)х=О, то [до называется собственным значением, ах —
собственным элементом, соответствующим собственному значению
щ. Если при некотором целом т>\ имеем (А—iiol)x?=0,
(А—jxo/)mx=O, то вектор х называется присоединенным.
Через Кег А обозначим множество («еЯ, Аи=0}, через Im A —¦
множество таких «еЯ, что уравнение Aw=u имеет решение
шеЯ.
Пусть R([i) — голоморфная в некоторой области сосС1 опера-
торнозначная функция, Г — замкнутый контур, ограничивающий
подобласть соь coicrco. Тогда имеет место принцип максимума для
голоморфных операторнозначных функций: норма /?(|х) в coi не
превосходит максимума нормы R(\i) на контуре Т=дах.
Далее используем следующие хорошо известные результаты.
Теорема 9.1. Пусть Т^З?(Н) — компактный оператор. Тог-
Тогда имеют место следующие утверждения.
1 Сопряженный оператор Т* компактен.
2. а(Т) — дискретное множество, предельной точкой которого
может быть только О, причем каждая точка спектра, отличная от
нуля, является собственным значением.
3. а (Г*) состоит из точек, комплексно сопряженных точкам.
0G).
4. Для любого ц^а(Т), ц^О, такого, что у оператора Т нет
присоединенных векторов, отвечающих (х, пространство Н допус-
лает разложения
H = lm (Т—ц/) ® Кег (Г —ц/),
(Т-И/), (9Л)
293

причем размерности Кег(Г*—ц1) и Кег(Г—\xl) конечны и совпа-
совпадают.
5. Для любого ц^О оператор Т—^1 является фредгольмовым..
Знак 0 обозначает прямую сумму подпространств, знак 0 —
прямую сумму ортогональных подпространств. Оператор Be
е^ (Я) называем фредгольмовым, если размерности пространст-
пространства Кег В и ортогонального дополнения 1га В до Я конечны и сов-
совпадают.
Пусть {А,п} — последовательность компактных операторов в се-
парабельном гильбертовом пространстве Я, и А^З'(Н) также-
компактный оператор.
Определение 9.2. Последовательность {Ат} называется
компактно сходящейся к оператору А при т->-оо, если выполнены
следующие условия:
1. Ати-*Аи сильно в Я для любого «еЯ;
2. Для любой последовательности {ит}, такой, что «mGE#>
li«mll^l последовательность {Атит} компактна.
Определение 9.3. Последовательность операторов {Вт} (не
обязательно компактных) собственно сходится к оператору В<=
е.27 (Я) при т->-оо, если выполнены следующие условия:
1. BmU-^Bu сильно в Я для любого «еЯ;
2. если ||um|| = l и последовательность {Bmum} компактна, то и:
последовательность {ит} компактна.
Лемма 9.4. Пусть последовательность операторов Ат^&(Н)
сходятся сильно к оператору А^ЗЁ(Я), г. е. Amu—fAu сильно в Я"
для любого и^Н при т->-оо. Тогда
где постоянная С не зависит от т.
Доказательство. Лемма является следствием принципа
равномерной ограниченности Банаха—Штейнгауза [26; 89], сог-
согласно которому sup ПАвПзчя) < °°> если sup |Wmw||«<oo для лю-
бого
Лемма 9.5. Пусть последовательность фредгольмовых опера-
операторов Вт собственно сходится к оператору В^З?(Н) при т-^оо,
и В обратим. Тогда для достаточно больших m существуют об-
обратные операторы В^1 и \\В^1\]?(Н) ^С, где постоянная С не за-
зависит от т.
Доказательство. Покажем сначала, что для достаточно
больших т существуют обратные операторы В^1. Предположим
противное. Тогда существует подпоследовательность т'-*-оо, такая,
что операторы Вт~ не имеют ограниченных обратных. Поскольку
операторы Вт фредгольмовы, существует последовательность век-
векторов {хт'}, ||#/п'|| = 1, такая, что Вт>хт'=0. Из этой последова-
последовательности можно выбрать подпоследовательность {хт»), сильно схо-
сходящуюся к элементу х, ||х|| = 1, в силу собственной сходимости Вт
к В. Но тогда Вл:=0„поскольку " Вх=Вт'(х-^хт>)-\-(в—Вт')х и
294

]\Вт\\?(щ^С на основании леммы 9.4. Это противоречит обрати-
обратимости оператора В.
Докажем теперь неравенство ||Bm'|| ^ С. Если это неравенство не
выполнено, то существует такая подпоследовательность {хт'}, что
||хт.ц = 1, но Вт'Хт'^-О сильно в Н при т'->оо. В самом деле, ес-
если \\Вт^\\>С (т1), где С(т')-*- оо, то существует такая последова-
последовательность векторов {ут>}, что ||г/т,||=1, но \\Вт1'Ут'\\^С(т'). Поло-
Положим zm,=B~l,ym'. Тогда Bm'(?\\zm'\\-X zm) = \\zm.\\-x ym. ->¦ 0 при
т'-*¦ оо, и в качестве элементов хт- можно взять векторы
IIZm'H zm>. В силу собственной сходимости Вт к В существует под-
подпоследовательность т", такая, что хт»-+-х сильно в Н при т"—>-оо.
Тогда Вт»хт"^-Вх, так как Вх—Вт«хт»=Вт«(х—хт«) + (В—Вт«)х
и, следовательно, Вх=0, а это противоречит обратимости оператора В.
Лемма доказана.
Пусть со с С1 — подмножество комплексной плоскости. Обозна-
Обозначим через jV(со, А) линейную оболочку множества всех собствен-
собственных векторов оператора А, отвечающих собственным значениям
А, принадлежащим to. В частности, если co={jxo}, где (х0 — собст-
собственное значение оператора А, то N(цо, А) является линейной обо-
оболочкой всех собственных векторов оператора А, отвечающих ц0-
Теорема 9.6. Пусть Ат->-А компактно при пг-^-оо, операторы
Am, A — компактные и фредгольмовы. Тогда имеют место следу-
следующие утверждения.
1. Если fi,GoD \i0 =? 0, mo существует последовательность
iV-m), H-mест(/1J, такая, что Ит^Н-о при т^-оо.
2. Если \im<^o{Am) и \1т^>~\1ф0, то цеа(Л).
3. Если um^N([im, Ат) и [1т-г\1ф0, ит->-и в Н при т-+оо,
то u<=N([i, A).
Доказательство. Установим справедливость утвержде-
утверждения 1. Предположим противное. Тогда найдется б>0 и последова-
последовательность т'->-оо, такие, что в б-окрестности точки ц0 нет точек
спектра операторов Ат.. Пусть Гв={(хеС1, \ц—jxo]=6} — окруж-
окружность, такая, что в круге ]ц—(Хо]^б лежит только одна точка
спектра ц0 оператора А и нет точек спектра операторов Ат-.
Пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, которые прове-
проведены при доказательстве леммы 9.5, и компактностью множества
Гв, нетрудно проверить, что для достаточно больших т' сущест-
существуют обратные операторы (Ап'Ц—/)-1, AеГ8, причем
||(Лт^-/)-Ч|^(Я)<С, (9.2)
где постоянная С не зависит от т' и цеГв. _/
Поскольку внутри контура Гв не содержится точек спектра
операторов Ат-, то согласно принципу максимума для голоморф-
голоморфных операторнозначных функций неравенство (9.2) имеет место
Ti внутри контура Г6, в частности
(9.3)
295

С другой стороны, поскольку 1ю^о(А), существует элемент иОг
llwoll=i. такой, что (А—)ао/)«о=О. Тогда (Ат—цо/)«о->-0 сильно
в Я, что противоречит неравенству (9.3). Следовательно, при вся-
ком достаточно малом б существует N, такое, что при всех m>N
внутри контура Г« содержится точка спектра \im оператора Ат и
IfAm—|Ло|^6. ПОЭТОМУ (Дт->"И0 ПРИ Ш-^-ОО.
Докажем утверждения 2 и 3. Пусть теперь (дт->-ц и рьФО. Тог-
Тогда существуют такие элементы ит, ||«т|| = 1, что (Ат—цт/)мт=0.
Перейдем в последнем равенстве к пределу по некоторой подпо-
подпоследовательности m'-voo, такой, что wm-->-« сильно в Я. Такая
подпоследовательность существует в силу собственной сходимости
Ат—цт/ к А—ц1. Кроме того, Ат>ит. ^>-Аи, поскольку Атит =
— Ат(ит—и) + Ати и \\Am\\jmfy^.C в силу леммы 9.4. Поэтому
(А—ixI)u=0 и, значит, ^х^а(А), u^N(\i, А). Теорема доказана.
Для оценки отклонения собственных значений и собственных
векторов операторов Ат и А нам потребуется
Лемма 9.7. Пусть Ат-^-А компактно при т->-оо и цт->ц0»
где \х.т, цо собственные значения компактных операторов Am, A
соответственно, причем цт^0, цср^О- Тогда:
1. если Р : Н-*-Н — ортогональный проектор на конечномерное
подпространство VaH, то последовательность Bm=Am + P—jxm/-*-
->В=А + Р—jx0/ собственно при т->-оо; операторы Вт фредголь-
мовы;
2. если у оператора А нет присоединенных векторов, отвечаю-
отвечающих цо, и последовательность {gm} такова, что gm^H, gm-+0
слабо в Н и \\{Ат—H-mOgmil-^O при т-^-оо, то gm-+0 сильно в И
при гп-*-оо.
Доказательство. Сходимость Вти—>-Ви при т-*-оо выте-
вытекает из определения компактной сходимости Ат-+А. Очевидно,
что
Втип=Апип + ? (ит, р) !1—ртит, (9.4>
где f\ ..., fs — ортонормированный базис пространства F=Im P.
Если последовательность {Втит} компактна и ||«т|| = 1, то в силу
равномерной компактности операторов Ат и сходимости (Хт-^цо^О
из (9.4) следует, что последовательность {ит} компактна. Фред-
гольмовость оператора Вт вытекает из утверждения 5 теоремы 9.1,
поскольку Вт=(Ат + Р)—\ут1 и операторы Ат, Р компактны.
Докажем утверждение 2. Обозначим через Р<^9?(Н) оператор
ортогонального проектирования на подпространство Кег(Л*—\iol).
Тогда согласно утверждению 1 имеем
собственно при т-^-оо, причем операторы Вт фредгольмовы. Поль-
296

зуясь утверждением 4 теоремы 9.1, покажем, что оператор В обра-
обратим. Действительно, если
Вх=0, то л: elm (Л—цо/)Г)Кег(Л—цо/)={О}.
Если х ортогонален 1т В, то х е Кег В' = Кег ((А* — \iol) + Р*). Заме-
Заметим, что Р—самосопряженный оператор. Поэюму (А*—\iol) x-\-Рх=&
и, значит, хеКег(Л*— \i0I)()lrn(A—цо7) ={0}. Поскольку Im В замк-
замкнуто в Н, то Im B=H. Таким образом, оператор В инъективен и,
значит, в силу теоремы Банаха [26] является обратимым.
Из леммы 9.5 заключаем, что при достаточно большом m
существуют обратные операторы ?„' и ||fi*11
^С, где постоянная С не зависит от т.
Установим теперь сильную сходимость gm к нулю при т->-оо.
Имеем
Ы =№'** B'mgm
< С |!(Х -i^/) gm\\ + С \\Pgm\\ -> 0
при т-^-оо, поскольку \\{А„—\^mI) gm\\-^0 по условию леммы, а
гДе Pi ¦••> /s — ортонормированный базис
s
_
в пространстве Кег(Л*—(х0/). и, значит, Pgm-+0 в силу слабой,
сходимости к нулю последовательности \gm}. Лемма доказана.
Пусть иеЯ и М ¦— подпространство в Я. Положим
р(ы, Mj=inf ||u—f||.
Теорема 9.8. Пусть Am, A — компактные операторы, и пос-
последовательность {Ат} компактно сходится к оператору А при
т-+оо. Пусть также ит^ц,„, ит^?0, Ио^О, ц,теа(Лт), ц0ео(Л),
точке спектра |х0 отвечают только собственные векторы, (но не
присоединенные) оператора А, и um^N(цт, Ат), ||wm|l=l, tn=\,
2, .... Тогда имеют место оценки
sup Ц(Лт-Л)а||, (9.5)
N(A)
р(ат, /VK, A))^C2 sup |КЛт-Л)а||, (9.6)
иелг(ц„л),
ИМ
где постоянные Сь С2 не зависят от т.
Доказательство. Пусть |хоеа(Л), (хо^=О и {е1, .... es) —
базис собственного подпространства N(рщ, А). Очевидно, что
((Am—y,mI)el, gm)=0 для любой последовательности gm^N (рт, А*т,)
\\gm\\ = !• Фиксируем любую такую последовательность {gm}. Име-
Имеем ((A — \iml)el, gJ^HA—Aje1, gj. Отсюда получаем
(Ио-ШпИ*'. Вт)={{А-Ат)е\ gm)- (9-7)
297

Покажем, что можно так выбрать элементы ei(-m)e N(ц-0, А), что
для достаточно больших т имеет место неравенство
(еНт\ ?m)>cc=const>0, (9.8)
где постоянная а не зависит от т. Допустим, что такой выбор
невозможен. Тогда для некоторой подпоследовательности {gmr}
имеем
{е\ gm)-+0 при m'-^oo, j=l s. (9.9)
В силу слабой компактности шара в гильбертовом пространстве
Я можем считать, что gm"+g слабо в Я. Докажем, что ge
&/V(|i0, Л*). Имеем ((А*т,—\imJ)gm>, x)=0 для любого хеЯ. По-
Поэтому (gm', (Ап,—\im'I)x)=0. Переходя к пределу при т'-у-оо
в последнем равенстве, получаем (g, {А—}хо1)х)=0 для любого
хеЯ и, значит, ge jV (fx^, Л*). _
Покажем, что g=?0. Пусть g=0. Поскольку (А*т—\»ml)gm=0,
то согласно утверждению 2 леммы 9.7 gm> -v 0 сильно в Я при т' ->-
—*- оо, но это противоречит равенству ||^т||^1. Поэтому g^O.
В силу соотношений (9.9) имеем
(e1>g)=O, i=\ s; g^O. (9.10)
Ввиду отсутствия у А* присоединенных векторов, отвечающих \i0, имеют
место разложения (9.1) при Т=А*. Поэтому из (9.10) имеем ge
elm (A* — [iol). Как установлено ранее, g<^N(\i0, А*)=}{ет (А* —
—ц,(/) и, значит, gelm(A*—р,0/)ПКег(Л*—ц-0/). Это противоречит
отсутствию у А* присоединенных векторов, соответствующих (х0. Та-
Таким образом, соотношение (9.8) установлено.
Из (9.7) и (9.8) следует оценка (9.5).
Рассмотрим теперь вопрос о близости собственных векторов
ит операторов Ат к собственным векторам оператора А. Пусть
Am), \\um\\ = \, \>m= inf \\um—и\\.
Покажем, что
-ат||, (9.11)
где ы?— собственные векторы оператора А, на которых дости-
достигается нижняя грань в определении рт, a=const и не зависит
от т.
Очевидно, что
=[(Am-A)-([im-li0) I] ul, <€= N (к» А). (9.12)
Допустим, что (9.11) не выполнено. Тогда для некоторой подпоследо-
подпоследовательности т'-^-оо {Ат. — ^mJ)[||Um' — ит'\ух (ийт' — um')]->¦ 0 сильно
в Я.
298

В силу собственной сходимости последовательности операторов
{Ат—]iml) имеем \\и°т, — Ml" (и°т, — ит.)-^-и в Я, причем легко ви-
видеть, что аеЛЧц0, А). Так как и°т—\\и°т—ит\\ «е N(\i0, А), имеем
где e(m)-*-0 при m = m'-*-oo.
Полученное противоречие доказывает справедливость оценки
(9.11). Поскольку IKJ|< ||«mll = l, то из (9.11) и (9.12) получаем
sup
где постоянная С>0 не зависит от т. Теорема доказана.
Пусть {2?с} — последовательность дифференциальных операто-
операторов вида
JJ
(ааеA) — гладкие 1-периодические по % функции), сильно G-cxo-
дящаяся к оператору
lab
Отметим, что все результаты § 8 гл. II очевидным образом
распространяются на операторы с комплексными коэффициентами.
Относительно операторов й", hS' предполагаем дополнитель-
дополнительно, что для любой и (= С^° (О)
j |Daa|2dx, (9.13>
Q la|<m
где постоянная С не зависит от и, и аналогичное неравенство
имеет место для оператора S. Это условие, как легко видеть,
будет выполняться, если к рассмотренным в § 8 гл. II операторам
З'г, 9? добавить член ци, где действительная постоянная ц, дос-
достаточно велика. Неравенства (9.13) гарантируют однозначную
разрешимость задач
.?>')= Л afce:#S4Q); ?(") = /, ueH^(Q),
и справедливость оценок
где постоянные сь с2 не зависят от Д е.
299

Будем также предполагать, что для решений задачи j?(u)=f,
ибЯо'(й), выполнена оценка
11«1Г„™(а)<С||/||„@)> (9.14)
где C=const и не зависит от /. Оценка (9.14) всегда имеет место,
если коэффициенты оператора 3? и граница области Q — доста-
достаточно гладкие.
Определим s?e, s& : L2(Q)-*-L2(Q) как операторы, ставящие
в соответствие функции /(x)eL2(Q) решения задач Дирихле
?(u)=p{x)f(x), «еЯ?(Й),
где ps(x), р(х) — измеримые ограниченные равномерно по е функ-
функции.
Оценим норму в L2(Q) разности ие—u=s{s4-e—s4-)f. Обозначим
через Вг, В операторы, ставящие в соответствие функции f(*)e
L2() решения задач Дирихле:
Тогда
Ue-Jl)f =Bsp8 (x)f (x)-Bpf (x) =
= BE ((pe (x)-p(x)) f (x)) + (Be-B) pf (x).
Оценим каждое слагаемое в правой части последнего равенства.
Имеем
\\Ве ((Р8 (X) -Р(Х)) f (х)\\нтШ) < Сх ||(р8 {Х)-9{Х)) f (Х)\\н-т{п)
Для оценки величины (Ве—В) pf (x) воспользуемся теоремой 8.1
.гл. II. Для того чтобы применить эту теорему, нужно проверить
сформулированное в § 8.1 гл. II условие N'. Определим функции
ф
N*(x) следующим образом-
, k=-L,
где Л?т(^) — решения в классе 1-периодических функций из про*
странства Hm(Q\ уравнений
J Da (aag © D% О) = - ?
|a|=|P|=m \a\=m
300

Разрешимость этих уравнений в указанном классе доказывается
стандартным способом с помощью теоремы Лакса—Мильграма.
Проверим выполнение условия N' из § 8.1 гл. П. Имеем
DaNy(%)—гладкие 1-периодические функции. Значит,
Поэтому ||DajV*[[L°o(Q) ^.C/k при |б| ^.т—1. Следовательно, условие
W1 выполнено, причем ak=Clk.
Далее,
а*р = ааР (kx) + ? aav (kx) D?#p Ц) | E-t,-*¦
IV|=-m
=aa0 слабо bL2(Q),
IVl=m
где (/)= *\f{l)dl, /©eL'fQJ-l-периодическая по g функция. Зна-
чит, a«p(x)—aap=fa3(E)U=^, где /aP ft) — 1 -периодические по ? функ-
ции и (/ap) =0. В силу леммы 1.8 гл. I имеем /aP(?)=V df<x.$ld%,u
fap — ограниченные 1-периодические по | функции. Поэтому
Поскольку | k xfo,$(kx) \ ^.k 'С, на основании определения нормы в прост-
пространстве H~l'°°(Q) имеем ||адр|—аа$\\н—i,°°^Ck~~ . Следовательно, $1 \
Р/^'^Сб. Таким образом, мы проверили выполнение условия N'2.
Условие ./V'3 вытекает из уравнений для функций Ny(Q. При этом?
Оценим величину ||а*||о в неравенстве (8.10) гл. II. Имеем
2-t v 1нт—'/2 (За) "^
КтЬглУ,, 1/2 --
391

В проведенных выкладках мы последовательно воспользова»
лись априорной оценкой для решения задачи Дирихле
где ср—mj e Я™ (й), неравенством
теоремой об оценке следа функции из #S(Q) на границе области
Q [93], а также априорной оценкой ||a||H2m+i(Q)^C||/||HI(fl). Таким,
образом, доказана
Теорема 9.9. Для операторов si-г, si- имеет место оценка
-1.-(а) + е/} ИЯ1я'ш>.
где постоянная С не зависит от г.
Рассмотрим теперь задачи на собственные значения:
где ре (х), р(х)—равномерно ограниченные по е функции,
P8(x)>Po=const>0, P(*)>Po. llPs—Р11я~ь=о(й)-^-0 при е->-0.
Будем говорить, что собственному значению Хо задачи (9.16)
соответствуют только собственные функции, если у оператора s?
нет присоединенных векторов, отвечающих собственному значе*
нию И/о==^о" •
Теорема 9.10. Для каждого собственного значения Ко зада-
задачи (9.16), которому соответствуют только собственные функции,
существует последовательность {XEfe} собственных значений задач:
Дирихле (9.15) для операторов «#Efe, такая, что XEk-^-K0 при k-*-
-»-оо. Имеет место оценка
]Л8л-Л0|<С{||рвк-?||н_,.о<)(й) + в1/2}, (9.17)
где постоянная С не зависит от г.
Для собственных функций ubh(x) задач Дирихле (9.15) для
операторов S?B , отвечающих собственным значениям %Е имеет
место оценка
p(uek,M(X0, ^))<C1{||Pefc(x)-l)(x)||H_lie0(Q) + ei/2), (9.18)
где С, постоянная, не зависящая от г, М(%0, 3?) — пространство
собственных функций задачи (9.16), отвечающих собственному
значению Хо. Если Xek-^%o-f-.O и lek— собственные значения за-
задач (9.15) для J/'eh, mo Яи— собственное значение задачи
(9.16).
302

Доказательство. Поскольку последовательность опера-
операторов J?e сильно G-сходится к оператору j?, то с^6-»-^ ком-
компактно. В самом деле, пусть /(x)eL2(Q). Существует такая
функция #6=ЯХ(Й)> чт0 \\f—glli*(a><a. a — произвольно малое
положительное число. Очевидно, что
Отсюда
a, C=const.
Первое слагаемое в правой части последнего неравенства стре»
мится к нулю при е^-0 в силу теоремы 9.9, а число а может быть
выбрано произвольно малым. Значит, \\(с4е—Л) Лк«(а)->-0 при
8->0 для любой feL2(O). Если ||/Е||^(я) = 1, то последовательность
{o€sfs} компактна в L2(Q), поскольку Ц^/Лд/п^^С, где пос-
тоянная С не зависит от е. Итак, Ле-^<Л компактно при
Теперь оценки (9.17) и (9.18) вытекают непосредственно из тео-
теорем 9.9, 9.8.

Литература
1. Агмон С, Дуглис А, Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических
уравнений вблизи границы М ИЛ, 1962.
2. Бахвалов Н С. Осредненные характеристики тел с периодической струк-
турой//ДАН 1974 Т 218, № 5. С 1;046—1048
3 Бахвалов Н С, Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодиче-
периодических средах. М • Наука, 1984
4. Беляев А. Г. Усреднение третьей краевой задачи для уравнения Пуассона
в области с быстро осциллирующей границей//Вестник МГУ, Сер. 1, Мате-
Математика, механика 1988 N° 6 С 631—66
5. Бердичевский В Л Вариационные принципы механики сплошной сре-
среды. М. Наука, 1983.
6. Бердичевский В Л. Пространственное осреднение периодических струк-
структур//ДАН 1975 Т 222, № 3. С. 106—111
7. Берлянд Л. В Асимптотика решений первой краевой задачи теории упру-
гости в областях с мелкозернистой границей//УМН. Ш83. Т. 38, № 6.
С Ц07—108
8. Берлянд Л. В Осреднение уравнений линейной теории упругости в обла-
областях с мелкозернистой границей//Теория функций, функциональный анализ
и их приложения Харьков- Изд-во Харьк. гос ун-та, 1983. Т. 39 С. 16—25.
9. Берлянд Л. В, Охоцимский А Д. Осредненное описание упругой сре-
среды с большим числом мелких абсолютно твердых включений//ДАН 1983.
Т. 268, № 2. С 31G—320.
10 Берс Л, Джон Ф, Шехтер М Уравнения с частными производными,
М: Мир, 1972
11. Вайникко Г. М Регулярная сходимость операторов и приближенное ре-
решение уравнений//Итоги науки и техники Сер. Математический анализ.
Т 16 ВИНИТИ АН СССР 1979. С 5—44
12. Вайникко Г. М, Карма О О. О быстроте сходимости приближенных ме-
методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением пара-
метра//ЖВМ и МФ. 1974. Т. 14, № 4. С. 1393—1408.
13. Вишик М И, Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и погранич-
пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром//
//УМН 1957 Т 1,2, № 6 С 3—122
14. Голов атый Ю. Д О собственных частотах и собственных колебаниях уп-
упругого стержня с присоединенной массой//УМН 1988. Т. 43, № 4 С 173>—
174
15. Г о л о в а т ы й Ю Д О собственных частотах закрепленной пластинки с
присоединенной массой//УМН 1988. Т 43; № 5 С 185—186
16. ГоловатыйЮ Д., Назарове А.ОлейникО. А Асимптотика соб-
собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды
с сингулярным возмущением плотности//УМН. 1988 Т. 43, К« 5 С. 189—
190.
17. ГоловатыйЮ Д.Назаров С А.ОлейникО А Асимптотическое
разложение собственных значений и собственных функций задач о колеба-
колебаниях среды с концентрированными возмущениями//Труды Математического
института им. В. А Стеклова 1,990. Т. 192. С. 42—60
304

18. Головатый Ю Д., Назаров С. А, Олейник О А, Соболе-
Соболева Т С О собственных колебаниях струны с присоединенной массой//Сиб.
мат. жури. 1988. Т. 29, № 5. С. 71—91.
19. Григолюк Э И, Фильштинский Л. А Перфорированные пластины
и оболочки М : Наука, 1970.
'20 Дых не А М. Проводимость двумерной двухфазной системы//ЖЭТФ 1970.
№ 7. С. 110—116
21. Дюво Г, Лионе Ж. Л Неравенства в механике и физике. М' Наука,
1980
22. Ж и к о в В В, Козлов С. М, Олейник О А., Ха Тьен Нгоан.
Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов//УМН 1979.
Т 34, № 5. С 65—133.
23 Жиков В В, Козлов С М, Олейник О. А О G-сходимости парабо-
параболических операторов//УМН 198L Т 36, № h С. 11—58.
24. Жиков В В, Олейник О А Об усреднении системы теории упругости с
почти периодическими коэффициентами//Вестник МГУ. Сер. 1, Математика,
механика 1982. № 6 С 62—70.
.25. Злотник А. А Коэффициентная устойчивость систем обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений//Дифференц. уравнения. 1984 Т. 20, № 2.
С 220—229.
26. Иосида К Функциональный анализ М Мир, 1967.
27. ИосифьянГ А, Олейник О А О существовании и асимптотическом
поведении решений системы теории упругости в бесконечной области//УМН.
1982. Т 37, № 4 С. 157—158
.28 ИосифьянГ. А, Олейник О А. О поведении на бесконечности реше-
решений эллиптического уравнения второго порядка в областях с некомпактной
границей//Мат. сб 1980 Т 112, №4 С 588—610.
29. ИосифьянГ А, Олейник О А.ШамаевА С. Об усреднении сло-
слоистых композитов//Механика твердого тела. 1988. № 1. С. М8—125.
50. Иосифьян Г. А., Олейник О А, Шамаев А. С. Об усреднении за-
задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка с быстро ос-
осциллирующими коэффициентами в перфорированной области//УМН. 1987.
Т. 42, № 6 С. 195—196.
31. Иосифьян Г. А., Олейник О. А., Шамаев А. С. Усреднение собст-
вениых значений краевой задачи теории упругости с быстро осциллирующими
периодическими коэффициентами//Сиб. мат. журн 1983 Т 24, № 5 С. 50—
58
32. Иосифьян Г. А, Олейник О А, Шамаев А. С. Об асимптотическом
разложении решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений и систе-
системы теории упругости в перфорированной области//ДАН 1985. Т. 284, № 5.
С 1062—1066.
33v ИосифьянГ А.ОлейникО А, Шамаев А СО сходимости энер-
энергии, тензоров напряжений и частот собственных колебаний в задачах усред-
усреднения, возникающих в теории упругости//ДАН 1984. Т. 274, N° 6. С. 1329—
1333.
34. Иосифьян Г. А, Олейник О А, Шамаев А. С. Об усреднении эл-
эллиптических уравнений, описывающих процессы в слоистых средах//УМН.
1986. Т 41, № 3 С. 185—1,86
35. Иосифьян Г А, Олейник О А., Шамаев А С. Асимптотическое
разложение собственных значений и собственных функций задачи Штурма—
Лиувилля с быстро осциллирующими коэффициентами//Вестник МГУ. Сер 1,
Математика, механика 1985. № 6. С. 37—46.
36. Иосифьян Г. А., ОлрйникО А, Шамаев А СО собственных зна-
значениях краевых задач для системы теории упругости с быстро осциллирую-
осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях//Мат. сб. 1987. Т. 32,
№ 4 С. 517—531.
37. Иосифьян Г. А, Олейник О. А, Шамаев А. С Усреднение собствен-
собственных значений и собственных функций краевой задачи теории упругости в
перфорированной области//Вестник МГУ, Сер. 1, Математика, механика.
1983. № 4. С. 53—63
305

38. Иоеифьян Г. А, Олейник О А, Шамаев А. С. О предельном по-
поведении спектра последовательности операторов, заданных в различных про-
странствах//УМН. 1989 Т. 44. № 3. С. 157—158
39. Каламкаров А Л, Кудрявцев Б. А., Партон В. 3. Асимптотиче-
Асимптотический метод осреднения в механике композитов регулярной структуры//Ме-
ханика деформируемого твердого тела. Итоги науки и техники. ВИНИТИ
АН СССР. 1988 Т. 19. С 78—147.
40 Канторович Л В, Акилов Г, П. Функциональный анализ. М • Наука,
1976.
41, КозловС М Осреднение дифференциальных операторов с почти периоди-
периодическими быстро осциллирующими коэффициентами//Мат. сб. 1978. Т 107,
№ 2 С 199—217.
42. Кураит Р, Гильберт Д Методы математической физики Т. 1. М Гос-
техиздат, 1957.
43 КолмогоровА Н, Фомин С В Элементы теории функций и функ-
функционального анализа М.' Наука, 1972
44. Кондратьев В А О разрешимости первой краевой задачи для сильна
эллиптических уравнений//Труды Моск. мат о-ва 1967. Т. 16. С. 293—
318.
45. Кондратьев В. А, Олейник О. А. Краевые задачи для системы тео-
теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна//УМН. 1988.
Т. 43, № 5 С 55—98.
46. Кондратьев В. А., Олейник О А О неравенствах Корна и единст-
единственности решений классических краевых задач в неограниченных областях
для системы теории упругости//Современные проблемы математической фи-
физики. Труды Всесоюзного симпозиума. Т. 1, Тбилиси- Изд-во Тбилис. ун-та,
1987. С 35—62.
47. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Об асимптотике в окрестности бес-
бесконечности решений с конечным интегралом Дирихле для эллиптических
уравнений второго порядка//Труды семинара имени И. Г. Петровского М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1987. Вып. 12. С. 149—163.
48. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М : Мир, 1982
49. Ладыженская О А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные
уравнения эллиптического типа М.: Наука, 1,973.
50. Ланд и с Е. М, Олейник О. А К теории уравнений эллиптического тя-
па//И. Г. Петровский. Избранные труды Дифференциальные уравнения Тео-
Теория вероятностей М.: Наука, 1,987 С. 307—324.
51. Левитан Б М. Почти-периодические функции. М.- Гостехиздат, 1953.
52. Левитан Б. М, Жиков В. А Почти-периодические функции и дифферен-
дифференциальные уравнения М.: Изд-во МГУ, 1978.
53. Лионе Ж Л, Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их при-
приложения. М. Мир, 1971.
54. Лурье К А, Черкаев А. В. G-замыкание множества анизотропных про-
проводящих сред в случае двух измерений//ДАН. 1981. Т. 259, N° 2. С. 271—
275.
55. Л у р ь е К. А., Ч е р к а е в А В. Точные оценки проводимости смесей, об-
образованных двумя материалами, взятыми в заданной пропорцни//ДАН. 1982.
Т 264, № 5 С 1128—1130
56 МазьяВ Г Пространства Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986
57 Марков В Г, Олейник О А О распределении тепла в однородных
дисперсных средах//ПММ 1975 Т. 39, № 6 С. 1,073—1081
58 Марченко В А, Хруслов Е Я. Краевые задачи в областях с мелко-
мелкозернистой границей Киев- Наукова думка, 1974.
59. М е л ь н и к Т. А Об асимптотических разложениях собственных значений
и собственных функций эллиптических краевых задач с быстро осциллирую-
осциллирующими коэффициентами//УМН 1987. Т 42, № 4 С 167
60 Мельник Т. А Асимптотическое разложение собственных значений и соб-
собственных функций эллиптических краевых задач в перфорированном кубе.
Деп ВИНИТИ 24 7 87 № 5375—В87
61. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными М.: Мир.
1977.
306

$2 Михайлов В П. Дифференциальные уравнения в частных производных.
М Наука, 1976
63. М и х л и н С Г. Проблема минимума квадратичного функционала М.- Гос-
техиздат, 1952.
64. Ми х лин С Г. Вариационные методы в математической физике М- Нау-
Наука, 1970
65. Мосолов П П, Мясников П. В Доказательство неравенства Корна//
//ДАН 1971 Т 201, № 1 С 36—39
66. Назаров С. А Асимптотические разложения собственных чисел Л Изд-
во ЛГУ, 1987
67. ОлейникО А О собственных колебаниях тел с концентрированными мас-
массами/Современные проблемы прикладной математики и математической фи-
физики М- Наука, 1988 С 101;—128
68. ОлейникО А О частотах собственных колебаний тел с концентрирован-
концентрированными массами//Функциональные и численные методы математической физи-
физики Киев Наукова думка, 1988. С 165—171.
69. ОлейникО А О спектрах некоторых сингулярно возмущенных опера-
торов//УМН. 1987. Т. 42, № 3 С 221—222
70. О л е й н и к О. А. О распределении тепла в многомерных дисперсных средах//
//Задачи механики и математической физики М Наука, 1976. С 224—
236
71. ОлейникО. А О сходимости решений эллиптических и параболических
уравнений при слабой сходимости коэффициентов//УМН. 1)975 Т. 30, № 4.
С 259—260.
72. ОлейникО А О некоторых математических задачах механики сильно
неоднородных сред//Математические методы механики деформируемого твер-
твердого тела М- Наука, 1986 С. 105—112
73. ОлейиикО А. О поведении решений системы уравнений теории упруго-
упругости на бесконечности//Общая теория граничных задач: Киев. Наукова дум-
думка, 1983 С 1/68—174.
74. ОлейникО. А О задачах усреднения для уравнений с частными произ-
ВОДНЫМИ//УМН. 1986. Т 41, № 4 С 149—152
75. О л е й н и к О А Об усреднении дифференциальных операторов//Дифферен-
циальные уравнения с частными производными. Новосибирск Наука, 1986.
С. 150—159.
76. О л е й н и к О. А. Об усреднении дифференциальных уравнений с быстро ко-
колеблющимися коэффициентами//1Х Международная конференция по нели-
нелинейным колебаниям Киев, 1981. Т. 1, Киев- Наукова думка, 1984. С. 286—
289
77. Олейник О А, Иосифьян Г. А. Оценка отклонения решения системы
теории упругости в перфорированной области от решения усредненной си-
стемы//УМН. 1982 Т. 37, № 5 С. 195—196.
78 ОлейникО А, Иосифьян Г. А Об усреднении системы теории упру-
упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированной об-
ласти//Н Е Кочин и развитие механики М.- Наука, 1984. С 237—249
79. ОлейникО А, Иосифьян Г А, Панасенко Г П Асимптотическое
разложение решений системы теории упругости в перфорированных обла-
стях//Мат сб 1983 Т. 120, № 1 С 22—41
80. ОлейникО А., Иосифьян Г А.ШамаевА СО задачах усредне-
усреднения для слоистых сред//Асимптотические методы математической физики.
Киев- Наукова думка, 1988 С 73—93
81. ОлейникО А, Иосифьян Г А, Шамаев А С Усреднение первой
краевой задачи и задачи на собственные значения для системы теории уп-
упругости с разрывными периодическими быстро осциллирующими коэффициен-
коэффициентами в перфорированной области//Труды Тбилис. ун-та, Математика, меха-
механика, астрономия 1986 № 259. С. 77—92
82 Олейник О. А., Радкевич Е В Уравнения второго порядка с неот-
неотрицательной характеристической формой//Итоги науки. Сер Математиче-
Математический анализ. 1969 ВИНИТИ АН СССР, 1971.
307

83. ОлейникО. А, Соболева Т С О собственных колебаниях неоднород-
неоднородной струны с конечным числом присоединенных масс//УМН. 1988 Т. 43, № 4-
С. 187—188
84. ОлейникО А, Шамаев А С. Некоторые задачи усреднения в механике
композиционных материалов и пористых сред//Механика неоднородных
структур Киев Наукова думка, 1986 С 185—190
85 Панасенко Г П Асимптотика высших порядков решений задач о кон-
контакте периодических структур//Мат. сб 1979 Т Ю14 № 4 С. 505—538
86. Панков А А Усреднение нелинейных почти-периодических эллиптических
операторов//ДАН УССР, серия А. 1985 № 5 С 19—22
87. ПобедряБ Е Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ,
1984
88. Рид М, Саймон Б Методы современной математической физики Т 1.
Функциональный анализ. М . Мир, 1977.
89. Рисе Ф, Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу.
М. Мир, 1979
90. Рудин У Функциональный анализ. М Мир, 1975.
91. Санчес-Паленсия Е. Неоднородные среды и теория колебаний. М:
Мир, 1984
92. СкрипникИ В. О сходимости решений нелинейной задачи Дирихле при
измельчении границы области//3аписки научных семинаров ЛОМИ 1982.
Т 115 С 236—250
93 Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в мате-
математической физике М. Наука, 1988
94 Сукретный В И Асимптотическое разложение решений третьей краевой
задачи для эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных об-
ластях//УМН 1984 Т. 39, № 4 С 120— Ш.
95. Сукретный В И Усреднение краевых задач для эллиптических уравне-
уравнений в перфорированных областях//УМН 1983 Т 38, № 6 С. 125—126.
96. Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций М.г
Наука, 1972.
97. ТихоновА Н, Самарский А А Уравнения математической физики.
М.- Наука, 1977.
98. Т р е в Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интег-
интегральных операторов Фурье М. Мир, 1984
99 Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М- Мир, 1974
100. Хермандер Л Линейные дифференциальные операторы с частными про-
производными М Мир, 1965.
101. Хил л Р Упругие свойства составных сред- некоторые теоретические прин-
ципы//Механика (сб переводов) 1964. Т. 87, № 5 С 127—143.
102 ХрусловЕ Я Асимптотическое поведение решений второй краевой зада-
задачи при измельчении границы области//Мат сб. 1987. Т. 106, № 4 С. 604—
621
103 Шамаев А С Спектральные задачи в теории усреднения и G-сходимо-
сти//ДАН 1981 Т 259, № 2 С 294—299
104 Шамаев А С Осреднение решений и собственных значений краевых за-
задач для эллиптических уравнений в перфорированных областях//УМН. 1982.
Т 37, № 2. С 243—244
105 Шапошникова Т А О сильной G-сходимости последовательности си-
систем уравнений теорий упругости//Вестник МГУ. Сер. 1, Математика, ме-
механика 1984 № 5 С 29—33.
106. Шермергор Т. Д Теория упругости микронеоднородных сред М. Нау-
Наука, 1977
107 Bensoussan A, Lions J. L., Papanicolaou G. Asymptotic Analy-
Analysis for Periodic Structures Amsterdam North Holland, 1978.
108 Cioranescu D, Saint Jean Paulin J Homogenization in open sets
with holes//Journ. Math. Anal. Appl 1979. V 71 P. 590—607
109 Dacorogna B. Weak continuity and weak lower semicontinuity of non-
nonlinear functionals//Lecture Notes in Math N 922. Berlin. Springer Verlag,.
1982.
308

110. Duvaut G Comportement macroscopique d'une plaque perforee periodique-
i ment//Lecture Notes in Math. N 594. Berlin- Springer Verlag, 1977. P. 131—
145
111 EneH J , P a s a G. I Metoda omogenizarii Aplicatii la teoria materialelor
compozite. Bucuresti Editura Academici Republic» socialiste Romania, 1987.
112. Fichera G Remarks on Saint-Venant's Ргтар1е//Комплексный анализ и
его приложения М • Наука, 1977. С. 543'—554
113 Francfort G A., Murat F. Homogenization and optimal bounds in li-
linear elasticity//Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V 94. P. 307—334.
114. Francfort G. A, Murat F. Optimal bounds for conduction in two-di-
two-dimensional, two-phase anisotropic media//Non-classical mechanics. London
Math. Society. Lecture Note Series 122, Cambridge University Press, 1987.
P. 197—212
115 Fried richs К. О. On the boundary value problems of the theory of elas-
elasticity and Korn'sinequality//Ann. Math 1947. V. 48, N 2. P, 441—471.
116. De Giorgi E. G-operators and r-convergence//Proc. Intern. Congr. Math.
Warszawa PWN and North Holland. 1984 V. 2. P. 1175—1191.
117. De Giorgi E. Convergence problems for functional and operators//Proc.
Int. Meeting on Recent Methods in Nonlinear Analysis/Ed, by De Giorgi, Ma-
genes, Mosco. Bologna Pitagora, 1979. P. 133—188.
118. De Giorgi E, Spagnolo S. Sulla convergenza degli integrali delP
energia per operatori ellittici del secondo ordine//Boll. Unione Mat. Ital. 1973.
V 8. P 391—411
119 Kesavan S. Homogenization of elliptic eigenvalue problems//Appl. Math.
1 and Optim P. I. 1979. V. 5 P 153—167; P. II. 1979. V 5. P. 197—216
120. KnopsR. J, Payne L E. Uniqueness theorems in Linear Elasticity, Ber-
Berlin: Springer Verlag, 1971.
121. Knowles J. R. On Saint-Venent's Principle in the two-dimensional theory
of elasticity//Arch. Rat. Mech. Anal. 1966. V. 21. P. 1—22.
122. Kohn R, Milton G. On bounding the effective conductivity of anisotripic
composites//Homogenization and effective moduli of materials and media/
/J. L. Ericksen, D. Kinderlehrer, R Kohn, J. L Lions ed., Springer Verlag,
1986. P. 97—128.
123. Kohn R. V., Strang G Structural design optimization, homogenization
/and relaxation of variational problems//Macroscopic Properties of Disordered
Media/R. Burridge, G. Papanicolaou and S. Childress ed. Lecture Notes in
Physics. N 154. Berlin: Springer Verlag, 1982 P 131—147.
124. Kondratiev V. A., Oleinik O. A. Asymptotic properties of the elasti-
elasticity system//Application of multiple scaling in mechanics. Proceedings Intern.
Conf. Paris- Masson, 1987. P. 188—205.
125 Kondratiev V. A., Oleinik О A On Korn's inequalities//C. R. Acad.
Sci. Paris, 1989. T. 308. Ser. 1 P. 483—487.
126. Lions J. L. Asymptotic expansions in perforated media with a periodic
structure//The Rocky Mountain Journ. of Math. 1980. V. 10, N 1. P. 125—144.
127. Lions J L. Some methods in the Mathematical Analysis of systems and
their control. Science Press Beijing 1981. China, Gordon and Breach. New
York
128 Lions J. L. Remarques sur l'homogeneisation//Computing methods in App-
Applied Sciences and Engineering. VI, INRIA. Amsterdam- North Holland, 1984
P. 299—315
1,29 M a r с e 11 i n i P. Convergence in energy for elliptic operators//Boll Unione
Mat Ital 1979 V 16—B, Ser V, N 1 P. 278—290
130. Maxwell J С A Treatise on Electricity and Magnetism 3-ed. Oxford:
Clarendon Press, 1981.
131. Murat F. Compacite par compensation//Ann. Scuola Norm. Sup Pisa 1978
V 5. P. 489—507
132. Murat F. H-convergence//Seminaire d'analyse fonctionelle et numerique de
l'Universite d'Alger. 1978.
133 Oleinik O. A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singu-
singularly perturbed operators//Non-classical Continuum Mechanics. Lecture Note
series. N 122. Cambridge University Press, 1987. P. 188—205.
30»

134. О 1 e i n i к О. A. On homogenization problems//Trends and Applications of
Pure Mathematics to Mechanics Lecture Notes in Phys. N 195. Berlin Sprin-
Springer Verlag, 1984. P. 248—272
135. Oleinik O. A. Homogenization of differential operators//Equadiff 5 Pro-
Proceeding of Conference in Bratislava. Teubner-Texte zur Mathematik Leipzig.
1982 V 47 P 284—287
136. О 1 e i n i к О A. Asymptotic expansion and boundary layers in homogeniza-
homogenization problems for differential operators//BALL IV. Proc. of the 4 Intern. Conf.
on boundary and interior layers. Dublin: Boole Press, 1987. P. 145—156.
137. Oleinik О A, Panasenko G. P, Yosifian G. A. Homogenization
and asymptotic expansions for solutions of the elasticity system with rapidly
oscillating periodic coefficients//Applicable Analysis. 1983. V. 15, N 1—4.
P 15-32.
138. Oleinik O. A., Shamaev A. S., Yosifian G. A. On homogenization
problems for the elasticity system with non-uniformly oscillating coefficients//
//Math Analysis. 1985 B79. Leipzig Teubner-Texte sur Mathematik. P. 192—
202.
139. Oleinik O. A., Shamaev A. S., Y о s i f i a n G A. On the homogenization
of stratified structures//Analyse Mathematique et Applications. Paris. Gaut-
hier-Villars. 1988 P 401—419.
140. Oleinik O. A, Shamaev A. S , Yosifian G. A. On he convergence of
the energy, stress tensors and eigenvalues in homogenization problems of
elasticity//Z. angev. Math Mech 1985 V. 65, N 1. P. 13—17.
141. Oleinik O. A., Shamaev A. S., Yosifian G. A. Problems d'homoge-
nezation pour le systeme de l'elasticite a coefficients oscillant non-uniforme-
ment//C R. Acad. Sci Paris. 1984. V. 298, N 12. P. 273—276.
142. Oleinik O. A, Shamaev A S., Yosifian G. A. Homogenization of
eigenvalues and eigenfunctions of the boundary value problems in perforated
domains for elliptic equations with non-uniformly oscillating coefficients//
//Current Topics in Partial Differential equations. Tokyo: Kinokuniya Co,
1986. P. 187—216.
143. О 1 e i n i к О. А , Y о s i f i a n G A On the asymptotic behaviour at infinity
of solutions in linear elasticity//Arch Rat. Mech. Anal. 1982. V. 78, N 1.
P 29—53
144 Papanicolaou G C, Varadhan S R. S Boundary value problems
with rapidly oscillating random coefficients//Seria Coll. Janos Bolyai, N 27,
Amsterdam North Holland, 1981. P. 835—873
145. Rayleigh J. W. On the influence of obstacles arranged in rectangular or-
order upon the properties of a medium//Phys. Mag. 1892. V. 32, N 241. P. 481 —
491.
146 Sanchez-Palencia E. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity
and vibration of systems with concentrated masses//Trends and Applications
of Pure Mathematics to Mechanics. Lecture Notes in Phys. N 155 Berlin
Springer Verlag, 1984. P 346—368.
147. Sanches-Palencia E., Tchatat H. Vibration de system elastiques
avec des masses concentrees//Rend Sem. Mat. Univers. Politech. Torino 1984.
V. 42, N 3. P. 43—63.
148. Spagnolo S. Sul limite dell soluzioni di problemi di Cauchy relative
all'equazione del calore//Ann Scuola Norm. Sup. Pisa 1967. V. 21. P. 637—
699.
149. Spagnolo S Sulla convergenza di soluzioni di equazioni paraboliche ed
ellittiche//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 1968. V. 22. P 577—597.
150 Tartar L. Estimations fines de coefficients homogeneises//Ennio de Giorgi
Colloquium Research Notes in Mathematics, N 125. Boston. Pitman, 1985.
P. 168—187.
151. Tartar L. Homogenization Cours Peccot. College de France Paris, 1977.
152. Tartar L. Estimation des coefficients homogeneises//Lecture Notes in
Math. N 704. Berlin: Springer Verlag, 1977. P. 364—373.
153. Tartar L Compensated compactness and applications to partial differen-
differential equations//Nonlinear Analysis and Mechanics, Heriot—Watt Symp, V. IV,
R. J. Knops ed., Pitman Press, 1979. P. 136—212.
310

154. Той pin R. A. Saint-Venant's Principle//Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V. 1„
N 2 P. 83—96.
155. Vanninathan M. Homogeneisation des valeurs propers dans les milieux
perfores//C. r. Acad. Sci Paris. 1978. V. 287. P. 403—406.
156. Vanninathan M. Homogeneisation des problemes des valeurs propers
dans les milieux perfores. Probleme de Dirichlet//C. r. Acad. Sci Paris. 1978.
V 287. P 823—825.
157. Week N. An explicit Saint-Venant Principle in threedimensional elasticity//
//Lecture Notes in Math. N 564. Berlin- Springer Verlag, 1976.
158. Кондратьев В. А, Олейник О. А О зависимости констант в нера-
неравенстве Корна от параметров, характеризующих геометрию области//УМН.
1989. Т. 44, № 6. С. 157—158.

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СИЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ
УПРУГИХ СРЕД
Олейник Ольга Арсеньевна
Иосифьян Григорий Андроникович
Шамаев Алексей Станиславович
Зав редакцией Н. М. Глазкова
Редактор Л. А. Николова
Художественный редактор Л. В. Мухина
Технический редактор О. В. Андреева
Корректоры И. А Мушникова, М. А. Мерецкова
ИБ № 3658
Сдано в набор 7 03 90 Подписано в печать 12 10 90 Формат 60X90/16
Бумага офс. № 2 Гарнитура литературная Высокая печать. Уел печ. л. 19,5
Уч изд. л. 19,9 Тираж 1200 экз Заказ 269 Изд № 1200 Цена 4 р. 30 к.
Ордена «Знак Почета» издательство Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ.
119899, Москва, Ленинские горы