Автор: Тимошенко С.П. Гере Дж.
Теги: общетехнические дисциплины техника механика
ISBN: 5-9511-0003-8
Год: 2002
Текст
5*ерЬеп Р. Т1МОБНЕЫКО
]аппе5 М. ОЕКЕ
8А1ЫТ-РЕТЕК8ВШС
М08С(Ж
2002
С. П. ТИМОШЕНКО
Дж. ГЕРЕ
(Ш
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
МОСКВА
2002
ББК 30.121
Т 41
Т 41
Тимошенко С. П., Гере Дж.
Механика материалов: Учебник для вузов. 2-е изд., стер. — СПб.:
Издательство «Лань», 2002.— 672с.— (Учебники для вузов.
Специальная литература).
18ВМ 5-9511-0003-8
Книга содержит энциклопедически полное изложение методов расче¬
та материалов на прочность и устойчивость. В ней представлено исследо¬
вание напряженно-деформированного состояния стержневых систем при
самых различных условиях нагружения. Изложение сопровождается хо¬
рошо продуманными примерами, наглядными графиками, обстоятельными
историческими комментариями. Широта охвата тематики и обилие кон¬
кретного фактического материала позволяют использовать книгу в каче¬
стве справочника и делают ее ценным учебным пособием.
Книга представляет интерес для широкого круга лиц, интересую¬
щихся механикой материалов. Она будет полезна преподавателям, ас¬
пирантам и студентам старших курсов втузов.
ББК 30.121
Перевод Л. Г. КОРНЕЙЧУКА
Под редакцией Э. И. ГРИГОЛЮКА
Оформление
С. ШАПИРО, А. ЛАПШИН
Охраняется законом РФ об авторском прайс.
Воспроизведение всей книги или любой ее чаетгл
запрещается без письменного разрешения издателя.
Любые попытки нарушения закона
будут преследоваться в судебном порядке.
© Издательство «Лань», 2002
© С. П. Тимошенко, Дж. Гере, 2002
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2002
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Эта книга привлекает внимание как своим несколько необычным
названием, так и именем первого из авторов, которое хорошо зна¬
комо многим поколениям инженеров. Неизменный интерес к трудам
Степана Прокофьевича Тимошенко определяется его огромным влия¬
нием на прогресс инженерного дела и на развитие высшего техниче¬
ского образования во всем мире. Ему принадлежат выдающиеся
результаты в теории упругости, теории удара и колебаний деформи¬
руемых конструкций, в расчете напряженно-деформированного со¬
стояния стержней, пластин, оболочек и конструкций различного
типа, теории устойчивости упругих и неупругих конструкций. Эти
результаты явились основой для последующего развития ряда об¬
ластей техники.
С. П. Тимошенко прожил долгую жизнь, полную непрестанного
труда. Он родился в 1878 г. под Коногопом, в 1901 г. окончил Пе¬
тербургский институт инженеров путей сообщения, преподавал в Пе¬
тербургском и Киевском политехнических институтах, Петербург¬
ском институте инженеров путей сообщения и Петербургском элек¬
тротехническом институте. Его учителями были Ф. С. Ясинский,
А. Н. Крылов, И. Г. Бубнов и В. Л. Кирпичев. В 1918 г. С. П. Ти¬
мошенко вошел в число шестнадцати действительных членов Ака¬
демии наук Украины и впоследствии стал первым директором
Института механики этой академии. В 1920 г. он выехал за границу
и с 1922 г. обосновался в Америке; там он сначала работал инже¬
нером в ряде фирм, а затем был профессором Мичиганского и
Станфордского университетов. В 1960 г. он переехал к своей стар¬
шей дочери в Вупперталь (ФРГ), где и скончался в 1972 г.
В 1928 г. С. П. Тимошенко был избран членом-корреспонден-
том АН СССР по техническому отделению; кроме того, он являлся
членом многих академий и научных обществ мира.
Прирожденный преподаватель, С. П. Тимошенко не прочитал
ни одной лекции, предварительно не записав ее; эти записи и соста¬
вили основу опубликованных им монографий и учебников. Педа¬
гогическое и инженерное мастерство автора, его умение не только
решать сложные задачи, но и излагать их решение в достаточно до¬
ступной форме привлекли к этим книгам внимание широкого кру¬
га читателей. Мировая инженерная литература насчитывает немно¬
го книг, систематически переиздававшихся на протяжении полу¬
6 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
века. К этим немногим относится и «Сопротивление материалов»
С. П. Тимошенко, выдержавшее за сравнительно короткое время
несколько изданий на русском языке, а затем трижды издававшееся
на английском 1). Эту книгу, не утратившую своего значения и по
сей день, знают все специалисты, однако менее известно, что в
свое время С. П. Тимошенко был составлен и задачник по сопротив¬
лению материалов 2).
Предлагаемая вниманию читателя книга написана С. П. Тимо¬
шенко совместно с профессором технической механики инженерно¬
го отделения Станфордского университета Джеймсом Монро Гере,
автором ряда известных монографий, посвященных различным воп¬
росам механики конструкций (колебаниям и устойчивости элемен¬
тов конструкций, расчету рамных систем, расчету минимального
веса сооружений и т. п.). Она представляет собой введение в основы
механики твердого деформируемого тела в рамках стержневой мо¬
дели, т. е. по существу является расширенным курсом сопротивле¬
ния материалов, в современном изложении которого первый из ее
авторов сыграл огромную роль.
Книга существенно отличается от упомянутого выше «Сопротив¬
ления материалов» как в расстановке акцентов, так и в отборе ма¬
териала.
Авторы излагают теорию напряженно-деформированного состоя¬
ния, описывают отдельное и суммарное действия изгиба, кручения
и растяжения упругих стержней. Они рассматривают статическое
приложение сил и действие ударного нагружения, освещают воп¬
росы изгиба стержней несимметричного поперечного сечения, в част¬
ности определения напряжений в тонкостенных несимметричных
профилях. Особое внимание уделяется теории изгиба стержней при
неупругих деформациях. Целая глава отводится расчету статически
Тимошенко С. П., Сопротивление материалов (курс, читанный в Киевском
политехническом институте в 1908 г.). Киев, типолит. «Прогресс», 1908, Часть 1:
389 стр.; Часть 2: 381 стр.
Тимошенко С. П., Курс сопротивления материалов. Киев, изд-во Л. Идзи-
ковского, 1911; изд. 2, 1913; изд. 3, 1916; изд. 4, 1918.
ПтозЬепко 5. Р., 51геп§гШ о[ 'та1епа1з. Раг1 I: Е1етеп1агу 1Ьеогу апс! ргоЬ-
1етз. Раг! II: Ас1уапсес1 Шеогу апс1 ргоЫетз. 1з1 ей., Ыем Уогк, Уап Ыоз1гапс1
Со., 1пс., 1930, Раг1 I: 368 р.; Раг1 II: 401—735 р. (русский перевод: Тимошенко
С. П., Сопротивление материалов. Часть I: Элементарная теория и задачи. Часть
II: Более сложные вопросы теории и задачи. Л.—М., Гостехиздат, Часть I: 1932,
360 стр.; Часть II: 1934, 320 стр.); 2пс1 ес1., Уогк, О. Уап Ыоз1гапс1 Со., 1пс.,
Раг1 I: 1940, 359 р.; Раг1 II: 1941, 510 р. (русский перевод: Л.—М., Гостехиздат,
Часть I: 1945, 320 стр.; Часть II: 1946, 456 стр.); Згс1 ос!., Тогоп1о — Уогк —
Ьопс1оп, О. Уап Ыоз1гапс1 Со., 1пс., Раг! I: 1955, 442 р.; Раг1 II: 1956, 572 р. (рус¬
ский перевод: М., «Наука», 1965, Часть I: 363 стр.; Часть II: 480 стр.).
2) Тимошенко С. П., Сборник задач по сопротивлению материалов. Киев,
типолит. «Прогресс», 1908, 96 стр.; изд. 2, 1910, вып. 1, ПГ|-90 стр., вып. 2,
11+110 стр.; изд. 3, Петроград, типография А. Э. Коллинса, 1915, УП-[-204 стр.
Всего этот задачипк выдержал двенадцать издании.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 7
неопределимых стержневых систем; специально обсуждаются ва:
риационные методы расчета.
Исторические замечания, содержащиеся в книге, собраны в от¬
дельный раздел, который может быть с интересом прочитан и не¬
зависимо от основного текста. Самостоятельную ценность имеют и
многочисленные хорошо подобранные и детально разобранные при¬
меры, а также задачи, которые даются к каждой главе (этих задач
более шестисот).
Для удобства читателя все числовые результаты при переводе
пересчитаны в метрическую систему; это относится и к основному
тексту, и к примерам, и к задачам. По тем же соображениям таб¬
лицы характеристик некоторых стандартных профилей заменены со¬
ответствующими отечественными ГОСТами (см. приложение В).
В качестве приложения к переводу мне представилось умест¬
ным дать перевод статьи С. П. Тимошенко «Основы теории упру¬
гости», которая опубликована в справочнике по эксперименталь¬
ному определению напряжений А) и содержит изумительное по
форме и красоте изложение элементов теории упругости. Она явля¬
ется логическим продолжением основного текста книги и пре¬
красно гармонирует с ним.
Данная книга была задумана как первая часть двухтомного
издания, однако его второй том «Расширенный курс механики
материалов» (Ас1уапсес1 тесНашсз о! та!епа1$) не был закончен
при жизни С. П. Тимошенко. Как сообщил нам Дж. Гере, ра¬
бота над ним вряд ли будет завершена. Поэтому мы позволили
себе снять в тексте ссылки на второй том.
Книгу в целом отличает глубоко продуманная последовательность
изложения — от частного к общему — и разумное повторение ма¬
териала, позволяющее глубже вникнуть в существо вопроса. Она
несомненно понравится студентам и преподавателям высших
учебных заведений, а также инженерам и всем, кто интересуется
механикой деформируемых твердых тел.
Э. И. Григолюк
Москва, 1975 г.
3) Тииозйепко 5. Р., Ршк1атепЫ$ оГ 1Ье 1Неогу о( е1а$иа1у. В книге «Нап(1-
Ьоок о? ехрептепЫ $1ге5$ апа1у$!5», ес1. Ьу М. .Не1епу1. Ые\у Уогк, ЛоЬп \\7Пеу апс1
5оп$, 1пс., КогнЬп, СЬаршап апс! На 11, ЬЫ, 1950, рр. 1013—1034.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Уже давно назрела необходимость написать учебник по механике
материалов, который нужен и студентам, впервые приступающим
к изучению предмета, и дипломированным инженерам, которые
нуждаются в достаточно надежном источнике справок. В настоящей
книге мы задались целью выполнить оба эти требования. Мы пыта¬
лись изложить теории и методы в доступной и легкой для восприятия
форме, с пространными рассуждениями и иллюстративными приме¬
рами, так что студенты могут легко овладеть основами предмета.
Однако изложение зачастую выходит за рамки элементарного: оно
охватывает и проблемы повышенной сложности, и более частные
вопросы. Таким образом, инженер, является ли он конструктором
или исследователем, стремится ли он самостоятельно углубить свои
познания, тоже найдет в данной книге много дополнительного ма¬
териала, представляющего для него интерес.
Даже беглого взгляда на оглавление достаточно, чтобы увидеть,
какие темы освещаются в этой книге. Сюда входят и методы расчета
элементов конструкций при продольном нагружении, кручении и
изгибе, и основные понятия механики материалов (энергия, преобра¬
зование напряжений и деформаций, неупругое деформирование и
т. д.). К частным вопросам, интересующим инженеров, относятся
влияние изменения температуры, поведение непризматических
балок, большие прогибы балок, изгиб несимметричных балок, опре¬
деление центра сдвига и многое другое. Наконец, последняя глава
представляет собой введение в теорию расчета конструкций и энер¬
гетические методы, включая метод единичной нагрузки, теоремы
взаимности, методы податливостей и жесткостей, теоремы об энер¬
гии деформации и потенциальной энергии, метод Рэлея — Ритца,
теоремы о дополнительной энергии. Она может служить основой
для дальнейшего изучения современной теории расчета конструкций.
Включенный в книгу материал, очевидно, более обширен, чем
это требуется в обычном курсе высшего учебного заведения, поэто¬
му каждый преподаватель имеет возможность отобрать именно тот
материал, который представляется ему наиболее важным и инте¬
ресным. Преподаватели оценят и сотни новых задач, представлен¬
ных в данной книге, которые могут предназначаться как для до-
мдшних заданий, так и для аудиторных занятий.
Ю ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Читатель не сможет пройти мимо обширной библиографии, соб¬
ранной в конце книги. Эта библиография дает представление об
историческом развитии и оригинальных работах по данному во¬
просу. Более того, поскольку наибольший интерес представляют
ученые-первооткрыватели, сделавшие первые шаги в решении той
или иной проблемы, сюда во многих случаях включены замечания
биографического характера.
Э^га книга «новая» в том смысле, что в ней дано совершенно новое
представление механики материалов, охватывающее наиболее ак¬
туальные ее вопросы. В то же время она «старая», поскольку явля¬
ется дальнейшим развитием известного двухтомника «Сопротивле¬
ние материалов» проф. С. П. Тимошенко. «Сопротивление мате¬
риалов» последний раз пересматривалось в 1955—1956 гг., когда
было опубликовано третье его издание; второе издание вышло в свет
в 1940—1941 гг., а первое — в 1930 г. (речь идет об изданиях на
английском языке.— Ред.). Более того, первое издание практиче¬
ски основывалось на нескольких более ранних версиях, опублико¬
ванных в России (первая из них вышла еще в 1908 г.; перечень этих
изданий можно найти в списке литературы к автобиографии С. П. Ти¬
мошенко х)). Авторы надеются, что данная книга вместе с последую¬
щим томом «Расширенный курс механики материалов»2) продол¬
жит эту цепь изданий учебников до наших дней.
Очевидно, невозможно перечислить здесь всех лиц, которые
так или иначе принимали участие в издании этой книги и которым
авторы приносят свою признательность, но в первую очередь ав¬
торы обязаны проф. Дж. Янгу, прочитавшему рукопись и давшему
много полезных советов. Мы весьма благодарны и другому нашему
коллеге, проф. Уильяму Уиверу, за его советы по главе о расчете
конструкций и энергетических методах. Авторы адресуют свою при¬
знательность и студентам, которые изучали ранние варианты книги
и с помощью которых авторы учились, как писать более совершен¬
ные учебники. И, разумеется, книга не появилась бы на свет без
помощи преданных секретарей м-сс Марк Ф. Нельсон, Джейн Мак¬
кензи, м-сс Ричард Э. Платт и Сьюзен Беннет. Авторы считают своим
приятным долгом выразить всем им искреннюю благодарность.
С. П. Тимошенко
Дж. М. Гере
Станфорд, Калифорния
Июль 1971 г.
1) ИшовНепко 5. Р., А& I гешешЬег. Уогк — Ьопс1оп — Тогоп1о, О. Уап
Ыо51гапс1 Со., 1пс., 1968, 430 р.; см. также примечание на стр. 6 настоящего
издания и послесловие к книге: Тимошенко С. П., Статические и динамические
проблемы теории упругости. Киев, «Наукова думка», 1975, стр. 515—559.—
Прим. ред.
2) См. предисловие редактора перевода.— Прим. ред.
сЛ
РАСТЯЖЕНИЕ,
СЖАТИЕ И СДВИГ
1.1. ВВЕДЕНИЕ
Механика материалов представляет собой раздел прикладной
механики, в котором изучается поведение твердых деформируемых
тел при различных видах нагружения. Она составляет область зна¬
ний, известную под различными названиями, включая «сопротив¬
ление материалов» и «механика деформируемых тел». Твердые де¬
формируемые тела, рассматриваемые в данной книге, это стержни,
валы, балки, стойки, а также конструкции из этих элементов. Пред¬
метом нашего исследования будет, как правило, определение на¬
пряжений, деформаций и искажения формы, вызванных нагрузками;
если бы все эти величины можно было определить для всех значений
нагрузки вплоть до разрушающей, то мы получили бы полную кар¬
тину механического поведения тела.
В механике материалов одинаково важную роль играют теоре¬
тические исследования и результаты экспериментов. Во многих
случаях будет дан математический вывод формул и соотношений для
описания механического поведения конструкции, но в то же время
следует отдавать себе отчет в том, что их нельзя использовать для
практики, пока не установлены некоторые свойства материала. Эти
свойства оказываются известными только после соответствующих
экспериментов, проведенных в лаборатории. Кроме того, многие
важные для техники проблемы не могут эффективно разрабатываться
средствами теории, поэтому практически экспериментальные наб¬
людения оказываются необходимыми.
Исторически развитие механики материалов представляет собой
блестящее смешение теории и эксперимента — эксперимента, ука¬
зывающего путь получения полезных результатов в одних случаях,
и теории, делающей то же в других. Экспериментами по опреде¬
лению прочности канатов, стержней и балок занимались такие зна¬
менитые ученые, как Леонардо да Винчи (1452—1519) и Галилео
Галилей (1564—1642), хотя они и не развили сколь-либо точных
(в соответствии с современными представлениями) теорий для объ¬
яснения полученных ими результатов. С другой стороны, блестя¬
12 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
щий математик Леонард Эйлер (1707—1783) построил математиче¬
скую теорию сжатых стержней и вычислил критическую нагрузку
для сжатого стержня еще в 1744 г., т. е. задолго до того, как появи¬
лось экспериментальное подтверждение, указывающее на значимость
его результатов.
Таким образом, теоретические результаты Эйлера оставались не¬
использованными в течение многих лет, хотя сегодня они составляют
основу теории сжатых стержней *).
Важность сочетания теоретических построений с эксперимен¬
тальными способами определения свойств материалов будет стано¬
виться очевидной по мере того, как мы будем продвигаться в изу¬
чении предмета. Данную главу мы начнем с обсуждения некоторых
основных понятий, таких, как напряжение и деформация, а затем
приступим к исследованию поведения простых элементов конструк¬
ций, подвергающихся растяжению, сжатию и сдвигу.
1.2. НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ
Понятия «напряжение» и «деформация» можно элементарным
образом продемонстрировать на примере растяжения призматиче¬
ского стержня (см. рис. 1. 1, а). Призматический стержень представ-
т
/7-сЗ
—1
-1—
1 **
1* 1 ,
а
Рис. 1.1. Растяжение призматического стержня.
ляет собой стержень с постоянным по всей длине поперечным сече¬
нием и прямолинейной осью. В данном примере предполагается,
что стержень нагружен приложенными по концам осевыми силами Р,
которые вызывают равномерное вытягивание, или растяжение
стержня.
Проведя мысленно сечение стержня плоскостью тт, перпенди¬
кулярной его оси, можно выделить часть стержня, расположенную
История механики материалов, начиная с да Винчи и Галилея, приводится
в книгах [1.1—1.3].
1.2.
НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ 13
справа от этого сечения, и рассматривать ее как свободное тело
(рис. 1. 1, Ь). К правому концу этого тела приложена растягивающая
сила Р, а к левому — силы, представляющие собой действие на него
отброшенной части стержня. Эти силы будут непрерывно распреде¬
лены по всему поперечному сечению аналогично непрерывному рас¬
пределению гидростатического давления на погруженную в жидкость
поверхность. Интенсивность силы, т. е. сила, отнесенная к единице
площади, называется напряжением и обычно обозначается грече¬
ской буквой а. Предполагая, что напряжения равномерно распре¬
делены по поперечному сечению (см. рис. 1. 1, Ь), легко заметить,
что их равнодействующая равна интенсивности сг, умноженной на
площадь Р поперечного сечения стержня. Кроме того, из условия
равновесия тела, изображенного на рис. 1. 1,6, также видно, что эта
равнодействующая должна быть равна по величине силе Р и про¬
тивоположна ей по направлению. Отсюда следует соотношение
0 = 7- (1Л>
Эта формула для равномерного напряжения в призматическом стерж¬
не показывает, что напряжение имеет размерность силы, деленной
на площадь, например килограмм на квадратный сантиметр (кГ/см-2).
Когда стержень растягивается силами Р, как это показано на ри¬
сунке, в результате возникает растягивающее напряжение; если
силы имеют противоположные направления и вызывают сжатие
стержня, то напряжение называется сжимающим.
Необходимым условием справедливости формулы (1.1) является
то, что напряжение а должно быть одинаково по всему попереч¬
ному сечению стержня. Это условие будет реализовано, если осе¬
вая сила Р будет приложена к центру тяжести поперечного сечения,
что можно показать при помощи уравнений равновесия (см. за¬
дачу 1.2.1). Если нагрузка Р приложена не к центру тяжести, то
в результате возникает изгиб стержня и при этом необходим более
сложный анализ (см. разд. 5.10). В данной книге везде предпола¬
гается, что все продольные силы приложены к центру тяжести по¬
перечного сечения, за исключением специально оговоренных случа¬
ев. Кроме того, если не утверждается противоположное, всюду
считается, что весом самого рассматриваемого элемента можно
пренебречь, как это было сделано при обсуждении стержня, изобра¬
женного на рис. 1.1.
Полное удлинение стержня, нагруженного осевой силой, будем
обозначать греческой буквой 3 (см. рис. 1.1, а), а удлинение, отне¬
сенное к единице длины, или иначе — деформацию, определим со¬
отношением
6
14 /. РАСТЯЖЕНИЕ. СЖАТИЕ И СДВИГ
где Ь — полная длина стержня. Заметим, что деформация е — без¬
размерная величина. Она может быть точно определена из соот¬
ношения (1.2), поскольку деформация одинакова по длине стержня.
При растяжении стержня имеет место деформация растяжения,
представляющая собой удлинение или растяжение материала; при
сжатии стержня возникает деформация сжатия, при которой
соседние поперечные сечения стержня сближаются.
1.3. ИСПЫТАНИЕ НА РАСТЯЖЕНИЕ
Зависимость между напряжением и деформацией для конкрет¬
ного материала определяется при помощи испытания на растяже¬
ние. Образец материала, обычно стержень кругового сечения, поме¬
щается в испытательную машину и подвергается растяжению. По
мере увеличения нагрузки измеряются сила, действующая на стер¬
жень, и его удлинение. Напряжение, возникающее в стержне, на¬
ходится делением силы на площадь поперечного сечения, а дефор¬
мация — делением удлинения на длину, на которой происходило
это удлинение. Для данного материала подобным путем может быть
получена полная диаграмма зависимости напряжения от дефор¬
мации.
Рис. 1.2. Типичная кривая зависимости напряжения от деформации для конструк¬
ционной стали: а — иллюстративная диаграмма (не в масштабе); Ь — диаграмма,
вычерченная в масштабе.
Типичный вид диаграммы зависимости напряжения от деформа¬
ции для конструкционной стали представлен на рис. 1.2, а кривой
ОАВСЭЕ; при этом осевые деформации отложены по оси абсцисс,
а соответствующие напряжения — по оси ординат. От точки О
до точки А напряжение и деформация прямо пропорциональны друг
другу и диаграмма соответствует линейной зависимости. Выше точки
А линейное соотношение между напряжением и деформацией больше
не имеет места, поэтому напряжение, соответствующее точке Л,
называется пределом пропорциональности. Для малоуглеродистых
(конструкционных) сталей предел пропорциональности обычно ле¬
1.3.
ИСПЫТАНИЕ НА РАСТЯЖЕНИЕ 15
жит между 2100 и 2550 кГ/см2, но для высокопрочных сталей он мо¬
жет быть значительно больше.
При дальнейшем увеличении нагрузки деформация растет быст¬
рее, чем напряжение, до тех пор, пока в точке В не начнут возникать
значительные удлинения без заметного возрастания растягивающей
силы. Подобное явление известно под названием течения материала,
а напряжение в точке В называется пределом текучести. На участ¬
ке ВС материал становится пластическим; фактически стержень
может удлиняться в пластическом состоянии в 10—15 раз больше,
чем до предела пропорциональности. В точке С материал начинает
упрочняться и проявлять дополнительное сопротивление увеличе¬
нию нагрузки. Таким образом, при дальнейшем удлинении напря¬
жение возрастает и достигает в точке О своего максимального зна¬
чения, или предела прочности. Выше этой точки дальнейшее вытя¬
гивание стержня сопровождается уменьшением нагрузки и, наконец,
в точке Е диаграммы начинается разрушение образца.
При удлинении стержня возникает боковое обжатие, приводящее
к уменьшению площади поперечного сечения стержня. Это явление
не оказывает влияния на вид диаграммы зависимости напряжения
от деформации вплоть до точки С, но выше этой точки уменьшение
Рис. 1.3. Образование ишйки в стержне при растяжении.
площади оказывает значительное влияние на вычисленные значения
напряжения. В стержне образуется четко выраженная шейка (см.
рис. 1.3), и если при вычислении напряжения а брать действитель¬
ную площадь поперечного сечения, расположенного вблизи шей¬
ки, то оказывается, что истинной диаграмме зависимости напряже¬
ния от деформации соответствует штриховая линия СЕ'. Хотя на
самом деле полная нагрузка, которую может выдерживать стержень
после того, как достигнут предел прочности, несколько снижается
(отрезок ОЕ), это снижение обусловлено уменьшением площади,
а не потерей прочности самого материала. В действительности же
в материале напряжения возрастают вплоть до точки разрушения.
Однако в большинстве практических случаев для проектирования
оказывается вполне достаточно условной диаграммы зависимости
напряжения от деформации ОАВСОЕ, построенной в предположе¬
нии неизменности площади поперечного сечения образца.
Диаграмма на рис. 1.2, а была изображена для того,чтобы пока¬
зать общий характер кривой зависимости напряжения от деформа¬
ции для стали, но ее пропорции не соответствуют действительности,
потому что, как уже отмечалось выше, деформация на участке от
В до С может быть в 15 раз больше деформации на участке от О до А.
16 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
Аналогично деформации на участке от С до Е значительно больше
тех, которые возникают на участке от В до С. Диаграмма, построен¬
ная в надлежащих пропорциях, представлена на рис. 1.2, Ь. На этом
рисунке деформации от О до Л настолько малы по сравнению с де¬
формациями от А до Е, что их просто нельзя различить, поэтому
линейная часть диаграммы представляется вертикальной прямой.
си мости напряжения от деформа¬
ции для конструкционного алю¬
миниевого сплава.
Рис. 1.5. Типичная кривая
зависимости нанряжения от
деформации для хрупкого ма¬
териала.
Наличие четко выраженного предела текучести, соответствую¬
щего большим пластическим деформациям, до некоторой степени ха¬
рактерно именно для стали, которая в настоящее время является
наиболее распространенным конструкционным металлом. Для алю¬
миниевых сплавов имеет место более плавный переход от линейной
области к нелинейной, как это видно из диаграммы зависимости на¬
пряжения от деформации на рис. 1.4. Как в стали, так и в большинст¬
ве алюминиевых сплавов разрушению будут предшествовать боль¬
шие деформации, поэтому такие металлы классифицируются как
пластичные. С другой стороны, так называемые хрупкие материалы
разрушаются при сравнительно низких значениях деформации
(см. рис. 1.5). Примерами могут служить керамика, чугун, бетон,
сплавы некоторых металлов и стекло.
Диаграммы, аналогичные полученным при растяжении, можно
построить для различных материалов и при сжатии и снова опреде¬
лить такие характерные напряжения, как предел пропорциональ¬
ности, предел текучести и предел прочности. Было обнаружено,
что для стали предел пропорциональности и предел текучести оди¬
наковы как при растяжении, так и при сжатии. Разумеется, для мно¬
гих хрупких материалов характерные напряжения при сжатии го¬
раздо больше, чем при растяжении *).
*) Диаграмма зависимости напряжения от деформации впервые была пост¬
роена Яковом Бернулли (1654—1705) и Ж- В, Понселе (1783—1867); см. [1.41.
1.3.
ИСПЫТАНИЕ НА РАСТЯЖЕНИЕ 17
Упругость. Диаграммы зависимости напряжения от деформа¬
ции, изображенные на рис. 1.2, 1.4 и 1.5, показывают поведение раз¬
личных материалов при растяжении в процессе нагружения. Когда
образец материала разгружается, т. е. когда нагрузка постепенно
уменьшается до нуля, удлинение, которое возникло при нагруже¬
нии, будет или частично, или полностью исчезать. Это свойство ма¬
териала, который при разгрузке стремится вернуться к своей перво¬
начальной форме, называется упругостью. Если стержень полностью
восстанавливает свою первоначальную форму, то его называют
идеально упругим, если же частично — то частично упругим. В пос¬
леднем случае удлинение, которое остается в стержне после того,
как снята нагрузка, называется остаточной деформацией.
При проведении испытания материала на растяжение нагрузка
может быть доведена до некоторой (небольшой) заданной величины
и затем снята. Если при этом не обнаружится остаточной деформа¬
ции, т. е. если деформация стержня обратится в нуль, то материал
является упругим вплоть до напряжения, соответствующего выб¬
ранной величине нагрузки. Подобные процессы нагружения и раз¬
грузки могут повторяться для последовательно увеличивающихся
значений нагрузки. В конце концов будет достигнуто такое напря¬
жение, когда при разгрузке стержень не вернется в исходное со¬
стояние. Таким образом может быть определено напряжение, пред¬
ставляющее собою верхнюю границу упругой области. Это напря¬
жение называется пределом упругости. Для стали так же, как и для
многих других металлов, предел упругости и предел пропорцио¬
нальности почти совпадают. Однако в резиноподобном материале
свойство упругости может сохраняться далеко за пределом про¬
порциональности.
Допускаемое напряжение. При проектировании конструкции
необходимо обеспечить, чтобы при рабочих условиях конструкция
с достаточной точностью выполняла те функции, для осуществле¬
ния которых она спроектирована. С точки зрения способности
конструкции выдерживать нагрузки максимальное напряжение
следовало бы сохранять ниже предела пропорциональности, по¬
скольку только в этом случае при приложении и последующем сня¬
тии нагрузок не возникнут остаточные деформации. Для того чтобы
предусмотреть случайные перегрузки конструкции, а также воз¬
можные неточности изготовления конструкции и учесть возможность
использования при исследовании конструкции неизвестных перемен¬
ных, обычно вводится коэффициент запаса прочности путем выбора
допускаемого напряжения (или рабочего напряжения), меньшего
предела пропорциональности. Например, при расчете конструкции
из стали, имеющей предел текучести 2200 кГ/см2, в качестве допу¬
скаемого напряжения часто принимают 1400 кГ/см2. Таким образом,
коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести
18 /. РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
равен 1,57. В других случаях рабочее напряжение устанавливается
путем выбора соответствующего коэффициента запаса прочности
по отношению к пределу прочности. Обычно таким образом посту¬
пают при использовании хрупких материалов, например бетона,
а также материалов, подобных древесине. В общем случае, когда
проектирование ведется на основе допускаемых напряжений, для
получения допускаемого напряжения ац можно использовать одно
из следующих соотношений:
где сгт и (тв—предел текучести и предел прочности (временное сопро¬
тивление разрыву), а пг и п2—коэффициенты запаса прочности.Опре¬
деление коэффициентов запаса прочности — дело сложное, потому
что они зависят и от типа используемого материала, и от условий
работы конструкции. Когда имеют место динамические нагрузки
(внезапно приложенные или меняющиеся по величине), например
в элементах конструкций машин, самолетов, мостов и т. д., из-за
возможности усталостного разрушения необходим больший запас
прочности, чем для таких же конструкций при статических нагруз¬
ках.
Отличным от указанного выше расчета по допускаемым напряже¬
ниям является расчет конструкций по коэффициенту запаса проч¬
ности по отношению к разрушению. Сначала надо определить
величину нагрузки (или нагрузок), которая вызовет разрушение
конструкции, а затем найти допускаемую нагрузку (или рабочую на¬
грузку) путем деления предельной нагрузки на соответственно выб¬
ранный коэффициент нагрузки. Подобный метод расчета называется
расчетом по предельной нагрузке, и, как можно видеть, в этом слу¬
чае при определении рабочих нагрузок величины фактических на¬
пряжений, возникающих в конструкции, непосредственно не ис¬
пользуются. В общем случае при проектировании металлических
конструкций применяется как метод расчета по рабочим напряже¬
ниям, так и метод расчета по предельным нагрузкам. Определение
предельных нагрузок для некоторых простых конструкций будет
обсуждаться ниже в разд. 1.8 и 9.5.
1.4. ЛИНЕЙНАЯ УПРУГОСТЬ И ЗАКОН ГУКА
Большинство конструкционных материалов имеют начальный
участок кривой зависимости напряжения от деформации, где ма¬
териал ведет себя как упруго, так и линейно. Примером служит
участок от О до Л на диаграмме зависимости напряжения от дефор¬
мации для стали (см. рис. 1.2, а); другими примерами являются участ¬
ки, лежащие ниже пределов пропорциональности на рис. 1.4 и 1.5.
Когда материал ведет себя упруго и, кроме того, существует линей¬
1.4.
ЛИНЕЙНАЯ УПРУГОСТЬ И ЗАКОН ГУКА 19
ная зависимость между напряжением и деформацией, его называют
линейно упругим. Это исключительно важное свойство многих твер¬
дых материалов, таких, как большинство металлов, пластмассы,
древесина, бетон и керамика.
Линейная зависимость между напряжением и деформацией при
растяжении стержня может быть выражена простым соотношением
о=Ег, (1.4)
где Е — коэффициент пропорциональности, известный как модуль
упругости материала. Можно видеть, что модуль упругости пред¬
ставляет собою тангенс угла наклона диаграммы зависимости на¬
пряжения от деформации на линейно упругом участке и различен
для разных материалов.
Некоторые характерные значения модуля упругости Е даны
в табл. 1.1 (отметим, что модуль упругости имеет ту же размерность,
что и напряжение). Для большинства материалов модуль упругости
при сжатии такой же, как и при растяжении. Обычно при расчетах
растягивающие напряжение и деформация принимаются за поло¬
жительные, а сжимающие напряжение и деформация — за отри¬
цательные.
Модуль упругости иногда называют модулем Юнга в честь анг¬
лийского ученого Томаса Юнга (1773—1829), который изучал упру¬
гое поведение стержней [1.5, 1.61. Соотношение (1.4) обычно называ¬
ется законом Гука в память о работах другого английского ученого —
Роберта Гука (1635—1703), который впервые экспериментально
установил существование линейной зависимости между нагрузкой
и удлинением [1.7, 1.8].
Когда стержень нагружается простым растяжением (см.
рис. 1.1, а), осевые напряжение и деформация равны соответственно
о—Р/Р и &=§//,, как было указано выше (формулы (1.1) и (1.2)).
Присоединяя к этим соотношениям закон Гука (в—Ег), получаем
следующее выражение для удлинения стержня:
6-^. (1.5)
Из этого выражения следует, что удлинение линейно упругого
стержня прямо пропорционально нагрузке и длине и обратно про¬
порционально модулю упругости и площади поперечного сечения.
Произведение ЕР называется жесткостью стержня при растяжении
или сжатии.
Податливость стержня (рис. 1.1, а) определяется как удлине¬
ние, вызванное единичной нагрузкой; поэтому, как видно из выра¬
жения (1.5), податливость равна Ы(ЕР). Аналогично жесткость
стержня определяется как сила, необходимая для единичного уд¬
линения; следовательно, жесткость равна ЕР/Ь и является величи¬
ной, обратной податливости. Податливость и жесткость играют важ-
Таблица 1.1. Типичные механические характеристики материалов1)
К 2
ну
О
и *
>>
К*» 4)
и
Л Я
•=: «
>» ^
^ &
I
а*
л
жи
I
8
о
о
о
о
о
о
о
о
ю
о
о
о
о
ю
см
см
см
о
см
см
о
ю
о
(ч.
см
г-~
о
о
о
о
о
о
о
1=3
*=(
&
»=*
«=1
«=С
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
ю
о
о
оо
ю
см
см
см
СО
н
н
н
н
Рн
о
о
о
о
о
о
о
о
о
*=*
о
о
н
О
о
о
см
о
о
Г",
о
о
оо
8
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
ю
о
ю
см
СП
см
00
см
см
о
СО
тр
со
СО
см
тг
»=с
о
о
о
*=«
о
о
1
п
§[
§:
п
3500
1250
1
1
3
о
ю
о
1
о
о
о
о
о
1
I
о
о
о
о
о
ю
г-
("
оо
<М
о
5
н
о
н
о
н
о
м
о
н
о
5
о
к*
ад СО
«о
«о
«о
«о
СО
со
СО
«О со
о о
о
о
о
о
о
о
о
о о
1 —1
1
’Т
^ ю
о
см
сч
ь-
ю
1
см
см
СГ>
ю
Г''1- ^
Г- 00
1
оо
ОО
оо
ОО
1
см
см
со
Г -
1
см
<м
со
оо
со
о" о"
о”
о"
о"
о"
о"
о"
о"
о" о"
н
о
н о
о §
о
о
«=с
(О
о
«о
о
(О
о
<0
о
о ^
СО
<о
со
о
со со
(О со
о о
СО
«о <о
° 2
1 1
о
о
"Т
о о
о
со
со
10
1Л
__ •
см
^ '—•
о ^
о
о
2?
ОО
1Л
1Л
см
О
см
г-
о
о
оо
«<м
о
о
о -<
см "см"
ю
о" о"
о"
о"
о"
О*4
От 0
0,
о
см" см
<5
оо
, ,
оо
00
О) ^
СП
о
_
_
1Л
Г4-
ю
Г4-
1Л
ю
ю
00
00
СМ 00
со
оо
оо
оо
ОО
г^
00
оо
см"
г^>
г-
см"
н
о
оо"
оо"
см
оо"
г^.
1"-"
оо"
о" о"
<53
»х
к
ж
к
ч
<
л
X
я
о
а<
Ш
О)
Е
са
*
и
&
<и
РЭ
а»
*
я
и
Ц*
К
Ж
О
Он
>>
о
ч
ь
и
о
а,
с:
о
х
о
о
Я
ш
X
о
а<
Он
*©*
) Некоторые из этих характеристик меняются в широких пределах в зависимости от состава, термообработки, холодной обработки
За исключением оговоренных случаев, характеристики относятся к растяжению.
1.4.
ЛИНЕЙНАЯ УПРУГОСТЬ И ЗАКОН ГУКА 21
ную роль при анализе различного вида конструкций, что будет по¬
казано ниже в гл. 1!.
Коэффициент Пуассона. При действии на стержень растяги¬
вающей нагрузки осевое удлинение сопровождается уменьшением
поперечного размера, т. е. с увеличением длины стержня его шири¬
на уменьшается. Отношение деформации в поперечном направле¬
нии к продольной деформации для упругой области постоянно; оно
называется коэффициентом Пуассона и обозначается греческой
буквой V; таким образом,
поперечная деформация ^
~ продольная деформация ’ V • /
Эта постоянная названа по имени известного французского мате¬
матика С. Д. Пуассона (1781—1850), который попытался вычислить
это отношение на основе молекулярной теории материалов [1.9].
Пуассон обнаружил, что для материалов, имеющих одинаковые уп¬
ругие свойства во всех направлениях, т. е. для так называемых изот¬
ропных материалов, V^0,25. Существующие эксперименты с метал¬
лами показывают, что коэффициент Пуассона обычно имеет значе¬
ния от 0,25 до 0,35.
Рис. 1.6. Изменение объема при растяжении куба, длина ребра
которого равна единице.
Если для материала известны коэффициент Пуассона и модуль
упругости, то можно подсчитать изменение объема стержня при ра¬
стяжении. Изменение объема показано на рис. 1, 6, где изображается
малый элемент материала, вырезанный из растягиваемого стержня.
Первоначальный элемент берется в виде куба аЬМе^цгН, длина ребра
22 РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
которого равна единице. Направление действия осевой силы пока¬
зано на рисунке напряжениями а. Удлинение ребра такого куба
в направлении нагружения равно е=а/Е, укорочение ребер куба
в обоих поперечных направлениях составляет Vе. Таким образом,
площадь поперечного сечения куба уменьшается в отношении
(1—V&)2 : 1, а объем увеличивается в отношении (1+е)(1—ге)2 : 1.
Если раскрыть скобки в выражении, стоящем в левой части пос¬
леднего отношения, и опустить слагаемые, в которые входят квад¬
раты и куб малой величины е, то это отношение упростится и примет
вид (1+е—2Vе) : I. Изменение объема равно разности между окон¬
чательным и первоначальным объемами, т. е. е(1—2V). Эта величина
называется относительным изменением объема и может быть пред¬
ставлена в виде
^ = е(1-2у). (1.7)
Здесь Д У/У есть отношение изменения объема А К к первоначальному
объему V. Это выражение можно использовать для вычисления из¬
менения объема растягиваемого стержня, если известны осевая де¬
формация в и коэффициент Пуассона V.
Поскольку представляется нереальным предположение, что ка-
кие-либо материалы могут уменьшать свой объем при растяжении,
из выражения (1.7) можно сделать вывод, что коэффициент Пуассона
V должен быть всегда меньшим 0,5. Резина и парафин представляют
собой два вида материалов, которые практически не меняют объема
при растяжении, поэтому для указанных материалов коэффициент V
приближается к своему предельному значению 0,5. С другой сто¬
роны, пробка — материал, для которого V практически равен нулю,
в то время как для бетона V примерно равен 0,1.
Приведенное выше обсуждение уменьшения поперечного раз¬
мера, происходящего при растяжении, может быть распространено
также и на случай продольного сжатия, за исключением того, что
последнее сопровождается увеличением поперечного размера. Для
практических целей числовое значение V при сжатии и при растяже¬
нии материала можно считать одинаковым.
1.5. ПРОДОЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
ПРИ ОСЕВОМ НАГРУЖЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
Существует множество примеров осевого нагружения стержней,
продольные перемещения в которых могут быть определены с по¬
мощью формулы (1.5). Например, можно легко определить продоль¬
ные перемещения в стержнях, нагруженных не только приложен¬
ными по концам силами, но и одной или несколькими промежуточ¬
ными осевыми силами, как показано на рис. 1.7. Процедура опре¬
деления продольного перемещения в стержне, изображенном на
1.5.
ПРОДОЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ОСЕВОМ НАГРУЖЕНИИ 23
этом рисунке, состоит из нахождения осевых сил, действующих на
каждом участке стержня, т. е. на участках АВУ ВС и СГ)У а затем
в вычислении удлинения (или укорочения) каждого участка в от¬
дельности. Далее для получения полного изменения длины всего
стержня эти изменения длин суммируются алгебраически. Такой же
метод может быть использован и тогда, когда стержень состоит из
частей, имеющих различные площади поперечных сечений (рис. 1.8).
'\ЧЧУ\ч\\\
2 Р
2Р
^/3
Ф
Л,
Рг
Рис. 1.7. Стержень, нагружен¬
ный промежуточными осевыми
силами.
жтт
Рис. 1.8. Стержень со ступенча¬
то изменяющимся поперечным
сечением.
Таким образом, видно, что в общем случае полное удлинение б
для стержней, состоящих из нескольких участков, которые либо
нагружены различными осевыми силами, либо имеют различные
площади поперечных сечений, можно найти по формуле
о-8)
,= 1
где индекс I соответствует номеру участка стержня, а п означает
общее число участков.
Если либо осевая сила, либо площадь поперечного сечения не¬
прерывно меняется вдоль оси стержня, то формулой (1.8) пользо¬
ваться нельзя. Вместо этого удлинение можно найти, рассмотрев
малый элемент стержня, получив выражение для его удлинения и
проинтегрировав это выражение по всей длине стержня. Эта идея
иллюстрируется рис. 1.9, где предполагается, что суживающийся
стержень нагружен непрерывно распределенной осевой силой, в ре¬
зультате чего возникает переменная вдоль оси стержня сила. На
расстоянии х от левого конца стержня из него вырезаегся элемент
длиной йх. Как осевая сила Рх, действующая на этот элемент, так
и площадь Рх его поперечного сечения должны быть представлены
24 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
функциями от х. Тогда удлинение элемента будет равно
а удлинение всего стержня составит
о о
(1.9)
В тех случаях, когда выражение, стоящее здесь под знаком интегра¬
ла, трудно проинтегрировать в явной форме, для вычисления интег¬
рала следует использовать численный метод. Кроме того, выраже¬
ние (1.9) будет давать точные результаты для суживающихся стерж¬
ней постольку, поскольку углы между их сторонами малы. Как
частный пример можно указать, что если угол между сторонами ра¬
вен 20°, то максимальная ошибка при подсчете нормального напря¬
жения о=Р/Р составляет всего 3%. Для меньших углов ошибка
еще ниже. Если сужение стержня велико, то нужно использовать
более точные методы анализа (см. [1.10]).
Перемещения узлов ферм. Перемещения узлов простых ферм можно най¬
ти из геометрических соображений, зная изменение длины каждого отдельного
стержня фермы. Последнее, разумеется, можно определить описанными выше
методами. Для того чтобы продемонстрировать геометрический метод нахождения
перемещений узлов фермы, определим перемещение узла В фермы, изображенной
на рис. 1.10, а. Усилия Раь и РЪс> действующие в двух стержнях фермы, равны
причем РаЬ — растягивающее усилие, а Р&с — сжимающее. Изменения длин
стержней составляют
х
I
Рис. 1.9. Стержень с непрерывно
изменяющимися площадью по¬
перечного сечения и продольной
силой.
РаЬ — Р 0, Рьс — Р созесО,
РЬьс созес 0
Определение перемещения узла В начнем с предположения, что стержень А В
удлиняется на ЬаЬ (рис. 1.10, Ь), так что его конец попадает в точку В^. Затем
проведем дугу окружности с центром в точке А и радиусом, равным АВХ. Поскодь-
1.6.
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ 25
ку перемещение точки В очень мало, дугу можно заменить отрезком прямой, про¬
веденной через Вх перпендикулярно оси стержня АВ. Аналогично предполагается,
что стержень ВС укорачивается на величину 6Ьс и конец его попадает в точку В2.
Затем проводится другая дуга, имеющая центр в точке С и радиус СВ2• Эта дуга
заменяется отрезком прямой, проведенной через точку В2 перпендикулярно ВС.
Две перпендикулярные прямые пересекаются в точке В\ которая является окон¬
чательным местом расположения узла В. Таким образом, вектор, направленный
отточки В к точке В\ представляет собой перемещение узла В фермы.
Рис. 1.10. Определение перемещений узлов фермы с помощью диаграммы Виллио.
Для облегчения расчетов диаграмма перемещений (рис. 1.10, Ь) изображена в
увеличенном масштабе на рис. 1.10, с. Из этого рисунка видно, что горизонтальная
составляющая перемещения 6& равна ЬаЬ и что вертикальная составляющая этого
перемещения складывается из двух частей (В^В3 и В3В'). Расстояние ВхВ3 такое
же, как и ВВ±, равное 6&с$т 0. Расстояние В3В' можно найти из треугольника
В2В3В\ сторона В2В3 которого равна 6Ьс соз 0+6а&. Продолжая в том же духе,
найдем следующее выражение для вертикальной составляющей 6$:
ВХВ’ -ЬЬс 51П 0+ (ЬЬс соз 0 + 6д&) с1& 0 = 66с созес 0 + 6а& 0.
Найдя горизонтальную и вертикальную составляющие перемещения узла В,
можно без труда определить результирующее перемещение 6&.
Диаграммы перемещений, подобные представленным на рис. 1.10, с, являются
важным вспомогательным средством определения перемещений узлов ферм. Такие
диаграммы называются диаграммами Виллио, потому что впервые были предложе¬
ны французским инженером Д. В. Виллио в 1877 г. [1.11]. Для определения пере¬
мещений в фермах могут применяться и аналитические методы; весьма мощный
метод такого рода, так называемый метод единичной нагрузки, будет описан ниже
(разд. 11.3).
1.6. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ
В ходе предыдущих рассуждений постоянно предполагалось,
что осевые силы (усилия) в стержнях конструкции могли быть оп¬
ределены из уравнений равновесия. Такие конструкции называются
статически определимыми. Однако существуют другие случаи, ког¬
да уравнений статического равновесия оказывается недостаточно
для определения всех усилий в стержнях и реакций опор. Для по¬
добных статически неопределимых конструкций усилия в стержнях
и реакции опор могут быть найдены только при рассмотрении пере¬
мещений в конструкции.
26 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
Простой пример статически неопределимой конструкции при¬
веден на рис. 1.11, а. Стержень АВ на обоих концах присоединен
к жестким поверхностям и нагружен вдоль оси силой Р, приложен¬
ной в промежуточной точке С. На концах стержня возникнут силы
в
в
А
1*а
В
Рис. 1.11. Статически неопределимый стержень
(метод сил).
реакций /?а и /?ь, но их нельзя определить с помощью одних урав¬
нений равновесия1). Единственное уравнение статического равно¬
весия стержня имеет вид
Яа+Кь=Р (а)
и содержит обе неизвестные реакции, поэтому его недостаточно для
определения этих реакций. Второе уравнение должно быть получено
из рассмотрения возникающих в стержне перемещений.
Существуют два общих метода получения дополнительных урав¬
нений, необходимых для решения статически неопределимой зада¬
чи. Оба этих метода будут продемонстрированы на задаче о стержне,
изображенном на рис. 1.11, а. Применение первого метода начнем
с выбора одной реакции в качестве неизвестной величины. Выберем
для этого примера реакцию #а. Если эту реакцию удастся найти,
то другую реакцию Кь можно будет определить из уравнения равно¬
весия (а). Неизвестная величина На будет статически неопредели¬
мой неизвестной, или лишней неизвестной (если ее отбросить, как
это показано на рис. 1.11, Ь, конструкция станет статически опреде¬
лимой и в то же время не превратится в механизм). Таким образом,
с точки зрения создания конструкции, несущей сжимающие нагруз¬
*) Для того чтобы отличать реакции от нагрузок, приложенных к конструкции,
силы реакций обычно будут изображаться либо немного отодвинутыми от опор,
либо наискось перечеркнутыми стрелками, как это сделано на рис. 1.11, а.
1.6.
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ 27
ки, реакция на конце А не является необходимой, т. е. представля¬
ет собой лишнюю неизвестную. Конструкция, которая остается пос¬
ле отбрасывания лишней неизвестной, называется выделенной,
или основной, системой.
Рассмотрим теперь влияние силы Р на перемещение точки А
в основной системе (рис. 1.11, Ь). Соответствующее перемещение
равно
с РЬ
°Р—ЁР
и направлено вниз. Затем рассмотрим влияние лишней неизвестной
Ра на перемещение точки А (рис. 1.11, с). Заметим, что реакция
На теперь выглядит как сила, действующая на основную систему.
Вызванное действием этой силы перемещение вверх равно
б
ЕР ’
Полное перемещение б точки А, обусловленное одновременным дей¬
ствием сил Р п Ка, равно сумме бр и бд. Таким образом, считая пере¬
мещения, направленные вниз, положительными, получаем
6=бр—б д.
Так как в действительности перемещение б точки А равно нулю,
предыдущее равенство принимает вид
бн=б/>, (Ь)
или
РЬ /(Л
ЕР ~ ЕР '
откуда имеем
Я. = Г- ^
Определив из этой формулы Ра, другую реакцию рь можно найти
из уравнения равновесия (а):
р —Ра
кь—-1 •
Таким образом, для стержня найдены обе реакции.
Изложенный выше метод исследования статически неопредели¬
мого стержня теперь можно обобщить следующим образом. Одна
из неизвестных реакций выбирается в качестве лишней и затем вы¬
деляется из конструкции путем проведения сечения через стержень
и отбрасывания опоры. Затем оставшаяся система, которая явля¬
ется статически определимой и не превращается в механизм,
нагружаегся реально действующей силой Р и лишней неизвестной.
28 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
/9
\ка
р
СЕ
К
ь
Далее определяются перемещения, обусловленные действием этих
двух факторов, и полученные выражения подставляются в уравнение
совместности перемещений (Ь). Эго уравнение совместности выража¬
ет условие, накладываемое на перемещение, а именно в данном при¬
мере равенство нулю перемещения б.
А После подстановки выражений для пере-
1 мещений, записанных через усилия, в
уравнение совместности перемещений (с)
можно найти неизвестную силу по фор¬
муле (с1). И, наконец, оставшаяся неиз¬
вестная сила определяется из уравне¬
ния равновесия.
Такой метод анализа, в котором в
качестве неизвестных величин исполь¬
зуются усилия, часто называется мето¬
дом сил. Он также известен как метод
податливостей, поскольку в уравнении
совместности перемещений (с) коэффици¬
ент ЬЦЕР) при неизвестной величине На
х ар актер из у ет податл ивость системы.
Этот метод носит гораздо более общий
характер, чем показано здесь, и, как
будет видно в дальнейшем, может быть
использован для конструкций со многи¬
ми лишними неизвестными. В данном же разделе будут рассмотре¬
ны только очень простые статически неопределимые системы с одной
лишней неизвестной.
Сейчас вернемся ко второму методу исследования и используем
его для решения того же примера (рис. 1.12, а). При использова¬
нии второго метода в качестве неизвестной величины возьмем пере¬
мещение бс точки С, лежащей на стыке двух участков стержня.
Усилия Яа и /?ь, действующие в верхнем и нижнем участках стерж¬
ня, могут быть выражены через перемещение бс следующим обра¬
зом:
а
Рис. 1.12.
ределимый
Статически неоп-
стержень (метод
перемещений).
Ка
ЕР
(е)
При записи этих двух выражений предполагалось, что перемеще¬
ние 6е положительно, если оно направлено вниз и при этом вызыва¬
ет растяжение в верхней части стержня и сжатие — в нижней.
Следующий шаг состоит в выделении малого элемента около точ¬
ки С стержня в качестве свободного тела (рис. 1.12,6) и рассмотре¬
нии его равновесия. Действующими на это свободное тело силами
являются направленная вниз нагрузка Р, растягивающая сила Яа,
действующая на верхнюю часть, и сжимающая сила Яь< приложен-
1.6.
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ 29
ная к нижней части. Из условия равновесия имеем
<0
или
(8)
что дает
(Ь)
Зная 6С, из выражений (е) можно найти %а и Кь:
Ра=РЬ/Ьу Кь^Ра/Ь.
Эти результаты, разумеется, совпадают с полученными ранее.
Коротко можно сказать, что второй метод исследования начина¬
ется с выбора в качестве неизвестной величины соответствующего
перемещения. Это перемещение должно быть выбрано таким обра¬
зом, чтобы через него можно было выразить силы, действующие в
отдельных частях конструкции. Затем из этих сил составляется
уравнение равновесия (?). После подстановки в него выражений для
сил, записанных через перемещения, что приводит к уравнению
(§), по формуле (Н) можно определить неизвестное перемещение.
Наконец, зная это перемещение, можно найти силы.
Этот метод исследования называется методом перемещений,
или методом жесткостей. Первое наименование связано с исполь¬
зованием перемещений в качестве неизвестных, а второе обуслов¬
лено тем, что в уравнении (§) коэффициенты ЕР /а и ЕР/Ь являются
жесткостями. Этот' метод также носит весьма общий характер, так
что его можно использовать при исследовании многих типов кон¬
струкций.
Для больших конструкций выбор между методом сил и методом
перемещений зависит от многих факторов, таких, как геометрия
конструкции и число узлов. Однако в этом разделе мы будем рас¬
сматривать только такие задачи, в “которых один метод почти столь
же приемлем, как и другой, а поэтому выбор между ними до неко¬
торой степени произволен. Ниже (гл. 7 и 11) мы вновь займемся ис¬
следованием статически неопределимых конструкций х).
Пример /. В качестве первого примера с помощью метода сил исследуем
плоскую ферму, изображенную на рис. 1.13, а. Считая ферму симметричной, ви¬
дим, что растягивающие усилия в двух наклонных стержнях равны. Далее из ус¬
*) Впервые статически неопределимую систему исследовал Л. Эйлер (1774 г.):
он рассмотрел задачу о жестком столе с четырьмя ножками, опирающимися на
упругое основание [1.12, 1.13]. Следующий шаг был сделан Л. Навье, который
в 1825 г. обратил внимание на то, что можно найти статически неопределимые
реакции, приняв во внимание упругость конструкции [1.14]. Навье рассчитал
ферму, подобную изображенной на рис. 1.14.
30 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
ловия равновесия вертикальных составляющих получаем
2Рг со5 р + Р2 = Р. О)
Это уравнение содержит две неизвестные силы Рг и Р2; следовательно, необходимо
еще одно дополнительное уравнение.
В данном примере в качестве лишней неизвестной выбрана сила Р2, и Для
того, чтобы устранить ее, стержень Вй разрезан у нижнего конца (при желании
Рг
V’ \ */
Рис. 1.13. Пример 1. Статически неопределимая ферма (метод сил).
стержень можно разрезать в любой другой точке). При действии нагрузки Р на
основную систему (рис. 1.13,6) перемещение вниз узла ^, найденное так же,
как описано в предыдущем разделе, представится в виде
Ьр==2ЕР со5:» Р’
где I _ длина вертикального стержня; предполагается, что все стержни имеют
одинаковую жесткость при растяжении ЕР. За счет лишнеи неизвестной силы Р2
в разрезанном стержне /Ю возникает растягивающее усилие; это усилие по вели¬
чине равно силе Р2, действующей на узел О и направленной вверх (рис. 1.13, с).
Последняя сила заставляет узел й смещаться вверх на расстояние (ср. с выраже¬
нием о»
(к)
Полное перемещение вниз узла Э при одновременном действии сил Р и Р2 равно
Необходимо также заметить, что стержень Вй удлиняется на величину
Р%ЩЕР). Условие совместности перемещений в узле О выражает то обстоятельств
1.6.
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ 31
во, что перемещение вниз узла О равно удлинению стержня ВО; таким образом,
6,
с /V
Подставляя в это уравнение выражения 0) и (к) и решая его относительно Р2> по¬
лучаем
Р р
1 -[-2со8:>(3 -
Наконец, из уравнения равновесия (1) находим
Р С052Р
*1 =
I -1- 2 со53 (5 *
Из полученных решений видно, что усилие в вертикальном стержне больше уси¬
лий в наклонных стержнях.
Пример 2. Для того чтобы показать различие между двумя методами реше¬
ний, здесь с помощью метода перемещения будет рассмотрена та же ферма, что и в
примере 1. В данном случае неизвестной величиной будет являться перемещение 6
> О 2
Рис. 1.14. Пример 2. Статически неопределимая ферма (метод перемещений).
узла Г> (см. рис. 1.14, а). Ферма после деформирования изображена пунктиром, а
диаграмма Виллио для узла О показана на рис. 1.14, Ь. Отрезки ООг и равны
удлинениям стержней СО и ЛО соответственно, а отрезок ОО' — вертикальному
перемещению д точки О. Из диаграммы видим, что удлинения двух наклонных
стержней равны
бсозр,
поэтому усилия в этих стержнях составляют
п ЕЕ 008 6 „ 0
рх ~_ !_ (б С05 р) =
Тогда усилие в вертикальном стержне будет равнэ
р.-т-.
ЕР 6соз2Р
(О
(ш)
32 /• РАСТЯЖЕНИЕ. СЖАТИЕ И СДВИГ
Представления (1) и (ш) дают усилия в стержнях, выраженные через одну неизвест¬
ную, а именно через перемещение б. Следующим шагом является использование
уравнения равновесия (1). Подставляя (I) и (гп) в уравнение (1), получаем
2ЕЕЬ С053 р , ЕРЬ _ п
■ г " I г « Я
откуда
6-
РЕ
1
ЕЕ 1 -|-2 сов3 р*
(п)
Теперь, когда перемещение б известно, усилия в стержнях можно найти подста¬
новкой выражения (п) в (I) и (ш), в результате чего для Рх и Р2 получатся те же
выражения, что и в примере 1.
Пример 3. Стальной цилиндр и медная труба, обозначенные через С и М
(рис. 1.15, а), сжимаются между головками испытательной машины. Определим
вызванные силой Р напряжения в стали и меди, а также деформацию сжатия в вер¬
тикальном направлении.
о
1
\
р р
а Ь
Рис. 1.15. Пример 3. Статически неопре¬
делимая система.
В том случае, когда используется метод сил, верхняя плита убирается, в ре¬
зультате чего получается конструкция, изображенная на рис. 1.15, Ь. Неизвестные
силы Рс и Рм, представляющие собой суммарные силы, действующие на сталь и
медь соответственно, связаны следующим уравнением равновесия:
Рь + Р^Р. (о)
Стальной цилиндр укорачивается на РСИ(ЕСЕС), где ЕСГС — жесткость при осевом
сжатии стального цилиндра, а медная труба - на РмГ/(Е:лЕм), где Е^ГМ— жест¬
кость при осевом сжатии трубы. Уравнение совместности отражает тот факт, что
стальной цилиндр и медная труба укорачиваются на одну и ту же величину, откуда
имеем
Р<Х ___ Рм/.
.6.
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ
33
Решая совместно уравнения (о) и (р), вычисляем силы в стальном цилиндре и мед¬
ной трубе:
И'Р' -Р, (с)
рс ---
'ЕсРс + ЕыРг
Эти соотношения показывают, что силы, действующие в стальном цилиндре и мед¬
ной трубе, пропорциональны их жесткости. Теперь можно получить сжимающее
напряжение <тс, разделив силу Рс па площадь сечения стального цилиндра Рс\
аналогичным путем определяется напряжение сгм. Далее в соответствии с законом
Гука можно найти деформацию сжатия, одинаковую для обоих материалов и рав¬
ную
Р
8 "" ~Г~~Р {.Г Р • (Г)
С I ьм' м
Из этого выражения видно, что деформация равна пс ной нагрузке, деленной на
сумму осевых жесткостей стальной и медной деталей.
Пример 4. Решим предыдущий пример методом перемещений.
Неизвестным перемещением в этом примере является относительное перемеще¬
ние б торцевых плит, которое есть не что иное, как укорочение стальной и медной
деталей. Силы Рс и Рм выражаются через
перемещение 6 следующим образом: ^
Рс==Ёф*' = (8) |
Подстановка этих выражений в уравнение
равновесия дает
ЕсРеб . ^щРмб
( Г =
'-Р.
Рис. 1.16. Статически неопре¬
делимая система.
откуда находим перемещение б:
с Р1
ЕСРС + ЕЧРМШ
После этого подстановка в (з) выражения
для перемещения 6 даст силы Рс и Рм.
Эти результаты согласуются с полученны¬
ми в примере 3 (см. выражения (я)).
Разделив перемещение б са длину
найдем выражение для деформации е, кото¬
рое совпадает с выражением (г).
Сравнение примеров 3 и 4 показывает, что по количеству усилий, затраченных
на вычисления, различие между методом сил и методом перемещений сравнительно
мало, хотя всегда сохраняется основное различие в точке зрения. В то же время
читатель должен отдавать себе отчет в том, что в случае более сложных задач может
иметь место более существенное различие между двумя методами. Если система,
изображенная на рис. 1.15, усложняется за счет введения дополнительных стерж¬
ней из разнородных материалов (см., например, рис. 1.16), то решение методом пе¬
ремещений проводится так, как описано выше, и оказывается совершенно простым,
л решение методом сил становится гораздо сложнее и требует решения дополни¬
тельной системы уравнении. Зато в других случаях ситуация меняется на противо¬
положную и метод сил обеспечивает более простое решение»
2 Механика материалов
34 РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
1.7. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
И ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
В статически определимой конструкции равномерное изменение
температуры всей конструкции не вызовет появления каких-либо
напряжений, так как вся конструкция может свободно расширяться
или сжиматься. В то же время при изменении температуры конст¬
рукции, которая закреплена так, что стала статически неопредели-
А
ЛГ
*
К
к
АГ
а Ь с
Рис. 1.17. Нагреваемый стержень.
мой, в ее частях будут возникать напряжения, которые назы¬
ваются температурными напряжениями. К такому заключению
можно прийти, сравнивая стержень, у которого один конец свободен
(см., например, рис. 1.7), со стержнем, заделанным по обоим кон¬
цам (рис. 1.17,а). В первом случае одинаковое изменение темпера¬
туры всего стержня вызовет удлинение его на величину
8-а/.ДТ, (1.10)
где а — коэффициент линейного температурного расширения (см.
табл. 1.2), I —длина, а АТ. — приращение температуры. Посколь¬
ку это удлинение происходит беспрепятственно, в стержне не воз¬
никает никаких напряжений.
В случае статически неопределимого стержня, изображенного
на рис. 1.17, а, удлинение невозможно, поэтому при повышении
температуры на стержень будет действовать сжимающая сила
Эту силу можно вычислить методами, описанными в предыдущем
разделе. Для стержня с заделанными концами видно, что если осво¬
бодить от заделки конец А (рис. 1.17, Ь), то перемещение вверх, обус¬
ловленное только изменением температуры стержня, будет равно
а/.ДГ, а перемещение этого же конца вниз при действии только
1.7.
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ 35
Таблица 1.2. Типичные значения коэффициента
линейного температурного расширения
Материал
Коэффициент линейного
температурного расширения
а (1/град С)
Сталь
105-10“7
Алюминии
238* 10-7
Магний
260-10-7
Медь
167-10-7
Бетон
От 70-10"*7 до 115* 10“7
силы (рис. 1.17, с) составит НЬ/(ЕР). Приравнивая эти два переме¬
щения, получаем
К^ЕГаАТ. (1.11)
После того как сила /? найдена по этой формуле, сжимающее напря¬
жение и деформация в стержне могут быть вычислены следующим
образом:
о^-^г^ЕаАТ, г — ~ — аАТ. (1.12)
Из этого примера видно, что температурные эффекты могут вызвать
появление напряжений в статически неопределимой системе даже
при отсутствии внешних нагрузок.
Рис. 1.18. Ферма, вертикальный стержень которой короче расчетной длины на
величину
Аналогичная ситуация возникает в том случае, когда какая-
либо часть конструкции имеет неправильный размер или когда в
ней создается предварительное напряжение с помощью начальных
сил, которые затем удаляются. В обоих случаях в конструкции бу¬
дут иметь место предварительные деформации, создающие предва¬
рительно напряженное состояние даже тогда, когда на конструкцию
не действуют внешние нагрузки. Предположим, например, что вер¬
тикальный стержень фермы, изображенной на рис. 1.18, а, имеет
36 / РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
длину Ь+АЬ вместо Ь — своей длины в ненапряженном состоянии.
Тогда стержни можно установить на место только при сжатии вер¬
тикального стержня и растяжении наклонных стержней. Пусть N
означает сжимающее усилие, действующее в вертикальном стержне
(рис. 1.18, Ь). Тогда перемещение вниз узла О под действием
силы N равно
°лг—2ЕР соз^р
согласно выражению ()) предыдущего раздела Из условия совмест¬
ности перемещений для узла О следует, что перемещение вниз 8^
узла О равно начальному увеличению длины АЬ вертикального
стержня минус укорочение вертикального стержня за счет действия
силы N. Поэтому уравнение совместности примет вид
N1 ^
тг = Д Ь
2ЕР соь* р “ г:.Р ’
откуда
Ат ЕР А1, 2 со53 р . ч
М = -Г~ 1+2соз"г <а>
Зная сжимающее усилие Ы, из уравнений равновесия легко подсчи¬
тать усилия, действующие в наклонных стержнях.
Два предыдущих примера показывают, что методы исследова¬
ния статически неопределимой конструкции в случае изменений
температуры или предварительного деформирования являются те¬
ми же самыми, что и при исследовании влияния нагрузок на кон¬
струкции.
В качестве последнего примера снова рассмотрим ферму, изоб¬
раженную на рис. 1.18, а, и предположим, что вертикальный стер¬
жень нагрелся настолько, что его температура увеличилась на вели¬
чину ДТ. Результат в отношении усилий, возникающих в стержнях,
будет такой же, как и в случае вертикального стержня с начальным
удлинением АЬ при условии, что удлинение Добудет равно тем¬
пературному расширению, которое имело бы место, если бы стер¬
жень мог свободно удлиняться. Таким образом, для того чтобы
получить усилие N в вертикальном стержне при изменении темпера¬
туры, в выражении (а) следует величину АЬ заменить на аЬАТ.
1.8. НЕЛИНЕЙНОЕ ПОВЕДЕНИЕ
В предыдущих рассуждениях всегда предполагалось, что для
материала конструкции выполняется закон Гука. Рассмотрим те¬
перь поведение конструкций при растяжении и сжатии, когда на¬
пряжения превышают предел пропорциональности. Будем предпо¬
1.8.
НЕЛИНЕЙНОЕ ПОВЕДЕНИЕ 37
лагать, что для материала известна диаграмма зависимости напря¬
жения от деформации.
Если конструкция статически определима, то осевые силы могут
быть найдены из уравнений равновесия без рассмотрения свойств
материала. Затем, зная силы, можно вычислить напряжения в
каждой точке конструкции. И наконец, используя диаграмму зави¬
симости напряжения от деформации, можно получить деформации
в каждой точке и соответственно изменение длины каждой части
конструкции и результирующие перемещения. Такая процедура ис¬
следования статически определимой системы вполне ясна и проил¬
люстрирована задачами 1.8.1—1.8.5.
б
6г
а Ь с
Рис. 1.19. Статически неопределимая ферма из материала с нелинейной зависи¬
мостью напряжения от деформации.
В статически неопределимой системе анализ становится намного
сложнее, поскольку силы нельзя найти без предварительного оп¬
ределения перемещений, которые сами в свою очередь зависят от
сил и от зависимости напряжения от деформации. Для подобной си¬
стемы можно использовать метод проб и ошибок или метод последо¬
вательных приближений.
Для того чтобы продемонстрировать один из методов исследова¬
ния, опять рассмотрим симметричную трехстержневую ферму (рис.
1.19, а), но теперь предположим, что для материала фермы диаграм¬
ма зависимости напряжения от деформации имеет вид, показанный
на рис. 1.19, Ь. Исследование можно начать с пробного предполо¬
жения, что вертикальное перемещение узла О равно б. Тогда, по¬
строив в узле О диаграмму Виллио, можно получить соответствую¬
щие удлинения для всех трех стержней. Такой расчет гарантирует,
что в узле выполняется условие совместности перемещений. Равно¬
весие сил в узле должно быть проверено следующим образом. Из
удлинений определяют деформации в стержнях, а затем из диаграм¬
мы зависимости напряжения от деформации находят напряжения.
Зная напряжения в стержнях, можно вычислить усилия в стержнях
и проверить, удовлетворяют ли они условиям равновесия узла В.
38 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
Если первоначально было выбрано правильное значение пере¬
мещения б, то окажется, что условие равновесия в узле О выполня¬
ется. В противном случае силы не будут уравновешиваться, так что
придется выбрать новую пробную величину б и продолжить процесс.
В конце концов мы придем к такой величине б, при которой в узле
^ будут удовлетворены оба условия: совместности перемещений и
равновесия сил. При этом для усилий в стержнях получатся их ис¬
тинные величины.
Можно использовать и процедуру иного рода, а именно начать
с введения пробной величины усилия Р2 в вертикальном стержне.
Тогда, используя условие равновесия сил в узле О, можно подсчи¬
тать усилия в наклонных стержнях. Далее можно определить на¬
пряжения, возникающие в каждом стержне, а затем деформации
(по диаграмме зависимости напряжения от деформации) и удлине¬
ния. Наконец, построив диаграмму Виллио для узла О, можно оп¬
ределить, являются ли удлинения всех трех стержней совместными.
Если это так, то пробная величина усилия Р2 была выбрана правиль¬
но и исследование закончено. В противном случае надо выбрать но¬
вое пробное значение усилия Р2 и повторять процесс до тех пор,
пока не будут удовлетворяться как условия равновесия, так и ус¬
ловия совместности перемещений.
Исследуя статически неопределимую ферму (рис. 1.19, а) так,
как это описано выше, можно найти перемещения узлов фермы и
усилия в стержнях для любого выбранного значения нагрузки Р.
Поэтому можно получить полную картину поведения фермы при
возрастании нагрузки от нуля до максимального значения.
Пластический анализ. У некоторых материалов, особенно
у конструкционных сталей, за линейно упругой областью следует
область значительного пластического течения. Для такого материа¬
ла диаграмму зависимости напряжения от деформации с удовлетво¬
рительной точностью можно схематически представить двумя пря¬
молинейными отрезками, как показано на рис. 1.19, с. Предпола¬
гается, что материал следует закону Гука вплоть до предела теку¬
чести, а после этого течет при постоянном напряжении. Напряже¬
ние и деформация, соответствующие пределу пропорционально¬
сти, будут обозначаться через сгт и ет соответственно. Материал,
который течет без увеличения напряжения, называется идеально
пластическим. Конечно, в конце концов вследствие упрочнения
диаграмма зависимости напряжения от деформации для стали рас¬
положится выше предела пропорциональности, как уже было объ¬
яснено в разд. 1.3, но к тому времени, когда это случится, деформа¬
ции будут чрезвычайно велики и конструкция утратит несущую
способность. Поэтому исследование стальных конструкций в плас¬
тической области на основе диаграммы, изображенной на рис. 1.19, с,
1.8.
НЕЛИНЕЙНОЕ ПОВЕДЕНИЕ 39
стало общепринятым. Для стали одна и та же диаграмма может
быть использована как при растяжении, так и при сжатии.
Материал, имеющий диаграмму зависимости напряжения от
деформации вида 1.19, с (т. е. материал, у которого за областью ли¬
нейной упругости следует область идеальной пластичности), назы¬
вается упруго-идеально-пластическим ма¬
териалом. Анализ, проведенный в рамках
подобных допущений, называется пласти¬
ческим расчетом, или предельным расчетом
конструкции.
Приемы, используемые в пластическом
анализе, можно продемонстрировать на той
же трехстержневой ферме (рис. 1.19, а) в
предположении, что стержни состоят из
упруго-идеально-пластического материала
(рис. 1.19, с). При постепенном увеличении
нагрузки Р усилия в стержнях будут так¬
же возрастать и до тех пор, пока напряже¬
ния остаются ниже предела текучести стх,
могут быть определены из упругого ана¬
лиза (см. пример 1 разд. 1.6). В конце
концов напряжение в среднем стержне, в котором возникает боль¬
шее усилие, чем во внешних стержнях, если площади их попереч¬
ных сечений равны, достигнет предела текучести сгт. Это случится,
когда усилие Р2 будет равно оТР, где Р — площадь поперечного се¬
чения каждого стержня. При дальнейшем увеличении нагрузки Р
усилия во внешних стержнях также будут возрастать, но усилие
Р2 останется постоянным, так как средний стержень стал пласти¬
ческим. В конце концов внешние стержни также станут пластичес¬
кими, и тогда конструкция не сможет нести дополнительной нагруз¬
ки. Вместо этого все стержни будут продолжать удлиняться при по¬
стоянном (и максимальном) значении нагрузки. Эта нагрузка РП
называется предельной нагрузкой.
Явление, описанное в предыдущем абзаце, изображено на рис.
1.20 при помощи диаграммы зависимости нагрузки от перемещения
для фермы, приведенной на рис. 1.19,а. Нагрузка Р берется в каче¬
стве ординаты диаграммы, а перемещение б узла ^ — в качестве
абсциссы. От начальной точки О до точки А все три стержня упруги
н усилия в стержнях (см. пример 1 разд. 1.6) равны
_ Рсоз«р р Р
** 1 -г 2 соз* р ’ 1 -Н2соз*}Р *
Течение среднего стержня начинается в точке Л, а соответствующая
величина нагрузки Р, называемая нагрузкой Рп при которой воз¬
никает пластическое течение, получается приравниванием в при¬
Рис. 1.20. Диаграмма за¬
висимости нагрузки от пе¬
ремещения для фермы,
изображенной на рис.
1.19, а.
40 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
веденном выше выражении усилия Р2 значению атР:
Рт = атР (1+2 со53 Р).
От точки А до точки В усилие в среднем стержне остается равным
отР, а усилия во внешних стержнях могут быть найдены из усло¬
вия равновесия узла^ (см. формулу (1) разд. 1.6):
Точка В соответствует началу течения во внешних стержнях, сле¬
довательно, можно записать Рг=о^Р и из условия равновесия узла
О получить следующее выражение для предельной нагрузки Рп:
На участке от В до С конструкция продолжает деформироваться
при постоянной нагрузке Ри. Как уже упоминалось ранее, в конце
концов возникнет упрочнение, и тогда конструкция сможет выдер¬
жать дополнительную нагрузку, но практически наличие очень
больших смещений означает, что конструкция вышла из строя.
Именно по этой причине определение предельной нагрузки Ри
представляет значительный интерес для конструкторов.
Пример. Определим нагрузку Рх, при которой возникает течение, и пре¬
дельную нагрузку Рп для конструкции, изображенной на рис. 1.21, если горизон¬
тальный стержень является абсолютно жестким, а два вертикальных троса сдела¬
ны из упруго-идеально-пластического материала. Найдем также допускаемую на-
нагрузки Рп. Из рисунка также видно, что удлинение правого троса всегда
в два раза больше удлинения левого троса. Поэтому в упругой области имеем Р2=
=2Рг\ следовательно, при постепенном увеличении нагрузки Р усилие Р2 первым
достигнет значения отР, при котором возникнет пластическое течение. При этом
усилие Рг будет равно ат/72, а соответствующее значение нагрузки Р, равное на¬
грузке Рх, при которой происходит течение, находится из соотношения (а):
Когда будет достигнута предельная нагрузка Рп, оба усилия Рг и Р2 будут равны
атР. Тогда из соотношения <а) найдем
Р-дхР
/\1=ат/:’(И-2со5р).
грузку Рд для конструкции при условии, что
коэффициент запаса прочности по отношению
к предельной нагрузке равен 1,85. (Предпо¬
лагается, что оба троса имеют одинаковую
площадь поперечного сечения Р.)
Соотношение между усилиями Рх и Р2 в
В тросах и нагрузкой Р можно получить, при¬
равняв нулю сумму моментов относительно
конца А стержня:
Рис. 1.21. Пример.
Это соотношение справедливо для любых
значений нагрузки Р от нуля до предельной
Рт = 6/в отР.
Р О —
1.9.
СДВИГАЮЩЕЕ НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ СДВИГА 41
Допускаемую нагрузку Рд находим делением предельной нагрузки на коэффициент
запаса прочности по отношению к предельной нагрузке, как уже объяснялось ра¬
нее в разд. 1.3; таким образом,
Р ^
д коэффициент запаса прочности 1,85
Из этого примера видно, что определение предельной нагрузки Рп для статически
неопределимой конструкции может оказаться намного проще, чем проведение уп¬
ругого анализа.
1.9.
СДВИГАЮЩЕЕ НАПРЯЖЕНИЕ
И ДЕФОРМАЦИЯ СДВИГА
В качестве практического примера, когда возникают сдвигаю¬
щие напряжения, рассмотрим соединение, показанное на рис. 1.22, а.
Это соединение состоит из проушины А, серьги С и болта В, ко-
В
ГГП
/77
П
А
)
Р
Я
'ЕР'
Л
п
п
/77
Р
«
Я
ч
т
Р.
а
Рис. 1.22. Пример прямого сдвига.
торый проходит через отверстия в проушине и серьге. При действии
нагрузки Р проушина и серьга будут давить на болт по опорной по¬
верхности и в болте будут развиваться контактные напряжения, на¬
зываемые напряжениями в опорных поверхностях (рис. 1.22, Ь).
На этом рисунке показано также, что возникает тенденция пере¬
резать болт по сечениям тп и рц. Если начертить схему сил, действу¬
ющих на часть болта тпрц как на незакрепленное тело (рис. 1.22, с),
то станет ясно, что сдвигающие силы <2 должны действовать вдоль
поверхностей разрезов. (В данном примере каждая из сил ф равна
Р/2.) Сдвигающие силы вызывают сдвигающие напряжения т, рас¬
пределенные по поперечному сечению болта. Точно определить ха¬
рактер распределения этих сдвигающих напряжений нелегко, но
в то же время можно получить их среднюю величину, разделив пол¬
ную сдвигающую силу ф на площадь Р, по которой она действует:
= 0-13)
В рассматриваемом примере (рис. 1.22) площадь Р, входящая в фор¬
мулу (1.13), является площадью поперечного сечения болта.
42 I. РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
При расчете болтов, шпилек, заклепок, шпонок и других дета¬
лей, подвергающихся прямому срезу, на практике, как правило,
используют формулу (1.13) и подбирают размеры деталей на основе
среднего допускаемого напряжения при сдвиге тд. Допускаемое
напряжение при сдвиге обычно находится в интервале от 0,5 ад
до 0,6 Од, где Од — допускаемое напряжение при растяжении для
того же самого материала. Как будет показано в следующих главах,
сдвигающие напряжения возникают также в тех случаях, когда
стержни подвергаются растяжению и изгибу одновременно.
а Ь
Рис. 1.23. Сдвигающее напряжение и деформация сдвига.
В предыдущих разделах этой главы речь шла о растягивающих
и сжимающих напряжениях, которые действуют по нормали к по¬
верхности и которые поэтому часто называются нормальными на¬
пряжениями. С другой стороны, сдвигающие напряжения всегда
действуют по касательной к поверхности и поэтому их иногда назы¬
вают касательными напряжениями. В обоих примерах напряжения
представляют собой интенсивность сил, т. е. отношение силы к еди¬
нице площади, откуда видно, что главное различие между нормаль¬
ными и касательными напряжениями состоит в их направлении.
Для того чтобы представить себе деформации, вызываемые ка¬
сательным напряжением, рассмотрим малый кубический элемент
материала (рис. 1.23, а) и предположим, что на него действует каса¬
тельное напряжение т, распределенное по верхней грани. Если на
элемент не действуют нормальные напряжения, то, для того чтобы
элемент находился в равновесии, а не перемещался в горизонталь¬
ном направлении, и на нижнюю грань также должны действовать
равные по величине и противоположно направленные касательные
напряжения. Кроме того, касательные напряжения, действующие
по верхней и нижней граням элемента, создадут момент, который
должен быть уравновешен моментом касательных напряжений, дей¬
ствующих на вертикальных гранях элемента. Эти вертикальные ка¬
сательные напряжения также должны быть равны т, поскольку
элемент находится в равновесии.
СйВЙГАЮЩЁЕ НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ СДВИГА 43
Таким образом, в целом видно следующее: а) касательные на¬
пряжения, действующие на малый элемент материала, всегда появ¬
ляются в виде равных и противоположно направленных пар; Ъ,)
касательные напряжения всегда возникают на взаимно перпендику¬
лярных плоскостях. Касательные напряжения на этих перпендику¬
лярных плоскостях всегда равны по величине и ориентированы так,
что оба напряжения направлены либо к линии пересечения плоско¬
стей, либо от нее. Об элементе, нагруженном только касательными
напряжениями, как это показано на рис. 1.23, а, говорят, что он
находится в состоянии чистого сдвига. Чистый сдвиг будет обсуж¬
даться более подробно в разд. 2.3.
Деформация малого элемента материала при чистом сдвиге пред¬
ставлена на рис. 1.23,6, где изображена передняя грань аЬсй кубичес¬
кого элемента. Поскольку на элемент не действуют нормальные на¬
пряжения, длины ребер аЬ, ей, ас и Ы не изменятся. Вместо этого
касательные напряжения заставят квадрат аЬсй превратиться в ромб,
как это показано на рисунке штриховыми линиями. Угол при вер¬
шине с, который до деформации был равен я/2, теперь уменьшится
доя/2—у, где у—малый угол, показанный на рисунке. В то же вре¬
мя угол при вершине а увеличится до я/2+у. Угол у является мерой
искажения формы элемента при сдвиге и называется деформацией
сдвига. Из рисунка видно, что деформация сдвига у равна расстоя¬
нию, на которое верхняя грань элемента сместится по горизонтали
относительно нижней, деленному на высоту элемента.
Испытывая материал при чистом сдвиге и замеряя деформацию
сдвига как функцию касательного напряжения, можно эксперимен¬
тально получить диаграмму зависимости касательного напряжения
от деформации сдвига для этого материала. Такая диаграмма очень
похожа по форме на диаграмму, получаемую при испытании на рас¬
тяжение того же материала; из нее можно определить предел про¬
порциональности, предел текучести и предел прочности при сдвиге.
Эксперименты показывают, что для пластичных металлов, включая
конструкционную сталь, предел текучести при сдвиге тт составляет
от 0,5 ат до 0,6 ат.
Если материал имеет линейно упругую область, то диаграмма
зависимости напряжения от деформации при сдвиге будет представ¬
лять собой прямую, а касательное напряжение будет прямо пропор¬
ционально деформации сдвига. Таким образом, имеем следующее
соотношение (закон Гука при сдвиге):
т=Оу, (1.14)
где 0 — модуль упругости материала при сдвиге (или, короче,
модуль сдвига). Характерные величины модуля сдвига О для некото¬
рых материалов приведены в табл. 1.1. Простейшим способом полу¬
чения состояния чистого сдвига, как это будет объяснено позже в
главе о кручении (см. гл. 3), является закручивание трубы круго-
44 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
вого сечения; именно из таких испытаний на кручение обычно
определяют величины модуля сдвига О. Следует также отметить,
что модули упругости при растяжении и сдвиге (Е и О) не являются
независимыми; между ними существует определенная связь, как
будет показано ниже (разд. 2.3).
1.10. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
Когда стержень при простом растяжении нагружается статичес¬
ки, т. е. очень медленно, силой Р, то он удлиняется (рис. 1.24, а),
и если материал следует закону Гука, то диаграмма зависимости на-
Рис. 1.24. Диаграмма зависимости нагрузки от пере¬
мещения для растягиваемого стержня.
грузки от удлинения будет представлять собой прямую, как это по¬
казано на рис. 1.24, Ь. В ходе цагружения стержня сила Р совершает
работу над стержнем, и эта работа преобразуется в потенциальную
энергию, или энергию деформации, которая накапливается в стерж¬
не. Если затем силу Р медленно снять, то стержень вернется к своей
исходной длине. В течение такого процесса разгрузки энергия де¬
формации, накопленная в стержне, может быть возвращена в виде
работы. Таким образом, стержень действует подобно упругой пру¬
жине, которая может накапливать и отдавать энергию ири прило¬
жении или снятии нагрузки.
Энергию деформации, накопленную в стержне при нагружении,
можно получить из диаграммы зависимости нагрузки от удлинения.
Допустим, что Рх представляет собой некоторое промежуточное
значение нагрузки, а — соответствующее удлинение. Тогда при¬
ращение нагрузки йРх вызовет приращение удлинения Работа
нагрузки Рг на этом малом приращении удлинения равна Рх(1Ьг и
представлена на рисунке заштрихованной площадью. Полная рабо¬
та, совершенная в процессе нагружения, представляет собой сумму
1.10.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ 45
таких элементарных площадей и равна площади, лежащей ниже
прямой зависимости нагрузки от удлинения.
Таким образом, полная работа, совершенная силой Р, равна
энергии деформации II, накопленной в стержне, а именно
Это выражение справедливо только в том случае, когда для материа¬
ла соблюдается закон Гука; при этом известно, что сила Р связана
с удлинением соотношением б -- Р1,/(ЕР). Если подставить
это соотношение в (1.15), то энергию деформации можно выразить
в одной из следующих форм:
Первое из этих представлений выражает энергию деформации как
функцию силы Р, а второе — как функцию перемещения б.
Иногда полезно рассмотреть удельную энергию деформации и.
Для равномерно растянутого стержня эту энергию и можно полу¬
чить, разделив полную энергию деформации 0 на объем стержня;
таким образом, и=^и/(РЦ и, следовательно,
где а -- Р/Р — растягивающее напряжение, а е == 8/1, — соответ¬
ствующая деформация.
Наибольшая величина удельной энергии деформации, которая
может быть накоплена в стержне без превышения предела пропор¬
циональности, называется модулем средней удельной работы дефор¬
мации. Эт >т модуль находится подстановкой в выражение (1.17а)
вместо величины а значения предела пропорциональности. Напри¬
мер, конструкционная сталь с пределом пропорциональности, рав¬
ным 2100 кГ'/см2, и Е — 2,1 -Ю6 кГ/см- имеет модуль средней удель¬
ной работы деформации, равный 1,05.
Предыдущее обсуждение энергии деформации для растягивае¬
мого стержня применимо также и для сжимаемого стержня. По¬
скольку энергия деформации равна работе, которую совершает сила
Р во время нагружения стержня, энергия деформацитг всегда явля¬
ется положительной величиной.
(1.15)
(1.16а)
или
(1.16Ь)
(1.17а)
или
(1.175)
46 РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
Пример /. Сравним значения энергии деформации, накопленной в трех
стержнях, изображенных на рис. 1.25. Заметим, что все стержни имеют одинаковую
длину, а также нагружены одинаковыми силами, равными Р. Первый стержень
имеет постоянный диаметр й, а остальные в отдельных частях имеют больший
диаметр.
Энергия деформации первого стержня, в силу формулы (1.16а), составляет
и - р21
1 ~ 2 ЕР '
где Р=ксР/4. Для второго стержня, предположив, что напряжения распределены
равномерно по каждому поперечному сечению, найдем следующее значение энер¬
гии деформации:
Р* (Ц4) . Р2 (М/4) _ 7РЧ _7УХ
2~" 2ЕР + 2Е (4Р) 16(2ЕР) 16 *
0
Для третьего стержня получим
__ Р2 (1/8) Р»(71/8) 2</!
3 2ЕР “г 2Е (9Р) 9 *
Сравнение этих результатов показывает, что энергия деформации уменьшается
при увеличении объема стержня. Таким образом, для того чтобы в стержне, имею¬
щем узкий вырез, довести растягивающие напряжения до высокого уровня, тре-
3*/
А/8
т
Рис. 1.25. Пример 1.
буется лишь небольшое количество работы. Когда нагрузки являются по своему
характеру динамическими и важна способность поглощать энергию, наличие вы¬
резов очень, вредно, как будет показано ниже. Разумеется, в случае статических
нагрузок при проектировании решающую роль играют максимальные напряжения,
а не способность поглощать энергию.
Ударное нагружение стержня. Понятие энергии деформа¬
ции является полезным, когда имеют дело с нагрузками динамиче¬
ского характера. Такие нагрузки связаны с определенным количе¬
ством энергии, которая должна либо преобразоваться в энергию
деформации стержня, либо рассеяться, вызывая в стержне пласти-
1.10.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ 47
ческие деформации. В качестве примера ударной нагрузки рас¬
смотрим простое устройство, изображенное на рис. 1.26. Груз ве¬
сом 1Г, нервоначально неподвижный, падает с высоты Л на фланец у
нижнего конца стержня длиной Ь. Следует подсчитать максималь¬
ное удлинение и растягивающее напряжение в
стержне при ударе.
Приближенное решение можно получить, пре¬
небрегая потерями энергии при ударе и предпо¬
лагая, что вся работа, совершенная падающим
грузом, преобразуется в энергию деформации
стержня. Такое предположение «сделано с запа¬
сом», поскольку в действительности часть энер¬
гии будет рассеиваться и истинное удлинение
стержня окажется меньше, чем подсчитанное
ниже.
Ударив по фланцу, груз ЧУ продолжает дви¬
гаться вниз, вызывая растяжение стержня. Бла¬
годаря силе сопротивления, создаваемой стер¬
жнем, движение груза замедляется, и вскоре он останавливает¬
ся, причем стержень удлиняется на величину б. В этот момент удли¬
нение стержня и соответствующее растягивающее напряжение яв¬
ляются максимальными. Стержень немедленно начинает укорачи¬
ваться, и при этом возникают продольные колебания стержня и гру¬
за №. Однако максимальное удлинение б стержня можно подсчи¬
тать, приравняв совершенную падающим грузом работу Н? (А+б) •
энергии деформации стержня
Г(А + 6) = ^-‘. (а)
Вводя для статического удлинения стержня под действием нагрузки
№ обозначение 6СХ= №1./(ЕР) и решая уравнение (а), получаем
б = бсг + (% + 2Лбст)!'9, (1.18а)
или
6=6ст + (6с2т + уЧт /В)1'2, (1.18Ь)
где а = |/2§Н —скорость груза № в момент соударения с фланцем.
Эти выражения показывают, что удлинение возрастает при увели¬
чении веса груза УР и длины стержня Ь (или скорости соударения)
и уменьшается при увеличении жесткости ЕР.
Упрощение достигается в том случае, когда высота Н значитель¬
но превышает 6СТ, так как при этом выражения (1.18) принимают вид
6 = (2А61Г)‘*-(0*6С1/я)«*. (1.19)
Если предположить, что растягивающее напряжение в момент мак¬
симального удлинения распределено по стержню равномерно, то
1
Рис. 1.26. Ударное
нагружение стер¬
жня.
48 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
Д1я максимального растягивающего напряжения получится сле¬
дующее выражение:
ЕЬ Е (ьЧсЛЬ'* /Гу2\1/2 / 2Е \ 1/2
а~ I ~ ^ \ 8 ) \ 2* ) (ее) •
Из этой формулы видно, что увеличение кинетической энергии па¬
дающего груза или модуля упругости Е вызовет увеличение напря¬
жения, в то время как увеличение объема РЬ призматического
стержня приведет к снижению напряжения. Это совершенно отлич¬
но от того, что имеет место при статическом растяжении стержня,
где напряжение не зависит от длины I и модуля упругости Е.
Внезапно приложенная нагрузка. Рассмотрим теперь част¬
ный случай удара, когда высота падения Н равна нулю, т. е. когда
вес груза № внезапно без начальной скорости передается на фланец
на конце В стержня (рис. 1. 26). Хотя в этом случае в начальный мо¬
мент растяжения стержня кинетическая энергия равна нулю, задача
совершенно отличается от статического нагружения стержня. При
статическом нагружении предполагается постепенное приложение
нагрузки; соответственно при этом всегда имеет место равновесие
между действующей нагрузкой и силой сопротивления стержня.
При таких условиях кинетическая энергия груза в задаче не фигу¬
рирует. Когда нагрузка прикладывается внезапно, удлинение стерж¬
ня и напряжение в нем сначала равны нулю, а затем груз начинает
двигаться вниз под действием собственного веса. Во время этого
движения сила сопротивления стержня постепенно увеличивается,
пока не станет в точности равной весу Н7; при этом вертикальное
перемещение груза будет 6СТ. Но в этот момент груз обладает опре¬
деленной кинетической энергией, приобретенной на перемещении
6СТ, поэтому он будет продолжать двигаться вниз, пока за счет со¬
противления стержня его скорость не обратится в нуль. Максималь¬
но е удлинение при этом получается из выражения (1.18а) при А—О
и составляет
6=2 6СТ. (1.20)
Таким образом, внезапно приложенная нагрузка вследствие дина¬
мического характера процесса вызывает смещение в два раза боль¬
шее, чем при статически приложенной нагрузке *).
Предыдущие рассуждения об ударе основываются на том допущении, что на¬
пряжение в стержне остается ниже предела пропорциональности. За этим пределом
задача становится намного сложнее, потому что удлинение стержня уже не будет
пропорциональным растягивающей силе. Предположив, что диаграмма испытания
на растяжение не зависит от скорости деформирования стержня, можно опреде¬
лить удлинение при ударе в неупругой области при помощи статической диаграм¬
мы зависимости нагрузки от удлинения вида изображенной на рис. 1.27. Для*
л) Этот результат был получен Понселе [1.15].
1.10.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ 49
любого выбранного максимального удлинения б! соответствующая площадь ОАВЕ
дает работу, необходимую для создания такого удлинения; эта работа должна быть
равна работе № (й+б), совершенной грузом №. Когда величина № (Л+б) равна пол¬
ной площади ОАВСО диаграммы испытания на растяжение или превышает ее,
падающее тело будет разрушать стержень. В некоторых материалах, включая
пластичные стали, предел текучести увеличивается при очень больших скоростях
деформирования стержня, поэтому работа, необходимая для разрушения, оказы¬
вается несколько большей, чем при статическом испытании.
Рис. 1.27. Диаграмма зависимости
нагрузки от удлинения для растя¬
гиваемого стержня.
Из приведенных выше рассуждений следует, что любое изменение формы стер¬
жня, которое влечет за собой уменьшение полной площади ОАВСО диаграммы за¬
висимости нагрузки от удлинения, уменьшает и сопротивление стержня удару. На¬
пример, в образцах с вырезами, изображенных на рис. 1. 25, Ь и 1.25, с, у вырезов
будет сосредоточиваться пластическое течение металла, и полное удлинение и ра¬
бота, необходимая для разрушения, будут гораздо меньше, чем в цилиндрическом
стержне, показанном на том же рисунке. Подобные образцы с вырезами очень слабо
сопротивляются удару: даже легкий удар может вызвать разрушение, хотя сам
материал может быть пластическим. Детали, имеющие отверстия под заклепки или
любые резкие изменения площади поперечного сечения, точно так же являются
ослабленными по отношению к ударному нагружению.
Из проведенных рассуждений также ясно, почему пластичный материал ока¬
зывает значительно большее сопротивление ударным нагрузкам, чем хрупкий ма¬
териал. Для хрупкого материала площадь ниже кривой зависимости нагрузки от
удлинения будет гораздо меньше, чем в случае пластичного материала, даже не¬
смотря на то, что пределы прочности у обоих материалов могут быть одинаковы.
Пример 2. Груз № прикрепляется к нижнему концу вертикального стально¬
го троса, который движется вниз с постоянной скоростью V. Какое максимальное
напряжение возн 1кнет в тросе, если внезапно застопорить его верхний конец?
Собственным весом троса пренебречь.
Заметим прежде всего, что выражения (1.18), полученные для изображенной
на рис. 1. 26 системы, в данном случае использовать нельзя. Причина состоит в том,
что в предыдущем примере стержень перед ударом находился в ненапряженном
состоянии, в то время как в данном примере трос перед ударом нагружен растя¬
гивающей силой №. Предполагаем, что при ударе не происходит потери энергии,
поэтому полная энергия системы (кинетическая плюс потенциальная) перед уда¬
ром равна полной энергии после удара, когда максимальное удлинение троса
равно 6.
Кинетическая энергия движущегося груза перед ударом равна №у2/(2#), а его
потенциальная энергия, соответствующая нижнему положению, составляет
№(б—бсг), где бсг — статическое удлинение троса от действия груза. Заметим,
что бсТ~-№Ц{ЕР), где Е — длина троса, а ЕР *— его жесткость при растяжении.
50 /• РАСТЯЖЕНИЕ. СЖАТИЕ И СДВИГ
Энергия деформации троса перед ударом равна ЕРЬ1Г!{21). После удара в момент,
когда трос имеет максимальное удлинение, его энергия деформации равна
ЕР6*Ц2Ь.). Приравнивая значения энергии до удара и после него, получаем
-Г(6-6СГ) +
ЕРЫ
ЕРЬ*
2Ь
21
откуда с учетом соотношения \Р=ЕРЬС1Ц имеем
= -^(в-бст)*.
Окончательно формула для полного удлинения примет вид
6=6С1+ }П^ЩЁР),
а максимальное напряжение в тросе запишется в следующей форме:
с = Ед//. = (№7/;)[1+ У и*ЕР/(дЧП)].
(Ь)
Последний член в этом выражении, зависящий от свойств троса и от начальной
скорости V, может быть много больше единицы. Следовательно, динамическое на¬
пряжение в тросе может во много раз превосходить статическое напряжение №/Р.
В предыдущем обсуждении упругого удара пренебрегалось массой вертикаль¬
ного стержня или троса по сравнению с массой падающего тела а также пред¬
полагалось, что растягивающее напряжение было все время равномерно распреде¬
лено по длине стержня. В более обстоятельном решении следует учитывать влия¬
ние массы стержня и продольные волны напряжения [1.16, 1.17].
Энергия деформации при чистом сдвиге. Энергию деформа¬
ции, накопленную в кубическом элементе материала, подвергающем¬
ся сдвигу силами (?, которые действуют по четырем граням кубика
(рис. 1.28), можно вычислить методом, ис-
А пользуемым в случае простого растяжения.
1 ^ и При деформировании материала верхняя
грань аЬ перемещается горизонтально на
расстояние 6 относительно нижней грани
сйу когда сдвигающая сила постепенно уве¬
личивается от нуля до ее конечного зна¬
чения СПолагая, что материал следует
закону Гука, получаем, что деформация
сдвига у = 6//„ пропорциональна касатель¬
ному напряжению т = С?//7, где Р — пло¬
щадь верхней грани элемента. Диаграмма
зависимости нагрузки от смещения (<? в
зависимости от 6) аналогична диаграмме,
< показанной на рис. 1.24, Ь для растягива¬
емого стержня. Работа, совершенная силой <2 и накопленная в
форме упругой энергии деформации, равна
7/
Рис. 1.28. Энергия дефор¬
мации при чистом сдвиге.
ЗАДАЧИ 51
Вспоминая, что 7=6//, и х=С?//7, а также используя закон Гука
при сдвиге (т — Су), видим, что 6=С}1,/(СР). Подставляя это соот¬
ношение в выражение (1.21), получаем два следующих представле¬
ния для энергии деформации:
Приведем два выражения для удельной энергии деформации сдвига,
разделив выписанные выше выражения на объем Р1, элемента:
Эти выражения будут использованы ниже (в гл. 3) для вычисления
энергии деформации стержня при кручении.
1.2.1. Исходя из условий статического равновесия показать, что равнодейст¬
вующая напряжений, возникающих в поперечном сечении призматического стерж¬
ня при растяжении, проходит через центр тяжести сечения, если напряжение рав¬
номерно распределено по поперечному сечению. (Указание. Предположить, что
стержень имеет поперечное сечение произвольной формы. Выбрать оси координат
в плоскости поперечного сечения и затем получить выражения для координат точ¬
ки, через которую проходит равнодействующая.)
1.2.2. Призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (2Х
Х4 см), имеющий длину 1—3,5 м, нагружается продольной растягивающей силой
8т. При этом отмечено, что стержень удлинился на 0,12 см. Вычислить растягиваю¬
щее напряжение и деформацию в стержне.
1.3.1. Длинный трос подвешен вертикально и нагружен собственным весом.
Какова может быть максимальная длина I этого троса, при которой он не разор¬
вется, если трос изготовлен: а) из стали с пределом прочности ав, равным
21 100 кГ/см2; Ь) из алюминия с пределом прочности ав, равным 3500 кГ/см2?
Удельный вес у стали 7,85 Г/см3, алюминия 2,69 Г/см3.
1.3.2. На короткую стальную трубу (ат=2800 кГ/см2) действует сжимающая
нагрузка Р= 125 т. Коэффициент запаса прочности п по отношению к нагрузке,
при которой возникает пластическое течение, равен 1,8. Найти наименьший допус¬
каемый внешний диаметр трубы, если толщина ее стенки составляет одну восьмую
внешнего диаметра.
1.3.3. Поперек сплошного стержня с круговым сечением (диаметр й—4 см)
просверлено отверстие, проходящее через центр поперечного сечения стержня.
Диаметр отверстия составляет Ш4. Полагая, что допускаемое растягивающее на¬
пряжение для поперечного сечения стержня, расположенного в месте отверстия,
20Р'
(1.22а)
ИЛИ
(1.225)
(1.23а)
ИЛИ
(1.235)
ЗАДАЧИ
52 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
составляет сд=700 кГ/см2, найти величину допускаемой растягивающей нагрузки
Р для этого стержня.
1.3.4. На конструкцию, состоящую из двух стержней АВ и ВС (см. рисунок),
действует вертикальная сила Р. Оба стержня изготовлены из одного и того же ма¬
териала, и длина Ь горизонтального стержня ВС остается постоянной. Однако
угол 0 может изменяться за счет перемещения точки А по вертикали и соответст¬
вующего изменения длины стержня АВ. Полагая, что допускаемые напряжения
при сжатии и растяжении одинаковы, и принимая напряжения в обоих стержнях
равными допускаемым, найти угол 0, при котором вес конструкции минимален.
1.3.5. Груз № прикреплен к тонкому рычагу (длиной I), вращающемуся в го¬
ризонтальной плоскости относительно вертикальной оси (см. рисунок) с постоян¬
ной угловой скоростью со. Пренебрегая весом рычага, вывести формулу для необ¬
ходимой площади Р поперечного сечения рычага, если допускаемое напряжение
равно ад.
1.3.6. Решить предыдущую задачу с учетом веса рычага. (Принять удельный
вес материала рычага равным у.)
1.4.1. Стальной болт диаметром 4= 4 см (Е= 2,1* 10е кГ/см2) должен выдержи¬
вать растягивающую нагрузку, равную 30 т. Если начальная длина нагружае¬
мой части болта составляет 55 см, то какова будет его окончательная длина 1к?
1.4.2. Стальной стержень кругового поперечного сечения (5=2,1*10®
кГ/см2) длиной 6 м должен выдерживать растягивающую нагрузку Р=800 кГ.
Если допускаемое напряжение ад= 1200 кГ/см2, а допускаемое смещение конца
стержня 6=0,25 см, то чему равен минимальный диаметр стержня?
1.4.3. Работающий на растяжение элемент конструкции представляет собой
стальную трубу (Е= 2,1* 10е кГ/см2, у=0,30) с внешним диаметром 4=9 см и пло¬
щадью поперечного сечения 15 см2. Чему равна осевая сила Р, которая вызовет
уменьшение диаметра на 0,0012 см?
1.4.4. Сплошной стержень кругового поперечного сечения диаметром 6 см
сжимается осевой силой 20 т. а) Найти увеличение М диаметра стержня в предпо¬
ложении, что Е=0,9* 10е кГ/см2 и г=0,30. Ь) Определить, насколько увеличится
объем стержня, если длина его Ь равна 40 см^
1.5.1. Стержень, нагруженный так, как показано на рис. 1.7, имеет постоян¬
ные по длине площадь Р поперечного сечения и модуль упругости Е. Получить вы¬
ражение для смещения б нижнего конца стержня. Удлинится или укоротится стер¬
жень?
К задаче 1.3.3.
К задаче 1.3.4.
К задаче 1.3.5.
ЗАДАЧИ 53
1.5.2. На стойку, изображенную на рис. 1.8, действуют нагрузки Рг~60 т
и Р2—70 т. Верхняя ее часть имеет длину а=60 см и квадратное поперечное сече¬
ние 7,5X7,5 см. Нижняя часть стойки имеет длину 6=75 см и квадратное попе¬
речное сечение 12,5Х 12,5 см. Полагая, что Е—2* 10е кГ/сма, найти: а) перемеще¬
ние верхнего конца стойки; Ь) отношение продольных деформаций верхней и ниж¬
ней частей стойки.
1.5.3. Стальной стержень длиной 3 м имеет круговое поперечное сечение диа¬
метром с<!=2 см на одной половине своей длины и диаметром 1,5 см — на дру¬
гой. а) Насколько удлинится стержень при действии растягивающей нагрузки
Р=2,5т? Ь) Насколько удлинится стержень при действии той же нагрузки Р,
если длина его равна Зм, а диаметр й постоянен по длине и выбран из условия, что
объем стержня равен объему первого стержня? (Принять /:=2,Ы0в кГ/см3.)
1.5.4. Получить выражение для полного удлинения призматического стержня,
подвешенного вертикально и нагруженного собственным весом. Длина стержня
площадь его поперечного сечения Р. (Принять полный вес стержня равным №.)
1.5.5. Стальной стержень постоянного поперечного сечения имеет длину 5 м,
когда лежит на горизонтальной поверхности. Определить удлинение стержня при
подвешивании его за один конец. (Принять Е—2,1* 10е кГ/сма, удельный вес мате¬
риала стержня 7=7,85 Г/см3.)
1.5.6. Определить увеличение АV объема призматического стержня, подве¬
шенного вертикально и нагруженного собственным весом. (Принять, что № —
полный вес стержня, Ь — его длина, V — коэффициент Пуассона, Е — модуль уп¬
ругости.)
1.5.7. Стержень длиной Ь вращается в горизонтальной плоскости с угловой
скоростью со относительно вертикальной оси (см. рисунок к задаче 1.3.5). Стержень
имеет площадь Р поперечного сечения и вес К концу стержня присоединен
груз весом №. Найти полное удлинение 6 стержня под действием центробежных
сил.
Р
1.5.8. Суживающийся стержень прямоугольного поперечного сечения и по¬
стоянной толщины I нагружен силой Р так, как показано на рисунке. Ширина
стержня изменяется по линейному закону от Ьг у опоры до Ь2 на свободном конце.
Получить выражение для удлинения 6 стержня.
1.5.9. Найти выражение для приращения Д V объема стержня, описанного в
предыдущей задаче.
54. /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
1.6.10. На суживающийся стальной стержень (Е=2,1* 10е кГ/см2) кругового
поперечного сечения и длины 1=3 м действует нагрузка Р=5 т. Наибольший диа¬
метр стержня (на закрепленном его конце) 4Х=5 см, наименьший 4а=2,5 см.
Чему равно удлинение стержня?
1.5.11. Получить выражение для радиуса стойки кругового поперечного сече¬
ния с минимальным объемом (см. рисунок). Стойка нагружена силой Р, приложен¬
ной нм конце, и собственным весом. Материал стойки имеет удельный вес у, допу¬
скаемое напряжение при сжатии равно од. Определить также площади поперечных
сечений у вершины и основания стойки и ее объем. (Указание. Рассмотреть малый
элемент с длиной Ах. Поскольку напряжения во всех поперечных сечениях должны
быть одинаковы и равны од, разница АР между площадями поперечных сечений
у основания и вершины элемента должна быть такой, чтобы компенсировать раз¬
ницу между сжимающими силами, равную весу самого рассматриваемого эле¬
мента. Таким образом, имеем олАР=уРАх, или АР/Р=у Ах/ол. Интегрируя это
уравнение, получаем искомое решение.)
1.5.12. Определить горизонтальную и вертикальную составляющие переме¬
щения узла В фермы, изображенной на рис. 1.10, а, если элемент А В фермы изго¬
товлен из стального троса (Яс=2,1« 10е кГ/см2) диаметром 0,3 см и длиной 1,5 м,
а элемент ВС представляет собой деревянный брус (Ел=0,Ы0® кГ/см2) длиной
2,5 м с квадратным поперечным сечением 2,5X2,5 см. Нагрузка Р составляет
200 кГ.
1.5.13. Узел В изображенной на рисунке фермы ЛВС нагружен силой Р,
образующей угол 0 с вертикалью. Площади поперечных сечений стержней А В и
ВС равны соответственно Рх и Ра. Найти такое значение угла 0, при котором на¬
правление перемещения узла В будет совпадать с направлением силы Р.
1.5.14. Ферма АВС, изображенная на рисунке к задаче 1.3.4, состоит из го¬
ризонтального стального стержня ВС, площадь поперечного сечения которого рав¬
на 24 см2, а длина — I, и наклонного стального стержня А В с площадью попереч¬
ного сечения 3 см2. Угол 0 может принимать какое угодно значение за счет изме¬
нения длины наклонного стержня и перемещения опоры А по вертикали. (Длина I
стержня остается неизменной.) Определить угол 0, при котором вертикальное пере¬
мещение узла В под действием нагрузки Р будет минимальным.
1.6.1. Найти реакции Яа и для статически неопределимого стержня
(рис. 1.11, а), взяв в качестве лишней неизвестной реакцию %ь.
ЗАДАЧИ 55
1.6.2. Железобетонный стержень квадратного поперечного сечения сжимает¬
ся продольной силой Р. Какая часть нагрузки воспринимается бетоном, если пло¬
щадь поперечных сечений стальных прутков составляет 1/10 площади поперечного
сечения бетона, а модуль упругости стали в 10 раз больше модуля упругости
бетона?
1.6.3. Стержень АВ длиной I удерживается в горизонтальном положен ш
двумя вертикальными тросами, прикрепленными к его концам (см. рисунок).
Оба троса имеют одинаковые длину и площадь поперечного сечения, но трос, при¬
крепленный к концу А, изготовлен из материала с модулем упругости Ег, а трос,
прикрепленный к концу В,— из материала с модулем упругости Е2• Пренебрегая
влиянием веса самого стержня АВ, получить выражение для расстояния х (изме¬
ренного от конца А) до точки на стержне, в которой следует приложить вертикаль¬
ную силу Р, чтобы стержень при этом оставался горизонтальным.
\\\\\\>
Е,
В
И-
К задаче 1.6.3.
К задаче 1.6.4.
1.6.4. Стержень А В имеет на концах меньшую площадь поперечного сечения,
чем в средней части. На концах стержень жестко прикреплен к неподвижным опо¬
рам и нагружен равными по величине и противоположно направленными продоль¬
ными силами Р. Определить напряжение в средней части стержня, предполагая,
что Рг — площадь поперечного сечения вблизи концов, а Р2 — площадь попереч¬
ного сечения центральной части стержня. (Принять Р— 2,4 т, Рх—Ъ см3, Ра=
=7,5 см2, Ь—Ъа= 40 см.)
1.6.5. Стойка квадратного поперечного сечения представляет собой заполнен¬
ный бетоном металлический кожух с толщиной стенки 2,5 см и размерами соответ¬
ственно внешним 25X25 см и внутренним 20X20 см. Модуль упругости материала
кожуха Я^О,85* 10е кГ/см2, бетонного сердечника Е2—0,14* 10е кГ/см3. Найти
величину максимальной для стойки нагрузки Р, если допускаемые напряжения
для металла и бетона соответственно составляют 420 и 60 кГ/см3.
т
е
ь
ь
±
т
с
К задаче 1.6.6.
1.6.6. Стержень квадратного поперечного сечения состоит из двух стержней из
различных материалов, имеющих модули упругости Ех и Е2 (см. рисунок). Оба
стержня имеют одинаковые размеры поперечных сечений. Полагая, что концевые
пластины абсолютно жесткие, получить выражение для такого эксцентриситета е
приложения нагр>зки Р, при котором оба стержня будут находиться в состоянии
равномерного растяжения. (Принять Ег>Е2.)
1.6.7. Найти напряжения в двух идентичных тросах АВ и СИ (см. рисунок),
если каждый трос имеет площадь Р поперечного сечения, а горизонтальный стер¬
жень считается абсолютно жестким. (Принять Р=25 т и Г—20 см2.)
56 /• РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
1.6.8. Три одинаковых троса А, В и С удерживают абсолютно жесткий брус
(весом №), к которому прикладывается нагрузка 2 № на расстоянии х от середины
(см. рисунок). Начертить график, показывающий, как изменяются усилия Рв,
Рь и Рс в тросах в зависимости от расстояния х. (Принять, что величина х всегда
положительна и может изменяться от нуля до значений ббльших, чем Ь.)
1.6.9. Три стержня АИ, Вй и С0, имеющие одинаковую жесткость ЕР при
растяжении и при сжатии, образуют ферму, изображенную на рисунке. Определить
усилия в стержнях, а также горизонтальную и вертикальную составляющие пере¬
мещения узла Ъ под действием силы Р, если Р=90°.
1.6.10. Решить предыдущую задачу для случая, когда Р=а=45°.
1.7.1. Алюминиевая труба при температуре 21°С имеет длину 36 м. Смежная
стальная труба при той же температуре длиннее алюминиевой на 0,6 см. При какой
температуре разница длин труб составит 1,2 см? (Принять коэффициенты линейного
температурного расширения для алюминия и стали соответственно равными
аа=238-10-7 и ас= 105-10“7 1/град С.)
1.7.2. Железнодорожные рельсы сварены при температуре 10°С. Какое на¬
пряжение возникнет в рельсе при его нагреве в солнечный день до 50°С, если а=
= 105* 10-7 1/град С и Е= 2,1- 10е кГ/см2?
1.7.3. Какова будет реакция Я для заделанного стержня (рис. 1.17, а), если
вместо изменения температуры стержня изменить его длину, т. е. взять стержень
длиной а не I? (Принять расстояние между опорами равным Ь)
I- ‘ +
А
В
х
"гм
с
К задаче 1.6.7.
К задаче 1.6.8.
К задаче 1.6.9.
ЗАДАЧИ 57
1.7.4. Чему должно быть равно падение А Г температуры стержня, рассмотрен¬
ного в задаче 1.6.4, чтобы напряжение в середине стержня равнялось нулю? (При¬
нять <х=260-10-7 1/град С, 5=0,4- 10е кГ/см2.)
1*7.5. Для изображенной на рис. 1.15, а системы найти такое приращение АТ
температуры, при котором вся нагрузка Р воспринималась бы медной трубой.
(Пусть ас, ам, 5С, 5М, Рс и Рм — соответственно коэффициенты линейного темпе¬
ратурного расширения, модули упругости и площади поперечных сечений для
стальной и медной деталей.)
1.7.6. Найти напряжения в двух тросах АВ и СО, показанных на рисунке к
задаче 1.6.7, если Р— 25 т, 5=20 см2, 5=2,1*10® кГ/см2, а=105*10~7 1/град С
К температура обоих тросов увеличивается на 33°С.
1.7.7. Три сложенных вместе стальных стержня (5=2,1* 10е кГ/см2) скреплены
по концам болтами и нагружены растягивающей силой Р=125 т. Площадь по¬
перечного сечения каждого стержня равна 40 см2, длина — 6 м. Каково будет
окончательное напряжение а в среднем стержне при нагружении силой Р, если
средний стержень оказался короче двух остальных на 0,075 см. (Принять, что к
моменту приложения нагрузки длины всех трех стержней уравниваются.)
1.7.8. На вертикально подвешенный трос действует начальное растягивающее
усилие в 500 кГ. Затем на расстоянии к от нижнего конца троса подвешивается груз
весом 750 кГ. Определить усилия, возникающие в тросе при изменении расстояния
к от 0 до I*, учитывая, что трос не может воспринимать сжимающее усилие.
1.7.9. Найти усилия Рхъ Р2ъ стержнях фермы, изображенной на рис. 1.13, а,
при равномерном увеличении температуры на АТ градусов. (Принять, что все
стержни имеют жесткость ЕР при растяжении и при сжатии и что Р= 0.)
Т
И_
И
ТГ
К задаче 1.7.8.
К задаче 1.7.10.
1.7.10. Стержень 5, показанный на рисунке, имеет длину I, модуль упругости
5 материала и площадь Р поперечного сечения. К расположенным на концах стерж¬
ня массивным цапфам присоединены два троса со стяжными гайками. Каждый трос
имеет длину Ь, модуль упругости 5Х материала и площадь Рт поперечного сече¬
ния. Шаг резьбы стяжной гайки двойного действия равен р. Получить выражение
для числа оборотов п каждой стяжной гайки, необходимого для создания в стерж¬
не В равномерно распределенного предварительного напряжения сг0.
1.7.11. Биметаллический стержень, состоящий из медного сердечника, к ко¬
торому сверху и снизу присоединены две стальные полосы (см. рисунок), равно¬
мерно нагревается на Т градусов. Полагая, что ширина стержня Ь, длина I и тол¬
щина каждого слоя определить напряжения в стальных и медной полосах. Для
каждого слоя начертить также схемы действия сил как на незакрепленное тело.
(Принять коэффициенты линейного температурного расширения для стали и меди
58
РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
соответственно равными ас и <хм, причем а модули упругости для этих ма¬
териалов равными Ес и Еи.)
1.7.12. Стержни, составляющие внешний контур изображенной на рисунке
квадратной фермы, изготовлены из алюминия (5а=0,7- 10е кГ/см8, аа=238« 10“7
1/град С), а диагональные связи представляют собой стальные тросы (5С=2,1Х
Х10® кГ/см2, ас= 105» 10“71/град С). Площади поперечных сечений алюминиевых
стержней и стальных тросов относятся как 20 : 1. Определить напряжения в
стальных тросах при увеличении температуры фермы на ДГ=50°С.
I-
О"
К задаче 1.7.11.
1.8.1. Два одинаковых стержня АВ и ВС (см. рисунок) удерживают верти¬
кальную нагрузку Р. Стержни изготовлены из материала, для которого зависи¬
мость напряжения от деформации можно приближенно представить диаграммой,
изображенной на правой части рисунка и состоящей из двух прямых. Площадь
поперечного сечения каждого стержня Р равна 10 см2, длина 1=3 м, угол 0=30°.
Найти вертикальное перемещение 6* узла В для следующих значений нагрузки:
Р=4,8, 12, 16 и 20 т. По этим результатам построить график, показывающий зави¬
симость перемещения Ьь от нагрузки Р.
1.8.2. Положить, что ферма АВС, изображенная на рисунке к предыдущей
задаче, изготовлена из материала, для которого зависимость напряжения от де¬
формации задается соотношением <тл=Яе, где В и п — постоянные. Выразить
перемещение Ьь узла В через параметры Р, Р, I, 0, В и п.
1.8.3. На простую ферму АВС (рис. 1.10, а) действует нагрузка Р= 14000 кГ.
Предполагается, что для материала стержней фермы диаграмма зависимости на¬
пряжения от деформации такая же, как и в задаче 1.8.1. (Эта диаграмма справед¬
лива как при растяжении, так и при сжатии ) Площади поперечных сечений стерж¬
ней А В и ВС равны соответственно 7 и 20 см2, а длины стержней составляют соот¬
ветственно 90 и 150 см. Определить горизонтальную и вертикальную составляю-
цие перемещения узла В фермы.
ЗАДАЧИ 59
1.8.4. Определить удлинение Ь вертикального стержня, подвешенного за
верхний конец и нагруженного собственным весом, если зависимость напряжения
от деформации для материала стержня описывается соотношением ол=Ве, где В
и п — постоянные. (Выразить б как функцию от длины Ь стержня, удельного веса
V материала, постоянных В и п.)
1.8.5. На длинный стержень, подвешенный вертикально за верхний конец,
действует приложенная к нижнему концу нагрузка Р. Зависимость напряжения от
деформации для материала стержня имеет тот же вид, что и в задаче 1.8.1. Найти
удлинение стержня, обусловленное действием собственного веса стержня и прило
женной нагрузки Р, если 7=6,1 Г/см3, Р—7 см3, /,=360 м, Р=7000 кГ.
1.8.6. Нагрузка Р воспринимается абсолютно жестким брусом, который под¬
вешен на четырех симметрично расположенных тросах, как показано на рисунке.
Каждый трос имеет площадь Р поперечного сечения и изготовлен из упруго-иде¬
ально-пластического материала. Найти предельную нагрузку Рп.
1.8.7. Определить предельную нагрузку Р„ для фермы, изображенной на
рис. 1.19, а, если она изготовлена из упруго-идеально-пластического материала и
вертикальный трос имеет площадь поперечного сечения в два раза большую, чем
наклонные тросы. Предполагается, что ат=2500 кГ/см3, Р=60° и площадь попе¬
речного сечения вертикального троса составляет 10 см2.
1.8.8. Рассмотреть ферму АВС, изображенную на рис. 1.10, а, предполагая,
что предельной нагрузкой для нее является Рп= 10 т. Найти минимальные значе¬
ния необходимых площадей поперечных сечений элементов А В и ВС, если ферма
изготовлена из упруго-идеально-пластического материала с пределом текучести
от=2300 кГ/см3. (Принять угол 0 равным 30°.)
1.8.9. Абсолютно жесткий стержень АВ шарнирно закреплен в точке С и не¬
сет нагрузку Р, приложенную на конце В (см. рисунок). Этот стержень удержи¬
вается в равновесии тремя одинаковыми тросами, изготовленными из упруго-иде-
ально-пластического материала. Найти нагрузку Рт, при которой возникает пла¬
стическое течение, и предельную нагрузку Рп, полагая, что площадь поперечного
сечения каждого троса равна Р.
1.9.1. Три деревянных бруска склеены так, как это показано на рисунке*
Каждый из деревянных брусков имеет одно и то же поперечное сечение (см. рису¬
нок) и длину 20 см в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка. Если на¬
грузка Р равна 10 т, то чему равно среднее значение касательного напряжения в
клеевых соединениях?
60 /. РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ
1.9.2. Определить необходимый диаметр болта в соединении, изображенном
на рис. 1.22, а, если Р— 4 т, а допускаемое сдвигающее напряжение для болта тд=
= 900 кГ/см2.
1.9.3. Пуансон диаметром 2 см прошивает отверстие в стальной пластине тол¬
щиной 0,6 см с усилием в 13 т. Определить средние значения касательного напря¬
жения в пластине при прошивании отверстия и нормального сжимающего напряже¬
ния в пуансоне.
Р
1.9.4. Два соосных вала диаметром 2,5 см соединены муфтой, охватывающей
концы обоих валов. Муфта прикрепляется к каждому из валов шпонкой диаметром
0,6 см, проходящей через муфту и вал под прямым углом к оси вала. Если вал пере¬
дает крутящий момент, равный 350 кГ*см, то какое касательное напряжение воз¬
никает в шпонках?
1.9.5. Алюминиевый стержень сплошного кругового поперечного сечения
вставлен в медную трубу той же длины. Внешний диаметр медной трубы равен 5 см,
внутренний диаметр 4,6 см, а диаметр алюминиевого стержня 4,5 см. На каждом
конце этого соединения вставлена металлическая шпонка диаметром 0,6 см, про¬
ходящая через трубу и стержень под прямым углом к оси. Найти среднее значение
касательного напряжения в шпонках при повышении температуры на 22°С. (Для
алюминия 5а=0,7* 10е кГ/см2, оса=238-10~7 1/град С, для меди 5М=Ы0Й кГ/см2,
ам= 167* 10-7 1/град С.)
1.10.1. Призматический стальной стержень длиной 25 см сжимается силой
Р— 3 т. Принимая, что 5=2,1* 10е кГ/см2, подсчитать величину энергии деформа¬
ции, накопленной в стержне, если площадь его поперечного сечения составляет
5= 24 см2? Р= \2 см2?
1.10.2. Определить энергию деформации, накопленную в стержне, изобра¬
женном на рис. 1.7, если он имеет площадь Р поперечного сечения и изготовлен из
материала с модулем упругости Е.
1.10.3. Определить энергию деформации в вертикально подвешенном призма¬
тическом стержне, нагруженном собственным весом, если он имеет длину пло¬
щадь Р поперечного сечения и изготовлен из материала с модулем упругости Е
и удельным весом у.
1.10.4. Определить величину энергии деформации стержня, описанного в пре¬
дыдущей задаче, если, кроме собственного веса, он нагружается приложенной к
его нижнему концу продольной силой Р.
1.10.5. Найти энергию деформации, накопленную во вращающемся стержне,
рассмотренном в задаче 1.5.7, положив №=0.
ЗАДАЧИ 61
1.10.6. Решить задачу 1.5.8, приравняв энергию деформации (/, накопленную
в суживающемся стержне, работе Ро/2, совершенной нагрузкой Р.
1.10.7. Груз весом № прикрепляется к одному концу гибкого троса длиной I,
площадь поперечного сечения которого равна Р. Другой конец троса прикрепляет¬
ся к неподвижной опоре. Затем груз сбрасывается с высоты опоры и свободно па¬
дает на полную длину троса. Получить выражение для максимального напряжения
о, возникающего в тросе, предполагая, что при остановке падающего груза трос
упруго вытягивается и что его длина велика по сравнению с величиной удлинения.
1.10.8. Груз весом №=500 кГ падает с высоты Л= 1 м на вертикально стоящий
деревянный столб высотой 6 м и диаметром 30 см, закрепленный на нижнем конце.
Определить максимальное сжимающее напряжение а в столбе, если Е=
=0,1* 10^ кГ/см2. (Влиянием веса столба и потерями энергии во время удара пре¬
небречь; предположить также, что величина 6СТ мала по сравнению с к.)
1.10.9. Для системы, изображенной на рис. 1.26, определить высоту Л, с ко¬
торой должен упасть груз весом №, чтобы вызвать в стержне максимальное на¬
пряжение а= 2100 кГ/см2. Принять №=12 кГ, Ь—2 м, Р~Зсм2, 5=2,1* 10е кГ/см2.
1.10.10. Рассмотреть пример 2 в разд. 1.10 в предположении, что между кон¬
цом троса и грузом весом № устанавливается упругая пружина с жесткостью к
(к — сила, отнесенная к единице смещения). Найти выражение для максимального
напряжения о, возникающего в тросе при этих новых условиях, и сравнить с выра¬
жением (Ь) разд. 1.10. Увеличатся или уменьшатся напряжения при установке
Дружины?
ИССЛЕДОВАНИЕ
НАПРЯЖЕННОГО
И ДЕФОРМИРОВАННОГО
23 СОСТОЯНИЙ
2.1. НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ
Когда призматический стержень нагружается простым растя¬
жением (рис. 2.1), напряжения в поперечном сечении мпу нормаль¬
ном к продольной оси стержня, равномерно распределены и равны
Р/Р, о чем говорилось ранее в разд. 1. 2. Рассмотрим теперь напря¬
жение в наклонной плоскости рд% по которой разрезан стержень и
которая расположена под углом 0 к поперечному сечению тп. По¬
скольку все продольные волокна имеют одинаковые осевые дефор¬
мации, силы, представляющие действие правой части стержня на
левую, должны быть равномерно распределены по наклонному сече¬
нию рд. Левая часть стержня находится в равновесии под действием
этих сил и внешней нагрузки Р (рис. 2.1, Ь). Следовательно, равно¬
действующая 5 сил, распределенных по наклонному сечению, равна
Р. Сила 5 может быть разложена на две составляющие N и (? — со¬
ответственно нормальную и касательную к наклонной плоскости
(рис. 2.1, с).
Эти составляющие суть
N — Р С08 0, (}—Р 81П 0.
Так как площадь Р' наклонного сечения равна Р/сов 0, напряжения,
соответствующие N и (?, имеют вид
соз8 0 = ох соза 0, (2.1 а)
О Р
т0 = = -у 51П 0 СОЗ 0 =г Ох ЗШ 0 соз 0, (2.1Ь)
где ах=Р!Р — напряжение в направлении оси х в поперечном сече¬
нии, нормальном оси стержня. Напряжения а0 и те, которые явля¬
ются соответственно нормальным и касательным напряжениями,
возникающими на наклонной плоскости рц (см. рис. 2.1, й)% равно¬
мерно распределены по сечению. Заметим, что ориентация наклон¬
ной плоскости определяется углом 0 между осью х и нормалью к
плоскости.
2.1.
НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ 63
Выражение (2.1а) показывает, как изменяется нормальное на¬
пряжение его» если наклонное сечение располагается под различны¬
ми углами. Когда 0=0, плоскость /?<? совпадает с плоскостью попе¬
речного сечения тп, откуда, как и следовало ожидать, имеем
сг0=ах. Затем при увеличении угла 0 напряжение ае уменьшается,
т
ч
-
\
\
Л.
ж
Рис. 2.1. Напряжения в наклонных сечениях растя¬
гиваемого стержня.
пока при 0=я/2 не станет равным нулю, а это показывает, что меж¬
ду продольными волокнами стержня отсутствуют нормальные на-,
пряжения. Отсюда видим, что максимальная величина нормаль¬
ного напряжения имеет место при 0=0, т. е.
^тах “ (2-2)
Согласно выражению (2.1 Ь), касательное напряжение т0 равно ну¬
лю при 0=0 и 0=я/2 и достигает своего максимального значения
при 0=я/4. Это максимальное значение равно
*п,ах=-а*/2.
(2.3)
Несмотря на то что максимальное касательное напряжение со¬
ставляет половину максимального нормального напряжения, оно
иногда является определяющим напряжением для продольно нагру¬
64 2. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
женного стержня, если его материал работает на сдвиг намного хуже,
чем на растяжение. Например, во время испытаний на растяжение
плоских стержней из малоуглеродистой стали с полированными по¬
верхностями на плоских сторонах стержня наблюдаются линии
скольжения под углом примерно 45° к продольной оси (рис. 2.2,а).
Эти линии показывают, что материал начинает разрушаться вдоль
плоскостей, на которых касательные напряжения максимальны.
Такие линии впервые наблюдали Г. ПьобЬр (1842 г.) и В. Людерс
щШШк
ШЯШШШ
щшш
шшш
:■
|ННННМН
ШяШШШШШШ
ШтЯШШШШШШШ
ИНЮИ1
ИИНИ1
нив
а Ь
Рис. 2.2. а — линии скольжения (линии Людер-
са) при продольном растяжении стального
стержня; Ь — разрушение деревянного бруса
при сжатии.
(1860 г.) 12.1—2.4], и сегодня они носят название либо линий Лю-
дерса, либо линий Пьобера. Они начинают появляться, когда напря¬
жения в стержне достигают предела текучести (точка В на рис. 1.2, а).
Другой пример разрушения при сдвиге виден на рис. 2.2, Ь,
где показан короткий деревянный брус, сжимаемый вдоль оси и
разрушающийся от сдвига в плоскости,, лежащей под углом 45°.
Выражения (2.1), полученные для растягиваемого стержня, мо¬
гут быть использованы и при продольном сжатии, если считать
2.1.
НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЯХ 65
ах отрицательной величиной. Тогда получим отрицательные значе¬
ния для о0 и т0 во всем интервале значений угла 0 от 0 до я/2.
Отрицательный знак при сто означает, что нормальные напряжения
являются сжимающими, а отрицательный знак при т0 означает, что
те имеет направление, противоположное показанному на рис. 2.1, с?.
О
о
о
Рис. 2.3. Правила знаков для нор¬
мального ст0 и касательного т0 на¬
пряжении.
О
На рис. 2.3 дано правило знаков как для нормальных, так и для
касательных напряжений. За положительное нормальное напряже¬
ние а0 принимается такое, которое направлено от поверхности мате¬
риала независимо от ориентации этой поверхности; отрицательное
нормальное напряжение направлено к поверхности. Касательные
напряжения являются положительными, когда они направлены по
часовой стрелке относительно поверхности материала, и отрицатель¬
ными — при направлении против часовой стрелки.
Удобный способ представления напряжений, возникающих в не¬
которой точке>стержня, состоит в выделении в качестве незакреплен¬
ного тела малого элемента материала и затем изображения напря¬
жений, возникающих на всех сторонах элемента. Например, из рас¬
тягиваемого стержня вырезаются элементы А и В, как показано на
рис. 2.4. Малый элемент А ориентирован так, что 0=0, отсюда един¬
ственным напряжением, действующим на него, является ох=Р/Р.
Второй элемент повернут на угол 0, поэтому на стороне М элемента
возникают напряжения ст9 и те, подсчитываемые по формулам (2.1).
Нормаль к стороне аЬ элемента образует угол в+п/2 с осью х, и по¬
этому можно найти напряжения, возникающие на этой стороне, под¬
ставив 0 + л/2 вместо 0 в выражения (2.1), что дает
ае = стЛсо52(0 + я/2) = стя51Па0, (2.4а)
те = ах зш (0 + я/2) соз (0 + я/2) = — ах зт 0 соз 0. (2.4Ь)
Поскольку напряжение ах в данном примере положительно, нор¬
мальное напряжение ст© также положительно, как показано на рис.
2.4, с. Касательное напряжение те на стороне аЬ элемента отрица¬
66 3. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
тельно; это означает, что оно направлено против часовой стрелки
относительно поверхности элемента, что также показано на рисунке.
Если сравнить выражения (2.1) и (2.4), то можно отметить два
интересных соотношения между напряжениями на взаимно перпен¬
дикулярных плоскостях. Из этих выражений видно, что
^0 + ^0=Ож»
Т0 == — Т0.
(2.5)
(2.6)
Первое из этих двух соотношений показывает, что для растягивае¬
мого стержня сумма нормальных напряжений, действующих на
Р~*~
а
во
с б1
Рис. 2.4. Напряжения в элементах А и В, вырезанных из рас¬
тягиваемого стержня.
двух перпендикулярных плоскостях, остается постоянной и равной
ох\ второе означает, что касательные напряжения на перпендику¬
лярных плоскостях равны по величине и противоположны по на¬
правлению. Это заключение приводилось ранее в разд. 1.9.
Продолжая в том же духе, можно получить напряжения на двух
остальных сторонах ас и ей элемента (рис. 2.4, с). Для стороны ас
угол, составляемый нормалью с продольной осью, равен 0+я,
для стороны ей этот угол равен 0+Зя/2. Также находим, что нор¬
мальное и касательное напряжения на стороне ас такие же, как и на
стороне Ьй, а напряжения на стороне ей такие же, как и на сто¬
роне аЬ.
При проведении числовых расчетов для напряжений, возникаю¬
щих на такой стороне, как ей, иногда бывает удобнее определять по¬
ложение плоскости, измеряя угол 0 в отрицательном направлении
2.2.
ДВУХОСНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 67
(т. е. по часовой стрелке от оси х), чем использовать положительное
значение угла между 270 и 360°. Например, если угол 0 на рис.
2.4, с равен 30°, то при использовании выражения (2.1) угол, опре¬
деляющий положение плоскости ей, можно взять равным либо 30°+
+270°=300°, либо — 60°.
2.2. ДВУХОСНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Рассмотрим теперь напряженное состояние более общего вида,
при котором нормальные напряжения в элементе возникают как в
направлении оси х, так и оси у (рис. 2.5, а). Такое напряженное со¬
стояние называется двухосным напряженным состоянием, для того
Рис. 2.5. Элемент, находящийся в двухосном напряженном состоянии.
чтобы отличить его от одномерного или одноосного напряженного
состояния, рассмотренного в предыдущем разделе. Двухосные на¬
пряженные сост'ояния встречаются при исследовании нагруженных
давлением сосудов, балок, валов и многих других конструкцион¬
ных деталей (о некоторых из них речь пойдет ниже). Пока будем ин¬
тересоваться установлением нормальных и касательных напряже¬
ний на наклонной плоскости рц, нормаль к которой составляет угол
0 с осью х (рис. 2.5, а). Напряжениями, возникающими на наклон¬
ной плоскости, являются нормальное напряжение ст0 и касательное
напряжение те, показанные на рис. 2.5, Ь. Эти напряжения вместе
с напряжениями ах и а,, можно считать возникающими на гранях
малого трехгранного элемента, вырезанного из первоначально пря¬
моугольного элемента.
Для того чтобы определить напряжения сге и т0, возникающие
на наклонной плоскости, рассмотрим равновесие трехгранного эле¬
мента. Если через Р обозначить площадь грани х элемента (т. е.
грани, на которой возникает напряжение ох), то площадь грани у
будет Р 0, а площадь наклонной грани составит/•'зес 0. Таким
образом, полная сила, действующая на грань х, равна ахР, а на
грань у — соответственно стй /9. Каждую из этих сил можно
а
Ь
е
68 *• НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна
из которых действует по нормали к наклонной плоскости, а другая—
параллельно ей. Затем по этим направлениям можно просуммиро¬
вать силы и получить два уравнения равновесия для трехгранного
элемента. Первое уравнение, полученное при сложении сил в на¬
правлении 0е. имеет вид
о^Р зес 0 = ахр соз 0 ауР 0 зт 0,
откуда
ое = ах соз* 0 о у зта 0. (2.7а)
Таким же образом можно сложить силы, действующие в направле¬
нии касательного напряжения т0:
т0Рзес в—ахР з1п0—ау Р0соз0,
или
те = (0* — 0„)зт0со8 0. (2.7Ь)
Соотношения (2.7) дают алгебраические величины нормальных и ка¬
сательных напряжений на произвольной наклонной плоскости через
нормальные напряжения ах и ау, возникающие соответственно в
направлениях х и у. Используя тригонометрические соотношения
соз2 0 V* (I + соз 20), $ш* 0 = */а (1 —соз 20),
зт 0 СОЗ 0 — ‘/а 51П 20,
можно записать формулы (2.7) в иной форме:
= V» (ох + ау) + »/* (ох—аи) соз 20, (2.8а)
то = 1/*(о?х—сг„)зт20. (2.85)
Отметим, что правила знаков, используемые для 0© и т© в соотно¬
шениях (2.7) и (2.8), являются такими же, как и в предыдущем раз¬
деле (рис. 2.3).
Если вместо угла 0 в выражения (2.8) подставить 0+я/2, то
получим выражения для напряжений 0© и т© в плоскости, состав¬
ляющей прямой угрл с наклонной плоскостью, в которой возникают
напряжения ое и те (рис. 2.5, с). Эти выражения таковы:
Оо = >/* (0* + оу)~»/* (О*—оу) соз 20, (2.9а)
То = — Чг (0*—0„) зт 20, (2.9Ъ)
Суммируя первое из этих выражений с (2.8а), получаем соотноше¬
ние
00 + 0Г0 = 0* + 0В, (2.10)
которое показывает, что сумма нормальных напряжений в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях постоянна. Кроме того,
сопоставление выражений (2.8Ъ) и (2.95) снова показывает, что ка¬
2.2.
ДВУХОСНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 69
сательные напряжения во взаимно перпендикулярных плоскостях
равны по величине, но противоположны по знаку (см. соотношение
(2.6)).
Когда элемент, изображенный на рис. 2.5, с, поворачивается от
0=0 до 0=я/2, нормальное напряжение о0 изменяется, согласно
(2.8а), от ах до ау. Таким образом, одно из этих напряжений являет¬
ся наибольшим значением сге, а другое — наименьшим его значени¬
ем. Такие максимальные и минимальные величины нормального на¬
пряжения называются главными напряжениями, а две взаимно пер¬
пендикулярные плоскости, на которых они возникают, — главными
плоскостями. Из рис. 2.5, а видно, что на главных плоскостях отсут¬
ствуют касательные напряжения.
Касательное напряжение т0 равно нулю при 0=0 и затем увели¬
чивается, согласно (2.85), до максимальной величины при 0=я/4.
Максимальное касательное напряжение равно
т. е. полуразности главных напряжений. Если напряжения ох и
аи равны, то ни на одной из наклонных плоскостей не возникнут
касательные напряжения.
Предыдущее рассуждение о максимальных касательных напряжениях отно¬
сится только к таким касательным напряжениям, которые возникают на наклонных
плоскостях, параллельных оси г, например на плоскости до (рис. 2.5, а). Не сле¬
дует игнорировать тот факт, что элемент на рис. 2.5, а в действительности является
трехмерным и что напряжение аг, направленное по оси г, равно нулю. В элементе
можно провести сечения плоскостями, параллельными оси х или оси у, и при этом
мржет оказаться, что на одной или нескольких таких плоскостях возникнут боль¬
шие касательные напряжения, чем те, которые задаются выражением (2.11). Опре¬
деление максимального касательного напряжения для трехмерного случая описы¬
вается ниже в разделе о трехосных напряженных состояниях (разд. 2.7).
Все предыдущие,соотношения, относящиеся к двухосному на¬
пряженному состоянию, справедливы независимо от того, каковы
напряжения ах и ау— растягивающие или сжимающие. Для ис¬
пользования этих соотношений необходимо только рассматривать
напряжения как алгебраические величины в соответствии с изло¬
женными выше правилами знаков. Кроме того, отметим, что соотно¬
шения для двухосного напряженного состояния сведутся к одно¬
осному случаю, если положить напряжение оу равным нулю.
Деформации при двухосном напряженном состоянии.
Деформация в направлении оси х для элемента, находящегося в
двухосном напряженном состоянии (рис. 2.5, а), зависит не только
от напряжения о*, направленного вдоль оси х, но и от напряжения,
действующего по оси у (что обусловлено эффектом Пуассона, опи¬
санным в разд. 1.4). Предполагая, что для материала соблюдается
закон Гука, видим, что деформация в направлении оси х, обуслов¬
70 г. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
ленная напряжением ох, равна ох/Е, а напряжение оу дает дефор¬
мацию — V0^,/Е. Таким образом, если оба напряжения ох и ау воз¬
никают одновременно, то деформация в направлении оси х будет
== ~ё~ (&Х УсГу). (2.12а)
Аналогично для деформации в направлении оси у получим
в» = т(°»“то*)1 (2.12Ь)
Так же запишется и деформация в направлении оси г:
«,=-■<2Л2с)
Из соотношений (2.12а) и (2.12Ь) можно получить напряжения ах и
оу как функции деформаций ех- и еу:
+ (2.13а)
°у = Т1^(еу + ™х)- (2.13Ь)
Эти соотношения можно использовать для определения напряже¬
ний ах и <ту в тех’случаях, когда деформации ех и еу известны, на¬
пример получены с помощью тензодатчиков.
Относительное изменение объема упругого материала при двух¬
осном напряженном состоянии можно найти, заметив, что размеры
элемента в направлении осей х, у и г увеличиваются соответствен¬
но в отношениях (1+е*):1, (Ц-еу): 1 и (1+ег):1. Следовательно, объ¬
ем стержня увеличится в отношении
(1+езс)(1+е!,)(1Ч-82) : 1,
или — если пренебречь малыми высшего порядка — в отношении
(1 +е* + 81/ + ег):
Из этого выражения видно, что относительное изменение объема
равно
^ = е*4-е„ + ег. (2.14)
I
Подставляя сюда соотношения (2.12), получаем следующее выраже¬
ние для относительного изменения объема при двухосном напряжен¬
ном состоянии:
тг=х<°*+0Г»И1-2у>- (215)
2.3. чистый СДВИГ 71
Если ог!/=0, то это соотношение можно свести к формуле (1.7) для
относительного изменения объема при одноосном напряженном со¬
стоянии.
2.3. ЧИСТЫЙ СДВИГ
Рассмотрим теперь частный случай двухосного напряженного
состояния, когда, как показано на рис. 2.6, а, ах является растя¬
гивающим напряжением, а оу— сжимающим напряжением той же
величины, т. е. когда
сг у 1 (То. (2.16)
Максимальное касательное напряжение возникает, как это объяс¬
нялось в предыдущем разделе, на наклонной площадке, у которой
0=45°, и, согласно (2.11), равняется
тгаах=^ = а0. (2.17)
Это касательное напряжение показано на рис. 2.6, Ь. Нормальные
напряжения, возникающие по сторонам этого элемента, могут быть
найдены подстановкой значения 0=45° в выражения (2.8а) и (2.9а),
^0
Лу
с
Ь с
Рис. 2.6. Элемент в состоянии чистого сдвига.
что даст ©0=00=0. Таким образом находим, что в элементе, изоб¬
раженном на рис. 2.6, Ь, возникают только касательные напряже¬
ния и, следовательно, он находится в состоянии чистого сдвига
(см. разд. 1.9). Здесь также видно, что чистый сдвиг эквивалентен
напряженному состоянию, создаваемому действием растягиваю¬
щего напряжения в одном направлении и равного ему по величине
сжимающего напряжения в перпендикулярном направлении. Ко¬
нечно, если рассмотреть элемент, повернутый на угол 0, отличный
от 45°, то на сторонах элемента возникнут как нормальные, так и ка¬
сательные напряжения; эти напряжения можно найти, как обычно,
из соотношений (2.8) и (2.9).
Искажение формы элемента при чистом сдвиге показано на рис.
2.6, с. Длины сторон элемента не изменяются, так как на них отсут¬
ствуют нормальные напряжения, но горизонтальная диагональ
72 2- НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
удлиняется, а вертикальная укорачивается. На этом рисунке дефор¬
мация сдвига у. равная ттах/С, представляется уменьшением прямых
углов по концам горизонтальной диагонали или увеличением пря¬
мых углов по концам вертикальной диагонали. Угол между началь¬
ным и конечным положением любой из сторон1 элемента равен у/2.
Изменения длин диагоналей элемента (рис. 2.6, с) определяются
деформациями ех и е„, которые подсчитываются по формулам (2.12)
предыдущего раздела. В то же время из рисунка видно, что эти из¬
менения длины геометрически связаны с деформацией сдвига у.
Следовательно, можно сделать вывод, что модуль сдвига С связан
с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона V.
Для установления этой важной связи заметим сначала, что уве¬
личение длины горизонтальной диагонали М равно
где й — первоначальная длина диагонали. Предполагая, что эле¬
мент имеет квадратную форму, из геометрических соображений, сог¬
ласно рис. 2.6, с, получаем, что увеличение длины горизонтальной
диагонали также равно и такому выражению
т. е. увеличение длины Ай равно увеличению прямого угла в верхней
('или в нижней) точке элемента, умноженному на половину длины,
вертикальной диагонали. Далее из соотношений (а) и (Ь) для эле¬
мента, находящегося в состоянии чистого сдвига, получаем
Из соотношений (2.12а) и (2.16) найдем следующее выражение
для еж:
Подставляя это выражение в (с), а также вводя вместо у выражение
ттах/0 (равное о0/0), получаем
Это соотношение показывает, что модули Е и С н коэффициент V
не являются независимыми характеристиками материала ‘). Если
взять, например, для стали ^0,30 и Я=2,1-10® кНсм2, то, соглас¬
но (2.18), получим 0«0,8-10® кГ/сма.
Ас1=ехс1,
(а)
(Ь)
(с)
8* — ■]?■ (1 + V)
ИЛИ
(2.18)
*) Соотношение (2.18) было выведено Пуассоном, который для у принял зна¬
чение 7« (см. [2.5]).
2.4. КРУГ МОРА ДЛЯ ДВУ КОСНОГО НАПРЯЖЕННОГО состояния 73
2.4. круг мора для двухосного
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Соотношения для напряжений сте и т0, возникающих на наклон¬
ных плоскостях при двухосном напряженном состоянии материала
(см. рис. 2.5), удобно представить в графической форме. Для того
чтобы продемонстрировать графическое построение, прежде всего
введем следующие обозначения:
Г + <7(,
'ср
(2.19)
(2.20)
где <хСр— среднее арифметическое нормальных напряжений, воз¬
никающих на сторонах элемента, а ттах— максимальное касатель¬
ное напряжение. В этих обозначениях соотношения (2.8) для
Се и те можно переписать в следующем виде:
о о 0Ср — тгоах соз 20,
Ч = Тгаах 51П 20.
Эти два соотношения представляют собой уравнение окружности
в параметрической форме с углом 20 в качестве параметра. Возве-
*
бх
к
0
в
г
А
/
/
V /
\ /
\ /
«0
/г*-
Ох ♦ Су
Рис. 2.7. Круг Мора для двухосно¬
го напряженного состояния.
дем в квадрат левые и правые части этих уравнений и сложим их,
исключив параметр 20; таким образом, мы получим
(<*0—оср)2 + т|--т*1ах. (2.21)
Это соотношение с напряжениями а0 и т0 в качестве независимых
переменных представляет собой уравнение окружности радиусом
ттах- На рис. 2.7 изображен соответствующий круг; при этом по оси
абсцисс отложено нормальное напряжение а0, а по оси ординат —
74 3- НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
касательное напряжение т0. Центр С круга, согласно уравнению
(2.21), имеет координаты ов— 0ср и т0=О. Такое графическое пред¬
ставление впервые было разработано немецким инженером Отто
Мором в 1882 г. [2.6—2.81 и называется кругом Мора.
Заметим сначала, что точка А на круге Мора имеет координаты
06 = 0ср 4"ТтаХ — ох, Те = О,
представляющие собой напряжения на грани х элемента (0=0).
Аналогично точка В на круге имеет координаты а^=ау и т0=О,
соответствующие напряжениям на грани у элемента (0=90°).
Рассмотрим теперь произвольно выбранную точку О на круге;
эта точка имеет угловую координату 20, измеряемую от точки А,
для которой 0=0. Из геометрических соображений координаты
Ое и те точки И можно записать в следующем виде:
а0 = ОС +СЭ соз 20 = »/а (0* + ау) х/а (рх—0„) соз 20,
т0 = СО зт 20 = 1/2 (ах—ау) зт 20.
Из сравнения этих выражений с формулами (2.8) становится ясным,
что координаты точки й представляют собой напряжения <х0 и те
на наклонной плоскости, лежащей под углом 0 (рис. 2.5). Заметим,
однако, что при задании координат точки И на круге Мора исполь¬
зуется двойной угол 20. Когда угол 0 меняется от 0 до я/2, точка О
перемещается по кругу от А до В; таким образом, верхняя половина
круга описывает напряжения <х0 и те для произвольно ориентиро¬
ванного в интервале от 0=0 до 0=я/2 элемента (рис. 2.5, с). Напри¬
мер, если 0=я/4, то 20=я/2 и точка О будет высшей точкой круга
(точка Е), где
ах -\-оу ох ау
00 2 * ^0 2 *
Таким образом, точка Е характеризует плоскость, в которой воз¬
никает максимальное положительное касательное напряжение,
что и следовало ожидать, так как радиус круга равен ттах.
Если взять для угла 0 значения больше я/2, то соответствующая
точка будет находиться на нижней половине круга Мора. Например,
точка И' диаметрально противоположна точке Ь, и поэтому ее поло¬
жение определяется углом 20+я, а это означает, что напряжения,
характеризуемые точкой И', возникают на плоскости, составляю¬
щей прямой угол с плоскостью, на которой возникают напряжения
00 и т0. Из рис. 2.7 видно, что координаты точки О' равны <х0 и
Те (см. рис. 2.5, с и соотношение (2.9)). Таким образом, меняя угол
20 на круге Мора от 0 до 360°, мы получаем напряжения, возникаю¬
щие на всех гранях элемента (см. рис. 2.5, с), лежащих под углом от
0=0 до 0= 180°. Напряжения на остальных гранях (соответствую¬
щие изменению угла 0 от 180 до 360°), естественно, равны напряже¬
ниям, возникающим на противолежащих гранях.
2.4. КРУГ МОРА ДЛЯ ДВУХОСНОГО НАПРЯЖЕННОГО состояния 75
Обычный прием построения круга Мора состоит в следующем.
На оси 00 в соответствующем масштабе откладываются абсциссы
точек А и В и через эти две точки проводится окружность. Для того
чтобы найти напряжения на произвольной наклонной плоскости,
ориентация которой определяется углом 0, под углом 20 проводит¬
ся радиус, на котором лежит точка О. Координаты этой точки, ко¬
торые можно найти либо непосредственно по диаграмме (с учетом
масштаба), либо при помощи тригонометрических вычислений, да¬
дут искомые напряжения о0 и т0. Если одно из напряжений ох и
«Ту (или оба они) является сжимающим, то проделывается та же про¬
цедура, за исключением того, что часть круга или весь круг может
располагаться слева от начала координат. Следует также иметь в ви¬
ду, что угол 20 измеряется против часовой стрелки от точки А, ко¬
торая изображает напряжения в плоскости х, даже несмотря на то,
что точка А может располагаться на левом конце диаметра, что слу¬
чается, когда напряжение ах алгебраически меньше, чем ау (см.
приведенный ниже пример).
При желании можно также использовать круг Мора для проти¬
воположной цели, т. е. если для повернутого элемента, находяще¬
гося в двухосном напряженном состоянии, известны напряжения ое,
сг0, т0 и т0 (рис. 2.5, с), то круг Мора можно применить для нахожде¬
ния напряжений ах и ау. Процедура такова: в соответствии с за¬
данными величинами напряжений откладываются точки И и й',
а затем на отрезке ОГ>' как на диаметре строится круг* После
этого точки А и В могут быть найдены как точки пересечения
круга с осью о©, что позволит определить не только напряжения
а* и ау, но также и угол 0 для повернутого элемента.
Пример. Построим круг Мора для случая двухосного напряженного состоя¬
ния (рис. 2.8, а), при котором ох=—900 и 0у=300 кГ/см2. Определим также на¬
пряжения сто, то, а© и те, возникающие на гранях элемента, для которого 0=20°.
Рис. 2.8. Числовой пример; все напряжения указаны в кГ/см2.
Начнем с построения точек Лив, представляющих напряжения соответствен¬
но на плоскостях 0=0 и 0=90° (рис. 2.8, Ь). Центр круга С имеет координату аср=
300 кГ/сма, радиус круга равен 600 кГ/см2.
900
а
900 . 300
Ь
с
76 НАПРЯЖЕННОЕ И ДЁФОРМИРОЬАННОЁ СОСТОЯНИЯ
Для того чтобы найти точку О, отложим от точки А угол 20== 40° против Часо¬
вой стрелки. Координаты этой точки, либо полученные расчетом, либо снятые не¬
посредственно с чертежа с учетом масштаба, равны
сг0= —760 кГ/см2, т0 = — 390 кГ/см2.
Эти напряжения приведены на схеме повернутого элемента (рис. 2.8,с). Точка О'
дает напряжения для плоскости с 20=220°, или 0=110°. Эти напряжения также
показаны на рис. 2.8, с и равны
00=160 кГ/см2, Т0 = 39О кГ/см2.
Таким образом, используя круг Мора, можно определить все напряжения для по¬
вернутого элемента.
2.5. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Как одноосное, так и двухосное напряженное состояния явля¬
ются частными случаями более общего напряженного состояния,
известного как плоское напряженное состояние. Элемент при плос¬
ком напряженном состоянии может иметь на гранях хну как нор-
йУ
Рис. 2.9. Элемент в плоском напряженном состоянии.
мальные, так и касательные напряжения (рис. 2.9, а), но при этом
на грани г напряжения отсутствуют. Касательное напряжение на
грани х элемента будем обозначать гху, где первый индекс означает
плоскость, на которой возникает напряжение, а второй — направ¬
ление касательного напряжения. При использовании такого обозна¬
чения для касательного напряжения обычно предполагается, что
это напряжение положительно, если его направление совпадает с
положительным направлением оси у. Таким образом, на рисунке
изображено положительное напряжение хху. Аналогично, касатель¬
ное напряжение на верхней грани элемента обозначается через
тух\ это обозначение показывает, что напряжение возникает на гра¬
ни у элемента и положительно, будучи направленным вдоль оси х.
Здесь руководствуются таким правилом знаков для касательных
2.5.
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 77
напряжений хху и хух, поскольку оио широко распространено в тео¬
рии упругости.
Однако в предыдущих рассуждениях для касательного напряже¬
ния те использовалось правило знаков, основанное на том, как:
направлено касательное напряжение в элементе: по часовой стрел¬
ке или против нее. Используем это правило для то при рассмотре¬
нии плоского напряженного состояния и в дальнейшем; тогда для
плоскости 0=0° (грань х элемента) будем иметь т0=— хху, а для
плоскости 0=90° (грань у элемента) то=тнг.. Очевидно также, что
из равенства касательных напряжений на взаимно перпендикуляр¬
ных плоскостях имеет место соотношение
Тзс{/~ТуЖ. (2.22)
Рассмотрим теперь наклонное сечение, нормаль к которому со¬
ставляет угол 0 с осью х (рйс. 2.9, Ь). Нормальное <хе и касательное
те напряжения, возникающие в этом сечении, можно найти из усло¬
вий равновесия трехгранного элемента. При записи уравнений рав¬
новесия следует иметь в виду, что не все площади граней элементов
одинаковы и для получения полной силы каждое напряжение долж¬
но быть умножено на площадь той грани, на которой оно возникает.
Та же самая процедура проводилась ранее при выводе соотношений
(2.7) для двухосного напряженного состояния. Условие равновесия
усилий в направлении ст0 (рис. 2.9, Ь) дает
ае = ох соз2 0 + ау зт2 0 + 2тху зт 0 соз 0, (2.23а)
а такое же условие в направлении т0 имеет вид
те = (°х — °у)3 <п 0 соз 0 + тх у (51 п2 0—соз* 0). (2.23Ь)
Вновь проведя соответствующие тригонометрические преобразова¬
ния, запишем соотношения (2.23) в иной форме:
ое = Ч2 (ох + оу) + Vг (ох—оу) соз 20 + тху зт 20, (2.24а)
Те = 1/з (V*—ОуУ&т 20—хху соз 20. (2.24Ь)
Эти соотношения выражают нормальное и касательное напряжения,
возникающие на произвольной наклонной плоскости, через напря¬
жения о.с, Оу и хху. Заметим, что при 0=0 эти соотношения дают
<те=с* и т0=—хху, а при 0=я/2 имеем оо—оу и т0—хху. Можно так¬
же отметить, что при хху—0 соотношения (2.23) и (2.24) сводятся
соответственно к соотношениям (2.7) и (2.8) для двухосного напря¬
женного состояния.
При использовании приведенных выше соотношений для од
и т0 следует тщательно соблюдать правило знаков для напряжений:
a) все нормальные напряжения положительны при растяжении;
b) касательное напряжение тху положительно, если направлено по
оси у (рис. 2.9, а); с) касательное напряжение т0 положительно, если
78' НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
оно направлено по часовой стрелке (рис. 2.9, Ь). Такое правило зна¬
ков для напряжения те выбрано по той причине, что при этом угол
2 0в круге Мора, положительный в направлении против часовой
стрелки, соответствует такому же положительному направлению для
угла 0.
Напряжения ое и те, которые возникают на плоскости, состав¬
ляющей угол 0+я/2 с осью х, можно найти, подставив в соотноше¬
ния (2.24) 0+я/2 вместо 0. Если проделать это, то так же, как и ра¬
нее для двухосного напряженного состояния, получим
ве + О^^ + О,,, Т0 = Тд.
Таким образом, мы снова видим, что сумма нормальных напряже¬
ний, возникающих на взаимно перпендикулярных плоскостях, ос¬
тается постоянной, а касательные напряжения на этих плоскостях
равны по величине и противоположны по направлению.
Главные напряжения. При изменении показанного на
рис. 2.9, Ь угла 0 от 0 до 360° напряжения од и те также изменяются.
Максимальное и минимальное значения <х0 являются главными
напряжениями, а положение главных плоскостей, на которых они
возникают, можно найти, взяв производную йод/йВ, приравняв
ее нулю и решив полученное уравнение относительно 0. Таким
образом, из соотношения (2.24а) найдем
с1оа
4ёГ = — (**—'ау)8}п 20 + 2т*а соз 20 = 0,
ИЛИ
*е20гл = ^-; (2.25)
здесь для обозначения угла, определяющего главные плоскости,
вместо 0 использовано 0ГЛ. Из формулы (2.25) получаются два зна¬
чения угла 20гл, отличающиеся друг от друга на 180°. Первое зна¬
чение лежит между 0 и 180°, второе — между 180 и 360°. Таким об¬
разом, для угла 0ГЛ можно найти два значения: одно между 0 и 90°,
второе между 90 и 180°. Одному из этих значений угла 0ГЛ будет со¬
ответствовать максимальное нормальное напряжение <х6, другому—
минимальное. Эти главные напряжения возникают на взаимно
перпендикулярных плоскостях.
Два значения угла 0ГЛ, вычисленные по формуле (2.25), можно
подставить в соотношение (2.24а) и найти два главных напряжения
для произвольного случая.
Общую формулу для главных напряжений можно также полу¬
чить при помощи алгебраических преобразований. Для этого заме¬
тим, что, в силу (2.25), справедливы следующие выражения:
81п2в„-±^,
2.5.
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 79
где 5 =У(Ох—оу)2+^1у Подставляя эти выражения в (2.24а),
получаем
где через <хх и <ха обозначены соответственно алгебраически макси¬
мальное и минимальное главные напряжения. Из формулы (2.26)
видно, что, как и следовало ожидать, а1+ст2=(тл:+(ту.
Из соотношения (2.24Ъ) можно сделать важный вывод, относя¬
щийся к главным плоскостям. Если в этом соотношении положить
тв=0 и решить полученное уравнение относительно 20, то снова
получится формула (2.25). Это показывает, что на главных плоско¬
стях отсутствуют касательные напряжения1).
Максимальные касательные напряжения. Определим
теперь максимальные касательные напряжения и положение плос¬
костей, на которых они возникают. Взяв производную Ах
(см. соотношение (2.24Ъ)) и приравняв ее нулю, получим
где 0„— угол, определяющий положение плоскости с максимальным
касательным напряжением. Сравнивая последнюю формулу с (2.25),
видим, что с10 20„=— 20гл, и поэтому делаем вывод, что углы
20„ и 20гл должны отличаться на 90°. Следовательно, плоскости
с максимальным касательным напряжением составляют угол 45° с
главными плоскостями, что уже отмечалось для случая двухосного
напряженного состояния (см. разд. 2.2). Подставив значение 20к
из (2.27) в соотношение (2.24Ь), найдем формулу для максимального
касательного напряжения:
На плоскостях с максимальным касательным напряжением нормаль¬
ные напряжения имеют вид
(2.26)
(2.27)
(2.28а)
которую можно также записать иначе:
01—02
ьшах 2
(2.28Ь)
(2.29)
1) Понятие главных напряжений было введено О. Л. Коши [2.9], а формулы
преобразования для перехода от одной системы координат к другой впервые были
выведены У. Д. М. Рэнкином и Барре де Сен-Венаном [2.10].
80 2- НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
Пример. На гранях элемента, находящегося в. плоском напряженном состоя¬
нии, напряжения равны ст*=1600, ау~600 и тху—400 кГ/сма (рис. 2.10, а). Опре¬
делим а) главные напряжения и главные плоскости, Ь) напряжения в элементе,
повернутом на угол 45°, с) максимальные касательные напряжения. Нанесем
каждый результат на чертеж, изображающий повернутый элемент.
Рис. 2.10. Числовой пример; все напряжения указаны в кГ/см2.
a) Для того чтобы определить положение главных плоскостей, воспользуемся
формулой (2.25), откуда получим 0ГЛ=О,8. Таким образом, 20ГЛ=38°4О' и
218°40', 0ГЛ=19°2О' и 109°20\ Подстановка величины 20=38°4О' в соотношение
(2.24а) дает ае=1740 кГ/см2, подстановка в то же соотношение величины 20=
=218°40' дает ств =460 кГ/см2. Таким образом, максимальное главное напряжение
равно <^‘=1740 кГ/см2, а минимальное главное напряжение а2=460 кГ/см2. Эти
напряжения показаны на рис. 2.10, Ь. Для проверки главные напряжения можно
также определить по формуле (2.26).
b) Напряжения на гранях повернутого на угол 45° элемента можно найти из
соотношения (2.24). Подстановка в,эти соотношения величины 0= 45°даетсте = 1500
и те =500 кГ/см2; эти напряжения показаны на рис. 2.10, с. На плоскости, распо¬
ложенной под углом 0=135°, нормальные и касательные напряжения, согласно
(2.24), равны соответственно ое==700 и те=—500 кГ/см2.
c) Угол, определяющий положение плоскости с максимальным касательным
напряжением, находится по формуле (2.27), откуда имеем с!& 20к--—0,8, 20к=
= 128°40' и 308°40'; 0=64°2О и 154°20\ Подставляя в соотношения (2.24) зна¬
чение 20=128°4О/1 найдем а© = 1100 и те =640 кГ/см2. Для значения 20=ЗО8°4О'
соответственно получим ае=1100 и те=640 кГ/см2. Все эти напряжения показаны
на схеме, изображающей элемент (рис. 2.10, й). Для проверки можно вычислить
эти напряжения по формулам (2.28) и (2.29).
2.6.
КРУГ МОРА ДЛЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 81
2.6. КРУГ МОРА ДЛЯ плоского
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Соотношения (2.24), связывающие напряжения ст0 и т0 в общем
случае плоского напряженного состояния, можно также предста¬
вить графически с помощью круга Мора. Поступая так же, как и в
случае двухосного напряженного состояния (см. разд. 2.4) можно
свести два соотношения (2.24) к одному:
(<Т0-огСр)а + Т| = + т*,, ' (2.30)
где <хср= (ах+Оу)12. Оно вновь представляет собой уравнение ок¬
ружности с центром в <те=(хСр и тв=0, радиус которой равен корню
квадратному из правой части уравнения (2.30); это более сложное
выражение радиуса, чем то, с которым мы имели дело в разд. 2.4
для случая двухосного напряженного состояния. Заметим, однако,
что при т*у=0 уравнение (2.30) сводится к (2.21) как к частному
случаю.
Рис. 2.11. Круг Мора для плоского напря¬
женного состояния.
Построение круга Мора показано на рис. 2.11. Оно начинается
с нахождения центра С круга'как точки с координатами (То^стср и
То=0. Затем определяется положение точки А, характеризующей
напряженное состояние на грани х элемента (0=0). Для этой точки
имеем <Ге=стж и т0=—хху (следует помнить правило знаков для те
и хху, приведенное на рис. 2.9). Напряжениями на плоскости у
(рис. 2.9, а) являются ав—ау и то=тж„, представленные точкой В
на круге Мора. Заметим, что точки А и В, характеризующие напря¬
жения на плоскостях, расположенных под углом 90° друг к другу,
82 3- НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
лежат на противоположных концах диаметра, т. е. на круге Мора
отстоят друг от друга на 180°.
Начертив проходящий через точки А и В круг Мора с центром
в точке С, можно определить напряжения на произвольной нак¬
лонной плоскости, лежащей под углом 0 к оси х. Для этого необхо¬
димо только отложить от точки А против часовой стрелки угол 20,
тем самым определив положение точки О на круге; ее координаты
<т0 и т0 равны напряжениям на соответствующей плоскости. Дока¬
зательство того, что координаты точки О даются соотношениями
(2.24), предоставляется читателю в качестве упражнения (см. зада¬
чу 2.6.8).
Точка И', диаметрально противоположная точке О, имеет коор¬
динаты, представляющие напряжения на плоскости, составляющей
угол 90° с плоскостью, которую характеризует точка И. Точка Е,
высшая точка круга, характеризует напряжения на плоскости с
максимальным положительным касательным напряжением, а точка
Е', лежащая в нижней части круга, дает плоскость с максимальным
по абсолютной величине отрицательным касательным напряжением.
На этих плоскостях нормальные напряжения равны среднему на¬
пряжению, как было объяснено в разд. 2.5.
Одним из важных случаев использования круга Мора является
определение главных напряжений. Этим напряжениям, которые
представляют собой максимальное и минимальное нормальные на¬
пряжения, соответствуют точки Р1 и Р2 круга (рис. 2.11). Видно,
что алгебраически большее главное напряжение с;ь представленное
точкой Ри равно среднему напряжению (точка С) плюс радиус кру¬
га; в то же время алгебраически меньшее главное напряжение аг
(точка Р2) равно среднему напряжению минус радиус круга. Это
утверждение согласуется с выведенной выше формулой (2.26) для
главных напряжений. Тангенс угла 20гл, определяющего положе¬
ние первой главной плоскости (рис. 2.11), равен отношению каса¬
тельного напряжения хху к расстоянию по горизонтали между точ¬
ками С и Л, равному ох—(ах+оу)/2, или (ах—ау)/2. Таким образом,
видим, что имеет место соотношение
которое совпадает с формулой (2.25). Вторая главная плоскость
(точка Р3) определяется той же самой формулой, поскольку, как
уже было указано (разд. 2.5), формула (2.25) дает два значения угла
20гл, отличающиеся на 180°.
Из проведенных рассуждений следует, что круг Мора можно ис¬
пользовать в качестве графического способа определения как на¬
пряжений на произвольной наклонной плоскости, так и главных
напряжений и максимальных касательных напряжений.
2.6.
КРУГ МОРА ДЛЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО состояния 83
Пример. На гранях элемента, находящегося в плоском напряженном состоя¬
нии, возникают напряжения 0^=1600, а^бОО и т^=400 кГ/см2 (см. рис. 2.12).
Используя круг Мора, определим: а) главные напряжения и ориентацию главных
плоскостей, Ъ) напряжения в элементе повернутом на угол 45°, с) максимальные
касательные напряжения. (Отметим, что та же самая задача была решена ранее
* разд. 2.5.)
Рис. 2.12. Числовой пример; все напряжения указаны в кГ/см2.
Центр С круга лежит на оси ав в точке, где ав =аср= 1100 кГ/см2. Затем от¬
кладывается точка А с координатами ав = 1600 и те =—400 кГ/см2, после чего вы¬
черчивается окружность радиусом 640 кГ/см2. Точка В диаметрально противопо¬
ложна точке А и имеет координаты ае =600 и те =400 кГ/см2.
a) Из геометрических соображений следует, что алгебраически большее глав¬
ное напряжение равно 1100+640=1740 кГ/см2, а соответствующая ему главная
плоскость характеризуется углом 20гл, равным 38°40'. Таким образом, угол между
осью х и главной плоскостью составляет 19°20'. Другое главное напряжение а2
(точка Р2)равно 1100—640=460 кГ/см2 и возникает на плоскости, лежащей под уг¬
лом 0=19 20'+90°=109°20\ Таким образом, главные напряжения и положения
главных плоскостей можно найти с помощью круга Мора и, как и ранее
(рис. 2.10, Ь), их можно нанести на чертеж элемента.
b) Напряжения, возникающие на плоскости, повернутой на угол 45а, представ¬
ляются на круге Мора точкой О, для которой 20=90° и 0=45°. Угол между
радиусом Сй и осью ае равен 90°—38°40\ т. с. 51°20\ Косинус этого угла
равен 0,625, откуда видно, что представляемое точкой й нормальное напряжение
сте = 1100+640* 0,625= 1500 кГ/см2. Аналогично касательное напряжение состав¬
ляет те =640*5т 51°20'=500 кГ/см2. Таким же образом можно определить
напряжения, характеризуемые точкой О, и нанести полученные результаты на
чертеж элемента, повернутого на 45° (рис. 2.10, с).
c) Максимальные касательные напряжения и соответствующие им плоскости
представляются на круге Мора точками Е и Е'. Читатель может легко убедиться в
Том, что напряжения ае и те , задаваемые этими двумя точками, соответствуют по¬
казанным на рис. 2.10,^.
Е
1100
IЕ
Ь
3. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
2.7. ТРЕХОСНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Об элементе материала, в котором по трем взаимно перпендику¬
лярным направлениям возникают напряжения ах, ау и аг (рис. 2.13,
а), говорят, что он находится в трехосном напряженном состоянии.
Если провести сечение такого элемента наклонной плоскостью, па¬
раллельной оси г (рис. 2.13, Ь), то на наклонной грани возникнут
только напряжения ае и те — те же самые напряжения, которые
рассматривались выше для случая двухосного напряженного состо¬
яния. Поскольку эти напряжения определяются из уравнений рав¬
новесия в проекции на плоскость ху, они не зависят от напряжения
ст*. Таким образом, при определении напряжений ае и т0 можно вос¬
пользоваться как уравнениями двухосного напряженного состо¬
яния, так и кругом Мора. Этот общий вывод имеет силу и для
сечений элемента наклонными плоскостями, параллельными
осям х и у.
Из предшествующих рассуждений следует, что напряжения
ах, ау и аг являются главными напряжениями для элемента. Кроме
того, максимальные касательные напряжения возникнут на плос¬
кости, параллельной одной из осей координат и образующей угол
45° с соответствующими координатными плоскостями, и будут за¬
висеть от сравнительных значений напряжений ст*, ау и аг. Напри¬
мер, если рассматривать только плоскости, параллельные оси г
(рис. 2.13, Ь), то максимальное касательное напряжение, согласно
формуле (2.11), будет равно
а
Ь
Рис. 2.13. Элемент в трехосном напряженном состоянии.
2.7.
ГРЕХОСНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
85
Аналогично максимальные касательные напряжения в плоскостях,
параллельных осям х и у соответственно, имеют вид
В зависимости от сравнительных значений напряжений ох, ау и
ах одна из приведенных выше формул дает числовое значение на¬
ибольшего касательного напряжения, возникающего в элементе.
Те же самые результаты можно наглядно представить при помо¬
щи кругов Мора. Для плоскостей, параллельных оси г, таким кру¬
гом будет круг, обозначенный буквой А (рис. 2.14), если предполо¬
жить, что оба напряжения о*.и ау будут растягивающими и что
ах>ау. Аналогично для плоскостей, параллельных осям х и у, по¬
лучим соответственно круги, обозначенные буквами В и С. Радиусы
этих трех кругов представляют максимальные касательные напря¬
жения, определяемые формулами (2.31), а абсолютно максималь¬
ное касательное напряжение соответствует радиусу наибольшего
круга.
Касательное и нормальное напряжения на плоскостях, которые рассекают эле¬
мент (рис. 2.13, а) в произвольном направлении, могут быть получены более слож¬
ным трехмерным анализом (см. [2.11]). Нормальные напряжения на произвольных
плоскостях всегда оказываются промежуточными по величине между алгебраиче¬
ски максимальным и минимальным главными напряжениями, а касательные на¬
пряжения- всегда меньше, чем численно максимальное касательное напряжение,
полученное по формулам (2.31).
Деформации при трехосном напряженном состоянии.
Если материал следует закону Гука, то деформации вдоль осей х, у
и г можно получить с помощью той же процедуры, которая
(2.31Ь)
(2.31с)
о
Рис. 2.14. Круги Мора для трехос¬
ного напряженного состояния.
86 2 НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
использовалась для двухосного напряженного состояния. Таким
путем легко получить следующие выражения:
е* = ЦК + «г), (2.32а)
еу~]г—тг(сгг+а*)> (2.32Ь)
г2 = ^-^(ах + ау). (2.32с)
Относительное изменение объема элемента, согласно (2.14), будет
равно
У "Ь "Ь ®*-
Сумма трех главных деформаций ех, еч и ег иногда называется отно¬
сительной объемной деформацией. Подставляя выражения (2.32)
в предыдущее соотношение, для общего случая трехосного напря¬
женного состояния получаем
(»* + ** +о*)- (2-33)
В частном случае, когда элемент нагружен гидростатическим дав¬
лением (равномерным сжатием), имеем
®х=®у~®г~ Р> (а)
где р — сжимающее напряжение. Тогда из соотношения (2.33)
находим
д у -3(1-2у )р р
V ~ Е ~ к • 1°'
где
3(1—2\) ' (2-34)
Из соотношения (Ь) видно, что относительное уменьшение объема
пропорционально давлению р ц обратно пропорционально величине
/С, которая называется объемным модулем упругости.
Энергия деформации. Для того чтобы определить энергию де¬
формации, накопленную в элементе, находящемся в трехосном на¬
пряженном состоянии (рис. 2.13, а), предположим, что этот элемент
является кубом, длина ребра которого равна единице. Тогда напря¬
жение а* на грани х элемента будет численно равно полной силе,
действукмцей на этой грани. Эта сила перемещается на расстояние
ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ 87
гх и поэтому совершает работу, равную охех/2 *). Точно так же на¬
пряжения ау и ах совершат работы, равные соответственно аугу12
и аггг12. Полная работа, равная накопленной в единице объема
энергии деформации, имеет вид
Ч — ~2 (&х&х "Ь “Ь
Подставив сюда выражения для деформаций (2.32), получим
Ы = 2^ (О* + О* + о1)—~ (олау -ь аха2 + ауа2). (2.35)
При использовании этого соотношения напряжения оЛ, ау и аг
необходимо брать с их алгебраическим знаком, т. е. растягивающее
напряжение должно считаться положительным, а сжимающее от¬
рицательным.
2.8. ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
При экспериментальных исследованиях поведения материалов и
конструкций широко распространено измерение деформаций с по¬
мощью тензодатчиков. Поэтому интересно получить теоретические
соотношения между нормальным и касательным напряжениями для
У У и
1
-1
1
1
1
1
1
1
~! г
1—-■
г *
1
гт
”7
1
1
1
1
1
У
х О
а Ь с
Рис. 2.16. Деформации ех, гу и уху.
различных направлений, аналогичные соотношениям, приведенным
в разд. 2.5 для плоского напряженного состояния. Прежде всего за¬
помним, что в плоскости ху могут существовать три составляющие
деформации: нормальная деформация ех в направлении оси х (рис.
2.15, а), нормальная деформация гу в направлении оси у (рис.
2.15, Ь) и деформация сдвига уху (рис. 2.15, с). Деформация сдвига
уху в элементе будет определяться как уменьшение первоначально
прямого нижнего левого угла элемента, ориентированного относи¬
*) Указанная работа равняется площади треугольника, ограниченного пря¬
мой, характеризующей зависимость напряжения от деформации, осью гх и прямой,
параллельной оси ох. Это имеет место только для статической нагрузки.—
Прим. ред.
88 3- НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
тельно осей ху так, как показано на рис. 2.15, с. Такое определение
положительной деформации сдвига соответствует определению по¬
ложительного касательного напряжения хху (см. рис. 2.9, а).
Об элементе материала, в котором возникают только деформа¬
ции ех, 6У и уху, говорят, что он находится в плоском деформирован¬
ном состоянии. В таком элементе не будет ни нормальной деформа¬
ции ег, ни деформаций сдвига ухг и ууг соответственно в плоскостях
хг и уг. Как видим, в общем случае плоское деформированное состо¬
яние определяется следующими соотношениями:
е*=5^0, гуф0, уХуфЪ, (а)
е*588?»83?**—0. (Ь)
Приведенное выше определение плоского деформированного состоя¬
ния аналогично определению плоского напряженного состояния
(разд. 2.5), которое в общем случае может быть представлено в та¬
ком виде:
аиф0, тх^0, (с)
ох=ххг=хуг=0. (с1)
Из аналогии между приведенными двумя соотношениями не следует
делать вывод, что плоское напряженное состояние и плоское дефор¬
мированное состояние возникают при одних и тех же условиях.
Например, известно, что в элементе при плоском напряженном со¬
стоянии будет возникать деформация в направлении оси г, а это сра¬
зу указывает, что плоское напряженное состояние не обязательно
будет создавать плоское деформированное состояние. Кроме того,
в элементе, находящемся в плоском деформированном состоянии,
из-за того, что должно выполняться условие ег=0, обычно будет
возникать напряжение аг; отсюда опять следует, что плоское на¬
пряженное состояние и плоское деформированное состояние обыч¬
но не могут реализоваться одновременно.
Выведенные в разд. 2.5 формулы преобразования напряжений
были первоначально получены для плоского напряженного состоя¬
ния; затем (разд. 2.7) стало ясно, что их можно использовать для
элемента, находящегося в трехосном напряженном состоянии,
при условии, что элемент был повернут относительно одной из осей
координат. Данная процедура, относящаяся к деформациям, будет
следовать той же схеме. Формулы преобразования деформаций бу¬
дут выведены для случая плоского деформированного состояния,
но останутся в силе для трехосного деформированного состояния
при условии, что поворот в новое положение будет происходить от¬
носительно одной из осей координат.
В результате формулы преобразования деформаций (выведен¬
ные ниже) могут быть использованы для деформаций, развиваю¬
щихся в случае плоского напряженного состояния, так же, как и
формулы для плоского напряженного состояния (разд. 2.5) могут
2.8.
ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ 89
быть применены для напряжений, возникающих в случае плоского
деформированного состояния.
Для того чтобы вывести формулы преобразования для плоского
деформированного состояния, рассмотрим оси координат, изобра¬
женные на рис. 2.16. Предположим, что нормальные деформации
ел и гч и деформация сдвига уХ!1, отнесенные к осям ху, известны.
Целью нашего исследования является определение нормальных де¬
формаций и деформаций сдвига, отнесенных к осям х'у', которые
повернуты по отношению к осям ху на угол
б. Нормальная деформация в направлении
оси х' будет обозначаться через ее, а дефор¬
мация сдвига, отнесенная к осям х'у',—
через 7в- При 0=0 будем иметь ее=ея и
Ув~Уху
На рис. 2.17 показан прямоугольный
элемент со сторонами йх и йу, диагональ ко¬
торого направлена вдоль оси х'. В результа¬
те деформаций ех, е„ и ухи этот элемент удли- Рис. 2.16. Поворот осей,
нится в направлении оси х на величину гхйх
(рис. 2.17, а), в направлении оси у — на е,, Ау
(рис. 2.17, Ь), а прямой угол хОу уменьшится на величину уху (рис.
2.17, с). Каждая из этих трех деформаций будет вызывать измене¬
ние длины диагонали. Соответствующие увеличения длины диаго¬
нали, как показано на рисунке, равны гхйхсо$в, еуйу&тв и
ухуйу соз 0. Таким образом, полное увеличение длины диагонали
равно сумме этих трех величин, и соответствующая деформация ее
в. направлении оси х' получается делением этой суммы на длину йз
диагонали. Учитывая, что йу!й&—зт 0 и йх!йз—соз 0, получаем
е0 = е* соз2 0 + е„ зт2 0 + уху зт 0 соз 0, (2.36а)
или
ее = V, (е, + <*„) +1/« (е*—еу) соз 2%+ЧгУху зт 20. (2.36Ь)
Если заданы деформации е*, е„ и уху, то для нахождения нормаль¬
ной деформации е0 в направлении оси х' можно использовать любое
из этих соотношений. Для получения нормальной деформации в на¬
правлении оси у' необходимо в соотношения (2.36) только подста¬
вить вместо 0 угол 0+я/2.
Общее выражение для деформации сдвига можно также найти
из рассмотрения деформаций, изображенных на рис. 2.17. Начиная
с учета влияния деформации е*, заметим (рис. 2.17, а), что ось х'
поворачивается по часовой стрелке на малый угол, равный
вдДкзт 0/ск. Аналогично (рис. 2.17, Ь) ось х' поворачивается против
часовой стрелки на угол евс1усо$в/с1$, а согласно рис. 2.17, с —
по часовой стрелке на величину уху йу зт 0/<&. Таким образом, сум¬
марный поворот по часовой стрелке оси х' равен
а = е, зт 0 соз 0—е„ зт 0 соз 0+уху зт2 0. (е)
90 3- НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
Суммарный поворот по часовой стрелке оси у' можно найти геомет¬
рическими построениями, аналогичными показанным на рис. 2.17
для оси х’, или подстановкой в выражение (е) вместо 0 угла 04-
Рис. 2.17. Изменение формы элемента при следующих деформациях: а— при де¬
формации е*; Ь — при деформации гу\ с — при деформации уху.
-Ья/2. Следуя последней процедуре, получим для угла поворота
Р оси у' следующее выражение
Р = — ех зт 0 соз 0 +е„ зт 0 соз 0 4- уху соз* 0. (I)
Уменьшение угла х'Оу' (равное деформации сдвига ув) составляет
(5—ос; отсюда с учетом выражений (е) и ({) получим
7е = —2ех зт 0 соз 0 + 2е„ зт 0 соз 0 + уху (соз* 0—зт2 0),
или, разделив левую и правую части на два,
1/яТе = — (е*—е„) 81П 0 соз 0 + 1/луху (соз* 0—зт* 0). (2.37а)
Вновь проделав соответствующие тригонометрические преобразо¬
вания, можем переписать предыдущее выражение в иной форме:
ЧгУв = — V* (е*—е„) зт 20 + Ч2уХу соз 20. (2.37Ь)
2.8.
ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ 91
Для нахождения деформации сдвига у0 на наклонной оси можно ис¬
пользовать любое из этих выражений. В качестве частных случаев
отметим, что для углов 0=0 и 0=90° получается соответственно
Уе=Ужу и Ув^ Уху
Сопоставление соотношений (2.36) и (2.37) для плоского дефор¬
мированного состояния с соотношениями (2.23) и (2.24) для плос¬
кого напряженного состояния (см. разд. 2.5) показывает, что вы¬
ражения для деформаций е0 и ув имеют ту же самую общую форму,
как и выражения для напряжений сто и те. Аналогия между соотно¬
шениями такова, что напряжения ах, аи и ае соответствуют дефор¬
мациям ех, е„ и е0, в то время как напряжение хХ!/ соответствует
деформации уЛ{,/2, а напряжение те—деформации —•у0/2 (см. табл.
2.1). Знак минус во второй строке табл. 2.1 связан с правилом зна¬
ков, которое использовалось для касательного напряжения т0 (см.
рис. 2.9).
Таблица 2.1. Аналогия между формулами преобразования (2.23) и (2.24) для
плоского напряженного состояния и формулами преобразования
(2.36) и (2.37) для плоского деформированного состояния
Напряжения
<*х
Оу
Тху
тв
Деформации
*х
8 ,
V* у\у
ее
— УгУв
Сходство между соотношениями для плоского напряженного и
плоского деформированного состояний показывает, что для каж¬
дого соотношения, относящегося к плоскому напряженному со¬
стоянию, существует аналог, относящийся к плоскому дефор¬
мированному состоянию. Например, нормальные деформации е0 11
деформация сдвига у0, связанные с осями координат, повернутыми
на угол 0+л/2, можно найти из соотношений (2.36) и (2.37) подста¬
новкой вместо 0 угла 0+я/2, что дает
еН-е0 = е* + е„, уе-= — у0. (2.38)
Эти равенства показывают, что сумма нормальных деформаций ос¬
тается постоянной и что деформации сдвига, направленные под уг¬
лом 90° друг к другу, равны и противоположны по знаку; такой ре¬
зультат полностью аналогичен тому, что имеет место для напряже¬
ний (см. разд. 2.5).
Кроме того, главные деформации будут возникать в направле¬
ниях, которые находятся по следующей формуле (ср. с формулой
(2.25)):
1820гл = _^_
— в.
(2.39)
92 *• НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
Главные деформации можно вычислить по формуле
е„, = Ь1+1»±|/ (*-тЛ)’ + (т1)\ (2-Ю)
которая соответствует формуле (2.26) для напряжений. В главных
плоскостях деформации сдвига равны нулю.
Максимальная деформация сдвига возникает в плоскостях, об¬
разующих углы 45° с главными плоскостями, и определяется равен¬
ством
и--/ (^)'+(х“)‘- <2-41»
В плоскостях с максимальной деформацией сдвига нормальные де¬
формации равны (ех+еу)/2.
Круг Мора для плоского деформированного состояния строит¬
ся с помощью такого же общего приема, как и для плоского напря-
Рис. 2.18! Круг Мора для плоского дефор¬
мированного состояния.
жещюго состояния; это показано на рис. 2.18. Нормальные дефор¬
мации ее откладываются на горизонтальной оси, а деформации сдви¬
га делятся пополам и откладываются вниз по вертикальной оси
(ср. рис. 2.18 с рис. 2.11). Центр круга С имеет абсциссу, равную
(&х-\-еу)/2\ точка А, представляющая деформации вдоль оси х, име¬
ет координаты ех и уху/2. Точка В, диаметрально противоположная
точке А, имеет координаты е,у и — уХ!1/2, представляющие деформа¬
ции, отнесенные к осям координат, повернутым на угол 0—90°.
Деформации, отнесенные к другим повернутым осям, задаются точ¬
кой Э, положение которой определяется углом 20, отсчитанным от
ЗАДАЧИ 93
точки А. Кроме того, главные деформации представляются точками
Р\ и Р2у а максимальные деформации сдвига—точками Е и Е',
Все эти величины легко найти при помощи круга Мора.
Использование круга Мора для деформаций вместе с нахожде¬
нием главных деформаций с помощью тензодатчиков описано в ра¬
ботах [2.12) и [2.13].
ЗАДАЧИ
2.1.1. Чему равно максимальное касательное напряжение в стержне кругово¬
го поперечного сечения диаметром 2,5 см, на который действует осевая растягиваю¬
щая нагрузка Р=9 т?
2.1.2. Найти максимальную допускаемую растягивающую нагрузку Р для
стального стержня квадратного поперечного сечения 5X5 см, если допускаемое
нормальное растягивающее напряжение составляет 1400, а допускаемое касатель¬
ное напряжение равно 900 кГ/см2.
2.1.3. Металлический стержень закреплен между двумя жесткими опорами
при комнатной температуре (21°С), как это показано на рисунке. Вычислить нор¬
мальное и касательное напряжения в наклонном сечении если температура
возрастает до 93°. Принять а=105*10-7 1/град С, Е—2,МО6 кГ/см2.
2.1.4. Напряжения на наклонной площадке р</ растягиваемого стержня (см.
рис. 2.1) составляют 00=900 и те =300 кГ/см2. Найти напряжение ах и угол 0.
ПОПе^счпши \.счспип г — кь «-ш дсп\,тус» псируола л ш 1. чуирсдслшо наприжс*
ния, возникающие на сторонах вырезанного элемента (см. рис. 2.4, с), для которого
0=30°.
2.1.6. Медный стержень прямоугольного поперечного сечения помещен между
двумя неподвижными опорами (см. рисунок), после чего температура его увеличи¬
вается на 55°. Определить напряжения, возникающие на всех сторонах элементов
А и В и нарисовать схему действующих на элементы напряжений. (Принять а—
== 167* 10—7 1/град С и /Г— 1 • 10° кГ/см2.) 4
2.1.7. На сторонах элемента (рис. 2.4, с) возникают напряжения ае=800 и
ае—400 кГ/см*. Найти напряжения то, то, ох и ттах.
2.1.8. Растягиваемый брус состоит из двух частей из разных материалов, скле¬
енных по линии тп. В силу практических соображений следует считать, что угол 0
может меняться только в интервале от 0 до 60°. Допускаемое напряжение при сдви¬
ге в клеевом соединении (тд) составляет 3/4 допускаемого нормального напряжения
при растяжении (ад). Чему должен быть равен угол 0, при котором стержень мо¬
жет выдержать наибольшую нагрузку Р? (Предполагается, что именно прочность
клеевого соединения является решающей при расчете.)
0
ч
К задаче 2.1.3.
К задаче 2.1.6.
94
2. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
2.1.9. Решить предыдущую задачу при условии, что тд=70 и ад= 140 кГ/см .
Определить также максимальную допускаемую нагрузку Р, если площадь попереч¬
ного сечения стержня равна 10 см2.
т
2.2.1. Найти напряжения ае, ае, те и те для элемента, изображенного на
рис. 2.5, если а*=800, ау=—400 кГ/см2 и 0=30°.
2.2.2. Решить предыдущую задачу при условии, что угол 0 выбран так, что
касательное напряжение достигает максимума.
2.2.3. Определить нормальное и касательное напряжения на гранях поверну¬
того элемента (рис. 2.5, с), если главные напряжения ох и ау равны между собой
(ог =а). Определить также относительное изменение объема этого элемента,
если V=0,25, а<,= 1000 кГ/см2 и Е= 2,1* 10° кГ/см2.
2.2.4. На гранях повернутого элемента (см. рис. 2.5, с) с углом 0=45° возни¬
кают напряжения ае=ае=140 и те=280 кГ/см2. Найти напряжения ох и ау, воз¬
никающие на главных площадках (см. рис. 2.5, а).
2.2.5. На гранях элемента, сжимаемого в одном и растягиваемого в другом
направлении, возникают нормальные напряжения а*=1200 и ау=—400 кГ/см2.
а) Найти напряжения, возникающие на гранях элемента, повернутого на угол 0=
=30°. Ь) Определить положение плоскостей с максимальным касательным напря¬
жением и вычислить касательное и нормальное напряжения на этих плоскостях,
с) Определить положение плоскости (0<9О°), на которой нормальное напряжение
обращается в нуль, нарисовать элемент, одна из граней которого совпадает с этой
плоскостью, и найти касательные и нормальные напряжения на всех гранях этого
элемента.
2.2.6. Определить напряжения ох и ау для элемента, растягиваемого в одном
и сжимаемого в другом направлении, если е*=0,001 и 8^=—0,0007. (Принять Е=
=2,1* 10е кГ/см2 и \=0,3.)
2.2.7. В тонкой пластине (толщиной /)> растягиваемой в двух направлениях,
возникают напряжения ах= 1400 и ау=560 кГ/см2. Полагая, что Е=2,1* 10е кГ/см2,
V=0,25 и /=0,6 см, найти уменьшение толщины пластины.
2.2.8. Бетонный куб, длина ребра которого равна 10 см, сжимается в двух
перпендикулярных направлениях силами Р= 8 т. Определить изменение объема
куба, если г=0,1 и Я=0,3* 10° кГ/см2.
2.2.9. Главные деформации элемента, растягиваемого в двух направлениях,
равны ех=0,00004 и 8^=0,00017. Найти деформацию ег, если V = 0,3.
2.2.10. Найти значение коэффициента Пуассона V для призматического стерж¬
ня при продольном растяжении, если отношение относительного изменения объема
к относительному изменению площади поперечного сечения численно равно 0,75.
2.2.11. Элемент, изображенный на рис. 2.5, растягивается в двух направлени¬
ях и имеет главные деформации гх и гу соответственно в направлении осей х и у.
ЗАДАЧИ 95
Вывести выражение для деформации е0 в направлении а0, выразив е0 через гх, гу
и угол 0. Сравнить полученный результат с выражением (2.7.а) или (2.8а).
2.3.1. Вывести выражение для относительного изменения объема элемента,
находящегося в состоянии чистого сдвига.
2.3.2. В элементе, находящемся в состоянии чистого сдвига, возникает каса¬
тельное напряжение ттах=1400 кГ/см2 (см. рис. 2.6, Ь). Найти максимальную де¬
формацию сдвига у, если Е= 2,1* 10е кГ/см2 и V=0,25.
2.3.3. В элементе, растягиваемом в одном направлении и сжимаемом в другом,
возникают напряжения ах——оу— 700 кГ/см3. Найти главные нормальные дефор¬
мации гх и еу и максимальную деформацию сдвига у, если Е= 0,7* 10е кГ/см2 и V=
=0,25.
2.4.1. Построить круг Мора для случая чистого сдвига (см. рис. 2.6) и при
помощи этого геометрического построения проверить выражение (2.17).
2.4.2. Построить круг Мора для случая одноосного напряженного состояния
(рис. 2.4) и при помощи этого геометрического построения проверить выражения
(2.1) - (2.3).
2.4.3. Построить круг Мора для случая растяжения в двух направлениях
(рис. 2.5), приняв ох—оу=о0.
2.4.4. Для примера, представленного на рис* 2.8, определить напряжения,
возникающие в элементе, повернутом таким образом, что касательное напряжение
те достигает максимума. (Нарисовать этот элемент и нанести на рисунок получен¬
ные результаты.)
2.4.6. Решить задачу 2.1.5, используя круг Мора.
2.4.6. В элементе, находящемся в одноосном напряженном состоянии, возни¬
кает напряжение ох=—3600 кГ/см2. Используя круг Мора, определить напряже¬
ния на сторонах элемента, повернутого на угол 0=75°.
2.4.7. Решить задачу 2.1.7, используя круг Мора.
2.4.8. Решить задачу 2.2.1, используя круг Мора.
2.4.9. Решить задачу 2.2.2, используя круг Мора.
2.4.10. В растягиваемом в двух направлениях элементе главные напряжения
равны а*=210 и 0^=280 кГ/см2. Найти, чему равны напряжения на плоскостях,
в которых возникают максимальные касательные напряжения.
2.4.11. Решить задачу 2.2.4, используя круг Мора.
2.4.12. Решить задачу 2.2.5, используя круг Мора.
2.5.1. В элементе, находящемся в плоском напряженном состоянии
(рис. 2.9, а), возникают напряжения а*=350, ау=210 и тХ1/=—70 кГ/см2. Найти
значения главных напряжений и ориентацию главных плоскостей; нарисовать эле¬
мент и нанести на рисунок полученные результаты.
2.5.2. В элементе, находящемся в плоском напряженном состоянии
(рис. 2.9, а), возникают напряжения ах=—350, оу=210 и тху=—70 кГ/см2. Най¬
ти значения главных напряжений и ориентацию главных плоскостей; нарисовать
элемент и нанести на рисунок полученные результаты.
96 2. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
2.5.3. Для элемента, олисанного в предыдущей задаче, определить макси¬
мальные касательные напряжения и ориентацию плоскостей, на которых они воз¬
никают; нарисовать элемент и нанести на рисунок полученные результаты.
2.5.4. В элементе, находящемся в плоском напряженном состоянии
(рис. 2.9, а), возникают напряжения ах=аг/=0и тху~140 кГ/см2 (чистый сдвиг).
Найти напряжения, возникающие на всех сторонах элемента, повернутого на угол
15°; нарисовать элемент и нанести на рисунок полученные результаты. .
2.5.5. В элементе, находящемся в плоском напряженном состоянии
(рис. 2.9, а), возникают напряжения а*=—35, ау= 105 и тХ[/=—70 кГ/см2. Опреде*
лить: а) главные напряжения и ориентацию главных плоскостей; Ь) максимальные
касательные напряжения и плоскости, на которых они возникают. Нарисовать
повернутый элемент и нанести на рисунок полученные результаты.
2.5.6. Решить предыдущую задачу для случая, когда ох~0, а,.=280 и
= 140 кГ/см3.
2.5.7. Элемент, находящийся в плоском напряженном состоянии, повернут на
угол 0=30°. На плоскости, расположенной под углом 0=30°, возникают напряже¬
ния ае =—250 и те =300 кГ/см2. На плоскости, расположенной под углом 0--120°,
возникают напряжения ае=—250 и то=—300 кГ/см2. Найти напряжения ох, оу
и хху.
2.6.1. Решить задачу 2.5.1, используя круг Мора.
2.6.2. Решить задачу 2.5.2, используя круг Мора.
2.6.3. Решить задачу 2.5.3, используя круг Мора.
2.6.4. Решить задачу 2.5.4, используя круг Мора.
2.6.5. Решить задачу 2.5.5, используя круг Мора.
2.6.6. Решить задачу 2.5.6, используя круг Мора.
2.6.7. Решить задачу 2.5.7, используя круг Мора.
2.6.8. При помощи геометрических построений показать, что координаты точ¬
ки О на рис. 2.11 описываются выражениями (2.24).
Р
2.7.1. В тонкой пластине, растягиваемой в двух направлениях, возникают на¬
пряжения а*=700 и Оу=—1400 кГ/см2. Напряжение в направлении оси 2 равно
нулю. Чему равны максимальные нормальное и касательное напряжения, возни¬
кающие в материале?
2.7.2. Сплошной резиновый цилиндр А диаметром й помещен в полый сталь¬
ной цилиндр В и сжимается силой Р (см. рисунок). Определить величину давления
ЗАДАЧИ 97
р, возникающего между резиной и внутренней поверхностью стального цилинд¬
ра, если Р=500 кГ, 5 см, а коэффициент Пуассона V для резины равен 0,45.
2.7.3. Насколько уменьшится объем сплошного стального шара диаметром
25 см при гидростатическом давлении р-150 кГ/см2? (Принять /Г=2,1* 10е кГ/см2
и у=0,3.)
2.8.1. Используя соотношения, выведенные в разд. 2.8, найти, главные дефор¬
мации е1 ие2иих направления, если г*—500* Ю-в, еу==140-Ю”6 и уху——360х
X10“°. Проверить полученные результаты, построив круг Мора для деформаций.
2.8.2.* Решить предыдущую задачу, приняв е*=—140-10-6, е,.=—500-10 -6
и Уху—-360* 10-°.
2.8.3. Решить задачу 2.8.1, приняв е^—500* 10 ~6. гу=300* 10~в и ух?/==
= 1050* 10 “6.
4 Механика материалов
КРУЧЕНИЕ
3.1. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ КРУГОВОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Рассмотрим стержень кругового поперечного сечения, на концах
которого приложены крутящие моменты Т (рис. 3.1, а)1). О нагру¬
женном таким образом стержне говорят, что он находится в состоя-
а
нии чистого кручения. Можно показать, что в силу симметрии по¬
перечные сечения этого стержня поворачиваются относительно
продольной оси как жесткие тела; при этом радиусы остаются пря¬
молинейными, а поперечные сечения круговыми. Кроме того, если
*) Векторы крутящих моментов изображены на рисунке «двуглавыми» стрел¬
ками. Направление или знак крутящего момента определяется по правилу правой
руки, принятому для векторов.
3.1.
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ 99
полный угол закручивания мал, то не изменяется ни длина стержня,
ни радиус его поперечного сечения г.
При кручении будет происходить поворот вокруг продольной оси
одного конца стержня относительно другого. Например, если счи¬
тать левый конец стержня закрепленным, то правый конец повернет¬
ся относительно левого на угол <р (рис. 3.1, а). В то же время пря¬
мая на поверхности стержня, параллельная его оси (например, пря¬
мая пп), повернется на малый угол и займет положение пп'. Из-за
этого поворота прямоугольный элемент на поверхности стержня,
подобный тому, который изображен на рисунке и расположен между
двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстоянии йх друг
от друга, деформируется в параллелограмм. Этот элемент вновь по¬
казан на рис. 3.1,6 на изолированной дискообразной части стержня.
Первоначальная форма элемента обозначена через аЬск. В процессе
закручивания поперечное сечение, лежащее справа, поворачивается
относительно противоположного сечения, а точки Ь и й переходят
соответственно в Ь' и й’. Во время поворота длины сторон эле¬
мента не меняются, но углы уже больше не равняются 90°. Таким
образом, видим, что элемент находится в состоянии чистого сдвига
(разд. 2.3) и величина деформации сдвига у равна уменьшению угла
Ьас; поэтому
Расстояние ЬЬ’ представляет собой длину малой дуги радиуса г,
опирающейся на угол йц, т. е. на угол поворота одного поперечного
сечения относительно другого; следовательно, ЬЬ’=Г(1ц>. Кроме того,
расстояние аЬ равно длине йх элемента. Подставляя эти значения в
приведенное выше выражение, получаем
т-^. (а)
При чистом кручении стержня скорость изменения угла закру¬
чивания Жр/йх постоянна по длине стержня. Эта постоянная величи¬
на представляет собой угол закручивания, отнесенный к единице
длины; она будет обозначаться через 0. Таким образом, видим, что
0=ф/1, где 1—длина стержня. Тогда выражение (а) принимает
следующий вид:
7 = г0 = ^. (3.1)
Касательные напряжения т, возникающие на сторонах элемента,
имеют направления, показанные на рис. 3.1, а. Для линейно упру¬
гого материала касательное напряжение, согласно (1.14) и (3.1),
равно
т—бу—Огй. (3.2)
100 з. КРУЧЕНИЬ
Соотношения (3.1) и (3.2) связывают деформацию и напряжение,
возникающие на поверхности стержня, с углом закручивания, при¬
ходящимся на единицу длины.
Напряженное состояние внутри стержня может быть определено
способом, аналогичным использованному для его поверхности. По¬
скольку радиусы поперечных сечений стержня при кручении оста¬
ются прямыми и неискаженными, очевидно, что предыдущее рассуж¬
дение, связанное с элементом аЬсй, расположенном на поверхности
стержня, можно применить к такому же элементу, принадлежащему
поверхности внутреннего цилиндра радиуса р (рис. 3.1, с). Следо¬
вательно, такой внутренний элемент также находится в состоянии
чистого сдвига и соответствующие деформация сдвига и касатель¬
ное напряжение для него представляются выражениями
Эти равенства показывают, что деформация сдвига и касательное
напряжение связаны линейным законом с расстоянием по радиусу
от центра поперечного сечения стержня и достигают максимальных
значений, на его внешней поверхности. Распределение напряжения
представлено на рис. 3.1,с треугольной эпюрой напряжений.
Рис. 3.2. Продольные и попере- Рис. 3.3. Растягивающие и сжи-
чные касательные напряжения мающие напряжения на сторо-
в стержне кругового попереч- нах элемента, образующих угол
ного сечения. 45° с продольной осью стержня.
Возникновение касательных напряжений в плоскости поперечно¬
го сечения, описываемых выражением (З.ЗЬ), сопровождается воз¬
никновением равных им касательных напряжений в продольных
сучениях стержня (рис. 3.2). Такой результат следует из того обстоя¬
тельства, что, как было объяснено выше (разд. 1.9), на взаимно пер¬
пендикулярных плоскостях всегда возникают равные касательные
напряжения. Если материал является более слабым на сдвиг в про¬
дольном направлении, чем в поперечном (например, древесина), то
первые трещины в закрученном стержне появятся на его поверхно¬
сти и будут параллельны его оси.
Напряженное состояние чистого сдвига на поверхности стержня
(рис. 3.1, а) эквивалентно, кар уже объяснялось в разд. 2.3, прило¬
У~ р0,
т = Ор0.
(3.3а)
(З.ЗЬ)
3.1.
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ 101
жению равных растягивающих и сжимающих напряжений в эле¬
менте, повернутом на угол 45°. Следовательно, на сторонах прямо¬
угольного элемента, образующих угол 45° с осью стержня, будут
возникать напряжения, показанные на рис. 3.3. Если скручивается
материал, более слабый на растяжение, чем на сдвиг, то разрушение
за счет растяжения происходит вдоль винтовой линии под углом
45° к оси стержня. Разрушение такого типа можно продемонстри¬
ровать на кручении куска мела.
Теперь установим связь между приложенным крутящим момен¬
том Т и углом закручивания, который он вызывает. Возникающие
при этом касательные напряжения, показанные на рис. 3.1, с, долж¬
ны быть статически эквивалентны полному крутящему моменту Т.
Сдвигающая сила, действующая на элемент площадью йР (заштри¬
хованный на рисунке), равна хйР, а момент, создаваемый этой силой
относительно оси стержня, составляет трйР.
В силу выражения (З.ЗЬ), этот момент равен также СВр2<1Р.
Полный крутящий момент представляет собой сумму таких элемен¬
тарных моментов, взятой по всей площади поперечного сечения:
— полярный момент инерции кругового поперечного сечения. Для
круга радиусом г (диаметром й) выражение для полярного момента
инерции (см. п. 6 таблицы А.1 в приложении А) можно записать в
виде
Из соотношения (3.4) имеем
откуда видно, что угол закручивания 0, отнесенный к единице дли¬
ны, прямо пропорционален крутящему моменту Т и обратно про¬
порционален величине О/, которая называется жесткостью круго¬
вого стержня (вала) при кручении. Полный угол закручивания <р
равен 01, т. е.
(3.4)
где
(3.5)
2 32 *
(3.6)
(3.8)
Эта формула удобна для экспериментальной проверки теории; дей¬
ствительно, она подтверждена многими экспериментами, оправдав¬
шими сделанные при ее выводе допущения. Следует также отметить,
102 Л КРУЧЕНИЕ
что эксперименты на кручение обычно используются для определе¬
ния модуля упругости при сдвиге 0 для различных материалов.
Измерив угол закручивания заданного стержня, вызванный задан¬
ным крутящим моментом, по формуле (3.8) легко вычислить величи¬
ну модуля О.
Подставив в соотношение (3.2) значение 0 (3.7), получим формулу
для максимального касательного напряжения при кручении сплош¬
ного стержня кругового поперечного сечения):
Ъ«=-т. (3-9)
Согласно этой формуле, максимальное касательное напряжение
прямо пропорционально приложенному крутящему моменту Т и
обратно пропорционально полярному моменту инерции поперечного
сечения. Касательное напряжение в произвольной точке попереч¬
ного сечения, расположенной на расстоянии р от центра, можно най¬
ти согласно выражению (З.ЗЬ)*):
т = ^. (3.10)
При проектировании машин иногда необходимо определить ди¬
аметр вала, зная мощность, которую требуется передать. Работа,
совершаемая крутящим моментом Т за один оборот вала, равна
2 яТ; поэтому работа за одну минуту составляет 2 ппТ, где п —
число оборотов вала в минуту. Учитывая, что одна лошадиная
сила равна 7500 кГ-см/с, получаем для мощности Я следующее
выражение:
ы 2лпТ
60-7500’
где крутящий момент Т измеряется в кГ»см. Если известна мощ¬
ность в лошадиных силах, то крутящий момент (в кГ -см) можно за¬
писать так:
гр 60*7500 у 71620 у 1
Т==—Ш-Н™~1ГН' <ЗЛ1>
Если известен крутящий момент Т, то по формуле (3.9) можно най¬
ти максимальное касательное напряжение, а по формуле (3.8) —
угол закручивания.
*) Предыдущие соотношения были выведены для сплошного вала кругового
поперечного сечения. Изложенная здесь элементарная теория кручения берег
свое начало с работ Ш. О. Кулона (1736—1806) и Томаса Юнга 13.1]. Общая
теория кручения создана Б. Сен-Венаном [3.2].
3.1.
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ 103
Пример /. Сплошной вал А В кругового поперечного сечения, имеющего
два различных диаметра, заделан по концам и нагружен крутящим моментом Т0
(рис. 3.4, а). Определим реактивные моменты Та и Ть, возникающие на концах,
и угол поворота <р0 сечения, в котором приложен крутящий момент Т0.
■€!
А*
гоГ
н
3 - Л 1
л \
!г... Ч
1. '
(о
Рис. 3.4. Пример 1.
Вал является статически неопределимым, так как имеется два неизвестных
крутящих момента Та и Т& и только одно уравнение равновесия:
Та + ТЬ = Т 0.
(Ь)
Выбрав в качестве лишней неизвестной реактивный крутящий момент Ть и пред-
ставив себе, что конец В вала освобожден от заделки (рис. 3.4, Ь), заметим, что
полный угол поворота <р& конца В равен сумме углов поворота, обусловленных
крутящими моментами Г0 и Т&. Таким образом, имеем
т _Т0а Тьа ТьЬ
(На Ыь'
Поскольку угол поворота конца В должен быть равен нулю, условие совместности
дает ф^=0. Отсюда получим следующее выражение для крутящего момента Ть\
(с)
Подставив это выражение в уравнение (Ь), найдем аналогичное выражение для
крутящего момента Та:
Та—
• 1 + аУь/(Ю
Угол поворота <р0 поперечного сечения, в котором приложен крутящий момент То,
можно найти (рассматривая либо левую, либо правую часть вала) в следующем
виде:
т _Таа_ТьЬ Т0аЬ
0]ь'-0№а+Мь) • ^
Пример 2. Сплошной конический стержень А В длиной I и круговым попе¬
речным сечением (рис. 3.5) нагружен крутящим моментом Т. Найдем угол закручи¬
вания ф стержня.
104 А КРУЧЕНИЕ
Если угол конусности стержня мал, то угол <р можно найти с хорошей точ¬
ностью, применив формулу (3.8) к элементу с длиной йх (рис. 3.5). Для этого эле¬
мента угол закручивания равен
Тйх
где У* — полярный момент инерции поперечного сечения, расположенного на рас¬
стоянии х от левого конца. Если обозначить диаметры поперечных сечений на кон¬
цах А и В соответственно через йа и то У* будет выражаться так:
Полный угол закручивания <р составляет
I. ъ
о
(О
(а)
Подставив выражение (!) в соотношение (б) и проинтегрировав результат, получим
3277,
Ф =
ЗпО
(Ь)
Данный пример показывает, как можно применить формулу (3.8) для нахождения
угла поворота <р в случае, когда полярный момент инерции ^ является функцией
Г-*-*-
-Лс
С/ь
В
Рис. 3.5. Пример 2.
от х. Такая же процедура может быть использована в том случае, когда крутящий
момент Т изменяется вдоль оси стержня.
3.2.
КРУЧЕНИЕ ПОЛОГО СТЕРЖНЯ КРУГОВОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Как уже было объяснено в предыдущем разделе, касательное на¬
пряжение при кручении сплошного стержня кругового поперечного
сечения максимально на внешней поверхности и равно нулю на оси.
Следовательно, в большей части материала стержня касательное
напряжение будет значительно ниже допускаемого. Если важно сни¬
зить вес или сэкономить материал, то целесообразно использовать
полые валы.
Исследование полого вала кругового поперечного сечения осно¬
вывается на тех же допущениях, что и в случае сплошного вала.
3.2.
КРУЧЕНИЕ ПОЛОГО СТЕРЖНЯ 105
Таким образом, поскольку в поперечном сечении радиальные пря¬
мые остаются прямыми, можно использовать выражения (3.3)
для касательного напряжения и деформации сдвига, выведенные в
предыдущем разделе. Разумеется, радиальное расстояние р, входя¬
щее в эти выражения, меняется от гх до г8, где г1 — внутренний'ра¬
диус, а г2 — внешний радиус полого вала (рис. 3.6).
Рис. 3.6. Полый вал круго¬
вого поперечного сечения.
Зависимость между приложенным крутящим моментом Т и углом
закручивания 6, отнесенным к единице длины, можно найти из вы¬
ражений (3.4) и (3.5) с учетом того, что пределами интегрирования
будут р=/1 и р=г2. Следовательно, соотношение Т—^в^ остается
справедливым, но теперь величина / представляет собой полярный
момент инерции кольцеобразной площади:
| №-4). (3.12)
Основные соотношения (3.7) — (3.10) для 0, ср и т, приведенные в
предыдущем разделе, можно использовать для полого вала, считая,
что величина ^ определяется приведенным выше выражением х).
Пример/. Полый и сплошной валы имеют одинаковый внешний радиус г.
Внутренний радиус полого вала равен 0,6 г. Предполагая, что оба вала нагружены
одним и тем же крутящим моментом, сравним их веса и максимальные касательные
напряжения.
Веса пропорциональны площадям поперечных сечений, так что вес сплошного
вала пропорционален яг2, а вес полого вала пропорционален яг2—я (0,6 г)2=
=0,64яг2. Следовательно, вес полого вала составляет 64% веса сплошного.
Максимальные касательные напряжения пропорциональны величине 1/У.
В случае, сплошного вала У=яг4/2; для полого вала ^=п^А|2—п (0,6 г)4/2=
==0,8704 я/4^. Следовательно, отношение максимального касательного напряже¬
ния в полом вале к той же величине в сплошном вале составляет 1,15. Получен¬
ный результат показывает, что в полом вале с гг1г2—0,6 максимальное касательное
напряжение возрастает по сравнению со сплошным валом на 15%, а вес снижается
на 36%.
Пример 2. Составной стержень кругового поперечного сечения представ¬
ляет собой трубу В, внутри которой помещен жестко соединенный с ней сплошной
х) Кручение тонкостенных труб с поперечными сечениями произвольной
формы обсуждается в разд. 3.4.
106 9. КРУЧЕНИЕ
цилиндр А (рис. 3.7). Материал внутреннего цилиндра имеет модуль сдвига 0а,
материал трубы — модуль сдвига 0&. Выведем формулы для максимальных каса¬
тельных напряжений та и ть соответственно в трубе и во внутреннем цилиндре
при нагружении составного стержня крутящим моментом Т.
Рис. 3.7. Пример 2.
Отнесенный к единице длины угол закручивания 0 должен быть одинаков как
для трубы, так и для внутреннего цилиндра. Тогда, согласно выражению (З.ЗЬ),
имеем
(а)
где тд и ть — касательные напряжения соответственно во внутреннем цилиндре
на расстоянии от оси, равном радиусу та, и в материале трубы на расстоянии Г& от
оси. Кроме того, полный крутящий момент Т состоит из крутящих моментов Та
и Ть, действующих на внутренний цилиндр и на трубу, поэтому с учетом выра¬
жения (3.4) запишем
Т=Та + Ть = Са01 а + 0*0/ь. (Ь)
Полярные моменты инерции 3а и «/& равны
Решая уравнение (Ь) относительно 0, находим
Т
0 =
Ь *
что с учетом соотношений (а) дает
т _ Т 6дга _ Ти — Т ®ьГЪ - (с\
а~ Св/ а + ОьЗь ’ 4 ~ Оа1а + 0Ь3Ь ‘
Крутящие моменты, передаваемые каждой из частей составного стержня, соответ¬
ственно равны
<т» а /-|\
‘ Оа*а + Оь*ь' * 0а*а+Оь*ъ' '7
Отметим, что в данном примере исследовалась статически неопределимая система.
3.3. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ
Энергию деформации для сплошного стержня кругового попереч¬
ного сечения можно представить выражением (1.23а), выведенным
ранее для элемента упругого материала, находящегося в состоянии
3.3.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ Ю7
чистого сдвига:
Т® . V
и 20* * (^
Здесь и — удельная энергия деформации, а т — касательное напря¬
жение. Для того чтобы использовать это выражение в случае стерж¬
ня при кручении, надо получить общее выражение для энергии и,
а затем проинтегрировать его по всему объему стержня.
Если ттах — касательное напряжение на поверхности стержня,
то касательное напряжение на расстоянии р от его оси имеет вид
ттахр/г, где г — внешний радиус. Энергия деформации, заключен¬
ная в единице объема, для этого радиуса в соответствии с выражени¬
ем (а) будет равна
ТтахР8
2 гЮ
а энергия деформации элементарной трубы длиной I, радиусом р и
толщиной ф запишется в виде
(III = и (IV = ЯТЧУФ •
тЮ
Полная энергия деформации находится интегрированием предыду¬
щего выражения в пределах от р=0 до р—г, что дает
Г
-т-2
и = 1 рЧр=. (3.13)
о
Это выражение можно использовать для получения энергии дефор¬
мации сплошного стержня, если известно максимальное касательное
напряжение. Замечая, что ттах=7У/У, где У=яг4/2, выражение
(3.13) можно записать в ином виде:
"ЧзГ* <314>
т. е. найти энергию деформации как функцию крутящего момента Т.
Предыдущий вывод можно провести и для полого стержня круго¬
вого поперечного сечения, для которого тоже можно получить такое
же выражение, как и (3.14), за исключением того, что величина У
будет представлять собой соответствующий полярный момент инер¬
ции (3.12).
Энергию деформации при кручении можно найти проще, исполь¬
зуя диаграмму зависимости крутящего момента от угла закручива¬
ния (рис. 3.8). Если материал стержня следует закону Гука, то за¬
висимость между приложенным крутящим моментом Т и углом за¬
кручивания ф будет линейной и задается соотношением (3.8). При
108 КРУЧЕНИЕ
закручивании стержня крутящий момент Т совершает работу, рав¬
ную площади, лежащей ниже прямой, характеризующей зависимость
крутящего момента от угла закручивания, так что в стержне накап¬
ливается энергия упругой деформации, равная
и-?.
(3.15)
Подставив выражение (3.8) в формулу (3.15),
получим следующие представления для энер¬
гии деформации:
*/ = — , (3.16а)
Рис. 3.8. Диаграмма
зависимости крутяще¬
го момента от угла
закручивания.
V
2 СУ
СУ ф2
: 2/, '
(3.16Ь)
Первое из этих выражений является таким
же, как и (3.14), и представляет энергию де¬
формации как функцию крутящего момента 7\
а второе — как функцию угла закручивания ср. Эти выражения спра¬
ведливы как для сплошного, так и дЛя полого стержней кругового
поперечного сечения при условии, что используется соответствую¬
щее выражение для момента инерции У..Обратим внимание на ана¬
логию между выражениями (3.16) и полученными ранее выражения¬
ми (1.16) для растягиваемого стержня.
Если закрученный стержень имеет круговое поперечное сечение переменного
радиуса (как, например, на рис. 3.5) или крутящий момент изменяется по длине
стержня, то для нахождения энергии деформации стержня следует рассмотреть
элементарный диск толщиной йх9 расположенный на расстоянии х от одного из
концов стержня.
Полагая, что крутящий момент, действующий на этот диск, равен Тх и что
У* — полярный момент инерции поперечного сечения, используем выражение
(3.16а) для того, чтобы найти энергию деформации элементарного диска:
Пах
20/*
поэтому полную энергию деформации стержня можно выразить так:
V
ч
пах
2 СУ*
(3.17а)
С другой стороны, можно начать с выражения (3.16Ь) и заметить, что угол закручи¬
вания элемента длиной йх равен <йр. Тогда из (3.16Ь) получим следующее выраже¬
ние для энергии деформации элемента:
2Лх
3.4.
ТОНКОСТЕННЫЕ ТРУПЫ 109
откуда следует, что
чщ
*ф\*
ах)
ах.
(3.17Ь)
Для нахождения энергии деформации можно использовать одно из выражений
р. 17) в зависимости от того, что задано: крутящий момент Тх или 0 —* угол закру-
чйвания, отнесенный к единице длины и равный Лу/ёх.
3.4.
ТОНКОСТЕННЫЕ ТРУБЫ
На рис. 3.9, а изображена тонкостенная труба с поперечным се¬
чением произвольной фэрмы. Толщина I трубы может меняться вдоль
контура поперечного сечения, но при этом предполагается, что она
Л
а
Рис. 3.9. Тонкостенная труба с поперечным сечением произвольной формы.
мала по сравнению с полной шириной поперечного сечения. Труба
имеет цилиндрическую форму и нагружена на каждом конце крутя¬
щим моментом Т. Под действием этих крутящих моментов в каждом
поперечном сечении трубы (рис. 3.9, Ь) будут возникать касательные
1Ю 3. КРУЧЕНИЕ
напряжения т. Можно считать, что касательные напряжения равно¬
мерно распределены по малой толщине трубы, хотя и могут меняться
вдоль контура поперечного сечения.
Для того чтобы определить величины касательных напряжений,
рассмотрим элемент аЬсй длиной йх, который получен с помощью
двух продольных разрезов аЬ и ей (рис. 3.9, Ь). На продольных гра¬
нях этого элемента будут возникать касательные напряжения той
же величины, что и касательные напряжения в поперечном сечении,
так как касательные напряжения на взаимно перпендикулярных
плоскостях равны по величине (см. разд. 1.9). Касательные напряже¬
ния, возникающие на продольных гранях элемента, имеют равно¬
действующие Рх и Ръ (рис. 3.9, с), которые можно выразить следую¬
щим образом:
Р1 = йх, Р% — т2*я йх;
здесь тх и т* представляют собой соответственно касательные напря¬
жения в точках Ь и с, а и и — толщину трубы в тех же точках. Из
условия равновесия элемента, изображенного на рис. 3.9, с, видим,
что р1—Р», или
^1=Т2^.
Поскольку положение продольных разрезов аЬ и ей было выбрано
произвольно, из приведенного выше равенства видно, что произве¬
дение касательного напряжения на толщину трубы постоянно для
любой точки поперечного сечения. Это произведение называется
потоком касательных напряжений и обозначается буквой /:
/=т*=соп$1. (3.18)
Таким образом, наибольшее касательное напряжение возникает там,
где толщина минимальна, и наоборот. Если же толщина трубы по¬
стоянна, то, разумеется, касательное напряжение т постоянно по
всей трубе.
Для того чтобы связать поток касательных напряжений с крутя¬
щим моментом Т, действующим на трубу, рассмотрим элемент длиной
й$, лежащий в поперечном сечении (рис. 3.10). Полная поперечная
сила, действующая на заштрихованный элемент, равна /йз: момент
этой силы относительно точки О составляет
йТ=г[йз,
где г — расстояние от точки О до касательной к средней линии
стенки трубы. Полный крутящий момент получается интегрирова¬
нием по всей длине ЬС9 средней линии поперечного сечения:
=р
Т — 1 ^ гйз.
о
3.4. ТОНКОСТЕННЫЕ ТРУПЫ 1Ц
Существует простая геометрическая интерпретация интеграла,
входящего в это выражение. Величина гй$ представляет собой удвоен¬
ную площадь малого треугольника (рис. 3.10) с основанием <к и-вы-
сотой г. Следовательно, приведенный выше интеграл равен удвоен-
Рис. 3.10. Поперечное сечение трубы.
ноЦ площади, ограниченной средней линией стенки трубы. Обозна¬
чив эту площадь через Рср, получим
Т=2[Рср<
или
^ = ==2Г^’
По этой формуле можно подсчитать поток касательных напряжений
и касательное напряжение для произвольной тонкостенной трубы.
Угол закручивания 0, отнесенный к единице длины трубы, можно
вычислить, рассмотрев энергию деформации трубы. Удельная энер¬
гия деформации, согл зсно выражению (1.23а), равна т*/(2О), а отсюда
энергию деформации, приходящуюся на единицу длины трубы, мож¬
но представить в виде
^ср ^"ср
11 _ (' ** Ав _ /* \
) 20 20 3 I ’
и о
Подставляя сюда выражение (3.19) для потока касательных напря¬
жений и приравнивая энергию деформации работе, совершенной
крутящим моментом Т, получаем
ьер
Я Г *=Г0
ВоПр ] * 2 *
о
Отсюда запишем выражение для угла закручивания, отнесенного к
единице длины:
е=1<к Г*- (3'20)
П
112 з. КРУЧЕНИЕ
Используя это выражение, можно подсчитать угол закручивания,
если известны размеры поперечного сечения. В том случае, когда
толщина I постоянна, имеем
0 — Т1ср — Т^СР Ппц
4*НЯр~Юрср’ ( }
Полный угол закручивания <р находится умножением угла 0 на
длину трубы Ь 1).
Выражение (3.20) для угла закручивания, отнесенного к единице
длины тонкостенной трубы, совпадет с выражением (3.7) длд сплош¬
ного стержня кругового поперечного сечения, если в (3.7) вместо ^
подставить
4 р*
ср
(3.22)
5 (</5/0
Эта величина ^ в общем случае называется постоянной кручения.
Видно, что постоянная кручения равна полярному моменту инер-
Рис. 3.11. Тонкостен¬
ная труба кругового
сечения.
ции, если стержень имеет круговое поперечное сечение, и выражает¬
ся формулой (3.22) в случае тонкостенной трубы. Если толщина I
трубы постоянна, то формула (3.22) упрощается и принимает вид
' 4^*р (3.23)
ьср
В случае тонкой трубы кругового поперечного сечения, имею¬
щей постоянные толщину I и радиус г средней линчи (рис. 3.11),
длина средней линии Ьср=2лг, а площадь, ограниченная средней
линией, /?ср==лг2. Поэтому поток касательных напряжений и каса¬
*) Формулы (3.19) и (3.21)' известны под названием формул Бредта [3.3
и 3.4].
3.4. ТОНКОСТЕННЫЕ ТРУ вы 113
тельное напряжение, согласно формуле (3.19), составляют
1 = (3.24а)
2лг2 1
Т
2лгН '
(3.24Ь)
Угол закручивания, отнесенный к единице длины, согласно выра¬
жению (3.20), имеет вид
<3-И)
а постоянная кручения записывается в форме
^=2л^Н. (3.26)
Все эти выражения для тонкостенной трубы кругового поперечного
сечения можно также получить из выведенных ранее соотношений
для полого вала (см. разд. 3.2). Например, в предположении, что
радиус р почти постоянен по толщине трубы и равен г, постоянная
кручения (равная в данном случае полярному моменту инерции)
принимает вид
У = ^ р*йР & « 2ягН.
Предполагая, что касательное напряжение т постоянно по толщине
и равно своему значению на средней линии поперечного сечения,
можно с учетом формулы (3.9) получить следующее выражение для
максимального касательного напряжения:
Тг т
т =
Если скручиваемая труба имеет очень тонкие стенки, то необхо¬
димо принять во внимание возможность потери устойчивости стенок.
Например, длинная труба кругового поперечного сечения, изготов¬
ленная из малоуглеродистой стали, потеряет устойчивость при
обычных значениях допускаемых напряжений, если отношение ра¬
диуса к толщине гЦ (рис. 3.11) будет составлять около 60 13.51.
Пример 1. Сравним среднее касательное напряжение в тонкостенной трубе
кругового поперечного сечения (рис. 3.11), вычисленное по приближенной форму¬
ле (3 24Ь), с максимальным касательным напряжением, определенным по формуле
(3.9) для кручения.
Приближенная формула для касательного напряжения дает
Т _ т
Т1~гпгЧ 2л<зрг ’ 'а'
где введено обозначение $—гЦ. Истинная величина максимального касательного
напряжения в трубе определяется выражением
т Т(Г И/2) ' /м
2 —7—’
114 3. КРУЧЕНИЕ
где, согласно формуле (3.12), имеем
так что выражение (Ь) для т2 примет вид
Т (2г + О Т (20 + 1)
Тг яг<(4г2+<2)-л<3Р(4ра+0‘
Отношение т^Га равно
и зависит только от величины Р, т. е. от отношения г//. Для величин 0=5, 10 и 20
это отношение принимает значения т^т^О.92, 0,96 и 0,98 соответственно. Таким
образом, из соотношения (с)) видно, что приближенная формула для напряжения
дает результаты лишь немного меньшие, чем получаются по точной формуле, и что
точность приближенной формулы увеличивается с ростом отношения гЦ.
Пример 2. Трубы кругового и квадратного поперечного сечения (рис. 3.12)
изготовлены из одного материала. Трубы имеют одинаковые длину, толщину и
площадь поперечного сечения и нагружены одинаковыми крутящими моментами.
Чему равны отношения касательных напряжений и углов закручивания для этих
труб? (Влиянием концентраций напряжений в углах трубы квадратного попереч¬
ного сечения пренебречь.)
Для трубы кругового полеречного сечения площадь Рср1, ограниченная сред¬
ней линией поперечного сечения, равна /7ср1=я/’2, гДе г — радиус средней линии.
Кроме того, площадь кругового поперечного сечения равна /71=2яг/.
Для трубы квадратного поперечного сечения площадь сечения равна /72=46/,
где Ь — длина одной стороны, измеренной вдоль средней линии. Поскольку пло¬
щади поперечных сечений труб одинаковы, получаем 6=яг/2. Кроме того, пло¬
щадь, ограниченная средней линией поперечного сечения, составляет
Отношением/та касательного напряжения в трубе кругового поперечного се¬
чения к касательному напряжению в трубе квадратного поперечного сечения (см.
формулу (3.19)) будет
Рис. 3.12. Пример 2.
Тг ^*Ср2 Ь2 я
^ Р ср! яг2 4
-—==0,785.
<«>
3.5.
НЕУПРУГОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ Ц5
Отношение углов закручивания (формула (3.21)) равно
Полученные результаты показывают, что труба кругового поперечного сечения
по сравнению с трубой квадратного поперечного сечения имеет не только меньшее
касательное напряжение, но и большую жесткость при кручении. ^
3.5. НЕУПРУГОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Приведенные в разд. 3.1 и 3.2 соотношения для кручения стерж¬
ней кругового поперечного сечения применяются только в том слу¬
чае, когда материал подчиняется закону Гука. Рассмотрим теперь
поведение стержней, когда касательные напряжения превосходят
предел пропорциональности. Исходя из условия симметрии, можно и
в этом случае предположить, что круговые поперечные сечения ос¬
таются плоскими, а их радиусы — прямыми. Отсюда следует, что
деформация сдвига у на расстоянии р от оси стержня (см. рис. 3.1, с)
задается тем же выражением, что и в случае упругого кручения, а
именно
Максимальная деформация сдвига возникает на внешнем контуре
.поперечного сечения и составляет
где г — радиус стержня. Касательное напряжение т в произвольной
точке стержня можно определить, если для материала известна диа¬
грамма зависимости касательного напряжения от угла сдвига
?=ре.
(3.27)
Ттах = Г%,
(3.28)
а
Ь
Рис. 3.13. Неупругое кручение стержня кругового попереч¬
ного сечения.
(рис. 3.13, а). Деформация на внешнем контуре поперечного, сечения
равна 7тах, а соответствующее напряжение т находится из диаграм¬
мы зависимости касательного напряжения от уг/га сдвига.
116 з. КРУЧЁН ИВ
Такую же процедуру можно использовать и для внутренних то¬
чек стержня. В результате распределение касательных напряжений
по поперечному сечению (рис. 3.13, Ь) будет иметь тот же вид, что и
сама диаграмма зависимости касательного напряжения от угла
сдвига.
Крутящий момент Т, который должен действовать на стержень
для создания отнесенного к единице длины заданного угла закручи¬
вания 0, можно найти из уравнения равновесия (рис. 3.13, Ь)
Г
Т = ^ 2яргт^р. (3.29)
о
Из формулы (3.27) получаем р=7/0 и йр—йу/В. Подставляя эти ве¬
личины в соотношение (3.29) и заменяя верхний предел интегрирова¬
ния на Ушаков, получаем
Г0
Г = уЧу. (3.30)
о
Входящий сюда интеграл имеет простую геометрическую интерпре¬
тацию. Он представляет собой момент инерции относительно верти¬
кальной оси (т. е. относительно оси т) площади, лежащей ниже
кривой, характеризующей зависимость касательного напряжения
от угла сдвига (рис. 3.13, а), между началом координат О и точкой,
соответствующей максимальной деформации •утах.
Таким образом, для любой заданной величины 0 можно вычис¬
лить деформацию утах и соответствующий момент инерции. После
этого можно использовать выражение (3.30) для определения величи¬
ны крутящего момента Т. Повторяя эту процедуру для различных
величин 0, получаем кривую зависимости между моментом Т и углом
0. Имея такую кривую, можно без труда определить как угол 0, так
и напряжение ттах для любого заданного значения крутящего мо¬
мента Т.
Если материал стержня имеет четко выраженный предел текуче¬
сти тт, то диаграмму зависимости касательного напряжения от угла
сдвига можно схематизировать так, как показано на рис. 3.14, а.
Диаграмма состоит из двух прямых: первая соответствует линейно
упругому поведению, вторая — идеально пластическому. До тех
пор пока максимальная деформация сдвига в стержне меньше ут,
стержень ведет себя упруго и можно использовать формулы, приве¬
денные в разд. 3.1. Когда деформация на внешнем контуре попереч¬
ного сечения достигнет величины уТ1 распределение напряжений в
поперечном сечении примет форму, показанную на рис. 3.14, Ь.
Из рисунка видно, что пластическое течение материала начи¬
нается на поверхности стержня и при возрастании деформации
постепенно распространяется внутрь. Если деформации станут
3.5.
НЕУПРУГОВ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ Ц7
очень большими, то область пластического течения достигнет центра
стержня, а распределение напряжений будет равномерным
(рис. 3.14, с). Соответствующий крутящий момент Т является пре¬
дельным крутящим моментом для стержня, и его величина, согласно
выражению (3.29), составляет
Т„ = ^ 2яр*ттЛр 2/3яг3тт.
(3.31)
Когда достигается эта величина крутящего момента, дальнейшее
закручивание вала будет происходить без увеличения крутящего мо¬
мента. В конце концов скажется влияние упрочнения, после чего
возникнут напряжения, превышающие тт.
/О
Ь !
а
Рис. 3.14. Кручение стержня из упруго-идеально-пластического материала.
Крутящий момент Тт, при котором в стержне начинается пласти¬
ческое течение, находится подстановкой в формулу (3.9) тт вместо
Т =
л т
Тт/ ЯГ3 тг
(3.32)
Сравнивая формулы (3.31) и (3.32), видим, что отношение предель¬
ного крутящего момента к крутящему моменту, при котором начи¬
нается пластическое течение, равно
Тп/Тт = у3. (3.33)
Отсюда видно, что после наступления пластического течения предел
несущей способности будет достигаться при увеличении крутящего
момента только на одну треть.
Остаточные напряжения. Если стержень нагружается выше
предела упругости, а затем нагрузка снимается, то в стержне ос¬
таются некоторые напряжения. Такие напряжения называются ос¬
таточными. Для того чтобы продемонстрировать вычисление этих
напряжений, предположим, что сплошной стержень кругового по¬
перечного сечения нагружается предельным крутящим моментом
118 3. КРУЧЕНИЕ
Тп, который создает распределение напряжений, показанное на
рис. 3.14, с, а затем этот момент полностью снимается. При снятии
нагрузки, т. е. во время процесса разгрузки, поведение материала
характеризуется прямой на диаграмме зависимости касательного
напряжения от угла сдвига (прямая аа на рис. 3.14, а), параллель¬
ной начальной прямой, соответствующей закону Гука. Таким обра¬
зом, напряжения, возникающие при разгрузке, можно найти из фор¬
мул (3.9) и (ЗЛО), соответствующих линейно упругому поведению
материала.
АН,
ТХГ/Г
Рис. 3.15. Остаточные напряжения.
Суммарное распределение напряжений, возникающих при на¬
гружении и разгрузке, показано на рис. 3.15. Напряжения, которые
достигаются при нагружении, показаны на рис. 3.15, а; соответст¬
вующий момент равен Тп=2пг3хт/3. Такой же крутящий момент
представляется диаграммой напряжений, возникающих при раз¬
грузке, на рис. 3.15, Ь, за исключением того, что теперь крутящий
момент действует в противоположном направлении и что поведение
материала является линейно упругим. Максимальное напряжение
равно ттах=7’пг/У, или ттах=4тТ/3. Остаточные напряжения в
стержне, полученные в результате наложения напряжений, возни¬
кающих при нагружении и при разгрузке, показаны на рис. 3.15, с.
Остаточное напряжение на оси стержня равно
Тт,
а на границе поперечного сечения составляет
= Т'тах Тт =
Напряжение т2 направлено противоположно напряжению Тх. Такую
же процедуру расчета остаточных напряжений можно использовать
и для других видов диаграмм зависимости касательного напряжения
от угла сдвига.
ЗАДАЧИ
3.1.1. Определить длину стального вала (С=0,85>10в кГ/см2) диаметром й=
=5 см, если максимальное касательное напряжение при угле закручивания, рав¬
ном 6°, составляет 1000 кГ/см®.
ЗАДАЧИ 119
3.1.2. Чему должно быть равно отношение ЫЛ длины стального троса к его
диаметру, если максимальное касательное напряжение равно 1000 кГ/см* при угле
закручивания в 90°? (Принять 0=0,85* 10е кГ/см2.)
3.1.3. Чему равен минимальный допускаемый диаметр стержня кругового
поперечного сечения, к которому приложен крутящий момент Т=0,36 т*м, если
допускаемое касательное напряжение равно т =210 кГ/см2, а допускаемый угол
закручивания, отнесенный к единице длины, составляет 15' на длине один метр?
(Принять 0=0,85* 10е кГ/см2.)
3.1.4. Закручиваемый стержень имеет диаметр с^=4 см на одной половине
своей длины и диаметр см — на другой (см. рисунок). Чему равен допускае¬
мый крутящий момент 7\ если угол закручивания <р не должен превышать 0,01 рад?
(Принять 0=0,85* 10е кГ/см2.)
3.1.5. К сплошному валу кругового поперечного сечения диаметром й при¬
кладывается крутящий момент 7\ который, как это обнаруживается с помощью
измерений, создает на поверхности вала нормальную деформацию е в направлении,
составляющем угол 45° с осью вала. Получить выражение для модуля упругости
при сдвиге О через Т, д. и е.
3.1.6. Чему равен крутящий момент в центральной части стержня кругового
поперечного сечения с заделанными концами (см. рисунок), если Г=2Г2, а=с=
3.1.7. Определить диаметр & вала, передающего мощность в 200 л. с. при
120 об/мин, если допускаемое касательное напряжение равно тд=210 кГ/см2.
3.1.8. Простая дисковая муфта служит для передачи крутящего момента от
одного вала к другому (см. рисунок). Диски муфты имеют диаметр ^ и прижимают¬
ся друг к другу нормальной силой Р. Предполагая, что сила Р равномерно распре¬
делена по поверхности дисков и что коэффициент трения между ними равен /,
найти максимальный крутящий момент 7\ который может передаваться муфтой без
проскальзывания.
.3.1.9. На стержень А В кругового поперечного сечения, защемленный на ле¬
вом конце (см. рисунок), действует равномерно распределенный крутящий мокСент
интенсивностью д. Вывести формулу для угла закручивания <р конца В стержня.
Г
К задаче 3.1.4.
=ш и ь=т?
К задаче 3.1.6.
3.1.10. При каком отношении йъ!йа угол закручивания стержня, изображен¬
ного на рис. 3.5 и рассмотренного в примере 2, будет в два раза больше угла закру¬
чивания стержня кругового поперечного сечения с постоянным диаметром
120 КРУЧЕНИЕ
3.1.11. Сплошной стержень кругового поперечного сечения (диаметр 4==
=7,5 см) нагружается одновременно продольной растягивающей силой Р, равной
20 т, и крутящим моментом 7\ равным 0.3 т»м. Вычислить максимальные растяги¬
вающее, сжимающее и касательное напряжения, возникающие в стержне.
IV.
К задаче 3.1.8.
ГСССССССО'
К задаче 3.1.9.
3.2.1. Полый и сплошной валы кругового поперечного сечения из одного
материала предназначены для передачи одного и того же крутящего момента Т
при одинаковых значениях максимального касательного напряжения. Предпола¬
гая, что внутренний радиус полого вала составляет 0,8 его внешнего радиуса, най¬
ти: а) отношение веса полого вала к весу сплошного вала; Ь) отношение внешнего
диаметра полого вала к диаметру сплошного вала.
3.2.2. Полый алюминиевый вал (0=0,3* 10е кГ/см2) с внешним и внутренним
диаметрами, равными соответственно 10 и 8,5 см, имеет длину 2 м а) Чему будет
равен полный угол закручивания <р вала, если при действии приложенных по кон¬
цам крутящих моментов максимальное касательное напряжение равно 700 кГ/см2?
Ь) Каков должен быть диаметр й сплошного вала, нагруженного таким же крутя¬
щим моментом, при том же значении максимального касательного напряжения?
3.2.3. Полый гребной вал корабля передает мощность 8000 л. с. при
100 об/мин, причем максимальное касательное напряжение равно 300 кГ/см2. Оп¬
ределить внешний диаметр & вала, если внутренний составляет <И2.
3.2.4. На заделанный по обоим концам стержень действует крутящий момент
Г, приложенный в сечении В (см. рисунок). Стержень сплошной (кругового попе¬
речного сечения диаметром йх) на участке от Л до В и полый (кругового попереч¬
ного сечения с внешним диаметром и внутренним диаметром ёг) на участке от
В до С. Найти такое отношение аИ, при котором реактивные крутящие моменты
на концах А и С стержня будут равны.
3.3.1. Чему равна энергия деформации стержня, описанного в задаче 3.1.4
если угол закручивания ф равняется 0,01 рад?
3.3.2. Найти энергию деформации для стержня, описанного в задаче 3.1 6.
3.3.3. Найти энергию деформации для стержня, описанного в задаче 3.1.9.
К задаче 3 2.4.
3.3.4. Два сплошных стержня одинаковой длины из одного и того же материа¬
ла имеют круговые поперечные сечсиия площадью и Г9. Чему равно отношение
ЗАДАЧИ 121
энергий деформаций, накопленных * этих стержнях, если оба нагружаются одина¬
ковыми крутящими моментами 7?
3.3.5. Труба А надевается на конец сплошного стержня В кругового попереч¬
ного сечения так, как показано на рисунке. В стержне В имеется отверстие, ось
которого составляет угол Р с осевой линией двух отверстий в трубе А. Стержень В
закручивается до тех пор, пока не совпадут отверстия, в которые затем вставляют
штифт. Чему будет равна суммарная энергия деформации трубы и стержня при
возвращении всей системы в состояние статического равновесия? (Пусть и —
полярные моменты инерции соответственно трубы А и стержня В. Модуль упруго¬
сти при сдвиге О для материала трубы и стержня одинаков.)
3.3.в. Сплошной вал кругового поперечного сечения (С=0,8« 10е кГ/см2), на
одном конце которого укреплен маховик, вращается со скоростью 120 об/мин. Дру¬
гой конец вала внезапно останавливается. Определить максимальное касательное
напряжение, возникающее в вале при такой внезапной остановке, если длина вала
равна 1,5 м, диаметр 5 см, вес маховика 50 кГ, радиус инерции маховика 25 см.
(Указание. Приравнять кинетическую энергию вращающегося маховика энергии
деформации вала.)
3.4.1. Круговая труба с толщиной стенки 2,5 см и внутренним диаметром 22,5
см нагружается крутящим моментом Т= 17,5 т«м. Определить максимальное
касательное напряжение, возникающее в трубе, при помощи: а) приближенной тео¬
рии тонкостенных труб, Ь) точной теории кручения.
3.4.2. Тонкостенный полый вал кругового поперечного сечения имеет внутрен¬
ний диаметр 10 см и нагружается крутящим моментом Г=0,5 т*м. Учитывая, что
допускаемое касательное напряжение равно 900 кГ/скг1, определить толщину /
стенки вала при помощи а) приближенной теории тонкостенных труб, Ь) точной
теории кручения.
3.4.3. Тонкостенная круговая труба и сплошной стержень кругового попереч¬
ного сечения изготовлены из одного и того же материала, имеют одинаковые пло¬
щади поперечных сечений и закручиваются. Чему равно отношение энергий дефор¬
мации, накопленных в трубе и сплошном стержне, если в них равны максимальные
касательные напряжения?
3.4.4. На тонкостенную трубу с поперечным сечением эллиптической формы
(см. рисунок) действует крутящий момент Г=0,5 т*м. Определить карательное на¬
пряжение т и угол 0 закручивания, отнесенный к единице длины, если О=
=0,8* 10е кГ/см*, /=0,5, а= 7,5 и Ь=5 см. (Замечание. Площадь эллипса равна
паЬ$ а периметр его составляет 1,5я(а+&)—я|/Ж)
3.4.5. На тонкостенную трубу с поперечным сечением прямоугольной формы
(см. рисунок) и толщиной/действует крутящий момент Г. Как меняется касатель¬
ное напряжение т, возникающее в трубе, при изменении отношения Р =а/&, если
площадь поперечного сечения остается постоянной? Как меняется постоянная кру¬
чения У при изменении Р?
о
К задаче 3.3.5.
122 Л КРУЧЕНИЕ
3.4.6. На длинную тонкостенную трубу фонической формы кругового попе¬
речного сечения (см. рисунок) действует крутящий момент 7*. Труба имеет постоян¬
ную толщину / стенки и длину Ь. Диаметры средних линий поперечных сечений на
концах А и В равны соответственно Лаи <^ь- Вывести выражение для угла <р закру¬
чивания трубы.
3.5.1. Полагая, что материал стержня следует закону Гука (т=(ду), исполь¬
зовать выражение (3.30) для получения соотношения (3.7) для сплошного стержня
кругового поперечного сечения.
К задаче 3.4.4. К задаче 3.4.5.
3.5.2. Сплошной стержень кругового поперечного сечения радиуса г, нагру¬
женный крутящим моментом 7\ изготовлен из материала, для которого зависимость
напряжения от деформации сдвига описывается соотношением тп=Ву, где В
и п — постоянные, а) Получить выражение для касательного напряжения т на
контуре поперечного сечения. Ь) Полагая, что при разрушении стержня имеют ме¬
сто касательное напряжение тп и деформация сдвига уп и что тп—ВУп> получить
формулу для предельного крутящего момента Тп.
А
Г
1
К задаче 3.4.6.
3.5.3. Вывести формулу для крутящего момента Г, действующего на сплош¬
ной стержень кругового поперечного сечения, если напряжения распределены
так, как показано на рис. 3.14, Ь. Предполагается, что задана величина деформа¬
ции сдвига ттах на контуре поперечного сечения и что зависимость напряжения от
деформации соответствует представленной на рис. 3.14, а. (Принять Утах^Тг и
Тп^Т^Тт.) Проверить полученные результаты, заметив, что Т~Тт при 7тах=7т
и крутящий момент Т становится равным Тп при очень больших значениях Ушах*
3.5.4. Найти отношение предельного крутящего момента Тк крутящему
моменту Г*, при котором возникает пластическое течение, для полого стержня кру¬
гового поперечного сечения (см. рис. 3.6), если диаграмма зависимости напряжения
от деформации для материала стержня такова, как показано на рир. 3.14, а.
3.5.5. С помощью соотношения (3.29) проверить, что крутящий момент, созда¬
ваемый показанными на рис. 3.15, с остаточными напряжениями (тх=тт, т2—
==—тх/3), равен нулю.
ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА
И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
4.1, ТИПЫ БАЛОК
Стержень, нагруженный силами, действующими в направлении,
поперечном его оси, называется балкой. В этой главе будет рассмот¬
рено несколько простейших типов балок, подобных тем, которые изо¬
бражены на рис. 4.1. В каждом из примеров предполагается, что
балка имеет плоскость симметрии, параллельную плоскости чертежа.
Следовательно, поперечное сечение балки имеет вертикальную ось
симметрии. Кроме того, предполагается, что приложенные нагрузки
действуют в плоскости симметрии и поэтому изгиб балки происходит
в этой же плоскости. Ниже (см. гл. 8) будет рассмотрен более общий
тип изгиба, при котором балка может иметь несимметричное попе¬
речное сечение.
Изображенная на рис. 4.1, а балка с шарнирно закрепленным од¬
ним концом и с подвижной опорой на другом называется балкой
со свободно опертыми концами, или свободно опертой балкой. Основ-
а
о
Рис. 4.1. Типы балок,
124 4. ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
ным признаком свободно опертой балки, является то, что оба конца
балки могут свободно поворачиваться при изгибе, но не могут сме¬
щаться в боковом (т. е. поперечном относительно оси балки) на¬
правлении. Кроме того, один конец балки может свободно двигаться
в осевом направлении (т. е. горизонтально). Опоры свободно опер¬
той балки могут развивать вертикальные реакции, направленные
или вверх, или вниз.
Изображенная на рис. 4.1, Ь балка, которая заделана или защем¬
лена на одном конце и свободна на другом, называется консольной
балкой. В заделке (или защемлении) балка не может ни поворачи¬
ваться, ни смещаться, в то время как на свободном конце возможно
ито, идругое. Третий пример (рис.4.1, с) показывает балку с высту¬
пающей частью (балку со свесом). Эта балка свободно оперта в точ¬
ках А и В и имеет свободный конец С.
Нагрузками на балку могут служить сосредоточенные силы, та¬
кие, как Рх и Я а на рис. 4.1, а и 4.1, с, или распределенные нагрузки,
такие, как нагрузка <?, показанная на рис. 4.1, Ь. Распределенные
нагрузки характеризуются их интенсивностью, которая выражает¬
ся величиной силы, отнесенной к единице расстояния вдоль оси бал¬
ки. Для равномерно распределенной нагрузки, изображенной на
рис. 4.1, Ь, интенсивность постоянна; переменной будет такая на¬
грузка, интенсивность которой изменяется в зависимости от расстоя¬
ния вдоль оси балки.
Балки, изображенные на рис. 4.1, являются статически определи¬
мыми, потому что все реакции их опор можно определить из уравне¬
ний равновесия. Например, в случае свободно опертой балки, не¬
сущей нагрузку Рх (рис. 4.1, а), обе реакции вертикальны и их ве¬
личины можно найти, сложив моменты относительно концов; таким
образом находим
Яа = Рх(1—а)/Ь, Рь = Р1а/1.
Подобным же образом можно найти реакции для балки с высту¬
пающей частью (рис. 4.1, с).
Для консольной балки (рис. 4.1, Ь) действие приложенной на¬
грузки <7 уравновешивается вертикальной силой Ка и моментом Мв,
возникающим в заделке, как показано на рисунке. Складывая силы,
действующие в вертикальном направлении, получаем
Да=<7&,
а суммируя моменты относительно точки А, находим
Ма^ЯЬ{а+Ы2).
Реактивный момент Ма, как показано на рисунке, действует в на¬
правлении против часовой стрелки.
Предыдущие примеры показывают, каким образом при помощи
уравнений равновесия можно найти реакции (силы и моменты) для
4.2.
РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В БАЛКАХ 125
статически определимых балок. Для того чтобы определить реакции
в случае статически неопределимых балок, необходимо рассмотреть
деформации, возникающие при изгибе балок, и поэтому данная тема
будет отложена до гл. 7.
Идеализированные опоры, изображенные на рис. 4.1, на практи¬
ке могут встретиться только случайно. В качестве примера отметим,
что мостовые балки с большими пролетами конструируются с шар¬
нирно закрепленной и подвижной опорами на концах. Однако в бал¬
ках с более короткими пролетами обычно имеет место некоторое
ограничение горизонтального смещения опор. Для большинства
условий это ограничение не влияет на поведение балки и, как будет
показано в разд. 7.8, им можно пренебречь. Однако если балка очень
податлива, а подкрепления ее концов в горизонтальном направлении
являются очень жесткими, то может оказаться необходимым рас¬
смотреть их влияние. Для того чтобы проделать это, нужно раскрыть
статическую неопределимость так, как будет сделано в разд. 7.8.
4.2. РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В БАЛКАХ
Рассмотрим теперь в качестве примера консольную балку, на
свободный конец которой действует наклонная сила Р (рис. 4.2, а).
Если провести в балке поперечное сечение тп и выделить левую ее
часть как незакрепленное тело (рис. 4.2, Ь), то действие отброшен¬
ной (т. е. правой) части балки на левую должно быть таким, чтобы
удерживать последнюю в равновесии. Распределение напряжений
по поперечному сечению тп на этом этапе нашего исследования еще
неизвестно, но мы знаем, что результирующая этих напряжений
должна быть такой, чтобы уравновесить нагрузку Р. Суммарное
действие напряжений удобно представить как совместное действие
осевой (продольной) силы Ы, направленной по нормали к поперечно¬
му сечению и проходящей через его центр тяжести, поперечной силы
О,, лежащей в плоскости поперечного сечения, и изгибающего мо¬
мента М, перпендикулярного плоскости чертежа.
Продольная и поперечная силы, а также изгибающий момент,
действующие на поперечное сечение балки, получаются как резуль¬
тирующие возникающих напряжений. Для статически определимой
балки эти величины можно определить из уравнений равновесия.
Таким образом, для консольной балки, изображенной на рис. 4.2,
можно записать три уравнения равновесия в соответствии с показан¬
ной на рисунке схемой сил, действующих на незакрепленное тело.
Складывая силы в горизонтальном и вертикальном направлениях,
соответственно получаем
126 *■ ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
а из сложения моментов относительно оси, проходящей через центр
тяжести поперечного сечения тп, находим
М = РХ 81П р,
где х — расстояние от свободного конца до сечения тп. Таким обра¬
зом, используя схему сил, действующих на незакрепленное тело и
уравнения равновесия, можно без труда вычислить результирующие
напряжений. Напряжения в балке, обусловленные действием только
т
I
—
М
в-
с
Рис. 4.2. Результирующие напряжений А\ и М.
продольной силы А/’, обсуждались в гл. 1; в следующей главе мы уви¬
дим, как получить напряжения, обусловленные действием изгибаю¬
щего момента М и поперечной силы <?.
Результирующие напряжений Л/', Ф и М будут считаться положи¬
тельными, когда они действуют в направлениях, показанных на
рис. 4.2, Ь. Однако подобное правило знаков пригодно только при
обсуждении равновесия левой части балки. Если рассмотреть правую
ее часть, то найдем, что результирующие напряжений имеют ту же
величину, но противоположное направление (см. рис. 4.2, с). Следо¬
вательно, нам нужно иметь в виду, что знаки величин ф и М не
зависят ни от направлений соответствующих векторов в пространст¬
ве, ни от того, к какой части балки — правой или левой — они от¬
носятся, а определяются их направлением относительно поперечного
сечения, к которому они приложены. Для иллюстрации правила
знаков для N,(2*1 М повторены на рис. 4.3, где показаны результи¬
4.2.
РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ 127
рующие напряжений в элементе балки. Мы видим, что положитель¬
ная продольная сила направлена в сторону от поверхности, на кото¬
рую она действует (растяжение), положительная поперечная сила
направлена по часовой стрелке вдоль поверхности, по которой она
а Ь
Рис. 4.3. Правила знаков для внутренних сил и момента.
действует, а за положительное направление изгибающего момента
принимается такое, которое вызывает сжатие верхних волокон
балки»
Пример /. Свободно опертая балка А В нагружена сосредоточенной силой Р
и моментом М0 (см. рис. 4.4, а). Найдем поперечную силу и изгибающий момент
для поперечного сечения балки, расположенного а) на малом расстоянии слева от
середины пролета, Ь) на малом расстоянии справа от середины пролета.
Р
А 1
Мо
' /Л В
М4,
•\\\\\\>
т 1./2
** * 8
Ь
Рис. 4.4. Пример 1.
Первым шагом при исследовании этой балки является определение реакций Яа
и /?&. Сложив моменты относительно концов Ан В, получим два уравнения равно¬
весия, из которых находим
Ца = ЗР/4- М0//„ Кь «Я/4 + Мо/Ь.
Далее балка разрезается по поперечному сечению, принадлежащему левой поло¬
вине, и строится схема сил, действующих на какую-либо половину балки как на
незакрепленное тело. В данном примере мы выбрали левую половину балки; соот¬
ветствующая схема представлена на рис. 4.4, Ь. На этой схеме показаны сила Р и
реакция #а, а также неизвестные поперечная сила (? и изгибающий момент М (из¬
ображенные в положительных направлениях); момент М0 отсутствует, потому что
©
128 *• ПОИЬРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
балка разрезана слева от точки приложения М0. Сложив силы в вертикальном на¬
правлении, получим
()=-Яа-Р^-Р/4-М0/1,
откуда видно, что поперечная сила отрицательна; следовательно, она имеет направ¬
ление, противоположное показанному на рис. 4.4, Ь. Взяв моменты относительно
оси, проходящей через поперечное сечение, по которому разрезана балка
(рис. 4 4, Ь)> получим
М = Яв*,/2-Р*,/4 = Р1/8—М0/2.
Видно, что в зависимости от относительной величины членов в правой части этого
равенства изгибающий момент М может быть либо положительным, либо отрица¬
тельным.
Для того чтобы найти результирующую напряжений, возникающих в попереч¬
ном сечении, лежащем у самого начала правой части, разрежем балку по этому се¬
чению и опять изобразим схему равновесия сил незакрепленного тела (рис. 4.4, с).
Единственная разница между этой схемой и предыдущей состоит в том, что момент
М0 теперь уже действует на часть балки, лежащую слева от сечения, по которому
разрезана балка. Вновь сложив силы, направленные вертикально, а также взяв
моменты относительно оси, проходящей через сечение, по которому разрезана бал¬
ка, находим
(2 = - Р/4 - М0/1, М = Р1/8 + М0/2.
Из вышеизложенного видно, что при перемещении сечения, по которому разрезана
балка, слева направо относительно сечения, в котором действует момент М0> попе¬
речная сила не изменяется, но изгибающий момент возрастает алгебраически на
величину, равную М0-
Пример 2• На консольную балку, один конец А которой свободен, а другой
конец В заделан, действует распределенная нагрузка меняющейся по линейному
закону интенсивностью ц (см. рис. 4.5, а). Найдем поперечную силу (} и изгибаю¬
щий момент М на расстоянии х от свободного конца.
■^гггГТТГГ
А В
^ л
4
а Ь
Рис. 4.5. Пример 2.
Начнем с того, что разрежем балку на расстоянии х от левого конца и выделим
отрезанную часть в качестве незакрепленного тела (рис. 4.5, Ь). Так же как и в
предыдущем примере, поперечная сила (2 и изгибающий момент М предполагаются
положительными. Как видно, интенсивность распределенной нагрузки равна
=?ох/1, поэтому суммарная направленная вниз нагрузка, приходящаяся на не¬
закрепленное тело (рис. 4.5, Ь), составляет ^0х2/(21). Поэтому из условия равнове¬
сия сил, направленных вертикально, находим, что
(^-</0*7(2 Ц. (а)
Из этой формулы, кроме того, видно, что поперечная сила на свободном конце
А(х— 0) обращается в нуль, а на заделанном конце В(х~С) составляет —д0Ц2.
Для того чтобы найти изгибающий момент, возникающий в балке, составим
уравнение равновесия моментов относительно оси, проходящей через сечение, по
х
1«
4.3.
НАГРУЗКА, ПОПЕРЕЧНАЯ ОИДА Н ИЭГМБАКМЦИ0 МОМЕНТ 129
которому разрезана балка, что дает
М=-д0х*/№. (Ь)
Ч^нова рассматривая оба конца балки, видим, что изгибающий момент равен нулю'
при х=0 и равен -н70^а/6 при х=Ь. Формулы (а) и (Ь) позволяют определить <2
лМ в произвольной точке балки, причем оказывается, чю как поперечная сила,
так и изгибающий момент достигают наибольшего числового значения иа заде¬
ланном конце.
4.3. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАГРУЗКОЙ,
ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ И ИЗГИБАЮЩИМ МОМЕНТОМ
Теперь получим некоторые важные соотношения между попереч¬
ной силой ф, изгибающим моментом М и нагрузками, приложенными
к балке. Рассмотрим элемент балки, ограниченный двумя попереч¬
ными сечениями, расположенными на расстоянии йх друг от друга
(рис. 4.6, а). Если поперечная сила (} и изгибающий момент М, дей-
МЛ
(\
Фс
М+М,
<2+4в
Я+(}1
0+Ю
а Ь с
Рис. 4.6. Малый элемент балки, используёмый при выводе соотношений
нагрузками, поперечной силой и изгибающим моментом.
между
ствуклцие на левую грань элемента, положительны, то они имеют
показанные на рисунке направления. В общем случае поперечная
сила и изгибающий момент меняются в зависимости от расстояния х,
измеренного по оси балки, а отсюда следует, что на правой грани
элемента как поперечная сила, так и изгибающий момент будут
иметь значения, немного отличающиеся от значений на левой грани.
Обозначая приращения величии (} и М через йО, и йМ, видим, что
соответствующие значения на правой грани будут ф+Л? и М+йМ.
На элемент может действовать распределенная нагрузив, сосре¬
доточенная нагрузка или изгибающий момент. Полагая, что нагруз¬
ка распределена и имеет интенсивность ? (рис. 4.6, а), получаем,
что полная нагрузка (которая считается положительной, когда д
направлена вниз) равна цйх. Тогда из равновесия сил в вертикаль¬
ном направлении следует, что
<3—(С-М0—
130 ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
ИЛИ
(4.1)
Таким образом, когда на балку действует распределенная нагрузка
интенсивностью <7, поперечная сила изменяется вдоль балки и «ско¬
рость» ее изменения по х равна —ц. Из этого вывода следует, что ес-*
ли <7=0, то поперечная сила ф постоянна.
Суммируя моменты относительно оси, проходящей через левую
грань элемента, изображенного на рис. 4.6, а, находим
М + цйх (у ) + «Э +<1С})ах—(М+с1М) = 0.
Из этого уравнения, пренебрегая произведениями дифференциалов,
получаем
Это соотношение показывает, что, когда на балку действует распре¬
деленная нагрузка (или нагрузок нет), «скорость» изменения изги¬
бающего момента по длине балки равна взятой с соответствующим
знаком величине поперечной силы.
Теперь предположим, что на элемент балки действует сосредото¬
ченная сила Р (рис. 4.6, Ь). Из условия равновесия сил в вертикаль¬
ном направлении видно, что здесь будет иметь место резкое изме¬
нение (разрыв) поперечных сил, действующих по обеим граням
элемента. Приращение поперечной силы равно силе Р с обрат¬
ным знаком:
т. е. при прохождении через точку приложения нагрузки слева на¬
право поперечная сила скачкообразно меняется на величину, рав¬
ную силе Р.
«Скорость» изменения изгибающего момента, согласно уравнению
(4.2), на левой грани элемента (рис. 4.6, Ь) будет йМ1йх=(1, а на
правой грани йМ/(1х=(}-{-(}1. Следовательно, можно сделать вывод,
что в точке приложения сосредоточенной силы Р «скорость» измене¬
ния изгибающего момента йМ/йх скачкообразно уменьшается на
величину, равную силе Р.
Рассмотрим, наконец, нагрузку в виде сосредоточенного момента
М0 (рис. 4.6, с). Из условия равновесия в вертикальном направлении
получим ^=0, а это указывает, что поперечная сила остается по¬
стоянной при переходе слева направо через сечение, в котором дейст¬
вует момент М0. Запишем уравнение равновесия моментов для эле¬
мента, примыкающего к этому сечению:
(4.2)
<2х=-Р,
(4-3)
м+мо+аах—щ+м^о.
4.4. ЭПЮРЫ -ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ 131
ИЛИ *)
Мх=М„ (4.4)
где М( — приращение изгибающего момента. Это уравнение пока¬
зывает, что при переходе вдоль балки слева направо через попереч¬
ное сечение, в котором приложен сосредоточенный момент М0,
изгибающий момент в балке скачкообразно возрастает на величину,
равную этому сосредоточенному моменту.
Как будет показано в следующем разделе, уравнения (4.1) —
(4.4) используются при полном исследовании изменения поперечной
силы и изгибающего момента в балке.
Пример. Проверим справедливость уравнений (4.1) и (4.2) для консольной
балки с линейно меняющейся нагрузкой (такая балка обсуждалась в примере 2 пре¬
дыдущего раздела; см. рис. 4.5).
Вспомним формулы (а) и (Ь) предыдущего раздела:
0=_М? М = -4-^.
4 21 ’ 61, ’
Взяв производную АСЦдх, получим
*<2 __ Яох
йх Ь
Замечая, что интенсивность нагрузки ф в данном примере равна Яох/Ь, видим, что
уравнение (4.)) удовлетворяется. Взяв также производную йМ/йх, приходим к вы¬
ражению
йМ__ Ярх2
йх~~ 21'
Здесь величина, стоящая в правой части, равна поперечной силе ф; таким образом,
уравнение (4.2) тоже удовлетворяется.
4.4. ЭПЮРЫ ПОПЕРЕЧНЫХ сил
И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
Поперечная сила ф и изгибающий момент М в балке обычно
изменяются в зависимости от расстояния х, определяющего положе¬
ние поперечного сечения, в котором они возникают. При расчете
балки желательно знать величины ф и М во всех поперечных сече¬
ниях балки; удобным источником этих сведений является график,
Показывающий, как меняются ф и М вдоль оси балки. Для построе¬
ния графика в качестве абсциссы возьмем координату, определяю¬
щую положение поперечного сечения, а в качестве ординаты —
Соответствующие величины или поперечной силы, или изгибающего
момента. Такие графики называются эпюрами поперечных сил и
изгибающих моментов.
г) В предыдущем уравнении член О.Лх можно опустить как малую высшего
порядка. — Прим. ред.
132 *■ ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
Для того чтобы показать, как строить эпюры, рассмотрим сво¬
бодно опертую балку АВ, нагруженную сосредоточенной силой Р
(рис. 4.7, а). Реакции в опорах этой балки равны
Яа—РЬ/1, Рь=Ра1Ь.
В произвольном сечении, лежащем слева от точки приложения силы
Р, т. е. при 0<л:<а, из уравнений равновесия можно получить
Из этих выражений видно, что поперечная сила остается постоянной
на участке от опоры А до точки приложения нагрузки, в то время
как изгибающий момент меняется линейно в зависимости от х.
<2=РЬ/Ь, М—РЬх/Ь.
(а)
Р
а
п/1
а
о
-Ра/1.
Ъ
М
С
Рис. 4.7. Эпюры поперечных сил и изги¬
бающих моментов для свободно опертой
балки при действии одной сосредоточен¬
ной силы.
Момент равен нулю при х^-0 и равен РаЬ/Ь при х=а. Соответствую¬
щие участки эпюр поперечных сил и изгибающих моментов представ¬
лены на рис. 4.7, Ь и 4.7, с.
4.4. ЭПЮРЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ (33
Для поперечного сечения, лежащего справа от нагрузки Р, т. е.
при а<*<Х, имеем
(}=РЬ/Ь—Р=—Ра/1,, - (Ь)
М=РЬх/Ь—Р (х—а)—Ра (1—х/Ь). (с)
Мы снова видим, что поперечная сила постоянна, а изгибающий
момент является линейной функцией от х. Изгибающий момент ра¬
вен РаЬ/Ь при х=а и равен нулю при х—Ь.
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для всей балки
построены на рис. 4.7, Ь и 4.7, с. Можно видеть, что тангенс угла на¬
клона йМ/ёх эпюры изгибающих моментов, согласно уравнению
(4.2), равен (}, а тангенс угла наклона эпюры поперечных сил йСЦйх,
согласно уравнению (4.1), равен —ц (т. е. равен нулю). В точке
приложения силы Р эпюра поперечных сил изменяется скачкообраз¬
но (на величину Р) и соответственно изменяется тангенс угла накло¬
на эпюры изгибающих моментов.
При выводе выражений (Ь) и (с) для поперечной силы и изгибаю¬
щего момента, возникающих справа от точки приложения нагрузки
Р, рассматривалось равновесие левой части балки, на которую дей¬
ствуют две силы: и Р. В данном примере проще было бы рассмот¬
реть правую часть балки, где действует только реакция опоры Яь,
равная Ра/1. Следуя этой процедуре, сразу получаем выражения
<3=—Ра/Ь, М=(РаЩ (Ь—х),
совпадающие с полученными ранее выражениями (Ъ) и (с).
Интересно отметить, что два прямоугольника, из которых состоит эпюра по¬
перечных сил в предыдущем примере, имеют равные площади. Этот результат не
случаен, так как интегрирование уравнения (4.2) дает
в в
$<Ш=5<*Жг (<1)
(пределы интегрирования Л и В означают, что интегрирование проводится по
всей длине балки от конца А до конца В). Правая часть этого соотношения пред-
ОДвляет собой полную площадь эпюры поперечных сил, а левая дает разницу М&—
Ма изгибающих моментов, возникающих на концах В и Л. В случае свободно
опертой балки моменты на ее концах равны нулю, следовательно, интеграл в левой
части соотношения (й) также равен нулю. Таким образом, можно сделать вывод,
ч(о в данном примере полная площадь эпюры поперечных сил должна быть равна
нулю.
Соотношением (й) следует пользоваться с осторожностью в том случае, когда
балка нагружена сосредоточенным моментом, так как при этом функция изгибаю¬
щего момента имеет разрыв и стоящее справа выражение нельзя проинтегрировать
яэ-эа разрыва. Вместо этого можно вычислить интеграл для участка балки, распор
ложенного слева от поперечного сечеНня, к которому приложен сосредоточенный
момент, затем для участка, расположенного справа от этою сечения, и, наконец,
сложить полученные результаты, что и даст окончательное значение интеграла.
134 4. ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
Если на свободно опертую балку действует несколько сосредото¬
ченных сил (рис. 4.8, а), то выражения для поперечной силы ^
и изгибающего момента М надо записывать отдельно для каждого
<*з
^3 1
р.. 1
а2 ^
А
и*-,
гг 1
- г
в
\\\\\^
Яа\
ЬГ* . 1
. .
и
а
Я*
Я
О
М
О
О
Рис. 4.8. Эпюры поперечных сил и изги¬
бающих моментов для свободно опертой
балки при действии нескольких сосредо¬
точенных сил.
из участков балки, лежащих между точками приложения сил. Вновь
отсчитывая х от левого конца балки, для первого участка балки
(0<л:<а1) запишем
<2=Яа, М=Я0х. (е)
Для второго участка получим
()-Ка-Ри М=Ках-~Рх(х-а,). (Г)
Для третьего участка балки (а2<Ск<й,1) вместо левой удобнее рас¬
смотреть правую часть. В этом случае имеем
4.4.
ЭПЮРЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ 135
И М=р>ь(1-х)-Р3(Ь-Ь3-х). (Ь)
И, наконец, для последнего участка балки справедливы следующие
соотношения:
<2=-Яь, М=Кь(Ь-х). (О
Из выражений (е) — (1) видно, что в пределах каждого участка по¬
перечная сила остается постоянной; поэтому эпюра поперечных сил
имеет вид, показанный на рис. 4.8, Ь. Изгибающий момент в преде¬
лах каждого участка балки является линейной функцией от х, по¬
этому соответствующая эпюра представляет собой наклонную пря¬
мую. Для того чтобы было удобнее начертить эти прямые, найдем
значения изгибающих моментов в тех поперечных сечениях, где
приложены сосредоточенные силы, подставив х=аи х=ал и х=ай
соответственно в выражения (е), (!) и (1). Таким путем мы получим
следующие величины изгибающих моментов:
Л!1 = /?ва, Мл = Раа3—Р1(ал—а1), М8 = /?6&в.
Используя эти значения, легко построить эпюру изгибающих мо¬
ментов (рис. 4.8, с). Следует отметить, что каждому разрыву эпюры
поперечных сил соответствует изменение тангенса угла наклона
<Ш/йк эпюры изгибающих моментов.
При расчете балок обычно важно определить те поперечные се¬
чения, в которых изгибающий момент имеет максимальное или ми¬
нимальное значение. Для балки, нагруженной сосредоточенными
силами подобно рассмотренной в предыдущем примере, максималь¬
ный изгибающий момент будет всегда возникать в том поперечном
сечении, где приложена одна из сосредоточенных сил. В силу урав¬
нения (4.2), тангенс угла наклона эпюры изгибающего момента в
каждой точке равен поперечной силе. Следовательно, изгибающий
момент имеет максимальное или минимальное значение в тех по¬
перечных сечениях, где поперечная сила меняет знак.
Если при следовании вдоль оси х поперечная сила из поло¬
жительной превращается в отрицательную (как, например, на
рис. 4.8, Ь), то тангенс угла наклона эпюры изгибающих моментов
также из положительного превращается в отрицательный. Следова¬
тельно, в этом поперечном сечении изгибающий момент имеет макси¬
мум. Наоборот, превращение отрицательной поперечной силы в по¬
ложительную означает наличие минимума изгибающего момента.
В общем случае эпюра поперечных сил может пересекать гори¬
зонтальную ось в нескольких местах, и каждой такой точке пересе¬
чения на эпюре изгибающих моментов будет соответствовать макси¬
мум или минимум. Для того чтобы найти наибольшее по абсолютной
величине значение изгибающего момента в балке, необходимо ис¬
следовать все эти максимумы или минимумы.
136 *• ПОПЕРЕЧНАЯ СИДА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
Рассмотрим теперь свободно опертую балку с равномерно рас.
пределенной нагрузкой (рис. 4.9, а). В этом случае каждая из реак¬
ций равна <7^/2; поэтому в поперечном сечении, лежащем на расстоя¬
нии х от левого конца А, имеем
(1=дШ—дх, М = (дШ) х— дха/2. 0)
Из первого соотношения видно, что эпюра поперечных сил пред¬
ставляет собой наклонную прямую, ординаты которой при х~0
14 ♦♦♦♦♦♦♦♦
, ж
С
Рис. 4.9. Эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов для свобод¬
но опертой балки с равномерно рас¬
пределенной нагрузкой.
и равны соответственно цЦ2 и —цЦ2 (рис. 4.9, Ь). При
этом эпюра изгибающих моментов является параболой, симмет¬
ричной относительно середины балки (рис. 4.9, с). Изгибающие
моменты на концах равны нулю, а максимальное значение дости¬
гается б середине пролета, где поперечная сила меняет знак.
Это максимальное значение получается подстановкой дг=1/2 в
выражение ф, что дает Мтах—^а/8.
Пример /. Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для
свободно опертой балки с равномерно распределенной нагрузкой интенсив*
ностью д, действующей на части пролета (4.10, а).
Начнем с определения реакций
4.4.
ЭПЮРЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ 137
(с+т) • (а+т) •
(Ю
Для того чтобы найти поперечные силы и изгибающие моменты, нужно отдельно
рассмотреть три участка балки. Для иенагружеиной части, примыкающей к левому
концу балки (0<х<а), имеем
(О
$ Л! —
Для поперечного сечения, расположенного на нагруженном участке балки, попе*
речная сила находится вычитанием из реакции Ка нагрузки ?(*—а), действующей
на балку слева от рассматриваемого поперечного сечения. Изгибающий момент на
шп
&■
•}>4
Рис. 4.10. Пример 1.
том же участке получается вычитанием момента, обусловленного нагрузкой, при¬
ложенной слева от поперечного сечения, из момента реакции /?в. Таким путем на¬
ходим
<1 = Ка—Я(х—а)> (т)
М~Нах—Я (х—а) (х—а)/2. (п)
Для ненагруженного участка балки, прилегающего к ее правому концу, получим
<2 М = Кь(1—х). (о)
Используя соотношения (1) — (о), можно без труда построить эпюры поперечных
сил и изгибающих моментов. Эпюра поперечных сил (рис. 4.10, Ь) состоит из двух
горизонтальных прямых, соответствующих ненагруженным участкам балки, и
138 4. ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
наклонной прямой для участка с равномерно распределенной нагрузкой. Эпюра
изгибающих моментов (рис. 4.10, с) состоит из двух наклонных прямых, соответст¬
вующих ненагруженным участкам балки, и параболы для нагруженного участка.
Наклонные прямые являются касательными к параболе в общих точках. Это сле¬
дует из отсутствия скачкообразного изменения величины поперечной силы в этих
точках, в силу чего (согласно уравнению (4.2)) не может быть скачкообразного
изменения тангенса угла наклона касательной к эпюре изгибающих моментов.
Максимум изгибающего момента находится в точке, где поперечная сила меняет
знак; его величину можно найти подстановкой соответствующего значения х в со¬
отношение (п).
Пример 2. Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для
консольной балки, изображенной на рис. 4.11, а.
1 ' 1
в
—-
-г Ь ^
1
а
1 ^
а
-Рх1.-РгЬ
с
Рис. 4.11. Пример 2.
Вновь отсчитывая х от левого конца балки и рассматривая участок 0
получаем
М—Ргх.
Для правого участка балки (а<х<Ц имеем
(? =—Р\ —Рг, М = — Рхх-Рг (х—а).
ЗАДАЧИ 139
Соответствующие эпюры поперечных сил и изгибающих моментов показаны на
рис. 4.11, Ь и 4.11, с. Эпюра изгибающих моментов состоит из двух наклонных пря¬
мых, тангенсы углов наклона которых равны поперечным силам на соответствую¬
щих участках консольной балки. Суммарная площадь эпюры поперечны^ сил рав¬
на не нулю, а —РХЬ—Р2Ь, т. е. величине изгибающего момента на конце В балки.
При действии на балку нескольких нагрузок поперечные силы и изгибающие
моменты могут быть найдены суммированием тех значений, которые получаются
при действии каждой нагрузки по отдельности. Так, из предыдущего примера вид¬
но, что эпюра поперечных сил (рис. 4.11, Ь) получается наложением эпюр, постро¬
енных для случая действия каждой из сил Рх и Ра по отдельности. Аналогичное
утверждение справедливо и для эпюры изгибающих моментов (рис. 4.11, с),
ЗАДАЧИ
4.2.1. Определить поперечную силу ф и изгибающий момент М в середине
пролета свободно опертой балки, изображенной на рис. 4.1, а, если Рг=4т, ^=
=6 м, а=1,8 м. Найти также максимальные значения поперечной силы и изгибаю¬
щего момента.
4.2.2. Получить выражения поперечной силы и изгибающего момента М
для поперечного сечения, отстоящего на расстояние а от левого конца балки, изо¬
браженной на рис. 4.1, Ь.
4.2.3. Найти поперечную силу (I и изгибающий момент М в середине пролета
свободно опертой балки, изображенной на рис. 4.8, а, если а1=6я== 1,2 м, 1=
==4,2 м, Рх~500 кГ, Р2=0 и Р3= 1000 кГ.
4.2.4. Найти поперечную силу ф и изгибающий момент М для поперечного се¬
чения, отстоящего на 3 м от левого конца балки, изображенной на рисунке.
7,5 н Г/см
7,5 кГ/см
I н И
И
1 3 м э
*5«
К задаче 4.2.4.
4.2.5. Определить поперечную силу С? и изгибающий момент М для попереч¬
ного сечения, отстоящего на 1,8 м от левой опоры балки, изображенной на рисунке,
если М0=1,5 т-м, Р=4 т, а=2,4 и 6=1,5 м
Р
М0
АГ
г в
ШШ1
с о
ШИН:
а
. * »
< -5*
а
< >
К задаче 4.2.5.
К задаче 4.2.6.
4.2.6. На балку АВСй действуют равномерно распределенные нагрузки ин¬
тенсивностью 01 и 02 (см. рисунок). Найти поперечную силу и изгибающий мо¬
мент М в точке В ив середине пролета балки. Принять а = 1,2 м, 6=2,4 м и ах=
=45 кГ/см.
140 ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
4.2.7. Определить максимальный по абсолютной величине изгибающий мо¬
мент в балке АВС, нагруженной так, как показано на рисунке.
4.2.8. На изображенную на рисунке балку АВСй с выступающими концами
действует распределенная нагрузка, меняющаяся по линейному закону. При ка¬
ком отношении аЦ поперечная сила 0 в середине пролета балки будет всегда равна
нулю?
4.2.9. На криволинейный стержень АВС действует нагрузка в виде двух рав¬
ных и противоположно направленных сил Р, как показано на рисунке. Ось балки
образует полуокружность радиусом г. Определить нормальную N и поперечную <2
силы, а также изгибающий момент М для поперечного сечения, определяемого уг¬
лом 0 (см. рисунок).
4.2.10. Рычаг с укрепленными на его концах грузами (см. рисунок) вращается
с угловым ускорением а в горизонтальной плоскости относительно вертикальной
оси г. Погонный вес рычага равен о/, вес каждого груза №=2о//,. Получить выра¬
жение для максимальных значений поперечной силы и изгибающего момента, по¬
ложив Ь=Ц 10 и с=1/15.
При отсутствии прочих указаний в задачах, относящихся к разд. 4.4, тре¬
буется построить в масштабе эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, а
ЗАДАЧИ 141
также определить координаты поперечных сечений с максимальными и минималь¬
ными значениями поперечных сил и изгибающих моментов и сами эти значения и
нанести их на эпюры.
4.4.1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для консоль¬
ной балки с равномерно распределенной нагрузкой (см. рисунок).
4.4.2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для свободно
опертой балки, изображенной на рис. 4.8, а, если а1=63=а, Ря=0 и Р1=Р3=Р.
4.4.3. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для свобод¬
но опертой балки, нагруженной так, как показано на рисунке.
4.4.4. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для свободно
опертой балки, показанной на рис. 4.4, а, если М0==Р1/2.
4.4.5. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для консоль*
иой балки с распределенной нагрузкой, изменяющейся по линейному закону (см.
рис. 4.5, а).
4.4.6. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки с
выступающей частью (см. рисунок к задаче 4.2.4).
4.4.7. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки с
выступающей частью (см. рисунок к задаче 4.2.5), если М0~ \,6 т*м, Р= 4 т, в=*
=2,4 м и 6=1,5 м.
4.4.8. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки,
рассмотренной в задаче 4.2.8, положив а=^/4.
4.4.9. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изобра¬
женной на рисунке балки.
4.4.10. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изобра¬
женной на рисунке балки.
4.4.11. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изоб¬
раженной на рисунке балки.
К задаче 4.4.1.
К задаче 4.4.3.
500 кГ
К задаче 4.4.9.
К задаче 4.4.10.
142 4- ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
4.4.12. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изобра¬
женной на рисунке балки.
4.4.13. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изобра¬
женной на рисунке балки.
4.4.14. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изобра¬
женной на рисунке балки.
4.4.15. На балку с двумя выступающими частями равной длины действует
равномерно распределенная нагрузка. Общая длина балки равна I. Найти такое
500 КГ
г
в
б кг/ш
\ ъ 1 + * V
и
и
1 с 1*8 М о
с п
К задаче 4.4.13.
расстояние а между опорами, чтобы изгибающий момент в середине пролета балки
был равен по абсолютной величине изгибающим моментам в поперечных сечениях,
расположенных над опорами. Для этого случая построить эпюры поперечных
сил и изгибающих моментов.
500
4.4.16. На рисунке представлена эпюра (в кГ) поперечных сил для свободно
опертой балки. Определить нагрузки, действующие на балку, и построить эпюру
изгибающих моментов.
ЗАДАЧИ 143
4.4.17. На рисунке представлена эпюра (в кГ) поперечных сил для балки. Чег
му равны максимальные положительный и отрицательный изгибающие моменты
в балке? (Принять изгибающий момент на левом конце балки равным нулю.)
«-224
К задаче 4.4.17.
4.4.18. На балку АВ (см. рисунок) длиной действуют *илы Р и 2Р, точки
приложения которых показаны на рисунке. Балка опирается на основание, соз¬
дающее непрерывно распределенную реакцию. Предполагая, что интенсивность
распределенной реакции меняется по линейному закону от конца А до конца В бал¬
ки, определить интенсивности да и ць реакции на концах Л и В балки. Определить
также величину максимального изгибающего момента в балке и координату по¬
перечного сечения, в котором он возникает.
К задаче 4.4.19.
4.4.19. Свободно опертая балка нагружена п равностоящими сосредоточен¬
ными силами (см. рисунок)- Суммарная величина приложенной нагрузки равна Р,
так что каждая сила равна Р/п. Длина балки равна I, расстояние между силами
составляет Ц(п+\), а) Вывести общую формулу для максимального изгибающего
момента в балке. Ь) По этой формуле определить значения максимального изги¬
144 4. ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
бающего момента для нескольких последовательных значений п (л= 1, 2, 3, 4, ...).
с) Сравнить полученные результаты со значением максимального изгибающего мо¬
мента, возникающего при действии равномерно распределенной нагрузки интенсив¬
ностью 0, такой, что
4.4.20. Три нагруженных колеса перемещаются по свободно опертой балке,
как показано на рисунке. Определить такое положение колес (т. е. координату х)9
при кагором в балке возникает максимальный изгибающий момент, предположив,
что Ц71==2 т и ^2= т. Вычислить также величину максимального изгибаю¬
щего момента
х
к
24 м
К задаче 4.4.20.
НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
5.1. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
В качестве введения к исследованию напряжений в балках рас¬
смотрим балку, нагруженную двумя силами Р (рис. 5.1, а). На
центральном участке этой балки поперечная сила равна нулю, а
Р Р
Ра
с
Рис. 6.1. Балка, центральный участок
которой находится в состоянии чистого
изгиба.
изгибающий момент имеет постоянную величину Ра (рис. 5.1, а и
5,1, с). Такое состояние, при котором изгибающий момент постоя¬
нен, называется чистым изгибом.
146 *• НАПРЯЖЕНИЯ В ВАЛКАХ
Для того чтобы найти распределение напряжений, возникающих
при чистом изгибе, следует рассмотреть деформацию балки. Пред¬
положим, что плоскость ху (рис. 5.1, а) является плоскостью сим¬
метрии балки и что нагрузки приложены в этой же плоскости; тогда
М
Рис. 6.2. Деформации балки при чистом изгибе.
перемещения при изгибе также будут происходить в этой плоскости.
Под действием изгибающих моментов М ось балки изогнется в дугу
окружности (см. рис. 5.2, а), а поперечные сечения, например тп
и рд, останутся плоскими и нормальными к продольным волокнам
балки. То, что поперечные сечения балки при чистом изгибе остают¬
ся плоскими, можно установить или экспериментально с помощью
тщательных измерений деформаций, или чисто теоретически. В по¬
следнем случае необходимо только учесть, что в силу симметрии
нагружения все элементы балки должны деформироваться одинако¬
во, а это возможно только тогда, когда поперечные сечения остаются
плоскими. Данное утверждение справедливо независимо от того,
является ли материал балки линейно упругим (см. [5.11).
В результате деформаций, возникающих при изгибе и показан¬
ных на рис. 5.2, а, поперечные сечения тп и рд повернутся относи¬
тельно друг друга вокруг осей, перпендикулярных плоскости ху\
при этом продольные волокна на внешней стороне балки удлинятся,
а на внутренней укоротятся. Таким образом, волокна в верхней
части балки сжимаются, а в нижней растягиваются. Где-то между
верхней и нижней поверхностями балки должна существовать по¬
верхность, на которой продольные волокна не меняют своей длины.
Эта поверхность, изображенная на рис. 5.2, а штриховой кривой 55,
называется нейтральной поверхностью балки. Линия пересечения
нейтральной поверхности с плоскостью какого-либо поперечного
сечения называется нейтральной осью этого поперечного сечения;
например, ось г является нейтральной осью поперечного сечения,
5.1.
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ 147
изображенного на рис. 5.2, Ь. После деформирования плоскости
двух смежных поперечных сечений тп и рд (рис. 5.2, а) пересекутся в
точке О, которая является центром кривизны продольной оси балки.
Угол между этими плоскостями обозначается через й$, а радиус
кривизны — через р. Из рисунка видно, что
I <16 /е 1 \
— Р=Е. (5.1)
где х — кривизна, равная величине, обратной радиусу кривизны, а
йх — длина элемента, расположенного между двумя смежными
поперечными сечениями тп и рд х).
Удлинение типичного продольного волокна аЬ, лежащего на рас¬
стоянии у от нейтральной поверхности (рис. 5.2, а), можно найти
следующим образом. Полная длина волокна равна (р+у)йО, или
(1+у/р)йх. Поскольку первоначальная длина волокна была йх, его
удлинение составляет уйх/р, а соответствующая деформация запи¬
шется в виде
(5-2)
Это выражение показывает, что продольные деформации ех прямо
пропорциональны кривизне и расстоянию у от нейтральной поверх¬
ности. Когда волокно расположено ниже нейтральной поверхно¬
сти, величины расстояния у и деформации считаются положитель¬
ными (деформация растяжения). Когда волокно расположено выше
нейтральной поверхности, и у, и гх будут отрицательными, что ука¬
зывает на сжатие материала. Выражение (5.2) было получено на
основании чисто геометрических соображений и поэтому не зависит
от свойств материала. Таким образом, это выражение справедливо
для любого вида диаграммы зависимости напряжения от деформа¬
ции материала балки.
Эксперименты с балками показывают, что осевым деформациям в волокнах
так же, как и в случае простого растяжения или сжатия (см. разд. 1.4), сопутству¬
ют деформации в поперечном направлении. Растяжение продольных волокон, ле¬
жащих ниже нейтральной поверхности, сопровождается сжатием в поперечном на¬
правлении; сжатие продольных волокон, лежащих выше нейтральной, поверхно¬
сти, сопровождается растяжением в поперечном направлении. Из-за того что имеют
место такие деформации, форма поперечного сечения изменяется, как это показано
на рис. 5.2, Ь для частного случая поперечного сечения прямоугольной формы. Сто¬
роны прямоугольника перестают быть параллельными, а деформации в поперечном
направлении будут равны
= — уху, (5.3)
где V — коэффициент Пуассона. Вследствие такого искажения формы все прямые
линии в поперечном сечении, первоначально параллельные оси г, искривляются
3) В данной главе рассматривается только абсолютная величина кривизны и.
Ниже (разд. 6.1) будет введено соответствующее правило знаков для кривизны.
148 б. НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
так, что остаются нормальными к сторонам сечения. Их радиус кривизны р* будет
больше р во столько же раз, во сколько деформация гх больше, чем ег (см. выраже¬
ние (5.3)); поэтому
= = (5.4)
где хх= 1/р! — кривизна в' плоскости уг.
Для балки, изготовленной из упругого материала с линейной диа¬
граммой зависимости напряжения от деформации (материал Гука),
имеем а—Ег\ следовательно, нормальные напряжения в балке будут
ах=хЕу (5.5)
(см. формулу (5.2)). Как видно из этого выражения, напряжения
линейно меняются в зависимости от расстояния у до нейтральной
Рис. 5.3. Распределение напряжений в балке.
оси, что изображено на рис. 5.3, а. Ниже нейтральной оси имеют ме¬
сто растягивающие напряжения, выше — сжимающие. Суммарное
действие этих напряжений должно быть равно действию изгибающе¬
го момента М, возникающего в поперечном сечении.
Пусть АР — малый элемент площади поперечного сечения, рас¬
положенный на расстоянии у от нейтральной оси (рис. 5.3, Ь). Тогда
элементарная сила, действующая на эту площадь, равна а^Р.
Так как в поперечном сечении отсутствует равнодействующая нор¬
мальная сила, интеграл от выражения а^Р, взятый по всей площади
поперечного сечения, должен быть равен нулю, откуда имеем
$охйР=1хЕу<1Р=0.
Поскольку кривизна х и модуль упругости Е постоянны, из послед¬
него соотношения следует, что для балки при чистом изгибе
5*^ = 0. (5.6)
Эго соотношение показывает, что статический момент площади
поперечного сечения относительно нейтральной оси, т. е. оси г, ра¬
5.1.
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ 149
вен нулю. Отсюда видно, что нейтральная ось проходит через центр
тяжести поперечного сечения. Это свойство может быть использова¬
но для нахождения положения нейтральной оси балки с произволь¬
ным поперечным сечением при условии, что ось у должна быть, как
уже было объяснено выше, осью симметрии. Поскольку ось у яв¬
ляется осью симметрии, она тоже должна проходить через центр тя¬
жести поперечного сечения; таким образом, начало системы коорди¬
нат уг (см. рис. 5.3, Ь) совпадает с центром тяжести. Более того, обе
оси являются главными осями поперечного сечения (относительно
главных осей сечения см. приложение А).
Момент, создаваемый элементарной силой ахс1Р относительно ней¬
тральной оси, равен ахуйР. Сумма всех таких элементарных момен¬
тов по полной площади поперечного сечения должна быть равна
изгибающему моменту М, т. е.
представляет собой момент инерции площади поперечного сечения
относительно оси г, т. е. относительно нейтральной оси. Соотноше¬
ние (5.7) можно переписать в следующем виде:
откуда следует, что кривизна продольной оси балки прямо пропор¬
циональна изгибающему моменту М и обратно пропорциональна
величине Е1, которая называется жесткостью балки при изгибе.
Объединяя соотношения (5.7) и (5.9), получаем следующее вы¬
ражение для нормальных напряжений в балке:
В этом выражении изгибающий момент М положителен, когда он
производит сжатие верхних волокон балки, а координата у положи¬
тельна при направлении вниз (см. рис. 5.3).
Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения воз¬
никают в наиболее удаленных от нейтральной оси балки точках.
Обозначая расстояние от нейтральной оси до самых крайних растя¬
гиваемых и сжимаемых волокон соответственно через сх и с,
(см, рис. 5.3,6) и полагая, что изгибающий момент М положителен,
из выражения (5.10) получаем
(5.7)
здесь величина
(5.8)
150 *• НАПРЯЖЕНИЯ в БАЛКАХ
где И71==//сх и №*=//с2 — моменты сопротивления изгибу попереч¬
ного сечения. Если поперечное сечение симметрично относительно
оси г, то сх—сг=с и максимальные растягивающие и сжимающие
напряжения равны по абсолютной величине:
. . , . Мс М_,
\ах)тах (ст*.)т1п / ^ *
здесь момент сопротивления изгибу имеет вид
(5.12)
(5.13)
Для балки прямоугольного поперечного сечения шириной Ь
и высотой Л (см. рис. 5.4, а) моменты инерции и сопротивления
изгибу составляют
(5.14)
, ьн.3
12 '
V/ 6 .
Соответственно для сплошного кругового поперечного сечения диа¬
метром й (рис. 5.4, Ь) имеем
(5.15)
/-2* \г = —
/ 64 ’ 32
Характеристики балок с поперечными сечениями иной формы, та¬
ких, как балки с широкими полками, двутавры и швеллеры, приво¬
дятся в виде таблиц в различных справочниках. Краткие таблицы
Рис. 5.4.
таких данных приведены в приложении В с тем, чтобы их можно было
использовать при решении задач из данной книги.
Предыдущее исследовайие нормальных напряжений в балках
основывается на рассмотрении чистого изгиба; это означает, что в
поперечном сечении отсутствует поперечная сила. Деформация,
обусловленная касательными напряжениями, состоит в искажении
поперечного сечения, так что сечение, плоское до изгиба, уже не
остается плоским после изгиба. Это искажение усложняет общую
картину, но более тщательные исследования показывают, что нали¬
чие касательных напряжений и сопутствующих им искажений лишь
незначительно меняет нормальные напряжения, найденные по фор¬
муле (5.10) для чистого изгиба 15.2]. Таким образом, при вычислении
5.1.
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ 151
нормальных напряжений вполне приемлемо использовать теорию
чистого изгиба даже в случае неравномерного изгиба. Определение
касательных напряжений будет рассмотрено в разд. 5.3 /).
Пример /. Балка А В с выступающими частями нагружена и закреплена
так, как показано на рис. 5.5. Определим максимальное нормальное напряжение
в балке и прогиб 6 в центре, предполагая, что балка имеет круговое поперечное се¬
чение с диаметром 4=25 см и что а= 34 см, 1—1,5 м, Р=11,8 т, 2:=2,1* 10е кГ/см2.
а \ 1/2 ^ Ш / I я
Рис. 5.5. Пример 1.
Часть балки, расположенная между опорами, находится в состоянии чистого
изгиба с изгибающим моментом
М =Ра=4,02 т*м.
Момент сопротивления изгибу поперечного сечения равен №=яс(3/32=1535 см8;
следовательно, максимальное нормальное напряжение, согласно формуле (5.12),
будет
М 402*103
Отах=-^-=^^-=262 кГ/см2.
Из соотношения (5.9) получим радиус кривизны р круговой дуги СО (см. рис. 5.5):
Е1 2,1 • 10е* 19,15-103
: 10® см
М 402-Ю3
(здесь /=ясР/64= 19,15* 103 см4). Из рис. 5.5 видим, что прогиб 6 равен
6 = р (1 — соз 0),
(а)
где 0 — малый угол, составляющий Ы(2р), или 0,00075 рад. Для малых углов спра¬
ведливо соотношение соз 0« 1—0а/2; тогда из выражения (а) получаем
6=-^=^=0,0281 см.
2 8р
Пример 2. Балка АВС, изображенная на рис. 5.6, а, изготовлена из швел¬
лера, поперечное сечение которого ориентировано так, как показано на рис. 5.6, Ь.
Швеллерная балка имеет профиль № 30, характеристики которого приведены в
*) Относительно исторического развития элементарной теории балки, включая
вклад, сделанный Галилео Галилеем, Б. Мариоттом, Яковом Бернулли, Леонар¬
дом Эйлером, П. Жираром, А. Параном, Ш. О. Кулоном, Б. Сен-Венаном и др.,
см. [5.3].
152 *» НАПРЯЖЕНИЯ В ВАЛКАХ
табл. 3 приложения В. Вычислим максимальные растягивающее и сжимающее
напряжения в балке.
Эпюра изгибающих моментов для этой балки построена на рис. 5.6, с; из этой
эпюры видно, что максимальные положительный и отрицательный моменты равны
соответственно 18 400 кГ* см и —33 750 кГ*см. Момент сопротивления можно взять
3 нГУсм
а
33750
С
Рис. 5.6. Пример 2.
Значения изгибающих моментов на эпю¬
ре указаны в кГ*см.
из таблицы, приведенной в приложении. Соответственно для верхнего и нижнего
волокон балки моменты сопротивления изгибу равны
^=-§Г=130см3-
Теперь для подсчета напряжений можно использовать выражение о=Л!/№. В се¬
чении с максимальным положительным моментом наибольшими растягивающим и
сжимающим напряжениями соответственно будут
ор=^0?=42О кГ/см*, ас=-1у|р=- 140 кГ/см*.
Аналогично в сечении с максимальным отрицательным моментом имеем
°р~^Ш"=260 КГ/СМ*’ а°=-Щ?=-77° кГ/см».
Сравнивая друг с другом четыре вычисленных выше напряжения, видим, что мак*
симальное растягивающее напряжение в балке равно 420 кГ/см*, а максимальное
сжимающее напряжение составляет —770 кГ/см8.
52.
РАСЧЕТ ВАЛОК 153
5.2. РАСЧЕТ БАЛОК
Выбор поперечного сечения балки зависит от используемого ма¬
териала, типа конструкции, характера нагрузки и многих других
факторов. Для такого расчета, где предусматривается только изгиб,
момент сопротивления изгибу площади поперечного сечения можно
найти по формуле
№ = (5.16)
где Од — допускаемое нормальное напряжение, а Мтах — макси¬
мальный изгибающий момент. Если значение ая одинаково для рас¬
тяжения и для сжатия, то представляется логичным выбрать такие
формы поперечных сечений, которые обладают двойной симметрией
и центр тяжести которых лежит на середине высоты балки. Если до¬
пускаемые напряжения для растяжения и для сжатия различны, то
желательно использовать такое поперечное сечение несимметричной
формы, чтобы отношение расстояний до крайнего растягиваемого и
крайнего сжимаемого волокон равнялось отношению соответствую¬
щих допускаемых напряжений. При выборе поперечного сечения
балки обычно не только учитывают нужный момент сопротивления,
но одновременно стремятся уменьшить площадь поперечного сече¬
ния, тем самым уменьшая вес самой балки.
При расчете стальных или алюминиевых балок обычно пользуют¬
ся справочниками, где приведены характеристики и размеры стан¬
дартных конструкционных профилей (например, [5.4, 5.5]). Однако,
для того чтобы избавить читателя от необходимости обращения к
справочникам, в приложении В даны краткие таблицы с некоторыми
данными о характеристиках стального фасонного проката, которые
можно использовать при решении задач. Фасонный прокат обозна¬
чается соответствующей маркировкой, например швеллер № 10, и в
соответствии с этой маркировкой в справочнике, содержащем опи¬
сание сортамента прокатной стали, указывается его номинальная
высота (100 мм), вес погонного метра (8,59 кГ) и остальные необходи¬
мые данные. Аналогичная маркировка используется для двутавро¬
вых и уголковых профилей.
Для сопоставления различных форм поперечных сечений рас¬
смотрим сначала прямоугольное сечение шириной Ь и высотой Н
(см. рис. 5.4, а). Момент сопротивления изгибу равен
№=**1 = ™ = 0,167/?й, (а)
где Р — площадь поперечного сечения. Как видно, прямоугольное
поперечное сечение данной площади становится все более и более
экономичным с увеличением высоты А. Однако для такого увеличе¬
ния существует предел, связанный с тем, что балка становится
164 5. НАПРЯЖЕНИЯ в БАЛКАХ
неустойчивой в боковом направлении, если сечение оказывается
слишком узким. Разрушение балки с очень узким прямоугольным
сечением может быть вызвано потерей устойчивости плоской формы
изгиба (или боковым выпучиванием), а не недостаточной прочностью
материала *).
Для кругового поперечного сечения диаметром й (рис. 5.4, Ь)
имеем
(Ь)
Если круговое и квадратное поперечные сечения_ имеют одинаковые
площади, то сторона Н квадрата будет равна ^|/л/2; при этом выра¬
жение (а) принимает вид
№=0,148 Рй.
Сравнение этого выражения с (Ь) показывает, что квадратное попе¬
речное сечение более экономично, чем круговое.
Рассмотрение распределения напряжения по высоте поперечного
сечения (рис. 5.3, а) приводит к выводу, что для получения эконо-
Р/2
швгшва-
Л/2
л/г
Рис. 5.7.
мичной конструкции материал балки следует распределить как мож¬
но дальше от нейтральной оси. Для поперечного сечения площадью
Р и высотой к лучше всего было бы поместить каждую половину
площади на расстоянии Л/2 от нейтральной оси, как показано на
рис. 5.7, а. Тогда получим
/ = 2(т)(т )2=4г’ ^ = 0.5 РЬ. (с)
К этому идеальному предельному случаю можно до некоторой степе¬
ни приблизиться на практике, используя сечение с широкими пол¬
ками или двутавровое сечение, где большая часть материала разме¬
щается в полках (рис. 5.7, Ъ). Но, поскольку часть материала долж¬
на находиться в стенке балки, предельное условие (с) никогда не
может быть реализовано. Для стандартных двутавровых сечений
1) Относительно потери устойчивости плоской формы изгиба см. [5.6].
5.2.
РАСЧЕТ БАЛОК 155
приближенно имеем
Г«0,35 РН. (й)
Сопоставление выражений (с!) и (а) показывает, что двутавровый
профиль значительно экономичнее прямоугольного сечения с таки¬
ми же площадью и высотой. Кроме того, двутавровая балка, имея
большую ширину, всегда будет устойчивее по отношению к боковому
выпучиванию, чем балка прямоугольного поперечного сечения с
такой же высотой и таким же моментом сопротивления изгибу. Это
краткое рассуждение объясняег причину того, что балки с широкими
полками так часто применяются в различных конструкциях.
Пример /. а) Определим необходимый момент сопротивления изгибу РV
для балки АВ с распределенной нагрузкой (рис. 5.8), если <7=60 кГ/см, а допускае¬
мое напряжение при изгибе стд= 1100 кГ/сма. Весом балки пренебречь. Ь) Под-
г* * ******
"* * * * 1
А
-р 3,6 м
0,9м
-
- }
16950
А оий
•15450
Рис. 5.8. Пример 1.
берем по таблице, приведенной в приложении, двутавровый профиль, приняв во
внимание вес балки.
а) Для того чтобы найти сечение с максимальным изгибающим моментом, по¬
лезно построить эпюру поперечных сил (рис. 5.8). Реакции в опорах равны
=16 950 кГ, К*=15 450 кГ,
а расстояние х до точки, в которой поперечная сила обращается в нуль, находится
из уравнения
—<7* = 0,
откуда *= /?а/<7=2,82 м. На таком расстоянии от левого конца А изгибающий мо¬
мент достигает максимального значения
Мтах~Кв*’-“<7*2/2;==23,9 т-м.
Необходимый момент сопротивления изгибу, согласно формуле (5.16), имеет вели¬
чину
166 *• НАПРЯЖЕНИЯ В ВАЛКАХ
Ь) Сямым легким из перечисленных в таблице сортамента прокатной стали
(см. приложение В) с нужным моментом сопротивления является двутавровый про¬
филь № 60.
Если теперь к нагрузкам, действующим на балку, прибавить ее собственный
вес (1,03 кГ/см), то найденный максимальный момент увеличится до 24,5 т* м. Соот¬
ветственно увеличится до 2225 см8 необходимый момент сопротивления изгибу. По¬
скольку момент сопротивления изгибу выбранного профиля равен 2560 см3, этого
по-прежнему оказывается достаточно. В противном случае следовало бы выбрать
другой номер профиля и повторить процесс вычислений с использованием веса но¬
вой балки при расчете изгибающего момента.
Пример 2. Балка с квадратным поперечным сечением (рис. 5.9) изгибается
в плоскости, проходящей через диагональ квадрата. Покажем, что максимальное
напряжение в балке будет снижено, если срезать заштрихованные на рисунке углы.
Выражения для момента инерции и момента сопротивления изгибу полного
квадрата относительно оси г таковы:
/ г - ***■
/х 12. 1 12
(здесь а — сторона квадрата). Срежем теперь углы таким образом, чтобы каждая
сторона укоротилась на величину ра, где Р — число между нулем и единицей. Но¬
вое поперечное сечение состоит из квадрата тлдо со сторонами а(1—р) и двух па¬
раллелограммов ттхПхП и пп^р. Момент инерции такого уменьшенного попереч¬
ного сечения относительно оси г равен
. а«(1-Р)4 , 2ра уТ Га(1-Р)18 а«(1~Р)3(1+ЗР)
12
ГдО-Р)]1
I V* ]
12
а соответствующий момент сопротивления изгибу составляет
ш ЬУ* /2~а3(1—р)а(1 + 3р)
а (1~Р)
12
Если выбрать величину Р так, чтобы ей соответствовал максимальный момент
инерции, то получим р=1/9. Подставив это значение Р в выражение для №2, найдем
^шах~ 1*053 Таким образом, оказывается, что при срезе углов момент сопро¬
5.3.
КА С А ТЕЛЬНЫВ НАПРЯЖЕНИЯ В ВАЛКА X Ш
тивления изгибу повышается на 5% и на ту же величину снижается максимальное
изгибающее напряжение.
Этот результат легко понять, вспомнив, что момент сопротивления представ¬
ляет собой частное от деления момента инерции на половину высоты поперечного
сечения. Срезав углы, получим, что в относительных величинах момент инерции
уменьшился меньше, чем высота сечения. Таким образом, момент сопротивления
изгибу действительно увеличился.
5.3. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
Как уже отмечалось, при изгибе балки поперечными нагрузками
в каждом поперечном сечении обычно возникают изгибающий момент
М и поперечная сила (}. В разд. 5.1 было определено распределение
нормальных напряжений, вызванных изгибающим моментом, а в
данном разделе будет исследоваться распределение касательных
напряжений.
Рис. б. 10. Касательные напряжения в балке прямоугольного
поперечного сечения.
Начнем с простейшего случая балки прямоугольного попереч¬
ного сечения шириной Ь и высотой Н (рис. 5.10, а). Для такой балки
естественно предположить, что касательные напряжения т парал¬
лельны поперечной силе ф, т. е. параллельны вертикальным сторо¬
нам поперечного сечения. В качестве второго предположения при¬
мем, что касательные напряжения равномерно распределены по ши¬
рине балки. Используя эти предположения, можно будет полностью
описать распределение касательных напряжений, возникающих в
поперечном сечении.
Два смежных поперечных сечения вместе с двумя параллельны¬
ми нейтральной поверхности плоскостями вырезают из балки малый
элемент (элемент тп на рис. 5.10, а и 5.10, Ь). Тогда в соответствии
а
Ь
158 в- НАПРЯЖЕНИЯ в БАЛКАХ
с приведенными выше предположениями касательные напряжения
на вертикальной грани этого элемента будут распределены равно¬
мерно. Кроме того, из обсуждения касательных напряжений, про¬
веденного в разд. 1.9, известно, что касательным напряжениям на
одной грани элемента соответствуют равные им касательные напря¬
жения на перпендикулярной грани этого элемента (рис. 5.10, Ь).
Таким образом, будут иметь место горизонтальные касательные на¬
пряжения, возникающие между горизонтальными слоями балки, и
поперечные касательные напряжения, возникающие в вертикаль¬
ных поперечных сечениях. В любой точке внутри балки эти парные
касательные напряжения равны по величине.
Из равенства горизонтальных и вертикальных касательных на¬
пряжений следует интересное заключение относительно касатель¬
ных напряжений в верхнем и нижнем волокнах балки. Если считать,
что элемент тп, изображенный на рис. 5.10, примыкает к верхней
или нижней поверхности балки, то очевидно, что горизонтальные
касательные напряжения должны обращаться в нуль, так как на
внешних поверхностях балки напряжений нет. Следовательно, вер¬
тикальное касательное напряжение т также должно обращаться в
нуль в верхнем и нижнем волокнах балки (у=±Н/2).
Существование горизонтальных касательных напряжений в балке можно про¬
демонстрировать с помощью простого эксперимента. Нагрузим две одинаковые сво¬
бодно опертые прямоугольные балки высотой Л, показанные на рис. 5.11 слева,
сосредоточенной силой Р. Если трение между балками отсутствует, то изгиб обеих
Р
балок будет происходить независимо. В каждой балке будет иметь место сжатие в
верхней части и растяжение в нижней, а их взаимное положение будет таким, как
показано на рис. 5.11 справа. При этом нижние продольные волокна верхней бал¬
ки будут скользить относительно верхних волокон нижней балки.
Если теперь вместо двух балок имеется сплошная балка высотой 2Н, то вдоль
нейтральной поверхности должны возникать касательные напряжения такой ве¬
личины, чтобы воспрепятствовать проскальзыванию, показанному на рисунке.
Благодаря такому предотвращению проскальзывания одна балка высотой 2Л
оказывается значительно более жесткой и прочной, чем две отдельные балки высо¬
той к каждая.
Выше было показано, что вертикальное касательное напряжение
х в произвольной точке поперечного сечения численно равно гори¬
зонтальному касательному напряжению в той же точке. Последнее
напряжение может быть найдено из условия равновесия элемёнта
5.3.
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ 159
рппгрг (рис. 5.12, а), вырезанного из балки двумя смежными попе¬
речными сечениями тп и тхпи отстоящими на расстоянии йх друг от
друга. Грань, служащая основанием этому элементу, расположена
на нижней поверхности балки и свободна от напряжений. Его верх¬
няя грань параллельна нейтральной поверхности и находится на
произвольном расстоянии ух от этой поверхности. На эту грань дей-
т
ту
Рис. 5.12. Касательные напряжения в балке прямоугольного поперечного сечения.
ствует касательное напряжение т, возникающее в данном слое бал¬
ки. На концевые грани элемента действуют нормальные изгибающие
напряжения ах, обусловленные изгибающими моментами. В допол¬
нение к ним на концевых гранях имеют место и вертикальные ка¬
сательные напряжения, но эти напряжения не войдут в уравнение
равновесия элемента в горизонтальном направлении (в проекции на
ось л:) и поэтому не показаны на рис. 5.12, а.
Если изгибающие моменты в поперечных сечениях тп и тхпх
равны, т. е. если балка находится в состоянии чистого изгиба, то
нормальные напряжения ах на гранях пр и Пгрг будут также равны.
Следовательно, элемент будет находиться в равновесии и касатель¬
ное напряжение т должно быть равно нулю.
В более общем случае переменного изгибающего момента обозна¬
чим через М и М+йМ моменты, возникающие соответственно в по¬
перечных сечениях тп и тгпг. Нормальная сила, действующая на
элементарную площадь йР на левой грани элемента, согласно фор¬
муле (5.10), имеет вид
ахйР = ^йР.
Сумма всех элементарных сил, распределенных по грани рп, будет
160 *• НАПРЯЖЕНИЯ 9 ВАЛКАХ
В таком же виде можно представить сумму нормальных сил, дейст¬
вующих на правую грань
(Ь,
VI
Горизонтальную поперечную силу, которая действует на верхнюю
грань ррх элемента, представим так:
тЬ йх. (с)
Силы, задаваемые выражениями (а), (Ь) и (с), должны находиться
в равновесии; поэтому
Ух. У*
Из этого соотношения следует, что
Ух
ИЛИ
А/2
х=Ть I Уар- <5-17>
V»
Входящий в эту формулу интеграл является моментом инерции за¬
штрихованной части поперечного сечения (рис. 5.12, Ь) относительно
нейтральной оси г. Иначе говоря, этот интеграл равен статиче¬
скому моменту площади поперечного сечения, лежащей ниже коор¬
динаты уи обозначающей место, для которого отыскивается каса¬
тельное напряжение. (В том случае, когда координата ух отсчиты¬
вается вверх от нейтральной оси, интеграл будет представлять
собой статический момент площади, лежащей выше той координаты,
для которой вычисляется касательное напряжение.) Обозначая этот
статический момент через 5, запишем формулу (5.17) так:
(5.18)
Для того чтобы определить, как изменяется поперечное касательное
напряжение т в зависимости от расстояния ух от нейтральной оси,
нужно исследовать изменение статического момента 5 в зависимости
от уи поскольку величины (}, I н Ь являются постоянными.
Для изображенного на рис. 5.12, Ь прямоугольного поперечного
сечения величина статического момента 5 заштрихованной площади
5.3.
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ВАЛКАХ 161
равна
К этому выражению, которое представляет собой произведение за¬
штрихованной площади на расстояние от ее центра тяжести до оси
г, можно прийти и иным путем, а именно вычислив интеграл, входя¬
щий в формулу (5.17). Подставив выражение (й) в формулу (5.18),
Из этой формулы видно, что касательное напряжение изменяется
в зависимости от уг по закону параболы, как показано на рис. 5.12, с.
Это напряжение равно нулю при у1=±Н/2 и достигает максимума на
нейтральной оси (г/1=0), где оно равно
здесь Р=ЬН — площадь поперечного сечсния. Таким образом, мак¬
симальное касательное напряжение (как в горизонтальном, так и в
вертикальном направлениях) на 50% превышает величину СЦР
среднего касательного напряжения 1).
Поскольку при переходе от верхней поверхности балки к нижней касатель¬
ное напряжение х изменяется по закону параболы, деформация сдвига у—т/О тоже
должна изменяться по такому же закону. Таким образом, поперечные сечения бал-
Рис. 5.13. Искривление поперечного сечения балки при поперечном сдвиге.
ки, которые первоначально были плоскими, становятся искривленными. Подоб¬
ное искривление может быть продемонстрировано на изгибе балки, на сторонах
которой нанесены вертикальные прямые (прямые тп и рд на рис. 5.13). Эти прямые
не останутся прямыми, а искривятся, причем максимальная деформация сдвига
будет иметь место на нейтральной поверхности.
В точках тх, р1} пк и дх деформация сдвига равна нулю, а кривые тхпг и рхдх
остаются нормальными к верхней и нижней поверхностям балки и после изгиба.
На нейтральной поверхности углы между касательными к кривым тгпх и рхдх и
нормальными сечениями тп и рд равны деформации сдвига 7~хтах/<3. Так как
поперечная сила () остается постоянной по длине балки, все поперечные сечения
искажаются одинаково и поэтому тхт—рхр и ппх—ддх. Таким образом, удлинение
или укорочение продольных волокон, вызываемое изгибающим моментом, не ока-
1) Приведенный анализ касательных напряжений в балке принадлежит
Д. И. Журавскому [5.7, 5.8],
получим
(5.19)
6 Механика материалов
162 б. НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
зывает влияния на деформации сдвига, а распределение нормальных напряжений о
будет таким же, как и при чистом изгибе.
Более тщательное исследование этой проблемы показывает, что искажение
плоской формы поперечных сечений из-за деформаций сдвига не оказывает сущест¬
венного влияния на продольные деформации даже в том случае, когда на балку дей¬
ствует распределенная нагрузка и поперечная сила непрерывно изменяется вдоль
балки. При действии сосредоточенных нагрузок распределение напряжений вблизи
точек приложения нагрузок носит более сложный характер, но такая неравномер¬
ность в распределении является чрезвычайно локальной и не влияет существенно
на общее распределение напряжений, в балке. Таким образом, в случае неравномер¬
ного изгиба представляется совершенно оправданным использование формулы
(5.10), выведенной для случая чистого изгиба.
Касательные напряжения в двутавровой балке. При'рас-
смотрении распределения касательных напряжений в стенке двутав¬
ровой балки (рис. 5.14, а) делаются те же самые предположения,
что и в случае поперечного сечения прямоугольной формы, а именно:
касательные напряжения т считаются параллельными оси у и рав¬
номерно распределенными по толщине I стенки. Тогда для вычисле¬
ния касательных напряжений можно вновь воспользоваться форму¬
лой (5.18). Рассматривая точку, лежащую на расстоянии уг от ней¬
тральной оси, видим, что статический момент заштрихованной части
поперечного сечения относительно нейтральной оси можно предста¬
вить в форме
Ь
*тах
У
а
Ь
Рис. 5.14. Касательные напряжения в стенке двутав¬
ровой балки.
5 = 6
Л/2—Л„/2
2
откуда
5-4(тг-4)+т(т-й).
6.3.
КА СА ТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКА X 163
Следовательно, выражение для касательного напряжения т в стенке
балки имеет вид
Из приведенного выражения видно, что касательное напряжение
изменяется вдоль высоты стенки по закону параболы (см.
рис. 5.14, Ь). Максимальное касательное напряжение возникает на
нейтральной оси и получается подстановкой в формулу (5.21) зна¬
чения #1=0. Минимальное касательное напряжение в стенке полу¬
чается подстановкой в ту же формулу ^=±61/2. Таким образом,
г _ г -4(ьн* и\
та* // V 8 8 ' 8 / ’ п>1п н У 8 8 / ' * '
Обычно толщина I стенки очень мала по сравнению с шириной
полки Ь. Поэтому разность ттах и гт1п невелика и касательные на¬
пряжения распределены по поперечному сечению стенки почти рав¬
номерно. Можно получить хорошее приближение для максимального
касательного напряжения ттах, разделив полную поперечную силу
С на площадь Нпоперечного сечения одной стенки. Эго следует из
того факта, что касательные напряжения, распределенные по по¬
перечному сечению стенки, дают в сумме силу, которая весьма мало
отличается от (}, а это означает, что стенка воспринимает почти всю
поперечную силу, полки же только малую часть ее.
При рассмотрении распределения касательных напряжений в
полках уже нельзя предполагать, что касательное напряжение рав¬
номерно распределено по ширине Ь полки. Например, сразу видно,
что при у^Ну/2 касательное напряжение на свободных поверхнос¬
тях аЬ и ск (рис. 5.14, й) должно быть равно нулю, в то время как в
месте соединения Ьс напряжение имеет величину, которая опреде¬
ляется приведенным выше выражением (е). Это показывает, что
распределение касательных напряжений в месте соединения стенки
с полкой следует более сложному закону и не может быть проанали¬
зировано в рамках элементарного подхода. Для того чтобы снизить
концентрации напряжений в точках бис, делаются показанные на
рисунке галтели. Дальнейшее обсуждение распределения касатель¬
ных напряжений в двутавровых балках будет проведено ниже
(разд. 8.4).
Пример /. Свободно опертая балка, нагруженная двумя сосредоточенными
силами Р (рис. 5.1, я), имеет прямоугольное поперечное сечение шириной 6=10 см
и высотой Н~ 15 см. Расстояние а от конца балки до места приложения одной из сил
равно 50 см. Определим допускаемую величину Р, если балка изготовлена из дре¬
весины, для которой сгд—110 и тд—15 кГ/см2.
Максимальные изгибающий момент М и поперечная сила (2 в балке соответст¬
венно составляют
М —Ра, <2 = Р.
164 НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
Кроме того, момент сопротивления изгибу й? и площадь поперечного сечения Р
равны
ЬН2
Р = ЬН.
Тогда из формул (5.12) и (5.20) имеем
М 6 Ра
3(? 3Р
х~ 2Р ~ 2Ьк »
что дает следующие величины допускаемой нагрузки Р:
2тдМ
=Т~*
п (УдбЛ2
Р=-~— и Р =
6а
Подставляя в эти выражения соответствующие числовые значения, получаем
Р = 825 кГ и Р —1500 кГ.
Таким образом, определяющими являются напряжения при изгибе, а соответствую¬
щая им допускаемая нагрузка Р равна 825 кГ.
Пример 2. Определим максимальное касательное напряжение в стенке бал¬
ки, имеющеи Т-образное поперечное сечение, показанное на рис. 5.15, если 6=10,
/=2,5, Л=20, /^=17,5 см и <?=4,5 т.
Расстояние с до центра тяжести поперечного сечения определяется следующим
образом:
7,5-2,5-1,25 + 20-2,5 10 „ со
С=—7,5-2,5+20.2,5 =7’62 СМ'
Момент инерции / поперечного сечения относительно нейтральной оси можно най¬
ти, подсчитав сначала момент инерции относительно оси пп и воспользовавшись
Рис. 5.15. Пример 2.
затем теоремой о параллельном переносе осей (см. приложение А). В результате
получим
, = Ю-(2.5)3+2,5П7,5);>_68,75 (5,12)» = 2707см*.
Максимальное касательное напряжение возникает на нейтральной оси; статиче¬
ский момент 5 площади; лежащей ниже нейтральной оси, равен
с _2»5* (12,38)2_ 1д2 .
6.4.
НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКЕ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ 165
Подставив эти величины в формулу (5.18), найдем значение максимального каса¬
тельного напряжения
<?5 4500-192 |п_ ,
х— /( — 2707.2(5 —127 кГ/см •
5.4. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В БАЛКЕ КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Когда балка имеет круговое поперечное сечение (рис. 5.16, а),
уже нет больше оснований предполагать, что все касательные на¬
пряжения параллельны оси у. Действительно, легко показать, что
а Ь
Рис. 6.16. Касательные напряжения в балке кругового поперечного сечения.
в точке т (рис. 5.16, а), лежащей на границе поперечного сечения,
касательное напряжение должно быть направлено по касательной
к этой границе. Рассмотрим бесконечно малый элемент аЬсй^§
(рис. 5.16, Ь) в форме параллелепипеда, грань которого айц! совпа¬
дает с поверхностью балки, а грань аЬсй лежит в плоскости попереч¬
ного сечения. Если касательное напряжение, возникающее на грани
аЬсй, имеет направление, обозначенное на рисунке через т1Р то
его всегда можно разложить на две составляющие: тг—в радиаль¬
ном направлении ит, — по касательной к контуру. Ранее уже было
показано (из рассмотрения равновесия элемента), что если каса¬
тельное напряжение т возникает на одной грани элемента, то числен¬
но равное касательное напряжение возникнет на перпендикулярной
грани. Применяя это к элементу, изображенному на рис. 5.16, Ь,
заключаем, что если на грани аЬск возникает касательное напряже-
166 НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
ние тг, направленное по радиусу, то равное ему касательное напря¬
жение тг возникнет на грайи ай§[ элемента. Отсюда следует, что ра¬
диальная составляющая тг касательного напряжения тг должна
быть равна нулю, так как внешняя поверхность балки свободна от
напряжений. Поэтому напряжение т, направлено по касательной
к контуру поперечного сечения балки.
Используем полученный вывод при исследовании касательных
напряжений, направленных вдоль хорды рр, находящейся на рас¬
стоянии ух от нейтральной оси (рис. 5.16, а). Касательные напряже¬
ния т на концах хорды должны быть направлены по касательной к
контуру поперечного сечения, как показано на рисунке. В средней
точке п хорды в силу симметрии касательное напряжение направ¬
лено параллельно оси у. Отсюда следует, что линии действия каса¬
тельных напряжений, возникающих в точках р и п, пересекутся в
некоторой точке на оси у. Предполагая далее, что направление ка¬
сательного напряжения в любой точке, лежащей на прямой рр, так¬
же проходит через эту точку, получаем возможность полностью опре¬
делить направления касательных напряжений.
В качестве второго предположения примем, что вертикальные
составляющие касательных напряжений для всех точек, лежащих
на прямой рр, равны. Поскольку это предположение полностью
совпадает с предположением, использованным в случае прямоуголь¬
ного поперечного сечения, при определении этой составляющей мож¬
но использовать формулу (5.18). В данном случае Ь будет обозначать
длину хорды рр. Так как теперь известны направление касательного
напряжения и его вертикальная составляющая, легко вычислить
величину касательного напряжения в произвольной точке попереч¬
ного сечения.
Приступим теперь к вычислению касательных напряжений, воз¬
никающих вдоль прямой рр поперечного сечения (рис. 5.16, а).
Для того чтобы применить к вычислению вертикальной составляю¬
щей ху этих напряжений формулу (5.18), необходимо найти статиче¬
ский момент относительно оси г кругового сегмента, расположенного
ниже прямой рр. Элементарная площадка, выделенная на рисунке
штриховкой, имеет длину 2Уг^—у* и ширину йу, где г — радиус
кругового поперечного сечения. Ее площадь равна йР—2]/гъ—уЧу.
Статический момент этой полосы относительно нейтральной оси со¬
ставляет ус1Р, а полный статический момент всего сегмента выра¬
жается так:
Г
5 = $ 2у |йу = »/3 .
У\
Подставляя это выражение в формулу (5.18) и заменяя в ней Ь
на 2Vг*—у\, получаем следующие представления для вертикальной
5.5.
СОСТАВНЫЕ БАЛКИ 167
составляющей касательного напряжения
х (а)
ту 31
и для полного касательного напряжения в точках р, лежащих на
границе,
,5.22)
Отсюда видно, что максимальное касательное напряжение т
возникает при #1=0, т. е. на нейтральной оси поперечного сечения.
Подставляя сюда /=яг4/4, находим
т — — .15. (5 04}
мах — злг2 — зу? • *°)
Эта формула показывает, что в случае кругового поперечного сече¬
ния максимальное касательное напряжение на одну треть превышает
среднее его значение, полученное делением поперечной силы на
площадь поперечного сечения. На нейтральной оси касательные
напряжения т параллельны оси у и имеют постоянную величину по
всему сечению; следовательно, их можно найти непосредственно из
формулы (5.18).
Изложенная выше приближенная теория дает хорошую точность
при вычислении касательных напряжений в балках сплошного
кругового поперечного сечения. Сравнение с точной теорией пока¬
зывает, что ошибка составляет всего несколько процентов. Точные
результаты получаются с помощью теории упругости [5.91.
Если тонкостенная полая балка имеет круговое поперечное
сечение, то с достаточной точностью можно предположить, что на
нейтральной оси касательные напряжения равномерно распределе¬
ны по толщине балки. Следовательно, для определения макси¬
мальных касательных напряжений можно использовать формулу
(5.18).
5.5.
СОСТАВНЫЕ БАЛКИ
Во многих типах конструкций оказывается предпочтительнее
использовать составные или собранные из стандартных элементов
балки. Два примера таких балок приведены на рис. 5.17. Первым
примером служит полая коробчатая балка квадратного поперечного
сечения, собранная из четырех деревянных планок, соединенных
между собой гвоздями, шурупами или клеем, вторым — составная
балка, сваренная из трех стальных пластин.
Напряжения в составной балке, как правило, определяются в
предположении, что ее части надежно соединены, так что балка ведет
168 *• НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
себя как сплошная. При этом в расчетах принимаются, во внимание
два момента: а) размеры балки такие же, как и у сплошной: Ь) конст¬
рукция соединительных элементов (гвоздей, сварных швов, болтов и
т. д.) гарантирует, что балка ведет себя как сплошная. При расчете
самой балки можно использовать обычные формулы для балок, сде-
(==)
а Ь
Рис. 5.17. Составные балки: а — де¬
ревянная коробчатая балка; Ь —
стальная двутавровая балка.
лав необходимую поправку на наличие отверстий для болтов (т. е.
используя приведенную площадь поперечного сечения). Расчет
соединительных элементов основан на том, что полная горизонталь¬
ная сдвигающая сила передается от одного элемента составной балки
к другому.
Можно получить простую формулу для горизонтальной сдвигаю¬
щей силы, передающейся от одной части балки к другой, вновь обра¬
тившись к рис. 5.12 (разд. 5.3). При выводе формулы (5.18) предпо¬
лагалось, что касательное напряжение т равномерно распределено
по ширине Ь балки. В более общем случае подобное предположение
не будет справедливым. Однако в данном случае можно подсчитать
полную горизонтальную сдвигающую силу, действующую на верх¬
нюю грань элемента балки (элемент рргпгп на рис. 5.12, а). Эта пол¬
ная сила будет равна {йх, где / — полная сдвигающая сила (дейст¬
вующая на полной ширине балки), отнесенная к единице расстояния
вдоль оси балки. Величина / называется потоком касательных напря¬
жений и для балки прямоугольного поперечного сечения равна тЬ.
Сила {йх, действующая на верхнюю грань элемента (рис. 5.12, а),
уравновешивается разностью равнодействующих нормальных на¬
пряжений, возникающих на гранях пр и элемента. Поэтому,
поступая так же, как и при выводе формулы (5.18), мы приходим
к следующему выражению для потока касательных напряжений:
/-$. (5-24)
5.5.
СОСТАВНЫЕ БАЛКИ 169
Эта формула удобна для расчета соединений между частями балки,
так как она дает величину горизонтальной сдвигающей силы (отне¬
сенной к единице длины балки), передающейся от одной части балки
к другой. Использование формулы (5.24) проиллюстрируем на при¬
мере.
Пример• Коробчатая балка (рис. 5.18) изготовлена из деревянных досок
(2,5X15 см), соединенных шурупами. Поперечная сила (?, действующая в попереч¬
ном сечении, равна 400 кГ, а допускаемая нагрузка на каждый шуруп составляет
^■=110 кГ. Определим необходимое расстояние 5 между шурупами.
Рис. 5.18. Числовой пример.
Поток касательных напряжений, передаваемый от одной из горизонтальных
досок к двум вертикальным, можно получить по формуле (5.24). Величина 5 в этой
формуле представляет собой статический момент площади поперечного сечения за
вычетом площади, ограниченной плоскостью, для которой отыскивается поток ка¬
сательных напряжений, т. е. статический момент поперечного сечения верхней до¬
ски относительно нейтральной оси:
5 = 15-2,5-8,75 = 328 см3.
Момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси равен
15- (20)3 10-(15)3
/=-
12
12
= 7185 см4.
Подставляя эти величины в формулу (5.24), получаем поток касательных напряжен
НИИ
* 400 • 328 г/
' ^‘‘ТГ&Г ' /см‘
Сила, распределенная по длине балки, должна восприниматься шурупами. По¬
скольку шурупы расположены в два ряда, по одному на каждой стороне, полная
нагрузка, которую могут воспринимать шурупы, отнесенная к единице длины,
равна 2А75; эта величина и должна быть равна потоку касательных напряжений.
Следовательно, 2Л75=/, откуда имеем
2М 2-110 |0
/=Т8Т=12ш-
Именно такое (или меньшее) расстояние должно быть между шурупами для того
чтобы обеспечить безопасную работу конструкции.
170 «• НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
5.6. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
Используя выражения о=Му/1 и т=(}3/(1Ь), можно определить
нормальное и касательное напряжения, возникающие в произволь¬
ной точке поперечного сечения балки. Нормальные напряжения
максимальны во внешних волокнах балки и равны нулю на^йейт-
ральной оси; касательные напряжения равны нулю во внешних
волокнах и обычно достигают максимума на нейтральной оси. При
более полном анализе напряжений в балках требуется рассмотреть
совместное влияние этих касательных и нормальных напряжений.
В частности, используя приемы, описанные в гл. 2, можно опреде¬
лить главные напряжения и максимальные касательные напряжения
в любом интересующем нас месте.
Для того чтобы понять, как изменяются величина и направ¬
ление главных напряжений в балке, начнем с исследования напря¬
женного состояния в балке прямоугольного поперечного сечения
(рис. 5.19, а). В поперечном сечении выбираются пять точек, отме¬
ченных на рисунке буквами А, В, С, Э и Е. Точки А и Е находятся
на верхней и нижней поверхностях соответственно, а точка С — на
середине высоты балки. Можно подсчитать напряжения в каждой
точке, зная изгибающий момент М и поперечную силу С, действую¬
щие в данном поперечном сечении. Тогда можно принять, что эти
напряжения действуют на малые элементы, которые вырезаны из
балки около соответствующих точек (см. рис. 5.19, Ь). Для того
чтобы найти главные нормальные и максимальные касательные на¬
пряжения, можно использовать или уравнения плоского напряжен¬
ного состояния (см. разд. 2.5), или круг Мора (см. разд. 2.6). На¬
правления главных нормальных напряжений в каждой точке при¬
ближенно показаны на рис. 5.19, с, направления максимальных
касательных напряжений — на рис. 5.19, й.
По схемам, приведенным на рис. 5.19, с, можно проследить из¬
менение главных напряжений. На верхней поверхности балки глав¬
ные сжимающие напряжения направлены горизонтально. При пере¬
мещении к нейтральной оси главное сжимающее напряжение будет
отклоняться от горизонтали и на нейтральной оси (точка С) соста¬
вит угол 45° с горизонталью. В точке Ь главное сжимающее напря¬
жение почти вертикально и при достижении нижней поверхности
балки принимает вертикальное направление. Величина этого на¬
пряжения непрерывно изменяется от верхней до нижней поверхно¬
сти балки; в последнем случае оно равно нулю. Максимальное по
абсолютной величине главное сжимающее напряжение в прямоуголь¬
ной балке обычно возникает в точке А, хотя случается, что оно воз¬
никает внутри балки в такой точке, как В. Аналогичные рассужде¬
ния применяются и в случае главного растягивающего напряжения
(в точке#), которое также изменяется как по величине, так и по на¬
правлению при переходе от точки А к точке Е.
'Н
©
/А
4
0
У
\
-и* т
Л*ч
Рис. б. 19. Напряжения в балке прямоугольного поперечного
сечения: Ь — нормальные и касательные напряжения в точках
/4, Я, С, ^ и Е\ с — главные напряжения; й — максимальные
касательные напряжения.
172 5. НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
Рассмотрев напряжения в ряде поперечных сечений балки, по¬
лучим полную картину изменения главных напряжений. На основе
этих данных можно построить две системы ортогональных кривых,
называемых траекториями напряжений и дающих направления
главных напряжений по всей балке. На рис. 5.20, а показаны траек-
У
а
ГТТЧ НИНПИП!
Рис. 5.20. Траектории главных напряжений для кон¬
сольной балки (а) и для свободной опертой балки ф).
Сплошные кривые соответствуют главным растягиваю¬
щим напряжениям, штриховые — главным сжимающим.
тории напряжений для консольной балки прямоугольного попереч¬
ного сечения с сосредоточенной нагрузкой на конце. Сплошные кри¬
вые на рисунке относятся к главным растягивающим напряжениям,
штриховые — к главным сжимающим. Две системы кривых пересе¬
каются под прямым углом,- и все кривые пересекают нейтральную
ось под углом 45°. На верхней и нижней поверхностях балки, где
касательные напряжения равны нулю, касательные к траекториям
направлены либо горизонтально, либо вертикально. На рис. 5.20, Ь
изображены траектории напряжений для свободной опертой балки
прямоугольного поперечного сечения, на которую действует равно¬
мерно распределенная нагрузка *).
Для харавдеристики напряженного состояния в балке можно
использовать и кривые иного типа, а именно линии равных напряже¬
*) Траектории напряжений были построены в 1866 г. Кульманом [5.10].
5.7.
НАПРЯЖЕНИЯ В НЕПРИЗМАТИЧЕСКИХ БАЛКАХ 173
ний. Такие кривые соединяют точки с одинаковыми по величине
главными нормальными напряжениями. Для иллюстрации на
рис. 5.21 изображены типичные линии равных напряжений (только
главных растягивающих напряжений) для консольной балки прямо¬
угольного поперечного сечения.
1 >
Р
Рис. 5.21. Типичные линии равных напряжений
(главных растягивающих напряжений) для кон¬
сольной балки.
Главные напряжения в балках, имеющих поперечные сечения
иной формы, можно проанализировать так же, как и в случае балок
прямоугольного поперечного сечения. Максимальное главное нор¬
мальное напряжение в балке с широкими полками или в двутавре
может возникнуть в стенке в месте соединения с полкой, хотя, как
правило, наибольшее напряжение развивается на внешней поверх¬
ности балки. Максимальное касательное напряжение обычно имеет
место на нейтральной оси, но при некоторых необычных условиях
нагружения оно может возникнуть выше нейтральной оси или ниже
ее. Распределения максимальных главных напряжений и макси¬
мальных касательных напряжений для балок прямоугольного и
двутаврового поперечных сечений подробно обсуждаются в статье
15.11].
При анализе максимальных напряжений в балке всегда следует
помнить, что вблизи опор и вблизи точек приложения нагрузок,
а также в окрестностях резкого изменения формы (галтели, отвер¬
стия и т. д.) будут локализоваться эффекты, обусловливающие воз¬
никновение высоких напряжений, которые не могут быть предска¬
заны обычными формулами для балок. Такие локализованные эф¬
фекты приводят к возникновению концентрации напряжений.
5.7. НАПРЯЖЕНИЯ В НЕПРИЗМАТИЧЕСКИХ БАЛКАХ.
ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ
В предыдущих разделах рассматривались балки призматической
формы, т. е. с постоянным по длине поперечным сечением. Однако
формулы, выведенные для призматической балки, можно с хорошей
точностью использовать и для непризматической балки, если разме¬
ры ее поперечного сечения меняются очень плавно. Например, нор¬
мальные напряжения от изгиба в балке с небольшим сужением (см.
174 л НАПРЯЖЕНИЯ в БАЛКАХ
рис. 5.22, а) можно подсчитать по формуле а—Му/1\ если угол су¬
жения мал, то полученные при этом результаты будут отличаться от
точных всего на несколько процентов, как будет показано ниже пу¬
тем сравнения с некоторыми точными решениями.
ЭР
—
2Р
==? 2ЬЬа
—
ЪЬЬа
—
^Ь
Рис. 5.22. Суживающаяся балка прямоугольного поперечного сечения.
Однако для касательных напряжений формула т=ф5/(/&), выве¬
денная для призматического стержня, уже неприемлема. Вместо
нее нужно получить новое соотношение, в котором учитывалось
/77 2
т.
Рис. 5.23. Элемент длиной Д*.
бы влияние изменения высоты балки. С этой целью рассмотрим эле¬
мент малой длины Ал:, вырезанный из непризматической балки
(рис. 5.23). На левой грани туп, этого элемента действует изгибаю¬
щий момент Ми на правой грани т2п2 — момент М2: Через Н.1 и Н-г
обозначены соответствующие высоты балки, а через у% — расстояние
5.7.
НАПРЯЖЕНИЯ В НЕПРИЗМАТИЧЕСКИХ БАЛКАХ 175
от нейтральной оси до точки, в которой возникает касательное на¬
пряжение т (ср. с рис. 5.12, а для призматической балки).
Касательное напряжение т получается из уравнения равновесия
элемента щрхр2п2. Нормальным изгибающим напряжениям, возни¬
кающим на левой и правой гранях элемента, соответствуют силы
М181Ц1 и М282/12 (см. выражение (а) в разд. 5.3). В этих выражени¬
ях 11 и /а — осевые моменты инерции обоих поперечных сечений;
и 52 — статические моменты площадей граней р1п1 и р2п2 эле¬
мента относительно нейтральных осей. Полная сила, действующая
на верхнюю грань ргр2 элемента, равна тйДя, где Ь — ширина балки
на расстоянии ух от нейтральной оси. Таким образом, уравнение
статического равновесия принимает вид
Это уравнение можно использовать для приближенного определения
касательного напряжения в любой конкретной балке путем подста¬
новки соответствующих числовых значений.
Процедура состоит в следующем. Выбирается поперечное сече¬
ние балки, в котором нужно определить касательное напряжение.
Затем берется смежное сечение, отстоящее от первого на малое рас¬
стояние Лл\ Для каждого из этих сечений определяются: 1) изгибаю¬
щий момент М; 2) статический момент 5 площади того поперечного
сечения, для которого определяется касательное напряжение т (т. е.
статический момент площади, заключенной между наружной по¬
верхностью балки и горизонтальным сечением, в котором отыски¬
вается напряжение т); 3) момент инерции / поперечного сечения.
Затем эти величины подставляются в уравнение (5.25) и оно решает¬
ся относительно т.
Чем меньше берется расстояние Аху тем более точными будут ре¬
зультаты. Однако при слишком малом Дл; точность будет утрачена,
так как придется искать разность между весьма близкими по вели¬
чине членами уравнения (5.25). Уравнение (5.25) носит достаточно
общий характер и может быть использовано во многих практических
случаях для получения касательных напряжений в балке перемен¬
ного поперечного сечения.
В частном случае балки прямоугольного поперечного сечения (ширина Ь
постоянная, а высота к переменная) уравнение (5.25) можно свести к более точному
уравнению, устремив Ах к нулю. Для этого надо найти статический момент 5
и осевой момент инерции / для поперечных сечений 1 и 2:
(5.25)
/ = 6Л2
176 *- НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
Теперь, полагая к2—кх+&к, где Дк — приращение высоты к при переходе от по¬
перечного сечения 1 к поперечному сечению 2, представим приведенные выше вы¬
ражения в виде
с с , Ьк^к , , , Ьк\кк
02 = о1-1 ^—, 'г — '14 ^—•
При выводе этих выражений члены, содержащие квадраты и кубы Дк, были опу¬
щены как малые по сравнению с остальными величинами. Замечая, кроме того,
что Ж2==М1+ДМ, подставим выражения для $2> /а и М2 в уравнение (5.26), отку¬
да получим
тШ_ (М1 + Ш)(81 + Ьк1М/А) М,8г
/1+6А?ДЛ/4
Для упрощения этого выражения умножим его почленно на знаменатель первого
члена правой части и затем раскроем скобки, что дает
хЫ1&х+"~ = ДЛ+51Д/И + ^ АНАМ -^! 6Л?ДА.
Теперь в этом равенстве можно опустить члены, содержащие произведение двух
малых величин, и разделить результат на Да:. В пределе, когда величина Дх стано¬
вится все меньше и меньше, член ДЛ/Дх можно заменить производной йк/йх, а член
ДМ/Да: — производной йМ!йх, равной поперечной силе ф. В результате уравнение
примет следующий вид:
ХЫ _М^аН | 5 п МгЗгЫ&Ок
1 4 йх' 1 41 х йх'
Разделим, наконец, все члены на Ыг и опустим числовые индексы, которые больше
не потребуются. Таким образом, окончательное выражение для касательного на¬
пряжения т в непризматической балке прямоугольного поперечного сечения запи¬
сывается так:
05 .МАЛ 8к\йк
Х=7ь+-4Г('—Г)тх- . <5-26>
Это выражение справедливо для балки с постой*, юй шириной Ь и переменной вы¬
сотой Л. Высота может изменяться произвольным образом при условии, что это из¬
менение плавное. Отметим, что касательное напряжение в поперечном сечении за¬
висит не только от поперечной силы, ио также от изгибающего момента М и скоро¬
сти изменения высоты к в зависимости от продольной координаты х.
В качестве конкретного примера исследуем распределение касательных на¬
пряжений в консольной балке прямоугольного поперечного сечения (рис. 5.22, а).
Высота балки составляет ка на одном конце и къ—2ка — на другом и равномерно
изменяется по длине. Следовательно, величина йк/йх постоянна и равна
йк кь—ка ка
йх I ~ I '
Изгибающий момент на лев'ом конце А равен нулю, поэтому формула (5.26)
дает такое же распределение касательного напряжения, как и в случае призма¬
тической балки (см. формулу (5.18)). Это распределение представлено на
рис. 5.22, Ъ\ максимальное касательное напряжение возникает на нейтральной оси
и равно 1,5 Р/(Ька).
В середине пролета балки (х—И2) имеем следующие значения:
(}=Р, А = 1,5йв> 5 = (Ь/2) (й2/4—у\),
5.7.
НАПРЯЖЕНИЯ В НЕПРИЗМАТИЧЕСКИХ БАЛКАХ 177
Подстановка этих значений в формулу (5.26) дает для касательного напряжения
выражение
2 Р
Х~ша’
график которого изображен на рис, 5.22, с. В этом частном примере получен инте¬
ресный результат, состоящий в том, что касательное напряжение равномерно рас¬
пределено по высоте балки. В интервале от конца А балки до ее середины происхо¬
дит постепенное изменение распределения касательного напряжения от показан¬
ного на рис. 5.22, Ь до равномерного распределения, представленного на
рис. 5.22, с.
На правом конце балки (х~Ц имеем <}—Р> к—кь~2ка% М~Р1Подставляя
эти значения в формулу (5.26), получаем закон распределения касательного на¬
пряжения
показанный на рис. 5.22, й. Заметим, что максимальное касательное напряжение
в этом поперечном сечении, равное ЗР1(4Ька), возникает во внешних волокнах бал¬
ки. Минимальное напряжение, равное половине максимального, возникает на ней¬
тральной оси, где </1=0.
Касательные напряжения в балках прямоугольного поперечного сечения, у
которых одна поверхность горизонтальная, а другая — наклонная, могут быть
найдены с помощью той же теории, что и изложенная выше для случая обеих на¬
клонных поверхностей. Обсуждение таких случаев можно найти в работе [5.12].
В призматических балках максимальные нормальные напряже¬
ния всегда возникают в сечении с максимальным изгибающим мо¬
ментом. Однако для непризматических балок дело может обстоять
Р
Рис. 5.24. Суживающаяся балка кругового поперечно¬
го сечения.
не так. Примером, показывающим такую возможность, является
сплошная суживающаяся консольная балка кругового сечения
(рис. 5.24). Если предположить, что йь1йа~2, то диаметр й балки на
расстоянии х от левого конца будет
й^йа + (аь—ла) (х/Ц = с1а(1 + х/Ь),
а соответствующий момент сопротивления запишется в виде
XV, П(Р Л ,<1 ( 1 , X \3
178 *• НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
Отсюда получим максимальное нормальное напряжение а:
м Рх 32Рх
о = тгг = -
Г Г
ж# (1+*/!)*
Взяв производную и приравняв ее нулю, можно найти то зна¬
чение х, при котором напряжение а максимально. Это значение рав¬
но х—Ц2, а соответствующее ему максимальное напряжение состав¬
ляет
_ 128 РЬ „ Р1
°тах— 27л(1п =* 4,741 лаз .
В сечении с максимальным изгибающим моментом (в опоре В) напря¬
жение равно
_ 4Р^
°ь~ «4 ‘
Таким образом, для этого конкретного примера имеем, что макси¬
мальное напряжение возникает в середине пролета и на 19% пре¬
вышает напряжение в заделанном конце, где изгибающий момент
достигает максимальной величины. Если конусность балки умень¬
шается, то сечение с максимальным нормальным напряжением будет
располагаться ближе к заделке. Для балок с очень малыми конус¬
ностями максимальное напряжение развивается на конце В, как
и в случае призматической консоли.
Для того чтобы количество материала в балке было минимально, можно изме¬
нять поперечное сечение и тем самым попытаться выдержать одинаковое макси¬
мальное нормальное напряжение во всех поперечных сечениях. В идеальном слу¬
чае, когда максимальное нормальное напряжение в каждом поперечном сечении
равно допускаемому напряжению, мы имеем так называемую полностью равнопроч-
ную конструкцию. Это широко распространенный критерий при создании конст¬
рукций минимального веса. Разумеется, идеальное условие достигается редко, так
как практические задачи, возникающие при конструировании балки, и возможно¬
сти приложения нагрузок отличаются от принимаемых при расчете. Известными
примерами конструкций, у которых используются переменные сечения для сохра¬
нения максимальных нормальных напряжений постоянными (насколько это осу¬
ществимо), являются листовые рессоры автомобилей и мостовые балки, покры¬
тые плитами различной длины.
Простым примером полностью равнопрочной конструкции является консоль¬
ная балка с сосредоточенной нагрузкой на конце (рис. 5.25). Поперечное сечение
балки — прямоугольник постоянной ширины Ь и переменной высоты К. Нужно
сохранить постоянным максимальное нормальное напряжение ад. Поэтому в каж¬
дом поперечном сечении должно выполняться следующее соотношение:
М 6М 6Рх
°а~ Г ~~Ь№~~Ь№ ‘
Следовательно, высота й0 балки вблизи опоры равна
К=У ЪРЩЬо,),
5.7.
НАПРЯЖЕНИЯ В НЕПРИЗМАТИЧЕСКИХ БАЛКАХ 179
а ее высота к в произвольном сечении составляет
к = у6Рх/(^сГд), или к = к0 Ух/Ь.
Последнее выражение показывает, что высота балки меняется в зависимости от х
по параболическому закону; таким образом, балка имеет форму, показанную на
рис. 5.25. На нагруженном конце площадь поперечного сечения равна нулю, по-
Рис. 5.25. Балка с постоянным значением максимального нор¬
мального напряжения (касательные напряжения не учитыва*
ются).
скольку рассматривались только нормальные напряжения, обусловленные изги¬
бом. В данном случае, разумеется, возникают также касательные напряжения и
поэтому поперечное сечение в месте приложения нагрузки в действительности
должно иметь достаточную площадь, чтобы воспринимать и поперечную силу.
Точные решения. С помощью методов теории упругости были
найдены напряжения в консольном клине (рис. 5.26) прямоугольно¬
го поперечного сечения. Нормальное и касательное напряжения
Рис. 5.26. Консольный клин прямоуголь¬
ного поперечного сечения.
в произвольной точке р поперечного сечения тп описываются еле-
дующими выражениями [5.13]:
Рд;у31П46 Ру* 31П4 8 . .
~ Ьх9(а—81П а соз а) ’ ~~ Ьх* (а—«1П а соз а) * '
где х я у — координаты точки р\ 6 — угол менаду прямой Ор и осью
Оу, Ь — толщина клина (считается постоянной); а — половина угла
при вершине клина. Эти выражения можно представить в более
удобной форме, заметив, что изгибающий момент в сечении тп ра-
180 *• НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
вен М=Рх, а высота Н произвольного сечения клина составляет Л=
=2х 1§а. Кроме того, осевой момент инерции поперечного сечения
равен
, _ ЬН3 _ 2Ьх* 1д3 а
12 3
Подставляя в формулы (а) выражения для М, Н и /, находим
а м»
/ 3 (а— 81П а со* а) ’ V*-*1'
Р 8уИд»«б!п«е
МЛ2(а—зшасова) ‘ ‘ ' '
Нормальное напряжение а, согласно выражению (5.27), обращается
в нуль на нейтральной оси (9=л/2, «/=0) и достигает максимального
значения на внешней поверхности балки. В верхней точке балки
(у=—Л/2, 0=а+л/2) имеет место напряжение, равное
МН 2{е3ас084« /с оо\
РТГ • (о./у;
т*х 2/ 3(а—зшасозос) ^ 21
Для величин угла а=0, б, 10, 15 и 20° коэффициент р имеет соответ¬
ственно значения 1, 1,00,0,970,0,947 и 0,906. Таким образом, видно,
что для малых углов сужения различие между напряжениями, опре¬
деленными по точной теории, и напряжениями, полученными по
формуле а—Му/1 для призматической балки, невелико.
Для касательных напряжений выражение (5.28) всегда дает т=0
на нейтральной оси (у=0). Максимальное касательное напряжение
возникает на внешних поверхностях и составляет
_ Р 2<е3«с9^« р -
чпах ьн а— 51П а соз а ’ ЬН
При а=0, 5, 10, 15 и 20° коэффициент у принимает соответственно
значения 3, 3,00, 2,91, 2,84 и 2,72. Таким образом, максимальное
касательное напряжение, возникающее на внешних поверхностях,
почти втрое превышает среднее касательное напряжение Р/(ЬН).
Если к конусу, изображенному на рис. 5.26, применить прибли¬
женную теорию определения касательных напряжений в балке
прямоугольного поперечного сечения (см. формулу (5.26)), то для
сечения тп получится
1 =“' 12
лл П йН Н
м = Рх’ я---
Подставляя эти значения в формулу (5.26) и учитывая, что У1=У,
находим
12 Ру*
5.8.
БАЛКА. ИЗГОТОВЛЕННАЯ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ 181
Это выражение дает т=0 на нейтральной оси, что соответствует
точному решению (5.28). Для внешних волокон выражение (Ь)
дает ттах^=3РЦЬН), что хорошо согласуется с выражением (5.30)
для клина с малым углом при вершине. Таким образом, можно сде¬
лать вывод, что приближенная теория касательных напряжений в
непризматической балке оказывается приемлемой для расчетов.
С другой стороны, формула т;—(23/(1Ь), примененная к непризмати¬
ческой балке, дает результаты, существенно отличающиеся от дей¬
ствительных.
5.8. БАЛКА, ИЗГОТОВЛЕННАЯ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Балка, изготовленная из нескольких различных материалов,
называется композитной балкой. Примерами являются балки, из¬
готовленные из двух различных металлов, которые соединены
друг с другом таким образом, чтобы работать как единое целое (би¬
металлические балки), железобетонные балки, а также трехслой¬
ные. При расчете таких балок можно использовать теорию изгиба,
Рис. 5.27. Балка, изготовленная из двух различных материалов:
а — поперечное сечение; Ь — распределение деформаций; с — эпюра напряжений;
(I — приведенное сечение.
изложенную в разд. 5.1. Поскольку при чистом изгибе поперечные
сечения балки остаются плоскими независимо от того, состоит ли
балка из одного материала, замечаем, что в рассматриваемой балке
деформации изменяются от верхней поверхности до нижней по ли¬
нейному закону (см. выражение (5.2)). В качестве иллюстрации к
сказанному на рис. 5.27 показано распределение этих деформаций
для случая балки, которая изготовлена из двух различных материа¬
лов; поперечное сечение балки изображено на рис. 5.27, а. Сначала
положение нейтральной оси поперечного сечения неизвестно, за
182 «• НАПРЯЖЕНИЯ в БАЛКАХ
исключением того случая, когда поперечное сечение обладает свой¬
ством двойной симметрии и когда нейтральная ось проходит на сере¬
дине высоты балки.
Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении,
можно получить умножением деформаций на модуль упругости со¬
ответствующего материала. В примере, приведенном на рис. 5.27,
предполагается, что два материала, отмеченные цифрами 1 и 2,
имеют соответственно модули упругости Е± и Ег. Тогда, считая, что
Е^>Ех, получаем эпюру напряжений, построенную на рис. 5.27, с.
Нормальное напряжение ах на произвольном расстоянии у от ней¬
тральной оси для материалов 1 и 2 соответственно задается следую¬
щими выражениями [ср. с выражением (5.5)]:
ах1 = хЕ,у, ах9 = кЕ2у. (5.31)
Положение нейтральной оси можно найти, заметив, что суммарная
осевая сила, действующая в поперечном сечении, равна нулю, отку¬
да имеем
5 &Р -]- ^ <т*2 ЛР — О,
1 *
где очевидно, что первый интеграл берется по площади поперечного
сечения материала 1, а второй интеграл по площади поперечного
сечения материала 2. Заменяя в этом равенстве ая и аха их выраже¬
ниями (5.31), получаем
Е^уар + Е^уйР^О. (5.32)
1 *
Это соотношение, которое в известном смысле представляется обоб¬
щением соотношения (5.6), можно использовать для определения
положения нейтральной оси балки, изображенной на рис. 5.27.
Однако для балок, изготовленных из трех и более материалов, по¬
требуется ввести в соотношение (5.32) дополнительные члены анало¬
гичного вида. Использовать это соотношение нетрудно, заметив, что
интегралы представляют собой статические моменты частей площади
поперечного сечения относительно нейтральной оси.
Соотношение между изгибающим моментом М и напряжениями
в балке можно найти при помощи той же процедуры, что была ис¬
пользована при выводе соотношения (5.7):
М $ аху (1Р = 5 ах1у АР + $ охгу йр =
1 *
= хЕ1 $ раР+кЕ' $ уЫР = и(Е111 + Еа1я), (5.33)
5.8.
БАЛКА, ИЗГОТОВЛЕННАЯ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ 183
где /,и/8 — соответственно моменты инерции площадей 1 и 2 отно¬
сительно нейтральной оси. Отметим, что /=/1+/г, где / — осевой
момент инерции площади всего поперечного сечения.
Из формул (5.31) и (5.33) получаем следующие представления
для напряжений в балке как функций от изгибающего момента М:
МуЕ' /к чл \
(5.34а)
ЁХи+е212
МуЕ2
Е111~\~Е21 2
(5.34Ь)
Первое выражение описывает распределение напряжений в материа¬
ле 1, второе — в материале 2. Если Е1=Е2—Е, то оба выражения
упрощаются и сводятся к виду ох~Му/1, как для балки из одного
материала. Следующий пример иллюстрирует расчет балки, изго¬
товленной из различных материалов.
Пример /. Балка, размеры поперечного сечения которой показаны на
рис. 5.28, нагружена положительным изгибающим моментом, равным 0,35 т«м.
Найдем максимальное и минимальное напряжения в обоих материалах при ус¬
ловии, что 10° и Е2—\А* 10е кГ/см2.
д см
им
У
Рис. 5.28. Пример 1.
Сначала определим положение нейтральной оси поперечного сечения. Предпо¬
ложим, что нейтральная ось расположена в части, изготовленной из материала 1,
как показано на рисунке. Затем обозначим расстояние от этой оси до верхней и
нижней поверхностей балки соответственно через и Н2. Обращаясь к соотноше¬
нию (5.32) и используя в качестве единиц измерения килограммы и сантиметры, по¬
лучаем следующие выражения для членов этого соотношения:
Е^уОР^О,07.10* |^_'^й1(8) + (2!гД)(12-й1)(8^ =6,72-10«(6—Лх),
1
Ва^^=1,4.Ю«[(12—А1+0,5)-1.8]=11(2.10«(12,5-А1).
2
Подставив эти величины в соотношение (5.32) и решив полученное уравнение от¬
носительно Нц найдем координату нейтральной оси Н!= 10,06 см.
184 *• НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
Моменты инерции 1\ и /2 относительно нейтральной оси можно найти с по¬
мощью теоремы о параллельном переносе осей:
/» = ‘/и- (8) • (12)3 + 8 • 12 • (10,С6 - 6)2 = 2732 см4,
/*“У»-(вН1)*+ 1-в-<12,5-10,06)2 = 48 см4.
Для проверки непосредственно вычислим общий момент инерции сечения бал¬
ки /—*/з* (8) - (Ю.Об)3-}-1/*- (8)* (2,94)э=2780 см4, равный сумме 1\ и 1г.
Максимальное сжимающее напряжение' в материале 1 возникает на верхней
кромке балкн, где (/=—10,06 см. Это напряжение, согласно формуле (5.34а), рав¬
но —95 кГ/сма. В месте соединения обоих материалов напряжение в материале 1
(полученное по формуле (5.34а) при ух~ 1,94 см) равно 18,5 кГ/см*, а напряжение
в материале 2 (полученное по формуле (5.34Ь) для того же значения у) составляет
370 кГ/сма. На нижней поверхности балки (у =2,94 см) напряжение в материале
2 равно 560 кГ/см2.
Метод приведенного поперечного сечения. Метод приведен¬
ного поперечного сечения дает удобную процедуру исследования
балки, изготовленной из различных материалов. Процедура за¬
ключается в преобразовании поперечного сечения балки, различные
части которой изготовлены из различных материалов, в эквивалент¬
ное поперечное сечение балки, состоящей из одного материала. Затем
последнее, называемое приведенным поперечным сечением, исследует¬
ся обычным способом, как и в случае балки из одного материала.
Для того чтобы быть эквивалентным поперечному сечению исход¬
ной балки, приведенное поперечное сечение должно иметь ту же
нейтральную ось и ту же способность сопротивляться изгибающему
моменту. Посмотрим, как находится приведенное поперечное сече¬
ние, и вернемся для этого к соотношению (5.32), которое определяет
положение нейтральной оси. Разделив это соотношение на Ех и
введя обозначение п—Ег1Ех, где п называется отношением модулей,
получим
^ у ЛР + $ уп АР — 0. (5.35)
1 2
Отсюда следует, что положение нейтральной оси не изменится, если
каждый элемент материала 2 площадью с1Р увеличится за счет коэф¬
фициента п при условии, что расстояние у для каждого такого эле¬
мента останется неизменным. Иначе говоря, поперечное сечение
можно считать как бы состоящим из двух частей: из площади 1,
которая остается прежней, и из площади 2, ширина которой умножа¬
ется на п. Таким образом, получается новое поперечное сечение,
полностью состоящее из одного материала, а именно из материала 1.
Приведенное поперечное сечение для балки (рис. 5.27, а) изоб¬
ражено на рис. 5.27, й. Часть сечения, занимаемая материалом 1,
остается неизменной, а ширина части сечения, занимаемой Матери¬
алом 2, увеличивается в п раз. (Заметим, что на рисунке принято
л> 1, но это не обязательно.) Теперь приведенное поперечное сече¬
ние (рис. 5.27, й) уже можно считать целиком состоящим из мате¬
5.8. БАЛКА, ИЗГОТОВЛЕННАЯ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ 185
риала 1. Нейтральная ось для приведенного поперечного сечения
будет находиться там же, где и у исходной балки (рис. 5.27, а) — это
следует из равенства (5.35). Кроме того, у приведенного сечения
будет такая же, как и у исходного сечения, несущая способность по
отношению к изгибающему моменту (способность сопротивляться
этому моменту). Указанное условие можно представить следующим
образом. Для приведенного поперечного сечения справедливо со¬
отношение вх^хЕху, откуда получаем
М = 1.оху<1Р=1 ахуйР-\- ^ ахуйр =
1 2
= кЕг.^ у* ЛР + хЕг \угЛР=^у. (Е111 + Егп1^ = я (Е111 + Е31г),
1 2
т. е. то же самое выражение, что и (5.33). Отсюда следует, что для
исходной и для приведенной балок моменты одинаковы.
Напряжения в приведенном поперечном сечении можно найти
из обычной формулы для напряжений, поскольку балка состоит
только из одного материала. Такие напряжения определяются вы¬
ражением
0*1=7^. (5.36)
уПр
где /„р — момент инерции приведенного поперечного сечения от¬
носительно нейтральной оси (1пр=11+п1г). Выражения (5.36) и
(5.34а) совпадают; отсюда заключаем, что напряжения в материале
1 исходной балки являются такими же, как и полученные для при¬
веденного поперечного сечения. Однако для материала 2 в исходной
балке подобное утверждение будет неверным. Наоборот, сравнение
выражений (5.36) и (5.34Ь) показывает, что для получения напряже¬
ний в исходной балке нужно напряжения в приведенной балке ум¬
ножить на п. Таким образом, из вышеизложенного следует, что по¬
скольку приведенное поперечное сечение состоит из материала 1,
то напряжения в материале 1 будут «истинными», но напряжения
в той части балки, которая состоит из материала 2, следует преобра¬
зовать с помощью отношения модулей п.
Метод приведенных поперечных сечений может быть легко рас¬
пространен на случай, когда имеется более двух материалов. Точно
так же можно привести исходную балку к балке из материала с про¬
извольной величиной Е\ в этом случае все части поперечного сечения
исходной балки должны быть соответственно приведены к этому
фиктивному материалу. Разумеется, более простым и привычным
является приведение к одному из исходных материалов, выбран¬
ному произвольно.
186 *• НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
Пример 2, Рассчитаем балку, описанную в примере 1 (рис. 5.28), методом
приведенного поперечного сечения, принимая, что сечение целиком состоит из ма¬
териала 1. Таким образом, при приведении верхняя часть сечения балки будет ос¬
таваться неизменной (см. рис. 5.29, а), а ширина нижней части будет умножаться
на коэффициент п~Е2!Еь который в данном случае равен 20.
А Г. КА
0,4 см
Рис. 5.29. Примеры 2 и 3.
Для того чтобы определить положение нейтральной оси, нужно найти коорди¬
наты центра тяжести приведенного поперечного сечения. Подсчитав статические
моменты площадей относительно верхней поверхности балки и разделив их сумму
на полную площадь, найдем следующую величину Нг:
. 8.12.6+160.12,5.1 2576 |ЛЛС
= 8Л2+1б(М ='256~~ ’ см‘
Момент инерции приведенного сечения равен
/пр = 1/12*в*(12)3 + 8.12.(4,06)2+712* 160*(I)3 + 1 • 160-(2,44)2 = 3698 см4.
Напряжения в балке с приведенным поперечным сечением соответственно на верх¬
ней поверхности, в месте соединения и на нижней поверхности равны
0=^=35ООО_С^=_95кГ/ша>
/пр оОУо
Му 35000-1,94 во г г/ ,
{3=72г= = ’ кГ/см*.
пр
а—
пр
Напряжения в исходной балке будут такими же, как и в балке с приведенным се¬
чением из материала 1, но не из материала 2. Кроме того, первые два значения
напряжения, вычисленные выше, будут относиться к соответствующим точкам ис¬
ходной балки из материала 1. Для занятой материалом 2 части сечения напряжения
в месте соединения и на нижней поверхности балки получаются умножением на
коэффициент л, равный 20, откуда имеем
а —20-18,5 — 370 кГ/см2 и а - 20• 28 - 560 кГ/см2.
Все эти результаты соответствуют полученным в примере 1.
5.8.
БАЛКА, ИЗГОТОВЛЕННАЯ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ 187
Пример 3. Для того чтобй еще раз продемонстрировать метод приведенных
поперечных сечений, решим предыдущую задачу для балки с приведенным сече¬
нием из материала 2. В этом случае коэффициент п будет иметь величину 1/2о*
При построении приведенного поперечного сечения заметим, что часть попереч¬
ного сечения балки, занятая материалом 2, остается неизменной, в то время как
ширина части сечения, занятой материалом 1, уменьшится за счет умножения на
коэффициент п (см. рис. 5.29, Ь).
Проделаем сейчас некоторые из тех вычислений, которые имели место в пре¬
дыдущем примере:
, 0,4* 12*6+1 «8* 12,5 128,8 1ЛЛв
1 0,4-12+1-8 12,8— ’ СМ’
/пр = 1/12-0,4-(12)з+0(4-12.(4,06)2+1/х2-8-(1)3+1-8-(2>44)»=185см«.
Напряжения соответственно на верхней поверхности, в месте соединения и на ниж¬
ней поверхности приведенного поперечного сечения будут равны
Му 35000-(—10,06)
/пр 185
-1900 кГ/см2,
Му 35000-1,94
ХГ 185 =368 кГ/См3’
_Л^_35Ш^94=557 кГ/сма
/пр 185
Для того чтобы получить напряжения в исходной балке, напряжения в материале
1 надо умножить на п\ таким образом для верхней поверхности и места соединения
получаем
а——-Уго* 1900 = —95 кГ/см2 и о=1/2о*368= 18,4 кГ/см2.
Напряжения в материале 2 соответствуют тем, которые возникают в исходной
балке.
Читатель, вероятно, уже заметил, что вычисления в примерах 2и 3 очень сход¬
ны и при приведении нет никакого преимущества одного материала по сравнению
с другим.
Метод приведенного поперечного сечения широко используется при расчетах
железобетонных балок, и читателю, интересующемуся расчетом таких балок, сле¬
дует обратиться к справочнику по проектированию железобетонных конструкций.
Трехслойные балки. Трехслойная балка состоит из двух тонких слоев
материала, расположенных снаружи и называемых несущими слоями, и толстого
слоя заполнителя между ними (см. рис. 5.30, где показано характерное попереч¬
ное сечение). Заполнитель обычно представляет собой легкий малопрочный мате¬
риал, служащий главным образом наполнителем или прокладкой, в то время как
несущие слои делаются из высокопрочного материала.Трехслойные конструкции
широко применяются гам, где необходимы малый вес в сочетании с высокой проч¬
ностью и жесткостью.
Приближенная теория изгиба трехслойных балок может быть развита на осно¬
ве предположения, что продольные напряжения при изгибе воспринимаклся не¬
сущими слоями. Это предположение представляется вполне разумным, так как
значение модуля упругости в продольном направлении для заполнителя мало по
сравнению со значением этого модуля для несущих слоев. Поэтому нормальные
напряжения в самых удаленных от середины поверхностях балки (см. рис. 5.30)
имеют вид
188 *• НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
где /ся**Ы(к+ф/2 —» момент инерции несущих слоев относительно оси г. Соответ¬
ственно средние касательное напряжение и деформация сдвига в заполнителе рав¬
ны
здесь <? — поперечная сила, а 03 — модуль* сдвига материала заполнителя.
К настоящему времени развиты более сложные теории изгиба трехслойных ба¬
лок, например можно рассматривать изгиб самих несущих слоев как отдельных
г
Рис. 5.30. Трехслойная балка.
балок. Для углубленного изучения трехслойных балок, а также для исследо¬
вания трехслойных конструкций типа пластин и оболочек следует обратиться
к книге [5.14]. В этой книге содержится также весьма полная библиография по
данному вопросу.
5.9. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБАЮЩЕГО
И КРУТЯЩЕГО МОМЕНТОВ
Иногда узлы конструкции подвергаются одновременному воздей¬
ствию изгибающих и крутящих нагрузок, например валы кругового
поперечного сечения, передающие кручение, часто нагружаются не
только крутящими моментами, но и изгибающими. При таких усло¬
виях можно провести исследование напряжений без сколько-нибудь
существенных затруднений, если известны результирующие напря¬
жений. Результирующие напряжений могут включать изгибающие
моменты, крутящие моменты и поперечные силы. Напряжения,
обусловленные каждой из результирующих, можно определить в про¬
извольной точке поперечного сечения с помощью соответствующих
формул. После этого полное напряженное состояние в выбранной
точке находится при помощи соотношений, приведенных в гл. 2,
или круга Мора. В частности, можно вычислить главные нормальные
напряжения и максимальные касательные напряжения. Таким спо¬
собом можно проанализировать любое количество опасных мест
5.9.
ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБАЮЩЕГО И КРУТЯЩЕГО МОМЕНТОВ 189
и на основе этих результатов можно либо установить приемлемость
конструкции, либо подобрать новые размеры.
В качестве простой иллюстрации изгиба с кручением рассмотрим
консольную балку кругового поперечного сечения, изображенную
на рис. 5.31, а. Эта балка нагружена крутящим моментом Т, вектор
Ь о
Рис. 6.31. Совместное действие изгибающего и крутя¬
щего моментов.
которого направлен вдоль продольной оси, и боковой силой /?. Ре¬
зультирующие напряжений в произвольном отстоящем на расстоя¬
ние х от опоры поперечном сечении стержня могут быть найдены
из уравнений равновесия. Такими результирующими напряженийяв-
ляются: 1) изгибающий момент М, равный Я (Ь—х), где I* — длина
балки; 2) поперечная сила <2, равная /?; 3) крутящий момент Т.
Заметим, что на данном рисунке изгибающий момент считается поло¬
жительным в том случае, Когда он вызывает растяжение в верхнем
волокне балки.
Взяв теперь малый элемент, расположенный у верхнего волок¬
на стержня (элемент А на рис. 5.31), увидим, что в нем возникают
изгибающие напряжения ах, вызванные изгибающим моментом М,
и касательные напряжения т, вызванные крутящим моментом Т
(см. рис. 5.31, Ь). Эти напряжения получаются соответственно по
формулам вх--=Му/1 и т=7р/У. Для вала кругового поперечного
сечения с диаметром й эти формулы принимают вид
32/И 16 Т
190 в. НАПРЯЖЕНИЯ В ВАЛКАХ
Зная ах и т, можно определить напряжения в точке А элемента,
повернутого на произвольный угол.
Главные напряжения в точке А находим по формуле (2.26):
01, а = -тг ± "К(17+т*. (5Ж))
Кроме того, максимальное касательное напряжение, согласно (2.28),
имеет вид
(5-41)
Для расчетных целей удобно выразить главные нормальные и
максимальное касательное напряжения через изгибающий М и кру¬
тящий Т моменты. Подставляя выражения (5.39) в (5.40) и (5.41),
получаем
<4 * = (Л* ± (5.42)
тта х = Щ?УМ2 + Т3- (5.43)
Если известны величины нормальных <тд и касательных тд допуска¬
емых напряжений, то их можно подставить вместо сч или ста и вместо
ттах в Два предыдущих выражения и затем найти оттуда необходи¬
мый диаметр с1 стержня кругового поперечного сечения. Разумеется,
максимальные напряжения будут иметь место в том случае, когда
элемент А располагается на конце стержня, где изгибающий момент
М имеет наибольшие значения.
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что малый элемент
выбран у верхнего волокна стержня. Подобная же процедура может
быть применена для анализа напряжений у нижнего волокна стерж¬
ня. Максимальные напряжения обычно будут возникать в том месте,
где изгибающие напряжения достигают наибольшего значения, т. е.
либо в верхних, либо в нижних волокнах стержня в поперечном се¬
чении с наибольшим изгибающим моментом.
Однако иногда необходимо рассмотреть и другие возможные
случаи. Например, поперечная сила (?, равная /?, создает максималь¬
ное касательное напряжение на нейтральной оси. Следовательно,
необходимо также рассмотреть элемент, расположенный на поверх¬
ности стержня на нейтральной оси (элемент В). Этот элемент будет
находиться в состоянии чистого сдвига (рис. 5.31, .с), причем каса¬
тельное напряжение складывается из двух частей: 1) касательного
напряжения за счет крутящего момента Т, которое определяется
как х—Три, и 2) касательного напряжения за счет поперечной
силы (}, равного т=^5/(1Ь). Главные напряжения для такого эле¬
мента возникают в сечениях, лежащих под углом в 45° к оси. Эти
напряжения можно сравнить с теми, которые были найдены для эле¬
5,10. ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ И ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ 191
ментов, лежащих у верхнего и нижнего волокон балки, и таким об¬
разом установить максимальное нормальное напряжение, которое
следует использовать при определении размеров конструкции. Мак¬
симальные касательные напряжения в балке можно определить так¬
же сопоставлением значений для элементов А и В.
Если балка оперта более сложным образом или ее поперечное се¬
чение не является круговым, то и тогда можно определить напря¬
жения в различных точках балки и сравнить их между собой. При
этом, естественно, в балке следует выбирать те точки, где либо нор¬
мальные, либо касательные напряжения являются максимальными.
Сопоставив напряжения, полученные для всех тех точек, где вероят¬
но возникновение максимальных напряжений, можно быть вполне
уверенным, что найдены абсолютно максимальные значения напря¬
жений.
5.10. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ
ИЗГИБАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ И ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
Перейдем теперь к исследованиям балок, подвергающихся одно¬
временному действию изгибающих нагрузок и продольных сил.Про¬
стой пример такого типа приведен на рис. 5.32, а, где изображена
консольная балка, на которую действует наклонная сила Р. Эту
©
7
Е:
к
©
ь
©
С
Рис. 6.32. Совместное действие изгибающей нагрузки и продольной силы.
силу можно разложить на две составляющие: поперечную изгибаю¬
щую силу К и продольную силу Т. При определении напряжений,
создаваемых в балке этими силами, необходимо различать две воз¬
можности.
1) Балка может иметь относительно небольшую длину по срав¬
нению с высотой и являться, таким образом, сравнительно жесткой
на изгиб. Тогда поперечные прогибы балки будут малыми и незна¬
чительно изменят направление линии действия продольной силы.
Ввиду этого напряжения, создаваемые силами Т и /?, можно найти
независимо одно от другого и просуммировать.
2) Балка может быть сравнительно тонкой и гибкой; при этом
прогибы, обусловленные изгибом, будут достаточно велики и вызо¬
192 *• НАПРЯЖЕНИЯ в БАЛКАХ
вут изменение направления линии действия силы Т. Тогда эта сила
будет создавать дополнительные изгибающие моменты в балке, сле¬
довательно, здесь будет имегь место взаимодействие или связь между
эффектами, обусловленными действием продольной и поперечных
сил 1)-
В данном разделе будут обсуждаться только сравнительно жест¬
кие стержни, для которых справедливы условия, относящиеся к воз¬
можности 1.
Суммарные напряжения в произвольном сечении балки, изобра¬
женной на рис. 5.32, а, получаются сложением продольных напря¬
жений, вызванных силой Т, и напряжений при изгибе, обусловлен¬
ных силой Я. Распределения напряжений каждого из этих видов
в отдельности показаны на рис. 5.32, Ь и 5.32, с. Окончательные на¬
пряжения (рис. 5.32, ё) можно найти по следующей формуле:
N . Му ...
а = Т + 7’ (5-44)
где N — продольная сила, а М — изгибающий момент в рассмат¬
риваемом поперечном сечении. Для консольной балки, изображен¬
ной на рисунке, имеем №~Т и М—К(1^—х). Отметим, что сила N
положительна, когда она вызывает растяжение, а за положительное
направление изгибающего момента М принимается то, которое со¬
ответствует правилу знаков для балки (см. рис. 4.3). При этих ус¬
ловиях нормальное напряжение о, задаваемое выражением (5.44),
будет положительно при растяжении и отрицательно при сжатии.
Окончательный характер распределения напряжения зависит от
относительной величины членов, входящих в это выражение. Рас¬
пределение может быть таким, что по всему поперечному сечению
будет иметь место растяжение, как показано на рис. 5.32, й\ оно
может иметь форму треугольника (рис. 5.32, е)\ в одной части сечения
может иметь место растяжение, а в другой — сжатие (рис. 5.32, /);
возможен также случай, когда во всем сечении имеет место сжатие
(при условии, что сила N является сжимающей).
Из всех приведенных примеров на совместное действие изгибаю¬
щей и продольной нагрузок следует, что нейтральная ось попереч¬
ного сечения (т. е. линия. на которой нормальные напряжения обра¬
щаются в нуль) в этом случае уже не проходит через центр тяжести,
а иногда может даже находиться вне сечения.
Пример. На свободно опертую балку прямоугольного поперечного сечения
(шириной Ь и высотой Л) действует сила Р, направленная так, как показано на
рис. 5.33. Считая расстояние а равным 2Л, определим максимальные растягиваю¬
щее и сжимающее напряжения в балке.
*) Последний случай обсуждается а гл. 10.
5.10. ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ И ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ 193
Сначала отметим, что изгибающий момент максимален в середине пролета
балки, а продольная сжимающая сила в левой половине балки равна Р. Таким
образом, в поперечном сечении, непосредственно примыкающем слева к середине
балки, продольная сила и изгибающий момент равны
/V- —Я, М = Ра/2 = РН.
Подставляя эти значения в формулу <5 44), находим, что напряжения в нижнем и
Р
31
1.0
Рис. 5.33. Пример.
верхнем волокнах балки (у—к/2 и у——И/2) выражаются следующим образом:
_ Р , 6Р__5Р __Р 7Н
ош,жН - - 6А+ьн —ьн . Сверх- ьн Ьк Ьк •
Аналогично находим напряжения в поперечном сечении, непосредственно примы*
кающем справа к середине балки (где М=— РН и N=0):
6 Р 6 Р
ОнИЖН “
Ш’ а°еРх~Ьк'
Сравнивая между собой эти выражения, видим, что максимальное растягивающее
напряжение в балке равно 6Р/(ЬН)9 а максимальное сжимающее напряжение со¬
ставляет —7Р/(ЬН).
Внецентренно приложенная продольная сила. Особым
практически интересным случаем является стержень, на кото¬
рый действует внецентренно приложенная продольная нагрузка
-►я
а о
Рис. 5.34. Внецентренно приложенная продольная сила.
(рис. 5.34). Внецентренно приложенная сила эквивалентна сумме
силы Р, приложенной в центре тяжести поперечного сечения, и из¬
гибающего момента, равного Ре. Поэтому нормальное напряжение
в произвольной точке поперечного сечения имеет вид
Р , Реу
’Р ^ I
(5.45)
7 Механика материалов
194 5. НАПРЯЖЕНИЯ в БАЛКАХ
Из этой формулы можно найти уравнение нейтральной оси (прямой
пп на рис. 5.34, Ь), положив напряжение равным нулю; в результате
получится следующее уравнение прямой с нулевым напряжением:
У = —
Ре'
(5.46)
Знак минус в этом уравнении означает, что нейтральная ось распо¬
ложена выше оси-г, если нагрузка Р представляет собой растягиваю¬
щую силу, приложенную ниже оси г. Нейтральная ось при умень¬
шении эксцентриситета е будет удаляться от центра тяжести, а при
увеличении е приближаться к нему.
Рис. 5.36. Внецентренно приложенная продольная сила, со¬
здающая изгиб относительно обеих главных осей.
Если точка приложения внецентренной растягивающей силы
Р не лежит ни на одной из главных осей поперечного сечения,
то будет иметь место одновременный изгиб относительно обеих глав¬
ных осей. Обозначив координаты точки приложения силы Р через
еу и ег (см. рис. 5.35, а), видим, что изгибающие моменты относитель¬
но осей у и г равны •соответственно Рег и Реу. Результирующее нор¬
мальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения (по¬
ложение точки определяется координатами у иг) примет сле¬
дующий вид:
. '+гн+йг, (5.47)
где 1У и /2 — моменты инерции относительно осей у иг. Когда точка
приложения силы Р находится на оси у и эксцентриситет ^обраща¬
ется в нуль, это выражение совпадает с (5.45). Как и ранее, положив
напряжение а равным нулю, можно получить уравнение нейтраль-
5.10. ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ И ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ 195
ной ОСИ
(5.48)
линейное относительно переменных у их; таким образом, нейтраль¬
ная ось представляет собою прямую (прямая пп на рис. 5.35, а).
В зависимости от формы поперечного сечения и местонахождения
точки приложения продольной силы Р эта прямая может или пере¬
секать контур поперечного сечения, или проходить вне его. Точки
пересечения прямой пп с осями у и г можно найти, положив в урав¬
нении (5.48) или г, или у равным нулю и решив полученное уравне¬
ние относительно другой переменной.
Существует интересная связь между точкой приложения силы Р и положением
нейтральной оси, а именно: при перемещении силы Р вдоль прямой тт нейтраль¬
ная ось поворачивается относительно неподвижной точки К (см. рис. 5.35, Ь).
Для демонстрации этого факта заметим, что силу Р можно разложите на две парал¬
лельные составляющие, приложенные в точках рх и р2. Составляющая в точке рх
действует в главной плоскости изгиба, и поэтому соответствующая ей прямая ну¬
левых напряжений параллельна оси г и отстоит от этой оси на расстояние 5!=
~1г!(Ред (см. рис. 5.35, Ь и соотношение (5.46)). Аналогично составляющая в точ¬
ке р2 вызывает изгиб относительно оси у, а прямая нулевых напряжений отстоит на
расстояние 52=/у/(/гв2) от оси у. Точка к пересечения двух штриховых прямых на
рис. 5.35, Ь будет всегда лежать на нейтральной оси пп, которая соответствует од¬
новременному действию обеих составляющих нагрузок. Таким образом, при пере¬
мещении нагрузки Р вдоль прямой тт точка /? занимает неизменное положение,
причем нейтральная ось всегда проходит через нее.
Ядро поперечного сечения. Когда расстояние от точки приложения про¬
дольной силы Р (рис. 5.34) до центра тяжести сечения мало, нейтральная ось бу¬
дет проходить вне контура поперечного сечения. Это означает, что нормальные
напряжения во всем поперечном сечении будут иметь одинаковые знаки. Такого
рода ситуация часто оказывается очень важной, когда сила действует на материал,
слабо сопротивляющийся растяжению (например, на керамический материал или
бетон). В этом случае может оказаться необходимой гарантия, что ни в одной точке
поперечного сечения не возникают растягивающие напряжения. Вокруг центра
тяжести существует небольшая область, такая, что если точка приложения сжи¬
Ь
Л
У
Рис. 5.36. Ядро прямоугольного попереч¬
ного сечения.
196 *- НАПРЯЖЕНИЯ В ВАЛКАХ
мающей силы Р находится внутри этой области, то во всем поперечном сечении
будет иметь место сжатие. Эта область называется ядром сечения.
Для прямоугольного поперечного сечення ядро можно найти следующим об¬
разом. Если точка приложения силы перемещается в положительном направлении
вдоль оси у (рис. 5.36), то нейтральная ось совпадет с верхней кромкой сечения,
когда сила будет приложена в точке р на расстоянии ех от центра тяжести. Расстоя¬
ние ех можно найти по формуле (5.46) подстановкой значений 1/=—Л/2, /=6Л3/12
и таким образом, ех~к!6, как показано на рисунке. Аналогично нейтраль¬
ная ось совпадает с левой кромкой, если точка приложения силы Р расположена
на оси г (г>0) в точке <7 на расстоянии 6/6 от центра тяжести. Если точка приложе¬
ния силы перемещается вдоль прямой, соединяющей точки р и <7, то нейтральная
ось поворачивается вокруг точки т — угловой точки прямоугольного поперечного
сечения. Следовательно, прямая рд образует одну из границ ядра. Из соображений
симметрии можно найти другие границы и получить, что ядро представляет собой
ромб с диагоналями Ы3 и й/3. До тех пор пока точка приложения сжимающей силы
Р находится внутри этого ромба, нейтральная ось не пересекается с контуром по¬
перечного сечения и во всем поперечном сечении имеет место сжатие. Таким
же методом можно построить ядра для поперечных сечений иной формы *).
ЗАДАЧИ
5.1.1. Определить максимальное напряжение, возникающее в стальной прово¬
локе (Е= 2,1* 10е кГ/см2) диаметром <2=0,08 см при наматывании ее на барабан диа¬
метром 50 см.
5.1.2. Тонкая стальная полоса (Е= 2,1* 10вкГ/см2), имеющая поперечное сече¬
ние размером 0,08X2,5 см и длину 1>=25 см, изгибается сосредоточенными момен¬
тами, приложенными на концах, в дугу окружности, опирающуюся на угол
60°. Чему равно максимальное напряжение, возникающее в полосе?
5.1.3. Деревянная балка квадратного поперечного сечения 25Х 25 см нагруже¬
на и оперта так, как показано на рис. 5.5. Определить допускаемую нагрузку Р
и прогиб 6 в середине пролета балки, если 1=1,8 м, а=0,3 м, 27=0,1* 10® КГ/см2,
а максимальное допускаемое напряжение в балке од=70 кГ/см2.
5.1.4. На балку (см. рисунок) действует равномерно распределенная по
выступающим концам нагрузка с интенсивностью <7= 100 кГ/см. Полагая, что балка
<7 Я
1 Ш_1_
.... 1 н и
А
3 м 1
6 м ф 3 м
К задаче 5.1.4.
изготовлена из двутаврового профиля № 50 (/:=2,Ь 10е кГ/см2), определить макси¬
мальное нормальное напряжение, возникающее в балке, и прогиб вверх д в середи¬
не пролета.
5.1.5. Чему равен максимальный изгибающий момент Мтах, который может
выдержать каждое из поперечных сечений, изображенных на рисунке, если допус¬
каемое напряжение (растягивающее или сжимающее) равно ад?
*) Представление о ядре поперечного сечения было введено Брессом в
1854 г. (см. (5.15]).
ЗАДАЧИ 197
6.1. в. Определить кривизну х и максимальный прогиб 6 для свободно опертой
балки (длина пролета I) прямоугольного поперечного сечения, подвергающейся
неоднородному по высоте к поперечного сечения нагреву. Предполагается, что
температура на верхней поверхности балки равна Т%9 а на нижней Т2 (Т2>ТХ),
причем по высоте поперечного сечения балки она изменяется по линейному закону.
(Коэффициент линейного температурного расширения материала балки равен а,
Е — модуль упругости.)
5.1.7. На свободно опертую балку с длиной пролета 1=4,2 м действует равно¬
мерно распределенная нагрузка интенсивностью 9=3,5 кГ/см. Вычислить макси¬
мальное изгибающее напряжение, если балка имеет прямоугольное поперечное
сечение шириной 6=15 и высотой Л=20 см.
5.1.8. Деревянная плотина высотой А=5,5 м (см. рисунок) состоит из свободно
опертых вертикально поставленных брусьев АВ толщиной /=30 см. Определить
максимальное изгибающее напряжение, возникающее в брусьях, если удельный
вес воды равен 1 Г/см3.
5.1.9. Определить максимальное нормальное напряжение при изгибе свобод¬
но опертой балки, изображенной на рисунке, если Р=600 кГ. Размеры балки и
форма ее поперечного сечения показаны на чертеже.
5.1.10. Свободно опертая швеллерная балка нагружена сосредоточенной си¬
лой Р, приложенной в середине пролета (см. рисунок). Определить величину допу¬
скаемой нагрузки Р, если допускаемое напряжение равно при растяжении 1400
& при сжатии 840 кГ/см2. Балка имеет следующие размеры: 6=60 см, Л=25 см,
Ь*5см и 1=3 м.
Ь
а
Ь
К задаче 5.1.5.
С
А
Л
вшш
К задаче 5.1.8.
К задаче 5.1.9.
198 6- НАПРЯЖЕНИЯ в БАЛКАХ
5.1.11. Свободно опертая балка воспринимает нагрузки от двух пар колес,
расположенных на расстоянии </= 1,8 м друг от друга (см. рисунок). На каждую
пару колес действует нагрузка Р=1,5 т; тележка может свободно перемещаться
вдоль балки. Длина пролета балки I равна 7,2 м. Определить величину макси¬
мального напряжения при изгибе, если балка изготовлена из двутаврового про¬
филя № 30.
Г-1 1
К задаче 5.1.10.
5.2.1. Деревянная балка кругового поперечного сечения свободно оперта в
точках А и В и на ее выступающую часть действует равномерно распределенная
нагрузка <7=4,5 кГ/см (см. рисунок). Определить нужный диаметр й, если ад=
85 кГ/см2, а= 1 м и Ь= 2 м. Весом балки пренебречь.
ъ—♦ *и 1
\\\\\Х РРО
>\\\\\\'
_ I - Ь
К задаче 5.2.1.
а
К задаче 5.1.11.
В
| I
I I
»—|
ЯШ
ь
К задаче 5.2.2.
5.2.2. Деревянная плотина сооружена из горизонтально уложенных досок Л,
опирающихся на вертикальные стойки В, заделанные на нижнем конце (см. рису¬
нок). Определить нужный размер Ь вертикальных стоек, имеющих квадратное по¬
перечное сечение, если высота уровня воды Н= 2 м, расстояние между стойками 5=
= 1 м и ад=35 кГ/см2.
5.2.3. Деревянная балка прямоугольного поперечного сечения изготавли¬
вается из бревна кругового поперечного сечения диаметром с1 (см. рисунок). Ка¬
ЗАДАЧИ 199
кими должны быть размеры Ь и Л, чтобы балка обладала наибольшей прочностью
при изгибе?
5.2.4. Швеллерная балка нагружена изгибающим относительно оси г момен¬
том (см. рисунок). Какова должна быть толщина / балки, чтобы напряжения, воз¬
никающие при изгибе в верхней и нижней частях поперечного сечения, относились
как 3 : 1? (Принять 6=7,5 см, /1=20 см.)
5.2.5. Из таблицы, приведенной в приложении В, выбрать двутавровый про¬
филь для балки, на которую действуют показанные на рис. 5.1, а нагрузки, если
Р=4 т, а= 2 м и ад=1400 кГ/см2. Собственным весом балки пренебречь.
5.2.в. а) Определить необходимый момент сопротивления изгибу для свободно
опертой балки длиной 4,5 м, на которую действует равномерно распределенная на¬
грузка 6 кГ/см и сосредоточенная сила 2 т, приложенная в середине пролета. Допу¬
скаемое напряжение од равно 1100 кГ/см2, собственным весом балки пренебречь.
Ь) Из таблицы, приведенной в приложении В, выбрать подходящий двутавровый
профиль, учитывая собственный вес балки.
5.2.7. а) Определить необходимый момент сопротивления изгибу № для кон¬
сольной балки, на которую действует равномерно распределенная нагрузка
=3 кГ/см и сосредоточенная сила Р=250 кГ, приложенная на свободном конце,
если длина балки Ь равна 1,5 м и ад= 1000 кГ/см2. Собственным весом балки пре¬
небречь. Ь) Из таблицы, приведенной в приложении В, выбрать подходящий дву¬
тавровый профиль, учитывая собственный вес балки.
5.2.8. Определить отношение ИР2/^ моментов сопротивления изгибу для двух
балок с одинаковой площадью поперечных сечений, если первая балка имеет
сплошное круговое поперечное сечение (диаметром б^), а вторая балка представ¬
ляет собой трубу кругового поперечного сечения внешним диаметром с(2.
Н
К задаче 5.2.4.
К задаче 5.2.3.
г
иг
К задаче 5.2.9.
Ь:
У
К задаче 5.2.10.
5.2.9. Призматическая балка, подвергающаяся чистойу изгибу, имеет попе¬
речное сечение в форме трапеции (см. рисунок), причем в верхней части балки име¬
ет место сжатие. Вычислить отношение Ь\1Ь2 верхнего основания трапеции к ниж-
200 Л НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
нему, при котором вес балки минимален, если отношение допускаемых напряжений
при растяжении и сжатии ар/ас=р.
5.2.10. Балка кругового поперечного сечения диаметром й изгибается отно¬
сительно оси г (см. рисунок). Для увеличения момента сопротивления изгибу в бал¬
ке срезаются небольшие заштрихованные на рисунке сегменты высотой д. Найти
такое значение о, при котором момент сопротивления изгибу максимален.
^ 5.2.11. Определить, чему равно число Р, которое определяет величину срезае¬
мой части поперечного сечения, имеющего форму равностороннего треугольника
(см. рисунок), и которому соответствует поперечное сечение, обеспечивающее мак¬
симальную прочность при изгибе.
5.3.1. Используя выражение (5.19) для касательного напряжения т в балке
прямоугольного поперечного сечения, интегрированием по всей площади попереч¬
ного сечения показать, что равнодействующая поперечная сила равна (?.
5.3.2. Определить максимальное касательное напряжение, возникающее в сво¬
бодно опертой балке, на которую действует равномерно распределенная нагрузка
интенсивностью ?= 15 кГ/см, если длина балки 2 м, а ее поперечное сечение пред¬
ставляет собой прямоугольник шириной 6=20 и высотой Л=25 см.
5.3.3. На свободно опертую деревянную балку прямоугольного поперечного
сечения (ширина 6= 15.см; высота А=25 см) действует приложенная в оередине
пролета сосредоточенная сила Р. Чему равно допускаемое значение силы Р, если
од=70 кГ/см2, хд= 11 кГ/см2 и длина пролета 1=1,2 м?
5.3.4. Определить максимальное касательное напряжение, возникающее в вер¬
тикальных стойках» описанных в задаче 5.1.8.
Шт/,
15 см
| 5 см
,5 см
Юсм
К задаче 5.3.5.
5.3.5. Сплошная слоистая деревянная балка поперечного сечения 10Х15 см
склеена из трех досок с размером поперечного сечения 5Х 10 см (см. рисунок). До¬
пускаемое касательное напряжение в клеевых соединениях равно 3,5 кГ/см*. Ка-
ЗАДАЧИ 201
кую нагрузку Р, приложенную на свободном конце, может выдержать такая
консольная балка длиной 1 м? Чему равно максимальное напряжение при изгибе?
5.3.8. Вычислить максимальное касательное напряжение в стенке двутавро¬
вой балки (рис. 5.14, а), если 6= 12,5, /=1,25, Л=30, /»х=26см и (?= 1,5т. Сравнить
полученный результат с приближенным значением напряжения, получаемого де¬
лением поперечной силы на площадь поперечного сечения стенки балки.
5.3.7. Вычислить максимальное касательное напряжение в балке, описанной
в задаче 5.1.4.
5.3.8. Определить максимальное касательное напряжение в балке, описанной
в задаче 5.1.9.
5.5.1. Сварная тонкостенная балка, поперечное сечение которой изображено
на рис. 5.17, 6, состоит из двух несущих пластин сечением 2,5X25 см и стенки тол¬
щиной 1,25 см и высотой 60 см. Если на балку действует суммарная поперечная
сила, равная 75 т, то какая часть силы воспринимается каждым угловым сварным
швом (кГ на см длины шва)?
5.5.2. Размеры поперечного сечения полой деревянной балки, стенки которой
изготовлены из фанеры, указаны на рисунке. Фанера прибита к торцам брусьев
гвоздями, для которых допускаемая нагрузка на срез равна 10 кГ. Найти макси¬
мально допускаемое расстояние между гвоздями для тех сечений, где поперечная
сила равна 50 и 100 кГ.
ТР 1
^ЧГ1
К задаче 5.5.2.
К задаче 5.5.3.
5.5.3. Два двутавровых профиля № 27 (см. приложение В) соединены болтами
таким образом, что работают как одна балка (см. рисунок). Чему должно быть рав¬
но максимальное допускаемое расстояние между болтами в продольном направле¬
нии, если (?=10 т, а допускаемая нагрузка па срез для каждого болта равна
1600 кГ?
5.5.4. Деревянная коробчатая балка изготовлена так, как показано на
рис. 5.18, за исключением того, что верхняя и нижняя доски имеют поперечное се¬
чение размером 2,5Х 20 см (действительный размер), а два боковых элемента имеют
поперечное сечение размером 5Х 20 см. Определить допускаемую поперечную силу
<?» которую может воспринимать поперечное сечение, если расстояние между гвоз¬
дями в продольном направлении равно 5=15 см, а допускаемая нагрузка на срез
для каждого гвоздя составляет 300 кГ?
202 5. НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
5.6.1. На консольную балку прямоугольного поперечного сечения действует
сосредоточенная сила Р, приложенная на незакрепленном конце (см. рисунок).
Определить главные напряжения в точке А и нанести полученные результаты на
рисунок соответствующим образом повернутого элемента. Принять 6 = 10 см,
/1=25 см, Р=500 кГ, с—60 см и с/=7,5 см.
А«
, _1_
й
с
\
К задаче 5.6.1.
5.6.2. Решить предыдущую задачу дая случая, когда 6=10 см, Л=20 см, Р=
= 1 т, с~ 1 м и с/=15 см.
5.6.3. На свободно опертую балку прямоугольного поперечного сечения
(ширина 10, высота 20 см) действует равномерно распределенная на длине 3 м
нагрузка интенсивностью 15 кГ/см. Найти главные напряжения в отстоящем на
30 см от левой опоры поперечном сечении а) на нейтральной оси, Ь) на 5 см выше
нейтральной оси, с) на верхней поверхности балки.
5.6.4. Свободно опертая двутавровая балка (см. рис. 5.14, а) имеет следую¬
щие размеры: 6= 12,5 см, /=1,25 см, Л=30 см, /г1=26 см и длину пролета /.=3 м.
На балку действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью ?=
=90 кГ/см. Исследовать главные напряжения, возникающие в поперечном сече¬
нии балки, расположенном на расстоянии 0,9 м от левой опоры. Рассмотреть на¬
пряжения а) на нижней поверхности, Ь) в месте соединения нижней полки со стен¬
кой, с) на нейтральной оси.
5.7.1. Найти максимальное нормальное напряжение при изгибе консольной
балки, изображенной на рис. 5.24, если б^Л/а=3. Сравнить это напряжение с мак¬
симальным напряжением оь, возникающим в поперечном сечении балки, располо¬
женном в непосредственной близости от заделки.
5.7.2. При каких значениях отношения 4ь1с1а максимальное нормальное на¬
пряжение в консольной балке (см. рис. 5.24) возникнет в поперечном сечении,
расположенном в непосредственной близости от заделки?
5.7.3. На суживающуюся консольную балку квадратного поперечного се¬
чения действует сосредоточенная сила Р, приложенная на незакрепленном конце.
Ширина и высота балки меняются по линейному закону от величины Н на незакреп¬
ленном конце до 2Н на заделанном конце. Длина балки равна Определить мак¬
симальное нормальное напряжение, возникающее при изгибе.
5.7.4. На суживающуюся консольную балку прямоугольного поперечного
сечения действуют нагрузки, показанные на рисунке. Ширина балки постоянна
и равна 2,5 см, а высота меняется по линейному закону от 5 см на нагруженном
конце до 7,5 см у заделки, а) Вычислить максимальное нормальное напряжение,
возникающее при изгибе. Ь) Вычислить максимальное и минимальное касательные
напряжения, возникающие в сечении балки, расположенном в непосредственной
близости от’заделки.
ЗАДАЧИ 203
6.7.5. На консольную балку прямоугольного поперечного сечения с посто¬
янной высотой к и переменной шириной Ь действует сосредоточенная сила.Р, при¬
ложенная на незакрепленном конце. Как должна изменяться ширина Ь в зависи¬
мости от х (координата х измеряется от незакрепленного конца балки) в случае
полностью равнопрочной балки? Рассмотреть только нормальные напряжения,
возникающие при изгибе, и принять максимальное допускаемое напряжение рав¬
ным ад.
25 нГ
К задаче 5.7.4.
5.7.6. Какой должна быть форма полностью равнопрочной консольной балки
(см. рис. 5.25), нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивно¬
стью вместо сосредоточенной силы Р? Рассмотреть только нормальные напря¬
жения, возникающие при изгибе, и принять максимальное допускаемое напряже¬
ние равным Од.
5.7.7. На свободно опертую балку прямоугольного поперечного сечения дли¬
ной I, шириной Ь и переменной высотой к действует сосредоточенная сила Р, ко¬
торая может быть приложена где угодно по длине пролета. Как должна изменяться
высота к в зависимости от х (координата х измеряется от середины пролета балки)
в случае полностью равнопрочной балки? Рассмотреть только нормальные напря¬
жения, возникающие при изгибе, и принять максимальное допускаемое напряже¬
ние равным Од.
5.8.1. На свободно опертую балку длиной 3 м действует сила Р=500 кГ,
приложенная в середине пролета. Балка изготовлена из деревянного бруса (10 см
шириной и 15 см высотой), подкрепленного на нижней поверхности стальной по¬
лосой шириной 2,5 см и толщиной 1,2 см. Своей широкой стороной (шириной 2,5 см)
стальная полоса присоединена к брусу, так что общая высота балки составляет
16,2 см. Найти ^максимальные Напряжения, возникающие в обеих частях балки,
если для древесины Ед=0,1* 10е; а для стали Ес=2,1» 10° кГ/см2.
5.8.2. Составная балка изготовлена из деревянного бруса шириной 15 см и
высотой 20 см, подкрепленного на нижней поверхности стальной пластиной сече¬
нием 1,2X15 см. Модуль упругости древесины равен /:Д=0,Ы06, стали Ес=
=2,1‘10° кГ/см2. Найти допускаемый изгибающий момент, если допускаемые на¬
пряжения для древесины и стали составляют од= 80 и ас= 1100 кГ/см3 соответст¬
венно.
5.8.3. Деревянная балка шириной 20 см и высотой 30 см подкреплена на верх¬
ней и нижней поверхностях стальными пластинами сечением 1,2X20 см. Найти
допускаемый изгибающий момент, если допускаемые напряжения для древесины
и стали соответственно составляют 85 и 1100 кГ/см3, а отношение модулей упруго¬
сти стали и древесины равно 20.
5.8.4. Стенки коробчатой балки изготовлены из фанеры (из дуглассвой пихты),
а ее полки — из крарного дерева (см. рисунок). Стенки имеют толщину 2,5 см и
ширину 30 см; полки имеют сечение 5X10 см (действительный размер). Модуль
упругости фанеры равен 0,1* 106, красного дерева 0,084* 10е кГ/см2. Найти допуска¬
204 5. НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
емый изгибающий момент для балки, если допускаемые напряжения для фанеры
и красного дерева соответственно равны 140 и 120 кГ/см2.
5.8.5. На свободно опертую балку с пролетом длиной 330 см действует рав¬
номерно распределенная нагрузка интенсивностью 48 кГ/см. Поперечное сече¬
ние балки показано на рисунке. Какова должна быть толщина стальных пластин,
если допускаемые напряжения для древесины и стали соответственно составляют
1250 и 85 кГ/см2, а модули упругости соответственно равны 2,1 • 10е и 0,1 • 10е кГ/см2?
30 см
К задаче 5.8.4.
Дерево
К задаче 5.8.5.
5.8.в. На рисунке показано поперечное сечение биметаллической полосы.
Полагая, что Еа—3* 10е и Еь~ 1,5* 10е кГ/см2, определить наименьший момент со¬
противления изгибу для балки, т. е. отношение изгибающего момента к максималь¬
ному напряжению при изгибе.
К задаче 5.8.6.
5.9.1. На полую стойку кругового поперечного сечения действует горизонталь¬
ная сила Р—125 к Г, приложенная на расстоянш 6=90 см от оси стойки (см. ри¬
сунок). Высота стойки Н= 7,5 м, момент сопротивления изгибу №=156 см3.
Определить главное растягивающее напряжение и максимальное касательное на¬
пряжение, возникающие в точке А стойки (см. рисунок), где нормальное напря¬
жение, обусловленное только изгибом, имеет максимальное значение.
5.9.2. На валу диаметром 6,2 см закреплен шкив диаметром 76 см и весом
250 к Г (см. рисунок). Силы (горизонтальные) натяжения ремня равны 875 и 125 к Г.
Определить главное растягивающее и максимальное касательное напряжения,
возникающие в вале в том месте, где установлен подшипник (т. е. на расстоянии
15 см от шкива). (Указание. Заменить вертикальную и горизонтальные силы одной
наклонной равнодействующей. Затем просуммировать напряжения, вызываемые
действием этой силы, с напряжениями, возникающими за счет крутящего момента.)
5.9.3. Сплошной стержень кругового поперечного сечения (см. рис. 5.31, а)
нагружается силой /?=1 т и крутящим моментом Г=9000 кГ*см. Радиус стержня
ЗАДАЧИ 205
равен 10 см. Вычислить главные напряжения в точке А, расположенной наверху
стержня на расстоянии 1,25 м от его нагруженного конца.
5.9.4. Полая труба, имеющая внешний диаметр 5 см и полярный момент инер¬
ции 24 см4, нагружена так, как показано на рис. 5.31, а. Крутящий момент
Г=2000 кГ*см, боковая нагрузка /?=50 кГ. Найти главные напряжения и мак¬
симальное касательное напряжение, возникающие в точке Л, расположенной
на верхней поверхности трубы на расстоянии 90 см от ее нагруженного конца.
К задаче 5.9.1.
5.9.5. Ветровое давление на дорожный знак составляет 0,01 кГ/см2. Знак ук¬
реплен на полой стойке (см. рисунок), внешний и внутренний диаметры которой
соответственно равны 10 и 8 см. Размеры знака составляют 1,8X0,6 м, его нижний
край расположен на высоте 2,1 м. Определить максимальные касательные напря¬
жения, обусловленные ветровым давлением, в точках А, В и С, расположенных в
основании стойки.
10 см
5 см
5.9.6. На полый Ь-образный кронштейн прямоугольного поперечного сече¬
ния, расположенный в горизонтальной плоскости, действует сила Р= 180 кГ (см.
рисунок). Внешние размеры поперечного сечения кронштейна составляют 5Х 10 см,
толщина стенки равна 0,2 см, АВ=25 см, ВС= 50 см. Найти главные напряжения,
возникающие в точке А, расположенной на верхней плоскости кронштейна в не¬
посредственной близости от заделки.
206 5. НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
5.9.7. Стержень ЛВС, имеющий форму полуокружности радиуса /?, лежит в
горизонтальной плоскости и жестко заделан на конце С (см. рисунок). Вес, при¬
ходящийся на единицу длины стержня, равен ц (полный вес стержня составляет
л<?Я). Получить выражения для изгибающего момента М, поперечной силы (}
и крутящего момента Т в поперечном сечении В, расположенном под углом 0.
5.10.1. В стержне квадратного поперечного сечения делается вырез глубиной
в половину стороны квадрата, так что площадь поперечного сечения уменьшается
вдвое (см. рисунок). Найти максимальные растягивающее и сжимающее напря¬
жения, возникающие в ослабленном поперечном сечении тп стержня под действи¬
ем силы Р.
5.10.2. Решить предыдущую задачу в предположении, что стержень имеет
круговое поперечное сечение.
о
т
§
•/»
— п
К задаче 5.10.1.
5.10.3. Круговая цилиндрическая башня, имеющая высоту Л, внутренний ди¬
аметр и внешний диаметр йа» слегка отклоняется от вертикали. Чему равен мак¬
симальный допускаемый угол а отклонения от вертикали, при котором в башне
нигде не возникает растяжения? (Принять, что на башню действует только ее соб¬
ственный вес.)
5.10.4. Рама АВС изготовлена из двух стальных труб, сваренных в точке В.
Каждая труба имеет площадь поперечного сечения Р= 100 см2, осевой момент инер¬
ции 7=8480 см4 и внешний диаметр ^=28 см. Найти максимальные растягивающее
и сжимающее напряжения, возникающие в раме, если Р= 1,5 т, 1=2,4 м и
#=1,8 м.
5.10.5. Швеллерный профиль №8 (см. приложение В) небольшой длины на¬
гружается продольной сжимающей силой Р, линия действия которой проходит
ЗАДАЧИ 207
через центр тяжести стенки швеллера. Найти величину допускаемой нагрузки Р,
принимая допускаемое напряжение при сжатии равным 850 кГ/сма.
б. 10.б. Балка, изображенная на рис. 5.32, а, имеет прямоугольное попереч¬
ное сечение шириной Ь и высотой к. Если силы /? и Т направлены так, как показано
на рисунке, то нейтральная ось в произвольном поперечном сечении, находящемся
на расстоянии х от левого конца балки, лежит выше центра тяжести этого попереч¬
ного сечения и отстоит от центра тяжести на расстояние 5. а) Найти выражение для
з как функции от х в случае, когда /?=7\ Ь) Постррить график зависимости 5 от
х для если 1=75 см и к—Б см.
6.10.7. Плоская бетонная стенка высотой 1,2 м и постоянной толщиной 0,3 м
опирается на прочное основание и служит в качестве дамбы, а) Найти максималь¬
ное и минимальное напряжения, возникающие в основании стенки дамбы, когда
уровень воды достигает ее верхнего края (удельный вес бетона 2,35 Г/см3). Ь) Чему
равна максимально допускаемая глубина А воды, если в бетоне не должны возни¬
кать растягивающие напряжения?
6.10.8. Сплошной стержень кругового поперечного сечения нагружается про¬
дольной растягивающей силой, равной 3 т, и изгибающим моментом 0,31 т*м. Че¬
му должен быть равен диаметр стержня, если допускаемое напряжение при растя¬
жении равно 1300 кГ/сма?
5.10.9. Конец В сплошного стержня АВ кругового поперечного сечения шар¬
нирно закреплен, а конец А опирается (без трения) на гладкую вертикальную по¬
верхность (см. рисунок). Определить расстояние 5 от точки А до поперечного се¬
чения, в котором под действием собственного веса стержня возникает максималь¬
ное сжимающее напряжение. (Здесь Ь — мина стержня, й — его диаметр, а—
угол между стержнем и горизонталью.)
5.10.10. Изготовленный из уголкового профиля 100X100X12 (см. приложе¬
ние В) элемент конструкции нагружен растягивающей силой Р=12,5 т, линия
действия которой проходит через точку пересечения средних линий полок. Чему
равно максимальное растягивающее напряжение в этом элементе?
5.10.11. Изготовленный из двутаврового профиля №36 (см. приложение В)
короткий стержень нагружен сжимающей силой Р=2 т, приложенной к одному
из внешних углов поперечного сечения. Найти максимальные величины растяги¬
вающего и сжимающего напряжений, возникающих в стержне.
5.10.12. Показать, что ядро кругового поперечного сечения (радиусом г)
представляет собой концентрический круг радиусом г/4.
208 *• НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
5.10.13. Показать, что ядро кругового поперечного сечения трубы внешним
диаметром г2 и внутренним диаметром гг представляет собой круг радиусом /■=
=('’1+/'1)/(4/’2)* Определить также, чему равно предельное значение радиуса яд¬
ра, когда гг стремится к г2 и поперечное сечение превращается в тонкое кольцо?
5.10.14. Определить ядро поперечного сечения, имеющего форму равносто¬
роннего треугольника со стороной Ь.
5.10.15. Определить ядро поперечного сечения тонкостенной трубы, имеющего
форму квадрата со стороной Ь.
5.10.16. Определить ядро поперечного сечения двутаврового профиля №40
(см. приложение В).
ПРОГИБЫ БАЛОК
6.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ЛИНИИ ПРОГИБОВ
Поперечные нагрузки, действующие на балку, заставляют ее
изгибаться и тем самым деформируют продольную ось балки, пре¬
вращая ее в некоторую кривую. В инженерной практике часто воз¬
никает необходимость определения прогибов в различных точках,
расположенных на оси балки. Например, вычисление величины про¬
гибов играет существенную роль при исследовании статически неоп¬
ределимых балок, как будет показано в следующей главе. Другой
пример связан с проектированием сооружений, где, как правило,
величина максимального прогиба должна быть ограничена.
Начнем обсуждение задачи о прогибах балок с рассмотрения
изображенной на рис. 6. 1, а свободно опертой балки АВ.
До приложения силы Р продольная ось балки представляет собой
прямую. После изгиба ось балки превращается в кривую АСВ. Так
же как и в предыдущих рассуждениях, касающихся изгиба, пред¬
положим, что плоскость ху является плоскостью симметрии балки и
что все нагрузки действуют в этой плоскости. Тогда кривая АСВ,
называемая линией прогибов балки (или упругой кривой), также
будет лежать в этой плоскости.
Для того чтобы вывести дифференциальное уравнение линии
прогибов, воспользуемся соотношением между кривизной х и из¬
гибающим моментом М (см. формулу (5.9)). Однако теперь сле¬
дует иметь в виду, что правило знаков для кривизны изогнутой оси
связано с выбранными направлениями осей координат. Если при¬
нять, что ось х направлена вправо, а ось у — вниз, как показано на
рис. 6.1, а, то кривизна оси балки положительна в том случае, когда
при изгибе балка обращена вогнутостью вниз, и отрицательна, когда
балка обращена вогнутостью вверх. Таким образом, кривизна изоб¬
раженной на рис. 6.1, а балки отрицательна.
Если далее следовать правилу знаков, состоящему в том, что поло¬
жительный изгибающий момент М вызывает сжатие в верхних во¬
локнах балки, то можно заметить, что положительному изгибающему
моменту соответствует отрицательная кривизна, а отрицательному
210 «• ПРОГИБЫ БАЛОК
изгибающему моменту — положительная кривизна. В соответствии
с этим перепишем формулу (5.9) в следующем виде:
Х Р=
м_
Е1 '
(6.1)
Теперь можно установить связь между кривизной к и прогибом
о», рассмотрев точки тх и т%, лежащие на расстоянии дз одна от дру¬
гой (рис. 6.1, а). В каждой из этих точек проведем но'рмаль к кривой;
Рис. в. 1. Линия прогибов изогнутой балки.
эти нормали пересекутся в центре кривизны О. Предполагается, что
касательная к линии прогибов в точке тх образует угол 0 с осью х
(рис. 6.1, Ь). В точке тг соответствующий угол равен 0—^0, причем
М представляет собой угол между нормалями Огпу и 0/иг. Кроме
того, как видно из рисунка, ск=рй0 и 1/р=й0/^. Таким образом,
кривизна х равна «скорости» изменения угла 0 по расстоянию 5,
измеренному вдоль лийии прогибов:
1 46
6.1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ПРОГИБОВ 211
Для кривой, изображенной на рис. 6.1, Ь, величина М/сЬ отрица¬
тельна, поскольку угол 0 уменьшается при движении слева направо
вдоль линии прогибов.
В практике проектирования в подавляющем большинстве слу¬
чаев имеют место только очень малые прогибы. Поэтому линия про¬
гибов будет весьма пологой, а угол 0 и наклон линии прогибов будут
очень малыми величинами. Следовательно, можно принять
11я ж Ах, 0» (6.3)
где до — прогиб балки относительно ее исходного положения (см.
рис. 6.1, а). Подставляя эти выражения в соотношение (6.2), имеем
1 <Рш
Х р йх йхг' ( )
С учетом соотношения (6.1) получаем уравнение
М
И?~ ~Ш' (6-5)
т. е. основное дифференциальное уравнение линии прогибов балки.
Для того чтобы определить прогиб до, это уравнение нужно интегри¬
ровать отдельно для каждого конкретного случая.
Правила знаков, используемые в уравнении (6.5), состоят в сле¬
дующем: 1) оси х и у направлены так, как показано на рис. 6.1, а,
а именно направо и вниз соответственно; 2) прогиб до положителен,
когда он совпадает с положительным направлением оси у\ 3) изгибаю¬
щий момент М положителен, когда он вызывает сжатие верхних
волокон балки. Если изменить правило знаков для до и М (нап¬
ример, если считать, что положительные прогибы до направлены
вверх), то знак минус в уравнении (6.5) следует заменить на плюс.
Дифференцируя уравнение (6.5) по х и используя затем равенст¬
ва <7=—йС^/йх и (^=йМ!6х (см. соотношения (4.1) и (4.2)), получаем
— - А
&х*~~~ЕГ <6-6)
— --1- /А71
Ох* ~ Е/ • (6-7'
Прогиб до можно найти из решения какого-либо из уравнений (6.5)—
(6.7) в зависимости от того, какая из величин М, или ц задана и
что представляется более удобным с математической точки зрения.
Правило знаков для поперечной силы <2 и нагрузки ц показано на
рис. 4.6, а.
Для простоты в дальнейшем дифференцирование по х будем обоз¬
начать штрихом; таким образом,
ш ® =^> ш ш <6-8>
212 е. ПРОГИБЫ БАЛОК
Используя эти обозначения, приведенные выше дифференциальные
уравнения можно записать в следующем виде:
В следующих двух разделах эти уравнения будут использованы
для определения прогибов балок. Процедура определения включает
в себя последовательное интегрирование уравнений, причем полу¬
чающиеся при этом постоянные интегрирования находятся из гра¬
ничных условий для балки. При выводе этих уравнений можно
видеть, что они справедливы только в том случае, когда материал
подчиняется закону Гука и когда углы наклонов линии прогибов
балки очень малы. Кроме того, следует иметь в виду, что уравнения
были выведены из рассмотрения только деформаций, обусловлен¬
ных чистым изгибом, без учета деформаций сдвига. Эти ограничения
вполне приемлемы для большинства практических случаев, хотя
иногда оказывается необходимым рассмотреть дополнительные про¬
гибы, обусловленные влиянием сдвига (см. разд. 6.11 и 11.4).
Точное выражение для кривизны. Если углы наклонов линии проги¬
бов балки велики, то уже нельзя пользоваться упрощениями вида (6.3). Вместо
этого следует использовать точное выражение для зависимости угла наклона т'
от угла поворота 6 оси балки
Сравнивая выражения (6.10) и (6.4), видим, что предположение о пологости линии
прогибов эквивалентно пренебрежению величиной (и/)а по сравнению с единицей,
т. е. замене выражения, стоящего в знаменателе соотношения (6.10), единицей.
Выражение (6.10) должно использоваться для кривизны в том случае, когда ре¬
шается задача о больших прогибах балок (см. разд. 6.12) *).
ЕШ" — — М,
Е1ш"" = д.
(6.9а)
(6.9Ъ)
(6.9с)
1д0=ю', или 0 = агс1да>'.
Отсюда получаем
1 40 <1 (агс1д а/) Ах
х р йх сЬ ‘
Замечая, что откуда следует
а также учитывая, что
и)”
Г+Ю2*
находим точное выражение для кривизны:
1 ав т"
К~ р— <Ь~[1 + К)2]'1/*'
(6.10)
х) Основное соотношение, показывающее, что кривизна балки пропорциональ¬
на изгибающему моменту (см. соотношение (6.1)), впервые получил Яков Бернулли,
0 2. СВОБОДНО ОПЕРТЫЕ ' БАЛКИ 213
6.2. СВОБОДНО ОПЕРТЫЕ БАЛКИ
Теперь используем дифференциальное уравнение линии проги¬
бов для получения прогибов свободно опертой балки. Если балка
нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью
Я
Рис. 6.2. Линия прогибов свободно опертой бал¬
ки с равномерно распределенной нагрузкой.
<7 (см. рис. 6.2), то изгибающий момент в сечении, отстоящем на рас¬
стояние х от левой опоры, имеет вид М =<7^х/2—цхЧЧ, откуда с уче¬
том уравнения (6.9а) можно записать
ем—4*+**.
Умножая левую и правую части этого уравнения на йх и интег¬
рируя, получаем
^„2^+^+С,, (а)
где С, — постоянная интегрирования. Для определения этой по¬
стоянной можно воспользоваться тем обстоятельством, что вследствие
симметрии угол наклона линии прогибов в середине пролета равен
нулю. Таким образом, имеем условие
и»' =0 при х = Ь/2,
которое можно записать короче:
хю' (1/2)=0.
Подставляя в это условие выражение (а), получаем
Сх=ц1Ч24,
хотя при этом он указал неправильное значение коэффициента пропорционально*
сти. Это соотношение впоследствии использовал Эйлер, решивший дифференциаль¬
ное уравнение линии прогибов как для случая больших прогибов (с использова¬
нием выражения (6.10) для кривизны), так и для малых прогибов (с использова¬
нием уравнения (6.5)). Относительно истории исследования линий прогибов (уп¬
ругих кривых) см. [6.1].
214 в. ПРОГИБЫ БАЛОК
после чего уравнение (а) принимает следующий вид:
ЕМ— 4*+!*+%. (6.11)
Вновь умножая правую и левую части уравнения на йх и интегрируя,
находим
И“-=-ТГ+^ + Т+С- (Ь)
Постоянную интегрирования С2 можно получить из условия, что
ш>—0 при х=0, или
а>(0)=0.
С учетом этого условия выражение (Ь) дает С2=0, поэтому представ¬
ление для прогиба (Ь) имеет вид
™ = (6.12)
Используя это представление, можно найти прогиб в любой
точке балки. Максимальный прогиб б возникает в середине пролета
и находится подстановкой х=Ы2 в выражение (6.12), В результате
получаем
б = Шшах = 384Е1 • (6.13)
Угол наклона достигает максимума на концах балки. Для левого
конца (х=0) из выражения (6. И)1) находим
= штах = ^57 • (6.14)
Для того чтобы иным путем вывести уравнение линии прогибов равномерно
нагруженной свободно опертой балки, можно в качестве исходного взять диффе¬
ренциальное уравнение четвертого порядка (6.9с):
Последовательное интегрирование этого уравнения дает
' Е1и>'" = дх+С1%
Е1ш"=^. + С1Х+С2,
Е1п>'—^
Д/.-^+С^+С.^+С.х+С*
*) Вследствие того что прогибы балки считаются малыми, угол наклона
о/ можно приравнять углу поворота 0, как было показано ранее (соотношение
(6.3)).
6.2.
СВОБОДНО ОПЕРТЫЕ БАЛКИ 215
Для определения постоянных интегрирования необходимы четыре граничных ус¬
ловия Так как прогибы и изгибающие моменты на обоих концах балки обраща¬
ются в нуль, четыре граничных условия имеют следующий вид.
ад (0) = ад (I) = 0, ад" (0) = ад* (I) =- 0.
Из этих условий находим
Сг = — <7/./2, С2 = 0, С3 = <7!3/ 24, С4 = 0.
Подставляя эти значения в приведенное выше выражение для прогиба, получаем
дх4 дЬхЬ.дЬЪс
Е1ы)~
24
12
24
Этот результат совпадает с выражением (6 12), полученным из дифференциального
уравнения второго порядка.
Рассмотрим теперь свободно опертую балку, нагруженную со¬
средоточенной силой Р (см. рис. 6.3). Точка приложения силы опре¬
деляется расстояниями а и Ь до концов балки. В рассматриваемом
У
Рис. 6.3. Свободно опертая балка с сосредото¬
ченной нагрузкой.
примере имеют место два различных выражения для изгибающего
момента: одно для части балки, лежащей слева от точки приложения
силы, и другое — для части балки, лежащей справа от этой точки.
Следовательно, уравнение (6.9а) необходимо записать отдельно
для каждой части балки:
ЕШ' =. — РЬх/Ь, 0 < а,
Е1ы>" =— РЬх/1 + Р (х —а), а
Интегрирование этих уравнений дает
ЕШ = — РЬх2/(2Ь)+С1, 0 (с)
ЕШ = — РЬх2!(2Ь) + Р (х—а)212 + С2, а < х Ь. (с!)
Вторично интегрируя, получаем
Е1ш~ — Я&х3/(6^) + С1х+Са, (е)
ЕШ = — РЬх*/(61) + Р (х—а)3/6 + С2х + С4, а < л: < I. (!)
216 »• ПРОГИБЫ БАЛОК
Четыре постоянные интегрирования, входящие в предыдущие
выражения, можно найти из следующих условий: 1) в сечении х=а
должны быть равны углы наклонов обеих частей балки; 2) в сечении
х—а равны прогибы обеих частей балки; 3) в сечении *=0 прогиб
равен нулю; 4) в сечении х'—Ь прогиб также равен нулю. Из первого
условия видно, что при х=а выражения (с) и (<1) для углов наклона
должны совпадать. Это дает соотношение
—РЬа*/( 21) + Сх = — РЬа*/(2Ь) + Са,
из которого следует, что С1=С2. Второе условие означает, что при
х—а выражения (е) и (!) также должны быть равны:
—РЬа*/( 61) + С1а + С3 = — РЬа3/(61) + Саа + С4,
что дает С3—С4. Наконец, когда на выражения (е) и (Г) накладывают¬
ся соответственно условия (3) и (4), получаем
С3 = 0, — РЫ*/6 + РЬ*/6 + СаЬ = 0.
Из приведенных выше результатов видно, что
С1 = Св = Яй(/.,-А*)/(6^> С3 = С4 = 0.
Подставляя эти значения в выражения (е) и (Г), находим уравнения
линии прогибов:
Е/ш = ^(Р—№—х2), 0 <л;<а, (6.15а)
Е1и> = ^(I2—— х*) + -(х6~а)- , (6.15Ь)
Первое из этих уравнений дает линию прогибов для части балки,
лежащей слева от точки приложения силы Р, второе — лииию про¬
гибов для части балки, лежащей справа от этой точки.
Углы наклонов для двух частей балки определяются подстанов¬
кой значений С1 и С2 в выражения (с) и (<1), что дает
ЕШ = ^1(1*-Ь*—Ъх% 0 (6.16а)
ЕМ = ^ (К-Ь'—Зх') + —у— , а (6.16Ь)
Из этих выражений можно легко найти угол наклона в любой точке
линии прогибов. Часто требуется знать углы поворота на концах
балки. Тогда, подставляя %=0 в выражение (6.16а) и х=Ь в выраже¬
ние (6.16Ь) и обозначая углы поворота концов через 0а и 0Ь (рис. 6.3),
получаем
(6,7а)
6.3.
КОНСОЛЬНЫЕ БАЛКИ 217
Максимальный прогиб балки имеет место в точке, где касатель¬
ная к линии прогибов горизонтальна. Если а>Ь, то максимальный
прогиб возникает в левой части балки (между точками *=0 и х—а)\
для того чтобы найти соответствующую точку, надо приравнять нулю
выражение (6.16а), определяющее угол наклона т'. Обозначив через
Х\ расстояние от конца А балки до точки с максимальным значением
прогиба, из выражения (6.16а) найдем
^ = 1/(1*—&*)/3, а >6. (6.18)
Отсюда видно, что, когда точка приложения силы Р перемещается
от середины балки (Ь—Ь/2) к правому концу (величина Ь стремится
к нулю), расстояние изменяется от Ь/2 до 1/^3=0,5771. Таким
образом, максимальный прогиб всегда возникает очень близко к
центру балки. Величина этого максимального прогиба находится
подстановкой значения х1 (6.18) в соотношение (6.15а), что дает
Прогиб в середине балки получается подстановкой х=Ы2 в вы¬
ражение (6.15а):
до
Поскольку максимальный прогиб всегда возникает вблизи середины
балки, формула (6.20) дает хорошее приближение для его значения.
В наиболее неблагоприятном случае, когда Ь стремится к нулю, зна¬
чения максимального прогиба и прогиба в середине пролета отли¬
чаются друг от друга менее чем на 3% значения максимального
прогиба.
Когда сила Р приложена в середине балки (а=Ь=Ь/2), предыду¬
щие результаты принимают более простой вид, а именно:
ХбЖ7 ’ (6.21а)
■О)
(г)-48ег (6.21Ь)
6.3.
КОНСОЛЬНЫЕ БАЛКИ
На рис. 6.4 изображена консольная балка, защемленная на ле¬
вом конце и несущая равномерно распределенную нагрузку интен¬
сивностью <?. Для того чтобы получить уравнение линии прогибов
этой балки, можно воспользоваться тем же способом, что и в случае
свободно опертой балки, т. е. решить любое из трех дифференциаль¬
ных уравнений (6.9). Если начать с уравнения (6.9а) второго поряд¬
218 6- ПРОГИБЫ БАЛОК
ка для изгибающего момента, то получим
Е1ы>" = — М = <7 (I—х)а/2. (а)
Интегрируя это уравнение один раз, находим
Е1ю' — —<7(/,—*)3/6 + Сг
Постоянную интегрирования Сх можно найти из условия, что угол
наклона балки в опоре равен нулю; таким образом, имеем ха' (0)—О,
Рис. 6.4. Консольная балка с рав¬
номерно распределенной нагрузкой.
что дает Следовательно, можно записать
+х*)• (6-22)
Интегрирование этого уравнения приводит к выражению
' 2АЕ11
= Ш7 (6/Л~ 41х + х*) + с* •
Граничное условие для прогиба в опоре имеет вид до(0)=0; это по¬
казывает, что С2=0. Таким образом, получаем уравнение линии
прогибов:
*» = Ш](Ь1?-Их+х% (6.23)
Угол поворота 6Ь и прогиб б на свободном конце балки (рис. 6.4)
легко найти подстановкой х=Ь в уравнения (6.22) и (6.23), откуда
следует
= (6.24а)
6 = ш(/,)=^. (6.24Ь)
Если исследование этой консольной балки начать с дифферен¬
циального уравнения (6.9Ь) для поперечной силы, то получим <2=
=д(Ь—х), откуда
ЕШ" — — д[.-\-дх. (Ь)
6.4.
МЕТОД МОМЕНТНЫХ ПЛОЩАДЕЙ 219
Интегрирование этого уравнения дает
Е1хю" = —д[,х-\-дх*/2-{-С1.
Поскольку изгибающий момент М при х=Ь равен нулю, граничное
условие записывается так: ы>"(Ь)=0; отсюда следует, что С1=дЬ2/2,
и последнее уравнение принимает вид
Е1ш>* = — дЬх + дх*12 + д1г/2,
аналогичный уравнению (а). Поэтому дальнейшее решение прово¬
дится так же, как и прежде.
Еще одна возможность заключается в следующем: выберем в ка¬
честве исходного дифференциальное уравнение (6.9с) четвертого
порядка
Интегрируя один раз это уравнение, найдем
Е1ю"’ = дх + С1. (с)
Так как при х—Ь поперечная сила равна нулю, граничное условие
имеет вид до'" (Ь)=0, откуда следует Сг=—дЬ. При подстановке
этого значения Сх в уравнение (с) последнее совпадает с уравнением
(Ъ), и. следовательно, дальнейшее решение будет таким же, как и
описанное выше.
Выбор вида дифференциального уравнения для определения про¬
гибов обычно обусловлен удобством математических преобразова¬
ний и личным вкусом исследователя.
6.4. МЕТОД МОМЕНТНЫХ ПЛОЩАДЕЙ
Другой метод определения прогибов в балках основан на исполь¬
зовании площади эпюры изгибающих моментов; он особенно удобен,
когда нужно найти прогиб или угол наклона только в одной точке
балки и не требуется записывать полное уравнение линии прогибов.
Название метода вытекает из того факта, что в нем используется
площадь эпюры изгибающих моментов.
Начнем с рассмотрения участка АВ линии прогибов балки (см.
рис. 6.5). На рисунке также показана эпюра изгибающих моментов
между точками А и В. Прямые, проведенные через поперечные се¬
чения т1 и т2 балки, отстоящие на расстояние (к одно от другого,
при изгибе балки будут пересекаться под углом йв, равным <&/р,
где р — радиус кривизны. Из выражений (6.4) и (6.5) с учетом толь¬
ко абсолютных значений можно получить
мах
230 *■ ПРОГИБЫ БАЛОК
Этому равенству в соответствии с рис. 6.5 может быть дана следу¬
ющая простая геометрическая интерпретация. Прямая т,рх явля¬
ется касательной к линии прогибов в точке ти а прямая тгр2 —
касательной в точке т2. Угол между этими касательными к линии
п
и
11
/ I
Рис. 6.5. Метод моментных площадей.
прогибов равен М. Согласно соотношению (6.25), угол М равен
площади Мйх эпюры изгибающих моментов (на рисунке эта площадь
заштрихована), деленной на жесткость при изгибе Е1.
Теперь, проинтегрировав выражение (6.25) от точки А до точ¬
ки В, получим полный угол 0 между касательными к линии проги¬
бов в точках А и В:
ф. (6.26)
В этом выражении интеграл представляет собой полную площадь
эпюры изгибающих моментов на участке между точками А и В,
деленную на Е1. Таким образом, получаем следующую теорему.
Первая теорема о моментных площадях.
Угол 0 между касательными в двух точках А и В к линии прогибов
равен площади эпюры изгибающих моментов на участке между эти¬
ми двумя точками, деленной на жесткость при изгибе Е1.
В этой теореме используются следующие правила знаков: 1) по¬
ложительный изгибающий момент вызывает сжатие верхних воло¬
кон балки; 2) угол 0 положителен, когда при перемещении от точ¬
6.4.
МВТОД МОМЕНТНЫХ ПЛОЩАДЕЙ 221
ки А к точке В касательная в точке В поворачивается относительно
касательной в точке А против часовой стрелки (как показано на
рис. 6.5). Если часть эпюры изгибающих моментов на участке между
точками А и В положительна, а часть отрицательна, то ту часть пло¬
щади, которая соответствует отрицательному изгибающему моменту,
следует брать со знаком минус.
Далее рассмотрим связь прогиба Д в точке В с прямой АВ',
касательной в точке Л к линии прогибов балки (рис. 6.5). Учитывая,
что угол 0 очень мал, заметим в соответствии с рисунком, что вклад
в величину прогиба Д, вносимый изгибом малого элемента тгтг,
составляет ххб.Ьк где хг — расстояние от этого элемента до точки В.
Малое расстояние Ххс1в равно
и в геометрической интерпретации может быть представлено как
статический момент заштрихованной площади Мйх относительно
проведенной через точку В вертикали, деленный на жесткость при
изгибе Е1. Тогда, интегрируя от точки А до В, получаем величину
полного прогиба Д:
В этом выражении интеграл представляет собой статический момент
относительно точки В площади эпюры изгибающих моментов на уча¬
стке между точками Л и В, деленный на жесткость при изгибе Е1.
На основе сказанного можно сформулировать вторую теорему.
Вторая теорема о моментных площадях.
Величина прогиба Д от точки В до касательной в точке А равна ста¬
тическому моменту относительно точки В площади эпюры изгибаю¬
щих моментов на участке между точками А и В, деленному на жест¬
кость балки при изгибе Е1.
При желании статический момент площади можно получить,
умножив площадь на расстояние х от точки В до центра тяжести С
(см. рис. 6.5). Величина площади считается положительной при по¬
ложительном значении изгибающего момента и отрицательной в про¬
тивоположном случае. Отметим, что положительная площадь (а сле¬
довательно, и положительный статический момент) означает, что
точка В расположена выше касательной в точке Л, в то время как
отрицательный момент соответствует случаю, когда точка В лежит
ниже этой касательной.
Площади эпюры изгибающих моментов, с которыми обычно встре¬
чаются на практике, имеют форму простых геометрических фигур,
в
(6.27)
А
222 * ПРОГИБЫ БАЛОК
таких, как прямоугольники, треугольники и параболы. Площади
и расстояния до центра тяжести таких фигур приводятся в прило¬
жении А (см. табл. А.1).
Сейчас в качестве иллюстрации использования теорем о момент¬
ных площадях приведем несколько примеров определения углов
поворота и прогибов балок *).
Пример 1. Определим угол поворота 0& и прогиб б на незакрепленном кон¬
це консольной балки, на котором приложена сосредоточенная сила Р (рис. 6.6).
Эпюра изгибающих моментов имеет форму треугольника и приведена в нижней
части рисунка.
Р
Рис. 6.6. Пример 1. Консольная бал¬
ка с сосредоточенной нагрузкой.
Согласно первой теореме о моментных площадях, замечаем, что разность меж¬
ду углами наклона в точках А и В равна площади эпюры изгибающих моментов,
деленной на жесткость при изгибе Е1, и имеет вид —Рь2/(2Е1). Знак минус озна¬
чает, что касательная в точке В повернута по часовой стрелке относительно каса¬
тельной в точке Л, направленной по горизонтали. Следовательно, показанный на
рисунке угол % положителен и равен
Прогиб б конца балки можно найти при помощи второй теоремы. Расстояние Д
от точки В на линии прогибов до касательной в точке А равно статическому момен¬
ту площади эпюры изгибающих моментов относительно точки В, деленному на
жесткость при изгибе Е1:
Л_ РЬ2 (2Ь\_ Р/,3
2Е1 V 3 ] 3ЕГ
*) Метод определения прогибов с помощью моментных площадей был предло¬
жен Б Сен-Венаном (см [6 6] и [6.7]). Более полно метод был развит О. Мором
[6.8, 6.9] и Ч. Грином [6.10].
6.4.
МЕТОД МОМЕНТНЫХ ПЛОЩАДЕЙ 223
Знак минус означает» что точка В на линии прогибов лежит ниже касательной
в точке А. Следовательно, прогиб 6 равен •
« ри*
ЗЕГ
Пример 2. Определим прогиб б на свободном конце консольной балки с рав¬
номерно распределенной на части ее пролета нагрузкой интенсивностью ц (см.
рис. 6.7).
Как было показано в предыдущем примере, прогиб б на конце численно сов¬
падает с величиной статического момента площади эпюры изгибающих моментов
относительно точки В, деленной на жесткость при
изгибе Е1. Для квадратичной параболы, имеющей
форму, показанную на рисунке, расстояние до цент¬
ра тяжести равно За/4, а площадь составляет
(</а2/2) (а/3) (см. п. 11 табл. А.1 в приложении А).
Таким образом, выражение для прогиба б имеет
следующий вид:
(т) {^+ь)=Ш1{3а+Щ-
Пример 3, На свободно опертую балку А В
действует сосредоточенная сила Р (рис. 6.8). Найдем
угол поворота 0в линии прогибов в точке Л, прогиб
б в точке приложения силы Р и максимальный про¬
гиб балки.
Для того чтобы найти угол поворота ва в точ¬
ке А, заметим сначала, что он равен расстоянию
ВВ', деленному на длину I. Расстояние В В' пред¬
ставляет собой смещение точки В относительно
касательной в точке А и, следовательно, может
быть найдено путем вычисления статического момента площади эпюры изгибаю¬
щих моментов относительно точки В и деления его на жесткость при изгибе Е/.
Площадь эпюры моментов равна РаЫ% а расстояние от точки В до ее центра тя-
РаЬ/1
Рис. 6.7. Пример 2. Кон¬
сольная балка, на части
пролета которой приложе¬
на равномерно распреде¬
ленная нагрузка.
I + А
Рис. 6.8. Пример 3. Свободно опертая балка с сосредоточенной нагрузкой.
жести С составляет (1+6)/3 (см. п. 3 табл. АЛ в приложении А). Следовательно,
получим
РаЬ(1. + Ь\ РаЬ
224 л ПРОГИБЫ БАЛОК
Площадь эпюры изгибающих моментов положительна; это означает, что, как и сле¬
довало ожидать, точка В расположена выше касательной. В итоге находим
РаЬ
е«=бШ<1+^
Прогиб 6 в точке приложения силы Р можно найти как разность расстояний
ОпО' и Ой’ (см. рисунок). Расстояние Опйг равно ава. Расстояние 0О' представ¬
ляет собой смещение точки по отношению к касательной в точке А и может быть
найдено из второй теоремы о моментных площадях:
1Е/ V 2 )\ 3 ) 61Е1 •
Таким образом, для прогиба 6 получим
л- й РаЧ —РаЧ2
Максимальный прогиб балки возникает в точке Е, где касательная к линии
прогибов горизонтальна. Угол 0 между касательными в точках А и Е равен пло¬
щади участка эпюры моментов между точками А и Е (показанной в последней ча¬
сти рисунка), деленной на жесткость при изгибе Е1. Этот угол должен быть такой
же, как и угол 0в, поскольку тангенс угла наклона в точке Е равен нулю. Отсюда
получаем
й (РЬХ1 \ - РЬХ1
а~ 2 V ЬЕ1)~21ЕГ
где хх—расстояние от точки А до точки с максимальным прогибом. Подставляя
сюда выражение дляи0в и решая получающееся уравнение относительно хг$ нахо¬
дим
*1= У а (/.+ &)/3= уг(/-2—62)/3.
Максимальный прогиб 6тах можно найти следующим образом:
С другой стороны, максимальный прогиб дтах можно определить несколько про¬
ще, учитывая, что он равен смещению точки А вверх по отношению к касательной
в точке Е к упругой линии. Это смещение представляет собой статический момент
относительно точки А площади эпюры изгибающих моментов на участке между
точками А и Е, деленный на жесткость при изгибе Е1\ отсюда
«тах = (у) (757) (“з1 )~9 ^Ш(1г~Ьг) и •
что совпадает с полученным ранее выражением. Приведенные результаты отно¬
сятся к случаю, когда а^Ь.
6.5. СПОСОБ НАЛОЖЕНИЯ
Дифференциальные уравнения (6.9) линии прогибов балки яв¬
ляются линейными дифференциальными уравнениями, т. е. все
члены, содержащие функцию прогибов до или ее производные, входят
0.5.
СПОСОБ НАЛОЖЕНИЯ 225
в уравнения только в первой степени. Это означает, что решения
уравнений для различных условий нагружения можно суммировать.
Таким образом, прогиб балки, вызываемый одновременным дейст¬
вием нескольких различных нагрузок, можно получить сложени¬
ем прогибов, создаваемых каждой нагрузкой в отдельности. На¬
пример, если о»1— прогиб, создаваемый нагрузкой <71, а до»— про¬
гиб, создаваемый нагрузкой ^2, то полный прогиб, возникающий при
одновременном действии нагрузок и <7,, равен щ+щ.
ч
ни***
А
а
Ь
Рис. 6.9. Консольная балка с
нагрузками двух видов.
Рис. 6.10. Свободно опертая балка
с распределенной по закону треу¬
гольника нагрузкой.
Для иллюстрации этой идеи рассмотрим консольную балку, изоб¬
раженную на рис. 6.9. Эта балка несет равномерно распределенную
на части ее пролета нагрузку интенсивностью <7 и сосредоточенную
силу Р, приложенную на конце. Предположим, что нужно найти
прогиб бь на незакрепленном конце. При действии только силы Р
перемещение точки В, как это следует из приведенного в предыдущем
разделе примера 1, равно РЬ3/(ЗЕ1). Точно так же при действии
только равномерно распределенной нагрузки возникает прогиб
да3 (За+4Ь)/ (24Е1), что было получено в примере 2 предыдущего
раздела. Отсюда видим, что прогиб бь, обусловленный совместным
нагружением, составляет
. Р1? . 903(30+46)
6—3 24Е1 •
Аналогичным способом можно найти прогиб и угол поворота в про¬
извольной точке балки.
Способ наложения оказывается особенно полезен в тех случаях,
когда полную систему нагрузок, действующих на балку, можно раз¬
бить на такие виды нагружения, для которых уже известны вызыва¬
емые ими прогибы, как это было показано в только что приведенном
примере. В подобных случаях удобно пользоваться таблицами
выражений для прогибов балок, которые приведены в приложении С.
Пользуясь этими таблицами и способом наложения, можно найти
прогибы и углы поворота для самых разных условий нагружения ба¬
лок. Некоторые дополнительные примеры такого типа будут даны в
конце настоящего раздела.
226 «• ПРОГИБЫ БАЛОК
Способом наложения можно воспользоваться также и в случае
распределенной нагрузки, рассматривая малый элемент распреде¬
ленной нагрузки как сосредоточенную нагрузку и затем интегрируя
полученное выражение по всей области нагружения. Эту процедуру
можно легко понять из примера, подобного представленному на
рис. 6.10. На левую половнну свободно опертой балки АВ действует
распределенная по закону треугольника нагрузка; требуется найти
прогиб б в середине пролета. Элемент цйх распределенной нагрузки
можно представить себе как сосредоточенную нагрузку. Прогиб
в середине пролета, вызываемый сосредоточенной нагрузкой Р,
приложенной на расстоянии х от левого края, равен (см. п. 5 табл. 2
в приложении С)
Подставляя в это выражение вместо Р величину дйх и замечая, что
<7=2^ах/Ь, получаем следующее выражение для прогиба:
ш ш
о о
С помощью такой же процедуры сложения малых элементов распре¬
деленной нагрузки можно вычислить угол поворота 0О на левом кон¬
це балки. Выражение для угла поворота, обусловленного сосредо¬
точенной нагрузкой Р (см. п. 5 табл. 2 в приложении С), имеет вид
РаЬ (/,+ь)
61Е1
В этом выражении нужно заменить Р на 2^охйхИ и а на х, а также
Ь на I—х; в результате получим
т
0 _ Г я***! х (I Х)(2Ь х) — 41<?0^3
а 3 ЗЬ2Е1 ' X) 2880Е/ '
о
В каждом из предыдущих примеров для получения прогибов
балок использовалась идея наложения; ее можно сформулировать
как принцип наложения, широко используемый в прикладной меха¬
нике. Этот принцип справедлив всегда, когда определяемая величи¬
на является линейной функцией приложенных нагрузок. При этих
условиях можно найти искомую величину, соответствующую каж¬
дой нагрузке в отдельности, а затем просуммировать полученные
результаты для того, чтобы получить полное значение, соответству¬
ющее одновременному действию всех нагрузок. При определении
прогибов балок принцип наложения справедлив, если материал под¬
чиняется закону Гука и если прогибы балки малы. Требование
6.5.
СПОСОБ НАЛОЖЕНИЯ 227
малости прогибов обеспечит линейность дифференциального урав¬
нения линии прогибов и неизменность исходных направлений линий
действий нагрузок и реакций.
Приведенные ниже примеры служат дальнейшими иллюстра¬
циями использования принципа наложения для вычисления проги¬
бов балок.
Пример 1. Свободно опертая балка нагружается приложенными на кон¬
цах моментами М0 (рис. 6.11). Найдем выражения для углов поворотов 0а и
на концах балки и для прогиба б в середине пролета.
Используя п. 7 табл. 2 в приложении С, способом наложения получаем
О -о -Мо1 | М01_М0Ь
Ъа-иь- ЗЕ1 Т 6Е1 — 2Е1
М0У _ А10У
° 16 Е1 8 Е!
Пример 2. Правая половина консольной балки А В несет равномерно рас¬
пределенную нагрузку интенсивностью <?, как показано на рис. 6.12. Найдем про¬
гиб дь и угол поворота 0& на незакрепленном конце.
Рис. 6.11. Пример 1. Свободно опер¬
тая балка, к концам которой прило¬
жены сосредоточенные изгибающие
моменты.
пл *
А Ц|
1 * *
< Х Э-1
В
Рис. 6.12. Пример 2. Кон¬
сольная балка, на части про¬
лета которой приложена рав¬
номерно распределенная наг¬
рузка.
Рассмотрим малый элемент дйх нагрузки, находящийся на расстоянии х от
опоры. Этот элемент нагрузки создаст прогиб (16 и угол поворота 40 на свободном
конце, которые (см. п. 5 табл. 1 в приложении С) равны
д(1х х2 (ЗЬ—х) 0 дйх х2
6Ё7 ’ ~2Ё1
Отсюда после интегрирования находим
I
б(,—6Е1 § *)***“ ШЕГ
1,2
06^ 2тг 1 х*ах=~шг
Те же самые результаты можно получить проще, подставив значения а~Ь~Ц2
в формулы, приведенные в п. 3 табл. 1 в приложении С.
228 *• ПРОГИБЫ БАЛОК
Пример 3. Свободно опертая балка с выступающей частью нагружена, как
показано на рис. 6.13, а. Найдем прогиб Ъс на конце выступающей части балки.
Прогиб в точке С складывается из двух частей: 1) прогиба 6^ вызванного по¬
воротом оси балки вокруг опоры В, и 2) прогиба д2, обусловленного изгибом участ¬
ка ВС, работающего как консольная балка. Чтобы получить первую часть про-
В
да
А I И
МЬ
Рис. 6.13. Пример 3. Свободно опертая балка с
выступающей частью.
гиба, заметим, что участок А В балки находится в таком же состоянии, что и сво¬
бодно опертая балка, несущая равномерно распределенную нагрузку и нагру¬
женная моментом Мъ, равным <?а2/2, и приложенной на правом конце вертикаль¬
ной силой, равнойГ <7а, как показано на рис. 6.13, Ь. Выражение для угла по¬
ворота 6$ на конце В (см. п. 1 и 7 табл. 2 в приложении С) имеет вид
й МЬ1 __ ?М^2 —4а2)
ь~ 24Е1 ЗЕ1 24Е/
Прогиб точки С, обусловленный поворотом вокруг точки В, равен или
Л ца1 ОI* — 4а2)
01 “ 24 Е1
Этот прогиб положителен, когда он направлен вверх, поскольку угол поворота
считается положительным при повороте против часовой стрелки.
Собственный изгиб выступающей части обусловливает прогиб 62, направлен¬
ный в точке С вниз. Этот направленный вниз прогиб точно такой же, как и у кон¬
сольной балки длиной а (см. п. 1 табл. 1 в приложении С):
6.6.
НЕПРИЗМАТИЧЕСКИЕ ВАЛКИ 229
Полный прогиб в точке С (считается положительным при направлении вниз) ра¬
вен
вс = б2-61=5Н_(За»+4а*1-1''). (а)
Из этого выражения видно, что, когда длина выступающей части а мала по срав¬
нению с прогиб дс становится отрицательным и точка С перемещается вверх.
На рис. 6.13, с изображена линия прогибов балки для рассматриваемого при¬
мера в случае, когда длина а достаточно велика (приближенно а>0,43Ц для того,
чтобы прогиб в точке С был направлен вниз, и в то же время достаточно мала для
того, чтобы реакция опоры А была направлена вверх (а<Ц. При таких условиях
изгибающий момент на участке от точки А До точки Ь положителен, поэтому на
участке АО линия прогибов обращена выпуклостью вниз. На участке от точки В
до точки С изгибающий момент отрицателен и линия прогибов обращена выпук¬
лостью вверх. Точка О, в которой кривизна оси балки равна нулю, поскольку в
ней равен нулю изгибающий момент, называется точкой перегиба, или точкой об-
ратного изгиба. В точке перегиба кривизна линии прогибов меняет знак.
Пример 4. Определим прогиб Ьь в шарнире В конструкции, изображенной
на рис. 6.14. Отметим, что конструкция состоит из двух частей: 1) балки А В, сво¬
бодно опертой в шарнире Л, и 2) консольной балки ВС% заделанной в опоре С.
Две балки шарнирно соединены в точке В.
Рис. 6.14. Пример 4. Балка с про¬
межуточным шарниром.
Рассматривая балку А В как незакрепленное тело, видим, что на нее действуют
вертикально направленные реакции Р/3 и 2Р/3 соответственно на концах А и В.
Следовательно, балка ВС представляет собой консольную балку, нагруженную
равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью ? и сосредоточенной на¬
грузкой, приложенной на конце и равной 2Р/3. Прогиб на конце этой консоли, ко¬
торый соответствует смещению шарнира, равен
* <7Ь* , 2Р63
"~"81Г+ 9Е/ ’
6.6. НЕПРИЗМАТИЧЕСКИЕ ЕАЛКИ
Методы, приведенные в предыдущих разделах для вычисления
прогибов призматических балок, легко распространить на случай
непризматических балок. В последнюю категорию включаются
балки, имеющие на различных участках разные площади попереч¬
ного сечения, а также суживающиеся балки (см. рис. 6.15, а и 6.16).
Если размеры поперечного сечения балки меняются скачком, то
вблизи мест подобных изменений будут возникать концентрации
напряжений, носящие локальный характер, однако эти локальные
230 *• ПРОГИБЫ БАЛОК
напряжения не будут оказывать существенного влияния на вычисле¬
ние прогибов. Теория изгиба, приведенная ранее для призматиче¬
ской балки, будет давать удовлетворительные результаты и для су¬
живающейся балки при условии, что угол сужения мал.
Рис. в: 15. Свободно опертая балка с двумя раз*
личными значениями момента инерции.
Иногда для нахождения прогибов и углов поворота непризмати¬
ческой балки можно использовать дифференциальное уравнение
линии прогибов. Рассмотрим балку, изображенную на рис. 6.15, а.
Предполагается, что эта балка подкреплена на центральном участ¬
ке, так что на этом участке момент инерции вдвое больше момента
инерции на концевых участках. Дифференциальное уравнение ли¬
нии прогибов (6.9а) для левой половины балки должно быть записа¬
но в виде двух соотношений:
ЕМ=-Ц., <а)
Е(21)иГ=-%-, (Ь)
Каждое из этих уравнений можно проинтегрировать и получить
выражения для углов наклона и прогибов. При этом появятся че¬
тыре постоянные интегрирования, которые можно найти из следую¬
щих условий: 1) о>=0 при х=0; 2) до'=0 при х—Ь/2; 3) при *=1/4
6.6.
НЕПРИЗМАТИЧЕСКИЕ БАЛКИ 231
угол наклона балки, полученный из уравнения (а), равен углу на¬
клона, найденному из уравнения (Ь); 4) при х=Ш прогибы, полу¬
ченные из уравнений (а) и (Ь), равны. Определив из этих условий
постоянные интегрирования, можно получить линию прогибов
балки для каждого из двух рассматриваемых участков. Практиче¬
ски этим методом определения линии прогибов пользуются тогда,
когда число дифференциальных уравнений, которые нужно решать,
ограничено одним или двумя, или когда функции, стоящие в урав¬
нениях, легко интегрируются.
Р
В
Рис. в.1в. Суживающаяся консольная балка.
В случае суживающейся балки (рис. 6.16) решение дифферен¬
циального уравнения формальными математическими методами
может оказаться нелегким. Причина состоит в том, что зависимость
момента инерции / от х обычно представляется сложной функцией,
что затрудняет решение уравнения.
На рис. 6.15 показано, как определяются прогибы непризматиче¬
ских балок методом моментных площадей. На рис. 6.15, Ь приведена
эпюра изгибающих моментов, а на рис. 6.15, с — эпюра М/(Е1).
Площади и статические моменты различных участков эпюры М/(Е1)
можно использовать для .нахождения углов поворотов и прогибов.
Например, найдем угол поворота на левой опоре и прогиб в середи¬
не пролета. В силу симметрии балки касательная к линии прогибов
в центре балки С горизонтальна. Поэтому из первой теоремы о мо¬
ментных площадях следует, что угол поворота 0а на левой опоре
равен площади эпюры М/(Е1) на участке между точками А и С.
Таким образом, величина угла поворота определяется следующим
выражением:
0а = площадь треугольника + площадь трапеции =
_ 1 / I \ / \ . \(РЬ РЬ \ ( Ь \ 5РЦ-
2 \ 4 ) \ 8Е1 ) + 2 \ 16Е1 + 8Е1 ) \ 4 )~ 128Е1 ’
Расстояние от точки А до касательной в точке С к линии прогибов,
равное прогибу 6С в середине пролета балки, получится, если, со¬
гласно второй теореме о площади изгибающих моментов, взять ста¬
тический момент площади эпюры М/(Е1) на участке между точками
Л и С относительно вертикали, проходящей через точку А. Отсюда
232 6- ПРОГИБЫ БАЛОК
имеем
= статический момент треугольника +
+ статический момент трапеции=
/ 2 \ / I \ ( РГ- \, , Г I , 5/г.\1Г ЪР1* 1 ЪР1?
_ I 3 ] V 4 Д 64 Е1 ^ |_4"^"9^4/][_ 128С/ ] ~ 256Е/ ' ^
Другой путь определения прогибов и углов поворота состоит
в использовании способа наложения, который иллюстрируется при¬
мером с консольной балкой (рис. 6.17, я). Допустим, например, что
необходимо узнать прогиб б незакрепленного конца. Если принять,
Р
Ь
Рис. 6.17. Консольная балка с дву¬
мя различными значениями момента
инерции.
что в точке С балка жестко заделана, так что там и прогибы, и пово¬
роты равны нулю, то прогиб б| на свободном конце будет таким же,
как и в случае консольной балки, имеющей длину 112 и момент инер¬
ции /:
„ _ Р (1./2)3 Р1*
01 — ЪЕ1 ~ 24 Е1 ’
Однако участок СВ балки также ведет себя, как консоль (рис. 6.17,6),
н оказывает влияние на прогиб в точке А. Прогиб 8С и угол поворота
0С на свободном конце этой консоли составляют
Л Р (/./2)3 (РЬ/2) ({./2)2 5Р/.2
0с — 3(2Е!) + 2 (2Е1) ~ 96Е1 ’
й _ Р (1/2)2 (РЬ/2) (А/2) 3№
с 2(2Е1) "Г" 2 Е1 ~ 16Е1 ’
Прогиб бс и угол поворота 0С обусловливают возникновение допол¬
нительного прогиба б равного
».=«.+о.(т)-аЕГ-
6.7.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 233
Следовательно, полный прогиб на незакрепленном конце А полу¬
чается в виде суммы
6=6,-и (6)
Из предыдущих примеров видно, что для непризматической бал¬
ки можно использовать любые стандартные методы определения
прогибов. Выбор метода и конкретные детали процедуры будут за¬
висеть от решаемой задачи.
6.7. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Метод конечных разностей является численным методом, кото¬
рый может быть использован для определения прогибов балок. Он
особенно удобен, когда на балку действует нерегулярная нагрузка
или когда исследуется непризматическая балка. Основная идея ме¬
тода состоит в замене дифференциального уравнения линии проги-
Рис. 6.18. Метод конечных разностей.
бов (6.5) его конечно-разностным приближением и алгебраическом
решении системы конечно-разностных уравнений, полученных для
нескольких точек по длине балки. Решение системы дает прибли¬
женные величины прогибов в этих точках.
Для того чтобы пояснить данный метод, начнем с рассмотрения
произвольной функции у—[(х), график которой представлен на
рис. 6.18. Ось х можно разбить на ряд равных интервалов, концевые
точки которых последовательно пронумерованы слева направо.
Ординаты кривой в этих точках обозначены индексами, соответст¬
вующими номерам точек. Например, в точках I—2, *—1, *, /+1 и
т. д. ординаты будут соответственно У1-Ъ у\-и </*, ух ц и т. д. Расстоя¬
234 6- ПРОГИБЫ БАЛОК
ние между соседними точками в данном рассуждении принимается
равным Н, хотя в более общем случае эти расстояния могут быть не
все одинаковы.
Рассмотрим теперь первую производную йу/йх функции у в точ¬
ке А, соответствующей точке I на оси х (см. рис. 6.18). Эта произ¬
водная равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в точ¬
ке А, который в свою очередь приближенно равен углу наклона хор¬
ды, соединяющей точки В и С. Следовательно, имеем
Вторая производная <РуШ* представляет собой «скорость» изме¬
нения первой производной. Поэтому в точке I ее можно приближенно
вычислить как разность углов наклона справа и слева от точки /,
деленную на длину интервала. Такая процедура приводит к следую¬
щему выражению:
(<Ру\ ~ (У!+1—У!)/к — (У1—У!-1)/к _ У1+1—2У1+У1-1 ,с от
А Л* *
Выражения (6.28) и (6.29) представляют первую и вторую произ¬
водные через конечные разности. Эти выражения называются цент¬
ральными разностями, поскольку они содержат ординаты, относя¬
щиеся к точкам, лежащим по обе стороны от точки /.Можнотакже
получить выражения, содержащие (помимо ординаты в точке /)
ординаты, относящиеся к точкам, которые расположены или только
справа, или только слева от точки /. Такие выражения называются
разностями для интерполирования соответственно вперед или назад.
Кроме того, в конечно-разностной форме можно представить и про¬
изводные порядка выше второго. Однако конечно-разностных фор¬
мул, приведенных выше, будет достаточно для определения проги¬
бов балок *).
Из конечно-разностного выражения (6.29) для второй производ¬
ной и дифференциального уравнения (6.5) линии прогибов получим
уравнение линии прогибов в конечно-разностной форме
х) Более полное обсуждение методов конечных разностей содержится в учеб¬
никах по численным методам (см., например [6.11]).
[См. также Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 1—И, изд.
2, М., Физматгиз, 1962.— Ред.]
(6.28)
2м'г+0',--1
А*
М{
(Е1)1
или
(6.30)
6.7.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 235
В этом уравнении обозначения для изгибающего момента М и жест¬
кости при изгибе Е1 снабжены индексом I для того, чтобы подчерк¬
нуть, что эти величины определяются в точке ( на оси балки.
При использовании уравнения (6.30) необходимо выбрать ряд
точек вдоль балки и затем записать уравнения в конечных разностях
для каждой точки. Полученную в результате систему уравнений
можно решить относительно прогибов в выбранных точках, что
иллюстрируется приведенными ниже примерами. В дальнейшем
(разд. 7.5) будет показано применение этого метода к исследованию
статически неопределимых балок.
Пример 1. В качестве иллюстрации к методу конечных разностей рассмо¬
трим задачу об определении прогибов свободно опертой балки, нагруженной рав¬
номерно распределенной нагрузкой д (рис. 6.19, а). Предполагается, что балка име¬
ет постоянную жесткость при изгибе Е1 и длину В данном примере балка раз-
Г1ИШ1П1
к
ш\ ш2 Ш*
1/А | 1/4 | 1/А
Рис. 6.19. Пример 1.
бивается подлине на четыре равных интервала (рис. 6.19, Ь), поэтому требуется
определить прогибы в трех точках: 1, 2 и 3 Однако из условия симметрии извест¬
но, что в двух точках прогибы будут одинаковыми (щ—щ), поэтому в качестве
неизвестных в этих уравнениях будут рассматриваться прогибы только в двух точ¬
ках.
Уравнение в конечных разностях (6.30) для точки 1 имеет вид
ю0-2ю1 + ю2 = -(4-)г(-|Й7-)
так как к—И4 и М1=3^^2/32. Кроме того, поскольку прогиб на конце балки ра¬
вен нулю (шо=0), это уравнение упрощается и принимает вид
№
2“-!-^ = -ШЁГ• (а)
В точке 2 изгибающий момент М2 равен ^12/8, а конечно-разностное уравнение
будет
<0,-2^ + ^=-(4)”'(-§г).
или, поскольку К11=Ша,
<?/.* ...
^ - 04 = ~ 25617- (Ь)
236 6. ПРОГИБЫ БАЛОК
Теперь можно решить уравнения (а) и (Ь) относительно прогибов, откуда получим
шх = щ = Шп = °.00977 ~ЁТ •
0,01367
ЕI
Точные значения этих прогибов таковы:
.,-^О.Ю»!^.
\
Сравнивая между собой приведенные выше величины, видим, что результаты,
полученные с помощью конечных разностей, примерно на 5% превышают точные;
это весьма высокая точность, учитывая, что по длине балки бралось только четыре
интервала. Для того чтобы получить более точные результаты, следует разбить
балку на большее число интервалов и решить соответственно большее число урав¬
нений (см. задачу 6.7.1).
Пример 2• Этот пример относится к непризматической консольной балке,
изображенной на рис. 6.20, а. Отметим, что на участке А В балка имеет момент
инерции в два раза больший, чем на участке ВС. Определим прогиб на незакреп¬
ленном конце балки.
Рис. в.20. Пример 2.
Когда балка разбивается на три равных интервала, получаем три неизвестные
величины прогибов (см. рис. 6.20, Ь). Изгибающие моменты в точках 0, 1 и 2 соот¬
ветственно равны
М0 = - РА, = - 2/3Р1, М2 = - 1/3Р1.
Таким образом, уравнения в конечных разностях для точек 0, 1 и 2 принимают вид
2Е1 )
щ-2шх + к,2 = - (4-)2 (--~) *
(с)
(<0
<е)
6.8. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ 237
В первое из этих уравнений входит фиктивный прогиб и>^9 относящийся к вообра¬
жаемой точке слева от заделки. Этот фиктивный прогиб можно выразить через ве¬
личины действительных прогибов при помощи одного из граничных условий для
заделки в опоре, а именно условия, что угол наклона равен нулю. Первая произ¬
водная произвольной функции задается в конечно-разностном виде выражением
(6.28), и если использовать это выражение для определения угла наклона балки
в точке 0, то получится
= 0, или Ю-1 = (!)
Таким образом, прогиб выражается через действительный прогиб балки.
Вторым граничным условием для заделки является равенство адо=0. После
того как реализуются два граничных условия, уравнение (с) упрощается и прини¬
мает вид
Р/»
Щ Ш/ •
Теперь уже нетрудно решить остальные уравнения в конечных разностях ((1) и (е),
что дает
_ 5^3 „ 7РЦ> Л ЛЛЛАР&
2 54Е/ ' ШЕ1 ~0'1944 Е1 ‘
Для сравнения с полученной выше величиной щ приведем точное решение (см.
выражение (с1) предыдущего раздела) для прогиба на свободном конце балки:
0,3 = ш =0>11875 ж-
Таким образом, разбиение длины балки всего на три интервала дает результат,
только на 4% превышающий точное решение *).
6.8.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ
Начнем обсуждение энергии деформации с рассмотрения балки
при чистом изгибе (рис. 6.21, а) и предположим, что напряжения
в балке ниже предела пропорциональности. Поскольку изгибающий
момент М в балке постоянен, балка изогнется в дугу окружности
с кривизной М/(Е1). Угол 0, на который опирается эта дуга, равен
(6.31)
Эта линейная зависимость между углом 0 и нагрузкой М изобра¬
жается прямой О А на графике, приведенном на рис. 6.21, Ь. Когда
*) Чрезвычайно мощным методом решения дифференциальных уравнений яв¬
ляется метод Бубнова, согласно которому решение исходного дифференциального
уравнения заменяется условием ортогональности этого уравнения, в которое под¬
ставлено выбранное представление для искомой функции, к самой искомой функ¬
ции. Этот метод впервые был предложен Иваном Григорьевичем Бубновым (1872—
1919) (см. Бубнов И. Г., Отзыв о работе проф. С. П. Тимошенко «Об устойчивости
упругих систем», Сборник Спбин-та инж. путей сообщ., 1913, вып. 81, стр. 33 —
36; Строительная механика корабля, часть И. Спб, Тип. Морского министер¬
ства, 1914) и применим к любым дифференциальным уравнениям и их си¬
стемам.— Прим. ред.
238 «• ПРОГИБЫ БАЛОК
величины моментов М постепенно возрастают от нуля до максималь¬
ного значения, они совершают работу, величина которой представ¬
ляется площадью, ограниченной графиком зависимости нагрузки от
перемещения (на рис. 6.21, Ь эта площадь заштрихована). Эта ра¬
бота, равная энергии деформации V, накопленной в балке, выра¬
жается соотношением
(6.32)
Оно аналогично соотношению (1.15), полученному для энергии де¬
формации, создаваемой силой, действующей на стержень при ра¬
стяжении, а также соотношению (3.15) для энергии деформации,
создаваемой крутящими моментами, действующими на вал.
М
——— .дай,
I . \\\\\\\
и—к—н
Рис. 6.21. а — балка при чистом изгибе; Ь — диаграмма линейной
зависимости между изгибающим моментом и углом поворота.
Объединив соотношения (6.31) и (6.32), можно представить энер¬
гию деформации, накопленную в балке при чистом изгибе, в одной
из следующих форм:
(6-ЗЗа)
ИЛИ
= (б.ЗЗЬ)
Первое из этих соотношений выражает энергию деформации через
нагрузку М, а второе — через угол 0.
Если балка не находится в состоянии чистого изгиба и изгибаю¬
щий момент М изменяется по ее длине, то энергию деформации можно
получить, рассмотрев малый элемент балки длиной йх и затем проин¬
тегрировав полученное выражение. Угол йв между сторонами
элемента (см. формулы (6.4) и (6.5)) запишется в виде
,п Мйх 4йю .
6.8
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ 239
Таким образом, энергия деформации Л11, накопленная в малом эле¬
менте, составляет
Соответственно полная энергия деформации,* накопленная в балке,
выражается соотношениями
где интегрирование проводится по всей длине балки.
В соотношениях (6.34) для энергии деформации учитываются
только эффекты, обусловленные действием на балку изгибающего
момента. Кроме того, в каждом элементе будет накоплено некоторое
количество энергии деформации сдвига. Этот вид энергии будет об¬
суждаться ниже (разд. 6.11). Однако для тонких балок энергией де¬
формации сдвига можно пренебречь по сравнению с гораздо большей
энергией деформации, связанной с изгибающим моментом.
Представления об энергии деформации играют важную роль
при исследовании конструкций, а также при расчете конструкций
на действие динамических или ударных нагрузок. Однако в данном
разделе мы ограничимся только несколькими простыми примерами,
показывающими, как определяется энергия деформации балки и
: как следует обращаться с идеализированными задачами о действии
; удара на конструкцию.
Пример /. Определим энергию деформации II консольной балки длиной Ь,
нагруженной на незакрепленном конце сосредоточенной силой Р (см. рис. 6.6).
Найдем также прогиб й на конце балки.
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении консольной балки
равен М=—Рх, где х — расстояние от этого сечения до незакрепленного конца.
Подстановка этого выражения в соотношение (6.34а) дает
ь
Работа, совершаемая нагрузкой, составляет Рд/2; приравняв эту работу энергии
деформации I/, получим
Это выражение соответствует найденному ранее результату (см. пример 1 разд. 6.4).
М*йх
2 Е1
(6.34а)
или
(6.34Ь)
О
РЧ*йх Р2Р
2 Е1 ~ ЬЕ1 ’
Пример 2. Используя уравнение линии прогибов для свободно опертой
балки с равномерно распределенной нагрузкой (см. рис. 6.2), получим выражение
Для энергии де<$юрмации (У, накопленной в этой балке.
240 ПРОГИБЫ БАЛОК
Линия прогибов балки задается уравнением (6.12). Дважды продифференци¬
ровав это уравнение, получим
йх2 2Е1
Подстановка этого результата в соотношение (6.34 Ь) с последующим интегриро¬
ванием дает
8Е1 240Е/ *
о
V
л
Прогибы при ударе. Динамический прогиб балки при ударном
нагружении можно определить, приравняв работу, совершаемую на¬
грузкой, энергии деформации, накопленной в балке. В качестве ил-
IV
А
ч 1/2 ,
+м*Л
Рис. 6.22. Прогиб балки при ударе.
люстрации рассмотрим свободно опертую балку, которая испытыва¬
ет удар от груза весом падающего на середину балки (рис. 6.22).
Предположим, что при столкновении не происходит потери энергии
и что массой балки можно пренебречь по сравнению с массой падаю¬
щего груза. Иначе говоря, работа, совершаемая грузом при его
падении, полностью преобразуется в энергик» упругой деформации
балки, потенциальная же энергия балки, связанная с изменением
ее положения, не учитывается.
Работа, совершаемая грузом, падающим с высоты где Н —
начальная высота тела над балкой, а б — максимальный прогиб,
равна
Г(й+б). (а)
Если через Р обозначить силу, действующую на балку, когда ее
прогиб максимален, и если предположить, что изогнутая форма
балки такая же, как и в том случае, когда сила Р прикладывается
статически, то сила Р запишется в следующем виде:
п 48Е/6
г ~~ I» '
6.9.
НАГРУЗКИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОГИБУ 241
Соответствующая полная энергия деформации равна
п р6 24Е/6* ...
У 2 ~ ‘
Приравняв работу, совершенную падающим грузом (см. выраже¬
ние (а)), энергии дефррмации (Ь), получим следующее уравнение:
б* —2бстб—2Лбст = 0,
где бст=и7Х3/(48Е1) — прогиб балки, когда нагрузка № приклады¬
вается статически. Из приведенного выше уравнения можно найти
максимальный прогиб:
б = бст+У 6СТ* + 2Лбст. (6.35)
Из этого выражения видно, что динамический прогиб б всегда
больше статического прогиба бст. Если высота падения Н—0, что
означает, что груз Х7 прикладывается внезапно, но без свободного
падения, динамический прогиб превышает статический вдвое. Если
высота падения /г очень велика, то в выражении (6.35) доминирует
член, содержащий величину Л, и это выражение можно записать в
следующем упрощенном виде: б=|/’2й6сх. Все это аналогично тому,
что было указано выше при рассмотрении удара по балке при рас¬
тяжении (см. разд. 1.10).
Прогиб б, вычисленный согласно выражению (6.35), является
верхним пределом, основанным на допущении об отсутствии потерь
энергии при ударе. Однако, например, местные деформации на по¬
верхностях контакта будут приводить к потерям энергии. Поэтому
энергия деформации балки уменьшится и максимальный прогиб
станет меньше задаваемого выражением (6.35)х).
6.9.
НАГРУЗКИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОГИБУ
Везде в предыдущих рассуждениях о прогибах балки предпола¬
галось, что нагрузки являются известными величинами. Однако
встречаются такие случаи, в которых нагрузки зависят от прогибов
и поэтому определение величин нагрузок становится частью иссле
дования. Примером служит подпорная поверхность в виде балки
над которой скапливается жидкость. Когда балка прогибается, воз
никает углубление, которое заполняется жидкостью, т. е. образу
ется заполняемая емкость. Наличие емкости увеличивает нагрузку
что влечет увеличение также и прогибов, а отсюда следует, что будет
скапливаться большее количество жидкости. Таким образом, или
прогибы будут продолжать расти, пока балка не разрушится, или
*) Этот прогиб \ мепьшается и в том случае, когда учитывается масса балки
(см. [1.16] и [1.171).
242 «• ПРОГИБЫ БАЛОК
будет достигнуто состояние равновесия, при котором уже не возник¬
нет дополнительного прогиба. Наиболее характерным примером та¬
кого процесса является скопление дождевой воды на плоской кры¬
ше; в дальнейшем этот случай мы будем называть задачей о запол¬
няемой емкости.
=г=»
Рис. 6.23. Свободно опертая балка под действием нагрузки, пропорциональной
прогибу.
Предположим, что балка АВ (рис. 6.23, а) свободно оперта по
концам и является частью системы параллельных балок, поддержи¬
вающих плиту или настил (рис. 6.23, Ь). Предполагается, что перед
образованием емкости балка имеет начальный прогиб задаваемый
выражением
ю1=а)08'т(лх/Ц. (а)
Если над балкой скапливается жидкость, то интенсивность нагруз¬
ки, отнесенной к единице расстояния вдоль балки, составляет
<7=5уда, (Ь)
где 5 — расстояние между балками, у — удельный вес жидкости,
аш — полный прогиб балки. Полный прогиб ни равен сумме началь¬
ного прогиба и дополнительного прогиба о>2 от веса скопившейся
жидкости (рис. 6.23, а).
Поведение балки теперь можно исследовать путем решения диф¬
ференциального уравнения четвертого порядка (6.9с). Это уравнение
принимает вид
Е/Шг" = <7 = 5удо.
Подставив сюда ы>=№,+№2 и взяв для выражение (а), получим
Е1а>а'"—зуы)2 = $уи)0 зш (пхЦ).
Разделив это уравнение на Е1 и введя обозначение
«* = $. (6-36)
6.9.
НАГРУЗКИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОГИБУ 243
найдем, что дифференциальное уравнение можно записать в следую¬
щей форме:
ш'г"—а4щ = а4юо зт (пх/Ь). (6.37)
Предыдущее дифференциальное уравнение имеет общее решение,
состоящее из двух частей: решения однородного уравнения и част¬
ного решения неоднородного уравнения. Первое является решением
однородного уравнения, полученного отбрасыванием стоящего
в правой части члена и приравниванием левой части нулю; второе —
такое решение уравнения, которое при подстановке в левую часть
дает значение, равное стоящему справа выражению. Используя стан¬
дартные приемы решения дифференциальных уравнений, йайдем ре¬
шение однородного уравнения
(ш2)0 = С1 соз ах+Са зш ах+С, сН ах+С4 зН ах, (с)
которое содержит четыре произвольные постоянные. Правильность
этого решения легко проверить непосредственной подстановкой в од¬
нородное дифференциальное уравнение. Частное решение неодно¬
родного уравнения имеет вид
где Ь — безразмерный параметр
Частное решение может быть также проверено подстановкой в диф¬
ференциальное уравнение.
Теперь можно получить общее решение уравнения (6.37), сум¬
мируя решение однородного уравнения и частное решение:
щ = С1со$ах + Сг $та*+С3сНш? + С45Нал: + -р^8т^ . (е)
Входящие в это выражение четыре постоянные интегрирования мож¬
но найти из следующих четырех граничных условий: 1) ш2=0 при
*=0; 2) щ—0 при х—0; 3) ад2=0 при х=Ь; 4) Доа=0 при х=Ь. Из
первых двух условий находим, что С,=С3=0, а из двух последних
имеем С2=С4=0. Таким образом, окончательное выражение для
прогиба представляет собой только частное решение (ё). Тогда пол¬
ный прогиб ад балки выражается следующим образом:
244 *• ПРОГИБЫ БАЛОК
Из последнего соотношения следует, что при заполнении емкости
начальный прогиб т увеличивается за счет коэффициента усиления
1/(1—Ь). Этот коэффициент равен единице, когда Ь=О, и неограни¬
ченно возрастает, когда величина Ь стремится к единице. Таким
образом, можно утверждать, что при значениях Ь, меньших единицы,
т. е. при
о-35»
прогиб до имеет конечное значение и балка достигает состояния рав¬
новесия. Если 1, то балка является неустойчивой под действием
веса скопившейся жидкости и прогиб теоретически становится бес¬
конечно большим. Разумеется, здесь следует иметь в виду, что об¬
ласть применения дифференциального уравнения ограничена ма¬
лыми прогибами и линейно упругим поведением материала балки,
поэтому вышеизложенные результаты несправедливы для случая
больших прогибов.
Приведем еще один пример задачи о заполняемой емкости, а именно предпо¬
ложим, что на первоначально прямую свободно опертую балку действует равно¬
мерно распределенная нагрузка интенсивностью Чо- Вследствие изгиба при запол¬
нении емкости появляется дополнительная нагрузка <?1=57и>, где а»— полный про¬
гиб балки. Следовательно, полная нагрузка будет ^^о+ууши дифференциальное
уравнение линии прогибов примет вид
Е1т"" = д0-\-ауш,
или
=-^-. (В)
Для этого уравнения решение однородного уравнения будет таким же, как и в
предыдущем случае (см. выражение (с)), а частное решение имеет вид
Ич=~7р (Ь)
Используя четыре граничных условия для определения постоянных, входящих в
общее решение, получаем
п п Яо р Яо аI* р Яо аЬ
С4“~2Ту “Г’
Зная эти постоянные, легко выписать общее решение для прогиба ю, после чего
прогиб будет определен в любом конкретном поперечном сечении по длине балки.
Например, в середине пролета балки прогиб равен
ш‘=^(5ес-Т+5сЬ-Т-2)-
Учитывая, что прогиб в середине пролета балки при действии только равномерно
распределенной нагрузки ^0» т. е. без заполнения емкости, равен 5?0А4/(384 Е1),
перепишем это выражение для прогиба в следующем виде:
5 <7<Х4
— ЗЯ4.Р7
6.10.
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ 245
где
(зес^+зсЬ ^-—2).
«)
Коэффициент ^ является безразмерным коэффициентом усиления, который равен
единице при аЬ—0 и неограниченно возрастает, когда величина аЬ стремится к я.
Итак, вновь находим, что существует критическая величина, ниже которой балка
является устойчивой и достигается состояние равновесия. Эта критическая вели¬
чина задается соотношением а/,=л, или Ь— 1, а условие устойчивости совпадает с
приведенным выше условием (6.39). В общем случае можно показать, что это ус¬
ловие устойчивости сохраняется для свободно опертой балки независимо от типа
нагрузки, создающей начальный прогиб.
Разрушения при заполнении образующейся емкости можно избежать при до¬
статочной жесткости Е1 балки или при наличии у нее достаточной выпуклости (на¬
чального прогиба вверх). Конкретные сведения, относящиеся к расчету кровель¬
ных систем, содержатся в работах [6.121 и [6.13], где приводится также и библиог¬
рафия по данному вопросу.
Исследование случаев, когда величина сосредоточенной нагрузки зависит от
прогиба, возникающего при этой нагрузке (в качестве примеров такого рода
исследований см. задачи 6.9.1 и 6.9.2), обычно по самой своей природе оказы¬
вается гораздо проще приведенного выше анализа задачи о заполнении образу¬
ющейся при изгибе емкости.
6.10. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
При равномерном увеличении температуры длина незакреплен¬
ного стержня или балки увеличивается на величину
здесь А/, — приращение длины, а — коэффициент линейного тем¬
пературного расширения 1), Ь — первоначальная длина, ДТ —
приращение температуры. Если балка оперта таким образом, что
она может свободно удлиняться в продольном направлении, как
это имело место для всех рассмотренных в данной главе балок, то
равномерное изменение температуры не вызовет появления напря¬
жений. Прогибы такой балки также будут равны нулю, поскольку
нет никаких причин, которые могли бы вызвать изгиб балки.
Совершенно иначе ведет себя балка, если температура не постоян¬
на по ее высоте. Предположим, например, что температура на верх¬
ней поверхности свободно опертой балки, первоначально прямой и
имеющей одинаковую температуру Т0, принимает значение Ти
а температура на нижней поверхности принимает значение Ти
как показано на рис. 6.24, а. Если предположить, что по высоте бал¬
ки температура изменяется по линейному закону, то средняя темпе¬
ратура балки Тер= (Тх+Та)/2 будет иметь место на середине высоты.
Любое различие между этой средней температурой и начальной тем¬
пературой Го приведет к изменению длины балки, как уже описыва¬
лось в предыдущем абзаце. Разность температур АТ=Т3—7\ на
') Таблица значений а приведена в разд. 1.7.
М=аЫТ-,
(6.40)
246 6- ПРОГИБЫ БАЛОК
верхней и нижней поверхностях балки приводит к ненулевой кри¬
визне ее оси, что обусловливает появление прогибов.
Для того чтобы исследовать прогибы, рассмотрим деформацию
малого элемента длиной йх (рис. 6.24, Ь). Изменения длин нижней
и верхней поверхности малого элемента составляют соответственно
а(Г2—Т0)с1х и а(7\—Т0)йх. Если температура Т2 выше, чем Ти
Г,
-йх
'•Д*'
1 1
1
1
-&1
Рис. 6.24. Влияние изменения температуры на балку.
то стороны элемента будут поворачиваться относительно друг друга
на угол йв, как показано на рис. 6.24, Ь. Угол йв связан с изменением
длины следующим соотношением, полученным из геометрических
соображений:
Нйв—№ (Та—Т0)с1х—(X (Т Т0)с1х,
или
М а (Г,-ТА
йх
Л
(6.41)
где Н — высота балки. Как уже было показано, величина йЫйх
представляет собой кривизну линии прогибов балки (см. формулу
(6.4)); поэтому мы приходим к следующему дифференциальному
уравнению линии прогибов:
Т\) /с л оч
ах* ~ н '
Знак минус в этом уравнении поставлен для того, чтобы сохранить
принятое ранее правило знаков; заметим, что когда Тй больше, чем
Ти кривизна будет отрицательной. Величина а (Т2—Тг)1Н является
аналогом величины М/(Е1), которая ранее входила вдифференци-
альное уравнение линии прогибов.
Теперь, когда получено уравнение (6.42) в качестве основного
дифференциального уравнения для балки, температуры на верхней
и нижней поверхностях которой различны, можно перейти к ре¬
шению этого уравнения, используя те же приемы, что и описанные
при исследовании влияния изгибающих моментов. А именно, можно
6.11.
ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА 247
последовательно проинтегрировать уравнение и получить 6т!йх
им», а затем использовать граничные условия для определения по¬
стоянных интегрирования. Вместо этого можно воспользоваться те¬
оремами о моментных площадях; единственное, что при этом необ¬
ходимо сделать,— заменить величину М/(Е1), которая фигурирует
в этих теоремах, на величину а(Г2—Т^/Н. Задачи 6.10.1—6.10.3
могут быть решены любым из этих методов.
В предыдущей части этой главы при определении прогибов рассматривалось
влияние только деформаций, возникающих при изгибе. Деформации сдвига созда¬
ют дополнительный прогиб, который в случае балки прямоугольного поперечного
сечения заставляет малый элемент балки длиной йх деформироваться так, как по¬
казано на рис. 6.25, а. Так как касательные напряжения меняются по высоте бал¬
ки, поперечные сечения превращаются в искривленные поверхности. На рисунке
показаны только деформации, обусловленные сдвигом, поэтому деформации, воз¬
никающие при изгибе, и действующий на элемент изгибающий момент на схеме не
отражены. Прямая тп представляет собой исходную ось балки, по предположению
горизонтальную, а прямая тр — касательную к этой оси после того, как возникли
деформации поперечного сдвига. Если предположить, что стороны малого элемен¬
та в точках тип остаются вертикальными, то верхняя и нижняя поверхности
балки будут параллельными прямой тр, образующей с горизонталью' угол ус (ус-~
деформация сдвига на нейтральной оси). Деформацию элемента можно представить
более наглядно, разбив его на слои, каждый из которых по предположению на¬
ходится в состоянии чистого сдвига (рис. 6.25, Ь). Деформация сдвига в слое 1
будет ус, в то время как в слоях 2 и 3 деформация сдвига будет меньше, чем ус.
В наиболее удаленном слое 4 деформация сдвига должна быть равна нулю, поэ¬
тому границы этого слоя образуют прямые углы.
Угол наклона линии прогибов балки, обусловленных влиянием только сдвига,
приближенно равен деформации сдвига на нейтральной оси (см. рис. 6.25, а). Та¬
ким образом, обозначив через досд прогиб, зависящий только от сдвига, получим
следующее выражение для угла наклона:
6.11. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА
а
Ь
с
Рис. 6.25. Деформации сдвига в балке.
(6.43)
248 *• ПРОГИБЫ БАЛОК
Где (}/Р —- среднее касательное напряжение, полученное делением поперечной
силы на площадь поперечного сечения балки; аСд*~ числовой коэффициент (ко¬
эффициент сдвига)у на который следует умножать среднее касательное напряжение
для того, чтобы получить величину касательного напряжения в центре тяжести
поперечного сечения; О — модуль упругости при сдвиге. Для прямоугольного по¬
перечного сечения асд=3/2 (см. выражение (5.20)), для кругового поперечного
сечения асд=4/3 (см. выражение (5.23)), а для двутавровой балки коэффициент
асд приближенно равен Р/РС1, где РСТ— площадь поперечного сечения стенки бал¬
ки. Величина ОР/асд называется жесткостью балки при сдвиге х).
Когда на балку действует непрерывно распределенная нагрузка ц, поперечная
сила ф является непрерывной функцией, дифференцируемой по х. Тогда кривизна,
обусловленная влиянием одного сдвига, выражается как
<*гИ>сд ... асд <№. _ «СПЯ , V
йхг ОР йх ОР ' у >
Полный прогиб ш балки равен сумме прогиба щ от изгиба, найденного так, как
это делалось в предыдущих разделах этой главы, и прогиба юсд от сдвига; таким
образом, ш=а;и4'^сд- Следовательно, полная кривизна будет равна
йЬе й*щ , йЧось М
йх2 ~ йх* + йх2 ~ Е1 ОР • 1'
Последовательно интегрируя это уравнение, можно определить прогибы балок в
тех случаях, когда необходимо учитывать влияние сдвига.
Для определения постоянных интегрирования, которые появляются при ре¬
шении уравнения (6.44), используются граничные условия. Например, при сво¬
бодном опирании прогиб равен нулю (ад=м;и=а;сд=0), при защемлении прогиб
также равен нулю; в то же время условие, которое накладывается на угол наклона,
зависит оттого, как именно закреплен конец балки. Если стороны элемента на ней¬
тральной оси остаются вертикальными (как на рис. 6.25, а), то условие для угла
наклона запишется в виде
_^5.-0 /К)
йх -0’ йх ~Ус’ (Ь)
поскольку в данном случае ось балки вблизи опоры будет иметь равный нулю угол
наклона, обусловленный возникающими при изгибе деформациями, и равный ус
угол наклона, связанный с деформациями сдвига. Если балка закреплена таким
образом, что угол наклона линии полных прогибов на конце равен нулю, то ус¬
ловия на конце будут такими:
*-«• И
а конец балки примет показанную на рис. 6.25, с форму, где прямая тр горизон¬
тальна.
Другая возможность заключается в том, что верхняя и нижняя границы се¬
чения балки остаются на одной вертикали (рис. 6.25, й). В этом случае ни прямая
тп, ни прямая тр не сохранят горизонтального направления. Вместо этого угол
наклона 4юсд/4х можно найти, поворачивая по часовой стрелке малый элемент
(рис. 6.25, с) до тех пор, пока прямая тг не станет вертикальной. Угол поворота,
*) Жесткость балки при сдвиге, определенная методом возможной работы,
равна ОР/1 сл, где величина /сд, называемая коэффициентом формы при сдвиге,
может отличаться от коэффициента сдвига асд; см. разд. 11.4.
6.11. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА 249
т. е. угол дтг, равен величине*, деленной на Л/2. Расстояние е, очевидно, составляет
Л/2
е = $ уйу> (<•)
О
где у —• деформация сдвига (рис. 6.25, Ь) на расстоянии у от нейтральной оси.
Для этого случая теперь можно записать следующие граничные условия:
йх йх к 4 '
Величину е, задаваемую выражением ((1), можно подсчитать для любой конкрет¬
ной формы поперечного сечения. Для балки прямоугольного поперечного сечения
шириной Ь имеем
Л/2 Л/2 Л/2
ООО
а условия (е) принимают вид
йшн __Л 4досд _ О
—0 сд == ■■■■■■ М
йх 9 йх ОГ9 ,
Гд€ Р—Ьк — площадь поперечного сечения. В случае двутавровой балки почти вся
поперечная нагрузка воспринимается стенкой и касательное напряжение пример¬
но постоянно по высоте стенки; следовательно, можно записать
Л/2 Л/2 Л/2
в= I т'стлу * ает (Ь)
0 0 о
а условия на концах представить так:
<*дои Л Люсд-__ 0 ...
4* 4* ~~огСт’ ;
где РСТ**МСт ““ площадь стенки балки.
Для того чтобы показать, как вычисляются обусловленные сдвигом проги¬
бы, возьмем в качестве первого примера свободно опертую балку с равномерно
распределенной нагрузкой <7 (см. рис. 6.2). Выражение для кривизны этой балки
будет (см. уравнение (6.44))
д . , - «сД<?
йх* ~ 5/ 1 ' ОР'
откуда, дважды проинтегрировав, получим прогиб до:
»-яи<^-2Л>--1$-;'’+с-*+с-
На концах балки (*=0 и х—1) прогиб до равен нулю, что дает для постоянных С*
и следующие значения:
Г — I аслЯ^ п Л
Сх~2А7+ 20Р ’ 2
250 б. ПРОГИБЫ БАЛОК
Следовательно, линия прогибов балки описывается уравнением
“ - Й/ (т) (^ -2 ^ +1) (т) (1 - т) • (6"5>
В правой части этого выражения стоят два члена: первый представляет собой про¬
гиб за счет изгиба (ср. с выражением (6.12)), а второй — дополнительный прогиб
за счет деформаций сдвига.
В середине пролета балки (х—Ц2) прогиб равен
» -5е>1* | ЬдИ Г 48асдЕ/\
С~ШЕП ВОР ~ШЕ1 V ^ 5 ОРЬ2 )' ' ’
Проанализировав последний член этого выражения, можно оценить влияние
поперечного сдвига. Если пренебречь деформациями сдвига, то эффект будет та¬
кой же, как если предположить, что балка является бесконечно жесткой на сдвиг
(0/7асд=оо); тогда последний член в приведенном выше выражении обратится
в нуль и останется только прогиб за счет изгиба. Если влияние сдвига учитывается
и последний член остается, то обнаруживается, что прогиб возрастает. Последний
член имеет очень малую величину по сравнению с единицей для сплошных балок,
таких, как балки прямоугольного поперечного сечения, но для других балок, на¬
пример трехслойных, он может быть весьма велик.
Для того чтобы получить некоторые числовые результаты, рассмотрим балку
прямоугольного поперечного сечения с высотой к (т. е. аСд=1»5 и ЦР=к2112) и
Е/0=2,5. Прогиб в середине пролета в этом случае составит
•°‘-Шг{'+*Т<г)- <М7>
и, как легко видеть, при Цк= 10 влияние деформации сдвига сказывается в увели¬
чении прогиба на 3%. При меньших отношениях Ик% т. е. для коротких высоких
балок, это влияние более ощутимо. Для двутавровых балок влияние такое же, как
и в случае прямоугольных балок, за исключением того, что относительная величи¬
на прогиба за счет поперечного сдвига обычно в два или три раза больше. Для трех¬
слойных балок увеличение прогиба из-за поперечного сдвига может достигать
50%.
Дифференциальное уравнение, использованное выше для определения про¬
гибов, обусловленных сдвигом, было выведено в предположении, что каждое по¬
перечное сечение балки может свободно искривляться, как это показано на
рис. 6.25, а. Равномерно нагруженная свободно опертая балка является тем слу¬
чаем, где это предположение почти удовлетворяется. В середине пролета балки
может не возникнуть искажения поперечного сечения (вследствие симметрии).
Однако поскольку в середине пролета ф=0, то ничто и не будет стремиться иска¬
зить это сечение. Искажения сечений значительно возрастают по направлению от
середины к концам балки; то же происходит и с самой поперечной силой. Таким об¬
разом, дополнительное ограничение на прогиб, который обусловлен искажением
поперечного сечения, имеет только второстепенное значение. Однако, как можно
видеть, «запрет» искажения поперечного сечения приводит к уменьшению вычис¬
ленных выше значений прогибов.
Линия прогибов свободно опертой балки прямоугольного поперечного се¬
чения с равномерно распределенной нагрузкой была определена методами теории
упругости в работе [6.14]. Было обнаружено, что для коэффициента Пуассона
V=0,25 прогиб в середине пролета составляет
»'-|йи(|+2-2-!>-)•
(6.48)
6.11. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА 251
что дает значение для прогиба меньшее, чем получается по формуле (6.47). Второй
член в предыдущем выражении учитывает не только влияние сдвига, но также и
влияние напряжений Оу в вертикальном направлении (вызванных равномерно рас¬
пределенной нагрузкой <7, действующей на верхней поверхности балки).
Рассмотрим другой пример — свободно опертую балку, нагруженную сосре¬
доточенной силой Р, приложенной в середине пролета. Для левой половины балки
выражения для изгибающего момента, поперечной силы и интенсивности нагруз¬
ки соответственно таковы: М=Рх/2, ф=р/2, <7=0. Отсюда получаем следующие
выражения для криэизн, обусловленных изгибом и сдвигом:
Ох» ~ 2ЕГ Ох2 ’ ^ ^ 2 •
Эти два уравнения должны быть проинтегрированы по отдельности,.а не суммарно,
как это было сделано в первом примере, так как граничные условия для углов
наклона, обусловленных изгибом, и углов наклона, обусловленных влиянием
поперечного сдвига, различны в середине пролета. Два последовательных интегри¬
рования дифференциального уравнения для щ с использованием граничных ус¬
ловий с1щ/с1х=0 при х—Ь/2 и а;и=0 при х=0, дают следующее выражение для
прогиба, связанного с изгибом:
Интегрирование дифференциального уравнения для о;сд дает
Их С»’
и это показывает, что угол наклона, обусловленный сдвигом, постоянен на левой
половине балки. Этот угол наклона равен асд (2/(0Р), как следует из формулы
(6.43). Второе интегрирование в сочетании с условием, что а>Сд=0 при ,*=0, дает
следующее выражение для прогиба, обусловленного влиянием только сдвига:
аС11Рх Л _ _ I
■*«—20Р~’ 0<дс<-2"-
Полный прогиб (при (X х <Ы2) равен
-дш(х)(3_ <тх)+-тйг-- <м9>
в середине пролета балки прогиб имеет величину
Р1* Л, 12асдЕ/ \ /е СЛЧ
а>с~А8Е1 \ ОР1*2 )' ( *
Оценив величину последнего члена стоящего в скобках выражения, можно вновь
определить относительное значение деформаций сдвига для каждого конкретного
примера.
Предыдущее решение (6.49) дифференциального уравнения дает слишком боль¬
шие значения прогибов, поскольку, как уже отмечалось ранее, в нем не учитыва¬
ется влияние искажения поперечных сечений. Из условия симметрии известно, что
поперечное сечение в середине пролета балки остается плоским и в нем не могут
возникнуть искажения. Однако в соседних сечениях, расположенных слева и спра¬
ва от середины пролета, возникают поперечные силы соответственно Р/2 и —Р/2 и
возможно искажение. Так как сечения справа и слева стремятся исказиться в про¬
тивоположных направлениях, но существующие связи препятствуют этому, долж¬
252 ПРОГИБЫ БАЛОК
ны возникать дополнительные напряжения. Дополнительное сопротивление иска¬
жению поперечных сечений препятствует изгибанию балки, поэтому прогибы,
обусловленные сдвигом, будут меньше, чем те, которые были указаны выше.
Для балки прямоугольного поперечного сечения с Е/С=2,5 прогиб в середине
пролета, согласно формуле (6.50), равен
и его можно сравнить со следующим более точным результатом, полученным
[6.15] в рамках теории упругости для случая V=0,25 и Е/0—2,5:
Р/з / к2 Л3 \
-ШГ\1+2.78ТТ-°.84 тг) • (6.52)
Это последнее выражение дает меньшую величину прогиба, чем (6.51), так
как в нем учитываются локальные напряжения вблизи середины пролета балки,
где приложена нагрузка.
Третьим примером, который мы рассмотрим, является консольная балка, за¬
крепленная на левом конце и нагруженная на правом конце сосредоточенной си¬
лой Р (см. рис. 6.6.). Прогиб за счет изгиба ьил уже был найден выше (см. пример 1
разд. 6.4), поэтому здесь будет обсуждаться только прогиб шсд, обусловленный
сдвигом. Поскольку поперечная сила постоянна, также постоянен и угол наклона
йюсл1йх балки, обусловленный сдвигом. Величина этого угла зависит от того, как
балка закреплена на левом конце. Если стороны малого элемента, расположенного
вблизи нейтральной оси, остаются вертикальными, а концевое сечение балки может
свободно искажаться (см. рис. 6.25, а), то угол наклона записывается в виде
_ «сдР
ах “ ор •
а прогиб, обусловленный сдвигом, равен
-Л| «СД** /;ч
^СД ^р X* 0)
Если линия прогибов в опоре остается горизонтальной, а расположенное на конце
поперечное сечение искажается так, как показано на рис. 6.25, с, то йшсл/йх=0
и прогиб ьусд, обусловленный сдвигом, отсутствует. Наконец, если верхняя и ниж¬
няя границы сечения балки остаются на одной вертикали и балка искривляется
так, как показано на рис. 6.25, й, то угол наклона, обусловленный сдвигом, равен
йи>сл_2е
йх ~~ Н '
а уравнение линии прогибов ‘за счет сдвига имеет вид
2е
тс »=^х. (к)
Полный прогиб на свободном конце консоли находится подстановкой х—1 в при¬
веденные выше выражения для шсд и сложением полученного результата с вели¬
чиной РР/(ЗЕ/), представляющей обусловленный изгибом прогиб на свободном
конце.
Прогиб на конце консольной балки, найденный методами теории упругости,
можно получить по приведенной выше формуле для свободно опертой балки с при¬
ложенной в середине пролета сосредоточенной силой (см. выражение (6.52)), заме¬
6.11.
ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА 253
нив Р на 2Р и Ь на 2^. Полученное значение прогиба справедливо для консольной
балки с заделанным концом, где запрещено искажение поперечного сечения, т. е.
предполагается, что концевое поперечное сечение остается плоским *).
Во всех предшествующих выкладках использовался коэффициент сдвига асд,
определенный как отношение касательного напряжения (или деформации сдвига)
на нейтральной оси к среднему значению касательного напряжения (или деформа¬
ции сдвига) в поперечном сечении. Определенная таким образом величина асд
может использоваться для вычисления жесткости при сдвиге иР/асй. Однако были
проведены также и более точные определения жесткости при сдвиге с привлечением
уравнений теории упругости. Приведенные ниже формулы для коэффициента асд
взяты из работы [6.17], где также содержится и библиография, относящаяся к за¬
даче определения коэффициента сдвига. Для сплошных прямоугольных и круго¬
вых сечений эти коэффициенты соответственно равны
12+ 1IV
сл—ТоТГ+у) ’ ( }
7 + 6у (б.БЗЬ)
6(1Н^)
В случае V=0,3 из этих формул получаем соответственно для прямоугольника и
круга следующие значения: асд—1,18 и асд—1,13. Подставив эти новые значения
(вместо величин 3/2 и 4/3) в выведенные ранее выражения для прогибов, обуслов¬
ленных сдвигом, получим меньшие значения этих прогибов. Разумеется, следует
всегда учитывать, что для задач о статическом прогибе достижение высокой точ¬
ности при вычислении прогиба за счет сдвига является неоправданным, поскольку
его величина составляет всего несколько процентов от общего прогиба.
Другим методом определения прогибов балок, обусловленных сдвигом, явля¬
ется метод единичной нагрузки (см. разд. 11.4), основанный на принципе возмож¬
ной работы. В общем случае этот метод дает такие результаты для обусловленных
сдвигом прогибов балок прямоугольного сечения, которые немного ниже тех, что
получаются из решений дифференциального уравнения с использованием коэффи¬
циента сдвига 3/2, но очень близки к результатам, полученным с использованием
асд= 1,18. В разд. 11.4 будут обсуждены прогибы балок за счет сдвига, найденные
методом единичной нагрузки; таблицу формул для прогибов балок, обусловленных
сдвигом, при различных условиях нагружения читатель может найти в книге
При получении выражений прогибов для трехслойной балки (см. разд. 5.8),
как правило, необходимо принимать во внимание влияние деформаций сдвига, по¬
скольку 03— модуль сдвига материала заполнителя — обычно мал и, следователь¬
но, мала жесткость на сдвиг. При вычислении прогибов в таких балках могут быть
использованы методы, которые уже были описаны в этом разделе. Жесткость бал¬
ки при изгибе В/ заменяется величиной Есл/сл, гАе ^сл— модуль упругости не¬
сущих слоев, а /сл— момент инерции этих слоев (см. формулу (5.37)). Жесткость
при сдвиге ОР Iасд заменяется С3РЭ, поскольку предполагается, что касательное
напряжение равномерно распределено по площади заполнителя Р3 и поэтому ко¬
эффициент сдвига асд становится равным единице. Поскольку в трехслойных
балках используются самые различные материалы, при практическом применении
часто случается, что жесткости при изгибе и при сдвиге не могут быть получены
расчетным путем из-за отсутствия точных данных. В таком случае эти жесткости
определяются экспериментально для каждого из используемых материалов и ти¬
пов конструкций.
Энергия деформации при сдвиге. Выражение для накопленной в малом
элементе балки энергии деформации, которая обусловлена влиянием поперечной
16 1в/ ^лияиие сдвига в выражениях для прогибов балок было учтено Понселе
254 л ПРОГИБЫ БАЛОК
силы (?, получить нетрудно. Рис. 6.25, а показывает, что работа, совершенная по¬
перечной силой и равная энергии деформации сШсд, накопленной в малом элемен¬
те, составляет
Используя выражение (6.43), можно переписать это соотношение так:
Таким образом, полная энергия деформации балки, обусловленной влиянием
только поперечного сдвига, равна
Энергию деформации поперечного сдвига можно прибавить к энергии, возникаю¬
щей при деформации изгиба (формулы (6.34)), и получить в результате полную энер¬
гию деформации. Разумеется, в большинстве случаев энергия деформации сдвига
пренебрежимо мала по сравнению с энергией деформации, возникающей при
изгибе *).
6.12. БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ БАЛОК
Прогибы балок, которые ранее определялись в данной главе,
были получены решением приближенного дифференциального урав¬
нения Е1ш"=—М, которое справедливо при условии, что углы
наклона балки малы. Когда углы наклона, а следовательно, и про¬
гибы становятся большими, необходимо использовать точное диф¬
ференциальное уравнение линии прогибов. Это уравнение, основан¬
ное на допущении о том, что материал балки остается линейно уп¬
ругим, имеет следующий вид (см. уравнения (6.1) и (6.2)):
Величина с№Ш представляет собой кривизну балки, т. е. скорость
изменения 0 (угла поворота линии прогибов) в зависимости от 5 —
расстояния, измеренного вдоль самой этой линии. Когда повороты
очень малы, расстояние 5 становится таким же, как и расстояние х,
и угол поворота 0 становится таким же, как и угол наклона скт/йх,
поэтому величина МШ приближенно равняется величине д-хю/йх1.
Однако при больших прогибах подобные упрощения неприменимы
и необходимо решать уравнение (6.55). Точная форма упругой кри¬
вой, получающаяся из этого уравнения, называется эластикой.
*) Метод возможной работы приводит к такому выражению для энергии де¬
формации сдвига в балке, которое аналогично (6.54), за исключением того, что
коэффициент асд заменяется коэффициентом формы /сд (см. выражение (11.17)).
(6.54)
(6.55).
6.12.
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ БАЛОК 255
Математическое решение задачи об эластике было получено для
большого количества различных типов балок и условий нагружения.
Поскольку решения громоздки, они здесь проводиться не будут;
вместо этого мы укажем окончательные результаты^ для одного
примера, интересного с практической точки зрения, и ссылки на
литературу, где можно найти другие решения *).
Рассмотрим консольную балку А В, изображенную на рис. 6.26.
Предполагается, что нагрузка Р создает большие прогибы, в ре¬
зультате чего незакрепленный конец балки перемещается из точки
В в В'. Угол поворота в этом конце балки обозначен через 0Ь, а го¬
ризонтальное и вертикальное перемещения конца — соответственно
через 6Г и 6В. Длина А В' линии прогибов равна начальной длине I,
так как изменением длины по оси, связанным с непосредственным ра¬
стяжением, пренебрегают. Поскольку балка статически определима,
легко найти выражение для изгибающего момента М и подставить
его в уравнение (6.55). Затем после соответствующего преобразова¬
ния уравнения, включая замену зависимой переменной и учета со¬
ответствующих граничных условий, можно получить решение урав¬
нения в эллиптических функциях 2). Это решение приводит к урав¬
нениям, из которых можно найти 06, 6В и 6Г. Конкретно, трансцен¬
дентное уравнение для угла 0Ь имеет вид
*) Задача об эластике впервые была рассмотрена Яковом Бернулли, Эйлером,
Лагранжем, Плана [6.19—6.24]. Решения задачи об эластике можно найтн в кни¬
гах [6.25—6.28]. Наиболее полным'источником по вопросу о больших прогибах
балок является книга Р. Фриш-Фея [6.28], где приведен обширный список
литературы. Дополнительную библиографию можно найти в работе [6.29].
-) Эллиптические функции подробно рассматриваются в учебниках по высшей
математике (см., например, [6.30]). [См. также Сикорский Ю. С., Элементы теории
эллиптических функций с приложением к механике, М.—Л., Гостехиздат, 1936
и Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, изд. 2, М., «Наука»,
1970.— Ред.]
Р
Рис. 6.26. Большие прогибы кон¬
сольной балки.
(6.56)
256 «• ПРОГИБЫ БАЛОК
Величины, входящие в это уравнение, таковы:
(a)
(b)
ш = агс $т—т=г ,
Т кУ 2
1
Р (к)— полный эллиптический интеграл первого рода,
Я/2
(С)
Р (к, <р)—эллиптический интеграл первого рода,
(<0
о
Числовые значения эллиптических интегралов Р(к) и Р(к, ф) для
различных величин аргументов к и ф приведены в справочных таб¬
лицах *).
Поскольку уравнение (6.56) трансцендентное, для определения
0Ь его надо решать методом последовательных приближений. Сог¬
ласно этому методу, последовательность действий такова: 1) выбира¬
ется некоторое значение 0Ь в интервале от 0 до 90°; 2) из выражения
(a) определяется к; 3) по таблице эллиптических функций по вели¬
чине к находится соответствующее значение Р (к)\ 4) из выражения
(b) вычисляется ф; 5) для известных к и ф по таблице определяется
Р (к, ф); 6) из уравнения (6.56) находится нагрузка Р. Этот процесс
даст нагрузку Р, которая соответствует частному выбранному зна¬
чению 06. Повторяя расчеты для других значений 0Ь, можно опреде¬
лить любое желаемое количество соответствующих величин Р и 0Ь.
Некоторые определенные таким способом величины приведены
в табл. 6.1. Отметим, что при малых значениях нагрузки величина
угла поворота, найденная по формуле вь=Рк*/ (2Е1), является весь¬
ма точной *).
Для вертикального перемещения конца консольной балки полу¬
чается уравнение
где
Е(к)—полный эллиптический интеграл второго рода,
Я/-2
(6.57)
(е)
о
*) См., например, [6.31—6.33].
2) Приведенные в табл. 6.1 величины были вычислены Ройаном [6.34].
6.12.
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ БАЛОК 257
Таблица 6.1. Угол поворота и перемещения
незакрепленного конца консольной
балки с сосредоточенной нагрузкой
(рис. 6.20)
т*
1:1
Л/2
«в
бг
Т~
0
0
0
0
0,25
0,079
0,083
0,004
0,50
0,156
0,162
0,016
0,75
0,228
0,235
0,034
1
0,294
0,302
0,056
2
0,498
0,494
0,160
3
0,628
0,603
0,255
4
0,714
0,670
0,329
5
0,774
0,714
0,388
6
0,817
0,744
0,434
7
0,849
0,767
0,472
8
0,874
0,785
0,504
9
0,894
0,799
0,531
10
0,911
0,811
0,555
00
1
1
1
Е(к, ср) —эллиитический интеграл второго рода,
ф
Е(к, ср)= $ |Л — РыпЧШ. (!)
о
Используя значения 06, к, ср и РЬ*/(Е1), уже полученные из ре¬
шения уравнения (6.56), легко решить и уравнение (6.57). Единст¬
венный дополнительный шаг состоит в определении по таблицам ве¬
личин Е(к) и Е(к, ср) с последующей подстановкой их непосредст¬
венно в уравнение (6.57). Некоторые конечные результаты приведе¬
ны в табл. 6.1.
Наконец, можно получить величину горизонтального переме¬
щения, которая выглядит так:
Ъ.= 1 — }/2Е1р-^ . (6.58)
В последнем столбце табл. 6.1 приведены результаты расчетов для
этого случая. Зависимости угла поворота 0Ь и прогибов 8В и 8Г
от параметра нагрузки приведены на рис. 6.27. На каждом из гра-
9 Механика материалов
258 ПРОГИБЫ БАЛОК
фиков при стремлении нагрузки к нулю данные, относящиеся к боль¬
шим прогибам, совпадают с данными, полученными по теории ма¬
лых прогибов.
4 б
Рф1)
а
10
0 2 А 6 Ь 10
С
Рис. 6.27. Прогибы консольной балки, изображенной на рис. 6.26: а — угол по¬
ворота 0$; Ь — вертикальное перемещение 6В; с — горизонтальное перемещение 6Г.
Полное решение задачи о консольной балке с вертикальной нагрузкой на кон¬
це (рис. 6.26) приводится в работах [6.28], [6.35] и [6.36], а прогиб консольной бал¬
ки с равномерно распределенной нагрузкой рассматривается в статье [6.37].
Решения для консольных балок могут быть применены и к симметрично нагружен¬
ным свободно опертым балкам, поскольку половина свободно опертой балки ана¬
логична консольной балке. Многочисленные примеры поведения балок при боль¬
ших прогибах приведены в книге [6 28].
В общем трехмерном случае балки, изогнутой моментами и силами, прило¬
женными на концах, дифференциальные уравнения эластики имеют такую же фор¬
му, как и уравнения движения тяжелого тела, вращающегося относительно не¬
подвижной точки. Эта аналогия была отмечена Кирхгофом в 1859 г. и называется
динамической аналогией Кирхгофа [6.38]. В частном случае действия только про¬
дольных сил, приложенных на концах стержня, дифференциальное уравнение
ЗАДАЧИ 259
эластики совпадает с уравнением движения обычного маятника, совершающего
колебания большой амплитуды. Относительно аналогии Кирхгофа между упруги¬
ми и динамическими системами см. [6.391.
6.2.1. Путем последовательного дифференцирования уравнения линии про¬
гибов свободно опертой балки, на которую действует равномерно распределенная
нагрузка (уравнения (6.12)), получить выражения для изгибающего момента М,
поперечной силы Ои распределенной нагрузки <7 (см. выражения (6.9)). Проверить
полученные результаты, сравнив их с выражениями ф разд. 4.4.
6.2.2. Вычислить максимальный прогиб д свободно опертой балки, на которую
действует равномерно распределенная нагрузка, если длина пролета балки Ь— 3 м,
(7=6 кГ/см, а максимальное нормальное напряжение, возникающее в балке при
изгибе под действием нагрузки <7, составляет 70 кГ/см2. Балка имеет квадратное
поперечное сечение и изготовлена из древесины, модуль упругости которой равен
6.2.3. Свободно опертая двутавровая стальная балка при действии на нее
равномерно распределённой нагрузки имеет максимальный прогиб 0,8 см, а мак¬
симальный угол наклона линии прогибов у концов балки составляет 0,01 рад.
Подсчитать, чему равна высота к балки, если максимальное нормальное напряже¬
ние равно 1260 кГ/см2. Принять Е~2,Ь 10е кГ/см2.
6.2.4. Свободно опертая балка прямоугольного поперечного сечения, на кото¬
рую действует равномерно распределенная нагрузка, имеет в середине пролета
прогиб 5 см. Эта балка заменяется другой балкой из того же самого материала и
также прямоугольного поперечного сечения, но с шириной поперечного сечения
вдвое меньшей, чем у исходной балки. Какова должна быть высота к2 новой балки
по сравнению с высотой кх исходной балки, если новая балка при действии той же
самой нагрузки прогибается только на 1,25 см?
6.2.5. Найти точку приложения силы Р, показанной на рис. 6.3, если отно¬
шение значений углов поворотов на концах балки 0а/О^=3/4.
6.2.6. Найти отношение максимального прогиба к прогибу в середине пролета
балки, изображенной на рис. 6.3, если а—ЦЗ.
Задачи 6.2.7— 6.2Л0 следует решать путем интегрирования дифференциаль¬
ного уравнения линии прогибов.
6.2.7. Найти уравнение линии прогибов свободно опертой балки, нагруженной
сосредоточенным изгибающим моментом М0, приложенным на конце (см. рисунок).
Чему равен максимальный прогиб балки?
ЗАДАЧИ
Е= 0,1-10° кГ/см2.
М0
В
У
К задаче 6.2.7.
260 б. ПРОГИБЫ БАЛОК
в.2.8. Найти уравнение линии прогибов свободно, опертой балки, нагру¬
женной сосредоточенным изгибающим моментом М0, приложенным на расстоя¬
нии а от левого конца балки (см. рисунок).
в
"А
К задаче 6.2.8.
6.2.9. Найти уравнение линии прогибов свободно опертой балки, на которую
действует распределенная по закону треугольника нагрузка, максимальная ин¬
тенсивность которой равна (см. рисунок). В качестве исходного взять дифферен¬
циальное уравнение четвертого порядка (уравнение (6.9с)).
К задаче 6.2.9.
6.2.10. Найти уравнение линии прогибов свободно опертой балки, на левую
половину которой действует равномерно распределенная нагрузка (см. рисунок).
7
I I1 * гг
В
А
с и2 -
* 1/2 А
< ч
У
К задаче 6.2. Ю.
6.3.1. Консольная балка, на которую действует равномерно распределенная
нагрузка (рис. 6.4), имеет прогиб на свободном конце, равный (3/,, где р — малое
число, а Ь — длина балки. Чему равен угол поворота линии прогибов на свободном
конце балки?
6.3.2. Консольная балка, на которую действует равномерно распределенная
нагрузка (рис. 6.4), имеет высоту к, равную одной десятой длины I пролета. Балка
изготовлена из стального двутаврового профиля, для которого Е= 2,1* 10° кГ/см2,
а допускаемое напряжение на растяжение и сжатие составляет 1400 кГ/см2.
ЗАДАЧИ 261
Определить отношение 6Я, прогиба на конце к длине для случая полностью рав¬
нопрочной балки.
Задачи 6.3.3—6.3 6 следует решать путем интегрирования дифференциаль¬
ного уравнения линии прогибов.
6.3.3. Найти уравнение линии прогибов консольной балки, на незакрепленном
конце которой приложена сосредоточенная сила Р (см. рисунок). Определить так¬
же прогиб 6 и угол поворота 0& на незакрепленном конце.
В
ТРГТТтт>^
К задаче 6.3.3.
К задаче 6.3.4.
в.3.4. На рисунке показана консольная балка, на которую действует распре¬
деленная по закону треугольника нагрузка, максимальная интенсивность которой
равна <7о* Найти выражения для прогиба 6 и угла поворота 0$ на незакрепленном
конце.
6.3.5. Найти уравнение линии прогибов консольной балки, нагруженной так,
как показ-ано на рисунке.
тгггг
1
А
а
ь
1
ШЕ
X
«= »
А
с
< 1/2 >
В
К задаче 6.3.5.
К задаче 6.3.6.
6.3.6. Определить прогибы в точках В и С консольной балки, нагруженной
так, как это показано на рисунке.
6.3.7. Каким должно быть уравнение оси криволинейной балки А В (см. ри¬
сунок) до приложения нагрузки Р, чтобы при перемещении вдоль балки нагрузка
оставалась на одном и том же уровне?
Р
А
У
К задаче 6.3.7.
262 ПРОГИБЫ БАЛОК
Задачи 6.4.1—6.4.8 следует решать методом моментных площадей.
6.4.1. На консольную балку действует равномерно распределенная по всей
длине нагрузка интенсивностью <7 (см. рис. 6.4). Найти угол поворота 0$ и прогиб 6
на свободном конце.
6.4.2. Распределенная нагрузка, действующая на консольную балку, изменя¬
ется по закону треугольника (см. рисунок к задаче 6.3.4). Определить угол по¬
ворота 0& и прогиб 6 на свободном конце.
6.4.3. Решить задачу 6.3.6.
6.4.4. Найти угол поворота 0Д и прогиб 6 в середине пролета свободно опертой
балки с равномерно распределенной нагрузкой (см. рис. 6.2).
6.4.6. Найти максимальный прогиб 6тах свободно опертой балки, нагруженной
на одном конце сосредоточенным изгибающим моментом М0 (см. рисунок к задаче
6.2.7).
6.4.6. Определить угол поворота 0Д на левой опоре и прогиб .6тах в середине
пролета балки, изображенной на рис. 5.1, а.
6.4.7. На балку, изображенную на рисунке, действуют две сосредоточенные
силы, одна из которых направлена вверх, а другая вниз. Найти угол поворота
0а на левом конце, прогиб бх в точке приложения направленной вниз силы и про¬
гиб б2 в середине пролета балки.
Р Р
А
К задаче 6.4.7.
6.4.8. На свободно опертую балку действует распределенная по закону тре¬
угольника нагрузка (см. рисунок к задаче 6.2.9). Найти угол поворота 0а на левой
опоре и максимальный прогиб бтах.
Задачи 6.5.1—6.5.15 следует решать способом наложения.
6.5.1. Найти прогиб 6 и угол поворота 0 в середине пролета консольной балки
(рис. 6 9), если а= ЗЦ4 и Р=дЬ.
6.5.2. Определить угол поворота 0Д на левой опоре балки с выступающей
частью (см. рис. 6.13, а).
6.5. 3. На консольную балку А В действуют две сосредоточенные силы, как
показано на рисунке. Найти прогиб дь на свободном конце, если а=Ь=с—ЦЗ.
К задаче 6.5 3.
в
ЗАДАЧИ 263
6.5.4. На свободно опертую балку действуют три сосредоточенные силы, рас¬
положенные на одинаковом расстоянии. Первая сила приложена на расстоянии
1/4 от левой опоры, вторая — в середине пролета, третья — на расстоянии 1/4
от правой опоры, Найти прогиб 6 в середине пролета балки,, если все силы имеют
равную величину Р.
- 6.5.5. Консольная балка длиной I заделана на левом конце Л и не закреплена
на правом конце В. На нее действуют направленная вниз сосредоточенная сила
Р и направленный против часовой стрелки сосредоточенный изгибающий момент
М0, приложенные на незакрепленном конце, а) Найти такое значение Л40 (как
функцию Р и /,), при котором угол поворота на незакрепленном конце балки
равен нулю. Ь) Чему при этом будет равен прогиб 6 на незакрепленном конце?
6.5.6. К свободному концу консольной балки АВ, изображенной на рисунке,
прикреплен кронштейн ВС. На конце кронштейна приложена сила Р. Найти та¬
кое отношение а//,, при котором вертикальное перемещение точки В равно нулю.
6.5.7. Две призматические балки из одного и того же материала геометрически
подобны, но размеры второй балки в п раз больше соответствующих размеров пер¬
вой балки. Обе балки одинаково закреплены и нагружены только собственным
весом. Найти отношение б^ прогиба второй балки к соответствующему прогибу
первой балки.
6.5.8. Две одинаковые нагрузки, создаваемые находящимися на расстоянии
Ш друг от друга колесами, медленно двигаются по свободно опертой балке
длиной Ь (см. рисунок). Определить, чему равно максимальное значение про¬
гиба в середине пролета балки.
6.5.9. Определить прогиб б в середине пролета свободно опертой балки, изоб.
раженной на рисунке.
5
Р
К задаче 6.5.6.
Р Р
К задаче 6.5.8.
, К задаче 6.5.9.
264 6. ПРОГИБЫ БАЛОК
в.5.10. На консольную балку действует нагрузка, изменяющаяся по оакону
д=д0х2И2 (см. рисунок). Чему равен максимальный угол наклона балкн?
Яо
К задаче 6.5.10.
А
<3
\ г
ш.
Иг
в
Ж
К задаче 6.5.11.
в.5.11. На балку с выступающей частью действуют две сосредоточенные силы,
как показано на рисунке. Найти прогибы в точках С и й при Ф=0.
6.5.12. Найти угол поворота 0ав опоре А балки с выступающей частью, изоб¬
раженной на рисунке к предыдущей задаче, если ($—2Р и а=И2.
6.5.13. Найти отношение Р/ф нагрузок, действующих на балку (см. рисунок
к задаче 6.5.11), при котором прогиб в точке приложения силы Р будет равен нулю.
6.5.14. Балка, изображенная на рисунке, состоит из трех частей, шарнирно
соединенных в точках В и С, и заделана на концах А и О. Найти прогиб 6 в точке
приложения силы Р.
'ДА В 1
' С о
Я
. 31-
1
<—>
«и
К задаче 6.5.14.
6.5.15. Найти горизонтальную и вертикальную составляющие перемещения
конца С рамы АВС, изображенной на рисунке, если жесткость ЕI постоянна. (Вли¬
янием продольных деформаций пренебречь и рассматривать только изгиб.)
Р
В
А
1
К задаче 6.5.15.
6.6.1. Путем решения дифференциальных уравнений линии прогибов полу¬
чить выражение для прогибов од левой половины свободно опертой балки, изобра¬
женной на рис. 6.15, а.
ЗАДАЧИ 265
6.6.2. Найти угол поворота 0 на незакрепленном конце А консольной балки,
изображенной на рис. 6.17, а.
6.6.3. Рассмотреть свободно опертую балку, изображенную на рис. 6.15,а,
предположив, что осевые моменты инерции двух концевых участков балки
равны /ь а центрального участка равен /2. Найти прогиб Ьс в середине про¬
лета балки.
6.6.4. Пусть осевой момент инерции для левой половины консольной балки,
изображенной на рис. 6.17, а, равен 1Ъ а для правой половины этой балки равен
/2. Пусть на балку действует равномерно распределенная по всему пролету на¬
грузка интенсивностью (при Р~0). Определить прогиб 6а на незакрепленном
конце балки.
6.6.5. Определить прогиб б в середине пролета свободно опертой балки А В,
изображенной на рисунке. Балка имеет постоянную высоту Л, а ширина ее изме¬
няется так, как показано в нижней части рисунка.
6.6.6. Пусть консольная суживающаяся балка, изображенная на рис. 6.16,
имеет прямоугольное поперечное сечение с постоянной шириной Ь. Высота балки
изменяется по линейному закону от с1а на конце А до на конце В. Найти прогиб
Ьь на незакрепленном конце, если с1а—2с1ь.
6.6.7. Пусть полая консольная суживающаяся балка, изображенная на
рис. 6.16, имеет круговое поперечное сечение с тонкой стенкой постоянной тол¬
щины I. Диаметр (1а конца А балки в два раза больше диаметра конца В. Найти
прогиб Ьь на незакрепленном конце балки.
Задачи в.7.1—6 7.8 следует решать методом конечных разностей.
6.7.1. Найти прогиб 6 в середине пролета свободно опертой балки (рис. 6.19, а),
разбив балку на шесть отрезков равной длины. Сравнить полученное значение
прогиба с результатом, приведенным в примере 1 разд. 6.7.
6.7.2. Определить прогиб б в середине пролета свободно опертой балки, на
которую действует сосредоточенная сила Р, приложенная в середине пролета.
Разбить балку но длине на четыре ранных отрезка и считать жесткость при изгибе
Е1 постоянной.
6.7.3. Найти прогиб б свободно опертой балки в точке приложения сосредо¬
точенной силы Р, если эта сила приложена на расстоянии Ц4 от левого конца бал¬
ки. Разбить балку по длине на четыре равных отрезка и считать жесткость при
изгибе Е1 постоянной.
Р
К задаче 6.6.5.
266 6. II РОГ И ЬЫ БАЛОК
в. 7.4. Вычислить прогиб б на незакрепленном конце консольной балки с по¬
стоянной жесткостью при изгибе Е1> если к этому концу приложена сосредоточен¬
ная сила Р. Разбить балку по длине на три равных отрезка.
6.7.5. Получить выражение для прогиба д на свободном конце консольной бал¬
ки, на которую действует равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью
<7, если жесткость при изгибе Е1 постоянна и балка разбивается по длине на четыре
равных отрезка.
6.7.6. Определить прогиб б^на незакрепленном конце консольной балки, на
которую действует распределенная по закону треугольника нагрузка (см. зада¬
чу 6.3.4), еслн жесткость при изгибе Е1 постоянна и балка разбивается по
длине на четыре равных отрезка.
6.7.7. Получить выражение для прогиба Ьс в середине пролета непризматиче¬
ской свободно опертой балки, изображенной на рис. 6.15, а. Разбить балку по
длине на шесть равных отрезков.
6.7.8. Определить прогиб б& на незакрепленном конце суживающейся консоль¬
ной балки, изображенной на рис. 6.16, разбив балку по длине натри равных от¬
резка. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение постоянной ширины Ь,
а высота &а на конце А в два раза больше высоты на конце Б.
6.8.1. Получить выражение для энергии деформации (/, накопленной в балке
при чистом изгибе (рис. 6.21, а), через максимальное нормальное напряжение отах,
возникающее в балке. Предполагается, что балка имеет прямоугольное попереч¬
ное сечение шириной Ь и высотой к. (Представить энергию V как функцию от мак¬
симального напряжения сгтах, модуля упругости Е и размеров балки.)
6.8.2. Определить энергию деформации (/, накопленную в свободно опертой
балке длиной Ь, в середине пролета которой приложена сосредоточенная сила Р.
На основе найденного результата получить выражение для прогиба 6 в середине
пролета балки.
6.8.3. Свободно опертая балка длиной Ь нагружается таким образом, что ли¬
ния ее прогибов описывается уравнением о;=6 зт (пхН), где д —прогиб в сере¬
дине пролета балки. Найти энергию II деформации, накопленную в балке.
6.8.4. На свободно опертую балку длиной ^ действуют две сосредоточенные
силы (см. рис. 5.1, а). Полагая а—Ц4, найти энергию V деформации, накопленную
в балке. Используя полученный результат, определить прогиб д в точке прило¬
жения одной из сил.
6.8.5. Две свободно опертые балки прямоугольного поперечного сечения из¬
готовлены из одного и того же материала, имеют одинаковую длину и одинаково
нагружены. Ширина балок также одинакова, но высота одной балки в два раза
больше, чем высота другой. Найти отношение СУ(/2 энергий деформаций, накоп¬
ленных в балках.
6.8.6. На деревянную консольную балку длиной 1,8 м прямоугольного попе¬
речного сечения (ширина 12,5 см, высота 20 см) действует равномерно распреде¬
ленная нагрузка интенсивностью <7=3 кГ/см. Определить величину энергии де¬
формации, накопленной в балке, если Я=0,Ь 10е кГ/см2.
6;8.7. Груз весом № падает на свободно опертую балку с высоты Н (см.
рис. 6.22). Балка имеет длину ^ и прямоугольное поперечное сечение площадью Р.
Полагая, что высота А велика по сравнению с величиной статического прогиба
балки, возникающего при действии нагрузки, равной найти выражение для
максимального нормального напряжения сгтах.
ЗАДАЧИ 267
в.8.8. Груз весом №=50 кГ падает с высоты к=30 см на свободно опертую
балку длиной ^=3 м (см. рис. 6.22). Подобрать по таблице в приложении В наибо¬
лее легкий двутавровый профиль, приемлемый для этой балки, если допускаемое
нормальное напряжение составляет <хд=2100 кГ/см2. Принять Е~2,1« 10 6 кГ/см2.
6.9.1. Определить прогиб на незакрепленном конце В консольной балки
(см. рисунок), на которую действуют равномерно распределенная нагрузка интен¬
сивностью <7 и сосредоточенная нагрузка Р, равная коь, где к постоянный ко¬
эффициент. При каких условиях балка сохраняет устойчивое равновесие?
6.9.2. Найти суммарный прогиб д в середине пролета свободно опертой балки
АВУ к которой приложена сосредоточенная нагрузка Р, равная кЬ (см. рисунок).
Предполагается, что балка имеет начальный прогиб 60 в середине пролета. При ка¬
ких условиях балка сохраняет устойчивое равновесие?
6.9.3. Решить задачу о заполняемой емкости для свободно опертой балки, в
середине пролета которой приложена нагрузка Р. .
6.10.1. Свободно опертая балка длиной ^ и высотой к (см. рис. 6.24, а) имеет
температуру Т2 на нижней поверхности и температуру 7\— на верхней. Найти
уравнение линии прогибов.
6.10.2. Консольная балка длиной Ь и высотой к имеет температуру Тх на верх¬
ней поверхности и Т2— на нижней. Найти прогиб 6 и угол поворота 0 на свободном
конце балки, возникающие за счет разности Т2—7,3 температур.
6.10.3. Свободно опертая балка длиной Ь и высотой к (см. рис. 6.24, а) имеет
температуру Тг на верхней поверхности и температуру Т2— на нижней. Темпера¬
туры Г, и 7*2 являются функциями от ху такими, что Т2—Тх~Т0Ху где Т0— посто¬
янная. Найти максимальный прогиб балки.
Р-кдб
Р=А<5
В
К задаче 6.9.1.
К задаче 6.9.2.
СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
7.1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
В этой главе мы займемся исследованием балок, у которых число
реакций превышает число уравнений статического равновесия. Та¬
кие балки называются статически неопределимыми, и при их рас¬
чете требуется принимать во внимание прогибы. В предыдущих
главах рассматривались только статически определимые балки и в
каждом случае реакции балки получались сразу же из уравнений
равновесия. Зная реакции, можно затем получить значения изги¬
бающих моментов и поперечных сил, которые в свою очередь дают
возможность найти напряжения и прогибы. Однако, когда балка
статически неопределима, найти силы на основе только уравнений
равновесия невозможно. Вместо этого надо принять во внимание
прогибы балки и дополнить уравнения равновесия уравнениями
совместности. Точно такая же процедура обсуждалась в гл. 1 для
случая статически неопределимых задач, в которых рассматрива¬
лись элементы конструкции при растяжении и сжатии.
Некоторые типы статически неопределимых балок представлены
на рис. 7.1. На рис. 7. 1, а показана балка с заделкой (или защемле¬
нием) на конце Л, свободно опертая на конце В; такая балка называ¬
ется консольной балкой с дополнительной концевой опорой или бал¬
кой, один конец которой заделан, а другой — свободно оперт. Реак¬
ции опор включают горизонтальную и вертикальную силы в опоре
А, момент в этой же опоре и вертикальную силу в опоре В. По¬
скольку для такой балки существует только три независимых урав¬
нения равновесия, из этих уравнений нельзя вычислить все четыре
указанные реакции.
Разность между числом реакций и числом уравнений равновесия
называется степенью статической неопределимости. Таким обра¬
зом, изображенная на рис. 7.1, а балка является однажды статичес¬
ки неопределимой. Все реакции, не входящие в то минимальное чис¬
ло реакций, которое соответствовало бы статически определимой
конструкции, называются лишними статическими неизвестными,
а число этих лишних неизвестных обязательно совпадает со сте-
7.1.
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ 269
Р Р
Г
Рис. 7.1. Статически неопределимые балки.
пенью статической неопределимости. Например, реакцию /?ь,
показанную на рис. 7.1, а, можно рассматривать как лишнюю неиз¬
вестную реакцию. Заметим, что если ее удалить из конструкции, то
снова получится консольная балка.
Статически определимая конструкция, которая получается после
устранения лишних связей, называется выделенной, или основной,
270
7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
расчетной системой. Другой подход к расчету балки, представлен¬
ной на рис. 7.1, а, состоит в рассмотрении в качестве лишней неиз¬
вестной реактивного момента Ма; если его устранить, то основная
система превратится в свободно опертую балку с шарнирной опорой
на конце А и подвижной опорой на конце В.
Особый случай возникает, когда действующие на балку нагруз¬
ки являются вертикальными (рис. 7.1, Ь), поскольку при этом гори¬
зонтальная реакция равна нулю. Тем не менее балка по-прежнему
является однажды статически неопределимой, так как при этом
двум независимым уравнениям. равновесия соответствуют три ре¬
акции.
На рис. 7.1, с изображена балка с заделкой по обоим концам.
В каждой опоре возникают по три реакции; следовательно, общее
число неизвестных реакций равно шести. Поскольку уравнений рав¬
новесия всего три, балка будет трижды статически неопределимой.
Если принять реакции на одном конце за три лишние неизвестные и
затем устранить их из конструкции, то в качестве основной системы
вновь останется консольная балка. Если устранить два сосредото¬
ченных момента, приложенных по концам, и одну горизонтальную
реакцию, то основная система будет представлять собой свободно
опертую балку.
Вновь рассматривая особый случай действия только вертикаль¬
ных нагрузок (рис. 7.1, й), найдем, что 'теперь нужно определять
только четыре реакции. Число уравнений-равновесия равно двум,
и, следовательно, балка является дважды статически неопреде¬
лимой.
Остальные две балки, изображенные на рис. 7.1, представляют
собой примеры неразрезных балок, которые называются так потому,
что они имеют более одного пролета и являются сплошными (нераз¬
резными) над опорами. Изображенная на рис. 7.1, е балка является
однажды статически неопределимой, так как неизвестных реакций
четыре, а уравнений равновесия только три. Если в качестве лишней
неизвестной выбрать реакцию Яь и мысленно устранить ее, то полу¬
чится статически определимая свободно опертая балка АС. Если
за лишнюю принять реакцию /?с, то основной системой явится сво¬
бодно опертая балка А В с выступающей частью ВС.
Последняя изображенная на рисунке балка является дважды
статически неопределимой. За лишние неизвестные можно принять
реакции Нь и Нс> и тогда основная система будет представлять со¬
бой консольную балку.
В последующих разделах будут обсуждаться различные методы
исследования статически неопределимых балок. Основным в каж¬
дом случае является определение лишних неизвестных реакций, по¬
скольку, когда они известны, остальные силовые факторы можно по¬
лучить из уравнений статического равновесия. Найдя силы, можно
определить напряжения и прогибы в любой точке.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ПРОГИБОВ 271
7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ЛИНИИ ПРОГИБОВ
Поведение статически неопределимых балок можно проанализи¬
ровать, решив дифференциальное уравнение линии прогибов. Про¬
цедура по существу совпадает с такой же процедурой для статически
определимой балки (см. разд 6 1—6 3) и заключается в составлении
дифференциального уравнения, получении его общего решения и
затем использовании граничных условий для вычисления постоян¬
ных интегрирования. Использовать можно одно из следующих урав-
Рис. 7.2. Балка с одним заделанным и од¬
ним свободно опертым концом.
нений: уравнение второго порядка, содержащее изгибающий мо¬
мент (уравнение (6.9а)), уравнение третьего порядка, содержащее
поперечную силу (уравнение (6.9Ь)), или уравнение четвертого по¬
рядка, включающее распределенную поперечную нагрузку (урав¬
нение (6.9с)). При этом граничных условий будет достаточно не толь¬
ко для установления постоянных интегрирования, но и для нахож¬
дения лишних неизвестных реакций. Вследствие вычислительных
трудностей при определении большого числа постоянных этот метод
практически удобен только для сравнительно простых видов нагру¬
жения и для балок с одним пролетом.
Для того чтобы продемонстрировать этот метод, рассмотрим бал¬
ку с одним заделанным и одним свободно опертым концом, на кото¬
рую действует равномерно распределенная нагрузка (рис. 7.2).
Если для решения выбрать дифференциальное уравнение второго
порядка, то потребуется получить выражение для изгибающего
момента М в произвольном поперечном сечении балки.Сэтой целью
нужно выбрать лишнюю неизвестную реакцию и затем выразить
через нее все остальные реакции. Выберем в качестве лишней неиз¬
вестной реакцию Кь-, тогда из уравнений статического равновесия
можно выразить реакции в опоре А через Кь следующим образом:
(а)
272 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫ Е БАЛКИ
Теперь можно получить общее выражение для изгибающего момен¬
та через Яь'
М=Яах-Ма-^ = дЬх-Яьх-9-^ + ЯьЬ-^.
Дифференциальное уравнение линии прогибов имеет вид
5/ш" = — М = -д1х + Яьх + ^—Яь1 + ^\
дважды проинтегрировав его последовательно, получим
ЕМ = _ ^ + ^-ЯьЬх +ч4- + С г,
а*
В эти выражения входят три неизвестные величины: С1( С2 и
Яь, причем должны выполняться три граничных условия:
ш(0) — 0, да'(0) = 0, т(Ь) = 0.
Подставляя в эти условия приведенные выше выражения, получа¬
ем Сх=0, С2=0 и
Яь — 3/вЧ1- (7.1)
Поскольку величина лишней неизвестной Яь теперь установлена,
из уравнений (а) легко найти остальные реакции:
Яа = ЧшЯЬ, М0 = ‘/8^2- (7.2)
Подставив эти значения в выражения для прогиба до, угла наклона
до' и изгибающего момента М, можно завершить анализ поведения
балки при заданном нагружении.
Другой путь исследования поведения балки, изображенной на
рис. 7.2, состоит в выборе в качестве лишней неизвестной реактив¬
ного момента Ма. Затем нужно выразить изгибающий момент М
через указанный момент Мп, подставить полученный результат в
дифференциальное уравнение второго порядка и решить уравнение
так же, как и ранее. Еще один подход заключается в выборе в каче¬
стве исходного уравнения четвертого порядка; его реализация ил¬
люстрируется следующим примером.
Пример. Исследуем заделанную по обоим концам балку (рис. 7.3), решив
дифференциальное уравнение четвертого порядка для линии прогибов.
В середине пролета балки приложена сосредоточенная нагрузка Р, и поэтому
в силу симметрии Мь==Ма и /?в=У?ь=Р/2. Таким образом, остается определить
одну лишнюю неизвестную величину Ма. На участке балки от х-0 до х—Ц2
нагрузка отсутствует, так что дифференциальное уравнение принимает вид
Я/иГ = О,
7.3.
СПОСОБ НАЛОЖЕНИЯ 273
откуда имеем
Е/ш" = С,х+С2,
Схх2
Е/ш' =
\~С2х -ЬС3,
Е/»=^+-^+с,*+с4.
(Ь)
(С)
«О
(е)
Для левой половины балки имеют место следующие граничные условия. Во-пер¬
вых, на всем этом участке балки поперечная сила равна /?„, и поэтому из выражения
(Ь) следует, что —Я/2. Далее замечаем, что при *=0 изгибающий момент ра-
«„•С!
\А 1
' ч
1
- 1/2 >
Ка
4
У
Рис. 7.3. Пример. Защемленная по обоим концам балка.
вен —Ма. Следовательно, из выражения (с) получается С2=Ма. Для угла наклона
(выражение (6)) имеется два условия, а именно су'=0 при х=0и х—И2. Из этого
условия следует, что С3=0 и
Ма^Р1! 8. (7.3)
Таким образом, лишняя неизвестная величина — момент Ма— найдена. Наконец,
имеем условие: при *=0 прогиб до=0, откуда С4=0. Объединив все эти результа¬
ты, можно записать уравнение линии прогибов
Рх2 1
т="~ШЛ(Ъ1~Ах)' (7-4)
а из него дифференцированием найти выражения для угла наклона и изгибающего
момента.
Как установлено в этом примере, всегда существует достаточное число гра¬
ничных условий для того, чтобы определить не только постоянные интегрирова¬
ния, но и лишние неизвестные реакции. Иногда необходима составлять дифферен¬
циальные уравнения для нескольких участков балки, а затем использовать ус¬
ловия неразрывности на границах этих участков, как это делалось ранее для ста¬
тически определимых балок *).
7.3. СПОСОБ НАЛОЖЕНИЯ
Этот способ может рассматриваться как основной подход к ис¬
следованию статически неопределимых конструкций. Его можно
применять для расчета большого числа конструкций самых разно¬
1) Вперные дифференциальное уравнение линии прогибов было применено при
расчете статически неопределимых балок в книге Навье по сопротивлению материа¬
лов [7.1, 7.2).
274 1- СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
образных типов (таких, как фермы и рамы, не считая балок, кото¬
рым посвящена настоящая глава). Ранее этот метод использовался
при исследовании статически неопределимых систем, в которые
входили растягиваемые или сжимаемые элементы (см. разд. 1.6).
Суть метода наложения можно изложить очень просто. Первый
шаг, как уже было объяснено в предыдущих разделах, состоит в
выборе лишних статических неизвестных. Затем лишние связи с
неизвестными реакциями устраняются, в результате чего получает¬
ся статически определимая основная расчетная система. Любые
перемещения этой основной системы можно найти приемами, опи¬
санными в гл. 6. В частности, можно установить вызываемые на¬
грузками перемещения (прогибы или повороты), соответствующие
лишним неизвестным. Далее можно рассматривать в качестве на¬
грузок, действующих на основную систему, сами лишние неизвест¬
ные и подсчитать для них соответствующие перемещения.
В соответствии с принципом наложения известно, что оконча¬
тельные перемещения, обусловленные одновременным действием
действительных нагрузок и лишних неизвестных, должны быть рав¬
ны сумме этих перемещений, вычисленных по отдельности. При на¬
личии лишних неизвестных связей соответствующие им перемещения
равны или нулю, или известным величинам; отсюда и получаются
отражающие это обстоятельство соотношения принципа наложе¬
ния. Наконец, эти соотношения можно решить относительно вели¬
чин, представляющих собой лишние неизвестные реакции, а затем
из уравнений равновесия определить все остальные реакции.
Этапы только что описанной процедуры можно пояснить на при¬
мере. Снова проанализируем поведение консольной балки с допол¬
нительной опорой при действии равномерно распределенной на¬
грузки (см. рис. 7.4, а). Когда за лишнюю статическую неизвест¬
ную выбрана реакция Яь и соответствующая ей опора устранена, в
качестве основной системы получается консольная балка. Обозна¬
чим через 6& (см. рис. 7.4, Ь) прогиб этой балки под действием рав¬
номерно распределенной нагрузки в той точке, где была приложена
лишняя неизвестная реакция, а через Ь"ь — прогиб в той же точке,
вызываемый этой лишней неизвестной (см. рис. 7.4, с). Полный про¬
гиб исходной конструкции, получаемый сложением прогибов 6* и
Ь'ь, должен быть равен нулю. Отсюда следует такое соотношение
способа наложения:
= = (а)
В этом соотношении знак минус появляется потому, что прогиб
Ь'ь направлен вниз, в то время как прогиб 8* — вверх. Прогибы Ь'ь
и Ь’ъ, вызываемые нагрузкой д и лишней неизвестной реакцией Яь,
легко найти с помощью табл. 1 приложения С (см. п. 1 и 4). Восполь¬
зовавшись приведенными в ней формулами, из соотношения (а)
7.3.
СПОСОБ НАЛОЖЕНИЯ 275
получим
откуда
б - ^ о
6 8 Е1 ЗЕ1 ~ ’
(7.5)
Реакцию и момент УИП теперь можно найти из условий равнове¬
сия балки, которые дают
Ма = '/йд1\ (7.6)
Эту же балку можно было бы рассчитать иначе, выбрав в качест¬
ве лишней неизвестной Ма; в этом случае основной системой была
бы свободно опертая балка (рис. 7.5, Ь и 7.5, с). Угол поворота, соз-
пи ил±и,
'ЛА Та
Мс
о?
::Пииин1
ва
ЮГ
Рис. 7.4. Метод наложения.
И
'в
с
Рис. 7.5. Метод наложения.
даваемый равномерно распределенной нагрузкой, действующей на
основную систему (п. I табл. 2 в приложении С), равен
Я13
24В/ ’
а соответствующий угол, создаваемый лишней неизвестной Мс
(п. 7 табл. 2 в приложении С), составляет
%=*МЛЩ ЗЕЦ.
276 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Соотношение способа наложения, утверждающее, что угол поворо¬
та в опоре А исходной балки равен нулю, записывается в виде
Решив это соотношение, получим Ма= оХ'1!8, что совпадаете най¬
денном ранее решением.
После нахождения реакций для статически неопределимой бал¬
ки вычисление всех остальных результирующих напряжений (осе¬
вых и поперечных сил, а также изгибающих моментов) уже не пред¬
ставляет трудности, поскольку для этого вполне достаточно урав¬
нений статического равновесия. Кроме того, можно также получить
прогиб и угол наклона в любой точке с помощью либо дифферен¬
циального уравнения линии прогибов, либо принципа наложения
в сочетании с формулами для прогибов, приведенных в приложении
С. В следующих ниже иллюстративных примерах и задачах внима¬
ние в первую очередь будет обращаться на определение реакций,
поскольку это является ключевым моментом решения.
Используемый в этом разделе метод исследования часто называ¬
ется методом податливостей или методом сил. Последнее наимено¬
вание происходит от использования силовых факторов (сил и мо¬
ментов) в качестве лишних неизвестных; первое название применя¬
ется потому, что коэффициенты при неизвестных (типа /./(З.С/) в
соотношении (Ь)) являются податливостями, т. е. смещениями, от¬
несенными к единице нагрузки. Более подробно податливости бу¬
дут рассматриваться в гл. 11, где обсуждаются общие подходы к
расчету конструкций. Соотношения способа наложения, выражаю¬
щие условия, которые накладываются на прогибы (см. соотноше¬
ния (а) и (Ь)), обычно называются уравнениями совместности (де¬
формаций).
Пример /. Определим реакции для, двухпролетной неразрезиой балки
(рис. 7.6, а) способом наложения. Балка нагружена равномерно распределенной
нагрузкой интенсивностью^. Выбрав в качестве.лишней неизвестной реакцию Яь
средней опоры, видим, что основной системой является свободно опертая балка
(см. рис. 7.§, Ь). При действии равномерно распределенной нагрузки прогиб в
точке В основной системы (см. п. 1 табл. 2 приложения С) равен
где ^ — длина пролета. Прогиб вверх, обусловленный действием лишней неизвест¬
ной (см. рис. 7.6, с), составляет
как указано в п. 4 табл. 2 приложения С. Уравнение совместности для вертикаль¬
ных перемещений в точке В имеет вид
(Ь)
5?(2/,)*_ ЬцИ
384Е1 “24 Е1 ’
„ #*(2^)3 _ЯЬ]*
ь~ 48Е! ~ 6Е/ 9
&ь — $ь—
24 Е/' 6 Е1
7.3.
СПОСОБ НАЛОЖЕНИЯ 277
откуда получаем
Ль = в/4^. (7.7)
Две остальные реакции находятся из уравнений равновесия и составляют /?а=
= КС=3<7^/8. Когда известны все реакции, не составляет труда перейти к определе¬
нию результирующих напряжений и прогибов.
I'
с
Рис. 7.6. Пример 1. Двухпролетная неразрезная балка.
Пример 2. Балка с заделанными концами нагружается сосредоточенной
силой Я, расположенной так, как показано на рис. 7.7, а. Найдем реактивные силы
и моменты на концах балки.
Выберем в качестве лишних неизвестных реактивные моменты Ма и М&, тем
самым придавая основной системе форму свободно опертой балки (рис. 7.7, Ь).
Углы поворотов, создаваемые силой Я на концах, получаются по п. 5 табл. 2 при¬
ложения С:
л* __ РаЬ(1, + Ь) д'_ РаЬ(1-\-а)
6Ш * Ь~ ШЛП *
Теперь приложим к основной системе лишние неизвестные моменты Ма и М&, как
если бы они были нагрузками, действующими на нее (рис. 7.7, с и 7.7, й). Углы
поворотов за счет момента Ма равны
а" Ма1* д* МдЬ
ЗЕ/ * ь~~ 6Е1 9
а за счет момента М&—
д'" Мь1* д'" Мъ1>
°в ~ $Е1 ’ * ~ 3Е1 *
278 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Поскольку углы поворотов на обоих концах исходной балки равны нулю, имеем
два уравнения совместности:
ев = Ва-0а-0а" = О,
После подстановки в эти уравнения соответствующих выражений для углов пово¬
ротов получим систему двух уравнений относительно двух неизвестных моментов
Ма и Мь\
Ма1. . МьЬ __ РаЬ (^4 Ь)
3 Е/ + 6Ё7 6Ш 1
Ма1г. . РаЬ(Ь-\-а)
6/?7"+ЗЁ7'
Решениями этой системы будут
РаЬ2
61Е1
РаЧ
, Му— .
(7.8)
Используя эти результаты, а также уравнения равновесия, получаем следующие
выражения для вертикальных реакций: ,
РЬ2 Ра2
Я«=7Т(/'+2а>’ *» = тт№+2б>- (7.9)
Для того чтобы продемонстрировать, как можно использовать способ нало¬
жения при определении прогибов, вычислим теперь для заделанной по обоим кон-
-II
4-
>
с в\>. 2мк
Яь
И
,г
А ТГ I" Д
9"а в'ь
С
да в?
>
мь
с1
Рис. 7.7. Пример 2. Заделанная по обоим концам балка.
7.3. СПОСОБ НАЛОЖЕНИЯ 279
цам балки прогиб в точке С — точке приложения силы (рис. 7.7, а). Прогиб в
этой точке основной системы, обусловленный действием силы Р (рис. 7.7, Ь),
согласно п. 5 табл. 2 приложения С, равен
РоЧ2
=31Е1 *
с' *
Ос = 7
Направленные вверх прогибы в той же самой точке основной системы, обусловлен¬
ные действием сосредоточенных моментов Ма и Мь (см. рис. 7.7, с и 7.7, й), соглас¬
но п. 7 табл. 2 приложения С, составляют
Л1,
ПЗТ (*■ + *>. = -г7^г(1.+в).
6ЬЕ/ 1 г '* с “ 61Е/
Заменяя Ма и их значениями (7.8), получаем
Ра263 , . с''' Ра*Ь2 п
с—61*Е1 “61*Е1
Следовательно, полный прогиб в точке С равен
с с' с" с"' РагЬг
ос — ос—ос — о с —з ц&Е! * (7*10)
В частном случае, когда сила Р прикладывается в середине пролета, про¬
гиб в центре составляет
X № . />71,4
с —192 ЕГ ^ ^
соответственно реакции принимают вид
Ма = Мь^Ч8 ?и Па = = V, (7.12)
Пример 3. Определим реакции в заделанной по обоим концам балке, на
части пролета которой приложена равномерно распределенная нагрузка (рис. 7.8).
На расстоянии х от левого конца балки выделим элементарную нагрузку дйх.
Рассматривая эту элементарную нагрузку как сосредоточенную силу, можем ис-
дс/х
а—г—ли.
в\
1 * -
1
к *
>
Рис. 7.8. Пример 3. Заделанная по обоим
концам балка, на части пролета которой
приложена равномерно распределенная
нагрузка.
пользовать выведенные в предыдущем примере выражения. Начнем с выражений
(7.8) для моментов Ма и М& и заменим в них силу Р на дйх, а — на х и Ь — на
Ь — х, откуда получим следующие выражения для моментов в заделках от дей¬
ствия элементарной нагрузки:
дх(1~ — х)2йх ... дх2(Ь —х) йх
280 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Интегрирование по длине участка, на котором действует нагрузка, дает
а
Ма=§ у *(^-*)« А( = 1|^<М,*-8«й, + За*), (7.13)
о
а
мь-^§ амь=^^хН1-х)ах=^?(а-за). (7.Н)
0
Аналогичным образом из выражений (7.9) можно найти вертикальные реакции на
концах балки
а
Ка=р Ц О--*)2 (Ь + 2х) (2^-2аЧ | а=»), (7.15)
о
а
^х*(31-2х)йх=:^(21-а). (7.16)
О
Таким образом, искомые величины определены.
Если заделанная по обоим концам балка нагружена равномерно распределен-
НИН <ЩМл
«4.—1-—4 я, -
Рис. 7.9. Пример 3. Заделанная по обоим
концам балка с равномерно распределен¬
ной нагрузкой.
ной по всему ее пролету нагрузкой (рис. 7.9), то реакции можно получить, подста¬
вив в предыдущие выражения величину а=Ь, что дает
Ма = Мь = 1/1?я1.\ (7.17)
Реакции, возникающие в опорах балки с заделанными концами, т. е. моменты
в заделке и реакции заделки, играют важную роль в таких методах расчета конструк¬
ций, как метод жесткостей (гл. 11) и метод распределения моментов. В заключение
отметим, что существуют обширные таблицы значений моментов и реакций в за¬
делках [7.3].
Пример 4. Балка АВС (рис. 7.10, а) свободно оперта в точках А и В и
подвешена в точке С. До приложения равномерно распределенной нагрузки ц
в тросе Сй отсутствует как усилие, так и какая-либо слабина. После приложения
нагрузки <7 балка в точке С прогибается вниз и в тросе возникает растягивающая
сила Т. Найдем величину этой силы.
Здесь при исследовании удобно выбрать в качестве лишней неизвестной не¬
известное усилие в тросе Т и разрезать конструкцию на две части (см. рис. 7.10, 6).
Тогда в основную систему будут входить две отдельные конструкции: балка
АВС и трос СО; при этом сила 7\ приложенная к балке, направлена вверх, а при¬
ложенная к тросу,— вниз. Прогиб в точке С балки будет состоять из двух частей
направленного вниз прогиба 6^ за счет равномерно распределенной нагрузки и на¬
7.3.
СПОСОБ НАЛОЖЕНИЯ 281
правленного вверх прогиба Ьс за счет силы Т. В то же самое время конец троса
(точка С) будет смещаться вниз на величину й'с"> равную удлинению троса. Следо¬
вательно, уравнение совместности деформаций, отражающее то обстоятельство, что
направленный вниз прогиб на конце балки равен смещению конца троса, имеет вид
6'С-6; = 6'Г".
Составив это уравнение, займемся определением входящих в него неизвестных сме¬
щений.
Прогиб на конце С балки, создаваемый равномерно распределенной нагрузкой;
О
НИН! НУГЛ"
В
Яь
а
ШЗЗШТЩЗЗЭ
А*
О
Рис. 7.10. Пример 4. Балка, подкрепленная тросом.
может быть найден на основании результатов, полученных в примере 3 разд. 6.5.
Используя выражение (а) этого раздела и подставляя в него величину а=/,, полу¬
чаем
где Е/ — жесткость балки при изгибе. Прогиб балки в точке С, создаваемый силой
Т, можно получить из ответа к задаче 6.5.11, снова подставив величину «=!., что
дает
277*
С^ЗЕ1:
Наконец, удлинение троса равно
ТН
°с ==17’
где К — длина троса, а ЕР — его жесткость при растяжении.
282 7- СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Подставив предыдущие выражения для прогибов в уравнение совместности
и решив его относительно силы Т, получим
т* ЗдРЬ* .д
“ 8Р^+12Н1 • {‘А*}
Отметим, что в данном примере за лишнюю неизвестную была принята величина
внутренней силы, а не внешней реакции. При выборе лишней неизвестной обычно
исходят из удобства решения.
7.4.
МЕТОД МОМЕНТНЫХ ПЛОЩАДЕЙ
При другом способе расчета статически неопределимой балки
применяется метод, основанный на использовании площади эпюры
изгибающих моментов и описанный выше (разд. 6.4) как метод для
определения прогибов балок. Процедура заключается в использо¬
вании двух теорем о моментных площадях для получения дополни¬
тельных уравнений, необходимых для вычисления лишних неизвест¬
ных. Эти дополнительные уравнения представляют собой условия,
накладываемые на углы наклонов и прогибы балок, а число таких
условий будет всегда равно числу лишних неизвестных.
Расчет балки с помощью метода моментных площадей начинает¬
ся с тех же самых шагов, что были описаны выше, а именно выбора
лишних неизвестных сил и удаления их из конструкции для того,
чтобы отождествить ее со статически определимой основной систе¬
мой. Затем предполагается, что нагрузка действует на основную
систему, и строится соответствующая эпюра изгибающих моментов.
Точно так же и лишние неизвестные рассматриваются как нагруз¬
ки, действующие на основную систему, и снова строятся эпюры вы¬
зываемых ими изгибающих моментов. На этом этапе привлекаются
теоремы о моментных площадях, что дает дополнительные соотно¬
шения в виде уравнений, куда входят площади и статические мо¬
менты площадей эпюр М/(Е1). Конкретный вид используемых соот¬
ношений зависит, естественно, от типа балки и выбора лишних не¬
известных.
Пример /. Применяя метод моментных площадей, найдем реакции в опорах
заделанной на одном и свободно опертой на другом конце балки, изображенной
на рис. 7.11, а.
Если в качестве лишней неизвестной выбрать Яь, то основной системой будет
служить консольная балка, для которой эпюры изгибающих моментов от сил Р и
Яь представлены на рис. 7.11, Ь. Поскольку угол наклона балки в опоре А равен
нулю, касательная к линии прогибов в точке А проходит через точку В. Отсюда,
как это следует из второй теоремы о моментных площадях, статический момент
площади эпюры М1(Е1) на участке от А до В, взятый относительно ючки В, дол¬
жен быть равен нулю. Поэтому имеет место следующее уравнение:
7.4.
МЕТОД АЦОМЕНТНЫ Х‘ПЛОЩАДЕЙ 283“
откуда
Ра2
*а=22Т(3*-~в)-
(7.19)
Зная эту лишнюю неизвестную реакцию, из условия статического равновесия
можно найти две остальные реакции:
(7.20)
Эту же самую задачу можно решить иначе, рассматривая в качестве лишней
неизвестной реактивный момент Ма. В этом случае основная система представляет
собой свободно опертую балку, а соответству¬
ющие эпюры изгибающих моментов, создава¬
емых силой Р и сосредоточенным моментом
Ма, представлены на рис. 7.11, с. Снова
воспользовавшись второй теоремой о момент¬
ных площадях и взяв статические моменты
площадей эпюр М/(Е1) относительно точки
В, получим "а,
К&МЧ1)-
-*(&)«(*)■
в
"А
ь
-Ра
РаЬ/1
Решая это уравнение, находим для момента
Ма такое же значение, как и ранее (см. вы¬
ражение (7.20)).
Подставив в предыдущие результаты а=
= Ь=и2, получим реакции для балки, на¬
груженной в середине пролета сосредоточен¬
ной силой:
/?в = и/1вР, /?б = 6/10Р, Ма = */пРЬ. (7.21)
Пример 2. Определить реакции в балке
с заделанными концами, нагруженной сосре¬
доточенным моментом М0 (рис. 7.12, а). Найти
также прогиб балки в точке С, в которой
приложен момент.
Сначала необходимо сделать выбор лиш¬
них неизвестных, причем можно взять одну
из следующих пар реакций: Ка и Ма, /?& и
М&или Ма и Му. Остановимся на первом ва¬
рианте и примем за лишние неизвестные ре¬
акции в опоре А. Тогда в качестве основной
системы получим консольную балку с заде¬
ланным концом В, для которой не представ¬
ляет труда построить эпюры изгибающих мо¬
ментов от реакций На и Ма и нагрузки М0 (см. рис. 7.12, Ь).
Для определения двух лишних неизвестных требуются два условия, относя¬
щиеся к прогибам балки. Первое условие получим, заметив, что на обоих концах
балки углы наклона равны нулю, следовательно, равно нулю и изменение наклона
балки на участке между /1 и В. Тогда, согласно первой теореме о моментных
площадях, должна быть равна нулю сумма площадей эпюры М/(Е1) на том же
-
Рис. 7.11. Пример 1. Метод мо¬
ментных площадей.
284 7• СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ВАЛКИ
участке, т. е.
или
-2\-ЁГ)(1)—ЁТ{1)-ТТ{Ь)=0'
/?^2~2М0^ = 2М0ь.
(а)
Второе условие состоит в том, что касательная к линии прогибов в точке А прохо¬
дит и через точку В, а это означает равенство нулю статического момента площади
эпюры МЦЕ!) на участке от А до В, взятого относительно точки В. В результате
получим
1 /ЯвП
или
Яа^-ЗМа^ = ЗМ0Ь2.
(Ь)
Теперь, решая систему двух уравнений (а) и (Ь), находим значения лишних неиз¬
вестных:
6 М0аЬ
Ва*
№
Ма = ^(2а-Ь).
Две другие реакции находятся из уравнений равновесия и составляют
$Ь ~
Мь=%$(а-Щ.
(7.22)
(7.23)
Прогиб 6С в точке, где приложена нагрузка, можно найти при помощи второй
теоремы о моментных площадях. Величина этого прогиба равна статическому мо-
О
Мо
Яа-
И
с
/ В\
А
а
Ь
1
5*.
<м„
Рис. 7.12. Пример 2. Метод моментных площадей.
менту площади эпюры М/(Е1) на участке между точками А и С, взятого относи¬
тельно точки С. Согласно рнс. 7.12, Ь, этот прогиб равен
*.-*(*) (#М*)ЧИт)-И
<* Маа2
2Е1 ‘
Подставляя сюда выражения (7.22) для Яа и Ма, получаем прогиб в месте прило¬
жения нагрузки:
« __М0а2Ь2 (Ь—а)
с'~~ 2ИЮ
(7.24)
Если момент М0 приложен в середине пролета, то реакции опор принимают вид
М0
Ма=-Мь=-
р __ п ЗЛ10
~2ЕГ'
(7.25)
а прогиб в той же точке, согласно выражению (7.24), обращается в нуль.
7.5.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 285
7.5. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Метод конечных разностей, который ранее использовался для
определения прогибов балок, может быть применен также и для
исследования статически неопределимых балок. В разд. 6.7 было
показано, что для определения прогибов балок необходимо знать
значение изгибающего момента М( в каждой из выбранных вдоль
оси балки точек (см. уравнение (6.30)). Поскольку при этом число
конечно-разностных уравнений соответствовало числу неизвест¬
ных величин прогибов, прогибы можно было найти из решения си¬
стемы уравнений.
Исследование статически неопределимой балки начинается, как
обычно, с выбора величин, которые будут служить лишними неиз¬
вестными. Выбрав их, можно выразить изгибающий момент в про¬
извольном сечении балки через лишние неизвестные и приложенные
нагрузки. Затем результирующие выражения для изгибающих мо¬
ментов подставляются в конечно-разностное уравнение (6.30).
Отсюда следует, что число неизвестных величин, входящих в ко-
нечно-разностные уравнения, будет равно сумме числа неизвестных
значений прогибов вдоль оси балки и числа лишних неизвестных.
При этом число уравнений всегда будет достаточным для того, чтобы
найти эти неизвестные, поскольку каждой лишней неизвестной
соответствует условие, накладываемое либо на угол наклона, либо
на прогиб. Метод конечных разностей имеет то преимущество, что
он может использоваться при исследовании непризматических ба¬
лок практически с теми же затратами усилий, как и в случае приз¬
матической балки.
Пример. Балка АВ с одним заделанным и другим свободно опертым концами
(рис. 7.13) имеет постоянную жесткость при изгибе Е1 и нагружена в середине
пролета силой Р. В качестве лишней неизвестной выбирается реакция /?а. Тре¬
буется определить ее величину.
При разбиении балки на четыре участка равной длины (см. рис. 7.13), получим
три неизвестные величины прогибов (щ, щ й щ). Поскольку при этом имеем также
и одну лишнюю неизвестную, общее число неизвестных величин равно четырем,
следовательно, требуется четыре конечно-разностных уравнения. Эти уравнения
Р
х
Яа‘ <^/4> МА> М*>
У
Рис. 7.13. Пример. Метод конечных разностей.
286 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
получим, записав соотношения (6.30) для точек 0, 1, 2 и 3, расположенных вдоль
оси балки. При этом необходимо определить значения моментов в этих точках, вы¬
разив их через лишнюю неизвестную следующим образом:
М0 = 1/я РЬ, Мх=*иКь!*-1и Р**,
Мг = 'иКь1.
Конечно-разностное уравнение для точки 0 имеет вид
—й/0
Поскольку в заделке прогиб равен нулю (ш0=0) и угол наклона равен ну¬
лю (ш-!—а^), это уравнение упрощается:
, Яь^3 ри*
Ъ2Е1 ~ 64Е/‘ (а*
Отметим, что прогиб щ и реакция являются неизвестными величинами и поэто¬
му записываются в левой части уравнения. Аналогично получаются конечно-раз¬
ностные уравнения для точек 1, 2 и 3; в результате получим следующие три урав*
нения:
0 , . Р1*
1 ' 64Е1 ~~ 64Е1 ’ ^
щ—2ш2 1- (с)
а»2 2и>3-\~~~^- —0. (<1)
Из четырех уравнений (а), (Ь), (с) и (с!) можно найти три значения прогибов и
лишнюю неизвестную В результате решения получим величину реакции /?&
#6 = ?/22 Р — 0.3182Р,
лишь немного превышающую значение, найденное из точного решения (см. выра¬
жение (7.21)):
/^ = 5/16Р = 0,3125Р.
Таким образом, метод конечных разностей дает весьма удовлетворительные резуль¬
таты для значений лишних неизвестных даже в том случае, когда балку разбивают
лишь на небольшое число участков. При разбиении балки на большое количество
участков не стоит пытаться проводить решение вручную; в этом случае следует
использовать вычислительную машину.
7.6.
НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ
Балки, которые проходят над большим количеством опор и яв¬
ляются сплошными над каждой опорой (см., например, рис. 7.14),
называются неразрезными балками; как правило, с ними можно
встретиться при сооружении зданий, трубопроводов, мостов и
различных специальных конструкций. Если действующие на такую
неразрезную балку нагрузки направлены по вертикали и осевые
деформации отсутствуют, то и все реакции будут вертикальными.
Для того чтобы представить себе подобное поведение балки, можно
7.6.
НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ 287
предположить, что одна из опор является неподвижным шарниром,
а все остальные подвижными. Общее число реакций будет равно
числу опор, а степень статической неопределимости будет равна
этому числу, уменьшенному на два. Таким образом, на балку, изоб¬
раженную на рис. 7.14, действует пять вертикальных реакций,
из которых три являются лишними неизвестными.
Хотя неразрезную балку можно исследовать с помощью различ¬
ных методов, описанных в предыдущих разделах, практически удо¬
бен лишь способ наложения. При выборе реакций, которые будут
служить лишними неизвестными, можно остановиться на реакциях
промежуточных опор; в этом случае основной системой является
свободно опертая балка. Этот прием использовался в примере 1 разд.
7.3 (см. рис. 7.6) и удобен для балок, у которых только два или три
пролета. Когда число пролетов больше двух, удобнее выбрать в ка¬
честве лишних неизвестных изгибающие моменты в тех сечениях
балки, которые находятся над промежуточными опорами. Такой
выбор значительно упрощает вычисления, поскольку он приводит
к системе уравнений, в каждом из которых максимальное число не¬
известных равно трем независимо от общего числа лишних неизвест¬
ных.
Теперь эту же процедуру изложим более подробно для случая
неразрезных балок. Когда изгибающие моменты в опорах устраня¬
ются из конструкции, над опорами нарушается сплошность балки,
и поэтому основная система будет представлять собой ряд свободно
опертых балок. На каждую балку действуют внешние нагрузки,
нормальные к ней, вместе с двумя лишними неизвестными момента¬
ми, приложенными по ее концам. При действии всех этих нагрузок
можно определить углы поворота на концах каждой свободно опер¬
той балки. Уравнения совместности, которые отражают то обстоя¬
тельство, что смежные балки должны иметь один и тот же угол по¬
ворота, позволяют определить неизвестные изгибающие моменты.
Рассмотрим, например, часть неразрезной балки, изображенной
на рис. 7.15, а. Три последовательно расположенные опоры обозна¬
чаются через А, В и С, г длины и моменты инерции двух смежных
пролетов — соответственно через 1^а, 1а и Ьь, 1ь• Пусть Ма, Мь
и Ме— изгибающие моменты, возникающие в поперечных сечениях
над опорами. Истинные направления этих моментов будут зависеть
от действующих на балку нагрузок, но для того чтобы определить
эти направления, считаем моменты положительными, т. е. вызываю¬
Рис. 7.14. Неразрезная балка.
288 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
щими сжатие верхних волокон балки. Основная система, состоящая
из свободно опертых балок, показана на рис. 7.15, Ь для двух смеж¬
ных пролетов. Каждый пролет нагружается приложенными внеш¬
ними нагрузками плюс лишними неизвестными в виде изгибающих
моментов.
а
с
Рис. 7.15. Уравнение трех моментов.
Показанные на рис. 7.15,6 нагрузки создают прогибы в двух
свободно опертых балках. Угол поворота левой балки в опоре В
обозначен на рисунке через 0^, а угол поворота правой балки в той
же самой опоре — через 0*. Как видно из рисунка, эти углы берут¬
ся положительно направленными, т. е. имеющими то же направле¬
ние, что и положительные изгибающие моменты Мь- Поскольку в
действительности ось балки непрерывно продолжается через опору
В, из условия совместности перемещений можем записать соотноше¬
ние
о: = — к ы
7.6.
НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ 289
которое означает, что углы наклона двух свободно опертых балок
должны соответствовать друг другу в точке В. Следующий шаг за¬
ключается в получении выражений для углов 0* и 0*. Эпюры изги¬
бающих моментов, обусловленных действующими на основную сис¬
тему внешними нагрузками, показаны на рис. 7.15, с. Конкретный
вид этих эпюр будет зависеть от характера нагрузок. Однако во
всех случаях эпюры изгибающих моментов можно охарактеризовать
их площадями и координатой центров тяжести этих площадей. Обо¬
значим площади двух эпюр моментов соответственно через Ра и
Рь. Кроме того, обозначим через ха расстояние от точки А до центра
тяжести площади Ра, через хь— от точки С до центра тяжести пло¬
щади Рь- Теперь можно использовать эти характеристики эпюр
изгибающих моментов для определения углов наклона % и 0*.
Заметим, что, согласно второй теореме о моментных площадях,
внешние нагрузки, действующие на балку Л б, дают угол наклона
0а, равный
Га ха
Е1аи‘
Кроме того, моменты Ма и Мь также вносят свои вклады в 0^:
Мъ1-а
ЬЕ/а ЗЕ1а'
Таким образом, угол 0^ равен
О' _ Ма[*а | М))Ьа , раХа /1^
- -шга+жга+тц:а'
Рассмотрев правый пролет ВС, аналогичным образом получим сле¬
дующее выражение для угла 0^:
д" | Мс1*ъ | /с)
ЪЕ1Ь^ бЕ/ь^Е/ьЦ- '7
Подставив выражения (Ь) и (с) в соотношение (а) и сгруппировав
члены, найдем
м- Й) +ш> (%+%) + = -тё--тй- (7'26)
Это соотношение называется уравнением трех моментов, потому
что оно связывает три изгибающих момента, возникающих в сече¬
ниях над тремя смежными опорами балки. Такое уравнение можно
сразу составить для каждой промежуточной опоры неразрезной
б&лки и, следовательно, получить столько же уравнений, сколько
имеется неизвестных изгибающих моментов.
Уравнение трех моментов до некоторой степени упрощается,
если все пролеты имеют одинаковый момент инерции /:
Ма1а + 2Мь(1а + Ц) + Мс1ь^ (7.27)
10 Механика материалов
290 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Стоящие в правой части этого уравнения члены можно всегда
определить, если известны нагрузки, действующие на балку. На¬
пример, если на пролет АВ действует равномерно распределенная
нагрузка интенсивностью <7, то получим
Р Ё. ( \ /т \ _ я!-а ~у ^а_
а~ 3 \ 8 12 * а ~ 2 ’
а отсюда найдем
- ~иа
яЯ
4
(7.28)
Для сосредоточенной силы Р, приложенной к середине пролета,
имеем
Р - 1 а \-?й у -Ь.
Г«~Т\ 4 )^а>~ 8 • а~ 2
ЪР1\
(7.29)
Этих двух примеров достаточно для того, чтобы показать отсутствие
больших трудностей при определении членов, относящихся к эпю¬
рам изгибающих моментов. Сразу же после завершения этого этапа
можно просто выписать уравнения и решить их относительно неиз¬
вестных изгибающих моментов1).
В ходе предыдущих рассуждений предполагалось, что неразрез¬
ная балка была свободно оперта по обоим концам. Если один или
оба конца будут заделаны, то число лишних неизвестных моментов
возрастет (см. рис. 7.16, а). В этом случае проще всего заменить за¬
делку дополнительным пролетом балки и предположить, что этот
пролет имеет бесконечно большой момент инерции (рис. 7.16,6).
Влияние дополнительного пролета, имеющего бесконечно большую
жесткость, сказывается в предотвращении поворота в опоре 1, что
совпадает с условием, накладываемым заделкой. Изгибающие мо¬
менты, найденные для неразрезной балки в точках 1, 2 и 3 (см. рис.
7.16,6), будут совпадать с моментами в исходной балке. Выбор дли¬
ны дополнительного пролета не существен (за исключением того,
что она должна быть отлична от нуля), поскольку эта величина
всегда исключается из уравнения трех моментов.
После нахождения значений изгибающих моментов в сечениях
неразрезной балки, находящихся над опорами, из уравнений равно¬
весия легко определить реакции. Вновь рассматривая два смежных
пролета (рис. 7.15,6), предположим, что Кь и Яь являются реак¬
циями опоры В для двух свободно опертых балок А В и ВС. Их сум-
х) Уравнение трех моментов было выведено французскими инженерами Кла¬
пейроном и Берто в середине прошлого века (см. [7.4—7.6)).
7.6
НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ 291
ма дает величину полной реакции Яь опоры В (рис. 7.15, а). Реакция
Я'ь состоит из трех частей: реакции для свободно опертой балки,
обусловленной внешними нагрузками, реакции, обусловленной
моментом Ма (равной Ма/Ьа), и реакции, обусловленной моментом
Мь (равной— Мь/Ьа). Аналогично реакция Яь равна реакции для
свободно опертой балки, обусловленной внешними нагрузками,
Р
Ь
Рис. 7.16. Замена заделки пролетом с бесконечно
большим моментом инерции.
плюсМс/Ьь и —Мъ/Ьъ-Суммируя эти члены, получаем величину пол¬
ной реакции /?ь. Такая же процедура используется для каждой опо¬
ры, пока не будут определены все реакции. Разумеется, если дейст¬
вующая на балку сосредоточенная сила приложена непосредственно
над опорой, то она полностью передается на опору и соответственно
реакция этой опоры будет в точности равна приложенной силе.
Пример /. Для того чтобы показать, как применяется уравнение трех мо¬
ментов, решим пример, представленный на рис. 7.17. Балка имеет три пролета
равной длины с одинаковыми моментами инерции и нагружена на первом и третьем
пролетах. Сосредоточенная нагрузка Р предполагается равной цЬ.
Поскольку все пролеты имеют одинаковые моменты инерции, в этом примере
можно использовать уравнение (7.27). В качестве предварительного этапа опреде¬
лим для каждого из трех пролетов значения стоящего в правой части уравнения
члена 6Рх/Ь. Для пролета 1—2 этот член равен, согласно выражению (7.28), <^3/4.
Для пролета 2—3 этот член равен нулю, поскольку отсутствует нагрузка. Наконец,
для пролета 3—4 видим, что эпюра изгибающего момента представляет собой тре¬
угольник с максимальной ординатой, равной ЗР^/16. Площадь этого треугольника
равна ЗР^/32, а расстояние от его центра тяжести до точки 4 составляет 51/12
292 7 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
(см п 3 табл А1 в приложении А). Следовательно, член бРх/Ь имеет величину
15РГ2/64 или 15<7/?/64, поскольку предпрлагается, что Р равно цЪ.
Теперь можно записать уравнения трех моментов для промежуточных опор
Рассматривая опору 2, видим, что входящий в общее уравнение (7 27) момент Ма
0*449
0,4491
0,005 Г
-0,551
0,296
—0,704
Рис 7.17. Пример 1. Уравнение трех моментов.
становится моментом М1 (который равен нулю) Мьстановится Ма, а Мс переходит
в М3, таким образом, получаем
или
2Мг(2Ц |
4 м2+мв^^ия^.
№
7.6.
НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ 293
Аналогично запишем уравнение трех моментов для опоры 3:
15^3
МАЦ+2М* (2/.)=--
64
или
М2 + 4М3=-
15^2
64 *
(е)
Решив уравнения ((1) и (е), найдем изгибающие моменты
49^2 м _ 1!^2
—
960
240
(О
Записав уравнения равновесия для каждой из трех частей балки как для неза¬
крепленного тела, определим из этих уравнений реакции
431?/,
960
Я2 =
89^
160
#3 =
93<^
320
169?/,
240
(й)
Располагая этими данными, можно построить эпюры поперечных сил и изгибаю¬
щих моментов для всей балки (рис. 7.17, Ь и 7.17, с).
Пример 2. Предположим, что опоры неразрезной балки расположены на
разных уровнях либо из-за проседания опор, либо по другой причине. Как учесть
это обстоятельство в уравнении трех моментов?
У-'--—в
г
ц
Рис. 7.18. Пример 2. Опоры, расположенные на раз¬
ных уровнях.
Предположим, что три последовательные опоры А, В и С расположены так,
как показано на рис. 7.18. Штриховые прямые, соединяющие точки Л, В и С,
не изображают ось балки; каждая из них просто проведена через точки двух
смежных опор (ср. с рис. 7.15, а). Пусть рл и р$ представляют собой углы наклона
этих прямых, положительные, когда правая опора расположена ниже левой. Воз¬
вращаясь к выражению (Ь) для 0&, замечаем, что все члены этого выражения сохра¬
няются, но в дополнение к ним необходимо включить члены, отражающие влияние
угла рд. Наличие угла Рл соответствует уменьшению величины угла 0&, так что
вместо (Ь) получаем следующее соотношение:
а' МаЬа , Мъ1*а . Раха о л-\
06:=б177+з177+ЮХ“Рв- (Ь)
Выражение (с) для угла 0& также изменится и примет вид
д* ^ Рьхь | а /:\
294 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Подставив эти выражения в уравнение совместности (а) и сгруппировав члены,
получим более общую форму уравнения трех моментов:
Мл &)+2Мь (■Ь+7^) +М‘ {%) =
6 Р аХа 6 Р
ЬЕфа-$ь). (7.30)
Это уравнение следует использовать вместо уравнения (7.26) в тех случаях, когда
опоры расположены не на одном уровне.
7.7.
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Изменение температуры в статически неопределимой балке вы¬
зовет появление в ней напряжений и прогибов. Их величины могут
быть определены теми же методами, что и уже описанные для слу¬
чая действия на балку нагрузок. По-видимому, наиболее удобным
11 йл/
Тг Х/,жМь
У
Рис. 7.19. Заделанная по обоим концам балка
с различными температурами на верхней и ниж¬
ней поверхностях.
является способ наложения, который будет продемонстрирован на
примере заделанной по обоим концам балки, (см. рис. 7.19). Пред¬
полагается, что температура на верхней поверхности балки равна
7\, а на нижней равна Т2. Применим способ наложения и прежде
всего выделим лишние неизвестные для того, чтобы получить ста¬
тически определимую балку. Если в качестве лишних неизвестных
выбрать реакцию Кь и момент Мь, то основной системой станет
консольная балка. Прогиб и угол наклона на конце В этой консоли,
вызванные разностью температур, равны
X' ®(^2— Т{) Ь* П' 01(^2 — Т\) I*
2й ’ Г
(это показано в задаче 6.10.2). Здесь а — коэффициент линейного
температурного расширения, а Н — высота балки. Когда темпера¬
тура Т, выше Ти прогиб Ь'ь направлен вверх, а угол поворота 0$ —
против часовой стрелки.
7.7.
ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ 295
Прогиб и поворот в основной системе за счет силы имеют вид
”ь ЗЕ1 . ”ь~ 2 Е1 *
а за счет момента УИ ь— вид
Мьу а.„ _
ь ~ 2 Е1 ' ь ~ Е1 '
причем положительными считаются прогиб вверх и поворот против
часовой стрелки. Теперь можно записать следующие уравнения
совместности:
®й + ^& + ^& =0, 06 + 06 + 0* ==0.
Подставив в эти уравнения выражения для прогибов и углов пово¬
ротов, найдем
Кь — 0, Мь^'^.
Равенство нулю реакции Н,, можно ^ыло предвидеть из условия сим¬
метрии; если это условие использовать с самого начала, то решение
упрощается, поскольку требуется только одно уравнение совмест¬
ности. Другое следствие из условия симметрии состоит в равенстве
моментов Ман Мь- Таким образом, окончательно реакции для заде¬
ланной по обоим концам балки, изображенной на рис. 7.19, прини¬
мают вид
Яа = Кь = 0, = (7.31)
Иной подход, который может быть применен для анализа изображенной на
ис. 7.19 балки, состоит в решении дифференциального уравнения линии прогибов,
’ля данного примера это дифференциальное уравнение таково:
Е/т" ■= — М-аЕ1Р?~Т$ . (7.32)
Заметим, что в этом уравнении учитывается как влияние обоих изгибающих мо¬
ментов (ср. с уравнением (6.9а)), так и изменение температуры (см. уравнение
(6.42)). Изгибающий момент в балке равен
М-Ках—Ма.
Однако, как было отмечено выше, вследствие симметричности балки вертикальные
реакции равны нулю, так что можно положить Ка—0 и получить
Е/ш" Ма~-'- (ГЙ2Т~— •
Проинтегрировав почленно это уравнение, находим
ал „ &Е1 (Тг—• -
296 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Два граничных условия для угла наклона (о/=0 при дс=0 и х=Ь) дают ^==0 и
Ма—аЕ1(Т2—Т{)1К что совпадает с выражением (7.31). Найдя таким образом
момент в заделке, можно считать статически неопределимую задачу решенной. Од¬
нако если требуется найти уравнение линии прогибов, то последнее уравнение сле¬
дует проинтегрировать еще раз. Получающееся при этом выражение для прогиба ш
является до некоторой степени неожиданным.
7.8. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ СМЕЩЕНИЯ
НА КОНЦАХ БАЛКИ
Предположим, что балка А В закреплена неподвижным шарни¬
ром на одном конце и может свободно смещаться в горизонтальном
направлении на другом (рис. 7.20, а). Когда балка изгибается под
действием нагрузок, конец В смещается по горизонтали на малое
расстояние X и занимает положение В'. Смещение X равно разности
а
ь
Рис. 7.20. а — горизонтальное смещение конца
балки, Ь — горизонтальные реакции для балки
с неподвижными опорами.
между начальной длиной Ь балки и длиной хорды АВ' изогнутой
балки. Для того чтобы найти это расстояние, рассмотрим малый
элемент длиной й$, измеренной вдоль искривленной оси балки.
Проекция этого малого элемента на ось х имеет длину йх. Разность
между длиной и ее горизонтальной проекцией равна
йз—йх = Vйх2 + йш2 —йх = йхУ 1 + (йю/йх)2—йх, (а)
7.8.
ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ СМЕЩЕНИЯ НА КОНЦАХ БАЛКИ 297
где т — прогиб балки. Далее, согласно теореме о разложении дву¬
члена в ряд, можем записать
(1+^=1+Т-Т + Гб--
при условии, что величина I меньше единицы. Если величина I
очень мала по сравнению с единицей, то можно пренебречь членами,
содержащими (2, 13 и т. д. по сравнению с первыми двумя, откуда
имеем
(1+0,/2«1+|-. (7.33)
Член {МЛхУ, стоящий в выражении (а), как правило, очень мал;
отсюда, учитывая (7.33), получаем
а3-ах=ах[1 +1 (&)']-<**=
Если это соотношение проинтегрировать по длине балки, то полу¬
чим разность X между полной длиной балки и длиной хорды АВ'.
Эта разность равна
X
-■И {ШУ4*- <7-34)
Итак, в том случае, когда известно уравнение линии прогибов балки,
можно воспользоваться соотношением (7.34) для определения гори¬
зонтального смещения х, величина которого обычно очень мала.
Если воспрепятствовать смещению концов балки в горизонталь¬
ном направлении, как показано на рис. 7.20, Ь, то на каждом конце
балки возникает горизонтальная реакция Я. Эта сила будет застав¬
лять ось балки удлиняться при изгибе. Кроме того, сила Я сама бу¬
дет оказывать влияние на возникновение изгибающих моментов в
балке, а отсюда также и на линию прогибов балки. Вместо того
чтобы попытаться провести точное исследование этой сложной зада¬
чи, найдем приближенное выражение для силы Я, что позволит
оценить, насколько она важна. Линию прогибов балки с достаточ¬
ной точностью можно аппроксимировать параболой, уравнение ко¬
торой имеет вид
4&х(/.—х) ,,,
ш = » (Ь)
где б — прогиб в середине балки. Расстояние X, соответствующее
такой линии прогибов, можно найти, подставив выражение (Ь)
в соотношение (7.34), что дает
„ 86^
298 7 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Сила #, необходимая для того, чтобы балка удлинилась на эту вели¬
чину, составляет
и 8ЕРЬ2
П~ I 312 ’
а соответствующее осевое растягивающее напряжение равно
Н 8Е62 . ч
°~~Е “ з^2 •
Прогиб б в середине балки обычно очень мал по сравнению с ее дли¬
ной, например отношение ЫЬ может составлять 1/500. Используя
это значение и полагая, что материалом балки является сталь с Е=
=2,1*10® кГ/см2, из выражения (с) получаем, что напряжение
а достигает всего 22,4 кГ/см2. Таким образом, осевые напряжения,
обусловленные действием силы Я, очень малы по сравнению с до¬
пускаемыми напряжениями балки при изгибе. Более того, на прак¬
тике концы балки нельзя закрепить неподвижно и всегда имеет ме¬
сто некоторое незначительное перемещение в горизонтальном нап¬
равлении, что уменьшает величину осевой силы, вычисленной вы¬
ше. Таким образом, можно сделать вывод, что общепринятая прак¬
тика, сргласно которой не учитывают увеличения жесткости балки
за счет отсутствия смещения ее концов в горизонтальном направ¬
лении и предполагают, что один конец балки опирается на подвиж¬
ный шарнир, является вполне оправданной *).
ЗАДАЧИ
7.2.1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки,
заделанной на одном конце и свободно опертой на другом (см. рис. 7.2), используя
результаты, полученные в разд. 7.2. Отметить все характерные ординаты, включая
максимальные и минимальные значения.
7.2.2. Определить положение и величину максимального прогиба 6тах балки,
заделанной на одном конце и свободно опертой на другом (см. рис. 7.2).
7.2.3. Определить реакции опор для балки, заделанной на одном конце и сво¬
бодно опертой на другом (см. рис. 7.2), решив дифференциальное уравнение второ¬
го порядка для линии прогибов и взяв в качестве лишней неизвестной момент Ма
в заделке.
7.2.4. Определить реакции опор для балки, заделанной на одном конце и сво¬
бодно опертой на другом (см. рис. 7.2), решив дифференциальное уравнение чет¬
вертого порядка для линии прогибов.
х) Более точный расчет балок с неподвижными опорами дан в [7.7].
ЗАДАЧИ 299
7.2.5. Найти уравнение линии прогибов и определить реакции для балки с за¬
деланными концами, на которую действует равномерно распределенная нагрузка
(см. рис. 7.9).
7.2.6. Определить реакции опор и уравнение линии прогибов для балки, заде¬
ланной на одном конце и свободно опертой на другом (см. рисунок). Нагрузка,
действующая на балку, состоит из сосредоточенного изгибающего момента М0,
приложенного на конце В.
Ма
С!
Л*
4
Яь
К задаче 7.2.6.
7.2.7. Найти уравнение линии прогибов и все реакции опор для заделанной
на одном и свободно опертой на другом конце балки, на которую действует распре¬
деленная по закону треугольника нагрузка (см. рисунок).
<7о
с
ТПТГТггг^
а в'
к*
К задаче 7.2.7.
7.2.8. Найти реакции опор и уравнение линии прогибов для балки с заделан¬
ными концами, изображенной на рисунке.
Ч*
Ма
Я*
1-г<гГГ
\а
У 1/2 _
иг }
< : 3"
■С |
К задаче 7.2.8,
300 7 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
7.2.9. Найти уравнение линии прогибов, а также все реакции опор для балки
с заделанными концами, на которую действует распределенная по закону треуголь¬
ника нагрузка (см. рисунок).
Задачи 7.3.1—7.3.15 следует решать способом наложения.
7.3.1. Определить все реакции опор для двухпролетной балки, изображенной
на рис. 7.6, а, выбрав в качестве лишней неизвестной реакцию Рс. Построить эпю¬
ры поперечных сил и изгибающих моментов.
7.3.2. Используя реакции М& и в качестве лишних неизвестных, найти все
реакции опор для балки с заделанными концами, на которую действует сосредото¬
ченная сила (см. рис. 7.7, а). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих
моментов.
7.3.3. Определить все реакции опор для заделанной на одном конце и свободно
опертой на другом балки, на которую действует распределенная по закону тре¬
угольника нагрузка (см. рисунок).
Ра.' * ЛРЬ
У
К задаче 7.2.9.
К задаче 7.3.3.
7.3.4. Найти реакции опор для балки изображенной на рисунке.
Р
Р
Ма
о
Ра
РЬ
К задаче 7:3.4.
ЗАДАЧИ 301
7.3.5. На неразрезную балку с двумя пролетами неодинаковой длины дейст¬
вует равномерно распределенная нагрузка (см. рисунок). Найти все реакции опор.
иннннтттт
ил
21
/?о
К задаче 7.3.5.
Л
"1 4
С “
1 Н1.*_
^ А
1
В
К задаче 7.3.6.
7.3.6. Заделанная на одном конце балка АВ (см. рисунок) подкреплена на
другом койце тросом ВС. Перед приложением нагрузки трос натягивается .таким
образом, чтобы в нем отсутствовала слабина и в то же время не возникала растяги¬
вающая сила. Найти силу 7\ возникающую в тросе при действии на балку равно¬
мерно распределенной нагрузки интенсивностью?. Предполагается, что жесткость
балки при изгибе равна Е1, жесткость троса при растяжении равна ЕР.
А
ей
1
—: у —
с
Мг
0
<—
1/2 *
В
г1:н + нигггг
я
а^&А 2Е1
А
Е1
А
4, ф *
с Ф
\Кь
К задаче 7.3.7.
К задаче 7.3.8.
7.3.7. Две консольные балки А В и Сй нагружены так, как показано на ри¬
сунке. Между двумя балками в вертикальной плоскости, проходящей через точку
О, установлен каток. Жесткости при изгибе верхней и нижней балок соответствен¬
но равны Е1Х и Е1г. Найти силу Р взаимодействия между балками в точке В.
7.3.8. На рисунке изображена непризматическая баЛка АВ с равномерно рас¬
пределенной нагрузкой. Найти реакции опор.
7.3.9. Получить выражения реакций опор для трехпролетной неразрезной
балки, изображенной на рисунке.
7.3.10. Найти все реакции опор для заделанной по концам балки, на которую
действует равномерно распределенная на части пролета нагрузка (рис. 7.8), взяв
в качестве лишних неизвестных изгибающие моменты в опорах.
302 7* СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
7.3.11. На трехпролетную неразрезную балку (см. рисунок к задаче 7.3.9)
действует равномерно распределенная по пролету А В нагрузка; пролеты ВС и СВ
не нагружены. Определить реакции опор.
7.3.12. Двухпролетная балка до приложения нагрузки опирается на опоры А
и С (см. рисунок). Между балкой и опорой В имеется небольшой зазор Д. При дей¬
ствии на балку равномерно распределенной нагрузки зазор исчезает и балка начи¬
нает опираться на три опоры. Чему должен быть равен зазор Д, чтобы все три ре¬
акции были равны?
7.3.13. Неразрезная уголковая рама АВС заделана на конце А, имеет по¬
движную опору на конце С и жесткое соединение в узле В (см. рисунок). Найти
все реакции опор. (Указание. Пренебречь продольными деформациями элементов
и учитывать только влияние их изгиба. Кроме того, предположить, что каждый
элемент имеет длину Ь и жесткость Е1 при изгибе.)
7.3.14. Для заделанной по обоим концам балки АВ задан поворот левой опоры
на малый угол 0 (см. рисунок). Определить реакций опор.
7.3.15. Один конец заделанной по обоим концам балки А В перемещается без
поворота на расстояние Д относительно другого конца (см. рисунок). Найти реак¬
ции опор.
К задаче 7.3.12.
К задаче 7.3.13.
К задаче 7.3.14.
К задаче 7.3.15.
ЗАДАЧИ 303
Задачи 7.4.1—-7.4.9 следует решать методом моментных площадей.
7.4.1. Найти реакции опор для заделанной на одном конце и свободно опертой
на другом балки, на которую действует равномерно распределенная нагрузка (см.
рис. 7.2).
7.4.2. На рисунке к задаче 7.2.6 изображена заделанная на одном конце и
свободно опертая на другом балка, нагруженная сосредоточенным изгибающим
моментом М0. Найти реахции опор.
7.4.3. Определить все реакции опор для консольной балки с дополнительной
опорой и с выступающей частью, изображенной на рисунке к задаче 7.3.4.
7.4.4. На заделанную на одном конце и свободно опертую на другом балку
действуют две сосредоточенные силы, как показано на рисунке. Найти реакции
опор.
7.4.5. Найти реакции опор для заделанной по обоим концам балки, в середине
пролета которой приложена сосредоточенная сила (см. рис. 7.3). Определить так¬
же прогиб в середине пролета.
7.4.6. Определить реакции опор и прогиб в середине пролета для заделанной
по обоим концам балки, на которую действует равномерно распределенная нагруз¬
ка (см. рис. 7.9).
7.4.7. Найти реакции опор для заделанной по обоим концам балки, на кото¬
рую действуют две сосредоточенные силы (см. рисунок).
Р
Р
К задаче 7.4.4.
Р
Р
Яф а
а 3
К задаче 7.4.7.
304 7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
7.4.8. Определить изгибающие моменты в опорах заделанной по обоим концам
непризматической балки, нагруженной сосредоточенной силой Р (см.* рисунок).
7.4.9. Найти реакции опор и прогиб в гочке приложения нагрузки Р для за¬
деланной по обоим концам балки, изображенной на рис. 7.7, а.
Задачи 7.5.1 —■ 7.5.4 следует решать методом конечных разностей.
7.5.1. Найти реакцию Яь на правом конце заделанной на одном конце и сво¬
бодно опертой на другом балки, на которую действует равномерно распределенная
нагрузка (см. рис. 7.2). Разбить балку по длине на четыре равных участка.
7.5.2. Найти момент Ма, возникающий в опоре на левом конце балки, на ко¬
торую действует распределенная по закону треугольника нагрузка (см. рисунок
к задаче 7.3.3). Разбить балку по длине на четыре равных участка.
7.5.3. Найти изгибающие моменты Ма и Мь в опорах заделанной по обоим
концам балки, нагруженной в середине пролета сосредоточенной силой (см.
рис. 7.3). Разбить балку по длине на четыре равных участка.
7.5.4. Определить реакцию Яь опоры В двухпролстной неразрезной балки,
изображенной на рисунке к задаче 7.3.5. Разбить балку по длине на интервалы
длиной Ц2.
Задачи 7.6.1 — 7.6.10 следует решать при помощи уравнения трех моментов.
7.6.1. Решить задачу 7.3.5.
7.6.2. Решить задачу 7.3.9.
7.6.3. На двухпролетную неразрезиую балку действует равномерно распреде¬
ленная по всей длине пролета нагрузка интенсивностью?. Определить изгибающий
момент, возникающий в поперечном сечении балки, расположенном над централь¬
ной опорой, при условии, что эта опора опускается на расстояние А под действием
нагрузки интенсивностью ?. Оба пролета имеют одинаковые длины I и жесткости
Е1 при изгибе.
7.6.4. Неразрезная балка с тремя пролетами длиной I каждый нагружается
силами Р, приложенными в середине каждого пролета. Построить эпюры попереч¬
ных сил и изгибающих моментов.
7.6.5. На трехпролетную неразрезную балку действует равномерно распре¬
деленная но первому пролету нагрузка интенсивностью ?, второй и третий пролеты
не нагружены. Найти изгибающие моменты в поперечных сечениях балки, распо¬
ложенных над опорами, если длина каждого пролета равна Ь.
7.6.6. На четырех пролетную неразрезиую балку действует равномерно рас¬
пределенная по всей ее длине нагрузка интенсивностью ?. Полагая, что длина каж¬
дого пролета равна определить изгибающие моменты в поперечных сечениях
Р
К задаче 7.4.8.
ЗАДАЧИ 305
балки, расположенных над опорами, и построить эпюры поперечных сил и изги¬
бающих моментов.
7.6.7. Неразрезная балка, лежащая на четырех опорах, имеет слева выступаю¬
щую часть (см. рисунок). Найти изгибающие моменты в поперечны* сечениях бал¬
ки, расположенных над опорами, если Рг—500 кГ, о=6 кГ/см, Р2—1500 кГ, Л=
-4520 см4 и /а=42Ю см4.
7.6.8. Рассмотреть неразрезную балку, изображенную на рис. 7.16, я, приняв
/1=/2 и Р=0. Определить изгибающие моменты Мх и Л1а, возникающие
при действии нагрузки д.
7.6.9. Определить изгибающие моменты, возникающие в опорах неразрезной
балки с семью пролетами одинаковой длины когда равномерно распределенная
нагрузка интенсивностью ц действует только на средний пролет.
7.6.10. Неразрезная балка, изображенная на рисунке, заделана в опоре 1
и опирается на подвижные шарниры 2, 3 и 4. Равномерно распределенная нагрузка
имеет интенсивность д—75 кГ/см, сосредоточенная нагрузка Р равна 5 т. Осевые
моменты инерции для каждого пролета соответственно суть /х=96 000, /а=48 000
и /3= 288 000 см4. При действии нагрузок опора 3 смещается в вертикальном на¬
правлении на величину Д=0,25 см. Определить изгибающие моменты Мг, М2 и М3
в соответствующих поперечных сечениях балки, приняв Е=2,1* 10е кГ/см2.
Р
я
}
2 ***** 1 1 ...
| 1 Л 2 А 1г АЗ
Л Ч\Х\\Х
6 м ^Зм^|тЧ,5м_
/з М
4.5 л# ^ |
К задаче 7.6.10.
7.7.1. Заделанная на левом конце А и свободно опертая на правом конце В
балка имеет температуру 7\ на верхней поверхности и температуру Т? — на ниж¬
ней (см. рисунок). Найти реакции опор.
К задаче 7.7.1.
306 7- СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
7.7.2. Двухпролетная балка имеет различные температуры на нижней и верх¬
ней поверхностях (см. рисунок). Найти реакции опор.
АВС
К задаче 7.7.2. К задаче 7.7.3.
7.7.3. К свободно опертой балке АС прикреплен трос ВВ без предваритель¬
ного натяжения и слабины (см. рисунок). Длина троса равна Я, площадь его попе¬
речного сечения равна Р. Определить растягивающую силу 5 в тросе при пониже¬
нии температуры на Т градусов, если балка и трос изготовлены из одного и того же
материала.
7.8.1. Вычислить горизонтальное смещение А, одного из концов свободно
опертой балки, на которую действует равномерно распределенная нагрузка ин¬
тенсивностью ?.
7.8.2. Определить горизонтальную силу Я, возникающую на закрепленных
неподвижными шарнирами концах балки (см. рис. 7.20, 6), если форма балки пос¬
ле деформации описывается уравнением ш=6 зт (пхЦ).
НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
8.1. СИММЕТРИЧНЫЕ БАЛКИ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ НАГРУЗОК,
НЕ ЛЕЖАЩИХ В ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ
При изложении в гл. 5 теории изгиба балок основное внимание
было обращено на балки с осевой плоскостью симметрии (плоскость
ху на рис. 5.1—5.3). Кроме того, предполагалось, что поперечные на¬
грузки действуют в той же самой плоскости, а следовательно, и из¬
гиб балки также происходит в этой плоскости. При таких условиях
как нейтральная ось, так и вертикальная ось симметрии являются
главными осями поперечного сечения, проходящими через его центр
тяжести. Отметим также, что нормальные напряжения, возникаю¬
щие при изгибе, изменяются по линейному закону в зависимости
от расстояния до нейтральной оси и подсчитываются по формуле
ах—МуН (см. рис. 5.3 и формулу (5.10)).
В данной главе мы рассмотрим различные примеры несимметрич¬
ного изгиба, который возникает при невыполнении указанных выше
допущений. Простейшим случаем несимметричного изгиба является
действие на симметричную балку (поперечное сечение которой имеет
две оси симметрии) сил, направление которых' составляет острый
угол с осями симметрии (см. рис. 8.1, а). Несимметричный изгиб
имеет место и в том случае, когда несимметрична сама балка; этот
вариант будет обсуждаться в следующем разделе.
Если на симметричную балку действует образующая острые углы
с осями симметрии сила, как показано в случае консольной балки
на рис. 8.1, а, то для определения напряжений и прогибов можно
воспользоваться способом наложения. Можно разложить силу на
две составляющие, действующие в плоскостях симметрии, а затем
решить задачу об изгибе отдельно для каждой из этих составляю¬
щих. Окончательные значения напряжений и прогибов получаются
сложением полученных результатов. Для изображенной на рис. 8.1, а
балки составляющими . являются РсозО в направлении оси у
и Рзт0 в направлении отрицательной оси г. В промежуточном се¬
чении, расположенном на расстоянии х от заделки, соответствую¬
щие изгибающие моменты равны
Мг = (Р соз 0) (/- — х), Му — (Р зт 0) (Ь—х).
308 *• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
На рис. 8. 1, & показаны положительно направленные изгибающие
моменты Мг и Му; отметим, что каждый момент считается положи¬
тельным, когда направление его вектора (изображенного в соответ¬
ствии с правилом правой руки) совпадает с положительным направ¬
лением соответствующей оси. На рисунке также показан резуль¬
тирующий вектор момента М, направленный под углом 0 к оси г.
Рис. 8.1. Симметричная балка под действием нагрузки, не лежащей
в плоскости симметрии.
Поскольку моменты Му и Мг являются изгибающими момента¬
ми, возникающими в плоскостях симметрии балки, соответствую¬
щие напряжения можно найти по формуле для изгиба (формуле
(5.10)). Если рассмотреть в поперечном сечении произвольную точ¬
ку Л с координатами у и г (рис. 8.1, Ь), то увидим, что нормальное
напряжение в этой точке выражается формулой
_М*_МгУ я
*— / I 9 (*•*/
*у 1Х
где Iу и /2— моменты инерции соответственно относительно осей
у и 2.
8.1
НАГРУЗКИ. НЕ ЛЕЖАЩИЕ В ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ 309
Максимальные напряжения будут возникать в точках, наиболее
удаленных от нейтральной оси. Положение нейтральной оси можно
определить, приравняв нулю выражение (8.1) для напряжения ст*.
Подставив в выражение (8.1) МУ=М зт 0 и Мг—М соз 0 и положив
ох равным нулю, получим уравнение нейтральной оси (прямой пп
на рис. 8.1,&)
(8.2)
л У 1г
Угол р между нейтральной линией и осью г определяется следую¬
щим равенством:
*вР=! = тИее. (8.3)
г 1У
В общем случае угол р не равен 0, поэтому нейтральная ось не пер¬
пендикулярна плоскости, в которой действуют силы. Единственны¬
ми исключениями будут случаи, когда 0=0, 0=90° или /2=/г
В первом из этих трех случаев силы лежат в главной плоскости ху,
а нейтральной осью является ось г. Второй случай аналогичен пер¬
вому, за исключением того, что здесь силы лежат в плоскости хг,
а нейтральной осью будет ось у. Наконец, в третьем случае имеем
1г=1у, что означает равенство главных осевых моментов инерции.
При этом моменты инерции относительно всех осей, проходящих
через центр тяжести, равны и все оси являются главными. Таким
образом, плоскость, в которой приложена сила, независимо от ее
ориентации всегда будет главной плоскостью, а нейтральная ось
всегда будет перпендикулярна к ней.
Прогибы симметричной балки под действием направленных под
углом к главным плоскостям сил можно найти для каждой из двух
составляющих в отдельности, а затем результаты сложить. Напри¬
мер, в случае консольной балки, изображенной на рис. 8.1, а, про¬
гибы свободного конца (в положительном направлении оси у и от¬
рицательном направлении оси г) равны
с _ РЬ? 008 6 с _ Р1? 31П 0
у~ 3 Е1г ’ г~ 3 Е/у
и показаны на рис. 8.1, с. Полный прогиб имеет вид
(8.4)
Угол р между вектором результирующего прогиба б и осью у выра¬
жается соотношением
^Р=|г=г1е 0.
V У
которое совпадает с (8.3). Таким образом, можно сделать вывод о
том, что результирующий прогиб лежит в плоскости, перпендику¬
лярной нейтральной оси.
ЗЮ «• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
8.2. ЧИСТЫЙ ИЗГИБ НЕСИММЕТРИЧНЫХ БАЛОК
Теперь уже имеется возможность рассмотреть балку с несиммет¬
ричным поперечным сечением (рис. 8.2). Выберем произвольным об¬
разом две взаимно перпендикулярные оси у иг, лежащие в плоскос¬
ти поперечного сечения, и в предпо¬
ложении, что в поперечном сечении
действует изгибающий момент, выяс¬
ним условия, необходимые для того,
чтобы ось г была нейтральной осью.
Для этого прежде всего отметим, что
напряжение, возникающее в элементе
площадью ЛР, расположенном на рас¬
стоянии у от нейтральной оси, сог¬
ласно формуле (5.5), равно ах=кЕу
и соответственно сила, действующая
на элемент, составит яЕукр. Зная эту
силу, можно воспользоваться уравне¬
ниями равновесия для определения
результирующих напряжения. Ре¬
зультирующая сила в направлении
оси х ввиду отсутствия осевой силы
должна быть равна нулю, откуда имеем
хЕ^уйР = 0, или ^уйр = 0, (а)
где интегрирование проводится по всей площади поперечного сече¬
ния. Эго соотношение показывает, что нейтральная ось должна
проходить через центр тяжести поперечного сечения, где и будет
помещено начало координат.
Рассмотрим изгибающие моменты. Результирующий момент от¬
носительно оси г равен
\Мг\ = нЕ ^у^йР^хЕ!,, (Ь)
а относительно оси у — соответственно
\Му\ = кЕ^угар — -иЕ1уг, (с)
где 1уг— центробежный момент инерции поперечного сечения отдо-
сительно осей у и г. (В выражениях (Ь) и (с) используются абсолют¬
ные значения потому, что пока еще не были установлены соответ¬
ствующие правила знаков для изгибающих моментов и кривизны,
однако на данном этапе эти знаки несущественны!.)
Из рассмотрения выражений (Ь) и (с) можно сделать несколько
интересных выводов. Если имеет место изгиб относительно оси «г
Рис. 8.2. Несимметричное попе¬
речное сечение с произвольно
выбранными осями координат.
8.2.
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ НЕСИММЕТРИЧНЫХ БАЛОК 31 1
как нейтральной оси, то, очевидно, в общем случае должны сущест¬
вовать изгибающие моменты как относительно оси у, так и относи¬
тельно оси г. Эти два момента образуют суммарный момент, вектор
которого направлен под острым углом к осям у иг, так что плос¬
кость, в которой действует приложенный изгибающий момент, не
перпендикулярна нейтральной оси. Однако если у и г выбираются
в качестве главных центральных осей поперечного сечения, то
1уг—0 и момент Му обращается в нуль (см. выражение (с)). Это ус¬
ловие означает, что на поперечное сечение действует только момент
Мг, вектор которого направлен вдоль оси г (нейтральной оси).
Рис. 8.3. Несимметричное поперечное се¬
чение с изгибающим моментом М, разло¬
женным на составляющие по главным
центральным осям.
Таким образом, приходим к следующим важным заключениям.
При чистом изгибе несимметричной балки плоскость, в которой дей¬
ствует изгибающий момент (плоскость ху), перпендикулярна
нейтральной плоскости (плоскости хг) только в том случае, когда
оси у и 2 являются главными центральными осями поперечного се¬
чения. Отсюда следует, что если изгибающий момент действует в
главной плоскости, то эта плоскость становится плоскостью изгиба,
нейтральная ось перпендикулярна к ней и здесь справедлива обыч¬
ная теория изгиба.
Итак, намечается сравнительно простой путь исследования не¬
симметричной балки, нагруженной произвольным изгибающим мо¬
ментом М (рис. 8.3). Начнем с того, что найдем главные центральные
оси у и г в соответствии с процедурой, описанной в приложении А,
и разложим момент М на составляющие Му и Мх, направленные по
этим осям. Момент Му действует в плоскости хг и положителен,
когда направление его вектора совпадает с положительным направ¬
лением оси у. Аналогично этому момент Мг действует в плоскости
ху и положителен, когда направление его вектора совпадает с поло
312 «• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
жительным направлением оси г. Эти составляющие равны
М„=М5т0, Мг = М соз0, (<1)
Где в — угол между вектором М и осью г. Поскольку момент
Мг действует в главной плоскости, он вызывает изгиб балки, при
котором ось г будет нейтральной осью, а следовательно, в этом слу¬
чае можно применять все обычные формулы для напряжений и про¬
гибов при чистом изгибе. Продолжая в том же духе, видим, что
момент Му вызывает изгиб, для которого ось у является нейтраль¬
ной. Таким образом, полное изгибающее напряжение в произволь¬
ной точке А равно
*у
где у иг — координата точки А. Это выражение совпадает с выра¬
жением (8.1), полученным для симметричного поперечного сечения.
Нейтральная ось пп (см. рис. 8.3) является линией нулевого на¬
пряжения, и уравнение ее получается описанным в разд. 8.1 спосо¬
бом, откуда имеем
81П 0 соз 0 л ,а
-7-2—1—у= о. (8.6)
1у Iг
Следовательно, так же, как и ранее, можно определить угол р между
нейтральной осью и осью г, что дает
*8Р = 7**80. (8.7)
‘V
Опять видно, что в общем случае углы 0 и р не равны между собой,
поэтому нейтральная ось не перпендикулярна плоскости, в которой
действует момент М. Единственными исключениями являются три
указанных в предыдущем разделе случая.
Прогибы, возникающие при действии сосредоточенных изгибаю¬
щих моментов Му и Мг, можно получить по обычным формулам из¬
гиба балок. Прогибы, обусловленные Мч, будут иметь место в плос¬
кости хг, а обусловленные Мг—в плоскости ху. Эти прогибы можно
всегда сложить и получить результирующий прогиб в плоскости,
перпендикулярной нейтральной оси.
Общая теория чистого изгиба. В ходе предыдущего обсужде¬
ния был описан метод исследования, при котором требовалось найти
главные оси поперечного сечения, а затем разложить изгибающий
момент на составляющие по этим осям. Подобная процедура была
подсказана тем обстоятельством, что, имея дело с главными осями,
можно использовать обычные формулы для напряжений и прогибов.
Однако в некоторых случаях оказывается, что при исследовании
удобнее пользоваться осями, не являющимися главными. Примером
8.2.
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ НЕСИММЕТРИЧНЫХ БАЛОК 313
может служить 2-образное сечение (рис. 8.4), где оси у и г не яв¬
ляются главными и тем не менее при проведении расчетов удобнее
использовать именно их.
Для того чтобы вывести уравнения более общей теории изгиба,
не связанной с главными осями, рассмотрим несимметричное попе¬
речное сечение, изображенное на рис. 8.5, и предположим, что оси
у и г являются центральными, но не главными осями. Предположим
У
Рис. 8.4. Несимметричное
2-образное сечение с цент¬
ральными осями, не являю¬
щимися главными.
У
Рис. 8.5. Несимметричное попереч¬
ное сечение с центральными осями,
не являющимися главными.
также, что изгибающие моменты Му и Мг действуют на поперечное
сечение так, как показано на рисунке. В этом общем случае изгиб
балки будет происходить одновременно и в плоскости ху, и в плос¬
кости хг.
-х
'X
Рис. 8.6. Правила знаков для кривизны:
а — положительная кривизна ку \ Ь — по¬
ложительная кривизна хг.
Обозначим кривизну в плоскости ху через ху=\!ру, где
ру— радиус кривизны, а в плоскости хг — через хг= 1/р2. Кривизна
будет положительна, когда форма изогнутой в плоскости ху
балки такова, что она обращена вогнутостью вниз, т. е. в сторону
положительного направления оси у. Точно так же и кривизна кг
считается положительной, когда изогнутая в плоскости хг балка об¬
314 *• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
ращена вогнутостью в сторону положительного направления оси г.
Это правило знаков показано на рис. 8.6. Тогда напряжение в точке
А с координатами у и г имеет вид
ох = — у.уЕу—‘лгЕг‘, (е)
здесь знаки минус поставлены в соответствии с правилами знаков
для кривизны.
Теперь можно определить результирующие напряжений, возни¬
кающих в поперечном сечении. Поскольку в направлении оси х
суммарная сила равна нулю, получим
^ахйр — 0, или кч^уйР+нг^гйР — 0.
Это соотношение удовлетворяется автоматически, так как начало
координат совпадает с центром тяжести поперечного сечения и по¬
этому оба интеграла во втором равенстве обращаются в нуль. Мо¬
мент Му относительно оси у равен
Му — ^ ахгйР = — куЕ ^ угйР—кгЕ ^ ггЛР,
или
Му = — *уЕ1уг—**Е1У. (!)
Аналогичным образом для момента относительно оси г получим
Мг= — $ ахуйр = куЕ ^у-йР + нгЕ\1угЛР,
или
Мя = хЕ/я + *аЕ1уя. (ё)
Решая систему уравнений (!) и (§), находим следующие выражения
для кривизн через изгибающие моменты:
Мг1у + Му!уг /о о_\
Е (1у1г — 1уг) (8 8а)
~ + (8>8Ь)
Е {1у1г -1$г) '
Наконец, подставив эти выражения в соотношение (е), запишем фор¬
мулу для напряжения ох:
(Му1г + М21уг) г (М21 у-\-Му1у1:) у
/../«-/г
(8.9)
Формула (8.9) называется обобщенной формулой изгиба; ее можно
использовать при определении изгибающих напряжений в балке,
когда известны моменты Му и Мг, действующие относительно лю¬
бых двух взаимно перпендикулярных центральных осей. Эти оси
могут быть и не главными.
83. ИЗГИБ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК 315
Теперь можно указать на некоторые специальные случаи изгиба.
Предположим, что существует только изгибающий момент Мг,
а момент Мч равен нулю. Такое условие может иметь место, напри¬
мер, при изгибе 2-образного профиля (рис. 8.4). Тогда получим уп¬
рощенные выражения для кривизн
тег <81°а>
Мг1уг
Е (/„/*-/У
и для напряжения
Мг(1уг* ^ уУ)
(8.10Ь)
(8.11)
Если, кроме того, оси являются главными, т. е. если 1Уг=0, эти
выражения станут еще проще: '
*, = %• (81^)
хг — О, (8.12Ь)
(8.12с)
1 г
и совпадут с обычными выражениями для изгиба в главной плоскос¬
ти ху.
Если на балку одновременно действуют оба момента Му и Мг
и оси являются главными, то по-прежнему центробежный момент
инерции 1уг равен нулю и выражения (8.8) и (8.9) сводятся к сле¬
дующим: м
*у = тг?-’ (8ЛЗа>
1 г
Е‘у'
Муг Мгу
~у ТГ
(8.13Ь)
(8.14)
Отметим, что последнее выражение совпадает с (8.5).
8.3. ИЗГИБ НЕСИММЕТРИЧНЫХ БАЛОК
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК
Все сказанное в предыдущем разделе относилось к случаю чис¬
того изгиба несимметричных балок. Теперь встает вопрос, как ве¬
дут себя такие балки при изгибе под действием поперечных нагру¬
зок, когда кроме изгибающих моментов возникают поперечные силы.
Для того чтобы лучше пояснить суть этой задачи, обратимся к несим¬
316 *• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
метричной консольной балке, изображенной на рис. 8.7, а. Прило¬
женная на незакрепленном конце балки сила Р направлена по
вертикали, параллельно оси у. Поскольку ось г является осью сим¬
метрии, оси у иг представляют собой главные центральные оси
поперечного сечения (рис. 8.7, Ь).
Рис. 8.7. а — несимметричная балка с поперечной нагрузкой; Ь — поперечное се¬
чение балки: 5 — центр сдвига, С — центр тяжести.
Предположим, что сила Р изгибает балку относительно оси г,
т. е. что ось г является центральной осью. Тогда в каждом проме¬
жуточном поперечном сечении балки получатся две результирую¬
щие напряжений: изгибающий момент Мг относительно оси г и по¬
перечная сила 0,у (равная внешней силе Р) в направлении оси у
(рис. 8.7, Ь). Соответственно этим двум результирующим в каждом
поперечном сечении будут возникать нормальные и касательные на¬
пряжения. Результирующей нормальных напряжений, естествен¬
но, является изгибающий момент Мх, касательных — поперечная
сила, равная Р. Линия действия этой равнодействующей попереч¬
ной силы проходит через-точку 5, лежащую на оси г и в общем слу¬
чае не совпадающую с центром тяжести сечения С. Эту точку назы¬
вают центром сдвига (пли центром изгиба) поперечного сечения бал¬
ки. Когда линия действия силы Р не проходит через центр сдвига,
эта сила будет создавать крутящий момент, в результате чего воз¬
никнет кручение балки.
Сейчас можно сделать важное заключение, а именно: сила, дей¬
ствующая на несимметричную балку, обычно вызывает одновремен¬
но изгиб и кручение этой балки. Обычный изгиб без кручения проис¬
ходит только в том случае, когда лини я действия приложенной силы
проходит через центр сдвига 5. Следовательно, определение поло¬
жения центра сдвига представляет большой интерес.
Для балки, изображенной на рис. 8. 7, определить положение
центра сдвига поперечного сечения сравнительно легко. Можно счи¬
г
Р
а
Ь
8.3.
ИЗГИБ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК 317
тать, что балка состоит из двух полок и стенки прямоугольного по¬
перечного сечения (рис. 8.8). Все эти три части одновременно из¬
гибаются в плоскости ху и, следовательно, при изгибе имеют оди¬
наковую кривизну; поэтому изгибающие моменты, возникающие в
каждой из этих частей, пропорциональны их моментам инерции от¬
носительно оси г:
_ мх _ мг _ м3
Е1г Е1й
Е1Я
Здесь Ми М2 и М3— моменты, возникающие в каждой из соответ¬
ствующих частей балки, а 1и /2 и /3 — соответствующие моменты
инерции относительно оси г. Поскольку /3 является очень малой
Ь,
-Ф
5 С
1
®н
01
Ьг
Рис. 8.8. Поперечное сечение несиммет¬
ричной двутавровой балки, 5 — центр
сдвига.
величиной по сравнению с Л и /2, влиянием стенки можно пренеб¬
речь и считать, что вся нагрузка воспринимается двумя полками,
В соответствии с этим
М1/11 = Мг/1ъ
и
М,
М,1,
’Л-И.
где Мг—М1+М2— полный изгибающий момент. Для поперечных
сил <2, и возникающих в обеих полках, можно записать выраже¬
ния, аналогичные приведенным выше для изгибающих моментов:
<И. Л <21-2 .
<?! =
Л + /.
1х+1*
(а)
здесь — равнодействующая поперечных сил, равная внеш¬
ней силе Р. Линия действия этой равнодействующей проходит через
Центр сдвига 5 (рис. 8.8).
318 «. НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
Обозначим через к расстояние между центрами тяжести полок,
а через Л, и к2— расстояния от центра сдвига 5 до центров тяжести
полок. Тогда величины этих расстояний можно определить, прирав¬
няв нулю сумму моментов сил относительно точки 5:
^^к^— ^2к2=0,
или с учетом выражений (а)
(8.15)
Подставляя в соотношение (8.15) значения /1=/,6,/12 и 12=12Ь\1\2
и учитывая, что кх-\-к2=к, получаем следующие выражения для рас¬
стояний Лх и Ла.
(8'И
<8|6Ь>
Таким образом, положение центра сдвига для несимметричной дву¬
тавровой балки установлено. Сопоставляя положения центра сдви¬
га 5 и центра тяжести С, можно показать, что центр сдвига 5 всегда
расположен между центром тяжести С и левой полкой, если Ь{>Ь2
и Ь\1г>Ь\12.
В частном случае, когда ось у также является осью симметрии
поперечного сечения и соответственно Ъ=12 и 61=6», из представ¬
лений (8.16) находим
к\= к2 — V 2к9
откуда следует, что центр сдвига совпадает с центром тяжести. Во¬
обще для таких балок, у которых поперечное сечение имеет две
оси симметрии (например, круговое, прямоугольное или двутавро¬
вое сечение), центр сдвига будет совпадать с центром тяжести. Та¬
ким образом, в этих случаях любая сила, линия действия которой
проходит через центр тяжести, будет создавать только изгиб без
кручения.
Другой частный случай имеет место тогда, когда размер Ь2
становится равным нулю, в результате чего получается тавровая
балка (рис. 8.9). Из представлений (8.16) получаем Й1=0 и к2—к,
а это означает, что центр сдвига находится в месте соединения стен¬
ки с полкой.
Вообще если поперечное сечение балки имеет одну ось симметрии
(рис. 8.8 и 8.9), то центр сдвига будет всегда лежать на этой оси.
Любую силу, линия действия которой проходит через центр сдвига,
всегда можно разложить на две составляющие, соответственно па¬
раллельные осям г и у. Первая составляющая будет создавать из¬
гиб в плоскости хг, причем нейтральной осью будет ось у; вторая
НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ НЕЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ 319
составляющая будет создавать изгиб (без кручения) в плоскости
ху; нейтральной осью будет служить ось г. Если линия действия си¬
лы не проходит через центр сдвига, то эту силу всегда можно пред¬
ставить в виде суммы силы, линия действия которой проходит через
эту точку, и крутящего момента. Результат действия силы, линия
действия которой проходит через центр
сдвига, определяется описанным выше
способом, а результат действия крутя¬
щего момента можно найти из рассмот¬
рения соответствующей задачи круче¬
ния.
Определить положения центра сдви¬
га не всегда легко. Для сплошных и
замкнутых полых поперечных сечений
он обычно расположен вблизи центра
тяжести. Такие сечения, как правило,
обладают высокой жесткостью при кру¬
чении, поэтому влиянием скручивания
можно пренебречь, если силы прикладываются в центре тя¬
жести или вблизи него. Тонкостенные балки незамкнутого профиля
(такие, как швеллеры и уголки) обладают очень малой жесткостью
при кручении, и в таких случаях важно знать положение центра
сдвига и учитывать влияние скручивания, которое имеет место,
когда линия действия силы не проходит через центр сдвига. Попе¬
речные сечения такого типа будут подробно рассматриваться в
двух следующих разделах.
Рис. 8.9. Центр сдвига попереч¬
ного сечения тавровой балки.
8.4. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В ТОНКОСТЕННЫХ БАЛКАХ
НЕЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ
Ранее уже рассматривалось распределение касательных напря¬
жений в балках, имеющих две оси симметрии (см. разд. 5.3). Было
показано, что касательные напряжения выражаются формулой
(5.18):
при условии, что касательные напряжения равномерно распределе¬
ны по ширине балки Такое ограничение вполне приемлемо для тон¬
костенных балок прямоугольного поперечного сечения, для сте¬
нок двутавровых балок и для некоторых других типов сечений.
Сейчас же будет рассматриваться частный класс балок, а именно
так называемые тонкостенные балки незамкнутого профиля, каса¬
тельные напряжения в которых можно определять тем же способом,
320 8 НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
Ь С
Рис. 8.10. Касательные напряжения в тонкостенной балке не¬
замкнутого профиля, оси у и г — главные центральные оси.
которым была выведена формула (5.18). Балки, которые мы будем
рассматривать, обладают двумя характерными свойствами: 1) тол¬
щина поперечного сечения мала по сравнению с общей высотой или
шириной; 2) поперечное сечение имеет незамкнутый профиль (как
в случае двутавровой или швеллерной балки) в отличие от замкнуто¬
8.4.
НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ НЕЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ 321
го (как в случае коробчатого сечения). Тонкостенные балки с не¬
замкнутым профилем часто называются фасонным прокатом или фа¬
сонными профилями и широко применяются в технике.
Исследование распределения касательных напряжений в фасон¬
ных профилях начнем с рассмотрения балки, средняя линия тт
поперечного сечения которой имеет произвольную форму (рис.
8.10, а). Оси у и г являются главными центральными осями попереч¬
ного сечения, а сила Р параллельна оси у (рис. 8.Ю, Ь). Если линия
действия силы Р проходит через центр сдвига 5, то балка не будет
закручиваться и возникнет простой изгиб в плоскости ху, причем
ось г будет нейтральной осью. Нормальные напряжения в произ¬
вольной точке балки задаются формулой
где Мг— изгибающий момент относительно оси г, а у — координата
рассматриваемой точки.
Теперь рассмотрим малый элемент аЬсй, вырезанный двумя по¬
перечными сечениями, расположенными на расстоянии йх друг от
друга и имеющими длину 5, измеренную вдоль средней линии попереч¬
ного сечения (рис. 8.10, а). Результирующая нормальных напряже¬
ний, возникающих на грани ай, обозначена через N1 (рис. 8.10, с),
а на грани Ьс — через Так как изгибающий момент на грани ай
больше момента на грани Ьс, сила N1 будет больше, чем поэтому
для того, чтобы имело место статическое равновесие, касательные
напряжения т должны быть направлены вдоль грани ей. Эти каса¬
тельные напряжения должны быть параллельны свободной от на¬
пряжений поверхности элемента; в сечениях айн Ьс возникают пар¬
ные им касательные напряжения. Суммируя силы, действующие в
направлении оси х на малый элемент, изображенный на рис. 8.10, с,
получаем
где I — толщина поперечного сечения на грани ей, т. е. толщина
стенки балки на расстоянии 5 от свободной границы поперечного
сечения. Используя формулу (а), находим
где йР — элементарная площадка на грани ай элемента, у — коор¬
дината элементарной площадки йР, а Мп— изгибающий момент в
этом поперечном сечении. Аналогичное выражение получается для
силы Л^:
(а)
хЫхс—Ы1— N 2,
(Ь)
о
о
11 Механика материалов
322 * НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
Подставив выражения для N1 и Л/, в уравнение (Ь), получим
о
Величина (Мг2— Мг1)/с1х представляет собой скорость изменения
изгибающего момента вдоль оси х и равна —С},,, т. е. поперечной
силе, направленной вдоль оси у и равной внешней силе Р (рис. 8.10).
Следовательно, формула для касательного напряжения имеет вид
8
х=-Ыулр' <8-17)
2 о
Эта формула определяет касательное напряжение в произвольной
точке поперечного сечения, отстоящей на расстояние 5 от свобод¬
ной границы. Стоящий в правой части интеграл представляет собой
статический момент относительно нейтральной оси части площади
поперечного сечения между 5==0 и 5=5. Обозначая этот статический
момент через 52 и рассматривая только абсолютную величину каса¬
тельного напряжения, можно записать формулу в более простом
(аналогичном виду формулы (5.18)) виде:
, = (8.18)
Касательные напряжения т направлены вдоль средней линии по¬
перечного сечения параллельно границам сечения; предполагает¬
ся, что они имеют постоянную интенсивность по толщине I стенки.
Сама толщина может быть не постоянной, а изменяться в зависимо¬
сти от 5.
В произвольной точке поперечного сечения поток касательных
напряжений, равный произведению касательного напряжения на
толщину стенки в данной точке, составляет
/-Т/-5&. (8.19)
1г
Поскольку 0.ч и 1г являются постоянными величинами, из этой фор¬
мулы следует, что поток касательных напряжений прямо пропор¬
ционален статическому моменту 5Г. На верхней и нижней границах
поперечного сечения статический момент 5* равен нулю, поэтому
равно нулю и касательное напряжение. Между этими крайними точ¬
ками поток касательных напряжений меняется непрерывно и дости¬
гает максимального значения, когда статический момент 5* макси¬
мален, что имеет место на нейтральной оси.
Если изображенная на рис. 8.10 балка изгибается силой, линия
действия которой проходит через центр сдвига и параллельна оси
8.4.
НАПРЯЖЕНИЯ В ВАЛКАХ НЕЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ 323
2, то нейтральной осью при изгибе будет ось у. В этом случае можно
повторить проведенные выше рассуждения и получить вместо (8.18)
и (8.19) следующие формулы:
<2 А
т = -П*. (8.20а)
‘V1
<3,5,.
/ = = (8.20Ь)
1У
Здесь (}2— поперечная сила, параллельная оси г, а 8У— статичес¬
кий момент относительно оси у.
Пример. Найдем касательные напряжения в двутавровой балке, нагружен¬
ной вертикальной силой Р, действующей в плоскости стенки (рис. 8.11, а).
Начнем с того, что выберем произвольное поперечное сечение балки
(рис. 8.11, Ь) и рассмотрим напряжения, возникающие в правой части верхней
полки. Расстояние 5 для этой части балки будет измеряться от точки а> в которой
равно нулю касательное напряжение, влево до сечения ЬЬ. Площадь между точкой
а и сечением ЬЬ равна $/п, где /п — толщина полки, а расстояние от центра тяжести
этой площади до нейтральной оси составляет Л/2 (отметим, что к — высота балки,
равная расстоянию между средними линиями полок). Таким образом, для сечения
ЬЬ имеем Зг—з1пк/2, и, следовательно, в этом сечении касательное напряжение,
согласно формуле (8.18), равно
5 кР
т = 277- <с>
Направление этого напряжения можно найти, рассмотрев силы, действующие на
малый элемент, вырезанный из полки между точкой а и сечением ЬЬ (элемент А на
рис. 8.11, а). Для того чтобы яснее показать силы, действующие на этот элемент,
на рис. 8.11, с он изображен в увеличенном масштабе. Из рисунка сразу видно, что
растягивающая сила Ыг больше, чем сила УУ2, так как изгибающий момент на зад¬
ней грани элемента больше, чем на передней. Отсюда следует, что для сохранения
равновесия касательное напряжение т на левой грани элемента А должно быть на¬
правлено в сторону читателя. Это определяет и направление касательных напря¬
жений в поперечном сечении, а именно, они должны быть направлены влево. Вновь
обращаясь к рис. 8.11, Ь, видим, что для касательного напряжения в сечении ЬЬ
полностью определены величина и направление. Это сечение может быть выбрано
где угодно между точкой а и местом соединения полки и стенки, откуда следует,
что на всем этом участке касательное напряжение направлено по горизонтали вле¬
во, а его величина определяется формулой (с). Из формулы (с) видно, что напря¬
жение возрастает по линейному закону в зависимости от расстояния 5, как пока¬
зано на рис. 8.11, й. Максимальное значение тх напряжения имеет место при з=Ы2,
где Ь — ширина полки:
Ь1гР
Т1=477: ГО
соответственно поток касательных напряжений равен
* ^ * Ьк(пР / ч
/1 —т1^п— 4/™'* (е)
Отметим, что в данном приближенном исследовании было определено касательное
напряжение на средней линии в месте соединения полки со стенкой; при этом не
принималась во внимание толщина поперечного сечения. Такая процедура прием¬
лема для тонкостенных сечений.
324 «• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
4_ с
а а-
ГI Ы2_
ъ/г.
л/г
Л/2
Рис. 8.11. Пример. Касательные напряжения в двутдвроррй балке.
В подобном же духе можно провести анализ, начиная с точки с% расположен¬
ной на левой кромке верхней полки (рис. 8.11, Ь), и отмеряя расстояние 5 слева
направо. Опять найдем, что величина касательных напряжений определяется фор¬
мулами (с) и (Д). Однако, вырезав элемент В (рис. 8.11, а) н рассмотрев его равно¬
весие, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении теперь на¬
правлены слева направо (рис. 8.11, й).
Следующий шаг состоит в определении касательных напряжений в стенке.
Рассматривая горизонтальное сечение, проведенное в верхней части стенки в не¬
посредственной близости от полки, найдем, что статический момент равен
= */г ЫаН,
а соответствующее касательное напряжение имеет вид
з,4. НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ НЕЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ 32$
где /сг—-толщина стенки. Поток этих касательных напряжений составляет
* . Ыг1пР , .
/а = тг/„= - 2/" - (2)
и, как и следовало ожидать, вдвое превышает поток касательных напряжений ^
в полках. Касательные напряжения в стенке направлены вертикально вниз и воз¬
растают с приближением к нейтральной оси. В сечении йй на расстоянии г от ней*
тральной оси касательные напряжения вычисляются следующим образом:
-*'■*+(!-') (м (^)=^+'■1' (%-'<)
Ч^+т-^в;- «
Это выражение при г~Н!2 совпадает с (Г), а при г=0 дает максимальное значение
касательного напряжения
* N « (!)
-(Ум.
1 и*-
4 У21.
Здесь еще раз следует отметить, что все вычисления проводились с использованием
размеров, взятых по средней линии поперечного сечения, и что в случае тонкостен¬
ных сечений это обеспечивает достаточную точность результатов. Однако именно
по этой причине касательные напряжения в стенке двутавровой балки, найденные
по формуле (Ь), могут немного отличаться от полученных ранее (см. формулу
(5.21)).
Касательные напряжения в стенке изменяются по параболическому закону
(см. рис. 8.11, с(), но по величине изменения их незначительны. Это можно видеть,
взяв отношение ттах и т2:
ттах 1 | Мст .
Т2 4Ыа * Ш
Второй член этого выражения обычно мал; например, если взять такие типичные
зависимости между параметрами, как Н—2Ь и 1П=2*СТ, это отношение составит
1,25.
Наконец, теми же способами, что были применены при рассмотрении верхней
полки, можно определить касательные напряжения в нижней полке. При этом
оказывается, что эти напряжения точно такие же, как и в верхней полке, за исклю*
чением того, что направлены они так» как показано на рнс. 8.11, й.
Как видно из рис. 8.11, касательные напряжения в поперечном сечении «те¬
кут» от внешних краев верхней полки к центру, далее «проходят» по стенке и затем
«направляются» наружу к краям нижней полки. Такое течение является всегда не¬
прерывным для любого фасонного проката, и поэтому подобное представление
удобно для определения направлений напряжений. Поскольку поперечная сила,
действующая на балку, направлена вниз, то, следовательно, уже известно, что по¬
ток касательных напряжений направлен вниз. Затем, зная направление потока
касательных напряжений в стенке, сразу определяем и его направления в полках,
поскольку поток касательных напряжений должен быть непрерывен. Определять
направления напряжений с помощью такого простого приема гораздо легче, чем
рассматривать вырезанные из балки малые элементы, подобные элементу А
(рис. 8.11, с).
Ясно, что равнодействующей всех касательных напряжений, возникающих в
поперечном сечении, является вертикальная сила, поскольку горизонтальные на-
пряжения в полках уравновесят друг друга. Касательные напряжения в стенке
326 *• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
имеют равнодействующую /?, которую можно найти, проинтегрировав выражение
для касательно^ напряжения по высоте стенки, что дает
Л/2
^ хйР — 2 1ст4г.
о
Подставив сюда выражение (Ь), получим
О
Величина осевого момента инерции 1г находится следующим образом:
(О
здесь первый член представляет собой момент инерции стенки, а второй — момент
инерции полок, причем все размеры опять берутся по средним линиям. При под¬
становке этого выражения для 1г в формулу (к) получается #=Я — подтвержде¬
ние того факта, что равнодействующая касательных напряжений, возникающих в
поперечном сечении, равна вертикальной внешней силе Я. Равнодействующая про¬
ходит через центр тяжести С, который представляет собой и центр сдвига для рас¬
сматриваемой двутавровой балки.
8.5. .ЦЕНТР СДВИГА ТОНКОСТЕННОГО
НЕЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ
В предыдущем разделе были получены формулы и описаны при¬
емы для нахождения касательных напряжений в тонкостенных бал¬
ках незамкнутого профиля. Воспользуемся теперь этими сведениями
для определения положения центров сдвига для различных конк¬
ретных форм сечений. Сначала рассмотрим швеллерную балку
(рис. 8.12, а), которая изгибается относительно оси г и на которую
действует вертикальная поперечная сила ()у, параллельная оси у.
Распределение касательных напряжений в швеллере показано на
рис. 8.12, Ь. Для того чтобы найти напряжение тх в месте соедине¬
ния полки со стенкой, используем формулу (8.18); при этом 8г бу¬
дет равно статическому моменту площади полки относительно оси г
8г = ЧъЫ„Н.
Таким образом, касательное напряжение тх в полках равно
....
1_ 4.1 г ’ (а)
Аналогичным образом находим, что касательное напряжение т2
в верхней части стенки будет
Ыцк($у
85. ЦЕНТР СДВИГА ТОНКОСТЕННОГО НЕЗАМКНУТОГО ПРОФИЛИ 327
Касательное напряжение на нейтральной оси составляет
«с Л Л<?У
т -(ы I м") Щу
тшах-^«пТ 4 ^ 2/ст/г
(с)
Полную силу N1 для одной из полок (рис. 8.12, с) можно найти
из эпюры распределения касательных напряжений, представляю¬
щей собой треугольник. Каждая сила равна площади треугольника
•1
[рР3
м
Иг
5
тт-1
с
->
в 1
к
* !
с а
Рис. 8.12. Центр сдвига швеллерного профиля.
эпюры напряжений, умноженной на толщину полки, на которой
возникают напряжения:
ньч пци
4/,
Вертикальная сила в стенке равна поперечной силе Цу,
что при помощи эпюры напряжений легко проверить следующим об¬
разом. Заметим, что эта эпюра состоит из двух частей: прямоуголь¬
ника со сторонами т8 и Н и параболического сегмента, площадь
328 *• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
которого равна
*/*0чпах ^г)^-
Таким образом, суммарная сила, равная площади эпюры напряже¬
ний, умноженной на толщину стенки, составляет
= '^гЛ/ст-1- */з (ттах Т2) Н(ст.
Подставив сюда выражения для т2 и ттах, после несложных преобра¬
зований получим
.. //стЛ3 . ЬНЧ„\<1У
п*~ \ 12 ■*" 2 ) 1г'
Наконец, учитывая, что
/ гЛ3 | Ь№1П ...
12 “г 2 ’ 'и'
убеждаемся, что, как и следовало ожидать, сила равна
Три силы, изображенные на рис. 8.12, с, статически эквивалент¬
ны равнодействующей ф, приложенной в центре сдвига 5 (см. рис.
8.12, й). Поскольку эта равнодействующая не создает момента от¬
носительно центра сдвига, силы, изображенные на рис. 8.12, с,
также не будут создавать момента относительно центра сдвига; это
условие позволяет определить расстояние е от центральной линии
стенки до центра сдвига:
ЫгН — Ыле = О,
или
с=^=%г6^г- <8-21а>
Подставив сюда выражение (с1) для осевого момента инерции 1г,
получим другое соотношение для определения центра сдвига:
ЗЬУП
Мст+Ша ' (8.215)
Швеллерная балка будет подвергаться простому изгибу, если
действующие на нее силы проходят через центр сдвига 5. Если силы
параллельны оси у, но не проходят через центр сдвига (например,
сила может действовать в плоскости стенки), то их можно заменить
статически эквивалентной системой, состоящей из проходящих
через центр сдвига сил и крутящих моментов; в этом случае имеем
изгиб балки с кручением. Если силы направлены вдоль оси г, про¬
ходящей через точки 5 и С, то будет происходить простой изгиб от¬
носительно оси у. Если силы направлены под углом к осям коорди¬
нат, то их можно заменить статически эквивалентными составляю¬
щими, параллельными осям у и г, и в дальнейшем поступать с этими
составляющими так же, как и в предыдущих случаях.
8.5.
ЦЕНТР СДВИГА ТОНКОСТЕННОГО НЕЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ 329
Следующее из рассматриваемых сечений представляет собой на¬
груженный поперечной силой уголковый профиль (рис. 8.13, а)
с равными полками. Каждая полка уголка имеет длину Ь и толщи¬
ну I. Касательное напряжение на расстоянии 5 от края составляет
т - 9.^1 _ 355у (ь 5 V (е)
1г* |^2 63Д 2 ) ’
здесь использованы следующие выражения:
5‘=тИ*-т).
Выражение (е) показывает, что касательное напряжение т является
квадратичной функцией от расстояния 5 и достигает максимального
а Ь
Рис. 8.13. Центр сдвига уголкового профиля с равными полками,
значения при $=Ь:
г 3<?»
Т“а*~ 2/26/ '
Суммарная поперечная сила N в каждой полке (см. рис. 8.13, Ь)
равна
0 0
Взяв вертикальные составляющие сил N, получим, что равнодейст¬
вующей сил, возникающих в полках, является вертикальная сила,
равная ф„. Более того, видно, что линия действия этой равнодейст¬
330 *• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
вующей должна проходить через точку пересечения линий действия
двух сил Ы, откуда следует, что центр сдвига 5 уголкового профиля
находится в месте пересечения двух полок.
Для всех сечений, состоящих из двух пересекающихся прямо¬
угольников (примеры приведены на рис. 8.14), касательные на¬
пряжения приводятся к двум равнодействующим силам, линии
действия которых пересекаются в месте соединения прямоугольни¬
ков. Следовательно, эта точка является центром сдвига *).
Пример /. Определим центр сдвига 5 тонкостенного полукругового сечения
(рис. 8.15).
Рассмотрим сечение ЬЬ, положение которого определяется координатой 5,
измеренной вдоль средней линии поперечного сечения. Обозначим через 0 цент¬
ральный угол, заключенный между точкой а, расположенной на краю сечения, и
сечением ЬЬ. Отсюда имеем 5=г6. где г — радиус средней линии. Статический
момент площади, заключенной между а и ЬЬ, равен
где ( — толщина стенки. Таким образом, касательное напряжение 1 в сечении ЬЬ
составляет
Подставив /г=яг3*/2, получим
При 0=0 и 0== я из этого выражения получаем т=0, а при 0=я/2 — максимальное
значение касательного напряжения.
Суммарный момент касательных напряжений т относительно точки О описы¬
вается выражением
Рис. 8.14. Центры сдвига поперечных сечений, состоящих из
двух пересекающихся прямоугольников.
6
<?„Г2 Э1П 0
т“ V “ I,
Я
о
М Понятие центра сдвига поперечного сечения впервые было введено в 1913 г.
(см. [8.1]). О последующих работах и об историческом развитии представления
о центре сдвига см. [8.1—8.19].
8.5.
ЦЕНТР СДВИГА ТОНКОСТЕННОГО НЕЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ 331
и должен равняться моменту силы (2у, приложенной в центре сдвига; отсюда цолу»
чаем
*Г<}у
Таким образом, расстояние е от точки О до центра сдвига равно
е=4г/я.
(8.22)
Пример 2. Определим положение центра сдвига 2-образного сечения
(рис. 8.16, а). Оси у иг, показанные на рисунке, являются главными осями, про¬
ходящими через центр тяжести С.
Сначала предположим, что поперечная сила (}у параллельна оси у. Тогда ка¬
сательные напряжения в полках и стенке будут направлены так, как показано на
Рис. 8.15. Пример 1. Центр
сдвига тонкостенного полу кру¬
гового поперечного сечения.
Рис. 8.16. Пример 2. Центр сдвига
2-образного поперечного сечения.
рис. 8.16, а. Из условия симметрии видим, что суммарные силы в обеих полках
должны быть равны (рис. 8.16, Ь). Равнодействующая всех трех сил, действующих
в поперечном сечении в полках и М2 в стенке), должна быть равной поперечной
силе <?у. Силы имеют равнодействующую 2МХ$ проходящую через центр тяжести
параллельно полкам. Точка пересечения этой силы с силой лежит в центре тя¬
жести сечения, поэтому эта точка должна быть одновременно и центром сдвига.
Векторное сложение сил 2Ыг и УУ2» дающее поперечную силу (}у, показано на
рйс. 8.16, Ь.
Если на балку действует поперечная сила <}у, параллельная оси г% то прихо¬
дим к аналогичному выводу о том, что центр сдвига совпадает с центром тяжести.
При использовании главных осей вычисление касательных напряжений
в 2-образном сечении усложняется по той очевидной причине, что полки и стен¬
ка не будут параллельны осям координат. Как вычислять касательные напряже¬
ния в 2-образном поперечном сечении, используя оси, параллельные стейке и пол¬
кам и не являющиеся главными, будет показано в следующем разделе.
332 НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
8.6.
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ,
ИЗГИБАЕМЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ОСЕЙ
Ранее при исследовании касательных напряжений в тонкостен¬
ных балках незамкнутого профиля были получены формулы (8.18)—
(8.20) в предположении, что оси у иг являются главными осями.
Теперь освободимся от этого допущения
и получим более общие результаты, отно¬
сящиеся к произвольным осям у и г (рис.
8.17), не являющимся главными. Предпо¬
ложим, что действующие на балку нагруз¬
ки параллельны оси у и создают изгибаю¬
щий момент Мг и поперечную силу С}у.
Предположим также, что действующие си¬
лы проходят через центр сдвига 5. Изги¬
бающий момент Мг будет вызывать изгиб
относительно осей у иг; при этом соответ¬
ствующие напряжения описываются выра¬
жением (8.11):
я М? (!угг 1 уУ)
Рис. 8.17. Касательные
напряжения в тонкостен¬
ной балке замкнутого про¬
филя; центральные оси у
и г не являются главными.
V*-
-/
У*
где у и г — координаты некоторой точки
поперечного сечення. Теперь тем же спо¬
собом, как на рис. 8.10, вырежем малый
элемент балки. Действующие на этот эле¬
мент силы N1 и IV, (рис. 8.10, с) находятся в соответствии с опи¬
санной ранее процедурой, за исключением того, что для нормаль¬
ных напряжений должно быть использовано выражение (8.11); в
результате получим
8.6. ВАЛКИ, ИЗГИБАЕМЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОСЕЙ 333
Вновь отметим, что величина (Мг2— Мг1)/<1х равна —(2У и поэтому
<8-23>
Это соотношение называется обобщенной формулой для касательных
напряжений при сдвиге; когда оси' являются главными (/уг=0),
оно сводится к формуле (8.17).
Поступая точно так же, как и прежде, можно вывести формулу
для касательных напряжений, вызываемых поперечной силой фг,
проходящей через центр сдвига и параллельной оси г:
<8-24>
Отметим, что в случае главных осей это выражение совпадает (с
точностью до знака) с выражением (8.20а). Ранее статические мо¬
менты 8У и 5* всегда считались положительными, а направления
касательных напряжений получались из физических соображений.
Однако при использовании выражений (8.23) и (8.24) необходимо
следовать правилу знаков для статических моментов, поскольку
они могут быть как положительными, так и отрицательными. Этого
легко достичь, рассматривая у и г как алгебраические величины.
Получив обобщенные формулы для касательных напряжений
при сдвиге (8.23) и (8.24), можно перейти к определению распределе¬
ния касательных напряжений для любого конкретного случая. За¬
тем можно определить положение центра сдвига сечения, найдя
линии действия поперечных сил и <& и точку пересечения этих
линий. Такая процедура иллюстрируется приведенными ниже при¬
мерами.
Пример /. Определим касательные напряжения, возникающие в 2-образном
сечении (рис. 8.18, а) при действии поперечных сил Яу и <)г.
Начнем со следующих геометрических характеристик Поперечного сечения:
1я = Чы Н.Чст + 1/2ЬНЧ„, !у=%ЬЧа, 1уг = ЧяЬЧ1 „, (а)
где размеры Л, Ь, /ст и 1„ соответствуют приведенным на рисунке. Обусловленные
поперечной силой §у касательные напряжения в верхней полке в соответствии с
формулой (8.23) равны
причем 5 отсчитывается вдоль полки слева направо. Выполнив интегрирование»
найдем, что в квадратных скобках стоит следующая величина:
7x2 ьт\ (3$*-2Ь$).
I*—*
1 —— —
**
Ь/2
с
1
Ь/2
< 4 ’1т
< ^
У
Рис. 8.18. Пример 1. Касатель¬
ные напряжения в 2-образном
поперечном сечении.
Ог/2
Ог
Ог/2
.е
8.6
БАЛКИ, ИЗГИБАЕМЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОСЕЙ- 335
Подставляя эту величину, а также значения !у> 1г и 1уг в выражение длят, полу¬
чаем следующую формулу для напряжений в полке:
ЗС?„(352--2б5)
Х=Ы1 ' 0<5<6- (Ь)
Эти касательные напряжения в верхней полке направлены влево, когда 5 меньше
2ЫЗ$ и меняют направление на противоположное, когда величина 5 лежит в интер¬
вале между 26/3 и Ь. Суммарная касательная сила в верхней полке равна
ь
Аналогичное условие имеет место и для нижней полки.
По формуле (8.23) можно найти также и касательное напряжение в стенке:
можно показать, что суммарная касательная сила в стенке равна (}у. Касательное
напряжение на нейтральной оси составляет
3(}у Ып)
Ттах = Н1с1(2Н1сх + ЗЫ„) '
На рис. 8.18, Ь показано распределение касательных напряжений, обусловленных
действием силы ()у, а на рис. 8.18, с — суммарные силы в полках и в стенке.
Рассмотрим теперь горизонтальную поперечную силу ()г, действующую в по¬
перечном сечении. Для верхней полки используем формулу (8.24), что дает
Для выражения, стоящего в квадратных скобках, получаем
/»2/
^ [Ьз (2Л/сх + 66/„)~52 (Мст + 6М„)],
и в результате окончательное выражение для касательных напряжений т прини¬
мает вид
Т== 2Ь31п (2Л^г-1-3Ы„) (2А<сг + 6^„)— 5® (й<ст—6й/„)|. (й)
В верхней полке эти напряжения направлены вправо и распределены так, как по¬
казано на рис. 8.18, 4. Суммарная касательная сила N в этой полке (см. рис. 8.18,?)
равна
ь
Вызываемые силой ()г касательные напряжения в стенке, согласно выражению
(8.24), имеют вид
(Л-+64-6Й5,) (е)
2ЬН (2Л/сг7)- 36/п) ’
причем отсчитывается от места соединения полки со стенкой (рис. 8.18, о). Это
касательное напряжение меняет свое направление на внутреннем участке стенки
(см. рис. 8.18, 4), в результате чего суммарная касательная сила в стенке равна
нулю*
336 л НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
Пример 2. Определим центр сдвига 5 несимметричного швеллерного профи¬
ля (рис. 8.19, а).
Для начала отметим, что ширина верхней и нижней полок соответственно рав¬
на Ьх и Ь2, а высота сечения равна Л. Толщина стенки профиля всюду одинакова и
равна /. Оси у и г проходят через центр тяжести С и параллельны стенке и полкам,
следовательно, они не являются главными осями. Координаты си й центра тяжести
I
’т'
М.
Рис. 8,19. Пример 2. Центр сдвига несимметричного швеллерного
профиля.
8.6. ВАЛКИ, ИЗГИБАЕМ ЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОСЕЙ 337
таковы:
*2+2м Ь\+Ь1
2к(Ьх + Ь2)* а 2Нф1 + Ь2)' {1)
Центр сдвига 5 отстоит от центральных осей на расстояния ех и е2, которые и надо
в дальнейшем определить.
Предположим теперь, что сила (}у проходит через центр сдвига (рис. 8.19, Ь).
Касательные напряжения, возникающие в верхней полке, согласно (8.23), опреде¬
ляются выражением
" 7<уЬу ['-
= \1уАЬ1-а)в + 1уф-с)$-^], (ё)
где 5 отсчитывается так, как показано на рисунке. Суммарная касательная сила
в этой полке равна
'* {1«* (26х-3^)+3/а (А—с)}. (Ь)
О *цг)
Поскольку на балку не действуют внешние горизонтальные силы, касательная сила
в нижнеи полке должна быть также равна Л^; кроме того, сила в стенке
должна быть равна (}у. Так как момент относительно точки С силы (}у, проходящей
через центр сдвига, должен быть равен сумме моментов относительно той же точки
С трех сил, действующих в полках и стенке, в результате получим
^^^2 =
или
л , Мх к
е2 = 4+-тт- •
, Чу
Подставляя сюда выражение (Ь) для Ыг, запишем следующее соотношение для е2\
е*=а+г,;у—,т Уу* рЬе-эд+з/, (*-«)]. (8.25)
® \1у1г-~1уг)
В частном случае, когда длины полок равны, оси у и г становятся главными осями
и тогда /^=0, с=Л/2 и Ь1==Ь2=Ь$ а соотношение (8.25) принимает вид
в2~а+"477’
что согласуется с полученным ранее выражением (8 21а).
Предположим теперь, что на балку действует поперечная сила (рис. 8.19, с).
В этом случае длч определения касательных напряжений в верхней полке можно
использовать выражение (8 24), что дает
338 *• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
Суммарная касательная сила в полке равна
в этом выражении перед интегралом стоит знак минус, так как, согласно выраже¬
нию (0, напряжение т положительно, будучи -направлено влево, а сила считает¬
ся положительной, когда она направлена вправо, как показано на рис. 8.19, с.
Суммарная касательная сила в стенке должна быть равна нулю, потому что в на¬
правлении оси у не действуют внешние силы. В нижней полке действует касатель¬
ная сила N2. Составим уравнение моментов относительно нижней полки, откуда
получим
Вновь рассматривая частный случай, когда полки одинаковы и имеют место соот¬
ношения /уг—О, с=Н/2, 61=6а=6 и й=№1(Н-\-2Ь)% найдем
Н ЬЧЦЬ + Щ
в*~ 2 6/у (А+ 26) '
Подставив сюда выражение для момента инерции симметричного швеллера
, _ЬЧ(Ь-\-2Н)
у 3(Л + 2 Ь)'
получим в1=0, как и следовало ожидать.
Таким образом, для каждого несимметричного швеллера можно подставить
соответствующие геометрические размеры и параметры поперечного сечения в вы¬
ражения (8.25) и (8.26) и получить координаты центра сдвига. В качестве числово¬
го примера возьмем следующие размеры:
Подставив эти величины в выражения (8.25) и (8.26), получим следующие значения
расстояний от центральных осей до центра сдвига:
8.1.1. Показать, что если линия действия силы Р, изображенной иа рис. 8.1, а,
направлена по диагонали прямоугольного поперечного сечения, то нейтральная
ось будет совпадать с другой диагональю»
или
<?г(с-ех)=Л/1Л;
Подставляя сюда выражение (]) для Л^, получаем
(8.26)
6, = 6, ЬЛ = 2Ь, к = 36;
тогда
_55Ь _ 1876
76 * *2~ 228’
ЗАДАЧИ
ЗАДАЧИ 339
8.1.2. Для консольной балки прямоугольного поперечного сечения (см.
рис. 8.1) найти угол р, определяющий положение нейтральной оси, и вычислить
максимальное нормальное напряжение, возникающее при изгибе, если 0=45°,
Р=100 кГ, 1=1,5 м, ширина балки равна 7,5 см, высота 15 см.
8.1.3. Консольная балка прямоугольного поперечного сечения изгибается
под действием силы Р, которая не лежит ни в одной из главных плоскостей (см.
рис. 8.1, а). Какую кривую опишет конец балки при изменениях угла 0 от нуля до
2я?
8.1.4. Горизонтальная свободно опертая балка длиной ^ имеет квадратное
поперечное сечение (сторона квадрата равна а). Боковые стороны балки лежат в
вертикальных плоскостях. Вертикальная сила, равная Р, приложена на расстоя¬
нии ЦЗ от одного конца балки, а горизонтальная поперечная сила, также рав¬
ная Я,—на расстоянии ЦЗ от другого ее конца. Вычислить максимальное нор¬
мальное напряжение, возникающее при изгибе балки, если /.=3,6 м, а=30 см и
Р= 3 т.
8.1.5. На заделанную по обоим концам балку, ось которой лежит в горизон¬
тальной плоскости, а сечение имеет круговую форму, действует равномерно рас¬
пределенная по пролету вертикальная нагрузка интенсивностью ? и горизон¬
тальная поперечная сила Р, приложенная в середине пролета. Определить макси¬
мальное нормальное напряжение, возникающее при из1ибе, если Р1=0,26 т*м,
?1А=0,52 т*м, а диаметр поперечного сечения балки равен 10 см.
8.1.6. Свободно опертая балка, изготовленная из стандартного двутаврового
профиля № 20 (см. приложение В), изгибается двумя равными по величине и про¬
тивоположно направленными сосредоточенными изгибающими моментами М0,
приложенными по концам. Моменты действуют в плоскости тт, как показано на
рисунке Определить максимальное изгибающее напряжение, возникающее в бал¬
ке, и максимальный прогиб б, если Мо=0,58 т«м, а=30°, Я=2,Ь106 кГ/см2 и
длина балки равна 3,6 м.
8.1.7. Деревянная балка прямоугольного поперечного сечения свободно
оперта по концам. Продольная ось балки лежит в горизонтальной плоскости, но ее
поперечное сечение повернуто так, как показано на рисунке. На балку действует
равномерно распределенная вертикальная нагрузка интенсивностью д. Определить
максимальное нормальное напряжение, возникающее при изгибе, и прогиб в вер¬
тикальной плоскости в середине пролета, если Ь=3 м, 6=15 см, Л=20 см,
«= 1/3, Е=0,1 • 106 кГ/смг и <7=3 кГ/см.
т
У
К задаче 8.1.6.
К задаче 8.1.7.
340 *• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ И ЗГИ В
8.1.8. Вновь рассмотреть балку, описанную в предыдущей задаче, считая, что
1,-3 м, 6=25 см, /1=7,5 см, а=30°, Я=0,Ы0° кГ/см2 и (7=1,5 кГ/см. Найти
максимальное нормальное напряжение, возникающее при изгибе, и прогибы в се¬
редине пролета балки в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
8.2.1. Балка, имеющая поперечное сечение в форме полукруга (см. рисунок),
нагружена сосредоточенным изгибающим моментом Мг. Найти максимальную до¬
пускаемую величину этого момента, если допускаемое напряжение равно од.
К задаче 8.2.1.
У
К задаче 8.2.2.
8.2.2. Валка, изготовленная из стандартного швеллерного профиля № 20
(см. приложение В), нагружена сосредоточенным изгибающим моментом М0, век¬
тор которого составляет угол а с горизонтальной осью (см. рисунок). Определить
максимальные растягивающее и сжимающее напряжения, возникающие в балке
при изгибе, если М0=0,35 т-м и 1&а= 1/3.
8.2.3. Сосредоточенный изгибающий момент Мх приложен к балке, попереч¬
ное сечение которой имеет форму прямоугольного треугольника (см. рисунок).
Получить выражения для напряжений, возникающих в вершинах Л, В и Я, и
определить положение нейтральной оси.
К задаче 8.2.3. К задаче 8.2.5.
8.2.4. Балка 2-образного поперечного сечения (рис. 8.4) нагружена изгибаю¬
щим моментом Мг, который действует в плоскости ху и имеет величину 0,45 т»м.
Найти максимальное напряжение, возникающее при изгибе балки, если Л=15.
6=8,75, 6^ 7,5, /=1,25 см.
ЗАДАЧИ 341
8.2.6. Балка, изготовленная из уголкового профиля (см. рисунок), нагру¬
жается изгибающим моментом Мг—0,93 т*м. Найти напряжение, возникающее в
точке Л, если а=10, 6=15 и /=1,25 см.
8.2.6. Найти максимальное значение изгибающего момента, который может
быть приложен к балке из уголкового профиля 125Х 125Х 12, если балка изги¬
бается относительно главной оси, соответствующей максимальному моменту сопро¬
тивления изгибу, а допускаемое напряжение равно од=1200 кГ/сма.
8.2.7. Балка из уголкового профиля изгибается под действием изгибающего
момента Мг~0, И т»м (см. рисунок к задаче 8.2.5). Определить максимальное на¬
пряжение, возникающее при изгибе балки, если а=6,25, 6=12,5 и /=1,25 см. При
решении воспользоваться соотношением (8.11).
8.2.8. Решить предыдущую задачу, определив положение главных осей,
разложив вектор изгибающего момента на составляющие, направленные по этим
осям, и использовав соотношение (8.5).
8.4.1. На свободно опертую балку из двутаврового профиля действует равно¬
мерно распределенная нагрузка интенсивностью (7=4,5 кГ/см, как показано на
рисунке. Поперечное сечение балки имеет следующие размеры: Л=28,75 см, 6=20,
^п==^сг:=:Ь25см. а) Чему равно максимальное касательное напряжение, возникаю¬
щее в поперечном сечении Л — Л? Ь) Чему равно касательное напряжение (вели*
чина и направление) в точке В, лежащей в поперечном сечении Л — Л? Точка В
расположена на расстоянии а=2,5 см от края нижней полки. (При определении
осевого момента инерции 1 г и статического момента 5г использовать размеры по
средним линиям поперечного сечения.)
ПЕПХЕПЗЕ
А <
\. иа. ,
13
0,9 м\
А
*
п
~'«т
Л/2
С
а
Л/2
1<
СЛ/2Э|
1<- •-»
К задаче 8.4.1.
У
Сечение А-А
ь
8.4.2. Решить предыдущую задачу, проделав все вычисления, исходя из дей¬
ствительных размеров поперечного сечения, а не из размеров по средним линиям.
8.4.3. Определить касательные напряжения, возникающие в двутавровой
балке, нагруженной силой Р, перпендикулярной стенке балки (см. рисунок).
342 *• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
Определить величину и направление всех касательных напряжений, а также пока¬
зать, что равнодействующая касательных напряжений равна Р. При вычислениях
значений 1г и Зг использовать размеры по средним линиям.
8.4.4. Решить предыдущую задачу для двутавровой балки с неравными пол¬
ками, нагруженной силой Р, проходящей через центр сдвига перпендикулярно
стенке балки (см. рис. 8.8).
8.4.5. Решить задачу 8.4.3 для тавровой балки, изображенной на рис. 8.9,
предположив, что толщина и ширина полки соответственно равны и Ьх.
8.5.1. Определить касательные напряжения, возникающие в балке из швел¬
лерного профиля № 27 (см. приложение В), если поперечная сила, проходящая
через центр сдвига, равна (2у—6А т (см. рис. 8.12). Найти также координату е
центра сдвига поперечного сечения. (При определении величин 8г и е использовать
размеры по средней линии, а величину осевого момента инерции 1г взять из табли¬
цы, приведенной в приложении.)
8.5.2. Показать, что касательные напряжения, возникающие в тонкостенной
балке полукругового поперечного сечения (см. рис. 8.15 и выражение (0 разд. 8.5),
имеют равнодействующую, равную (2у.
8.5.3. Определить центр сдвига 5 тонкостенной балки, поперечное сечение
которой имеет форму, показанную на рисунке. Построить график, показывающий,
как изменяется координата е при изменении угла р от 0 до я.
2
У
К задаче 8.4.3.
г
У
К задаче 8.5.3.
У
К задаче 8.5.4.
ЗАДАЧИ 343
8.5.4. Получить выражение для координаты центра сдвига 5 для несимметрич¬
ного двутаврового профиля, изображенного на рисунке. Предполагается, что тол¬
щина стенки профиля мала и постоянна.
8.5.5. Определить положение центра сдвига 5 для тонкостенного профиля,
изображенного на рисуике. Предполагается, что толщина стенки профиля посто¬
янна.
|~
ь2
К задаче 8.5.5.
К задаче 8.5.6.
8.5.6. Получить выражение для координаты е, определяющей центр сдвига
тонкостенной балки, поперечное сечение которой изображено на рисунке, полагая,
что толщина стенки балки одинакова по всему контуру.
8.5.7. Получить выражение для координаты е, определяющей положение цен¬
тра сдвига 5 для балки разрезного коробчатого поперечного сечения, показанного
на рисунке, полагая, что толщина стенки балки постоянна и мала.
\-
Ь/2
Ь/2
У
К задаче 8.5.7.
К задаче 8.5.8.
8.5.8. Решить предыдущую задачу для поперечного сечения, форма которого
показана на рисунке, полагая, что а=Л/2.
344 *• НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ
8.5.9. Вычислить координату е, определяющую центр сдвига 5 тонкостенной
балки С-образного поперечного сечения (см. рисунок), полагая, что толщина стен¬
ки постоянна.
2,5 ем
20см
. ... I 2,5 см
20 см I ♦
К задаче 8.5.9.
К задаче 8.5.11.
8.5.10. Решить предыдущую задачу для поперечного сечения, форма которого
показана на рисунке к задаче 8.5.8.
8.5.11. На свободно опертую балку длиной /.=3 м действует сосредоточенная
сила Р= 2 т, приложенная в середине пролета. Поперечное сечение имеет форму
уголка, размеры которого показаны на рисунке. Сила Р направлена вдоль средней
плоскости вертикальной полки уголка. Найти, чему равны максимальные растяги¬
вающее ор и сжимающее ос напряжения, возникающие при изгибе.
НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
9.1. ВВЕДЕНИЕ
В теории неупругого изгиба рассматривается изгиб балок, ма¬
териал которых не подчиняется закону Гука. Подобная задача воз¬
никает всегда, когда балка нагружается таким образом, что возни¬
кающие в ней напряжения превышают предел пропорциональности
для данного материала. Естественно, поведение балки при неупругом
изгибе определяется формой диаграммы зависимости напряжения
от деформации. За пределом пропорциональности эта диаграмма ли¬
бо представляется изогнутой линией, как это видно на рис. 1.4,
либо — для материала типа стали, для которого отчетливо про¬
является пластическое поведение,— соответствует рис. 1.2. В лю¬
бом случае при известной диаграмме зависимости напряжения от
деформации всегда можно определить напряжения, деформации и
прогибы балки, что и будет показано в данной главе.
Исследование неупругих балок основывается на предположении,
что плоские поперечные сечения балки при чистом изгибе остаются
плоскими; это предположение, приемлемое для линейно упругих
материалов, приемлемо и для нелинейных неупругих материалов
(см. разд. 5.1). Подобное представление позволяет сделать вывод,
что деформации в балке изменяются по линейному закону по высоте
балки. Тогда с помощью диаграммы зависимости напряжения от
деформации и уравнений равновесия можно найти величины напря¬
жений и деформаций. Кроме того, можно также подсчитать кривиз¬
ну балки и значения прогибов.
Проводя исследование неупругого поведения конструкции,
можно определить ее предельную несущую способность, которая,
как правило, значительно превышает нагрузку, соответствующую
пределу пропорциональности (т. е. такую наибольшую нагрузку,
которую может выдерживать балка, когда напряжения в любой ее
точке не превышают предела пропорциональности). При проекти¬
ровании конструкции иногда необходимо знать максимальную на¬
грузку для того, чтобы определить коэффициент запаса прочности
по отношению к разрушению или к недопустимым перемещениям.
346 * НЕУПРУГИЯ ИЗГИБ
Такой коэффициент запаса прочности, разумеется, совершенно
отличен от коэффициента запаса прочности по отношению к макси¬
мальной нагрузке, выдерживаемой конструкцией, когда напряже¬
ния в любой ее точке не превышают предела пропорциональности.
Большинство инженеров предпочитают при расчете стальных кон¬
струкций использовать концепции предельной нагрузки (см. разд.
1.3), а не вести расчет в упругой области.
Для того чтобы получить основные уравнения неупругого изги¬
ба, рассмотрим чистый изгиб балки под действием положительного
изгибающего момента М (см. рис. 9.1, а). Изгибающие моменты
действуют в плоскости ху, которая по предположению является
плоскостью симметрии поперечного сечения (рис. 9.1, Ь). Следова¬
тельно, балка будет изгибаться в этой же плоскости, которая по¬
этому представляет собой плоскость изгиба. Ось г можно рассматри¬
вать как нейтральную ось поперечного сечения; остается только
определить ее положение.
Как уже упоминалось выше (разд. 5.1), из условий симметрии
следует, что деформации в балке распределяются по линейному за¬
кону независимо от свойств материала. Поэтому деформации изме¬
няются по высоте балки так, как показано на рис. 9.1, с, где дефор¬
мации нижнего и верхнего волокон обозначены соответственно через
и е2. Обозначая через р радиус кривизны линии прогибов, видим,
что деформация на расстоянии у от нейтральной поверхности (см.
формулу (5.2)) составляет
где х— 1/р — кривизна. Деформации наиболее удаленных волокон
будут
9.2. УРАВНЕНИЯ НЕУПРУГОГО ИЗГИБА
X
У
а
Ь
с
Рис. 9.1. Неупругий изгиб балки.
(9.1)
в1 = хЛ1,
е2 = —х/га,
(9 2а)
(9.2Ь)
9.3.
ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ 347
где Н1 и /г2— расстояния от нейтральной оси соответственно до
нижней и верхней поверхностей балки. Из приведенных соотноше¬
ний видно, что если известны кривизна и положение нейтральной
оси, то легко найти и деформации.
Положение нейтральной оси можно определить при помощи диа¬
граммы зависимости напряжения от деформации для данного мате¬
риала и уравнения равновесия. Уравнение равновесия отражает
тот факт, что равнодействующая горизонтальная сила, обусловлен¬
ная нормальными напряжениями а, возникающими в произволь¬
ном поперечном сечении балки, равна нулю; таким образом,
где йР — малый элемент площади поперечного сечения и интегри¬
рование проводится по всей площади поперечного сечения. Кри¬
визну можно найти, используя второе уравнение равновесия, а
именно то уравнение, из которого следует, что совокупность напря¬
жений, возникающих в поперечном сечении, статически эквива¬
лентна изгибающему моменту М:
Разумеется, уравнения (9.3) и (9.4) совпадают с теми уравнениями,
которые ранее использовались при исследовании балок из линейно
упругого материала (см. разд. 5.1). В данной главе эти уравнения
будут применяться для решения задач неупругого изгиба.
После того как вычислена кривизна балки, приравняв кривизну
. величине й*ы>/с1х- (см. уравнение (6.4)) и решив получившееся в ре¬
зультате уравнение относительно функции ы>, можно найти малые
прогибы балки. Некоторые приемы, применявшиеся ранее для оп¬
ределения прогибов упругих балок, можно использовать и в случае
неупругого изгиба; при этом только необходимо вместо величины
М/(Е1) принять надлежащее выражение для кривизны, как будет
описано ниже (разд. 9.6).
9.3. ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ
Простейшим случаем неупругого изгиба является пластический
изгиб, который имеет место при упруго-идеально-пластическом ма¬
териале. Такой материал подчиняется закону Гука, пока напряже¬
ние не достигнет предела текучести, а затем в нем развиваются плас¬
тические деформации при постоянном напряжении. Диаграмма
зависимости напряжения от деформации для упруго-идеально-плас-
тического материала, имеющего одинаковые значения предела те¬
кучести сгт и модуля упругости Е при растяжении и сжатии, пред¬
ставлена на рис. 9.2. Здесь видно, что упруго-йдеально-пластйчес-
кий материал имеет область линейно упругого поведения, за которой
(9.3)
(9.4)
348 9- НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
следует область идеально пластического поведения. Поэтому упруго-
идеально-пластический материал часто называется идеально плас¬
тическим материалом.
Поведение конструкционных сталей можно идеализированно
представить диаграммами для упруго-идеально-пластического ма¬
териала, поскольку они имеют четко
выраженные точки наступления теку¬
чести и могут выдерживать большие
деформации при пластическом тече¬
нии. Предположение о наступлении
идеально пластического состояния
после того, как напряжения достига¬
ют предела текучести, означает, что
влиянием упрочнения пренебрегают,
но, поскольку упрочнение повышает
прочность стали, такое пренебреже¬
ние, как правило, обеспечивает допол¬
нительный запас прочности всей кон¬
струкции.
Рассмотрим теперь чистый изгиб
балки из упруго-идеально-пластиче¬
ского материала (рис. 9.1). Когда
приложенный изгибающий момент
напряжение не превышает предела текуче-
Рис. 9.2. Диаграмма зависимо¬
сти напряжения от деформации
для упруго-идеально-пластичес-
кого материала.
мал, максимальное
сти ст и балка находится в состоянии обычного упругого из¬
гиба с линейным законом распределения напряжений, как показано
на рис. 9.3, а. При таких условиях из уравнений (9.1)^-(9.4) следует,
а Ь с й 9
Рис. 9.3. Распределение напряжений в поперечном сечении балки из упруго-
идеально-пластического материала.
что нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного се¬
чения и нормальное напряжение равно о=Му/1, а выражение для
кривизны имеет вид М/(Е1). Это имеет место до тех пор, пока на¬
пряжение в наиболее удаленной от нейтральной оси точке балки не
9.3.
ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИВ 349
достигнет предела текучести (рис. 9.3, Ь). Соответствующий момент
Мт в балке называется изгибающим моментом, при котором воз¬
никают пластические деформации, и записывается следующим об¬
разом:
~ = 'атИР. (9.5)
Например, для балки с прямоугольным поперечным сечением полу¬
чим
Мт= 1/« оф№, (9.6)
где Ь — ширина, а Н — высота поперечного сечения.
Если величина изгибающего момента продолжает увеличиваться
и превышает значение МТ, то деформации в крайних точках попереч¬
ного сечения будут возрастать и наибольшая величина деформации
превзойдет значение деформации ет, соответствующее пределу те¬
кучести. Однако вследствие того, что будет происходить процесс
пластического течения, максимальные напряжения останутся посто¬
янными и равными стт. Таким образом, напряжения будут распреде¬
лены так, как показано на рис. 9.3, с. Внешние зоны балки будут на¬
ходиться в пластическом состоянии, в то время как центральное
«ядро» останется упругим.
Если продолжать увеличивать изгибающий момент, то пласти¬
ческая зона будет распространяться внутрь по направлению к ней¬
тральной оси, пока распределение напряжения не примет вид, по¬
казанный на рис. 9.3, й. На этом этапе деформации в крайних во¬
локнах могут в 10—15 раз превышать деформацию ет, а упругое
ядро почти исчезнет. Таким образом, с практической точки зрения
балка уже исчерпала свою предельную несущую способность по мо¬
менту и распределение напряжений в предельном состоянии можно
идеализированно представить двумя прямоугольниками (рис. 9.3, е).
Изгибающий момент, соответствующий такому идеализированному
распределению напряжений, называется предельным моментом
Мп и представляет собой максимальный момент, который может вы¬
держать балка из упруго-идеально-пластического материала.
Очевидно, что знать величину предельного момента очень су¬
щественно, поскольку он представляет собой максимальный допус¬
каемый момент для балки. Поиски величины Мп начнем с определе¬
ния положения нейтральной оси поперечного сечения (рис. 9.4, а).
В элементах поперечного сечения, расположенных выше нейтраль¬
ной оси, возникают сжимающие напряжения, равные ат (рис.
9.4, Ь), а в элементах, расположенных ниже этой оси,— растягива¬
ющие напряжения, также равные о,. Суммарная растягивающая
сила Т равна сгт ри где Рх— часть площади поперечного сечения,
лежащая ниже нейтральной оси. Аналогично сжимающая сила С
равна огР„, где Р2— часть площади поперечного сечения, лежащая
350 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
выше нейтральной оси. Как следует из уравнения (9.3), равнодей¬
ствующая сила в поперечном сечении должна быть равна нулю, что
дает
Т—С—0, или Р1 — Р3. (а)
Так как полная площадь поперечного сечения составляет Р=Рг+
+Р2, из соотношения (а) следует, что
Рг^Р^'/гР,
(9.7)
а это означает, что нейтральная ось делит поперечное сечение на две
равные части. Таким образом, нейтральная ось для предельного
момента Мп, вообще говоря, не совпадает с нейтральной осью для
Рис. 9.4. К определению предельного изгибающего момента М„.
линейно упругого изгиба. Например, в трапециевидном попереч¬
ном сечении (рис. 9.4, а) нейтральная ось для пластического изгиба
лежит несколько ниже, чем для упругого. Естественно, что в попе¬
речном сечении, обладающем двойной симметрией, как, например,
прямоугольное или двутавровое сечение, нейтральная ось будет од¬
ной и той же при пластическом и упругом изгибе.
Теперь предельный момент Мп можно найти либо путем интег¬
рирования уравнения (9.4), либо при помощи эквивалентной про¬
цедуры, когда просто вычисляются моменты сил Г и С относительно
нейтральной оси, что показано на рис. 9.4, 6; в результате имеем
Мв—Ту^+Суг,
где Ух и у2— расстояния от центров тяжести сх и с2 соответствую¬
щих площадей Рх и Р2 до нейтральной оси. Заменяя величины Г и С
на атР/2, получаем
М„
уи отр(^,+у2).
(9.8)
Процедура в каждом конкретном случае заключается в следующем:
площадь поперечного сечения разбивается на две равные части,
определяется положение центра тяжести каждой части, а затем по
формуле (9.8) вычисляется момент Ма.
ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ 351
Аналогично выражению (9.5) для. упругого, момента выражение
(9.8) можно записать в следующем виде:
Мя=<хт2, (9.9)
где величина
г=ЧаР(Уг+Ул) (9.10)
представляет собой пластический модуль для поперечного сечения.
Пластический модуль можно геометрически интерпретировать как
сумму статических моментов (взятых относительно нейтральной оси)
частей площади поперечного сечения, лежащих выше нейтральной
оси и ниже ее.
Отношение предельного момента для балки к моменту, при кото¬
ром возникает пластическое течение, зависит только от формы попе¬
речного сечения и обычно называется коэф¬
фициентом формы /:
'-жН- <9И>
Если взять балку прямоугольного поперечно¬
го сечения (Ь — ширина, Н — высота), то вы¬
ражение (9.10) для пластического модуля при¬
мет вид
2==т(т+т )=т-2- <912>
Учитывая, что момент сопротивления изгибу
поперечного сечения равен № = ЬН2/6, полу¬
чим, что коэффициент формы для прямоуголь¬
ной балки равен
^ — 3/2. (9.13)
Таким образом, для балки с прямоугольным поперечным сечением
предельный момент на 50% превышает момент, при котором возни¬
кает пластическое течение.
Для двутавровой балки (см. рис. 9.5) момент, при котором воз¬
никает пластическое течение, легко вычислить, умножив на два ста¬
тический момент верхней полки и примыкающей к ней части стенки,
лежащей выше' нейтральной оси; в результате получим
2 = МП (*-/„) + /„ (А/2-*„)», (9.14)
где первое слагаемое в правой части характеризует вклад полок,
а второе — стенки. Для стандартных двутавровых профилей значе¬
ния 2 приводятся в справочных таблицах (см. 15.4]). Величина коэф¬
фициента формы / для двутавровых балок обычно составляет от
1,1 до 1,2 в зависимости от геометрических пропорций поперечного
сечения,
Рис. 9.5. Поперечное
сечение двутавровой
балки.
352 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
Зависимость момента от кривизны. Уже было указано,
что для значений изгибающих моментов, не превышающих значения
МТ момента, при котором возникает пластическое течение, кривизна
х равна М/(Е1). Обозначив через кт кривизну, соответствующую
этому моменту, т. е. кривизну, при которой момент М равен МТ,
получим
*. = ТГГ- (9-15)
Отсюда зависимость момента от кривизны балки в линейно упругой
области можно выразить в следующей безразмерной форме:
о (9.16)
Это соотношение описывается прямолинейным участком диаграммы
зависимости момента от кривизны, представленной на рис. 9.6.
Когда величина момента превышает Мп часть балки переходит
в чисто пластическое состояние (образуется пластическая зона);
Рис. 9.6. Диаграмма зависимости изгиба¬
ющего момента от кривизны балки из
упруго-идеально-пластического материала.
это уже обсуждалось ранее в связи с рис. 9.3, с. Зависимость мо¬
мента от кривизны при этом становится нелинейной (см. рис. 9.6).
По мере того как пластическая зона распространяется внутрь по
направлению к нейтральной оси балки, кривая зависимости на рис.
9.6 становится все более плоской и асимптотически приближается
к горизонтальной линии. Эта асимптота соответствует предельному
моменту М п, так что ее ордината равна коэффициенту формы /.
Характер кривой, естественно, будет зависеть от формы попереч¬
ного сечения.
Вновь вернемся к случаю балки прямоугольного поперечного
сечения (рис. 9.7, а) и обозначим через е расстояние от нейтральной
оси до границы упругой зоны. На рис. 9.7, а выделена штриховкой
9.3.
ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ 363
пластическая зона, а на рис. 9.7, Ь представлено распределение на¬
пряжений по высоте сечения балки. Такому распределению напря¬
жений соответствует изгибающий момент
М = о1Ь(Н/2-е)(к/2 + е)-\-отЬ(2ег/3), (Ь)
где первое слагаемое в правой части дает момент от напряжений в
зоне полной пластичности, а второе — от напряжений в упругом
ядре. Выражение (Ь) можно записать проще:
М = (сттМг/6)(3/2—2е2/Лг) = Мт(3/2—2е*/Н*). (с)
Заметим, что при е — Л/2 из выражения (с) получаем М — Мт,
а при е=0 получаем величину момента Л1=ЗЛ!т/2, равную пре¬
дельному моменту Мп для прямоугольного поперечного сечения.
Рис. 9.7. Распределение напряжений в прямо¬
угольном поперечном сечении балки.
Кривизну прямоугольной балки, изображенной на рис. 9.7,
можно найти как значение х=г/у (см. выражение (9.1)), определив
его для волокон балки, лежащих на границе упругого ядра. Для
них е=о1/Е и у=е, откуда
ог
х =
Ее
((1)
Это выражение можно записать в безразмерной форме, воспользо¬
вавшись следующим представлением для кривизны к, соответст¬
вующей максимальному упругому моменту для балки прямоуголь¬
ного поперечного сечения:
«, Мт 2от
т Е1 ЕН •
(е)
Из (с!) и (е) получим соотношение
х
к_
2е‘
<0
12 Механика материалов
354 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
Исключив из равенств (с) и (Г) величину е/к, получим зависимость
между безразмерными значениями момента и кривизны:
М/Мт = 3и—х?/2х«, МТ<М <МП. (9.17)
Разрешив уравнение (9.17) относительно безразмерной кривизны,
найдем
V. 1
'“‘т ’
хг /3-2уИ//Иг’
уИт<М<Мп.
(9.18)
График зависимости безразмерного момента от безразмерной кри¬
визны для балки прямоугольного поперечного сечения, который
можно построить при помощи соотношений (9.17) и (9.18), представ¬
лен на рис. 9.8.
Л*/Ч=
О 1 '2 3
*/*т
Рис. 9.8. Диаграммы зависимости изгибающего момента от кривиз¬
ны для балок из упруго-идеально-пластического материала.
Используя аналогичную процедуру, можно получить выражение
для момента в зависимости от кривизны и для поперечных сечений
иной формы. На рис. 9.8 представлены графики этих зависимостей
для балок ромбовидного и кругового поперечного сечения, а также
для двутавровой балки. В каждом из этих примеров график начи¬
нается с прямолинейного участка, на котором вся балка находится
в линейно упругой области, за ним следует криволинейный участок,
на котором балка находится частично в пластическом, частично
в упругом состояниях. Последний участок графика соответствует
такому этапу нагружения, когда в неупругой зоне балки возникает
пластическое течение без какого-либо возрастания напряжения,
в то время как в центрально расположенной упругой зоне балки до¬
полнительное увеличение деформации происходит одновременно с
возрастанием напряжения. Таким образом, деформация балки «уп-
9.4.
ПЛАСТИЧЕСКИЕ ШАРНИРЫ 355
равляется» упругой зоной; подобный тип поведения иногда назы¬
вают ограниченным пластическим течением. Когда кривизна ста¬
новится очень большой, кривые на рис. 9.8 переходят в горизон¬
тальные прямые. На этом этапе балка может продолжать деформи¬
роваться без какого-либо увеличения приложенного изгибающего
момента. Здесь уже имеет место неограниченное пластическое тече¬
ние, а соответствующий этому этапу изгибающий момент представ¬
ляет собой предельный момент МП. Существование процесса неогра¬
ниченного пластического течения приводит к концепции пластичес¬
кого шарнира, которая будет описана в следующем разделе.
9.4. ПЛАСТИЧЕСКИЕ ШАРНИРЫ
Для того чтобы пояснить понятие пластического шарнира, рас¬
смотрим поведение свободно опертой балки из упруго-идеально-
пластического материала под действием приложенной в середине
Р
сосредоточенной силы Р (рис. 9.9, а). Эпюра изгибающих моментов
представляет собой треугольник, а максимальный момент Мтах ра¬
вен РЦ\ (рис. 9.9, Ь). Если величина максимального момента
больше, чем Л1,., но меньше, чем Мп, то в центральной части балки
будет иметь место ограниченное пластическое течение (рис. 9.9, а;
на этом рисунке пластические зоны заштрихованы). Поскольку для
каждого поперечного сечения известны величины изгибающих мо¬
12*
356 »• НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
ментов, можно без труда найти размеры этих зон *). Таким образом,
для любой конкретной балки можно полностью определить пласти¬
ческую зону.
На рис. 9.9, с показано распределение кривизны для балки.
Кривизна возрастает по линейному закону на участке от концов
балки до начала пластической зоны, где кривизна равна хт. Далее
скорость роста кривизны увеличивается, и в центре балки дости¬
гается максимальное значение хтах. Величина максимальной кри¬
визны остается конечной до тех пор, пока в центре балки продол¬
жает сохраняться упругая зона.
Когда нагрузка увеличивается еще больше и величина макси¬
мального изгибающего момента приближается к значению предель¬
ного момента Мп, пластические зоны в середине балки начинают
быстро распространяться внутрь к нейтральной оси. Наконец, ког¬
да Мтах достигает значения М„, поперечное сечение в середине бал¬
ки полностью превращается в пластическое (рис. 9.10). В середине
р
балки кривизна становится чрезвычайно большой и возникает неог¬
раниченное пластическое течение. Значение максимального момен¬
та уже не может больше увеличиваться, а нагрузка достигает макси¬
мальной величины. Балка ослабляется чрезмерно большими пово¬
ротами, которые возникают в среднем поперечном сечении, в то
время как обе половины балки остаются сравнительно жесткими.
Таким образом, балка ведет себя подобно двум жестким стержням,
соединенным пластическим шарниром, который позволяет этим
двум стержням поворачиваться относительно друг друга под дей¬
ствием постоянного момента МП.
*) При определении размеров пластической зоны пренебрегают влиянием
поперечных сил и используют теорию чистого изгиба, изложенную в предыдущем
разделе. Подобный подход впсшне допустим, поскольку влияние поперечного
сдвига очень мало.
ПЛАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВАЛОК 357
Длину Ьп пластической зоны, примыкающей к пластическому
шарниру в балке, изображенной на рис. 9.10, легко вычислить,
учитывая, что изгибающий момент в начале этой зоны равен Мт;
в результате получаем
Кроме того, известно, что максимальный момент Я1/4 равен Мп,
поэтому имеем
Подставив выражение (Ь) в (а) и решив полученное соотношение от¬
носительно 1*п, найдем, что для свободно опертой балки с сосредо¬
точенной нагрузкой
Для балки прямоугольного поперечного сечения (/=1,5) получаем
^„=/,/3, а для двутавровой балки (/ лежит в интервале от 1,1 до
1,2) находим, что принимает значения между 0,091, и 0,17 Ь.
Таким образом, пластическая зона для двутавровой балки гораздо
меньше, чем для балки прямоугольного поперечного сечения.
Даже в том случае, когда пластическая зона распространяется
по длине балки на значительное расстояние, кривизна имеет тен¬
денцию сосредоточиваться в поперечном сечении с шарниром. Сле¬
довательно, как правило, пластический шарнир можно считать не
имеющим протяженности в осевом направлении, т. е. как бы сосре¬
доточенным только в одном поперечном сечении балки. Наличие
пластического шарнира означает, что балка будет поворачиваться
относительно поперечного сечения с шарниром, а изгибающий мо¬
мент при этом будет оставаться постоянным и равным М„. Пласти¬
ческие шарниры, разумеется, всегда возникают в сечениях с макси¬
мальным изгибающим моментом.
9.5. ПЛАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БАЛОК
Понятие пластического шарнира обеспечивает удобный способ
определения максимальной нагрузки, которую может выдержать
балка из упруго-идеально-пластического материала. Как было пока¬
зано в предыдущем разделе, возникновение пластического шарнира
создает возможность неограниченных поворотов. Следовательно, в
случае статически определимой балки образование пластического
Шарнира оказывается достаточным для того, чтобы вызывать раз¬
рушение. Величину нагрузки, необходимой для образования шар¬
нира (т. е. предельной нагрузки), можно вычислить при помощи урав¬
(з)
(Ь)
(9.19)
368 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
нений статического равновесия. Например, для изображенной на
рис. 9. 10, а балки предельная нагрузка Рп равна
р -*Мш
I »
что следует из выражения (Ь) предыдущего раздела. Задача вычис¬
ления предельных нагрузок и определения пластических шарниров
для упруго-идеально-пластиче-
ских балок часто называется
предельным анализом,
а Рассмотрим теперь еще один
пример статически определимой
балки (см. рис. 9.11,а). На левую
половину балки действует равно¬
мерно распределенная нагрузка
интенсивностью <7. Эпюра изги-
^ бающих моментов представлена
на рис. 9.11, Ь, максимальный
момент равен УИтах=9^а/128.
Как и для всех статически опре¬
делимых балок, эпюра моментов
для данного примера строится с
с помощью только уравнений рав¬
новесия и не зависит от того,
является ли материал балки
упругим.
При постепенном увеличе¬
нии интенсивности нагрузки <7,
приложенной к балке, макси¬
мальный момент станет равным моменту Мг, при котором возни¬
кает пластическое течение; соответствующая этому моменту нагруз¬
ка называется нагрузкой, вызывающей возникновение пластических
деформаций, и для рассматриваемой балки составляет
128 Мг
Ч* ~ 90 '
При дальнейшем увеличении нагрузки в поперечном сечении с мак¬
симальным значением изгибающего момента возникнет пластичес¬
кий шарнир, изображенный на рис. 9.11, с черным кружком. Соот¬
ветствующая предельная нагрузка равна
тма
Чп ~ 9{а >
где Мп— предельный изгибающий момент для балки. После обра¬
зования шарнира балку можно рассматривать как состоящую из
двух стержней, соединенных шарниром. В этом случае балка пре¬
■жжкжл
Рис. 9.11. Предельный анализ ста¬
тически определимой балки.
9.5.
ПЛАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БАЛОК 359
вращается в механизм, который может продолжать перемещаться
под действием предельной нагрузки. Для описания этого явления
часто используется термин «механизм разрушения».
Отношение предельной нагрузки к нагрузке, при которой начи¬
нается пластическая деформация, для статически определимой бал¬
ки всегда равно М „/Мг, как это можно было видеть из предыдущего
примера, и представляет собой коэффициент формы / поперечного
сечения. Однако для статически неопределимых балок это отноше¬
ние изменяется в зависимости от типа балки и вида нагружения.
1
Г
А
X и2 Ц
с <4
е иг
Рис. 9.12. Предельный анализ статически неопределимой балки.
Для того чтобы продемонстрировать поведение статически неоп¬
ределимых балок, рассмотрим, например, консольную балку с до¬
полнительной опорой, нагруженную сосредоточенной силой Р, при¬
ложенной в середине балки (рис. 9.12, а). Для любой силы, мень¬
шей того значения Рт, при котором начинается пластическая де¬
формация, эпюра изгибающих моментов имеет вид, представленный
на рис. 9.12, о. Максимальный изгибающий момент имеет место в
заделке А и численно равен ЗР/,/16, так что нагрузка, при которой
начинают возникать пластические деформации, составляет
Если величина силы Р возрастает и превышает Рт, то в поперечном
сечении А происходит дополнительное пластическое течение. Вско¬
ре вслед за тем, как величина силы несколько превысит значение
Ях, пластическое течение материала начнется и в сечении С, в месте
которого на эпюре изгибающих моментов имеется пик.
Если продолжать увеличивать нагрузку, на конце А балки обра¬
зуется пластический шарнир. Однако такой единственный шарнир
не вызовет полного разрушения балки. Вместо этого балка будет
вести себя как статически определимая свободно опертая балка, на
360 НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
которую действуют приложенная в сечении С сила Р и приложен¬
ный на конце А момент М„. Таким образом, конструкция будет вы¬
держивать дальнейшее увеличение силы Р, пока, наконец, изгибаю¬
щий момент в сечении С также не достигнет величины предельного
момента Ма. На этом этапе пластические шарниры уже будут сущест¬
вовать и в сечении А, ив сечении С, а конструкция превратится в
механизм (рис. 9.12, с). Теперь могут возникать неограниченные
прогибы и дальнейшее увеличение нагрузки недопустимо; следо¬
вательно, достигнута величина предельной нагрузки Р„.
Для того чтобы найти величину предельной нагрузки, нет необ¬
ходимости подробно исследовать поведение балки от начала нагру¬
жения до разрушения, как это описано выше. Вместо этого можно
сразу перейти к условию разрушения, представленному на
рис. 9.12, с, и вычислить Р„ при помощи уравнений статического рав¬
новесия. Поскольку изгибающие моменты в пластических шарнирах
равны Ма, можно сразу построить эпюру изгибающих моментов,
соответствующую началу разрушения (см. рис. 9.12, й). По этой
эпюре, используя уравнения равновесия, легко найти нагрузку Рп.
Например, из условия равновесия сил, действующих на балку как
на незакрепленное тело, можно найти реакцию /?ь в опоре В. Взяв
моменты относительно точки А (рис. 9.12, с), получим
Ма--^= 0, или =
Затем, рассмотрев равновесие сил, действующих на часть СВ бал¬
ки, и взяв моменты относительно точки С, найдем
-Мп+^ = 0.
Из приведенных уравнений получим следующее значение предель¬
ной нагрузки для балки:
Используя выражения (а) и (Ь), можно вычислить отношение пре¬
дельной нагрузки к нагрузке, при которой начинают возникать плас¬
тические деформации:
Рп 9М„
Рт 8МХ ‘
Как видно, эта величина больше полученной для случая статически
определимых балок. Легко усмотреть причину такого увеличения:
хотя форма эпюры изгибающих моментов всегда остается такой же,
как для статически определимых балок, в случае статически неопре¬
делимых балок имеет место перераспределение моментов. В примере
9.5.
ПЛАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БАЛОК 361
с балкой, изображенной на рис. 9.12, исходная эпюра моментов име¬
ет максимум в сечении А (рис. 9.12, Ь). После образования в этом
поперечном сечении пластического шарнира величина изгибающего
момента в нем будет оставаться постоянной; в то же время во всех
других сечениях по длине балки моменты будут возрастать до тех
пор, пока не будет достигнуто распределение, показанное на рис.
9.12, Д. Такое перераспределение моментов всегда имеет тенденцию
■увеличивать несущую способность статически неопределимой кон¬
струкции, поскольку, когда исчерпывается прочность одного участ¬
ка, дополнительную нагрузку начинают воспринимать другие уча¬
стки конструкции.
Удобным свойством пластического анализа является легкость,
с которой вычисляется предельная нагрузка при помощи только
уравнений равновесия. Подход, основанный на использовании толь¬
ко уравнений статического равновесия, естественно, гораздо проще,
чем раскрытие статической неопределимости, которое требуется
проводить при линейно упругом поведении конструкции. Более то¬
го, на результаты, полученные на основе пластического анализа,
не оказывает влияния несовершенство граничных условий. Малый
поворот в заделке или небольшое перемещение шарнирной опоры
по вертикали не сказываются на значении предельной нагрузки, в
то время как подобного рода несовершенства существенно влияют
на упругое поведение конструкции.
Если предельная нагрузка находится из условий равновесия,
то часто оказывается весьма удобным использование принципа воз¬
можных перемещений. Этот принцип формулируется так; если сис¬
тема твердых тел находится в равновесии под действием системы сил,
то работа, совершаемая этими силами на любом малом возможном
перемещении системы, должна быть равна нулю.
Применим указанный принцип к представленному на рис. 9.12
примеру. Будем считать, что механизм разрушения состоит из двух
стержней АС и СВ и пластических шарниров Л и С (рис. 9.13).
Возможное перемещение можно ввести в виде поворота стержня
АС на малый угол 0. При этом стержень СВ будет поворачиваться
на тот же самый угол 0 и точка С переместится вниз на расстояние
2в
1/2
Рис. 9.13. Применение принципа
возможных перемещений.
362 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИВ
01/2. Работа, совершаемая силой Ри, положительна и равна произ¬
ведению силы Рп на прогиб 01^12. Работа, совершаемая предель¬
ными моментами М„, отрицательна, поскольку они противопо¬
ложны направлениям поворотов стержней; эта работа равна
—уИ„0 в поперечном сечении Л и—Л1П(20) в поперечном сечении С.
Следовательно, принцип возможных перемещений для этой балки
дает
Мя0—2МП0 = О.
После исключения угла 0, определяющего возможное перемещение,
найдем
р -
га~ I >
что совпадает с полученным выше результатом. Удобство примене¬
ния принципа возможных перемещений заключается в простоте:
вводится возможное перемещение, а затем составляется всего одно
уравнение. В то же время при более распространенном подходе, ос¬
нованном на использовании уравнений равновесия, приходится
составлять уравнения равновесия сил, действующих на незакреп¬
ленное тело, не только для конструкции в целом, но и для отдель¬
ных ее частей.
В предыдущем примере была лишь одна возможность располо¬
жить пластические шарниры, поэтому надо было рассматривать
только один механизм разрушения. Однако часто бывает, что могут
иметь место несколько различных механизмов и не очевидно, кото¬
рый из них истинный. В этом случае приходится рассматривать по
очереди каждый механизм и вычислять величину соответствующей
нагрузки (или нагрузок); разумеется, истинным механизмом раз¬
рушения будет тот, который возникает при наименьшей по величине
нагрузке. Эта нагрузка и является истинной предельной нагрузкой
для данной конструкции.
Для того чтобы продемонстрировать надлежащий выбор меха¬
низма разрушения, возьмем в качестве примера балку АВ (рис. 9.14,
а). На эту балку действуют две сосредоточенные силы, приложен¬
ные в поперечных сечениях С и I). Максимальные значения изгиба¬
ющих моментов, возникающих в данной балке, достигаются в тех
поперечных сечениях, в которых действуют внешние силы или реак¬
ции, т. е. в сечениях А, С и О. Механизм разрушения образуется при
возникновении пластических шарниров в двух из указанных трех
поперечных сечений, и на рис. 9.14,6, 9.14, с и 9.14, А. показаны
три возможных варианта. Величину силы Р для каждого выбранно¬
го механизма легко определить из принципа возможных перемеще¬
ний. В результате для изображенного на рис. 9.14, Ь механизма
находим
Р (01/2) + 2 Р (0/-/4)— М„0—М„20 = О,
ПЛАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БАЛОК 363
откуда Р = 3Мп/Ь. Аналогично для механизма, изображенного
на рис. 9.14, с, сила Р равна 5М„/(2Ь), а для механизма на рис.
9.14, й составляет 6М„/Ь. Сопоставляя эти три результата, заклю¬
чаем, что предельным значением силы Р для рассматриваемой балки
будет
р 5МП
гп— 41 »
а истинный механизм разрушения соответствует образованию плас¬
тических шарниров в поперечных сечениях А и Ь (рис. 9.14, с).
ил
р
и
2Р
V
ЛД.
В
в
Ав
39
\в
А \
29
Рис. 9.14. Пример надлежащего выбора возможного механизма разрушения.
В качестве другого примера пластического анализа рассмотрим
заделанную на одном конце и свободно опертую на другом балку,
на которую действует равномерно распределенная нагрузка (рис.
9.15, а). Максимальный отрицательный изгибающий момент возника¬
ет в заделке А, а максимальный положительный момент — где-то
вблизи середины пролета балки. Таким образом, механизм разру¬
шения связан с образованием двух пластических шарниров в сече¬
ниях А и С (рис. 9.15, Ь). Если дать этому механизму возможное
перемещение и обозначить через 0 угол поворота участка АС, то
возможным перемещением шарнира в сечении С будет 06, где Ь —
расстояние от заделки до шарнира. Точно так же угол поворота
участка СВ составит 01=06/(1 — Ь). Таким образом, возможная
работа, совершаемая предельным моментом Мп в шарнирах, равна
-ЛМ-ЛМ0+0Х). (С)
Работу, совершаемую приложенной нагрузкой <7, можно найти,
взяв малый элемент цйх нагрузки, умножив его на возможное пере¬
мещение, соответствующее этому элементу, и затем проинтегриро¬
вав полученное выражение по длине балки. Поскольку величина
Ч постоянна, в результате получим произведение нагрузки д на пло-
364 9 НГ-УПРУГИЙ ИЗГИБ
щадь эпюры перемещений (рис. 9.15, Ь). Таким образом, возможная
работа нагрузки д имеет вид
Выражение для возможной работы получается суммированием (с) и
(д); приравняв эту сумму нулю и решив полученное уравнение,
находим
Это выражение дает зависимость предельной нагрузки от расстояния
Ь, которое пока еще остается неизвестным. Однако, как уже было
отмечено выше при рассмотрении возможности реализации различ-
Рис. 9.15. Предельный анализ балки с равномерно распределенной нагрузкой.
ных вариантов механизмов разрушения, истинным механизмом яв¬
ляется тот, который дает наименьшую величину предельной нагруз¬
ки. Применяя эту концепцию к рассматриваемой задаче, получаем,
что расстояние Ь нужно выбрать так, чтобы сделать величину <7„
минимальной. Поэтому следует взять производную от ца по Ь, при¬
равнять полученное выражение нулю и решить полученное уравне¬
ние относительно Ь, что дает
Иной способ заключается в получении выражения для изгибающих
моментов в балке и определении положения поперечного сечения с
максимальным значением изгибающего момента; именно в этом се¬
чении и образуется пластический шарнир. Разумеется, подходы та¬
кого рода (минимизация выражения для нагрузки <?„ или определе¬
ние положения сечения с максимальным изгибающим моментом)
возможны только в простейших задачах, в которых легко проделать
все математические выкладки. Для получения решений в более
сложных случаях легче воспользоваться численным методом реше¬
ния, выбрав для этого несколько положений пластического шарнира
и определив соответствующую каждому положению нагрузку <7.
При помощи таких расчетов можно с достаточно хорошей точностью
определить наименьшую величину нагрузки да и положение шар¬
нира.
№
(е)
а
Ь
Ь = Ь(2—V 2).
9.5.
ПЛАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БАЛОК 365
Возвращаясь к рассматриваемой, задаче, возьмем выражение
({) для расстояния Ь и подставим его в выражение (е) для нагрузки
Яа\ в результате получим следующее значение предельной нагруз¬
ки для балки:
?п = ^(3 + 2К2)~!^". (ё)
В качестве дополнительного результата для данной балки легко под¬
считать отношение предельной нагрузки </„ к нагрузке </т, при ко¬
торой начинают возникать пластические деформации; это отноше¬
ние составляет 1,46 (Мп/Л1т) и намного превышает то, которое имеет
место для статически определимой балки.
Для заделанных по обоим концам балок, а также для неразрез¬
ных балок пластический анализ можно провести аналогично тому,
как это было описано в предыдущих примерах. Заделанная по обо¬
им концам балка превращается в механизм, когда образуются три
пластических шарнира: обычно возникает по шарниру в каждой
заделке и еще один шарнир в каком-то промежуточном сечении. Не¬
разрезные балки разрушаются, когда в одном из пролетов образу¬
ется механизм. Если этот пролет является внутренним, то необхо¬
димо появление трех шарниров — по одному на каждый конец про¬
лета и один в промежуточном сечении. Пролету, расположенному
на краю свободно опертой балки, для образования механизма необ¬
ходимы только два шарнира: один из них располагается в первой
внутренней опоре, а второй — внутри самого краевого пролета.
Наиболее важные применения пластического анализа относятся
к расчету плоских рам. Когда нагрузки достигают предельных зна¬
чений, такие рамы образуют механизмы, но исследовать их значи¬
тельно сложнее, чем балки. Читателю, интересующемуся дополни¬
тельными сведениями относительно методов пластического анализа,
следует обратиться к специальным работам [9.1—9.81.
При исследовании поведения балок или других конструкций за пределом уп¬
ругости следует иметь в виду, что здесь принцип наложения неприменим и поведе¬
ние конструкции зависит не только от конечных значений нагрузок, но также и от
порядка их приложения. Для того чтобы продемонстрировать это обстоятельство,
рассмотрим балку АВ, на которую действуют две силы Р (рис. 9.16, а). Если силы
прикладываются одновременно, то эпюра изгибающих моментов имеет форму, по¬
казанную на рис. 9.16, Ь, а величина силы, при которой начинает возникать пла¬
стическое течение, составляет РТ=9МХ//,. Теперь предположим, что первой при¬
кладывается сила в точке С, а уже вслед за тем — сила в точке О. При действии
только силы, приложенной в точке С, эпюра изгибающих моментов имеет форму,
показанную на рис. 9.16, с. Величина максимального момента вдвое превышает ту,
которая была найдена в предыдущем примере, откуда следует, что и при действии
только одной силы Р, приложенной в точке С, могут иметь место пластические де¬
формации, хотя ее величина будет оставаться меньше значения Рт, найденного вы¬
ше. Пластические деформации не исчезнут и тогда, когда в точке Ь прикладывает¬
ся другая сила Р; отсюда становится очевидным, что окончательное состояние бал¬
ки будет отличаться от того случая, когда нагрузки действовали одновременно.
366 9 Н ЕУ ПРУ ГИЙ ИЗГИБ
По этой причине в дальнейшем изложении всегда будет предполагаться, что
все силы прикладываются к конструкции одновременно и что отношения этих сил
остаются постоянными в процессе нагружения
А
ТЯЖ
к У* >
в
о “А
I
2Р1/9
~РЦ9
Рис. 9.16. Балка с двумя сосредоточенными нагрузками.
Пластический расчет. Расчет стальных конструкций, осно¬
ванный на понятии предельной нагрузки, можно охарактеризовать
как пластический расчет или расчет по предельным нагрузкам 1).
При пластическом расчете сначала устанавливается величина рабо¬
чих нагрузок для конструкции, а затем эти нагрузки умножаются
на коэффициент запаса прочности, равный, скажем, 1,7, для получе1
ния значений предельных нагрузок. Конструкция рассчитывается
на условия предельного нагружения с использованием концепций
пластического анализа. Подобный подход отличается от более из¬
вестного упругого расчета или расчета по допускаемым напряжени¬
ям, когда предел текучести умножается на коэффициент запаса
прочности; в результате получается рабочее напряжение, а уже пос¬
ле этого ведется расчет конструкции (с использованием концепций
упругого анализа) с тем, чтобы не была превышена величина рабо¬
чего напряжения.
Существенное различие этих двух методов состоит в том, что при
пластическом расчете получают конструкцию, имеющую более или
менее одинаковый коэффициент запаса прочности по отношению
к разрушению во всех узлах, в то время как упругий расчет конст¬
рукций имеет одинаковый коэффициент запаса прочности по отноше¬
нию к изгибающему моменту, при котором возникают пластические
деформации. Из проведенного выше обсуждения перераспреде¬
ления изгибающих моментов при нагружении конструкции за преде¬
1) Иногда применяется термин предельный расчет.
9.6.
ПРОГИБЫ 367
лом упругости легко установить, что спроектированные на основе
этих двух методов конструкции будут отличаться относительными
размерами своих частей.
Вопросам пластического расчета и поведения конструкций за
пределом упругости посвящена огромная литература; читатель, же¬
лающий глубже ознакомиться с этими вопросами, может начать с
книг, обзоров и статей, указанных в конце данной книги (см. 19.1—
9.181). Эти работы содержат и библиографию, касающуюся пер¬
вых исследований в данной области.
9.6.
ПРОГИ6Ы
Прогибы неупругой балки можно найти, используя соотноше¬
ние (6.4) между кривизной и прогибом
И = 5- (9-20>
Эго соотношение было получено на основании чисто геометрических
соображений, поэтому оно справедливо для балок из любого мате¬
риала, разумеется, если ограничиваться малыми прогибами. Для
того чтобы при определении прогибов воспользоваться соотноше¬
нием (9.20), надо знать кривизну и. Для линейно упругого материа¬
ла кривизна равна М/(Е1). Для неупругой балки (например, для
балки из упруго-идеально-пластического материала) следует подо¬
брать подходящее (подобное (9.18)) выражение для кривизны. Ис¬
пользование соотношения (9.20) означает пренебрежение влиянием
поперечного сдвига на прогиб, что в обычных условиях обеспечивает
достаточную точность.
Некоторые методы решения уравнения (9.20), которые были опи¬
саны в гл. 6 для случая упругих балок, могут применяться и для
неупругого изгиба. Полностью подходящим, например, является
метод последовательного интегрирования, хотя он может быть при¬
менен только для элементарных задач. Можно воспользоваться так¬
же методом моментных площадей, но теперь этот метод следует
называть методом площадей эпюры кривизн, поскольку две соот¬
ветствующие теоремы должны быть переформулированы так, чтобы
они относились к площадям эпюры кривизн, а не эпюры М/(Е1).
Эти теоремы о площадях эпюры кривизн формулируются следую¬
щим образом.
1. Угол 0 между касательными к линии прогибов в двух точках
АиВ равен площади эпюры кривизн на участке между этими точка¬
ми.
2. Прогиб А точки В по отношению к касательной в точке А ра¬
вен статическому моменту относительно точки В площади эпюры
кривизн на участке от А до В.
368 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
Эти теоремы можно использовать для нахождения углов накло¬
на и прогибов неупругой балки точно так же, как теоремы о момент¬
ных площадях для упругих балок.
Поскольку эпюра кривизн обычно не представляется простыми
функциями, при определении прогибов, как правило, необходимо
применять численные методы. Например, можно подсчитать кривиз¬
ны для отдельных точек, лежащих на оси балки, и для каждой этой
точки отложить ординаты эпюры кривизн. Эти ординаты можно сое¬
динить прямолинейными отрезками и получить некоторое прибли¬
жение точной эпюры. Затем можно численно найти площади и ста¬
тические моменты приближенной эпюры, а после этого с помощью
теоремы о площадях эпюры кривизн определить прогибы и углы на¬
клона. Эти методы применимы только к очень простым задачам, для
более сложных конструкций следует прибегать к приближенным
методам. Дополнительную информацию по определению прогибов
можно почерпнуть из приведенной в конце книги библиографии.
Для любой балки, у которой напряжения превышают предел
пропорциональности, способ наложения неприменим. Поэтому при
определении прогибов неупругих балок способ наложения исполь¬
зовать нельзя.
Пример. Консольная балка АВ, на незакрепленном конце которой прило¬
жена сосредоточенная сила Р (рис. 9.17, а), изготовлена из упруго-идеально-плас-
тического материала. Определим угол поворота 6 и прогиб на свободном конце
Р
С -
Рис. 9.17. Пример. Балка прямоугольного поперечного сечения из упруго-
идеалыю-пластического материала.
балки, когда величина нагрузки такова, что наступает разрушение; предполагаем<
что балка имеет поперечное сечение прямоугольной формы.
Прежде всего построим для этой балки эпюру изгибающих моментов
(рис. 9.17, Ь). Из эпюры видно, что максимальный момент равен РЬ и до тех пор,
9.6.
й РОГ И БЫ 369
пока его величина меньше значения изгибающего момента, при котором появляют¬
ся пластические деформации, балка будет полностью упругой. Для упругой обла¬
сти имеем
* № « РУЛ
2 ЕГ 3ЕГ
Нагрузка Рт, при которой появляются пластические деформации, составляет
Мг
Ь
рг=4ь- <а>
Создаваемые этой нагрузкой угол 0Т и прогиб дт равны
Р / 2 р / з
01=2ГГ; (Ь)
Они представляют собой максимальные величины угла поворота и прогиба для
упругой области. Для записи безразмерной формы угла поворота и прогиба в пол¬
ностью упругой области можно воспользоваться следующими упрощенными пред¬
ставлениями:
К-
Когда величина максимального момента в балке превышает Мх, то, как пока¬
зано на эпюре кривизн (рис 9 17, с), в балке будут существовать две области
П чисто упругая и 2) упруго-пластическая. Для области 1) кривизна равна
Рх /АЛ
*~Ш’ (*
а для области 2), согласно выражению (9 18),
х = -7=^=, (е)
УгЗ-2Рх/М1
где кт—Мт/(Е1), Протяженность хх упругой области находится из соотношения
Рх1=Мт, так что
Х1 = -^. (О
Угол поворота на конце балки, согласно первой теореме о площади эпюры кри¬
визн, равен
Хх 1 А
хг йх
в — Г Рх(^к |_ Г хг с(х
~) Е1 "3 УЗ-ъРх/Мт'
О
/3-2/>*,/УИх- /3-2РЦМХ].
Если сюда вместо хт, хх и Мт подставить соответственно М г!(Е1), Мг/Р и Рт/Х, то
получим следующее уравнение:
^■=ТГ С3-2 /3—2Р/Рг], (6)
370 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ.
где для 0Х берется значение (Ь). Это уравнение справедливо до тех пор’, пока мак¬
симальный момент в балке не станет равен предельному моменту Мп, для которого
Р/Рх=3/2. Когда отношение Р/Рт достигает этой величины, относительный угол
Рис. 9.18. Зависимость нагрузки от угла
поворота консольной балки, изображенной
на рис. 9.17.
поворота 0/0х становится равным двум. В дальнейшем этот угол неограниченно
возрастает. Зависимость нагрузки Р/Рх от угла поворота 0/0х приведена на
рис. 9.18.
Рис. 9.19. Зависимость нагрузки от проги¬
ба консольной балки, изображенной иа
рис. 9.17.
Прогиб на конце балки подсчитывается согласно второй теореме о площадях
эпюры кривизн и составляет
хх I
А— Г Рх2Лх | щхйх
~3 Е1 3 УгЗ-2Рх/Мт ’
0 х,
Вычислив интегралы и сделав такие же подстановки, как и при выводе соотноше¬
ния (§)» найдем
где для бх берется значение (Ь). Когда отношение Р/Рх равно 3/2, безразмерный
прогиб составляет 6/6х=20/9. График зависимости нагрузки от прогиба представ¬
лен на рис. 9.19.
9.7.
НВУПРУГИр ИЗГИВ 371
9.7. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
В предыдущих четырех разделах подробно рассматривался слу¬
чай упруго-идеально-пластического материала. Такой материал
имеет исключительно важное значение для инженеров, поскольку
он достаточно точно отражает поведение конструкционной стали.
Рис. 9.20. Диаграмма зависимости напря¬
жения от деформации.
Рис. 9.21. Балка прямо¬
угольного поперечного сече¬
ния из неупругого материала.
Теперь рассмотрим более общий случай неупругого поведения, ког¬
да материал имеет диаграмму зависимости напряжения от деформа¬
ций типа кривой АОВ на рис. 9.20. Исследование опять начнем с
балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 9.21), где Нх
И Ла— расстояния от нейтральной оси соответственно до нижней и
верхней поверхностей балки.
Для того чтобы определить положение нейтральной оси балки
прямоугольного поперечного сечения, воспользуемся уравнениями
(9.1) и (9.3). Из уравнения (9.1) получим
у=ре, йу=р<1г. (а)
Подстановка этих соотношений в уравнение (9.3) дает
Л1 е4
^ас1р= $ аЬд.у — рЬ^айг — 0,
где 81 и е8— соответственно деформации нижних и верхних волокон
балки (см. рис. 9.1). Отметим, что эти деформации также отмечены
372 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
на графике зависимости напряжения от деформации (рис. 9.20).
Из приведенного выше уравнения видно, что положение нейтраль¬
ной оси определяется из соотношения
«1
$ас(е = 0. (9.21)
е»
Обозначим теперь через ес сумму абсолютных величин максималь¬
ных положительной и отрицательной деформаций
—е2=к/1,+х/г2=хЛ. (9.22)
Для решения уравнения (9.21) воспользуемся кривой АОВ на рис.
9.20 и отложим на горизонтальной оси отрезок длиной е,. так, чтобы
площадь, ограниченная кривой, соответствующей растяжению,
была равна площади, соответствующей сжатию. Таким образом
получим деформации в! и е2 в крайних волокнах; эти деформации
соответствуют некоторой заданной величине полной деформации
ес. Затем из уравнения (9.2) легко находится соответствующее поло¬
жение нейтральной оси:
Поскольку деформации е являются линейными функциями расстоя¬
ния от нейтральной оси (см. рис. 9.1, с), можно сделать вывод, что
при замене ес на Л диаграмма зависимости напряжения от деформа¬
ции АОВ (рис. 9. 20) превратится в распределение по высоте балки
напряжений, обусловленных изгибом. Таким образом, для заданной
величины ес теперь известно положение нейтральной оси, а также
распределения напряжений и деформаций по высоте балки. Из соот¬
ношения (9.22) известна, кроме того, кривизна балки.
Следующий шаг состоит в определении приложенного изгибающе¬
го момента М при помощи уравнения (9.4). Подставляя в это урав¬
нение выражение (а), запишем (9.4) в следующем виде:
й,
5<т«/^Р= ауЬйу-=р*Ь^ае<1е~ М. (Ь)
-Л* г*
Поскольку из (9.22) следует, что р = 1 /х---Л/ес, уравнение (Ь)
можно записать так:
М = НгГ огйг. (9.24)
ес «’
еа
Интеграл в этом выражении представляет собой статический момент
относительно нейтральной оси площади, лежащей между кривой за¬
висимости напряжения от деформации и осью абсцисс (заштрихо¬
9.7.
ИЕУПРУГИЙ ИЗГИБ 373
ванная площадь на рис. 9.20). Таким образом, вычисляя этот ин¬
теграл для каждого конкретного случая и подставляя его в уравне¬
ние (9.24), можно найти изгибающий момент М и тем самым закон¬
чить анализ поведения балки при чистом из¬
гибе для заданного значения ес.
Указанную процедуру можно полностью
повторить для других значений ес; тогда пос¬
ле каждого расчета будут получены величины
кривизны и соответствующего ей изгибающего
момента. Используя эти данные, можно по¬
строить диаграмму зависимости изгибающего
момента от кривизны (рис. 9.22). Подобная
диаграмма относится к конкретному виду
зависимости напряжения от деформации
и к конкретному типу балок прямоугольного
поперечного сечения.
Расчеты значительно упрощаются, если
части диаграммы зависимости напряжения
от деформации, относящиеся к растяжению и
к сжатию, будут одинаковыми, поскольку тогда сразу становится
ясно, что нейтральная ось проходит через центр тяжести прямо¬
угольного поперечного сечения. В этом случае справедливы сле-
Рис. 9.22. Диаграмма
зависимости изгибаю¬
щего момента от кри
визны при неупругом
изгибе.
дующие соотношения:
к
- 6« »/,
(9.25)
(9.26)
М
2 ЫГ-
е2
аейе.
(9.27)
Из последнего соотношения можно определить изгибающий момент
М для любой заданной величины ес, после чего из соотношения
(9.22) можно найти кривизну.
В частном случае балки прямоугольного поперечного сечения
из линейно упругого материала имеем а—Ее и соотношение (9.27)
дает
(С)
ес ,1 оис
о
Подставив сюда выражения ес=2е, и сттах=Ееь получим
М-
М —1/„ Отах Ьк* ^тах
(<1)
где атах—напряжение в нижних волокнах балки. Кроме того, если
в (с) подставить ес=2е! и е1=кЛ/2, то найдем
М __ М ,ч
Х ~ ЕЬН*П2 — Е1 ’ ' '
374 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
Выражения (<1) и (е) совпадают с соответствующими выражениями
для линейно упругого изгиба.
Если поперечное сечение не является прямоугольным и имеет
переменную ширину Ь (см., например, рис. 9.1, с), то вместо соотно¬
шений (9.21) и (9.24) используются следующие:
«I
$<хЫ е = 0, (9.28)
е*
в
(9.29)
М = —т-у аЬейг,
где ширина Ь не выносится за знак интеграла. В качестве частного
примера рассмотрим Т-образное поперечное сечение (рис. 9.23).
|Д
к
Ъш .
Л
нг
иг
А,
У
Ьу
■< >
Рис. 9.23. Балка Т-образного
поперечного сечения т неупру¬
гого материала
Рис. 9.24. Модифицированная диаг¬
рамма зависимости напряжения от
деформации.
Обозначив через е3 деформацию в месте соединения стенки и полки,
предыдущие зависимости можно записать так:
е,
5 айг -+- 5 <* (Ь1 /Ьг) & = 0, (!)
»е
г
еэ в| а 1
1*08^8+ ^сгу-ейе . (§)
Р. Р.- -I
Из этих выражений видно, что ординаты диаграммы зависимости
напряжения от деформации в полке должны быть умножены на от-
9.7.
НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ 375
ношение Ъх1Ъг (см. рис. 9. 24). При определении положения нейт¬
ральной оси поступим так же, как и в предыдущем случае, и отло¬
жим на горизонтальной оси графика, представленного на рис. 9.24,
отрезок длиной ес, положение которого выбирается таким образом,
чтобы две заштрихованные площади стали примерно равными. Вы¬
бор положения, разумеется, производится методом проб и ошибок.
Для каждого пробного положения деформация е3 в месте соедине¬
ния стенки и полки определяется из следующего соотношения:
Продолжая в том же духе, получаем деформации в! и е2 в крайних
волокнах.
Определив из выражения ({) положение нейтральной оси, мож¬
но из (§) найти изгибающий момент. Отметим, что два интеграла в
квадратных скобках представляют собой статический момент за¬
штрихованной площади (рис. 9.24) относительно вертикальной оси,
проходящей через начало координат О. Вычислив этот статический
момент и подставив его величину в выражение (§), получим значе¬
ние изгибающего момента, соответствующее выбранной величине
ес. Из выражения (9.22) можно также найти соответствующую кри¬
визну к, после чего можно построить диаграмму зависимости мо¬
мента от кривизны для балки Т-образного поперечного сечения.
Аналогичный процесс можно применить и для двутавровой балки.
Предыдущее исследование поведения балки при неупругом из¬
гибе носит самый общий характер и может быть использовано для
любого вида зависимости напряжения от деформации и любой фор¬
мы поперечного сечения. Однако иногда зависимость напряжения
от деформации можно аппроксимировать аналитическим выраже¬
нием, и в этом случае напряжения, деформации и кривизну можно
определить непосредственным вычислением. Как правило, это воз¬
можно лишь для сравнительно простых случаев, что иллюстрирует¬
ся приведенным ниже примером балки прямоугольного поперечно¬
го сечения.
Пример. Балка с прямоугольным поперечным сечением (рис. 9.21) изготов¬
лена из материала, поведение которого описывается диаграммой зависимости на¬
пряжения от деформации, состоящей из двух прямых (рис. 9.25). Модуль упругос¬
ти при растяжении равен Еь при сжатии Ег, так что
Предполагается, что балка нагружена положительным изгибающим моментом М.
Целью исследования является определение положения нейтральной оси, вывод
выражения зависимости изгибающего момента от кривизны и нахождение значений
максимальных напряжений и деформаций в балке.
Обозначим деформации соответственно в нижних и верхних волокнах балки
через ех и 8,, а соответствующие максимальные напряжения — через ох и а,. Эти
(О
О)
376 *• НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
напряжения и деформации отмечены на рис. 9.25. Для того чтобы определить по¬
ложение нейтральной оси, заметим, что две заштрихованные площади на диаграм¬
ме зависимости напряжения от деформации должны быть равны, т. е.
а181 — 1!г °2г2-
Из равенств 0) и (]) следует, что
01=.Е\е1, 02 =
кроме того, имеют место зависимости
е1 = н/|1, е2==—хЛ2.
(Ю
(О
(ш)
Подставляя последние четыре выражения в соотношение (к), получаем первое
уравнение, связывающее и Л?:
ад = Е2Ы
Кроме того, справедливо соотношение
Л = Н\-)-
Решая теперь совместно уравнения (п) и (о), получаем
И
к УЕ, и _ к уПГ,
1 ут1+ут2' 2 УТГГТЖ'
Таким образом, положение нейтральной оси найдено.
б
бх
*2 О
^тггтИтМ
бг
(п)
(о)
(9.30)
Рис. 9.25. Пример. Диаграмма за¬
висимости напряжения от деформа¬
ции, состоящая из двух прямых.
^вернемся к выражению (9.24) и вычислим изгибающий момент. Подста¬
вив в (9.24) выражения (I) и 0), найдем
9.7.
НЕУПРУГИЙ' ИЗГИБ 377
или
+ <Р)
Звс
Деформации гх и е2 связаны с кривизной зависимостями (ш); подставляя в (ш)
выражения (9.30), получаем
Ех = х/е , 62 = —х/1 — .
Кроме того, деформация ес равна х& (см. выражение (9.22)). Теперь можно подста¬
вить выражения для е1? еа и ес в (р), что дает следующее соотношение:
' 4ЕхЕ2/х , ч
~(^+/Т2)а’ (ч)
где 1=Ь№/12. Наконец, введем обозначение
тогда соотношение (я) принимает вид М—/Гпр/х и для кривизны получается сле¬
дующее выражение:
*= с~7- (9.32)
^Пр Л
Величина Епр называется приведенным модулем упругости, ее значение всегда
находится в интервале между значениями двух модулей Ех и Я2. В частном случае,
когда оба модуля равны одному и тому же значению Е, приведенный модуль ЕПр
также равен Е.
Теперь легко выразить напряжения и деформации в крайних волокнах балки
через изгибающий момент. Подставив значение кривизны (9.32) в выражения (гп)
для ех и е2, получим следующие выражения для деформаций:
МН2 /л оо\
81 = 75—17. е2 = —р—7- (9-33)
сПр * спр 1
Из (1) можно выразить напряжения
а1 = ^! Ь., а2—— ^—2. (9.34)
/ х:Пр / спр
и на этом закончить расчет балки.
Прогибы. Прогибы статически определимой неупругой балки
можно найти, если известна диаграмма зависимости изгибающего
момента от кривизны. Способы проведения таких расчетов уже об¬
суждались в разд. 9.6. Однако в случае статически неопределимой
балки исследование является гораздо более сложным, поскольку для
определения лишних неизвестных реакций нельзя воспользоваться
способом наложения. Для того чтобы показать метод подхода к та¬
ким задачам, рассмотрим простой пример.
;г,'8 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
Предположим, что неупругая балка заделана на одном конце и
свободно оперта на другом. Реактивный момент в заделке можно оп¬
ределить методом последовательных приближений следующим об¬
разом. Этот момент принимается за лишнюю неизвестную, ему при¬
дается некое «пробное» значение и строится соответствующая эпюра
изгибающих моментов. Затем строится эпюра кривизн для балки
при помощи зависимости момента от кривизны. Из эпюры кривизн
можно подсчитать угол поворота в заделке. Если «пробное» значе¬
ние лишнего момента было выбрано правильно, то этот угол должен
быть равен нулю. Повторяя эту процедуру, можно в результате
прийти к истинно# величине лишнего изгибающего момента. Ана¬
логичные приемы.могут быть применены для исследования любой
статически неопределимой балки.
9.8. ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Если балка изгибается за пределом упругости, а затем нагрузка
снимается, то в балке возникают некоторые остаточные деформации
и она не возвращается к своей исходной конфигурации. Те волокна,
напряжения в которых превысили предел упругости, будут иметь
остаточную деформацию и воспрепятствуют упруго деформирован¬
ным волокнам восстановить при разгрузке свою исходную длину.
Поэтому в балке будут существовать некоторые остаточные напря¬
жения.
Распределение остаточных напряжений в балке нетрудно опре¬
делить, если известны напряжения, возникающие при неупругом
изгибе. Предположим, что распределение напряжений в балке при
действии положительного изгибающего момента М соответствует
эпюре, представленной на рис. 9.26, а. Допустим простоты ради, что
поперечное сечение балки имеет две оси симметрии и что свойства
материала одинаковы при растяжении и сжатии; отсюда следует,
а
Ь
с
Рис. 9.26. Остаточные напряжения при неупругом изгибе.
9.8.
ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 379
что нейтральная ось проходит через середину высоты балки, а мак¬
симальные растягивающее и сжимающее напряжения имеют одну
и ту же величину о,. Процесс разгрузки балки эквивалентен ее на¬
гружению отрицательным изгибающим моментом, равным М. При
разгрузке предполагается, что материал ведет себя упруго и подчи¬
няется закону Гука, как показывает прямая ВС на диаграмме за¬
висимости напряжения от деформации (рис. 9.20). Поэтому распре¬
деление напряжений при разгрузке, накладывающихся на исход¬
ные, описывается линейным законом (рис. 9.26, Ь), и эти напряже¬
ния можно определить по формуле а—Му/1. Максимальное напря¬
жение при разгрузке равно в2=М/№.
Наложение исходных напряжений, обусловленных неупругим
изгибом, на распределенные по линейному закону напряжения от
разгрузки дает напряжения, которые останутся в балке после сня¬
тия нагрузки. Эти остаточные напряжения показаны на рис. 9.26, с
и могут быть легко определены алгебраическим сложением напряже¬
ний, показанных на рис. 9.26, а и 9.26, Ь. Например, в нижних
волокнах балки остаточное напряжение равно оост=0,+02. Для
представленного на рисунке случая напряжение о2 отрицательно
и по абсолютной величине больше аг, поэтому остаточное напряже¬
ние аост будет также отрицательным.
Теперь допустим, что исходный положительный изгибающий мо¬
мент М повторно прикладывается к балке, имеющей остаточные на¬
пряжения (рис. 9.26, с). Каждое волокно балки будет оставаться
упругим и следовать закону Гука до тех пор, пока напряжения
в нем не достигнут первоначальной величины, которая имела место
до разгружения. Следовательно, изгибающий момент, который те¬
перь прикладывается, будет создавать напряжения, распределен¬
ные по линейному закону, а балка будет вести себя как линейно
упругая, пока приложенный изгибающий момент не превзойдет по
величине момент М. Напряжения, обусловленные действием изги¬
бающего момента М, будут такими же, как показано на рис. 9.26, Ь,
за исключением того, что они будут иметь противоположный знак,
а окончательное распределение напряжений будет соответствовать
рис. 9.26, а. Таким образом, влияние начального неупругого изгиба,
которому сопутствует возникновение остаточных напряжений при
разгрузке, скажется в том, чго балка будет вести себя как линейно
упругая, если не изменяется направление изгиба и если величина
изгибающего момента не превосходит значения начального момен¬
та.
Как уже разъяснялось в данном разделе, остаточными являются
те напряжения, которые остаются в конструкции после нагруже¬
ния и снятия нагрузки. Остаточные напряжения иного рода возни¬
кают в прокатанных конструкционных профилях в процессе изго¬
товления. Из-за операции прокатки и неравномерного нагрева и
охлаждения сечения в конструкционной балке возникают напряже-
380 9 НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
ния, обусловленные технологическим процессом. Такие напряже¬
ния, часто называемые начальными напряокениями, могут дости¬
гать величины 700—1000 кГ/см2. Сведения об остаточных напря¬
жениях в конструкционных балках можно найти в работах [9.19—
9.211. Дополнительные сведения об остаточных напряжениях, обус¬
ловленных изгибом, включая экспериментальные методы их опреде¬
ления, содержатся в [9.221 и [9.231.
ЗАДАЧИ
Задачи, относящиеся к разд 9 3 — 9.5, следует решать в предположении, что
материал является упруго-идеально-пластическим»
9.3.1. Определить величину МП предельного изгибающего момента для полой
коробчатой балки, поперечное сечение которой показано на рисунке, если от=
=2500 кГ/см2, а толщина стенки равна 2 см.
/1
и
. <
ч
25 см
40 см
У
Ь
Н\
К задаче 9.3.1.
К задаче 9.3.2.
9.3.2. Определить положение нейтральной оси при достижении предельного
изгибающего момента М„ (т. е. определить расстояние Нх), а также величину Мп
предельного изгибающего момента в Т-образном поперечном сечении, изображен¬
ном на рисунке, если а=20, Ь—15, *=5 см и оТ—2500 кГ/см2.
9.3.3. Вычислить пластический модуль 2 для двутаврового профиля № 27 (см.
приложение В).
9.3.4. Стальная двутавровая балка (предел текучести равен 2400 кГ/см2)
имеет несимметричное поперечное сечение, форма которого показана на рисунке.
Чему равен предельный изгибающий момент Мп?
95 см
К задаче 9.3.4.
ЗАДАЧИ 381
9.3.5. Определить коэффициент формы / для балки кругового поперечного се¬
чения.
9.3.6. Определить коэффициент формы / для ромбовидного поперечного сече¬
ния (см. рисунок).
9.3.7. а) Определить коэффициент формы / для трубы кругового поперечного
сечения, внешний и внутренний радиусы которого соответственно равны г, и г2.
Ь) Чему равен коэффициент формы / в частном случае очень тонкой трубы?
9.3.8. Определить коэффициент формы / для двутаврового стандартного про¬
филя Кг 40 (см. приложение В).
9.3.9. Балка прямоугольного поперечного сечения (Ь — ширина, Н — высота)
нагружена изгибающим моментом М, большим, чем момент Мт, при котором воз¬
никает пластическое течение, но меньшим, чем предельный момент М„. Найти вы¬
ражение для расстояния е от нейтральной оси до границы пластической зоны (см.
рис. 9.7).
9.3.10. Стальная балка (ат=2500, /Г=2,Ы0° кГ/см’2) из стандартного дву¬
таврового профиля № 36 нагружается изгибающим моментом М, при действии
которого возникает пластическое течение в полках, но стенка остается упругой.
a) Найти величину этого изгибающего момента М. Ь) Найти кривизну х.
9.3.11. Получить выражение для зависимости изгибающего момента от кри¬
визны, аналогичное (9.17) и связывающее отношения М/Мх и х/хт, для балки ром¬
бовидного поперечного сечения (см. рисунок к задаче 9.3.6).
9.4.1. На свободно опертую балку длиной I. действует равномерно распреде¬
ленная нагрузка. Определить длину пластической зоны, возникающей в середи¬
не балки, если максимальный изгибающий момент равен предельному моменту М„.
9.4.2. Вычертить эпюры н схему балки, представленные на рис. 9.9, в мас¬
штабе для случая балки прямоугольного поперечного сечения и Л!тах-—1,46 Мх.
(Подсчитать необходимое число значений с тем, чтобы можно было с достаточной
точностью построить границы пластической зоны, эпюры изгибающих моментов
и кривизн,)
9.5.1. Определить предельную нагрузку Рп для: а) консольной балки длиной
Ь, нагруженной сосредоточенной силой Я, приложенной на незакрепленном конце,
b) свободно опертой балки длиной на которую действуют две сосредоточенные
силы Р, приложенные на расстояниях ЦЗ от концов.
9.5.2. Чему равна предельная интенсивность </„ нагрузки, равномерно распре¬
деленной по всему пролету свободно опертой балки, если ^= 1,2 м, ат=2200 кГ/см2
и квадратное поперечное сечение балки имеет размер 7,5X7,5 см?
9.5.3. Консольная балка А В кругового поперечного сечения состоит из двух
жестко соединенных частей с различными диаметрами и как показано на ри-
Р
. 1г
Я-..1
*
1 и
С 1
е ь
к 1
г
К задаче 9.5.3.
382 НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
сунке. На незакрепленном конце балки приложена сила Р. а) Определить такое
отношение 12 диаметров, при котором пластические шарниры будут одновремен¬
но возникать в поперечных сечениях АиС при достижении нагрузкой предельного
значения Р„. Ь) Определить такое расстояние Ь> при котором балка, выдерживаю¬
щая предельную нагрузку Рп, имеет наименьший вес.
9.5.4. На балку, заделанную на одном конце и свободно опертую на другом
(см. рис. 9.12, а), действует сосредоточенная сила Р, приложенная на расстоянии
Ь ют заделки, а) Вычислить значение предельной нагрузки Рп для этой балки.
Ь) Полагая, что сила может быть приложена где угодно вдоль пролета балки, опре¬
делить, чему равно расстояние Ь, при котором имеют место наихудшие условия
предельного нагружения.
9.5.5. На заделанную по обоим концам балку действует сосредоточенная сила
Р, приложенная в середине пролета, а) Найти предельную нагрузку Р„. Ь) Чему
равно отношение Р„/^т предельной нагрузки к нагрузке, при которой возникает
пластическое течение?
9.5.6. На заделанную по обоим концам балку действует равномерно распреде¬
ленная нагрузка интенсивностью <7. а) Чему равна предельная нагрузка <7П? Ь) Че¬
му равно отношение <7„/<7т предельной нагрузки к нагрузке, при которой возникает
пластическое течение?
9.5.7. Найти предельную нагрузку Рп для балки, изображенной на рис.
9.14, а, если она заделана по обоим концам.
9.5.8. Балка, изображенная на рисунке, заделана на конце А и опирается на
подвижный шарнир В. В поперечном сечении С к ней приложена сила Р, а на кон¬
це И — сила РР, где Р — некоторое положительное число, а) Найти предельную
нагрузку Рп для этой балки. Ь) При каком значении Р полная предельная нагрузка
для балки будет максимальна?
Р РР 2 Р Р
я '
» 1
1
\
* 1/2 -т
с
« <-/2
2Ш
А
мцж.
А
Л\\\\\4'
« ‘/г,|
К задаче 9.5.8. К задаче 9.5.9.
9.5.9. Найти предельную нагрузку Р„ для двухпролетной балки, нагружен-
ной так, как показано на рисунке.
9.5.10. Найти предельную интенсивность нагрузки ?п -для двухпролетной
балки, изображенной на рисунке, если а) Р=2/3; Ь) р=1.
Р 2Р Р
4
\ 4 4 * 4 * * ♦ I 1 4 4 1 1 ^
1 1 1
1 А Л ^
{ ч\\\\\\' ч\\ч\\Ч
1-—*—4. * А
А
Чч\\\\\
1 3^4э|с3^ I
А
ил *"
А
К задаче 9.5.10. К задаче 9.5.11.
ЗАДАЧИ 383
9.5.11. Определить предельную нагрузку Рп для трехпролетной неразрёзной
балки, изображенной на рисунке.
9.5.12. Найти предельную нагрузку Рп для тонкого кольца радиуса /?, на¬
груженного двумя силами так, как показано на рисунке.
9.6.1. Балка прямоугольного поперечного сечения с двумя выступающими
частями изготовлена из упруго-идеально-пластического материала и нагружена
двумя силами Р (см. рисунок). Вывести следующие выражения для прогиба 6 в
середине пролета балки:
А—А
6Г~РХ’
6 / 2ЯХ-1/2
ъ=\3-рт) '
где дт=РтсЬ2/(8Е1) и Рт=Мт/с. Построить в масштабе график зависимости Р/Рт
от д/6т.
~7Г~
-Н<-
К задаче 9.6.1.
9.6.2. В середине пролета свободно опертой балки длиной Ь прямоугольного
поперечного сечения, изготовленной из упруго-идеально-пластического материа¬
ла, действует сосредоточенная сила Р. Вывести следующие выражения для угла
поворота 6 в опорах и прогиба 6 в середине пролета:
*-№)*[•-(’+*)
где 0х=Рх/,2/О6^/), бх=Ят^3/(48/:/) и РХ=4МХД.. (Графики этих зависимостей
приведены на рис. 9.18 и 9.19.)
9.6.3. На консольную балку длиной ^ прямоугольного поперечного сечения,
изготовленную из упруго-идеально-пластического материала, действует равномер¬
но распределенная нагрузка интенсивностью ц. Вывести следующие выражения
384 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
для угла поворота 0 и прогиба 6 на свободном конце этой балки:
гд, 0г=(7т^3/(6Е1), 6Г=^Т14/(8Е/) и (7т=2Мт/^2. Построить в масштабе графики
зависимостей от 0/0г и от 6/6т.
9.7.1. Балка прямоугольного поперечного сечения (6=7,5, к—15 см) изготов¬
лена из материала, для которого зависимость напряжения от деформации пред¬
ставлена в виде прилагаемой таблицы.
Эта зависимость имеет один и тот же вид и при растяжении н при сжатии.
Балка изгибается под действием изгибающего момента М, причем возникает на¬
пряжение, максимальное значение которого равно 75 кГ/см2. Определить, чему
равен изгибающий момент М.
9.7.2. Балка прямоугольного поперечного сечения шириной 15 см и высотой
30 см нагружается изгибающим моментом, равным М~ 1,78 т* м. Материал балки
имеет модули упругости при растяжении /^=0,07* 10е и при сжатии Е2- 0,28Х
X 10° кГ/см2 (см. рис. 9.25). а) Определить положение нейтральной оси балки (см.
рис. 9.21). Ь) Определить максимальные растягивающее и сжимающее напряжения,
возникающие в балке, с) Вычислить радиус кривизны балки.
9.7.3. Балка прямоугольного поперечного сечения (шириной 10 см, высотой
30 см) изготовлена из хрупкого материала, диаграмму зависимости напряжения от
деформации которого можно приближенно изобразить ломаной ОАВ (см. рисунок).
Напряжение а,
кГ/см8
Деформация е,
ю-«
0
49
56
63
70
77
84
0
16
25
42
70
113
183
б,пГ/см*
1200
В
800
400
О 0,001 0,002 0,003 «
К задаче 9.7.3.
ЗАДАЧИ 385
Разрушение наступает в точке В. Диаграмма при сжатии имеет такой же вид, как
и при растяжении. Определить максимальное значение изгибающего момента Мтах
для этой балки.
9.7.4. Балка прямоугольного поперечного сечения (шириной Ь, высотой Н)
изготовлена из материала, у которого диаграмма зависимости напряжения от де¬
формации как при растяжении, так и при сжатии описывается уравнением
о —Вгг—В2е2,
где ^ и В2 — постоянные. Найти выражение для изгибающего момента М, кото¬
рый может выдержать балка, если максимальное значение деформации равно ех.
9.7.5. Для материала балки зависимость напряжения от деформации как при
растяжении, так и при сжатии выбирается в виде а=Веп, где В и п — постоянные
(0<^л<^1). Поперечное сечение балки представляет собой прямоугольник шириной
Ь и высотой Н. а) Вывести следующее выражение для зависимости изгибающего
момента от кривизны балки:
Ыгп + гВкп
Ь) Вывести следующее выражение для максимального напряжения, возникающего
в балке:
Мсп + 2
Ст1=-г—’
гдес=Л/2 и 1—ЬИ?/12. с) Вывести следующее выражение для напряжения а, воз¬
никающего в балке на расстоянии у от нейтральной оси:
_<х_ /2у\ч
0.-й; •
Построить эпюры распределения напряжений в поперечном сечении балки для
различных значений п. (Для удобства построить зависимость о/о1 от 2уЦг, выбрав
п=1, 1/2, 1/4, 0.) с1) Для всех полученных результатов рассмотреть и пояснить
частные случаи п— 1 и п== 0.
9.7.6. Распределение напряжений от нейтральной оси до нижней поверхности
балки прямоугольного поперечного сечения (шириной 6, высотой Н) описывается
выражением
где — максимальное напряжение на нижней поверхности, у — расстояние, из¬
меряемое от нейтральной оси вниз, т — постоянная (т^ 1). Нейтральная ось
проходит через середину высоты балки, и распределение напряжений для верхней
половины балки такое же, как и для нижней, а) Найти выражение для изгибающе¬
го момента М в этой балке. Ь) Построить эпюру, показывающую распределение на¬
пряжений в балке для различных значений т. (Для удобства построить зависи¬
мость а/ах от 2у!к, выбрав т= 1, 2, 4, 10.)
9.7.7. На консольную балку длиной I, действует сила Р, приложенная на не¬
закрепленном конце. Балка имеет поперечное сечение прямоугольной формы ши¬
риной Ь и высотой к. Зависимость напряжения от деформации для материала балки
как при растяжении, так и при сжатии определяется выражением а=В}ге, где
В — постоянная. Найти угол поворота 0 и прогиб 6 на незакрепленном конце.
13 Механика материалов
386 9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ
9.8.1. Балка прямоугольного поперечного сечения изготовлена из упруго-
идеально-пластического материала, предел текучести которого равен ат. На эту
балку действует положительный изгибающий момент, величина которого равна
предельному моменту Мп. Этот изгибающий момент затем снимается, а) Построить
эпюру распределения остаточных напряжений в балке. Ь) Чему равно остаточное
напряжение в верхних волокнах балки? с) Чему равно остаточное напряжение в
волокнах, лежащих непосредственно над средней линией поперечного сечения?
с!) Если балку с остаточными напряжениями вновь нагрузить положительным из¬
гибающим моментом, то чему будет равно наибольшее значение этого момента, ко¬
торое может быть приложено к балке с тем, чтобы имело место линейно упругое
поведение? Чему равно отнбшение величины этого момента к величине момента,
при котором возникает пластическое течение во время первого нагружения?
9.8.2. Положительный изгибающий момент М прикладывается к балке, имею¬
щей поперечное сечение с двойной симметрией и изготовленной из упруго-идеаль-
но-пластического материала, предел текучести которого равен ат. Величина мо¬
мента М больше изгибающего момента Мт, при котором возникает пластическое
течение, и меньше предельного момента М„. При снятии момента М обнаружи¬
вается, что в самых верхних волокнах балки возникло остаточное растягивающее
напряжение, равное Рах. а) Чему равна величина момента М? Ь) Чему равны пре¬
дельные значения коэффициента р?
ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ
СТЕРЖНИ
Подбор сечений для продольно сжатых стержней часто представ¬
ляет собой решающую часть общего расчета конструкции, посколь¬
ку разрушение такого стержня обычно вызывает катастрофу. Бо¬
лее того, рассчитывать продольное сжатие стержней труднее, чем
изгиб и кручение балок, поскольку поведение стержней при
этом оказывается более сложным. Если длина продольно сжато¬
го стержня значительно больше его ширины, то он может
перестать выполнять свои функции вследствие потери устойчиво¬
сти, т. е. вследствие изгибания и появления боковых прогибов,
что происходит раньше, чем конструкция выйдет из строя непосред¬
ственно из-за сжатия. Потеря устойчивости может быть либо упру¬
гой, либо неупругой в зависимости от гибкости стержня. Ниже в
первую очередь будет обсуждаться поведение длинных тонких стерж¬
ней из упругого материала.
Ю.1. СТЕРЖНИ, СЖАТЫЕ ВНЕЦЕНТРЕННО
ПРИЛОЖЕННЫМИ ПРОДОЛЬНЫМИ СИЛАМИ
Для того чтобы исследовать поведение сжатых стержней, рас¬
смотрим сначала тонкий стержень, сжатый внецентренно приложен¬
ными продольными силами Р (рис. 10.1). Стержень шарнирно оперт
по обоим концам, а эксцентриситет е представляет собой расстояние
от центра тяжести поперечного сечения до линии действия продоль¬
ных сил. Из предположения, что плоскость ху является плоскостью
симметрии стержня, следует, что стержень будет изгибаться в той
же плоскости.
Изгибающий момент в сечении, расположенном на расстоянии
х от нижнего конца стержня, равен
М^=Р(е+ю), (а)
где хю — поперечный прогиб стержня в направлении оси у. Знак из¬
гибающего момента в выражении (а) выбирается в соответствии с
388 10. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
правилом, установленным ранее при определении прогибов балки
(см. разд. 6.1). Тогда уравнение линии прогибов для изображенного
на рис. 10.1 стержня принимает вид (см. уравнение (6.9а)):
Е1ц)"=—М——Р (е+ю). (Ь)
Введя обозначение
к2=Р/(Е1), (10.1)
перепишем уравнение (Ь) так:
ы)"+к2ы)=—к2е. (с)
Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффи¬
циентами, решение которого состоит из двух частей: решения соот¬
ветствующего однородного уравнения, получаемо¬
го приравниванием нулю правой части исходного
уравнения, и частного решения, соответствующего
правой части уравнения (с). Решение однородно¬
го уравнения представим в форме
ш»0=С151П кх+Сг соз кх,
где С, и Са— произвольные постоянные, которые
надо определить из условий на концах стержня.
Частное решение есть
1ЮЧ = —е.
Следовательно, общее решение уравнения (с),
равное сумме ш>0+доч, запишется в виде
ю=С, 51П кх+С2 соз кх—е, (<1)
что можно легко проверить подстановкой этого вы¬
ражения в уравнение (с).
Две постоянные интегрирования нужно опреде¬
лять из условий, заданных на концах стержня.
Эти условия таковы:
ш=0 при лг=0 и х—Ь.
Учитывая эти условия, из выражения (й) получаем
с^е(15Тпа?1щ=ве{8(ьшу.
следовательно, уравнение линии прогибов имеет вид
^ = * (*8 (й^/2) 51П кх+соз кх— 1). (е)
Зная эксцентриситет е и нагрузку Р, отсюда можно определить про¬
гиб продольно сжатого стержня.
Р
Рис. 10.1. Стер¬
жень, сжатый
внецентренно
приложенной
продольной си¬
лой.
10.1.
ВНЕЦЕНТРЕННО ПРИЛОЖЕННЫЕ СИЛЫ 389
Прогиб в середине стержня можно найти, подставив х=Ь/2
в выражение (е), что дает
б=е(зес(Ш2)— 1). (10.2)
Как частный случай можно отметить, что при Р=0 (что соответст¬
вует к=0, или зес {к1^!2)= 1) прогиб б равен нулю. Если теперь вы¬
брать конкретное значение ех эксцентриситета е, то при помощи
(10 2) можно построить кривую зависимости нагрузки Р от прогиба
6. Подобная кривая представлена на рис. 10.2, где видно, что про¬
гиб б возрастает с увеличением нагрузки Р, хотя они связаны нели¬
нейной зависимостью. Если выбрать новое значение е2 (большее е4),
то и прогибы будут соответственно „
больше. _
Как видно из рис. 10.2, прогиб не- р 1--
ограниченно возрастает, когда наг- ‘ ~
рузка Р приближается к некоторому
критическому значению. Величину
этой критической нагрузки, обозна¬
чаемой Ркр, можно найти из выра¬
жения (10 2), заметив, что при кИ2—
=л/2 первый член правой части этого
выражения обращается в бесконеч¬
ность. Следовательно, прогиб б стано¬
вится бесконечным при кЬ—я, что со¬
ответствует следующему значению
нагрузки Р [см. выражение (10.1)]:
/> = Ркр = ^. (10.3)
Такой же результат можно получить
эксцентриситета. Если е=0, то прогиб б, согласно выражению
(10.2), будет также равен нулю для всех значений кЫ2, меньших
л/2, поскольку во всех этих случаях первый член правой части (10.2)
конечен. Таким образом, прогиб остается равным нулю, когда
величина Р меньше Ркр. Но когда Р=Ркр и кЬ12=п12, прогиб б,
согласно (10.2), становится неопределенной величиной и может при¬
нимать произвольное значение. Это условие представляется на ди¬
аграмме зависимости нагрузки от прогиба (рис. 10.2) горизонталь¬
ной прямой, соответствующей е—0.
При обсуждении кривых, приведенных на рис. 10.2, необходимо
иметь в виду, что выражение (10.2) было получено в предположении
о малости прогибов и линейно упругом поведении материала. По¬
этому здесь о больших прогибах б можно говорить только гипотети¬
чески. Если прогибы не являются малыми, то необходимо исполь¬
зовать точное выражение для кривизны, как уже было указано выше
(разд. 6.1 и 6.12). Более того, в реальном стержне еще до того, как
Рис. 10.2. Диаграмма зависимо¬
сти сжимающей нагрузки от про¬
гиба для стержня, изображен¬
ного на рис. 10.1.
, рассмотрев случай нулевого
390 10. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
прогиб станет очень большим, напряжения могут превысить предел
пропорциональности.
Важное заключение, которое можно сделать на основе рис. 10.2,
состоит в том, что нагрузка не пропорциональна вызываемым ею
прогибам. Потому несмотря на то, что прогибы малы, а материал
остается линейно упругим, способом наложения воспользовать¬
ся нельзя. Причину подобного заключения легко понять, учитывая,
что силы, показанные на рис. 10.1, статически эквивалентны цент¬
рально приложенным силам Р и моментам Ре, приложенным на кон¬
цах стержня. Если приложены только моменты Ре, то они вызовут
появление прогибов, которые можно найти обычным способом, как
при изгибе балки (см. гл. 6). В подобном случае наличие малых
прогибов не будет изменять действие нагрузок, а изгибающие мо¬
менты можно вычислить, не рассматривая прогибы. Однако, когда
на стержень действует осевая нагрузка, прогибы, вызываемые мо¬
ментами Ре, будут создавать осевые силы, которые в свою очередь
оказывают изгибающее действие в дополнение к сжатию. Это изги¬
бающее действие осевой силы вызовет дополнительные прогибы,
которые в свою очередь будут влиять на изгибающие моменты. Таким
образом, изгибающие моменты нельзя найти независимо от проги¬
бов, и между осевой нагрузкой и прогибами имеет место нелинейное
соотношение.
Если действующая на стержень продольная сила (рис. 10.1) очень мала по
сравнению с критической нагрузкой (скажем, составляет 2% значения критиче¬
ской нагрузки), то величина кЦ2 будет также достаточно малой для того, чтобы
можно было представить функцию секанса в виде двух первых членов разложения
в ряд:
И. . . кЧ»
зес-^- « Н—о--
Подстановка этого разложения в формулу (10.2) дает
* кЧ*е Ре1* ...
82Г* ({)
Этот результат соответствует значению прогиба в середине пролета свободно опер¬
той балки, нагруженной по обоим концам моментами Ре (см. пример 1 разд. 6.5).
Отсюда следует, что если продольная сила Р очень мала по сравнению с Ркр,
как это имеет место для коротких стоек (см. разд. 5.10), то влиянием прогибов на
величину изгибающего момента можно пренебречь и использовать обычные соот¬
ношения для прогибов балки (см. гл. 6 и приложение С).
Максимальный изгибающий момент во внецентренно сжатом про¬
дольными силами стержне (рис. 10.1) возникает в середине пролета
и составляет
Мтах = Р (е + 8) = Ре зес (кЦ2). (10.4)
10.2.
КРИТИЧЕСКИЕ ИА1 РЬ ЗКИ 391
График этой зависимости приведен на рис. 10.3. Здесь видно, что
для очень малых значений нагрузки Р максимальный изгибающий
момент равен Ре и совпадает со значением изгибающего момента,
полученным без учета влияния прогибов. При увеличении Р изги¬
бающий момент возрастает по нелинейному закону и становится
очень большим, когда нагрузка Р приближается к критическому
значению п2Е1И2. Максималь¬
ное сжимающее напряжение в
стержне, возникающее на вогну¬
той стороне, равно
_ Р I Мтах
°ша\ р “Т ур
Р , Ре кЬ /1А г-ч
= 7г+~Йг5ес Т’
где Г — момент сопротивления
поперечного сечения. Более под¬
робно это выражение будет об¬
суждаться в разд. 10.4.
В ходе предшествующих рас-
суждений предполагалось, что
изгиб стержня происходит в
плоскости симметрии (плос¬
кость ху на рис. 10.1). Если
стержень имеет две плоскос¬
ти симметрии, а эксцентри¬
ситет е не лежит в направлении ни одной из главных осей попереч¬
ного сечения, то изгибающий момент Ре необходимо разложить на
два составляющих момента, каждый из которых будет действовать
в плоскости симметрии стержня. Затем аналогично тому, как это
было сделано выше, можно рассмотреть прогиб в каждой из двух
плоскостей симметрии.
10.2. КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ
ДЛЯ ПРОДОЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
В предыдущем разделе уже было указано, что прогиб внецентрен¬
но сжатого продольными силами стержня очень быстро возраста¬
ет, когда величина продольной сжимающей силы приближается к
своему критическому значению. Когда сила Р равна Ркр, выражения
(10.2) и (10.4) для прогиба и изгибающего момента соответственно
дают бесконечно большие значения. Для стержня с шарнирно
опертыми концами имеем РК1>=п2Е1/Ь2у а это означает, что крити¬
ческая нагрузка зависит только от размеров стержня и модуля упру¬
гости материала. До тех пор пока стержень остается упругим,
критическую нагрузку можно считать предельной ввиду того, что
Рис. 10.3. График изменения макси¬
мального значения изгибающего мо¬
мента для стержня, изображенного на
рис. 10.1.
392 10. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
при приближении нагрузки к критическому значению прогибы стано¬
вятся очень большими. При практических расчетах вводится соот¬
ветствующий коэффициент запаса прочности, в результате чего до¬
пускаемая нагрузка берется значительно меньше критической.
Во многих стержнях обычных размеров напряжения превышают
предел пропорциональности еще до того, как будет достигнуто кри¬
тическое значение нагрузки. Такие стержни выпучиваются неупру-
Р X Р X р X р
Рис. 10.4. Идеальный тонкий стержень, заделанный на нижнем конце и свободный
на верхнем; а — до потери устойчивости; Ь — форма потери устойчивости при
л=1;с — форма потери устойчивости при п=3; й — форма потери устойчивости
при п—Ъ.
го при нагрузках, меньших упругих критических нагрузок. В дан¬
ной главе, однако, будет рассматриваться только упругое выпучи¬
вание стержней х).
Критическую нагрузку для сжатого продольными силами стерж¬
ня можно найти непосредственно, исследовав поведение идеального
стержня, который является идеально прямым и сжимается цент¬
рально приложенными силами (линии действия сил проходят через
центр тяжести поперечного сечения). Рассмотрим сначала тонкий
идеальный стержень длиной Ь, нижний конец которого заделан, а
верхний свободно перемещается (рис. 10.4, а). Материал стержня
считается линейно упругим. Если осевая нагрузка Р не превышает
критического значения, то стержень остается прямым и претерпе¬
вает только осевое сжатие. Такая прямолинейная форма равновесия
является устойчивой; это означает, что если приложить попереч¬
ную силу и создать небольшой прогиб, то при устранении попереч¬
ной силы прогиб исчезает и стержень вновь становится прямым.
Однако при постепенном увеличении Р будет достигнуто состояние
нейтрального равновесия, когда нагрузка Р станет равной Ркр.
55
У
а
Ь
с
*) Неупругое выпучивание рассматривается в 110.1] и [10.2].
10.2.
КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ 393
При такой нагрузке стержень теоретически может иметь какой угод¬
но малый прогиб и приложение малой поперечной силы вызовет
появление прогиба, который не исчезнет при устранении попереч¬
ной силы. При более высоких значениях нагрузки стержень станет
неустойчивым и разрушится. Процесс возникновения неустойчиво¬
сти называется выпучиванием, поэтому можно считать, что стер¬
жень выпучивается или становится неустойчивым по достижении
критической нагрузки. Критическую нагрузку можно также опре¬
делить как такую осевую силу, величины которой оказывается до¬
статочно, чтобы поддерживать стержень в слегка изогнутом виде
(рис. 10.4, Ь).
Для вычисления критической нагрузки можно использовать
дифференциальное уравнение линии прогибов. Для стержня, изоб¬
раженного на рис. 10.4, Ь, изгибающий момент в расположенном на
расстоянии х от опоры поперечном сечении равен
М=—Р (б—в»),
где б — прогиб на свободном конце. Дифференциальное уравнение
принимает вид
Е1и>"=—М=Р(6-ш). (а)
Поскольку верхний конец стержня может свободно отклоняться в
любом направлении, очевидно, что выпучивание стержня будет
иметь место в плоскости минимальной жесткости при изгибе Е1,
т. е. изгиб будет происходить относительно главной оси, имеющей
наименьший момент инерции. Предположим, что выпучивание про¬
исходит в плоскости ху и что эта плоскость является плоскостью
симметрии стержня. Используя обозначение к-=Р/(Е1), введен¬
ное в предыдущем разделе, можно записать уравнение (а) в следую¬
щем виде:
и)"+к2<1)=к2Ь.
Общее решение этого уравнения таково:
ш=С1 зш кх-\-С2 соз &Н-6. (Ь)
Для определения постоянных Сг и С2 используем условия на
заделанном конце стержня:
о>=до'=0 при х=0.
Дифференцирование выражения (Ь) дает
до'—Сгк соз кх—Сгк зт кх. (с)
Подставляя выражения (Ь) и (с) в условия на концах стержня, на¬
ходим, что
394 10. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
и линия прогибов описывается уравнением
,{0=8(1—соз кх), (й)
где прогиб б по-прежнему остается неопределенным.
Для получения большей информации о прогибе используем сле¬
дующее условие на верхнем конце стержня:
до=6 при х=Ь.
Согласно этому условию, имеем (см. уравнение (с!))
б соз к1—0, (е)
откуда вытекает, что либо 6=0, либо соз кЬ—0. Если 6=0, то стер¬
жень не имеет прогибов и, следовательно, выпучивание отсутствует
(рис. 10.4, а). В таком случае величина кЬ может принимать любое
значение, и условие (е) всегда выполняется. Следовательно, нагруз-
Рис. 10.5. Диаграммы зависимостей
сжимающей нагрузки от прогиба для
продольно сжатого стержня.
ка Р может также принимать любое значение. Этот результат пред¬
ставляется вертикальной осью диаграммы зависимости нагрузки
от прогиба (рис. 10.5).
Другая возможность состоит в том, что соз кЬ—0; в этом случае
из условия (е) следует, что прогиб б может быть произвольной ма¬
лой величиной. Условие соз кЬ=0 означает, что
кЬ—пл/2, (I)
где п=1, 3, 5 Для получения наименьшей величины нагруз¬
ки Р, для которой выполняется соотношение (Г), возьмем п— 1 и по¬
лучим кЬ—я/2; в результате можно записать
р-ТЕГ. (10.6)
Эта формула дает наименьшее значение критической нагрузки для
изображенного на рис. 10.4, а стержня, т. е. величину наименьшей
продольной сжимающей силы, которую может выдержать слегка
изогнутый стержень. Для определения формы линии прогибов за-
КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ 395
метим, что к=п/(2Ц и величина кх из выражения ((1) изменяется
от 0 до я/2. Поэтому форма линии прогибов соответствует изобра¬
женной на рис. 10.4, Ь. В данном решении величина прогиба 6 оста¬
ется неопределенной, и это обстоятельство представляется горизон¬
талью Р=РКр на диаграмме зависимости нагрузки от прогиба
(рис. 10.5). Разумеется, следует снова иметь в виду, что в данном
идеализированном подходе прогибы считаются малыми.
Критическая нагрузка Ркр для идеального упругого стержня
часто называется эйлеровой нагрузкой, так как знаменитый матема¬
тик Леонард Эйлер (1707—1783) впервые исследовал выпучивание
тонких стержней и определил критические нагрузки (см. [1.1—
1.31, [6.20] и [10.1—10.6]).
Из формулы (10.6) видно, что критическая нагрузка для стержня
прямо пропорциональна жесткости при изгибе Е1 и обратно пропор¬
циональна квадрату длины. Можно также отметить, что критическая
нагрузка не зависит от прочности материала при сжатии. Таким
образом, критическая нагрузка тонкого стального стержня не воз¬
растает при использовании стали с более высоким пределом текуче¬
сти. Критическую нагрузку можно, однако, увеличить за счет уве¬
личения момента инерции / поперечного сечения. Этого можно до¬
стичь, распределив материал настолько далеко от центра тяжести
поперечного сечения, насколько это вообще возможно. Отсюда сле¬
дует, что полые стержни более экономичны, чем сплошные. При
уменьшении толщины стенки таких стержней и увеличении попереч¬
ных размеров их устойчивость возрастает, так как растут моменты
инерции /. Однако существует нижний предел для толщины стенки,
ниже которого сама стенка становится неустойчивой. Тогда вместо
выпучивания всего стержня произойдет местное выпучивание стен¬
ки — появление мелких волн или сморщивание. Такой тип выпучи¬
вания называется местным выпучиванием и требует более подроб¬
ного исследования [10.1].
Возвращаясь к равенству ([), видим, что, придавая п все большие и большие
значения, можно получить бесконечное число величин критических нагрузок. Та¬
ким образом, для стержня, изображенного на рис. 10.4, а, в общем случае имеем
п*к*Е1
“р —Тй~~'
Линия прогибов соответственно описывается (см. уравнение (<!)) уравнением
ш = 6 ^1 — соз-^г-) . (Ь)
Из этого уравнения следует, что при увеличении п на линии прогибов появляется
все больше волн Когда п— 1, линия прогибов состоит из одной полуволны
(рис. 10 4, Ь). Для следующего случая (п—3) получаем
9 л2/:/ * Л Зля
396 >0, ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
а для я=5 будем иметь
25л2Е/
4^
а)
* (. 5л* \
= Ч1~С08'2Г)-
Линии прогибов для этих двух случаев показаны соответственно на рис. 10 4, с
и 10.4, к. Впрочем, они характеризуют лишь теоретически возможные формы,
поскольку, когда величина нагрузки Р достигнет значения (10.6), будет иметь
место первая форма выпучивания с я=1 (рис. 10.4).
Критические нагрузки для стержней с шарнирно опертыми и с
защемленными концами можно получить при помощи решения, най¬
денного для предыдущего случая. Например, из условия симметрии
следует, что линия прогибов стержня с шарнирно опертыми конца-
Рис. 10.6. Продольно сжатый стержень: а —с шарнир¬
но опертыми концами, Ь — с защемленными концами.
ми (рис. 10.6, а) в первой форме выпучивания будет иметь верти¬
кально направленную касательную в середине пролета. Отсюда сле¬
дует, что каждая половина стержня находится в таком же состоя¬
нии, что и стержень, изображенный на рис. 10.4, Ь, а критическая
нагрузка получится из выражения (10.6) подстановкой величины
Ы2 вместо
Л*Е1 (10.7)
кр
и
Такой же результат был получен ранее в разд. 10.1 (см. выражение
(10.3)). По-видимому, можно считать, что из всех возможных слу¬
чаев на практике наиболее распространен стержень с шарнирно
опертыми концами, так называемый основной случай выпучивания
призматического стержня.
10.2.
КРИТИЧЕСКИЕ нагрузки 397
Если стержень защемлен по обоим концам (рис. 10.6, Ь), то при
выпучивании в его опорах возникают реактивные моменты, Линия
прогибов для первой формы выпучивания представляет собой коси¬
нусоиду, точки перегиба которой расположены на расстоянии
1/4 от концов. Каждая четверть стержня ведет себя наподобие кон¬
сольного стержня (рис. 10.4, Ь), поэтому критическая нагрузка
получается подстановкой величины /,/4 вместо Ь в выражение
(10.6):
Л,р = ^. (10.8)
Пример определения критических нагрузок для продольно сжатых
стержней с другими типами опор и условиями нагружения будет
приведен в конце настоящего раздела.
Большие прогибы стержней. При выводе уравнения линии
прогибов (уравнения (с!)) величина максимального прогиба б остава¬
лась неопределенной. Поэтому был сделан вывод, что при Р=Ркр
стержень может иметь произвольный малый прогиб; это условие
представлено на рис. 10.5 горизонтальной прямой. Теория ограни¬
чивалась малыми прогибами, поскольку вместо точного выражения
(6.10) для кривизны стержня использовалось приближенное значе¬
ние гю". Для некоторых случаев было получено решение точного
дифференциального уравнения (см. [10.1]) и показано, что в дейст¬
вительности не существует неопределенности в прогибах стержней.
Вместо этого оказывается, что для идеального упругого стержня
диаграмма зависимости нагрузки от прогиба соответствует штри¬
ховой кривой А на рис. 10.5. Если после возникновения больших
прогибов напряжения в стержне превысят предел пропорциональ¬
ности, то график зависимости нагрузки от прогиба будет отклонять¬
ся вниз от кривой А.
Зависимость нагрузки от прогиба, получаемая в экспериментах
с упругими стержнями, обычно аналогична кривой В на рис. 10.5
(см. также рис. 10.2). Вследствие неточного приложения нагрузки,
а также наличия несовершенств в стержне поперечные прогибы воз¬
никают при нагрузках, меньших Ркр, и увеличиваются, когда на¬
грузка приближается к критическому значению. Чем точнее выдер¬
живаются форма стержня и условие центрального приложения на¬
грузки, тем ближе кривая В подходит к теоретическим результатам
(представляемым двумя прямыми: вертикальной и горизонтальной).
Если напряжения в стержне превышают предел пропорционально¬
сти при нагрузках, меньших Р„р, то диаграмма зависимости на¬
грузки от прогиба будет соответствовать кривой С. Точка максимума
на этой кривой представляет собой теоретическое значение нагрузки,
вызывающей неупругое выпучивание стержня, и эта нагрузка мень¬
ше, чем эйлерова нагрузка для того же стержня.
398 ю. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
Пример. Тонкий стержень длиной Ь заделан на нижнем конце и свободно
оперт на верхнем (рис. 10.7). Найдем наименьшее значение критической сжимаю¬
щей нагрузки и определим соответствующую ей форму потери устойчивости.
Когда указанный стержень теряет устойчивость, на его верхний конец будет
действовать горизонтальная сила реакции /? (см. рис. 10.7), а на заделанный —
горизонтальная сила и момент. Из условия статического равновесия видно, что две
горизонтальные силы равны по величине и противоположны по направлению, а мо¬
мент М0 равен /?/,. Изгибающий момент на расстоянии х от нижнего конца стержня
будет равен
М = Ри)-% (/,-*),
а дифференциальное уравнение линии прогибов запишется в виде
Общим решением этого уравнения будет
Ц) = С1 81П кх + С2 соз кх + К (/,—х)/Р, (1)
где &=Р/(Е1).
Для определения постоянных Сг и С2, а также неизвестной реакции Я имеем
следующие три условия на концах:
до = ц/ = 0 при дс — 0,
ш=0 при х — 1.
Накладывая эти условия на выражение (1), получаем
С2 + КЦР = 0, С^ — Я/Р^О, Сх1дЛ1, + Ся = 0. (])
Все эти уравнения удовлетворяются при С1=С2=/?= 0; в этом случае прогиб
отсутствует и имеет место тривиальная форма равновесия. Для возможности воз¬
никновения выпученной формы равновесия необходимо существование решения
Р
Рис. 10.7. Пример. Стержень, заделанный
на нижнем конце и шарнирно опертый на
верхнем.
системы уравнений ф, отличного от тривиального (нулевого) решения. Уравнения
У) являются однородными и содержат неизвестные Съ С2 и /?; подобная система
уравнений имеет нетривиальное решение только в том случае, когда определитель,
составленный из ее коэффициентов, равен нулю. Таким образом, получаем так на-
10.3.
НАПРЯЖЕНИЯ В СТЕРЖНЯХ. 399
зываемое уравнение выпучивания:
О 1 ЦР
к 0 —1/Р
кЬ 1 О
= 0,
или, раскрывая определитель,
кЬ.
(к)
Это трансцендентное уравнение определяет критическую нагрузку. Наименьшим
ненулевым значением величины кЬ, удовлетворяющим уравнению, будет кЬ=
=4,493, которое можно найти методом проб и ошибок. Соответствующее значение
критической нагрузки составляет
>Е1 20,19 Е1
кр-
и
(10.9)
и является промежуточным между значениями критических нагрузок для стерж¬
ней с шарнирно опертыми и защемленными концами (см. выражения (10./) и
(10.8)).
Вновь возвращаясь к уравнениям 0‘), можно выразить постоянные С* и Са че¬
рез Я:
С1==Д/(*/>), С2 = -/?/,//>.
Подстановка этих значений в выражение (0 дает уравнение линии прогибов
м—щ Г8*п кх—к1 соз кх*\- к1 ^1 — 1. (1)
Стоящие здесь значения Р и к былн определены выше. Члены, заключенные в
квадратные скобки, характеризуют форму прогиба выпученного стержня, но ам¬
плитуда прогиба по-прежнему остается неопределенной из-за произвольности ве¬
личины Я»
10.3.
НАПРЯЖЕНИЯ В СТЕРЖНЯХ
Среднее сжимающее напряжение в центрально сжатом стержне
находится делением осевой силы на площадь поперечного сечения.
Полученное таким путем напряжение для случая, когда осевая сила
равна критической нагрузке, называется критическим напряжени¬
ем акр. Таким образом, для основного случая выпучивания
(рис. 10.6, а) критическая нагрузка описывается выражением (10.7),
а критическое напряжение равно
Ркр яГС/ (ШЛО)
р Р1* (^/г)а ’ ' ’
здесь введено обозначение
(а)
для наименьшего радиуса инерции поперечного сечения. Отношение
Ыг, стоящее в знаменателе выражения (10.10), называется гибкостью
стержня. Можно отметить, что критическое напряжение обратно
400 Ю ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
пропорционально квадрату гибкости. Разумеется, для того, чтобы
выражение (10.10) было справедливо, напряжение а„р должно оста¬
ваться ниже предела пропорциональности материала.
Теперь можно изобразить диаграмму зависимости сжимающе¬
го напряжения в стержне от его гибкости (см. рис. 10.8). Кривая
АВС, представляющая зависимость (10.10), называется кривой
Эйлера. Эта кривая имеет физический смысл только на участке ВС,
где величина напряжения акр меньше предела пропорциональности
<тпц. Предельную величину гибкости Ь!г, выше которой можно ис-
Рис. 10.8. Диаграмма зависимости
продольного сжимающего напряжения
Р/Р от гибкости
1 — кривая Эйлера, 2 — предел про¬
чности, 3 — граница устойчивости, 4 —
короткие стержни, 5 — стержни сред¬
ней длины, 6 — длинные стержни.
пользовать формулу Эйлера для стержня, находят подстановкой
акр=(Тпц в выражение (10.10) и решением полученного уравнения
относительно величины ^/^. Взяв, например, конструкционную сталь
и положив а„„=2520 и 5=2,1-10е кГ/см2, найдем, что величина
Ыг, соответствующая точке В на рис. 10.8, равна приблизительно 91.
Таким образом, для /,//•<91 среднее сжимающее напряжение в шар¬
нирно опертом идеальном стальном стержне достигает предела про¬
порциональности еще до возникновения выпучивания; поэтому
здесь формула Эйлера для критической нагрузки неприменима —
она дает завышенные значения. Если Ыг>91, то стержень будет
выходить из строя вследствие выпучивания и можно использовать
формулу Эйлера.
Кривая ВС на рис. 10.8 показывает, что в случае большой гиб¬
кости критическая нагрузка становится весьма малой, поэтому очень
тонкий стержень выпучивается при малых значениях сжимающего
напряжения. Использование более прочного материала не является
выходом из положения; для того чтобы повысить критическое напря¬
10.3.
НАПРЯЖЕНИЯ В СТЕРЖНЯХ 401
жение, можно только или увеличить радиус инерции, или применить
материал с большим модулем упругости.
В случае очень малой гибкости стержня можно считать, что стер¬
жень выйдет из строя из-за разрушения самого материала. Такое
разрушение может носить различный характер: материал крошится
(так обстоит дело с бетоном) или в нем развивается пластическое
течение (как в случае конструкционной стали). В подобных условиях
можно установить в качестве предела прочности материала некото¬
рое максимальное сжимающее напряжение Р/Р и определить в со¬
ответствии с ним предельную нагрузку. На рис. 10 8 такой предел
показан горизонтальной прямой ОЕР, которая проходит через точку,
соответствующую максимальному напряжению стюах, и характеризу¬
ет предел прочности стержня.
Между областями, соответствующими коротким и длинным стерж¬
ням, располагается область промежуточных значений гибкости,
слишком малых для того, чтобы относиться к упругому случаю по¬
тери устойчивости, и слишком больших для того, чтобы расчет их
велся только на прочность при сжатии. Такие стержни средней дли¬
ны выпучиваются неупруго. Для практических целей иногда бывает
достаточно провести прямую ЕВ (рис. 10.8) и считать, что она дает
критические напряжения для стержней средней длины. Таким об¬
разом получается ломаная кривая ЭЕ ВС, которую можно исполь¬
зовать как основу для расчета стержней произвольной длины. С дру¬
гой стороны, можно использовать некоторую гладкую кривую, сое¬
диняющую точки О и В (см. разд. 10 6).
Напряжение Р/Р, полученное из диаграммы типа приведенной
на рис. 10.8, следует рассматривать как максимальное напряжение
атах для стержня. При этом напряжении стержень выходит из строя
в результате либо непосредственного разрушения материала, либо
выпучивания; что именно происходит — зависит от значения гиб¬
кости. Допускаемое рабочее напряжение ад для сжатия следует брать
в виде сттах/л, где п — коэффициент запаса прочности. Выбор ве¬
личины п зависит от вероятности непредвиденного или случайного
увеличения нагрузки Р, возможности внецентренного приложения
нагрузки и наличия начальных несовершенств стержня. Несовер¬
шенства в стержне имеют тенденцию возрастать с увеличением его
длины, поэтому логично ввести переменный коэффициент запаса
прочности, который возрастал бы с ростом гибкости. Типичные зна¬
чения коэффициента запаса прочности для конструкции лежат в ин¬
тервале от 1,5 до 3,0. Некоторые специальные формулы для рабочих
напряжений будут приведены ниже (см. разд. 10.6).
Эффективная длина стержня. При построении эйлеровой
кривой (рис. 10.8) рассматривался только основной случай выпучива¬
ния (формула (10.10)). Однако этой кривой можно воспользоваться и
при других граничных условиях, введя понятие эффективной (или
402 Ю. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
эквивалентной) длины. Сопоставляя критические нагрузки для кон¬
сольного (см. формулу (10.6)) и шарнирно опертого (формула (10.7))
стержней, видим, что последнюю формулу можно использовать и
для консольного стержня, если заменить величину I. эффективной
длиной, равной 2Ь, т. е. удвоенной длиной консольного стержня.
Таким образом, формулу (10.10) для критического напряжения мож¬
но обобщить и записать в виде
~ (КЦг)3 * (10.11)
где КЬ — эффективная длина. Величина К, называемая коэффи¬
циентом эффективной длины, равна 2 для консольного стержня,
0,5 — для защемленного по обоим концам стержня (см. формулу
(10.8)), 0,70 — для стержня, защемленного на одном конце и шар¬
нирно опертого на другом (см. формулу (10.9)), и 1 — для шарнир¬
но опертого по обоим концам стержня. В общем случае для стержней
с произвольными граничными условиями можно использовать фор¬
мулу (10.11), если известен коэффициент эффективной длины.
10.4.
ФОРМУЛА СЕКАНСА ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ
Когда свободно опертый стержень сжимается внецентренно при¬
ложенной продольной силой (рис. 10.1), максимальное сжимающее
напряжение в стержне (см. выражение (10.5)) составляет
Р , Ре кЬ , >
®тах — ~р цр ^ес 2 • ( )
Первое слагаемое в правой частр этого выражения характеризует
влияние прямого сжатия, второе — влияние изгиба стержня. Учиты¬
вая, что выражение для момента сопротивления имеет вид У7=1/с,
где с — расстояние от нейтральной оси до крайнего волокна на вог¬
нутой стороне стержня, и вводя обозначение г=У ЦР для радиуса
инерции, представим выражение (а) .так:
Р (,. ее й/,\
*шмв7г ^+7т5ес-^ .
Далее, заменяя величину к на Ур/(Е1), получаем
Это соотношение называется формулой секанса для стержня, сжато¬
го внецентренно приложенными продольными силами. Она дает ве¬
личину максимального напряжения в стержне как функцию от сред¬
него сжимающего напряжения Р/Р, относительного эксцентриси¬
тета ес/г2 и гибкости Ь/г.
10.4.
ФОРМУЛА СЕКАНСА ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ 403
Если задаться максимальным напряжением <гтах, то по формуле
(10.12) можно определить соответствующее среднее сжимающее
напряжение Р/Р. Для конструкционной стали, например, в качестве
задаваемого напряжения можно взять предел текучести огт. Тогда
формулу (10.12) можно преобразовать к следующему виду:
Рг «г (10 1 Я)
Р 1 + (ес/г*) зес {[Ц(2г)\ VРТ/(Е1-)} ’ '
где Рт — значение силы, при которой в наиболее нагруженном во¬
локне стержня начинается пластическое течение. Для любой задан¬
ной величины относительного эксцентриситета уравнение (10.13)
1/г
Рис. 10.9. Графическое решение уравнения (10 13) при стт=2520,
Г=2,Ы0'* кГ/см-.
можно решить методом проб и ошибок и построить график зависи¬
мости величины Рг/Р от гибкости. Несколько кривых такого рода
приведено на рис. 10 9 для ах=2520 и Е=2,\- 10е кГ/см2. После на¬
хождения величины Рт допускаемая нагрузка Рд на стержень опре¬
деляется делением Рт на коэффициент запаса прочности.
Пример. Стальной стержень из двутаврового профиля № 50 (рис 10 10, а)
с шарнирно опертыми концами имеет длину 7,5 м. Он нагружается центрально
404 Ю. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
приложенной продольной силой Рх=70 т и внецентренно приложенной силой Р2=
= 10 т, сила Р2 приложена на расстоянии 40 см от оси х — х в плоскости оси у—у
(см. рис. 10.10, Ь). а) Используя формулу секанса, вычислим максимальное сжи¬
мающее напряжение в стержне. Ь) Найдем коэффициент запаса прочности по от¬
ношению к напряжению, при котором в стержне начинается пластическое течение
(предел текучести для стали примем равным <хт=2800 кГ/см2).
х
Рис. 10.10. Пример.
а) Две силы Рх и Р2, приложенные так, как показано на рис. 10.10, Ь, стати¬
чески эквивалентны одной силе Р= 80 т, приложенной с эксцентриситетом е—5 см
(рис. 10.10, с). Используя таблицу характеристик стандартных профилей, приве¬
денную в приложении В, находим
Р
80 000 2 I 750 0<__
= 100 — /СМ * г ~~ 19,9 —37,7,
ес
еР
~=“®г==Т589;= 0,314
5-100
Подставляя эти значения и Е=2,Ы0в кГ/см2 в формулу (10.12), получаем
атах=1460 кГ/см2.
Ь) Приложенную с эксцентриситетом е нагрузку Рт, при которой в стержне
начинают возникать пластические деформации, можно найти по формуле (10.13),
куда подставляется вместо о. величина 2800 кГ/см2, а затем методом проб и ошибок
отыскивается значение Рт. В результате получим Рт=174 т. Отсюда находим сле¬
дующее значение коэффициента запаса прочности по отношению к нагрузке, при
которой начинается пластическое течение:
*_^т_!И_2 18
р — 80 —2.18.
10.5.
НЕСОВЕРШЕНСТВА В СТЕРЖНЯХ
Поведение стержней, на которые действует центрально прило¬
женная сжимающая нагрузка, в значительной степени определяется
наличием таких несовершенств, как начальная кривизна стержня,
неизбежные эксцентриситеты при приложении нагрузки, несовер¬
шенные граничные условия, неоднородность материала и т. п. Эти
НЕСОВЕРШЕНСТВА В СТЕРЖНЯХ 405
несовершенства изменяются весьма произвольно от стержня к стерж¬
ню и вызывают большой разброс в результатах экспериментов.
В общем случае наличие несовершенств приводит к тому, что
стержень подвергается как изгибу, так и прямому сжатию. Поэтому
представляется вполне логичным заключить, что поведение несовер¬
шенного центрально сжатого продольными силами стержня будет
аналогично поведению идеального стержня, нагруженного силой,
имеющей эксцентриситет е. Это наводит на мысль о возможности ис¬
пользования формулы секанса для расчета предположительно пря¬
мых центрально нагруженных стержней путем подбора соответству¬
ющей величины относительного эксцентриситета ес!гг для учета
влияния несовершенств. Разумеется, выбор величины параметра ес!г2
должен основываться на результатах экспериментов; тем не менее
такое использование формулы секанса является рациональным
средством учета влияний несовершенств, более удобным, чем допу¬
щение их за счет простого увеличения коэффициента запаса проч¬
ности.
Общепринятой величиной параметра, характеризующего эксцент¬
риситет для шарнирно опертого стержня, применительно к конструк¬
ционной стали является ес/г2=0,25. Подставляя эту величину в фор¬
мулу (10.13) и зная предел текучести <гт и размеры стержня, можно
определить нагрузку Рт, которая вызывает появление пластическо¬
го течения во внешнем волокне стержня. Тогда допускаемая сжи¬
мающая нагрузка на стержень находится делением величины Рт
на коэффициент запаса прочности (например, вполне приемлемо
значение п=2).
При использовании формулы секанса в том плане, как описано
выше, предполагается, что неизбежные несовершенства можно пред¬
ставить эксцентриситетом приложения нагрузки. Другой подход
к задаче заключается в предположении об эквивалентности этих
несовершенств наличию начальных прогибов. Для стержня с шар¬
нирно опертыми концами можно предположить, что линия началь¬
ных прогибов стержня представляется волной синусоиды:
йУ0=а51'п (пхН), (а)
где а — максимальное значение прогиба. Тогда изгибающий момент
в стержне при центральном приложении продольной сжимающей
нагрузки Р принимает вид
где до — дополнительный прогиб стержня от изгиба. Это выражение
для момента М можно подставить в дифференциальное уравнение
линии прогибов, которое затем решается так, как описано в разд.
10.1. Результирующее выражение для полного прогиба в середине
пролета стержня будет
= <10Л4>
406 10. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
где а — отношение продольной сжимающей нагрузки Р для стержня
к ее критическому значению:
Р РЬ? |Г%
а — РК^~Ш1' (10.15)
Формула (10.14) показывает, что продольная нагрузка вызывает
увеличение начального прогиба в 1/(1—а) раз. Поскольку величи¬
на а меньше единицы, коэффициент 1/(1—а) всегда больше единицы.
Максимальный изгибающий момент в стержне равен
М —Р8 — Ра
шах — гошах — | а»
а максимальное сжимающее напряжение можно представить в виде
”»«=Т+,ТГ?Г7=Т [1+?Ч&)]- (1016)
Если поступить так же, как и в случае формулы секанса (см.
разд. 10.4), и задать предельное значение для максимального на¬
пряжения атах, то по формуле (10.16) можно подсчитать соответст¬
вующую величину Р/Р.
Для того чтобы представить выражение (10.16) графически, вновь
предположим, что материал представляет собой конструкционную
сталь с пределом текучести ат. Предположим также, что стержень
изготовлен из двутаврового профиля и что изгиб происходит отно¬
сительно главной оси в плоскости наибольшей жесткости. Тогда
для большинства практических целей поперечное сечение можно
идеализированно представить двумя равными площадями, распо¬
ложенными на месте полок. Для такого идеализированного сечения
легко подсчитать момент инерции и радиус инерции:
1=Рса, г—с\ (Ь)
здесь с — расстояние от нейтральной оси до полок, а Р — полная
площадь поперечного сечения. Подставляя эти значения / и г в фор¬
мулу (10.16) и полагая атах=ат, получаем следующее соотношение:
Рт ат [я*Е—(Рт/Р) (/.2/г2)1 пп ,7.
Р -п*Е{\-\-(11г){аЦ)-(Рт1Р)(1*1г*)\' ^Л,)
где, как и ранее, Рт — величина продольной сжимающей нагрузки,
при которой начинается пластическое течение в крайних волокнах
стержня. Соответствующие этому соотношению графики для конст¬
рукционной стали с Е=2,1*10®, <тх=2520 кГ/см2, а/Ь—1/1000,1/700
и 1/400 построены на рис. 10.11. Для коротких стержней все три
кривые дают значения Р,/Р=2520 кГ/см2. Для достаточно длинных
10.5.
НЕСОВЕРШЕНСТВА В СТЕРЖНЯХ 407
стержней значения, получаемые по этим кривым, приближаются
к тем, которые дает кривая Эйлера. Используя одну из этих кривых
и разделив величину Рг/Р, соответствующую этой кривой, на над¬
лежащий коэффициент запаса прочности, скажем на п=2, найдем
допускаемую величину среднего сжимающего напряжения. Преиму¬
щество этого метода заключается в том, что можно использовать
постоянное значение коэффициента запаса прочности, поскольку
1/г
Рис. 10.11. Графическое решение уравнения (10.17) для
идеализированного двутаврового сечения при 0Т=252О,
2: =2,1- 10е кГ/см2.
увеличение влияния различных неточностей с ростом длины Ь стерж¬
ня было уже учтено предположением о пропорциональности началь¬
ного прогиба длине стержня. Однако величина начального прогиба
остается до известной степени неопределенной и зависит от резуль¬
татов эксперимента. Для отношения Ыа обычно принимаются значе¬
ния от 400 до 1000, что показывает выбор представленных на гра¬
фике кривых. (Дополнительные сведения о влиянии несовершенств
можно найти в [10.11 и [10.71.)
408 №. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
10.6. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПРОДОЛЬНО
СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Описанные в предыдущих разделах методы определения несущей
способности сжатых стержней основаны на теоретических сообра¬
жениях. Но при их использовании все еще остается некоторая неоп¬
ределенность, связанная с выбором величины коэффициента запаса
прочности (который изменяется в зависимости от отношения Ыг)
и заданием соответствующих величин для характеристики предпо¬
лагаемых неточностей изготовления стержней и эксцентриситетов
приложения нагрузок. Эти величины можно должным образом по¬
добрать только тогда, когда имеются результаты испытаний реаль¬
ных стержней. Основываясь на таких испытаниях, можно выбрать
коэффициенты запаса прочности и затем получить допускаемые зна¬
чения средних сжимающих напряжений в стержнях. Эти допуска¬
емые напряжения можно затем представить эмпирическими формула¬
ми, которые обычно указывают зависимость напряжения од (рав¬
ного Рд/Р) от гибкости Ыг. Использование эмпирических расчетных
формул является законным только в тех пределах, для которых они
установлены и'соответствуют данным эксперимента.
Для расчета центрально нагруженных стержней из конструкци¬
онной стали Научно-исследовательский совет по стержням (СКС —
Со1ишп КезеагсЬ СоипсП) предложил формулу, основанную на сле¬
дующих соображениях [10.8]. Максимальное напряжение атах (рав¬
ное выбранной предельной или разрушающей нагрузке, деленной
на площадь поперечного сечения) при больших значениях параметра
Ыг получается из формулы Эйлера для критической нагрузки. От¬
сюда следует соотношение
п2Е . ч
°та* ~ (КЦг)* ' <а'
где вводится эффективная длина КЬ для того, чтобы формула была
справедлива для стержней с различными условиями на концах. Фор¬
мула (а) применима только тогда, когда фактические напряжения
в стержне остаются ниже предела пропорциональности, в качестве
которого в случае конструкционной стали можно взять предел теку¬
чести стт. Однако из-за наличия остаточных напряжений в стальных
прокатных профилях фактическое сжимающее напряжение в стерж¬
не при выпучивании составляет
<*С=<*П.ах+СТОСГ» (Ь)
где огост — остаточное сжимающее напряжение в стержне, которое
может достигать величины <гт/2, а напряжение <ттах равно Р/Р.
Для того чтобы определить предел применимости формулы (а),
положим напряжение ос равным его предельной величине от, а на¬
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПРОДОЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ 409
пряжение аоот — его максимальному значению стт/2. Тогда из соот¬
ношения (Ь) найдем атах=ат/2. Таким образом, отсюда следует, что
формула (а) может использоваться до тех пор, пока максимальное
напряжение о1Пах остается меньшим ат/2. Соответствующая пре¬
дельная величина эффективной гибкости КЦг, обозначаемая через
К, получается из формулы (а), куда вместо атах подставляется от12:
(10.18)
До тех пор пока эффективная гибкость КЬ/г не становится меньше
этой величины, можно применять формулу Эйлера для критическо¬
го напряжения (формулу (а)).
0 Л ЛХ/г
Рис. 10.12. Графики максимального атах и допускаемого 0Д
напряжений для расчета продольно сжатых стержней из кон¬
струкционной стали.
Формулу (а) удобно представить в безразмерном виде, почленно
разделив ее на предел текучести для стали; тогда формула для мак¬
симального напряжения примет вид
сттах пои КЬ ^« /|Л 1пч
ат ег (КЬ/г)2 ~ 2 (КЬ/гР рИ г ^ ' (10.19)
Соответствующий этой формуле график приведен на рис. 10.12.
Для области неупругого выпучивания Научно-исследователь¬
ский совет по стержням предполагает использовать следующую па¬
раболическую зависимость:
ТГ=1—ПРИ (10-2°)
Соответствующая этому выражению кривая также представлена на
рис. 10.12, где видно, что при КЫг—0 величина максимального на¬
пряжения отах равна оТ. При К.Ыг=0 эта кривая имеет горизон¬
410 10. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ ОТЕРЖНИ
тальную касательную, а в точке КЬ/г=Х плавно сливается с кри¬
вой, описываемой формулой (10.19).
При поверочных расчетах необходимо ввести соответствующий
коэффициент запаса прочности для того, чтобы получить значение
допускаемого напряжения <тд, соответствующее максимальному на¬
пряжению (стд=<ттах/п). Американский институт стальных конст¬
рукций (А15С — Агпепсап 1пзШи1е о! 51ее1 Сопз1гис1юп) предложил
такие выражения для коэффициентов запаса прочности, которые сле¬
дует использовать вместе с формулами, введенными Научно-иссле¬
довательским советом по стержням г):
". = 4 + ^-^ "Р« ('0-2'=)
= 1,92 при Я,. (10.21Ь)
Таким образом, выражения для допускаемых напряжений прини¬
мают вид
а.Мт „р„ (10.22)
•57= 2пя (КЬ/г)2 прИ ~7~(10-23)
Эти зависимости для допускаемых напряжений также представлены
на рис. 10.12. Они эквивалентны формулам, приведенным в инструк¬
циях Американского института стальных конструкций по расчету
стержней из конструкционной стали, сжатых центрально приложен¬
ными нагрузками.
Сжатые стержни из конструкционного алюминия рассчитываются
в соответствии с диаграммой максимального напряжения, которая
состоит из двух прямолинейных участков и кривой Эйлера (линия
йЕВС на рис. 10.8). Ординаты этой кривой меняются в зависимости
от конкретного типа используемого алюминиевого сплава и могут
быть найдены в различных справочниках (см., например, [10.10]).
После того как по этой диаграмме установлена величина максималь¬
ного напряжения отах, для определения допускаемого напряжения
ад вводится коэффициент запаса прочности (равный 2 или 2,5).
Формулы для расчета сжатых стержней приводятся во многих
строительных нормах и технических условиях, разработанных ком¬
петентными организациями. Эти формулы установлены только в при¬
менении к определенным материалам и конкретным условиям. Такие
*) См. [10.9]. Американский институт стальных конструкций использует обо¬
значения, отличающиеся от приведенных здесь; например, вместо X,, стд иот соот¬
ветственно вводятся Сс, Р„ и Рч. Кроме того, там используется значение модуля
упругости Е— 2-10® кГ/см* (29* 10® фунт/дюйм2).
ЗАДАЧИ 411
строительные нормы и технические условия широко используются
инженерами-конструкторами.
Поперечное сечение стержня, на который действует заданная сжи¬
мающая нагрузка, обычно выбирается при помощи расчета методом
проб и ошибок. Зная продольную нагрузку, сначала определяют до¬
пускаемое напряжение ад и приближенно подсчитывают необходи¬
мую площадь поперечного сечения. Затем по таблицам стандартных
профилей подбирается соответствующее сечение. С помощью соот¬
ветствующих формул для стержней следует проверить, способно ли
это сечение выдержать заданную нагрузку. Если нет, то выбирается
сечение большей площади и процедура повторяется; если оказыва¬
ется, что запас прочности слишком велик, то выбирается сечение
меньшей площади и снова проводится проверка.
ЗАДАЧИ
10.1.1. Максимальный прогиб продольно сжатого стержня (рис. 10.1), со¬
гласно формуле (10.2), равен Ь^=е [зес (кИ2)—1]. Если пренебречь влиянием про¬
гибов на изгибающий момент, создаваемый силой Р, то максимальный прогиб
составит Ьг=Ре1?!(ЪЕ1)\ см. формулу (0 в разд. 10.1. Отношение 6х/62 можно рас¬
сматривать как «коэффициент усиления», отражающий влияние прогибов на изги¬
бающий момент. Найти выражение для в зависимости от к1* и построить гра¬
фик зависимости 61/62 от кЬ. (Для проверки полученного графика следует иметь
в виду, что отношение 6х/62 равно единице при кЬ—0 и обращается в бесконечность
при кЬ=п)
10.1.2. Продольно сжатый стержень заделан на нижнем, конце и не закреп¬
лен на верхнем. Сжимающая сила Р приложена с эксцентриситетом е в верхнем
сечении стержня. Найти выражения для: а) максимального прогиба 6 стержня,
Ь) максимального изгибающего момента Мтах в стержне.
х
10.1.3. Стержень длиной 1,8 м, имеющий квадратное поперечное сечение
(5X5 см), сжимается внецентренно приложенными силами Р= 4,5 т. Точки при¬
ложения сил располагаются на одной из диагоналей поперечного сечения с экс¬
центриситетом е—2,5 см. Определить максимальное сжимающее напряжение,
412 Ю. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
возникающее в стержне, если стержень шарнирно оперт по обоим концам и
= 2,1-10е кГ/см2.
10.1.4. Стержень длиной 1,2 м, имеющий прямоугольное поперечное сечение
2,5X5 см, нагружается внецентренно приложенными сжимающими силами Р=
= 1,5 т. Линия действия сжимающих сил проходит через один из углов поперечного
сечения. Определить максимальное сжимающее напряжение, возникающее в
стержне, если он шарнирно оперт по обоим концам и Е—2,1* 10° кГ/см2.
10.1.5. Стержень с шарнирно опертыми концами изготовлен из швеллера
№ 20 (см. приложение В). Сжимающая сила Р действует в плоскости симметрии
швеллера и приложена в точке, в которой ось у — у пересекает заднюю плоскость
швеллера, т. е. на расстоянии 1,5 см от центра тяжести. Найти прогиб в середине
стержня и максимальные растягивающее и сжимающее напряжения, если Р= 2 т,
1=3 м и Е= 2,1-10е кГ/см2.
10.1.6. Продольно сжатый стержень с шарнирно опертыми концами изготов¬
лен из швеллера № 24. Сжимающая сила Р прикладывается на оси у — у (см. при¬
ложение В) с эксцентриситетом е~Ъ см. Длина стержня составляет 1=4,8 м,
модуль упругости равен Е—2,1» 10° кГ/смг. При какой величине силы Р в стержне
возникнет пластическое течение, если ах=2500 кГ/см2?
10.1.7. Продольно сжатый стальной стержень с шарнирно опертыми концами
имеет кольцеобразное сечение внешнего диаметра й— 5,2 см и толщины ^=0,2 см.
Сжимающая сила Р прикладывается в точке на средней линии кольцеобразного
концевого сечения, т. е. с эксцентриситетом е=2,5 см. Длина стержня 1.= 1,8м
и Е= 2,1 • 10е кГ/см2. При какой величине силы Р в стержне возникнет пласти¬
ческое течение, если <тх=2800 кГ/см2?
10.2.1. Используя дифференциальное уравнение линии прогибов, найти вы¬
ражение для критической нагрузки и соответствующую форму выпучивания при
потере устойчивости шарнирно опертого по обоим концам стержня при продольном
сжатии (см. рис. 10.6, а).
10.2.2. Решить предыдущую задачу для случая продольного сжатия защем¬
ленного по обоим концам стержня (см. рис. 10.6, Ь).
10.2.3. Два сплошных шарнирно опертых продольно сжатых стержня имеют
одинаковые длину, площадь поперечного сечения и модуль упругости. Один стер¬
жень имеет круговое поперечное сечение, а другой — квадратное. Сравнить зна¬
чения критических нагрузок ЯКруги ^кв соответственно для кругового и квадрат¬
ного поперечных сечений.
10.2.4. Продольно сжатый стержень, изготовленный из двутаврового профиля
№ 40 (Е—2,1*10® кГ/см2), имеет длину 12 м. Нижний конец стержня заделан,
верхний — свободно оперт. Вычислить критическую нагрузку для стержня.
10.2.5. Вычислить критическую нагрузку для продольно сжатого стержня,
изготовленного из двутаврового профиля № 12. Предполагается, что стержень
шарнирно оперт по концам, длина его равна 1=1,8 м и Е— 2,1* 10е кГ/см*.
10.2.6. Вычислить критическую нагрузку для продольно сжатого составного
стержня с шарнирно опертыми концами, изготовленного из двух двутавровых про¬
филей № 16 (см. рисунок) и соединительных элементов, которые работают как еди¬
ное целое. Длина стержня равна 1=3,6 м и Е=2,1* 106 кГ/см2.
10.2.7. Оба конца тонкого стержня закреплены неподвижными шарнирами
(см. рисунок). При каком увеличении температуры АТ стержня произойдет выпу-
ЗАДАЧИ 413
чивание, если предполагаются идеальные условия и линейно упругое поведение
материала? (Предположить, что а — коэффициент линейного температурного рас¬
ширения — задан.)
К задаче 10.2.6.
К задаче 10.2.7.
10.2.8. Подобрать по таблице, приведенной в приложении В, самый легкий
двутавровый профиль (^=2,1* 10е кГ/см2), из которого можно изготовить про¬
дольно сжатый стержень длиной 6 м с шарнирно опертыми концами, если сжимаю¬
щая нагрузка Р составляет 225 т, а коэффициент запаса прочности по отношению к
разрушению при упругом выпучивании необходимо брать равным л=2,5.
10.2.9. Подобрать по таблице, приведенной в приложении В, самый легкий
профиль в виде равнополочного уголка (Я=2,Ь 10е кГ/см2), из которого можно из¬
готовить продольно сжатый стержень длиной 3 м с шарнирно опертыми концами,
если приложенная сжимающая нагрузка составляет Р=10 т, а коэффициент запаса
прочности по отношению к разрушению при упругом выпучивании необходимо
брать равным п=2,5.
10.2.10. Тонкий продольно сжатый стержень из алюминия (Е= 0,7* 106 кГ/см2)
длиной 1,8 м имеет кольцеобразное поперечное сечение, внешний диаметр кото¬
рого равен 5 см. Определить необходимую толщину I стенки, если сжимающая
нагрузка составляет Р=1,5 т и коэффициент запаса прочности по отношению к
разрушению при упругом выпучивании необходимо брать равным я= 2. (Пред¬
полагается, что концы стержня шарнирно оперты.)
10.2.11. Массивный сравнительно жесткий стержень АВ шарнирно закреплен
на конце А и опирается в точках С и й на два шарнирно опертых тонких стержня
одинаковой длины, как показано на рисунке. Каждый стержень имеет жесткость
Е1 при изгибе. При какой нагрузке (% система выйдет из строя и разрушится?
А С О В
К—
н
К задаче 10.2.11.
414 Ю. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
10.2.12. Конструкция АВСй составлена из трех тонких стержней (см. рису¬
нок), имеющих одинаковую жесткость Е1 при изгибе. Узлы В и р представляют
собой шарнирные соединения, а опоры Л и С — заделки. Угол р=30 . Полагая,
что конструкция выйдет из строя, когда ее элементы потеряют устойчивость, опре¬
делить критическое значение вертикальной силы Р, приложенной к узлу /).
10.2.13. Шарнирно закрепленная ферма АВС составлена из двух тонких
стержней (см. рисунок), имеющих одинаковые поперечные сечения и изготовлен¬
ных из одного и того же материала. Определить такое значение угла 0, при кото¬
ром нагрузка Р будет максимальной, предположив, что конструкция выходит из
строя при потере устойчивости составляющих ее элементов. (Принять, что 0<0<
<л/2.)
Р
К задаче 10.2.13.
10.3.1. Шарнирно опертый по концам стальной стержень прямоугольного по¬
перечного сечения размером 2,5X5 см сжимается продольной нагрузкой. Чему
равна наименьшая длина ^ стержня, при которой остается справедливой формула
Эйлера для критической нагрузки? (Принять Е=2,\» 10е и аПц=2100 кГ/см2)
10.3.2. Вычислить критическое напряжение акр для стержня, описанного в
предыдущей задаче, если его длина ^ равна 1,5 м.
10.3.3. На сплошной стальной стержень кругового поперечного сечения (диа¬
метр 2,5 см), защемленный по обоим концам, действует осевая сжимающая сила.
Чему равна наименьшая длина ^ стержня, при которой остается справедливой
формула Эйлера для критической нагрузки? (Принять /:=2,1* 10е и аПц=
=2100 кГ/см2.)
10.3.4. Вычислить критическое напряжение сгкр для стержня, описанного в
предыдущей задаче, если его длина I* равна 1,5 м.
10.3.5. Шарнирно опертый по концам стальной стержень (Е= 2,1» 10е кГ/см2)
прямоугольного поперечного сечения размером 5Х 10 см сжимается продольной
силой Р. Коэффициент запаса прочности по отношению к разрушению необходимо
выбрать равным п=2. Какое допускаемое напряжение сгд можно принять для
этого стержня, если его длина Ь равна: а) 1,8 м, Ь) 2,4 м и с) 3 м.
10.3.6. Определить критическое значение сжимающего напряжения акр для
стержня длиной /,=9 м с шарнирно опертыми концами из двутаврового профиля
Ка 30 (Е=2,Ь10в кГ/см2). Чему равна допускаемая сжимающая нагрузка Р для
этого стержня, если коэффициент запаса прочности п равен 2,5?
10.3.7. Чему равна наименьшая длина I стержня, описанного в предыдущей
задаче, при которой остается справедливой формула Эйлера для критической на¬
грузки, если аПц=2800 кГ/см2?
ЗАДАЧИ 415
10.4.1. Получить формулу, аналогичную формуле секанса (10.12), для макси¬
мального напряжения в стержне с одним заделанным и другим незакрепленным
концом (см. задачу 10.1.2).
10.4.2. Стальной стержень из двутаврового профиля № 36 (Е= 2,Ь 10е кГ/см2)
с шарнирно опертыми концами имеет длину 7,5 м. На стержень действует цент¬
рально приложенная сила Р|=100 т и внецентренно приложенная сила Р2=50 т
(см. рис. 10.10). Точка приложения силы Р2 лежит на оси у — у на расстоянии
18,5 см о г центра тяжести, а) Используя формулу секанса, вычислить максималь¬
ное напряжение, возникающее в стержне. Ь) Чему равен коэффициент запаса проч¬
ности по отношению к напряжению, при котором возникает пластическое течение,
если ат=2800 кГ/см2?
10.4.3. Чему равна допускаемая сжимающая нагрузка Р для стального стерж¬
ня (2Г=2,1* 106 кГ/см2) с шарнирно опертыми концами длиной 1,8 м, если он изго¬
товлен из равностороннего уголка 100Х 100Х 10 (см. приложение В), а сила Р
приложена к внешней вершине уголка в месте пересечения полок. Необходимый
коэффициент запаса прочности по отношению к нагрузке, при которой возникает
пластическое течение, п—2; сгт=2800 кГ/см2.
10.4.4. Шарнирно опертый продольно сжатый стержень изготовлен из дву¬
таврового профиля № 40 ^=4,8 м, Е= 2,1*10® кГ/см2). Действующая на него
сжимающая сила Р приложена таким образом, что вызывает изгиб относительно
главной оси, соответствующей наименьшему моменту сопротивления изгибу (ось
у — у). Относительный эксцентриситет приложения силы ес/г2=0,2. Найти допус¬
каемое значение силы Р, если коэффициент запаса прочности по отношению
к нагрузке, при которой возникает пластическое течение, п—2 и сгх= 2500 кГ/см2.
10.4.5. Продольно сжатая стальная труба ^=3,6 ми Е= 2,Ы0в кГ/см2)
заделана на нижнем конце и свободно оперта на верхнем. Внешний и
внутренний диаметры трубы соответственно равны 8,8 и 7,4 см. Определить допус¬
каемую нагрузку Р, если относительный эксцентриситет приложения нагрузки со¬
ставляет ес/г2=0,25, <тт=2500 кГ/см2 и п—2.
10.4.6. Стальной продольно сжатый стержень с шарнирно опертыми концами
(/^=3 м, Е— 2,1* 106 кГ/см2) изготовлен из двутаврового профиля № 36. Линия дей¬
ствия силы Рх—Б0 т проходит через центр тяжести поперечного сечения, а точка
приложения силы Р2 находится на оси х — х т расстоянии 10 см от оси у — у.
Определить допускаемое значение нагрузки Р2, если сгг=2800 кГ/см2 и п=2,5.
10.5.1. Получить выражение (10.14) для максимального прогиба продольно
сжатого стержня с начальным прогибом, решив дифференциальное уравнение ли¬
нии 'прогибов.
10.5.2. Вывести аналогичную (10.17) формулу для продольно сжатого стержня
квадратного поперечного сечения.
10.5.3. На стальной стержень (Е=2,1*106 кГ/см2) из двутаврового профиля
№ 20 с шарнирно опертыми концами действует осевая сжимающая нагрузка Р=
= 110 т. Длина стержня равна 4,5 м,и выпучивание происходит за счет изгиба от¬
носительно главной оси, соответствующей минимальному моменту сопротивления
изгибу. Стержень имеет начальный прогиб в форме волны синусоиды; величи¬
на прогиба в середине стержня равна 0,5 см. а) По формуле (10.16) вычислить мак¬
симальное напряжение, возникающее в стержне. Ь) Найти коэффициент запаса
прочности по отношению к напряжению, при котором возникает пластическое те¬
чение, если сгг=2800 кГ/см2.
10.5.4. Чему равна допускаемая сжимающая нагрузка Р для сплошного
стального стержня (Я=2,1« 10е кГ/см2) длиной 1,2 м с шарнирно опертыми конца¬
ми, если стержень имеет круговое поперечное сечение диаметром 5 см? При решении
416 10. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
использовать формулу (10.16) и следующие данные: коэффициент запаса прочности
по отношению к нагрузке, при которой возникает пластическое течение, п=2,
сгх=2800 кГ/см2, йа=400.
10.5.5. Найти допускаемое значение сжимающей нагрузки Р для стального
стержня длиной /,=3 м с заделанными концами, изготовленного из уголкового
профиля 75X75X6, если Е=2,\' 10° кГ/см2, л=1,5, <тг=2800 кГ/см2 и а/Ь—1/800.
(Указание. При решении использовать формулу (10.16).)
10.6.1. Чему равна допускаемая нагрузка Р для сжатого стального стержня
длиной />=4,5 м с шарнирно опертыми концами, изготовленного из двутаврового
профиля № 24? Использовать формулы (10.21) — (10.23) и следующие данные:
Е= 2-10°, аг=3500 кГ/см2.
10.6.2. Определить по формулам (10.21) — (10.23) допускаемую сжимающую
нагрузку Р для шарнирно опертого по концам стального стержня из двутаврового
профиля № 24 (Е=2* 10°, ах=2520 кГ/см2) при следующих значениях длины: А=3,
6 и 9 м.
10.6.3. На шарнирно опертую по концам стальную трубу, внешний и внутрен¬
ний диаметры которой соответственно равны 8,6 и 7,2 см, действует осевая сжимаю¬
щая нагрузка Р=10т. Чему равна наибольшая длина I, при которой напряжения,
возникающие в трубе, не превысят напряжений, задаваемых формулами (10.21) —
(10.23)? Принять ^=2*106 и сгх=2520 кГ/см2.
Я
|Г
'V»’
^ ■
к
р
а*;
[V
к $*'
ш
М-
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ
И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
11.1. ВВЕДЕНИЕ
Задачи расчета конструкций состоят в отыскании результирую¬
щих напряжений, а также перемещений и реакций для различных
типов конструкций, особенно для статически неопределимых. Эта
задача уже ставилась в предыдущих главах, где рассматривались
статически неопределимые балки, закручиваемые стержни и про¬
дольно нагруженные элементы конструкций. Как показывает пре¬
дыдущее изложение, расчет конструкций и механика материалов
тесно переплетаются друг с другом Более того, представления о ра¬
боте и энергии, включающие в себя такие понятия, как возможная
работа, энергия деформации, потенциальная энергия и дополнитель¬
ная энергия, играют важную роль и при расчете конструкций.
Данная глава начнется с обсуждения принципов возможных пе¬
ремещений и возможной работы. Затем принцип возможной работы
будет использован для формулировки метода единичной нагрузки,
представляющего собой весьма эффективный и полезный метод оп¬
ределения перемещений в конструкциях. После этого в качестве
иллюстрации приложения метода единичной нагрузки рассматри¬
ваются прогибы в балках за счет сдвига. В следующем разделе
приводятся теоремы о взаимности перемещений и взаимности работ.
Далее излагаются и демонстрируются на примерах методы податли¬
востей и жесткостей, которые являются фундаментальными метода¬
ми расчета конструкций. Наконец, вторая половина главы посвяще¬
на энергетическим методам.
Изложение начинается с формулировки некоторых основных
концепций, касающихся энергии деформации и дополнительной
энергии, после чего энергетические методы применяются к расчету
конструкций. Обсуждение энергии деформации включает в себя
первую теорему Кастилиано, принцип стационарности потенциаль¬
ной энергии, метод Рэлея — Ритца, а также связь этих принципов
и методов с методами перемещений и жесткостей расчета конструк¬
ций При обсуждении дополнительной энергии рассмотрены теоре¬
ма Кротти — Энгессера и принцип минимума дополнительной энер¬
418 п. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ и энергетические методы
гии, которые тесно связаны с методами сил и податливостей расчета
конструкций. Кроме того, для линейно деформируемых конструк¬
ций теоремы о дополнительной энергии сведены ко второй теореме
Кастилиано и принципу минимума энергии деформации.
Теории и методы, обсуждаемые в данной главе, иллюстрируются
примерами, включающими в себя только балки, плоские фермы и
простые плоские рамы. Однако все приводимые положения представ¬
ляют собой фундаментальные принципы прикладной механики и
поэтому могут применяться к более сложным типам конструкций,
включая пространственные фермы и рамы, конструкции типа пластин
и оболочек и т. д.
11.2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНОЙ РАБОТЫ
Понятия возможных перемещений и возможной работы обычно
используются в статике при решении задач равновесия. Термин
«возможные» означает, что величины, к которым он относится, явля¬
ются чисто гипотетическими, не существуют в действительности
и лишены физического смысла. Таким образом, возможное переме¬
щение представляет собой воображаемое перемещение, которое про¬
извольным образом задается для конструкции; оно не является
действительным перемещением, таким, как прогиб, вызываемый
действующими на конструкцию нагрузками. Работа, совершаемая
действительными силами на возможных перемещениях, называется
возможной работой.
Когда изолированная материальная точка, на которую действу¬
ет система сил, находится в состоянии равновесия (рис. 11.1, а),
ей можно придать возможное перемещение в любом направлении.
При этом возможном перемещении силы совершают возможную
работу, которая должна быть равна нулю, поскольку силы находят¬
ся в равновесии. Это кажущееся простым утверждение представляет
собой принцип возможных перемещений. Как известно (это показы¬
а
Ь
Рис. 11.1. Принцип возможных перемещений примени»
тельно к изолированной материальной точке (а) и к
твердому телу (Ь).
11.2.
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНОЙ РАБОТЫ 419
вается в статике), принцип возможных перемещений можно исполь¬
зовать для решения задач вместо более привычных уравнений рав¬
новесия.
Принцип возможных перемещений также применим и к твердому
телу, которое находится в состоянии равновесия под действием си¬
стемы нагрузок, в число которых могут входить силы, моменты и рас¬
пределенные нагрузки (рис. 11.1, Ь). Твердому телу можно придать
возможное перемещение, состоящее из переноса в произвольном
направлении, поворота относительно произвольной оси или ком¬
бинации поворота и переноса. Во всех случаях возможная работа,
совершаемая силами, будет равна нулю, если тело находится в рав¬
новесии. Обычно следует считать возможное перемещение очень
малым, для того чтобы при этом не изменялись направления линий
действия сил *).
При расчете конструкций принцип возможных перемещений не¬
обходимо обобщить таким образом, чтобы распространить его на де¬
формируемые системы. Для такого рода систем нужно принимать во
внимание не только возможную работу внешних сил, но также воз¬
можную работу, совершаемую внутренними силами и результирую¬
щими напряжений. Для того чтобы показать, как это достигается,
рассмотрим балку, изображенную на рис. 11. 2, а, и предположим,
что она нагружается совершенно произвольным образом силами,
изгибающими и крутящими моментами, а также распределенными
нагрузками. Балка при действии различных нагрузок, разумеется,
неподвижна и находится в состоянии равновесия. В ее произвольно
расположенном поперечном сечении могут существовать результи¬
рующие напряжений в виде осевой силы Ы, изгибающего момента М,
поперечной силы <2 и крутящего момента Т. Будем считать, что эти
результирующие возникают на левой грани малого элемента дли¬
ной йх, вырезанного из балки (рис. 11.2,6). На противоположной
грани этого элемента результирующие напряжений могут получить
ёх\ <**“<*
а
Ь
Рис. 11.2. К выводу принципа возможной работы.
*) Принцип возможных перемещений был впервые сформулирован Иоганном
Бернулли (см. [1.1] и [6.1]).
420 II- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЯ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
бесконечно малые приращения и обозначаются поэтому через А/+
+аы, м+ш, <1+<1С1 и т+ат.
Предположим теперь, что рассматриваемой балке (рис. 11.2, а)
сообщается возможная деформация, представляющая собой малое
изменение прогибов. Эта возможная деформация накладывается на
балку неким неопределенным образом и совершенно не зависит от
того, что балка уже имеет реальные- прогибы, вызванные приложен¬
ными к ней нагрузками. Подобные реальные прогибы достигают оп¬
ределенных величин, обусловленных как характером нагрузок, так
и параметрами самой балки.
Таким образом, возможная деформация представляет собой до¬
полнительную деформацию, которая накладывается на балку, нахо¬
дившуюся до этого в состоянии равновесия под действием реальных
нагрузок. Единственное ограничение, накладывающееся на возмож¬
ную деформацию, состоит в следующем: форма деформированной
балки должна быть возможной с физической точки зрения; иначе
говоря, возможное изменение формы должно быть совместимым с на¬
личием опор и их видом, а также с условием сплошности балки.
Вследствие возможной деформации балки точки на ее оси также
совершают возможные перемещения в виде прогибов в вертикальном
направлении.
При возможной деформации каждый элемент балки переместится
в новое положение и изменит свою форму. Следовательно, силы,
действующие на элемент (и результирующие напряжений, и внешние
нагрузки, показанные на рис. 11.2, Ь), совершат возможную ра¬
боту. Обозначим полную величину этой работы, относящуюся к од¬
ному элементу, через и будем считать, что она состоит из двух
частей: работы обусловленной перемещением (переносом и по¬
воротом) элемента как абсолютно твердого тела, и работы й№ЛУ
связанной с деформацией элемента. Таким образом,
1ГД.
Поскольку элемент находится в равновесии, возможная работа
<Шч, совершаемая силами (внешними и внутренними) на перемеще¬
нии элемента как абсолютно твердого тела, должна быть равна нулю,
так что предыдущее уравнение принимает вид
= (а)
Из этого уравнения следует, что полная возможная работа всех сил,
действующих на элемент на возможном перемещении (сумма воз¬
можной работы на перемещении элемента как абсолютно твердого
тела и возможной работы, связанной с деформацией элемента), рав¬
на возможной работе, совершаемой этими силами только при воз¬
можной деформации элемента. Теперь, просуммировав члены урав¬
нения (а), представляющие возможную работу, по всем элементам
11.2.
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНОЙ РАВОТУ 421
балки, получим
(Ь)
где интегрирование, очевидно, проводится по всей балке.
Интегралам, входящим в уравнение (Ь), можно дать простую ин¬
терпретацию. Интеграл в левой части уравнения представляет собой
полную возможную работу, совершаемую'при возможной деформа¬
ции балки всеми силами, как нагрузками, так и результирующими
напряжений, действующими на всех гранях всех элементов; типич¬
ный элемент такого рода показан на рис. 11.2, Ь. Однако при этом
можно заметить, что грани каждого элемента находятся в непосред¬
ственном контакте с гранями соседних элементов. Поэтому воз¬
можная работа результирующих напряжений, возникающих на гра¬
нях одного элемента, будет полностью компенсироваться возможной
работой равных по величине и противоположных по направлению
результирующих напряжений, возникающих на гранях смежных
элементов. Единственной остающейся возможной работой является
работа внешних сил, действующих на внешних границах элементов
(таких, как верхняя и нижняя грани элемента на рис. 11.2, Ь). Та¬
ким образом, приходим к заключению, что интеграл в левой части
уравнения (Ь) равен возможной работе внешних сил, действующих
на балку. Эту величину будем называть работой внешних сил и
обозначать через
Член в правой части уравнения (Ь) получается интегрированием
выражения для возможной работы, совершаемой при деформирова¬
нии элемента. Вообще говоря, здесь должны были бы учитываться
все действующие на элемент силы — и результирующие напряжений
и внешние силы. Однако при деформировании элемента какую-
либо работу совершают только результирующие напряжений. Та¬
ким образом, второй член в уравнении (Ь) в действительности пред¬
ставляет собой возможную работу только результирующих напря¬
жений, т. е. работу, совершаемую результирующими напряжений,
когда элемент, на который они действуют, подвергается возможным
деформациям. Полная величина этой возможной работы, получае¬
мая при суммировании по всем элементам, называется работой
внутренних сил и обозначается через №внг Таким образом, урав¬
нение (Ь) можно записать в следующем виде:
~)то уравнение представляет собой запись принципа возможной
работы, который можно сформулировать следующим образом. Если
деформируемой конструкции, находящейся в равновесии при дей¬
ствии некоторой системы нагрузок, придается малая возможная
деформация, то возможная работа, совершаемая внешними силами
ш — и/
" вяи " внт
(11.1)
422 11‘ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
(нагрузками), равна возможной работе, совершаемой внутренними
силами (результирующими напряжений).
Принцип возможной работы является очень мощным инструмен¬
том и широко применяется при расчете конструкций. Однако пе¬
ред тем, как перейти к использованию этого принципа, важно от¬
метить две его особенности. Первая состоит в том, что возможные
деформации или возможные перемещения должны быть совмести¬
мыми с условиями на опорах конструкции и не должны нарушать
сплошности конструкции. С этой единственной оговоркой возмож¬
ное изменение формы конструкции (его не следует путать с измене¬
нием формы конструкции, обусловленным действием- реальных на¬
грузок) совершенно произвольно, Вторая заключается в том, что,
проследив, как формулируется принцип, легко обнаружить отсут¬
ствие во всех рассуждениях какого-либо упоминания свойств мате¬
риала конструкции. Следовательно, принцип возможной работы
применим ко всем конструкциям независимо от того, как ведет себя
материал: линейно или нелинейно, упруго или неупруго.
Рассмотрим теперь по отдельности члены уравнения (11.1),
относящиеся к работам внешних и внутренних сил. Работа внешних
сил Гвнш есть работа, совершаемая нагрузками, действующими на
конструкцию, при возможном перемещении. Поскольку на возмож¬
ном перемещении эти нагрузки действуют в полную свою величину,
суммарная работа, совершаемая ими, равна просто произведению
нагрузки на перемещение. В частности, возможная работа сосредо¬
точенной силы равна произведению этой силы на возможное пере¬
мещение (в направлении действия силы) в точке ее приложения.
В этом случае положительное направление перемещения должно
быть выбрано так, чтобы оно соответствовало направлению силы.
Если нагрузкой является момент, то возможной работой является
произведение этого момента на возможный угол поворота.
Понятие возможной работы №онт внутренних сил, представляю¬
щих собой результирующие напряжений, является более сложным.
Возможная работа, совершаемая результирующими напряжений,
возникающих на элементе (рис. 11.2, Ь), зависит от перемещений,
соответствующих возможной деформации элемента. Различные виды
возможных деформаций представлены на рис. 11.3. На рис. 11.3, а
показана возможная деформация, представляющая собой однород¬
ное растяжение элемента; таким образом, длина элемента получает
приращение йЬ. При такой возможной деформации осевая сила совер¬
шает возможную работу (Ы+ЛЫ)с1Ь (рис. 11.2, Ь), но ни изгибающий
и крутящий моменты, ни поперечная сила не совершают никакой
работы. Вновь отметим, что пока еще ничего не сказано о том, что
вызывает возможную деформацию с/8, ясно только, что она не вы-
зызается самой силой М.
Следующим видом возможной деформации является изгиб, пред¬
ставляющий собой поворот на угол йв одной грани элемента относи-
11.2.
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНОЙ РАБОТЫ 423
тельно другой (рис. 11.3, Ь). При такой возможной деформации ра¬
боту совершает только одна результирующая напряжений — изги¬
бающий момент, и эта возможная работа равна (М+с1М)йв.
Возможные деформации сдвига и кручения показаны соответст¬
венно на рис. 11.3, с и 11.3, й. На первом представлен поперечный
перенос йк одной грани элемента относительно другой, на втором
изображен поворот с1ц> вокруг продольной оси одной грани относи¬
тельно другой. Значения возможной работы^, соответствующие этим
возможным деформациям, составляют (<2+й<3)сй и (Т+йТ)й<р.
«~й6
1
1
1
1
\
\
1
1
1
1
\
1
йх
< >
и»
йх
^ >
"йх'
45 >
1
Т
а
Рис. 11.3. Виды возможных деформаций малого элемента балки: а — растяжение,
Ь — изгиб, с — сдвш, й — кручение.
Каждое из четырех приведенных выше выражений для возмож¬
ной работы внутренних сил можно упростить, пренебрегая произве¬
дением двух бесконечно малых величин (таким, как йЫйЬ) по срав¬
нению с произведением конечной величины на бесконечно малую
(таким, как ЫйЬ). Таким образом, выражение для возможной рабо¬
ты, совершаемой результирующими напряжений, возникающих на
одном элементе конструкции, имеет вид
ШЬ+Мйв+(±с1Х+Тйч>.
Интегрирование по всем элементам конструкции дает полное выра¬
жение для возможной работы внутренних сил:
и7внт=$лм8+$лые-|-$<2<а+$7,лр. (11.2)
В этом выражении величины N, М, 0, н Т являются результирую¬
щими истинных напряжений, возникающих при действии реальных
нагрузок, в то время как деформации йЬ, йв, дХ и йу — фиктивные
деформации, соответствующие возможному перемещению конструк¬
ции. В следующем разделе будет описан метод определения переме¬
щений конструкций при помощи уравнений (11.1) и (11.2).
424 Ч- РЛСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
11.3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Принцип возможной работы, изложенный в предыдущем разделе,
можно использовать для построения метода единичной нагрузки,
весьма эффективного метода определения перемещений конструкций.
Выше уже обсуждались методы определения прогибов балок (см.
гл. 6) и простых ферм (см. разд. 1.5). Однако метод единичной нагруз¬
ки можно применять не только к расчету балок, ферм и других про¬
стых конструкций, но и для очень сложных конструкций, состоящих
из большого числа элементов. Более того, метод единичной нагрузки
пригоден для определения всех типов перемещений, включая прогиб
в заданной точке конструкции, поворот оси ее элемента, относитель¬
ное пёремещение двух точек и т. д. Теоретически его можно исполь¬
зовать как для статически определимых, так и для статически не¬
определимых конструкций, хотя на практике применение метода
ограничивается статически определимыми конструкциями, посколь¬
ку для его использования необходимо знать результирующие на¬
пряжений во всей конструкции.
Поскольку основное уравнение метода единичной нагрузки можно
получить из принципа возможной работы, сам этот метод иногда
называют методом возможной работы. Он также известен как ме¬
тод фиктивных нагрузок и метод Максвелла — Мора. Первое наз¬
вание связано с тем, что в этом методе требуется использовать фик¬
тивную или искусственно введенную нагрузку (т. е. единичную на¬
грузку), а второе — с тем, что Джеймс Максвелл в 1864 г. и Отто
Мор в 1874 г. независимо описали этот метод (см. [11.1—11.4)).
При использовании метода единичной нагрузки необходимо рас¬
сматривать две системы нагрузок, действующих на конструкцию.
Первая система включает все реальные нагрузки, изменения темпе¬
ратур или другие факторы, вызывающие искомое перемещение.
Вторая система включает только единичную нагрузку, которая дей¬
ствует на конструкцию. Единичная нагрузка представляет собой
фиктивную или искусственно введенную нагрузку, которая вво¬
дится только для того, чтобы определить перемещение А конструк¬
ции при действии реальных нагрузок. Единичная нагрузка должна
соответствовать искомому перемещению Д. Под нагрузкой, соот¬
ветствующей перемещению, мы подразумеваем нагрузку, прило¬
женную именно к той точке конструкции, перемещение которой оп¬
ределяется, и действующую в направлении перемещения. Термин
«перемещение» используется здесь в обобщенном смысле; так, в ка¬
честве перемещения Л могут быть выбраны перенос, поворот, от¬
носительное перемещение и относительный поворот.
Если искомое перемещение представляет собой перенос, то соот¬
ветствующей единичной нагрузкой является сосредоточенная сила,
11.3.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ 425
приложенная к точке, в которой происходит перенос, и действующая
в направлении переноса. Если искомым перемещением является
поворот, то единичной нагрузкой будет момент, приложенный в той
точке конструкции, где происходит этот поворот; положительное
направление единичного момента должно совпадать с положитель¬
ным направлением поворота.
Если перемещением служит относительный перенос двух точек
вдоль соединяющей их прямой, то единичная нагрузка будет со¬
стоять из двух коллинеарных противоположно направленных сил,
приложенных к этим двум точкам. Наконец, если перемещение пред¬
ставляет собой относительный поворот двух прямых, то единичной
нагрузкой станут два равных и противоположно направленных
момента. Все эти случаи будут продемонстрированы в настоящей
главе.
Действующая на конструкцию единичная нагрузка, которая
представляет собой вторую систему нагрузок, вызывает возникно¬
вение реакций опор и результирующих напряжений в элементах кон¬
струкции. Обозначим эти результирующие напряжений через Nх,
Ми <%! и 7\. Вместе с единичной нагрузкой и реакциями они обра¬
зуют систему сил, которая находится в равновесии. Если конструк¬
ции придать малую возможную деформацию (или изменение формы),
то в соответствии с принципом возможной работы возможная работа
внешних сил будет равна возможной работе внутренних сил (см.
уравнение (11.1)). Теперь переходим к ключевому этапу формули¬
рования метода единичной нагрузки: необходимо выбрать возмож¬
ную деформацию надлежащим образом.
Возьмем в качестве возможных деформаций, придаваемых конст¬
рукции с единичной нагрузкой, действительные деформации конст¬
рукции, создаваемые первой системой нагрузок. При такой возмож¬
ной деформации возможная работа внешних сил будет представлять
собой только работу, совершаемую самой единичной нагрузкой,
поскольку она является единственной внешней нагрузкой. Эта воз¬
можная работа равна произведению единичной нагрузки на переме¬
щение Д, которое совершает точка ее приложения; таким образом,
«7ВНШ=1-Д, (а)
где величина Д представляет собой искомое перемещение конструк¬
ции за счет реальной нагрузки (вспомним, что единичная нагрузка
была намеренно выбрана соответствующей перемещению А).
Возможная работа внутренних сил представляет собой работу,
совершаемую результирующими напряжений (Ы1г Ми Яг и 7\)
при возможной деформации элементов конструкции. Однако воз¬
можные деформации выбираются такими же, как и действительные
деформации, возникающие при действии на конструкцию реальных
нагрузок. Обозначая эти деформации через ЛЬ, М, и аСф (рис. 11.3),
получаем следующее выражение для работы внутренних сил (см.
426 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
выражение (11.2)):
У.н,= $Л'1<Ю + $ЛМе + $ (?!<«, + $ Г,«*Р. (Ь)
Наконец, приравнивая выражения для работ внешних и внутренних
сил (см. выражения (а) и (Ъ)), можно записать основное уравнение
метода единичной нагрузки:
А = ^ N!йб ^ Мг(19^ ~Ь $ ТIйф. (11.3)
В этом уравнении А — перемещение, которое нужно вычислить и
которое может представлять собой перенос, поворот или относитель¬
ное перемещение; результирующие Ыи Ми ^х и 7\ напряжений —
соответственно осевая сила, изгибающий момент, поперечная сила
и крутящий момент, создаваемые единичной нагрузкой, соответст¬
вующей перемещению А; ЛЬ, АО, дХ и йср — деформации, создаваемые
реальными нагрузками. Поскольку в левую часть уравнения (11.3)
не включена единичная нагрузка и оставлен только член А, необ¬
ходимо учитывать, что величины Ыи Мг, С?! и 7\ имеют размерность
силы или момента, отнесенных к единице приложенной единичной
нагрузки.
Основное уравнение (11.3) метода единичной нагрузки является
самым общим, и на него не накладываются какие-либо предположе¬
ния относительно линейного поведения материала или конструкции.
Иначе говоря, для применения уравнения (11.3) выполнение принци¬
па наложения не является обязательным. Однако наиболее распро¬
страненной ситуацией является такая, когда и материал конструк¬
ции следует закону Гука и поведение конструкции линейно. В этом
случае легко получить выражения для деформаций с16, Лв, с1к и с1<р,
вызываемых реальными нагрузками, действующими на конструк¬
цию. Если обозначить результирующие напряжений, обусловленных
действием реальных нагрузок, через Л^р, Мр, фр и Тр, то для дефор¬
маций элемента можно записать:
л* ы^ах м МРах «СД^Р^ . ТР **
^ М = — > М=—&Г-. *Р=~оГ• <с)
Первое из этих выражений дает удлинение элемента (рис. 11.3, а)
при действии осевой силы Ыр. Аналогично остальные три выражения
описывают деформации, связанные с изгибом, сдвигом и кручением
(рис. 11.3, Ь—11.3, Л). Все четыре выражения основаны на выведен¬
ных в предыдущих главах формулах (1.9), (6.25), (6.43) и (3.8). Под¬
становка этих четырех выражений в уравнение (11.3) дает уравнение
метода единичной нагрузки в следующем виде:
* , Г^р* , Гасд^<М* , Г7^** ,ч
А=3 -17-+3 ~ЁТ~+) ОР +] -Щ- * <1и)
11.3.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ 427
Это уравнение можно использовать для того, чтобы найти переме¬
щение А произвольной точки конструкции, когда материал линейно
упругий и можно применять способ наложения. Каждый интеграл
характеризует вклад в полное перемещение одного из видов дефор¬
мации. Таким образом, первый интеграл описывает влияние на пе¬
ремещение А осевых деформаций, второй — деформаций изгиба,
а третий и четвертый — остальных видов деформаций.
Правила знаков, применяемые для результирующих напряжений,
входящих в выражение (11.4), должны соответствовать друг другу;
таким образом, осевые силы и Ыр должны получаться по одному
и тому же правилу знаков; то же самое имеет место и*для Мх и Мр,
Фх и СР, Тг и Тр. Только при этих условиях положительные направ¬
ления для перемещения А и единичной нагрузки будут совпадать.
Процедуру определения перемещения при помощи уравнения
(11.4) метода единичной нагрузки можно кратко изложить следую¬
щим образом: 1) определить результирующие Мр, Мр, (}р и Тр
напряжений, создаваемых в конструкции реальными нагрузками;
2) приложить к конструкции единичную нагрузку, соответствую¬
щую искомому перемещению А; 3) найти результирующие ЛГх, Мг,
фх и Тг напряжений, создаваемых единичной нагрузкой; 4) подста¬
вить найденные значения в выражение (11.4) и выполнить интегри¬
рование по всей конструкции; 5) просуммировать результаты для
получения величины перемещения А. Все эти этапы будут продемон¬
стрированы в приводимых ниже примерах.
Может оказаться, что некоторые члены выражения (11.4) не
понадобятся; какие именно — зависит от типа конструкции. На¬
пример, если ферма с шарнирными узлами нагружена только в уз¬
лах, то в стержнях этой фермы не будут иметь место деформации
изгиба, сдвига и кручения и в выражении (11.4) останется только
первый член. Кроме того, осевые силы в стержнях будут постоян¬
ными по длине стержней; поэтому в случае призматических стержней
интегрирование по длине одного стержня приводит к величине
ЫгЫрЬКЕР), где Ь — длина стержня. Тогда суммирование по всем
стержням фермы дает
Это выражение показывает, что смещение А в произвольном узле
фермы можно найти при помощи следующей процедуры: 1) опреде¬
лить осевые силы и УУР, возникающие во всех стержнях при дейст¬
вии соответственно единичной нагрузки и реальных нагрузок; 2) вы¬
числить для каждого стержня величину N^NРЬ/{ЕР)\ 3) сложить
величины, найденные для всех стержней; полученная сумма и будет
величиной смещения.
В случае балки или плоской рамы, по-видимому, будут сущест¬
венны только деформации изгиба. В результате этого уравнение для
(11.5)
42й II- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
метода единичной нагрузки упрощается:
(П6)
Такие интегралы можно вычислить для каждого элемента конструк¬
ции, а затем просуммировать полученные результаты.
В общем случае перемещения в конструкциях можно вычислять
при помощи соответствующей комбинации членов выражения (11.4),
выбранной в зависимости от типа конструкции.
Влияние температуры. Если перемещения вызываются не на¬
грузками, а иными факторами, например изменением температуры,
то для ЛЬ, Лв, ЛХ и Л<р вместо значений (с), отражающих влияние толь¬
ко нагрузок, необходимо использовать соответствующие выражения.
Например, равномерное увеличение температуры вызывает увеличе¬
ние длины (см. рис. 11.3, а), определяемое следующим выражением:
ЛЬ=а(АТ)Лх,
где а — коэффициент линейного температурного расширения, а
АТ — приращение температуры (см. выражение (1.10)). Тогда урав¬
нение (11.3) метода единичной нагрузки принимает вид
Д = $ЛГ1а(ДТ,)<**. (11.7)
Этим выражением можно пользоваться и в том случае, когда прира¬
щение температуры АТ меняется вдоль оси элемента конструкции;
необходимо только выразить величину АТ как функцию от х и затем
выполнить интегрирование. Однако для широко распространенного
случая, когда приращение температуры постоянно по длине каждого
элемента, интеграл в выражении (11.7) можно заменить суммирова¬
нием по всем элементам конструкции:
Д = 2^1 «МАГ), (11.8)
где Ь — длина элемента. Таким образом, нужно подсчитать вели¬
чину ЫгаЬ (АТ) для каждого элемента конструкции и затем, про¬
суммировав эти величины, найти перемещение.
Когда температура изменяется по высоте балки по линейному
закону, но постоянна по ее длине, происходит деформация вида, по¬
казанного на рис. 11.3, Ь, где деформация Лв в соответствии с фор¬
мулой (6.41) составляет
ла а
а I .
Здесь Н — высота балки, а Та и Тг — температуры соответственно
на нижней и верхней поверхностях. Таким образом, при этих уело-
11.3.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ 429
виях имеем
д = ^л*1а(Г>-Г1)<Ь> (11.9)
Выше величина йб считалась положительной в том случае, когда
верхние волокна балки укорачивались, а нижние удлинялись
(рис. 11.3, Ь). Следовательно, необходимо и изгибающий момент Мх
считать положительным при таких же условиях; это означает, что
момент М1 положителен, когда он вызывает сжатие верхних воло¬
кон балки.
Вычисление интегралов от произведений. При вычисле¬
нии интегралов, входящих в выражение (11.4), как правило, рас¬
сматриваются такие элементы конструкции, свойства материала и
размеры поперечных сечений которых остаются постоянными от
одного конца элемента до другого. Следовательно, жесткости ЕР,
Е1, СР/асд и С^ можно вынести из-под знака интеграла. После этого
все оставшиеся подынтегральные члены этого уравнения имеют фор¬
му произведений, скажем
\мгм,йх. (11.10)
Такого вида интегралы от произведений функций должны вычислять¬
ся по длине каждого элемента, а затем полученные величины скла¬
дываются. Для какого-либо конкретного элемента каждый множи¬
тель (такой, как Мг или Л1Р) является функцией от расстояния х,
измеряемом вдоль оси элемента; в частности, эта функция вдоль оси
может быть постоянной, изменяться по линейному закону или за¬
висеть от продольной координаты более сложным образом, например
представлять собой квадратичную или кубическую функцию от х.
Для экономии времени при проведении расчетов подобные интегралы
от произведения функций можно вычислить раз и навсегда, а ре¬
зультаты свести в таблицу, удобную для использования. Значения
интегралов от произведений чаще всего употребляемых функций
приведены в табл. 11.1 *)• Эта таблица составлена для функций
Мх и Мр\ тем не менее очевидно, что эти функции можно заменить
любыми другими, такими, как и или 7\ и Гр. Применение таб¬
лицы будет продемонстрировано на нескольких приведенных ниже
примерах. 4
Пример 1. На изображенную на рис. 11.4, а ферму действуют силы Р и 2Р,
приложенные к узлу А. Предполагается, что все элементы фермы призматические
1) При вычислении указанных выше интегралов чрезвычайно удобен метод,
введенный А. Н. Верещагиным (см. Верещагин А., Новые методы расчета стати¬
чески неопределимых систем, Строительная промышленность, 1925, № 9, стр.
654—657).— Прим. ред.
Таблица 11.1. Значения интегралов вида ^ МгМ^1х
432 //. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
и имеют одну и ту же жесткость на растяжение ЕР. Вычислим горизонтальное и
вертикальное смещения узла В фермы при помощи метода единичной нагрузки.
Поскольку нагрузки приложены только в узлах, усилие в каждом стержне по¬
стоянно по его длине. Следовательно, для определения искомых перемещений
можно использовать выражение (11.5); результаты соответствующих расчетов све-
2Р 1
Рис. 11.4. Пример 1. Определение перемещений узлов фермы мето¬
дом единичной нагрузки.
дены в табл. 11.2. В первых двух столбцах таблицы указаны обозначения входя¬
щих в ферму стержней и их длины. Усилия Мр, полученные из уравнений равнове¬
сия фермы (рис. 11.4, а), приведены в третьем столбце (положительными считаются
растягивающие усилия).
Таблица 11.2. Результаты расчетов к примеру 1
* 1
1 2
3
4
5
6
7
Стержень
Длина
"р
Мг
Мг
АВ
1
Р
0
0
0
0
АС
1
—2Р
0
0
0
0
ВО
/,
Р
— 1
-Р/,
1
р^
СО
1
0
0
0
0
0
СВ
}Г2Ь
-У2Р
^2
—2,828Р/,
0
0
-3,828Р/, Р1
Для того чтобы найти горизонтальное смещение 6Г узла В% введена горизон¬
тальная единичная сила, приложенная к узлу В фермы (рис. 11.4, Ь). Создаваемые
этой единичной силой усилия в стержнях занесены в четвертый столбец таблицы.
Далее вычислено значение произведения для каждого стержня и резуль¬
таты сложены (пятый столбец). Разделив полученную величину на жесткость ЕР,
найдем искомое перемещение
6Г =—3,828 .
Знак минус, стоящий в этом выражении, означает, что смещение противоположно
направлению единичной нагрузки, т. е. что смещение происходит влево.
11.3.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ 433
Такая же процедура общего вида используется ддя отыскания вертикального
смещения 6В узла В. Соответствующая единичная сила, положительная при на¬
правлении вверх, изображена на рис. 11.4, с, а усилия в стержнях для рассмат¬
риваемого вида нагружения приведены в шестом столбце таблицы. В последнем
столбце вычисляются произведения и проводится суммирование. Наконец,
разделив сумму на жесткость ЕР, получим
Данное выражение положительно; это означает, что вертикальное смещение узла
В, вызываемое нагрузками Р и 2Р, направлено вверх.
В этом примере для простоты предполагалось, что площади поперечных сече¬
ний всех стержней одинаковы. Если бы это было не так, то в табл. 11.2 нужно было
бы ввести дополнительный столбец для записи этих площадей. Тогда в этом и седь¬
мом столбцах вместо вычислялись бы величины Л^А!рЫР. Столь же легко
приспособить подобную-процедуру к случаю, когда стержни изготовлены из раз¬
ных материалов С неодинаковыми значениями модуля упругости.
Пример 2. В этом примере снова рассмотрим ферму, нагруженную так, как
показано на рис. 11.4, а. Однако вместо того, чтобы находить смещение узла, опре¬
делим угол поворота элемента и изменение расстояния между двумя узлами. Пред¬
положим сначала, что отыскивается угол поворота стержня АВ. В общем случае
единичной нагрузкой, соответствующей углу поворота, будет являться единичный
Рис. 11.5. Пример 2.
момент. В данном примере единичный момент будет создаваться парой равных
и противоположно направленных сил, приложенных к концам стержня А В
(рис. 11.5, а). Каждая сила пары равна единичному моменту, деленному на длину
стержня АВ. Легко видеть, что перемещение, соответствующее этой паре сил,
представляет собой поворот стержня А В против часовой стрелки, нужно просто
заметить, что выражение для работы внешних сил, совершаемой на этом возмож¬
ном перемещении силами пары, будет иметь вид
*шшт -=Х (««) + X («») = -[ (6а + 6ь), (<1)
где 6в — смещение узла А вниз, а 6^ — смещение узла В вверх. Размерности
слагаемых, входящих в соотношение (а), одинаковы, поскольку каждая «1» пред¬
ставляет собой единичный момент и имеет размерность произведения силы на дли¬
ну. Сумма двух смещений 6а и 6^, деленная на длину Ь элемента, дает угол пово¬
434 11• РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
рота стержня АВ:
0вб=^-6- <е>
Из выражений (ё) и (е) получаем
^внш=1*0аЬ» (О
как и следовало ожидать. Таким образом, приложение единичного момента в виде
пары сил, изображенных на рис. 11.5, а, позволяет найти угол поворота 0„&.
Таблица 11.3. Результаты расчетов к примеру 2
1
2
3
4
5
6
7
Стержень
Длина
"р
Nг
л^р*.
АВ
Е
Р
0
0
-1//2
—0,707 РЬ
АС
1
—2 Р
—1Д»
2 Р
-1//2
1,414 РЕ
Вй
1
Р
\ц
Р
-1//2
—0,707 РЕ
СИ
0
0
0
-1//2
0
СВ
у!/.
— /2 Р
0
0
1
—2РЬ
3 Р — ЪРЕ
Расчеты для этого примера приведены в табл. 11.3; первые три столбца такие
же, как и в табл. 11.2, но четвертый столбец содержит значения усилий в стержнях
создаваемых показанными на рис. 11.5, а нагрузками. В пятом столбце даны
значения произведений суммируя которые, получим
А
аЬ ~~ ЕР *
Положительность найденной величины означает, что стержень поворачивается
против часовой стрелки. Таким образом, искомый угол поворота от действия на¬
грузок Р и 2Р найден. Для определения поворота любого другого стержня можно
следовать аналогичной процедуре.
Далее рассмотрим еще один тип перемещения для изображенной на рис. 11.4, а
фермы, а именно изменение расстояния между двумя точками. Предположим, что
необходимо определить относительное перемещение Ьа^ узлов Л и ^ вдоль соеди¬
няющей их прямой. Соответствующая единичная нагрузка состоит из двух равных
и противоположно направленных единичных сил, направленных по прямой, сое¬
диняющей точки А и 23 (см. рис. 11.5, Ь). Величины усилий возникающих в
стержнях фермы, приведены в шестом столбце табл. 11.3, а значения произведений
— в седьмом. Таким образом, относительное перемещение узлов Л и ^ сос¬
тавляет
Л
0(1(1 ~ ЕР *
Здесь знак минус означает, что расстояние между точками Л и ^ возрастает (т. е.
смещения противоположны единичным силам).
11.3.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЕДИНИЧНОЙ НАРРУЭКИ 435
Пример 3. В этом примере рассмотрим влияние равномерного изменения
температуры в одном стержне фермы (рис. 11.4, а). Предположим, что температура
стержня ВО равномерно возросла на величину АТ и, таким образом, длина этого
стержня получила приращение аЬ (АТ). При вычислении смещений узлов фермы
необходимо использовать выражение (11.8). Однако, поскольку из-за роста тем¬
пературы увеличивается длина только одного стержня, сумма, входящая в выра¬
жение (11.8), будет содержать только один член.
При определении горизонтального смещения узла В, вызванного изменением
температуры, будем использовать единичную нагрузку, показанную на рис. 11.4, 6,
а значения возьмем из четвертого столбца табл. 11.2. Таким образом, усилие
в стержне ВО составляет Л^1=—1, а горизонтальное смещение равно
6г = -<х1(ДГ),
где знак минус означает, что смещение направлено влево. При помощи аналогичной
процедуры легко определить перемещения остальных узлов этой фермы.
Пример 4. В этом примере вновь вернемся к рассмотрению перемещений
в балках. Предположим, что необходимо определить прогиб о и угол поворота 0
незакрепленного конца В призматической консольной балки, на части пролета
которой приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью ц
(рис. 11.6, а). С этой целью используем ту форму уравнения метода единичной на¬
грузки, в которой учитывается только влияние изгиба (см. выражение (11.6)).
тгггп
с
Л «
>
< 4_
В
а
-на
С /
Рис. 11.6. Пример 4. Определение прогибов балки методом единичной нагрузки.
Если поместить начало координат в левом конце балки А и откладывать рас¬
стояние х вправо, то выражение для изгибающего момента Жр, вызванного дей¬
ствием реальной нагрузки, примет вид
Мр=—~(а—х)2,
М р=0,
436 /А РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
причем положительный изгибающий момент создает сжатие верхних волокон
балки.
Единичная нагрузка, соответствующая перемещению й, показана на
рис. 11.6, Ь\ эта нагрузка создает изгибающий момент
Мх = (—1) (I —х),
Подставляя значения моментов Мх и Мр в выражение (11.6) и интегрируя, полу¬
чаем выражение для направленного вниз прогиба балки в точке В:
а
6=Ш 1 (~1) (- т) (а~х)гЛх=Ш1
О
Процедура определения угла поворота 0 полностью аналогична только что
приведенной, за исключением того, что единичной нагрузкой становится единич¬
ный момент, показанный на рис. 11.6, с. Эта нагрузка создает момент
Мх ——I,
а уравнение метода единичной нагрузки принимает вид
«-г?!'-') (-*)
Положительность этого выражения указывает, что угол 0 имеет то же напрарле-
ние (по часовой стрелке), что и единичная нагрузка.
Иной способ определения этих перемещений заключается в использовании
табл 11.1, где приведены значения интегралов от произведения функций. Эпюра
изгибающих моментов для нагрузки ^ представляет собой квадратичную параболу
на участке длиной а (рис. 11.6, </)• Для того же самого участка балки эпюра изги¬
бающих моментов, создаваемых единичными нагрузками, представляет собой
соответственно трапецию и прямоугольник (рис. 11.6,6 и 11.5,/). Взяв из табл.
11.1 данные для параболы и трапеции, получим следующее значение интеграла
от произведения двух функций:
± [(-1) (1-0)-3 (!)](- -^1) = ^ (М-а).
Разделив найденное значение на Е1, получим то же самое значение прогиба 6,
что и найденное выше. В случае, когда эпюры представляются параболой и пря¬
моугольником *), искомый интеграл равен
в м (-*)-*.
что приводит к уже известному результату для угла поворота 0. Зачастую оказы¬
вается удобнее использовать таблицу значений интегралов от произведения функ¬
ций и эпюры изгибающих моментов, чем выписывать выражения для изгибающих
моментов и затем интегрировать их.
Пример 5. Температура балки АВС с пролетом между опорами длиной Ь
и выступающей частью длиной Ь (рис. 11.7, а) изменяется таким образом, что тем¬
*) Отметим, что эпюру в форме прямоугольника можно получить, положив
для трапеции М\=МХ (см. табл. 11.1).
11.3.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ 437
пература на верхней поверхности балки равна Тх, а на нижней равна Га. Вычис¬
лим вертикальное смещение 6С незакрепленного конца балки.
Единичная нагрузка» соответствующая перемещению дс, показана на
рис. 11.7, Ь. Изгибающий момент, создаваемый этой единичной нагрузкой, для
участка А В можно записать в виде у
Мг — (—1) (Ь/Ь) *, 0 < х < Ь%
где х — расстояние, измеряемое от опоры А вправо до рассматриваемого сечения.
Запишем также выражение изгибающего момента для участка ВС:
Мх = (—1)(*), 0<х<6,
где х — расстояние, измеряемое от конца С балки влево. На обоих участках
изгибающий момент Мг отрицателен, поскольку он вызывает растяжение верх¬
них волокон балки.
В Тлг
2Тг
Ъ .
ь
Рис. 11.7. Пример 5. Балка с разными тем¬
пературами на верхней и нижней поверхно¬
стях.
Зная выражения для изгибающих моментов, можно подставить их непосред¬
ственно в формулу (11 9) и найти из нее смещение:
«, = ! (-1) (х) м <Х(Га~Г')Л*+| (—1) (*) а(Т'~Т')-йх,
откуда
* а Ь(Тх-Т.г)(Ь + Ь)
с~ 2Н #
Здесь к — высота сечения балки; а — коэффициент линейного, температурного
расширения. Если найденная величина смещения Ьс окажется отрицательной, то
смещение в действительности будет происходить вверх; так получается всегда,
когда температура Т2 больше 7^.
Пример 6. Плоская уголковая рама АВС (рис. 11.8, а) заделана в точке А
и нагружена вертикальной силой Р на конце С. Элементы А В и ВС этой рамы,
жестко соединенные в точке В, имеют постоянную жесткость при изгибе Е1. Оп¬
ределим горизонтальное 6Г и вертикальное йв смещения, а также угол поворота 0
в точке С.
На рис. 11.8, Ь представлена эпюра изгибающих моментов Мр, создаваемых
силой Р, причем эпюра построена на растягиваемых сторонах элементов. Единич¬
438 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ные нагрузки, соответствующие горизонтальному и вертикальному смещениям, а
также углу поворота в точке С, показаны на рис. П.8, с — 11.8, е. В каждом слу¬
чае также представлена полная эпюра изгибающих моментов М19 снова построен¬
ная на растягиваемых сторонах элементов.
Теперь, зная изгибающие моменты, можно найти значения смещений либо
интегрированием (см. выражение (11.6)), либо при помощи формул для интегралов
Р
В
Н
А
1
Мг
Рис. 11.8. Пример 6 и 7. Перемещения в плоской раме.
Напоминаем читателю, что все эпюры изгибающих моментов построены
на растягиваемых сторонах элементов.
от произведений функций, приведенных в табл. 11.1. Для данного примера второй
способ оказывается проще. Например, для того чтобы найти смещение 6Г, возьмем
значение согласно рис. 11.8, с, а Мр—согласно рис. 11.8, Ь. Затем, воспользо¬
вавшись табл. 11.1, получим
^(\){Н)(РЦ.
Разделив это выражение на жесткость при изгибе Е1, найдем 'величину горизон¬
тального смещения точки С:
а Р1И%
г 2ЕГ'
Вертикальное смещение определяется аналогичным образом из эпюр на
рис. 11.8, Ь и 11.8, с1. Для элемента ВС эпюра представляет собой два треугольника,
а для элемента АВ — два прямоугольника; тогда из табл. 11.1 находим
| (1) (I) (РЦ + |- (21) (РЦ=Ц-+РЬ*Н
и выражение для вертикального смещения принимает вид
Л _РЩЬ+ ЗЯ)
°в т—*
11.3.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОПА ЕДИНИЧНОЙ НАГРУЗКИ 439
Наконец, воспользовавшись рис. 11.8, Ь и 11.8, е$ а также табл. 11.1, получим
Таким образом, все искомые перемещения рамы определены.
Пример 7. Для уже рассматривавшейся в предыдущем примере плоской
рамы определим дополнительные перемещения 6Г, дв и 0, получающиеся за счет
осевых деформаций элементов. Предполагается, что оба элемента имеют постоян¬
ную жесткость при растяжении ЁР.
Дополнительные перемещения будем искать с помощью выражения (11.5).
Осевой силой УУр в этом уравнении является сила, создаваемая нагрузкой Р
(рис 11.8, а); такая сила только одна — это N2=—Р в элементе АВ. Для того что¬
бы найти горизонтальное смещение 6Г, возьмем осевые силы Мх, показанные на
рис. 11.8, с. Единственной такой силой будет ^=1 в элементе ВС; отсюда мы за¬
ключаем, что на горизонтальное смещение 6Г не влияют осевые деформации.
Для того чтобы найти вертикальное смещение 6В, заметим, что, как видно из
рис. 11.8, й, единственной осевой силой, создаваемой единичной нагрузкой, яв¬
ляется N^=—\ в элементе АВ. Поэтому вертикальное смещение, обусловленное
осевыми деформациями, равно
Эту величину следует прибавить к полученному в примере 6 результату, что даст
полное вертикальное смещение узла С:
Когда в это выражение подставляются числовые значения, то, как правило, ока¬
зывается, что второе слагаемое, характеризующее влияния осевых деформаций,
чрезвычайно мало по сравнению с первым. Поэтому при исследовании плоских
рам обычно учитывают только влияния деформаций изгиба и полностью пренебре¬
гают вкладом осевых деформаций.
Для того чтобы покончить с этим примером, вернемся к углу поворота 0 и
заметим, что соответствующая ему единичная нагрузка (рис. 11.8, с) не создает
осевых сил в элементах. Поэтому наличие осевых деформаций не оказывает ни¬
какого влияния на угол поворота 0.
Пример 8. Ось криволинейного стержня А В представляет собой четверть
окружности радиуса /? (рис. 11.9, а). Стержень заделан в сечении А и нагружен
вертикальной силой Р на незакрепленном конце В. Найдем выражение для го¬
ризонтального смещения 6Г точки В.
Уравнение метода единичной нагрузки для определения смещений в криволи¬
нейном стержне можно записать в общем виде
(РЬ) (1) +-|- (1) (2РЬ) = ™+РЬН,
откуда
РЦЬ+2Н)
. РЬ*(Ь+ЗН) . РН
в“ 3Е1 ЕР •
(11.1!)
440 //• РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
где величина равная М0, представляет собой длину элемента тп стержня.
Здесь предполагается, что толщина стержня мала по сравнению с радиусом /?,
поэтому можно пользоваться приведенной выше формулой, которая первоначально
была получена для изгиба прямого стержня.
Создаваемый силой Р изгибающий момент Мр составляет Мр=—Р/? соз 0,
причем считается, что положительный момент вызывает сжатие внешних волокон
криволинейного стержня. Изгибающий момент М1г обусловленный действием го-
Р
Рис. 11.9. Пример 8. Перемещение незакреплен¬
ного конца криволинейного стержня.
ризонтальной единичной нагрузки (рис. 11.9, Ь), составляет М1=—Я(1— з!р 0).
Подставим эти значения моментов Мг и Мрв выражение (11.11) и, проведя инте¬
грирование, получим
Я/2
6Г=~ | (- /?) (1-51П 0) (- РК соз 0) Я .
о
Таким образом, мы нашли горизонтальное смещение точки В методом единичной
нагрузки.
11.4. ПРОГИБЫ БАЛОК, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ сдвигом
Принцип возможной работы и метод единичной нагрузки воору¬
жают нас великолепным аппаратом для решения задачи о нахожде¬
нии прогибов в балке, вызываемых сдвигающими силами. В прове¬
денном выше (разд. 6.11) обсуждении прогибов за счет сдвига ис¬
пользовалось дифференциальное уравнение линии прогибов, кото¬
рое включало в себя член, содержащий коэффициент сдвига асд.
Этот коэффициент сдвига равен отношению касательного напряже¬
ния на нейтральной оси балки к среднему значению касательного
напряжения (например, для балки с прямоугольным сечением асд=
=3/2). Этот же самый коэффициент сдвига входит в общее уравне¬
ние (11.4) метода единичной нагрузки.
Значения обусловленных сдвигом прогибов, определяемые из
дифференциального уравнения линии прогибов или из уравнения
«1.4.
ПРОГИБЫ БАЛОК, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СДВИГОМ 441
(11.4), являются приближенными по меньшей мере по двум причи¬
нам: во-первых, потому что при определении прогибов рассматри¬
ваются деформации сдвига на нейтральной оси и не учитывается из¬
менение этих деформаций по высоте балки; во-вторых, потому что
определение прогибов основано на теории, построенной только для
случая чистого изгиба. От второго недостатка можно избавиться за
счет перехода к более точным методам теории упругости (некоторые
результаты, полученные этими методами, были уже приведены
в разд. 6.11), в то время как первый можно устранить, воспользо¬
вавшись принципом возможной работы (см. уравнение (11.1)), вы¬
числяя величину работы внутренних сил интегрированием по всему
объему балки. При подобном подходе в рассмотрение вводится но¬
вый коэффициент более точный, чем коэффициент сдвига асд, как
будет подробно объяснено ниже.
Метод единичной нагрузки определения прогибов балок основан
на принципе возможной работы, для использования которого тре¬
буется найти выражения для работы как внешних, так и внутренних
сил. Поскольку единичная нагрузка является единственной нагруз¬
кой, приложенной к конструкции, выражение для работы внешних
сил, согласно формуле (а) предыдущего раздела, имеет вид №внш=
= 1 -А. Здесь Д— искомый прогиб, создаваемый реальными нагруз¬
ками, а 1 — единичная нагрузка, соответствующая этому прогибу.
Возможная работа внутренних сил представляет собой работу,
которую совершают создаваемые единичной нагрузкой напряже¬
ния на деформациях, обусловленных реальными нагрузками. Ранее
были рассмотрены четыре возможных вида результирующих на¬
пряжений: осевая сила, изгибающий момент, поперечная сила и
крутящий момент. Поскольку сейчас мы ограничиваемся исследова¬
нием прогибов балок, обусловленных сдвигом, не будем учитывать
влияния осевых сил и моментов.
ЬУ в'
Ь с
Рис. 11.10.
Выражение для возможной работы внутренних сил было получе¬
но выше путем умножения результирующих напряжений на значе¬
ния соответствующих деформаций элемента балки; таким образом,
в предыдущем разделе мы пришли к выражению (Ь). Сейчас, однако,
для того, чтобы вывести выражение для возможной работы внутрен-
442 Ч- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
них сил, мы будем иметь дело непосредственно с напряжениями,
возникающими в балке, и проводить интегрирование по всему ее
объему.
Рассмотрим бесконечно малый элемент размерами йх, йу, йг
(рис. 11.10, а), вырезанный из внутренней части балки, на которую
действует единичная нагрузка. На гранях этого элемента будут дей¬
ствовать нормальные напряжения а и касательные напряжения т
(рис. 11'. 10, Ь), соответствующие изгибающему моменту Мх и по¬
перечной силе <3ъ создаваемым единичной нагрузкой. Эти напряже¬
ния можно подсчитать по формулам (5.10) и (5.18):
При использовании метода единичной нагрузки возможные деформа¬
ции, придаваемые элементу, выбираются такими же, как и дефор¬
мации, создаваемые реальными нагрузками. Этими деформациями
являются растяжение (рис. 11.10, с) за счет изгибающего момента
Мр и деформация сдвига (рис. 11.10, й) за счет поперечной силы
<3Р. Деформации растяжения в и сдвига у выражаются следующими
Следовательно, возможная работа, совершаемая внутренними на¬
пряжениями а и т, возникающими на гранях малого элемента, равна
Штг — (а йу йг) (е йх) + (т йу йг) (у йх) =
Полная работа внутренних сил получается интегрированием послед¬
него выражения по всему объему балки, что дает
Это выражение можно упростить, заметив, что для заданного по¬
перечного сечения балки величины Ми Мр, (2и (}р, Е,Оа I являют¬
ся постоянными. Следовательно, в каждом из приведенных выше
интегралов можно перейти к интегрированию по площади попереч¬
ною сечения и по длине оси балки:
формулами:
Мру <}р3
г~~ЖГ' Ч~1ЛЬ'
<}1<}р&
йхйуйг.
01*ь*
гМгМрУ* г>
И^вих — ^ йхйуйгйхйуйг.
здесь символы Ь и Р означают, что интегрирование проводится со¬
ответственно по всей длине балки и по всей площади ее поперечного
сечения. В первом слагаемом заключенное в квадратные скобки вы¬
11.4.
ПРОГИБЫ БАЛОК, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СДВИГОМ 443
ражение представляет собой момент инерции, т. е. характеристику
поперечного сечения. Во втором слагаемом выражение, стоящее
в квадратных скобках, также зависит только от размеров попереч¬
ного сечения балки; поэтому удобно ввести в рассмотрение новую
характеристику поперечного сечения /сд, так называемый коэффи¬
циент формы при сдвиге. Эта характеристика определяется следую¬
щим образом:
где йР—йуйг представляет собой площадь элемента поперечного се¬
чения балки. Коэффициент формы является безразмерной величи¬
ной и может быть вычислен для каждой конкретной формы попереч¬
ного сечения, как будет показано ниже. Заменив в выражении (а)
величины, стоящие в квадратных скобках, на / и /сд/2/^ соответст¬
венно, получим окончательное выражение для работы внутренних
сил:
«у Г Лх |*
И'внт —] Ё/ Г 3 ор •
Наконец, приравняв работы внешних и внутренних сил, можно
получить уравнение метода единичной нагрузки для прогиба ‘А:
Здесь единичная нагрузка исключена путем деления правой и левой
частей выражения на 1 [как это было сделано при выводе формулы
(11.3)]. Уравнение (11.13) можно использовать для определения про¬
гибов балок с учетом влияний как изгибающего момента, так и по¬
перечных сил. Первое слагаемое в правой части этого уравнения
соответствует тому члену полученного ранее выражения (11.4), ко¬
торый определяется влиянием изгиба. Однако второй член несколь¬
ко отличается от аналогичного члена в полученном ранее выражении,
а именно вместо коэффициента сдвига асд в него входит коэффициент
формы /«.д. Таким образом, жесткость балки при сдвиге теперь опре¬
деляется величиной ОРЦсд, а не величиной 6Р/ася.
Коэффициент формы при сдвиге для каждой конкретной формы
поперечного сечения подсчитывается по формуле (11.12). Например,
если поперечное сечение является прямоугольником с шириной Ъ
и высотой И. (рис. 5.12), то статический момент 5 (см. формулы (д)
разд. 5.3) составляет
Ь ( к*
444 И- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Для балки прямоугольного поперечного сечения величина Р/11
равна 144/ (Ыгь). Таким образом, коэффициент формы будет равен
й/2
, 144 С 1 / А» Лг 6
4(4 У1)ЬаУ1~5'
-Л/2
Аналогичным способом можно подсчитать коэффициенты формы для
поперечных сечений иного вида. Например, коэффициент формы для
сплошного кругового сечения составляет 10/9, а для тонкостенного
кольца равен 2. В случае двутавра и коробчатого поперечного сече¬
ния можно предположить, что касательные напряжения равномер¬
но распределены по вертикальной стенке и приближенно равны по¬
перечной силе, деленной на площадь стенки (см. разд. 5.3 и рис. 5.14);
подобное предположение означает, что коэффициент формы для со¬
ответствующих балок равен Р/Рсг и его значение обычно лежит в ин¬
тервале от 2 до 5. Значения коэффициента сдвига асд и коэффициента
формы /сд для некоторых поперечных сечений сопоставляются
в табл. 11.4.
Таблица 11.4. Коэффициент сдвига асд и коэффициент формы /сд
Форма поперечного сечения
асд
1
Прямоугольник
3
2
6
5
Круг
Ч* |со
10
9
О
Тонкостенное кольцо
2
2
01
Коробчатое сечение или двутавр
Г сх
Р_
Р сх
В качестве примера определения прогибов балки, обусловленных сдвигом,
используем метод единичной нагрузки (см. уравнение (11.13)) для того, чтобы найти
величину прогиба в середине равномерно нагруженной свободно опертой балки.
Пусть х — расстояние от левой опоры балки до рассматриваемого сечения; тогда
выражения для создаваемых реальными нагрузками изгибающего момента и по¬
перечной силы имеют вид
Л*р = */з Ча?*2. (Зр^/гдЬ—дх,
11.4.
ПРОГИБЫ БАЛОК. ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СДВИГОМ 445
где I — длина балки, а ц — интенсивность равномерно распределенной нагрузки.
Единичная нагрузка, приложенная в середине балки, также создает изгибающие
моменты и поперечные силы, соответственно равные
^1-1/2*1 (*), «1 = 72, 0<*<1/2.
Подстановка этих значений в (11.13) дает следующее выражение для прогиба б в
середине балки:
т т
О О
_ Иди Л 48/едЕ/ \
384Б/ \ 5ОРЬ2 )' (11.14)
Это выражение совпадает с результатом, полученным ранее решением дифферен¬
циального уравнения (см. выражение (6.46)), за исключением того, что вместо ко¬
эффициента сдвига асд теперь появился коэффициент формы /сд.
Если использовать метод единичной нагрузки для случая действия сосредото¬
ченной силы Р, приложенной в середине пролета свободно опертой балки, то про¬
гиб в середине получится равным
. РД3 Л , 12/СдЯ/\
48С/ ( ^ СР1* ') ’ (11.15)
что совпадает с выражением (6.50) при замене в последнем асд на /сд. Для консоль¬
ной балки, к незакрепленному концу которой приложена сосредоточенная сила Р,
метод единичной нагрузки дает следующее значение прогиба на свободном конце:
(11 16)
3Е/^ 37^’ 1П-Ю)
Отметим, что при получении этого результата методом единичной нагрузки не де¬
лалось никаких допущений о деталях закрепления заделанного конца. Однако вто¬
рое слагаемое в правой части выражения (11.16) соответствует рассмотренному в
разд. 6.11 примеру в том конкретном случае, когда на заделанном конце были при¬
няты такие граничные условия, чтобы первоначально плоские поперечные се¬
чения могли свободно искажаться, а первоначально вертикальные грани элемента,
расположенного на нейтральной оси, оставались вертикальными (см. выражение
(]) разд. 6.11). Для других условий в заделке предыдущий метод дает иные результа¬
ты. Таким образом, при использовании метода единичной нагрузки делаются оп¬
ределенные допущения относительно вида граничных условий на заделанном кон¬
це 1).
Энергия деформации сдвига. Энергия деформации сдвига в
элементе балки, на котором возникают касательные напряжения т
(см. рис. 11.10, Ь и 11.10, й), равна иЛхйуйг, где и — энергия дефор¬
мации сдвига в единице объема. Эта удельная энергия деформации
составляет и=т2/(20) (см. выражение (1.23а)). Таким образом, эле¬
ментарную энергию деформации сдвига сШса можно выразить через
*) Таблицу вычисленных методом единичной нагрузки значений прогибов
балки, обусловленных сдвигом, можно найти в (6.18].
446 Ч- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЯ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
касательное напряжение т:
«^2
<ШСЛ = ^ йхйуйг.
Поскольку касательное напряжение т равно <}8/(1Ь), выражение
для элементарной энергии деформации сдвига принимает вид
Интегрируя это выражение по всему объему балки, находим полную
энергию деформации сдвига
где, как прежде, символы Ь и Р означают, что интегрирование про¬
водится соответственно по длине балки и по площади ее попереч¬
ного сечения. Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно
/Сд/7Л как это видно из сравнения с формулой (11.12). Следователь¬
но, выражение для (/сд можно упростить:
Это выражение дает зависимость энергии деформации сдвига от
поперечной силы ф. Оно совпадает с полученным выше выражением
(6.54) для энергии деформации сдвига с точностью до множителя
(здесь вместо асд стоит коэффициент /сд).
В общем случае при определении прогибов балок или при вы¬
числении энергии деформации сдвига предпочтительнее вместо ко¬
эффициента сдвига асд использовать коэффициент формы /сд. Коэф¬
фициент формы /Сд очень близок к более точным значениям, опре¬
деляемым методом теории упругости (см. выражения (6.53)).
11.5. ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ
В этом разделе понятие энергии деформации будет использовано
для вывода теорем взаимности перемещений и взаимности работ. Эти
теоремы взаимности полезны во многих случаях и играют важную
роль при исследовании конструкций. Более того, они включают не¬
которые основные теоретические концепции, применимые ко всем
линейно упругим конструкциям.
Теорема о взаимности перемещений. Для того чтобы сфор¬
мулировать эту теорему, возьмем в качестве примера консольную
балку А В (рис. 11.11, а), на незакрепленный конец которой дей¬
ствует сосредоточенная сила Р. Прогиб в середине пролета С балки
ли -8-х.й
сд 201гЬ*
йх йу йг.
(11.17)
11.5.
ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ 447
легко найти из формул, приведенных в приложении С. Этот про¬
гиб составляет
ч _ 5Р^
сЬ~ 48Е1 '
Буквенные .индексы при величине б здесь соответствуют следующей
схеме: первый индекс означает точку, в которой отыскивается про¬
гиб, второй — точку приложения нагрузки. Таким образом, через
ЬсЬ обозначается прогиб в точке С под действием нагрузки, при¬
ложенной в точке В.
V
Ъсъ 1
п ... С* \
. 1
А С1
г В ь
л
<—
-*&4. иг ,|
3 1
< ^ >
т
а Ь
Рис. 11.11. К теореме о взаимности перемещений.
Теперь рассмотрим ту же самую консольную балку при действии
силы Р, приложенной в середине пролета С (рис. 11.22, Ь). В дан¬
ном случае нужно найти прогиб на незакрепленном конце В, обоз¬
наченный через 8Ьс. Вновь обращаясь к формулам, приведенным
в приложении С, находим
Л _ 5РЛ3
°Ьс ~ 48Е1 ’
что равно прогибу бсЬ. Таким образом, оказывается, что прогиб
в точке С под действием нагрузки Р, приложенной в точке В, равен
прогибу в точке В под действием той же нагрузки Р, приложенной
в точке С. Это утверждение является частным случаем теоремы
взаимности перемещений.
Для того чтобы доказать эту теорему в более общем виде, рассмот¬
рим произвольную конструкцию и предположим, что на нее дейст¬
вуют нагрузки двух типов. Для удобства мы обсуждаем свободно
опертую балку (рис. 11.12)', но все сказанное будет относиться и к
любой другой конструкции, которая ведет себя линейно. Нагрузкой
первого типа является сила Р, приложенная в некоторой точке А
конструкции (рис. 11.12, а), а нагрузкой второго типа — та же са¬
мая сила Р, приложенная в другой произвольно выбранной точке
В (рис. 11.12, Ъ). Прогибы в точках А и В для нагрузки первого типа
в соответствии с приведенным выше правилом для индексов обозна¬
чаются через 6а0 и 6Ьа. Аналогичным образом через ЬаЬ и Ььь обозна¬
чаются прогибы при нагрузке второго типа.
448 II. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
С другой стороны, прогибы двух балок можно описать, исполь¬
зуя идею о соответствии между нагрузками и перемещениями (см.
разд. 11.3). Например, оба прогиба 6аа и ЬаЬ соответствуют нагруз¬
ке Р, показанной на рис. 11.12, а. Для того чтобы в этом вопросе
была ясность, необходимо вспомнить, что перемещение, соответст¬
вующее сосредоточенной силе, представляет собой прогиб в точке
приложения силы; кроме того, этот прогиб происходит в направле¬
нии действия силы. Однако отнюдь не является необходимым, что-
—
АУ
°Ьл
к
Рис. 11.12. К теореме о взаимности перемещений.
бы прогиб вызывался силой, которой он соответствует. В случае
прогиба Ьаа причиной является сила Р как нагрузка первого типа,
а в случае прогиба 60б—сила Р как нагрузка второго типа. Тем не
менее оба прогиба соответствуют нагрузке Р, показанной на рис.
11.12, а. Аналогично оба прогиба 6&а и б6Ь соответствуют силе Р
как нагрузке второго типа, хотя прогиб ЬЬа создается первой на¬
грузкой, а 8ЬЬ— второй. Эта концепция соответствия будет весьма
полезна в последующих рассуждениях как средство идентификации
перемещений.
Возвращаясь теперь к выводу теоремы о взаимности перемеще¬
ний, предположим, что на балку действуют обе силы Р одновремен¬
но (рис. 11.12, с). Если балка изготовлена из линейно упругого ма¬
териала, то для определения малых прогибов балки можно исполь¬
зовать способ наложения. Прогиб, соответствующий нагрузке Р,
приложенной в точке А, будет составлять &аа-+Ьаь, а прогиб, соот¬
ветствующий нагрузке Р, приложенной в точке В, будет Ььа+Ььь-
Зная эти прогибы, легко подсчитать работу, совершаемую двумя
нагрузками Р, когда они медленно и одновременно прикладываются
к балке. Эта работа, равная полной энергии деформации V балки,
согласно выражению (1.15), имеет вид
У = 11»РФиа + Ьа>) + 1иР(&ьа+*»)• (а)
11.5.
теоремы взаимности 449
Полная энергия деформации балки, на которую действуют обе
эти нагрузки (рис. 11.12,с), не зависит от порядка их приложения.
Поскольку балка ведет себя линейно, энергия деформации должна
быть одной и той же как при одновременном приложении нагрузки,
так и тогда, когда прикладывается сначала одна нагрузка, а затем
вторая. Предположим, что первой прикладывается нагрузка в точке
Л, а за ней — нагрузка в точке В. Тогда энергия деформации балки
при приложении первой нагрузки составит
1/а/>бвя, (Ь)
поскольку эта нагрузка создает прогиб 80в (рис. 11.12, а). Когда
прикладывается вторая нагрузка, в точке В возникнет дополни¬
тельный прогиб, равный Ььь\ поэтому работа, совершаемая второй
нагрузкой, равна
ЧьРЬъъ, (с)
что является величиной дополнительной энергии деформации в
балке. Однако мы не должны забывать о том, что, когда нагрузка
прикладывается в точке В, нагрузка Р, приложенная ранее в точке
A, будет совершать работу на дополнительном прогибе ЬаЬ. Величи¬
на этой работы составит
РбаЬ («О
и также войдет в энергию деформации. Здесь отсутствует коэффи¬
циент 7а. поскольку сила Р остается постоянной в течение всего
времени развития дополнительного прогиба. Суммируя выражения
(Ь), (с) и (с1), получаем полную энергию деформации для случая по¬
следовательного приложения нагрузок:
и = ЧгРЬаа + 1/*Р6ьь + РбаЬ. (е)
Эта величина энергии деформации должна быть такой же, как и ве¬
личина энергии деформации, получаемой при одновременном при¬
ложении двух нагрузок (см. выражение (а)). Приравнивая эти два
выражения для энергии деформации, получаем следующий резуль¬
тат:
8вЬ=66в. (11.18)
Это равенство представляет собой запись теоремы взаимности пере¬
мещений, которая может быть сформулирована следующим обра¬
зом. Прогиб в точке А под действием нагрузки, приложенной в точке
B, равен прогибу в точке В под действием той же самой нагрузки,
приложенной в точке А. При этом, разумеется, положительные на¬
правления прогибов должны совпадать с положительными направ¬
лениями соответствующих нагрузок.
Теорему взаимности перемещений можно применять и в том слу¬
чае, когда одна нагрузка является силой, а другая — моментом или
15 Механика материалов
450 И. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
когда обе нагрузки представляют собой моменты. Для иллюстрации
первого случая вновь рассмотрим свободно опертую балку при на¬
грузках двух типов, но теперь нагрузке первого типа соответствует
момент М, приложенный в точке А (рис. 11.13). Перемещением,
соответствующим действию момента М, для первой балки будет
М Р
Рис. 11.13. К теореме о взаимности перемещений.
угол поворота 0ОД, а для второй — угол ВаЬ. Повторяя те же рас¬
суждения, что и в предыдущем выводе, получим следующее выра¬
жение для энергии деформации балки при одновременном приложе¬
нии нагрузок М и Р:
V=Ч,м (0вв+е0*)+члр (Ььа+Ььь).
Когда первым прикладывается момент М, а за ним сила Р, то энер¬
гия деформации составляет
О =1/,Мем +Ч*Р6ьь + ЛЮ*»-
Приравнивая эти два выражения, находим
М0аЬ=Р6Ьа. (11.19)
Если нагрузки М и Р численно равны, то перемещения даь и 8Ьа
будут также численно равны. Следовательно, в этом случае теорему
взаимности перемещений можно сформулировать следующим обра¬
зом. Угол поворота в точке А под действием сосредоточенной силы,
приложенной в точке В, численно равен прогибу в точке В под дей¬
ствием момента, приложенного в точке А, если сила и момент чис¬
ленно равны.
Если обе нагрузки, действующие на конструкцию, являются
моментами М (рис. 11.14), то можно записать
еоЬ=еЬа. (П.20)
В этом случае теорема взаимности перемещений утверждает, что
угол поворота в точке А под действием момента, приложенного в
точке В, равен углу поворота в точке В под действием того же мо¬
мента, приложенного в точке А.
Приведенные доказательства теоремы взаимности перемещений
относятся к свободно опертой балке, но, как уже было указано выше,
это делалось с чисто иллюстративными целями. Можно было бы
11.5.
ТЕОРЕМЫ взаимности 451
рассматривать любой иной тип конструкции, такой, как ферма, ра¬
ма или даже сплошное тело, поскольку доказательство основано
только на подсчете энергии деформации и применении способа нало¬
жения. Таким образом, эта теорема носит совершенно общий ха¬
рактер и справедлива для любых конструкций, в которых происхо¬
ди м
я Ь
Рис. 11.14. К теореме о взаимности перемещений.
дят любые деформации: растяжение (сжатие), изгиб, сдвиг и круче¬
ние. Единственное ограничение состоит в том, что должен быть при¬
меним способ наложения, а для этого необходимо, чтобы конструк¬
ция была линейно упругой. Данное условие будет выполнено, если
материал подчиняется закону Гука и прогибы настолько малы, что
все расчеты можно основывать на неизменной форме конструкции 1).
Теорема о взаимности работ. Эта теорема является гораздо более об¬
щей, чем теорема взаимности перемещений, и включает последнюю в качестве ча¬
стного случая. Для доказательства этой теоремы рассмотрим произвольное линей¬
но упругое тело, для которого применим способ наложения (рис. 11.15). Это тело
может представлять собой балку, ферму, раму или конструкцию любого иного
типа, как уже было объяснено выше.
Рис. 11.15. К теореме о взаимности работ.
Рассмотрим две системы нагрузок, приложенных к данной конструкции.
В первую систему (рис. 11.15, а) входят т нагрузок РХч Р2> • • •» Ля> 80 вторую
(рис. 11.15, Ь) п нагрузок • •» 0.П- Перемещения при первой системе нагрузок,
соответствующие различным нагрузкам Р и Ф, обозначаются через б с соответству¬
ющим индексом, указывающим конкретную нагрузку, которой соответствует пере¬
мещение. Например, бр2 — перемещение, соответствующее силе ф2* Это перёме-
1) Теорема о взаимности перемещений впервые была сформулирована Джейм¬
сом Максвеллом и опубликована им в 1864 г. (см [11.1]); ее часто называют теоре¬
мой взаимности Максвелла.
15*
452 //• РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
щение должно измеряться в направлении действия силы ф2* но отсюда не следует,
что точка р, в которой приложена сила С2 (Рис- П-15, а), перемещается только в
этом направлении. Перемещение точки р может иметь и нормальную к линии дей¬
ствия силы ф2 составляющую, но эта составляющая не рассматривается, поскольку
она не соответствует силе <За.
При второй системе нагрузок (рис. 11.15, Ь) ситуация аналогичная; нагрузки (3
вызывают перемещения, часть из которых соответствует силам Р, а остальные си¬
лам (}. Все эти перемещения обозначаются через 6' с индексами, указывающими си¬
лы, которым соответствуют перемещения..
При доказательстве теоремы взаимности работ будем использовать ту же идею
об энергии деформации, что и при доказательстве теоремы взаимности перемеще¬
ний. Если обе системы нагрузок Р и <3 прикладываются к телу одновременно, то
полная энергия деформации (равная работе, совершаемой силами) составляет
I/ = 1/2Р1 (др1 брг) -)-1/2Р2 (бр2 + брг) + •.. + х/г^/я ($Рт + §Рт) +
(брх + брО + УгСг (б<?2 + 6<?а) "1" ‘ * * "Ь УгРя (&()п-\-Ь()п)- (О
Эта энергия деформации должна быть такой же, как и полная энергия деформации,
получаемой, когда сначала прикладывается система нагрузок Р, а затем система
нагрузок (}. Когда прикладываются только нагрузки Р, энергия деформации равна
х1гР 1^Р1 + т$рт' (&)
Когда прикладывается вторая система нагрузок, получаем величину энергии де¬
формации, равную работе, совершаемой силами ф:
• • *+ Хи^п^^п* О1)
и энергию деформации, соответствующую работе сил Р:
Р 1$Я1 + Р2^Я2 -|- • • • + Рт$Рт • (!)
Следовательно, полная энергия деформации (для случая, когда сначала прикла¬
дываются нагрузки Р, а затем нагрузки (?) представляет собой сумму выражений
(2), (Ь) и (1). Приравнивая эту сумму энергии деформации, получаемой при одно¬
временном приложении нагрузок (см. выражение (Г)), можем записать
р1&Р1-\-Р... +Рт&Рт = • • • +
или короче
2л-бр<= 2 <г/б0/. (п.21)
I /= 1
В левой части этого уравнения стоит сумма произведений сил Р на соответствующие
этим силам перемещения, создаваемые силами (}. В правой части записана сумма
произведений сил ф на соответствующие этим силам перемещения, создаваемые си¬
лами Р. Данное уравнение представляет собой запись теоремы взаимности работ,
которая формулируется следующим образом.
Работа, которую совершают силы, относящиеся к первой системе нагрузок,
на соответствующих этой системе перемещениях, создаваемых второй системой
нагрузок, равна работе, которую совершают силы, относящиеся ко второй системе
нагрузок, на соответствующих этой системе перемещениях, создаваемых первой
системой нагрузок.
Теорема взаимности работ применима не только к силам, но и к моментам. На¬
пример, величина Р1 может представлять собой либо силу, либо момент, а соответ¬
ствующее перемещение 6р/ — либо прогиб, либо угол поворота.
Хотя при доказательстве теоремы взаимности работ мы считали, что силы Р
и (} прикладываются к различным точкам конструкции (см. рис. 11.15), делать это
11.6.
МЕТОД ПОДАТЛИВОСТЕЙ 453
было не обязательно. Сила <?!, например, может быть приложена к той же точке
конструкции, что и одна из сил Р, она может даже совпадать с ней по направле¬
нию и величине. Иначе говоря, ни на силы Р, ни на силы не накладываются ни¬
какие ограничения: ни на их число, ни на их направления, ни на размещение то*
чек их приложения. Вследствие такой общности теорема взаимности работ явля*
ется чрезвычайно полезным принципом расчета конструкций. Так же как и теоре*
ма взаимности перемещений, теорема взаимности работ справедлива только для
тех конструкций, для которых можно применять способ наложения1).
Легко видеть, что теорема взаимности перемещений представляет собой част¬
ный случай теоремы взаимности работ. Например, для двух систем нагрузок, пред¬
ставленных на рис. 11.12, а и 11.12, Ь, можно применить теорему взаимности ра¬
бот, которая дает Р&аь~Р&ьа> а отсюда непосредственно следует соотношение
(11.18) теоремы взаимности перемещений. Аналогично, применение теоремы к
двум системам нагрузок, представленным на рис. 11.13, приводит к соотношению
МЪаЬ~РдЬа, совпадающему с (11.19). И, наконец, можно получить соотношение
(11.20), применив теорему взаимности работ к двум системам нагрузок, представ¬
ленным на рис. 11.14.
11.6. МЕТОД ПОДАТЛИВОСТЕЙ
В данном и следующем разделах изложены основные представле¬
ния метода податливостей и метода жесткостей. Эти два метода ле¬
жат в основе исследования многих типов сложных конструкций,
но простоты ради мы ограничимся рассмотрением балок, плоских
рам и плоских ферм. Оба подхода уже были описаны в разд. 1.6
при рассмотрении элементарных задач на растяжение и сжатие
стержней, а метод податливостей обсуждался еще и в связи с иссле¬
дованием статически неопределимых балок (разд. 7.3).
Первый шаг при исследовании конструкций методом податли¬
востей состоит в определении степени статической неопределимости
конструкции, которая представляет собой разность между общим
числом известных силовых факторов (реакций и результирующих
напряжений) и числом тех силовых факторов, которые можно най¬
ти из уравнений равновесия (т. е. числом уравнений равновесия).
Например, двухпролетная неразрезная балка (см. рис. 7.6, а)
однажды статически неопределима, потому что число неизвестных
реакций на единицу превышает то количество неизвестных, кото¬
рое можно найти, используя уравнения равновесия. Аналогично
балка, заделанная по обоим концам (рис. 7.7, а), является дважды
статически неопределимой, поскольку число неизвестных реакций
на два превышает число реакций, которые можно определить из
уравнений равновесия.
Затем после определения степени статической неопределимости
необходимо выбрать равное этой степени число лишних статичес¬
ких неизвестных, которыми могут быть как реакции, так и резуль¬
тирующие напряжений. Эти величины можно рассматривать как
') Теорема взаимности работ была сформулирована Э. Бетти [11.5] и Рэлеем
[11.6—11.8], поэтому она часто называется теоремой взаимности Бетти — Рзлея.
454 Ч- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ и энергетические методы
лишние (или дополнительные) силы, которые не являются необхо¬
димыми для поддержания конструкции в состоянии равновесия.
Вновь обращаясь к двухпролетной балке (рис. 7.6, а), видим, что
если выбрать в качестве лишней неизвестной реакцию средней опо¬
ры и устранить ее из конструкции, убрав саму эту опору, то кон¬
струкция не превратится в механизм, как показано на рис. 7.6, Ь.
Или, в случае балки, представленной на рис. 7.7, а, можно устра¬
нить моменты на обоих концах, сняв ограничения на повороты, и
полученная при этом конструкция (рис. 7.7, Ь) снова сохранит рав¬
новесие. Статически определимая конструкция, которая остается
после отбрасывания лишних неизвестных (путем устранения соот¬
ветствующих опор или ограничений), называется выделенной (или
основной) системой. Ключевым моментом в исследовании статичес¬
ки неопределимой конструкции методом податливостей является
нахождение выделенных лишних неизвестных, поскольку как толь¬
ко они станут известными, остальные силовые факторы можно бу¬
дет определить из уравнений равновесия.
Для того чтобы найти лишние неизвестные, необходимо вычис¬
лить перемещения в основной системе сначала под действием ре¬
альных нагрузок, а затем под действием лишних неизвестных. В по¬
следнем случае лишние неизвестные необходимо рассматривать как
действующие на основную систему нагрузки и вычислить соответ¬
ствующие этим нагрузкам перемещения. Этот шаг облегчаемся ис¬
пользованием единичных значений лишних неизвестных; соответ¬
ствующие этим значениям перемещения основной системы называ¬
ются податливостями.
Зная как податливости, так и перемещения, вызываемые реаль¬
ными нагрузками, приложенными к основной системе, и используя
способ наложения и условия совместности, можно составить систе¬
му уравнений. Число таких уравнений, называемых либо уравне¬
ниями совместности, либо уравнениями способа наложения, равно
числу лишних неизвестных. Таким образом, из этих уравнений
можно определить лишние неизвестные, а затем из уравнений рав¬
новесия найти остальные реакции и результирующие напряжений.
Приведенное выше описание метода податливостей станет по¬
нятнее, если обратиться к конкретному примеру (см. рис. 11.16).
На рис. 11.16, а изображена дважды статически неопределимая
балка; для того чтобы превратить ее в статически определимую,
нужно устранить две лишние неизвестные. Например, если в каче¬
стве лишних неизвестных выбрать вертикальные реакции опор В и
С и затем убрать эти опоры, то основной системой станет консольная
балка (рис. 11.16,6). Можно также выбрать другие пары лишних
неизвестных. Допустим, что за лишние неизвестные приняты реак¬
тивный момент в заделке А и вертикальная реакция опоры В. Тогда
необходимо устранить ограничение на поворот в опоре А и опору,
препятствующую смещению вниз, в точке В\ полученная в резуль¬
11.6.
МЕТОД податливостей 455
тате основная система представляет собой свободно опертую балку
(рис. 11.16, с).
Иные возможный варианты основной системы представлены на
рис. 11.16, 4 и 11.16, е. В первом из них в качестве лишних неизве¬
стных выбраны реактивный момент в заделке А и внутренний изги¬
бающий момент в поперечном сечении В. Следовательно, в основной
Р\ А/, рг р}
А '
<?> 1
А
А
* 1/2 *
. 1Ч*.
Хх Кг
а
Рис. 11.16. К методу податливостей.
системе отсутствуют ограничение на поворот в опоре А и изгибаю¬
щий момент в поперечном сечении В; последнее условие означает,
что в точку В балки врезан шарнир. Наконец, еще одна основная
система (рис. 11.16, е) получается при выборе в качестве лишних
неизвестных реакции опоры В и изгибающего момента в поперечном
сечении В.
Все основные системы, представленные на рис. 11.16, статически
определимы и благодаря надлежащему выбору лишних неизвест¬
ных не являются механизмами. В качестве противоположного при¬
мера отметим, что в качестве лишних неизвестных нельзя выбирать
изгибающий момент в поперечном сечении В и реакцию опоры С,
поскольку соответствующая этому случаю основная система пре¬
вратилась бы в механизм и не смогла бы выдержать какой-либо
приложенной нагрузки.
466 "■ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Продолжая рассмотрение примера, выберем в качестве лишних
неизвестных реакции опор В и С, обозначенные на рис. 11.16, в
через Хг и Хг. Как правило, лишние неизвестные будут обозначать¬
ся буквой X для того, чтобы указать на то, что они являются неиз¬
вестными. Основная система, соответствующая такому выбору лиш¬
них неизвестных, представляет собой консольную балку, изобра¬
женную на рис. 11.16, Ь, и теперь необходимо найти некоторые пере¬
мещения в этой балке, вызываемые как реальными нагрузками, так
и лишними неизвестными. Для того чтобы безошибочно определить,
какие именно перемещения в основной системе потребуются при ре¬
шении задачи, заметим, что уравнения совместности должны выра¬
жать условие отсутствия в реальной балке перемещений, соответ¬
ствующих лишним неизвестным Хг и X, (иначе говоря, отсутствие
вертикальных перемещений в точках В и С балки, изображенной
на рис. 11,16, а). Таким образом, перемещениями, которые должны
быть определены в основной системе, являются перемещения, со¬
ответствующие выбранным лишним неизвестным, т. е. в данном
случае вертикальные смещения в точках В и С.
В примере, представленном на рис. 11.16, а, предполагается,
что действуют три сосредоточенные силы (Ри Р2 и Р3) и момент
Мг. Эти нагрузки, действие которых на основную систему показано
на рис. 11.17, создают перемещения Б1Р и С2/>, соответствующие
лишним неизвестным Хг и Ха. В обозначениях этих перемещений
первый индекс указывает лишнюю неизвестную, которой соответст¬
вует это перемещение, а второй указывает, что перемещения вызы-
стеме, вызванные нагрузками.
ваются действующими на конструкцию нагрузками. На рис. 11.17
перемещения Ь1Р и Огр показаны в соответствии с выбранными для
них положительными направлениями. В общем случае положитель¬
ные йаправления перемещений должны совпадать с положительны¬
ми направлениями лишних неизвестных, которым они соответст¬
вуют.
Далее необходимо рассмотреть перемещения в основной системе,
которые вызываются лишними неизвестными. Для того чтобы найти
эти перемещения, к основной системе по отдельности прикладыва-
11.6.
МЕТОД ПОДАТЛИВОСТЕЙ 457
ются лишние неизвестные Хх и Хг, равные единице по величине.
При действии Л\= 1 (рис. 11.18, а) возникнет перемещение Ри,
соответствующее Хи и перемещение Ра1, соответствующее Хг.
Эти перемещения называются коэффициентами влияния для по¬
датливостей, или просто податливостями, поскольку они отража¬
ют влияние нагрузки, равной единице по величине. Индексы соот¬
ветствуют обычной принятой схеме, согласно которой первый ин¬
декс означает лишнюю неизвестную, которой соответствует переме¬
щение, а второй указывает силовой фактор, вызывающий это пере¬
мещение. Таким образом, Рц— перемещение, соответствующее
С
Рис. 11.18. Податливости.
силе Хи под действием этой силы, величина которой равна единице,
а Р21— перемещение, соответствующее силе Х2, под действием еди¬
ничной силы X!. При Х2=1 (рис. 11.18,6) податливость Рц пред¬
ставляет собой перемещение, соответствующее Хи под действием
единичной силы Хъ, а Рг2— перемещение, соответствующее Хг,
под действием единичной силы Х2. Все четыре коэффициента подат¬
ливостей на рисунке показаны в соответствии с их положительным
направлением. Поскольку основная система представляет собой
статически определимую балку, можно считать, что при помощи
метода единичной нагрузки легко вычислить не только податливо¬
сти, но и перемещенияГ>1р и Д2Р, вызванные реальными нагрузками.
Теперь можно составить уравнения, выражающие условия сов¬
местности в опорах В и С исходной балки. Суммарное вертикаль¬
ное перемещение как в опоре В, так и в С складывается из трех час¬
тей: перемещения под действием заданных нагрузок и перемещений
за счет Хх и Х2- Наложение всех трех перемещений даст полное
перемещение, равное нулю. Таким образом, получим следующие
два уравнения совместности:
&1Р +! + РцХ 2 = 0,
^3Р~\~РР22^2 — 0.
458 Ч- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Эту систему уравнений надо решить относительно лишних неизвест¬
ных Хг и Хг, поскольку все остальные величины, входящие в урав¬
нения, являются известными. При решении системы вызываемые
заданными нагрузками перемещения 01р и Оар переносятся в пра¬
вую часть, в результате чего получаем
“I- == &1Р> /,, пл\
ЛЛ+Л.Х,—о,р.
Когда уравнения записаны в подобной канонической форме, видно,
что податливости являются коэффициентами при лишних неизвест¬
ных, а все члены, включающие в себя нагрузки, находятся в пра¬
вых частях. Таким образом, при изменении действующих на балку
нагрузок будут изменяться только правые части уравнений совме¬
стности. Важно отдавать себе отчет в том, что на податливости, ко*
торые зависят только от свойств самой конструкции, не будет вли¬
ять изменение нагрузок. Столь же важно отметить, что имеет место
соотношение взаимности податливостей
р1*=р,и (11.23)
непосредственно вытекающее из теоремы взаимности перемещений
(см. уравнение (11.18)).
Для того чтобы закончить решение предыдущего примера, предположим, что
балка, изображенная на рис. 11.16, а, имеет на обоих пролетах постоянную жест¬
кость при изгибе Е1 и нагружена следующим образом:
РХ = 2Р, М^РЬ, Рг=Р, Р3 = Р.
Тогда перемещения в основной системе при действии этих нагрузок (см. рис. 11.17),
согласно методу единичной нагрузки, составляют
\ЪР1? п 97 РЬ3
— 24Е/ ’ гр~ 48Е1 '
Оба перемещения направлены вверх; это положительное направление для обеих
лишних неизвестных, и поэтому перемещения записаны со знаком плюс. Податли¬
вости, указанные на рис. 11.18, имеют следующие значения:,
Л. Р -Р Р
3ЕГ и~ и~вЕГ п~ЗЕГ
Подставляя эти величины в уравнения (11.22) и умножая оба уравнения на 48ЕН1?,
получаем
16Х1 + 40Л,, =-26 Р,
40Х,4-128Ха=—97 Р.
Отсюда, решая уравнения относительно лишних неизвестных Хх и Х2, приходим
к следующим результатам:
у 69Р у 8 Р
л* 56” ’ л»=-—•
11.6.
МЕТОД ПОДАТЛИВОСТЕЙ 459
Знак минус при Хг означает, что эта реакция направлена вниз После того как
вышеуказанным способом найдены лишние реакции, остальные реакции и все
результирующие напряжений можно получить из уравнений равновесия
Метод податливостей можно без труда распространить на слу¬
чай любого числа лишних неизвестных. Все идеи и приемы, кото¬
рые обсуждались в связи с приведенным выше примером с балкой,
остаются справедливыми и тогда, когда имеются дополнительные
лишние неизвестные. Для определенности предположим, что кон¬
струкция п раз статически неопределима, и выберем п лишних не¬
известных Хг, X», . . ., Хп Тогда заданные нагрузки при действии
на основную систему вызовут п перемещений, соответствующих п
лишним неизвестным и обозначенных через 01р, й2Р, . . ., ОпР.
В зависимости от вида лишних неизвестных перемещение может
представлять собой смещение (если лишней неизвестной является
сила реакции), поворот (если лишней неизвестной является реак¬
тивный момент), относительный поворот двух элементов друг от¬
носительно друга (если лишней неизвестной является изгибающий
момент) или относительное смещение двух смежных сечений (если
лишней неизвестной является поперечная сила). В случае фермы
лишней неизвестной может служить усилие в одном из ее стержней,
а соответствующим перемещением — относительное смещение двух
поперечных сечений стержня (измеренное вдоль этого стержня).
Далее рассмотрим равные по величине единице лишние неиз¬
вестные, действующие на основную систему, и для каждой такой
нагрузки определим перемещения, соответствующие всем п лишним
неизвестным. Например, при действии на конструкцию нагрузки
Хг— 1 найдем перемещение Ри, соответствующее перемещение
Рп, соответствующее Хл, перемещение Р3г, соответствующее Ха,
и т. д. Затем к конструкции прикладывается нагрузка Х2— 1 и опре¬
деляются перемещения Рц, Рга, Рзл, . . ., Рпл. Продолжая таким
же образом для всех п единичных нагрузок, получаем значения п2
податливостей. Разумеется, как следует из теоремы взаимности
перемещений, при этом будут иметь место попарно равные подат¬
ливости, например: Рц=Ри, Рг9=Р3и Р*з=Ра* и т. д В общем
виде можно записать следующее соотношение взаимности податли¬
востей:
Р„ = Р;г (Н-24)
Это соотношение показывает, что перемещение, соответствующее
лишней неизвестной X, и вызванное равной по величине единице
лишней неизвестной Х;, равно перемещению, соответствующему
лишней неизвестной X, и вызванному равной по величине единице
лишней неизвестной X,.
Следующим шагом в исследовании является составление урав¬
нений совместности. В заданной конструкции будут иметь место
перемещения, соответствующие каждой лишней неизвестной; обо-
460 Ч- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
значим эти перемещения через Ои , /)„• Зачастую эти пере¬
мещения равны нулю, как это было в .примере, представленном на
рис. 11,16, а. Однако если лишней неизвестной является реакция и
если опора, соответствующая этой реакции, перемещается, то пере¬
мещение й будет отлично от нуля. Подобным примером могло бы
служить заданное смещение (вверх или вниз) опор В или С в преды¬
дущей задаче. Используя способ наложения, можно выразить дей¬
ствительные перемещения Я2, . . ., йп как суммы перемещений,
вызванных нагрузками, и перемещений, вызванных лишними не¬
известными; таким образом, уравнения совместности примут вид
Рц^1 + ^18^2+ • • • +?гпХп,
И2 = Игр“Ь р81-^1 “Ь Р22-^2 “Ь • * * Н-Р2П^П> | 2{}^
Оп = Опр + Рп1Х1 + Рп,Х3+ ... +Р„„Хп.
При нахождении различных перемещений в уравнениях (11.25)
следует использовать непротиворечивое правило знаков; в частно¬
сти, каждое перемещение должно браться со знаком плюс, когда
оно совпадает с положительным направлением лишней неизвестной,
которой оно соответствует. Уравнения (11.25) можно переписать
таким образом, чтобы все члены О оказались в правой части, а лиш¬
ние неизвестные — в левой; тогда уравнения примут удобную для
решения каноническую форму.
В данном разделе внимание сосредоточено на конструкциях,
на которые действуют нагрузки, но не представляет принципиаль¬
ной трудности учесть при исследовании и иные эффекты, скажем из¬
менение температуры. Такие эффекты также вызывают перемеще¬
ния в основной системе, которые можно включить в уравнения сов¬
местности, добавив их к вызываемым нагрузками перемещениям.
Поскольку в основе как метода податливостей, так и метода
жесткостей, который будет описан в следующем разделе, лежит
способ наложения, в этих двух разделах могут обсуждаться только
линейно упругие конструкции *). Метод податливостей называют
также методом сил, поскольку в уравнениях в качестве неизвестных
фигурируют силы, а иногда и методом совместности, что объясня¬
ется самим происхождением уравнений 2).
Пример 1. Этот пример иллюстрирует расчет неразрезной балки методом
податливостей с использованием в качестве лишних неизвестных внутренних изги¬
бающих моментов. На трехпролетную балку АВСй (рис. 11.19, а) действует рав-
г) Исследование нелинейных конструкций с помощью энергетических методов
будет обсуждаться в разд. 11.8—11.13.
2) Метод податливостей впервые был предложен Дж. К- Максвеллом в 1864 г.
и О. Мором в 1974 г. (см. [11.11 и [11.13]), поэтому он также известен как метод
Максвелла — Мора. Впоследствии метод был значительно развит и в настоящее
время находит широкое применение; дополнительные сведения о нем можно кай-
ти в учебниках по расчету конструкций [11.14—11.19].
11.6.
МЕТОД ПОДАТЛИВОСТЕЙ 461
лШХЕШ
\ с \
А/2.
1/2 \ 1/2
щ
Г12 Р12
Т ><\//<
\\\\\\Ч С
е
Рис. 11.19. Пример 1: Метод податливостей.
номерно распределенная по пролету АВ нагрузка интенсивностью ц и две сосредо¬
точенные силы Р в пролетах ВС и С^. Поскольку конструкция дважды статически
неопределима, необходимо выбрать две лишние неизвестные. В данном примере
выбираем изгибающие моменты в сечениях над опорами В и С. Эти изгибающие
моменты исключаются врезанием в балку шарниров у опор В и С, так что полу¬
чается основная система, состоящая из трех свободно опертых балок (рис. 11.19, Ь).
462 П. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Лишние неизвестные—изгибающие моменты, обозначенные через Хг и Х2, —
также показаны на рис. 11.19, Ь.
Каждая лишняя неизвестная состоит из двух изгибающих моментов, действу¬
ющих на каждую из смежных балок рассматриваемой конструкции. Например,
лишняя неизвестная Хг включает направленный против часовой стрелки изгибаю¬
щий момент, действующий на балку АВ, и изгибающий момент, направленный
по часовой стрелке и действующий на балку ВС. Положительные направления
лишних неизвестных соответствуют такому направлению изгибающего момента,
при котором верхние волокна балки сжимаются.
Поскольку каждая лишняя неизвестная состоит из двух моментов, перемеще¬
ния в основной системе, соответствующие лишним неизвестным, представляют собой
сумму двух углов поворотов (по одному для каждой из смежных балок). Например,
перемещение, соответствующее Хх, состоит из поворота против часовой стрелки
конца В балки А В плюс поворот по часовой стрелке конца В балки ВС.
Перемещения Охр и Э.лр, соответствующие лишним неизвестным Хх и Х2 и
вызываемые нагрузками, действующими на основную систему, показаны на
рис. 11.19, с. Поскольку поворот против часовой стрелки конца В балки А В под
действием равномерно распределенной нагрузки составляет дЬ3/(24Е1), а пово¬
рот по часовой стрелке конца В балки ВС под действием нагрузки Р равен
РЬ2/(16Е1), перемещение Огр равно
дЬ* РЬ*
1/> —24^/_г 16^/ *
Аналогичным путем найдем перемещение й2/>:
__ РЬ* РЬ* РЬ*
2Р~~\6Е1 + \6Е1~~8ЕГ
Податливости для балки нужно определять следующим образом. На
рис. 11.19, с/ и 11.19, е представлены равные по величине единице лишние неиз¬
вестные Хх и Х2, действующие на основную систему. На рисунках показаны также
четыре податливости. Например, податливость Ри представляет собой сумму
двух поворотов в точке В: один поворот относится к пролету АВ, а другой — к
пролету ВС. Однако податливость Р2Х равна повороту одного пролета ВС, пос¬
кольку поворот пролета Сй равен нулю. Аналогичное пояснение относится и к
податливостям Р12 и Р22, представленным на рис. 11.19, в. Теперь уже не представ¬
ляет труда записать выражения для всех этих коэффициентов податливости:
р Ь Ь ... р ^ | Ь 2Ь _ _ Ь
Гп~~ЗЕ1~*~ЗЕ1~~ЗЕГ 22~ЗЕ1~^ЗЕ1^Ш9 'и-**
Затем значения перемещений Охр и Э2Р и коэффициенты податливости можно
подставить в уравнения совместности (11.22), которые принимают вид
21 у . Ь у ___ дЬ* РЬ2
ЗЕ1 Л1^.6Е1 2
Ь у . 2Ь РЬ а
6Я/ г^ЗЕ/ 2 827*
Решая эту систему уравнений относительно лишних неизвестных, т. е. изгибающих
моментов Хх и Х2, получаем
у _ ЯЬ* РЬ дь* 7рь
15 20 ’ 60 40“*
Поскольку величина Хх отрицательна, изгибающий момент в сечении В исходной
балки вызывает сжатие нижних волокон балки. Момент Х2 может быть как поло¬
11.6.
МЕТОД ПОДА ТЛИВОСТЕЙ 463
жительным, так и отрицательным в зависимости от относительных величин на¬
грузок. Определив эти изгибающие моменты в промежуточных опорах, из уравне¬
ний статического равновесия можно найти остальные изгибающие моменты, воз¬
никающие в балке, а также все поперечные силы и реакции.
Пример 2. Плоская ферма (рис. 11.20, а) имеет шарнирные соединения во
всех узлах и нагружена двумя вертикальными силами Р и горизонтальной силой
Р/2. Жесткость при растяжении (сжатии) вертикальных и горизонтальных стерж¬
ней фермы составляет ЕР, а для наклонных стержней она равна 2ЕР. Эта ферма
дважды статически неопределима, как видно из того, что два ее стержня (наклон¬
ные стержни АЕ и ЕС) являются лишними с точки зрения получения статически
определимой конструкции, не превращающейся в механизм. Таким образом, в ка¬
честве лишних неизвестных (соответственно Хх и Х2) можно выбрать усилия (по¬
ложительные при растяжении) в этих двух стержнях. Разумеется, в качестве лиш¬
них неизвестных можно было бы выбрать и усилия в других стержнях и каждый та¬
кой выбор даст различную основную систему. В данном случае мы выбрали за
лишние неизвестные усилия в стержнях АЕ и ЕС, разрезав эти стержни в произ¬
вольном месте между концевыми узлами. Разрезанные стержни должны входить в
основную систему (см. рис. 11.20, Ь), так как при расчете перемещений в основной
системе следует учитывать деформации этих стержней.
Каждая лишняя неизвестная состоит из двух сил, действующих на основную
систему (рис. 11.20, Ь), аналогично двум изгибающим моментам, являющимся лиш¬
ними неизвестными в предыдущем примере (см. рис. 11.19, Ь). Предполагается, что
положительные направления этих сил соответствуют растяжению стержня; если
в окончательных результатах расчета окажется, что величина Хх или Х2 отрица¬
тельна, то это означает, что действительное усилие в стержне является сжимаю¬
щим.
Перемещение, соответствующее как Хх, так и Х2, состоит в относительном
смещении концов разреза стержня. Когда концы разреза сближаются, направле¬
ние перемещения совпадает с положительным направлением лишней неизвестной
и также будет положительным. Когда же концы разреза удаляются друг от друга,
увеличивая таким образом ширину разреза, перемещение является отрицательным.
Следующий этап расчета состоит в определении перемещений в основной сис¬
теме, соответствующих Хг и Х2 и создаваемых заданными нагрузками. Эти пере¬
мещения Охр и б2р показаны на рис. 11.20, с парами стрелок. (Подобное представ¬
ление перемещений используется вместо вычерчивания деформированной конфи¬
гурации фермы, поскольку такой чертеж оказался бы весьма сложным.) Расчет
этих перемещений проводится непосредственно методом единичной нагрузки (см.
разд. 11.3), и здесь приводятся только окончательные результаты:
401 РЬ „ 2783 РЬ
1Р~ 480 ЕР ’ 2Р~ 480 ЕР'
Знак минус означает, что концы разрезов удаляются друг от друга.
Податливости для фермы представлены на рис. 11.20, й и 11.20, е. На
рис. 11.20, д. в качестве нагрузки действует равная по величине единице сила Х1г
а на рис. 11.20, е — тоже равная по величине единице сила Х2. Как и ранее, по¬
датливости являются перемещениями в основной системе, соответствующими Хг и
Х2; например, Р2\— перемещение, соответствующее лишней неизвестной Х2 и
вызываемое равной по величине единице силой Хг. Используя для отыскания этих
податливостей метод единичной нагрузки, важно представлять себе, что разрезан¬
ные стержни являются частью основной системы и их нельзя игнорировать. Так, в
стержне АЕ, показанном на рис. 11.20, с1, под действием^ нагрузки ^=1 возникает
усилие, равное +1, и при расчетах методом единичной нагрузки следует прини¬
мать во внимание наличие этого усилия. Проведенные расчеты дают следующие
значения податливостей:
307 Ь 27 Ь „ 307 Ь
а а с
р р
Рис. 11.20. Пример 2. Метод податливостей.
11.6.
МЕТОД ПОДА ГЛИВОСТбЙ 465
Уравнения совместности (см. уравнения (11.22)) принимают вид
307 А. у ,27 А. У 401 Я6
25“ ЕР 1'25 ЕР 480 ЕР *
27 Ь у ,307 Ь_у 2783 РЬ
25 ЕР Л1+ 25 ЕР 480 ЕР ’
откуда
<Х1 = 0,027/\ Х2 = 0,470Р.
Из этих результатов следует, что оба усилия Хх и Х% являются.растягивающими.
Теперь, определив значения этих лишних неизвестных, можно найти усилия во
всех остальных стержнях фермы.
Пример 3. Плоская уголковая рама АВС (рис. 11.21, а) заделана на конце
А и шарнирно закреплена на конце с. Узел В обеспечивает неподвижное соеди¬
нение между балками А В и ВС, имеющими одинаковую жесткость при изгибе/:/
Рис. 11.21. Пример 3. Метод податливостей.
и одинаковую длину Ь. На раму действуют равномерно распределенная по балке
ВС нагрузка интенсивностью и сосредоточенный изгибающий момент М=2дЬ2,
приложенный к узлу В. Рассчитаем эту дважды статически неопределимую раму
при помощи метода податливостей.
Две реакции опоры С выбираются в качестве лишних неизвестных Хг н Х2
(рис. 11.21, а). Соответствующая основная система, на которую действуют задан¬
ные нагрузки, изображена на рис. 11.21, Ь. Эти нагрузки вызывают перемещения
йхр и 0ар точки С, соответствующие Хх и Х2. Положительные направления этих
466 */• РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
двух перемещений на рисунке показаны стрелками. Это сделано для того, чтобы
избежать необходимости рисовать деформированную форму конструкции. Оба
перемещения можно найти методом единичной нагрузки, откуда получаем
п - 3^4 л И^4
1Р 4ЕТ 9 2Я~ 8Е/ •
Податливости изображены на рис. 11.21, с и где для простоты перемещения
снова представлены стрелками. Эти податливости, найденные при помощи метода
единичной нагрузки, равны
Ь* Ь* 4ЬВ
Рп=Ш1' р12~рп~~ ШТ' Рга=зЁ7'
В этом примере некоторые податливости оказались отрицательными, но это не
является чем-либо необычным. Как правило, податливости, обозначенные двумя
различными индексами, такие, как РХ2 и Р21, могут быть как положительными, так
и отрицательными в зависимости от выбранных положительных направлений лиш¬
них неизвестных. С другой стороны, податливости, обозначенные двумя одина¬
ковыми индексами, такими, как Р119 всегда положительны, поскольку перемеще¬
ние всегда происходит в направлении вызывающей его единичной нагрузки.
Подставив предыдущие выражения в уравнения совместности (11.22) и умно¬
жив первое уравнение на 12ЕШ3, а второе — на 24Е///Д получим
4Х1—6Х2 = 9 дЬ,
—12Х1+32Х2 = ~33^.
Решением этой системы уравнений будет
у 4ЪдЬ у 3дЬ
Л1“~ 28 • 7 *
Следовательно, горизонтальная реакция шарнира С (рис. 11.21, а) направлена
вправо, а вертикальная реакция — вниз. Используя значения Хг и X*, из урав¬
нений равновесия можно найти остальные реакции, а также и все результирующие
напряжений.
В данном расчете принималось во внимание только влияний деформаций из¬
гиба. Однако не представляет труда рассмотреть влияние продольных деформаций,
а также деформаций сдвига. Эти влияния можно включить в расчет, учитывая их
при нахождении перемещений в выделенной конструкции, т. е. при использовании
метода единичной нагрузки для нахождения перемещений ОгР и й2р, а также по¬
датливостей. В случае плоской рамы, как правило, оказывается, что влияния про¬
дольных деформаций и деформаций поперечного сдвига пренебрежимо малы по
сравнению с влиянием деформаций изгиба.
11.7. МЕТОД ЖЕСТКОСТЕЙ
Этот метод, по-видимому, используется при расчете конструк¬
ций более широко, чем метод податливостей, особенно для больи их
и сложных конструкций. Такие конструкции требуют использова¬
ния ЭВМ для проведения обширных численных расчетов, а метод
жесткостей гораздо больше подходит для программирования на
ЭВМ, чем метод податливостей. Причина состоит в том, что метод
жесткостей можно свести к стандартной процедуре, при реализа¬
ции которой в ходе вычислений не потребуется какого-либо обсуж¬
дения физики рассматриваемой задачи. Например, неизвестные ве¬
11.7.
МЕТОД ЖЕСТКОСТЕЙ 467
личины в методе жесткостей выбираются вполне определенным об¬
разом (это будет показано ниже), в то время как в методе податливо¬
стей имеется возможность различного выбора лишних неизвестных.
При расчете конструкции с помощью метода жесткостей исполь¬
зуются представления о кинематической неопределимости, наложе¬
нии дополнительных связей и жесткостях; все эти понятия будут
сейчас пояснены.
Кинематическая неопределимость. *В методе жесткостей
неизвестными величинами при расчете являются перемещения узлов
конструкции (подобно тому, как в методе податливостей лишними
неизвестными были реакции и результирующие напряжений).
Узлами конструкции по определению являются точки, в которых
пересекаются два ее элемента (или несколько элементов), точки
опор и свободные концы элементов. При нагружении конструкции
во всех или в некоторых ее узлах будут происходить перемещения
(смещения и повороты). Разумеется, перемещения в некоторых
узлах будут равны нулю в силу наложенных связей; например, в
заделке будут отсутствовать любые перемещения. Неизвестные пере¬
мещения в узлах называются кинематическими неизвестными,
а их число называется либо степенью кинематической неопределимо¬
сти, либо числом степеней свободы перемещений в узлах.
Для того чтобы пояснить понятие кинематической неопредели¬
мости, полезно рассмотреть несколько примеров. Начнем с неразрез¬
ной балки, изображенной на рис. 11.16, а. Узел А этой конструк¬
ции представляет собой заделку, и в нем не могут возникать никакие
перемещения, но в узлах В и С возможны повороты. Таким обра¬
зом, имеется два неизвестных перемещения в узлах, которые необ¬
ходимо вычислить при расчете этой балки с помощью метода жестко¬
стей; следовательно, балка является дважды кинематически неопре¬
делимой. Если кроме деформаций изгиба в балке происходили и
продольные деформации, то в узлах В и С наряду с поворотами воз¬
никли бы и горизонтальные смещения; в этом случае было бы уже
четыре кинематических неизвестных.
Статически определимая консольная балка (рис. 11. 6, а) явля¬
ется дважды кинематически неопределимой, поскольку при этом
имеется два неизвестных перемещения в узле (смещение в верти¬
кальном направлении и поворот на свободном конце). Если имеют
место и продольные деформации, то число кинематической неопре¬
делимости возрастает до трех, поскольку еще одной неизвестной
становится горизонтальное смещение.
Другой пример с балкой приведен на рис. 11.19, а. Эта трех¬
пролетная неразрезная балка является четырежды кинематически
неопределимой, если принимать во внимание только деформации
изгиба, поскольку при этом имеется четыре неизвестных угла пово¬
рота в узлах. Таким образом, при использовании метода жесткостей
468 Ч- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
требуется решить систему из четырех уравнений, а при использо¬
вании метода податливостей — из двух. На основании этого примера
может показаться, что метод податливостей всегда приводит к мень¬
шему числу уравнений, чем метод жесткостей, но такого рода пред¬
ставление можно быстро рассеять, рассмотрев двухпролетную балку
АВС (рис. 11.22). Если пренебречь продольными деформациями, тр
Рис. 11.22.
эта балка однажды кинематически неопределима, поскольку един¬
ственным неизвестным перемещением является поворот в узле В,
в то время как степень статической неопределимости равна трем.
Другим примером служит заделанная по обоим концам балка,
которая дважды неопределима статически, если рассматриваются
только деформации изгиба, но определима кинематически.
Теперь рассмотрим плоскую ферму (рис. 11.20, а). Узел А этой
фермы может иметь две независимые составляющие перемещения
(смещения в горизонтальном и вертикальном направлениях), а от¬
сюда следует, что конструкция имеет две степени свободы. Поророт
узлов этой фермы не имеет физического смысла, поскольку стержни
фермы не изгибаются. Узлы В, С и Е также имеют по две степени
свободы каждый, в то время как закрепления узлов О и Р таковы,
что один из них не имеет ни одной степени свободы, а другой имеет
только одну. Следовательно, общее число степеней свободы фермы
равно девяти, и она является девять раз кинематически неопредели¬
мой. Это означает, что при расчете такой фермы методом жесткостей
требуется решить систему из девяти уравнений, в которых неизвест¬
ными являются девять смещений в узлах.
На рис. 11.21, а представлен другой пример кинематически не¬
определимой конструкции. Поскольку конец А заделан, в этом узле
перемещения отсутствуют. Однако узлы В и С могут поворачивать¬
ся,и, таким образом, рама является дважды кинематически неоп¬
ределимой. Если при расчете учитывать продольные деформации,
то в узле В появятся еще два дополнительных неизвестных пере¬
мещения (горизонтальное и вертикальное), в результате чего рама
станет четырежды кинематически неопределимой *)•
Реакции в заделанном конце. В методе жесткостей приходится
постоянно сталкиваться с заделанными по обоим концам балками,
х) Подробное обсуждение понятия кинематической неопределимости содер¬
жится в [11.14].
11.7.
МЕТОД ЖЕСТКОСТЕЙ 469
поскольку одним из первых шагов метода является ограничение всех
неизвестных перемещений в узлах. Наложение таких ограничений
превращает неразрезную балку или плоскую ферму в совокупность
заделанных по обоим концам балок. Следовательно, при этом необ¬
ходимо иметь легко доступный набор формул для определения
реакций в обоих заделанных концах балок. Эти реакции в заделан-
М
1Хп;тодУ
с
А *
Е—Ц1/2 М=(\1г/\1
<1ми
’м
Я=Р/г М=Р1/Ь
а Ь
Рис. 11.23. Реакции в заделанных концах.
ных концах включают как силы, так и моменты. Величины реакций
в заделанных концах для двух широко распространенных видов
нагружения указаны на рис. 11.23 1).
Жесткости. В методе податливостей используются перемеще¬
ния, вызываемые единичными нагрузками; эти перемещения назы¬
ваются податливостями. Как покажут последующий рассуждения, в
4Е/Д
Ш/1^- 4шд> 12«Д’|- •$' га/1*
а Ъ
Рис. 11.24. Жесткость элемента.
методе жесткостей будут использоваться реакции в заделанных кон¬
цах, возникающие при единичных перемещениях. Эти перемещения
могут быть как единичными смещениями, так и единичными поворо¬
тами, а соответствующие им реакции — как силами, так и момен-
бЕ1/1*
1
*) Обширная таблица формул для реакций в заделанных концах, охватываю¬
щая двадцать пять различных видов нагружения, приводится на стр. 269 книги
[11.20].
470 Ч- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЯ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
тами. Реакции, вызываемые единичным перемещением, называются
коэффициентами влияния жесткостей или (жесткостями. Часто
нужно знать жесткости отдельных элементов конструкции. Эти
величины называются жесткостями элемента конструкции; два
весьма важных их примера показаны на рис. 11.24. На рис. 11.24, а
приводится заделанная по концам балка А В, правому концу кото¬
рой задан единичный угол поворота. В результате этого единичного
перемещения на обоих концах балки возникают реакции. Момент,
возникающий на конце В, составляет 4Е1/Ь, в то время как момент
на противоположном конце равен 2ЕИЬ. Силы реакции на концах
балки равны 6Е1/Ьг каждая, а направления их указаны на рисунке.
Аналогичным образом единичное смещение правого конца балки
создаст реакции, которые показаны на рис. 11.24, Ь. Все эти реакции
представляют собой жесткости элемента конструкции, поскольку
являются реакциями в 'заделанных концах этого элемента при за¬
дании единичного перемещения на одном конце 1).
Метод жесткостей. Теперь, после некоторых предваритель¬
ных соображений и определений, можно перейти непосредственно к
расчету конструкции методом жесткостей. Этот метод отличается от
метода податливостей своей физической сущностью, но в обоих слу¬
чаях требуется решить систему уравнений и в обоих случаях эта
система уравнений получается при помощи способа наложения; по¬
этому область применения обоих методов ограничена линейно
упругими конструкциями с малыми прогибами. В методе податли¬
востей неизвестными^величинами являются лишние реакции опор,
а в методе жесткостей — перемещения в узлах конструкции. Следо-
Ч
а
с
6
Рис. 11.25. К методу жесткостей.
х) Более полное обсуждение жесткостей элементов см. в [11.141.
11.7.
МЕТОД ЖЕСТКОСТЕЙ 471
вательно, в методе жесткостей число неизвестных, которые нужно оп¬
ределить, равно степени кинематической неопределимости.
Для того чтобы проиллюстрировать концепции метода жестко¬
стей в их простейшей форме, рассмотрим балку, изображенную на
рис. 11.25, а. Эта балка имеет заделку на конце А и подвижный
шарнир на конце В; на нее действует равномерно распределенная
нагрузка интенсивностью В этом случае балка является однажды
кинематически неопределимой, поскольку имеется только одно не¬
известное перемещение в узле — поворот в опоре В, обозначенный
через Э.
В методе податливостей статически определимую выделенную
конструкцию получают разрезанием или каким-либо иным измене¬
нием действительной конструкции, в результате чего устраняются
лишние неизвестные. Аналогичная операция в методе жесткостей
состоит в получении кинематически определимой конструкции та¬
ким изменением действительной конструкции, что все неизвестные
перемещения в узлах обращаются в нуль. Поскольку неизвестными
перемещениями являются смещения и повороты в узлах, то сделать
их равными нулю можно закреплением узлов конструкции, кото¬
рое препятствовало бы таким перемещениям. Конструкция, полу¬
чающаяся в результате закрепления всех узлов, называется закреп¬
ленной конструкцией. Для изображенной на рис. 11.25, а балки за¬
крепленная конструкция получается путем «запрещения» поворота
в узле В, причем величина й становится равной нулю. Таким обра¬
зом, закрепленная конструкция представляет собой заделанную по
обоим концам балку (рис. 11.25, Ь).
Когда на закрепленную конструкцию действует равномерно рас¬
пределенная нагрузка (рис. 11.25, Ь), в заделках на концах возни¬
кают различные реакции (силы и моменты). В частности, возникнет
момент в узле В. Этот момент является реакцией, соответствующей
неизвестному перемещению й в данном узле и обусловленной при¬
ложенными к закрепленной конструкции нагрузками. Поэтому
указанный момент мы обозначим через Ар, причем смысл этого обо¬
значения состоит в следующем. Буква А обозначает реакцию за¬
делки (силу или момент), а индекс Р указывает на то, что она вызы¬
вается нагрузками, действующими на закрепленную конструкцию.
Поскольку этот момент соответствует неизвестному перемещению й
в узле, то он будет положителен, если его направление совпадает
с направлением перемещения И, т. е. если он направлен против
часовой стрелки, как показано на рисунке. Момент Ар представляет
собой реакцию заделки, которую легко найти по формулам, приве¬
денным на рис. 11.23, а, откуда получаем
(а)
Знак минус здесь необходим в силу правила знаков, указанного
выше.
II. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Поскольку закрепленная балка не имеет поворота в узле В,
теперь необходимо наложить другое условие нагружения с тем, что¬
бы учесть действительный поворот узла. Этот шаг облегчается при¬
ложением к закрепленной конструкции единичного неизвестного
перемещения; это аналогично соответствующему шагу в методе
податливостей, когда берутся единичные значения лишних неизве¬
стных. Единичный поворот ф=1) показан на рис. 11.25, с. Реак¬
ция на конце В, соответствующая неизвестному перемещению 1>
узла, представляет собой коэффициент влияния жесткости 5, по¬
скольку она вызывается единичным перемещением конструкции.
Эта жесткость, согласно формулам, приведенным на рис. 11.24, а,
составляет
Теперь нетрудно записать уравнение совместности реакций,
решение которого дает значение неизвестного перемещения й в уз¬
ле. Из рис. 11.25 можно видеть, что реакции заделки и перемещения
для балки, изображенной на рис. 11.25, Ь, в сумме с умноженными
на величину Ь реакциями и перемещениями для балки, изображен¬
ной на рис. 11.25, с, дадут реакции и перемещения для действитель¬
ной балки (рис. 11.25, а). Таким образом, можно составить уравне¬
ние совместности реакций, соответствующих неизвестному'переме¬
щению 2Э. В исходной балке реакцией, соответствующей перемеще¬
нию Ь, будет направленный против часовой стрелки момент в узле
В. В данном примере такой нагрузки на балку нет, но для того, что¬
бы реализовать эту возможность, обозначим через А реакцию для
исходной балки, соответствующую перемещению й. Эта реакция А
равна сумме соответствующей реакции для нагруженной закреп¬
ленной балки (рис. 11.25, Ь) и умноженной на величину О соответ¬
ствующей реакции для закрепленной балки при единичном переме¬
щении (рис. 11.25, с). Таким образом, уравнение совместности реак¬
ций принимает вид
Эго уравнение можно решить относительно неизвестного перемеще¬
ния I). Выше уже бьцю указано, что в данном примере А— 0; кроме
того, величины Ар и 5 определяются формулами (а) и (Ь). Подста¬
вив эти величины в уравнение (11.26), получим
4Е1
~ I •
(Ь)
Л=/4Р+50
(11.26)
откуда
11.7.
МЕТОД ЖЕСТКОСТЕЙ 473
Итак, поворот в узле В определен. Знак плюс в этом выражении оз¬
начает, что поворот имеет выбранное положительное направление
(против часовой стрелки).
В приведенном решении задачи об определении перемещения
О узла используется уравнение совместности (11.26) для реакций,
соответствующих перемещению О. В это уравнение входят изгибаю¬
щие моменты, обусловленные приложенными к закрепленной кон¬
струкции нагрузками и поворотом конца В закрепленной конструк¬
ции. Последний член представляется произведением момента, обус¬
ловленного единичным неизвестным перемещением (коэффициента
жесткости), на само неизвестное перемещение. Эти два эффекта
суммируются алгебраически с использованием одинакового для
всех членов уравнения правила знаков, в результате чего полу¬
чается суммарный эффект для исходной конструкции. Уравнение
совместности реакций часто называют уравнением равновесия,
поскольку оно выражает условие локального равновесия реакций
в узле.
После того как поворот в узле В балки, показанной на рис. 11.25,
найден, можно определить остальные неизвестные — реакции и ре¬
зультирующие напряжений. Предположим, например, что требуется
найти вертикальную реакцию /?а опоры А (рис. 11.25, а). Эта сила
равна сумме соответствующей реакции На для закрепленной бал¬
ки, изображенной на рис. 11.25,6, и умноженной на величину
перемещения й реакции К'а (рис. 11.25, с). Таким образом, реак¬
цию /?0 можно определить из следующего уравнения совместности
реакций:
= + (с)
Реакции и К’а для закрепленной балки можно найти по форму¬
лам, приведенным на рис. 11.23 и 11.24, что дает:
по ЯЬ р' 61Г/
Да — "2" 9 ^2 •
Подставив в уравнение (с) эти величины вместе с найденным ранее
значением перемещения О, получим
Дв = */в<7^
Найдя эту реакцию, из уравнений статического равновесия можно
определить все остальные реакции и результирующие напряжений.
Если степень кинематической неопределимости конструкции
больше единицы, то потребуется составить дополнительные урав¬
нения совместности реакций. Для того чтобы продемонстрировать
соответствующую процедуру, рассчитаем теперь при помощи мето¬
да жесткостей ту же самую двухпролетную балку (рис. 11.26, а),
которая ранее была использована в качестве примера при изложении
метода податливостей. Эта балка дважды кинематически неопреде¬
474 II- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
лима, поскольку существует два неизвестных перемещения — пово¬
роты в узлах В и С, обозначенные соответственно через ^ и О,
и считающиеся положительными при направлении против часовой
стрелки. Непосредственной целью расчета является определение
этих величин.
5»
н'^с 4
Рис. 11.26. К методу жесткостей.
Первый шаг расчета состоит в наложении фиктивных закреп¬
лений на узлы В и С для предотвращения поворотов в них. Полу¬
ченная в результате закрепленная конструкция состоит из двух за¬
деланных по обоим концам балок (рис. 11.26, Ь). При этом предпола¬
гается, что на закрепленную конструкцию действуют все нагрузки,
за исключением тех, которые соответствуют неизвестным переме¬
щениям. Поэтому на рис. 11.26, Ь показаны только силы Рь и
МЕТОД ЖЕСТКОСТЕЙ 475
Р3, а все нагрузки, соответствующие неизвестным перемещениям,
такие, как момент Мх в данном примере, будут учтены впоследствии.
Показанные на рисунке моменты А1риА2р являются реакция¬
ми для закрепленной конструкции. Они соответствуют неизвестным
перемещениям Ох и Оа и вызываются нагрузками *). Эти моменты
можно найти по формулам для реакций заделки; например, А1Р
представляет собой алгебраическую сумму реактивного момента
опоры В, вызванного действием силы Рх на участок АВ балки, и
реактивного момента той же опоры В, вызванного действием силы
Ра на участок ВС балки. В результате получим
^1Р = -1/8Р1^ + 1/8/>а1, А2Р = -У,Р2Ь. (д)
Для того чтобы найти жесткости в узлах В а С, введем единич¬
ные перемещения Ох и 02 в закрепленной конструкции. Единичное
перемещение, соответствующее Оь представляет собой поворот в
узле В на единичный угол (рис. 11.26, с). Перемещение О„ в данном
случае остается равным нулю.
Соответствующая перемещению Ох жесткость обозначается че¬
рез 5ц, причем первый индекс обозначает то перемещение, которо¬
му соответствует жесткость, а второй — причину, вызывающую это
перемещение (а именно единичное перемещение Ох). Аналогично
другая жесткость обозначается через 32и поскольку она соответст¬
вует перемещению Оа и вызывается единичным перемещением Ох.
Условие Оа=1 показано на рис. 11.26, й. Жесткость 512 представ¬
ляет собой реакцию, соответствующую перемещению Ох и обуслов¬
ленную единичным перемещением Оа, а жесткость 5аа—реакцию,
соответствующую перемещению Оа и обусловленную единичным
перемещением 02. Все эти жесткости легко подсчитать по представ¬
ленным на рис. 11.24 жесткостям для элементов конструкции.
Таким образом, когда балка поворачивается в узле В на единич¬
ный угол, в этом узле возникают направленный против часовой
стрелки изгибающий момент, равный 4Е//1 и обусловленный по¬
воротом конца элемента АВ, и направленный против часовой стрел¬
ки момент, равный 4ЕИ1 и обусловленный поворотом конца эле¬
мента ВС. Поэтому суммарный момент в узле В, равный жесткости
5хх, составляет
_ 4Е1 . 4Е1 _ 8Е1
I ' Т I '
Жесткость 5а1 представляет собой момент, возникающий в узле С
при повороте на единичный угол в узле В, она равна
с —2Е1
г>2х—2Г‘
*) Отметим, что реакции А1Р и А2Р аналогичны величинам й1Р и йгР в методе
податливостей, представляющим собой перемещения в основной системе, соответ¬
ствующие лишним неизвестным Хх и Х3 и вызываемые заданными нагрузками.
476 Н. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Величины 5ц и 52, положительны, поскольку направления момен¬
тов совпадают с положительным направлением неизвестных поворо¬
тов и О 2- Жесткости 5ц, и 5М, показанные на рис. 11.26, й,
имеют вид
с _2Е; с _ 4Е/
о18— ^ ^ .
Четыре упомянутые жесткости носят название узловых жесткостей,
так как они представляют собой реакции в узлах конструкции,
возникшие при задании единичных неизвестных перемещений в уз¬
лах. В общем случае узловые жесткости получаются суммирова¬
нием жесткостей сходящихся в узлах элементов. Кроме того, из
этого примера можно видеть, что
512=521. (11.27)
Такое соотношение взаимностей для жесткостей выполняется в об¬
щем случае и аналогично соотношению взаимности для податли¬
востей (11.23).
Теперь можно записать два уравнения равновесия для реакций,
соответствующих перемещениям Иг и О*. Обозначим соответствую¬
щие перемещениям Ьг и Е>г реакции для исходной конструкции че¬
рез Аг и Аг. В данном примере реакция Ах равна моменту Ми
а реакция Л2 равна нулю из-за отсутствия в точке С изгибающего
момента, действующего на исходную балку.
Уравнения равновесия выражают условие равновесия моментов
в точках В и С. Они получаются способом наложения в соответст¬
вии с условием, что реакции для исходной конструкции (рис. 11.26,
а) равны сумме соответствующих реакций для закрепленной конст¬
рукции, вызванных нагрузками (рис. 11.26, Ь), и произведений
соответствующих реакций для закрепленной конструкции, вызван¬
ных единичными перемещениями (рис. 11.26, с и У), на величины
перемещений. Таким образом, уравнения равновесия имеют вид
^1= А1Р~\~ ...
= + {1иМ)
Правило знаков, использованное при составлении этих уравнений,
состоит в том, что реакции считаются положительными, если они
совпадают по направлению с соответствующими неизвестными пере¬
мещениями. Из уравнений (11.28) можно найти неизвестные переме¬
щения йх и И 2.
Для того чтобы найти решение уравнений равновесия в явном виде и тем са-
мым закончить рассмотрение предыдущего примера, используем те же самые зна¬
чения для нагрузок, что и в примере для метода податливостей, а именно:
РХ = 2Р, М^РЬ, Рг = Р, Р» = Р.
11.7.
метод жесткостей 477
Подставив эти значения в соотношения (4), получим следующие величины реакций
для закрепленной конструкции, соответствующие перемещениям и Ош:
Л1Р = -1/шР1. Л* =
Из приведенного видно, что нагрузка Р8 не оказывает влияния на реакции Ахр и
Л2р, а поэтому и на перемещения в узлах Ох и Оа. Однако эта нагрузка влияет
на величину реакции опоры С.
Теперь в уравнениях равновесия (11.28) определены все величины, за исклю¬
чением неизвестных. После подстановки найденных величин эти уравнения при¬
нимают вид
РЬ 2Е1 4Е1
0 = г+ТГ °1+~Г°2-
Р«ш»я уравнения относительно неизвестных перемещений в узле, получаем
_ 17 РЬг _ 5РЬ*
1 « Л Г г » ^2 '
1 — 112Е/ ’ а~ 112Е/'
о
Знак минус при Г)а означает, что в действительности этот поворот происходит по
часовой стрелке.
Заключительная часть расчета состоит в определении реакций и результиру¬
ющих напряжений. В данном примере удобно найти вертикальную реакцию Яа и
реактивный момент Ма заделки (рис. 11.26, а). Способом наложения получаем для
этих реакций следующие уравнения:
Ма = М^ + МаЭ1 + МаО^ («)
Ка = Ра + РаОу+КЖ, (О
смысл используемых обозначений ясен из рис. 11.26. Все величины моментов М
и сил реакций /?, входящие в правые части этих уравнений, получаются из формул
для реакций заделок и жесткостей, приведенных на рис. 11.23 и 11.24, откуда
0 АЛ' 2Я/ Л
— 8 — 4~ * а— ь * — *
= = = Ла —0.
Подставив эти величины, а также выражения для Г>х и Яа в соотношения (е) и (О,
найдем
РЬ 2Е1 (\7Р1*\ 31 РЬ
Ма~ 4 Ь I 112Я// 56 *
6Е1 / \7РЬ2\ __ 107Р
12 \\\2Е1)- 56 •
Теперь, когда известны величины Ма и /?д, из уравнений равновесия можно найти
все остальные реакции и результирующие напряжений. Эта возможность следует
из того, что конструкция дважды статически неопределима, поэтому знания лю¬
бых двух силовых факторов оказывается достаточным, чтобы из уравнений равно¬
весия можно было найти все остальные. Таким образом, расчет данной конструкции
можно считать законченным.
478 II- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Предыдущий пример относился к дважды кинематически неопре¬
делимой конструкции. Однако уравнения равновесия легко обоб¬
щить на случай конструкции, п раз кинематически неопределимой.
В этом случае общий вид уравнений равновесия таков:
Аг = Ахр-\-ЗиОг 512/?2 31пОп,
А% — Агр52202"Ь • • • ~Ь.., оп.
Ап — АпР + Зщйх + 5п2/)2 + ... +
Эти п уравнений можно решить относительно п неизвестных пере¬
мещений в узлах конструкции. Общий вид этих уравнений такой
же, как и уравнений совместности в методе податливости (см. урав¬
нения (11.25)); здесь представляется интересным отметить аналогию
между этими двумя системами уравнений. Уравнения равновесия
в методе жесткостей получаются наложением реакций, соответствую¬
щих неизвестным перемещениям, в то время как уравнения совмест¬
ности в методе податливостей получаются наложением перемеще¬
ний, соответствующих неизвестным реакциям.
Коэффициенты жесткостей, входящие в уравнения (11.29), свя¬
заны соотношением взаимности для жесткостей:
5,у = 5у|. (11.30)
Это важное соотношение между жесткостями, аналогичное соотно¬
шению взаимности для податливостей (см. уравнение (11.24)), будет
доказано в общем виде в разд. 11.9 (см. уравнение (11.55)).
Уравнения равновесия (11.29) записаны в такой форме, при
которой учитывается влияние только действующих на конструкцию
нагрузок, но эти уравнения можно легко преобразовать с тем, чтобы
учесть влияние изменения температуры, предварительного дефор¬
мирования и оседания опор. Для этого необходимо только учесть
эти эффекты при определении реакций А1Р, Л2Р, . . ., АпР. Более
того, уравнения (11.29) можно применять к различным конструк¬
циям типа ферм и пространственных рам, хотя в данном разделе
рассматривались только балки и плоские рамы. Разумеется, по¬
скольку уравнения (11.29) получены способом наложения, метод
жесткостей, как уже было указано выше, применим только к ли¬
нейно упругим конструкциям *).
Другими наименованиями метода жесткостей являются метод
перемещений (поскольку неизвестными в уравнениях служат пере-
х) Для дальнейшего ознакомления с методом жесткостей, включая его приме¬
нение к расчету ферм и других конструкций, следует обратиться к учебникам по
расчету конструкций, например [11.14,11.17,11.18,11.19]. Большие преимущества
метода жесткостей при расчете конструкций становятся очевидными, когда в нем
используется аппарат теории матриц и метод приспосабливается для расчета на
ЭВМ; см. [11.14, 11.21].
11.7. МЕТОД ЖВСТКОСТЕЙ 47Э
мещения) и метод равновесия (поскольку уравнения содержат
суммы сил и моментов) *).
Пример. Неразрезная балка АВС (рис. 11.27» я) заделана на конце А, опи¬
рается на подвижный шарнир в точке В и может свободно смещаться по вертикали
на конце С. Опора в точке С допускает смещение в вертикальном направлении, но
препятствует любому повороту оси элемента балки. На балку действуют силы Рг и
Р2, приложенные соответственно в серединах пролетов АВ и ВС. Длины пролетов
составляют и Ь2.
Единственными неизвестными перемещениями в узлах являются поворот вок¬
руг опоры В и вертикальное смещение в опоре С. Эти перемещения обозначены со¬
ответственно через йх и Э2 (рис. 11.27, а). Поворот Эх положителен при направ¬
лении против часовой стрелки, а смещение В2 положительно при направлении
вверх. Определим эти величины, а также найдем реактивные моменты Ма и Мс на
концах балки (рис. 11.27, а).
Закрепленная конструкция получается путем «запрещения» как поворота во¬
круг опоры В, так и смещения в опоре Сив результате представляет собой две заде¬
ланные по обоим концам балки (рис. 11.27, Ь). Реакции, соответствующие неизвест¬
ным перемещениям Г>х и Г>2 и обусловленные силами Рг и Р2, приложенными к за¬
крепленной конструкции, равны
А\р = —1/в^>1^1 + Х/вР 2^2» ^2 Р = 2*
Кроме того, моменты в опорах Л и С составляют
мЗ=у8 /V.!, м°с=ЧеР2ц.
Следующий шаг состоит во введении единичных неизвестных перемещений
Эх и Э2 в закрепленной конструкции (рис. 11.27, с и 4). Реакции для Оу=\ равны
с 4Е1 , 4Е1 с 6Е1 2Е1 2Е1
5и = -1-+т-, 21 = ЦТ ’ Ма~ТГ' Мс ТГ-
что следует из формул, приведенных на рис. 11.24. Аналогично для имеем
с 6 Е1 с 12 Е/ 6 Е1
512 = -у, $22 = 1 з » Ма = 09 Мс=-—.
л->2 1* 2 1^2
Теперь для того, чтобы найти перемещения и й2 в узлах, нужно подставить
эти выражения в уравнения равновесия (11.28) и затем решить полученную систе¬
му. Реакции Ах и А2 в этих уравнениях равны нулю, поскольку в узле В не прило¬
жен изгибающий момент, а в узле С нет вертикальной силы (рис. 11.27, а). Решив
уравнения относительно величин и Я2, можно найти моменты Ма и Мс из сле-
*) Впервые использовал при расчете метод жесткостей, по-видимому
Л. Навье; в 1826 г. он рассчитал дважды кинематически неопределимую ферму,
взяв в качестве неизвестных величин перемещения в узлах и записав два уравйе-
ния равновесия (см. [1.1], стр. 75—76 [стр. 95—96 русского перевода], а также
[7.1] и [1.14]). Позже, в 1862 г., А. Клебш сформулировал метод жесткостей для
ферм общего вида (см. [1.1], стр. 259—260 [стр. 311—313 русского перевода], и
[11.22]). К расчету плоских рам метод жесткостей впервые применил А. Бендиксен
в 1914 г. ([11.23] и [1.1], стр. 422 [стр. 505 русского перевода]), а в общей форме
метод жесткостей был изложен А. Остенфельдом в 1926 г. [11.24].
[Следует указать также весьма ценные, но малоизвестные работы К. А. Ма¬
лышева, появившиеся в 1922, 1923 и 1936 гг.; в этой связи см. статью
Э. И. Григолюка «Константин Андреевич Малышев (к пятидесятилетию созда¬
ния метода распределенных моментов)». Изв. Ан СССР9 Мех. твердого тела,
1972, № 4, стр. 199—200.—Ред.]
480 Ч- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Ог
Ма^ |
/4 1
Г ^ 1
' С
«. ыи
А.
4 ^./2 ^
«■■—Д *
гМе
<1
Рх
1
в\
А\*
Рг
1
!>•
*
Л**
5ц
'"V
§—==14’
5*12
5*2
Рис. 11.27. Пример. Метод жесткостей.
дующрх уравнений» полученных способом наложения:
Ма = ^ + МаО, + МаОа, (8)
МС = М<*С + М'с01 -|- М"сОг. (Ь)
Для того чтобы получить решение для этого примера в явном виде, предпо¬
ложим, что заданы следующие значения сил и длин:
= 2 Р, Ръ~ Р > 5й
11.8.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 481
Тогда ранее полученные выражения для коэффициентов уравнений упростятся и
прймут вид
Подставив эти коэффициенты в уравнения (11.28), после несложных преобразова¬
ний получим
Знак минус показывает, что поворот вокруг опоры В происходит по часовой стрел¬
ке, а смещение в опоре С направлено вниз.
В заключение вычислим реактивные моменты Ма и Мс по формулам (б) и
(Н); в результате найдем
Поскольку конструкция дважды статически неопределима, знания этих двух мо¬
ментов достаточно для того, чтобы определить все остальные реакции и резуль¬
тирующие напряжений из уравнений статического равновесия.
11.8. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
ЭНЕРГИЯ
Двойственность представлений энергии деформации и допол¬
нительной энергии служит основанием для некоторых исключитель¬
но мощных методов расчета конструкций. Эти методы применяются
к исследованию как линейного, так и нелинейного поведения кон¬
струкций, и к ним относятся принцип возможной работы (уравне¬
ние (11.1)) и метод единичной нагрузки в его основной форме (см.
уравнение (11.3)). Однако теоремы взаимности, метод податливости
и метод жесткостей основываются на использовании способа нало¬
жения и, следовательно, применимы только к конструкциям с ли¬
нейным поведением. В случае же метода единичной нагрузки
исследование начиналось с вывода уравнения (11.3) для конструк¬
ций с нелинейным поведением, а затем как частный случай рассмат¬
откуда
13РЬ*
240Е1
( РЬ2 \ . Ш / 13РЬ3)
V 40Е/) + щ. ^ 240Е1)
ЗРЬ
20 ‘
482 >'■ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ривались конструкции с линейным поведением (уравнение (11.4)).
Аналогичной процедуре мы будем следовать и в ходе обсуждения
энергетических методов.
Нелинейности в поведении конструкции обусловлены главным
образомодной из двух причин. Наиболее очевидной причиной яв¬
ляется нелинейная зависимость напряжения от деформации для ма¬
териала конструкции; в этом случае конструкция будет характери¬
зоваться как физически нелинейная. Другой случай относится к
такой нелинейности, которая обусловлена геометрией деформиро¬
ванной конструкции. Подобная ситуация возникает независимо от
того, чем вызваны прогибы: приложенными нагрузками или реак¬
циями. Примером служит стержень, нагруженный внецентренно
приложенной продольной силой (разд. 10.1), даже очень малые про¬
гибы которого оказывают существенное влияние на возникающие в
нем изгибающие моменты. Другим примером является балка с боль¬
шими прогибами, рассмотренная в разд. 6.12. В обоих этих приме¬
рах предполагается, что материал балки подчиняется закону Гука,
но из-за геометрии деформированной конструкции оказывается, что
прогибы и результирующие напряжений связаны нелинейными со¬
отношениями с приложенными нагрузками. Это примеры так назы¬
ваемой геометрической нелинейности.
Независимо от того, какая — физическая или геометрическая —
нелинейность имеет место, будем всегда предполагать, что материал
конструкции остается упругим. Если это так, то результаты, при¬
веденные в дальнейших рассуждениях, будут верны для любого
числа циклов нагружения конструкции. С другой стороны, если ма¬
териал является неупругим, то полученные результаты будут спра¬
ведливыми только на начальном этапе нагружения конструкции.
В частном случае, когда материал следует закону Гука и отсут¬
ствует геометрическая нелинейность, конструкция ведет себя как
линейная и можно применять способ наложения. Однако, имея дело
с нелинейной конструкцией, необходимо постоянно учитывать тот
факт, что здесь способ наложения в общем случае не применим.
Для иллюстрации энергетических подходов рассмотрим призма¬
тический стержень, на который действует осевая сила Р, создающая
равномерно распределенное напряжение а=Р1Р (рис. 11.28, а).
Деформация в стержне составляет г—ЫЬ, где б — удлинение, а
Ь—длина стержня. Материал стержня считается упругим, и его
поведение описывается кривой нелинейной зависимости напряже¬
ния от деформации (рис. 11.28, Ь). Тогда кривая зависимости нагруз¬
ки от прогиба (рис. 11.28, с) будет иметь ту же общую форму, что
и кривая зависимости напряжения от деформации. Работа, соверша¬
емая силой Р, равна
в.
№ = 6,
11.8.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 483
где — максимальное значение прогиба. Это выражение для работы
можно геометрически интерпретировать как площадь, лежащую
ниже кривой зависимости нагрузки от прогиба (рис. 11.28, с). По¬
скольку стержень ведет себя упруго и поскольку при нагружении
и разгрузке исключаются любые потери энергии (иначе говоря, по-
^ №*ит и*
или и
I
I
Рис. 11.28. Энергия деформации и дополнительная энергия.
скольку рассматривается консервативная система), вся работа, со¬
вершаемая силой, будет накапливаться в стержне в виде энергии
упругой деформации, которая может быть возвращена при разгруз¬
ке. Следовательно, для энергии деформации, равной работе У79
можно записать
в*
{/ = № = $/М8. (11.31)
о
Энергию деформации и, отнесенную к единичному объему мате¬
риала, можно найти, рассматривая элемент с бесконечно малым объ¬
емом и длиной ребра, равной единице; при напряжении а этот эле¬
мент претерпевает деформацию в, максимальная величина которой
составляет е1=б1^; таким образом, получаем
(11.32)
Интеграл в выражении (11.32) равняется площади, лежащей ниже
кривой зависимости напряжения от деформации (рис. 11.28, Ь).
Эго же выражение для удельной энергии и можно получить, разде¬
лив выражение для полной энергии деформации (см. выражение
(11.31)) на объем V стержня (равный РЬ) и приняв во внимание, что
а=Р/Р и Аъ=йЫЬ. С другой стороны, полную энергию деформации
можно получить, проинтегрировав удельную энергию деформации:
(11.33)
где (IV — бесконечно малый элемент объема, а интегрирование про¬
водится по всему объему стержня.
484 М. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В частном случае, когда кривая зависимости напряжения от де¬
формации соответствует закону Гука и имеют место соотношения
а=Ег и Р=ЕРЫЬ, предыдущие выражения для энергии деформа¬
ции можно записать в следующем виде:
. ЕРЬ\
1
(11.34а)
11- Р11 •
и ~ 2ЕР ’
(11.34Ь)
« = —.
(11.35а)
а?
И —2 Е'
(11.35Ь)
Эти выражения совпадают с полученными ранее в разд. 1.10 (см.
выражения (1.16) и (1.17)).
Теперь введем в рассмотрение другой вид работы для стержня
с нелинейного вида зависимостью нагрузки от перемещения (рис.
11.28). Эта работа носит название дополнительной работы И7* и
по определению имеет вид
р,
№•= ^ ЫР.
о
Дополнительная работа представляет собой площадь, заключен¬
ную менаду кривой зависимости нагрузки от перемещения, верти¬
кальной осью и горизонталью Р=РХ (рис. 11.28, с). Она не имеет
столь наглядного физического смысла, как работа \Р, но можно от¬
метить, что справедливо следующее соотношение:
(а)
Таким образом, в геометрическом смысле работа НР* является до¬
полнением работы Г, поскольку вместе они составляют прямоуголь¬
ник, изображенный на рис. 11.28, с. Дополнительная энергия II*
стержня равна дополнительной работе приложенных нагрузок, от¬
куда имеем
р.
{/* = Г*= $ ЫР. (11.36)
о
Дополнительную энергию можно выразить для единичного объема
материала, рассмотрев элемент с напряжением а и деформацией в
так же, как и при определении удельной энергии деформации для
стержня; поэтому
ы»=$еЖг. (11.37)
А
11.8.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 485
Удельная дополнительная энергия равна площади, заключенной
между кривой зависимости напряжения от деформации, осью, на
которой отложены напряжения, и горизонталью а—вг (рис. 11.28, Ь).
Полная дополнительная энергия конструкции может быть получе¬
на интегрированием величины и*:
Иногда дополнительную энергию называют энергией напряжения
для того, чтобы сохранить аналогию с энергией деформации.
Если зависимость напряжения от деформации (рис. 11.28, Ь)
носит линейный характер, то очевидно, что дополнительная энергия
становится равной энергии деформации. Однако эти две энергети¬
ческие величины имеют совершенно различный смысл, и поэтому
иногда необходимо указывать на различие между ними даже в слу¬
чае линейной задачи, когда они численно равны.
Хотя все сказанное относительно энергии деформации и допол¬
нительной энергии было связано с растягиваемым стержнем, оно
может быть распространено на другие случаи нагружения стержня,
такие, как кручение и изгиб. Поэтому можно считать, что кривая
зависимости нагрузки от перемещения, представленная на рис.
11.28, с, характеризует соотношение между нагрузкой и соответ¬
ствующим ей перемещением для любого другого типа конструкции,
подобного балке, плоской раме или ферме. Во всех таких случаях
для определения величин обычной и дополнительной работ можно
использовать соответственно выражения (11.31) и (11.36). Величи¬
ны этих работ будут равны соответственно энергии деформации и
дополнительной энергии конструкции. Кроме того, если в качестве
нагрузки фигурирует момент М с соответствующим угловым пере¬
мещением 0, то в указанных выражениях надо просто заменить ве¬
личины Р и 6 соответственно на М и 0.
Обычно на конструкцию действуют несколько нагрузок, поэто¬
му значения энергий и работ получаются суммированием. Так, если
на нелинейно упругую конструкцию действуют несколько нагру¬
зок, которые прикладываются одновременно и отношение между ко¬
торыми сохраняется постоянным, то выражения для энергии де¬
формации и дополнительной энергии будут иметь вид
В этих выражениях суммирование проводится по всем нагрузкам,
действующим на конструкцию. Также и интегрирование проводит¬
ся от равного нулю нижнего предела до верхнего предела, который
равен максимальному значению соответственно перемещения б
и нагрузки Р.
(11.38)
(11.39а)
(11.39Ь)
486 "■ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
При линейном поведении конструкции предыдущие выражения
для V и V* становятся равными друг другу и принимают форму,
соответствующую выражению (1.15):
и = = (Ц.40)
где Р{ и б|— максимальные значения нагрузок и соответствующих
им перемещений, а п — общее число приложенных нагрузок. Вы¬
ражение (11.40) дает зависимость V к II* как от перемещений, так
и от нагрузок, но это выражение можно записать как функцию либо
только от перемещений, либо только от нагрузок, представив одни
величины через другие. Таким образом, поскольку конструкция
ведет себя линейно, нагрузки можно представить в виде линейных
комбинаций перемещений следующим образом:
Р1= я11б1 4" Й1аба 4~ • • • -\-а1пЬп,
Р,=аа1б1+а,аб,-1-...+аа„бн, /н ...
(П-41)
Рп~1 "НН“ • • • “Н&п1$п>
где коэффициенты аш Он», . . апп являются постоянными, завися¬
щими от свойств конструкции. Если эти значения подставить в фор¬
мулу (11.40), то энергия деформации и дополнительная энергия бу¬
дут выражаться как функции только от перемещений и их общий вид
станет таким:
{/ = (/* = &и8*+ААв»+ • • • +МА+
+бпб,б1-|-&иб8-ь...
4~Ьп1ЬпЬх 4- ЬпгЬпЬ2 +... + ЬааЬ%, (11.42)
где 6ц, &1*, . .., Ьпп— новые постоянные, выражающиеся через
коэффициенты ап, а1а, ..., а»». Эго выражение представляет собой
квадратичную форму — все слагаемые входят в него во второй
степени.
С другой стороны, уравнения (11.41) можно разрешить отно¬
сительно перемещений, что дает
®1 = СпЛ + С1*^>•
&$ — СцР 14*^аа^а 4“ • • • "Ь^ав^в* ^
®в ~ ^п\Р \ Н" са9Рш 4* • • • 4" сап Рп%
где теперь коэффициенты с1} являются новыми постоянными, зави¬
сящими от ап, Дгз, ..., апп. При подстановке этих значений в вы¬
11.8. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 4$7
ражение (11.40) получаем другую квадратичную форму для I! и
(/*, а именно:
(/ = {/• = апР\+Ах%РгР% +... + а1пр1ря +
+ Л21Р2РХ “Н • • • т\т&%пРа^л“Ь
+ ^А+Ш.+ . • • +<*..«, (П.44)
где коэффициенты представляют собой постоянные, зависящие от
свойств конструкции. Приведенные результаты показывают, что
для конструкций с линейным поведением энергию деформации и до¬
полнительную энергию можно представить квадратичными фор¬
мами либо от перемещений, либо от нагрузок.
Пример /. Предположим, что на некоторую конструкцию действует сила
Р, которая вызывает соответствующее перемещение б, определяемое выражением
6=СР*, где С — некоторая постоянная (см. рис. 11 29). Определим для этой кон¬
струкции энергию деформации и дополнительную энергию.
Рис. 11.29. Пример 1. Нелинейная
зависимость нагрузки от прогиба.
Энергия деформации определяется по формуле (11.31), куда подставляется
значение силы Р, выраженное через перемещение 6:
</-} (И.45)
О
Из выражения (11.36) находим дополнительную энергию:
Р
(/*= ^ СРМР = 1/аСР3. (11.46)
О
Отметим, что энергия деформации выражается через перемещение, а дополнитель¬
ная энергия — через нагрузку. Подобная форма представления энергий соответ¬
ствует характеру определения энергий [/и(/*; более того, в дальнейшем будет по¬
казано, что такая форма наиболее удобна при определении прогибов и исследова¬
нии поведения конструкций. Разумеется, в некоторых случаях вполне возможно
выразить энергию деформации через нагрузку, а дополнительную энергию — че¬
рез перемещение Для данного примера подобный результат можно получить под¬
становкой исходного выражения д=СР2 зависимости нагрузки от перемещения в
(11.45) и (11.46).
488 а- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Пример 2. Конструкция состоит из двух горизонтальных стержней АС и
СВ длиной ь каждый (рис. 11.30, а). Стержни закреплены неподвижными шарни¬
рами на концах и шарнирно соединены в точке С. Материал стержней линейно
упругий, каждый стержень имеет постоянную жесткость при растяжении и при
сжатии ЕР. Если к шарниру С приложить вертикальную силу Р, то пока стержни
сохраняют исходное горизонтальное положение, конструкция не сможет выдер¬
жать этой нагрузки. Однако если силу прикладывать постепенно, то узел С будет
I
Ч
Рис. 11.30. Пример 2. Конструкция, обладающая геометрической нелинейностью.
перемещаться вниз и в стержнях будут развиваться растягивающие усилия. Та¬
ким образом, будет достигнуто равновесное состояние конструкции с малым пе¬
ремещением 5 в месте приложения силы (см. рис. 11. 30, Ь).
Определим энергию деформации и дополнительную энергию для данной кон¬
струкции. Для того чтобы сделать это, сначала нужно установить зависимость
силы Р от перемещения д. Эту зависимость можно найти из выражений для воз¬
никающих в стержнях усилий и удлинений стержней. Так, из уравнений равно¬
весия получаем растягивающее усилие N в каждом стержне:
2 з8п Р’
где р — угол поворота стержней. Однако как перемещение д, так и угол поворота
1 считаются малыми величинами, поэтому угол Р можно заменить отношением
Ц, а вместо зт Р взять значение р. В силу этого предыдущее выражение прини¬
мает вид
26 ’
Удлинение Л каждого стержня в отдельности можно набти из закона Гука:
(Ь)
Второе уравнение, связывающее перемещение Ь конструкция я удлинение Л
стержней, можно получить нз рассмотрения деформированной конструкция. Уве¬
личение длины каждого стержня (см. рис. 11.30, Ь) равно
Д= У1*1 у 1 + (в/1)а—I.
11.8. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 489
Раскладывая подкоренное выражение в ряд, получаем'
Для малых перемещений члены, содержащие величину ЫЬ в степени выше второй,
можно отбросить, сохранив таким образом в квадратных скобках только два чле¬
на. Следовательно, выражение для удлинения Д упрощается и принимает вид
6а
Д =
2Г-
(с)
Теперь из выражений (Ь) и (с) можно исключить величину Д, в результате чего по¬
лучится искомое соотношение, выражающее зависимость нагрузки от перемещения
конструкции. Это соотношение можно записать в одной из следующих форм:
ЕР№
Цтг’ (11*47а)
р =
6
V-
РЬ*
ЕР
(11.47Б)
Графически эти соотношения представлены на рис. 11.30, с Важно отметить, что
рассматриваемая конструкция является геометрически нелинейной, несмотря
на то, что материал ее подчиняется закону Гука.
Теперь, используя выражение (11.31), легко определить энергию деформации
конструкции:
6 6
0
ЕРЬ*
‘ 4/,3 '
Точно так же из выражения (11.36) находим дополнительную энергию
р р
3 Р4/31
"•-1^=1 VЧгар-
4 ‘/ЕГ'
(11.48)
(11.49)
Вновь отметим, что энергия деформации выражается через перемещение, а допол¬
нительная энергия — через нагрузку.
Пример 3• К незакрепленному концу консольной балки длиной Ь с прямо¬
угольным поперечным сечением (ширина Ь, высота Л) приложена сосредоточенная
сила Р (рис. 11.31). Диаграмма зависимости напряжения от деформации описыва-
[—(
X
<—>
<=
<гс1х ^
— >
ь/г
ь/2
б=Ву/ё
а- Ь с
Рис. 11*31. Консольная балка из материала с нелинейной зависимостью напряже¬
ния от деформации.
490 */• РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ется уравнением сг=В]/еГ где В — некоторая постоянная, одна и та же при ра¬
стяжении и при сжатии. Определим дополнительную энергию для этой балки.
В данном примере напряжение и деформация изменяются от одного конца
балки к другому, поэтому необходимо начать с определения удельной дополни¬
тельной энергии а*. Затем выражение для и* интегрируется по всему объему
балки, в результате чего получается полная дополнительная энергия II*. Ве¬
личина и* является функцией от х (расстояния от незакрепленного конца балки) и
от у (расстояния от нейтральной оси). Для. того чтобы определить удельную до¬
полнительную энергию и*9 необходимо знать напряжение а19 возникающее в
произвольной точке балки с координатами хну. Это напряжение можно найти,
если известна деформация в той же точке, а деформации? в свою очередь можно
определить, зная кривизну. Таким образом, расчет необходимо начать с определе¬
ния кривизны балки.
Кривизну легко найти при помощи описанного в разд. 9.7 метода для неупру¬
гого изгиба балок. Согласно выражению (9.22), кривизна равна
Х=^, (<0
где 8дВ — удвоенная величина деформации верхнего волокна балки (см. выраже¬
ние (9.26)). Из (9.27) получим следующее выражение для изгибающего момента М
в произвольном поперечном сечении балки:
8дв/^
М=—5— I ае^е.
Подставляя сюда а=В УТ и интегрируя, находим
М =
ВЬН* УгГь
5 У2
откуда
50 М*
8дв—да^а/,4*
(е)
Теперь можно найти кривизну, исключив из выражений (й) и (е) величину едв и
подставив вместо М выражение Рх:
50РУ
Х —ВаЬаА® * '
Это выражение дает зависимость кривизны от расстояния х, измеренного вдоль оси
балки.
Деформация 8! в произвольном поперечном сечении балки, согласно выраже¬
нию (9.1), равна
Зная деформацию, можно найти напряжение, использовав зависимость напряже¬
ния от деформации:
0!==в угё7=в У*у.
Подставляя сюда выражение (!) для кривизны, получаем следующее выражение
для напряжения в произвольной точке балки:
5 Угру^ и
«1 =
ЬН6/2
11.9.
МЕТОДЫ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ 491
Теперь имеются все величины, необходимые для определения удельной допол¬
нительной энергии (см. выражение (11.37)):
где величина аг определяется из выражения (&). После интегрирования получаем
следующее выражение для удельной дополнительной энергии как функции от х и у:
Дополнительная энергия всей балки II* находится интегрированием выражения
для и* по всему объему балки, как это видно из выражения (11.38). При вычисле¬
нии интеграла принимаем, что величина х меняется от 0 до а величина у — от О
до Л/2; Полученный результат следует удвоить с тем, чтобы распространить его на
обе половины балки. Таким образом, выражение для дополнительной энергии име¬
ет вид
Как и следовало ожидать, эта формула выражает дополнительную энергию через
силу Р.
11.9. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ
Перейдем теперь к формулировке некоторых важных принци¬
пов, касающихся энергии деформации и составляющих основы рас¬
чета конструкций. Представим себе, что на конструкцию действует
п нагрузок Ри Р*, и что эти нагрузки вызывают соответст¬
вующие перемещения б,, ба, . . ., 6П. Как и в предыдущих рассужде¬
ниях, очевидно, что величины Р и б представляют силы и соответ¬
ствующие им перемещения в обобщенном смысле; таким образом,
сюда могут входить сосредоточенная сила и смещение, сосредото¬
ченный момент и поворот, две силы и относительное смещение, два
сосредоточенных изгибающих момента и относительный поворот.
Ясно также, что конструкция может обладать нелинейным поведе¬
нием, а это означает, что соотношение между силой Р( и соответст¬
о
о
. 250УТрУ/2л:3
' ~ ЗВ*Ь3А1&/г
(Ь)
Подставив сюда выражение (Н) для и*, получим
откуда
ц. _ 25Р*И
~6В*ЬЩ"
(11.50)
492 И- РАСЧЁТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ методы
вующим ей перемещением 8* может быть представлено диаграммой
зависимости нагрузки от перемещения вида, показанного на
рис. 11.28, с.
Энергия деформации V конструкции равна работе, совершаемой
приложенными нагрузками. Используя надлежащую зависимость
нагрузки от перемещения, теоретически можно представить каждую
силу Р{ в виде функции от соответствующего ей перемещения 6|.
Такие выражения для сил можно подставить в (11.39а), а затем про¬
вести интегрирование и суммирование. Полученное выражение для
энергии деформации V будет функцией от перемещений 6. После
того как энергия V выражена через эти перемещения, можно выяс¬
нить, как увеличится энергия деформации, когда одному пере¬
мещению бI дается малое приращение ^бг, а все остальные пере¬
мещения остаются неизменными. Это увеличение энергии дефор¬
мации <Ш определяется выражением
где частная производная д1//д6| представляет собой скорость изме¬
нения энергии деформации в зависимости от перемещения 6*. Мож¬
но также заметить, что, когда перемещение б4 увеличивается на ма¬
лую величину йб*, работу будет совершать только соответствующая
этому перемещению сила Р{, а не другие силы, поскольку осталь¬
ные перемещения не меняются. Эта работа Р(йб* равна увеличению
энергии деформации, накопленной в конструкции:
Ш=Р1йЬ1.
, получаем
(11.51)
Приравнивая два выражения для 6X3, получаем
р _дЦ
Данное соотношение означает, что если энергия деформации выра¬
жена как функция от перемещений, то частная производная от
энергии деформации по произвольному перемещению 6| равняется
соответствующей этому перемещению силе Р(. Это утверждение
называется первой теоремой Кастилиано по имени итальянского
инженера, который впервые доказал эту теорему и привел ее в своей
известной книге, опубликованной в 1879 г. (см. [11.25—11.301).
Для иллюстрации первой теоремы Кастилиаио обратимся к нелинейной кон¬
струкции, описанной в примере 1 предыдущего раздела. Энергия деформации этой
конструкции представляется выражением (11.45). Применяя к этому выражению
первую теорему Кастилиано, получаем
Р-Ш-±(268/Л_ -./Т
г~ аь V с'
11.9.
МЕТОДЫ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ 493
откуда следует д=СР2, что соответствует истинному виду зависимости между на¬
грузкой и перемещением.
Точно так же первую теорему Кастилиано можно применить к геометрически
нелинейной конструкции, изображенной на рис. 11.30, а и рассмотренной в приме¬
ре 2 предыдущего раздела Энергия деформации определяется выражением (11.48),
и в результате получаем
Ш а (ЕР6*\ тз
ёб V 4*-3 ) ~ Ь3 ‘
Вновь видим, что этот результат совпадает с найденным ранее (см. выражение
(11.47а)).
Из первой теоремы Кастилиано вытекает метод исследования
нелинейных конструкций, основанный на использовании энергии
деформации. Метод строится на использовании в качестве неизвест¬
ных величин перемещений в узлах и соответствует тому факту, что
если предполагается применять теорему Кастилиано, то энергию
деформации необходимо выразить как функцию от перемещений.
Для того чтобы пояснить этот метод, предположим, что имеется не¬
линейная конструкция с п неизвестными перемещениями Г)1,02> • •.
. . ., 1>п в узлах. Предположим также, что на конструкцию дейст¬
вуют только те нагрузки, которые соответствуют этим кинематичес¬
ким неизвестным. Обозначим эти нагрузки через Ри Ра, . . ., Рп
соответственно перемещениям йи Г>4, . . ., Г>„. Тогда, как уже гово¬
рилось выше, энергию деформации конструкции V можно выразить
через неизвестные перемещения Ох, Г)2> • • •. &п в узлах. После того
как это все сделано, можно применить теорему Кастилиано к каж¬
дому перемещению и в результате получить систему п уравнений
Р — Р — Р — (11 52)
У1~ШХ’ ао2’ •••’ п~дОп'
Все эти уравнения имеют один и тот же общий вид. Рассматривая
произвольное, скажем 1-е, уравнение, видим, что в его правой части
содержится п членов с перемещениями С2) в узлах в ка¬
честве неизвестных. Поскольку сумма этих членов равна нагрузке
Рь можно сделать вывод, что данное уравнение в действительности
является условием равновесия сил, соответствующих нагрузке Р,.
Таким образом, уравнения (11.52) представляют собой систему урав¬
нений равновесия, решая которую можно получить перемещения в
узлах, выраженные через нагрузки Ри Рг, . . ., Рп. Заключитель¬
ным этапом исследования является вычисление на основе уже из¬
вестных перемещений в узлах остальных величин — реакций и ре¬
зультирующих напряжений.
В описанном выше методе энергии деформации в качестве неиз¬
вестных используются перемещения в узлах и требуется решить
уравнения равновесия. Такой способ исследования носит название
метода перемещений и уже фигурировал ранее для случая линей¬
ных конструкций под названием метода жесткостей (см. разд. 11.7).
494 и- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В принципе метод перемещений и метод жесткостей — это одно и
то же. Однако в связи с тем, что использование метода жесткостей
ограничивается рамками линейного анализа, в дальнейшем термин
«метод перемещений» будет использоваться тогда, когда обсуждает¬
ся возможность нелинейного поведения конструкции, а термин
«метод жесткостей» — только при рассмотрении линейного поведе¬
ния конструкций. Исследование нелинейного поведения конструкции
при помощи метода перемещений проводится ниже (см. пример 1).
Рассмотрим теперь более подробно частный случай линейного
поведения конструкции, т. е. такой конструкции, к которой можно
применить способ наложения. В этом случае, как было показано
в предыдущем разделе, энергия деформации Ц является квадра¬
тичной формой от перемещений. Следовательно, когда имеется п
неизвестных перемещений йи ОГ>„ в узлах и п соответствую¬
щих им нагрузок Ри Ра, . . ., Рп, общая форма энергии деформации
И такова:
I/ = а1ХР1+а120102 а1пОхОп +
+ а2Х^2^1+а32^а+ • • • "\'ажяР*Рп'\"
+ ап10„01+апз0п0а + • • •
где коэффициенты ап, — постоянные, зависящие только от
свойств конструкции. Применив теперь первую теорему Кастилиа¬
но (см. уравнение (11.52)), получим уравнения равновесия в сле¬
дующей форме:
Р1 — оЩ — •5х1^х + 5,2Оа-}-... +51яО„,
Рг = ^дт = 5г101-{-5г20а-}-... +<52„0„,
(11.53)
дУ
'дО„
где коэффициенты 5ц, 5ц, . . .— постоянные, зависящие от величин
а1и а1Л, . . ., т. е. от свойств конструкции. По виду этих уравнений
можно заключить, что эти коэффициенты совпадают с коэффициен¬
тами жесткостей для конструкции (см. разд. 11.7 и уравнения
(11.29)). Таким образом, уравнения (11.53) являются уравнениями
метода жесткостей.
Важное соотношение между энергией деформации конструкции и
жесткостями можно получить, взяв частные производные от урав¬
нений (11.53), что дает
дРх __ с дРх _ 0 дРг 0
11.9.
МЕТОДЫ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ 495
и т. д. Поскольку нагрузка Рг равна дЦ/дОи уравнения (а) можно
переписать в следующем виде:
дЮ „ дЮ о _ дЮ
^12 — ап зп » • • • 9 п
>11 '
дй1 ’
дОгдОу' •••’
Аналогично, уравнения (Ь) принимают вид
дЧ)
<, дЮ
г>31~д01д0а’
52а —
дй\
дРпдЬ'
д*Ц
По виду прризводных, которые встречаются в этих примерах, мож¬
но заключить, что коэффициенты жесткостей связаны с энергией
деформации следующим общим соотношением:
5'/-щщ■ О-54)
Таким образом, поскольку энергия деформации V является квад¬
ратичной формой от неизвестных перемещений Ои Оа, . . ., йп,
жесткости для конструкции можно определить сразу же при помо¬
щи дифференцирования. Более того, поскольку порядок дифферен¬
цирования функции II не играет роли, отсюда следует теорема взаим¬
ности для жесткостей:
- дЮ дЮ ? /11 КС\
'V ~ дЭ,- до, ~ дО,- дйу (П.00)
Разумеется, проведенное рассуждение, касающееся жесткостей,
применимо только к конструкциям с линейно упругим поведением.
Следующие ниже примеры 2 и 3 иллюстрируют применение метода
энергии деформации к таким конструкциям.
Пример 1. На ферму АВС (рис. 11.32,а) действует приложенная в узле В
вертикальная сила Р. Стержни АВ и ВС имеют постоянную площадь поперечного
сечения Р. Зависимость напряжения от деформации для материала (см. рис. 11.32,Ь)
рЛ
Оо
Рис. 11.32. Пример I. Ферма из материала с нелинейной зависимо¬
стью напряжения от деформации.
описывается соотношением с=В где В — некоторая постоянная; указанное
соотношение имеет один и тот же вид при растяжении и при сжатии. Рассчитаем
эту нелинейно упругую ферму методом перемещений, используя первую теорему
Кастилиано.
496 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ и ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В узле В этой конструкции, как видно из рисунка, имеется два неизвестных
перемещения: горизонтальное и вертикальное Выразим энергию деформа¬
ции конструкции через эти перемещения, а затем, используя первую теорему Ка¬
стилиано, получим уравнения равновесия. Энергия деформации определяется
следующим образом. За счет перемещения Их стержень АВ удлинится на величину
^1, а стержень ВС — на Ох11^2. Точно так же за счет перемещения Г>2 стержень
ВС укоротится на величину ^2/Vг2] а стержень Л В не изменит своей длины. Та¬
ким образом, полное удлинение стержня А В равно Их, а полное укорочение стерж¬
ня ВС составит (О2—#1)/ Поэтому деформации в стержнях будут иметь вид
гаЬ=^ (удлинение), (с)
е*с=^2&~ (Ук°Р°чение)* №
Удельную энергию деформации для каждого стержня можно найти при помощи
выражения (11.32):
иаь~ ^ а<*е= ^ В )Гё<1е=2~ (~.)8/\
аЛ= |
О О
Поскольку напряжение и деформация постоянны по всему объему каждого из
стержней, полную энергию деформации для каждого стержня можно получить,
умножив удельную энергию деформации на объем стержня. Затем, сложив эти
энергии деформации, определим полную энергию деформации II конструкции:
V = Уаь+иьс=иаьи+иьс Ы У\
откуда
и = ^у=г [2^/а + (02 - А)372 ]. (И.56)
где Р — площадь поперечного сечения каждого стержня. Приведенное соотноше¬
ние выражает энергию деформации через неизвестные перемещения Эх и
в узлах.
Теперь, используя первую теорему Кастилиано, можно получить уравнения
равновесия (см. уравнения (11.52)) В этих уравнениях величина Рх представляет
собой нагрузку, соответствующую перемещению и равную нулю, в то время
как величина Р2 является нагрузкой, соответствующей перемещению Э2 н равной
Р. Таким образом,
После упрощений эти уравнения принимают вид
201/а-(0а-01)1/а=0, (е)
11.9.
МЕТОДЫ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ Ш
Решая эти уравнения, получаем следующие перемещения узла:
п РЧ. п 5Р*1 /||С7,
и1—р2В2* иЪ—р2В$' (11.57)
Этим шагом заканчивается основная часть расчета по методу перемещений, по¬
скольку теперь известны перемещения Вх и 02 и не представляет труда вычислить
усилия в стержнях, а также реакции.
Для того чтобы продемонстрировать ход этих заключительных вычислений,
определим усилия в стержнях фермы. Сначала найдем деформации в стержнях,
подставив значения Ох и /)а (11.57) в выражения (с) и (4):
(удлинение),
/>2-0! 2Ра .
Чс~ 2Ь =7ЧР (укорочение).
Далее при помощи зависимости напряжения от деформации определим напря¬
жения:
оаЬ = В Угё^ь= у- (растяжение),
оЬс = В У^ьс = - (сжатие).
И, наконец, вычислим усилия в стержнях фермы:
МаЬ — ОаЬр—Р (растяжение),
ЫЬс=аЬсР = У~2Р (сжатие).
Полученные результаты легко проверить, составив уравнения равновесия.
В данном примере были умышленно описаны все шаги решения, чтобы по¬
казать основные положения метода перемещений при использовании первой тео¬
ремы Кастилиано, несмотря на то, что конструкция является очень простой и было
бы гораздо проще исследовать ее как статически определимую конструкцию. При
использовании метода перемещений требуется решить систему из двух уравнений,
поскольку ферма дважды кинематически неопределима. Однако, поскольку кон¬
струкция статически определима, ее можно рассчитать следующим образом:
1) из уравнений равновесия найти усилия в стержнях; 2) подсчитать возникающие
в стержнях напряжения, разделив усилия на площади поперечных сечений; 3) ис¬
пользуя зависимость напряжения от деформации, вычислить деформации в стерж¬
нях; 4) зная деформации, определить удлинения стержней; 5) построить диаграмму
Виллио (см. разд. 1.5) и по ней найти перемещения Бх и Я2 в узле В.
Пример 2. В качестве примера исследования линейного поведения кон¬
струкции при помощи первой теоремы Кастилиано и метода жесткостей рассмотрим
ферму, изображенную на рис. 11.33, а. Предполагается, что все четыре стержня
этой фермы изготовлены из одного и того же упругого материала с модулем упру¬
гости Е. Каждый стержень имеет длину Ь и площадь поперечного сечения г,
угол Р равен 30°. В узле Е фермы приложены силы Рх и Р2.
Данная ферма выбрана в качестве примера потому, что она имеет только две
степени свободы для смещения узла, а именно горизонтальное Их и вертикальное
Ь2 смещения узла Е (рис. 11.33, Ь). Для того чтобы выразить энергию деформации
V как функцию от смещений Е>х и 02, предположим сначала, что происходит толь¬
ко смещение Бх (рис. 11.33, с). При таких условиях стержни приобретают следую-
498 II- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
щие удлинения:
Аае—О*, Д^г— ^2—&се— 2 9
что легко проверить при помощи геометрических построений, приведенных на
рисунке. Когда происходит только смещение 1)2* удлинения стержней составляют
л**=0, ЬЬе = ^, Ас
У30* Л п
—О > Д^е — ^а*
Следовательно, если смещения и Оа происходят одновременно, то имеют место
следующие удлинения стержней:
ГЗО,+02 Л О.+ ГЙ) ш
Ьае — В 1» § * —^ » Д^г = ^а* Й)
Зцая удлинение каждого стержня, легко найти его энергию деформации (см. вы¬
ражение (11.34а)), а затем получить полную энергию деформации конструкции С/,
Ох
Рис. 11.33. Пример 2. Плоская ферма,
просуммировав энергии всех четырех стержней:*
и-Е.0\л.И. /'/зр1+р»У ■ ер /* + /ЗЬЛ« ер _*
21 **+ 21 \ 2 ) +-2Г V 2 + 2Г0*’
или
ЯР
(11.58)
Отметим, что энергия деформации * выражается квадратичной формой от переме¬
щений.
Применяя первую теорему Кастилиано, получаем следующие уравнения рав¬
новесия (см. уравнения (11.53)):
У~ЗЕР
2Ь *’
2ЕР
О*
О»
(Ь>
(О
11.9.
МЕТОДЫ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ 499
Из этих уравнений легко найти перемещения узла:
А= -ЩГр (4Р,- У?Р*), ^1 + 4Р2).
Наконец, можно вычислить усилия в стержнях фермы. Процедура вычисления
состоит в том, что сначала подстановкой значений перемещений Ох и й2 узла в
выражения (б) определяются удлинения стержней, а затем по известным удлине¬
ниям из соотношения Ы=ЕРМ1 находят усилия в стержнях. В результате
получим
8Рг 2У ЗРг „ 3 /3Ру , Ра
13 13 ’ Ье~ 13 13
л, _ ^1 , 3 УЗР* „ 2/3Р1 8Ра
""“Тз"1" 13 ' ае 13 1 13“
Таким образом, было проведено полное исследование фермы методом энергии де¬
формации.
Пример 3. В качестве другого примера применения метода энергии де¬
формации к исследованию линейного поведения конструкции рассмотрим плоскую.
раму АВС (рис. 11.34, а). Оба элемента АВи ВС имеют длину I и жесткость при
Рис. 11.34. Пример 3. Плоская рама.
изгибе Е1, а нагрузка, приложенная к конструкции, состоит из момента М0,
приложенного в узле В. Цель исследования состоит в вычислении перемещений
йх и й2 узлов, т. е. углов поворота в узлах Б и С.
Основным этапом исследования является определение энергии деформации
конструкции как функции неизвестных перемещений йх и /)2» что Уж^ было про¬
делано для ферм, рассмотренных в двух предыдущих примерах. Для того чтобы осу¬
ществить этот этап в случае плоской рамы, иногда оказывается удобным предста¬
вить себе, что эти неизвестные перемещения в узлах накладываются на конструк¬
цию путем введения дополнительных закреплений, соответствующих этим пере¬
мещениям (см. рис. 11.34, Ь), Тогда каждый элемент рамы превратится в балку,
оба конца которой заделаны и повернуты на некоторые углы.
Таким образом, если мы найдем выражение для энергии деформации, накоп¬
ленной в этой балке (см. рис. 11.35), то затем можно будет использовать это
выражение для определения энергии деформации плоской рамы. В примере с за¬
деланной по обоим концам балкой, изображенной на рис. 11.35, можно воспользо-
500 П. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ваться выражениями для жесткостей элементов, приведенных на рис. 11.24, а,
и, таким образом, сразу же записать выражения для возникающих на концах бал¬
ки моментов Мг и М2, выраженных через углы поворотов 0* и 0а на концах:
^ = ^4+^4, (11.59а)
(11.59Ь)
Энергия деформации, накопленная в этой балке (см. выражение (11.40)), имеет
вид
[/ = 1/аЛ1101+1/а^202,
или (после подстановки приведенных выше выражений для моментов Мх и
1/=^(вг + еА+<©. (11.60)
Это соотношение выражает энергию деформации через известные углы поворотов
на концах балки (рис. 11.35) при условии, что балка ведет себя линейно.
Теперь уже можно вернуться к плоской раме (рис. 11.34) и определить энер¬
гию деформации, выразив ее через перемещения Их и 2)а. Процедура заключается
Рис. 11.35. Энергия деформации балки, кон¬
цы которой повернуты на углы 0Х и 0а.
в применении к каждому элементу рамы соотношения (11.60) и суммировании полу¬
ченных результатов. Для элемента А В имеем 0Х=О и 02=б1, а для элемента
ВС—соответственно 01=01 и 02=О2- Таким образом, энергия деформации равна
(#+0,0, +о|)=^ (20?+о,оа +о}).
Согласно первой теореме Кастилиано, получаем следующие два уравнения:
м*-!г2гио‘+ол
Эти уравнения равновесия метода жесткостей можно решить относительно пере¬
мещений йх и /)а в узлах:
п _ ^ _ МцЬ
7Е1 ' а~ 14В/ ’
Таким образом, повороты в узлах рамы определены. В качестве заключительного
этапа решения можно определить изгибающие момента на концах каждого эле¬
мента при помоЩИ выражений (11.59).
П.10.
МЕТОДЫ ПОТЕНЦИАЛЬ НОЙ ЭНЕРГИИ 501
Данный пример хорошо подходит для использования метода энергии дефор¬
мации и первой теоремы Кастилиано, поскольку нагрузка М0 соответствует од¬
ному из неизвестных перемещений в узлах. Единственной другой возможной на¬
грузкой на конструкцию мог бы быть изгибающий момент, соответствующий пере¬
мещению /)2* поскольку одним из требований, предъявляемых при использовании
этого метода, является то, что каждой нагрузке должно соответствовать неизвест¬
ное перемещение в узле.
В связи с этим возникает вопрос о том, как рассчитать конструкцию, когда
имеются нагрузки, приложенные и в других местах, например сосредоточенная
сила, приложенная в середине пролета элемента рамы. Один путь состоит в том,
чтобы рассматривать каждую точку, в которой приложена нагрузка, как узел
конструкции и таким образом ввести дополнительные неизвестные перемещения в
узлах, соответствующие нагрузкам. Неудобство такого подхода заключается в
том, что при этом значительно возрастает число уравнений равновесия, которые
приходится решать.
При расчете большинства конструкций предпочтительнее оказывается метод,
при котором любые нагрузки, приложенные между узлами, заменяются системой
статически эквивалентных нагрузок, приложенных к узлам. Разумеется, исполь¬
зование системы эквивалентных нагрузок возможно только в том случае, когда
применим способ наложения. Техника определения эквивалентных нагрузок не¬
сложна, но здесь мы не будем разъяснять ее. Вместо этого читателю рекомендуется
обратиться к монографиям по расчету конструкций, где приведены дополнитель¬
ные сведения по этому вопросу (см., например, [11.14], стр,. 136 и 204).
11.10. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Понятие потенциальной энергии является исключительно важ¬
ным для расчета конструкций. Ниже будет рассказано, как исполь¬
зуется потенциальная энергия при расчете конструкций и как она
связана с энергией деформации и методом перемещений. Кроме того,
в следующем разделе будет показано, что зачастую потенциальная
энергия может быть использована для приближенного расчета кон¬
струкций в тех случаях, когда точное решение невозможно.
Потенциальная энергия любой механической системы или кон¬
струкции некоторой реальной конфигурации' определяется как
работа, которую совершат все действующие силы, если система пе¬
рейдет из этой реальной конфигурации в некоторую основную кон¬
фигурацию. Для изучаемых здесь задач в качестве основной конфи¬
гурации всегда будет использоваться форма ненагруженной конст¬
рукции; реальной конфигурацией, разумеется, является форма на¬
груженной конструкции. Таким образом, потенциальная энергия —
это работа, совершаемая всеми действующими силами, когда кон¬
струкция переходит из своей конфигурации при нагружении в кон¬
фигурацию при отсутствии нагрузок.
Действующими на конструкцию силами являются как внешние
нагрузки, так и внутренние силы, причем последние в случае балки,
фермы или рамы представляют собой результирующие напряже¬
ний. Ясно, что потенциальной энергией внутренних сил будет
энергия деформации V, накопленная в нагруженной конструкции,
502 II- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЯ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
потому что если конструкция переходит из реальной конфигурации
в ненагруженную, то величина высвободившейся работы будет рав¬
на энергии деформации. С другой стороны, потенциальная энергия
внешних нагрузок отрицательна, поскольку каждая приложенная
к конструкции нагрузка совершает отрицательную работу, когда
конструкция «восстанавливается» из своей конечной конфигурации
в исходную. Таким образом, потенциальная энергия внешних на¬
грузок равна
РА,
I = 1
где Р1 представляет собой действующую на конструкцию нагрузку,
§.— соответствующее ей перемещение, а п — число нагрузок. Сле¬
дует специально отметить', что потенциальная энергия, соответст¬
вующая нагрузке Р(, это не то же самое, что работа, совершаемая
нагрузкой Я* при нагружении конструкции. В ходе нагружения
сила Р( постепенно возрастает по величине от нуля до своего
окончательного значения, а величина работы, совершаемой этой
нагрузкой, дается выражением (11.31). С другой стороны, потен¬
циальная энергия — это работа, совершаемая силой (имеющей свое
окончательное значение), когда точка ее приложения перемещается
из своего окончательного положения в основное положение.
Из предыдущих рассуждений следует, что потенциальная энер¬
гия конструкции является суммой энергии деформации конструк¬
ции и потенциальной энергии действующих на конструкцию нагру¬
зок, т. е. что
П = (/— 2 РА- О1-61)
1 = 1
Это выражение для полной потенциальной энергии справедливо для
любой упругой конструкции независимо от того, как она себя ве¬
дет — линейно или нелинейно.
Исследование конструкции методом потенциальной энергии сле¬
дует начинать с введения неизвестных перемещений Оь Г)г> • • •
Бп узлов. Затем энергию деформации V нужно выразить как
функцию от этих перемещений, подобно тому как это уже описыва¬
лось ранее в разд. 11.9 при изложении метода энергии деформации.
Кроме того, предполагается, что все нагрузки Ри Ра, . . ., Рп,
действующие на конструкцию, соответствуют неизвестным переме¬
щениям узлов. При этих условиях предыдущее выражение для пол¬
ной потенциальной энергии принимает вид
П = С/—23
(11.62)
11.10.
М Е ГОД Ы ПО ТЕНЦИАЛЬ НОЯ ЭНЕ РГИН 503
Вычислив частную производную по одному из неизвестных переме¬
щений О; от этого выражения, получим следующее уравнение:
® ш Р„ (а)
ао,- <ю,-
Из первой теоремы Кастилиано известно, что Рг=д111дВ1 и поэто¬
му
=о
<?о,-
Можно составить подобное уравнение для каждого неизвестного
перемещения /Эь /)2, . . Вп узлов и получить таким образом сис¬
тему уравнений
л ап л ап л /11 со\
(11.63)
Сопоставляя эти уравнения с уравнениями (а) и (11.52), замечаем,
что они являются уравнениями равновесия метода перемещений.
Таким образом, метод потенциальной энергии приводит к тем же
самым уравнениям, что и метод энергии деформации. Однако урав¬
нения (11.63) принципиально важны, поскольку они показывают,
что условия равновесия конструкции удовлетворяются, когда по¬
тенциальная энергия конструкции имеет стационарное значение —
минимальное, максимальное или нейтральное.
Итак, уравнения (11.63) можно рассматривать как математичес¬
кую формулировку принципа стационарности потенциальной
энергии. Этот принцип гласит, что если потенциальная энергия уп¬
ругой конструкции (линейной или нелинейной) представляется
функцией от неизвестных перемещений узлов, то конструкция бу¬
дет находиться в состоянии равновесия, когда перемещения имеют
такие значения, при которых полная потенциальная энергия при¬
нимает стационарное значение. Обычно конструкция находится
в состоянии устойчивого равновесия, и тогда полная потенциаль¬
ная энергия минимальна. При этих условиях уравнения (11.63)
представляют собой запись принципа минимума потенциальной
энергии. Для неустойчивых конструкций потенциальная энергия
может иметь либо максимальное, либо нейтральное значение. При
линейном поведении конструкции уравнения (11.63) соответствуют
уравнениям равновесия метода жесткостей, который можно считать
частным вариантом метода перемещений *).
1) Принцип стационарности потенциальной энергии является основным прин¬
ципом прикладной механики и используется во многих ее разделах, а не только
при расчете конструкций. Его иногда называют принципом Кирхгофа, поскольку
впервые этот принцип был использован Г. Р. Кирхгофом (см. [11.31] и [6.38]).
504 и- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Для того чтобы продемонстрировать применение метода потенциальной энер¬
гии к исследованию нелинейной кинематической неопределимой конструкции,
вновь вернемся к ферме, рассмотренной в примере 1 разд. 11.9 (рис. 11.32). Энер¬
гия деформации II этой конструкции, записанная через неизвестные перемещения
#1 и 02 узлов, представляется выражением (11.56). Потенциальная энергия силы Р
по отношению к конфигурации ненагруженной конструкции равна —Сле¬
довательно, полная потенциальная энергия составляет
Используя принцип стационарности потенциальной энергии (уравнения (11.63)),
получаем
Из этих уравнений сразу же получаются уравнения (е) и (0 примера 1 (разд. 11.9),
и все дальнейшее исследование проводится так же, как уже было описано в этом
примере. Таким образом, очевидно, что принцип стационарности потенциальной
энергии приводит непосредственно к уравнениям равновесия и соответствует рас¬
чету конструкции методом перемещений.
Другим примером, который можно решить методом стационарности потен¬
циальной энергии, является пример 2 предыдущего раздела. Этот пример отно¬
сится к ферме из четырех стержней (рис. 11.33). Ферма обладает линейным пове¬
дением, и ее энергия деформации описывается выражением (11.58). Поскольку
потенциальная энергия действующих на ферму сил составляет -Р101-Р8[)а,
полная потенциальная энергия равна
Принцип стационарности потенциальной энергии при этом дает следующие урав¬
нения:
которые представляют собой уравнения равновесия метода жесткостей и совпада¬
ют с уравнениями (Н) и (1), полученными в примере 2 разд. 11.9. После этого рас¬
чет фермы можно закончить так же, как уже было описано выше.
Приведенные выше два примера показывают, как можно использовать метод
потенциальной энергии при расчете конструкций, проявляющих либо линейное,
либо нелинейное поведение. Энергия деформации записывается через неизвестные
перемещения узлов, а затем складывается с потенциальной энергией нагрузок,
что дает полную энергию. Применение принципа стационарности потенциальной
энергии приводит к системе уравнений, содержащей столько уравнений, сколько
имеется неизвестных перемещений узлов. Эти уравнения представляют собой урав¬
нения равновесия метода перемещений (или метода жесткостей, если конструкция
имеет линейное поведение) и могут быть решены относительно неизвестных пере¬
мещений.
В данном разделе было удобно использовать в качестве примеров конструкции
типа ф>ерм по той причине, что элементы ферм имеют постоянные по своей длине
П = [20*/* + (О^ОО^-РО,.
П=|^(20?+ У 3 0Л+20Э-РЛ-РА.
ап ер
дй~ 21.
ап ер
дОа— 2/.
(40, + /302)-РХ =0,
(У30х+402)—Р2=0,
11.11
МЕТОД РЭЛЕЯ - РИТЦА 505
напряжение и деформацию и вычисления значительно упрощаются, не затемня¬
ются основные обсуждаемые принципы. Однако необходимо учитывать, что метод
потенциальной энергии на практике применяется для самых разнообразных слож¬
ных конструкций. Расчеты подобных конструкций зачастую весьма громоздки,
и было бы нецелесообразно излагать их в данной книге1).
11.11. МЕТОД РЭЛЕЯ—РИТЦА
Одним из основных применений метода потенциальной энергии
является использование его для приближенных расчетов конструк¬
ций, для которых получить точное решение или невозможно, или
очень трудно. При использовании метода потенциальной энергии
необходимо представить потенциальную энергию II в виде функции
от перемещений узлов конструкции, как уже было объяснено в пре¬
дыдущем разделе. Подобные выражения для энергии деформации
сравнительно легко найти для ферм и простых рам, поскольку там
число неизвестных перемещений узлов невелико.
Предположим, однако, что мы имеем дело с конструкцией, где
число степеней свободы очень велико, возможно даже бесконечно
велико. В этом случае можно было бы аппроксимировать истинную
форму конструкции при помощи выбранной деформированной фор¬
мы. Такая деформированная форма характеризуется функцией
формы, содержащей один или несколько неизвестных параметров
перемещения. Тогда потенциальную энергию можно вычислить на
основе этой выбранной деформированной формы, а это означает, что
потенциальная энергия будет выражаться как функция неизвест¬
ных параметров перемещения. В соответствии с принципом стацио¬
нарности потенциальной энергии значения перемещений должны
быть такими, чтобы потенциальная энергия имела стационарное
значение.
Таким образом, можно взять частные производные от потенци¬
альной энергии по каждому из параметров перемещений и прирав¬
нять эти производные нулю. Эта процедура приведет к системе
уравнений, содержащих в качестве неизвестных величин параметры
перемещений; уравнений будет столько же, сколько и неизвестных
параметров, и, следовательно, решив данные уравнения, можно
найти параметры. Если известны параметры перемещений, то это
означает, что выбранная деформированная форма установлена. За
исключением частных случаев, такая форма будет приближенно со¬
ответствовать истинной.
*) Методы потенциальной энергии и энергии деформации широко использу-
ются при расчете конструкций, и в литературе читатель найдет много сведений об
этих методах. Они рассматриваются в ряде учебников, но для начального ознаком¬
ления с этими методами особую ценность представляют книги [11.32 — 11.34].
Историческое развитие принципов энергии деформации и потенциальной энергии
с документальной точностью описано Оравасом и Маклином (см. [1.13], а также
506 Ч. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
На основе найденной приближенной формы теперь становится
возможным найти приближенные значения реакций и результи¬
рующих напряжений. Как правило, эти значения будут менее точ¬
ными (относительно), чем сами перемещения, поскольку они полу¬
чаются дифференцированием функций перемещений. Поскольку
функции перемещений не являются точными, их производные бу¬
дут еще менее точны, так как они представляют собой разности
приближенных величин. К тому же из-за того, что реакции и ре¬
зультирующие напряжений являются приближенными величинами,
они могут не удовлетворять уравнениям статического равновесия,
включающим точные значения действующих на конструкцию ре¬
альных нагрузок.
Таким образом, соответствующий выбор функции формы имеет
важное значение для достижения должной точности окончательных
результатов. Поэтому исследователю следует выбирать функцию
таким образом, чтобы она, с его точки зрения, достаточно хорошо
соответствовала истинной деформированной форме. Чем точнее вы¬
брана функция формы, тем лучше будут результаты вычислений.
Разумеется, -если бы выбранная функция формы оказалась точной,
то точными были бы и окончательные результаты. В качестве мини¬
мального требования функция формы должна выбираться таким
образом, чтобы она удовлетворяла геометрическим граничным усло¬
виям для конструкции, т. е. условиям, накладываемым на прогибы
и углы поворотов, как будет показано в нижеследующих примерах.
К тому же чем больше параметров перемещений используется при
задании приближенного- выражения, тем точнее приближенная
деформированная форма будет соответствовать большинству усло¬
вий. Правда, чем больше будет параметров, тем больше будет и чис¬
ло уравнений, которые придется решать.
Описанный выше метод называется методом Рэлея — Ритца,
поскольку он был развит Рэлеем и изложен им в книге «Теория
звука» в 1877 г. [11.81, а также швейцарским физиком Вальтером
Ритцем, который в 1908 г. математически обосновал этот метод
[11.35, 11.36]. Метод Рэлея — Ритца является исключительно мощ
ным и используется не только при расчете конструкций, но и — ог
раничимся лишь несколькими примерами — в теории колебаний
теории устойчивости и при исследовании пластин и оболочек ‘)
Он также является основой метода конечных элементов, где выбран
ные функции перемещений используются для представления пере
мещений малых конечных элементов, на которые при исследовании
разбивается конструкция (см. [11.37]).
Поскольку метод Рэлея — Ритца основывается на принципе ста¬
ционарности потенциальной энергии, его можно применять к кон¬
*) Более подробные сведения о методе Рэлея — Ритца можно найти в [11.33,
11.34].
11.11.
МЕТОД РЭЛЕЯ - РИТЦА 507
струкциям как с линейным, так и с нелинейным поведением. Более
того, при использовании этого метода нет необходимости делать раз¬
личие между статически определимыми и неопределимыми конст¬
рукциями: конструкции обоих типов можно рассчитывать при помо¬
щи одной и той же процедуры.
Пример /. В качестве первой иллюстрации к методу Рэлея — Ритца при¬
ведем расчет свободно опертой балки, на которую действует сосредоточенная сила
Р (см. рис. 11.36). Балка линейно упруга и имеет жесткость при изгибе Е1. Этот
частный пример выбран для того, чтобы как можно проще продемонстрировать клю¬
чевые моменты в методе Рэлея — Ритца.
Существует много возможностей для выбора функции формы, которая бы при¬
ближенно представляла линию прогибов этой балки. Как показал опыт, наиболее
удобными обычно оказываются тригонометрические функции и полиномы. Поэтому
выберем функцию формы в виде синуса
где щ) — прогиб балки, б — параметр перемещения, равный в данном случае про¬
гибу в середине балки. Функция синуса, приведенная в выражении (а), особенно
удобна для свободно опертой балки, поскольку она удовлетворяет не только гео¬
метрическим граничным условиям (до=0 при *=0 и х~1), но и граничным услови¬
ям для кривизны (до"=0 при х=0 и х—Ь).
Энергию деформации при линейном поведении балки можно определить сле¬
дующим выражением (см. выражение (6.34Ь)):
Если известно точное выражение для прогиба до, то его можно подставить в (11.64)
и получить точное значение энергии деформации. Однако при использовании ме¬
тода Рэлея — Ритца нужно подставить выбранную деформированную форму и
получить приближенное значение энергии деформации. Таким образом, приняв
для до представление (а) и подставив его в (11.64), имеем
Р
У
Рис. 11.36. Примеры 1 и 2. К опре¬
делению прогибов свободно опертой
балки методом Рэлея — Ритца.
до = 6 зт (пх/Ц, О^х^Ь,
(а)
(11.64)
о
откуда после интегрирования получим
л*Е1 б2
4(,3 •
508 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Как и следовало ожидать для конструкции с линейным поведением, энергия де¬
формации является квадратичной функцией от параметра перемещения.
Потенциальная энергия силы Р составляет —Рб, так что полная потенциаль¬
ная энергия нагруженной балки будет
П = 1> - РЬ = "*5/362 —РЬ.
Здесь потенциальная энергия выражена через параметр перемещения б, который
на данном этапе исследования является неизвестной величиной. Однако из прин¬
ципа стационарности потенциальной энергии известно, что перемещения кон¬
струкции должны иметь такие величины, при которых потенциальная энергия до¬
стигает стационарного значения. При выборе деформированной формы балки (см.
выражение (а)) был использован только один параметр перемещения, поэтому имен¬
но этот параметр должен иметь такую величину, при которой потенциальная энер¬
гия становится стационарной* Таким образом, применяя принцип стационарности
потенциальной энергии, получаем
Ш _я4Е/б р
46 ~ '
откуда можно определить параметр перемещения
2Р/з р[ з
6 = ^=0,02053^. (Ь)
Это приближенное значение истинного прогиба в середине балки достаточно хо¬
рошо соответствует точному значению
р/з рр/з
б.^-о.озовз М
Разница между точным и приближенным результатами составляет менее двух
процентов.
Значение, соответствующее приближенному решению, не случайно оказалось
меньше точного. Допущение о функции формы с одним неопределенным парамет¬
ром как бы сводит балку, имеющую бесконечное число степеней свободы, к системе
с одной степенью свободы. Таким образом, реальная балка является более гибкой,
чем фиктивная балка заданной деформированной формы. Или — с иной точки зре¬
ния — можно сказать, что для того, чтобы балка имела заданную деформирован¬
ную форму, необходимо наложить на нее внешние связи, которые заставили бы ее
принять эту форму. Такие дополнительные связи, наложенные на балку, могут
только увеличить ее жесткость. Таким образом, с любой точки зрения следует, что
балка заданной формы является более жесткой, чем реальная балка; следователь¬
но, ее прогибы в общем случае будут меньше, чем у реальной балки.
Продолжая далее приближенный расчет свободно опертой балки, изображен¬
ной на рис. 11.36, определим изгибающий момент М в этой балке. В соответствии
с выбранной деформированной формой этот момент составляет
М = —Е1т"=—Е1 -2Н.).
Подставляя сюда значение (Ь) для 6, получаем
2Р/, . пх
11.11.
МЕТОД РЭЛЕЯ - РИТЦА 509
Для того чтобы проверить точность этого результата, сравним приближенное и
точное значения изгибающих моментов при х—Ы4 и х—И2. При х~Ы\ прибли¬
женное значение момента М составляет 0,143 РЬ, точное же равняется 0,125 РЬ.
При х=Ь/2 изгибающий момент приближенно равен 0,203 Р1, а точное решение
дает 0,250 РЬ. Таким образом, ошибки в приближенных решениях составят соот¬
ветственно 14 и 19%, что указывает на значительно меньшую точность, чем для
значений прогиба в середине, где ошибка не превышала 2%. Отметим, что
приближенное значение изгибающего момента слишком велико в одном случае
и слишком мало в другом. В общем случае нельзя сделать никаких заключений о
том, окажутся ли результирующие напряжений, найденные методом Рэлея —
Ритца, меньше полученных из точных решений или будут превышать их.
Пример 2. Для более точного исследования свободно опертой балки, рас¬
смотренной в предыдущем примере, необходимо либо точнее выбрать функцию
формы, либо, кроме того, использовать более одного члена в представлении этой
функции. В данном примере будет продемонстрирован последний подход. Выразим
прогиб с помощью функции формы, содержащей два синусоидальных члена:
т = бх зт (пх/Ь) + б3 зт СЗлх/Ь), 0 ^ х ^ Ьш (с!)
где и б3— неизвестные параметры перемещений. В качестве второго члена было
выбрано слагаемое вида 63 зт (3пх/Ь) вместо 62 $т (2пх/Ь), потому что последнее
дало бы линию прогиба, несимметричную относительно середины пролета балки,
а это привело бы к тому, что в силу принципа стационарности потенциальной энер¬
гии параметр б2 обратился бы в нуль. Приведенная в представлении (с!) комбина¬
ция двух синусоидальных членов является лучшим приближением к истинному
уравнению линии прогибов, чем любой из этих членов в отдельности.
Ни один из параметров перемещений бх и 62 не представляет собой прогиба в
середине балки; вместо этого они являются амплитудами соответствующих членов
представления. Разумеется, прогиб 6 в середине пролета балки непосредственно
связан с параметрами 6Х и б2, что можно видеть, подставив х=Ц2 в представление
(с!); таким образом, получим
6 = бх 81П (я/2) + б3 51П (Зя/2) = — 63. (е)
Принцип стационарности потенциальной энергии позволяет нам определить зна¬
чения параметров Ох и 63, а затем из соотношения (е) можно найти приближенное
значение прогиба б в середине пролета. Кроме того, благодаря представлению (с!)
полностью известна также деформированная форма балки.
Проделывая затем все остальные этапы расчета, подставим выбранную функ¬
цию формы балки (с!) в выражение (11.64) для энергии деформации, что дает
Ь
510 //• РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Нетрудно проверить справедливость следующих результатов:
(11.66а)
о
ь
. тих . плх , Л /1, сс, х
51П 51П—2~ 4^ = 0, (11.65Ь)
где т и п — целые числа. Следовательно, выражение (!) для энергии деформации
упрощается и принимает вид
^=^(6?+ 81»!)-
Мы снова видим, что энергия деформации является квадратичной формой от па¬
раметров перемещений.
Потенциальная энергия силы Р равна —Рд, где б — прогиб в середине про¬
лета балки. Поскольку, согласно соотношению (е), прогиб б равен бх—б8, полная
потенциальная энергия составляет
п=^(б? + 81б?)-Р(б1-б3).
Теперь можно применить принцип стационарности потенциальной энергии и по¬
лучить два уравнения
дП ^Е/бх р^0
ддх 2Ь3
дП 81 я4/:/б;
аба 213
Решая эти уравнения относительно параметров перемещений, находим
2Р1» * 2 РЬ3
л*Е1 ’ 3_ 81я*Е1
Наконец, подставляя эти результаты в представление (<1), получаем приближенное
уравнение линии прогибов
2РЬ3 . лх . ЗлдЛ
ш =8Тл*17 \ 8,п Т 8Ш ~ТГ)' (ё)
Для того чтобы оценить точность этого выражения для прогиба, рассмотрим
значение прогиба б в середине пролета балки. Подставляя х=Ц2 в выражение (б)»
имеем
8 2РЬ3 164Р1» РЬ з
ёТл5!?' + )—ёьйШ- ’ 817 *
Этот результат является более точным, чем в случае одночленного представления
в примере 1 (см. выражение (Ь)), и очень близок к точному решению (с).
Приближенное значение изгибающего момента в балке равно
„ 2РЬ (л . лх ... Зл*\
м - - ■ЕЬГ—яр [9 5ШТ-ш .
11.11
МЕТОД РЭЛЕЯ — РИТЦА 511
При х—Ц4 приближенное значение изгибающего момента, согласно этому выра¬
жению, составляет 0,127 РЬ, что хорошо соответствует точному значению 0,125 РЬ.
При х—Ц2 приближенное и точное значения изгибающего момента составят соот¬
ветственно 0,225 Р^ и 0,250 РЬ. Эти приближенные значения гораздо точнее тех,
которые были получены при помощи одночленного представления в примере 1.
Еще более точные результаты можно получить, введя в выбранное представ¬
ление для прогиба ьо дополнительные синусоидальные члены. Например, можно
получить трехчленное представление, введя в представление (с1) дополнительный
член 51П (Ъпх!Ь). Разумеется, каждый такой дополнительный член приносит с
собой еще один параметр перемещения, а отсюда и необходимость решения еще
одного уравнения. В принципе, взяв все члены бесконечного ряда, можно получить
точные результаты (см. [11.33]).
Пример 3. Определим приближенное значение прогиба в середине пролета
непризматической балки с заделанными концами (рис. 11.37). Заметим, что точный
расчет этой балки достаточно громоздок, поскольку балка дважды статически не¬
определима и, кроме того, для различных ее участков значения моментов инер¬
ции различны.
Р
Й_Л_
2Е1 \
г
УГ"
—V,
, */4.
, */4_
- */4_
" *п
< >
У
Рис. П.37. Пример 3. К определению прогибов
непризматической балки с заделанными конца¬
ми методом Рэлея — Ритца.
В этом примере представление для функции формы возьмем в виде полино¬
мов, а не тригонометрических функций, использовавшихся в двух предыдущих
примерах. Простейший возможный полином представляет собой квадратичный
трехчлен следующего общего вида:
и) = А1х2 + А2х + А3, (Н)
где Ах, А2 и А3— постоянные. Однако это представление использовать нельзя,
поскольку оно не удовлетворяет геометрическим граничным условиям для балки
(прогибы и углы наклона равны нулю на обоих концах). Если попытаться найти
такие значения постоянных А{, А2 и А3, при которых представление (Ь) удов¬
летворяло бы граничным условиям, то в результате получим следующие: 1) ус¬
ловие 10=0 при х=0 дает Л3=0; 2) условие до'=0 при х=0 дает Л2= 0; 3) условие
о>=0 при х—Ь дает Л1=0. Таким образом, квадратичный полином является не¬
подходящим представлением функции формы для заделанной по обоим концам бал¬
ки, хотя это представление может быть удовлетворительным для свободно опертой
балки.
Следующая возможность — это кубический полином общего вида
ц) — А1х*-\-А2х“-{-А3х-\-А4, 0<:*<:/,/2. (1)
Пределы, указанные для этого представления, необходимы потому, что кубический
полином будет соответствовать линии прогибов, несимметричной относительно
середины балки, поэтому нельзя ожидать, что выражение (1) будет представлять
полную линию прогибов, являющуюся симметричной. Однако для рассматривае¬
мого случая достаточно иметь уравнение линии прогибов в виде кубического по¬
512 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
линома только для левой половины балки, поскольку можно определить энергию
деформации для этой половины, а затем умножить полученный результат на два.
Для того чтобы определить постоянные Аи А3 и Л4» фигурирующие в пред¬
ставлении (1), можно воспользоваться следующими условиями для прогиба и угла
наклона левой половины балки: 1) о>=0 при лс=0; 2) ш'=0 при дс=0; 3) до'=0 при
х~Ы2\ 4) т~Ь при х=Ь/2, где б — прогиб в середине пролета балки. Первые два
условия дают Л3=Л4=0, третье — значение Л2=— ЗЛ^/4, а из последнего ус¬
ловия следует, что А^—166//А Подставив все эти значения в представление (Ц,
окончательно определим искомую функцию формы:
4Й*2 Ь
и)=-—(ЗЬ—4х), —, ())
где б — неопределенный параметр перемещения.
Поступая далее так же, как в предыдущих примерах, из выражения (11.64)
находим энергию деформации:
Ь/4 1/2
и=2 &) | №*ах+2(^Щ |
Подставив сюда выражение 0) и проинтегрировав, подучим
„ 144Я/62
13 •
Таким образом, потенциальная энергия будет равна
П = и—Рб=—Д----РЙ.
ь*
С помощью принципа стационарности потенциальной энергии получим
т 288Г/6
откуда
РЬ3 Р/з
й==288ё7==0,00347Т7"' (Ю
Полученный результат только на 3% ниже точного значения, которое равно
Ир/з ргз
в==3072Е1 =°>00358 ~ЁГ'
Это точное значение можно легко определить с помощью методов, описанных в
гл. 6 и 7, но приближенный результат гораздо легче вычислить, а точность его за¬
частую оказывается достаточной.
Пример 4. В этом примере будет продемонстрировано применение метода
Рэлея — Ритца для определения критической нагрузки, при которой теряет ус¬
тойчивость продольно сжатый идеальный стержень. Рассмотрим призматический
стержень, заделанный в основании и сжатый продольной силой (рис. 11.38, а).
Форму потери устойчивости стержня (рис. 11.38, Ь) можно приближенно предста¬
вить либо тригонометрической, либо полиномиальной функцией. Использование
соответствующей тригонометрической функции приведет к точному значению кри¬
тической нагрузки, поскольку известно, что истинная линия прогибов представля¬
ет собой тригонометрическую функцию (см* выражения <(1) и (0 разд. 10.2). Это
11.11.
МЕТОД РЭЛЕЯ - РИТЦА 613
точное значение читатель может получить из решения задачи 11.11.5. Однако в
настоящем примере более поучительно использовать приближенные полиномиаль¬
ные функции формы.
Простейшим полиномиальным выражением является квадратичная функция
вида (п). Если определить постоянные Л2и Л3так, чтобы удовлетворялись ге¬
ометрические граничные условия (и;=0 при х—0, до'=0 при х=0 и при *=/-),
то квадратичная функция формы примет вид
Ьх2 , ч
и>=-7Т’ (41)
где Ь — длина стержня, ад — прогиб на свободном конце. Хотя эта функция фор¬
мы удовлетворяет геометрическим граничным условиям, она является неудачным
представлением для линии прогибов, поскольку ей соответствует постоянное зна-
Р
и
а
Рис. 11.38. Пример 4. К определению
критической нагрузки продольно сжатого
стержня методом Рэлея— Ритца.
*ение для кривизны (т. е. до") по длине стержня. В действительности кривизна рав-
де нулю на свободном конце стержня и максимальна у его основания. Однако мож-
ю воспользоваться представлением (т) и вычислить энергию деформации из вы-
)ажения (11.64):
ь
2Е1Ь2
= I3 *
Ътенциальная энергия силы Р составляет —РА,, где Я — перемещение вниз по
гертикали верхнего конца стержня, обусловленное изгибом стержня, который
юзникает при потере устойчивости, т.е. Я — это вертикальное перемещение, воз-
шкающее при переходе стержня из недеформированного состояния (рис. 11.38, а)
1 деформированное (рис. 11.38, Ь). Величина этого перемещения определяется
сражением (7.34), которое воспроизводится ниже:
ь
*=4 $(*'>•**• (П.66)
о
17 Механика материалов
514 //• РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Подставляя сюда выражение для до' и интегрируя, получаем
I
№)
О
Следовательно, полная потенциальная энергия равна
Принцип стационарности потенциальной энергии дает
4 Е16 4Р6
йЬ I3 3/. ’
или
Это уравнение удовлетворяется при 6=0, но в этом случае стержень остается пря¬
мым и потери устойчивости не происходит. Для того чтобы существовало нетриви¬
альное решение уравнения, стоящее в скобках выражение должно быть равно ну¬
лю, что дает
Этот приближенный результат для значения критической нагрузки на 22% пре¬
вышает точное значение Ркр=л2ЕИ(4Ь2). Того, что приближенное значение кри¬
тической нагрузки окажется слишком высоким, следовало ожидать, поскольку,
как уже было показано, приближенное выражение для прогибов при выпучивании
соответствует конструкции более жесткой, чем реальная.
Более точные результаты можно получить, взяв функцию формы в виде куби¬
ческого полинома:
Эта функция формы удовлетворяет не только геометрическим граничным условиям,
но и условию равенства нулю кривизны на свободно перемещающемся конце. По¬
ступая так же, как и ранее, получаем
а окончательный результат для значения критической нагрузки имеет вид
Это значение только на 1,3% превышает точное значение критической нагрузки и
является существенным улучшением результата, полученного при использовании
квадратичной функции формы.
Гораздо более точный результат можно получить, используя функцию формы,
содержащую не один параметр перемещения, а два таких параметра. Например,
можно взять функцию формы в виде суммы квадратичного и кубического полино-
а,=А(з^_дЗ).
(п)
_ЗЕ/6* 1_36*
~ № ’ ЬЬ ’
11.11.
МЕТОД РЭЛЕЯ — РИТЦА 515
мов:
(°)
где б! и б2 — неопределенные параметры. Каждая функция в отдельности удовлет¬
воряет геометрическим граничным условиям (ср. с выражениями (ш) и (п)), а над¬
лежащим подбором величин б! и б2, соответствующим принципу стационарности
потенциальной энергии, можно получить сложную функцию, которая будет более
точной, чем квадратичная или кубическая функция в отдельности. Вновь исполь»
зуя стандартную процедуру, приходим к следующим результатам:
и=“Ш (46? + 6«16а + 361), Я=(408?+758А+36б1),
■Щ- = ТГ (46х + 362) - (16д1 +1562)=0,
+ Ш (2И. + 246.)-0-
Перегруппировка членов двух последних уравнений дает
(4Е1 4Р\ /ЗЕ/ 5Р\. .
(-7Т--—] М-(дг—г) 6*=°>
(ЗЕ1 5Р\ /ЗЕ/ 6Р\.
{ту-Т)6'+\1?—г) 6а==0-
Эти однородные уравнения имеют нетривиальное решение только в том случае,
когда детерминант, составленный из коэффициентов при параметрах перемещений
б^ и 62, равен нулю; следовательно,
(4Е1 4Р \ /3Е1 6Р\ (ЪЕ1 5РУ_А
\ Ь* 3 ) \ I* 5 У [ Ь* 4 )
или
ЗР2— 104 Р + 240 (-^)'-0.
Меньший корень эгого квадратного уравнения дает приближенное значение наи¬
меньшей критической нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости
Ркр = 2,486^,
что почти совпадает с точным значением (лишь на 0,8% превышает последнее).
Пример 5. В этом последнем примере будет показано, как применяется
метод Рэлея — Ритца к нелинейной задаче. Конструкция представляет собой кон¬
сольную балку прямоугольного поперечного сечения, к незакрепленному концу
которой приложена сила Р (см. рис. 11.31 и пример 3 разд. 11.8). Материал балки
характеризуется нелинейной зависимостью напряжения от деформации, определя¬
емой уравнением а—В У г. Найдем прогиб б на незакрепленном конце балки.
Поместим начало координат на левом конце балки в недеформированном поло¬
жении (рис. 11.31, а). Соответствующим представлением для линии прогибов будет
кубический полином
® — 2^3 —З^2* + 21,3),
516 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
где до — направленный вниз прогиб балки. Приведенное выражение удовлетворяет
условиям, на концах для прогиба до и угла наклона до'. Кроме того, из него получаем
следующее выражение для кривизны при малых прогибах:
Согласно этому выражению, кривизна равна .нулю на незакрепленном конце балки
и максимальна на заделанном ее конце, что соответствует действительным услови¬
ям. Деформация ех в точке балки, расположенной на расстоянии у от нейтральной
оси (см. рис. 11,31, Ь), приближенно равна
Используя это выражение, можно определить приближенное значение удельной
энергии деформации в том же самом месте балки (см. выражение (11.32)):
Теперь можно вычислить полную энергию V деформации, проинтегрировав удель¬
ную энергию деформации по всему объему верхней половины балки (от у—0 до
у=Н12) и умножив полученный результат на два:
Зная энергию деформации, можно найти потенциальную энергию П=(/—Рб,
а затем использовать принцип стационарности потенциальной энергии и получить
Это приближенное значение прогиба примерно на 7% ниже точного (для этой не¬
линейно упругой балки можно определить точное значение прогиба, рассматривая
ее дополнительную энергию, как будет описано в следующем разделе; см. выраже¬
ние (11.68)).
11.12. принципы дополнительной энергии
Предыдущие разделы были посвящены некоторым важным прин¬
ципам, относящимся к энергии деформации. Теперь, в настоящем
разделе, мы вновь вернемся к рассмотрению некоторых столь же
важных принципов, относящихся к дополнительной энергии. В пре¬
дыдущих рассуждениях было указано, что энергия деформации
обычно выражается как функция от перемещений, в то время как
дополнительная энергия обычно выражается через силы. Таким
<т з /бВбА*/г&1/2 п п
аь ~ 25/.2 1
или
* _625РЧЛ
11.12.
ПРИНЦИПЫ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 517
образом, совершенно естественно, что теоремы об энергии деформа¬
ции относятся к исследованиям методом перемещений и методом
жесткостей, как уже было отмечено в разд. 11.9, а принципы допол¬
нительной энергии относятся к методу сил и методу податливостей
(это обсуждается в настоящем и следующем разделах).
Для того чтобы вывести основополагающую теорему, относящую¬
ся к дополнительной энергии, вновь рассмотрим нелинейную кон¬
струкцию, на которую действует п нагрузок Ри Р2, . . ., Рп, Вызы¬
вающих соответствующие перемещения 6Ь б8, . , ., б„. Здесь, так
же как и в предыдущих рассуждениях, очевидно, что Р и б представ¬
ляют собой силы и соответствующие им перемещения в обобщенном
смысле. Дополнительную энергию II* конструкции можно опреде¬
лить с помощью выражения (11.39 Ь). Получающееся в результате
выражение для II* будет функцией от нагрузок Ри Р2, • . Рп-
Далее, если представить, что одной из нагрузок, скажем Ри дается
малое приращение йРь в то время как другие нагрузки остаются не¬
изменными, то дополнительная энергия получит малое приращение
<111*, равное
Это уравнение просто утверждает в математической форме, что уве¬
личение II* равно скорости изменения 11* в зависимости от Ри
умноженной на приращение Р{.
Можно получить иное выражение для <Ш*, рассмотрев допол¬
нительную работу, совершаемую нагрузками при увеличении
нагрузки на величину йР1. Эта дополнительная работа является
такой же, что и приращение сШ* дополнительной энергии конструк¬
ции (см. выражение (11.36)). Единственной нагрузкой, совершающей
некоторую дополнительную работу, является сама нагрузка
поскольку другие силы остаются неизменными. Следовательно,
приращение дополнительной энергии равно произведению переме¬
щения б{ на приращение нагрузки йР^.
<Щ* =6;йР;.
Это приращение дополнительной энергии представлено в виде пло¬
щади заштрихованной полосы на диаграмме зависимости нагрузки
от перемещения на рис. 11.28, с. Приравнивая два приведенных вы¬
ше выражения для сШ*, получаем
6,=^-. (11.67)
Таким образом, частная производная от дополнительной энергии,
являющейся функцией от нагрузок, по некоторой нагрузке Рг равна
соответствующему перемещению б;. Это уравнение представляет со¬
бой запись теоремы Кротти — Энгессера, названнрй.так по имени
518 И. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
итальянского инженера Франческо Кротти, который вывел это
уравнение в 1878 г. (см. [ 11.38, 11.391), и немецкого инженера Фрид¬
риха Энгессера, который независимо получил его в 1889 г. (см.
111.401).
Теорема Кротти — Энгессера обнаруживает достопримечатель¬
ное сходство с первой теоремой Кастилиано, что видно из сравнения
соответствующих уравнений (см. уравнения (11.67) и (11.51)). В тео¬
реме Кротти — Энгессера дополнительная энергия выражается
как функция от нагрузок, а соответствующие перемещения получа¬
ются дифференцированием по нагрузкам, в то время как, согласно
первой теореме Кастилиано, энергия деформации выражается как
функция от перемещений, а соответствующие нагрузки получаются
дифференцированием по перемещениям. Обе теоремы являются весь¬
ма общими и могут применяться к конструкциям с нелинейным по¬
ведением *).
Пример /. Консольная балка, к незакрепленному концу которой прило¬
жена сосредоточенная сила Р, описана в примере 3 разд. 11.8 и изображена на
рис. 11.31. Диаграмма нелинейной зависимости напряжения от деформации для
материала балки представлена на рис. 11.31, с. Найдем прогиб 6 на конце этой
балки.
Согласно выражению (11.50), дополнительная энергия балки равна
25РЧ±
Вычислив дополнительную энергию и воспользовавшись теоремой Кротти — Эн¬
гессера, легко найти прогиб б, соответствующий нагрузке Р:
.дЦ\__2№ЧА
дР ~~2В2Ь*Н6' (11.68)
Пример 2. Определим вертикальное смещение узла В фермы, изображен¬
ной на рис. 11.32, а. Материал фермы характеризуется зависимостью напряжения
от деформации, которая как при растяжении, так и при сжатии описывается урав¬
нением. <т= В У г, где В — некоторая постоянная (см. рис. 11.32, Ь).
Первый шаг при определении смещения с помощью теоремы Кротти — Эн¬
гессера состоит в вычислении дополнительной энергии конструкции. Полная до¬
полнительная энергия II* равна сумме энергий двух стержней, а именно
^' = Vаь+V'ьс. (а)
Кроме того, дополнительную энергию каждого стержня можно найти умноже¬
нием удельной дополнительной энергии на объем стержня, поскольку и напряже¬
ние, и деформация остаются постоянными в каждом из стержней. Следовательно,
имеем
УаЬ = иаьП, и1с = и1сРЬ УХ (Ь)
*) В частном случае конструкции с линейным поведением дополнительная
энергия равна энергии деформации и тогда теорема Кротти — Энгессера сводится
ко второй теореме Кастилиано (см. разд. 11.14).
11.12. ПРИНЦИПЫ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 519
где Р — площадь поперечного сечения каждого стержня. Удельная дополнитель¬
ная энергия каждого из стержней может быть получена с помощью выражения
(11.37), что дает
°аЪ °аь а з
| еЛг= | (с)
о о
°Ьс °Ьс „ 8
иьс= | еЛт= | ^йа==-^г' (<•)
о о
где ааь и Оьс— напряжения в стержнях. Теперь выражения (Ь), (с) и (4) можно
подставить в соотношение (а) и таким образом получить следующее выражение
для полной дополнительной энергии фермы:
(е)
Сила Р, действующая на ферму (рис. 11.32, а), создает напряжения в стержнях,
которые легко определить из уравнений статического равновесия:
Р У~2Р
&аЬ — р > ®Ьс — р
(здесь рассматриваются только абсолютные величины напряжений). Следователь¬
но, дополнительная энергия фермы, согласно выражению (е), равна
и»=^Е1к
и з Р*Вл
Это выражение представляет дополнительную энергию как функцию от нагрузки
Р, так что для того, чтобы найти смещение, соответствующее нагрузке Р, теперь
можно использовать теорему Кротти — Энгессера:
Л -ди*— 5р2Ь
°в- дР — р*Вь •
Это выражение дает значение вертикального смещения 6В узла В фермы.
Если нужно найти горизонтальное смещение 6Г узла В, то вводится фиктивная
сила <?, соответствующая этому смещению. Затем можно повторить уже описанную
процедуру для определения 6В, но с тем принципиальным различием, что теперь
на ферму вместо одной будут действовать две нагрузки. Окончательный результат
для смещения бг будет содержать обе нагрузки Риф. Положив в этом выражении
нагрузку 0 равной нулю, получим горизонтальное смещение, обусловленное дей¬
ствием одной нагрузки Р (см. задачу 11.12.4).
Метод единичной нагрузки. Как уже было показано в пре¬
дыдущих примерах, для непосредственного использования теоремы
Кротти — Энгессера при определении перемещений конструкций
требуется, чтобы дополнительная энергия конструкции была пред¬
ставлена в виде функции от нагрузок. Затем для определения иско¬
мых перемещений нужно дифференцировать эту функцию. Посколь¬
ку эта процедура может оказаться довольно сложной, на практике
она обычно не применяется. Вместо этого широко распространен
520 и. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
более удобный метод определения перемещений, который и будет
сейчас описан.
Для того чтобы как можно проще изложить этот метод, вновь об¬
ратимся к конструкции типа фермы, в которой единственными ре¬
зультирующими напряжений являются усилия N в стержнях. Рас¬
смотрим отдельный стержень фермы и предположим, что он имеет
длину Ь и площадь поперечного сечения Р и что в нем развивается
усилие М0. Тогда дополнительная энергия II* для этого стержня, со¬
гласно выражению (11.36), с учетом соотношения Ь=гЬ примет ввд
где е — равномерная деформация в стержне при действии усилия N.
Можно отметить, что, когда усилие N возрастает от начального ну¬
левого значения до максимального, равного ДО0» деформация е воз¬
растает от нуля до своего максимального значения е0. Аналогично
и напряжение а в стержне возрастает от нуля до своего максималь¬
ного значения а0. Кроме того, предполагается, что соотношение меж¬
ду напряжением а и деформацией е представляется нелинейной диа¬
граммой зависимости напряжения от деформации (рис. 11.28, Ь).
Удобно ввести в рассмотрение функцию <р, представляющую со¬
бой удельную дополнительную энергию стержня; таким образом,
разделив выражение (!) на длину Ь, получим
Как видно из этого соотношения, величина <р является функцией от
усилия N0 и может быть найдена при помощи кривой зависимости
напряжения от деформации. (Отметим, что кривая зависимости на¬
пряжения от деформации дает соотношение между величинами е и о,
но поскольку имеет место равенство Ы=аР, то известно и соотноше¬
ние между г а N. Таким образом, деформация е является известной
функцией от ДО и, следовательно, интеграл (ц) можно вычислить.)
Теперь рассмотрим конструкцию типа фермы, состоящую из боль¬
шого числа элементов, на которую действуют нагрузки Рг> Р»*
. . ., Рп, вызывающие соответствующие перемещения 6Х, б*,.. ., 6Л.
Усилия в различных стержнях этой фермы изменяются в зависимо¬
сти от расстояния х, измеренного вдоль оси стержня. Поэтому возь¬
мем типичный элемент длиной йх, заключенный между двумя попе¬
речными сечениями (см. рис. 11.3, а). Усилие, возникающее в этом
элементе, равно а соответствующее удлинение доставляет йЬ
(равное е<4х). Обращаясь к выражению (§), видим, что дополнитель¬
ную энергию стержня фермы можно записать в виде Ш*=чйх.
(О
о
(б)
о
11.12.
ПРИНЦИПЫ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 521
Следовательно, дополнительная энергия всей фермы равна
V = $ уйх, (Н)
где, разумеется, интегрирование проводится вдоль осей всех стерж¬
ней фермы.
Для того чтобы найти перемещение б,-, соответствующее нагрузке
Р{, можно применить теорему Кротти — Энгессера к выражению
(Н), что дает
Дифференцируя под знаком интеграла, получаем
Рассмотрим теперь производную ду/дР{, которая входит в это вы¬
ражение. Величина <р является функцией от усилия Ы0, как уже было
пояснено при рассмотрении выражения (б), а усилие зависит от
приложенных нагрузок Ри Р2, . . ., Рп. Таким образом, величина <р
является функцией от Р{ через промежуточную переменную ДО0. От¬
сюда следует, что предыдущее выражение можно переписать в сле¬
дующем виде:
‘ 3 дЫ0 дР{ ах•
Каждая производная в этом выражении допускает простую физиче¬
скую интерпретацию. Производная д<р/дДО0 равна (см. выражение
(б)) деформации во1). Производная д#0/дР| представляет собой вели¬
чину усилия Ы„, возникающего при действии единичной нагрузки
Р1. Таким образом, в обозначениях, принятых в методе единичной
нагрузки (разд. 11.13), эта производная равна величине пред¬
ставляющей собой усилие, возникающее при действии единичной
нагрузки, соответствующей перемещению б*. Заменив производные
в выражении (1) соответственно на величины е„ и получим
&1 = \е9Ы1<1х=^1с1.Ь, 0)
где величина с(б, равная е<4х, представляет собой удлинение стерж¬
ня (см. рис. 11.3, а). Это уравнение представляет собой основное
уравнение метода единичной нагрузки (см. уравнение (11.3)) для
случая, когда рассматриваются только осевые деформации.
Аналогичное построение можно провести для случая, когда в
конструкции возникают только деформации изгиба (см. рис. 11.3, Ь),
да
х) Как известно, ((х) йх=/(а). Применяя это соотношение к выражению
о
(б), получаем а—И^ !(х)=г, йх=йЫ и /(а)=е0.
522 II. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
как это имеет место в случае балки или плоской рамы. Допустим
сначала, что балка длиной Ь находится в состоянии чистого изгиба
под действием изгибающих моментов М. Эти моменты вызывают от¬
носительный поворот 6 двух концов балки. Дополнительная энер¬
гия балки определяется из соотношения (11.36) заменой Р и б соот¬
ветственно на ТИ и 0, что дает
м.
(/•= $ им, (Ю
о
где М0 — максимальное значение моментов М. Угол 0 между кон¬
цами балки возрастает от нуля до максимального значения 0« при
увеличении значения приложенных изгибающих моментов М от
нуля до М0.
Также и кривизна н балки, равная 6/Ь, меняется от нуля до
максимального значения, равного хо=0о/Ь. Заменив в соотношении
(к) угол 0 на %Ь, получим
Л1,
(/•= $ хЬШ.
о
Теперь введем в рассмотрение новую функцию О, представляющую
собой удельную (т. е. отнесенную к единице длины) дополнительную
энергию балки:
м,
0=5 ЫМ. (1)
о
Эта величина является функцией от изгибающего момента М0 и для
любой конкретной балки может быть найдена при помощи диаграммы
зависимости напряжения от деформации.
Рассмотрим теперь балку или плоскую раму, на которую дейст¬
вуют нагрузки Ри Рг, . . ., Рп, создающие соответствующие пере¬
мещения бь 6„, . . ., б„. На типичный элемент такой конструкции
(см. рис. 11.3, Ь) действует изгибающий момент М0, и в этом элемен¬
те возникает деформация М (равная х<4*). Согласно выражению (/),
дополнительная энергия этого элемента будет равна д.С*—Ойх, так
что дополнительная энергия всей конструкции составит
Ц* = \Ойх,
где интегрирование проводится по всем элементам конструкции.
Далее по теореме Кротти — Энгессера получим перемещение б|
для этой конструкции
6‘ = 'Ж==Ж [1°^] =1щйх'
11.12.
ПРИНЦИПЫ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 623
Преобразуем последнюю производную в этом выражении. Величина
О является функцией изгибающего момента М0 (см. выражение (1)),
а момент М0 в свою очередь является функцией от нагрузок. По¬
этому последнее выражение можно переписать в следующем виде:
Здесь производная дО/дМ0 равна кривизне х0 (см. выражение (1)
и примечание на стр. 521), а производная дМ^дРг — изгибающему
моменту в балке, обусловленному действием единичной нагрузки
Рх. Таким образом, выражение (ш) можно представить как
причем было использовано соотношение йв=х<4х. Величина
представляет собой изгибающий момент в конструкции от действия
единичной нагрузки, соответствующей перемещению б,-. Итак, вы¬
ражение (п) оказалось таким же, как и основное соотношение метода
единичной нагрузки (11.3), когда во внимание принимаются только
деформации изгиба.
Аналогичные выкладки можно провести и для конструкций, в ко¬
торых учитывается влияние деформаций, обусловленных сдвигом и
кручением. Отсюда, наконец, можно заключить, что использование
дополнительной энергии и теоремы Кротти —'Энгессера приводит
непосредственно к основному соотношению метода единичной на¬
грузки. Это соотношение дает очень эффективные средства для опре¬
деления перемещений и может быть применено для конструкций с
нелинейным поведением *).
Пример 3. Методом единичной нагрузки определим прогиб б на незакреп¬
ленном конце консольной балки, изображенной на рис. 11.31. Кривая нелинейной
зависимости напряжения от деформации для материала балки приведена на
рис. 11.31, с.
Поскольку лля этой балки существенны лишь деформации изгиба, воспользу¬
емся только вторым членом уравнения (11.3) метода единичной нагрузки. Изгибаю¬
щий момент М% является моментом, вызванным единичной нагрузкой, соответству¬
ющей прогибу 6; следовательно, момент Мх равен 1-х, где х — расстояние от не¬
закрепленного конца балки до рассматриваемого поперечного сечения. Деформация
46 равна хЛх, где к — кривизна. Для рассматриваемой балки кривизна задается
выражением (I) разд. 11.8, поэтому деформация <10 составляет
Подставляя это выражение в уравнение метода единичной нагрузки, получаем
следующее значение прогиба:
I.
(Ш)
(п)
А) Конструкции с линейным поведением будут рассматриваться в разд. 11.14.
524 и- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Этот результат совпадает со значением прогиба, найденным в примере 1 (см. (11.66)).
Однако метод единичной нагрузки позволяет получить решение более простым
путем, чем в приведенном ранее примере, так как отпадает необходимость сложной
процедуры определения дополнительной энергии (см. вывод выражения (11.50)).
Пример 4. В этом примере методом единичной нагрузки будет определено
вертикальное смещение узла В фермы, изображенной на рис. 11.32. Кривая не-
линейной зависимости напряжения от деформации для материала фермы представ¬
лена на рис. 11.32, Ь.
Искомое перемещение находится из соотношения (11.3), в котором рассматри¬
вается только первый член. Единичной нагрузкой, соответствующей перемеще¬
нию 6, является вертикальная сила, приложенная к узлу В. Соответствующие уси¬
лия N1 в стержнях фермы будут равны
ми=1, тьс—у2.
Деформации, возникающие в стержнях при действии силы Р, имеют следующие
значения:
р _.2к р - 0к
ъаЬ — ^2 » Ьс — ^2 *
где напряжения составляют оаъ—Р/Р и о&с=— У2 Р/Р. Подставив эти значения
в выражения для деформаций» запишем
рг 2 Р2
еаЬ ~ г2В2 * е*>с ~ Г2В2 *
Наконец, выражения для и (16 (последнее равно гйх) можно подставить в соот¬
ношение метода единичной нагрузки и таким путем получить искомое перемещение
«-$**-$<.) (й,)*+ ] <-^(-ЗДл-зир.*
О о
Это перемещение совпадает с тем, которое было получено ранее в примере 2. Од¬
нако здесь можно снова указать на простоту решения методом единичной нагруз¬
ки. Преимущество метода единичной нагрузки представляется еще убедительнее в
том случае, когда искомое перемещение не соответствует ни одной из реальных
нагрузок, действующих на конструкцию (см. задачу 11.12.4).
11.13. МЕТОД СИЛ
Использование дополнительной энергии и теорема Кротти —
Энгессера приводят к важному методу расчета конструкций. Этот
метод основывается на концепции статической неопределимости, и в
нем в качестве неизвестных величин используются лишние статиче¬
ские неизвестные. Тот факт, что неизвестными являются силовые
факторы (результирующие напряжений и реакции), согласуется с
необходимостью выражения дополнительной энергии в виде функ¬
ции от нагрузок с тем, чтобы в дальнейшем можно было применить
теорему Кротти — Энгессера.
Рассмотрим заданную нелинейно деформируемую конструкцию,
п раз статически неопределимую. После выбора лишних неизвестных
11.13.
МЕТОД СИЛ 525
величин Хи Х2, .. ., Хп устраним эти лишние неизвестные путем
соответствующих изменений конструкции. Например, если лишней
неизвестной является реакция, то можно убрать опору, а если
лишней неизвестной является изгибающий момент, то можно вре¬
зать шарнир. Полученная в результате основная система должна
быть статически определимой, но не превращаться в механизм, как
уже было объяснено выше при описании метода податливостей
(разд. 11.6).
Далее принимается, что на основную систему действуют не толь¬
ко реальные нагрузки, но и сами лишние неизвестные. Иначе
говоря, лишние неизвестные нужно рассматривать как нагрузки,
приложенные к основной системе. Затем обычным способом можно
вычислить дополнительную энергию II* основной системы. Единст¬
венным новым обстоятельством является то, что дополнительная
энергия основной системы является функцией как от нагрузок, так
и от лишних неизвестных.
В соответствии с теоремой Кротти — Энгессера перемещения в
основной системе, соответствующие лишним неизвестным, можно
получить дифференцированием дополнительной энергии по этим
лишним неизвестным. Обозначим перемещения в заданной системе,
соответствующие лишним неизвестным Хи Хг, . . ., Х„, через Ои
. . ., IV). Тогда, согласно теореме Кротти — Энгессера (урав¬
нения (11.67)), получим систему п уравнений:
п п п ди' 111 К01
°1~дХ1’ °2~ дХъ' •••’ дХ„ ' (П.69)
Все эти уравнения имеют одну и ту же форму. Рассмотрев »-е урав¬
нение, мы обнаружим что его правая часть включает в себя члены,
содержащие как лишние статические неизвестные, так и нагрузки,
причем искомыми величинами являются лишние неизвестные. Эти
члены добавляются к истинному перемещению заданной системы,
которое должно быть равно нулю независимо от того, является ли
соответствующая лишняя неизвестная X, результирующей напря¬
жений или реакцией опоры, которая не вызывает какого-либо пере¬
мещения.
Таким образом, уравнения (11.69) в действительности представ¬
ляют собой условия совместности для перемещений, соответствую¬
щих лишним неизвестным. Решив эти уравнения, получим лишние
неизвестные, выраженные через нагрузки, а затем определим ос¬
тальные реакции и результирующие напряжений из уравнений
равновесия.
В методе расчета, основанном на использовании дополнительной
энергии и описанном в предыдущих абзацах, в качестве неизвестных
величин используются лишние статические неизвестные и требуется
*) Такие же обозначения были использованы выше в методе податливостей
(см. уравнения (11.25)). ^
526 Ч РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ МЬТОДЫ
решать систему уравнений. Следовательно, этот метод представляет
собой расчет методом сил, который был уже описан для случая
конструкций с линейным поведением как Метод податливостей (см.
разд. 11.6). В принципе метод сил и метод податливостей представ¬
ляют собой одно и то же, но применение метода податливостей огра¬
ничивается случаем линейного поведения конструкций. Поэтому
будем использовать термин «метод сил» в тех случаях, когда возмож¬
но нелинейное поведение, и термин «метод податливостей» в тех слу¬
чаях, когда конструкции рассматриваются только при линейном по¬
ведении 1).
Метод сил, которому соответствуют уравнения (11.69), аналоги¬
чен методу перемещений, которому соответствуют уравнения (11.52).
В методе сил дополнительная энергия выражается как функция лиш¬
них статических неизвестных, а затем применяется теорема Крот¬
ти — Энгессера, в результате чего получаются уравнения совмест¬
ности, из которых находятся лишние неизвестные. В методе переме¬
щений энергия деформации выражается как функция неизвестных
перемещений в узлах, а затем применяется первая теорема Касти¬
лиано для получения уравнений равновесия, из которых можно оп¬
ределить перемещения. Оба метода могут применяться для расчета
конструкций с нелинейным поведением.
Рассмотрим теперь частный случай метода сил, в котором в за¬
данной системе отсутствуют перемещения, соответствующие лиш¬
ним статическим неизвестным. Как было указано выше, подобная
ситуация возникает в том случае, когда лишними неизвестными яв¬
ляются либо результирующие напряжений, либо реакции неподвиж¬
ных опор. При таких условиях перемещения Ь2, . . ., Оп, входя¬
щие в уравнения совместности (11.69), обращаются в нуль, а сами
уравнения упрощаются и принимают вид
жг*' Ш=0' <п-70>
т. е. представляют собой условия, при которых дополнительная
энергия достигает стационарного значения. Для конструкции, на¬
ходящейся в состоянии устойчивого равновесия, стационарное зна¬
чение в действительности является минимумом, а отсюда следует,
что уравнения (11.70) выражают собой принцип минимума допол¬
нительной энергии. Этот принцип утверждает следующее. Если в за¬
данной системе перемещения, соответствующие лишним неизвест¬
ным, равны нулю, то для конструкции, находящейся в состоянии
устойчивого равновесия, лишние статические неизвестные Хи
Х2, . . Хп имеют такие значения, при которых дополнительная
энергия минимальна 2).
*) К методу податливостей мы еще вернемся (см. разд. 11.15).
2) Принцип минимума дополнительной энергии впервые сформулировал
Кротти [11.38, 11.39], а впоследствии Энгессер [11.40]. При линейном поведении
11.13. метод сил 527
Пример. Ферма, изображенная на рис. 11.39,а, изготовлена из материала,
для которого зависимость напряжения от деформации задается соотношением
6=5}^, где В — некоторая постоянная. Найти усилия в стержнях, используя
дополнительную энергию и метод сил.
Рис. 11.39. Пример. Метод сил.
Взяв в качестве лишнего статического неизвестного X реакцию шарнира В,
получим основную систему, изображенную на рис. 11.39, Ь. Усилия в стержнях
основной системы определяются из уравнений статического равновесия и состав¬
ляют
= Мм = х. (а)
Соответствующие напряжения равны
р % %
°а<1 — — уГ-^“ , °ьи — у»
где Р — площадь поперечного сечения каждого из стержней.
Удельная дополнительная энергия для стержня ВО находится следующим
образом (см. выражение (11.37)):
• _ °га . о» 1_ (ХЛ*
Ш— ^ ^ </а — 352 — зд2 ^ р ) •
о о
конструкции дополнительная энергия и энергия деформации ра1ны, так что прин-
цип минимума дополнительной энергии сводится к принципу минимума энергии
деформации (см. разд. 11.15).
Методы, основанные на использовании дополнительной энергии, явились
источником для значительных достижений в области расчета конструкций^ чита¬
телю, желающему подробнее изучить эти методы, следует обратиться к другим
источникам, например [11.32—11.34, 11.41, 11.42]. Современное изложение прин¬
ципов энергии деформации и дополнительной энергии в матричной форме содер¬
жится в монографиях [11.43, 11.44]; другие аспекты освещаются в работах [ 11.45—
11.49]. Историю развития методов, использующих дополнительную энергию, опи¬
сали Оравас и Маклин [1.13], а также Вестергард, включивший в работы [11.41,
11.50, 11.51] некоторые комментарии исторического характера.
528 //• РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Удельные дополнительные энергии для стержней АО и СО вычисляются анало¬
гичным образом, что дает
" \ 8
1 /Р-Ху
иай—иЫ— зйа ^ У~2р )
Наконец, умножив величину удельной дополнительной энергии каждого стержня
на его объем и сложив полученные результаты, получим полную дополнительную
энергию основной системы:
Это выражение для II* является нелинейной функцией как от нагрузки Р, так и от
лишней неизвестной X.
Перемещение в заданной системе, соответствующее лишней неизвестной X,
равно нулю, поскольку опора В неподвижна. Следовательно, теорема Кротти —
Энгессера, примененная к лишней неизвестной Л', даст уравнение (см. уравнения
(11.70))
I3 (Р-Х)* (-1)+3**1 =0.
откуда получаем Х=Р/2. Подставляя это значение X в выражения (а), можем за¬
писать
Р Р
Маа=Мс4=^ у~2 * ^ьа=~2~ •
Таким образом, усилия в стержнях этой статически неопределимой нелияе^ой
фермы были найдены при помощи метода сил.
11.14.
ВТОРАЯ ТЕОРЕМА КАСТИЛИАНО
В двух предыдущих разделах обсуждалось, как можно использо¬
вать дополнительную энергию при определении перемещений и рас¬
чете конструкций. В обоих разделах отмечалось, что эти концепции
применимы к конструкциям с нелинейным поведением. Теперь же,
в данном разделе, мы ограничимся рассмотрением конструкций с ли¬
нейным поведением, к которым применим способ наложения. При
этих условиях дополнительная энергия (/* и энергия деформации V
конструкции равны (см. выражение (11.40)). Более того, обе величи¬
ны представляются квадратичными формами от нагрузок (см. вы¬
ражение (11.44)).
Допустим теперь, что на конструкцию действуют нагрузки Ри
Р2, и что эти нагрузки вызывают соответствующие переме¬
щения б,, 62, . . ., б„. Тогда в теореме Кротти — Энгессера (уравне¬
ние (11.67)) можно заменить I/* на V и получить
>‘-Щ- (И 71)
Это уравнение — запись второй теоремы Кастилиано (см. [11.25—
11.291), которую можно сформулировать следующим образом. Если
11.14.
ВТОРАЯ ТЕОРЕМА КАСТИЛИАНО 529
энергия деформации линейно деформируемой конструкции представ¬
лена как функция от нагрузок, то частная производная от этой
энергии по некоторой нагрузке Рг равна соответствующему переме¬
щению б|.
В качестве примера применения второй теоремы Кастилиано
рассмотрим консольную балку, к незакрепленному концу которой
приложены сила Р и изгибающий момент М« (рис. 11.40). Балка ве-
Р
Рис. 11.40. К второй теореме Кастилиано.
дет себя линейно и имеет постоянную жесткость Е1 при изгибе.
Энергию деформации балки можно найти из выражения (6.34а),
которое воспроизведено ниже:
17 (П*72)
Здесь величина М представляет собой изгибающий момент в произ¬
вольном поперечном сечении. Для балки, изображенной на
рис. 11.40, изгибающий момент в сечении, расположенном на рас¬
стоянии л! от незакрепленного конца, составляет М=—Рх—М9.
Подставляя это значение М в выражение (11.72), находим
у=ш|<-'*-Л->’^“4ет+-е§г+#- <а>
Это выражение представляет энергию деформации как квадратичную
форму от нагрузок Р и М0-
Для того чтобы получить вертикальный прогиб 6 на незакреплен¬
ном конце балки, можно воспользоваться второй теоремой Касти¬
лиано и взять частную производную от V по силе Р; это дает
«. д11 РЬ» МоЬ*
°~ дР ~ 3ЕП 2Е1 '
Аналогичным образом можно найти угол поворота 8 на незакреплен¬
ном конце балки, взяв частную производную от V по Мо-
й_ д1! _Р1* М0Ь
дМ0 2 Е/+ Е1 -
Отсутствие знака минус в этих выражениях указывает на то, что
прогиб б и угол поворота 0 совпадают по направлению соответствен¬
630 И- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
но с силой Р и моментом М0. Как и следовало ожидать, и б, и 0 яв¬
ляются линейными функциями от нагрузок.
Очевидно, что вторую теорему Кастилиано можно использовать
только для определения перемещений, которые соответствуют
действующим на конструкцию нагрузкам; это имело место и для тео¬
ремы Кротти — Энгессера. Если требуется определить перемещение
в тех местах, где не приложены нагрузки, то к конструкции нужно
приложить фиктивную нагрузку, соответствующую искомому пере¬
мещению. Затем с помощью второй теоремы Кастилиано можно опре¬
делить перемещения, выраженные как через реальные нагрузки, так
и через фиктивную нагрузку. Полагая в конечном выражении фик¬
тивную нагрузку равной нулю, найдем искомое перемещение, вызы¬
ваемое реальными нагрузками (см. задачу 11.14.1).
Метод единичной нагрузки. Процесс нахождения переме¬
щений непосредственным применением второй теоремы Кастилиано
может оказаться довольно сложным, если на конструкцию действует
более двух нагрузок. Причина такого вывода состоит в том, что
вычисление энергии деформации может оказаться довольно сложным
делом. Предположим, например, что на консольную балку, изобра¬
женную на рис. 11.40, действуют не две, а четыре нагрузки. Тогда
для получения выражения для энергии деформации, аналогичного
(а), придется возвести в квадрат четырехчленное выражение, а
окончательное выражение для энергии 0 будет состоять из десяти
членов.
Процедуру определения перемещений можно значительно упро¬
стить, применив перед интегрированием выражения для изгибающе¬
го момента вторую теорему Кастилиано. Для балки или плоской
рамы, для которых существенны только деформации изгиба, энергия
деформации I! определяется выражением (11.72). Для того чтобы
найти прогиб бь соответствующий нагрузке Рг, нужно взять частную
производную от V по нагрузке Р%\ дифференцируя под знаком ин¬
теграла, получаем
Частная производная дМ/дР( представляет собой величину изги¬
бающего момента М, обусловленного единичной нагрузкой Рг. Та¬
ким образом, эта производная равна Мг — изгибающему моменту,
возникающему в конструкции при действии единичной нагрузки,
соответствующей искомому перемещению. Изгибающий момент М,
стоящий в выражении (Ъ) под знаком интеграла, представляет собой
изгибающий момент, обусловленный реальными нагрузками, прило¬
женными к конструкции, и обозначается поэтому через Мр. Исполь¬
зуя это обозначение, перепишем уравнение (Ь) в следующем виде:
(Ь)
11.15.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И МЕТОД ПОДАТЛИВОСТЕЙ 531
Это выражение представляет собой уравнение метода единичной
нагрузки (см. выражение (11.4)) для случая, когда рассматриваются
только деформации изгиба.
Аналогичные выкладки можно проделать и в тех случаях, когда
учитываются деформации растяжения или сжатия, а также деформа¬
ции сдвига и кручения. Следовательно, можно сделать вывод, что
метод единичной нагрузки, применяемый к линейно деформируе¬
мым конструкциям (см. выражение (11.4)), можно получить непо¬
средственно из второй теоремы Кастилиано. Подобный вывод не
должен вызывать удивления, поскольку, как было показано выше,
более общее соотношение (11.3) метода единичной нагрузки, Которое
применимо и для случая нелинейного поведения конструкций, мож¬
но получить из теоремы Кротти — Энгессера. Как уже отмечалось,
метод единичной нагрузки является очень эффективным способом
определения перемещений в самых различных конструкциях.
11.15. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И МЕТОД
ПОДАТЛИВОСТЕЙ
В разд. 11.13 уже было показано, как использование дополни¬
тельной энергии и теоремы Кротти — Энгессера приводит к ме¬
тоду сил расчета конструкций. Частный вариант метода сил имеет
место при линейном поведении конструкции. При таких условиях
энергию деформации основной системы (равную дополнительной
энергии) можно представить в виде квадратичной формы как от
нагрузок, так и от лишних статических неизвестных Хх, Х2,.. .,Хп.
Тогда, применив вторую теорему Кастилиано, получим следующую
систему уравнений:
п р. дЦ р. дЦ , •. -лч
и1~дХх' °*~дХ2 ' ' • •' °п~ дХп ’ (II./о)
где Эи Б2, . . ., Ип — перемещения в заданной системе, соответст¬
вующие лишним неизвестным. Все эти уравнения имеют один и тот
же общий вид. В правые их части входят члены, представляющие
собой перемещения, соответствующие лишним неизвестным; неко¬
торые из перемещений обусловлены самими лишними неизвестными,
а другие — реальными нагрузками, приложенными к конструкциям.
Эти члены складываются с реальными перемещениями в заданной
системе, которые равны нулю, когда соответствующими лишними
неизвестными являются результирующие напряжений или реакции
неподвижных опор. Отсюда можно сделать вывод, что уравнения
(11.73) являются уравнениями совместности метода податливостей
(см. уравнения (11.25)). Более того, уравнения (11.73) являются
частным случаем уравнений совместности метода сил (уравнения
(11.69)), относящимся к линейному поведению конструкции.
532 II- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Для того чтобы подробнее пояснить общий вид уравнений (11.73), рассмотрим
частный пример. Предположим, что некоторая конструкция дважды статически
неопределима и что к ней приложены две нагрузки Рг и Р2- Тогда энергия дефор¬
мации основной системы, являющаяся квадратичной формой от двух лишних не¬
известных Хх и Х2 и от нагрузок Рг и Ра, будет иметь следующий общий вид (см.
выражение (11.44)):
I/ = ОцХ\-\-С11ъХ\Х% -{-ОгзХхР х^в^^Р 2~\~021^2^1~\~а22^^~\“
+02зХ 2^1 + а2*Х 2^2~\'а91^1^ 1~\~а32^1^2'^’а99Р1+
+а34^1^2“Ьа41^ а^г+^а^ а^г+^з^ а^ 1+044^2»
где коэффициенты ап, а12 а44— постоянные, зависящие только от свойств
конструкции. Применяя к этому выражению для I/ вторую теорему Кастилиано,
получаем уравнения совместности (см. уравнения (11.73)):
°2 = щ=Р^Хх + Рг2Х, + йгР,
где коэффициенты Рц , Рг2, Р2Х и Р22— новые постоянные, которые получаются из
коэффициентов а/у и зависят только от свойств конструкции. Поскольку эти по¬
стоянные являются коэффициентами при лишних неизвестных, они представляют
собой податливости для основной системы. Кроме того, находим, что члены В1Р и
Э2Р зависят только от нагрузок Рг и Р2 и от свойств конструкции. Таким образом,
эти члены представляют собой перемещения основной системы, соответствукхцие
лишним неизвестным и обусловленные действиями нагрузок. Отсюда с очевидно¬
стью следует, что использование энергии деформации и второй теоремы Кастилиа¬
но приводит к тем же уравнениям, что и уравнения (11.25) совместности метода по¬
датливостей. Это заключение, разумеется, справедливо для конструкций произ¬
вольного вида (ферм, балок и рам) с любым числом лишних неизвестных.
Теперь возьмем некоторые частные производные от приведенных выше выра¬
жений:
дРг _ д2У „ дРг_ д2У
дХх ~ дХ\ “* ах, ~Ьхг6х~ Ыг
дИ2 _ дЮ ад2 _ д*1)
дХх дХгдХ* %и дХ2 дХ*
■— Р 2а.
2
В этих соотношениях можно без труда усмотреть следующее общее выражение
для податливостей:
д21)
*ч-щт- <"-7«
Это выражение показывает, что если энергия деформации V представляется квадра¬
тичной формой от лишних статических неизвестных Х19 Х2, . . ., ХП9 то податли¬
вости основной системы можно получить дифференцированием этой квадратичной
формы. Кроме того, поскольку порядок дифференцирования V безразличен, мож¬
но записать
„ дЮ аас/ .
У~дХ/дХ~ дХ(дХ/~ >1' (П,75)
и таким образом доказать теорему взаимности для податливостей, основываясь на
рассмотрении энергии деформации.
11.16.
ПРОЧИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ 533.
Большой интерес представляет частный случай, когда лишними
неизвестными являются либо результирующие напряжений, либо
реакции неподвижных опор. Во всех подобных случаях перемеще¬
ния в заданных системах, соответствующие лишним неизвестным,
равны нулю и уравнения совместности метода податливостей (урав¬
нения (11.73)), принимают вид
жг0'
т. е. представляют собой условия, при которых энергия деформации
достигает стационарного значения, причем в случае конструкции,
находящейся в состоянии устойчивого равновесия, это стационарное
значение будет минимумом. Таким образом, мы получили принцип
минимума энергии деформации, который утверждает следующее.
Если в заданной системе перемещения, соответствующие лишним
неизвестным, равны нулю, то для конструкции с линейным поведе¬
нием лишние неизвестные величины Х%, Х2, . . ., Хп имеют такие
значения, при которых энергия деформации минимальна. Принцип
минимума энергии деформации является частным вариантом (отно¬
сящимся к конструкциям с линейным поведением) более общего
принципа минимума дополнительной энергии (см. уравнения
(11.70)). Разумеется, уравнения, полученные согласно принципу
минимума энергии деформации, совпадают с уравнениями, получен¬
ными выше для метода податливостей *).
11.16.
ПРОЧИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ
В этой главе были описаны несколько фундаментальных методов
расчета конструкций, включая метод податливостей, метод жестко¬
стей и различные методы, основанные на применении энергии дефор¬
мации и дополнительной энергии. Этим, конечно, не исчерпываются
практически важные методы расчета' конструкций. Например, ши¬
роко используются матричные методы расчета конструкций. Эти
методы включают в себя метод податливостей и метод жесткостей,
усовершенствованные в том отношении, что все уравнения записы¬
ваются в матричной форме и все преобразования и вычисления
проводятся при помощи матричного исчисления. Применение мат¬
риц делает записи более систематическими и компактными и иде¬
ально приспособлено для программирования для ЭВМ. Матричные
методы описываются в учебниках по теории конструкций (см., на¬
пример, [11.14, 11.17, 11.19]).
*) Утверждение, основанное на уравнениях (11.76), столь же часто называется
принципом наименьшей работы. Это Название использовали Л. Ф. Менабреа,
впервые сформулировавший этот принцип в 1858 г. без достаточного обоснования,
и Кастилиано, доказавший его в 1873 г. (см. [11.25—11.29] и [11.52]).
534 Ч- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Более специализированным методом, широко используемым для
расчета статически неопределимых балок и плоских рам, является
метод распределения моментов (см. [11.20]). Этот метод позволяет
рассчитывать много раз статически неопределимую конструкцию,
не решая системы, содержащей большое число уравнений. Метод
включает вычисления последовательных приближений, которые
несложно осуществить. Из прочих методов, относящихся к расчету
балок и рам, упомянем метод угловых деформаций, метод разрезных
балок и метод упругого центра, описанные в учебниках, подобных
[11.15, 11.16, 11.18].
В данной главе рассматривались только конструкции, состав¬
ленные из элементов призматической формы. Однако если для эле¬
ментов непризматической формы известны их податливости, жестко¬
сти и моменты на заделанных концах, то при их исследовании не
возникнет никаких затруднений. Подробное описание расчета эле¬
ментов непризматической формы содержится в [11.14, 11.15, 11.20].
То же самое можно сказать и относительно учета изменения темпе¬
ратуры, проседания опор, деформаций поперечного сдвига и дру¬
гих второстепенных эффектов.
* * *
Авторы надеются, что их труд не только является введением
в расчет конструкций, но и дает читателю возможность приобрести
необходимую подготовку для дальнейшего изучения прикладной
механики.
ЗАДАЧИ
Задачи к разделу 11.3 следует решать методом единичной нагрузки.
11.3.1. На двухстержневую ферму АВС действует вертикальная сила Р, как
показано на рисунке. Оба стержня имеют одинаковую жесткость ЕР при растяже¬
нии и сжатии. Предполагая, что угол р=60°, определить вертикальное 6„ и го¬
ризонтальное 6Г смещения узла В, а также угол поворота 0вд стержня АВ.
ЗАДАЧИ 535
11.3.2. Решить предыдущую задачу для случая, когда температура стержня
АВ меняется на величину Д7\ (Принять коэффициент линейного температурного
расширения равным а.)
11.3.3. Определить вертикальное смещение 6В узла О и горизонтальное сме¬
щение дгузла С в изображенной на рисунке ферме, если Р= 1 т, а площади попе¬
речных сечений сжимаемых и растягиваемого стержней составляют соответствен¬
но 30 и 12 сма; Е=2,2» 10е кГ/сма.
11.3.4. Рассмотреть ферму, описанную в предыдущей задаче, и предположить,
что нагрузка Р равна нулю. Насколько следует увеличить длину стержней А В и
ВС (по сравнению с их теоретической длиной, равной 3 м) для того, чтобы узел О
сместился вверх на 1,2 см?
11.3.5. Определить вертикальное смещение 6В узла А фермы, изображенной
на рисунке, полагая, что жесткость ЕР одинакова для всех стержней.
2Р
11.3.6. Насколько увеличится расстояние между узлами А и Е фермы, опи¬
санной в предыдущей задаче, при приложении нагрузок?
11.3.7. На свободно опертую стальную ферму (Е= 2,1* 10е кГ/см2) действуют
три силы Рх, Р2 и Р3, как показано на рисунке. Составляющие ферму стержни
имеют следующие площади поперечных сечений: стержни ВЕ, ВР, СР и СО —
12 см2, стержни ЛЯ, ЕР, РО и ОО — 18 см2, стержень ВС — 24 см2 и стержни АВ и
СО — 36 см2. Полагая, что расстояние Ь равно 1,25 м и что Рх=Р2= 4 т, Р3= 2 т,
определить следующие перемещения: а) вертикальное перемещение 6В узла Р;
Ъ) горизонтальное перемещение 6Г узла Р\ с) угол поворота стержня ВС.
В С
536 //. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
11.3.8. Используя данные предыдущей задачи, вычислить, насколько умень¬
шится расстояние между узлами В и О при действии на ферму нагрузок Р\9 и
11.3.9. На консольную балку длиной I с жесткостью Е1 при изгибе действует
равномерно распределенная по всей дайне нагрузка интенсивностью д. Получить
выражение для прогиба 6 и угла поворота 0 на незакрепленном конце балки.
11.3.10. В середине пролета свободно опертой балки длиной I приложена
сосредоточенная сила Р. Определить прогиб, б в середине пролета и угол поворота 0
над опорами.
11.3.11. На консольную балку действуют две сосредоточенные силы Р, как
показано на рисунке к задаче 6.5.3. Предполагая, что силы приложены на равных
расстояниях от концов балки (а=6=с= 1/3), найти прогиб б и угол поворота 0
на свободном конце балки.
11.3.12. На свободно опертую балку с выступающей частью (см. рисунок)
действует сила Р, приложенная на конце выступающей части. Определить прогиб
6С и угол поворота 0С в месте приложения силы.
11.3.13. Для балки, описанной в предыдущей задаче, найти направленный
вверх прогиб б в середине пролета АВ и угол поворота 0 над опорой А.
11.3.14. Рассмотреть пример 5 разд. 11.3 и рис. 11.7 и получить выражение
для обусловленного разностью температур угла поворота 0 на свободном конце С
балки.
11.3.15. Методом единичной нагрузки решить задачу 6.3.6 (консольная балка
с равномерно распределенной по половине ее длины нагрузкой).
11.3.16. Методом единичной нагрузки решить задачу 6.4.6 (свободно опертая
балка, нагруженная двумя сосредоточенными силами; см. рис. 5.1, а).
11.3.17. Найти углы поворота 0а и 0& на концах свободно опертой балки, на
которую действует распределенная по закону треугольника нагрузка (см. рисунок
к задаче 6.2.9).
11.3.18. Найти горизонтальное смещение б точки С плоской рамы, изображен¬
ной на рисунке, если элементы А В и ВС имеют длину Ь и жесткость Е1 при изги¬
бе. (Конец А закреплен неподвижным шарниром, конец С—подвижным шарниром.)
11.3.19. Плоская рама АВСИ, опирающаяся на подвижный шарнир на конце
Л и на неподвижный шарнир на конце 0 (см. рисурок), нагружена силой Р, при¬
ложенной в середине элемента ВС. Жесткость при изгибе вертикальных и горизон¬
тальных элементов соответственно равна Е11 и Я/а. Определить горизонтальное
смещение 6Г и угол поворота 0 в точке Л.
Р
С
К задаче 11.3.12.
ЗАДАЧИ Б37
р
^ 11.3.20. Решить предыдущую задачу в предположении, что вместо силы Р
действует приложенная в точке А сила Яг, направленная влево.
11.3.21. Плоская рама АВСй, изображенная на рисунке, заделана на конце
и и свободна на конце А. Определить угол поворота 0 в точке А при действии вер¬
тикальной нагрузки Р. Предполагается, что элементы рамы имеют одинаковую
жесткость Е1 при изгибе.
Р
11.3.22. Определить величину А, на которую увеличивается расстояние между
точками А и С плоской рамы АВС (см. рисунок), нагруженной двумя силами Р,
если элементы рамы (АВ и ВС) имеют длину I, жесткость Е1 при изгибе и жест¬
кость ЕР при сжатии и растяжении. (Рассмотреть влияние как деформаций изгиба,
так и деформаций растяжения и сжатия в элементах рамы.)
11.3.23. Плоская рама АВС, показанная на рисунке, имеет температуру Т\
на левой и верхней поверхностях элементов и температуру Т2 на противоположных
поверхностях. Определить горизонтальное 6Г и вертикальное 6В смещения и угол
поворота 0 в точке С. Предполагается, что элементы рамы имеют одинаковое попе¬
речное сечение (высота этого сечения равна Н) и изготовлены из одного и того же
материала (с коэффициентом линейного температурного расширения а).
11.3.24. Плоская рама в форме лестницы заделана на верхнем конце и имеет
незакрепленный нижний конец (см. рисунок). К незакрепленному концу приложе¬
538 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
на сила Р. Получить выражение для вертикального смещения б незакрепленного
конца, предположив, что рама состоит из п «ступеней». (Каждый элемент рамы
имеет длину I* и жесткость Е1 при изгибе.)
11.3.25. Получить выражения для вертикального смещения дв и угла пово¬
рота 0 в точке В криволинейного стержня, изображенного на рис. 11.9, а.
11.3.26. Определить вертикальное смещение 6В конца В тонкого криволи¬
нейного стержня А В, средняя линия которого образует полуокружность радиуса
К (см. рисунок).
11.3.27. Определить величину Д, на которую увеличится расстояние между
точками А и О тонкого стержня (см. рисунок), состоящего из участка ВС в форме
полуокружности радиуса Н и двух прямолинейных участков А В и СО длиной
I, при действии двух сил Р.
11.3.28. Тонкое круговое кольцо, радиус средней линии которого равен /?,
разрезано в некотором месте, и разрез расширен за счет того, что в него помещен
небольшой брусок (см. рисунок). Найти максимальный изгибающий момент, воз¬
никающий в кольце, если толщина бруска равна е.
V
К задаче 11.3.23.
К задаче 11.3.24.
К задаче 11.3.26.
К задаче 11.3.27.
11.3.29. К незакрепленному концу тонкого криволинейного стержня АВ, ко¬
торый лежит в горизонтальной плоскости и средняя линия которого образует чет¬
верть окружности радиуса /?, приложена вертикальная сила Р, как показано на
ЗАДАЧИ 539
рисунке. Получить выражение для вертикального смещения дв точки В при дейст¬
вии этой силы. (Принять, что стержень имеет жесткости Е1 и (?У соответственно
при изгибе и кручении.)
К задаче 11.3.29.
11.3.30. Чему равен угол закручивания ф на конце В криволинейного стерж¬
ня, описанного в предыдущей задаче?
11.3.31. Горизонтально установленный кронштейн АВСО (см. рисунок) за¬
делан на конце Л. Элементы АВ и СО имеют длину 1,5 м, а элемент ВС, составля¬
ющий прямой угол с АВ и СО, имеет длину 1,2 м. Кронштейн изготовлен из трубы
кругового поперечного сечения диаметром 10 см с осевым моментом инерции /=
=280 см4 и полярным моментом инерции У=560 см4. Найти вертикальное смещение
6 и угол поворота ф незакрепленного конца кронштейна при действии вертикальной
силы Р= 200 кГ. (Принять Е=2,Ы0б, 0=0,84-10е кГ/см2.)
11.3.32. Квадратная плоская рама АВСО разрезана в середине стороны АО
(см. рисунок). По краям разреза приложены равные по величине и противополож¬
но направленные силы Я, перпендикулярные плоскости рамы. Найти расстояние
А между концами разреза рамы, предположив, что все ее элементы имеют жесткость
Е1 при изгибе, жесткость при кручении и что сторона квадрата имеет длину 2-.
К задаче 11.3.32.
540 И- РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
11.5.1. Доказать теорему взаимности перемещений для свободно
опертой балки, изображенной на рис. 11.12, а и 11.12, воспользовавшись методом
единичной нагрузки при определении перемещений.
11.5.2. Продемонстрировать справедливость теоремы взаимности перемеще¬
ний (бв6=6Ьб) на примере свободно опертой балки, изображенной на рис. 11.12, а
и 11.12, Ь, если длина балки равна I, точка А лежит в середине пролета балки, а
точка В находится на расстоянии 1/4 от правой опоры.
11.5.3. Показать, что теорема взаимности перемещений удовлетворяется для
свободно опертой балки, изображенной на рис. 11.13. Длина балки равна I, точка
А лежит на расстоянии ЫЪ от левой опоры, а точка В — на расстоянии 1/4 от
правой опоры.
11.5.4. Показать, что теорема взаимности перемещений (0вь=0&а) удовлетво¬
ряется для свободно опертой балки, изображенной на рис. 11.14. Длина балки
равна I», точка А лежит в середине пролета, а точка В — на расстоянии ЫЪ от
правой опоры.
11.5.5. К консольной балке длиной I, заделанной на левом конце и незакреп¬
ленной на другом, прикладываются нагрузки двух типов. Нагрузка первого типа
включает сосредоточенную силу Р\9 направленную вниз и приложенную в середи¬
не балки, а также направленный по ходу часовой стрелки сосредоточенный изги¬
бающий момент Мх, действующий на незакрепленном конце. Нагрузку второго
типа образуют направленная вниз сила Р2, приложенная в середине балки, и так¬
же направленная вниз сила Р8, приложенная на незакрепленном конце. На при¬
мере нагрузок этих двух типов продемонстрировать справедливость теоремы вза¬
имности работ, записав выражения для работ в правой и левой частях уравнения
(11.21).
11.5.6. К свободно опертой балке длиной I* прикладываются нагрузки
двух типов. Нагрузка первого типа представляет собой сосредоточенную силу Я,
направленную вниз и приложенную на расстоянии 1/3 от левой опоры. Нагрузка
второго типа включает два равных по величине и направленных против хода ча¬
совой стрелки сосредоточенных изгибающих момента М0, один из которых прило¬
жен к левому концу балки, а другой — в середине пролета. На примере нагрузок
этих двух типов продемонстрировать справедливость теоремы взаимности работ,
записав выражения для работ в правой и левой частях уравнения (11.21).
11.5.7. К свободно опертой балке длиной Ь прикладываются нагрузки двух
типов. Нагрузка первого типа представляет собой равномерно распределенную
по длине балки нагрузку интенсивностью д, нагрузка второго типа — сосредото¬
ченную силу Р, приложенную в середине пролета балки. На примере нагрузок этих
двух типов продемонстрировать теорему взаимности работ, записав выражения
для работ в правой и левой частях уравнения (11.21). (Указание, В случае равно¬
мерно распределенной нагрузки малый элемент дйх нагрузки следует рассматри¬
вать как сосредоточенную нагрузку с последующим интегрированием результата.)
Задачи к разделу 11.6 следует решать методом податливостей.
11.6.1. Определить лишние неизвестные реакции для двухпролетной балки,
изображенной на рис. 11.16, а, используя в качестве основной систему, соответ¬
ствующую рис. 11.16, с. Принять следующие значения нагрузок: Рх=Р, Мх=0,
Р2=Р и Я3=Р. Зя лишнее неизвестное Хг выбрать направленный против хода
часовой стрелки изгибающий момент в заделке Л, а за Х2— направленную вверх
реакцию опоры В.
11.6.2. Определить изгибающие моменты, возникающие в поперечных сече¬
ниях, расположенных над опорами В и С неразрезной балки (см. рисунок), ис¬
ЗАДАЧИ 641
пользуя эти моменты в качестве лишних неизвестных соответственно Х1 и Х2.
Принять, что эти лишние неизвестные положительны, когда они вызывают сжатие
верхних волокон балки, и что балка имеет постоянную жесткость Е1 при изгибе.
<7
11.6.3. Определить лишние неизвестные Хх и Х2 для балки, изображенной на
рис. 11.19, если ее средний пролет ненагружен, а сила Р, действующая на правый
пролет, равна щЬ.
11.6.4. К узлу А плоской фермы, изображенной на рисунке, приложена сила
Р. Все стержни фермы имеют одинаковую жесткость ЕР при растяжении и сжатии.
Определить усилия Л^, #а, • • •» #в» возникающие в этих стержнях.
К задаче 11.6.4. К задаче 11.6.5.
11.6.5. Определить усилие в стержне АВ плоской фермы (см. рисунок), если
Р= 15 т. Принять, что 1=6 м, модуль Юнга Е одинаков для всех стержней фермы,
площади поперечных сечений стержней СД, А В и ВР равны 24 см2, площади по¬
перечных сечений остальных стержней составляют 12 см2.
11.6.6. Рассмотреть плоскую ферму, изображенную на рис. 11.20, и вновь
решить соответствующий пример, но на этот раз в качестве лишних неизвестных
Хх и Х2 взять усилия соответственно в стержнях А В и ВС. Жесткости при растя¬
жении и сжатии для горизонтальных и вертикальных стержней равны ЕР, а для
диагональных 2ЕР.
11.6.7. Определить усилия в стержнях АВ и ВС фермы, изображенной на
рисунке, приняв эти усилия в качестве лишних неизвестных соответственно Хх и
Х2. При решении воспользоваться следующими числовыми значениями: /,= 1 м,
//=0,75 м, Р1=125 кГ, Ра=75 кГ; кроме того, для всех стержней фермы
=0,84- 10е кГ/см2, Р=9,4 сма.
542 **• РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
К задаче 11.6.7.
11.6.8. Плоская рама АВС заделана на конце А и имеет шарнирную подвиж¬
ную опору на конце С, как показано на рисунке. Элементы А В и ВС рамы имеют
одинаковую жесткость Е1 при изгибе. Принимая во внимание только деформации
изгиба, определить вертикальную реакцию опоры С.
И
Я
шз
А
Лг\
/?з
К задаче 11.6.8.
К задаче 11.6.9.
11.6.9. Плоская рама АВСЭ шарнирно закреплена на концах А и О (см.
рисунок). Горизонтальный элемент рамы имеет длину I и жесткость Е1Х при из¬
гибе; вертикальные элементы имеют длину Н и жесткость Е12 при изгибе. Найти
реакции /?1э Я2, Яз и #4 ПРИ действии силы Р. Рассматривать только деформации
изгиба, а в качестве лишней неизвестной взять реакцию /?4.
11.6.10. Плоская рама АВСВ заделана по концам А и О, как показано на ри¬
сунке. Определить реакции опор, если Рх=Р, Р2=0, Ь=Ц2, Н=Ь и /1=/а.
Рассмотреть только влияние деформаций изгиба.
11.6.11. Решить предыдущую задачу при условии, что Р2=Р, Рг=0, #=1/2
и /2=2/!.
11.6.12. Тонкое круговое кольцо радиуса # нагружается двумя равными по
величине и противоположными по направлению силами Р, действующими вдоль
диаметра, как показано на рисунке. Определить изгибающие моменты, возникаю¬
щие в поперечных сечениях А и В кольца, принимая во внимание только деформа¬
ции изгиба.
ЗАДАЧИ 543
л
11.6.13. Определить реакции опоры О плоской рамы, изображенной на ри¬
сунке к задаче 11.6.10, взяв в качестве лишних неизвестных эти реакции. Рассмо¬
треть только влияние деформаций изгиба и принять следующие числовые значе¬
ния: Рг=8 т, Р2= 0, Ь=6 м, Ь—18 м, Я=6 м, Я=2,Ы0в кГ/см2, /х=27 ООО см4
и /2=44 ООО см4.
Задачи к разделу 11.7 следует решать методом жесткостей.
11.7.1. Балка Л5, изображенная на рисунке, заделана на конце А и имеет
шарнирную подвижную опору на конце В. Определить прогиб О (направленный
вниз) и реактивный момент М& (положительный при направлении против хода
часовой стрелки) в опоре В.
/4 1
' ^ ч
с Ф 1 1/3 1
К задаче 11.7.1.
11.7.2. Двухпролетная неразрезная балка АВС заделана на конце А и имеет
шарнирные подвижные опоры В и С, как показано на рис. 11.26, а. На балку дей¬
ствуют следующие нагрузки: Рх=Р, Л11=Р^, Р2= 0 и Р8=0; пролет АВ имеет
длину I, а пролет ВС — длину 1,5 Ь. Определить повороты и Э2 (положитель¬
ные при направлении против часовой стрелки) соответственно в узлах В и С, а
также реакции На и Ма заделки А.
11.7.3. Рассчитать балку АВС, изображенную на рис. 11.27, а% если Рг=Р,
Р2=Р/3, и 12=2 I. Определить неизвестные перемещения и 02, а также
реактивные моменты Ма и Мс на концах.
11.7.4. Плоская рама АВС, изображенная на рисунке, заделана ка концах Л и
С. Элементы АВ и ВС рамы имеют длины соответственно I и Н и одинаковую жест¬
544 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
кость Е1 при изгибе. Рассматривая только влияние деформации изгиба, найти по¬
ворот О (положительный при направлении против хода часовой стрелки) в уз¬
ле В. Определить также реакции К19 Я2 и опоры А.
11.7.5. Трехпролетная неразрезная балка» изображенная на рисунке, заде¬
лана на концах А и О и имеет шарнирные подвижные опоры В и С. Все три пролета
имеют одинаковую длину (Ьх—Ь). На балку действуют следующие нагрузки:
Ра=0, ^1=0, <7г=0 и д2 =Р/Ь. Определить реакции Яа, Яь, Яс и Ма для
этой балки.
11.7.6. Решить предыдущую задачу при условии, что длина среднего пролета
составляет полторы длины крайних пролетов (/*= 1,5 I) и действуют следующие
нагрузки: Р1=Р2~Р> д^РЦ, дъ=РИ и М^РЬ.
11.7.7. Определить реакции опор А и й плоской рамы, изображенной на ри¬
сунке, учитывая только влияние деформаций изгиба. Все элементы рамы имеют
одну и ту же жесткость при изгибе. Длина элементов АВ и ВС равна I, длина
элемента ВВ составляет 2ЦЗ.
11.7.8. Плоская рама АВС (см. рисунок) заделана на конце А и шарнирно за¬
креплена на конце С. Элементы АВ и ВС имеют одинаковую Жесткость при Изгибе
и одинаковую длину Ь. На раму действует равномерно распределенная вдоль
ЗАДАЧИ 545
элемента ВС нагрузка интенсивностью ц и сосредоточенный изгибающий момент
Д!1=2^Ьа» приложенный в узле В Учитывая только влияние деформаций из¬
гиба, определить реакции /?х и /?2 опоры С.
11.9.1. Симметричная ферма, изображенная на рис 1 14, а, состоит из трех
стержней, сходящихся в узле В Все стержни имеют одинаковую жесткость ЕР при
растяжении и сжатии, длина среднего стержня равна I Единственной нагрузкой,
действующей на ферму, является вертикальная сила Р, приложенная к узлу й
a) Выразить энергию деформации II конструкции как функцию от вертикального
перемещения д узла О Ь) Затем, воспользовавшись первой теоремой Кастилиано,
получить уравнение равновесия метода жесткостей и решить это уравнение отно¬
сительно перемещения 6 с) С помощью этой величины 6 определить усилия
Ыьа и в стержнях фермы.
11.9.2. Свободно опертая ферма, на которую действует сила Р, показана на
рис 1 10, а Оба стержня этой фермы имеют одинаковую жесткость ЕР при растя¬
жении и сжатии, длина стержня А В равна Ь Обозначим горизонтальное перемеще¬
ние узла В, положительное при направлении направо, через Эи а вертикальное
его перемещение, положительное при направлении вниз, через Ь2 а) Выразить
энергию деформации Ц конструкции как функцию от перемещений и 02
b) С помощью первой теоремы Кастилиано определить перемещения и й2
c) Используя найденные значения и /)2» определить усилия и в
стержнях.
11 10.1. Определить повороты и й2 узлов плоской рамы (см рис 11 34, а)
с помощью метода потенциальной энергии. Каждый элемент рамы имеет длину Ь
и жесткость Е1 при изгибе.
11.10.2. Решить задачу 119 1 методом потенциальной энергии.
11.10.3. Решить задачу 119 2 методом потенциальной энергии.
Задачи к разделу 11.11 следует решать методом Рэлея — Ритца.
11.11 1. Определить приближенные значения прогиба б в середине пролета
свободно опертой балки, изображенной на рис И 36, при следующих условиях
Взять функцию формы (прогибов) в виде а) квадратичного полинома с одним пара¬
метром перемещения, Ь) кубического полинома с одним параметром перемещения
(для одной половины балки) Сравнить полученные результаты с точным решением
11 И 2. Определить приближенное значение прогиба б в середине пролета
свободно опертой балки длиной Ь, на которую действует равномерно распределен
ная нагрузка интенсивностью Предполагается, что балка имеет постоянную жест¬
костьЕ1 при изгибе Взять функцию формы (прогибов) в виде а) тригонометриче
ского выражения с одним параметром перемещения (см выражение (а) разд 11 11),
К задаче 117 7.
К задаче 117 8.
546 Н* РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Ь) тригонометрического выражения с двумя параметрами перемещений (см. вы¬
ражение (с!) разд. 11.11). Сравнить полученные результаты с точным решением.
11.11.3. Приближенно определить прогиб б в середине пролета заделанной
по концам балки длиной I, в середине пролета которой приложена сосредоточенная
сила Р (см. рис. 7.3). Предполагается, что балка имеет постоянную жесткость Е1
при изгибе. Использовать функцию формы (прогибов) в виде
6 ( , 2л* \
^ =т V 08 ТГ ] •
Сравнить полученный результат с точным значением прогиба.
11.11.4. На различных участках свободно опертой балки осевой момент инер¬
ции имеет различные значения, как показано на рис. 6.15, а. Найти приближенные
значения прогиба б в середине пролета этой балки, для чего взять функцию формы
(прогибов) в виде: а) квадратичного полинома с одним параметром перемещения;
Ь) кубического полинома содним параметром перемещения (для половины балки).
Сравнить полученные результаты с точным значением прогиба (см. выражение (с)
разд. 6.6.)
11.11.5. Найти критическую сжимающую нагрузку Ркр, при которой теряет
устойчивость идеальный стержень, заделанный на нижнем конце (см. рис. 11.38),
предполагая, что стержень имеет постоянную жесткость Е1 при изгибе. Исполь¬
зовать функцию формы (прогибов) в виде
хю = б ^ 1 —соз .
11.11.6. Определить приближенные значения критической сжимающей на¬
грузки Ркр, при которой теряет устойчивость идеальный стержень со свободно
опертыми концами (см. рис. 10.6, а), имеющий постоянную жесткость Е1 при изги¬
бе. При задании функции формы (прогибов) использовать: а) квадратичный трех¬
член с одним параметром перемещения; Ь) полином четвертого порядка с одним
параметром перемещения. Сравнить полученные результаты с точным значением
критической нагрузки.
11.11.7. Определить приближенное значение критической сжимающей на¬
грузки Ркр, при которой теряет устойчивость идеальный стержень со свободно
опертыми концами, имеющий на различных участках различные значения осевого
момента инерции (см. рисунок). Для представления функции формы (прогибов)
использовать тригонометрическое выражение с одним параметром перемещения
ю = 6 8Ш (пх/Ц.
(Замечание. Точное значение критической нагрузки составляет Ркр= 1,68 п2ЕШ2.)
11.12.1. В примере 1 (разд. 11.8) вычислена дополнительная энергия (/*,
накопленная в конструкции с нелинейным поведением, на которую действует на¬
грузка Р (см. выражение (11.46)). Проверить выражение для перемещения б в этой
конструкции, воспользовавшись теоремой Кротти — Энгессера.
ЗАДАЧИ 647
11.12.2. В примере 2 (разд. 11.8) рассмотрена конструкция с нелинейным по¬
ведением, состоящая из двух горизонтальных стержней (рис. 11.30). Дополнитель¬
ная энергия дляэтой конструкции описывается выражением (11.49). Воспользо¬
вавшись теоремой Кротти — Энгессера, проверить выражение для перемещения б в
этой конструкции (см. выражение (11.47Ь)).
11.12.3. На ферму, состоящую из двух одинаковых стержней АВ и ВС (см.
рисунок), действует вертикальная сила Р. Каждый стержень имеет площадь Р
поперечного сечения и длину I. Зависимость напряжения от деформации для ма¬
териала фермы описывается уравнением оп~Ве, где В и я — постоянные Найти
смещение б узла В: а) записав выражение для дополнительной энергии и восполь¬
зовавшись теоремой Кротти — Энгессера; Ь) методом единичной нагрузки.
Р
К задаче 11.12.3.
11.12.4. К узлу В фермы, изображенной на рис. 11.32, д, приложена верти¬
кальная сила Р. Диаграмма зависимости напряжения от деформации для материа¬
ла этой фермы приведена на рис. 11.32, Ь. Определить горизонтальное перемеще¬
ние бг узла В фермы: а) записав выражение для дополнительной энергии и восполь¬
зовавшись теоремой Кротти —Энгессера; Ь) методом единичной нагрузки.
11.12.5. Вертикальный стержень, шарнирно подвешенный за верхний конец,
нагружен собственным весом; зависимость напряжения от деформации для матери¬
ала этого стержня описывается уравнением оп=Ве, где В и п — постоянные.
Стержень имеет длину удельный вес материала стержня равен 7. Найти удли¬
нение б этого стержня: а) записав выражение для дополнительной энергии стержня
и воспользовавшись теоремой Кротти — Энгессера; Ь) методом единичной на¬
грузки.
11.14.1. Получить выражение для прогиба б в середине пролета консольной
балки, изображенной на рис. 11 40, а: а) приложив в середине пролета балки фик¬
тивную нагрузку Рг, вычислив энергию деформации и применив вторую теорему
Кастилиано; Ь) методом единичной нагрузки.
ЛИТЕРАТУРА
И ИСТОРИЧЕСКИЕ
ЗАМЕЧАНИЯ
1.1. ТЧтозЬепко 5. Р., ШзЬгу о! з1геп*1Ь о! та*ег1а1з. №\у Уогк, МсОга\у-НП1
Воок О)., 1953, 452 р.; русский перевод: Тимошэнко С. П., История науки
о сопротивлении материалов, М., Гостехиздат, 1957, 536 стр.
1.2. Тос1Нип1ег I., Реагзоп К-, А Ыз1эгу о! кНе 1Неогу о! вЫМсИу апс| оГ 1Не
зкгепёкН о! такепаЬ. Ргот СЬНЫ ко Ше ргезеп! Итз. СатЬпй&е 11туег5Йу
Ргезз, уо1. I: ОаИЫЧо 5ат1-Уеп:1п1, 1836, 924 р.; уо1. II: 5ат1-Уепап1 1о
1огс1 КеМп, 1893, 762 р.; вторая публикация: №\у Уогк, Ооуег РиЬПса-
Иопз, 1пс., 1960, уо1. 1: 936 р.; уо1. 2, Раг1 1: 762 р., Раг1 2: 546 р.
1.3. Ьоуе А. Е. Н., А кгеаНзе оп 1Ье такНетаИса! 1Неогу о! е^зНсИу. СатЬпс^е
11шуег511у Ргезз, уо1. 1: 1892,354 р.; уо1. 2: 1893, 327 р.; 2п<1 ес1.— 1906,
551 р.; Зге! ес1.— 1920, 624 р.; 41Ь е<1-— 1927, 643 р.; перепечатка 4-го анг¬
лийского издания: Ыеду Уогк, Ооуег РиЬИсаиопз, 1пс., 1944, 643 р., см.
главу «Н1з1опса1 ткгойисНоп», стр. 1—31. Русский перевод 4-го англий¬
ского издания: Ляв А., Математическая теория упругости. М.—Л., Гос¬
техиздат, 1935, 674 стр., см. стр. 15—43.
1.4. См. [1.2], т. 1, стр. 10, 533 и 873. (Замечание. Яков Бернулли П654—1705),
известный также под именами Джеймс, Жак и Якоб (в книге [1.2] исполь¬
зуется имя Джеймс),— выходец из семьи известных математиков и ученых
г. Базеля (Швейцария). Ему принадлежит важная работа, связанная с ис¬
следованием упругих линий балок. Им были введены полярные коорди¬
наты; он прославился работами по теории вероятности, аналитической
геометрии и т. д. Жан Виктор Понселе (1788—1867) —француз, принимал
участие в войне Наполеона против России и избежал гибели на полях сра¬
жений. Он попал в плен, но впоследствии вернулся во Францию и продол¬
жал заниматься математикой. Основные его достижения в математике от¬
носились к геометрии, а в механике наиболее известны его работы, посвя¬
щенные свойствам материалов и динамике.)
1.5. См.[1.1],стр.90—98[стр. 112—121 русского перевода] и [1.2], т. 1, стр. 80—
86. (Замечание. Томас Юнг — выдающийся ученый, которому принадлежат
основополагающие работы по оптике, акустике, удару и другим отраслям
естествознания.)
1.6. Уоип& ТЬошаз, А соигзе о! 1ес1игез оп па!ига1 рЬПозорНу апс11Не тесНашса1
аг1з. Ьопскт, РппЫ Ьу Л. ЛоЬпзоп 51. РаиГз СЬигсЬуагс!, Ьу \УПНат 5а-
уабе, 1807, уо1. 1: 796 р.; уо1. 2: 738 р.
1.7. См. [1.1], стр. 17—20 [стр. 28—32 русского перевода] и [1.2], т. 1, стр. 5.
(Замечание. Роберт Гук провел большое число экспериментов с упругими
телами, а затем разработал способы повышения точности хода часов; кроме
того, независимо от своего современника Ньютона он сформулировал за¬
кон всемирного тяготения. После основания в 1662 г. Лондонского коро¬
левского общества он был назначен его первым куратором.)
1.8. Нооке КоЬегк, Ьескигез Ае Ро1епИа гезШиНуа; ог о! зрпщ*, ехрЫшп^ Ше
ро^ег о! зрпп&ш& ЪосИез, Ь \уЫсН аге асЫеё зоте соПесЫопз. Ьопскт,
Л. Магкуп, 1678, 56 р.
1.9. См. [1.1], стр. 111—114 [стр. 136—139 русского перевода]; [1.2], т. 1, стр.
208—218; [1.3], стр. 13 [стр. 26—27 русского перевода]. (Замечание. Симе¬
ону Дени Пуассону принадлежат многие важные работы по математике, и
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 649
память о нем сохраняется не только благодаря коэффициенту Пуас¬
сона. Например, в теории дифференциальных уравнений в частных про¬
изводных известно уравнение Пуассона, а в теории вероятности —
распределение Пуассона. На основе созданной им теории о поведении ма¬
териалов он подсчитал поперечную деформацию в растягиваемом стержне и
нашел, что она составляет одну четвертую продольной деформации.)
1.10. ТппозЬепко 5. Р., ОоосНег Л. Ы., ТЬеогу о! еЫзНсНу. Згс1 ес!., Ыеду Уогк,
Мс<Згам-НП1 Воок Со., 1пс., 1970, 567 р., см. стр. 110; русский перевод
2-го издания (1951 г.): Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Н., Теория упруго¬
сти. М., «Наука», 1975, 575 стр., см. стр. 124.
1.11. См. [1.1], стр. 314 [стр. 376 русского перевода].
1.12. См. [1.1], стр. 36 [стр. 49 русского перевода].
1.13. Огауаз <3. А., МсЬеап Ь., ШзЬпса! (1еуе1ортеп1 о! епег#еиса1 рппс1р1ез т
е1аз1отесЬатсз. АррИей МесНамсз Ятадю, 1966, уо1. 19, Раг! I: по. 8,
Аи&из1, рр. 647—658; Раг! И: по. 11, ЫоуетЬег, рр. 919—933, см. стр. 650.
1.14. См. [1.1], стр. 75 [стр. 96 русского перевода]; [1.2], т. 1, стр. 146 и [1.13],
стр. 652. (Замечание. Луи Мари Анри Навье (1785—1836) — один из соз¬
дателей математической теории упругости; им был сделан вклад в теорию
балок, пластин и оболочек, в теорию колебаний и теорию вязких жидко¬
стей.)
1.15. См. [1.1], стр. 88 [стр. 110 русского перевода].
1.16. ТцпозЬепко 5. Р., Уоип§ Э. Н., У1Ьга1юп ргоЫетз т еп^пеепп^. Зге!
ес1. №\у Уогк —Тогопко — Ьопйоп, Уап Моз1гапс1 Со., 1пс., Ргтсе1оп,
1955, 468 р ; русский перевод: Тимошенко С. П., Янг Д. X., Колебания в
инженерном деле. М., Физматгиз, 1959, 439 стр. (Замечание. Продольный
удар по стержню обсуждается на стр. 416—424 [стр. 396—403 русского
перевода]; поперечный удао рассмотрен на стр. 411—416 [стр. 391—395
русского перевода].)
1.17. СоМзтИЬ \У., 1шрас1. ЬопсЬп, Ес1\уагс1 АгпоЫ Ы(1., 1960, 379 р., русский
перевод: Гольдсмит В., Удар. Теория и физические свойства соударяемых
тел. М., Стройиздат, 1965, 448 стр.
2.1. РюЪег! О., Мопп А.-Л., 01(Ноп I., Сотппззюп <1ез рппарез с1и Иг. Мёто-
па1 с1е 1'АгШ1ег1е, 1842, 1оте 5, рр. 501—552. (Замечание. В этой статье
описаны эксперименты со стрельбой артиллерийскими снарядами по сталь¬
ным листам. На стр. 505 дается описание следов, являющихся линиями
скольжения. Описание довольно краткое, и нет указаний на то, что авторы
связывали эти следы с внутренними характеристиками материала. Гийом
Пьобер (1793—1871) — французский генерал и математик, который провел
многочисленные исследования по баллистике; при опубликовании этой
работы был капитаном артиллерии.)
2.2. Ьйскгз \У., ЫЬег (Не Аиззегип^ (1ег Е1азиг1Ш ап зкаЫагЫ^еп Е1зепз1аЬеп
ипс! 51аЫз1аЬеЬ, ипс! йЬег ете Ье1т В1е§еп зо1сЬег 51аЬе ЬеоЬасМе1е Мо-
1еси1агЬе\уебипб. 01п&1ег'& Ро1у(есНп1зсНе81оигпа1, 1860, Вс! 155, № 1, 5. 18—
22. (Замечание. В этой статье приводятся четкое описание и изображения
линий, появляющихся на поверхности полированного стального образца
при пластическом течении. Разумеется, эти линии являются только поверх¬
ностным проявлением трехмерных зон деформации, и такие области следо¬
вало бы характеризовать не как линии, а как «клинья». Тем не менее обычно
используется наименование линии Людерса (иногда — линии Пьобера). До¬
полнительные сведения об этих линиях, их фотографии и библиографичес¬
кие данные можно найти в работах [2.3] и [2.4].)
2.3. Ре11 Е. )У., ТЬе РюЬег! еГСес! т 1гоп апс! зоИ з1ее1. ТНе 1оигпа1о( 1Не 1гоп
апй 8Ш 1п8ИШе, 1935, уо1. 132, по. 2, рр. 75—91.
2.4. Тигпег Т. Н., Леуопз Л. О., ТЬе (1е1есНоп о( зкгат т т\Ы з1ее1з. ТНе ^ои^•
па1 о} Иге 1гоп апй 81ее11п8Ши1е, 1925, уо1. 111, по. 1, рр. 169—189.
2.5. См. [1.1], стр. 216 [стр. 262 русского перевода].
2.6. См. [1.1], стр. 285—286 [стр. 343—344 русского перевода] и [2.7]* [2.8],
550 ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
(Замечание. Отто Кристиану Мору (1835—191В) принадлежит ряд работ по
расчету конструкций. Особенно известны предложенные им многочислен¬
ные графические методы, в том числе круг Мора для напряжений, диаграмма
Виллио — Мора и метод моментных площадей; кроме того, Мор развил ме¬
тод расчета статически неопределимых конструкций, часто называемый
методом Максвелла — Мора.)
2.7. МоЬг О., ОЬег сНе ОагзкеНип^ с!ез Зраппип^згизкапёез ипс! <1ез Ое[огтаНоп$-
гиз1апс1ез етез Кбгреге1етеп1ез ипс! йЬег сНе Ап\уепс1ип# с1ег5е1Ьеп т с!ег
РезИбкеИз^Ьге. 1ШИп&еп1еиг, 1882, В(1 28, 55. 113—156.
2.8. МоЬг О., АЬЬапсИип^еп аиз с!ет СеЫеке с!ег кесЬтзсЬеп МесЬашк. ВегНп,
\УПЬе1т Егпз! ипс! 5оЬп, 1906, 459 5.
2.9. См. [1.1], стр. 109 [стр. 134 русского перевода]. (Замечание. Огюст Луи Ко¬
ши (1789—1857) — выдающаяся фигура в истории создания математичес¬
кой теории упругости. Именно он ввел то понятие напряжения, которое
существует и по сей день; см. [1.1], стр. 108 и 115 [стр. 133 и 141 русского
перевода]. Целая глава посвящена его работам в книге [1.2]; см. т. 1,
стр. 319—376.)
2.10. См. [1.2], т. 2, ч. 1, стр. 86 и 296. (Замечание. Уильям Джон Макуорн Рэнкин
(1820—1872) в 1852 г. вывел уравнения преобразования напряжений. Ему
принадлежат многие другие работы по теории упругости и строительной
механике, включая исследования поведения арок и подпорных стен. Он
приобрел известность также своими трудами по гидродинамике, оптике,
акустике, свойствам кристаллов и т. д.; см. [1.11, стр. 197—202 [стр. 238—
245 русского перевода] и [1.2], т. 2, ч. 1, стр. 287—322. Барре де Сен-Венан
(1797—1886) обычно упоминается как наиболее выдающийся упругист всех
времен. К наиболее известным полученным им результатам относятся за¬
пись основных уравнений теории упругости и разработка точной теории
изгиба и кручения балок. Им были созданы также теории пластических
деформаций и теории колебаний. Сведения о его жизни и работах приве¬
дены в книгах [1.1], стр. 229—242 [стр. 278—293 русского перевода], и
[1.2], т. 1, стр. 833—872, т. 2, ч. 1, стр. 1—286.)
2.11. См. [1.10], стр. 219—226 [стр. 229—237 русского перевода].
2.12. НапсИюок о! ехрептепЫ зкгезз апа1уз1*з, ес1. Ьу М. Не1ёпу1. Меду Уогк,
ЛоЬп МУПеу апс! 5опз, 1пс., 1950, 1077 р.
2.13. Оа11у Л. №., КПеу \У. Р., ЕхрептепЫ зкгезз апа1уз13. Ые\уУогк, МсОга\у-
НШ Воок Со., 1пс., 1965, 520 р.
3.1. См. [1.1], стр. 51—53 и 92 [стр. 66—68 и 115 русского перевода], а также
[1.2], т. 1, стр. 69. (Замечание. Соотношение между крутящим моментом и
углом закручивания для стержня кругового поперечного сечения правиль¬
но сформулировано в 1784 г. Шарлем Огюстом Кулоном, выдающимся
французским ученым. Кулон — автор работ по электричеству и магне¬
тизму, вязкости жидкости, трению, изгибу балок, расчету подпорных сте¬
нок и арок, кручению и крутильным колебаниям и другим вопросам меха¬
ники, см. [1.1], стр. 47—54 [стр. 62—70 русского перевода]. Томас Юнг в
своей книге [1.6] в 1807 г. отметил, что приложенный крутящий момент
уравновешивается касательными напряжениями, возникающими в попереч¬
ном сечении, и что величина касательных напряжений пропорциональна
расстоянию до оси.)
3.2. См. [1.1], стр. 233—237 [стр. 283—287 русского перевода] и [1.2], т. 2, ч. 2,
стр. 1—51. (Замечание. Создавший эпоху мемуар Сен-Венана о кручении
был опубликован в 1855 г.; сведения о нем содержатся в книгах [1.1] и
[1.2].)
3.3. ВгесН К., КгШзсЬе Ветегкип&еп гиг ОгеЬипбзекзигНа!. 2еИзсНпН <1е$
Уегеш йеикскег 1п&еп1еиге, 1896, В<1 40, № 29, 55. 813—817.
3.4. СоосНег Л. N.. Тогзюп. В книге «Напс1Ьоок оГ еп&тееппб тесЬатсз», ес1.
Ьу №. РШщ*е. СЬар1ег 36. №\у Уогк, МсОгам-НШ Воок Со., 1пс., 1962, 27 р.,
см. стр. 13.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 551
3.5. ИгпозЬепко 5. Р., Сеге Л. М., ТЬеогу о! е1аьНс з!аЬШ!у. 2пс1 ес!., Ые\у Уогк,
МсСгам-НШ Воок Со., 1пс., 1961, 541 р., см. стр. 500—509. Русский пере¬
вод 1-го издания (ИшозЬепко 5. Р., Тпеогу о! е1азис з!аЬЩ!у. Неду Уогк,
МсОгам-НШ Воок Со., 1пс., 1936, 518 р.) см.: Тимошенко С. П., Устойчи¬
вость упругих систем. М.— Л., Гостехиздат, 1946, 532 стр., см. стр. 422—
431; 2-е изд.: 1955, 568 стр., см. стр. 485—495.
5.1. Рагеказ С. А., А поке оп !Не ЬепсНпд о! Еи1ег Ьеашз. Зоитпа1 о/ Еп&пееппц
Е&исаИоп, 1967, уо1. 57, по. 5, рр. 393—394.
5.2. См. [1.10], стр. 42 и 48 [соответственно стр. 59—60 и 65 русского перевода].
5.3. См. [1.1], стр. 11—47, 135—141 [соответственно стр. 21—62 и стр. 164—
171 русского перевода], а также [1.2].
5.4. Мапиа! о* 5!ее1 СопзкгисНоп. 7!Ь ес1. РиЬПзЬес! Ьу !Ье Атепсап 1пзШи!е
о! 5!ее1 Соп5кгис!юп. 1пс., Ые^ Уогк, 1970, 866 р.
5.5. А1игшпит СопзкгисИоп Мапиа1. РиЬПзЬес! Ьу !Ье А1иттит Аззоаакюп,
Ые'ю Уогк, 1959, 389 р.; «Зескюп А»; 1963, 96 р.
5.6. См. [3.5], гл. 6.
5.7. См. [1.1], стр. 141—144 [стр. 171—175 русского перевода], и 11.2], т. 2,
ч. 1, стр. 641—642. (Замечание. Д. И. Журавский (1821—1891) — русский
инженер-мостостроитель и путеец, создавший широко известную и в на¬
стоящее время приближенную теорию распределения поперечных каса¬
тельных напряжений в балках. Точная теория распределения касательных
напряжений в балках была предложена Сен-Венаном, однако применение
ее оказалось возможным лишь в очень немногих практически интересных
случаях; поэтому те критические замечания, которые делают Тодхантер и
Пирсон на стр. 642 своей книги [1.2] в адрес теории Журавского, по-види¬
мому, неоправданны. Поперечный сдвиг в балках рассмотрен Д. И. Журав¬
ским в статье [5.8].)
5.8. Журавский Д. И., О мостах раскосной системы Гау. Спб., тип. Д. Кесне-
виля, Часть 1, 1855; Часть 2, 1856. Часть, относящаяся к вычислению по¬
перечных сил и напряжений в балках, переведена на французский язык:
Лоигаузк1 О. Л., Нета^иез зиг 1а гёз1з!апсе сГип согрз рпзтаичие е! сГипе
р1ёсе сотрозёе еп Ьо13 ои еп !61е с1е !ег а ипе !огсе регретНсиЫге а 1еиг
юп^иеиг. Аппакв йев роп1з е1 сНаиззёез, тётоьге$ е( йоситепк, Зе 5епе, 1856,
коте 12, Раг! 2, № 150, рр. 328—351.
5.9. См. [1.10], стр. 358—359 [стр. 362—363 русского перевода].
5.10. См. [1.1], стр. 194—195 [стр. 235—237 русского перевода]. (Замечание. Карл
Кульман (1821—1881) — немецкий инженер, много способствовавший раз¬
витию графических методов и опубликовавший первую книгу по графоста¬
тике.)
5.11. Капоу Т., \Уо1ко Н. 5., ТЬе 1оса!юп о* тах1тит ргтс1ра1 зкгезз.РгосеесИп^в
о} IНе Атепсап 8те(у о/ Сил/ Епцшегв, Зоигпа1 о/ Иге 31гис1ига1 ОШзюп,
1958, уо1. 84, по. 5ТЗ, Раг! 1, Рарег по. 1629, рр. 1—30.
5.12. Мак1 А. С., Киепг1 Е. XV., ОеИескюп ап<1 з!геззез о! !арегес! ^оос! Ьеатз.
КезеагсЬ Рарег РРЬ 34, II. 5. Рогезк Зетсе, Рогез! Ргос1ис!з ЬаЬогакогу,
МасНзоп, >У1зсопзт, 5ер!етЬег 1965, 54 р.
5.13. См. [1.10], стр. 110—111 [стр. 124—126 русского перевода].
5.14. Р1ап!еша Р. Л., ЗапсЫсЬ сопз!гис!юп. Ые\у Уогк, ЛоЬп ШНеу апс! 5оп$,
1пс., 1966, 246 р.
5.15. См. [1.1], стр. 147 [стр. 178 русского перевода]. (Замечание. Французский
инженер Ж. А. К- Бресс (1822—1883) известен в первую очередь своей ра¬
ботой по криволинейным стержням и аркам.)
6.1. См. [1.1], стр. 27, 30—36 [соответственно стр. 40 и 43—50 русского пере¬
вода]. (Замечание. Работы Якова Бернулли, Леонарда Эйлера и других
ученых, посвященные упругим кривым, обсуждаются также в книге 11.2].
В связи с этим напомним, что другой член семьи Бернулли, Даниил Бернул¬
ли (1700—1782), предложил Эйлеру вывести дифференциальное уравнение
для линии прогибов путем минимизации энергии деформации, что Эйлер и
552 ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
сделал. Даниил Бернулли, племянник Якова Бернулли, прославился сво¬
ими работами по гидродинамике, кинетической теории газов, теории коле¬
баний балок и другим разделам науки. Его отец, Иоганн Бернулли (1667—
1748), младший брат Якова, был в равной степени известен и как матема¬
тик, и как механик; он впервые сформулировал принцип возможных пере¬
мещений, решил задачу о брахистохроне и дал правило определения пре¬
дела дроби, у которой и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Ио¬
ганн Бернулли сообщил об этом правиле Г. Ф. де Лопиталю (1661—1704),
который написал первую книгу по анализу бесконечно малых, куда и
включил это правило, в настоящее время известное под названием правила
Лопиталя (см. [6.21]). Племянник Даниила Бернулли Яков Бернулли
младший (1759—1789), известный также под именами Джеймса и Жака, был
основоположником теории изгиба пластин и теории колебаний пластин.
Много интересных сведений относительно выдающихся членов семьи Бер¬
нулли, а также о других пионерах механики и математики, можно найти в
книгах по истории математики; см., например, [6.3] — [6.5].)
6.2. 51гшк О. Л., ТЬе оп^п о! ГНдрКаГз ги!е. ТНе МаШетаНсз ТеасНег, 1963,
уо1. 56, по. 4, рр. 257—260.
6.3. Ыемтап Л. К., ТЬе \уог1с1 о! таШетаНсз. Ые^ Уогк, $1Шоп апс1 5сЬиз1ег,
1956, уо1. 1: рр. 1—724; уо1. 2: рр. 726-1414; у01. 3: рр. 1416—2021; уо1. 4:
рр. 2024—2535.
6.4. 51гшк О. Л., А сопазе Ызкогу оГ такЬетаНсз. Згй ес1., Ые\у Уогк, Ооуег
РиЬНса1юпз, 1пс., 1967, 299 р.
6.5. Са]оп Р., А Ыз1огу о! таШетаНсз. 2пс1 е<1., Ые^ Уогк, ТЬе МастШап Со.,
1919, 514 р.
6.6. См. [1.1], стр. 137 [стр. 166 русского перевода].
6.7. 5ат1-Уепап1, Ваггё с!е, Замечания и дополнения к третьему изданию, книги
ЫаУ1ег Ь. М. N.. Нёзишё с!ез 1е$опз ёоппёез а Гёсо1е с!ез роп1з е* сЬаиззёез
зиг ГаррНсаНоп <1е 1а тёсашчие а ГёкаЬНззетепк <1ез сопзкгисНопз е1 с1ез
тасЫпез. Тго151ёте ё<1111оп ауес <1ез по1ез е1 <кз аррепсНсез раг М. Ваггё
5ат1-Уепап1. Т. 1. Ое 1а гё51з1апсе с!ез согрз зоНс1ез. Рапз, Ьипос!, 1864,
311+850 р., см. стр. 72.
6.8. См. [1.1], стр. 284 [стр. 341—342 русского перевода].
6.9. МоЬг О., Ве^га^ гиг ТЬеопе с1ег Но1г- ипс! Е1зепкопз1гик1:юпеп. 2еИзсНгф
<1ез АгсНИеккп- ип(11п&еп1еиг-Уеге1пзги Наппооег, 1868, Вс! 14, N° 1, 55. 19—
51.
6.10. Огеепе СЬаг1ез Е., СгарЫса1 ше1ос1 Гог 1Ье апа1уз15 о! Ьпйде кгиззез; ехкепсЫ
1о сопИпиоиз &1гс1ег$ апс! ёгаду зрапз. Ые\у Уогк, ^). Уап Ыоз1гапс! Со.,
1пс., 1875, 79 р. (Замечание. Ч. Грин, профессор Мичиганского универси¬
тета, независимо разработал метод моментных площадей в 1873 г. и в том
же году начал излагать этот метод в своих лекциях. Метод описан на
стр. 35—40 упомянутой книги, где он назван методом площадей моментов.)
6.11. ЬПЫеЬгапс! Р. В., 1п1гос!ис11оп 1о питепса1 апа1уз1з. Ыеду Уогк, МсСга>у-
НП1 Воок Со., 1пс., 1956, 511 р.
6.12. 5а1ата А. Е., Моос!у М. Ь., Апа1уз13 о! Ьеашз апс! р1а!ез !ог ропсНщ* 1оас1з.
РгосеесИп^ о{ 1Не Атепсап 8осье1у о} СШ1 Епцтеегз, 1оигпа1 о[ IНе 81гис1ига1
ОШзшп, 1967, уо1. 93, по. 5Т1, рр. 109—126.
6.13. 5а\ууег О. А., Коо!-з1гис1иге гооЬсЪгатабе ткегасИоп. РгосеейШ8 о/ (Не
Атепсап 8ос1е1у о[ СШ1 Епцтеегз, 1оигпа1 о/ 1Не 3(гис(ига1 иШ&ьоп,
1968, уо1. 94, по. 5Т1, рр. 175—198.
6.14. См. [1.10], стр. 49 [стр. 66 русского перевода].
6.15. См. [1.10], стр. 121 [стр. 135 русского перевода].
6.16. См. [1.1], стр. 89 [стр. 111 русского перевода].
6.17. Со^рег О. К-, ТЬе зЬеаг соеШс1еп1 т Т1шозЬепко’з Ьеаш кЬеогу. ТгапвасИ-
опв о/ (Не Атепсап 8ос1е(у о/ МесНапка1 Еп&пеегв, 1966, уо1. Е88, по. 2,
рр. 335—340; русский перевод: Труды Американского о-ва инженерое-меха-
никое, серия Е, 1966, № 2» стр. 187*
ЛИТЕРА ТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 553
8.18. Сеге 3. М., Мошепк сНзЫЬиНоп. РппсеЬп. N. Л., Б. Уап Ыоз!гапс1 Со.,
1пс., 1963, 378 р.; см. стр. 212—220.
6.19. См. (1.1], стр. 25, 30—36, 39—40 (соответственно стр. 37,43—50,54 русского
перевода]. (Замечание. Основное соотношение, связывающее кривизну с
изгибающим моментом, впервые было получено Яковом Бернулли, хотя
ему не удалось найти правильное значение постоянной, входящей в это
соотношение. Тем не менее его работа должна рассматриваться как первый
вклад в решение задач о больших прогибах балок. Следуя совету Даниила
Бернулли, Эйлер вновь вывел дифференциальное уравнение линии проги¬
бов и приступил к решению различных задач об эластике; см. 11.1], стр. 27
[стр. 39 русского перевода], (1.2], т. 1, стр. 30 и 34, а также (1.3], стр. 3
[стр. 17 русского перевода]. В (6.20] приведена известная статья Эйлера о
линиях прогиба. После этого задачей об эластике занимался Жозеф Луи
Лагранж (1736—1813), выдающийся итальянский математик 1), впервые
сформулировавший принцип возможной работы и сделавший весьма суще¬
ственный вклад в динамику. Он рассмотрел консольную балку с нагрузкой
на незакрепленном конце (см. [1.1], стр. 39—40 [стр. 54 русского перевода],
и (1.2], т. 1, стр. 58—61, а также статью Лагранжа [6 21]); краткая биогра¬
фия Лагранжа приведена'в [6.4] на стр. 132 и в [6.5] на стр. 250. К числу
первых ученых, занимавшихся теорией упругости, относится и Джиованни
Антонио Амадео Плана (1781—1864), племянник Лагранжа, исправивший
ошибки в работах Лагранжа по теории упругих кривых (см. [1.2], т. 1,
стр. 89—90, а также работу Плана [6.22]); биографические сведения о нем
можно найти в [6.5]. Макс Борн в своей диссертации [6.23] исследовал эла¬
стику при помощи вариационных методов (см. [1.13], стр. 927—928 и 932;
[6.23]; [6.24], стр. XXVIII). Макс Борн (1882—1970) — выдающийся фи¬
зик, заложивший основы современной волновой механики, автор важных
работ в области квантовой механики и теории относительности. В своей
диссертации он установил новые вариационные принципы теории упру¬
гости.)
8.20. Еи1его Ь., МеИЫиз туешепсП Нпеаз сигуаз тах11Ш тттпуе ргорпеЫе
^аийепкез, 31Уе зо1и1ю ргоЫетаИз 13орепте!пс1 1аШ$1то зепзи ассерИ.
АёсШатепкит I: Эе сигуаз е1азис1з. Ьаизаппае е! Оепеуае, Ари<1 Магсит-
М1сЬае1ит Воизяие! е! Зосюз, 1744, рр. 245—310; русский перевод: Эй¬
лер Л., Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами макси¬
мума либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в
самом широком смысле. Приложение 1: Об упругих кривых. Серия «Клас¬
сики естествознания», М.— Л., Гостехиздат, 1934, стр. 447—572. (См. за¬
мечание, приведенное в [10 3])
6.21. Ьа^гап^е Л. Ь., 5иг 1а Гогсе <1ез геззог1з рНёз. Мето1ге$6.е ГАсайётьегоуа1е
дев 8с1епсе$е1 ВеИев-ЬеИгез йе ВегИп, 1771, !. 25, рр. 167—203; перепечатка:
Оеиугез <1е Ьа^гапбе. Тоше 3, Рапз, <Заи!Ыег-УШагз, 1869, 797 р., см.
стр. 77—110.
6.22. Р1апа О. А. А., ЕяиаМоп с1е 1а соигЬе Могшее раг ипе 1ате ё1азНяие. Асса-
с1ет1а йе11е 8с1епге <И Тог то, Мётоиез с1е V Асайёт1е Коуа1е без Заепсез йи
Типа, 1809—1810, 1. 18, раг! 2, рр. 123—155.
6.23. Вогп М., 1МегзисЬипбеп йЬег с!ег 81аЫНШ <1ег еЫНзсЬеп 1лте т ЕЬепе
ипс! Каит ип!ег уегзсЫейепеп ОгепгЪесИп^ипбеп. 01ззегЫюп, ОоШп^еп,
Рге155сЬгИ1, 1906.
6.24. Огауаз О. А., Н151опса1 геу1е>у о1 ехкгетит рппс1р1ез т е1аз1отесЬатс5.
Вводная часть к книге: СазИ^Иапо С. А. Р., ТЬе 1Ьеогу о! едиШЬпито?
е1азис зузкешз апс! Из аррПсаНопз, еп^ПзЬ 1гапз1а1юп Ьу Е. 5. Апс1ге\уз,
Ыеш Уогк, Ооуег РиЬЬсаНопз, 1пс., 1966, 360 р., см. стр. XX—ХЬУ1.
*) Лагранж родился в Турине и провел там первые десятилетия своей
кизни.— Прим. ред.
554 ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
(Замечание. Книга Кастилиано была первоначально опубликована в 1879 г.
в Турине, затем в 1886 г. переведена на немецкий, а в 1919 г.— на англий¬
ский языки. Английский перевод вышел под названием Е1азИс зкгеззез ш
зкгискигез. Ьопйоп, 5со11 Огеетуоой апс1 5оп, 1919, 360 р. Американское
издание представляет собой перепечатку английского, но содержит новое
введение исторического характера, написанное Оравасом; см. [11.25—
11.291.)
6.25. См. [1.3], стр. 401—412 [стр. 418—430 русского перевода].
6.26. См. [3.5], стр. 76—82 [стр. 70—75 русского перевода].
6.27. 5ои1Ь\уе11 К. V., Ап шкгойисИоп 1о 1Не 1Ьеогу оГ е1азИсйу. Ьопйоп, Ох!огй
Ш^егзНу Ргезз, 1з1 ес!.: 1936, 509 р.; 2пс1 ей.: 1941, 509 р., см. стр. 429—
436; русский перевод 1-го издания: Саусвелл Р. В., Введение в теорию
упругости для инженеров и физиков. М., ИЛ, 1948, 676 стр.; см. стр. 565—
574.
6.28. РпзсЬ-Рау К., Р1ех1Ые Ьагз. Ьопйоп, Вииепуог1Ь апс! Со., Ый, 1962, 220 р.
6.29. Е1з1еу Л. С;, МопНпеаг йеЬгтаНоп о! еЫзИс Ьеатз, пп^з апй з1г1п0з.
АррИей МесНапкз Яеьгешз, 1963, уо1. 16, по. 9, рр. 677—680.
6.30. КеййкЖ Н. АУ., МШег Р. Н., Айуапсей та1Нетаисз [ог еп^пеегз. Згй ей.,
Уогк, ЛоЬп ЛЛ/'Леу апй 5опз, 1пс., 1955, 548 р.
6.31. ЛаЬпке Е., Етйе Р., ТаЫез о! {ипсИопз. 41Н ей., Ые\у Уогк, Ооуег РиЬПса-
Иопз, 1945, 306+76 р.; русский перевод: Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функ¬
ций с формулами и кривыми. М., Гостехиздат, 1948, 420 стр.; 2-е изд.:
М., Гостехиздат, 1949, 420 стр.
6.32. Беляков В. Л., Кравцова Р. И., Раппопорт М. Г., Таблицы эллиптических
интегралов. Т. 1, М., Изд-во АН СССР, 1962.
6.33. РеШз Н. Е., СазНп Л. С., ТаЫез о! 1Не еШрИс тке^гаЬ о* 1Ье Пгз1, зесопй
апс! 1Ыгй ктй. АКЬ 64-232, Аегозрасе КезеагсЬ ЬаЬога1опез, ОШсе о!
Аегозрасе КезеагсН, ШНей 51а1ез А1г Рогсе, АУпбМ-РаИегзоп А1г Рогсе
Вазе, ОЫо, ОесетЬег 1964, 93 р.
6.34. Ко]аНп С., Ьаг^е йеПесИопз о! е1азИс Ьеатз. ТНез15 Ьг 1Не йе^гее о! еп$-
пеег, 51ап!огй 11шу., Липе 1968.
6.35. В1ззНорр К- Е., Огискег О. С., Ьаг^е йеНесИоп о! сапШеуег Ьеашз. ЦиаНег-
1у о/ АррИей МаШетаИсз, 1945, уоТ. 3, по. 3, рр. 272—275.
6.36. Вагкеп Н. Л., Оп 1Не йеИесИоп о! а сапШеуег Ьеаш, <\иаг1ег1у о/ АррИей
МаШетаИсз, 1944, уо1. 2, по. 2, рр. 168—171; 1945, уо1. 3, по. 3, рр. 275—
276. (Замечание. Во второй статье дано исправление ошибки, допущенной
в первой.)
6.37. КоНйе Р. V., Ьаг^е йеПесИопз о! а сапШеуег Ьеаш ипКогт1у Й1з1пЬи1-
ес11оай. (}иагкг1у о} АррИей МаОгетаИсз, 1953, уо1. 11, 3, рр. 337—338.
6.38. ЮгсННоГС О. К-, ОЬег йаз ОЫсЬбешсМ ипй Й1е Ве^е^ип^ етез ипепйНсН
ййппеп е1аз11зсЬеп 51аЬез. ^оигпа^ [иг йк геше ипй ап^ениапШе МаОгетаИк
(СгеИез). 1859, ВЙ 56, НеК 4, 55. 285—313; см. также КлгсЬЬоК С. К., Уог-
1езип&еп йЬег шакЬешаИзсЬе РНузгк. Вс1 1. Уог1езип§еп йЬег МесЬашк.
3 Аи!1а&е, Ье1рг1б, В. С. ТеиЬпег, 1883, 455 5; русский перевод: Кирхгоф Г.,
Механика. Лекции по математической физике. М., Изд-во АН СССР, 1962,
402 стр. (Замечание. Густав Роберт Кирхгоф (1824—1887) — знаменитый
немецкий физик, широко известный своими работами по теории расчета
электрических цепей и теории изгиба пластин.)
6.39. См. [3.5], стр. 77 [стр. 70 русского перевода]; [1.3], стр. 23—24 и 399—402
[стр. 36—37 и 416—419 русского перевода]; [1.2], т. 2, ч. 2, стр. 65—66;
[6.27], стр. 431 [стр. 567 русского перевода].
7.1. №у1ег Ь. М. Н., Кёзитё йез 1едопз йоппёез а Гёсо1е йез роп1з е* сЬаиззёез
зиг ГаррИсаНоп с1е 1а тёсатяие а Гё1аЬПззешеп1 йез сопз1гис11опз е1 йез
тасЫпез. Рапз, СЬег СагШап-Ооеигу, 1ше ей.: 1826; 2ше ей.: 1833; Зше
ей. ауес йез по!ез е1 йез аррешКсез раг М. Ваггё 5ат1-Уепап1: РаПз, Эипой,
1864. (Замечание. Навье подготовил первые два издания, третье издание
после смерти Навье подготовил Сен-Венан. Дополнения, сделанные Сен
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 555
Венаном, в десять раз превышают объем книги. Относительно этой знаме¬
нитой книги см. [7.2].)
7.2. См. [1.1], стр. 73—77, 232—233 [соответственно стр. 92—97, 282—283 рус¬
ского перевода], и [1.2], т. 1, стр. 144—146, т. 2, ч. 1, стр. 105—135.
7.3. См. [6.18], стр. 269—272.
7.4. См. [1.1]. стр. 144—146 [стр. 175—177 русского перевода]. (Замечание.
Б. П. Клапейрон (1799—1864) — французский инженер, получивший урав¬
нение трех моментов в связи с работой по сооружению мостов. Он известен
также своими теоремами о работе и энергии деформации. Уравнение трех
моментов выведено Клапейроном в работе [7.5]. Первое упоминание об
уравнении трех моментов в том виде, в каком оно используется в настоящее
время,принадлежит А. Берто, также французскому инженеру; см. Мётоиез
е1 сотр1е-гепйи йез Iгаших йе 1а Зос1ё1ё йез /пдётеигз СШ1з, 1855, 8,
рр. 278—280, доклад на заседании Общества от 6 июля 1855 г. Хотя
результаты Берто стали известны до появления работы Клапейрона, по-
видимому, Клапейрон использовал это уравнение на несколько лет раньше
и поэтому именно он является его автором, как отмечается в [1.1].)
7.5. С1ареугоп В. Р. Е., Са1си1 сГипе роикге ё^зЩие герозап! ПЬгетеп! $иг йез
арршз тё{*а1етеп1 езрасёз. Сотр1ез Яепйиз, 1857, I. 45, № 26, рр. 1076—
1080.
7.6. ВегЫ Н., Кёзи1Ыз с1е зез гесЬегсЬез роиг 1ез ропкз еп агс. Мётоиез е1 сотр-
Iе-гепйи йез 1^аих йе 1а 8оаё1ёйез [пцётеигз Ст1з, 1858,1.11, рр. 298—303.
7.7. 2аз1аузку А., Веашз оп 1ттоуаЫе зиррог1з. РиЫкаНопз о/ 1Не 1п1егпа(.
АззоааНоп ]ог Впйце апй 81гис1ига1 Епдтееппд, 1965, уо1. 25, рр. 353—362.
8.1. Тимошенко С. П., Применение функции напряжений к исследованию изгиба
и кручения призматических стержней. Сб. Спб ин-та инженеров путей
сообщения, Спб, 1913, вып. 82, стр. 1—24; отд. оттиск: Спб, 1913, 22 стр.
(Замечание. В этой статье была найдена такая точка в поперечном сечении
балки, к которой следовало бы приложить сосредоточенную силу, чтобы
устранить кручение. Таким образом, эта работа оказывается первой, где
определялся центр сдвига балки. Рассмотренная балка имела сплошное
поперечное сечение в форме полукруга [8.2]. В 1909 г. К. Бах провел
испытания швеллерных балок и нашел, что, когда нагрузка прикладывается
параллельно плоскости стенки, в балке возникает кручение (см. [8.3] и
[8.4]). Он также обнаружил, что закручивание изменяется при боковом
смещении нагрузки, но, по-видимому, центр сдвига им не был определен.
В 1917 г. А. А. Гриффитс и Дж. Тейлор использовали для исследования
изгиба метод мыльной пленки; для некоторых типов конструкционных
профилей они определили центр сдвига, который был ими назван центром
изгиба [8.5]. Общее приближенное решение задачи определения центра
сдвига тонкостенного стержня незамкнутого профиля было получено
Р. Майяром, который объяснил практическое значение определения центра
сдвига в конструкционных профилях [8.6] и ввел термин «центр сдвига».
Дальнейшее развитие концепции центра сдвига содержалось в ра¬
ботах [8.7—8.16]. Всестороннее обсуждение центра сдвига, а также задачи
изгиба и кручения балок в общей постановке проведено в работе [8.17];
некоторые исторические замечания, относящиеся к центру сдвига, можно
найти в работах [8.18] и [8.19].)
8.2. См. [1.10], стр. 371—373 [стр. 374—376 русского перевода].
8.3. ВасН С., УегзисНе йЬег Й1е ЫзасНПсНе МйегзкапйзГаЫбкеи уоп Ва1кеп
ти Иогггп^еп (ЗиегзсНшЙ. 2.еИзскг1\1 йез Уешпз Оеи(8сНег 1п$*епкиге, 1909,
ВЙ 53, № 44, 55. 1790—1795.
8.4. ВасН С., УегзисНе йЬег сПе ЫзасНПсНе 'МйегзипйзМН^кеи уоп Тга^ет
ти [-{оггшбеп (ЭиегзсНши. ХеИзсНпЦ йез Уетпз йеиксНег 1п$етеиге, 1910,
ВЙ 54, № 10, 55. 382—387.
8.5. Оп!ШЬ А. А., ТауЬг О. I., ТЬе ргоЫет о1 Иехиге апй Из зо1и!юп Ьу {Не
зоар-Шт теШой. ТесНшса! Керогк о! 1Ье Айу1зогу СоттШее *ог Аегопаи-
556 ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЙ
Исз,ч!917—1918, уо1. 3, риЬИзЬеё 1п 1921 Ьу Н13 М^езку’з ЗЫюпегу ОШ-
се, Ьопёоп (Керогкз апс! Метогапёа, 1917, по. 399), рр. 950—969.
8.6. МаШагк К., 2игРга§е (1ег В1е§ип&. ЗсНюемегьзсНе ВаигеИипв, 1921, Вс! 77,
№ 16, 55. 195—197; Вешегкип^еп гиг Рга^е с!ег В1ебипб- ЗсНжиепзсНе
ВаигеИип^ 1922, Вс! 78, № 1, 55.18—19; ОЬег ЭгеЬипб ипс! В1ебип§. ЗсНт/•
гепзсНе ВаигеИипц, 1922, Вс! 79, № 20, 55. 254—257; бег 5сНиЬгшкке1рипкк.
ЗсНж'ьгепясНе ВаигеМипд, 1924, Вс! 83, № 9, 55. 109—111; 2иг Рга^е с!ез
5сЬиЬгшкке1рипккез. ЗсНтиепзсНе ВаигеИип&, 1924, Вё 83, № 15, 55. 176—
177.
8.7. №еЬег С., В1ебип§ ипс! 5сЬиЬ т §егаёеп Ва1кеп. 2еИ&сНгф /йг ап^ешпШе
МаОгетаНк ипй Мескамк, 1924, Вс! 4, № 4, 55. 334—348.
8.8. №еЬег С., ОЬегкга§ипй ёез ОгеЬтотепкез т Ва1кеп гшк ёорреШапзсЫбет
(ЗиегзсНшкк. 2еШсНпЦ {йг апдешапсМе Ма(кетаНк ипй МесНамк, 1926, Вс!
6, № 2, 55. 85—97.
8.9. 5сЬ>уа1Ье №. Ь., ОЬег с1еп 5сЬиЬпикке1рипкк т етет ёигсЬ ете ЕтгеИазк
беЬо^епеп Ва1кеп. ЯеНзсНгф (йг апцешшкИе МаИгетаИк ипй МесНапьк, 1935,
Вс! 15, № 3, 55. 138—143.
8.10. ТгеШг Е., ОЬгг с!еп 5сЬиЬгшкке1рипккт етзт ёигсЬ ете ЕтгеИазк ^еЬобе-
пеп Ва1кеп. 2еШсНгф [йг ап(*ешап(Ие МаШетаИк ипй МесНапьк, 1935, В ап с!
15, № 4, 55. 220 -2 >5.
8.11. НМ Н. N , Тогзюп о! !1ап§её шешЬэгз мкЬ сгозз зесИопз гезкгатеё а^ашзк
^агрт*. Ыакюпа1 Аёу^зогу Сотгтпккеэ !ог АегопаиИсз, ТесНшса1 Ыоке по.
88, 1943, М1ГСН.
8.12. Оз^ооё №. К., ТЬе сепкег оГ зЬеаг а^ат. ТгапзасИопз о[ (Не А тег кап Зоек (у
о/ МесНапка1 Еп&пеегз, 1943, уо1. 65, по. 2, рр. А62—А64.
8.13. Мапёе1 Л., Оёкегпипакюп ёи сепкге с!е (огзюп а Га1ёе ёи кЬёогёте сКе гёс1рго-
сИё. Аппа1езс1е Роп($е( СНаиззёез, 1948,1. 118, № 3, рр. 271—290.
8.14. ЛасоЬз Л. А., ТЬе сепкге о! зЬеаг о! аегоГоП зеекюпз. 1оигпа1 о{ (Не,Ноуа1
Аегопаи(ка1 Зоск1у, 1953, уо1. 57, по. 508, рр. 235—237.
8.15. Бипсап №. Л., ТЬе Иехига! сепкге ог сепкге о! зЬеаг. Зоигпа1 о/ IНе Коуа1
Аегопаи(ка1 ЗоскЬу, 1953, уо1. 57, по. 513, рр. 594—597.
8Л5. Ко1кег №. Т., ТЬе 11ехига1 сепкге ог сепкге о! зЬеаг. Зоигпа1 о/ IНе Коуа1
АегопаиИса1 Зоск(уу 1954, уо1. 58, по. 517, рр. 64—65.
8.17. Т1то$Ьепко 5. Р., ТЬеогу о! ЬепсПп^, когзюп апс! ЬискИп^ о! кЬт-мгаИеё
шетЬегз о! ореп сгозз зеекюп. ^оитпа^ о{ IНе РгапкИп 1пзШи(е, 1945, Уо1. 239,
по. 3, МагсЬ, рр. 201—219; по. 4, АргП, рр. 249—268; по. 5, Мау, рр. 343—
361; русский перевод: Теория изгиба, кручения и устойчивости тонкостен¬
ных стержней открытого поперечного сечения. В книге Тимошенко С. П.,
Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., «Наурф, 1971, стр. 670—
727.
8.18. См. [1.1], стр. 401 [стр. 480 русского перевода].
8.19. Ыомп5к1 Л. Ь., ТЬеогу о* кЬт-\уа11её Ьагз. В книге «АррНес! МесЬашсз
5игуеуз», её. Ьу Н. N. АЬгатзоп ек а1. №азЬтбкоп, 5рагкап Воокз, 1966,
1198 р., см. стр. 325—338.
9.1. Вееё1е Ь. 5., Р1азк1с ёез^п о! зкее1 !гатез. Ые\у Уогк, ЛоЬп №Пеу апё 5опз,
1пс., 1958, 406 р.
9.2. Маззоппек С. Е., 5ауе М. А., Р1а$кк: апа1уз18 апё ёез1&п, Уо1. 1. Ые\у Уогк,
ВЫзёеН РиЬПзЫпб Со., 1965, 379 р.
9.3. РЫШрз А., 1пкгоёискюп ко ркзккпку. Ые\у Уогк, КопаМ Ргезз Со., 1956,
230 р.
9.4. РЫШрз А., ВепсНп§ о1 Ьеатз. В книге «НапёЬоок о1 епб1пеег1пб тесЬашсз»,
её. Ьу №. РШ^е- СЬаркег 47. Ые^ Уогк, МсОга>у-НШ Воок Со., 1пс., 1962,
12 р.
9.5. Ноё^е Р. О., Лг., Р1азк1с апа1уз13 о! зкгискигез. Ые\у Уогк, МсОга\у-Н1И
Воок Со., 1пс., 1959, 364 р.; русский перевод: Ходж Ф. Г. Расчет конструк¬
ций с учетом пластических деформаций. М., Машгиз, 1963, 380 стр.
9.6. №а1 В. О., ТЬе р1а$1м: текЬоёз о! зкгискига! апа!уз1з. 2пё её. Йеш Уогк,
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 557
Лопп №Пеу апё 5опз, 1пс., 1963, 358 р.; русский перевод: Нил Б. Г., Рас¬
чет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М., Госстрой-
издат, 1961, 315 стр.
9.7. Неутап Л., Р1аз11с ёез^п оГ рогЫ Ггатез. СатЬпёйе ишУегзйу Ргезз,
1957, 104 р.
9.8. Зутопёз Р. 5., ЫтН апа1уз1з. В книге «НапёЬоок оГ еп§теегт& шесЬаПкз»,
её. Ьу №. Р1щ&е. СЬар1ег 49. Ыеду Уогк, МсОга>у-Ш11 Воок Со., 1пс., 1962,
28 р.
9.9. 5тКЬ Л. О., 51ёеЬо11огп О. М., 1пе1аз11С ЬеЬауюг о? 1оаё-саггут§ тешЬегз.
№\у Уогк, ЛоЬп №11еу апё 5опз, 1пс., 1965, 447 р.
9.10. Зутопёз Р. 5., Ыеа1 В. О., Кесепк рго^гезз т *Ье р1а$1!с ше1Ьоёз о! з1гис1и-
Га1 апа1уз1з. ^ои^па^ о/1Не РгапкИп 1пзИШе, 1951, уо1. 252, по. 5, МоуешЬег,
рр. 383—407; по. 6, ОесетЬег, рр. 469—492.
9.11. 5кгис1ига1 зкее! ёез1§п,её. Ьу Ь. Та11, Ь. 5. Вееё1е, Т. V. Оа1ашЬоз.
Уогк, Копа1ё Ргезз Со., 1964, 829 р.
9.12. Р1азМс ёез^п 1п з!ее1. Уогк, N. У., Атепсап *1пзШ и 1е о! 31ее1 Сопз1ги-
с1юп, 1пс., 1959, 6+53+41 р.
9.13. №ёа1 А., ТЬеогу о! Яош апё Ггаскиге оГ зоПёз, уоЬ 1, 2пё её., Уогк,
МсОгам-НШ Воок Со., 1пс., 1950, 572 р.; русский перевод: Надаи А., Пла¬
стичность и разрушение твердых тел. М., ИЛ, 1954, 648 стр.
9.14. Сошшепкагу о{ р1азИс ёез^п \п з1ее1. Атепсап 5ос1е1у о? С1уП Еп^теегз,
Мапиа1з о! Еп^теегз Ргасисе, 1961, по. 41, 173 р.
9 15. Вакег Л. Р., Ноте М. К-, Неутап Л., ТЬе з1ее! зке1е!оп, уо1. II: РЬзИс
ЬеЬауюг апё ёез^п. Ьопйоп, СатЬпё^е 11туегзЛу Ргезз, 1956, 408 р.
9.16 Вакег Л. Р., А геу1е^у о! гесеп! туезИбаИопз ш1о 1Ье ЬеЬаУюиг о! з1ее1 Гга-
тсз 1 п 1Ье р1аз11с гап^е. Зоигпа\ о/ (Не 1пзШиИоп о/ СШ1 Еп&пееп, 1949,
уо1 31, по. 3, Лапиагу, рр. 188—224.
9.17. Вакег Л. Р., ТЬе ёез^п о( зке! !гатез. 8(гис(ига1 Епдшеег, 1949, уо1. 27,
по. 10, Ос1оЬег, рр. 397—431.
9.18. ОгеепЬегб Н. Л., Рга^ег ЫтН ёез^п о! Ьеатз апё 1гатез. Тгап&асНопз
о/ /Не Атегкап 8оск(у о/ СШ1 Епдшеегз, 1952, уо1. 117, рр. 447—458.
9 19. Вееё1е I.. 5., Та)! Ь., Ваз1с со!итп з1геп§1Ь. ТгапзасНопз о/ (Не Атегкап
8оск1у о[ Ст1 Епцхпеегз, 1962, уо1. 127, раг1 II, рр. 138—172.
9.20. НиЬег А. №., Вееё1е 5., Кез1ёиа1 з1гезз апё 1Ье сотргезз1уе з1гепб1Ь
о! з1ее1. и7еШт§ ^ои^па^^ 1954, уо1. 33, по. 12, ОесетЬег, рр. 589 з.— 61*4 з.
9.21. Уап§ С. Н., Вееё1е Ь. 5., ЛоЬпз1оп В. С., Кез1ёиа1 з1гезз апё 1Ье у!е1ё
51геп§1Ь о! з1ее1 Ьеатз. IФеШт^ ^оигпа1, 1952, уо1. 31, по. 4, Арг11, рр.
205 з.—229 з.
9.22. Ног^ег О. Л., Нез1ёиа1 зкеззез. В книге «НапёЬоок о! ехрептепЫ з1гезз
апа1уз1з», её. Ьу М. Не1ёпуь СЬар1ег 11. Уогк, ЛоЬп №Пеу апё 5опз,
1пс., 1950, 1077 р.; см. стр. 459—578.
9.23. ВаггеИ С. 5., А сгШса1 геу1е^ о! уагюиз те!Ьоёз о! гез1ёиа! з1гезз теазиге-
теп1. РгосеесИпдз о/ (Не 8оск1у /ог ЕхрептепШ 8(гезз Апа1уз1з, 1944, уо1. II»
по. 1, рр. 147—156.
10.1. См. [3.51.
10.2. В1е1сЬ Р., ВискНп^ з1геп§1Ь о! теЫ з1гис!игез. Уогк, МсОга^-НШ
Воок Со., 1пс., 1952, 508 р.; русский перевод: Блейх Ф., Устойчивость
металлических конструкций. М., Физматгиз, 1959, 544 стр.
10.3. См. [6.20]. (Замечание. Леонарду Эйлеру (1707—1783) принадлежит огром¬
ный вклад в развитии математики и механики. Он был, по-видимому, самым
продуктивным математиком всех времен (см. [6.4], стр. 120); Ньюмен назы¬
вал его героем математики (см. [6.3], стр. 150). Имя Эйлера неоднократно
упоминается в современных учебниках; так, в курсах механики можно
прочитать об уравнениях Эйлера движения твердого тела, углах Эйлера,
уравнениях Эйлера течения жидкости, эйлеровой критической нагрузке
для продольно сжатого стержня и т. д.; в курсах математики можно найти
знаменитые постоянные Эйлера* а также числа Эйлера, соотношения Эйлера
558 ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
(е^~соз 0+1 зт 0 и др.), формулы Эйлера (в*я+1=0), дифференциальное
уравнение Эйлера, уравнение Эйлера вариационной задачи, квадратурную
формулу Эйлера, формулу суммирования Эйлера, теорему Эйлера об
однородных функциях, интегралы Эйлера и даже эйлеровы квадраты
(квадратные матрицы из чисел, обладающих определенными свойствами).
В прикладной механике Л. Эйлер первым вывел формулу для крити¬
ческой нагрузки, при которой происходит выпучивание идеального тонкого
стержня при продольном сжатии, и первым решил задачу об эластике.
Его многочисленные книги включали исследования по небесной механике,
динамике и гидромеханике, в его статьях рассматривались такие вопросы,
как колебания балок и пластин.
В математике Эйлер получил выдающиеся результаты по тригономет¬
рии, алгебре, теории чисел, дифференциальному и интегральному исчисле¬
ниям, теории бесконечных рядов, аналитической геометрии, дифференци¬
альным уравнениям, вариационному исчислению и многим другим разделам
этой науки. Он впервые представил тригонометрические величины в виде
отношения чисел и установил соотношение егО“СО5 0+*5т0. В его книгах,
ставших классическими источниками для многих поколений ученых, можно
найти как первое изложение основ вариационного исчисления, так и столь
занимательные сообщения, как доказательство «большой теоремы» Ферма
при п— 3 и п—4. Им была решена знаменитая задача о семи кенигсбергских
. мостах, проблема топологии — другой области, где он также был пионе¬
ром.
Лернард Эйлер родился близ Базеля (Швейцария) и посещал Базель¬
ский университет, где его занятиями руководил Иоганн Бернулли. С 1727
по 1741 'г. он жил и работал в Санкт-Петербурге, где создал себе репутацию
замечательного математика. В 1741 г. по приглашению прусского короля
Фридриха II Эйлер переехал в Берлин. Свои занятия математикой он
продолжал до 1766 г. в Берлине, а затем вернулся в Санкт-Петербург по
просьбе императрицы Екатерины И. В Санкт-Петербурге Эйлер плодотвор¬
но трудился до конца своих дней (он скончался в возрасте 76 лет) и за это
время напирал свыше 400 работ. Всего Эйлером написано 886 книг и ста¬
тей; многочисленные рукописи, оставшиеся после его кончины, публикова¬
лись Российской Академией Наук (Санкт-Петербург) еще в течение 47 лет.
И все это несмотря на то, что в 1735 г. он ослеп на один глаз, а в 1766 г.
полностью утратил зрение. Биография Эйлера приведена в книгах (1.1),
стр. 28—30 [стр. 41—43 русского перевода], и [6.3], стр. 148—151; некото¬
рые из полученных им результатов в механике описываются в [1.1] на
стр. 30—36 [стр. 43—50 русского перевода]. *
10.4. Еи1ег Ь., 5иг 1а !огсе ёез соЬппез. ШзЫге с!е ГАсайёпие Коуа1е ёез заепсез
е* Ье11ез-1еигез ауес 1ез Мёпкжез, Игез ёег Кё^гез ёе сейе Асаёегше, 1759,
1. 13, рр. 252—282. (Замечание. Английский перевод этой работы и ее об¬
суждение содержатся в статье [10.5].)
10.5. Вгоек Л. А. уап ёеп, Еи1ег’з с1азз1с рарег «Оп 1Ье з1геп^Ь о! со1ишпз». Ате¬
псап ^оигпа^ о/ РНузьсв, 1947, уо1. 15, по. 4, Ли1у-Аи&и51, рр. 309—318.
10.6. Но!1 N. Л., Виск1т§ апс! з1аЬШ1у. ТНе 1ог1у-Пг51 №ПЬиг тетопа1
1ес1иге. ]оигпа1 о/ (Не Коуа1 АегопаиИса1 8оае(у, 1954, уо1. 58, по. 517,
Лапиагу, рр. 3—52; русский перевод: Хофф Н., Продольный изгиб и устой¬
чивость. М., ИЛ, 1955, 155 стр.
10.7. Уоип§ О. Н., КаНопа! йез^п о? з1ее1 со1итпз. ТгапзасИопв о/ (Не Атепсап
8ос1е(у о/ СШ1 Еп&пеегз, 1936, уо1. 101, рр. 422—451.
10.8. Ошёе 1о ёез^п сгНепа !ог теЫ сотргеззюп тешЬегз, её. Ьу В. О. ЛоЬп-
з1оп. 2пё её., Ыеду Уогк, ЛоЬп №Пеу апз 5опз, 1пс., 1966, 217 р.
10.9. См. [5.4], стр. 5.16 и 5.17.
10.10. АЬСОА 51гис1ига1 НапёЬоок. РШзЬиг^Ь, Реппзу1уаша, А1иттиш Сот-
рапу о! Атепса, 1960, 350+95 р.
11.1. МахшеП Л. С., Оп 1Ье са1си1а1юп о! 1Ье еяиШЬгщт апё з1Шпезз о! 1гатез.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 559
РНИозорМса! Мадагте, 5ег. 4, 1864, уо1. 27, рр. 294—299; перепечатка: ТЬе
8с1еп1Шс рарегз о! Латез С1егк Мах>уе11, СатЬпё^е 11туег5Иу Ргезз, 1890,
уо1. 1,607 р., см. стр. 598—604; см. также [11.3]. (Замечание. Джеймс Клерк
Максвелл (1831—1879) в упомянутой статье описал метод единичной на-
грузки для определения перемещений в упругих фермах. Там же приведены
теорема взаимности перемещений и метод податливостей для определения
лишних неизвестных сил в статически неопределимых фермах. Десять лет
спустя Отто Мор вновь открыл метод Максвелла определения прогибов
(см. [ 11.4]) и его же метод определения лишни* неизвестных сил в статически
неопределимых фермах (см. [11.13]). Максвеллу принадлежат и другие
важные работы в области расчета конструкций, включая развитие метода
фотоупругости для изучения напряжений. Им были осуществлены и многие
прочие исследования, относящиеся к теории упругости. Сведения об этих
трудах Максвелла и краткую биографию читатель может найти в [1.1],
стр. 202—208 и 268—275 [соответственно стр. 245—251 и 322—330 русского
перевода]. Наибольшую известность Максвелл, разумеется, приобрел сво¬
ими работами по оптике, кинетической теории газов, теории электричества
и магнетизму. Жизнеописание этого знаменитого математика и физика
приведено в [11.2].)
11.2. СатрЬеН Ь., ОагпеИ ТЬе Ше о! Латез С1егк Мах>уе11. Ьопёоп, МастП-
1ап апё Со., 1882, 662 р.
11.3. Мах>уе11 Л. С., ТЬе заепШк: рарегз о! Латез С1егк Мах>уе11, её. Ьу №.0.
№уеп. СатЪпёбе итуегзИу Ргезз, 1890, уо1. 1: 607 р.; уо1. 2: 806 р.
11.4. МоЬг О., ВеИгаб гиг ТЬеопе ёеп Вобеп!асЬдуегкз1га§ег. ЯеИзсНпЦ с1ез АгсМ-
1еМеп- ипй 1п%еп1еиг-Уегетз ги Наппоьег, 1874, Вё 20, № 2, 55. 223—238.
(Замечание. В этой статье приводится метод единичной нагрузки для опре¬
деления перемещений в фермах.)
11.5. ВеШ Е., Теопа ёе11а еЬзИсИа, II пиоуо Ытеп(о, 5ег. 2а, 1872, I. 7—8, Ли§-
1ю, рр. 5—21; А§оз1о, рр. 69—97; 5ер1., рр. 158—180; ЫоуетЬге, рр. 357—
367. (Замечание. Энрико Бетти (1823—1892) — итальянский математик и
инженер.)
11.6. Кау1е1§Ь, 5оше &епега1 {Ьеогетз геЫтб 1о у1Ьга*юпз. РгосеесИп&з о/ IНе
Ьопйоп Ма1НетаИса1 8ос1е(у, 1873, уо1. 4, по. 63, рр. 357—368; перепечат¬
ка: ЛоЬп №ПИат 51ги11, 5с1епШк рарегз. Ьопёоп, СатЬпё^е итуегзНу
Ргезз, 1899, уо1. 1, 562 р., см. стр. 170—181. (Замечание. В упомянутой
статье Рэлей сформулировал теорему взаимности для случая системы,
совершающей колебания под действием приложенных в двух различных
точках сил, меняющихся по гармоническому закону. Им была сформули¬
рована теорема взаимности работ для статического случая действия двух
сил, когда период изменения сил становится бесконечно большим. В статье,
опубликованной в 1874—1875 гг. [11.7], Рэлей сформулировал теорему
взаимности как для податливостей, так и жесткостей, хотя и не использо¬
вал эти термины. Впоследствии в своей книге «Теория звука», впервые
вышедшей в 1877 г. [11.8], он дал четкую формулировку и доказательство
теоремы взаимности работ для случая двух систем соответствующих друг
другу сил и перемещений, причем каждая система могла состоять из про¬
извольного числа сил.
Рэлей (Джон Уильям Стретт, с 1873 г.—лорд Рэлей, 1842—1919) —
знаменитый английский физик. Предметом его наиболее известных исследо¬
ваний являлись теория распространения звука и, света, а также электри¬
чество, его книга «Теория звука» является классической и до сих пор широ¬
ко используется. Его научные труды составили шесть томов, выдержавших
два издания ([11.9] и [11.10]). Дж. У. Стретт учился в Три нити-колледже
Кембриджского университета, где преподавали Э. Дж. Раус и Дж. Г.
Стокс. Наряду с изучением теории он много занимался экспериментами. В
1879 г. он стал профессором Кавендишской лаборатории в Кембридже, а
впоследствии был избран профессором натуральной философии Королевско¬
560 ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
го института Великобритании. Он помогал организовать Национальную
физическую лабораторию и был президентом Консультативного комитета
по авиации с момента его организации в 1909 г. и до своей кончины. Кроме
того, лорд Рзлей с 1905 по 1908 г. был президентом Королевского общества
и с 1908 г. до конца жизни — президентом Кембриджского университета.
Он был удостоен многих почестей, включая орден «За заслуги» в 1902 г. и
Нобелевскую премию по физике в 1904 г. (последнюю вместе с сэром Уилья¬
мом Рамзеем за открытие в 1895 г. первого из инертных газов — аргона).
Среди многочисленных важных открытий, сделанных им, возможно, сле¬
довало бы ртметить то, что Рэлей впервые объяснил, почему небо имеет
голубой цвет. В 1884 г. Рэлей вторично посетил Америку и присутствовал
на знаменитых «Балтиморских лекциях» Кельвина.
Биография Рэлея прйведена в [1.1], [11.8], [11.11] и [11.12].)
11.7. КауЫбН, А з1аИса11Ьеогет. РНИозорНка1 Ма^агте, 41Ь зепез, 1874, уо1. 48,
рр. 452—456; 1875, уо1. 49, рр. 183—185; перепечатка: 51гиМ ЛоЬп №ПНат,
5с1еп{Шс рарегз. СатЬпёбе ишуегзЛу Ргезз, 1899, уо1. 1, 562 р., см.
стр. 223—229.
11.8. 51ги11 ЛоЬп \УПНат (Вагоп КауЫ^Ь), ТНе 1Неогу о! зоипё. 2пс1 её., №\у
Уогк, Эоуег РиЬНсаНопз, 1пс., 1945, уо1. 1: 504 р.; уо1. 2: 480 р. (Замечание.
Это повторное издание содержит историческое введение и краткий биогра¬
фический очерк, написанные Робертом Брюсом Линдсеем. Первое англий¬
ское издание вышло в 1877 г. (т. 1, 326 стр.) и в 1878 г. (т. 2, 302 стр.),
второе— в 1894 г. (т. 1) и в 1896 г. (т. 2), третье — в 1926 г. и перепеча¬
тано в 1929 и 1937 гг. Все эти издания были выпущены в Лондоне изда¬
тельством МасшШап апё Со., 1Лё.). Русский перевод вышел двумя изда¬
ниями: первое — перевод со второго английского издания (НауЫ&п Л. №.5.,
ТНеогу оГ зоипё. 2пё её., Ые\у Уогк — Ьопёоп, МасшШап Со., уо1. 1:
1894, 504 р.; уо1. 2: 1896, 480 р.): Стретт Дж. В. (лорд Рэлей), Теория звука.
М.— Л., Гостехиздат, т. 1: 1940, 499 стр.; т. 2: 1944, 476 стр.; второе —
перевод с третьего английского издания. М.— Л., Гостехиздат, 1955.
11 9. 31ги11 ЛоНп №ПНат (Вагоп Кау1е1&Ь), 5с1еп1Шс рарегз. СатЬпё^е Ш1уег-
зНу Ргезз, уо1. 1: 1899, 562 р.; уо1. 2: 1900, 598 р.; уо1. 3: 1902, 596 р.; уо1. 4:
1903, 604 р.; уо1. 5: 1912, 624 р.; уо1. 6: 1920, 718 р.
11.10. КауЫбН, 5аеп1Шс рарегз. Уогк, Ооуег РиЬПсаНопз, 1пс., 1964,
уо1. 1—2: 1159 р.; уо1. 3—4: 1154 р.; уо1. 5—6: 1342 р. (Трехтомное переиз¬
дание шести томов [11.9], выпущенных первоначально в Кембридже в
1899—1920 гг.)
11.11. 51ги11 КоЬег* ЛоНп (ГошЧН Ьагоп Кау1е1&Ь), ЛоНп МШат 51ги11, 1Нпё
Ьагоп КауЫбН. Ьопёоп, Еёшагё Ато1ё апё Со.* 1924, 403 р. (Биография
лорда Рэлея, написанная его старшим сыном.)^
11.12. 51ги11 КоЬег* ЛоНп (Гоиг1Н Ьагоп Кау1ец*Ь). 1лГе оГ ЛоНп АУПНат $1ги11,
1Ыгё Ьагоп КауЫбЬ. Мзсопзт, 11шуегзЦу Ргезз, 1968, 439 р. (Повторное
издание биографии [11.11], дополненное примечаниями автора и предис¬
ловием Джона Говарда.)
11.13. МоЬг О., ВеИга§ гиг ТЬеопе ёез РасЬмегкз. 2еИзсНп{( йез АгсНИеккп- ипй
Iпдепкиг-Уешпз ги Наппоьег, 1874, Вё 20, № 4, 55. 509—526; 1875, Вё 21,
№ 1, 55. 17—38. (Замечание. В статье излагается метод податливостей для
статически неопределимых рам.)
11.14. Сеге Л. М., МУеауег №., Лг., Апа1уз1з о! (гашеё з!гис1игеб. Рппсе1оп, N. Л.,
О. Уап №з!гапё Со., 1пс., 1965, 475 р.
11.15. Т1шозЬепко 5. Р., Уоип§ Э. Н., ТЬеогу о! з1гис1игез. 2пё её., Уогк,
МсОга>у-НП1 Воок Со., 1пс., 1965, 629 р.
11.16. №гпз С. Н., \УПЬиг Л. В., Е1ешеп!агу з1гис1ига1 апа1уз1$. 2пё её.,
Уогк, МсОга>у-НШ Воок Со., 1пс., 1960, 651 р.
11.17. НаП А. 5., АУооёЬеаё К. Ргаше апа1уз15. 2пё её., Уогк, ЛоЬп №Пеу
апё 5опз, 1пс., 1967, 329 р.
ЛИТЕРА ТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 561
11-18. Вог§ 5. Р., Оеппаго 3. Л., Моёегп $1гис*ига1 апа1у$& Шчг Уогк, Уап N0$!-
гапс1 КетЬоМ Со., 1969, 455 р.
11.19. МагИп Н. С. МгоёисИоп 1о та1пх теМюёз о! $1гис1ига1 апа1у&1$.
Уогк, МсОга>у-НП1 Воок Со., 1пс., 1966, 331 р.
11.20. См. [6.18].
11.21. АУеауег \У., Лг., Сошри1ег рго&гатз Ьг $1гис!ига1 аяа!уиз. РНпсеЬп,
N. Л., О. Уап №б1гап<1 Со., 1пс., 1-967, 300 р.
11.22. С1еЬвсЬ А., Т1геопе ёег ЕЫМгИа!; *е$1ег Когрег. 1е1рг1& В. О. ТеиЬпег,
1862, 424 5. (Замечание. Альфред Клебш (1833—1872) — немецкий матема¬
тик, много способствовавший развитию механики.)
11.23. ВепсНхеп А., Р1е МеШоёе ёег АфНа-ОЫсЬцп&еп гиг ВегесЬпиод уоп КаЬ-
тепкоп$1гик1юпеп. ВегНп, 3. 5рпп&ег, 1914,82 8. (Замечание. В этой книге
Аксель Бендиксен дал описание метода угловых деформаций, который
представляет собой метод жесткостей применительно к плоским рамам.
В качестве неизвестных величин принимаются повороты в узлах.)
11.24. Оз1еп!еМ А.# 01е Ое^огтаиоп&гпешоёе. ВегНп, 3. 5рпп0ег, 1926, 118 5.
11.25. СазИбНапо А., ТНёопе ёе ГёяиШЬге ёез зуз^ёшез ё!а81Цие$ е1 зез аррНса-
Ноп$. Типп, А. Р. №&го, 1879, 480 р. (Замечание. В этой книге Кастилиано
весьма кратко сформулировал большое число концепций и принципов рас¬
чета конструкций. Хотя Кастилиано был итальянцем, он написал свою
книгу по-французски, для того чтобы расширить круг ее читателей. Книга
была переведена на немецкий и английский языки (|]1.26, 11.27]). Особенно
интересно — благодаря вводной статье Гунара А. Ораваса (см. [11.28] и
[6.24]) — переиздание в 1966 г. английского перевода издательством Эоуег
РиЬНсаНоп.
Первая и вторая теоремы Кастилиано приводятся на стр. 15—16 изда¬
ния 19о6 г. под названием «Часть 1 и Часть 2 Теоремы дифференциальных
коэффициентов внутренней работы». Кастилиано сформулировал эти тео¬
ремы следующим образом.
«Часть 1. Если внутреннюю работу конструкции типа рамы выразить
как функцию от относительных перемещений точек приложения внешних
сил, действующих на конструкцию, то полученное выражение будет таким,
что входящие в него дифференциальные коэффициенты при этих перемеще¬
ниях дадут значения соответствующих сил».
«Часть 2. Если, с другой стороны, внутреннюю работу конструкции
типа рамы выразить как функцию от внешних сил, действующих на кон¬
струкцию, то полученное выражение будет таким, что входящие в него
дифференциальные коэффициенты дадут величину относительных переме¬
щений точек приложения внешних сил».
В настоящее время эти утверждения обычно называются соответствен¬
но первой и второй теоремами Кастилиано, а не частями 1 и 2 одной теоре¬
мы. После формулировки теорем Кастилиано доказывает их, а затем при¬
меняет к самым различным случаям. В его книге эти теоремы записаны
в следующей форме:
р а^вит ^внт
Г ВНШ~Т: * '8НШ—Т/7 »
а/внш огвнш
где И?внх — внутренняя работа (или энергия деформации); Гвпш — одна
из приложенных внешних сил; гВ11Ш — перемещение точки, в которой при¬
ложена сила Евнш.
Кастилиано не настаивал на полной оригинальности первой теоремы,
хотя в предисловии к своей книге утверждал, что его формулировка и до-
казательство носили более общий характер, чем опубликованные ранее.
Вторая теорема принадлежала ему и являлась частью его дипломной ра¬
боты [11.29].
«Принцип наименьшей работы» был доказан Кастилиано в этой дип¬
ломной работе, вышедшей в 1873 г., и также приводится в его книге.
562 ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
История полемики между Кастилиано и Менабреа относительно авторства
в доказательстве этого принципа приведена в написанном Оравасом введе¬
нии к изданию 1966 г. [11.28].
Карло Альберто Пио Кастилиано (свои работы он подписывал Аль¬
берто Кастилиано) родился в бедной семье в Асти в 1847 г. и скончался в
1884 г., в самом расцвете творческих сил. Его биография изложена Ора¬
васом во введении к изданию 1966 г.; там же приведены перечень работ
Кастилиано и список его званий и наград. Его вклад в науку подробно
освещен в работах [1.13], [1.1] и [11.30].)
11.26. СазМ^Напо А., ТЬеопе ёез 01е1сЬбешсЬ1ез екзНзсЬег 5уз1еше ипё ёегеп
Агмепёип§. №1еп, Саг1 ОегоМ’з 5оЬп, 1886, 479 5. (Перевод книги [11.25].)
11.27. Сази^Напо А., Е1аз11с з1геззе$ т з1гис1игез. Ьопёоп, 8сои Огеетуооё апё
5оп, 1919, 360 р. (Перевод книги [11.25].)
11.28. СазИбНапо С. А. Р., ТЬе 1Ьеогу о* еяиШЬпит о! е1азНс зуз^етз апё Из
аррПсаИопз. №>у Уогк, Ооуег РиЬНсаНопз, 1пс., 1966, 360 р. (Перепечатка
издания [11.27] с новым введением и биографическим очерком, написан¬
ными Г. Оравасом.)
11.29. СазИбНапо А., Шогпо г\ $1з1е1Ш е!аз11С1. Кеа1е 8сио1а ё’АррНсагюпе ёе^Н
1п§ебпег1т Топпо, Типп, Утсепго Вопа, 1873. 52 р. (Дипломная работа на
получение звания инженера-строителя в Политехническом институте Ту¬
рина.)
11.30. Огйшпб М., ТЬеопе ёег Ваикопз{гик1юпеп. В книге «Епсук1ор§ё1е ёег
Ма1Ьета115сЬеп \У1ззепзсЬа!Ь, Вё 4, Т. 4, Ье1р21§, 1907—1914, 55. 419—534.
11.31. КихЬЬоИ О. К., ОЬег ёаз СЫсЬ^ешсМ ипё ё1е Ве>уебипб етег еЫзИзсЬеп
5сЬе1Ье. ^ои^па^ (йг (Не гегпе ипй ап&емапсИе МаШетаИк (Сге11е), 1850,
Вё 40, № 1, 55. 51—88; перепечатка: КпсЬЬоН О., ОезатгпеНе АЬЬапё-
1ипееп. Ье1р21§, ЛоЬапп АтЬгозшз Ваг1Ь, 1882, 55. 237—272. (Замечание.
В этой статье Кирхгоф вывел основное дифференциальное уравнение йзйгёа
пластин, используя идею о стационарности потенциальной энергии. В более
поздней статье [6.38] им дано дальнейшее развитие принципа стационар¬
ности потенциальной энергии. Биографические сведения об этом знамени¬
том ученом приведены в [1.1], стр. 252—255 [стр. 304—308 русского пере¬
вода].)
11.32. Аи Т., Е1ешеп1агу з1гис1ига1 тесЬашсз. Епб1е>Уооё С1Шз, N. Л., РгепИсе-
На11, 1пс., 1963, 521 р.
11.33. НоН N. Л., ТЬе апа1уз15 о1 з1гис!игез. Уогк, ЛоЬп \УПеу апё 5опз, 1пс.,
1956, 493 р.
11.34. Оёеп Л. Т., МесЬатсз о! е1аз11с з1гис1игез. Уогк, МсОга\у-НШ Воок
Со., 1пс., 1967, 381 р.
11.35. КИх №., ОЬег ете пеие Ме1Ьоёе гиг Ьозипб бешззег УапаИопзргоЫете
ёег та(Ьета11зсЬеп РЬуз1к. 1оигпа1 (йг (Не гехпе ипй ап^еииапсНе МаОгетаНк
((СгеИе), 1908, Вё 135, № 1, 55 1—61; перепечатка: [11.36], стр. 192—250.
(Замечание. Вальтер Ритц (1878—1909) — блестящий швейцарский физик,
скончавшийся, к сожалению, совсем молодым. Работы Ритца были переиз¬
даны в виде собрания трудов [11.36], куда включена и его биография.)
11.36. КИг №., ОезашшеИе \Уегке. Оеиугез риЬ1. раг 1а 5ос1ё1ё 5шз$е ёе рпуз1аие,
Рапз, ОаиШег-УШагз, 1911, 541 р.
11.37. 21епк1ешсг О. С. т со11аЬ. >уИЬ У. К- СЬеип§, ТЬе НпИе е1ешеп1 те!Ьоё
т з1гис1ига1 апё сопИпиит тесЬап1сз. Ьопёоп, МсОгаду-НШ РиЬНзЫп^
Со., Ш., 1967, 272 р.; русский перевод: Зенкевич О. К- и ЧангИ , Метод
конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред.
М., «Недра», 1974, 239 стр.
11.38. СгоШ Р., Езроз121опе ёе! {еогета Сази^Папо е зио гассогёо соПа 1еог1а
ёе1Г е1аз11сИа. АШ с1е1 СоИе&о Ае&И тце&пеп ей агсНИеШ т МИапо, 1878,
1. 11, зес1. 4, № 2, р. 225; II роШестсо, 1879,1. 27, р. 45. (Замечание. Фран¬
ческо Кротти (1839—1896) — итальянский инженер-путеец, друг Кастили¬
ано. В этой статье он впервые сформулировал теорему Кротти — Энгессера,
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 663
хотя в своих последующих исследованиях гораздо больше внимания уделял
вопросам, связанным с дополнительной энергией. Кротти сформулировал
все основные теоремы и принципы, связанные с дополнительной энергией, в
серии статей, публиковавшихся начиная с 1877 г. и собранных в замеча¬
тельный труд [11.39], вышедший в 1888 г. Работы Кротти обсуждаются в
[1.13] на стр. 922—925 и в [6.24] на стр. XXV—XXVII. Краткие сведения
о биографии Кротти приводит Оравас в [6.24] на стр. ХЫП.)
11.39. СгоШ Р., Ьа шеопа с1е1Г е1а8ЫсНа пё зио! рппар1 !опс1ашеп1аН е пе11е зие
аррЬсахюш ргаНсЬе а11е соз1пшош. МПап, 1Лпсо НоерН, 1888, 207 р.
11.40. Еп^еззег Р., йЬег зЫ1зсЬ ипЬезИшшк Тга&ег Ье 1 ЬеНеЫ&ет Рогтапдегип^з-
<3езе1ге ипс1 йЬег с1еп 5а1г уоп <!ег к1ешз1еп Егбаигип^загЬей. 1е1(зсНгЦ(
йез АгсНИеЫеп- ипй 1п§епкиг-Уегетз ги Наппоцег, 1889, Вс! 35, 55. 733—
744. (Замечание. В этой статье Фридрих Энгессер (1848—1931) ввел термин
«дополнительная работа» и сформулировал теорему Кротти — Энгессера.
Он, по-видимому, не подозревал о существовании более общего подхода
Кротти; см. [1.13], стр. 925—926, и [6.24], стр. XXVII. Энгессер был ин-
женером-путейцем, а впоследствии занял пост профессора Политехничес¬
кого института в Карлсруэ. Им был сделан значительный вклад в расчет
конструкций; наиболее известная его работа посвящена вопросам устойчи¬
вости неупругих продольно сжатых стержней. Биографические сведения
о Ф. Энгессере см. в [1.1], стр. 297—299 [стр. 356—359 русского перевода].
11.41. >Уез1ег§аагс1 Н. М., Оп 1Ье ше1Нос! о! сошр1ешеп!агу епег^у. ТгапзасНопз о/
(Не Атегкап 8оск(у о/ СМ1 Еп&пеегз, 1942, уо1. 107, рр. 765—793.
11.42. Ьап^Ьааг Н. Ь., Епег^у ше1Ьос!з т аррНес! тесЬашсз. Ые\у Уогк, ЛоЬп №Пеу
апд 5опз, 1пс., 1962, 350 р.
11.43. Аг^упз Л. Н., Ке1зеу 5., Епег^у *Ьеогетз апс! з!гис1ига1 апа1у513. ЬопсЬп,
ВиНег^огШ апд Со., 1Лс1, 1960, 85 р.
11.44. Рггегшешеск1 Л. 5., ТЬеогу оС та!пх з!гис1ига! апа1у513. Ыеиг Уогк, МсСга\у-
НП1 Воок Со., 1пс., 1968, 468 р.
11.45. СЬагИоп Т. М-> Апа1уз1зо1 зЫ1са11у-тс1е1егтта1е з1гис1игез Ьу 1Ье сотр1е-
теп1агу епег^у те1Ьос!. Еп&пеегЫц, 1952, уо1. 174, по. 4521, рр. 389—391.
11.46. Вгоут Е. Н., ТЬе епег^у 1Ьеогетз о* з!гис1ига1 апа1уз18, Еп&пееппд, 1955,
уо1. 179, по. 4650, рр. 305—308; по. 4651, рр. 339—342; по. 4653, рр. 400—
403.
11.47. ЫЬоуеС., Сотр!етеп1агу епег^у те1Ьос! [ог ПпЙе с!ек>гта1юпз. Ргосеейтцз
о/ (Не Атепсап 8оск(у о/ СШ1 Епцтеегз, /оыгла/ о/ (Не Еп&пееппц МесНа-
пкз йтзш, 1964, уо1. 90, по. ЕМ6, ОесетЬег, рр. 49—71.
11.48. Огап С., Сотр1етеп1агу епег^у те!Ьос! !ог ЬискИп^. Ргосеейтцз о/ (Не Ате¬
гкап 8оск(у о/ СШ1 Епцьпеегз, ^ои^па^ о/ (Не Епцтееппц МесНапкз Бы Шоп,
1967, уо1. 93, по. ЕМ1, РеЬгиагу, рр. 57—75.
11.49. Огап С., Сотр1етеп1агу епег^у сопсер! Ьг 1аг&е сЫогтаМопз. Ргосеейтцз
о/ (Не Атегкап 8оск(у о/ СШ1 Епцтеегз, ^оигпа^ о/ (Не 8(гис(ига1 ОШзюп,
1967, уо1. 93, по. 5Т1, РеЬгиагу, рр. 471—494.
11.50. АУез1ег&аагс1 Н. М., ТЬеогу о? е1аз11с14у апс! р1азис11у. СатЬпс!бе, Мазз.,
Нагуагс! ишуегзЛу Ргезз, 1952, 176 р.
11.51. АУез1ег§аагс1 Н. М., Опе Ьипс!гес! ПМууеагз айуапсе т з!гис1ига1 апа1уз13.
ТгапзасНопзо[ (Не Атегкап 8оск(у о/ СшИ Епцтеегз, 1930, уо1. 94, рр. 226—
240.
11.52. МёпаЬгёа Ь. Р., Ыоиуеаи рппаре зиг 1а сНзШЬиНоп дез {епзюпз с!апз 1ез
зуз1ётез ё1аз^иез. Сотр(ез Кепйиз, 1858, 1. 46, 1ег 5етез1ге, № 22,
рр. 1056—1060. (Замечание. В этой статье Менабреа впервые выдвинул
идею, что лишние неизвестные усилия в стержнях фермы имеют такие
значения, при которых энергия деформации минимальна, но не привел
корректного доказательства; см. [6.24], стр. XXII, [1.13], стр. 655, и [1.1],
стр. 289 [стр. 347 русского перевода]. Луиджи Фредерико Менабреа
(1809—1896) — итальянский дворянин, генерал, инженер. Его биографию
можно найти на стр. ХЬ книги [6.24].)
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
П.1.
ПОНЯТИЯ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Напряжение. Рассмотрим изображенное на рис. П.1 тело, на¬
ходящееся в равновесии под действием внешних сил Ри Р2,.. ., Рт
Говорят, что такое тело находится в напряженном состоянии. Для
того чтобы изучить внутренние силы, возникающие в этом теле, раз¬
делим тело плоскостью тт на две части Л и В и рассмотрим одну
из этих частей, например часть Л. Эта часть находится в равновесии
т
1К
111
Рис. П.2.
т
под действием внешних сил Р6, Р9 и Р, и внутренних сил, равномер¬
но распределенных по плоскости тт и представляющих собой дей¬
ствие материала части В на материал части А. Величина этих послед¬
них сил определяется их интенсивностыр, т. е. величиной силы на
единицу площади плоскости, на которой они действуют. Эта интен¬
сивность, обычно измеряемая в килограммах на квадратный санти*
метр, называется напряжением.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 665
В простейшем случае, когда призматический стержень подвер¬
гается растяжению силами, равномерно распределенными по его
концевым сечениям (рис. П.2), внутренние силы также равномерно
распределены по поперечному сечению стержня тт, и напряжения
можно найти, разделив полное значение растягивающей силы Р на
площадь поперечного сечения Р. В общем случае, представленном на
рис. П.1, напряжения по сечению тт распределены неравномерно,
и для того, чтобы определить значение напряжения в некоторой точ¬
ке О этой плоскости, возьмем элементарную площадку бР в окрест¬
ности данной точки и предположим, что силы, возникающие на этой
площадке и представляющие собой действие частиц части В на час¬
тицы части А, сводятся к равнодействующей 8Р. Если теперь равно¬
мерно стянуть элементарную площадку 6Р, то в пределе получится
отношение 8Р/6Р, которое определит величину напряжения, возни¬
кающего на плоскости тт в точке О. Направление этого напряже¬
ния будет совпадать с направлением равнодействующей б Р. В общем
случае напряжение направлено под некоторым углом к площадке
бР, на которой оно действует, и обычно раскладывается на две со¬
ставляющие: нормальное напряжение, перпендикулярное к площад¬
ке бР, и касательное напряжение, действующее в плоскости пло¬
щадки.
Обозначения для сил и напряжений. Будем различать два
вида внешних сил, которые могут действовать на тело. Силы, рас¬
пределенные по поверхности тела, такие, как гидростатическое дав¬
ление или давление одного тела на другое, называются поверхност¬
ными силами. Силы, распределенные по объему тела, такие, как гра¬
витационные силы, магнитные силы и силы инерции (последние вво¬
дятся в рассмотрение при движении тела), называются объемными
силами.
Распределенные силы, отнесенные к единице поверхности, обыч¬
но раскладываются на три составляющие, параллельные осям
координат; ^ля этих составляющих будут использованы обозначе¬
ния X, V, 2. Сосредоточенные силы, действующие на поверхности
тела, представляют собой частный случай поверхностных сил, когда
конечная сила распределена на очень малой площади, так что ин¬
тенсивность силы становится очень большой. Объемные силы, отне¬
сенные к единице объема, также раскладываются на три ортогональ¬
ные составляющие, обозначаемые через X, V, 1.
В дальнейшем, имея дело с напряжениями, будем использовать
букву а для обозначения нормальных напряжений и букву т для
обозначения касательных напряжений. Для того чтобы зафиксиро¬
вать направление плоскости, на которую действуют напряжения,
буквы а их будут сопровождаться индексами. Эти индексы, а также
положительное направление напряжений показаны на рис. П.З, где
изображен бесконечно малый элемент, вырезанный из находящегося
566 ПРИЛОЖЕНИЕ
в напряженном состоянии тела плоскостями, перпендикулярными
осям координат х, у, г. Если рассмотреть, например, грань этого
элемента, перпендикулярную оси х, то нормальная составляющая
напряжения, действующего на эту грань, будет обозначаться через
ах\ таким образом, индекс х показывает, что напряжение действует
на плоскость, нормальную оси х. Нормальное напряжение считается
положительным, когда оно вызывает растяжение, и отрицательным,
когда оно вызывает сжатие.
Касательное напряжение раскладывается на две составляющие
т ху и хх2, параллельные осям у иг. В этом случае используются два
буквенных индекса; первый обозначает направление нормали к рас¬
сматриваемой плоскости, второй — направление напряжения. За
положительное направление составляющих касательного напряже¬
ния, действующего на одну из граней вырезанного элемента, взято
положительное направление осей координат, если растягивающее
напряжение, действующее на ту же самую грань, совпадает с поло¬
жительным направлением соответствующей оси. Если растягиваю¬
щее напряжение имеет направление, обратное положительному на¬
правлению оси, то положительными направлениями составляющих
касательного напряжения будут противоположные. В соответствии
с этим правилом положительные направления всех составляющих
напряжения, действующего на правую грань элемента, изображен¬
ного на рис. П.З, совпадают с положительными направлениями осей
координат. Если рассматривать левую грань того же элемента, то
положительные направления изменятся на противоположные.'
Шесть составляющих напряжения. Выше было указано,
что для каждой пары параллельных граней элемента, изображенного
на рис. П.З, необходим один символ для обозначения нормальных
У
Рис. П.З.
Рис. П.4.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 567
напряжений и еще два символа для обозначения составляющих каса¬
тельных напряжений. Для обозначения напряжений, действующих
на всех шести гранях элемента, были использованы три символа:
ох, оу, аг для нормальных напряжений и шесть символов: хху, тхг,
т,;х, Ъх> тг!/ ~ ДЛЯ КЭСЭТеЛЬНЫХ.
Из условия равновесия элемента следует, что необходимое число
символов для касательных напряжений можно снизить с шести до
трех. Рассматривая моменты относительно оси х всех сил, действую¬
щих на элемент, следует учитывать только силы, соответствующие
составляющим напряжения, изображенным на рис. П.4; объемными
силами, например весом элемента, можно пренебречь. Это следует из
того обстоятельства, что при уменьшении размеров элемента объем¬
ные силы, действующие на него, уменьшаются как кубы линейных
размеров, тогда как поверхностные распределенные силы умень¬
шаются как квадраты линейных размеров. Таким образом, для бес¬
конечно малого элемента объемные силы являются малыми величи¬
нами более высокого порядка, чем поверхностные распределенные
силы, и ими можно пренебречь. Аналогично можно пренебречь мо¬
ментами, вызванными неравномерным распределением напряжений
по граням элемента, и при вычислении сил, действующих на про¬
извольную грань, можно просто умножить площадь грани на вели¬
чину напряжения в ее центре. Обозначая через Лх, йу, йг длины ре¬
бер элемента, получаем уравнение равновесия для моментов отно¬
сительно оси х (см. рис. П.4):
ху1, йхйуйг—хгу йхйуйг — 0.
Аналогичные уравнения можно записать и относительно осей у и г.
Из этих трех уравнений равновесия получим
^ху^^ух' ^хг~ Т'гх’ "^уг~^гу (П-1)
Таким образом, для любых двух взаимно перпендикулярных граней
элемента составляющие касательного напряжения, перпендикуляр¬
ные общему ребру этих граней, равны. Следовательно, для того что¬
бы определить напряжения, действующие на три взаимно перпенди¬
кулярные плоскости, проходящие через произвольную точку Отела,
достаточно иметь шесть величин
Ох> Оу, Ог, ХХу ^ух> "*хг = ^гх> ^уг ~ ^гу *
Эти шесть величин называются составляющими напряжения в дан¬
ной точке.
Если эти шесть составляющих известны, то напряжение на про¬
извольной наклонной плоскости, проходящей через ту же самую
точку, можно найти из уравнений равновесия следующим образом.
Пусть О — некоторая точка тела, находящегося в напряженном со¬
стоянии, и пусть напряжения на трех координатных плоскостях
известны (рис. П.5). Для того чтобы найти напряжение на любой на¬
568 приложений
клонной плоскости, проходящей через точку 0, возьмем такую пло¬
скость ВСО, параллельную исходной плоскости и проходящую вбли¬
зи точки О, чтобы плоскость ВСЬ вместе с координатными плоскос¬
тями вырезала из тела очень малый тетраэдр ВСОО. Предполагается,
что напряжения в теле меняются непрерывно. При этом напряжение,
действующее на плоскость ВСО, будет стремиться к напряжению
на параллельной плоскости, проходящей через точку О, когда рас¬
стояние между плоскостями становится бесконечно малым.
Рис. П.5.
Записывая уравнения равновесия для этого элементарного тетра¬
эдра, поступаем так же, как и в предыдущем пункте: пренебрегаем
объемными силами и предполагаем, что напряжения равномерно
распределены по сторонам элемента. Следовательно, силы, дейст¬
вующие на тетраэдр, получаются умножением составляющих напря¬
жения на площади соответствующих граней. Если через Р обозна¬
чить площадь грани ВСЭ тетраэдра, то площади трех других граней
получаются проектированием площади Р на три координатные пло¬
скости. Пусть N — нормаль к плоскости 5С0, имеющая направле¬
ние, показанное на рис. П.5. Вводя для направляющих косинусов
этой нормали обозначения
соз(Ых)=1, соз(Ыу)—т, со$(Ыг)=п,
получаем площади Р1, Рт, Рп трех остальных граней тетраэдра,
перпендикулярных соответственно осям х, у, г.
Пусть X, У, 1 — три составляющие напряжения, действующего
на наклонной грани ВСЮ. Тогда составляющая в направлении оси х
силы, действующей на грань ВСй, равна РХ. Составляющими в на¬
правлении оси х сил, действующих на три остальные грани элемен¬
та, будут —Р1ох> —Рмтху, —Рпххг. Соответствующее уравнение
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 669,
равновесия имеет вид
РХ— Р1ах— Рт тХ!)—Рп ххг = 0.
Аналогичные уравнения можно записать также и для осей у иг.
Сокращая на общий множитель Р, получаем для составляющих X,
У, 2 напряжения, действующего на наклонную плоскость, положе¬
ние которой определяется направляющими косинусами /, т, п, сле¬
дующие выражения:
Х = ах1-\- хху т + ххг п,
У_=т:Ху1 + Оут + хугп, (П.2)
2 = ххг1 + хугт + огп.
Главные напряжения. Максимальные касательные на¬
пряжения. Зная составляющие X, У, 2 напряжения, действующе¬
го на наклонную плоскость (выражения (П.2)), можно получить
нормальное напряжение на этой плоскости, спроектировав X, У, 2
на направление нормали М, что дает
<т„ = XI -{- У т ~^~2п.
Подставляя сюда выражения (П.2) для X, У, 2, получаем
а„ = ах12 + аут2 + <тгп2 + 2туг тп + 2тлг 1п 2хху 1т. (П.З)
Изменение ап с изменением направления нормали можно гео¬
метрически представить следующим образом. Отложим из точки О
(см. рис. П.5) в направлении нормали N вектор, длина г которого
обратно пропорциональна корню квадратному из абсолютной вели¬
чины напряжения а„, т. е.
* / ч
'-ТШ' (а)
где к — произвольно выбранная постоянная. Координаты конца
этого вектора будут равны
х=1г, у—тг, г—пг, (Ь)
откуда получаем
Iх У 2
/ = 7-, т=у, п — —.
Подставляя эти значения направляющих косинусов в выражение
(П.З) и учитывая соотношение (а), получаем
±к2 = ахх2 + оуу2 + агг2 + 2хуг уг + 2хгх гх + 2хХу ху. (П.4)
Если плоскость ВСО поворачивать вокруг точки О, то конец вектора
г будет все время лежать на поверхности второго порядка, описы¬
570 ПРИЛОЖЕНИЕ
ваемой уравнением (П.4). Эта поверхность полностью определяется
напряженным состоянием в точке О (см. рис. П.5) и не зависит от
выбора осей координат х, у, г. Если изменять направление этих
осей, то поверхность, задаваемая уравнением (П.4), будет оставать¬
ся неизменной, и только составляющие напряжения ах, ау, а2, хуг,
хгх, тху, входящие в уравнение (П.4) в качестве коэффициентов, бу¬
дут изменяться. Из геометрии известно, что для поверхности второ¬
го порядка, описываемой уравнением (П.4), всегда можно выбрать
такие направления осей х, у, г, что коэффициенты при произведениях
координат обратятся в нуль. Это означает, что всегда можно найти
такие три взаимно перпендикулярные плоскости, для которых хуг,
хгх, хху обращаются в нуль, т. е. соответствующие равнодействую¬
щие напряжений перпендикулярны плоскостям, на которые они
действуют. Эти плоскости называются главными плоскостями, а на¬
пряжения, действующие на них,— главными напряжениями. Соот¬
ветствующие оси координат называются главными осями.
Если х, у, г — главные оси, то хуг, хгх, хху равны нулю, и выра¬
жения (П.2) принимают вид
X = 1ах, У = тау, 1 = паг. (П.5)
Мы видим, что, зная главные направления и главные напряжения
ах, ау, аг, можно вычислить составляющие напряжения на любой
наклонной площадке, а равнодействующее напряжение 5 найти из
выражения
8*=Х2 + У2 + 22 = 12а2 + то2 + п2о1 (П.6)
Составляющая <т„ этого напряжения в направлении нормали к пло¬
скости в соответствии с выражением (П.З) имеет вид
°п = 12°х + т2ау + п*ог. (П.7)
Квадрат касательно^ напряжения, действующего на той же пло¬
скости, будет
т» = 54—= 12а% + т2о2у пга\—{12(ух + т2ау + п*ог)2. (П.8)
Основываясь на этом выражении, можно доказать, что максималь¬
ное касательное напряжение действует на плоскости, делящей попо¬
лам угол между наибольшим и наименьшим главными напряжения¬
ми, и равняется полуразности этих двух главных напряжений.
Деформация. Составляющие деформации. При рассмотре¬
нии деформации в упругом теле предполагается, что существуют ог¬
раничения, препятствующие перемещению его как жесткого тела.
Таким образом, какое-либо перемещение частиц тела может происхо¬
дить лишь за счет его деформации. Будем рассматривать только
очень малые деформации, подобные тем, какие имеют место в инже¬
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 571
нерных конструкциях. Малые перемещения частиц при деформиро¬
вании тела разложим на составляющие и, V, ы>, параллельные соот¬
ветствующим осям координат х, у, г. Можно предположить, что эти
малые величины непрерывно изменяются по всему объему тела.
Рассмотрим бесконечно малый элемент йхйуйг вблизи точки О
тела (рис. П.6). Если тело подвергается деформированию, а и, V, па
являются составляющими перемещения в точке О, то перемещение
вдоль оси х в смежной точке А, лежащей на оси х, будет равно
ифх.
Следовательно, увеличение длины элемента ОА, вызванное деформи¬
рованием, равно (ди/дх)йх. Таким образом, относительное удлинение
или деформация в точке О в направлении оси х составляет ди/дх.
Аналогичным способом можно показать, что относительные удлине¬
ния по направлениям осей у иг задаются производными ду!ду и
дьа/дг.
Рассмотрим теперь изменение угла между отрезками ОА и ОВ
(рис. П.7), которые до деформирования тела были взаимно перпен-
572 ПРИЛОЖЕНИЕ
дикулярны. Если и и о — перемещения точки О в направлении осей
х и у, то перемещения точки А в направлении оси у и точки В в на¬
правлении оси х будут соответственно равны о-\-^1дх)йх и и+
+(ди/ду)йу. За счет этих перемещений направление отрезка О'А',
в который при деформировании переходит отрезок О А, составит с
первоначальным направлением отрезка ОА указанный на рисунке
малый угол, равный &о!дх. Таким Же образом можно установить,
что направление О'В’ составляет с направлением ОВ малый угол
ди/ду. Поэтому первоначально прямой угол АОВ между отрезками
О А и ОВ уменьшается на величину, равную д1>/дх+ди/ду. Эта вели¬
чина представляет собой деформацию сдвига между плоскостями х?
и уг. Аналогичным образом можно найти деформации сдвига между
плоскостями ху и хг, а также между плоскостями ух и уг.
Будем обозначать относительное удлинение через е, а деформа¬
цию сдвига — через у. Для того чтобы указать направления, ис¬
пользуем те же самые индексы при этих буквах, что и для составляю¬
щих напряжения. Тогда получим
ди ди - ди>
®*—"5Г’
ди . да _ до . дге ди , дш
У*у ду'дх * дг ду * ^хг Иг ' дх ‘
Эти шесть величин называются составляющими деформации. Если
они известны, то можно вычислить удлинение в любом направлении
и изменение угла между любыми двумя направлениями.
Закон Гука. В дальнейшем обсуждении предполагается, что
конструкционные материалы идеально упруги и однородны; кроме
того, предполагается, что их упругие свойства одинаковы во всех
направлениях, т. е. что материал изотропен. Эксперименты показы¬
вают, что у образца из изотропного материала в форме прямоуголь¬
ного параллелепипеда при действии нормальных напряжений,
равномерно распределенных по граням, прямые углы остаются неиз¬
менными. Допустим, что образец подобного вида с гранями, парал¬
лельными координатным плоскостям, подвергается действию нор¬
мальных напряжений ах, равномерно распределенных по двум
противоположным граням. Эксперименты показывают, что величина
деформации гх пропорциональна приложенному напряжению, т. е.
= (П. 10)
где Е — модуль упругости при растяжении. Это растяжение в на¬
правлении оси х сопровождается сужением в поперечных направле¬
ниях, равным
= е, = — л’ • (П.И)
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 573
Постоянный множитель V называется коэффициентом Пуассона.
Для конструкционной стали его можно считать равным 0,3. Выра¬
жение (П. 10) и (П. 11) можно использовать и для сжимающих напря¬
жений. Продольное сжатие будет сопровождаться расширением в
поперечном направлении, постоянные Е и V сохраняют те же значе¬
ния, что и при растяжении.
Рис. П.8.
Если образец подвергается действию нормальных напряжений
ах, <т„, аг, равномерно распределенных по его граням, то можно про¬
суммировать деформации, вызываемые каждым из этих напряжений,
и получить следующие выражения:
= ~ё" \&х ^ (®1/ ~Ь ®г)] *
8г7К-’(°«+вЛ' (П. 12)
ег = т[аг—г(аЛ + аи)].
Эти зависимости выражают закон Гука для случая изотропного
материала. Таким образом, связь между деформациями и напряже¬
ниями полностью определяется двумя постоянными величинами Е
и V, которые называются упругими постоянными.
Эти же постоянные можно использовать для определения зависи¬
мости между деформацией сдвига и касательным напряжением. Ис¬
следуем частный случай деформирования прямоугольного паралле¬
лепипеда, для которого заданы ау~—аг и ах=0 (рис. П.8). Вырезав
элемент аЬсй плоскостями, параллельными оси х и расположенными
под углом 45° к осям у и г, можно видеть (рис. П.8, Ь), что, просум¬
мировав силы, направленные вдоль грани Ьс и перпендикулярно ей,
получим, что нормальные напряжения на гранях элемента обра¬
574 ПРИЛОЖЕНИЕ
щаются в нуль, а касательные напряжения составляют
В этом случае говорят, что элемент аЬсЛ находится в состоянии чис¬
того сдвига. Угол между гранями аЬ и Ьс изменяется, причем соот¬
ветствующая деформация сдвига у находится из треугольника ОЬс:
(а)
ОЬ 4 2) 1+ег • ' 7
Подставляя сюда выражения (П. 12) для относительных деформаций
ег = —^ = 4" (о у) =
и учитывая, что для малых значений у
1* Л*Е—1Лд1=12
к V 4 2 ) 1+7/2 ’
находим
у = = (П.13)
Таким образом, получено искомое соотношение между деформацией
сдвига и касательным напряжением. Для его записи часто исполь¬
зуется величина
Т7Г <П14>
эта постоянная называется модулем упругости при сдвиге. Тогда
соотношения между составляющими деформации сдвига и состав¬
ляющими касательного напряжения имеют вид
Уху ==7}“1'*у» Ухг~~о~*хг> Ууг= "о"Туг"> (П. 15)
эти составляющие не зависят от относительных удлинений, опреде¬
ляемых формулами (П. 12).
Деформация общего вида получается наложением трех относи¬
тельных удлинений, задаваемых формулами (П. 12), и трех деформа¬
ций сдвига, задаваемых формулами (П. 15).
П.2. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ И ПЛОСКОЕ
ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
Плоское напряженное состояние. Задачи теории упругос¬
ти значительно упрощаются в том случае, когда все напряжения па¬
раллельны одной плоскости, что по существу имеет место во многих
инженерных задачах. Так обстоит дело, например, для тонкой плас¬
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 675
тины постоянной толщины, нагруженной силами, приложенными
по контуру пластины параллельно ее плоскости и распределенными
равномерно по ее толщине (рис. П.9). При этом составляющие на¬
пряжения <тг, тхг> хуг обращаются в нуль на обеих поверхностях
пластины, и без существенной ошибки можно'предположить, что
они обращаются в нуль и по толщине пластины, т. е. что напряже¬
ние распределяется в плоскости и определяется тремя составляющи¬
ми ах, ау, тху, которые можно считать постоянными по толщине
пластины. Толщина пластины в дальнейшем не имеет значения, и в
последующем обсуждении этот размер обычно полагается равным
единице длины.
Плоское деформированное состояние. Аналогичное упро¬
щение, подобное упрощению задачи для тонких пластин, о котором
шла речь в предыдущем пункте, имеет место в другом предельном
случае, когда размер тела в направлении оси г очень велик. Если ци¬
линдрическое или призматическое тело нагружается силами, кото¬
рые перпендикулярны оси г и интенсивность которых не изменяется
по длине тела (вдоль оси г), то предполагается, что часть тела, рас¬
положенная на значительном расстоянии от концов, находится в
плоском деформированном состоянии, т. е. что частицы тела при де¬
формировании движутся в плоскостях, перпендикулярных оси г.
Примером может служить подпорная стена, подвергающаяся дейст¬
вию бокового давления, постоянного вдоль оси г, т. е. по длине сте¬
ны (рис. П. 10). Легко видеть, что в этом случае деформация возни¬
кает в плоскостях, перпендикулярных оси г. Поперечные сечения,
удаленные от концов стены, остаются плоскими, и при исследовании
распределения напряжения достаточно рассмотреть только ту часть
стены, которая расположена между двумя смежными поперечными
сечениями, отстоящими друг от друга на единицу длины. Составляю¬
щие перемещения и и у являются функциями координат х и у и не
зависят от продольной координаты г. В то же время составляющая
576 ПРИЛОЖЕНИЕ
перемещения по обращается в нуль, откуда следует, что
дV , дш л ди , да) л ди) л
Т’я'- дг + ду ’ Чхг— дг + дх ~ ' г~ дг ~ *
Следовательно, остаются только три отличные от нуля составляющие
деформации ех, еу, хху. Если они найдены, то соответствующие со¬
ставляющие напряжения ох, ау, ххУ легко определить по формулам
(П. 12) и (П. 15). Следует заметить, что теперь нормальные напряже¬
ния сг* не обращаются в нуль, как это имело место в тонких пласти¬
нах; более того, подставив ег—0 в третье уравнение (П. 12), получим
о г = * (<**+<* у)- (П. 16)
Таким образом, в этом случае возникают нормальные напряжения,
распределенные по перпендикулярным оси г поперечным сечениям
и оставляющие эти поперечные сечения плоскими при деформиро¬
вании.
Напряжение в точке. Выше было показано, что в случае
плоского напряженного состояния и плоского деформированного
состояния следует рассматривать только три составляющие напря¬
жения ох, Оу и тХу. Если эти составляющие известны в некоторой
точке О пластины, то напряжения, действующие на любой проходя¬
щей через эту точку плоскости, перпендикулярной пластине и обра¬
зующей некоторые углы с осями хну, можно вычислить при помощи
уравнения равновесия бесконечно малой трехгранной призмы, выре¬
занной из пластины тремя перпендикулярными ей плоскостями
(рис. П. 11). Эти уравнения получаются из первых двух уравнений
системы (П.2) подстановкой п—0, что дает
X = ах1 + хху т = ах соз а 4- хху зт а,
V “ Т*у I+аут — Хху соз а оу зт а.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 577
Проектируя составляющие X и У на нормаль N и на перпендикуляр
к ней, получаем
а„ — ах соз* а + ау зт* а -{- 2тлу зт а со$ а,
т = хху (соз* а—зт* а) + (ау—ах) зт а соз а.
(П. 17)
Угол а можно выбрать так, что касательное напряжение т на соот¬
ветствующей плоскости обратится в нуль. Для этого надо только
положить
т™(соз* а—зт* а) + (<т„—ох) зт а соз а = О,
что дает
2т
ху
(П. 18)
Из этого уравнения получаются два главных направления. Если эти
главные направления принять за оси х и у, то в выражениях (П. 17)
величина хху обратится в нуль и тогда
а„ = ах соз* а + СТу зт* а,
т = 1(а,-а*)зт2а.
(П. 19)
Эти нормальные и касательные составляющие напряжения даются
координатами точки О на круге, изображенном на рис. П. 12, а.
При построении этого круга за положительное направление оси т
Ь
ь
а —— и
О
Рис. П. 12.
принято направление вверх, а касательные напряжения считаются
положительными, когда они создают момент в направлении враще¬
ния часовой стрелки, как на сторонах Ьс и ай элемента аЬсй
(рис. П. 12, Ь). Противоположно направленные касательные напря-
578 ПРИЛОЖЕНИЕ
жения, подобные показанным на сторонах аЬ и йс этого элемента,
считаются отрицательными х).
Когда угол а на рис. П. 11 меняется от 0 до я/2, точка О на
рис. П.12, а движется от Л к В, так что нижний полукруг представ¬
ляет изменение напряжения для всех величин а, меняющихся в этих
пределах. Верхний полукруг изображает напряжения для 0>а>
>—л/2. Продолжив радиус СО до точки 01 (рис. П. 12, а), т. е. взяв
угол я+2а вместо 2а, получим напряжения на плоскости, перпенди¬
кулярной плоскости, проходящей через прямую ВС (см. рис. П. 11).
Это показывает, что касательные напряжения на двух взаимно пер¬
пендикулярных плоскостях численно равны. Что касается нормаль¬
ных напряжений, то, как показывает рисунок, их сумма при
изменении угла а остается постоянной. Максимальное значение
касательного напряжения на плоскостях, перпендикулярных пла¬
стине, дается максимальным значением ординаты круга на рис.
П. 12 и составляет
Круг напряжений можно использовать и для определения главных
направлений. Если оси х и у не являются главными, но величины на¬
пряжений ох, ау, ххУ известны, то можно построить две точки, на¬
пример О и О1 на рис. П. 12, и таким образом найти диаметр ООх
круга. Построив соответствующий круг, получим точки Л и В,
дающие величины главных напряжений, и угол 2а, определяющий
направления этих напряжений.
Дифференциальные уравнения равновесия. Ранее было
изучено только напряжение в одной точке тела; обсудим теперь, как
изменятся составляющие напряжения ах, ау, тд.„, если перейти к со¬
седней точке. Для этого рассмотрим уравнения равновесия беско¬
нечно малого прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины
которых равны соответственно йх, йу и единице (рис. П. 13).
Напряжения, действующие на центры граней этого элемента, и
их положительные направления показаны на рисунке. Здесь учиты¬
ваются малые изменения напряжения, соответствующие малым при¬
ращениям координат йх и йу. Для того чтобы вычислить силы, дейст¬
вующие на грани элемента, надо умножить величину напряжения
в центре грани на ее площадь. Следует заметить, что действующие
на элемент объемные силы, которыми пренебрегали ранее при выводе
уравнений (П.2) как малыми высшего порядка, теперь надо прини¬
мать во внимание, так как они имеют тот же порядок, что и члены,
определяемые рассматриваемыми малыми приращениями составляю-
х) Такое соглашение о знаках применяется только при построении круга на¬
пряжений, в прочих случаях используется иное правило (см. рис. П.З).
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
579
щих напряжения. Обозначая через X и V составляющие объемной
силы, приходящейся на единицу объема тела, и суммируя все силы,
действующие на элемент в направлении оси х, получаем
(а* +Ж ах) аУ—°* аУ + (т** + -5—^) Лх-
Второе уравнение равновесия можно записать аналогичным обра¬
зом. Эти два уравнения сводятся к системе следующего вида:
' Х=0,
(П.20)
■К = 0.
до*
дх
до
ду
ду
дх
Уравнения (П.20) представляют собой дифференциальные урав¬
нения равновесия для двумерных задач теории упругости.
В практических приложениях обычно единственной объемной
силой является сила тяжести. Обозначив удельный вес материала
тела через Д и направив ось у вниз, получим для этого случая
уравнения равновесия в следующей форме:
, * * (П.21)
5 + ^ + А = °-
Уравнения совместности деформаций. Двух уравнений
равновесия (П.20) недостаточно для определения трех неизвестных
составляющих напряжения. Необходимое третье уравнение можно
получить только при учете упругих свойств тела. Для двумерных
680 ПРИЛОЖЕНИИ
задач надо рассмотреть только три составляющие деформации, за¬
даваемые выражениями (П.9), а именно
ди до ди . до . .
е*~дх’ ВУ~ду' У*У~ду~т'дх‘ ^
Дифференцируя первое из этих соотношений дважды по у, второе
дважды по х и третье один раз по х и один раз по у, получаем урав¬
нение совместности деформаций:
а»ех д\_ д*УхУ ,П22.
ду* + дх* дхду *
Если имеет место плоское напряженное состояние, то в соответствии
с законом Гука можно записать
Уху ~ ^ ^ху'
Подставляя эти значения в уравнение (П.22), получаем
^(°х-™у)+ъ?(<’у-™х) = 2(1+г)|^. (Ь)
Это уравнение можно упростить, используя дифференциальные урав¬
нения равновесия. Предполагая, что единственной объемной силой
является сила тяжести, продифференцируем первое уравнение сис¬
темы (П.21) по х, второе по у и сложим. Это даст уравнение
д*ох , &°у 0<ЭЧ
ху
дх2 л ду* дхду'
Комбинируя это уравнение с уравнением (Ь), приходим к уравнению
совместности деформаций, записанному через составляющие напря¬
жения:
(5г+|0(сг*+оу>==0-- (П.23)
В общем случае действия объемных сил следует использовать урав¬
нения (П.20), в результате чего получим
(*+$)«..+•»—<«-м(т=+5)- <"*>
Уравнения (П.23) или (П.24) вместе с уравнениями (П.21) или (П.20)
дают необходимую систему трех уравнений для определения трех
составляющих напряжения ах, ау, хху в задаче о плоском напряжен¬
ном состоянии.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 581
В случае плоского деформированного состояния (см. выше) имеет
место формула (П. 16), а закон Гука при этом дает
в* = 4- К1 —V») ах—V (1 + V) ау\,
еу = ^-{(\—чг)оу—У>(1+ч)ох\,
_2(1+у)
Уху — Е т-ху
Подставив эти выражения в уравнение (П.22) и использовав систему
уравнений (П.21), можно сделать вывод, что уравнение (П.23), по¬
лученное для задач о плоском напряженном состоянии, выполняется
и для задач о плоском деформированном состоянии. В общем случае
действия объемных сил воспользуемся системой уравнений (П.20),
откуда найдем
+ = (П,25)
Решение двумерных задан при помощи функции на¬
пряжения. Как было показано в предыдущем пункте, решение
двумерных задач теории упругости сводится к интегрированию сис¬
темы уравнений, образованной дифференциальными уравнениями
равновесия и уравнением совместности деформаций. Ограничиваясь
случаем, когда на тело действует только сила тяжести, получим сле¬
дующие уравнения:
дах . дхху_0 д^у д_0 ы
дх + ду ~ду + дх + Д — ^
Для того чтобы решить эти уравнения, введем новую функцию, так
называемую функцию напряжения. Как легко проверить, система
уравнений (а) будет удовлетворена, если взять некоторую функциюх)
Ф от х и у и положить составляющие напряжения равными следую¬
щим выражениям:
Э2Ф <Э2Ф д*Ф . -п осч
ду2 ’ аУ~ дх* • Х*У~ дхду (П.26)
Подставляя эти выражения в уравнение (Ь), находим, что функция
напряжения Ф должна удовлетворять уравнению
*Ф+2-^-+^-0 (П 27)
дх* +1 дх2 ду2 + ду4 — " '
*) Эта функция должна иметь непрерывные производные до четвертого по¬
рядка включительно.
682 ПРИЛОЖЕНИЕ
Все двумерные задачи, в которых единственной объемной силой яв¬
ляется сила тяжести, можно свести к решению уравнения (П.27).
Существует много различных видов решения этого уравнения.
Каждому из этих видов решения соответствует частный случай не¬
которой двумерной задачи. В каждой конкретной задаче должны
быть заданы форма пластины и распределение внешних сил по ее
границе, и надо подобрать такое решение уравнения (П.27), чтобы
после его подстановки в соотношения (П.26) получились напряже¬
ния, уравновешивающие приложенные на границе внешние силы.
Частные, решения. При решении двумерных задач обычно
вводятся различные частные решения уравнения (П.27). Затем, ис¬
пользуя соотношения (П.26), можно определить те внешние силы,
которые должны быть приложены, чтобы вызвать напряжения, соот¬
ветствующие введенным решениям. Комбинируя такие частные ре¬
шения, можно в конечном счете получить решения задач, имеющих
практическое значение. Для прямоугольных пластин некоторые по¬
лезные решения получаются при выборе функции напряжения в
виде полинома. Возьмем, например, квадратичный трехчлен
Ф=гах*-\-Ьху-\-суа. (а)
Очевидно, что это выражение удовлетворяет уравнению (П.27).
Подставив его в соотношения (П.26) и предположив, что объемные
силы отсутствуют, получим
(ТзС==:2с, оу=2а, хХу— Ь. (Ь)
Если в выражении (а) взять только первый член, т. е. положить
Ь—с—0, то получится постоянное растягивающее напряжение в на¬
правлении оси х. Для того чтобы создать такое напряжение в прямо¬
го
Рис. П. 14.
угольной пластине, надо приложить к ее краям равномерно распре¬
деленные растягивающие силы интенсивностью 2с, как показано на
рис. П. 14, а. Если в выражении (а) взять только один второй член,
то получится чистый сдвиг, показанный на рис. П. 14, Ь.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 583
Подобным же образом можно рассмотреть решение уравнения
(П.27) в виде кубического полинома. Оставив только один член этого
полинома (т. е. положив Ф=ау3), получим в случае отсутствия объ¬
емных сил ах=6ау, оу—хху—0. Для того чтобы вызвать такие
напряжения, надо приложить на краях пластины силы, показанные
на рис. П. 15,— только таким образом на границе тела может осу¬
ществляться равновесие между внешними и внутренними силами.
Можно видеть, что в этом случае выбранное решение соответствует
чистому изгибу пластины в ее плоскости.
ЕГ
X
Рис. П. 16.
Выбирая решение уравнения (П.27) в виде Ф—аху3, из соотно¬
шений (П.26) получаем ах=6аху, тху=—3ау2. Для того чтобы удов¬
летворить граничным условиям, надо приложить внешние силы, по¬
казанные на рис. П. 16; именно, по продольной стороне пластины при¬
ложить сдвигающие силы интенсивностью —3ас2, а по ее краям сдви¬
гающие и нормальные силы, как показано на рисунке.
Практически важный случай получается при сложении сил, по¬
казанных на рис. П. 14, Ь и рис. П. 16. Если взять Ь——3ас2, то на
продольных сторонах пластины сдвигающие силы обратятся в нуль;
на крае лг—0 будут только касательные напряжения
(Хху)х=п = — 6—3 ау2 = За (с2—у2). (с)
При этом на крае х—1 возникнут не только касательные напряжения
той же величины, но и нормальные напряжения
<хж=61у. ((1)
Таким образом, получили случай изгиба консоли силой Р, прило¬
женной на конце (рис. П. 17). Полагая толщину пластины равной
единице, а ширину равной 2с, получаем
С С
Р— ^ тхуйу = $ За (с2—у2) йу=4ас®.
-С - С
(е)
584 ПРИЛОЖЕНИЕ
Рассматривая пластину как консольную балку, находим на ее заде¬
ланном конце (х—1) изгибающий момент Р1 и изгибающие напряже¬
ния величины
Р1у 1 о МУ с/у
<** = —- 12 (2^з-Ь/У,
которая совпадает со значением (<1). Обычное решение в рамках эле¬
ментарной теории совпадает с приведенным здесь строгим решением,
Рис. П. 17.
если нагрузка, приложенная на конце консоли, распределена в со¬
ответствии с уравнением (с). Комбинируя формулы (с) и (е), полу¬
чаем
(т*„Ь=о = -Ц- (с2—у2). (I)
Это распределение касательных напряжений также совпадает с ре¬
зультатом, который получается из элементарной теории балки
прямоугольного поперечного сечения.
При использовании полинома пятой степени можно получить
распределение напряжений в равномерно нагруженной балке, при¬
чем оказывается, что формулы для напряжений и прогибов, приве¬
денные в элементарной теории балки, не совпадают с результатами
точного решения, но это различие мало и на практике им можно
пренебречь. При помощи уравнения (П.27) находятся точные реше¬
ния многих двумерных задач. Эти решения особенно важны при ис¬
следовании распределения напряжения в окрестностях малых от¬
верстий, в пазах и галтелях, где имеет место высокая концентрация
напряжения и где при действии пульсирующих сил обычно начина¬
ют развиваться трещины.
Точная теория показывает также, что для всех пластин с закреп¬
ленными краями распределение напряжения, полученное из реше¬
ния уравнения (П.27), не зависит от упругих констант материалов
и может быть принято для конструкции из любого изотропного мате¬
риала. Этот вывод лежит в основе экспериментального метода иссле¬
дования напряжения — метода фотоупругости.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 585
П.З. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
В ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ
Дифференциальные уравнения равновесия. Выше обсуж¬
далось напряжение в точке, принадлежащей упругому телу. Рас¬
смотрим теперь изменение напряжения при переходе к соседней точ¬
ке. Для этого исследуем условия равновесия малого прямоугольного
параллелепипеда с ребрами йх, йу, йг (рис. П. 18). Поступая так же,
как в случае плоской задачи, и прослеживая малые изменения со¬
ставляющих напряжения, показанные на рисунке, а также сумми¬
руя все силы, действующие на элемент в направлении оси х, получа¬
ем следующее уравнение равновесия:
{0Х'^Ж^Х) Лг—°х ЛУ Аг +
+(т** йхйг~т*у 4x4* +
+ [гхг+^*йг^йхйу—тхгйхйу + Хйхйуйг = 0.
Аналогично можно записать уравнения равновесия в направлении
осей у и г. После упрощения три уравнения равновесия принимают
586 ПРИЛОЖЕНИЕ
ВИД
дах
, ху ,
дххг
дх
1 ду 1
дг
доу
4-^4-
дхуг
ду
1 дх 1
дг
дог
дг
1 1
^ дх ^
дЪ*
ду
+х=о,
+-у = 0,-
+2 = 0.
(П.28)
Система (П.28) представляет собой дифференциальные уравнения
равновесия в напряжениях. Иногда удобнее иметь уравнения равно¬
весия в перемещениях. Для того чтобы их вывести, подставим в урав¬
нения (П.28) выражения составляющих напряжения через составля¬
ющие деформации. Для упрощения записи используем следующие
обозначения:
е = гх 4- е„ 4* ег, (П.29)
^-(1+упЬзЯ- (П-30)
Тогда из зависимостей (П. 12) получим
ах = %е + 20 ^,
-о (5+*).
а первое уравнение системы (П.28) запишется в виде
<».+0>§+с(§+|*+Ц) + Х=.0. (П.31)
Аналогично получаются и два других уравнения системы. Если при
этом отсутствуют объемные силы, то систему уравнений можно
записать более компактно:
(Х + 0)*Г+6ри = 0,
(Х + 0)-^ + Оу*с' = 0, (П.32)
(^ + 0)-|- + Оу2«'=0;
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 587
здесь символом V2 обозначена сумма вторых производных
V ~ дх*^ ду*^ дг* •
Иногда необходимо рассматривать напряжения, вызываемые
в упругом теле изменением температуры. Пусть Т обозначает тем¬
пературу в точке тела, отсчитываемую от некоторой номинальной
постоянной температуры, характеризующей начальное ненапряжен¬
ное состояние тела. Составляющие деформации будут зависеть в этом
случае не только от напряжений, но и от величины изменения тем¬
пературы Т. Тогда вместо соотношений (П. 12) получим
= 4" у (сти+°*)1 + аГ*
гу = 7Г К~у (°*++ аТ>
8г = 4* 1а*~~У + °!/)] +а^>
где а — коэффициент линейного температурного расширения. Раз¬
решив эти соотношения относительно составляющих напряжения
и подставив полученные выражения в систему уравнений (П.28),
получим в случае отсутствия объемных сил следующую систему
уравнений:
(я+О) *.+су*-^ * - о, (п.зз)
Эти уравнения могут быть использованы для исследования темпера¬
турных напряжений.
Условия совместности деформаций. Если при исследова¬
нии задач теории упругости используется система уравнений (П.28),
то необходимо иметь в виду, что шесть составляющих напряжения
являются независимыми, но в то же время подчиняются соотноше¬
ниям, которые следуют из того факта, что шесть составляющих де¬
формации выражаются через три функции и, V, до (см. соотношения
(П.9)). Поступая так же, как и в случае плоской задачи, получаем
588 ПРИЛОЖЕНИЕ
следующие шесть соотношений:
дЧх <*еу_в*Уху
ду2 дх2 дхду *
д2еу . д2гг дгУуг
~дг2+"ду2~дудг ’
, д2ех_д2ухг
дх2 г дг2 ~ дхдг ’
(П.34)
О а»ех а / 3Ууг ■ духг ■ духу\
д# дг дх \ дх ' ду дг ) *
п дЧу д /дууж духг духЛ
дхдг ду \ дх ду дг / *
2 дЧ* —_д(3Уу* I духА
дхду дг \ дх ду дг ) '
Эти зависимости представляют собой уравнения совместности дефор¬
маций, записанные через составляющие деформации.
Подставляя вместо составляющих деформации их выражения
через составляющие напряжения, задаваемые формулами (П. 12)
и (П. 15), и используя уравнения равновесия, можно получить урав¬
нения совместности деформаций, записанные через составляющие
напряжения. В случае отсутствия объемных сил эти условия можно
представить в следующем виде:
^^+V)V^оx + ^ = 0, (1-И)Гту,+^ = 0,
(1 + V) V*, + $ = 0, (1 + V) +Ц = О, (П.35)
(1 + у)Г<тг+-^ = 0, (1+*)утзд+^| = 0,.
где
0=<7зс+о{,+аг. (П.36)
Единственность решения. Если известны силы, действующие
на упругое тело, и необходимо найти напряжения, вызываемые эти¬
ми силами, то используется система уравнений равновесия (П.28).
Шесть составляющих напряжения, входящие в эти уравнения,
должны удовлетворять условиям совместности деформаций и усло¬
виям на границе тела. Последнее означает, что выражения для со¬
ставляющих напряжения должны быть такими, чтобы для элемента
тела у границы приложенные поверхностные силы и напряжения
находились бы в равновесии.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 589
Пусть /, т и п — косинусы углов, которые составляет нормаль к
поверхности тела в рассматриваемой точке с осями х, у, г; тогда не¬
обходимые условия равновесия задаются соотношениями (П.2).
Более детальное исследование показывает, что система уравнений
равновесия (П.28) вместе с условиями совместности деформаций и
граничными условиями полностью определяют напряжения в теле.
Эго означает, что если каким-то образом найдены такие выражения
для составляющих напряжения, которые удовлетворяют в каждой
точке тела уравнениям равновесия и условиям совместности дефор¬
маций, а в каждой точке поверхности тела граничным условиям
(П.2), то эти выражения будут представлять собой единственно воз¬
можное точное решение задачи.
Иногда можно угадать вид выражений для некоторых из шести
составляющих напряжения, и если при этом удается найти осталь¬
ные составляющие в такой форме, что все указанные выше уравне¬
ния будут удовлетворены, то это означает, что выражения, перво¬
начально представляющиеся просто догадкой, являются частью точ¬
ного решения задачи. Метод решения, в котором сначала вводятся
допущения относительно некоторых составляющих напряжения, а
затем остальные составляющие определяются таким образом, чтобы
удовлетворялись все уравнения теории упругости, называется полу-
обратным методом и успешно используется для решения ряда важ¬
ных задач. Ниже мы покажем, как этот метод применяется к задаче
о кручении призматического стержня.
Кручение призматического стержня. Пусть призматиче¬
ский стержень произвольного поперечного сечения закреплен в точ¬
ке О (рис. П. 19) и закручивается, как показано на рисунке. Соглас¬
но элементарной теории кручения кругового стержня, в этом случае
Ох~Оу—ог—тХу—0, (а)
так что только две составляющие напряжения тхг и хуг отличны от
нуля. Теперь предположим, что это имеет место и для призматиче¬
ских стержней произвольного поперечного сечения. Тогда система
уравнений (П.28) при отсутствии объемных сил принимает вид
г*-о, ^+^-г=о. (ь)
Для того чтобы удовлетворить первым двум из этих уравнений, сос¬
тавляющие напряжения должны зависеть только от х и у.
Для того чтобы удовлетворить также и третьему уравнению сис¬
темы (Ь), введем функцию напряжения Чг, зависящую от х и у, и
выберем для составляющих напряжения следующие выражения:
дЧ дЧ
590 ПРИЛОЖЕНИЕ
Таким путем будут удовлетворены все три уравнения равновесия.
Теперь рассмотрим условия совместности деформаций (П.35).
С учетом введенного предположения о составляющих напряжения
эти условия сведутся к следующим двум уравнениям:
Подставляя в эти уравнения выражения (с), получаем
д_ 1'д*У , д2У\ Гк д (д2'У , д2У\ л
дх V дх2 ду* ) * ду\ дх2 ** ду2 )
Это означает, что выражения в скобках должны быть постоянными и
введенная функция напряжения должна удовлетворять уравнению
д2У . д2У
дх2 * ду2 '
с,
(Л)
где С — постоянная.
Рассмотрим теперь граничные условия. Предположим, что стер¬
жень закручивается силами, приложенными на концах. Тогда на его
боковую поверхность не будут действовать внешние силы и состав¬
ляющие X, V, 2 в уравнениях (П.2) обратятся в нуль. Направляю-
2
Рис. П. 19.
щий косинус п в этих уравнениях также обратится в нуль, так как
нормаль к цилиндрической поверхности перпендикулярна оси г.
При этих допущениях первые два уравнения системы (П.2) удовле¬
творяются, а третье принимает вид
(е)
Это уравнение показывает, что равнодействующее касательное на¬
пряжение на контуре поперечного сечения (рис. П.20) направлено *
по касательной к контуру. Из рис. П.20 видно также, что при дви¬
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 591
жении вдоль контура поперечного сечения по часовой стрелке на¬
правляющие косинусы / и т можно записать так:
йх
1Г'
/ ЛУ
йв *
Подставляя эти выражения вместе с выражениями (с) в уравнение
(е), получаем условие на контуре
ау ау . дЧ Лс__^_п
ду йв ' дх йв йв ’
(О
которое означает, что функция напряжения должна быть на контуре
постоянной.
Мы показали, что система уравнений равновесия (П.28), уравне¬
ния совместности деформаций (П.35) и условия на боковой поверх¬
ности удовлетворяются, если взять составляющие напряжения, оп¬
ределяемые соотношениями (а) и (с), и выбрать функцию напряжения
таким образом, чтобы она удовлетворяла уравнению (с1) в каж¬
дой точке поперечного сечения и условию (?) на контуре поперечного
сечения. Для каждой частной задачи кручения следует найти такое
решение уравнения (<1), которое удовлетворяло бы граничному усло¬
вию (I).
В качестве примера рассмотрим кручение стержня эллиптическо¬
го поперечного сечения (рис. П.21). Уравнение контура имеет вид
* | У8 1
в* "г 6* 1
: 0.
(8)
Для функции напряжения возьмем следующее выражение:
_С02&2 Л А,\
* 2(а»+6а) V ^ Ь* ')>
которое удовлетворяет уравнению ((1). Эта функция обращается в
нуль на границе в силу уравнения (§), так что граничное условие (!)
также удовлетворяется. Таким образом, можно сделать вывод, что
выражение (Н) является искомой функцией напряжения для стерж¬
592 ПРИЛОЖЕНИЕ
ней эллиптического поперечного сечения. Постоянная с, входящая
в это выражение, зависит от величины крутящего момента:
Мк = П ^ХХуг~уХхг^йхйу = ~№{х1^+у1&) йхйу'
Интегрируя это выражение по частям и замечая, что на контуре по¬
перечного сечения функция V обращается в нуль, находим
М.-2ОД Чйхйу.
Подставляя вместо функции V выражение (Н), получаем
паРЬ3с
М« — ~2 (а2 + 62) ’
откуда следует
2Мк (а2+6»)
0 ~ па3Ь3
Подставляя это значение в выражение (Н) и используя соотношения
(с), находим
2 Мку 2 Мкх
х*г— паР » ХУ*~И&Ь'
Это распределение напряжений показано на рис. П.21. Максималь¬
ное касательное напряжение имеет место на концах малой оси эл¬
липса.
Существует весьма эффективный экспериментальный метод опре¬
деления касательных напряжений при кручении, предложенный
Л. Прандтлем и основанный на том факте, что уравнение (а) совпада¬
ет с уравнением для прогибов равномерно растянутой и равномерно
нагруженной мембраны (мембранная аналогия Прандтля).
ПРИЛОЖЕНИЕ А
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ
ФИГУР
А.1.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Для того чтобы определить координаты центра тяжести произвольной плоской
фигуры, рассмотрим фигуру площадью Р и систему координат ху (рис. АЛ). На
рисунке также показана элементарная площадь йР с координатами хм у. Полную
площадь можно найти интегрированием:
Р=^ЛР. (А.1)
Координаты х и у центра тяжести С фигуры определяются формулами
_ $*<«’
X =
'
__ 5
У =
(А.2а)
(А.2Ь)
где интегрирование, очевидно, должно проводиться по всей площади Р.
Числители выражений (А.2) называются статическими моментами площади
и обозначаются через 5 (иногда их называют первыми моментами площади).
Таким образом, имеем
5х=\у4Р, (А.3а)
Зу=\х<1Р, (А.ЗЬ)
где 5Х и 5у — статические моменты соответственно относительно осей х и у. Ис¬
пользуя эти обозначения, запишем выражения для координат центра тяжести в
следующем виде:
х=8у/Р, (А.4а)
У = 8Х/Р. (А.4Ь)
В том случае, когда граница фигуры описывается простыми аналитическими
выражениями, интегралы в равенствах (А.1) и (А.З) вычисляются в явном виде,
после чего по формулам (А.4) находятся координаты центра тяжести.
594 ПРИЛОЖЕНИЕ А
Во многих случаях положение центра тяжести можно определить непосред¬
ственно. Например, если фигура имеет две оси симметрии (рис. А.2), то центр тя¬
жести лежит на их пересечении. Если фигура имеет одну ось симметрии (рис. А.З),
У
*/|
* / %
V/ 1
У
/' !'
с. 1 , '
г
Рис. А.1. Плоская фигура с цент¬
ром тяжести в точке С.
то центр тяжести С лежит где-то на этой оси, так что для того, чтобы определить его
положение, нужно найти только одну координату. И наконец, если фигура сим¬
метрична относительно некоторой точки (хотя и не имеет оси симметрии), то эта
точка будет представлять собой центр тяжести (см. рис. А.4).
У У
Рис. А.2.
Рис. А.З.
Рис. А.4.
Таблица с координатами центров тяжести плоских фигур различной формы
будет приведена ниже.
Если граница фигуры не является гладкой кривой, то фигуру разбивают на
малые элементы площадью Д/7 и заменяют интегрирование суммированием:
р=^р,
5*=2 у*р>
5, = 2*Л/>.
(А.5а)
(А.БЬ)
(А. 5с)
Полученные таким образом значения можно подставить в выражения (А.4) и опре¬
делить координаты х и у. Полученные результаты будут очень близки к точным,
если элементы площади ДР не берутся слишком большими.
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 595
Пример• Определить площадь Р, статические моменты 5* и 5^ и координаты
центра тяжести С фигуры, ограниченной отрезком параболы и осями координат
(рис. А. 5). Уравнение параболы имеет вид
у = Мх) = Н(\—х*/Ь2).
Элементарная площадь йР, заштрихованная на рисунке, составляет
йР ~ у йх — Н (1 — х2!Ъ2) йх.
Полная площадь равна
ь
^ н (1 —х*/ь*) ах=1- ьн.
О
Л
Центр тяжести заштрихованной элементарной площадки имеет координаты х и
У
у/2; следовательно, статические моменты составляют
Ь
= Ц (у/2) 4Р = ^ (Л2/2) (1 -х*/Ь*)*ах
о
Ь
5„ = ^хйР = Ц хН (1 — х*/Ь*) Ох = -1 Ь*Н.
О
И наконец, координаты центра тяжести всей фигуры равны
7=Зу1Р = Ув Ь, 7= 8Х/Р= 2/б л.
А.2. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СОСТАВНОЙ
ФИГУРЫ
В инженерной практике часто встречаются сечения, составленные из несколь¬
ких частей, при чем каждая часть имеет простую геометрическую форму, так что
для нее уже известны и площадь, и координаты центра тяжести. Примеры состав*
ных фигур представлены на рис.-А.2, А.З и А.4, где каждая часть фигуры пред-
596 ПРИЛОЖЕНИЕ А
ставляет собой прямоугольник. При определении площадей и координат центров
тяжести таких фигур необходимо только разбить фигуру на соответствующие
части и затем вместо интегрирования воспользоваться суммированием.
Для того чтобы продемонстрировать этот способ, рассмотрим составную фи¬
гуру, изображенную на рис. А.6. Эту фигуру можно разбить на два прямоуголь¬
ника с площадями Рх и Р2 и центрами тяжести Сх и Са, положение которых счи¬
тается уже известным. Обозначив через уг и х2, у2 соответственно координаты
центров тяжести Сх и С2, получим для координат центра тяжести С составной
фигуры следующие выражения:
Обобщая эти выражения, видим, что для характеристики геометрических свойств
составных фигур произвольного вида можно использовать формулы
где Р( —• часть фигуры с координатами Х{ и ух центра тяжести, а суммирование про¬
изводится по всем таким частям составной фигуры. Эти формулы справедливы
независимо от числа частей. В частном случае, когда фигура разбивается только
на две части (рис. А.6), ее центр тяжести С всегда лежит на прямой, соединяю¬
щей центры тяжести Сг и С2.
Пример. Определить ординату]/ центра тяжести С трапеции с основаниями
Ь и а и высотой к (рис. А./).
Разбив трапецию на два треугольника с центрами тяжести Сх и Са, видим, что
ординаты этих центров тяжести равны
Рис. А.6. Центр тяжести составного сечения.
(А.6а)
(А.бЬ)
(А.бс)
2
Кроме того, площади двух треугольников составляют
1 ^ 1
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 597
Тогда из формул (А.6) получим
Р — (Л/2) (Ь + а), Зх = (А2/6) (Ь + 2а)
и, наконец,
у== Л (6 + 2а)/[3 (6 + а)].
Можно заметить, что при а—Ь рассматриваемая фигура превращается в прямо*
угольник, а предыдущее выражение принимает вид у~к!2. При а=0 получается
треугольник и тогда у—к]Ъ.
У
А.З. ОСЕВОЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Осевые моменты инерции плоской фигуры (см. рис. А.1) относительно осей х
и у определяются соответственно выражениями
1х=\уЧГ, (А.7а)
1у=^х*4Г, (А.7Ь)
в которых элементарная площадь йР умножается на квадрат расстояния до соот¬
ветствующей оси, а интегрирование проводится по всей площади Р. Осевые мо¬
менты инерции иногда называются моментами второго порядка.
В некоторых простых случаях осевые моменты инерции можно вычислить
аналитически. Рассмотрим, например, прямоугольник (рис. А.8). При вычислении
момента инерции относительно оси х — оси симметрии, проходящей через центр
тяжести С,— прямоугольник можно разбить на бесконечно малые элементы, по¬
добные заштрихованному на рисунке. Тогда имеем <1Р~Ь<1у и
Л/2
/* = С у2Ьс1у=ЬНУ 12. (А.8)
—Л/2
Таким же образом находим, что момент инерции прямоугольника относительно
оси у составляет К=к№1\2.
Выражение (А.о) можно также использовать для вычисления осевого момента
инерции /х параллелограмма, изображенного на рис. А.9. Параллелограмм полу¬
чается из прямоугольника, показанного пунктирными линиями, смещением парал¬
лельно оси х элементов, подобных заштрихованному на рисунке. Площади этих
элементов и их расстояния до осц, х остаются при таких смещениях неизменными»
698 ПРИЛОЖЕНИЕ А
поэтому момент инерции 1Х параллелограмма будет таким же, как и момент инер¬
ции прямоугольника.
При вычислении момента инерции треугольника относительно его основания
вновь разобьем фигуру на бесконечно малые элементы (рис. АЛО). Площадь одного
элемента составляет
йР = [Ь (Л—|/)/Л] йу9
и, согласно (А.7а),
А
(А.9)
Способ расчета, проиллюстрированный приведенными выше примерами,
теоретически может применяться в самом общем случае. Осевой момент инерции
получается разбиением фигуры на бесконечно узкие полоски, параллельные дан-
У У
<*У
_1
■х
Рис. А.8.
ной оси, с последующим интегрированием. Если интеграл трудно вычислить ана¬
литически, то всегда можно найти приближенное значение момента инерции, раз¬
бив фигуру на конечное число полос и умножив площадь каждой полосы на квад¬
рат ее расстояния до оси, а затем просуммировав полученные произведения.
У
Осевые моменты инерции некоторых плоских фигур сведены в таблицу, поме¬
щенную в конце настоящего приложения.
Вычисление момента инерции относительно некоторой оси часто упрощается,
если фигуру можно разбить на такие части, для которых моменты инерции уже
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 599
известны. Примером служит сечение швеллера (рис. А. 11, а). Момент инерции от¬
носительно оси х, представляющей собой ось симметрии, проходящую через центр
тяжести С, равен разности между моментами инерции двух прямоугольников;
следовательно, имеем
Очевидно, эту формулу можно применять также для 2-образного сечения
(рис. А.11, Ь) и для полого коробчатого сечения (рис. А.И, с).
Согласно определению осевого момента инерции (см. формулы (А.7)), он имеет
размерность длины в четвертой степени. Поэтому при делении осевого момента
У
й
У У
Ь с
Рис. А. 11.
инерции на площадь получается величина размерностью длины в квадрате.
Корень квадратный из этой величины называется радиусом инерции фигуры. Та¬
ким образом, обозначив радиус инерции через г, получим
/*= }П7Р, (А-Юа)
уГТуР, (А.ЮЬ)
где гх и гу — соответственно радиусй инерции относительно осей х и у.
600 ПРИЛОЖЕНИЕ Л
А.4. ПОЛЯРНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной плос¬
кости этой фигуры, называется полярным моментом инерции. Он определяется
выражением
/ = $р ЧР, (АЛ 1)
где каждый элемент площадью йР (см. рис. А.1) умножается на квадрат расстоя¬
ния р до точки О пересечения оси с плоскостью фигуры. В выражении (А. 11) ин¬
тегрирование проводится по всей площади Р фигуры.
Вновь обращаясь к рис. А.1, замечаем, что р^=дса+^2, а отсюда, согласно
(А. 11), имеем
/ = $(**+У8)<Н? = '*+/у (А. 12)
Это выражение показывает, что полярный момент инерции относительно произ¬
вольной точки О равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно пер¬
пендикулярных осей х и у9 проходящих через ту же точку.
У
У
Рассмотрим теперь, как вычисляется полярный момент инерции круга отно¬
сительно его центра (рис. А. 12). Если площадь круга разбить на элементарные
кольца радиуса р и толщины ф» то площадь кольца составит йР= 2лрф, а его
полярный момент инерции относительно центра круга по определению будет равен
2лр**ф. Для того чтобы получить полярный момент инерции всего круга, нужно
только провести интегрирование по всей площади:
4/г
/= 2яр8ф=ш1*/32=лг4/2, (А.13)
о
где й — диаметр круга, а г — его радиус.
Зная полярный момент инерции круга относительно центра, легко найти его
момент инерции относительно диаметра. Поскольку осевые моменты инерции оди¬
наковы для всех диаметров, из (А. 12) получим
1х = !у = //2=тс4*/64 = яг4/4. (А. 14)
Полярный момент инерции четверти круга ОАВ (рис. А.13) составляет чет¬
верть полярного момента инерции всего круга, т. е. яг4/8. Поэтому моменты инер¬
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 601
ции четверти круга относительно осей хи у равны
Далее рассмотрим «круговой треугольник! — фигуру АСВ, выделенную
на рис. А.13 штриховкой. Его момент инерции относительно оси х (или оси у)
получается вычитанием момента инерции четверти круга из момента инерции квад¬
рата О АС В, что дает
1Х = 1у = г4/3—яг4/1б = (г</48) (16—Зл) =0,137г4.
Полярный момент инерции этой фигуры относительно точки О будет равен удвоен¬
ной величине момента инерции 1Х или 1у.
Момент инерции эллипса относительно главной центральной оси х (рис. А. 14)
можно найти путем сравнения эллипса с кругом, изображенном на этом же рисунке
пунктиром. Для того чтобы определить высоту у любого элемента эллипса, на¬
пример заштрихованного на рисунке, нужно уменьшить высоту ух соответствую¬
щего элемента круга, умножив ее на отношение Ыа, где а и Ь — длины полуосей
эллипса. Согласно выражению (А.8), отношение моментов инерции этих двух эле¬
ментов относительно оси х составляет Ь?/а3. Очевидно, то же отношение имеет место
и между осевыми моментами инерции эллипса и круга. Отсюда находим момент
инерции эллипса:
1Х = (ла4/4) (63/а3) = */4 каЬ*. (А. 15а)
Аналогичным образом получаем для оси у
/у = яЬсР. (А.15Ь)
И наконец, полярный момент инерции эллипса относительно его центра тяжести О
равен
3 = /х + /у = хи ™Ь (а2+6а). (А. 16)
А.5. ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ
ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ
Момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости фигуры, связан с
моментом инерции относительно параллельной центральной оси теоремой о парал¬
лельном переносе осей. Для того чтобы сформулировать эту теорему, рассмотрим
сечение, изображенное на рис. А. 15. Предположим, что точка С является центром
тяжести и что оси хс, ус проходят через нее, а оси ж и у параллельны осям хс и
ус и проходят через точку О. Тогда по определению момент инерции фигуры отно¬
сительно оси х будет
/*=$ (у+а1уар= ^ уыг+щ 5 уар+а\ 5 ор.
Первый интеграл, стоящий в правой части этого выражения, равен моменту инер¬
ции 1Хо относительно оси хс% второй интеграл обращается в нуль, поскольку ось
хс проходит через центр тяжести, а третий интеграл представляет собой площадь
фигуры. Следовательно, предыдущее выражение можно переписать в виде
/* = /* +ЛЙ. (А. 17а)
С
Точно так же можно показать, что
1у = 111с+Рй\.
(А. 17Ь)
602 ПРИЛОЖЕНИЕ А
Выражения (АЛ7) являются записью теоремы о параллельном переносе осей
для осевых моментов инерции. Из этих выражений следует, что момент инерции
фигуры относительно произвольной оси, лежащей в ее плоскости, равен моменту
инерции относительно параллельной центральной оси плюс произведение площади
фигуры на квадрат расстояния между осями.
Складывая выражения (АЛ7) для 1Х и 1у и учитывая, что га==*в+Д\
(см. рис. АЛ5), получаем
Iх+— 1Ус~^ ^
или
^0 = ^С + Р^2. (А Л 8)
Это соотношение выражает теорему о параллельном переносе осей для полярных
моментов инерции: полярный момент инерции фигуры относительно произвольной
точки О, лежащей в ее плоскости, равен полярному моменту инерции относительно
центра тяжести С плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния
между центрами О и С,
Рис. А. 15. К теореме о параллельном пе¬
реносе осей.
Используя теорему о параллельном переносе осей, зачастую можно значитель¬
но облегчить вычисление осевых моментов инерции плоских фигур. Например,
момент инерции прямоугольника (рис. А.8) относительно его основания равен
/осн = ЬН3/12 + ЬН (Л/2)2 = ЬН3/3.
Аналогично находится момент инерции круга относительно касательной к его
контуру:
/к = Л<*4/64 + (я^/4) (<й/2)2 = 5л#/64.
Полярный момент инерции круга относительно точки, лежащей на его контуре,
составляет
^ = лс*4/32 + (л<*2/4) (4/2)2 = 3л44/32.
Момент инерции треугольника (рис. АЛО) относительно основания уже был полу¬
чен ранее (см. выражение (А.9)). Таким образом, согласно теореме о параллельном
переносе осей, можно найти центральный момент инерции относительно оси, па¬
раллельной основанию треугольника:
1Х = ЬН*/12 - (ЬН/2) (Л/3)2 = ЬН3/36.
с
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 603
Теорема о параллельном переносе осей особенно полезна при определении
осевых моментов инерции составных фигур, подобных изображенным на рис. А.6
и А.11. Предположим, что для фигуры, изображенной на рис. А. 11, Ь, найден
центр тяжести С и нужно определить центральный осевой момент инерции 1Х.
Всю фигуру можно разбить на три прямоугольника. Затем можно непосредствен¬
но установить положение центра тяжести каждого прямоугольника и, воспользо¬
вавшись формулой (А.8), определить моменты инерции относительно осей, прохо¬
дящих через эти центры тяжести и параллельных оси х. Далее применяется теоре¬
ма о параллельном переносе осей и вычисляются моменты инерции относительно
оси х каждого прямоугольника. Суммирование этих величин дает значение осе¬
вого момента инерции /х всей фигуры.
А.6.
ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
Центробежный момент инерции плоской фигуры относительно осей х и у
(рис. АЛ) определяется как интеграл
I ху ^ ^ ху (А Л 9)
в котором каждый элемент площади йР умножается на произведение его коор¬
динат, а интегрирование проводится по всей площади фигуры.
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны; в то же время вы¬
ражение (А.19) показывает, что центробежный момент инерции может быть поло-
Рис. А. 17.
жительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от положения осей
х и у относительно фигуры. Если фигура расположена в первом квадранте системы
координат, как это имеет место в случае, представленном на рис. А.1, то центро¬
бежный момент инерции положителен, поскольку все элементы площади йР имеют
положительные координаты хи у. Если фигура расположена во втором квадранте,
то центробежный момент инерции будет отрицательным, поскольку у всех элемен¬
тов координаты у положительны, а координаты х отрицательны. Аналогично фи¬
гуры в третьем и четвертом квадрантах будут иметь соответственно положитель¬
ные и отрицательные центробежные моменты инерции. В случае когда фигура
располагается в двух или более квадрантах, знак центробежного момента инерции
будет зависеть от распределения^ площади этой фигуры относительно осей.
Рассмотрим частный случай, когда одна из осей представляет собой ось
симметрии фигуры. Подобный пример приведен на рис. А.16, где осью симметрии
является ось у. Каждому элементу с1Р, имеющему положительную координату х,
здесь соответствует такой же симметрично расположенный элемент с1Р, имеющий
604 ПРИЛОЖЕНИЕ А
ту же самую координату у, но отрицательную координату х. Следовательно, сла¬
гаемые вида хуйР взаимно уничтожаются и интеграл в выражении (А. 19) обраща¬
ется в нуль. Таким образом, делаем вывод, что центробежный момент инерции от¬
носительно произвольных осей, одна из которых является осью симметрии, равен
нулю. Вновь обращаясь к рис. А.11, а и А.11, с, замечаем, что центробежные мо¬
менты инерции изображенных на этих рисунках фигур относительно осей х> у рав¬
ны нулю. Это утверждение, однако, не относится к сечению, представленному на
рис. А.И, Ь.
У
Предположим теперь, что известен центробежный момент инерции 1ХсУо для
центральных осей, подобных осям хс, ус на рис. А. 15. Центробежный момент инер¬
ции относительно параллельных осей х, у можно найти следующим образом:
1*у= 5 (у+Ы*Р = 5 хуар + а^ хйР+Ь 5 уйР+йгйг $
Здесь первый интеграл представляет собой центробежный момент инерции 1ху
относительно центральных осей, второй и третий интегралы обращаются в нуль,
поскольку оси проходят через центр тяжести сечения, а последний интеграл равен
площади фигуры. Поэтому приведенное выше выражение можно переписать в
таком виде:
1Ху=1ХсУс + Рй1<1 а, (А.20)
где йг и й2 — координаты центра тяжести С относительно осей координат х, у.
Равенство (А.20) является записью теоремы о параллельном переносе осей для
центробежных моментов инерции.
В качестве примера использования теоремы о параллельном переносе осей
определим центробежный момент инерции прямоугольника относительно осей,
начало которых совпадает с одним из углов (рис. А. 17). Поскольку известно, что
в силу симметрии центробежный момент инерции относительно центральных осей
*с» Ус равен нулю, центробежный момент инерции относительно осей х, у можно
найти так:
/ху—ЬН (Ь/2) (к/2)=ЬЧЩ. (А.21)
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с основанием Ь и высотой к
(рис. А.18) и выделим в нем малый элемент, заштрихованный на рисунке. Этот
элемент представляет собой узкий прямоугольник высоты йу и ширины (к—у)Ык.
В силу симметрии центробежный момент инерции такого элемента относительно
его собственного центра тяжести равен нулю. Тогда, согласно теореме о параллель¬
ном переносе осей, получим следующее значение центробежного момента инерции
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 605
элемента относительно осей дг и у.
Теперь, интегрируя это выражение, находим центробежный момент инерции всего
треугольника:
У)гУлУ=Ж' (А,22)
Зная центробежный момент инерции относительно осей х, у, легко определить
центробежный момент инерции относительно параллельных центральных осей
(см. рис. А. 18):
хсУс~ *У 24 2 \ 3 / ( 3) — 72 * )
А.7. ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ
Предположим, что осевые и центробежные моменты инерции
1х=\уЧР, Гу=^х*с1Р, 1ху=\хУаР (а)
произвольной плоской фигуры (рис. А. 19) известны и что необходимо найти соот¬
ветствующие величины 1Хх, 1ух и 1ХхУх для повернутых осей х19 у19 показанных на
У
Рис. А. 19. К вычислению моментов инер¬
ции при повороте осей.
рисунке. После поворота осей координаты элемента площади 4Р, имеющего отно¬
сительно исходных осей координаты х и у, будут равны
Х1=ХС03в + у 51П 0, уг = у СОЗ 0—Х81П 0,
где 0 — угол поворота. Тогда осевой момент инерции 1Хх составит
1ХХ “ ^1 йР — ^ (у СОЗ 0 — X 51П 0)2 ЛР =
х2АР-— 2«51П 0 соз 0 ^ ху йР,
= СО320 ^ у2 (1Р-\-&\{12 в С
606 ПРИЛОЖЕНИЕ А
или с учетом выражений (а)
1Хх = /* соз2 0 + 1у 51П2 0—21 Ху з*п ® С08 в* (А.24а)
Используя известные тригонометрические формулы со52 0=1/а(1+со8 20), зт20=
=1/2 (1— соз 20) и 2з1п 0 соз 0=зт 20, представим предыдущее выражение в та¬
ком виде:
соз 20—1ху 81П 20. (А.24Ь)
Аналогичным образом можно найти осевой момент инерции /„,
Iу =!х 51П2 0 + 1у соз2 0 + 21ху 81П 0 соз 0, (А.25а)
или
/*+/« I х—Л/
/*=- Г~? соз 20 + 1ху зш 20. (А.25Ь)
Формулы (А.24) и (А.25) выражают осевые моменты инерции относительно повер¬
нутых осей через осевые и центробежные моменты инерции относительно исходных
осей.
Сложив 1Х и 1у> получим
1х1 + 1У> = [х+1У <А-26)
Это соотношение показывает, что при повороте осей сумма осевых моментов инер¬
ции остается неизменной. Эта сумма, разумеется, равна полярному моменту инер¬
ции фигуры относительно начала координат.
Центробежный момент инерции относительно повернутых осей равен
1ХхУх = ^ — ^ (л;соз 0 + у з1п 0) (у соз 0—* 51П 0) йР,
или
1х у^ = 1Х 51П 0 соз 0—1у зш 0 соз 0 + 1ху (соз2 0—зт2 0). (А.27а)
Используя приведенные выше тригонометрические формулы, получаем
з1п 20 + 1*У 008 29‘ (А.27Ь)
Из этого выражения можно найти центробежный момент инерции для произволь¬
ным образом повернутых осей.
Интересно проследить изменение центробежного момента инерции при изме¬
нении угла 0. Если 0=0, то формула (А.27Ь) переходит в равенство
как и следовало ожидать. При 0=90° получаем 1Хху ==—I ху. Таким образом, при
повороте осей на 90° центробежный момент инерции меняет знак. Поскольку цент¬
робежный момент инерции изменяется непрерывно в зависимости от 0, должны су¬
ществовать определенные направления осей, при которых центробежный момент
инерции обращается в нуль. Эти оси называются главными осями инерции. Если
начало координат совпадает с центром тяжести фигуры, то главные оси будут
называться главными центральными осями.
В предыдущем разделе было показано, что центробежный момент инерции
относительно системы осей, одна из которых является осью симметрии, равен
нулю. Отсюда следует, что если фигура имеет ось симметрии, то эта ось и любая
перпендикулярная к ней ось образуют систему главных осей.
Заметим, что имеет место полное соответствие между соотношениями для
моментов инерции фигуры при повороте осей и соотношениями для плоского на¬
пряженного состояния при повороте осей (см. разд. 2.5). Если в соотношениях
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 607
для плоского напряженного состояния заменить величины <тх, ау> хху> <г0 и т0
соответственно на 1Х, 1у, — 1ху, /*, и 7*^, то эти соотношения в точности сов¬
падут с соотношениями для моментов инерции, приведенных выше. Следователь¬
но, все общие выводы, пол ученные в одном случае, можно распространить и на
другой. Например, для определения моментов инерции относительно повернутых
осей и главных моментов инерции можно использовать круг Мора.
В предыдущем разделе главные оси были определены как оси, для которых
центробежный момент инерции равен нулю. Таким образом, для того чтобы найти
направление этих осей, приравняем нулю величину /Ххух в выражении (А.27Ь)
и решим полученное уравнение относительно угла 0, что дает
Обозначение 0ГЛ используется для того значения угла 0, которое соответствует
главным осям. Из выражения (А.28) получаем два значения угла 20гл, различаю¬
щиеся на угол я/2. Соответственно два значения угла 0ГЛ, отличающиеся на угол
л/2, определяют два взаимно ортогональных направления главных осей.
Можно также найти такие значения угла 0, при которых осевой момент инер¬
ции максимален или минимален. Обращаясь к выражению (А.24), видим, что при
изменении угла 0 величина 1Хх меняется непрерывно. Для того чтобы найти зна¬
чение угла 0, при котором эта величина максимальна или минимальна, прирав¬
няем нулю производную по 0 от правой части выражения (А.24Ь):
Решая это уравнение относительно угла 0, получаем результат, совпадающий с
формулой (А.28). Более того, такое же выражение получится, если воспользовать¬
ся выражением (А.25Ь) и найти максимум или минимум момента инерции /Уг
Следовательно, можно сделать вывод, что главными являются те оси, для которых
осевые моменты инерции имеют максимальное или минимальное значения.
В заключение отметим следующие обстоятельства, связанные с главными
осями: 1) главными осями являются две ортогональные оси, ориентация которых
определяется углом 0ГЛ (см. выражение (А.28)); 2) центробежный момент инерции
относительно главных осей равен нулю; 3) момент инерции относительно одной из
главных осей максимален, относительно другой минимален; 4) ось симметрии
всегда является главной осью.
Для того чтобы получить выражения для главных осевых моментов инерции,
нужно только подставить значение 0ГЛ (А.28) в выражение (А.24Ь). В силу равен¬
ства (А.28)
А.8. ГЛАВНЫЕ ОСИ
(А.28)
(1у—/х)б1П 20 — 21ху соз 20 = 0.
и
подставим эти выражения в (А.24Ь), откуда получим
(А.29)
608 ПРИЛОЖЕНИЕ А
Здесь 1г обозначает больший из двух главных осевых моментов инерции, а /а —
меньший.
Радиусы инерции (см. выражение (А. 10)) относительно главных осей назы¬
ваются главными радиусами инерции. Они, разумеется, представляют собой наи¬
большее и наименьшее значения радиусов инерции.
Сейчас продемонстрируем на примере метод нахождения главных осей и
определения главных осевых моментов инерции.
Пример. Определим направления главных осей и величины главных осевых
моментов инерции для 2-образного сечения (рис. А.20). Начало координат поме¬
щается в центре тяжести С сечения, имеющего следующие размеры: 40 см, Ь~
= 18 см, /=3 см.
Разбивая 2-образное сечение на три прямоугольника и используя теоремы о
параллельном переносе осей, легко подсчитать осевые моменты инерции и центро¬
бежный момент инерции относительно осей х, у, проходящих через центр тяжести:
1Х = 46 870 см4, 1у = 8070 см4, 1ху = —14 985 см4.
Подставляя эти значения в (А.28), находим
20гл = 0,7726, 26гл = 37°40' и 217°40'.
Таким образом, два значения 0ГЛ равны 18°50' и 108°50\ Подставив в выражение
(А.24Ь) первое из этих значений, получим /Х1=51 940 см4, подставив второе, полу¬
чим /Х1=3000 см4. Эти же величины главных осевых моментов инерции можно
найти по формуле (А.29). Таким образом, главные осевые моменты инерции состав¬
ляют
/х = 51 940 см4, /а = 3000 см4.
Наибольший момент инерции 1г имеет место относительно оси, повернутой под
углом 0ГЛ=18°5О', а наименьший — относительно оси, повернутой под углом
Эгл= 108°50'.
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 609
Таблица А. !. Площади, положения центров тяжести и моменты инерции
некоторых плоских фигур
Обозначения: х, у—расстояния до центра тяжести С фигуры; Т7 —пло¬
щадь фигуры; /х, /у—моменты инерции фигуры относительно осей х и у\
1ху—центробежный момент инерции относительно осей х и у; ^ = /x-{-Iу —
полярный момент инерции; Iвв — момент инерции относительно оси В—В.
.<г
-Ь'*
Прямоугольник. (Начало координат лежит
в центре тяжести.)
Р=ьн, х=~, ]7=-|,
/*=
Ь]Р
12
2»
Прямоугольник. (Начало координат лежит в
одном из углов.)
6Л3 _ЬЧI
3-, 1У—з",
. Ь2Ла . ЬН и3 2
> ^ = -з(ЛЧ6а)
3.
•Л?
Треугольник. (Начало координат лежит в цент¬
ре тяжести.)
_ ЬН _ 6 4-с _ Н
Р— 2 . *— з . У— з >
/*=д}Г, /у = дг(*а —6с + сг),
36 ’ '* 36'
Л*
Треугольник. (Начало координат лежит в одной
из вершин.)
/ = §(Аа + 36’-36с+сг)
610 ПРИЛОЖЕНИЕ А
Продолжение
Трапеция. (Начало координат лежит в центре
тяжести.)
_ Н(а+Ь) - к(2а+Ь)
/*=
2 • 3(а+6) ’
Л3(а2-Иа6+&2) . Л3 (За+6)
•вв 12
36(а+6)
6.
(1-2 г
Круг. (Начало координат лежит в центре.)
«? о , яг4 я44
г=яг—» /х_ /у—— ,
яг4 я^4
/ П / —
- 2 —32 »
. 5яг4 5я^4
/М — 4 64
7.
Круговое кольцо. (Начало координат лежит в
центре.) Приближенные формулы, справедливые
при малых значениях толщины (:
тг//3 /
Р = 2пг1=яМ, 1х = 1у=пг31=-~,
/*„=0, / = 2яг»<=^
Полукруг. (Начало координат лежит в центре
тяжести.)
р яг2 - 4г
2 • Зя *
/ 64) г4 ^ Ю98г4 / —
х 72я лу— 8
I ху — ®* I вв ~
9.
<-см
N
!
1
-а-н
Эллипс. (Начало координат лежит в центре.)
под9
р=паЬ, /*=-
/ _яд36
7У 4й"'
/*„=0. У = ^(6»+аа)
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 611
10.
Полусегмент параболы.
_ 2ЬН _ 3Ь _ 2А
Х=Т' у=т
Продолжение
11.
«Параболический треугольник». (Начало коор¬
динат лежит в вершине параболы.)
кх*
0 = /(*) =
ЗЛ
: 10
ЗАДАЧИ
А.1.1. Проверить приведенное в п. 8 табл. А.1 выражение для координаты у
центра тяжести полукруга.
А.1.2. Проверить приведенные в п. 11 табл. А.1 выражения для площади Р
и координат центра тяжести хну «параболического треугольника».
А.2.1. Определить координату ^центра тяжести С сечения швеллера, изоб¬
раженного на рисунке. Принять а=30 см, 6=5 см и с= 10 см.
К задаче А.2.3.
А.2.2. Каково должно быть соотношение между размерами а, Ь и с сечения
швеллера, изображенного на рисунке к предыдущей задаче, для того чтобы центр
тяжести С лежал на прямой ВВ?
А.2.3. Из квадрата с длиной стороны а убирается одна четверть (см. рисунок).
Чему равны координаты центра, тяжести оставшейся части сечения?
20*
612 ПРИЛОЖЕНИЕ А
А.2.4. Уголковой профиль, изображенный на рис. А.6, имеет такие размеры,
что площадь РХ равна 20X2 см, а площадь Р2 составляет 28X2 см. Найти коорди¬
наты И и у центра тяжести С.
А.З.!. Вычислить момент инерции прямоугольника (рис. А.8) относительно
его основания.
А.3.2. Вычислить момент инерции треугольника (рис. АЛО) относительно
оси, проходящей через его вершину и параллельной, оси х.
А.3.3. Вычислить момент инерции квадрата с длиной стороны а относительно
его диагонали.
А.3.4. Вычислить момент инерции трапеции (рис. А.7) относительно оси х.
А.3.5. Вычислить момент инерции прямоугольника со сторонами а и 6 отно¬
сительно его диагонали.
А.З.в. Вычислить радиусы инерции гх и гу для прямоугольника, изображен¬
ного на рис. А.8.
А.4.1. Вычислить полярный момент инерции прямоугольника, изображен¬
ного на рис. А.8, относительно его центра тяжести.
А.4.2. Вычислить полярный момент инерции равнобедренного треугольника
с основанием 6 и высотой к относительно его вершины.
А.4.3. Вычислить полярный момент инерции прямоугольника со сторонами а
и 6 относительно угла.
А.5.1. Вычислить момент инерции трапеции (рис. А.7) относительно оси,
проходящей через ее центр тяжести С и параллельной оси х.
А.5.2. Вычислить полярный момент инерции эллипса (рис. АЛ4) относительно
точки, лежащей на конце большего диаметра.
А.5.3. Вычислить момент инерции коробчатого сечения (рис. А. 11, с) отно¬
сительно его основания, если 6=& и ЬХ~НХ.
А.5.4. Вычислить момент инерции стандартного двутаврового профиля
Ка 36 (см. приложение В) относительно основания.
А.5.5. Вычислить момент инерции стандартного уголкового профиля 100Х
X 100Х 12 (см. приложение В) относительно внутренней стороны одной из полок.
А.6.1. Найти выражение для центробежного момента инерции 1ху четверти
круга (рис. А.13).
А.6.2. Вычислить центробежный момент инерции /ху «кругового треугольни¬
ка», выделенного на рис. А.13 штриховкой.
А.6.3. Найти такое соотношение между радиусом г и длиной основанияЬ
изображенной на рисунке составной фигуры, при котором центробежный момент
инерции 1ху будет равен нулю.
А.6.4. Вычислить центробежный момент инерции /ху для уголкового профи¬
ля, изображенного на рисунке, если 6=10 см и 1~2 см.
А.6.5. Вычислить центробежный момент инерции 1ху относительно осей х —- х
Пу — у стандартного уголкового профиля 160Х 160X 20 (см. приложение В), счи¬
тая профиль составленным из двух прямоугольников.
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 613
А.7.1. Вычислить центробежный момент инерции 1Ххух и осевые моменты
инерции 1Хх и 1ух квадрата, изображенного на рисунке.
А.7.2. Используя соотношения, полученные для поворота осей, вычислить
осевые и центробежный моменты инерции прямоугольника со сторонами а и Ь
(см. рисунок) относительно осей хи уг. (Заметим, что ось хх является диагональю
прямоугольника.)
У, У
К задаче А.7.1.
У
614 ПРИЛОЖЕНИЕ А
А.8.1. Определить направления главных осей, проходящих через точку О,
и вычислить соответствующие главные моменты инерции для прямоугольного
треугольника, изображенного на рис. А. 18, приняв 6= 15 и Л=20 см.
А.8.2. Определить направления главных осей, проходящих через точку 0,
и вычислить соответствующие главные моменты инерции для уголкового профиля
(см. рисунок), приняв я=1б, 6= 10 и *=2 см.
А.8.3. Определить направления главных осей, проходящих через центр тя¬
жести С, и вычислить соответствующие главныё моменты инерции для уголкового
профиля (см. рисунок), приняв а=10, 6= 15 и /=2 см.
А.8.4. Решить предыдущую задачу для случая, когда а=6, 6= 12 и /=1 см.
А.8.5. Определить направления главных центральных осей и вычислить
соответствующие моменты инерции для 2-образного сечения (см. рис. А.20), при¬
няв Л=25, 6=12 и (=2 см.
А.8.6. Решить предыдущую задачу для случая, когда Л=*= 12, 6=8 и 1=1 см.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
СВОЙСТВА ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
НЕКОТОРЫХ СТАНДАРТНЫХ ПРОФИЛЕЙ
Продолжение
616
ПРИЛОЖЕНИЕ В
л
со со
г- г-
О
00
за
$3
8 2^
—•<00
счсч^со
СО СО тг
СЧ Г;
юю
о о
О
оо
о —
«X «—1
^ "■*
*-» •—«
•м* 9*4
1,57
2,11
2,20
3,26
4,39
4,64
6,24
6,35
8,53
10,73
9,04
12,1
15,3
СЧ* СО* о"
. СЧ
23,3
29,2
со
0)00
т*«
8
со сч
СО <Х>
Кб
0)00 О)
888
ОСП 00
ОФО)
оо
о
оо
ОО
©~ 0*0*
0*0*0
-Г о* о*
—1
м
$3
5?
8»
^ © о
ТГ ф СО
ЯЙ8.
юо со
о>оосо
— О)
ТГ ю
оо
о
оо
«—1
—«* —* сч*
сч*сч со
СЧ* СО* т*
юсо*
-
0,95
0,93
&
1,23
1,21
1,39
1,38
1,55
1.53
1.54
Ют* сч
г-
1,95
1,94
1,92
00 СО
сч*сч*
о
1,29
1,62
г
2,8
3,58
4,06
5,21
СОСО ю
101^00
со
00*0*2
СОСО 00
20,8
25,4
о»
Ю т*
Ч
28
со см о
сч^сч сч
со?8 со
833
сосч
1^1^
оо“
о*
0*0
*-4 —•
— — -*
—' ~ -•
«0
00 О
СО
1^<0
N СМ
88
888
2$2
~ сч сч
-о
О *-«'
—Гсч*
см* со
СОтГ Ю
Ю СО 00
г*- оГ*-Г
со СО*
г>.
<М СО
$3
со —«
582
ЮСЧ
00 Т|» о>
оо со с^
ог^со
СЧ Ю Г*-
«оь
58
-Г~Г
-Г-Г
—Г сч
-Гсч*сч
сч* сч* со*
счсосо
СОТ*
<©
38В
8
со со
обт*
о ю
*-* N
88.8
юоо о>
со т* сч
с?5
—Гсч
СЧ*СЧ*
сч* со со
СЧ СО т!**
СЧ* СО* т*
ю
сч
со
ю
Ю
N
N
°0.
сч
ч*
3,5
тГ
4,5
4,5
«А
ю
5,5
со
оо
СО т|*
со
со ^
со4*
со^ю
СОТ** ю
ООт* Ю
т* Ю
м
Ю
СЧ
00
сч
со
&
со
§
§
8
10
00
сч
СО„
10
о^
о
СЧ*
сч*
со
со
V
1Л
1Л
1
СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СТАНДАРТНЫХ ПРОФИЛЕЙ 617
Л
а> тг оо
СО Г*» Г"«
1,88
1,90
1,94
1,99
2,02
о82122
сч* сч* сч* сч" сч*
~2ДЦ.
сч" сч* сч" сч"
2,43
2,47
2,51
2,55
«юо
со -«* о
со ^ ю
51.0
56,7
68,4
80.1
91,9
69,6
83,9
98,3
113
127
сч
С0*СЧ 0> 1^.
о> О •— СО
1/3 С^^О)
<4* СО С> —
СЧ
со
Ю1й^
<м сч сч
1.39
1.39
1,38
1.37
1.37
1,49
1.48
1.48
1,47
1,46
1,59
1.58
1.58
1.57
О) 00 г».
сч
— сч
оо ю сч
счГ о>" —Г
о СЧ Ю ОО о
СЯС01ЛГ"Го
'Ф со --во «о
со о>сч Ч* г-
— —•сч сч сч
оо ю о со
— со г^*о
сч сч сч со
34,0
38,9
43,8
48,6
г
1Л Т»* СО
^ т#* ^
сч*сч сч
СЧ СЧ —ООО
Г— С— (— со сс
СЧ СЧ СЧ сч СЧ*
— О 05 СО
О) 0> 00 00 00
сч сч сч* сч сч
==88
со со со со
О о> 00 со
Ю т»* т** т#*
со со СО СО
о
0><0№
оГ<о"о*
СЧ СО 'Ф
О 1СЧ Ч*
СО ©*аГоо*со*
'Ф Ю Ю СО
со О со со
сч" со ^* V ю
СО Г"- 00 о> о
83,6
90,4
104
116
130
150
168
186
о»
О) О) о>
СО СО 1Л Тр СО
сч* сч* сч* сч" сч*
— о о> оо г-
со со сч^сч сч
сч* сч* сч* сч* сч*
Г- Ю т»*
<*. чф ^
СЧ СЧ сч*сч
00 Г'- СО ю
Гч. г-
сч*счсч сч
00
оо* со
— сч сч
о^юосч^
о> -Г гч. со* 00“
СЧ СО СО т»* ч*
39.5
46.6
53,3
59,8
66,1
N. ОСО
сч* г^* ю* со*
ю ю <о г-
811
901
€**6
Г28
N
о —* сч
О) оо г^-
со т»* 1С
г-- оо о> а> Г'-
00 со со со со
ю со Г-- оо
о со сч
00 00 05 о —
Ю со IV." О) О
6,78
7,36
8,51
9,65
со ^
СО СО О) сч
00 0)0 сч
(О
4,96
6,13
1 7’28
1
со ю сч
СЧ 00 — Т»* г^-
СО* СО* 00* О) О*
7,39
8,78
10,1
11,5
12,8
СО 00
СО СО 00 со
00* О)" о сч*
СО СО О) о
о* сч" со ю
40
2,3
сч
со
со
3,3
г-
00
о>
о>
о
со
’ФЮФ
ю
Ю СО Г- 00
Ю СО Г^- 00 05
ю
Ю* СО N. 00
СО Г'- оо о>
сч
63
70
1Л
о
00
,
-
6,3
7,5
00
о>
Продолжение
618 ПРИЛОЖЕНИЕ в
ю
оо — ю со *-< о> со
СО 00 О) 9> О
88
<8 § 3 <3 8
Й88
СМ СМ СМ СЧ СЧ СМ СО
см со
со со* со* со* со* со*
со* со* со*
214
231
265
333
402
472
542
308
353
516
582
649
782
916
1051
818
911
1097
со
сл оо до <р \о ^ ^
ц) О) О О) О) 9) О)
С> 00
" ^ ^ ^ V
8552
см см
см* см* см* см* см* см*
см* см* сч*
сч
50,7
54.2
60.9
74,1
86.9
99.3
112
72.7
81.8
8Й5Й8Ц
§}=9
—< сч сч
зз&зггг;?
33
&!53:й2?!?
00 00 00 00 ь»
“ “
со со со со ео со со*
ТГ
Т*« Ч* ^ Т*« Т*« Ч*
ю ю ю
о
«Швё?
о> ю
сЗ со
^ Ю Ю СО 00
г^ооо>
О)
О) 00 Ю СО О 00
0^0 ©О^ ООО»
Г- <0 Ю СЧ О 00
00^00 00 00 00
ййсо
СО СО СО СО со* со* см
со* со*
со* со* со* со* со* со*
^ 4*4*
00
й со Й © со 2>
— сч сч сч
176
198
Ш№
466
512
602
— 00 см —• о> <о СО
<ЛЮ
ю оо —* г- сч со
'Ф ю Ю
N
О* О* СМ* 1Л |чГ о* со*
см см
ю г-. о> сч <о аТ
сч сч сч
о ~*ю*
—«сч сч
оо оо^ю е* оо со г-»
счс*
|^осоо>^оо
N. сою
«о '
см* со* ю* о> см* СО* О)*
сч сч сч
1Л N
тт
о> см тг*оосог^
—* см см сч со со
Я&Я
ю
тг
4.6
4.6
■Ч»*
см
см
21
СО
ю ©^
СО (V. 00 О 2 Ю
Г- 00
оо а> о см тг со
0)0см
сч
100
о
125
140
-
о
=
12,5
СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СТАНДАРТНЫХ ПРОФИЛЕЙ 619
ю
й Й §> 5*18 3 5
V V V V т>г ,*г
*оо)
оо оо
Ю Ю Ю Ю Ю Ю СО
5,93
6,02
г22^8-жсчм
со* СО СО Г^Г IV.* |С
*
1 356
1494
1633
1911
2191
2 472
2 756
2128
2 324
сч сч сч ^ цр со о
оо ю сч со ю оо со
— СЧ 00 N. —
со со оо тг ю со оо
4 941
5661
8 286
9 342
10401
11464
13 064
14 674
15753
СО
22—2222
со* со со* со* со* со* со
3,59
3,58
О) 00 Г"- СО со — О)
О) О) О) О) О) О) 00
со* со со со* со со* со*
4,38
4,36
ООСО^СО —0)0)
О) О) О) О) О) оо^оо
п» V V Ч* ч*
с«
<-•'Т N СО 00 СО СО
СОСО СО тг ^ ю ю
500
540
749
805
861
970
1 182
1438
1688
1 159
1306
1942
2158
2 370
2 579
2 887
3 190
3 389
г
Ю^СООЬ.СОО
СЧ СЧ СЧ СЧ — — —
СО СО со со со со со
7,06
7,04
а858.«8.8
8,60
8,58
00 Ю СЧ О) ЧГ О) со
NNN0^1010
О) О) О) О) О) О) О)
о
1 229
1341
1450
1662
1866
2 061
2 248
1933
2 093
00 — СО N. 1Л -*• со
СЧ СО СО со Ю СО
4 470
5 045
7 492
8 337
9160
9961
11 125
12 244
12965
О)
СО»Л СЧО Г- 10
0)0)0)0)00 00 00^
тг т»** т»*" ^ тг тг т»*
5,60
! 5,59
сч — о сч со о
сч сч сч — — о о
со со со со СО СО СО
6,83
6,81
СО СО — 0)10 — О)
со СО со ю
гС гС ^* N ^ Ь.*
оо
774
844
913
1 046
1 175
1 299
1 419
1216
1 317
1823
1961
2 097
2 363
2 871
3 466
4 020
00 —
см со
N. 1Л О СО
— т!* СО N. О — N.
СЧ N. СЧ О ^ —
Ю СО Г"- Г"- 00
N
N0^0100^
а&8‘»8*з$
30,5
33,1
37.0
39,9
42,8
48,7
60.1
74,0
87,6
47,4
53,8
Ю О) — М 10
—" 00* со* со* V V -Г
СО 25 N-00 0)0 —
«О
31.4
34.4
37.4
43.3
49,1
54,8
60.4
38,8
42,2
— охооюсою
Г"- О Ч* СЧ СО т*« —
ТМОЮСОГ^- О) —
60,4
68,6
О — Г"» — о
00* 1^Г г*-.* СО О) со СЧ
00 О) о — со ч*
ю
СО
ю
со
ю*
со
00
<о
2
00
сч
тг
сч
со
—сч
СЧ со ^ СО о ю о
— — — — СЧ СЯ СО
^ СО
СО оо о СЧ Ю 00 о
— — сч см сч счсо
о
1
160
о
00
1
200
220
250
-
со
оо
а
сч
сч
ю
сч
Таблица В.2. Сталь горячекатаная. Балки двутавровые (ГОСТ 8239-72)
620
ПРИЛОЖЕНИЕ в
» (
81
* я
Л
V.
2
и
(О
1,22
00
со
1,55
1,70
*■«<
2,12
т
3
и*
6,49
8,72
11.50
14.50
18,40
о
00
а
«
о
о
°1
о
°1
СО
СО
Ож
«
5
3
ч*
с^Г
Й
5
8
00
2
Я
X
н
о
г-
00
«о
00
ж
I
«0
3
со
со
сч
8*
со*
тГ
сч
СО
00
о>
00
з
X
яг
1
V*
3
СЧ
4,06
4,88
5,73
6,57
7,42
7,51
о.
в
О
А
н
СО
тГ
О
о
8
-
8
00
1А
00
1
со
аГ
ю
X
%
о
193
350
572
со
г-
00
1290
1430
о
<э
г-
сч
тг
а
о
о.
сч
с^Г
а
со*
сч
Ю
СЧ
н
Ю
ю
ю
ю
ОС
сч*
со*
со*
со
со*
со
«о
©^
10
о
*
N
гС
г-
00*
00
стГ
аГ
СЧЛ
со
ю
00
со
3
Л
<о
Г-.
<-*
ьГ
оо"
00
1
2
«о
<0
а!
1Л
00
о>
-*
—
ю
V
V
ю*
ю*
иэ
•О
55
3
со
Г'-
00
§
О
о
со
100
120
140
160
180
2
а |
*в
и
с*
СО
т**
8
8
о
тГ
8
л
X
оГ
со
1Л
2*
оГ
*$.з
о
сч
со
00
18а
с*
Продолжение
СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СТАНДАРТНЫХ ПРОФИЛЕЙ 621
(О
О
сч
со
сч
©
ю
Г'-
со
СО
СС
**
ю
©
°°.
05
ю
о>
05
о
00
со
©
§
со
сч
&
со
3
04
сч
сч
сч
сч
СЧ
сч
сч*
сч"
сч"
сч*
сч*
со*
со*
со*
со
СО*
ю
О
о
сч
©
со
со
©
ю
8
©
ю
©
©
о>
©
©
05
о
о
©
о
©
©
©
©л
©
©
СО
сч
00
см
00
сч
а
т»«
со
8
*
о*
СО
СХ}
ю
со"
00
©
со
сч
ю
сч*
00
о
о
©
©
о
©
©
©
©л
©
©
©л
©
©
©
о
©
■ч*
ю
ю
ю
Г'-
ю
СО
©
сч
00
О»
8
сч
©
со
сч
со
со
г^*
со
со
со*
со
тг
05*
5
со*
1Л
со
со
00*
©
00
со*
ТГ
©
СО
ю
со
ю
сч
Г'-
о
о
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©^
©л
©
<э
©ж
©ж
СО
тг
о
тГ
5
со
со
'.О
к
о
сч
О*
сч
сч
8
СЧ
сч*
О)
сч
о>*
со
со
со*
04
тГ
ю*
3
8
Г-.
О)*
ф
00
05
тг
сч
00
СЧ
1^
со
со
сч
сч
1^
<Л
©
§
8
©
со
8
©
ю
©
Г^
§
©
о
©
°°.
щ.
00
00
О
о>
СП
©
-
сч*
э
со*
тГ*
со*
00
О)
сч
со*
сч
о
о
о
©
©
©
о
©^
©
©ж
©^
©
о
©
©
©
©ж
-
тТ
00
со
о
сч
сч
со
сч
ю
сч
о
00
сч
Г'-
со
со
ьГ
©
тг
сч*
г^
тг
00*
ю
.чг
<5
ю
СО
со*
&
со
сч
05*
8
$
8
сч
©*
©
ю
сч
о
1 840
2 030
1 2 550
2 790
3 460
§
00
со
5010
5 500
©
00
©
1 7 780
9 840
13 380
19 062
27 695
39 727
сч
гг
05
ю
ю
76 806
О»
26,8
28,9
30,6
32,8
34,8
! 37,5
| 40,2
со*
тГ
46,5
49,9
00
СО*
Ю
61,9
72,6
84,7
100,0
©
00
138,0
•
о
©
©
©
©^
»о
10
©^
©
©
©ж
о
©л
©^
©ж
©_
00
тг
тТ
тг
тГ
тГ
т*«
тГ
ю*
ю*
ю*
«О*
СО*
ь.*
Г'-"
г^Г
00*
ю
ю
сэ
©
Ю
10
©
©
©л
©^
©л
©
©
©^
©л
©^
©_
Г"
оГ
о>*
©*
©*
О
о
сч*
сч*
со*
2
ю*
со*
ь-*
00*
©*
сч
<с
8,4
8,6
8,7
8,9
ю
а>*
9,8
00
о>
10,2
10,2
10,7
сч
12,3 1
13,0
сч
тг"
15,2
10,5
°°.
ь.*
сч
сч
тг
СО
СО
©л
©^
ю
ю
©^
ю
со
©
©
©
©
«о
Ю*
ю*
Ю*
ю
ю*
ю*
СО
со*
со*
СО*
ь.*
^*
00
05
©*
•"1
сч*
т
о
о
о
©
120
911
125
125
ю
со
135
145
140
1 145
155
160
170
180
190
со
200
200
220
220
240
240
270
270
©
©
со
©
©
со
330
360
400
450
500
550
©
о
со
8
©
8
©
00
8
©
ТГ
8
©
о>
©
ю
©
сч
©
©
СО
©
©
©
Ю
©
ю
©
СО
сч
СЧ
сч"
сч
а
ю
сч
сч"
о>*
СЧ
СО
я
9?
со
о*
со
сч*
тГ
00*
тГ
Й
со*
со
00*
сч*
05
00
©
-
20
20а
22
22а
24
24а
27а
©
со
03
8
33
36
40
45
50
8
09
Таблица В.З. Сталь горячекатаная. Швеллеры (ГОСТ 8240-72)
622
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Продо*
СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СТАНДАРТНЫХ ПРОФИЛЕЙ 623
*-
со
00
8
8
о>
СО
о
§5
см
5?
9
со
N
ч*
ю
8
ю
-
-
-
см
-ч
см
см
СМ*
см*
см*
см*
см*
СМ*
см*
СМ*
см*
см*
<0
о
о
1
о
00
о
о
о
т*<
О
о
00
1
о
ю
со
о
со
8
10
о
8
8
8
о
3
1
©
СО
—
—
—
см
см
см
см
см*
см*
см*
см*
см*
СМ*
см*
см*
СО*
СО*
ю
11,00
! 13,30
13,80
16,40
17,00
20,00
20,50
24,20
25,10
©
о
8
31,60
37,20
37,30
43,601
51,80!
61,70
73,40
ч*
45,40
57,50
63,30
78,80
86,00
105,00
113,00
о
о
щ
151,00
187,00!
208,00
254,00
262,00
327,00
410,00
513,00
642,00
со
8
©
©
©
©
00
о
§
*
©ж
8
8
о
©^
8
о
©
©
©^
8
о
©
о
ю
<ч«
я
о>
ю
о>
со
со
оо
ю*
05
©*
см
§
ю
00**
с$
см
00
см
8*
СО
3
сч
о
со
СО
СО
см
т*<
05
т*«
т*«
СМ
см
со
о
ю
&
00
*
СО
а
©
8
о
8
О
ю
ю
СО
СО
г*.
со
00*
00*
00
05*
05*
О*
СМ*
со*
ю*
см
00
о
о
©
©
©ж
©л
©ж
©ж
©^
О
©ж
о
©^
©
г
о
N.
СО
о>
СО
о
см
см
со
ю
&
см*
2
см*
см
СМ*
СМ
Ю*
СО
см
8
СО
§
3
8
СО
©
©
©
©
©л
©ж
о
491
545
747
со
00
©
05
о
©
05
©
см
ю
1
©*
см
см
2 900
3180
4160
5810
7 980
§
00
о
15 220
о
со
о
©
8
е
©
©
©
см
е
8
©
со^
©
05
©
сч
8
©
1Л
о
8
о»
ю
ьГ
00
стГ
8
см*
см
со*
см
ю*
см
со*
см
©*
со
СМ*
СО
ю*
со
©
СО*
со*
ю
СО
с
©ж
©ж
ю
ю
Ю
ю
©ж
©ж
©^
©ж
©ж
©
ю
©^
©^
©ж
О
00
со*
со
со*
со*
со*
со*
V
т*«*
Ю*
ю*
со*
<о?
©ж
©^
ю
«о
©ж
©^
ю
Ю
©^
©
ю
1Л
©
©
©ж
©ж
©ж
N
00
00*
00*
00*
а»
05
05
05
©*
©*
©*
©*
СМ
со*
ч*
1Л*
N.
хг
©ж
со
©ж
ю
см
©^
ю
©ж
со
ю
<0
со
00*
00*
о>*
00
05*
05*
05
05
©*
©*
©*
©*
-
-
см*
со*
а>
о
©^
©^
—
СМ
СОж
со
©ж
ю
©ж
ю.
©
ю
V
ю
ю*
ю*
ю*
ю
Ю*
ю*
ю*
ю*
ю*
со*
со*
I4-*
ь.*
00*
ЧГ
г?
62
т*«
со
$
70
74
со
1'*»
©
00
см
00
87
06
05
95
©
©
105
©
ю
СО
140
140
160
160
180
180
200
200
220
220
1
240
240
270
300
©
со
со
360
©
©
см
©
СО
о
со
©
см
©
со-
©
со
©
°°»
©
©^
©
со
©
©^
©
00
©
©
сю
©
ю
©
05
©
со
СМ
со*
'ф
ю
СО*
I4-*
00
2
см
см*
см
СМ
ю*
см
Г-*
см
со
со*
со
5?
-
ч*«
14а
со
16а
00
18а
8
20а
см
см
22а
СМ
24а
27
8
8
8
40
ПРИЛОЖЕНИЕ С
ПРОГИБЫ И УГЛЫ
НАКЛОНОВ БАЛОК
Таблица С.1. Прогибы и углы наклонов консольных балок
т —прогиб в направлении оси у;
=<1и)/(1х—угол наклона линии прогибов;
6& = ад(^) — прогиб на правом конце балки;
06 = ш'(^) — угол наклона на правом ко,те
балки.
Е1 = соп5(ап1
ниш
дх‘
= ШП
дх
ш'=6^7 (3^-а—ЗЬх+х*);
А = а -Ч*
6 8ЕГ 6Е1
2.
"ТГГГ
<а>
^^ >
а’ = 2Й7(6аг~4адс+^)
и»'=^р(3аа—Зах+лс2) (0<*<а);
Ч* ,л„ ^ (а<-
6Е1 ( ^
ПРО! ИВЫ И УГЛЫ НАКЛОНОВ БАЛОК 625
Продолжение
3.
I
ч
ШЛ
[< —д.
в.
7.
Чо
Л
и
а'' = ^у(^ + о—х) (0<х<а);
ш — г^г/ (•'■’ — 4- 6/Лг — 4а3*+а*)
-51),
и/ = (Хз _ з/.х4 _|_ з 1?х-а?)
да2Ь /0, , „.> Я^Ь1.
:Т2Б7(‘и+в)’ 2Е1 *
аа2Ь
при х=а: “'=1217
12Е/ ' 1 ” 2Я/ '
4а3/. +0*), 06=^ а3-а3)
« о
Ь~ЗЕ1' 6 2 Е1
т=-.™(Ъа-х), »'™7(2в—*)
6ЯГ
Ря2 /0 ч ,
т = ш{3х-а), » =
2Я/
Ра2
2Я/
Рд3 , Р«2
при *=а: да = 3^7. ® ~2Ё1 ’
а _Ра2п/ л й
ь —6Ё7* >’ Ь~2ЕГ
МоХ.
;/
с '"О1-' л _ Мр*.
— » и* ~ еь
М«х*
2Е1 ’
М0/.2
' 2Е/
в=шШ (10^-10^2дс+5^г-*:,).
ш =
б„-
<7о*
2МЕ1
4°^* 0. =•
ЗОЕ/ ’ 6 24Е1
(■а-ь—шх+их2—^)-,
•9
626 ПРИЛОЖЕНИЕ О
Продолжение
В'==ТЖЕ7 (2°^3-1<)^+^)»
"'=2Ш^-Фх+^
Л _ПМ! А
*“"12<Ш/ ’ "Ь~8Е/
наклонов свободно опертых балок
од— прогиб в направлении оси у;
ю*—йш/йх—угол наклона линии прогибов;
бс=од (/,/2)—прогиб в центре пролета бачки;
—расстояние от опоры А до точки, которой
соответствует максимальный прогиб;
^тах^^тах—максимальный прогиб;
еа=од'(0)—угол наклона на лёвом конце;
06 = —-од'(1) —угол наклона на правом конце.
1.
ч
1-0-0.1.111
^ А
к'-2417(г'3-61;са+4^:
д * Ъц1Л > л
тах 384Ё/ * Н<,_в*“2417
2.
ц
т=ШШ <9^3-24^* ь16х3)
•л.' . .я /пт 3 70/ и 1 С4..А ( ^ ^ .
А
к-д/2.-^
А
к-//м
— 384/Г/ ' 1*ьх-т'**хл)
т=ШЮ &*—№**+Ш'Х—Ц)
(т<д5<^) *
к’, = зЙ7(24д:8-48/'дс+171г)
. 5дЬ* _ Ц1* л 7Ч1.*.
* 768Е/ ’ ° 128Е/ ’ 6 “384Е/
Таблица С.2. Прогибы и углы
ПРОГИБЫ И УГЛЫ НАКЛОНОВ БАЛОК 62?
Продолжение
я
птт
(<■—а-
к,=-V— (а* _ 4а3/- + 4а* Ь*+2а*х*—4аЬх* +
Льс/
+/.Х8) (0<дс<а),
т’~ШШ («4—
— 12а^3 + 4^) (0<ж<а);
Ш =2®7(-^+4Л+Л-6^+2^)
аг =
<7 а3
24117
да?
(4/,*+а* —12^+6^) (а<*<Л);
Ц-//2-
-//М
Рх
ш ^48Ё7(31*-4*4) (0<*<у)’
ю'=4<у-4х!) (о^<т):
л -а - Р18 й -я -
°с —°тах — 48Е7 * — —Ч
16Е/
а> =
628 ПРИЛОЖЕНИЕ С
Продолжение
в.
1
Г 1
/>
Г
к*
1 в 1
А
4*»
ю ~<Ш7 (3а^~3а2‘~^2) (0<*<я)»
ш' = ~(а1—аъ~х^) (0 <*<а);
а» =^(31*—Зле»—а*) ^а<*<|-^,
к',=йг(/'_2*) (а<х<т):
в Ра(1-а) в _
а~~Ш ’ с“
ПУшах2
Яа
24Е/
(З*,2—4а2)
ЫЕ1
Г*
« =^(2^-3*.* + **).
Мл
•'«5Ц7<и.«-бЬЦ-а**):
л _ЛМ-* й й _ли.
с ~ ШГ а~ЗЕ1 ’ ь &Е! ’
,Л УТ\ * М01*
* =Ч‘ гуи 6тах~?7Ш
Ю ~Ы1Е! (^2 4л;2) (0<л<2 У •
кс/г-^/гн в _0 0 _ли « ли
ос-«. Ва-24Я/' 24Е/
9' т=Ш1 М—-Зв2-212-*2) (0<л:<в),
УИ,
к,' = й7с7 (6а/.—За2—2/.г—З*2) (0<*«а);
А |\А ’ 6Ш
*" «—*М*1 пр» *-о: »
ПРОГИБЫ И УГЛЫ НАКЛОНОВ БАЛОК 629
Продолжение
,0'
”’~35Й-Я,71'-30'-,'’+|5^;
. 5я^* п ЪоУ л Ч«1-3 -
°С~7ШТ а"ШЕ1' ь 45 Е/’
- * » плсео
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
1.2.2.
сг = 1000 кГ/см*, е = 0,000343
1.3.1.
а) 26 900 м; Ь) 13 000 м
1.3.2.
^ = 15,3 см
1.3.3.
Р = 5990 кГ
1.3.4.
0=агс У~2 =54°44'
1.3.5.
Р
1.3.6.
Р = 2Ш<й*/(2еол—у1.*а>*)
1.4.1.
55,0625 см
1.4.2.
4=1,08 см
1.4.3.
Р = 14 т
1.4.4.
а) М=0,00142 см; Ь) Д V=0,356 см»
1.5.1.
р
(удлинение)
1.5.2.
а) 8 = 0,0632 см; Ь) 1,28
1.5.3.
а) 0,1578 см; Ь) 0,1455 см
1.5.4.
Л Г1
°'~2ЕР
1.5.5.
0,000467 см
1.5.6.
ира
Ы=^(\-2ч)
1.5.7.
б=зЯЁР^+т
1.5.8.
Й РЬ 1 6»
Ж (бх-ба) " Ья
1.5.9.
II
о
1.5.10.
0,0726 см
1.5.11.
\тод ) V V
1.5.12.
1.5.13.
1.5.14.
1.6.2.
1.6.3.
1.6.4.
1.6.5.
1.6.6.
1.6.7.
1.6.9.
1.6.10.
1.7.1.
1.7.2.
1.7.3.
1.7.4.
1.7.5.
1.7.6.
1.7.7.
1.7.9.
1.7.10.
1.7.11.
1.7.12.
1.8.1.
1.8.2.
1.8.3.
1.8.4.
1.8.5.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
&Ьг = 0,151см, &ьв = 0,336 см
с182е__Ш2
0=55°39'
Половина
ЬЕ2
х~е1+е2
160 кГ/см2, сжатие
Р= 105,8 т
- Ь Ех—Е2
2 Ех + Е2
^06 = 75 ОкГ/см3, оС4= 1500кГ/сма
Г Р \ РН
Гаа~2&1па' *в~ 2ЕР 51П3а
Г*-НУ~2-1), РеЛ 4(2- ]А1),
а -РН I лГЪ Л а _ РН
&4г—-)* ав~~ЕР
8,5°С, 58,5°С
882 кГ/см2, сжатие
К^ЕРМ/Ь
15,5°С
Р
м (ам ас)
<*аь=460 кГ /см2» °са = 1645 кГ/см2
о= 1430 кГ/см2
Рх = — ЕРаЬТ зт2р/(1 + 2 соз3 р)
Р2 =— 2РХ соз Р
а0^Л , ЕР \
П~~2рЕ \ 2ЕТРГ)
_ (аМ «с)ГЕм^с ^ п_
а' = Е^+2^ ’ а“ = -2а<:
3240 кГ/см2
б6 = 0,343; 0,686; 1,029; 1,715; 2,401см
6ь==в зш е (гГзПГё)
6Г = 0,232 см, 6В = 0,591 см
«П/В+1
В (л + 1)
б ?= 59,3 см
632 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
1.8.6.
1.8.7.
1.8.8.
1.8.9.
1.9.1.
1.9.2.
1.9.3.
1.9.4.
1.9.5.
1.10.1.
1.10.2.
1.10.3.
1.10.4.
1.10.5.
1.10.7.
1.10.8.
1.10.9.
1.10.10.
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.4.
2.1.5.
2.1.7.
2.1.8.
2.1.9.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.6.
2.2.7.
2.2.8.
/>„ = 3,73 атР
Р„ — 2500 кГ
Раъ~7,52 см2, РЬс = 8,7 см2
Р-[ — о^Р, Р п = 4отР /3
т = 50 кГ/см2
4=1,7 см
т=3450 кГ/см2, а~4140кГ/сма
т = 495 кГ/см2
т = 650 кГ/см2
и =2,23 кГ»см, 6/ = 4,46кГ*см
и 2 ЕР
Уг
и==?6ЁР(ЗР2 + ЗРу1Р + Ч*12р2)
\ЬЕРд*
о = {2ЧРЕ1Р)1/2
а = 154 кГ/см2
Л = 52,5 см
Ттах = 915 КГ/СМ2
35 т
<т0 =— 1190 кГ/см2, Тд =—687 кГ/см2
о* = 1000 кГ /см2, 0 = 18°26'
0О = 998 кГ/см2, т0 = 576 кГ/см*
тв=—т9 = 565 кГ/см2, ах= 1200 кГ/см2, ттах=--600 кГ/см2
0 = 60°
0 = 26°33', Р= 1750 кГ
ае = 500кГ/см2, а0 =— 100кГ/см2, тв =— = 520кГ/см2
ав = ае = 200 кГ /см2, т0 = — т'е = 600 кГ/см2
°о =а0, т0 =0, Д!//К=0,000477
ах = 420 кГ/см2, оу=— 140 кГ/см2
ах = 1820 кГ/см2, ст„= — 923 кГ/см2
0,00014 см
ДК=— 0,426 см»
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 633
2.2.9. ег = — 0,00009
2.2.10. V = 2/7
2.2.11. е0 =ех соз2 0 + ву О
2.3.1. ДК/К=0
2.3.2. 7 = 0.00167
2.3.3. е* = — еу=0,00125, 7 = 0,0025
2.4.4. 0 = 45°, Од = 00 = — 300 кГ/см2, тв = — — 600 кГ/см*
2.4.6. а0 = —242 кГ/см3, т0 = —900 кГ/см2
2.4.10. а0 = 245 кГ/см2, тв = —35 кГ/см2
2.5.1. 0ГД=157°30', о1 =379 кГ/см2; 0ГЛ = 67°ЗО', а2=181кГ/м2
2.5.2. 0ГЛ = 97°6', О! = 219 кГ/см2; 0Гл = 7с6', о2 = — 359 кГ/см2
2.5.3. 0К = 52°Г, ов = — 70 кГ/см2, тв = —289 кГ/см2
2.5.4. 0 = 15°, ов = 70 кГ/см2, тв = —121 кГ/см2
2.5.5. а) 0ГЛ=112°ЗО', ог= 135 кГ/см2
Ь) 0К = 67°ЗО\ 00 = 35 кГ/см2, т0 = —99 кГ/см2
2.5.6. а) 0ГЛ=67°ЗО', сг,=340 кГ/см2
Ь) 0К = 22°ЗО\ о0=14О кГ/см2, т0 = ~200 кГ/см2
2.5.7. о* = 0, оу=—500 кГ/см2, т*у= —144 кГ/см2
2.7.1. отах = 1400 кГ/см2, ттах = 700 кГ/см2
2.7.2. /> = 20,8 кГ/см2
2.7.3. ДУ = — 0,0702 см3
2.8.1. е1 = 575 10-в, 0ГЛ = — 22°ЗО'
2.8.2. ъх = - 65- 10-е. огл в _22°30'
2.8.3. 8| = 934-10~в, 0ГЛ = 39°36/
3.1.1. /. = 2,22 м
3.1.2. -^=1^=667
4 2т
3.1.3. 4=10 см
3.1.4. 71 = 410,6 кГ-см
3.1.6. 0 = -^-
жРе
3.1.6. ‘/в^
3.1.7. 4= 14,2 см
3.1.8. Г=»/«/**
3.1.10. ^=1,39
^а
3.1.11. =654 кГ/см3, = —201 кГ/сма, т„,ах — 427 кГ/см*
3.2.1. а) 0,51; Ь) 1,19
3.2.2. а) ф=0,0933 рад; Ь) 4=7,82 см
3.2.3. ё—47,2 см
3.2.4. а/1. = (ДМ*
3.3.1. V — 2,05 кГ-см
634 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
"-$г
8.8.4.
*м-
3.3.6. т=1809 кГ/сма
3.4.1. а) 710 кГ/сма; Ь) 870 кГ/сма
3.4.2. а) 1 = 0,33 см; Ъ) / = 0,345 см
3.4.3. 2
3.4.4. т = 425 кГ/см2, 0 = 0,0089 рад/м
3.4.5. т~(р+т /~Ра/(Р+1)4
3.4.6.
Оп1с&аь\4ь }
Ш. .),т„_9;2г+>;
1!>- г-т[‘-(^г)']
354 Тл—*0 Р3) где Й ——
Тт 3 (1 — р4) ’ где *га
4.2.1. <2 = — 1,2 т, М =3,6 т-м
Стах = 2,8 т, Мт9х =- 5,04 т*м
4.2.2. <?=<7&, Л* = —7а?&а
4.2.3. 0 = 143 кГ, А! = 0,9 т-м
4.2.4. <?=— 1170 кГ, М =—0,135 т м
4.2.5. <? = — 1,88 т, Л* = —4,884 т- м
4.2.6. Р^ = 2,7 т, = 1,62 т*м; Оср^О, р =
4.2.7. (^тах!^^
4.2.8. а//. = 1/4
4.2.9. # = Р$1П0, <? = РСО5 0, М = Рг$!Пб
4 о 1л л 44ш^а 517ш13а
4.2.10. 0 шах Щ~ • тах ГЩ“
4.4.16. я = 0,586/.
4.4.17. Мвол = 36 720 кГ-см; М0Тр = — 31 440 кГ-см
, 3 Р 9Р и 17Р1.
4.4.18. да—л~9 ць—^, Мтах щ~
Л Л \ АЛ РЬ(П + 2)
4.4.19. а) ^тах = ”з^р^- Для четного л;
Мтах= ■ для нечетного л
РМп+1)
8п
4.4.20. х = 7,2 м, Л1тах = 80,28 т*м
5.1.1. 0 = 3360 кГ/см8
5.1.2. о = 3520 кГ/сма
5.1.3. Р = 6080 кГ, 6 = 0,23 см
3,24 т«м
01ВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 635
5.1.4.
5.1.5.
5.1.6.
5.1.7.
5.1.8.
5.1.9.
5.1.10.
5.1.11.
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.2.4.
5.2.5.
5.2.6.
5.2.7.
5.2.8.
5.2.9.
5.2.10.
5.2.11.
5.3.2.
5.3.3.
5.3.4.
5.3.5.
5.3.6.
5.3.7.
5.3.8.
5.5.1.
5.5.2.
5.5.3.
5.5.4.
5.6.1.
5.6.2.
5.6.3.
5.6.4.
5.7.1.
5.7.2.
0тах=*287О кГ/см2, 6 = 2,45 см
х их л* 13М2од. ч 15л4&ад
а) Мтах — ^ ^тах ~ 00 » с) ^тах
к = а (Г.-7У/А, 6=а/.2 (Га-7\)/(8Л)
а = 39 кГ/см2
о = 71 кГ/см2
о=813 кГ/см2 (растяжение)
Р = 15,1 т
^тах = е76 кГ/см2
4 = 22 см
& = 28,4 см
а= / 2 6, ь=а!/з
/ = 0,72 см
Двутавр № 33
а) № = 343 см3, Ь) Двутавр № 27
а) №=73 см3, Ь) Двутавр № 14
Ц?2 _ 2(12 4,
V?! - 4, 4,
б!/6а = (2Р—1^(2—Э)
6 = 0,0114
Р = 0,130
т = 4,5 кГ/см2
Я = 3,65 т
Тщах = 5 кГ/см*
Р = 400 кГ, 0=105 кГ/см2
т=19 кГ/см2, т„рибл=1в кГ/см2
ттах==727 кГ/см2
^тах = 21 КГ/СМ2
510 кГ/см
7 см, 3,5 см
5=14,3 см
<2 = 1420 кГ
О! = 0,5 кГ/см2, о2 = —12 кГ/см2, 0ГЛ = 78°12' для Од
О! =75 кГ/см2, а2 = —0,4 кГ/см2, 0ГЛ = 4°14/ для аг
a) 0! = 13,5 кГ/см2, оя = — 13,5 кГ/см2, 0ГЛ = 45° для оа
b) 0! = 2,1 кГ/см2, о2 = —48 кГ/см2, 0ГЛ=12° для оа
c) О!=0, о2 ~ — 91 кГ/см2, 0ГЛ = О° для о2
a) ох = 454 кГ/см2, о2 —0, 0ГЛ=О° для ах
b) 0| = 393 кГ/см2, о2 « 0, 0ГЧ = — 1°9' для ох
c) стх = 70 кГ/см2, о2 = — 70 кГ/см2, 0ГЛ — 45° для ох
64Р/- ^
ат«=2ай--—5- при х= —
27л42 4
^<1,5
536 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
5.7.3.
5.7.4.
5.7.5.
5.7.6.
5.7.7.
5.8.1.
5.8.2.
5.8.3.
5.8.4.
5.8.5.
5.8.6.
5.9.1.
5.9.2.
5.9.3.
5.9.4.
5.9.5.
5.9.6.
5.9.7.
5.10.1.
5.10.2.
5.10.3.
5.10.4.
5.10.5.
5.10.6.
5.10.7.
5.10.8.
5.10.9.
5.10.10.
5.10.11.
5.10.14.
5.10.15.
5.10.16.
6.2.2.
6.2.3.
8Р/, I
^тах— ПРИ 2
a) отах = 100 кГ/см3 при х=21 см
b) Ттах = ^ КГ/СМ8, ^т1п ^ 1 кГ/см8
с 6 Рх
ч^о-зг <
од = —65 кГ/см8, ос = 866 кГ/см8
М = 1,45 т*м
М = 8,79 т*м
М = 2,34 т-м
/=1,6 см
№=0,0495 см8
ах= — 2 кГ/см8, Ттах —303 кГ/см8
о, = 914 кГ/см8, ттах=660 кГ/см8
сгж = 156 кГ/см8, 02 = -- 0,2 кГ/см8
(Уд = 981 кГ/см8, Оп=~ 42 кГ/см8, ^т*х=430 кТ*/см8
та=-24 кГ/см8, ть = 8,4 кГ/см8, тс = 8,4 кГ/см8
с?!=644 кГ/см8, о*=—355 кГ/см8
М = ?/?8(1 + СОЗ 0), <?=?/? (Л—0), Г = ?/?8 (Я- 0— 51П 0)
8 Р 4 Р
аС~ а2
9,1 1Р 6.36Р
аР— » ас Ла
4? -{ 4*
сх =
4Л4*
293 кГ/см8, —302 кГ/см8
Р=3,83 т
Л8
12(1,—*)
а) 276 кГ/см8, —277 кГ/см8; Ь) 4=12,1 см
4=6,4 см
I ■ 41еа
8_ 2 ^ 8
2480 кГ/сма
222 кГ/см8, —285 кГ/см8
Равнобедренный треугольник со стороной длины г/А Ь и с центром,
совпадающим с центром сечения
Квадрат с длиной диагонали 2/3 Ь% повернутый на 45° относительно
квадрата, образующего само сечение
Ромб с диагоналями 26,6 и 2,4 см
6 = 0,73 см
/1=10,2 см
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 637
6.2.4.
6.2.5.
6.2.6.
6.3.1.
6.3.2.
6.3.6.
6.3.7.
6.4.7.
6.5.1.
6.5.2.
6.5.3.
6.5.4.
6.5.5.
6.5.6.
6.5.7.
6.5.8.
6.5.9.
6.5.10.
6.5.11.
6.5.12.
6.5.13.
6.5.14.
6.5.15.
6.6.1.
6.6.2.
6.6.3.
А2/*1 -2
0=5*77
1,0098
е=</зР
6//.= 1/300
с __М1 л 41?А«
192Б/ * ь~ 384Е/
у=—Рх*/ЗЕ1
а Ра (А—а) (А—2а) , Ра*(*--2а)*
0в= бШ 1 —6Ш—• 6*“°
97./А* 85./А»
0_ 768Я/ * 192Е1
«а =
<7А(А»-2а*)
24 Я/
л _2Р^»
9Е/
. 19РА»
°~384Е/
а) м<>=—; Ь> *=шп
а/А = 2/3
«,/6 !=П*
л 39РА»
°щ»х- ,024Е/
° 1280Е/
°т»х 10Е/
6в=Ш7 (вверх)* (вниз>
й Р/-3
24Е/
Р ЗА*
р — 16а (а+А)
. 5РА*
НЕТ
* РсЬ* , РсЧс+36)
Г- 2Е/ * °* Ш
•-этет*181’-32^ »<'<Т
« 5РА2
16Е/
638
6.6.4.
6.6.5.
6.6.6.
6.6.7.
6.7.1.
6.7.2.
6.7.3.
6.7.4.
6.7.5.
6.7.6.
6.7.7.
6.7.8.
6.8.1.
6.8.2.
6.8.3.
6.8.4.
6*6)5*
6.8.6.
6.8.7.
6.8.8.
6:9.1.
6.0.2.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
е
а~ 128Е/
« 11Р1*3
64Е6А®
. 6.54Я**
*”~ЁмГ
. 1,39 Р1?
6 — 0,01331 ^
Р1?
6 = 0,02344-^-
р/9
в=0,0137
Р1?
«=0,352^-
6 = 0,1328-~у-
=0,0368^
ИЛ
Е1
Р1?
а
ЬНЬотвх
6С=0,0122^-
«6=0,548^-
6 Е
и 96Е/
л*Е16г
и=~ш~
</=™1
У 48Е/
1/,Д/,= 1/8
У = 170 кГ-см
/,18ГАЕ'\1/*
Отах - У
Двутавр № Ю
* ГДе Равновссие устойчиво при р < 1
№
где У—щуц* равновесие устойчиво при у < 1
б.9.3.
6.10.1.
в.10.2.
в. 10.3.
7.2.2.
7.2.5.
7.2.6.
7.2.7.
7.2.8.
7.2.0.
7.3.3.
7.3.4.
7.3.5.
7.3.6.
7.3.7.
7.3.8.
7.3.0.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 639
Г. № . . 12 Л .. я!Л
Прогиб в центре составляет ф,, где Фа=р2т( — Т) ’
балка устойчива при < 1
... «(Г.-ГОх^-ж)
2А
« а(7’1-7’2) **
0 2А * 0 А
аГ,Р
Ютах
9 УТ А
вщах = М0542^ при х=0,5785/.
дхЦЬ-х)*
24 Е/
ЗМ0 А10 М0х*(1.— х)
-Ж' Мв=—• ш=—тг—
п 2^0^ г> ^0^ дл <7<^2
5~" * **“"7(Г* Л —”15™
к.=я.-2^.
,,’-'жет(281’-"№+16,,’>’ °<“=т
г> _ _ м _Яо^2 м _ Яр!*2
20 * Л~ 20 * ь~~ 30
п _ г> 7<70/.2
а~"“40“** 40 ’ а~”Ш“
р ор р
Лв==“Ш: 01/'~24а)» **Я8Щ’ (71 + «в), ма = ±- (31-8а)
п п _ 33^ р _ 13</1,
Л *Т * *с—Гб~
Г = :
З?/?/,4
" 8П* + 24Л/
/? =
5 Р/2
2(/1 + /2)
р «3!^ уи -М1
Ав 4в » *& — 48 , /иа— 48
Я*-Лв~^
640 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
7.3.11.
7.3.12.
7.3.13.
7.3.14.
7.3.15.
7.4.4.
7.4.6.
7.4.7.
7.5.1.
7.5.2.
7.5.3.
7.5.4.
7.6.3.
7.6.4.
7.6.5.
7.6.6.
7.6.7.
7.6.8.
7.6.9.
7.6.10.
7.7.1.
13?/,
а 30
7ци
д=
13^
20
—.Зк
10 ’
Ка-
60
72 Е/
На=Я1, Ус = -Уа = ^, Ма=Ц-
и 4Е/в .. 2ЕЮ . _ _ 6Е1%
Е * ь ^ ~~[г
АА 6 Е/Л _ _ 12 Е1А
Ма = МЬ=:—^у~ , #в = — /?6 =
2 Р
Ма= з
Р/-
/?
«а- з ,
* = -^
384Е/
я«=#*=р. ма=мь=~(кр$
7.4.8. АГл = Л16 =
5Р/.
48
/?ь = 0,386^
Л1л = 0,0540^2
Л*в==М* = Р1/8
Д* = 1,99^1
М =
?12 , 317А
8
Ма=:Ма=:-
/,2
ЗР/,
20 *
23Р
20
м _ Я12 ля <?1*2
а“ 15 * 8~"60
д| д| д| /? — Р _>1М.
/иа —/и4— » А1 — /с# 2§~
р п » 8^/, п \ЗдЬ,
М<2 в —■ у » ''З ——1
/И1=«—1,5 т*м, Мя=— 2,2 т-м, М8=— 3,66 т-м
3?12
М2 = М7=-
28
284 *
М3=А*в = ур. М4 = Л*в =
15?/Л
284
М! = —34,8 т м, ЛГЯ = —17,4 т-м, Мв = 3,95т-м
л*в=ы=-/?*/.=^§1Е^1й
тл.г. /?ь=— 2/г „ - —2#с=^ ~Т
7.7.3.
7.8.1.
7.8.2.
8.1.2.
8.1.3.
8.1.4.
8.1.5.
8.1.6.
8.1.7.
8.1.8.
8.2.1.
8.2.2.
8.2.3.
8.2.4.
8.2.5.
8.2.6.
8.2.7.
8.4.1.
8.4.3.
8.4.4.
8.4.5.
8.5.1.
8.5.3.
8.5.4.
8.5.5.
8.5.6.
ответы К ЗАДАЧАМ
0_48Е//?ЯаГ
Л,3+ 48///
17</2!7
40 320Е2П
п*ЕР&
Р = 75°58', отах = 113 кГ/сма
а . РР РР
Эллипс С полуосями ДЛИНОЙ И
Стах = 80 кГ/см2
<*тах = 55 кГ/см2
атах = 1534 кГ/см2, 6= 1,96 см
отах = 46 кГ/см2, 6В = 0,3 см
отах = 73 кГ/см2, 6В = 1,56 см, 6Г = —0,081 см
М.-Ф
ор = 760 кГ/см2, ос=421 кГ/см!
24М
оа~—оь = » а<с = Ф нейтральная ось—прямая СЭ
<*тах = 770 кГ/см2
оЛ = 1582 кГ/см2
Л^тах==°»9179 т м
<*тах = 343 кГ/см2 в точке В
а) Ттах =12 кГ/см2 (вверх); Ь) т* = 1 кГ/см2 (влево)
__ 3 Р
Тт“~тй7
Зй?Р
2 (<$ + <2б!)
Т —Е-
Ттах~ЩГ
Т! = 184 кГ/см2, т2 =321 кГ/см2, =580 кГ/см2, е=5,77
2г (зш р—р соз Р)
р —зшрсозр
3 ( 6а—Ьх)
Л+6(/>х+&а)
^4г2 + 26а+2я6г
* 46 +яг
збЧлГ+л!)
в =
Ла + 6Ь (Л?+Ла)
21 Механика материалов
642 ОТВЕТЫ к ЗАДАЧАМ
8.5.7.
8.5.8.
8.5.9.
8.5.10.
8.5.11.
9.3.1.
9.3.2.
9.3^3.
9.3.4.
9.3.5.
9.3.6.
9.3.7.
9.3.8.
9.3.9.
9.3.10.
9.3.11.
9.4.1.
9.5.1*
9.5.2.
9.5.3.
9.5.4.
9.5.5.
9.5.6.
9.5.7.
Ь (2 Н+ 3 Ь)
е~ 2Л + 66
Ь(2НЛ-Щ
е~ 8Л+66
6 (3&А2+6аЛа—8ая)
е~П3 + 6ЬП- + 6аЛ2 + 8а» — 12а2А
6 (ЗЬНг + 6а А2—8а3)
6 ~ к* 1- 66А2 + 6аЛ2 + 8а3 + 12а2Л
ар = 619 кГ/см2, ас = —796 кГ/см2
Мп=79,9 т-м
/11==7,5 см, М„ = 18,9 т-м
2 = 420 см3
Мп — 11,26 т-м
/=-
' 3:
/ = 2
Ь) / = 4*1.27
/=1,14
Н!*1’70
е-Л ]/ 4 2Л^
а) Л*= 19,02 т-м; Ь) х = 7М0-» 1/см
4-М(?)-+(?)в
/.„=1 УТ^ТТ/
а)Рп = ^2; Ь)Р„=Мг
^„ = 129 кГ/см
а) ЗГ=г(1~т)1/': ь)6=0>54/'
а) Ь) 6=0,591
а) Р„=8-^;
Ь)
Р п Мп
Рт Мх
Ь)
<7п 4МП
<7т ЗМТ
» _4М„
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
9.5.8. а) Для р>-1 Р„ =для Р<| Р" = (Г^1
Ь) Р = У«
9.7.1. М =2,85 т-м
9.7.2. а)/>! = 20 см, = 10 см;
b) 01 = 59 кГ/см®, о2=— 119 кГ/см*
c) к = 0,42-10-4 1/см
9.7.3. Л1тах = 22 т-м
9.8.1. Ь) 72<гт; с) — от; (1) М„, М,/Л1Х=1.5
10.1.2. 6=е($ес А1, — 1), Мтах‘—Резес кЬ
10.1.3. <гтах=1091 кГ/сма
10.1.4. 0щах=857 кГ/см2
10.1.5. 6 = 0,165 см, <хр = 759 кГ/см2; ос = 247 кГ/см*
10.1.6. РТ = 7,65 т
10.1.7. Рт = 2,85 т
10.2.4. Ркр=196т
10.2.5. Ркр=17,85т
10.2.6. Ркр=65,5 т
10.2.7. ДГ=я*//(аР^а)
10.2.8. Двутавр № 50
10.2.9. Уголковый профиль 100x100x16
10.2.10. /=0,355 см
9.8.2. а) Л1 = Мх(1+р); Ь) 0<р<^2-1
644 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
10.2.11. <?=Зл2Е//(4#2)
10.2.12. Ркр = 36,1Е///,2
10.2.13. 0 = агс*8(с*2аР)
10.3.1. /, = 0,72 м
10.3.2. акр = 480 кГ/см2
10.3.3. 1=1,76 м
10.3.4. акр= 144 кГ/см2
10.3.5. а) 666 кГ/см2; Ь) 375 кГ/см2; с) 240 кГ/см2
10.3.6. акр == 185 кГ/см2, Р = 3,44 т
10.3.7. 1 = 2,31 м
10.4.1. В формуле (10.12) заменить 1/2 на /,
10.4.2. а) атах = 436 кГ/см2; Ь) п = 6,42
10.4.3. Р = 4,66 т
10.4.4. Р = 45,31 т
10.4.5. Р= 15,89 т
10.4.6. Р2= 1,05 т
10.5.2. В соотношении (10.17) заменить а/1 на аУ37/,
10.5.3. а) атах= 1388 кГ/см2; Ь) /1=2,017
10.5.4. Р= 15,74 т
10.5.5. Р = 5,25 т
10.6.1. Р = 9,92 т
10.6.2* Р = 22,36 т, 5,59 т, 2,48 т
10.6.3. 1 = 3,52 м
2 РЬ 1/з"Р
11.3.1. бв=-^г- вниз, 6Г=0, 0аь==—-ргр— по часовой стрелке
11.3.2. 6в=а/,(ДГ) вниз, вправо, 0а*=^— по часовой
стрелке
11.3.3. 6В=0,0222 см вниз, 6Г = 0,0127 см вправо
11.3.4. 0,72 см
РЬ
11.3.5. 6В=6,22«|~ вниз
11.3.6. 1,85 -р-
11.3.7. а) 6В=0,256 см вниз; Ь) вг = 0,0818 см вправо*
с) 0*с = 43,2- 10*в рад. против часовой стрелки
11.3.8. 0,0261 см
11.3.12.
11.3.13.
11.3.14.
11.3.18.
11.3.19.
11.3.20.
11.3.21.
11.3.22.
11.3.23.
11.3.24.
11.3.25.
11.3.26.
11.3.27.
11.3.28.
11.3.29.
11.3.30.
11.3.31.
11.3.32.
11.6.1.
11.6.2*
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 645
А РЬ*(Ь+Ь) а _РЪ(2Ь+Щ
°с~~ 9ЕТ ’ с~~ 6 Е!
с РЫ2 0==Р^
16Е/’ 6 Е1
А а (Т2—Т1) (1 + 26)
0 = ————1—- против часовой стрелки
. 2 РР
ТЕ7
. рни> . рь* .
ог = аиу влево, 8=:--. по часовой стрелке
8Е/2 16 Е1г г
2РГН» , РГЬН* п РГЯ» , РГЯЕ
ЗЕЛ т Е/„ * 2Е/, ^ 2Е1%
ЗЗРЬ»
2Е1
2Р1? $1п* Р , 2РЬ соз2 Р
ЗЕ/ ЕР
, аН*(Т2—Тх) . аЦЬ + 2Н)(Т*—Тх)
6Г= 52Й влево* 6в=— 2Н «верх,
„ а(Н + Ь) (Га-Г,)
0=—1 — против часовой стрелки
в РЬ* (п) (4п*+3п+1)
0— , 6Е/
д _яИ?» й_РРа
•“ИГ* В”ТГ
* _ЗяРД»
°в 2ЁГ
(4А®+6я1.*Я + 241,*» + Зл«»)
» _ 2Е/в
Мтах-щр
* лРЯ3 , (Зя—8) РР3
в~ 4Е/ + 40У
яРЙ* . (я-4) РРа
6 = 5,32 см, <р=0,02153 рад
5РР , ЗР/.»
Д='
„ 3РЬ „ 17Р
”25”’ 2=ТГ
V _ 5яЬ* V _ 33ЯЬ*
1~ 608 ’ *“ 152
646 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
11.6.3. Хг=2Хх ^
11.6.4. Ы1 = Ы1 = Ы3 = 0,396 Р, ЛГ4 =-0,604 Р, #,=0,854 Р,
Ы,=-0,561 Р
11.6.5. #аб=— 8,94 т
11.6.6. *!=— 0,521 Р, Х8=—0,376 Р
11.6.7. ^ = 228 кГ, Ха = 47 кГ
*.-к.-а%Ейя%ъп.
11.6.10. Яв=4-. V.—у* Ма = ~Ж
11.6.11. На^-~, Ма=~
11...12.
11.6.13. //«< = —3,16 т, У<<=2,52 т, ^ = 7,61 т»м
и 7. п_^3 м -Ър1
11.7.1. ° — \2Е1’ ь~ 18
117 2 О ЗР/.а _ ЗР/.2 13Р РЬ
11.7.2. и1—\ьЕ!> °2— 2йЕГ Ка (Г’ Ма~~2
117 3 п - п ... 5РР „ _ЬРЬ 7РЬ
II. .3. 36Е/ ’ а— 36Е/ ’ а—72*’ е~ тТ
117 4 О РЬгИ 3 РЬ2
32 ЕЦЬ+Н)' К'~Ш(Ь + Н)>
о р (%Ь +11 Я) и РЦ2Ь+ЗН)
*2~ 16(Ь + Н) • М1 16(Ь+Н)
117 5 Р Р -23/> м 59И<
11.7.5. Яа—60 , Яь— 120 • ^—60" * в=="360~
„7В о _39/> Р1-,049/> р 427Р „ 31Р1,
11.7.6. Ка ^ , /?ь_ 576 , #с__, Д|в=___
117 7 у —^ у 31Р м и 27Р „ ЗР
11.7.7. "«—443. кв—56 > ~> Я<<=—224". — ,
м 391
Мл=-П2
11.7.». *,=^. Я, —
П..Л. •) и-%?(1Ь)«.^ТТ1^?
^«* = л,^=|+2с08?р. ^ь<(=1 + 2 «>5*р
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
11.11.1.
11.11.2.
11.11.3.
11.11.4.
11.11.6.
11.11.7.
11.12.3.
11.12.5.
А.2.1.
А.2.2.
А.2.3.
А.2.4.
А.3.2.
А.3.3.
А.3.5.
А.3.6.
А.4.2.
А.5.2.
А.5.3.
А.5.4.
А.5.5.
А.6.1.
А.6.2.
А.6.3.
А.6.4.
А.6.5.
А.7.1.
^ 64 Е1* * 48 Е1
^ * № и\ я 9б8^4
а) б“ пъЕ1 ’ Ь) 243л6Е/
2 л4Е/
Ч * М * №
а) 6“ 96Е1 ’ * 6 “90Е!
чо 12Е!. мо 168/57
а) Ркр— ^2 » Ь) Ркр — "'[у^Т
ЯКр=1,82
п*Е/
Кр — д
Б 51П Р \2^51П РУ
5(П+!)
у = 5,5 см
с2 = аЬ/ 2
х—~у = Ьа/\2
х = 9,7см, 1/ = 4,7 см
/ = 6Лз/4
/=а4/12
а863
6 (а2 + 62)
/I 6
Г*= 2 уТ ’ ^ 2/3
'=!§<&2+12А2)
/=^(&*+2а2)
/ = (4Л4—ЗЛ2Лх — Л}) /12
/=33 436 см4
/ = 275,7 см«
/я„ = г4/8
/х„=г4/8
Ь = 2г
Iху— 196 см4
/*„ = — 817,4 см4
1Х1ухжО
648 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
А.7.2.
, а»6»
, _аЬ(а*+Ь*]
** 6(а2+62) ’ 12(а2 + 6а;
, аЧ2 (аа-
-62)
*'* 12(а*+6я)
А.8.1.
егл = 60о8',
/*=3471,9 см4
0ГЛ= 150°8\
Л= 12 153,1 см4
А.8.2.
0ГЛ = 78°23',
/2 — 638,3 см4
0ГЛ = 168°23',
/,=2334,3 см4
А.8.3.
0ГЛ=67°46'(
/1 = 1160,3 см4
вгл=157°46'|
/2 = 233,2 см*
А.8.4.
егл = 74°54',
/х = 264,8 см4
0ГЛ= 164°54',
/2 = 26,2 см4
А.8.5.
0ГЛ = 21°2'(
Л = 8968,8 см4
егл=ш°2',/
/2 = 728,7 см4
А.8.6.
егл=з2°зг,
Л = 765,1 см4
егд= 122°31',
/, = 85,7 см4
ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А — реакция (сила или момент), постоянная;
В — постоянная;
а, Ь, с — размеры, расстояния, постоянные;
С — постоянная интегрирования, центр тяжести;
с — расстояние от нейтральной оси до внешней поверх¬
ности балки;
О — перемещение, кинематическая неизвестная;
д. — диаметр, размер, расстояние;
Е — модуль упругости, эллиптический интеграл второго
рода;
Епр — приведенный модуль упругости;
е — эксцентриситет, размер, расстояние;
Р — площадь, сила, эллиптический интеграл первого ро¬
да, податливость;
/ — поток касательных напряжений, коэффициент формы
при пластическом изгибе;
/сд — коэффициент формы при сдвиге;
0 — модуль упругости при сдвиге;
§—ускорение силы тяжести;
Н — расстояние, сила, реакция;
А — высота, размер;
1 — момент инерции плоского сечения;
/*, 1у. /г — осевые моменты инерции соответственно относитель¬
но осей х, у и г;
/1» Л — главные осевые моменты инерции;
1ху — центробежный момент инерции плоского сечения от¬
носительно осей х и у;
^ — полярный момент инерции, постоянная кручения;
К — объемный модуль упругости, коэффициент приве¬
денной длины стержня;
к — обозначение величины УР1(Е1);
I — длина, пролет;
М — изгибающий момент, реактивный момент в опоре;
Л*, — изгибающий момент, создаваемый единичной нагруз-
650 ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИ Й
М„ -- предельный изгибающий момент для балки;
Мр — изгибающий момент, создаваемый реальными нагруз¬
ками;
Мт — изгибающий момент, при котором в балке начинает
возникать пластическое течение;
N — осевая сила;
п — коэффициент запаса, число, отношение, целое число,
число оборотов в минуту;
О — начало координат;
Р — сосредоточенная сила, нагрузка, продольная сила;
Ркр — критическая нагрузка для продольного сжатого
стержня;
Р„ — предельная нагрузка;
Рл — допускаемая нагрузка;
Рг — нагрузка, при которой возникает пластическое тече¬
ние;
р — давление;
(2 — сосредоточенная сила, поперечная сила;
<7 — интенсивность равномерно распределенной нагрузки
(нагрузка, отнесенная к единице длины);
<7„ — предельная равномерно распределенная нагрузка;
<7Т — равномерно распределенная нагрузка, при которой
возникает пластическое течение;
/? — реакция, радиус;
г — радиус, расстояние, радиус инерции (г=|/1/Р)\
8 — сила, центр сдвига, коэффициент жесткости, стати¬
ческий момент плоского сечения;
5 — расстояние, длина вдоль кривой;
Т — температура, крутящий момент;
Т„ — предельный крутящий момент;
Тг — крутящий момент, при котором возникает пластичес¬
кое течение;
I — толщина;
I/ — энергия деформации;
и — удельная энергия деформации;
V* —дополнительная энергия;
, и* — удельная дополнительная энергия;
V — объем;
V — скорость;
№ — вес, момент сопротивления изгибу, работа;
ИР* — дополнительная работа;
та — прогиб;
да',ау"ит.д.— йш/йх, й^ш/йх2 и т. д.;
X — лишняя статическая неизвестная;
х, у, г — прямолинейные прямоугольные координаты, расстоя¬
ние;
ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 651
х, у, г — координаты центра тяжести;
2 — пластический модуль балки;
а — угол, коэффициент линейного температурного расши¬
рения, отношение;
асд — коэффициент сдвига;
р — угол;
6 — прогиб, смещение;
у — деформация сдвига (угол сдвига), удельный вес;
V хг У у г* Угх — деформации сдвига (угол сдвига) в плоскостях ху, уг
и гх;
•уо — деформация сдвига относительно повернутых осей;
б, А — прогиб, смещение, удлинение;
е — (нормальная) относительная линейная деформация;
ех, еу, ег — нормальные деформации в направлении осей хну
и г,
в,, еа, е3 — главные нормальные деформации;
ет — деформация, соответствующая пределу текучести;
ей — нормальная деформация относительно повернутых
осей;
0—угол, угол закручивания на единицу длины, угол
поворота оси балки;
0ГЛ — угол, отсчитываемый от главной плоскости или глав¬
ной оси;
0К — угол, отсчитываемый от плоскости с максимальным
касательным напряжением;
х — кривизна (х — 1/р);
хт — кривизна, при которой возникает пластическое тече¬
ние;
А. — параметр, характеризующий гибкость;
р — радиус, радиус кривизны, радиальное расстояние в
полярной системе координат;
V — коэффициент Пуассона;
а — нормальное напряжение;
ах, сг„, аг — нормальные напряжения на площадках, перпендику¬
лярных осям .V, у иг;
Оо — нормальное напряжение на наклонной площадке;
<*1* ог, а3 — главные напряжения;
сгкр — критическое напряжение для продольно сжатого
стержня (окр=Ркр//■');
аост — остаточное напряжение;
ап — предельное напряжение;
<Тд — допускаемое напряжение;
аг — предел текучести;
т — касательное напряжение;
гху* туг» Хгх — касательные напряжения на площадках, перпендику¬
лярных осям х, у, 2, параллельные осям у, г и х;
© “€г-ч2
ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Те — касательное напряжение на наклонной площадке;
т„ — предельное напряжение при сдвиге;
тд — допускаемое напряжение при сдвиге;
тт — предел текучести при сдвиге;
— угол, угол закручивания;
— безразмерный коэффициент;
— угловая скорость.
АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрамсон (АЬгатзоп Н. Ы.) 556
Аргирис (Агбуп’з Л. Н.) 563
Ау (Аи Т.) 562
Ахиезер Н. И. 255
Баррет (Вагге! С. 5.) 557
Бартеи (Ваг1еп Н. Л.) 554
Бах (ВасН С.) 555
Бейкер (Вакег Л. Р.) 557
Беляков В. В. 554
Бендиксен (ВепсПхеп А.) 479, 561
Бернулли Даниил (ВегпоиШ Оаш'е!)
551, 553
Бернулли Иоганн (ВегпоиШ ЛоЬп) 419*
552, 558
Бернулли Яков (ВегпоиШ ЛасоЬ,
1654—1705) 16, 151, 212, 255, 548,
551, 553
Бернулли Яков, мл. (ВегпоиШ ЛасоЬ,
1759—1789) 552
Берто (ВегЫ Н.) 290, 555
Бетти (ВеШ Е.) 453, 559.
Бидл (ВеесИе Ь. 5.) 556, 557
Бишоп (В|$зЬорр К. Е.) 554
Блейх (В1е1сН Р.) 557
Борг (Вог§ 5. Р.) 561
Борн Макс (Вогп Мах) 553
Браун (Вгошп Е. Н.) 563
Бредт (Вгесй К.) 112, 550
Бресс (Вгеззе Л. А. С.) 551
Броек (Уап ёег Вгоек Л. А.) 558
Бубнов И. Г. 5, 237
Вебер (\УеЬег С.) 556
Верещагин А. Н. 429
Вестергард (№ез1егбаагс1 Н. М.) 563,
527
Виллио (\МШо! Л. V.) 25
Вильбур ОУПЬоиг Л. В.) 560
да Винчи Леонардо (4а Уша Ьеопагйо)
11, 12
Волко (Шо1ко Н. 5.) 551
Вудхед (ЧУооЛдаё К. XV.) 560
Галамбос (Оа1атЬо$ Т. V.) 557
Галилей Галилео (ОаШе! ОаИ1ео) 11.
12, 151
Гарнет (ОагпеИ Ш.) 559
Гере (Сеге Л. М.) 551, 553, 560
Гольдсмит (СоЫзтйЬ XV.) 549
Гриффитс (ОпИИЬ А. А.) 555
Грин (Огеепе С. Е.) 222, 552
Гринберг (ОгеепЬег§ Н. Л.) 557
Грюнинг (Огйшп& М.) 562
Губер (НиЬег А. \У.) 557
Гудьер (СоосНег Л. Н.) 549, 550
Гук Роберт (Нооке НоЬег!) 19, 548
Далли (ЭаИу Л. \У.) 550
Джевонс (Леуопз Л. Б.) 549
Дженнаро (Сеппаго Л. Л.) 561
Джонстон (ЛоЬпз1оп В. О.) 557, 558
Дидион (ОкНоп 1.) 549
Друккер (Огискег О. С.) 554
Дункан (Оипсап Л.) 556
Жирар ((лгагй Р. 5.) 151
Журавский Д. И. 161, 551
Заславский (2аз1аузку А.) 555
Зенкевич (21епк1емсг О. С.) 562
Каджори (Са]ог1 Е.) 552
Каслин (СазПп Л. С.) 554
Кастилиано Альберто (Са$М&Напо
С. А. Р.) 533, 553, 561, 562
Каупер (Сошрег О. К.) 552
Келси (Ке1зеу 5.) 563
Кельвин (Ке№п, ХУННат ТЬотзоп) 560
Кемпбелл (СашрЬеИ Ь.) 559
Кирпичев В. Л. 5
Кирхгоф (Ю’гсЬЬоК О. К.) 258, 503.
554, 562,
664 АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Клапейрон Б. П. (С1ареугоп В. Р. Е.)
290 555
Клебш А. (С1еЪзсЬ А.) 479, 561
Койтер (КоКег \У. Т.) 556
Коши Огюст Луи (СаисЬу А. Ь.) 79,
550
Кравцова П. И. (Кгау*зоуа Р. I.) 554
Кротти Ф. (СгоШ Р.) 518, 526, 562
Коылов А. Н. 5
К\лон Шарль Огюст (Сои1ошЬ С. А.)
102, 151, 550
К/льман К. (Си1шапп К.) 172, 551
Кюнци (Киеп21 Е.*\У.) 551
Ла-ранж Жозеф Луи (Ьагбапяе Л. Ь.)
255, 553
Лангхаар (Ьап§Ьааг Н. Ь.) 563
Либов (ЫЬоуе С.) 563
Линдсей (Ьт^зау К, В.) 560
Лэпиталь Г. Ф. (Ь’НорИа! О. р. А. с!е)
552
Людерс (Ьййегз IV.) 64, 549
Ллв А. (Ьоуе А. Е. Н.) 548
Майяр (МаШаг! К.) 555, 556
Маки (Мак! А. С.) 551
Мак-Лин (МсЬеап Ь.) 505, 527, 549
Максвелл (МахигеП Л. С.) 424, 460,
558, 559
Мандел (Мапс1е1 Л.) 556
Мариотт (Мапойе Е.) 151
Мартин (МагИп Н. С.) 561
Массоне (Маззоппе! С. Е.) 556
Менабреа (МёпаЬгёа Ь. Р.) 533, 563
Миллер (МШег Р. Н.) 554
Мор Отто (МоЬг О. С.) 74, 212, 424,
460, 550, 552, 559, 560
Морен (Мог1п А.-Л.) 549
Муди (Моос1у М. Ь.) 552
Навье Луи Мари Анри (Ыау1ег Ь. М. Н.)
29, 273, 479, 549, 554
Надаи (Ыас1а1 А.) 557
Нивен (Ы1уеп XV. О.) 559
Нил (№а1 В. О.) 556
Новинский (Моигткз1 Л. Ь.) 556
Норрис (Могпз С. Н.) 560
Ньюмен (Ыемпап Л. К.) 552, 557
Оден (Ос1еп Л. Т.) 562
Оравас (Огауас О. А.) 505, 527, 549,
553, 554
Оран (Огап С.) 563
Осгуд (Оз&оос1 \У. К.) 556
Остенфельд (0$1еп!еЫ А.) 479, 561
Паран (Рагеп( А.) 151
Пирсон (Реагзоп К.) 548, 551
Плана (Р1апа О. А. А.) 255, 553
Плантема (Р1ап*ета Р. Л.) 551
Понселе (Ропсе1е* Л. V.) 16, 48, 253,
548
Прагер (Рга^ег )У.) 557
Пуассон (Ро185оп 5. О.) 21, 62, 548
Пшеменецкий (РггепиетесЫ Л. 5.)
563
Пьобер (РюЬег! О.) 64, 549
Райли (КПеу ХУ. Р.) 550
Рамзей (Катзау ХУППат) 560
Ранов (Напоу Т.) 551
Раппопорт (Карророг! М. О.) 554
Раус (Нои(Ь Е. Л.) 559
Реддик (НейсНск Н. XV.) 554
Ритц (ККх XV.) 506, 562
Роде (ЙоМе Р. V.) 554
Ройан (Но]аЬп С.) 256, 554
Рэлей (Наукой, ЛоЬп ХУПНат $1ги«)
453, 506, 559, 560
Рэнкин У. Дж. Маккуорн (Капкте
XV. Л. Масчиогп) 79, 550
Сайдботтом (ЗЫеЬоНот О. М.) 557
Саймондс (5ушопс1з Р. 5.) 557
Салама (5а1аша А. Е.) 552
Саусвелл (5ои1Ь\уе11 К. V.) 554
Сейв (5ауе М. А.) 556
Сен-Венан Б. (5ат-Уепап1, Ваггё йе)
79, 102, 151, 222, 550, 551, 552, 554
Сикорский Ю. С. 255
Смит (5тЦЬ Л. О.) 557
Сойер (5а>ууег О. А.) 552
Стокс Джордж Габриель (51окез О. О.)
559
Стретт Дж. У., см. Рэлей
Стретт Р. (51гии К. Л) 560
Струик (51гшк В. Л.) 552
Тейлор (Тау1ог О. I.) 555
Тимошенко С. П. (ПтозЬепко $. Р)
5, 6, 7, 10, 548, 549, 551, 555, 556
560
Тодхантер И. (Тос1Ьип1ег I.) 548, 551
Толл (Та11 Ь.) 557 '
Томсон Уильям, см. Кельвин
Трефц (ТгеШх Е.) 556
Турнер (Тигпег Т. Н.) 549
Уивер (ХУеауег XV. Лг.) 560, 561
Фацекас (Раяеказ О. А.) 551
Фелл (Рей Е. Ш.) 549
Ферма (Регша1 Р.) 558
Феттис (РеШз Н. Е.) 554
Филлипс (РЫШрз А.) 556
Флюгге В. (РШббе АУ.) 556, 557
Фриш-Фей (РпзсН-Рау Н.) 255, 554
Хейман (Неушап Л.) 557
Хетеньи (Не1ёпу1 М.) 550, 557
Хилл (НП1 Н. 14.) 556
Хильдебранд (ШЫеЬгапс! Р. В.) 552
Ховард (Но^агс! Л. Ы.) 560
Ходж (Нос1§е Р. О.) 556
Холл (На11 А. 5.) 560
Хорджер (Ног^ег О. Л.) 557
Хорн (Ноте М. К.) 557
Хофф (НоН N. Л.) 558, 562
Малышев К. А. 479
Чанг (СНеип§ V. К.) 562
Чарлтон (СНагИоп Т. М.) 563
АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 655
Швальбе (5с1ша1Ье АУ. Ь.) 556
Эйлер Леонард (Еи1ег Ь.) 12, 29, 15,
213, 255, 395, 551, 553, 557
Эйсли (Е1'з1еу Л. О.) 554
Эмде (Ешс1е Р.) 554
Энгессер Ф. (Еп^еззег Р.) 563, 518, 526
Эндрьюс (Апйге^з Е. 5.)
Юнг Томас (Уоип§ ТЬошаз) 19, 102,
548, 550
Якобс (ЛасоЬз Л. А.) 556
Янг (Уап<? С. Н.) 557
Янг (Уоипд Ъ. Н.) 549, 558, 560
Янке (ЛаНпке Е.) 554
Ясинский Ф. С. 5
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алюминий, свойства 16, 20. 35
Балка 123
— с выступающими частями 124
—, главные напряжения 170, 190
—, горизонтальные смещения на кон¬
цах 296
— двутавровая 150, 153
, главные напряжения 173
, касательные напряжения 163,
323
, начальные напряжения 380
— — несимметричная 317
. , пластический изгиб 351
, таблицы 620
, центр сдвига 318
— двухслойная 181
—, деформации в поперечном направ¬
лении 147
— железобетонная 181, 187
—, жесткость при изгибе 149
—, заделанный конец 124
—, защемленный конец 124
—, изгиб, искривление поперечного
сечения 161, 247, 250
, нейтральная ось 146
■ , нейтральная поверхность 146
—, изгибающий момент 125
—, изготовленная из двух различных
материалов 181
— композитная 181
— консольная 124, 217
, большие прогибы 254
, прогибы и углы наклонов (та¬
блицы) 624—626
—, кривизна 147
—, кривизны радиус 147
центр 147
— кругового поперечного сечения 150,
154 -
Балка кругового поперечного сечения,
касательные напряжения 165
, центр сдвига 318
—, линии равных напряжений 173
, момент сопротивления изгибу 150
—, нагрузки, не лежащие в плоскостях
симметрии 307
, пропорциональные прогибу 241
—, напряжения нормальные 145
—, нелинейное поведение материала
489, 515, 518, 523
— с неподвижными опорами 297
— непризматическая 173
— несимметричная 310, 318
— неупругая 344—380
—, нормальные деформации 147
—, нормальные напряжения 149
— с одним заделанным и одним свобод¬
но опертым концом 268, 271
— переменного поперечного сечения,
см. Балка непризматическая
—, поперечные касательные напряже¬
ния 157, 174, 319
—, поперечные силы 125
—, прогибы при изменении температу¬
ры 245, 294 , 428
— при продольном нагружении 125,
192, 297
—, расчет 153
—, результирующие напряжения, пра¬
вило знаков 127
— со свободно опертыми концами 123
—, свободный конец 124
—, совместное действие изгибающего
и крутящего моментов 188
— составная 167
— статически неопределимая 124
—, типы 123
— тонкостенная незамкнутого про¬
филя 319, 326
—, траектории напряжений 172
— трехслойиая 187, 253
— в форме клина 180
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 657
Балка, формы поперечного сечения
150, 153
—, чистый изгиб 145
—, см. также Прогибы белок, Нераз¬
резные балки, Статически неопре¬
делимые балки
Бетон, свойства 16, 20, 35
Бетти — Рэлея теорема взаимности 453
Биметаллические балки 181
— стержни, кручение 105
, растяжение 55, 60
Боковое выпучивание 154
Боковое обжатие при изгибе балок 147
растяжении стержней 15, 21
Большие прогибы балок 254
продольно сжатых стержней 397
Бредта формула 112
Бронза, свойства 20
Валы, см. Кручение
Векторное представление для крутящих
моментов 98
Виллио диаграмма 24
Влияние изменения температуры 34
, заделанная по обоим концам
балки 294
, свободно опертая балка 245
, стержневые системы 34
Внецентренно приложенная продоль¬
ная нагрузка 193, 387
Возможная работа 418
, метод 424
, принцип 421
Возможные перемещения 418, 422, 424
, пластический анализ балок 361
, принцип 418
Вольфрам, свойства 20
Выделенная система, см. Основная
система
Выпучивание, уравнение 399
Выпучивание, см. Устойчивость
Геометрическая нелинейность 482
Гибкость стержня 399
Гидростатическое давление (равномер¬
ное сжатие) 86
Главные деформации 92
— напряжения 69, 78, 82
— напряжения в балках 170» 190
— оси 607
— плоскости 69, 78, 82
— центральные оси 606
Горизонтальные касательные напря¬
жения в балках 158
— смещения на концах белки 296
Гука закон 19
при двухосном напряженном сос¬
тоянии 69
сдвиге 43
трехосном напряженном сос¬
тоянии 85
Двухосное напряженное состояние 67
, круг Мора 73
Двухслойные балки 181
Деформации 13, 69, 85
— в балках 147
— главные 92
—, двухосное напряженное состояние
69
, круг Мора 92
•— на наклонных сечениях 89
— остаточные 17
—, плоское деформированное состоя¬
ние 87
— в поперечном направлении (боковое
обжатие) 15, 21
— предварительные 35
— растяжения 14
— сжатия 14
— удельная энергия 45
при чистом сдвиге 50
— энергия 44
при кручении 106
при чистом сдвиге 50
Диаграмма Виллио 24
— зависимости нагрузки от перемеще¬
ния, неупругий изгиб 371
для продольно сжатого
стержня 388, 394, 397
фермы 39
напряжения от деформации 14
истинная 15
линейная 14
нелинейная 37, 483
обычная 14
при сдвиге 43
условная 15
Динамическая аналогия Кирхгофа 258
Динамические нагрузки, см. Удар
Дополнительная работа 484
— энергия 481—491, 516—528
, минимум 526
, определение перемещений 517, .
519
, расчет конструкции 524
, связь с методом сил 524
, единичной нагрузки
Допускаемые нагрузки 18, 41, 345,
366
— напряжения нормальные 17, 153
658 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Допускаемые напряжения нормальные
в сжатых стержнях 401, 404, 408
при сдвиге 42
Древесина, разрушение 64, 100
—, свойства 20
Железобетонные балки 181, 187
Жесткие рамы, см. Рамы плоские
Жесткость 19, 29, 469, 476, 494
— балки при изгибе 149
— при изгибе 116
•— при кручении 101
, связь с энергией деформации 494
— при сдвиге 248* 443
—, соотношение взаимности 476, 478,
495
— стержня при кручении 101
при растяжении или сжатии 19
Журавского формула 160
Задача о заполняемой емкости 242
Закон Гука, см. Гука закон
Закрепленная конструкция 471
Закручивание, см. Кручение
Запас прочности 17
Идеально пластический материал 38,
116, 348
, балки 348, 354, 357
Идеальный стержень 392
Изгиб, нелинейность геометрическая
256, 482
—, — физическая 344, 482
— нелинейный 482
— несимметричный 307—338
— неупругий 345—380
—, совместное действие с кручением
188
— при совместном действии попереч¬
ной нагрузки с продольной силой
191, 297, 387, 439
— чистый 145, 310
—, см. также Балка, изгиб
Изгибающие моменты 125—139
на заделанных концах балки
280, 469
, при которых возникают пласти¬
ческие деформации 349
, соответствую¬
щие кривизны 352
, правило знаков 125
предельные 350
, эпюры 131—139
Изменение температуры, см. Влияние
изменения температуры
Изотропные материалы 21
Интегралы от произведений функций
429
таблицы 430—431
Искривление поперечного сечения ба¬
лок 161, 247, 250
Испытание на растяжение 14
Касательные напряжения 42
в балках горизонтальные 158
кругового поперечного
сечения 165
с несимметричным попе¬
речным сечением 319, 326, 332
прямоугольного попереч¬
ного сечения 157
составных 167
уголкового поперечного
сечения 329
двутавровых балках 163
допускаемые 42
при кручении 99, 102, 113
максимальные, плоское напря¬
женное состояние 79
в наклонных сечениях 62—86
— непризматических балках
кругового поперечного сечения, при¬
ближенная теория 177
прямоугольного попе¬
речного сечения, приближенная те¬
ория 173
— э точное ре¬
шение 179
на перпендикулярных площад¬
ках 42, 67, 76
, поперечный сдйиг (обобщенная
формула) 333
, поток 168
, правило знаков 65, 76
в составных балках 167
тонкостенных балках 319,
326, 332
швеллерах 327, 337
с неравными полками 337
2-образных профилях 331,
334
Кастилиано вторая теорема 528, 561
— первая теорема 492, 561
Кинематическая неопределимость 467
Кинематические неизвестные 467
Кирхгофа динамическая аналогия 258
— принцип 503
Клин консольный, напряжения 179
Консольная балка 124, 217
, большие прогибы 254
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 659
Консольная балка с дополнительной
опорой, см. Балка с одним заделан¬
ным и одним свободно опертым
концом
, прогибы и углы наклонов, таб¬
лица 624—626
Конструкции, линейное поведение 481
— статически неопределимые 25
определимые 25
Конструкционные профили 150, 151,
319
, таблицы 615—623
, центр сдвига 326, 336
Концентрация напряжений 173
Коэффициенты влияния для жесткостей
470
податливостей 457
Коэффициенты запаса по отношению к
нагрузке 18, 40, 366
прочности 17, 345, 366
—, продольно сжатые стержни
401, 404, 407
, см. также Коэффициент за¬
паса по отношению к нагрузке
— линейного температурного расшире¬
ния 35
— сдвига 248, 253, 440, 443, 444
— Пуассона 21
— формы 351, 359
Кривая Эйлера 400
Кривизна 147, 211
— балки из идеально пластического
материала 353, 356
несимметричного поперечного
сечения 314
из неупругого материала 346,
367, 373
—, влияние изменения температуры
246
—, — поперечного сдвига 248
—, радиус 147, 211
—, точное выражение 212, 254
Криволинейная балка, прогиб 439
Критические нагрузки 388, 391
, определение методом Рэлея —
Ритца 512
Критические напряжения 399
Кротти — Энгессера теорема 517
Крутящий момент, векторное пред¬
ставление 98
, при котором в стержне возни¬
кают пластические деформации 117
Круг Мора 74
, двухосное напряженное состоя¬
ние 73
для моментов инерции 607
напряжений 73, 81, 85
Круг Мора, плоское напряженное со¬
стояние 81
, плоское деформированное сос¬
тояние 92
Кручение 98 '
—, жесткость, стержень сплошного
кругового сечения 101
—, касательное напряжение 99
—, мощность, передаваемая валом 102
— непризматических стержней 103
— неупругое 115
, остаточные напряжения 117
, упруго-идеально-пластический
материал 117
— полых стержней 104
—, поток касательных напряжений 110
—, совместное действие изгибающего
и крутящего моментов 188
— стержней, изготовленных из двух
материалов 105
— тонкостенных труб 109
— чистое 98
—, энергия деформации 106
Латунь, свойства 20
Линейная упругость 18
Линии Людерса 64
— прогибов 209
дифференциальное уравнение
211, 248, 254
— Пьобера 64
— скольжения в стали, см. Линии
Людерса
Лишние неизвестные статические 26,
268, 453
Магний, свойства 20, 35
Максвелла — Мора метод 424
Максвелла теорема взаимности 451
Материал идеально пластический 38
— изотропный 21
— линейно упругий 19
— с нелинейным поведением 481
— пластический 15
— упруго-идеально-пластический 39
— хрупкий 15, 16
Материалы, свойства 14—22
—, таблицы 20, 35
Матричные методы расчета конструк¬
ций 534
Медь, свойства 20, 35
Мел, разрушение при кручении 101
Местное выпучивание 395
Металлы пластические 16
660 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Метод единичной нагрузки 424—440,
519, 530
—, значения интегралов от про¬
изведения функций 430—431
для конструкций с линейным
поведением 426
с нелинейным поведе¬
нием 427
* связь с дополнительной
энергией 519
в энергией деформации
530
— жесткостей 29, 466—481
— конечных разностей 233, 285
элементов 506
— Максвелла — Мора 424
— перемещений 29, 478
— площадей эпюры кривизн 367
— податливостей 28, 453—466
— последовательного интегрирования
212, 213, 218
, исследование неупругого из¬
гиба 367
в _ статически неопредели¬
мых балок 271
— приведенного поперечного сечения
184
— равновесия 479
— разрезных балок 534
— распределения моментов 280, 534
— сил 28
— совместности 460
— угловых деформаций 534
— упругого центра 534
— фиктивных нагрузок 424
Методы, основанные на использовании
энергии деформации 491—516, 528—
533
—, потенциальной 501—
504
Механизм, пластический анализ балок
359
— разрушения 359
Модуль сдвига 43
— средней удельной работы деформа¬
ций 45
— упругости 19
объемный 86
приведенный 377
, связь с модулем сдвига 72
при сдвиге 43
, таблица значений 20
— Юнга 19
Минимума дополнительной энергии
принцип 526
— потенциальной энергии принцип 503
— энергии деформации принцип 533
Момент изгибающий, связь с нагрузкой
и поперечной силой 129
, эпюры 131
— инерции осевой 597
, таблицы 609—611
полярный 600
центробежный 603
— сопротивления изгибу 150, 153
— , таблицы 615—623
Моментных площадей метод 219, 282,
367
Мора круг 74
Нагружение 17
Нагрузка, внезапно приложенная к
балке 240
—, стержню 48
—, вызывающая наступление пластиче¬
ских деформаций 358
—> , для ферм 38
—, при которой возникает пластиче¬
ское течение 39
— критическая 388, 391
, определение методом Рэлея —
Ритца 512
—, не лежащая в плоскости симметрии
балки 307
— предельная 39
—, пропорциональная прогибу 241
— распределенная 124
—, связь с поперечной силой и изги¬
бающим моментом 129
Наложения принцип 226, 450, 481
— способ, уравнения 276, 454, 472
Напряжения 13
— главные 69, 78, 82
, плоское напряженное состояние
78
— допускаемые 17
при сдвиге средние 42
— касательные, см. также Касательные
напряжения
в балках 158
, правило знаков 65
— критические 399
—, круг Мора 73, 81, 85
— в наклонных сечениях 62
— нормальные 42
— в опорных поверхностях 41
— остаточные при кручении 117
, правило знаков 65
— рабочие 17
— растягивающие 13
— результирующие в балках 125
— результирующие, правило знаков
127
— сжимающие 13
Напряжения температурные 34
Напряженное состояние двухосное 67
* деформации 69
, круг Мора 73
Напряженное состояние плоское 76
, главные напряжения 78
, круг Мора 81
, максимальные касательные
напряжения 79
трехосное 84
чистого сдвига 100
Начальные напряжения 378
Неглавные оси, изгиб относительно
этих осей 314, 332
Неизвестные лишние 26
— кинематические 467
— статически неопределимые 26
Нейтральная ось 146, 149
, внецентренно приложенная про¬
дольная сила 193
при нагрузках, не лежащих в
плоскости симметрии 309, 312
неупругом изгибе 346, 371
пластическом изгибе 350
Нейтральная поверхность 146
Нейтральное равновесие 392, 503
Нелинейное поведение конструкций
482
Нелинейности виды 482*
Неопределимость кинематическая 467
— статическая 25, 268, 453
Непризматические балки, изгиб 173,
229, 511
— стержни, кручение 103, 109
, удлинение 24
, центр сдвига 316, 326
Несимметричные балки 310—338
— двутавры 316
— швеллеры 336
Неразрезные балки 270, 276, 286
, расчет методом жесткости 474,
480
, податливостей 455, 460
, — с помощью уравнения трех
моментов 288
Несмещающиеся опоры в балках 296
Неупругие балки 345—380
, кривизна 346, 367, 373
, нейтральная ось 346, 348, 371
, остаточные напряжения 378
, прогибы 367, 377
из упруго-идеально-пластиче¬
ского материала 347
Неупругий изгиб 345—380, см. также
Пластический изгиб
Неупругое выпучивание 392, 397, 401,
410
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 661
Неупругое кручение стержня 115
Неустойчивое .равновесие 398, 503
Неустойчивость, см. Устойчивость
Нормальная сила 125
Нормальные напряжения 42, 65, 145
Обобщенная сила 425, 491, 517
— формула изгиба 314
для касательных напряжений
при сдвиге 333
Объемный модуль упругости 86
Образование шейки при растяжении 15
Определимость кинематическая 467
— статическая 25, 125, 268, 453
Осевые силы в балках 125, 192, 298
Основная система 27, 269, 454
Основной случай выпучивания призма¬
тического стержня 396
Остаточная деформация 17
Остаточные напряжения при кручении
117
* неупругом изгибе балок 379
в продольно сжатых стержнях
408
Относительная объемная деформация,
трехосное напряженное состояние 86
Относительное изменение объема 22,
70* 86
Относительный эксцентрисистет 402
Отношение модулей 184
Перегиба точка 229
Перемещения 209—259
—, определение методом дополнитель¬
ной энергии 517
—, Рэлея — Ритца 505
— с помощью теорем взаимности
446
— продольные при осевом нагружении
стержней 22
—, расчет с помощью энергии дефор¬
мации 528
— ферм 24, 429, 518, 524
Перераспределение моментов 360
Пластическая зона 349, 354, 357
Пластические шарниры 355
Пластический анализ балок 357
ферм 39
— изгиб 345—370
, остаточные напряжения 378
, прогибы балок 367
— модуль 351
Пластическое кручение 117
— течение 15
Пластичность 15
Плоские рамы, перемещения 437
статически неопределимые 465,
499
662 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Плоские фигуры, свойства 593—608
, таблицы характеристик 609—
611
Плоское деформированное состояние 87
, главные нормальные дефор-
> мации 91
круг Мора 92
, максимальная деформация
сдвига 92
— напряженное состояние 76, 92
, главные напряжения 78
, круг Мора 81
Плоскость изгиба 146, 269
балок несимметричного по¬
перечного сечения 311
Площадь, первый момент 593
Поворот осей 605
Податливости, соотношения взаимно¬
сти 458, 459, 532
Податливость 457
— балок 276, 454, 457
—, связь с энергией деформации 532
— стержня 19, 28
Полностью равнопрочная конструкция
178
Полярный момент инерции 600
, таблица значений 609—610
Поперечная сила 125, 129
, правило знаков 125
, прогибы, обусловленные ею 247,
440
, связь с нагрузкой и изгибаю¬
щим моментом 129
, эпюры 131
Постоянная кручения ИЗ
Потенциальная энергия, методы 501—
516
Потеря устойчивости плоской формы
изгиба 154
Пс ток касательных напряжений в бал¬
ках при изгибе 169, 322
стержнях при кр\чении
110
Предварительные деформации 35
Предел пропорциональности 14
— прочности 15, 20
— текучести 15
— упругости 17
Предельная нагрузка 18
, коэффициент 18
, расчет 18
Предельный изгибающий момент 350
— крутящий момент для стержня 117
Приведенный модуль упругости 377
Принцип возможных перемещений 418
Принцип Кирхгофа 503
— минимума дополнительной энергии
526
потенциальной энергии 503, 533
— наименьшей работы 533
Прогибы балок 209—259
большие 254
, влияние на горизонтальные сме¬
щения на концах 296
. — деформаций сдвига 247, 440
, — изменения температуры 245.
428
криволинейных 439
, метод дополнительной энергии
517
, — единичной нагрузки 426,
435, 523, 530
— , — конечных разностей 219, 233
, — Рэлея — Ритца 507
, нагрузки, пропорциональные
прогибу 241
, нелинейное поведение материала
515, 518, 523
непризматических 229, 233, 511
несимметричного поперечного се¬
чения 310, 312
неупругих 367, 377
, определение с помощью энер¬
гии дефррмации 528
, поперечный удар 240
, последовательное интегрирова¬
ние уравнений изгиба 212, 213, 218,
271
, способ наложения 224
, таблицы 624—629
— большие продольно сжатых стерж¬
ней 397
при изгибе балок 254
—, обусловленные поперечным сдви¬
гом 247, 441
—, определение методом единичной на¬
грузки 424, 519, 530
— при поперечном ударе 240
—, таблицы 624—629
Профиль с 2-образным поперечным се¬
чением, главные оси 608
, изгиб 313
касательные напря¬
жения 331
Прямоугольного поперечного сечения
балки 150, 153
, главные напряжения 170
— , касательные напряжения
, пластический изгиб 351.
353
, центр сдвига 318
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 663
Пуассона коэффициент 21
Пьобера линии 64
Работа внешних сил 421, 425
— внутренних сил 421, 426
— возможная 418
, принцип 421, 424
— дополнительная 484
— сил 482
Рабочие напряжения, см. Допускае¬
мые напряжения
Радиус кривизны 147
Радиусы инерции 599
главные 608
, таблицы 615—623
Разгружение 17
Разрезных балок метод 534
Разрушение, механизм 359
—, при кручении стержней 101
— продольно сжатых стержней 393,
401
Рамы плоские 438, 465, 499
в форме лестницы 537
Распределенные нагрузки, интенсив¬
ность 124
Растяжение 12
Расчет по допускаемым напряжениям
17, 153, 366
— конструкций 417—534
— пластический 39, 366
— по предельной нагрузке 18, 41, 345,
366
предельный 39
— продольно нагруженных стержней
401, 404, 408
— равнопрочных балок 178
— упругий 17, 153, 366
Реакции, обозначения 26
Результирующие напряжений 125, 419,
421
Ритца метод 505—516
Рэлея — Ритца метод 505—516
Свободно опертые балки 123, 213
—, таблицы прогибов и углов
наклонов 624—629
Свойства материалов 14—22
, таблицы 20, 35
— плоских фигур 593—611
, таблицы 609—611
Сдвиг, деформации 43
—, закон Гука 43
—, коэффициент формы 443, 444
Сдвиг, обусловленный поперечной си¬
лой, прогибы 247, 440
— поперечный, энергия 253, 445
— чистый 43, 50, 71
, энергия деформации 50,
, удельная 50
Сдвигающие напряжения 41
— силы 41
Секанса формула для стержней 402
Сжатие 13
— гидростатическое 86
Силы внешние, работа 421, 425
— внутренние, работа 421, 426
— осевые в стержнях 12, 19, 22
— сдвигающие 41
— сосредоточенные 124
Система выделенная 27. 269, 454
— основная 27, 269, 454
Смещения 424—440, 518—524, см. так¬
же Перемещения и Прогибы балок
Соответствующие нагрузки и переме¬
щения 424, 447
Соотношение между изгибающим мо¬
ментом и кривизной 149, 210, 254
при иеупругом из¬
гибе 374
— пластическом
изгибе 352, 355
Составные балки 167
Способ наложения 227, 451, 481
Способы опирания балок 123
Сталь, диаграмма зависимости напря¬
жения от деформации 15
—, линии скольжения 64
—, свойства 20, 35
Стальные балки 150, 153
, начальные напряжения 380
, пластический изгиб 347
, таблицы профилей 615—623
— продольно сжатые стержни 408
Статическая лишняя неизвестная 28,
268, 453
— неопределимость 26, 268, 453
Статически неопределимые балки
268-298, 453—534
, влияние изменения темпера¬
туры 294
, дифференциальное уравне-
ние 271
с несмещающимися опорами
297
, неупругие прогибы 377
, пластический анализ 357
— , расчет методом жесткостей
466
, конечных разностей
285
664 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Статически неопределимые балки, рас¬
чет методом моментных площадей
282
, податливостей 276, 453
, — способом наложения 273
276
, — энергетическим методом
491—533
, типы 268
конструкции 25, 268—298,453—
534
— определимые конструкции 25
Статический момент площади сечения
593
Стационарное значение потенциальной
энергии 503
Степени кинематической неопредели¬
мости 467
— статической неопределимости 268,
453
Стержни с вырезом 46, 49
— идеальные 392
— короткие, поперечная и осевая на¬
грузка 191
— призматические 12
— продольно сжатые 387—411
, влияние начальных проги¬
бов 405
э — несовершенств 404
, внецентренно приложенные
нагрузки 385
, критическая нагрузка 389,
394
, напряжения 399
неупругие 391, 397, 401, 410
, приведенная длина 401
э разрушение 392, 401
, расчет 401, 404, 408
? — методом Рэлея — Ритца
512
, формула секанса 402
—, растяжение 12
— упр\гиг 17
— частично упругие 17
Суживающиеся балки, см. Непризма¬
тические балки
Тавровые балки 164
, центр сдвига 318
Температурные напряжения 34
Тензодатчики 93
Теорема взаимности 446—453
Бетти — Рэлея 453
жесткостей 476, 478, 495
Максвелла 451
перемещений 446
податливостей 458, 459, 533
Теорема взаимности работ 451
— Кротти — Энгессера 517
— о параллельном переносе осей 601
Тонкостенные балки незамкнутого про¬
филя, касательные напряжения 319,
327, 332
э центр сдвига 326, 336
— профили 319
— трубы, кручение 109
Точка обратного изгиба 229
— перегиба 229
Траектории напряжений 172
Трех моментов уравнение 289
Трехосное напряженное состояние 84
, деформации 85
, круги Мора 85
, относительная объемная де¬
формация 86
, энергия деформации 86
Трехслойные балки 18/, 253
Угол закручивания 99, 111
Уголковый профиль, таблица 615
, центр сдвига 329
Удар при кручении вала 121
— поперечный, изгиб балки 240
—, продольное нагружение 46
Удельная энергия деформации 45
Удлинение стержней 19, 22, 37
Упрочнение 15
Упругая кривая 209
Упругий расчет 17, 153, 366
Упруго-идеально-пластический мате¬
риал 39, 117, 348
Упругость 17
Уравнение равновесия 29
— совместности перемещений 28
Устойчивое равновесие 392, 503, 526,
533
Устойчивость 387—411
— при кручении 113
— местная 395
— плоской формы равновесия 154
— за пределом упругости 392, 397,
401, 4С9
—, уравнения 399
Фермы, напряжения, обусловленные
изменением температуры 35
—, нелинейное поведение 35, 495, 504,
518, 527
—, перемещение 24, 429, 518, 524
—, —, определение с помощью диаг¬
раммы Виллио 25
—, пластический анализ 38
Фермы предварительно деформирован¬
ные 35
— статически неопределимые 30, 463,
498, 527
Фиктивной нагрузки метод 424
Формула Бредта 112
— изгиба 149
несимметричного 309, 312
обобщенная 315
относительно неглавных осей
315
— касательных напряжений в попереч¬
ном сечении 160, 322
обобщенная 333
— для конечных разностей 234
Формулы преобразований при повороте
осей для деформаций 87—93
моментов инерции
605
напряжений 62—87
— для расчета продольно сжатых стер¬
жней 408
Хрупкие материалы 16
Центр изгиба балок 316, 318, 326, 336
двутавровых 318
с неравными полками 318
с полукруговым поперечным
сечением 331
симметричным поперечным
сечением 318
сплошного поперечного се¬
чения 319
тавровых 318
тонкостенных незамкнутого
профиля 319
, уголковый профиль 329
, швеллеры 327, 336
, — с неравными полками 336
, 2-образные профили 331
— кривизны 147
— сдвига, см. Центр изгиба балок
— тяжести 593—597
, таблицы 609—611
предметный указатель 665
Число степеней свободы перемещений
в узлах 467
Чистое кручение 98
Чистый изгиб 143
несимметричных балок 310
, общая теория 312
— сдвиг 43
Чугун, свойства 16, 20
Швеллерные балки 151, 153
, касательные напряжения 326,
336
, несимметричного профиля 336
—. —, таблицы 622—623
— —, центр сдвига 326, 336
Шейка 15
Эйлерова критическая нагрузка 394
Эластика 254
Эллиптические функции 255
Энергетические методы 417, 481—533
Энергия деформации 44, 481—491
при изгибе 237
конструкций с линейным пове¬
дением 486
нелинейным поведением
483
при кру.чении 106, 111
, минимум 533
, определение перемещений при
ее помощи 528
, связь с методом единичной на¬
грузки 528
, жесткостей 493, 495
, перемещений 493
, податливостей 531
, трехосное напряженное состоя¬
ние 86
Эпюры изгибающих моментов 131
— поперечных сил 131
Эффективная длина стержня 401
Юига модуль 19
Ядро поперечного сечения 195
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ 9
1. РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ И СДВИГ 11
1.1. Введение 11
1.2. Напряжение н деформация 12
1.3. Испытание на растяжение 14
1.4. Линейная упругость и закон Гука 18
1.5. Продольные перемещения при осевом нагружении стержней 22
1.6. Статически неопределимые конструкции 25
1.7. Влияние изменения температуры и предварительного
деформирования 34
1.8. Нелинейное поведение 36
1 9. Сдвигающее напряжение и деформация сдвига 41
1.10. Энергия деформации 44
Задачи 51
2. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЙ 62
2.1. Напряжения в наклонных сечениях 62
2.2. Двухосное напряженное состояние 67
2.3. Чистый сдвиг 71
2.4. Круг Мора для двухосного напряженного состояния 73
2.5. Плоское напряженное состояние 76
2.6. Круг Мора для плоского напряженного состояния 81
2.7. Трехосное напряженное состояние 84
2.8. Плоское деформированное состояние 87
Задачи 93
3. КРУЧЕНИЕ 98
3.1. Кручение стержня кругового поперечного сечения 98
3.2. Кручение полого стержня кругового поперечного сечения 104
3.3. Энергия деформации при кручении 106
3.4. Тонкостенные трубы 109
3.5. Неупругое кручение стержней кругового поперечного
сечения 115
Задачи 119
ОГЛАВЛЕНИЕ 667
4. ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА И ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ 123
4.1. Типы балок 123
4.2. Результирующие напряжений в балках 125
4.3. Соотношения между нагрузкой, поперечной силой и изги¬
бающим моментом 129
4.4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов 131
Задачи 139
5. НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ 145
5.1. Нормальные напряжения в балках 145
5.2. Расчет балок 153
5.3. Касательные напряжения в балках 157
5.4. Касательные напряжения в балке кругового поперечного
сечения 165
5.5. Составные балки 167
5.6. Главные напряжения в балках 170
5.7. Напряжения в непризматических балках. Приближенная
теория 173
5.8. Балка, изготовленная из различных материалов 181
5.9. Совместное действие изгибающего и крутящего моментов 188
5.10. Совместное действие изгибающей нагрузки и продольной
силы 191
Задачи 196
6. ПРОГИБЫ БАЛОК 209
6.1. Дифференциальное уравнение линии прогибов 209
6.2. Свободно опертые балки 213
6.3. Консольные балки ’ 217
6.4. Метод моментных площадей 219
6.5. Способ наложения 224
6.6. Непризматические балки 229
6.7. Метод конечных разностей 233
6.8. Энергия деформации при изгибе 237
6.9. Нагрузки, пропорциональные прогибу 241
6.10. Влияние изменения температуры 245
6.11. Влияние деформаций сдвига 247
6.12. Большие прогибы балок 254
Задачи 259
7. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ 268
7.1. Статически неопределимые балки 268
7.2. Дифференциальное уравнение линии прогибов 271
7.3. Способ наложения 273
7.4. Метод моментных площадей 282
7.5. Метод конечных разностей 285
7.6. Неразрезные балки 286
7.7. Влияние изменения температуры 294
7.8. Горизонтальные смещения на концах балки 296
Задачи 298
8. НЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ 307
8.1. Симметричные балки под действием нагрузок, не лежащих
в плоскости симметрии 307
8.2. Чистый изгиб несимметричных балок 310
8.3. Изгиб несимметричных балок под действием поперечных
нагрузок 315
668 ОГЛАВЛЕНИЕ
8.4. Касательные напряжения в тонкостенных балках незамк¬
нутого профиля 319
8.5. Центр сдвига тонкостенного незамкнутого профиля 326
8.6. Касательные напряжения в балках, изгибаемых относи¬
тельно произвольных осей 332
Задачи 338
9. НЕУПРУГИЙ ИЗГИБ 345
9.1. Введение 345
9.2. Уравнения неупругого изгиба 346
9.3. Пластический изгиб 347
9.4. Пластические шарниры 355
9.5. Пластический анализ балок 357
9.6. Прогибы 367
9.7. Неупругий изгиб 371
9.8. Остаточные напряжения 378
Задачи 380
10. ПРОДОЛЬНО СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ 387
10.1. Стержни, сжатые внецентренно приложенными продоль¬
ными силами 387
10.2. Критические нагрузки для продольно сжатых стержней 391
10.3. Напряжения в стержнях 399
10.4. Формула секанса для стержней 402
10.5. Несовершенства в стержнях 404
10.6. Формулы для расчета продольно сжатых стержней 408
Задачи 411
11. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 417
11.1. Введение 417
11.2. Принцип возможной работы 418
11.3. Применение метода единичной нагрузки для определения
перемещений 424
11.4. Прогибы балок, обусловленные сдвигом 440
11.5. Теоремы взаимности 446
11.6. Метод податливостей 453
11.7. Метод жесткостей 466
11.8. Энергия деформации и дополнительная энергия 481
11.9. Методы, основанные на использовании энергии дефор¬
мации 491
11.10. Методы, основанные на использовании потенциальной
энергии. 501
11.11. Метод Рэлея — Ритца 505
11.12. Принципы дополнительной энергии 516
11.13. Метод сил 524
11.14. Вторая теорема Кастилиано 528
11.15. Энергия деформации и метод податливостей 531
11.16. Прочие методы расчета конструкций 533
Задачи 534
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 648
ОГЛАВЛЕНИЕ 669
ПРИЛОЖЕНИЕ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 564
ПЛ. Понятия напряжения и деформации 564
П.2. Плоское напряженное и плоское деформированное состоя¬
ния 574
П.З. Напряжения и деформации в трехмерных задачах 585
ПРИЛОЖЕНИЕ Л. СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ФИГУР 593
А.1. Центр тяжести плоской фигуры 593
А.2. Центр тяжести составной фигуры 595
А.З. Осевой момент инерцин плоской фигуры 597
А.4. Полярный момент инерции плоской фигуры 600
А.5. Теорема о параллельном переносе осей 601
А.6. Центробежный момент инерции 603
А.7. Изменение моментов инерции при повороте осей 605
А.8. Главные оси 607
Задачи 611
ПРИЛОЖЕНИЕ В. СВОЙСТВА ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
НЕКОТОРЫХ СТАНДАРТНЫХ ПРОФИЛЕЙ 615
ПРИЛОЖЕНИЕ С. ПРОГИБЫ И УГЛЫ НАКЛОНОВ БАЛОК 624
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 630
ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 649
АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 653
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 656
СТЕПАН ПРОКОФЬЕВИЧ ТИМОШЕНКО
ДЖЕЙМС МОНРО ГЕРЕ
МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ
УЧЕБНИК ДЛЯ ВУЗОВ
Издание второе,
стереотипное
Генеральный директор А. Л. Кноп
Директор издательства О. В. Смирнова
Главный редактор Ю. А. Сандулов
Художественный редактор С. Л. Шапиро
Выпускающий А. В. Яковлев
ЛР №065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.001665.03.02.
от 18.03.2002 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
1ап@1рЫ.8рЪ.ги; \\™г\у.1апрЫ.8рЪ.ги
193012, Санкт-Петербург, пр. Обуховской обороны, 277,
издательство:тел.: (812)262-11-78; рЫ@1рЫ.8рЬ.ги (издательский отдел),
производственный отдел: тел.: (812)262-24-95; рпп1@1рЫ.зрЬ.ги (производственный отдел),
торговый отдел: 193029, ул. Крупской, 13, тел: (812)567-85-81, 567-14-45; факс: 567-54-93;
1гас1е@1рЫ.8рЪ.ги гоо1@1рЫ.зрЬ.ги (торговый отдел).
Филиал в Москве: Москва, 7-я ул. Текстильщиков, 5, тел.: (095)919-96-00, 787-59-47, 787-59-48
Филиал в Краснодаре: 350072, Краснодар, ул. Зиповская, 7, тел.: (8612)62-97-73.
Филиал в Москве:
Москва, 7-я ул. Текстильщиков, 5, тел.: (095)919-96-00, 787-59-47, 787-59-48
Филиал в Краснодаре:
350072, Краснодар, ул. Зиповская, 7, тел.: (8612)62-97-73.
Сдано в набор 23.10.99. Подписано в печать 10.02.2002
Бумага типографская. Гарнитура Школьная. Формат 60x90 V16
Уч.-изд. л. 22,95. Уел. п. л. 22,68. Тираж 3 000 экз.
Заказ № 1614
Отпечатано с готовых диапозитивов во ФГУП ИПК «Ульяновский
Дом печати». 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
КНИГОИЗДАТЕЛЬСКАЯ И КНИГОТОРГОВАЯ ФИРМА
Издательство «ЛАНЬ»
предлагает
^ Книги нашего издательства:
история и философия
учебная литература
литература для вузов
иностранные языки
специальная литература
справочники и словари
медицина и психология
развивающая литература
астрология и метафизика
Обмен, вт. ч. междугородний
Ф Формирование контейнеров в любую точку страны
Ф Ответственное хранение по договорным ценам
Ф Экспедирование и перевозка книжной продукции
Москва — Петербург, Петербург — Москва
Ф Гибкая система скидок
Ф Приглашаем к сотрудничеству авторов и издательства для
совместного выпуска книг
Рукописи
не рецензируются и не возвращаются
ЖДЕМ ВАС ПО АДРЕСАМ:
РФ, 193012, Санкт-Петербург, пр. Обуховской обороны, д. 277
Издательский отдел: (812) 262-11-78
Производственный отдел: (812) 262-24-95
Торговый отдел: 193029, ул. Крупской, 13,
(812)567-85-81,567-14-45,
тел/факс 567-54-93
жжж.1апрЫ.&рЬ.п1
Е-таП: 1ап@1рЫ.$рЬ.ги, гоо1@1апрЫ.$рЬ.т
рЫ@1рЫ.$рЬ.ги (издательский отдел)
ргш1@1рЫ.$рЬ.го (производственный отдел)
1гас1е@1рЫ.$рЬ.ги (торговый отдел)
ро$1@1рЫ.$рЬ.ги (книга почтой)
Филиал в Москве Филиал в Краснодаре
Москва, 7-я ул. Текстильщиков, д. 5, 350072, Краснодар,
(метро Текстильщики) ул. Зиповская, д. 7
тел.(095) 919-96-00,787-59-47,787-59-48 (8612)62-97-73
Е-таН: 1апт$к@ауа11оп.ш Е-таН: 1апкгс1@1$*пе*.ги
КНИГОИЗДАТЕЛЬСКАЯ И КНИГОТОРГОВАЯ ФИРМА
Издательство «ЛАНЬ»
КНИГА-Почт
УВАЖАЕМЫЕ ЧИТАТЕЛИ!
Мы рады Вам сообщить, что с 1 января 1998 года
в Издательстве «Лань» работает отдел
КНИГА - ПОЧТОЙ
Для того, чтобы воспользоваться этой услугой
и приобрести книги нашего издательства,
Вам нужно заполнить почтовую карточку
и отправить ее по нашему адресу:
7 93029, Санкт-Петербург, ул. Крупской, 13
отд. «Книга — почтой»
Образец заполнения почтовой карточки:
ПОЧТОВАЯ КАРТОЧКА
Куда: 193029Санкт-Петербург,
ул. Крупской; 13
отд. «Книга — почтой»
Адрес отправителя:
1 98216, Санкт-Петербург,
Ленинский проспект,; д. 5, кв. 40
Ельскому Юрию Михайловичу
Вы можете оформить заказ
с помощью электронной почты
Е-таН:
ро$1@1рЫ.$рЬ.ш
(812)567-54-93 . СПРАВКИ . (812)262-11-78
(812)567-85-81 ^3 ПО СУ (812)567-14-45
(8612)62-97-73 ТЕЛЕФОНАМ (812)262-24-95