B.C. ManaxoBckuu
ИзбраннЬе гпабЫ
истории
МАТЕМАТИКИ
ЯнтарнЬи сказ

ББК 22.1г
УДК 5(09)
Μ 18
Рецензент: Жарикова Л. А. — кандидат физико-математических
наук, доцент Калининградского государственного технического
университета
Малаховский В. С.
Μ 18 Избранные главы истории математики : Учеб. издание
/ В. С. Малаховский. — Калининград : ФГУИПП «Янтарный
сказ», 2002. — 304 с. : портр.
ISBN 5-7406-0544-Х: Б. ц., 3000 экз.
ББК 22.1 г
УДК 5(09)
В книге рассмотрены основные этапы исторического развития математики
с древности до конца XX века, показана роль математики в истории развития
человечества и дана характеристика научного творчества и жизненного пути многих
выдающихся ученых, сыгравших большую роль в становлении этой древней, но
вечно молодой науки Автор стремился к максимальной доступности изложения и
ограничился лишь небольшим количеством формул.
Книга рассчитана на широкий круг читателей: учащихся и преподавателей школ,
студентов и преподавателей вузов — всех, интересующихся математикой и
историей ее развития.
In this book the basic stages of historical development of mathematics from the
antiquity up to the end of the 20 centuries are considered, the role of mathematics in
the history of mankind development is shown and the performance of scientific work
and course of life of many outstanding scientists who have played the key role in the
development of this ancient, but eternally young science, is given. The author aspired
to the maximum simplicity of the statement and was limited only to a small amount of
the formulas. The book is designed for a wide circle of the readers: the pupils and
teachers of schools, students and teachers of higher institutions and everybody interested
in mathematics and history of its development.
© В. С. Малаховский, 2002.
ISBN 5-7406-0544-Х © ФГУИПП «Янтарный сказ», 2002.

3
Стремление к истине — единственное
занятие, достойное героя
«Два человеческих стремления — к Знанию и Могуществу —
поистине совпадают в одном и том же», — писал Фрэнсис Бэкон и
добавлял: «Знание есть сила, сила есть знание».
В самом деле, необходимым условием в любой сфере
деятельности является понимание роли науки в развитии цивилизации, в
жизни каждой страны, каждого народа, а значит, изучение
истории науки входит, как важнейшая часть, в процесс получения
настоящего образования, в процесс формирования личности.
Знакомство с историей великих открытий, способами и методами
исследований служит источником новых идей, вдохновляет на
упорный труд во имя достижения истины.
Математика — это наука, возникшая, пожалуй, раньше других,
еще в глубокой древности. И именно она демонстрирует
возможности человеческого разума, силу воображения, мощь
интуиции, ясность и точность рассуждений так, как это недоступно
другим сферам интеллектуальной деятельности. Можно даже
утверждать, что исследование мышления, научного творчества и
творчества вообще невозможно без уяснения особенностей
математического знания, способов его получения, взаимосвязи логики и
интуиции в процессе создания новых теорий.
Творцы математики — это люди с удивительными судьбами, с
сильными характерами, преодолевающие трудности и невзгоды
поистине героически. Этот аспект истории математики, т. е.
жизнеописание замечательных ученых, играет особую роль в
становлении личности, в формировании нравственной позиции, в выборе
жизненного пути молодыми людьми.
Действительно, еще в глубокой древности появились
жизнеописания выдающихся людей, которые выполняли
важнейшие функции. Они закрепляли знания о прошлом,
способствовали формированию национального самосознания,
национальной гордости и патриотизма. Задавали образцы
поведения, указывали на те поступки, которые одобряются обществом
или заслуживают осуждения. Они являлись жизненным
ориентиром, воспитывали идеалы служения отчизне, истине, науке,
добру, искусству.

4 Стремление к истине — единственное занятие, достойное героя
И в настоящее время юная душа нуждается в примерах для
подражания, в кумирах и идеалах. Недаром все больше
становится футбольных фанатов, неистовых поклонников рок-звезд,
подражателей героям боевиков и «мыльных опер». Интересам
общества и самих молодых людей отвечает выбор в качестве
путеводной звезды того или иного замечательного ученого, своими
трудами в значительной мере определившего пути движения
человечества к познанию тайн природы, строения мироздания,
загадки человеческого бытия.
Творцы науки — это люди, отличающиеся исключительной
целеустремленностью, беззаветным служением истине,
ответственностью перед человечеством за результаты своих исследований.
Другими словами, они обладают теми характеристиками, теми
свойствами личности, которые каждый разумный человек желает
видеть в своих детях, стремится воспитать и в себе самом.
Кроме того, знакомство с биографиями соотечественников,
которые внесли большой вклад в мировую цивилизацию,
прославили нашу Родину, дает уверенность в том, что труд на общее благо
не пропадет, что истинные ценности человеческой жизни будут
всегда востребованы.
Чтение книг о великих людях не только расширяет эрудицию, но
дает еще и сильную моральную поддержку, показывая примеры
воли, твердости и упорства в достижении цели, мужества и
стойкости в преодолении трудностей. Можно сказать, что каждый
человек, стремящийся развивать свой интеллект, расширять свой
кругозор, укреплять волевые качества, находит в жизнеописаниях
замечательных людей немало поучительного, интересного,
необходимого.
Понимание выдающейся роли математики в истории
человечества заставляет с большим вниманием, даже пристрастием,
относиться к литературе, посвященной этой сложной и увлекательной
теме.
Надо сказать, что трудов по истории математики написано
немало. Среди них есть подробные изложения движения
математической мысли, приведены доказательства теорем, поражающие
специалистов изяществом, особой красотой. Для
профессиональных математиков, для студентов математических факультетов эти
исторические исследования просто необходимы. Но
интересующийся историей науки человек, не имеющий глубокой математи-

И. С. Кузнецова
5
ческой подготовки, или школьник со вздохом закроют подобный
том.
Есть и очень популярные изложения биографий замечательных
ученых, написанные легко и занимательно, но оставляющие без
внимания «удивительное и прекрасное приключение
человеческого разума», как называл математику Галилео Галилей.
Книга В. С. Малаховского представляет собой редкое
сочетание глубокого, профессионального изложения истории
математики, выполненного крупным ученым, и увлекательного рассказа об
ученых, написанного с любовью и восхищением.
Открывается эта книга параграфом, в котором приводятся
высказывания о математике мыслителей древности, творцов этой
науки. Эти мысли о математике заставляют работать воображение,
пробуждают интерес и любознательность, и читатель с
нетерпением приступает к чтению истории математики древних восточных
цивилизаций. Автор не только показывает особенности
математического мышления древнеегипетских и вавилонских ученых, но и
обращает внимание читателя на то, чем обязано человечество
этим древним цивилизациям в результате их математических
достижений.
Очень интересен материал, касающийся математики Древнего
Китая и Древней Индии. Познакомившись с ним, читатель
проникается глубоким уважением к этим древним культурам, осознает, что
даже в седой древности человечество объединялось наукой, что
знания, полученные в далеких восточных странах, сложным путем
достигали Европы и становились частью ее цивилизации.
С любовью написана глава, посвященная математике и
математикам Древней Греции. Чтение данного раздела убеждает в том,
что современные люди думают «по-гречески», т. е. стремятся
обосновать свои утверждения, сделать вывод из нескольких посылок,
доказать свою точку зрения. Именно такой подход развивали
создатели «чистой» математики — ионийские ученые. С большим
интересом познакомится читатель с воззрениями пифагорейцев,
узнает об их фантастических и в то же время провидческих
высказываниях. Полными величия предстают перед нами труды
афинских мыслителей, без идей которых невозможно даже
представить современную науку. Весьма существенную роль в
изложении истории древнегреческой математики играет то, что
автор обращает внимание на личностные характеристики своих

6 Стремление к истине — единственное занятие, достойное героя
героев, рассказывает о мужестве и верности своим убеждениям
Зенона, отмечает упорство в преодолении трудностей бытия Ев-
доксом.
Важнейший этап в развитии математики связан с
александрийской математической школой. Автор рассказывает о
великих ученых, подчеркивая значение их работ для дальнейшего
триумфа науки. В данном параграфе звучит и имя первой
женщины-математика Ипатии, трагически погибшей от рук
религиозных фанатиков.
А завершается повествование о древнегреческой науке
параграфом, в котором приведены задачи древнегреческой
математики, и у читателя возникает азартное желание решить их,
почувствовать себя почти коллегой удивительных людей, чей
величайший вклад в мировую цивилизацию не имеет аналогов.
Рассказ о математике в Европе VII—XII веков убеждает нас в
том, что служение истине требует от человека немалого
мужества. Ученые подвергались гонениям, их сжигали на кострах, но
героический энтузиазм, как говорил Джордано Бруно, заставлял
подниматься из самых глубоких пропастей отчаяния, помогал
преодолевать все преграды и достойно встречать удары судьбы.
Замечательно, что, повествуя о средневековой математике,
В. С. Малаховский дает широкую общеевропейскую панораму,
указывая на труды испанских, английских, французских, русских и
других мыслителей. В рассказе о Боэции и Алкуине приведены
задачи, которые помогают почувствовать дух эпохи. Описание
достижений математической мысли в Армении — это не только дань
истине, но и напоминание о нашей истории, которую надо знать и
которой мы, потомки граждан Российской империи, дети и внуки
советских людей, можем и должны гордиться.
С уважением и восхищением автор пишет о математиках
народов Средней Азии и Ближнего Востока. При этом, в отличие от
большинства авторов, обращающих внимание на две
математические школы, профессор Малаховский рассматривает три —
багдадскую, марагинскую и самаркандскую, Не оставит
читателя равнодушным трагическая судьба великого математика и
астронома Улугбека, чье имя должен знать каждый образованный
человек. Следует отметить, что, показывая выдающиеся
достижения математиков арабского мира, автор справедливо
подчеркивает их влияние на развитие математики в Европе. Тем самым

И. С. Кузнецова
7
формируется понимание того, что на протяжении всей истории
человечество выступало как единый познающий субъект.
В. С. Малаховский дает возможность читателю решить задачи
арабской математики, призывая тем самым следовать путем, по
которому двигалось к знаниям человечество.
Изложение истории математики в XII—XVI столетиях автор
начинает с рассмотрения трудов Фибоначчи, открытия которого оказались
важными не только для самой математики, но сыграли
существенную роль в архитектуре, музыке, других сферах искусства и науки.
Обратившись к математике XIII—XV веков, профессор
Малаховский не только дает характеристику трудов Неморария, Пачоли,
Региомонтана, но и убедительно показывает, что с тринадцатого
столетия математика стала играть особую роль в жизни общества, что
образованные люди того времени это вполне сознавали и
действовали в соответствии с этим.
Весьма поучительным является раздел, посвященный истории
математики эпохи Возрождения, поскольку выявлена глубокая связь
математических исследований и великих открытий в других
науках, а также ярко показано величие духа ученых, которых не
смогли сломить ни беды, ни преследования власть имущих. Среди
героев этой главы такие непохожие личности, как Никколо Тарта-
лья и Джероламо Кардано. Их жизнь и деятельность ставят
важнейшие нравственные проблемы. А кроме того, автор знакомит
читателя с увлекательными, почти детективными историями,
касающимися Франсуа Виета.
XVII век, который многие историки науки считают столетием
рождения современного естествознания, был веком триумфа
математики, о чем ярко и убедительно повествует профессор
Малаховский. Рассказ о математиках этого блистательного столетия
начинается с сообщения об одном из предшественников
исчисления бесконечно малых и интегрального исчисления. Это Б. Каваль-
ери, чьи работы, как подчеркивает В. С. Малаховский, стали
заметным событием не только в истории математики, но и в европейской
культуре в целом, ибо изложение своих математических идей он
вел на безупречной латыни, часто обращался к классической
литературе, к античной истории, выступая и исследователем, и
просветителем.
Наверное, каждый слышал о великой теореме Ферма.
Профессор Малаховский расширяет представление об этом гениаль-

8 Стремление к истине — единственное занятие, достойное героя
ном математике, обращая внимание на другие его исследования и
открытия.
В небольшом по объему параграфе автор сумел очень много
рассказать о Рене Декарте, ученом, чье влияние на культуру
Франции, на менталитет французской нации до сих пор остается самым
существенным. Достаточно вспомнить, что многие современные
научные свершения во Франции освящаются именем Декарта,
например, первая исследовательская космическая ракета,
отправленная с французского космодрома, была названа «Декарт».
Читатель, безусловно, с большим интересом ознакомится с
открытиями Рене Декарта, с его философскими взглядами, с
чертами характера этого великого ученого и воина.
Современником Ферма и Декарта был Блез Паскаль,
создатель новых математических теорий, один из творцов физики,
писатель, оказавший влияние на формирование литературного
французского языка, и моралист, которого Л. Н. Толстой относил к
учителям человечества. Несомненно, рассказ о нем будет
воспринят с большим интересом.
Важнейшей вехой в истории науки является создание
математического анализа — теории, без которой немыслимо развитие
естествознания и техники. Поэтому профессор Малаховский
достаточно подробно рассказывает о творчестве Ньютона и
Лейбница, сыгравших ведущую роль в формировании
дифференциального и интегрального исчисления. При этом автор знакомит
читателей и с теми открытиями, которые создали предпосылки,
подготовили почву для великого свершения, а также дает представление
о последователях Г. Лейбница — братьях Бернулли, трудами
которых математический анализ решительно продвинулся вперед.
Изложение истории математики XVII столетия завершается
своеобразным подведением итогов в виде задач, которые
научились к этому времени решать европейские математики.
Читатель, вдохновленный примерами творчества, может решить их
самостоятельно.
В XVIII веке началась новая эпоха в истории математики,
стремительно развиваемая многими выдающимися исследователями,
число которых значительно увеличилось. Старые разделы
математики энергично расширялись, возникали новые отрасли
математического знания, и в истории науки впервые возникла ситуация,
когда далеко не каждый творец новых теорий мог охватить своим

И. С. Кузнецова
9
разумом все здание этой древней науки. Этот процесс стал еще
более выраженным в XIX столетии, когда на смену одиноким
гениям прошлых эпох пришли целые школы, во главе которых стояли
гиганты, но и представители этих математических школ были
далеко не рядовыми учеными, во все времена их следовало отнести
к звездам первой величины.
Чтобы читатель не растерялся перед этой глыбой, этим
грандиозным зданием науки, автор каждую главу, посвященную развитию
математики в этих столетиях, предваряет краткой характеристикой
достижений, дает общий план открытий, указывает на значение
математических исследований для прогресса мировой цивилизации,
для развития культуры. Так, прежде чем повести рассказ о
математике и математиках XVIII века, автор обращает внимание на
расширение применения математического анализа в
естествознании, подчеркивает, что тогда получили свое развитие теория
вероятностей, вариационное исчисление, теория комплексных чисел,
алгебра. Краткое указание на то, что математическое знание
рассматривалось как истина о замысле творца, помогает увидеть
существенное изменение в мировоззрении ученых. Действительно,
в эпоху Средневековья и Возрождения математика состояла из
арифметики, геометрии, астрономии и музыки. Музыка
рассматривалась как наука о пропорциях, соотношениях, гармонии. Она
была языком, на котором ученый и композитор обращались к Богу.
Именно так были построены, например, произведения И. С. Баха,
который считал, что своими композициями он говорит с Богом.
В XVIII столетии мировосприятие стало другим. Как отмечает
В. С. Малаховский, ученые полагали, что математические законы
являют людям величие божественного творения, т. е. через
математику Бог сообщает людям о своем замысле, о проекте творения
Вселенной.
Делая краткий обзор математики XIX века, автор указал на
революционные преобразования науки, имевшие весьма
существенные последствия для прогресса других наук, для развития
человеческого мышления. Уверенными мазками профессор Малаховский
набросал грандиозную картину математических достижений
столетия, казавшихся современникам вершиной человеческого гения,
завершением эпохи великих научных открытий.
Особенно сложно было дать читателю представление о
математике XX столетия, поскольку именно в этот период специализа-

10 Стремление к истине — единственное занятие, достойное героя
ция и дифференциация математического знания достигли такого
размаха, что даже крупный ученый не в состоянии уследить за
событиями, происходящими в науке. Если воспользоваться
аллегорией известного писателя-фантаста А. Азимова, то можно сказать,
что математика превратилась в огромный сад, в котором каждый
ученый обрабатывает свою деляночку, свой кустик, свой цветок, но
не в состоянии обозреть весь сад в целом, увидеть его планировку,
место своего цветка в едином ансамбле. Кроме того, во многих
странах сформировались мощные научные школы. Сотни
исследователей, чьи труды вносят огромный вклад в развитие
математики, жили в XX веке, многие продолжают плодотворно работать и
в настоящее время.
Итак, перед автором стояла весьма сложная задача:
рассказать о главных математических достижениях, выбрать те
персоналии, которые наиболее ярко выражают дух математической
эпохи. И надо сказать, что подход профессора Малаховского
абсолютно безупречен.
История математики XVIII века открывается для читателя
знакомством с жизнью и творчеством Леонарда Эйлера, которого
уже его современники относили к величайшим умам
человечества. Память об этом ученом особенно дорога россиянам, поскольку
Л. Эйлер многие годы, десятилетия трудился в Петербургской
Академии наук, стоял у истоков российского Просвещения. В. С.
Малаховский дает обзор творчества Эйлера с такой
выразительностью и точностью, что у читателя, несмотря на краткость
изложения, создается ясное представление о грандиозности достижений
Л. Эйлера.
Затем математика XVIII века предстает перед читателями
образами французских математиков — А. Клеро, Ж. Д'Аламбера,
Ж. Лагранжа. Рассказывая об их творчестве, профессор
Малаховский выделил самое главное, но не забыл и о работах
Д'Аламбера по музыкальной эстетике, о том, что именами этих трех
великих математиков названы кратеры на видимой стороне Луны.
Читатель, безусловно, на всю жизнь запомнит имя еще одного
французского математика — Гаспара Монжа, ибо величие духа,
им проявленное, высокие моральные принципы этого математика
не смогут оставить равнодушным ни одного человека. Й имя
Монжа дано лунному кратеру, и имя Лапласа, о котором также
рассказывает В. С. Малаховский, но тон повествования совсем другой.

И. С. Кузнецова
11
Объективно характеризуя великие достижения Лапласа,
калининградский профессор не проявляет восхищения конформизмом
французского математика, легко менявшего убеждения.
Автор сообщает об исследованиях и других французских
математиков, чьи имена широко известны, а также о трудах тех ученых,
о которых больше знают только специалисты. При этом
обнаруживаются удивительные детали, например, В. С. Малаховский
нашел сведения о том, как русский царь Александр I спас Л. Карно.
Указав на то, что в XVIII столетии Л. Эйлер и французские
математики играли ведущие роли, автор рассмотрел и вклад в
науку математиков других стран: Германии, Англии и Шотландии,
России, Италии, Швейцарии, Дании.
Посвятив четвертый параграф женщинам-математикам XVIII —
начала XIX столетий, В. С. Малаховский разрушил ряд стереотипов,
сложившихся в обществе. Действительно, многие образованные
люди смогут назвать лишь одну женщину-математика — Софью
Васильевну Ковалевскую. Автор книги рассказывает о
женщинах-ученых, которыми гордится Италия, о маркизе дю Шатле, с
которой обменивался научными посланиями сам Эйлер, о
княгине Голицыной и о других выдающихся математиках. При этом
профессор Малаховский не только дает характеристику их
научных трудов, но и добавляет такие подробности, которые рисуют
живой, привлекательный облик женщин, с успехом работавших не
в самой простой научной сфере.
Историю математики XIX века В. С. Малаховский начинает с
рассмотрения революции в математике — создания
неевклидовых геометрий, прослеживая три судьбы, три разных жизненных
позиции. Это, прежде всего, К. Гаусс, которого при жизни
называли «королем математиков» за достижения в различных областях
чистой и прикладной математики. Об этих достижениях кратко,
но впечатляюще рассказывает автор данной книги. Не обходит
молчанием профессор Малаховский и причины, по которым
великий математик не решился оповестить научный мир о создании
неевклидовой геометрии. Тем большее впечатление производит
повествование о Н. И. Лобачевском, проявившем редкое
мужество и верность истине, отстаивая идеи созданной им неевклидовой
геометрии вопреки суждениям знаменитых математиков. Не
забыл В. С. Малаховский о третьем участнике этой драмы идей —
о венгерском математике Я. Бойаи.

12 Стремление к истине — единственное занятие, достойное героя
Еще одну неевклидову геометрию представил миру Б. Риман,
о котором также говорится в данном параграфе.
Большое внимание уделяется на страницах книги величайшему
математику и физику XIX — начала XX веков А. Пуанкаре.
Естественно, что профессор Малаховский не смог остановиться
только на геометрических исследованиях этого гения, он сделал обзор
трудов мыслителя, справедливо указал на приоритет А. Пуанкаре
в создании специальной теории относительности.
Среди основоположников современной алгебры особое
место занимают два математика, ушедших из жизни совсем
молодыми. Это Н. Абель и Э. Галуа. В. С. Малаховский рассказывает об
их жизни и трудах так, что становится ясно: эти «любимцы богов»
навсегда останутся для всех математиков героями, а их гибель —
личной утратой.
С чувством гордости читаются страницы, посвященные великим
русским математикам — П. Л. Чебышёву, его ученикам и
последователям, составившим славу русской науки. Именно в XIX веке
начинается бурное развитие математики в России. С этого
времени наши соотечественники становятся всемирно известными
исследователями, и для читателя этой книги имя каждого русского
математика становится дорогим и близким. Это происходит
потому, что среди важнейших потребностей каждого человека не
последнее место занимает необходимость осознавать себя
представителем талантливого, славного народа, гордиться деяниями
великих соотечественников. И профессор Малаховский рассказами
о достижениях выдающихся русских математиков помогает
реализовать эту потребность.
Анализируя развитие математики в XIX столетии, автор
указывает на основные достижения многих знаменитых математиков.
При этом важно отметить, что изложение, ни на йоту не отступая от
точности и строгости, ведется ясно, доступно, исключительно
интересно.
Что касается истории математики в XX веке, то, на мой взгляд,
представленный материал вообще не имеет аналогов.
Существующие монографии по истории математики редко касаются конца
XIX столетия, а о математике XX века можно составить мозаичное
представление по специальной литературе, по статьям в
математических журналах. В. С. Малаховский решился дать целостную
картину этой эпохи.

И. С. Кузнецова
13
Каждый ученый, о котором повествует автор, заслуживает
отдельной книги — так велик их вклад в развитие науки. Каждый из
них создал новые теории, новые разделы математики, и дать
краткую характеристику открытиям, ставшим событием в истории
цивилизации, чрезвычайно трудно. Минимум формул, четкость и
простота изложения позволяют добиться, казалось бы, невозможного:
ясно и полно рассказать о достижениях великих математиков
современности.
Исследование профессора Малаховского заставляет размышлять
даже на темы, не совсем связанные с наукой. История разгрома
фашистами школы Д. Гильберта, преследование нацистами
математиков еврейского происхождения, участие в этом даже известных
ученых, например Бибербаха, заставляют задуматься о соотношении
науки, морали и политики. А рассказ о травле выдающегося
математика Д. Ф. Егорова за приверженность православию и русским
национальным традициям, о подлой статье против крупнейшего ученого
Η. Η. Лузина в журнале «Успехи математических наук», членами
редколлегии которого были и ученики этого замечательного
математика, выдвигает глубочайшие нравственные проблемы, осознать
которые необходимо любому человеку.
Серьезную проблему ответственности ученого не только за
свои исследования, но и за преподавание математики, а тем самым
за ее развитие и воспитание новых поколений ученых, определяет
обсуждение профессором Малаховским выступлений академиков
Л. С. Понтрягина и А. Д. Александрова против построения
школьной математики «по Бурбаки».
Подчеркнув великий патриотизм гениального математика
М. В. Келдыша, В. С. Малаховский призывает читателя осознать,
что без высоких чувств и значительных, даже великих целей
человек может утратить стержень, дающий нам силы во всех
обстоятельствах сохранять свою принадлежность к человечеству.
Совершенно неповторимой особенностью данного раздела
являются личные воспоминания В. С. Малаховского о
сотрудничестве, о встречах с корифеями науки, с людьми, имена которых
знакомы по учебникам и монографиям. При этом автор выбирает
такие детали, которые укрепляют читателя в убеждении, что
«гений и злодейство не совместимы», что выдающиеся ученые — это
люди, с уважением относящиеся к другим, умеющие заботиться
о будущем науки.

14 Стремление к истине — единственное занятие, достойное героя
На протяжении всей книги перед нами предстают ученые,
которые в личной жизни могут быть застенчивыми,
неприспособленными к быту, не умеющими бороться за какие-либо материальные
блага, но становящиеся несгибаемыми и мужественными, если речь
идет об отстаивании научных принципов, об истине. Тогда
высказывание Джордано Бруно: «Стремление к истине —
единственное занятие, достойное героя», — обретает свой подлинный и
полный смысл. И 1лы понимаем, что профессор Малаховский без
назиданий и скучного морализаторства рассказал о самом
главном — о нравственных ценностях, об отваге исследователя, т. е.
о смысле человеческого бытия.
И. С. Кузнецова,
д-р философских наук, профессор

15
Предисловие
Математика — древнейшая наука в истории человечества. В ней
органически слилось духовное и материальное: творческий
процесс внутреннего развития, приводящий к открытию новых
понятий, методов, областей исследования, и обслуживание все
возрастающих потребностей людей — от первых элементарных
машин и примитивного счета до космических кораблей, атомных
электростанций и компьютеров. Попытки отделить одно от
другого или, хуже этого, противопоставить одно другому оказывались
большим тормозом в развитии этой замечательной науки.
Невозможно познать математику, не ознакомившись с
историей ее развития. Благодаря замечательным энтузиастам,
расшифровавшим древние рукописи и клинописные тексты, удается
воссоздать пути становления математики и ее возрастающую роль в
прогрессе человечества.
По истории математики написаны сотни глубоких книг и десятки
учебников. Но, к сожалению, основное внимание авторы этих книг
уделяли подробному анализу математических открытий,
сделанных учеными, с целью ознакомления с историей этой науки прежде
всего математиков, выпускников математических факультетов
университетов и педагогических институтов. А популярные статьи и книги,
посвященные отдельным ученым-математикам, не создавали
целостной картины исторического развития математики как науки.
Проанализировав большое количество книг по истории
математики, я убедился, что студентам, учителям школ, преподавателям
вузов и широкой общественности нужна книга, небольшая по
объему, но не биографический справочник, не страницы с
громоздкими выкладками древних и современных математических
трактатов, а живая история математики и ее гениальных творцов, нужна
характеристика ее тесной связи с философией, религией,
человеческой практикой. Я стремился показать в своей книге
неразрывную связь истории математики с историей развития человечества,
раскрыть смысл древнекитайского изречения: «Математика —
кузница мышления», отказавшись от традиционного разделения
истории математики на периоды математики постоянных величин,
переменных величин, переменных отношений, от деления ученых
математиков и философов на «идеалистов» и «материалистов».

16
Предисловие
Название книги, многие ее главы и параграфы показывают, что
автор не претендует на описание всей истории математики, а дает
характеристику творчества лишь некоторых выдающихся
математиков. В библиографическом списке, предложенном автором и
использованном при написании книги, указаны многие солидные
монографии, очерки и статьи по истории математики и жизни ее
выдающихся творцов. Поэтому читатель, заинтересованный в
более глубоком анализе исторического развития математики, может
воспользоваться этими источниками.
Надеюсь, что книга будет интересна широкому кругу
читателей, желающих ознакомиться с историей нашей древнейшей
науки.
Выражаю благодарность профессорам Л. Ф. Пичурину, И. С.
Кузнецовой и рецензенту Л. А. Жариковой за ценные замечания и
советы.
В. С. Малаховский

17
Preface
Mathematics is the most ancleni science in the history of mankind.
In it has integrally merged spiritual and material: the creative process
of inner development resulting in opening of new concepts, methods,
areas of research and service of the growing needs of the people
from the first elementary machines and primitive account to the space
ships, atomic power stations and computers. Attempts to separate
one from another or, even worse than it, to oppose one to another
used to be an obstacle to the development of this wonderful science.
It is impossible to perceive mathematics, not knowing the history of
its development. Thanks to remarkable enthusiasts deciphered the
ancient manuscripts and Babylonian mathematical texts, written on
clay tablets to us, it was possible to reproduce the historical roots of
mathematics and its growing role in the progress of mankind.
Hundreds of profound books and scores of textbooks are written
about the history of mathematics. But, unfortunately, the main attention
of the authors of these books was paid to the detailed analysis of
mathematical discoveries made by the scientists, with the purpose to
make mathematicians, graduates of mathematical faculties of universities
and pedagogical institutes get acquainted with the history of this
science. Popular articles and books devoted to individual
mathematicians, did not create a complete picture of historical development
of maihemaiics as a science.
Having analyzed a large quantity books on the history of our science,
I was sure that students, teachers of schools, teachers of institutions
and public need a small book that gives the course of the history of
mathematics and of its ingenious creators. It is necessary to depict
the deep connection of mathematics with philosophy, religion, human
practice. I aspired to show in the book the indissoluble connection of
the history of mathematics with the history of mankind development,
having refused from traditional division of the history of mathematics
on periods of mathematics of constants, variable sizes, variable relations,
from devising of mathematicians and philosophers on «idealists» and
«materialists».
The title of the book and of most of its chapters and paragraphs
show, that the author does not claim to show the hole history of
mathematics, but gives the description of work done only by some
2 Зак 6833

18
Preface
outstanding mathematicians. In the bibliographic list that was offered
by the author and used while writing the book, many considerable
monographs sketches and articles on the history of mathematics, and
the life of its outstanding creators are indicated. Therefore, the readers
interested in deeper analysis of historical development of mathematics
can use these books.
I hope that the book will be interesting to a wide circle of the
readers wishing to get acquainted with the history of our most ancient
science. I express gratitude to the professors L. F. Pichurin, I. S. Kuz-
netsova and to the reviewer L. A. Zarikova for valuable remarks and
advices.
V. 5. Malakhovsky

19
Введение
§ 1. Что такое математика!
Слово «математика» произошло от греческого слова «матэма»
(μάθημα) — знание, наука. Такая характеристика оправдана всей
историей ее развития. Фрагменты древних рукописей,
высказывания великих людей о роли математики подчеркивают
всеобъемлющую роль математики не только в астрономии, механике, физике,
но и в других, казалось бы, совсем далеких от математики отраслях
знания. Приведем некоторые такие характеристики нашей
древнейшей науки.
1. «Математика — кузница мышления» (Китай). Китайское слово
«гуйцзюй» (порядок) состоит из двух слов: «гуй» — циркуль и «цзюй» —
угольник.
2. «Как Солнце своим блеском затмевает звезды, так мудрец
превзойдет всех, если он в народном собрании предложит задачи и искусно
решит их» (Индия).
3. «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой
науки и даже не может обнаружить своего невежества» (Роджер Бэкон).
4. «Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть
открытие рационального порядка и гармонии, которые Бог ниспослал
миру и открыл нам на языке математики» (Иоганн Кеплер).
«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это
теорема Пифагора, а другое — деление отрезка в среднем и крайнем
отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше
напоминает драгоценный камень» (Иоганн Кеплер).
5. «Бог всегда является геометром» (Платон).
6. «Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда
открыта перед нашими глазами,— я разумею Вселенную, но понять ее
сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена,
которыми она написана. А написана она на языке математики, и
письмена ее — треугольники, окружности и другие геометрические фигуры,
без которых нельзя понять по-человечески ее слова, без них —
тщетное кружение в темном лабиринте» (Галилео Галилей).
7. «Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле
лишь в той мере, в какой может быть применена к ней математика»
(Иммануил Кант).
8. «Математика имеет своим объектом пространственные формы
и количественные отношения действительного мира» (Фридрих
Энгельс).

20
Что такое математика?
9. «Наука родилась из веры в математическую интерпретацию
природы» (Джон Рендал).
10. «Математика — основа всего-точного естествознания» (Давид
Гильберт).
11. «Математика — царица наук, арифметика — царица
математики» (Карл Гаусс).
«В математике нет настоящих противоречий» (Карл Гаусс).
12. «Математическая истина сама по себе не является ни простой,
ни сложной, она существует» (Эмиль Лемуан).
13. «Те, кто родился математиком, обладая комбинированным умом,
имеют хорошие способности ко всем другим знаниям» (Сократ).
14. «Чтобы создать здоровую философию, нужно отречься от
метафизики, но быть хорошим математиком» (Бертран Рассел).
15. «Всякое новое в открытии является математическим по форме,
ибо нет никакой другой возможной для нас путеводной нити» (Джордж
Хоуард Дарвин).
16. «Чистая математика в своем современном развитии может
претендовать на положение наиболее оригинального творения
человеческого разума» (Альфред Уайтхед).
17. «Математика дает точным естественным наукам
определенную меру уверенности в выводах, достичь которой без математики
они не могут» (Альберт Эйнштейн).
«Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа
представляет собой реализацию простейших математически
мыслимых элементов» (Альберт Эйнштейн).
18. «Из всех наук математика является самой разветвленной
наукой, так как каждая ее ветвь в отдельности имеет сильнейшую
тенденцию развиваться самостоятельно, образовывая все новые и новые
отпочкования» (Э. Я. Кольман).
В этих ярких, восторженных отзывах о математике убедительно
показана ее роль в развитии науки. Характерными чертами
математики являются ее отвлеченность, логическая строгость,
обеспечивающая непреложность ее выводов, широту ее применения.
Благодаря соединению глубокой интуиции и строгого аксиоматического
метода математика всегда остается живой, но логически стройной,
широко разветвленной, но в то же время единой наукой, не
изменяющей (как это бывает в некоторых других науках, особенно
общественных) ни своим принципам, ни своим законам в
зависимости от смены эпох и режимов.

Общая характеристика исторического развития математики 21
§ 2. Общая характеристика исторического развития
математики
Дошедшие до нас рукописи, папирусы, клинописные
таблички, воспоминания и труды математиков Древнего мира
показывают, что самые ранние (III—II тысячелетия до нашей эры)
математические знания были в Древнем Египте, Древнем Вавилоне,
Китае и Индии. С VII в. до н. э. по VI в. н. э. центром математических
исследований стала Греция и прилегающие к ней территории, а с
VII в. н. э. до XV в. н. э. эстафета в развитии математики перешла к
странам мусульманского мира, включая Ближний и Средний
Восток, Среднюю Азию и Пиренейский полуостров. С XII века, после
многовекового застоя, математика стала развиваться в Европе на базе
достижений греческих и арабских математиков, а также математиков
Индии и Китая. Однако бурное развитие математики в Европе
началось с XVI века, охватив ведущие страны Западной Европы
(Италию, Францию, Германию, Англию и др.), а с XVIII века к этим
странам присоединилась и Россия. XIX и XX века стали
триумфом успеха математики во всех ведущих странах мира.
Со второй половины XX века интерес к математике значительно
возрос. Стало резко увеличиваться количество научных статей по
математике, опубликованных во всех научных центрах: с 500 в
месяц в 60-е годы до 10—20 тысяч в настоящее время. В конце XX века
в математике появилось столько разветвлений, что ученые даже
одной узкой специальности стали с трудом понимать друг друга.
Появилась опасность чрезмерного абстрагирования при создании
новых математических теорий и их подразделов. В наступившем
XXI веке со всей остротой встанет вопрос об укрупнении
научных направлений, о более доступном изложении самых
абстрактных математических теорий с целью успешного применения
математики к возросшим потребностям людей.
В предлагаемой книге в сжатом виде представлены основные
этапы исторического развития математики и дана характеристика
ведущим ученым, сыгравшим большую роль в успешном развитии
этой науки за 5 тысяч лет.

22
Глава I.
Математика древних восточных цивилизаций
К древним восточным цивилизациям обычно относят народы
Древнего Египта, Вавилона, Китая и Индии. Дошедшие до нас
древние рукописи и научные труды ученых более позднего периода
позволяют охарактеризовать уровень математических знаний в этих
странах.
§ 1. Математика в Древнем Египте
Наиболее ценными для истории математики являются
папирусы: Московский, Райнда (Ахмеса), Берлинский, Кахунский и
Кожаный свиток.
Московский папирус является самым древним памятником
египетской математики (ок. 1850 г. до н. э.). Его приобрел в 1893 году
русский собиратель Владимир Семенович Голенищев (1856—1947).
С 1912 года он хранится в Москве, в Музее изобразительных
искусств им. Пушкина, имеет размер 544x8 см и содержит решения
25 задач. Например, в задаче № 14 правильно вычислен объем
усеченной пирамиды с квадратным основанием. А в задаче № 10
вычислена площадь боковой поверхности полуцилиндра
(«корзины») с высотой, равной диаметру основания.
Папирус Райнда (Rhind) был составлен ок. 1650 г. до н. э. писцом
Ахмесом. Он приобретен английским собирателем Райндом в 1858 году
и хранится, как и Кожаный свиток, в Британском музее. Этот
папирус имеет размер 544x33 см и содержит 84 задачи, среди
которых, наряду с простыми арифметическими операциями (12-12
(задача № 32), 19 : 8 (задача № 24), 37 : (1 + у + ~ + у) (задача № 33)),
о
имелись задачи на определение площади круга (№ 50; S = (τ-d)2,
где d — диаметр, т. е. π« 3,16), равнобедренного треугольника,
равнобочной трапеции, а также задачи на линейное уравнение,
арифметическую и геометрическую прогрессии. При этом площадь
равнобедренного треугольника (равнобочной трапеции) определялась
произведением половины основания (полусуммы оснований) на
боковую сторону, а не на высоту. Рассмотрим несколько задач из
папирусов Райнда и Московского.

Математика в Древнем Египте
23
1. Разделить 100 караваев хлеба между 5 человеками так, чтобы
γ общего количества караваев у трех последних равнялась количеству
караваев у первых двух (Райнда, № 40).
2 5 11
Ответ: 1 - , 10- , 20, 29 —, 38 - (арифметическая прогрессия с пер-
3 6 6 3
2 1
вым членом 1— и разностью 9-т).
3 6
2
2. Найти число, если известно, что от прибавления к нему —- его и
вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10 (Райнда).
Ответ: 9.
3. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей,
каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может
вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?
(Райнда).
Ответ: 7, 49, 343, 2401, 16 807, b = q - 7, S - 19 607
(геометрическая прогрессия из пяти членов с первым членом 7 и знаменателем 7).
4. Определить объем квадратной усеченной пирамиды, если ее
высота равна 6, сторона нижнего основания — 4, верхнего — 2
(Московский).
Ответ: V
(42 + 4 · 2 + 22) = 56.
5. Определить длину сторон прямоугольника, если известны их
отношение и площадь фигуры (Московский).
Ответ:χ = л/п^> У = л/тй^, где-ур — данное отношение, a S —
площадь фигуры.
В Берлинском и Кахунском папирусах повторяются те же
правила вычислений, которые записаны в Московском папирусе и
папирусе Райнда.
Расшифровка египетских математических папирусов приводит к
следующим выводам:
1. За 2 тысячи лет до нашей эры египтяне употребляли
непозиционную десятичную систему счисления, в которой узловые числа 10к
(к = 0,7) изображались индивидуальными символами:
1
I
10
η
100
CO
1000
ί
10 000
S)
100 000
<сь
1 000 000
it
10 000 000
л

24
Математика древних восточных цивилизаций
Операция сложения сводилась к сложению соответствующих
символов с заменой в случае появления десяти символов одного
разряда символом следующего разряда.
Операция вычитания сводилась к отысканию числа, которое надо
прибавить к вычитаемому, чтобы в сумме получить данное
уменьшаемое.
Операции умножения и деления сводились к кратному
увеличению или уменьшению множителя (делителя) и сложению тех
результатов, для которых сумма соответствующих кратных равнялась
другому множителю (делителю). Умножение на символ другого
разряда осуществлялось путем соответствующей замены на более
высокие разряды символов сомножителя.
Дроби у, ~, j-, j- изображались символами /Г, Φ, χ, Я^ ил и /Г;*,
аликвотная дробь (т. е. с числителем 1) изображалась знаменателем
с чертой наверху, а произвольная дробь представлялась суммой алик-
вотных с попарно различными знаменателями. В папирусе Райнда
дана таблица разложения дробей ^ L Jn = 1,49) на сумму аликвот-
о 21,121 1,1 211.1
ных. Например: - = --+ -,- = - + - + —, -=й+ — +^.
2. Математика Древнего Египта представляла собой совокупность
примеров решения прикладных задач, в основном геометрического
характера. Египетская геометрия содержала правила определения
числовых характеристик простейших фигур без обоснования их
справедливости. Египетская алгебра сводилась, как правило, к
применению арифметических действий в задачах, относящихся к
геометрии, причем из квадратных уравнений рассматривались лишь
простейшие, т. е. вида ах2 = Ь. В папирусах нет задач, связанных с
теоремой Пифагора, хотя треугольник со сторонами 3, 4, 5 был известен
египтянам как прямоугольный. С помощью веревки, разделенной
узлами на 12 равных частей, они строили прямой угол, натягивая
веревку на три колышка так, чтобы образовался треугольник с
катетами 3, 4 и гипотенузой 5.
3. Египетская астрономия дала человечеству календарь, длина
года в котором равнялась 365 дням, причем год делился на 12
месяцев по 30 дней и 5 дополнительных дней в начале каждого года,
а сутки делились на 24 часа. Однако она оставалась на низком
уровне вплоть до правления Птолемеев.

Математика в Древнем Вавилоне
25
§ 2. Математика в Древнем Вавилоне
Источниками изучения древневавилонской математики
являются математические клинописные тексты, обнаруженные при
археологических раскопках. Среди сотен тысяч найденных археологами
табличек имеется лишь около 150 с текстами математических задач
и 200 с числовыми таблицами.
Задачи, решенные вавилонянами, являются чисто
практическими вычислительными задачами и (как и в египетских папирусах)
излагаются догматически без каких-либо пояснений. Однако
искусство счета в Древнем Вавилоне было более совершенным, чем в
Египте, а решенные вавилонянами задачи — значительно
разнообразнее и сложнее, причем употребляемая в них геометрическая
терминология играла (в отличие от египтян) второстепенную роль.
Вавилонскую математику характеризует широкое применение раз-
нообразных таблиц, например, имеются клинописные тексты с
таблицей умножения от 1 до 60, таблицами квадратов до 602, кубов до
323, квадратных корней натуральных чисел, обратных величин и т. д.
Имеется даже таблица чисел вида п3 + п2, используемая для
нахождения целочисленных решений кубических уравнений вида х3 + х2 = с.
Тексты вавилонских задач распадаются на два класса — с
рецептами решений и без них. Например, на одной табличке размером с
небольшую печатную страницу записаны формулировки более 200 задач.
Найдены несколько табличек первого класса, в которых
последовательно решаются задачи из табличек второго класса.
Приведем некоторые древневавилонские задачи:
/. Разделить прямой угол на три равные части.
2. Найти два числа, сумма которых 14, а произведение 45.
3. Решить квадратные уравнения х2 + 6х = 16, 7х2 + 6х = 1, х2 + χ =-j,
χ2-χ- 14,30.
4. Найти стороны такого прямоугольника, у которого площадь
равна 20, а произведение куба стороны на диагональ равно 14, 48, 53,
20=14+-48 + 53_+Ж.
60 602 603
5. Вычислить радиус круга, описанного около равнобедренного
треугольника со сторонами 50, 50, 60.
6. Решить систему:
1 (Зх + 2у)> + ± (4 (j- (χ + у) - (^- 1)(х - у))2+(х+у)>) = 4, 45, 0.
7. Площадь, состоящая из суммы двух квадратов, равна 1000.
Сторона одного из квадратов составляет -у стороны другого квадрата,
уменьшенная на 10. Найти стороны квадратов.

26
Математика древних восточных цивилизаций
8, Я нарисовал границу города (окружность). Я не знаю ее длины. Я
прошел 5 по направлению от центра от первой окружности и
нарисовал вторую границу (концентрическую окружность). Площадь между
ними 6У15. Найти диаметр нового и старого города.
Вавилоняне рассматривали также задачи на сложные проценты
и определяли показатели для некоторых чисел по заданной их
степени, т. е. экспериментировали со специальными случаями
логарифмов.
Методика решения задач состояла в указании
последовательности арифметических операций без объяснения, почему надо
поступать именно так. При этом π вавилоняне считали равным 3.
Например, задачу № 8 они решали так: «Умножить 5 на 3, получишь 15;
возьми обратное от 15 и умножь его на 6,15, заданную площадь,
получишь 25. Напиши это 25 дважды. Добавь 5, которое ты прошел,
к полученному результату и вычти 5 из него. Ты найдешь 30 для нового
города и 20 для старого». Для объяснения этих операций обозначим
через R и г радиусы большого и малого круга, через А — площадь
кольца и положим π равное 3. Тогда А = π (R2 — г2) ^3(R — г) (R + г)
А 1
R + г = Ч7Б \=7V 6,15 = 0,4 · 6,15 = 25 (в шестидесятиричной сис-
теме счисления!), (R + г) + (R - г) = 2R = 25 + 5 = 30, (R + г) - (R - г) =
= 2г = 20.
Расшифровка вавилонских математических текстов позволяет
сделать следующие выводы:
1. С третьего тысячелетия до нашей эры вавилоняне употребляли
позиционную шестидесятеричную систему счисления, используя
только два символа — клин вертикальный для единиц различных
разрядов и клин горизонтальный (угол) для десятков. Появление
такой системы обусловливалось, по-видимому, торговыми
операциями между двумя народами Месопотамии — шумерами и
аккадцами. Денежная единица шумеров «мина» (кучка серебра)
приравнивалась к 60 шекелям (шекель — денежная единица аккадцев),
при этом при расчетах часто употреблялась — мины, равная 10 ше-
6
келям, что обеспечивало особую роль числа 10.
Основными недостатками вавилонской системы счисления
являются отсутствие нуля и изображение одним вертикальным клином не
только числа 60к, но и дроби 60~к (к>0). Например, запись VzlVV могла
означать и 72 = 1 · 60 + 12, и lj= l-gj>, и 4320 = 1 · 602+ 12 · 60.

Математика в Древнем Вавилоне
27
Как отмечает Нейгебауер (66, с. 41), в заголовке вавилонской
таблички с этим числом сказано, что это 4320. Как правило, из
контекста задачи можно определить, какое число приведено в
соответствующей клинописной записи.
2. Вавилоняне владели высоким вычислительным искусством, но
некоторые их правила счета и определения площадей давали лишь
приближенные результаты. Так, принимая π за 3, они допускали
ошибки в определении длины окружности и площади круга
данного радиуса. Площадь четырехугольника определяли как
произведение полусумм противоположных сторон, что верно только для
прямоугольника. Квадратный корень из числа η = m2-f а они извлекали
по формуле Vn = m 4- -—, т. е. отбрасывали -т—2. Например, в одном
вавилонском тексте записано (в современных обозначениях):
VT700 - V402 + 102 = 40 + ^.
Несмотря на высокий уровень алгебры в Древнем Вавилоне, в
клинописных текстах отсутствуют понятие натурального числа и
общие методы решения квадратных уравнений.
3. Одна из особенностей вавилонской математики — это тесная
связь геометрических задач с алгеброй. Еще в XVIII в. до н. э.
вавилоняне знали теорему о квадрате гипотенузы прямоугольного
треугольника (впоследствии названную теоремой Пифагора).
По-видимому, им были известны формулы, дающие все целочисленные
решения неопределенного квадратного уравнения:
x2+y2 = z2, (1)
т. е. формулы:
χ = 2mn, у = m2 — η2, ζ = m2 -f n2, (2)
получившие название диофантовых.
Они знали также целочисленные корни уравнения:
u2 + v2 = 2w2.
u = x — у, ν = χ + у, w = ζ,
где х, у, ζ определяются формулами (2).
Геометрически w — это длина отрезка, параллельного
основаниям и и ν трапеции и рассекающего ее на две равновеликие части.
4. В вавилонской астрономии математика играла главную роль по
сравнению с наблюдениями, причем математизация астрономии в
Древнем Вавилоне началась после ассирийского периода (ок. 700 г.
до н. э.). Со времен Набонассара (747 г. до н. э.) вавилоняне имели

28
Математика древних восточных цивилизаций
полный список затмений, хотя ранняя астрономия Месопотамии
носила преимущественно качественный характер. Наиболее
характерными достижениями вавилонской астрономии являются: теория
движения Солнца и Луны, зодиак, состоящий из 12 участков по
30°, являющийся стандартной шкалой для описания движения
Солнца и планет, описание основных планетных и лунных явлений.
Математические астрономические тексты вавилонян (около
300 табличек) состояли из «процедурных» (около 70),
содержащих правила для вычисления эфемерид, и «эфемерид» (около 250),
описывающих движение небесных светил. Более половины
эфемерид — лунные, остальные — планетные. Основным математическим
средством вычисления эфемерид была арифметическая прогрессия
с постоянной разностью, возрастающая или убывающая между
фиксированными пределами. Все эфемериды вавилонян имели общую
структуру. Каждая строчка представляет месяц, каждая колонка —
специфическую функцию (солнечная скорость, лунная скорость
и т. п.), причем колонки следуют слева направо, а месяцы
отмечены соответствующими знаками зодиака.
5. Большое развитие в Древнем Вавилоне (как и в Египте,
Греции, Китае, Индии, Риме) получила астрология — учение о
возможности предсказания будущего отдельных людей, народов, а также
исхода определенных событий. Используя математику, астрологи
составляли гороскопы людей на основании расположения Солнца,
Луны и семи известных в то время планет. Число архивных
документов, касающихся месопотамской астрологии, очень мало (на
клинописных табличках обнаружено около десяти гороскопов и еще
меньше текстов, посвященных астрологическим учениям). Однако
до нас дошли многочисленные греческие источники, подробно
излагающие астрологические учения древних халдеев и вавилонян.
Благодаря этому укоренилось мнение, что именно Древний
Вавилон является родоначальником астрологии.
6. Математика Древнего Вавилона оказала огромное влияние на
развитие математических исследований на Ближнем и Среднем
Востоке, в Египте, Греции, Китае, Индии и Европе.
До сих пор мы пользуемся элементами вавилонской шестидеся-
теричной системы, деля час на 60 минут, минуту на 60 секунд,
секунду на 60 терций, окружность на 360°. Рассмотренные
вавилонянами приемы решения линейных, квадратных и неопределенных
уравнений, возникших из геометрических задач, их достижения в
астрономии позволили греческим, среднеазиатским, китайским,
индийским и европейским ученым вплотную подойти к созданию
научно обоснованной алгебры, геометрии и астрономии.

Математика в Древнем Китае
29
§ 3. Математика в Древнем Китае
Китайская математика имеет богатую многовековую историю и
оригинальные пути своего становления. Она развивалась
преимущественно в вычислительно-алгоритмическом направлении,
используя принципиально новые приемы решения алгебраических задач.
Согласно летописной истории, третий правитель династии Ся — Юй
(XXII—XXI вв. до н. э.) укрощал реки с помощью линейки и
циркуля. Из летописи также известно о существовании учебника по
математике эпохи Чжоу (XI в. до н. э.).
При помощи математики китайцы вычисляли площади полей и
храмов, объемы зернохранилищ и дворцов. Они умели измерять время
и расстояния, производить равноценный обмен продукции, знали
еще в 2200 г. до н. э. свойство прямоугольного треугольника со
сторонами 3, 4, 5, систематически использовали отрицательные числа и
оригинальные способы решения не только линейных и квадратных
уравнений, но и уравнений 3-й и 4-й степени.
Они называли математику «кузницей мышления». К сожалению,
в период первой китайской «культурной революции»,
осуществленной императором Цинь Шихуанди в 213 г. до н. э.,
большинство китайских книг, кроме медицинских,
сельскохозяйственных и гадательных, было уничтожено, а сотни философов
и ученых зверски истреблены (утоплены в нужниках). За утайку
книг кастрировали и отправляли на строительство Великой
китайской стены, а за недоносительство казнили. Доносчиков
награждали и повышали в должности. Хотя империя Цинь
просуществовала всего 25 лет, она нанесла тяжелый урон
культурному наследию Китая.
Основным дошедшим до нас математическим трудом Древнего
Китая является «Арифметика в девяти главах», составленная
выдающимся государственным деятелем Чжан Цаном в 152 г. до н. э.
В этом сочинении систематизированы все известные в Китае к этому
времени математические знания. В результате последующих
переработок и дополнений (Гэн Чоу-чан (I в. до н. э.), Лю Хуэй (III в. н. э.),
Чжень Луань (VI в. н. э.), Ли Чунь-фэнь (VII в. н. э.) и др.) это
уникальное издание стало своеобразной математической
энциклопедией, основным китайским учебником в VII — X вв. н. э. и базой
для дальнейших исследований.
«Арифметика в девяти главах» состояла из отдельных свитков,
содержание которых определялось их предназначением для
чиновников различных ведомств — землемеров, строителей, сборщиков
налогов и др. В этих свитках сформулированы 246 задач и даны к
ним ответы, причем после группы однотипных задач дается без

30
Математика древних восточных цивилизаций
вывода алгоритм их решения (как и в вавилонских клинописных
текстах).
Перечислим только названия книг этого сочинения. Книга 1 —
«Измерение полей», книга 2 — «Соотношения между различными
видами зерновых культур», книга 3 — «Деление по ступеням»,
книга 4 — «Шао гуан», книга 5 — «Оценки работ», книга 6 —
«Пропорциональное деление», книга 7 — «Избыток — недостаток», книга 8 —
«Фан чэн», книга 9 — «Гоу-гу». В «Шао гуан» определялась сторона
прямоугольника по заданной его площади и другой стороне, даны
правила извлечения квадратных и кубических корней, отыскания
радиуса круга по его площади, диаметра шара по его объему. «Фан
чэн» — это правило решения систем линейных уравнений путем
последовательного уменьшения числа неизвестных элементарными
преобразованиями расширенной матрицы из коэффициентов при
неизвестных и свободных членах. «Гоу-гу» («гоу» — горизонтальный
катет, «гу» — вертикальный катет (обычно больший)) содержит
задачи на применение теоремы Пифагора. В ней определены
пифагоровы тройки {2mn, m2- n2, m2 + n2}, где m > η.
Приведем несколько задач из «Арифметики в девяти главах».
1. 5 буйволов и 2 барана стоят Юланов золота, 2 буйвола и 5
баранов стоят 8ланов. Сколько стоит буйвол и баран?
2. Рысак и кляча движутся от Чанъаня к княжеству Ци, которое
удалено от Чаньаня на 300 ли. В первый день рысак пробегает 193 ли,
каждый последующий день пробегает на 13 ли больше. Кляча в первый
день пробегает 97 ли, каждый последующий день — на половину ли
меньше. Рысак первым достиг княжества Ци, повернул обратно и в
некотором месте встретил клячу. Через сколько дней они
встретились и сколько ли пробежала каждая лошадь?
3. Имеется горизонтальный катет в 5 бу, вертикальный катет в
12 бу. Какова сторона квадрата, вписанного в этот треугольник?
Оригинальность математических исследований китайских
математиков наглядно иллюстрируется методом «небесного элемента»
(так в Китае называлась неизвестная величина х), подробно
изложенным в книге Цинь Цзюшао «Девять книг по математике»
(1247) и применяемым для решения алгебраических уравнений
высших степеней. Сущность метода «небесного элемента»
проиллюстрируем на уравнении:
f(x) - 576х4 -2б40х3 + 1729х2+ 3960x - 1695252 = О,
рассмотренном Чжу Шицзе (ок. 1300).
1) Подбирается целая часть корня, равная 8 (так как f(8) =
= - 545300 < 0, f(9) = 335013 > 0).
2) Осуществляется подстановка χ = у + 8:

Математика в Древнем Китае
31
576/+ 15792у3+ 159553у2+ 704 392у - 545300 = 0.
3) Подстановкой у =τϊ? уравнение приводится к виду:
ζ4+ 15792ζ3+ 576 · 159553ζ2+ 5762 · 704392ζ - 5763 · 545 300 - 0.
384 27· 3 2
4) Находится корень ζ = 384 и определяются у = -—, = =—
j/о 2°· 9 J
χ = 83.
Этот пример наглядно иллюстрирует высокое вычислительное
мастерство китайских математиков и их умение оперировать с очень
большими числами.
Анализ математических и астрономических работ китайских
математиков с II в. до н. э. до XIV в. н. э. позволяет сделать следующие
выводы:
1. В Древнем Китае наряду с иероглифическим изображением
отдельных чисел (сохранившимся до наших дней) со второго
тысячелетия до нашей эры существовала десятичная позиционная
система счисления, близкая к индийской, однако для
изображения первых девяти цифр использовались вертикальные и
горизонтальные бамбуковые палочки:
0
0
1
I
2
II
3
III
4
IIII
5
пш
6
τ
7
ΪΪ
8
ш
9
ш
10
10
20
НО
30
шо
100
100
1000
1000
Например, число 6729 записывалось так I II II ПИ.
2. Характерными чертами древнекитайской математики
являются догматический стиль изложения (без доказательств) и
непрерывность традиций, затрудняющие появление новых крупных
открытий. Математика в Китае вплоть до XIV века представляла
систему строгих правил для решения задач по арифметике, алгебре и
геометрии. Успех на экзамене учащихся определялся цитированием ими
наизусть соответствующих разделов трудов «Десяти классических
трактатов», что содействовало тщательной передаче знаний от поколения
к поколению тысячелетиями, но не стимулировало плодотворную
творческую деятельность ученых-математиков.
3. Одним из самых крупных открытий китайских ученых было
введение во II в. до н. э. отрицательных чисел и правил их сложения
и вычитания — правил «чжэн-фу» («чжэн» — положительное
число, обозначалось красным цветом, «фу» — отрицательное число —
черным). В III в. н. э. отрицательные числа в Греции рассмотрел
Диофант, а в VII в. н. э. они появились в Индии.

32
Математика древних восточных цивилизаций
4. Китайская математика не была изолирована от науки
Индии, Средней Азии, стран Ближнего и Среднего Востока и
оказала влияние через эти страны на математику средневековой
Европы. Однако многие открытия китайских ученых стали известны
в Европе уже после того, как их самостоятельно сделали сами
европейцы.
5. Хотя в 1-й книге из «Арифметики в девяти главах» значение π
приравнивалось к 3 (ввиду давней традиции), в последующие
столетия китайские математики пользовались для π более точными
приближениями π « 3,1547 (Лю Синь, II в.), π « Λ/10 « 3,1623 (Чжан
Хэн, II в.), π - 3,1459 (Лю Хуэй, III в.), 3,1415926 < π < 3,1415927
(Цзу Чун-чжи, V в.). Только через 1000 лет эту точность для π,
достигнутую в Китае, превзошел среднеазиатский астроном аль-Каши.
Он определил π с точностью до 16 знаков, вычислив сторону
правильного многоугольника с числом сторон 805 306368.
§ 4. Математика в Древней Индии
В середине третьего тысячелетия до новой эры в долине реки
Инд существовала развитая цивилизация. При археологических
раскопках были найдены древнейшие в мире игральные кости
кубической формы с ямочками на сторонах от 1 до 6 и обломок линейки
с делениями. С древнейших времен в Индии применялась
десятичная позиционная система счисления. Индийские математики умели
складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в квадрат и
куб, извлекать квадратные и кубические корни. Но, к
сожалению, основные математические трактаты, дошедшие до нас,
относятся к более позднему времени. Большинство из них написано
на санскрите (языке науки) в V — XVI веках новой эры. Из
наиболее древних сохранились «Веды» (знания) (II—I тысячелетия
до н. э.) и «Сиддханты» (учения) (первые века новой эры). В
одном из разделов трактата «Веды», названном «Шульбасутра»
(правило веревки) (VIII—V вв. до н. э.), содержались правила
измерений с помощью веревки с узлами при строительстве жертвенных
алтарей и храмов.
В первых сиддхантах имеется много заимствований от греков.
Научные связи Индии и Греции существовали еще в античные
времена. Особенно они укрепились после похода Александра
Македонского. Взаимное проникновение математических знаний было
у Индии и Китая. Из Индии в Китай пришла позиционная
система счисления, из Китая в Индию в VII веке — отрицательные
числа («кшайя» — долг).

Математика в Древней Индии
33
Индийские математики создали развитую алгебраическую
символику. Они ввели обозначение неизвестных, свободного члена
уравнения, основных арифметических действий, используя первый слог
соответствующего термина. Например, одна неизвестная величина
называлась «йават-тават» (сколько-столько) и обозначалась «йа». Если
же неизвестных было несколько, то их называли различными
цветами и также обозначали соответствующими первыми слогами.
Например, для трех неизвестных: «калаха» (черный) — «ка», «нилака»
(голубой) — «ни», «питака» (желтый) — «пи».
Дадим краткую характеристику трудов выдающихся индийских
математиков и астрономов V—XV веков новой эры.
В сочинении «Ариабхатиам», написанном в 499 г. н. э. Ариабхатой
(476 — ок. 550), изложены математические сведения, необходимые
для астрономических наблюдений, и высказана догадка, что Земля
вращается вокруг оси и вокруг Солнца. Даны решения задач на
извлечение квадратных и кубических корней, решения уравнений с
двумя неизвестными в целых числах, осуществлено суммирование
кубов натуральных чисел, дано приближенное значение π^ 3,1416.
Ариабхата сыграл большую роль в развитии математики и
астрономии в Индии. Его именем назван первый индийский спутник,
выведенный на орбиту 19.04.1975 г. советским ракетоносителем.
В дошедшем до нас единственном сочинении «Пересмотр системы
Брахмы» другого выдающегося индийского математика Брахмагупты
(Брамагупты) (ок. 598—660) решаются разнообразные
арифметические и алгебраические задачи. В нем изложено учение об
арифметической прогрессии, решаются квадратные уравнения
с действительными корнями, неопределенные уравнения в
целых числах с использованием непрерывных дробей,
сформулировано правило составления прямоугольных треугольников с
рациональными сторонами, обратное тройное правило и др. Брахмагупта
ввел интерполяционное правило для синуса и обратного синуса при
равных и неравных интервалах, являющееся частным случаем
известной интерполяционной формулы Ньютона — Стирлинга. Уже в
VIII веке работа Брахмагупты была переведена на арабский язык.
В книге индийского математика Магавиры (ок. 814—880)
«Краткий курс математики» (комментарии к работам индийского
математика Пингали) рассмотрено деление числа на дробь (с
указанием, что на 0 делить нельзя), суммируются квадраты и кубы членов
арифметической прогрессии, решается в целых числах уравнение
х2 + у2= ζ2 и различные задачи на проценты.
В трактате по математике Шридхары (Сридхары) содержатся
правила действий с целыми и дробными числами, правила
определения площадей плоских фигур, сводящиеся к решению алгебраи-

34
Математика древних восточных цивилизаций
ческих уравнений 1-й и 2-й степени и др. Этот трактат оказал
большое влияние на исследования индийских математиков последующих
поколений.
В трактате «Сиддханта-сиромани» (Венец науки (системы),
написанном в 1150 году индийским математиком и астрономом Бхас-
карой (1114 — ок. 1185)), даны решения ряда алгебраических задач,
в том числе уравнения Пелля ах2 +1 = у2 в целых числах, указано на
двузначность квадратного корня из положительного числа,
рассмотрено разложение числа в непрерывную дробь и изложены
различные правила счета. Бхаскара определил sin 18° = j(V5~— 1) « 0,3090169.
Этот трактат состоит из четырех частей, из которых две («Лилавати»
(красавица) и «Биджаганита» (извлечение корней) посвящены
математике, остальные две — астрономии.
В «Научном сборнике и комментариях к «Ариабхатиаме»
индийский математик Нилаканта (1444 — ок. 1501) считал отношение
длины окружности к диаметру, т. е. число π, иррациональным и
указал значение π до 10 правильных знаков с помощью
разложения в ряд.
Следует заметить, что многие труды индийских математиков
изложены в стихах с целью более легкого заучивания правил.
Индийцы с самых древних времен оперировали очень большими
числами. У них имелись особые названия для всех десятичных
единиц вплоть до 1017, а в легендах о Будде рассказывается, что он сам
создавал названия десятичных единиц вплоть до 1054 и желал пойти
еще дальше в этом направлении.
Южноиндийские математики в XV—XVI веках добились
больших успехов в области суммирования бесконечных рядов.
Нилаканта словесно формулирует правило разложения арктангенса в
степенной ряд, а в анонимном трактате «Каранападдхати» (техника
вычислений) даны правила разложения в бесконечные степенные
ряды синуса и косинуса. Следует отметить, что в Европе к таким
разложениям пришли лишь в XVII веке (Ньютон нашел
разложение для синуса и косинуса (1666), Дж. Грегори и Лейбниц — для
арктангенса (1671, 1673).
Видное место в Древней Индии занимали арифметические и
геометрические прогрессии и задачи по комбинаторике. Одной из
наиболее известных таких задач на геометрическую прогрессию
является задача о награде за изобретение шахмат.
Обычно индийские математики формулировали свои задачи в
стихотворной форме, иногда с привлечением различных понятий
из других наук. Рассмотрим несколько примеров древнеиндийских
задач:

Математика в Древней Индии
35
/. Стоимость 9 лимонов и 7 лесных яблок равна 107, стоимость 7
лимонов и 9 яблок равна 101. О математик, быстро назови мне цену
лимона и лесного яблока (Магавира).
2. О друг, назови мне число различных ожерелий, которые можно
получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов
(Магавира).
3. Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенка-
ми: острым, горьким, вяжущим, кислым, соленым, сладким. Друг, скажи,
каково число всех разновидностей? (Шридхара).
4. Пятая часть пчелиного роя села на цветок кадамбы, третья —
на цветок силинды, тройная разность этих двух улетела на цветок
кутаджи, и только одна-единственная пчела носится в воздухе,
привлекаемая ароматом жасмина и пандануса. Назови мне, красавица, число
пчел (Шридхара, Бхаскара «Лилавати»).
5. Посреди сражения яростный сын Притхи схватил некоторое число
стрел, чтобы убить Карну. Половину их он употребил на собственную
защиту, а учетверенное количество квадратного корня — против
лошадей, 6 стрел пронзили возницу Салью, 3 других прорвали зонтик
Карны, разбили его лук и знамя и одна пронзила ему голову. Сколько
стрел было у Арджины, сына Притхи?(Бхаскара «Лилавати»).
6. Доказать: VlO + V24 + V40 + V60 = ^2~+ V5 + V5 (Бхаскара
«Сиддханта-сиромани»).
7 Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 7
превращается в полный квадрат (Бахшалийская рукопись).
8. Два светила находятся на данном расстоянии друг от друга и
движутся одно к другому с данными скоростями. Определить точку
их встречи (Ариабхата).
Анализируя математические исследования индийских
математиков с древности до XVI в. н. э., убеждаемся, что они сыграли
выдающуюся роль в развитии математической науки:
1. Индийская позиционная система счисления и разработанные
индийскими математиками правила выполнения арифметических
операций завоевали мир и используются сейчас в большинстве стран.
2. В Индии было положено начало тригонометрии как учения о
тригонометрических величинах. Заменив птолемеевские хорды на
синусы, индийцы установили стройную систему
тригонометрических тождеств и отношений, составляющих основу любого
современного учебника по тригонометрии, включая правила
вычисления синусов и косинусов кратных углов (sin η α, cos η α, η = 2, 3, 4, 5).
Бхаскара дал таблицу синусов с интервалом 1°.
3. В Индии была создана развитая алгебраическая символика,
положившая начало развитию алгебры как науки. Индийские мате-

36
Математика древних восточных цивилизаций
матики знали комбинаторику, треугольник Паскаля, умели вычис-
η η
лять суммы Zk и Zk2.
k=l k=l
4. В VIII веке ученые стран Ближнего и Среднего Востока
познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и
перевели их на арабский язык. После перевода этих трудов с арабского
на латынь многие идеи индийских математиков стали достоянием
ученых Европы и мира.
5. Результаты южноиндийских математиков XVI века по теории
степенных рядов, опубликованные в анонимном труде «Каранападд-
хати» (техника вычислений), на столетие опередили исследования
в этой области Ньютона и Лейбница. В этом труде даны правила
разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды.
6. Наличие экономических и политических связей Древней Индии
с греческими, египетскими, арабскими государствами и с Китаем
оказало благотворное влияние на глубину математических
исследований в Индии с использованием наиболее ценных математических
результатов, полученных математиками и астрономами этих стран.
Например, с VII века индийцы широко употребляли
заимствованные в Китае отрицательные числа и правила решения
алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени.
7. В индийской математике, как и в китайской, преобладали
вычислительно-алгоритмические методы, а геометрические задачи
отличались сугубой практичностью. В ней отсутствовал дедуктивный
характер математических исследований.

37
Глава II.
Математика в Древней Греции
На заре VIII в. до н. э. на Средиземноморском побережье
сложилась новая политическая организация — совокупность автономных
городов-государств с прилегающими территориями. Такие города
назывались полисами. Они и составили общее государство —
Грецию. В период с VII в. до н. э. до I в. н. э. (вплоть до завоевания Греции
римлянами), а в Александрии — до VI в. н. э. на этих землях достигли
своего наивысшего расцвета философские и математические науки
Древнего мира. В Древней Греции наивысшую известность
приобрели четыре философские математические школы: ионийская (Фа-
лес, VII—VI вв. до н. э.), италийская (Пифагор, VI—V вв. до н. э.),
афинская (Платон, Аристотель, IV—III вв. до н. э.),
александрийская (Аполлоний, Архимед, Птолемей, Евклид, Герон, Диофант,
III в. до н. э. — V в. н. э.).
Математические и философские исследования в Древней
Греции были тесно связаны между собой вплоть до отождествления
смысла слов философия и геометрия. Платон (ок. 427 — ок. 347
до н. э.) требовал от своих учеников знания геометрии. «Не геометр
да не войдет» — было написано на входе в знаменитую
платоновскую академию.
К сожалению, большая часть рукописей древнегреческих
математиков и философов была уничтожена. Греческие тексты дошли
до нас в виде списков и комментариев, составленных через 500—
1500 лет после появления оригиналов, арабских переводов и их
латинских переводов. Однако эти источники, а также легенды и
работы историков более позднего периода, посвященные Древней
Греции, позволяют воссоздать достаточно полную картину о
математике и математиках Эллады.
Древнегреческая математика развивалась последовательно
вышеупомянутыми школами, каждая из которых использовала
достижения своих предшественников.
В Древней Греции существовали две системы счисления —
ионическая и геродианическая. Обе — непозиционные буквенные:
Ионическая
1
ос
2
β
3
γ
4
δ
5
ε
6
ς
7
ζ
8
η
9
θ
10
ι
20
κ
30
λ

38
Математика в Древней Греции
40
μ
50
V
60
ξ
70
0
80
π
90
Ч
100
Ρ
200
σ
300
τ
400
υ
500
<Ρ
600
Χ
700
Ψ
800
ω
900
Χ
1000
,α
ΙΟ4
Μ
ΙΟ5
Μ
ΙΟ6
й
W
й
3738
,γψλη
5008
,εη
Геродианическая
1
Ι
2
II
3
III
4
ни
5
Γ
6
ΓΙ
7
ΠΙ
8
ΠΙΙ
9
ΠΙΙΙ
10
Δ
100
Η
1000
χ
10000
Μ
50
Ρ
500
F
5000
F
50000
F
Так как греческий алфавит имел 24 буквы, то 3 буквы в
ионической системе — финикийские: 6 = ς «вау», 90 = Ч «коппа», 900 =
=Л «сампи».
Дроби обозначались двумя способами. Например,
3 β ' 3 ργγ ·
Чтобы не спутать числа со словами, над числами сверху ставился
штрих, обычно справа.
Использование буквенных непозиционных систем затрудняло
развитие арифметики и алгебры. Для числовых характеристик
греческие математики часто пользовались геометрической
интерпретацией. Например, рассматривали фигурные числа.
§ 1. Ионийская математика
Ионийская математическая школа справедливо считается
родоначальницей дедуктивной математики как науки. Эта школа
развивалась около двухсот лет — VII—VI вв. до н. э. вплоть до завоевания
Ионии турками. Восстание ионийцев в 496 г. до н. э. было жестоко
подавлено, а Милет — столица Ионии — разрушен.
Ведущим ученым Ионии был Фалес Милетский —
государственный деятель, купец, инженер, математик, астроном, философ. Он
жил в конце VII — начале VI в. до н. э. (ок. 625— ок. 547 до н. э.).

Ионийская математика
39
В 582 г. до н. э., три года спустя
после предсказанного им 28 мая 585 г.
до н. э. полного для Ионии
солнечного затмения, Фал ее был
провозглашен первым из «семи мудрецов»
Древней Греции.
Предки Фалеса — финикийцы,
а сам он стал гражданином Миле-
та. Свои первоначальные знания
Фалес почерпнул в Египте,
Вавилоне и Финикии. Его справедливо
считают первым астрономом и
математиком, родоначальником
дедуктивной геометрии.
Фалесу приписывали открытие
годового движения Солнца на фоне
«неподвижных» звезд, определение
времени солнцестояний и равно- ФАЛЕС
действий, понимание того, что Луна
светит не своим светом. Афоризмы Фалеса, называемые в Древней
Греции «гномами», поражают глубиной философского мышления.
Например, «Больше всего пространство, потому что оно все в себе
содержит»; «Быстрее всего ум, потому что он все обегает»;
«Сильнее всего необходимость, ибо она имеет над всем власть»; «Мудрее
всего время, потому что все открывает»; «Многословие вовсе не
является показателем разумного»; «Ищи что-нибудь одно мудрое, выбирай
что-нибудь одно доброе, так ты уймешь пустословие болтливых людей».
Фалес разделил небесную сферу на пять зон. Он ввел календарь,
определив продолжительность года в 365 дней и разделив его на 12
тридцатидневных месяцев, а 5 дополнительных дней помещались, как это
было принято в Египте в то время, в начале каждого года.
В области геометрии Фалес установил дедуктивно ряд равенств:
вертикальных углов, треугольников с равной стороной и равными
прилежащими к ней углами, углов при основании равнобедренного
треугольника, частей круга, разделенного диаметром. Он доказал, что
угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, — прямой.
Однако многие ученые считают, что широко известная в
элементарной планиметрии теорема Фалеса о пропорциональности отрезков угла,
разделенного параллельными линиями, просто названа в его честь.
Из дошедших до нас легенд о Фалесе следует, что он успешно
применял геометрию в решении практических задач. Так, он
удивил египетского фараона Амазиса, определив высоту пирамиды по
длине ее тени. Фалес вставил палку вертикально в песок и дождал-

40
Математика в Древней Греции
ся, пока тень от палки станет одинаковой с выступающим из песка
ее концом. Тогда и тень пирамиды оказалась равной ее высоте.
По другой легенде, он определил расстояние до корабля в море
по трем палкам, разместив среднюю на одинаковом расстоянии от
первых двух так, чтобы, пройдя вертикально от берега, увидеть
среднюю палку и корабль на одной линии и воспользоваться свойством
равенства прямоугольных треугольников по катету и прилегающему
к нему острому углу.
Как философ Фалес считал началом всех вещей воду, а мир —
одушевленным и полным божеств.
Другим выдающимся представителем ионийской философ-
ско-математической школы был ученик и последователь Фалеса
Анаксимандр (ок. 610 — ок. 547 до н. э.), написавший научные труды
«О природе», «Карта земли», «Глобус». Он дал общий очерк
геометрии и создал космогоническую теорию, в которой началом и основой
всего сущего объявил апейрон — нечто беспредельное, безграничное,
бесконечное, вечное. Анаксимандр считал, что живое зародилось на
границе моря и суши из ила под воздействием небесного огня, что первые
живые существа жили в море и лишь позднее некоторые из них
вышли на сушу, что человек произошел от животных. Анаксимандр
построил модель небесной сферы, начертил географическую карту
и ввел в употребление элементарные солнечные часы — «гномон».
Известным ионийским философом был ученик и последователь
Анаксимандра Анаксымен (6 в. до н. э.) — астроном и метеоролог,
объявивший началом всего сущего воздух. Анаксимен исправил
ошибку Анаксимандра и поместил звезды за Луной и Солнцем. Он
считал, что град образуется при замерзании выпадающей из туч
воды, а если к этой замерзающей воде примешан воздух, то
образуется снег. Состояние погоды Анаксимен связывал с активностью
Солнца.
Философы ионийской школы заменили фантастические
представления о природе рациональным подходом, объявив разумом
Вселенную.
§ 2. Италийская математика
В конце VI в. до н. э. центр философско-математических
исследований переместился из Ионии в Великую Грецию — совокупность
полисов-колоний на побережье Южной Италии и Сицилии.
Философия италийцев была дальнейшим шагом в развитии математики
и становлении античной философии. К ней принадлежали
пифагорейский союз, школа элеатов и Эмпедокл.

Италийская математика
41
Пифагорейцы были первой
научной школой, предложившей
свою модель математизированного
плана строения Вселенной.
Дошедшая до нас информация о
Пифагоре и его учении не позволяет дать
объективный анализ деятельности
пифагорейцев. На основе более
подробных, «поздних» сведений о
Пифагоре (I—V вв. н. э.)
вырисовывается следующая картина.
Основателем пифагорейского
союза был Пифагор Самосский
(ок. 570—500 до н. э.). Из-за
тирании самосского правителя
Поликрата он, по совету Фалеса,
юношей покинул родину и отправился
в Египет, где 22 года учился у еги- ПИФАГОР
петских жрецов. В 525 г. до н. э.
Египет завоевали персы. Они истребили две тысячи самых знатных
египтян и очень многих угнали на восток в качестве пленных. Среди них
оказался и Пифагор, который, обнаружив незаурядный ум и
смекалку, сумел попасть к вавилонским жрецам. В Вавилонии Пифагор
пробыл 12 лет и, по утверждению древнегреческого историка
Апулея, выезжал с купцами в Индию и обучался у индийских мудрецов.
Пробыв после 34-летних странствий непродолжительное время на
родине, он переехал в Великую Грецию и основал в г. Кротон
свою знаменитую школу закрытого типа — пифагорейский союз.
В этот союз принимались лица обоего пола, выдержавшие
многолетнюю проверку своих умственных и нравственных качеств.
Собственность была общей. Учащиеся делились на две ступени:
низшую — «акусматики», усваивавшие знания догматически, и
высшую — «математики», занимавшиеся обоснованием изучаемых наук
и установлением новых математических истин. Все открытия
приписывались Пифагору, которого считали полубогом и почитали как
высшее существо.
Пифагорейцы видели сущность явлений в числе и числовых
отношениях. «Вещи суть копии чисел, числа — начала вещей».
Пифагореец Филолай писал в V в. до н. э.: «Если бы не число и
его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь ни само
по себе, ни в его отношении к другим вещам... Мощь чисел
проявляется, как нетрудно заметить... во всех деяниях и помыслах людей,
во всех ремеслах и музыке».

42
Математика в Древней Греции
А пифагореец Никомах (I—II вв. н. э.) в «Арифметической
теологии» подчеркивал исключительную роль единицы: «Единица есть
божество, разум, добро, гармония, счастье».
Главным божеством пифагорейцы считали «Тетрактис» (четве-
рицу) — множество первых четырех натуральных чисел,
определяющих соответственно точку, прямую, плоскость и пространство.
Встав до восхода Солнца и проделав мнемонические
упражнения, увеличивающие объем памяти и облегчающие запоминание,
пифагорейцы шли на берег моря встречать восход Солнца и
совершать утреннюю молитву: «Благослови нас, о божественное число,
породившее богов и людей! О святая, святая Тетрактис! В тебе
источник и корни вечно цветущей природы! Ибо это божественное
число начинается чистой и глубокой единицей и достигает
священной четверки; затем она порождает праматерь всего сущего, ту, что
все объединяет, ту, что первой родилась, что никогда не
отклоняется в сторону, ту, что никогда не утомляется, священную десятку,
ключ ко всем вещам».
Затем они обдумывали предстоящие дела, делали гимнастику,
трудились. Вечером они совершали совместное купание, после чего
вместе ужинали и молились богам. Завершался день общим
чтением, а перед сном каждый пифагореец давал себе отчет о
прошедшем дне: «Сладкому сну усталые очи не дай смежить прежде, чем
ты обсудишь дневные дела свои, так вопрошая: Что преступил я?
Что натворил? Какого не выполнил долга? Первым начавши,
припомни ты все по порядку, а после, коль дела дурны, — о них
сокрушайся, добрым же рад будь. Тетрактис — вечной природы источник».
Пифагорейцы разбивали все числа на классы: четные и нечетные,
простые и составные, совершенные, дружественные, гармонические,
треугольные, квадратные, пятиугольные и т. д. Символом
пифагорейцев была пентаграмма — пятиконечная звезда. Каждому числу
придавался особый смысл. Нечетные числа назывались мужскими,
четные — женскими. Число 5 было символом супружества (брака), так
как оно является суммой первого нечетного и первого четного
числа (при этом единица, как основа всех чисел, не рассматривалась
как число), 6 — символ души, 7 — здоровья, 8 — любви и дружбы,
9 — гармоническое число, 10 — символ вечности, Вселенной и т. д.
Особую роль в пифагорейском союзе играло число 36, являющееся
суммой первых четырех нечетных и четырех четных чисел и
олицетворяющее окружающий мир. Клятва этим числом была самой
высшей клятвой у пифагорейцев. Особую роль они отводили паре
дружественных чисел 220 и 284, т. е. чисел, сумма делителей одного из
которых равнялась другому и наоборот. Пифагору приписывают фразу:
«Друг тот, кто есть другой я, вот как числа 220 и 284».

Италийская математика
43
Среди многочисленных легенд о Пифагоре особый интерес
представляют две легенды о гармонических числах, записанные римским
историком и философом Боэцием (Boethius) (ок. 480 — 524). В
первой легенде говорится, что, проходя мимо кузницы, Пифагор был
поражен гармонией звуков, возникающих при ударах молотов
различного веса. Войдя в кузницу и заменив сначала четырех
молотобойцев (пятого, звук молота которого не создавал гармонии, он
просил не стучать), Пифагор убедился, что явление гармонии
звуков не зависит от силы удара. Взвесив молоты, он обнаружил, что
их веса относятся как числа 12, 9, 8, 6. Первый молот создавал звук
в 1 тон, второй — j- тона (кварту), третий — -^-тона (квинту) и
последний —-£- тона (октаву).
о
В другой легенде Пифагор исследовал связь между длиной
вибрирующей веревки и тоном издаваемого ею звука. Оказалось, что
веревка, имеющая ~ первоначальной длины, производила -~ тона
2 1
исходного звука, имеющая ±- длины — -^, а имеющая половину
длины — ~ (октаву). Он рассмотрел четыре числа 12, 9, 8, 6 и, заметив,
о
что 7 = т1 > 4 = tL Ί~~ν)' сделал вывод, что эти числа составляют
гармонию звуков (от целого к октаве). Числа 12, 9, 8, 6 были
названы гармоническими, тело куб (12 ребер, 8 вершин, 6 граней) —
гармоническим телом, причем было замечено, что 9 является средним
арифметическим числом 6 и 12, а 8 — их средним гармоническим:
9 = 1(12 + 6), Н^+1>·
Из числа ранних пифагорейцев, кроме самого Пифагора,
известны Парменик, Перкопс, Бронтин, Петрон, Алкмеон, Гиппас и пи-
фагорейка Дейноно (Теано) — жена Бронтина, «мудрая и
выдающаяся своими дарованиями» (Ямвлих). Особенно выделялся среди
них Гиппас из Метапонта, который противостоял Пифагору как
демократ аристократу. Говорили, что Пифагор — глава «математиков»,
а Гиппас — глава «акусматиков». За открытие «недостойным» тайны
несоизмеримости гипотенузы и катета равнобедренного
прямоугольного треугольника его изгнали из союза и применили самую
«вредоносную магию», соорудив ему живому могилу. И Гиппас вскоре утонул.
После разгрома пифагорейского союза в середине V в. до н. э.
(восставшие килоновцы сожгли здание, где почти все пифагорейцы
собрались на очередной съезд) пифагорейская диаспора рассеялась.
Последователи Пифагора (Филолай, Еврит, Архит, Алкмеон, Ев-
докс, Никомах и др.) продолжали развивать его учение еще в
течение многих веков.

44
Математика в Древней Греции
Филолай (V в. до н. э.) долгое
время преподавал в Беотии в г. Фивы,
имел много учеников, а в конце
своей жизни вернулся в Южную
Италию в г. Тарент, где правил его
ученик — могущественный стратег
Архит. Филолай все числа изображал
как фигуры: простое число было
линейным, разложимое на два
равных множителя — квадратным, на два
неравных — прямоугольным, а
числа, разложимые на три множителя,
были уже стереометрическими
телами. Десятка (декада) у Филолая
«велика и совершенна, все исполняет
и есть начало (первооснова)
божественной, небесной и человеческой
АРХИТ жизни». Она изображалась не как
прямоугольное число со сторонами
в пять и в две единицы, а как треугольное число — Тетрактис.
Архит Тарентский (ок. 428—365 до н. э.) — ученик Филолая —
был крупнейшим представителем позднего пифагореизма. Ему
приписывают авторство многих книг: «О декаде», «О флейтах», «О
машине», «О земледелии», «Беседы», «Гармоника» (или «О
математике»). До нас дошло только несколько фрагментов из этой
последней книги. Архит предложил геометрическое решение задачи об
удвоении куба, основанное на построении пересечения нескольких
поверхностей. Он исследовал арифметическую и гармоническую
пропорции, подчеркивал социальную роль математики. Им
установлены первые принципы механики, создана модель «летающего
голубя». Считают, что он изобрел блок и винт. Архит был
выдающимся государственным деятелем и полководцем. Хотя в
демократическом Таренте закон запрещал быть стратегом одному и тому же
лицу даже дважды, Архит занимал этот пост семь раз и ни разу не
потерпел поражения. Римский философ Катон Утический называл
Архита «великим и прославленным мужем».
Для нас рассуждения пифагорейцев кажутся наивными и
мистическими. Но не следует забывать о том, что глубокое изучение
чисел замкнутой группой талантливых единомышленников Древней
Греции привело их ко многим научным открытиям, далеким от
мистицизма, — установлению существования несоизмеримых
отрезков, способствующему открытию иррациональных чисел, приданию
геометрии характера настоящей науки, созданию теории арифме-

Италийская математика
45
тической, геометрической и
гармонической пропорций, составлению
квадратных уравнений, не
имеющих иррациональных корней и др.
Пифагор и его последователи
внесли неоценимый вклад в
развитие математической науки,
содействовали возникновению
прославляющих математику философских
школ Платона и Аристотеля и
появлению знаменитых
математических трудов Древнего мира —
«Начал» Евклида и «Конических
сечений» Аполлония, работ Архимеда.
Философская школа элеатов,
как и пифагорейский союз,
возникла в Великой Элладе, в
городе-полисе Элея. Главные предста- ЗЕНОН
вители этой школы — Ксенофан,
Парменид, Зенон и Мелисс. Хотя элеаты (V в. до н. э.) строили свои
рассуждения не на математической, а на физической сущности
мироздания, вклад их в развитие математики благодаря
знаменитым апориям Зенона также велик. Именно элеаты
проиллюстрировали невозможность бесконечной делимости и всякого движения,
если мыслить пространство и время состоящими из неделимых частей.
Таким образом, еще в Древней Греции возникла мысль о
непрерывности, математической бесконечности и пределе, что явилось
началом исчисления бесконечно малых, ставшего два с лишним
тысячелетия спустя важнейшим методом математических
исследований.
Зенон (ок. 490 — ок. 430 до н. э.) — любимый ученик и
последователь Парменида. Он — талантливый учитель и оратор. Вся его жизнь —
борьба за истинность и справедливость. В Афинах он давал уроки
Периклу. Аристотель назвал Зенона изобретателем диалектики.
Апории Зенона чрезвычайно глубоки. До нас дошли 9 из 45 его апорий,
из которых общеизвестны четыре: дихотомия, Ахиллес и черепаха,
стрела и стадион. В первых двух Зенон возражал против
бесконечного деления отрезка: движение невозможно, так как прежде чем
достигнуть конца пути, надо пройти его половину, а еще раньше —
четверть и т. д. Ахиллес никогда не сможет догнать ползущую перед
ним черепаху, так как пока он доберется до места, где была
черепаха, она уползет на некоторое расстояние и т. д. В последних двух он,
наоборот, возражает против разбиения отрезка на дискретное мно-

46
Математика в Древней Греции
жество точек, предположив которое, в 3-й апории стрела стояла бы
на месте, а в 4-й удваивалось бы время: бегунам на средней
дорожке стадиона встречалось бы в 2 раза меньше спортсменов, стоящих
неподвижно на первой дорожке, чем спортсменов на 3-й дорожке,
бегущих в противоположном направлении.
На нематематическом языке Зенон впервые указал на внутреннюю
противоречивость понятий непрерывного и дискретного, конечного и
бесконечного. Жизнь философа оборвалась трагически. В последний
раз возвратившись из Афин в Элею, он узнал, что власть на его родине
захватил жестокий тиран Неарх. За участие в заговоре против тирана
Зенон был схвачен и подвергнут жестоким пыткам. На суде,
обращаясь к зрителям, он сказал: «Если вы согласитесь остаться рабами из-за
боязни мучений, которым, вы видите, подвергаюсь я, то я могу
только удивляться вашей трусости». После этого Зенон откусил себе язык
и выплюнул в лицо тирану. Народ был так возбужден этой сценой, что
кинулся на тирана и убил его. Таков был Зенон как личность.
Философия Эмпедокла (ок. 490 — ок. 430 до н. э.), последнего
представителя италийской философии, сочетает в себе италийскую
и ионическую традиции. Учителя Эмпедокла — пифагорейцы и эле-
аты Ксенофан и Парменид. Он — современник Филолая и Зенона —
сочетал в себе искусство оратора, ритора, врача, инженера, поэта
и философа.
За начало всего сущего Эмпедокл принимает все четыре стихии:
землю, воду, воздух и огонь. Гениальная догадка Эмпедокла —
конечность скорости света. Он считал, что мы не воспринимаем
скорости света потому, что она очень велика. За тысячелетия был
предсказан основной постулат специальной теории относительности.
Как человек Эмпедокл был тщеславен и выдавал себя за
божество. Он хотел, чтобы люди думали, что боги взяли его живым на
Олимп. С этой целью, чувствуя приближение смерти, бросился в
кратер Этны. Но вулкан выбросил одну из его медных сандалий,
сорвав таким образом замысел философа.
§ 3. Афинская математика
Самой влиятельной после пифагорейцев была афинская группа
мыслителей. С 479 г. до н. э. до начала внутригреческой
Пелопонесской войны в 431 г. до н. э. был период расцвета классической
Греции. Вершиной этого пятидесятилетия стало для Афин правление
Перикла (ок. 490—429 до н. э.), вокруг которого сгруппировались
выдающиеся ученые, архитекторы, скульпторы, художники,
философы, включая «отца истории» Геродота.

Афинская математика
47
Во второй половине V в. до н. э.
в Афинах жил выдающийся
греческий математик Гиппократ Хиосский.
Он является автором первого
систематического сочинения по
геометрии (не дошедшего, к сожалению,
до нас). По-видимому, это
сочинение охватывало содержание первых
четырех книг «Начал» Евклида.
Гиппократ считается родоначальником
метода сведения решения одной
задачи к другой, более доступной.
Например, задачу об удвоении куба
он привел к построению по двум
заданным величинам а и b двух
средних пропорциональных χ и у таких,
что а:х = х:у = у:Ь. Гиппократ
нашел квадратуры трех луночек, ГИППОКРАТ ХИОССКИЙ
дуги которых были соответственно
больше, меньше или равны полуокружности. Впоследствии эти
луночки были названы луночками Гиппократа.
Первая крупная афинская школа — это школа софистов,
странствующих учителей, добывающих средства к существованию в
обмен на свои знания. Они учили
присутствующих на народных
собраниях афинян в любом споре
обосновывать свою точку зрения.
Математические проблемы,
которые изучали софисты, почти
всегда были связаны с одной из трех
знаменитых задач древности:
удвоение куба, трисекция угла и
квадратура круга.
Выдающийся философ из
кружка Перикла Анаксагор (ок. 500—428
до н. э.) также занимался
проблемой квадратуры круга. Гиппий из
Элиды (род. ок. 460 до н. э.), софист,
современник Софокла, изобрел
новую кривую, квадратуру которой
невозможно построить с помощью
циркуля и линейки. Однако
серьезные математические исследова- АНАКСАГОР

48
Математика в Древней Греции
ния в Афинах начались с
величайшего греческого философа
Платона (Аристокла) (ок. 427 — ок. 347
до н. э.) — ученика Сократа и
учителя Аристотеля.
Платон происходил из
афинского аристократического рода. Его
настоящее имя Аристокл. Будучи
всесторонне одаренным юношей,
он интересовался гимнастикой,
музыкой, поэзией, философией,
математикой. Учился у Кратила,
Сократа, киренаика Аристиппа,
пифагорейца Федора. После
десятилетних странствий (Египет,
Финикия, Персия, Ассирия,
Вавилон) в 399 г. до н. э. оказался в Си-
ПЛАТОН ракузах при дворе тирана
Дионисия Старшего. Этот тиран сначала
обласкал Платона, а потом отправил на общегреческий невольничий
рынок для продажи в рабство. Его выкупил киренаик Анникерид.
Возвратившись в Афины, Платон открыл там свою
знаменитую школу — Академию, просуществовавшую более девяти веков
(386 до н. э. — 529 н. э.). В 529 году она была закрыта по приказу
императора Юстиниана как «языческая мерзость».
Под влиянием пифагорейцев Платон считал, что знание
математики необходимо каждому образованному человеку. Недаром над
входом в Академию висела надпись «Не геометр да не войдет».
Платон принял учение пифагорейца Архита Тарентского о
том, что геометрия, арифметика, астрономия, музыка
родственны друг другу, добавив к этим наукам стереометрию — объемную
геометрию.
Именно в эпоху Платона в его окружении зародились первые
элементы геометрии как науки.
Платон считал, что реальный мир построен на математических
принципах. Реальность и рациональность физического мира могут
быть достигнуты только с помощью математики, ибо «Бог вечно
геометризует». Математический порядок Платон считал точным
отражением самой сути реальности. Он заложил основы дедуктивно-
аксиоматического метода, сыгравшего существенную роль не
только в развитии геометрии, но и других областей математики. В трудах
Платона есть несколько математических разделов, касающихся
теории чисел, стереометрии и космических фигур — пяти правильных

Афинская математика
49
многогранников, названных впоследствии Платоновыми телами.
Платон — один из основателей метода рассуждения от противного.
Большое внимание в Академии Платона уделялось геометрическим
задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Там был
разработан также метод геометрических мест.
В Академии Платон провел вторую половину своей жизни.
Стремясь побудить сиракузского тирана Дионисия Младшего к
преобразованию их государства в соответствии со своим утопическим
проектом, два раза плавал к нему в Сиракузы. Но сын был не лучше
отца. В последний приезд Платона спас от смерти пифагореец Архит
Тарентский, имевший как стратег непререкаемый авторитет в
Южной Италии. Умер Платон в 347 г. до н. э. на брачном пиру.
Выдающимися математиками афинской школы и слушателями
платоновской Академии были Теэтет и Евдокс Книдский.
Теэтет Афинский (ок. 414—369 до н. э.) разработал теорию
иррациональных величин. Дал общее доказательство несоизмеримости
диагонали квадрата с его стороной. Считается создателем первой
теории квадратических и кубических иррациональностей.
Основываясь на своей теории иррациональностей, написал работу о пяти
правильных телах. По свидетельству позднейших историков, открыл
пятое правильное тело — икосаэдр (четыре других были известны
пифагорейцам), а некоторые историки считали, что им были
открыты также октаэдр и додекаэдр.
Евдокс Книдский (ок. 408 — ок. 355 до н. э.) страдал в юности от
крайней бедности. Молодым человеком он прибыл в Афины из Та-
рента, где учился вместе с Архитом, и попал в Академию к Платону.
Ежедневно Евдокс ходил на занятия в Академию из Пирея, где были
дешевле жилье, рыба и оливковое масло. Вскоре он стал другом
Платона, путешествовал вместе с ним в Египет. Однако впоследствии
Платон стал завидовать своему блестящему протеже и охладел к нему.
Евдокс создал общую теорию пропорций.
По свидетельству Архимеда, Евдоксу принадлежит прием
доказательства методом исчерпывания. Он получил много новых
соотношений в стереометрии. Доказал, что объем пирамиды (конуса)
равен одной трети объема призмы (цилиндра) с теми же
основанием и высотой. Евдокс установил, что площади двух кругов
относятся как квадраты их радиусов. В астрономии он сделал первую
попытку построения теории движения планет, рассматривая движения
взаимодействующих сфер. За исключением сферы неподвижных
звезд, все сферы в теории Евдокса были не материальными телами,
а математическими конструкциями. Более совершенную теорию
движения планет в Древней Греции создали Аполлоний, Гиппарх и
Клавдий Птолемей.

50
Математика в Древней Греции
В IV в. до н. э. в Академии
Платона работал талантливый ученик
Евдокса Менехм, открывший три
вида конических сечений,
названных позднее Аполлонием
эллипсом, гиперболой и параболой. Эра-
тосфен назвал эту тройку кривых
второго порядка «триадой Менехма».
Менехм получил много свойств
своих триад и свел решение
задачи об удвоении куба (делийской
задачи) к построению двух
парабол.
Основателем и руководителем
другой афинской философской
школы — Лицея (Ликея) являлся
ученик Платона — Аристотель
АРИСТОТЕЛЬ (384—322 до н. э.) — воспитатель и
учитель Александра Македонского.
Хотя в аристотелевском Лицее математика играла второстепенную
роль (в отличие от Академии Платона), сам Аристотель хорошо знал
математику и родственные ей науки. Он является творцом
дедуктивной логики, на основании которой строятся многие доказательства в
математике. Аристотель считал, что математические объекты «лишь
определенные акциденции физических вещей, абстрагируемых умом».
По его мнению, в вещах находятся не сами числа, а такие их
количественные и пространственные свойства, которые путем
абстрагирующей работы мышления становятся в человеческом сознании числами,
а также другими математическими предметами. Аристотель дал такое,
важное для математики, толкование бесконечности: «Бесконечность —
это не то, за чем ничего нет, а то, за чем всегда что-нибудь есть». Он
впервые стал употреблять буквы алфавита для обозначения
неопределенного количества. Подобной записью некоторые европейские
математики стали пользоваться, следуя Аристотелю, в своих сочинениях.
После завоеваний Александра Македонского в III в. до н. э. центр
математических и астрономических исследований переместился в
Александрию. Лишь в V—VI вв. н. э., после разгрома
александрийской школы, в Афинах отмечается кратковременный расцвет
математических наук. Афинская школа этой эпохи занималась в
основном толкованием работ прежних веков. Это продолжалось вплоть
до закрытия платоновской Академии в 529 году.
Большую часть жизни прожил в Афинах греческий математик и
философ Диадох Прокл (ок. 410—485), родившийся в Константино-

Александрийская математика
51
поле. Он являлся автором
многочисленных сочинений по
философии и математике. Благодаря
знаменитым комментариям Прокла к
первой книге «Начал» Евклида
последующие поколения узнали
историю геометрии в Древней
Греции от Фалеса до Евклида.
Прокл некоторое время был
главой александрийской школы
неоплатоников. Он одним из первых
пытался доказать пятый постулат
Евклида.
§ 4. Александрийская
математика
ЕВКЛИД
После разгрома персов
Александр Македонский перенес культурный центр своей огромной
империи в новый город, названный им в свою честь Александрией.
Этот город стал столицей преемников Александра Македонского в
Египте — Птолемеев.
Для руководства математической школой в Александрии при
Птолемее I был приглашен ученик Евдокса Евклид (IV — III в. до н. э.).
Перу Евклида принадлежит величайший математический труд —
«Начала», в 13 книгах которого дано строгое и логическое
изложение всего геометрического материала, известного до него и
дополненного им самим. Изложение — дедуктивное, опирающееся на
аксиомы и постулаты. Первые четыре книги посвящены
планиметрии, пятая — теории пропорции, шестая — подобию фигур,
седьмая, восьмая и девятая — теории чисел, десятая — соизмеримым и
несоизмеримым количествам, одиннадцатая, двенадцатая и
тринадцатая — основным теоремам стереометрии, метрическим
соотношениям для пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, сферы;
правильным многогранникам.
По мнению ряда историков, большая часть материала «Начал»
была получена предшественниками Евклида. Например, Ван-дер-
Варден [14] считает, что книги 1—4-я являются обработкой «Начал»
Гиппократа Хиосского, 5-я, 12-я (круглые тела) — обработка
сочинений Евдокса Книдского, 7-я, 8-я, 9-я (теория чисел и
числовых пропорций) и 11-я (основы стереометрии) — обработка
сочинений Архита Тарентс кого, 10-я (теория иррациональных величин)

52 Математика в Древней Греции
и 13-я (правильные
многогранники) — обработка сочинений Теэ-
тета Афинского. Сам Евклид
сформулировал пятый постулат,
доказал бесконечность простых чисел
и дал алгоритм для нахождения
общей меры двух отрезков.
Ни одна научная книга не
пользовалась таким большим и
длительным успехом. С 1482 года
«Начала» Евклида публиковались
более чем в 500 изданиях на
многих языках мира.
Евклиду принадлежат также
такие труды как «Оптика»,
«Диоптрика», «Деление фигур», «Пориз-
мы» (три книги), «О ложных за-
АРХИМЕД ключениях», «Явления» и др.
Другими выдающимися
математиками и астрономами III в. до н. э. были Архимед, Эратосфен и
Аполлоний.
Архимед (ок. 287— 212 до н. э.) родился в городе Сиракузы
(Сицилия) в семье математика и астронома Фейдиаса (Фидия). В
юности учился в Александрии, затем возвратился на Сицилию. До нас
дошли его знаменитые 13 сочинений: «О шаре и цилиндре», «О
коноидах и сферах», «Квадратура параболы», «Измерение круга», «Спи:
рали», «Равновесие плоскостей», «Плавающие тела», «Книга лемм»,
«Стомахион» (геометрические головоломки), «Псаммит» (об
исчислении и выражении больших чисел), «Задача о быках»,
«Правильный семиугольник», «Метод».
В этих трудах Архимед в доступной форме изложил важнейшие
открытия в области математики и механики, составившие
сокровищницу в достижениях науки двух тысячелетий.
Архимед нашел общие методы отыскания площадей
криволинейных фигур и объемов тел, ограниченных кривыми
поверхностями, дал способ вычисления числа π, доказав, что:
,1Ν . - 10
37>π>3-.
Он предложил метод приближенного вычисления квадратных
корней, изобрел систему счисления, позволяющую оперировать
сколь угодно большими числами. Презирая «прикладные науки»,
он стал, тем не менее, одним из величайших гениев механики,

Александрийская математика
53
открыл законы рычага, создал науку гидростатику, использовал
механику для продвижения в математике. В задачах о площадях и
объемах Архимед подошел к открытию интегрального исчисления,
а рассматривая задачу о построении касательной к спирали в
произвольной ее точке, он предвосхитил создание
дифференциального исчисления.
Архимед — аристократ духом и телом — был другом сиракуз-
ского царя Гиерона и его сына Гелона. Обучаясь в Александрии, он
подружился с двумя известными учеными Эратосфеном и Коно-
ном. Некоторые из наиболее замечательных своих трудов он
сообщал Конону в письмах. Два знаменитых изречения Архимеда:
«Эврика!» и «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю» пережили
века и известны многим даже сейчас.
Архимед вошел в историю человечества не только как
величайший мыслитель, но и как замечательный патриот, сумевший
своими гениальными изобретениями обеспечить длительную
защиту Сиракуз от римских захватчиков. Город пал лишь
вследствие измены римских приспешников, открывших врагу одни из
отдаленных ворот города в день всеобщего веселья и пьянства по
случаю праздника в честь Артемиды. Архимед погиб от меча
римского воина, которому сказал: «Отойди, не трогай моих
чертежей».
Архимед завещал изобразить на своем надгробном памятнике
цилиндр и вписанный в него шар, указав, что объем шара равен
2/3 объема содержащего его цилиндра.
Друг Архимеда Эратосфен Киренскый (ок. 276—194 до н. э.)
заведовал Александрийской библиотекой и был воспитателем
Птолемея IV. Он заложил основы математической географии,
измерил с небольшой ошибкой дугу земного меридиана (угол в 7° 12'
соответствовал расстоянию в 5000 стадий (ок. 790 км)) от
Александрии до Сиены. В работе «Решето» предложил оригинальный
способ нахождения простых чисел. Эратосфен построил прибор ме-
золябий для решения делийской задачи об удвоении куба. Даже
перечень названий других трудов Эратосфена обнаруживает его глубокую
разносторонность и гениальность: «О конических сечениях», «Об
измерениях», «О средних величинах», «География», «О расположении
звезд», «О ветрах», «Об измерении Солнца», «Об измерении
Земли», «О расположении знаков зодиака», «О добре и зле», «О
богатстве и бедности», «Об искусстве жить не скорбя». Свою научную
работу Эратосфен продолжал до восьмидесятилетнего возраста, а
ослепнув, покончил жизнь самоубийством.
Знаменитый геометр древности Аполлоний Пергский (ок. 260 —
ок. 170 до н. э.) написал важнейший труд «Конические сечения»,

54
Математика в Древней Греции
состоявший из восьми книг, из
которых до нас дошло семь
(четыре в греческом подлиннике,
три — в арабском переводе). Он
доказал 387 теорем о кривых
второго порядка, относя их к
диаметру и сопряженным с ним хордам и
предвосхищая, таким образом,
созданный Декартом в XVTI веке
метод координат. Аполлонием
введены и названия конических сечений
(парабола, эллипс, гипербола) и
связанных с ними инвариантных
точек и прямых (фокусы,
асимптоты, директрисы). Он решил
задачу о построении окружности,
касательной к трем окружностям.
АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ Аполлоний был выдающимся
астрономом-теоретиком. За работу по
изучению движения Луны он получил прозвище Эпсилон (через
ε греки обозначали Луну).
В последующие семь веков в Александрии и других центрах
эллинистической науки появлялось еще много математиков и
астрономов, но их труды не могут быть поставлены в один ряд с трудами
великих ученых «золотого века».
Никомах из Герасы (I—II вв.) написал труд «Введение в
арифметику», где изложил учение о простых, составных, взаимно
простых и других числах, о пропорциях и др. Это произведение
пользовалось широкой известностью как первый труд по арифметике,
изложенной независимо от геометрии.
Героя Александрийский (I в.) написал ряд работ, явившихся
энциклопедией античной прикладной математики. Он вывел
формулы для приближенного и точного измерения различных
геометрических фигур, включая известную формулу площади треугольника
по сторонам, указал правила численного решения квадратных
уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических
корней. В работе Герона «Метрика» многие правила даются без
доказательств, зато в другой его работе «О диоптре» излагаются методы
проведения различных работ геодезического характера, причем
землемерная съемка производится с помощью изобретенного Геро-
ном прибора диоптры — прообраза современного теодолита.
Сочинения Герона пользовались большим успехом в течение многих
столетий..

Александрийская математика
55
Клавдий Птолемей (ок. 100 —
ок. 178) прославился своим
знаменитым трудом «Альмагест» —
«Великое математическое
построение астрономии в 13 книгах»
(«Мэгисте»). В «Альмагесте»
Птолемей вычислил значение хорд
всех дуг от 0° до 180° через 30',
используя свою знаменитую
теорему о вписанном в круг
выпуклом четырехугольнике. Он изложил
сведения из прямолинейной и
сферической тригонометрии, дал
приближенное значение
π~1τ3'14167···>
ввел три прямоугольные оси — КЛАВДИЙ ПТОЛЕМЕЙ
прообраз современной
координатной системы, дал стройную геоцентрическую теорию строения
Вселенной, вводя для описания движения планет эпициклы,
движущиеся по эксцентрикам. Христианский мир воспринял
математическую модель Птолемея как истину, которая лишь многие века спустя,
в XV веке, уступила место гелиоцентрической модели Коперника и
гениальным законам Кеплера о движении планет.
В истории математики Птолемей известен также тем, что он
первым усомнился в очевидности постулата о параллельных прямых и
делал попытки доказать его справедливость.
Папп Александрийский (III в.) является последним крупным
геометром александрийской школы. Он сочинил труд
«Математическое собрание» из восьми книг, из которых две посвящены
арифметике, три — геометрии, 6-я — астрономии, 1-я — комментариям
и 8-я — механике. В этом труде Папп приводит многие факты о
работах по математике и астрономии его близких и далеких
предшественников, комментирует их. Именно благодаря Паппу
человечество получило сведения о многих математических работах ученых
Древней Греции, безвозвратно утерянных для нас. Папп доказал
много интересных теорем, имеющих теоретическое значение. Он
решил задачу о проведении через три точки, лежащие на одной
прямой, трех прямых, образующих треугольник, вписанный в
данный круг.
Выдающимся алгебраистом александрийской школы является
Диофант (III в.), проживший 84 года. Он известен как автор «Ариф-

56
Математика в Древней Греции
метики» в 13 книгах, где
материал излагается чисто
аналитически, хотя иногда и вводится
геометрическая терминология. В
своем гениальном труде Диофант
решает неопределенные уравнения
до четвертой степени в
рациональных положительных числах.
Хотя отрицательные числа не
вводились Диофантом, но он
вплотную подошел к ним.
Например, при умножении разности
двух чисел на разность двух
других чисел он пользовался
фактически современными
правилами знаков: «отнимаемое число,
будучи умножено на отнимаемое,
ДИОФАНТ дает прибавляемое, а будучи
умножено на прибавляемое, дает
отнимаемое». Он знал, что квадрат отрицательного числа дает
положительное. Диофант, как и большинство древних
математиков, избегал действия деления, заменяя его повторным
вычитанием.
Сочинения Диофанта явились отправной точкой для
исследований Ферма, Эйлера, Гаусса и других математиков. Диофантовы
уравнения и диофантовы приближения прочно вошли в сокровищницу
величественного здания «математика».
Диофант был одним из последних александрийских
математиков, внесших в математику новые идеи. Греческие математики
позднего периода (IV—VI вв. н. э.) занимались в основном
комментированием работ своих знаменитых предшественников.
Учеными, завершившими плеяду александрийских математиков,
были Теон (IV в.) и его дочь Ипатия (Гипатия) (370—415).
Теон прокомментировал труды Евклида «Начала» и «Оптика» и
главный труд Птолемея «Альмагест».
Ипатия еще в детстве проявила необыкновенные
способности и под руководством отца в совершенстве изучила геометрию
и астрономию. Позднее училась в Афинах. Городской магистрат
Александрии предложил ей кафедру философии. Она
прокомментировала «Конические сечения» Аполлония и первые шесть книг
«Арифметики» Диофанта. Занималась составлением астрономических
таблиц, изобрела ареометр (прибор, определяющий плотность
жидкости), спроектировала устройство планисферы и астролябии. Ипатия

Задачи древнегреческих математиков
57
была прекрасным педагогом и
оратором. В марте 415 года она
приняла мученическую смерть как
«язычница» — была растерзана и
сожжена толпой религиозных
фанатиков, инспирируемых
епископом Кириллом. Более тысячи лет
после этой трагедии не было в
истории упоминания о женщинах-
математиках.
§ 5. Задачи древнегреческих
математиков
О характере и глубине работ
математиков Древней Греции
можно составить представление, ана- ИПАТИЯ (ГИПАТИЯ)
лизируя решаемые ими конкретные
задачи. Приведем формулировки некоторых задач древнегреческих
математиков с указанием имен их авторов.
1. Найти все пифагоровы тройки чисел (Пифагор).
Ответ: {2mn, m2 — η2, m2 + η2}, где m > η, m, η e N.
2. Доказать, что всякое нечетное число, кроме единицы, есть
разность двух квадратов (Пифагор).
Ответ: 2п + 1 = (п + I)2— п2.
3. Сумма любого числа последовательных нечетных чисел, начиная
с единицы, есть точный квадрат (Пифагор).
Ответ: арифметическая прогрессия, а,= 1, d = 2, число членов
п+ 1.
4. Доказать, что сумма площадей серпов (луночек Гиппократа),
лежащих между дугой полуокружности, построенной на гипотенузе как
на диаметре, и дугами кругов, построенных на катетах того же
прямоугольного треугольника как на диаметрах, равна площади
рассматриваемого треугольника (Гиппократ Хиосский).
5. Доказать, что простых чисел существует бесконечное
множество (Евклид).
6. В данный круг вписать треугольник, равноугольный данному
треугольнику (Евклид).
7. Данный отрезок рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный
между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся
отрезке (деление отрезка в среднем и крайнем отношении, т. е.
«золотое сечение») (Евклид).

58
Математика в Древней Греции
8. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей
(Аполлоний).
9. Доказать, что площадь описанного вокруг квадрата круга вдвое
больше площади круга, вписанного в этот квадрат (Архимед).
10. Доказать, что цилиндр, в основании которого большой круг шара,
а высота — диаметр, имеет -у объема и поверхность, равную —
поверхности шара (Архимед).
11. Доказать, что поверхность шарового сегмента равна
площади круга, имеющего радиусом отрезок, который проведен от
вершины сегмента к центру окружности, служащей ему основанием
(Архимед).
12. Построить приближенно правильный семиугольник с помощью
циркуля и линейки (Архимед).
13. Найти сумму квадратов η первых чисел натурального ряда
(Архимед).
Ответ: S - 4" η(η + 0(2п + 1).
о
14. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1 и Υ (\γ
1 +-£ + Ы+Ы + ..-(Архимед).
4
Ответ: S = —.
15. Найти шар, имеющий объем данного конуса или цилиндра
(Архимед).
Ответ: R, - л/ h2 h, R2 - л/т f2 h
где г — радиус основания, h — высота.
16. Найти треугольники с целочисленными площадями, длины
сторон которых являются последовательными числами (Герон).
Ответ: {х - 1, χ , χ + 1}, где χ = (2 + <ЗУ + (2 - 4зу (р -
- 1, 2, 3, ...).Р
17. Определить площадь треугольника, если даны три его стороны
а= 13, Ь = 14, с = 75 (Герон).
Ответ: 84.
18. Доказать, что если разбить ряд всех нечетных чисел на группы,
в которых число членов будет возрастать как ряд натуральных чисел,
то сумма членов каждой группы будет равна кубу числа членов (Нико-
мах).

Задачи древнегреческих математиков
59
19. Доказать, что в четырехугольнике, вписанном в окружность,
сумма произведений противоположных сторон равняется произведению
диагоналей (Клавдий Птолемей).
20. Определить прямоугольный треугольник, один катет которого
есть точный куб, другой катет представляет разность между этим
кубом и его стороной (т. е. первой степенью), а гипотенуза есть сумма
куба и его стороны (Диофант).
Ответ: 8, 6, 10.
21. Найти четыре прямоугольных треугольника с одинаковой
гипотенузой (Диофант).
Ответ: (52, 39, 65), (60, 25, 65), (16, 63, 65), (56, 33, 65).
22. Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым из
данных чисел, составит куб некоторого числа (Диофант).
Ответ: U2. _2Z_.
13 169
23. Найти три числа так, чтобы сумма всех трех и каждых двух
была квадратами (Диофант).
Ответ: 80, 320, 41.
24. Найти три рациональных числа так, чтобы квадрат суммы всех
трех, вычтенных из каждого числа, давал квадрат (Диофант).
Ответ:—, ^, ^
25. Через данную точку D на биссектрисе угла провести прямую
так, чтобы отрезок ее внутри угла имел данную длину (Папп).
26. Доказать, что в кругах площади подобных сегментов относятся
как квадраты хорд, служащих им основаниями (Папп).
27. Ослица и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине.
Ослица жаловалась на свою непомерную ношу. «Чего ты жалуешься?—
ответил ей мул. — Ведь, если я возьму у тебя один мешок, ноша моя
станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины
один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей». Сколько мешков
несла ослица и сколько нес мул? (Греческая антология).
Ответ: 5 и 7.
В заключение этой главы отметим, что математики Древней
Греции за более чем тысячелетний период имели значительные
достижения. Главная их заслуга состояла в том, что они
превратили математику в науку, заменив набор рецептов решения
разнообразных задач, предлагаемых математиками Древнего
Египта, Вавилона, Китая, Индии, строгими выводами и
обоснованием решения каждой задачи. Прежде всего это касается
элементов геометрии.

60
Математика в Древней Греции
Что же касается других разделов математики (арифметики,
алгебры, тригонометрии), то они не получили у греков полного
развития, хотя и в них были заложены некоторые научные основы.
Тригонометрия в Древней Греции являлась лишь вспомогательным
вычислительным аппаратом для астрономических наблюдений.
Характерной особенностью математических исследований в
Древней Греции является их глубокая связь с философией и
астрономией. Большинство выдающихся греческих математиков были
философами и астрономами. Во многих трудах греческих ученых
философия и геометрия просто отождествлялись.
«Начала» Евклида, математические труды Архимеда, «Альмагест»
Птолемея и «Арифметика» Диофанта стали научной базой всего
дальнейшего развития математики на Ближнем и Среднем
Востоке, в Индии, Китае, в средневековой Европе.
§ 6. Математика VII—XII веков в Европе
Закрытие платоновской Академии в 529 году явилось толчком
для ужесточения преследования математиков в Европе. В кодексе
римского императора Феодосия уже в IV веке имелась статья: «Пусть
никто не советуется с гадателями и математиками». В кодексе 529 года
другого римского императора, Юстиниана, имелся раздел,
озаглавленный: «О злоумышленниках, математиках и тому подобных». Один
из параграфов этого раздела гласил: «Само же достойное осуждения
искусство математики воспрещается совершенно».
Хотя с XIII века математика в Европе стала возрождаться,
преследования отдельных математиков продолжались даже в XV—
XVII веках. Глава инквизиции в Испании («великий инквизитор»)
Томас Торквемада отправил в 1486 году на костер испанского
математика Вальмеса за утверждение, что он нашел решение уравнения
четвертой степени, которое, по мнению инквизитора, по воле бога
недоступно человеческому разуму. А влиятельный итальянский монах
Качини, один из главных преследователей великого ученого Галилео
Галилея (1564—1642), даже в XVII веке заявил: «Математики, как
творцы всяких ересей, должны быть сожжены на всей земле христианской».
Преследования математиков сопровождались безжалостным
уничтожением рукописей. В 392 году в Александрии был разрушен храм
Сераписа (одного из главных египетских божеств) и уничтожена
знаменитая библиотека с тремястами тысячами рукописей. В 630 году
Александрия была взята арабами. Знаменитая Александрийская
библиотека была уничтожена. Погибли подлинники большинства
рукописей древнегреческих математиков.

Математика VII—XII веков в Европе
61
Однако и до этих трагических
событий европейская математика
была представлена в основном
исследованиями греческих ученых.
В соседнем Риме за тысячелетие
(V в. до н. э.— V в. н. э.) не было
создано ничего значительного в
области математики. Математика у
римлян носила характер грубых
приближенных вычислений и
использовалась только для
практических целей. Вычисления
затруднялись наличием непозиционной
системы счисления. Они выполнялись
лишь на специальном приборе —
абаке. Геометрия римлян
ограничивалась лишь простейшими, как в
Древнем Египте, понятиями, не- АНИЦИЙ БОЭЦИЙ
обходимыми для архитекторов и
землемеров. Даже семь веков спустя после Евклида математика в
Риме стояла еще на очень низком уровне, а после официальных
преследований математиков снизилась до уровня математических
сведений самых отдаленных веков.
В возникшем на развалинах Римской империи Остготском
королевстве (493—555) выдающийся вклад в науку внес Аниций Манлий
Северин Боэций (Boethius) (ок. 480 — 524). Он происходил из
знатных римских родов, получил блестящее домашнее образование,
учился в лучших школах Рима, по-видимому, также в Афинах и
Александрии. В 510 году Боэций стал консулом, а около 522 года —
первым министром у правителя Теодориха. Обвиненный в заговоре
против этого правителя, был казнен. Боэций разделил семичастный
канон Платона на низшую и высшую ступени, отнеся к низшей
(тривиуму) грамматику, диалектику и риторику, а к высшей (квад-
ривиуму) — арифметику, геометрию, астрономию и музыку.
Используя труды Никомаха, Евклида и других греческих
ученых, он написал четыре трактата, соответствующих квадривиу-
му, из которых до нас дошли только два: «Наставление к
арифметике» и «Наставление к музыке». Боэций составил ряд модусов
(условно-категоричных силлогизмов). Например, модус поненс
((А -+ В) л А) -> В и модус толленс ((А -^ В) л В) -^ А.
В заточении, перед казнью, он написал трактат «Утешение
философское», в котором рассмотрел философские проблемы человеческого
счастья, пути достижения блаженства, совместимости зла в мире с

62
Математика в Древней Греции
божественным милосердием и
справедливостью. Творчество Боэция
оказало определяющее влияние на
развитие науки и культуры в
Западной Европе.
Со времени распространения
христианства последним
прибежищем для науки средневековья
оказались монастыри, где
сосредоточились монастырские школы и
были собраны оставшиеся
важнейшие рукописи античных ученых. Но
математические рукописи не
интересовали монахов. Они использовали их
в качестве писчей бумаги,
предварительно соскабливая научные
труды древнегреческих математиков.
АЛКУИН Однако даже для средневековой
церкви было необходимо
выполнять элементарные вычислительные работы и изучать начала
астрономии. Поэтому к прежнему «тривиуму» (риторика, грамматика,
диалектика) в школьном образовании был добавлен «квадривиум»
(арифметика, геометрия, астрономия, музыка).
Заметных сдвигов в развитии математики в Европе с VII по XII век
не было за исключением Армении и некоторых энтузиастов —
любителей математики.
Англосаксонский монах Беда Достопочтенный (ок. 672 — ок. 735)
в сочинении «Способ исчисления времени» изложил методы
исчисления пасхалий (дней празднования Пасхи), а в другом
сочинении — приемы счета на пальцах, избегая деления целых чисел и
почти не упоминая о дробях.
Греческий монах Максим Плануд (ок. 1260— ок. 1310) написал
комментарии к двум первым книгам «Арифметики» Диофанта, а
также работы «Об арифметике индийцев» и «О пропорциях».
Плануд родился в Никомедии, в 1297 году был посланником в
Венецианской республике. Он является единственным
ученым-математиком византийского периода греческой истории.
Выдающуюся роль в развитии просвещения, культуры и
математики в Европе сыграл ирландский монах Флакк Альбин Алкуин
(ок. 735—804). Он родился в Йорке, окончил монастырскую школу,
стал руководителем Йоркской школы, много путешествовал. В 780 году
по приглашению Карла Великого переехал во Францию и стал
придворным учителем, а впоследствии главным советником и другом

Математика VII—XII веков в Европе
63
короля. Перу Алкуина принадлежат многие литературные
произведения, упрощение орфографии и четкая формулировка
грамматических правил латинского языка, а также знаменитое руководство
по математике «Задачи для изощрения ума юношей», содержащее
53 задачи (не только на вычисление, но и логические,
занимательные задачи, загадки и шутки).
Рассмотрим некоторые задачи Алкуина:
№ 1. Улитку пригласили на завтрак. Чтобы добраться до места,
ей надо преодолеть 1 милю (1 галльская миля ~ 2,25 км). Однако в
день она может проползти не более одной унции фута. Требуется
выяснить, сколько дней или даже лет придется ждать улитку к
завтраку.
№ 6. Два торговца купили за 100 сольдо стадо свиней, платили по
2 сольдо за 5 свиней. Потом стадо разделили на две части и стали
продавать по той же цене, однако заработали больше, чем заплатили.
Как это можно сделать?
№ 18. Известная задача о перевозе через реку волка, козы и
капусты.
№ 30. 100 модиев зерна (1 модий ~ 8,7 л) разделили между сотней
людей, среди которых были мужчины, женщины и дети. Каждый
мужчина получил 3 модия, каждая женщина — 2 модия, а каждый
ребенок — половину модия. Сколько было мужчин, женщин и детей?
В книге приведено только одно решение (11, 15, 75).
№ 42. Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит
один голубь, на второй — два, на третьей — три и так на всех
ступенях до сотой. Сколько всего голубей?
№ 43. Сколько свиней надо забивать каждый день, чтобы за три
дня забить сто свиней, при условии, что каждый день число свиней,
отправленных на бойню, будет нечетным ?
Автор разъясняет, почему эта задача не имеет решений.
Особый интерес вызывает у читателя помещенная в этом
руководстве задача, заимствованная у Боэция.
Некто, умирая и оставляя жену в ожидании ребенка, завещал,
чтобы его имущество было разделено таким образом: если родится сын, то
выдать две трети имущества сыну, а одну треть вдове, а если родится
дочь, то выдать две трети вдове, а одну треть дочери. После смерти
завещателя у его жены родилась двойня: сын и дочь. Как разделить
наследство ?
Решение этой задачи дал знаменитый римский юрист Сальвиан:
состояние должно быть разделено на семь равных частей, 4 из
которых следует отдать сыну, 2 — матери и 1 дочери, так как по
завещанию сын должен получить вдвое больше, чем мать, а мать — вдвое
больше, чем дочь.

64
Математика в Древней Греции
Большинство задач Алкуина требовало применения только
целых чисел и первых четырех арифметических действий над ними.
Встречались задачи на решение простейших линейных уравнений.
Однако в геометрической части задачника для вычисления
площадей треугольников и четырехугольников применялись неточные
формулы, бывшие в употреблении еще у египтян.
Французский математик Герберт (930—1003) написал
сочинение по геометрии, в котором содержались лишь самые
элементарные сведения. Несколько работ Герберта посвящено
усовершенствованию методов счета на абаке.
Древнейшей математической рукописью в России является
сочинение монаха Кирика Новгородца (род. 1110). В 1134 году он
написал произведение под названием «Кирика диакона и доместика
Новгородского Антониева монастыря учение им же ведати
человеку числа всех лет», В этом труде, состоящем из 19 параграфов, были
даны арифметико-хронологические расчеты, в которых
использовалось все то, что можно было найти в греческих церковных книгах.
Кирик, по-видимому, умел рассчитывать дни Пасхи, так как в книге
было предложено решить эту задачу «числолюбцам». Значительная
часть сочинения Кирика посвящена вычислению времени
(месяцев, дней, часов), прошедшего от сотворения мира. В § 2 указано,
что до написания книги прошло 79 728 месяцев. В § 3 он вычислил
число недель, а в § 4 — число дней: 24 неведии и 6721 (1 неведия =
= 105). Наконец, в § 5 подсчитывал ось, что с момента сотворения
мира прошло уже 200 неведий и 90 неведий и 1 неведия и 625 часов.
Так как в момент написания Кириком его трактата шел 6642 год по
славянскому летоисчислению, то (как указано Б. В. Гнеденко [25])
либо Кирик ошибся, либо его сочинение было написано в 1136,
а не в 1134 году.
Помимо задач на сложение и умножение, Кирик привел пример
геометрической прогрессии, возникающей от деления
двенадцатичасового дня на часы, а часов на дробные часы. Членами этой
профессии являются аликвотные дроби (с числителем, равным единице) и
знаменателями 12, 60, 300, 1500, 7500, 37 500, 187 500, 937 500, т. е.
первый член прогрессии —, а знаменатель -~.
Хотя европейскими математиками XI века и написано много
различных сочинений по арифметике и геометрии, но все они
основаны на принципах, не дающих ничего нового по сравнению с уже
известными.
Исключение в период крайнего упадка математических знаний
в Западной Европе в V—XII веках представляет европейская страна
Армения.

Математика VII—XII веков в Европе 65
В VII веке Армению прославил своими научными трудами
выдающийся ученый Анания Шыракацы. Он был философом,
математиком, астрономом. В основе философии Анании лежало античное
учение о четырех элементах — земле, воздухе, огне и воде. Он
утверждал, что «возникновение есть начало уничтожения и
уничтожение есть, в свою очередь, начало возникновения, — из этого
неумирающего противоречия мир приобретает свое вечное
существование». Главными научными работами Анании были
исследования по астрономии, математике, философии, географии,
космографии, метеорологии, но выше всех других наук он ставил
математику: «И сильно возлюбив искусство числительное, помыслил я,
что без числа никакое рассуждение философское не слагается, всей
мудрости матерью его почитая».
Наиболее значительными математическими трудами Анании
являются учебник и задачник по арифметике. В учебнике изложен
теоретический материал и даны таблицы для четырех
арифметических операций над числами. Задачник содержит много
интересных задач, в том числе и задачи на арифметическую и
геометрическую прогрессии, на оперирование с очень большими числами
(до 90 миллиардов). Анания свободно действует с дробями, однако
для их записи часто пользуется представлением в виде суммы
попарно различных аликвотных дробей (т. е. дробей с числителем 1),
как и в Древнем Египте.
Рассмотрим несколько задач из этого задачника:
1. Один купец прошел через три города, и взыскали с него в первом
городе пошлину: половину и треть имущества, и во втором городе
половину и треть (с того, что у него осталось), и в третьем городе снова
взыскали половину и треть (с того, что у него осталось), когда он
прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов (денежных единиц). Итак,
узнай, сколько всего дахеканов было вначале у купца.
Ответ: 2376.
2. Фараон, царь Египта, праздновал день своего рождения, и был у
него обычай раздавать в этот день десяти вельможам, по
достоинству каждого, сто мер вина. Итак, раздели это сообразно достоинству
всех десяти (т. е. доля первого относится к доле второго как 1:2, доля
2-го к доле 3-го как 2 : 3 и т. д.).
Ответ: 1 П'3П ' 5П ' 7П' 9И ' 1011' l2TV ИП' 16ГГ 18П'
3. В г. Афины был водоем, в который проведены три трубы. Одна из
труб может наполнить водоем в один час, другая, более тонкая, — в два
часа, третья, еще более тонкая, — в три часа. Итак, узнай, в какую
часть часа все три трубы вместе наполнят водоем.

66
Математика в Древней Греции
Ответ: — часа.
В других своих сочинениях Анания рассматривает вопросы о
шарообразности Земли, о затмениях Луны и Солнца, о применении
нуля в математике, о календарных исчислениях, о солнечных часах.
Когда Византия напала на Армению, Анания с мечом в руках
защищал свою родину.
В 1051 году Грегор Магистра перевел с греческого языка на
армянский сокращенные «Начала» Евклида. После перевода «Начал»
на арабский язык этот перевод является вторым. Он до сих пор
хранится в Ереванском музее. На латинский язык «Начала» Евклида
были переведены с арабского лишь в 1533 году.
Армянский математик XII века Ованес Саркава-Вардапет (ум. в
1129) изложил учение греческого математика Никомаха (I в.) о
числах и установил календарь года в 365 дней.

67
Глава III.
Математика народов Средней Азии
и Ближнего Востока
Начиная с VII века центр математических исследований
переместился в арабский халифат, объединивший мелкие арабские
государства в огромную империю, охватывающую Аравийский
полуостров, Палестину, Сирию, Месопотамию, Персию,
Закавказье, Среднюю Азию, Северную Индию, Египет, Северную Африку
и Пиренейский полуостров. Господствующим языком в этом
халифате стал арабский. Столицей сначала был Дамаск, а с VIII века —
Багдад — новый город, построенный вблизи бывшего Вавилона.
Управление огромным государством требовало быстрого
развития торговли, мореходства, промышленности, военного дела.
Оказались востребованными научные знания прежде всего в области
математики и астрономии.
Багдад был крупным научным центром. Халифы аль-Мансур
(754-775), Харун аль-Рашид (786—809), аль-Мамун (813-833),
Мутасим (833—842), аль-Васике (842—847) покровительствовали
астрономии и математике. Аль-Рашид и аль-Мамун даже построили
в Багдаде Дом мудрости с библиотекой и обсерваторией. Арабская
культура впитала в себя культуры многих народов: таджиков, хорез-
мийцев, азербайджанцев, египтян, персов и народов Древней
Греции и Индии.
После завоевания Багдада турками в 1055 году и его
окончательного разрушения в 1256 году монгольским ханом Хулагу центр
математических и астрономических исследований переместился в
новую столицу — Марагу (Азербайджан), а в XIV—XV веках после
завоевательных походов Тамерлана — в Самарканд. Это позволяет
выделить у мусульманских народов VII—XV веков три
математические школы: багдадскую, марагинскую и самаркандскую.
§ 1. Багдадская математическая школа
Одним из первых крупных ученых-энциклопедистов багдадской
школы был аль-Кинди (ок. 800 — ок. 870). Он работал в Багдаде и
написал около двухсот работ, посвященных различным областям
знаний — геометрии, астрономии, оптике, метеорологии,
медицине, музыке. Аль-Кинди подчеркивал роль математических и
естественных наук в познании мира и утверждал, что философия
невозможна без знания математики.

68
Математика народов Средней Азии и Ближнего Востока
Однако самым выдающимся
математиком IX века, прославившим
багдадскую математическую
школу, был аль-Хорезми (787— ок. 850)
Он родился в Хорезме и получил
от отца, одного из просвещенных
людей своего времени,
необходимое первоначальное образование,
которое продолжил в крупном
городе восточного региона
халифата — Мерве. Будучи талантливым
многообещающим молодым
ученым, аль-Хорезми уже в начале
IX века вошел в окружение аль-
Мамуна, сына халифа аль-Раши-
да. В 813 году, после смерти отца,
аль-Мамун стал халифом. Переехав
АЛЬ-ХОРЕЗМИ в 818 году в Багдад, он пригласил
в столицу халифата наиболее
известных ученых, в том числе аль-Хорезми. Ему было поручено
заведовать книгохранилищем в Байт аль-хикма (Доме мудрости),
игравшем в IX—XII веках роль Академии наук халифата.
В Доме мудрости аль-Хорезми не только проводил глубокие
математические исследования, но и был талантливым организатором
науки. Он возглавлял три экспедиции в различные области
халифата, руководил работой ученых, приглашенных из разных стран и
работавших во многих отраслях знаний.
Именно в Багдаде аль-Хорезми создал свои основные всемирно
известные труды по математике, астрономии, географии и
истории.
После кончины халифа аль-Мамуна аль-Хорезми оставался в
Багдаде и пользовался почетом и при халифах Мутасиме и аль-Васике.
Наиболее известными математическими и астрономическими
трудами аль-Хорезми являются «Арифметический трактат»,
«Алгебраический трактат», «Извлечения из астрономических таблиц
индийцев — синдхинд», «Извлечения из исправленных таблиц хорд
Птолемея», «Определение азимута при помощи астролябии», «Книга
о мраморных солнечных часах».
«Арифметический трактат» аль-Хорезми посвящен правилам
сложения и вычитания на основе индийской десятичной системы
счисления. В XII веке этот трактат был переведен с арабского на
латинский язык. Именно этот перевод познакомил европейцев с
индийской позиционной системой счисления.

Багдадская математическая школа
69
Алгебраический трактат аль-Хорезми озаглавлен «Китаб мухта-
сар аль-джебр ва-л-мукабала» («Книга о восстановлении и
противопоставлении»). В этом трактате впервые алгебра рассматривается
как самостоятельный раздел математики. В латинском переводе слово
«аль-джебр» приобрело форму «алгебра» и стало впоследствии
названием целого раздела математики. А латинизированное аль-Хорезми —
Algorithmi (алгоритм) постепенно стало обозначать любой
вычислительный процесс, осуществляемый по определенным правилам.
Таким образом было увековечено имя этого великого арабского
ученого.
Алгебраический трактат аль-Хорезми учит, как решать
уравнения первой и второй степени с числовыми коэффициентами. Хотя
в нем еще нет алгебраической символики, но просто число аль-
Хорезми обозначил словом «дирхам» (по названию греческой
денежной единицы драхмы), неизвестное — словом «шай» (вещь)
или «джизр», когда речь шла о корне уравнения, а квадрат
неизвестного — словом «маал». Все уравнения приводились к шести
каноническим типам:
1) ах2 = Ьх, 2) ах2 = с, 3) Ьх = с,
4) ах2 + Ьх = с, 5) ах2 + с = Ьх, 6) Ьх + с = ах2.
' Все коэффициенты были положительными, и члены только
складывались. Чтобы решать эти уравнения, были введены две
основные операции: операция аль-джебр (восстановление), состоящая в
избавлении от членов со знаком «минус» в одной части уравнения
путем прибавления к обеим частям уравнения одинаковых членов,
и операция аль-мукабала (противопоставление), которая состояла
в сокращении равных членов в обеих частях уравнения.
Кроме того, коэффициент при члене второй степени должен был
быть единицей. Например,
2х2 + 100 - 20х - 58 -» 2х2 + 100 - 20х + 58 -»
-» 2х2 + 42 = 20х -» х2 + 21 = 10х.
Для каждого из шести типов уравнений аль-Хорезми указал
общие правила решения. Но он очень редко пользовался
иррациональными величинами, называя их «джизр асамм» (глухой корень).
Герардо Кремонский в XII веке перевел слово «асамм» латинским
словом «surdus» (глухой), и до XVIII века иррациональные числа
назывались в Европе также глухими числами.
Аль-Хорезми дал краткое введение в алгебраическое
исчисление, объяснив некоторые правила операций над одночленами или
двучленами и некоторые преобразования типа ал/х~= Va^x. В его
алгебраическом трактате рассматриваются некоторые диофантовы
уравнения (задачи о наследстве). Аль-Хорезми по праву считается
подлинным основателем теории квадратных уравнений.

70 Математика народов Средней Азии и Ближнего Востока
Непосредственным продолжателем исследований аль-Хорезми в
области алгебры является Абу Камиль (ок. 850—930), работавший в
Каире. Он опубликовал труд: «Книга об аль-джебр и аль-мукабала»,
в которой была значительно продвинута теория квадратных
уравнений и рассмотрено большое число примеров. Абу Камиль широко
использовал сложные преобразования над иррациональными
числами, например, формулу:
- Va ± Vb = Va+ b ± 2Vab.
Он использовал несколько неизвестных, занимался решением
неопределенных уравнений в целых числах, отказался от
классического требования однородности размерностей. Поэтому
алгебраическое исчисление Абу Камиля достигло уже довольно высокого
уровня абстракции. Книгу Абу Камиля изучил в XIII веке Леонардо
Пизанский. Справедливо подчеркивают большую роль этого
арабского ученого в распространении идей аль-Хорезми.
В 970—1170 годах нарождающуюся алгебру аль-Хорезми и Абу
Камиля вознесли на еще большую высоту аль-Караджи (аль-Кар-
хи) и Омар Хайям (Гиясэддин) и их ученики.
Аль-Караджи (ум. ок. 1030) является автором многих очень
важных работ: «Достаточная книга о науке арифметике», «Аль-Фахри»
(алгебраический трактат, посвященный визирю Багдада Фахру аль-
Мулку), «Аль-Бади» (исследование неопределенных уравнений).
В книге по арифметике аль-Караджи систематизировал
результаты трудов арабских математиков Абу-ль-Вефа (940—998), аль-Ук-
лидизи (X в.) и ан-Насави. Это — учебник практической
арифметики, аналогичный трактату Абу-ль-Вефа «Книга по арифметике для
писцов и торговцев», в которой он подробно рассмотрел теорию
дробей.
Аль-Караджи уделил в этой книге внимание разложению
обыкновенных дробей в сумму попарно различных аликвотных дробей.
Кроме практической части в арифметике аль-Караджи есть
основная алгебраическая часть, посвященная решению шести
канонических типов уравнений. Перед каждой задачей аль-Караджи
группировал элементы алгебраического исчисления, которые
необходимы для ее решения.
В трактате «Аль-Фахри» эта алгебраическая направленность была
усилена. Аль-Караджи в своем предисловии определил цель науки
исчисления как нахождение неизвестных величин при помощи
известных, сделав, таким образом, алгебру арифметикой
неизвестных. Он исследовал степени неизвестных и обратных к ним и
пришел к соотношениям:

Багдадская математическая школа
71
1.-UJL1. _LJ_=_J__ l_.vn=j_l
\/ ' лу2 у2* уЗ? луШ л/П луШ+115 лу1П Л у1П )
где m, n e N.
Аль-Караджи произвел
суммирование многих конечных
арифметических рядов, получил формулу
бинома Ньютона до η = 12,
рассмотрел задачи на исследование
неопределенных уравнений.
Его ученик ас-Самавал написал
книгу «Аль-Бахир» (блестящая
книга о науке арифметике), где
развил труды своих предшественников.
Он первый систематически
изложил правила обращения с
отрицательными величинами, определил,
что х°=1, получил метод деления ОМАР ХАЙЯМ
многочленов, аналогичный
алгоритму Евклида для деления целых чисел, и нашел алгоритм
извлечения квадратных корней из многочленов.
В трудах аль-Караджи и его последователей арифметика и
алгебра взаимно обогатили друг друга.
Кубические уравнения рассматривали многие арабские
математики: Ибн аль-Хайсам (Альгазен) (965— ок. 1039), аль-Бируни (973—
ок. 1050), Омар Хайям (ок. 1048 - 1131) и др.
Среди них особая роль принадлежит Омару Хайяму —
персидскому и таджикскому поэту, философу, астроному и математику. Он
родился в местечке Нишапур, получил блестящее образование,
был при дворе правителя Бухары Шамс аль-Мулька, затем —
придворным персидского султана Исфахана Мелик-шаха,
предоставившего Омару Хайяму обсерваторию. Но славу этому ученому
обеспечили его выдающиеся труды в области алгебры и геометрии
и знаменитые рубай — около 400 четверостиший на персидском
языке.
Омар Хайям — первый среди математиков, создавший
геометрическую теорию решения уравнений 3-й степени и давший в трактате
«О доказательстве задач алгебры и аль-мукабалы» общую
классификацию всех уравнений. Он впервые дал геометрическое объяснение
решения алгебраических уравнений. Его трактат «Комментарии к
трудным постулатам книги Евклида» явился серьезным шагом к
созданию неевклидовой геометрии. Омар Хайям написал также работу
«Об искусстве определения количества золота и серебра в состоя-

72
Математика народов Средней Азии и Ближнего Востока
щем из них теле», в которой вновь рассматривается классическая
задача, решенная Архимедом.
Омар Хайям признавал неудачу своей попытки найти решение
кубических уравнений в радикалах, но высказал пожелание: «Быть
может, кто-нибудь из тех, кто придет после нас, это осуществит».
Действительно, в первой половине XVI века такое решение нашли
независимо друг от друга Сципион Даль Ферро и Никколо Тарта-
лья, хотя опубликовал это решение в 1545 году Джероламо Кардано
(нарушив клятву, данную Тарталье).
Омар Хайям не принадлежал багдадской математической
школе.
Отметим, что Абу-ль-Вефа, живший в Багдаде, кроме трактата
по арифметике, опубликовал труд «Книга о том, что необходимо
ремесленнику из геометрических построений», составил таблицу
синусов через 10', таблицу тангенсов с точностью до 4р,, доказал
теорему синусов для сферического треугольника, перевел с
греческого на арабский «Арифметику» Диофанта и составил
комментарии к ней. Сформулировал теоремы о синусах двойного и
половинного углов.
Многие арабские математики багдадской школы перевели
наиболее известные труды греческих и индийских математиков и дали
комментарии к ним. Ибн-Курра (836—901) перевел «Начала» на
арабский язык и дал комментарии к ним. Он ознакомил арабских
ученых с сочинением Архимеда «О правильном семиугольнике».
Аль-Джаухари (IX в.) дал комментарии к пятой книге «Начал»
Евклида. Пытался доказать пятый постулат. Алъ-Кухи (X в.)
составил комментарии к «Началам» Евклида и к сочинению Архимеда
«О шаре и цилиндре». Аль-Джили (ок. 971— ок. 1029) — автор труда
«Принципы индийского счета».
§ 2. Марагинская математическая школа
Руководителем марагинской математической школы был
выдающийся арабский ученый Насирэддин Туей (Ходжа Насирэддин)
(1201 — 1274). Он родился в Тусе, получил хорошее образование.
Написав ряд научных трудов, поехал в Багдад, где представил
эти труды халифу Мутасиму, который их не одобрил. В 50-х годах
XIII века Насирэддин находился в Кухистане (северо-восточный
Иран) при дворе Насира, правителя секты ассасинов (убийц). Здесь
он написал известное философское сочинение «Эхлаки Насира»
(«Мораль Насира»). В результате ссоры с преемником Насира был

Марагинская математическая школа
73
заточен в крепость Аламут, откуда
был освобожден внуком
Чингисхана Хулагу-ханом, который сделал
Насирэддина советником. После
завоевания и разрушения Багдада
Хулагу-хан сделал своей столицей
азербайджанский город Марага под
Тавризом. В 1258—1259 годах в Ма-
раге была построена обсерватория,
научным руководителем которой
стал Насирэддин. В этой
обсерватории, оснащенной лучшими для
своего времени астрономическими
приборами, наряду с
наблюдениями велась большая работа по
развитию связанных с астрономией
разделов математики — геометрии
и тригонометрии. НАСИРЭДДИН ТУСИ
Насирэддин перевел с
греческого на арабский язык и снабдил комментариями и добавлениями
важнейшие математические, астрономические и физические труды
древних авторов: «Начала», «Феномены» и «Оптику» Евклида, «Об
измерении круга», «О шаре и цилиндре» Архимеда, «Альмагест»
Птолемея, «Конические сечения» Аполлония и «Сферику»
Феодосия. Он составил комментарии к книге «Шмарат» («Обозначения»)
Ибн Сина (Авиценны). Написал труды: «Шакл-ул-Кита» (теория
отношений и о сферической тригонометрии), «Каванд-ул-Ханда-
са» (трактат по геометрии) и «Таэкира» (трактат по астрономии).
Насирэддин предпринял попытку доказать пятый постулат
Евклида. Еще в юности на него оказала большое влияние
геометрическая работа Омара Хайяма «Комментарии к трудным местам
Евклида». До нас дошли две редакции «Тахрир Уклидас» — перевода
«Начал» Евклида с комментариями и добавлениями Насирэддина.
Первая из них содержит 13 книг, вторая — 15 (как известно, две
книги были добавлены комментаторами «Начал»). Первая была
напечатана в Риме в 1594 году на арабском языке и там же в 1657 году —
на латинском языке (не полностью). С этими изданиями были
знакомы английский математик Валлис и итальянский математик Сакке-
ри, сыгравшие важную роль в предыстории неевклидовой геометрии.
Таким образом, работа Насирэддина «Тахрир Уклидас» сыграла очень
большую роль в создании неевклидовой геометрии.
Насирэддин пригласил в Марагу ряд видных ученых того
времени: Мобэддина Урзи из Дамаска, Фахрэддына Мараги из Мошла,

74 Математика народов Средней Азии и Ближнего Востока
Наджмэддина Дибырани из Казви-
на, Фахрэддина Ихлати из
Тбилиси и др.
В XIII веке при марагинской
обсерватории с ее богатейшей
библиотекой рукописей Насирэддин
создал одну из крупнейших
научных школ своего времени. Ма-
рагинская школа вошла в
историю как подлинный центр науки
XIII века.
В 1274 году основатель этой
уникальной школы умер.
§ 3. Самаркандская
математическая школа
УЛУГБЕК ТАРАГАЙ
Арабская математика Востока
достигла своего апогея в работах самаркандской школы,
возглавляемой внуком Тамерлана Улугбеком и директором его знаменитой
обсерватории аль-Каши.
Улугбек Тарагай (1394—1449) был провозглашен в 1409 году
властителем Самарканда, а в 1447 году, после смерти отца Шахруха,
стал главой династии Тимуридов. Он создал в Самарканде высшую
школу (медресе) и лучшую в мире обсерваторию. Лично подбирал
преподавателей для медресе и сам выступал с лекциями по
астрономии. Для исследований в астрономии и математике Улугбек
пригласил в Самарканд известнейших ученых того времени.
В самаркандской обсерватории были созданы знаменитые
«Новые астрономические таблицы» — «Зидж-и-джедит-и Гурагони», в
которых излагались теоретические основы астрономии и
приводился каталог 1019 звезд. По своей точности таблицы оставались
непревзойденными свыше 200 лет, т. е. до работ Тихо Браге.
Улугбек разработал алгебраический метод, с помощью которого
были составлены очень точные тригонометрические таблицы. Этот
метод давал возможность практически осуществлять вычисления с
произвольной точностью. К сожалению, до нас не дошел его
трактат, посвященный задаче о решении уравнения трисекции угла.
Старший сын Улугбека Абу-аль-Лятиф возглавил заговор
религиозных фанатиков против отца. В окрестностях Самарканда он нанес
поражение войскам Улугбека и приказал тайно убить плененного
отца. По совету мятежных шейхов Улугбеку предложили отправиться

Самаркандская математическая школа
75
в Мекку замаливать свои грехи.
Темной октябрьской ночью 1449 года
паломники были остановлены
посланными вдогонку всадниками.
Улугбек был связан, подведен к
арыку и зарублен. Его
окровавленное тело скатилось в арык.
Обсерватория, созданная Улуг-
беком под Самаркандом, была
разрушена, но ее развалины с
огромным секстантом сохранились до сих
пор и поражают всех своим
величием.
Именем Улугбека назван кратер
на видимой стороне Луны.
Аль-Каши (ум. ок. 1436 или 1437)
родился в Кашане (Иран). После
долгих лет бедности и лишений по АЛЬ-КАШ И
приглашению Улугбека стал
первым директором его знаменитой обсерватории. В 1427 году был
издан его наиболее известный математический труд «Мифах аль-Хи-
саб» («Ключ арифметики»), явившийся настоящей энциклопедией
математики. Этот труд был написан так, чтобы отвечать
потребностям всех — вычислителей, астрономов, архитекторов, чиновников
и даже торговцев. Он стал справочной книгой для математиков
последующих столетий.
В «Ключе арифметики» аль-Каши собрал большое количество
известных арифметических и алгебраических методов решения
задач, подробно изложил шестидесятеричную арифметику, теорию
десятичных дробей, правила перехода от одной системы счисления
к другой. Он изложил приемы извлечения корней любой степени,
основанные на применении формулы бинома Ньютона для
натурального показателя; дал правила приближенного решения
уравнения высших степеней, первый в истории математики численный
метод последовательных приближений, не уступавший многим
современным методам ни в тонкости, ни в элегантности. Формула:
tk4= 4 (6n5+ 15n4+10n3-n)
k=l 30
называется формулой аль-Каши.
В «Трактате об окружности» аль-Каши дал значение π с 16
верными десятичными знаками, вычислив для этого длину
правильного 805306368-угольника.

76
Математика народов Средней Азии и Ближнего Востока
Аль-Каши усовершенствовал тригонометрические вычисления,
дал способ определения расстояний до небесных тел, изобрел
остроумный механический прибор для изучения положения планет.
Одним из сотрудников обсерватории Улугбека был Кази-Заде
(ок. 1360 — ок. 1437), написавший трактат об определении синуса
одного градуса. В этом трактате содержится вывод и решение для
sin 2°, т. е. для удвоенного синуса Г.
Хотя активная исследовательская работа в самаркандской
математической школе продолжалась недолго (после смерти Улугбека
наука в Самарканде пришла в упадок), ее влияние на прогресс
математических исследований в Европе неоценим.
§ 4. Задачи арабских математиков
1. Решить уравнение х2 + 20— = 11— χ (аль-Хорезми).
2. В равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 и
основанием 12 вписать квадрат (аль-Хорезми).
3. Если число, будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то
квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1 (Авиценна).
4. Найти число, которое от умножения на 3 + л/5 дает 1 (аль-
Караджи).
5. Решить систему: х2 + у2 = z2, xz = y2, xy= 7(9(аль-Караджи).
6. Найти площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше
высоты, а площадь численно равна периметру (аль-Караджи).
7. Решить уравнение —2 + 2— = 1 —· (Омар Хайям).
8. Требуется найти число, которое, будучи умножено само на себя,
сложено с 2, затем удвоено, вновь сложено с 3, разделено на 5, наконец,
умножено на 10, в результате дало 50 (Бега-Эддин).
9. Копье стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя.
Ветер отклонил его и погрузил в воду таким образом, что его вершина
стала находиться на поверхности воды, а основание не изменило своего
положения. Расстояние между первоначальным местом его появления и
местом исчезновения в воде — пять локтей. Мы хотим узнать длину
копья (аль-Каши).
10. Доказать, что1А+24+У+ ...п4 = ^ (6n5+ 15n4+ 10n3-n)
(аль-Каши).
11. Найти число, которое, будучи взято семь раз и сложено с
ушестеренным числом, дало 25(аль-Кальсади).
12. Найти число, одна треть и одна четверть которого
составляют 21 (аль-Кальсади).

Значение работ математиков Ближнего и Среднего Востока 77
§ 5. Значение работ математиков Ближнего
и Среднего Востока в VIII—XV веках
Анализируя работы математиков мусульманского мира в VIII—
XV веках, убеждаемся, что они сыграли и продолжают играть
значительную роль в развитии математической науки. Ученые стран
Ближнего и Среднего Востока не только дали новое направление
развитию математики в целом, но и произвели ряд
фундаментальных открытий.
Наиболее полный анализ этих открытий дал выдающийся
исследователь истории науки наш соотечественник Адольф Павлович
Юшкевич (1906—1993). Полемизируя по этому поводу с
некоторыми зарубежными историками математики (Вилейтнером, Лориа,
Кеджори, Беллом), отводившими арабским математикам роль
«сохранителей и передатчиков» достижений греческих и индийских
ученых и сравнивающими их со «спокойным спутником Земли,
сияющим лишь отраженным светом солнечной науки греков, а также
индусов» (Дж. Лориа), А. П. Юшкевич пишет (см. [101], с. 461—462):
«К числу капитальных их достижений относятся:
В области арифметики и комбинаторики:
1. Усовершенствование позиционной шестидесятеричной системы.
2. Открытие десятичных дробей.
3. Разработка приемов извлечения корней из чисел.
4. Первое точно установленное в истории математики применение
формулы бинома Ньютона для любого натурального показателя.
5. Расширение понятия о действительном (положительном) числе.
В области алгебры:
6. Выделение алгебры в особую математическую дисциплину.
7. Применение числовой алгебры в измерительной геометрии и
тригонометрии и открытие замечательного итерационного приема
численного решения одного вида кубических уравнений.
В области тригонометрии:
8. Создание системы плоской и сферической тригонометрии.
9. Вычисление чрезвычайно точных и полных
тригонометрических таблиц.
Это — далеко не полный список, в который не включены,
например, важные в предыстории неевклидовой геометрии
исследования по теории параллельных, открытия по теории чисел и
многое, многое другое».
Из этого анализа убедительно следует, что нельзя относить
математиков арабского мира VIII—XV веков только к переводчикам и
комментаторам известных ранее математических трудов.

78
Глава IV.
Европейская математика XII—XVI веков
В XII веке после длительного периода застоя в Европе стала
возрождаться математическая наука. XII век стал для Европы веком
«великих переводов» трудов греческих и арабских математиков на
латинский язык.
Аделард из Бати (1075—1160) перевел на латинский язык
астрономические таблицы аль-Хорезми, «Начала» Евклида и «Альмагест»
Птолемея.
В Испании возникали настоящие школы перевода, например, в
городе Толедо. Непревзойденным переводчиком был Герардо Кре-
монский (1114—1187), который перевел более 80 работ, в том числе
«Начала» Евклида, отредактированные Сабитом ибн Куррой,
труды Архимеда, Аполлония, Менелая, Птолемея, Гиппократа, Гале-
на, Аристотеля, аль-Кинди, аль-Фараби, Авиценны,
аль-Хорезми, Сабита ибн Курры и др. Герардо Кремонский внес заметный
вклад в подъем средневековой математической науки.
Для Европы XI и XII века были периодом пробуждения.
Возникновение класса свободных ремесленников, захват водным путем
обширных колониальных владений, торговля, развитие
промышленности, совершенствование военной техники создали
благоприятную атмосферу для исследования природы и развития прежде всего
математики, астрономии, физики.
Хотя церковь по-прежнему отрицательно относилась к развитию
науки, но уже не могла полностью запретить занятия математикой.
Тем более, что многие выдающиеся ученые XV—XVIII веков
придерживались взгляда, что Господь Бог создал Вселенную по
математическому плану и что задача ученых — раскрытие шаг за шагом
этого грандиозного творения.
Эпоха Ренессанса (Возрождения) дала мощный импульс
развитию математических наук.
§ 1. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) — крупнейший математик
христианского средневековья
Леонардо Пизанский (1180—1240) родился в итальянском городе
Пизе. Он вошел в историю математики под прозвищем Фибоначчи
(сын доброй породы). Отец Леонардо работал в алжирской
фактории, принадлежащей итальянской фирме из Пизы. Получив обра-

Леонардо Пизанский (Фибоначчи)
79
зование в алжирском городе Бугие
под руководством местного
учителя, Фибоначчи овладел
арифметикой и алгеброй арабов. Во время
многочисленных путешествий по
торговым делам в Египет, Сирию,
Грецию, Сицилию и Прованс
Леонардо углубил свои математические
знания. Он написал в 1202 году
«Книгу абака», ставшую настоящей
энциклопедией математики,
которая вместе с другой его книгой
«Практика геометрии» приобщила
итальянских ученых XIII века к
математике греков и арабов и
проложила путь к расцвету алгебры в
Италии эпохи Возрождения.
«Книга абака» возникла под вли- ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ
янием «Начал» Евклида, трудов
Герона Александрийского, книг Саваюрды, аль-Хорезми, аль-Ка-
раджи и Омара Хайяма. Изложение в ней — оригинальное и
изящное. В 1228 году Леонардо снабдил ее дополнениями и издал в
переработанном виде.
«Книга абака» состояла из 15 разделов. В первых семи описана
арифметика целых чисел и дробей в десятичной позиционной
системе счисления. В 8—11 даны приложения арифметики к
коммерческим расчетам: простое и сложное тройное правило,
пропорциональное деление, задачи, где фигурируют монетные пробы.
Разделы 12 и 13 состоят из разнообразных задач, решаемых с помощью
простого и двойного ложных положений, суммирования
арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел. Кроме того,
здесь рассмотрены задачи нахождения целочисленных решений
неоднородных линейных уравнений. Предпоследний раздел посвящен
вычислению квадратных и кубических корней и операциям с
числами вида а ± Vb (биномиями). Завершается книга 15 разделом, в
котором кратко изложена «алгебра и аль-мукабала» в виде, близком
к алгебре аль-Хорезми. В «Книге абака» впервые в Европе
использованы^ отрицательные числа, рассматриваемые как «долг», и
впервые употреблено слово «алгебра», которое Фибоначчи ввел как
латинизированное «аль-джебр» (восстановление).
В сочинении «Практика геометрии» даны способы измерения
площадей фигур и объемов тел, включая площадь круга и объем шара.
Имеются задачи с применением начал тригонометрии.

80
Европейская математика XII—XVI веков
В 1225 году Леонардо опубликовал еще одно сочинение «Книгу
квадратов», где рассмотрены свойства чисел и рациональные
решения системы неопределенных уравнений:
у2 = х2 + а, ζ2 = х2 — а.
В историю мировой науки вошел удивительный ряд натуральных
чисел, два первых члена которого — единицы, а каждое
последующее число есть сумма двух предыдущих:
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...}.
Этот ряд открыл Леонардо Пизанский (Фибоначчи), и числа
этого ряда называются числами Фибоначчи.
К этому ряду Леонардо пришел в связи с задачей о разведении
кроликов. Леонардо предположил, что кролики живут
неограниченно долго и каждый месяц пара кроликов приносит приплод из
двух крольчат, обретающих способность к продолжению рода в
возрасте двух месяцев, причем начинать надо с пары
новорожденных крольчат. Удивительно, что ряд Фибоначчи образован старшими
коэффициентами при последовательных степенях «золотого сечения»
φ =—-—, так как φ2 = φ + 1, φ3= 2φ + 1, φ4= 3φ + 2, φ5= 5 + 3,
φ6 = 8φ + 4 и т. д.
§ 2. Европейская математика XIII—XV веков
Эпоха XIII—XV веков не внесла после Леонардо Пизанского
значительного вклада в развитие математики, а труды самого
Фибоначчи получили распространение только после публикации в
Венеции труда Луки Пачоли «Сумма», в котором тот изложил их в
переработанном виде.
Однако и в эти «вспомогательные» столетия перед эпохой
Возрождения (Ренессанса) математические знания распространялись
среди все более многочисленных кругов образованных людей. В
развитии математики наметились два главных направления —
значительное усовершенствование алгебраической символики и
формирование тригонометрии как самостоятельной науки.
Генерал доминиканского монашеского ордена, профессор
Парижского университета Иордан Неморарий (XIII в.) изображал буквами
произвольные числа, но еще не пользовался знаками действий, что
мешало введению буквенных формул. Неморарию приписывают
большое количество математических сочинений: «О треугольнике» (4
книги), «Об изопериметрах», «Арифметика, изложенная в 10 книгах»,

Европейская математика XIII—XV веков
81
«Объясненный алгоритм» (19 книг),
«О данных числах» (4 книги),
«Трактат о сфере». В этих работах
содержится много оригинальных
положений. Например, в «Трактате о
сфере» дано общее доказательство
свойств стереографической
проекции.
Трактат Неморария «О данных
числах» содержит решения 115
задач, сводящихся к линейным и
квадратным уравнениям и их
системам. В первой книге рассмотрены
системы линейных уравнений с
двумя неизвестными, во второй —
с тремя и четырьмя, в третьей —
задачи на пропорции, в четвертой —
правила решений квадратных урав- ИОГАНН МЮЛЛЕР
нений методом дополнения до
квадрата.
Книги Неморария пользовались в XIV—XVI веках огромной
популярностью и содействовали внедрению в алгебру буквенной
символики. На них ссылались многие известные математики: Никола
Орем, Ян Видман, Лука Пачоли, Михель Штифель и др.
Эти книги* оказали значительное влияние на дальнейшее
развитие математики и механики.
Формирование тригонометрии практически завершилось
публикацией в 1461 году сочинения Иоганна Мюллера (Региомонтана)
(1436—1476) «Пять книг о треугольниках всякого рода». В этом труде
рассмотрены многие задачи решения треугольников (плоских и
сферических) по заданным элементам, расширено понятие
числа, решены различные геометрические задачи алгебраическими
методами.
Региомонтан составил таблицы тригонометрических функций
(синусов с интервалом в одну минуту и с точностью до седьмого
знака).
В Англии горячим сторонником развития математики был
философ Роджер Бэкон (ок. 1214—1292). Ознакомившись с трудами
Омара Хайяма, он заявил, что может объяснить любые явления
свойствами линий, углов и простых геометрических фигур, а в своей
космогонии ставил оптику над всеми фигурами, поскольку в ней
основную роль играет свет. Математику Роджер Бэкон считал
основой всех наук. Вновь приведем его высказывание, относящееся
6 Зак 6833

82
Европейская математика XII—XVI веков
к 1267 году: «Тот, кто не знает
математики, не может узнать
никакой другой науки и даже не может
обнаружить своего невежества».
Продолжалось развитие
математической науки и на Пиренейском
полуострове, где арабское влияние,
несмотря на захват полуострова
христианами, было еще сильно. Для
остальной же Европы, кроме ее
южных регионов, XIII век был
веком схоластики, тормозившей
развитие математических наук.
Важную роль в развитии
математики сыграли открывшиеся в
городах Европы университеты: Кор-
довский (X—XI вв.), Севильский
РОДЖЕР БЭКОН (ХН в.), Болонский (1158),
Парижский (XIII в.), Оксфордский (1209),
Кембриджский (1209), Пражский (Карлов университет) (1348),
Краковский (1364), Венский (1365), Гейдельбергский (1386), Лейпциг-
ский (1409), Базельский (1460), Кенигсбергский — Альбертина
(1544) и др.
Университет, как правило, возглавлялся монахом-богословом и
состоял из четырех факультетов (искусств, богословия, права и
медицины). Преподаватели делились на младших — бакалавров и
старших — магистров и докторов. Студент около шести лет обучался
на факультете искусств. После испытаний он мог перейти на какой-
либо другой факультет, где обучение продолжалось около восьми
лет. Завершалось обучение испытанием и диспутом.
В XIV веке математика в Европе продолжала развиваться, но
появление новых идей сковывалось схоластическими узами
католической церкви.
Одним из известных математиков XIV века был кентерберий-
ский архиепископ Томас Брадвардин (ок. 1290—1349), написавший
книгу «Умозрительная геометрия», в которой он установил
интересные свойства звездчатых многоугольников и изопериметрических
фигур. Например: 1) между изопериметрическими
многоугольниками с одинаковым числом вершин наибольшую площадь имеет
равноугольный; 2) между изопериметрическими фигурами круг имеет
наибольшую площадь.
Брадвардину приписывают введение в европейскую практику
понятий тригонометрии, заимствованных у народов Востока.

Европейская математика XIII—XV веков
83
Другим известным математиком XIV века был нормандский
епископ Никола Орем (ок. 1323—1382), преподававший в Парижском
университете. В его работах впервые встречаются понятия о дробных
степенях и их обозначения, правда, громоздкие.
Орем также внес в математику метод, аналогичный методу
прямоугольных координат Декарта. Системой координат у него были
стороны прямоугольника — длина (longitudo) и ширина (latitudo).
Он применял ее как для исследования геометрических фигур, так и
для изучения явлений природы.
Во второй половине XV века в Европе наблюдается
значительное ускорение развития промышленности. Ремесленное
производство заменяется мануфактурным. Расширение рынков сбыта
толкнуло европейцев на поиски новых земель. В 1492 году генуэзец
Христофор Колумб (1451 — 1506) доплыл до берегов Америки, в 1497—
1498 годах португалец Васко да Гама (1469—1524), обогнув Африку
с юга, открыл путь в Индию, а его соотечественник Фернан
Магеллан (ок. 1480—1521) совершил кругосветное путешествие. Эти
открытия значительно расширили кругозор европейцев и
возбудили пытливую мысль ученых.
В 1453 году появилась первая печатная книга. После захвата в том
же" году турками Константинополя многие жители Византийской
империи бежали в страны Западной Европы, унося с собой
рукописи греческих и римских ученых.
Эти события ускорили появление в Европе во второй половине
XV века многочисленных учебников по арифметике, посвященных
в основном четырем арифметическим операциям, причем
умножение и деление рассматривались как самостоятельные операции.
В этих книгах давалось также тройное правило и излагались
простейшие приемы применения элементарной математики,
необходимые для финансовой и торговой деятельности. Самым древним
из таких учебников была «Арифметика из Тревиза» (Arithmetique de
Trevise) неизвестного итальянского автора, изданная в 1478 году.
В 1482 году вышла из печати «Арифметика» Ульбрихта Вагнера,
в 1483 году — «Бамбергская книга о счете» (Bamberger Rechen-
buch). В этом же году появился рукописный текст книги «Наука о
числах в трех частях» (Triparty en la science de nombres) самого
крупного французского математика XV века Никола Шюке (ок. 1445 —
ок. 1500), сочетавшего глубокий интерес к математике с профессией
врача. Рукопись Шюке имела очень большое влияние, но
опубликована была только в 1848 году в Лионе. В этой книге рассматриваются
отрицательные и нулевые показатели степени и употребляется
алгебраическая символика, приближающаяся к современной. У Шюке
впервые встречаются термины «биллион», «триллион», «квадрильон».

84
Европейская математика XII—XVI веков
Значительных успехов в арифметике добился итальянский
математик Христоф Клавыус (Клавий-Шлюссель) (1537—1612) —
эксперт по делу Г. Галилея, комментатор Евклида и издатель его трудов.
Он окончил Коимбрский университет (Португалия), преподавал в
коллегии иезуитского ордена в Риме, принимал деятельное участие
в реформе календаря. Составил таблицу кубов до 1003. Обстоятельно
изложил методику письменного деления. Наряду с М. Штифелем
сформулировал в 1585 году основное свойство дроби и правило
деления дробей. Наряду с Н. Тартальей выдвинул требование находить
при сложении и вычитании дробей их общий знаменатель. Имеет
также труды по геометрии и тригонометрии.
В 1489 году в Лейпциге была напечатана книга Яна Видмана (1460—
ок. 1498) «Быстрый и красивый способ счета для всякого вида
торговли», в которой он изложил счетные операции с целыми и
дробными числами, теорию пропорций, суммирование арифметической и
геометрической прогрессий. В геометрической части книги
выводится формула Герона, приводится правило для определения
радиуса описанной окружности треугольника по его основанию, высоте
и меньшему отрезку основания.
Особое значение имел, как уже отмечалось, фундаментальный
труд Иоганна Мюллера (Региомонтана) по тригонометрии,
опубликованный в 1461 году.
С XV века итальянские художники считали математику
отражением самой сути природы и разрабатывали геометрические
правила, позволяющие достичь сходства с реальностью — правила
перспективы. Первым их изобрел архитектор Ф. Брунеллески (1377—
1446), однако общая перспектива была создана значительно позже
уроженцем Лиона Жераром Дезаргом (1591 — 1661).
§ 3. Европейская математика эпохи Возрождения
В XVI веке математика в Европе впервые выходит за пределы
знаний, полученных в наследство от древних греков и народов
Востока. Новая ступень развития ознаменовалась прежде всего
крупными достижениями в вычислительной практике и в решении
алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени.
Первый учебник алгебры был издан на немецком языке в 1525 году
в Страсбурге. Его автор — чешский математик Кристоф Рудольф
(ок. 1500— ок. 1545). Он работал частным учителем математики в
Вене. Книга Рудольфа состояла из двух частей. В разделах I—IV
первой части излагалась арифметика, в V—VI разделах —
геометрические прогрессии, действия над двучленными выражениями и основ-

Европейская математика эпохи Возрождения
85
ные алгебраические операции, в VII—XII разделах —
иррациональные величины. Вторая часть посвящена уравнениям первой и второй
степени. В 1552 году этот учебник после доработки был переиздан
Михелем Штифелем, затем его переиздавали вплоть до 1615 года. По
нему изучал математику Леонард Эйлер. В 1530 году Рудольф издал
сборник задач для учеников.
В своих книгах он использовал коссические знаки
(символические обозначения алгебраических выражений и неизвестных, от слова
«косе», которым в Германии называлась неизвестная величина).
Большую роль в появлении современной алгебраической
символики сыграл немецкий математик Михель Штифель (1487—1567) —
профессор Йенского университета. Одним из первых после Н. Шюке
он начал оперировать отрицательными числами. Ввел дробный и
нулевой показатели степени, а также термин «показатель». В 1544 году
издал труд «Полная арифметика» (Arithmetica integrate), объединив
в этой книге все те изменения в обозначениях арифметических
операций и неизвестных вместе с их степенями, которые были известны
к тому времени. Штифель ввел символ лГдля обозначения
квадратного корня и обозначал неизвестные буквами А, В, С, ...,
повторенными столько раз, какова их степень. Он сформулировал правило
деления на дробь как умножение на дробь, обратную делителю.
Сопоставил арифметическую и геометрическую профессии для
упрощения действий с большими числами, что впоследствии помогло Й. Бюргы
(1552—1632) и Дж. Неперу (1550—1617) создать логарифмические
таблицы и разработать логарифмические вычисления.
Работа Штифеля имела большой резонанс, и его обозначения
распространились за пределы Германии вплоть до Италии, где
алгебраисты пытались в это время решить уравнение третьей степени.
Формирование алгебры началось в Италии с выделением ее из
арифметики. Алгебра называлась «высоким искусством» (Ars magna),
арифметика — «малым искусством» (Ars minora).
Главным вопросом, волновавшим арабских и европейских
алгебраистов, была проблема решения кубических уравнений. В
средние века арабы нашли решение лишь некоторых специально
подобранных кубических уравнений. Леонардо Пизанский, предвещая
проблему разрешения произвольного кубического уравнения в
радикалах, доказал, что корни уравнения:
х3+ 2х2+ 10х = 20
не могут быть выражены через иррациональности вида Ча-Wb, где
а и b — натуральные числа.
Общая проблема разрешения уравнения 3-й степени в радикалах
была решена независимо друг от друга итальянскими математиками

86
Европейская математика XII—XVI веков
Сципионом Даль Ферро и Никко-
ло Тартальей (Фонтана) в первой
половине XVI века.
Профессор математики в
Болонье Сципион (Шипион) Даль Ферро
(1465—1526) нашел способ решать
кубическое приведенное уравнение
х3 + ах = b в радикалах. Он сообщил
его зятю и преемнику по кафедре
Аннибалу делла Наве и своему
ученику Антонио Марио Фиоре.
После смерти учителя Фиоре решил
воспользоваться доверенной ему
тайной, чтобы победить в
поединке по решению задач известного
ученого и прославиться в Италии.
Таким ученым Фиоре выбрал про-
НИККОЛО ТАРТАЛЬЯ фессора математики в Вероне Ник-
коло Тарталью.
Никколо Тарталья (ок. 1499—1557) родился в Бреше. Тарталья —
это прозвище. Его настоящая фамилия — Фонтана. Чудом
спасшаяся от разъяренных французских солдат мать нашла маленького
Никколо в соборе около зарубленного отца. У Никколо была разрублена
челюсть и рассечен язык. На всю жизнь он остался заикой. Так слово
«тарталья» (заика) стало его фамилией. Исключительно упорный и
талантливый, Никколо самостоятельно овладел азбукой, изучил
латинский и греческий языки, математику и другие предметы. Не
имея бумаги, писал свои вычисления на могильных плитах
ближайшего кладбища. Молва об упорном и талантливом юноше
содействовала приглашению Никколо Тартальи читать лекции в
разных городах Италии, а в 1535 году он получил кафедру в Вероне.
Фиоре вручил Тарталье за 50 дней до поединка 30 задач,
содержащих уравнения типа:
х3 + ах = b
при разных а и Ь. Тарталья не испугался, когда обнаружил характер
предложенных ему задач, так как думал, что Фиоре сам не сможет
решить эти задачи. Однако когда до намеченного срока поединка
12 февраля 1535 года осталось немного времени, до него дошли
слухи, что Фиоре обладает таинственным способом решения
произвольного кубического уравнения. Тарталья приложил титанические
усилия и за 8 дней до намеченного срока нашел общий способ
решения таких уравнений. На поединке Тарталья за два часа решил
все задачи, а его противник не мог решить ни одной.

Европейская математика эпохи Возрождения
87
С 1539 года решением
кубических уравнений стал заниматься
Джероламо Кардано (1501 — 1576).
Он родился в Павии и был
внебрачным ребенком ревностной
католички. В результате тайных мучительных
трехдневных родов появился
полумертвый малыш, которого удалось
оживить в ванне с теплым вином.
Джероламо рос хилым,
болезненным мальчиком. Дважды он чуть не
умер от побоев — так мстила ему
мать за свою испорченную
молодость.
В юношеские годы Кардано
усиленно занимался спортом (бег,
плавание, верховая езда). Он был
хорошим борцом, умел драться на ДЖЕРОЛАМО КАРДАНО
кинжалах, владел пикой и мечом.
Но основное внимание Кардано уделял учебе. В 16 лет он успешно
поступил в Павийский университет. Учился также в университете
Падуи. В 1534 году Кардано стал профессором математики в Милане
и Болонье. Он увлекся астрологией. За составление гороскопа
Христа даже сидел в тюрьме. А предсказав свою смерть на известный
день, совершил самоубийство для подтверждения своей славы
знаменитого астролога. Джероламо Кардано был
энциклопедистом-одиночкой. Философия и математика, медицина и астрология — все
являлось объектом увлечений Кардано. Приложив много усилий,
дав клятву о неразглашении секрета, Кардано выманил у Тартальи
сведения о способе решения уравнения 3-й степени и,
расшифровав их, опубликовал в 1545 году в своей книге «Великое искусство,
или О правилах алгебры». В ней также опубликован метод
решения уравнения 4-й степени путем сведения его к решению
вспомогательного кубического уравнения, предложенный учеником
Кардано Лудовико Феррары (1522—1565). С момента публикации
книги Тарталья и Кардано стали злейшими врагами, хотя
Кардано в предисловии указывает, что Тарталья передал ему решение
проблемы уравнения 3-й степени и что независимо от Тартальи
это решение ранее получил Сципион Даль Ферро.
В книге Кардано 40 глав. Она содержит не только правила
алгебраических операций и методы решения уравнений первых
трех степеней, но и элементы общей теории алгебраических
уравнений.

88
Европейская математика XII—XVI веков
Тягостный спор Тартальи и Кар-
дано о приоритете породил
огромную литературу. Даже сейчас к нему
возвращаются, давая разные
оценки этим двум математикам. Однако
историю науки это не обогащает.
Важным оказывается факт
возможности решения в радикалах
любого уравнения третьей и
четвертой степени. Многочисленные
попытки решить в радикалах
произвольное уравнение пятой
степени к успеху не привели. Лишь
300 лет спустя, в начале XIX века,
норвежский математик Нилъс
Хенрык Абель (1802—1829)
доказал неразрешимость в радикалах
ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ произвольных уравнений выше
четвертой степени.
Значительный прогресс в алгебраические исследования XVI века
внес итальянский инженер и математик из Болоньи Раффаэле Бом-
беллы (ок. 1530—1572). В своем сочинении «Алгебра», изданном в
1572 году, он дал первое изложение простейших действий над
мнимыми величинами и применил эти правила к исследованию так
называемых неприводимых уравнений 3-й степени. Бомбелли
улучшил правила действий над относительными числами и внес
некоторые усовершенствования в алгебраическую символику. В другом
своем сочинении «Геометрия» (опубликованном только в 1929 году)
Бомбелли применил квадратные и кубические уравнения к задачам
планиметрии. Его считают предшественником Декарта в Европе в
«исчислении» отрезков.
На рубеже XV—XVI веков большую роль в поднятии авторитета
и значения математики сыграл гениальный итальянский
живописец, скульптор, архитектор, механик и математик Леонардо да
Винчи (1452—1519). Он говорил: «Никакое человеческое исследование
не может считаться истинной наукой, пока оно не прошло через
математическое доказательство». Леонардо разработал теорию
перспективы, решил задачу о построении прямолинейной фигуры,
равновеликой данному кругу. При определении площади эллипса он
применил метод, получивший развитие лишь у математиков
следующих столетий под названием «метода неделимых». Друг Леонардо
итальянский математик монах Лука Паноли (ок. 1445 — ок. 1514)
преподавал математику в Риме, Неаполе, Флоренции, Болонье,

Европейская математика эпохи Возрождения
89
Венеции. В 1494 году он
опубликовал книгу «Сумма [знаний] по
арифметике, геометрии,
отношениям и пропорциональности», в
которой изложил известные на то
время сведения по арифметике,
алгебре и тригонометрии. В 1496—
1499 годах Пачоли написал под
влиянием Леонардо да Винчи
книгу «О божественной пропорции»,
в которой изложил теорию
геометрических пропорций и правило
«золотого сечения». В 1509 году он
издал на итальянском языке
«Начала» Евклида.
Революционный вклад в
развитие астрономии, стимулирующей
прогресс математических иссле- ЛУКА ПАЧОЛИ
дований в Европе, внесли
выдающиеся ученые XVI и первой половины XVII века Коперник, Иоганн
Кеплер и Галилео Галилей.
Николай Коперник (1473—1543), прослушав курс математики
и естественных наук в Краковском университете, продолжил
изучение астрономии под
руководством профессора Доменико
Марии Новары. В 1512 году он
стал каноником собора во Фром-
борке в Вармии.
Много времени Коперник
проводил в небольшой башне при
соборе, наблюдая невооруженным
глазом за движением планет и
производя измерения с помощью
грубых самодельных инструментов.
Ознакомившись с трудами
Аристарха Самосского, Коперник пришел
к заключению, что Земля,
возможно, обращается вокруг Солнца,
одновременно вращаясь вокруг
собственной оси. Свою
гелиоцентрическую теорию движения планет он
изложил в кратком трактате
«Малый комментарий». Коперник был НИКОЛАИ КОПЕРНИК

90
Европейская математика XII—XVI веков
глубоко верующим человеком и в
своей теории увидел удивительное
и всеохватывающее свидетельство
божественного провидения. Его
основной труд «Об обращении
небесных сфер» был издан в 1543 году,
когда ученый был тяжело
парализован после апоплексического
удара и вскоре умер.
Представление о траекториях
движения планет вокруг Солнца в
виде комбинации деферента и
эпициклов не давало полного
согласия с наблюдениями.
Математически обосновал
теорию Коперника немецкий ученый
Иоганн Кеплер (1571 — 1630). Он ро-
ИОГАНН КЕПЛЕР дился близ Вейля (Германия) в
бедной протестантской семье. На
глазах маленького мальчика родители не только оскорбляли друг
друга, но и дрались, терзали животных, беззастенчиво
обсчитывали посетителей своей маленькой лавчонки-кабака. Иоганн в детстве
часто болел. Его мучили гнойные язвы на руках и ногах, сильные
головные боли, изнурительная лихорадка. Родители заставляли сына
прислуживать пьяным посетителям кабака, сдувать пену с пивных
кружек, убирать столы, мыть посуду. Лишь урывками, когда все
спали, он читал при свете коптилки книги.
В отличие от Коперника, получившего превосходное
образование и жизнь, полную достатка, Кеплер начинал свой путь в науку с
монастырской семинарии и духовной академии в Тюбингене. В Тю-
бингенском университете он изучал астрономию под руководством
коперниканца Михаэля Местлина. Кеплер уверовал в правильность
новой теории, но за это иерархи лютеранской церкви усомнились в его
благочестии, и он был вынужден оставить карьеру священника. В
протестантской гимназии города Граца в австрийской провинции Шти-
рия Кеплер вел занятия по математике, астрономии, риторике и
творчеству Вергилия. Он составлял в гимназии астрологические
предсказания, но позднее утратил доверие к гороскопам. Будучи горячим
сторонником нового грегорианского календаря, он вошел в
конфликт с протестантским руководством гимназии, отвергающим этот
календарь, и был вынужден покинуть гимназию и г. Грац.
В 1600 году Кеплер стал ассистентом знаменитого астронома Тихо
Браге (1546—1601), а после его смерти стал его преемником при

Европейская математика эпохи Возрождения
91
дворе императора Рудольфа II, получив титул «имперского
математика», и должен был составлять гороскопы для придворных. Сам же
отзывался об астрологии как о гулящей дочери, кормящей свою
почтенную мать. Когда у императора Рудольфа II возникли
серьезные политические осложнения, имперская казна оскудела, Кеплеру
перестали платить жалованье. Он ушел из Праги и в 1612 году занял
пост математика в г. Линце. Несчастья преследовали Кеплера. В
Праге у него умерли жена и сын. Он женился вторично, но в Линце
умерли еще двое его детей. Протестанты Линца относились к
Кеплеру враждебно, а после захвата Линца католиком эрцгерцогом
Максимилианом Баварским преследования Кеплера усилились. Его
здоровье начало сдавать. Последние годы жизни Кеплер провел,
пытаясь напечатать некоторые из своих сочинений, взыскать с
императора причитающееся ему за много лет жалованье и стремясь
найти новое место работы.
Неутомимый поиск законов движения планет, которые бы
подтверждались наблюдениями, увенчался успехом. Три
знаменитых закона были открыты Кеплером: 1) планеты обращаются вокруг
Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце,
2) скорость движения планеты вокруг Солнца определяется
площадью сектора орбиты, 3) Т2= KD3, где Τ — период обращения
планеты вокруг Солнца, D — ее среднее расстояние от Солнца, а К —
постоянная, одинаковая для всех планет.
В этих законах, как и Коперник в своих законах, Кеплер увидел
бесконечную мудрость Творца: «Солнце, Луна и планеты, славьте
его на своем неизъяснимом языке. Вы, небесные гармонии,
постигшие его чудесные творения, воспойте хвалу ему! И ты, душа моя,
восхвали Создателя! Им создано, и в нем существует все. То, что
известно нам лучше всего, сотворено в нем и в нашей суетной
науке. Хвала, честь и слава ему во веки веков».
Основные труды Кеплера: «Новая астрономия» (1609), «Новая
стереометрия винных бочек» (1615), «Гармония мира» (1619),
«Сокращение Коперниковой астрономии» (1618—1622), «Рудольфовы
таблицы» (1627).
Уже в «Новой астрономии» Кеплер пользуется бесконечно
малыми, а в «Новой стереометрии винных бочек», используя
оригинальные приемы интеграции, нашел объемы 22 тел вращения.
Кеплер ввел термин «среднее арифметическое», построил два
правильных звездчатых многогранника.
Выдающийся энциклопедист Галылео Галилей (1564—1642) был
физиком, механиком, астрономом, математиком, поэтом,
филологом и критиком. Он родился в Пизе в семье талантливого
музыканта. До 11 лет жил в Пизе, затем во Флоренции. По настоянию

92
Европейская математика XII—XVI веков
отца стал изучать труды Архимеда
и Евклида. В 1589 году получил
кафедру математики в Пизе. В 1592 году
переехал в Падую, затем — в
Венецию. В 1610 году Галилей —
«придворный философ и первый
математик» великого герцога
Тосканского (Флоренция). С 1611 года —
член Национальной академии деи
Линчей в Риме.
После публикации трактата
Галилея «Диалог о двух главнейших
системах мира, птолемеевой и ко-
перниковой» начались преследова-
I ния инквизиции, закончившиеся в
1633 году известным фиктивным
I отречением Галилея от учения Ко-
ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ перника. Галилею было запрещено
говорить с кем-либо о движении
Земли и печатать свои труды. Однако в протестантских странах
труды Галилея издавались: латинский перевод «Диалога», «Беседы и
математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей
науки» (Голландия, 1638) и др.
Галилео Галилей в 1637 году
ослеп. Умер на вилле Арчетри,
близ Флоренции. А в 1737 году его
прах перевезли во Флоренцию и
похоронили рядом с Микеланд-
жело.
Великий Галилей сделал
много открытий в естествознании:
закон инерции, закон падения тел,
колебания маятника. Он дал
строгую формулировку основных
кинематических понятий (скорость,
ускорение). Открыл (с помощью
своей зрительной трубы) горы на
Луне, 4 спутника Юпитера, фазы
Венеры, пятна на Солнце,
звездное строение Млечного Пути. Он
применял метод интегрального
исчисления, рассматривал задачи
СИМОН СТЕВИН теории вероятности и др.

Европейская математика эпохи Возрождения
93
В 1585 году вышла в свет работа
нидерландского математика и
инженера Симона Стевина (1548—
1620) «Десятина», в которой он
изложил десятичную систему мер и
десятичные дроби, ввел
отрицательные корни уравнений,
сформулировал условия существования
корня в данном интервале и
предложил способ его приближенного
вычисления, ввел дробные
показатели степени. Уже в начале XVII
века (1605—1608) Стевин
опубликовал «Математические
комментарии в пяти томах». Как инженер он
внес значительный вклад в
механику.
Одним из самых выдающихся ФРАНСУА ВИЕТ
математиков XVI века был
Франсуа Выет (1540—1603), прозванный «галльским Аполлонием» за
решение с помощью циркуля и линейки задачи Аполлония.
Он родился в Фонтене-ле-Конт, недалеко от знаменитой
крепости Ла-Рошель, в семье прокурора. Получил юридическое
образование и адвокатскую практику. В 1572 году переехал в Париж. Вскоре
занял видную должность тайного советника сначала при короле
Генрихе III, а затем и при Генрихе IV. С юности увлекался математикой
и астрономией.
В трудах Виета алгебра становится общей наукой об
алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях
не только неизвестных, но и коэффициентов уравнения. Он
разработал единообразный прием решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й
степени, установил зависимость между корнями и
коэффициентами уравнений и разработал прием приближенного решения
уравнения с числовыми коэффициентами, аналогичный методу
Ньютона. Виет дал полное решение задачи об определении плоского и
сферического треугольника по трем данным элементам, составил
тригонометрические таблицы шести основных
тригонометрических функций. Рассмотрев впервые бесконечные произведения, он
доказал, что:

94
Европейская математика XII—XVI веков
Виет рассматривал алгебру как «королевскую дорогу» к
геометрии.
Одним из самых замечательных достижений Виета на
королевской службе была расшифровка 500-значного шифра,
используемого испанцами во время войны с Францией, и указание, как
следить за изменением этого шифра. За это испанцы обвинили Генриха IV
в том, что «у него на службе состоит сам дьявол». В период
религиозных войн между гугенотами и католиками Виет с 1584 года до
начала 1589 года был отстранен от должности, а потом снова
приглашен ко двору. В период опалы писал свой основной труд
«Введение в искусство анализа» (1591). Виет отличался исключительной
работоспособностью. Мог просиживать за письменным столом по
трое суток, иногда забываясь сном на несколько минут.
Еще большую славу как первоклассному французскому
математику ему принес успех в решении задачи ван Роомена. Голландский
математик Адрыен ван Роомен (1561 — 1615), определивший π с
точностью до 17 десятичных знаков (независимо от аль-Каши), бросил
известным математикам мира вызов — решить уравнение 45-й
степени:
45х - 3795х3 + 95 634х5- 1 138 500х7+ 7 811 375х9- 34 512 075хп +
+ 105 306 075х13- 232 676 280х15+ 384 942 375х17- 488 494 125х,9 +
+ 483 841 800х21 - 378 658 800х23 + 236 030 652х25 - 117 679 100х27 +
+ 46 955 700х29 - 14 945 040х31 + 3 764 565х33 - 740 259х35 +111 150х37 -
- 12 ЗООх39 + 945х41 - 45х43 + х45= а,
«H'i-Vil-V'i-VS·
В списке тех, кому следовало направить этот научный вызов, ван
Роомен не указал ни одного француза. Нидерландский посланник,
рассказывая об этой задаче королю Генриху IV в 1594 году,
заметил, что, по-видимому, во Франции нет математиков. «Но почему
же? — возразил король. — У меня есть математик и весьма
выдающийся». И он послал за Виетом. Знание формул синусов и
косинусов кратных углов обеспечило успех Виету в решении этого
уравнения. Он заметил, что а — это сторона вписанного в окружность
радиуса 1 правильного 15-угольника, а коэффициенты
показывают, что речь идет о делении этого угла на 45 равных частей. Поэтому
имеется 23 положительных решения:
Xn=2sin[ir±360nij)n = o^2;
а остальные 22 решения — отрицательные, которые по традициям
того времени не учитывались.

Европейская математика эпохи Возрождения 95
К сожалению, свои математические работы Виет писал
чрезвычайно трудным языком. Например, уравнение
х3 + ЗВ2х - 2Z3
он записывал следующим образом:
A cubus -f В piano 3 in A acquari Z solido 2.
Поэтому при жизни ученого его труды не получили
распространения. Лишь в 1640 году они полностью были опубликованы под
названием «Opera Vietal» (Работы Виета) и во многом определили
развитие математики в последующие столетия.

96
Глава V.
Выдающиеся достижения европейских
математиков XVII века
XVII век ознаменовался в Европе крупными успехами в
развитии математики. Десятки выдающихся ученых математиков Европы
открыли своими первоклассными трудами новую эпоху.
Восторжествовали метод координат, дифференциальное и интегральное
исчисление, проективная геометрия.
§ 1. Бонавентура Кавальери и его метод неделимых
Одним из выдающихся предшественников исчисления бесконечно
малых и интегрального исчисления был итальянский математик
Кавальери, предложивший оригинальный метод определения
площадей фигур и объемов тел.
Бонавентура Кавальеры (1598—1647) родился в Милане в очень
знатной, но обедневшей семье. Он получил прекрасное
гуманитарное образование, глубоко изучил наследие многих древнегреческих
и римских философов и поэтов. Кавальери знал наизусть большое
количество латинских стихов и писал на безупречной классической
латыни. Его математические работы изобилуют классическими
оборотами, метафорами и анекдотами. В них цитируются Гомер,
Геродот, Платон, Аристотель, Филон, Диоген Лаэртий, Плавт,
Вергилий, Овидий, Гораций, Персии и др. Вступив еще юношей в
монашеский орден иеронимитов, он до конца жизни оставался
приверженцем этого религиозного учения, получив от папы Урбана VIII
должность пожизненного приора монастыря св. Марии делла Мас-
карелла, и был осыпан милостями другого — папы Иннокентия X.
Религиозную деятельность Кавальери успешно сочетал с
математическим творчеством. Изучив в кратчайшие сроки под
руководством монаха-бенедиктинца Кастелли труды Архимеда, Паппа,
Аполлония и других античных математиков, он занимался вместе с
Кастелли и Галилеем астрономией; изучил движение спутников
Юпитера и Сатурна.
С 1629 года Кавальери возглавил кафедру математики Болонского
университета, оставаясь на этой должности до своей смерти. В своей
рекомендации болонскому сенатору Чезаре Марсильи Галилей
писал, что он чтит Кавальери наравне с Архимедом, что Кавальери с
такой же легкостью сравняется в астрономии с Птолемеем, с какой

Бонавентура Кавальери
97
он в геометрии стал соперником
Архимеда: «Свидетельством
быстроты его разума является то, что
он нашел новый метод
доказательства, при помощи которого он
доказывает более простым путем
теоремы Архимеда и важнейшие
теоремы других серьезных авторов».
Кавальери опубликовал более
десятка книг по математике и
астрономии (1632—1647), в которых
рассматривал вопросы, связанные
с измерениями на небесной
сфере, отражением света от
параболических, эллиптических и
гиперболических зеркал, движением
планет, астрологией, вычислением
площадей различных плоских фи- БОНАВЕНТУРА КАВАЛЬЕРИ
гур и объемов тел, нахождением
формул для определения фокусов зеркал и чечевиц. Для
математики важнейшим из этих трудов несомненно являются «Геометрия,
изложенная новым способом при помощи неделимых
непрерывного» (1635) и «Шесть геометрических опытов» (1647). В семи
книгах «Геометрии» излагаются два пути использования пучков
параллельных прямых и параллельных плоскостей для вычисления
площадей плоских фигур и объемов тел: первый метод
неделимых (1—6-я книги) и второй метод неделимых (7-я книга).
Базисной прямой (плоскостью) пучка, называемой автором ре-
гулой, является прямая (плоскость), касающаяся границы, плоской
(пространственной) фигуры в некоторой точке. Кавальери
рассматривает плоскую фигуру как совокупность параллельных отрезков от
одной крайней касательной (регулы) до другой, а тело — как
совокупность его параллельных плоских сечений.
Эти отрезки и плоские сечения он называет неделимыми.
Вычисление площадей (объемов) совершается путем сравнения
неделимых двух фигур, площадь (объем) одной из которых известен.
1) Если все отрезки (плоские сечения) одной фигуры, взятые
вместе, равны всем отрезкам (плоским сечениям) другой по каким
угодно регулам, то и сами фигуры имеют одинаковые площади
(объемы) — первый метод неделимых.
2) Если в двух каких угодно плоских фигурах (телах),
построенных на одних и тех же параллельных прямых (плоскостях), из
которых одна — регул а, отрезки (плоские сечения), отсекаемые

98 Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века
на фигурах одной и той же прямой (плоскостью), параллельной
регуле, равны (равновелики), то и самые фигуры будут иметь
одинаковые площади (объемы).
Например, площадь эллипса с полуосями a, b Кавалъери
вычисляет следующим образом: на малой оси, как на диаметре, строится
окружность и проводятся прямые, параллельные большой оси. Так
как каждый неделимый элемент эллипса
2x = lMb2-y2
b
относится к соответствующему неделимому круга
2X = 2Vb2-y2
как а к Ь, то и совокупность всех неделимых эллипса (его
площадь S) и площадь круга радиуса b обладают тем же свойством,
следовательно:
—— = — -» S =пзЬ.
пЪ2 Ъ
Хотя Кавальери не смог строго обосновать свой «метод
неделимых», но он превзошел Архимеда и всех математиков Древнего мира
не только в числе решенных ими специальных задач на
определение площадей и объемов, но и в отношении понимания
дальнейших перспектив развития учения о бесконечно малых. Έ
геометрической и нестрогой форме он получил ряд общих формул
интегрального исчисления. Например, в своих обозначениях он доказал, что:
г Яп+|
xndx = -^— (до η-9).
о п+1
Труды Кавальери сыграли большую роль в формировании
исчисления бесконечно малых, хотя методы интегрального исчисления
развивались по иному — аналитическому, а не геометрическому пути.
Именем Кавальери назван кратер на видимой стороне Луны.
§ 2. Пьер Ферма — выдающийся юрист и гениальный математик
Пьер Ферма (1601 — 1665) родился в Бомон-де-Ломани на юге
Франции в семье торговца кожей Доминика Ферма, служившего в мэрии
«вторым консулом». Мать Пьера — дочь юриста парламента Клер-де-
Лонг. В коллеже родного города Ферма приобрел хорошее знание
иностранных языков: латинского, греческого, испанского и
итальянского. Окончив коллеж, он изучал юриспруденцию в Тулузском
университете. В Орлеане Ферма получил степень бакалавра и с 1631 года в
течение 17 лет работал королевским советником парламента (суда).

Пьер Ферма
99
Свою юридическую
деятельность он осуществлял «с большой
добросовестностью и таким
умением, что прославился как один из
лучших юрисконсультов своего
времени».
Хотя математика всегда
оставалась для него лишь увлечением,
он стал основоположником
наиболее плодотворных ее областей:
аналитической геометрии,
исчисления бесконечно малых, теории
вероятностей. Однако многие
математические открытия Ферма
стали известны лишь из его
писем к Б. Паскалю, Дж. Валлису,
Ф. де Бесси (1605—1675) и другим
математикам, а также дошли до нас ПЬЕР ФЕРМА
в виде надписей на полях
«Арифметики» Диофанта, так как он не оставил ни одной законченной
работы. Большинство его набросков не было опубликовано при жизни
ученого. Вместо доказательств он ограничивался, как правило, только
указаниями. Обнаружено лишь доказательство теоремы Ферма о
неразрешимости в целых числах уравнения х4+ у4 = ζ4.
Большинство сформулированных Ферма теорем строго доказали
Л. Эйлер, О. Коши и другие математики XVIII—XIX веков, а его
«великая теорема» о неразрешимости в целых и рациональных
числах уравнения х" + уп= ζ11 при любом натуральном η > 2 была
доказана только в конце XX века.
В теории чисел важную роль играет «малая теорема» Ферма о
делимости без остатка ар|—1 на любое простое число р, взаимно
простое с а.
Ферма указал в 1637 году, что уравнение х2= Ау2 + 1, где А —
целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет в Ζ
бесчисленное множество решений. К тому же результату пришли
английские математики Джон Валлис (1616—1703) и Уильям Бро-
ункер (1620—1684), но почему-то Л. Эйлер приписал этот результат
английскому математику Джону Пеллю (1611 — 1685), и это
уравнение теперь называют «уравнением Пелля». Впоследствии Лагранж
доказал, что это уравнение всегда разрешимо в целых числах.
Иногда Ферма ошибался в своих утверждениях. Например, он
считал, что все натуральные числа вида Fn= 22" + 1, где neN^NuO-
простые. Действительно, F0 = 3, F, = 5, F2 = 17, F3= 257, F4= 65 537 —

100 Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века
простые числа. Но Л. Эйлер доказал, что число F5 — составное:
F5= 4 294 967 297 = 641-6 700 417.
Хотя идеи и открытия Ферма в области теории чисел не оказали
большого влияния на математику его времени, но для последующих
поколений математиков их значение было велико.
В 1629 году Ферма независимо от Декарта открыл основной
принцип аналитической геометрии — метод координат, основанный на
соответствии между точками плоскости и парами чисел (х, у). В
работе «Введение к теории плоских и пространственных мест»,
ставшей известной в 1636 году, Ферма показал, что прямым
соответствуют уравнения первой степени, а коническим сечениям —
уравнения второй степени. Ферма исследовал общие уравнения первой
и второй степени, используя перенос начала координат и поворот
осей.
В работе «Метод отыскания наибольших и наименьших
значений», опубликованной лишь в 1679 году, Ферма практически
пользовался операциями дифференцирования и интегрирования функций,
применяя их не только для нахождения экстремумов функций и
площадей плоских фигур, но и для нахождения касательных к
кривым. Он распространил формулу интегрирования степени на случай
дробных и отрицательных показателей, а метод определения
касательных на случай плоских кривых, заданных неявными
функциями. Однако он рассматривал только алгебраические и
полиномиальные функции, освобождаясь от иррациональностей, в случае
необходимости, возведением обеих частей уравнения в степень.
Использование сложной символики Виета и труднодоступных для
усвоения алгебраических средств не привели Ферма к созданию
дифференциального и интегрального исчисления.
Ферма и Паскаль развивали элементы теории вероятностей.
Академик М. В. Остроградский в своих лекциях по теории вероятностей
в 1858 году говорил об этом так: «Паскаль, а за ним Ферма,
геометры XVII столетия, по справедливости считаются основателями
науки о вероятностях». Сохранились 3 письма Паскаля и 4 письма Ферма
друг к другу, в которых предлагались решения задачи де Мере о
справедливости распределения ставок между двумя игроками с
использованием элементов теории вероятностей.
Ферма сформулировал также основной принцип оптики, из
которого выводятся законы отражения и преломления света.
Ферма женился в 1631 году на кузине по материнской линии
Луизе де Лонг. У Пьера и Луизы было три сына и две дочери, из
которых старший сын Самуэль стал поэтом и ученым. Именно ему
мы обязаны первым собранием сочинений Пьера Ферма,
вышедшим в 1679 году. Пьер Ферма был спокойным, уравновешенным,

Кене Декарт
1U1
честным и аккуратным человеком.
Его жизнь была лишена громких
событий, но своими гениальными
открытиями в математике он
обессмертил себя. Учреждена медаль
им. Пьера Ферма (Тулуза). Лицей
в Тулузе носит его имя.
§ 3. Рене Декарт —
основоположник аналитических
принципов построения геометрии и
выдающийся философ
Рене Декарт (1596—1650) —
французский философ, математик,
физик, физиолог родился в Лаэ
(департамент Турень) в семье слу- РЕНЕ ДЕКАРТ
жащего парламента в Бретани. Его
мать, Жанна Брошар, умерла от чахотки через несколько дней
после рождения сына. Рене рос болезненным, но очень
любознательным мальчиком. Его послали учиться в престижный
аристократический иезуитский коллеж Ла Флеш, ректор которого, Этьен
Шарле, был дальним родственником семьи Декартов.
В отступление от суровых школьных правил мальчику было
разрешено спать в отдельной комнате и не присутствовать на
утренних занятиях. На всю жизнь Декарт сохранил привычку предаваться
размышлениям, не вставая с постели. Окончив в 1612 году коллеж,
он изучал юриспруденцию и медицину и, получив в Пуатье степень
бакалавра, избрал военную карьеру. Декарт был смелым офицером и
нанимался на службу в те армии, которые вели войну. Он участвовал
во многих кровавых сражениях Тридцатилетней войны под
знаменами герцога Савойского, штурмовал Прагу. Только удивительное
везение сохранило за пять лет военных будней его тело от гибели, а его
дух от забвения. О смелости Декарта можно судить, например, по
следующим его двум поступкам. Когда подвыпивший невежа
оскорбил на вечеринке даму Декарта, разгневанный философ выбил шпагу
из его рук, а затем подарил ему жизнь. Решив закончить службу в
армии, он отправился в 1821 году в Северную Европу на маленьком
корабле лишь с одним телохранителем. Моряки решили ограбить
Декарта, оглушив его ударом по голове, а затем сбросить тело в море.
Но разбойники не учли того, что философ понимал их язык.
Обнажив шпагу, Декарт заставил их направить корабль обратно к берегу.

102 Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века
В начале военной службы, состоя добровольцем в голландской
протестантской армии, Декарт изучал математику, интерес к
которой у него возбудил его школьный товарищ Марен Мерсенн.
Учителем Декарта был голландский профессор Исаак Бекман (1588—1637),
открывший независимо от Галилея закон скоростей и расстояний
для падения тел.
Возвратившись в 1625 году в Париж, Декарт стал активным
членом кружка Мерсенна, где собирались известные ученые.
Философские идеи Декарта находят много поклонников. В «Метафизических
рассуждениях» (1641) он пишет: «Под словом «Бог» я
подразумеваю субстанцию бесконечную, вечную, неизменную, независимую,
всемогущую, создавшую и породившую меня и все остальные
существующие вещи». Такие взгляды вызывали неодобрение иезуитов.
Кардинал Ришелье разрешал публиковать труды Декарта, но
пришедшие ему на смену церковные иерархи наложили запрет на
издание во Франции его трудов.
Как философ Декарт был дуалистом. Он признавал два
принципиально противоположных и несовместимых друг с другом начала:
материальную и духовную субстанции. На первое место в научном
исследовании он выдвигал разум как решающий критерий оценки
результатов исследований. Математику он считал идеалом и
образцом для других наук, универсальным методом изучения природы.
Человек, по Декарту, существо, в котором механизм тела соединен
с нематериальной и непротяженной душой. Бог, как максимально
совершенное существо, создал материю и вложил в нее
определенную сумму движения, предоставив материи развиваться по ее
собственным механическим законам.
В своей жизни Декарт следовал созданным им философским
принципам: «Cogito ergo sum» («мыслю, следовательно,
существую»), «подвергай все сомнению», «каждую из
рассматриваемых трудностей следует делить на части, что позволяет прийти к
лучшему решению», «делать всюду настолько полные перечни и
такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не
пропущено» и др.
Правила собственной морали, сформулированные Декартом в
«Рассуждении о методе...» (1637), поражают своей глубиной:
1) «повиноваться законам и обычаям моей страны, неотступно
придерживаться религии, в которой, по милости Божией, я был
воспитан с детства».
2) «оставаться настолько твердым и решительным в своих
действиях, насколько это в моих силах, и с неменьшим постоянством
следовать даже самым сомнительным мнениям, если я принял их за
вполне правильные».

Рене Декарт
103
3) «всегда стремиться побеждать скорее себя, чем судьбу,
изменять свои желания, а не порядок мира».
Математические исследования Декарта тесно связаны с его
работами по философии и физике. Он впервые в «Геометрии» (1637)
ввел понятие переменной величины и функции, дал
геометрическую интерпретацию отрицательным числам и впервые
опубликовал созданный им и Ферма метод прямолинейных координат.
Декарт не рассматривал отрицательные абсциссы и почти не затронул
аналитическую геометрию в пространстве, однако он изложил
способ построения нормалей и касательных к плоским алгебраическим
кривым до 4-го порядка. Почти 150 лет алгебра и аналитическая
геометрия развивались в направлениях, указанных Декартом.
Из переписки Декарта известно, что он, как и Ферма,
рассматривал задачи дифференциального и интегрального исчисления. Он
вычислял площадь циклоиды по методу неделимых, определял
касательные к циклоиде, исследовал логарифмические спирали, знал
соотношение между числами граней, вершин и ребер выпуклых
многогранников (открытое позднее Л. Эйлером), находил
приближенную характеристику кривой по свойству ее касательной и др.
Сочинение Декарта «Рассуждение о методе...» и три трактата-
приложения («Диоптрика», «Метеоры» и «Геометрия», состоящая
из трех книг) сыграли важную роль в успешном развитии
математики не только в XVII, но и в последующие столетия. В первой
книге «Геометрии» изложены основные принципы аналитической
геометрии, во второй дана классификация кривых линий и указан
метод проведения касательных и нормалей к кривым. В третьей
книге рассмотрена теория алгебраических уравнений и даны
геометрические методы их решения.
В личной жизни Декарт испытал много горя. От женщины, не
состоявшей с ним в законном браке, у него была дочь Францена,
которую он очень любил. Но девочка умерла в пятилетнем возрасте
от скарлатины. В том же 1640 году умер его отец, а вскоре и сестра
Жанна, к которой он был очень привязан. Двадцатилетний период
жизни в Голландии (1628—1648) Декарт провел уединенно, следуя
принципу: «Тот счастливо прожил, кто хорошо укрылся».
После смерти близких он принял в 1641 году приглашение
изгнанной принцессы Елизаветы и жил несколько лет в тихой
деревушке близ Гааги, давая уроки принцессе, которая знала шесть
иностранных языков, перечитала много книг, включая книги по
математике и естествознанию, и жила в этой деревушке с
матерью, восторгаясь знаменитым философом. Когда Елизавета
покинула Голландию, она переписывалась с Декартом до самой его
смерти, получая в ответ искренние и прекрасные письма ученого.

104 Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века
С 1646 года до отъезда в Швецию Декарт жил уединенно в
голландском городке Эгмонде, занимаясь наукой и садоводством на
крошечном участке, ведя обширную переписку со многими
просвещенными людьми Европы. В начале 1649 года он принял
приглашение 19-летней шведской королевы Христины и вместе со
шведским адмиралом Флемингом, посланным королевой, прибыл в
Стокгольм. Ученому были оказаны королевские почести, подарено
поместье. Декарт принял активное участие в создании Шведской
академии наук. Однако год жизни при дворе королевы не принес
ему радости. Христина, отличавшаяся завидным здоровьем, была
«жаворонком», вставала в 4 часа утра, считая, что утренние часы
с 5 до 7 самым спокойным и подходящим временем для занятий
философией. Декарт же был типичным «совой», привыкшим
вставать не ранее 11 и очень любившим тепло. Ему пришлось,
преодолевая свои привычки, шагая по морозному январскому воздуху, три
раза в неделю ходить во дворец к 5 часам утра. Декарт жил вместе с
французским послом Шаню. Когда посол заболел воспалением легких,
Декарт ухаживал за ним. Посол выздоровел. Затем заболел Декарт. Он
отказался лечиться у докторов, посланных взволнованной
королевой, и спокойно встретил смерть 11 февраля 1650 года. Удивительно,
что в Стокгольме от одной и той же болезни (воспаления легких)
скончались в феврале почти в одно и то же число два выдающихся
математика — Рене Декарт и Софья Васильевна Ковалевская (10
февраля 1891 года). Именем Декарта названы координаты, произведения
множеств, парабола, лист, овал и кратер на видимой стороне Луны.
§ 4. Блез Паскаль — величайший ученый и мыслитель
Анализируя вклад многих гениальных европейских ученых XVII века
в развитие математики, можно сделать вывод, что наиболее
выдающимся из них по глубине и разносторонности открытий является
Блез Паскаль (1623—1662), сделавший за свою недолгую жизнь
непревзойденные по глубине мысли открытия не только в
математике, механике, физике, но и в литературе.
В историю естествознания Паскаль вошел как великий физик и
математик, один из создателей математического анализа,
проективной геометрии, теории вероятностей, вычислительной
техники, гидростатики.
Выдающиеся писатели мира (Стендаль, Л. Н. Толстой, И. С.
Тургенев, Φ. Μ. Достоевский и др.) считали его одним из самых
замечательных писателей, «Когда я читаю Паскаля, мне кажется, что
читаю себя» (Стендаль, 1805). Для Л. Н. Толстого Паскаль был одним

Блез Паскаль
105
из самых почитаемых мыслителей.
Он считал Блеза Паскаля
человеком великого ума и сердца. В год
своей смерти Л. Н. Толстой писал:
«Не мог не умилиться до слез,
читая его [Паскаля] и сознавая свое
полное единение с этим умершим
сотни лет тому назад человеком».
И. С. Тургенев отмечал: «...Никогда
еще никто не подчеркивал того,
что подчеркивал Паскаль: его
тоска, его проклятия ужасны. В
сравнении с ним Байрон — розовая
водица. Но какая глубина, какая
ясность — какое величие!.. Какой
своеобразный, сильный, дерзкий и
могучий язык!..» Н. Г.
Чернышевский писал о Паскале: «...погибать БЛЕЗ ПАСКАЛЬ
от избытка умственных сил —
какая славная погибель...»
Блез Паскаль родился в семье служащего парламента г. Клермон-
Феррана Этьена Паскаля, совмещавшего юриспруденцию с
математикой. Кривая четвертого порядка, «улитка Паскаля», названа
его именем. Рано овдовев, Этьен Паскаль посвятил себя
воспитанию детей — сына Блеза и двух дочерей. В 12 лет юный Блез сделал
первое открытие — обнаружил, что сумма углов треугольника
такая же, как сумма двух углов стола. В 17 лет он опубликовал свою
знаменитую теорему о принадлежности одной прямой точек
пересечения противоположных сторон вписанного в коническое сечение
произвольного шестивершинника и пришел к идее конструкции
первой вычислительной машинки (прообраза довоенного
арифмометра). В 25 лет Паскаль доказал, что «торричеллиева пустота»
объясняется давлением воздуха. Он провел серию опытов о
равновесии жидкости и газов, сформулировал свой знаменитый закон,
высказал идею гидравлического пресса, осуществил дальнейшее
развитие принципа возможных перемещений.
Паскаль и Ферма разными способами решили задачу де Мере о
справедливом распределении ставок и стали первооткрывателями
новой науки — теории вероятностей. По мнению Пуассона,
«задача, поставленная перед суровым янсенистом светским человеком,
стала источником теории вероятностей».
В 1654 году Паскаль опубликовал «Трактат об арифметическом
треугольнике», в котором в привычной для нас форме выразил прин-

106 Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века
цип математической индукции. И хотя тождество С"1 = С™, + С1,"",
было известно еще в Древней Индии, оно вошло в математическую
науку под названием «тождество Паскаля».
Определяя площадь и центр тяжести сегмента циклоиды,
Паскаль разработал метод, необходимый для построения в общем виде
дифференциального и интегрального исчисления. Когда Лейбниц,
по совету Гюйгенса, ознакомился с трудами Паскаля, то удивился,
насколько близок был Паскаль к построению общей теории и
неожиданно остановился, будто «на его глазах была пелена».
В 1658 году Паскаль организовал конкурс, предложив
крупнейшим математикам решить шесть задач про циклоиду. Наибольших
успехов добились Христиан Гюйгенс (1629—1695), решивший четыре
задачи, и Джон Валлис (1616—1703), у которого с некоторыми
пробелами были решены все задачи. Но наилучшей была признана работа
Амоса Детонвилля, которая, по словам Гюйгенса, «выполнена столь
тонко, что к ней нельзя ничего добавить». На премиальные 60
пистолей труды Детонвилля (один из псевдонимов Паскаля) были изданы.
В последние годы жизни Блез Паскаль отошел от математики и
физики. Свои литературные произведения он пишет под
псевдонимами, чтобы избежать преследований со стороны иезуитов:
«Письма к провинциалу» — под псевдонимом Луи де Монтальт,
«Мысли» — под псевдонимом Соломон де Тульти. Непосильная
умственная нагрузка истощила великого ученого. Когда в декабре
1660 года Гюйгенс дважды посетил Паскаля, то нашел его
глубоким стариком. А ведь ученому было всего 37 лет!
§ 5. Ньютон и Лейбниц — творцы математического анализа
Наибольший вклад в создание математического анализа внесли
Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц.
Ньютон Исаак (1643—1727) родился в семье фермера в Вулсторпе
близ Кембриджа. В 1665 году окончил Кембриджский университет,
в 1668 году получил ученую степень магистра. С 1669 по 1701 годы
возглавлял кафедру. С 1672 — член Лондонского королевского
научного общества, с 1703 — его президент.
Основными направлениями научной деятельности Ньютона были
физика, механика, астрономия и математика. В этих областях им
были достигнуты выдающиеся достижения: вывод и формулировка
основных законов классической механики, открытие закона
всемирного тяготения, законов спектрального разложения света и
разработка дифференциального и интегрального исчисления методом

Ньютон и Лейбниц
107
флюксий. Все флюенты Ньютона —
это зависимые переменные с общим
аргументом — абстрагированным
временем (равномерно текущей
независимой величиной), а
флюксии (производные) — скорости.
Если у — флюента, то у, у, ..., у(п) —
флюксии соответственно первого,
второго, η-го порядка.
Основное внимание в теории
флюксий уделялось
дифференцированию функций, причем
предложенный Ньютоном метод
вычисления производной мало чем
отличался от метода Ферма.
Математическому анализу
Ньютон посвятил три работы,
написанные им соответственно в 1669, 1671 ИСААК НЬЮТОН
и 1676 годах. Кроме того, в своем
основном труде «Математические начала натуральной философии»
(1687) Ньютон отказался от «неделимых в пределе величин» в пользу
«исчезающе делимых величин», т. е. величин, бесконечно делимых.
Сочинение Ньютона «Метод флюксий и бесконечных рядов»
опубликовано в 1736 году.
Учитывая осмысленность с точки зрения физики своих
математических исследований, Ньютон не уделял особого внимания
логическому обоснованию математического анализа и не отвечал на
критику в свой адрес со стороны математиков, ратующих за
необходимость строгой логической обоснованности вводимых новых
понятий. Особенно вольно Ньютон обращался с операциями над
бесконечными рядами, не имея ясного представления о понятии
сходимости и расходимости таких рядов,
Ньютон создал метод численного решения алгебраических
уравнений, доказал важные теоремы о симметрических функциях
корней алгебраических уравнений, о приводимости уравнений и др.
Изложил развитую теорию конических сечений, дал
классификацию этих кривых, обобщил понятия диаметра и центра, указал
способы построения кривых второго и третьего порядков по
различным условиям.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) родился в Лейпциге в
семье профессора философии и морали, учился в Лейпцигском и Йен-
ском университетах. В 1663 году получил степень бакалавра, в 1664 —
магистра философии, в 1666 — доктора права. Состоял на диплома-

108 Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века
тической и юридической службе
сначала у Майнцского курфюрста,
затем у Ганноверского герцога. За
научные заслуги Лейбниц был избран
в 1673 году членом Лондонского
королевского общества, в 1700 —
членом Парижской академии наук.
Он был знаком с Петром I,
обсуждал проекты организации
Академии наук в Петербурге и
развертывания научных исследований
в России.
Лейбниц предложил отличный
от Ньютона подход к
математическому анализу. Он обозначал
производную через -^, где dx —
ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ разность абсцисс, a dy — разность
ординат двух бесконечно близких
dy
точек на кривой, и доказал, что -г- есть тангенс угла наклона
касательной. Он рассматривал интеграл как бесконечную сумму
бесконечно малых величин и обозначал его }ydx. Лейбниц умел вычислять
интегралы и, независимо от Ньютона, доказал основную теорему
интегрального исчисления, утверждающую, что вычисление интеграла
есть операция, обратная нахождению производной. Результаты своей
двенадцатилетней работы по созданию анализа бесконечно малых
Лейбниц опубликовал в 1684 году.
В отличие от Ньютона, Лейбниц считал своим долгом отвечать
на критические замечания. Однако он не мог, как и Ньютон,
объяснить вводимые им понятия и обосновать новые операции.
В 1693 году Лейбниц опубликовал способы интегрирования
дифференциальных уравнений с помощью бесконечных рядов. Он ввел
много математических терминов и знаков, прочно вошедших в
математическую практику: функция, дифференциал,
дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм,
абсцисса, ордината, координата; знаки дифференциала и интеграла;
логическую символику. В механике ему принадлежит понятие о живых
силах, в геологии — мысль, что Земля имеет историю. Лейбниц
создал научную школу, в которую входили братья Бернулли, Ло-
питаль и другие известные математики. Он нарушил традицию
писать научные труды только на латинском языке.

Другие открытия европейских математиков XVII века
109
Исходным пунктом философии Лейбница является монада —
духовная, простая и неделимая субстанция. Иерархию монад
установил Бог: простые монады (неорганические тела, растения),
монады-души (животные), монады-духи (человек) и высшая монада —
Бог; Лейбниц стремился примирить науку и религию.
Научный авторитет, талант, европейская известность не спасали
Лейбница от унизительной зависимости от «власть имущих».
Особенно тяжелым стало его положение при третьем из
герцогов, занявшем престол в Ганновере и ставшем в 1714 году королем
Англии Георгом I. Ганноверский двор подвергал «придворного
библиотекаря» незаслуженным унижениям и мелочным придиркам,
включая упреки в нерадивости. В последние годы жизни ученый
страдал от подагры и принимал обезболивающие. Одно из лекарств
вместо облегчения принесло ему невыносимые муки и смерть 14
ноября 1716 года. Лютеранская церковь отвергла философские взгляды
ученого и выразила сомнение в твердости веры усопшего. Тело его
простояло в подвале около месяца и лишь потом было предано
земле. Хоронили ученого только могильщики и секретарь, сказавший
впоследствии: «Этот человек составлял славу Германии, а его
похоронили как разбойника». На могиле поставили камень с надписью
«Ossa Leibnitii» (кости (останки) Лейбница).
Берлинская академия наук никак не отреагировала на смерть
своего президента. Также промолчали ученые Вены. Лишь
Парижская академия наук торжественно почтила память великого
мыслителя. А Дидро в своей знаменитой «Энциклопедии» позднее
отметил, что для Германии Лейбниц был тем, кем для Древней
Греции были Платон, Аристотель и Архимед вместе взятые.
Творцы математического анализа Ньютон и Лейбниц
подчеркивали вклад своих предшественников в его создание. «Я видел
дальше, — говорил Ньютон, — потому, что стоял на плечах гигантов».
Хотя Ньютон пришел раньше, а Лейбниц, независимо от Ньютона,
позже к созданию дифференциального и интегрального
исчисления, но приоритет публикации, заслуги в активной пропаганде
нового исчисления и в создании удобных алгоритмов, терминов и
символов принадлежат Лейбницу.
§ 6. Другие открытия европейских математиков XYII века
Кроме пяти самых выдающихся математиков XVII века —
Ферма, Декарта, Паскаля, Ньютона, Лейбница — была целая плеяда
ученых-математиков, прославивших своими открытиями
семнадцатое столетие.

110 Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века
Создателями таблиц логарифмов
и правил логарифмирования
являются шотландский математик
Джон Непер и швейцарский
математик и астроном Йобст Бюрги.
Джон Непер (1550—1617)
родился в Мерчистон-Касле, близ
Эдинбурга. Учился в Эдинбургском
университете. Уже к 1594 году овладел
основными идеями учения о
логарифмах. В 1614 году он
опубликовал свой труд «Описание
удивительной таблицы логарифмов», в
котором было дано определение
логарифмов, объяснение их свойств,
правила пользования ими. В нем
содержались также таблицы лога-
ДЖОН НЕПЕР рифмов синусов, косинусов,
тангенсов и приложения логарифмов
к сферической тригонометрии. В своем втором труде «Построение
удивительной таблицы логарифмов», опубликованном в 1619 году
уже после смерти ученого, Непер изложил принципы вычисления
таблиц. Данное им кинематическое определение логарифма, по
существу, равносильно определению логарифмической функции через
дифференциальное уравнение. Неперу принадлежит также ряд
удобных для логарифмирования формул решения сферических
треугольников.
Друг Дж. Непера профессор Оксфордского университета Генри
Бриге (1561 — 1630) составил в 1617 году и издал таблицу
логарифмов по основанию 10 для чисел первой тысячи, а через семь лет
он вычислил уже 30 000 логарифмов с 14-ю десятичными знаками.
В 1633 году, т. е. уже после смерти ученого, в «Британской
геометрии» были опубликованы вычисленные Бригсом с такой же
точностью логарифмы синусов и тангенсов. Бригсовы логарифмы нашли
широкое применение. В своих астрономических и географических
работах Бриге пропагандировал идеи Кеплера.
Независимо от Дж. Непера пришел к созданию логарифмов
швейцарский математик Йобст Бюрги (1552—1632), работавший в 1579—
1603 годах придворным часовщиком в Касселе. В 1603—1622 годах он
проводит совместно с И. Кеплером астрономические
вычисления, что и привело его к изобретению логарифмов. В 1620 году он
опубликовал труд «Таблицы арифметической и геометрической
прогрессий», который фактически представлял собой таблицы

Другие открытия европейских математиков XVII века 111
антилогарифмов с основаниями,
близкими к числу е. Бюрги
рассматривал приемы вычислений,
близкие к правилам сокращенного
умножения. Он систематически
применял метод ложного
положения к приближенному вычислению
корней алгебраических уравнений.
Вместе с Кеплером ввел запятую
для отделения целой части числа
от дробной в десятичной дроби.
Одним из главных
предшественников Ньютона и Лейбница в
разработке математического анализа
является учитель И. Ньютона на
кафедре в Кембриджском
университете Исаак Барроу (1630—1677).
В своем главном труде «Лекции по ИСААК БАРРОУ
оптике и геометрии» (1669—1670)
он существенно развил дифференциальные методы П. Ферма,
установил связь между операциями дифференцирования и
интегрирования. Барроу рассматривал интегрирование фактически как новую
математическую операцию, используемую при решении многих
задач. Им получены формулы,
которыми пользуются и сейчас при
вычислении длин дуг кривых,
заданных уравнениями в полярных и
декартовых координатах.
В 1655 году английский
математик Джон Валлыс (Уоллис)
(16Ιοί 703) опубликовал свой труд
«Арифметика бесконечного», сыгравший
важную роль в предыстории
интегрального исчисления. В этой
работе Валлис, независимо от
Ферма и Роберваля, вычислил
определенные интегралы от
степеней с любыми рациональными
показателями и некоторых других
алгебраических функций. Он
первым дал определение интеграла
как предела числовой
последовательности, независимо от поня- ДЖОН ВАЛЛИС

112 Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века
! тия площади. В 1655 году доказал
: равенство:
4 _ 1·3·3·5·5·7· 7...
π2·4·4·6·6·8· 8... '
I Жиль Роберваль (Персонье)
] (1602—1675) — французский ма-
j тематик, разработавший независи-
j мо от Кавальери метод неделимых
] и применивший его для вычисле-
| ния длин линий, площадей фигур
] с криволинейными границами и
I объемов некоторых тел. Дал
определение касательной как
предельное положение секущей.
Христиан Гюйгенс (Хёйгенс)
I (1629—1695) родился в Гааге в за-
ХРИСТИАН ГЮЙГЕНС житочной и образованной семье.
Его отец хорошо знал математику,
естествознание, историю, литературу, был неплохим художником
и хорошим музыкантом. Он дал своим детям прекрасное
разностороннее образование. В семь лет Христиан научился читать, писать
и выполнять арифметические действия, а в восемь начал
обучаться музыкальной грамоте, французскому языку и латыни. С 14 лет
изучал «Конические сечения» Аполлония, «Альмагест» Птолемея,
«Введение в новую астрономию» Тихо Браге, труды Кеплера,
Декарта, Виета. В 16 лет Гюйгенс поступил в Лейденский
университет на юридический факультет, но продолжал основное внимание
уделять математике, переписываясь с Мерсенном и решая
присылаемые им задачи научного характера. Декарт одобрил первые
научные труды нидерландского ученого и предсказал ему блестящие
успехи в будущем. В своих исследованиях Гюйгенс развивал анализ
бесконечно малых, применяя его к геометрии. Он определил
длины дуг эллипса, гиперболы, исследовал трактрису,
логарифмическую спираль, цепную линию (ввел этот термин), определил
касательные и экстремумы некоторых функций. В 1657 году
Гюйгенс изобрел маятниковые часы и опубликовал первые
исследования по теории вероятностей. Совместно с Робертом Гуком,
создавшим математические основы теории упругости, установил
точку таяния льда и точку кипения воды. Открыл спутник Сатурна
Титан (1655) и установил, что у Сатурна есть кольца. В «Трактате о
свете» (1690) изложил и применил к объяснению оптических
явлений волновую теорию света.

Другие открытия европейских математиков XVII века
113
Выдающийся вклад в развитие математики и физики в XVII веке
внес Роберт Гук (1635—1703). Он родился на о. Уайт, учился в
Оксфордском университете, где впоследствии стал ассистентом Р. Бой-
ля. С 1665 года Гук — профессор математики Лондонского
университета. Он заложил основы теории упругости, открыл закон,
выражающий зависимость между упругим напряжением и деформацией
тела (названный его именем). Гук первым высказал гипотезу о
взаимном притяжении тел пропорционально их массам и обратно
пропорционально квадрату расстояния между ними, т. е. предвосхитил во
многом небесную механику И. Ньютона. Но, к сожалению, об этом
величайшем открытии Гука многие не знают до сих пор и
приписывают авторство закона всемирного тяготения только И. Ньютону (как и
умалчивается приоритет Анри Пуанкаре в создании специальной и
начал общей теории относительности). В астрономии Гук занимался
теорией движения планет. Он сконструировал и усовершенствовал
множество приборов и был известен как талантливый архитектор.
Именем Гука названы кратер на видимой стороне Луны и кратер на
Марсе. Гук — член Лондонского королевского общества (1662), а в
1677—1683 годах — его секретарь.
В разработку исчисления бесконечно малых существенный вклад
внесли также шотландские математики Джеймс Грегори и Дэвид
Грегори. Оба — члены Лондонского королевского общества.
Джеймс Грегори (1638—1675) работал профессором
университетов Сент-Андруса и Эдинбурга. Он внес существенный вклад в
разработку исчисления бесконечно малых, создав прием вычисления
плоского сектора, одинаково применимый для круга, гиперболы и
эллипса. Для вычисления площадей пользовался рядами. Независимо
от Ньютона открыл теорему о биноме. Грегори разложил в степенные
1 + χ
ряды arctg χ, sec x, In tg χ, In sec x, In —— и уже в 1671—1672 годах
владел рядом Тейлора. В 1668 году он вывел формулу
приближенного интегрирования, полученную впоследствии Т. Симпсоном (1710—
1761). Впервые проделал преобразование прямоугольных
координат в полярные. Грегори предпринял попытку доказать, что
круговые и логарифмические функции не могут быть сведены к
алгебраическим, дал уравнение сферической локсодромы, которая имеет
значение в мореплавании, и составил первый проект зеркального
телескопа.
Его племянник Дэвид Грегори (1659—1708), работавший в
Эдинбурге и Оксфорде, развил метод квадратур с помощью рядов, писал
работы по геометрии и механике, издал в подлиннике все дошедшие
до нас сочинения Евклида.

114 Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века
I I В конце XVII и начале XVIII
веков значительные результаты в
развитии математического анализа
получили братья Якоб и Иоганн
Бернулли. Работая с 1687 года
профессором математики Базельского
университета, Якоб Бернулли (1654—
I 1705) получил новые результаты в
! теории рядов, вариационном ис-
i числении и теории вероятностей.
| Изучил свойства логарифмической
j спирали, лемнискаты (открытой
I им и носящей его имя), цепной ли-
Ί нии и др. Он определил площадь
сферического треугольника, коно-
идальных и сфероидальных поверх-
J ностей, частично решил изопери-
ЯКОБ БЕРНУЛЛИ метрическую задачу и
сформулированную братом Иоганном задачу о
брахистохроне (кривой быстрейшего спуска). Благодаря работам
Якоба Бернулли теория вероятностей приобрела важнейшее
значение в практической деятельности. Многие термины и теоремы
теории вероятностей названы его именем. Среди учеников Якоба
Бернулли, кроме брата Иоганна и пле-
I мянника Николая Бернулли, был
I отец Леонарда Эйлера — базель-
I ский пастор, знавший и ценивший
I математику.
j Иоганн Бернулли (1667—1748)
| родился в Базеле и с 1695 года ра-
! ботал профессором математики
1 Гронингенского университета в
j Голландии. Достиг больших резуль-
! татов в дальнейшем развитии диф-
| ференциального и интегрального
j исчисления, теории
дифференциальных уравнений, вариационного
исчисления, в геометрии и
механике. Он разработал метод
интегрирования рациональных дробей,
j вычисления площадей плоских
фигур, спрямления различных
ИОГАНН БЕРНУЛЛИ кривых, дал определение функции

Другие открытия европейских математиков XVII века 115
как аналитического выражения,
составленного из переменных и
постоянных величин, вывел
дифференциальные уравнения
геодезических линий. Среди учеников
Иоганна Бернулли, кроме трех его
сыновей, были маркиз де Лопиталь
и Леонард Эйлер.
Наряду с грандиозными
успехами в развитии аналитической
геометрии и математического анализа
XVII век вошел в историю
математики как век создания проективной
геометрии. Основная заслуга в
развитии этой важной области
геометрии принадлежит французскому
математику, инженеру,
архитектору Жерару Дезаргу (1593-1662). ЖЕРАР ДЕЗАРГ
Дезарг родился в Лионе. Был
архитектором и военным инженером, в 1628 году принимал
участие в осаде крепости Ла-Рошель. Оставив службу, поселился в
Париже, дружил с Декартом, участвовал в кружке Мерсенна.
В основу своих геометрических исследований Дезарг положил
систематическое применение перспективного отображения. В своем
основном труде «Черновой набросок подхода к явлениям,
происходящим при встрече конуса с плоскостью», напечатанном в 1639 году
всего в 50 экземплярах, он первый ввел в геометрию бесконечно
удаленные элементы и понятие полярности, исследовал
инволюцию точек и четверок точек на прямой, доказал знаменитую
теорему, носящую его имя: «Если вершины двух треугольников,
расположенных в пространстве или в одной плоскости, лежат попарно
на трех прямых, пересекающихся в одной точке, то
соответствующие стороны этих треугольников попарно пересекаются в трех
точках, лежащих на одной прямой, и обратно». Полученные
результаты Дезарг применил при перспективном изображении конических
сечений, объединяя эти сечения (окружности, эллипсы,
гиперболы, параболы) в один класс невырожденных кривых второго
порядка. При этом он пользовался странной терминологией, называя
коническое или цилиндрическое тело «свитком» (rouleau), секущую
плоскость, отличную от основания, — «плоскостью среза свитка»
(plane de coupe de rouleau), эллипс — «недостатком» (de faillement),
параболу — «приравниванием» (egalition), гиперболу — «избытком»
(outrepassement). Новизна идей Дезарга и трудность в прочтении его

116 Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века
труда не содействовали распространению проективной геометрии в
XVII и даже в XVIII веке. Хотя ведущие математики —
современники Дезарга (Декарт, Ферма, Паскаль) — ценили глубину его идей.
Возродилась проективная геометрия лишь в XIX веке в трудах Мон-
жа, Понселе, Штейнера, Штаудта и других геометров.
Именем Дезарга названы специальные структуры и один из
типов геометрии.
Непосредственными продолжателями исследований Дезарга были
его ученики Блез Паскаль и Филипп деЛаир (1640—1718). О
знаменитой теореме Б. Паскаля говорилось в § 2 этой главы. Лаир в своих
«Конических сечениях» (1685) использовал проективные методы,
чтобы представить почти полный свод известных свойств
конических сечений. Лаир доказал, что когда полюс Ρ пробегает
прямую q, поляра ρ к точке Ρ вращается вокруг полюса Q прямой q.
Определенный вклад в развитие теории чисел и теории
вероятностей внес один из первых членов Парижской академии наук
Френикль Бернар де Бесси (1605—1675). Он служил на монетном
дворе. В 1675 году высказал предположение, что нечетные
совершенные числа, если они существуют, должны иметь вид рк2, где ρ —
простое число вида 4п + 1, а к — натуральное число. Де Бесси
впервые разработал общий метод построения магических квадратов,
доказал некоторые теоремы о прямоугольных треугольниках,
рассмотрел перестановки с повторениями и некоторые задачи теории
вероятностей. Он являлся корреспондентом Блеза Паскаля.
§ 7. Некоторые задачи европейских математиков
XVI—XVII веков
1. Одним раствором циркуля разделить прямую на любое число
равных частей (Тарталья).
2. На данном отрезке АВ построить с помощью данного раствора
циркуля (неравного АВ) равносторонний треугольник (Тарталья).
3. Решить уравнение: 13х2=х4+ 2х3+ 2х + 1 (Кардано).
4. Найти построением положительный корень уравнения х2 + 6х = 91
(Кардано).
5. Решить уравнение: х4— 4х3 — 19х2+ 106х — 120 = 0 (Декарт).
6. Доказать, что уравнение х4 -Ь у4 = ζ4 не имеет решений в целых
числах (Ферма).
7. Показать, что если S есть сумма бесконечно убывающей геомет-
S а, />*. ч
рическои прогрессии ар а2, ..., то —— = — (Ферма).

Некоторые задачи европейских математиков XVI—XVII веков 117
8. На отвесной стене начерчен круг. От верхней его точки А вдоль
хорд АВ и АС идут желобки. Из точки А одновременно пущены три
дробинки: одна свободно падает вниз, две другие скользят без трения
по гладким желобкам. Какая из трех дробинок раньше достигнет
окружности ? (Галилей).
9. Некий торговец каждый год увеличивает на треть свое
состояние, уменьшаемое на 100 фунтов, которые ежегодно
затрачивает на свою семью. Через три года он обнаружил, что его состояние
удвоилось. Спрашивается, сколько у него было денег вначале ?
(Ньютон).
10. Доказать, что Vl + "f-Ъ + Vb-W—3 = V6~ (Лейбниц).
11. Доказать, что т5 — т делится на 5,а т7 — т делится на 7
(Лейбниц).
12. Найти общий признак делимости на произвольное число
(Паскаль).
13. Доказать, что если шестиугольник вписан в окружность и
противоположные его стороны не параллельны, то точки пересечения этих
сторон лежат на одной прямой (Паскаль).
14. Если первые два члена арифметической прогрессии
положительны, не равны между собой и совпадают с двумя первыми членами
геометрической прогрессии, то все члены арифметической прогрессии,
начиная с третьего, меньше соответствующих членов геометрической
прогрессии (Якоб Бернулли).
15. Доказать, что если взять три параллельные прямые I, m, n и
пересечь их пучком прямых SA, SB, SC, пересекающих первую прямую I в
точках А, В, С, и через точки Е, F, Η пересечения со второй прямой т
провести прямые, параллельные лучу SP до пересечения с третьей
прямой η в точках L, Μ, Ν, то прямые LA, MB, NC, SP пересекутся в одной
точке (Кеплер).
16. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пес съел
овцу в три часа. Ино хощешь ведати,сколько бы скоро они все три —
лев, и волк, и пес — ту овцу съели, сочти ми (из русских рукописей
XVII в.). j
17. Гость имея 8664 овчины, а сторговал 100 овчин по l~j рубля, да
и продал те овчины, ино ему сходилося со 100 овчин по 8 овчин прибыли.
Ино, сколько тот гость за овчины денег платил и что у овчин принял
денег, сочти ми (из русских рукописей XVII в.).

118
Глава VI.
Математика и математики
XVIII — начала XIX веков
Грандиозные успехи в развитии координатного метода и
математического анализа, достигнутые в XVII веке, способствовали еще
более бурному развитию математики и ее приложений в XVIII веке.
Открывая новые подходы к решению математических проблем и
новые направления исследований, математики восемнадцатого
столетия хотя и пытались более строго обосновать основные понятия
исчисления бесконечно малых, но в основном придерживались
принципа «разумной строгости» и не заботились об установлении
границ применения новых понятий. Хотя это и приводило иногда к
ошибочным выводам (особенно в вопросе о сходимости степенных
рядов), но способствовало возникновению новых математических
теорий и методов исследования, для которых в XIX и XX веках
было найдено строгое обоснование.
Научная деятельность математиков XVIII века в основном была
сосредоточена в Парижской АН, Берлинской АН, Петербургской
АН, Лондонском королевском обществе и других академиях.
Выдающиеся работы Ферма, Декарта, Паскаля, Якоба и Иоганна Бер-
нулли и других математиков, о которых говорилось в предыдущей
главе, явились мощным стимулом для творчества гениальных
математиков XVIII и начала XIX столетий.
Математики XVIII века значительно расширили применение
анализа к геометрии, астрономии, механике, физике. Развитие
координатного метода привело к созданию аналитической геометрии.
Математизация физики, изучение природных явлений с помощью
исчисления бесконечно малых привели к установлению
описывающих их дифференциальных уравнений, интегрирование которых
стало новой областью анализа. Исследование кривых и
поверхностей инфинитезимальными методами породило дифференциальную
геометрию. Дальнейшее развитие получили теория вероятностей,
вариационное исчисление, теория комплексных чисел, алгебра.
Возникли предпосылки развития неевклидовой геометрии,
комбинаторной топологии и теории графов.
В XVIII веке, как и в предшествующие столетия, многие ученые
глубоко верили в Бога и считали, что открываемые ими
математические законы природы являются откровением, явившим людям
славу и величие Божьего творения. Математическое знание было
священным, так как рассматривалось как истина о замысле Творца.

Леонард Эйлер
119
§ 1. Леонард Эйлер —
величайший математик XVIII столетия
Развитие математических
исследований в XVIII веке неразрывно
связано с именем гениального
ученого Леонарда Эйлера —
математика-энциклопедиста,
обогатившего не только математику, но и
физику, механику, астрономию
многими открытиями. Его
справедливо называют «самым плодовитым
математиком всех времен». Около
900 научных работ Эйлера, в числе
которых многотомные труды по
различным разделам чистой и
прикладной математики, до сих пор
поражают нас оригинальностью ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
рассуждений и методическим
мастерством. «Читайте, читайте Эйлера — это учитель нас всех», —
говорил Лаплас. А «король математиков» Гаусс писал: «Изучение
работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях
математики, и ничто другое не может это заменить».
Леонард Эйлер (1707—1783) родился в Базеле в семье пастора
Пауля Эйлера, ценившего математику и слушавшего лекции
знаменитого Якоба Бернулли. Обучаясь в гимназии, Эйлер посещал в
университете лекции Иоганна Бернулли и изучил в подлиннике
труды самых знаменитых в то время математиков. В 16 лет он
выдержал испытания на степень магистра искусств и занялся
богословием (по совету отца), но затем стал снова глубоко изучать
математику под руководством Иоганна Бернулли вместе с его сыновьями
Николаем и Даниилом, с которыми подружился. В 1727 году
двадцатилетний Эйлер переехал в Россию, ставшую для него второй
родиной: он прожил в России более 30 лет (1727—1741, 1766—1783),
женился на дочери петербургского живописца, похоронен в
Петербурге. Но главное — большинство научных трудов Эйлера (473
работы) опубликовано в российских академических изданиях.
О привязанности Эйлера к России свидетельствует его
искреннее участие во всех делах, способствовавших ее процветанию. Он
долгие годы трудился над составлением географических карт
России. Будучи членом комиссии мер и весов, принимал активное
участие в исследовании точности весов различного рода. Эйлер был
единственным из академиков, оказавшим помощь в технических

120 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
расчетах знаменитому русскому изобретателю-самоучке И. Кулиби-
ну (1735—1818) как при составлении проекта одноарочного моста
через Неву, так и при испытании этого проекта. Он рецензировал
мемуары для академических изданий, долгое время состоял в
комиссии, управляющей Петербургской академией. В то же время он
читал публичные лекции и лекции в университете, находил время
для написания учебников и популярных статей по самым
различным дисциплинам и научным вопросам. Эйлер писал: «Его
королевское высочество (Фридрих Прусский) недавно меня
спрашивал, где я изучил то, что знаю. Я согласно истине ответил, что всем
обязан своему пребыванию в Петербургской Академии наук... в
случае неимения такого превосходного случая я был вынужден глав-
нейше прилежать другим наукам, от которых, по всем признакам,
я бы отупел только».
О трудолюбии и мужестве Эйлера ходят легенды. В 1735 году он
потерял один глаз, выполнив за три дня огромную
вычислительную работу, осуществить которую другие математики брались за
несколько месяцев. Потеряв в 1766 году другой глаз, он,
возвратившись в Россию, до конца жизни продолжал диктовать свои работы
(около 400!), используя феноменальную память и сохранившуюся
до конца жизни силу ума.
Эйлеру принадлежат значительные открытия во всех областях
математики, существовавших в то время. А его исследования в
прикладных науках свидетельствуют о разносторонней одаренности этого
гения: комментарии к «Новым принципам артиллерии» Робинса и
учение о движении круглого заряда в воздухе, 3 тома «Диоптрики»
(1769—1777), в которых изложены правила наилучшего расчета
рефракторов, рефлекторов, микроскопов и даны расчеты наибольшей
яркости изображения, наибольшего поля зрения, наименьшей длины
астрономической трубы, наибольшего увеличения); мемуары:
«Вычисление кометы» (1769), «Вычисление затмения Солнца», «Новая
теория Луны», «Навигация» (2 тома), «Расчеты полета аэростата»
(выполненные за несколько дней до смерти), «Новая теория
кораблестроения и маневрирования судов» — далеко не полный перечень
исследований ученого в прикладных науках.
Имеется многочисленная литература по математическому
наследию Л. Эйлера. Отметим некоторые его особо важные открытия:
1. Фундаментальный двухтомный труд «Введение в анализ
бесконечных» (Introductio in analysin infinitorum, 1748).
В первом томе этого классического труда дано учение о функциях.
Исследованы рациональные, дробно-рациональные и
трансцендентные функции, разработан аппарат изучения функций с помощью
степенных рядов и бесконечных произведений. Дано применение не-

Леонард Эйлер
121
прерывных дробей для изучения функций, найден второй
замечательный предел: lim [l +— = е. Эйлер впервые ввел и полностью
разъяснил определение логарифма положительного числа как
показателя степени, при возведении в которую выбранное основание
дает данное число: χ = logab <=> ах = b. Позднее он распространил это
определение на произвольное комплексное число z = r (cos<p+ ίύηφ)
и получил формулу:
1η ζ = lnr + / φ + 2km, keZ,
доказывающую многозначность логарифма не только для мнимых
чисел, но и для действительных положительных чисел (φ = 0):
In z = lnr + 2km, ζ e R.
Тригонометрия изложена в этом труде так, как она дается в
современных учебниках.
Во втором томе, состоящем из 22 глав, излагается аналитическая
геометрия на плоскости. В двух первых главах введены прямоугольные
и косоугольные координаты, даны формулы их преобразования и
рассмотрены прямые на плоскости. В главах 3—8 изложена теория
кривых второго порядка, в 9—11 дана классификация кривых 3-го и
4-го порядков (более полная, чем у Ньютона), в 12—18
установлены общие свойства таких кривых по их уравнениям (радиус
кривизны, диаметры, аффинные свойства). Наконец, в главах 19—22
исследовано пересечение кривых и рассмотрены трансцендентные
кривые.
В «Приложениях о поверхностях» к этой книге Эйлер рассмотрел
аналитическую геометрию в пространстве, ввел метод сечений
поверхностей произвольными плоскостями, дал полную
классификацию невырожденных поверхностей второго порядка и
разработал аналитический аппарат для исследования
пространственных кривых.
2. Двухтомный трактат «Дифференциальное исчисление»
(Institutiones calculi differentialis, 1755) и трехтомный трактат
«Интегральное исчисление» (Institutiones calculi integralis, 1768—1774)
(четвертый том, изданный в 1794 году после смерти Эйлера,
включал ряд его работ).
Эти классические произведения отразили содержание
математического анализа конца XVIII века, включая дифференциальные
уравнения, специальные функции, вариационное исчисление, элементы
теории аналитических функций и другие разделы математики,
получившие впоследствии самостоятельное развитие.

122 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
Критерий аналитичности функции, теорема о равенстве
смешанных производных, признак полного дифференциала для функций
двух и трех переменных, правило дифференцирования сложной
функции, теория экстремумов функций двух переменных,
исследование неопределенностей вида §о, 0 · °°, °о — оо? методы
интегрирования классов функций линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами, разработка основных понятий
вариационного исчисления, установление связи аналитических
функций с конформными отображениями — далеко не полный перечень
открытий, изложенных Эйлером в этом объемном труде.
Η. Η. Лузин говорил, что доведенные Эйлером до конца
квадратуры до сих пор образуют рамки всех современных курсов и
трактатов по интегральному исчислению и что математики в течение
150 лет не могли пробить брешь в том кольце интеграции, которое
было выковано Эйлером, и добавить новые квадратуры.
3. Исследования Эйлера в области дифференциальной геометрии
кривых и поверхностей вошли в сокровищницу этой науки. Он
нашел дифференциальное уравнение геодезических линий
поверхности Pdx = Qdy + Rdz, рассмотрел геодезические на поверхностях
вращения, ввел натуральное уравнение плоской кривой и получил
формулу для радиуса кривизны сечения поверхности плоскостью и
для главных кривизн поверхности. Эйлер ввел понятие
развертывающейся поверхности, нашел аналитические признаки
развертываемое™ и доказал, что касательные к гладкой пространственной
кривой образуют развертывающуюся поверхность.
4. Работы Эйлера по теории чисел (около 150) поражают своей
глубиной и оригинальностью. С его именем связано становление
теории чисел как науки.
1) Разложив на множители натуральное число:
F5 = 22$ + 1 = 4 294 967 297 = 641-6 700 417,
он опроверг гипотезу Ферма, предполагавшего, что все числа вида:
η
Fn = 22 +1, η е Ν0 = N u {0} — простые.
2) Эйлер установил, что все совершенные четные числа имеют
вид: 2рЛ Μ 9 где ρ и число Мерсенна Мр = 2р— I — простые (а
нечетных совершенных чисел до сих пор не обнаружено). Он доказал, что
число Мерсенна М31 — простое.
3) Пифагорейцам была известна единственная пара
дружественных чисел (220, 284); Ферма обнаружил вторую пару (17 296, 18 416),

Леонард Эйлер
123
Декарт — третью (9 363 584, 9 437 056), а Эйлер составил список
62 пар таких чисел, утвердив славу непревзойденного никем
вычислителя.
4) Имя Эйлера носит введенная и исследованная им функция
<р(т)9 т е Ν: φ(1) = /, φ(πι) есть количество натуральных чисел,
меньших т и взаимно простых с т при т > 1. Эта функция играет
важную роль в теории чисел. Используя ее, Эйлер ввел понятие
первообразного корня g по модулю т — такого числа, что #* —1 делится
на т тогда и только тогда, когда к кратно ср(т). Он доказал
существование первообразного корня по любому простому р.
5) Доказанные Эйлером теоремы о простых числах: lim ^Ш- = 0,
п->°о γι
Σ~ζ ~ П:—г, s > 1, π(η) — количество простых чисел, не больших
я=1 П реР 1 —"Г?
натурального η, его таблица 65 подходящих чисел (Numeri idonei),
открытый им закон квадратичной взаимности, его многочлены
2х2 + 29, χ2 + χ + 41, х2 — 79х + 1601, определяющие соответственно
при χ = 0,28, χ = 0,39, χ = 0,79 только простые числа, являются
подлинными жемчужинами в теории чисел.
6) Сформулированная Эйлером гипотеза, что всякое четное число
η > 2 есть сумма двух простых чисел, и гипотеза Гольдбаха о
представлении всякого натурального числа η > 6 в виде суммы трех
простых чисел составили знаменитую проблему Гольдбаха — Эйлера,
не решенную полностью до сих пор.
7) Хотя предложенное Эйлером доказательство основной
теоремы алгебры (о существовании действительного или мнимого корня
у любого многочлена степени «eNc действительными
коэффициентами) и не было достаточно обоснованным, но оно
содействовало появлению строгих доказательств Гаусса и других математиков.
5. Теорема Эйлера Ε — К + F = 2, где Ε — число вершин, К —
число ребер, F — число граней простого многогранника и
решенная им проблема о «кенигсбергских мостах» положили начало
новым областям математики — комбинаторной топологии и теории
графов.
Формулируя новые идеи и понятия, приводя доказательства,
Эйлер не всегда строго обосновывал свои рассуждения. Особенно
это относится к операциям с бесконечными рядами,
бесконечными произведениями, к использованию символов О, °о? V^[. в ряде
случаев это приводило к ошибкам. По Эйлеру, сумма ряда — это
функция, из разложения которой этот ряд возникает. Если не
учитывать область сходимости, то возникают принципиальные ошибки:

124
Математика и математики XVIII — начала XIX веков
f(x) =γ^= 1 + х + х2+ ... =>/(-!) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... =±,
Л2)= 1 + 2 + 22+... = -1.
Однако подавляющее большинство гипотез и теорем Эйлера
нашло свое подтверждение в строгих доказательствах, данных
математиками последующих столетий.
Трудно даже сейчас найти область математики, на становление
которой не оказал бы влияние Эйлер. Не случайно его именем
названы десятки формул и понятий: формула расстояния между
центрами вписанной и описанной окружностей произвольного
треугольника: 0{ 02 = ^IR2 — 2Rr ; прямая, проходящая через ортоцентр,
точку пересечения медиан и центр описанной окружности;
постоянная с = lim
п->оо \
" 1
Σ -г- — In n
* 0,57721566490...; подстановки,
позволяющие свести интегралы вида \R\x, Vax2 + bx + c\dx, где R —
рациональная функция, к интегралам от дробно-рациональных
функций (см. [56], с. 318—321); дифференциальное уравнение:
iajx?4Z=f(x),
где а. — константы; формула нормальной кривизны линии на
поверхности к = A:,cos2^ + A;2sin2<z>, где кр к2 — главные кривизны
поверхности, а φ — угол между касательной к линии и главным
направлением; метод последовательных приближений для
нахождения решения дифференциального уравнения y'=f(x, у) и др.
Россия по праву гордится тем, что именно гениальный Эйлер
является основателем ее знаменитых математических школ. Эйлер
был членом многих академий: Петербургской, Берлинской,
Парижской, Лондонского королевского общества и др. Его именем назван
кратер на видимой стороне Луны.
§ 2. Выдающиеся математики Франции
XVIII — начала XIX веков
Плодотворные исследования выдающихся французских
математиков XVII века создали благоприятные условия для бурного
развития математики во Франции в XVIII веке. Клеро, Д'Аламбер, Лаг-
ранж, Монж, Лаплас, Лежандр, Карно и др. внесли неоценимый

Выдающиеся математики Франции XVIII — начала XIX веков 125
вклад в развитие многих областей
математики и получили всемирное
признание.
Алекси Клод Клеро (1713—1765)
родился в Париже в семье
профессора математики — отца 21 ребенка.
Он и один из его младших
братьев обнаружили раннее
развитие, особенно в области
математики. К сожалению, его брат,
опубликовавший в 14 лет в
Парижской АН работу по свойствам
кривых линий, умер в
шестнадцатилетнем возрасте.
Уже в 9—10 лет Алекси Клеро
изучал труды Лопиталя по
коническим сечениям и по анализу
бесконечно малых, а в 12 лет он пред- АЛЕКСИ КЛЕРО
ставил в Парижскую АН доклад о
дифференциально-геометрических свойствах некоторых типов
кривых четвертого порядка, который был опубликован в сборнике
Берлинской АН. В 16 лет Клеро написал большую работу «Изыскания о
кривых двоякой кривизны» (Rechreches sur le courbes a double
courbure), которая получила высокую оценку и содействовала
досрочному утверждению его королем Людовиком XV сначала
адъюнктом, а затем и действительным членом Парижской АН. В 1743 году
он опубликовал книгу «Теория фигуры Земли» (Theorie de figure de
la Terre), в 1752 — другую книгу «Теория Луны» (Theorie de la Lune).
Клеро первый ввел понятия криволинейного интеграла,
дифференциала функции многих переменных и исследовал специальный
класс дифференциальных уравнений (одно из которых носит его имя),
приведя один из первых примеров особых решений. Он изучил
движение кометы Галлея (1759) и исследовал возмущения Солнца (1757).
Клеро является автором учебников по элементарной геометрии
(1741) и алгебре (1746), которые оказали большое влияние на
развитие методики преподавания этих дисциплин. Клеро и Эйлер
являются создателями динамической теории относительного
движения. Именем Клеро назван кратер на видимой стороне Луны.
Жан Лерон Д'Аламбер (1717—1783) — внебрачный сын
аристократической дамы — был оставлен как подкидыш вблизи церкви
святого Жана ле Рона в Париже. Уже в раннем детстве он выделялся
своим умом и наблюдательностью и получил прекрасное
образование. Изучив юриспруденцию, стал адвокатом. Много времени уде-

126
Математика и математики XVIII — начала XIX веков
лял медицине и естественным
наукам. За представленные в 1739 и
1740 годах трактаты о движении
твердых тел в жидкостях и об
интегральном исчислении был избран
в 1741 году членом Парижской АН,
а в 1754 году стал секретарем
Академии и наиболее влиятельным
ученым Франции. В «Трактате о ди-
| намике» (Traite du dynamique, 1743)
он сформулировал свой
знаменитый принцип сведения динамики
твердых тел к статике. За
«Рассуждения об общей причине ветров»
| (1744 и 1747) получил премию
I Берлинской АН и был избран ее
I членом. В 1764 году стал иностран-
ЖАН Д'АЛАМБЕР ным почетным членом
Петербургской АН.
Д'Аламбер обосновал теорию возмущения планет, дал метод
решения дифференциального уравнения z„= ktz^ колебания струны
в виде ζ = f(x + kt) + φ(χ — kt) и вывел (независимо от Эйлера)
формулы, связывающие действительную и мнимую части
аналитической функции, которые впоследствии были почему-то названы
«условиями Коши — Римана». В 1746 году предложил первое
нестрогое доказательство основной теоремы алгебры, получил ценные
результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами, ввел понятие предела и предпринял
попытку обосновать исчисление бесконечно малых с помощью
пределов. Работы Д'Аламбера по гидродинамике, аэростатике, задаче
трех тел сыграли важную роль в развитии прикладной математики.
Как ведущий математик Франции Д'Аламбер опубликовал в
«Энциклопедии» статьи «Уравнения», «Динамика», «Геометрия», «Очерк
происхождения и развития наук», «Элементы философии» и др. Его
перу принадлежат также работы по вопросам музыкальной теории
и музыкальной эстетики. Именем Д'Аламбера названы горный
хребет на видимой стороне Луны и кратер на обратной ее стороне.
Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) родился в Турине в
итало-французской семье обедневшего чиновника. Самостоятельно изучал
математику и в 19 лет стал профессором математики артиллерийской
школы г. Турина. В 1759 году он был избран членом Берлинской АН,
а в 1766—1787 годах был директором ее математического класса
(после Л. Эйлера, уехавшего в 1766 году в Петербург). В 1787 г. Лаг-

Выдающиеся математики Франции XVIII — начала XIX веков 127
ранж переехал в Париж и стал
профессором сначала Высшей
нормальной (1795), а затем
Политехнической школы.
В 1760—1761 годах он
разработал аналитическую теорию
вариационного исчисления, в которой
не только сделал много
оригинальных открытий, но и упорядочил и
переработал накопленный
исторический материал. Всемирную славу
Лагранжу принесли его труды
«Аналитическая механика» (Меса-
nique analytique, 1788), «Теория
аналитических функций» (Theorie
des fonctions analytiques, 1797),
«Лекции по исчислению функций»
(Lecons sur le calcul des fonctions, ЖОЗЕФЛАГРАНЖ
1801), исследования в теории дви-
• жения Луны и первые частные решения задачи трех тел. Он доказал,
что можно найти такое начальное положение трех тел, при котором
их орбитами будут подобные эллипсы, описываемые за одно и то
же время. Используя свое вариационное исчисление, Лагранж
объединил различные принципы статики и динамики и дал
классические уравнения движения в обобщенных координатах.
Работы Лагранжа «О решении численных уравнений» (Sur la
resolution des equations numeriques, 1767) и «Размышления об
алгебраическом решении уравнений» (Reflexions sur la resolution
algebriques des equations) создали предпосылки
теоретико-группового подхода к этому вопросу, успешно осуществленному
математиками в XIX веке. Он исследовал квадратичные вычеты и доказал,
что каждое натуральное число есть сумма четырех или меньшего
числа квадратов.
Пять раз Лагранж удостаивался премии Парижской АН, являлся
кавалером высшего французского ордена Почетного легиона. Его
именем назван кратер на видимой стороне Луны.
Гаспар Монж (1746—1818) родился в Бон, Кот-д'Ор, в семье
розничного торговца и точильщика Жака Монжа, питавшего
исключительное уважение к образованию и пославшего учиться всех
трех своих сыновей в местный духовный коллеж. Гаспар регулярно
занимал по всем предметам первые места и был удостоен
уникального отличия — записи после своей фамилии «Золотой юноша». В 14 лет
он создал «огненную машину», поразившую горожан. В 16 лет Монж,

128 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
по рекомендации своих педагогов,
| стал преподавать физику в высшем
| училище ораторианцев в Лионе.
Приветливость, настойчивость,
I отсутствие притворства в дополне-
I ние к основательным знаниям
сделали его великим педагогом. Орден
просил Монжа принять его обеты
J и связать навсегда свою жизнь с
! ним. Но судьба распорядилась ина-
1 че: французский офицер,
восхищенный замечательной картой
Бона, нарисованной 16-летним
I юношей, рекомендовал его слуша-
] телем подготовительного класса
] военно-инженерной школы г. Ме-
j зьера (в основной класс этой шко-
ГАСПАР МОНЖ лы принимали только дворян). На
одаренного юношу обратили
внимание профессора математики и физики. Уже в 1768 году Г. Монж
стал профессором математики, а в 1771 году также профессором
физики в этой школе, которую вскоре стали называть «школой
Монжа». С 1780 года он преподавал гидравлику в Луврской школе, стал
членом Парижской АН, а в 1784 году был назначен инспектором
морских училищ Франции и переехал в Париж.
За 6 лет, которые Монж отдал военно-морской службе будучи
экзаменатором кадетских училищ, он проявил себя неподкупным
государственным чиновником. Рассерженные аристократы
угрожали ему ужасной смертью, когда он беспощадно «проваливал» их
несведущих сыновей, но Монж никогда не изменял своей совести.
«Пусть кто-нибудь еще займется этим делом, если мой способ
действий не нравится», — говорил он.
Монж — активный участник Французской революции. Был
морским министром, за личной подписью которого были отправлены
на гильотину в 1793 году Людовик XVI и Мария Антуанетта. В
период интервенции он возглавил организацию военной
промышленности, заведуя пороховыми и пушечными заводами и обучая новые
кадры мастеров литью пушек, производству селитры и пороха.
После падения диктатуры Робеспьера чудом избежал гильотины (за него
заступились зятья — жирондисты). Когда к власти пришел
Наполеон (которого Монж считал продолжением революционных идей),
он до конца остался верен ему и стал ближайшим его другом. Еще в
1796 году Наполеон писал Монжу: «Разрешите мне поблагодарить

Выдающиеся математики Франции XVIII — начала XIX веков 129
Вас за сердечность, проявленную министром военно-морского флота
в 1792 году по отношению к молодому артиллерийскому офицеру,
не бывшему в фаворе; этот офицер сохранил все в своей памяти.
Сейчас он является генералом армии в Италии и с радостью
протягивает Вам руку дружбы и признания». А позднее Наполеон сказал:
«Монж любил меня, как любят возлюбленную». Он доверял Мон-
жу свои самые сокровенные планы (например, план завоевания и
цивилизации Египта), будучи уверен в его абсолютной
преданности и честности. Монж был, по-видимому, единственным
человеком во Франции, который осмеливался возражать Наполеону и
говорить ему в глаза всю правду, когда высокомерие императора
возросло до предела.
В 1815 году Монж был лишен Бурбонами всех титулов и даже
права преподавания в Политехнической школе, создателем и
фактическим руководителем которой он был на протяжении 20 лет.
Бурбоны мстили даже мертвому Монжу, запретив слушателям
Политехнической школы присутствовать на его похоронах. Зато на
следующий день слушатели школы в полном составе
промаршировали на кладбище и возложили венок на могилу своего учителя
' и друга.
Как математик Монж прославился созданием новой науки —
начертательной геометрии. Написанный им учебник
«Начертательная геометрия» (Geometrie discriptive, 1799) до сих пор остается
непревзойденным по четкости и методическому мастерству
изложения этой дисциплины. А его книга «Приложение анализа к
геометрии» (Application de Panalyse a la geometrie, 1809) является первым
наиболее полным учебником по дифференциальной геометрии. Монж
доказал, что пространственная кривая может иметь бесчисленное
множество эволют, что они все лежат на развертывающейся
поверхности и являются геодезическими линиями этой поверхности, а сама
кривая — геодезическая линия спрямляющей развертывающейся
поверхности. Он установил аналитический признак
развертывающихся поверхностей:
П * U'r dx*> S дхду>Т д?
и доказал (независимо от Эйлера), что касательные к
пространственной кривой образуют развертывающуюся поверхность. Монж
ввел новую классификацию поверхностей, используя задание
поверхности перемещением в пространстве заданной линии. По этому
поводу Лагранж заявил: «Этот дьявол со своим происхождением
поверхностей идет к бессмертию. Я бы очень хотел, чтобы это
открытие было сделано мной». Доказанная Монжем теорема: «Норма-

130 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
ли к поверхности вдоль ее линии кривизны образуют
развертывающуюся поверхность» — носит его имя.
Особенно ценными являются исследования Монжа в теории
прямолинейных конгруэнции. Он доказал, что среди
линейчатых поверхностей, принадлежащих такой конгруэнции,
существует в общем случае два семейства развертывающихся
поверхностей и что ортогональность таких поверхностей
характеризует нормальную конгруэнцию (лучи которой ортогональны
некоторой поверхности). Гипотеза Монжа, что условию
минимальности работы по перенесению грунта удовлетворяют именно
нормальные конгруэнции, была доказана лишь 100 лет спустя
Аппелем.
Гаспар Монж глубоко вникал в различные естественные науки.
Взрывая 372 раза в герметичном сосуде смесь кислорода и
водорода, он получил на дне его более трех унций воды, доказав до Уат-
та, Кавендиша и Лавуазье, что вода состоит из кислорода и
водорода. Став после женитьбы владельцем металлургического завода,
он занимался проблемами цементации стали и очистки металлов.
Исследовал возможности использования приливов и отливов,
изучал движение воды в водопадах, сопротивление воды движению
корабля, стекольное производство и конструкции мельниц для
стекла и сахара, теорию взрывчатых веществ, воздухоплавания и др.
Его объемный труд о литье пушек стал настольной книгой
металлургов и оружейников. Русский перевод этой книги вышел в свет с
посвящением Александру I.
Как человека Монжа характеризует честность, бескорыстность,
глубокий патриотизм, нечеловеческое трудолюбие, преданность
друзьям и семье.
Когда перед революцией морской министр маршал Кастри
попросил Монжа принять в военно-инженерную школу кандидата «из
знатного и всеми уважаемого семейства», он отказал, сказав: «Ваше
превосходительство. Вы можете его принять, но одновременно вам
придется ликвидировать должность, которую я занимаю». И министр
уступил Монжу.
В одном обществе г. Мезьера, где присутствовал Монж, богатый
господин, возмущаясь тем, что прекрасная вдова Орбон де Рокруа
(будущая жена Монжа) отказалась от «счастья быть его женой»,
заявил: «Я отомстил за себя. По городу и окрестностям я распустил
такие непристойки, которые наверняка оставят ее вдовою». Монж,
не будучи тогда знаком с госпожой Орбон, подошел к господину и
громко назвал его подлецом. К удивлению гостей дуэли не
последовало. Клеветник с позором удалился.
Гаспар Монж, как член комиссии воздухоплавания, созданной

Выдающиеся математики Франции XVIII — начала XIX веков 131
Конвентом для военного
применения аэростатов, лично поднялся
со своей дочерью на воздушном
шаре, чтобы убедить скептиков в
безопасности таких полетов.
Корпус воздухоплавателей,
участвовавший в сражении при Флюросе,
вызвал панику в стане
интервентов, а их командующий
воскликнул: «Чего только не изобретут эти
канальи!»
В 1798 году в период
пребывания Наполеона в Египте Монж,
Бертолле, Фурье и другие
известные французские ученые
проводили вместе со студентами
Политехнической школы исследования в
Каирском институте. Неожиданно ПЬЕР ЛАПЛАС
вспыхнуло восстание. Все посты и
караулы оказались перебиты и перерезаны. Разъяренная толпа
окружила дворец, в котором размещался институт. Монж, являясь
руководителем института, лично возглавил его двухдневную оборону,
пока генерал Дюма, отец известного романиста, не разгромил
восставших.
Когда Наполеон бежал из Египта на единственном оставшемся
корабле, он просил спутников не сдаваться живыми, если
неприятель захватит корабль. Когда на горизонте показались паруса, Монж
стоял с зажженным факелом у пороховой бочки, ожидая приказа
будущего императора. К счастью для французов, корабли оказались
купеческими.
Эти примеры убедительно раскрывают Монжа как
удивительную, неповторимую личность.
Монж женился в 1777 году на очаровательной 20-летней
вдове Орбон де Рокруа, которая была единственным человеком,
оставшимся верным ему и в счастливые, и в трудные дни. Она
пережила его и сделала все, что в ее силах, чтобы увековечить
его память. Именем Монжа назван кратер на обратной стороне
Луны.
Пьер Симон Лаплас (1749—1827) родился в Бомон-ан-Ож
(Нормандия) в крестьянской семье. Окончил школу монашеского ордена
бенедиктинцев, где в совершенстве изучил древние языки,
литературу, искусство, а также математику и астрономию. В 1766 году
Лаплас переехал в Париж, где в 1771 году по рекомендации Д'Аламбера

132 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
стал профессором в Военной школе, а в 1785 году — членом
Парижской АН. В 1790 году он стал председателем Палаты мер и
весов, в 1795 вошел в руководство Бюро долгот, а в 1799 был
назначен министром внутренних дел. В отличие от Монжа и Карно
Лаплас легко менял свои политические привязанности, посвящая
первый том «Небесной механики» «героическому умиротворителю
Европы Наполеону Бонапарту», «Аналитическую теорию
вероятностей» — «Наполеону Великому», а последний том «Небесной
механики» — монарху из семейства Бурбонов Людовику XVIII. За это
он получал награды от всех: титул графа от Наполеона, титулы пэра
и маркиза — от короля. Все наполеоновские ордена, включая
Большой Крест Почетного легиона, украшали грудь этого гениального
математика. Когда же Наполеон пал, Лаплас подписался под
декретом об изгнании своего благодетеля.
Имя Лапласа обессмертили его пятитомная «Небесная
механика» (Mecanique celeste, 1798—1825) и «Аналитическая теория
вероятностей» (Theorie analytique des probabilites, 1812). В этих
монументальных произведениях даны исследования не только
самого Лапласа, но и всех предыдущих авторов, работавших в этих
областях математики. Ученый завершил исследования Ньютона,
Клеро, Д'Аламбера, Эйлера, Лагранжа по теории фигуры
Земли, теории Луны, задаче трех тел, теории возмущения планет
(включая проблему устойчивости Солнечной системы),
дополнив их собственными результатами.
Лаплас подробно рассмотрел геометрические вероятности,
теорему Бернулли и ее связь с интегралом нормального
распределения, теорию наименьших квадратов Лежандра, азартные
игры, изложил теорию Бейеса и дал применение «производящих
функций». Он ввел преобразование (названное
«преобразованием Лапласа»), ставшее впоследствии основой операционного
исчисления Хевисайда, и доказал предельную теорему,
названную его именем.
В работе «Изложение системы мира» (Exposition du systeme du
monde, 1796) Лаплас выдвинул гипотезу о происхождении
Солнечной системы из туманности, предложенную Сведенборгом в
1734 году и Кантом в 1755 году. Он доказал, что кольцо Сатурна не
может быть сплошным, разработал теорию движения спутников
Юпитера (1789), открыл причину ускорения Луны, определил
величину сжатия Земли около полюсов и разработал динамическую
систему приливов.
Лаплас награжден орденом Почетного легиона. В 1802 году избран
иностранным почетным членом Петербургской АН. Его именем
названы горные отроги на видимой стороне Луны.

Выдающиеся математики Франции XVIII — начала XIX веков 133
Адрыен Мари Лежандр (1752—
1833) родился в Париже. Окончив
коллеж Мазарини, работал в
Парижской военной школе. В 1783
году избран членом Парижской АН.
С 1816 года — профессор
Политехнической школы. В 1818—1833
годах— член Бюро долгот.
Основные научные труды Ле-
жандра — по математическому
анализу, теории чисел и геодезии. Он
обосновал и развил теорию
геодезических изменений, разработал
(независимо от Гаусса) метод
наименьших квадратов для
вычисления наивероятнейших результатов
совокупности наблюдений. Решая
задачу определения компоненты АДРИЕН ЛЕЖАНДР
силы притяжения эллипсоида
вращения в направлении радиус-вектора, Лежандр открыл полиномы,
носящие теперь его имя, и установил их важнейшие свойства. Он
внес значительный вклад в тригонометрию на поверхности
сфероида, сформулировал теорему о сведении вычисления сферического
треугольника к плоскому треугольнику с теми же длинами сторон,
значительно малых по сравнению с радиусом сферы: надо вычесть
из каждого его угла треть сферического излишка.
В вариационном исчислении Лежандр установил признаки
существования экстремумов. Всемирное признание получил
двухтомный трактат Лежандра «Теория чисел» (Theorie des nombres), в
котором дано самое полное изложение теории чисел в XVIII веке.
Первая из его четырех частей посвящена теории непрерывных
дробей, во 2-й и 3-й частях рассмотрены общие свойства чисел,
доказан закон взаимности квадратных вычетов, по которым
определяются делители целых чисел. В 4-й части рассматривается функция
п(п) количества простых чисел, не больших п. Во втором издании
книги дана знаменитая эмпирическая формула:
, ч X
7фС'в In x -1,08366'
найденная Лежандром в 1798 году. Для η = 5 доказана теорема
Ферма (независимо от Дирихле). В учебнике Лежандра «Начала
геометрии» (Elements de geometrie, 1794) осуществлена алгебраизация и
арифметизация элементарной геометрии, разработана теория сим-

134
Математика и математики XVIII — начала XIX веков
метрии, предпринята попытка
доказать постулат о параллельных
Евклида. Во многих странах учебники
по геометрии следовали этому
образцу.
В области математического
анализа Лежандр исследовал
эйлеровы интегралы, доказал
приводимость эллиптических интегралов к
каноническим формам, нашел их
разложения в ряды и составил
таблицы их значений. Труды Лежанд-
ра «Упражнения по
интегральному исчислению» (Exercies du calcul
integral, 1811—1819) в трех томах,
«Трактат об эллиптических
функциях и эйлеровых интегралах»
ЛАЗАР КАРНО (Traite des fonctions elliptiques et des
intergrales euleriennes, 1827—1832)
до сих пор являются образцом органического слияния научного
творчества и методического мастерства. Не случайно Ф. Клейн в своей
истории математики XIX века сравнивает Лежандра с Гауссом: оба
математика рассматривали многие одинаковые проблемы, идя
каждый своим путем. Именем Лежандра названы многие теоремы,
формулы и понятия.
Лазар Никола Карно (1753—1823) родился в Ноле (Бургундия) в
семье провинциального нотариуса. Окончив военно-инженерную
школу в г. Мезьере (где в то время преподавал Монж), принимал
активное участие в революции. По поручению Конвента создал
мощную революционную армию, которая под предводительством
Карно, прозванного в народе «генералом от революции» и
«организатором побед», разгромила армии интервентов. Как и Монж, Карно
не предал Наполеона. В период наполеоновских «Ста дней» был
назначен министром внутренних дел. После возвращения Бурбонов
Лазар Карно был спасен от репрессий русским императором
Александром I, предоставившим ему русский паспорт, с которым он
добрался до Варшавы, а потом до Магдебурга. В этом городе Карно
прожил восемь лет и был похоронен с лаконичной надписью на
памятнике — «Карно». В 1833 году его прах был перенесен в Пантеон.
Основные научные труды Карно относятся к математическому
анализу и геометрии. В трактате «Размышления о метафизике
исчисления бесконечно малых» (Reflexions sur la metaphysique du calcul
infinitesimal, 1797) он исследовал различные способы обоснования

Выдающиеся математики Франции XVIII — начала XIX веков 135
исчисления бесконечно малых — - - __„..__,
метод исчерпывания, неделимых,
пределов и высказал ряд
критических замечаний относительно
теории аналитических функций Лаг-
ранжа. В геометрических работах
«О соотношении геометрических
фигур» (Sur relations des figures
geometriques, 1801), «Этюд о
теории трансверсалей» (Etude de la
theorie des transversales, 1806)
рассмотрены задачи проективной
геометрии: двойное отношение
четверок точек на прямой и четверок
прямых пучка, их инвариантность
при проектировании и сечении и др.
Л. Карно ввел термины
«комплексное число» и «полный четы- ЖАН КОНДОРСЕ
рехсторонник». Он является
автором работ по прикладной математике и фортификации, над
которыми трудился последние годы жизни в Магдебурге.
Достижения «корифеев» в развитии математических наук во
многом дополнялись оригинальными исследованиями десятков
французских математиков XVIII и начала XIX веков.
Этьен Безу (1730—1783) — член Парижской АН (1758)
проводил исследования по теории определителей, исключению
неизвестных из системы уравнений высших степеней. Доказал теорему, что
две кривые порядка т и η пересекаются не более чем в тп точках,
автор шеститомного труда «Курс математики» (1764—1769). Развил
метод неопределенных множителей. Именем Безу названа одна из
основных теорем алгебры. Часть трудов Безу посвящена внешней
баллистике.
Активный участник Французской революции Жан Кондорсе
(1743—1794) — секретарь Парижской АН с 1785 года — является
основателем теории интегрирования в конечных разностях.
Будучи приговорен к смерти за борьбу с якобинцами, покончил с
собой.
Другой революционер, друг Монжа Александр (Шарль) Вандер-
монд (1735—1796) получил результаты в теориях симметрических
функций, исключения неизвестного; подстановок и циклических
инвариантов. Вандермонд предвосхитил многие открытия Гаусса в
двухчленных уравнениях. Его справедливо, как и Лагранжа,
считают предшественником Абеля.

136 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
Ученики Монжа Мишель Ланкре (1774—1807), генерал Жан Ме-
нье (1754—1793), Франсуа Дюпен (1784—1873) обессмертили себя
оригинальными открытиями в дифференциальной геометрии. Пьер
Мопертюи (1698—1759) занимался исследованиями в
аналитической геометрии, теории обыкновенных дифференциальных
уравнений и открыл в 1744 году принцип наименьшего действия,
сыгравший важную роль в развитии вариационных принципов в механике.
Шарль Боссю (1730—1814) издал в 1795 году семитомный курс
математики, а в 1810 году — двухтомный курс истории математики.
Жан Гюа (1712—1776) нашел подходы к определению границы и
числа действительных и мнимых корней алгебраического
уравнения с геометрической точки зрения. Он также занимался общей
теорией кривых второго порядка и вывел все теоремы сферической
тригонометрии, используя теорему косинусов. Матье Гуден (1734—
1817) и Дионис Сежур (1734—1794) в «Трактате об алгебраических
кривых» (1756) доказали теорему о наибольшем числе точек, в
которых касательная к кривой параллельна заданному направлению,
и исследовали кривые, описанные фокусами соприкасающихся
парабол данной алгебраической кривой. Франсуа Николь (1683—1758)
исследовал рулетты и уравнения 3-й степени. Он разложил
кубические корни (в неприводимом случае) в бесконечные ряды и
открыл свой метод суммирования бесконечных рядов, составленных
из обобщенных отрицательных степеней. Бернар Фонтенель (1657—
1757) — секретарь Парижской АН с 1699 года — написал в 1727 году
книгу «Геометрия бесконечного», а братья Франсе — Жак (1775—
1833) и Франсуа (1768—1810) — предприняли попытку создать
символическое исчисление и занимались интегрированием уравнений
в частных производных. Том Ланьи (1660—1734) вычислил π с
точностью до 127 десятичных знаков и высказал предположение об
иррациональности π. Он впервые установил знаки тангенса во всех
квадрантах. Абогаст (1759—1803) пришел к понятию производной
слева и справа и опубликовал в 1791 году «Мемуар о природе
произвольных функций, входящих в интегралы уравнений с
частными производными», за который в 1793 году получил премию
Парижской АН. Жан Борда (1733—1799) в трудах по
дифференциальным уравнениям, вариационному исчислению и сопротивлению
жидкостей заложил основы теории воздухоплавания. Его именем
названа важная теорема в гидравлике. Пьер Монмор (Ремон) (1678—
1719) проводил исследования по теории вероятностей и теории
суммирования рядов. Его трактат «Анализ азартных игр» (1707)
содержит теорию сочетаний. Жозеф Плато (1695—1771) впервые
ввел термин «кривая двоякой кривизны» (courbe a double courbure),
нашел квадратуру синусоиды и других кривых линий. Он впервые

Математики XVIII века других европейских стран 137
применил к винтовой линии
пространственные координаты. Жозеф
Сорен (1659—1737) исследовал
кривые высших порядков, развил
учение ρ кратных точках кривых
и построении в них касательных
к ветвям линии. Жорж Бюффон
(1707—1788) впервые решал
задачи на геометрические
вероятности (названные впоследствии
«задачами Бюффона»). Его
задача о вычислении числа π явилась
предшественницей метода
статических испытаний, играющего
важную роль в вычислительной
математике.
ИОГАНН ЛАМБЕРТ
§ 3. Математики XVIII века
других европейских стран
Леонард Эйлер и французские математики играли ведущую роль
в развитии математики в XVIII веке. Однако небывалый
промышленный подъем во многих европейских странах вызвал
необходимость ускоренного развития естественных наук и прежде всего
математики, механики, физики, астрономии. Наряду с
французскими учеными математики Германии, Англии, Италии,
России, Швейцарии и других стран разрабатывали различные разделы
известных к тому времени областей математики. Отметим
достижения ряда ведущих математиков каждой из этих стран.
Германия
Иоганн Генрих Ламберт (1728—1777) дал первое доказательство
иррациональности чисел π и е (1766), основанное на формуле
Эйлера. Он составил таблицу простых чисел до 102 000 (1770). Ламберт
высказал идею построения неевклидовой геометрии, предприняв
безуспешную попытку доказать пятый постулат. Он стремился ввести
строгие математические доказательства в анализ. Автор идеи
универсального языка знаков и один из родоначальников современной
математической логики. С 1765 года Ламберт — член
строительной администрации Пруссии и экономической комиссии
Берлинской АН.

138 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
; Абрахам Готхелъф Кестнер (1719—
1800) получил новые результаты,
касающиеся винтовой линии и
«линии свода». Автор первого
немецкого учебника «Основания, анализа
бесконечного», в котором
изложены основные сведения по
дифференциальному и интегральному
исчислению. Имеет многочисленные
ι труды по основаниям арифметики,
алгебры, геометрии и тригономет-
I рии. Учитель Гаусса, убежденный в
том, что все попытки доказать
пятый постулат Евклида ни к чему не
приведут. Член Берлинской АН
(1749) и Петербургской АН (1786).
| Именем Кестнера назван кратер на
ИОГАНН ПФАФФ видимой стороне Луны.
Велезеслаус Иоганн Густав Кар-
стен (1732—1787) — автор восьмитомного сочинения «Система
математики» (1767—1777), в котором широко применяются буквенные
обозначения. В 1778 году он дал геометрическую интерпретацию
логарифмов комплексных чисел как гиперболических отрезков
(действительных или мнимых). Профессор университета в Галле.
Георг Симон Клюгель (1739—1812) занимался теорией
параллельных и перспективой. Он составил «Математический словарь» и
исследовал различные тригонометрические ряды. Впервые употребил
термины «тригонометрическая функция», «среднее геометрическое»,
в 1795 году пытался установить формальные законы алгебры.
Профессор университетов Галле и Хельмштадта. Иностранный почетный член
Петербургской АН (1794).
Иоганн Фридрих Пфафф (1765—1825) проводил глубокие
исследования в теории интегрирования уравнений в полных
дифференциалах (уравнений Пфаффа), играющих важную роль в
современной математике. Результаты своих исследований изложил в трактате
«Общие методы интегрирования дифференциальных уравнений в
частных производных» (Allgemeine Methode partielle Differen-
tialgleichungen zu integrieren, 1815). Профессор университетов в
Хельмштадте (1788—1810) и Галле (с 1810). Один из учителей
Гаусса. Иностранный почетный член Петербургской АН (1798),
Парижской АН (1821). Член Берлинской АН (1817).
Карл Фридрих Гинденбург (1741 — 1808) — основатель и
руководитель комбинаторной школы в математике. Автор работ об умноже-

Математики XVIII века других европейских стран 139
нии рядов и возведении их в рациональную степень. Иностранный
почетный член Петербургской АН (1794).
Генрих Август Роте (1773—1842) — автор работ по теории
определителей и решению систем уравнений. Доказал формулу
обращения рядов и формулу обращения функций, данную Лагран-
жем в 1770 году без доказательства. Представитель комбинаторной
школы. В вычислительной математике известен «метод Роте».
Иоганн Шульц (1739—1805) пытался доказать пятый постулат
Евклида. В сочинении «Первые основания чистой математики»
(1790) включил в список аксиом переместительный и
сочетательный законы сложения. Друг и единомышленник Канта.
Иоганн Гельфрих Мюллер (1746—1830) изобрел и построил в
1783 году счетную машину, которая могла складывать, вычитать,
умножать и делить с точностью до 14 знаков после запятой. Эта
машина хранится в Гисенском музее, до сих пор безупречно
функционирует и считается одним из «предков» ЭВМ. Именем Мюллера
назван кратер на обратной стороне Луны.
Генрих Кюнн (1690—1769) разрабатывал (независимо от Д. Вал-
лиса) теорию мнимых величин, связывая комплексные числа с
направлениями на плоскости. Иностранный почетный член
Петербургской АН.
Янош Андрош Сегнер (Зегнер) (1704—1777) родился в Пресбурге
(ныне Братислава), но большую часть жизни провел в Германии,
где с 1733 года преподавал в различных университетах. Автор
нескольких учебников по математическому анализу, алгебре,
аналитической геометрии. Сегнер первый доказал правило Декарта о
числе положительных и отрицательных корней алгебраического
уравнения. Он предложил графический способ приближенного
решения алгебраических уравнений высших порядков и
усовершенствовал метод приближенного вычисления с помощью правильных
вписанных многогранников. Сегнер работал над вопросами
гидростатики. В 1770 году изобрел реактивный двигатель («сегнерово
колесо»). Для университета в Галле построил обсерваторию.
Поддерживал дружеские связи с Л. Эйлером. Член Лондонского королевского
общества (1733), Берлинской АН (1747), иностранный почетный
член Петербургской АН (1754). Именем Сегнера назван кратер на
видимой стороне Луны.
Христиан фон Вольф (1679--1754) — профессор философии в Галле
и Марбурге. В числе его слушателей был М. В. Ломоносов. Он — автор
работ по математике и физике, нескольких учебников и
«Математического лексикона» (Mathematisches Lexicon, 1716), где, в
частности, впервые употребляются термины «уменьшаемое»,
«вычитаемое», «возведение в степень». Ему также принадлежит термин

140 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
«квадратное уравнение» (1710). X. Вольф сыграл большую роль
при создании Петербургской АН, содействовал приглашению в
Петербург видных ученых. Иностранный почетный член
Петербургской АН (1725).
Англия и Шотландия
Томас Бейес (Баше) (1702—1761) сформулировал и решил одну
из основных задач элементарной теории вероятностей (теорема Бей-
еса — опубликована в 1763). Автор работы «Очерки к решению
проблемы доктрины шансов». В теории вероятностей именем Бейеса
названы многие приемы решения задач: бейесовский подход к
статистическим законам, бейесовская оценка решения и др. Член
Лондонского королевского общества (1742).
Абрахам де Муавр (1667—1754) — автор важных открытий в
теории рядов, теории вероятностей и теории комплексных чисел. Он
исследовал специальный класс степенных рядов, названных им
возвратными, первый пользовался возведением в степень
бесконечных рядов. Доказал частный случай теоремы Лапласа (теорему Му-
авра) в теории вероятностей, вывел правила возведения в п-ю
степень и извлечения корня я-й степени для комплексных чисел,
нашел (независимо от Стирлинга) асимптотическое
представление п\. Член Лондонского королевского общества (1697),
иностранный член Парижской АН и Берлинской АН.
Джеймс Стирлинг (1692—1770) — автор трактата «Метод
разностей» (Methodus differentialis, 1730), где впервые дано
асимптотическое разложение логарифма гамма-функции (ряд Стирлинга) и
исследованы некоторые бесконечные произведения. Он установил
ряд свойств бета-функции и гипергеометрической функции, вывел
формулы для приближенного нахождения п\ и Г (ζ + 1) при
больших η и ζ:
п\ ~ А2тт п"е-", Г (ζ + 1) « ^2πζ zze~z (η -» οο, Re ζ -» + οο,),
носящие его имя и играющие важную роль в математике. В работе
«Ньютоновы линии третьего порядка» (1717) он прибавил два
новых вида кривых к 72 видам кривых третьего порядка, известных
Ньютону. Переписывался с Л. Эйлером. Член Лондонского
королевского общества (1729).
Эдуард Варинг (1734—1798) дал метод выражения любого
симметрического многочлена через основные. Впервые нашел
рекуррентные формулы для выражения суммы т-ых степеней корней
алгебраического уравнения через его коэффициенты и,
наоборот, коэффициентов через такие суммы. Варинг предвосхитил

Математики XVIII века других европейских стран 141
работы Лагранжа и Гаусса по
теории резольвент. Он указал основную
идею приближенного вычисления
корней и определения границ
действительных корней. Предложил
интерполяционную формулу и
высказал ряд суждений об
асимптотах и диаметрах алгебраической
кривой любого порядка.
Доказанный Варингом критерий
простоты натурального числа:
(п - 1)! + 1 = 0 (mod ri) <^> η е Ρ,
названный им «теоремой Валлиса
(Уоллиса)» в честь своего
ученика, сформулировавшего этот
результат, является жемчужиной в
теории чисел. КОЛИН МАКЛОРЕН
Варинг сформулировал без
доказательства критерий существования мнимых решений
уравнений 3-й, 4-й и 5-й степеней и высказал гипотезу о представлении
любого натурального числа т в виде конечной суммы т-ых
степеней натуральных чисел. Эту проблему решали многие
выдающиеся математики в XX веке (Гильберт, Харди, Литлвуд,
Виноградов, Линник и др.), давая все более точную оценку для числа
слагаемых. Варинг успешно сочетал занятия математикой с работой
врача в Лондоне (1760—1798). Он — член Лондонского
королевского общества (1763) и профессор Кембриджского университета
(с 1760).
Колин Маклорен (1698—1746) установил интегральный признак
сходимости числовых рядов и дал формулу суммирования рядов.
Опубликовал двухтомную работу о разложении функции в
степенные ряды «Трактат о флюксиях» (A treatise of fluxions, 1742). Он —
автор ряда работ по теории плоских кривых высших порядков,
проективной геометрии, механике (равновесие тяжелой вращающейся
жидкости, притяжение однородным эллипсоидом вращения
тяжелой точки). Член Лондонского королевского общества (1719),
заведовал кафедрой Эдинбургского университета. Дважды (1724, 1740)
награжден премией Парижской АН. Именем Маклорена назван ряд
понятий и теорем в математике, а также кратер на обратной
стороне Луны.
Брук Тейлор (1685—1731) в трактате «Прямой и обратный метод
приращений» (Methodus incrementorum directa et inversa, 1715) дал

142
Математика и математики XVIII — начала XIX веков
общую формулу разложения
функций в степенной ряд (формулу
Тейлора). Он положил начало
исследованию колебаний струны и
разрабатывал теорию конечных разностей.
Автор ряда работ о перспективе,
центре качания, взаимодействии
магнитов, капиллярности и др. Член
Лондонского королевского
общества (1712) и его ученый секретарь
(с 1724). Именем Тейлора названы
степенной ряд и кратер на
видимой стороне Луны.
Роберт Симеон (1687—1768)
издал пятитомный труд «О
конических сечениях» в стиле
Аполлония, в котором даны теоремы
БРУК ТЬЙЛОР Дезарга и Паскаля и показано, что
основания перпендикуляров,
опущенных из произвольной точки описанной окружности
треугольника на его стороны, лежат на одной прямой (прямой Симеона).
Он был непримиримым противником введения в геометрию
алгебраической символики. Преподавал в университете г. Глазго.
Томас Симпсон (1710—1761) — один из основоположников
теории ошибок. Автор нескольких работ по элементарной геометрии,
тригонометрии, анализу и теории вероятностей. В 1743 году
получил формулу приближенного интегрирования:
\f(x)dx « \^ \f(a) +f(b) + 2 Σ/(χι.) + 4 Σ/
6η
*<+kir
названную впоследствии «формулой Симпсона». Член Лондонского
королевского общества (1746), профессор математики Военной
академии в Вулидже (с 1743).
Уильям Брейкенридж (1700—1762) в работе «Геометрический этюд
об описании кривых линий» (1733) дал классификацию кривых
высшего порядка (независимо от Маклорена) и конструктивное
описание уникурсальных кривых. Член Лондонского королевского
общества.
Эдмунд Галлей (1656—1742) усовершенствовал метод
приближенного вычисления корней уравнения (метод Ньютона). Осуществил
исследования в арифметике, алгебре, геометрии, теории
вероятностей и теории рядов. Предложил свой метод расчета логарифмов
тригонометриуеских функций. Перевел с арабского и издал в 1710

Математики XVIII века других европейских стран 143
году математические труды Апол-
лония Пергского. В статье
«Оценка степеней человеческой смерт- ι
ности» (1690—1693) составил
таблицы, играющие важную роль в
страховании. В 1705 году предска- |
зал появление в 1758 году
кометы, которую назвали его именем. |
Член Лондонского королевского
общества (1678), профессор
Оксфордского университета (с 1703),
директор Гринвичской обсервато- |
рии. Именем Галлея назван кра- |
тер на видимой стороне Луны. ι
Уильям Джонс (1675—1749) —
автор оригинальных работ по диф- .
ференциальному и интегральному I
исчислению и рядам. В трактате ЭДМУНД J'AJIJILM
«Обзор лауреатов математики» (1706)
впервые ввел обозначение через π отношения длины окружности
к диаметру. Последователь Ньютона. Член Лондонского королевского
общества (1711).
Джон Ланден (1719—1790) разработал метод изображения
разности двух гиперболических дуг в виде отрезка. Он ввел
преобразование, устанавливающее связь между спрямлением произвольной
гиперболической дуги и дуг двух различных эллипсов. В теории
эллиптических интегралов такое преобразование называется
«преобразованием Ландена». В работах «Соображения об анализе остатков»
(1758) и «Анализ остатков» (1764) Ланден предпринял попытку
дать алгебраическое обоснование анализа. Член Лондонского
королевского общества (1766).
Роджер Коутс (1682—1716) дал формулу приближенного
вычисления определенных интегралов по значениям подынтегральной
функции в конечном числе равноотстоящих точек, включая
формулу Симпсона. В 1714 году установил соотношение:
In (cos χ + / sin χ) = / χ,
позднее доказанное также Эйлером. Коутс дал формулу разложения
х" + у1, основные формулы дифференциальной геометрии и
анализа, построил графики тангенса и секанса. Ученик и друг Ньютона.
Член Лондонского королевского общества, профессор астрономии
и физики Кембриджского университета.

144
Математика и математики XVIII — начала XIX веков
Россия
Леонард Эйлер (1707—1783) — основоположник математических
школ в России (см. § 1 этой главы).
Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739) — автор учебника
«Арифметика» (1703), названного Ломоносовым «вратами моей
учености». В этой книге не только даны правила всех
арифметических действий, введены термины «множитель», «произведение»,
«делитель», «частное», но и рассмотрены вопросы прикладной
арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии, астрономии,
геодезии и навигации. Он составил в 1703 году таблицу логарифмов,
синусов, тангенсов и секансов, а в 1722 году — «Таблицы
горизонтальных северных и южных широт». С 1701 года и до конца жизни
Магницкий преподавал математику в Школе математических и
навигационных наук в Москве.
Христиан Гольдбах (1690—1764) — автор шести работ о
дифференциальных уравнениях и о бесконечных рядах, опубликованных в
«Комментариях Петербургской АН». С 1725 года и до своей смерти
жил в России. Член Петербургской АН (1725). Сформулировал
вместе с Эйлером знаменитую гипотезу (гипотеза Гольдбаха —
Эйлера), не решенную полностью до сих пор.
Василий Иванович Висковатов (1780—1812) предложил
оригинальный метод разложения дробно-рациональных функций в цепные
дроби. Опубликовал ряд работ по математическому анализу и
вариационному исчислению. Член Петербургской АН, активный
пропагандист новых передовых научных идей.
Семен Емелъянович Гурьев (1766—1813) дал первый
аналитический вывод основных уравнений для плоских кривых в полярных
координатах. Является автором работ в области аналитической и
дифференциальной геометрии, математического анализа и
механики: «Основания геометрии», «Основания трансцендентной
геометрии кривых и поверхностей», «Основания
дифференциального исчисления с приложением оного к аналитике», «Основания
механики». Гурьев много сделал для создания учебной и научной
литературы по элементарной и высшей математике на русском
языке. В своих учебниках он пропагандировал применение теории
пределов в анализе и геометрии. Академик Петербургской АН
(1798), член Российской академии (1800), профессор ряда
высших учебных заведений.
Дмитрий Сергеевич Аничков (1733—1788) — профессор логики,
метафизики, автор учебников по арифметике, геометрии и
тригонометрии. Его «Курс чистой математики» (1770) стал первым
оригинальным курсом на русском языке.

Математики XVIII века других европейских стран 145
Михаил Евсеевин Головин (1756—1790) — племянник М. В.
Ломоносова и ученик Л. Эйлера, почетный член Петербургской АН. Он
написал ряд учебников по элементарной математике, механике и
физике: «Краткое руководство к физике» (1785), «Краткое
руководство к геометрии» (1786), «Краткое руководство к математической
географии и к познанию небесного шара» (1787), «Плоская и
сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами»
(1789) и др. Участвовал в организации народных училищ в России,
издавал академические словари.
Николай Гаврилович Курганов (17257—1796) — соратник и
единомышленник М. В. Ломоносова, ученик Л. Ф. Магницкого. Он
написал цикл учебников по основным предметам, которые
преподавались в Морском корпусе: по арифметике, геометрии,
навигации, русскому языку, за что в 1774 году Академия наук
присвоила ему звание профессора. Его «Письмовник» был в России
XVIII века одной из самых популярных книг.
Николай Иванович Фусс (1755—1826) родился, как и Л. Эйлер, в
Базеле, а большую часть жизни (с 1773) прожил в России. С 1783 года
Фусс — член Петербургской АН, с 1800 — секретарь и профессор
университета при Петербургской АН. Автор работ по сферической
геометрии и тригонометрии, теории рядов, теории кривых, интегрирования
дифференциальных уравнений, механике, астрономии и геодезии.
Он разрабатывал программы для средних учебных заведений
России (вместе с С. Я. Румовским), а его сочинение «Начальные
основания чистой и прикладной математики» в трех частях (1810—1812)
сыграло заметную роль в развитии математического образования в
России. Фусс — член многих иностранных академий наук:
Берлинской, Шведской, Датской. Удостоен премий Парижской АН (1788)
и Датского общества наук (1798). В 1783 году прочитал в Академии
наук «Похвальное слово памяти Л. Эйлера». Н. И. Фусс и его сын
Павел Николаевич Фусс (1798—1855) — член (1823) и секретарь
(с 1826) Петербургской АН — издали неопубликованные труды
Эйлера и его переписку с Гольдбахом и Д. Бернулли.
Степан Яковлевич Румовский (1734—1812) — ученик Эйлера,
автор ряда работ по математике, астрономии, географии и физике. Он
рассмотрел задачу об определении кривой, лежащей в основании
конуса данной высоты, имеющего при данном объеме наименьшую
боковую поверхность. Книга Румовского «Сокращенная математика,
часть первая», содержащая начальные основы арифметики,
геометрии и тригонометрии (1760), играла важную роль в улучшении
преподавания математики в начальных, городских и средних школах
России в XVIII веке. С 1767 года С. Я. Румовский — член
Петербургской АН, в 1800—1803 годах — ее вице-президент, в 1803—1812 —

146
Математика и математики XVIII — начала XIX веков
Г попечитель Казанского учебного
округа. Один из составителей
первого этимологического словаря
Российской академии.
Семен Кириллович Котельников
(1723—1806) — наиболее
выдающийся ученик Эйлера, автор
восьми работ по анализу и смеж-
| ным областям математики. Он —
| первый русский ученый, имевший
] самостоятельные работы по
математике и механике. Академик Пе-
1 тербургской АН (1756), почетный
П ее член с 1797 года. Написал
первые учебники на русском языке по
математическому анализу (1771),
U механике (1774), геодезии (1766)
ДАНИИЛ БЕРНУЛЛИ и др. Был одним из лучших
библиографов своего времени.
Федор Иванович Шуберт (1758—1825) родился в Хельмштадте, учился
в Грейсвальде и Геттингене, а с 1783 года и до самой смерти жил и
работал в России, похоронен в Петербурге. Автор ряда работ по
сферической тригонометрии, анализу, алгебре, астрономии, геодезии.
Шуберт занимался преобразованием рядов в непрерывные дроби,
изучал локсодромную линию на произвольных поверхностях вращения.
Первый указал дифференциальный признак для выяснения строения
плоской кривой вблизи двойных особых точек, вывел формулу для
вычисления площади поверхности с помощью двойного интеграла,
ввел термин «конформная проекция». Член Петербургской АН (1789).
С 1804 года — заведующий академической обсерваторией. В 1805 году
Ф. И. Шуберт произвел магнитные наблюдения по маршруту
Петербург — Казань — Тобольск — Иркутск. Прадед С. В. Ковалевской.
В развитии математики в России в XVIII веке сыграли заметную
роль швейцарские математики — сыновья Иоганна Бернулли ([57],
с. 80) Николай и Даниил. Именно по их приглашению приехал в
Петербург двадцатилетний Эйлер. Хотя Николай Бернулли
проработал профессором математики в Петербургской АН только около
двух лет (он умер в Петербурге в конце июля 1726 года), а Даниил
Бернулли — 8 лет (1725—1733), их вклад в становление
математических школ в России неоценим.
Николай Бернулли (1695—1726) — автор ряда работ по
дифференциальным уравнениям (главным образом, уравнению Риккати)
и механике.

Математики XVIII века других европейских стран
147
Даниил Бернулли (1700—1782) —
создал приближенный метод
численного решения алгебраических
уравнений с помощью возвратных
рядов, применил теорию
вероятностей к статистике
народонаселения, впервые ввел в теорию
ошибок нормальное
распределение и опубликовал первую
таблицу такого распределения.
1
Он определил е как lim
{ + п
впервые применил к решению
дифференциального уравнения с
частными производными
тригонометрические ряды (названные
впоследствии рядами Фурье).
Вывел основное уравнение стационар- Я ΚΟΠΟ РИККАТИ
ного движения идеальной
жидкости, носящее его имя, разрабатывал кинетические представления о
газах, занимался физиологией и медициной. 47 своих работ Даниил
Бернулли опубликовал в 1728—1778 годах в издании Петербургской
АН. Он — академик Петербургской АН (1725—1733), почетный член
многих академий: Болонской (1724), Петербургской (1733),
Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского
общества (1750). 10 раз Парижская АН присуждала Даниилу Бернулли
премии за лучшие работы по математике и физике.
Италия
Джованни Джироламо Саккери (1667—1733) — профессор
университета в Павии — в трактате «Евклид, очищенный от всяких
пятен» (Euclidas ab omnia naevo vindicatus, 1733) предпринял
попытку доказать пятый постулат Евклида о параллельных методом
от противного. Приведя к противоречию гипотезу тупого угла в
своем четырехугольнике с двумя прямыми и другими двумя
равными углами («четырехугольнике Саккери»), он доказал ряд
теорем с гипотезой острого угла, но, обнаружив совсем необычный
результат, посчитал его противоречием и отверг гипотезу острого
угла.
Якопо Франческо Риккати (1676—1754) исследовал
интегрируемость в элементарных функциях простейшего нелинейного
дифференциального уравнения первого порядка

148 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
у' + а(х)у* + Ь(х)у + с(х) = О,
названного впоследствии уравнением Риккати. Автор ряда работ по
интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Как
инженер-строитель, он руководил постройкой речных плотин.
Винненцо де Риккати (1707—1775) — сын Я. Ф. Риккати. Он
применял теорию рядов к задачам интегрального исчисления. Ввел в
1757 году соотношения, определяющие гиперболические функции
sh χ и ch χ, и общепринятые обозначения для них. Установил
тождество ch2x — sh2x = 1. Автор ряда работ по аналитической и
дифференциальной геометрии. Совместно с Дж. Саладини издал
двухтомный труд «Основания анализа» (1765, 1767). Вывел
формулу радиуса кривизны, когда кривая отнесена к некоторому
фокусу. Иностранный почетный член Петербургской АН (1760).
Антонио Мария Лорнъя (1735—1796) — организатор и первый
президент Итальянского общества наук (1782), иностранный
почетный член Петербургской АН, Парижской АН и Лондонского
королевского общества. Он является автором ряда работ по
дифференциальным уравнениям, алгебре, исчислению конечных
разностей, теории экстремальных значений в математическом анализе.
Лорнья работал над созданием символического исчисления и
решил ряд задач внешней баллистики.
Джулио Карло Фаньяно деи Тоски (1682—1766) издал
двухтомный труд «Математические работы», где, в частности, предложил
единым способом решать алгебраические уравнения до 4-й степени
включительно. Автор ряда работ по дифференциальным
уравнениям и теории эллиптических функций, в которых развивал идеи
братьев Якоба и Иоганна Бернулли. Изучил свойства лемнискаты (1718).
Член Лондонского королевского общества и Берлинской АН.
Джанфраннеско Онорио Фаньяно деи Тоски (1715—1797) — сын
Дж. К. Фаньяно деи Тоски — решил задачу о делении дуги
окружности на произвольное число равных частей. Сформулировал задачу:
в данный треугольник вписать треугольник наименьшего периметра,
названную впоследствии «задачей Фаньяно».
Лоренцо Маскерони (1750—1800) в своей книге «Геометрия
циркуля» (Le geometria del compasso, 1797) доказал (независимо от
Георга Мора (1640—1697)), что всякая задача на построение,
разрешаемая с помощью циркуля и линейки, разрешима и с помощью только
циркуля. В 1790 году Маскерони ввел в математический анализ две
специальные функции — интегральный синус и интегральный косинус:
с sin / 7 cos /
Si x = \—f-dt, Cix = - \-j-dt,

Математики XVIII века других европейских стран 149
которые встречаются в различных
вопросах математического анализа
и техники. Он — член Падуанской
АН, член Итальянского общества
наук, профессор Павийского
университета (1786), член
Международной метрической комиссии в
Париже (1797).
Джованни Франнеско Кастилъон
(1704—1791) решил задачу Паппа:
вписать в круг треугольник,
стороны которого проходят через три
произвольные точки (ее также
решили Лагранж, Эйлер, Карно,
Фусс, Лексель). Он — автор ряда
других работ по геометрии и три- \
тонометрии. i
Руджер Иосип (Джузеппе) Бош- ПАОЛО РУФФИНИ
кович (1711—т-1787) родился в Ра-
гузе (ныне Дубровник, Сербия), но большую часть жизни провел в
Италии, где, завершив учебу в Римской коллегии, был
профессором в нескольких итальянских университетах. Десять лет (1773—1783)
жил в Париже, где руководил оптическим отделом на флоте. Бош-
кович предвосхитил аксиому непрерывности Дедекинда, высказал
идею, что множество действительных чисел является континуумом.
Он предложил упрощенное решение шести основных задач
сферической тригонометрии и выделил в ней четыре основных равенства.
В 1758 году Бошкович опубликовал свой основной труд «Теория
натуральной философии, приведенная к единому закону сил,
существующих в природе». Иностранный почетный член
Петербургской АН (1760), Лондонского королевского общества (1761), член-
корреспондент Парижской АН (1759). Именем Бошковича назван
кратер на видимой стороне Луны.
Паоло Руффыни (1765—1822) родился в Валентано. Был врачом
в Модене. В 1788—1796 годах преподавал высшую математику в
местной гимназии, в 1769—1814 — в военной школе. В 1799 году
Руффини издал учебник по алгебре «Общая теория уравнений», в
котором дал доказательство неразрешимости в радикалах общего
алгебраического уравнения степени η > 4, однако пользуясь при
этом утверждением, что корни резольвенты любого
алгебраического уравнения должны рационально выражаться через корни
данного уравнения. Строгое доказательство этой знаменитой теоремы о
неразрешимости опубликовал в 1826 году Нильс Абель (см. гл. VII, § 3).

150 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
В 1804 году Руффини опубликовал метод приближенного
вычисления действительных корней алгебраических уравнений
(переоткрытый и опубликованный в 1819 году также Горнером). Он развил ряд
идей теории групп конечных подстановок. Длительное время
Руффини был президентом Итальянского общества наук.
Швейцария
Всемирную славу Швейцарии в XVIII веке принесли гениальные
математики семейства Бернулли и Леонард Эйлер, о достижениях
которых сообщалось ранее ([57], с. 80, § 1—3 этой главы). Наряду с
этими корифеями в Швейцарии в XVIII веке сделали интересные
открытия и другие математики.
Жан Луи Бертран (1731 —1812) — ученик Эйлера. Пытался
доказать пятый постулат Евклида на основании сравнения бесконечных
площадей. Рассматривал теорему Дезарга о перспективных
треугольниках. Учебник Бертрана «Новое изложение элементарной части
математики» (1778) пользовался широкой известностью.
Габриель Крамер (1704—1752) — ученик и друг Иоганна
Бернулли. Он открыл и опубликовал в 1750 году правило решения системы
η линейных уравнений с η неизвестными (названное впоследствии
«правилом Крамера»). Крамер заложил основы теории
определителей и доказал, что результант двух многочленов образуется с
помощью симметрических функций. В своем основном трактате
«Введение в анализ алгебраических кривых» (Introduction a l'analyse des
lignes courbes algebriques, 1750) существенно развил идеи
современников по аналитической геометрии, исследовал особые точки,
ветви, кривизну алгебраических кривых высшего порядка. Член
Лондонского королевского общества (1749), профессор Женевской
кальвинистской академии (с 1734).
Жан Роберт Арган (1768—1822) опубликовал в 1806 году «Опыт
некоторого представления мнимых величин и т. д.», где дал
(независимо от К. Весселя) геометрическую интерпретацию
комплексных чисел и доказательство основной теоремы алгебры (отличное
от гауссовских доказательств). В 1814 — 1815 годах ввел термин
«модуль комплексного числа». Долгое время жил в Париже.
Яков Герман (1678—1733) разрабатывал аналитическую
геометрию в пространстве, изучал кривые на сфере, широко применял
полярные координаты. В работе «Форономия» (1716) дал метод
интерполирования и отделил кинетическую геометрию от динамики.
Герман решал задачу отыскания уравнений семейства
ортогональных кривых и задачу построения изопериметрических фигур,
занимался историей математики. Шесть лет был академиком Петербург-

Математики XVIII века других европейских стран 151
ской АН, ас 1731 года стал иностранным почетным членом этой
академии. Автор учебного пособия, включавшего арифметику,
геометрию, тригонометрию, фортификацию и гражданскую
архитектуру.
Жан Трамбле (1749—1811) исследовал нелинейные разностные
дифференциальные уравнения. Член Берлинской АН, иностранный
почетный член Петербургской АН (1798).
Швеция
Петер Вильгельм Варгентын (1717—1783) — автор работ по
комбинаторике, теории вероятностей и астрономии. С 1749 года —
постоянный ученый секретарь АН Швеции. Иностранный почетный
член Петербургской АН. Именем Варгентина назван кратер на
видимой стороне Луны.
Самуил Клингеншерна (1698—1765) исследовал нелинейные
дифференциальные уравнения. Опубликовал более 200 работ, в
которых рассмотрены различные актуальные в то время математические
проблемы, включая задачи вариационного исчисления. Удостоен
премии Петербургской АН.
Голландия
Исаак Вольфрам (XVIII в.) в 1778 году создал наиболее точные
таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 10 000 с 48
десятичными знаками. Вычислил также логарифмы простых чисел с 63
и 88 десятичными знаками.
Биллем Якоб Сторм Гравезанд (1688—1742) — автор книги «Опыт
о перспективе» (1711), в которой систематически использовал
проекцию бесконечно удаленной прямой плоскости. Он популяризовал
в Европе идеи Ньютона. Член Лондонского королевского общества
(1715), профессор Лейденского университета.
Дания
Карл Фердинанд Деген (1766—1825) первый доказал, что
произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма восьми
квадратов, является также суммой восьми квадратов. Он опубликовал ряд
работ по алгебре, аналитической геометрии и теории чисел. Член
Датской АН (1800), иностранный член-корреспондент
Петербургской АН (1819), профессор Копенгагенского университета.
Каспар Вессель (1745—1818) — автор трактата «Об
аналитическом представлении направлений» (1799), в котором дано первое
геометрическое построение теории комплексных чисел, рассмат-

152 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
риваемых как векторы на плоскости, и изложена теория векторов
на плоскости и в пространстве. Идеи этой работы позднее
развились в теорию кватернионов. Достигнутые Весселем результаты
заново установили Ж. Арган, К. Ф. Гаусс и др. математики, так
как написанная на датском языке работа ученого столетие
оставалась неизвестной.
Примечание. Наряду с европейскими математиками исследования
в различных областях математики проводили в XVIII веке ученые и
других континентов (Индия, Китай, Япония, страны арабского мира),
но кардинальных открытий, сравнимых с результатами европейских
математиков, там сделано не было, хотя труды ученых Европы в этих
странах изучали и пропагандировали. Например, китайский ученый
Вендин Мей (1633—1721) хорошо знал труды Декарта, Ферма,
Ньютона, Лейбница и написал 88 томов различных работ. Японский
математик Иосисуке Матцунага (1664—1744) нашел приближение
числа π с точностью до 51 знака, используя ряд для arcsin i.
Другой японский математик Хокожыро Кенко Такебе (1664—1739) ввел
в Японии непрерывные дроби, вычислил с помощью бесконечных
рядов π с точностью до 41 десятичного знака и создал особый вид
интегрального исчисления «Иенри». Он начертил в 1719 году карту
Японии.
§ 4. Женщины-математики XVIII — начала XIX веков
После трагической гибели в марте 415 года в Александрии
талантливого ученого философа и математика Ипатии (Гипатии)
тысячелетие в истории математики не упоминались женщины. Во многих
европейских странах (Франция, Германия, Россия и др.) женщинам
запрещалось учиться в университетах и вести преподавательскую
деятельность. Однако начиная с XVIII века представительницы
«прекрасного пола» успешно опровергли господствовавшее тогда мнение
о том, что занятие математикой — это чисто мужское дело.
Расскажем о некоторых выдающихся математиках-женщинах XVIII и
начала XIX веков.
Мария Гаэтана Аньези (1718—1799) — дочь болонского
профессора математики Пиетро Аньези. В раннем детстве она овладела
греческим и латинским языками, а в 13 лет усвоила еще французский,
немецкий, испанский и еврейский языки и отвечала каждому из
ученых, собиравшихся в доме отца, на его родном языке. На
публичном диспуте Аньези защитила 194 философских тезиса, в том
числе тезис о способности женщин к наукам. Она издала на латин-

Женщины-математики XVIII — начала XIX веков 153
ском языке речь о пользе изучения
женщинами древних языков. С 20 лет
Аньези посвятила себя
математике, достигнув в этой области
больших успехов. В 30 лет ее избрали в
Болонскую АН. Ей поручили читать
лекции вместо больного отца, а
после его смерти в 1750 году ее
назначили профессором Болонско-
го университета. Всемирную славу
Марии Аньези принес ее учебник
по математике «Основания
анализа для употребления
итальянского юношества» (Instituzioni ana-
litiche ad uso della gioventu italiana,
1748), который она писала в
течение 10 лет. Американский
математик Дирк Ян Стройк назвал этот МАРИЯ АНЬЕЗИ
учебник «самым глубоким
освещением основ высшей математики в XVIII веке». В 1775 году он был
переведен на французский язык, в 1801 — на английский. Среди
европейских математиков восемнадцатого столетия учебник Аньези
считался лучшим изложением новой математики и введением к
изучению трудов Л. Эйлера. Восхищаясь талантом Марии Аньези, пи-
занский профессор Гранди назвал кривую у(х2 + а2) = а3, изученную
ею, «локоном Аньези».
С 1771 года Аньези отошла от преподавания, открыла у себя дома
приют для престарелых больных, ухаживала за ними, а последние
годы жизни провела в монастыре. Перед домом Аньези сооружен
памятник. В трех городах Италии ее именем названы улицы и
установлены мемориальные доски в память «ученой математички,
широко известной в Италии в ее век». В Милане ее именем названа
Нормальная школа и учреждены премии Аньези в нескольких
учебных заведениях.
Лаура-Мария-Екатерина Басси (1711—1778) — член Болонской
АН, профессор Болонского университета. Овладев в раннем детстве
французским и латинским языками и успешно изучив науки,
преподаваемые в университете, она в присутствии профессоров у себя
на дому блестяще выдержала экзамены за университет и на
публичном диспуте доказала семь философских тезисов. В торжественной
обстановке Басси была присуждена докторская степень, и Болон-
ский сенат предложил ей место профессора в университете. Лаура
Басси была хорошо знакома с математическими работами Декарта,

154 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
Ньютона, Лейбница. Она в течение
25 лет читала в университете
прикладную физику, рецензировала
знаменитый учебник Аньези, автор
двух научных трактатов. Басси
приглашали читать лекции в Париж и
Лондон, при этом в аудитории
стекались слушатели со всех концов
Европы. Современники называли ее
«чудом своего времени, честью и
украшением эпохи, в которой она
жила». Одновременно с
преподаванием в университете она около
| тридцати лет читала публичные
! лекции у себя на дому, покрывая
из своих личных средств все
расходы и никогда не обращаясь за
ЛАУРА БАССИ поддержкой ни к кому, даже к
своему покровителю — римскому папе.
Лаура Басси — мать 12 детей. Она умерла от воспаления легких и
похоронена рядом с могилой Гальвани. В ее честь была
отчеканена медаль с ее изображением и словами «Солнцу, которому
позволено видеть Минерву». Лестницу, ведущую в музей и библиотеку
Болонского университета, украшает памятник этой удивительной
женщине.
Николь Гортензия Лепот (1723—1788) — первая во Франции
женщина-ученый, получившая широкую известность за талант
первоклассного вычислителя. В детстве ее интересовали только книги, за
которыми она проводила дни и ночи. Помогая мужу, придворному
часовщику, проверять наблюдения русского астронома Делиля,
Лепот составила таблицу колебаний маятников различной длины.
В 1759 году она вместе с А. Клеро принимала участие в
астрономических вычислениях силы, с которой Сатурн и Юпитер
притягивают ожидаемую комету. «Усердие мадам Лепот, — писал по этому
поводу Клеро, — выше всякой похвалы». Лепот опубликовала ряд
научных работ о кометах во французском астрономическом
журнале, работала вычислителем в официальном французском
ежегоднике. Она была ослепительно хороша собой. В ее честь писали стихи.
Астрономы дали ее имя цветку, вывезенному из Японии. Именем
Гортензии Лепот назван кратер на видимой стороне Луны.
Софья Жермен (1776—1831) с детства увлекалась
математикой, несмотря на запреты богатых родителей. Изучив латинский
язык, читала работы Эйлера. Представила замечания Лагранжу

Женщины-математики XVIII — начала XIX веков 155
на курс его лекций. Под мужским
псевдонимом «Леблан», пользуясь
конспектами лекций, принимала
участие в письменных упражнениях
и в переписке с Гауссом, Д'Алам-
бером, Фурье, Лежандром и др.
выдающимися математиками. Жер-
мен доказала теорему Ферма для
η < 100. Она автор ряда работ по
теории чисел. Несколько формул
и задач этой теории носят имя
Жермен. Например, задачей Жер-
мен является: «Доказать, что
каждое число вида а4 + 4, где а > 1 —
составное». Жермен — одна из
основоположников теории упругости
и математической физики. За
исследования по теории пластинок СОФЬЯ ЖЕРМЕН
удостоена в 1811 году премии
Парижской АН (это была первая премия, выданная Академией
женщине).
Когда французские войска занимали в 1807 году Ганновер и Гет-
тинген, Софья Жермен просила наполеоновского генерала (друга
семьи Жермен) взять Гаусса под свою охрану, чтобы он не
повторил печальную участь Архимеда в Сиракузах. Узнав об этом, Гаусс
был глубоко тронут, и до конца жизни сохранил уважение к этой
удивительной женщине. В 1837 году, в столетие Геттингенского
университета, она была признана достойной почетной степени
доктора наук (посмертно). В своей книге «Женщины в науке»
французский математик Ребьер с упреком писал в 1897 году: «На стенах
башни Эйфеля написаны имена 72 ученых. Позабыли о Софье
Жермен, одном из творцов теории упругости, на основании которой
только и стала возможной постройка башни».
Маркиза Эмилия дю Шатле (урожденная Брейтель) (1706—1749)
самостоятельно изучила математику, физику, языки. Позднее ее
учителями были Мопертюи и Клеро. Не обладая красивой
внешностью, она пользовалась успехом у мужчин, особенно у молодого
Вольтера, с которым маркизу связывала не только любовь, но и
многочисленные совместные физические и химические опыты в
замке Сире, занятия математикой и ее приложениями. По
рассказам ее современников, маркиза спала всего два часа в сутки,
проводя все время 'за опытами и ведя обширную переписку со многими
выдающимися учеными. Сочинение дю Шатле «О природе распро-

156 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
странения света» хотя и не было
удостоено премии Парижской АН
в 1738 году (ее получил за эту
проблему Л. Эйлер), но было
напечатано Академией и получило высокую
оценку академика Эйлера. «Для
меня, милостивая государыня, —
писал он, — крайне почетно
работать на одном поприще с особой,
которая является одним из редких
украшений своего пола, благодаря
тому блеску, каким Вы озарили
даже самые возвышенные науки, в
которые вы внесли величие своего
таланта». Также высоко отзывался
Эйлер и о другой книге маркизы
«Основы физики», в которой дю
ЭМИЛИЯ ДЮ ШАТЛЕ Шатле выступала как сторонник
учения Декарта и Лейбница. В 1745 году
маркиза закончила главный труд своей жизни — полный перевод с
латинского языка на французский двухтомного труда Ньютона
«Математические начала натуральной философии», сопроводив его
комментарием и дополнениями. Э. Шатле исследовала понятие
живой силы, развивая идеи И. Бер-
нулли. Вольтер в стихах и прозе
восхвалял «бессмертную
божественную Эмилию». Ее заслуги
отмечали многие знаменитые
математики и физики. Роковая страсть,
вспыхнувшая у сорокалетней
женщины (она изменила и
покладистому мужу, и другу Вольтеру),
повлекла за собой поздние роды и
смерть 43-летней ученой.
Княгиня Евдокия (Авдотья)
Ивановна Голицына (1780—1850) —дочь
сенатора — получила прекрасное
образование, увлекалась
математикой. Ее роскошный петербургский
особняк посещали «математические
светила» (академик М. В.
Остроградский, профессор Н. Д. Брашман) и
Е. И. ГОЛИЦЫНА известные литераторы. Расходились

Женщины-математики XVIII — начала XIX веков 157
далеко за полночь, за это
княгиню прозвали «ночной принцессой».
Голицына — автор математического
трактата «Анализ понятия силы»,
напечатанного на французском языке
в 1837 году в Петербурге (1-я часть)
и в 1844 году в Париже (2-я часть).
Высокую оценку этой работе дал
академик Остроградский: «Княгиня
Голицына проявила в этом труде
такой собственно ей принадлежащий
взгляд на вещи, который не может
не показаться крайне новым и
вместе с тем справедливым по
глубокомысленным выводам». Е. И. Голицы- j
на переписывалась с членами Па- j
рижской АН. Ее знания и научную J
эрудицию ценили многие автори- МЭРИ СОММЕРВИЛЬ
тетные люди. Однако в личной
жизни, княгиня была несчастна: от мужа, князя С. Н. Голицына, она
сбежала чуть ли не сразу после венчания. Ее взаимная горячая
любовь к молодому князю Михаилу Долгорукому, также
увлекавшемуся математикой, окончилась трагически: муж не дал развода,
а князь Долгорукий отправился на войну и погиб. Это не сломило
княгиню, и она «с головой» ушла в науку.
Мэри Соммервиль (1780—1872) — шотландка, дочь вице-адмирала
сэра Ферфакса — самостоятельно изучала математику.
Переписывалась с Лапласом, Гей-Люссаком, Александром Гумбольдтом и
другими известными учеными. Она издала в 1831 году на английском языке
свою переработку «Трактата о небесной механике» Лапласа. Главный
труд Соммервиль «О взаимосвязи физических наук» выдержал 10
изданий. В последние годы жизни занималась линейной и ассоциативной
алгеброй и теорией кватернионов. М. Соммервиль — член Ирландской
АН (1834), Лондонского королевского общества (1835). Английская
королева назначила ей пенсию из своих личных средств, а король
Италии наградил ее большой золотой медалью ее имени. Имя Мэри
Соммервиль присвоено кораблю, острову и колледжу в Оксфорде.
Восторгаясь талантом ученой, энциклопедист Гумбольдт сказал: «В чистой
математике никто не превосходил мадам Соммервиль». Она прожила
долгую счастливую жизнь. Три раза была замужем. Ее первый муж —
русский консул в Англии Самуил Грейг — умер в 1807 году, вторым
ее мужем стал доктор Соммервиль, третьим — известный
шотландский математик и логик Огастес де Морган.

158 Математика и математики XVIII — начала XIX веков
Августа Ада Лавлис (Лавлейс)
(1815—1852) — единственная дочь
поэта Байрона. С детства увлекалась
математикой, училась у супругов
Мэри Соммервиль и де Моргана.
Под псевдонимом A. L., тайна
которого была раскрыта только в
1884 году (т. е. 32 года спустя после
ее смерти), Ада Лавлис написала
ряд глубоких статей, касающихся
вычислительной машины,
конструируемой Чарлзом Беббиджем
(1792—1871). Ввод данных в эту
машину и программирование
операций производились с помощью
1 перфокарт, а итоги выдавались на
записывающее устройство или на
АДА ЛАВЛИС перфокарты. В 1843 году Ада
Лавлис составила программу для
машины Беббиджа, включавшую условную передачу управления,
повторение цикла операций и др. Она высказала ряд общих
положений о принципе экономии рабочих ячеек, связи рекуррентных
формул с циклическими процессами вычислений и др,5 которые
сохранили свое принципиальное значение и для современного
программирования. Ее термины «цикл», «рабочая ячейка»,
«распределяющие карты» употребляются и сейчас, а данное Лавлис
определение цикла почти дословно совпадает с его
определением в современных учебниках. Аду Лавлис справедливо называют
«первой леди компьютерного королевства». Один из языков
программирования назван «Ада». Ее работы переведены на
французский язык.

159
Глава VII.
Творцы выдающихся
математических открытий XIX века
Девятнадцатое столетие можно справедливо назвать «золотым
веком» для математики. Десятки гениальных ученых-математиков
обогатили в этом веке науку не только открытием принципиально
новых направлений в математике и решением знаменитых
математических проблем, поставленных предшественниками, но и
впервые дали строгое обоснование важнейшим математическим
теориям и заложили основы теории структур, создав предпосылки для
триумфального взлета математики в XX веке.
В геометрии революционным поворотом было создание
неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский, Бойаи). Своего расцвета
достигла проективная геометрия (Понселе, Штаудт, Штейнер и др.).
Оформились в самостоятельные области математики аналитическая
геометрия и дифференциальная геометрия (Монж, Гаусс, Дарбу
и др.). Создана геометрия обобщенных пространств (Риман, Ли),
сформулирована знаменитая эрлангенская программа (Клейн).
Осуществлено аксиоматическое построение, элементарной геометрии
(Гильберт). Заложены основы топологии (Риман, Пуанкаре) и т. д.
В алгебре в начале века были установлены критерии
разрешимости в квадратичных радикалах двучленного уравнениях"- 1 =0
(п = 22 + 1 е Р, к е Ν0= Ν u{0}) и строго доказана «основная теорема
алгебры» (Гаусс, 1796, 1799). Доказана невозможность
разрешимости в радикалах алгебраического уравнения степени η > 5
(Абель, 1826). Найден общий критерий разрешимости
алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами (Галуа, 1832).
Создана теория конечных групп (Руффини, Галуа, Гаусс, Коши,
Кэли, Жордан) и заложены основы теории бесконечных групп
(Клейн, Ли). Разработана теория гиперкомплексных числовых
систем (Гамильтон, Грассман, Кэли, Гурвиц), алгебраических
числовых систем и теория инвариантов (Гильберт, 1893—1898).
Сформировалась линейная алгебра, теория векторных пространств
и др.
В теории чисел доказан асимптотический закон распределения
п(п)
простых чисел: lim η = 1, где κ(η) — количество простых чисел,
не больших η (Чебышёв, Адамар, Балле Пуссен). Дано строгое
доказательство квадратичного и биквадратичного закона взаимности

160 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
(Гаусс), построена арифметика целых комплексных чисел (Гаусс).
Осуществлено аксиоматическое построение арифметики
натуральных чисел (Пеано, Кронекер, Дедекинд и др.).
В математическом анализе практически завершено обоснование
важнейших понятий (Коши, Больцано, Вейерштрасс и др).
Построена общая теория множеств (Кантор), теория действительного
числа (Вейерштрасс, Дедекинд), теория функций, числовых и
функциональных рядов (Фурье, Коши, Вейерштрасс и др.).
Теория функций комплексного переменного оформилась в
самостоятельную область математики (Эйлер, Гаусс, Коши, Абель, Лоран,
Вейерштрасс, Пуанкаре и др.). Дана строгая аргументация
основных понятий и операций дифференцирования и интегрирования с
мнимыми числами (Гаусс, Коши), выведена интегральная формула
f(z) = ^—г\ -У&- dq (Коши) и дано ее применение в теории специаль-
ных функций, дифференциальных уравнений, аналитической
теории чисел. Разработана геометрическая теория функций
комплексного переменного (Риман, Гаусс) и даны приложения таких
функций к физике и механике (Жуковский, Клейн).
В теории дифференциальных уравнений были доказаны теоремы
существования решения (Коши, Липшиц, Ковалевская),
исследованы возможности получения общего решения, если задано
конечное число частных решений (Дарбу, Коркин, Миндинг,
Ермаков), решалась проблема вывода условий интегрируемости
и выделения классов уравнений, интегрируемых в квадратурах,
заложены основы качественного (топологического) и
теоретико-группового подхода к исследованию дифференциальных
уравнений (Клейн, Ли, Пуанкаре, Ляпунов). Возникла и стала
успешно развиваться теория уравнений математической физики
(Остроградский, Ковалевская и др.).
В теории вероятностей доказана предельная теорема для сумм
большого числа случайных величин. Введено «нормальное
распределение» случайных величин (Лежандр, Гаусс, Чебышёв).
Разработаны общие подходы к распределениям сумм случайных величин
(Пуассон). Начала развиваться математическая статистика.
§ 1- Гениальные творцы неевклидовых геометрий
Девятнадцатый век вошел в историю математики прежде всего
как век создания неевклидовых геометрий. Среди десятков ученых,
которым человечество обязано этим революционным открытиям,

Гениальные творцы неевклидовых геометрий
161
бесспорно выделяются шесть
гениальных математиков: К. Ф. Гаусс,
Н. И. Лобачевский, Я. Бойаи, Б. Ри-
ман, Ф. Клейн, А. Пуанкаре.
Карл Фридрих Гаусс (1777—
1855) — один из самых
гениальных и разносторонних математиков
конца XVIII и первой половины
XIX века. Его справедливо
называют «королем математиков». Гаусс
родился в Брауншвейге в семье
садовника и фонтанного мастера
Герхарда Дитериха Гаусса,
унаследовав, по мнению биографов,
от отца крепкое здоровье, а от
матери яркий интеллект. Отец
Гаусса был прямым, честным,
грубоватым человеком, чья резкость в КАРЛ ГАУСС
общении с сыновьями иногда
граничила с жестокостью. И хотя в дальнейшей жизни Гаусс не
порицал отца, но давал понять, что никогда не питал к нему особой
привязанности.
Мать Гаусса — Доротея Бенц — была решительной женщиной с
сильным характером, острым умом и изрядным чувством юмора.
Она вышла замуж в 34 года, в 35 родила Карла, который был
гордостью матери с самого его рождения до ее смерти в 97 лет. Последние
22 года она провела в доме сына. Младший брат матери Фридрих,
ткач по профессии, обладал незаурядным умом и делал все, что
мог, для поощрения живой сообразительности мальчика. Имя дяди
сохранилось в имени благодарного племянника. С раннего детства
Гаусс проявил выдающиеся математические способности. В 3 года
он поправил отца, сделавшего ошибку при расчете с
каменщиками, а в школе 10-летним мальчиком переоткрыл формулу для
суммы арифметической прогрессии, сосчитав мгновенно (к удивлению
учителя Бюттнера) сумму 81 297 + 81 495 + 81 693 + ... + 100 899.
Маленький Карл сообразил, что это — арифметическая
прогрессия с первым членом 81 297, разностью 198 и числом членов 100. На
грифельной доске, которую он сразу положил на стол учителю,
было записано 9 109 800. Гаусс любил рассказывать, что это
единственное число давало правильный ответ, а все остальные ученики,
целый час решавшие эту задачу, ошиблись.
В 1788 году он поступил в гимназию, где успешно овладел
несколькими иностранными языками. Четырнадцатилетнего вун-

162 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
деркинда представили Брауншвейгскому герцогу Карлу Вильгельму
Фердинанду. Скромность и неуклюжая застенчивость мальчика
покорили сердце герцога. Он оплатил юноше учебу в престижном
Карловом училище (Collegium Carolinum) в Брауншвейге. Благодаря
покровительству герцога Гаусс поступил в 1795 году в Геттинген-
ский университет. Уже в 1796 году он сделал первое выдающееся
открытие — установил характеристический признак разрешимости
в квадратичных радикалах уравнения х" — 1 = 0: показатель η должен
быть простым числом Ферма, т. е. η = 22 + 1 е Р, к е Ν0= Ν и {0}.
Следовательно, циркулем и линейкой тогда и только тогда можно
построить правильный «-угольник с нечетным числом сторон,
когда η — либо простое число Ферма, либо произведение таких
попарно различных чисел. В 1799 году в своей докторской диссертации
Гаусс дал первое строгое доказательство основной теоремы
алгебры. В 1801 году были опубликованы на средства герцога
«Арифметические исследования» (более 500 страниц большого формата),
оказавшие огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел и
алгебры и содержавшие основные результаты, полученные Гауссом
к этому времени: квадратичный закон взаимности («золотая
теорема»), задачу деления круга и задачу о представимости целых чисел
в виде am2 + bmn + en2.
В 1806 году умер от ран Брауншвейгский герцог (к которому
ученый был искренне привязан), и Гаусс переехал в 1807 году в Геттин-
ген, где получил право читать лекции по математике и астрономии в
университете и пост директора вновь организованной обсерватории,
на котором оставался в течение всей своей жизни. Натаскивание
заурядных студентов на университетских лекциях не приносило Гауссу
удовлетворения, а таланты встречались редко. В письме Бесселю (1810)
он пишет: «Этой зимой я читал два курса лекций трем студентам, из
которых один обладает средними знаниями, другой — менее чем
средними, а третий лишен и знаний и способностей. Таковы тяготы
профессии математика».
Как астроном Гаусс вычислил орбиты двух малых планет:
Цереры (1801) и Паллады (1802), орбиты нескольких комет,
опубликовал в 1809 году трактат «Теория движения небесных тел,
обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям» и несколько статей.
В книге Гаусс изложил свои методы вычисления орбит и метод
наименьших квадратов, открытый им в 1794 году. Однако приоритет
публикации этого метода обработки результатов принадлежит Ле-
жандру (1807). В 1821—1823 годах Гаусс опубликовал подробное
изложение метода наименьших квадратов.
Трудно найти такую отрасль теоретической и прикладной
математики, в которую Гаусс не внес бы существенного вклада. В 1812 году

Гениальные творцы неевклидовых геометрий
163
в работе «О гипергеометрическом ряде» он рассматривал проблему
сходимости бесконечных рядов. Гипергеометрическая функция
зависит от трех параметров. Придавая им конкретные значения,
можно получить большинство специальных функций, встречающихся в
математической физике.
В 1818 году Гаусс пришел к идее неевклидовой геометрии и
достаточно глубоко ее разработал, хотя из-за боязни «крика беотий-
цев» он запретил сообщать об этом до своей смерти. В 1820— 1830 годах
Гаусс фактически создал высшую геодезию, основы которой
изложил в сочинении «Исследования о предметах высшей геодезии»
(1842—1847). Он изобрел специальный прибор гелиотроп,
усовершенствовал оптическую сигнализацию. В 1828 году Гаусс
опубликовал трактат «Общие исследования о кривых поверхностях»,
в котором изложены основные понятия внутренней геометрии
поверхности, т. е. такие ее свойства, которые определяются
структурой самой поверхности и не изменяются при ее непрерывной
деформации (изгибании). К таким свойствам относятся: длины линий
на поверхности, углы между этими линиями, площадь области на
поверхности, полная кривизна поверхности (произведение главных
кривизн). Гаусс доказал, что полная кривизна К в точке Μ есть
предел отношения площади Δ5* области сферического
отображения поверхности (т. е. отображения по единичным векторам
нормалей) к площади Л^области самой поверхности, когда она
стягивается в точку М\
Он установил зависимость между полной кривизной К и суммой
углов геодезического треугольника (формула Гаусса — Бонне):
!iKdS + fads=2n9
G Г S
где кг — геодезическая кривизна.
Этими открытиями Гаусс фактически построил другую
неевклидову геометрию — двумерную риманову.
Вместе с Вебером Гаусс создал абсолютную систему
электромагнитных единиц (1832) и первый в Германии электромагнитный
телеграф. Им была разработана общая теория магнетизма (1838) и
заложены основы теории потенциала (1834—1840).
Имя Гаусса увековечено математиками в названиях десятков
формул, понятий, теорем: гауссова кривизна поверхности (т. е. полная
кривизна), гауссов ряд, определяющий гипергеометрическую
функцию:

164 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
Пау ρ, γ, у - f^j η!γ(γ+1)...(γ+η-1) Ζ>
гауссово число (комплексное число а + Ы, a, b eZ), распределение
Гаусса — Лапласа (нормальное распределение), гауссовы
логарифмы (логарифмы сумм и разностей чисел), метод Гаусса (метод
последовательного исключения неизвестных для нахождения
решения системы линейных уравнений), гауссова формула даты
православной Пасхи и др.
В личной жизни Гауссу пришлось многое пережить: смерть
первой жены Иоганны Остхоф в 1809 году (после родов) и
последовавшая вскоре смерть сына, вторичная женитьба в 1810 году на
Минни Вальдек — близкой подруге Иоганны, материальные
затруднения (зарплата молодого приват-доцента в Брауншвейге была
всего 6 талеров в месяц). Даже 400 талеров пенсии от
герцога-покровителя не хватало на содержание семьи (трое детей от первого
брака и трое — от второго). Гаусс очень переживал, что не может
внести 2000 франков — свою долю контрибуции, которой
Наполеон обложил Геттинген. За него пытались внести деньги
известный астроном Ольберс и, прямо в Париже, Лаплас, но ученый
отказался принять их помощь. К счастью, доля Гаусса была
погашена анонимно, и деньги возвращать было некому. Много лет спустя
тайна раскрылась: благодетелем оказался друг Гёте курфюрст
Майнцский. Между заметками Гаусса по теории эллиптических
функций встречается запись: «Смерть мне милее такой жизни». Он
переживал, что окружающие не ценили его работы, считая ученого
чудаком. О замкнутости Гаусса ходили легенды, хотя у Гаусса и
были друзья: Фаркаш Бойаи, Вильгельм Вебер — талантливый
физик, с которым Гаусс познакомился в 1828 году в доме
Гумбольдта, и др. Гаусс не конфликтовал с властью. Он отказался поставить
подпись под протестом семи ученых Геттингенского
университета, критиковавших короля за нарушение конституции, — все семь
профессоров, включая Вебера, были изгнаны из Геттингена за этот
поступок.
Гаусс глубоко интересовался художественной литературой
(особенно английской и античной), в совершенстве владел
несколькими иностранными языками. Начав в 62 года самостоятельно изучать
русский язык, он уже через два года бегло читал русскую прозу и
поэзию, вел переписку с петербургскими друзьями полностью на
русском языке, причем русскую литературу он ставил наравне с
английской по удовольствию, которое она ему доставляла. Гаусс
живо интересовался мировой политикой, ежедневно по часу читал
все газеты, которые приходили в музей. Умер великий математик

Гениальные творцы неевклидовых геометрий
165
23 февраля 1855 года на 78-м году
жизни, находясь почти до конца в
полном сознании.
В 1802 году Гаусс был избран
членом-корреспондентом, а в 1824 —
иностранным почетным членом
Петербургской АН, в 1809 —
Лондонского королевского общества,
в 1820 — Парижской АН.
Учреждена медаль имени Гаусса. Его
именем назван кратер на видимой
стороне Луны.
Николай Иванович Лобачевский
(1792—1856) родился в Нижнем
Новгороде. Он рано лишился отца —
коллежский регистратор Иван
Максимович Лобачевский умер в
1797 году. Бедность и недостаток Н.И.ЛОБАЧЕВСКИЙ
окружали колыбель будущего гения.
Мать Пелагея Александровна после смерти мужа переехала в
Казань. По ее прошению Н. И. Лобачевский и его братья Александр и
Алексей поступили в 1802 году в Казанскую гимназию на казенный
кошт. Николай Иванович был «весьма прилежным и благонравным
учеником». В 1807 году он стал студентом Казанского университета,
в 1811 успешно его закончил, получил звание магистра и был
оставлен в университете для подготовки к профессорскому
званию. В 1814 году Лобачевский — адъюнкт чистой математики, в 1816 —
профессор чистой математики. В 1820—1821, 1823—1825 годах —
декан физико-математического факультета, в 1825 — председатель
строительного комитета, в 1827—1846 — ректор Казанского
университета. На этом посту он проявил не только замечательные
административные способности, но и исключительный педагогический талант,
позволивший ему стать идейным вдохновителем всей педагогической
работы, проводившейся Советом университета. Последние годы
жизни (1846—1856) Лобачевский был отстранен от преподавания в
университете, и последняя его официальная должность (до 1855) —
помощник попечителя Казанского учебного округа.
С момента назначения адъюнктом Лобачевский читал важные
курсы студентам: элементарная математика (арифметика, алгебра,
геометрия, плоская и сферическая тригонометрия), теория чисел,
дифференциальное и интегральное исчисление.
Бессмертную славу ему принесло создание новой
геометрической системы — неевклидовой геометрии, называемой сейчас

166 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
многими математиками «геометрией Лобачевского». Выдающийся
английский математик Клиффорд (1845—1879) справедливо назвал
Лобачевского «Коперником в геометрии», т. к. он не только первый
сделал официальный доклад (11(23) февраля 1826), первый
опубликовал свои открытия (1829), но и до конца жизни боролся за
признание своей геометрии, несмотря на резкую критику со
стороны многих его выдающихся соотечественников.
Начав в 1816 году с неудачной попытки доказательства пятого
постулата, он уже в 1823 году в сочинении «Геометрия»
(опубликованном из-за отрицательного отзыва Н. И. Фусса через много лет
после смерти ученого) пришел к твердому убеждению о его
недоказуемости. Лобачевский стал развивать новую геометрию, заменив
пятый постулат на его отрицание и сохранив все остальные
аксиомы евклидовой геометрии. Хотя доказанные им теоремы
расходились с обычными наглядными представлениями и казались даже
абсурдными (ведь чертежи выполнялись на евклидовой плоскости и
в евклидовом пространстве!), никаких противоречий обнаружено
не было. Это убедило Лобачевского в существовании другой
(отличной от употребительной) геометрии, которую ученый назвал
«воображаемой». Трактаты Лобачевского «О началах геометрии» (1829),
«Воображаемая геометрия» (1835), «Новые начала геометрии с
полной теорией параллельных» (1835—1838), «Геометрические
исследования по теории параллельных линий» (1840) (эта книга была
также издана на немецком языке в Берлине и высоко оценена
Гауссом), «Пангеометрия» (1855) (которую ученый диктовал будучи
слепым) получили всемирное признание после смерти ученого,
когда были построены интерпретации его геометрии. Они сыграли
важную роль в развитии не только геометрии, но и всей
математической науки и ее приложений.
Н. И. Лобачевский внес также большой вклад в алгебру и анализ.
В книге «Алгебра, или Исчисление конечных» он предложил метод
приближенного решения алгебраических уравнений высших
степеней с числовыми коэффициентами (метод Лобачевского — Греф-
фе) и внес значительный вклад в теорию определителей. Н. И.
Лобачевский различал понятия дифференцируемости и непрерывности
функций, получил важные результаты в теории
тригонометрических рядов и гамма-функций. Лобачевский является создателем
знаменитой Казанской математической школы.
Гениальный ученый был прекрасным администратором и
воспитателем молодежи. С его именем связано строительство многих
университетских зданий: учебные корпуса, библиотека,
обсерватория, клиника. Лобачевский и попечитель Казанского учебного
округа Мусин-Пушкин лично руководили защитой университетских

Гениальные творцы неевклидовых геометрий
167
зданий от огня во время пожара 1842 года, истребившего лучшие
городские кварталы Казани (1309 домов и 9 церквей). Когда начало
гореть здание библиотеки, Лобачевский мобилизовал студентов, и
пожар был потушен. К сожалению, обсерваторию и магнитную
станцию спасти не удалось, но важнейшие астрономические
инструменты были своевременно вынесены и спасены. За
самоотверженную защиту университетских зданий ученый получил
благодарность от царя. Когда в сентябре—октябре 1830 года в Казани
разразилась эпидемия холеры, унесшая многие тысячи жизней,
ректор Лобачевский своевременно принял строгие меры для
изоляции университетской территории: очищение ее уксусом и
хлором, снабжение продуктами и питьевой водой, своевременная
изоляция и лечение заболевших. Результат поразительный: на
университетской территории из 560 человек заболело только 40,
а умерло из них 16.
По воспоминаниям современников характер у Николая
Ивановича был удивительно ровным, речь тихой. Он говорил и читал
лекции плавно, доходчиво, но медленно, как бы обдумывая
каждое слово. Он был внимателен к людям, особенно к
интересующимся наукой.
Поражает стойкость, с которой он воспринимал
оскорбительную несправедливую критику его геометрических исследований со
стороны академика Остроградского и других известных
математиков, в том числе — коллег, профессоров Казанского университета.
«Даже трудно было бы понять и то, каким образом г. Лобачевский
из самой легкой и самой ясной в математике науки, какова
геометрия, мог сделать такое тяжелое, такое темное и непроницаемое
учение», — писал анонимный критик в солидном петербургском
журнале «Сын Отечества». И далее продолжал: «Чего не может
представить воображение, особливо живое и вместе уродливое? Почему не
вообразить, например, черное белым, круглое четырехугольным,
сумму всех углов в прямолинейном треугольнике меньше двух
прямых... Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный
профессор математики, написал с какой-нибудь серьезной целью
книгу, которая немного принесла бы чести и последнему приходскому
учителю? Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл
должен иметь каждый учитель, а в новой Геометрии нередко не
достает и сего последнего».
Прочитав строки этого пасквиля, читатель с пониманием
отнесется к решению великого Гаусса при жизни не публиковать
своих открытий по неевклидовой геометрии. Но наш соотечественник
Н. И. Лобачевский не испугался «криков беотийцев» и стойко
отстаивал свое открытие до конца.

168 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
Через год после вступления в должность ректора на
торжественном собрании 5 (17) июля 1828 года Лобачевский произнес свою
знаменитую речь «О важнейших предметах воспитания» (позже
опубликованную). Эта речь характеризует ученого как талантливого
педагога-воспитателя. «Мы живем уже в такие времена, — говорил
он, — когда едва тень прежней схоластики бродит по университету.
Здесь, в это заведение вступивши, юношество не услышит пустых
слов без всякой мысли, одних звуков без всякого значения... Жить —
значит чувствовать, наслаждаться жизнью, чувствовать
непрестанно новое, которое бы напоминало, что мы живем... Воспитание не
должно подавлять личность, оно должно растить все способности
ума, все дарования, все страсти».
В своей семейной жизни Лобачевский не был счастлив. Женился
в 40 лет на богатой, но некрасивой молодой девушке из известной
дворянской семьи Варваре Алексеевне Моисеевой, получив в
приданое три имения в различных губерниях и большой трехэтажный
дом в Казани. Супруги Лобачевские стали вести широкий образ
жизни — много гостей, лучшие повара и т. п. Хотя Варвара Алексеевна
была образованной женщиной, но, по воспоминаниям
современников, «оказалась ни к чему не способной, даже домашним
хозяйством не занималась», имела живой и вспыльчивый характер (в
отличие от хладнокровного, спокойного и рассудительного Николая
Ивановича). Это приводило к спорам и ссорам. Вскоре пошатнулось
материальное положение ученого. Пришлось распродать дальние
имения, купив вблизи Казани деревню, в которой Лобачевский
построил образцовое имение. Но из-за обмана доверенного лица,
поэта-игрока И. Е. Великопольского (брата супруги по матери),
растратившего деньги за проданные имения, это образцовое
хозяйство пришлось заложить. Стали появляться объявления в газетах о
продаже городского дома Лобачевских за долги. Все это отравляло
жизнь супругов. Но главная трагедия для семьи Лобачевских —
печальная судьба многих их детей. От брака с Варварой Алексеевной у
Лобачевского было семь детей — четверо сыновей и три дочери.
Талантливый сын Алексей, любимец отца, увлекся ночными
кутежами и умер от туберкулеза в 19 лет, другой сын — Николай —
бросил учебу в университете, ушел на военную службу и за
растрату казенных денег был сослан в Сибирь (уже после смерти отца), а
один из сыновей родился идиотом. Дочь Надежда умерла в возрасте
двух лет.
Горе и полная слепота не сломили ученого, и он до конца жизни
продолжал отстаивать свое детище — неевклидову геометрию. Н. И.
Лобачевский имел много наград: орден Станислава 3-й степени (1833),
Анны 2-й степени (1836), Станислава 1-й степени (1844). Ему были

Гениальные творцы неевклидовых геометрий
169
выданы диплом и герб
потомственного дворянина. По
представлению Гаусса Лобачевского
«как одного из превосходнейших
математиков русского
государства» избрали в 1842 году членом-
корреспондентом Геттингенского
ученого королевского общества,
причем Гаусс лично известил
ученого об избрании. С 1895 года
учреждена Международная премия
имени Лобачевского. Его именем
назван кратер на обратной
стороне Луны.
Янош (Иоганн) Бойаи (Болъяй)
(1802—1860) родился в г. Колож-
варе в семье венгерского
профессора математики Фаркаша Бойаи — ЯНОШ БОЙАИ
школьного друга Гаусса. Уже в
•1807 году отец с восторгом и гордостью сообщает Гауссу о
необыкновенных математических способностях мальчика. К 13 годам Янош
Бойаи уже изучил элементарную математику, а в 14 лет с
легкостью решал задачи дифференциального и интегрального
исчисления. Однако учиться в Геттингене у «математического колосса» Яношу
не пришлось, так как Гаусс отказался принять юношу в свою
семью. В 1818 году он поступил в Венскую военно-инженерную
академию, после окончания которой в 1823 году стал служить военным
инженером в крепости Теметвар (Тимишоара).
Фаркаш Бойаи безуспешно пытался доказать пятый постулат.
Янош еще мальчиком взялся за эту же проблему, несмотря на
предостережения отца. В 1823 году он находит основные соотношения
между длиною перпендикуляра, опущенного из точки на прямую,
и углом параллельности, а в 1825 приходит к основным
положениям неевклидовой геометрии. Однако опубликовать свое открытие он
смог лишь в 1831 году в виде «Приложения об истинности
абсолютной науки о пространстве» (Appendix Scientiam spatii absolute veram
axhibens). В начале 1832 года эта книга дошла до Гаусса. 6 марта Гаусс
написал ответ на письмо «своего старого и незабвенного друга». Это
письмо великого математика оказало роковое влияние на жизнь
Яноша Бойаи. «Если я напишу тебе о работе твоего сына, что я ее не
могу хвалить, то ты, конечно, поразишься, — писал Гаусс. — Но я
не могу иначе: хвалить ее, значит хвалить себя самого; ибо все
содержание работы, путь, по которому пошел твой сын, и результа-

170 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
ты, к которым он был приведен, почти вполне совпадают с моими
размышлениями, начатыми от тридцати до тридцати пяти лет тому
назад... Я имел намерение со временем изложить эту работу на
бумаге. Я очень поражен тем, что этот труд я могу теперь не
предпринимать и очень рад, что меня таким удивительным образом
предварил сын моего старого друга». (А Герлингу в письме об этой работе
Я. Бойаи Гаусс писал: «Я считаю этого молодого геометра Бойаи
гением первой величины».)
Янош Бойаи (в отличие от отца) был глубоко обижен ответом
Гаусса. Вспыльчивый юноша вообразил, что отец ранее сообщил
Гауссу его идеи и что тот хочет лишить его приоритета. С годами
нерасположение к Гауссу у него превратилось в смертельную
ненависть. А когда в 1848 году отец прислал ему экземпляр «Geometrische
Untersuchungen» Лобачевского, то Я. Бойаи сначала решил, что у
Лобачевского уже был экземпляр «Аппендикса», посланный ему
Литтровым — почетным членом Казанского университета и
бывшим его профессором. «Но еще вероятнее, — писал он, — что
богатый сокровищами колосс Гаусс не мог перенести, чтобы
кто-нибудь мог предварить его в этом вопросе и, так как он не мог уже
этому помешать, то сам написал сочинение и издал под именем
Лобачевского».
Озлобленный против Гаусса, Янош Бойаи в последнее
десятилетие своей жизни лихорадочно работал над различными
проблемами математики с целью сравняться или даже превзойти
ненавистного «геттингенского колосса». Он принимался доказывать разрешимость
каждого алгебраического уравнения, интегрируемость в квадратурах
каждой элементарной функции, искал конечные выражения, с
помощью которых можно задать все простые числа (вещественные
и мнимые) и т. п.
Личная жизнь гениального геометра была печальна: отсутствие
друзей, презрительное отношение окружающих к получающему
нищенскую пенсию офицеру, удаленному из армии за бретерство
(дуэлянтство). В 1893 году с трудом была найдена в Марош-Вазорге-
ли могила ученого.
Уже после смерти Я. Бойаи был признан одним из самых
выдающихся геометров первой половины XIX века. В 1897—1904 годах
Венгерская АН в роскошном оформлении издала «Аппендикс», а
в 1902 году было торжественно отмечено столетие «венгерского
Евклида» и учреждена премия его имени (в 1905 ее получил А.
Пуанкаре, в 1910 — Д. Гильберт). Именем Бойаи назван кратер на
обратной стороне Луны.
Георг Фридрих Бернхард Риман (1826—1866) родился в Брезеленце
(Нижняя Саксония). Проявил ранние математические способности.

Гениальные творцы неевклидовых геометрий
171
Еще в гимназии изучал труды
Эйлера и Лежандра. В 1846—1847
годах учился в Геттингенском
университете, слушал лекции Гаусса, а в
1847—1849 годах — в Берлинском
университете, где преподавали тогда
Дирихле, Якоби, Штейнер.
На формирование научных
интересов Римана оказала влияние его
дружба с Дирихле. В 1849 году он
возвратился в Геттинген,
сблизился с другом Гаусса Вебером и
начал интересоваться вопросами
математического изучения природы.
Идя своим путем, Риман
представлял пространство наполненным
непрерывной материей, на которую
влияют сила тяжести, свет и элек- ГЕОР1 РИМАН
тричество. Он стал искать связи
между притяжением и светом.
В 1851 году защитил диссертацию на тему «Основы общей
теории функций одной комплексной переменной», которая положила
начало геометрическому направлению в развитии теории
аналитических функций, широкому применению идей и методов
математической физики и содействовала появлению новой науки —
топологии. С 1857 года Риман — экстраординарный, с 1859 —
ординарный профессор Геттингенского университета. Им введены особые
поверхности (названные впоследствии римановыми) для
изучения многозначных функций, разработана теория конформных
отображений, изучены условия существования аналитических
функций внутри областей различного вида.
В знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании
геометрии» («Uber die Hypotesen, welche der Geometrie zugrunde liegen),
прочитанной в 1854 году, а опубликованной в 1868, Риман дал
общую идею пространства (многообразия), включая функциональные
и топологические пространства. Он распространил на
многомерный случай результаты Гаусса по внутренней геометрии двумерных
поверхностей, ввел понятие линейного элемента многообразия
(дифференциала расстояния между его точками) и подробно
исследовал многообразия (названные римановыми), обобщающие
геометрии Евклида, Лобачевского — Бойаи, развил учение о кривизне
таких многообразий и поставил вопрос о причинах их метрических
свойств, предваряя идеи общей теории относительности. Он рас-

172 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
смотрел также эллиптическую геометрию, названную
впоследствии геометрией Римана в узком смысле.
В ряде работ Риман разрабатывал теорию алгебраических
функций и интегралов (его именем назван определенный интеграл),
аналитическую теорию дифференциальных уравнений, нашел связь
распределения простых чисел со свойствами дзета-функции (функции
Римана), исследовал разложимость функции в тригонометрические
ряды, дал методы интегрирования дифференциальных уравнений с
частными производными. Полное издание трудов Римана вышло в
1876 году. Опубликованы также 3 тома его лекций
«Дифференциальные уравнения с частными производными математической физики»
(1869), «Тяготение, электричество, магнетизм» (1875),
«Эллиптические функции» (1899), записи лекций по математической физике,
теории тяготения, электричества и магнетизма, теории
эллиптических функций (1902). Именем Римана названы различные
математические понятия и теоремы (матрица Римана в теории абелевых
функций, метод Римана решения гиперболических уравнений, интеграл
Римана, функция Римана и др.). Этот гениальный математик
прожил всего 40 лет (он умер от туберкулеза в расцвете творческих сил),
но его идеи и методы раскрыли новые пути в развитии математики и
ее приложений в механике и физике и содействовали успеху
математических исследований не только в XIX, но и в XX веке. Именем
Римана назван кратер краевой зоны Луны.
Феликс Кристиан Клейн (1849—1925) родился в Дюссельдорфе.
16-летним поступил учиться в Боннский университет, где читал
лекции Плюккер. 19-летним стал доктором философии и
ассистентом Плюккера. После смерти этого выдающегося ученого (1868)
Клейн подготовил к изданию его труды и переехал в Берлин, где
подружился с норвежским математиком Софусом Ли. С 1872 года
Клейн — профессор Эрлангенского университета, с 1875 —
Мюнхенской высшей технической школы, с 1880 — Лейпцигского
университета, с4886 года и до конца жизни — профессор Геттинген-
ского университета.
Всемирную славу Клейну принесла его знаменитая эрланген-
ская программа, которую он изложил в 1872 году в своей
публичной лекции (Habilitationsvorlesung) в Эрлангенском университете.
Название этой лекции: «Сравнительное обозрение новейших
геометрических исследований» (Vergleichende Betrachtungen uber neuere
geometrische Forschungen). В ней сформулирована идея единой точки
зрения на геометрию как на теорию инвариантов соответствующей
группы преобразований, причем название геометрии, как
правило, совпадает с названием группы: конформная, аффинная, экви-
аффиннаЯ; проективная и т. д. Классификация групп преобразова-

Гениальные творцы неевклидовых геометрий
173
ний дает классификацию геометрий, I
а теория алгебраических и
дифференциальных инвариантов каждой !
группы дает аналитическую
структуру соответствующей геометрии.
В трактате «О так называемой
неевклидовой геометрии» (Uber
sogenannte nicht-euklidische Geo-
metrie, 1871) Клейн показал, что
неевклидовы геометрии можно
истолковать как проективные с
метрикой Кэли. Построенная
интерпретация геометрии Лобачевского —
Бойаи (интерпретация Кэли —
Клейна) доказала логическую
обоснованность этой неевклидовой
геометрии.
В книге «О римановой теории ФЕЛИКС КЛЕЙН
алгебраических функций» (Uber
Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen, 1882) Клейн
подчеркивает глубокую связь физики и математики. Он рассмотрел в
1884 году группы симметрии правильных многогранников и
исследовал их роль в качестве групп Галуа алгебраических уравнений.
Особую ценность представляет применение Клейном понятия группы к
линейным дифференциальным уравнениям, эллиптическим,
модулярным, абелевым и автоморфным функциям. Хотя, по
утверждению самого Клейна, его «собственная творческая деятельность
в области теоретической математики» закончилась в 1882 году
(т. е. в 33 года), он до конца жизни оставался в центре научно-
педагогической атмосферы, полностью посвятив себя
педагогической и литературной деятельности.
Клейн принимал активное участие в создании шеститомной
«Энциклопедии математических наук» (Enziklopadie der mathematischen
Wissenschaften, 1898—1934) и в течение почти 40 лет (с 1876) был
главным редактором всемирно известного журнала «Mathematische
Annalen».
Клейн много занимался вопросами математического образования,
возглавлял международную комиссию по его реформированию. Он
глубоко проанализировал преподавание геометрии в ведущих
европейских странах и наметил пути его дальнейшего развития, обращая
особое внимание на важность психологического подхода к ученику.
«В школе всегда сначала следует апеллировать к живому
конкретному содержанию, — подчеркивал Клейн, — и позволительно лишь

174 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
постепенно выдвигать на первый план логические элементы».
Общая цель преподавания, по его мнению, зависит от культурного
направления данной эпохи. «Для преподавания математики
представляется необходимым все более и более принимать во внимание
естествознание и технику». Надо стремиться «к слитному
преподаванию планиметрии и стереометрии,., арифметики и геометрии,...
продвигать идею о подвижности всякой фигуры». Аналитическая
геометрия должна «пронизывать... все преподавание геометрии»,
а не быть надстройкой «в виде отдельного здания над готовым
зданием геометрии».
Под вдохновенным руководством Клейна Геттинген с его
традициями Гаусса, Дирихле и Римана стал мировым центром
математических исследований. Лекции Клейна воодушевляли слушателей.
После смерти ученого некоторые из его лекций были изданы в виде
книг. Всемирную известность получили монографии Клейна
«Высшая геометрия», «Элементарная математика с точки зрения
высшей», «Неевклидова геометрия», «Лекции о развитии математики в
XIX столетии». Они справедливо позволяют считать Клейна
образцом соединения в одном лице талантливого педагога и гениального
ученого. Феликс Клейн — иностранный член-корреспондент
Петербургской (1895) и Берлинской (1913) академий. Его именем
назван кратер на обратной стороне Луны.
Жюлъ Анры Пуанкаре (1854—1912) родился в Нанси
(Лотарингия) в семье профессора медицины. Там же в 1870 году с отличием
окончил коллеж. В 1872 году ему присудили первое место на
конкурсе по элементарной математике, проводившемся для всех
лицеев Франции, а в 1873 он занял первое место на Общем конкурсе по
специальной математике. Пуанкаре учился в престижной
Политехнической школе (1873—1875), а затем — в Горной школе (1875—
1879). Проработав после ее окончания несколько месяцев горным
инженером на шахтах Везуля, он защитил в Парижском
университете диссертацию на степень доктора математических наук и отбыл
в Кан, где стал преподавать математический анализ на факультете
наук. С 1881 года Пуанкаре преподавал в Парижском университете,
возглавив в 1886 году кафедру математической физики и теории
вероятностей, а с 1895 года становится еще и профессором
кафедры небесной механики.
Научный мир признал Пуанкаре первым математиком конца XIX —
начала XX века. 10 томов его научных трудов (более 500 статей и
книг), опубликованных Парижской АН в 1916—1954 годах,
охватывают важнейшие разделы математики и ее приложений. Топология,
неевклидова геометрия, качественная теория дифференциальных
уравнений, теория вероятностей, теория автоморфных функций,

Гениальные творцы неевклидовых геометрий
175
математическая физика,
специальная теория относительности,
теория потенциала, теория
теплопроводности, различные задачи
механики и астрономии — далеко не
полный перечень научных
направлений, в каждое из которых
Пуанкаре внес существенный вклад. Его
исследования завершают
классическое направление и открывают
пути к развитию новой,
современной математики и ее приложений.
Анри Пуанкаре опубликовал в
1895—1905 годах (еще до
Эйнштейна!) цикл статей, в которых
в достаточно полной и ясной
математической форме изложил все
основные положения специаль- АНРИ ПУАНКАРЕ
ной теории относительности. Он
же первым поставил вопрос о необходимости кардинального
изменения теории тяготения Ньютона в соответствии с требованиями
нового принципа относительности и первый рассмотрел вариант
такой релятивистской теории тяготения. Можно только сожалеть,
что широкая общественность не знает об этом и приписывает эти
гениальные открытия, олицетворяющие переворот в наших
взглядах на мир, только физику Эйнштейну.
При разработке теории автоморфных функций Пуанкаре
применил геометрию Лобачевского. Он построил в 1882 году
интерпретацию этой геометрии на полуплоскости комплексной переменной,
приняв за «точки» — точки полуплоскости, за «прямые» —
полуокружности с центрами на граничной прямой и лучи,
перпендикулярные этой прямой, с вершинами на ней. Движения в такой
интерпретации задаются невырожденными дробно-линейными
функциями комплексной переменной с постоянными коэффициентами.
В мемуаре «О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями» Пуанкаре исследовал характер интегральных кривых на
плоскости и на торе, дал классификацию особых точек, изучил
предельные циклы и т. д. и применил результаты этих исследований
к задаче о движении трех тел, изучив периодичность и
асимптотическое поведение ее решений. Для функций нескольких
комплексных переменных он построил теорию интегралов и доказал, что
всюду мероморфная функция двух комплексных переменных
является отношением двух целых функций. Пуанкаре ввел основные

176 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
понятия комбинаторной топологии, обобщил формулу Эйлера о
зависимости числа граней, ребер и вершин многогранника на
произвольную размерность п, дал первую интуитивную формулировку
общего понятия размерности. Он исследовал колебания трехмерных
континуумов, рассмотрел ряд задач теплопроводности, дал
глубокий сравнительный анализ современных ему теорий оптических и
электромагнитных явлений.
Особое место в творчестве Анри Пуанкаре занимают его
философские статьи по общим вопросам науки (25 публикаций): «Наука и
гипотеза», «Ценность науки», «Наука и метод», «Измерение
времени», «Пространство и три его измерения», «Последние мысли» и др.
Эти труды ученого имели огромный успех. Пуанкаре твердо
отстаивал свои убеждения, что математику невозможно свести к логике,
что в математическом познании необходимо наличие интуиции.
Устремленность в будущее характеризует математические и
физические исследования этого гения. Смерть ученого в 1912 году
после перенесенной операции тяжело переживали многие
современники. «Вместе с великим французским математиком, —
говорил известный ученый и политический деятель Поль Пенлеве, —
от нас ушел единственный человек, разум которого мог охватить
все, что создано разумом других людей, проникнуть в самую суть
всего, что постигла на сегодняшний день человеческая мысль, и
увидеть в ней нечто новое». Анри Пуанкаре был членом или
членом-корреспондентом многих Академий наук. Он был удостоен
высоких наград: Золотая медаль Королевского астрономического
общества в Лондоне (1900), медаль Сильвестра Лондонского
королевского общества (1901), Золотая медаль Лобачевского (1904),
премия имени Бойаи Венгерской АН (1905).
§ 2. Другие выдающиеся геометры XIX века
В девятнадцатом столетии плодотворно трудились в различных
областях геометрии десятки других выдающихся ученых из
различных европейских стран. Во Франции — Понселе, Шаль, Дарбу,
Адамар и др., в Германии — Мёбиус, Штейнер, Штаудт, Плюк-
кер, Грассман, Гессе, Клебш и др., в Англии — Кэли, Клиффорд и
др., в Италии — Кодацци, Кремона, Бельтрами, Бианки и др., в
России — Петерсон, Млодзеевский, Власов и др.
Жан Виктор Понселе (1788—1867) родился в Меце. В 1807 году
окончил Политехническую школу в Париже, а затем в 1812 году —
Инженерную школу в Меце. Участвовал в походе Наполеона в
Россию. В ноябре 1812 года его, замерзающего на полях Смоленщины,

Другие выдающиеся геометры XIX века
177
спас от смерти только мундир
офицера. Дозорный отряд, обнаружив,
что он еще дышит, доставил его в
русский штаб для допроса. Почти
пять месяцев военнопленный
молодой офицер шагал по замерзшим
равнинам до Саратова, где
подвергся заключению. Находясь в плену,
он написал основной труд
«Трактат о проективных свойствах
фигур» (Traite des proprietes projectives
des figures), опубликованный в
Париже в 1822 году. В этой работе
впервые были выделены в особую
группу проективные свойства фигур, ;
сформулирован принцип
двойственности, даны все основные
понятия проективной геометрии ВИКТОР ПОНСЕЛЕ
(сложное отношение четырех точек
на прямой (и четырех прямых пучка), перспективность,
инволюция, циклические точки на бесконечности), и изложена теория
многоугольников, вписанных в одно коническое сечение и описанных
вокруг другого конического сечения.
Французский математик Гастон Дарбу сказал на
международном математическом конгрессе в Сен-Луи в 1904 году: «В Саратове,
в плену, зародилась новейшая геометрия. Снега России, являясь
могилой военной славы Наполеона, оказались колыбелью новой
геометрии».
В 1814 году Понселе вернулся во Францию. С 1824 года он —
профессор в Меце, с 1835 занимал высокие посты в Париже и
одновременно в 1838—1848 годах был профессором на кафедре
физической и прикладной механики в Сорбонне. В 1848—1850 —
директор Политехнической школы. Написал ряд работ о приближении
радикалов Vjc2± у2 и Vx2 + у2 + ζ2 линейными выражениями, по
технической механике и гидравлике. Понселе усовершенствовал
водяное колесо (колесо Понселе), ввел килограммометр в качестве
единицы измерения механической работы. Член Парижской АН (1834),
иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1857).
Парижская АН учредила премию имени Понселе. Его именем назван
кратер краевой зоны Луны.
Август Фердинанд Мёбиус (1790—1868) родился в Шульпфорте.
Под руководством Гаусса изучал астрономию. С 1816 года начал
вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсен-

178 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
бургской обсерватории, в 1818 году
стал ее директором, затем —
профессором Лейпцигского
университета, ще стал вести исследования
| по проективной геометрии.
! Ввел в проективном
пространстве систему координат и
аналитические методы исследования.
Мёбиус — один из
основоположников геометрических
преобразований, топологии, теории
векторов и многомерной геометрии. Он
дал новую классификацию
кривых и поверхностей. Установил
общее понятие проективного
преобразования, исследовал корреля-
J тивные преобразования. В 1832 го-
АВГУСТ МЁБИУС ДУ ввел функцию μ(η) (функцию
Мёбиуса), играющую важную роль
в теории чисел: μ(1) = 1, μ(η) = О, если η делится на квадрат
простого числа, в противном случае μ(η) = (~l)k, где к —
количество простых множителей числа п. В 1858 году установил
существование односторонних поверхностей (лист Мёбиуса). Его
именем назван кратер на обратной
стороне Луны.
Мишель Шаль (1793—1880)
родился в Эперноне (близ Парижа).
Окончил Политехническую школу.
С 1841 года работал профессором
машиностроения в этой школе, а
с 1846 — профессором на кафедре
высшей геометрии в Сорбонне.
Шаль создал новое направление
j в науке — вычислительную
геометрию, включив в построенную им
синтетическую геометрию
метрическую геометрию. Он — автор
j «Курса высшей геометрии» (1852)
и «Исторического обзора
происхождения и развития геометриче-
I ских методов» (1837), за который
получил премию Брюссельской
МИШЕЛЬ ШАЛЬ АН (1861). Член Лондонского ко-

Другие выдающиеся геометры XIX века
179
ролевского общества, Берлинской |
АН и ряда других академий и
научных обществ.
Якоб Штейнер (1796-1863) ро- ,
дился в Утценсторфе (Швейцария) ί
в бедной крестьянской семье. До
18 лет был пастухом.
Хотя он едва умел читать и пи- ;
сать, но самоучкой приобрел
некоторые познания в математике и {
астрономии. Сотрудник педагога- s
гуманиста Песталоцци (1746— 1
1827) уговорил отца Штейнера от- |
дать сына в школу Песталоцци в ;
городе Иверден близ Берна.
Затем Штейнер поступил учить- ;
ся в Гейдельбергский университет,
который окончил в 1821 году, со- ЯКОБ ШТЕЙНЕР
четая учебу с репетиторством.
14 лет он проработал учителем в Берлине, получив звание
«старшего учителя» реального училища лишь в 1829 году после сдачи
дополнительных экзаменов. В процессе преподавания Штейнера
интересовали только одаренные ученики, а нерадивые его только
раздражали. Путь в науку будущему
талантливому геометру открыл
издатель журнала «Чистая и приклад- :
ная математика» («Reine und an-
gewandte Mathematik»)
талантливый инженер и железнодорожный
магнат Август Леопольд Креллъ
(1780—1855). Первый выпуск
нового журнала (1826) — как и два
последующих выпуска —
содержал в основном статьи Абеля и
Штейнера — двух малоизвестных
профессиональным математикам
лиц. Обладая, как крупный
предприниматель, способностью
хорошо разбираться в людях, Крелль не
ошибся в выборе кандидатур,
принесших всемирную славу его
журналу. По рекомендации Крелля
Штейнер был избран в 1834 году в Бер- АВГУСТ КРЕЛЛЬ

180 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
линскую АН, а по рекомендации
Якоби и братьев Гумбольдтов он
стал профессором кафедры
геометрии Берлинского университета.
Он — один из творцов
проективной геометрии. В своей основной
работе «Систематическое развитие
зависимости геометрических образов
одного от другого» (1834) он
разработал проективную геометрию, не
используя аналитические методы.
Штейнер нашел способ построения
конических сечений с помощью двух
проективных пучков прямых,
используя в проективной геометрии
элементы
теоретико-множественных представлений. В его работах
КРИСТИАН ШТАУДТ «Геометрические построения,
осуществляемые с помощью прямой
линии и неподвижного круга» (1833), «О наибольших и наименьших
значениях плоских фигур и о сфере» многочисленные проблемы
решаются только синтетическими методами. Например, дано
геометрическое доказательство того, что круг является плоской фигурой,
имеющей наименьший периметр при заданной площади. Ряд важных
результатов Штейнер получил в геометрии треугольника. Его именем
названы десятки геометрических образов, ассоциированных с
произвольно заданным треугольником: эллипс, гипоциклоида, поризм,
точки, три-система, пучок равнобочных гипербол, система
четырехугольников и др.
Оставаясь ярым противником аналитических методов в
геометрии, Штейнер давал отрицательные отзывы на работы Плюккера,
придираясь к недочетам в оформлении. Член Берлинской АН.
Карл Георг Кристиан фон Штаудт (1798—1867) родился в Ротен-
бурге. С 1835 года — профессор Эрлангенского университета. В своих
работах «Геометрия положения» (1847), «Вклад в геометрию
положения» (1856—1860) осуществил построение проективной
геометрии, не опираясь на метрические понятия. Он ввел общие
проективные однородные координаты и геометрическую интерпретацию
введения мнимых величин в проективную геометрию.
Юлиус Плюккер (1801 — 1868) родился в Эльберфельде в семье
рейнского купца. Окончил гимназию в Дюссельдорфе. Учился в
Геттингенском, Берлинском и Парижском университетах. В
возрасте 25 лет создал ряд серьезных работ в проективной геометрии и

Другие выдающиеся геометры XIX века
181
теории алгебраических кривых
высшего порядка. Плюккер ввел обоб- I
щенные однородные и тангенци- |
альные координаты, создал
одновременно с Мёбиусом новые
методы проективной геометрии. Он
рассматривал проективное
пространство не только как
множество, состоящее из точек, но и
как трехмерное многообразие
плоскостей или четырехмерное
многообразие прямых.
Осуществил классификацию линий
четвертого порядка (дополненную
потом Гессе).
В 1846—1863 годах Плюккер
переключился на физику и написал
ряд работ по теории электрических ЮЛИУС ПЛЮККЕР
разрядов в газах, спектроскопии,
кристаллофизике. По утверждению Клейна, бывшего ассистентом
Плюккера в 1866—1868 годах, ученый был достаточно близок к
открытию спектрального анализа.
В 1864 году Плюккер вернулся к математике и написал свой
основной труд «Новая геометрия,
основанная на рассмотрении прямой . ——— ·
линии как пространственного
элемента», первая часть которого была |
опубликована в 1868 году при жиз-
ни ученого, а вторая в 1869 — пос- I
ле его смерти (в обработке Ф.
Клейна). Плюккер работал некоторое
время в университетах Берлина,
Галле, но большую часть жизни
был профессором Боннского
университета (1828-1834 и с 1836).
Плюккер — член Парижской АН
(1867), кавалер медали Копли. Его
именем названы координаты,
формулы, интерпретация.
Фердинанд Готлыбовыч Миндине
(1806—1885) родился в Калише
(Польша): В 1827 году окончил
Берлинский университет, в 1831-1843 ФЕРДИНАНД МИНДИНГ

182 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
] годах работал в Берлине, а затем
в течение 40 лет был
профессором прикладной математики
Дерптского университета. С 1864
года — член-корреспондент, а с
1879 — почетный член Петербург-
I ской АН.
| Самые важные результаты Мин-
I дин га относятся к теории поверх-
j ностей. Он дал выражение геоде-
I зической кривизны линии на по-
| верхности через коэффициенты
1 первой квадратичной формы, их
I первые частные производные и
дифференциалы du, dv, d2u, d2v. Мин-
динг установил характеристиче-
J ский признак наложимости двух
ГЕРМАН ГРАССМАН поверхностей, решил задачу об
изгибании одной поверхности
вращения в другую поверхность вращения, исследовал поверхности
постоянной положительной кривизны (т. е. налагающиеся на шар)
и поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны,
включая псевдосферу.
Миндинг — автор ряда работ по теории непрерывных дробей,
алгебраических функций, абелевых интегралов, вариационному
исчислению. За исследования по интегрированию
дифференциальных уравнений ему была присуждена Демидовская премия
Петербургской АН.
Герман Гюнтер Грассман (1809—1877) родился в Штеттине.
Окончив местную гимназию, поступил в Берлинский университет, где
изучал теологию и философию. С 1832 года начал самостоятельно
заниматься математикой и с 1842 года преподавал в Штеттинской
гимназии.
В сочинении «Учение о линейном протяжении» (Lineale Ausdeh-
nungslehre, 1844) дал первое систематическое построение учения о
многомерном евклидовом пространстве, способствовавшее развитию
векторного и тензорного исчислений. Он ввел скалярное
произведение векторов, независимо от Гамильтона построил теорию
гиперкомплексных чисел, дал метод приведения матрицы с
комплексными элементами к треугольному виду и основанную на
этом методе классификацию проективных преобразований. В
«Учебнике арифметики» (1861) сделал попытку научного изложения
школьной арифметики. Член-корреспондент Геттингенской АН.

Другие выдающиеся геометры XIX века
183
Отто Людвиг Гессе (1811 — 1874)
родился в Кенигсберге. В 1837 году
окончил Кенигсбергский
университет. Ученик К. Якоби. Работал в
Кенигсберге, Гейдельберге,
Мюнхене. Основные труды по
аналитической, проективной и
дифференциальной геометрии. Для изучения
кривых 3-го порядка ввел
инвариантную кривую, названную его
именем. Составил также
инвариантный определитель из вторых
частных производных однородной
функции (гессиан), имеющий
много приложений в геометрии чисел.
Гессе построил интерпретацию
геометрии Лобачевского и перенес
на сферические конические сече- АРТУР КЭЛИ
ния теоремы Паскаля и Брианшо-
на. Член Баварской АН (1868).
Артур Кэли (1821 — 1895) родился в Ричмонде. Детство и юность
провел в Петербурге. В 1841 году окончил Кембриджский
университет. В течение 20 лет занимался адвокатурой и проводил
исследования в различных областях геометрии и алгебры.
Кэли заложил основы современной алгебраической геометрии.
Рассматривая алгебру квадратичных форм, ввел проективное
мероопределение и установил связь между теорией инвариантов и
проективной геометрией. Эти результаты легли в основу истолкования
Клейном геометрии Лобачевского (интерпретация Кэли — Клейна).
В сочинении «Главы аналитической геометрии η измерений» (1843)
Кэли дал геометрическое истолкование линейным и квадратичным
уравнениям с η неизвестными. Он — автор ряда работ по алгебре,
дифференциальным уравнениям, эллиптическим функциям. Кэли
ввел понятие косых и кососимметрических определителей, создал
алгебру матриц, выразил дискриминант многочлена через суммы
степеней корней, ввел понятие абстрактной группы, создал
алгебру октав (чисел Кэли) и др. Он занимался также сферической
астрономией. Труды Кэли изданы в 13 больших томах. С его именем
связаны таблицы, числа, алгебра, преобразование, поверхности,
кривая и др. Член Лондонского королевского общества (1852),
иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1870).
Жозеф Луи Франсуа Бертран (1822—1900) родился в Париже.
Пятилетним мальчиком научился бегло читать. С 9 лет, лишившись

184 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
отца, стал посещать в Политехнической школе лекции своего дяди,
известного математика Дюгамеля, и лекции других преподавателей.
Овладев геометрией и алгеброй, Бертран блестяще выдержал
вступительные экзамены на подготовительные курсы. Окончив в 1839
году Политехническую школу, он стал доктором математики.
Работал в Политехнической и Высшей нормальной школах. Бертран, по
высказываниям его современников, был «человеком с
непрерывным математическим мышлением», который мог работать без сна и
отдыха, не зная усталости. Когда он шел куда-либо, можно было
видеть и слышать, как его рука что-то вычерчивала, а губы
шептали математические слова. Бертран установил некоторые
специальные признаки сходимости числовых рядов, исследовал
дифференциальные уравнения динамики. Он высказал гипотезу
существования при η > 4 простого числа ρ между числами η win — 2
(доказанную впоследствии П. Л. Чебышёвым), изучил специальный класс
пространственных кривых (кривые Бертрана). В теории
вероятностей известен «парадокс Бертрана». Учебники Бертрана по
элементарной и высшей математике («Курс теоретической арифметики»,
«Элементарная алгебра», «Дифференциальное исчисление» и др.)
широко известны во многих странах. Член Парижской АН (1856),
иностранный почетный член Петербургской АН (1896).
Делъфино Кодацци (1824—1872) родился в Лоди (около Милана).
Опубликовал в 1868—1869 годах вывод уравнений, определяющих
поверхность по заданным ее двум основным квадратичным формам.
Эта задача была решена ранее, в 1853 году, в неопубликованной
диссертации К. М. Петерсона «Об изгибании поверхностей». В 1857 году
эти уравнения без вывода опубликовал итальянский математик
Майнарди (1800—1879). Поэтому в дифференциальной геометрии
их называют уравнениями Майнарди — Кодацци или Гаусса —
Кодацци, учитывая в них еще формулу Гаусса для полной кривизны:
LN-M2
EG-F'
Карл Михайлович Петерсон (1828—1881) родился в Риге в семье
мещанина (сортировщика конопли). После окончания домской
школы и губернской гимназии г. Риги поступил учиться в Дерптский
университет. Окончив его в 1852 году, уже в 1853 году представил
свою знаменитую кандидатскую диссертацию «Об изгибании
поверхностей» (Uber die Biegung der Flachen), в которой вывел два
основных условия, которые вместе с формулой Гаусса для полной
кривизны необходимы и достаточны для того, чтобы
коэффициенты первой и второй квадратичных форм определяли поверхность.
Так как эта работа не была опубликована (в 1857 году эти уравнения

Другие выдающиеся геометры XIX века
185
опубликовал (без вывода) Майнар-
ди, в 1868—1869 годах дал их
вывод и опубликовал Кодацци), то
эти условия названы уравнениями
Гаусса — Кодацци или Майнарди —
Кодацци, а справедливо было бы
их назвать уравнениями Гаусса —
Петерсона.
С 1865 года Петерсон работал
преподавателем математики в
Петропавловском училище в Москве.
Он опубликовал ряд работ по
теории дифференциальных уравнений
с частными производными, за
которые Новороссийский
(Одесский) университет присудил ему
в 1879 году степень почетного
доктора чистой математики. К. М. ПЕТЕРСОН
Выдающийся геометр XX века
С. П. Фиников сказал о К. М. Петерсоне: «Этот учитель средней
школы, не претендовавший на университетскую кафедру, был одним
из наиболее талантливых геометров с живым и ярким
воображением, намного опередившим свое время».
Антоныо Луиджи Годенцио Джу-
зеппе Кремона (1830—1903)
родился в Павии. Участвовал в войне за
независимость Италии (1848).
Окончив университет в Павии,
читал лекции в Болонском
университете и Миланском техническом
институте. С 1873 года —
профессор и директор Инженерной
школы в Риме. Кремона открыл в
1863 году класс бирациональных
биективных преобразований
плоскостей и пространств, при котором
координаты точки М* образа
рационально выражаются через
координаты точки Μ прообраза, и
наоборот (их впоследствии назвали
кремоновыми преобразованиями).
Его работа «О криволинейных
поверхностях третьей степени» была ЛУИДЖИ КРЕМОНА

186 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
j удостоена в 1874 году премии Бер-
] линской АН. Автор ряда работ по
| начертательной, проективной, ал1
j гебраической геометрии и графо-
] статике. Один из основателей ита-
] льянской геометрической школы.
I Именем Кремоны назван кратер
I краевой зоны Луны.
1 Рудольф Фридрих Альфред Клебш
\ (1833—1872) родился в Кенигсбер-
| ге. Работал в Карл еру е, Гисене,
j Геттингене. Он разрабатывал тео-
J рию инвариантов алгебраических
j форм и применял ее к проектив-
j ной геометрии. В своих лекциях
] (изданных К. Линдеманом) рас-
I смотрел геометрию треугольника.
ЭУДЖЕНИО БЕЛ ЬТРАМИ В 1870—1872 годах Клебш
исследовал конфигурации, задаваемые
одним или двумя уравнениями между координатами элементов,
образованных парой точка — прямая.
Клебш основал журнал «Математические анналы», который на
протяжении 60 лет был ведущим математическим журналом. В
анализе известны коэффициенты Клебша — Гордана, в вариационном
исчислении — условие Клебша, в математической физике —
преобразование Клебша. Член многих иностранных академий и
научных обществ. Удостоен премии Понселе Парижской АН (1869).
Эудженио Белыпрами (1835—1900) родился в Кремоне, окончил
университет в Павии, ученик Ф. Бриоски (1824—1897). Преподавал
в университетах Павии, Болоньи и Рима. Член Национальной
академии деи Линчей (1873).
В 1868 году он установил, что на поверхности постоянной
отрицательной кривизны — псевдосфере — реализуется планиметрия
Лобачевского. Следуя идеям Римана, осуществил построение
геометрии многомерного многообразия постоянной кривизны.
Исследовал отдельные классы псевдосферических поверхностей. В 1865 году
Бельтрами поставил и решил картографическую задачу о таком
отображении поверхности на плоскость, при котором геодезические
линии отображаются на прямые. Он выразил инварианты поверхности
через введенные им дифференциальные параметры.
Бельтрами — автор ряда работ по теории аналитических
функций и теории инвариантов дифференциальных квадратичных форм.
Именем Бельтрами названы многие математические понятия и тео-

Другие выдающиеся геометры XIX века
187
ремы: дифференциальный
параметр, отображение, формула
кривизны, метод (в теории
дифференциальных уравнений в частных
производных) и др.
Жан Гастон Дарбу (1842—1917)
родился в Ниме. Еще будучи
студентом Нормальной школы и
Политехнической школы, обратил на
себя внимание своим
поразительным математическим дарованием.
Окончил Нормальную школу в
1864 году. Работал профессором
математики в Коллеж де Франс, а с
1873 года — в Сорбонне. В 1880 году j
он был назначен преемником Шаля I
по кафедре высшей геометрии. !
Благодаря выдающимся матема- ГАСТОН ДАРБУ
тическим талантам Дарбу стал
основателем всемирно известной французской математической
школы. Его четырехтомный труд «Лекции по общей теории
поверхностей» (Lepons sur la theorie generate des surfaces, 1887—1896) и
«Лекции об ортогональных системах и криволинейных координатах»
(Lepons sur les systemes orthogonaux et les coordonnee curvilignes, 1897)
являются самым глубоким изложением дифференциальной
геометрии в XIX веке. Разработанный им кинематический метод (метод
подвижного репера) до сих пор является главным инструментом в
дифференциально-геометрических исследованиях. Дарбу ввел тет-
рациклические и пентасферические координаты.
С именем Дарбу связаны многочисленные понятия и теоремы
в различных областях математики: верхние и нижние суммы
Дарбу, соприкасающиеся квадрики Дарбу, вектор Дарбу,
трехгранник Дарбу и др. Он проводил исследования в теории
дифференциальных уравнений, теории интегрирования функций, теории
аналитических функций. Рассматривал проблему разложения
функции по шаровым и ортогональным функциям, в частности, по
полиномам Якоби. Он написал работы о решении уравнений 4-й
степени и по алгебраической теории квадратичных форм. В
механике плодотворно занимался различными вопросами
кинематики, равновесия, малых колебаний системы точек и др. Член
Парижской АН (1884), член-корреспондент Петербургской АН
(1895), Лондонского королевского общества (1902) и других
академий и научных обществ.

188 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
Уильям Кингдом Клиффорд (1845—
1879) родился в Эксетере
(графство Девоншир). В 1867 году
окончил Кембриджский университет.
С 1871 года — профессор Лондон-
1 ского университетского колледжа.
| Клиффорд развил геометрию дви-
| жения, используя бикватернионы,
| т. е. числа а + be, где а,Ь — кватер-
| нионы, ε2= 1, — 1 или 0. Он — один
| из основоположников векторного
J исчисления. Ввел в 1878 году
термины дивергенция и ротор.
Определил для эллиптического
пространства понятие параллельных
прямых. Рассматривал простран-
I ства (пространства Клиффорда —
УИЛЬЯМ КЛИФФОРД Клейна), играющие большую роль
в геометрии Римана. Ряд
интересных результатов получил в винтовом движении.
Луиджи Бианки (1856—1928) родился в Парме, окончил Пизан-
ский университет и стал преподавать в нем. С 1887 года —
профессор Пизанского университета. Бианки осуществил построение
дифференциальной геометрии с
помощью дифференциальных
инвариантов. Исходя из основной
метрической формы пространства, впервые
построил дифференциальную
геометрию произвольного «-мерного
пространства. Основной труд
Бианки «Лекции по дифференциальной
геометрии» (Lezioni di geometria
differentiate, t. 1—2, 1886) — как и
четырехтомный трактат Дарбу —
является наиболее полной
монографией по дифференциальной
геометрии, получившей всемирную
известность. Бианки также
занимался решением дифференциальных
уравнений с частными
производными. Член Национальной академии
деи Линчей, иностранный почетный
ЛУИДЖИ БИАНКИ член-корреспондент нескольких

Другие выдающиеся геометры XIX века
189
академий (Петербургской,
Парижской и др.). Его именем названы
преобразования, тождество,
конфигурация.
Болеслав Корнелыевын Млодзеев-
ский (1858—1923) родился в
Москве. В 1880 году окончил Московский
университет, в 1886 защитил
диссертацию на степень магистра, в 1890 —
на степень доктора чистой
математики. С 1892 года — профессор
Московского университета.
Основные научные работы Млодзеев-
ского относятся к
дифференциальной геометрии. Он разрабатывал
поставленную Петерсоном
проблему изгибания поверхностей на
главном основании. Написал так- Б. К. МЛОДЗЕЕВСКИЙ
же ряд статей по алгебраической
•геометрии, математическому анализу и механике.
По воспоминаниям современников, Млодзеевский был
блестящим лектором и человеком большой и очень широкой культуры,
пользующимся огромным успехом у молодежи. Он был одним из
организаторов Московских высших
женских курсов и активно работал
в Московском математическом
обществе (в 1921—1922 годах был его
президентом).
Жак Саломон Адамар (1865—
1963) родился в Версале. В детстве
увлекался языками, победил на
конкурсе знатоков греческого и
латинского языков. Среднее
образование получил в лицее
Людовика Великого, затем учился в
Политехнической школе. В 1890 году
окончил Нормальную школу и
начал преподавательскую
деятельность. В 1892 году получил степень
доктора наук, работал в Бордо, а
затем в Париже в различных
учебных заведениях: Сорбонне (1900—
1912), Коллеж де Франс (1897- ЖАК АДАМАР

190 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
1935), Политехнической школе
(1912—1935), Центральной школе
искусств и ремесел (1920—1935).
Адамар написал большое
количество статей и книг (325),
относящихся к различным областям
математики. Он дал строгое
доказательство высказанного Чебышё-
вым асимптотического закона
распределения простых чисел:
г ^ ι
lim n = 1,
П->00 |ПЛ
где к(п) — количество простых
чисел, не больших п. Сформулировал
понятие корректности задачи
математической физики, занимался
А. К. ВЛАСОВ задачей Коши для гиперболических
уравнений, доказал важную
теорему о степенных рядах, создал значительную часть современной
теории целых аналитических функций. В механике он занимался
проблемами устойчивости и исследованием свойств траекторий
механических систем вблизи положения равновесия.
Книги Адамара «Элементарная геометрия», «Неевклидова
геометрия в теории автоморфных функций», «Исследование психологии
процесса изобретения в области математики» получили широкую
известность и оказали большое влияние на подготовку
математических кадров во многих странах мира. Адамар — член Парижской
АН (1912), иностранный почетный член АН СССР (1929),
многократный лауреат премий Парижской АН, кавалер ордена
Почетного легиона. В период оккупации Франции немцами жил в США. Три
его сына погибли в боях за Францию.
Алексей Константинович Власов (1868—1922) родился в селе Вла-
совка Владимирской губернии. После окончания в 1892 году
Московского университета был оставлен для подготовки к профессорскому
званию. Он положил начало применению проективной геометрии к
начертательной, был талантливым и самобытным геометром, лекции
которого по проективной геометрии производили большое
впечатление даже на тех будущих ученых, которые не специализировались в
этой области (П. С. Урысон, А. Н. Колмогоров и др.). Двухтомный
учебник Власова «Курс высшей математики» многократно переиздавался
(1-е издание в 1914 году, 5-е в 1952 году) и пользовался большой
популярностью.

Основоположники современной алгебры и теории чисел 191
§ 3. Основоположники I
современной алгебры
и теории чисел
Глубокие исследования по
алгебре и теории чисел Эйлера,
Гаусса, Руффини и других выдающихся
ученых XVIII века подготовили
фундамент для небывалого расцвета этих
областей математики в XIX веке.
Целая плеяда выдающихся ученых
девятнадцатого столетия сделала
открытия, обеспечившие становле- ]
ние современной алгебры и
современной теории чисел в XX веке.
Нильс Хенрик Абель (1802—1829)
родился в местечке Финге близ 1
Ставангера (Норвегия) в семье бед- НИЛЬС АБЕЛЬ
ного деревенского пастора. С
детства он проявлял большие способности, но крайняя бедность
семьи не дала ему возможности получить систематическое
образование. Окончив кафедральную школу, он, благодаря поддержке
друзей, поступил в университет Христиании (Осло). Поскольку в то
время в этом университете не было математического факультета,
Абель изучал математику самостоятельно.
С 18 лет он интересовался проблемами разрешимости
алгебраических уравнений в радикалах. В 1823 году дал ошибочное
доказательство позитивного решения этой проблемы. Уже на следующий
год Абель обнаружил ошибку и в 1824 году опубликовал «Мемуар
об алгебраических уравнениях, где доказывается невозможность
разрешимости уравнения пятой степени». Эта знаменитая работа, а также
сочинение Абеля об интегрировании алгебраических выражений дали
ему возможность получать стипендию и выехать в 1825—1827 годах в
Европу для усовершенствования в математических науках. В Берлине
он познакомился с издателем журнала «Чистая и прикладная
математика» А. Л. Креллем, который принял большое участие в судьбе
скромного и очень нуждающегося юноши и опубликовал в 1826 году
ряд классических трудов Абеля, включая «Доказательство
невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых
превышает четвертую» и теоремы об интервале и радиусе сходимо-сти
степенных рядов в области действительных и мнимых чисел.
В 1826 году Абель переехал в Париж и представил в Академию
наук доклад на тему «Мемуар об одном очень обширном классе

192 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
трансцендентных функций», в котором рассматривались интегралы
вида \К(х, y)dx, где R(x, у) — произвольная рациональная функция
от χ и у, а у — произвольная алгебраическая функция от χ (такие
интегралы получили название «абелевых»). Он доказал, что если у
есть квадратный корень из многочлена третьей или четвертой
степени, то интегралы сводятся к эллиптическим, если же у —
квадратный кррень из многочлена степени η > 4, то интегралы носят
название гиперэллиптических. К сожалению, эта замечательная
работа долгое время пролежала у Коши и затерялась среди его личных
рукописей, а опубликована была лишь в 1841 году. Великий Гаусс,
ознакомившись с работой Абеля, не высказал о ней никакого мнения.
Сохранились воспоминания одного математика о парижском
периоде жизни Абеля: «Абель одинаково хорошо говорил на
французском, немецком, датском и норвежском языках. Он был
немного выше среднего роста, на его худощавом, болезненном лице
лежала печать утомления и тревоги. Держался он с необычайной
скромностью, проявляя удивительную мягкость характера. Судя по
простоте, с которой он одевался, по тому, что он позволял покупать
себе какую-нибудь еду не более одного раза в день и
довольствоваться весьма бедной квартирой на улице Сент-Маргерит, он
располагал очень скудными средствами. Однажды Абель встретил
какого-то человека, который показал ему следы побоев на своем теле
и посоветовал остерегаться грабителей. «Мне нечего бояться. Что
могут отнять у меня грабители?» — с улыбкой ответил ему Абель».
То пренебрежение, которое было оказано светилами науки к его
замечательным творениям, получившим признание лишь после
смерти ученого, а также постоянная нужда заставили Абеля
вернуться в 1827 году в Христианию. Первое время ему не удавалось
найти никакой работы, и будучи, по его словам, «бедным, как
церковная мышь», он зарабатывал на жизнь только частными
уроками. Лишь в 1828 году он получил должность преподавателя в
университете и доцента в инженерной школе, но к этому времени
постоянная нужда и огорчения окончательно подорвали здоровье ученого.
У него развился туберкулез, и 6 апреля 1829 году он умер. Так была
загублена жизнь гениального юноши. Зато сейчас в центре Осло в
Королевском парке стоит памятник Абелю, принесшему Норвегии
всемирную славу.
Только после смерти юного гения математические светила
оценили его. Обращаясь к Шумахеру, Гаусс писал: «Это большая
потеря для науки. Если где-нибудь будет опубликована биография этого
в высшей степени замечательного человека и Вам попадется в руки
экземпляр, дайте мне знать». Лежандр писал Якоби: «К своему
величайшему огорчению, получил известие, что Ваш достойный со-

Основоположники современной алгебры и теории чисел 193
перник, господин Абель, умер в
Осло... Это тяжелая потеря для всех,
кому дорого развитие высших
разделов математического анализа.
Прожив совсем короткую жизнь,
он успел сделать так много, что
этого вполне достанет на то,
чтобы оставить о нем долгую память;
легко представить себе, чего бы он
достиг, если бы судьба решила
иначе». «Он ушел от нас, но след,
который он оставил, неизгладим», —
ответил Якоби.
Именем Абеля названы многие
понятия в математике:
дифференциалы, интегралы, уравнения,
функции, признак сходимости,
многообразия, метод суммирова- ЭВАРИСТ ГАЛУА
ния и др. Его именем назван
кратер на обратной стороне Луны.
Эварист Галуа (1811—1832) родился в Бур-ла-Рене (близ
Парижа) в семье мэра этого городка. В раннем детстве он обнаружил
удивительные математические дарования, усвоив в возрасте 16 лет
содержание книги Лежандра «Начала геометрии» за два дня, а
работы Лагранжа «Решение численных уравнений» — за несколько
дней. Именно в 16—18 лет, учась в лицее, Галуа получил многие
основные результаты, впоследствии названные его именем.
В 1829 году Галуа дважды держал экзамены в Политехническую
школу и оба раза провалился. Например, на вопрос о логарифмах
он отказался отвечать, считая его слишком простым, а по
«нематематическим дисциплинам» его лицейская подготовка оказалась
слабой. В 1830 году он поступил в Нормальную школу, но уже на
следующий год был исключен за разоблачение директора школы
в двуличном поведении по отношению к июльскому перевороту
1830 года во Франции, завершившемуся установлением монархии
Луи Филиппа.
Будучи убежденным республиканцем, Галуа вступил в тайное
общество «Друзья народа». «Если для того, чтобы поднять народ,
нужен труп, — говорил он, — я пожертвую собой». 9 мая 1831 года
Галуа, присутствуя на банкете республиканцев, поднялся с места с
бокалом и с кинжалом в руке и провозгласил тост «За Луи
Филиппа». Смысл тоста был правильно понят и поддержан большинством
присутствующих, а некоторые (в том числе и Дюма-отец), боясь

194 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
быть скомпрометированными, незаметно скрылись. За этот случай
и за участие в народной манифестации 14 июля 1831 года, в
годовщину революции, Галуа дважды сидел в тюрьме. Вскоре после
освобождения из тюрьмы он был убит на дуэли, спровоцированной, по
мнению биографов, его политическими противниками.
Эварист Галуа дважды обращался в Парижскую академию со
своими выдающимися работами. Но рассматривавшие их математические
светила Коши и Фурье не оценили их и даже затеряли рукописи.
Пуассон, по просьбе которого Галуа восстановил текст, также не
сумел разобраться в содержании. При жизни Галуа было
опубликовано всего 5 небольших статей: «Доказательство одной теоремы из
теории непрерывных дробей», «Заметки по некоторым пунктам
анализа», «Анализ одного мемуара об алгебраическом решении
уравнений», «Заметка о решении численных уравнений», «Из теории
чисел».
Накануне дуэли он написал письмо своему другу О. Шевалье, в
котором подробно изложил суть своих открытий в теории
алгебраических уравнений и теории интегральных функций. Галуа в
своем посмертном «Мемуаре об условии разрешимости
уравнений в радикалах» дал общую теорию разрешимости в радикалах
уравнений с одним неизвестным, указав, к цепи каких более
простых уравнений может быть сведено решение данного, и
выявил условия разрешимости уравнения в квадратных радикалах.
При разработке своей теории он ввел в математику много новых
понятий, например, группа, подгруппа, нормальный делитель, поле,
расширение. Галуа связал с каждым алгебраическим уравнением
группу подстановок его корней (группу Галуа) и доказал, что
разрешимость уравнения в радикалах равносильна разрешимости
группы G (существованию цепочки вложенных друг в друга
нормальных делителей групп с простыми индексами,
завершающейся единицей группы):
<7Э# Dff З...ЗЯ ={£>}.
Pl Р2 Рк 1 '
Он получил также фундаментальные результаты в теории абеле-
вых интегралов.
Галуа завершил свое предсмертное письмо такими словами: «Ты
публично попросишь Якоби или Гаусса дать заключение не о
справедливости, а о значении этих теорем. После этого, я надеюсь, найдутся
люди, которые сочтут нужным расшифровывать всю эту галиматью».
Хотя вскоре после гибели Галуа его письмо было напечатано,
упомянутые в нем математические светила не оценили труды молодого
гения. Никакого ответа от них получено не было. Как пишет выда-

Основоположники современной алгебры и теории чисел 195
ющийся американский математик I
Дирк Стройк: «Эта галиматья («се |
gachis») содержала ни много ни I
мало теорию групп, ключ к совре- !
менной алгебре и к современной |
геометрии». Только спустя 14 лет |
после смерти Галуа его работы j
оценил и опубликовал Жозеф |
Лиувилль. Новые идеи молодого |
гения резко изменили ход
развития алгебры и направили ее в но- |
вое русло. |
Пафнутий Львович Чебышёв
(1821—1894) родился в с. Окатово ι
Боровского уезда Калужской
губернии в старинной дворянской семье.
В 1832 году Чебышёвы переехали в
Москву, чтобы готовить двух сы- П. Л. ЧЕБЫШЁВ
новей в университет и пригласили
с этой целью лучших московских учителей. В 1837 году
шестнадцатилетний Чебышёв поступил на физико-математический факультет
Московского университета и уже при переходе на второй курс
получил серебряную медаль за сочинение «Вычисление корней
уравнений».
В 1841 году он окончил университет, в 1846 защитил магистерскую
диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей».
Переехав в 1847 году в Петербург, он стал работать
адъюнкт-профессором и защитил в 1849 году докторскую диссертацию «Теория
сравнений». С 1850 по 1882 год Чебышёв — профессор Петербургского
университета. Он читал в различные периоды аналитическую
геометрию, высшую алгебру, теорию чисел, интегральное
исчисление, теорию вероятностей. Лекций почти никогда не пропускал,
читал их с педантичной строгостью, никогда не опаздывал и ни
одной лишней минуты после звонка не оставался. Чебышёв
продолжал учить своих учеников и после окончания ими
университета. Раз в неделю, в определенные часы, двери его дома были
открыты для молодых ученых, проводящих самостоятельные
исследования. Советы ученого, выбор тематики почти всегда приводили
к ценным результатам.
В 1859 году Чебышёв избран ординарным академиком
Петербургской АН, в 1874 — действительным иностранным членом
Парижской АН, в 1877 — членом Лондонского королевского общества,
в 1893 году — членом Шведской королевской АН.

196 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
Основные работы П. Л. Чебышёва (более 70) относятся к теории
чисел, теории вероятностей, теории приближенного
представления функций многочленами, интегрированию алгебраических
дифференциалов и теории механизмов. За разносторонность и глубину
исследований он получил всемирное признание. Его справедливо
называли «русским Гауссом».
В теории чисел Чебышёв установил асимптотический закон рас-
χ
пределения простых чисел π(χ)~-—(хе Ν) и определил границы
погрешности своей формулы. Он доказал постулат Бертрана: при
η > 3 между числами η и 2п — 2 есть хотя бы одно простое число,
теорему о распределении простых чисел в натуральном ряде,
развил теорию диофантовых приближений.
В теории вероятностей — доказал достаточно общие формы
закона больших чисел и центральную предельную теорему.
В теории функций — решил задачу о наилучшем приближении
функций многочленами, выделив класс таких полиномов
(полиномы Чебышёва), рассмотрел вопрос об интегрировании
иррациональных дифференциалов и вывел условия интегрируемости в
элементарных функциях биномиальных дифференциалов, построил
общую теорию ортогональных многочленов.
В теории машин и механизмов — разработал теорию синтеза
шарнирных механизмов, лично создал более 40 новых механизмов и
усовершенствовал более 80. Поставил такие проблемы в этой
области, к решению которых мировая наука начала подходить только
в XX веке.
Чебышёва, как и многих великих, не обошли легенды.
Рассказывают, что однажды парижская публика была оповещена о докладе
академика на тему «О кройке платьев». Зал был заполнен не только
учеными, но и модельерами и светскими щеголями. После первой
же фразы Пафнутия Львовича «Предположим для простоты, что
тело человека имеет форму шара...» разочарованные и
оскорбленные модницы демонстративно покинули зал. Однако и сегодня при
конструировании одежды, обшивки подводных лодок, хранилищ
для нефти и газа широко применяются методы проектирования в
чебышёвских сетях.
П. Л. Чебышёв воспитал выдающихся математиков XIX и
начала XX веков (профессор А. Н. Коркин, академики Е. И. Золотарёв,
А. А. Марков, Г. Ф. Вороной, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. А. Граве,
К. А. Поссе и др.), которые продолжили дело гениального учителя и
вывели русскую математическую школу в число ведущих научных
школ мира.

Основоположники современной алгебры и теории чисел 197
Александр Николаевич Коркин I
(1837—1908) исследовал
интегрируемость дифференциальных урав- |
нений с частными производными |
и создал свой метод интегрирова- I
ния, приводящий к
последовательному уменьшению числа уравнений '
и числа независимых переменных.
Он разработал также метод решения
двучленных уравнений и
(совместно с Золотарёвым) метод
определения минимума положительных
квадратичных форм с четырьмя и
пятью переменными.
Егор Иванович Золотарёв
(1847—1878) обосновал
локальными методами теорию
делимости целых алгебраических чисел д. Н. КОРКИН
и применил целые комплексные
числа к интегральному исчислению. Он дал одно из доказательств
теоремы взаимности, создал (независимо от Дедекинда) теорию
идеалов.
Андрей Андреевич Марков (1856—1922) разработал метод
интегрирования дифференциальных
уравнений с помощью непрерыв-
ных дробей, метод нахождения
экстремальных квадратичных форм
данного определителя, существен- ι
но расширил сферу применения
закона простых чисел и централь- |
ной предельной теоремы, создал
теорию случайных процессов,
вывел принцип, эквивалентный
понятиям несмещенных и эффектив- |
ных статистик, развил в анализе
теорию моментов, теорию
приближения функций и аналитическую
теорию непрерывных дробей.
Георгий Феодосьевич Вороной j
(1868—1908) исследовал целые
алгебраические числа, зависящие от !
корней неприводимого уравнения
3-й степени, создал обобщенный Е. И. ЗОЛОТАРЕВ

198 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
алгоритм непрерывных дробей,
разрабатывал общую теорию
неопределенных уравнений 3-й
степени, заложил основы
аналитической теории чисел, дал метод
суммирования рядов (метод
Вороного).
| Александр Михайлович Ляпунов
(1857—1918) решил ряд трудных
\ задач по теории устойчивости
I движения материальных систем и
предложил новые общие строгие
I методы решения этих задач,
нашел критерии устойчивости
таких решений. Ляпунов доказал
неустойчивость грушевидных
фигур и дал простое строгое дока-
А. А. МАРКОВ зательство центральной
предельной теоремы в более общей
форме, чем Чебышёв и Марков, применив свой метод
характеристических функций.
Владимир Андреевич Стеклов (1864—1926) — основатель школы
математической физики в нашей стране. Решил ряд задач о
распространении тепла, равновесии
вращающейся массы, электростатики
и др. Ввел понятие замкнутости
системы ортогональных функций,
занимался вопросами разложения
функций в ряды по наперед
заданным системам ортогональных
функций. Опубликовал 150 работ,
включая работы по дифференциальным
уравнениям, математическому
анализу, теории упругости и
гидростатике.
Дмитрий Александрович Граве
(1863—1939) — создатель первой в
России крупной алгебраической
школы. Он решил проблему о
нахождении всех интегралов системы
дифференциальных уравнений
задачи трех тел, не зависящих от за-
А. М. ЛЯПУНОВ кона действия сил. Нашел все воз-

Основоположники современной алгебры и теории чисел 199
можные (всего 11) эквивалентные I
проекции шара на плоскость, при
которых меридианы и параллели
переходят в окружности или
прямые. Доказал гипотезу Чебышёва о |
том, что наивыгоднейшая проек- |
ция для изображения какой-либо |
части земной поверхности на
карте та, в которой на границе изоб- j
ражения масштаб сохраняет одну
и ту же величину. Граве упростил |
теорию Галуа, изложил теорию |
идеалов с помощью
функционалов, нашел некоторые классы
уравнений 5-й степени, разрешимые в I
радикалах.
Константин Александрович Поссе I I
(1847—1928) — автор ряда трудов В.А.СТЕКЛОВ
по математическому анализу и те-
• ории функций. Его учебник «О функциях, подобных функциям Ле-
жандра» (1873), «К вопросу о предельных значениях интегралов или
сумм» (1885), «Курс дифференциального и интегрального
исчисления» (1891) и др. сыграли большую роль в подготовке
математических кадров в России.
Возвращаясь к учителю этих за- ^____ _ . .
мечательных ученых, отметим, что |
еще при жизни П. Л. Чебышёва счи- I
тали одним из самых выдающихся ι
математиков в мире. В 1890 году он
был награжден орденом
Почетного легиона. Шарль Эрмит назвал j
Чебышёва «гордостью науки Рос- |
сии, одним из величайших
геометров всех времен». Миттаг-Лёффлер j
считал его «одним из величайших |
учителей анализа всех времен». Ака- |
демики А. А. Марков и Н. Я. Сонин
писали: «Труды Чебышёва носят I
печать гениальности». Чебышёв
умер за письменным столом, а
накануне смерти беседовал с Граве и |
сообщил ему правило
приближенного спрямления дуг кривых линий. Д· А. ГРАВЕ

200 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
Его именем названа плита
талассоида на обратной стороне Луны и
десятки важных понятий и теорем
из различных областей математики.
| Леопольд Кронекер (1823—1891)
| родился в Лигнице. В 1845 году окон-
| чил Берлинский университет и пре-
| подавал там, получив в 1883 году
! должность профессора. Член Бер-
I линской АН (1861), иностранный
| член-корреспондент Петербург-
! скойАН (1872).
' Кронекер — автор ряда работ по
теории квадратичных форм, теории
групп, арифметической теории
алгебраических величин, теории эл-
\ липтических функций. Он разрабо-
К. А. ПОССЕ тал метод нахождения
рациональных делителей многочлена с
рациональными коэффициентами и доказал, что квадратичная форма
ранга г может быть представлена с помощью только г переменных.
Кронекер установил (независимо от Капелли) критерий
совместности произвольной системы линейных уравнений, ввел символ
5 j fl, если / = /',
о/ = \ , широко исполь-
| [0, если i*j,
| зуемый в различных областях
современной математики (символ
1 Кронекера), получил ряд новых
результатов в диофантовом анализе,
построил арифметическую теорию
алгебраических величин.
Он считал, что только арифме-
I тика обладает реальностью. «Нату-
| ральные числа создал любимый
| Бог, — говорил он на Берлинском
| конгрессе естествоиспытателей, —
I все другое — труд человека».
Защищая свои односторонние взгляды,
вел упорную борьбу с принципами
теоретико-функциональной школы
Вейерштрасса и теоретико-множе-
ЛЕОПОЛЬД КРОНЕКЕР ственной школы Кантора.

Основоположники современной алгебры и теории чисел 201
Альфредо Капелли (1855—1910)
родился в Милане. Профессор
университетов в Палермо (1881 —
1885) и Неаполе (с 1886), член
Национальной академии деи
Линчей в Риме (1901). Автор большого
числа работ по теории
алгебраических форм и алгебраических
уравнений, теории подстановок,
теории эллиптических функций.
Установил (независимо от Кроне-
кера) критерий совместности
произвольной системы линейных
уравнений. Большим успехом
пользовались его «Лекции по
алгебре», выдержавшие при жизни
автора четыре издания. I
Эрнст Эдуард Куммер (1810— ЭРНСТ КУМ МЕР
1893) родился в Зорау. Окончил
университет в Галле, работал профессором в Бреслау и Берлине
(1856—1884). Автор ряда работ по математическому анализу,
алгебре и теории чисел. Вывел общий признак сходимости рядов
(признак Куммера). Рассмотрел преобразование, носящее его имя.
Создал алгебраическую теорию чисел,
методы которой оказали большое
влияние на последующее развитие
теории чисел и алгебры. Доказал
теорему Ферма для η < 100, за что
получил премию Парижской АН.
Ввел понятие идеальных чисел.
Проводил также исследования по
геометрии и теоретической механике.
Член Берлинской АН (1855),
иностранный член-корреспондент
Петербургской АН (1862), член
Парижской АН (1868), Лондонского
королевского общества (1863).
Рихард Юлиус Вильгельм Дедекинд
(1831 — 1916) родился в Брауншвей-
ге. Учился у Гаусса и Дирихле в Гет-
тингенском университете. Работал
там же и в Цюрихском
университете, а в 1862-1912 годах - профес- РИХАРД ДЕДЕКИНД

202 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
сором Высшей технической школы
в Брауншвейге.
Дедекинд заложил основы
современной алгебры, изучающей
произвольные поля, кольца, группы,
структуры и модули. Ввел понятие
кольца (независимо от Золотарёва),
сформулировал современное общее
определение идеала. Дедекинд
одним из первых дал
теоретико-множественное обоснование
действительных чисел, разработал
систему аксиом арифметики, дал точную
формулировку принципа полной
математической индукции и ввел в
математику понятие отображения
одного множества в другое. В конце
ДЖЕЙМС СИЛЬВЕСТР девятнадцатого столетия Дедекинд
разработал теорию структур,
которая лишь с 30-х годов XX века стала одним из центральных разделов
современной алгебры. Член многих академий наук: Берлинской
(1880), Парижской (1910), Национальной академии деи Линчей
и др. Его именем названы многие понятия и теоремы.
Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897) родился в Лондоне.
В 1837 году окончил Кембриджский университет. Был адвокатом, в
1841 — 1845 годах — профессор математики в Виргинии, в 1845—
1855 годах — математик в страховой компании, в 1855—1871 годах —
профессор Королевской военной академии в Вулидже, в 1876—
1883 годах — профессор университета в Балтиморе (США), в 1884 году
возвратился в Англию и возглавил кафедру в Оксфордском
университете.
Автор 180 работ по теории инвариантов, теории элементарных
делителей двух квадратичных форм, теории чисел, теории
вероятностей, механике и математической физике. Создал интегральную
геометрию. Сильвестр развил теорию квадратичных форм, решил
задачу приведения квадратичной формы к каноническому виду и
ввел термины инвариант, ковариант, коммутант, дискриминант и др.
Член Лондонского королевского общества (1841), иностранный член-
корреспондент Петербургской АН (1872). Именем Сильвестра
назван кратер краевой зоны Луны.
Камилъ Мары Энмон Жордан (1838—1922) родился в Лионе.
Окончил Политехническую и Горную школы в Париже. Работал в
Политехнической школе и в Коллеж де Франс.

Основоположники современной алгебры и теории чисел 203
Он написал первый системати-
ческий курс теории групп и
теории Галуа «Трактат о подстановках»
(1870), разъяснивший и
дополнивший краткие и сжатые
исследования Галуа. Гениальные открытия
молодого французского ученого
стали достоянием широких
математических кругов и содействовали
бурному развитию теории групп и
других алгебраических структур.
Жордан исследовал линейные
группы и их подгруппы, ввел
понятие фактор-группы и первый
рассмотрел бесконечные группы.
Для групп подстановок он
определил композиционный ряд под-
групп и доказал, что индексы двух КАМИЛЬ ЖОРДАН
таких рядов совпадают. Опираясь
на это, Отто Гёльдер (1859—1937) установил изоморфизм
соответствующих друг другу факторов Gl_l/Gr Утверждение об изоморфизме
двух композиционных рядов подгрупп известно в математике как
теорема Жордана — Гёльдера.
Жордан рассмотрел кривую, задаваемую параметрическими
уравнениями χ = x(t), y=y(t) с помощью непрерывных функций,
которую впоследствии назвали жордановой, и доказал, что его
замкнутая кривая без кратных точек делит плоскость на внутреннюю и
внешнюю области (теорема Жордана). Он создал метод обращения
матрицы, приводящий ее к нормальному виду (жордановой форме).
В 1881 году Жордан ввел понятие функции ограниченной вариации
и доказал, что всякая такая функция на [а, Ь] имеет не более чем
счетное множество точек разрыва 1-го рода и интегрируема по Ри-
ману. Он вывел формулы Френе для кривой в я-мерном евклидовом
пространстве и рассмотрел в нем группу вращений.
Большой популярностью пользовался трехтомный «Курс
анализа» Жордана (1882—1887), содержащий достаточно глубокое
освещение основных разделов математического анализа и его
приложений. В Петербургском университете, например, изучали анализ
именно по этому курсу. Жордан — автор работ также по топологии и
кристаллографии. Он — член Парижской АН (1881), иностранный
член-корреспондент Петербургской АН (1895), издатель «Журнала
чистой и прикладной математики» (Journal de mathematiques pures
et appliquees, 1885—1921).

204 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
Карл Луи Фердинанд Линдеман
I (1852—1939) родился в Ганновере
в семье учителя гимназии,
ставшего впоследствии директором
газовых заводов г. Шверина. Учился в
университетах Геттингена, Эрлан-
гена, Мюнхена. После защиты в
1873 году докторской диссертации
по неевклидовой линейной
геометрии и ее приложениям
(выполненной под руководством Ф. Клейна)
I Линдеман посетил ряд универси-
] тетских центров в Англии и
Сорбонну, где слушал лекции Шаля,
Бертрана, Жордана и Эрмита.
| По возвращении в Германию
работал в университетах Вюрцбур-
ФЕРДИНАНД ЛИНДЕМАН га, Фрайбурга (1877-1882) и на
профессорской должности в Ке-
нигсбергском (1883—1892) и Мюнхенском (с 1893) университетах.
Научные интересы Линдемана относились к теории чисел,
алгебраической геометрии и истории математики. Используя метод Эр-
мита доказательства трансцендентности числа е (1873), Линдеман
доказал в 1882 году трансцендентность числа π, установив, таким
образом, невозможность построения циркулем и линейкой
квадрата, равновеликого данному кругу.
Этот результат принес Линдеману всемирную славу. На
памятнике ученому, установленному на его могиле в Мюнхене,
нарисован круг и выступающий из него квадрат.
Линдеман был одним из основателей современной системы
образования в Германии, осуществлял научное руководство многими
докторантами (свыше 60), включая Давида Гильберта. Член
Баварской АН (1895).
Евграф Степанович Фёдоров (1853—1919) родился в Оренбурге.
В 1883 году окончил Горный институт в Петербурге. С 1905 года —
директор этого института. В 1885—1890 годах он провел исследования
по структуре и симметрии кристаллов. В монографии «Симметрия
правильных систем фигур» (1890) он дал вывод 230 пространственных
групп (впоследствии названных федоровскими группами).
Фёдоров доказал в 1885 году существование таких пяти типов
выпуклых многогранников (параллелоэдров), параллельными
переносами которых можно заполнить пространство так, чтобы они не
входили друг в друга и не оставляли пустых мест. Такие много-

Основоположники современной алгебры и теории чисел 205
гранники, называемые теперь «фё- I
доровскими телами», были положе- |
ны им в основу теории строения 1
кристаллов. I
В монографии «Новая геометрия I
как основа черчения» (1907) он I
строил дискретную геометрию с I
различными образующими элемен- I
тами (круги, сферы, векторы, плос- 3
кости и др.). Е. С. Федоров —
почетный член Баварской АН (1896),
иностранный член Национальной
академии деи Линчей (1909),
академик Петербургской АН (1919).
В 1944 году АН СССР учредила
премию имени Фёдорова.
Артур Мориц Шёнфлис (1853— I
1928) родился в Ландсберге. В 1875 Е. С. ФЁДОРОВ
году окончил Берлинский
университет. Работал в университетах Геттингена, Кенигсберга и
Франкфурта. Методами теории групп Шёнфлис, независимо от Фёдорова,
решил задачу классификации всех кристаллических
пространственных решеток и опубликовал этот результат в учебнике
«Кристаллические системы и кристаллическая
структура» (1891). Автор ряда работ ι -- —
по топологии и геометрии.
Огастес (Августус) Морган
(1806—1871) родился в Мадуре
(Индия). Учился в Тринити-коллед-
же в Кембридже. Профессор
математики университетского
колледжа в Лондоне (1828—1831, 1836—
1866). Секретарь Королевского
астрономического общества. Первый
президент Лондонского
математического общества (1866).
Он опубликовал в 1841—1847
годах ряд работ по основам
алгебры. В трактате «Формальная
логика, или Исчисление выводов
необходимых и возможных» (1847)
изложил основные понятия мате-
матической логики, опередив не- АВГУСТУС МОРГАН

206 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
I которыми своими положениями
| Буля. Впервые успешно изучал ло-
\ гику отношений. В книге «Тригоно-
; метрия и двойная алгебра» (1849) из-
; ложил идеи символической
алгебры и операции с комплексными
числами. Морган описал
логарифмическую шкалу для критериев
сходимости и исследовал расходящиеся ряды.
Автор многих исторических
работ. Лондонское математическое
общество учредило медаль имени
Моргана. Его именем названы
законы алгебры высказываний Α ν В =
= АлВ, АлВ=А νΒ и кратер на
видимой стороне Луны.
Джордж Буль (1815—1864) родил-
ДЖОРДЖ БУЛЬ ся в г. Линкольне на северо-востоке
Англии в семье сапожника,
увлекавшегося построением различных оптических приборов (от очков до
телескопа) и самостоятельным изучением астрономии и математики.
В раннем детстве Буль изучил латынь, греческий, французский
и немецкий языки. В 14 лет он сделал стихотворный перевод «Оды
к весне» древнегреческого поэта Мелеагра, который был
опубликован, а в 16 лет стал ассистентом учителя в частной школе г.
Донкастера и приступил к систематическому изучению математики. Уже в
1840 году Буль основал собственную школу в Линкольне. В 1849 году
по рекомендации математиков Кембриджа он получил должность
профессора Куинс-колледжа на юге Ирландии, где и работал до конца
жизни. Буль удостоен медали Лондонского королевского общества.
В 1855 году он женился на Мэри Эверест — дочери
прославленного альпиниста. Из пяти дочерей Буля три были незаурядными
личностями — профессор химии (старшая), геометр (средняя),
писательница Этель Войнич, автор романа «Овод» (младшая).
Основные математические работы Буля: «Математический анализ
логики, эссе об исчислении дедуктивного рассуждения» (Analysis of Logic,
being an Essay towards a Calculus of Deductive Reasoning, 1847) и
«Исследования законов мышления» (An Investigation of the Laws of Thounght»,
1854). В этих трактатах он построил алгебру высказываний и
предложил ряд идей, относящихся к логическим исчислениям и широко
используемых в приложениях математической логики к технике.
В современной алгебре есть булевы кольца, булева алгебра, в
общей топологии — булево пространство, в математических пробле-

Основоположники современной алгебры и теории чисел 207
мах управляющих систем — булев г—
разброс, булево разложение,
булева регулярная точка ядра и др. I
Именем Буля назван кратер кра- ]
евой зоны Луны. 1
Фердинанд Георг Фробеныус 1
(1849—1917) родился в Берлине.
Окончил Берлинский университет. I
Ученик Куммера, Кронекера, J
Вейерштрасса. В 1874 году защитил
диссертацию на степень доктора |
философии и стал профессором |
Берлинского университета. В 1875— I
1893 годах работал в Политехни- 1
куме г. Цюриха, а с 1893 года — ;
снова в Берлинском университете. I
Осуществлял исследования по 1
алгебре, теории алгебраических чи- ГЕОРГ ФРОБЕНИУС
сел, теории матриц, теории
конечных групп и по их представлению матрицами. В теории алгебр
конечной размерности (одновременно с Молиным) ввел понятия
радикала, фактор-алгебры, простой, полупростой и сложной алгебры.
Наряду с Гамильтоном считается одним из творцов алгебры
гиперкомплексных чисел и основ теории
матриц как алгебраической
дисциплины (вместе с Вейерштрассом). Фро- I
бениус создал теорию характеров
групп и дал строгое обоснование
метода суммирования средними
арифметическими. Внес
существенный вклад в теорию конечных групп
линейных подстановок. Именем
Фробениуса названы многие
понятия и теоремы (билинейный кова-
риант Фробениуса, теорема
Фробениуса, формула, автоморфизм,
эндоморфизм, алгебра и др.).
Федор Эдуардович Молин (1861 —
1941). Окончил Дерптский
университет в 1883 году, защитил
диссертацию на степень магистра чистой
математики и в 1883—1899 годах
работал доцентом Дерптского уни- Ф. Э. МОЛИН

208
Творцы выдающихся математических открытий XIX века
верситета. В 1900—1917 годах Молин — профессор Томского
технологического института, ас 1917 года— профессор Томского
университета. Автор ряда работ по теории гиперкомплексных чисел,
теории групп и теории эллиптических функций. Доказал, что
всякая простая ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел
изоморфна алгебре всех матриц конечного порядка над этим полем.
Автор первого очерка теории алгебр. Заслуженный деятель науки
РСФСР (1934).
§ 4. Выдающиеся аналитики XIX века
Открытие неевклидовых геометрий, революционный поворот в
алгебраических исследованиях, создание новых областей геометрии
и алгебры сопровождалось в XIX веке не менее бурным развитием
важнейшей математической науки — математического анализа,
включающего его различные ветви (дифференциальные уравнения —
обыкновенные и с частными производными, математическая
физика, вариационное исчисление, теория аналитических функций,
теория вероятностей и др.).
Десятки выдающихся математиков XIX века совершили
глубокие, принципиальные открытия как в обосновании анализа, так и
в создании новых теорий и методов исследования, не утративших
своего значения до сих пор. В этой небольшой книге невозможно
дать полный анализ этих открытий и осветить жизнь всех
выдающихся аналитиков. Приходится ограничиться несколькими
наиболее широко известными учеными, расположив их в
хронологическом порядке (по году рождения).
Жан Батист Фурье (1768—1830) родился в Осере в семье
портного. Осиротев в восьмилетнем возрасте, он был рекомендован
местному епископу одной благодетельной дамой, которую пленили
хорошие манеры мальчика и его серьезное поведение. Епископ
определил Фурье в местную военную школу, которой управляли
бенедиктинцы. В 12 лет он сочинял великолепные проповеди для видных
парижских священников, которые выдавали их за свои собственные.
В то же время даже в 13 лет Фурье был трудным ребенком,
своенравным, нетерпеливым, озорным. Первое же знакомство с
математикой изменило, как по волшебству, характер мальчика.
Для занятий он отрывал время от сна, собирая в кухне огарки
свечей и тайно изучая математику у камина за перегородкой.
Революция 1789 года освободила юного гения от профессии
послушника-бенедиктинца. 21-летним от приехал в Париж и представил
в Академию свою первую научную работу по решению уравне-

Выдающиеся аналитики XIX века
209
ний с числовыми
коэффициентами. В 1794 году Фурье стал
преподавать математику в Нормальной
школе, а в 1796—1798 годах — в
Политехнической школе. Он
участвовал в 1798 году в египетском
походе Наполеона и был секретарем
Каирского института. В 1802—1815
годах — префект департамента Изе-
ри-Гренобля.
Фурье, как и Лаплас, легко
менял свои политические
привязанности. Когда 1 марта 1815 года
Наполеон высадился с о. Эльба на
французский берег, Фурье
поторопился в Лион сообщить об этом
Бурбонам, опасаясь, что простой
народ не подчинится префекту ЖАН ФУРЬЕ
Изери-Гренобля и снова будет
приветствовать Наполеона. На обратном пути он узнал, что Гренобль
капитулировал. Фурье арестовали и доставили к Наполеону.
Сказав, что он пришел к недоверию своему императору «головой, а
не сердцем», Фурье перешел на сторону Наполеона. А когда тот
был сослан на остров св. Елены, переехал в 1817 году из Изери в
Париж и стал при Бурбонах членом Парижской АН и ее
секретарем, а с 1827 года — председателем совета Политехнической
школы.
Как математик Фурье занял достойное место среди аналитиков
XIX века. В 1796 году он доказал теорему о числе действительных
корней алгебраического уравнения, лежащих между двумя пределами.
В монографии «Аналитическая теория тепла» (Theorie analytique de la
chaleur, 1822) он вывел уравнение теплопроводности в твердом теле
и разработал методы его интегрирования при различных граничных
условиях. В основе метода Фурье разделения переменных лежит
представление функций тригонометрическими рядами, названными
впоследствии его именем.
Фурье доказал, что всякую произвольно начерченную линию,
составленную из отрезков дуг разных кривых, можно представить
единым аналитическим выражением. Он нашел формулу
представления функции с помощью интеграла, играющую важную роль в
современной математике. Исследования Фурье дали импульс
возникновению теории множеств и теории функций действительной
переменной. Его именем названы многие теоремы и понятия в ма-

210 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
тематике. Фурье — иностранный
почетный член Петербургской АН
(1829), иностранный член
Лондонского королевского общества. Его
имя носит кратер на видимой
стороне Луны.
Бернард Больцано (1781—1848)
родился в Праге. В 1800 году
окончил философский, а в 1805 —
теологический факультет Пражского
университета с присвоением уче-
• ной степени доктора философии.
В течение 15 лет (1805-1820)
занимал кафедру истории религии
Пражского университета. За
выступления против австрийского
правительства отстранен в 1820 году
БЕРНАРД БОЛЬЦАНО от работы и лишен права
публичных выступлений.
При жизни Больцано анонимно напечатал только пять
небольших математических статей и ряд философских трудов. А основной
математический труд «Учение о функциях», написанный им в 1830 году,
был опубликован только через сто лет. Оказалось, что за несколько
лет до Коши, за 30 лет до Вейерштрасса, за 40 лет до Кантора
Больцано пришел к основным теоремам и критериям в теории
функций и был близок к построению теории множеств. Он установил
современное понятие сходимости рядов, пользовался критерием
сходимости последовательности (названным критерием Коши),
доказал существование по крайней мере одной предельной точки у
замкнутого ограниченного множества. Больцано первый строго
доказал, что непрерывная функция принимает любое промежуточное
значение, лежащее между ее различными значениями. Он построил
пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции, дал в
1848 году определение бесконечного множества как равномощного
своей правильной части. Если внести некоторые уточнения, то
построенная Больцано теория действительного числа совпадет с
теорией Кантора, открытой почти полвека спустя. Ему принадлежит
приоритет применения метода математической индукции к
обоснованию арифметики. А в труде «Наукознание», опубликованном в
1837 году, Больцано предвосхитил идеи математической логики.
Если бы в классический анализ не попало два-три раза имя
Больцано (принцип выбора Больцано, лемма Больцано —
Вейерштрасса об ограниченной последовательности и др.), математики и не

Выдающиеся аналитики XIX века
211
знали бы долгое время, что в
первой половине XIX века жил и
творил такой гениальный ученый.
Фридрих Вильгельм Бессель
(1784—1846) родился в Миндене
(Вестфалия) в семье советника
юстиции г. Миндена. Его мать
происходила из пасторской семьи.
Проучившись всего три года в
гимназии, где он слыл посредственным
учеником и даже не успевал по
латыни, Бессель под контролем отца
стал заниматься дома математикой,
географией, письмом,
французским языком. Затем юный Бессель
семь лет служил конторщиком в
торговой фирме Бремена, мечтая
в будущем стать агентом торговой ФРИДРИХ БЕССЕЛЬ
фирмы и изучая с этой целью
навигацию и астрономию. Уже в 1802 году будущий ученый заявил:
«Математика ведь самая приятная из всех наук. Она и астрономия
заменяют для меня танцевальное общество, концерты и другие
подобного же рода удовольствия».
В 20-летнем возрасте Бессель встретился с ведущим астрономом
Германии Ольберсом, давшим высокую оценку его
астрономической работе о вычислении орбиты кометы Галлея и
содействовавшим ее опубликованию в 1804 году. Первую работу Бесселя оценил
и «король математиков» Гаусс. Начавшаяся в 1804 году их переписка
продолжалась в течение 40 лет.
В 1806 году Бессель ушел из торговой фирмы Куленкампов
(невзирая на выгодное предложение с годовым жалованием 600—
700 талеров) и занял должность ассистента в Лилиентальской
обсерватории Шрётера. А уже в 1810 году он на выгодных условиях,
предложенных Берлинской АН, переехал в Кенигсберг на профессорскую
должность в университете и начал строительство обсерватории,
директором которой был до самой смерти. В 1812 году Бессель — член
Берлинской АН, в 1814 — иностранный почетный член
Петербургской АН.
Большинство научных работ Бесселя относится к астрономии. Он
разработал теорию об инструментальных и личных ошибках,
универсальную теорию редукций, осуществил точное измерение
параллакса звезды 61 Лебедя, выдвинул гипотезу о существовании
невидимых спутников у Сатурна и Проциона, установил самые точ-

212 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
ные в XIX веке размеры экваториального а и полярного Ъ радиусов
Земли (а = 6 377 397,15 м, b = 6 356 078,96 м), составил
фундаментальный звездный каталог и др.
Астрономические и геодезические задачи Бессель решал
математическими методами. Ему принадлежит ряд важных открытий в
функциональном анализе, теории приближенных вычислений,
теории специальных функций и дифференциальных уравнений. В 1828 году
он получил неравенство:
оо Ь
Σ ck< \f2 (x)dx, где ск — коэффициенты ряда Фурье ддя/(х),
к =1 а
{неравенство Бесселя), играющее важную роль в теории
ортогональных рядов. Бессель применил в астрономических вычислениях
интерполяционную формулу (названную его именем), которая
дает результат почти в восемь раз точнее, чем непосредственное
интерполирование многочленом второй степени. В 1824 году он
исследовал решения обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка с параметром:
Z2y"+ zy'+ (z2~ a2)y = 0, где сеСдеС,
Эти решения — цилиндрические функции — были известны еще
в 1766 году Эйлеру, но Бессель осуществил систематическое
изучение таких функций и применил их к решению некоторых краевых
задач математической физики. Поэтому цилиндрические функции
1-го рода:
/νω = £(-ΐ)* —UJ
ЛЩ1 + v + A;)
где Г — гамма-функция, называются функциями Бесселя.
Именем Бесселя названы системы функций {ψJ таких, что для
оо
любой функции /е L2 сходится ряд Σ с2п, где сп — коэффициенты
разложения функции/по системе {ψΛ}.
Бессель был очень прост в обращении с людьми, всегда
доброжелателен и внимателен к собеседникам, искренен и правдив. Его
Кенигсбергская обсерватория, в которой он трудился 33 года,
была в первой половине XIX века одним из самых авторитетных
астрономических центров Европы. Умер Бессель от рака желудка,
мужественно перенося страдания в течение нескольких лет.
«Тысячи раз, — писал он своему другу Шумахеру, — я просил небо
сократить мои страдания; они так невыносимы, что с недели на неде-

Выдающиеся аналитики XIX века
213
лю я жду своего конца, но пока \
должен нести этот тяжкий крест».
В феврале 1844 году он прочитал }
последний из своих докладов в
физико-математическом обществе и
в этом же году выполнил
последнее наблюдение на меридианном
круге. Именем Бесселя назван
кратер на видимой стороне Луны.
ОгюстенЛуи Коши (1789—1857) j
родился в Париже. С ранних лет
проявил большие способности к ]
математике. Окончив в 1807 году
Политехническую школу, в 1810
Школу мостов и дорог, работал в
1810—1813 годах инженером путей ]
сообщения в Шербуре. В 1813 году J
занялся наукой и преподаванием. ОГЮСТЕН КОШИ
По убеждениям Кош и был ярым
роялистом. После разгрома Наполеона король назначил Коши в
1816 году академиком Парижской АН и профессором
Политехнической школы (вместо изгнанных оттуда Монжа и Карно). В
18Ιοί 830 годах он преподавал в этой школе и в Коллеж де Франс. После
прихода к власти Луи Филиппа в 1830 году эмигрировал из Парижа
и жил в Турине. По возвращении на родину в 1838 году Коши еще
долго не мог восстановить своего прежнего положения из-за отказа
присягнуть новому правительству. Он преподавал в иезуитском
коллеже, и лишь в 1848 году ему разрешили занять профессорскую
должность в Сорбонне, не принося присяги.
Научная продуктивность Коши была очень высока — около
800 опубликованных работ по арифметике, алгебре,
математическому анализу, дифференциальным уравнениям, теоретической
и небесной механике, математической физике и др.
Коши доказал теорему Ферма о многоугольных числах, нашел
одно из доказательств закона взаимности, сформулировал теоремы
о неопределенных тернарных квадратичных уравнениях и
рассмотрел неопределенные тернарные кубические уравнения. В алгебре он
дал свое доказательство основной теоремы теории симметрических
многочленов, развил теорию определителей, включая теорему об
умножении, ввел термины «модуль комплексного числа»,
«сопряженные комплексные числа», распространил теорему Штурма о
числе действительных корней многочлена с действительными
коэффициентами на комплексные корни. В 1842—1846 годах Коши опуб-

214 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
ликовал ряд статей по группам подстановок, но после издания в
1846 году Лиувиллем работ Галуа (рукописи которого Коши и
Фурье затеряли в Парижской АН), он отошел от этой тематики и
переключился на исследования в области математического анализа.
Его труды «Курс анализа» (1821), «Резюме лекций по
исчислению бесконечно малых» (1823), «Лекции по приложениям анализа к
геометрии» (1826—1828), основанные на систематическом
использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов
математического анализа второй половины XIX и первой половины
XX века. Коши дал определение понятия непрерывности функции,
установил критерии сходимости (в том числе — сходимости рада
Тейлора к данной функции), определил понятие радиуса
сходимости ряда и доказал теорему о произведении абсолютно сходящихся
рядов. Он развил основы теории аналитических функций, дал
выражение аналитической функции в виде интеграла (названного его
именем), разработал теорию вычетов и ее приложений к различным
вопросам анализа.
Коши поставил задачу определения решения дифференциального
уравнения с начальными данными и доказал основные теоремы
существования решений дифференциальных уравнений с
действительными и комплексными переменными, создал метод
характеристических полос для интегрирования уравнений с частными
производными 1-го порядка.
В геометрии он обобщил теорию многогранников, доказал (1813),
что два выпуклых многогранника с соответственно конгруэнтными
и одинаково расположенными гранями имеют равные двугранные
углы между соответствующими гранями. Дал новый способ
исследования поверхности второго порядка. В работах по оптике Коши
осуществил математическую разработку теории Френеля и теории
дисперсии. В работах по теории упругости он рассматривал тело как
сплошную среду и оперировал напряжением и деформацией,
относимым к каждой точке. Иностранный почетный член
Петербургской АН (1831), Лондонского королевского общества и многих
других академий мира. Именем Коши назван кратер на видимой
стороне Луны.
Михаил Васильевич Остроградский (1801 — 1862) родился в селе
Пашенная (Полтавская губерния, Кобелянский уезд) в семье
помещика. В раннем детстве проявил большую пытливость и
стремление проникнуть в смысл происходящих вокруг него явлений.
Его интересовали действия механизмов, применяемых при сель-
хозработах, процессы измерений и др. На десятом году жизни его
определили в пансион при Полтавской гимназии, называвшийся
«домом для воспитания бедных детей». С третьего класса он по

Выдающиеся аналитики XIX века
215
желанию отца, мечтавшего о
военной карьере сына, покинул
гимназию. В 1816 году юношу
повезли в Петербург для
определения в один из гвардейских полков,
но по совету одного из
родственников родители круто изменили
свое решение и через год отдали
учиться сына в Харьковский
университет.
На втором курсе
Остроградский расстался с мечтой о
гвардейском мундире и увлекся
математикой. Этому способствовали
беседы с ним университетского
преподавателя Павловского, на
квартире которого он жил.
Математический талант позволил Ос- м. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
троградскому блестяще сдать в
1820 году экзамены за университетский курс. Ректор
университета — математик Т. Ф. Осиповский даже предложил присудить
Остроградскому первую ученую степень — кандидата наук. Это
предложение было поддержано большинством Совета. Однако реакционная
часть профессуры Харьковского университета добилась отмены
решения Совета университета, министр Голицын лишил
Остроградского диплома об окончании университета за вольность и
непосещение лекций по богословию, а ректор Осиповский был
смещен со своего поста.
Эта обида не сломила Остроградского и в 1822 году он
отправился в Париж, где слушал лекции Ампера, Коши, Лапласа,
Пуассона, Фурье. Уже в 1825 году Коши в одном из мемуаров с похвалой
отозвался об исследованиях Остроградского, посвященных
вычислению интегралов, а в 1826 году Остроградский представил в
Парижскую АН свою первую работу «О волнообразном движении
жидкости в цилиндрическом сосуде». Учебу в Сорбонне он сочетал с
педагогической работой в коллеже Генриха IV. В 1828 году
Остроградский возвратился в Россию. Ему сразу дали звание адъюнкта
Петербургской АН, а в 1830 году он стал уже ее членом, получив
звание академика по прикладной математике. Интенсивные
исследования в различных областях математики и механики
Остроградский успешно сочетал с большой педагогической работой. Он читал
лекции в Главном педагогическом институте, в Институте путей
сообщения, в Морском корпусе, в Михайловской артиллерийской

216 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
академии. Долгое время был главным наблюдателем за
преподаванием математики в кадетских корпусах.
Остроградский проводил глубокие исследования в
математическом анализе, математической физике, дифференциальных
уравнениях, механике (включая небесную механику), теории
вероятностей, вариационном исчислении.
В математическом анализе — установил в 1828 году формулу
преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности, а в
1834 году распространил эту формулу на я-мерный случай.
Остроградский вывел правила преобразования переменных
интегрирования в двойных и тройных интегралах, указал способ выделения
рациональной части интеграла от рациональной функции,
занимался теорией интегрирования иррациональных алгебраических
функций и др.
В математической физике — поставил общую проблему
сходимости решения, представляемого бесконечным рядом по
собственным функциям соответствующей краевой задачи, и нашел
решение в важном частном случае. Он решил также задачу
распространения тепла в прямой призме с основанием в виде прямоугольного
треугольника, построил теорию распространения тепла в жидкости,
дал способ отыскания интегралов уравнения звуковых колебаний газа,
уравнений колебаний упругих пластинок, решил задачи о
намагничивании разобщенных брусков, о притяжении сфер и сфероидов,
об интегрировании уравнений малых колебаний упругих сред и др.
В дифференциальных уравнениях — разработал некоторые приемы
интегрирования линейных дифференциальных уравнений методом
вариации произвольных параметров и внес улучшения в метод
Ньютона приближенного решения дифференциальных уравнений.
В механике — построил общую теорию удара, разработал общий
вариационный принцип для неконсервативных систем, установил
(независимо от Гамильтона) общий принцип наименьшего действия
и распространил принцип виртуальных перемещений на случай
самых общих связей. Большой интерес вызвали работы
Остроградского по теории движения сферических снарядов и по выяснению
влияния выстрела на лафет снаряда.
В теории вероятностей — рассмотрел задачи теории
страхования, азартных игр, статистического контроля качества продукции,
производящих функций. Опубликовал 6 статей.
В вариационном исчислении — нашел вариацию кратного интеграла.
М. В. Остроградский — автор многих прекрасных учебников:
«Пособие начальной геометрии», «Курс небесной механики», «Лекции
алгебраического и трансцендентного анализа», «Программа и
конспект тригонометрии для военно-учебных заведений» и др. Остро-

Выдающиеся аналитики XIX века
217
градский обогатил науку огромным I
запасом новых идей, поставил ряд
задач и некоторые из них не реше- |
ны до сих пор.
К сожалению, такой гениаль- I
ный ученый не признал
неевклидову геометрию и дал в
Петербургскую АН резко отрицательный
отзыв на работу Н. И. Лобачевского
«О началах геометрии». Для потом- I
ков этот печальный факт остался |
неразрешенной загадкой. А наш ве- I
ликий соотечественник Н. И.
Лобачевский так и остался без
докторской степени, несмотря на свое ге- .
ниальное открытие. !
Михаил Васильевич умер в Пол- I
таве по дороге из своего поместья В. Я. БУНЯКОВСКИЙ
в Петербург. Он был членом или
членом-корреспондентом многих иностранных академий:
Парижской (1856), Национальной деи Линчей в Риме (1853),
Национальной АН США (1834), Туринской (1841) и др.
Виктор Яковлевич Буняковский (1804—1889) родился в Баре
Подольской губернии. Получив начальное образование дома,
продолжил его в 1820—1825 годах в Париже, где в то время преподавали
Лаплас, Фурье, Пуассон, Коши, Лежандр, Ампер. В 1825 году
защитил в Сорбонне диссертацию и получил степень доктора
математики. Приехав в Петербург, преподавал в разных высших Учебных
заведениях: 1-м Кадетском корпусе (1827), Морском корпусе (1827—
1862), Институте путей сообщения (1830—1846), Петербургском
университете (1846—1859). С 1858 года был экспертом правительства по
вопросам статистики и страхования. Академик Петербургской АН
(1830), вице-президент Академии (1864—1889).
Буняковский опубликовал 128 научных работ преимущественно
по теории чисел (более 40), теории вероятностей и ее
приложениям (более 20), а также по анализу, геометрии и алгебре. Он дал
доказательство квадратичного закона взаимности, решил ряд задач
диофантова анализа, провел исследования о простых числах.
Буняковский применял теорию вероятностей к решению задач,
возникавших при организации страхового дела, ссудных касс, в
демографическом анализе (таблицы смертности и эмпирическая
функция для них, подсчеты призывных контингентов и др.). Он
оказал большое содействие проникновению математических мето-

218 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
дов исследования в
административную и хозяйственную деятельность.
! Им решено много конкретных
задач теории интегрирования,
сходимости рядов и др. В 1859 году
Буняковский получил
неравенство:
Uf(x) φ {x)dx} <fp(x) dx ]ψ (x)dx
{a J a a
(неравенство Коши —
Буняковского), тогда как Шварц нашел его и
опубликовал на 16 лет позже.
Геометрические исследования
Буняковского в основном
посвящены проблемам оснований
геометрии. Он тщательно исследовал ис-
КАРЛ Я КО Б И тори ю доказательства пятого посту-
лата Евклида о параллельных,
обнаружил несовершенство всех этих доказательств. Однако к работам
Н. И. Лобачевского относился отрицательно, как и Остроградский,
и продолжал искать логически строгое доказательство постулата.
Книги и учебники Буняковского сыграли огромную роль в
повышении научного уровня преподавания математики в высшей
школе и в расширении ее учебной программы: «Лексикон чистой
и прикладной математики» (1839), «Основания математической
теории вероятностей» (1846), «Арифметика» (1844), «Программа
и конспект арифметики» (1846) и др. За выдающиеся заслуги
перед русской наукой и просвещением В. Я. Буняковский был избран
почетным членом многих русских обществ и университетов. При
Академии наук учреждена премия его имени за выдающиеся
работы по математике.
Карл Густав Якоб Якобы (1804—1851) родился в Потсдаме в
семье коммерсанта. Получив домашнее начальное образование, в
гимназии самостоятельно изучал труды Эйлера, Лапласа, Лагранжа и
классические языки. В 1821 году поступил в Берлинский
университет. В 1825 году защитил диссертацию по вопросу разложения
дробей на простейшие и получил степень доктора философии. Один
семестр проработал в Берлинском университете, затем переехал
в Кенигсберг, где в 1826—1844 годах работал в Кенигсбергском
университете. Его лекционные курсы отличались высоким уровнем
специализации и включали результаты собственных исследований.
С 1834 года по 1844 год Якоби руководил математическим отделе-

Выдающиеся аналитики XIX века
219
нием физико-математического семинара при Кенигсбергском
университете, а с 1844 года по 1875 год этим семинаром руководил
ученик Якоби Фридрих Юлиус Ришело (1808—1875).
В 1840 году в возрасте 26 лет Якоби лишился состояния, имея к
тому же на своем попечении разоренную мать. Это не отразилось на
плодотворных математических исследованиях ученого.
В 1844 году он переехал в Берлин на работу в Академию наук.
Хотя из-за интриг ему не дали профессорской должности в
университете, лично король из своих средств назначил ему приличное
содержание. Когда же в 1848 году Якоби, по совету своего врача,
вместо математики окунулся в политику и выставил свою кандидатуру
на майские выборы в парламент от либерального круга, то оказался
между двух огней: либералы не поверили «королевскому пенсионеру»,
считая его «приспособленцем, лицемером и лазутчиком роялистов», а
король через несколько дней лишил его пенсии за красноречивое
выступление в поддержку либеральных реформ. Женатый, с семью
маленькими детьми ученый остался без гроша в кармане. Только по
просьбе Александра фон Гумбольдта обиженный король в 1849 году
восстановил Якоби денежное пособие. 18 февраля 1851 года ученый
умер в возрасте 47 лет от оспы.
Якоби — один из создателей теории эллиптических функций. Он
ввел и изучил тета-функции и некоторые другие трансцендентные
функции. Применил теорию эллиптических функций к изучению
движения волчка, исследованию геодезических линий на
эллипсоиде и др. Дал ряд новых методов решения дифференциальных
уравнений динамики, ввел в употребление функциональные
определители (якобианы) и указал на их роль при замене переменных в
кратных интегралах. Исследовал класс функциональных
многочленов. Именем Якоби названы многие понятия, тождества,
уравнения, функциональные определители, многочлены и др.
Якоби — член Берлинской АН (1836), Лондонского
королевского общества (1833), иностранный почетный член Петербургской АН
(1833), член-корреспондент Парижской АН (1846) и др. Удостоен
премии Парижской АН. Именем Якоби назван кратер на видимой
стороне Луны.
Уильям Роуан Гамильтон (1805—1865) родился в Дублине. С
детских лет у него обнаружилось необыкновенное дарование. В 4 года
он хорошо знал географию, арифметику и свободно говорил по-
английски, в 5 — декламировал Драйдена, Гомера, в 7 лет изучил
древнееврейский, а в 10 начал изучать арабский и санскритский
языки, самостоятельно ознакомился с «Началами» Евклида. В 12 лет
Гамильтон владел уже 18-ю иностранными языками. Сейчас нам
даже трудно представить, как тринадцатилетний мальчик, прочи-

220 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
тав «Всеобщую арифметику»
Ньютона и «Небесную механику»
Лапласа, обнаружил в последней
ошибку, не замеченную никем ранее.
Окончив Тринити-колледж
Дублинского университета, Гамильтон
в 22 года стал профессиональным
астрономом и директором
университетской обсерватории. К
важнейшим научным открытиям этого
ирландского математика
относятся: вариационный принцип в
механике (обобщенный М. В.
Остроградским), точное формальное
изложение теории комплексных
чисел, построение тела квитерни-
онов и основ векторного и опе-
УИЛЬЯМ ГАМИЛЬТОН рационного исчисления,
исследование волновых поверхностей,
матриц, групп Галуа и др. Выступая перед английскими
учеными, Якоби сказал: «Гамильтон — это Лагранж вашей страны». Он
был членом-корреспондентом Петербургской АН, членом
Ирландской королевской АН, почетным членом многих других
академий и научных обществ. Именем Гамильтона назван кратер
краевой зоны Луны.
Петер Густав Лежён Дирихле (1805—1859) родился в Дюрене.
Получив среднее образование, работал в 1822—1827 годах
домашним учителем в Париже и был членом кружка молодых ученых,
которым руководил Фурье. В 1827 году занял место доцента в Бреслау,
с 1829 года стал преподавать в Берлине. В 1831—1855 годах —
профессор Берлинского университета, а с 1855 (после смерти Гаусса) —
профессор Геттингенского университета.
Дирихле сделал ряд крупных открытий в теории чисел,
математическом анализе, механике и математической физике. Он вывел
формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с
заданным определителем и доказал теорему об арифметической
прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно
просты. Создал общую теорию алгебраических единиц в
алгебраическом числовом поле. Впервые точно сформулировал и исследовал
понятие условной сходимости ряда, установил признак
сходимости (признак Дирихле), дал строгое доказательство возможности
разложения в ряд Фурье функции, имеющей конечное число
экстремумов. Автор ряда работ по механике, теории потенциала.

Выдающиеся аналитики XIX века
221
Его именем названы многие
понятия и теоремы (интеграл, ядро,
задача, принцип, характер, ряды
и др.).
Лекции Дирихле оказали
огромное влияние на Римана, Кронеке-
ра, Дедекинда, Эйзенштейна и др.
Дирихле — член или
член-корреспондент многих академий наук:
Берлинской, Петербургской (1837),
Парижской (1854), Лондонского
королевского общества (1855) и др.
Жозеф Лиувилль (1809—1882)
родился в Сент-Омере. В 1827 году
окончил Политехническую школу,
в 1830 году — Школу мостов и
дорог. Работал профессором в
Политехнической школе (1833) и Кол- ПЕТЕР ДИРИХЛЕ
леж де Франс (1839). Член
Парижской АН (1840). Основал в 1836 году «Журнал чистой и
прикладной математики». Член Бюро долгот (1862). Опубликовал около
400 работ.
Лиувилль построил теорию эллиптических функций, которые
рассматривал как двояко-периодические функции комплексной
переменной. Он доказал, что любая целая функция, ограниченная
на всей плоскости, тождественно равна постоянной. Исследовал
краевую задачу для линейных дифференциальных уравнений 2-го
порядка. Сформулировал фундаментальную теорему статистической
механики и доказал теорему об интегрировании канонических
уравнений динамики. Доказал существование и осуществил
фактическое построение трансцендентных чисел (1851).
Лиувилль первый оценил работы Галуа и опубликовал их в 1846 году
в своем журнале. Иностранный член-корреспондент Петербургской
АН (1840). Его именем назван кратер на обратной стороне Луны.
Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815—1897) родился в Ос-
тенфельде в семье заведующего казначейством. Первоначальное
образование получил в Паденборнской гимназии, по окончании
которой изучал юридические науки в Боннском университете (где
в то время не читалось чисто математических курсов).
Интерес к математике возник у Вейерштрасса в результате
самостоятельного изучения различных вопросов математики. Переехав в
1839 году в Мюнстер, он заинтересовался модулярными
функциями, т. е. функциями, обратными по отношению к интегралу:

222 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
Г άζ
4(l-z2)(l -kh2)'
где к — модуль. В 1841 году Вейер-
штрасс написал работу «О
разложении модулярных функций» и,
сдав экзамены на звание учителя
математики, в течение 15 лет
работал преподавателем в
католических средних учебных заведениях
Дейч-Кронса и Браунсберга (ныне
г. Бранево в Польше).
Путь в науку ему открыл лучший
ученик Якоби Фридрих Ришело, по
предложению которого Кенигсберг-
ский университет присвоил Вейер-
штрассу в марте 1854 года почетную
КАРЛ ВЕЙЕРШТРАСС ^"^ СТеПеНЬ· В 1856 ГОДу В!Йер'
штрасс уже экстраординарный, а с
1865 — ординарный профессор
Берлинского университета, возглавивший Берлинскую
математическую школу.
Большинство научных работ Вейерштрасса при его жизни не
печатались, а лишь излагались им на лекциях. Многочисленные
слушатели его лекций из разных стран распространяли идеи ученого.
Это имело огромное значение для математики. Лекции и статьи
Вейерштрасса посвящены математическому анализу, теории
аналитических функций, вариационному исчислению, дифференциальной
геометрии и линейной алгебре.
Он разработал систему логического обоснования
математического анализа, основанную на построенной им теории действительных
чисел. Вейерштрасс систематически использовал понятие верхней
и нижней грани числового множества, учение о предельных точках,
строгое обоснование свойств непрерывных функций, построение
непрерывной функции, не имеющей производной (предшественником
этих открытий был чешский математик Больцано). Вейерштрасс
доказал теорему о возможности разложения любой
непрерывной на отрезке функции в равномерно сходящийся ряд
многочленов, теорему о разложении функции, аналитической в
круговом кольце, по целым положительным и отрицательным степеням
(независимо от Лорана), теоремы об аналитическом продолжении,
об аналитичности суммы равномерно сходящейся
последовательности аналитических функций, о разложении целых функций в беско-

Выдающиеся аналитики XIX века
223
нечные произведения и др. Он
осуществил новое построение теории
эллиптических функций, создал
основы теории аналитических
функций нескольких переменных.
Построил вариационное исчисление
для случая параметрического
задания функций и нашел достаточные
условия экстремума интеграла,
изучил геодезические линии и
алгебраические мнимые поверхности. Им
построена теория элементарных
делителей для приведения матриц
к каноническому виду и доказана
теорема о том, что комплексные
числа образуют над полем
действительных чисел единственную
коммутативную алгебру и многое ШАРЛЬ ЭРМИТ
другое.
Человек тонкого и критического ума, Вейерштрасс сыграл
огромную роль в постановке многих принципиальных вопросов в
математике. Правда, Феликс Клейн в своих воспоминаниях пишет,
что «интеллектуальное влияние Вейерштрасса скорее подавляло
учеников, чем толкало их на путь самостоятельного творчества». Такая
ситуация вызывала чувство протеста у будущих гениев Клейна и
Ли, и они не посещали лекции Вейерштрасса, о чем впоследствии
не раз сожалели.
Вейерштрасс — член Берлинской АН (1856), иностранный
почетный член Петербургской АН (1895), Парижской АН (1868). Его
именем названы десятки понятий, формул и теорем, а также кратер
на обратной стороне Луны.
Шарль Эрмит (1822—1901) родился в Дьёзе (Лотарингия). В 1842 году
поступил в Политехническую школу, где на его способности
обратили внимание Каталан и Лиувилль. Еще в школе, не зная работ
Абеля, Эрмит дал доказательство невозможности решения в
радикалах общего уравнения 5-й степени. С 1848 года он работал в
Политехнической школе репетитором и экзаменатором, а с 1869 года —
профессором Парижского университета. Член Парижской АН (1856).
Эрмит опубликовал около 200 научных работ по общей теории
функций, решению алгебраических и трансцендентных уравнений,
теории рядов, определенных интегралов, теории чисел, теории
алгебраических форм, механике и др. Он нашел решение уравнения
5-й степени с помощью эллиптических функций, изучил один из

224 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
классов ортогональных
многочленов от одного и от нескольких
переменных (многочлены Эрмита),
рассмотрел представление целых
чисел алгебраическими формами
и ввел билинейные формы
особого вида (эрмитовы формы) и др.
В 1873 году он доказал
трансцендентность числа е.
Почти полвека Эрмит
поддерживал дружбу с Чебышёвым и был
близко знаком с его учениками.
Иностранный
член-корреспондент Петербургской АН (1857), а
в 1895 — иностранный почетный
член этой Академии. За год до
смерти он был избран Почетным пред-
В. Г. ИМШЕНЕЦКИЙ седателем международного
конгресса в Париже (1900). Именем
Эрмита названы десятки понятий, формул и теорем, а также
кратер краевой зоны Луны.
Василий Григорьевич Имшенецкий (1832—1892) родился в
Ижевске. Окончив в 1853 году Казанский университет, работал учителем
гимназии и проводил научные исследования, привлекшие
внимание ученых. В 1862 году Имшенецкий был командирован за
границу, где занимался в Париже под руководством Г. Ламе, Ж. Серре и
Ж. Бертрана. С 1865 года — магистр, с 1868 — доктор и
экстраординарный профессор Казанского университета. В 1873 году он был назначен
профессором Харьковского университета. С 1884 года работал в
Петербурге, являлся основателем и председателем Петербургского
математического общества (1890). Проводил исследования в
области дифференциальных уравнений с частными производными, где
не только развил и обобщил методы К. Якоби, но и создал свой
метод решения уравнений 1-го порядка в частных производных,
носящих его имя. Разработал также новое приложение метода
вариации произвольных постоянных к интегрированию уравнений с
частными производными 2-го порядка.
Софус Мариус Ли (1842—1899) родился в Норфьордейде
(Норвегия) в семье лютеранского пастора Германа Ли. Сначала он посещал
общеобразовательную школу в г. Моссе (недалеко от Христиании
(Осло)), а с 15 лет два года учился в частной столичной гимназии,
преодолевая, как правило, пешком расстояние от Мосса до
столицы. По этому поводу кто-то сочинил даже песенку: «Ежедневно во-

Выдающиеся аналитики XIX века
225
семь миль с ранцем за спиною —
все равно, что проглотить
бутерброд с икрою».
С 1859 года Ли — студент
столичного университета. Получив в
1865 году диплом со званием
лиценциата наук, начал преподавать '
математику и физику в частной
гимназии, ассистировать в универ- !
ситете, заниматься астрономией.
Ознакомившись в 1868 году с тру- |
дами Понселе и Плюккера, увлек- f
ся геометрией. Выехав в 1869 году ,
в Германию, Ли встретился в Бер- |
лине и подружился с Клейном. В
1870 году они вместе приехали в j
Париж, где познакомились с
ведущими математиками Франции — СОФУС ЛИ
Шалем, Дарбу, Бертраном, Жор-
даном и др. В доклады Парижской АН была представлена работа Ли
«О геометрических преобразованиях» и совместная работа Ли и
Клейна «О некоторых семействах кривых и поверхностей».
Чувствуя приближение войны, Клейн покинул Францию, а Ли
остался. Во время одной из лесных прогулок около Фонтенбло, Ли
писал свои формулы, рисовал карандашом фигуры, и его приняли
за немецкого шпиона. Дарбу пришлось убеждать императорского
прокурора, что «комплексы», «ортогональные системы», имена
геометров и т. п. никаким образом не относились к национальной
обороне Франции. Во время четырехнедельного заключения в крепости
Фонтенбло Ли значительно продвинул реализацию своих
математических идей. Получив свободу, Ли осуществил свою мечту —
добрался из Парижа (в основном пешком) до итальянской границы,
перевалил через Альпы, побывал в Риме, дошел до Адриатики,
а оттуда морем, сушей и снова морем — домой.
В 1877—1886 годах Ли руководил кафедрой математики Христиа-
нийского университета, а с 1886 года он переехал в Германию и
работал в 1886—1898 годах профессором Лейпцигского
университета. В 1898 году Ли вернулся на родину. В университете Христиании
для него была открыта кафедра непрерывных групп
преобразований. Исследования по этой теории принесли Ли всемирную славу.
Открытая им новая область математики опиралась на геометрию,
алгебру, топологию, анализ, дифференциальные уравнения, т. е. была
«на стыке наук». Этим объясняется, что проблематика Ли пере-

226 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
шагнула столетие и заняла в XX веке достойное место. Сотни
современных работ по дифференциальной геометрии, теории групп,
топологии, дифференциальным уравнениям используют понятия
группы Ли и алгебры Ли. Более 100 научных работ, написанных
Ли за 40 лет, убедительно показывают важность
взаимопроникновения математических наук, особенно когда наметилась
тенденция отпочкования все новых и новых ветвей от единого некогда
древа математики.
Отметим лишь некоторые из работ этого гениального ученого:
«О представлении мнимых образов в геометрии» (1869), «Новый
интегральный метод дифференциальных уравнений первого
порядка в частных производных» (1872), «Новые интегральные методы
проблемы Пфаффа» (1873), «Общая теория дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка» (1875), «Теория
групп преобразований» (1876), «Об основаниях геометрии» (1877),
«Основы теории бесконечных групп преобразований» (1891),
«Теория поверхностей переноса и теорема Абеля» (1896), «Об
интегральных инвариантах и их использовании в теории дифференциальных
уравнений» (1897), «О геометрии уравнения Монжа» (1898). В 1922—
1937 годах в Лейпциге и Осло издали семитомное собрание
сочинений Софуса Ли.
Его удивительные работы вызывали преклонение и геометров, и
аналитиков. Он сделал открытия, которые на долгие годы сохранят
его имя от забвения и будут оказывать благотворное влияние на
развитие науки. Великий преемник Ли и Дарбу Эли Картан сказал:
«Он войдет в историю науки как гениальный создатель
непрерывных групп». А последователь Клейна Фридрих Энгель заявил:
«В лице Ли ушел не только один из самых выдающихся
математиков нашего времени, но и всех времен».
Софус Ли умер от анемии мозга, страдая в последние годы
жизни от депрессии, разочарования в людях вообще и в математиках в
частности. В 1897 году он был удостоен премии Лобачевского. Ли
был избран иностранным членом-корреспондентом Петербургской
АН, Парижской АН и других академий и научных обществ. Его
именем назван кратер на видимой стороне Луны.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1845—1918) родился
в Санкт-Петербурге в семье преуспевающего купца, работавшего
оптовым агентом, а впоследствии брокером фондовой биржи Санкт-
Петербурга. Мать Кантора — русская. Получив начальное
образование дома, Кантор до 11 лет посещал начальную школу в Петербурге,
затем (в связи с необходимостью перемены климата по состоянию
здоровья отца) семья переехала в Германию, где Георг обучался в
1856—1862 годах в гимназии Висбадена, пансионате реальной шко-

Выдающиеся аналитики XIX века
227
лы и высшем ремесленном
училище г. Дармштадта. В 1862—1863
годах он учился в Политехнической
школе Цюриха, а после смерти
отца (1863) — в Берлинском
университете, где слушал лекции Вей-
ершрасса, Куммера и Кронекера.
Летний семестр 1866 года обучался
в Геттингене. В 1867 году защитил в
Берлине докторскую диссертацию
на тему «О неопределенных
уравнениях второй степени». С 1969 года
Кантор — доцент, затем —
профессор университета в Галле (1879—
1913).
Он разработал теорию
бесконечных множеств и теорию
трансфинитных чисел. Кантор доказал в ГЕОРГ КАНТОР
1874 году несчетность множества
действительных чисел, в 1878 году ввел общее понятие мощности
множества, развил принципы отображения и сравнения множеств.
Он доказал равномощность множества точек линейного
континуума и точек я-мерного многообразия.
В 1879—1884 годах Кантор осуществил систематическую
разработку теории множеств: изложил основы своего учения о
бесконечности, о трансфинитных числах, доказал существование
трансцендентных чисел, используя соображения о мощности множеств,
сформулировал аксиому непрерывности (аксиому Кантора), ввел
понятие предельной точки, производного множества, построил
пример совершенного множества (носящего его имя) и высказал
континуум-гипотезу. Теория множеств оказала огромное
воздействие на развитие математики, явилась основой современной
теории функций действительной переменной, топологии, алгебры,
теории групп, функционального анализа и других разделов
современной математики.
Однако обнаруженные парадоксы Бурали-Форти (о
трансфинитном множестве всех порядковых чисел), Рассела (о мощности
множества всех множеств) и др. вызвали обоснованную критику этой
замечательной теории. В XIX веке главным оппонентом Кантора был
Кронекер, который отрицал существование «актуальной
бесконечности» и допускал лишь такое определение математического
понятия, для которого требовалось лишь конечное число шагов. Он был
ярым сторонником арифметизации арифметики на базе натураль-

228 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
ного числа. Кантор, по выражению
Стройка, был в глазах Кронекера
«самым большим еретиком».
Расхождения между формалистами и
интуиционистами XX века были
продолжением на новом уровне
спора между Кантором и Кроне-
кером.
Давид Гильберт ответил
критикам создателя теории множеств
своей знаменитой фразой: «Никто
не изгонит нас из рая, созданного
для нас Кантором».
I Кантор занимался также иссле-
| дованиями в области теории чисел.
1 Он доказал справедливость гипо-
- тезы Гольдбаха — Эйлера для чет-
Hi. Е.ЖУКОВСКИЙ ных чисел до 1000. Осуществлял
представление чисел в виде
бесконечных произведений, занимался другими вопросами.
Георг Кантор — отец шестерых детей, прекрасный скрипач,
унаследовавший от родителей любовь к музыке. Хотя почти всю свою
жизнь ученый прожил в Германии, он с большой ностальгией
вспоминал о своих ранних годах в России. С конца XIX века Кантор стал
впадать в продолжительные депрессии, обострившиеся после
смерти матери (1896), младшего брата (январь 1899) и младшего сына
(декабрь 1899). Хотя несколько зимних семестров в 1902—1908 годах
он не преподавал вообще, много времени проводил в санаториях,
увлекся религиозно-философскими сочинениями, но продолжал
заниматься математикой и до 1913 года оставался профессором
Галльского университета. Умер от сердечного приступа, не дожив до того
момента, когда в двадцатые годы XX века его идеи стали
общепризнанными.
Гильберт назвал Кантора «изящным продуктом
математического гения и одним из наивысших достижений чистой
интеллектуальной человеческой активности». Именем Кантора назван кратер на
обратной стороне Луны.
Николай Егорович Жуковский (1847—1921) родился в с. Орехово
Владимирской губернии. В 1868 году окончил Московский
университет. С 1870 года — преподаватель во 2-й Московской женской
гимназии, а с 1872 — в Московском техническом училище. Доцент
кафедры аналитической механики (1874). В 1876 году Жуковский
защитил магистерскую диссертацию, а в 1882 — докторскую. С 1885 года

Выдающиеся аналитики XIX века
229
он преподавал также в
Московском университете, став в 1886 году
его экстраординарным
профессором. В 1887 году Жуковский
возглавил кафедру в МВТУ. С 1905 года и
до своей кончины (1921) он был
президентом Московского
математического общества.
В научных сочинениях
Жуковского преобладают исследования в
области аэродинамики, авиации,
гидравлики, механики твердого
тела, причем из 80 его работ,
написанных до 1900 года,
большинство посвящены гидродинамике
(проблема качки судов, реактивные
водометные двигатели, трение
жидкости в полости тела и др.), од- с. А. ЧАПЛЫГИН
нако уже с 1889 года появляются
его работы по теории воздухоплавания. В 1902 году Жуковский
построил в университете первую аэродинамическую трубу, в 1910 году
организовал аэродинамическую лабораторию. Он открыл метод
присоединенных вихрей, разработал теорию подъемной силы крыла и
вихревую теорию винта.
В математике он решил ряд проблем уравнений математической
физики и теории функций комплексной переменной, применив ее
к решению трудных задач гидро- и аэродинамики и уделяя большое
внимание приближенным вычислениям.
Жуковского справедливо называют основоположником
современной гидроаэродинамики и «отцом русской авиации». Николай
Егорович подготовил большое количество ученых-теоретиков,
экспериментаторов, инженеров, офицеров-летчиков. Недаром наша
Военно-воздушная академия носит его имя. В его лице
органически соединялся ученый-теоретик и инженер-практик.
Одним из самых талантливых учеников Η. Ε. Жуковского был
С. А. Чаплыгин.
Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869—1942) родился в Раненбурге
(ныне Липецкая обл.) в купеческой семье. В два года он потерял
отца (Алексей Тимофеевич Чаплыгин умер в возрасте 24 лет от
холеры). Мать снова вышла замуж, переехала в Воронеж, но очень
заботилась о своем сыне Сереже. В 8 лет он занимался с репетитором-
семинаристом и поступил в гимназию, где обнаружил необычайные
способности (даже был освобожден педагогическим советом гимна-

230 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
зии от платы за обучение). Прославленный автор школьных
учебников Андрей Петрович Киселев (1852—1940) восторгался
способностями Чаплыгина и прочил ему великое будущее. В 17 лет Сергей
Алексеевич окончил с золотой медалью гимназию и, взяв с собой
200 рублей, накопленные репетиторством, и небольшой сундучок
с пожитками, уехал в Москву учиться на физико-математическом
факультете Московского университета. В 1890 году он окончил
университет, в 1900 году награжден золотой медалью
Петербургской АН за исследования движения систем с неголономными
связями. В 1902 году Чаплыгин защитил докторскую диссертацию и был
избран профессором Московского университета по кафедре
прикладной математики. В 1925 году он удостоен премии имени Η. Ε.
Жуковского, в 1929 — почетного звания «Заслуженный деятель науки
РСФСР». В 1942 году АН СССР учредила премию имени С. А.
Чаплыгина. Он обогатил науку выдающимися открытиями в
гидродинамике, теоретической механике, создал метод приближенного
решения дифференциальных уравнений (метод Чаплыгина) и решил ряд
задач вариационного исчисления. Именами Жуковского и
Чаплыгина названы кратеры на обратной стороне Луны.
Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891) родилась в Москве.
Ее отец, Василий Васильевич Корвин-Круковский, — генерал,
начальник Московского арсенала. В раннем детстве Соня не
пользовалась особым вниманием родителей, ожидавших сына, а не дочь.
Мать даже не пожелала взглянуть на новорожденную, и ее сдали на
попечение сначала няни, затем — гувернанток. Из родственников
только один дядя — Петр Васильевич — относился к ней с любовью.
Приезжая часто в гости в имение Круковских — Палибино
(Витебская губерния), обладая врожденным педагогическим талантом, он
беседовал с племянницей на разные темы.
Именно от дяди услышала Соня в первый раз о квадратуре
круга, об асимптотах и других математических понятиях, внушавших
маленькой девочке благоговение перед математикой. При ремонте
дома в Палибино не хватило обоев для ее спальни, и комнату
оклеили литографированными лекциями курса дифференциального и
интегрального исчисления академика М. В. Остроградского. Часами
простаивала девочка около стен, пытаясь понять смысл формул и
чертежей, сопоставляя их с рассказами дяди. К десяти годам под
руководством домашнего учителя И. И. Малевича она в
совершенстве овладела арифметикой, в 14 лет изучила школьный курс
алгебры и геометрии. А когда Софья Васильевна самостоятельно вывела
большинство тригонометрических формул, приведенных в
учебнике, генерал по совету своего друга Тыртова — профессора физики
Морской академии — решил серьезно учить дочь математике.

Выдающиеся аналитики XIX века
231
В 1866 году в Петербурге ей |
давал частные уроки по высшей |
математике известный педагог J
А. Н. Страннолюбский. В течение |
зимы она глубоко усвоила анали- )
тическую геометрию, дифференци- |
альное и интефальное исчисление. |
В «Воспоминаниях детства» Кова- j
левская пишет: «Когда он (Стран- |
нолюбский) объяснял мне эти j
понятия, мне вдруг живо припом- j
нилось, что все это стояло на па- j
мятных мне листах Остроградского, j
и самое понятие о пределе
показалось мне довольно знакомым».
В 1868 году Софья Васильевна
добилась разрешения слушать лек- I
ции у И. М. Сеченова и заниматься с. В. КОВАЛЕВСКАЯ
анатомией у В. Л. Грубера в
Военно-медицинской академии. Затем она вступила в фиктивный брак
(превратившийся потом в настоящий) с молодым геологом
Владимиром Онуфриевичем Ковалевским (ставшим впоследствии
выдающимся русским ученым — основоположником эволюционной
палеонтологии) и в 1869 году уехала с ним за границу — жена в
Гейдельберг, а муж — в Вену.
В Гейдельберге Ковалевская посещала в течение года 22 лекции в
неделю (из них 16 — по математике). Среди лекторов были
всемирно известные ученые: математик Кёнигсбергер, физики Кирхгоф,
Дюбуа-Реймон, Гельмгольц, химик Бунзен. В 1870 году Ковалевская
переехала в Берлин, где четыре года занималась математикой под
руководством Вейерштрасса. Весной 1871 года ей и ее мужу
пришлось пробираться в Париж, только что взятый войсками Тьера, и
спасать от расстрела старшую сестру Анюту и ее фактического мужа
Жаклара (одного из видных деятелей Парижской Коммуны),
организовав им побег из тюрьмы.
В июле 1874 года на основании трех работ Ковалевской: «К теории
дифференциальных уравнений в частных производных», «О
приведении одного класса абелевых интегралов третьего ранга к
эллиптическим», «Дополнения и замечания к исследованию Лапласа о форме
кольца Сатурна», представленных Вейерштрассом и
опубликованных соответственно в 1874, 1884, 1885 годах, Геттингенский
университет заочно присвоил Софье Васильевне степень доктора
философии. Вейерштрасс, зарекомендовавший себя одним из ярых

232 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
противников женского образования и считавший, что «женщины
нашего времени, независимо от расы и национальности, не
годятся для выдающихся научных работ», вынужден был изменить свое
мнение. «Что касается математического образования Ковалевской, —
писал он, — то могу заверить, что я имел очень немногих
учеников, которые могли бы сравниться с ней по прилежанию,
способностям, усердию и увлечению наукой».
В 1874 году Ковалевские вернулись в Петербург и, не имея
возможности устроиться на работу (женщинам в России было
запрещено преподавать в вузах, а мужу, также блестяще защитившемуся
за границей, припомнили его участие в
революционно-демократическом движении 60-х годов), занялись коммерческой деятельностью.
Честность Ковалевского, его неприспособленность к темным
махинациям приносили ему только неприятности и долги и в Петербурге
(1874—1880), и в Москве (1880—1883). Попав в руки темных дельцов
и запутавшись в расставленных ими сетях, Владимир Онуфриевич
покончил с собой. Софья Васильевна очень тяжело переживала эту
трагедию, считая себя косвенной виновницей случившегося, но
нашла в себе силы вернуться к математике после почти десятилетнего
перерыва.
В 1883 году она выступила с докладом «О преломлении све.та в
кристаллах» на VII съезде русских естествоиспытателей и врачей,
а уже с 1884 года Ковалевская — штатный профессор
Стокгольмского университета, где она за семь лет прочитала 12 курсов, в том
числе курс механики. В 1888 году за работу «Задача о вращении
твердого тела вокруг неподвижной точки» Ковалевская получила премию
Парижской АН, а в 1889 — за вторую работу о вращении твердого
тела ей была присуждена премия Шведской АН. В этом же году она
была избрана членом-корреспондентом Петербургской АН.
Софья Васильевна отдавала много сил и энергии литературной
деятельности. Ее романы и драматургические произведения, ее
стихи пользовались успехом. Последние два года жизни она сблизилась
с профессором государственного права Максимом Максимовичем
Ковалевским, познакомившись с ним на балу. Великолепный
«русский боярин», сын богатого помещика, очаровал Софью
Васильевну. И хотя недели «невероятной нежности» чередовались с
периодами ссор и приступов ревности, в конце 1890 года состоялась их
помолвка. Новый 1891 год Ковалевские встречали вместе в Генуе. На
лето была назначена свадьба, которой не суждено было состояться.
Возвращаясь в январе 1891 года в Стокгольм, Софья Васильевна
простудилась и в феврале умерла от воспаления легких. На ее
похоронах Μ. Μ. Ковалевский сказал: «Софья Васильевна! Благодаря
Вашим знаниям, Вашему таланту и Вашему характеру, Вы всегда были

Выдающиеся аналитики XIX века
233
и будете славой нашей родины.
Недаром оплакивает Вас вся
ученая и литературная Россия. Со всех
концов обширной империи, из
Гельсинфорса и Тифлиса, из
Харькова и Саратова присылают венки
на вашу могилу. Вам не суждено
было работать в родной стране. Но,
работая по необходимости вдали от
родины, Вы сохраняли свою
национальность, Вы остались верной и
преданной союзницей юной
России, России мирной,
справедливой и свободной, той России,
которой принадлежит будущее. От ее
имени прощаюсь с Вами в
последний раз!»
В жизни Ковалевской большую ЭДУАРД ГУРСА
роль сыграл выдающийся
немецкий математик Карл Вейерштрасс, к которому Софья Васильевна
испытывала большое уважение и дружеские чувства. «Вы, конечно,
не меньше меня знаете, — писала она Миттаг-Лёффлеру, — какие
чувства благодарности и дружбы привязывают меня к Вейерштрас-
су и с каким участием он всегда относился ко всему, что касается
меня». Для Вейерштрасса его «милая Соня» была, может быть,
единственным человеком, которого он любил на старости лет и считал
своей самой талантливой ученицей. В некоторых университетах
Германии, например в Мюнхенском, портреты Вейерштрасса и
Ковалевской висят рядом, как бы подчеркивая родственность их
математических душ.
Именем Ковалевской названа теорема о существовании и
единственности решения системы дифференциальных уравнений в
частных производных, а также кратер на обратной стороне Луны.
Эдуард Жан Батист Гурса (1858—1936) родился в Ланзаке
(департамент Ло). Он окончил в 1881 году Высшую нормальную школу.
С 1881 до 1885 года преподавал в Тулузе, затем 12 лет — в
Нормальной школе. С 1897 года Гурса — профессор Парижского
университета, где читал лекции по математическому анализу.
Всемирное признание получили его монографии по
дифференциальным уравнениям второго порядка с частными
производными, работы по теории аналитических функций и трехтомник «Курс
математического анализа». Гурса составил классификацию
дифференциальных уравнений с частными производными, основанную

234 Творцы выдающихся математических открытий XIX века
на природе их характеристик, и поставил задачу интегрирования
таких уравнений при граничных условиях, заданных вдоль
характеристик (задача Гурса). Он доказал, что для того, чтобы интеграл от
функции комплексной переменной вдоль замкнутого контура
равнялся нулю, достаточно существования в области, содержащей этот
контур, конечной производной без дополнительного требования ее
непрерывности (теорема Коши — Гурса). В математической физике
известны функции Гурса, в геометрии — конфигурация Гурса.
С 1919 года Гурса — член Парижской АН. Он долгое время был
президентом Французского математического общества. Лауреат трех
различных премий Парижской АН. В 1935 году Гурса был награжден
юбилейной медалью Парижского университета.

235
Глава VIII.
О некоторых выдающихся математиках XX века
Двадцатый век явился для математики периодом ее наиболее
интенсивного развития. Ее достижения в этом столетии
превосходят все то, что было создано за предыдущие тысячелетия. Десятки
новых направлений, сотни научных школ, тысячи талантливых
математиков, появление современных методов исследования,
компьютеризация во многих отраслях человеческого знания обеспечили
математике ведущую роль в прогрессе человечества.
В то же время увлечение абстрактными построениями в
дифференциальной геометрии, алгебре, топологии, анализе и других
областях математики привели к неоправданной дифференциации даже
в узких направлениях математической науки. Наметился отрыв
современных математических исследований от потребностей
практики и даже от исследований в родственных математике науках
(физике, механике, астрономии и др.). На математических форумах
коллеги даже одной узкой математической дисциплины с трудом
понимают докладчиков, увлеченных результатами новых,
введенных ими, абстрактных математических структур.
В первой половине XX века математика развивалась главным
образом в национальных рамках, причем в начале века ведущую роль
играли французская и немецкая математические школы, а в
последующие десятилетия в полную силу заявили о себе российские
математические школы. Ученые России вошли в элиту выдающихся
математиков мира. Со второй половины XX века математика стала
приобретать черты интернациональной науки.
Наряду с традиционными математическими направлениями
(анализ, геометрия, алгебра, дифференциальные уравнения, теория
вероятностей и др.) в XX веке интенсивно развивались новые:
математическая логика и основания математики, функциональный
анализ, топология, теория функций и другие абстрактные
математические теории.
Двадцатый век прославили десятки гениальных математиков, о
каждом из которых можно писать отдельные монографии. К
сожалению, небольшой объем этой книги позволяет отметить лишь
некоторых из них и, следовательно, коснуться лишь отдельных
выдающихся достижений математической науки. Желающим получить
более полную картину о математике и математиках XX века можно
порекомендовать, например, статьи профессора В. М. Тихомирова
«Математика в первой половине XX века» [84] и «Математика во
второй половине XX века» [82], [83].

236
О некоторых выдающихся математиках XX века
§ 1. Давид Гильберт и его роль в развитии математики XX века
Давид Гильберт (1862—1943) родился в Велау (близ
Кенигсберга) в семье окружного судьи Отто Гильберта. Детство Давида
прошло в Кенигсберге (куда его отец переехал с семьей, став
городским судьей) в атмосфере преклонения перед Кантом. Получив
начальное образование дома от матери, он с 8 лет начал учиться в
приготовительной школе гимназии Королевского Фридрихс-кол-
легиума — старинной частной школы, основанной в XVII веке,
выпускником которой был Иммануил Кант. И хотя у юного Давида
были очень плохие способности к заучиванию наизусть, он
доучился до конца, перейдя в начале последнего учебного года из Фрид-
рихс-коллегиума в Вильгельм-гимназию, в которой значительно
больше уделялось внимания математике. В характеристике на
обратной стороне удостоверения об окончании гимназии, отмечалось его
«показательное» поведение, прилежание и «серьезный интерес к
науке». «Что касается математики, то здесь он всегда проявлял
живой интерес и глубокое понимание: он самым лучшим образом
овладел всем материалом, который проходили в школе, и научился
применять его с уверенностью и изобретательностью».
В 1880 году Гильберт поступил в университет, предоставивший
будущему гению долгожданную возможность
сконцентрироваться на математике. Первый семестр он прослушал в Альбертине
лекции по интегральному исчислению, теории определителей и
кривизне поверхностей, а второй семестр учился в Гейдельберг-
ском университете и слушал лекции Фукса по теории линейных
дифференциальных уравнений. Возвратившись на третий семестр
в Кенигсберг, он прослушал лекции Генриха Вебера (1842—1913)
по теории чисел, теории функций и теории инвариантов.
Благоприятное влияние на математические успехи Гильберта оказала его
большая дружба с Германом Минковским (1864—1909),
продолжавшаяся с 1883 года до конца жизни этого талантливого математика и
физика. Последние семестры университетского образования
Гильберт слушал лекции Фердинанда Линдемана (1852—1939) и Адольфа
Гурвица (1859-1919).
В 1885 году он успешно защитил два тезиса (об экспериментальном
способе определения абсолютного электромагнитного сопротивления
и об априорной природе понятий логики, арифметики и геометрии)
и получил степень доктора философии. Затем он сдал в этом же году
государственный экзамен, дающий право стать учителем гимназии,
но не воспользовался им, а по совету Гурвица уехал в Лейпциг, где
слушал лекции Феликса Клейна и принимал участие в его семинаре.
В марте 1886 года Гильберт по рекомендации Клейна выехал в Париж,

Давид Гильберт
237
где познакомился с Жорданом,
Альфаном, Пикаром, Эрмитом,
Дарбу. Возвратившись летом в
Кенигсберг, он представил хабилита-
ционную работу «Самые общие
периодические функции» и, успешно
сдав устный экзамен, стал
доктором Кенигсбергского университета.
Гильберт подготовил лекции по
теории инвариантов, определителям
и гидродинамике. После отъезда в
1892 году Гурвица в Цюрих он стал
профессором Кенигсбергского
университета, а затем переехал с
семьей в Гетгинген, где был до 1930 года
профессором университета, а
лекции продолжал читать до 1933 года.
После прихода к власти Гитлера ДАВИД ГИЛЬБЕРТ
жил в Геттингене в стороне от
университетских дел.
Творчество Гильберта охватывало практически все основные
области современной математики: теорию инвариантов (1885—1893),
теорию алгебраических чисел (1893—1898), основания геометрии
(1898—1902), принцип Дирихле и примыкающие к нему
проблемы вариационного исчисления и теории дифференциальных
уравнений (1900—1906), теорию интегральных уравнений (1900—1910),
решение проблемы Варинга (1908—1909), математическую
физику (1910—1922), логические основания математики (1922—1939).
Гильберт доказал основные теоремы о существовании
конечного базиса системы инвариантов. Его работы по теории
алгебраических чисел преобразовали эту область математики и стали
исходным пунктом ее последующего развития. Гильберт дал
полную систему аксиом евклидовой геометрии, распределив их по
группам, и рассмотрел геометрии, возникающие при изъятии или
изменении некоторых из этих аксиом. Он исследовал пространства над
некоммутативными телами. Гильберт дал первое общее
доказательство проблемы Варинга о представлении любого натурального числа
η > 1 в виде суммы конечного числа слагаемых, каждое из которых
является степенью целого числа с одним и тем же показателем.
Данное Гильбертом решение проблемы Дирихле положило
начало разработке прямых методов в вариационном исчислении.
Построенная им теория интегральных уравнений с симметрическим
ядром составила одну из основ современного функционального

238
О некоторых выдающихся математиках XX века
анализа и особенно спектральной
теории линейных операторов. В
математической физике он
занимался вариационными принципами и
проблемами излучения.
Большой вклад внес Гильберт в
обоснование математики путем ее
полной формализации с
последующим доказательством
непротиворечивости формализованной
математики. Хотя Гёделем была
установлена невозможность логического
доказательства
непротиворечивости арифметики, вся дальнейшая
работа по аксиоматическому по-
' строению различных разделов ма-
I тематики осуществляется по пути,
ГЕРМАН МИНКОВСКИЙ намеченному Гильбертом.
Исследования Гильберта
оказали большое влияние на развитие многих разделов математики в
XX веке. Сформулированные им в 1900 году на Парижском
международном математическом конгрессе 23 проблемы явились мощным
стимулом создания новых методов и подходов в математических
исследованиях. Некоторые из этих проблем не решены до сих пор.
Те же, которые были разрешены в положительном или
отрицательном смысле (континуум — гипотеза, трансцендентность или
иррациональность определенных чисел, аналитичность ядра
непрерывной топологической группы, существование гладкой поверхности
постоянной отрицательной кривизны и др.), приносили авторам
решений всемирную известность.
Благодаря всесторонней продуктивной деятельности Гильберта
в Геттингенском университете возникла всемирно известная
математическая школа. В первой трети XX века Геттинген стал одним из
основных мировых научных центров математической мысли.
Диссертации многих известных математиков XX века были написаны под
руководством Гильберта. Отметим некоторых соратников и
учеников Гильберта, прославивших Геттингенскую математическую
школу, руководимую в первой трети XX века Давидом Гильбертом.
Герман Минковский (1864—1909) родился в Алексотах (около
Каунаса) в семье преуспевающего торговца. После переезда семьи в
Кенигсберг поступил в возрасте восьми с половиной лет в
приготовительную школу Альтштадтской гимназии, обнаружив ранние
математические способности. По окончании гимназии учился в Бер-

Давид Гильберт
239
линском и Кенигсбергском
университетах. За решение задачи о
представлении числа в виде суммы пяти
квадратов он получил в 1883 году
Grand Prix (Большую премию)
Парижской АН (разделив ее с
известным английским математиком
Генри Смитом (1826-1883)). В 1893 году I
Минковский был назначен
экстраординарным профессором
Боннского университета, затем в 1894—
1896 годах был профессором Ке-
нигсбергского, в 1896—1902 годах —
Цюрихского, а с 1902 — Геттинген-
ского университетов.
Минковский исследовал про- ;
странственные целочисленные
решетки и разработал (независимо от ЭДМУНД ЛАНДАУ
Г. Ф. Вороного) современную
геометрическую теорию чисел, получив ряд новых результатов в этой
области. Он положил начало важному разделу геометрии — теории
выпуклых тел. Всемирное признание получила работа Минковского
«Пространство и время» (1909), в которой даны геометрические
интерпретации кинематики специальной теории относительности
в четырехмерном пространстве с гиперболической метрикой и
сформулирован постулат об инвариантности физических законов
относительно преобразований группы Лоренца. Именем Минковского
назван кратер на обратной стороне Луны.
Эдмунд Георг Герман Ландау (1877—1938) родился в Берлине.
В 1899 году окончил Берлинский университет. Работал
профессором Берлинского (до 1909) и Геттингенского (1909—1934)
университетов. С приходом к власти фашистов эмигрировал в Голландию.
С 1935 года — профессор Кембриджского, с 1937 — Брюссельского
университетов.
Основные труды Ландау — по аналитической теории чисел и
теории функций комплексной переменной. Автор трехтомного
трактата по теории чисел и курса анализа, который он изложил с
безупречной логической строгостью, отправляясь от свойств натурального
числового ряда. Член нескольких немецких академий и иностранный
почетный член АН СССР (с 1932).
Рихард Курант (1888—1972) родился в Люблинце (Польша).
Учился в университетах Бреслау, Цюриха, Геттингена. После окончания
Геттингенского университета в 1910 году работал в Геттингенском

240
О некоторых выдающихся математиках XX века
университете до 1933 года (с 1922
года — профессором). Эмигрировал
в США, с 1934 года — профессор
Нью-Йоркского университета.
В своих исследованиях Курант
развил принцип Дирихле и
применил его к теории конформных
отображений и к краевым задачам
математической физики для
уравнений эллиптического типа. Он
рассмотрел экстремальные свойства
собственных функций и
собственных чисел краевой задачи.
Всемирную известность получили
монографии Куранта «Методы
математической физики» в двух
томах (в соавторстве с Гильбертом),
РИХАРД КУРАНТ «Геометрическая теория функций
комплексной переменной», «Курс
дифференциального и интегрального исчисления» (в двух томах),
«Что такое математика?» (в соавторстве с Г. Роббинсом), «Принцип
Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхно.сти»,
«Уравнения с частными производными», «Теория функций»
(совместно с А. Гурвицем). Он неоднократно бывал в нашей стране, с
1966 года являлся иностранным членом АН СССР.
Курант очень высоко ценил своего учителя Гильберта. В 1969 году
он писал: «Давид Гильберт был одним из истинно великих
математиков своего времени. Его труды и его вдохновляющая личность
ученого оказали глубокое влияние на развитие математических наук
вплоть до настоящего времени. Его проникновенная интуиция, его
творческая мощь и неповторимая оригинальность математического
мышления, широта и разносторонность интересов сделали его
первооткрывателем во многих областях математики».
Карл Давид Тольме Рунге (1856—1927) родился в Бремене. Учился
в Мюнхенском (1876—1877) и Берлинском (1878—1880)
университетах. Работал в Берлине, Ганновере, а с 1904 года — профессор
Геттингенского университета.
Основные математические труды Рунге относятся к численным
методам решения дифференциальных уравнений и к
полиномиальным приближениям аналитических функций. Он установил
возможность такого приближения голоморфных функций и дал оценку
погрешности численного интегрирования. В области физики Рунге
занимался измерением спектральных линий.

Давид Гильберт
241
С приездом его в Геттинген I
профессора-математики
составили в университете уже квартет
(Клейн, Гильберт, Минковский,
Рунге). Их еженедельные прогул- |
ки по четвергам, во время которых I
обсуждались не только научные,
но и любые жизненные вопросы,
укрепляли дружеские отношения
между ними и благоприятно
сказывались на взаимопроникновении
различных математических идей.
В 1909 году Гильберт и Рунге
плакали, когда умер Минковский. В год
смерти Клейна (1925) Рунге
вышел в отставку, и его место
занял Густав Герглоц (1881 — 1953),
проводивший исследования по КАРЛ РУНГЕ
теории функций, операционному
исчислению, дифференциальной геометрии и теории чисел.
Герман Клаус Хуго Вейлъ (1885—1955) родился в Эльмсхорне (около
Гамбурга). Учился в Мюнхенском и Геттингенском университетах.
Докторантуру проходил под руководством Гильберта. В 1908 году
защитил диссертацию на тему
«Сингулярные интегральные
уравнения с особым использованием ~ ' " г
интегральных теорем Фурье» и
работал в 1908—1913 годах в
Геттингенском университете. В 1913—1930
годах руководил кафедрой в
Цюрихском университете, а в 1930—1933
годах заведовал кафедрой снова в
Геттингенском университете. С
приходом к власти Гитлера
эмигрировал в 1933 году в США и работал там
до 1952 года в Институте
перспективных исследований (Принстон).
Вейль работал в различных
областях математики. В математическом
анализе он рассматривал ряды по
ортогональным и почти
периодическим функциям, создал
спектральную теорию дифференциаль- ГЕРМАН ВЕИЛЬ

242
О некоторых выдающихся математиках XX века
ных операторов; в теории функций
комплексной переменной он
впервые дал строгое построение ее
разделов, опирающихся на понятие
римановой поверхности; в теории
чисел ввел суммы (названные его
именем), играющие важную роль
в аддитивной теории чисел.
Наиболее значительные работы Вейля —
по теории непрерывных групп и их
представлений с применениями к
проблемам геометрии и физики.
Введенное им понятие
пространства аффинной связности играет
важную роль в современной
дифференциальной геометрии. Вейль
применил теорию групп к кванто-
ЭММИ НЁТЕР вой механике и получил ряд
результатов в теории атомных
спектров. В области философии математики он, в отличие от Гильберта,
был интуиционистом.
Амали Эмми Нётер (1882—1935) родилась в Эрлангене в семье
профессора математики, ученика Клебша, Макса Нётера. В 1902 году
она окончила Эрлангенский университет, в 1907 году защитила
диссертацию на тему «О биквадратных тернарных формах». В 1916 году
Нётер переехала в Геттинген, но только в 1919 году Гильберту и
Клейну удалось добиться для нее низшей преподавательской
должности — приват-доцента, а в 1922 году — должности
«неофициального экстраординарного профессора» (nicht beamter auperordentlicher
Professor), не предусматривавшей никакого жалованья.
Первым и единственным денежным вознаграждением для Эмми
Нётер в Геттингене была небольшая сумма за чтение лекций по
алгебре (Lehrauftrag). He обладая педагогическим талантом
(количество ее слушателей колебалось от пяти до десяти), она создала
новое научное направление — общую теорию колец, полей,
идеалов, т. е. абстрактную алгебру, сконцентрировав около себя один
из самых продуктивных математических кругов в Геттингенском
университете в конце 20-х — начале 30-х годов. Среди слушателей
ее лекций были Бартель Ван-дер-Варден, Эмиль Артин, П. С.
Александров.
Нётер решила две проблемы, поставленные Жорданом и
Гильбертом по теории дифференциальных инвариантов, провела
глубокие исследования в теории идеалов и разработала основные разделы

Давид Гильберт
243
в теории некоммутативных алгебр. Она сформулировала
фундаментальную теорему теоретической физики, связывающую законы
сохранения с симметрией системы (теорема Нётер).
В 1933 году Нётер эмигрировала в США и до конца жизни
работала в женском университете маленького городка Брин Мор штата
Пенсильвания. Она не имела семьи и испытывала трогательную
любовь к своим ученикам, в среде которых прошла вся ее
сознательная жизнь.
С приходом к власти фашистов математической науке Германии
был нанесен непоправимый урон, а Геттингенская математическая
школа фактически была разгромлена. Сразу после назначения Гин-
денбургом Адольфа Гитлера канцлером Германии началась
пропагандистская кампания против «сатанинской силы», которая
«забрала в свои руки все ключевые позиции в научной,
интеллектуальной, а также политической и экономической жизни». В «Законе
о чиновниках» от 7 апреля 1933 года в разделе П. 3 (1) было
записано: «Чиновники неарийского происхождения подлежат
увольнению». В исполнительном постановлении к закону разъяснялось:
«Неарийцем считается лицо, происходящее от неарийских,
особенно еврейских родителей или бабушек и дедушек. Достаточно
того, чтобы хотя бы один из них был неарийцем». Математики,
работающие в университетах, а также учителя государственных школ
подпадали под действие этого закона. Университетам было
приказано уволить всех евреев, занимавшихся какой-либо педагогической
деятельностью. Были вынуждены эмигрировать из Германии Курант,
Нётер, Ландау, Нейгебауер, Борн, Вейль, Бернайс и другие
выдающиеся ученые Геттингенского университета.
Самое печальное, что эту расправу некоторые математики
оправдывали, а ученик Клейна известный математик Людвиг Бибербах
даже выступил в 1934 году с лекцией «Структура личности и
математическое творчество», опубликованной в журнале «Немецкое
будущее» (Deutsche Zukunst, № 14, 1934), в которой стремился
показать «на примере моей науки математики влияние народного духа,
происхождения и расовой принадлежности». Он разделил
математиков на два типа — «формалистов (S-тип) и интуитивистов (J-тип)».
S-тип, утверждал Бибербах, характерен для французских и
еврейских математиков (а ведь великий французский математик Анри
Пуанкаре был убежденным интуиционистом!), а J-тип присущ
арийским (немецким) математикам (а немец Давид Гильберт был,
напротив, убежденным формалистом!).
«Для еврейской математики, — писал Бибербах, — вообще
показательны жонглирование понятиями и ее явный продувной
характер. Еврейское мышление отличается тем, что оно ухватыва-

244
О некоторых выдающихся математиках XX века
ется за что-либо уже готовое и эксплуатирует его, между тем как
арийское мышление творит из самого себя. Поэтому плодом
еврейского мышления является дегуманизация математики, ее
отчуждение от природы, наглядности и практического применения.
Народ, осознавший самого себя, не может терпеть таких учителей,
должен отклонить чуждое мышление».
«Тот факт, что выдающийся математик Эдмунд Ландау
встретил у студентов Геттингенского университета активное
неприятие, объясняется тем, что ненемецкий стиль этого ученого
неприемлем для людей с немецким мировосприятием», «ученые
неарийского происхождения пытаются оказать пагубное влияние
на немецкий народ и лишить его источника, из которого он
черпает свою силу».
С протестом против расистской лекции Бибербаха выступили
многие выдающиеся ученые: Харальд Бор (брат известного физика),
Освальд Веблен, Годфри Харолд Харди и др. Харди подчеркнул, что
не страх потерять работу и «ужас перед повсеместно
распространяющейся глупостью» вынудили Бибербаха прочитать такую лекцию.
«Репутация профессора Бибербаха исключает такие объяснения. И я
вынужден прийти к значительно менее лестному для него выводу,
что он действительно верит в то, что говорит». Подтверждением этому
служит основанный Бибербахом в 1936 году журнал «Немецкая
математика», призванный отражать интересы «чисто арийской
науки».
Давид Гильберт тяжело переживал разгром созданной им и
Клейном знаменитой математической школы. Прочитав в
зимнем семестре 1933—1934 года свои последние лекции, он
устранился от преподавательской работы. Когда на одном банкете
Гильберт сидел рядом с новым (назначенным нацистами) министром
образования, его спросили: «Ну и как же теперь математика в
Геттингене, после того как она освободилась от еврейского
влияния?» «Математика в Геттингене? — ответил Гильберт. — Да она
просто не существует больше».
Говоря о роли этого величайшего ученого-математика первой
половины XX века, следует отметить, что своими
математическими открытиями и идеями он уверенно вошел в XXI век. В феврале —
апреле 1993 года, в 50-ю годовщину его кончины, в
Калининградском и Гетгингенском университетах прошли научные конференции,
посвященные его памяти, причем в Калининграде доклады делались в
открытой в 1991 году в КГУ аудитории имени Давида Гильберта.
Именем Гильберта назван кратер на обратной стороне Луны. Он —
почетный член многих академий мира, в том числе с 1934 года —
АН СССР.

Д. Ф. Егоров, Η. Η. Лузин и их ученики
245
§ 2. Основополагающая роль
Д. Ф. Егорова, Η. Η. Лузина и их
учеников в развитии
математики в России
В развитии математических
школ в России в XX веке особую
роль сыграли два выдающихся
математика и педагога — Дмитрий
Федорович Егоров и Николай
Николаевич Лузин. Активная
творческая работа этих ученых,
гениальный педагогический
талант, постановка ими большого
числа принципиально новых
математических задач для
дальнейших исследований увлекали
студенческую молодежь, развивали д. ф. ЕГОРОВ
у будущих математических светил
интерес к собственным научным исследованиям.
Дмитрий Федорович Егоров (1869—1931) родился в Москве. В 22 года
он окончил Московский университет, в 32 стал доктором наук,
в 34 — профессором. В 1924 году — член-корреспондент, в 1929 —
почетный член АН СССР. Был членом французского
математического общества. С 1922 до 1931 года — президент Московского
математического общества.
Д. Ф. Егоров осуществлял исследования в различных областях
математики: дифференциальная геометрия, теория интегральных
уравнений, вариационное исчисление, теория функций
действительной переменной. Его знаменитая теорема о равномерной
сходимости на совершенном сколь угодно близком по мере к отрезку
множестве любой последовательности измеримых функций, почти
всюду сходящихся на этом отрезке, послужила исходной точкой
работ по теории функций действительной переменной.
Рассматривая поверхность как однопараметрическое семейство одномерных
многообразий плоских элементов (поверхностных полос), Егоров
осуществил принципиально новый подход к исследованиям по
теории поверхностей и теории прямолинейных конгруэнции.
Ученики Д. Ф. Егорова — Η. Η. Лузин, С. П. Фиников, И. Г.
Петровский, В. В. Степанов, И. В. Привалов, В. В. Голубев, С. С. Бюш-
генс, Л. Н. Сретенский и другие прославили российскую
математическую науку выдающимися открытиями в теории функций
действительной и комплексной переменной, геометрии, тополо-

246
О некоторых выдающихся математиках XX века
гии, дифференциальных уравнениях,
теории вероятностей и воспитали
десятки талантливых математиков
первой величины.
К сожалению, в 1930—1931
годах началась травля Д. Ф. Егорова
за его приверженность к
православию и к русским
национальным традициям. Он был со-
| слан в 1931 году в Казань и
вскоре умер там. По воспоминаниям
I очевидцев, когда Д. Ф. Егорова на
I собрании снимали с поста
президента Московского математиче-
I ского общества, два его ученика —
Ι Η. Η. Лузин и С. П. Фиников —
у демонстративно покинули ауди-
Н. Н.ЛУЗИН торию. За этот мужественный
поступок и принципиальную
позицию в науке они впоследствии подвергались преследованиям.
Николай Николаевич Лузин (1883—1950) — всемирно известный
математик и воспитатель целой плеяды математических светил
России. М. А. Лаврентьев, П. С. Урысон, П. С. Александров, Д. Е.
Меньшов, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Л. Г. Шнирельман, П. С.
Новиков, Л. А. Люстерник, Н. К. Бари, Л. В. Келдыш, А. А. Ляпунов —
далеко не полный список его гениальных учеников.
Η. Η. Лузин родился в Томске. Учился в гимназиях Томска и
Иркутска. Начав в 1901 году учебу в Московском университете,
продолжил ее в 1905 году в Сорбонне, где слушал лекции Пуанкаре,
Адамара и Дарбу. Возвратившись в Москву, успешно сдал
госэкзамены и был оставлен в университете для подготовки к
профессорскому званию. В 1910—1914 годах был в командировке в Геттингене
и Париже, принимал участие в семинаре Адамара, имел научные
контакты со многими выдающимися математиками — Эмилем
Пикаром, Эмилем Борелем, Анри Лебегом, Арно Данжуа и др. С 1914
до 1918 года он работал в Московском университете. В 1916 году
получил степень доктора математических наук за выдающийся
научный труд «Интеграл и тригонометрический ряд». Впоследствии
Η. Η. Лузин был избран академиком АН СССР и стал руководить
отделом теории функций Математического института им. В. А. Стек-
лова АН СССР.
Диапазон научных интересов Η. Η. Лузина необычайно широк:
теория функций, дескриптивная теория множеств, основания ма-

Д. Ф. Егоров, Η. Η. Лузин и их ученики
247
тематики, дифференциальные уравнения, дифференциальная
геометрия, приложения классического анализа, конформные
отображения. В каждой из этих областей он получал глубокие результаты и
предлагал своим ученикам интересные задачи. Отметим некоторые
из этих результатов. 1) Всякая измеримая функция становится
непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.
2) Для любой измеримой функции f(x), конечной почти всюду,
можно найти такую непрерывную на R функцию F(x), что F'(x) -f(x)
почти всюду. 3) Среди рядов Тейлора с коэффициентами,
стремящимися к нулю, существуют ряды, расходящиеся во всех точках
единичной окружности. 4) Дан критерий существования
предельного решения для уравнения y'=f(x) + φ (у), к которому
приближаются все остальные решения. 5) Осуществлено эффективное
построение поверхностей, не обладающих главными основаниями.
Учебники Η. Η. Лузина по математическому анализу и теории
функций действительной переменной отличались высоким
методическим мастерством и неоднократно переиздавались, а его
монографии «Интеграл и тригонометрический ряд» (1915) и «Лекции об
аналитических множествах и их применении» (1930) получили
всемирную известность.
Талантливые ученики Η. Η. Лузина называли свой коллектив «лу-
зитанией», подчеркивая свое восхищение учителем, его идеями,
лекциями.
Большой трагедией не только для них, но и для широкой
математической общественности стало появление в 1937 году в «Успехах
математических наук» клеветнической редакционной статьи
«Изжить лузинщину в научной среде» (УМН, 1937, вып. III, с. 3—4).
Ответственным редактором этого журнала был в то время бывший
ученик Лузина Л. А. Люстерник, а в состав редколлегии входил ряд
других выдающихся его учеников, включая А. Н. Колмогорова.
Несколько цитат из этой статьи убедительно показывают всю
гнусность этой публикации. «Что же было выяснено при разборе
дела Η. Η. Лузина? Прежде всего двурушничество его, сочетавшего
враждебность ко всему советскому с неискренним восхищением
перед всяким явлением советской жизни»; «Пренебрежительное
отношение к советской науке сочеталось у Лузина с жалким
угодничеством по отношению к представителям иностранной науки»; «Было
время, когда реакционеры могли сравнительно открыто выступать
в научной среде (вспомним «егоровщину» в Московском
университете), рассчитывая на сочувствие известной части ученых»; «Нужно
уметь беспощадно разоблачать врагов, под какой бы маской они не
скрывались»; «Нужно искоренить в научной среде все остатки
рабского прошлого»; «В своих мемуарах и книгах он замалчивал автор-

248
О некоторых выдающихся математиках XX века
| ство своих учеников, «перенося»
| таким образом их результаты на
себя».
К великой чести Николая
Николаевича Лузина он не сломился
под нажимом травли и клеветы, не
эмигрировал и до конца жизни
| продолжал плодотворные иссле-
! дования в математике, оставаясь
I патриотом.
| О творческом пути каждого из
I упомянутых учеников Д. Ф. Егоро-
| ва и Н. Н. Лузина, а также и их та-
| лантливых учеников, можно рас-
| сказать многое. К сожалению, не-
I большой объем книги позволяет
I отметить лишь некоторых выда-
С. П. ФИНИКОВ ющихся ученых.
Сергей Павлович Фиников (1883—
1964) родился в Новгороде, где в 1900 году окончил гимназию.
В 1906 году он успешно завершил учебу на математическом
отделении Московского университета и был оставлен для подготовки к
профессорскому званию. В 1906—1911 годах и после 1917 года
работал в Московском университете (с 1918 — профессором, с 1953 —
заведующим кафедрой дифференциальной геометрии).
Работы С. П. Финикова по теории поверхностей и теории
прямолинейных конгруэнции отличаются глубиной, оригинальностью
и методическим совершенством. Большинство из них было
опубликовано в ведущих академических изданиях Франции и Италии
(С. R. Acad Sci, Atti Accad. Naz. Lincei) и изданиях АН СССР (ДАН,
Математический сборник, ИАН). Классические монографии
ученого «Теория поверхностей» (1934), «Проективно-дифференциаль-
ная геометрия» (1937), «Теория конгруэнции» (1950) и «Теория
пар конгруэнции» (1956) являются образцом научно-учебной
литературы. Они воспитали сотни ученых-геометров у нас и за
рубежом.
Руководимый С. П. Финиковым (а после его смерти в 1964 году —
Г. Ф. Лаптевым) семинар по классической дифференциальной
геометрии при МГУ стал в 60—70-е годы одним из ведущих центров
по подготовке кандидатов и докторов наук — геометров, многие
из которых стали впоследствии руководителями региональных
геометрических школ. Я счастлив, что на всех пяти моих докладах на
этом семинаре (включая три выступления перед защитой док-

Д. Ф. Егоров, Η. Η. Лузин и их ученики
249
торской) присутствовал СП.
Фиников и что мои три публикации
в «Докладах Академии наук»
СССР, представленные
академиками П. С. Новиковым и И. Н. Веку а,
были рекомендованы им С. П.
Финиковым.
Он был «влюблен» в
классическую дифференциальную
геометрию, восхищался каждым новым
результатом в этой области,
поощряя в то же время перспективные
исследования в области
многомерной дифференциальной геометрии
обобщенных пространств,
которыми руководил его ближайший
соратник Герман Федорович Лаптев
(1909—1972), создавший эффек- И.Г.ПЕТРОВСКИЙ
тивный современный метод
«продолжений и охватов» для изучения погруженных многообразий в
обобщенных пространствах.
Иван Георгиевич Петровский (1901—1973) родился в Севске
(Брянская губерния). В 1927 году окончил Московский университет и
работал там же (с 1933 — профессором, с 1951 — ректором). В 1935 году
защитил докторскую диссертацию, с 1946 года Петровский —
академик АН СССР.
Он осуществлял исследования в различных областях
математики: теории дифференциальных уравнений с частными
производными, алгебраической геометрии, теории вероятностей,
качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений,
математической физике и др. Петровский определил
необходимые и достаточные условия для границы области, в которой
существует решение граничной задачи для уравнений
теплопроводности, выделил и изучил классы эллиптических,
гиперболических и параболических систем уравнений с частными
производными, создал метод, позволяющий изучать топологические
свойства многомерных алгебраических многообразий, установил
существование лакун и диффузии волн, внес существенный вклад
в теорию случайных процессов.
Михаил Алексеевич Лаврентьев (1900—1980) родился в Казани.
В 1922 году окончил Московский университет, а в 1926 —
аспирантуру. В 1932 году защитил диссертацию на степень доктора
технических наук, а в 1933 — на степень доктора физико-матема-

250
О некоторых выдающихся математиках XX века
тических наук. В 1931—1941 годах
работал в Московском
университете, в 1934—1939 годах— в
Математическом институте АН СССР.
В 1939—1948 годах Лаврентьев —
директор института Точной
механики и вычислительной
техники АН УССР. С 1952 года он -
вице-президент АН СССР, в 1957 —
председатель Сибирского
отделения АН СССР.
Основные труды — по теории
функций и теории
дифференциальных уравнений. В механике
сплошной среды Лаврентьев
создал новые направления, в
теории функций комплексной пере-
М. А ЛАВРЕНТЬЕВ менной доказал ряд теорем о
конформных отображениях,
нашел новые свойства классов римановых поверхностей, ввел
понятие квазиконформного отображения и доказал основную
теорему теории квазиконформных отображений. Он получил
важные результаты в прикладной математике и механике — в
теории крыла, теории удара тел о воду, теории струй, теории
волн и др. Создал теорию кумулятивных зарядов, обеспечившую
успех нашим артиллеристам в борьбе с танками гитлеровских
войск. Разработал теоретические основы конструирования
кораблей на подводных крыльях.
Михаил Алексеевич — прекрасный педагог, автор многих
учебников. Член многих иностранных академий и научных обществ. Его
именем назван главный проспект Академгородка и Институт
гидродинамики в Новосибирске. Ученики Лаврентьева (академики
М. В. Келдыш, Л. И. Седов, А. Ю. Ишлинский, А. И. Маркушевич и
другие) успешно продолжили исследования ученого в
теоретической и прикладной математике.
Мстислав Всеволодович Келдыш (1911 — 1978) родился в Риге в
семье профессора Рижского политехнического института
(впоследствии академика архитектуры) Всеволода Михайловича Келдыша.
В раннем возрасте он проявил склонность к математике и точным
наукам. После окончания в 1931 году Московского университета
работал в Центральном аэрогидродинамическом институте
(1931 — 1946), а с 1934 года — в МГУ и Математическом институте
им. Стеклова АН СССР. В 1938 году он защитил докторскую диссер-

Д. Ф. Егоров, Η. Η. Лузин и их ученики
251
тацию на тему: «О представлении |
рядами полиномов функции ком- I
плексного переменного и гармони- I
ческих функций», а еще ранее, в \
1936 году, он получил звание про- I
фессора. С 1943 года Келдыш — |
член-корреспондент, а с 1946 — |
действительный член АН СССР. |
В 1961 — 1975 годах — президент I
АН СССР.
В научных исследованиях
Келдыша рассматриваются многие
фундаментальные проблемы
теоретической и прикладной математики:
теория колебаний, аэродинамика,
теория волн на поверхности
жидкости, теория удара о воду, при- *
ближенное интегрирование диффе- м. В. КЕЛДЫШ
ренциальных уравнений,
вырожденные эллиптические уравнения на границе области, теория
потенциала, конформные отображения и др. На посту бессменного
директора Института прикладной математики АН СССР (с 1953),
будучи главным теоретиком космонавтики (1961 — 1975), Келдыш
внес большой вклад в создание ракетно-ядерного щита нашей
Родины. Возглавляя Академию наук, он оказывал всемерную
поддержку развитию в нашей стране новых направлений современной
науки, таких как квантовая электроника, молекулярная биология
и другие.
Мстислав Всеволодович был большим патриотом, готовым
отдать любимой Родине все свои знания и силы. Он не переставал всю
жизнь учиться, не терпел верхоглядства и некомпетентности в
решении научно-организационных вопросов. Его служение науке было
высокопринципиальным и самоотверженным. Деятельность
Келдыша получила всемирное признание. Он был избран почетным
членом многих академий и научных обществ, неоднократно был
награжден орденами, являлся лауреатом государственных премий.
Его именем назван Институт прикладной математики АН СССР,
сотрудники которого реализуют многие идеи ученого и проводят
глубокие исследования теоретического и прикладного характера,
укрепляющие обороноспособность России. В 1978 году АН СССР
учредила Золотую медаль им. М. В. Келдыша. Кратер на видимой
стороне Луны, одна из малых планет и корабль научного флота также
носят его имя.

252
О некоторых выдающихся математиках XX века
Павел Самуилович Урысон (1898—
| 1924) родился в Одессе. В 1919 году
окончил Московский университет
и был оставлен на кафедре Η. Η.
Лузина. Он стал вскоре одним из
крупнейших топологов XX века и
одним из самых разносторонне
одаренных математиков.
Построенная Урысоном теория
размерности, его знаменитая
теорема о метризуемости
нормального топологического пространства,
лемма о существовании
непрерывной на R функции 0 < f(x) < 1 для
любой пары непересекающихся
множеств А и В нормального
пространства атакой, что/(^ = 0 при
П.С.УРЫСОН хе A wf(x) = 1 при χ е В,
построение (совместно с П. С.
Александровым) теории бикомпактных пространств, установление им
характеристических признаков гомеоморфизма различных специальных
подпространств и другие важные открытия положили начало
современной топологии. Кроме того, Урысон получил фундаментальные
результаты в теории интегральных уравнений, теории функций
комплексной переменной, геометрии выпуклых тел. Он доказал, что шар
является телом максимального объема при фиксированной средней
ширине.
Если бы не трагическая ранняя смерть (он разбился о скалу,
купаясь в море близ Бретани), Урысон, по мнению многих
выдающихся ученых, стал бы одним из самых гениальных математиков
XX века. Он был человеком редкой душевной красоты, добрым,
отзывчивым, целеустремленным.
Павел Сергеевич Александров (1896—1982) родился в Богородске
Московской губернии. Окончил гимназию с золотой медалью, а в
1917 году — Московский университет. С 1929 года — профессор, с
1934 — доктор физико-математических наук, с 1953 — академик
АН СССР. В 1932—1963 годах был президентом Московского
математического общества, с 1964 года — почетным президентом.
П. С. Александров создал в нашей стране всемирно известную
топологическую школу. Он доказал теорему о мощности боре-
левских множеств. Совместно с П. С. Урысоном создал теорию
бикомпактных пространств, существенно развил теорию
размерностей, разработал методы комбинаторного исследования мно-

Д. Ф. Егоров, Η. Η. Лузин и их ученики 253
жеств и пространств общей
природы, доказал ряд основных
законов двойственности. Важные
результаты получены П. С.
Александровым в геометрии, вариа- I
ционном исчислении,
функциональном анализе, математической
логике, основаниях математики и ]
истории математики. Он — автор |
многих монографий, учебников и |
учебных пособий. |
П. С. Александров — член мно- |
гих иностранных академий и науч- I
ных обществ, лауреат ряда премий.
Он воспитал многих учеников,
среди которых всемирно
известные академики Л. С. Понтрягин и I
А. Н. Тихонов. П. С. АЛЕКСАНДРОВ
Лев Семенович Понтрягин (1908—
1988) родился в Москве. В 13 лет от несчастного случая
(взорвался примус) он потерял зрение. Тем не менее успешно окончил
городское училище и Московский университет (1929). В 1935 году
стал доктором наук, профессором, в 1939 году —
членом-корреспондентом, в 1958 —
академиком АН СССР. С 1930 года
работал в Московском
университете и одновременно с 1931 года —
в Математическом институте АН
СССР.
Понтрягин осуществлял ис- |
следования в топологии, теории |
непрерывных групп, теории
дифференциальных уравнений,
теории оптимальных процессов и
других областях современной
математики. I
В 1939 году он установил закон |
двойственности, связывающий
группы Бетти любого ограничен-
ного замкнутого множества в
евклидовом пространстве с группами
Бетти его дополнения. Понтрягин
построил общую теорию характе- Л. С. ПОНТРЯГИН

254
О некоторых выдающихся математиках XX века
ров коммутативных топологических
групп и доказал, что
единственными локально бикомпактными
связными телами являются тела
действительных чисел, комплексных
чисел и кватернионов. Он доказал,
что при топологическом умножении
компактов не всегда их
размерности складываются, дал
классификацию отображений (п + /^-мерной
сферы в л-мерную (п eN, к - 1,2),
ввел понятие характеристического
цикла гладкого многообразия,
открыл «принцип максимума»,
дающий необходимые условия
оптимального управления процессом,
исследовал дифференциальные
А. Н. ТИХОНОВ уравнения, возникающие в теории
колебаний и регулирования. Понт-
рягин получил фундаментальные результаты по дифференциальным
играм. Работы его школы оказали большое влияние на развитие
теории управления и вариационного исчисления. Монографии
Понтрягина «Непрерывные группы», «Основы комбинаторной
топологии», «Гладкие многообразия и их применения в теории го-
мотопий» и др., его учебные пособия для школьников являются
образцом научного и методического мастерства.
Коллеги Льва Семеновича отмечают его жизнерадостность,
педагогический талант, легкость в общении. Он был прекрасным пловцом
и не боялся заплывать в море на большие расстояния. Неоценима
заслуга Понтрягина в защите школьного математического
образования, которое в течение 15 лет пытались у нас втиснуть в
прокрустово ложе «бурбакистского» абстрактного стиля преподавания. Его
знаменитая статья 1980 года с резкой критикой этого стиля
отрезвляюще подействовала на математиков и министерских работников,
осуществлявших эту «реформу».
Андрей Николаевич Тихонов (1906—1993) родился в Гжатске
Смоленской губернии. В 16 лет экстерном закончил среднюю школу
и поступил на математическое отделение физико-математического
факультета Московского университета. По окончании в 1927 году
университета он связал с МГУ всю свою жизнь. С 1936 года А. Н.
Тихонов — доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой, с 1939 года — член-корреспондент, с 1966 —
академик АН СССР. В течение 20 лет он был деканом созданного

Д. Ф. Егоров, Η. Η. Лузин и их ученики
255
в МГУ по его инициативе
факультета вычислительной математики и
кибернетики. Долгое время А. Н.
Тихонов работал в Институте
прикладной математики АН СССР,
с 1979 года — его директором.
В научном творчестве А. Н.
Тихонова органически сочетаются
исследования в самых абстрактных
областях математики с решением
важных задач прикладного
характера. Уже в 19-летнем возрасте он
ввел понятие бесконечного
произведения топологических
пространств (тихоновские
произведения) и понятие вполне
регулярных пространств (тихоновские
пространства). Им доказаны тео- д. А. САМАРСКИЙ
ремы о бикомпактности
произведения бикомпактных пространств и о существовании неподвижной
точки при непрерывных отображениях топологических пространств
в себя.
А. Н. Тихонов доказал теоремы единственности для уравнений
теплопроводности, изучил функциональные уравнения Вольтерры,
заложил основы теории дифференциальных уравнений с малым
параметром при старшей производной и выполнил
фундаментальные исследования по разработке теории и методики применения
электромагнитных полей для изучения внутреннего строения
земной коры. Он создал новый метод решения некорректно
поставленных задач (когда малые изменения исходных данных могут повлечь
большие отклонения решений).
Андрей Николаевич — член ряда иностранных академий и
научных обществ, лауреат нескольких государственных премий, автор
ряда монографий, учебников и учебных пособий. Он воспитал
много талантливых учеников, среди которых особую роль играет
академик А. А. Самарский.
Александр Андреевич Самарский родился в 1919 году в Амвросиев-
ке (ныне Донецкая область). В 1936 году окончил среднюю школу в
г. Таганроге и поступил на физический факультет Московского
университета. В 1941 году, после окончания 4-го курса, ушел
добровольцем в народное ополчение, участвовал в обороне Москвы, был
тяжело ранен и длительное время лечился в госпиталях Москвы,
Горького и Красноярска. После демобилизации по инвалидности

256
О некоторых выдающихся математиках XX века
в 1942 году работал учителем в средней школе в Красноярском
крае. В 1944 году вернулся в Москву и в 1945 окончил МГУ. После
прохождения аспирантуры и успешной защиты кандидатской
диссертации в 1948 году был направлен в специальную лабораторию
А. Н. Тихонова, созданную решением правительства СССР для
расчета атомной бомбы.
В течение 50 лет А. А. Самарский вел научную и производственную
работу по созданию новой техники, расчету задач машиностроения
и ядерной энергетики. Он являлся руководителем первых расчетов
ядерных и термоядерных изделий, автором уникальных численных
методов, сыгравших значительную роль в создании эффективной
обороны нашей Родины. Он внес существенный вклад в теорию
нелинейных дифференциальных уравнений, уравнений математической
физики, вычислительную математику. Являясь одним из
основоположников современной методологии математического
моделирования, А. А. Самарский построил общую теорию разностных схем,
общую теорию устойчивости операторно-разностных уравнений,
теорию итерационных методов решения операторных уравнений. Им
разработаны и широко используются на практике методы
численного решения задач механики, ядерной физики, физики плазмы.
С 1953 по 1990 год А. А. Самарский заведовал отделом в Институте
прикладной математики АН СССР. В 1957 году он защитил
докторскую диссертацию, в 1966 году избран членом-корреспондентом,
в 1976 — действительным членом АН СССР. В 1990 году А. А.
Самарский стал директором созданного по его инициативе Института
математического моделирования АН СССР. Он является Героем
Социалистического Труда, лауреатом многих государственных премий
и награжден рядом высших орденов нашего государства. Коллеги
отмечают его большую личную скромность, простоту в общении,
ответственность в работе и глубокий патриотизм.
Андрей Николаевич Колмогоров (1903—1987) — один из самых
выдающихся учеников Η. Η. Лузина — внес фундаментальный вклад
в различные области математики и ее приложений, являясь
первооткрывателем во многих из них. Метрическая теория функций,
дескриптивная теория множеств, математическая логика, теория
вероятностей, геометрия, случайные процессы, математическая
статистика, функциональный анализ, теоретико-множественная
и алгебраическая топология, дифференциальные уравнения,
теория турбулентности и динамических систем, теория
информации, алгоритмов — далеко не полный перечень его научных
интересов.
Потеряв в первые минуты жизни мать (она умерла при родах),
Андрей Николаевич воспитывался тетей, усыновившей его и посвя-

Д. Ф. Егоров, Η. Η. Лузин и их ученики
257
тившей ему всю свою жизнь. В семь 1
лет он переехал из родного города
Тамбова в Москву. Успешно
окончив частную гимназию Е. А. Репман
и В. Ф. Федоровой, он поступил
в 1920 году в Московский
университет, в 1925 году — его закончил,
построив уже в 19 лет пример ряда
Фурье суммируемой функции,
расходящегося почти всюду. В 28 лет —
профессор МГУ, в 36 —
академик АН СССР. А. Н. Колмогоров
был президентом Московского
математического общества (1964—
1966 и 1974—1985), редактором
журнала «Успехи математических
наук» (1946—1954 и с 1983).
Многие университеты и академии А.Н.КОЛМОГОРОВ
мира избрали его своим
почетным членом (Франция, Англия, США, Индия, Швеция, Польша
и др.).
Всемирную известность получили аксиоматика Колмогорова
теории вероятностей, интеграл Колмогорова, его критерии для
полинома наилучшего приближения и в математической статистике,
аксиомы отделимости Колмогорова в топологии, доказанная им
теорема о сведении функции четырех и более переменных к
функциям трех переменных и др. А. Н. Колмогоров опубликовал свыше
350 работ и создал крупные научные школы теории функций и
теории вероятностей, воспитавшие десятки выдающихся
математиков, включая 6 академиков (А. И. Мальцев, С. М. Никольский,
Ю. В. Прохоров, И. М. Гельфанд, Б. В. Гнеденко, В. И. Арнольд).
В последние двадцать лет жизни он принимал активное участие в
разработке вопросов преподавания математики в школе и в
написании многих школьных учебников. Его выступления перед
одаренными школьниками на олимпиадах и в математических кружках
вызывали восторг и содействовали появлению новых математических
талантов. Однако проводимая Минпросом СССР в 1965—1980 годах
под научным руководством А. Н. Колмогорова насильственная
перестройка школьного математического образования на абстрактной
«бурбакистской» основе нанесла, по мнению многих математиков,
большой ущерб математической подготовке школьников и
содействовала потере интереса к математике у многих учащихся
(особенно юношей). За этот эксперимент А. Н. Колмогоров подвергся

258
О некоторых выдающихся математиках XX века
резкой критике со стороны
академиков А. Д. Александрова и Л. С. Пон-
трягина. Сейчас даже на родине
Никола Бурбаки (собирательный
псевдоним группы математиков
Франции) начался откат от «бур-
бакистского» стиля преподавания
математики в школе. Удивительно,
что, ратуя за «бурбакизм» в
школьной математике, сам Андрей
Николаевич был превосходным педагогом
и лектором, чуждым формализма.
«Действительно хорошо преподавать
математику, — говорил он, —
может только человек, который сам
ею увлечен и воспринимает ее как
живую, развивающуюся науку».
Л. Г. ШНИРЕЛЬМАН А.Н.Колмогоров увлекался
спортом, совершал трудные горные
походы, ходил на лыжах на 40—50 километров.
Лев Генрихович Шнирельман (1905—1938) родился в Гомеле в
семье учителя русского языка. В 12 лет самостоятельно прошел курс
элементарной математики, в 20 — успешно окончил Московский
университет, в 24 года стал доктором наук, профессором. В 1929—
1934 годах работал в Донецком политехническом институте, а с
1934 года — в МГУ и Математическом институте АН СССР.
Всемирную известность этому гениальному математику
принесли следующие три доказанные им теоремы: 1) На любой гладкой
поверхности типа сферы имеется по крайней мере три замкнутых
геодезических. 2) На произвольной простой замкнутой жордановой
кривой, имеющей непрерывную кривизну, можно найти четыре
точки, лежащие в вершинах квадрата. 3) Существует такое
натуральное число т, что любое натуральное число л е N есть сумма не
более чем т простых чисел (как тут не вспомнить замечательную
пословицу «Все гениальное просто»!).
Л. Г. Шнирельман ввел понятие категории замкнутого
множества, дающее возможность оценить снизу число решений
вариационной задачи, и обобщил метод минимакса максимумов Куранта,
найдя ему новое применение в теории линейных уравнений.
По воспоминаниям его коллег, Лев Генрихович был человеком
мягким, деликатным, наблюдательным, остроумным и очень
обаятельным. Его жизнь оборвалась трагически: попав в поле зрения
НКВД и устрашившись этого, он покончил с собой 24 сентября

Д. Ф. Егоров, Η. Η. Лузин и их ученики
259
1938 года. А 16-летним мальчиком
он привез в Москву записанную
в школьной тетради свою первую
теорему: если сфера покрыта
тремя замкнутыми множествами, то
по крайней мере одно из них
содержит пару антиподов.
Александр Яковлевич Хитин (1894—
1959) — один из первых учеников
Η. Η. Лузина (вместе с П. С.
Александровым и Д. Е. Меньшовым). Он
родился в селе Кондрово
Медынского уезда Калужской губернии в
семье главного инженера бумажной
фабрики. Увлекался в отроческие
годы поэзией, в Калуге в 1908—
1914 годах было издано четыре
небольших сборника его стихов. д. Я. ХИНЧИН
Успешно изучал в реальном
училище математику, знакомясь самостоятельно с учебником
математического анализа, и поступил учиться на математическое
отделение Московского университета. По окончании его в 1916 году
был оставлен для подготовки к профессорской деятельности. В 27 лет
А. Я. Хинчин — профессор, в 41 — доктор физико-математических
наук. С 1922 года он работал в МГУ, а с 1939 года еще и в
Математическом институте АН СССР.
Исследования А. Я. Хинчина в области теории функций, теории
чисел, теории вероятностей и теории массового обслуживания
получили международное признание. Он ввел понятие асимптотической
производной, обобщил понятие интеграла Данжуа, дал точную
оценку роста сумм независимых слагаемых для схемы Бернулли (закон
повторного логарифма), осуществил построение теории вероятностей
на базе современной теории функций, существенно развил
метрическую теорию чисел. Его две предельные теоремы являются подлинными
жемчужинами в теории чисел: 1) Средние геометрические из
последовательных элементов цепной дроби для почти всех чисел при
бесконечном увеличении числа этих элементов стремятся к одному и тому же
пределу. 2) Корень п-й степени из знаменателя п-й подходящей дроби
для почти всех чисел стремится при η —>°о к определенному пределу.
А. Я. Хинчин был талантливым педагогом. Его лекции по теории
цепных дробей, асимптотическим законам теории вероятностей,
предельным теоремам д#я сумм случайных величин,
математическим методам статистической физики, задачам квантовой статис-

260
О некоторых выдающихся математиках XX века
тики и др. были хорошо
продуманы, блестяще прочитаны и
давали слушателям не только
глубокие знания, но и приближали их
к собственной творческой
деятельности. «А. Я. Хинчин был
мастером педагогического искусства
всегда, без малейшего
исключения, — писал о своем учителе
академик Б. В. Гнеденко. —
Многие приходили к нему на лекции
для того, чтобы насладиться
превосходным изложением и понять,
как следует самому поступать в
сложных ситуациях».
Александр Яковлевич
опубликовал свыше 150 работ, в том числе
П. С. НОВИКОВ пять широко известных книг по
математическому анализу и теории
чисел. В 1941 году он был удостоен Государственной премии СССР.
Петр Сергеевич Новиков (1901—1975) родился в Москве. В 1925 году
окончил Московский университет, в 1935 — защитил докторскую
диссертацию, в 1939 — стал профессором. С 1934 года работал в
Математическом институте АН СССР. В 1953 году избран членом-
корреспондентом, в 1960 — академиком АН СССР.
Основные труды: по теории множеств, математической логике и
алгебре. П. С. Новиков создал в нашей стране школу математической
логики, дал полное решение одной из трудных проблем
дескриптивной теории множеств, установил класс задач, касающихся
целых чисел, для которых из неэффективного решения вопросов
извлекается эффективное решение в конкретной форме. Он
занимался проблемой континуума и близкими к ней проблемами мощности
и измеримости проективных множеств. Установил существование
групп с конечным числом образующих и конечным числом
определяющих отношений, для которых нет алгоритма, решающего
проблему тождества слов. П. С. Новиков и его ученик С. И. Адян решили
в отрицательном смысле проблему Бернсайда о периодических
группах, доказав существование периодических и бесконечных групп с
двумя образующими. Ряд работ П. С. Новикова относится к
топологии, теории функций и математической физике.
Он уделял большое внимание организации учебной работы в вузах
и длительное время читал лекции в Московском городском
педагогическом институте.

Некоторые другие известные математики XX века
261
§ 3. Некоторые другие
известные математики XX века
XX век дал математике тысячи :
талантливых ученых, внесших су- i
щественный вклад в развитие как ;
традиционных, так и новых
областей науки. В предыдущих параграфах \
этой главы уже говорилось о
многих математических гениях. В
заключительном параграфе этой книги I
отметим еще ряд известных
математиков ушедшего столетия.
Некоторые из них прославились
выдающимися открытиями,
другие — созданием научных школ,
воспитавших новые поколения I
математиков. Читатель без труда и. М. ВИНОГРАДОВ
пополнит этот список десятками
других имен знаменитых математиков XX века из многочисленных
монографий по истории математики и библиографических
справочников. Небольшой же объем этой книги позволяет лишь отметить
небольшую группу ученых. Автор приносит извинения за
«субъективную» подборку кандидатур, вызванную отчасти личным знакомством
с рядом этих ученых и близостью научной проблематики.
Иван Матвеевич Виноградов (1891 — 1983) родился в с. Милолюб
Великолукского уезда Псковской губернии в семье сельского
священника. В 1903—1910 годах учился в реальном училище г. Великие
Луки, после окончания которого поступил на
физико-математический факультет Петербургского университета. В 1914 году И. М.
Виноградов окончил университет и был оставлен при университете для
подготовки к профессорскому званию. В 1915 году он написал свою
первую работу о сумме значений символа Лежандра. В 1918—1920
годах работал сначала доцентом, а потом профессором Пермского
университета. С 1920 года Иван Матвеевич — профессор
Петербургского политехнического института, а с 1925 — профессор,
заведующий кафедрой теории чисел и теории вероятностей
университета. В 1922 году был избран действительным членом АН
СССР, в 1930—1933 годах возглавлял Демографический
институт, а с 1932 года И. М. Виноградов — бессменный директор
Математического института им. В. А. Стеклова.
Он является продолжателем знаменитой Петербургской школы
теории чисел и входит в число трех ее «китов» (Чебышёв, Вороной,

262
О некоторых выдающихся математиках XX века
Виноградов). Являясь автором
свыше 140 оригинальных работ в
аналитической теории чисел, он ввел
в эту область математики новые
методы, в которых лишь
минимально используются средства анализа,
зато сама теория чисел
приобретает общность аналитических теорий,
не утрачивая своей
арифметической сущности.
И. М. Виноградов вывел
асимптотическую формулу для числа
представлений нечетного числа в
виде суммы трех простых чисел,
решив знаменитую проблему
Гольдбаха — Эйлера для нечетных чисел.
Созданное им арифметическое на-
ФЕЛИКСХАУСДОРФ правление в аналитической теории
чисел позволило Ивану Матвеевичу
решить широкий класс аддитивных задач и сделать выдающиеся
открытия в этой области математики, считавшейся недоступной. Его
учебник «Теория чисел» и монографии «Метод тригонометрических
сумм в теории чисел», «Метод тригонометрических сумм в
простейших вариантах» пользуются всемирной известностью.
И. М. Виноградов — почетный член многих иностранных
академий и научных обществ: Лондонского королевского общества (1942),
Парижской АН (1946), Американского математического общества
(1938), Американской академии искусств и наук в Бостоне (1947),
Болгарской АН (1947), Датской королевской АН (1947) и др. Он —
главный редактор «Математической энциклопедии» и
математической серии «Известий АН СССР». Удостоен многих
государственных премий и Золотой медали им. М. В. Ломоносова.
Феликс Хаусдорф (1868—1942) родился в Бреслау (ныне
Вроцлав, Польша). В 1891 году он окончил Лейпцигский университет.
В 1895—1910 годах Хаусдорф преподавал в Лейпциге ком
университете (с 1902 в должности профессора), затем 10 лет работал
в Грейсфельде, ас 1921 года до 1935 года — профессор
университета в Бонне. Он отказался эмигрировать из Германии при
нацистах. До 1942 года его не трогали, а когда он узнал о неизбежности
отправки в концентрационный лагерь, то вместе с женой и сестрой
жены 26 января 1942 года покончил жизнь самоубийством.
Хаусдорф добился значительных результатов в теории множеств,
топологии, теории непрерывных групп, функциональном анализе,

Некоторые другие известные математики XX века
263
теории чисел. Он ввел понятие
частично упорядоченного множества,
создал аксиоматику и построил
теорию топологических пространств,
носящих его имя. В 1916 году
полностью решил (независимо от
П. С. Александрова) проблему
мощности борелевских множеств,
построил теорию меры в я-мерном
пространстве, разработал теорию
упорядоченных множеств, доказав
впервые теорему о существовании
максимального элемента в
частично упорядоченном множестве,
всякое линейно упорядоченное
подмножество которого ограниченно
сверху (впоследствии это
утверждение было названо леммой Цор- ЭЛИ КАРТА Η
на). В математическом анализе
Хаусдорф решил проблему моментов для конечного интервала. В
теории непрерывных групп он создал важный алгебраический
алгоритм.
Под псевдонимом Поль Монтре Хаусдорф опубликовал ряд
литературных произведений.
У входа в Математический институт Боннского университета
помещена мемориальная доска с надписью: «An dieser Universitat
wirkte 1921-1935 der Mathematiker Felix Hausdorf 8.11.1868—26.1.1942.
Er wurde von den Nationalsozialisten in den Tod getrieben, weil er Jude
war. Mit ihm ehren wir alle Opfer der Tyranei. Nie wieder Gewaltherrschaft
und Krieg» («В этом университете в 1921—1935 работал математик
Феликс Хаусдорф (8.11.1868—26.1.1942). Он был загнан к смерти
национал-социалистами из-за того, что был евреем. В его лице мы
чтим всех жертв тирании. Пусть никогда не повторится диктатура и
война»).
Эли Жозеф Картам (1869—1951) родился в Доломьё. В 1888 году
поступил в Высшую нормальную школу. После ее окончания в 1891
году и получения докторской степени в 1894 году читал лекции в
Монпелье (1894—1940). С 1912 года — профессор Парижского
университета.
Из четырех детей Эли Картана его сын Анри Поль (род. в 1904)
стал выдающимся математиком, сделавшим крупные открытия в
теории аналитических функций многих комплексных переменных,
теории автоморфных функций, топологии, гомологической алгеб-

264
О некоторых выдающихся математиках XX века
ре, теории групп Ли, алгебраической геометрии и математической
логике. Он входил в группу Никола Бурбаки, в 1967—1970 годах
был президентом Международного математического союза.
Другой его сын Жан — композитор, умер в возрасте 25 лет, а третий
сын Луи — физик, был казнен в 1942 году немцами после
15-месячного тюремного заключения.
Эли Картан заложил основы алгебраической теории групп Ли,
построил теорию представлений полупростых групп Ли и связал
группы Ли с дифференциальной геометрией. Созданное им в 1899—
1902 годах α-исчисление (вошедшее в математическую науку под
названием «метод внешних форм Картана») проникло во многие
области математики и особенно широко используется в
современной дифференциальной геометрии. Картан разрешил проблему
совместности произвольной системы уравнений в полных дифференциалах
(уравнений Пфаффа). Он построил обобщенные пространства
аффинной, проективной и конформной связности, разработал общий метод
подвижного репера, который в соединении с методом внешних форм
является эффективным средством решения геометрических задач.
Картан развил теорию симметрических пространств, установил
глубокие связи таких пространств с теорией групп Лии дал
классификацию симметрических римановых пространств.
Эли Картан — член Парижской АН (1912). Он удостоен многих
премий Парижской АН и других наград, в том числе
международной премии им. Н. И. Лобачевского. Именем Картана назван
институт в Нанси.
Алексей Николаевич Крылов (1863—1945) родился в с. Висяги
Симбирской губернии. Математическими занятиями молодого Крылова
руководил его дядя А. М. Ляпунов. В 1884 году Крылов окончил
Морское училище, затем работал в компасной части Главного
гидрографического управления, а в 1890 году после успешного
окончания Морской академии его оставили при академии для подготовки
к профессорскому званию. Почти 50 лет А. Н. Крылов преподавал в
Морской академии, а также в Петербургском политехническом
институте и других вузах. В 1908—1910 годах был главным инспектором
кораблестроения и председателем Морского технического комитета.
Он активно участвовал в проектировании и построении первых
русских линкоров. С 1916 года А. Н. Крылов — директор главной
физической обсерватории и начальник Главного
военно-метеорологического управления, с 1917 — директор физической лаборатории
АН, с 1919 — начальник Морской академии. В 1921 — 1927 годах он
находился за границей в составе комиссии для возобновления
научных контактов и для решения практических задач, связанных с
укреплением морского и железнодорожного транспорта. В 1927 году

Некоторые другие известные математики XX века
265
он возглавил
Физико-математический институт. До конца жизни
активно занимался научными
исследованиями в области
приложений математики к кораблестроению.
С 1916 года А. Н. Крылов —
действительный член Петербургской АН
(впоследствии АН СССР).
Как и у выдающихся ученых
Ломоносова и Монжа,
многосторонняя теоретическая работа у
Крылова органически сливалась с
практической деятельностью
государственного масштаба.
Для вычисления основных
характеристик корабля —
остойчивости и плавучести — он разработал
рациональные приемы, ставшие А. Н. КРЫЛОВ
классическими. А. Н. Крылов создал
теорию килевой качки, составил таблицы непотопляемости,
развил теорию вибрации судов, дал полное изложение теории
девиации магнитного компаса и др.
Его курсы лекций «О приближенных вычислениях» (1906),
«О некоторых дифференциальных уравнениях математической
физики» (1912), построенная А. Н. Крыловым в 1904 году первая в
России машина для интегрирования дифференциальных уравнений,
созданный им метод решения векового уравнения, глубокая
разработка наследия классиков науки, яркие очерки о жизни и
деятельности П. Л. Чебышёва, Ж. Лагранжа, И. Ньютона, Л. Эйлера, Г. Галилея,
замечательная книга «Мои воспоминания» получили всемирное
признание и являются ярким свидетельством научного, педагогического
и художественного таланта ученого. Алексей Николаевич обладал
удивительной способностью излагать свои мысли как математик
«кратко, ясно и доказательно». Например, доклад, посланный
адмиралу Макарову с изложением основ теории непотопляемости,
был рассчитан на «4 минуты 38 секунд», а посланная им
одновременно телеграмма излагала основы этой теории на одной странице.
Академик А. Н. Крылов удостоен Государственной премии,
многих высших орденов, являлся членом ряда иностранных научных
обществ. Его именем назван кратер на обратной стороне Луны.
Вениамин Федорович Каган (1869—1953) родился в Шяуляе.
Окончив в 1887 году с золотой медалью гимназию в Екатеринославе, он
поступил учиться на физико-математический факультет Новорос-

266 О некоторых выдающихся математиках XX века
сийского университета, но был
исключен со второго курса за
участие в студенческом
революционном движении и выслан в Екате-
ринослав «под надзор полиции».
Самостоятельно изучив
университетский курс математики, в 1892 году
он экстерном сдал государственный
экзамен в Киевском университете,
получив диплом 1-й степени. После
сдачи в Петербурге магистерского
экзамена с 1897 года стал работать
доцентом в Новороссийском
(впоследствии Одесском)
университете. В 1907 году получил степень
доктора чистой математики. С 1923 года
Вениамин Федорович работал в
В. Ф. КАГАН Московском университете сначала
профессором, а последние двадцать
лет — заведующим кафедрой дифференциальной геометрии.
Основные труды В. Ф. Кагана — по основаниям геометрии и
тензорному анализу. В «Основаниях геометрии» (тт. 1—2, 1905—1907)
он разработал аксиоматику евклидовой геометрии, отличную от
аксиоматики Гильберта, с подробным анализом
непротиворечивости и независимости аксиом. В области тензорного анализа и его
приложений к геометрии создал теорию субпроективных
пространств, обобщающих пространства Лобачевского.
Большой заслугой В. Ф. Кагана является создание тензорной
дифференциально-геометрической школы. Выдающиеся геометры этой
школы Виктор Владимирович Вагнер (1908—1981), Александр
Петрович Норден (1904—1993), Петр Константинович Рашевский
(1907—1985), Николай Владимирович Ефимов (1910—1982) и др.
возглавили всемирно известные геометрические школы в Саратове,
Казани, Москве и воспитали целую плеяду талантливых геометров
второй половины XX века (Б. Л. Лаптев, И. П. Егоров, А. П. Широков,
В. И. Шуликовский, В. И. Ведерников, В. В. Вишневский, Н. С. Синю-
ков, А. С. Феденко, А. Т. Фоменко, Ю. И. Манин и др.). В. Ф. Каган —
заслуженный деятель науки РСФСР, лауреат Государственной
премии.
Константин Каратеодори (1873—1950) родился в Берлине. В 1895 году
окончил Бельгийскую военную академию. Изучал математику в
Берлинском и Геттингенском университетах. Работал в Берлине,
Геттингене, Ахене. С 1924 года — профессор Мюнхенского уни-

Некоторые другие известные математики XX века
267
верситета, а с 1939 года —
ректор Афинского университета.
Получил важные результаты по
теории конформных отображений,
общей теории меры множеств,
теории абстрактного интеграла,
вариационному исчислению и другим
разделам математики. Он доказал
теорему существования и
соответствия границ для односвязных
областей, дал новое построение поля
экстремалей и новую
формулировку второго начала термодинамики,
связав его с теорией пфаффовых
форм. Являлся членом Академии
наук многих стран.
Сергей Натанович Бернштейн
(1880—1968) родился в Одессе в
семье доктора медицины,
умершего за несколько месяцев до
рождения сына. Мать дала детям (два мальчика и две девочки) хорошее
воспитание и образование. По окончании в 1898 году гимназии
С. Н. Бернштейн учился в Сорбонне. Окончил в 1899 году Парижский
университет, в 1901 — Политехническую школу. В 1904 году он защитил
в Париже докторскую диссертацию, в которой доказал, что
трижды непрерывно дифференцируемая функция ζ =f(x, у),
удовлетворяющая дифференциальному уравнению функция F(x, у, ζ, ρ, q, r, s, t) = 0,
где F — аналитическая функция своих аргументов и:
КОНСТАНТИН
КАРАТЕОДОРИ
ММ.
дг dt
Μ
dyi
>0,
является аналитической. В 1907—1933 годах С. Н. Бернштейн —
профессор Харьковского университета, в 1933—1941 годах —
Ленинградского политехнического института и Ленинградского
университета.
Он решил проблему Дирихле для нелинейных уравнений
эллиптического типа при весьма широких предположениях, разработал
новый метод отыскания решений дифференциальных уравнений
второго порядка с частными производными по заданным граничным
значениям, внес существенный вклад в теорию приближений
функций многочленами и заложил фундамент конструктивной теории
функций. С. Н. Бернштейн дал первое аксиоматическое построение теории
вероятностей и установил связь этой области математики с предель-

268
О некоторых выдающихся математиках XX века
ными задачами для некоторых
дифференциальных уравнений. Он
опубликовал также ряд работ по
вариационному исчислению,
функциональному анализу и другим
вопросам современной математики.
С. Н. Бернштейн — академик АН
СССР, Парижской АН (1955),
Бельгийской АН (1911), лауреат
Государственной премии СССР
(1942). Последние 25 лет жизни
Сергей Натанович прожил в Москве.
До 1947 года читал лекции в МГУ.
Возвращаться в Ленинград, где во
время блокады умер от голода его
единственный сын, он не захотел.
Труды С. Н. Бернштейна оказали
С. Н. БЕРНШТЕЙН большое влияние на развитие
математики в России.
Поражает скромность ученого. «Его рабочий кабинет
представлял большую высокую комнату с огромным письменным столом
посередине, заваленным открытыми книгами и журналами, на
котором стояла старинная настольная лампа с козырьком. Вдоль всех
стен стояли книжные шкафы только с математическими книгами.
Ни одной лишней вещи (телефон, картины, портреты,
радиоприемник располагались в других комнатах)». По описаниям
очевидцев, Сергей Натанович «позволял ходить по кабинету только
большому пушистому коту, который иногда осторожно вспрыгивал на
стол, ничего не роняя».
Петр Алексеевич Широков (1895—1944) родился в Казани. В 1917 году
окончил Казанский университет, получив золотую медаль за
сочинение «Интерпретация и метрика квадратичных геометрий».
Оставленный при университете, он получает доцентуру в 1923 году, а в
1930 утверждается в звании профессора.
Большинство работ П. А. Широкова относится к теории
неевклидовых пространств, изучаемых методами тензорного анализа. Он был
одним из первых русских геометров, исследовавших риманову
геометрию. Петр Алексеевич никогда не обнаруживал стремления к
обобщению ради обобщения, придавая большое значение
рассмотрению конкретных и богатых содержанием частных случаев
римановых пространств. Он получил аналог теоремы Птолемея
на гиперболической плоскости, неевклидовы аналоги кривых
Бертрана и «Мангейма, разработал методику векторной алгебры и

Некоторые другие известные математики XX века
269
анализа в неевклидовых простран- |
ствах, осуществленных на гипер- ι
сферах пространства нулевой j
кривизны, рассмотрел
симметрические пространства, допускающие |
конформные отображения на евк- |
лидово пространство. Им решены |
многие другие интересные задачи |
в обобщенных пространствах. !
«Тензорное исчисление» П. А Ши- I
рокова, изданное в 1934 году,
«было и остается, — по мнению
А. П. Нордена, — единственным в
нашей литературе по богатству
содержания и мастерству изложе- |
ния». В последней опубликованной !
при жизни работе Петр Алексее- \
вич просто и изящно излагает уче- НОРБЕРТ ВИНЕР
ние великого русского геометра
Лобачевского, достойным продолжателем которого был П. А.
Широков.
Норберт Винер (1894—1964) родился в Колумбии (штат
Миссури). Десятилетним мальчиком поступил сразу в 9 класс средней
школы. В 14 лет получил высшее математическое образование и
степень бакалавра, в 18 лет — доктор философии Гарвардского
университета (по математической логике). В 1913—1915 годах
Винер продолжил образование в Кембриджском и Геттингенском
университетах. В 1915—1917 годах он преподавал логику и математику в
ряде университетов США, в 1917—1919 годах занимался
журналистикой, с 1919 года стал преподавателем, а с 1932 — профессором Мас-
сачусетского технологического института.
Как математик Винер получил известность своими работами по
теории потенциала, гармоническим функциям, рядам и
преобразованиям Фурье, общему гармоническому анализу. Введенная им мера
в пространстве непрерывных функций играет большую роль в
теории случайных процессов.
Но всемирную известность принесла Норберту Винеру
созданная им новая наука об управлении, которую он назвал
«кибернетикой». В 1948 году в Париже была издана его книга
«Кибернетика», оказавшая большое влияние на развитие мировой
науки.
Винер — автор нескольких монографий по математическому
анализу: «Интеграл Фурье и некоторые его приложения», «Преобразо-

270
О некоторых выдающихся математиках XX века
вание Фурье в комплексной
области» и др. А его книги по
кибернетике и автобиографические
(«Я — вундеркинд», «Я —
математик») содержат интересные
сведения о роли в обществе
новой науки и о становлении
Винера как ученого.
На фоне всеобщих восторгов о
молодом гении в Америке ему
пришлось испытать неожиданный удар
от Гильберта. После доклада
Винера на семинаре в Геттингене в
процессе традиционного обсуждения
научных проблем за кружкой пива
Феликс Клейн (не
присутствовавший на докладе) спросил Гильбер-
ГОДФРИ ХАРДИ та: «Как прошел доклад?» Гильберт
стал отвечать в своей обычной
монотонной манере: «В своей долгой математической жизни я
прослушал огромное число самых разнообразных докладов. Были среди
них блистательные и по содержанию, и по форме. Были доклады
великолепные по содержанию, но исключительно трудные для
восприятия. Были доклады прекрасные по форме, но весьма жалкие по
содержанию. Были и такие, в которых нищета содержания
дополнялась убожеством исполнения. Но такого отвратительного доклада я
не слышал никогда». К чести Винера, он пережил эту
несправедливую оценку, а его дальнейшие достижения убедительно доказали,
что и великие математики иногда необъективно оценивают
творчество молодых.
Винер читал лекции во многих университетах Америки,
Европы, Азии, посещал нашу страну. Смерть настигла ученого в
Швеции в возрасте 70 лет.
Н. Винер удостоен премии Бохера. В США учреждена премия
Винера. Его именем назван кратер на обратной стороне Луны.
Годфри Харолд Харди (1877—1947) родился в Кранли. Окончил
Кембриджский университет. В 1906—1919 годах работал
профессором Кембриджского университета, в 1919—1942 годах —
профессором Оксфордского университета.
Основные труды — по теории чисел и теории функций. Он
исследовал диофантовы приближения (распределение дробных частей),
занимался аддитивной теорией чисел, проблемой Варинга,
теорией простых чисел (проблема Гольдбаха, свойства дзета-функции).

Некоторые другие известные математики XX века
271
Значительную часть работ Харди
выполнил совместно с Литлвудом,
а некоторые работы — совместно
с Рамануджаном. Сохранив идею
Эйлера использования в теории
чисел бесконечных рядов, они
создали основной для современной
аддитивной теории чисел метод
решения задач и доказали в 1923 году,
что при условии справедливости
некоторых теорем относительно
//-рядов Дирихле (не доказанных
до сих пор) любое достаточно
большое нечетное число есть
сумма трех простых чисел. Харди
впервые установил, что дзета-функция
оо
ζ(ϊ)=Σ— (s> \) имеет бесконеч- СРИНИВАСА
ное число нулей на прямой σ =-^ . РАМАНУДЖАН
В теории функций он занимался теорией тригонометрических
и расходящихся рядов, исследованием неравенств, теорией
интегральных уравнений. Монографии Харди «Курс чистой
математики», «Ряды Фурье», «Расходящиеся ряды», «Неравенства»
(соавторы Литлвуд и Полна) и др. получили всемирное признание.
Ему принадлежат также работы по генетике. Харди — член
Лондонского королевского общества (1910), иностранный
член-корреспондент АН СССР (1924), почетный член АН СССР (1934),
Парижской АН.
Сриниваса Айенгар Рамануджан (1887—1920) родился в Ироду
(Индия) в семье бухгалтера. В 5 лет стал учиться в начальном
училище, в 7 лет был принят в городскую среднюю школу Кум-
баконама, по окончании которой продолжил учебу в Мадрас-
ском университете. Потеря стипендии из-за провала экзамена по
английскому языку заставила Рамануджана прервать занятия в
университете. Благодаря помощи влиятельного сановника Рама-
чандра Рао он смог продолжить научные исследования. В письме
к известному английскому математику Харди Рамануджан
просил дать оценку сделанным им математическим открытиям.
Ученый дал им высокую оценку. «Достаточно было взглянуть на эти
оригинальные формулы, — писал он, — чтобы понять, что
найти их мог лишь математик высшего класса». Харди и его друзья
пригласили Рамануджана в Кембридж для продолжения научных

272
О некоторых выдающихся математиках XX века
занятий. В 1914—1918 годах он
работал в Кембриджском
университете под руководством Г. Хар-
ди и Дж. И. Литлвуда. По
виртуозному манипулированию со
сложными алгебраическими
выражениями Рамануджан сравним с
Эйлером и Якоби. Он занимался
теорией распределения простых
чисел в ряде натуральных чисел, в
частности представлением чисел в
виде суммы квадратов, теорией
обобщенного гипергеометрического
ряда, цепными дробями,
суммированием расходящихся рядов,
вычислением определенных интегралов,
теорией эллиптических функций,
КУРТ ГЁДЕЛЬ проблемами аналитической теории
чисел. Он доказал, что сумма рядов:
1+— + -i—К..и
1-3 1-3-5 " H-jij
1+3
1+4
ΊΙ
есть -Д.те
2
В 1918 году Рамануджан стал членом Лондонского королевского
общества (первый из индийцев!) и профессором Кембриджского
университета. Роковой недуг (туберкулез легких) вынудил ученого
вернуться на родину, где он вскоре умер в зените своей славы.
Национальная АН Индии учредила медаль имени Рамануджана за
исключительные успехи в физике, химии и математике.
Курт Гёдель (1906—1978) родился в Брюнне (ныне Брно). В 1930 году
окончил Венский университет и работал там в 1933—1938 годах
приват-доцентом. В 1940 году эмигрировал в США, где с 1953 года
стал профессором Института перспективных исследований в Прин-
стоне.
Основные исследования Гёдель осуществлял в теории множеств,
математической логике и теории относительности. Всемирную
известность принесли ему две доказанные им теоремы о неполноте.
Первая из них утверждает, что если формальная система
арифметики непротиворечива, то в ней найдется формально неразрешимое

Некоторые другие известные математики XX века
273
предложение, т. е. утверждение,
которое нельзя ни доказать, ни
опровергнуть. Вторая теорема
устанавливает, что за это неразрешимое
предложение можно взять
формулу, выражающую
непротиворечивость формальной арифметики.
Теоремы Гёделя показали
неосуществимость в целом программы
Гильберта, предусматривающей
полную формализацию построения
математики и обоснование
полученной формальной системы путем
доказательства ее
непротиворечивости финитными методами.
Большое значение для математической
логики имеет теорема Гёделя о
полноте классического предикатного ВИЛЬГЕЛЬМ БЛЯШКЕ
исчисления.
Гёдель — член Национальной АН США и Американского
философского общества. В 1951 году он был удостоен высшей награды
США для ученых — Эйнштейновской премии.
Вильгельм Бляшке (1885—1962) родился в Граце (Австрия).
Учился и работал в различных университетах Германии. С 1919 года —
профессор Гамбургского университета. Бляшке — основатель и
руководитель Гамбургской геометрической школы.
В своих исследованиях в области классической
дифференциальной геометрии он активно реализовывал эрлангенскую программу
Клейна, построив аффинную дифференциальную геометрию,
конформную дифференциальную геометрию, интегральную геометрию,
находящуюся на стыке наук (дифференциальной геометрии,
теории выпуклых тел, теории вероятностей, теории меры). Введенные
им аффинная нормаль, формула при изгибании, класс
поверхностей, принцип компактности носят имя Бляшке, а в теории
функций комплексной переменной известны произведение Бляшке и
теорема Бляшке. Он занимался также вопросами механики,
которые привели его к изучению некоторых специальных типов
геометрий Кэли — Клейна.
Бляшке воспитал много учеников и последователей не только в
Германии, но и в Италии, Испании, Турции, Латинской Америке,
где он читал лекции. Всемирную известность получили его
монографии и учебники по классической дифференциальной
геометрии, геометриям с другими фундаментальными группами, теории

274
О некоторых выдающихся математиках XX века
сетей и др. До конца жизни
Бляшке сохранил творческую
активность, юношеский задор и любовь
к путешествиям (даже написал
книгу «Путешествия и речи
одного геометра»).
Вспоминаю свою встречу с этим
знаменитым геометром в июне
1956 года в Москве на III
Всесоюзном математическом съезде:
веселый, живой, приветливый. Когда
он узнал, что в Сибири, в
Томске, изучают его монографии,
спросил: «А последние три у Вас
есть?» Получив отрицательный
ответ, он взял мой адрес.
Возвратившись после летнего отпуска домой
А. И. МАЛЬЦЕВ в Томск, я с удивлением и
восторгом обнаружил присланные
мне из Гамбурга, Базеля и Западного Берлина эти три книги. Так
уважительно относился всемирно известный ученый к молодым
геометрам (тогда я даже не был кандидатом наук). Удивительнее всего,
что на заключительном банкете он провозгласил тост «За
сибирских геометров», изрядно удивив наших маститых математиков,
пришедших после этого в соседний зал приветствовать нас!
Вильгельм Бляшке — член Германской АН. Он был удостоен
Государственной премии ГДР.
Анатолий Иванович Мальцев (1909—1967) родился в пос. Ми-
шеронском Шатурского уезда Московской губернии. В 1931 году
окончил Московский университет. Ученик А. Н. Колмогорова. В 1932—
1960 годах работал в Ивановском педагогическом институте (с 1943 —
профессором). В 1942—1960 годах также в Математическом
институте им. В. А. Стеклова. С 1953 года А. И. Мальцев —
член-корреспондент, с 1958 — действительный член АН СССР. С 1960 года и до
конца жизни Анатолий Иванович работал в Институте математики
Сибирского отделения АН СССР и Новосибирском университете.
Президент Сибирского математического общества, главный редактор
«Сибирского математического журнала».
А. И. Мальцев осуществил фундаментальные исследования в
теории групп, теории колец, линейных алгебр, топологической алгебре
(алгебре Мальцева), теории групп и алгебр Ли, теории алгоритмов и
теории универсальных алгебр. Он впервые применил математическую
логику для доказательства алгебраических теорем. Ряд важных

Некоторые другие известные математики XX века
275
результатов получено им в теории
категорий.
А. И. Мальцев умело сочетал
научное творчество с лекторской
работой. Он был талантливым педагогом
и выдающимся организатором науки.
Очень увлекался спортивными
походами. Когда после моего доклада
в конце мая 1967 года «О
математическом образовании в Англии»
(на заседании Сибирского
математического общества) А. И. Мальцев
пригласил меня в свой особняк в
лесу и на «маленькую
десятикилометровую прогулку» с купаньем в
Обском море, то я только
окунулся в холодную 15-градусную воду,
а Анатолий Иванович спокойно А. Д. АЛЕКСАНДРОВ
проплыл метров пятьдесят (а ведь
это было всего за сорок дней до трагической остановки сердца!).
«Большие пешие походы» сибирские академики устраивали на 30—
40 км!
А И. Мальцев — лауреат Государственной премии (1946). Его
монографии и учебники «Основы линейной алгебры», «Алгоритмы и
рекурсивные функции», «Алгебраические системы» и др. получили
всемирное признание. Он воспитал много талантливых
алгебраистов. Академики Юрий Леонидович Ершов (род. в 1940), Владимир
Петрович Платонов (род. в 1939) и их ученики успешно
продолжают исследования талантливого русского ученого.
Александр Данилович Александров (1912—1999) родился в с.
Волынь Рязанской губернии. В 1933 году окончил Ленинградский
университет и работал там же до 1964 года (с 1937 —
профессор, доктор физико-математических наук, с 1952 до 1964 года —
ректор университета). В 1946 году А. Д. Александров избран
членом-корреспондентом, в 1964 — действительным членом АН
СССР. В 1964—1986 годах он работал в Институте математики
Сибирского отделения АН СССР и Новосибирском
университете, а с 1986 года — в Ленинградском отделении Математического
института АН СССР им. В. А. Стеклова.
Александр Данилович — основатель и руководитель научной
школы «геометрии в целом» в нашей стране. Он открыл методы
изучения метрических свойств нерегулярных поверхностей,
используя выпуклые многогранники. Эти методы существенно расширили

276
О некоторых выдающихся математиках XX века
область геометрических исследований, позволили решить ряд
классических проблем теории поверхностей и нашли важные
применения в теории дифференциальных уравнений.
Монографии А. Д. Александрова «Внутренняя геометрия
выпуклых поверхностей» (1948), «Выпуклые многогранники» (1950),
«Двумерные многообразия ограниченной кривизны» (1962) (в
соавторстве с В. А. Залгаллером), «Основания геометрии» (1987)
и др. получили всемирную известность. Он опубликовал также
ряд работ по теории меры, основаниям теории относительности
и философии.
А. Д. Александров активно боролся против насаждения «бурба-
кистского» стиля преподавания геометрии в школе. Его
выступления на Всесоюзной методической конференции по преподаванию
математики (Таллинн, 1987), на Всесоюзной геометрической
конференции в Кишиневе (1988) и др. содержали резкую критику
реформы школьного математического образования, осуществлявшейся
у нас в 1965—1980 годах. Особенно запомнилось мне его
выступление в МГУ на совещании заведующих математическими кафедрами
университетов СССР (1985). «За то, что произошло с
преподаванием математики в нашей школе, — сказал он, — нам всем, сидящим
здесь в зале, надо посыпать пеплом голову. А непосредственным
виновникам этого надо уйти в монастырь и до конца дней своих
замаливать грехи перед миллионами школьников и сотнями тысяч
учителей за случившееся».
Мы, ученики С. П. Финикова и Г. Ф. Лаптева, очень переживали
за «раскол» в геометрии в нашей стране. По-видимому, личная
неприязнь между А. Д. Александровым и С. П. Финиковым (о причинах
которой никто из нас не знал) сыграла в этом роль. Но этот
конфликт отрицательно сказывался и на оценке работ представителей
двух «враждующих» школ и на личных взаимоотношениях.
Вспоминаю один комичный случай. Сибирские геометры — представители
школы С. П. Финикова — случайно оказались на банкете,
посвященном окончанию работы IV Всесоюзного математического
съезда в Ленинграде (1961), который организовали «геометры в целом»
(на следующий день состоялся аналогичный банкет геометров
«нашей» школы). За длинным столом мы сидели с одной стороны, и
когда был предложен тост «За геометрию в целом», никто из нас не
захлопал. Увидев это, Александр Данилович быстро поправился: «Я
имею в виду всю геометрию — и «глобальную» и «локальную»». Все
засмеялись и дружно зааплодировали.
А. Д. Александров — лауреат премии им. Н. И. Лобачевского (1951),
Государственной премии СССР (1942). Он награжден многими
высшими орденами нашей страны. Научную и общественную деятель-

Некоторые другие известные математики XX века
277
ность успешно сочетал с
занятиями спортом. В 1949 году ему было
присуждено звание мастера спорта
СССР по альпинизму.
Герман Федорович Лаптев (1909—
1972) родился в Арзамасе в семье
служащего, Федора Пантелеймо-
новича, получившего высшее
математическое образование в
Казанском университете. По окончании
средней школы в 1926 году он
поступил на
физико-математический факультет Казанского
университета. Еще в студенческие
годы Г. Ф. Лаптев вел
педагогическую работу, а после окончания
университета в 1930 году он
переехал в Москву и стал преподавать г. Ф. ЛАПТЕВ
сначала в Московском высшем
техническом училище им. Н. Э. Баумана, а с 1932 года и до конца своей
жизни — в Военно-воздушной академии им. Η. Ε. Жуковского. Кроме
того, он читал лекции в МГУ. Участник Великой Отечественной
войны. В своих первых научных работах Герман Федорович решает
прикладные задачи, связанные с авиацией («К теории векового
уравнения, определяющего частоты собственных крутильных
колебаний коленчатого вала» (1937), «К теории щитков крыла
самолета» (1937), «Теория многометрических аэронавигационных
приборов» (1945), но основное направление его научной деятельности —
дифференциальная геометрия. С 1937 года он — активный участник
семинара С. П. Финикова, в послевоенные годы — его соруководи-
тель, а с 1964 года, после смерти Сергея Павловича, —
руководитель этого семинара.
В семинаре Финикова — Лаптева заслушивались доклады по
различным вопросам классической дифференциальной геометрии,
выполненные в основном с использованием метода подвижного
репера, внешних форм и созданного Г. Ф. Лаптевым
теоретико-группового метода продолжений и охватов. Два выдающихся
руководителя этого семинара обладали большой эрудицией, личным
обаянием, душевной щедростью, педагогическим и организаторским
талантом. Они воспитали большую группу учеников: В. В. Рыжков,
С. Д. Российский, С. В. Бахвалов, А. М. Васильев, Л. С. Ермолаев,
Н. Г. Туганов, Р. М. Гейдельман, Р. Н. Щербаков, Н. И. Кованцов,
В. Т. Базылев, М. В. Васильева, Л. Е. Евтушик, Н. М. Остиану, М. А. Акивис,

278
О некоторых выдающихся математиках XX века
Ю. Г. Лумисте, В. С. Малаховский, В. Й. Близникас, К. Й. Гринцевичус
и др., многие из которых стали известными учеными, заведовали
кафедрами в университетах, создали свои региональные
геометрические школы.
В апреле 1941 года Г. Ф. Лаптев защитил кандидатскую
диссертацию «О внутренних геометриях, вмещенных в многомерное
аффинное пространство». А его докторская диссертация «О многообразиях
геометрических элементов» (1950), цикл статей и фундаментальный
труд «Дифференциальная геометрия погруженных многообразий»
(1953) стали настольными книгами десятков ученых-геометров,
использующих «метод Лаптева» как важнейший метод в своих
исследованиях.
Герман Федорович был не только выдающимся геометром
двадцатого столетия, но и талантливым педагогом и организатором
науки. На посту председателя бюро Всесоюзного геометрического
семинара Всесоюзного института научной и технической
информации (ВИНИТИ), редактора отдела геометрии Реферативного
журнала «Математика», главного редактора «Трудов
геометрического семинара ВИНИТИ» он стимулировал научные
исследования в области современной дифференциальной геометрии,
принимал активное участие в организации четырехлетних школ
по дифференциальной геометрии, многих Всесоюзных и
Прибалтийских геометрических конференций.
Мои многократные встречи с этим замечательным человеком
(Г. Ф. Лаптев был моим оппонентом и по кандидатской и по
докторской диссертациям) оставили неизгладимое впечатление. Научная
эрудиция, доброта, чуткость, неиссякаемая энергия,
исключительная добросовестность во всем вызывали у всех нас восхищение. За
две недели до кончины он готовил свой доклад на 5-ю Всесоюзную
геометрическую конференцию в Самарканде и был полон
душевных сил и творческих планов.
Руководимый многие годы Германом Федоровичем Всесоюзный
геометрический семинар назван его именем. Большую роль в
развитии дальнейших контактов между геометрами СССР (организация
Всесоюзных и региональных геометрических конференций и Летних
школ, издание «Трудов геометрического семинара», регулярная
работа семинара) сыграла после смерти Г. Ф. Лаптева его ученица и
соратник по работе профессор Остиану Наталья Михайловна (род.
в 1922). Она долгое время возглавляла Отдел математики ВИНИТИ
АН СССР, была председателем Бюро Всесоюзного
геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева и редактировала важнейшие научные
издания ВИНИТИ по математике. Η. Μ. Остиану проводила
глубокие исследования в теории дифференциально-геометрических струк-

Некоторые другие известные математики XX века
279
тур, многократно выступала с
докладами на международных
математических конгрессах, Всесоюзных
и региональных геометрических
конференциях.
Майкл Фрэнсис Атья родился в
1929 году в Лондоне. Его отец —
ливанец, мать — шотландка. После
учебы в Каирском колледже
«Виктория», в Манчестерской гимназии
(Grammar School) и прохождения
военной службы он поступил
учиться в Тринити-колледж в
Кембридже. После его окончания Атья
защитил в этом колледже
докторскую диссертацию и остался там
работать до 1961 года, выезжая в
1955 году на год в Институт пер- Н. М. ОСТИАНУ
спективных исследований в Прин-
стоне (США). С 1961 до 1990 года Атья работал в Оксфордском
университете, выезжая в 1969—1972 годах в Принстон. Он заведовал в
Оксфорде кафедрой геометрии, а в 1990 году стал директором
Института математических наук им. И. Ньютона к Кембридже. Член
Лондонского королевского общества и многих национальных
академий наук: США, Швеции, Германии, Франции, Ирландии,
Индии, Австралии, Китая, России и Украины. Награжден
Золотой медалью Дж. Филдса (1966), медалью де Моргана (1981),
медалью Неру, лауреат премий Бохера (1953), короля Фелтри-
нелли, Национальной академии деи Линчей (1981), короля Фей-
сала (1987) и др.
Основные научные труды: по алгебраической топологии и теории
дифференциальных уравнений. Он развил в топологии новый метод —
^-теорию (совместно с Ф. Хирцебрухом), позволивший решить
много трудных топологических проблем. Атья доказал важную теорему
о числе решений эллиптических дифференциальных уравнений
(«индексную теорему»), устанавливающую связь между
дифференциальной геометрией, топологией и анализом и являющуюся полезным
инструментом в теоретической физике. Исследования Атья
показали важную роль топологии в построении квантовой теории поля.
Его монографии «Лекции по if-теории» и «Введение в
коммутативную алгебру» получили всемирное признание.
Моя встреча с Атья состоялась в марте 1967 года в Оксфордском
университете. Я был поражен скромностью этого выдающегося

280
О некоторых выдающихся математиках XX века
ученого второй половины XX века.
После официальной беседы на
возглавляемой им кафедре он
пригласил меня на обед в
средневековую профессорскую
столовую, где вдоль стен стояли
стеллажи с огромными старинными
книгами, а посередине зала —
длинный стол, в конце которого
на столике, стоящем
перпендикулярно, располагались три котла
(суп, второе блюдо и компот).
Атья не позволил мне самому
наливать в тарелку: «Вы мой гость, —
сказал он, — и я буду ухаживать
за Вами». На прощание он
подарил мне книги об Оксфордском
МАЙКЛ АТЬЯ университете и свою статью из
«Семинара Бурбаки»
(оказывается, не только французы входили в этот таинственный коллектив).
Возвратившись в Томск, я был обрадован, получив от Атья
письмо, убедившее меня в том, что гениальность, скромность и
вежливость — близнецы-братья.
Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (Броуэр) (1881 — 1966) родился в Овер-
схи (Голландия). После окончания Амстердамского университета
работал в этом же университете до 1951 года (с 1912 —
профессором).
С 1904 года Брауэр стал одним из главных оппонентов Гильберта
по вопросам обоснования математики. Он последовательно
критиковал «чистые» математические доказательства существования,
опирающиеся на логический принцип «исключенного третьего».
Исследования Брауэра по основаниям математики положили
начало целому направлению — математическому интуиционизму.
Особую ценность имеет проведенный Брауэром анализ
математических доказательств существования с точки зрения
конструктивного построения тех объектов, существование которых
доказывается.
В 1911—1913 годах Брауэр установил ряд важных понятий и
результатов в топологии. В их числе: понятие симплициальной
аппроксимации и степени непрерывного отображения; понятие гомо-
тетической классификации отображения; теорема о гомотетической
эквивалентности двух отображений сферы на себя, имеющих одну
и ту же степень; теорема об инвариантности числа измерений и

Некоторые другие известные математики XX века 281
инвариантности внутренних точек
при топологическом отображении
множества, лежащего в я-мерном
пространстве, в это же
пространство; л-мерная теорема Жордана
и др. Эти результаты и методы,
найденные для их доказательства,
оказали существенное влияние на
развитие топологии в первой
половине XX века. Известны
принцип Брауэра в функциональном
анализе, брауэровы многообразия
в алгебраической топологии.
Брауэр — член Нидерландской
королевской АН (1912),
Лондонского королевского общества,
член-корреспондент Парижской
АН, Геттингенского научного об- ЛЁЙТЗЕН БРАУЭР
щества и многих других научных
обществ и учреждений. Его именем назван кратер на обратной
стороне Луны.
Александр Геннадиевич Курош (1908—1971) родился в Ярцево
Смоленской губернии. В 1928 году окончил Смоленский университет и
с 1930 года стал работать в
Московском университете. В 1937 году он
стал доктором
физико-математических наук, профессором.
А. Г. Курош добился
значительных результатов во многих
разделах современной алгебры — в теории
групп, колец, структур. Он
доказал теоремы о свободных
произведениях групп, о неассоциативных
свободных разложениях алгебр и др.
Монография Александра
Геннадиевича «Теория групп» (1944), его
учебники «Курс высшей алгебры»,
«Лекции по общей алгебре»
получили всемирное признание и
переведены на многие иностранные
языки. А. Г. Курош долгие годы
являлся руководителем Московской
алгебраической школы. А. Г. КУРОШ

282
О некоторых выдающихся математиках XX века
Лауреат премии им. П. Л. Чебышёва АН СССР (1945),
Государственной премии СССР (1974, посмертно), награжден
несколькими орденами. Международное признание А. Г. Куроша подтверждает
его членство в ряде иностранных научных обществ и учреждений.
Он — почетный доктор университетов в Лионе (1967) и Брно (1968),
член Германской академии естествоиспытателей «Леопольдина»
(1970) и др.
А. Г. Курош был прекрасным педагогом. Он очень заботился об
авторитете доктора наук-алгебраиста. Академик А. И. Мальцев
рассказал мне в 1967 году, что Александр Геннадиевич обратился с
письмами ко всем докторам наук-алгебраистам в СССР с просьбой
очень серьезно подходить к присуждению ученой степени доктора
наук по алгебре. Такие же серьезные требования к присуждению
ученой степени доктора наук предъявляли и доктора-геометры. Это
явилось одной из причин диспропорции в численности докторов
(а следовательно, и кандидатов) наук по различным областям
математики в СССР. К концу восьмидесятых годов из тысячи докторов
наук-математиков оставалось всего несколько десятков докторов наук-
геометров и алгебраистов. Хотя без алгебры и геометрии вряд ли
возможно успешное развитие большинства даже самых
современных областей математики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Завершая краткую характеристику развития математики с
древности до наших дней, осуществленную в восьми разделах «Избранных
глав истории математики», следует отметить, что основная цель,
которую ставил перед собой автор, это не охват всего многообразия
математических исследований и жизнеописание большого числа
выдающихся математиков мира, а характеристика наиболее важных
периодов развития математики, рассказ о жизни и творчестве некоторых
ее выдающихся творцов. Надеюсь, что эта небольшая по объему книга
увеличит число поклонников нашей замечательной науки —
математики.

283
Приложение
Хронология возникновения и первооткрыватели некоторых математических
символов
Символ
+
-
1 г, τ
=
X
>
<
log
1
χ, у, ζ
а"
оо
dx
dx, d2x
\ydx
II
π
f(x)
e
sin
cos
tg
Δχ
Значение
символа
сложение
вычитание
корни
равенство
умножение
больше
меньше
логарифм
перпендикулярность
неизвестные (переменные)
величины
степень
бесконечность
производная
дифференциал
неопределенный интеграл
параллельность
отношение длины окружности
к диаметру
функция
основание натуральных
логарифмов
синус
косинус
тангенс
приращение
Первооткрыватель
Я. Видман
Я. Видман
К. Рудольф
Р. Рекорд
У. Оутред
Т. Гарриот
Т. Гарриот
Б. Кавальери
П. Эригон
Р. Декарт
Р. Декарт
Дж. Валлис
Г. Лейбниц
Г. Лейбниц
Г. Лейбниц
У. Оутред
У. Джонс
Л. Эйлер
Л. Эйлер
Л. Эйлер
Л. Эйлер
Л. Эйлер
Л. Эйлер
Год
открытия
1489
1489
1525 ,
1557
1631
1631
(посмертное
издание)
1631
(посмертное
издание)
1632
1634
1637
1637 1
1655
1675
1675 (в
печати 1684)
1675 (в пе-.
чати 1686)
1677
(посмертное;
издание)
1706
1734
1736
1748
1748
1753
1755

284
Приложение
Символ
Σ
sh
ch
\№,У'
arcsin
/
—
dx
I
[n]
Γ
Π
1 \f(x)dx
a
Δ
Щх)
в
Ы
Г
' ν
lim
i, h к
ζ
=
u
η
с
D
In
e
lUII
Значение
символа
сумма
гиперболический синус
гиперболический косинус
производная
арксинус
<=\
частная производная
сравнимость
факториал
целая часть числа η
гамма-функция
произведение
определенный интеграл
оператор Лапласа
угол параллельности
бета-функция
модуль
вектор
оператор набла (гамильтониан)
предел
единичные векторы
дзета-функция
тождество
объединение
пересечение
содержится
включает в себя
натуральный логарифм
принадлежит
норма
Первооткрыватель
Л. Эйлер
В. Риккати
В. Риккати
Ж. Лагранж
Ж. Лагранж
Л. Эйлер
А. Лежандр
К. Гаусс
К. Крамп
К. Гаусс
А. Лежандр
К. Гаусс
Ж. Фурье
Р. Мерфи
Н. И. Лобачевский
Ж. Бине
К. Вейерштрасс
О. Коши
У. Гамильтон
У. Гамильтон
У Гамильтон
Б. Риман
Б. Риман
Дж. Пеано
Дж. Пеано
Э. Шредер
Э. Шредер
А. Прингсхейм
Дж. Пеано
Э. Шмидт
Год
открытия
1755
1757
1757
1770, 1779
1772
1777
(в печати
1794)
1786
1801
1808
1808
1808
1812
1819-1822
1833
1835
1839 !
1841
1853
1853
1853
1853
1857
1857
1888
1888
1890 ι
1890
1893
1895
1908

285
Литература
1. Александров П. С. Несколько слов по поводу речи Лобачевского «О
важнейших предметах воспитания» // Квант. — № 5. — 1996. — С. 2—8.
2. Александрова Н. В. Из истории векторного исчисления. — М.: Изд-во МАИ,
1992. -252 с.
3. Александрова Н. В. Математические термины. — М.: Высшая школа, 1978. —
190 с.
4. Арнольд В. И. Для чего мы изучаем математику? // Квант. — № 1—2. — 1993. —
С. 5-15.
5. Арнольд В. И., Тихомиров В. М., Ширяев А. Н. А. Н. Колмогоров в
воспоминаниях учеников//Квант. — № И —12. — 1988. — С. 3—11.
6. Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972. — 68 с.
7. Башмакова И. Г Пьер Ферма // Квант. - № 8. - 1976. - С. 3—11.
8. Белл Э. Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979. — 256 с.
9. Берман Г Н. Счет и число. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. — 40 с.
10. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. — Минск: Вышэйша школа,
1979. - 368 с.
11. Больяй Янош. Appendix. Приложение. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1950. — 236 с.
12. Бородин А. И., Бугай А. С. Выдающиеся математики. — Киев: Радянська школа. —
656 с.
13. Брылевская Л. И. Алкуин (ок. 735—804 гг.). // Математика в школе. — № 5. —
1991.-С. 68-70.
14. Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающая наука. — М.: Физматгиз, 1959.
15. Васильев А. В. Николай Иванович Лобачевский. — М.: Наука, 1992. — 332 с.
16. Виденский В. Сергей Натанович Бернштейн // Квант. — № 1.— 1997. — С. 17—21.
17. Виленкин Н. Я., Лишевский В. Нильс Хенрик Абель // Квант. — № 5. — 1976. —
С. 2-Ю.
18. Гильберт Д. Основания геометрии. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948. — 422 с.
19. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — М.: Наука, 1985. — 192 с.
20. Гиндикин С Г. Феликс Клейн // Квант. — № 12. - 1975. - С. 2-6.
21. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII—Vlfl кл. — М.: Просвещение,
1982. - 240 с.
22. Гнеденко Б. В. Александр Яковлевич Хинчин // Квант. — № 6. — 1994. — С. 2—6.
23. Гнеденко Б. В. и др. Очерки по истории математики/Башмакова И. Г.,
Демидов С. С, Дорофеева А. В., Кузичева 3. Α., Петрова С. С, Смирнова Г. С,
Тихомиров В. М. - М.: Изд-во МГУ, 1997. - 496 с.
24. Гнеденко Б. В. Михаил Васильевич Остроградский //УМН. — Т. VI. — Вып. 5
(45).- 1951.-С. 3-25.
25. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. — М.—Л.: ГИТТЛ,
1946. - 247 с.
26. Голубев В. В. Талант без почвы. — Ижевск: Изд-во ИПРИМ, 1999. — 120 с.
27'. Даан-Дольмедико Α., ПейфферЖ. Пути и лабиринты. Очерки по истории
математики. — М.: Мир, 1986. — 432 с.
28. Делоне Б. И. Математика и ее развитие в России. — М.: Правда, 1948. — 16 с.
29. Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. — М.—Л.: Изд-во АН СССР,
1947.- 124 с.
30. Демьянов В. П. Геометрия и Марсельеза. — М.: Знание, 1986. — 256 с.
31. Депман И. Рассказы о математике. — Л.: Детский мир, 1954. — 144 с.
32. Дорофеева А. В. Неморарий — выдающийся ученый XIII в. // Математика в
школе. - № 6. - 1991. - С. 59-60.

286
Литература
33. Дорофеева А. В. Рене Декарт и его «Геометрия» // Квант. — № 9. — 1987. —
С. 15-20.
34. Ефимов Н. В., Лопшиц А. М., Рашевский П. К Вениамин Федорович Каган //
УМН. - Т. IV. - Вып. 2(30). - 1949. - С. 5-14.
35. Зенкевич И. Г. Судьба таланта (очерки о женщинах-математиках). — Брянск:
Приокское книжн. изд-во, 1968. — 128 с.
36. Изжить лузинщину в научной сфере // УМН. — Вып. III. — 1937. — С. 3—4.
37. Историко-матемэтические исследования. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948—1955. —
Вып I—VIII.
38. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. — М.:
Наука, 1970-1972.-Т. 1-3.
39. Каган В. Ф. Великий русский ученый Н. И. Лобачевский и его место в
мировой науке. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 84 с.
40. Каган В. Ф. Лобачевский. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. - 216 с.
41. Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988, — 216 с.
42. Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир, 1984. — 448 с.
43. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука, 1989.
44. Кольман Э. Предмет и метод современной математики. — М.: ГСЭИ, 1936. —
316 с.
45. КотоваА. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) // Квант. — № 5. —1997. —
С. 2-8.
46. КотоваА. Жизнь Декарта // Квант. — № 3. — 1996. — С. 2—8.
47. Кузичева 3. А. Аниций Манлий Торкват Северин Боэций // Математика в
школе. — № 4. — С. 72—74.
48. Кузичева 3. А. Лейбниц и его роль в математике нового времени //
Математика в школе. - № 3. - 1996. - С. 77-80.
49. Кузичева 3. А. Рене Декарт// Математика в школе. — № 6. — 1996. — С. 75—78.
50. Кузнецова И. С. Гносеологические проблемы математического знания. — Л.:
Изд-во ЛГУ, 1984. - 135 с.
51. Кузьмин Р. О. Математические работы С. Н. Бернштейна//УМН. — Вып. VIII. —
1941.- С. 3-7.
52. Курдюмова Н. А. Джордж Буль как основоположник математической логики //
Математика в школе. — № 6. — 1995. — С. 75—80.
53. Лавринович К К. Альбертина. Очерки истории Кенигсбергского университета. —
Калининград: Калинингр. книжн. изд-во, 1995. — 416 с.
54. Лавринович К К. Фридрих Вильгельм Бессель. — М.: Наука, 1992. — 332 с.
55. Лурье С. Я. Математический эпос Кавальери // Квант. — № 2. — 1994. — С. 2—7.
56. Малаховский В. С. Введение в математику. — Калининград: Янтарный сказ,
1998. - 440 с.
57. Малаховский В. С. Избранные главы истории математики. Ч. 1. — Калининград:
Изд-во Калинингр. ун-та, 2001. — 88 с.
58. Малаховский В. С. Избранные главы истории математики. Ч. 2. —
Калининград: Изд-во Калинингр. ун-та, 2001. — 180 с.
59. Марков С. Н. Курс истории математики. — Иркутск: Изд-во Иркутского
ун-та, 1995. - 248 с.
60. Математика в СССР за тридцать лет. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948. — 1044 с.
61. Математика, ее содержание, методы и значение. — М.: Изд-во АН СССР,
1956. Т. 1-3.
62. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
Т. 1-5.
63. Математический энциклопедический словарь. — М.: Большая российская
энциклопедия, 1955. — 636 с.
64. Монж Г. Приложение анализа к геометрии. — М.—Л.: ОНТИ, 1936. — 689 с.

Литература
2S7
65. Нарский И. С. Готфрид Лейбниц. — М.: Мысль, 1972.
66. Нейгебауер О. Точные науки в древности. — М.: Наука, 1968. — 239 с.
67. Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк научных исследований
Германа Федоровича Лаптева // Труды геометрического семинара. — Т. 4. — 1973. —
С. 7-70.
68. Пидоу Д. Геометрия и искусство. — М.: Мир, 1979. — 434 с.
69. Полищук Ε. М. Софус Ли. — Л.: Наука, 1983. — 216 с.
70. Попов Г. N. Исторические задачи по элементарной математике. — М.:
Вузовская книга, 1999. — 216 с.
71. Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1990. — 736 с.
72. Рид К. Гильберт. - М.: Наука, 1977. - 368 с.
73. Рыбников К. А. История математики. — М.: Изд-во МГУ, 1994. — 496 с.
74. Смышляев В. К. О математике и математиках. — Йошкар-Ола: Марийское
книжн. изд-во, 1968. — 220 с.
75. Соловьев Ю. Николай Иванович Лобачевский // Квант. — № 11. — 1992. —
С. 2-9.
76. Спивак Α., Тихомиров В. Кеплер и винные бочки австрийские // Квант. — № 6. —
2000.-С. 2-11.
77. СтройкД. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука, 1984. — 288 с.
78. Сунгурцев Ю. В. Сергей Алексеевич Чаплыгин // Квант. — № 5. — 1989. — С. 2—5.
79. Табачников С. Л. Нацизм и математика. — Квант. — № 10. — 1990. — С. 14—20.
80. Тихомиров В. М. Андрей Николаевич Колмогоров // Квант. — № 3, 4.— 1993. —
С. 3-10.
81. Тихомиров В. М. Георг Кантор// Квант. - № 5. - 1995. - С. 2-7.
82. Тихомиров В. М. Математика во второй половине XX века // Квант. — № 1.—
2001.- С. 2-13.
83. Тихомиров В. М. Математика во второй половине XX века // Квант. — № 2. —
2001.-С. 2-7.
84. Тихомиров В. М. Математика в первой половине XX века // Квант. — № I. —
1999. - С. 2-9.
85. Тихомиров В. М. О кибернетике, Винере и винеровском процессе // Квант. —
№ 2. - 1995. - С. 2-6.
86. Тихомиров В. М. О математиках с улыбкой //Квант. — № 4. — 1996. — С. 24—26.
87. Тихомиров В., Успенский В. Лев Генрихович Шнирельман // Квант. — № 2. —
1996. -С. 2-6.
88. Тихомиров В., Успенский В. Павел Самуилович Урысон // Квант. — № 3. —
1998. -С. 10-12.
89. Третьякова Л. Алгебра нежной страсти // Крестьянка. — № 12. — 1996. —
С. 58-61.
90. Третьякова Л. Пифагоры в юбках // Крестьянка. — № 4. — 1996. — С. 60—62.
91. Федоров В. С. Труды Η. Η. Лузина по теории функций комплексного
переменного // УМН. - Т. VII. - Вып. 2 (48). - 1952. - С. 7-16.
92. Фиников С. П. О научном направлении кафедры дифференциальной
геометрии МГУ // УМН. - Т. IX. - Вып. 4. - С. 3-18.
93. Хрестоматия по истории математики. — М.: Просвещение, 1976—1977. —
Кн. 1,2.
94. Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.—Л.:
ГТТИ, 1932. - 230 с.
95. Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVI1 веках. — М.—Л.: ГТТИ, 1933. —
420 с.
96. Чанышев А. Н. Философия древнего мира. — М.: Высшая школа, 1999. — 704 с.
97. Чебышёв П. Л. Избранные математические труды. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1946. —
200 с.

2SS
Литература
98. Чистяков В. Д. Старинные задачи по элементарной математике. — Минск:
Вышэйша школа, 1978. — 272 с.
99. Шепелева 3. В., Шепелев Μ. Η. Франсуа Виет (1540—1603) // Математика в
школе. - № 4-5. - 1992. - С. 43-45.
100. Энциклопедия для детей, т. 11. Математика. — М.: Аванта+, 1998. — 288 с.
101. Юшкевич А. П. История математики в средние века. — М.: Физматгиз, 1961.
102. Яглом И. М. Якоб Штейнер // Квант. — № 7. - 1998. - С. 2-9.
103. Blaschke W. Reden und Reisen eines Geometers. — Berlin: VEB Deutsche Verlag
der Wissenschaften, 1957. — 118 s.
104. Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient. The historical rots of
elementary mathematics. — New-York: Dover publication, INC, 1998. — 299 p.

289
Указатель имен
Абель Нильс (1802-1829) 12 , 88 , 135 , 149 ,
159 , 160 , 179 , 191 - 193 , 223 , 226
Абогаст (1759-1803) 136
Абу-аль-ЛяТиф (XV в.) 74
Абу Камиль (ок. 850-930) 70
Абу-ль-Вефа (940-998) 70 , 72
Авиценна (Ибн Сина) (980-1037) 73 ,
76 , 78
Адамар Жак (1865-1963) 159 , 176 , 189 ,
190 , 246
Аделард из Бати (1075-1160) 78
Адян С. И. (XX в.) 260
Акивис М. А. (род. 1923) 277
Александр I (1777-1825) 11 , 130 , 134
Александр Македонский
(356-323 до н.э.) 32 , 50 , 51
Александров А. Д. (1912-1999) 13 , 258 ,
275 - 277
Александров П. С. (1896-1982) 242 , 246 ,
252 , 253 , 259 , 263
Алкмеон (VI—V в. до н. э.) 43
Алкуин Флакк (ок. 735—804) 6 , 62 , 63 ,
64
Альгазен (аль-Хайсам) (965 — ок.1039)
71
Альфан Жорж (1844-1899) 237
Амазис (VI в. до н. э.) 39
Ампер Андре (1775-1836) 215 , 217
Анаксагор (ок. 500—428 до н. э.) 47
Анаксимандр (ок. 610—ок. 547 до н. э.) 40
Анаксимен (VI в. до н. э.) 40
Аничков Д. С. (1733-1788) 144
Аннибал делла Наве (XVI в.) 86
Анникерид (IV в. до н. э.) 48
Аньези Мария Гаэтана (1718—1799) 152 ,
153 , 154
Аньези Пиетро (XVIII в.) 152
Аполлоний Пергский
(ок. 260 - ок. 170 до н. э.) 37 , 45 , 49 ,
50 , 52 , 53 , 54 , 56 , 58 , 73 , 78 , 93 , 96 , 112 ,
142 , 143
Аппель Поль (1855-1930) 130
Апулей .(ок. 124-?) 41
Арган Жак (1768-1822) 150 , 152
Ариабхата I (476 — ок. 550) 33 , 35
Аристарх Самосский (III в. до н. э.) 89
Аристипп (V—IV в. до н. э.) 48
Аристотель (384—322 до н. э.) 37 , 45 , 48 ,
50 , 78 , 96 , 109
Арнольд В. И. (род. 1937) 257
Артин Эмиль (1898-1962) 242
Архимед (ок. 287—212 до н. э.) 37 , 45 , 49 ,
52 , 53 , 58 , 60 , 72 , 73 , 78 , 92 , 96 , 97 , 98 ,
109 , 155
Архит Тарентский (ок. 428 — 365 до н. э.)
43 , 44 , 48 , 49 , 51
Атья Майкл (род. 1929) 279 , 280
Ахмес (XVII в. до н. э.) 22
Базылев В. Т. (1919-1989) 277
Байрон Джордж (1788-1824) 158
БариН. К. (1901-1961) 246
Барроу Исаак (1630-1677) 111
Басси Лаура (1711-1778) 153 , 154
Бах Иоганн (1685-1750) 9
Бахвалов С. В. (1898-1963) 277
Беббидж (Бэббедж) Чарлз
(1792-1871) 158
Беда Достопочтенный
(ок. 672 - ок. 735) 62
Бега-Эддин (XV в.) 76
Безу Этьен (1730-1783) 135
Бейес (Байес) Томас (1702—1761) 132 ,
140
Бекман Исаак (1588-1637) 102
Белл Эрик (1883-1960) 77
Бельтрами Эудженио (1835—1900) 176 ,
186
Бенц Доротея (1742-1839) 161
Бернайс Исаак (1888-1977) 243
Бернсайд Уильям (1852-1927) 260
Бернулли Даниил (1700-1782) 119 , 145 ,
146 , 147
Бернулл и Иоганн (1667—1748) 8 , 108 ,
114 , 115 , 118 , 119 , 146 , 148 , 150 , 156
Бернулли Николай (1695—1726) 114 ,
119 , 146
Бернулли Якоб (1654-1705) 8 , 108 , 114 ,
117 , 118 , 119 , 132 , 148 , 259
Бернштейн С. Н. (1880-1968) 267 , 268
Бертолле Клод Луи (1748-1822) 131
Бертран Жан (1731-1812) 150
Бертран Жозеф (1822-1900) 183 , 184 ,
196 , 204 , 224 , 225 , 268

290
Указатель имен
Бессель Фридрих (1784-1846) 162 , 211 -
213
Бесси Френикльде (1605—1675) РР , 116
Бетти Энрико (1823-1892) 253
Бианки Луиджи (1856-1928) 176 , 188
Бибербах Людвиг (1886-?) 13 , 243 , 244
Бине Жак (1786-1856) 284
аль-Бируни (973- ок.1050) 71
Близникас Вацлавас (1931-1997) 277
Бляшке Вильгельм (1885-1962) 273 , 274
Бойаи (Больяй) Фаркаш (1775—1856)
164 , 169
Бойаи (Больяй) Янош (Иоганн)
(1802-1860) 11 , 159 , 161 , 169 , 170 , 171 ,
173 , 176
Бойль Роберт (1627-1691) 113
Больцано Бернард (1781-1848) 160 , 210 ,
222
Бомбелли Раффаэле (ок. 1530—1572) 88
Бонне Пьер Оссиан (1819-1892) 163
Бор Харальд (1887-1951) 244
Борда Жан (1733-1799) 136
Борель Эмиль (1871-1956) 246
Борн Харольд (XX в.) 243
Боссю Шарль (1730-1814) 136
Бохер Максим (1867-1918) 270
Бошкович Руджер (1711 — 1787) 149
Боэций Аниций (ок. 480 - 524) 6 , 43 ,
61 , 62 , 63
Браге Тихо (1546-1601) 74 , 90 , 112
Брадвардин Томас (ок. 1290—1349) 82
Брауэр (Броуэр) Лёйтзен (1881—1966)
280 , 281
Брахмагупта (ок. 598—660) 33
Брашман Н. Д. (1796-1866) 156
Брейкенридж Уильям (1700—1762) 142
Брианшон Шарль (1785-1864) 183
Бриге Генри (1561-1630) 110
Бриоски Франческо (1824—1897) 186
Бронтин (VI в. до н. э.) 43
Броункер Уильям (1620-1684) 99
Брошар Жанна (XVI в.) 101
Брунеллески Ф. (1377—1446) 84
Бруно Джордано (1548—1600) 6 , 14
Будда (ум. 544 до н. э.) 34
Буль Джордж (1815-1864) 206 , 207
Бунзен Роберт (1811-1899) 231
Буняковский В. Я. (1804-1889) 217 , 218
Бурали-Форти Чезаро (1861—1931) 227
Бхаскара 1(1114— ок. 1185) 34 , 35
Бэкон Роджер (ок. 1214-1292) 19 , 81
Бэкон Френсис (1561—1626) 3
Бюрги Йобст (-1552-1632) 85 , 110 , 111
Бюттнер (XVII! в.) 161
Бюффон Жорж (1707-1788) 137
Бюшгенс С. С. (1882-1963) 245
В
Вагнер В. В. (1908-1981) 266
Вагнер Ульбрихт (XV в.) 83
Балле Пуссен Шарль (1866-1962) 159
Валлис (Уоллис) Джон (1616—1703)
73 , 99 , 106 , 111 , 139 , 141 , 283
Вальдек Минни (XVIII-XIX вв.) 164
Вальмес (XV в.) 60
Ван-дер-Варден Бартель (1903—?) 51 ,
242
Вандермонд Александр (Шарль)
(1735-1796) 135
Варгентин Петер (1717-1783) 151
Варинг Эдуард (1734-1798) 140 , 141 , 237 ,
270
аль-Васике (IX в.) 67 , 68
Васильев А. М. (1923-1987) 277
Васильева М. В. (род. в 1926) 277
Васко да Гама (1469-1524) 83
Вебер Вильгельм (1804-1891) 83 , 163 ,
164 , 171
Вебер Генрих (1842-1913) 236
Веблен Освальд (1880-1960) 244
Ведерников В. И. (1919-1991) 266
Вейерштрасс Карл (1815-1897) 160 , 200 ,
207 , 210 , 221 - 223 , 227 , 231 , 233 , 284
Вейль Герман (1885-1955) 241 , 242 , 243
Векуа И. Н. (1907-1977) 249
Великопольский И. Е. (XIX в.) 168
Вергилий (70-19 до н. э.) 90 , 96
Вессель Каспар (1745-1818) 150 , 151 , 152
Видман Ян (1460 - ок. 1498) 81 , 84 , 283
Виет Франсуа (1540-1603) 7 , 93 - 95 , 100 ,
112
Вилейтнер Генрих (1874-1931) 77
Винер Норберт (1894-1964) 269 , 270
Виноградов И. М. (1891-1983) 141 , 261 , 262
Висковатов В. И. (1780-1812) 144
Вишневский В. В. (род. 1929) 266
Власов А. К. (1868-1922) 176 , 190
Войнич Этель (1864-1960) 206
Вольтер (Аруэ) Франсуа (1694-1778)
155 , 156
Вольтерра Вито (1860-1940) 255
Вольф Христиан (1679-1754) 139 , 140
Вольфрам Исаак (XVIII в.) 151
Вороной Г. Ф. (1868-1908) 196 , 197 , 198 ,
239 , 261

Указатель имен
291
г
Гален (ок. 130- ок. 200) 78
Галилей Галилео (1564-1642) 5 , 19 , 60 ,
84 , 89 , 91 , 92 , 96 , 102 , 117 , 265
Галлей Эдмунд (1656-1742) 125 , 142 ,
143 , 211
ГалуаЭварист (1811-1832) 12 , 159 , 173 ,
193 - 195 , 199 , 203 , 214 , 220 , 221
Гальвани Луиджи (1737-1798) 154
Гамильтон Уильям Роуан (1805—1865)
159 , 182 , 207 , 216 , 219 , 220 , 284
Гарриот (Харриот) Томас (1506—1621)
283
Гаусс Герхард Дитерих 161
Гаусс Карл (1777-1855) 11 , 20 , 56 , 119 ,
123 , 134 , 135 , 138 , 139 , 141 , 152 , 155 , 159 ,
160 , 161 - 165 , 167 , 169 , 170 , 171 , 174 ,
184 , 185 , 191 , 192 , 194 , 196 , 201 , 211 ,
220 , 284
Гёдель Курт (1906-1978) 238 , 272 , 273
Гейдельман P. М. (1922-?) 277
Гей-Люссак Жозеф (1778-1850) 157
Гелон (III в. до н. э.) 53
Гёльдер Отто (1859-1937) 203
Гельмгольц Герман (1821—1894) 231
Гельфанд И. М. (род. 1913) 257
Генрих III (1551-1589) 93
Генрих IV (1553-1610) 93 , 94 , 215
Георг I (XVII-XVIII вв.) 109
Герардо Кремонский (1114—1187) 78
Герберт Орийакский (930-1003) 64
Герглоц Густав (1881-1953) 241
Герман Яков (1678-1733) 150
Геродот (ок. 484 — ок. 425 до н. э.) 46 , 96
Герон Александрийский (I в.) 37 , 54 , 58 ,
79 , 84
Гессе Отто (1811-1874) 176 , 181 , 183
Гёте Иоганн Вольфганг (1749—1832) 164
Гиерон (III в. до н. э.) 53
Гильберт Давид (1862-1943) 13 , 20 , 141 ,
159 , 170 , 204 , 228 , 236 - 238 , 240 , 241 ,
242 , 244 , 266 , 270 , 273 , 280
Гильберт Отто (XIX в.) 236
Гинденбург Карл (1741-1808) 138
Гинденбург Пауль (1847-1934) 243
Гиппарх (ок. 180 или 190—125 до н. э.) 49
Гиппас (VI в. до н. э.) 43
Гиппий (V в. до н. э.) 47
Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) 47 ,
51 , 57 , 78
Гитлер Адольф (1889-1945) 237 , 241 , 243
Гнеденко Б. В. (1912-? ) 257 , 260
Голенищев В. С. (1856-1947) 22
Голицын С. Н. (XVIII-XIX вв.) 157
Голицына Е. И. (1780-1850) 11 , 156 , 157
Головин М. Е. (1756-1790) 145
Голубев В. В. (1884-1954) 245
Гольдбах Христиан (1690—1764) 123 ,
144 , 145 , 228 , 262 , 270
Гомер 96 , 219
Гораций (65—8 до н. э.) 96
Гордан Пауль (1837-1912) 186
Горнер Вильяме (1786—1837) 150
Граве Д. А. (1863-1939) 196 , 198 , 199
Гравезанд (СТравезанде) Биллем
(1688-1742) 151
Гранди Гвидо (1671-1742) 153
Грассман Герман (1809-1877) 159 , 176 , 182
Грегори Джеймс (1638—1675) 34 , 113
Грегори Дэвид (1659-1708) 113
Грейг Самуил (ум. 1807) 157
Греффе Карл (1799-1873) 166
Гринцевичус К. Й. (1917-1972) 278
Грубер В. Л. (XIX в.) 231
Гуден (Гудэн) Матье (1734-1817) 136
Гук Роберт (1635-1703) 112 , 113
Гумбольдт Александр (1769-1859) 157 ,
164 , 180 , 219
Гумбольдт Вильгельм (1767-1835) 180
Гурвиц Адольф (1859-1919) 159 , 236 ,
237 , 240
Гурса Эдуард (1858-1936) 233 , 234
Гурьев СЕ. (1766-1813) 144
Гэн Чоу-чан (I в. до н. э.) 29
Гюа Мальв Жан де (1712-1776) 136
Гюйгенс (Хёйгенс) Христиан
(1629-1695) 106 , 112
Д
Д'Аламбер Жан Лерон (1717-1783) 10 ,
124 , 125 , 126 , 131 , 132 , 155
Данжуа Арно (1884-1974) 246 , 259
Дарбу Гастон (1842-1917) 159 , 160 , 176 ,
177 , 187 , 188 , 225 , 226 , 237 , 246
Дарвин Джордж (1855-1912) 20
Деген Карл (1766-1825) 151
Дедекинд Рихард (1831-1916) 160 , 197 ,
201 , 202 , 221
ДезаргЖерар (1593-1662) 84 , 115 , 116 ,
142 , 150
Дейноно (Теано) (VI в. до н. э.) 43
Декарт Рене (1596-1650) 8 , 54 , 83 , 88 ,
100 , 101 - 104 , 109 , 112 , 115 , 116 , 118 , 123 ,
139 , 152 , 153 , 156 , 283

292
Указатель имен
Делиль Жозеф (1688-1768) 154
аль-Джаухари (IX в.) 72
аль-Джили Кушияр (ок. 971 — ок. 1029)
72
Джонс (Джоунз) Уильям
(1675-1749) 143 , 283
Дидро Дени (1713-1784) 109
Диоген Лаэртий (III в.) 96
Дионисий Младший (IV в. до н. э.) 49
Дионисий Старший (IV в. до н. э.) 48
Диофант (III в.) 31 , 37 , 55 , 56 , 59 , 60 , 62 ,
72 , 99
Дирихле Петер (1805-1859) 133 , 171 ,
174 , 201 , 220 , 221 , 237 , 240 , 267 , 271
Долгорукий Михаил (XVIII—XIX вв.)
157
Достоевский Ф. М. (1821-1881) 104
Драйден Джон (1631-1700) 219
Дюбуа- Реймон Пауль (1831-1889) 231
Дюгамель Жан (1797-1872) 184
Дюма-дед (XVIII - нач. IX в.) 131
Дюма-отец (1803-1870) 131 , 193
Дюпен (Дюпэн) Франсуа (1784—1873)
136
Е
Евдокс Книдский
(ок. 408 - ок. 355 до н. э.) 6 , 43 , 49 ,
50 , 51
Евклид (IV-III в. до н. э.) 37 , 45 , 47 , 51 ,
52 , 56 , 57 , 60 , 61 , 66 , 71 , 72 , 73 , 78 , 79 , 84 ,
89 , 92 , 113 , 134 , 138 , 139 , 147 , 150 , 170 ,
171 , 218 , 219
Еврит (V—IV в. до н. э.) 43
Евтушик Л. Е. (род. 1931) 277
Егоров Д. Ф. (1869-1931) 13 , 245 , 246 , 248
Егоров И. П. (1915-1990) 266
Елизавета (XVII в.) 103
Ермаков В. П. (1845-1922) 160
Ермолаев Л. С. (XX в.) 277
Ершов Ю. Л. (род. 1940) 275
Ефимов Н. В. (1910-1982) 266
Ж
Жаклар А. В. (1843-1887) 231
Жаклар Виктор (1840-1903) 231
Жермен Софья (1776-1831) 154 , 155
Жордан Камиль (1838-1922) 159 , 202 ,
204 , 225 , 237 , 242 , 281
Жуковский Н. Е. (1847-1921) 160 , 228 ,
229 , 230 , 277 -
3
Залгаллер В. А. (XX в.) 276
Зенон Элейский
(ок. 490 - ок. 430 до н. э.) 6 , 45 , 46
Золотарёв Е. И. (1847-1878) 196 , 197 , 202
И
Имшенецкий В. Г. (1832-1892) 224
Иннокентий X (XVII в.) 96
Ипатия (Гипатия) (370-415) 6 , 56 , 57 ,
152
Исфахан Мелик-шах (XII в.) 71
Ишлинский А. Ю. (род. 1913) 250
К
Кавальери Бонавентура (1598—1647) 7 ,
96 - 98 , 112 , 283
Кавендиш Генри (1731-1810) 130
Каган В. Ф. (1869-1953) 265 , 266
Кази-Заде Салах (ок. 1360-ок. 1437) 76
аль-Кальсади (Каласади) (1412—1486)
76
Кант Иммануил (1724-1804) 19 , 132 ,
139 , 236
Кантор Георг (1845-1918) 160 , 200 , 210 ,
226 - 228
Капелли Альфредо (1855-1910) 200 , 201
аль-Караджи (аль-Кархи) (ум. ок.1030)
70 , 71 , 76 , 79
Каратеодори Константин (1873—1950)
266 , 267
Кардано Джероламо (1501—1576) 7 , 72 ,
87 , 88 , 116
Карл Великий (742-814) 62
Карл Вильгельм Фердинанд (ум. 1806)
162
КарноЛазар (1753-1823) 11 , 124 , 132 ,
134 , 149 , 213
Карстен Велезеслаус (1732—1787) 138
Картан Анри (род. 1904) 263
Картан Эли (1869-1951) 226 , 263
Кастелли (XVII в.) 96
Кастильон Джованни (1704—1791) 149
Кастри (XVII в.) 130
Каталан Эжен (1814-1894) 223
Катон Утический (95—46 до н. э.) 44
Качини (XVII в.) 60
аль-Каши (аль-Кашани)
(ум. ок. 1436 или 1437) 32 , 74 , 75 , 76 ,
94

Указатель имен
293
Кеджори (XX в.) 77
Келдыш В. М. (1878-1965) 250
Келдыш Л. В. (1904-1976) 246
Келдыш М. В. (1911-1978) 13 , 250 , 251
Кёнигсбергер Лео (1837-1921) 231
Кеплер Иоганн (1571-1630) 19 , 55 , 89 ,
90 , 91 , 110 , 111 , 112 , 117
Кестнер Абрахам (1719-1800) 138
аль-Кинди (ок. 800 - ок. 870) 67 , 78
Кирик Новгородец (род. 1110) 64
Кирилл (V в.) 57
Кирхгоф Густав (1824-1887) 231
Киселев А. П. (1852-1940) 230
Клавиус Христоф (1537-1612) 84
Клебш Альфред (1833-1872) 176 , 186 , 242
Клейн Феликс (1849-1925) 134 , 159 , 160 ,
161 , 172 - 174 , 181 , 183 , 188 , 204 , 223 ,
225 , 226 , 236 , 241 , 242 , 243 , 244 , 270 , 273
КлероАлекси (1713-1765) 10 , 124 , 125 ,
132 , 154 , 155
Клингеншерна Самуил (1698—1765) 151
Клиффорд Уильям (1845— 1879) 166 ,
176 , 188
Клюгель Георг (1739-1812) 138
Ковалевская С. В. (1850-1891) 11 , 104 ,
146 , 160 , 230 - 233
Ковалевский В. О. (1842-1883) 231 , 232
Ковалевский М. М. (XIX в.) 232
Кованцов Н. И. (1924- ?) 277
Кодацци Дельфино (1824—1872) 176 ,
184 , 185
Колмогорова. Н. (1903-1987) 190 , 246 ,
247 , 256 - 258 , 274
Колумб Христофор (1451-1506) 83
Кольман Э. Я. (I892-?) 20
Кондорсе Жан (1743-1794) 135
Конон Самосский (III в. до н. э.) 53
Коперник Николай (1473-1543) 55 , 89 ,
90 , 91 , 92 , 166
Корвин-Круковский В. В. (XIX в.) 230
Коркин А. Н. (1837-1908) 160 , 196 , 197
Котельников С. К. (1723-1806) 146
Коутс Роджер (1682-1716) 143
Коши Огюстен (1789-1857) 99 , 126 , 159 ,
160 , 190 , 192 , 194 , 210 , 213 , 214 , 215 , 217 ,
218 , 234 , 284
Крамер Габриель (1704-1752) 150
Крамп Кристиан (1760—1826) 284
Кратил (V—IV в. до н. э.) 48
Крелль Август (1780-1855) 179 , 191
Кремона Луиджи (1830-1903) 176 , 185 ,
186
Кремонский Герардо (1114—1187) 69
Кронекер Леопольд (1823—1891) 160 ,
200 , 201 , 207 , 221 , 227 , 228
КрыловА. Н. (1863-1945) 264 , 265
Ксенофан (V в. до н. э.) 45 , 46
Кулибин И. П. (1735-1818) 120
Куммер Эрнст (1810-1893) 201 , 207 , 227
Курант Рихард (1888-1972) 239 , 240243 ,
258
Курганов Н. Г. (17257-1796) 145
Курош А. Г. (1908-1971) 281 , 282
ибн-Курра (836-901) 72 , 78
аль-Кухи (X в.) 72
Кэли Артур (1821-1895) 159 , 173 , 176 ,
183 , 273
Кюнн Генрих (1690-1769) 139
Л
Лавлис (Лавлейс) Ада (1815-1852) 158
Лаврентьев М. А. (1900-1980) 246 , 249 ,
250
Лавуазье Антуан Лоран (1743—1794) 130
ЛагранжЖозеф (1736-1813) 10 , 99 , 124 ,
126 , 127 , 129 , 132 , 135 , 139 , 141 , 149 ,
154 , 193 , 218 , 220 , 265 , 283 , 284
Лаир Филипп де (1640—1718) 116
Ламберт Иоганн (1728-1777) 137
Ламе Габриель (1795-1870) 224
Ландау Эдмунд (1877-1938) 239 , 243 ,
244
Ланден Джон (1719-1790) 143
Ланкре Мишель.(1774-1807) 136
Ланьи Том (1660-1734) 136
Лаплас Пьер (1749-1827) 10 , 11 , 119 ,
124 , 131 , 132 , 140 , 157 , 164 , 209 , 215 ,
217 , 218 , 220 , 231 , 284
Лаптев Б. Л. (1905-1989) 266
Лаптев Г. Ф. (1909-1972) 248 , 249 , 276 ,
277 , 278
Лаптев Ф. П. (XIX-XX вв.) 277
Лебег Анри (1875-1941) 246
Лежандр Адриен (1752—1833) 124 , 132 ,
133 , 134 , 155 , 160 , 162 , 171 , 192 , 193 ,
199 , 217 , 261 , 284
Лейбниц Готфрид (1646-1716) 8 , 34 , 36 ,
106 , 107 - 109 , 111 , 117 , 152 , 154 , 156 , 283
Лексель А. И. (1740-1784) 149
Лемуан Эмиль (1840-1912) 20
Леонардо да Винчи (1452-1519) 88 , 89
Леонардо Пизанский (Фибоначчи)
(1180-1240) 7 , 17 , 70 , 78 , 79 , 80 , 85
Лепот Николь Гортензия (1723—1788)
154

294
Указатель имен
ЛиСофус (1842-1899) 159 , 160 , 172 , 223 ,
224 - 226 , 264 , 274
Ли Чунь-фэнь (VII в.) 29 , 159
Линдеман Фердинанд (1852—1939) 186 ,
204 , 236
Линник Ю. В. (1915-1972) 141
Липшиц Рудольф (1832—1903) 160
Литлвуд Джон (1885-1977) 141 , 271 , 272
Литтров Йозеф (1781-1840) 170
Лиувилль Жозеф (1809-1882) 195 , 214 ,
221 , 223
Лобачевский И. М. (ум. 1797) 165
Лобачевский Н. И. (1792-1856) 11 , 159 ,
160 , 165^169 , 170 , 171 , 173 , 175 , 176 ,
183 , 186 , 217 , 218 , 226 , 264 , 266 , 269 ,
276 , 284
Ломоносов М. В. (1711-1765) 139 , 144 ,
145 , 262 , 265
Лонг Луиза де (XVII в.) 100
Лопиталь Гийом (1661-1704) 108 , 115 , 125
Лоран Пьер (1813-1854) 160 , 222
Лоренц Хендрик (1853-1928) 239
Лориа (XX в.) 77
Лорнья Антонио (1735-1796) 148
Лузин Н. Н. (1883-1950) 13 , 122 , 245 , 246 -
248 , 252 , 256 , 259
Луи Филипп (1773-1850) 193 , 213
Лумисте Ю. Г. (род. 1929) 278
Лю Синь (II в.) 32
Лю Хуэй (III в.) 29 , 32
Людовик XV (1710-1774) 125
Людовик XVI (1754-1793) 128
Людовик XVIII (1755-1824) 132
Люстерник Л. А. (1899-1981) 246 , 247
Ляпунов А. А. (1911-1973) 246
ЛяпуновА. М. (1857-1918) 160 , 196 , 198 ,
264
М
Магавира (ок. 814-880) 33 , 35
Магеллан Фернан (ок. 1480—1521) 83
Магистра Грегор (XI в.) 66
Магницкий Л. Ф. (1669-1739) 144 , 145
МайнардиАнджело (1800-1879) 184 , 185
Майнцский (XIX в.) 164
Макаров С. О. (1848/49-1904) 265
Маклорен Колин (1698-1746) 141 , 142
Максимилиан Баварский (1573—1651) 91
Малаховский В. С. (род. 1929) 278
Малевич И. И. (XIX в.) 230
Мальцев А. И. (1909-1967) 257 , 274 , 275 ,
282
аль-Мамун (IX в.) 67 , 68
Мангейм Виктор (1831—1906) 268
Манин Ю. И. (род. 1937) 266
аль-Мансур (ум. 777) 67
Мария Антуанетта (ум. 1793) 128
Марков А. А. (1856-1922) 196 , 197 , 198 ,
199
Маркушевич А. И. (1908-1979) 250
Марсильи Чезаре (XVII в.) 96
Маскерони Лоренцо (1750—1800) 148
Матцунага Иосисуке (1664—1744) 152
Мёбиус Август (1790-1868) 176 , 177 ,
178 , 181
Мей Вендин (1633-1721) 152
Мелеагр 206
Мелисс (V в. до н. э.) 45
Менелай Александрийский (I—II вв.)
78
Менехм (IV в. до н. э.) 50
Менье Жан (1754-1793) 136
Меньшов Д. Е. (1892-?) 246 , 259
Мере де 100 , 105
Мерсенн Марен (1588-1648) 102 , 112 ,
115 , 122
Мерфи (XIX в.) 284
Местлин Михаэль (1550-1631) 90
Микеланджело (1475—1564) 92
Миндинг Фердинанд (1806—1885) 160 ,
181 , 182
Минковский Герман (1864-1909) 236 ,
238 , 239 , 241
Миттаг-Лёффлер Магнус (1846—1927)
199 , 233
Млодзеевский Б. К. (1858-1923) 176 , 189
Мобэдцин Урзи (XIII в.) 73
Моисеева В. А. (XIX в.) 168
Молин Ф. Э. (1861-1941) 207 , 208
МонжГаспар (1746-1818) 10 , 116 , 124 ,
127 - 131 , 132 , 134 , 135 , 159 , 213 , 226 ,
265
Монмор (Ремон) Пьер (1678-1719) 136
Мопертюи Пьер (1698-1759) 136 , 155
Мор Георг (1640-1697) 148
Морган Августус (Огастес)
(1806-1871) 157 , 158 , 205 , 206
Муавр Абрахам (1667-1754) 140
аль-Мулк Фахр (XI в.) 70
Мусин-Пушкин (XIX в.) 166
Мутасим (IX в.) 67 , 68 , 72
Мюллер Иоганн (Региомонтан)
(1436-1476) 7 , 81 , 84
Мюллер Иоганн Гельфрих
(1746-1830) 139

Указатель имен
295
н
Набонассар (VIII в. до н. э.) 27
Наджмэддин Дибирани (XIII в.) 74
Наполеон Бонапарт (1769-1821) 128 ,
129 , 131 , 132 , 134 , 176 , 209 , 213
ан-Насави 70
Насир (XIII в.) 72
Неарх (V в. до н. э.) 46
Нейгебауер Отто (1899 - ?) 27 , 243
Неморарий Иордан (XIII в.) 7 , 80 , 81
Непер Джон (1550-1617) 85 , 110
Нётер Макс (XIX в.) 242
Нётер Эмми (1882-1935) 242 , 243
Николь Франсуа (1683-1758) 136
Никольский С. М. (1905- ?) 257
Никомах из Герасы (I—II вв.) 42 , 43 , 54 ,
58 , 61
Нилаканта (1444 — ок. 1501) 34
Новара Доменико Мария (XV—XVI вв.)
89
Новиков П. С. (1901-1975) 246 , 249 , 260
Норден А. П. (1904-1993) 266 , 269
Ньютон Исаак (1643-1727) 8 , 33 , 34 , 36 ,
71 , 75 , 77 , 93 , 106 , 108 , 109 , 111 , 113 ,
117 , 121 , 132 , 140 , 142 , 143 , 151 , 152 ,
154 , 156 , 164 , 176 , 177 , 216 , 220 , 265 , 279
О
Овидий (43 до н. э.— ок. 18 н. э.) 96
Ольберс Генрих (1758-1840) 164 , 211
Орем Никола (ок. 1323-1382) 81 , 83
Осиповский Т. Ф. (1765-1832) 215
Остиану Н. М. (род. 1922) 277 , 278
Остроградский М. В. (1801-1862) 100 ,
156 , 157 , 160 , 167 , 214 - 217 , 218 , 220 ,
230 , 231
Остхоф Иоганна (ум. 1809) 164
Оутред Уильям (1575-1660) 283
П
Павловский (XVIII-XIX вв.) 215
Папп Александрийский (III в.) 55 , 59 ,
96 , 149
Парменид (V в. до н. э.) 45 , 46
Парменик (VI в. до н. э.) 43
Паскаль Блез (1623-1662) 8 , 36 , 99 , 100 ,
104 - 106 , 109 , 116 , 117 , 118 , 142
Паскаль Этьен (1588-1651) 105 , 116
Пачоли Лука (ок. 1445—ок. 1514) 7 , 80 ,
81 , 88
Пеано Джузеппе (1858-1932) 160 , 284
Пелль Джон (1611-1685) 34 , 99
Пенлеве Поль (1863-1933) 176
Перикл (ок. 490-429 до н. э.) 45 , 46 , 47
Перкопс (VI в. до н. э.) 43
Персии Флакк (34—62) 96
Песталоцци Иоганн (1746—1827) 179
Петерсон К. М. (1828-1881) 176 , 184 ,
185 , 189
Петр I (1672-1725) 108
Петровский И. Г. (1901-1973) 245 , 249
Петрон (VI в. до н. э.) 43
Пикар Эмиль (1856-1941) 237 , 246
Пингали 33
Пифагор Самосский
(ок. 570-500 до н. э.) 19 , 24 , 27 , 30 ,
37 , 41 - 43 , 45 , 57
Плавт Тит Макций
(сер. III в.-184 дон. э.) 96
Плануд Максим (ок. 1260 — ок. 1310) 62
Плато Жозеф (1695-1771) 136
Платон (Аристокл) (ок. 427— ок. 347
до н. э.) 19 , 37 , 45 , 48 , 49 , 50 , 61 , 96 , 109
Платонов В. П. (род. 1939) 275
Плюккер Юлиус (1801-1868) 172 , 176 ,
180 , 181 , 225
Полиа (XX в.) 271
Поликрат (? — ок. 523 до н. э.) 41
Понселе Виктор (1788-1867) 116 , 159 ,
176 , 177 , 186 , 225
Понтрягин Л. С. (1908-1988) 13 , 253 , 254 ,
258
Поссе К. А. (1847-1928) 196 , 199
Привалов И. И. (1891-1941) 245
Прингсхейм Альфред (1850—1941) 284
Прокл Диадох (ок. 410-485) 50 , 51
Прохоров Ю. В. (1929-2002) 257
Птолемей I Сотер
(1У-Швв.дон.э.) 5/ , 60
Птолемей IV Филопаторе
(III в. до н. э.) 53
Птолемей Клавдий (ок. 100 — ок. 178)
37 , 49 , 55 , 56 , 59 , 68 , 73 , 78 , 96 , 112 , 268
Пуанкаре Анри (1854-1912) 12 , 113 , 159 ,
160 , 161 , 170 , 174 - 176 , 243 , 246
Пуассон Симеон (1781-1840) 105 , 160 ,
194 , 215 , 217
Пфафф Иоганн (1765-1825) 138 , 226 , 264
Р
Райнд (XIX в.) 22
Рамануджан Сриниваса (1887—1920)
271 , 272
Рао Рамачандра (XIX —XX вв.) 271
Рассел Бертран (1872-1970) 20 , 227

296
Указатель имен
Рашевский П. К. (1907-1985) 266
аль-Рашид (ок. 768—809) 67 , 68
Ребьер (XIX - нач. XX вв.) 155
Рекорд Роберт (1510-1558) 283
Рендал Джон 20
Репман Е. А. (XX в.) 257
Риккати Винченцо де (1707—1775) 148 ,
283
Риккати Якопо (1676-1754) 146 , 147 , 148
Риман Бернхард (1826-1866) 12 , 126 ,
159 , 160 , 161 , 170 - 172 , 174 , 186 , 188 ,
203 , 221 , 284
Ришело Фридрих (1808-1875) 219 , 222
Ришелье Арман Жан (1585—1642) 102
Роббинс Герберт (род. 1915) 240
Роберваль Жиль (1602-1675) 111 , 112
Робеспьер Максимильен (1758—1794)
128
Робине (1707-1751) 120
Рокруа Орбон де (XVIII в.) 130 , 131
ван Роомен Адриен (1561 — 1615) 94
Российский С. Д. (XX в.) 277
Роте Генрих (1773-1842) 139
Рудольф 11 (1552-1612) 91
Рудольф Кристоф (ок. 1500— ок. 1545)
84 , 85 , 283
Румовский С. Я. (1734-1812) 145
Рунге Карл (1856-1927) 240 , 241
Руффини Паоло (1765-1822) 149 , 150 ,
159 , 191
Рыжков В. В. (1920-1996) 277
С
Саваюрда 79
Савойский (XVII в.) 101
СаккериДжованни (1667—1733) 73 , 147
Саладини (XVIII в.) 148
Сальвиан (VII в.) 63
ас-Самавал (XI в.) 71
Самарский А. А. (род. 1919) 255 , 256
Саркава-Вардапет (XII в.) 66
Сведенборг Эмануэль (1688—1772) 132
Сегнер (Зегнер) Я нош (1704-1777) 139
Седов Л. И. (род. 1907) 250
Сежур Дионис дю (1734-1794) 136
Серре Жозеф (1819-1885) 224
Сеченов И. М. (1829-1905) 231
Сильвестр Джеймс (1814-1897) 176 ,
202
Симпсон Томас (1710-1761) 113 , 142 ,
143
Симеон Роберт (1687-1768) 142
Синюков Н. С. (1925-1992) 266
Смит Генри (1826-1883) 239
Сократ (ок. 469-399 до н. э.) 20 , 48
Соммервиль Мэри (1780-1872) 157 , 158
Сонин Н. Я. (1849-1915) 199
Сорен Жозеф (1659-1737) 137
Софокл (ок. 496—406 до н. э.) 47
Сретенский Л. Н. (1902-1973) 245
Стевин Симон (1548-1620) 93
Стеклов В. А. (1864-1926) 196 , 198 , 246 ,
250 , 261 , 274 , 275
Стендаль (Анри Мари Бейль)
(1783-1842) 104
Степанов В. В. (1889-1950) 245
Стирлинг Джеймс (1692-1770) 33 , 140
Страннолюбский А. Н. (1839—1908)
231
Стройк Дирк (1894-?) 153 , 195 , 228
Т
Такебе Хокожиро (1664—1739) 152
Тамерлан (Тимур) (1336-1405) 67 , 74
Тарталья (Фонтана) Никколо
(ок. 1499-1557) 7 , 72 , 84 , 86 , 87 , 88 , 116
Тейлор Брук (1685-1731) 113 , 141 , 142 ,
214 , 247
Теодорих (VI в.) 61
Теон Александрийский (IV в.) 56
Теэтет (ок. 414—369 до н. э.) 49 , 52
Тихомиров В. М. (род. 1934) 235
Тихонова. Н. (1906-1993) 253 , 254 , 255 ,
256
Толстой Л. Н. (1828-1910) 8 , 104 , 105
Торквемада Томас (XV в.) 60
Торричелли Эванджелиста (1608—1647)
105
Трамбле Жан (1749-1811) 151
Туганов Н. Г. (1901-1956) 277
Тургенев И. С. (1818-1883) 104 , 105
ат-Туси Насирэддин (Ходжа
Насирэддин) (1201-1274) 72 - 74
Тыртов (XIX в.) 230
Тьер Адольф (1797-1877) 231
У
Уайтхед Альфред (1861-1947) 20
Уатт Джеймс (1736-1819) 130
аль-Уклидизи (X в.) 70
УлугбекТарагай (1394-1449) 6 , 74 , 75 , 76
Урбан VIII (XVII в.) 96
Урысон П. С. (1898-1924) 190 , 246 , 252

Указатель имен
297
Ф
Фалес Милетский (ок. 625 — ок. 547
до н. э.) 37 , 38 - 40 , 41 , 51
Фаньяно деи Тоски Джанфранческо
(1715-1797) 148
Фаньяно деи Тоски Джулио
(1682-1766) 148
аль-Фараби Абу (870-950) 78
Фахрэддин Ихлати (XIII в.) 74
Фахрэддин Мараги (XIII в.) 73
Феденко А. С. (род. 1929) 266
Фёдор из Кирены
(ок. 456 - ок. 399 до н. э.) 48
Фёдоров Е. С. (1853-1919) 204 , 205
Федорова В. Ф. (XX в.) 257
Фейдиас (Фидий) (III в. до н. э.) 52
Феодосии (IV в.) 60 , 73
Ферма Пьер (1601-1665) 7 , 8 , 56 , 98 -
101 , 103 , 105 , 107 , 109 , 111 , 116 , 118 ,
122 , 133 , 152 , 155 , 162 , 201 , 213
Феррари Лудовико (1522—1565) 87
Ферро Даль Сципион (Шипион)
(1465-1526) 72 , 86 , 87
Ферфакс (XVH-XVIII вв.) 157
Филолай (V в. до н. э.) 41 , 43 , 44 , 46
Филон Александрийский (ок. 25 до н. э. —
ок. 50 н. э.) 96
Фиников С. П. (1883-1964) 185 , 245 , 246 ,
248 , 249 , 276 , 277
Фиоре Антонио (XVI в.) 86
Флеминг (XVII в.) 104
Фоменко А. Т. (род. 1945) 266
Фонтенель Бернар (1657—1757) 136
Франсе Жак (1775-1833) 136
Франсе Франсуа (1768-1810) 136
Френе Жан (1816-1900) 203
Френель Огюстен (1788—1827) 214
Фридрих II (1712-1780) 120
Фробениус Георг (1849-1917) 207
Фукс Лазарь (1833-1902) 236
Фурье Жан (1768-1830) 131 , 147 , 155 ,
160 , 194 , 208 - 210 , 214 , 215 , 217 , 220 ,
241 , 257 , 269 , 270 , 271 , 284
Фусс Н. И. (1755-1826) 145 , 149 , 166
ФуссП. Н. (1798-1855) 145
X
аль-Хайсам (Альгазен)
(965 - ок. 1039) 71
Хайям Омар (Гиясэддин) (ок. 1048—
1131) 70 , 71 , 72 , 73 , 76 , 79 , 81
Харди Годфри (1877-1947) 141 , 244 , 270 ,
272
Хаусдорф Феликс (1868-1942) 262 , 263
Хевисайд Оливер (1850-1925) 132
Хинчин А. Я. (1894-1959) 246 , 259
Хирцебрух Ф. (XX в.) 279
аль-Хорезми Абу (787 — ок. 850) 68—70 ,
76 , 78 , 79
Христина Августа (1589-1654) 104
Хулагу-хан (1217-1265) 67
Ц
Цзу Чун-чжи (V в.) 32
Цинь Цзюшао (XIII в.) 30
Цинь Шихуанди (III в. до н. э.) 29
Цорн 263
Ч
Чаплыгин А. Т. (XIX в.) 229
Чаплыгин С. А. (1869-1942) 229 , 230
Чебышёв П. Л. (1821-1894) 12 , 159 , 160 ,
184 , 190 , 195 , 196 , 198 , 199 , 200 , 224 , 261 ,
265 , 282
Чернышевский Н. Г. (1828-1889) 105
Чжан Хэн (II в.) 32
Чжан Цан (II в. до н. э.) 29
Чжень Луань (VI в.) 29
Чжу Шицзе (XIII в.) 30
Чингизхан (1155-1227) 73
Ш
Шаль Мишель (1793-1880) 176 , 178 , 186 ,
204 , 225
Шамс аль-Мулька (XII в.) 71
Шаню (XVII в.) 104
Шарле Этьен (XVI-XVII вв.) 101
Шатле Эмилия дю (1706-1749) 11 , 155 ,
156
Шахрух (1377-1447) 74
Шварц Герман (1843-1921) 218
Шевалье О. (XIX в.) 194
Шёнфлис Артур (1853-1928) 205
Ширакаци Анания (VII в.) 65 , 66
ШироковА. П. (1926-1998) 266
Широков П. А. (1895-1944) 268 , 269
Шмидт Эрхард (1876-1959) 284
Шнирельман Л. Г. (1905-1938) 246 , 258 ,
259
Шредер Эрнст (1841-1902) 284
Шрётер Фр. (XVIII- нач. XIX вв.) 211

298
Указатель имен
Шридхара (Сридхара) (IX—X в.) 33 , 35
Штаудт Кристиан (1798-1867) 116 , 159 ,
176 , 180
Штейнер Якоб (1796-1863) 116 , 159 , 171 ,
176 , 179 , 180
Штифель Михель (1487-1567) 81 , 84 ,
85
Шуберт Ф. И. (1758-1825) 146
Шуликовский В. И. (ум. 1973) 266
Шульц Иоганн (1739-1805) 139
Шумахер (XIX в.) 192 , 212
Штурм Жак Шарль (1803-1855) 213
Шюке Никола (ок. 1445 — ок. 1500) 83 ,
85
Щ
Щербаков P. Н. (1918-?) 277
Э
Эверест Мэри (XIX в.) 206
Эйлер Леонард (1707-1783) 10 , 11 , 56 ,
85 , 99 , 100 , 103 , 114 , 115 , 119 - 124 , 125 ,
126 , 129 , 132 , 137 , 139 , 140 , 143 , 144 ,
145 , 146 , 149 , 150 , 153 , 154 , 156 , 160 ,
171 , 176 , 191 , 212 , 218 , 228 , 262 , 265 ,
271 , 272 , 283 , 284
Эйнштейн Альберт (1879-1955) 20 , 175 ,
221
Эйфель Александр (1832-1923) 755
Эмпедокл (ок. 490 — ок. 430 до н. э.) 40 , 46
Энгель Фридрих (1861-1941) 226
Энгельс Фридрих (1820-1895) 19
Эратосфен Киренский
(ок. 276-194 до н. э.) 50 , 52 , 53
Эригон Пьер (XVII в.) 283
Эрмит Шарль (1822-1901) 199 , 204 , 223 ,
224 , 237
Ю
Юстиниан (483-565) 48 , 60
Юшкевич А. П. (1906-1993) 77
Юй (ХХII-XXI вв. до н. э.) 29
Я
Якоби Карл (1804-1851) 171 , 180 , 183 ,
186 , 192 , 193 , 194 , 218 , 219 , 220 , 222 , 224 ,
272
Ямвлих (ок. 250 — ок. 330) 43

Оглавление
Стремление к истине — единственное занятие, достойное героя. И. С.
Кузнецова 3
Предисловие 15
Введение 19
§ 1. Что такое математика? 19
§ 2. Общая характеристика исторического развития математики 21
Глава I. Математика древних восточных цивилизаций 22
§ 1. Математика в Древнем Египте 22
§ 2. Математика в Древнем Вавилоне 25
§ 3. Математика в Древнем Китае 29
§ 4. Математика в Древней Индии 32
Глава II. Математика в Древней Греции 37
§ 1. Ионийская математика 38
§ 2. Италийская математика 40
§ 3. Афинская математика 46
§ 4. Александрийская математика 51
§ 5. Задачи древнегреческих математиков 57
§ 6. Математика VII—XII веков в Европе 60
Глава III. Математика народов Средней Азии и Ближнего Востока 67
§ 1. Багдадская математическая школа 67
§ 2. Марагинская математическая школа 72
§ 3. Самаркандская математическая школа 74
§ 4. Задачи арабских математиков 76
§ 5. Значение работ математиков Ближнего и Среднего Востока
в VIII-XV веках 77
Глава IV. Европейская математика XII—XVI веков 78
§ 1. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) — крупнейший математик
христианского средневековья 78
§ 2. Европейская математика XIII—XV веков 80
§ 3. Европейская математика эпохи Возрождения 84
Глава V. Выдающиеся достижения европейских математиков XVII века .. 96
§ 1. Бонавентура Кавальери и его метод неделимых 96
§ 2. Пьер Ферма — выдающийся юрист и гениальный математик 98
§ 3. Рене Декарт — основоположник аналитических принципов
построения геометрии и выдающийся философ 101

300 Оглавление
§ 4. Блез Паскаль — величайший ученый и мыслитель 104
§ 5. Ньютон и Лейбниц — творцы математического анализа 106
§ 6. Другие открытия европейских математиков XV11 века 109
§ 7. Некоторые задачи европейских математиков XVI—XV11 веков 116
Глава VI. Математика и математики XVIII — начала XIX веков 118
§ 1. Леонард Эйлер — величайший математик XVIII столетия 119
§ 2. Выдающиеся математики Франции XVIII — начала XIX веков 124
§ 3. Математики XVIII века других европейских стран 137
§ 4. Женщины-математики XVIII — начала XIX веков 152
Глава VII. Творцы выдающихся математических открытий XIX века 159
§ 1. Гениальные творцы неевклидовых геометрий 160
§ 2. Другие выдающиеся геометры XIX века 176
§ 3. Основоположники современной алгебры и теории чисел 191
§ 4. Выдающиеся аналитики XIX века 208
Глава VIII. О некоторых выдающихся математиках XX века 235
§ 1. Давид Гильберт и его роль в развитии математики XX века 236
§ 2. Основополагающая роль Д. Ф. Егорова, Н. Н. Лузина и их учеников
в развитии математики в России 245
§ 3. Некоторые другие известные математики XX века 261
Заключение 282
Приложение 283
Литература 285
Указатель имен 289

Table of contents
The aspiration to true is unique occupation the worthy hero. /. S. Kuznetsova 3
Foreword 15
Introduction 19
§ 1. What is mathematics? 19
§ 2. General characteristic of historical development of mathematics 21
Chapter I. Mathematics of ancient east civilizations 22
§ 1. Mathematics in Ancient Egypt 22
§ 2. Mathematics in Ancient Babylon 25
§ 3. Mathematics in Ancient China 29
§ 4. Mathematics in Ancient India 32
Chapter II. Mathematics in Ancient Greece 37
§ 1. Ionic Mathematics 38
§ 2. Italic Mathematics 40
§ 3. Athenian mathematics 46
§ 4. Alexandria mathematics 51
§ 5. Tasks of ancient Greek mathematicians 57
§ 6. Mathematics of VII—XII centuries in Europe 60
Chapter III. Mathematics of the peoples of Middle Asia and the Near East 67
§ 1. Mathematical school of Baghdad 67
§ 2. Mathematical school of Maragu 72
§ 3. Mathematical school of Samarkand 74
§ 4. Tasks of Arabian mathematicians 76
§ 5. The importance of works of the Near and the Middle east mathematicians
in VIII—XV centuries 77
Chapter IV. European mathematics of XII—XVI centuries 78
§ 1. Leonardo Pisano (Fibonacci) as the most outstanding mathematician
of Christian middle ages 78
§ 2. European mathematics of XIII—XV centuries 80
§ 3. European mathematics of Renaissance 84
Chapter V. Outstanding achievements of European mathematicians of XVII century 96
§ 1. Bonaventura Cavalieri and his method of indivisible 96
§ 2. Pierre Fermat as the outstanding lawyer and ingenious mathematics 98
§ 3. Rene Descartes as the founder of analytic principles in geometry and
outstanding philosopher 101
§ 4. Blaise Pascal as the greatest scientist and thinker 104

302 Table of contents
§ 5. Newton and Leibniz as creators of mathematical analysis 106
§ 6. Other discoveries of European mathematicians of XVII centur 109
§ 7. Some tasks of European mathematicians of XVI—XVII centuries 116
Chapter VI. Mathematics and mathematicians of XVIII and beginning of XIX
centuries 118
§ 1. Leonhard Euler as the greatest mathematician of XVIII century 119
§ 2. Outstanding mathematicians of France of XVIII and beginning
of XIX centuries 124
§ 3. Mathematicians of XVIII century of other European countries 137
§ 4. Women mathematicians of XVIII and beginning of XIX centuries 152
Chapter VII. The creators of outstanding mathematical discoveries of XIX century 159
§ 1. Ingenious creators of non-Euclidean geometries 160
§ 2. Other outstanding geometers of XIX century 176
§ 3. Founders of modern algebra and theory of numbers 191
§ 4. Outstanding analysts of XIX century 208
Chapter VIII. About some outstanding mathematicians of XX century 235
§ 1. David Hilbert and his role in the development of mathematics of XX
century 236
§ 2. Fundamental role of D. F. Egorov, N. N. Luzin and their disciples in the
development of mathematics in Russia 245
§ 3. Some other outstanding mathematicians of XX century 261
Conclusion 282
Appendix 283
Bibliographic list 285
Index of names 289