Текст
ШШЕКАСШМ
A. Робертсон
B. Робертсон
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»
TOPOLOGICAL VECTOR
SPACES
by
A. P. ROBERTSON
Senior Lecturer in Mathematics
University of Glasgow
and
WENDY ROBERTSON
Cambridge university press
1964
БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА»
А. П. РОБЕРТСОН, В. ДЖ. РОБЕРТСОН
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Перевод с английского
Д. Ф. БОРИСОВОЙ
под редакцией и с приложениями
Д. А. РАЙКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1967
УДК 513.88
Книга представляет собой элементарное вве-
введение в современную теорию топологических вектор-
векторных пространств. Хотя ее объем невелик, она содер-
содержит достаточно полное изложение наиболее важных
понятий и результатов этой теории, соединяющее
высокий научный уровень с максимально возможной
доступностью. Авторы уделяют основное внимание
изучению локально выпуклых пространств и изла-
излагают наиболее существенные результаты и идеи, свя-
связанные с этим важным классом пространств. Сведе-
Сведения из общей топологии вводятся в ходе изложения
по мере необходимости.
Книга может быть использована для первона-
первоначального ознакомления с теорией топологических век-
векторных пространств; она доступна аспирантам н
студентам старших курсов университетов и педин-
пединститутов. В то же время она представляет интерес
н для специалистов-математиков, интересующихся
функциональным анализом н топологией.
Редакция математической литературы
Инд. 2-2-3
ОТ РЕДАКТОРА
Теории топологических векторных пространств,
чрезвычайно развившейся в послевоенные годы, по*
священо уже несколько фундаментальных моногра-
фий. Но долгое время не было достаточно краткого
руководства, предназначенного для первоначального
ознакомления с предметом. Предлагаемая книга вос-
восполняет этот пробел. По стилю она является скорее
курсом лекций, чем монографией. Особое старание
приложено авторами к достижению возможно боль-
большей доступности изложения. Например, топологиче-
топологические понятия вводятся лишь там, где они впервые ста-
становятся нужными (так, предварительные сведения из
топологии в гл. 1 включают лишь самые начальные
понятия, фильтры же и компактность появляются
только в середине гл. 3).
Многие факты, справедливые в категории всех то-»
пологических векторных пространств, доказываются в
книге лишь для локально выпуклых пространств. Это
открывает возможность широкого применения метода
двойственности (иногда ему отдается предпочтение
даже там, где результат мог бы быть получен и более
прямым путем). Особенно сильные применения этого
метода содержит гл. 6, в которой изложена, в част-
частности, теория «совершенно полных» пространств.
Хотя книга рассчитана на широкий круг математи-
математиков, кое-что новое найдут в ней и специалисты; ука-
укажем хотя бы на оригинальное изложение обобщенной
риссовской теории вполне непрерывных линейных опе-
операторов.
В конце помещены два приложения редактора.
Известно, какие важные применения в функцио-
функциональном анализе имеют теоремы об открытом отобра-
отображении и замкнутом графике. В книге эти теоремы
доказаны лишь для совершенно полных пространств
Or редактора
(где они допускают очень сильную формулировку).
Однако класс этих пространств, устойчивый относи-
относительно взятия замкнутых подпространств и фактор-
пространств по ним, не выдерживает, вообще говоря,
образования счетных сумм и произведений (и, значит,
также счетных индуктивных и проективных преде-
пределов). Кроме того, он не содержит некоторых важных
пространств функционального анализа (например,
как недавно выяснилось, пространства 35' распреде-
распределений Л. Шварца). Между тем в 1955 г. Гротендик
опубликовал (несколько более слабую, но достаточ-
достаточную для приложений) теорему об открытом отобра-
отображении и замкнутом графике для «пространств J?^"»
(среди которых имеются заведомо не совершенно пол-
полные, равно как и такие, вопрос о совершенной полноте
которых еще открыт, например пространство 35 «фи-
«финитных» функций). А недавно теорема Гротендика
была распространена автором этих строк на класс
пространств, содержащий все отделимые локально вы-
выпуклые пространства, которые можно получить из про-
пространств Фреше с помощью конечного (даже транс-
трансфинитного) числа операций образования произве-
произведения или суммы счетного семейства пространств,
взятия замкнутого подпространства и перехода к не-
непрерывному линейному образу. Приложение 1 по-
посвящено доказательству теоремы Гротендика и ее
обобщения на те пространства этого класса, которые
получаются из пространств Фреше с помощью не бо-
более чем однократного применения каждой из указан-
указанных операций.
В дополнениях к первым главам приведены неко-
некоторые ненормируемые локально выпуклые простран-
пространства (например Ь", о?, 35, 3)'), имеющие важные при-
применения в функциональном анализе. Однако свойства
этих пространств сообщаются без доказательства.
Подробное исследование метризуемых пространств
этого рода (таких как с? и ?Р) можно найти во вто-
втором выпуске «Обобщенных функций» И. М. Гельфан-
да и Г. Е. Шилова. Но линейно-топологические свой-
свойства индуктивных пределов (типа 35) и их сопряжен-
сопряженных там не рассматриваются. Этот пробел примени-
От редактора
тельно к пространствам 3 и 3' восполняется прило-
жением 2. В нем в частности доказывается, что про-
пространство 3' входит в тот класс, для которого тео-
теоремы об открытом отображении и замкнутом графике
доказаны в приложении 1.
При переводе учтены исправления и изменения
(очень небольшие), любезно сообщенные переводчику
авторами.
Д. А. Райков
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой книги — дать очерк теории топологиче-
топологических векторных пространств. На эту теорию опирают-
опираются многие разделы функционального анализа; так,
например, она лежит в основе теории обобщенных функ-
функций. Кроме того, она часто проясняет результаты тео-
теории нормированных пространств, особенно относящие-
относящиеся к слабой топологии, рассматривая их как частные
случаи более общих результатов о топологических
векторных пространствах. В этой книге мы старались
преподнести основные теоремы возможно проще и не-
непосредственней, не жертвуя при этом ничем в их силе
или общности. Нашей задачей было сделать основные
идеи и факты теории легко доступными. В связи с
этим мы предполагаем у приступающего к чтению
книги лишь минимум сведений из общей топологии и
линейной алгебры, изложенный в начале первой гла-
главы. В дальнейшем новые топологические понятия вво-
вводятся по мере необходимости. Первые четыре или
пять глав содержат главные результаты; темп изло-
изложения здесь неторопливый. Некоторые из этих ре-
результатов можно было бы вывести более коротким
путем из общих топологических теорем, но мы пред*
почли придерживаться независимого характера изло-
изложения и устанавливаем их непосредственно для топо-
топологических векторных или даже только локально
выпуклых пространств. Начиная с шестой главы, до-
доказательства изложены более сжато, а при выборе
материала мы позволили себе руководствоваться в
некоторой степени нашими собственными научными
интересами.
Каждая из первых шести глав снабжена дополне-
дополнениями, содержащими иллюстративные примеры и на-
намечающими дальнейшее развитие вопросов, рассмот-
рассмотренных в главе. В то время как все необходимое для
10 Предисловие
понимания основного текста содержится в самой книге,
в дополнениях мы позволяли себе использовать и ма-
математические понятия, не (или еще не) определенные
в тексте. В тех случаях, когда имелся выбор между
различными обозначениями и терминами, мы в основ-
основном придерживались тех, которые используются в
трактате Бурбаки. Нумерация теорем, предложений и
лемм в каждой главе своя; ссылка, не сопровождае-
сопровождаемая номером главы, относится к той главе, в которой
она встретилась. Мы отнюдь не пытались указывать
первоисточник каждого результата, за исключением
общеизвестных теорем, называемых в книге их обще-
общепринятыми именами.
Нам обоим приятно выразить нашу благодарность
доктору Ф. Смитису. Он не только прочел рукопись,
дал ценные советы и оказывал помощь на всех ста-
стадиях подготовки этой книги: он был первый, кто про-
пробудил наш интерес к функциональному анализу сво-
своими лекциями и семинарами. Нам также хотелось бы
поблагодарить редакторов серии Cambridge Mathe-
Mathematical Tracts за помощь в чтении корректур и изда-
издательство Cambridge University Press за тщательное
типографское исполнение. В течение первого года под-
подготовки этой книги мы состояли научными сотрудни-
сотрудниками в St John's College, Cambridge, и Girton College,
Cambridge, и рады теперь возможности выразить при*
знательность за это содействие.
Глазго, А. П. Р.
март 1964 В. Дж. Р.
ГЛАВА I
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
Топологическое векторное пространство — этомнО-
жество, наделенное двумя согласованными структур
рами: с одной стороны, алгебраической структурой
векторного пространства, с другой — топологией, так
что в нем имеют смысл понятия сходимости и непре-
непрерывности. Эти две структуры должны быть согласо-
согласованными в том смысле, что алгебраические операции
непрерывны. В первых двух параграфах этой главы
дается краткий обзор определений и некоторых про-
простейших свойств векторных и топологических про-
пространств; § 1 содержит также несколько результатов
относительно выпуклых множеств. Формальное по-
построение теории начинается с третьего параграфа, и
вся дальнейшая часть главы посвящена установлению
некоторых основных свойств топологических вектор-
векторных пространств, непосредственно следующих из оп-
определения.
1. Векторные пространства. Векторное простран-
пространство над полем вещественных или комплексных чи-
чисел является естественным обобщением обычного
трехмерного евклидова пространства. В нем опреде-
определены две алгебраические операции: сложение векто-
векторов и умножение вектора на скаляр, подчиненные не-
некоторым естественным условиям. А именно, векторное
пространство Е над полем Ф вещественных чисел —
(любые два элемента х, у из Е обладают суммой
это множество, в котором разрешены сложение
х+у, являющейся элементом из Е) и умножение на
скаляры (для любых х из Е и Я из Ф определено
произведение %х, являющееся элементом из Е), со
12 Гл. I. Определения и элементарные свойства
следующими свойствами:
A) х-{-у=*у-\-х\
B) x-\-(y + z) = (x + y)+z;
C) в Е существует нулевой элемент, или начало,
обозначаемый 0, такой, что 0+х=х для всех х из Е;
D) для любого х из Е существует элемент —х,
такой, что х+(—*)=0 (далее вместо х+ (—у) мыбу*
дем писать х — у);
E)
F)
G)
(8) 1-х = х.
Из этих свойств следует единственность нулевого эле-
элемента и элемента —х для каждого х из Е; нетрудно
также показать, что 0-*=0 и (—1)*х=*—х для всех
х из Е и Л-0=0 для всех К из Ф, (Вообще A) — (8)
образуют достаточную систему аксиом.) Векторное
пространство над полем комплексных чисел можно
описать совершенно так же, заменив лишь слово «ве-
«вещественный» словом «комплексный». Содержание
этой книги большей частью справедливо как в случае
вещественного, так и в случае комплексного поля ска«
ляров. Всюду, где это возможно, результаты и дока-
доказательства изложены так, что не возникает необходим
мости уточнять, какое поле скаляров имеется в виду.
Основные исключения — доказательства теорем Ха«
на — Банаха (гл. II, теорема 2) и Крейна — Мильма*
на (гл. VII, теорема I), где вещественный и комплекс-
комплексный случаи рассматриваются отдельно.
{х: Р(х)} будет означать множество элементов х,
обладающих свойством Р(х). Линейные операции над
элементами пространства Е полезно распространить
на его подмножества!
для любых х?Е и АсЕ
для любых АсЕ и ВсЕ
А-\-В={х-\-у: х
1, Векторные пространства 13
для любых Х,€Ф и AczE
Точно так же для любого множества Л подмножеств
из Е
К сожалению, множество А+А вообще отлично
от множества 2Л; однако всегда 2АсА+А.
Подмножество М из Е называется векторным под-
подпространством пространства Е, если х+у?Ми%х?М
для всех х?М, у€М и Я,€Ф (т. е. если М+МсМ и
ХМсМ для всех Я,€Ф). Множество {0}, состоящее из
одного начала, есть векторное подпространство. Лю-
Любое пересечение векторных подпространств — вектор*
ное подпространство. Каково бы ни было АсЕ, мно-
множество всевозможных конечных линейных комбинат
ций 2^Л. где А,*?Ф и Х{?А, является векторным
подпространством пространства Е. Оно называется
векторным подпространством, натянутым на А (или
векторным подпространством, порожденным множе-
множеством А), и является пересечением всех векторных
подпространств пространства Е, содержащих А.
Множество АсЕ называется линейно независи-
независимым, если
влечет %\=%z= ... =Яп=0 при любом выборе п иэле«
ментов Х\, х2, ..., хп из А. Линейно независимое мно-
множество, порождающее пространство Е, называется
базисом последнего. Очевидно, любое максимальное
линейно независимое множество (т. е. такое, к кото-
которому нельзя присоединить ни одного нового элемента
без нарушения линейной независимости) является ба-
базисом пространства Е, равно как и любое минималь~
ное множество, порождающее Е, есть базис этого про*
странства.
Если линейно независимое множество не является
базисом, можно добавлять к нему по одному эле-
элементу так, чтобы получалась последовательность
14 Гл. I. Определения и элементарные свойства
линейно независимых множеств, образующих цепь;
при этом множество S? подмножеств из Е называется
цепью, если, каковы бы ни были два множества из S?,
одно из них содержится в другом. Отнюдь не очевид-
очевидно, что, продолжая этот процесс, можно было бы в
итоге получить базис пространства Е. Чтобы пока-
показать, что базис всегда существует, необходимо при-
призвать на помощь какую-либо форму аксиомы вы-
выбора. Здесь и всюду дальше, где потребуется приме-
применять аксиому выбора, нам будет удобно пользоваться
ею в следующей форме.
Аксиома максимальной цепи. Пусть
& — какое-либо множество подмножеств множества Е.
Тогда для всякой цепи %, содержащейся в У, суще-
существует максимальная цепь оМ такая, что^св^с?.
Эта аксиома эквивалентна лемме Цорна, равно
как и аксиоме выбора1). В действительности нам при-
придется применять эту аксиому лишь в тех случаях, ког-
когда & — тривиальная цепь, состоящая всего из одного
множества С. Аксиома утверждает тогда, что всякое
подмножество С из Е, принадлежащее какому-либо
множеству У подмножеств множества Е, содержится
хотя бы в одной максимальной цепи oMcz^.
Теорема 1. Если L — линейно независимое
подмножество векторного пространства Е и S — мно*
жество, содержащее L и порождающее Е, то сущест-
существует базис В пространства Е, такой, что LcBcS.
Доказательство. Пусть У — множество
всех линейно независимых подмножеств из S и ? =
= {Ц. По аксиоме, существует максимальная цепь*#,
такая, что ^са^с?. Пусть В — объединение всех
множеств из аИ- Тогда LcficS. При этом В линейно
независимо, так как любая конечная линейная комбина-
комбинация элементов из В содержится в объединении конеч-
конечного числа множеств из аМ и тем самым в наиболь-
') Этот вопрос подробно рассмотрен в вводной главе книги
J. L. Kelley, General topology (van Nostrand, New York, 1955).
(См. также Д. А. Райков, Векторные пространства, § 1, Физ-
матгиз, 1962.) — Прим, ред>
/. Векторные пространства 15
шем из них, поскольку^ — цепь. Наконец, каждый
элемент из S является линейной комбинацией элемен-
элементов из В, потому что если бы хоть один элемент, ска-
скажем х, не обладал этим свойством, то можно было бы
к &Н присоединить BU{*} в противоречие с макси-
максимальностью цепи <Ж.
Следствие. Каждое векторное пространство
обладает базисом. (Взять L=0, где 0 — пустое мно*
жество, и S=E.)
Если векторное пространство Е обладает базисом,
состоящим из конечного числа п элементов, то ка-
каждый базис состоит из п элементов и каждое линейно
независимое либо порождающее Е множество из п
элементов является базисом. В этом случае Е назьь
вают п-мерным векторным пространством. Поле ска*
ляров Ф является одномерным векторным простран*
ством над самим собой; любой его ненулевой элемент
образует базис.
Подмножество А векторного пространства Е назы-
называют выпуклым, если, каковы бы ни были я?Л и
у?А, Xx+\iy?A для всех Яиц, удовлетворяющих
условиям Я>0, |л>0 и Я+ц=1. Оно называется урав-
уравновешенным, если, каково бы ни было х?А, Хх?А
для всех Я, таких, что |Я|-*С1. Множество А называет-
называется абсолютно выпуклым, если оно одновременно вы-
выпукло и уравновешенно, что равносильно следующему
требованию: каковы бы ни были х?А и у?А, Хх+\
+ цу?А для всех Я и ц, таких, что |Я| + |ц|-*С1.
В самом деле, очевидно, множество, обладающее этим
свойством, выпукло и уравновешенно. Обратно, пред-
предположим, что А — выпуклое уравновешенное множе-
множество, и пусть х?А, у? А и \%\ + ||л|-<1. Если Я=0
или |л=0, то, очевидно, kx+цу^А. Если же Я=?0 и
>, то -
= 1, так что
16 Гл. 1. Определения и элементарные свойства
Из определений непосредственно следует, что если А
выпукло, то х+ХА выпукло для любых х?Е и Я,€Ф;
и если А и В абсолютно выпуклы, то абсолютно вы-»
пуклы также А + В и ХА для каждого Я,€Ф.
Некоторые полезные свойства абсолютной выпук-
выпуклости сведены, для удобства ссылок, в следующую
лемму:
Лемма 1. Пусть А—непустое абсолютно вы-
выпуклое множество. Тогда
AH6 А
(II) ХАсцА для всехХ а ц, таких, что |Х|-<|ц|, и
(III) 2 (М) = С 2 \\\\А для всех "
\<Кп \1<г<я /
Доказательство. (I) Пусть х?А, тогда
0=i;c-|-(—j}x?A. (II) Если ц=0, То Ы = ц^ =
= {0},- если рфО и х?А, то |(Х/ц)|-<1, а потому
(Х/ц)х€А, поскольку А уравновешенно, и, значит,
\х?цА, так что КАсцА. (III) В случае п=2 нужно
доказать, что %А + \кА = (|Я,| + |ц|)^- При Я=ц=0 ЭТО
тривиально. Если же ХФО или ц=^=0, то
А г- Л
откуда Ы + ц^с(|Я,|+ |ц|)Л. С другой стороны,
по свойству (II). Общий случай получается индукцией
по п.
Пересечение любого семейства выпуклых мно-
множеств выпукло. Пусть А — произвольное подмноже-
подмножество пространства ?; множество всевозможных конеч*
ных линейных комбинаций 2хгхг, где Я,г>0, 2^г= 1
и каждое х^А, является выпуклым множеством, со-
содержащим А, и называется выпуклой оболочкой мно*
жества А. Оно является пересечением всех выпуклых
подмножеств из Е, содержащих А, и тем самым наи-
наименьшим таким подмножеством. Абсолютно выпук-
выпуклой оболочкой множества А называется множество
2. Топологические пространства 17
всевозможных конечных линейных комбинаций
2Vf/. в которых 21М<^1 и каждое х(?А; это —
наименьшее абсолютно выпуклое множество, содер-
жащее А.
Пусть А — абсолютно выпуклое множество, поро-
порождающее Е. Тогда для каждого х?Е существует та-
такое Я,>0, что лг€АА В самом деле, л: = 2М:/. где
Xi^A; но, в силу леммы 1 (III), 2VQ
так что достаточно взять Я, = 21 ^i I • Более того, в
силу леммы 1 (II), х€цА для всех ц с |ц|>-Я,.
Подмножество А векторного пространства Е назы-
называется поглощающим, если для каждого х?Е суще-
существует такое Я.>0, что х ? цА для всех \х с | \х \ >Я.. Пе-
Пересечение конечного числа поглощающих множеств,
очевидно, — поглощающее множество. Абсолютно вы-
выпуклое множество является поглощающим тогда и
только тогда, когда оно порождает Е, что равносиль-
равносильно требованию, чтобы
E=\J XA
А0
или, по лемме 1 (II),
Е= \JnA.
л-1
2. Топологические пространства. Топологическое
пространство — это множество, наделенное структу*
рой, дающей возможность рассматривать сходимость
и непрерывность. Один из способов введения такой
структуры заключается в установлении того, какие
подмножества считаются открытыми. Руководствуясь
известными случаями вещественных чисел и плоско*
сти, мы требуем выполнения следующих аксиом:
01: объединение любого семейства открытых мно-
множеств открыто;
02: пересечение любого конечного числа откры-
открытых множеств открыто;
03: пустое множество и все пространство открыты.
2 Зак. 709
18 Гл. I. Определения и элементарные свойства
Множество, в котором определено множество от-
открытых подмножеств, удовлетворяющее этим трем
аксиомам, называют топологическим пространством,
его элементы будут часто называться точками.
Пусть х — точка топологического пространства Е;
множество U называется окрестностью точки х, если
существует открытое множество V, такое, что х ? Vc U.
Точку х называют внутренней точкой множества
АсЕ, если существует окрестность U точки х, содер-
содержащаяся в Л. Множество всех внутренних точек мно-
множества А является открытым множеством, содержа-
содержащимся в Л, и называется внутренностью множества
А. А открыто тогда и только тогда, когда оно совпа-
совпадает со своей внутренностью.
Множество А называют замкнутым, если его до-
дополнение СЛ открыто. Пересечение любого семейства
замкнутых множеств и объединение любого конечного
числа замкнутых множеств замкнуты; 0 и Е замк-
замкнуты, х называют точкой прикосновения множества
А, если каждая окрестность точки х пересекается с Л.
Множество всех точек прикосновения множества А
есть замкнутое множество, содержащее Л. Оно назы-
называется замыканием множества Л и обозначается А.
А замкнуто тогда и только тогда, когда совпадает со
своим замыканием.
Пусть Л и В — подмножества топологического про-
пространства Е. А называется плотным в В, если ВсА.
Множество Ux всех окрестностей точки х тополо-
топологического пространства Е обладает следующими свой-
свойствами:
Nl:x??/ для всех V^2lx\
N2: если U^UX и V?ux, mo U(\V$UX',
N3: если U?llx и L/cV, mo V'?ux;
N4: если U?ux, то существует V(i%x, такое, что
UdUy для всех у €V. (В N4 в качестве V можно
взять внутренность U.)
Обратно, пусть Е — некоторое множество, для ка-
каждого элемента х которого задано (непустое) множе-
множество Ux подмножеств из Е. Тогда, если выполнены
условия N1—N4, в Е можно заданием открытых мно-
множеств определить, и притом единственную, топологию,
2. Топологические пространства 19
для которой Ux будет служить множеством всех ок-
окрестностей точки х при всех xdE. (Множество АсЕ
называем открытым, если для каждого х?А суще-
существует UdUx, такое, что UcA.)
Подмножество ТРХ множества 21Х всех окрестно-
окрестностей точки х называется базисом окрестностей точки
х, если для любого V^UX существует V ?7*х, такое,
что VcU. Такой базис образуют, например, откры-
открытые множества, содержащие х. Если 7*х — базис ок-
окрестностей точки х, то Мх — множество всех UcE,
для которых существует V 6 Т^х, содержащееся в U.
В одном и том же множестве Е можно задать раз-
различные топологии. Пусть | и ц — две топологии в Е;
мы будем говорить, что ? мажорирует ц (или т^ мажо-
мажорируется топологией ?), если каждое множество, от-
открытое в топологии т|, открыто и в топологии ?. Пусть
Ux означает множество всех окрестностей точки х в
топологии |, &ТХ—базис этих окрестностей; тогда g
мажорирует т^ в том и только в том случае, если
Uxcu)c для всех х?Е, или, что равносильно этому,
если для любого U?7*х существует V?7°!, содер-
содержащееся в U.
Наше употребление термина «мажорирует» допу-
допускает возможность совпадения рассматриваемых то-
топологий. Если | мажорирует т|, но не совпадает с т|,
то мы будем говорить, что | сильнее ц (или что т^ сла-
слабее |). Две топологии в Е могут оказаться и не срав«
Нимыми: каждая может иметь открытые множества,
не являющиеся открытыми в другой.
Топологическое пространство называется отдели-
отделимым (или хаусдорфовым), если любые две различ*
ные его точки обладают непересекающимися окрест*
ностями. Если Е отделимо в топологии |, то оно от-
делимо в любой топологии, мажорирующей |.
Важный класс топологических пространств обра*
зуют метрические пространства. Вещественная функ->
ция d, определенная для каждой пары элементов х, у
множества Е, называется метрикой, если она удовле»
творяет следующим условиям:
Ml: d(x, г/)>0, d(x,x)=0 и d{x,y)>0 при хфу;
2*
20 Гл. I. Определения и элементарные свойства
№:d(x,y)*-d(y,x);
M3j d(x, z)<d(*, y)+d(y, z) (неравенство тре-
треугольника).
Множество Е, наделенное метрикой, называют ме*
трическим пространством, a d(x,y)—расстоянием
между х и у. Пусть V(x, e) — множество всех элемен-
элементов у из Е, таких, что d(x, у)<г. Если тогда назвать
окрестностью точки х всякое множество U, такое, что
V(x, e)cU при некотором е>0, то множества 2ix всех
таких U для всевозможных х ?Е будут удовлетворять
условиям N1—N4 и таким образом определять в ?то*
пологию. Топологическое пространство называют ме*
тризуемым, если его топология может быть опреде-
определена так некоторой метрикой d. Различные метрики
могут определять одну и ту же топологию; в этом
случае они будут называться эквивалентными. На*
пример, пусть d — метрика на Е, тогда d'=ini{\,d) —
эквивалентная метрика, причем d'(x, y)*C\ для всех
х,у?Е. Метризуемое пространство отделимо, так как
если хФу, то d(x, у) =а>0, а потому V(x, -к-а) и
V iy, у а) — непересекающиеся окрестности точек х и
у. Каждая точка х метризуемого пространства обла-
обладает счетным базисом окрестностей, например бази*
сом {V(x, l/«): «=1, 2, .,.}.
Множества вещественных чисел и комплексных чи-
чисел можно топологизировать,положивd(x,у) = \х—у\.
Это их естественная топология, и только ее мы и бу*
дем рассматривать в этих двух множествах. На
«-мерном пространстве расстояния
max [xt — yt\, т/ S
между точками x*=(xu ,,,, xn) и y=(yt, ,.., yn)
являются эквивалентными метриками.
Подмножество Н топологического пространства Е
можно сделать топологическим пространством, при*
няв за открытые множества пересечения Н с откры«
тыми множествами из Е. Справедливость аксиом 01,
02 и 03 легко проверяется, Определенная так топо*
8. Топологические векторные пространства 21
логия в Я называется индуцированной топологией.
Замкнутые множества в этой топологии — это пересе*
чения Я с замкнутыми множествами из Е, а окрест-
окрестности любой точки в Я — пересечения с Я окрестно-
окрестностей этой точки в Е. Если Е отделимо или метризуе-
мо, то и Я обладает тем же свойством.
Пусть Е и F — топологические пространства.
Функцию /, отображающую Е в F, называют непре-
непрерывной в точке х?Е, если каждой окрестности V точ-
точки f(x) в F соответствует такая окрестность U точки
х в Е, что f(x) ? V для любого x?U, т. е. f{U)cV.
Если обозначить через f~l{B) множество всех х?.Е,
для которых f(x) €5, то / непрерывна в х тогда и
только тогда, когда f~l{V) является окрестностью точ*
ки х для каждой окрестности V точки f(x). f назы-
называют непрерывной (на Е), если / непрерывна в ка-
каждой точке из Е. Непрерывность / равносильна
каждому из двух следующих условий: f~l{B) —откры-
—открытое множество в Е для любого открытого множества
В из F; f~l(B) —замкнутое множество в Е для лю-
любого замкнутого множества В из F.
Взаимно однозначное отображение / пространства
Е на F называется взаимно Непрерывным, если и /,
и обратное ему отображение f~l непрерывны. В этом
случае пространства Е и F называют гомеоморфны-
ми, а / — гомеоморфизмом Е на F.
Пусть Б, F и О — топологические пространства,
/ — непрерывное отображение Е в F и g — непрерыв-
ное отображение F в G. Тогда h, определяемое для
всех х€Е формулой h(x)=g(f(x)), есть непрерывное
отображение Е г G; его обозначают g of. Если / и g —
гомеоморфизмы, то gof также гомеоморфизм и
3. Топологические векторные пространства. Пусть
Е — векторное пространство над полем Ф веществен-
вещественных или комплексных чисел. Говорят, что топология
| в ? согласуется с алгебраической структурой, если
алгебраические операции в Е непрерывны, т. е. х+у
является непрерывной функцией пары переменных
х, у и %х — непрерывная функция пары переменных
22 Гл. I. Определения и элементарные свойства
к, х. Топологическое векторное пространство над Ф —
это векторное пространство над Ф, наделенное топо«
логией, согласующейся с его алгебраической структу*
рой.
Приведем несколько предложений, вытекающих из
условий непрерывности.
Предложение 1. Для каждого а^Е перенос
f: f(x)=x+a является гомеоморфизмом пространства
Е на себя. В частности, если U — базис окрестностей
начала, то U + а — базис окрестностей точки а.
Доказательство. Если f(x)=x + a=y, то
f~l{y)=x=y — а. Таким образом, f — взаимно одно-
однозначное отображение пространства Е на себя, непре-
непрерывное вместе с обратным ему отображением. Зна-
Значит, f — гомеоморфизм.
Итак, топологическая структура пространства Е
определяется базисом окрестностей начала. Поэтому
мы будем работать главным образом с окрестностями
начала и всюду, где это не приводит к путанице, бу-
будем называть их просто «окрестностями». Если U —
окрестность (начала), то U+a — соответствующая
окрестность точки а и x?U+a тогда и только тогда,
когда х — а € U.
Предложение 2. Для каждого ненулевого.
а?Ф отображение f: f(x)=ax есть гомеоморфизм
пространства Е на себя. В частности, если U — ок-
окрестность, то aU — также окрестность для каждого
фО
р
афО.
Доказательство. Если f{x)=ax=y, то
t4y) =x=a~xy. Таким образом, / взаимно непрерывно
и потому — гомеоморфизм.
Предложение 3. Если U — базис окрестно-
окрестностей {начала), то для каждого U € U
(I) U — поглощающее множество,
(II) существует VZ.U, такое, что V+VczU,
(III) существует уравновешенная окрестность
U
3. Топологические векторные пространства 23
Доказательство. (I) Пусть а&Е и f(k) —
=*ka, тогда f непрерывно в точке 1=0 и потому суще-
существует окрестность {к: \к\-*Се) точки 0, отображаемая
в U. Таким образом, ka(zU при |/\,|<4е и потому
а € jx?/ при Ifil^e.
(II) Пусть g(x, у)=х+у; g непрерывна в точке
(х, у) = @, 0), а потому существуют окрестности У4 и
V2, такие, что х+у& U для всех х€ Vi и г/€ V2. Далее,
существует окрестность V €#, такая, что Ус^ПУг;
тогда y+Vcf/.
(III) Пусть h(k,x)—kx; h непрерывна в точке
(к, х) — @,0), а потому существуют окрестность V и
число е>0, такие, что kx&U для всех X с |Х|^.е и
всех х€ V. Следовательно, kVaU для всех X с |Я|-<е
и потому eVcfif/ для всех ц с |(г|Ж Таким обра-
образом, eVczW= P] [iL/. Но еУ—окрестность (пред*
in i>i
ложение 2) и потому W — также окрестность. Если
jc€ W и 0<|?И<1, то x6j ^ для всех [г с ||х|>1 и,
значит, кх&ц,и для всех X с |Х|<.1 и всех (г с ||х|^:1-
Следовательно, kx?W, так что W — уравновешенная
окрестность, очевидно, содержащаяся в U.
Из предложения 3 следует, что в каждом тополо-
топологическом векторном пространстве имеется базис ура-
уравновешенных окрестностей. В наиболее важных и упо-
употребительных топологических векторных простран-
пространствах существует также базис выпуклых окрестностей
начала. Такие пространства называют локально вы-
выпуклыми.
Теорема 2. В локально выпуклом простран-
пространстве Е имеется базис 21 окрестностей начала, обла-
обладающий следующими свойствами:
С1: для любых U^21 и V?2t существует №€#,
такое, что Wcf/ПУ;
С2: если U?2t, mo a(J?U для любого аФО;
СЗ: каждое U^U абсолютно выпуклое и погло-
поглощающее.
Обратно, если в векторном пространстве Е задано
(непустое) множество М подмножеств, обладающее
24 Гл. I, Определения и элементарные свойства
свойствами С1—СЗ, то в Е существует топология, в
которой Е является локально выпуклым простран-
ством с базисом окрестностей 21.
Доказательство. Будучи локально выпук*
лым, Е по определению обладает базисом выпуклых
окрестностей. Пусть U — одна из них; тогда
f\ м-i/—уравновешенная окрестность, содержащая*
lnl>i
ся в U (предложение 3); как пересечение выпуклых
множеств она также выпукла. Поэтому существует
базис У абсолютно выпуклых окрестностей. А тогда
множество U всех множеств aV, где аФО и V^T3, и
является требуемым базисом. В самом деле, множе-
множества из 26 по предложению 2 — окрестности и 26 —
базис; тогда N2 влечет Cl, C2 следует из построения
26, а СЗ — из построения 26 и предложения 3.
Обратно, предположим, что 21 — множество, обла-
обладающее свойствами С1—СЗ. Пусть У—множество
всех подмножеств в Е, содержащих множество из U,
и примем У+а для каждого а€? за множество ок-
окрестностей точки а. Остается только тщательно про-"
верить, что аксиомы N1—N4 выполнены и что опре-
определенная так топология согласуется с алгебраической
структурой пространства Е. Выполнение N1—N3 оче-
очевидно; что касается N4, то в каждом V?.7° содержит-
содержится некоторое U &6, а тогда легко показать, что V+a —
окрестность каждой точки множества тг U -\- а. Непре-
Непрерывность суммы при х=а, у=Ь следует из того, что
если U€.26, то, каковы бы ни были x^-^U-\-a и
у ^-c^U-\-Ь,х+у?и+а+Ь. Наконец, для доказатель-
доказательства непрерывности произведения %х при %=а, х=а
достаточно найти такие г| и б, что %х — aa?U, как
только \К — а|<т| и х?б1/+а. Но существует такое
(х>0, что a€\iU; выберем т) так, чтобы выполнялись
неравенства 0<2т)<|л~!, и затем б так, чтобы выпол-
выполнялись неравенства 0<2б<(|а|+Г1). Тогда
%х—<ш = % (х—а) + (А,—а) а ^ (| а | + л) Ш + ЛЦ^с С/.
3. Топологические векторные пространства 25
Следствие. Пусть У — произвольное множе-
множество абсолютно выпуклых поглощающих подмно-
подмножеств векторного пространства Е. Тогда в Е суще-
существует слабейшая топология, согласующаяся с алгеб-
алгебраической структурой, в которой каждое множество
из У3 является окрестностью. В этой топологии Е —
локально выпуклое пространство с базисом окрестно-
окрестностей, образованным множествами вида
е fl Vt (e>0, V,eT).
Доказательство. Множество 21 всех под-
подмножеств вида е f"| Vt (e>0, Vi€T") удовлетво-
ряет условиям С1— СЗ, так что 21—базис окрестное
стей топологии 1, в которой Е — локально выпуклое
пространство. С другой стороны, множества из 21 (по
N2 и предложению 2) должны быть окрестностями в
любой топологии, согласующейся с векторной струк-
структурой и имеющей все множества из 7° окрестностями.
Таким образом, | — слабейшая из таких топологий.
С этого момента мы будем изучать только локаль*
но выпуклые пространства. Именно они главным об-
образом встречаются на практике, и это большая удача,
поскольку их теория более богата по причине, которая
выяснится в следующей главе. Иногда будут встре-
встречаться результаты, не зависящие от локальной вы-
выпуклости, но мы будем давать доказательства для об-
общего случая лишь тогда, когда это не приведет к не*
оправданным усложнениям.
Предложение 4. В топологическом векторном
пространстве замыкание выпуклого множества вы-
выпукло, замыкание уравновешенного множества урав-
уравновешенно и замыкание абсолютно выпуклого множе-
множества абсолютно выпукло.
Доказательство. Пусть А—абсолютно вы«
пуклое множество, а? А, Ь €Л и \Х\ + |ц|^1. Для лю-
любой окрестности 0 существует уравновешенная окре-
окрестность V, такая, что V+VcU (предложение 3); то-
тогда существуют точки x?AU{a + V) и y?Au(b + V),
26 Гл. I. Определения и элементарные свойства
а для них
Xjc + цу 6 (Я.Л + цА) П (Ял + уЛ + XV + |i V) с
с А П (Ял + \Ф + V + V)c Л П (Ял+ М* + U).
Значит, ka + [ib€A и тем самым А абсолютно выпук-
выпукло. Для случаев выпуклого и уравновешенного мно-
множеств доказательство аналогично.
Следствие. В топологическом векторном про-
пространстве существует базис замкнутых уравновешен-
уравновешенных окрестностей; в локально выпуклом пространстве
существует базис замкнутых окрестностей со свой-
свойствами С1—СЗ.
Доказательство. Замыкания множеств из ба-
базиса U уравновешенных окрестностей образуют базис
окрестностей. В самом деле, для всякого U^.U суще-
существует V € U, такое, что V+VaU; если тогда x€F,
то x+V пересекается с V и потому x?V—V—
= V+VcU. Таким образом, каждое топологическое
векторное пространство обладает базисом замкнутых
уравновешенных окрестностей. В случае локально
выпуклого пространства возьмем базис U теоремы 2.
Согласно предложению 4, тогда замыкания множеств
из U остаются абсолютно выпуклыми, а остальные
свойства очевидны.
Предложение 5. Пусть U — базис окрестно-
окрестностей в топологическом векторном пространстве Е;
Е отделимо тогда и только тогда, когда
П
Доказательство. Если Е отделимо и х=?0, то
существует U €и, не содержащее х, и потому
f)U={0}.
Обратно, если последнее условие выполнено и
хфу, то существует UdU, не содержащее х — у. По
предложению 3 существует уравновешенная окрест-
окрестность V, такая, что V+VczU, Тогда x+V и y+V~-
4. Преднормы 27
непересекающиеся окрестности точек х и у, так как
если бы zd (x+V) П (y+V), то мы имели бы
x — y = (z — y) — (z — x)^V — V =
Значит, Е отделимо.
4. Преднормы. Пусть Е — векторное пространство
над Ф. Неотрицательная (конечная) вещественная
функция р, определенная на Е, называется преднор-
мой, если она удовлетворяет следующим условиям:
S1: />(*)> 0;
S2:
S3:
для всех х, у€Е и всех А,€ Ф. В силу S2, /?@) =0; но
может случиться, что р(х) =0 и для некоторого х Ф0.
Верно вообще лишь, что р~1@)—векторное подпро-
подпространство в Е. Преднорму /?, для которой /?(х)=0вле-
чет х=0, называются нормой.
Из S3 следует, что
Р(х)<р{у)-\-р(х — у)
и потому
\р(х)~р(у)\<р(х — у).
Это неравенство часто оказывается полезным, так же
как и
Лемма 2. Пусть р и q — преднормы на Е и
р(х)<\ влечет q{x) < 1. Тогда q{x) <p(x) для всех
?Е
Доказательство. В противном случае суще-
существуют х&Е и ос>0, такие, что 0^Cp(x)<a<q(x); но
тогда р(х/а)<\, a q(x/a)>l.
Связь между преднормами и абсолютно выпуклы-
выпуклыми поглощающими множествами устанавливает
Предложение 6. (I) Пусть р — преднорма на
Е. Тогда множества {х: р (х) < а} и {х: р (х) <! а} для
любого а>0 абсолютно выпуклые и поглощающие.
(II) Каждому абсолютно выпуклому поглощаю-
поглощающему множеству A<z.E соответствует преднорма р,
28 Гл. I. Определения и элементарные свойства
определенная формулой
и обладающая тем свойством, что
{х: p(x)<l)<zA<z{x: />(*)< 1}.
Доказательство. (I) Следует из S2, S3 и ко-
конечности р. (II) Из того, что А — поглощающее мно-
множество, следует, что р(х) конечно для каждого х?Е.
Условия S1 и S2, очевидно, также выполнены. Чтобы
доказать S3, возьмем х?ХА и y€\iA, где Я>0, |.i>0.
Тогда х+у€%А + уА = {%+\к)А и потому р(х+у) <
<Л+(а. Следовательно, р(х+у) ^.р(х)+р(у). По-
Последнее свойство вытекает из определения р.
Преднорма р, сопоставленная таким способом аб-
абсолютно выпуклому поглощающему множеству А, на-
называется калибровочной функцией1) множества А.
Пусть также q — калибровочная функция абсолютно
выпуклого поглощающего множества В. Из определе-
определения калибровочной функции непосредственно следует:
(I) если а=?0, то калибровочной функцией мно-
множества «Л служит |а|"'р;
(II) калибровочная функция множества Аи В рав*
на sup {p, q);
(III) если АсВ, то q(x) ^p(x) для всех х^Е.
Калибровочная функция р множества А является
также калибровочной функцией каждого абсолютно
выпуклого поглощающего множества Б, удовлетворяю-
щего условиям
{х: р(х)<1)сВс{х: />(.*)< 1}.
Установленной связью между преднормами и аб-
абсолютно выпуклыми поглощающими множествами
подсказывается возможность описания топологии ло-
локально выпуклого пространства в терминах преднорм.
Основные нужные для этого свойства непрерывности
собраны в следующем предложении:
') Или функционалом Минковского. — Прим, ред,
4. Преднормы 29
Предложение?. (I) В локально выпуклом про-
пространстве Е преднорма р непрерывна тогда (и только
тогда), когда она непрерывна в начале.
(II) Калибровочная функция р абсолютно выпук-
выпуклого поглощающего множества U непрерывна тогда и
только тогда, когда U — окрестность. В этом случае
{х: р(*)<1} есть внутренность U, а {х: р(х)КЦ — за-
замыкание.
Доказательство. (I) Если р непрерывна в
начале, то для всякого е>0 существует окрестность
нуля V, для всех точек х которой р(л:)<е. Если те-
теперь а — произвольная точка пространства Е, то
\р(х) — р(а)\ <р(лг — а) <е для всех x?a+V.
(II) Если U — окрестность, то, каково бы ни было
8>0, р(х)-^.г для всех x?e(J, так что р непрерывна в
начале и, значит, по свойству (I) также на всем Е.
Обратно, если р непрерывна, то множество V=
= {х: р(л:)<1} открыто как прообраз открытого интер-
интервала ]—1,1[. Но VcU. Следовательно, U — окрест-
окрестность. Далее, 7={х\ р(л:)<1}. В самом деле, послед-
последнее множество замкнуто и содержит V; если х — точ*
ка этого множества и W — любая окрестность, то,
поскольку W — поглощающее множество, сущест-
существует ц, такое, что 0<ц<1 и —\ix? W, откуда
A — n)x?x+W
так что A—\x)x€V и, значит, x+W пересекается с
V, а, следовательно, x(zV. Покажем, что V есть вну-
внутренность У. Действительно, если х принадлежит вну-
внутренности У, то существует окрестность W, такая, что
x+WcV, и для нее ц, такое, что 0<ц<1 и цх€ W, но
тогда (l + \i)x<zV, откуда р(A +ц)л:)<1 и_ потому
/7(л:)<1. Тем самым x^V. Наконец, VcUcV и, сле-
следовательно, V есть внутренность U и U=У.
Из предложения 7 вытекает, что в терминах пред-
норм можно сформулировать как условия, совершен-
совершенно аналогичные условиям Cl, C2 и СЗ теоремы 2, так
и совершенно аналогичную теорему. Но еще более по*
30 Гл. I. Определения и элементарные свойства
лезЯый й в действительности наиболее употребительный
способ задания локально выпуклой топологии до-
доставляет
Теорема 3. Пусть на векторном пространстве Е
задано произвольное семейство Q преднорм. Тогда в
Е существует слабейшая согласующая с алгебраиче-
алгебраической структурой топология, в которой каждая пред-
норма из Q непрерывна. В этой топологии Е является
локально выпуклым пространством с базисом замкну-
замкнутых окрестностей, образованным всевозможными мно-
множествами вида
х: sup A(*)<el (e>0,
[ 1<< )
Доказательство. Справедливость теоремы вы-
вытекает из предложения 7 и следствия теоремы 2. Дей-
Действительно, если pi — калибровочная функция абсо-
абсолютно выпуклой окрестности V,-, то е sup pt—
1<<
калибровочная функция множества е Q Vt.
1 < I < в
Мы будем называть эту топологию топологией,
определяемой множеством Q преднорм.
Предложение 8. В топологии, определяемой
множеством Q преднорм, пространство Е отделимо
тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого
х?Е существует преднорма p€.Q, такая, что р(х)>0.
Доказательство. Как легко видеть, это усло-
условие равносильно условию предложения 5.
Из предложения 8 следует, что в неотделимом ло-
локально выпуклом пространстве Е существуют точки
хфО, такие, что р(х)=0 для всех непрерывных пред-
преднорм р. Множество W всех таких х является вектор-
векторным подпространством пространства Е: N= [™j U,
где U — базис абсолютно выпуклых окрестностей,
так что W является замыканием множества, состоя-
состоящего из одного начала. (Ибо x?N тогда и только
тогда, когда х принадлежит каждой окрестности Una-
4. Преднормы 31
чала, и потому тогда и только тогда, когда начало
принадлежит каждой окрестности x + U точки х.)
Однако встречающиеся на практике локально вы*
пуклые пространства почти всегда отделимы; если же
пространство неотделимо, его можно превратить в
отделимое путем отождествления элементов, разность
которых принадлежит N (см. гл. V, дополнение 2).
По этим причинам мы позволим себе ограничиться
рассмотрением отделимых пространств, когда это сде-
сделает теорию прозрачной или позволит избежать тех-
технических осложнений.
Если р— норма на Е, то топология, определяемая
в Е множеством Q = {p}, очевидно, отделима. Про-*
странство Е, топология которого может быть опреде-
определена с помощью нормы р, называют нормируемым.
Поле скаляров в его естественной топологии норми-
руемо с помощью нормы р(Х) = \Х\. Обычно норму
точки х нормированного пространства обозначают
||дс||. Множество U = {х: \\x\\ ¦?¦ 1} называют тогда еди-
единичным шаром, а множества eU (е>0) образуют ба«
зис окрестностей. Очевидно, нормируемое простран-
пространство метризуемо; действительно, для этого подходит
метрика
d{x, У) = \\х — у\\.
Более общим образом:
Теорема 4. Локально выпуклое пространство Е
метризуемо тогда и только тогда, когда оно отделимо
и обладает счетным базисом окрестностей (начала).
Топология метризуемого пространства всегда может
быть задана метрикой, инвариантной относительно пе-
реносов ').
Доказательство. Если Е метризуемо, оно,
очевидно, отделимо и обладает счетным базисом окре-
окрестностей начала.
Обратно, если Е обладает счетным базисом, то,
поскольку каждая окрестность содержит абсолютно
выпуклую окрестность, существует базис (Un) абсо*
лютно выпуклых окрестностей.
') Теорема справедлива и для не локально выпуклых топо«
логических векторных пространств. — Прим. ред.
32 Гл. I. Определения и элементарные свойства
Пусть рп — калибровочная функция окрестности Un.
Положим
/W= 5 2"яinf{/7«W. !}•
я-1
Тогда f(x+y)<f(x)-t-f(y), /(_*)=/(*), и если /(*) =
=0, то рп(х)=0 для всех п и, значит, х=О, поскольку
Е отделимо. Определим d формулой
тогда d —метрика и d(x+z, y + z)=d(x, у), так что
d инвариантна относительно переносов. Множества
образуют базис окрестностей в определяемой ею мет-
рической топологии. Но Vn открыто в исходной топо«
логии, поскольку каждое рп, а значит и /, непрерыв-
непрерывно; с другой стороны, VnczUn, ибо если х (? Un, то
Рп(х)^-1 и потому /(д;)>2-п. Следовательно, d опре-
определяет в Е исходную топологию.
Следствие. Если топология отделимого про-
пространства Е есть слабейшая локально выпуклая топо-
топология, в которой абсолютно выпуклые поглощающие
множества Vn (я = 1, 2,...) являются окрестностями
(или преднормы рп непрерывны), то Е метризуемо.
Действительно, в слабейшей локально выпуклой
топологии, в которой множества Vn являются окрест-
окрестностями, множества s'1 f"| VUl (где г и s — поло-
жительные целые числа) образуют базис окрестно-
окрестностей (следствие теоремы 2), и он счетен.
Функция /, построенная при доказательстве теоре-
теоремы 4, не является нормой только потому, что f(Kx)
не равно |Я,|/(;е). Локально выпуклые метризуемые,
но не нормируемые пространства действительно суще-
существуют (см., например, дополнение 26), и среди них
имеется много практически важных.
Дополнения 33
Дополнения
Приведем примеры локально выпуклых про-
пространств.
A) Конечномерные пространства. Евклидово
«-мерное пространство с точками х — (хи .. ., хп) ста-
становится локально выпуклым пространством при наде-
наделении топологией, определяемой нормой
л/ 2
х =
На самом деле это единственная отделимая тополо-
топология, согласующаяся с его алгебраической структурой
(см. гл. II, предложение 11). В частности, само поле
скаляров является одномерным евклидовым простран-
пространством.
B) Пространства непрерывных функций, (а) Мно-
Множество всех непрерывных вещественных (или ком-
комплексных) функций на ограниченном замкнутом ин-
интервале [а, Ь] становится локально выпуклым про-
пространством при наделении нормой
И= sup \x(i)\.
(Здесь и в дальнейшем x(t) есть значение функции х
в точке t.) Это типовой пример для целого класса
нормированных пространств непрерывных функций.
Пусть С(S) — множество всех непрерывных веще-
вещественных (или комплексных) функций на топологиче-
топологическом пространстве S. Если S компактно, C(S) яв-
является нормированным пространством в топологии
равномерной сходимости на S, т. е. в топологии, опре-
определяемой нормой
1*1 = sup \x(t)\.
(б) Множество всех непрерывных вещественных
(или комплексных) функций на ]—оо, оо[ является
локально выпуклым пространством в топологии, опре*
деляемой преднормами
ра(х)= sup \x(t)\ (я = 1, 2, ...)•
3 Зак. 706
34 Гл. I. Определения и элементарные свойства
Это пространство, очевидно, отделимое и метризуемое
(теорема 4), но не нормируемое. Действительно, если
бы существовала норма, определяющая ту же тополо-
топологию, то единичный шар U содержал бы окрестность
У=[х:ря(х)<г)
с каким-то п и е>0; тогда рп(х)=0 влекло бы
||дс|| = 0 и, значит, х=0. Однако для каждого п суще-
существует непрерывная функция х, не тождественно рав-
равная нулю, но обращающаяся в нуль на [—п, п], так
что рп(х)=0.
Это пространство также представляет собой типо-
типовой пример пространства C(S) непрерывных веще-
вещественных (или комплексных) функций на топологиче-
топологическом пространстве S, но теперь уже с топологией ком-
компактной сходимости на S. Для каждого компактного
множества AczS положим
множество преднорм рА определяет в C(S) локально
выпуклую топологию. Если S —отделимое локально
компактное пространство, являющееся объединением
последовательности компактных множеств, то C(S)
метризуемо. Действительно, S есть объединение по-
последовательности (А„) компактных множеств, такой,
что каждое Ап содержится во внутренности множе^
ства Ап+и топология пространства C(S) определяется
уже преднормами, соответствующими множествам
Ап, поскольку тогда каждое компактное множество
содержится в некотором Ап.
(в) Пусть q%C{S)—множество всех непрерывных
вещественных (или комплексных) функций с компакт-
компактным носителем на отделимом локально компактном
пространстве S. {Носителем функции называется наи-
наименьшее замкнутое множество, вне которого она то-
тождественно равна нулю.) Это множество можно на-
наделить топологией равномерной сходимости с нормой
Дополнения 35
или (более слабой) топологией компактной сходимо-
сходимости, или еще одной топологией, особенно приспособ-
приспособленной к теории интегрирования. Для каждого ком-
компактного множества .AczS обозначим через е2ГлE)
векторное подпространство пространства s2T(S), со-
состоящее из тех функций, носитель которых содержится
в А. Пусть и— множество всех абсолютно выпук-
выпуклых поглощающих подмножеств U из e2T(S), таких,
что U П <Жa (S) для каждого А есть окрестность в
<з2ГаE), наделенном топологией равномерной сходи-
сходимости на А. Тогда U — базис окрестностей локальной
выпуклой топологии в e2T(S), являющейся сильней-
сильнейшей локально выпуклой топологией, индуцирующей
на каждом оУГА (S) топологию, мажорируемую топо-
топологией равномерной сходимости. Это топология ин-
индуктивного предела (см. гл. V, § 2). Она сильнее и то-
топологии компактной сходимости, и топологии равно-
равномерной сходимости; в каждой из hhxqJT(S) отделимо.
Когда S=]—оо, оо[, эта топология не метризуема
(гл. VII, предложение 5). (См. также гл. II, дополне-
дополнение 2; гл. III, дополнение 1.)
C) Пространства бесконечно дифференцируемых
функций (т. е. функций, которые могут быть продиф-
продифференцированы любое число раз).
(а) Множество всех вещественных (или комплекс-
комплексных) бесконечно дифференцируемых функций на ин-
интервале [а, Ь] становится метризуемым локально вы-
выпуклым пространством, если наделить его топологией,
определенной преднормами
pm{x)= sup |*»>(*)I (m = 0, 1, ...)•
(б) Пусть W — множество всех вещественных
(или комплексных) бесконечно дифференцируемых
функций на ]—оо, оо[. В топологии компактной сходи-
сходимости всех производных, определяемой преднормами
= sup
<<
^ — метризуемое локально выпуклое пространство,
(в) Пусть (^"—множество всех вещественных (или
комплексных) бесконечно дифференцируемых функций
3»
36 Гл. I. Определения и элементарные свойства
на ]—оо, оо[, обладающих тем свойством, что ка-
каковы бы ни были целые числа т>0 и n>0, |t\nxm(/)—>¦
-+0 при |^| —>оо (быстро убывающие функции). При
введении топологии, определяемой преднормами
Pmn{) p km)
] —оо, оо[
if становится метризуемым локально выпуклым про-
пространством; эта топология сильнее топологии, инду-
индуцированной в if как подпространстве пространства
If, наделенного топологией компактной сходимости
всех производных.
(г) Пусть &> — множество всех вещественных (или
комплексных) бесконечно дифференцируемых функ-
функций с компактным носителем на ]—оо, оо[. (Такие
функции существуют; например, считая а<.Ь<с, по-
положим
1
p(WW) для
О для t(fc]a, c[;
тогда х(Ь) = \ и x(t) равно нулю вместе со всеми
своими производными всюду вне ]а, с[.) Топологизи-
руем 3. Для этого обозначим через 3)п векторное
подпространство пространства S, образованное всеми
функциями, носитель которых содержится в [—п, п],
и наделенное метризуемой топологией пункта а. В ка-
качестве базиса окрестностей в &> возьмем множество
всех абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств,
пересекающих каждое Зп по окрестности. Это неме-
тризуемая топология индуктивного предела, подобная
рассмотренной в 26. Она мажорирует топологию, ин-
индуцированную в &> как подпространстве пространства
% или даже ?Р (поскольку топологии пунктов бив
индуцируют, на каждом Зп топологию, мажорируе-
мажорируемую топологией пункта а). В топологии компактной
сходимости всех производных 3 (так же как SP) плот-
плотно в %".
Пространства S, gf и ^ появились в теории обоб-
обобщенных функций; более общим образом, можно рас-
рассматривать аналогичные пространства функций, опре-
Дополнения 37
деленных не на вещественной прямой R=]—<х>, <х>[, а
на любом конечномерном пространстве Rn. (См. также
гл. II, дополнение 3; гл. III, дополнение 1; гл. IV,
дополнение 2; гл. VII, дополнение 1.)
D) Пространства голоморфных функций. Пусть
D — область в комплексной плоскости n$8(D) —мно-
—множество всех голоморфных функций на D, наделенное
топологией компактной сходимости (ср. 26). Эта то-
топология определяется преднормами
/>«.(*)= sup |*@|,
где
An = {t: |^|<:я, d{t, CD)^>n~1}.
Действительно, каждое Ап компактно, и если А —
компактное подмножество в D, то d(A, CZ))>0 и по-
потому существует такое п, что АаАп. Следовательно,
Ш (?))метризуемо. Эта топология в &€{D) в действи-
действительности совпадает с топологией компактной сходи-
сходимости всех производных (ср. 36). В самом деле, она,
очевидно, мажорируется этой топологией; с другой
стороны, если ^€Л„, то, обозначая через Г окруж-
окружность |т — t\ = Bn)~l, имеем
ml Г х (т) dx
2яг J
If _*?>.
I J (т t)
<mlBn)mp2n(x),
так что она также мажорирует эту топологию. (См.
также гл. II, дополнение 4; гл. III, дополнение I;
гл. IV, дополнение 2.)
E) Пространства последовательностей. Векторное
пространство всех скалярных последовательностей
х=(хп) и различные его векторные подпространства
допускают топологизацию (см. гл. II, дополнение 5).
Примерами нормированных пространств последова-
последовательностей служат
с — пространство всех сходящихся последователь-
последовательностей с ||A;||=sup|xn|;
Со — пространство всех сходящихся к нулю после-
довательностей с той же нормой;
38 Гл. I. Определения и элементарные свойства
1р (Р>1) —пространство всех последовательностей,
для которых
{оо \
2 \хя\'\
{
2 \хя\'\ <оо;
т( —/°°) — пространство всех ограниченных после-
последовательностей с |U]| = sup \хп\.
Если 0<р<1, пространство /*> всех последователь-
последовательностей, для которых
S |хл|"<оо,
л-1
может быть топологизировано с помощью метрики
л=1
и эта топология согласуется с алгебраической струк-
структурой. Однако она не локально выпукла. (Иначе мно-
множество {х: d(x, 0)^1} содержало бы абсолютно вы-
выпуклую окрестность нуля U, которая в свою очередь
содержала бы множество вида {х: d(x, 0)^e} с неко-
некоторым е>0. Тогда для л:(г) =(л^'), где xf^> = \ при
п = г и 0 при пфг, мы имели бы е11^^ € U и потому
Но d(y,0)=es1-P>l для достаточно больших s.)
F) Пространства интегрируемых функций. Век-
Векторное пространство всех измеримых функций x=x(t)
на измеримом пространстве S с мерой ц и различные
его подпространства допускают топологизацию (см.
гл. II, дополнение 6). Примерами нормированных
пространств интегрируемых функций являются L?
(^1) —пространство «функций» с нормой
и a4f(=L°°) —пространство «функций» с нормой
l| x(*)| <oo.
Дополнения 39
Чтобы сделать L? и о/К настоящими нормированными
пространствами, следует за элементы этих про-
пространств принять классы эквивалентных функций, по-
полагая х=у, если x(t)=y(t) почти всюду на 5, — при-
пример упомянутого в § 4 процесса отождествления для
обеспечения отделимости пространства. Если 0<р<1,
пространство Lp (всех «функций», таких, что
наделенное метрикой
d(x, y)=
s
служит еще одним примером топологического вектор-
ного пространства, не являющегося локально выпук-
выпуклым. (См. также гл. II, дополнение 6; гл. III, допол-
дополнение 1.)
G) Топология поточечной сходимости. Пусть S —
произвольное множество; векторное пространство
всех вещественных (или комплексных) функций на S
можно сделать локально выпуклым пространством,
наделив его топологией поточечной сходимости, опре-
определяемой преднормами pt(x)^\x(t)\ для каждого
tf€S. (См. также гл. V, дополнение 1.)
(8) Сильнейшая локально выпуклая топология.
Любое векторное пространство Е можно сделать ло-
локально выпуклым пространством, если в качестве ба-
базиса окрестностей начала взять множество всех абсо-
абсолютно выпуклых поглощающих множеств. Это силь-
сильнейшая локально выпуклая топология в Е; каждая
преднорма на Е непрерывна, и Е отделимо (ибо если
хфО, дополним j-j x\ до базиса А в Е; его абсолютно
выпуклая оболочка будет поглощающим множеством,
не содержащим х). (См. также гл. II, дополнение 7;
гл. III, дополнение 2; гл. IV, дополнение 3; гл. V,
дополнение 1; гл. VI, дополнение 1.)
ГЛАВА II
ДВОЙСТВЕННОСТЬ И ТЕОРЕМА ХАНА - БАНАХА
В этой главе мы начинаем изучение двойствен-
двойственности, играющей главную роль в развитии теории ло-
локально выпуклых пространств. Сопряженное к локаль-
локально выпуклому пространству есть векторное простран-
пространство всех непрерывных линейных отображений этого
пространства в поле скаляров. Основным результатом
главы является теорема Хана — Банаха о существова-
существовании таких линейных отображений. Мы устанавливаем
эту важную теорему в нескольких различных формах.
В частности, теорема Хана — Банаха показывает, что
наделение отделимого локально выпуклого простран-
пространства и его сопряженного их слабыми топологиями
устанавливает между этими пространствами отноше-
отношение, симметричное как в алгебраическом, так и в
топологическом смысле. Некоторые другие следствия
теоремы Хана — Банаха рассматриваются в после-
последующих параграфах, в частности в следующих главах
постоянно используется теорема 4.
1. Линейные отображения. Пусть Е и F — вектор-
векторные пространства над одним и тем же полем Ф (ве-
(вещественных или комплексных чисел). Отображение /
пространства Е в F называют линейным, если
для всех х€.Е, ydE и Я-€Ф. Линейное отображение
иногда называют линейным оператором или преобра-
преобразованием. Линейное отображение / взаимно однознач-
однозначно тогда и только тогда, когда f~l@) ={0}; вообще же
/"'@) — векторное подпространство в Е.
Если в множестве L всех линейных отображений Е
в F определить сложение и умножение на скаляры
/. Линейные отображения 41
формулами
то L становится векторным пространством над Ф.
Если Е и F— топологические векторные простран-
пространства, то непрерывные линейные отображения про-
пространства Е в F образуют векторное подпространство
пространства L, поскольку непрерывность fug вле-
влечет непрерывность f+g и Kf. Имеется простой крите-
критерий непрерывности линейного отображения.
Предложение 1. Пусть Е и F — топологиче-
топологические векторные пространства и f— линейное отобра-
отображение Е в F; f непрерывно на Е тогда (и только то-
тогда), когда f непрерывно в начале.
Доказательство. Если / — непрерывно в на-
начале и V — окрестность в F, то существует окрест-
окрестность U в Е, такая, что f(U)czV. Тогда, какова бы ни
была точка а из Е, f(a+U)=f(a)+f(U)af(a) + V и
тем самым / непрерывно в а.
Следствие. Если Е и F — нормированные про-
пространства и f — линейное отображение Е в F, то f не-
непрерывно тогда и только тогда, когда существует та-
такая константа а, что \\f(x)\\-^.a\\x\\ для всех х\Е.
Действительно, / непрерывно в начале тогда и
только тогда, когда существует такое а, что IUH<1
влечет ||/(д:)||-^а. Следовательно (гл. I, лемма 2),
||/(хIКа||л:|| для всех х?Е.
Пусть Т — некоторое подмножество в L. Утвер-
Утверждение, что каждое /6 Т непрерывно, равносильно
утверждению
для каждого /6 Т и каждой окрестности V из F
существует окрестность Uf в Е, такая, что f(Uf)czV.
Если для всех / из Т годится одна и та же окрест-
окрестность U в Е, то множество Т называют равностепенно
непрерывным. Таким образом, Т равностепенно не-
непрерывно, если
для каждой окрестности V из F существует
окрестность 0 в Е, такая, что f(U)czV для всех /? Г,
42 Гл. II. Двойственность и теорема Хана — Банаха
или, что равносильно этому, если f]f~ (V) является
окрестностью в Е для каждой окрестности V из F.
Если Е и F — нормированные пространства, Т равно-
равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда су-
существует такая константа а, что ||/(*)||<аЫ для
всех / € Т.
Пусть Е и F — топологические векторные простран-
пространства и / — линейное отображение Е в F. Если / взаим-
взаимно однозначно отображает Е на F, то f — линейное
отображение F на Е. Если к тому же / взаимно не-
непрерывно, то / называют изоморфизмом Е на F, а
топологические векторные пространства Е и F — изо-
изоморфными. Если Е и F — нормированные простран-
пространства, из следствия предложения 1 вытекает, что ли-
линейное отображение / пространства Е на F будет изо-
изоморфизмом тогда и только тогда, когда существуют
такие константы а>0 и р>0, что
2. Линейные формы и теорема Хана — Банаха.
Пусть Е — векторное пространство над Ф; линейное
отображение пространства Е в поле скаляров Ф на-
называется линейной формой (или линейным функцио-
функционалом) на Е. Множество всех линейных форм на Е
является векторным пространством над Ф и назы-
называется алгебраическим сопряженным к Е. Мы будем
обозначать его Е*. В Е* всегда имеется достаточно
много линейных форм для различения элементов из Е
в следующем смысле:
Предложение 2. Для каждого ненулевого a ? ?
существует линейная форма /? Е*, такая, что f(a) ФО.
Доказательство. По теореме 1 гл. I, {а} мож-
можно дополнить до базиса А пространства Е; тогда
определяем /, полагая, например, /(х) = 1 на Л и про-
продолжая / на Е по линейности.
Если f — ненулевая линейная форма на Е, то
#=/~'@)— собственное векторное подпространство в
Е и множество {Я, а) порождает Е для любого а <? Н
2. Линейные формы и теорема Хана — Банаха 43
(если х?Е, то х— (f(x)lf(a))a?H). Таким образом,
не существует собственного векторного подпростран-
подпространства в Е, содержащего Н как собственное подмноже-
подмножество, или, другими словами, Н — максимальное соб-
собственное векторное подпространство в Е. Обратно,
если Н — максимальное собственное векторное под-
подпространство пространства Е, то существуют линей-
линейные формы /, такие, что f~l@) =H. (В самом деле, су-
существует некоторое а (? Н, и тогда любой элемент из
Е представим в виде х+Ха, где х€#; полагаем
f(x+ka) =Ka с афО.) Максимальные собственные
векторные подпространства пространства Е назы-
называют гиперподпространствами.
Пусть Е — топологическое векторное пространство;
векторное подпространство пространства Е*, состоя-
состоящее из всех непрерывных линейных форм, называется
(топологическим) сопряженным к Е и обозначается
Е'. В случае общих топологических векторных про-
пространств возможно, что единственной непрерывной
линейной формой служит нулевая форма f(x) =0 для
всех х (см., например, дополнение 6). Решающим
свойством локально выпуклых пространств является
то, что ничего подобного этому с ними не может слу-
случиться.
Линейная форма f на Е непрерывна тогда и только
тогда, когда она ограниченна на некоторой окрест-
окрестности. (Ибо, если |/(л:)|-<а на U, то |/(л;)|-<е на
m~xU и, значит, /, в силу предложения 1,непрерывна.)
Если Е — локально выпуклое пространство и р — не-
непрерывная преднорма, такая, что \f(x) |-^р(х) для
всех х?Е, то f непрерывна, поскольку она ограничен-
ограниченна на окрестности {х: р(х)-<1}. Если f непрерывна на
Е, то \f(x) | —непрерывная преднорма.
Ненулевая линейная форма / вполне определяется
заданием ее ядра f-y@)=H и значения в какой-либо
точке a (? Н. Например, / можно задать указанием Н
и точки а, в которой /(а) = 1.
Лемма 1. Пусть f — линейная форма на вектор-
векторном пространстве, H=f-l@),f{a) = l и V={x: |/|
44 Гл. II. Двойственность и теорема Хана — Банаха
Если U — уравновешенное множество, то (a+U) пН =
= 0 тогда и только тогда, когда UaV.
Доказательство. Пусть UcV. Если тогда
х 6 U, то
поскольку л: 6 V, так что a + U не пересекается с Н.
Обратно, пусть *€ U, но \f{x) |>1.Тогда </=—*/[(.*) €
€ U и f(a+y) = 0, так что (а+ U) П #=?0.
Теорема 1. Линейная форма f на топологическом
векторном пространстве непрерывна тогда и только
тогда, когда ее ядро f~l @) замкнуто.
Доказательство. Если f непрерывна, то
/-' @) замкнуто как прообраз замкнутого в Ф множе-
множества {0}.
Обратно, предположим, что #=/""'@) замкнуто, и
пусть V={x: \f(x) \ <1}. Если / не есть нулевая линей-
линейная форма (иначе она была бы непрерывна), найдет-
найдется точка а, в которой /(а) = 1. Значит, существует
уравновешенная окрестность нуля U, такая, что
(a + U) П#=0. По лемме 1, UcV, так что V—окре-
V—окрестность, а / ограниченна на V и, следовательно,
непрерывна.
Проведенное рассуждение можно приспособить
для доказательства того, что ядро /~' @) линейной
формы f либо замкнуто, либо плотно во всем про-
пространстве Е, т. е. f~1(O)=E. Но более прямое дока-
доказательство этого утверждения опирается на
Предложение 3. Если М — векторное подпро-
подпространство топологического векторного пространства,
то его замыкание М — также векторное подпростран-
подпространство.
Доказательство. Пусть х^М, у€М и U —
окрестность. Существует окрестность V, такая, что
V+VczU. Тогда x+V и y+V пересекаются с М, а по-
потому x+y+U пересекается с M + M=NL Значит,
х+у?м. Аналогично, если х?И, то Кх?И для всех
2. Линейные формы и теорема Хана — Банаха 45
Предложение 4. В топологическом векторном
пространстве гиперподпространство либо замкнуто,
либо плотно.
Доказательство. Пусть Я — гиперподпро-
гиперподпространство в топологическом векторном пространстве Е.
По предложению 3, Ш — векторное подпространство.
Но Н содержит Я, а Я максимально; значит, либо
Н = Н, либо Н = Е.
Одной из фундаментальных теорем функционально-
функционального анализа является теорема Хана — Банаха, утвер-
утверждающая, что непрерывная линейная форма, задан-
заданная на векторном подпространстве локально выпук-
выпуклого пространства Е, обладает непрерывным продол-
продолжением на все Е. Существует много различных форм
теоремы, слегка отличающихся степенью общности, из
которых можно вывести главный результат о продол-
продолжении. Мы выберем здесь геометрическую форму.
Замечательно, что эта теорема не тривиальна и в
конечномерном случае, или, что то же самое, одна
из трудностей заключается в доказательстве того
факта, что линейную форму можно продолжить на
подпространство лишь на единицу большей размер-
размерности; леммой 2 устанавливается геометрический ана-
аналог этого утверждения. Другая трудность заключает-
заключается в том, что случаи векторного пространства над
вещественным и комплексным полями приходится
рассматривать отдельно; эта трудность преодолевается
леммой 3. И наконец, в бесконечномерном про-
пространстве следует рассчитывать не на продолжение
линейной формы каждый раз еще на одно измерение,
а на применение аксиомы максимальной цепи; это
делается в самом доказательстве теоремы.
Теорема 2. Пусть А — открытое выпуклое под-
подмножество локально выпуклого пространства и М —
векторное подпространство, не пересекающееся с А.
Тогда существует замкнутое гиперподпространство,
содержащее М и не пересекающееся с А.
Докажем сначала следующую лемму:
Лемма 2. Пусть Е — вещественное локально
выпуклое пространство, А — открытое выпуклое
46 Гл. 11. Двойственность и теорема Хана — Банаха
множество в Е и Н — векторное подпространство, не
пересекающее А. Тогда либо Я — гиперподпростран-
гиперподпространство, либо существует точка х(?Н, такая, что вектор-
векторное подпространство, натянутое на Н и х, не пересе-
пересекается с А.
Доказательство. Положим С=Н+\[кА. То-
гда С открыто,
В самом деле, если л:€СП(—С), то x=h+Xa=h'—
—На' для некоторых h, Л'€ Я, а, а' ?А и Я, А,'>0, так
что Ха+Х'а' ?Я; но, поскольку А выпукло, "ka+X'a'Z.
€ (Х+Х')А, что не пересекается с Я.
а) Предположим, что Я1)С1)(—С)фЕ. Тогда су-
существует х, не принадлежащее ни Я, ни С1) (—С).
Если бы векторное подпространство, натянутое на Я
и х, имело с А общую точку, скажем у, то существо-
существовало бы ХФО, такое, что #tiy+HmC[i (—С). Следо-
Следовательно, это векторное подпространство не пересе-
пересекается с А.
б) Предположим, что Я1)С1) (—С)=Е. Если Я —
не гиперподпространство, то существует такая точка
а€ С, что подпространство G, натянутое на а и Я, не
совпадает с Е. Значит, существует точка 6 6—С, не
принадлежащая G. Пусть/(Я) = A—К)а + ХЬ (О^СА^С
<Л). В силу непрерывности / и открытости С, / =
=f~1(C) и /=/"'(—С) —открытые множества в [0,1].
При этом 0€/, 1 6/ и /П/=0, поскольку СП (—С) =
= 0. Пусть
а = sup {Я,: А,?/}.
Тогда
« 6 7 П (С7)с(С7) П (С?) = (СУ) П (С/).
Следовательно, /(«)<? Cl)(—С). Таким образом,
/(а)€Я, т. е. A — а)а + а6€Я. Но это противоречит
тому, что b ? G. Следовательно, Я — гиперподпро-
гиперподпространство.
2. Линейные формы и теорема Хана — Банаха 47
Лемма 3. Если Е — комплексное векторное
пространство и Я — вещественное гиперподпростран-
гиперподпространство в Е, то Я П (iff) — (комплексное) гиперподпро-
гиперподпространство.
Доказательство. Предположим, что а(?ИП
П (iH), и пусть, например, a(fcff. Тогда la не принад-
принадлежит вещественной гиперплоскости iff и потому а=
= aia+b, где а вещественно и b?iff. В таком случае
(l+ai)b=(l+a,2)a$;ff, и потому Ь^Н1). Пусть те-
теперь х ??, тогда *=p6-f-i/, где р вещественно и «/? Я.
С другой стороны, y=yib + z, где v вещественно и
zditf. Следовательно, z? Я. Таким образом, л:=(р +
+yi)b + z= (K+iii)a + z, где zZHOiff. Тем самым
Ни iff — комплексное гиперподпространство2).
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим
сначала случай, когда Е — вещественное векторное
пространство. Пусть %> —множество всех векторных
подпространств в Е, содержащих М и не пересекаю-
пересекающихся с А. Применяя аксиому максимальной цепи к
(тривиальной) цепи ^ = {М}, заключаем, что в Е су-
существует максимальная цепь о41, такая, что ?св^с^.
Пусть Я — объединение всех подпространств из а41.
Очевидно, Я — векторное подпространство простран-
пространства Е, не пересекающееся с Л. В силу леммы 2, Я —
гиперподпространство, ибо противное противоречило
бы максимальности цепи <М (можно было бы доба-
добавить к о*М подпространство, натянутое на Н[}{х}). Кро-
Кроме того, Я замкнуто, так как в противном случае оно
было бы плотно в Е (предложение 4) и пересекалось
с каждым открытым множеством, в том числе и с А.
Пусть теперь Е — комплексное векторное про-
пространство. Оно является также вещественным вектор-
векторным пространством (если ограничиться рассмотре-
рассмотрением только вещественных скаляров), и потому в нем
') Ибо иначе (l+ai)b=*b+aib € Н+аН=Н. — Прим. ред.
2) Последнее вытекает также из того, что Н f] Ш — ядро
комплексной линейной функции f(x)=g(x)—ig(ix), где g — ве?
щественная линейная функция с ядром Н. — Прим. ред.
48 Гл. 11. Двойственность и теорема Хана — Банаха
существует вещественное замкнутое гиперподпро-
гиперподпространство К, содержащее М и не пересекающееся с
А. Но тогда Н = Кп (iK) — комплексное замкнутое ги-
гиперподпространство, содержащее M(](iM)=M и не
пересекающееся с А.
Следствие. Каждое замкнутое векторное под-
подпространство локально выпуклого пространства яв-
является пересечением содержащих его замкнутых ги-
гиперподпространств.
Доказательство. Пусть а — точка, не при-
принадлежащая замкнутому векторному подпростран-
подпространству М. Существует открытая выпуклая окрестность А
точки а, не пересекающаяся с М. По теореме 2 тогда
существует замкнутое гиперподпространство Н, со-
содержащее М и не пересекающееся с А, так что
Теорема 3. (Теорема Хана — Банаха о продол-
продолжении линейных форм.) Пусть р — преднорма навек-
торном пространстве Е и f — линейная форма на век-
векторном подпространстве М пространства Е, такая, что
\f(x)\*Cp(x) для всех х?М. Тогда на Е существует
линейная форма fu продолжающая f и такая, что
| fi (x) | <т? (х) для всех х?Е.
Доказательство. Пусть Е наделено тополо-
топологией, определяемой преднормой р, и U={x: p(x)<\}.
Предположим, что fФО, и пусть а — точка в М, такая,
что f (a) = 1, и A — a + U, так что А открыто и выпукло.
Пусть N = f-l(O); если x?U, то |f(x)|<l и, значит,
по лемме 1 N не пересекается с А. По теореме 2 то-
тогда существует замкнутое гиперподпространство Н,
содержащее N и не пересекающееся с А. Пусть fi —
линейная форма, такая, что //=fj(O) и fi(a) = l.
Тогда fi является продолжением f. При этом |fi(x) |<C
*Ср(х). В самом деле, снова в силу леммы 1, р(х)<\
влечет |fi(x)|<l, а потому (гл. I, лемма 2) |/i(x)|-<
Следствие 1. Любая непрерывная линейная
форма, определенная на векторном подпространстве
2. Линейные формы и тесрема Хана — Банаха 49
локально выпуклого пространства Е, обладает непре-
непрерывным линейным продолжением на все Е.
Доказательство. Существует абсолютно вы-
выпуклая окрестность U, такая, что |[(л;)|-<1 на Uf\M.
Обозначая через р калибровочную функцию множе-
множества U, имеем |/(х)|^р(х) на М. Следовательно, /
обладает продолжением fi на все Е, таким, что
|/i(*) |-^р(лг), и потому непрерывным.
Следствие 2. Для произвольной точки а век-
векторного пространства Е и преднормы р на Е суще-
существует линейная форма f на Е, такая, что |/(л:)|-<
<р(х) и f(a)=p(a).
В самом деле, на векторном подпространстве М,
порожденном точкой а, можно положить f (Xa) =Ар (а)
и затем продолжить / на Е.
Следствие 3. Пусть Е — отделимое локально
выпуклое пространство с сопряженным Е'. Если
f(a)=O для всех f ? Е'', то а = 0.
Доказательство. Если а=/=0, то найдется не-
непрерывная преднорма р, такая, что р(а)>0 (гл. I,
предложение 8). Тогда, по следствию 2, существует
непрерывная линейная форма /, для которой 1(а)Ф0.
Мы выведем сейчас некоторые другие полезные
формы теоремы Хана — Банаха, носящие одновремен-
одновременно аналитический и геометрический характер.
Предложение 5. (Теорема Хана — Банаха об
отделении выпуклых множеств.) Пусть Е — локально
выпуклое пространство, А и В — непересекающиеся
выпуклые множества и А открыто. Тогда существует
непрерывная линейная форма f, такая, что множества
f(A) и f(B) не пересекаются (/ отделяет А и В).
Доказательство. Множество А — В открыто,
выпукло и не содержит начала. Следовательно, по тео-
теореме 2 существует замкнутое гиперподпространство
Я=/~'@), содержащее векторное подпространство {0}
и не пересекающееся с А — В. Так как Я замкнуто,
то линейная форма / непрерывна; при этом множе-
множества f(A) и f(B) не пересекаются.
4 Зак. 706
50 Гл. П. Двойственность и теорема Хана — Банаха
Для вывода следствий из этого предложения нам
понадобится еще одно алгебраическое свойство ли-
линейных форм:
Ле м м а 4. Любая ненулевая линейная форма на Е
отображает открытые подмножества из Е на откры-
открытые множества скаляров.
Доказательство. Пусть А — открытое множе-
множество и х? А. Тогда А —х содержит окрестность и по-
потому является поглощающим множеством. Если / —
ненулевая линейная форма, то существует точка
а?Е, такая, что f(a) = l. Найдется а>0, такое, что
Ха?А — х для всех X с |Я,|<а, а потому f(x)+X?
€f(A) при |Я,|<а. Значит, f(А) открыто.
Следствие 1 предложения 5. Если В —
выпуклое подмножество локально выпуклого про-
пространства и а (?в, то существует непрерывная линей-
линейная форма f, такая, что f(a) (fcf(B).
Доказательство. Так как а(?в, то суще-
существует открытая абсолютно выпуклая окрестность U,
такая, что (a + U)f)B = 0. В силу предложения 5,
тогда существует непрерывная линейная форма f, для
которой f(a + U) nf(B)=0. Но множество f(a + U) от-
открыто (лемма 4), а потому f(a)(fcf (В).
Следствие 2. Если В — абсолютно выпуклое
подмножество локально выпуклого пространства и
а(?Б, то существует непрерывная линейная форма f,
такая, что \f(x)\^l для всех х?В и f(a)>l.
Доказательство. По следствию 1 сущест-
существует непрерывная линейная форма g, для которой
g(a)(fcg(B); но множество g(B) абсолютно выпукло
и потому
a=sup{|?(A:)|:
Полагаем f= (\g(a) \lag(a))g, если a=?M); если же
a=0, то нужными свойствами будет обладать f=
B/())
3. Двойственность и слабая топология 51
Следствие 3. Пусть Е — вещественное локаль-
локально выпуклое пространство. Если А и В — его непере-
непересекающиеся выпуклые подмножества и А открыто, то
существуют непрерывная линейная форма f и по-
постоянная а, такие, что /(*) >а для всех х?А и /()<
< для всех х?В.
Доказательство. По предложению 5 суще-
существует непрерывная линейная форма /, для которой
множества f(A) и f(B) не пересекаются. Поскольку
это выпуклые множества вещественных чисел, можно
(умножив, если нужно, / на —1) считать, что
sup{/(x): xeB}<M{f(x): x?A\.
Пусть a=inf {/(*): х?А}. Тогда /(*)<а Для всех
х?В. А поскольку 1(А) открыто (лемма 4), а(? /(Л)
и потому 1(х) >а для всех х ?А.
Предложение 6. Пусть Е — вещественное ло-
локально выпуклое пространство. Предположим, что
f — линейная форма на его векторном подпростран-
подпространстве М, такая, что f(x) >0 на (непустом) пересечении
с М открытого выпуклого множества А. Тогда суще-
существует линейная форма fu продолжающая f на все Е
и такая, что fi(x) >0 на А.
Доказательство. Пусть N=f~l(O). Тогда
Nf\A = 0, так что по теореме 2 существует гиперпод-
гиперподпространство Н, содержащее N и не пересекающееся
с А. Пусть а?А0М. Определим fl условиями
^=/Г1@) и /i(o)=/(a)- Тогда /4 будет продолже-
продолжением f. При этом fi(x) >0 на А. В самом деле, Д(о) =
=Я>0. Пусть вопреки утверждению существует х? А,
для которого Ы*)=—ц-<0. Так как А выпукло, то
y=(Xx + \ia)l(h+'\i) ?Л. При этом /4(г/)=0, т. е. у?Н.
Но это невозможно, поскольку НГ\А = 0. Следова-
Следовательно, fi(x) >0 для всех х €Л.
3. Двойственность и слабая топология. Пусть Е —
локально выпуклое пространство и Е' — его (топологи-
(топологическое) сопряженное. ?" — векторное подпространство
4*
52 Гл. П. Двойственность и теорема Хана — Банаха
алгебраического сопряженного Е* к Е. Далее, каж-
каждому элементу х из Е соответствует линейная фор-
форма х на Е', определяемая равенством x(f)=f(x).
Так определенное отображение пространства Е в Е'*,
очевидно, линейно; если Е отделимо, то это отображе-
отображение также взаимно однозначно; в самом деле, х = у
тогда и только тогда, когда f(x)=f(y) для всех /??',
т. е., по следствию 3 теоремы 3, когда х=у. Таким
образом, Е отождествимо с векторным подпростран-
подпространством Е пространства Е'*, Мы увидим, что эта алгеб-
алгебраическая симметрия между Е и Е', при которой каж-
каждое из них есть (изоморфно отображается в) вектор-
векторное подпространство алгебраического сопряженного
к другому, распространяется до топологической сим-
симметрии: в Е' существуют топологии, превращающие
его в отделимое локально выпуклое пространство,
имеющее Е своим (топологическим) сопряженным.
Удобно ввести обозначение, выражающее эту сим-
симметрию. Обозначая элементы пространства Е' через
х', у', ..., будем значение линейной формы х' в точ-
точке х ? Е записывать в виде (д:, х'). Тогда {х, х') бу-
будет билинейной формой на ЕхЕ' (для каждого фик-
фиксированного x'dE' это линейная форма на Е, а для
каждого фиксированного х?Е — линейная форма на
Е'), притом удовлетворяющей следующим двум ус-
условиям:
D: для каждого хфО из Е существует х'?Е', та-
такое, что (х, х')Ф0;
D': для каждого х'ФО из Е' существует х?Е, та-
такое, что {х, х') ФО.
(D есть следствие 3 теоремы 3; D' очевидно.)
Более общим образом, пусть Е и Е' — любые два
векторных пространства над одним и тем же (веще-
(вещественным или комплексным) полем скаляров и
(л:, х') —билинейная форма на ЕхЕ', удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям D и D'. Тогда существует естественное
линейное отображение пространства Е' в Е*, при ко-
котором образом элемента х''? Е' служит линейная фор-
форма / на Е, определяемая формулой f(x)=(x, x').
В силу D', это отображение взаимно однозначно и
3. Двойственность и слабая топология 53
потому Е' есть (изоморфно отображается в) вектор-
векторное подпространство пространства Е*. Аналогично
условие D обеспечивает, что Е есть (изоморфно ото-
отображается в) векторное подпространство простран-
пространства Е'*. Мы называем тогда (Е, Е') дуальной парой
и говорим, что Е и Е' — векторные пространства в
двойственности.
Очевидно, если (Е, Е') — дуальная пара, то то же
верно и для (?', Е). Мы показали, что если Е — от-
отделимое локально выпуклое пространство с сопря-
сопряженным Е', то (Е, Е') и, значит, также (E't E) —
дуальные пары. (Е, Е*) — дуальная пара для любого
векторного пространства Е с алгебраическим сопря-
сопряженным Е* (ибо D следует из предложения 2).
Пусть (Е, Е')—дуальная пара. Каждому х'?Е'
соответствует преднорма р на Е, определяемая фор-
формулой р(х) = \{х, х')\. Слабейшую топологию в Е, при
которой все эти преднормы непрерывны (см. гл. I,
теорема 3), называют слабой топологией в Е, опре-
определяемой пространством Е', и обозначают а(Е, Е).
Очевидно, это слабейшая топология в Е, при которой
все линейные формы из Е' непрерывны. Множества
образуют базис (замкнутых) окрестностей в тополо-
топологии а(Е, Е'). (е, фигурирующее в теореме 3 гл. I,
может быть заменено 1, поокольку \{х, t/')|^Ce тогда
и только тогда, когда \{х, e~V) 1^1-) Топология
а(Е, Е') локально выпукла и отделима, поскольку ус-
условие D обеспечивает выполнение условия предложе-
предложения 8 гл. I.
Сопряженное к Е, наделенному топологией
а(Е, Е), очевидно, содержит Е'. Мы покажем, что
оно в точности совпадает с Е', для чего воспользуем-
воспользуемся следующей алгебраической леммой:
Лемма 5. Если f0, /i, ..., fn — линейные формы
на векторном пространстве Е, то либо /0 есть линей-
линейная комбинация форм fu /г, ¦ ¦ ¦, fv, либо существует
такой элемент а^Е, что fo(a) = l, a fi(a)=f2(a)=...
...=Ыа)=0.
54 Гл. II. Двойственность и теорема Хана — Банаха
Доказательство. Очевидно, fu f2, ..., fn
можно считать линейно независимыми. При я=0 до-
доказывать нечего. Пусть теперь утверждение теоремы
справедливо для я— 1. Так как ft для каждого i,
1<л<тг, не есть линейная комбинация элементов
h, h, • • •, fi-u fi+i fn, то по предположению ин-
индукции существуют элементы щ, такие, что fi(aj)=O
при 1Ф\, a \i(a,i) — \. Для каждого х?Е имеем
х- 2 ft(x)at?N= П fF1 @).
Теперь либо существует элемент а 6 N, такой, что
fo(a) = l (и fi(a)=O при l^Ci^Cn), либо fo(y)=Q для
всех ydN.B последнем случае
1/
для всех *€ ? и потому
fo = 2
Следствие. ?слы f4, f2, ..., f n — линейно неза-
независимые линейные формы на векторном пространстве
Е, то в Е существуют такие элементы ait а^, ..., ап,
что fi(ai) = l и fi(aj)=O при 1ф\ (l^CiKn, 1</<п).
Предложение 7. Если (Е, Е') — дуальная па-
пара, то Ei есть сопряженное к пространству Е, наде-
наделенному топологией а(Е, Е').
Доказательство. Пусть f — линейная форма
на Е, непрерывная в топологии а(Е, Е'). Тогда
\f(x) I^«<1 на некоторой окрестности вида
По лемме 5 либо f — линейная комбинация линейных
форм х[, х'2, ..., х'п, либо существует а?Е, такое,
что f(a) = \ и (а, х^) = 0при Кг^</г. Однако во вто-
втором случае мы получили бы, что a?U, но |f(a)|>a.
Значит,
/= 2
\<1<п
3. Двойственность и слабая топология 55
Так как, с другой стороны, каждое х??Е' непрерывно
в топологии а(Е, Ег), то заключаем, что сопряжен-
сопряженным к пространству Е, наделенному топологией
а(Е, Е'), служит Е'.
Если Е — отделимое локально выпуклое простран-
пространство с сопряженным Е', то (?', E) —дуальная пара,
а о(Е', Е) — отделимая локально выпуклая тополо-
топология в Е'', дающая в качестве сопряженного простран-
пространства Е (топология, обещанная в начале параграфа).
Пусть (Е, Ег) — дуальная пара. Всякая локально
выпуклая топология в Е, дающая в качестве сопря-
сопряженного пространства Е', будет называться тополо-
топологией, согласующейся с двойственностью между Е и
Е'. Предложение 7 показывает, что а(Е, Ег) является
такой топологией; это слабейшая из топологий, согла-
согласующихся с двойственностью между Е и Е'. Посколь-
Поскольку она отделима, и все они отделимы. Некоторые
по виду топологические свойства зависят только от
дуальной пары, но не от выбора топологии, согласую-
согласующейся с двойственностью между образующими ее про-
пространствами. Значит, изучение таких свойств отдели-
отделимого локально выпуклого пространства можно, если
это более удобно, проводить в слабой топологии. При-
Пример подобного свойства доставляет
Предложение 8. Пусть (Е, Е') — дуальная
пара и А — выпуклое множество в Е. Тогда А имеет
одно и то же замыкание во всех топологиях, согла-
согласующихся с двойственностью между Е и Е'.
Доказательство. Пусть \ — любая тополо-
топология в Е, согласующаяся с двойственностью между Е
и Е'. Покажем, что А — замыкание А в топологии \ —
совпадает с Ж (о) —замыканием А в топологии а —
= а(Е, Е'). Прежде всего, так как | мажорирует о,
то AczA(a). Далее, пусть а^А. Тогда (следствие 1
предложения 5) существует непрерывная линейная
форма *'€?', для которой {а, х')(?(А, хг). Следова-
Следовательно, существует б>0, такое, что \{а — х, *')|>6
для всех х?А. Пусть ?/={*: |(л:, д^)[<б}. Тогда U —
56 Гл. 11 Двойственность и теорема Хана — Банаха
окрестность в топологии о, такая, что a + U не пересе-
пересекается с А. Значит, а^А(о) и тем самым А(о)сА.
4. Поляры. Пусть (Е, Е') — дуальная пара. По-
Полярой множества АсЕ называется множество А° всех
тех х'? Е', для которых
sup {|<лг, х')\: лг6Л}<1.
Предложение 9. Пусть (Е, Е')—дуальная
пара. Поляры в Е' множеств из Е обладают следую-
следующими свойствами:
1) А° абсолютно выпукло и о(Е', Е)-замкнуто;
2) еслиАсВ, то Б°с=Л°;
3) если КФО, то Ы
Доказательство. Все эти свойства, за исклю-
исключением а(Е', Е) -замкнутости А°, сразу следуют из оп-
определения. Но
является пересечением прообразов замкнутых мно-
множеств относительно о(Е, Е') -непрерывных функций;
значит, А° о(Е, Е') -замкнуто.
Рассмотрим некоторые важные частные случаи по-
поляр. Если М — векторное подпространство в Е, то
неравенство sup{|(x, x')j: л:^М}<^1 влечет (х, х')=0
для всех х?М. Следовательно, М° состоит из тех эле-
элементов пространства Е', которые обращаются на М
в нуль, т. е. совпадает с векторным подпространством
в Е', ортогональным к М. Если Е — отделимое ло-
локально выпуклое пространство, то подмножество А'
его сопряженного Е' равностепенно непрерывно тогда
и только тогда, когда существует такая окрест-
окрестность U, что \{х, х1) |<Л для всех x?U и х'?А. Та-
Таким образом, А' равностепенно непрерывно тогда и
только тогда, когда оно содержится в поляре некото-
некоторой окрестности нуля.
4. Поляры 57
Рассмотрение поляр окрестностей в алгебраиче-
алгебраическом сопряженном приводит к простой, но полезной
характеризации (топологического) сопряженного.
Предложение 10. Пусть U — базис окрестно-
окрестностей нуля в отделимом локально выпуклом простран-
пространстве Е. Сопряженное к Е совпадает с М U°, где по-
ляры берутся в Е*.
Доказательство. Линейная форма х*?Е*
непрерывна тогда и только тогда, когда существует
такая окрестность V€#,что \{х, х*)\-^,1 на U.
Операцию взятия поляры можно повторить. Если
(Е, Е') и (?', F) — дуальные пары и Л — подмноже-
подмножество в Е, то поляра А°° в F поляры А° называется
биполярой множества А в F. Наибольший интерес
представляют случаи, когда F совпадает с Е или с
Е'*, но оба они входят в тот более общий случай, ко-
когда предполагается лишь, что EcFcE'*. Этим обес-
обеспечивается, что если (Е, Е') —дуальная пара, то и
(?', F) —дуальная пара. Далее, z^A°° тогда и толь-
только тогда, когда | {z, x') \ <Л для всех х' 6 А°, т. е. всех
х', таких, что sup{|(A;, х')\: д;€Л}<.1. Тем самым
z ? Л00 тогда и только тогда, когда
\(z, *')|<sup{|<*,*'>|: x6А}
(гл. I, лемма 2). Поскольку AcEcF, отсюда следует,
что АсА°°.
Теорема 4. Пусть (Е, Е')—дуальная пара и
F — векторное подпространство в Е'*, содержащее Е.
Тогда биполяра А°° в F множества А из Е совпадает
с o(F, E') -замкнутой абсолютно выпуклой оболочкой
множества А.
Доказательство. Обозначим через В a(F, Е')-
замкнутую абсолютно выпуклую оболочку множест-
множества Л. В силу предложения 9, А°° есть a(F, E') -замк-
-замкнутое абсолютно выпуклое множество, содержа-
содержащее А, и потому ВсА°°. Если а(?В, то (следствие 2
предложения 5) существует непрерывная линейная
форма *'??', такая, что (а, *')>! и |(д;, х') |<1 для
58 Гл. 11. Двойственность й теорема Хана — Банахи
всех х^В. Но АсВ и потому х'^А°; тем самым
а(?А°°. Следовательно, А°°с:В и, значит, А°°=В.
Следствие 1. Если Е — отделимое локально
выпуклое пространство с сопряженным Е', то бипо-
ляра А°° множества АсЕ в Е совпадает с его замк-
замкнутой абсолютно выпуклой оболочкой.
Доказательство. По теореме 4 Л°° совпадает
с а(Е, Е') -замкнутой абсолютно выпуклой оболочкой
множества Л, а, в силу предложения 8, топологию
а(Е, Е') можно заменить исходной топологией в Е.
Следствие 2. В предположениях теоремы 4, по-
поляра множества А°° в Е' совпадает с А°.
Доказательство. По теореме 4 поляра мно-
множества Л00 — это а(Е', F) -замкнутая абсолютно вы-
выпуклая оболочка множества А°. Но Л° абсолютно вы-
выпукло и а(Е', Е)-замкнуто; далее, а(Е', F) мажори-
мажорирует а(Е', Е), поскольку а(Е', F)—локально выпук-
выпуклая топология в Е', при которой все линейные формы
на Е'', определяемые элементами из Е (cF), непре-
непрерывны, а а(Е', Е) —слабейшая такая топология. По-
Поэтому Л° замкнуто также в топологии а(Е', F). Сле-
Следовательно, Л° — поляра множества А°°.
Следствие 3. Если (Е, Е')—дуальная пара и
Аа для каждого а есть а(Е, Е')-замкнутое абсолютно
выпуклое множество в Е, то tf\Aa\ совпадает с
а(Е', Е)-замкнутой абсолютно выпуклой оболочкой
множества [)Аа.
а
Доказательство. Беря поляры множеств из
Е' в Е, в силу предложения 9 и теоремы 4, имеем
Следовательно,
5. Конечномерные подпространства 59
и применяя снова теорему 4, приходим к утверждае-
утверждаемому результату.
5. Конечномерные подпространства. Как мы пока-
покажем в этом параграфе, конечномерные подпростран-
подпространства отделимого локально выпуклого пространства
обладают особенно простыми свойствами.
Рассмотрим сначала n-мерное векторное простран-
пространство Е. Для каждого его базиса (ей ..., еп) суще-
существуют дуальный базис (е\, ..., е*\ в алгебраическом
сопряженном Е* к Е, определяемый тем свойством,
что
|1, если i=j,
{ег е/)=\0, если 1Ф].
В самом деле, любой элемент х 6 Е однозначно пред-
представим в виде 2 ^Л» и нужно только положить
(х, ?*) = А,г Легко проверить тогда, что е\линейно неза-
независимы ( 2 Ц/^*/= 0 влечет ц. = /е,, 2 \lte*t\==
1</<п ' ' \ 1<У<л ' V
=0 для каждого i). При этом они порождают
все Е*, ибо если х*?Е* их= 2 hei?E> то
2 \{et, х*)= 2
где ц» = (ег, х*), и потому л:'
Далее, если ? конечномерно и (Е, Е') — дуальная
пара, то Е'=Е*. В самом деле, пространства Е и Е*
имеют одинаковую размерность; то же верно и для
пространств Е' и Е'*. Так как E'czE* и EczE'*, то
все эти пространства должны иметь одинаковую раз-
размерность и потому Е'=Е*.
Предложение 11. В конечномерном векторном
пространстве существует только одна топология, от-
60 Гл. II. Двойственность и теорема Хана — Банаха
носительно которой оно является отделимым локаль-
локально выпуклым г) пространством.
Доказательство. Покажем, что топология
любого конечномерного отделимого локально выпук-
выпуклого пространства Е совпадает с а(Е, Е*). Поскольку
сопряженное к Е должно совпадать с Е*, исходная
топология, во всяком случае, мажорирует а (Е, Е*).
Пусть теперь (еи ..., еп) — любой базис в Е, (е*, ...
¦ ¦ • > е*п) — соответствующий дуальный базис в Е* и
U — любая абсолютно выпуклая окрестность в Е.
Существует fx>0, такое, что е{?ри для i—\, ..., п.
Множество
V = \x: sup \{х
есть а(Е, Е*) -окрестность; если х= 2
то
ККп ККп
Таким образом, исходная топология также мажори-
мажорируется топологией а(Е, Е*) и, значит, совпадает
с ней.
Эта единственная топология конечномерного век-
векторного пространства Е, очевидно, нормируема: вы-
выбрав произвольно "базис (еи .. ., е„), мы можем взять,
например, евклидову норму
для X— 2 Kef Говоря об этой единственной то-
пологий, мы будем называть ее евклидовой тополо-
топологией.
Теорема 5. Конечномерное векторное подпро-
подпространство М отделимого локально выпуклого про-
') И даже вообще отделимым топологическим векторным;
доказательство этого более сильного утверждения можно найти
в [2]. (Цифры в квадратных скобках относятся к библиографии,
помещенной в конце книги.) — Прим. ред.
6. Сопряженное к линейному отображению 61
странства Е замкнуто, а индуцированная в М тополо-
топология — евклидова').
Доказательство. Вторая часть теоремы сле-
следует из предложения 11, поскольку в индуцированной
топологии М является отделимым локально выпук-
выпуклым пространством.
Докажем первую часть. Пусть (eit ..., еп) — ба-
базис в М и а^М. Будем рассматривать a, eit e2, ¦ ¦•
..., еп как линейные формы на сопряженном Е' к Е.
В силу леммы 5, существует х' ? Е', такое, что
(а, х')=\ и (еи х')=0 A<г</г). Пусть U=
= {х: | {х, х') | < 1}. Тогда U — окрестность (начала)
и a + U не пересекается с М. Следовательно, М замк-
замкнуто.
6. Сопряженное к линейному отображению. Пусть
(Е, Е') и (F, F') —дуальные пары векторных про-
пространств и t — линейное отображение пространства Е
в F. Тогда {t(x), у') —билинейная форма от двух
переменных х и у'. Обозначим через t'(y') линейную
форму на Е, получающуюся из этой билинейной фор-
формы, если зафиксировать y'?F', так что f опреде-
определяется равенством
справедливым для всех х ? Е и у'? F'. Тогда t'(y') ?E*
для каждого y'<iF' и f — линейное отображение F'
в Е*\ мы будем называть f сопряженным, к линей-
линейному отображению t.
Предложение 12. Пусть (Е, Е') и (F, F') —
дуальные пары векторных пространств, t — линейное
отображение пространства Е в F, f — его сопряжен-
сопряженное. Тогда t'(F')czE' в том и только в том случае,
если t непрерывно при наделении Е и F их слабыми
топологиями о(Е, Е) и o(F, F').
Доказательство. Предположим сначала, что/
непрерывно. Тогда {t{x), у') для каждого фиксиро-
') Теорема верна для любого отделимого топологического
векторного пространства Е; по поводу доказательства см. [2]. —
Прим. ред.
62 Гл. II. Двойственность и теорема Хана — Банаха
ванного у' € F' является непрерывной линейной фор-
формой на Е и, следовательно, t'(y')^E'. Предположим
теперь, что t'(F') cE't и пусть
V = ly. sup |<у
— любая e(F, F')KPeCTH0CTb- Тогда
является в(Е, Е') -окрестностью, для которой t (U) с= V.
Следовательно, t непрерывно.
Мы будем называть линейное отображение t сла-
слабо непрерывным, если оно непрерывно при наделении
Е и F топологиями а(Е, Ег) и a(F, Fr).
Операцию взятия сопряженного к линейному ото-
отображению можно, очевидно, повторить. Если (Е, Е'),
(Е', Е"), (F, F') и (F', F") -дуальные пары, а t —
слабо непрерывное отображение пространства Е в F,
то /' отображает F' в Е', а его сопряженное t" ото-
отображает Е" в F'*. В силу предложения 12, t" отобра-
отображает Е" в F" тогда и только тогда, когда f непре-
непрерывно при наделении F' и Е' топологиями a(F', F")
и а(Е', Е"). Простейший случай имеем при Е"=Е
и F" = F. Тогда t", очевидно, совпадает с!имы полу-
получаем, в силу предложения 12, такое
Следствие. Если t слабо непрерывно, то и его
сопряженное f слабо непрерывно.
Позже будет еще найдено условие непрерывно-
непрерывности t и f в других топологиях (гл. III, предложение 4).
Предложение 13. Если t — непрерывное ли-
линейное отображение отделимого локально выпуклого
пространства Е (с сопряженным Е') в отделимое ло-
локально выпуклое пространство F (с сопряженным F'),
то t также непрерывно при наделении Е и F ассоции-
ассоциированными слабыми топологиями а(Е, Е') и a(F, F').
Доказательство. Для каждого фиксированно-
фиксированного t/^F' линейная форма \t(x), у') непрерывна на Е
и потому t'(y')€E'. Следовательно, 1'(F')czE' и наше
утверждение следует из предложения 12.
Дополнения 63
Очевидно, обратное утверждение, вообще говоря,
неверно (примером может служить тождественное
отображение пространства Е, наделенного некоторой
топологией, в то же пространство с более сильной то-
топологией, согласующейся, однако, с той же двойствен-
двойственностью). Но мы увидим (гл. III, предложение 14),
что при надлежащей топологии в Е слабая непрерыв-
непрерывность влечет непрерывность в исходных топологиях.
Установим еще алгебраическое соотношение, кото-
которое будет часто использоваться в следующих главах.
Лемма 6. Пусть (Е, Е') и (F, F') — дуальные
пары векторных пространств, t — слабо непрерывное
линейное отображение пространства Е в F и V — со-
сопряженное отображение. Тогда
для каждого A<z.E.
Доказательство. Каждое из этих множеств
есть множество всех тех у' 6 F', для которых
при каждом л:€ А.
Дополнения
Мы опишем здесь пространства, сопряженные к
некоторым пространствам, приведенным в дополне-
дополнениях к гл. I.
A) Конечномерные пространства. См. § 5.
B) Пространства непрерывных функций. Теорема
Рисса о представлении (см., например, [1], гл. IV,
§ 4) устанавливает, что любая непрерывная линейная
форма / на пространстве С(/) всех непрерывных
функций на отрезке I=[a, b] представима интегралом
Стильтьеса
ь
f(x)=jx(t)dg(t),
а
где g — функция ограниченной вариации. Таким об-
образом, сопряженное к пространству СA) отождест-
вимо с пространством мер Стильтьеса на [а, Ь].
64 Гл. П. Двойственность и теорема Хана — Банаха
Этот результат наводит на мысль определить
меру fi на компактном множестве S как непрерыв-
непрерывную линейную форму на нормированном пространстве
C(S) (гл. I, дополнение 2а) и писать
S
Когда S не есть компакт, нельзя рассчитывать, что
определение меры как элемента пространства, сопря-
сопряженного к C(S), будет полезным, поскольку таким
определением будет, например, исключена обычная
оо
мера Лебега на ]—оо, оо[ (ибо x(t)dt существует,
— оо
конечно, не для всех функций х, непрерывных на
]—оо, оо[). Если S локально компактно и отделимо,
приходится определять меру (Радона) [х на S как ли-
линейную форму на<2^E), непрерывную пг.<^СлE) для
каждого компактного множества А (см. гл. I, допол-
дополнение 2в). Мы докажем (гл. V, предложение 5), что
это равносильно требованию, чтобы ц была непрерыв-
непрерывной в топологии индуктивного предела BeT(S). Систе-
Систематическое изложение теории интегрирования с этой
точки зрения можно найти в книге N. Bourbaki,
Elements de mathematique, Integration A952)').
В более слабой топологии равномерной сходимо-
сходимости сопряженное Ке/Г (S) есть подмножество множества
мер, а именно множество тех мер, которые являются
сужениями на S мер, определенных на одноточечной
компактификации множества S. Наконец, относитель-
относительно еще более слабой топологии компактной сходи-
сходимости пространство е^Г E) плотно в C(S), и сопряжен-
сопряженным к каждому из них служит множество всех мер
с компактными носителями (носителем меры [i назы-
называется наименьшее замкнутое множество А, такое,
что [х(х)=0 для всех х, носитель которых не пересе-
пересекается с А.)
C) Пространство бесконечно дифференцируемых
функций. Непрерывные линейные формы на простран-
') Русский перевод: Н. Б у р б а к и, Интегрирование, изд-во
«Наука», 1967.
Дополнения 65
стве 3 всех вещественных (или комплексных) беско-
бесконечно дифференцируемых функций с компактным но-
носителем, наделенном топологией индуктивного пре-
предела (гл. I, дополнение Зг), называются обобщен-
обобщенными функциями. Теперь 3 можно рассматривать как
векторное подпространство пространства а2Г(]—оо, оо[),
которое (в своей топологии индуктивного предела)
индуцирует в 3 топологию, мажорируемую тополо-
топологией пространства 3. Следовательно, каждая мера
является обобщенной функцией (но, например, обоб-
обобщенная функция f, определяемая формулой f(x) =
=лс'(О), не является мерой).
Поскольку топология пространства 3 мажорирует
топологию, индуцируемую в нем топологией простран-
пространства ?Р (гл. I, дополнение Зв), любая непрерывная
линейная форма на if является обобщенной функ-
функцией — так называемой обобщенной функцией «мед-
«медленного роста» (см. [12], гл. VII, § 4).
Аналогично пространство W, сопряженное к про-
пространству б? бесконечно дифференцируемых функций,
наделенному топологией компактной сходимости всех
производных (гл. I, дополнение 36), является под-
подпространством пространства <2И обобщенных функций;
элементами W являются обобщенные функции с
компактным носителем (если определять носитель
обобщенной функции таким же образом, как и носи-
носитель меры).
Операция дифференцирования в 3 является при-
примером непрерывного линейного отображения про-
пространства в себя. Дифференцирование обобщенных
функций определяется равенством f(x) =—f(x), где
точками обозначено дифференцирование. Таким обра-
образом, операция дифференцирования на 3' равна со-
сопряженной к операции дифференцирования на 3,
взятой со знаком минус.
D) Пространства голоморфных функций. Любая
непрерывная линейная форма нае$ф) может быть
представлена в виде
5 Зак. 706
66 Гл. II. Двойственность и теорема Хана — Банаха
где ф голоморфна в некоторой области D', содержа-
содержащей CD, ф(оо)=0 и Г — любой замкнутой контур в
DUD'. Обратно, каждая такая линейная форма не-
непрерывна. Различные функции ф определяют одну и
ту же линейную форму, если они совпадают в какой
либо области, содержащей CD. Последнее свойство
является отношением эквивалентности среди функ-
функций, голоморфных на областях, содержащих CD. Оп-
Определяемые им классы эквивалентности называются
локально голоморфными функциями на CD. Они об-
образуют векторное пространство, являющееся сопря-
сопряженным kq%?(D). (Cm. G. К о t h e, Dualitat in der
Funktionentheorie, J. Reine Angew. Math., 191 A953),
30—50.)
E) Пространства последовательностей. Вот спо-
способ образования дуальных пар пространств, элемен-
элементами которых служат последовательности скаляров.
Пусть А — любое множество последовательностей
z—(zn) и Е' — векторное пространство всех последо-
со
вательностей х' = (xty, таких, что 2 I znx'n | < оо для
всех г?Л. Далее, пусть Е — векторное простран-
пространство всех таких последовательностей х—(хп), что
2 \х„х'„\<со Для всех х'?Е'. (Очевидно, Лс?.)
Билинейная форма (х, х') — 2 хпх' приводит про-
л=1
странства Е и Е' в двойственность. Тогда Е (как и
Е') может быть топологизировано любым из общих
способов, рассматриваемых в гл. III. (См. [21].)
Если А состоит из одной только последовательно-
последовательности г=@, 0, ...), то Е' есть пространство всех по-
последовательностей, а Е — пространство последова-
последовательностей, в которых лишь конечное число членов
отлично от нуля. В этом случае Е' есть также алгеб-
алгебраическое сопряжение Е* к Е. Если А состоит из од-
одной только последовательности г=A, 1, ...), то Е'
есть пространство /' всех абсолютно сходящихся ря-
рядов, а Е — пространство пг всех ограниченных после-
последовательностей.
Дополнения 67
Сопряженным к нормированному пространству
Со (см. гл. I, дополнение 5) служит /', сопряженное
к Iх совпадает с т ( = 1°°), а сопряженным к 1р
A<р<оо) является li, где p~l+q~1 = l. Сопряженное
к метрическому пространству 1р, где 0<р<1, совпа-
совпадает с т, — пример не локально выпуклого простран-
пространства, обладающего достаточным сопряженным, по-
поскольку Aр, т)—дуальная пара. Пространство, со-
сопряженное к нормированному пространству т, — уже
совсем не пространство последовательностей; в дей-
действительности оно совпадает с пространством ограни-
ограниченных конечно аддитивных функций множества, оп-
определенных на подмножествах множества положи-
положительных целых чисел.
F) Пространства интегрируемых функций. Имеет-
Имеется теория двойственности таких пространств, по-
построенная по аналогии с теорией двойственности для
пространств последовательностей, но с использова-
использованием на этот раз билинейной формы (л;, х') =
= | х(t)х'(t)d\i. (См. J. Dieudonne, Sur les es-
s
paces de Kothe /. Analyse Math., 1 A951), 81—115.)
Сопряженным к нормированному пространству Lp
A<р<оо) служит Li (где p-l + q~x = \). В большин-
большинстве случаев (например, когда мера на 5 конечна
или 0-конечна) сопряженным к L1 является oM{ = L'x).
Но если 0<р<1, то пространство, сопряженное к
метрическому пространству Lp@, 1), состоит из од-
одного нулевого элемента, — пример не локально выпук-
выпуклого пространства, имеющего безнадежно недостаточ-
недостаточное сопряженное. (Если / — ненулевая линейная фор-
форма, то существует элемент x?Lp@, 1), такой, что
S
d(x, 0) = 1 и f(x)=a>0. Пусть q>(s) = j\x(t)\pdt.
о
Так как ф — непрерывная функция от s, то отрезок
[О, 1] можно разбить точками O=so<Sj<.. .<sn=l
так, чтобы <p(sr) —(f(sr-i)=n-x. Положим yT(t)=x(t)
на [sr_!, sr] и равным нулю во всех остальных точках.
68 Гл. II. Двойственность и теорема Хана — Банаха
Тогда
и потому \f(yr) \^п~1а по крайней мере для одного г.
Пусть хп = пуг с этим г. Тогда \f(xn) |>a, Hod(xn,0) =
=пР~1~*0. Следовательно, f не может быть непре-
непрерывной.)
G) Сильнейшая локально выпуклая топология.
Сопряженное к векторному пространству Е, наделен-
наделенному сильнейшей локально выпуклой топологией, со-
совпадает с Е*. (В самом деле, {х: \{х, х*) |^1} яв-
является окрестностью при любом х* € Е*.)
(8) Гильбертово пространство. Каждая непрерыв-
непрерывная линейная форма / на гильбертовом простран-
пространстве Е представима посредством скалярного произ-
произведения формулой f(x) — (x, а), где а — некоторый
элемент из Е. Полагая, а = 0(/), получаем инволю-
тивный изоморфизм 0 сопряженного Е' к Е на Е.
@ — взаимно однозначное отображение на и Q(f+g) =
ГЛАВА III
ТОПОЛОГИИ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
И ТЕОРЕМА МАККИ—АРЕНСА
В этой главе мы продолжим изучение двойствен-
двойственности. Прежде всего мы рассмотрим общий метод оп-
определения локально выпуклых топологий в сопряжен-
сопряженном к локально выпуклому пространству, выбирая
в качестве окрестностей начала поляры некоторых
подмножеств этого локально выпуклого пространства.
Подходящие для этого множества образуют важный
класс так называемых ограниченных множеств. Ос-
Основным результатом этой главы является теорема
Макки — Аренса, характеризующая все локально вы-
выпуклые топологии, дающие одно и то же сопряженное
пространство. Доказывается, весьма изящным обра-
образом, что среди таких топологий имеется слабейшая
(а именно, слабая топология) и сильнейшая (кото-
(которую мы найдем). Эта глава предъявляет большие
требования к знанию общей топологии, чем предыду-
предыдущие две. Здесь вводятся в рассмотрение компактные
и предкомпактные подмножества локально выпуклого
пространства и используется понятие полного про-
пространства. Все необходимые сведения из топологии
будут изложены в соответствующем месте.
1. Ограниченные множества. Говорят, что подмно-
подмножество А векторного пространства поглощает множе-
множество В, если существует такое а>0, что BczkA для
всех % с |Я,|^-а. Поглощающим множеством назы-
называется множество, поглощающее все точки.
Подмножество А локально выпуклого простран-
пространства называют ограниченным, если оно поглощается
любой окрестностью (начала). Пусть U — базис аб-
абсолютно выпуклых окрестностей. Множество 4
70 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
ограниченно тогда и только тогда, когда каждой ок-
окрестности U € 21 соответствует такое положительное К,
что AczW (откуда следует, что АсщЦ для всех ц с
|ц1>Л). Если топология пространства Е определена
семейством Q преднорм, т. е. множества
[х: sup />,(*)< в \ (A6Q)
образуют базис окрестностей начала, то множество А
ограниченно тогда и только тогда, когда р(А) есть
ограниченное множество вещественных чисел для
каждой преднормы p?Q. В частности, множество А
ограниченно в топологии о(Е, Е') в том и только в
том случае, если (А, х') ограниченно для каждого
*'€?'.
Лемма 1. (I) Замыкание, выпуклая оболочка и
абсолютно выпуклая оболочка ограниченного множе-
множества ограниченны;
(II) любое подмножество и любое скалярное крат-
кратное ограниченного множества ограниченны;
(III) объединение и сумма любого конечного чис-
числа ограниченных множеств ограниченны.
Доказательство. (I) Рассмотрим базис замк-
замкнутых абсолютно выпуклых окрестностей U. Если А
ограниченно, а В — любое из определяемых им мно-
множеств утверждения (I), то AczKU влечет BczKU.
Утверждения (II) и (III) легко следуют из опреде-
определения.
Предложение 1. Образ ограниченного множе-
множества при непрерывном линейном отображении огра-
ограничен.
Доказательство. Пусть / — непрерывное ли-
линейное отображение пространства Е в F, и А — огра-
ограниченное множество в Е. /-1(V) есть окрестность в Е
для каждой абсолютно выпуклой окрестности V из F,
и, значит, существует такое К, что AczXt^V). Тогда
t(A)cXV и, следовательно, t{A) ограниченно в F.
В нормированном пространстве шары {х: IMI^e}
образуют базис окрестностей, состоящий из ограни-
1. Ограниченные множества 71
ченных множеств. Это свойство характеризует норми-
нормированные пространства.
Теорема 1. Отделимое локально выпуклое про-
пространство, содержащее ограниченную окрестность,
нормируемо').
Доказательство. Пусть LJ — абсолютно вы-
выпуклая окрестность, содержащаяся в ограниченной
окрестности. Тогда U ограниченна (лемма 1 (II)).
Следовательно, для произвольной окрестности V су-
существует такое Х>0, что UczXV, а потому (\/X)UaV.
Таким образом, множества {гЩ (е>0) образуют ба-
базис окрестностей. Так как пространство отделимо, то
калибровочная функция окрестности U и есть норма,
определяющая топологию.
Из теоремы следует, между прочим, что шары
{х: d(x, 0)^e} метризуемого ненормируемого локаль-
локально выпуклого пространства не являются ограничен-
ограниченными множествами.
Если | и г) — локально выпуклые топологии в Е
и | мажорирует г\, то множество, ограниченное в то-
топологии |, ограниченно также в топологии ц. В част-
частности, если Е' — сопряженное к пространству Е, на-
наделенному отделимой топологией |, то |-ограничен-
ные множества в Е также слабо ограниченны (т. е.
а(Е, Е')-ограниченны). В теореме 1 гл. IV будет по-
показано, что верно и обратное: одни и те же множе-
множества ограниченны во всех топологиях, согласующихся
с двойственностью между Е и Е'.
Лемма 2. Для дуальной пары (Е, Е') следующие
три утверждения равносильны:
(I) А— слабо ограниченное множество в Е;
(II) р'(х') =sup {\(x, x')\: х^А) —пред норма на Е'\
(III) А° — поглощающее множество в Е'.
') Эта теорема принадлежит Колмогорову [23] и была уста-
установлена им в следующей более сильной форме: отделимое топо-
топологическое векторное пространство, содержащее ограниченную
выпуклую окрестность нуля, нормируемо. — Прим. ред.
72 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
Доказательства непосредственно следуют из
определений.
Таким образом, поляры слабо ограниченных мно-
множеств, будучи к тому же абсолютно выпуклыми, об-
обладают всеми свойствами, требуемыми от окрестно-
окрестностей. Это подсказывает следующий способ тополо-
гизации Е'.
2. Топологии равномерной сходимости. Пусть
{Е, Е') — дуальная пара векторных пространств и
Л—произвольная совокупность слабо ограниченных
множеств из Е. Тогда множества A0 (A ?Л) являются
абсолютно выпуклыми и поглощающими, и потому
(гл. I, следствие теоремы 2) существует слабейшая
топология Ъ,' в Е', для которой каждое из этих мно-
множеств служит окрестностью. Базис окрестностей топо-
топологии I' образуют множества
(е>0, Д €«/?)•
Оказывается, что сходимость в топологии %' означает
равномерную сходимость на каждом множестве
А?Л и потому |' называется топологией равномер-
равномерной сходимости на множествах из Л, или топологией
Л -сходимости.
На практике Л почти всегда удовлетворяет сле-
следующим условиям:
В1: если А^Л а В?Л, то существует такое
С?Л, что A UBczC;
В2: если A?ul, то ХА?Л для любого скаляра X;
ВЗ: [J А порождает Е.
e-1 U А,)
\ 1<г<я /
Из условий В1 и В2 следует, что поляры множеств
из Л образуют базис окрестностей топологии |', ибо
если е>0 и А^Л (l-^t-^л), то существует такое
С 6 Л, что
AtcC, так что С°с=е f\ A].
Условие ВЗ1) является достаточным условием
того, чтобы каждый элемент х?Е был ограничен на
') В соединении с BI. — Прим. ред.
2. Топологии равномерной сходимости 73
некотором множестве А° и, значит, определял |'-не-
прерывную линейную форму на Е'. Следовательно,
топология |' мажорирует о(Е', Е) и потому от-
отделима.
В последующем при рассмотрении топологии
^-сходимости мы будем всегда для удобства предпо-
предполагать, что условия Bl, B2 и ВЗ выполнены. (Условия
В1 и В2 не являются серьезными ограничениями, ибо
для любого множества Л слабо ограниченных под-
подмножеств из Е множество всех скалярных кратных
объединений конечных семейств множеств из Л удо-
удовлетворяет условиям В1 и В2 и, очевидно, определяет
ту же топологию равномерной сходимости.) Другое
часто удобное и иногда явно оговариваемое предпо-
предположение таково: все множества из Л слабо замк-
замкнуты и абсолютно выпуклы. И это предположение не
влечет потери общности. В самом деле, если Л удо-
влетворяет условиям Bl, B2 и ВЗ,. то и совокупность
замкнутых абсолютно выпуклых оболочек всех мно-
множеств из Л удовлетворяет этим условиям, а, обладая
теми же самыми полярами, они определяют ту же
топологию.
Топология равномерной сходимости может быть
описана также в терминах преднорм. Для каждого
А ? Л положим
тогда р'А— калибровочная функция для А°, и семей-
семейство {/>^: А?Л\ определяет топологию </?-сходимости.
В случае когда Л — множество всех конечных
подмножеств пространства Е, топология с^-сходи-
мости совпадает с а{Е',Е), слабейшей, в силу ВЗ,
топологией равномерной сходимости. Сильнейшая то-
топология равномерной сходимости получится, если в
качестве Л взять множество всех слабо ограниченных
подмножеств из Е. Эта топология в Е' называется
сильной топологией и обозначается Р(?", Е). В § 4
мы встретимся с некоторыми промежуточными топо-
топологиями; ,Е', наделенное сильной топологией, будет
называться сильным сопряженным к Е,
74 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
•^————• ' ' ~—
Если Е— нормированное пространство и в каче-
качестве^ взято множество всех шаров {х: \\х\\-?Сг} (е>0),
то топология ^-сходимости нормируема — с нормой
||*'||=sup{| (дс, х')\: ||л:||-<1}. Показав в гл. IV, что
ограниченные по норме множества в Е совпадают со
слабо ограниченными, мы тем самым докажем, что
эта нормированная топология в Е' совпадает с силь-
сильной топологией р {Е',Е).
Сопряженным к Е', наделенному слабейшей то-
топологией равномерной сходимости, служит Е\ вообще
же сопряженное к Е' может быть и более широким
подпространством в ?'*:
Предложение 2. Если (Е, Е') — дуальная пара,
то сопряженным к Е', наделенному топологией Л-схо-
димости, служит [J А°°,где биполяры берутся в про-
пролил
странстве Е'*.
Доказательство. Следует из предложения 10
гл. II.
Естественно возникающая задача нахождения ус-
условия на Л, при котором сопряженное к простран-
пространству Е', наделенному топологией </?-сходимости, сов-
совпадает в точности с Е, требует больших сведений из
топологии, чем те, которыми мы пока располагаем;
она будет решена в § 7.
Очевидно, Е и Е' можно поменять ролями и
наделять топологиями равномерной сходимости Е.
В действительности справедливо
Пр едложение 3. Каждая отделимая локально
выпуклая топология является топологией равномер-
равномерной сходимости, а именно равномерной сходимости на
равностепенно непрерывных подмножествах сопря-
сопряженного пространства.
Доказательство. Пусть U — базис замкну-
замкнутых абсолютно выпуклых окрестностей для отдели-
отделимой локально выпуклой топологии \. Тогда U=U°°
(гл. II, следствие 1 теоремы 4), так что | есть топо-
топология равномерной сходимости на множествах U°
?/?) Но если множество A'czE' равностепенно
3. Предкомпактные множества 75
непрерывно, то существует окрестность U ^21, такая,
что A'czU0. Таким образом, | — топология равномер-
равномерной сходимости на всех равностепенно непрерывных
подмножествах сопряженного пространства.
А теперь, располагая общими способами топологи-
зации обоих пространств Е и Е', мы можем уточнить
один прежний результат (гл. II, следствие предложе-
предложения 12), по которому слабая непрерывность отобра-
отображения t влечет слабую непрерывность и сопряжен-
сопряженного отображения ?.
Предложение 4. Пусть (Е, Е') и (F, F')—ду-
F')—дуальные пары и t — слабо непрерывное отображение
Е в F. Если Е' наделено топологией равномерной схо-
сходимости на множествах из Л, a F'—топологией рав-
равномерной сходимости на множествах из t(<A), то ото-
отображение ? непрерывно.
Доказательство. Для всякого А(:<А имеем
{t{A))°=t'-x{A°) (гл. II, лемма 6), а потому ? непре-
непрерывно.
Следствие. Если Е и F — нормированные про-
пространства, а Е' и F' наделены своими нормированны-
нормированными топологиями, то t непрерывно тогда и только то-
тогда, когда непрерывно ?.
Доказательство. Пусть Л — множество всех
шаров {х: \\х\\*Се} в Е и 38 — аналогичное множество
шаров в F. Если t непрерывно и А ? Л, то существует
такое Я? %, что t{A)cB, а потому B°cz(t(A))°. Сле-
Следовательно, топология равномерной сходимости на
множествах из t(JL) мажорируется нормированной
топологией в F'. Но, в силу предложения 4, f непре-
непрерывно, когда F' наделено топологией равномерной
сходимости на множествах из t(ul); значит, f тем бо-
более непрерывно, когда F' наделено нормированной то-
топологией. То же самое рассуждение, примененное к ?
вместо t и к F' и Е' вместо Е и F, показывает, что не-
непрерывность ? влечет непрерывность t.
3. Предкомпактные множества. В метризуемом ло-
локально выпуклом пространстве «размер» множества Л
76 Гл. HI. Топологии в сопряженном пространстве
можно измерять его диаметром
sup{d(x, у): х, г/6 Л}.
Это можно выразить в терминах окрестностей, пола-
полагая Ue ={лг; d(x, 0)<^e}. Тогда d(A)*Ce в том и толь-
только в том случае, когда х<—y?Ue для всех х, у?А.
В такой форме эта идея обобщается на любое локаль-
локально выпуклое пространство. Пусть ^ — произвольная
окрестность в локально выпуклом пространстве Е.
Множество АсЕ называют малым порядка U, если
х — у ? U для всех х, у?.А.
Подмножество А локально выпуклого простран-
пространства называется предкомпактным, если для каждой
(абсолютно выпуклой) окрестности U оно может быть
покрыто конечным числом множеств Аи А2, ..., Ап,
малых порядка U. Если a^Ai для всех i, то
Ас у (at + U).
1<«<л
Обратно, любое множество А, обладающее тем свой-
свойством, что для каждой окрестности U существуют
точки аи а2,..., ап, такие, что
предкомпактно.
Лемма 3. (I) Замыкание предкомпактного мно-
множества предкомпактно;
(II) любое подмножество или скалярное кратное
предкомпактного множества предкомпактно;
(III) объединение или сумма любого конечного
семейства предкомпактных множеств предкомпактно.
Доказательство. (I) Для любой замкнутой
абсолютно выпуклой окрестности U включение
Л с (J (at+U)
1<«<л
влечет включение
у (а,+ */),
3. Предкомпактные множества 77
поскольку объединение, стоящее в правой части, замк-
замкнуто. Утверждения (II) и (III) следуют непосред-
непосредственно из определения; так, в (III), если U абсо-
абсолютно выпукла и
Лс у (at + U), Be у (b, + U),
ТО
Предкомпактное множество остается предкомпакт-
ным в любой более слабой топологии; образ предком-
пактного множества при непрерывном линейном ото-
отображении предкомпактен.
Предложение 5. Предкомпактное множество
ограниченно.
Доказательство. Если U — абсолютно выпук<
лая окрестность и
Л с у
то существует Я>0, такое, что а» €Я?/ A^/^п). Тогда
Acz(l+k)U.
Обратное утверждение верно только в специаль-
специальных случаях (см. предложение 6). Поскольку пред-
компактность есть вообще более сильное условие, чем
ограниченность, предкомпактные множества назы-
называют иногда вполне ограниченными. В нормирован-
нормированном пространстве существуют ограниченные окрест-
окрестности, но они редко предкомпактны.
Теорема 2. Если в отделимом локально выпук-
выпуклом 1) пространстве существует вполне ограниченная
окрестность, то это пространство конечномерно.
Доказательство. В силу предложения 5, про-
пространство Е обладает ограниченной окрестностью и,
значит, по теореме 1 нормируемо. Пусть U — единичный
') И даже вообще отделимом токологическом векторном.-—
Прим. ред.
78 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
шар {х: lUH^Cl}. Заданная предкомпактная окрест-
окрестность содержит W для некоторого к>0, и потому
U, по лемме 3, предкомпактно. Значит, существуют
точки аи а2,...,ап, такие, что U a \J (a^U)
Обозначим через М векторное подпространство, на-
натянутое на аи а2,..., ап. Тогда
для любого целого k. Следовательно, (/сМ, Но
М = М, ибо М конечномерно (гл. II, теорема 5). Сле-
Следовательно,
Е= U WcM.
Лемма 4 Пусть Т — множество абсолютно вы-
выпуклых окрестностей в локально выпуклом простран-
пространстве Е, обладающее тем свойством, что пересечения
всевозможных конечных наборов множеств из У об-
образуют базис окрестностей. Если множество А можв1
быть покрыто конечным числом множеств, малых по-
порядка V, для каждого У<сУ, то оно предкомпактно.
Доказательство. Прежде всего пусть V,
? V и U= V П W. Существуют множества Bt, В2,...
,.., Вт, малые порядка V, такие, что
А^ у Вп
и множества Сь С2, ..., С„, малые порядка W, такие,
что
U С,.
<<
Тогда множества Br()Cs (iKr-^-m, \4is4in) образуют
конечное покрытие множества А множествами, малы-
малыми порядка U.
В общем случае, когда U — пересечение k мно-
множеств из 7*, применяем индукцию по k.
3, Предкомпактные множества 79
Предложение 6. Пусть (Е, Е')— дуальная па-
пара. Всякое слабо ограниченное множество А в Е сла-
слабо предкомпактно.
Доказательство. Возьмем в лемме 4 У со-
состоящим из множеств {х: \{х, х') |<Л} (х'?Ег);
(А, х'), для каждого x'dE', — ограниченное множе-
множество скаляров и потому может быть покрыто конеч-
конечным числом множеств Fi, Г2,..., Г„, диаметр каждого
из которых меньше 1. Тогда х'-'(Гг), 1</<л, обра-
образуют конечное покрытие множества А множествами,
малыми порядка V, где V={x: |(x, х')|-^1}.
Теорема 3. Пусть (Е, Е') и (F, F') — дуальные
пары, t — слабо непрерывное линейное отображение
пространства Е в F и V — сопряженное отображение.
Пусть oi a !$' — семейства слабо ограниченных под-
подмножеств в Е и F', определяющие топологии равно-
равномерной сходимости в Е' и F. Тогда следующие утвер-
утверждения равносильны:
(I) для каждого А?.Ж множество t(A) предком-
предкомпактно в топологии <$'-сходимости;
(II) для каждого В''$.!%' множество t'(B') пред-
предкомпактно в топологии Л-сходимости.
Доказательство. Предположим, что выполне-
выполнено (II). Для любых A dot и B'(z.$?' существует
конечное множество К', такое, что t'{B')(^K'-{--^А°.
Будучи слабо ограниченным, А, в силу предложения 6,
слабо предкомпактно и потому обладает конечным
покрытием множествами Ait малыми порядка -jK'°.
Каковы бы ни были х, г/?ЛПА, и Ь'€ В', имеем
t'(b')=c'+a', где с'^К', а'€уА°, и поэтому
\(t(x-y), b')\ = \{x-y, t'{b'))\<
<\(х-у, с')| + |<х, а')|-Н<!/!а'>1<^ + |+ ~.
Тем самым, множества ^(.drMj) образуют конечное
покрытие множества t(A) и малы порядка В'0,
80 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
Следствие 1. Пусть (?,?')— дуальная пара.
Каждое А?Л предкомпактно в топологии <А'-сходи-
<А'-сходимости тогда и только тогда, когда каждое А'^Л'
предкомпактно в топологии Л-сходимости.
Следствие 2. Выпуклая оболочка, абсолютно
выпуклая оболочка и замкнутая абсолютно выпуклая
оболочка предкомпактного подмножества отделимого
локально выпуклого пространства предкомпактны.
Доказательство. Пусть Л — множество всех
предкомпактных подмножеств пространства Е, $ —
множество их абсолютно выпуклых оболочек и Л' —
множество всех равностепенно непрерывных подмно-
подмножеств сопряженного пространства Е'. Тогда каждое
А € Л предкомпактно в топологии с^'-сходимости и
потому, в силу следствия 1, каждое А' 6 Л' предком-
предкомпактно в топологии l>?-сходимости, а значит, и в то-
топологии ^"-сходимости, ибо эти топологии совпадают.
Следовательно, снова в силу следствия 1, каждое
В 6 98 предкомпактно в топологии с^'-сходимости, т. е.
является предкомпактным множеством в Е. Два дру-
других утверждения вытекают теперь из леммы 3A)
и (II).
4. Компактные множества. Во многих отношениях
роль, которую в конечномерном пространстве играют
ограниченные множества, при переходе к произволь-
произвольным локально выпуклым пространствам перенимает
не столько класс ограниченных множеств, сколько
скорее более узкий класс компактных множеств. Мы
определим их для общего топологического простран-
пространства.
Пусть Е — топологическое пространство и Л — его
подмножество. Множество *& подмножеств простран-
пространства Е называют покрытием множества А, если А со-
содержится в объединении множеств из %. Если при
этом все множества из ?" открыты, то % называют
открытым покрытием. Множество А называется ком-
компактным, если каждое его открытое покрытие содер-
содержит конечное подпокрытие. Очевидно, каждое конеч-
конечное множество компактно. То же верно для любого
множества, образованного сходящейся последователь-
4. Компактные множества 81
ностью и ее пределом (ибо любое открытое множе-
множество, содержащее предел, содержит все точки после-
последовательности, кроме конечного их числа).
В топологии, индуцированной из Е на любом его
подмножестве А, открытыми множествами служат пе-
пересечения с А открытых множеств из Е. Следователь-
Следовательно, А есть компактное подмножество в Е тогда
и только тогда, когда А — компактное подмножество
самого себя, наделенного индуцированной топологией.
Таким образом, компактность есть «внутреннее»
свойство множества в отличие, например, от свой-
свойства быть замкнутым.
Лемма 5. Пусть ? и г| — две топологии в одном
и том же пространстве и | мажорирует г| на множе-
множестве А. Если А ^-компактно,, то А также "^-компактно.
Доказательство. Справедливость этого
утверждения легко следует из того, что множество,
открытое в Л в топологии, индуцированной тополо-
топологией т|, открыто также в топологии, индуцированной
топологией ?.
Лемма 6. В топологическом пространстве
(I) объединение любого конечного числа компакт-
компактных множеств компактно;
(II) любое замкнутое подмножество компактного
множества компактно;
(III) любое компактное подмножество отделимого
пространства замкнуто.
Доказательство. Первое утверждение триви-
тривиально. (II) Если В— замкнутое подмножество ком-
компактного множества А и <? — открытое покрытие мно-
множества В, то^"и{С5} есть открытое покрытие мно-
множества А и потому обладает конечным подпокрытием,
возможно, содержащимС?; остальные его множества
образуют конечное подпокрытие покрытия <? множе-
множества В. (III) Пусть А компактно и а (? А. Так как
пространство отделимо, то для каждого х 6 А суще-
существуют непересекающиеся открытые множества Сх и
Вх, такие, что х€.Сх и а€.Вх. Множества Сх образуют
б Зак. 706
82 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
открытое покрытие множества А, и потому сущест-
существует конечное подпокрытие
{Сх;. 1 </<«}.
Тогда Р| BXi является окрестностью точки а, не
пересекающейся с А. Значит, а (? А и А замкнуто.
Предложение 7. Образ компактного множе-
множества при непрерывном отображении компактен.
Доказательство. Пусть А компактно. Про-
Прообраз открытого покрытия множества j(A) относи-
относительно непрерывного отображения f является откры-
открытым покрытием множества А и, значит, содержит ко-
конечное подпокрытие; соответствующие множества в
исходном открытом покрытии множества f(A) и обра-
образуют требуемое подпокрытие.
Следствие. Непрерывная вещественная функ-
функция на компактном множестве ограниченна и дости-
достигает на нем своих нижней и верхней граней.
Действительно, если А компактно и f непрерывно,
то f(A) —компактное множество вещественных чисел.
По лемме б (III) оно замкнуто. Оно также ограничен-
ограниченно, ибо каждая точка из /(Л) является центром откры-
открытого интервала единичной длины и уже конечное число
их покрывает /(^4). Следовательно, f ограниченна
на А. Пусть a = supf(A); тогда a^f(A)~f(A) и, зна-
значит, f достигает на А своей верхней грани. Аналогично
достигается и inff(A).
Предположим теперь, что Е — локально выпуклое
пространство. Из определений непосредственно сле-
следует, что компактное множество в Е предкомпактно и
тем самым по предложению 5 ограниченно. В самом
деле, если А компактно и U — любая открытая окрест-
окрестность, то {x + U: х? А} — открытое покрытие множе-
ства А и, значит, существует конечное число точек
Хи х2,... ,хп, таких, что Ac \J
4. Компактные множества 88
Лемма 7. В локально выпуклом') пространстве
(I) любое скалярное кратное компактного множе-
множества компактно;
(II) сумма любого конечного числа компактных
множеств компактна;
(III) сумма компактного и замкнутого множества
замкнута.
Доказательство. Первое утверждение триви-
тривиально. (II) Пусть А и В— компактные множества и
?" — открытое покрытие множества А + В. Для каж-
каждого х^А и каждого у?В существует открытая абсо-
абсолютно выпуклая окрестность начала U(x, у), для кото-
которой x+y+U(x,y) содержится в некотором множестве
из %'¦ При фиксированном * множества У H-tj-^C*» У)
образуют открытое покрытие множества В. Пусть
— конечное подпокрытие и
П
j
Тогда множества x + V(x) образуют открытое покры-
покрытие множества А; пусть
— конечное подпокрытие. Тогда
А+Вс (J (*,+У(*,)) +Дс
U U
и это последнее множество содержится в конечном
объединении множеств из <?» Таким образом, А+В
') И даже вообще топологическом векторном; см. [2]. ¦
Прим. ред.
6*
64 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
компактно. (III) Пусть А компактно, В замкнуто и
а(?А-\-В. Тогда для каждого х?А множество х+В
замкнуто, и, значит, существует открытая абсолютно
выпуклая окрестность U(x) начала, такая, что
a + U(x) не пересекает х+В и потому a(]rX-\-U(x)-\-B.
Множества х-f- -^ U (х) образуют открытое покрытие
компактного множества А. Пусть \ xt -f- у U (xt): 1 <
<;«<«> — конечное подпокрытие и
v= П
Тогда
и потому a ^t A + V+B. Значит, а + V не пересекается
с А+В, так что а^А + В. Следовательно, А+В
замкнуто.
Пусть Е — отделимое локально выпуклое про-
пространство. Множеством всех его компактных подмно-
подмножеств определяется топология равномерной сходимо-
сходимости в сопряженном пространстве Е', промежуточная
между о(Е',Е) и §{Е', Е). Если теперь множество Л
ограниченно (или предкомпактно), то его абсолютно
выпуклая оболочка также ограниченна (или пред-
компактна) по лемме 1 (или следствию 2 тео-
теоремы 3). Однако, вообще говоря, неверно, что
замкнутая абсолютно выпуклая оболочка компактно-
компактного множества компактна (по поводу важного специ-
специального случая, когда это все-таки верно, см. § 6,
следствие теоремы 5; см. также гл. VI, дополнение 4).
Оказывается, что особо важную роль играет тополо-
топология в Е' равномерной сходимости на всех абсолютно
выпуклых компактных множествах из Е. Для этих
множеств выполнены условия В1, В2 и ВЗ. Для В2
5. Фильтры 85
и ВЗ это очевидно. Чтобы показать, что условие В1
также выполнено, предположим, что А и В — абсо-
абсолютно выпуклые компактные множества из Е. Тогда
замкнутая абсолютно выпуклая оболочка их объеди-
объединения AUВ содержится в А + В и потому, в силу
лемм 6 (II) и 7, компактна. Мы можем теперь опи-
описать сопряженное к Е', наделенному топологией рав-
равномерной сходимости на всех абсолютно выпуклых
компактных множествах из Е. Прежде всего имеет
место
Лемма 8. Если А — абсолютно выпуклое ком-
компактное подмножество отделимого локально выпукло-
выпуклого пространства Е, то А°°=А (где биполяра взята в
пространстве Е'*).
Доказательство. По теореме 4 гл. II А°° есть
о(Е'*, ^-замыкание множества А. Но А компактно
в топологии g пространства Е; о(Е'*, Е') индуцирует
в Е топологию о(Е, Е'), мажорируемую топологией g,
так что А компактно также в топологии а(Е'*, Е')
(лемма 5). Следовательно, А а(Е'*, Е')-замкнуто
(лемма 6 (III)) и потому А°°=А.
Предложение 8. Пусть Е — отделимое локаль-
локально выпуклое пространство. Тогда сопряженное к Е',
наделенному топологией равномерной сходимости на
всех абсолютно выпуклых компактных множествах из
Е, совпадает с Е.
Доказательство. По предложению 2 сопря-
сопряженным к Е' служит (J А°°, но, в силу леммы 8,
у А°° = у А, а по свойству ВЗ \J А = Е.
А?
5. Фильтры. Последовательность (хп) в топологи-
топологическом пространстве называют сходящейся к точке а,
если для каждой окрестности U этой точки найдет-
найдется такое положительное целое k, что xndU для
всех ri^-k; в этом случае пишем хп—*а. Многие то-
топологические свойства метрических пространств
удобно описываются в терминах сходящихся
86 Гл. 111. Топологии в сопряженном пространстве
последовательностей. Например, а^А тогда и только
тогда, когда существует последовательность точек из
А, сходящаяся к а; отображение / непрерывно в точ-
точке а в том и только в том случае, если f(xn)-*f(a) при
хп ~* а. Однако эти свойства теряют силу для общих
топологических пространств, если только не обобщить
также понятие последовательности. Один из способов
такого обобщения основан на использовании понятия
фильтра.
Пусть Е— любое множество. Непустое множество
еГ непустых подмножеств из Е называют фильтром,
если оно удовлетворяет следующим условиям:
F1: если А^^Г и В^^Г, mo
F2: если А?<&~ и AczB, то
Например, пусть А — фиксированное подмножество
из Е; тогда множество всех подмножеств, содержа-
содержащих А, является фильтром. Более поучительным при-
примером фильтра служит множество всех окрестностей
фиксированной точки топологического пространства.
Подобно множеству всех окрестностей точки, фильтр
может порождаться базисом. Непустое множество 38
непустых подмножеств множества Е называют бази-
базисом фильтра, если оно обладает следующим свой-
свойством:
FB: для любых А ?38 и В ?38 существует такое
CZ.38, что СсАПВ.
Множество 4F всех подмножеств, каждое из кото-
которых содержит какое-нибудь множество из 3$', являет-
является тогда фильтром. Он называется фильтром, поро-
порожденным базисом 38.
Если f отображает Е в F и 38 — базис фильтра
(или фильтр) в Е, то /(J?) является базисом фильтра
в F (ибо f(Ar\B)cf(A) T\f(B)).
Пусть теперь Е — топологическое пространство.
Говорят, что фильтр (или базис фильтра) ^ сходит-
сходится к точке а, если каждая окрестность этой точки со-
содержит некоторое множество из <&". В этом случае мы
пишемо?"—>-а. Если of—фильтр (так что выполнено
условие F2), то <&~—* а в том и только в том случае,
если каждая окрестность точки а принадлежит <&".
5. Фильтры 87
Следовательно, если <&~~+а, то а?А для каждого
AZt&'.B самом деле, если U — окрестность точки а,
то <7€<^и потому UuA<i<f?~, в силу F1; значит,
11пАФ0, поскольку, как это было явно оговорено,
никакой фильтр не содержит пустого множества.
Предложение 9. В отделимом топологическом
пространстве фильтр может сходиться не более чем к
одной точке.
Доказательство. Предположим, что фильтр
^"сходится к двум различным точкам а и Ь. Посколь-
Поскольку пространство отделимо, существуют окрестность U
точки а и окрестность V точки Ь, не имеющие общих
точек. Но и?<&~, У?<&~, значит, по F1 также
0 =U()V?ъ?~, что невозможно.
Условие сходимости фильтра можно сформулиро-
сформулировать иначе. Пусть даны фильтры <&~ и ??; будем го-
говорить, что ^ мажорирует &, если ^cz^. Тогда
<f?~-+a в том и только в том случае, если <&~ мажори-
мажорирует фильтр окрестностей точки а. Если <&~ сходится
к а, то любой мажорирующий его фильтр также схо-
сходится к а и <ff остается сходящимся к а в любой бо-
более слабой топологии.
Мы должны теперь обосновать утверждение, что
фильтры служат обобщением последовательностей.
Переход от последовательности (хп) к фильтру осу-
осуществляется так: полагаем Xn={xt: С^-п}; тогда мно-
множества Хп образуют базис фильтра; порожденный
ими фильтр называется элементарным фильтром, ассо-
ассоциированным с данной последовательностью, и мы
получаем тот утешительный результат, что последо-
последовательность сходится к а тогда и только тогда, когда
ассоциированный с нею элементарный фильтр сходит-
сходится к а. Переход к мажорирующему фильтру аналоги-
аналогичен выбору подпоследовательности. Пусть S^ и ^ —
элементарные фильтры, ассоциированные с последо-
последовательностями (хп) и (г/n); если (хп)—подпоследо-
(хп)—подпоследовательность последовательности (уп), то &~ мажори-
мажорирует <??, Обратно, если ^ мажорирует %?', то последо-
последовательность (хп) есть почти что подпоследовательность
последовательности (уп)', говоря точнее, существует
88 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
такое целое k, что хп=уГ(П) для всех ri^-k, где
г(п) —> оо при п—юо.
Фильтр, не мажорируемый никаким отличным от
него фильтром, называют ультрафильтром.
Теорема 4. Каждый фильтр мажорируется неко-
некоторым ультрафильтром.
Доказательство. Применим аксиому макси-
максимальной цепи (гл. I, § 1) к множеству всех фильтров
в Е; если<^~—фильтр в Е, то (тривиальная) цепь}^}
содержится в максимальной цепи. Обозначим через <??
объединение всех фильтров этой максимальной цепи.
Легко проверить, что аксиомы фильтра F1 и F2 выпол-
выполнены для ??; далее, <?? мажорирует &Г\ наконец,
фильтр &, очевидно, максимален, ибо любой фильтр,
мажорирующий & и отличный от него, можно было
бы добавить к нашей максимальной цепи в противо-
противоречие с ее максимальностью.
Ультрафильтры обладают следующим полезным
свойством.
Предложение 10. Если <&~— ультрафильтр в Е
и AczE, то либо А?<&~, либо CA(&~
Доказательство. Если А(?&Г,то&Г не содер*
жит подмножеств из А, так что В Г\САФ0 для лки
бого В Co?"- Тогда множества ВГ\СА, где В пробегает
^.образуют базис фильтра, мажорирующего<&" и по*
тому совпадающего с ним. Следовательно, СА?&~
Следствие. Если <?Г— ультрафильтр и
U
то А{ €<^~ для некоторого L
Действительно, если это не так, то
каждого i и потому
U )(
Кп I \ 1<
= ( U А)п П (сл)б«г.
5. Фильтры 89
В терминах сходимости фильтров можно изящно
сформулировать условие компактности множества.
Предложение 11. Следующие условия для под-
подмножества А топологического пространства равно-
равносильны:
(I) А компактно;
(II) если пересечение семейства замкнутых непу-
непустых множеств не имеет с А общих точек, то и неко-
некоторое конечное подсемейство этого семейства обла-
обладает тем же свойством;
(III) каждый фильтр, 'содержащий А, мажорирует-
мажорируется фильтром, сходящимся к некоторой точке из А;
(IV) каждый ультрафильтр, содержащий А, схо-
сходится к некоторой точке из А.
Доказательство. Равносильность условий (I)
и (II) доказывается переходом к дополнениям. Оче-
Очевидно, (III) влечет (IV) и по теореме 4 (IV) вле-
влечет (III).
Предположим, что выполнено условие (II) и <&~—
фильтр, содержащий А. Тогда существует такая точка
а ?Л, что
«6 П
Действительно, в противном случае по условию (II)
для некоторого конечного семейства множеств
^1. В2,... ,Вп из of будем иметь
1 < / < я
что невозможно, поскольку )
Но теперь каждая окрестность U точки а пересекает-
пересекается с каждым В?а?~.Тем самым множества UUB об«
разуют базис фильтра, мажорирующего как фильтр of,
так и фильтр окрестностей точки а, т. е. являющегося
фильтром, мажорирующим <&" и сходящимся к точке
а?А. Обратно, пусть выполнено условие (III) и
90 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
{By) — семейство замкнутых множеств, такое, что
i
для любого его конечного подсемейства {^Y(ob<<<n
Тогда множества А[\ f] ByU) образуют базис
фильтра, содержащего А. Значит, по условию (III)
существует мажорирующий фильтр, сходящийся к
точке а<сА, так что adBy=By для каждого у и, сле-
следовательно,
Ап()ВуФ0.
v
Следствие. Если & — цепь замкнутых непустых
подмножеств компактного множества A, Tof\ С Ф 0.
Это вытекает из условия (II), поскольку пересе-
пересечение любого конечного числа множеств цепи совпа-
совпадает с наименьшим из этих множеств.
6. Полнота. Вернемся теперь к изучению локально
выпуклых пространств. Фильтр <3~ в локально выпук-
выпуклом пространстве называется фильтром Коши, если
для каждой окрестности U он содержит множество,
малое порядка U, Каждый сходящийся фильтр яв-
является фильтром Коши, ибо если $~-+ а и [/—абсо-
[/—абсолютно выпуклая окрестность, то существует такое
Л?о^", что Аса-\--^U, а тогда А мало порядка U.
Если, обратно, каждый фильтр Коши в Е сходится,
то пространство Е называют полным. Более общим
образом, подмножество А пространства Е называется
полным, если каждый фильтр Коши, содержащий А,
сходится к некоторой точке из Л. В силу теоремы 4,
для полноты множества достаточно, чтобы это усло-
условие было выполнено для ультрафильтров Коши.
Лемма 9. (I) Любое скалярное кратное и любое
замкнутое подмножество полного множества полны;
(II) объединение любого конечного семейства пол-
полных множеств полно;
6. Полнота 91
(III) полное подмножество отделимого простран-
пространства замкнуто.
Доказательство. (I) Первая часть очевидна.
А если А полно и В — его замкнутое подмножество,
то фильтр Коши о?", содержащий В, содержит и А;
значит, <&~-+ ad А; но В?^", а потому а?в=В.
(II) Это утверждение вытекает из следствия предло-
предложения 10. (III) Пусть А полно. Если ad А, то множе-
множества (a + U) ПЛ, где U — окрестности начала, обра-
образуют базис фильтра <^", сходящегося к точке а. Тогда
<^~есть фильтр Коши, и так как А?$', то <&" схо-
сходится к некоторой точке из А. Но эта точка должна
совпадать с а, поскольку пространство отделимо
(предложение 9). Тем самым ad А и А замкнуто.
Полнота — это как раз то свойство, которое
требуется для того, чтобы предкомпактное множество
было компактным. Прежде всего имеем следующую
параллель предложению 11:
Лемма 10. Следующие условия на подмноже-
подмножество А локально выпуклого пространства равно-
равносильны:
(I) А предкомпактно;
(II) каждый фильтр, содержащий А, мажорирует-
мажорируется некоторым фильтром Коши;
(III) каждый ультрафильтр, содержащий А, есть
фильтр Коши.
Доказательство. Равносильность условий (II)
и (III) вытекает из теоремы 4. Предположим, что мно-
множество А предкомпактно, и пусть <§Г—ультрафильтр,
содержащий А. Какова бы ни была окрестность U,
(J
где каждое At мало порядка U. Тогда по следствию
предложения 10 хотя бы одно из множеств А; при-
принадлежит <>Г, так что ъГ—фильтр Коши. Предполо-
Предположим, наконец, что условие (II) выполнено, но А не
предкомпактно. Тогда существует такая окрестность
U, что А нельзя покрыть конечным числом множеств,
92 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
малых порядка U. Следовательно, множества
А П (СВ), где В пробегает все подмножества из ^об-
^обладающие конечным покрытием множествами, малыми
порядка U, образуют базис фильтра <f?~, содержа-
содержащего А. Тогда по условию (II) <&~ мажорируется не-
некоторым фильтром Коши <??. Будучи фильтром Коши,
о? содержит множество С, малое порядка U. Но
тогда ЛП(СС)^«Ги потому СС?<&~с:??, откуда
что невозможно.
Теорема 5. Подмножество локально выпуклого
пространства компактно тогда и только тогда, когда
оно предкомпактно и полно.
Доказательство. Компактность полного пред-
компактного множества следует из предложения II и
леммы 10. Обратно, в силу определений компактности
и предкомпактности, компактное множество заведомо
предкомпактно, а его полнота вытекает из предложе-
предложения 11.
Следствие. Замкнутая (абсолютно) выпуклая
оболочка компактного подмножества полного локаль-
локально выпуклого пространства компактна.
В самом деле, она предкомпактна (следствие 2
теоремы 3) и-полна (лемма 9 (I)).
Понятие фильтра Коши, конечно, не может быть
не связано с хорошо известным понятием последова-
последовательности Коши в метрическом пространстве (где
(хп) называется последовательностью Коши, если
d(xn, xm) —*-0 при п,пг—*оо). Последнее действитель-
действительно может быть обобщено на более широкие классы
топологических пространств; в частности, последова-
последовательность (хп) в локально выпуклом пространстве
называется последовательностью Коши, если для ка-
каждой окрестности U существует такое k, что хп — хт?.
6 U для всех rC^-k и rrC&k. При таком определении
последовательность является последовательностью Ко-
Коши в том и только в том случае, если ассоциирован-
ассоциированный с нею элементарный фильтр есть фильтр Коши.
6. Полнота 93
Предложение 12. В метризуемом локально вы-
выпуклом пространстве множество А полно тогда и толь-
только тогда, когда каждая последовательность Коши то-
точек из А сходится к точке из А.
Доказательство. Очевидно, полнота влечет
сходимость каждой последовательности Коши. Обрат-
Обратно, пусть е?~—фильтр Коши, содержащий А. Для ка-
каждого п существует множество Ап^<&~z диаметром
d(An)<l/n. Пусть а„?Л„ПЛ. Тогда (а„) есть после-
последовательность Коши и потому сходится к некоторой
точке а?Л. Любая окрестность этой точки содержит
некоторое А» и потому &Г-+а. Следовательно, А
полно.
Полные метризуемые локально выпуклые про-
пространства называются пространствами Фреше; пол-
полные нормированные пространства — банаховыми про-
пространствами (см. гл. VI, § 3).
По классическому принципу сходимости Коши поле
вещественных или комплексных чисел полно. Из тео-
теоремы 5 можно теперь вывести тот хорошо известный
факт, что множество вещественных или комплексных
чисел компактно тогда и только тогда, когда оно
замкнуто и ограниченно. Ибо оно полно тогда и толь-
только тогда, когда замкнуто (лемма 9 (I), (III)), а пред-
компактность, очевидно, равносильна ограниченности.
Мы можем также доказать полноту другого важ-
важного локально выпуклого пространства. Однако заме-
заметим сначала, что понятие сходимости фильтра в ло-
локально выпуклом пространстве позволяет оправдать
употребление термина «топология равномерной схо-
сходимости» (см. § 2). Предположим, что (Е, Е)— дуаль-
дуальная пара и Е' наделено топологией, определяемой
множеством Л ограниченных подмножеств из Е.
Пусть <&"' — фильтр в Е'. Тогда <&~'-+а'? Е' в том
и только в том случае, когда {х,^') —> (х, а') равно-
равномерно на каждом А^Л. В частности,&?"'—> а' в топо-
топологии о{Е',Е) в том и только в том случае, когда
{х, &')-^(х, а')
для каждого х?Е. Теперь можно доказать
94 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
Предложение 13. Пространство Е* полно в то-
топологии о(Е*, Е).
Доказательство. Пусть е?~*— фильтр Коши
в Е*. Тогда для каждого х?Е и каждого е>0 сущест-
существует А*?<&~* такое, что множество (х, А*) имеет
диаметр, меньший, чем е. Следовательно, (х,^~*) —
базис фильтра Коши в поле скаляров. Поскольку оно
полно, существует }(х), такое, что
(х, &-*)-+f(x).
Покажем, что / есть линейная форма на Е. Для лю-
любых х,у?Е и е>0 существуют множество Л*6<^~*
такое, что \{х, х*)—/ (х) | < -^ е для всех х*?А*,
и множество В* €<^~*, такое, что | {у, х*) — f(y) | <-je
для всех х*?В*. Тогда С* = Л*ПВ*€<^'* и
\{х+у, х*) - (f(x) +f(y))\<e для всех хЧС*. Сле-
Следовательно, {x+y,<!F*)-+f(x)+f(y), т.е. f(x +'y) =
= f(x)+f(y). Аналогично доказывается, что fCkx) =
=Xf(x). Значит, существует такое х*?Е*, что
{х, <&~*) —> {х, х*) для всех х?Е. Тем самым &"*->
-> х* в топологии о(Е*, Е).
7. Теорема Макки г— Аренса. Две теоремы этого па-
параграфа имеют фундаментальное значение в теории
локально выпуклых пространств.
Теорема 6. Если Е — отделимое локально вы-
выпуклое пространство с сопряженным Е', то поляра
U° каждой окрестности начала U а{Е', Е)-компактна.
Доказательство. Наделим Е* топологией
а(Е*, Е). Поскольку 11 — поглощающее множество в
Е, U° а{Е*, Е) -ограниченно и потому предкомпактно
(предложение 6). Далее, Е* полно (предложение 13),
a U° замкнуто (гл. II, предложение 9 A))> поэтому
U° полно (лемма 9 (I)). Следовательно, 0° компакт-
компактно (теорема 5). Но U°aE'y а топологии о(Е', Е) и
а(Е*, Е) в Е' совпадают, значит, U° a(E't Е)-ком
пактно (лемма 5),
7. Теорема Макки — Аренса 95
Следствие 1. Если в предположениях теоремы 6
множество А' равностепенно непрерывно, то А'
а(Е', Е) -компактно.
Следствие 2. Единичный шар пространства Е',
сопряженного к нормированному пространству Е,
а(Е', Е) -компактен.
Действительно, он является полярой единичного
шара из Е.
Теорема 7 (Макки — Аренса). Пусть (Е, Е') —
дуальная пара. Для того чтобы отделимая локально
выпуклая топология | в Е согласовывалась с двой-
двойственностью между Е и Е', необходимо и достаточно,
чтобы | была топологией равномерной сходимости на
какой-нибудь совокупности абсолютно выпуклых
a(Er, E) -компактных множеств из Е'.
Доказательство. Если Е, наделенное топо-
топологией |, имеет своим сопряженным Е', то | есть
топология равномерной сходимости на множествах
11°, где U пробегает |-окрестности начала; но каждое
U° абсолютно выпукло и по теореме 6 а (Е',Е) -ком-
-компактно.
Обратно, если | — топология равномерной сходи-
сходимости на какой-то совокупности абсолютно выпуклых
а(Е\ Е)-компактных множеств из Е', то предложе-
предложение 8, если поменять в нем ролями Е и Е' и считать
Е' наделенным топологией а(Е', Е), показывает, что
сопряженное к Е совпадает с Е'.
Из теоремы Макки — Аренса следует, что среди
топологий, согласующихся с двойственностью между
Е и Е', имеется сильнейшая, а именно топология рав-
равномерной сходимости на всех абсолютно выпуклых
а(Е', Е) -компактных множествах из Е'. Эта тополо-
топология будет обозначаться х(Е, Е') и иногда называться
топологией Макки. Очевидно, она мажорируется то-
топологией р (Е, Е')—сильнейшей топологией равно-
равномерной сходимости; если пространством, сопряжен-
сопряженным к Е, наделенному топологией р(?, Е),служитЕ',
то E(?, Е') совпадает с х{Е, Е').
Предложением 13 гл. II было установлено, что
непрерывное линейное отображение также слабо не-
96 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
прерывно. Обещанное там неполное обращение этого
предложения таково:
Предложение 14. Если Е и F — отделимые ло-
локально выпуклые пространства и топология простран-
пространства Е совпадает с х(Е,Е'), то каждое слабо непре-
непрерывное линейное отображение Е в F непрерывно так-
также в исходных топологиях.
Доказательство. Пусть У —замкнутая абсо-
абсолютно выпуклая окрестность нуля в F. По теореме 6
Vю является a(F', F)-компактным. Так как сопряжен-
сопряженное t' к слабо непрерывному линейному отображе-
отображению / слабо непрерывно (гл. II, следствие предложе-
предложения 12), то множество t'(Vю) является а(Е', /^-ком-
/^-компактным (предложение 7) и, значит, его поляра в
Е является окрестностью в топологии х(Е, Е'). Но по
лемме G гл. II, если поменять в ней / и f ролями,
имеем (t/(V°))°=t-i(V°°)=t'l(V), поскольку V замк-
замкнута и абсолютно выпукла. Тем самым t непрерывно.
Дополнения
A) Полнота некоторых пространств. Многие из
пространств, перечисленных в дополнениях к гл. I,
полны.
Если S — отделимое компактное или локально
компактное пространство, то пространство C(S), на-
наделенное топологией компактной сходимости (гл. I,
дополнения 2а и 26) полно. (В самом деле, последо-
последовательность или фильтр Коши сходится к некоторой
функции равномерно на каждом компактном множе-
множестве и тем самым равномерно в некоторой окрестности
каждой точки локально компактного пространства S.
Следовательно, предельная функция непрерывна.)
Если S — отделимое локально компактное про-
пространство, являющееся объединением последователь-
последовательности своих компактных подмножеств (но само не
компактное), то пространство&>f(S), наделенное то-
топологией индуктивного предела, полно. (Ибо аТE)
является тогда строгим индуктивным пределом после-
последовательности полных пространств; см. гл. VII, пред-
предложение 3.) С другой стороны, <Jf(S) не полно в то-
Дополнения 97
пологий равномерной сходимости; его пополнение
(см. гл. VI, § 1) есть пространство всех непрерывных
функций, обращающихся в нуль на бесконечности.
(Непрерывная функция х обращается в нуль на бес-
бесконечности, если для каждого е>0 существует ком-
компактное множество А, такое, что |х(/)|<е для всех
/6СЛ.)-
Пространства 3, Ж и ?Р бесконечно дифференци-
дифференцируемых функций (гл. I, дополнение 3) полны; тем
самым Ж и ^ — пространства Фреше.
Полнота пространства $& (D) голоморфных функ-
функций (гл. I, дополнение 4) следует из теоремы Вейер-
штрасса или теоремы Морера, обратной к теореме
Коши. В самом деле, последовательность Коши голо-
голоморфных функций сходится равномерно на каждом
компактном множестве к функции, во всяком случае
непрерывной, и потому, в силу любой из указанных
теорем, также голоморфной. Таким образом, &в(р) —
тоже пространство Фреше.
Все нормированные пространства последователь-
последовательностей и интегрируемых функций, приведенные в до-
дополнениях 5 и 6 к главе I, полны. (Полнота простран-
пространства L2 составляет содержание теоремы Рисса — Фи-
Фишера; см. [10], гл II, § 28.)
B) Сильнейшая локально выпуклая топология.
Сильнейшая локально выпуклая топология (гл. I, до-
дополнение 8) в векторном пространстве Е есть не что
иное, как топология х(Е, Е*), ибо сопряженным про-
пространством служит Е* (гл. II, дополнение 7). Только
конечномерные множества в Е могут быть ограничен-
ограниченными. (В самом деле, пусть (х„) — бесконечная по-
последовательность линейно независимых элементов;
дополним ее до базиса В; далее, определим х* усло-
условиями (хп, х*)=п (я=1, 2, ...), (х, х*) = 0 для всех
остальных xd В и распространим по линейности на
все пространство. Тогда х* € Е* будет неограничен-
неограниченной на (хп), и потому (хп)—неограниченным мно-
множеством.) Следовательно, все топологии равномер-
равномерной сходимости в Е* совпадают. В частности,
р(Я*, Е) = г{Е*,Е) = о{Е*,Е). При этом Е, наделен-
наделенное топологией х(Е, Е*), может быть нормирован-
7 Зак. 706
98 Гл. III. Топологии в сопряженном пространстве
ным, только когда оно конечномерно. Пространство Е
в топологии х(Е, Е*) полно (см. гл. V, дополнение 1
и предложение 23; в рассматриваемом частном
случае доказательство можно провести более прямым
и в деталях более простым путем, однако по суще-
существу тем же методом).
C) Теорема Тихонова. Теорему 6 можно доказать
другим способом, основывающимся на теореме Тихо-
Тихонова, по которой произведение компактных про-
пространств компактно (см. Н. Бур бак и, Общая топо-
топология, гл. 1, § 10, теорема 3). А именно, если (Е, Е') —
дуальная пара, то Е', наделенное топологией а(Е', Е),
можно рассматривать как подпространство произве-
произведения ФЕ (см, гл. V, дополнение 1). Для каждой аб-
абсолютно выпуклой окрестности U из Е с калибровоч-
калибровочной функцией р множество всех тех ф 6 ФЕ, у которых
1фМ |^=-рМ Для всякого x?U, является произведе-
произведением единичных" отрезков (или кругов) (по одному для
каждого х) и, значит, по теореме Тихонова компакт-
компактно. Далее, ф линейна в том и только в том случае,
если
t (ф) = ф {%х + \iy) — Ц> {х) — да {у) = 0
для любых х, yd E и К, fx€ Ф. Поскольку каждая та-
такая функция t непрерывна, подмножество в ФЕ, обра-
образованное всеми линейными формами на Е, являет-
является пересечением замкнутых множеств t~l @) и по-
потому замкнуто. Следовательно, U" есть замкнутое
подмножество компактного множества и потому ком-
компактно (в топологии произведения ФЕ, а, значит,
также в топологии а(Е', Е)).
ГЛАВА IV
БОЧЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И
ТЕОРЕМА БАНАХА - ШТЕЙНГАУЗА
Одна из сильнейших теорем функционального
анализа, теорема Банаха — Штейнгауза, утверждает,
что множество непрерывных линейных отображений,
ограниченное в каждой точке банахова пространства,
равномерно ограниченно на единичном шаре. Этот
принцип настолько важен, что локально выпуклые
пространства, на которые он еще допускает естествен-
естественное распространение, заслуживают специального изу-
изучения. Это бочечные пространства, вводимые и опи-
описываемые в первом параграфе этой главы, следую-
следующий же параграф содержит справедливый для них
принцип равномерной ограниченности (теорема 3).
Из этого принципа и теоремы 2, утверждающей, что
каждое пространство Фреше бочечно, вновь следует
упомянутая теорема Банаха — Штейнгауза. Как мы
увидим в последующих главах, понятие бочечного
пространства полезно также во многих других отно-
отношениях; оно естественно появляется и при изучении
рефлексивности в последнем параграфе этой главы.
1. Бочечные пространства. Бочкой в локально вы-
выпуклом пространстве называется всякое его абсолют-
абсолютно выпуклое, поглощающее и замкнутое подмноже-
подмножество. Каждое локально выпуклое пространство имеет
базис окрестностей, состоящий из бочек. Локально
выпуклое пространство называется бочечным, если
каждая бочка в нем является окрестностью.
Если (Е, Е') —дуальная пара, то, в силу пред-
предложения 8 гл. II, абсолютно выпуклые множества в Е
имеют одно и то же замыкание во всех топологиях,
согласующихся с двойственностью между Е и Е', так
что свойство быть бочкой в Е зависит только от
дуальной пары {Е, Е').
7*
100 Гл. IV. Бочечные пространства
Предложение 1. Пусть Е— отделимое локаль-
локально выпуклое пространство и Е' — его сопряженное.
Множество ВаЕ является бочкой тогда и только то-
тогда, когда оно служит полярой о(Е', Е)-ограничен-
Е)-ограниченного множества из Е'.
Доказательство. Поляра о(Е', Е)-ограничен-
Е)-ограниченного множества есть абсолютно выпуклое, замкнутое
(гл. II, предложения 9 и 8) и поглощающее (гл. III,
лемма 2) множество. Обратно, если В — бочка, то
В = В°° (гл. II, следствие 1 теоремы 4), а потому
В° а(Е', Е)-ограниченно (гл. III, лемма 2).
Следствие 1. Отделимое локально выпуклое
пространство Е с сопряженным Е' бочечно тогда и
только тогда, когда каждое а(Е\ Е)-ограниченное
множество в Е' равностепенно непрерывно, т. е. тогда
и только тогда, когда топология пространства Е сов-
совпадает с р(?, ?')•
Следствие 2. Топология отделимого бочечного
пространства Е с сопряженным Е' совпадает с
х(Е, Е').
Действительно, тогда топология р(?, Е') согла-
согласуется с двойственностью между Е и Е'.
Следствие 3. Если Е — отделимое бочечное про-
пространство, то замкнутая (абсолютно) выпуклая обо-
оболочка каждого о(Е', Е)-компактного подмножества
сопряженного пространства Е' является а(Е', Е)-
компактной.
В самом деле, абсолютно выпуклая оболочка
а{Е', Е)-компактного множества а(Е', Е)-ограничен-
Е)-ограниченна и, значит, равностепенно непрерывна (следствие 1);
поэтому ее замыкание и любое его замкнутое подмно-
подмножество о{Е', Е) -компактно.
Лемма 1. В локально выпуклом пространстве
бочка поглощает любое выпуклое компактное мно-
множество.
Доказательство. Пусть В — бочка и Л — вы-
выпуклое компактное множество. Достаточно доказать
существование натурального числа п, окрестности U
/. Бочечные пространства 101
и точки х?А, таких, что
An(x-\-U)cznB, т. е. (Л — x){\Uc:nB — х.
Действительно, множество А — х ограниченно, так
что А—л:с=Ш для некоторого Я>1; далее, 06 Л—х
и потому Л — x<z.k(A — х). Следовательно, тогда
А — х а к (А — х) П Шс Я. (пВ — х),
откуда
Л с: ЫВ — (X — 1) х с. \i,B
для некоторого ц, поскольку В — поглощающее мно-
множество.
Предположим теперь, что не существует таких п,
U и х, которые бы удовлетворяли условию
Л Г) (x+U) с=пБ. Тогда, если взять п=\, для любого
лго?Л и любой открытой окрестности Uo будет суще-
существовать точка
x1?A[](x0-irUQ)[]CB.
Но множество (xo+Uo) П СВ открыто и потому суще-
существует открытая окрестность Uu такая, что Xi+Uic
<z(xo+.Uo) ПСВ.'Возьмем п = 2, х=хг и U=Uu тогда
существует точка х2? Л Г) (xt + Ui) П(С2Б). Но мно-
множество (Xi + Ui) П (С2Б) открыто и потому суще-
существует открытая окрестность U2, такая, что X2+.U2c
aiXi+Ui) П(С2Б). Возьмем п=3, х=х2, и = и2ит.д.
Тогда (Л П (xn + Un)) будет убывающей последова-
последовательностью непустых замкнутых множеств. Посколь-
Поскольку Л компактно, у этих множеств есть общая точка
а?А (гл. III, предложение 11). Для каждого п имеем
тогда а (? пВ, так что множество В — не поглощаю-
поглощающее, и мы пришли к противоречию.
Следствие. В отделимом локально выпуклом
пространстве бочка поглощает каждое полное выпук-
выпуклое ограниченное множество.
Доказательство. Пусть Л — полное выпуклое
ограниченное множество и В — бочка. Если а€ А и В
не поглощает множества А0=А—а, то в Ло
102 Гл. IV. Бочечные пространства
существует последовательность (хп) точек, таких, что
х„(? п2В, и, значит, последовательность {п-1хп) не по-
поглощается множеством В. Но п~ххп —* 0, ибо для лю-
любой окрестности U существует такое т>0, что
A, а потому ггххп (Е U для всех rC^-m. Следова-
Следовах
тельно, множество, состоящее из всех точек пгххп и
точки 0, (пред) компактно, и потому его замкнутая
выпуклая оболочка С предкомпактна (гл. III, след-
следствие 2 теоремы 3). Поскольку С — замкнутое под-
подмножество в Ао, оно полно и потому компактно. Но С
не поглощается множеством В, что противоречит лем-
лемме. Таким образом, В поглощает Ао, а следователь-
следовательно, и А.
Теорема 1. Для всех топологий в Е, согласую-
согласующихся с заданной двойственностью между Е и Е',
ограниченные множества одни и те же.
Доказательство. Если | — топология в Е, со-
согласующаяся с двойственностью между Е и Е', то
^-ограниченные множества заведомо а(Е, Е') -ограни-
-ограниченны. Обратно, пусть А есть а(Е, Е')-ограниченное
множество и О — замкнутая абсолютно выпуклая
g-окрестность. В силу предложения 1, А° — бочка в Е'
(наделенном топологией а(Е', Е)). С другой стороны,
U° абсолютно выпукло и а(Е', Е)-компактно (гл. III,
теорема 6). Следовательно, А° поглощает U° (лем-
(лемма 1). Тогда (гл. II, предложение 9) U°° поглощает
А°°. Но Uoo-U (гл. II, следствие 1 теоремы 4) и
АсА°°. Следовательно, U поглощает А, т. е. А
|-ограниченно.
Следствие. Топология | метризуемого локально
выпуклого пространства Е с сопряженным Е' совпа-
совпадает с х(Е, Е').
Доказательство. Пусть (?/„) —базис окрест-
окрестностей в метризуемой топологии |, такой, что Un+icz.
cUn для всех п, и V — произвольная х(Е, ?')-окрест-
ность. Если V — не g-окрестность, то существуют точ-
точки xn?Un, такие, что xn(?nV. Тогда последователь-
последовательность (хп) будет |-ограниченна (ибо хп-*0 в топо-
2. Топологии в пространствах линейных отображений 103
логии |) и, значит, по теореме 1 х(Е, Е')-ограничен-
Е')-ограниченна. Поэтому существует ц>0, такое, что xn?XV для
всех п и всех Я с |Я|^-[г, и мы пришли к противо-
противоречию.
Другим следствием этой георемы является то, что
нормированная топология пространства Е', сопряжен-
сопряженного к нормированному пространству Е, совпадает с
р(?', Е) (см. гл. III, §2).
Теорема 2. Каждое пространство Фреше (т. е.
полное метризуемое локально выпуклое пространство)
бочечно. В частности, каждое банахово пространство
бочечно.
Доказательство. Пусть (Un) —базис окрест-
окрестностей, такой, что Un+iczUn для всех п, и В — бочка
в Е. Если В не является окрестностью, то существует
последовательность (хп), такая, что л;„? ?/„, но
хп^пВ. Тогда хп —> 0, так что множество А = (хп)[}
U{0} компактно. Поэтому и его замкнутая выпуклая
оболочка компактна (гл. III, следствие теоремы 5)
и, значит, по лемме 1 поглощается множеством В.
Таким образом, существует Х>0, такое, что хп? ХВ
для всех п, и мы пришли к противоречию.
В дальнейшем мы познакомимся и с другими бо-
бочечными пространствами (гл. V, предложения 6, 10
и 27).
2. Топологии в пространствах линейных отобра-
отображений. Пусть Е и F — локально выпуклые простран-
пространства над одним и тем же (вещественным или комп-
комплексным) полем ф и L — векторное пространство
всех непрерывных линейных отображений простран-
пространства Е в F. Метод, использованный в гл. III для то-
пологизации сопряженного пространства Е' (частного
случая пространства L при ^ = Ф), допускает распро-
распространение на L. Пусть JL — произвольное множество
ограниченных множеств из Е и У — базис абсолютно
выпуклых окрестностей в F. Для каждого A^ji и
каждого V?7* положим WAtV={(: t(A)czV). Тогда
Wa, v абсолютно выпукло и притом поглощающее,
ибо если t$. L, то t(A) ограниченно (гл. Ill, предло-
104 Гл. IV. Бочечные пространства
жение 1) и потому существует А,>0, такое, что t{A)a
czkV, откуда /QfA,7- Поэтому множества WAt v
(A(zut, V'€7°) определяют в L локально выпуклую
топологию. Если, как обычно, JL удовлетворяет усло-
условиям Bl, B2 и ВЗ (гл. III, § 2), то множества WA,v
образуют базис окрестностей и топология отделима,
когда отделимо F. Эта топология называется топо-
топологией (А-сходимости, или топологией равномерной
сходимости на множествах изс^.
Для каждого А^Л и каждой непрерывной пред-
нормы q на F положим
qA(t) = sup
Тогда qA — непрерывная преднорма на L, и эти пред-
нормы определяют топологию Л -сходимости.
Множество Tab ограниченно в топологии с^-схо-
димости тогда и только тогда, когда (I t (А) ограни-
(ЧТ
ченно в F для каждого А 6 Л (ибо TaXWA>v тогда
и только тогда, когда \\t(A)c:kV).
Слабейшая топология Л -сходимости получается,
если в качестве <А взято множество всех конечных
подмножеств пространства Е; она называется топо-
топологией поточечной сходимости. Множество Т пото-
поточечно ограниченно тогда и только тогда, когда Т(х) =
= {t(x); t?T} ограниченно для каждого х?Е. Силь-
Сильнейшая топология с^-сходимости получается, если в
качестве JL взято множество всех ограниченных под-
подмножеств пространства Е. Если Е и F — нормирован-
нормированные пространства, то эта топология — также норми-
нормируемая с нормой
Равностепенно непрерывное множество TaL огра-
ограниченно в любой топологии JL -сходимости. В самом
деле, для каждой окрестности V из F существует
окрестность U в Е, такая, что t(U) aV для всех t? T;
если A(z<A, то существует а>0, такое, что AaW для
всех К с |А,|>а. Тогда t(A)akV для всех к с |А,|>а.
Обратно:
2. Топологии в пространствах линейных отображений 105
Теорема 3. Пусть Е — бочечное и F — локально
выпуклое пространства. Тогда всякое поточечно огра-
ограниченное множество непрерывных линейных отобра-
отображений Е в F равностепенно непрерывно.
Доказательство. Пусть Т — поточечно огра-
ограниченное множество непрерывных линейных отобра-
отображений. Для замкнутой абсолютно выпуклой окрест-
окрестности V из F положим 5= [\t~l (V). Множество В
абсолютно выпукло и замкнуто. Кроме того, оно по-
поглощающее, ибо множество Т(х) для каждого х?Е
ограниченно и потому существует такое А, что T(x)cz
czXV, а тогда xdXB. Следовательно, В — бочка в бо-
бочечном пространстве Е и тем самым окрестность. Но
t(B)czV для всех t? Т и, значит, Т равностепенно не-
непрерывно.
Беря в качестве F поле скаляров, заключаем из
следствия 1 предложения 1, что теорема 3 может быть
верна, только когда Е бочечно.
Следствие 1. Пусть Е — бочечное и F — отде-
отделимое локально выпуклые пространства. Если последо-
последовательность (tn) непрерывных линейных отображений
Е в F поточечно сходится к to, то t0 есть непрерыв-
непрерывное линейное отображение и сходимость равномерна
на каждом предкомпактном множестве из Е.
Доказательство. Множество {tn(x)} ограни-
ограниченно для каждого xdE, и потому {tn) равностепенно
непрерывно. Следовательно, для каждой замкнутой
абсолютно выпуклой окрестности V из F существует
окрестность U в Е, такая, что tn(U)cV для всех п.
Тогда для всех х? U имеем
Таким образом, t0 непрерывно (и, очевидно, линейно).
Пусть А — предкомпактное множество. Суще-
Существуют точки хи х2, ..., Хк, такие, что
106 Гл. IV. Бочечные пространства
и натуральные числа щ, такие, что /„(л:г) — t0 (л:,-) ?
f -5- V для всех п^щ. Пусть fto= max я.-. Тогда
для каждого х € Л существует такое t, что л: — л:,- ? -д-?/,
и если n>n0, то
*« W-^о(х) = ta(x — х,) + (/„(xt)- /0(л,-))-
так что сходимость на А равномерна.
Следствие 2. Пусть Е — банахово простран-
пространство, F — нормированное пространство и Т — множе-
множество непрерывных линейных отображений Е в F. Если
sup||t(x)||< оо
для каждого х 6 Е, то
sup || / К оо.
Если tn(x) ->/0(х) для каждого х?Е, то t0 — непре-
непрерывное линейное отображение.
Действительно, банахово пространство бочечно
(теорема 2).
3. Второе сопряженное и рефлексивность. Изучая
в гл. III топологии равномерной сходимости, мы по-
показали, что для каждой дуальной пары (Е, Е') су-
существует сильнейшая топология равномерной сходи-
сходимости в Е', а именно сильная топология р(?', Е),
Это топология равномерной сходимости на всех ог-
ограниченных множествах из Е. (После теоремы 1 нет
необходимости уточнять, в какой именно топологии
в Е, согласующейся с двойственностью, все эти мно-
множества ограниченны.) Пространство Е", сопряженное
к Е', наделенному этой топологией, называют вторым
сопряженным к Е; оно является объединением
а(Е'*, Е')-замыканий всех ограниченных множеств
из Е (гл. III, предложение 2). Сопряженное к Е', на-
наделенному любой топологией равномерной сходимо-
сходимости, заключено между Е и Е'\
3. Второе сопряженное и рефлексивность 107
Поскольку (f, E") — дуальная пара, простран-
пространство Е" можно наделять различными топологиями
равномерной сходимости; сильнейшей среди них яв-
является ${Е", Е') —топология равномерной сходимости
на всех а(Е', ?")-ограниченных (или, что равносильно
этому, р(?', ^-ограниченных) множествах из Е'. Мы
будем называть эти множества сильно ограниченными
множествами в Е', чтобы отличить их от а (Е', Е) -огра-
-ограниченных множеств, которые будут называться слабо
ограниченными. Так как о{Е', Е") мажорирует
о(Е', Е), то каждое сильно ограниченное множество
слабо ограниченно; однако вообще эти два класса
множеств различны. Сильно ограниченные множества
в Е' допускают следующее простое описание.
Лемма 2. Пусть (Е, Е') — дуальная пара. Мно-
Множество A'czE' сильно ограниченно тогда и только то-
тогда, когда его поляра А'° в Е поглощает каждое огра-
ограниченное множество.
Доказательство. Множество А'° поглощает
все ограниченные множества в Е тогда и только тог-
тогда, когда А' поглощается их полярами, т. е. р(?', Е)-
окрестностями.
Следствие. Пусть (Е, Е') — дуальная пара.
Если ? — топология в Е, согласующаяся с двойствен-
двойственностью между Е и Е', то каждое ^-равностепенно не-
непрерывное множество в Е' сильно ограниченно; каж-
каждое абсолютно выпуклое о(Е', Е)-компактное множе-
множество сильно ограниченно.
Действительно, если А' ^-равностепенно непрерыв-
непрерывно, то его поляра в Е есть ^-окрестность и, значит, по-
поглощает все ограниченные множества. А каждое аб-
абсолютно выпуклое о(Е', ^-компактное множество
х(Е, ?')-Равностепенно непрерывно (гл. III, § 7).
Из этого следствия вытекает, что множество всех
g-равностепенно непрерывных подмножеств из Е' удо-
удовлетворяет условиям, требуемым для того, чтобы оно
определяло топологию равномерной сходимости в Е".
Если U—базис замкнутых абсолютно выпуклых
окрестностей в топологии ?, то биполяры U°° в Е"
108 Гл. IV. Бочечные пространства
множеств U из U образуют базис окрестностей этой
топологии, которую по этой причине мы будем обозна-
обозначать ?00. Так как UaoUE = U, то ?00 индуцирует в Е
топологию |. Поэтому ?00 можно представлять себе
как результат «подъема» топологии | из Е в Е". Та-
Таким образом, если Е — отделимое локально выпуклое
пространство с топологией |, сопряженным Е' и вто-
вторым сопряженным Е", то имеются две естественные
топологии, которыми можно наделить Е"; тополо-
топология ?00 равномерной сходимости на равностепенно не-
непрерывных множествах и сильная топология р(Е",Е').
Вторая из них всегда мажорирует первую. Тожде-
Тождественное отображение Е в Е" является изоморфизмом
(в), если Е" наделено топологией ?00.
Предложение 2. Пусть Е — отделимое локаль-
локально выпуклое пространство, Е' — его сопряженное и
Е" — второе сопряженное, наделенное топологией
$(Е", Е'). Тогда тождественное отображение Е в Е"
есть изоморфизм в том и только в том случае, если
каждое сильно ограниченное множество в Е' равно-
равностепенно непрерывно.
Доказательство. Оба эти условия равносиль-
равносильны совпадению топологий ?00 и р(?", Е'), где | — то-
топология пространства Е.
Следствие. Если Е бочечно, то тождественное
отображение Е в Е" является изоморфизмом (в).
В самом деле, бочечность пространства Е влечет
равностепенную непрерывность каждого слабо огра-
ограниченного множества из Е'.
В гл. V (следствие предложения 9) будет указано
другое достаточное условие того, чтобы тождествен-
тождественное отображение Е в Е" было изоморфизмом; в част-
частности, оно выполняется, когда Е метризуемо.
Хотя вообще классы слабо ограниченных и силь-
сильно ограниченных множеств в Е' различны, при неко-
некоторых условиях они совпадают. Одним из них яв-
является бочечность Е. Другое достаточное условие
дается следующим предложением:
3. Второе сопряженное и рефлексивность 109
Предложение 3. Если Е — полное отделимое
локально выпуклое пространство с сопряженным Е',
то каждое слабо ограниченное множество в Е' силь-
сильно ограниченно.
Доказательство. Если А'— слабо ограничен-
ограниченное множество в Е', то его поляра А'° в Е есть бочка
(предложение 1) и потому поглощает все полные вы-
выпуклые ограниченные множества (следствие лем-
леммы 1). Но, поскольку Е полно, каждое ограниченное
множество в Е содержится в полном выпуклом огра-
ограниченном множестве (своей замкнутой выпуклой обо-
оболочке). Следовательно, А'° поглощает все ограничен-
ограниченные множества, а потому, согласно лемме 2, А' силь-
сильно ограниченно.
Пусть (Е, Е')—дуальная пара, и второе сопря-
сопряженное к Е совпадает с самим Е. В этом случае
дуальная пара (Е, Е') будет называться рефлек-
рефлексивной.
Предложение 4. Дуальная пара {Е, Е') реф-
рефлексивна в том и только в том случае, если каждое
ограниченное множество в Е содержится в слабо ком-
компактном множестве.
Доказательство. Очевидно, дуальная пара
(Е, Е') рефлексивна тогда и только тогда, когда
Р(?', Е) согласуется с двойственностью между Е'
и ? и, значит (гл_ III, теорема 7), тогда и только то-
тогда, когда каждое ограниченное множество в Е со-
содержится в абсолютно выпуклом слабо компактном
множестве.
Если Е — отделимое локально выпуклое простран-
пространство и Е' — его сопряженное, то естественно назы-
называть Е рефлексивным, если оно изоморфно в некото-
некотором смысле своему второму сопряженному. Если мы
потребуем только, чтобы этот изоморфизм был ал-
алгебраическим, то получим условие, равносильное уже
определенной выше рефлексивности дуальной пары
(Е, Е'). (Пространство Е в этом случае называется
некоторыми авторами полурефлексивным.) Вместо
этого мы наложим более сильное требование, чтобы Е
ПО Гл. IV. Бочечные пространства
было изоморфно Е" не только алгебраически, но и
топологически, и сохраним термин «рефлексивное»
для описания этого последнего случая. Объединяя
предложения 2 и 4, получаем такую характеризацию
рефлексивных пространств:
Предложение 5. Пусть Е — отделимое локаль-
локально выпуклое пространство, и Е' — его сопряженное.
Пространство Е рефлексивно в том и только в том
случае, если каждое ограниченное множество в Е
содержится в слабо компактном множестве, а ка-
каждое ограниченное множество в Е' равностепенно не-
непрерывно.
(Первое из этих условий рефлексивности гаранти-
гарантирует совпадение слабо ограниченных и сильно огра-
ограниченных множеств в Е''. Следовательно, во втором
условии могут иметься в виду и слабо ограниченные,
и сильно ограниченные множества.)
Следствие 1. Отделимое локально выпуклое
пространство рефлексивно тогда и только тогда, ко-
когда оно бочечно и каждое его ограниченное подмно-
подмножество содержится в слабо компактном множестве.
Следствие 2. Если отделимое локально выпук-
выпуклое пространство рефлексивно, то и его сильное со-
сопряженное рефлексивно.
Следствие 3. Нормированное пространство
рефлексивно тогда и только тогда, когда его единич-
единичный шар слабо компактен.
В самом деле, в сопряженном к нормированному
пространству каждое сильно ограниченное множе-
множество поглощается единичным шаром и потому равно-
равностепенно непрерывно.
Дополнения
A) Категория. Каждый, кто сталкивался с этим
топологическим понятием, поймет, что доказатель-
доказательство леммы 1 есть по существу рассуждение категор-
ного типа. Подмножество топологического простран-
пространства Е называют нигде не плотным, если его замыка-
Дополнения 111
ние не имеет внутренних точек. Множество АсЕ на-
называют множеством первой категории в Е, если оно
представимо в виде объединения последовательности
нигде не плотных множеств; в противном случае его
называют множеством второй категории в Е. Таким
образом, А — множество второй категории в Е, если
из того, что А содержится в объединении последова-
последовательности замкнутых подмножеств из Е, следует, что
хоть одно из них содержит внутреннюю точку. Е на-
называют бэровским пространством, если каждое его
(непустое) открытое множество есть множество вто-
второй категории в Е, и теорема Бэра утверждает, что
каждое полное метрическое пространство и каждое
локально компактное регулярное пространство есть
бэровское пространство. С помощью этой теоремы
лемма 1 доказывается просто:
со
Л = U (Л П пВ),
и, значит, по крайней мере одно из замкнутых мно-
множеств АппВ содержит внутреннюю точку (компакт-
(компактного регулярного пространства А). Поэтому суще-
существуют такие целое число га, окрестность U в Е и
точка x(LA, что Аи (x + U)cznB; далее доказатель-
доказательство продолжается, как прежде.
Локально выпуклое пространство является бэров-
бэровским тогда (и только тогда), когда оно второй кате-
категории (в себе). (Ибо если бы открытое множество А
было первой категории в Е, то, поскольку
Е = Q п(А — х)
для любого x(zA, E также было бы первой катего-
категории.) Векторное подпространство локально выпуклого
пространства Е либо нигде не плотно, либо плотно
в Е, поэтому векторное подпространство второй кате-
категории в Е плотно в Е. Кроме того, оно бочечно (в то-
топологии, индуцированной из Е). (В самом деле, если
В — бочка в векторном подпространстве М второй
112 Гл. IV. Бочечные пространства
категории в Е, то
J
я-1
и потому одно из множеств пВ содержит внутреннюю
точку. Если x+UcztiB, где U — абсолютно выпуклая
окрестность, то
и потому В — окрестность. А тогда В=М(]В есть
окрестность в М.) Таким образом, в частности, ло-
локально выпуклое бэровское пространство бочечно.
С другой стороны, существуют бочечные простран-
пространства, не являющиеся бэровскими. Действительно, ес-
если Е — векторное пространство со счетным базисом,
то в топологии %{Е, Е*) оно бочечное (см. дополне-
дополнение 3), но не бэровское, так как представимо в виде
объединения последовательности замкнутых подпро-
подпространств, натянутых на первые п элементов базиса.
(Это частный случай строгого индуктивного предела
последовательности замкнутых подпространств (см.
гл. VII, § 1), никогда не бэровского, но бочечного,
если бочечно каждое из указанных подпространств
(гл. V, предложение 6).) (См. также гл. VI, дополне-
дополнение 2.)
B) Монтелевские пространства. Отделимое бочеч-
бочечное пространство, каждое замкнутое ограниченное
подмножество которого компактно, называется монте-
левским пространством. Это наименование объяс-
объясняется тем, что пространство $&(D) голоморфных
функций обладает указанным свойством на основании
теоремы Монтеля. В самом деле, e?8(D) есть простран-
пространство Фреше и потому бочечно; поскольку &€{D) —
метрическое пространство, достаточно доказать, что
каждая ограниченная последовательность содержит
сходящуюся подпоследовательность. Но это и состав-
составляет содержание теоремы Монтеля применительно к
пространству &6 (D), наделенному топологией равно-
равномерной сходимости на компактных подмножествах об-
области D,
Дополнения ИЗ
Монтелевское пространство рефлексивно (след-
(следствие 1 предложения 5). При этом сильное сопряжен-
сопряженное Е' к монтелевскому пространству Е — также мон-
монтелевское пространство. Действительно, оно бочечно,
поскольку каждое ограниченное подмножество его
сопряженного Е содержится в компактном множе-
множестве, и по той же причине сильная топология в Е'
совпадает с топологией компактной сходимости. Но
каждое ограниченное множество в Е' равностепенно
непрерывно, а каждое равностепенно непрерывное
множество содержится в множестве, компактном в то-
топологии компактной сходимости (гл. VI, предложе-
предложение 4). Нормированное пространство может быть
монтелевским, лишь если его замкнутый единичный
шар компактен, т. е. только когда оно конечномерно
(гл. III, теорема 2).
Другими примерами монтелевских пространств
служат пространства 3>, W и ?Р бесконечно диффе-
дифференцируемых функций на ]—оо, оо[ (гл. I, дополне-
дополнение 3), а, значит, также сопряженные к ним про-
пространства 3)'', ё" и if" обобщенных функций (гл. II,
дополнение 3), наделенные соответствующими силь-
сильными топологиями, равно как и пространство, сопря-
сопряженное к &6 (D) (гл. II, дополнение 4). (См. также
гл. VII, дополнение 1.)
C) Сильнейшая локально выпуклая топология.
Любое векторное пространство Е, наделенное силь-
сильнейшей локально выпуклой топологией х(Е, Е*), бо-
бочечно и является притом монтелевским простран-
пространством. Действительно, каждая бочка, будучи абсо-
абсолютно выпуклым и поглощающим множеством, есть
окрестность, а поскольку ограниченные множества
конечномерны (гл. III, дополнение 2), любое замк-
замкнутое ограниченное множество компактно. Следова-
Следовательно, Е*, наделенное сильной топологией р(Е*,Е) =
= о(Е*, Е), бочечно и также монтелевское. В самом
деле, поскольку Е бочечно, замкнутые ограниченные
множества в Е* (слабо) компактны.
8 Зак. 706
ГЛАВА V
ИНДУКТИВНЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Когда заданы векторное пространство и некото-
некоторые связанные с ним линейные отображения, часто
возникает вопрос о такой топологизации простран-
пространства, чтобы эти отображения стали непрерывными.
Здесь могут представиться два случая соответствен-
соответственно тому, будут ли это отображения других локально
выпуклых пространств в данное пространство или
данного пространства в другие локально выпуклые
пространства. В настоящей главе рассматриваются
топологии индуктивного (прямого) и проективного
(обратного) пределов, дающие естественный ответ на
эти вопросы. Отдельные параграфы посвящены важ-
важным частным случаям — факторпространствам, про-
произведениям и прямым суммам локально выпуклых
пространств. В этой главе нет центральной теоремы;
наиболее важные результаты выражают сохранение
некоторых желательных свойств локально выпуклых
пространств при образовании индуктивных или проек-
проективных пределов. Например, индуктивный предел бо-
бочечных пространств есть бочечное пространство, а
произведение или сумма полных пространств полны.
Между понятиями индуктивного и проективного
пределов существует неполная двойственность, хоро-
хорошо иллюстрируемая тем фактом, что каждое локаль-
локально выпуклое пространство является проективным
пределом нормированных (или даже банаховых) про-
пространств, тогда как лишь некоторые локально выпук-
выпуклые пространства представимы в виде индуктивных
пределов нормированных пространств. Последние об-
обладают различными дополнительными свойствами,
/. Факторпространства 115
такими, как полнота их сильных сопряженных, и изу-
изучаются в третьем параграфе этой главы. Специаль-
Специальный класс индуктивных пределов, обладающий мно-
многими свойствами, не разделяемыми общими индуктив-
индуктивными пределами, составляет предмет первого пара-
параграфа гл. VII.
1. Факторпространства. Пусть Е — векторное про-
пространство над полем Ф и М — его векторное подпро-
подпространство. Тогда отношение х— ydM есть отношение
эквивалентности в ? и множество Е/М всех классов
эквивалентности X, У, ... может быть сделано век-
векторным пространством над Ф, называемым фактор-
пространством Е по М. (Если X, Y dE/M, то X + Y?
(i Е/М и XX d Е/М при ХФО; остается положить
0-Х=М, и алгебраические операции в Е/М пол-
полностью определены; М служит началом в Е/М.) Клас-
Классом эквивалентности k(x), которому принадлежит
элемент х^Е, служит х+М, и k — линейное отобра-
отображение; оно называется каноническим отображением
? на Е/М.
Пусть также F — векторное пространство над Ф.
Каждое линейное отображение t пространства Е в F,
обращающееся всюду на М в нуль, обладает разло-
разложением t=u°k, где и — линейное отображение Е/М
в F; и(Х) есть общее значение t(x) для всех x(LX.
При этом, как легко проверить, отображение t —* и
есть изоморфизм векторного пространства всех линей-
линейных отображений Е в F, обращающихся всюду на М
в нуль, на векторное пространство всех линейных
отображений Е/М в F.
Если Е — локально выпуклое пространство и U —
базис абсолютно выпуклых окрестностей, то множе-
множества k(U) {U?.tt) образуют базис окрестностей топо-
топологии в Е/М, называемой фактортопологией; Е/М, на-
наделенное этой топологией, является локально выпук-
выпуклым пространством. Так как Uck-l(k{U)) для каж-
каждого Uб U, то k непрерывно1); при этом фактортопо-
логия, очевидно, — сильнейшая из топологий в Е/М,
при которых k непрерывно.
') Очевидно, k также открыто (см. стр. 165). — Прим. ред.
116 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
Пусть р — калибровочная функция абсолютно вы-
выпуклой окрестности U. Калибровочная функция q ок-
окрестности k(U) выражается формулой
q{X) = M[k: Л,>0, X ?kk{U)}.
Но X?kk(U) тогда и только тогда, когда существует
элемент х?Х, такой, что x?XU, и, значит,
q{X)= inf inf {I: A,>0,
?X
Следовательно,
= mi{p(x):
Предложение 1. Факторпространство Е/М, на-
наделенное фактортопологиеи, отделимо тогда и только
тогда, когда М — замкнутое векторное подпростран-
подпространство пространства Е.
Доказательство. Если Е/М отделимо, то мно-
множество, состоящее из одного лишь начала простран-
пространства Е/М, замкнуто и потому его прообраз М отно-
относительно непрерывного отображения k есть замкнутое
подмножество в Е.
Обратно, пусть М замкнуто в Е, и X — произволь-
произвольная точка из Е/М, отличная от начала. Тогда х € X
влечет х^М и потому существует абсолютно выпук-
выпуклая окрестность U, такая, что (x+U) (]M = 0. От-
Отсюда x(fcM+.U и, значит, X(?k(U). Таким образом,
Е/М отделимо.
Если Е метризуемо, а М замкнуто, то, в силу пред-
предложения 1, Е/М отделимо, и так как, очевидно, Е/М
обладает счетным базисом окрестностей, оно метри-
метризуемо.
Если Е — нормированное пространство, а М замк-
замкнуто, то Е/М тоже нормируемо, с нормой
Если t — линейное отображение локально выпук-
выпуклого пространства Е в локально выпуклое простран-
пространство F, обращающееся в нуль на векторном подпро-
подпространстве М пространства Е, то, как мы видели, мож-
/. Факторпространства 117
но записать / в виде / = «°&,где и отображает Е/М
в F, a k — каноническое отображение Е на Е/М. Но/
непрерывно в том и только в том случае, если, какова
бы ни была окрестность V в F,
Г1
является окрестностью в Е, т. е. u~l(V) —окрестность
в Е/М. Таким образом, / непрерывно тогда и только
тогда, когда непрерывно и. Полезным частным слу-
случаем этих результатов является
Предложение 2. Любое линейное отображе-
отображение t локально выпуклого пространства Е в локально
выпуклое пространство F обладает разложением
t = u°k, где и — взаимно однозначное линейное ото-
отображение Е/Г1 @) в F, a k — каноническое отображе-
отображение Е на E/t~l(O); t непрерывно тогда и только тогда,
когда непрерывно и1).
Нетрудно описать сопряженное к факторпростран-
ству.
Предложение 3. Если М — векторное подпро-
подпространство локально выпуклого пространства Е с со-
сопряженным Е', то сопряженное к Е/М отождествимо
с полярой М° подпространства М в Е'.
Доказательство. Пространство всех непре-
непрерывных линейных форм на Е/М изоморфно простран-
пространству всех непрерывных линейных форм на Е, обра-
обращающихся всюду на М в нуль, т. е. пространству М°.
Заметим для дальнейшего, что сопряженным k'
к каноническому отображению k пространства Е на
Е/М служит тождественное отображение М° в Е'.
Вообще факторпространство полного простран-
пространства Е по его замкнутому векторному подпростран-
подпространству М не обязательно полно, но, как мы докажем в
главе VI (следствие предложения 13), оно, во всяком
случае, полно, когда Е — пространство Фреше.
') И, очевидно, t открыто тогда и только тогда, когда от-
крыто и (см. стр. 165). — Прим. ред
118 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
2. Индуктивные пределы. Пусть (Еу; у € Г) — се-
семейство локально выпуклых пространств, причем все
они — векторные подпространства векторного про-
пространства Е (пока еще не топологизированного) и
их объединение порождает Е. Естественно задаться
вопросом, нельзя ли использовать их топологии для
введения топологии в Е. Более точно, нельзя ли наде-
наделить Е локально выпуклой топологией так, чтобы ли-
линейные отображения пространства Е были непрерыв-
непрерывными тогда и только тогда, когда они непрерывны
на каждом Еу. Ниже мы докажем существование
такой топологии и изучим ее свойства. При этом вме-
вместо требования, чтобы Еу были векторными подпро-
подпространствами пространства Е, достаточно будет за-
задать линейные отображения «Y пространств ?Y в Е,
позволяющие перенести топологию каждого ?Y на
uY(?Y); тогда будет предполагаться, что (J иу(Еу)
порождает Е. ver
Предложение 4. Пусть Еу для каждого у€ Г—
локально выпуклое пространство, а иу — линейное
отображение Еу в векторное пространство Е, причем
М i/y(Ey) порождает Е. Тогда в Е существует силь-
ver
нейшая локально выпуклая топология, при которой
все щ непрерывны. Базисом окрестностей в этой топо-
топологии служит множество U всех абсолютно выпуклых
множеств UczE, таких, что и {U) есть окрестность
в ?Y для каждого у.
Доказательство. Если U — абсолютно выпук-
выпуклая окрестность для какой бы то ни было топологии
в Е, при которой все «Y непрерывны, то каждое
uyl(U) есть окрестность в Еу и потому U<cU. С дру-
другой стороны, если UZ.U, то u~l(U) — поглощающее
множество в Еу, а потому U поглощает все точки
из my(?y); поскольку (J иу(Еу) порождает ?, U —
vgr
поглощающее множество в Е. Таким образом, и
удовлетворяет условиям, которым должен удовлетво-
удовлетворять базис окрестностей локально выпуклой тополо-
2. Индуктивные пределы 119
гии, сформулированным в теореме 2 гл. I, так что
это сильнейшая локально выпуклая топология, в ко-
которой все щ непрерывны.
Следствие. Если У*у для каждого у ? Г есть ба-
базис абсолютно выпуклых окрестностей в Еу, то мно-
множество У абсолютно выпуклых оболочек всевозмож-
всевозможных множеств вида [J «Y(VY), где Уу€7%, образует
базис окрестностей в Е.
Доказательство. В силу предложения 4, мно-
множества из У являются окрестностями в Е. С другой
стороны, если И — произвольная абсолютно выпук-
выпуклая окрестность в Е, то щ1 (U) содержит окрестность
Vy€.Ts, а тогда абсолютно выпуклая оболочка мно-
множества (J «Y(VY) есть множество из 7°, содержа-
щееся в U. Таким образом, Т—базис окрестностей
в Е.
Локально выпуклое пространство Е, наделенное
описанной топологией, называется индуктивным пре-
пределом локально выпуклых пространств Еу относитель-
относительно отображений щ.
Предложение 5. Пусть Е — индуктивный пре-
предел локально выпуклых пространств Еу относительно
отображений щ, a t — его линейное отображение в
локально выпуклое пространство F. Отображение t
непрерывно тогда и только тогда, когда t ° иу для каж-
каждого у есть непрерывное отображение Еу в F. Более
общим образом, множество Т линейных отображений
Е в F равностепенно непрерывно тогда и только то-
тогда, когда каждое множество Т <>иу равностепенно не-
непрерывно.
Доказательство. Отображение t непрерывно
в том и только в том случае, если t~x(V) есть окрест-
окрестность в Е для каждой абсолютно выпуклой окрест-
окрестности V из F. В силу предложения 4, это означает,
что для каждого \
120 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
есть окрестность в Еу, т. е. что каждое t о иу непре-
непрерывно.
Для равностепенной непрерывности множества Т
требуется, чтобы f]t~X {V) было окрестностью в Е, и
ЦТ
аналогичное рассуждение показывает, что это равно-
равносильно равностепенной непрерывности каждого Т ° иу.
Следствие. Отделимая топология индуктивного
предела есть топология равномерной сходимости на
подмножествах А' сопряженного пространства, таких,
что и' (А') равностепенно непрерывно для каждого у,
где и'у — отображение, сопряженное к иу.
В самом деле, А' равностепенно непрерывно тогда
и только тогда, когда каждое и'у (А1) = А' °м^ равно-
равностепенно непрерывно.
Простейшим примером топологии индуктивного
предела может служить фактортопология, рассмот-
рассмотренная в § 1. В самом деле, если Е = Е0/М и k — кано-
каноническое отображение Ео на Е, то фактортопология
в Е есть сильнейшая локально выпуклая топология,
при которой k непрерывно.
Очень часто локально выпуклые пространства Еу
являются векторными подпространствами в Е, объ-
объединение которых порождает Е, а линейные отобра-
отображения иу — сужениями на Еу тождественного отобра-
отображения Е на себя. Тогда топология индуктивного пре-
предела— это сильнейшая локально выпуклая топология
в Е, индуцирующая в каждом Еу топологию, мажори-
мажорируемую исходной топологией пространства Еу, и аб-
абсолютно выпуклое множество U есть окрестность в
Е тогда и только тогда, когда UuEy — окрестность в
Еу для каждого у. Наконец, линейное отображение t
пространства Е в локально выпуклое пространство
непрерывно тогда и только тогда, когда оно непре-
непрерывно на каждом Еу, и справедлив аналогичный кри-
критерий равностепенной непрерывности.
Общий индуктивный предел (локально выпуклых
пространств Еу относительно отображений иу) может
быть сведен к этому частному случаю. В самом деле,
Wy(?Y)—векторное подпространство в Е, а тополо-
3. Пространства Макки 121
гию пространства Еу можно перенести на иу(Еу), беря
в качестве окрестностей в иу(Еу) образы окрестностей
из Еу при отображении ит Тогда из характеризации
окрестностей пространства Е, данной в предложе-
предложении 4, легко следует, что Е является также индуктив-
индуктивным пределом его векторных подпространств иу(Еч).
Некоторые свойства локально выпуклых про-
пространств сохраняются операцией взятия индуктивного
предела.
Предложение 6. Индуктивный предел бочеч-
бочечных пространств есть бочечное пространство.
Доказательство. Пусть В — бочка в Е, ин-
индуктивном пределе бочечных пространств Еу относи-
относительно отображений иу. Тогда и~1(В) для каждого у
замкнуто и потому есть бочка в Еу. Следовательно,
и-1 (В) — окрестность в Еу и потому, в силу предло-
предложения 4, В есть окрестность в Е.
Следствие. Факторпространство бочечного про-
пространства бочечно.
В следующем параграфе будет рассмотрено еще
одно свойство локально выпуклых пространств, со-
сохраняющееся при переходе к индуктивному пределу.
Но, пожалуй, стоит отметить, что индуктивный предел
отделимых локально выпуклых пространств не обя-
обязательно отделим (см., однако, предложение 2
гл. VII).
Можно определить топологию индуктивного пре-
предела в векторном пространстве Е относительно ото-
отображений иу пространств Еу в Е, и не предполагая,
что (J иу(Еу) порождает Е. Тогда окрестностями в Е
будут те абсолютно выпуклые поглощающие множе-
множества U, для которых u~l (U) есть окрестность в Еу при
любом у. С одним лишь этим изменением результаты
настоящего параграфа останутся справедливыми и
для этих более общих индуктивных пределов.
3. Пространства Макки. Пусть Е — локально вы-
выпуклое пространство и t — его линейное отображение
122 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
в локально выпуклое пространство F. Мы уже видели
(гл. III, предложение 1), что если t непрерывно, то
оно отображает ограниченные множества простран-
пространства Е в ограниченные множества пространства F.
Назовем (временно) отображение t, обладающее этим
свойством, ограниченным. Мы докажем, что если Е—
нормированное или метризуемое пространство, то и,
обратно, ограниченность отображения / обеспечивает
его непрерывность. Локально выпуклое пространство,
каждое ограниченное линейное отображение которого
непрерывно, мы будем называть пространством Мак-
Макки. (Иногда такие пространства называют борнологи-
ческими.) Отделимое пространство Макки Е с сопря-
сопряженным Е' обладает топологией Макки х{Е, Е'),
ибо если | — его топология, то тождественное отобра-
отображение пространства Е с топологией g на это же про-
пространство с топологией х(Е, Е') ограниченно (гл. IV,
теорема 1) и потому непрерывно. (Некоторые авторы
называли «пространством Макки» любое локально
выпуклое пространство, топология которого есть то-
топология Макки, но мы сохраняем это наименование
лишь за пространствами указанного более узкого
класса.)
Предложение 7. Индуктивный предел про-
пространств Макки есть пространство Макки.
Доказательство. Пусть Е — индуктивный пре-
предел пространств Макки Еу относительно отображе-
отображений иу, и t — его ограниченное линейное отображение
в локально выпуклое пространство F. Если А — огра-
ограниченное множество в Еу, то из непрерывности иу и
ограниченности t вытекает, что (t°uy) (A) = t(uy(A))
ограниченно в F. Таким образом, t ° иу ограниченно и
потому непрерывно. Следовательно, и t непрерывно
(предложение 5).
Предложение 8. Каждое метризуемое локаль-
локально выпуклое пространство есть пространство Макки.
Доказательство. Пусть Е — метризуемое
пространство и (?/„) —базис его окрестностей, причем
8. Пространства Макки 123
Un+icUn для всех п. Если ограниченное линейное
отображение t пространства Е в локально выпуклое
пространство F не является непрерывным, то суще-
существует такая окрестность V в F, что /-' (V) не будет
окрестностью в Е. Поэтому для каждого п существует
точка хп в Un, такая, что t(xn)(fcnV. Но тогда {хп}
есть, очевидно, ограниченное множество, a {t(xn)} —
нет. Этим противоречием и доказана справедливость
нашего утверждения.
Следствие. Индуктивный предел метризуемых
локально выпуклых пространств есть пространство
Макки.
Чтобы обратить это следствие, установим справед-
справедливость следующего утверждения:
Лемма 1. Пусть Е — отделимое локально выпук-
выпуклое пространство с топологией \.ВЕ существует силь-
сильнейшая локально выпуклая топология ц, в которой Е
имеет те же ограниченные множества, что и в тополо-
топологии \. Наделенное этой топологией ц, Е является про-
пространством Макки, индуктивным пределом семейства
нормированных векторных подпространств, порож-
порождающего Е. Топологии \ и ц совпадают тогда и
только тогда, когда Е есть пространство Макки в то-
топологии \.
Доказательство. Пусть А — любое абсолютно
выпуклое множество в Е, замкнутое и ограниченное
в топологии \, и ЕА — векторное подпространство, на-
натянутое на А. Поскольку А ограниченно, а ? в топо-
топологии \ отделимо, калибровочная функция множест-
множества А является нормой в ЕА, превращающей его в нор-
нормированное пространство с топологией, скажем г\А,
мажорирующей топологию, индуцируемую в ЕА топо-
топологией \. Пусть теперь и— базис окрестностей какой-
либо локально выпуклой топологии ^ в ?. Множе-
Множество А ограниченно в топологии ? тогда и только то-
тогда, когда для каждого U?21 существует А>0, такое,
что %AcUПЕА, т. е. когда ? индуцирует в ЕА топо-
топологию, мажорируемую топологией цА. Но каждое
^-ограниченное множество содержится в g-замкнутом
124 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
абсолютно выпуклом ^-ограниченном множестве; та-
таким образом, сильнейшей из локально выпуклых топо-
топологий ?, при которых каждое ^-ограниченное множе-
множество ^-ограниченно, служит топология ц индуктивного
предела нормированных пространств ЕА. Но посколь-
поскольку ц мажорирует |, каждое ^-ограниченное множество
^-ограниченно. Таким образом, ц — сильнейшая ло-
локально выпуклая топология, имеющая те же огра-
ограниченные множества, что и ?. В силу следствия
предложения 8, ? в топологии ц есть пространство
Макки.
Наконец, предположим, что Е в топологии ? есть
пространство Макки. Тождественное отображение про-
пространства Е с топологией | в ? с топологией х\ огра-
ограниченно и потому непрерывно. Следовательно, ? ма-
мажорирует г\ и потому эти топологии совпадают.
Лемма 2. Если в условиях леммы 1 Е полно в
топологии |, то Е, наделенное топологией ц, является
индуктивным пределом семейства банаховых про-
пространств.
Доказательство. Покажем, что каждое ЕА
полно в топологии ца- Пусть (х„) — последователь-
последовательность Коши в ЕА. Тогда (хп) — последовательность
Коши и в топологии | и потому сходится в ней к не-
некоторой точке а??. Докажем, что а?ЕА и хп—>а
в топологии ч]А- Для каждого е>0 существует п0, та-
такое, что хт — хп ? еЛ для всех т, п^-щ. Множество еЛ
замкнуто в Е в топологии ?, и потому, переходя к пре-
пределу при т—>оо, получаем, что а — хп € еЛ для всех
л>л0- Но это означает, что а€.ЕА и х„ —>а в ЕА. Та-
Таким образом, ЕА полно.
В изложенном доказательстве леммы 2 достаточно
знать, что каждая ^-последовательность Коши в Е
сходится, что является условием вообще более сла-
слабым, чем полнота, если Е не метризуемо.
Теорема 1. Отделимое локально выпуклое про-
пространство есть пространство Макки тогда и только
тогда, когда оно является индуктивным пределом нор-
нормированных пространств. Полное отделимое про-
4. Проективные пределы 125
странство Макки есть индуктивный предел банаховых
пространств.
Доказательство. Эти утверждения вытекают
из следствия предложения 8 и лемм 1 и 2.
Теорема 1 легко обобщается на неотделимые про-
пространства, если заменить каждое нормированное про-
пространство пространством, топология которого задает-
задается единственной преднормой.
Предложение 9. В сопряженном Е' к отдели-
отделимому пространству Макки Е каждое р(?', Е)-ограни-
Е)-ограниченное множество равностепенно непрерывно.
Доказательство. Топология в Е равномерной
сходимости на р(?', Е) -ограниченных множествах
из Е' мажорирует исходную топологию и имеет тот
же запас ограниченных множеств, а потому (лем-
(лемма 1) эти топологии совпадают.
Следствие. Тождественное отображение отде-
отделимого пространства Макки в его второе сопряжен-
сопряженное является изоморфизмом (см. гл. IV, предложе-
предложение 2).
Предложение 10. Полное отделимое простран-
пространство Макки бочечно.
Доказательство. По лемме 2 полное отдели-
отделимое пространство Макки есть индуктивный предел
банаховых пространств. Каждое из них бочечно
(гл. IV, теорема 2), а потому и их индуктивный пре-
предел есть бочечное пространство (предложение 6).
Позже будет доказано (гл. VI, предложение 1),
что сопряженное Е' к отделимому пространству Мак-
Макки полно в различных топологиях, включая р(?', Е).
4. Проективные пределы. Второй общий метод то-
пологизации векторного пространства в некотором
смысле, который мы уточним позже, двойствен методу
образования индуктивных пределов. На этот раз мы
будем топологизировать векторное пространство F
с помощью его линейных отображений oY в локально
126 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
выпуклые пространства Fy, таких, что для всякого
ненулевого x?F существует у, для которого vy(x)=fc0.
Предложение 11. Пусть F — векторное про-
пространство, и vy для каждого у€Г есть его линейное
отображение в локально выпуклое пространство Fy,
причем
Тогда в F существует слабейшая согласующаяся с ал-
алгебраической структурой топология, в которой все и,
непрерывны; пространство F, наделенное этой тополо-
топологией, локально выпукло. Если У*у — базис абсолютно
выпуклых окрестностей в Fy, то пересечения всевоз-
всевозможных конечных семейств множеств v~l (Vy^ (V ? V ,
V ? Г) образуют базис Т абсолютно выпуклых окрест-
окрестностей этой топологии в F.
Доказательство. Для того чтобы vy были не-
непрерывными, множества из V должны быть окрестно-
окрестностями в F. Но они образуют базис локально выпук-
выпуклой топологии в F (гл. I, теорема 2), слабейшей из
топологий, при которых все vy непрерывны.
Локально выпуклое пространство F, наделенное
этой топологией, называется проективным пределом
локально выпуклых пространств Fy относительно ото-
отображений vT
Предложение 12. Пусть Е — локально выпук-
выпуклое пространство, at — его линейное отображение в
проективный предел F локально выпуклых про-
пространств Fy относительно отображений vy. Тогда t не-
непрерывно в том и только в том случае, если vy°t для
каждого у есть непрерывное отображение Е в Fy.
Доказательство. Очевидно, t непрерывно тогда
и только тогда, когда Г1^^' (Kv)) — (t)v о ^)"' (Kv) —
окрестность в Е для каждого у и каждого VY6?\, a
это и есть условие непрерывности каждого vy ° t.
Предложение 13. Проективный предел отдели-
отделимых пространств отделим.
4. Проективные пределы 127
Доказательство. В обозначениях предложе-
предложения 11
=f) Г) VW
Лишь в некоторых специальных случаях мы смо-
сможем предложить простую характеризацию ограничен-
ограниченных или предкомпактных подмножеств индуктивного
предела. Напротив, в случае проективного предела
справедливо
Предложение 14. Пусть F — проективный пре-
предел локально выпуклых пространств Fy относительно
отображений vy. Множество AcF ограниченно или
предкомпактно тогда и только тогда, когда каждое
vy(A) обладает тем же свойством.
Доказательство. Если А ограниченно или
предкомпактно, то таково же и каждое vy(A), по-
поскольку uv непрерывно. Обратно, если каждое Vy(A)
ограниченно, a Vy— абсолютно выпуклая окрестность
в Fy, то Vy поглощает vy(A) и потому Vy1 (Vy) погло-
поглощает А. Но, в силу предложения 11, это влечет огра-
ограниченность А в F. Доказательство для случая пред-
компактности аналогично1).
Один из самых напрашивающихся примеров проек-
проективного предела — слабая топология любого локаль-
локально выпуклого пространства F, получающаяся, когда
в качестве {vy} взято множество всех непрерывных ли-
линейных форм на F (так что каждое Fy есть поле ска-
скаляров). Простейшим примером проективного предела
служит индуцированная топология в векторном под-
подпространстве М локально выпуклого пространства F;
это слабейшая топология, делающая непрерывным
тождественное отображение М в F. В следующем па-
параграфе будет рассмотрен еще один пример.
Сопряженное к индуктивному пределу является
проективным пределом. Более точно, справедливо
') Если воспользоваться еще леммой 4 гл. Ill, —Прим. ред.
128 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
Предложение 15. Пусть Еу для каждого
Y 6 Г — отделимое локально выпуклое пространство
с сопряженным Еу, наделенным топологией Лу-сходи-
мости. Пусть, далее, Е — индуктивный предел про-
пространств Еу относительно отображений иу, и предпо-
предположим, что он отделим. Обозначим через Л множе-
множество объединений всевозможных конечных подсе-
подсемейств совокупности множеств (J иу{Лу). Тогда со-
ver
пряженное Е' к Е, наделенное топологией JL-сходимо-
сти, является проективным пределом пространств Еу
относительно отображений и', сопряженных к иу.
Доказательство. Каждое иу отображает Е'
в Е' (гл. II, предложения 13 и 12). При этом
ибо если и' (х') = 0 для всех у, то
для всех ху?Еу и всех у, следовательно, х' обращает-
обращается в нуль на множестве [J иу (Еу), а оно порождает Е.
Но указанная топология проективного предела в Е' —
это слабейшая топология, в которой множества
и'"'Ш (А ?ЖЛ служат окрестностями (предложе-
(предложение 11). Поскольку же
1(
(гл. II, лемма 6), эта топология есть топология Л -схо-
-сходимости.
Следствие. Пусть Е — отделимое локально вы-
выпуклое пространство с сопряженным Е', а М — замк-
замкнутое векторное подпространство в Е. Тогда тополо-
топология Л-сходимости в Е' индуцирует в сопряженном М°
к Е/М топологию k (<A)-сходимости, где k — канони-
каноническое отображение Е на Е/М.
4. Проективные пределы 129
Доказательство. Сопряженное отображение
k' есть тождественное отображение М° в Е', так что
индуцированная топология в М° есть топология проек-
проективного предела пространства Е' относительно ото-
отображения k'. В силу предложения 15 это тополо-
топология k{JL)-сходимости, поскольку Е/М есть индуктив-
индуктивный предел пространства Е относительно отображе-
отображения k.
Только пространство Макки может быть индуктив-
индуктивным пределом нормированных пространств. А, с дру-
другой стороны, справедливо
Предложение 16. Каждое отделимое локально
выпуклое пространство есть проективный предел нор-
нормированных пространств.
Доказательство. Для каждой непрерывной
преднормы р на локально выпуклом пространстве Е
/г'@) есть векторное подпространство и р определяет
норму в Ер=Е/р~1 @) (для каждого Х(-Ер берем в
качестве ||ЛГ|| общее значение р(х) для всех х?Х).
Тогда Е, очевидно, есть проективный предел про-
пространств Ер относительно канонических отображе-
отображений kp пространства Е на Ер, поскольку условие
f)kpX @)= {0} равносильно отделимости Е.
Так как каждое нормированное пространство мо-
может быть вложено в банахово (что будет доказано
в § 1 гл. VI), то заключаем, что каждое отделимое
локально выпуклое пространство есть также проек-
проективный предел банаховых пространств.
Подобно соответствующему условию для случая
индуктивных пределов, специальное условие
включенное в определение проективных пределов, в
некоторых приложениях можно отбросить. Все ре-
результаты этого параграфа, за исключением предложе-
предложения 13, сохранят силу. Более того, любое локально
выпуклое пространство (отделимое или нет) будет
проективным пределом нормированных или банаховых
пространств и в этом более общем смысле. Со-
9 Зак. 706
130 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
пряженное к индуктивному пределу, понимаемому в
более общем смысле, упомянутом в конце § 2, являет-
является проективным пределом в указанном сейчас более
общем смысле.
5. Произведения. Пусть (Еу: у€ Г)—любое се-
семейство множеств; их (декартовым) произведением
X Еч (или, педантичнее, X ЕЛ называют множество
всех семейств х=(ху), где ху?Еу для каждого у. По
аналогии с тем более привычным случаем, когда
Г — конечное множество, элементы ху называют коор-
координатами х, а отображение ру, относящее каждому х
его y-ю координату, ху, — проекцией ХЕУ на Еу.
Если все Еу — векторные пространства над одним
и тем же полем Ф, Х?у можно превратить в вектор-
векторное пространство над Ф, приняв по определению, что
(Ху) + (уу) = (Ху+уу) и Х(Ху) = (КХу). Проекция ру бу-
будет тогда линейным отображением X Еу на Еу.
Если каждое Еу — локально выпуклое простран-
пространство, то Е=Х.ЕУ можно превратить в локально вы-
выпуклое пространство, считая его проективным преде-
пределом пространств Еу относительно отображений ру.
Эта топология называется топологией произведения
в Е и является слабейшей топологией, при которой
все проекции ру непрерывны. Если Uy для каждого
у — базис абсолютно выпуклых окрестностей в Еу, то
пересечения всевозможных конечных семейств мно-
множеств Pyl{Uy) (Oy?My, Y6F) образуют базис абсо-
абсолютно выпуклых окрестностей в Е (предложение 11).
Линейное отображение t любого локально выпуклого
пространства в Е непрерывно тогда и только тогда,
когда каждое ру о t непрерывно (предложение 12).
Множество Лс? ограниченно или предкомпактно в
том и только в том случае, если каждая его проекция
ру(А) обладает тем же свойством (предложение 14).
Предложение 13 для произведений пространств мож-
можно несколько усилить.
Предложение 17. ПроизведениеX?у отделимо
тогда и только тогда, когда отделимо каждое Еу.
5. Произведения 131
Доказательство. Точка х содержится в каж-
каждой окрестности вХ^ тогда и только тогда, когда
ру{х) содержится в каждой окрестности в Еу для
всех у-
Предложение 18. Для того чтобы замкнутое
множество А в X Е было полно, достаточно, чтобы
каждая его проекция ру{А) была полна.
Доказательство. Если <&~ — фильтр Коши в
Е, то каждое ру(с&~)естъ фильтр Коши, н<&~ сходится
к х, когда каждое ру{<&~) сходится к ру(х).
Следствие 1. Произведение X ?" полных ло-
ver
калъно выпуклых пространств Еу полно.
Следствие 2. Замкнутое множество А в X fv
пе
компактно тогда (и только тогда), когда каждая его
проекция ру{А) компактна.
Доказательство. Следует из предложений
18 и 14.
Мы имеем теперь два частных случая проектив-
проективных пределов: индуцированную топологию векторного
подпространства и топологию произведения. В неко-
некотором смысле это единственные случаи:
Предложение 19. Пусть F — проективный пре-
предел локально выпуклых пространств Fy (у€Г) отно-
относительно отображений vy. Тогда F изоморфно вектор-
векторному подпространству произведения X F .
Доказательство. Определим линейное ото-
отображение v пространства F в X F положив v(x) =
ver
= (vy(x)). Так как тогда^ °u = uY для всех у, а каж-
каждое vy непрерывно, то и и непрерывно. Далее, в силу
специального условия, включенного в определение
проективных пределов,
9»
132 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
так что v — взаимно однозначное отображение F на
v(F). Обозначая через v~l отображение, обратное к и
на v(F), имеем vy °v~l=py для каждого у, а потому
(предложение 12) v~l также непрерывно. Тем самым
v — изоморфизм F на v(F).
Следствие. Каждое отделимое локально выпук-
выпуклое пространство изоморфно векторному подпростран-
подпространству произведения нормированных (или банаховых)
пространств.
Это вытекает из предложений 19 и 16.
Пусть Е — произведение векторных пространств^.
Имеется естественный способ вложения каждого Еу
в Е. Для каждого ху?Еу обозначим через jy(xy) эле-
элемент произведения Е, у-я координата которого рав-
равна ху, все же остальные координаты — нули. Тогда
/Y — взаимно однозначное линейное отображение; оно
называется инъекцией пространства Еу в Е — X Еу.
v€r
Из этого определения легко вытекают следующие ал-
алгебраические свойства инъекций: Py°jy есть тожде-
тождественное отображение Еу на себя, причем сужение ру
на ]\(ЕУ) является отображением, обратным к /Y; если
же у и б — различные элементы из Г, то/?б°/у— ну-
нулевое отображение Еу в Е6.
Предложение 20. Если каждое пространство Еу
локально выпукло, а X Ev наделено топологией про-
ver
изведения, то каждая инъекция jy есть изоморфизм Еу
на jy(Ey). Если при этом каждое Еу отделимо, то
jy(Ey) замкнуты в X Еу.
€г
Доказательство. Прежде всего /Y непрерыв-
непрерывно, поскольку рь ° /у непрерывно для каждого б 6 Г.
Далее, Jy1==Py (суженному на jy(Ey)), так что
и jyl непрерывно. Таким образом, /Y — изоморфизм.
Наконец,
A(?v)= П
6
6. Суммы 133
если Е(, отделимы, то {0} — замкнутое множество в
каждом ?й, а потому каждое /><Г' @) и, значит, также
их пересечение замкнуты.
В силу этого результата часто оказывается удоб-
удобным отождествлять Еу с его изоморфным образом
L(EV) в X ?" . Тогда локально выпуклые простран-
ства Еу становятся векторными подпространствами
произведения X Е , не имеющими общих элементов,
ver y
кроме начала. Совершенно аналогичным образом
топологическое произведение X Еу, где Л с. Г, может
быть изоморфно вложено в Л Еv и будет в нем
ver
замкнутым подпространством в предположении, что
каждое Еу отделимо.
6. Суммы. Векторное подпространство произведе-
произведения X ?\> векторных пространств Еу, натянутое на
U?Y (или, точнее, на U/Y(?Y), где /Y — инъекция Еу
bX?v)i называется суммой векторных пространствЕу
и обозначается 2 Еч (или, педантичнее, 2 Ev). Это
ver y
множество тех элементов из X Е\, У которых только
конечное число координат отлично от нуля. Очевидно,
V?v совпадает со всем Х?\» когда Г — конечное мно-
множество. Ясно, что любой элемент х из 2 Еу (отлич-
(отличный от начала) является суммой (конечного числа)
своих ненулевых координат ру(х), где ру — проекция
XfY на Еу. Естественно писать х — 2 Ру{х), понимая
под этой суммой сумму всех ее ненулевых членов.
Если л:=0, то все ру(х)—0 и формула х — ^jpy(x) со-
сохраняет смысл при разумном истолковании этой сум-
суммы как нулевой.
Если каждое Еу — локально выпуклое простран-
пространство, то сумму ?ч = 2^\> можно наделить топологией,
индуцированной в ней топологией произведения X Еу;
мы будем называть ее топологией произведения в
Уже виАели (предложение 20), что эта топо
134 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
логия индуцирует в каждом Еу исходную топологию,
но вообще она не является сильнейшей локально
выпуклой топологией, обладающей этим свойством.
Сильнейшая такая топология получится, если счи-
считать Е индуктивным пределом локально выпуклых
пространств Еу относительно инъекций /Y. Эта топо-
топология в Е будет называться топологией суммы, а Е,
наделенное этой топологией, — топологической сум-
суммой локально выпуклых пространств Еу.
Предложение 21. Топология суммы в2^v ма~
жорирует топологию произведения. Для каждого ко-
конечного множества Ас Г эти топологии совпадают на
2 ¦?"« (рассматриваемом как векторное подпростран-
ство в 2 ?«)• Топология суммы индуцирует в каж-
дом Еу исходную топологию.
Доказательство. Пусть | — топология суммы,
а ц—топология произведения. Так как каждая инъек-
инъекция /Y непрерывна в топологии т), т) должна мажори-
мажорироваться топологией |, сильнейшей, при которой все /Y
непрерывны.
Если А состоит из п элементов и f/ — любая абсо-
абсолютно выпуклая g-окрестность, то
есть т)-окрестность, ибо U(]Ey — окрестность в ?\,для
каждого Y- Но в 2 ^V если *?^> то py(x)€.rr4J
для каждого у 6 А, а потому
¦*=y2/>y (¦*)€*/•
Следовательно,
2?v<
так что т) также мажорирует | в 2 ?«• Беря, в част-
Y6A
ности, A={y}, получаем из предложения 20 послед-
последнее утверждение.
6. Суммы 135
Вообще топологии произведения и суммы совпа-
совпадают только в конечных суммах: если А бесконечно
и каждое Еу (у ? Д) содержит окрестность Uy, отлич-
отличную от самого ?Y, то топология суммы сильнее топо-
топологии произведения в 2 ^v> поскольку ITlp~l(U)
есть окрестность в первой топологии, но не во второй.
Предложение 22. Топологическая сумма 2^\>
отделима тогда и только тогда, когда каждое Еу отде-
отделимо, и в этом случае каждое Еу замкнуто в 2 Еу.
Доказательство. Если 2 ^Y отделимо, то
этим свойством обладает и каждое Еу, ибо топология
суммы g индуцирует в Еу исходную топологию (пред-
(предложение 21). Обратно, если каждое Еу отделимо, то
X?Y отделимо в топологии произведения т] (предло-
(предложение 17) и, значит, 2 ^v отделимо в мажорирующей
ее топологии |. А тогда, поскольку Еу замкнуто в Х/^
в топологии т] (предложение 20), оно замкнуто в 2^v
в топологии |.
Следующий наш результат относится к полноте
топологических сумм. Чтобы подготовить его, дока-
докажем следующее утверждение:
Лемма 3. В топологической сумме 2^v суще-
существует базис абсолютно выпуклых окрестностей, замк-
замкнутых в топологии произведения.
Доказательство. Пусть 7\ для каждого
у€Г — базис абсолютно выпуклых окрестностей в Еу.
Тогда (следствие предложения 4) абсолютно выпук-
выпуклые оболочки множеств вида UVY (VY?7\) образуют
базис окрестностей Т топологии суммы | в Е = ^Еу.
Мы докажем, что замыкания множеств из Т в топо-
топологии произведения х\ образуют требуемый базис ок-
окрестностей, показав, что для каждой окрестности
V? T ее т]-замыкание содержится в ЗУ.
Пусть х принадлежит г]-замыканию окрестности V.
Существует конечное множество АсГ (состоящее,
скажем, из п элементов), такое, что ру(х)=0 для
136 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
Y$ А. Тогда, поскольку
есть Tj-окрестность, существует точка у ? V, такая,
что х — у ? W. Следовательно, ру{х — у) 6/гЧ/ для
всех у € А и потому
Так как y?V, то у= 2 Ъ/Уу, где 2 |Я.У|<1 (и лишь
конечное число A.Y отлично от нуля), а уу? VyczVuEy.
Таким образом,
Ру (У) = ^Y-^Y ^ ^Y^*
Следовательно,
{х-у) = — 21
Но
2/)(л-(/)^1/,и потому х—у
следовательно, х 6 3V.
Предложение 23. Топологическая сумма отде-
отделимых локально выпуклых пространств Еу полна то-
тогда и только тогда, когда каждое Еу
Доказательство. ЕслиЕ=2^7 полно, то и
все его замкнутые векторные подпространства Еу пол-
полны. Предположим теперь, что каждое Еу полно, и
пусть ^ — фильтр Коши в Е. Тогда <?Г есть также
базис фильтра Коши в X Еу (наделенном топологией
произведения г\), которое полно (следствие 1 предло-
предложения 18). Следовательно,(^"сходится в топологии ч\
к некоторой точке л: ? X ?Y. Покажем сначала, что
х?Е.
Пусть А — множество тех у ? Г, для которых
Р\ (х) ^0- Тогда для каждого у ? А существует абсо-
абсолютно выпуклая окрестность Uy в Еу, такая, что
6. Суммы 137
ру(х) (? иу. Так как
есть окрестность в топологии суммы | в Е, то eF" со-
содержит множество Л, малое порядка f/. Возьмем
произвольную точку {/6 Л. Если Д бесконечно, то су-
существует 6 ? А, такое, что р6{у) = 0. Поскольку х при-
принадлежит rj-замыканию множества Л, rj-окрестность
л; + -2-/'^1(^б) точки х пересекается с Л и потому
Р(Р
Полученное противоречие показывает, что Д должно
быть конечным, так что х ? Е.
Докажем, наконец, что^—>х в топологии |. Пусть
7°—базис g-окрестностей, замкнутых в топологии rj,
существование которого установлено леммой 3, и
V ? Т. Тогда (^"содержит множество В, малое поряд-
порядка yV: для любой точки z ?В имеем Bcz-\—^ V.
Так как х принадлежит rj-замыканию множества В,
а V Tj-замкнуто, то x^z-\--^V. Следовательно,
z?x+^V и B(=x + yV + JV = x +V- Таким
образом, <&~-*-х в топологии |, и Е полно.
Предложение 24. S отделимой топологиче-
топологической сумме 2 ?у множество А ограниченно или пред-
компактно тогда и только тогда, когда оно содержит-
содержится в сумме конечного числа обладающих тем же свой-
свойством подмножеств подпространств Еу.
Доказательство. Любое множество такого
вида, очевидно, ограниченно или соответственно пред-
компактно. Обратно, если Л — ограниченное или пред-
компактное множество, то и каждая его проекция
Рч(А) ограниченна или предкомпактна вследствие не-
непрерывности каждого ру. Поскольку Лс2/)у(Л), до-
достаточно поэтому показать, что не более конечного
138 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
числа этих проекций отлично от {0}. Но если это не
так, то существуют последовательность (у(п)) и по-
последовательность точек (хп), такие, что хпф0 и
хп € Ру(п)(А)- Тогда существуют абсолютно выпуклые
окрестности Uy(n), для которых xn(?nUy(n). Для каж-
каждого \(]г{у(п)} положим Uy = Ey; тогда выпуклая обо-
оболочка U объединения всех окрестностей Uy будет окрест-
окрестностью в топологии суммы, такой, что pY(n)(U) czf/Y(n)
для каждого п. Таким образом, nU не содержит А ни
для какого п в противоречие с ограниченностью мно-
множества А.
Следствие. В отделимой топологической сум-
сумме 2 Еу замкнутое множество А компактно тогда и
только тогда, когда оно содержится в конечной сумме
компактных подмножеств пространств Еу.
В самом деле, такое множество компактно (гл. III,
леммы 7A1) и 6A1)). Обратно, если А компактно, то,
как видно из доказательства предложения 24, А —
замкнутое подмножество суммы конечного числа
проекций ру(А), а эти множества компактны (гл. III,
предложение 7).
Предложение 25. Сопряженное к топологиче-
топологической сумме 2 ?у есть произведение X Е'у сопряжен-
сопряженных Еу к пространствам Еу. Если каждое Еу отделимо,
а каждое Еу наделено топологией Лу-сходимости, то
топология произведения вУ^Ёу есть топология Л-схо-
димости, где Л — множество объединений всевозмож-
всевозможных конечных семейств множеств из \}JLS.
Доказательство. Линейная форма х' на
Е= 2 ?у непрерывна тогда и только тогда, когда не-
непрерывно каждое из ее сужений ху на Еу; тождество
(х, x') = *2i(py(x), x'y) устанавливает алгебраический
изоморфизм между сопряженным к ? и У^ЕУ. Второе
утверждение следует из предложения 15, поскольку
отображением, сопряженным к /Y, служит проек-
проекция р'у произведения У^ЕУ на Еу.
6. Суммы 139
В отличие от предложения 15 для предложения 25
справедливо и дуальное предложение, в котором сум-
сумма и произведение меняются ролями.
Предложение 26. Сопряженное к топологиче-
топологическому произведению X Еу есть сумма 2 Еу сопряжен-
сопряженных Еу к пространствам Еу. Если каждое Еу отде-
отделимо, а каждое Еу наделено топологией Лу-сходимос-
ти (причем множества из <АУ абсолютно выпуклы),
то топология суммы в 2-^у есть топология Л-сходи-
мости, где Л — множество всевозможных произведе-
произведений X Ау, в которых Ау ? <АУ для каждого у?Т.
Доказательство. Пусть х' — непрерывная ли-
линейная форма на рассматриваемом произведении,
ограниченная на окрестности
где А — конечное подмножество из Г и каждое Uy —
окрестность в Еу. Тогда х' обращается в нуль на Еу
для каждого у (? А, и потому х'= 2 -*v где Л-уг==Л-' °J —
сужение х' на Еу. Таким образом, х' ?2 Е'т Далее,
топология суммы обладает базисом окрестностей, со-
состоящим из абсолютно выпуклых оболочек множеств
вида ЦА°у, где Ау€.Ау, а его поляра Ау берется в Еу.
Мы должны доказать, что множества А° (А?<А) оп-
определяют ту же топологию. Поэтому доказательство
будет завершено, если мы покажем, что для каждого
Л = ХД,?с/?имеют место включения V'aA°cz2V', где
V — абсолютно выпуклая оболочка множества U-^y-
Первое включение V'aA° очевидно. Докажем вто-
второе. Пусть х' = 2 х' ? А° и А — конечное множество,
образованное теми \€ Г, для которых
140 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
Тогда х! — 2 ху равно на А нулю и потому необхо-
необходимо принадлежит V; с другой стороны,
поскольку
sup|(jc, x')\= 2
?A €Д
Следовательно, л;' ? V' + V'=2V.
Это предложение позволит нам расширить класс
известных бочечных пространств.
Предложение 27. Произведение отделимых бо-
бочечных пространств бочечно.
Доказательство. Пусть ? = X?Y — это про-
произведение и f' = 2^y — его сопряженное (предложе-
(предложение 26). Наделим каждое Еу любой топологией, со-
согласующейся с двойственностью между Е'у и Еу, на-
например топологией а(?"у, ?\). Тогда сопряженным
к Е', наделенному топологией суммы |', будет Е
(предложение 25). Следовательно, если А' слабо
ограниченно, то оно также |'-ограниченно (гл. IV,
теорема 1) и, значит (предложение 24), А'с 2 ^у'
где Д конечно, а каждое А'^ — слабо ограниченное
множество в Еу. Но каждое Еу бочечно, а потому каж-
каждое Ау равностепенно непрерывно. Следовательно, А'
равностепенно непрерывно, и тем самым Е бочечно.
Мы имеем теперь два частных случая индуктивных
пределов: фактортопологию и топологию суммы.
И снова этим охватываются все случаи:
Предложение 28. Пусть Е — индуктивный пре-
предел локально выпуклых пространств Еу относительно
отображений ит Тогда Е изоморфно факторпростран-
ству суммы 2 ^V
Доказательство. Определим линейное ото-
отображение и пространства2^y B ?,положив «B^)=*
t. Топологические дополнения 141
= 2uy(^y)- Из нашего специального условия, что
[]Uy(Ey) порождает Е, вытекает, что и отображает
2Еу на Е- Так как «o/Y=«Y для каждого у и каж-
каждое «Y непрерывно, то также и непрерывно. Но те-
теперь и можно представить в виде v»k, где k — кано-
каноническое отображение 2^у на ^= ^^/""'(О). а w —
непрерывное взаимно однозначное отображение F на Е
(предложение 2). Покажем, что и непрерывно. Для
каждого у имеем 1)-'ону=Ь/у, а это отображение не-
непрерывно; следовательно (предложение 5), и w1 не-
непрерывно. Таким образом, v — изоморфизм F на Е.
7, Топологические дополнения. Предположим, что
Е — локально выпуклое пространство, а М и N — его
векторные подпространства, такие, что Е есть алгеб-
алгебраическая прямая сумма М и N (для чего необхо-
необходимо и достаточно, чтобы M + N = E и МПЛ/={0}).
Пожалуй, несколько разочаровывающим выглядит то,
что Е не обязательно является топологической сум-
суммой пространств М и N, наделенных каждое индуци-
индуцированной топологией, а естественный алгебраический
изоморфизм между Е/М и N не обязательно тополо-
топологический.
Предложение 29. Пусть локально выпуклое
пространство Е есть алгебраическая прямая сумма
своих векторных подпространств М и N, р и q —
проекции EnaMuN.ahuk — канонические отобра-
отображения Е на Е/М и E/N. Тогда следующие утвержде-
утверждения равносильны:
(I) E есть топологическая сумма подпространств
MuN;
(II) р непрерывно;
(III) q непрерывно;
(IV) h есть изоморфизм N на Е/М;
(V) k есть изоморфизм М на E/N.
Доказательство. Так как p + q есть тожде-
тождественное отображение Е на себя, утверждения (II)
и (III) равносильны. Далее, топология суммы в M + N
есть сильнейшая локально выпуклая топология, совпа-
совпадающая с исходными топологиями в М и N. По пред-
142 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
ложению 21 она совпадает с топологией произведения
и, значит, является слабейшей топологией, при кото-
которой р и q непрерывны. Следовательно, (I) равносиль-
равносильно (II) и (III). Наконец, для любой окрестности U
в Е множество k(UuM) есть окрестность в E/N то-
тогда и только тогда, когда
есть окрестность в Е. Следовательно, (II) равносиль-
равносильно (V) и аналогично (III) равносильно (IV).
Следствие. Если локально выпуклое простран-
пространство Е есть алгебраическая прямая сумма конечно-
конечномерного векторного подпространства М и замкнутого
векторного подпространства N, то Е — топологическая
сумма подпространств М и N.
Доказательство. В силу предложения 1, E/N
отделимо. Так как k — взаимно однозначное непре-
непрерывное линейное отображение М на E/N, то М тоже
отделимо, и потому k — топологический изоморфизм
(гл. II, предложение 11). Тем самым справедливо
утверждение (V) теоремы.
Позже мы докажем (гл. VI, следствие 2 теоре-
теоремы 8), что если пространство Фреше Е является ал-
алгебраической прямой суммой своих замкнутых век-
векторных подпространств М и N, то оно является также
их топологической суммой.
Если Е — векторное пространство, а М — его век-
векторное подпространство, то всякое векторное подпро-
подпространство N пространства Е, такое, что Е есть алгеб-
алгебраическая прямая сумма М и N, называют алгебраи-
алгебраическим дополнением подпространства М в Е. Алгеб-
Алгебраическое дополнение всегда существует: нужно лишь
взять какой-либо базис А подпространства М и рас-
расширить его до базиса В пространства Е, тогда В ПСА
будет порождать векторное подпространство, являю-
являющееся алгебраическим дополнением подпространства
М в Е. Аналогично, если Е — локально выпуклое про-
пространство, а М — его векторное подпространство, то
всякое векторное подпространство N пространства Е,
такое, что Е есть топологическая сумма М и /V, назы-
7. Топологические дополнения 143
вают топологическим дополнением подпространства
М в Е. К сожалению, такое топологическое дополне-
дополнение отнюдь не всегда существует Прежде всею,
если Е отделимо, то для того, чтобы М обладало то
пологическим дополнением, оно должно быть замкну-
замкнутым (ибо по предложению 22 М замкнуто в M+N).
Но даже не все замкнутые векторные подпростран-
подпространства обладают топологическими дополнениями. Лю-
Любые два топологических дополнения подпростран-
подпространства М в Е изоморфны, ибо оба они изоморфны фак-
торпространству Е/М (предложение 29).
Предложение 30. Векторное подпростран-
подпространство М локально выпуклого пространства Е обла-
обладает топологическим дополнением тогда и только то-
тогда, когда существует непрерывное линейное отобра-
отображение р пространства Е в себя, такое, что р(Е)—М
и р2=р.
Доказательство. Если iV — топологическое
дополнение к М в Е то требуемым свойством обла-
обладает проекция р суммы M+N на М Обратно, если
существует такое отображение р, то пусть N = p-l@);
тогда р есть проекция M + N на М и (предложение 29)
Е — топологическая сумма М и N.
Линейное отображение р векторного простран-
пространства Е в себя со свойством р2=р называется проекто-
проектором; Е есть тогда алгебраическая прямая сумма под-
подпространств р(Е) и /г'@).
Из следствия предложения 29 вытекает, что если
М — замкнутое векторное подпространство локально
выпуклого пространства Е, такое, что Е/М конечно-
конечномерно, то каждое алгебраическое дополнение к М
является также топологическим дополнением Кроме
того, справедливо
Предложение 31. В отделимой локально вы-
выпуклом пространстве каждое конечномерное вектор-
векторное подпространство обладает топологическим допол-
дополнением.
Доказательство. Пусть ей .., е, — базис
конечномерного векторного подпространства М. Тогда
144 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
существуют непрерывные линейные формы /ь ...
...,/„, такие, что /г(е,)=0, если 1ф}, и ^(е,-)=1
(гл. II, следствие леммы 5, если рассматривать е{ как
линейные формы на сопряженном пространстве).По-
пространстве).Положим
1<г<л
Тогда
2121
г<ку<
Следовательно, р — непрерывный проектор на М и,
значит (предложение 30), М обладает топологическим
дополнением.
Дополнения
A) Сильнейшая локально выпуклая топология.
Пусть Г—любое множество индексов; множество
X Е , в котором каждое Еу совпадает с фиксирован-
ver
ным множеством Е, обычно обозначают Ет; это мно-
множество всех функций, определенных на Г и прини-
принимающих значения в Е. Если Е — векторное простран-
пространство, то и Ет — векторное пространство. Например,
пространство всех скалярных функций на множе-
множестве S (гл. I, дополнение 7) есть произведение Фэ;
при этом топология поточечной сходимости на 5, как
легко видеть, совпадает с топологией произведения
в Фэ. Мы уже видели, что алгебраическое сопряжен-
сопряженное Е* к векторному пространству Е полезно рас-
рассматривать как векторное подпространство произве-
произведения ФЕ (гл. III, дополнение 3). С другой стороны,
если А—какой-нибудь базис пространства Е, то Е*
отождествимо с ФА и при этом слабая топология
а(Е*, Е) будет совпадать с топологией произведе-
произведения в ФА. А само векторное пространство Е отож-
отождествимо с суммой экземпляров поля Ф по одному
для каждого элемента базиса А. Поэтому топология
суммы, сильнейшая локально выпуклая топология,
Дополнения 145
индуцирующая обычную топологию в каждом экземп-
экземпляре поля Ф, совпадает с сильнейшей локально вы-
выпуклой топологией %{Е, Е*). Другим полезным под-
подходом к топологии r(E, E*) является рассмотрение
ее как топологии индуктивного предела, определяе-
определяемого всеми конечномерными векторными подпро-
подпространствами пространства ? в их (единственных) евк-
евклидовых топологиях.
B) Ассоциированная отделимая топология. Как
упоминалось в гл. I (см. замечания, следующие за
предложением 8), обычно можно исключить из рас-
рассмотрения неотделимые локально выпуклые про-
пространства, переходя к факторпространствам. Если Е
неотделимо, то пересечение N всех окрестностей на-
начала (т. е. замыкание множества, состоящего из од-
одного начала) —замкнутое векторное подпространство
в Е, и потому E/N — отделимое локально выпуклое
пространство (предложение 1). Каноническое отобра-
отображение k пространства Е на E/N наряду с тем, что оно
переводит открытые множества в открытые, а ком-
компактные — в компактные, обладает еще тем дополни-
дополнительным свойством, что образ замкнутого множества
замкнут. (В самом деле, если АаЕ замкнуто и k(a) (?
(fck(A), то существует абсолютно выпуклая окрест-
окрестность U, для которой (a + 2U) Г\А=0; поскольку
NdU, тогда (a+U+N) ПЛ = 0, а это означает, что
k(a)+k(U) не пересекается с k(A).) Аналогичное
рассуждение показывает, что Е полно тогда и только
тогда, когда E/N полно. Всякое непрерывное линейное
отображение t пространства Е в отделимое локально
выпуклое пространство F должно всюду на N обра-
обращаться в нуль (поскольку t(N) содержится в любой
окрестности из F), и потому t допускает каноническое
разложение t=u°k, где и — непрерывное линейное
отображение E/N в F. Поэтому, в частности, Е и E/N
имеют одно и то же сопряженное.
C) Индуктивные пределы. Пусть Е — векторное
пространство и (Еу: \?Т) —семейство его векторных
подпространств, причем каждое Еу — локально вы-
выпуклое пространство с топологией |v. Обозначим
\Q Зак. 706
146 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
топологию индуктивного предела в Е через |. Если те-
теперь (F6: б € А) — еще одно семейство векторных под-
подпространств пространства Е, причем каждое Ft, наде-
наделено локально выпуклой топологией ць, то Е можно
наделить также топологией индуктивного предела ц,
определяемой этими F&- Часто бывает важно знать,
как связаны между собой топологии | и ц. Приведем
следующий простой критерий: если каждому Еу соот-
соответствует такое F6, что EyczF6 и gY мажорирует г^
в Еу, то | мажорирует х\. (В самом деле, это условие
влечет, что х\ индуцирует в каждом Еу топологию, ма-
мажорируемую топологией gY.) Если выполнено также
противоположное условие, в котором (Еу) и (^б) по-
поменялись ролями (так что пространства (Еу), (F6)
вместе с их топологиями перемежаются), то | и г\
совпадают.
Одним из полезных следствий этого критерия яв-
является то, что индуктивный предел семейства
(Еу: у?Г) подпространств совпадает с индуктивным
пределом подсемейства (Еу: у ? Д) (ДсГ), если
предположить, что каждое Еу содержится в некото-
некотором Еь с 6? А, причем топология в Еу, индуцируемая
из Е6, мажорируется исходной топологией в Еу. Так,
например, при топологизацииа2ГE), где S — локаль-
локально компактное пространство (гл. I, дополнение 2в),
можно взять любой базис Л компактных подмножеств
пространства S (т. е. такое множество компактных
подмножеств из S, что каждое компактное множе-
множество из S содержится в некотором множестве из <Л), а
затем образовать индуктивный предел подпространств
sTaE) по А?о1. В качестве другой иллюстрации
этого свойства отметим, что топология простран-
пространства 3) (гл. I, дополнение Зг) не зависит от выбора
последовательности интервалов, используемых для
ее определения. (Ранее мы использовали интервалы
[—п, п], однако любой базис компактных интервалов
дал бы ту же топологию.)
D) Индуктивные и проективные пределы экстре-
экстремальных топологий. Мы рассмотрим здесь, как топо-
топологии а, х и р ведут себя по отношению к операциям
образования индуктивного и проективного пределов.
Дополнения 147
Имеются только два вполне общих результата: любой
(отделимый) индуктивный предел пространств, имею-
имеющих топологию т, также имеет топологию т, и любой
проективный предел пространств с топологией о так-
также имеет топологию о. (Если Е — индуктивный пре-
предел пространств Еу относительно отображений «Y, то
топология индуктивного предела g — это сильнейшая
локально выпуклая топология, при которой все «Y не-
непрерывны. Но если Е' — сопряженное к ?и каждое ?Y
наделено топологией х(Еу, Е'у), то «Y будут непрерыв-
непрерывными и в топологии х(Е, ?'), мажорирующей g
(гл. III, предложение 14), а, значит, g совпадает с
х(Е, Е'). Второе утверждение доказывается аналогич-
аналогично с использованием предложения 13 гл. II.)
Таким образом, слабая топология индуцирует в
векторном подпространстве слабую топологию, и
произведение слабых топологий есть слабая тополо-
топология. Точно также и отделимая фактортопология сла-
слабой топологии есть слабая топология (на основании
предложения 3 и непосредственного рассмотрения
окрестностей). Однако сумма слабых топологий может
уже не быть слабой топологией (контрпример доста-
доставляет х(Е, ?*); см. дополнение 1).
Другой из приведенных выше общих результатов
показывает, что топология т сохраняется при пере-
переходе к отделимым факторпространствам и суммам.
Топологии тир сохраняются при переходе к произ-
произведениям. (Если Е = ^ЕУ и Е' = Хе'у, то каждое
а(Е, Ег) -ограниченное множество, в силу предложе-
предложения 24, содержится в сумме или объединении конеч-
конечного числа ограниченных подмножеств отдельных про-
пространств Еу; следствие предложения 24 показывает,
что то же справедливо и для абсолютно выпуклых
а(Е, Е') -компактных множеств. Следовательно, по
предложению 25 топологией произведения в Е' слу-
служит р или т в соответствии с тем, какой из тополо-
топологий, р или т, наделено каждое Еу.) Аналогичное дока-
доказательство, использующее предложения 14 и 26,
показывает, что сумма пространств, наделенных топо-
топологией р, имеет топологию р.
10*
148 Гл. V. Индуктивные и проективные пределы
Известны контрпримеры, показывающие, что топо-
топология х(Е, Е') не обязательно индуцирует в вектор-
векторном подпространстве М пространства Е топологию
т(М, Е'/М°), а топология р(/?', Е) не обязательно
индуцирует топологию Р(М°, Е/М) в подпростран-
подпространстве или топологию §(Е'1М°, М) в факторпростран-
стве.
ГЛАВА VI
ПОЛНОТА И ТЕОРЕМА О ЗАМКНУТОМ ГРАФИКЕ
В этой и следующих главах каждый параграф со-
содержит свои собственные вводные замечания.
Понятие полноты того или иного вида есть то, что
объединяет содержание этой главы.
1. Пополнение локально выпуклого пространства.
В этом параграфе мы показываем, как любое отдели-
отделимое локально выпуклое пространство Е можно вло-
вложить в качестве плотного векторного подпространства
в полное отделимое локально выпуклое простран-
пространство Ё, называемое пополнением Е. Каждый фильтр
Коши в Е, будучи базисом фильтра Коши в Е, схо-
сходится тогда к некоторой точке из Е. Существуют раз-
различные способы построения такого пополнения Е;
здесь излагается один из них, так что, строго го-
говоря, Ё следовало бы характеризовать лишь как не-
некоторое пополнение Е. Но, как оказывается, все ме-
методы дают то же самое пополнение (с точностью до
изоморфизма, что доказывается после следствия 1
предложения 6), и потому мы с самого начала будем
называть Е просто пополнением пространства Е.
Главным результатом, относящимся к пополнению Е,
является теорема 3. Поскольку топология любого от-
отделимого локально выпуклого пространства совпадает
с топологией равномерной сходимости на равносте-
равностепенно непрерывных подмножествах его сопряженного,
несколько более общим является изучение пополнения
сопряженного пространства, наделенного топологией
<А-сходимости. Мы предполагаем для технической
простоты и без потери общности, что поляры мно-
множеств из Л образуют базис окрестностей топологии
150 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
о#-сходимости и что эта топология отделима. Это
обеспечивается условиями В1—ВЗ, сформулирован-
сформулированными в § 2 гл. III.
Теорема 1. Пусть (Е, Е') — дуальная пара, и
Л—множество ограниченных подмножеств из Е,
удовлетворяющее условиям В1—ВЗ (гл. III, § 2). То-
Тогда пополнением пространства Е', наделенного топо-
топологией Л-сходимости, служит векторное подпростран-
подпространство
М'= f\ (
А
пространства Е*, наделенное топологией Л-сходимо-
Л-сходимости, где поляры А0 взяты в Е*.
Доказательство. Если z'^M' и А?Л, то
z'€Е'' +Ас', так что существует х'?Ег, для которого
г'€л/+Л°. Следовательно, каждое А?Л о(Е, /Не-
/Неограниченно и в М' может быть определена топология
i^-сходимости. Кроме того, Е' плотно в М', наделен-
наделенном этой топологией, ибо каждая окрестность z'+A° —
— zr — А° точки z' содержит точку х' ?Е''.
Поэтому теорема будет доказана, если мы пока-
покажем, что М' полно. Пустьа?"'—фильтр Коши в М'. Так
как топология Л -сходимости мажорирует топологию
о(М', Е), индуцируемую в М' топологией а(Е*, Е), то
of' — базис фильтра Коши в Е*, наделенном тополо-
топологией о(Е*, Е). Но Е* о(Е*, Е)-полно (гл. III, пред-
предложение 13), и потому (^'сходится к некоторой точ-
точке х*?Е* в топологии а(Е*, Е). Но для каждого
А?Л в &"' содержится множество В', малое поряд-
порядка Л°, так что z +А° для всякого z' ?B' есть а(Е*,Е)-
замкнутое множество, принадлежащее <&"'. Следова-
Следовательно,
х* ? Z' + А° с Е' + А" + А" = Е' + 2 А"
и потому х*€ЛГ. Аналогично из г'€х* + Л° следует,
что В'сх* + А°, и поэтому <&~'—* х* в топологии с^-схо-
димости. Таким образом, М' полно.
Следствие 1. Каждое А?Л является а{Е) М')-
ограниченным.
1. Пополнение локально выпуклого пространства 151
Следствие 2. Если Е' наделено топологией
(Е', Е), то топологией его пополнения М' будет
{М\Е)
Имеются две другие полезные характеризации по-
пополнения Е' в топологии с^-сходимости. Для них
удобно предположить, что каждое А^Л абсолютно
выпукло и а(Е, Е')-замкнуто. Это всегда можно
сделать, поскольку топология с^-сходимости совпадает
с топологией равномерной сходимости на замкнутых
абсолютно выпуклых оболочках множеств иЗс^. Нам
потребуется прежде всего
Лемма 1. Пусть А—абсолютно выпуклое мно-
множество в локально выпуклом пространстве Е, a t —
произвольное линейное отображение Е в локально
выпуклое пространство F. Тогда t непрерывно на А
в индуцированной топологии тогда (и только тогда),
когда t непрерывно на А в начале.
Доказательство. Пусть а€Л и V — любая
окрестность в F. Если / непрерывно на Л в начале, то
существует такая абсолютно выпуклая окрестность V
в Е, что t(Uf)A)cz yl/. Тогда для каждого
Г) Л будем иметь
х - а 6B?/) П (А - Л)с2 (U П Л)
и, следовательно, t(x)?t(a)+V. Таким образом, /
непрерывно на Л в а.
Теорема 2. Пусть (Е, Е')—дуальная пара,
? — произвольная топология в Е, согласующаяся с
двойственностью между Е и Е', и Ж — множество
замкнутых абсолютно выпуклых ограниченных мно-
множеств из Е, удовлетворяющее условиям В1—ВЗ. Тог-
Тогда пополнением М' пространства Е', наделенного то-
топологией Л-сходимости, служит множество всех ли-
линейных форм на Е, ^-непрерывных на каждом A^JL-
Доказательство. Пусть U — какой-нибудь ба-
базис замкнутых абсолютно выпуклых |-окрестностей;
152 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
тогда
Е'= (J Ц°
и, следовательно, г' принадлежит
М'= f) (Е'
А
тогда и только тогда, когда для каждого А?Л суще-
существует такое U €.21, что
Покажем, что (U r\A)oczU°+A°cz2(U Г\А)°. Здесь вто-
второе включение следует из того, что U°cz(UГ\А)° и
A°cz(Ur\A)°. Что касается первого, то U° a(E*, E)-
компактно (гл. III, теорема 6), а А0 а(Е*, В)-замк-
В)-замкнуто. Следовательно (гл. III, лемма 7 (III)), U°+A°
о(Е*, Е)-замкнуто. Поэтому U°+A° содержит
а(Е*, Е)-замкнутую абсолютно выпуклую оболочку
множества U°\iA°, являющуюся полярой множества
Uf]A (гл. II, следствие 3 теоремы 4).
Если теперь z' непрерывно на всех А?Ж, то для
каждого А существует такое U?и, что z'? (t/ПЛH,
и потому г'?ЛГ и А €М'. Обратно, пусть z' ^ JL. То-
Тогда B/s)A ?ut для каждого е>0 (в силу В2), и по-
потому существует такое U € U, что
z' 6 (ти)° + (т А)° = ТЕ(^° + A°)cze(U П АH.
Следовательно, z' непрерывно на Л в начале и по-
потому, в силу леммы 1, непрерывно на А.
Следствие 1. Если каждая линейная форма
на Е, непрерывная на всяком А^Л, непрерывна на Е,
то Е', наделенное топологией Л-сходимости, полно.
Следствие 2. Линейные формы, непрерывные
на каждом А^Л, одни и те же для всех топологий,
согласующихся с данной двойственностью.
В самом деле, М' не зависит от |.
Следствие 3. Топологии а(Е, Е') и o(Et M')
совпадают в каждом А?Л
/. Пополнение локально выпуклого пространства 153
Доказательство. В качестве топологии |тео-
|теоремы 2 возьмем а(Е, Е'). Из ^-непрерывности каж-
каждого z'?М' в точке а?А следует, что для каждой
о{Е, М') -окрестности V существует а(Е, Е') -окрест-
-окрестность U, такая, что
(a+U)(]Aca-\-V.
А поскольку а{Е, М') мажорирует а{Е, Е'), они со-
совпадают в каждом AA
Следствие 4. Если Е' наделено топологией
х(Е', Е), то топологией его пополнения >М' будет
х(М', Е).
В самом деле, если Л — множество всех абсолют-
абсолютно выпуклых о(Е, Е')-компактных множеств из Е, то
по следствию 3 Л есть также множество всех абсо-
абсолютно выпуклых а{Е, М') -компактных множеств из Е.
Предложение 1. Пусть Е — отделимое про-
пространство Макки, и каждое компактное подмножество
из Е содержится в некотором A^JL. Тогда сопря-
сопряженное Е' к пространству Е, наделенное топологией
Л-сходимости, полно.
Доказательство. Пусть z' непрерывно на ка-
каждом A (z<A; покажем, что z' есть ограниченная линей-
линейная форма на Е (см. гл. V, § 3). Если это не так, то
существуют точки хп, принадлежащие ограниченному
множеству ВсЕ, для которых \{хп, 2')|>и2. По-
Поскольку В ограниченно, /г1.^ —> 0, а потому множе-
множество, состоящее из точек п~ххп и начала, компактно.
Тогда существует множество А?и?, содержащее все
п~1хп, и, следовательно, z' неограниченно на Л в про-
противоречие со следствием 1 теоремы 1.
Следствие 1. Сильное сопряженное Е' к отде-
отделимому пространству Макки Е полно. В частности,
сильное сопряженное Е' к метризуемому простран-
пространству Е полно.
Следствие 2. Сопряженное Е' к полному отде-
отделимому пространству Макки Е, наделенное тополо-
топологией х(Е',Е), полно.
154 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
В самом деле, каждое компактное множество
BczE содержится тогда в некотором абсолютно вы-
выпуклом а(Е, Е') -компактном множестве (его замкну-
замкнутой абсолютно выпуклой оболочке; гл. III, следствие
теоремы 5).
Дадим теперь вторую характеризацию пополнения
сопряженного пространства.
Предложение 2. Пусть {Е,Е') — дуальная па-
пара, JL — множество слабо замкнутых абсолютно вы-
выпуклых ограниченных подмножеств из Е, удовлетво-
удовлетворяющее условиям В1 — ВЗ, и М' — пополнение про-
пространства Е', наделенного топологией Л-сходимости.
Тогда z' ?М' в том и только в том случае, когда
г'-*@)Г\А а(Е, Е')-замкнуто для каждого А^Л
Доказательство. По теореме 2 всякое ?
непрерывно на каждом А ?А и, значит, г7-1 @) П Л
замкнуто в А. Поскольку А замкнуто, это множество
замкнуто также в Е.
Обратно, пусть Я=2/~'@) пересекает каждое
А ?и? по замкнутому множеству и пусть задано е>0.
Если zf не обращается всюду на Л в нуль, то суще-
существует точка а?А, в которой {a,z')=a, где 0<а-Се.
Так как а(?Я, то существует такая а (Е,Е') -окрест-
-окрестность U, что a + U не пересекается с замкнутым мно-
множеством ЯП BЛ). Тогда | (х, z') \ <a<s на U0A, ибо
в противном случае существовала бы точка х? U0A,
для которой {х, z') =—а, и х+а принадлежало бы
множеству ЯП BЛ) П (a + U). Таким образом, zf не-
непрерывно на каждом А и потому принадлежит М'.
Поскольку пополнение М' пространства Е', на*
деленного топологией JL-сходи мости, является век-
векторным подпространством в Е*, можно рассматри-
рассматривать отношения включения между пополнениями Е'
в различных топологиях. Из теоремы 1 сразу следует
Предложение 3. Пусть (Е, Е')—дуальная
пара, Л и <Ш — множества ограниченных подмножеств
из Е, удовлетворяющие условиям В1 — ВЗ, а М' и
N' — пополнения пространства Е', наделенного соот-
соответственно топологиями Л- и ^-сходимости. Если тогда
/. Пополнение локально выпуклого пространства 155
icf, то N'czM'. В частности, если Е' полно в топо-
топологии Л-сходимости, оно также полно во всякой бо-
более сильной топологии &-сходимости.
Следствие. Каждое множество К'аЕ', полное
в топологии Л-сходимости, полно и во всякой более
сильной топологии $ -сходимости.
Доказательство. Поскольку К' замкнуто в М',
оно замкнуто в N' в топологии, индуцированной из М'.
Но эта топология мажорируется топологией ^-сходи-
^-сходимости в N', и потому К' замкнуто в N'. Следователь-
Следовательно, К' в топологии ^-сходимости полно.
Это следствие можно использовать для уточнения
результата (гл. III, теорема 6) о слабой компакт-
компактности поляры окрестности. Пусть \ — произвольная
топология в Е, согласующаяся с двойственностью ме-
между Е и Е'; обозначим через я(?) топологию (в Е')
равномерной сходимости на множестве всех замкну-
замкнутых абсолютно выпуклых g-предкомпактных подмно-
подмножеств из Е.
Предложение 4. Предположим, что Е — отде-
отделимое локально выпуклое пространство с топологией
I и сопряженным Е'. Тогда поляра U° каждой окре-
окрестности U из Е я (?) -компактна в Е'\ при этом я(?)
есть сильнейшая из топологий равномерной сходимо-
сходимости, в которых множества U° компактны (или даже
предкомпактны)').
Доказательство. Как мы уже знаем (гл. III,
теорема 6), U° а(Е', Е)-компактно и потому а(Е', Е)-
полно. Согласно следствию предложения 3, U° также
я (|)-полно. Будучи, кроме того, я(?)-предкомпактным
(гл. III, следствие 1 теоремы 3), U° я(Q -компактно.
') Если Е полно, то зт(|) —сильнейшая из всех вообще ло-
локально выпуклых топологий в Е', индуцирующих в каждом U"
ту же (компактную) топологию, что и о(Е',Е). В самом деле,
если т) — такая топология, то всякая т)-непрерывная линейная
форма на Е' а(Е', Е)-непрерывна на всех U" и потому принад-
принадлежит Е (теорема 3). Так как при этом поляра всякой -^-окрест-
-^-окрестности нуля слабо ограниченна, то т) есть топология равномерной
сходимости и, значит, по предложению 4 мажорируется тополо-
топологией я(|). —Прим. ред..
156 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
Наконец, если каждое If предкомпактно в топологии
с^-сходимости, то каждое А ? Л должно быть пред-
предкомпактно в топологии | (гл. III, следствие 1 тео-
теоремы 3).
До сих пор в этом параграфе рассматривалось по-
пополнение сопряженного пространства. Применим те-
теперь эти результаты к локально выпуклому простран-
пространству с заданной топологией.
Теорема 3. Пусть Е — отделимое локально вы-
выпуклое пространство с сопряженным Е' и базисом
окрестностей и. Тогда подпространство (*| (E + U°°)
пространства Е'*, где биполяры взяты в Е'*, есть по-
пополнение Ё пространства Е, а множества U°°[\E
(U?U) образуют базис окрестностей в Ё. При этом Ё
есть множество всех линейных форм z на Е', а{Е', Е)-
непрерывных на поляре каждого U ? и, или, что рав-
равносильно этому, для которых 2-'(O)nf/0 будет
а{Е',Е)-замкнутым для каждого U^.21.
Доказательство. Эти утверждения следуют из
теорем 1 и 2 и предложения 2; поскольку топология
пространства Ё есть топология равномерной сходи-
сходимости на множествах If (?/?#), множества ?/00Л?
образуют базис окрестностей.
Топология о(Е',Е) в утверждении теоремы может
быть заменена любой топологией, согласующейся с
двойственностью между Е' и Е (следствие 2 теоре-
теоремы 2 и гл. II, предложение 8). Следствия 3 и 4 теоре-
теоремы 2 показывают, что топологии а{Е', Е) и а(Е',Е)
совпадают в каждом U° и что если Е наделено топо-
топологией х(Е, Е'), то топологией Ё служит т {Ё,Е').
Следствие 1. Пространство Е полно тогда и
только тогда, когда каждая линейная форма на Е\
а{Е', Е) -непрерывная на любом U°, a(E', Е)-непре-
Е)-непрерывна на Е'.
Следствие 2. Пространство Е полно тогда и
только тогда, когда каждое гиперподпространство в Е',
/. Пополнение локально выпуклого пространства 157
пересекающее всякое U" по а(Е', Е)-замкнутому мно-
множеству, а (Ё', Е)-замкнуто.
Из предложения 3 сразу вытекает
Предложение 5. Если Е — полное отделимое
локально выпуклое пространство, то Е полно в любой
более сильной топологии, согласующейся с той же
двойственностью.
Предложение 6. Пусть Е и F — отделимые ло-
локально выпуклые пространства и t — непрерывное ли-
линейное отображение Е в F. Тогда t обладает един-
единственным продолжением t, являющимся непрерывным
линейным отображением Ё в F.
Доказательство. Пусть f — сопряженное к t
отображение F' в Е', a f* — сопряженное к f отобра-
отображение Е'* в F'*. Если 21 и У — базисы замкнутых
абсолютно выпуклых окрестностей в Е и F, то каждо-
каждому У?У отвечает U?U, такое, что t(U)cV. Взяв
биполяры в Е'* и F'*, получаем /'* (U°°) с V00. Поэтому
и ?*(Ёп U°a)cFUV°°. Таким образом, сужение t ото-»
бражения f* на Е есть непрерывное линейное отобрав
жение Ё в F, служащее продолжением для t. Чтобы
показать, что t единственно, допустим, что и — еще
одно непрерывное линейное продолжение t до отобра-
отображения Ё в F. Тогда v = t — u непрерывно на Ё и
t>(?)={0}. Отсюда v(E)cz{0}={0\ и, значит, t=u
наЁ1).
') Предложение 6 допускает прямое доказательство (при-
(пригодное для любых отделимых топологических векторных про-
пространств). Пусть х ? ? и tf —фильтр окрестностей точки к
в Ё. Тогда его след еГ на Е есть фильтр Коши в ?. Поэтому
t(?T)—базис фильтра Коши в F, и, значит, сходится к некото-
некоторому у ? F. Положив t(x)—y, мы получим, как нетрудно про-
проверить, требуемое продолжение t отображения /. — Прим,, ред.
158 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
Следствие 1. Если t — изоморфизм Е на t{E),
то t — изоморфизм Ё на 1(Ё).
Доказательство. Поскольку t непрерывно,
t(E) содержится в замыкании (в F) множества t(E),
а так как t — изоморфизм, множества t(U), где U
пробегает U, образуют базис окрестностей в t(E).
Достаточно доказать, что если х^Ё и t(x) €t(U), то
лг€2г7. В самом деле, тогда ?(х) =0 влечет x?2U для
всех Udtt, откуда х=0, так что_? взаимно однознач-
однозначно, а соотношение f-1(t(U))cz2U показывает, что trx
непрерывно на t(E).
Итак, допустим, что имеется такое х ? Е, для кото-
которого t(x) € t(U), но х (? 2U. Тогда существует окрест-
окрестность точки х, которую можно считать содержащейся
в x+U, не пересекающаяся c_2f/, так что в Е имеется
точка у, содержащаяся в x+U, но не в 2U. Тогда
Но t(U) замкнуто в t(E) (поскольку U замкнуто, а
t — изоморфизм), и потому t(y) (z2t(U) в противоре-
противоречие с тем, что у (? 2U.
Это следствие позволяет обосновать высказанное в
начале параграфа утверждение, что пополнение един-
единственно с точностью до изоморфизма. В самом деле,
предположим, что Е может быть отображено с по-
помощью изоморфизма, скажем t, на плотное векторное
подпространство полного отделимого локально выпук-
выпуклого пространства F. Тогда Е изоморфно простран-
пространству t(E), которое тем самым полно и, следовательно,
замкнуто в F. Но так как оно содержит плотное век-
векторное подпространство t(E), оно будет совпадать с F,
а потому Е и F изоморфны.
Следствие 2. Если Е — отделимое локально вы-
выпуклое пространство с сопряженным Е', то сопряжен-
сопряженным к Ё также служит Е'.
/. Пополнение локально выпуклого пространства 159
Действительно, поскольку поле скаляров полно,
каждая непрерывная линейная форма на Е обладает
единственным непрерывным продолжением на Е, и
этим определяется изоморфизм между сопряженными
к Е и Е.
Отсюда следует, что если U — замкнутая абсолют-
абсолютно выпуклая окрестность в отделимом локально вы-
выпуклом пространстве Е, то U°°f]E есть замыкание U
в Е (гл. II, теорема 4 и предложение 8). Если р— про-
произвольная непрерывная преднорма на Е, скажем ка-
калибровочная функция замкнутой абсолютно выпуклой
окрестности U, то калибровочная функция р множе-
множества U00 П Е задается формулой
} \(z1 x')\:
так что р является (единственным) продолжением р
по непрерывности на Е.
Таким образом, всякое нормированное простран-
пространство можно вложить в его пополнение, которое будет
банаховым пространством относительно продолжен-
продолженной нормы. (См. гл. V, предложение 16 и далее.)
Ясно, что пополнение метризуемого локально вы-
выпуклого пространства тоже метризуемо и, следова-
следовательно, есть пространство Фреше.
Предложение 7. Пополнение отделимого бо-
бочечного пространства бочечно.
Доказательство. Пусть В— бочка в пополне-
пополнении Е бочечного пространства Е. Тогда ВГ\Е— бочка
и, следовательно, окрестность в Е, а потому ее замы-
замыкание В в Е есть окрестность в Е. Таким образом, Е
бочечно.
В заключение этого параграфа применим теорему 3
к доказательству одного результата, относящегося к
слабой компактности. Ценность этого результата со-
состоит в том, что он позволяет делать вывод о слабой
компактности множества, опираясь лишь на чисто сек-
секвенциальные свойства. Пусть (хп)—последователь-
(хп)—последовательность точек топологического пространства. Точку а
160 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
называют предельной точкой этой последовательности,
если каждая окрестность точки а содержит точки хп
со сколь угодно большими п. В метрическом простран-
пространстве это, очевидно, влечет существование сходящейся
к а подпоследовательности, откуда следует, что в ме-
метрическом пространстве множество А имеет компакт-
компактное замыкание тогда и только тогда, когда каждая
последовательность точек из А обладает предельной
точкой. В произвольном топологическом пространстве
этот последний результат теряет силу, хотя в ло-
локально выпуклом пространстве множество А, каждая
последовательность точек которого обладает предель-
предельной точкой, всегда предкомпактно. (В противном слу-
случае существовали бы абсолютно выпуклая окрест-
окрестность U и последовательность (хп) точек из А, такие,
что хт— хп (? U при пфт, и, следовательно, (хп)
не могла бы иметь предельной точки.) Таким образом,
в полном локально выпуклом пространстве множество
А, каждая последовательность точек которого обла-
обладает предельной точкой, имеет компактное замыка-
замыкание. Однако верно гораздо большее.
Теорема 4. (Теорема Эберлейна.) Пусть Е —
полное отделимое локально выпуклое пространство.
Если каждая последовательность точек множества
AczE обладает слабой предельной точкой, то слабое
замыкание множества А слабо компактно.
Доказательство. Пусть Е' — сопряженное к
Е. Замыкание В множества А в ?'*, наделенном топо-
топологией а(Е'*,Е'), компактно, поскольку в этой топо-
топологии А предкомпактно, а Е'* полно. Пусть z?В. По-
Поскольку Е полно, для доказательства того, что z?E,
достаточно показать, что z непрерывно в начале на
поляре каждой окрестности U (теорема 3 и лемма 1).
Предположим противное. Тогда при некотором е>0 не
существует о(Е',Е) -окрестности V, для которой бы
г^е(У'П(/°)°. Таким образом, существует такое
x[?U°, что | (z, Xj')|>8. Поскольку z?B, имеется
A'i 6Л, для которого
\(z-
x
v
/. Пополнение локально выпуклого пространства 161
тогда существует такое х'2 ? U°, что
и т. д. Таким образом определяются последователь-
последовательности (х„) в А н(х'Лв 11°, для которых|B — хп, х'\\ <
1 . ^ , , .. , 1
<-о-е при i<Cn, [(х-, х > <;-5-е при i < /t и
Но (хп) обладает какой-то предельной точкой а в
топологии о(Е, Е'), а поскольку U° a(E\ E) -компакт-
-компактна, (хп) обладает какой-то предельной точкой а'. То-
Тогда при каждом {
(a,^)=lirn(^(.),^>
для некоторой последовательности («(/)), так что
|(г, х'^~(а, ^/>|<-з е- Таким образом, \(а, х'.)\>
1 2
>е — -g-e = -g-e для всех t и потому
\{а, а')| = Шп|<а, ^(г))|>|е.
Но, с другой стороны, при каждом /
для некоторой последовательности (n(j)) и, значит,
Кл:,, flOK-g-e, откуда
| (а, а') | = lim | {xt (г), а') | < \ е.
Полученное противоречие показывает, что z содер~
жится в Е; следовательно, замыкание множества А в
топологии а(Е,Е') совпадает с В и тем самым ком-
компактно.
Следствие. Пусть Е — отделимое локально вы-
выпуклое пространство с сопряженным Е', и А — мно-
множество в Е, обладающее тем свойством, что каждая
последовательность его точек обладает предельной
И Зак. 706
162 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
точкой. Если Е полно в топологии %{Е,Е'), то в ис-
исходной топологии А компактно.
Доказательство. Каждая последовательность
точек множества А тем более имеет о(Е, ?')-предель-
?')-предельную точку, так что, в силу теоремы 4, его о{Е, Е')-
замыкание, скажем В, о{Е, ?')-компактно- Тогда В
а(Е, Е')-полно, а значит, полно в исходной тополо-
топологии (следствие предложения 3). Следовательно, и
замкнутое подмножество А множества В полно. Но
А, и, значит, также А, предкомпактно. Следовательно,
А компактно.
2. Теоремы о замкнутом графике и открытом ото-
отображении. Если Е и F — локально выпуклые простран-
пространства и t — взаимно однозначное непрерывное линей-
линейное отображение Е на F, естественно задать вопрос,
какие дополнительные условия обеспечивают, что и
обратное отображение h1 непрерывно, т. е. что t —
изоморфизм Е на F. Из одной теоремы Банаха следует,
что если Е и F — пространства Фреше, то t — изомор-
изоморфизм. Другая теорема Банаха, тесно связанная с пер-
первой, устанавливает, что если линейное отображение t
пространства Фреше в пространство Фреше имеет зам-
замкнутый график, то t непрерывно. Эти теоремы можно
распространить на более широкие классы локально
выпуклых пространств, и их обобщения составляют
содержание этого параграфа.
Оказывается, есть еще третья теорема Банаха, не-
неожиданно вторгшаяся в этот круг идей. В предыду»
щем параграфе было доказано, что в сопряженном к
полному отделимому локально выпуклому простран'
ству гиперподпространство слабо замкнуто, если оно
имеет слабо замкнутые пересечения с полярами всех
окрестностей. Теорема Банаха показывает, что в слу-
случае банахова пространства этим свойством обладают
не только гиперподпространства, но и все векторные
подпространства его сопряженного (ср. ниже теоре-
теорему 5 и дополнение 2). Мы подойдем к теоремам о
замкнутом графике и открытом отображении, рассма-
рассматривая класс локально выпуклых пространств, обла-
обладающих этим свойством.
2. Теоремы о замкнутом графике и открытом отображении 163
Пусть Е — отделимое локальное выпуклое про-
пространство с сопряженным Е'. Будем называть множе-
множество А'сЕ' почти замкнутым, если A'0U° o(E', E)-
замкнуто для каждой окрестности U из Е. Простран-
Пространство Е называется совершенно полным, если каждое
почти замкнутое векторное подпространство в Е'
а(Е', Е)-замкнуто. Это название оправдывается след-
следствием 2 теоремы 3, показывающим, что каждое со-
совершенно полное пространство полно. Совершенно
полные пространства разделяют с полными простран-
пространствами следующее свойство, непосредственно выте-
вытекающее из определения:
Предложение 8. Совершенно полное простран-
пространство остается совершенно полным в любой более силь-
сильной топологии, согласующейся с той же двойствен-
двойственностью.
Существуют полные отделимые локально выпук-
выпуклые пространства, не являющиеся совершенно полны-
полными (см. дополнение 1), но для метризуемых про-
пространств это невозможно. Для доказательства нам
понадобится
Лемма 2. Пусть U — замкнутая абсолютно вы-
выпуклая окрестность в отделимом локально выпуклом
пространстве Е, а А' о (Е', Е)-замкнутое абсолютно
выпуклое множество в его сопряженном Е'. Тогда
где поляры взяты в Е.
Доказательство. (А'О U°)° есть замкнутая
абсолютно выпуклая оболочка множества A'°UU°° =
=А'° U U, являющегося подмножеством множества
A'°+U, которое в свою очередь содержится в A'°+2U.
Теорема 5. Каждое пространство Фреше совер-
совершенно полно.
Доказательство. Пусть Е — пространство
Фреше, и М' — почти замкнутое векторное подпро-
подпространство его сопряженного Е'. Достаточно доказать,
что для каждой замкнутой абсолютно выпуклой
11*
164 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
окрестности U существует такая окрестность V, что
(М'п V°)°ciM'° + U. Действительно, тогда
(М'° + 60° с W П VJ0 = М'П V°,
поскольку М' почти замкнуто; но так как М' — век-
векторное подпространство, то
(лг+иу={м/о и иу = м'°° п и°,
так что М'°° П U°aM'; поскольку каждая точка из Е'
содержится в некотором U°, отсюда следует, что
М'°°сМ' и, значит, М' о{Е',Е) -замкнуто.
Чтобы доказать существование V, возьмем базис
({/„) замкнутых абсолютно выпуклых окрестностей,
такой, что Ux — U и Un+lc-^-Un для п=1, 2, ... .
Тогда Ап = М пипд,ля каждого п о(Е\ ?)-замкнуто
и Ап = Aj+i П Un, откуда по лемме 2 Ап cAn+\-}-2(Jn.
Таким образом, если а?А[°, то а^А™ -\-2Uu так что
существует точка xi(i2Ui, для которой а—xl?Ar2°.
Аналогично существует точка x2(z2U2, для которой
а — Х\ —
и, продолжая так дальше, получим последователь-
последовательность (х„), для которой xn(i2Un и
Но ряд 2 хг сходится, поскольку Е полно и
я<г|1я+/)^€2?/в + 2?/в+1+ ... +-2Un+pcz4Un.
Пусть
со
так что xo(i4Ui. Если теперь *'?ЛГ, то х'?А'п для
всех достаточно больших п, так что
,/а-
я->со
2. Теоремы о замкнутом графике и открытом отображении 165
Поэтому
аеХо + АГс^ + АГ
и, значит,
А[° = (М' Л ?/эH с: AT + W.
Тем самым V= -^-U обладает требуемым свойством
и теорема доказана.
Пусть Е и F — топологические пространства. Ото-
Отображение f пространства Е в F называют открытым,
если f(A) открыто для каждого открытого множе-
множества А. Таким образом, отображение /~', обратное к
взаимно однозначному открытому отображению f про-
пространства Е на F, непрерывно, а непрерывное от-
открытое взаимно однозначное отображение Е на F
есть гомеоморфизм. Ясно также, что если f—непре-
f—непрерывное открытое отображение Е на F, то топология
пространства F — сильнейшая, при которой / непре-
непрерывно.
Если Е и F — локально выпуклые пространства и
t — линейное отображение Е в F, то t открыто тогда
и только тогда, когда t(U) есть окрестность в F для
каждой окрестности U из Е (так что открытое ото-
отображение в F обязательно является отображением на
F; непрерывное линейное отображение t пространства
Е в F, для которого t{A) открыто в t(E) для каждо-
каждого открытого множества А из Е, иногда называется
гомоморфизмом в). Например, каноническое отобра-
отображение локально выпуклого пространства Е на фактор-
пространство Е/М открыто.
Часто бывает, что хотя для линейного отображе-
отображения t пространства Е на F мы и не можем утвер-
утверждать, что t(U) есть окрестность, легко доказывается,
что t(U) есть окрестность. Так обстоит дело, когда
F — бочечное пространство, поскольку t(U) — бочка
для каждой абсолютно выпуклой окрестности U из Е.
В остающейся части этого параграфа будет удобно
принять следующее определение. Будем называть ли-
линейное отображение t локально выпуклого простран-
пространства Е в локально выпуклое пространство F почти
166 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
открытым, если t(U) есть окрестность в F для каждой
окрестности U из Е.
Лемма 3. Пусть Е и F— отделимые локально вы-
выпуклые пространства с сопряженными Е' и F'. Если
t — почти открытое линейное отображение Е в F с со-
сопряженным ? (отображающим F' в Е*) и N' — почти
замкнутое векторное подпространство в F', то
? (N') П?' почти замкнуто.
Доказательство. Если U — окрестность в Е,
то
? (N') П Е' П U° = ? (Nf) nU° = f (N' n t'~г (U°)).
Ho t'-l{U°) = {t{U))° (гл. II, лемма 6, примененная к
дуальным парам (Е, Е*) и (F, F')). Поскольку t
почти открыто, t(U) есть окрестность в F и, значит,
(t(U))°=(F(U))° o(F', F)-компактно. Так как N'
почти замкнуто, то и N'(\f~1{U°) a{F', F)-компактно.
Но F непрерывно при топологиях a(F',F) и а(Е*,Е);
поэтому f(N')V\U° а(Е*,Е)-компактно и, следова-
следовательно, а{Е',Е) -компактно. Таким образом, t'(N') [\Ef
почти замкнуто.
Предложение 9. Если существует непрерывное
(почти) открытое линейное отображение совершенно
полного пространства на отделимое локально выпук-
выпуклое пространство F, то F совершенно полно.
Доказательство. Пусть t — непрерывное поч«
ти открытое линейное отображение совершенно пол-
полного пространства Е на F, и N' — почти замкнутое
векторное подпространство сопряженного F' к F. По-
Поскольку t непрерывно, ? отображает F' в сопряжен-
сопряженное Е' к Е и по лемме 3 ^(W) почти замкнуто. По-
Поскольку Е совершенно полно, тогда ?{N') слабо за-
замкнуто. Но
поскольку t отображает Е на F, и потому ^/-'@) =
= (^(?'))о={0}. Так как ? слабо непрерывно, то заклю-
2. Теоремы о замкнутом графике и открытом отображении 167
чаем, что N' слабо замкнуто. Тем самым F совершен-
совершенно полно.
Следствие. Факторпространство совершенно
полного пространства по замкнутому векторному под-
подпространству совершенно полно.
Графиком отображения / множества Е в множе-
множество F называют подмножество произведения ExF,
состоящее из всех элементов вида (х, /(*)), где х?Е.
Если Е и F — топологические пространства, причем
F отделимо, и если f непрерывно, то его график G
замкнут. В самом деле, если (х, у) (? G, то сущест-
существуют непересекающиеся окрестности U точки f(x) и V
точки у, и тогда (/^'(f/), V) — окрестность точки
{х,у), не пересекающаяся с G.
Если Е и F — локально выпуклые пространства, а
t — линейное отображение Е в F, то график его есть
векторное подпространство в ExF. Мы будем поль-
пользоваться следующим условием замкнутости графика:
Л е м м а 4. Пусть Е и F — отделимые локально вы-
выпуклые пространства с сопряженными Е' и F', и t —
линейное отображение Е в F с сопряженным f (ото-
(отображающим F' в Е*). Тогда график отображения t
замкнут в том и только в том случае, когда t'~l(E')
плотно в F', наделенном топологией o(F',F).
Доказательство. Множество F"'(Е') плотно
в F', наделенном топологией a(F',F), тогда и только
тогда, когда (f (?'/))o = {0}. Но
Е' = (J U°,
где U — базис абсолютно выпуклых окрестностей в
Е, и потому
Следовательно,
168 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
Однако у принадлежит этому последнему множеству
тогда и только тогда, когда для каждого U?.U и
каждой окрестности V в F множество y + V пересе-
пересекается с i(U), т. е. (О, у) ? G, где G— график отобра-
отображения t. Следовательно, если G замкнут, то
(*'-'(?') )° = {0}. Обратно, если
и (х, у) € U, то @, у — t(x) )(ёи потому у — t(x) = 0,
так что (х, у) ? G и G замкнут.
Следствие. Если график отображения t замк-
замкнут, то t~l@) замкнуто.
Действительно, положим N' = t'-X(E'). Согласно
доказанной лемме, тогда Л/'°={0} и t-l{Q))=tx{N'°) =
= (t'(N'))°, что а(Е, ?')-замкнуто, как поляра под-
подмножества из Е'. Таким образом, t'l@) замкнуто1).
Определением почти открытого отображения под-
подсказывается аналогичное определение почти непре-
непрерывного отображения. Линейное отображение t ло-
локально выпуклого пространства Е в локально вы-
выпуклое пространство F мы будем называть почти
непрерывным, если t~l(V) является окрестностью в Е
для каждой окрестности V из F. Если t — взаимно
однозначное отображение на, то, очевидно, t почти не-
непрерывно тогда и только тогда, когда обратное к
нему отображение почти открыто.
Лемма 5. Пусть Е и F — отделимые локально вы-
выпуклые пространства с сопряженными Е' и F', t —
почти непрерывное линейное отображение Е в F с
сопряженным ? (отображающим F' в Е*) и М' —
почти замкнутое векторное подпространство в Е'.
Тогда f~l (M') почти замкнуто.
Доказательство. Пусть N' = t''~'(М'); тре-
требуется доказать, что N'()V° o(F', F) -замкнуто для
каждой окрестности V из F. Пусть_р7=/-1(У). По-
Поскольку t почти непрерывно, то W — окрестность
') Прямое доказательство: ^~* @) ==f~' (Г(), где Г( — график
отображения t, a f — непрерывное линейное отображение Е в
EXF, определяемое формулой /(х) = (л,0). — Прим. ред.
2. Теоремы о замкнутом графике и открытом отображении 169
в ?,_следовательно, поскольку М' почти замкнуто,
М'0W° о{Е*, Е)-компактно и, значит, о{Е*, Е)-замк-
Е)-замкнуто. Поэтому t'-l(MT\W°) °{F\ F)-замкнуто. Но
/'-' (М' П W°) = t'~l (М' П W°) = N'{] С'1 (W°) =
Следовательно,
N' П V° = N' n V° n (V П t (E))° = t'~l (M' n W°) П V°
o{F', Г)-замкнуто, как пересечение o(F', F)-замкну-
F)-замкнутых множеств.
Предложение 10. Пусть Е и F — отделимые
локально выпуклые пространства и t — линейное ото-
отображение Е в F, имеющее замкнутый график.
(I) Если t почти непрерывно, a F совершенно пол-
полно, то t непрерывно.
(II) Если t — почти открытое отображение на, аЕ
совершенно полно, то t открыто.
Доказательство. (I) Докажем сначала, что /
слабо непрерывно, для чего покажем, что t'-*{E')=F',
В силу леммы 5, с М' = Е', t'-](E') почти замкнуто и,
значит, поскольку F совершенно полно, — слабо замк-
замкнуто. Но по лемме 4 /'-' (?') плотно в F', ибо график
отображения / замкнут. Следовательно, t'~x(E')=F'.
Но тогда t'(F')<^E',, а это и означает, что / слабо
непрерывно. Если теперь V — замкнутая абсолютно
выпуклая окрестность в F, то V также слабо замкну-
замкнута, а потому t'l(V) слабо замкнуто и, значит, замк«
нуто. Но поскольку t почти непрерывно, t~l(V) =
= t~l(V) есть окрестность, и непрерывность ? доказана.
(II) Согласно следствию леммы 4, t~l@) замкнуто
и потому пространство E/t~l(O), наделенное факторто-
пологией, отделимо. Тогда можно написать t=s°k,
где k — каноническое отображение Е на ?//"'@), а
s — взаимно однозначное линейное отображение
E/t~l(O) на F. Так как s(k(U))=t(U) для каждой
окрестности V из Е, то из того, что / почти открыто,
следует, что и s почти открыто. Обозначая через М'
сопряженное к E/t-{@) и принимая во внимание, что
170 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
k' — тождественное вложение М' в Е', имеем
s'-1(M')=t'-l{E/), откуда, дважды применяя лемму 4,
заключаем, что s имеет замкнутый график. Поэтому
s почти непрерывно, имеет замкнутый график и ото-
отображает F в пространство ?//~'@), совершенно пол-
полное по следствию предложения 9. Следовательно, со-
согласно (I), s непрерывно. А тогда s, и, значит, так-
также /, открыто.
Теорема 6. (Теорема о замкнутом графике.) Ли-
Линейное отображение с замкнутым графиком отдели-
отделимого бочечного пространства в совершенно полное
пространство непрерывно.
Доказательство. Если t — такое отображение
и V — абсолютно выпуклая окрестность в указанном
совершенно полном пространстве, то t~l(V)—бочка
и, значит, окрестность. Таким образом, t почти непре-
непрерывно и справедливость утверждения теоремы выте-
вытекает из предложения 10 (I).
Теорема 7. (Теорема об открытом отображе-
отображении.) Непрерывное линейное отображение совершенно
полного пространства на отделимое бочечное про-
пространство открыто. Более общим образом, линейное
отображение с замкнутым графиком совершенно пол-
полного пространства на отделимое бочечное простран-
пространство открыто.
Доказательство. Это следует из второй части
предложения 10 совершенно так же, как теорема 6 —
из первой.
Следствие 1. Отделимое бочечное пространство,
являющееся непрерывным образом совершенно пол-
полного пространства, совершенно полно.
Вытекает из теоремы 7 и предложения 9.
Следствие 2. Взаимно однозначное непрерывное
линейное отображение совершенно полного простран-
пространства на отделимое бочечное пространство является
изоморфизмом.
Следствие 3. Совершенно полное пространство
не может иметь более слабой отделимой бочечной то-
топологии.
2. Теоремы о замкнутом графике и открытом отображении 171
Вытекает из следствия 2, примененного к тожде-
тождественному отображению.
В заключение этого параграфа покажем, что усло-
условия, наложенные в теоремах 6 и 7 на пространства,
а именно, что одно из них бочечно, а другое совер-
совершенно полно, являются в некотором смысле «наилуч-
«наилучшими из возможных», если требовать, чтобы имели
место разумные теоремы о замкнутом графике и от-
открытом отображении. Прежде всего имеем
Предложение 11. Пусть Е — отделимое ло-
локально выпуклое пространство, и предположим, что
каждое его линейное отображение с замкнутым гра-
графиком в любое банахово пространство непрерывно.
Тогда Е бочечно.
Доказательство. Пусть В— бочка в Е, и
N=f)eB.
е>0
Обозначим через k каноническое отображение Е на
E/N, наделенное нормированной топологией, для ко-
которой единичным шаром служит k{B). Пусть F —
пополнение E/N в этой топологии и V — единичный
шар в F, так что V=k(B). Покажем, что график G
отображения k замкнут в EXF. Предположим, что
{х, у) (EG. Нам нужно доказать, что
Поскольку E/N плотно в F, для каждого е>0 суще-
существует точка г(; Е, такая, что k(z) ?у — k(x) +bV. Да-
Далее, для каждой абсолютно выпуклой окрестности U
из Е имеем {x + U, y + sV) П йф0, откуда у — k(x) (;
<ck{U)+zV. Следовательно, k{z) ?k{U) +2sV, и так
как {E/N) uV = k(B),TO
z ? и + 2е5 + N == U + 2е?
для всех абсолютно выпуклых окрестностей U. Тем
самым _
z e 2е? = 2гВ,
172 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
так что у — k(x) ?2ek(B) +'eVc3eV. Следовательно,
y = k(x) и график отображения k замкнут. Но, соглас-
согласно предположению, тогда k непрерывно и, значит,
?-i(V)=?->(?(fi))=fi — окрестность в Е.
Этот результат объясняет, почему нам нужно
было предполагать одно из пространств в теоремах
6 и 7 бочечным. Можно было бы ожидать совершенно
аналогичного результата, оправдывающего предполо-
предположение о'совершенной полноте и, грубо говоря, утвер-
утверждающего, что если для отображений банаховых про-
пространств в пространство F справедлива теорема о
замкнутом графике, то F совершенно полно. Но, к со-
сожалению, это неверно (см. дополнение 2). Однако
можно показать, что в предложении 10 условие совер-
совершенной полноты не может быть ослаблено: если Е—
отделимое локально выпуклое пространство, обла-
обладающее тем свойством, что каждое его почти откры-
открытое отображение с замкнутым графиком на любое от-
отделимое локально выпуклое пространство открыто,
то Е должно быть совершенно полным. (И, парал-
параллельно этому, достаточно также, чтобы любое почти
непрерывное отображение с замкнутым графиком лю-
любого отделимого локально выпуклого пространства в
любое отделимое факторпространство пространства Е
были непрерывным.) Мы докажем более простую и
несколько более сильную форму этого обращения.
Предложение 12. Пусть Е — отделимое ло-
локально выпуклое пространство. Если каждое непре-
непрерывное почти открытое линейное отображение про-
пространства Е на любое отделимое локально выпуклое
пространство открыто, то Е совершенно полно.
Доказательство. Пусть М' — почти замкну-
замкнутое векторное подпространство сопряженного Е' к Е\
рассмотрим каноническое отображение k простран-
пространства Е на /7 = ?1/М'°, наделенное топологией равномер-
равномерной сходимости на множествах М' Л 11°, где U пробе-
пробегает базис U абсолютно выпуклых окрестностей в Е.
Прежде всего сопряженным к F в этой топологии
будет М'. В самом деле, если U^U, то M'(]U°
о(Е', Е)-компактно и потому тем более о(М', F)-kom-
3. Пространства Фреше 173
пактно. Таким образом, эта топология есть топология
равномерной сходимости на а(М', F)-компактных
множествах и, следовательно (гл. III, предложение 8),
сопряженным к F служит М'. Далее, k почти открыто.
Действительно, так как k' — каноническое отображе-
отображение М' в Е', то
ЦП] = (k (U) )°° = (k'~l (U°))° = {М n U°)\
так что k(U) есть окрестность в F. Кроме того, k не-
непрерывно. В самом деле, множества (M'f\U°)° (U € U)
образуют базис окрестностей в F, и так как k(U)cz
czk(U) = (М'Л U°)°, то фактортопология мажорирует
топологию, заданную в F. По предположению тогда k
открыто и, следовательно, указанная топология со-
совпадает с фактортопологией, при которой сопряжен-
сопряженным к F служит М'°°. Поэтому М' = М'°°, т. е. М'
а(Е\ ?)-замкнуто. Тем самым Е совершенно полно.
3. Пространства Фреше. Теория пространств Фре-
Фреше уже по одному тому, что она включает как част-
частный случай всю теорию банаховых пространств, яв-
является слишком обширным предметом, чтобы ее мож-
можно было изложить так, как она того заслуживает,
в книге такого объема и назначения. Все, что мы по-
попытаемся сделать в этом параграфе, — это собрать
вместе некоторые из основных свойств пространств
Фреше, особенно те, которые опираются на идеи, раз-
развитые в предыдущих параграфах.
Прежде всего пространство Фреше (полное метри-
зуемое локально выпуклое пространство) бочечно
(гл. IV, теорема 2). Поэтому если Е — пространство
Фреше и F — любое локально выпуклое пространство,
то каждое поточечно ограниченное множество непре-
непрерывных линейных отображений Е в F равностепенно
непрерывно и, в частности, каждая поточечно сходя-
сходящаяся последовательность непрерывных линейных
отображений Е в F сходится к непрерывному линей-
линейному отображению равномерно на каждом компакт-
компактном подмножестве из Е (теорема Банаха — Штейн-
гауза, гл. IV, теорема 3). Пространство Фреше Е
с сопряженным Е' имеет топологию т(?, Е') (гл. IV,
174 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
следствие теоремы 1), и потому каждое слабо непре-
непрерывное линейное отображение пространства Е в отде-
отделимое локально выпуклое пространство непрерывно
в исходных топологиях (гл. III, предложение 14). Бо-
Более общим образом, поскольку пространство Фреше Е
является пространством Макки (гл. V, предложе-
предложение 8), каждое определенное на Е ограниченное ли-
линейное отображение непрерывно.
Замкнутое векторное подпространство простран-
пространства Фреше есть пространство Фреше; следующее
предложение показывает, что то же верно и для об-
образа непрерывного открытого линейного отображения
в отделимое пространство и, в частности, для отдели-
отделимого факторпространства. (Можно было бы вывести
это из теоремы 5 и предложения 9, но прямое дока-
доказательство гораздо проще.)
Предложение 13. Если существует непрерыв-
непрерывное открытое линейное отображение пространства
Фреше на отделимое локально выпуклое простран-
пространство F, то F есть пространство Фреше.
Доказательство. Пусть (Un)—базис абсо-
абсолютно выпуклых окрестностей в пространстве Фре-
Фреше Е, такой, что Un^xci-^Un для каждого п. Если/—
непрерывное открытое линейное отображение Е на F,
то множества t(Un) образуют базис окрестностей в F,
так что F метризуемо. Нужно еще показать, что F
полно. Предположим, что (уп) — последовательность
Коши в F. Она обладает подпоследовательностью
(f/n(r>), такой, что yntr+i) — ytnr)(:t{Ur) для каждого г.
Тогда можно выбрать последовательно xn^i), #ПB), . • •
так, чтобы
Предполагая r<s, будем иметь
X nlr) = ^J (ХП{ l + l) —
3. Пространства Фреше i75
так что (хП(г)) — последовательность Коши в Е. По-
Поскольку Е полно, она сходится, скажем, к а, а тогда
yn(r)=t(xn(r)—*t{a). Но в таком случае и yn-*t(a),
так что F полно.
Следствие. Факторпространство пространства
Фреше по замкнутому векторному подпространству
есть пространство Фреше.
Действительно, если М — замкнутое векторное
подпространство пространства Фреше Е, то EJM от-
отделимо, а каноническое отображение Е на Е/М непре-
непрерывно и открыто.
В § 2 было доказано (теорема 5), что каждое про-
пространство Фреше совершенно полно. Поскольку каж-
каждое пространство Фреше также бочечно, из теорем б
и 7 непосредственно следует
Теорема 8. Линейное отображение с замкнутым
графиком пространства Фреше в пространство Фреше
непрерывно. Непрерывное линейное отображение про-.
странства Фреше на пространство Фреше открыто.
Следствие 1. Взаимно однозначное непрерывное
линейное отображение пространства Фреше на про-
пространство Фреше есть изоморфизм. В частности, век-
векторное пространство не может иметь двух различных
сравнимых топологий, в каждой из которых оно было
бы пространством Фреше.
Следствие 2. Если пространство Фреше являет-
является алгебраической прямой суммой двух своих замк-
замкнутых векторных подпространств, то оно является их
топологической суммой.
Доказательство. Каждое из этих подпро-
подпространств есть пространство Фреше, и, следовательно,
их сумма, наделенная топологией суммы, полна (гл.У,
предложение 23; или, более окольным, но и более
простым путем, — в силу предложения 21 и след-
следствия 1 предложения 18 главы V) и, очевидно, метри-
зуема. Но тогда, в силу следствия 1, топология суммы
и (заведомо мажорируемая ею) исходная топология
совпадают.
176 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
Предложение 14. Если Е и F — пространства
Фреше и t — непрерывное линейное отображение Е
в F, то t является открытым отображением Е на t(E)
тогда и только тогда, когда t(E) замкнуто в F.
Доказательство. Если t(E) замкнуто в F, то
((Е) —пространство Фреше, так что t открыто (тео-
(теорема 8). Обратно, если t — открытое отображение Е
на t(E), то t(E)—пространство Фреше (предложе-
(предложение 13) и потому замкнуто в F.
Поскольку каждое пространство Фреше есть про-
пространство Макки, его сопряженное Е' полно в любой
топологии, мажорирующей топологию х равномерной
сходимости на всех компактных множествах и мажо-
мажорируемой сильной топологией $(Е\ Е) (предложе-
(предложение 1). В этом случае из теоремы Макки — Аренса
(гл. III, теорема 7) следует, что х согласуется с двой-
двойственностью между Е и Е', поскольку Е полно (гл. III,
следствие теоремы 5), и, значит, этот диапазон топо-
топологий включает %(Е', Е). (В действительности Е' со-
совершенно полно в любой топологии от к до х{Е', Е);
см. дополнение 1.)
В частном случае, когда Е — банахово простран-
пространство, его сильное сопряженное тоже является банахо-
банаховым пространством. Следующее предложение показы-
показывает, что это единственный случай, когда сильное
сопряженное к пространству Фреше может быть про-
пространством Фреше. Собственно, докажем более общее
Предложение 15. Если сильное сопряженное
к метризуемому локально выпуклому пространству Е
тоже метризуемо, то Е нормируемо.
Доказательство. Пусть (?/„) — базис окрест-
окрестностей в Е, причем Un+i(^Un для каждого п, и пусть
(Ап) — последовательность замкнутых абсолютно вы-
выпуклых ограниченных множеств, поляры которых об-
образуют базис окрестностей в Е' в топологии ${Е', Е).
Мы докажем, что UncAn для некоторого п; в силу
теоремы 1 гл. III, отсюда будет следовать, что Е нор-
нормируемо. Предположим, что, напротив, для каждого п
существует точка xn?Un, такая, что х„(?Ап, Тогда
3. Пространства Фреше 177
множество В всех этих точек х„ ограниченно и по-
потому В° есть Р(?', Е) -окрестность. Следовательно, су-
существует п, такое, что А°„аВ° и потому BczA™ = АП
в противоречие с определением множества В.
Хотя сильное сопряженное к пространству Фре-
Фреше Е вообще не метризуемо, второе сопряженное Е",
наделенное своей сильной топологией, метризуемо.
Действительно, поскольку Е — пространство Макки,
эта топология совпадает с топологией равномерной
сходимости на равностепенно непрерывных множе-
множествах (гл. V, предложение 9), так что биполяры в Е"
счетного базиса окрестностей из Е образуют счетный
базис окрестностей в Е". Можно пойти дальше:
Предложение 16. Второе сопряженное к мет-
ризуемому пространству, наделенное своей сильной
топологией, является пространством Фреше.
Доказательство. Пусть (Un) — базис замкну-
замкнутых абсолютно выпуклых окрестностей в метризуемом
пространстве Е, такой, что (Jn+1c:-j^n для каждого «.
Если (х"\—произвольная последовательность Коши
во втором сопряженном Е", то найдется подпоследо-
подпоследовательность (которую для удобства можно считать
самой последовательностью (-*Q), такая, что х"П+1 —
— х"п ? -к CJ°° для каждого п (где биполяры взяты в Е").
Кроме того, существуют такие замкнутые абсолютно
выпуклые ограниченные множества Ап в Е, что
у" у" С—
Но из определения поляры следует, что
При этом А°„-\-U°n о(Е\ ^-замкнуто, как сумма
слабо замкнутого и слабо компактного множеств
(гл. III, лемма 7), и, следовательно, содержит поляру
12 Зак. 706
178 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
пересечения А„ П Un- Таким образом,
К+г ~х"п^А°п П U°:)cz{A°n + U°a)°cz(Aafl UnT
и потому
2. (А,пиг)у,
поскольку каждая точка из 2 (А П Ur)°° принад-
лежита(?", ?')"замыканию множества 2 (А-П^,.)-
1 < г < «
Пусть теперь
= 0 2
тогда x*+1 ^xj'-bЛ00. Покажем, что А ограниченно.
Для любой окрестности U из Е существует гп, такое,
что UmczU, и тогда при всех п>т имеем
2 (А,пи,)с 2 Л + 2 i/,c=
«= 2 л+^
для некоторого Л>0. Так как и множество
U 2 (Агпиг)
ограниченно, то заключаем, что ограниченно и А. От-
Отсюда следует, что А°° о(Е", Е')-компактно и, значит,
$(Е", Я^-полно (следствие предложения 3, применен-
примененное к дуальной паре (?', Е")). Тогда (х"^ сходится
в А°° и тем самым Е" полно.
Дополнения
A) Совершенно полные пространства. Дадим сна-
сначала обещанный пример полного пространства, не
являющегося совершенно полным. Пусть Е — беско-
бесконечномерное банахово пространство. Если наделить
его сильнейшей локально выпуклой топологией
Дополнения 179
t(E, Е*), оно останется полным (гл. III, дополне-
дополнение 2), но, как следует из теоремы 7 (об открытом
отображении), уже не сможет быть совершенно пол-
полным. Действительно, тождественное отображение Е,
наделенного топологией т(?, ?*), на Е, наделенное
своей топологией банахова пространства, непрерыв-
непрерывно, но не может быть открытым, поскольку бесконеч-
бесконечномерное нормированное пространство не может
иметь топологии т(?, ?*) (гл. III, дополнение 2), а
банахово пространство бочечно.
Факторпространство совершенно полного про-
пространства по замкнутому векторному подпространству
также совершенно полно (следствие предложения 9).
Однако факторпространство полного пространства по
замкнутому векторному подпространству не обяза-
обязательно полно. Гротендик привел пример ([17], стр. 106)
полного пространства, более того, — строгого индук-
индуктивного предела последовательности пространств
Фреше (см. гл. VII, § 1), обладающего неполным фак-
торпространством. Таким образом, строгий индуктив-
индуктивный предел последовательности совершенно полных
пространств может уже не быть совершенно полным
(даже если они являются пространствами Фреше) ');
в этом еще одно отличие от соответствующего свой-
свойства полноты (гл. VII, предложение 3).
Пространство Е*, наделенное топологией а(Е*,Е),
совершенно полно, поскольку в Е каждое векторное
подпространство а(Е, Е*)-замкнуто.
Сопряженное к пространству Фреше совершенно
полно в любой топологии, мажорирующей топологию
равномерной сходимости на всех компактных множе-
множествах и мажорируемой топологией т(Е', Е). (Действи-
') Следовательно, и сумма счетного семейства совершенно
полных пространств может не быть совершенно полной (ибо
индуктивный предел есть факторпространство суммы). Произве-
Произведение счетного семейства совершенно полных пространств также
не обязано быть совершенно полным (В. Л. Л е в и н, О невы-
невырожденных спектрах локально выпуклых пространств, ДАН
СССР, 135: 1 A960), 12—15). Не известно, всегда ли совершенно
полно произведение дьух совершенно полных пространств. —
Прим. ред.
12*
180 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
тельно, сопряженным к Е\ наделенному такой топо-
топологией, служит Е. Пусть М — почти замкнутое век-
векторное подпространство в Е. Каждая точка а^М
является пределом сходящейся последовательности
(х„) точек из М. Но множество А, состоящее из всех
точек хп и точки а, компактно и потому А00 равносте-
равностепенно непрерывно. Тогда МП Л00 замкнуто и, значит,
а?М. Таким образом, М замкнуто.) В частности,
сильное сопряженное к рефлексивному пространству
Фреше совершенно полно').
B) Теоремы о замкнутом графике и открытом ото-
отображении. Для пространств Фреше теорему об откры-
открытом отображении можно доказать более прямым ме-
методом, использующим понятие бэровской категории,
а теорема о замкнутом графике непосредственно сле-
следует из нее2). (См., например, [1], гл. III, § 3, теоре-
теоремы 3—7; на самом деле от рассматриваемых про-
пространств требуется лишь, чтобы они были полными
метрическими векторными пространствами, не обяза-
обязательно локально выпуклыми.) Приведенное выше до-
доказательство теоремы 5 о совершенной полноте про-
пространства Фреше аналогично части доказательства
теоремы Банаха об открытом отображении. Третьей
теоремой Банаха, упомянутой в начале § 2, доказы-
доказывающей (в несколько замаскированном виде), что ба-
банахово пространство совершенно полно, является лем-
лемма 3 гл. VIII его книги. Связь между теоремой об
открытом отображении и совершенной полнотой ло-
локально выпуклых пространств была замечена Птаком
(«On complete topological linear spaces», Чехосл. ма-
тем. журн., 3G8) A953), 301—3643)). Имеются даль-
дальнейшие обобщения; в частности, Дьедонне и Шварц,
') По поводу других классов совершенно полных про-
пространств см. Д. А. Райков, Теоремы о замкнутом графике и
полнота топологических линейных пространств, Труды IV Все-
союзн. матем. съезда, т. II, стр. 317—323, изд-во «Наука»,
1964.
2) См. приложение 1, теоремы 1—\'. — Прим. ред.
3) См. также V. Р t a k, Completeness and the open mapping
theorem, Bull. Soc. math. France, 86 A958), 41—74; русский пере-
перевод: В. П т а к, Полнота и теорема об открытом отображении,
сб. Математика, 4:6 A960), 39—67. — Прим. ред.
Дополнения 181
используя метод бэровских категорий и теоремы Ба-
Банаха, доказали, что непрерывное линейное отображе-
отображение строгого индуктивного предела последовательно-
последовательности пространств Фреше на такой же предел открыто
([20], теорема 1). Более общим образом, мы показали
(Рте. Glasgow Math. Assoc, 3 A956), 9—12 ')), что
если Е — отделимый индуктивный предел локально
выпуклых бэровских пространств, a F—отделимый
индуктивный предел последовательности совершенно
полных пространств, объединение образов которых
совпадает с F, то любое линейное отображение с замк-
замкнутым графиком Е в F непрерывно, а любое непре-
непрерывное линейное отображение F на Е открыто.
Последняя теорема может быть использована для
доказательства того, что точный аналог предложе-
предложения 11, о котором говорилось после доказательства
этого предложения, неверен. Мы должны доказать,
что отделимое локально выпуклое пространство F не
обязано быть совершенно полным, даже если каждое
линейное отображение с замкнутым графиком любого
банахова пространства в F непрерывно. Но если F —
строгий индуктивный предел последовательности про-
пространств Фреше, то по указанной теореме последнее
предположение, безусловно, выполнено, однако при-
пример Гротендика (см. дополнение 1) показывает, что
существует пространство F рассматриваемого вида, не
являющееся совершенно полным. Истинное положе-
положение дела довольно не ясно. Если предположить, что
теорема о замкнутом графике имеет место для отобра-
отображений любого отделимого бочечного пространства не
только в F, но и в любое его отделимое факторпро-
странство, то F должно быть совершенно полным,
когда и само F предполагается бочечным. Это утверж-
утверждение проще в форме теоремы об открытом отобра-
отображении отделимое бочечное пространство должно быть
совершенно полным, если каждое непрерывное линей-
линейное отображение его на любое отделимое бочечное
Ч_ Русский перевод: А. Робертсон и У. Робертсон,
К теореме о замкнутом графике, сб. Математика, 4:6 A960),
73—77,
182 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
пространство открыто. (Доказательство аналогич-
аналогично доказательству предложения 12; из бочечности
пространства следует, что и его факторпространство,
наделенное топологией, использованной в этом дока-
доказательстве, бочечно.) Последний результат в соедине-
соединении с тем же примером Гротендика показывает, что,
даже когда F есть индуктивный предел последова-
последовательности пространств Фреше, невозможно улучшить
приведенные в конце предыдущего абзаца теоремы о
замкнутом графике и открытом отображении, предпо-
предположив лишь, что Е бочечно.
Другой результат категорного типа, доказанный
Банахом ([1], гл. Ш, § 3, теорема 3), состоит в том,
что если Е и F — полные метрические пространства
и t — непрерывное линейное отображение Е в F, то
t(E)—либо первой категории в F, либо совпадает
со всем F. И это остается верным, когда Е совершен-
совершенно полно или является индуктивным пределом после-
последовательности совершенно полных пространств, объ-
объединение образов которых совпадает с Е, a F — лю-
любое отделимое локально выпуклое пространство.
(В самом деле, в первом случае, если /(?) —второй
категории в F, то оно бочечно (гл. IV, дополнение
1) и, значит, совершенно полно (следствие 1 тео-
теоремы 7); тогда оно заведомо полно и, значит, замк-
замкнуто в F. Но t(E) плотно в F (гл. IV, дополнение 1)
и потому /(?) —F. Во втором случае, если Е — индук-
индуктивный предел последовательности (?„) относительно
отображений (ы„),то
t(E)={Jt(ua(Ea)).
Следовательно, если t(E) —второй категории в F, то
существует п, для которого t(un(En)) —второй кате-
категории в F. Применение того же рассуждения, что
и выше, к отображению toun показывает, что
t(un{En))=*F и, значит, t(E)=F.)
C) Гиперполные пространства. Доказательство
совершенной полноты пространства Фреше (теорема 5)
можно, видоизменив, использовать для доказатель-
Дополнения 183
ства того, что каждое почти замкнутое абсолютно
выпуклое подмножество сопряженного пространства
слабо замкнуто. (В самом деле, предположим, что М'
абсолютно выпукло и почти замкнуто, и пусть *'€ М'°°.
Тогда х'? U° для некоторой окрестности U из Е. Для
(/ 1 \ О\ О
М' П \тг^\ I cF +et/
(поскольку та часть доказательства, в которой уста-
устанавливается существование надлежащего V = -^U,
не зависит от того, что М' в теореме 5 есть
векторное подпространство). Следовательно, если
[ (A )°° то \{х, х'I<1+е и потому
р
1 П (A
= A +е) (Ж'П (j e?/)°)c(l +e)Af'.
Кроме того, >;'€ f/°c: (l + e)U° и, следовательно,
х' € A + е) (М' П U") для каждого е>0. Поскольку
M'(]U° слабо компактно, тогда х'(М'ПУ°сМ'.)
Келли назвал отделимое локально выпуклое про-
пространство гиперполным, если оно обладает тем свой-
свойством,'что почти замкнутые абсолютно выпуклые под-
подмножества сопряженного пространства слабо замк-
замкнуты; пространство гиперполно тогда и только тогда,
когда полно пространство его абсолютно выпуклых
подмножеств, наделенное равномерностью Хаусдорфа.
(См. J. L. К е 1 1 е у, Hypercomplete linear topological
spaces, Michigan Math. J., 5 A958), 235—2461)-)
D) Теорема Крейнп — Шмульяна. Имеется не-
несколько теорем, относящихся к слабо компактным
множествам в локально выпуклом пространстве. По-
Пожалуй, наиболее замечательной из них является тео-
теорема М. Г. Крейна и В. Л. Шмульяна: в полном от-
отделимом локально выпуклом пространстве замкнутая
') Русский перевод; Дж. Л. Келли, Гиперполные тополо-
топологические линейные пространства, сб. Математика, 4:6 A960),
79-92.
184 Гл. VI. Полнота и теорема о замкнутом графике
абсолютно выпуклая оболочка каждого слабо ком-
компактного множества слабо компактна. Один из мето-
методов доказательства этой теоремы опирается на тео-
теорему Эберлейна (теорема 4), а также теорему Лебега
о доминированной сходимости (см., например, [4],
гл. V, § 3, теорема 4, или Bourbaki, Elements de mathe-
matique, Livre VI, Integration, Ch. IV, § 4, ex. 19) ').
') Русский перевод: Н. Б у р б а к и, Интегрирование, изд-во
«Наука», 1967. См. также В. П т а к, Комбинаторная лемма о су-
существовании выпуклых средних и ее приложение к слабой ком-
компактности, сб. Математика, 10:6 A966), 44—59. — Прим. ред.
ГЛАВА VII
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Строгие индуктивные пределы. Индуктивные
пределы пространств Фреше, как и сами пространства
Фреше, часто появляются в приложениях. На прак-
практике эти индуктивные пределы являются пределами
довольно специального типа и, следовательно, имеют
определенные дополнительные свойства, которыми не
обладают общие индуктивные пределы пространств
Фреше. Некоторые из этих свойств не связаны с тем
фактом, что определяющие пространства являются
пространствами Фреше, и потому мы изучаем эти
специальные индуктивные пределы, не налагая каких-
либо начальных ограничений на определяющие про-
пространства.
Предположим, что Е — векторное пространство и
(?„) — строго возрастающая последовательность его
векторных подпространств, объединение которых со-
совпадает с Е. Предположим также, что каждое Е„ на-
наделено топологией ?„, в которой оно является ло-
локально выпуклым пространством, и что для каждого/?
топология, индуцированная в Еп топологией ?п+1 про-
пространства En+i, совпадает с |„. Тогда каждое Еп вло-
вложено, алгебраически и топологически, в En+t (а зна-
значит, и в ?„+,. для каждого г). Пусть | — топология
индуктивного предела в Е, т. е. сильнейшая из ло-
локально выпуклых топологий в Е, индуцирующих в
каждом Еп топологию, мажорируемую топологией ?„.
Тогда Е, наделенное локально выпуклой топологией |,
называется строгим индуктивным пределом про-
пространств Еп- В этом случае можно показать, что то-
топология пространства Е индуцирует в каждом Еп в
точности топологию |п.
Предложение 1. Пусть локально выпуклое про-
пространство Е с топологией | есть строгий индуктивный
186 Гл. VII. Некоторые специальные вопросы
предел локально выпуклых пространств Еп с топо-
топологиями 1„. Тогда I индуцирует 1„ в каждом ?„.
Доказательство. Пусть Un — любая абсолют-
абсолютно выпуклая окрестность в Еп, наделенном тополо-
топологией ?„. Мы докажем, что существует такая g-окрест-
ность U в Е, для которой U ПЕп = ип, и тем самым
покажем, что | индуцирует в ?„ топологию, мажори-
мажорирующую ?„ и, следовательно, совпадающую с ней.
Поскольку ?„+1 индуцирует ?„ в Е„, существует абсо-
абсолютно выпуклая ?„+1-окрестность Un+i, для которой
Un+i UEnczUn- Продолжая так дальше, мы можем
определить для каждого г абсолютно выпуклую
?„+г-окрестность Un+r так, чтобы Un+rf\En+scUn+3,
когда O^Cs^r. Пусть U — абсолютно выпуклая обо-
лочка множества JJ Un+T; ясно, что тогда Un+rczUu
г=0
ПЕп+r для всех г>0. При этом если x€U, то суще-
существует наименьшее целое s^O, для которого х содер-
содержится в абсолютно выпуклой оболочке множества
Un U Un+i U... U Un+s, и если s>0, то x(fcEn+s-i- Сле-
Следовательно, UuEn = Un и потому UuEm = UnC\Em
для всех m4in. Тем самым U и есть g-окрестность с
требуемым свойством.
Предложение 2. Строгий индуктивный предел
последовательности отделимых локально выпуклых
пространств отделим.
Доказательство. Если Е — строгий индуктив-
индуктивный предел отделимых локально выпуклых про-
пространств Еп и хФ§, то х (zEn для некоторого ft, причем
существует такая окрестность Un в Еп, что x^U^.
В силу предложения 1, Е будет содержать окрест-
окрестность U, для которой UuEndJn и потому x(fcU.Тем
самым Е отделимо.
Предложение 3. Строгий индуктивный предел
последовательности полных отделимых локально вы-
выпуклых пространств полон.
/. Строгие индуктивные пределы 187
Доказательство. Допустим, что строгий ин-
индуктивный предел Е последовательности полных от-
отделимых локально выпуклых пространств Еп не по-
полон, так что в его пополнении Е имеется точка z,
не содержащаяся ни в каком Еп. Поскольку каждое
Еп замкнуто в Ё, существуют абсолютно выпуклые
окрестности Wn в Ё, для которых (z+Wn) OEn = 0,
и их можно выбрать так, чтобы Wn+iCzWn для каж-
каждого п. Пусть U — абсолютно выпуклая оболочка
множества
Тогда U — окрестность в ? и, следовательно, ее за-
замыкание U есть окрестность в Ё. Поскольку Е плотно
в Е, z+U имеет общие точки с ? и, значит, пересе-
пересекается с некоторым Еп. Мы покажем теперь, что
UczWn + En; отсюда будет следовать, что z+Wn пере-
пересекается с Еп, что противоречит предыдущему и тем
самым доказывает предложение. _
Итак, остается показать, что UczWn+En. Но
UaU-\--ъ Wп, а любой элемент из U имеет вид
хГ6-g- WTПЕт и 2] |ХГ|=1. Так
как
r< n
т> п
то тогда U<=--2 Wn -\-En и, следовательно, Ucу Wn
Когда каждое определяющее пространство Еп пол-
полно, ограниченные подмножества строгого индуктив-
индуктивного предела допускают простую характеризацию.
188 Гл. VII. Некоторые специальные вопросы
Предложение 4. Пусть Е — строгий индуктив-
индуктивный предел локально выпуклых пространств Еп, и Еп
для каждого п — замкнутое векторное подпростран-
подпространство в En+i- Тогда множество в Е ограниченно в том
и только в том случае, если оно содержится и ограни-
ограниченно в одном из Еп1).
Доказательство. Пусть А — множество из Е,
не содержащееся ни в каком Еп. Тогда существуют
последовательность (п(г)) положительных чисел и
последовательность (хг) точек, такие, что х, (? Еп(г),
xr(zA и хт6 En{r+i). Поскольку каждое Еп(х) замкнуто
в En{r+i), можно последовательно определить абсолют-
абсолютно выпуклые ^„(^-окрестности 0П(Г) так, чтобы
(l/r)xr+Un{r+i) не пересекалось с Еп{г) и Un(r+iH
пЕП(Г)^ип(г). Пусть U — абсолютно выпуклая оболоч-
оо
ка U^n(r) в Е- Тогда U есть ^-окрестность и U П
()()(г+1), так что U не содержит (Цг)хг
ни для какого г. Таким образом, U не поглощает А и,
значит, А неограниченно в Е. Следовательно, ограни-
ограниченное множество в Е должно содержаться в одном
из Еп (и, очевидно, должно быть ограниченным в этом
Еп). Обратно, всякое такое множество ограниченно в Е.
Условие, что каждое Еп замкнуто в Еп+и выпол-
выполняется, когда Еп полны. Это условие влечет также,
что Е не метризуемо, даже если каждое Е„ — про-
пространство Фреше.
Предложение 5. Пусть Е — строгий индуктив-
индуктивный предел локально выпуклых пространств Еп, где
каждое Еп — замкнутое векторное подпространство в
En+i. Toida E не метризуемо.
Доказательство. Пусть (?/„) —любая убы-
убывающая последовательность окрестностей в Е. Для
каждого п существует точка хп € Un, не принадлежа-
') В силу предложения 1, отсюда, в частности, следует, что
множество в Е предкомпактно в том и только в том случае, если
оно содержится и предкомпактно в одном из Еп, a Xh-^-x в Е,
только если х и все хк содержатся в одном и том же Еп и
Xk -* х в Еп. — Прим. ред.
2. Билинейные отображения и тензорные произведения 189
щая Еп. Тогда, согласно предложению 4, множество
точек х„ не может быть ограниченным. Однако оно
поглощается каждым ?/„. Поэтому (Un) не может
быть базисом окрестностей, и, следовательно, Е не
метризуемо.
В заключение этого параграфа составим сводку
некоторых свойств строгих индуктивных пределов про-
пространств Фреше.
Всякое такое пространство отделимо (предложе-
(предложение 2), полно (предложение 3), но не метризуемо
(предложение 5), бочечно (гл. V, предложение 6) и
является пространством Макки (гл. V, следствие
предложения 8). Если Е — такое пространство и
(Еп) — определяющая его последовательность про-
пространств Фреше, то топология каждого Еп совпадает
с индуцируемой из Е (предложение 1) и множество А в
Е ограниченно тогда и только тогда, когда оно содер-
содержится и ограниченно в некотором Еп (предложение 4).
2. Билинейные отображения и тензорные произве-
произведения. Основной целью этого параграфа является
описание полезного технического приема, позволяю-
позволяющего сводить билинейные отображения и формы к
линейным. Пусть Е, F и G — векторные пространства
над одним и тем же полем, a h — отображение про-
произведения ExF в G. Тогда h для каждого фиксиро-
фиксированного г/€ F порождает частичное отображение hy
пространства Е в G, определяемое формулой
hy (х) = h (x, у),
и для каждого фиксированного х?Е — аналогично
определяемое частичное отображение hx пространства
F в G. Если все частичные отображения hx и hv ли-
линейны, то h называют билинейным отображением
ExF в G, или билинейной формой на EXF, если G —
поле скаляров. Упомянутый выше прием состоит в по-
построении векторного пространства, называемого тен-
тензорным произведением Е и F, обладающего тем свой-
свойством, что билинейные отображения ExF в G нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с линей-
линейными отображениями этого тензорного произведения
190 Гл. VII. Некоторые специальные вопросы
в G. Существуют различные способы введения этого
тензорного произведения. Способ, который мы при-
примем, будет состоять в таком построении тензорного
произведения, при котором требуемое соответствие
устанавливается для билинейных форм. Затем мы до-
докажем, что оно распространяется на билинейные ото-
отображения.
Обозначим через Т* множество всех билинейных
форм на ExF. При очевидных определениях сложе-
сложения и умножения на скаляры Т* есть векторное про-
пространство. Пусть 7"** — его алгебраическое сопряжен-
сопряженное. Существует естественное отображение ф произве-
произведения ExF в 7"**, определяемое формулой
(cp(x,y))(h) = h(x, у)
для всех (x,y)?EXF и /г€ Т*. Очевидно, ф били-
билинейно. Образ ф(?, F) произведения ExF относи-
относительно ф не является, вообще говоря, векторным под-
подпространством в Т**, хотя легко видеть, что если
w?(p(E, F), то kw(iq>{E, F) для каждого скаляра к.
Векторное подпространство пространства 7"**, натя-
натянутое на ф(?, F), называется тензорным произведе-
произведением пространств Е и F и обозначается ? <g- F. Вместо
(р(х,у) пишем х ® у; если аФО и ЬФО, то а&ЬфО.
(Действительно, возьмем а* ? Е*, для которого
(а, а*)Ф0, и b* €F*, для которого {Ь, Ь*)Ф0, и затем
положим h(x, у)={х, а*){у, Ь*); тогда h(iT* и
h{а, Ь)Ф0.) Каждый элемент из E®F может быть
записан в виде конечной суммы 2 •*/ ® Уь> где хг € Е
i
и Уг &F, но такое представление вообще никоим обра-
образом не единственно.
Теперь G1*, Е <& F) есть дуальная пара, ибо для
/г€ 7"* условие кфО означает, что существуют элемен-
элементы х?Е и y?F, для которых Н(х,у)Ф0, а это
равносильно тому, что {к,х®у)ФО. Более того, 7"*
является алгебраческим сопряженным к Е ® F, по*
скольку любой линейной форме / на Е ® F соответ-
соответствует элемент /°ф из 7"*. Таким образом, тензорное
произведение T~E®F обладает тем свойством, что
2. Билинейные отображения и тензорные произведения 191
его алгебраическое сопряженное Т* есть множество
всех билинейных форм на EXF. Этот результат рас-
распространяется на билинейные отображения.
Предложение 6. Пусть Е, F и G — векторные
пространства над одним и тем же полем скаляров, и
Ф — каноническое отображение ExF в E%F. Тогда
каждому линейному отображению f тензорного произ-
произведения Е ® F в G соответствует билинейное отобра-
отображение f °ф декартова произведения EXF в G, и это
соответствие является изоморфизмом векторного про-
пространства всех линейных отобраоюений Е ® F в G на
векторное пространство всех билинейных отображе-
отображений EXF в G.
Доказательство. Обозначим это соответ-
соответствие через t, так что t(f) —f °q>. Ясно, что / линейно
и взаимно однозначно. Нужно доказать, что каждое
билинейное отображение h принадлежит образу /. Но
для каждого z* 6 G* можно определить билинейную
форму f*(z*) на EXF, положив
(f*(z*))(x,y) = (h(x, y),z*).
f* есть линейное отображение G* в Т*; пусть / — су-
сужение его сопряженного на Е <g F. Имеем
(/(Ф(х, у)), г*) = (Ф(х, у), /•(*•)> = <*(*. У)- *')
для всех (х, у) Z.EXF и всех 2*6 G*. Следовательно,
f отображает Е ® F в G и /i=/ ° <p = ^(f).
Если Е и F — локально выпуклые пространства,
E®F можно наделить такой топологией, чтобы соот-
соответствие между линейными отображениями f и били-
билинейными отображениями /оф сохраняло непре-
непрерывность.
Предложение 7. Пусть Е и F — локально вы-
выпуклые пространства над одним и тем же полем и
Ф — каноническое отображение ExF в Е % F. Суще-
Существует сильнейшая локально выпуклая топология в
Е (g F, при которой (р непрерывно. Если и и У — ба-
базисы окрестностей в Е и F, то абсолютно выпуклые
оболочки множеств ф([/, V) (U? U, V? У) образуют
192 Гл. VII. Некоторые специальные вопросы
базис окрестностей этой топологии. Линейное отобра-
отображение f пространства Е & F, наделенного этой тополо-
топологией, в локально выпуклое пространство G непрерыв-
непрерывно тогда и только тогда, когда билинейное отображе-
отображение /оф произведения EXF в G непрерывно.
Доказательство. Пусть W — абсолютно вы-
выпуклая окрестность в какой-либо топологии в E&F,
при которой ф непрерывно. Тогда ф-1A^) содержит
множество вида UxV, где V^U и V?T, а потому W
содержит абсолютно выпуклую оболочку множества
ф(?/, V). Когда U я V пробегают базисы и и Т, эти
множества образуют базис окрестностей локально вы-,
пуклой топологии в Е ® F. Следовательно, это силь-
сильнейшая из локально выпуклых топологий, при кото-
которых ф непрерывно. Нетрудно проверить теперь, что f
непрерывно тогда и только тогда, когда / ° ф непре-
непрерывно в начале. Но непрерывность билинейного ото-
отображения в начале влечет непрерывность на всем
пространстве (доказательство аналогично доказатель-
доказательству соответствующего утверждения для линейного
отображения; см. гл. II, предложение 1).
Пространство Е ® F, наделенное этой топологией,
будет называться топологическим тензорным произве-
произведением локально выпуклых пространств Е и F. (E®F
можно наделять и другими полезными топологиями,
один из примеров которых будет приведен позже. То-
Топологию, описанную в предложении 7, называют ино-
иногда проективной топологией тензорного произве-
произведения.)
Для выяснения вопроса об отделимости этой топо-
топологии нам потребуется один алгебраический ре-
результат.
Лемма 1. Если (Е, Е') и (F, F')—дуальные
пары, то (E®F, E'(?,F') является дуальной парой от-
относительно билинейной формы
(w, w') = 2 (xr x'j) (ур у)),
где
и о»' = 2•*/&*/'/€?'&^-
j J
2. Билинейные отображения и тензорные произведения 193
Доказательство. Пусть w = 2xi®Ui —
любой элемент из E(g>F, отличный от начала. Возь-
Возьмем какой-нибудь базис еи е2, ..., ет в (конечномер-
(конечномерном) векторном подпространстве пространства Е, на-
натянутом на элементы xit и какой-нибудь базис/ь /г,...
..., /п в векторном подпространстве пространства F,
натянутом на элементы г/;. Тогда w, очевидно, можно
представить в виде
11
Поскольку тФО, по крайней мере одно Krs отлично от
нуля; пусть, скажем, КцфО. Существуют элемент
х'?Е', такой, что (еь х') = \, а \ег, х')=0 при гф\
(гл. II, лемма 5), и элемент y'(zF', такой, что
(fu /) = 1, a <ja, y')=0 при эФ!. Тогда
Следовательно, если (ш, ш')=0 для всех w'?E'®F',
то о> = 0. Аналогично, если (ш, w')=0 для всех
ш € Я ®F, то ш'=0, так что (Е &F, Е' ® F') — дуаль-
дуальная пара.
Предложение 8. Топологическое тензорное
произведение Е ® F отделимо тогда и только тогда,
когда отделимы Е и F.
Доказательство. Предположим сначала, что
Е и F отделимы. Если Е' и F' — их сопряженные, то
(Е, Е') и (F, F') —дуальные пары и потому, в силу
леммы 1, {E®F, E'®F') —дуальная пара. Но каж-
каждый элемент из Е' <gi F' определяет непрерывную били-
билинейную форму на EXF и потому принадлежит сопря-
сопряженному к E®F. Следовательно, E®F отделимо
(см. гл. II, §3).
С другой стороны, если, скажем, Е не отделимо, то
в нем имеется точка хФО, принадлежащая каждой
окрестности. Если у — любая точка из F, отличная
от начала, и UxV — любая окрестность в EXF, то
13 Зак. 708
194 Гл. VII. Некоторые специальные вопросы
существует такое К, что %у€. V и потому
x®y = (f(X~1x, Мбф(^> У)-
Но х®уфО\ следовательно, E®F не отделимо.
Даже если Е и F полны, их тензорное произведе-
произведение вообще не полно. В приложениях часто оказы-
оказывается нужным пополнение топологического тензор-
тензорного произведения (см. дополнение 2); мы будем обо-
обозначать это пополнение Е ® F. Если Е и F—метри-
зуемые пространства, то элементы из Е ® F могут
быть записаны в виде сумм сходящихся рядов вида
2вп выведем это из более общего резуль-
л-1
тата, характеризующего компактные множества в
E(g /\_Для этого нам прежде всего потребуется лем-
лемма, представляющая и самостоятельный интерес.
Лемма 2. Пусть Е — метризуемое локально вы-
выпуклое пространство, F — его плотное векторное под-
подпространство и А — предкомпактное множество в Е.
Тогда существует последовательность (хп) точек из F,
стремящаяся к началу, такая, что каждый элемент
из А может быть представлен в виде
ОО 00
2М». где 2 |Л.„|<1.
л-1 л-1
Доказательство. Пусть (Un) — базис абсо-
абсолютно выпуклых окрестностей в Е, такой, что Un+icz
c(Jn для каждого п. Поскольку А предкомпактно nF
плотно, существует конечное множество Bi точек из
Ffl(^+-ji/i). такое, что АсВ^-\-^их. Пусть
Al = (A — 5,)fl-2-^i; тогда каждая точка из А пред-
ставимаввиде yi/]-f-г,, где у I/, ?5, и г,?Д. Далее
Л4 предкомпактно и потому существует конечное мно-
множество BQczFfl (Ai-\—^U2J, такое, что Дс52-)—^i/2.
Пусть Д = (А — fijjflf^; тогда каждая точка
2. Билинейные отображения и тензорные произведения 195
из А представима в виде -fr#i+^-#2 + 22, где -^ г/i 6
,, -?-г/2€/?2 и 22€Л2. Продолжая так дальше, мы
определим конечные множества
и предкомпактные множества Ana2~nUn, для кото-
которых AncBn+1-\-2~l-n+1)Un+1, причем каждая точках из
А представима в виде 2 2""гг/г-|-2:„, где 2~гуг?
1<<
?ВТ при КХл и zn?An. Но -Anc2"""f/n и потому
гп—+0. Таким образом, х представляется в виде
со
2j2~r*/r- Если теперь взять в качестве {хп) последо-
вательность, в которой сначала идут все точки из 2Bi,
затем все точки из 4?2 и т. д., то каждая точка мно-
множества А будет иметь требуемый вид, причем будем
иметь х„ -> 0, ибо
Следствие. В метризуемом локально выпуклом
пространстве каждое предкомпактное множество со-
содержится в замкнутой абсолютно выпуклой оболочке
последовательности, стремящейся к- началу.
В самом деле, если, в обозначениях леммы 2,
X =
то для любой окрестности U существует такое п, что
х- 2
Предложение 9. Пусть Е и F — метризуемые
локально выпуклые пространства. Тогда Е & F есть
пространство Фреше и для каждого компактного мно-
множества А из E%F существуют последовательности
(хп) из Е и (уп) из F, сходящиеся обе к началу и та-
такие, что всякий элемент из А может быть записан
13*
196 Гл. VII. Некоторые специальные вопросы
в виде
2 Кхп®уп, где Ц |А,В|<1.
я=1 л-1
Доказательство. Пусть (Un) и (Vn)—ба-
(Vn)—базисы окрестностей в Е и F, каждый из которых пред-
представляет собой убывающую последовательность аб-
абсолютно выпуклых множеств. Абсолютно выпуклые
оболочки Wn множеств (f>(Un, Vn) образуют базис
окрестностей в пространстве E®F, которое поэтому
метризуемо. Следовательно, E®F— пространство
Фреше. По лемме 2 существует последовательность
(wm) точек из E®F, такая, что wm—>0 и каждая
точка w 6 А представима в виде
оо оо
2
тп—\
Поскольку wm~*0, существует последовательность
r(m) -> оо, такая, что шга6 wr(ra) для каждого т. То-
Тогда каждое wm может быть записано в виде конеч-
конечной суммы
2
где
^J I vml I -^ 1 > Xml 6 Ur (m), У ml 6 Vf (m).
и, значит,
oo
™= 2 2(m«vm,)j:m,®^.
Если теперь расположить двойные индексы mi в лек-
лексикографическом порядке, так что xmi образуют по-
последовательность (хп), стремящуюся к нулю, ymi —
последовательность («/„), стремящуюся к нулю, и
— последовательность (\п), для которой
2 |j<
то мы получим для w требуемое представление
2. Билинейные отображения и тензорные произведения 197
Следствие 1. Если Е и F — метризуемые ло-
локально выпуклые пространства, то каждый элемент
из Е (§> F может быть записан в виде
ЪКпУп, где 2 |А.Я|<1, хя-+0, уя-+0.
Следствие 2. Если Е и F — метризуемые ло-
локально выпуклые пространства, то каждое компакт'
ное множество из Е® F содержится в замкнутой аб-
абсолютно выпуклой оболочке последовательности
(хп ®Уп),в которой хп -> 0 и у„ ->0.
Представляется несколько неожиданным, что то-
топологическое тензорное произведение двух бочечных
метризуемых пространств также бочечно. Приводи-
Приводимое ниже доказательство изложено таким образом,
что подготовительной леммой можно будет восполь-
воспользоваться также для установления еще одного спе-
специального свойства тензорных произведений бочечных
метризуемых пространств.
Напомним, что билинейное отображение h произ-
произведения EXF в G порождает два множества частич-
частичных линейных отображений: hy пространства Е в G
для каждого фиксированного y€.F и hx простран-
пространства F в G для каждого фиксированного х(:Е. Если
все эти частичные линейные отображения непрерыв-
непрерывны, то h называют раздельно непрерывным (или не-
непрерывным по каждому аргументу в отдельности).
Раздельная непрерывность следует из непрерывнос-
непрерывности h как билинейного отображения, но не обязательно
влечет ее.
Лемма 3. Пусть Е — бочечное метризуемое про-
пространство, F — метризуемое локально выпуклое про-
пространство и h — раздельно непрерывное билинейное
отображение EXF в локально выпуклое простран-
пространство G. Предположим, что либо также F бочечно и
В — бочка в G, либо что В — окрестность в G. Тог-
Тогда frl(B) является окрестностью в ExF.
Доказательство. Очевидно, во втором случае
достаточно доказать утверждение для замкнутого
198 Гл. VII. Некоторые специальные вопросы
абсолютно выпуклого В. Но в обоих случаях из непре-
непрерывности ha для каждого а?Е вытекает, что Va —
=ка\В)есть (бочка и потому) окрестность в F. Если
/г1 (В) не есть окрестность в EXF, то существуют по-
последовательности хп —> 0 в Е и уп -* 0 в F, такие, что
h{xn, уп)(^В. Положим
л=1
Тогда U абсолютно выпукло и замкнуто. Кроме того,
оно поглощающее. В самом деле, если а 6 Е, то суще-
существуют номер па, такой, что у„?Уа для всех п^-па,
и скаляр Я (^1), такой, что h (а, уп)?кВ для всех
«<«а. Следовательно, h(a, yn)^KB для всех п и по-
потому U поглощает а. Таким образом, U — бочка в Е
и, следовательно, окрестность. Поэтому существует
такое «1, что xukV и, следовательно, h(xn, уп)?В
для всех «>«i. Таким образом, /г1 (В) должно быть
окрестностью.
Предложение 10. Топологическое тензорное
произведение двух бочечных метризуемых пространств
бочечно.
Доказательство. Применяем лемму 3 к ка-
каноническому билинейному отображению ф произведе-
произведения EXF в E&F. Если В — бочка в E®F, то суще-
существует окрестность UXV, для которой q>(U, V)czB.
Предложение 11. Если Е и F — метризуемые
локально выпуклые пространства и одно из них бо-
бочечно, то каждое раздельно непрерывное билинейное
отображение произведения EXF непрерывно.
Доказательство. Применяем лемму 3, беря
в качестве В любую окрестность из G.
В заключение этого параграфа опишем в общих
чертах еще одну полезную топологизацию тензорного
произведения, а затем вкратце рассмотрим тензорные
произведения нормированных пространств. Предпо-
Предположим, что Е и F — отделимые локально выпуклые
пространства с сопряженными Е' и F' и базисами
2. Билинейные отображения и тензорные произведения 199
окрестностей и и Т. Пусть ф и гр'— канонические
отображения ExF в E&.F и E'xF' в E'tf.F'. Тогда
(E®F, E'fcF') — дуальная пара (лемма 1) и мно-
множества ф'(?/°, V°) (?/€//, V€7°), удовлетворяя усло-
условиям § 2 гл. III, определяют в Е % F топологию рав-
равномерной сходимости, которую мы будем называть
топологией равностепенно непрерывной сходимости
в Е® F. Множества (q/(?/°, V°))° образуют базис ее
окрестностей. Поскольку ф(?/, V) с: (ф'(?/°, V°))°, то-
топология равностепенно непрерывной сходимости в
E®F мажорируется проективной топологией. Мы бу-
будем обозначать пополнение Е ® F, наделенного топо-
топологией равностепенно непрерывной сходимости, через
E&F.
Рассмотрим, наконец, случай, когда Е и F — нор-
нормированные пространства с замкнутыми единичными
шарами U и V. Замыкание абсолютно выпуклой обо-
оболочки W множества ф(?/, V) может быть принято за
замкнутый единичный шар в ?®F, наделенном
проективной топологией; определяемой этим нормой
оказывается
Что касается топологии равностепенно непрерывной
сходимости, то она будет определяться нормой
| w I = sup (| {w, x'®t/)\:x'€ U0, у' ?V°).
Теперь, ||да|1е<1М1р для всех w?E®F, ибо
при х'? U°, у'€ V0. При этом если ш имеет вид х&у,
то
1х 11У I! = sup {| (х, х') (у, у') |: х' 6 U0, у' € V0) ==
и, следовательно, I; .. _
Рассмотрим теперь сопряженное к нормирован-
нормированному пространству Е <g F (являющееся также сопря-
200 Гл. VII. Некоторые специальные вопросы
женным к Е <§) F; см. гл. VI, следствие 2 предложе-
предложения 6). Оно есть банахово пространство относитель-
относительно нормы
но нормы
Пусть w' = *2ix'i®y'.?E'®F'; его можно рассматри-
i
вать как линейную форму на E®F, причем тогда
|KI|=sup||S(x, x\)(y, уЦ. x?U, f/6Vj =
= sup 11 S <*"> x\) (y", y[) |: x" 6 IT, y" ? V00 J.
где f/00 — единичный шар во втором сопряженном Е"
к Е, а У00 — единичный шар в F", поскольку U и У
слабо плотны в ?/00 и У00. Таким образом, топология
в E'®F', порождаемая этой нормой, есть не что иное,
как топология равностепенно непрерывной сходимос-
сходимости; Е' % F' есть замкнутое векторное подпространство
сопряженного к Е <§ F и \\х'% у'\\ = \\х'\\ \\у'\\.
3. Теорема Крейна — Мильмана. Подобно теореме
Хана — Банаха, этот результат имеет геометрический
характер. Он относится к проблеме представления
заданного замкнутого выпуклого множества А в виде
замкнутой выпуклой оболочки его малого и удобно
описываемого подмножества К, подобно тому как в
конечномерном пространстве выпуклый полиэдр опре-
определяется своими вершинами, а шар — своей границей.
Эта теорема утверждает, что если А — компактное
подмножество локально выпуклого пространства, то
в качестве К можно взять (определяемое ниже) мно-
множество всех его экстремальных точек. Основная труд-
трудность доказательства состоит в установлении того,
что такое множество А действительно обладает хотя
бы одной экстремальной точкой.
Отрезком [а, Ь] в векторном пространстве назы-
называют множество всех точек вида Ха+A—%)Ь, где
0^Я^1; концами отрезка [а, Ь] называют точки а и Ь,
а внутренними точками — те, у которых 0<Л<1. Эк-
3. Теорема Крейна — Мильмана 201
стремальной точкой множества А называют такую его
точку, которая служит концом каждого содержащего
ее отрезка, принадлежащего множеству А.
Теорема 1. (Теорема Крейна—Мильмана.)
Каждое выпуклое компактное подмножество А отдели-
отделимого локально выпуклого пространства Е является
замкнутой выпуклой оболочкой множества своих экс-
стремальных точек.
Доказательство. Теорему достаточно дока-
доказать для случая, когда Е — вещественное простран-
пространство. В самом деле, комплексное пространство ? мож-
можно рассматривать и как вещественное пространство,
причем множество А останется выпуклым и компакт-
компактным; множество же экстремальных точек, а следова-
следовательно, и его замкнутая выпуклая оболочка не изме-
изменятся.
Итак, предположим, что Е — вещественное про-
пространство, и пусть В —замкнутая выпуклая оболочка
множества всех экстремальных точек множества А
(то, что они всегда существуют, станет ясным в ходе
доказательства). Очевидно, ВаА. Если поэтому ВфА,
то существует точка z?A, не принадлежащая В.
Поскольку В замкнуто, существует открытое вы-
выпуклое множество, содержащее г и не пересекающее-
пересекающееся с В. Следовательно (гл. II, следствие 3 предложе-
предложения 5), существуют линейная форма f и веществен-
вещественное число а, такие, что f(x)*Ca для всех х?В, а
f(z)>a. Поскольку А компактно, a f непрерывно,
P = sup f(A) конечно; и так как z € А, то р>а, так что
Я=/-'(р) не пересекается с В. Если мы теперь пока-
покажем, что существует экстремальная точка множе-
множества А, принадлежащая Я, так что Я пересекается
с В, то тем самым и придем к противоречию, доказы-
доказывающему, что В должно совпадать с А.
Гиперплоскость Я обладает следующим свойством:
если некоторая внутренняя точка отрезка [а, Ь] из А
принадлежит Я, то и весь этот отрезок содержится
в Я. (Это следует из определения р и выпуклости Я.)
Вообще назовем опорным многообразием любой сдвиг
замкнутого векторного подпространства из Е, имею-
202 Гл. VII. Некоторые специальные вопросы
щий общую точку с Л и обладающий указанным свой-
свойством. Рассмотрим множество всех опорных многооб-
многообразий множества А, содержащихся в Я. В этом мно-
множестве, упорядоченном по включению, (тривиальная)
цепь {#} содержится в некоторой максимальной
цепи сМ. Пересечение S всех множеств из о/И будет
опорным многообразием множества А. В самом деле,
S есть сдвиг замкнутого векторного подпространства
из Е, пересекается с А, поскольку пересечения с А
множеств из <М образуют цепь замкнутых подмно-
подмножеств компактного множества (гл. III, следствие
предложения 11), и обладает требуемым свойством,
ибо им обладает каждое множество из о/К. Покажем,
что S состоит лишь из одной точки. Для этого пред-
предположим, что в S имеются две различные точки cud.
Поскольку Е отделимо, то существует непрерыв-
непрерывная линейная форма g, такая, что g(c)фg(d). Но
SuA компактно; пусть y=sup g(SC\A) и G=S C\g~l(y).
Покажем, что G — опорное многообразие множе-
множества А. Прежде всего G есть сдвиг замкнутого век-
векторного подпространства из Е. Далее G пересекается
с А, ибо форма g, будучи непрерывной, принимает
значение у на компактном множестве SuA. И нако-
наконец, пусть [а, Ь] — отрезок в Л с внутренней точкой
z? G. Тогда z€S, и поскольку S — опорное многооб-
многообразие, [а, Ь] содержится в S, а потому и в S П Л. Зна-
Значит, g(x)Ky для всех х€[а, Ь], и так как g{z)=y,
а г—внутренняя точка отрезка, то g(x) =y для всех
x(L[a, b]. Тем самым весь отрезок [а, Ь] лежит в G.
Следовательно, G — опорное многообразие множе-
множества А, причем GcS. Но G ФБ, ибо с и d не могут
одновременно принадлежать G. А это противоречит
максимальности о/И.. Следовательно, S содержит толь-
только одну точку, скажем с. Наконец, с — экстремальная
точка. В самом деле, если с — внутренняя точка не-
некоторого отрезка [а, Ь] из А, то, поскольку S = {c} —
опорное многообразие, весь отрезок [а, Ь] должен со-
содержаться в {с}, что невозможно. Таким образом, мы
показали, что существует экстремальная точка мно-
множества А, принадлежащая Н, и теорема полностью,
доказана.
Дополнения 203
Дополнения
A) Строгие индуктивные пределы. Пространство
(]—оо, оо[) всех непрерывных функций с компакт-
компактным носителем, наделенное топологией индуктивного
предела (гл. I, дополнение 2в), является примером
строгого индуктивного предела последовательности
пространств Фреше; еще один пример дает простран-
пространство 3) (гл. I, дополнение Зг). В случае простран-
пространства 3) определяющие пространства 3>п — монтелев-
ские (см. гл. IV, дополнение 2), а отсюда следует,
что само 3> есть монтелевское пространство. Действи-
Действительно, вообще любой строгий индуктивный предел Е
последовательности монтелевских пространств Еп
является монтелевским пространством, ибо каждое
его замкнутое ограниченное подмножество содержит-
содержится в одном из Еп (предложение 4), а значит, ком-
компактно, и, кроме того, Е бочечно (гл. V, предложе-
предложение 6).
B) Тензорные произведения. Если Е—локально
выпуклое пространство и F — некоторое пространство
вещественных или комплексных функций на каком-то
множестве S, то пространство E®F отождествимо с
пространством функций на S со значениями в конеч-
конечномерных векторных подпространствах из Е, образо-
образованным всевозможными конечными суммами вида
2*гфг, где xt€? и ф,- 6 F. Так, например, если F —
i
пространство C{S) всех непрерывных функций на
компактном множестве S, то ?(gC(S) есть простран-
пространство всех непрерывных отображений пространства S
в конечномерные подпространства из Е. Если обозна-
обозначить через C(S, E) пространство всех непрерывных
отображений S в Е, наделенное топологией равно-
равномерной сходимости, то нетрудно доказать, что C{S,E)
индуцирует в E(&C(S) топологию равностепенно не-
непрерывной сходимости и E(&C(S) плотно в C(S, E).
Следовательно, если Е полно (чтобы C(S, E) было
полно), то ?®С(S) = С(S, Е).
Взяв в качестве Е пространство С{Т), где Т —
еще одно компактное пространство, и используя легко
204 Гл. VII. Некоторые специальные вопросы
устанавливаемый изоморфизм между пространствами
СE, С(Т)) и C(SXT), получаем, что
Теория лебегова интегрирования допускает рас-
распространение на функции, принимающие значения в
банаховом пространстве Е (см., например, Bou r b a -
ki, Elements de mathematique,LivreVI, Integration1)).
При этом большинство классических результатов ос-
остается в силе с заменой в надлежащих местах абсо-
абсолютной величины нормой. Если J?l(S, Е) означает
пространство всех интегрируемых функций на про-
пространстве с мерой S, принимающих значения в Е, то
можно показать, что ?'®^1E) = ^1E, ?) (см. [5],
гл. I, § 2, теорема 2). В частности, J?1 E X Т)—
))
В приведенных выше двух примерах существенно
пополнять тензорное произведение в надлежащей то-
топологии. Однако существует широкий класс локально
выпуклых пространств F, обладающих тем свойством,
что E®F — E(gF для каждого локально выпуклого
пространства Е. Такие локально выпуклые простран-
пространства F называются ядерными. Бесконечномерное
банахово пространство не может быть ядерным. С дру-
другой стороны, пространства 3), «f, ?P и e№{D) так же,
как их сопряженные, ядерны. Пополненные топологи-
топологические тензорные произведения ядерных пространств
часто допускают простое описание; так, например,
если Е полно, то E(?g№(D) есть пространство всех
голоморфных функций на D со значениями в Е.
Топологические тензорные произведения и ядерные
пространства были подробно изучены А. Гротенди-
ком[5]2).
:) Русский перевод: Н. Б у р б а к и, Интегрирование, изд-во
«Наука», 1967.
2) См. также А. П и ч, Ядерные локально выпуклые про-
пространства, изд-во «Мир», 1967,
ГЛАВА VIII
КОМПАКТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
I. Теория Рисса. Одним из первых достижений
функционального анализа была построенная Ф. Рис-
сом абстрактная теория функциональных уравнений,
включающая значительную часть фредгольмовской
теории интегральных уравнений. Предметом послед-
последней являются линейные интегральные уравнения вида
ь
Кх (и) — f к {и, v) х (v) dv = y (и),
а
где k и у— заданные непрерывные функции, Я, —за-
—заданный скаляр, а х — неизвестная (непрерывная)
функция. Это уравнение имеет вид w%(x) =
= (Ai— t)(x)=y, где i — тождественное, а / — линей-
линейное отображения пространства рассматриваемых
функций в себя. В такой форме проблема решения
уравнения есть проблема обращения отображения wK.
Чтобы оно было возможным, очевидно, необходимо,
чтобы Ki — / было взаимно однозначным; другими
словами, чтобы единственным решением уравнения
t{x)='Kx было нулевое. Если уравнение t{x)=%x
имеет ненулевое решение х, то К называют собствен-
собственным значением отображения t, а решение х — соот-
соответствующим собственным вектором.
В конечномерном векторном пространстве, где ли-
линейные отображения можно изучать с помощью мат-
матриц, собственные значения отображения / — это кор-
корни уравнения det(А,/ — Г)=0, где Т — матрица ото-
отображения / относительно некоторого базиса, и wx
имеет (непрерывное) обратное тогда и только тогда,
когда К не есть собственное значение отображения t.
206 Гл. VIII. Компактные линейные отображения
В бесконечномерном локально выпуклом пространстве
ситуация не столь проста: если X не является соб-
собственным значением непрерывного отображения /, все
же может случиться, что wx не отображает простран-
пространство на себя, и даже если ш^ обладает обратным, пос-
последнее может оказаться не непрерывным. Множество
тех значений К, для которых шЛ не имеет непрерыв-
непрерывного обратного, называют спектром отображения t.
Таким образом, собственные значения заведомо при-
принадлежат спектру. Отличительной чертой того класса
отображений /, которые возникают в теории интег-
интегральных уравнений, является то, что и, обратно, каж-
каждая точка спектра, за исключением, быть может, ну-
нуля, является собственным значением; при этом спектр
состоит из последовательности, стремящейся к нулю,
и нуля, либо есть конечное множество. Решающим
свойством отображения t в нормированном простран-
пространстве оказывается то, что t (или иногда некоторая его
степень th, или даже некоторый полином от t) ото-
отображает единичный шар в компактное множество.
Линейное отображение, отображающее единичный
шар в компактное множество, называют компактным,
или вполне непрерывным (формальное определение
для общего случая см. ниже). Компактные линейные
отображения и составили предмет изящной теории
Рисса.
В этом и следующем параграфах будет построена
теория компактных линейных отображений в локаль-
локально выпуклых пространствах. Этот параграф посвящен
обобщению теории Рисса на локально выпуклые про-
пространства; в действительности предположение локаль-
локальной выпуклости нигде существенно не используется.
Следующий параграф содержит очерк основных
свойств двойственности компактных линейных ото-
отображений. Конечно, здесь теория уже зависит от
предположения, что рассматриваемые пространства
локально выпуклы.
Приступая к формальному изложению, отметим
несколько элементарных свойств компактных линей-
линейных отображений. Пусть Е и F — локально выпуклые
пространства над полем комплексных чисел. Линей-
/. Теория Рисса 207
ное отображение / пространства Е в F называют ком-
компактным или вполне непрерывным, если существуют
окрестность нуля U в Е и компактное множество К
в F, такие, что t{U)cK. Тогда / непрерывно, ибо, ка-
какова бы ни была окрестность V в F, ((W)ckKcV
для всех достаточно малых Х>0. Если s — непрерыв-
непрерывное линейное отображение в Я, а и — непрерывное
линейное отображение, определенное на F, то и»/ и
/os компактны вместе с /. Отсюда следует, что если
/ — компактное линейное отображение пространства ?
в себя, то и любой полином от / без свободного члена
является компактным отображением (поскольку сум-
сумма конечного числа компактных множеств ком-
компактна).
В большей части этого параграфа изучается ли-
линейное отображение w%='ki — /, где / компактно, а К
отлично от нуля. При фиксированном X мы обычно
вместо w^ пишем w. Значительная часть теории Рис-
Рисса остается в силе, если вместо компактности линей-
линейного отображения / известно лишь, что этим свой-
свойством обладает некоторая его степень (k (или поли-
полином от t). Чтобы охватить этот случай, мы поступим
следующим образом. Пусть, например, sft компактно
для некоторого положительного целого k > 2. Тогда
v = [ii — s входит множителем в w=v-hi — sh; обозна-
обозначая дополнительный множитель через и, имеем
Uo<V — VoU = M — t,
где X = nk Ф0, если цфО, a t = sk компактно. Поэтому
мы будем изучать непрерывные линейные отображе-
отображения v, удовлетворяющие тождеству
а о <о = <о о и = Ы — t,
где и непрерывно, / компактно и % ф 0.
Предложение 1. Пусть t — компактное линей-
линейное отображение отделимого локально выпуклого
пространства Е в себя, % — ненулевой скаляр, а и и
v — непрерывные линейные отображения Е в себя,
такие, что
и о v = Яг — t.
208 Гл. VIII. Компактные линейные отображения
Тогда v~l @) конечномерно, v — открытое отображе-
отображение Е на v(E) и v(E) замкнуто в Е.
Доказательство. Будучи компактным, / ото-
отображает некоторую окрестность U в компактное мно-
множество К. Пусть N = v~l@), Если тогда x^UON, то
и(и(х))=0, значит %x = t{x) и, следовательно, %х €
dt(U)cK, так что UЛNck~lK. Таким образом, N
содержит предкомпактную окрестность и потому ко-
конечномерно (гл. III, теорема 2).
Пусть теперь Т" — базис уравновешенных окрест-
окрестностей в Е. Если отображение v не открытое, то
существует W 6 "У, которое, очевидно, можно считать
содержащимся в U, такое, что v(W) не есть окрест-
окрестность в v(E). Тогда каждое V^T пересекается с
v(E) Л Cv(W)=v(C(W+N)). Пусть х — их общая
точка; тогда для некоторого [д,, удовлетворяющего не-
неравенствам 0<[д,<1, имеем
\vc?vBW)r\Cv(W)
и, значит, V пересекается также с и (Л), где Л = 2№Л
Л С (W+N). Поэтому множества Л Л и (У) образуют
базис фильтра <&~, содержащего Л и такого, что
v{<&~)-+0. Но так как / (Ж) содержит t(A)ct{2W)cz
cl2K, то существует фильтр ^, мажорирующий <&~ и
такой, что ({??) сходится к некоторой точке г€2/(.
Так как M=t + tiov, то Х&-+z + u@) =z. Но %A €l&,
так что 2бЫ. С другой стороны, v{%&)=№{!$) ->0,
откуда v(z)=0 и, значит, z€.N. Следовательно,
X~lzd N Г\А. Однако это невозможно, поскольку N+W
не пересекается с Л. Полученное противоречие дока-
доказывает, что v открыто.
Покажем, наконец, что v(E) замкнуто. В самом
деле, если a?v(E), то множества v{E) Л (a + V), где
V пробегает Т", образуют базис фильтра Коши в
v{E). Следовательно, среди них имеется множество,
малое порядка v(U); пусть v(b) —произвольная точ-
точка этого множества; тогда множества (b + U) (],
Л и (a + V), где V пробегает У, образуют базис фильт-
фильтра <&~, для которого v(<&~) —> а. Но так как t{<f?~) со-
содержит t(b + U) ct(b) +K, где последнее множе-
/. Теория Рисса 209
ство компактно, существует фильтр 8, мажорирую-
мажорирующий g?~ и такой, что t(a?) сходится к некоторой точке,
скажем у. Так как M = t + u°v, то Ха? -+у + и(а) и,
значит,
v (Iff) -> v (у + и (а)) 6 -о (?¦)•
Но, с другой стороны, v(%ff) =%v@-) -+%а. Следова-
Следовательно, аб v(E) и и(?) замкнуто.
Следствие. Предположим также, что и и v пе-
перестановочны (т. е. u<>v = v °и). Для каждого целого
г~^\, тогда v~r@) конечномерно и V — открытое ото-
отображение пространства Е на замкнутое векторное
подпространство v(E). (Под v~r@) понимается
(у)-'(О), т. е. множество тех х, для которых vr(x) = 0.)
Действительно, тогда ur<>vr= (u°v)r=(Xi — t)r=
=КН — s, где s, будучи полиномом от t без свобод-
свободного члена, компактно.
Если и и v перестановочны, то, разумеется, в рав-
равной мере верно, что и~г@) конечномерно и w — от-
открытое отображение Е на замкнутое векторное под-
подпространство иг(Е).
Нам потребуются некоторые алгебраические свой-
свойства векторных подпространств v~r@) и vr(E), не за-
зависящие от специального вида, который имеет здесь и.
Каково бы ни было линейное отображение v век-
векторного пространства Е в себя, векторные подпро-
подпространства {0} = ir°{0}, ir!(O), ir2@), ... образуют воз-
возрастающую последовательность. Если существует та-
такое целое я>0, что irn@) =tr"-1@), то
•о-*-* @) = v-1 (v-"-1 @)) = v-1 (v~n @)) =
и повторение того же рассуждения показывает, что
irr@) =vn@) для всех г^п. Поэтому либо после-
последовательность (у-г@): г>0} строго возрастающая,
либо существует наименьшее целое я^-0, такое, что
когда 0^-г^.п, то все v~r@) различны, все же после-
последующие подпространства совпадают с zrn@). В пос-
последнем случае будем говорить, что v имеет конеч-
конечный подъем п.
14 Зак. 706
210 Гл. VIII. Компактные линейные отображения
Подобным же образом последовательность вектор-
векторных подпространств E = v°(E), v(E), v2(E), ... либо
строго убывает, либо существует наименьшее целое
т>0, такое, что когда ОО^Ст, то все v(E) раз-
различны, все же последующие подпространства совпа-
совпадают с vm(E). В последнем случае будем говорить,
что v имеет конечный спуск пг.
Лемма 1. Для любого линейного отображения v
пространства Е в себя и любых неотрицательных це-
целых чисел г и s
(I) w~r@) =irr~s@) тогда и только тогда, когда
((){0}
)(){}
(II) vs(E)=vs+T(E) тогда и только тогда, когда
Доказательство. Обе части утверждения (I)
означают, что если y = vr(x) переводится отображе-
отображением Vs в 0, то у=0. Обе же части утверждения (II)
означают, что для каждого х?Е существует такое
у€Е, что х — vr(y) €irs@).
Лемма 2. Если линейное отображение v про-
пространства Е в себя имеет конечный подъем п и ко-
конечный спуск пг, то пг = п и Е является (алгебраиче-
(алгебраической) прямой суммой у-"@) и vn(E).
Доказательство. В силу утверждения (I)
леммы 1 при г=п и s=l, имеем vn(E) Лгг'@) ={0}.
Если m-Crt, то это можно записать также в виде
откуда (снова по утверждению (I) леммы 1, но при
г = ш и s=l) vm@) = w" @). Но это означает, что
т> п. Следовательно, пг = п.
Аналогично применение утверждения (II) лем-
леммы 1 при s — m и г=\ показывает, что v(E) +vm@) =
=?. Если mi> n, то это можно записать также в виде
v(E)+v~n@)=E, откуда (снова по утверждению (II)
леммы 1, но при s = n и r=l) vn(E)=vn+i(E). Но это
означает, что п^-пг. Следовательно, пг=п.
Наконец, при r = s — n справедливы равенства, стоя-
стоящие в левых частях и утверждения (I) леммы 1, и
/. Теория Рисса 211
утверждения (II). Но тогда справедливы и соотноше-
соотношения, стоящие в правых частях, а это и означает, что
Е — прямая сумма подпространств vn(E) и сг"@).
Возвращаясь к компактным линейным отображе-
отображениям, покажем, что если u°v = v °u=%i — t, где i —
тождественное отображение, а / компактно, то v
имеет конечный подъем и конечный спуск. Для этого
нам понадобится
Лемма 3. Предположим, что t — линейное ото-
отображение пространства Е в себя и U — такая окрест-
окрестность, что t(U) содержится в компактном множестве.
Предположим далее, что w — %i — t, где КфО, и Р,
G — два различных векторных подпространства в Е,
такие, что О замкнуто, GczF, a w(F)czG. Тогда суще-
существует точка x?F[\2U, не содержащаяся в G + U.
Доказательство. Прежде всего из предполо-
предположений леммы следует, что Fc?G + U. Действительно,
так как %i=w + t, то в противном случае мы имели бы
FcG+(ekUuF)czG + ew(F)+et(U)c.G + et(U) для
каждого е>0, откуда следовало бы, что FczG + V для
каждой окрестности V, поскольку et(U)czV при неко-
некотором е>0; а так как G замкнуто, то это означало бы,
что F = G, в противоречие с предположением.
А теперь F[\2UqtG + U, ибо в противном случае
мы имели бы
F n 2nUc О + (F П 2п~Щ) ])с=
и, значит, FczG + U, в противоречие с доказанным.
Следовательно, существует точка х, обладающая тре-
требуемыми свойствами.
Предложение 2. Пусть t — компактное линей-
линейное отображение отделимого локально выпуклого
пространства Е в себя, % — ненулевой скаляр, а и и
v — перестановочные линейные отображения, такие,
) n(n)( + ) +1?/, a так как
GczF, то отсюда F[\2uUclG+{F(\2n-4J), — Прим, ред.
14*
212 Гл. VIII. Компактные линейные отображения
ЧТО
= VoU = 'ki — t.
Тогда и и v имеют конечный подъем и конечный спуск.
Доказательство, t отображает некоторую
окрестность в компактное множество К. Положим
w = u°v = v°u = 'ki — t.
Допустим сначала, что v не имеет конечного
подъема. Тогда все замкнутые векторные подпро-
подпространства Nr=v~r@) различны. Но если x?.Nr+i, то
vT+l(x)=0 и потому vT(w(x))=u(vT+1(x))=u@)=0,
так что w(x) ?Nr. Таким образом, w(Nr+i)cNT, так
что применима лемма 3 с F=Nr+i и G = Afr. Поэтому
для каждого г^-0 существует точка хг €Л^Г+1П BU),
не принадлежащая NT+JJ. Тогда t(xr) ?2/(, а, с дру-
другой стороны, при r>s имеем
t (хг) -1 (xs) = te,-w (хГ) -%xs+w (xs) 6 Kxr + Nr>
откуда следует, что t(xT) —t(xs) ^ W. Но это проти-
противоречит предкомпактности множества 2/С, так что v
должно иметь конечный подъем.
Допустим теперь, что v не имеет конечного спуска.
Тогда векторные подпространства Mr = vr(E), замкну-
замкнутые в силу предложения 1, все различны. Теперь
w(Mr)cMr+i, так что применима лемма 3 с F=Mr,
G = Mr+1 и, как выше, для каждого г^-0 существует
точка ут € Мт П BU), не принадлежащая Mr+l + U. То-
Тогда t{yr) 6 2/С и при r<s имеем
что, как и в предыдущем случае, приводит к проти-
противоречию, так что v должно иметь конечный спуск.
Следствие 1. Е есть топологическая сумма под-
подпространств v~n @) и vn (Е), где п — подъем v.
Доказательство. По предложению 2 и лем-
лемме 2 и есть также спуск и, а Е — алгебраическая пря-
прямая сумма у~и@) и vn (E). Но по следствию предло-
предложения 1 ir"@) конечномерно, a vn(E) замкнуто, По-
Л Теория Рисса 213
этому (гл. V, следствие предложения 29) Е — также
топологическая сумма этих подпространств.
Следствие 2. Если t — компактное линейное
отображение отделимого локально выпуклого про-
пространства Е в себя и w=%i— t, где % ф О, то следую-
следующие утверждения равносильны:
(I) X не есть собственное значение отображения t\
(II) w взаимно однозначно;
(III) подъем w равен нулю;
(IV) спуск w равен нулю;
(V) w отображает Е на себя.
(Вытекает из предложения 2, если положить в нем
u = i и v = w.)
Теорема 1. Пусть t — компактное линейное ото-
отображение отделимого локально выпуклого простран-
пространства Е в себя, а и и v — непрерывные линейные ото-
отображения, такие, что u°v = v °и=М—t, где "кфО. То-
Тогда Е разлагается в топологическую сумму двух
(замкнутых) векторных подпространств MuN, каждое
из которых v отображает в себя, причем сужение v
на М есть изоморфизм, а N конечномерно и v на нем
нильпотентно (т. е. существует такое п, что vn = Q).
Далее, v~r@) и E/vr(E) при каждом положительном
целом г имеют одинаковую размерность. Наконец, v
пред ставимо на Е в виде v = и4 + v2, где Vi — изомор-
изоморфизм ~Е на себя, a v2 отображает Е в конечномерное
векторное подпространство.
Доказательство. Е есть топологическая сум-
сумма подпространств M = vn(E) и N=v~n@), где п —
подъем v (следствие 1 предложения 2). По следствию
предложения 1 TV конечномерно; ясно также, что
v{N)<z.N и ип=0 на N. С другой стороны, v(M)=M
и
и(М) =u(vn(E)) =»»(«(?)) со"(?) =М,
так что и(р{М)) сМ и потому t(M) cM. Следователь-
Следовательно, к сужениям t, и и v на М применимо предложе-
предложение 1 и, значит, v открыто на М. А будучи также
взаимно однозначным на М, v является там изомор-
214 Гл, VIII. Компактные линейные отображения
физмом. Далее
E\vr (Е) = (М + N)/(vr (М) + vr (N)) =
что (алгебраически) изоморфно N/vr(N). А поскольку
N конечномерно, N/vr(N) имеет ту же размерность,
что и irr@). Наконец, пусть р и q— проекторы Е
на Л! и N. Тогда i>i= (и °р) +<? есть изоморфизм Е на
себя, a Vz=(v°q) —q отображает Е в N, причем
Следствие 1. Пусть s — непрерывное линейное
отображение отделимого локально выпуклого про-
пространства Е в себя, причем существует полином ср, для
которого tp(s) компактно. Если тогда tp(jx) =?0, то
отображение v = \ii — s обладает всеми свойствами
отображения v теоремы 1.
Доказательство. Пусть 1|з(|) —частное отде-
отделения ф(|) на —(ц — |), так что
Тогда m=i|)(s), v = pi — s, Х=ф(м.)=^О и t — cf(s) удо-
удовлетворяют всем условиям теоремы, а, значит, для
v = \ii — s верны и ее заключения.
Следствие 2. Если t компактно, то w = Xi — t,
где ХфО, обладает всеми свойствами отображения v
теоремы 1. При этом на подпространстве М, где w —
изоморфизм, обратное отображение имеет вид ar! =
= А~2(Аг — s), где s — компактное линейное отображе-
отображение М в себя, перестановочное с t. В частности, если
% Ф 0 не есть собственное значение отображения t,
то w~l имеет указанный вид на всем Е.
Доказательство. w~l во всяком случае пред-
ставимо в виде %~2(К1 — s), где s — непрерывное ли-
линейное отображение М в себя. Тогда на М
— %~lt — %~ls 4- %~2t о s
/. Теория Рисса 215
и также
i = w~l ow = X~2 (Xi — s) о (Xi — t) =
= i — %-ls — x~lt 4-X~2s о t.
Следовательно, s°t = t°s и s = X~lt ° (—Xi + s), откуда
заключаем, что так как t компактно, а —Xi+s непре-
непрерывно, то s компактно.
Результаты, сформулированные в теореме 1 и ее
следствиях, допускают различную трактовку. В тер-
терминах уравнения w^(x)=Xx — t(x)=y они означают,
что если / компактно и X ф О (или, более общим об-
образом, если некоторый полином ср(/) компактен и
ф(Х,) Ф 0), то либо это уравнение имеет для каждого у
единственное решение x = w~l(y), либо существует по
крайней мере одно х Ф 0, для которого w(x) =0 (аль-
(альтернатива Фредгольма). В последнем случае простран-
пространство тех х, для которых w{x)=0, конечномерно.
Другой вывод состоит в том, что каждая точка X
спектра компактного линейного отображения /, за
исключением, быть может, Х=0, является собствен-
собственным значением с конечномерным подпространством
собственных векторов. (Если Е бесконечномерно, то
Х=0 принадлежит спектру отображения /: в против-
противном случае t1 было бы непрерывным и Е обладало
бы компактной окрестностью.) Последние результаты
этого параграфа дадут дополнительную информацию
о спектре.
Лемма 4. Для каждого линейного отображения t
векторного пространства Е в себя собственные век-
векторы, соответствующие различным собственным зна-
значениям, линейно независимы.
Доказательство. В противном случае суще-
существует такое целое п^-0, что любые п собственных
векторов (соответствующих различным собственным
значениям) линейно независимы, но существует п+,1
таких собственных векторов х0, хи ..,, хп и ненуле-
ненулевых скаляров (Хо, [Xi, ..., \in, что
0<г<л
216 Гл. VIII. Компактные линейные отображения
Пусть хт для каждого г соответствует собственному
значению Кг, так что t(xr)=Krxr. Применяя отобра-
отображение Koi — t, получим
Но это означает, что хи х2, ..., хп линейно зависимы,
в противоречие с предположением.
Предложение 3. В отделимом локально вы-
выпуклом пространстве спектр компактного линейного
отображения является либо конечным множеством,
либо последовательностью, сходящейся к нулю.
Доказательство. Мы уже видели, что все точ-
точки спектра компактного линейного отображения t,
кроме, быть может, К —0, являются собственными зна-
значениями. Возьмем е>0 и предположим, что суще-
существует последовательность (KJ попарно различных
собственных значений, для которых |Яг|>е. Пусть
(хг) — последовательность соответствующих собствен-
собственных векторов и Нп — векторное подпространство, на-
натянутое на первые п из них. Тогда Н„ замкнуты и по
лемме 4 попарно различны. При этом если wr=Kri — t,
то wr(Hr)czHr-i. Следовательно, если U — уравнове-
уравновешенная окрестность, которую t отображает в ком-
компактное множество /С, то применима лемма 3 с F=Hr,
G=Hr-i и w = wr. Поэтому для каждого г>1 суще-
существует точка yr€HrC\BU), не принадлежащая
Hr-i + U. Тогда t(yr) €2/C, а, с другой стороны, при
r>s имеем
t (у г)—t (ys)=Куг-щ {Ут)-Ку*+™* (у*) 6 КУг+//,_„
откуда 1{уг) —t(ys) (? sil. Но это противоречит пред-
компактности множества t(U). Следовательно, суще-
существует только конечное число собственных значений К,
для которых |Х|^е, и предложение доказано.
2. Теория двойственности 217
Следствие. Пусть s — линейное отображение
пространства Е в себя, причем существует полином ф
(ненулевой степени), для которого cp(s) компактно.
Тогда спектр отображения s конечен или счетен, а его
предельные точки являются нулями полинома ф.
Доказательство. Если s(x)=kx, то q>(s) (х) =
= ф(Х)х, так что образ относительно ф спектра ото-
отображения s является конечным множеством или по-
последовательностью, стремящейся к нулю.
(В действительности это следствие остается спра-
справедливым также, если ф — ненулевая константа, ибо
в этом случае i компактно, Е конечномерно и спектр
отображения s есть конечное множество.)
2. Теория двойственности. Продолжая изучение
компактных отображений, мы обратимся в этом пара-
параграфе к свойствам, связанным с сопряженным про-
пространством и сопряженным отображением. Прежде
всего сопряженное отображение всегда можно сде-
сделать компактным.
Лемма 5. Пусть t — компактное отображение от-
отделимого локально выпуклого пространства Е в себя.
Тогда его сопряженное f компактно, если сопряжен-
сопряженное Е' к Е наделено топологией равномерной сходи-
сходимости на абсолютно выпуклых компактных подмноже-
подмножествах из Е.
Доказательство. Существует окрестность U,
которую можно считать абсолютно выпуклой, такая,
что t(U) содержится в компактном множестве. То-
Тогда V'=(t(U))° — окрестность в Е'. При этом (гл. II,
лемма 6) (t{U))° = f-l(U°), так что t'(V')czUo. Но из
предложения 4 гл. VI следует, что U° компактно при
указанной топологизации Е'. Следовательно, f ком-
компактно.
Предложение 4. Пусть t — компактное линей-
линейное отображение отделимого локально выпуклого про-
пространства Е в себя, % — ненулевой скаляр, а и и v —
непрерывные линейные отображения, такие, что
u,ov = v°u = 'ki — t.
218 Гл. VIII. Компактные линейные отображения
Пусть далее V, и' и х/— отображения, сопряженные
к t, и и v, a V — тождественное отображение сопря-
сопряженного Е' к Е в себя, так что
Тогда
(I) v и v' имеют один и тот же (конечный) подъ-
подъем и спуск п;
(II) каково бы ни было положительное целое г,
vr@) и v'~r@) имеют одинаковую размерность;
(III) Е' есть топологическая сумма поляр М° —
= t/-"@) и №=v'n(E') подпространств M = vn(E) и
N=v~n{0) в любой топологии, при которой ? ком-
компактно (например, в топологии, указанной в лемме 5).
г/ нилыготентно на конечномерном пространстве М°
и является изоморфизмом на №.
Доказательство. Для каждого положитель-
положительного целого г имеем (гл. II, лемма 6) (У (?))" =
= v''r@) и (v'r(E'))° = v-r@). Поскольку vr(E) замк-
замкнуто (предложение 1), a v'r(E') замкнуто в Е' при
любой топологии, согласующейся с двойственностью
между Е' и Е (лемма 5 и предложение 1), имеем так-
также V(E) = (v'-r@))° и v'r(E') = (v-r@))°. Эти соотно-
соотношения показывают, что подъем v' равен спуску v, a
спуск v' подъему v, чем (I) и доказано. (II) следует
из того, что сопряженным к trr@) служит
E'l(v~r@))°=E'/v'r(E'), имеющее по теореме 1 ту же
размерность, что и v'~r@). Наконец, (III) получается
применением теоремы 1 к /' в любой топологии, при
которой оно компактно.
Следствие. / и ? имеют одни и те же собствен-
собственные значения, кроме, быть может, К=0. Если X — не-
ненулевое собственное значение, то уравнение w(x) =
= Кх — t(x) =y относительно х имеет решение тогда
и только тогда, когда у равно нулю на w'~l @), а урав-
уравнение w'(x')=kx' — 1(х')=у' относительно х' имеет
решение тогда и только тогда, когда у' равно нулю
на wl@).
(Следует из предложения 4, если положить в нем
u = i и v=w.)
2. Теория двойственности 219
В формулировке предложения 4(Ш) предусмотре-
предусмотрена возможность существования топологий, отличных
от указанной в лемее 5, при которых f может быть
компактным. И это действительно имеет место, напри-
например, когда Е — бесконечномерное банахово простран-
пространство, а Е' наделено гормированной топологией р(Е',Е):
теорема Шаудера устанавливает, что в этом случае /
компактно тогда и только тогда, когда V компактно.
Для локально выпуклых пространств сопряженное
к компактному линейному отображению не всегда
компактно в сильной топологии сопряженного про-
пространства. Чтобы получить естественный аналог тео-
теоремы Шаудера для локально выпуклого пространства,
следует рассматривать линейные отображения, пере-
переводящие ограниченные множества в компактные.
(В нормированном пространстве они, очевидно, со-
совпадают с компактными отображениями.)
Лемма 6. Пусть Е и F — отделимые локально
выпуклые пространства, t — слабо непрерывное ли-
линейное отображение Е в F и Е' наделено топологией
Л-сходимости. Тогда t отображает множества из Л
в предкомпактные множества в том и только в том
случае, когда f отображает равностепенно непрерыв-
непрерывные множества в компактные.
Доказательство. По теореме 3 гл. III каждое
t(A) предкомпактно тогда и только тогда, когда /'
отображает равностепенно непрерывные множества в
предкомпактные. Далее, так как /' слабо непрерывно,
а каждое равностепенно непрерывное множество В'
есть подмножество слабо компактного множества, то
t'(B') содержится в слабо компактном множестве.
Поэтому слабое замыкание множества t'(B') слабо
полно и, значит, полно в топологии с#-сходимости
(гл. VI, следствие предложения 3). Таким образом,
замыкание множества t'(B') в топологии с#-сходи-
мости полно и, будучи предкомпактным, компактно.
Следовательно, /' отображает равностепенно непре-
непрерывные множества в компактные.
Предложение 5. Пусть Е и F — отделимые ло-
локально выпуклые пространства, их сопряженные Е'
220 Гл. VIII. Компактные линейные отображения
F' наделены сильными топологиями Р(?', Е) и
$F', F) и t — слабо непрерывное линейное отображе-
отображение Е в F. Пусть, кроме того, F полно и бочечно. То-
Тогда t отображает ограниченные множества в абсолют-
абсолютно выпуклые компактные в том и только в том слу-
случае, когда тем же свойством обладает V.
Доказательство. Предположим, что t отобра-
отображает ограниченные множества в абсолютно выпуклые
компактные. Так как F бочечно, то §{F', /^-ограни-
/^-ограниченные множества равностепенно непрерывны и по-
потому f отображает их в компактные множества (лем-
(лемма 6). Обратно, если f обладает этим свойством, то t
отображает ограниченные множества в предкомпакт-
ные (лемма 6), а значит, и в компактные, поскольку F
полно.
Предположения относительно F выполнены, в част-
частности, когда F — пространство Фреше.
Теорема 2. (Шаудер.) Пусть Е и F — банаховы
пространства, Е' и F' — их сопряженные, наделенные
нормированными топологиями, и t — слабо непрерыв-
непрерывное линейное отображение Е в F. Тогда t компактно
в том и только в том случае, когда f компактно.
Доказательство. Единичные шары в Е и F'
являются одновременно окрестностями и ограничен-
ограниченными множествами, поэтому теорема следует из пред-
предложения 5.
В заключение докажем соответствующую теорему
для отображений банаховых пространств, переводя-
переводящих ограниченные множества в слабо компактные.
И здесь, в подготовительной лемме, используется тео-
теория пополнения из § 1 гл. VI.
Лемма 7. Пусть Е и F — отделимые локально
выпуклые пространства, Е' и F' — их сопряженные и
Е' наделено топологией Л-сходимости, a G — его со-
сопряженное относительно этой топологии. Пусть да-
далее t — слабо непрерывное линейное отображение Е
в F, f — сопряженное к t и ?' — сопряженное к V'. То-
Тогда
2. Теория двойственности 221
(I) t отображает множества из Л в a(F, F')-kom-
пактные множества в том и только в том случае, ко-
когда t"{G)czF;
(II) t' отображает равностепенно непрерывные
множества в о{Е', G)-компактные множества в том
и только в том случае, когда t"(G) czF.
Доказательство. (I) Так как G=\jA00, то,
А
дважды применяя лемму 6 гл. II, получаем
t"(G)=z\Jt»(A°°)cz\J(t(A)r.
Но если t отображает А?.Ж в абсолютно выпуклое
a(F, F')-компактное множество, то (t(A))°°, будучи
o(F'*, F')-замыканием абсолютно выпуклой оболочки
множества t(A), содержится в этом компактном мно-
множестве, а значит, ив/7. Таким образом, t"{G) czF. Об-
Обратно, пусть t"{G)cF. Так как t" непрерывно при
топологиях a(G, E') и a{F'*, F'), а Л00 a(G, ?")-ком-
?")-компактно, то тогда t" (A°°) a(F, F')-компактно и
t{A)czt"{A00),
(II) Если t"{G)cF, то ? непрерывно при тополо-
топологиях a(F', F) и о(Е', G). Но топологии o{F', F) и
a(F', F) на каждом равностепенно непрерывном мно-
множестве совпадают (гл. VI, следствие 3 теоремы 2),
и так как замыкание равностепенно непрерывного
множества a(F', F)-компактно, то его образ a(E',G)-
компактен. Обратно, пусть V—'базис окрестностей
bFhz^C. Поскольку
(гл. VI, теорема 1), достаточно показать, что t"xz) ?
?F+V°° для каждого VZT. Существует A^d, та-
такое, что z?A°°, причем А°°, будучи a(G, E')-замыка-
E')-замыканием абсолютно выпуклой оболочки множества А, яв-
является также ее x(G, E')-замыканием. Но если V €7°,
то t'(V°) абсолютно выпукло и содержится в а(Е', G)-
компактном множестве, а потому его поляра есть
222 Гл. VIII. Компактные линейные отображения
%{G, E')-окрестность. Следовательно, существует
такое х € Е, что
г € х+(*' (V°))° = х + t"~l (у°°).
Таким образом, t"{z) ZF+V00.
Теорема 3. Пусть Е — банахово пространство
с сопряженным Е' и вторым сопряженным Е", F —
банахово пространство с сопряженным F' и t — слабо
непрерывное линейное отображение Е в F с сопря-
сопряженным f и вторым сопряженным t". Тогда следую-
следующие утверждения равносильны:
(I) t отображает ограниченные множества в
a(F, F') -компактные;
(II) f отображает ограниченные множества в
а(Е', Е")-компактные;
(III) t"(E")cF.
Доказательство. Это следует из леммы 7, по-
поскольку F полно, а ограниченные множества в F' рав-
равностепенно непрерывны.
П РИЛ ОЖЕНИ Е Г
ТЕОРЕМЫ ОБ ОТКРЫТОМ ОТОБРАЖЕНИИ
И ЗАМКНУТОМ ГРАФИКЕ
Д. А. Райков
В введении к монографии Гротендика [5] доказано
следующее обобщение теорем Банаха об открытом
отображении и замкнутом графике:
Если Е — отделимый непрерывный линейный об-
образ пространства J&qF, a F — пространство типа (Р),
то всякое непрерывное линейное отображение Е на F
открыто, а всякое линейное отображение F в Е, имею-
имеющее замкнутый график, непрерывно.
Пространством типа (Р) Гротендик называет отде-
отделимое локально выпуклое пространство, являющееся
¦индуктивным пределом (не обязательно счетного)
семейства банаховых пространств. Класс пространств
типа (р) весьма широк и охватывает, в частности, все
применяемые в анализе линейные пространства в их
неослабленной топологии. Напротив, непрерывные ли-
линейные образы пространств ЛСЗГ (отделимых индук-
индуктивных пределов покрывающих их последовательно-
последовательностей пространств Фреше) образуют значительно бо-
более узкий класс, не содержащий некоторых важных
пространств функционального анализа, в частности
пространства 3' «распределений» Л. Шварца1).
Гротендик высказал предположение, что его тео-
теорема при сохранении указанного класса пространств F
должна быть справедлива для значительно более ши-
широкого класса пространств Е, включающего «всякое
пространство, которое можыо получить, исходя из ба-
банаховых пространств, посредством конечною (или
даже трансфинитного) числа операций типа образо-
') См. приложение 2.
224 Приложение i
вания произведения или суммы счетного семейства
отделимых локально выпуклых пространств, перехода
к замкнутому подпространству или отделимому фак-
торпространству». В качестве Е можно было бы тогда
взять, например, 3', ибо оно представимо в виде
замкнутого подпространства произведения счетного
семейства пространств J?'38 (отделимых индуктивных
пределов последовательностей банаховых про-
пространств) ').
Эта проблема Гротендика получила недавно поло-
положительное решение2), притом в усиленной форме
(для многозначных линейных отображений и не обя-
обязательно локально выпуклых топологических линей-
линейных пространств). Но для распространения теорем об
открытом отображении и замкнутом графике на не-
поддававшиеся еще пространства функционального
анализа (вроде 3)') было бы уже достаточно обоб-
обобщения теоремы Гротендика на замкнутые подпро-
подпространства произведений счетных семейств указанных
в ней пространств Е. Это и является основной целью
настоящей статьи. Уменьшение общности результата
позволит упростить доказательство, освободив его от
довольно громоздкого технического обрамления и тем
самым прояснив основные идеи.
ф: Е —> F будет означать линейное отображение ф
векторного пространства Е в векторное простран-
пространство F, Гф — его график:
а Кц — ядро;
Лемма 1. Пусть Е и F — локально выпуклые про-
пространства. Если со — открытое линейное отображе-
отображение Е на F и О — замкнутое векторное подпростран-
подпространство в Е, содержащее Ка, то а(О) замкнуто в F.
') См. приложение 2.
2) Д. А. Райков, Двусторонняя теорема о замкнутом гра-
графике для топологических линейных пространств, Сиб. матем. ж.,
VII: 2 A966), 353—372.
Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике 225
Доказательство. Так как
= со (Со-1 (со (G))) = со (С (О + KJ) = о (СО),
то замкнутость G и открытость о влекут замкнутость
co(G).
Лемма 2. Пусть Е, F и G — локально выпуклые
пространства, ср: ?-»F«if: F—*G.
а) Яслы ф непрерывно и Гф замкнут, то Гфф замкнут.
б) ?слы ф открыто, (f(E)=F и Гфф замкнут, то Гф
в) ?слы ij) непрерывно, Кц ={0} ы Г,^, замкнут, то
Гф замкнут.
Доказательство. Определим ы: ExG —* FxG
формулой со (а:, г) = (ф(х), г) и х: ExF-^>ExG —
формулой х(х, у) = (х, у {у)).
а) Непрерывность ф влечет непрерывность со. Но
Гфф=(о(Гф). Поэтому из замкнутости Гф следует
замкнутость Гфф.
б) Если ф открыто и ф (E)=F, то со открыто и
(d(ExG)=FXG. При этом Гф=сй(Гфф). Так как
Гфф гэ/(ч)Х{0} = /(ш, то остается применить лемму 1.
в) Непрерывность ф влечет непрерывность %. Но
из взаимной однозначности ijj следует, что Гф =
=Х"(Гф(р), так что замкнутость Гфф влечет замкну-
замкнутость Гф.
Напомним, что пространствами типа (Р) назы-
называются отделимые индуктивные пределы банаховых
пространств.
Определение 1. Под теоремой об от-
открытом отображении для отделимого ло-
локально выпуклого пространства Е будет пониматься
утверждение, что всякое его непрерывное линейное
отображение на пространство типа (р) открыто, а под
теоремой о замкнутом графике, — что
всякое линейное отображение пространства типа (р)
в Е, имеющее замкнутый график, непрерывно.
Лемма 3. Если теорема о замкнутом графике
справедлива для всех отделимых гомоморфных
15 Зак. 706
226 Приложение 1
образов ') пространства Е; то для них справедлива и
теорема об открытом отображении.
Доказательство. Достаточно показать, что
при указанном условии теорема об открытом отобра-
отображении справедлива для Е1). Мы докажем несколько
больше, а именно, что линейное отображение со про-
пространства Е на пространство F типа (Р), имеющее
замкнутый график Ги, открыто2). Действительно,
со=\рф, где ф — каноническое отображение Е на Е/Ка
a ty — взаимно однозначное линейное отображение
Е/Кв, на F (предложение 2 гл. V). Так как ер открыто,
то по лемме 26 замкнутость Ги влечет замкнутость
Гф, а значит, и замкнутость Гф как образа Г^ при
каноническом гомеоморфизме (E/Ka)XF на FX
X (E/Kq) (перестановке «координат»). Так как при
этом Ка замкнуто (следствие леммы 4 гл. VI), то
Е/Ка отделимо. Поэтому, если выполнено условие
леммы, if непрерывно. Но тогда ф, а значит и со,
открыто.
Теорема 1. (Банах [1].) Для пространств Фреше
справедливы теоремы об открытом отображении и
замкнутом графике.
Так как отделимый гомоморфный образ простран-
пространства Фреше есть пространство Фреше (предложе-
(предложение 13 гл. VI), то на основании леммы 3 достаточно
доказать теорему о замкнутом графике. Мы устано-
установим ее в следующей несколько более сильной форме
(также принадлежащей Банаху):
Теорема 1'. Пусть Е и F — пространства Фре-
Фреше. Если G — векторное подпространство простран-
пространства F, являющееся множеством II категории в F,
') Пространство F называется гомоморфным образом про«
странства Е, если существует гомоморфизм (непрерывное и от-
открытое линейное отображение) Е на F. Очевидно, тогда и вся-
всякий гомоморфный образ пространства F будет гомоморфным об-
образом пространства Е.
2) Поскольку F отделимо, непрерывность <о: E->F влечет
замкнутость Го.
Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике 227
¦ф: G—>? и Гф замкнут в FXE, то G = F и \!р непре-
непрерывно1).
Доказательство. Пусть С/о — произвольная
замкнутая окрестность нуля в Е. Как пространство
Фреше Е есть пространство счетного характера, т. е.
обладает счетным базисом окрестностей нуля, причем
можно считать их симметричными. В силу непрерыв-
непрерывности сложения, из этого базиса можно по индукции
выбрать базис окрестностей нуля (Un)n^N2), такой,
что
*/B,, + ^«+iC=tf« Для всех «>0. A)
Положим Wn = \|г' (?/„). Тогда для множеств Wn бу-
будут справедливы включения, аналогичные A), откуда
легко вывести, что
... +Wn+mcWn для любых m>1, №>0. B)
Так как Un+1 — поглощающее множество в Е, то
Wn+t — поглощающее в G, так что G= Um^HtnWn+l.
Поскольку G — II категории в F, отсюда следует, что
некоторое mWn+i (где черта означает замыкание в F),
а, значит, также Wn+U содержит внутреннюю точку.
Так как Ш^рШп+1 + Wn+i= Wn+1 — Wn+U то заклю-
заключаем, что Wn — окрестность нуля в F для каждого
я>03). Поскольку F — пространство счетного харак-
характера, в нем существует тогда базис окрестностей нуля
(Vn)neN. такой, 4To_VnciWn для всех n?N. Пусть
у 6 У\. Так как V1czW1cz Wx + V2, то существуетZi^Wlt
такое, что у — z{ ? V2. Пусть уже выбраны гг ^ Wt
k
(К/</г) так, что У — 2iZi?Vk+l A <&<#); так
') По поводу понятия множества II категории см. дополне-
дополнение 1 к гл. IV. Так как F (будучи полным метрическим про-
пространством) — II категории в себе, то за О можно принять,
в частности, F и мы получим теорему 1.
2) Здесь и дальше N означает натуральный ряд.
3) То есть ч|з «почти непрерывно» (см. стр. 168).
15*
228 Приложение 1
как Vn+iCiWn+ic:Wn+i+Vn+2, то существует zn+i€
п+\
€ Wn+U такое, что у — 2 z, ? Vn+2- Пусть (zn) — по-
получающаяся так индуктивно последовательность. По-
ложим (/„=2г;И хп=яИг/п). Так как у — «/n€Vn+i,
то г/„ ->¦ у в /\ С другой стороны, так как в силу B)
п+т п+т
Уп+т — Уп= 2 2,6 2 W«<=Wn.
i-n+1 i-n+l
то xn+m — х„ ? Сп, так что (х„) — последовательность
Коши в ? и, значит, сходится к некоторому х, ибо Е
полно. Но (уп, хп) € Гф. Так как Гф замкнут в FXE,
то также (г/, х) ? Гф, так что {/€ G и *=ij;(j/). По-
Поскольку J/ — произвольный элемент из Vi, мы пока-
показали тем самым, что VicG. А так как Vt — погло-
поглощающее в F, то тогда и FcG. Следовательно, G = F.
п
С другой стороны, так как в силу B) {/п € 2 WtC
с Wo, то д;„ ^ ?/о и, значит, также х € ?/<>, поскольку f/0
замкнуто. Тем самым мы показали также, что для
произвольной замкнутой окрестности нуля Uo из Е
существует окрестность нуля Vi в F, такая, что
aJ;(Vi) c=f/0, так что oj; непрерывно.
Определение 2. Подпространством Фреше от-
отделимого локально выпуклого пространства Е будет
называться всякое его векторное подпространство F,
наделенное топологией пространства Фреше, мажори-
мажорирующей топологию, индуцированную из Е (т. е. та-
такой, что тождественное вложение F в Е непрерывно).
Лемма 4. Пусть Е и F — отделимые локально
выпуклые пространства, G — подпространство Фреше
в Е, i — тождественное вложение G в Е и ср: Е -> F,
так что (fi=ja>, где м — линейное отображение G на
H = (f(G), a j — тождественное вложение Н в F. Если
Гф замкнут, то Н, наделенное сильнейшей локально
выпуклой топологией, при которой ш непрерывно, есть
Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике 229
пространство Фреше и Vj замкнут; при этом если ф
непрерывно, то j непрерывно.
Доказательство. При наделении Н указан-
указанной топологией а» открыто (см. следствие предложе-
предложения 4 гл. V) и, значит, является гомоморфизмом G
на Я. Пусть Гф замкнут. Так как i непрерывно, то по
лемме 2а Г^ замкнут и потому Ka=K<tt замкнуто
(следствие леммы 4 гл. VI). Тогда {0}=со(Кй>) в силу
леммы 1 замкнуто в Я, т. е. Я отделимо. Следова-
Следовательно, Я— пространство Фреше (предложение 13
гл. VI). А так как со открыто, m(G)=H и Г;-а) = Г(рг
замкнут, то Fj по лемме 26 замкнут. Пусть теперь ф
непрерывно. Как и выше, из гомоморфности ю и замк-
замкнутости Ка (вытекающей здесь просто из непрерыв-
непрерывности ф/ и отделимости F) следует, что Я — простран-
пространство Фреше. При этом если V — окрестность нуля
в Я, то (фО~!(^) —окрестность нуля в G и, значит,
j'l(V) =co(ciT1(/-1(F))) = (o((<pi)~l(V)) вследствие от-
открытости со — окрестность нуля в G, так что / не-
непрерывно.
Очевидно, отделимый индуктивный предел про-
пространств типа (Р) есть пространство типа (Р). Так
как всякое банахово пространство есть пространство
Фреше, а всякое пространство Фреше — пространство
типа (р) (предложение 8 и теорема 1 гл. V), то про-
пространства типа (р) можно определить также как от-
отделимые индуктивные пределы пространств Фреше.
Лемма 5. Теорема о замкнутом графике для от-
отделимого локально выпуклого пространства Е равно-
равносильна следующему предложению: если F — вектор-
векторное подпространство в Е, наделенное топологией про-
пространства Фреше, и график тождественного вложе-
вложения /: F—+E замкнут, то j непрерывно (т. е. F — под-
подпространство Фреше в Е).
Доказательство. Пусть G — пространство ти-
типа (Р), ф: G-*¦ Е и Гф замкнут. G есть индуктивный
предел пространств Фреше Ga относительно отобра-
отображений фа: Ga-*G (см. стр. 119) При этомффа=/асоа,
где соа — линейное отображение Ga на/7Я5=ф(фа(Оа)),
16 Зак. 706
230 Приложение 1
a ja — тождественное вложение Fa в Е. Наделим каж-
каждое Fa сильнейшей локально выпуклой топологией,
при которой (оа непрерывно. В силу леммы 4, тогда Fa
будут пространствами Фреше, а Г3а — замкнутыми.
Поэтому, если для Е справедливо предложение лем-
леммы, все /а будут непрерывны. А так как тогда также
все cpcp<x( = /awa) непрерывны, то и <р непрерывно. Та-
Таким образом, справедливость предложения леммы
для Е влечет справедливость теоремы о замкнутом
графике. Обратное очевидно.
Определение 3. US' будет означать класс всех
отделимых локально выпуклых, пространств, покры-
покрываемых счетным семейством своих подпространств
Фреше.
Лемма 6. Отделимый непрерывный линейный об-
образ пространства класса US' есть пространство клас-
класса US' ¦
Доказательство. Пусть <р — непрерывное ли-
линейное отображение пространства Е класса US' на
отделимое локально выпуклое пространство F. Как
пространство класса US' E = п^МЕ„, где каждое
Еп — подпространство Фреше в Е. Тогда F = ц>(Е) =
= Uni?N/rn, где Fn=(f(En), и в силу леммы 4 каж-
каждое Fn, наделенное надлежащей топологией, — под-
подпространство Фреше в F.
Теорема 2. (Гротендик [5].) Для пространств
класса US' справедливы теоремы об открытом ото-
отображении и замкнутом графике.
Доказательство. Пусть Е — пространство
класса US', так что Е — [}п?ыЕп, где каждое Еп —
подпространство Фреше в Е, и F — векторное подпро-
подпространство в Е, так что F — \Jn?nFiu где Fn = F[\En.
Предположим, что F наделено топологией простран-
пространства Фреше, причем график тождественного вложения
/: F —> Е замкнут. Так как F — II категории в себе,
то некоторое Fn — II категории в F. Пусть <р, г|з и %
соответственно тождественные вложения Fn в Еп, Еп
в Е и FxEn в FXE- Так как tj) непрерывно, то и х не-
Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике 231
прерывно. Но, рассматривая Гф как подмножество в
FxEn, имеем Г<р=Г,П (FxEn) =%-ЦГ}). Следова-
Следовательно, Гф замкнут в FxEn. Применяя теорему Г
к Е„ (вместо Е), F, Fn (вместо G) и ф, заключаем,
что Fn=F и ф непрерывно. Но тогда /=1|)ф и, значит,
также / непрерывно. Таким образом, для Е справед-
справедливо предложение леммы 5, чем в силу лемм 3, 5
и 6 теорема доказана.
Замечание. Вместе с тем доказано, что если от-
отделимое локально выпуклое пространство Е есть объ-
объединение последовательности своих подпространств
Фреше Еп, то каждое его подпространство Фреше
есть подпространство Фреше некоторого Еп.
Определение 4. еРи<?Г будет означать класс
всех замкнутых подпространств произведений счетных
семейств пространств класса U<&~.
Заметим, что в отличие от случая класса и<ЗГ отде-
отделимый гомоморфный образ пространства класса ЗРиЗ'
может уже не быть пространством класса *Pu<fF'.
Теорема 3. Для отделимых гомоморфных обра-
образов пространств класса e7>2i<&~ справедливы теоремы
об открытом отображении и замкнутом графике.
Доказательство. В силу лемм 3 и 5 доста-
достаточно доказать, что если Е — пространство класса
ЗРн<ЗГ, (о — гомоморфизм Е на отделимое локально
выпуклое пространство G и F — векторное подпро-
подпространство последнего, наделенное топологией простран-
пространства Фреше, при которой тождественное вложение
j: F-+G имеет замкнутый график, то j непрерывно.
1) Как пространство класса 3*и<?Г', Е есть замк-
замкнутое подпространство произведения ug^Fg про-
пространств Fq класса U^F', так что каждое Fq в свою
очередь есть объединение \JP?nFp,q счетного семей-
семейства (Fp,q)pt*i своих подпространств Фреше FPt4.
Пусть jtg — каноническая проекция Е в Fq и Ер =
^Пч\Рр,ч)> ТаКЧТ0
Е= {J Epyq для каждого q?N. C)
232 Приложение I
Будем говорить, что (^m)m?N, соответственно
(ат',т")(т< m»)gN xn' финально содержится в А, если су-
существует тА, такое, что ат€Л для всех т^- тА, со-
соответственно ат', т" 6 -А для всех /п', /п" 1> /пА.
Наделим каждое EPi g слабейшей топологией, при
которой сужение nq на EPi q, рассматриваемое как
отображение в FPi g, непрерывно. Тогда в Е будет вы-
выполняться следующее условие:
(у) Какова бы ни была последовательность нату-
натуральных чисел (pq)qrS, если последовательность (хт)
элементов пространства Е такова, что двойная после-
последовательность (хт<—хт") финально содержится и схо-
сходится к нулю в каждом Ер >q, то хт сходится в Е к
некоторому х, причем (хт — х) финально содержится
и сходится к нулю в каждом Ер , q.
В самом деле, по определению топологии в Ер >q
(д()—ftq(xm")) финально содержится и сходится
К Нулю В Fp^q. ПуСТЬ ng(Xm') — ttq{Xm")?FP(i<q ДЛЯ
всех т', т" > mq. Тогда zqm = nq(xm) — щ(хт )?FP >q
для всех /n> mq, а так как zqm<—zqm< =nq(xm<) —
— щ(хт"), то (Zqm)m>m —последовательность Коши в
Fp >q и, значит, сходится в Fp >q к некоторому zq, по-
поскольку Fp ,q полно. Так как тождественное вложение
Fp ,q в Fq непрерывно, тогда nq(xm) сходится в Fg
к yq = z<q(xm )-\-z . Следовательно, хт сходится в
n^N^ к x = (yq)i}^s, а так как ? — замкнутое под-
подпространство в HqcHFq и хт?Е, то х?Е и хт—*х
в Е. При этом для /n!> mg имеем
Я, (Хт — Х) = П9 (Хт) ~ yq = nq (Xm ~Xmq) — Zq = Zqm—Zql
так что щ(хт — х) финально содержится и сходится
к нулю в Fp ,q и, следовательно, хт — х финально со-
содержится и сходится к нулю в Ер ,q (см. предложе-
предложение 11 и замечание в конце § 4 гл. V).
2) В силу C) F = \J,,(s(F(]<J>(Ep,i)). Поскольку
F — II категории в себе, существует pit для которого
Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике 233
F(]<a(Ep:<i)—II категории в F. Пусть уже найдены
pq A<<?<л), такие, что все F(]a>(j]kg_lEj/ ^ A <
k) — II категории в F. Положим
q-\
Так как в силу C) F[\a{En) = UpzsF[\v>(En П ЕР,„+1),
a Ff\ai(En) —II категории в F, то существует pn+i,
такое, что /7Г)ю(?'яП?'/>и+1, я+i)—II категории в F.
Пусть (Pq)g?N— получающаяся так индуктивно после-
последовательность, так что F(](o(En) —II категории в F
для всех п € N.
3) Каждое Ер , q вместе с Fр , q есть пространство
счетного характера (см. предложение 11 гл. V) и по-
потому обладает базисом симметричных окрестностей
нуля (?/?)m€N, таким, что
-\-Uln+xalfln для всех /ra?N. D)
Наделим каждое Е„ слабейшей топологией, при кото-
которой непрерывны его тождественные вложения во все
Е A) G(
рр
р ,q A<^<га), а затем каждое Gn=a)(En)—силь-
Gn=a)(En)—сильнейшей локально выпуклой топологией, при которой
непрерывно сужение со на Еп, рассматриваемое как
отображение на Gn. Тогда Еп и Gn будут простран-
пространствами счетного характера (предложение 11 и след-
следствие предложения 4 гл. V). Покажем, что в G вы-
выполнено условие
(©¦у) Если последовательность (zm) элементов про-
пространства G такова, что (zm,— zm.) финально содер-
содержится и сходится к нулю в каждом Gn, то zm сходит-
сходится в G к некоторому z, причем (zm — z) финально со-
содержится и сходится к нулю в каждом Gn.
В самом деле, положим V„ = r\q=iUqn. В силу D)
Vn+l-\- Vn+lcVn для каждого
так что
п Для любых т, «6N. E)
234 Приложение 1
Так как Vn — окрестность нуля в Еп, то co(Vn) —ок-
—окрестность нуля в Gn. Следовательно, для каждого п
существует т„, такое, что zm— zm- ? со (Vn) при всех
т', т" ^- т„. При этом последовательность (тп)
можно считать возрастающей и выбранной из любой
наперед заданной возрастающей последовательности
натуральных чисел. Далее, для каждого п существует
х'п, такое, чтогт =со(л^). Так какгтп+] — zmn ?a>(Vn),
то тогда существуют уп €Ка, такие, что х'п+1 — х'п—
я-1
— yn€.Vn. Положим хп = х'п—^ук. В силу E)
тогда
я+ги-1
Хп+т Хп+\ — К+т ~~ X'n+1 ~~ k]-f+l У к =
я+rn-l я+гп-1
для каждого фиксированного <?4^п и, значит,
(хт—хт") финально содержится и сходится к нулю
в каждом Ер ,,. В силу (у) тогда xfe сходится в Е
к некоторому х, причем (хи — х) финально содержит-
содержится и сходится к нулю в каждом Ер , в, а значит, и в
каждом ?¦«. Но так как <й(уь)=0, то 2m =со(л:^ =
= ео(л:й). Следовательно, zmk сходится в О к г=©(х),
причем Bmj — г) финально содержится и сходится к
нулю в каждом Gn.
Так как (mfe) можно было выбирать из любой воз-
возрастающей последовательности номеров, то мы дока-
доказали, что каждая подпоследовательность последова-
последовательности (zm) обладает сходящейся подпоследова-
подпоследовательностью (г_ ). Покажем, что все они сходятся к
одному и тому же пределу. Пусть z • ->z' иг • ->z".
Положим
¦~
т^ при г = 21 — 1,
m'i при г = 21.
Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике 235
Так как рг —> оо, то для каждого п существует гп, та-
такое, что г,,Г, — zPr,?(n(Vn) для всех г', г"~>гп. При
этом гп можно считать возрастающим и одинаковой
четности с п. Как и выше, тогда zp сходится в G к
п
некоторому z, а потому также zp ->z и zp ~>z.
Но так какг2&_1 нечетно, a r2h четно, то (zp \с/г • \,
\ T2k-\) \ mk)
и' значит' Ч*^'' а Ч"*2*-
Вследствие отделимости G тогда z'=z~z".
Итак, каждая подпоследовательность последова-
последовательности (zm) обладает подпоследовательностью,
сходящейся к (одному и тому же) г. Но тогда zm -* z.
Наконец, так как по доказанному каждая подпосле-
подпоследовательность последовательности (гт — z) обладает
подпоследовательностью (zm — z\, финально содер-
жзщейся и сходящейся к нулю в каждом Gn, то и
сама последовательность (zm — z) финально содер-
содержится и сходится к нулю в каждом Gn.
-4) Положим ^co^n^gN^,, и покажем, что G<x>,
наделенное слабейшей топологией, при которой тож-
тождественные вложения его во все Gn непрерывны, есть
подпространство Фреше пространства G. Так как все
Gn — пространства счетного характера, то то же вер-
верно и для Goo (см. предложение 11 гл. V). Пусть z
принадлежит замыканию нуля в Goo. Положим zzh-i =
=0, zZh = z. Так как zm-*0 в Goo, то (zm) —последо-
—последовательность Коши в Goo, а значит, и в каждом Gn.
В силу (coy) тогда (zm) сходится в G, так что z =
=z2h — zift-i—»0. Поскольку G отделимо, заключаем,
что 2=0, т. е. Goo отделимо. Пусть теперь (zm) — про-
произвольная последовательность Коши в Goo, а значит,
и в каждом Gn. В силу {щ) zn сходится в G к неко-
некоторому z, причем (zm — z) финально содержится и
сходится к нулю в каждом Gn- Но каждое zm принад-
принадлежит всем Gn. Беря m=mn так, чтобы zmn — z?Gn,
получаем, что z = zmn - (zmn -- z)?Gn для всех я,так
что г€Eоо и zm—*z в каждом Gn, а значит, и в Goo.
Тем самым Goo полно. Итак, Goo — пространство Фре-
236 Приложение I
ше. Пусть, наконец, z'm^*-z' в G^. Так как (z'm) — по-
последовательность Коши в Goo, то по только что дока-
доказанному z'm сходится к некоторому z в G и в Gx. По-
Поскольку Goo отделимо, тогда z=z' и тем самым тож-
тождественное вложение /': Goo -* G непрерывно.
5) Положим V'n = FПи(Va),так что
всех «?N
Vn+i + ••• -\-Vn+m<=Vn для всех m, «?N. F)
Так как \Jm^timV'n+i = F(\On+i — II категории в F, то
некоторое mVn+i (где черта означает замыкание bF),
а значит, uVn+i, содержит внутреннюю точку, так что
Vn{=>V'n+i + V'n+i = Vn+i — V'n+i) — окрестность нуля
в F для каждого п. Фиксируя номер г, заключаем,
что для каждого п существует окрестность нуля Wn
в F, содержащаяся в V'r+n. При этом, поскольку F —
пространство счетного характера, можно считать, что
(Wn)—базис окрестностей нуля в F. Пусть z € Wi.
Так как WicV'r+ic:V'r+i-\- W%, то существует z(?
?V'r+v такое, что z — z[?Wr Пусть уже выбра-
k
ны z\ g V'r+l (I < i < п) так, что z — 2 ^ 6 Wft+1 A <
так как и^„+1с:Уг+«+1с:^г+л+1 +U^n+2, то
я+1
существует z'n+l ? V'r+n+v такое, что z — 2 zj ? U^n+2.
Пусть (zn) — получающаяся так индуктивно последо-
я
вательность. Положим гл = 2 ?/• Так как в силу F)
2
m+ft m+ft л
= 2 z\? 2 CcCca^gco n
/ = m+l i —rn-t-i чд=1
Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике 237
для каждого фиксированного n*Cr+m, a
(()
e
— базис окрестностей нуля в Gn, то (zm< — zm«) фи-
финально содержится и сходится к нулю в каждом Gn.
Согласно (<оу), тогда zm сходится в G к некоторому z',
причем (zm — z') финально содержится и сходится
к нулю в каждом Gn. Но так как z — zm 6 Wm+i, то
zm —> z в F. Поскольку Г,- предположен замкнутым, за-
m
ключаем, что z'=z. С другой стороны, zm=^jz'.?
m
€ 2 V'r+ic.V'rdQr для каждого m. Так как (zm — z) =
= (zm — z') финально содержится в Gr, то, беря до-
достаточно большое га, получаем, что и z=zm—(zm—z) €
€ Gr. Поскольку z — произвольный элемент из Wu мы
показали тем самым, что WicGr. А так как F=
= \Jm?NffiWi, то nFcGr. Но номер г был взят произ-
произвольно. Следовательно, FcGoo.
6) Пусть /" — тождественное вложение F в Goo,
так что ']=]']". Так как /' непрерывно и взаимно
однозначно, а Г,- замкнут, то iy по лемме 2в замкнут.
Поскольку F и Goo — пространства Фреше, \" непре-
непрерывно (теорема 1). Следовательно, j(=j'j") непре-
непрерывно и теорема доказана.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНО-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ 0 И д>'
Д. А. Райков
1. Теорема Асколи. Пусть С(Т)—пространство
всех непрерывных вещественных (или комплексных)
функций на компактном пространстве Т, наделенное
нормой IUH=max/(. T \x{t)\. Множество MczC(T) на-
называют равностепенно непрерывным, если при любом
е>0 каждая точка t?T обладает окрестностью L/et,
такой, что \x(t') — x(t) | < е для всех t' ??/? и х?М.
Теорема Асколи. Всякое равностепенно не-
непрерывное множество М в С(Т), ограниченное в каж-
каждой точке t?T, предкомпактно.
Доказательство. Пусть задано е > 0. Так как
Т компактно, то существуют точки tit ..., tm(:T, та-
такие, что Г=и?-1^3. Пусть Фга — /тг-мерное евкли-
евклидово пространство (см. дополнение 1 к гл. I). Ото-
Отображение ф: С(Т) —> Фт, определяемое формулой
4(x) = (x(t1), ..., x(tm)),
линейно и непрерывно. Так как по условию М ограни-
ограниченно в каждой из точек th, то ф(А4) ограниченно в
Фт и, значит, предкомпактно (см. предложения 1J
гл. II и 6 гл. III). Следовательно, существуют Хи ...
..., хп^М, такие, что для каждого х€М найдется
номер I, при котором \\ц>(х) — ф(Х/)Ц <-|-,так что
\x{tH)— -•*,(**)| <-|- для k = l, ..., т.
Некоторые свойства пространств $> и $}' 239
Но тогда \\х — л:(||<е, ибо для каждого / существует k,
при котором t ? Uf\ и потому
2. Пространства типа (S). Пусть Е — векторное
пространство и М, NczE. Будем говорить, что М
вполне ограничено относительно N, и писать M<^N,
если М содержится в векторном подпространстве EN
пространства Е, порожденном N, и для каждого е>0
существует конечное КЕаМ, такое, что МсКЕ+гИ.
Если N абсолютно выпукло, это означает просто,
что М предкомпактно в EN, наделенном локально вы-
выпуклой топологией с базисом окрестностей нуля
(eJV)e>0 Очевидно, подмножество локально выпук-
выпуклого пространства предкомпактно тогда и только то-
тогда, когда оно вполне ограниченно относительно вся-
всякой окрестности нуля.
Локально выпуклое пространство называется, по
Гротендику [17], пространством типа (S), если для
каждой его окрестности нуля U существует окрест-
окрестность нуля V, вполне ограниченная относительно U.
Очевидно, достаточно выполнения этого условия для
абсолютно выпуклых окрестностей.
Предложение 1. Каждое ограниченное множе-
множество А в пространстве Е типа (S) предкомпактно.
Доказательство. Пусть U — произвольная
окрестность нуля в ? и У — окрестность нуля, вполне
ограниченная относительно U. Так как V поглощает
А, то и А < U. Следовательно, Л предкомпактно.
Предложение 2. Пусть Е — индуктивный пре-
предел последовательности своих векторных подпро-
подпространств Еп относительно их тождественных вложе-
вложений в Е, причем каждое Еп — пространство типа (S)
и Е = Un^sEn '). Тогда и Е — пространство типа (S).
') N здесь и всюду в дальнейшем означает натуральный
ряд.
240
Приложение 2
Доказательство. Пусть U — абсолютно вы-
выпуклая окрестность нуля в Е. Тогда Un = -^ U Л Е„
есть окрестность нуля в Еп. Поэтому в Еп существует
абсолютно выпуклая окрестность нуля Vn ¦< 0п, при-
причем (заменяя, если нужно, V„ на Vn П Un) можно
оо
считать, что VnaUn. Положим ^ ==2л~п^п ^т" е'
— Vп). V абсолютно выпукло как объеди-
нение расширяющейся последовательности абсолютно
выпуклых множеств и поглощающее в Е, поскольку
каждое Vn — поглощающее в ?„. Так как при этом
Kfl ?„р-Кл —окрестность нуля в Еп для каж-
каждого и, то V — окрестность нуля в Е. Покажем, что
V < U. По заданному е>0 выберем номер т>е~'.
Для каждого и-</п существуют точки xnti^Vn
^ -Ь-^^п)- Тогда
такие, что
й
л-1 1=\
где X) пробегает 1 =
ных) точек ^-
л=.1
u
/-1 \ я-1
г.. Лт (как-либо занумерован-
Л), и потому
и—1
в—m + 1
оо
л-m+l
л-1
Некоторые свойства пространств @ и &)' 241
Но %Un==\JmiH%Un^\)m^%±U^U. Следова-
Я = 1 П П — 1
тельно,
и предложение доказано.
3. Пространство 3. Напомним (см. дополнение 3
к гл. I), что под <59 понимается пространство всех бес-
бесконечно дифференцируемых функций с компактным
носителем на прямой ]—оо, оо[, а Зп означает его
векторное подпространство, образованное всеми функ-
функциями из 3, тождественно равными нулю вне отрезка
[—я, я], так что 3 = ип?нЗп. Каждое Зп наделяется
топологией, определяемой преднормами
pm(x)= sup \xW(t)\ (от = 0, 1,2, ...).
—оо < t <со
а 3—топологией индуктивного предела про-
пространств Зп относительно тождественных вложений
in: Зп—>-2>. Так как ЗпсЗп + 1, а преднормы рт не
зависят от п, то Зп — векторное и топологическое
подпространство в Зп+и так что 3 — строгий индук-
индуктивный предел, притом отделимый, поскольку все Зп
отделимы (предложение 2 гл. VII).
Из определения топологии в Зп следует, что
xk—*x в Зп тогда и только тогда, когда х^(f) ->
->x(m>(t) равномерно на ]—оо, оо[ при всяком т^-0,
откуда, в частности, вытекает, что SSn замкнуто в
Зп+\. Следовательно (см. сноску к предложению 4
гл. VII), xk-*x в 3 тогда и только тогда, когда
все Хи тождественно равны нулю вне одного и того
же отрезка [—п, п] и x^(t) -> xlm)(t) равномерно на
]—оо, оо[ при всяком т>0. Из замкнутости Зп в
Зп+1 вытекает, кроме того, что 3 не метризуемо
(предложение 5 гл. VII).
Если {хи) — последовательность Коши в 3 „, то по
известным теоремам анализа х^}(() при всяком т>0
242 Приложение 2
сходится равномерно на ]—оо, оо[ к некоторой функ-
функции zm(t), очевидно равной нулю всюду вне [—п, п],
причем zm(t) *=x(™)(t), где х=г0, так что х?3)п и
Xh —* х в 3)п. Следовательно, каждое 3>п полно и, зна-
значит, есть пространство Фреше. Как строгий индуктив-
индуктивный предел полных пространств, 3) полно (предложе-
(предложение 3 гл. VII). А так как все 3)п бочечны (теорема 2
гл. IV), то 3> бочечно (предложение 6 гл. V). Далее,
3) — пространство Макки (следствие предложения 8
гл. V) и, значит, будучи полным и отделимым, — также
пространство типа (Р), т. е. индуктивный предел ба-
банаховых пространств (теорема 1 гл. V). Так как 3)—
индуктивный предел последовательности пространств
Фреше, то для 3> справедливы теоремы об открытом
отображении и замкнутом графике (теорема 2 прило-
приложения 1); в частности (поскольку 3>—типа (Р)),
всякое непрерывное линейное отображение 3) на себя
открыто, а всякое линейное отображение 3) в себя,
имеющее замкнутый график, непрерывно.
Лемма 1. Пусть х?3). Если x(t) равно нулю
всюду вне отрезка [а, Ь], то
a)pm+i(x) для всех т>0.
Доказательство. Непосредственно следует из
равенства x(m) (t) = Г x<m+V(x)d%, поскольку х(т+')(т) =
а
=0 при т<а и т>Ь.
Предложение 3. 3> есть пространство типа E).
Доказательство. В силу предложения 2, до-
достаточно показать, что каждое 3)п — пространство
типа (S). Пусть х^3)п. Так как, в силу леммы 1,
то, полагая qm(x) =Bn)mpm(x), получаем последова-
последовательность преднорм ') <7о ^ <7i ^ • • -^ Ят < <7m+i< • ..,
очевидно, также порождающую топологию простран-
') Даже норм, поскольку дт^- <?<>> а </о=Ро - норма.
Некоторые свойства пространств 2> и $>' 243
ства Зп. Тогда множества
±} (m = 0, 1,2, ...)
образуют базис окрестностей нуля в Зп, и потому
достаточно показать, что Um+i -< Um для каждого л.
Но если х 6 ?Лп+1, то
I x(m) (*) I < А» (х) = BпГт qm (х) <
<BпУтдт+1(х)<{т + \
и
| *(") (//) _ ^Щ») \<Pm,l(x)\t'-t"\<
Следовательно, сужения функций x(m), где хб ?Лп+1. на
[—л, л] образуют в С(—л, л) ограниченное равносте-
равностепенно непрерывное множество. По теореме Асколи
оно предкомпактно. Таким образом, для всякого е>0
существует конечное семейство функций Xi, ..., Xh €
6 Um+i, таких, что для каждого х 6 Um+i найдется но-
номер i, при котором рт (х — х^ = р0 (х<т) — х(т)) <
< т. е. x—-Xi€eUm, такчто
+)
Из предложений 1 и 3 следует, что каждое огра-
ограниченное множество в 3 предкомпактно. Поскольку 3
полно, тогда каждое замкнутое ограниченное множе-
множество в 3) компактно. Следовательно, будучи, кроме
того, бочечным, 3 — монтелевское пространство (см.
дополнение 2 к гл. IV) и, в частности, рефлексивно
(следствие 1 предложения 5 гл. IV).
4. Пространство 3'. Всюду, где не оговорено про-
противное, сопряженные пространства будут предпола-
предполагаться наделенными сильной топологией.
Поскольку 3 — пространство Макки, 3' полно
(следствие 1 предложения 1 гл. VI). Так как 3) мон-
монтелевское, то и 3' — монтелевское (дополнение 2 к
гл. IV); в частности, каждое замкнутое ограниченное
множество в 3' компактно и 3' рефлексивно.
244 Приложение 2
Лемма 2. Пусть Е — локально выпуклое про-
пространство и U — окрестность нуля в Е. Векторное под-
подпространство Еи° в Е', натянутое на U° и наделенное
локально выпуклой топологией с базисом, окрестнос-
окрестностей нуля (eU°)E>o, — банахово.
Доказательство1). Так как
и 13° абсолютно выпукло, то его калибровочная функ-
функция в Ец° есть норма, очевидно, и порождающая ука-
указанную топологию. Пусть (х'\ — последовательность
Коши в Ец\ Так как она ограниченна, то существует
р>0, такое, что x'n?pU° для всех п. Будем считать Е'
наделенным слабой топологией о(Е', Е). Поскольку
U0 ограниченно в Е', тождественное вложение Е'и„ в Е'
непрерывной потому {х'п)—последовательность Коши
также в Е'. Но pU° полно в Е'. Следовательно, х'п
сходится в Е' к некоторому х'? р?/° (так что х'?Е'ив).
С другой стороны, для каждого е>0 существует гае,
такое, что x'm—x'n?zU° для всех т, п^-пЕ. Но Е' от-
отделимо и, значит, eU°, будучи полным, замкнуто в Е'.
Поэтому, беря m —> оо, получаем в пределе, что
х' — x'n?zU° для всех п>«е. Тем самым, xfn~*-xf в
Е'ца, так что Е'ц, полно.
Лемма 3. Пусть Е — локально выпуклое про-
пространство и U — окрестность нуля в Е. Если тогда
V<U, toU°<V°2).
Доказательство3). Для каждого е>0 суще-
существует конечное множество К, такое, что VсК~\- -jU-
') Ср. доказательства лемм 1 и 2 гл. V.
2) В действительности утверждение справедливо и без пред-
предположения, что U — окрестность нуля (см. Д. А. Райков,
О вполне непрерывности сопряженного оператора, ДАН СССР,
119:3 A958), 446—449).
3) Ср. доказательство теоремы 3 гл. III,
Некоторые свойства пространств 3) и gi' 245
Так как К° — окрестность нуля в слабой топологии
о(Е', Е), a U0 слабо компактно, то существуют
x'v ..., x'n?(J0,такие, что (Jocz\J"=l^i, где Mi = (J°(]
¦ +-o-^T°]- Пусть х'€ М{ и х€ V. Так как х = i
гле у^К и z ^ — 1/, то
Таким образом, х' — Л^?е1/°для всех x'?Mi и, следо-
следовательно, {/"cU^^ + eV").
Теорема 1. 3'— пространство типа (р).
Доказательство. Пусть i — сильнейшая ло-
локально выпуклая топология в 3', при которой тожде-
тождественные вложения ju'- Зц° -> 3 , где U пробегает все-
всевозможные окрестности нуля из 3, непрерывны. Так
как все Зц° по лемме 2 — банаховы, то 3' в тополо-
топологии i — пространство типа (р). Поэтому достаточно
показать, что ${3', 3) = i. Так как каждое U° силь-
сильно ограниченно (следствие леммы 2 гл. IV), то при
наделении 3' сильной топологией все ju непрерывны.
Следовательно, i мажорирует Р(<35', 3). Пусть те-
теперь U — произвольная окрестность нуля в 3. В силу
предложения 3 в 3 существует окрестность нуля
V <С U. По лемме 3 тогда С/°-< V0, т. е. U° предком-
пактно ъЗ'уе. Так как U° а C', 3)-замкнуто, а />при
наделении 3' топологией оC\ 3) непрерывно, то U°
замкнуто и в З'уо, Следовательно, U° компактно в
ЗуО, а значит, и в 3', наделенном топологией i (ибо
тогда /V непрерывно). Поскольку i мажорирует
оC', 3), заключаем, что i индуцирует в каждом U°
ту же топологию, что и оC', 3). Но из полноты 3
и предкомпактности его ограниченных множеств вы-
вытекает, что $C',3)—сильнейшая из локально вы-
выпуклых топологий в 3', обладающих этим свойством
(см. сноску к предложению 4 гл. VI). Следовательно,
$C', 3) мажорирует i и теорема доказана.
Напомним (см. приложение 1), что подпро-
подпространством Фреше отделимого локально выпуклого
17 Зак. 706
246 Приложение 2
пространства Е мы называем всякое его векторное под-
подпространство F, наделенное топологией пространства
Фреше, при которой тождественное вложение F в Е
непрерывно; UqF означает класс всех отделимых ло-
локально выпуклых пространств, покрываемых счетным
семейством своих подпространств Фреше, a S^U^~ —
класс всех замкнутых подпространств произведений
счетных семейств пространств класса ^~'
Теорема 2. 3' есть пространство класса
Доказательство. Обозначим через <25™ про-
пространство всех функций на прямой ]—оо, оо[, имею-
имеющих на ней непрерывную т-ю производную и тожде-
тождественно равных нулю вне отрезка [—п, п]. Как видно
из доказательства предложения 3, рт есть норма на
Зп- Будем считать каждое S>Z наделенным тополо-
топологией, определяемой этой нормой; нетрудно проверить,
что S™—банаховы пространства. Очевидно, 3>п =
= nm?N-2'™ и топология пространства 3)п — слабей-
слабейшая, при которой все тождественные вложения
inm- 3)n-+3Z (m?N) непрерывны. Отображение
i'am: (З™)' -+3'а, сопряженное к 1пт, относит каждой
непрерывной линейной форме, заданной на S™, ее
сужение на Зп. Поэтому всякое х ? с?™ = i'nm (C™)г)
ограниченно по норме рт. Обратно, всякая линейная
форма на Зп, ограниченная по норме рт, в силу тео-
теоремы Хана — Банаха1), продолжается с сохранением
этого свойства на S™ и, значит, принадлежит &*™. Та-
Таким образом, ^™ есть подпространство в 3„, образо-
образованное всеми линейными формами на 3)п, ограничен-
ограниченными по норме рт. Так как всякое х ?3'п ограни-
ограниченно по некоторой норме рт, то заключаем, что
3'n = \Jm?ti?'n- При этом, в силу леммы 4 приложе-
приложения 1, каждое ^™ в топологии, перенесенной посред-
') Даже просто по непрерывности, ибо, как можно показать,
плотно в каждом @%,
Некоторые свойства пространств & и <%' 247
ством /мизE!™), есть подпространство Фреше (даже
Банаха) в З'п. Тем самым 3)'п — пространство клас-
класса US' (даже и^I). Но 3J — (арогий) индуктив-
индуктивный предел пространств 3„ относительно тождествен-
тождественных вложений in: 3Jn-+3J, причем, поскольку каж-
каждое 3Jn замкнуто в 3Jn+u всякое ограниченное под-
подмножество пространства 3J содержится и ограничен-
ограниченно в некотором ЗЗп (предложение 4 гл. VII). А отсю-
отсюда вытекает, что 35' есть проективный предел про-
пространств 3Jn относительно отображений i'n (предло-
(предложение 15 гл. V) и, следовательно, изоморфно подпро-
подпространству произведения Un^3J'n (предложение [9
гл. V). Так как при этом 3J' полно, а это произведе-
произведение отделимо, то 3J' замкнуто в нем, и теорема до-
доказана.
Следствие. Для пространства 3J' (и его гомо-
гомоморфных образов) справедливы теоремы об открытом
отображении и замкнутом графике.
Доказательство. Вытекает из теоремы 2 в
силу теоремы 3 приложения 12).
Принимая во внимание теорему 1, получаем, в
частности, что всякое непрерывное линейное отобра-
отображение 3J' на себя открыто, а всякое линейное отобра-
отображение 3J' в себя, имеющее замкнутый график, непре-
непрерывно.
Что эти результаты не вытекали из теоремы Гро-
тендика, доказанной в приложении 1, видно из сле-
следующей теоремы:
') Пользуясь тем, что Q)n — пространство типа (S), можно
было бы способом, примененным при доказательстве теоремы 1,
показать, что @'п — индуктивный предел банаховых про-
пространств $f. Но для нашей цели это не нужно.
2) Другая теорема общего характера, из которой, в частно-
частности, следуют теоремы об открытом отображении и замкнутом
графике для 3sn, была получена недавно Лораном Шварцем
(Laurent Schwartz, Sur le theoreme du graphe ferme
C. R. Acad. Sc. Paris, 263:18 A966), A602—A605; см. также
Andre Martineau, Sur le theoreme du graphe ferme, C. R.
Acad. Sc. Paris, 263 : 23 A966), A870—A871),
17*
248 Приложение 2
Теорема 3. 3>' не есть пространство классаи<^".
Доказательство. Пусть (Fk)k^N— произволь-
произвольная последовательность подпространств Фреше про-
пространства 35'. В силу леммы 4 приложения J, каж-
каждое i'n{Fk), наделенное надлежащей топологией, есть
подпространство Фреше в 3'„. Но, как было показано
при доказательстве теоремы 2, 3>п есть объединение
своих подпространств Фреше <?% (m?N). Следова-
Следовательно, согласно замечанию к теореме 2 приложения 1,
каждое i'n(Fn) содержится в некотором <?™п, т. е. су-
сужения всех х' ?Fn на 2>п ограниченны по норме рт .
Положим теперь
(*, л;') = 2 х(т«+ЛЦп— 1) для всех х?2б.
Если х 6 3)п, то
I (у *Л I —
Pmb+l(x).
"ft
Таким образом, х' — линейная форма на 3), непре-
непрерывная на каждом Зп, так что x'??Bf. Uox'^UngN^n-
В самом деле, пусть х — какая-либо не тождественно
нулевая функция из 35, равная нулю всюду вне от-
отрезка [—е, е], где 0 < е < -j. Положим хп (/) =
=x(t + tn — я+1), где/„ — точка, в которой |Ar(m"+1)(/)|
достигает наибольшего значения. Так как xn{t) тож-
тождественно равно нулю вне отрезка длины 2е, содер-
содержащегося в (п — 2, п), то, принимая во внимание
лемму 1, имеем
= Ртя+1 (X) = Ртп+ 1 (Х„) > B8)'1 ртп (Х„).
Поскольку хп ^ Зп, ртп (х„) > 0, а е можно было взять
сколь угодно малым, заключаем, что х' не ограниче-
ограничено на &>п по норме ртп и, значит, x'^Fn для всех
Некоторые свойства пространств 3> и 3>' 249
n?N. Тем самым 3>' не покрывается никакой после-
последовательностью своих подпространств Фреше и тео-
теорема доказана.
Замечание. Так как пространства типа (р) бо-
чечны, то в силу теорем 7 и 6 гл. VI для совершенно
полных пространств справедливы теоремы об откры-
открытом отображении и замкнутом графике. Чтобы дока-
доказать эти теоремы для 3>', было бы поэтому достаточ-
достаточно установить, что 3)' совершенно полно. Однако по-
попытки доказать это были безрезультатны. Недавно
выяснилось, что иначе и не могло быть, ибо 3' не
совершенно полно. А именно, Словиковский') по-
построил линейную форму / на замкнутом подпростран-
подпространстве ef пространства 3), непрерывную на пересече-
пересечении ef с каждым 3)п, но не продолжаемую до непре-
непрерывной линейной формы на 3>. Так как ^[\3)п
замкнуты, а / непрерывна на ^[\Зп, то /"'@) Л35„
замкнуты. Поэтому /"'(О) ПЛ°° замкнуто для каждого
ограниченного АсЗ> (ибо А00 замкнуто и, оставаясь
вместе с А ограниченным, содержится в некотором
3)п). Будучи абсолютно выпуклыми, множества
/-1(О)ПЛ00 тогда аC), S')-замкнуты. Но А°° пробе-
пробегает поляры в 3) всех окрестностей нуля из 35', а 3)
в силу своей рефлексивности отождествимо с 3>". Та-
Таким образом, f~l@) почти замкнуто ъЗ> = 3>". Однако
f-'@) не замкнуто, ибо в противном случае / как ли-
линейная форма на ef с замкнутым ядром f~l@) была
бы непрерывна и по теореме Хана — Банаха продол-
продолжалась до непрерывной линейной формы на 3>. Тем
самым 3>' не есть совершенно полное пространство.
5. Некоторые нерешенные вопросы. Возможно, и
3) не есть совершенно полное пространство. Вот еще
несколько нерешенных вопросов, относящихся к 3>
и 3)'.
Локально выпуклое пространство называют на-
наследственно полным, если каждое его факторпро-
') Wojciech Slowikowski, Fonctionelles lineaires dans
des reunions denombrables d'espaces de Banach reflexifs,
С R. Acad. Sc. Paris, 262 A966), A870-A872,
2501 Приложение 2
странство полно. Так, например, совершенно полные
пространства наследственно полны (гл. VI, след-
следствие 2 теоремы 3 и следствие предложения 9). Но
не известно, является ли 3 или 2Е>' наследственно
полным. (Заметим, что если бы Зг было наследствен-
наследственно полным, то, как можно показать, все его отдели-
отделимые гомоморфные образы были бы пространствами
класса еРи<&~'. Поэтому, чтобы получить теоремы об
открытом отображении и замкнутом графике для 3)',
достаточно было бы доказать теорему о замкнутом
графике лишь для пространств класса ff'U^', а не
любых их отделимых гомоморфных образов; при та-
таком упрощении теоремы 3 приложения 1 доказатель-
доказательство было бы заметно проще.)
Наконец, из сказанного в п°3 и начале п°4 следует,
что 3) и 3)' связаны «понтрягинской двойственностью»:
каждое из них отождествимо с сопряженным к дру-
другому, наделенным топологией компактной сходимо-
сходимости (т. е. равномерной сходимости на компактных
множествах). Но не известно, распространяется ли
эта двойственность на подпространства и факторпро-
странства пространств 35 и 3)', т. е. верно ли, что,
каково бы ни было замкнутое подпространство М
пространства 3, при наделении сопряженных про-
пространств топологией компактной сходимости Ш ал-
алгебраически и топологически отождествимо с 3'/М°,
C/М)' — с М°, ($'/М°У — с М и (М°)'- J/M
БИБЛИОГРАФИЯ
Банах (В а п а с h S.)
[I] Theorie des operations Iineaires, Warszawa, 1932. (Ha
украинском языке: «Курс функшонального анал1зу». Кит,
1948.)
Бурбаки (Bourbaki N.)
[2] Элементы математики. Топологические векторные про-
пространства, ИЛ, М., 1959.
Гарсу (GarsouxJ.)
[3] Espaces vectoriels topologiques et distributions, Paris, Du-
nod, 1963.
Гротендик (GrothendieckA.)
[4] Espaces vectoriels topologiques, S8o Paulo, 1954, 1958.
[5] Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires, Mem.
Amer. Math. Soc, N 16, 1955.
Данфорд, Шварц (Dunford N., Schwartz JJ
[6] Линейные операторы, г. I. Общая теория, ИЛ, М., 1962.
Дэй (Day М. М.)
[7] Нормированные линейные пространства, ИЛ, М., 1961.
Келли, Намиока и др. (Kelley J. L., Namioka I. and
co-authors)
[8] Linear topological spaces, Princeton, van Nostrand, 1963.
Кёте (Kothe G.)
[9] Topologische lineare Raume, I, Berlin, Springer-Verlag,
1960.
Рисе, Секефальви-Надь (Riesz F., Sz-Nagy B.)
[10] Лекции no функциональному анализу, ИЛ, М., 1954.
Тейлор (Taylor A. E.)
[II] Introduction to functional analysis, New York, Wiley,
1958.
Шварц (Schwartz L.)
[12] Theorie des distributions, Paris, Hermann, 1950, 1951.
Книга Банаха [1] является классической; [6], [7], [10] и [11] —
книги по функциональному анализу вообще, все, за исключе-
исключением [10], содержащие информацию о локально выпуклых про-
пространствах. В теории обобщенных функций, изложенной в [12],
используются некоторые типы локально выпуклых пространств;
эти пространства, равно как и общая теория локально выпуклых
пространств, изучаются в [3]. Что касается остальных книг, то
252 Библиография
[2]. [4], [8] и [9] посвящены изложению теории топологических
векторных пространств, а [5] — монография, в которой иссле-
исследуется широкий круг специальных вопросов.
Далее перечисляются лишь некоторые из работ, внесших
вклад в развитие излагаемого предмета. Обширную библиогра-
библиографию можно найти в [6], [7], [9] и [19].
Арене (А г en s R.)
[13] Duality in linear spaces, Duke Math. J., 14 A947),
787—794.
Бурбаки (Bourbaki N.)
[14] О некоторых топологических векторных пространствах,
сб. Математика, 2 : 2 A958), 109—117.
Вехаузен (WehausenJ. V.)
[15] Transformations in linear topological spaces, Duke Math.
I., 4 A938), 157—169.
Гротендик (Grothendieck A.)
[16] Resume des resultats essentiels dans la theorie des pro-
duits tensoriels topologiques et des espaces nucleaires, Ann.
last. Fourier Grenoble, 4 A952), 73—112 A954).
[17] О пространствах (гГ) и C!оГ), сб. Математика, 2:3
A958), 81—127.
Дьедонне (DieudonneJ.)
[18] La dualite dans les espaces vectoriels topologiques, Ann.
Sci. Ecote Norm. Sup. C), 59 A942), 107—139.
[19] Recent developments in the theory of locally convex vec-
vector spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 59 A953), 495—512.
Дьедонне, Шварц (Dieudonne J., Schwartz L.)
[20] Двойственность в пространствах (гГ) и (^гГ), сб. Мате-
Математика, 2 : 2 A958), 77—107.
Кёте (Kothe G.)
[21] Die Stufenraume, eine einfache Klasse linearer vollkom-
mener Raume, Math. 1., 51 A948), 317—345.
[22] Neubegriindung der Theorie der vollkommener Raume,
Math. Nachr., 4 A951), 70—80.
Колмогоров А. Н.
[23] Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topoiogischen !i-
nearen Raumes, Studia Math., 5 A934), 29—33 A935).
Макки (Mackey G. W.)
[24] On infinite-dimensional linear spaces, Trans. Amer. Math.
Soc, 57 A945), 155—207.
[25] On convex topological linear spaces, Trans. Amer. Math.
Soc, 60 A946), 519—537.
фон Нейман (Neumann J. von)
[26] On complete topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc-,
37 A935), 1-20.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно выпуклая оболочка
16
— выпуклое множество 15
Аксиома максимальной цепи 14
Алгебраическое дополнение 142
— сопряженное 42
Ассоциированная отделимая
топология 145
Базис 13
— дуальный 59
— окрестностей 19
— фильтра 86
Банахово пространство 93
Билинейная форма 52, 189
Билинейное отображение 189
Биполяра 57
Борнологическое пространство
122
Бочечное пространство 99
Бочка 99
Быстро убывающая функция
36
Бэровское пространство 111
Векторное подпространство 13
— — натянутое на А 13
— пространство 11
Векторные пространства в
двойственности 53
Взаимно непрерывное отобра-
отображение 21
Внутренность 18
Внутренняя точка 18
Вполне непрерывное отобра-
отображение 207
— ограниченное множество 77
Второе сопряженное 106
Выпуклая оболочка 15
Выпуклое множество 15
Гиперподпространство 43
Гиперполное пространство 182
Гомеоморфизм 21
Гомеоморфное пространство 21
Гомоморфизм 165
График 167
Дополнение алгебраическое 142
— топологическое 143
Дуальная пара 53
рефлексивная 109
Дуальный базис 59
Евклидова топология 60
Единичный шар 31
Замкнутое множество 18
Замыкание 18
Изоморфизм 42
Изоморфные пространства 42
Индуктивный предел 119, 145
— — строгий 185
Индуцированная топология 21
Инъекция 132
Калибровочная функция 28
Каноническое отображение 115
Компактное множество 80
— отображение 207
Конечный подъем 209
— спуск 209
Линейная форма 42
Линейное отображение 40
— преобразование 40
Линейно независимое множе-
множество 13
Линейный оператор 40
— функционал 42
Локально выпуклое простран-
пространство 23
Максимальное множество 13
Мера Радона 64
Метризуемое пространство 20
Метрика 19
Метрическое пространство 20
Минимальное множество 13
Множество абсолютно выпук-
выпуклое 15
— вполне ограниченное 77
— второй категории 111
— выпуклое 15
— замкнутое 18
254
Предметный указатель
Множество компактное 80
— линейно независимое 13
— малое порядка U 76
— нигде не плотное ПО
— ограниченное 69
— открытое 17, 19
— первой категории 111
— плотное 18
— поглощающее 17, 69
— почти замкнутое 163
— предкомпактное 76
— сильно ограниченное 107
— слабо ограниченное 107
— уравновешенное 15
Монтелевское пространство 112
Непрерывная функция 21
Нигде не плотное множество
ПО
Норма 27
Нормируемое пространство 31
Носитель 34
— меры 64
Обобщенная функция 65
Оболочка абсолютно выпуклая
16
— выпуклая 16
Ограниченное множество 69
— отображение 122
Окрестность 18
Опорное многообразие 201
Ортогональное подпростран-
подпространство 56
Отделимое топологическое про-
пространство 19
Открытое множество 17, 19
— отображение 165
— покрытие 80
Отображение взаимно непре-
непрерывное 21
— вполне непрерывное 207
— каноническое 115
— компактное 207
— открытое 165
— почти непрерывное 165
— — открытое 165
— раздельно непрерывное 197
Отрезок 200
Плотное множество 18
Поглощающее множество 17,
69
Покрытие 80
— открытое 80
Полное подмножество 90
— пространство 90
Полурефлексивное простран-
пространство 109
Поляра 56
Пополнение 149
Последовательность Коши 92
— сходящаяся 85
Почти замкнутое множество 163
— непрерывное отображение
168
— открытое отображение 165
Предельная точка последова-
последовательности 160
Предкомпактное множество 76
Преднорма 27
Проективная топология 192
Проективный предел 126
Проектор 143
Проекция 130
Произведение векторных про-
пространств 130
— множеств 130
Пространство банахово 93
— борнологическое 122
— бэровское 111
— гиперполное 182
— локально выпуклое 23
— Макки 122
— метрическое 20
— монтелевское
— полное 90
— полурефлексивное 109
— рефлексивное ПО
— совершенно полное 163, 178
— Фреше 93, 173
Равностепенно непрерывное
множество 41
Раздельно непрерывное отобра-
отображение 197
Расстояние 20
Рефлексивная дуальная пара
109
Рефлексивное пространство ПО
Сильная топология 73
Сильнейшая локально выпук-
выпуклая топология 39, 68, 97,
113, 144
Сильное сопряженное 73
Предметный указатель
255
Сильно ограниченное множе-
множество 107
Слабая топология 53
Слабо непрерывное отображе-
отображение 62
— ограниченное множество 107
Собственное значение 204
Собственный вектор 204
Совершенно полное простран-
пространство 163, 178
Сопряженное к линейному ото-
отображению 61
— пространство 43
Спектр 206
Строгий индуктивный предел
185, 203
Сумма векторных пространств
133
Сходящаяся последователь-
последовательность 85
Сходящийся фильтр 86
Тензорное произведение 190,
203
— — топологическое 192
Теорема Банаха—Шт'еннгауза
99, 105
— Крейна—Мильмана 201
— Крейна—Шмульяна 183
— Макки—Аренса 95
— об открытом отображении
170, 180
— о замкнутом графике 170,
180
— Тихонова 98
— Хана—Банаха 48, 49
— Шаудера 220
— Эберлейна 160
Топологическая сумма 134
Топологическое векторное про-
пространство 22
— дополнение 143
— пространство 18
метризуемое 20
— — отделимое 19
— сопряженное 43
— тензорное произведение 192
Топология ассоциированная от-
отделимая 145
— индуцированная 21
— компактной сходимости 3i
Топология компактной сходи-
сходимости всех производных 35
— мажорируемая 19
— мажорирующая 19
— Макки 95
— определяемая множеством
преднорм 30
— поточечной сходимости 39,
104
— проективная 192
— произведения 130
— равномерной сходимости 33,
104
на множествах из <А
72
— равностенно непрерывной
сходимости 199
— сильная 73
— сильнейшая локально вы-
выпуклая 39, 68, 97, ИЗ, 144
— слабая 53
— согласующаяся с двойст-
двойственностью 55
— суммы 134
— (Л -сходимости 7?, 104
Точка внутренняя 18
— прикосновения 18
— экстремальная 201
Ультрафильтр 88
Уравновешенное множество 15
Факторпространство 115
Фактортопология 115
Фильтр 86
— Коши 90
— мажорируемый 87
— мажорирующий 87
— порожденный базисом 86
— сходящийся 86
— элементарный 87
Функционал Минковского 28
Функция быстро убывающая 36
— непрерывная 21
— — в точке 21
— обобщенная 65
Хаусдорфово пространство 19
Цепь 14
Эквивалентные метрики 20
Экстремальная точка 201
Элементарный фильтр 87
Ядерное пространство 204
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора 5
Предисловие 9
Глава I. Определения и элементарные свойства .... 11
1. Векторные пространства 11
2. Топологические пространства 17
3. Топологические векторные пространства . . 21
4. Преднормы 27
Дополнения 33
Глава II. Двойственность и теорема Хана—Банаха ... 40
1. Линейные отображения 40
2. Линейные формы и теорема Хана—Банаха 42
3. Двойственность и слабая тополгия . . . , 51
4. Поляры 56
5. Конечномерные подпространства 59
6. Сопряженное к линейному отображению . 61
Дополнения 63
Глава III. Топологии в сопряженном пространстве и
теорема Макки—Аренса 69
1. Ограниченные множества 69
2. Топологии равномерной сходимости .... 72
3. Предкомпактные множества 75
4. Компактные множества 80
5. Фильтры 85
6. Полнота 90
7. Теорема Макки — Аренса 94
Дополнения . . 96
Глава IV. Бочечные пространства и теорема Банаха —
Штейнгауза . 99
1. Бочечные пространства 99
2. Топологии в пространствах линейных ото-
отображений .103
3. Второе сопряженное и рефлексивность . . . 106
Дополнения ПО
Глава V. Индуктивные и проективные пределы . . . .114
1. Факторпространства 115
2. Индуктивные пределы 118
3. Пространства Макки 121
4. Проективные пределы 125
Оглавление 257
5. Произведения 130
6. Суммы 133
7. Топологические дополнения 141
Дополнения 144
Глава VI. Полнота и теорема о замкнутом графике . . 149
1. Пополнение локально выпуклого пространства 149
2. Теоремы о замкнутом графике и открытом
отображении 162
3. Пространства Фреше 173
Дополнения 178
Глава VII. Некоторые специальные вопросы 185
1. Строгие индуктивные пределы 185
2. Билинейные отображения и тензорные
произведения 189
3. Теорема Крейна—Мильмана 200
Дополнения 203
Глава VIII. Компактные линейные отображения .... 205
1. Теория Рисса . 205
2. Теория двойственности 217
Приложение 1. Д. А. Райков. Теоремы об открытом ото-
отображении и замкнутом графике 223
Приложение 2. Д. А. Райков. Некоторые линейно-топо-
линейно-топологические свойства пространств 31 и %$' 238
1. Теорема Асколи 238
2. Пространства типа (S) 239
3. Пространство 2> 241
4. Пространство ©' 243
5. Некоторые нерешенные вопросы .... 249
Библиография 251
Предметный указатель 253
А. Робертсои и В. Робертсон
Топологические
векторные пространства
Редактор Э. Э. Пейсаховт
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор И. К. Дерва
Сдано в производство 6/V 1967 г. Подписано
к печати 15/XI 1967 г. Бумага типографская,
№ 2. Формат 84xl0873j=4,78 бум. л. 13,65 усл.
печ. л. 11,46 уч.-изд. л. Изд. № 1/3365.
Цена 51 коп. Зак. 706.
Темплан 1967 г. издательства „Мир", № 30
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете
Министров СССР.
Измайловский проспект, 29
Имеется в продаже
Р. Л е д л и. Программирование и использование цифровых
вычислительных машин.
Перевод с английского, «Мир», цена в переплете 2 р. 93 к.
Книга представляет собой учебник для американских
высших учебных заведений (колледжей). В первой ее части
содержится краткое описание принципов действия математи-
математических машин общего типа, а также специализированнных
машин для обработки информации и современных сверхбыст-
сверхбыстродействующих машин; здесь же излагаются основы програм-
программирования.
Во второй части описываются основные методы автомати-
автоматизации программирования (методы отладки программ, интер-
интерпретирующие программы, моделирующие программы и др.)
и языков автоматического программирования (АЛГОЛ и
КОБОЛ). Третья часть посвящена методам обработки данных
(методам поиска, сортировки, упорядочения и кодирования
информации).
Книга будет интересной самым широким кругам лиц, так
или иначе связанных с использованием современных вычисли-
вычислительных машин. Она может служить также учебным пособием
для студентов вузов и младших курсов университетов.
Заказы на книгу направлять по адресу:
Москва, К-50, ул. Медведева, 1
Отдел „Книга — почтой" магазина М 8
.Техническая книга"