Автор: ГомоноваА.И. Плетюшкин В.А. Погожев В.А.
Теги: подготовка к экзаменам задачи по физике учебное пособие
Год: 1988
Текст
А.И.Гомонова, В.А.Плетюшкин, В.А.Погожев
Задачи по физике. Пособие для учащихся 9-11 классов
М.: Экзамен (Серия «Экзамен»), 1998. — 192 с.
Задачник составлен на основе опыта многолетнего преподавания физики на подготовительном отделении разных факультетов Московского Г осу дарственного Университета. Пособие написано в соответствии с программой для учащихся 9-11 классов и содержит как типовые задачи, так и задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах и олимпиадах школьников. Каждый раздел задачника начинается с краткого введения, содержащего сводку основных понятий, законов и соотношений. Затем приводится подробное решение важных, с методической точки зрения, задач, иллюстрирующих основные методы решения и общие теоретические положения. Ко всем остальным задачам даны ответы. Более простые задачи находятся в начале параграфа.
Сборник предназначен для широкого круга учащихся с разным уровнем знаний, слушателей подготовительных отделений вузов, преподавателей общеобразовательных и физико-математических школ и лицеев, а также лиц, занимающихся самообразованием.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
I. Кинематика 6
Основные определения и формулы 6
Примеры решения задач 14
Задачи для самостоятельного решения 26
II. Динамика прямолинейного движения 46
Основные законы и соотношения 46
Примеры решения задач 51
Задачи для самостоятельного решения 60
III. Импульс и энергия 75
Основные определениям законы 75
Примеры решения задач 79
Задачи для самостоятельного решения 92
IV. Динамика криволинейного движения 104
Основные положения и законы. 104
Примеры решения задач 105
Задачи для самостоятельного решения 109
V. Статика. 118
Основные определения и законы 118
Примеры решения задач 120
Задачи для самостоятельного решения 124
VI. Колебания и волны 133
Основные определения и законы 133
Примеры решения задач 137
Задачи для самостоятельного решения 148
Приложения 159
Ответы
166
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный сборник является одной из составных частей пособия по физике для поступающих, составленного в соответствии с программой вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения России. В пособие включены типовые задачи разной степени трудности: задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на разные факультеты, и задачи, предлагавшиеся на олимпиадах школьников разных уровней. Задачи повышенной сложности помещены за более простыми с тем, чтобы читатель мог понять, сколь успешно, им усвоены основные методы и приемы решения задач данного раздела. Решая задачи в предлагаемой последовательности, абитуриент приобретает навыки решения не только средних, но и сложных задач. Надеемся, что трудные задачи не подорвут у абитуриента веру в свои силы. А наоборот побудят его более глубоко вникнуть в изучаемые физические явления и приведут к поиску нестандартных решений, и тем самым будут способствовать развитию самостоятельного мышления. С этой же целью в задачнике приведены решения лишь основных типовых задач, а ко всем остальным задачам даны подробные ответы.
Поскольку успех решения той или иной задачи зависит от знания надлежащего раздела теории, а во многих пособиях для поступающих, к сожалению, не все вопросы изложены достаточно полно, перед каждым разделом дается краткая сводка основных определений, законов и соотношений, необходимых для решения задач. В конце задачника приведены сведения об основных и производных единицах системы СИ, даны современные значения постоянных (используя эти данные следует учитывать требуемую точность) и наиболее часто применяемые математические формулы.
При решении задач советуем выполнять следующие правила.
1. Внимательно ознакомиться с кратким теоретическим введением и примерами решения задач..
2. Вникнуть в условие задачи. Часто это облегчает рисунок, который обычно можно сделать, если он даже и не приведен в условии.
3. Представить себе все упрощения, которые могут быть сделаны при решении. Некоторые из таких упрощений иногда прямо оговорены в условии, другие - должны быть сформулированы самостоятельно и иногда приводятся в ответе, в особенности, если они не относятся к так называемым стандартным предположениям.
4
4. Задача должна решаться в общем виде (за редким исключением), т.е. используя буквенные, а не числовые значения заданных величин. Тогда полученный ответ может быть проверен:
а) по размерности; безразмерное™ входящих в ответ выражений, являющихся аргументами степенных, тригонометрических, логарифмических и других подобных функций;
б) по поведению решения в предельных случаях. Например, при рассмотрении движения двух тел, прикрепленных к концам нити, перекинутой через блок, из полученного ответа должно следовать, что при уменьшении массы одного из тел до нуля второе будет двигаться с ускорением свободного падения, если в ходе решения пренебрега-лось трением, массой нити и блока. Справедливость такого утверждения очевидна, поскольку при таких условиях второе тело движется только под действием силы тяжести;
в) иногда (как и в рассмотренном примере) ответ задачи должен обладать определенной симметрией, т.е. не должен изменяться при замене нумерации тел (или должен изменяться очевидным образом).
5. Убедившись в разумности общего решения по указанным критериям, нужно подставить в ответ числовые данные, помня о существовании разных систем единиц измерения. Часто для упрощения вычислений исходные данные полезно записать в виде чисел, близких к единице, умноженной на десять в соответствующей степени. Следует помнить, что числовые значения всех физических величин являются приближенными и поэтому при расчетах необходимо соблюдать правила действия с приближенными числами.
6. Получив числовой ответ, следует оценить его разумность, а затем обязательно сверить полученные результаты с ответом, приведенным в задачнике.
В соответствии с принятой в учебной литературе практикой, в задачнике не делаются ссылки на источники, в которых впервые была использована та или иная задача. Это тем более оправдано, что установить такой источник в большинстве случаев практически невозможно.
В заключение авторы считают своим приятным долгом поблагодарить Г.Я.Мякишева за доброжелательную критику и целый ряд ценных советов, способствовавших улучшению задачника.
I. КИНЕМАТИКА
Основные определения и формулы
Рис. 1.1.
п.1. Положение точки А относительно тела отсчета может быть задано векторным, координатным или естественным {траекторным) способом, которые эквивалентны друг другу.
При векторном способе задается радиус-вектор г точки А — направленный отрезок прямой, проведенной из начала отсчета в интересующую точку (рис. 1.1).
При координатном способе указываются координаты точки А — упорядоченный набор алгебраических чисел, однозначно определяющих положение точки А в выбранной системе координат. Наиболее часто исполь
зуют правую декартовую ортогональную систему, которую в дальнейшем будем называть для краткости декартовой Системой. Единичные векторы - орты, параллельные осям OX, 0Y и 0Z этой системы, принято обозначать i,j, к.
При естественном способе задается удаление точки А вдоль траектории (геометрического места точек, в каждой из которых последовательно побывала или будет находиться движущаяся точка) от начала отсчета Os на траектории - траекторная координата s.
п.2. Результат движения точки за промежуток времени А/ = t2 — описывают либо вектором перемещения точки за рассматриваемый промежуток времени - более кратко -
перемещением Лг - приращением радиус-вектора движущейся точки А
Дг(г1,г2) = Дг = г(г2)-г(/1),
(1.1)
либо приращением ее координат. Например, при координатном способе — приращениями декартовых координат
Дх(Г], r2) = Ах = x(t2) -х(/]), Ау(/), /2) = Ау = у(Г2) - y(t}),
Az(/],r2) = Az = z(/2)-z(zI), (1.2)
при траекторном - приращением траекторной координаты
б
Ay(z,, t2) = Av = 5(z2)-.y(^) •
(1.3)
Рис. 1.2.
В показанном на рис.1.2 случае Аги Az направлены против осей ОХ и 02, соответственно, а Ау совпадает с направлением оси 0Y. Считая, что положительные направления вдоль траектории на рис.1.1 и рис.1.2 совпадают, можно утверждать, что Ау > 0.
Часто, особенно в повседневной практике, конечный результат движения характеризуют, указывая путь - все расстояние, пройденное точкой за рассматриваемый
промежуток времени. При таком определении путь всегда величина не отрицательная. В некоторых учебниках (например, "Физика 8" В.Г. Зубова, "Элементарный учебник физики" под ред. Г.С. Ландсберга) термином "путь" называют приращение траекторной координаты. В данном пособии термин "путь" будет использоваться толь-
ко в указанном выше смысле и обозначаться Д/((,,(2)или А/, или
просто I
п.З. Закон движения (или кинематическое уравнение движения) определяет положение точки в произвольный момент времени. При векторном способе описания закон движения имеет вид
г = r(t), (I.4a)
при координатном
х = х(г), у = y(f), Z = z(r) , (1.46)
а траекторном 5 = S(t) (1.4в)
в сочетании с уравнением траектории. Таким образом, в общем случае закон движения содержит в себе и описание траектории. Часто законом движения называют лишь зависимость вида (1.4в). При таком подходе уравнение траектории не содержится в законе движения, а, говоря о характере движения, имеют в виду лишь характер временной зависимости траекторной координаты. Если же говорится о характере движения проекции точки на какое-либо направление, то это направление специально указывается. В данном пособии при классификации движений принят именно такой подход.
7
п.4. При анализе криволинейного движения часто используют систему координат, называемую естественной системой или сопровождающим трехгранником. Начало этой системы совпадает с движущейся точкой, первая ось - главная нормаль - направлена по радиусу к центру касательной окружности, вторая ось -тангет!иальная (или касательная) - направлена по касательной к траектории в сторону возрастания траекторной координаты, третья
О. j ось - бинормаль - направлена так,
'"'•'^La ЧТ0 в сочетании с первыми двумя
,, к образует правую тройку векторов -
< Q к тройку векторов, взаимное положено \ ние которых подобно расположе-
J нию орт i, j, к декартовой системы.
На рис.1.3 положительное направле-
Рис' ние на траектории указано стрелкой
и для момента времени t, когда положение движущейся точки А определяется радиус-вектором r(t), показано положение орт п, т, b этой системы. Показано и положение касательной окружности, ее центра Ок(0 - центра кривизны траектории в точке А. Символом RK(t) обозначен радиус кривизны траектории в указанной точке.
п.5. Средней скоростью (вектором линейной средней скорости точки за промежуток времени от момента tt до момента /2) называют вектор, определяемый соотношением
z2) = 1>(Г2) -г(А)Ж -rd = Аг/Ar. (1.5)
Если нет необходимости явно указывать промежуток времени, для которого определяется средняя скорость, аргументы этой функции можно опустить.
п.6. Скорость (вектор мгновенной линейной скорости точки в момент времени t) определяется соотношением
r(Z + Ar)-r(r) Ar dr . j . . v(t) = lim --------'----= lim -----=-----s r(r) . (1.6)
лг->о Дг A/-»o Ar d t
А?
1 В физике точкой над функцией принято обозначать производную от этой функции по времени, штрихом - производную по любому аргументу, не имеющему смысл времени.
8
Из этого определения следует, что скорость направлена по каса
чке, где в данный момент находится движущаяся точка. На рис.1.4 показаны средняя скорость (за промежуток времени от момента t-, до момента rj и скорость в момент времени Гц
п.7. Скоростью в данном на правлении (мгновенной линейной скоростью точки в данном направлении в момент времени t) на-
тельной к траектории, в той ее
Рис. 1.4
зывают скалярную величину, характеризующую быстроту движения в данном направлении в данный момент времени. Например, скорость точки вдоль оси ОХ определяется соотношением
.. х(г + Дг)-х(г) .. Ax dx
t>,(r) = 1™-----------------= 1,т —~ — = х(г), 'I.
Д1->о Дг д/-»о A? dr
а вдоль траектории (траекторная скорость)
. . s(t + At)-s(t) As ds vx(t)= lim---------------= lim— = — =s(t\ H.8
A/->o Дг д/->о Ar dr
Можно доказать, что скорость в данном направлении равна проекции скорости на это направление, т.е.
vt(r) = r(r)i, u v(r) = r(r)j, v? (t) = v(t)k , (1.9 <
yT (r) = v(t) т(1), (1.10)
причем
ux(r)i + uy(r)j + uz(r)k = v(t), (1.11/
г(г) = ит(г)т(г). (1.12/
Здесь i,j и k - орты декартовой системы, a r(r) - орт, определяющий положение тангенциальной оси естественной системы координат в момент времени г.
п.8. Путевая скорость (скорость прохождения пути в момент времени Г) определяется соотношением
Z(r + Ar)-Z(r) AZ dZ • ч
t>,(r)= lim :---:--------= hm — = — = /(Г) <1.13»
Д/-»о At д/-»о At dr
9
и не может быть отрицательной. При произвольном движении
|»(0| = г (г) = |rt (Г)| = ^r2(r) + r2(r) + r2(r) = vl (г). (1.14)
п.9. Ускорение {вектор мгновенного линейного ускорения точки в момент времени t) - быстрота изменения скорости — определяется соотношением
. , ,, г(г + ДГ)-г(г) dr . d2r ..
a(t) =hm----------------s — = u(r)=—— = r(7). (1.15/
Ar->o Дг dr dr
Из этого определения следует, что ускорение направлено по касательной к годографу скорости - геометрическому месту тоуек совпадающих с концами векторов скорости, если начала всех этих векторов совместить с началом отсчета.
п.10. Ускорением в данном направлении (мгновенным линейным ускорением) называют скалярную величину, характеризующую быстроту изменения скорости точки в данном направлении в данный момент времени. Например, ускорение точки вдоль оси ОХ есть
vx(t + At)-v^(t) dr, . , d2 x ч
ax (0 _ --------7--------= ~'— = vx (0 = —7” ~ *0) • (Ы6'
л<-->о Дг dr dr2
Вектор ускорения лежит в плоскости касательной окружности
«(0 = (0 «(0+ах (0 г (0 ’ п. 17'
причем нормальная составляющая (нормальное ускорение)
aa(t) = v2(t)/RK(t)>0 (L18>
характеризует быстроту изменения направления скорости, а тангенциальная составляюгцая (тангенциальное ускорение)
., ,. fT(r +Дг)-гт(О dvr . ,, d25
eT(r)=lim —-----/—y^- = -—x. = vT(i) = -^- = s(t) . (1.19)
Дг->о Дг dr dr2
характеризует быстроту изменения проекции скорости на тангенциальное направление. При движении по окружности нормальное ускорение обычно называют центростремительным.
10
Если ar(7) = 0, то такое движение вдоль траектории называю равномерным. При a.(t) = a,(j = Const Ф 0 движение вдоль траектории является равнопеременным и
(?) = ут0 + лт0 /, s(t) = 5-0 + ут0 / + Лт0 Г2/2 'I 20
Здесь индекс "О" указывает на то, что значение индексированной величины берется в момент времени t = 0.
п.11. Свободное падение - движение тела под действием только
гравитационных сил. При свободном падении все тела в данном районе движутся с одинаковым ускорением — ускорением свободного
падения (g), направленным вертикально вниз (закон свободного падения). Далее будем предполагать, если не оговорено иное, что бро-
шенные тела совершают свободное падение.
движения тела. При этом
На рис.1.5 показаны траектория тела, брошенного под углом а0 к горизонту со скоростью vn из точки (х(), у-;/, скорость тела v(t), направление главной нормали n(f) и тангенциальной оси x(t в некоторый момент времени t, пологая, что положительное направление вдоль
Рис. 1.5 траектории совпадает с направлением
uxW = uxo =f0cosa0, vy(t) = vy0-gt = v0s'ma0~gt, <1.21.
х(?) = хо + ихо'’ У</) = Уо+Vyot-gC/2. (1.22)
п.12. Угловое перемещение точки А, движущейся по окружности радиуса R, за промежуток времени Ar = t2 - г,
=^(^)-^i) (1.23)
при выборе положительного направления вдоль траектории совпадающим с положительным направлением отсчета углов связано с приращением ее траекторной координаты соотношением
As(/,,r2)= (1.24*
п.13. Угловая скорость (мгновенная угловая скорость точки в момент времени t)
11
. ю(г + Дг)-ю((; Д^ de? -/ч „лг,
a>(t) = lim —-------—- = hm —- = —t- = <p(t) (1.25)
дг-»о Дг дг-»о At dt
связана co скоростью v(t) и радиусом кривизны траектории RK(t) соотношением
|п(Г)| =/?К(Г) [co(t)[. (1.26)
При равномерном движении по окружности (ах = 0) угловая скорость может быть выражена через число оборотов п и период обращения Т
со = 2тсп-2п/Т. (1-27)
п.14. Угловое ускорение (мгновенное угловое ускорение точки в момент времейи Г)
„ co(t + Дг) - co(t) dco .
£(t) = lim--------------------= co(f) = q>(t) (1.28 >
Лл->о At dr
при согласовании положительного направления отсчета углов и направления возрастания траекторной координаты при движении по окружности радиуса R связано с тангенциальным ускорением соотношением
ax(f) = Rs(t). (1.291
п.15. Поступательным называют такое движение, при котором любая прямая, проведенная через точки твердого тела, не изменяет своей ориентации относительно тела отсчета. При таком движении все точки твердого тела движутся одинаковым образом.
п.16. Вращением твердого тела относительно неподвижной оси называют такое движение, при котором некоторая прямая, жестко связанная с этим телом, остается неподвижной в выбранной системе отсчета. При этом все точки тела, не лежащие на указанной прямой -оси вращения - движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных этой оси, с одинаковыми угловыми скоростями.
п.17. Плоское движение - движение, при котором траектории всех точек твердого тела лежат в параллельных плоскостях, - можно представить как результат двух движений: вращения вокруг оси. перпендикулярной плоскости, параллельной траекториям точек тела, и поступательного движения со скоростью, равной скорости этой
12
оси. Выбор точки, через которую проходит ось вращения, определяет скорость движения оси, но не влияет на угловую скорость. Например, при качении цилиндра радиуса R скорость и, его точки, лежащей на расстоянии г(- от оси цилиндра, равна
Ц'вр в р
а. зо
где v - скорость движения оси, a v,Bp - скорость интересующей точки, обусловленная только вращением цилиндра вокруг своей оси с угловой скоростью со. Если точки цилиндра, касающиеся дороги, неподвижны - цилиндр катится без проскальзывания, то
|(й| = v/R И Vj в р = |й)| I'j . '1.31
Качение цилиндра можно представить и как только вращение вокруг неподвижной в данный момент оси, называемой мгновенной осью вращения (в рассматриваемом случае эта ось проходит через точки касания цилиндром дороги), причем
Vj =р;|<а|, (1.321
где рг- - расстояние от мгновенной оси вращения до интересующей точки. Направлена скорость г;- перпендикулярно радиусу вращения
a AZ
Рис.1.6.
Pi-
п.18. При решении ряда задач удобно использовать вспомогательную (называемую движущейся или относительной) систему отсчета, движущуюся заданным образом относительно принятой за неподвижную. При этом неподвижную систему отсчета называемую абсолютной. Движение тел относительно абсолютной системы отсчета называют абсолютным движением, а относительно движущейся — относительным. Движение точки вспомогательной системы, с которой в данный момент совпадает движущаяся
точка, называют переносным движением. На рис.1.6 система XYZ рассматривается как неподвижная, а система X'Y'Z - подвижная. Из этого рисунка следует, что
ra(t)=r(t) + rQ.(t) П-331
13
где векторы rA(t) и г0<?) описывают абсолютное движение точки А и точки О' — начала отсчета относительной системы, a r(t) - относительное движение точки А. Поскольку в механике Ньютона расстояние между двумя точками и длительность промежутка времени между двумя событиями не зависят от выбора системы отсчета, то
»а(О = »г(О + »е (0 <134)
где иа (0 = ra, vt (t) = г. Индексами "а", "г" и "е" снабжены величины, характеризующие абсолютное, относительное и переносное движение соответственно.
При поступательном движении относительной системы
»с(0=®о(0=Г0ЧО, Яа(0 = «г(0 + ве(0> «e(0 = Ve'.^ <L35’>
причем при произвольном движении относительной системы отсчета
= иа (г), at (г) = vr (Д (136)
Примеры решения задач
Задача 1.1, Из начала координат вдоль оси ОХ движется точка со
. 2
2^_ ах, м/с
2 4 6 8 10
Рис.1.7.
скоростью ох0=2м/с2, ускорение которой изменяется со временем согласно рис.1.7. Определить закон движения точки. Найти среднюю путевую скорость этой точки за промежуток времени Аг = 2 с , начиная с момента времени
f = 3,5 с от начала движения.
Решение. Аналитически заданный закон изменения ускорения можно представить в виде
0 при 0 < t <
aK(t) = ах2 при Г) < t < t2
(Г
0 при t2 < t
где ах2 = -2 м/с2, a - 4 с и t2 - 8 с - моменты изменения ускорения.
14
Поскольку на первом этапе - 0 < t < tx - движение точки равномерное (т.к. лх (?) = 0), то ее скорость постоянна и равна начальной, а координата х (с учетом условия х0 =0) изменяется по линейном} закону: х(?) = vx0 ?.
На втором этапе ускорение точки направлено вдоль оси ОХ и его проекция на эту ось равна ах2. Поэтому скорость точки, начиная с момента tt, изменяется по линейному закону
yx(0 = Uxo + ax20-'lb 21
а координата - квадратичному
Учитывая, что x(t1) = vxOtJ, получим
A(?) = vx0r + tfx2('-'i)2/2- з
На третьем этапе точка вновь движется равномерно со скоростью, которую она приобрела к концу второго этапа. Поэтому при t > t2
vx (t) = vK (?2) = vk0 + flx2 (#2 ) = Const
x(t)=x(t2) + vK(t2)(t-t2).
Подставляя x(t2) из (3) и wx(r2) из (2), получим
*(?) = [ухОг2 + ах2 (f2 -zl)2/2] +[l’xQ+ax2^2 ~?1)J =
= uxOf + ax2 [(z2 “ fi)2/2 + (f2 “ fl)0“ Гг)| •
Рис. 1.8.
График зависимости uK(t) при заданных числовых значениях приведен на рис.1.8. На рис.1.9 показан график движения. В пределах первого временного промежутка (0 < t < ) график движения представляет собой прямую, тангенс угла cti наклона которой к оси времени с учетом масштабов по осям равен скорости точки на этом этапе.
15
Ах, М 8 6 4 2 О
-2 -4
t, С
На втором этапе график движения представляет собой параболу. В момент времени (в =-их0/ах2-5с (рис.1.8)
скорость точки обращается в нуль, а ее координата (рис.1.9) достигает максимума. Затем точка начинает двигаться в обратном направлении. На последнем этапе ( />/,) график движения вновь переходит в прямую, но с отрицательным значением тангенса угла а2 наклона к оси времени,
путевой скорости определим зависимость
Рис. 1.9.
поскольку а2 > л/2.
Для расчета средней пройденного точкой с начала движения расстояния как функцию
времени. При t < ta точка движется вдоль оси ОХ, не изменяя направления своего движения. Поэтому расстояние, пройденное точкой до момента t <ta, равно модулю приращения ее координаты
1(f) - |х(() - х(0)|. (4а,
В момент времени ta направление движения изменяется на противоположное. Поэтому при t > tD путь равен сумме расстояний, пройденных за промежутки времени от t = 0 до ta и от ta до Г.
l(t) = |*0„) - х(0)|+|х(0 - x(t„)[. (46
Подставляя в (4а) и (46) ранее найденные значения x(t), получим зависимость пути / от времени t:
|ухОр при Q<t <t .
|uxo f + «x2 0~0)2/2| при11<(<гв,
|УхО?в+ях2 Ов-fl)2/2|+|flx2 (^-^в)2/2) ПРИ ta<t<^
pxO ^b +Ях2 Ов "О )72|+|«x2 0“(в)72 + «x2 02 “'b)02 -'b)|
при t2 < t. (5)
16
О 2 4 6 8 10
Эта зависимость изображена на рис.1,10. Видно, что путь является неубывающей функцией времени. Тангенс угла наклона к оси времени касательной в любой точке этой кривой - мгновенная путевая скорость - всюду положителен (за исключением точки t = tB, где vt = 0). Из. приведенного графика можно определить и среднюю путевую скорость. Для этого (с учетом масштабов по осям графика) следует определить тангенс уг-
Рис.1.10. ла наклона а к оси времени прямой, соединяющей точки графика, соответствующие начальному t'= 3,5 с и конеч
ному моментам заданного промежутка времени At = 2 с . Более точно это можно сделать, используя выражение (5). Начальный момент f лежит в пределах первого временного интервала, а конечный t'+At = 5,5 с больше tB = 5 с, но меньше t2 = 8 с. Поэтому за ука
занный промежуток времени точка пройдет путь
Al = l(t'+At)-l(t") = |их0 tB +ак2 (tB -fi)2/2|-pxok'+ +|ах2 (r’+Az —/в)2/г| = 2,25м
со средней путевой скоростью vcp (Г*, t'+At) - Al/At = 1,125 м/с.
Рис. 1.11.
Задача 1.2. На рис.1.11 приведены графики зависимости проекции ускорения точки на ось ОХ и проекции ее скорости на ось ОУ от времени. Определить модули векторов ускорения и скорости этой точки в произвольный момент времени, если проекция начальной скорости точки на ось ОХ равна vx0 = 2 м/с, а траектория ее движения лежит в плоскости ХОУ.
Решение. Закон изменения во времени проекции вектора ускорения на ось ОХ и проекция вектора начальной скорости на эту же ось соответствуют условию предыдущей задачи. Поэтому на основании ее решения с учетом обозначений на рис.1.11
17
I °xO , ‘M', = |pxO+«x2V-'2\
I L>x0 + 0*2 V4 “ h ) = Vx4
при 0 < t < t2 при t2 <t <t4 при t4 <t
(b
Из рис.1.116 следует, что зависимость проекции скорости точки на ось ОУ от времени аналитически может быть записана в виде
Vv,
при 0<t
vy} приг^КГз
Уу4~Уу1 ,
Ру1 + -i--У— (t~t3) При t3 < t < t4
vy4 при t4 <!
(2)
Используя определение ускорения (1.16), из (2) получим:
Ру] -2- = лу1 приО<т<Т]
ву(0 = - 0 при Г, < t < t3, t4 < t
Уу4-Уу1 — — при t3 < t < t4
(3;
| «У м/с2
4
2 0
-2-
2 4
-6*-
810
4 с а)
2
4
2 0
б)
I, с
2 4 6 810'
Av, м/с 8-6-4-2 0 2 4 6 8 10
в)
t с
Рис. 1.12.
График этой зависимости показан на рис.1.12 а). Отметим, что для построения этого графика можно было и не решать задачу аналитически, а учесть, что ускорение точки вдоль оси ОУ равно тангенсу угла наклона касательной к графику пу(г) к оси времени (при надлежащем выборе масштабов по осям). Используя полученные результаты и учитывая, что «(0 = 7a*W + ay(0> = + легко оп-
ределить модули векторов скорости и ускорения. На рис. 1.12 б) и в) приведены графики этих величин для разных моментов времени.
Задача 1.3. Два корабля идут встречными параллельными курсами со скоростями и, и v2. Когда корабли оказались на минимальном расстоянии, со второго корабля стреляют в первый. Снаряд вылетает из пушки со скоростью пс. Под каким углом а
18
(в горизонтальной плоскости) к курсу обстреливающего корабля должен быть произведен выстрел, чтобы снаряд попал в цель? Сопротивлением воздуха и смещением снаряда по вертикали пренебречь.
q Решение. Решим задачу в системе ко- “ ’------—1 ~ • ординат, неподвижной относительно Зем-
Л V ли. В соответствии с (1.34) скорость снаря-
У<! ____да без учета вертикальной составляющей в
этой системе отсчета равна v = vc + v7.
Рис. 1.13. „
Если с Землей связать декартовую систему ХОУ так, как показано на рис.1.13, то проекции скорости снаряда на оси этой системы будут равны: vK =vc cosa-v2> = _рс sina-Поскольку в момент выстрела снаряд и цель находились на одном перпендикуляре к курсу кораблей, то для поражения цели скорость снаряда вдоль оси ОХ должна совпадать со скоростью цели, т.е. их = V] Учитывая, что искомое значение угла а лежит между 0 и л/2, получим
а = arccos(P] + v2 )/ус. П)
Рассмотрим решение этой задачи в системе координат, связанной со стреляющим кораблем. В этой системе скорость снаряда равна ос, а скорость первого корабля определяется соотношением t>i = V] + (-»2) • Потребовав, как и ранее, равенства проекций скоростей vc и v{ на направление движения первого корабля, получим уравнение vc cos а = ц + v2, решением которого является соотношение (1).
Отметим, что при расчете относительного движения тел, как правило, целесообразно перейти в систему отсчета, в которой одно из этих тел покоится, т.к. в этом случае описывающие рассматриваемое движение соотношения обычно упрощаются и, следовательно, решение задачи будет иметь более простой вид.
Задача 1.4. По пересекающимся под углом а прямым дорогам с постоянными скоростями и v2 едут две машины. Когда первая машина проезжает перекресток, вторая находится на расстоянии L от перекрестка и приближается к нему. Определить минимальное расстояние между машинами и время, через которое машины окажутся на этом расстоянии.
19
Решение. Примем за начальный (t = 0) тот момент времени, ко-
гда первая машина проезжает перекресток. Решим задачу, используя де-картовую систему координат, относительно которой вторая машина неподвижна. Начало этой системы выберем совпадающим с перекрестком в начальный момент, а оси напра
вим так, как показано на рис.1.14. Относительно этой системы первая
машина движется вдоль прямой ОВ со скоростью готн = п, -v2, 4
вторая неподвижна и находится в точке А. Поэтому кратчайшее расстояние между машинами 1т равно длине перпендикуляра АВ, опущенного из точки А на прямую ОВ,
L = isin/?,
(1)
а искомый момент времени равен времени прохождения первой машиной отрезка ОВ
tm = Lcos/3/vma . (2)
Из рис.1.14 следует, что, sinZ? = pyOTH/p0TH ^оя/У^р^^/р^ . Поскольку модуль вектора относительной скорости и его проекции на оси выбранной системы координат равны
иотн = 7S" = 7yi2 +V2-2PiP2cosa,
Рх отн = U1 C0S (я ~ а) + V2 - V2 ~ Vl COS а >
ру отн = I?! sin (я - а) = Р] sin а,
из (1) и (2) следует, что
lm = £Pj sin а/^р2 + р2 - 2 Р] р2 cos а ,
tm = L (р2 - v} cos а)Д/р2 + р2 - 2 Р) р2 cos а . (3)
Из выражения (3) следует, что при некоторых значениях рь р2 и а время tm может быть отрицательным. Это означает, что минимальным расстояние между машинами было до того, как первая машина достигла перекрестка.
20
Задача 1.5. С башни высотой Н бросают камень под углом а к горизонту со скоростью V. На каком расстоянии от основания башни упадет камень?
Решение. Примем за начальный момент времени - момент броска, а систему координат выберем так, как показано на рис.1.15. Тогда на основании (1.22) закон движения камня будет иметь вид:
х(() = v t cos а ,
y(t) = Н + v t sin а - gt2/l.
(1)
(2)
В момент t„ приземления камня его координата y(t„) должна в выбранной системе отсчета обратиться в нуль. Согласно (2) этому требованию отвечают моменты времени
t„ = (vsin а + д/п2 sin2 а+ 2^/7)/g. (3)
Значение 1П, соответствующее знаку минус перед корнем, должно быть отброшено, т.к. при сделанном выборе начала отсчета времени гп не может быть отрицательным. Подставляя с учетом сказанного (3) в (I), после алгебраических преобразований получим
L = |х(гп) - х(0)| = v2 (1 + ^/l + 2g///(i>sina)2) sin 2 a J/[2 g), поскольку в выбранной системе отсчета х(0) = 0.
Задача 1.6. Два жонглера, стоящие на горизонтальной площадке на расстоянии L друг от друга, перекидываются мячами, бросая их одновременно. С какой скоростью и под каким углом к горизонту был брошен второй мяч, если он попал в первый, когда тот достиг максимальной высоты? Первый жонглер бросил мяч со скоростью vt под углом а к горизонту в
направлении второго.
Решение. Будем решать задачу в системе координат, показанной на,рис.1.16, принимая за начало отсчета времени момент броска мячей. С учетом обозначений на рис.1.16 закон движения мяча первого жонглера имеет вид:
xt(f) = P]fcosa , У](Г) = и, Zsina - gf2/2 , второго -
x2(f) = L-v2tcosp, y2(t) = v2tsin ft-gt2/2.
Рис. 1.16.
21
По условию задачи мячи встретились в верхней точке траектории первого. Поэтому в момент встречи вертикальная составляющая скорости первого мяча oly(tB) = 0. Согласно (1.21) oly(tB)=P]Sina-gt. Следовательно, rB =(t>1sina)/g . Поскольку в момент встречи мячей Ш) = Х2<Л) ИУ1(О = У2(О’Т°
v2 cos/? = g L/(v{ sin a)- cosa (1)
v2 sin P = l>| sin a (2)
Разделив почленно (2) на (1), получим
tg /? = (2и,2 sin2а)/(2g L-v2 sin 2a), (3)
а, возводя почленно (1) и (2) в квадрат и складывая полученные выражения, найдем модуль начальной скорости второго мяча
+ sin а)2 - 2 g Lctga .
Поскольку по условию задачи а < 90°, из (3) следует, что tg Р > 0 при о2 sin 2 а < 2 g L. Следовательно, второй жонглер должен был бросить мяч в сторону первого. Если же и2 sin 2 а > 2 g L, то tg р < 0, т.е. мяч был брошен в противоположную сторону.
Задача 1.7. Катушка катится со скоростью v без проскальзывания Z \ по горизонтальной линейке (рис.1.17). Оп-I ределить линейные скорости точек А и В, / -гЛ&'рУ' /\ лежащих на вертикальном диаметре.
/ // Решение. Движение катушки можно
р— \/ представить как результат сложения двух
1-------------V движений: поступательного со скоростью v
Рис. I. 17. и вращательного с угловой скоростью ®(см. п.16), причем линейные скорости точек А и В, обусловленные вращением катушки вокруг своей оси, равны по модулю a>R и коллинеарны вектору скорости поступательного движения. Учитывая, что согласно (1.31) ® = v/r, получим
vA = v (1 + R/r) и vB = v (1 - R/r).
Поскольку R > г, то точка А движется в направлении движения катушки, а точка В-в противоположную сторону.
22
Более быстро решить эту задачу можно, используя свойства мгновенной оси вращения, которая в данном случае проходит через точку С. Согласно (1.32), |ил| = |(r + R) a |нБ| = |(г-/?)«]. Подставляя в эти соотношения величину угловой скорости а> и, учитывая
направление вращения катушки, легко придти к полученным ранее ответам.
Задача 1.8. На рис.1.18 показана система тел, соединенных нерастяжимыми нитями. Грузы 1 и 2 движутся с ускорениями сц и «2, на-
правленными вертикально вниз. Найти ускорение груза 3, связанного
Рис. I. 18.
с блоком Б’з жестким стержнем. Отрезки нити на участках от блока Б4 до блока 2>3 и от блока Б3 до штанги А параллельны наклонной плоскости.
Решение. Движение грузов 1, 2 и блока Бу по условию задачи происходит только по вертикали, а груза 3 и блока Б3 - вдоль наклонной плоскости. Поэтому для описания движения тел вы
берем две оси ОХ и ОТ. С учетом обозначений на рис.1.18 длина первой нити равна
Ly = Л] - хБ2 + я R + х2 - хБ1,
где R - радиус блока Бу. Длина второй нити
Д2 = ЛБ1+/ + уБЗ+ЛГ + уБЗ,
(Ь
(2)
где I - длина отрезка нити между точками С и Д - точками касания нити блоков Б-> и Б4, г- радиус блока Б3.
Прибавив к (1) после умножения на два (2), получим
%! + х2 + 4 у Б3 =Ly + 2Б2-яБ-2!-2яг = Const, (3)
т.к. нити нерастяжимы и их ориентация неизменна. Из определений скорости и ускорения (п.6 и п.9) и соотношения (3) получим
% + 2«2х +4аБЗу = 0-
Поскольку = а}, а2к = аг, а ускорение груза 3 и блока Б3 равны, то
«зу =-(«, +я2)/4-
Знак минус означает, что ускорение груза 3 направлено вверх по наклонной плоскости..
23
Рис. 1.19.
Задача 1.9. Муфта, соединенная с нитью, перекинутой через тонкий гвоздь А, скользит по вертикальной штанге (рис.1.19). С какой скоростью движется муфта в тот момент, когда нить образует с горизонталью угол а, если нить отпускают с постоянной скоростью V?
Решение. Выберем ось ОХ так, как показано на рис.1.19. Пусть в момент времени t, когда нить обра
зует с горизонтом угол а, координата муфты по вертикали равна х, а длина наклонного участка нити МА равна L. Через промежуток времени Дг координата муфты будет равна х + Ах, а длина участка МА станет равной L + AL. При этом
Ar = Vi2-/2 , x + Ax^(L + AL)2-l2 .
Отсюда
±c = V(i + Ai)2-/2 -Vi2-/2
' 2LAL + L2
1+---5--5—
£2-/2
Ах
Искомая скорость vM = lim —. Поскольку AL = vAt,xo
! 2 L v At + (u At)2 , 1+------3------—-1
L-l2
Отсюда, учитывая, что vl + £ ~1 + i'/2 при £ «1, получим
Д/-»о At
\ Lv At + (v At)2 /2 Lv
Г Т7Ё2?
• На основании этого результата можно утверждать, 7А что скорость нити равна проекции скорости муфты на а направление нити.
* Рассмотренную задачу можно решить и другим способом. Пусть точки М и М' (рис.1.20) соответствуют положениям муфты в моменты времени г и t + At.. От-Рис. I. 20 ложим на отрезке AM' отрезок AN = AM и соединим точки MaN. Так как при At —> 0 AMAN -> 0 и сум
24
ма углов треугольника равна л, /.MNA одноименного равнобедренного треугольника стремится к д/2, a Z.M' MN —> а . Поэтому
1 .. АЛ v
vM - lim --------- —-— lim — =
A/-»oAfsina sinaA/-*0Ar sin a
Задача 1.10. Равносторонний треугольник ABC движется так, что в некоторый момент скорость вершины В равна ив и направлена вдоль стороны АВ, а скорость вершины С направлена вдоль стороны СВ. Определить направление и величину скорости вершины А в этот
Момент времени.
Рис. 1.21.
Решение. Пусть скорость вершины С треугольника в рассматриваемый момент времени направлена к вершине В, как показано на рис.1.21. Треугольник АВС следует считать твердым телом. Поэтому для определения скорости любой его точки в заданный момент времени движение треугольника можно представить, как только вращение вокруг неподвижной в данный момент времени оси — мгновенной оси вращения (см. п.17). При этом скорость любой точки треугольника должна быть перпендикулярна радиу
су вращения рассматриваемой точки. На рисунке пунктирными линиями проведены перпендикуляры к сторонам СВ и АВ через вершины С и В. Эти перпендикуляры могут пересечься только в точке О. Следовательно, ось вращения проходит через точку О перпендику-
лярно плоскости треугольника. Из рисунка ясно, что при выбранном (из двух возможных по условию задачи) направлении скорости вершины С скорость вершины В может быть направлена только так, как показано на рисунке. Определив положение мгновенной оси вращения, можно указать радиус вращения RA вершины А и, подобно тому как это было сделано для вершины С, определить направление скорости вершины А. Необходимые для этого построения выполнены на рис.1.21.
Вычислим теперь величину скорости вершины А. Пусть длина стороны треугольника равна а. Поскольку угловая скорость враще
ния со одинакова для всех точек треугольника, то в соответствии с (1.31) vB/RB = va/Ra . По условию задачи треугольник АВС равно
сторонний, и, следовательно, углы при его вершинах равны 60°, а угол СВО равен 30°, т.к. радиус вращения RB перпендикулярен сто
25
роне АВ по построению. Отсюда следует, что RB = n/cos30° . Согласно теореме Пифагора
R2A = а1 + R} = (1+cos-2 30°) а2.
Поэтому величина скорости вершины А равна
va = vb ra/rb = uBVl + cos230° = л/7 vBj2.
Задачи для самостоятельного решения
Равномерное движение
1.1. Два тела А и С движутся в плоскости ХОУ. Их координаты изменяются со временем t по законам xA=2f, yA=5t и хс=Н-1, ус=1+4. Встретятся ли эти тела, и если да, то каковы координаты точки встречи? Задачу решить аналитически и графически.
1.2. Расстояние между городами А и В равно £=300 км. Из этих городов одновременно выезжают две машины. Машина, выехавшая из города А, движется в город В со скоростью иА=60 км/ч, а другая - со скоростью ив~40 км/ч. Определить место и время встречи машин.
1.3. Из городов А и В, расстояние между которыми равно £=120 км, одновременно выехали две машины: из города А со скоростью иА=20 км/ч, из города В со скоростью ив=60 км/ч. Пройдя расстояние £, машины остановились. Через какое время t, и на каком расстоянии I от города С, находящегося на полпути между городами А и В, встретились машины? Задачу решить аналитически и графически. Построить график зависимости расстояния А/ между машинами от времени t.
1.4. Из пункта А в 10 часов утра (£) выходит поезд со скоростью с>А=80 км/ч, а навстречу ему из пункта В, находящегося на расстоянии £=600 км, в два часа дня (72) другой поезд со скоростью т>в=60 км/ч. Через какое время после выхода второго поезда встретятся?
1.5. Эскалатор метро поднимает стоящего на нем пассажира за время £=3 мин, а идущего по нему за время £=2 мин. Сколько времени поднимался бы пассажир по неподвижному эскалатору?
1.6. Человек, спускаясь по движущемуся эскалатору,' насчитал /1,=50 ступенек, другой - спускавшийся в £=3 раза быстрее - и2=75 ступенек. Сколько ступенек насчитал бы человек, спускаясь по неподвижному эскалатору?
26
1.7. Поднимаясь вверх по реке, рыбак уронил с лодки деревянный багор, когда проезжал под мостом. Спустя время т =0,5 ч он обнаружил пропажу и, повернув назад, догнал багор на расстоянии L=5 км от моста. Определить скорость течения реки, считая, что рыбак все время греб одинаково.
1.8. Два катера, шедшие навстречу, встретились у моста и разошлись. Повернув через время т =1 ч, они вновь встретились на расстоянии L=4 км от моста. Определить скорость течения, полагая, что скорость катеров относительно воды оставалась неизменной.
1.9. В бассейне по серединам трех дорожек плывут пловцы: первый и второй в одну сторону, а третий - в другую. Ширина первой дорожки равна а, второй и третьей - Ь. Определить скорость первого пловца, если скорости второго и третьего равны и2 и у3, а пловцы все время находятся друг относительно друга на одной прямой.
1.10. Под каким углом к берегу должна двигаться лодка, чтобы пересечь реку по кратчайшему пути, если скорость воды ит=0,3 м/с, а скорость лодки относительно воды и=1 ,8 км/ч? Через какое время лодка достигнет берега, если ширина реки равна £=240 м?
1.11. Лодочник должен переплыть реку из пункта А в пункт В, находящийся на одном перпендикуляре с пунктом А к берегу. Если лодку направить по прямой АВ, то через время Zj она причалит к берегу на расстоянии S от пункта В. Если же плыть под некоторым углом а к прямой АВ, то в пункт В можно попасть через время t2. Считая скорость лодки относительно воды постоянной, определить ширину реки L, скорость течения ит и угол а.
1.12. Скакой скоростью v относительно воды должен идти катер, чтобы за время т совершить прямой и обратный рейсы между пристанями А и В, находящимися на расстоянии S друг от друга на противоположных берегах реки, если во время движения катер остается на прямой АВ, а его скорость v образует с этой прямой один и тот же угол. Скорость течения реки равна ит, угол наклона прямой АВ к берегу равен а.
1.13. От причалов А и В, находящихся на расстоянии 5=2,4 км на разных берегах, отходят два катера. Они идут вдоль прямой АВ с одинаковыми относительно воды скоростями v и встречаются через время г =5 мин после отплытия. Найти величину и направление скоростей катеров относительно прямой АВ, если скорость течения ут=7,2 км/ч, а прямая АВ образует с берегом угол «=30°.
27
1.14. Три пристани расположены так, что расстояние между ними j 3 равны (рис.1.22). От второй пристани к первой и
• • третьей одновременно и с одинаковыми скоростями
2 т.> относительно воды и=10 км/ч отошли два катера. • Как только один из катеров достиг первой пристани.
Рис. 1.22 с него на воду был опущен предмет, который проплыл мимо третьей пристани на г =10 ч позже, чем прибыл туда второй катер. Определить расстояние между пристанями, если скорость течения ут=3 км/ч.
1.15. На тележке, движущейся прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v, установлена труба. Под каким углом к горизонту следует наклонить трубу, чтобы капли воды, падающие вертикально со скоростью vK, пролетали через трубу, не задевая стенок?
1.16. За какое время наполнится ведро при косом дожде, если скорости капель образуют с горизонтом угол а=60а, а в безветренную погоду при той же интенсивности дождя ведро наполняется за т = 1 ч? Считать, что ветер дует в горизонтальном направлении.
1.17. Самолет, летящий со скоростью v, попадает в полосу дождя. Капли падают вертикально со скоростью ик. Кабина пилота имеет два одинаковых стекла: верхнее (горизонтальное) и лобовое, образующее с верхним угол а. Найти отношение масс воды, падающей на стекла.
1.18. По шоссе со скоростью п=16 м/с движется автобус. Человек находится на расстоянии а =50 м от шоссе и b =400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы оказа-ться в некоторой точке шоссе одновременно или раньше автобуса, если он может бежать со скоростью у=4 м/с?
1.19. Человек, находящийся от прямолинейного шоссе на расстоянии а =36 м, заметил автобус, когда тот был на расстоянии 6=250 м от него. В каком направлении должен бежать человек, чтобы встретиться с автобусом возможно раньше, если скорость автобуса у=50км/ч, а человек может бежать со скоростью и=4м/с?
L20. С какой минимальной скоростью и в каком направлении должен бежать человек (см. задачу 1.19), чтобы встретить автобус?
1.21. По дорогам, пересекающимся под прямым углом, приближаются к перекрестку со скоростями v и и две машины. Определить минимальное расстояние между машинами, если в некоторый момент они находились от перекрестка на одинаковых расстояниях L.
1.22. Определить наименьшее расстояние между машинами, движущимися со скоростями 16 м/с и 36 км/ч по дорогам, пересекаю
28
щимся под углом «=60°, если в тот момент, когда расстояние между машинами было равно £=1,4 км, соединяющая их прямая была перпендикулярна одной из дорог.
1.23. Под каким углом а к короткому бортику нужно ударить бильярдный шар С (рис.1.23) малого радиуса, чтобы он попал в лузу А, испытав по одному удару о другие бортики стола? Удары шара о бортики - абсолютно упругие.
1.24. На бильярдном столе лежит шар радиуса г. Положение шара и размеры стола показаны на рис.1.24. Через какое время после удара кием шар коснется бортика АВ, если после удара шар движется со скоростью V, удары о бортики - абсолютно упругие и временем соударения можно пренебречь?
1.25. Звук от сверхзвукового самолета, летящего на высоте £/=4 км, доходит до наблюдателя через г=10 с после пролета над ним самолета. Найти скорость самолета, если скорость звука с=330 м/с.
Средняя скорость
1.26. Один автомобиль проехал первую половину пути со скоростью U]=80 км/ч, другую - со скоростью и2=40 км/ч. Второй автомо-
биль тот же участок пути проехал, двигаясь половину времени со скоростью ut=80 км/ч, а оставшееся время - со скоростью и3=40 км/ч. Найти отношение средних скоростей этих автомобилей.
1.27. Расстояния между расположенными друг за другом городами А и В, В и С равны £=100 км и /?=100 км. Автомобиль ехал из А в В
со скоростью р=100 км/ч, из В в С со скоростью и=50 км/ч и возвратился в В со скоростью V. Определить среднюю скорость за время движения. Какой была бы средняя скорость, если бы автомобиль
вернулся в город А, двигаясь из В со скоростью и?
0 2 4 6
Рис. 1.25.
1.28. Найти путь £, изменение координаты х и среднюю скорость v точки, двигавшейся вдоль оси ОХ в соответствии с графиком движения, показанном на рис.1.25, за промежуток времени от момента Zj=l с до момента /2=6 с.
1.29. Автомобиль проехал вторую половину пути со скоростью в Хс=1,5 раз большей, чем первую. Определить скорость», автомобиля на
29
первой и второй половинах пути, если средняя скорость автомобиля на всем пути равна и=30 км/ч.
1.30. Самолет летит из пункта А в пункт В и возвращается обратно, не делая посадки в пункте В. В безветренную погоду скорость самолета равна V. Найти отношение продолжительностей полетов в случаях, когда скорость ветра v параллельна прямой АВ и перпендикулярна ей, если двигатели работают в одинаковом режиме.
1.31. Найти среднюю скорость поезда, зная, что на прохождение четырех участков дистанции, длины которых относятся как 1:3:4:2, потребовались промежутки времени, относящиеся как 2:4:3:1, а на последнем участке скорость поезда была равна н=80 км/ч.
1.32. Расстояние между двумя станциями £=3 км поезд проходит со средней скоростью v=54 км/ч. На разгон поезд затрачивает время ti=25 с, а на торможение t2=l 5 с. Считая, что при разгоне и торможении поезд движется равноперемерно, найти наибольшую скорость и построить график зависимости скорости поезда от времени.
1.33. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты Н=1\5 м. Найти среднюю скорость падения на нижней половине пути.
1.34. Скорость течения реки шириной £=100 м меняется по мере удаления от берега по линейному закону. У берега течения нет, а на середине реки его скорость равна vT=2 км/ч. Найти снос лодки при переправе через реку, если ее скорость относительно воды и=4 км/ч и перпендикулярна течению.
1.35. На некотором расстоянии от берега на якоре стоит буй. Напротив буя к берегу причалена моторная лодка. Скорость течения реки у берега равна нулю и растет пропорционально удалению от него, достигая величины рт=2 м/с около буя. Под каким постоянным углом <р к течению должен направлять лодку рулевой, чтобы пристать к бую, если относительно воды лодка движется со скоростью р=7,2 км/ч?
1.36. Скорость течения реки шириной £=100 м
|__> у? £ ’ меняется по мере удаления от берега по линейно-
• i МУ закону от нуля до и.1=3 км/ч на ее середине. У
-э*. берега причалена лодка, которая может двигаться Рис 126 Со СКОРОСТЬЮ v~2 ™/ч относительно воды. Лодочник увидел выше по течению баржу, идущую со скоростью м=7,5 км/ч по середине реки, когда та находилась на расстоянии 5=525 м (рис.1.26). Через какое время лодочник должен отплыть от берега, чтобы достичь баржи за наименьшее время?
30
Прямолинейное равнопеременное движение
1.37. Определить начальную скорость автомобиля, движущегося прямолинейно, который, начав тормозить с ускорением а=1 м/с2, за время г =5 с проходит расстояние £=20 м.
1.38. Наблюдатель, стоявший в момент начала движения поезда у его переднего края, заметил, что первый вагон прошел мимо него за время т. Сколько времени будет двигаться мимо наблюдателя /1-ый вагон, если поезд движется равнопеременно?
1.39. Пассажир, стоявший на платформе, заметил, что головной вагон прибывающего поезда прошел мимо него за время г, =4 с, а второй - за г2=5 с. Когда поезд остановился, пассажир оказался на расстоянии £=75 м от его начала. Найти ускорение поезда, считая его движение равнопеременным.
1.40. Проезжая п-ый (шестой) этаж, лифт имел скорость v=4 м/с и поднимался с ускорением а=1 м/с2, направленным вниз. На каком этаже остановится лифт, если высота каждого этажа равна Н=4 м?
1.41. Поезд, шедший прямолинейно со скоростью и=10 м/с, начал останавливаться. С каким постоянным по величине ускорением должен был двигаться поезд, чтобы за время г =5 с после начала торможения он прошел путь £=30 м? Найти область значений г и £, при которых задача имеет решение. Построить график пройденного поездом пути от времени.
1.42. Тело, начав двигаться из точки А со скоростью о и постоянным ускорением, модуль которого равен а, через некоторое время попадает в точку Б на расстоянии £ от А. Какой путь прошло тело?
1.43. На рис.1.27 представлена зависимость скорости тела, движущегося вдоль оси ОХ, от его координаты. В какой из точек х, или х2 ускорение тела больше?
1.44. Какова допустимая скорость приземления парашютиста, если человек может безопасно прыгать с высоты Н=2 м?
бросают вертикально вверх с поверхности земли со
скоростью vQ. Определить максимальную высоту подъема, скорость тела в момент падения и полное время его движения.
1.46. Во сколько раз нужно изменить скорость тела при бросании вертикально вверх, чтобы максимальная высота подъема изменилась в к раз? Во сколько раз при этом изменится время полета тела?
1.47. Аэростат поднимается с постоянной скоростью и. К корзине аэростата на веревке привязан груз. Описать движение груза после
О Х1 Х2
Рис. 1.27.
1.45. Тело
31
перерезания веревки в тот момент, когда груз находился на высоте Н. До какой высоты поднимется груз? Сколько времени будет падать и какова будет скорость груза при приземлении?
1.48. Лифт поднимается с ускорением а=2 м/с2 В кабине лифта на высоте /7=2,5 м прикреплен небольшой шарик. Когда скорость лифта стала равной г>=2,4 м/с шарик начал падать. Какое расстояние пролетит шарик и через какое время он коснется пола лифта?
1.49. Тело, брошенное вертикально вверх, проходит в первую секунду половину высоты подъема. Какой путь пройдет тело в последнюю секунду своего движения?
1.50. Тело, брошенное вертикально вверх, повторно проходит через точку А, находящуюся на высоте Н, по прошествии времени т. Определить начальную скорость и полное время движения тела,
1.51. В последнюю секунду (г =1 с) свободного падения тело прошло путь в к раз больший, чем в предыдущую. С какой высоты падало тело, если его начальная скорость была равна нулю?
1.52. Ракета, запущенная вертикально вверх с земли, движется с ускорением a=2g в течение времени т =50 с. Затем двигатели прекращают работу. Определить максимальную высоту подъема ракеты.
1.53. Ракета имеет два двигателя, которые могут сообщать ей не
зависимо постоянные ускорения а} и а2, направленные вертикально вверх. Первый двигатель рассчитан на работу в течение времени второй - t2, причем б?1Г]>а2?2- Двигатели могут включаться одновременно и последовательно через произвольный интервал. Какой порядок включения двигателей следует выбрать, чтобы к моменту окончания их работы ракета поднялась на максимальную высоту?
Рис. 1.28.
1.54. На рис.1.28 приведены графики зависимости от времени t проекции ускорения аК тела на ось ОХ. Построить зависимости проекции координаты и скорости тела от времени вдоль оси ОХ. учитывая начальные условия, приведенные на графиках.
1.55. Машинист поезда.
двигавшегося со скоростью и= 108 км/ч, увидел впереди на расстоянии /,=180 м товарный состав, движущийся в ту же сторону со скоростью р=32,4 км/ч, и начал тормозить. Произойдет ли столкновение, если ускорение поезда равно «=1,2 м/с2?
32
1.56, С вышки одновременно брошены два тела с одинаковыми начальными скоростями vQ, одно вертикально вверх, а другое - вниз. Как со временем изменяется расстояние между этими телами?
1.57. Одно тело свободно падает с высоты Н, а другое бросают вертикально вверх с начальной скоростью v с поверхности земли одновременно с началом падения первого тела. При какой величине скорости v тела встретятся на высоте Л? Найти наибольшую высоту подъема второго тела при этой начальной скорости.
1.58. Два тела начали свободно падать с одной и той же высоты, но с задержкой г секунд. По прошествии какого времени после начала падения первого тела расстояние между телами будет равно L1
1.59. Из одной и той же точки брошены вертикально вверх одно за другим с интервалом т два тела. Через какое время тела встретятся, если они были брошены с одинаковыми начальными скоростями п?
1.60. Шарик брошен вертикально вверх с начальной скоростью v=4 м/с. Когда он достиг максимальной высоты, снизу из той же точки с такой же начальной скоростью был подброшен еще один такой же шарик. На какой высоте встретятся шарики?
Криволинейное движение при свободном падении
1.61. Из окна железнодорожного вагона, находящегося на горизонтальном участке пути, свободно падает тело. Найти отношения времен падения этого тела для случаев: вагон неподвижен, движется с постоянной скоростью, с постоянным ускорением.
1.62. Из орудия произведен выстрел под углом а к горизонту. Начальная скорость снаряда равна и0. Найти зависимость от времени t
1) вертикальной (у) и горизонтальной (х) координат снаряда,
2) вертикальной и горизонтальной проекций скорости снаряда,
3) модуля скорости,
4) угла Р между вектором скорости и горизонтом.
Полагая, что точки выстрела и падения снаряда лежат на одной горизонтали, определить
5) время полета,
6) максимальную высоту, на которую может подняться снаряд,
7) дальность полета. Определить значение угла а, при котором дальность полета будет максимальной.
8) Записать уравнение траектории снаряда в явной форме. Полученные зависимости изобразить графически.
2-203
<3
1.63. С горы в горизонтальном направлении со скорость v=15 м/с бросили камень. Через какое время скорость камня будет направлена под углом о=45° к горизонту?
1.64. На высоком берегу озера находится пулемет, из которого стреляют в горизонтальном направлении. Начальная скорость пуль равна V. Какую максимальную скорость могли иметь пули при падении в воду, если высота берега равна Н1
1.65. Камень брошен под углом а=30° к горизонту. На некоторой высоте Н камень был дважды: спустя время /j=3 с и /2=5 с после броска. Определить начальную скорость камня и высоту Н.
1.66. С башни высотой //=30 м брошен камень под углом «=30° к горизонту. Последние й=30 м по вертикали камень пролетел за время г =0,8 с. Определить начальную скорость камня. На каком расстоянии L от основания башни упал камень?
1.67. Под каким углом к горизонту необходимо бросить камень с башни высотой //=20 м с начальной скоростью и=14 м/с, чтобы он упал возможно дальше?
1.68. Под каким углом к горизонту нужно бросить камень со скоростью п =15 м/с, чтобы он попал в точку, расположенную на высоте Н=7 м и на расстоянии L=10 м по горизонтали от места бросания?
1.69. Футболист на тренировке бьет мячом в стену, находящуюся от него на расстоянии L=5 м. После упругого удара о стену мяч летит обратно, причем наивысшая точка траектории мяча проходит над головой футболиста. Начальная скорость мяча и=20 м/с. Найти угол между начальной скоростью мяча и горизонтом.
1.70. Тело падает с высоты //без начальной скорости. На высоте h оно ударяется о площадку, расположенную под углом а к горизонту. На какую максимальную высоту может после этого подняться тело?
1.71. С какой минимальной скоростью v должен дви-Д»- / гаться шар вдоль горизонтальной доски длиной L=1,5 м,
й—£ &>; ~L чтобы после упругого удара о стенку в конце доски он перелетел обратно через доску, не задев ее (рис.1.29)? Рис. 1.29. Стенка наклонена к горизонту под углом о=60°. При каких значениях угла а задача имеет решение?
1.72. Две стальные плиты высотой /г=40 см и //=60 см помещены рядом и образуют вертикальную щеЛь шириной L=2 см. По первой плите перпендикулярно к щели подкатывается шарик со скоростью п=1 м/с и проваливается в нее. Несколько раз ударившись о стенки, шарик падает на пол. Диаметр шарика «/=0,6 см. Сколько раз шарик
34
ударится о стенки щели перед касанием пола? Удары считать абсолютно упругими. Временем соударения пренебречь.
1.73. С воздушного шара, поднимающегося вверх с ускорением а = 0,5 м/с2, через время г =4 с после старта бросают груз со скоростью и=5,5 м/с (относительно шара) под углом «=30° к горизонту. Как долго будет падать и на каком расстоянии от места старта упадет груз?
1.74. С земли необходимо перебросить мяч через сетку, находящуюся на расстоянии L от места броска. Верхний край сетки находится на высоте Н. При какой наименьшей начальной скорости мяч перелетит через сетку? Под каким углом к горизонту должна быть направлена при этом начальная скорость мяча?
1.75. Миномет установлен на расстоянии L=8,l км от вертикального обрыва высотой Я=210 м. В каких точках траектории мины будут иметь наибольшую скорость и ускорение? Как близко к основанию обрыва могут падать мины, если их начальная скорость и=ЗбО м/с?
1.76. Два тела брошены из одной точки под разными углами к горизонту с разными начальными скоростями. Найти зависимость расстояния L между телами и скорости v второго тела относительно первого от времени t.
1.77. Ядро радиуса г, брошенное вертикально вверх, взрывается в верхней точке траектории на высоте Н. Начальные скорости осколков равны v и направлены перпендикулярно поверхности ядра непосредственно перед взрывом. Найти форму поверхности, на которой будут лежать осколки, пока один из них не коснется земли.
1.78. Утка летит горизонтально с постоянной скоростью v. В нее бросил камень неопытный охотник. В момент броска скорость камня и была направлена на утку и образовывала с горизонтом угол а. На какой высоте Н летела утка, если камень попал в нее?
1.79. С башни высотой Н падает мяч. Одновременно с началом его падения с поверхности земли из точки, находящейся на расстоянии L от основания башни бросают под углом а к горизонту другой мяч так, чтобы оба мяча столкнулись в воздухе. Определить величину угла а, если отношение H/L= V3 .
1.80. С башни высотой /7=10 м бросают в горизонтальном на правлении камень со скоростью и=23 м/с. Одновременно с поверхности земли под углом «=30° к горизонту бросают камень со скорость и= 20 м/с навстречу первому. На каком расстоянии от, основания
2*
35
башни находилась точка бросания второго камня, если камни столкнулись?
1.81. Из миномета ведут обстрел объекта, расположенного выше по склону горы на расстоянии L=8 км. Угол наклона горы а=30°. Мины вылетают из миномета под углом /?=60° к горизонту. Определить начальную скорость мин.
1.82. Шарик свободно падает на плоскость, образующую с горизонтом угол а=30°. Пролетев по вертикали расстояние Н=\ м, шарик упруго отражается и второй раз падает на ту же плоскость. Оценить скорость шарика перед вторым ударом и расстояние между точками первых двух ударов.
1.83. Упругий шарик свободно падает на плоскость, образующую с горизонтом угол а, пролетев до первого удара о плоскость расстояние Н по вертикали. Найти отношение расстояний между точками соударения шарика с плоскостью.
1.84. На верхней ступеньке лестницы лежит маленький упругий шарик. Шарику сообщили такую начальную скорость, что, скатившись с верхней ступеньки, он ударился о край следующей и отскочил. О какие ступеньки в дальнейшем будет ударяться шарик?
1.85. На наклонную плоскость, движущуюся в горизонтальном направлении со скоростью у=9,8 м/с, падает шарик. Пролетев по вертикали расстояние //=4,9 м, шарик упруго ударяется о плоскость, отскакивает и вновь попадает на плоскость. Найти расстояние между точками первых двух ударов о плоскость, если угол ее наклона к горизонту равен /3=45°.
Движение по произвольной траектории
1.86. Город В находится на расстоянии LAE= 100 км за городом А и на расстоянии ГВс=180 км перед городом С. Автомобиль ехал из города А в В со скоростью Pi=100 км/ч, из В в С - v2=60 км/ч, а из С в
В - р3=90 км/ч. Определить среднюю путевую и траекторную скорости автомобиля за время всей поездки, если город В автомобиль проехал без остановки, а в городе С останавливался на время г =2 ч.
Рис.1.30.
1.87. Зависимость траекторной скорости точки от времени дана на рис.1.30. Определить среднюю путевую и траекторные скорости точки за первые пять и десять секунд. Вычислить среднее тангенциальное ускорение точки за указанные промежутки времени.
36
Рис.1.31.
1.88. На рис.1.31 показана зависимость ес тественной координаты s от времени. Построить зависимость пройденного точкой пути и траекторной скорости от времени. Вычислить среднюю траекторную и путевую
скорости за промежуток времени от нуля до момента t3.
Рис.1.32.
1.89. Зная зависимость мгновенной траекторной скорости от. времени (рис.1.32), определить среднюю траекторную и путевую скорости за промежуток времени от 0 до Г3.
1.90. Используя данные задач 1.88 и 1.89, найти зависимость тангенциального ускоре-
Рис.1.33.
ния аг точки от времени.
1.91. На рис.1.33 приведена зависимость от времени траекторной скорости некоторого тела. Построить графики зависимости от времени тангенциального ускорения а„ траекторной координаты 5 и пройденного телом пути L, если в начальный момент времени su=0.
1.92. Тело, двигаясь с постоянным тангенциальным ускорением,
проходит два последовательных отрезка длиной L=10 см каждый за время г,=1,06 с и ?2=2,2 с. Определить траекторную скорость тела в
начале первого отрезка и его тангенциальное ускорение.
дат, м/с2 1-93. Зависимость тангенциального ускорения
2-----к точки от времени показана на рис. 1.34. В какой мо-
\ мент времени точка имела максимальную скорость,
; \t,^c если в начальный момент времени проекция векто-о ё1 fe ра скорости на тангенциальную ось была равна а) 5 Рис.1.34. м/с и б) -5 м/с. Построить графики зависимости
модуля скорости от времени для этих случаев.
1.94. При изучении зависимость скорости тела от его траекторной координаты 5 наблюдатель получил гра-
Рис.1.35.
фики, показанные на рис.1.35, но не указал, что отложено по оси ординат: траекторная скорость v т или модуль скорости v. Можно ли это
однозначно установить, и если да, то для каких случаев?
З'1
1.95. Определить нормальное, тангенциальное и полное ускорение тела, брошенного под углом а к горизонту с начальной скоростью v во время свободного падения.
1.96. Точка движется по окружности радиуса R со скоростью Vf=k Г. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки в произвольный момент времени.
1.97. Точка движется с постоянной по величине скоростью v вдоль линии, радиус кривизны которой изменяется по закону R=kt. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки.
1.98. Закон изменения декартовых координат точки имеет вид: х = 2b cos2(7t/2), y=b sin kt, z =0, где b и к - положительные константы. Начало отсчета траекторной координаты 5 совпадает с положением точки в момент времени г =0 и точка движется в положительном направлении вдоль траектории в указанный момент. Найти вид траектории и зависимости от времени траекторной координаты s, проекции vr скорости на тангенциальное направление, полного Л, нормального А„ и тангенциального А г ускорения.
1.99. Точка движется по винтовой линии так, что ее координаты изменяются во времени по законам: х =b cos cd t, у =b sin cd t, z=kt. Определить зависимость от времени тангенциального, нормального и полного ускорения точки, а также радиус кривизны траектории.
1.100. За лисой, бегущей равномерно и прямолинейно со скоростью v, гонится собака, скорость которой и постоянна по величине и все время направлена на лису. Когда скорости лисы и собаки оказались взаимно перпендикулярными, расстояние между лисой и собакой было равно L. Определить ускорение собаки в этот момент времени.
1.101. Четыре черепахи находятся в углах квадрата со стороной Ь. Черепахи начинают одновременно двигаться со скоростью v, причем первая черепаха все время держит курс'на вторую, вторая - на третью, третья - на четвертую, четвертая на первую. Через какое время встретятся черепахи?
1.102. Определить зависимость от времени ускорения черепах, движение которых задано в условии задачи 1.101.
Движение точки по окружности
1.103. Луна движется вокруг Земли с периодом Т=21,3 сут. Средний радиус орбиты Луны 7?=3,8’105 км. Найти линейную скорость движения Луны вокруг Земли и ее нормальное ускорение.
38
1.104. Спутник движется с периодом Г=120 мин по круговой орбите с ускорением а=0,92м/с2. Определить радиус этой орбиты.
1.105. Считая орбиту Земли окружностью радиуса /?=l,5‘10s км, определить скорость движения Земли.
1.106. Найти линейную скорость точек земной поверхности на широте ^=60°, обусловленную суточным вращением Земли. Радиус Земли принять равным /?=6380 км.
1.107. Угол между скоростью и ускорением тела, движущегося по окружности, равен а=30°. Найти отношение нормального и тангенциального ускорений. _
1.108. Точка начинает двигаться по окружности радиуса 7?=25 см с тангенциальным ускорением аг=5 см/с2. Через какое время нормальное ускорение будет в к=5 раз больше тангенциального?
1.109. Автомобиль въезжает на круговой трек радиуса 7?=ЗОО м со скоростью у=54 км/ч и проходит расстояние L=600 м за время г=ЗО с, двигаясь равнопеременно. Найти скорость и угол между векторами скорости и ускорения автомобиля в конце этого промежутка.
1.110. Поезд движется равнопеременно по дуге окружности радиуса 7?=800 м и проходит путь длиной L=800 м. Начальная скорость поезда равна v=54 км/ч, конечная - и=18 км/ч. Найти время прохождения этого отрезка и зависимость ускорения поезда от времени.
1.111. Машина со скоростью о=3б км/ч въезжает на закругленный участок шоссе радиуса 7?=2ОО м и начинает тормозить с ускорением аг=0,3 м/с2. Найти нормальное и полное ускорение автомобиля и угол между этими векторами через г =30 с после указанного момента.
Кинематика твердого тела
1.112. Две линейки лежат одна на другой так, что угол между ними равен а (рис.1.36). Если линейку В перемещать поступательно со скоростью v под углом /?к линейке А, то точки пересечения линеек бу-Рис. 1.36. дут перемещаться. Найти скорость этих точек. При какой величине угла а эта скорость будет максимальной? Может ли она превышать скорость света в вакууме?
1.113. Колесо, вращающееся со скоростью л=4 об/с, останавливают через г=30 с. Определить угловое ускорение колеса, считая его постоянным, и число оборотов колеса за указанное время.
1.114. Точка А движется со скоростью ь>Л=1 м/с, точка В - со скоростью 1^=2 м/с, причем скорости этих точек все время параллель
39
ны. Может ли оставаться неизменным расстояние между этими точками?
1.115. Колесо радиуса R катится без скольже-v ния по горизонтальной дороге со скоростью V. Найти горизонтальную vx и вертикальную vy проекции вектора скорости произвольной точки А обода колеса и модуль этого вектора как
Рис. 1.37. функции угла <р, образуемого вертикалью и радиусом, проведенным в точку А (рис.1.37). Показать, что vA перпендикулярна прямой АВ и проходит через верхнюю точку С колеса. Точка В - точка касания колесом дороги. Показать, что |ил1-АВ’<о, где (d=v/R. Построить график зависимости скорости точек, лежащих на вертикальном диаметре ВС, от их удаления от точки В. z
1.116. Автомобиль движется со скоростью и=60 км/ч. Сколько оборотов в секунду делают его колеса и каково нормальное ускорение точек внешнего слоя шин, если их диаметр </=60 см.
1.117. Колесо радиуса R катится по дороге со скоростью извращаясь с угловой скоростью а>. Найти мгновенную ось вращения.
1.118. Колесо радиуса R катится по горизонтальному участку дороги без скольжения со скоростью V. Найти зависимость от времени величины ускорения точки А обода колеса, касающейся в начальный момент времени дороги. Найти радиус кривизны траектории точки А в произвольный момент и уравнение траектории этой точки относи-, тельно связанной с дорогой системы координат, начало которой совпадает с начальным положением точки А, ось ОХ направлена горизонтально в сторону движения колеса, а ось ОУ - вертикально вверх.
1.119. Шар радиуса г=2,5 см катится равномерно без скольжения по двум параллельным линейкам, находящимся на расстоянии t/=4 см друг от друга, проходя расстояние £=120 см за время т=2 с. Найти скорости движения верхней и нижней точек шара.
1.120. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью и. На какую высоту над дорогой может подняться комок грязи, оторвавшийся от колеса, если угол между вертикалью и .радиусом колеса-7?, проведенным в точку отрыва, равен а. Проскальзывания колес нет.
1.121. Найти уравнение траектории движения комка грязи, оторвавшегося от колеса автомобиля, рассмотренного в задаче 1.120.
1.122. Легковая автомашина едет по горизонтальному участку дороги за грузовиком. Между двойными шинами заднего колеса грузовика застрял камень. На каком расстоянии от грузовика должна ехать
.40
легковая машина, чтобы вылетевший камень не попал в нее. Маши иы движутся со скоростью п=72 км/ч.
1.123. Человек держит конец доски, лежащей на катке (рис.1.38). Какое расстояние пройдет человек, пока не коснется катка? Каток движется относительно доски и дороги без. скольжения. В на-
Р 138 чальный момент расстояние между человеком и ис’ ' ' катком было равно L.
1.124. Цилиндрический каток радиуса R помещен между двумя параллельными рейками, которые движутся со скоростями и v2 в одну сторону (рис.1.39). Определить угловую скорость и скорость движения катка при отсутствии проскальзывания.
1.125. Между зубчатыми колесами с радиусами R и г находится в зацеплении ролик А (рис.1.40). Колеса вращаются с угловыми скоростями а:1 и аь. Определить угловую скорость вращения ролика. Куда и с какой скоростью движется ось ролика? Решить задачу при условии, что a>i и ah направленны в одну сторону.
1.126. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью й>=2,5 с’’, приводя в движение колесо радиуса г=5 см, катящееся по неподвижному колесу радиуса /?=15 см (рис.1.41). Определить скорость точки В.
1.127. Катушка с намотанной на нее нитью лежит на горизонтальном столе, по которому она может катиться без скольжения. С какой скоро-стью и в каком направлении будет пере-) у мещаться ось катушки, если нить тянуть
> горизонтально со скоростью v (рис.1.42'»?
Радиус средней части катушки равен г
ис'внешней - R.
1.128. Тяжелая катушка с намотанной на нее нитью лежит на горизонтальном столе (рис.1.43). Если нить тянуть горизонтально, ось катушки будет перемещаться туда, куда тянут нить. Если же угол наклона нити к го-Рис. 1,43. ризонту будет больше некоторого критического ак, ось будет двигаться в противоположном направлении. Определить ак.
1.129. Для того, чтобы повернуть трактор, движущийся со скоростью п=18 км/ч, тракторист притормаживает одну из гусениц так, что
и2
Рис. 1.39.
Рис. 1.40.
Рис. 1.41.
4"
ось ее ведущего колеса начинает двигаться вперед со скоростью va= 14 км/ч. Расстояние между гусеницами £=1,5 м. Определить радиус дуги, которую опишет центр трактора.
1.130. Тонкая палочка АВ длиной L движет-в ся в плоскости чертежа (рис.1.44) так, что в ™ \ я данный момент скорость ее конца А равна v и
' направлена под углом а к палочке, а скорость Рис. 1.44. точки В - под углом /?. Найти точку на палочке, скорость которой направлена вдоль палочки и определить величину скорости этой точки.
1.131. Равнобедренный треугольник АВС с углом а при вершинах А и С движется так, что в некоторый момент скорость вершины В равна ув и направлена вдоль стороны АВ, а скорость вершины 7С направлена вдоль стороны СВ. Найти величину скорости вершины А в
этот момент времени.
1.132. Над экватором планеты на высоте //=1000 км со скоростью п=5,4 км/с движется спутник в сторону вращения планеты. Радиус планеты /?=5000 км. Длительность суток на планете равна Г=10 ч. Определить скорость спутника относительно поверхности планеты.
1.133. Горизонтальная платформа радиуса R вращается вокруг своей оси (рис.1.45). На краю платформы стоит мальчик А, а на земле - В. Точка О - центр платформы. В тот момент, когда радиус ОА перпендикулярен прямой АВ, мальчик А движется от мальчика
В со скоростью и. С какой скоростью движется в этот момент мальчик В относительно мальчика А, если ОВ=л/? (л>1)?
1.134. Шар вращается вокруг вертикального диаметра с угловой
Рис. 1.45.
скоростью а>. По горизонтальной прямой, проходящей через центр шара, к нему приближается точка со скоростью v. Найти скорость
этой точки относительно шара, когда расстояние между центром шара и точкой будет равно L.
Рис. 1.46.
1.135. Тонкое кольцо, согнутое из трубки, вращается вокруг точки О с угловой скоростью <ц=6 с'1, оставаясь в одной и той же вертикальной плоскости. Внутри кольца со скоростью п=10 м/с относительно него движется шарик. Найти абсолютную скорость шарика в тот момент, когда он проходит положение М (рис.1.46). Радиус кольца /?=1 м, угол «=60°.
1.136. По краю круглой горизонтальной платформы, вращающей-
ся с угловой скоростью &>, идет человек в сторону, противоположную
42
вращению платформы. Угловая скорость человека относительно платформы так же равна со. Определить относитель-ное, переносное и абсолютное ускорение человека, если радиус платформы равен R.
1.137. По краю горизонтальной платформы, вращающейся равномерно, в направлении вращения идет человек. Поскольку платформа вращается, то человек участвует в двух движениях: собственном и вместе с платформой. В первом из этих движений он имеет ускорение ^=0,5 м/с2, во втором - а2=2 м/с2. Найти абсолютное ускорение человека, абсолютную, переносную и относительную его скорости. Радиус платформы равен 7?=2 м.
Кинематические связи
Рис. 1.47.
Рис. 1.48.
1.138. Клин А движется поступательно вертикально вниз со скоростью v (рис.1.47) и толкает трапецию В, которая лежит на горизонтальном столе. Угол при вершине клина равен а. Найти скорость и трапеции.
1.139. На плоскость клина, образующую с гори
зонтом угол а, положили тело А (рис.1.48). С каким ускорением необходимо двигать клин по горизонтальной плоскости, чтобы тело А свободно падало?
1.140. Найти вертикальную составляющую «у ус
корения тела А, движущегося по поверхности клина, скользящего по
горизонтальной плоскости с ускорением акх, если составляющая ус
корения тела в горизонтальном направлении ах и угол при вершине
Рис.1.49.
Рис.1.50.
клина равен а (рис.1.48). Тело А движется перпендику лярно ребру клина.
1.141. Найти ускорение груза 2 в системе, показанной на рис.1.49, если груз 1 движется вертикально с ускорением Яр
1.142. Ведро опускают в колодец с ускорением я разматывая веревку с вала ворота. Определить угловое ускорение вала и зависимость от времени числа его оборотов. Радиус вала равен R, глубина колодца - И.
1.143. Грузы, показанные на рис.1.50, движутся по вертикали. Найти ускорение груза 4, зная ускорения остальных грузов.
1.144. Определить величину и направление ускорения я груза А в системе, показанной на рис.1.51, зная, что: 1) тележка движется с горизонтальным ускорением ят; 2) нить натянута, а ее отрезки между блоками
43
либо вертикальны, либо горизонтальны; 3) стойка тележки, которой касается груз, вертикальна.
1.145. Вращая ручку дифференциального ворота (рис.1.52) с угловой скоростью со, поднимают груз С. Радиусы валов ворота А и В равны Лиг. Определить скорость подъема груза и угловую скорость вращения блока.
1.146. Стержень длиной L шарнирно соединен в точках А и В с муфтами, перемещающимися по двум взаимно перпендикулярным рейкам (рис.1.53). Точка А движется с постоянной скоростью v вдоль оси ОХ. Приняв за начало отсчета момент, когда точка А совпадала с точкой 0, определить зависимость координаты у и скорости точки В от времени. Определить скорость точки В в тот момент, когда угол ОАВ станет равным а. ,
Рис. 1.51.
Рис. 1.53.
1.147. Определить траекторию точки С, совпадающей с серединой стержня, движение крайних точек которого задано в условии предыдущей задачи. Найти скорость и ускорение указанной точки в тот момент, когда угол ОАВ станет равным а.
1.148. Может ли спортсмен на водных лыжах двигаться быстрее (медленнее) катера, буксирующего спортсмена?
1.149 Движущийся со скоростью п=30 км/ч катер буксирует спортсмена на водных лыжах. Буксировочный трос образует с вектором скорости катера угол «=150°, а с направлением движения лыжника угол /3=60°. С какой скоростью и движется в этот момент лыжник?
1.150. К муфте, которая может перемещаться р" по направляющей штанге (рис.1.54), прикреплен /у* шнур, продетый через кольцо. Шнур тянут со *****1 Г скоростью V. С какой скоростью движется муфта Рис. 1.54. в тот момент, когда шнур образует с направляющей угол а.
44
Рис. 1.55.
Рис. 1.56.
1.151. Лодку подтягивают к пристани высотой Н с помощью веревки, наматываемой на вал лебедки (рис,1.55). Радиус вала равен г. Вал вращают с постоянной угловой скоростью ®. Определить зависимость скорости и ускорения лодки от длины веревки L Считать, что лодка дви-
жется поступательно.
1.152. Груз А подвешен на нитях, перекинутых через блоки В и С малого диаметра так, что АВ=ВС (рис.1.56). Концы нитей тянут с одинаковыми скоростями V. Расстояние между блоками В и С равно 2L. Найти скорость груза А в тот момент, когда он находится на расстоянии Н от
прямой ВС.
1.153. Два трактора, движущиеся со скоростями VI И 1>2 буксируют с помощью тросов автомобиль (рис.1.57). Определить величину и направление скорости v автомобиля в тот момент, когда тросы параллельны векторам и а угол между ними равен а.
1.154. На тяжелый диск радиуса R намотаны две нити, свободные концы которых закреплены так, что нити лежат в одной вертикальной плоскости с диском (рис.1.58). Определить скорость и центра диска в тот момент, когда он будет враща
ется с угловой скоростью а угол между нитями
станет равным а. Считать, что обе нити все время натянуты и не
скользят по диску.
1.155. На проволочное кольцо радиуса R надето колечко М, сквозь которое продет стержень ОА (рис.1.591 Стержень вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью со. Найти скорость колечка М в про-
Рис. 1.59. извольный момент времени.
II. ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
Основные законы и соотношения
п.1. Первый закон Ньютона: существуют системы отсчета, относительно которых свободное точечное тело, т.е. тело, на которое не действуют другие тела, движется равномерно и прямолинейно или покоится.
Такие системы отсчета называют инерг!иальными (ИСО). Если поведение тел рассматривается в течение менее 5-10 минут, то лабораторную систему отсчета - ЛСО - (систему отсчета, неподвижную относительно поверхности Земли) обычно можно считать инерциальной.
п.2. Второй закон Ньютона: ускорение а точечного тела относительно ИСО пропорционально действующей на него силе F, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела т:
a = F/m. (П.1)
Если на точечное тело (или твердое тело, движущееся поступательно) действует N сил F„ то ускорение тела относительно ИСО
N N
а= J^Fj/tn илнта= . (П.2)
(=1 1=1
Записанное в такой форме следствие законов Ньютона называют уравнением движения тела.
п.З. Третий закон Ньютона: Сила F12, действующая на первое тело со стороны второго, равна по величине силе F2i> действующей на второе тело со стороны первого. Эти силы направлены вдоль одной прямой и противоположны по направлению, т.е.
Fl2 = -F2l. (П.3/
п.4. Закон всемирного тяготения: две материальные точки, находящиеся в вакууме, притягиваются друг к другу с силой, величина которой пропорциональна произведению их масс и т2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния г между ними:
F - Gm (mJ г1. (П.4>
46
где G - гравитационная постоянная. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей эти точки.
В векторной форме закон может быть записан в виде:
F]2= Gm^m-tf^y! ^21 = — F 2\’ (П.5
Здесь r2i - вектор, определяющий положение второй точки относительно первой.
Если одно из тел является сферически симметричным, то распределению масс шаром массы т\, а другое материальной точкой (или сферически симметричным шаром) массы т2, находящейся вне первого шара в вакууме, то сила гравитационного взаимодействия определяется формулой (II.4), но под г следует понимать расстояние между центром шара и точкой (или центром второго шара).
Если же одно из тел представляет собой сферически симметричную по распределению масс оболочку, а другое тело произвольной формы находится внутри этой оболочки, то сила гравитационного взаимодействия таких тел равна нулю.
п.5. Закон Гука: существует область деформаций, в пределах которой величина деформации пропорциональна вызывающему ее силовому воздействию.
Удовлетворяющие этому условию деформации и силовые воздействия называют малыми.
При растяжении (сжатии) однородного стержня с поперечным сечением S под действием силы F, направленной вдоль оси стержня, в области малых деформаций
<т= Ее или F/S = ЕI L - Z.J /Д,. 'П.6
Здесь ст = F/S - напряжение, Е - модуль Юнга (модуль продольной упругости) материала, е= \L~Li\lL,-, - относительное удлинение (сжатие} стержня от его первоначальной - Гц до конечной - L длины.
Изменение длины пружины на величину Ех под действием силы F при выполнении закона Гука подчиняется соотношению'
F = к Дг. :П *
Коэффициент к называют жесткостью пружины.
п.6. Составляющую силы реакции, возникающей при соприкосновении твердых тел, параллельную границе соприкосновения (иначе, тангенциальную составляюшую силы реакции), называют силой сухого трения. Если тела неподвижны друг относительно друга, то
силу трения называют силой сухого трения покоя. Кулоном было установлено, что модуль Fcm силы сухого трения покоя может изменяться от нуля до величины, пропорциональной нормальной составляющей N силы реакции (силы нормального давления), т.е.
0<FCTn</W, (П.8,
причем коэффициент трения р зависит от вещества тел, обработки их поверхностей, но не зависит от площади соприкосновения тел. При возникновении скольжения силу сухого трения скольжения Fm обычно полагают равной максимальному значению силы сухого трения покоя (вне зависимости от скорости относительного движения тел):
Fm = pN. ' (П.9)
Силы сухого трения направлены против имеющего место или возможного (т.е. возникшего при их отсутствии) движения данного тела.
п.7. При движении тела в жидкости или газе на него действует сила сопротивления, обусловленная силой FaT вязкого трения и разностью давлений перед и за движущимся телом. При малых скоростях v движения тела (относительно среды)
FBT = -kv, (П.10)
где коэффициент вязкого трения к зависит от вещества среды, ее температуры, давления, формы и размеров тела. При прочих равных условиях, если обтекание тела не является ламинарным (т.е. скорость v не очень мала), к пропорционально площади поперечного сечения тела или площади соприкосновения тела со средой (правило Ньютона). Знак минус в (II. 10) показывает, что сила вязкого трения направлена противоположно вектору скорости V. Если v начинает превышать характерные для данных условий значения, сила вязкого трения начинает возрастать пропорционально квадрату, а затем и более высоким степеням скорости. При этом скачком изменяются и значения коэффициента трения. Поскольку сила лобового сопротивления в первом приближении изменяется подобным же образом, часто силу сопротивления отождествляют с силой вязкого трения.
п.8. Центром масс совокупности материальных точек - механической системы - называют точку, положение которой определяется радиус-вектором
48
Aim = miri’ <n-11)
где r, - радиус-вектор 1-й точки с массой m„ a - масса системы. Если совокупность точек является твердым телом, то положение центра масс в системе отсчета, связанной с этим телом, неизменно.
п.9. Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме внешних сил, действующих на точки системы:
«цм = Z F /внеш/ S mi ’ (П-1 2)
I i
где Fnmai ~ внешняя сила, действующая на z-ю точку с массой т,.
п.10. Сила тяжести - сила, которую нужно было бы приложить к телу, чтобы оно двигалось с ускорением свободного падения относительно наблюдателя, стоящего на Земле, если связанную с ним систему отсчета (ИСО) можно было бы считать инерциальной. На полосах Земли сила тяжести с достаточно большой точностью совпадает с силой гравитационного притяжения к Земле, а в других точках -заметно отличается от нее (см. Задачу IV.4).
п.11. Вес тела - сила, действующая со стороны тела на подвес (или гладкую горизонтальную плоскость), удерживающий это тело неподвижным в выбранной системе отсчета. Вес тела зависит от характера движения системы отсчета относительно ИСО и всех действующих на тело сил, за исключением силы со стороны подвеса (или плоскости), удерживающего тело неподвижным. Вес тела приложен к отвесу (или указанной плоскости), а не к телу!
Ось отвеса называется вертикалью.
Плоскость, перпендикулярная вертикали, называется горизонтальной. Любая прямая, лежащая в этой плоскости, называется горизонтальной (или горизонталью).
п. 12. При решении последующих задач, если нет специальных оговорок, считать выполнеными следующие стандартные допущения.
1) Лаболоторная система отсчета является инерциальной.
2) Все нити, связывающие тела, нерастяжимы и в процессе движения остаются натянутыми. Если тела соединены пружинами, то при установившемся движении натяжение пружин не изменяется и их длина остается постоянной.
49
3) Точки нитей, связывающих тела, движутся по конгруэнтным траекториям, иначе, отрезки нитей, не лежащие на блоках, при движении тел не изменяют своей ориентации, т.е. остаются параллельными одним и тем же неподвижным в выбранной системе отсчета прямым.
4) Блоки недеформируемы, представляют из себя цилиндры, вращающиеся вокруг оси, совпадающей с их геометрической осью.
5) Все тела (за исключением блоков) движутся поступательно.
6) Все нити невесомы.
7) Блоки невесомы. На блоки и нити не действуют силы трения.
п. 13. При решении задач динамики желательно придерживаться следующего стандартного порядка:
1) нарисовать объекты, взаимодействие которых существенно;
2) изобразить силы, действующие на каждое из интересующих тел, помня о третьем законе Ньютона;
3) записать уравнения движения каждого из тел в виде
J
где а, - ускорение, a - векторная сумма сил, действующих на J
тело массы ть
4) выбрать подходящую ИСО и переписать уравнения движения тел в проекциях на оси этой системы;
5) если получившаяся система уравнений не является полной, составить недостающие уравнения, учитывая кинематические связи, особенности сил, стандартные допущения и т.д.;
6) решить полную систему уравнений, выделяя особые случаи;
7) проанализировать полученный ответ с точки зрения размерности и так называемых предельных случаев;
8) подставить в полученное выражение цифровые значения, помня о существовании разных систем единиц измерения. Если цифровые данные в условии задачи не приведены, следует найти соотношения между входящими в ответ величинами, при которых справедливо полученное решение.
Примеры решения задач
Задача ПЛ. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два тела массы mt и т2, скрепленные нитью, параллельной плоскости. На первое тело действуют силой F, направленной горизонтально так, что ее линия действия совпадает с осью нити, проходит через центры масс тел и вызывает натяжение нити. Определить силу натяжения нити, ускорения тел и силу реакции плоскости на второе тело.
Решение. На рис.II. 1 показаны действующие на тела силы: силы тяжести (mjg, m^g), силы реакции плоскости (N\, N2), силы, действующие на тела со
Т4 Т3 Т2 Tj
m2g
mlg
Рис. II. 1.
стороны нити (Гь Г4), силы, действующие на нить со стороны тел (Т2, Т3), и внешняя сила F. Силы реакции плоскости направлены перпендикулярно ей, т.к. плоскость гладкая. Поскольку нить невесома (?лн=0), то на нее не действуют силы тяжести и уравнение движения нити имеет вад:
Шнйн - 0 - Т2 + Т3,
(1)
где а„ - ускорение нити.
Обозначив ускорения первого и второго тел я1 и а2, запишем уравнения движения этих тел:
= F + ДГ| + Ti + m,g. /77^2 = ^4 + Х2 + IH'g,
(2)
(3)
Поскольку тела движутся по горизонтальной плоскости, в качестве ИСО целесообразно выбрать неподвижную относительно этой плоскости декартовую систему, ось ОХ которой направлена параллельно силе F, а ось ОУ - вертикальна (рис.II. 1). В силу нерастяжи-мости нити (п.11.1) и неизменности ориентации ее оси
— #2 — — Ut
причем проекция ускорения а на ось ОУ равна нулю. С учетом этого из уравнений (2) и (3), обозначив ях проекцию а на ось ОХ, получим
/щя, = F - Tit m2aK = Т4, О = Ni - mtg, G = N2-
(4)
(5)
где F=IFI, 7ЖГ.1, g=|gl, Г4=|Г41, N2=W2I.
51
На основании третьего закона Ньютона
Г) = -Г2,Г3 = -Г4. (6)
Отсюда и из (1) следует, что величины сил, действующих со стороны нити на тела и на нить со стороны тел, равны. Решая уравнения (4), получим, что сила натяжения нити Т и ускорения тел ах равны
Т = + m2), ах = F!(mi + m2).
Силу реакции плоскости на второе тело определим из уравнений (5)
N2 = m2g.
Задача II.2. Через блок, ось которого неподвижна относительно Земли и расположена горизонтально, перекинута нить, к концам которой прикреплены одинаковые грузы массы М. На второй груз кладут шайбу массы ш и отпускают грузы. Определить силы давления шайбы иа груз 2 и блока на ось. Найти ускорения грузов и центра масс рассматриваемой системы.
Решение. На рис.П.2 показаны силы, действующие на груз 1 (сила тяжести Mg, сила натяжения нити Т$, груз 2 (сила тяжести Mg, сила натяжения нити Т2 и сила давления шайбы Nm) и блок (силы натяжения нити Т}, Т4 и сила реакции оси блока Г5). Для упрощения рисунка силы, действующие на шайбу (ш): сила тяжести mg и сила реакции второго груза N2, показаны отдельно, а силы, действующие на нить, - вообще не показаны.
Принимая лабораторную систему за ИСО и обозначая at, а2 и аш - ускорения первого, второго груза и шайбы, уравнения движения тел можно записать
так:
1 ]
Рис. II.2.
Ma{-Mg + 1\,Ma2 = Mg + T2 + Nm,mam = mg + N2. (1)
Из предположений о невесомости нити и блока и отсутствии действия на них сил трения (см. п.11), следует, что
7'1 = -7'3=-7'4=Т2, (2)
т.е. сила натяжения нити в любом ее сечении остается неизменной По величине. На основании третьего закона Ньютона
52
Na^-N2.
(3)
Поскольку шайба неподвижна Относительно груза 2,
«ш = а2, (4)
а в силу нерастяжимости нити и предположений о геометрии блока
Я1=~«2- (5)
Подставляя в уравнения (1) соотношения (2)-(5) и вычитая затем из первого уравнения (1) два остальных, определим ускорения грузов
«1 = - д2 = _ mg/(2M + т). (6)
Из третьего соотношения системы уравнений (1) с учетом (4) и (6) определим силу давления шайбы на второй груз
= m(g -а2) = 2Mmg/(2M + т). (7)
Для нахождения силы давления F блока на ось подставим соотношение (6) в первое уравнение системы уравнений (1) и учтем, что сила F и сила Т5 реакции оси блока связаны друг с другом по третьему закону Ньютона, а сила Т5, в свою очередь, удовлетворяет уравнению
Т5+ Т2 + Т4 = О,
поскольку ось блока неподвижна. Из сказанного следует, что
F = - Г5 = 4М(Л/ + m)g/(2M + m).
Ускорение центра масс ацм можно определить из соотношения
Яцм = ’LtpflfLnti,
где пг, _ масса /-го тела, движущегося с ускорением а„ непосредственно вытекающим из определения центра масс (п.9). Можно определить вцм и на основании теоремы о движении центра масс (п.10). Пользуясь любым из указанных способов после элементарных преобразований получим:
«цм = [ml(2M + m)]2g.
Следует отметить, что согласно (7) давление шайбы на груз 2 (вес шайбы в системе отсчета, связанной с грузом 2) зависит от ускорения груза 2. Если масса шайбы много меньше масс грузов, то ускорения грузов близки к нулю и вес шайбы практически совпадает с силой
53
тяжести, действующей на шайбу. В другом предельном случае (т»М) второй груз будет падать с ускорением, близким к ускорению свободного падения, и сила давления шайбы на груз 2 будет близка к нулю. В пределе (при a2=g) сила давления шайбы обращается в нуль, т.е. в системе, совершающей свободное падение, наблюдается полная “потеря веса” или, другими словами, имеет место состояние невесомости.
Задача 11,3. На горизонтальном столе лежат угольник и брусок. Угольник своей гипотенузой касается одной из граней бруска. Угольник двигают поступательно по столу со скоростью V, направ-леннойперпендикулярно катету, образующему с гипотенузой угол а, так, что он толкает кубик. Коэффициент трения бруска об угольник равен //, причем ц < tga. Определить скорость движения бруска.
Решение. На брусок действуют три силы: сила тяжести, сила реакции угольника и сила реакции стола. Поскольку угольник двигают поступательно со скоростью v, то и брусок должен двигаться равномерно. Поэтому сумма всех действующих на брусок сил должна быть равна нулю. Следовательно, равна нулю и сумма нормальной составляющей силы реакции угольника N и тангенциальных составляющих сил реакции угольника (сила трения бруска об угольник F6y) и стола (сила трения бруска о стол F&). Учитывая, что F6y =//У, получим
tgJ3=N/juN= \lju,
N траектория где Р~ Угол М6ЖДУ гипотенузой И f~'-/ траекторией перемещения верши-
/ Л ны бруска. Если скорость движе-
I/' ния бруска обозначать и, то, как
следует из рис.П.З, за время г пе------ ремещение вершины бруска будет равно
Рис. II.3.
5 = АС - иг,
а перемещение точки угольника, которой касалась эта вершина в начале интервала времени г, равно:
х-АВ = vt.
Рассмотрим треугольник АВС. Согласно теореме синусов
S/sin /=x/sin 6.
Поскольку 3 = п- я/2 - а. то
54
равен /7=0,4.
’'mg
Рис.П.4.
sin£ = sin/?=tg/?^l + tg2/?, a sin/ = cosa = (l + tg2a) 1/2.
Отсюда искомая скорость равна:
u = v-^l + ju2 cos a.
Задача II.4. Какую минимальную силу нужно приложить к ящику массы Л/=4 кг, стоящему на горизонтальном полу, чтобы он двигался по полу с ускорением а=0,2 м/с2? Коэффициент трения ящика о пол
Решение. На ящик кроме искомой силы F, действуют сила тяжести Mg и сила реакции опоры R. Как обычно силу реакции опоры R представим в виде двух составляющих: нормальной N, направленной вертикально и тангенциальной ^тр, направленной горизонтально.
Поскольку первоначально ящик покоился, то сила трения должна быть направленна в сторону, противоположную ускорению ящика и равна F^ = fjN (см. п. 6).
Величина силы N может быть определена только из уравнения движения ящика, которое в векторном виде можно записать:
Ma = F + N + FTp + Mg. (1)
Из этого уравнения следует, что величина силы N, а значит и силы трения, зависит от направления силы F.
Будем считать, что сила F направлена под углом а к горизонту, как показано на рис.П.4.
Выберем систему координат так, чтобы ось ОХ совпала с направлением движения ящика, а ось ОУ была вертикальна. Уравнение движения ящика в проекциях на оси выбранной системы координат имеет вид:
Мак = Ma = Feos а - FTp, Мау = 0 = Fsin a + N- Mg, (2) (3)
Отсюда: FTp = fj(Mg - Fsin a), (4)
Искомая сила: F-M — (5)
cosa+ /zsina
55
Из последней формулы видно, что минимальное, значение силы F будет при максимальном значении знаменателя в формуле (5). Найти это значение можно с помощью следующего приема. Введем такой вспомагательный угол Д чтобы ctg Р = ft Поскольку
- ... = sin Р, а - . - = cos fl. то знаменатель .формулы (5»
71 + А2 + ^2
преобразуется к виду.
cos а и sin а Г Г
cosa+usina = — —+ , - - у! + и =
[777 777]
= 71 +A2(s'*i Р cos а + cos ft sin a) = + fi2 sin (a +
Максимальное значение синуса равно 1, следовательно,, искомое значение силы F равно:
^61
77
и будет достигаться при а = —-Д = —-arcctg//. Подставляя числовые данные в (7) и (8), получим
F™, = 15,3 Н, а = 0,38 рад.» 21,8°
Отметим, что если бы сила F была направленна горизонтально и ее величина была равна Fmin = 15,3 Н, ящик не только не двигался бы с ускорением, а вообще оставался неподвижным, поскольку в этом
случае сила сухого трения скольжения была бы равна fiMg ® 15,7 Н.
Рис.П.5.
Задача II.5. Через блок, закрепленный на вершине неподвижного клина, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массы т=1 кг и Л/=2.5 кг. Груз т висит на нити и не касается клина, а груз М
лежит на клине. Коэффициент трения груза М о плоскость клина, об-
разующую с горизонтом угол а - 30°, равен ц. Определить ускорения грузов и силу трения, действующую на груз М при //==0,1 и /₽0,15. Первоначально грузы были неподвижны относительно клина.
Решение. На рйс.П.5 показаны силы, действующие на грузы массы т и М (силы тяжести mg и Mg, силы натяжения нити Т\ и Тг, и
56
нормальная составляющая N силы реакции клина на груз Л/. Сила трения Г-,,, (тангенциальная составляющая силы реакции клина), действующая на груз М, на рисунке не показана, т.к. ее направление зависит (см. п.6) от возможного или осуществляющегося перемещения груза (вверх или вниз по клину), определяемого соотношением масс грузов, коэффициента трения ц и угла наклона а.
Если ускорение груза т относительно лабораторной системы отсчета обозначить а, а груза М - А, то уравнения движения этих грузов можно записать в виде:
ma = Tt + mg, (1)
MA = T2 + Mg + N + Frp. (2)
Поскольку груз т может двигаться только по вертикали, а груз М по наклонной поверхности клина, для решения задачи будем использовать две ИСО, показанные на рис.П.5. Тогда с учетом стандартных допущений [см. п. 11:11-4)]
ах = А„ А, = 0, (3)
где ах- проекция вектора а на ось ОХ, и А, - вектора А на оси O'Y и 0Z. В силу невесомости нити и блока и отсутствия действия на них сил трения [см. п.12: 5), 6)]
|Т11 = 1Т21=Т'. 14)
Определим теперь силу трения FTp, действующую на груз М со стороны клина. Поскольку грузы первоначально покоились, направление возможного перемещения груза М должно совпадать с ускорением А, которое получил бы этот груз в отсутствии силы трения. Перепишем уравнения (1), (2) с учетом соотношений (3), (4) в проекциях на оси выбранной системы координат без учета силы трения
Т - mg = та* = тА„ (5 >
N- Mg cos а = МА, = 0, - <6>
Mg sin а - Т - МА,, (7 •
Из уравнений (5) и (7) следует, что
А у = g(M sin а - т)/(М + т). С81
Подставив сюда числовые данные, получим ^=0,7 м/с2, т.е. груз М может двигаться только вниз по наклонной плоскости, и следова
57
тельно, сила трения FT? совпадает по направлению с силой натяжения Т2. Поэтому из уравнений (1)-(2) с учетом силы трения получим:
Т - mg = mAy - max, (9)
N-Mg cos а=0, (10)
Mg sin a-T-FTV = MAy. (11)
Если коэффициент трения достаточно мал, т.е. грузы движутся (Лу>0), то F^pN (см. п.6) и из системы уравнений (9)-(11) получим
ах - Ау = g[A/(sin а- дсоз а) - иг]/(М+ иг), Fxv = pMgcos а. (12)
Отсюда при /г=0,1
ах = Ау 9,4 м/с2, Fjp ® 2,1 Н, априр=0,15
ах = Ау » - 0,2 м/с2 < 0.
Это означает, что при р=0,15 грузы остаются неподвижными, т.е. ау=Ау=0, а сила трения является силой трения покоя. При этом уравнения (9)-(11) принимают вид
Т-mg = 0, Mg sin а- Т- FTp = 0.
Решая эти уравнения, получим
FTp = &{М sin а - иг) « 2,5 Н.
Задача П.6, В однородном шаре из вещества с плотностью р сделана сферическая полость. Центр полости находится на расстоянии b от центра шара. Определить ускорение, с которым будет двигаться тело, помещенное в эту полость, под действием гравитационных сил оставшейся части шара.
Решение. Сила, действующая на материальную точку массы иг, находящуюся вне однородного шара массы М, равна
F = - G mMrlr\ (1)
где G - гравитационная постоянная, г - вектор, проведенный из центра шара в точку т. Если же материальная точка находится внутри однородной сферической оболочки, то гравитационные силы взаимодействия оболочки и точки равны нулю (см. п.4). Поэтому, если точка массы т находится внутри однородного шара из вещества с плотностью рв положении, определяемом вектором г относительно центра этого шара, на нее будет действовать гравитационная сила
58
F = ~Gm4xrрг!Ъ1? = -4nGpmrl3. (2)
Рис.П.6.
Рис. П.7.
На рис.П.6 показан график зависимости величины силы F, действующей на точку массы т, находящуюся на расстоянии г от центра однородного шара массы А/радиуса R.
Рассмотрим теперь шар со сферической полостью, внутри которой находится материальная точка массы т. Положение этой точки относительно центра шара определяется вектором гь а относительно центра полости — вектором г2> как показано на рис.П.7. Если бы шар не имел полости, т.е. был бы однородным, то согласно (2) на точку должна была бы действовать сила
Fi = - 4л6!/»иг1/3. (3)
Разделим однородный шар на две части А и В. Часть А пусть соответствует полости, а часть В - оставшейся части шара. Тогда силу Fi можно представить в виде суммы сил FA и FB, действующих со стороны частей А и В на интересующую точку, т.е.
Ft=FA + FB, (4)
причем в соответствии с (2)
Fa = - ^nGpmr2/3. (5^
Из соотношений (3)-(5"1 следует, что
FB = Fi -Fa = - ^лСрт(г\ -r2)/3. (6)
Очевидно, что найденная сила FB и является искомой силой F„„ причем согласно рис.П.7
г, = b + г2,
где b - вектор, проведенный из центра шара в центр полости. Поэтому
F„ = Рв - ~ 4nGpmb/3, 17)
а ускорение материальной точки, находящейся внутри сферической полости в шаре, обусловленное действием гравитационных сил, равно
a-F^m-~ 4nGpb/3. f8)
59
Из (7) видно, что ни величина, ни направление силы Fm не зависят от того, где именно внутри полости находится материальная точка, т.е. гравитационное поле внутри полости является однородным. Поэтому тело произвольной формы, помещенное внутрь полости, будет двигаться под действием гравитационных сил шара со сферической полостью с таким же ускорением, как и материальная точка. Другими словами, искомое ускорение определяется соотношением (8).
Задачи для самостоятельного решения
II.I. Автомобиль, стоящий на горизонтальном участке дороги, трогается с места. Найти максимальное ускорение автомобиля, если коэффициент трения покрышек о дорогу равен //=0,5.
II.2. Какое минимальное расстояние пройдет автомобиль, движущийся по горизонтальной дороге со скоростью v=72 км/ч, после начала резкого торможения, если коэффициент трения шин равен ц=0,6?
II.3. Камень, скользящий по горизонтальной поверхности льда, останавливается, пройдя путь L=42 м. Определить скорость камня вначале этого пути, если коэффициент трения камня о лед //=0.06
II.4. Частица массы ш=10 г, движущаяся со скоростью о=50 м/с, попадает в область пространства, где на нее действует постоянная сила, и через время г=10 с останавливается. Определить минимальную величину действовавшей на частицу силы.
П.5. Тело массы т=40 г, брошенное вертикально вверх со скоростью о=30 м/с, достигло наивысшей точки через время г =2,5 с. Найти среднее значение силы сопротивления воздуха, действовавшей на тело во время подъема.
II.6. Воздушный шар массы М опускается с постоянной скоростью. Сколько балласта нужно выбросить, чтобы шар поднимался с той же скоростью? Подъемную силу F шара считать постоянной
П.7. Два свинцовых шара разных диаметров брошены в вязкую жидкость. Найти отношение установившихся скоростей падения шаров, если радиус первого шара в п раз больше второго, а обтекание шаров жидкостью не является ламинарным. Силу вязкого трения считать пропорциональной скорости.
П.8 Скорость капли дождя достигла величины и=15 м/с, когда ее ускорение уменьшилось до значения а=7,5 м/с2. Оценить скорость
60
падения капли на землю, считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости капли.
II.9. Два тела массы mt=50 г и т2=Ю0 г, связанные нитью, лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Найти величину силы F, направленной горизонтально, которую можно приложить к первому телу, чтобы нить, способная выдержать нагрузку Т=5 Н, не оборвалась. Изменится ли результат, если эту силу приложить ко второму телу?
11.10. Четыре одинаковые бруска (массы m каждый) связаны последовательно и положены на горизонтальный стол. К первому бруску приложена направленная горизонтально сила F. Коэффициент трения брусков о стол равен /г. Определить силы натяжения нитей, считая, что они горизонтальны и параллельны одной и той же прямой.
Чпа-в-Е!
Рис.П.8.
11.11. На гладком горизонтальном столе лежат N одинаковых кубиков. На первый кубик (рис.П.8) действует направленная горизонтально сила F. Найти результирую-
щую силу F„, действующую на n-ый кубик (n<N). С какой силой F„ действует n-ый кубик на (н+1)-ый? Сделать расчет для случая N=8 F=10H, п=5.
11.12. Решить задачу 11.11, считая, что коэффициент трения кубиков о стол равен /г=0,3, а все кубики движутся в сторону 1) противоположную силе F, 2) совпадающую с направлением силы F. Масса кубика т=1 кг.
11.13. На гладкий горизонтальный стол положена тонкая однородная палочка АС массой т и длинной L. На торец А этой палочки действует сила F (рис.П.9), направленная горизонтально. С какой силой сжата палочка в сечении В, находящемся на расстоянии b от торца С?
II. 14. На торцы однородного стержня АВ длиной L действуют силы Fa и Fb, линии действия которых совпадают с осью стержня. Оп
F
Рис.П.9.
ределить величину натяжения стержня в сечении, находящемся на расстоянии b от его торца А.
11.15. Найти силу давления груза массы т на подставку, движу
щуюся вместе с ним вниз с ускорением а, направленным вверх.
11.16. С каким ускорением по вертикали нужно двигать конец нити, на другом конце которой висит груз, чтобы натяжение нити уменьшилось в п раз по сравнению со случаем, когда нить неподвижна?
61
11.17. Тело массы т взвешивают на пружинных весах, установленных в лифте. Определить показания весов, если лифт движется: 1) вверх с ускорением а, направленным вниз; 2) вниз с ускорением а, направленным вниз; 3) вниз с ускорением а, направленным вверх; 4) вверх с ускорением а, направленным вверх.
11.18. Двигавшийся равномерно лифт начинает останавливаться. Куда двигался лифт, если стоявший на полу чемодан во время торможения подпрыгнул? При какой минимальной величине ускорения лифта возможно такое явление?
11.19. К потолку лифта, движущегося с ускорением а, направленным вверх, подвешен груз массы т на двух нитях, образующих углы а и Дс вертикалью. Определить натяжение нитей.
11.20. На доске, опирающейся своими концами на опоры, стоит человек. Он резко приседает. Изменится ли прогиб доски в первый момент?
11.21. К грузу массы лг,=9 кг подвешен на веревке массой т=4 кг груз массы «2=5 кг. На первый груз действуют силой F=180 Н, направленной вертикально вверх. Найти натяжение веревки Та в ее середине и натяжение Т вблизи точки ее крепления к первому грузу.
11.22. На гладкий горизонтальный стол положены три груза с массами Л7Ь тг и т3, связанные между собой и с грузом массы т нитями (рис.11.10). Найти ускорение груза т и силы натяжения нитей.
11.23. На горизонтальный стол положили груз массы т, связанныйнитью, перекинутой через блок, с грузом М (рис.II. 11). Коэффициент трения груза т о стол ц. Найти ускорение груза т и натяжение нити.
11.24. Рассмотренный в предыдущей задаче
стол с грузами движется с ускорением а, направленным вверх. Определить величины ускорений грузов, считая стол гладким.
.11.25. На горизонтальном столе лежат два бруска, связанные слегка натянутой нитью (рис.П.12). Нить расположена в вертикальной --------------.р плоскости, проходящей через центры брусков, и образует с горизонтом угол а. К первому бруску массы гщ приложена сила F, линия действия которой горизонтальна и проходит
га2
а
Рис. 11.12.
62
через его центр. Определить зависимость силы натяжения Т нити от величины силы F, если коэффициент трения брусков о стол равен /д масса второго бруска равна т2 и угол а не изменяется.
11.26. На тележке массы М, движущейся по горизонтальной плоскости, находятся две тележки (рис.11.13) с массами т\ и /п2> связанные нитью. При какой величине горизонтальной силы F тележки неподвижны друг относительно друга? Силами трения пренебречь.
11.27. К потолку вагона, движущегося по гори-
Рис.П.14.
Рис.П.15.
Рис. 11.13.
зонтальному пути с ускорением а, на нити подвешен грузик. Относительно вагона грузик покоится. Найти угол а между нитью и вектором ускорения свободного падения g.
П.28. На горизонтальной доске со ступенькой высотой Н (рис.И.14) свободно лежит упирающийся в ступеньку цилиндр радиуса R (R>H). Доску начинают двигать горизонтально с ускорением а, перпендикулярном оси цилиндра. При какой минимальной величине уско-
рения цилиндр не будет давить на доску?
П.29. Однородный цилиндр массы т лежит в гладком П-образном желобе так, что радиусы, проведенные в точки касания, образуют с горизонтом угол а (рис.П.15). Желоб двигают с ускоре-нием а, направленным горизонтально перпендикулярно J*" оси цилиндра. При какой величине ускорения цилиндр не будет давить на переднюю стенку желоба? Найти модули сил, с которыми действует цилиндр на переднюю
(F„) и заднюю (F3) стенки желоба при меньших ускорениях.
П.30. На горизонтальной доске лежит груз, коэффициент трения которого о доску равен //=0,2. Какое ускорение в горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз соскользнул с нее?
П.31. Брусок массы Л/ лежит на гладкой горизонтальной плоскости. На брусок кладут тело массы т, коэффициент трения которого о брусок равен //. При какой величине силы F, приложенной к бруску в горизонтальном направлении, тело будет скользить по бруску?
П.32. Брусок массы М длиной L лежит на горизонтальной плоскости, а на нем - тело массы т малых размеров. Коэффициенты трения тела о брусок и бруска о плоскость равны ju. К бруску приложена горизонтальная сила F, как по
казано на рис.П.16. Найти величину этой силы, если тело соскальзывает с бруска за время г.
_____mg
М_т '
L *
F,
Рис.П.16.
63
11.33. На горизонтальную ленту транспортера, движущуюся сб скоростью v=3,6 км/ч, опускают без начальной скорости кирпич. Коэффициент трения кирпича о ленту равен д=1. Найти перемещение кирпича относительно ленты.
11.34. Тележка массы М движется прямолинейно со скоростью и по горизонтальным рельсам без трения. На передний край тележки кладут небольшое тело массы т. Найти минимальную длину тележки, при которой тело еще не соскользнет с нее, если коэффициент
трения тела о тележку равен д.
..ip 11.35. На тележке массы Л/=20 кг, стоящей на .। горизонтальной дороге, лежит доска массы ш=5
М I кг. Коэффициент трения доски о тележку равен w W д=0,2. На доску действуют силой F, направлен-Рис. П.17. ной горизонтально вдоль оси тележки (рис.II.17). Пренебрегая трением тележки о дорогу, определить ее ускорение, если: 1) F=5 Н, 2) F=120 Н.
11.36. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массы М, на котором стоит кубик массы т. Брусок и кубик связаны нитью, перекинутой через блок (рис.П.18). Коэффициент трения между бруском и кубиком равен д. Какую горизонтальную силу нужно приложить к бруску, чтобы он двигался от блока с постоянным ускорением а?
11.37. На платформе, стоящей на горизонтальных рельсах, лежит ящик массы т, привязанный к передней стенке платформы канатом жесткости к. Коэффициент трения ящика о платформу равен д. Платформа начинает двигаться с медленно возрастающим ускорение ем. Найти удлинение каната в тот момент, когда ускорение платформы стало равно а.
11.38. На горизонтальной плоскости лежат два кубика одинаковых размеров с массами т\ и т2, скрепленные недеформированной, легкой пружиной. Коэффициент трения кубиков о плоскость равен д. Ось пружины горизонтальна и совпадает с прямой, проходящей через центры кубиков. На первый кубик начинают действовать силой F, линия действия которой совпадает с осью пружины. Определить минимальную величину силы F, при которой сдвинется второй кубик, если сила возрастает 1) медленно, 2) практически мгновенно.
П.39. На жесткий прямой стержень надета бусинка массы т. Стержень перемещают поступательно в горизонтальной плоскости с
ускорением а, направленным под углом а к оси стержня (рис.П.19).
64
Найти величину ускорения бусинки относительно стержня и силу реакции стержня на бусинку, пренебрегая силами трения и тяжести, действующими на нее.
11.40. При каком коэффициенте трения бусинки, рассмотренной в предыдущей задаче, она будет оставаться неподвижной относительно стержня? Действием
сил тяжести пренебречь.
11.41. Решить задачу 11.39, полагая, что коэффициент трения бусинки о стержень равен ц, а силами тяжести можно пренебречь.
11.42. На горизонтальной плоскости стоит ящик массы М. Коэффициент трения ящика о плоскость равен /л. С каким по величине ускорением будет двигаться ящик, если на него действовать силой F, направленной вверх под углом а к горизонту?
П.43. Детскую коляску, ручка которой наклонена к горизонту под углом а, можно везти перед собой или за собой. Когда и во сколько раз нужно прикладывать большую силу, чтобы везти коляску равномерно по горизонтальной дороге, действуя на нее силой, направленной вдоль ручки? Коэффициент трения коляски о дорогу - ц, масса коляски - М.
11.44. На горизонтальной плоскости стоит гладкий клин массы М с углом а при основании. На клин положили брусок массы т, к которому прикреплена легкая нить, проходящая через зажим, закрепленный на клине (см. рис.II.20). С каким ускорением будет двигаться клин
Рис.П.20.
после того как брусок отпустят без начальной скорости, если максимальная сила трения нити о зажим равна F?
11.45. На тело массы М, лежащее на горизонтальном столе, действует сила, направленная под углом а к горизонту, величина которой возрастает пропорционально времени по закону: F-At. Определить скорость тела в произвольный момент времени, если коэффициент трения тела о стол равен /л, тело движется поступательно, а вертикальная составляющая силы F направлена вниз. Первоначально тело покоилось.
11.46. Ракета массы М стартует под углом а к горизонту. Двигатели ракеты работают г секунд, создавая тягу F и обеспечивая прямолинейное движение ракеты. Пренебрегая изменением массы ракеты и сопротивлением воздуха, определить высоту //, на которой прекращается работа двигателей.
3-203
65
11.47. По плоскости, образующей угол ас горизонтом, скользит тело. Найти ускорение тела, если коэффициент трения о плоскость равен ц.
11.48. На наклонную плоскость положили брусок, коэффициент трения которого о плоскость равен ц. При каких углах наклона а плоскости к горизонту брусок будет оставаться неподвижным?
11.49. Из верхней точки окружности радиуса R, расположенной вертикально, по гладким желобам, совпадающим с хордами, одновременно начинают скользить небольшие грузики. Через какое время грузики вновь достигнут окружности?
11.50. Через какое время гтело из состояния покоя соскользнет на расстояние L вдоль наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, если угол наклона, при котором тело еще остается неподвижным, равен ап (ап< а)?
11.51. На наклонной плоскости лежит тело массы М. Угол наклона плоскости к горизонту а такой, что при его незначительном увеличении тело начинает соскальзывать. Какую силу F, направленную горизонтально, нужно приложить к телу, чтобы оно начало равномерно подниматься вверх по плоскости?
р-X 11.52. Найти' величину силы F, которую мож-
но приложить к телу массы М=3 кг, чтобы оно \ I оставалось неподвижным на плоскости, обра-
зующей с горизонтом угол <z=30°, если коэффи-Рис.П.21. циент трения тела о плоскость д=0,2, а сила F направлена относительно плоскости под углом /?=30° (рис.П.21).
11.53. По наклонной плоскости, образующей угол ас горизонтом, за веревку втягивают ящик массы М. Коэффициент трения ящика о плоскость равен р. Под каким углом /?к горизонту следует тянуть веревку, чтобы равномерно двигать ящик с наименьшим усилием? Каково это усилие?
П.54. При скоростном спуске по склону с углом наклона «=60° лыжник развивает такую скорость, что силу сопротивления воздуха можно считать пропорциональной квадрату его скорости v: Fc=kv2, где к=А Нс2/м2. Оценить максимальную скорость лыжника, если его масса Л/=100 кг, а коэффициент трения лыж о снег //=0,02.
11.55. Маятник массы М подвешен к подставке, укрепленной на тележке. Найти натяжение Т нити маятника и угол (3 между нитью и вектором ускорения свободного падения, если тележка: 1) движется равномерно по горизонтальной плоскости со скоростью р; 2) движется горизонтально с ускорением д; 3) свободно скатывается с
66
плоскости, образующей с горизонтом угол от, 4) движется с ускорением Ь, направленным вверх по наклонной плоскости, скатываясь с нее. Колебания груза маятника к рассматриваемым моментам времени считать полностью прекратившимися.
11.56. Рабочий, спускавший тачку массы М=50 кг по наклоненной к горизонту под углом а =30° доске, останавливает ее за время г =5 с. Какую силу должен приложить рабочий к тачке параллельно наклонной плоскости, если скорость тачки перед торможением была равна v=2 м/с, а торможение происходило равномерно? Коэффициент трения считать равным .«=0.01.
. 11.57. Два тела массы ш=10 г и М=15 г со-
единены нитью, перекинутой через блок I m (рис.П.22), установленный на вершине гладкой плоскости. Найти величину силы давления бло-
Рис.П.22. ка на ось и ускорение а тела массы т, если угол наклона плоскости к горизонту о=30°.
11.58, Три груза, связаны нитями, одна из ко-VmVi) торых перекинута через блок, закрепленный на О вершине наклонной плоскости (рис.11.23). Мас-^**1“ I м сы грузов равны т2 и М. Угол наклона плос-
Рис.П.23. кости к горизонту равен а. Коэффициент трения между плоскостью и грузами равен /г. Найти натяжение нити, соединяющей грузы mi и т2> если груз Мопускается.
11.59. Ударив небольшой камушек, его заставили скользить вверх по горке с углом наклона о=30° с начальной скоростью р0=5 м/с. Со
скользнет ли вниз камушек, если после удара он останавливается, пройдя расстояние L=1 м?
11.60. По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол о=45°, снизу вверх толкают брусок, сообщив ему начальную скорость р0=2 м/с. Поднявшись на некоторую высоту, брусок соскальзывает вниз. Найти скорость бруска при прохождении им исходной точки, если коэффициент трения бруска о плоскость равен р=0,6.
11.61. Ледяная горка образует с горизонтом угол о=30°. По ней пускают снизу вверх камень, который за время 1=2 с проходит расстояние L=16 м, после чего начинает соскальзывать вниз. Сколько времени г потребуется камню, чтобы вернуться в исходную точку? .
11.62. Доска массы М может двигаться без трения по наклонной плоскости с углом наклона а. С каким ускорением должен ехать по доске велосипедист массы т, чтобы доска оставалась неподвижной?
3*
67
11.63. Мальчик массы т бежит по доске массы Л/, остающейся неподвижной на гладкой наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту равен а. Какое расстояние пробежал мальчик за время, в течение которого его скорость изменилась от р() до vk?
11.64. Два груза с массами mt и т2, соединенные легкой пружиной жесткостью к, соскальзывают с плоскости, образующей с горизонтом угол а, оставаясь неподвижными друг относительно друга, причем первый груз расположен ниже. Коэффициенты трения грузов о плоскость равны и ju2. Определить деформацию пружины.
П.65. На плоскость, угол наклона которой к горизонту равен «, помещена плоская плита массы М, а на нее - брусок массы т. Коэффициент трения между плитой и бруском равен //. При каких значениях коэффициента трения /т между плоскостью и плитой плита будет неподвижной, если известно, что брусок скользит по плите?
11.66. По гладкой наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, скользит клин, верхняя плоскость а ' которого горизонтальна. На этой плоскости находится Рис.П.24. кубик (рис.11.24). При каком коэффициенте трения /л кубика о клин кубик будет скользить по клину?
г-у| 11.67. Гладкий клин с прикрепленным к нему с по-мощью нити грузом массы т движется вправо по го-ризонтальной плоскости с ускорением а, перпендику-Рис.П.25. лярным вертикальной грани клина (рис.II.25). Определить натяжение Т нити и силу F давления груза на клин.
11.68. На гладком клине с углом при основании а, перемещаемом по горизонтальной плоскости с неко-' торым ускорением а, направленным влево перпенди-Рис.II.26. кулярно вертикальной грани, лежит кубик массы т
(рис.II.26). При какой величине ускорения а кубик будет неподвижен относительно клина? Найти силу F, действующую на кубик со стороны клина в этом случае.
11.69. На горизонтальной плоскости лежит гладкий клин массы М с углом при основании а. На клин кладут тело массы т. Найти горизонтальные ускорения клина Аг и тела а„ а также силы давления Тела на клин N и клина на плоскость R.
11.70. На клине с углом при основании а=30° лежит кубик массы т (рис.П.26), коэффициент трения которого о клин равен /z=0,8. Какое минимальное ускорение а нужно сообщить клину в горизонтальном направлении, чтобы кубик начал скользить по клину?
68
11.71. Клин массы М с углом при основании а лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения о которую равен ц. На клин кладут брусок массы т. При какой величине коэффициента трения /zt бруска клин о клин будет оставаться неподвижным?
11.72. На горизонтальной плоскости лежит гладкий клин массы Л/ Р с углом при основании а. На клин кладут тело г массы т и действуют направленной горизонталь-|' ' «Inmin н0 силод р, как показано на рис.11.27. Найти уско-Рис.П.27. рение тела относительно клина ак и земли а3.
11.73. К телу массы т, лежащему на наклоненной к горизонту под углом а грани гладкого клина массы М, стоящего на горизонтальной плоскости, прикреплена нить, .. .J.. перекинутая через блок (рис.II.28). Определить
Рис.11 .28. ускорение клина, если за другой конец нити тянут
с силой F, направленной горизонтально.
11.74. На гладкий клин массы тг, лежащий на горизонтальном столе, положили брусок массы m3. Нитью, перекинутой через блок, клин связан |т, с грузом массы т1 (рис.II.29). Угол при основа-Рис.II.29. нии клина равен а. Найти ускорение груза.
11.75. На горизонтальной плоскости стоит клин массы М с углом при основании а. На клин кладут грузы массы nt\ и т2, связанные нитью, пе-Рис.П.ЗО. рекинутой через блок (рис.II.30) на вершине кли-
на. Груз ш2 касается вертикальной стенки клина, а масса груза mt такова, что если его отпустить, он будет двигаться вниз. Определить ускорение А клина.
11.76. Через блок с неподвижной горизонтальной осью перекинута нить, на концах которой висят грузы массы М и т. Определить натяжение нити. Исследовать случай, когда масса одного груза много больше массы другого.
11.77. Через заторможенный блок с горизонтальной неподвижной осью перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массы mi и т2. Найти изменение силы давления на ось блока после его освобождения.
11.78. Решить предыдущую задачу, если ось блока движется, с ускорением а, направленным вертикально вверх. Найти ускорение д12 первого груза относительно второго.
69
П.79. На одном конце нити, перекинутой через блок с неподвижной горизонтальной осью, висит груз массы ш(=50 г, а на другом -легкая пружина, к нижнему концу которой прикреплен груз массы ш2=30 г. Найти удлинение пружины Аг во время движения грузов с постоянным ускорением, если под действием силы F=0,l Н пружина растягивается на ДЬ=1,9 см.
11.80. Определить силу натяжения нити, связывающей грузы массы ш2=2 кг и т3=3 кг, в показанной на
Рис. 11.31.
рис.II.31 системе, если масса первого груза равна mi=l кг.
11.81. Весы, показанные на рис.П.32, уравновешены при заторможенном блоке. Массы грузов равны и т2. Что произойдет с чашкой весов, если отпустить тормоз блока? Как восстановить равновесие весов, изменяя груз в чашке? Расстояния от оси блока и точки подвеса чашки до точки опоры коромысла равны.
11.82. На вертикальной штанге закреплен блок, через который перекинута нить, связывающая грузы массы тi=0,1 кг и т2=0,5 кг. В грузе т2 имеется отверстие, через которое проходит штанга (рис.II.33). Сила трения груза т2 о штангу постоянна и равна F=2 Н. Найти ускорение груза т2 и силу натяжения Т нити.
Рис.II.33. П.83. На задней стенке ваго.на перпендикулярно к ней
закреплена ось блока. Через блок перекинута нить, связывающая грузы массы и т2, касающиеся этой стенки. Коэффициент трения грузов о стенку равен //. Определить ускорение первого груза относительно вагона, если вагон движется по прямолинейному горизонтальному участку пути с ускорением а, направленным вперед.
11.84. Через блок с неподвижной осью перекинут легкий шнур. К одному концу шнура прикреплен груз массы М, а другой конец шнура пропущен через кольцо массы т (рис.П.34). Найти ускорение А груза, если кольцо скользит по шнуру с ускорением а относительно него.
11.85. Через блок с неподвижной осью перекинута веревка, на одном конце которой висит груз массы т=1 кг.
За другой конец веревки держится обезьяна массы Л/=1,5 кг. Обезьяна начинает подтягиваться к блоку, двигаясь относительно веревки с ускорением a=g!2. Найти ускорение обезьяны относительно земли.
Рис.П.32.
mi
Рис. 11.34.
70
П.86. Через блок с неподвижной осью перекинута веревка длины L. За концы этой веревки, находящиеся на одинаковой высоте, держатся две обезьяны. Массы обезьян равны. В некоторый момент они начинают подтягиваться вверх. Пренебрегая временем набора скорости, найти время, по прошествии которого каждая из обезьян достигнет блока, если первая движется относительно веревки со скоростью v, а вторая - в п раз быстрее.
11.87, Вторая из обезьян, фигурировавших в условии задачи 11.86, тяжелее первой. Какая обезьяна быстрее достигнет блока?
11.88. За какое время и какая из обезьян, рассмотренных в задаче 11.86, быстрее достигнет блока, если они движутся неравномерно, причем ускорение первой обезьяны относительно веревки равно а, а второй - в п раз больше?
11.89. Как изменится решение предыдущей задачи, если вторая обезьяна тяжелее первой в к раз?
11.90. Найти величину силы, с которой нужно тянуть веревку в системе, показанной на рис.II.35, чтобы груз массы М поднимался с ускорением а, направленным вверх.
Рис.11.39.
11.91. Найти ускорения грузов массы Л/ и т в системе, показанной на рис.11.36. Определить натяжение нити, соединенной с грузом т.
11.92. Определить ускорения грузов массы т1; т2 и т3 в системе, показанной на рис.П.37.
11.93. Груз массы гщ=2 кг в системе, показанной на рис.II.37, движется вниз с ускорением 0^=2 м/с2, а расстояние между двумя другими грузами остается неизменным. Определить массы грузов.
11.94. Определить ускорения грузов массы ть т2 и т, и натяжение нитей 1 и 2 в системе, показанной на рис.II.38.
11.95. Определить натяжение нити и ускорения грузов массы mt и т2 в системе, показанной на рис.II.39.
11.96. Составить уравнения кинематических связей и уравнения движения грузов в системе, показанной на рис.П.40.
71
11.97. Определить ускорения грузов массы т и М в системе, показанной на рис.П.41.
Рис. 11.41.
Рис. 11.42.
11.98. Рама массы М, стоящая на гладкой горизонтальной плоскости, связана нитью с грузом массы т (рис.II.42). Груз касается рамы. Пренебрегая трением, определить время г, за которое груз из еостоя-
Рис.П.43.
ния покоя опустится на расстояние Н.
11.99. Тележку массы т в системе, показанной на рис.П.43, удерживают неподвижной. С каким ускорением а будет двигаться по горизонтальной плоскости рама массы М после отпускания тележки? Коэффициент трения рамы о плоскость равен /л.
II.100. По неподвижной плоскости, образующей с горизонтом
Рис.II.44.
угол а=30°, скользит груз массы т=100 г. Коэффициент трения этого груза о плоскость равен д=0,1. К грузу прикреплена нить, перекинутая через блоки, как показано на рис.11.44. К оси одного из блоков подвешено- тело массы Л/=600 г.
Другой конец нити закреплен неподвижно. Определить ускорение тела массы М.
11.101. Грузы массы т и М связаны нитями (рис.П.45). Угол наклона плоскости, на которой лежит груз, к горизонту равен а. Коэффициент трения груза т о плоскость равен д Найти ускорение груза М для промежутка времени, в течение которого он опускаемся.
11.102. В системе, изображенной на рис.11.46, на плоскости, образующей с горизонтом угол а, удерживается груз массы т. Коэффициент трения этого груза о плоскость равен
Рис. 11.46. /л, Найти ускорение тела массы М и натяжение
скрепленной с ним нити после освобождения груза т.
72
11.103. Груз массы (рис.П.47) движется по
F~|—горизонтальной плоскости, а груз массы т3 - по ТЦТ плоскости, наклоненной к горизонту под углом а. I й R Определить ускорение груза массы ж2.
Рис. 11.47. 11.104. По гладким плоскостям (рис.П.48), обра-
ys. зующим с горизонтом углы а и Д движутся соот-
ветственно грузы массы mt и т3. Определить ус-“НМ - корение груза массы т2, и натяжение нити, концы ТУ| которой связаны с грузами т, и т3.
11.105. Определить силу притяжения космо-
Рис. П.48 навта к Земле в корабле, находящейся от её поверхности на расстоянии //=130 км. Ускорение свободного падения на полюсе Земли gn=9,83 м/с2, радиус Земли /?3=6370 км, масса космонавта лг=80 кг.
11.106. Найти отношение ускорений свободного падения у поверхности Луны g„ и Земли g3, если радиус Луны равен /?л=1740 км, Земли - 7?з=6370 км, а отношение средних плотностей вещества Луны и Земли равно fc=0,6.
11.107. На каком расстоянии от центра Земли должно находиться тело, чтобы гравитационные силы Земли и Луны уравновешивали друг друга, если масса Луны в 1с=81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами примерно в /г=60 раз превышает радиус Земли /?3=6370 км?
11.108. На какую высоту подпрыгнул бы космонавт на сферическом астероиде радиуса /?=5,5 км с плотностью вещества р=5,5 г/см3, если бы при отталкивании он получил ту же начальную скорость, которая необходима для подпрыгивания на Земле на высоту й=2 см?
11.109. Ракета, запущенная вертикально вверх на полн>ё^ Земли, поднялась На высоту, равную радиусу Земли. Какое р^еетояние пройдет ракета за время т=10 с после начала движения к Земле?
II. 110. В свинцовом шаре радиуса R сделана сферическая полость, поверхность которой касается поверхности шара и проходит через его центр. С какой силой это тело будет притягивать сферическую дробинку массы т, находящуюся от центра шара на расстоянии d>R и на расстоянии b от центра полости (\b-dl<R/2)? Плотность свинца равна р. При каких значениях Ъ действующая на дробинку сила направлена вдоль прямой, соединяющей центры шара и дробинки?
11.111. В однородном шаре радиуса R с плотностью вещества р сделан узкий канал, проходящий через центр шара. Определить зависимость силы F гравитационного притяжения тела массы т, нахо
дящегося в канале и вне его, если расстояние между телом и центром шара равно г. Построить график зависимости F(f).
11.112. Найти силу гравитационного взаимодействия однородного шара массы М радиуса г и однородного тонкого кольца массы т радиуса R, если центр шара находится на оси кольца на расстоянии Н от его плоскости, причем г < VД 2 +Н2.
11.113. Два одинаковых пузырька воздуха одновременно отрываются от горизонтального дна сосуда, заполненного водой, и всплывают. Изменяется ли при этом расстояние между пузырьками?
II114. В однородную жидкость с плотностью р помещены два шарика радиуса г, плотность вещества которых равна р{ и р,. Найти силу, действующую на первый шарик, если положение центра второго шарика относительно первого определяется вектором R.
Ш. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ
Основные определения и законы
п.1. Импульс (количество движения) р материальной точки -вектор, равный произведению массы т точки на ее скорость и
р - то. <Ш. 1,
п.2. Импульс (количество движения) Р механической системы сумма импульсов образующих систему материальных точек
Р = , 011.2)
1=1
где п - общее число точек, т, - масса, а», - скорость z-й точки.
Из этого определения следует, что нмпульс системы равен произведению массы системы М на скорость ицм ее центра масс
Р=Л/ыцм= ыцм^т, . (Ш.З)
<=1
п.З. Импульс I постоянной силы F за время А/ - вектор, равный произведению силы на время ее действия, т.е.
l = Fbi. (Ш.4)
Для нахождения импульса изменяющейся во времени силы F(t) за промежуток времени от момента t, до момента г2 его делят на столь малые интервалы Дг„ в течение которых силу можно считать постоянной, находят элементарные импульсы на каждом из таких интервалов, а затем суммируют эти элементарные импульсы
?2
1(М) =. Пт У F, А/ = Г F (t)dt. (III.4а)
п.4. Закон изменения импульса материальной точки: приращение импульса материальной точки за промежуток времени от мо
75
мента ti до момента t2 равно импульсу сил, действовавших на точку, за тот же промежуток времени, т.е.
Ap{t1,t2)=p{t2)-p{ti) = I{tl,t2). (Ш-5)
п.5. Замкнутой называют систему, сумма сил, действующих на точки которой со стороны не входящих в эту систему тел {внешних сил), равна нулю.
п.6. Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не зависит от времени.
Если система не является замкнутой, но сумма проекций всех внешних сил на некоторое направление равна нулю, проекция импульса системы на это направление остается неизменной.
При рассмотрении процессов, при которых импульс сил, действующих между телами системы {внутренние силы), значительно превышает импульс внешних сил для расчета движения тел системы можно считать импульс системы постоянным, т.е. пренебрегать внешними силами. Обычно такие ситуации возникают при различного рода взрывах, выстрелах и ударах.
п.7. Работой постоянной силы F называют скалярное произведение этой силы на вектор перемещения Дг точки ее приложения, если направление силы относительно перемещения остается неизменным
А = FAr = IFIIArI соз' а, (Ш.6)
где а- угол между вектором силы F и вектором перемещения Аг.
Если направление силы относительно вектора перемещения или ее величина изменяются, то заданное перемещение от начальной точки, определяемой радиус-вектором г, до точки (г+Дг) разбивают на столь мелкие участки Дг;, чтобы в пределах каждого участка силу можно было считать постоянной по величине и неизменной по направлению, находят согласно (III.6) элементарные работы на каждом участке, а затем их суммируют
г+Дг ,
А(г, г+Дг)=. Jim Уг, Дг,. = \F(r)dr. (Ш.ба)
Дг.->0“ J
I I г
п.8. Средней мощностью (Vcp за промежуток времени t2-tf=At называют отношение работы АА, совершенной за этот промежуток к его длительности
Ncp(tbt2) = AA/At. (Ш.7)
76
Мощность (мгновенная мощность) N(t), определяемая соотношением
N(t) = lim = ^ = A(t), (Ш.8)
д/->о At at
равна скалярному произведению вектора силы F(t) на скорость перемещения точки ее приложения v(t), т.е.
N(t) = F(t)v(t). (Ш.9,
п.9. Кинетическая энергия WK материальной точки массы т. движущейся со скоростью о, равна
WK = mv2/2. (Ш.10)
Поскольку кинетической энергией системы материальных точек называют сумму их кинетических энергий, кинетическая энергия тонкостенного цилиндра массы т радиуса г, вращающегося с угловой скоростью со вокруг своей неподвижной геометрической оси, равна
WK = mr2co2/2. (Ш.11'
Если центр масс однородного тонкого цилиндра движется со скоростью v и цилиндр вращается с угловой скоростью со, то
IVK = mv2!2 + mr2 со72. (Ш. 12)
При качении указанного цилиндра без проскальзывания (v=co г)
WK = mv2. (III. 12а)
п.10. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек с массами т и М, находящихся в вакууме на расстоянии г друг от друга, равна
Wn=-GmM!r, (Ш.13)
где G - гравитационная постоянная, если считать, что потенциальная энергия при бесконечном удалении указанных точек друг от друга равна нулю.
При подъеме тела вблизи поверхности Земли (если силу тяжести mg, действующую на тело, можно считать постоянной) потенциальная энергия системы “Земля-тело” возрастает на величину
Т
AW„=mgh,
где h — перемещение центра тяжести тела по вертикали.
п.11. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины жесткости к определяется соотношением
W„=kx2/2, (Ш.15,
где х - величина деформации.
п.12. Механической энергией системы называют сумму потенциальной и кинетической энергий этой системы, т.е.
WM = lVn+lVK„ (Ш.16.
п.13. Изолированной называют систему, ни на одну из точек которой не действуют внешние силы.
п.14. Консервативными называют силы, работа которых не зависит от вида траектории движения точки их приложения. Работа таких сил определяется лишь начальным и конечным положениями указанной точки. Если конечная и начальная точки совпадают, т.е. траектория перемещения точки приложения является замкнутой, то работа таких сил равна нулю. Консервативными являются, например, силы упругих деформаций, гравитационные силы и силы, направленные перпендикулярно перемещению точек их приложения. Работа последних всегда тождественно равна нулю, т.к. cos л/2=0.
Силы, работа которых зависит от вида траектории, называют неконсервативными силами. Пример таких сил - силы трения.
п.15. Закон сохранения механической энергии: механическая энергия изолированной системы, в которой действуют только консервативные силы, сохраняется, т.е. не зависит от времени.
п.16. Закон изменения механической энергии: приращение механической энергии системы за промежуток времени /2-Г|=Дг равно сумме работ внешних (АВмш) и внутренних неконсервативных (Лнк внутр) сил над телами системы за этот промежуток времени:
A1VM = WM - W„(t1) — ^внеш (G, h)+ ^нк.внутр (Л,г2). (Ш.17)
Если система является изолированной, но в ней действуют неконсервативные силы, то механическая энергия такой системы уменьшается с течением времени за счет преобразования механической энергии в другие формы (например, во внутреннюю энергию хаотического — теплового - движения частиц, образующих тела этой
78-
системы). Процесс уменьшения механической энергии называют диссипацией энергии, а систему, в которой он имеет место, - диссипативной.
п.17. Ударом называют явление изменения скоростей тел, обусловленное их столь сильным взаимодействием друг с другом, что действием внешних тел на соударяющиеся тела (во время удара) можно пренебречь и для расчета движения соударяющихся тел непосредственно после удара использовать закон сохранения импульса (см. п.6).
Абсолютно упругим называют такое взаимодействие, при котором механическая энергия соударяющихся тел остается неизменной. Если после удара тела движутся поступательно, расчет движения те; можно провести, используя законы сохранения импульса и механической энергии. Часто для краткости такой удар, если не оговорено иное, называют упругим.
Абсолютно неупругим (или короче, неупругим) называют взаимодействие, после которого тела движутся с одинаковыми скоростями. Поскольку при таком взаимодействии между телами действуют неконсервативные силы (силы неупругих деформаций), механическая энергия соударяющихся тел уменьшается.
При центральном прямом ударе скорости центров масс тел перед ударом совпадают с линией, соединяющей эти центры и перпендикулярной к поверхностям тел в точке их соприкосновения.
Примеры решения задач
Задача III.1. Шар массы т, летящий со скоростью ц,, упруго ударяется о стену под углом а,. Определить среднюю силу, с которой шар действует на стену, если длительность удара равна г.
Решение. При упругом ударе шара о неподвижную стену величина скорости шара в соответствии с законом сохранения механической энергии системы “стена - шар” не изменяется, поскольку до и после удара потенциальная энергия системы и кинетическая энергия стены равны нулю.
Изменение направления движения шара при ударе происходит под действием упругой силы со стороны стены, направленной перпендикулярно к ней. Поэтому составляющая скорости шара, параллельная стене, не может измениться. Отсюда с учетом ранее доказанной неизменности модуля скорости шара следует, что угол
79
Рис.Ш.1
отражения а2 шара от стены должен быть равен углу падения et\, как показано на рис.Ш.1
Изменение импульса шара за время удара равно импульсу I силы, действовавшей на шар со стороны стены, т.е. p2-pt=I. Сила F, с которой шар действует на стену, равна и противоположна силе, с которой стена действует на шар (III закон Ньютона). Поэтому
F = -1/т= (pi -р2)1т. = m(V[ - v2)/r.
Из рис. III. 1 следует, что (t^-ib^v^os<Х\. Таким образом, искомая сила перпендикулярна стене, а ее среднее значение равно
F = (Inivfios а{)/т.
Задача 111.2. По горизонтальным рельсам без трения с постоянной скоростью t>i катится платформа с установленным на ней орудием. Из орудия производят выстрел в направлении движения. Скорость снаряда относительно платформы сразу после выстрела равна V. Зная, что после выстрела платформа продолжает двигаться в первоначальном направлении, но со скоростью v2, найти отношение масс платформы и снаряда.
Решение. Решим задачу в системе координат, неподвижной относительно земли. Пусть ось ОХ направлена вдоль рельс в сторону движения платформы. Тогда проекция импульса системы “платформа-орудие-снаряд” на ось ОХ до выстрела
= (/n + !W)v1( (1)
где m - масса снаряда, а М- масса платформы с орудием. После выстрела проекция импульса системы на ось ОХ
Р2 = »wCH + Mv2, (2)
где скорость снаряда непосредственно после выстрела
ус„ = u + v2, (3)
поскольку и снаряд, и платформа с орудием по условию движутся в первоначальном направлении.
По условию задачи на тела системы в горизонтальном направлении вдоль рельс не действуют внешние силы. Поэтому проекция импульса системы на это направление должна оставаться неизменной, т.е. Pi=P2. Решая уравнения (1) - (3) с учетом этого условия, получим
80
M/m = (v2 + u-vi)/(Vi-V2). (4>
Задачу можно решить в системе координат, движущейся со скоростью Uj. Пусть ось ОЛТ этой системы параллельна Пр Импульс системы “платформа.-орудие-снаряд” до выстрела в новой системе координат Ри=0. После выстрела
Рк = MVK + mvK, (5>
где VK и ик _ проекции скорости платформы и снаряда на ось ОХ’, причем Vk=v2—Vt, и = ук-Ик. Отсюда на основании закона сохранения импульса следует, что
Рк= 0 = Рк= М(у2- vt) + m(u + v2- и,).
Видно, что решение этого уравнения совпадает с полученным ранее решением.
Задача Ш.З. На корме и носу неподвижной лодки длиной L массы М сидят два рыбака. Масса рыбака, сидящего на корме, равна ть на носу - т2. Как переместится лодка, если рыбаки поменяются местами, а сопротивление движению лодки пренебрежимо мало?
Решение. Выберем неподвижную систему координат, ось ОХ которой совпадает с осью лодки и направлена от ее кормы к носу. Пусть первоначальные координаты рыбаков равны х]н и х2„, координата центра масс лодки равна х3и, а их конечные координаты равны соответственно х)к, х2к и х3к. В соответствии с (11.11) и принятыми обозначениями координата центра масс системы “рыбаки-лодка” вдоль оси ОХ в исходном состоянии равна
*цмн = (т )Х)Н + т2х2н + Mx3n)l(mi + т2 + М), а после того, как рыбаки поменялись местами
*цмк = («ПХ|К + т2х2к + Мх3к)/(т1 + т2 + М).
Поскольку внешние силы, по условию задачи, на рассматриваемые тела вдоль оси ОХ не действуют, центр масс системы не может изменить своего положения. Поэтому
mtXi„ + т2х2н + Мх3к = niiXlK + т2х2к + Мх3к
или
Л1(х3к - х3н) + mi(x1K - Xi„) + т2(х2к - х2н) = 0. 11)
81
Очевидно, что искомое перемещение лодки S=x3k-x3h меньше перемещения рыбака, сидевшего на корме, на величину дайны лодки L, но больше перемещения другого рыбака на ту же величину, т.е.
S + L = x1K-Xi„, S-L = x2k-x2„.
Подставляя эти соотношения в (1), получим
S = Цт2 - тх)/(тх + т2 + М).
Отсюда следует, что направление перемещения лодки противоположно направлению перемещения более тяжелого рыбака.
Задача III.4. Тело массы щ=10 кг поднимают вертикально с поверхности земли с ускорением а=5 м/с2 на высоту /1=20 м. Найти совершенную при этом работу, пренебрегая сопротивлением воздуха.
Решение. I способ. Для того, чтобы тело массы т поднять вертикально вверх с ускорением а на высоту Л с поверхности земли, на это тело должна действовать сила F, определяемая, согласно второму закону Ньютона, соотношением
F-mg = ma, (I)
где g - ускорение свободного падения вблизи поверхности земли.
Работа силы F при перемещении h точки ее приложения равна
A=Fh = Fh cos а = Fh, (2)
поскольку угол а между направлением силы и перемещением точки ее приложения равен нулю. Из уравнений (1)-(2) при g=10 м/с2 следует
А = т (g + а) h = 3000 Дж = 3 кДж.
II способ. Воспользуемся для решения задачи законом изменения механической энергии системы “Земля — тело”. Изменение механической энергии этой системы определяется работой внешней силы F, т.е. AWM=A, причем '
AJVM = AVVK + A Wn = mv2/2 + mgh,
где v - скорость тела на высоте h. Поскольку первоначально тело покоилось и его перемещали с постоянным ускорением, то из кинематических соотношений (1.20) следует, что v2=2ah. Отсюда
А = mah + mgh = т(а + g) h = 3 кДж.
82
Задача П1.5. Какую работу надо совершить для строительства стены высотой Н=10 м и длиной L=20 м из кирпичей массы т=1 кг длиной Ь=20 см высотой Л=10 см, если все кирпичи лежат на земле в один слой и толщина стены равна ширине кирпича?
Решение. Минимальная работа равна изменению потенциальной энергии требуемых для строительства кирпичей. Поскольку это число равно N=HUhb, то потенциальная энергия необходимого числа кирпичей, лежащих на земле, равна
= Nmgh/2, а уложенных в стену
WaK = NmgH/2,
если поверхность земли принять за уровень нулевой потенциальной энергии. Отсюда
Arai„ = WnK - WnH = Nmg (Я-Л)/2 = HLmg (H-h)!2hb ® 485 кДж.
Задача III.6. Массивная стальная плита движется вверх со скоростью V. На её горизонтальную поверхность с высоты h падает упругий шарик. Пренебрегая действием воздуха, найти высоту, на которую подскочит шарик после удара о плиту. Все расстояния отсчитать от точки удара шарика о плитку.
Решение. Задачу удобно решать в системе отсчета связанной с движущейся плитой. Ось OY этой системы направим вертикально вниз, а начало отсчета совместим с точкой удара шарика о плиту. В этой системе к моменту удара шарик будет иметь скорость v+V, направленную вертикально вниз. Величину скорости v можно определить из закона сохранения механической энергии для системы тел «Земля-шарик»:
Это соотношение получено с учетом того, что изменением кинетической энергии Земли пренебрегаем, поскольку масса Земли намного больше массы шарика и ЛСО считается инерциальной системой отсчета. Поэтому скорость шарика к моменту удара относительно плиты равна
83
Как обычно, будем считать, что время соударения шарика с плитой столь мало, что можно пренебречь импульсом силы тяжести, действующей на шарик. Тогда
пп>шп=тишп+Ми, (1)
где т и М масса шарика и плиты, соответственно, а ишп и U - скорости шарика и плиты после соударения относительно системы отсчета в которой решается задача.
Применяя закон сохранения механической энергии к системе тел «шариК-плита», получим
__ "^ШП MU -)
2 ~ 2 2
Записывая уравнение (1) в проекции на ось 0Y, получим
т(ишп+ишпу)=-Ми (3)
Уравнение (2) представим в виде
т(и2шп+и2шп)=Ми2 (41
Разделив почленно уравнение (4) на уравнение (3) находим, что
± (Ушп- ^шпу)= + U. (5)
Решая систему уравнений (3) и (5), получим
т
- _^шп — ^шпу (О
' м
Поскольку М»т. то из уравнения (6) следует, что
^ШП “ ^ШПу~0 > (2)
Таким образом, из закона сохранения импульса и закона сохранения энергии следует, что скорость шарика мшп может быть равна либо его скорости до удара (знак «-» в уравнении (7)), либо равна по величине и противоположна по направлению ршп (знак «+» в уравнении (7)). Первое решение соответствует моментам времени до удара, а второе - после него.
Итак, мы доказали что при упругом ударе шарика о массивную плиту его скорость, оставаясь неизменной по величине относительно плиты, меняет свое направление на противоположное.
84
В лабораторной системе отсчета скорость шарика непосредственно после удара и(сш1 будет равна
Цш-з)у=_( 5/2^+2V) 4
Применяя к системе тел «шарик-Земля» закон сохранения механической энергии, окончательно находим
Задача III.7. На горизонтальном столе стоит подставка, на которой закреплена тонкая жесткая изогнутая трубка, как показано на рис.III.2. Масса подставки с трубой равна М. Верхний конец трубки расположен на высоте Н над столом. Высота горизонтального участка трубки равна h, а его конец лежит на одной вертикали с серединой верхнего конца. В верхний конец опускают без начальной ско
рости небольшой шарик массы т. На каком расстоянии по горизонтали от исходной точки упадет на плоскость. Трением пренебречь.
Решение. Перед вылетом из трубки тело некоторое время двигалось в горизонтальном направлении. Поскольку на трубку с подставкой и движущийся шарик в горизонтальном направлении не действуют внешние силы, то на основании закона сохранения импульса центр масс трубки с подставкой и шарика должен сохранять свое положение в горизонтальном направлении до тех пор, пока шарик не упадет на стол. Следовательно, в момент вылета из трубки координата шарика в горизонтальном направлении должна совпадать с его соответствующей координатой в момент опускания в трубку. Кроме того, скорость шарика v и скорость трубки с подставкой V в момент вылета направлены горизонтально в противоположные стороны, а их велечины удовлетаворяют соотношению
mv-MV
Система тел «трубка с подставкой - шарик - Земля» по условию задачи являются изолированной консервативной. Поэтому на основании закона сохранения механической энергии в момент вылета
85
, , mV2 MV2
mgh.= mgh+—^—+—^—
Учитывая, что горизонтальная составляющая скорости свободно падающего тела остается неизменной, а время свободного падения
тела, сброшенного горизонтально с высоты h равно т = — , где g -
ускорение свободного падения, найдем искомое расстояние
X = VT = V
h(H-h) m ~М
Рис.Ш.З
Задача Ш.8. Маятник, состоящий из шара массы m радиуса R, подвешенного на невесомой нерастяжимой нити длины L, отклонили от вертикали на угол а (рис.Ш.З), а затем отпустили. Определить скорость шара v в нижней точке, пренебрегая влиянием воздуха. Считать L»R.
Решение. Система “Земля-маятник” по условию является изолированной и консервативной. Поэтому к ней применим закон сохранения механической энергии. На основании этого закона с учетом обозначений на рис.Ш.З имеем
Д РИК + Д = (tn v 2 /2 - m v 2 /2) + (mghK - mghH)=0,
где - изменение высоты центра тяжести шара, vK и у„=0 -
скорости шара в нижнем (конечном) и исходном (начальном) состояниях. Отсюда
mv2/2 = mgh. , (1)
Из рис.Ш.З следует, что
h = (L + R)(l - coj а) = 2(L + R)sin2 a/2.
С учетом этого соотношения из уравнения (1) получим v = = 2^{L + R)g sin у.
86
Задача Ш.9. Два шара массы mt и т2 движутся навстречу друг другу со скоростями и, и v2. Определить скорости шаров после центрального абсолютно упругого удара, пренебрегая влиянием окружающих тел.
Решение. Шары следует рассматривать как изолированную консервативную систему. Поэтому на основании законов сохранения импульса и механической энергии можно написать
mlvl + m2V2 = miul+ni2U2, (1)
я1] v2/2+m2 v2/2 = W] И]2/2+7и2 «г/2’ (2)
где и, и и2 - скорости шаров после удара.
Если ориентировать ось ОХ неподвижной системы координат параллельно скорости первого шара до удара, то соотношение (1) в проекциях на эту ось можно представить в виде
mi(Vi ~ «и) = m2(i>2 + «2х)> О)
а соотношение (2) -
mt(vf-Ut) = mt(u2 ~v2). <4>
Учитывая, что |и|х1=Н|, lu2J=u2 разделив почленно (4) на (3), получим
Vs + Ulx= U2x~ v2. (5)
Решая уравнения (3) и (5), найдем
(mt-m2)vi-2m2v2 (mt - m2)v2 + 2m2vl
— , u2x — . (6}
wij + m2 ml + m2
Из соотношений (6) следует, что направление скоростей шаров после удара зависит от отношения масс шаров и их скоростей до удара. В частности, если массы шаров равны (я1|=пг2), то и1х=-1>2 и Н2х=и1> т.е. при центральном абсолютно упругом ударе шаров с одинаковой массой они обмениваются скоростями. Если же m2»mi (или и11/ш2«1), то uix=-(vl+2v2), и2к=-у2. Это означает, что тяжелый шар после удара движется с первоначальной по величине и направлению скоростью, а легкий шар начинает двигаться в противоположном направлении и с другой по величине скоростью. Аналогичная картина наблюдается и при упругом ударе легкого шара о движущуюся массивную стенку (см. задачу III.6).
87
Задача ШЛО. Для забивания свай массой т=100 кг используется копер, подвижная часть которого массой Л/=400 кг свободно падает с высоты /7=2 м. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая уходит в землю на глубину /г=10 см. Удар груза о сваю считать абсолютно неупругим и мгновенным.
Решение. Скорость груза v к моменту касания им сваи можно определить из кинематических соотношений или из закона сохранения механической энергии системы “Земля-груз”, которую можно считать изолированной, пока груз совершает свободное падение. Она равна
v = 4^H. (1)
Поскольку удар груза о сваю считается мгновенным, для расчета скорости и, приобретаемой сваей в результате удара, импульсом сил тяжести можно пренебречь и воспользоваться поэтому законом сохранения импульса для системы “груз-свая”. Учитывая, что после удара свая и груз имеют одинаковые скорости, получим
Mv =°(М + т) и. (2)
После окончания удара груз и свая движутся как единое целое, совершая работу против сил сопротивления Fc грунта. Поскольку направление движения сваи противоположно силам сопротивления, работа этих сил (считая их постоянными) равна
A = Fchcos 180°=-Гсй. (3)
С другой стороны, работа этх сил равна изменению механической энергии системы “Земля-груз-свая” за время движения сваи в земле, поскольку в это время силы сопротивления являются единственными диссипативными силами, действующими в системе, т.е.
А = Д Ж + ДЖ,- (4)
Учитывая, что ДЖК= ~(М+т)и72 и ДЖП = -(M+m)gh, получим
Fc = (М + m)g + Л/2Р2/[(Л/ + m'jh]
или
Fc = (М + m)g + М2 gH/[(M + m)h] к 67.7 кН.
88
Задача III.11. Прямоугольныйллииный брусок массы М лежит на гладком горизонтальном столе. В середину боковой короткой грани бруска попадает пуля массы т, летевшая со скоростью и перпендикулярно этой грани. На какое расстояние.$ войдет пуля в.брусок, если средняя сила сопротивления движению пули в бруске равна F?
Решение. Выберем неподвижную относительно Земли систему координат, ось ОХ которой параллельна скорости пули в момент ее удара о брусок. Поскольку в направлении этой оси на брусок и пулю не действуют внешние силы, можно утверждать, что
mv = (М + т)и, (1)
где и - проекция скорости движения бруска с пулей на ось ОХ в момент окончания движения пули относительно бруска. Изменение скорости пули происходит за счет торможения силой сопротивления F, действующей на пулю со стороны бруска. В то же время, на брусок со стороны пули действует ускоряющая его движение сила Fx, равная по модулю и противоположная по направлению силе F.
Если перемещение пули относительно Земли за время торможения обозначить Дхп, а перемещение бруска за тот же промежуток времени обозначить Дх5, работы сил F и F\ будут равны
Ап = FAxn = - FAxn, Аб = FtAx6 = Ft Ахб = FAx6,
т.к. угол между направлением силы F и перемещением пули равен л, а направления силы Ft и перемещения бруска Дх5 совпадают. Действующие на пулю и брусок внешние силы (силы тяжести и сила нормальной реакции стола) направлены перпендикулярно перемещению этих тел. Поэтому работа внешних сил равна нулю и изменение механической энергии системы “пуля-брусок” обусловлено лишь работой диссипативных сил F и F\. Так как изменение механической энергии пули и бруска равно изменению их кинетической энергии, то
(М + и1)н2/2 - ти2/2 = Дп +Д5 = F(Ax5 - Дхп).
Учитывая, что Arn-Zkx6=s, а и и у связаны соотношением (1), получим
5 = Mmv2/[2F(M + т)].
Задача III.12. В вертикальную стену на одной высоте на расстоянии 21 друг от друга забиты два гвоздя. Через гвозди перекинута невесомая нерастяжимая нить. К концам линии и ее середине прикреплены три одинаковых груза. Вначале средний груз удерживают так, что все нити слегка натянуты, нить между гвоздями горизонтальна, а
89
средний груз находится на одинаковом расстоянии от обоих гвоздей. В некоторый момент средний груз отпускают без начальной скорости. Определить максимальное смещение среднего груза от его исходного положения и его скорость в момент прохождения положения
равновесия. Трением пренебречь.
Рис.Ш.4.
Решение. Учитывая, что массы всех грузов одинаковые, а средний груз находится на равных расстояниях от гвоздей А и С и в момент отпускания (г=0) все грузы покоились, смещения крайних грузов к любому моменту времени (г > О') должны быть одинаковыми, т.е. Дх/=Дх3 (рис.Ш.4) Если максимальное смещение груза обозначить Дх,т, то, применяя закон сохранения механической энергии к системе «грузы - Земля», получим
AW„ +m2g^x2m + m3gAx3m = 0, (!)
т.к. в момент максимального смещения грузов от начального положения их скорости равны нулю.
В силу нерастяжимости нитей
Ax’] =Ах3 -1-ф2 +Д%2
Из уравнений (1) и (2) следует
ЗД^2т =4/Дх2т
(2)
(3)
Это уравнение имеет два решения: Дх2т = О и Ах2т = 4Z/3. Первое решение соответствует моменту отпускания грузов, а второе -моменту их максимального смещения от начального положения.
При равновесии сумма сил, действующих на точку В, должна быть равна нулю. Поскольку гвозди считаются гладкими, то силы натяжения нитей АВ, ВС и BD равны ‘mg. Поэтому угол а в положении равновесия (а?) можно определить из соотношения
sina„ = mg , т.е. а„ = arcsin— - — - 30°.
р 6 р ч к
90
Из решения задачи 1.9. следует, что величины скоростей гру30в должны удовлетворять соотношению
V1 = v3 - v2 s*n а
Из закона сохранения механической энергии
AWK+AWn =0,
Поэтому в положении равновесия должно выполняться соотношение
№ 1 2 2 2 I А А А М
— \vip +V2P +v3p)+mgAxlp + mgAx2p +mgAx3p =0
Отсюда
1 2 А л • 2 \ » — 2 '
-v2\L + 2smza )= gl tga +2---------
2 ( cosap J
Окончательно получим
Задача Ш.13. Во время старта ракеты массы М, двигатели которой развивают мощность N, на некоторое время г неподвижно зависает в вертикальном положении над Землей. Определить скорость истечения газов из сопла двигателей в указанный промежуток времени.
Решение. Двигатели ракеты совершают работу над газом, увеличивая его кинетическую энергию. Считая, что в расчете на еденицу времени из двигателей выбрасывается масса газа, равная /г и все частицы газа имеют одинаковые скорости v, мощность двигателей раке-2
ЦО
ты в интересующие моменты времени равна N = — . Учитывая,
что сила тяжести двигателей (реактивная сила) равна F = - ц v, и ус-
Mgv ловие зависания ракеты имеет вид Mg + F = 0, получим N = —-—.
Отсюда искомая скорость
91
Задача III.14. Автомобиль массы Л/=1 т трогается С места и проходит по горизонтальному участку дороги расстояние 5=20 м за время г=2 с, двигаясь равноускоренно. Найти минимальную мощность двигателя автомобиля, пренебрегая силами сопротивления его движению.
Решение. Согласно п.8 мгновенная мощность N(t) равна скалярному произведению вектора силы F(f) на вектор скорости v(t) перемещения точки ее приложения. Так как ускорение автомобиля по условию задачи постоянно и кроме силы тяги со стороны ведущих колес на автомобиль в горизонтальном направлении не действуют иные силы, сила тяги остается постоянной, а скорость v(t) увеличивается пропорционально времени, оставаясь параллельной вектору силы. Поэтому минимальная мощность двигателя, равна произведению максимальной скорости автомобиля (итх=ат) на модуль вектора силы (F=ma), т.е.
Nmin=ma2r.
Поскольку при рассматриваемом движении s = a-f!2, то
Л/„|п = 4ms1/т = 200 кВт.
Отметим, что средняя мощность двигателя за промежуток времени т
Nep = А(т)/т= mv2/2r = 2ms2 It1 в два раза меньше его минимальной мощности.
Задачи для самостоятельного решения
Ш.1. На тело в течение времени г=10 с действовала постоянная сила Г=0,5 Н. Определить массу т тела, если его скорость под действием данной силы изменилась на величину Ау=5 м/с.
III.2. Определить импульс однородного диска, вращающегося вокруг своей неподвижной оси.
III.3. Два тела массы ш1=2 г и /n2~3 г движутся взаимно перпендикулярно по горизонтальной плоскости со скоростями у,=5 м/с и t>2=4 м/с. Определить импульс системы этих тел.
III.4. Шар массы т подлетает перпендикулярно к неподвижной стене со скоростью v. Определить импульс силы I, с которой стена действует на шар, считая удар абсолютно упругим; С какой средней силой F действовал шар на стену, если длительность удара равна г?
92
III.5. Определить величину средней силы F давления автомата, ( делающего л=300 выстрелов в минуту. Масса пули «1=10 г, а ее начальная скорость п=300 м/с.
III.6. Тележка с песком катится со скоростью и=1 м/с по горизонтальной дороге без трения. В тележку, попадает шар массы т=2 кг, летевший горизонтально навстречу тележке со скоростью и=5 м/с. Определить скорость тележки о, после столкновения, зная, что шар застрял в песке, а масса тележки с песком равна М=\ 0 кг.
III.7. На железнодорожной платформе, движущейся горизонтально со скоростью у=7 км/ч, установлено орудие, ствол которого направлен в сторону движения платформы под углом «=60° к горизонту. Из орудия произвели выстрел, после чего скорость платформы уменьшилась в п=2 раза. Пренебрегая силами трения, найти скорость снаряда, вылетевшего из орудия, если масса снаряда т=1 кг, масса платформы с орудием Л/=100 кг.
III.8. Тело массы т соскальзывает по гладкой доске на неподвижную платформу массы М и остается на ней. Пренебрегая силами трения, найти скорость платформы, зная, что доска расположена вдоль ее оси и образует с горизонтом угол а, причем нижний край доски почти касается платформы, а тело первоначально находилось на высоте И над платформой.
III.9. Из игрушечной пушки, стоящей на гладком горизонтальном столе, ребенок делает два выстрела одинаковыми снарядами массы т. Масса пушки равна М, а ее ствол направлен под углом а к горизонту. Найти отношение и разность дальностей полета снарядов, если при первом выстреле ребенок удерживал пушку неподвижной, а при втором - не касался ее. Скорость вылетающего из пушки снаряда (относительно ствола) считать постоянной и равной и.
Ш.Ю. Два пластилиновых шара движутся перпендикулярно друг другу со скоростями о, и у2. Массы шаров равны я1| и /п2. После столкновения шары слипаются и движутся вместе. Определить скорость движения шаров после столкновения.
III. 11. Летевшая горизонтально со скоростью у=10 м/с граната разорвалась на две части с массами я1,=1 кг и /п2=1,5 кг. Найти величину и направление скорости меньшего куска, если больший после взрыва полетел со скоростью v2=25 м/с в прежнем направлении.
III. 12. Человек массы т переходит с носа на корму лодки, стоящей в озере. Масса лодки равна М, длина - L. Пренебрегая сопротивлением, найти расстояние, на которое передвинется лодка.
93
Ш.13. Лодка массы Мс находящейся в ней человеком массы т стоит в озере. Человек встает и вдет по лодке. С какой скоростью v4 будет двигаться человек относительно воды, если относительно лодки он движется со скоростью V? Трением лодки о воду пренебречь.
III. 14. Человек, находящийся в лодке, начинает бежать вдоль нее с ускорением ач относительно лодки. Пренебрегая силами сопротивления, найти ускорение лодки ал относительно воды. Определить среднюю горизонтальную составляющую Fx силы, с которой бегущий человек действует на лодку.
III. 15. Клин массы М лежит на гладком горизонтальном столе. На образующей угол а с горизонтом плоскости клина сидит жук массы т. С какой скоростью v будет двигаться клин, если жук будет ползти вверх по клину со скоростью и относительно клина? *
III. 16. Человек массы т стоял на санях массы М, а затем начал двигаться относительно саней со скоростью v. Определить закон изменения скорости человека ич относительно земли, если коэффициент трения саней о землю равен ц.
III. 17. Решить задачу III. 12, считая, что сопротивление движению лодки пропорционально скорости ее движения относительно воды.
III. 18. По гладкой горизонтальной дороге со скоростью v = 20 км/ч движется тележка с песком массы А/=200 кг. На нее падает двигавшийся вертикально камень массой т=30 кг, который застревает в песке. Через некоторое время в тележке открывается люк и камень проваливается в него. С какой скоростью и будет после этого двигаться тележка?
III. 19. Две лодки идут параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Когда лодки поравнялись, с первой на вторую переложили груз, а затем такой же по массе груз переложили со второй лодки на первую. Другой раз грузы перекладывали одновременно. В каком из этих двух случаев скорость лодок после перекладывания грузов будет больше? Сопротивлением воды движению лодок пренебречь.
Ш.20. Груз массы т соскальзывает по гладкой призме массы М с углом при основании а, стоящей на гладком горизонтальном полу. Под каким углом Дк горизонту направлена скорость груза?
III. 21. С высоты Н свободно падает шар. Когда шар был на высоте Н!2, в него попадает пуля, летевшая горизонтально со скоростью V. Найти скорость шара при падении на землю, зная, что пуля застряла в шаре и ее масса в п раз меньше массы шара.
94
III. 22. Снаряд, вылетевншй из орудия под углом а к горизонту со скоростью v, разорвался на две равные части в некоторой точке траектории. Первый осколок после взрыва падает вертикально, а второй - под углом /7 к горизонту. Найти величину скорости второго осколка после взрыва.
III. 23. Снаряд массы Л£=1 кг разрывается на два осколка в верхней точке траектории иа высоте /7=60 м. В момент взрыва скорость снаряда была равна v=500 м/с. Первый осколок массы т=0,6 кг полетел вертикально вниз и достиг земли через время г=0,5 с. Найти скорости обоих осколков сразу после взрыва.
III. 24. Снаряд, вылетевший из орудия под углом к горизонту, разрывается на две равные части в верхней точке траектории. Один осколок возвращается к орудию по прежней траектории. Где упадет второй осколок? Одновременно ли упадут осколки на землю?
III. 25. Снаряд разрывается на два одинаковых осколка в верхней точке траектории на высоте /7=19,6 м. Через время г=1 с после взрыва один осколок падает вертикально на землю. На каком расстоянии от места выстрела упадет второй осколок, если первый упал на расстоянии S|=l км?
III. 26. Два груза, соединенные между собой сжатой нитью пружиной, лежат на гладком горизонтальном полу. Как будут двигаться грузы, если пережечь нить?
Ш.27. Как будут двигаться грузы, рассмотренные в предыдущей задаче, если первый из них прислонить к вертикальной стенке?
у - Ву-1 Ш.28. Чаша массы М, внутренняя поверхность которой имеет форму полусферы радиуса R, стоит на гладкой горизонтальной плоскости (рис.Ш.5). Рис. II.5. по гладкод внутренней поверхности чаши из положения А без начальной скорости начинает скользить шарик массы т радиуса г. Найти перемещение чаши, когда шарик попадет в положение В.
III.29. Призму массы т (рис.Ш.6) положили на призму массы М, стоящую на гладкой горизонталь-ной плоскости. Верхняя призма начала скользить по нижней. Какую скорость и будет иметь нижняя Рис. Ш.6. призма, когда верхняя будет двигаться относительно нее со скоростью vl
III.30. Какое расстояние L пройдет нижняя призма, рассмотренная в задаче Ш.29, к моменту касания верхней призмой горизонтальной плоскости? Длина оснований призм дана на рис.Ш.6.
95
Ш.31. Тело массы Л/=0,4 кг, лежавшее на поверхности земли, поднимают вертикально вверх, действуя силой F=15 Н. Найти изменение потенциальной энергии системы “Земля-тело” к моменту времени, когда кинетическая энергия тела станет равной JVK=1O Дж.
III.32. На тело массы т=1 кг, движущееся со скоростью о=1 м/с, начала действовать постоянная сила, направленная противоположно скорости тела. Найти работу этой силы к моменту времени, когда скорость тела после изменения направления будет в н=2 раза больше первоначальной по модулю.
III.33. Фигурист массы М=60 кг, стоящий на льду, ловит мяч массы т=0,5 кг, летящий горизонтально со скоростью и=20 м/с. На какое расстояние откатится фигурист с мячом, если коэффициент трения коньков о лед равен //=0,05? /
III.34. Из орудия массы Л/=450 кг вылетает снаряд массы т=5 кг в горизонтальном направлении со скоростью и=450 м/с. После выстрела орудие откатывается на расстояние s=45 см. Найти среднее значение силы торможения, действовавшей на орудие.
III.35. Между двумя тележками массы mt и т2, стоящими на горизонтальных рельсах, находится скрепленная с тележками сжатая нитью пружина. После пережигания нити первая тележка проходит до остановки расстояние Считая коэффициент трения тележек одинаковым, найти величину перемещения второй тележки.
III.36. Найти работу по поднятию груза массы т=100 кг с ускорением аг=1 м/с2 по гладкой наклонной плоскости длиной А=2 м, если угол наклона плоскости к горизонту равен сг=30°.
III.37. Вверх по плоскости, образующей с горизонтом угол а, со скоростью v толкнули шайбу. На какой высоте, относительно начальной точки, кинетическая и потенциальная энергии шайбы станут равными, если коэффициент трения шайбы о плоскость равен //?
III.38. Вверх по плоскости, образующей с горизонтом угол о=45°, со скоростью гз=10 м/с толкнули шайбу, коэффициент трения которой о плоскость /г=0,2. На какую высоту h может подняться шайба по плоскости и с какой скоростью и она пройдет начальную точку?
III.39. Какой путь могут преодолеть сани до остановки при подъеме в гору под углом а к горизонту, если в начальный момент они имели скорость v, а двигаясь по такой же, но горизонтальной дороге с той же начальной скоростью, они преодолевают расстояние L.
III.40. Сани соскальзывают с ледяной горки высотой h и останавливаются, пройдя расстояние ВС по горизонтальной поверхности льда (рис.Ш.7). Найти коэффициент трения саней о лед, если AC=s.
'96
Считать, что в конце горки (т. В) удара соней нет, и вблизи от этой точки нет трения.
А___Хкв__с III.41. Изменится ли расстояние ВС, о котором говорилось в предыдущей задаче, если при
Рис. Ш.7. TOj- же высоте ГОра будет более пологой? Будут ли двигаться сани без начального толчка по горе, основание которой равноа высота - А?
Ш.42. По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, скользит небольшая шайба. Когда шайба опустилась на высоту Н, начав движение из состояния покоя, она ударилась о закрепленную перпендикулярно плоскости, стенку. Определить высоту А, на которую поднимется шайба после удара, считая удар идеально упругим, а коэффициент трения шайбы о плоскость равным ц.
Ш.43. На столе высотой А закреплена плос-н кость, образующая с горизонтом угол а. Из точ-
111" ™1 "’Тр5- ки, находящейся на высоте Н от поверхности jJ_________I. стола (рис.III.8), из состояния покоя соскальзы-
Рис. III.8. вает небольшой брусок. Коэффициент трения
бруска о плоскость равен ц. На каком расстоянии (по горизонтали) от нижнего края плоскости, брусок упадет на пол?
Ш.44. Какую работу нужно совершить человеку массу т, чтобы за время г подняться по движущемуся вниз эскалатору на высоту А, если скорость эскалатора равна V, а угол его наклона к горизонту равен а?
III.45. Тело массы т=2 кг, брошенное вертикально вниз с высоты 77=250 м со скоростью о=20 м/с, углубилось в песок на s=2 м, Пренебрегая влиянием воздуха, найти среднюю силу сопротивления песка.
Ш.46. Однородный брусок массы т с размерами b х 2b х 4А кладут поочередно разными гранями на горизонтальную плоскость. Определить потенциальную энергию системы “брусок-земля” в каждом из трех случаев, выбирая за начало отсчета плоскость и считая, что в первом случае вертикально расположено наиболее короткое, а в третьем - наиболее длинное ребро бруска.
Рис. Ш.9.
Ш.47. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы опрокинуть однородный кубик массы т, длина ребра которого равна а?
Ш.48. Однородный кубик массы т=1 кг с длиной ребра а=10 см, разрезанный по диагональной плоскости АВАЛ7 (рис.Ш.9), стоит на горизонтальной плос-
4-203
• 97
кости. Какую работу нужно совершить, чтобы положить его верхнюю половину на грань MDCL?
Ш.49. Веревку длиной L положили на гладкую горизонтальную доску с отверстием так, чтобы с 1.1 доски свешивался конец длиной b (рис.III. 10). Ка-Рис. ШЛО. кую скорость будет иметь веревка в момент соскальзывания с доски, если она начала движение из состояния покоя?
1П.50. Прямоугольная яма глубиной Н с площадью дна $ наполовину заполнена водой. Какую минимальную работу должен совершить насос, подающий воду на поверхность через цилиндрическую трубу радиуса R, чтобы осушить яму за время г?
III.51. На гладкой горизонтальной плоскости тВ±Е.----------- лежит доска массы М, а на ней небольшой бру-
сок массы т (рнс.Ш. 11). Под действием силы F, Рис.Ш.11. направленной горизонтально, брусок скользит по доске. В первом случае доску удерживают неподвижной, а во втором - она свободно скользит по плоскости. Одинаковое ли количество тепла выделится при достижении бруском края доски в обоих случаях?
Ш.52. На край доски массы А#=3,2 кг длиной L=1 м, лежащей на гладкой горизонтальной плоскости, положили небольшой свинцовый брусок массы т=1,6 кг (рнс.Ш.П). На брусок действуют направленной горизонтально силой F=12 Н. Найти работу А, совершенную над доской к тому моменту, когда брусок переместится относительно земли на расстояние 5=1 м, если коэффициент трения между бруском и доской равен //=0,25.
Ш.53. На краю длинной тележки массы М, стоящей на гладкой горизонтальной площадке, лежит тело массы mt, коэффициент трения которого о тележку равен /л. В тело попадает пуля массы т, летевшая горизонтально со скоростью v вдоль оси тележки, и застревает в нем. На какое расстояние переместится тело по тележке?
Ш.54. Вагон массы т1=20 т, катящийся по горизонтальным рельсам со скоростью Ui=2 м/с, догоняет другой вагон массы т2=40 т, движущийся со скоростью ц2=1 м/с, и сцепляется с ним. На сколько изменилась кинетическая энергия вагонов после сцепки?
Ш.55. Между двумя свинцовыми шарами с массой mt=l кг и т^=2 кг, движущимися навстречу друг другу со скоростями U]=20 м/с и о2=4 м/с, происходит неупругий центральный удар. Найти количество тепла, выделившееся при ударе.
98
Ш.56. Две лодки движутся параллельными курсами по озеру навстречу друг другу со скоростью о=6 м/с. Когда они поравнялись, с первой лодки на вторую переложили груз массы т=60 кг. После этого вторая лодка стала двигаться со скоростью и=4 м/с в прежнем направлении. Пренебрегая сопротивлением, найти массу второй лодки, если масса первой =500 кг. Найти кинетическую энергию лодок и груза до и после перекладывания и объяснить причину ее изменения.
III.57. Шар массы ть движущийся со скоростью v, налетает на неподвижный шар массы гп2. Происходит упругий центральный удар. При каком соотношении масс шары после удара разлетятся в противоположные стороны с равными по модулю скоростями?
III.58. Определить отношение кинетической энергии Wr2 второго из шаров, рассмотренных в предыдущей задаче, после удара к кинетической энергии IVKi первого шара до удара. Провести расчет для случаев: 1) т2=т}/2', 2) т2=ть 3) m2=2nii, 4) m2»mi.
IH.59. Между шарами, летящими навстречу друг другу происходит неупругий центральный удар. При каком условии шары после удара будут двигаться в сторону первоначального движения шара, обладавшего меньшей энергией, если массы шаров равны пц и т2 и второй шар обладает в п=20 раз большей кинетической энергией?
III.60. Легкий шар, движущийся со скоростью v, налетает на тяжелую стену, движущуюся навстречу со скоростью и. Найти скорость шара после упругого удара и изменение его кинетической энергии.
III.61. Два маленьких шара, отношение масс которых и=3, двигавшихся взаимно перпендикулярно, столкнулись. В результате легкий шар остановился. Какая часть его кинетической энергии превратилась в тепло?
III. 62. В шар массы М, лежавший на кольце, попадает пуля массы т и пробивает его. Скорость пули » была направлена вертикально вверх вдоль прямой, проходящей через центр шара. На какую высоту над кольцом поднимется пуля, если шар подскочил на высоту А?
Ш.63. В кубик массы М, лежащий на гладкой горизонтальной плоскости попадает пуля массы т, летевшая горизонтально вдоль прямой, перпендикулярной грани кубика и проходящей через его центр. Известно, что пуля пробивает кубик, если ее скорость больше и. С какой скоростью v будет двигаться кубик, если скорость пули пи (л>1)? При какой скорости пули ит скорость кубика будет максимальной? Считать, что сопротивление движению пули в кубике не зависит от скорости ее движения.
4* 99
И1.64. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две шайбы разной массы. На вторую более легкую налетает третья шайба, движущаяся со скоростью v вдоль прямой, проходящей через центры всех шайб. Считая все соударения упругими и зная, что масса третьей шайбы равна массе первой и в 2 раза больше массы второй, определить скорости шайб после всех возможных соударений.
III.65. Пять одинаковых упругих шаров подвешены на нитях равной длины так, что шары касаются друг друга вдоль линии центров, а нити вертикальны. Первый крайний шар смещают так, что его нить образует с вертикалью угол а и лежит в той же плоскости, что и нити остальных шаров. Затем шар отпускают без начальной скорости. Повторяя опыт, одновременно отклоняют два крайних шара. Найти максимальные углы отклонения нитей остальных шаров. /
Ш.66. На гладкой горизонтальной плоскости лежат в ряд с небольшими промежутками пять упругих шаров одинакового диаметра так, что их центры лежат на одной прямой. Средний шар сделан из стали, остальные из кости. Масса стального шара равна т„ костяных - т,, причем mc>mK. На первый шар налетает такой же костяной шар, скользящий по плоскости со скоростью v вдоль линии центров. Как будут двигаться шары после окончания всех ударов?
III.67. На гладкой горизонтальной плоскости находятся два небольших шара одинакового диаметра, но разной массы. Легкий шар покоится, а тяжелый шар скользит вдоль прямой, проходящей через центры шаров. На расстоянии £=50 см за легким шаром расположена вертикальная стенка, плоскость которой перпендикулярна скорости движения тяжелого шара. На каком расстоянии х от стенки произойдет второе соударение шаров, если отношение их масс равно п=2, а удар является упругим?
III.68. Кубик массы т=1 кг положили на гладкую плоскость, образующую с горизонтом угол «=30°, сообщив ему начальную скорость о=2,2 м/с. Опускаясь вниз, кубик прошел вдоль\плоскости расстояние L=1 м и ударился о пластилиновый шар массы М=2 кг, подвешенный на достаточно длинной нити. Удар был\прямым центральным неупругим. На какую высоту может подняться шар от исходного положения? I
III.69. Два небольших упругих шарика подвешены на нитях длиной Ц и L2 так, что линия их центров горизонтальна, шарики касаются друг друга, а нити вертикальны. Масса первого шарика равна znb второго - т2. Первый шарик смещают так, что его нить остается натянутой, лежит в первоначальной вертикальной плоскости и образует
100
с вертикалью угол а. Затем шарик отпускают. На какие углы а. и аг от вертикали отклонятся нити этих шариков после соударения?
Ш.70. В лежащий на гладкой горизонтальной плоскости кубик массы М=1 кг попадает пуля массы т=20 г, скорость которой при ударе была равна v=200 м/с и направлена горизонтально вдоль прямой, проходящей через центр кубика перпендикулярно одной из его граней. Сколько выделится теплоты, если пуля пробьет кубик и на вылете будет иметь скорость в п=2 раза меньше начальной?
Ш.71. Летевшая горизонтально со скоростью ь>=200 м/с пуля массы ш=10 г пробивает доску и застревает в центре шара массы М= 90 г, подвешенном на нити длиной L=\ м за доской. В результате нить отклоняется на угол а=60°. Сколько всего выделилось теплоты Q и сколько выделилось теплоты Qt при прохождении пули через доску?
—III.72. Под каким.углом ^разлетятся два оди-наковых гладких упругих шара после удара, если o/v- /’'к один из них покоился, а другой летел со скоро-.....: стью V, направленной под углом а к прямой, проходящей через центры шаров в момент удара Рис. III. 12. (рис.Ш.12)?
©III.73. Два одинаковых гладких упругих шара радиуса R, летящих со скоростями vt и v2, направ-I ’............ ленными в противоположные стороны, столкну-
лись (рис.III. 13). Найти скорости шаров после Рис. III.13. удара, если расстояние между линиями движения центров шаров равно rJ3.
Ш.74. В возбужденном состоянии покоящийся атом массы М
имеет энергию, превышающую его энергию в основном состоянии на величину AW. Какую минимальную кинетическую энергию должен иметь электрон массы т, чтобы возбудить покоящийся атом?
III.75. Чтобы ионизировать покоящийся атом водорода, электрон должен иметь энергию не менее W>2,2»1018 Дж. Какой минимальной энергией Wp должен обладать протон, чтобы ионизировать покоящийся атом водорода, если масса протона тр в и=1836 раз больше массы те электрона?
III.76.__На горизонтальной гладкой плоскости стоит ящик с песком _________l2^m Macct>i М, прикрепленный к стене легкой пру-М жиной жесткости к. В ящик попадает пуля мас-сы т, летевшая под углом а к горизонту со П.14. скоростью v (рис.III.14). На сколько макси-
мально сожмется пружина, если пуля застревает в ящике?
101
Рис. III. 16.
Ш.77. Кусок пластилина массы т свободно падает на середину доски массы М, лежащей горизонтально на легкой пружине жесткости к, и мгновенно прилипает к доске. Определить максимальное сжатие пружины от недеформированного состояния.
III.78. К двум пластинам прикреплена легкая пружина, сжатая нитью, совпадающей с ее осью, проходящей через центры масс пластин и располо-женная вертикально (рис.Ш.15). Нижняя пластина Z3 массы т2 лежит на горизонтальной плоскости. Мас-Рис. III.15. са верхней пластины равна mt. В недеформирован-ном состоянии длина пружины равна Lo, в деформированном - L. Жесткость пружины равна к. На сколько поднимется центр масс системы, если пережечь нить? х
III.79. Конец веревки с линейной плотностью р, лежащей на верхней площадке (рис.Ш.16), переброшен через блок и опущен на площадку, расположенную ниже. Веревка перетекает с верхней площадки на нижнюю. Пренебрегая трением и толщиной веревки, найти установившуюся скорость ее движения, если
расстояние по вертикали между площадками равно Н.
III.80. Резиновая шайба падает со скоростью опод углом а на поверхность льда. Коэффициент трения шайбы о лед равен //. Сколько прыжков в горизонтальном направлении сделает шайба? Считать, что при вертикальном падении удар шайбы о лед был бы абсолютно упругим, плоскость шайбы все время остается горизонтальной, а временем соударения можно пренебречь.
III.81. Автомобиль массы Л/=1,5 т начинает движение по прямолинейной горизонтальной дороге с ускорением а=1 м/с2. Коэффициент трения равен //=0,1. Найти: а) работу двигателя за первые г=10 с движения, б) среднюю мощность NQf за это время, в) мощность Mr), развиваемую двигателем в конце заданного промежутка времени.
III.82. Автомобиль массы т со всеми ведущими колесами трогается с места. Коэффициент трения колес о дорогу равен //. Найти зависимость скорости автомобиля от времени, пренебрегАя силами сопротивления, если двигатель развивает постоянную мощность N.
III.83. Для взлета самолет массы М=\ т должен иметь скорость не менее и=80 км/ч. Какую минимальную мощность должен иметь мотор, чтобы этот самолет мог взлететь с полосы длиной £=100 м, если во время разгона самолет движется равноускоренно, преодолевая силу сопротивления F=2 кН? /
102
III.84. Локомотив ведет поезд вверх по склону под углом а к горизонту со скоростью V. С какой установившейся скоростью будет двигаться этот же поезд под уклон под углом ft к горизонту, если двигатели локомотива развивают одну и ту же мощность и сила сопротивления движению одинакова в обоих случаях?
III.85. Ребенок везет за веревку санки массой т=10 кг в гору под углом а=30° к горизонту с постоянной скоростью и=0,5 м/с. Коэффициент трения полозьев о снег равен //=0,1. Веревка образует с поверхностью горы угол /5=45°. Определить мощность, необходимую для движения санок при указанных условиях.
IV. ДИНАМИКА КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
Основные положения и законы
п.1. Ускорение а точки при произвольном криволинейном движении (см. п.1.10) можно разложить на две составляющие: нормальную а„ и тангенциальную аГ Нормальная составляющая а„ направлена по радиусу кривизны к центру кривизны траектории в данной точке, а тангенциальная аТ - по касательной к траектории в сторону возрастания траекторной координаты. Если траектория является окружностью, то нормальную составляющую часто называют центростремительным ускорением. \
п.2. При решении задач данного раздела в качестве системы отсчета обычно выбирают такую неподвижную инерциальную декарто-вую систему XYZ, оси которой параллельны соответственно главной нормали, тангенциальной и бинормальной осям естественной системы (см. п.1.4) для рассматриваемого момента времени. Тогда уравнение движения точки в проекциях на оси системы XYZ с учетом того, что ar=-v~/R и ah=Q, можно записать в виде: ,
тах = та„ = mv~/R = Fx Xх
тах = тах - Fy / (IV, 1 у
таг = таь = 0 = Fz,
где v - скорость точки; R - радиус кривизны траектории; F„ F.,hF,_ суммы проекций на соответствующие оси всех сил, действующих на точку в рассматриваемый момент времени.
п.З. Первый закон Кеплера: планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
п.4. Второй закон Кеплера: отрезок прямой, соединяющей Солнце и планету, за одинаковые промежутки времени заметает одинаковые площади.
п.5. Третий закон Кеплера: Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
104
Примеры решения задач
Задача IV.1. Автомобиль массы Л/=6 т движется по выпуклому мосту с радиусом кривизны /?=60 м со скоростью i>=36 км/ч. Найти силу Р давления автомобиля на середину моста. При какой скорости движения автомобиль не будет давить на мост в указанном месте?
Решение. Поскольку автомобиль движется с по-стоянной по величине скоростью, тангенциальное ус-корение равно нулю. Поэтому сумма проекций на на-/ - н m \ правление касательной к траектории всех сил, действующих на автомобиль, равна нулю. В середине Phc.IV.I. моста касательная к траектории совпадает с горизонталью, нормальное ускорение a„=v~IR автомобиля направлено вертикально вниз и определяется равнодействующей сил тяжести F,„=mg и нормального давления N моста на автомобиль (см. рис-IV.l). Согласно второму закону Ньютона
F„,+ N = та„ или
mg + NX = mv2/R,
где Nx - проекция силы давления N на ось ОХ, направленную вертикально вниз, g~9,81 м/с2 - ускорение свободного падения. Поскольку по третьему закону Ньютона искомая сила Р и сила давления N связаны соотношением
P = -N то
р = W = m(g - и2//?)« 48,9 кН.
Из последнего соотношения следует, что с ростом скорости сила давления Р автомобиля на мост уменьшается и при скорости
vmi„ = yJgR ~ 24,3 м/с « 87,3 км'ч
обращается в нуль.
Задача IV.2. На шероховатом горизонтальном диске, начинающем вращаться с угловым ускорением с вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, на расстоянии г от нее лежит маленький кубик. Определить силу F, действующую на кубик со стороны диска в момент времени t при условии, что кубик остается неподвижным относительно диска.
)05
Рис.1У.2.
Решение. Если пренебречь влиянием воздуха, то на кубик действуют сила тяжести Fm =mg и искомая сила F. Силу F можно разложить на две составляющие: нормальное давление N, направленное вертикально вверх, и трение FTp, направленное горизонтально.
Будем решать задачу, используя инерциальную систему отсчета, ось ОХ которой направлена горизонтально от кубика к оси вращения, ось OY - по касательно^ к траектории движения кубика в рассматриваемый момент времени, а ось OZ - вертикально вверх (см. рис.IV.2). Тогда уравнение движения кубика примет вид:
Щ«л=/трх, may=f^y, ma. = Nz-mg. \
Учитывая, что ал-я„(/)=14?2(/)г, ау =ajf)=er, az=0 и (см.
п.1.13,141 получим: j
Apx(f) = = тег, N.(f) = mg.' j
Отсюда величина искомой силы F равна
F = ^2+/т2р = 7№+/Л.г+/т2рг = mVg2+5^1 + f2f4) •
Полученное решение справедливо для моментов времени, при которых расчетное значение силы трения /тр=,пег y[l + e2t4 не превышает предельного значения/TpOTZ„=/zV, где /л - коэффициент трения кубика о диск, т.е. пока кубик покоится относительно диска.
Задача IV.3. Небольшое колечко массы т надето на тонкий гладкий обруч радиуса /?, плоскость которого вертикальна. Колечко начинает скользить вниз из верхней точки обруча без начальной скорости. Найти закон изменения силы давления F колечка на обруч в зависимости от высоты А, на которую опустилось колечко.
колечко действуют сила тяжести mg и сила нор
мального давления Д' обруча. В момент времени, когда колечко опустилось на высоту А, уравнение его движения в проекции на ось ОХ инерциальной системы координат, направленной от колечка к центру обруча (см. рис.IV.3), имеет вид:
. h
R \о
X mg.
Phv. 1V.3.
Решение. На
106
mgcos a + Nx = mv2/R,
где cos a=(R-h)/R в соответствии с рис.IV.3, д - скорость колечка, Nx - проекция силы давления N на ось ОХ. Поскольку обруч гладкий, проекция силы N на направление, перпендикулярное оси ОХ, равна нулю.
Из закона сохранения энергии следует, что mv~/2=mgh. Поэтому
Nx = mg(3h - R')/R.
По третьему закону Ньютона искомая сила F=-N, следовательно
Fx= mg(R - 3h)!R.
Отсюда видно, что с ростом h сила давления кольца на обруч вначале уменьшается, оставаясь направленной к центру обруча, обращается в нуль при h=R/3, а затем начинает увеличиваться, изменив свое направление.
Задача IV.4. Определить зависимость силы тяжести, действующей на тело, находящееся в заданной точке на поверхности Земли.
Решение. Будем считать Землю однородным шаром радиуса Rs = 6370 км, вращающимся вокруг своей оси с периодом 7’0=24ч. Дейст-вием всех остальных планет и Солнца, 4 как и движением Земли по орбите, бу-//Т дем пренебрегать. При этих предполо-~______________£/ I жениях сила тяжести будет зависеть
jr , лишь от широты, на которой находится
/ ^г/1 \ тело. Будем определять положение те-
/ _------J \ ла его геофизической широтой <р, т.е.
Хф Л’Рг'' углом, образуемым радиусом Земли, \ ° А про-веденным в точку нахождения тела
и плоскостью экватора (см. pHc.IV.4).1 Тогда на тело действуют: сила притя-
Phc.IV.4. жения тела к Земле Frp, направленная
по радиусу Земли к ее центру и сила реакции подвеса N (или гладкой горизонтальной плоскости см. п. И.2). Ни величину, ни направление силы N мы не знаем, но можем их определить из 2-го закона Ньютона
N + FTp = F„ = та„ =та>р,
1 Географическая широта <Рг - угол между плоскостью экватора и вертикально в данной точке Земли.
107
где F„ - результирующая сил N и F^, т - масса тела, р = R3cos<p -радиус вращения, а>= 2л/Г0.
Применяя теорему косинусов к треугольнику FnMF^, получим
N = ^Frp + Fn - 2Frp Fn COS <P
Если ускорение свободного падения на полюсе Земли
FTV GM, / ,
£пол= — = —г--9,832 л/Д2, т
где G - гравитационная постоянная, М3 - масса Земли, то
N = т
f 2 V 2 2 1
\а> R3cos<pJ -2gn01® R3 cos <p . |
Учитывая, что g20J1 «1О2.м2/с4 много больше максимального значения 2g co2R3 cos2 (р ® 0,65м2/с4 , которое в свою очередь много больше (fi>2/?3 cos<pj ®1,110~3 м2/с4 , величина силы реакции подвеса
I 2<а2/?з cos2 т [ а>2R3 cos2 <р
N ~ mg пол.1 ® mg пол 1
\ S пол i R пол
Последнее выражение записано с учетом формулы приближенного вычисления
Подставляя в это выражение числовые значения всех величин в системе СИ, получим
N = (9,832-0,034 cos2 <р)т.
(1)
Опыт показывает, что среднее максимальное изменение величины ускорения свободного падения на поверхности Земли (Ag = gn0JI - g3KB) составляет примерно 5,2 см/с2, в то время как согласно уравнению (1) оно должно составлять 3,4 см/с2. Указанное различие объясняется тем, что Земля имеет форму сплюснутого сфе
108
роида вращения, а не шара. Кроме того из-за локальных неоднород ностей (крупные месторождения железа, газа и т.д.), ускорение свободного падения зависит не только от широты ср, но и долготы в.
Таким образом, сила тяжести FTSIX = -N также зависит от положения тела на Земле.
Во всех точках, кроме полюсов Земли и экватора направление вертикали отличается от направления к центру Земли.
Задачи для самостоятельного решения
Рис.1У.5.
IV. 1. Два одинаковых маленьких шарика А и В связаны нитью, которая продета через трубку, как показано на рис.IV.5. Шарик В лежит на горизонтальном диске, вращающемся с угловой скоростью со, на расстоянии г от оси. При какой угловой скорости со шарик А будет находиться в положении равновесия?
Будет ли это равновесие устойчивым? Трением пренебречь.
Phc.IV.6.
к
' IV.2. Шарик массы щ=200 г может скользить внутри гладкой горизонтальной трубки, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со=2 с'1 (рис.1У.6). К шарику прикреплена пружина жесткости k=4 Н/м, другой конец которой закреплен на оси так, что ось пружины горизон
тальна. В недеформированном состоянии длина пружины равна L=20
см. Найти удлинение пружины ДА.
IV.3. На каком расстоянии г от центра горизонтального диска, вращающегося с частотой и=120 об/мин, нужно поместить небольшое тело, чтобы оно не соскальзывало с диска, если коэффициент
трения между диском и телом равен //=0,2?
IV.4. Два свинцовых кубика с массами кг и №=3 кг, связан-
ные нитью, движутся по гладкой горизонтальной плоскости по кон
центрическим окружностям так, что нить все время натянута и центр масс кубиков остается неподвижным. Полная кинетическая энергия этой системы W=62 Дж. Найти скорости кубиков.
IV.5. Однородный стержень массы М длиной L вращается с угловой скоростью со в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Определить натяжение стержня в сечении, находящемся на расстоянии г от оси вращения.
109
IV.6. Легкая штанга с грузом на конце шарнирно прикреплена к вертикальному валу (рис.IV.7). При некоторой скорости вращения штанга отклоняется от вертикали на угол а, синус которого равен 0,6, а ее натяжение То=9О Н. Найти натяжение штанги при уменьшении угловой скорости вращения вала в «)=!,! и п2=1,5 раза.
IV.7. К нижнему концу легкой пружины жесткости к длины Lq в недеформированном состоянии прикреплен свинцовый шарик массы М (рис.IV.8). Верхний конец пружины закреплен на вертикальном валу, вращающемся с угловой скоростью со. Определить длину
Рис.IV.7.
L пружины и расстояние Н между точкой подвеса
Рис.IV.8. пружины и плоскостью траектории шарика. /
IV.8. На горизонтальном вращающемся столе вертикально Закреплен стержень, к верхнему концу которого привязана нить длиной L=6 см. К концу нити прикреплен небольшой шарик, С какой угло
вой скоростью со вращается стол, если нить образует с вертикалью
угол а =45°? Стержень находится от оси вращения на расстоянии г=10 см.
IV.9. В вагоне поезда, идущего по закруглению радиуса R со скоростью v, взвешивают на пружинных весах груз массы т. Найти показание весов.
IV.10. Тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити, другой конец которой закреплен, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости (конический маятник). Расстояние от этой плоскости до точки закрепления равно Н. Найти период обращения груза, если точка закрепления нити относительно Земли а) неподвижна, б) движется с ускорением а, направленным вертикально вверх.
IV. 11. Маленький шарик движется без трения по ч | ) внутренней поверхности конуса с уголом при вер-
\ / шине а=60°. Ось конуса вертикальна (рис.IV.9).
г \ л/ Найти радиус г окружности, по которой движется VT7 шарик, если частота обращения п^л'С1.
" <л IV. 12. Гладкий горизонтальный стол вращается вокруг своей вертикальной оси со скоростью со. На Рис. IV.9. столе лежит шарик массы т, прикрепленный к оси
нитью длиной L, образующей с горизонтом угол а. Определить натяжение нити и давление шарика на стол.
НО
IV.13. Найти силу нормального давления тележки массы т, движущейся со скоростью v по горизонтальному (Ni), выпуклому (N2) и вогнутому (N3~) мостам радиуса R в высшей и низшей их точках.
IV. 14. Автомобиль со всеми ведущими колесами движется по выпуклому мосту радиуса 7?=40 м со скоростью v=50 км/ч. Какое максимальное ускорение в горизонтальном направлении может иметь автомобиль в наивысшей точке моста, если коэффициент трения колес о мост равен //=0,6?
IV. 15. Самолет, летящий со скоростью и=280 км/ч, делает “мертвую петлю” радиуса /?=100 м. С какой силой летчик массой т=80 кг давит на кресло самолета в верхней и нижней точках петли?
. IV. 16. В самолете, делающем “мертвую петлю”
радиуса R с постоянной скоростью v, пристегнув-t * шись к креслу, сидит летчик массы т. Найти силу F,
о J -3 действующую на летчика со стороны кресла и рем-ней, когда самолет находится в точке А, показанной Рис.IV.10. на рис.IV.10.
IV.17. Математический маятник длины L массы т отклонен до ^Горизонтального положения и отпущен. Какова минимальная прочность нити, если она не рвется при прохождении маятником положения равновесия?
IV.18. Грузу математического маятника массы т=] кг сообщили ударом такую скорость, что маятник сделал полный оборот в вертикальной плоскости. В верхнем положении груза натяжение нити маятника было в п=2 раза меньше, чем в состоянии покоя. Найти натяжение нити маятника в момент прохождения им положения равновесия.
. IV. 19. Свинцовый груз массы т=1 кг, привязан-
f ' “/iK ный к нити Длины С=0,4 м, движется по окружности I \ в вертикальной плоскости (рис.IV.И). Определить
I О; ] натяжение нити при прохождении грузом точек А, В
У и С, если в точке А скорость груза i>=8 м/с. Угол ту j 1 АОВ равен <2=60°. При какой минимальной скоро-
’ ’ ‘ сти груз пройдет точку А?
IV.20. Груз массы т=180 г, подвешенный на длинной натянутой нити, отпускают без начальной скорости из положения, когда нить образует с вертикалью угол <2=90°. Известно, что нить может выдержать нагрузку Т < 2,7 Н. Определить угол, образуемый нитью с вертикалью, в момент ее разрыва.
111
IV.21. Когда груз математического маятника проходит положение равновесия, нить испытывает натяжение в п=2 раза' большее силы тяжести, действующей на груз. На какой максимальный угол от вертикали отклоняется нить?
IV.22. Груз массы т, подвешенный на длинной натянутой нити, отпускают без начальной скорости, когда нить образует с вертикалью угол а. Найти натяжение нити в тот момент, когда она будет образовывать с вертикалью угол <р.
IV.23. На высоте Л=6 см от горизонтальной мраморной плиты на нити длины Л=24 см подвешен стальной шарик. Его смещают так, что нить натянута горизонтально, и отпускают без начальной скорости. Нить оборвалась в тот момент, когда образовывала с вертикалью угол «=60°. На какую высоту подпрыгнет шарик после удара о.пли-ту?
IV.24. Математический маятник массы т длины L подвешен в вагоне, движущемся прямолинейно по горизонтальному пути с ускорением а. В тот момент, когда нить маятника была отклонена от положения равновесия на угол а, скорость груза маятника была равна v. Найти натяжение нити в указанный момент.
IV.25. Грузик, подвешенный на длинной нити, смещают так, что нить натянута горизонтально, и отпускают. Какой угол с вертикалью образует нить в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости грузика максимальна?
IV.26. При каких углах отклонения нити от вертикали ускорение грузика, рассмотренного в предыдущей задаче, направлено вертикально, а при каких горизонтально?
IV.27. Небольшая шайба лежит на вершине полусферы радиуса R. Резким ударом шайбе сообщили такую скорость в горизонтальном направлении, что она оторвалась от полусферы в начальной точке. Какую скорость сообщили шайбе?
IV.28. Небольшая шайба соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой полусферы радиуса R. На какой высоте от основания полусферы шайба оторвется от нее?
IV.29. Из верхней точки гладкой полусферы радиуса Я=180см, закрепленной на горизонтальной плоскости, начинает соскальзывать маленький брусок. Определить промежуток времени между моментом отрыва бруска от полусферы и его падением на плоскость.
IV.30. Небольшое тело массы М соскальзывает с вершины полусферы радиуса R. Коэффициент трения тела о поверхность полусферы равен /л. В тот момент, когда прямая, соединяющая тело и центр
112
Phc.IV. 13.
полусферы, образует с вертикалью угол а, скорость тела равна v. Определить тангенциальное ускорение тела и силу его давления на полусферу в указанный момент.
IV.34. На упругой горизонтальной плоскости закреплен гладкий шар Иадиуса R. С вершины шара из состояния покоя начинает соскальзывать небольшая стальная шайба. До какой максимальной высоты может подпрыгнуть шайба после удара о плоскость?
IV.32. Шайба начинает скользить без начальной скорости с высоты Н по гладкому желобу, переходящему в “мертвую петлю” радиуса R (рис.IV. 12). Определить минимальную высоту //„„,„ при которой шайба не будет отрываться от желоба.
IV.33. На нити длиной L к точке О подвешен шарик. Его отклонили так, что нить натянута под углом а к вертикали (рис.IV.13), и отпустили. На каком расстоянии х от точки О" по вертикали следует вбить гвоздь В, чтобы шарик двигался по окружности вокруг гвоздя?
IV.34. Найти в точке В (pnc.IV. 14) силу давления и полное ускорение небольшой шайбы массы т, начавшей скользить с высоты Н по гладкому желобу, переходящему в “мертвую петлю” радиуса/?.
Рис. IV. 14.
IV.35. По наклонному желобу, переходящему в “мертвую петлю”
радиуса R=5 м, с высоты //=10 м скатывается тележка малых размеров, получив начальную скорость v=3 м/с. На какой высоте й тележка оторвется от желоба?
—IV.36. На краю желоба, размеры и форма ко-торого показаны на рис.IV. 15, в точке А лежит а___ ____J ) небольшая шайба. Какую горизонтальную ско-
рость v нужно сообщить шайбе, чтобы она, опи-Phc.IV. 15. сав полуокружность, упала в точку А? Изогнутая часть желоба гладкая. Коэффициент трения шайбы о горизонтальную часть желоба равен р.. При какой длине L горизонтального участка задача имеет решение?
IV.37. Небольшая шайба соскальзывает по гладкому наклонному желобу, переходящему в “мертвую петлю” радиуса R. До какой высоты й0 от нижней точки желоба может подняться шайба, если она соскальзывает без начальной скорости с высоты //(phc.IV. 12)?
113
IV.38. Горизонтально летящая пуля массы т попадает в брусок массы М, подвешенный на нити, и застревает в нем. Найти натяжение нити, когда пуля прекращает двигаться относительно бруска, если максимальный угол отклонения нити от вертикали равен а, а скорость пули перед ударом была направлена по горизонтали, проходящей через центр масс бруска. Удар считать мгновенным.
IV.39. На нити длины £=50 см висит шарик массы Л/=100 г. В центр шарика попадает летевшая горизонтально пуля массы т=5 г. Какой была скорость пули, если шарик с застрявшей пулей совершил полный оборот вокруг точки подвеса (при натянутой нити)?
IV.40. Пуля массы т=5 г, летевшая горизонтально со скоростью v =500 м/с, попадает в шар массы Л/=0,5 кг, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в центре шара. Стержень может свободно вращаться вокруг точки подвеса. При какой длине стерженя, он после удара может совершить полный оборот вокруг оси?
IV.41. Легкий стержень длины L может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. К другому концу этого стержня прикрепили первый раз малый по размерам груз массы 2М, другой - массы М, но на этот раз в центре стержня закрепили еще и второй груз массы М. Какую горизонтальную скорость нужно сообщить концу стержня с грузом, чтобы он отклонился до горизонтального положения в указанных случаях?
IV.42. Легкий стержень может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. На стержне на расстояниях г, и г2 по разные стороны от оси закреплены точечные грузы массы mt и т2. Стержень отклонили от вертикали на угол а и отпустили. Определить наибольшие линейные скорости грузов.
IV.43. К концам жесткой легкой проволоки длины 2£=0,2 м, согнутой посередине под углом 2а=90°, прикреплены одинаковые шарики. Проволоку повесили на гвоздь, а затем, отклонив так, что одно колено проволоки стало горизонтально, отпустили без толчка. Найти скорости шаров в момент прохождения положения равновесия.
IV.44. Проволочное кольцо массы т радиуса R вращается в горизонтальной плоскости вокруг своей оси, делая п об/с. Определить натяжение проволоки.
IV.45. Из тонкого резинового шнура жесткости к массы М длины L изготовлено кольцо, вращающееся с угловой скоростью а> в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Определить радиус вращающегося кольца.
114
IV.46. Полый конус с углом при вершине 2а вращается с угловой скоростью со вокруг вертикальной осн, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность7 конуса равен р. При каких расстояниях L от вершины до шайбы она будет неподвижной относительно конуса, если шайба находился на 1) внешней и 2) внутренней поверхности конуса?
j IV.47. Определить первую космическую скорость, зная ускорение свободного падения g и радиус планеты R.
) IV.48. Найти скорость v движения спутника по орбите радиуса R вокруг планеты радиуса г, если ускорение свободного падения на поверхности планеты равно g.
IV.49. Найти угловую и линейную скорости орбитального движения спутника Земли, движущегося по круговой орбите с периодом обращения Г= 105 мин.
IV.50. На каком расстоянии от поверхности Луны должен находиться спутник, чтобы он двигался по круговой орбите с периодом обращения 7^=6 ч. Радиус Луны R=1770 км, ускорение свободного падения на поверхности Луны g=l,65 м/с2.
IV.51. Найти период обращения спутника, движущегося вблизи поверхности планеты, плотность вещества которой равна р.
IV.52. Определить среднюю плотность Солнца, если его радиус Яс=7*105 км, а радиус орбиты Земли 7?=1,5«1О8 км.
IV.53. Рассчитать ускорение свободного падения на поверхности Солнца, зная его радиус Яс=7*105 км и радиус орбиты Земли Я=1,5«1О8 км.
IV.54. Определить отношение масс Солнца и Земли, зная, что Луна совершает и=13 оборотов в течение года и среднее расстояние от Земли до Солнца в £=390 раз больше расстояния от Луны до Земли.
IV.55. Зная, что Солнце с Земли видно под углом o»0,01 рад, радиус Земли /?3»6380 км, ускорение свободного падения у поверхности Земли g«9,81 м/с2, а длительность земного года 7»3*1О7 с, найти отношение средних плотностей Земли и Солнца.
IV.56. Две звезды движутся вокруг общего центра масс с постоянными по модулю скоростями V) и и2 с периодом Т. Найти массы звезд и расстояние L между ними.
IV.57. Определить зависимость веса тела Р от его геофизической широты <р. Угловая скорость вращения Земли равна со.
115
IV.58. Найти длительность суток на сферической планете радиуса R, зная, что тела на ее экваторе невесомы и ускорение свободного падения на полюсе планеты равно g. \
IV.59. На экваторе планеты тела весят в п=2 раза меньше, чем на полюсе. Средняя плотность вещества планеты /э=3’103 кг/м3. Найти длительность суток на этой планете.
IV.60. С какой силой давит космонавт на кресло, находясь в спутнике на круговой орбите?
IV.61. На спутник Земли массой т=100 кг, движущийся в верхних слоях атмосферы почти по круговой орбите, действует сила сопротивления F=5’10 4 Н. Найти изменение скорости спутника за один оборот, если высота полета мала по сравнению с радиусом Земли /?=6380 км. у
IV.62. Спутник, движущийся почти по круговой орбите вблизи поверхности Земли со скоростью v, испытывает действие тормозящей силы F со стороны микрочастиц. Полагая, что радиус орбиты спутника изменяется медленно, найти скорость приближения спутника к Земле.
IV.63. При выводе спутника на круговую орбиту на высоту й= 1000 км была совершена работа /1=32 ГДж против сил тяжести. Найти массу спутника, зная ускорение свободного падения и радиус Земли.
IV.64. Какую работу нужно совершить, чтобы перевести спутник с орбиты радиуса Л,=8»103 км на орбиту радиуса /?2=104 км, если механическая энергия спутника на первой орбите равна И7;=25 кДж?
IV.65. Найти изменение энергии спутника массы т=2 т, который из-за торможения в верхних слоях атмосферы переходит с круговой орбиты, расположенной на высоте h|=210 км над поверхностью Земли на орбиту с высотой Л2=200 км, если ускорение свободного падения у поверхности Земли равно g~9,81 м/с2.
IV.66. Длительность года на Нептуне Тн®165 земным годам. Найти отношение радиусов орбит Нептуна и Земли.
IV.67. Определить период обращения Марса, зная, что он находится в к=1,5 раза дальше от Солнца, чем Земля.
IV.68. Спутник движется вокруг Земли по орбите радиуса 7?. В результате кратковременной работы двигателей спутник переходит на эллиптическую орбиту, касающуюся поверхности Земли. Через какое время после включения двигателей спутник приземлится, если радиус Земли равен R3 и действием атмосферы можно пренебречь?
116
IV.69. Спутник движется на высоте Л вокруг планеты радиуса R, лишенной атмосферы. На сколько нужно изменить скорость спутника, чтобы он произвел посадку, если двигатели спутника включаются лишь на короткое время?
1V.70. Скорость спутника, движущегося по эллиптической орбите вокруг планеты радиуса R, в апогее равна vt. Высота апогея Н}, пери-гея - Н2, причем Н2 »R. Найти скорость спутника в перигее.
Ж1. Два спутника Земли, движутся по одной эллиптической Когда середина соединяющего их отрезка совпадала с перигеем, расстояние между спутниками было равно Ь. На каком расстоянии будут сходится спутники, когда середина соединяющего их отрезка будет проходить через апогей? Высота перигея равна Ht, апогея - Н2, радиусЗемли - R. Дугу орбиты между спутниками можно считать отрезком прямой.
V. СТАТИКА
Основные определения и законы
п.1. Основная аксиома статики твердого тела. Две ты, действующие на абсолютно твердое тело, уравновешиваются тогда и только тогда, когда линии их действия лежат на одной прямой, силы равны по величине и действуют в противоположных направлениях. Отсюда следует, что сила, приложенная к твердому пцргу,- скользящий вектор, т.е. перенос точки приложения такой силы вдоль линии ее действия не влияет на изменение механического состояния тела (относительно инерциальной системы отсчета - ИСО)' Далее все тела будем считать твердыми, если иное не оговорено специально.
п.2. Равнодействующая сила — сила, вызывающая такое же изменение механического состояния тела, как и данная система сил.
п.З. Сходящиеся силы - силы, линии действия которых пересекаются. Сходящиеся силы имеют равнодействующую, равную геометрической сумме этих сил.
п. 4. Система параллельных сил F,- (<=1,2,...,д), геометрическая сумма которых не равна нулю, имеет равнодействующую R, равную этой сумме. Линия действия равнодействующей проходит через центр параллельных сил — точку, положение которой определяется радиус-вектором
п / п
rm=i£Firi/iLFi ’ >v.i)
1=1 / 1=1
где г, - радиус-вектор точки, через которую проходит линия действия силы F,-. Обратим внимание, что в формуле (V.l) F,- проекции сил F, на направление одних из этих сил.
п.5. Центр тяжести - точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на все точки тела. В однородном поле тяжести центр тяжести (центр параллельных сил тяжести) совпадает с центром масс (см. п.П.9) тела.
п.6. Плеча силы F относительно оси — кратчайшее расстояние между линией действия силы F и данной осью.
118
п.7. Момент силы F относительно оси — произведение плеча h данной силы на величину проекции /^этой силы на плоскость, пер-пендкулярную оси вращения,
M = hFL. (V.2)
Обычно момент силы считают положительным, если сила стремится повернуть тело относительно данной оси против хода часовой стрел-\отрицательным - по ходу часовой стрелке.
п.8. Пара сил - система из двух равных по величине и направленных противоположно сил, линии действия которых не лежат на одной прямой. Пара сил не имеет равнодействующей. Момент пары сил относительно любой оси, перпендикулярной плоскости действия сил пары, равен произведению плеча пары (расстояние между линиями действия сил пары) на величину силы пары. Обычно момент пары сил считают положительным, если она стремится вращать тело против хода часовой стрелки.
п.9. Тело находится в равновесии, если центр масс этого тела покоится (относительно ИСО) и отсутствует угловое ускорение относительно любой неподвижной (относительно ИСО) оси. Возможны три вида равновесия: неустойчивое, безразличное и устойчивое. При неустойчивом равновесии смещение тел от положения равновесия приводит к появлению сил, стремящихся "увести ’’ тела еще дальше от этого положения, устойчивом — вернуть к этому положению, безразличном - никаких сил не возникает.
п.10. Необходимые и достаточные условия равновесия твердого тела относительно ИСО:
а) сумма всех сил F, (г=1,2,...,и), действующих на тело, равна нулю
=0, (V.3a>
i=l
б) сумма моментов Л/, всех сил относительно любой оси, неподвижной относительно ИСО, равна нулю
п
(V.36)
1=1
При использовании декартовой системы координат (неподвижной относительно ИСО) эти условия будут выполнены, если
119
п п п \
IX =0, ЕЛУ=0, £f,, =0, \(V.3’a)
п п п \
]>,.,=(), £м;з,=0, £м,,=0, (V.W)
1=] 1=1 1=1
где У2Л/=0, 22Л/,v ’ V,М iz ~ суммы моментов всех сил отно-i=i 1=1 1=1
сительно осей OX, OY, 0Z выбранной декартовой системы.
п.11. При неустойчивом равновесии в изолированной консервативной системе потенциальная энергия системы максимальна, устойчивом - минимальна, в безразличном - не зависит от положения тел. Механическая система может иметь несколько равновесных состояний. Абсолютно устойчивое равновесие - состояние, соответствующее наименьшей потенциальной энергии системы.
Примеры решения задач
Задача V.L На находящееся в равновесии тело действуют три непараллельные силы. Зная, что линии действия сил F( и F2 лежат в одной плоскости, доказать, что линии действия сил пересекаются в одной точке, а векторы сил образуют замкнутый треугольник.
Решение. По условию задачи линии действия сил Ft и F2 должны пересекаться в некото-
г, *а1
* рой точке О. Перенесем точки приложения этих сил вдоль линий их действия в точку О и найдем у I их равнодействующую R=Ft+F2 (pnc.V.l). Заменяя силы К, и F2 их равнодействующей, можно
считать, что тело находится в равновесии под действием лишь двух сил F3 и R. Согласно основной аксиоме статики (п.1) равновесие тела под действием двух сил возможно лишь тогда, когда эти силы имеют общую линию действия и F3+R=0. Отсюда следует, .что линия действия силы F3 проходит через точку О и F|+F2+F3=0, т.е. приложенные силы действительно образуют замкнутый треугольник.
Доказанное утверждение о' трех непараллельных силах удобно использовать в тех случаях, когда требуется найти две неизвестные силы по третьей их уравновешивающей, если известна точка приложения одной из неизвестных и линия действия второй силы.
120
Задача V.2. Под каким наименьшим углом а к горизонту может стоять прислоненная к гладкой стене лестница, центр тяжести которой находится посередине, если коэффициент трения лестницы о пол
Решение. / способ. На лестницу действуют силы, показанные на pnc.V.2, которые могут вызвать ее поворот вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Рассмотрим ось, проходящую через точку О2. Момент, создаваемый нормальной составляющей силы реакции пола IVj будем считать положительным, а моменты сил тяжести mg и трения FTp - отрицательными, поскольку эти силы стремятся
равен //?
повернуть лестницу в противоположную сторону. Если длина лестницы равна 2L. то относительно выбранной оси плечо силы тяжести будет равноL cos а, силыNt-2 L cos а, силы FTp- 2L sin а. Поэтому на основании уравнения (V.36) получим:
(2NX - mg)L cos а - 2/грЛ sin а = О,
(1)
т.к. момент силы реакции стены равен нулю - нулю равно плечо этой силы относительно выбранной оси.
Из условия отсутствия ускорения центра масс лестницы (V.3a) с учетом выбора положительных направлений осей ОХ и OY следует
Nt-mg = О, Л^2-/тр=0.
(2)
(3)
Решая совместно уравнения (1) и (2), получим
tg а =
Поскольку максимальная величина силы трения покоя (см. п.П.6>
frpmax —
наименьший угол наклона а лестницы к горизонту
ami„ = arc ctg 2ц.
<4)
(5>
121
II способ. Пусть ось вращения проходит через точку О±, перпендикулярно плоскости рисунка. Относительно этой оси уравнение моментов можно представить в виде: \
mgL cos а - 2N2L sin а = 0. \ (6)
Решая это уравнение совместно с уравнениями (2) - (4), получим ответ, совпадающий с ранее найденным (5). Таким образом, результат не зависит от выбора положения оси вращения. Поэтому для упрощения расчетов интересующую ось следует выбирать так, чтобы в уравнение моментов входило минимальное число неизвестных.
Задача V.3. На чашах больших равноплечных весов (pnc.V.3) лежат грузы массы тх и т2 (т2 < гщ). К середине правого плеча весов в точке С привязана легкая веревка. С какой силой Т, направленной под углом а к вертикали, нужно тянуть веревку, чтобы удержать весы в равновесии?
______ Решение. Учитывая рекомендацию, дан-
Ami °ДС\ /От2 НУЮ в коние предыдущей задачи, рассмот-\ \ Рим Условие равновесия относительно оси
вращения, проходящей через точку О опоры
Рис V 3 коромысла, перпендикулярно плоскости рис.У.З. Пусть длина коромысла равна 4L.
На основании (V.36)
2Lm}g - LTiCOS а\ - 2Lm2g = 0,
т. к. плечо силы Т\, с которой веревка действует на коромысло, равно Leos alt где а, - угол наклона веревки к вертикали в точке С. Считая веревку невесомой, можно доказать, что сила натяжения в любом ее сечении постоянна, т.е. 7\=Т, а,=а. Отсюда
Т = 2g(mi - m2)/cos а.
Отметим, что полученное решение имеет смысл лишь при т,>т21 т.к. силы упругости в веревке возникают лишь при ее растяжении.
Задача V.4. Четыре однородных шара с массами m^l кг, т2= 5 кг, т2=1 кг, м4=3 кг укреплены на легком тонком жестком стержне так, что центры соседних шаров находятся на расстоянии d=0,2 м друг от друга. На каком расстоянии от центра тяжести третьего шара находится центр тяжести системы?
Решение. Из соображений симметрии следует, что искомая точка лежит на оси стержня. Выберем начало отсчета в центре 3-го шара и
122
направим ось ОХ вдоль оси стержня от начала отсчета к первому шару. Тогда координаты центров шаров будут равны
Xi= 2d, х2 = d, х^— 0, х4= -d.
Подставив эти значения и величины сил тяжести, действующих на шары, в формулу (V.1), найдем положение центра тяжести системы
хцт= (2mt + т2- m^)dl(m\ + т2 + т2 + тд) = 5 см.
Задача V.5. Определить положение центра тяжести прямоугольной пластины со сторонами 2а и 4а, из которой вырезан круг радиуса
а, касающийся короткой и двух длинных сторон пластины.
Решение. Учитывая симметрию пластины, можно утверждать, что искомая точка находится на прямой, проходящей через центр круга, перпендикулярно коротким сторонам пластины. Рассмотрим
Рис V 4 условие равновесия данной пластины относительно оси, проходящей через точку С (геометрический центр пластины), параллельно ее коротким сторонам (рис.У.4). Если расстояние от этой оси до искомой точки О обозначить х, то на осно-
вании соотношения (V.1) можно написать:
m,ga - m2gx = 0, (1>
2 о “>
где т~=па р-масса круга, а т2=(3а -па )р-масса оставшейся части пластины. Подставляя значения масс в уравнение (1), получим:
х = лгг/(8 - п) ® 0,65 а.
ои=— а1__=4*=- а2-э4Р" Задача V.6. Неоднородная балка массы
NA?-....т подвешена к горизонтальной опоре на
трех одинаковых в недоформированном со-стоянии шнурах так, что шнуры вертикаль-
” ны. Расстояния между шнурами равны at и
Рис. V.5. а2, а между первым шнуром и центром тя-
жести балки - b (рис.У.5). Считая деформации шнуров малыми, определить силы их натяжения. Точки крепления шнуров к балке лежат на одной прямой. Жесткость каждого из шнуров - к.
Решение. На балку действуют силы натяжения шнуров Fb F2, Fi и сила тяжести mg. Поскольку балка находится в равновесии, то
F] + F2 + F3_mg — 0 и F2at + F3(ai+a2) — mgb = 0. (1'
123
Второе из этих уравнений - уравнение моментов - написано для оси, проходящей через точку О, перпендикулярно плоскости рисунка.
Из закона Гука следует, что
F^kAxi, F2 = k^2, Fi = k/\xy
(2)
где Да; _ удлинение z-го шнура. Поскольку точки крепления шнуров к балке лежат на одной прямой, то треугольники ACN и BCD подобе-ны. Отсюда следует, что CN/CD=AN/BD. Очевидно, что AN=Ax|-Ax3, ВВ=Аъ-Л-ъ,. Из последних трех соотношений в соответствии с условием задачи можно показать, что
(Д1+д2)/«2 = (A*i - Ат3)/(Дх2 - Лхз). (3)
У
Решая совместно систему уравнений (1) - (3), получим:
2а? + (2а, + а2)(а2 - Ь) Ъ = mg —!-----\;
2(af + аха2 + а2)
2а^ + (2а, +а2)(а2-Ь) F2 = mg----------------------;
Н- j 2 4” ^2 )
2a\ + (2a, +a-,)(a2-b) Fj = mg-------—!---=---------.
2(«! +«i«2 Fa2)
Задачи для самостоятельного решения
V.l. Фонарь массы m=20 кг подвешен над улицей на двух одинаковых тросах, угол между которыми а=120°. Определить натяжение тросов.
V.2. Человек массы т стоит на горизонтальной X платформе массы М и поднимает себя вместе с плат-I формой с помощью веревки, перекинутой через блок /\ (рис.У.б). С какой силой F, направленной вертикально, ЛЛ’ \ он должен тянуть веревку при равномерном подъеме? / Л \ С какой силой N действует при этом человек на плат-Рис. V.6. Форму?
124
V.3. На цилиндр надета веревочная петля, за ко-( в )>>А J торую цилиндр тянут с силой F (рис.У.7). Опреде-\ лить натяжение веревок АС и АВ, если угол между
\ Рис. V.7. ними равен а.
\У.4. Цилиндр массы М радиуса г висит на широком ремне, охватывающем цилиндр (рис.У.8). Длина хорды АВ, соединяющей крайние точки касания ремня с цилиндром, равна L. Найти натяжение ремня. \
V .5. Груз массы М удерживается нитями АВ и ВС, в положении показанном на рис.У.9. Найти натяжение нитей, если нить АВ горизонтальна, а нить ВС образует с горизонтом угол а.
V .6. Два одинаковых стержня массы Л/=16 кг длины L-1,2 м подвешены на одинаковых тросах длины s=l м (рис.У.10). Тросы АС и BE, ВС и AD параллельны друг другу. Определить натяжение тросов Т и модули сил F, действующих на стержни вдоль них.
Рис. V.8. Рис. у.9.
Рис. V.10. Рис. V.11.
V .7. Груз массы М подвешен к потолку на трех одинаковых тросах так, что угол между любыми двумя тросами равен а. Определить натяжение тросов.
V .8. Легкий клин с углом а при вершине вбит в щель (рис.У.11). Найти коэффициент трения между клином и материалом щели, при котором клин не будет вытолкнут из щели.
V .9. В каком случае натяжение каната будет больше: 1) два человека тянут канат за концы с силами F, равными по величине, но противоположными по направлению; 2) один конец каната закреплен, а за другой конец тянет человек с силой 1,5 F1
. V.10. Имеет ли равнодействующую R сис
✓------1 тема действующих на твердое тело сил, пока-
(p- L-^x-L-U I занная на рис.У.12, если F|=10 Н, Fj=20 Н и 1)
Ее, У F3=50 Н, 2) F3=30 Н? Расстояния между ли-
't ниями действия сил равны /.=20 см. Опреде-
Рис. V.12. лить величину и положение точки приложения равнодействующей в случае ее существования.
125
V.ll. Заменить силу F=50 H, приложенную к твердому телу, двумя ей параллельными силами F\ и F2 так, чтобы можно было считать, что точки приложения этих сил совпадают с
Рис. V.13. точками А4 и Д2 (см. рис.V. 13).
V.12. Груз взвешивают на неравноплечных рычажных весах, положив его первый раз на левую, второй - на правую чашку. Первый раз потребовалась гиря весом /^=40 Н, второй - Р2=90 Н. Найти вес груза.
V.13. Продавец, имеющий неравноплечные весы, предложил отвесить половину товара на одной чашке, а другую половину - на другой. Выиграет или проиграет покупатель, согласившись с продов-
цом?
V.14. Легкий стержень длины L=l м подвешен на двух вертикальных нитях (рис.У.14). На расстоянии </=25 см от точки А на него повесили груз массы т=12 кг. Найти натяжение нитей.
V.15. Тяжелое бревно втягивают вверх по на-
клонной плоскости с помощью двух параллельных канатов, закрепленных так, как показано на рис.У.15. Масса бревна Л/=400 кг, высота наклонной
плоскости 77=1 м, длина - L=2 м. Какую силу F, на-
правленную параллельно плоскости, прилагают к Рис’ ' ‘ каждому канату?
V.16. Бревно массы т тянут за веревку длиной L, прикрепленную к центру тяжести бревна с постоянной скоростью по горизонтальной площадке, прилагая силу F. Конец веревки поднят над точкой крепления на высоту Н. Найти коэффициент трения бревна о площадку.
V.17. Тонкий однородный стержень шарнирно в закреплен в точке А и удерживается горизонталь-
ной нитью ВС (рис.УЛб). Масса стержня М, угол
: а
его наклона к горизонту равен а. Найти силу F реакции шарнира и натяжение Т нити.
V.18. Стержень, шарнирно закрепленный в точке А, опирается концом В на платформу,
стоящую на горизонтальных рельсах (рис.У.17).
Какую минимальную силу F нужно приложить к платформе в горизонтальном направлении, чтобы сдвинуть ее с места? Масса стержня равна М, ко
126
Рис. V.19.
Рис. V.20.
Рис. V.21.
эффициент трения стержня о платформу равен ц. Ось стержня образует с вертикалью угол а.
V.19. Стержень массы т, шарнирно закрепленный в точке А, опирается концом В на брусок массы М, лежащий на горизонтальной крышке стола (рис.У.18). Какую горизонтальную силу F нужно приложить к бруску, чтобы сдвинуть его с места? Коэффициент трения стержня о брусок равен д,
бруска о стол - Стержень с вертикалью образует угол а.
V.20. Стержень АВ массы т=5 кг шарнирно прикреплен в точке А к неподвижной опоре и может свободно вращаться в вертикальной плоскости (рис.У.19). К концу В стержня прикреплена нить, перекинутая через блок, на другом конце которой висит груз массы Ш|=2,5 кг. Точка А и ось блока С расположены на одной вертикали, причем АС= АВ. Найти угол «наклона стержня к вертикали, при котором система будет в равновесии. Найти силу F реакции опоры в точке А.
V.21. Человек массы М стоит на доске массы т, подвешенной на блоках (рис.У.2О). С какой силой F он должен тянуть веревку вертикально и где стоять на доске, чтобы она была горизонтальной, если расстояние между точками крепления доски к веревкам L и отрезки веревок между блоками вертикальны?
V.22. На кронштейне ABCZJE из шести легких жестких стержней одинаковой длины, соединенных шарнирно, в точке В подвешен груз массы т (рис.У.21). С какой силой F деформирован стержень АС?
V.23. Определить отношение масс грузов т и М в
системе, показанной на рис.У.22, если система находится в равновесии, длина стержней AD, ВС, CH, DT в два раза больше длины стержней АЕ, ЕВ, TS, SH, а длина плеча OL в п=3 раза больше длины плеча КО рычага KL, закрепленного на оси вращения, проходящей через точку О, пренебрегая массой рычага и стержней.
V.24. На платформе лежит тяжелая однородная балка, четвертая часть которой свешивается за край платформы. Если на конец свешивающейся части балки надавить вертикально вниз с силой F= 3 кН, другой конец балки начнет подниматься. Найти массу балки.
Рис. V.22.
127
V.25. Чтобы выложить карниз, каменщик кладет
четыре кирпича (рис.У.23) так, что часть каждого из них выступает над нижележащим. Найти наиболь-, iHiiliiiiliiWiimiMH—вид шую длину выступающих частей кирпичей, при ко-Рис. V.23. торых они еще будут в равновесии, если длина кирпича равна L.
V.26. К стене под углом «поставлена лестница массы М, центр тяжести которой находится на расстоянии 1/3 ее длины от верхнего конца. Какую горизонтальную силу нужно приложить к середине лестницы, чтобы она не оказывала давления на стену?
V.27. Однородный стержень массы т=15 кг стоит под углом а=60° к горизонту, опираясь на гладкую вертикальную стену и шероховатый горизонтальный пол. Найти величину и направление силы, с которой стержень действует на пол.
3 V.28. Однородный стержень АВ опирается на
3LC шероховатый пол и гладкий выступ С (рис.У.24).
Угол наклона стержня к горизонту равен а=45°. Рас-стояние АС равно 0,75 АВ. Найти коэффициент тре-Рис V 24 НИЯ ° П°Л’ ПРИ КОТОРОМ стеРжень будет покоиться.
V.29. Однородная балка массы ш=60 кг длиной L=4 м опирается на гладкий пол и выступ В, находя-щийся на высоте Н= 3 м над полом (рис.У.25). Балка д|с^ с образует с вертикалью угол «=30° и удерживается дии1М1— веревкой АС, протянутой у самого пола. Найти натя-Рис. V.25. жение Т веревки, реакцию R пола и реакцию N выступа.
V .30. Лестница, центр тяжести которой находится посередине, опирается на гладкий пол и стену, образуя с горизонтом угол а. При каком натяжении веревка, привязанной к середине лестницы и направленной в угол, можно удержать лестницу в равновесии?
V .31. Неоднородный стержень длиной L=25 см может стоять под углом «=45° к горизонту, опираясь на стену и пол, коэффициент трения о которые равен //=1/3. На каком расстоянии от нижнего конца стержня находится его центр тяжести?
V .32. Однородный кубик стоит у гладкой стены так, что одна из его граней образует угол а с полом. При каком коэффициенте трения кубика о пол это возможно?
128
Рис. V.28.
V.33. Картину массы т можно повесить на стену так, как показано на рис.У.26. Найти минимальное значение коэффициента трения между стеной и картиной и натяжение веревки в показанных случаях. Длина веревки - L, картины - d, угол наклона ве-ис. V.26. ревки к горизонту - а.
У.34.Один конец нити длиной s закреплен на гладкой вертикальной стене, а к другому - прикреплен шар массы т радиуса г, касающийся стены. Найти силу натяжения Т веревки и силу давления А шара на стену. -
V.35. Шар, касающийся вертикальной стены, подвешен на нити, другой конец которой закреплен на этой же стене. Точка крепления шара к нити находится на одной вертикали с центром шара. Найти коэффициент трения шара о стену.
V.36. Конец нити, намотанной на катушку, касающейся стены, закреплен на стене так, как показано на рис.У.27. Найти коэффициент трения катушки о стену, Рис. V 27. если известно, что катушка покоится, а=30°, г=1 см и jR=10 см.
V.37. Цилиндр массы ш=4 кг покоится на шероховатой наклонной плоскости, с уголом наклона «=30° при основании (рис.V.28). Качению цилиндра мешает горизонтальная нить, прикрепленная одним концом к верхней точке А цилиндра, а другим - к плоскости. Найти натяжение Т нити и силу давления N цилиндра на плоскость.
V.38. Цилиндр массы Л/=100 г удерживается в равновесии вблизи края плоскости, образующей с горизонтом угол а=30°, грузом, привязанным к нити, намотанной на цилиндр (рис.У.29). Найти силу натяжения нити.
V.39. Обруч с закрепленным на нем небольшим по размерам грузом массы т=50 г установлен на плоскости, образующей с горизонтом угол о=30°. Груз находится на одной горизонтали с центром обруча. Найти массу обруча без груза.
V.40. На наклонной плоскости лежит цилиндр массы М, на поверхности которого закреплен груз массы m малых размеров (рис.У.ЗО). Коэффициент трения цилиндра о плоскость равен р. При какой массе груза m при увеличении угла наклона плоскости цилиндр будет скользить по ней (без вращения)?
Рис. V.29.
М, R
Рис. V.30.
5-203
129
Рис. V.31
Рис. V.32.
Рис. V.33.
V .41. Цилиндр массы т радиуса г опирается на гладкий закрепленный цилиндр радиуса R и удерживается в равновесии горизонтальной нитью CD длиной L (рис.У.31). Определить силу натяжения Т нити и силу давления F цилиндра массы т.
V .42. Катушку с нитками двигают по полу с постоянным ускорением а, прикладывая к нити горизонтально направленную силу F. Размеры катушки даны на рис.У.32. Найти коэффициент трения катушки о пол, при котором она не будет вращаться.
V .43. Между двумя плоскостями, образующими с горизонтом углы «1=30° и «2=60°, лежит шар массы т-3 кг (рис.V.33). Найти силы давления шара на плоскости, зная, что одна из них гладкая.
V .44. Цилиндр массы Л/раскрутили и положили между дйумя плоскостями, наклоненными к горизонту под углом а (рис.У.34). Коэффициент трения цилиндра о плоскости равен /2. Определить силы, с которыми цилиндр действует на плоскости, если /Ktg а.
V.45. Гладкий шар радиуса г массы т лежит на полу, касаясь вертикальной стены (рис.У.35). С какой силой F, направленной горизонтально, следует прижимать к нему гладкий брусок высотой h (h<r), чтобы шар перестал давить на пол?
Рис. V.34.
Рис. V.35.
V.46. Между двумя неподвижными параллельными горизонталь-
ными стержнями А и В (рис.У.36) лежит однородный брусок толщиной Л. Нижняя грань бруска образует с горизонтом угол а. На каком расстоянии х от стержня А находится центр тяжести бруска, если коэффи-
Рис. V.36.
циент трения бруска о стержни равен р, расстояние между стержнями равно а, причем а>/Л?
V.47. На наклонную плоскость поставили ци-Шн линдр радиуса R высотой Н, состоящий из двух кус-ков (рис.У.37). Плотность материала верхней поло--------------1 вины цилиндра равна рь нижней - pi. При каком Рис. V.37. угле наклона а плоскости к горизонту цилиндр не будет опрокидываться, если коэффициент трения цилиндра о плоскость достаточно велик?
130
• V.48. Два одинаковых гладких цилиндра подвешены
на нерастяжимых нитях одинаковой длины. Между ни-/. _ \ ми положили цилиндр того же диаметра, но вдвое ®ольшей массы (рис.У.38). Система находится в равно-\ > весии. Найти угол Р, если угол между нитями, лежащи-
Рис V 38—ми в одл°й вертикальной плоскости, равен 2 а.
V .49. На горизонтальной площадке касаясь друг друга лежат две одинаковые трубы. Сверху на них кладут еще одну такую же трубу. При каком коэффициенте трения между трубами они будут покоиться, если трубы не скользят по площадке?
V .50. В полый тонкостенный цилиндр радиуса R, стоящий торцом на шероховатой горизонтальной плоскости, положили два одинаковых гладких шара радиуса г (R/2<r<R) массы т каждый. Какой должна быть масса Мцилиндра, чтобы он не опрокинулся?
V.51. На плоскости, образующей с горизон-том Уг°л а=30°, стоит скамейка (рис.У.39). Какая ее ножка оказывает большее и во сколько раз I давление? Центр тяжести скамейки (точка О)
Рис V 39. расположен на высоте /г=40 см и на расстоянии Г=1 м от ножек скамейки.
V .52. Однородную балку массы т положили на три пружины одинаковой длины, стоящие на горизонтальной плоскости. Жесткость крайних пружин равна к, средней - пк. Крайние пружины находятся на одинаковом расстоянии от средней, оси всех пружин вертикальны, лежат в одной плоскости, а ось центральной пружины проходит через центр масс балки. Найти силы реакции пружин.
V .53. Конец однородной балки массы т шарнирно закреплен в жесткой опоре, относительно которой балка может свободно вращаться в вертикальной плоскости. Балка опирается еще на две одинаковые опоры, верхние точки которых в недеформированном состоянии лежали в одной горизонтальной плоскости. Вторая ofilpa расположена под серединой, а третья - свободным кон-\ / цом балки. Считая деформации опор малыми и зная.
V у что балка располагается горизонтально, определить си-j f лы давления опор на балку.
V .54. Груз массы М подвешен к потолку на трех Рис. V.40. легких тросах одинакового сечения из одного материала, расположенных в одной плоскости (рис.У.4О). Найти силы натяжения тросов, считая их деформации малыми. Без груза тросы неде-
5*
131
формированы, крайние тросы имеют одинаковую длину и образуют со средним угол а.
nik' V.55. Участок железной дороги, строящейся
в горах, предлагается подвесить над ущельем с < а помощью двух жестких балок и троса, распола-\ гающегося вертикально. Балки к вмонтирован-
\ “wT ным в склоны гор опорам, как и участок доро-Рис. V.41. ги> крепятся шарнирно. Шарнирно соединены и сами балки. Найти силы напряжения, возникающие в балках, при движении состава масы М, пренебрегая массой элементов конструкции. Размеры сооружения даны на рис.У,41.
VI . КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Основные определения и законы
п.1. Колебания (колебательное движение) - движение, при котором система многократно принимает одинаковые или близкие состояния.
п.2. Периодические колебания - колебания, при которых любое состояние системы повторяется через один и тот же промежуток времени Т- период. Частота колебаний v=\!T- число полных колебаний в расчете на единицу времени.
п.З. Гармонические (синусоидальные) колебания - процесс, при котором закон движения является гармонической (синусоидальной или косинусоидальной) функцией времени (при совмещении начала отсчета траекторной координаты j с положением равновесия тела):
s(t) = 5() sin {cot + де,), (VI. 1 >
где 50 _ амплитуда колебания (точнее - амплитуда смещения,), со - угловая (круговая или циклическая) частота, срй - постоянные величины, причем 5о>О и дХ>0. Аргумент гармонической функции Ф(0=(«х+рь) называют фазой колебания (фазой смещения/. Начальная фаза - значение фазы колебания в начальный момент времени ta (далее, как обычно, будем полагать fo=O и тогда <р^ - начальная фаза колебания).
Поскольку sin tz=sin (а+2лп) для любого целого числа и, то
(VI.2)
(VI.3;
(VI.4)
т.е. амплитуды скорости Vo=S0a>, а амплитуда тангенциальной составляющей ускорения Фаза смещения на лУ2 меньше фазы
скорости и на я меньше фазы тангенциальной составляющей ускоре ния.
п.5. Уравнение движения точки массы т, совершающей гармонические колебания, имеет вид:
со- 2nv= 2тиТ.
п.4. При гармонических колебаниях
wr(I) = j(I) = 5o0sin(<yf + ^o +л/2), ат = vT = SQco2 sin(<ar + <р0 + я),
133
тат = ms = Fr = -<d2s , (VI.5)
где FT - тангенциальная составляющая результирующей действующих на точку сил. Fr подобно силе упругости (см. IT. п.5) направлена к положению равновесия и пропорциональна величине смещения от этого положения, а потому может быть представлена в виде:
FT=-ks. (VI.6)
Коэффициент к>0 называют коэффициентом квазиупругой силы.
п.6. Полная механическая энергия (см. Ш.п.12) точки при гармонических колебаниях не зависит от времени:
Ж,(г) = mu2(r)/2 +ks\t)/2 = mtf/2 = kS 2/2. "(VI. 7)
п.7. В изолированной системе гармонические колебания возможны, если эта система обладает положением устойчивого равновесия и действующие в системе силы являются консервативными.
п.8. Свободные (собственные) колебания - колебания, возникающие в результате начального отклонения от состояния устойчивого равновесия в системе, на тела которой не действуют изменяющиеся во времени внешние силы. Если на тела этой системы действуют силы, подобные силам трения, то колебания будут затухающими. Такие колебания не являются периодическими. Период затухающих колебаний определяют условно либо как минимальный промежуток времени между моментами, соответствую-щими максимальному отклонению тела, от положения равновесия или в положительную (7’+) или в отрицательную (Г.) сторону, либо как интервал Го, в течение которого тело дважды проходит через положение равновесия. В общем случае Т+ * 77 * То * Т, где Т - период колебаний в данной системе без затухания. Модуль максимального отклонения тела от положения равновесия за рассматриваемый период называют амплитудой колебания (смещения). Законы изменения периода затухающих колебаний и амплитуды во времени определяются характером сил, вызывающих затухание.
п.9. Вынужденные колебания - колебания, обусловленные действием периодических внешних сил. Период вынужденных установившихся колебаний равен периоду внешней вынуждающей силы.
п.10. Пружинный маятник - система, состоящая из закрепленной с одного конца невесомой пружины жесткости к и прикрепленного к другому ее концу груза массы т, которой может двигаться поступа
134
тельно вдоль ее оси. В отсутствии сил трения груз может совершать гармонические колебания с периодом
“ “---" Т = 2к^т/к . (VI.8)
п.11. Математический маятник - точечный груз, подвешенный на нерастяжимой невесомой нити длины I. В однородном поле тяжести в отсутствии сил трения при небольших амплитудах груз может совершать гармонические колебания с периодом
Т = 2л-7/77. CVI.9)
п.12. Резонанс - явление немонотонного изменения амплитуды вынужденных колебаний при монотонном изменении частоты внешней вынуждающей силы или параметров системы (например, массы или жесткости пружинного маятника). Резонансная частота vp -частота внешней силы, при которой амплитуда достигает максимума. В общем случае ц, зависит не только от параметров системы, величины и характера сил трения, способа достижения резонанса, но может быть разной, если речь идет об амплитуде смещения (резонанс смещения), скорости (резонанс скорости) или тангенциальной составляющей ускорения (резонанс ускорения).
п.13. Волнами называют распространяющиеся в среде возмущения. Если передача возмущения от одних точек к другим обусловлена упругими свойствами среды, то такие волны называют упругими. Если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны, то такую волну называют продольной, перпендикулярно направлению распространения - поперечной. Фронт волны (волновая поверхность) — геометрическое место точек среды, фаза колебаний которых в данный момент одинакова. В зависимости от формы фронта различают плоские, сферические и т.д. волны.
п.14. Волну называют монохроматической (гармонической), если колебания точек среды являются гармоническими.
п.15. Уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси х со скоростью v, имеет вид:
£(r,x) = Ssin [(o(t-x/v) + <po] = Ssin (cot-kx+<pQ), (VI.10)
где x - удаление рассматриваемой точки от плоскости источника в отсутствии волны, £ - смещение точки от своего положения равне
135
ния, а - амплитуда волны, к = co/v - волновое число. Если при распространении волны энергия не поглощается и не выделяется, то амплитуда плоской волны Е не зависит от координаты х.
п.16. Длина волны Л- расстояние между точками среды, разность фаз колебаний которых равна 2а. Поэтому
A = 2rik=vT=v/v. (VI.11)
п.17. Упругие волны, частоты которых лежат в пределах 20 Гц -20 кГц называют звуковыми.
п.18. Интенсивность волны (сила звука) I- энергия, переносимая волной в расчете на единицу времени через площадку, перпендикулярную к направлению распространения, в расчете на единицу площади. В случае плоской монохроматической волны У
/ = рр3А:2 Eq/2 = pp 32/2, (3/1.12)
где р - плотность невозмущенной среды. Минимальная сила звука, воспринимаемого человеком (порог слышимости), зависит от частоты (высоты тона). Чувствительность максимальна (~1013 Вт/м2) на частоте 2-3 кГц. На границах звукового диапазона порог слышимости совпадает с болевым порогом и составляет ~10 Вт/м2.
п.19. Если упругая волна достигает границы раздела двух сред, то возникают отраженная и преломленная волны, частоты колебаний в которых совпадают с частотой колебания в падающей волне. Соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн зависят от плотности и упругих свойств сред, поглощения энергии на границе раздела и угла падения. При нормальном падении плоской волны на плоскую границу преломленная волна будет практически отсутствовать, если плотность и жесткость второй среды либо значительно меньше (случай 1 - “свободная граница"), либо значительно больше (случай 2 - “закрепленная граница”), чем первой. В отсутствии поглощения энергии амплитуда отраженной волны в обоих случаях равна амплитуде падающей. Фаза отраженной волны совпадает с фазой падающей в первом случае и превышает фазу падающей волны на л во втором случае.
п.20. Если в среде одновременно существует несколько волн, то движение частиц среды определяется как сумма движений, обусловленных каждой из волн в отдельности. В частности, если в среде распространяются в противоположных направлениях две волны с одинаковыми частотами, то образуется стоячая волна. Расстояния
136
мржду соседними узлами (точками среды, остающимися непод-;ви5кными) и АД, между соседними пучностями (точками, колеблющимися с максимальной амплитудой) одинаково и равно половине длины волны Л:.
ДЛУ = АД, = Л/2, vVI.13i
расстояние же ДЛпу между пучностью и ближайшим узлом
ДЛпу = Л/4. <VT14>
п.21. Если упругое вещество занимает ограниченную часть пространства, то частоты возникающих в нем свободных колебаний могут принимать бесконечный ряд дискретных значений, называемых собственными частотами, и в нем может возникать сложная система стоячих волн, существенным образом зависящая от геометрии вещества и свойств окружающей среды.
Примеры решения задач
Задача VI.1. Определить закон движения груза массы т, подвешенного на легкой пружине жесткости к, который в начальный момент был отклонен вниз от положения равновесия на расстояние и
Рис. VI. 1.
получил скорость р0, направленную вертикально вниз.
Решение. Согласно условию задачи, на груз действуют две силы: сила тяжести mg и сила со стороны пружины. Обе эти силы, как и начальная скорость груза, направлены вертикально и поэтому груз относительно инерциальной системы отсчета может двигаться лишь вдоль вертикали. Выберем ось ОХ, направленную вертикально вниз. Начало отсчета (pHc.VI.l) совместим с положением равновесия груза.
Если удлинение пружины под действием висящего на ней неподвижно груза обозначить Ат0, то удлинение пружины, когда координата груза станет равна х, будет равно
Лх = х - Ато
и на груз со стороны пружины будет действовать сила
F = -к Axi,
13-7
где i — орт, параллельный оси ОХ. Учитывая, что в положении равновесия х=0 mg+k&Xoi=O, уравнение движения груза ma=mg+F в проекции на ось ОХ можно представить в виде
так--кх или
тх = -кх. Ш
Полученное уравнение является уравнением гармонических колебаний, а его общее решение имеет вид
x(f) = Хо sin(®z + ^0), <2>
где а = у/к/т . Поскольку у
vx(t) = x(t) = X0a)cos(cot + <p0), - (3)
амплитуду Хо и начальную фазу <ра колебаний можно определить из начальных условий:
x(t=Q) = х0 = Х0 sin <р0, (4/
г\(7=0) = vQ = Хасо cos <Pq. (5)
Возведя соотношения (4) и (5) в квадрат и сложив результаты, легко получить:
^о=7Ло+уо/®2 >
а после деления почленно соотношения (4) на соотношение (5)
<Ро = arc tg xua>/vu. (7 >
Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1;, найдем интересующий закон движения груза:
Таким образом, амплитуда и начальная фаза свободных колебаний определяются начальными условиями и параметрами колебательной системы.
Задача VI.2. В трубку, изображенную на рис.У1.2, налита жидкость с плотностью р. Площадь сечения вертикальных и горизонтальных частей трубки равна S. Масса жидкости равна т. Пренебре-
138
гая силами трения и считая жидкость, несжимаемой найти период собственных колебаний жидкости.
Решение. Пусть уровень жидкости в левом колене поднялся на высоту Ай от положения равновесия. Поскольку жидкость несжимаема, ее уровень в правом
Рис. VI.2. колене опустится на ту же величину. Разделим весь объем жидкости на три части: ABCD, KLMH и CDMH
(рис.УЕЗ), массы которых обозначим mt, т2 и тз, и рассмотрим силы, действующие на каждую из этих частей.
На жидкость в объеме ABCD действуют сила атмосферного давления F~p„S (ра _ атмосферное давление) и сила тяжести F2=m\g, направленные
Рис. VI.3. вертикально вниз, сила давления F2 со стороны ос-
тавшейся части жидкости и силы давления стенок трубки, направ-
ленные горизонтально (на рисунке не показаны), поскольку трения жидкости о стенки нет. Подобные же силы действуют и на жидкость в объеме KLMH: сила атмосферного давления F4=paS, сила тяжести Fs=rti2g, сила F6 со стороны оставшейся части жидкости и силы давления стенок трубки. На жидкость в объеме CDMH действуют силы F7 и Fs со стороны жидкости в других объемах, сила тяжести F>=rri3g и силы давления стенок трубки, направленные вертикально.
Поскольку трубка покоится, ускорения частиц жидкости, нахо
дящихся в вертикальных коленах направлены по вертикали, а в горизонтальном колене - горизонтально. Если выбрать систему координат так, как показано на рис.УЕЗ, совместив начало отсчета с уровнем жидкости в положении равновесия, то уравнения движения выделенных частей в проекции на ось, вдоль которой данная часть может иметь отличное от нуля ускорение, можно записать в виде:
miaiy = paS + m\g — F3cos a, (11
m2a2y = PaS + m2g - F6cos a, (2)
m3a3x = F7cos a — Fscos a, (3)
где Fj - модуль силы F,-.
Учитывая, что по третьему закону Ньютона F3=F7, F6=F8, а в силу несжимаемости жидкости и отсутствия трения alv=-a71-alx, вычитая уравнение (2) из суммы уравнений (1) и (3), получим
(mi +т2 + m2)aiy = (mi - m2~)g. (4)
139
Поскольку-/И|+т2+^з=/и, mx-m^-lpSl^h и координата уровня жидкости в левом колене -у=ДЛ, уравнение (4) можно переписать в виде
maly = -2pgSy или
ту=-2pgSy.
Полученное уравнение описывает гармонические колебания с частотой
® = yfipg S/т .
Угловая частота со и период колебаний Т связаны соотношением 7=2 л!со, поэтому искомый период свободных колебаний равен
Т = x^lm/pgS .
,, Хо Задача VI.3. На двух быстро вращающихся
'""ft io~7Y" ‘ с °Динаков°й скоростью навстречу друг другу ’ а 4 k l >'< ь валах горизонтально лежит длинная однородная Рис VI4 Доска массы т (рис.VI,4). Расстояние между осями валов 2L, коэффициент трения доски о валы р. Зная, что доска может двигаться перпендикулярно осям валов в горизонтальном направлении и она покоилась, когда точка О -ее центр - была смещена по горизонтали относительно середины расстояния между валами на величину х0> найти закон движения доски и зависимость ее скорости от времени.
Решение. Действующие на доску силы
Ni InF an2 сила тяжести т8 и силы реакции валов, кото-1 [Г г * 1-1 рые, как обычно, представим в виде суммы
ртр10Ч нормальных и N2) и тангенциальных (F^
и Т’трг) составляющих, показаны на pnc.VI.S
Рис.VI.5. На этом же рИСунке показана инерциальная система координат 0XY, относительно которой будем рассматривать движение доски. Ось ОХ этой системы совпадает с линией центров валов, а начало отсчета находится посередине между ними. В проекциях на оси этой системы уравнение движения доски можно представить в виде:
max=F^x -F^2 (V
тау = N{+N2- mg, (2)
где а,,=0, т.к. по условию задачи доска может двигаться лишь параллельно оси ОХ. Тангенциальные составляющие сил реакции валов
и F^ ~ силы сухого трения скольжения, а потому
140
Frpl = /uNi nF^2 = pN2.
(3.
Поскольку доска движется только параллельно оси ОХ, то сумма моментов действующих на доску сил должна быть равна нулю. Если ось вращения совместить с точками касания доски и первого вала, то плечи сил Nt, /гтр1 и FTp2 будут равны нулю, силы N2 _ 2L, а силы тяжести - L+x. Поэтому
2N2L - mg(L + х) = 0. <4
Из уравнений (2) и (4) с учетом условия: av=0, следует, что
Ni = mg(L- x)/2L, i5 ;
V2 = mg(L + x)/2L, <6
а уравнение (1) с учетом соотношений (3) сводится к уравнению
/л?
та, = тх = -т----х, >'7'
L
решением которого является гармоническая функция времени
х(0 = X0cos (cot + де>), где со = ^pg/L . Полагая начало отсчета времени t=Q совпадающим с одним из моментов, когда скорость доски равна нулю, а смещение ее центра масс равно х0, получим (см. задачу VI. 1), что закон движения доски имеет вид
х(0 = л0 cos -jpg/Lt, а скорость доски изменяется во времени по закону.
v(t) = x(t)i - -x0-jjug/Li sin-jpg/Lt.
Задача VI.4. На груз пружинного маятника массой т, движущийся поступательно в жидкости по горизонтальной штанге, совпадающей с осью пружины, действует внешняя сила, параллельная оси штанги и изменяющаяся по гармоническому закону: F(O=jFosin pt. Найти частоту рр, при которой амплитуда установившихся колебаний груза будет наибольшей, если жесткость пружины равна к, сила сопротивления пропорциональна скорости груза, причем коэффициент сопротивления равен Ь. Построить зависимости амплитуды и фазы установившихся колебаний от угловой частоты р внешней силы для ’ нескольких значений коэффициента сопротивления Ь.
141
Решение. На груз маятника действуют направленные вертикально сила тяжести, силы давления жидкости и уравновешивающая их сила нормальной реакции штанги; в горизонтальном направлении -сила упругой деформации пружины Fa, сила сопротивления Fxp и внешняя сила F. Направим ось инерциальной системы отсчета ОХ горизонтально от точки закрепления пружины к грузу, совместив начало отсчета с положением груза, при котором пружина недеформиро-вана и пусть проекция внешней силы F(t) на ось ОХ в начальный момент времени Г=0 положительна. Учитывая, что Fn=-kx и FTS>=-bvx уравнение движения груза вдоль оси ОХ запишем в виде:
тах = -kx-bvx + F()sin pt или ~ у
mx--kx-bx + FQ sin pt. (Ь
Решением уравнения (1), описывающим установившиеся колебания груза, является гармоническая функция
x(t) = Xosin (pt + <р). (2)
Чтобы убедиться в этом и определить амплитуду Хо и фазу <р установившихся колебаний, подставим это решение в уравнение (П Так как
v,(0 = х (t) = X(lpcos (pt + «?), (3)
a((f) = x (г) = - Xop2sin (pt + p), (4)
sin (a+P)=sina cos/t-cosa sin ft и cos (a+/3)=cosa cos /?-sina sin/? уравнение (1) можно преобразовать к виду:
[(тр2 - k)cos <р+ bpsin <р+ F(/X()]sin pt +
+ [(тр2 — X)sin <р- bpcos ^]cos pt = 0. (5)
Поскольку sin pt и cos pt в разные моменты времени могут принимать значения от -1 до 1, а соотношение (5) должно быть тождеством [если выражение (2) действительно является решением уравнения (1)], необходимо, чтобы выражения в каждой из квадратных скобок в соотношении (5) были бы равны нулю, т.е.
(mp2-k)cos cp+bpsm <р=-F(JXq, ' (6)
(тр2 - X)sin <р- bpcos ср = 0. (7)
Если возвести уравнения (6) и (7) почленно в квадрат, а затем их сложить, то после элементарных преобразований легко получить
142
_____________fo__________________________________ Fp/nt_______ yl(mp2-k)2+b2p2_______________________________________________^P2-a>2)2+482P2
где co0 = 'jk/m - собственная частота колебаний пружинного маятника без затухания [см. (IV.8) и задачу IV. 1], 8 = Ы2т - коэффициент затухания. Из уравнения (7) следует, что
tg^o =
bp тр2 -k
28р
2 2 ’
Р -®о
9'
Таким образом, соотношение (2) действительно является решением уравнения вынужденных колебаний (если сила сопротивления пропорциональна скорости движения, а внешняя сила, действующая на груз, изменяется во времени по гармоническому закону) и описывает установившиеся колебания, поскольку ни их амплитуда Ха, ни их фаза ср не зависят от времени.
Из формулы (8) следует, что при постоянной амплитуде Fo внешней силы амплитуда Хо установившихся вынужденных колебаний при монотонном изменении частоты р может изменяться немонотонно, т.е. может наблюдаться резонанс (смещения). Для того, чтобы определить резонансную частоту р9, найдем значение частоты р, при которой подкоренное выражение в знаменателе достигает минимума. Приравнивая нулю производную указанного выражения по частоте р, получим
4(р2-й>02)р = -8£2р. НО)
Учитывая, что угловая частота р изменения внешней силы в соответствии с ее физическим смыслом не может быть отрицательной, корни уравнения (10) равны
А =7®о-2<?2 и Р2 = °-
Первое решение, очевидно, имеет смысл только при суц> у[28, т.е. при достаточно малом затухании, второе - соответствует случаю сильного затухания.
Таким образом, при изменении частоты р внешней силы при малом затухании (8 <со0/л/2 или b > -^2кт ) будет наблюдаться резонанс смещения, причем амплитуда установившихся колебаний достигает максимума
143
*6,-------j==. 'll
2m6-^a>Q —8
при угловой частоте
Р - Ре = Pi = ~2^2; '12
при большом затухании (8 > а>0/V2 или b > у]2кт ) резонанс смещения не имеет места, поскольку амплитуда установившихся колебаний монотонно убывает с ростом частоты р.
На рис. VI.6 показана зависимость нормированной частоты ip= Pf/азо, при которой наблюдается резонанс смещения, от приведенного значения коэффициента затухания у=8/ад. Видно, что при малом затухании ^0,1) резонансная частота рр лишь незначительно <<1%) меньше собственной частоты колебаний ад. С ростом / различие увеличивается все сильнее и сильнее и при /> 2‘1/2 0,71) резо-
нанс смещения вообще перестает наблюдаться.
Рис. VI.6.
Рис. VI.7.
С ростом коэффициента затухания амплитуда колебаний при резонансе вначале быстро уменьшается, а затем асимптотически стремится к величине Fg/k, т.е. величине деформации пружины под действием постоянной силы Fg. На рис.VI. 1 приведена зависимость относительной амплитуды колебаний при резонансе
Sp = A'0pfc/F0=l/(2/71-/2 >
от величины приведенного коэффициента затухания у=8/а>д.
Зависимости нормированной амплитуды E()=A'0/A'c,p установившихся колебаний от нормированной частоты v=p/cog внешней силы (амплитудно-частотные характеристики), соответствующие разным значениям / показаны на рис.IV.8. С ростом у резонансные характе
144
ристики становятся все менее острыми, а резонансная частота уменьшается и обращается в нуль при критическом затухании.
На рис.1У.9 показаны фазово-частотные характеристики - зависимости фазы колебаний <р от нормированной частоты v при тех же значениях коэффициента затухания, которые использовались при построении амплитудно-частотных характеристик. Обращает на себя внимание то, что фаза установившихся колебаний вне зависимости от коэфициента трения становится равной -л/2 при частоте изменения внешей силы р, равной частоте собственных незатухающих колебаний coq, и стремится к -л-с ростом частоты р.
Задача VI.5. Источник звука частоты v() приближается со скоростью и к стоящему неподвижно человеку. Какой частоты звук услышит человек?
Решение. Звуковая волна в воздухе представляет собой последовательность разряжений и сжатий, распространяющихся со скоростью V, определяемой только свойствами воздуха. Расстояние между соседними максимумами сжатия (или разряжения), т.е. ближайшими точками, колеблющимися с точностью до 2 л-в одинаковой фазе, равно длине волны. Если источник неподвижен относительно воздуха, то это расстояние равно A<f=vT0, где То - период колебаний, создаваемых источником. Если же источник движется ро скоростью и в направлении распространения волны, то расстояние между соседними максимумами сжатия будет меньше на величину смещения источника за период, т.е. на величину иТ0, и поэтому длина распространяющейся в воздухе волны будет равна
Я = Лд — иТд =(v — U)Tg.
Частота звука v, воспринимаемого человеком, определяется промежутком времени Т между моментами поступления соседних максимумов сжатия, который равен отношению длины волны, распро
145
страняющейся в воздухе, к скорости перемещения максимумов сжатия, т.е.
Т = /Jv = (v - u)TJv.
Поскольку v=1fT, то человек услышит звук с частотой
v= v/[(v - и)Т0] = vov/(v - и). (1 >
Таким образом, если источник звука приближается к стоящему неподвижно относительно воздуха человеку, то человек услышит звук более высокого тона, чем от неподвижного источника, а в случае удаляющегося источника - более низкого тона.
Задача VI.6. Гибкий нерастяжимый шнур длиной £=1 м массы М=2 г, конец которого закреплен, натянут с усилием F=10 Н, параллельно оси ОХ. Начало этого шнура прикреплено к вибратору, который обеспечивает его движение вдоль оси ОУ по гармоническому закону с частотой п=500 Гц и амплитудой 4=1 мм. Считая, что в точке закрепления бегущая по шнуру волна полностью поглощается, определить среднюю мощность вибратора. Действием сил тяжести и сопротивления движению шнура пренебречь.
Решение. Направим ось ОХ так, чтобы начальной точке шнура соответствовала координата х„=0, а конечной - xK=L. Начало отсчета времени выберем так, чтобы движение точки шнура, прикрепленной к вибратору, подчинялось закону
y(f) = A cos ал, (А)
где a=2xv. Тогда скорость движения этой точки шнура будет равна
vy (О = j(?) =-Ав) sin ел. (2)
По условию задачи величина силы натяжения шнура постоянна и равна F, но очевидно, что ее направление изменяется с течением времени и совпадает с направлением касательной к шнуру в каждой его точке. Поскольку отражение бегущей по шнуру волны от его конца не происходит (по условию задачи падающая волна полностью поглощается) и нет затухания, ордината точки шнура, положение которой определяется координатой х, в момент времени t равна
y(x,f) = Acos(a)t-kx), (3)
где к - волновое число [см. (VI. 10.)]. На рис. VI. 10 показано расположение точек шнура и направление силы F, действующей на начальную точку шнура со стороны вибратора, для некоторого момента
146
времени t. Если обозначить угол между осью ОХ и касательной к шнуру в начальной точке а(г), то в соответствии с формулой (III.9) мгновенная мощность вибратора
N(t) = F(t)»(t) = Fvy(f) sin a(t). (4)
Рис. VI. 10.
Чтобы определить угол a(t), проведем прямую через начало шнура и точку, находящуюся от него на расстоянии Ах (вдоль оси ОХ). Обозначим разность ординат этих точек Ду. По мере уменьшения Ах проведенная прямая будет стремится к касательной, и следовательно, интересующий угол, как следует из рис. VI. 10, должен удовлетворять соотношению
Ду tg a(t) = - lim —. Дх->о Дх
Согласно (3)
Ду = у(Дх, t) - у (0, t) = A[cos(at - кАх) - cos at] = = А (cos tat cos АДх+sin tat sin fcAx-cos tat).
При Дх -» 0 кАх —> 0 cos кАх -» 1, « sin кАх « кАх. Отсюда
tg a(t) = -Ак sin at = —A (a/v) sin tat,
(5)
где v - скорость распространения волны по шнуру.
Для определения скорости распространения поперечной волны перейдем в систему координат, которая движется со скоростью волны v параллельно оси ОХ, и рассмотрим небольшой отрезок, центр которого совпадает с вершиной одного из горбов бегущей по шнуру волны. Поскольку достаточно малый участок произвольной кривой _______ можно считать совпадающим с дугой касательной ок-ружности (см. п.1.4), то можно считать, что точки R\^R шнура на выделенном отрезке движутся по дуге этой к окружности (рис-VI.ll) со скоростью V. Нормальное Рис. VI. 11. ускорение выделенному отрезку сообщают силы натяжения, действующие со стороны соседних точек шнура. Если радиус касательной окружности обозначить R, а угол между силам натяжения, действующими на граничные точки выделенного отрезка, и осью ОХ обозначить Д то длина выделенного отрезка - длина дуги окружности, соответствующей центральному углу 2Д- будет равна 2JBR, а равнодействующая сил натяжения - F„=2Fsin J3 ж 2ГД т.к. угол
147
Р является достаточно малым в силу малости длины выделенного отрезка. Поскольку масса этого отрезка m=2pRMIE и нормальное ускорение а„=1?/Я, то на основании второго закона Ньютона
та„ = 20Mv2/L = F„= 2F0.
Отсюда скорость распространения поперечной волны по гибкому однородному шнуру массы М длиной L, растягиваемому с усилием F, равна
v = yjFL/M . ’ (6)
Подставляя полученное выражение в формулу (5) и используя данные задачи, оценим максимальную величину угла а между направлением силы, действующей со стороны вибратора на начало шнура, и осью ОХ:
tg 2xvA^M/FL « 4,4 ПО-2.
Поскольку полученное значение много меньше единицы, из выражения (4) с учетом формулы (5) получим
W) = а)2А2^М F/L sin2 a>t.
Учитывая, что sin2 а=(1-сол 2а)/2 и то, что среднее значение гармонической функции за период равно нулю, окончательно получаем
Ncp = 2 л2 SA2 JMF/L « 0,7 Вт. .
Обратим внимание на то, что при небольших амплитудах передаваемая по шнуру энергия пропорциональна квадратам амплитуды и частоты колебаний, а скорость распространения поперечной волны изменяется прямо пропорционально корню квадратно му из отношения силы натяжения к массе шнура, приходящейся на единицу его длины.
Задачи для самостоятельного решения
V I. 1. За какую часть периода п, тело при гармоническом колебательном движении проходит 1) расстояние от положения, соответствующего наибольшей по величине скорости, до положения, соответствующего максимальному отклонению, 2) первую половину указанного расстояния, 3) вторую половину.этого расстояния?
148
V I.2. Тело совершает гармонические колебания с амплитудой 5=3 см и частотой и=50 Гц. Определить величину средней путевой скорости vrt движения тела за промежутки времени, указанные в предыдущей задаче.
VL3. Тело, движущееся поступательно, совершает гармонические колебания с амплитудой S. Зная, что наибольшая скорость тела равна V, а в момент начала отсчета времени тело движется в сторону убывания траекторной координаты и находится на расстоянии /0=5/2 от положения s=0, при котором его скорость максимальна, найти закон движения тела.
V I.4. Точка, движущееся прямолинейно, совершает гармонические колебания. При этом амплитуды скорости и ускорения точки равны V и А. На каком расстоянии Дг от положения, соответствующего нулевой скорости, находится точка, когда ее скорость равна Vj?
V I.5. Тело малых размеров, двигаясь по дуге окружности радиуса R, совершает гармонические колебания с частотой v и амплитудой S. Определить зависимость от времени модуля ускорения, зная, что в начальный момент времени траекторная коор-дината тела была равна s=0, а скорость тела была максимальна.
V I.6. Закон движения точки в координатной форме имеет вид: x(0=Fsin cot, y(t)=Bsm (cot+cp), z(t)=O. Найти форму траектории при 11 <р=0 и 2) ср=п/2.
V I.7. Точка движется в плоскости г=0 так, что две другие ее координаты изменяются по законам x(t)=Bcos ай, y(f)=Ccos &М/2. Определить форму траектории.
V I.8. Найти закон движения точки массы т под действием гармонически изменяющейся силы Fosin cot, линия действия которой совпадает с осью ОХ лабораторной системы отсчета, начавшей действовать в момент времени 1=0, если до этого точка покоилась в начале координат.
V I.9. На точку массы т в момент времени z=0 начинают действовать две силы F^FoSin cot и F2=FoCOs cot, линии действия которых совпадают с осью ОХ лабораторной системы. Зная, что при t<0 точка покоилась в начале координат найти закон движения точки для последующих моментов времени.
V I. 10. Горизонтальная платформа совершает гармонические колебания в своей плоскости с амплитудой Х=1 см. На платформе лежит груз, коэффициент трения которого о платформу равен /с=0,2. При какой частоте колебаний груз будет скользить по платформе?
149
V I.11. На горизонтальную пластинку, колеблющуюся с частотой v=500 Гц по вертикали, насыпан мелкий песок. Найти амплитуду колебаний пластинки, если песчинки подскакивают на высоту Л=3 мм относительно положения, в котором они находились на неподвижной пластинке.
V I.12. Один математический маятник совершил nj=10 колебаний, а другой за то же время - и2-6 колебаний. Разность длин маятников равна ЛА= 16 см. Определить длины нитей маятников.
V I.13. Маятниковые часы опустили в шахту на глубину Я=10 км и запустили, установив точное время. Какую поправку к показанию этих часов следует сделать, чтобы узнать точное время через г=1 сутки? Землю считать однородным шаром радиуса А=63 80 км.
V I. 14. Во сколько раз изменится период малых колебаний математического маятника при перенесении его с Земли на Луну? Масса Луны в п=81 раз меньше массы Земли, а радиус Земли в £=3,7 раза больше радиуса Луны.
V I. 15. С каким ускорением и в каком направлении должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней физический маятник за время г=2,5 мин совершил п=100 колебаний, если в неподвижной кабине период колебаний маятника равен 7=1 с?
V I. 16. Найти период колебаний математического маятника длиной L, подвешенного в вагоне, движущимся прямолинейно по горизонтальному участку пути с ускорением а.
V I. 17. Маятник укреплен на тяжелой тележке, скатывающейся без трения по плоскости, образующей с горизонтом угол а. Период колебаний этого маятника на неподвижной тележке равен Тй. Найти период колебаний маятника во время скатывания тележки.
VI. 18. К стене, образующей с вертикалью угол а, на нити длиной L подвешен маленький упругий g шарик. Его отклонили от положения равновесия так, чтобы нить лежала в плоскости, перпендикулярной стене, под углом fl к вертикали (pHC.VI.12), и
2 отпустили. Зная, что найти период колеба-
ний шарика, пренебрегая временем соударения шарика со стеной.
V I. 19. Два небольших одинаковых упругих шарика подвешены к потолку на нитях так, что нити вертикальны, центры шариков находятся на одном уровне, а сами шарики соприкасаются. Длина первой нити равна L]=l м, второй — L2=25 см. Второй шарик немного отвели в сторону и отпустили. Пренебрегая временем соударения и зная, что
150
нити маятников лежат в одной вертикальной плоскости, найти число столкновений за время г=4 с после начала движения второго шарика.
V I.20. Груз массы т=2 кг, подвешенный к потолку комнаты на пружине жесткости Л=450 Н/м, совершает колебания вдоль оси пружины, двигаясь поступательно. Найти период колебаний груза.
V I.21. Груз пружинного маятника массы т совершает гармонические колебания с угловой частотой а> и амплитудой X. Определить жесткость пружины, механическую энергию и средние значения кинетической и потенциальной энергий маятника за период колебаний.
V I.22. Неподвижный груз, висящий на пружине, растягивает ее на величину хь Груз оттягивают вниз на расстояние х0 и, сообщив скорость t>o вертикально вверх, отпускают в момент времени t=0. Найти
закон движения груза относительно положения равновесия, зная, что груз движется поступательно.
VI.23. В цилиндр массы М, подвешенный на легкой пружине жесткости к, с высоты h (рис.VI. 13) падает Sj груз массы т. Он прилипает к дну цилиндра. Найти m период и амплитуду возникших колебаний, если ци-it линдр движется поступательно.
—Lil VI.24. На стоящую на столе, скрепленную с ним Рис. VI. 13. легкую цилиндрическую пружину, падает шар, который после касания пружины прилипает к верхнему витку. В момент касания скорость центра шара направлена по оси пружины и равна v0. Зная, что максимальная деформация пружины -Хо и меньше ее длины, найти период и амплитуду колебаний шара. Потерями механической энергии пренебречь.
V I.25. Определить время, в течение которого шар, рассмотренный в предыдущей задаче, после касания пружины двигался вниз.
V I.26. Груз массы т подвешен на пружине жесткости к к потолку кабины лифта. Пренебрегая силами трения, найти закон движения груза относительно лабораторной системы, начало которой совпадает с покоящимся грузом, при обрыве троса, удерживавшего кабину, в момент времени г=0.
V I.27. На гладком горизонтальном столе лежат два кубика, прикрепленные нитью к сжатой пружине жесткости к. Ось пружины горизонтальна и совпадает с прямой, проходящей через центры масс кубиков. Массы кубиков равны пц и m2- Найти периоды колебаний кубиков, возникающих после пережигания нити.
V I.28. Есть две легкие пружины. Если груз подвесить на первую пружину, то период его колебаний вдоль вертикали будет равен Tt,
151
на вторую - Т2. С какими периодом Т будет колебаться груз, если его подвесить на эти пружины, соединив их последовательно?
V I.29. Начала и концы двух легких пружин одинаковой длины, но разного диаметра, вставленных одна в другую, жестко скреплены. Найти частоту вертикальных колебаний груза, подвешенного на так изготовленной составной пружине, если при подвешивании на первой пружине этот груз колеблется по вертикали с частотой ц, а на второй - v2-
V I.30. К противоположным граням кубика массы т, лежащего на гладкой горизонтальной плоскости, прикреплены две одинаковые легкие пружины длиной £() каждая. Пружины растянуты с усилием F до длины L и их свободные концы закреплены так, что оси пружин горизонтальны и их продолжения проходят через центр масс кубика. Найти период малых продольных колебаний кубика.
V I.31. Кубик, рассмотренный в предыдущей задаче, немного
смещают от положения равновесия в направлении, перпендикулярном первоначальному положению осей пружин, и отпускают. Определить период малых поперечных колебаний кубика.
VI.32. На гладком столе лежит тонкое резиновое кольцо массы т. Жесткость кольца равна к. Кольцо немного равномерно растягивают и отпускают. Найти период колебаний кольца.
VI.33. На гладкий горизонтальный стержень iwml j Iftwi надета муфта массы т=100 г, прикрепленная к F™' т! двум одинаковым пружинам жесткости Л=10 Н/м |i| w каждая (pnc.VI.14). Концы пружин закреплены в точках крепления стержня к скобе, которую вра-Рис. VI. 14. щают вокруг вертикальной оси, проходящей через
середину стержня, с угловой скоростью ш=5 рад/с. Найти период малых колебаний муфты и частоты вращения скобы, при которых колебаний муфты не будет.
V I.34. Предположим, что в Земле сделан узкий туннель длины L, соединяющий две точки на ее поверхности. В начало туннеля кладут
3 небольшое тело. Считая Землю однородным шаром : 2г радиуса R и пренебрегая ее вращением и сопротивле-__2:1 нием движению тела, найти время г, за которое тело р : достигнет противоположного конца туннеля и ско-.
" J I рость v тела, когда оно будет на расстоянии х от на-чальной точки.
VI.35. В жидкости плотности р плавает ареометр Рис. VI. 15. массы т (pHC.VI.15), радиус верхней трубки которого
152
равен г. Ареометр немного погружают строго вертикально и отпускают. Пренебрегая силами сопротивления, найти период колебаний ареометра.
VI.36. Легкий стержень длины L, на концах которого закреплены два небольших одинаковых свинцовых шарика, может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через стержень на расстоянии d от одного из его концов. Определить период малых колебаний стержня.
VI.37. На внутренней поверхности тонкого обода велосипедного колеса массы М радиуса R закреплен груз малых размеров массы т. Колесо может свободно вращаться вокруг своей оси, расположенной горизонтально. Пренебрегая массой спиц и втулки, найти период малых колебаний колеса с грузом.
VI.38. К оси блока подвешен на жестком стержне груз. Блок висит на нити, один конец которой прикреплен к потолку, а другой - к пружине, закрепленной на потолке так, что отрезки нити, не лежащие на блоке, вертикальны (рис.VI. 16). Масса груза со стержнем равна т, жесткость пружины - к. Груз немного оттягивают
Рис. VI.16. вертикально вниз и отпускают. Пренебрегая силами трения и массой блока, найти период колебаний груза.
V I.39. Решить предыдущую задачу, зная, что блок сделан из велосипедного колеса массы М, состоящего из тонкого тяжелого обода радиуса R, легких спиц и втулки.
V I.40. К легкой пружине жесткости к, верхний конец которой закреплен, на нити подвешен груз массы т. При каких амплитудах X колебания груза по вертикали будут еще гармоническими?
V I.41. Кубик массы А/=200 г, лежащий на гладкой горизонтальной плоскости, прикреплен к стене легкой пружиной. К противоположной грани кубика привязана перекинутая через легкий блок нить, на другом конце которой висит груз (pHC.VI.17) массы т=100 г. Ось пружины и отрезок нити между кубиком и блоком совпадают с горизонтальной прямой, проходящей через центр масс кубика. При
равновесии пружина растянута на величину Дх=5 см. Резким ударом грузу массы т сообщили скорость v вертикально вниз. Зная, что после удара груз совершает гармонические колебания, найти скорость V, полученную грузом в результате удара.
V I.42. К стоящему на горизонтальном отрезке пути на тормозах составу подкатывается платформа, на которой стоит незакрепленный
153
Рис. VI. 17.
контейнер. Коэффициент трения контейнера о платформу равен //=0,8. При ударе пружины бамперов сжались на величину Дх=8 см, меньшую их возможного сжатия, а контейнер не сдвинулся со своего места. Оценить скорость V, с которой двигалась платформа.
V I.43. Оценить массу контейнера, о котором говорилось в предыдущей задаче, если масса пустой платформы М=2 т, а жесткость пружин бамперов равна Л=1 МН/м.
V I.44. Скользящий по гладкому горизонтальному полу со скоростью По шар массы М ударяется о другой шар того же размера массы т. Шар массы т прикреплен к стене пружиной жесткости к так, что ось пружины совпадает с прямой, проходящей через центры шаров. Разность длин пружины в недеформированном и полностью сжатом состояниях равна С7Считая удар шаров упругим и мгновенным,'йай-ти условия, при которых шар массы т будет после удара совершать гармонические колебания.
V I.45. На горизонтальной плоскости лежит груз массы т, прикрепленный к вертикальной стене легкой пружиной жесткости к так, что ось пружины горизонтальна и ее продолжение проходит через центр масс груза. Коэффициент трения груза о плоскость равен р. Считая, что ось ОХ параллельна оси пружины и груз отпустили, сместив на расстояние хн>0 от положения х=0, при котором пружина не-деформирована, составить уравнение движения груза.
V I.46. При каких значениях груз пружинного маятника, рассмотренного в предыдущей задаче, п раз пройдет через положение х=0, если он был отпущен без начальной скорости? По какому закону будет изменяться амплитуда колебаний Х„ груза?
V I.47. Определить размер “зоны застоя” груза пружинного маятника, рассмотренного в задаче VI.45, т.е. размер области, в пределах которой может прекратиться движение груза маятника.
V I.48. Найти положение груза пружинного маятника, рассмотренного в задаче VI.45, через достаточно большой промежуток времени после его смещения на расстояние хн от точки х=0 и отпускания без начального толчка, если pmg/k<xH<4 /.img/k.
VL49. На груз массы т, подвешенный на легкой пружине жесткости к, действует сила вязкого трения, пропорциональная скорости груза, и направленная вертикально сила, проекция которой на направление вектора ускорения свободного падения изменяется по закону Fo cos pt. Зная, что груз движется поступательно, найти амплитуду V скорости установившихся колебаний груза, если коэффициент вязкого трения равен Ь.
154
V I.50. Найти амплитуду А ускорения установившихся колебаний груза, рассмотренного в задаче VI.49.
V I.51. Найти условия резонанса смещения, скорости и ускорения установившихся колебаний груза, рассмотренного в задаче VI.49, при изменении частоты р гармонически изменяющейся силы и связь между резонансными частотами смещения ру, скорости р0 и ускорения Ра-
V I.52. Жесткость пружины можно плавно регулировать, изменяя ее длину. Найти коэффициенты жесткости пружины, соответствующие резонансам смещения, скорости и ускорения установившихся колебаний груза, рассмотренного в задаче VI.49.
V I.53. Найти амплитуду V скорости установившихся колебаний груза, рассмотренного в задаче VI.49, зная его массу т, коэффициент жесткости пружины к, угловую частоту р гармонически изменяющейся силы и разность фаз (Д<р Ф п / 2) этой силы н смещения груза.
V I.54. Амплитуды установившихся колебаний груза, рассмотренного в задаче VI.49, при частотах гармонической силы р\ и рг одинаковы. Найти частоту р„ соответствующую резонансу смещения.
V I.55. Амплитуды скорости установившихся колебаний груза, рассмотренного в задаче VI.49, при частотах гармонической силы pj и р2 одинаковы. Найти частоту рт соответствующую резонансу скорости.
V I.56. Груз, подвешенный на легкой пружине, совершает вертикальные гармонические колебания в вязкой жидкости с амплитудой Y под действием силы F, изменяющейся во времени по гармоническому закону с амплитудой Fo. Фаза колебаний груза отстает от фазы силы F на угол <р. Найти работу источника силы за период колебания.
V I.57. При какой угловой частоте рт средняя (за период) мощность источника силы F, рассмотренного в задаче VI.56, будет максимальна, если масса груза равна т, жесткость пружины - к, а коэффициент вязкого трения - Ь. Найти эту мощность N.
V I.58. Скорость звуковой волны в воздухе равна и=340 м/с. Найти длины волн, соответствующих звуковым колебаниям.
V I.59. Найти разность фаз колебаний в двух точках, находящихся на перпендикуляре к фронту волны на расстоянии £=20 см друг от друга, если частота колебаний источника равна и=510 Гц, а скорость звуковой волны в воздухе и=340 м/с.
V I.60. Найти скорость звука в воде, если колебания с периодом Т= 5 мс создают волну с длиной Л-7,2 м.
155
V I.61. Найти частоту звуковых колебаний в стали, если расстояние между ближайшими точками, разность фаз колебаний в которых Д^>=90о, равно 1=1,54 м, а скорость звуковой волны в стали v=5 км/с.
V I.62. Найти амплитуды X колебаний частиц воздуха при распространении звука с частотой v=2 кГц, если его интенсивность близка к порогам слышимости (Л=1013 Вт/м2) и болевого ощущения (/1=10 Вт/м2). Плотность воздуха считать равной /7=1,3 кг/м3, а скорость звуковой волны в воздухе и=340 м/с.
V I.63. Найти диапазон изменения амплитуд скоростей частиц воздуха при распространении звука с частотой v=2 кГц и интенсивностью, соответствующей порогам слышимости (/i=1013 Вт/м2) и болевого ощущения (/2=Ю Вт/м2). Плотность воздуха равна р=1,3 кг/м3, скорость звуковой волны в воздухе р=340 м/с.
V I.64. В однородной изотропной среде находится точечный источник звуковых колебаний с частотой v. Зная, что скорость распространения этих колебаний равна и, поглощения энергии волны нет, а на расстоянии R от центра источника амплитуда колебаний точек среды равна Ая и эти точки в момент времени t=0 проходят через положение равновесия, написать уравнение сферической волны.
V I.65. Интенсивность звука, создаваемого точечным источником на расстоянии L в однородной не поглощающей изотропной среде, равна 1Л. Найти среднюю мощность, проходящую через кольцо радиуса R, ось которого проходит через источник, а центр находится на расстоянии L от источника.
V I.66. Расстояние между соседними узлами стоячей волны в воздухе равно L=40 см. Найти частоту колебаний источника, если скорость звука в воздухе равна и=340 м/с.
V I.67. Открытая с двух сторон труба имеет первую резонансную частоту и=400 Гц. На какой наиболее низкой частоте ц будет резонировать эта труба, если закрыть один из ее концов?
V I.68. Расположенная вертикально стеклянная трубка частично погружена в воду. К открытому концу этой трубки подносят камертон, частота колебаний которого равна и=1 кГц. Когда глубина погружения трубки изменяется на Д/1=17 см, громкость звука каждый раз усиливается. Найти скорость звука и.
V I.69. Определить минимальную длину L воздушного столба в трубке, рассмотренной в предыдущей задаче, при которой громкость звука будет максимальной.
V I.70. Стальной стержень длиной £=1 м закреплен посередине. Если стержень натирать суконкой, то можно возбудить в стержне
156
продольные звуковые колебания. Найти частоты этих колебаний, если скорость продольных волн встали равна у=6 км/с.
V I.71. Найти силу F натяжения гитарной струны длиной А=60 см массы т=5 г, при которой струна будет звучать наиболее громко на частоте и= 100 Гц и середина струны будет колебаться с наибольшей по отношению ко всем остальным точкам струны амплитудой.
V I.72. Один конец тонкой струны массы т и длиной L закреплен неподвижно, а другой прикреплен к вибратору, с помощью которого возбуждаются поперечные колебания струны. Найти частоты колебаний вибратора, при которых скорость колебания точки струны, равноудаленной от ее концов, будет максимальной (Hi) и минимальной (vm).
V I.73. Найти зависимость скоростей v точек среды, в которой установилась плоская стоячая волна, нормаль к фронту которой совпадает с осью ОХ, от времени г и их положения в отсутствии волны. Начало отсчета вдоль оси ОХ совпадает с одной из пучностей, а в момент времени t=0 точка среды, совпадавшая с началом отсчета вдоль оси ОХ в отсутствии волны, проходит положение равновесия, двигаясь в положительном направлении. Амплитуда скорости колебаний в пучности - V, расстояние от узла до ближайшей пучности -L, а скорость распространения колебаний - и.
V I.74. Автомобиль, движущийся со скоростью и=120 км/ч, издает звуковой сигнал длительностью г=5 с. Какой длительности сигнал услышит стоящий на шоссе человек, если автомобиль: а) приближается (г+), б) удаляется (г) от него? Скорость звука в воздухе считать равной и=340 м/с.
V I.75. Динамик излучает звуковые колебания с частотой vu=l кГц. Какую частоту v зафиксирует наблюдатель, движущийся со скоростью и=60 км/ч прямо к динамику? Скорость звука в воздухе считать равной у=340 м/с.
V I.76. Какую частоту звука v зафиксирует неподвижный наблюдатель, находящийся на расстоянии L от прямолинейного шоссе, по которому движется со скоростью и автомобиль, подающий звуковой сигнал с частотой и, когда расстояние между автомобилем и наблюдателем будет равно R, если скорость звука равна v и автомобиль приближается к наблюдателю?
V I.77. Гидролокатор подводной лодки, всплывающей вертикально, излучает короткие ультразвуковые импульсы длительностью г0. Найти скорость и всплытия лодки, если длительность сигналов, принятых приемником гидролокатора после отражения от горизонталь-
157
кого дна равна т, а скорость распространения ультразвуковых колебаний в воде равна v.
VI.78. Два одинаковых камертона, колеблющихся с частотой и= 680 Гц, движутся прямолинейно друг за другом с постоянной скоростью. Неподвижный наблюдатель, находящийся на прямой между этими камертонами, слышит биения с частотой _/=4 Гц. Найти скорость движения камертонов и, если скорость звука в воздухе равна и=340 м/с.
VI.79. Динамик, работающий на частоте v, закреплен на тележке, совершающей прямолинейные гармонические колебания с амплитудой X. Найти частоту а> этих колебаний, если частоты сигнала, воспринимаемого неподвижным микрофоном, расположенным между рельсами, по которым движется тележка, отличаются от частоты v-йе более чем на Av, а скорость распространения звука равна v.
Приложения
I. Основные и дополнительные механические еденицы системы СИ
Наименование Еденица измерения Обозначение (рус.; лат.) Определение
Длина метр м/т Метр равен длине пути света в вакууме за интервал времени 1/299 792 458 с.
Время секунда с; s Секунда равна 9 192 631 770 пре-риодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.
Масса килограмм кг; kg Килограмм равен массе международного прототипа килограмма.
Плоский угол радиан рад; rad Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.
Телесный угол стерадиан ср; sr Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.
П. Производные механические еденицы системы СИ
Площадь квадратный метр м2; га2 Квадратный метр равен площади квадрата со сторонами, длины которых равны 1м..
Объем метр в секунду м/с; m/s Метр в секунду равен скорсти равномерно движущейся точки, при котором эта точка за 1 с проходит 1м пути.
Ускорение метр на секунду в квадрате м/с2; т/с2 Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно и равнопеременно движущейся точки, при котором за 1 с скорость точки изменяется на 1м/с.
159
Наименование Еденнца измерения Обозначение (рус.; лат.) 'Определение
Частота периодического процесса герц Гц; Hz Герц равен частоте периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл этого процесса.
Частота вращения секнда в минус превой степени с’, S-’ Секунда в минус первой степени равна частоте вращения, при которой за 1 с происходит один цикл вращения (один оборот).
Плотность килограмм на кубический метр кг/м3; kg/m3 Килограмм на кубический метр равен плотности однородного вещества, масса которого при объеме 1 м3 равна 1 кг. у
Сила ньютон H;N Ньютон равен силе, сообщающей телу массой 1кг ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы.
Удельный вес ньтон на кубический метр Н/м3; N/m3 Ньютон на кубический метр равен удельному весу однородного вещества, вес которого при объеме 1 м3 равен 1 Н.
Давление, напряжение паскаль Па; Ра Паскаль равен давлению (механическому напряжению), вызываемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м2.
Жесткость ньютон на метр Н/м; N/m Ньютон на метр равен жесткости такого тела, которое при действии на него силы 1 Н испытывает абсолютную деформацию, равную 1м.
Момент силы ньютон-метр Н'м; N«m Ньютон-метр равен моменту силы, создаваемому силой 1 Н относительно точки, расопложенной на расстоянии 1 м от линии действия силы.
Импульс силы килограмм-метр в секунду кг°м/с; kg°m/c Килограмм-метр в секунду равен импульсу (количеству движения) тела массой 1 кг, движущегося поступательно со скоростью 1 м/с.
Работа джоуль Дж; J Джоуль равен работе, совершаемой при перемещении точки приложения силы 1 Нна расстояние 1 м в направлении действия силы.
160
Наименование Едениця измерения Обозначение (рус.; лат.) Определение
Мощность ватт Вт; W Ватт равен мощности, при которой за 1 с совершается работа 1 Дж.
Интенсивность звука ватт на квадратный метр Вт/м2; W/m2 Ватт на квадратный метр равен интенсивности звука, при которой через поверхность площадью 1 м2. перпендикулярную направлению распространения звука, Передается поток звуковой энергии 1 Вт.
Ш. Еденицы системы СГС и другие еденицы, применяемые в механике
Время минута час сутки год мин; min ч; h сут; d год; а 1 мин=60 с 1 ч=3 600 с 1 сут=86 400 1 год=31 556 925,9747 с
Длина ангстрем световой год парсек А; А св. год; 1у пк; рс 1 А=10‘1им 1 св.год « 9,4б05"1015 м 1 пк « 3,0857“1016 м
Объем литр д; 1 1 л=10 •’ м
Сила дина килограмм-сила грамм-сила тонна-сила дин;dyn кгс; kgf гс; gf тс; tf 1 дин=10‘5Н 1 кгс=9,80665 Н 1 гс=9,80665" 10‘3Н 1 тс=9,80665"103 Н
Работа, энергия Эрг килограмм-сила-метр в секунду лошадиная сила кгс*м/с; kgf’m/s л.с. 1 кгс"м/с=9,80665 Вт 1 л.с.=735,499 Вт.
Давление дина на квадратный сантиметр физическая атмосфера техническая атмосфера бар миллиметр столба: водяного, ртутного. дин/см2; dyn/спг атм; atm ат; at или кгс/см2; kgf/cm бар; bar мм вод.ст. мм рт.ст. 1 дин/см2=0,1 Па 101 325 Па 1 ат=9,80665-104 Па 1 бар=105Па 1 мм вод.ст.=9,80665 Па 1мм рт.ст.=133,322 Па
6-293
161
IV. Десятичные приставки к названиям едении
экса Э;Е 108 Кило к; к 103 микро мк; ц ю*
пета П;Р 1015 Гекто г; h То5 нано н; п То75
тера Т;Т ю12 Деци д; d Ю’1 ПИКО п;р То777-
гига T;G ю9 Санти с; с 102 фемто ф; f Ю'15
мега М; М 106 Милли м; m 10‘3 атто а; а ю18 -
V. Физические и астрономические величинй, используемые при решении задач механики
Скорость света
Гравитационная постоянная Ускорение свободного падения: Нормальное на уровне моря на экваторе на уровне моря на полюсе Плотность воды при нормальном давлении (ратм=1 атм) наибольшая (/=3,98° С) Плотность ртути при нормальных условиях (ратм=1 атм, 1=0° С) Плотность сухого воздуха при нормальных условиях (раТм=1 атм, 1=0*0
Скорость звука в воздухе при нормальном давлении при t=0° С при г=20° С
Физические параметры Земли: масса средний радиус полярный радиус экваториальный радиус время оборота вокруг оси
Период обращения вокруг Солнца линейная скорость точек экватора среднее удаление от Солнца минимальное удаление от солнца (январь)
с=2,99792458-108 м/с.
G=6,67259-10” Нм/кг’.
g =9,80665 м/с2;
g3=9,78049 м/с2;
gn=9,83221 м/с2.
/>420=999,973 кг/м2;
Ais=13 595,04 кг/м3.
/>вз=1,293 кг/м3.
vN=331,46 м/с; v2o=343,1 м/с.
Л/3=5,976;« Ю к1. ,
/?3=6371,032 км; “
Кпз=6356,78 км; /?эз=6378,16 км; г,с=23 ч 56 мин 4,09 с; гзг=365,26 сут;
ою=465,1 м/с;
Ясз=149,50-106;
Лсзт=1>471*508;
'162
максимальное удаление от Солнца (июль)
средняя скорость движения по орбите
Физические параметры Солнца: масса средний радиус ускорение свободного падения скорость движения вокруг центра Галактики
удаление от Галактики
Физические параметры Луны: масса средний радиус ускорение свободного падения минимальное удаление от Земли максимальное удаление от Земли средняя скорость движения по орбите
период обращения вокруг Земли и своей оси
я^.згью8;
V3O=29,76 км/с.
Мс= 1,99-10s кг; %
Яс=696 ООО км; % • /£ ж gc=237,98 м/с2;
ГСО=250 м/с;
ЯС0=Ю6;
Мл=7,35«1022;
Ял=1 738 км;
#л=1,623 м/с2;
^злт=356 400 км;
Язлм=406 800 км;
УЛО=1,023 км/с;
гл=27 сут 7 ч 43 мин 11,5 с.
VI. Некоторые сведения по математике
1. Площадь поверхности S и объем V геометрических фигур шар радиуса/? 5=4 лЯ2 Г=4лЯ3/3;
шаровой сегмент высоты й S=xh(4R-h) V=nh2(3R-h)/3’, круглый прямой цилиндр (/г-высота, Я-радиус основания)
S=2nh(R+h),
круглый прямой конус (/ьвысота, Я-радиус основания)
5 = яЯ| 7«2+й2 + Я], И= лЯ-71/3
прямоугольный параллепипед с ребрами а, Ь, с S=2(ab+ac+bc), V=abc
2. Тригонометрические формулы sin(cr+/?) = sincrcos/? + coscrsin/?
cos(cr+/?) = eosacosfi - sinasin/?
1—tge&gp
sin(cr-/?) = sinacos/? - coscrsin/? cos(a-/?) = cosaco s/? + sinctsin/?
1 +tg«tg/7
e*
163
r, \ a + P\ I ci-P sina + sin/? = 2sin ---------— cos --------—
I 2 J I 2
. „ (a + P\ . (a-p
sina - sin/? = 2cos -— sin ---—
I 2 J I 2
„ (a + p\ ( a-p
cosa + cosB = 2cos -— cos ----
I 2 J I 2
„ ~ (a + P\ (a~P cosa - cos/? = -2sin I —-— I sm I —-—
. o sin(a + /?) tga + tg/? =-----------
cosa cos p
sinasin/? = (costa-/?) - costa+/?)J/2
sinacos/? = [sin(a+/?) + sin(a-/?)J/2
cos2a = cos2a - sin2a
• - 2tga
sin2a =----2-z—
1 + tg a
„ sin(a- В)
tga - tg/? =-------
cosacos p
cosacos/? = [cos(a-/0 + cos(a+/?)[/2
sin2« = 2sinacosa
. 2tga
tg2a=—-4-
1-tg «
, 1 - tg2»
cos2a = ----z—
1 + tg a
3. Главные значения круговых функций и соотношения между ними
- гг/2 < arcsinx < я/2 0 < arccosx < я - я/2 < arctgx < я/2
' X . X
arcsinx = я/2 - arccosx = arctg-7= arctgx = arcsin
Vl~x2 Vl + x2
arcsinx + arcsiny =y я + Jarcsin ^xy/l-y2 + y\l\-x2
где у = 0, 3 = 1 при ху < 0 или х2 + у2 < 1, где у = 0, 3 = 1 при х>0, у>0 и х2 + >2>1, у = -1,3 = -1 при х<0, ><0 и х2 + >2>1.
arccosx + arccosv = = у я + Jarccos ху - -^1- х2 у2 ,
где у = 0, 3 = 1 при х+у>0, где у = 0, 3 = 1 при х+усО
arctgx +1 arctgj’ = у я + arctg[(x+y)/(l-лгу/], где у =
О при ху < О, 1прих>0, ху > 1,
-1 при х < 0, ху > 1
4. Формулы приведения
функция р=£>,5я+а Р=л+а Р=\,5я+а Р=2л+а
sin Р cos а - sin а - cos а - sin а
cos Р - sin а - cos а sin а cos а
*%Р - ctg а tg а - ctg а -tg а
164
5. Формулы приближенного вычисления
1 , I.
sina ® tga ® a, cosa я при И <<:^> если а выРажсио в радианах.
(1 ±х)"» 1 ±лх,1п(1 +х)«хпри ]х|«1.
6. Соотношения между элементами треугольника.
Если a, flu у- углы треугольника, противолежащие сторонам а, b и с, 2р-а+Ь+с - периметр, S - периметр, R и г - радиусы описанной и вписанной окружностей, ha, та и La - высота, медиана и биссектриса, опущенные из вершины угла а, то: *
а2 = Ь2 + с2 - 2bccosa (теорема коинусов),
«/sina = b/sinfl = c/siny (теорема синусов),
(a+b)/(a-b)=[tgl/2(a+/?)]tgl/2(a -fl) (теорема тангенсов),
S = O,5absiny = tp(p-a)(p-b)(p-c)]H'5 = ptgl/2atgl/2/?tgl/2y = abc/^R = pr, ha = bsin у = csin/?, ma = 1/2[b+c+2bcsina]0,5, L„ = (2bccosl/2a)/(b+c).
7. Таблица производных
fix) a=Cons t xf cd ex Inx lOgaX sin a
df/x 0 аXя'1 оЧп a 1/x l/xlna cos a
fix) cos a tg a arcsin a arccos a arctg a
df/x - sin a cos'2 a (l-x2)^5 -(l-?)-lb (l+x2)-'
ОТВЕТЫ
I. КИНЕМАТИКА
Равномерное движение
1.1. Встретятся. х=2, у=5.
1.2. Если машины движутся в разные стороны, то AtB1 = L/(yA +уй) = 3 ч, Labx ~ vA.\tal =180 км; иначе А?в2 = L/(va -ив) = 1,5 ч, LAB2=vAAtB2 =900 км.
L |пд -1>я|
1.3. Z) =—-— = 1,5 ч, / = ----^ = 30 км,
+ 2(рд-рй)
|£ - (рл + vB )| t при 0 < t < L/vB = 2 ч;
vAl при L/vB < t < L/va = 6 ч;
L при L/va <t.
1.4. Ar = [l - pA(r2 - ti )]/(ил + vB) = 2 4.
А/=
1.5. ti = -^- = Змин. 1.6. w=Z!lZMU2 = ioo, т.к. V23 = kvl3. tt -t2 kn2 -n2
1.7. vT = L/2т = 5 км/ч. 1.8. uT -L!2т = 2 км/ч.
1.10. ^ = arc cos pt/p®530; \t = L/^v2 -v2 =10 мин.
1.11. L = St2/ф2 > v1=Sjt}, a = arc cos tjt2.
1.12. v = ^2S2 +v2t2 +25^52 + u2r2cos2a.
1.13. v = ^v2sin2a + S2/4r2 »14,8 км/ч,
~Pb =arc sin[l + 52/(2wTsina)2]°’5 «14°.
1.14. a = pt(p2 -p2)t/p2 = 27,3 km.
1.15. a - arc tg v/vT . 1.16. At = r = 1 ч.
1.17. тл/тв =cosa + (p/uK)sina.
1.18. Под углом а к прямой, соединявшей человека й автобус в начальный момент, где av/bu < sina. т.е. 30° < а < 150°.
166
1.19. Под углом а = arc sin av/bu = 30° к прямой, соединявшей человека и автобус в начальный момент.
1.20. Mjnjn = av/b = 2 м/с, перпендикулярно прямой, соединявшей человека и автобус в начальный момент.
1-21. = L|«-о|/7и2+р2.
L\v cosa-nl
1.22. Lmin = .. - —, если в указанный момент обе
yi?2 +«2 -2vu cosa
машины приближались (удалялись) к перекрестку (при и=16 м/с £min=200 м, при о=36 м/с Lmin=l,l км), иначе . l/ocosa + п) . .. . т . ,
Z-tnin = . V —< (при 0=16 м/с, Lmin®!,! км;
уи2 + и2 + 2vu cosa
при о=36 м/с Zmin«l,3 км).
1.23. a = аге tg 2а/(Sb-с), причем после удара шар должен двигаться к стороне АВ.
1.24. r = (2«-3r-c)/(osina). I.2S. v^ch/Jh2-с2?2 «584 м/с.
Средняя скорость
1.26. Ргср/игср =Plcp/«Icp = 8/9 = 4о1р2/[(р1 +v2X«i +«г)]-
1.27. отср = vuL/\vR + u(L + /?)]= 25 км/ч,
о1ср = vu(L + 2R)/[vR + u(L + /?)] = 75 км/ч; отср = О, о'1ср - 2vu('L + R)/[vR+u(2L + R)] = 80 км/ч.
1.28. I = |х(2) - х(1)| +1х(3) - х(2)| + |х(5) - х(3)| + |х(6) - х(5)| = 9 м, х(г,, Г2) = x(r2)- x(f]) = 1 м, охср = Дх(г,, г2 )/(г2 - Г]) = 0,2 м/с,
^1ср =^1>^)/(?2-0)=1.8 м/с.
1.29. О] - v(k + 1)/2к = 25 км/ч; о2 =kvx =37,5 км/ч.
1.30. Гц /'tL=v/ Vu2 -и2 .
1.31. 1?|ср =(1+3 + 4 + 2)оД^(2 + 4 + 3 + 1)]=40 км/ч = Утср, если
считать, что все участки расположены друг за другом.
1.32. 1?^ =2vLf\2L-[tx +Г2)о] = 60 км/ч.
167
1.33. рср = (V2+l)/^/2 ®25,6 м/с. 1.34. Ал ~ uTL/2u = 25 м.
I.3S. <р = л -arc cos (ит/2и)= 120°.
1.36. А/ = [4и5 + (ит - 2<z)Z,]/4i>n = 3 мин.
Прямолиненое равномерное движение
1.37.
1.38.
v = (z. + <2T2/2yr = 6,5 м/с.
пренебрегая межвагонными соединениями.
1.39. а = 8L(г-) - г2 )2/(г2 - г2 - 2г]г2 J ® 0,25 м/с2, пренебрегая
межвагонными соединениями.
1.40. N = n + v2/(2aH) = 7.
1.41. Т.к. поезд после остановки не может двигаться назад, то
а = ——^^ = 1,6 м/с; vt<2L. t = -VT— =6,25 с,
г ° 2(p-L/t)
vt-vt2/т + Lt2[т2 , при Г</ост
L(/) = ] р2г2
4(ur-L) ’ пригост</.
1.42. 1 = L + v2/а при vt-lAl», иначе (irtlAE) l=L.
1.43. а(х2)> 1.44. v = -JlgH «6,3 м/с.
I.4S, //max = v2/2g, va = v0, tn = 2v0/g. I.46.B 4k раз.
1.47. Груз будет двигаться как тело, брошенное со скоростью v вертикально вверх с высоты Н.
+ ^[JlgH+v2+v^!g, vn =^2gH+v2.
1.48. L = /(g + a)\g^H/(g+ a) -v] , А/ = ^2H/{g+a). Если '
ускорение направленно вверх, то L « 0,97 м, А/ « 0,65 с, иначе L «1,78 м, А? = 0,8 с.
1.49. L = gr2 (l+V2)2/2® 28,6 м, где т=1 с.
1.50. v0 =^2gH+(g?/2)2, ta =^T2+ZHlg.
1.51. H = g [(ЗЛ -1>/(* -1)]2 /8 « 31 м.
168
1.52. Я =а/2 (1 + а/<?)/2^73,5 км.
I.S3. Второй двигатель должен быть включен через время t ='altl / g после окончания работы первого двигателя.
I.S4. a) vf = c + c^t, x = b + ct + a}t/2\
t 1 при 0 < t < 1 при 1 < t < 2 .j - ? 2r-l при 0 < / < 1
при I < t < 2
6) vx = t -1 при 2 < t < 3; x = — 2 при 3 < t < 4 2 t - 2 при 4 < t 3-2/ + t2 4/-6 10-4/ + t2 при 2 < t при 3 < t при 4 < t <3 <4
в) vx = £i_ 2 0 1-1 1 10- 2 к при 0 < t < 1 lt + t2 при 1 < t < 2 при 2 < t < 3 6/ +12 при 3 < t < 4 при 4 < t
х = 2к. 6 0 9/ /3 6/ -I)3 -15 -9/2 -16 при 0 < t < при 1 < t < при 2 < t < + 30/ - 32 при 3 < t < при 4 < t 1 2 3 4
г) vx = аГ t 2-t t-2 4-/ t-4 при 0 < t < 1 при 1 < t < 2 a при 2<t<3, x = — при 3 < t < 4 2 при 4 < t t2 4t-t2 -1 7-4/ + /2 8/-/2 -11 21 -8/ + t2 при 0 < / < 1 при 1 < t < 2 при 2 < t < 3 при 3 < t < 4 при 4 <t
Д) vx = ar t 2-t t-4 6-t при 0 < t < 1 при 1 < t < 3 _ ai при 3 < t < 5 ’ x " 2 при 5 < t • t2 при 0 < t < 4t -12 - 2 при 1 < t < 16 + /2 -8/ при.ЗсК 12/-t2 -34 при 5 < t 1 5
1.55. Да. 1.56. Ax=2vot, пока второе тело не коснется земли.
I Я н2
1.57. уц= Н I--, Нт=--------------. 1.58. At=(2L+gr)/2gr.
}2(H-/f) 4(Н - h)
1.59. Встреча возможна только при г < 2v/g, ts = v/g + г/2, 1.60. tf=3p2/8g«61 см.
i69
Криволинейное движение при свободном падении
1.61.
1.62. При t< (2Poyin a)/g:l)y=tv.yin a-gr/2, x=v0tcos а;
2) Py=posina-gf, i>x=p0cos <r, 3) v = ^v2} + g2t2 -2t>0gtsina;
4) tg /?=tg a-gf/vocos cc, 5) tn=2i>osin a/g; 6) Hm=(Vg sin2 a)/(2t 1)L=(Vq sin2a)/g . При a = 45°; 8)y=(xtg «y[2(vocos af].
1.63. Az=(o tg a)/g ® 1,53 c. 1.64. i>mat= y[v^+2gH .
1,65. ~78,5 м/с, H=gt{t2/2 ~ 73,5 M.
,,, ^h1 +[gS ^h-SHAgT2
1.66. v = - «2rsin«»67 м/с;
2rsina
T vcosaf . / 2 • 2 2“Т7Л . .r-
L= ----- v sin a + \v sin a + 2gH ® 445 m.
g ' J
1.67................tg a= v_....... « 0,577, a «30°.
7v2 + 2gH
1.68. at «73°, a2 «52°, т.к. tgctrj 2
v2 +Jv4 - g(2v2H+ gL2) gL.
1.69. a = — arcsin^-Й^-«14,7°, 1.70.//„l=Hcos22a+/isin22a. 2 v
. / — sL .. л я
1.71. v = J—-— ® 4,1 м/с, — < a < —.
11 sin 4a 4 2
' ^2(h/g\-d 12х L~d
vsina + ат)2 +agr2 +ar + usina
«1,5 c,
L=t>tncos а к 7,2 м.
1.74. v
, tg a =
H + Jh2+l2} L.
1.75. Скорость мин максимальна в точке падения; ускорение всюду
равно g; х х 71 м, т.к. х=
4uW, |. g2L2' gC2 V v4
170
1.76. L(t)=t^(vi -v2)2 ' v(f)=V\-v2, пока ни одно из тел не коснется земли.
1.77. Сфера радиуса R(t)=r+vt, центр которой свободно падает с высоты Н без начальной скорости, начиная с момента t=0 — момента взрыва.
1.78. H=2o(«cos «-o)(tg2«)/g. 1.79. tg а=Н/Ъ=Л, а- 60°.
1.80. L=/7[ctg «+(vcosec а)/и]~40 м.
I.81. u= I gL COS«~343 м/с.
У 2sin(/?-a) cos fl
1.82. о2= ^2gH(l + 8sin2 а) * 7,7 м/с.
1.83. Ц: Ц: Ц: ... = 1 : 2 : 3 : ... 1.84.4, 9, 16, 25 и т.д.
_ __ r „ \12gH cosД+osin В ! I--------- \ Fssm
I.8S L=2±-2-------------£ U2gH sin 2 fl -vcos2fl)«
geos fl I1 LM-
Движение по произвольной траектории
1.86. oZcp =(£ЛВ+2ЛВс)/г=57,5 км/ч, orcp=LAB/t=12,5 км/ч, где
/=| ^ав । Lbc ! ^вс I vi V2 v3
1.87. О/ср(0;5)=огср(0;5)=2 м/с, о/ср(0;10)=оя:р(0;10')=3,6 м/с, n^OjS^O.S м/с2, аГСр(0;10)=0.
^1 ~ 52 при 0 < t < t.
1-88. Z(O,t) = . 5 _e | □ i jt t t,-t] при t] < t < t2
2s -s I 251 t3-t2 при t2 < t < t3
25j *^3 при t3 < t
S1 ~s2
t3 -t]
J] + S2
при Octet]
при t] < t < t2 >
при t3 <t
vr(t) =
Пгср(О^з)— -l’fcp(0,t3)=(25'i—Jj+S3)/t3.
Г1
1.89. VKp=[v2tl+(Ul+V3)t2-U3f3]/2t3, V/Cp=[V2tl+(Vl—t>3)t2+V3t3]/2r3.
1.90.1) a/?)=0 при или t3, a,(ti) -> аХ?з)
UI -^2
' при 0 < t < ?,
2) аг(?) = при ?] < ? < ?з
Гз
О при t > ti
1.91. aT(t) =
vjt
0
~у1/(гз ~гг)
при 0 <t < ?i при Г] < t < t2 при t2 < t
3(0=^-
'2t-t, -
2t-t]
(t-t2)2 f3 ~h
при 0 < t < ?] при 1г < t < t2 ,
при t2 < t
2?-?|
, I f3 -f2
1.92. v^=L^-+~[~ «11 см/с.
+f2)
при 0 < t < ?!
при t< < ? < ?2
При ?2 < ? < ?3 при ?3 < ?
, a^=2L —-——— » -3 cm/cz ?i?2(?i +?2)
1.93. При ? > 12 c, a) v(f) =
5 + 2? при 0 < ? < 6 c 4?-?2/б-1 прибс <? <12c , 23 при12с<1
6) v(t) =
5 - 2? ПРИ 0 < ? < 6 с
2t - 5 при 2,5 с < ? < 6 с
4?-?2/б-11 рри6с<?<12с .
13 при12с<1
1.94. 1), 2) - нел, 3) v, 4) иг
gvcosa -g(ysina-gt)
1.95. an = .— .— - ar = > , .
\] g2t2 -2vgtsina + v2 \g2t2 -2vgtsina + v2
если положительное направление вдоль траектории совпадает с направлением движения тела; a=g.
1.96. a^t)=2kt, a(l)=k2t4/R, a(t) = J a2 + a2 .
1.97. a/f)=0, an(z)=y2/to=a(?).
1.98. Окружность (x-b~)2+y2=b2, z=0; s(t)=bkf, v£t)=bk\ A(f)=An(t)=bli\ AM=Q.
1.99. «4»0, a(t)=an(t)=ba?, RK(t)=b+k2/(ba>).
1.100. a=vu!L. 1.101. At=b!v. 1.102. a(t')=v2/(b-vt).
Движение точки по окружности
1.103. р=2лК/7’й1 км/с, a^^RI’f«2,lA0'i м/с2.
1.104. км. 1.105. v=2nRIT* 30 км/с, где Г=1 год.
1.106. Рр=(2лЛ/Т)со5^!«232 м/с, где Т=24 ч. 1.107. aja^tg ,р«0.58.
1.108. M = ^kR/aT =5 с.
1.109. и=(2Д-иг)/т=25м/с, tg o=(2L-vt)2I\2R{vt-L)\ ® 6,3; а- 8Г.
1.110. Д/=2Мл>+и)=80 с, а= Р2~ц2Т I fc р2~“\Т R2 2L ) 2L ) /
1.111. aB=(v-aTT)2/R=5 мм/с2, а= у] а2 + а2 ~0,3 м/с2, a„/a^=tg ср= 60, <р « 89°.
Кинематика твердого тела
1.112. w=[nsin(«+Z?)]/sin«; Д=90°-а; да.
1.ЦЗ. 7V=nr/2=60 об, £=2 ли/г «0,84 об/с2.1.114. Да, может.
1.115. v^vH+cos (р\ u4>,=-psin^, pa=2pIcos ^/21.
1.116. и=у/лп’~8,8 об/с, а„=2п2/</«0,93 км/с2.
1.117. Ось находится на вертикальном диаметре на расстоянии v/a>
вниз от оси колеса, если верхняя точка движется в ту же сторону, что
и ось, и над осью в противном случае.
1.118. 7?М(Г)=47?| sin(iH/27?)l; aA(t)=v2/R’, x=vt-Rs'm(vt/R), y=7?[l-cos(W/7?)J, z=0.
(
1.119. ив=— 14- ...1---=1,6m/c, vn=L j— 1
< 4
=-0,4m/c
173
1.120. Z/=7?(T-cos a)+(ysin a)2/(2g), где a=0, если точка отрыва — точка касания колесом дороги, причем при движении колееа влево положительное направление отсчета угла а по ходу часовой стрелки. Г.121. Траектория —. парабола вида: x(f)=vt(l-cosa), y(f)=/?(l-cos<z)+ixsin a-gt2/2, z(t)=O, где f=0 — момент отрыва комка, ось OX ТТ v, OYUg.
1.122. AL > v2/y * 40 м. 1.123. AL=L/2.
1.124. ca=\Vy-v^2R, v={v^v^2.
1.125. £u=(fflj/?+a>2r)/(i?-r), v={co-,R—<0^)12, где v>0, если ось движется в направлении движения точки касания колеса R и ролика. v={a>\R+a>2r)l2.
1.126. 1>й=2®(Я+г)=1 м/с. 1.127. a) v0=vR/(R-r), б) v0=vR(R+r). у 1.128. aK=arccos (r/R). 1.129. L=L(№u)/[2(o-ou)]=6 м.
1.130. Искомая точка расположена между между точками А и В на расстоянии x=Lsinasin/?/sin(<z+/?) от точки A. vx=v^cos а и направлена от точки А к точке В.
1.131. vA = PB/Vl + sin22a . 1.132. v=v-2rf.R+H)IT^ 4,4 км/ч.
1.133. v,=nv. Г.134. v=4a2+6)2L2 .
1.135. va и 20 м/с, т.к. va ^v2 + (2a>Rcos^-)2 + 4<эоЯсозу •
1.136. a,=ac=a?R, aa=Q.
1.137. a„= {-/cii + 4^4) =4,5 м/с2, va= 4c'i^ + 4aiR =3 м/с,
v.= 4^2li =2 м/с, vr = -Ja2R = Г м/с.
Кинематические связи
1.138. u=v tg a.. 1.139. o^-gctg a.. 1.140. a,,=(aKt-oj tg a..
1.141. o2=-2a,.
1.142. e=ci/R, n(f);=at2/4nR при 0 <1<^2Н/g , если начали опускать покоившееся ведро.
1.143. й4=-(а|+а+2й3)/4, где о, - проекции ускорений грузов на вертикальную ось.
1.144. a=VX25ar , направлено вниз под углом arctgl ,5 « 56° к горизонту.
174
1.145. Считая, что отрезки нитей между валами и блоком вертикаль-R— г R + r -
ны, v =--------а>, <абя = а---, где г&л — радиус блока.
2 2гбл
1.146. yB(t)=ylL2 -v2t2 , vBy(t)=-v2t/>/i2 - v2f2 при Q<t<L/v, vBy(a)=-v ctg a.
1.147. Четверть дуги окружности радиуса Ы2 с центром в точке 0; vc=W(2sin а) направлена вниз, перпендикулярно прямой ОС; 1йс1= -аСу= v2/(2Lsin3a).
1.148. Да, т.к. pKcos crK=uncos а„, где ак и а, углы между буксировочным тросом и скоростью vK катера и ил лыжника.
1.149. u=v cos (^r-or)/cos Д=-\/з v »52 км/ч. 1.150. pM=v/cos а.
1.151. v=La)r/^L2 -Н2 , a={arH'2/(L2-H2)1'.
1.152. vA=v^1 + (l///)2 и направлена вертикально вверх.
им д/v2+ у?-2vjr2cosa v2-UjCOS.a
1.153. v= —---i--------------, tg(v ,Au)= —---------.
sin a i^sina
1.154. p=toi?/cos(a/2) и направлена вертикально вниз. 1.15'5. v = 2 a>R
IL ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
ILL a=^ig » 4,9 м/с2. II.2. L=v2/(2pg) & 34 м. П.З. v= y/iTiLg ~ 7 м/с.
П.4. F= -mv/т, F=0,05. H. U.5. F=m(t>/r-g) ~ 0,09 H. П.6. m=2(M-F/gl.
11.7. vjv2=n. П.8. u=vjg Kg - a) =31 м/с.
П.9. F<T(l+m1/m2)=7,5H. Да, т.к. F2< Т{\+тг1т^=\5 H.
.0 при F < /] = ymg-
n.lO.T,=jF-/j при fx<F <4/j .
3F/4 при 4/j <F
r2=i
о при F < 2/j (0 при F < 3fj
F - 2^ при 2/i < F < 4/j , T3 = F -.3^ при 3/, < F < 4/,
F/2 при 4/j <F f/4 при 4/, <F
11.11. F„ = F/N,f„ = (N-n)F/N, Fs^l.25 H,/3® 3,75 H.
11.12.1) F^(l/N+pmg/F)F, F5 «l,5 H; 2yFn=WN-itmglF)F.
F5* 0,9 U;f„=(N-n)F/N,f5^ 3,7 H.
175
ПЛЗ. T=bF/L. 11.14. T=\{\-blL)FA-bF3IU. 11.15. F=ifl-g)m.
11.16. a=(l-l/n)g. П.17. Ni2=\g-alm, N2A=(g+a)m. 11.18. Вверх, a > g.
11.19. Ta=[(a+g)m sin /7}/sin (a+fl), Tf^a+g^m sin a]/sin (a+0).
П.20. Уменьшится.
П.21. T=(m+m2)F/(m+m\+m2)=90 H, Ti.=(m+2m2)F/[2(m+ml+m2)]=70 H.
П.22. a=mg!M, T\=mm}glM, T2-m(np+m2)glM, Ty=m(M-m)glM, где
M=m+mi+m2+m2. »
11.23. a = M - pm
О при p>M/m
> T = g при p<M/m M+m
Mg , при p> M/m
Mm(l+p) .
———— g при p< Mm M+m
11.24. am = yja2 +[M(a + g)/(M +m)]2 , aM = (ma + Mg)/(M + m),.
П.25, т =
О при 0 < — < m,
№
F-pm,g F
------—12— при гщ < — < np + m2 cosa+psina pg
F
--- —!-----— при np + m2 S —. cosa+^sina pg
11.26. F=m2(M+np+m2)glnp. 11.27. <z=arc tg a/g.
11.28. a=g 7(2/? - //)// /(R -H).
11.29. a> g ctg a, F„=m(g cos a-a sin a)/sin 2a,
F3=m(g cos a+a sin a)/sin2a.
11.30. a>pg М,9б м/с2. П.31. F > pg(m+M).
П.32. F=2pg(m+M)+2MLrf. 11.33. L=Jl2pg a 5,1 cm.
П.34. L=Mv2l\2pg{M+m}\.
11.35. a1)=F/(A/+m)=0,2 м/с2, a2}=pgmJM ® 0,49 м/с2.
П.36. F=n(A/+m)+2 pmg.
П.37. Если при неподвижной платформе канат не деформирован
(хн=0), то при acpg х = 0, при a>pg х=т(а - pg)/k. Если хн*0, то lex
J0 при я <—- + pg = a, Л ~ , т
m/k(a-pg)-xH при а<а}
П.38. Fi}=pg(mi+m2), F2}=pg(,m\+m2/2). П.39. яотн=я cos a, F=ma sin а.
11.40. р > ctg а.
П.41. При ctg сс. а^, F=ma, иначе aOTH=a(cos а -\usin ар F=ma yjl-i-р2 sin а.
П.42. При F< pmgKcos a+RSin a)= a=0; при Fx<F<mg/sma a=
-F(cosa+/jsina)/m-/jg. Иначе a = ^(.f/m)2 + g2 - (2Fgsina )/m.
П.43. В первом случае, т.к. F|/F2=(l+ /zmctgar)/(l- pmctga).
„ . . „ mgs'ma-F
П.44. ахм=0 при F=mgsma=Fi;-------5—cos a npnF<F|.
M + msin a
П.45. При /z> ctg а или ц < ctg а и t<gtft, где /?=4(cos a-/as in a) o=u.
При /z < ctg а и t > g/p v=( pt-g)2K2p).
11.46. n=[(g?sin a)/2](-sin a + ^{p/mg}2 -cos" a) .
П.47. При движении тела по плоскости вниз a=g(cos а - fj&m a), вверх — o=g(cos а + /zsin a).
1--- I 2Lcosa
11.48. a = arc tg и.. П.49. At=2 JR/ g . 11.50. T = J—:-
y ]gsm(a-an)
11.51. F=Mg tg 2 a..
П.52.12,6 H 2 F < 20,5 H, т.к.
sina-/zcosa< F < sin a +/z cos a
cos p - f.i sin p Mg cos p + p. sin p
fpo
П.53. p=a+arc tg /z, F = -==== (sin a + p. cos a).
___________MJ
11.54. v= ^Mg{sina -ncosa)/k « 29 м/с « 104 км/ч.
11.55. T\=Mg, P\=Q. T2=My]g2 +a2 , Pi=arc tg a/g. T3=Mgcosa,
Pi— a. T4=M^b2 + g2 +2bgsina , p4=arc tg (b cos a)/(g+l> sin a).
11.56. F=M[viT-g(/.tcoi a-sin a)] « 261 H.
„ „ mMg l~, ; 3" m-Msma
11.57. F=---—J2(H-sinay «0,15H,a^------------g=0,lg.
M + m M+m
Tree +sina + //cosa)
M +mt + m2
2
П.59. Нет, т.к. // =-----tg a 0,89 > tg a « 0,58.
2Lg cos a
IL60. PK=v0J-~^ct^ =1 м/с. П.61. r= / . ------1« 4,2 c.
yi + //ctga \grsina-L
11.62. a=g(l+M/m)sin а.
+о2-^2|
-----1-----1—, если направление скорости оставалось 2g(M + m)sina
mv02 + v2 неизменным. Иначе, т.е. при — <0 1=------1-------.
ик 2 g (М + m)sina
11.64. Лх= ~ ZA) cos а причем при Лх>0 пружина растянута.
+ т2).
П.65, а > ——tga + -д. 11.66. р < tgа.
М +т М + т
11.67. При g/a<tga T=myjg2 +а2 , F=0. Иначе 7=m(acosa+gsina),
F=m(gcosa~osina).
11.68. a,=g tg a, F-m{ay-g).
„ mgsin2a Mmgcosa Mg(M+m)
11.69. A,— л »/V— 2 ’ 2 *
2(M + msin a) M+mtm a M + msin a
11.70. a=g——ss 1,5 м/с2, вправо перпендикулярно вертикальной l + //tga
грани клина.
и™ . tga-/z[l + M/(mcos2a)
11. /1. yUj si
1 + ju tg a
(M + m)gsina-F cosa (F g }
11.72. aK=---—-------------—cosa + —sin a ,
M+msin1 a \,F g J
(M + m)g sin a-F cosa g Mgcosa + Fsina F
sin ос
«3 =
M+msin2 a g M+msin2a
2F(l-cosa) + mgsin2a F 11.73. a=-----------г--------.
M+msin a 2.F
пчл Wig m2 . , „ m,+m3 sinacosa
11.74. a =-IS— при —-<tg a-1. Иначе, a=—!------------g.
m}+m2- ml m} + m2 +m3 sin2 a
11.75. А направлено вправо перпендикулярно вертикальной грани , (т, sin a- cosa
клина и равно А =---—!----------------------.
m] (mj sin 2 a+m2) + (т3+m2 )(т2+М)
П.76. 7=2mMg/(M+m). При М»т Т=2 mg.
178
11.77. РТ-Р^=^-т^Кт^тг).
п.™. РЛ= <а^(1+ “ )г, „2 =2^1(1+1), . mi+m2 g т1+т2 g
П.79. Дх = — «7 см. 11.80. Т = —-->,Пз$— «9,8Н.
(/и, + m2)F т{+т2 + т3
(tn — tn П.81. Чашка опустится. Снять гирю массы М --.
mt + т2
„ „m2~mi~F/g m}(2tn2g-F)
11.82. a2=g--:, а2« 3,2 м/с, Т=---------«1,3 Н.
mt + т2 т{ + т2
11.83. Еслис--^-<-——=b, то a{=g ——— + //— . При т2 g + рп mr + т2 g )
b<c<\Jb Если же, с>1/&то a{=g
т,-т2 а
—----2-+д_ .
{mj+tn2 g)
U.S4^ + m(a/s^-S. n.SS.A^-'nia/S^s.t>. M+m M + m
11.86. z12=L/[v(n+l)]. П.87. Первая. 11.88. ti 2 = ^2L/[a(n +1)1.
П.89. Пеовая. t, = J-+ --------. П.90. F=M(a+g)/2.
У g(k-l)+k(n + l)a
11.91. aM=g(M-2m)/(M+4m), am=~2au, T=3Mtngl(M+4m).
m,(4m3 +m2)-3m2m3 т2(1Щ+т2)-4т}т2
11.92. a{ =----------------g , a 2 =---------------g ,
т2(т{ +m3) + 4mlm3 + m3) + 4mlm3
_ m3(4m| +m2)-3m{m2 m2(m} +m3) + 4mlm3
П.93. m^= —-(ft—as 2,98 кг, m3=m2/2 ~1,49 кг. 3# + аг
т,(4пи+т3)-Зт-,т3 m2( 4m, + т->)-Зт,т3
П.94. at - —!------------^-^-g , a2 = — -1---—--—-g,
m^m{ +т2) + 4т{т2 m^m^ + m2)+4mim2
a3 = m^m' +т2^~^т1т2 g 1Tl=T2= ^mAm2m3 m3( mt +m2) + 4mt m2 яг-^т^ +m2)+4mt m2
П.95. T=0, а[=а^. П.96. а|+а1+а3+а4=0, т^—т^Т, где t=l-r4.
179
11.97. ат=-Ъам= 8-^—^-g. П.98, г = JH(M + 5т) / (2т g).
64 т + М
11.99. При М!т> 1 //7 -1 а=0. Иначе а = ——+ M+m(2-ju)
11.100, л л. 4>73 „/г
М + 4т
т, 4 Л/-2m(sina + /zcosa) . ,,
П.101. А = g--------------------, при 2M>m(sina+/zcosa). Ина-
М + 4т
че груз М не может опускаться.
М *
П.102. При sin а - ц cos а =С> <-< sin а + ц cos а = С2 А-0,
2т у
„ М , „ 4 М -2m(sina- ucosa)
T=Mg. При — < Ci А = g-------~~Т~----------- ’
2m M + 4m
„ „ 2 + sina-zzcosa . M -2m(sina + ucosal
T=2mMg-----------—-----, иначе A - g-------------------,
M + 4m . M + 4m
r , ., 2 +sin « + /7 cos or
T=2mMg-----------------.
M +4m
тип-l 2mIm3sina + m2OI+m3)
11.103. a2=g--------------------•
4m}m3 + m2(m} +m3) .
2.m,m3(sina + sin В) т2(т]+т3)
11.104. a2-g -——----------{-^+-------1------—---- ,
[4/Л]/л3 +m2(mt +m3) 4mtm3 + т2(т, + m3)
(2 - sin « - sin J3)mxm2m3g
4mxm3 + m2 (m^ + m3)
11.105. F=mgn[RJ(R.+ff)]2 «755 H. П.106. gJg^kRJR^ 0,164.
П.107. x=wl?/( 1+7171) » 344-106 m. II. 108. H=3ghl(4nGpR) * 23 m.
11.109. h=grt% « 123 m.
II. 110. F- , где k= Jb4b4 +d4 -2bd(4d2 +4b2 -R2!.
6d2b2
II.lll. При r<R F=4nGpmr!3, иначе F=4?iGpmRil('3r2).
11.112. F= GmMlH(R2+H1f\
П.113. Уменьшится, т.к. пузырьки притягиваются друг к другу.
п 114 F 16^Gr6(Pi-РХРг-Р)/.
9R3
180
Ш. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ
Ш.1. m=Fz/Av =1 кг. Ш.2.р=0. Ш.З. P=yJ(mlvl + m2v2)2 «16 г.м/с.
Ш.4.1= -2т v, F=2mv/r. 1П.5. F=nmv=15 Н.
Ш.6. Vi={Mv+mu)l(M+iri)=G.
v ( MY IА
Ш.7. мсч,р=---- 1 + — 1-----=707 км/ч.
cos а V т )\ h)
П1.8. v= y]2gH тсоза/^т + М).
.. . ,г , ... . , mu2 sin 2а
Ш.9. Ь{/Ь1= 1 +т/М, L, -Lq=-----------.
g(m + М)
Ш.10. и=(/«|Г1+л12Г2)/(л1+ЛО-
III.11. i>i=i>+«12(im>2)/«1|, У|=-12,5 м/с. Ш.12. ^1.=тЫ\т+М).
Ш.13. v4=Mv/(m+M). Ш.14. ап= -maJ(m+M), F^-a^fnMKtn+M).
Ш.15. v=(nwcos а)/(т+М')..
Ш.16. v4=[M/(m+M)+jugt/v]v при 0<t<mv/[jug(m+M)], иначе v4=v.
Ш.17. Д£=0. Ш.18. и= v[M/(m+M)], и ~17 км/ч.
Ш.19. Скорость первой лодки в первом случае больше; второй — одинакова в обоих случаях.
Ш.20, tg ^=(l+m/M)tg а.. Ш.21.
и = . IgH
Ш.22. p2=2vcos а/cos ft.
Ш.23. Pj = — -- g , P|«0,12 км/с, 2)
м т ( Н т 1 V g М2 ) , о2~1,26 км/с.
^2. — М-т
Ш.24. Вдвое дальше, чем упал бы неразорвавшийся снаряд, считая, что точки падения лежат на одной горизонтали. Да.
Ш.25. s2~ 5 км, т.к.
$2=*|
.2
+ ^(2H-gr2)2+SgTH
III.26. Колебаться относительно неподвижного центра масс.
181
Ш.27. После взаимодействия первого груза со стеной грузы будут колебаться относительно движущегося равномерно и прямолинейно в сторону второго груза общего центра масс.
Ш.28. Ax=2m(K~r)/(m+Af). Ш.29. u=mv cos aJ(m+M).
Ш.30. £=m(o-b)/(m+M). Ш.31. tsW^MgWJ{F-Mg^3,5 Дж.
, / \2
, , Il tnv i
Ш.32. A=(n2-l)mv2/2=l,5 Дж. Ш.33, х = —— |------- = 3 см.
2 pg \т + М J
Ш.34. F=(mp)2/(2Mv)=12,5 Н. Ш.35. s2=sl(mi/m2)2
Ш.36. A=mL(g sin a+d) =1,2 кДж. Ш.37. h=v2/[2g{2+p ctg a)].
_____ v2 . I-pets a „ м
HI.38. h=------------= 4,25 m, u-v ----------=8 —.
2g(l + /zctga) yl + /zctga c
Ш.39. x=Lv2/(v2cos a +2gL sin а). III.40. p=h/s. Ш.41. Нет. He будет.
Ш.42. h=H (1 - /z ctg «)/(! + // ctg a).
1- //ctg a
Ш.43. x = (2//cos ar) pcosa-sina + J(sina-pcosa)2 +h-—
H
Ш.44. A> mg(h+vt sin a). Ш.45. F=m[g(H/s+}')+v2/2s]» 3 кН.
Ш.46. Wnl=mgb/2, W„2=mgb, Wn3=2mgb. Ш.47. Amin=mga('j2 -l)/2.
Ш.48. A > -2mga/9. Ш.49. v=y]g(L2-b2 )/L .
hs%
Ш.50. A=pSH\3g+ ——— )/8, где p - плотность воды.
2zr27?4r2
Ш.51. Одинаковое. Ш.52. A^j?n?g2![M(F-pmg)] = 0,95 Дж.
Ш.53. x=M(mv)2/[2pg(M+mi+m) (mi+m)2].
Ш.54. ^W^ mitn2(V^2)2 =7кДж. Ш.55, q^i^z^i + ^2)2 =192Дж-2(т{ +т2) 2(mt+m2)
т(и + и) M(v-u) + 2mv 2 „
Ш.56. М2 =---------= 300 кг; VK, =-----------v2 =15 кДж,
2 v-u " 2(v~u)
Mv2 mvu2
1VK =----+------= 12 кДж. WK<WH, т.к. часть кинетической энер-
2 v-u
гии перешла в тепло.
Ш.57. т^т^З.
Ш.58. HWWki=h= 1W2-; «1=-, n2=l, n3=-, n4=— 0.
+ m2 9 9 m2
182
Ш.59. m2<«mi=20m|. III.60. uK=-(v+2u), &WK=2mu(v+u).
Ш.61. k=l-l/n=2/3. Ш.62. H = (у/Jig-M Jh/m)2.
Ш.63. V = u[/i - Vn2 -1 ]/(1 + —), Um=u. I m
Ш.64. U(=8u/9; v2=16u/27; u3= -5v/27.
Ш.65. 1) а,2='^з=«,4=0, a5=a; 2) or3=0, ax=a5=a.
m „ mc ~ mK - mk )2
HI.66. vu=---------v, Vi=v2=0, ------rt,
mc + тк (mc + mk )
u4=4/«cw?a- --------— v, v5=-----v.
(mc+irik)' (mc + mk)
Ш.67. x=(n+1 )£/(3n-1 )=30 cm. r ‘ \ 2 2 , r
, I m cos a | v + 2gL sm a
Ш.68. h « 6,2 cm, t.k. h = ------ ---------2--------
\m + M ) 2g
Ш.®. cosa,=4'"^H'”'-,,il,)2c°sg
(/«! + m2)
/ A2
2»j| I ^(l-cosar)
тг + m2) Lq
cosa2 =1 -
Ш.70. —
2
298 Дж.
i r i \2
1 ' -if!-!] n2 M \ n)
Ш.71. e=mo2/2-(M+ffl)gL(l-cosa)» 200 Дж, 6(=m[y2-2gL(l-cos a)(M/m+l')2]/2 « 195 Дж.
III.72. p= л/2. Ш.73. u|=Q,5^v2 + v2 , u2=0,5 ]
Ш.74. !V=(l+m/M)AlV.
Ш.75. Wf=M^mpxNe « 21VC=4,4 ,40'8Дж.
M + me л + 1
III.76. x= mv cos a/ Jk(M +m) .
Ш.77.
2kh
+ M g(M +m)
g_ к
m
183
' ,^т . ,, 2m,[k(Ln-L)-m,g]
III.78. При L>L^-{2mx+mi)glk, х=—!——---------—, иначе
к(т} + т2 )
m}[m2g + kjLg ~ L)]2
2gk(m] + т2)2
III.79. v- ^2gH . III.80. Целая часть (сtg a)/2/z.
III.81. A(0,r)=M{a+gig)ar2/2 «0,15 МДж; Wcp(0,т)=А(0,Ц« 15 кВт;
N{ r)-M{a+gig)a г«3 0кВт
III.82. v= J ?gt t<N/mn2g2 = Tj ^INt/m-AN/ gang)2 при t > lx
Ш.83. N={F+Mv2/2L)v « 0,1 МВт.
III.84. u=v Acosar + sinar , гдр д > q ^ли поезд движется под уклон. gicosp- sin р
mot sina + x/cosa -, „
III.85. N=mgv------------« 26 Вт.
l + /ztg/?
IV. ДИНАМИКА КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
IV.l. o) = -Jg/r. Нет. IV.2. AL = ma>2Ll(k-ma)2) = 5 см.
IV.3. r<gig[(2m)2 * 1,24 см.
. I 2Wm2 . I 2Wm, _ .
IV.4.. vt = --------= 3 м/с, v} = I---2---= 3 м/с.
m1(ml +m2) \т2{т]+т2)
IV.5. T^MoA(L-r'-IL)l2.
IV.6. T} = ToIn2 «74 H, T2=Ta Vl-sin2 a « 72 H, т.к. /ii<(l-sin2a)’G25 «1,12< n2.
IV.7. При о2 <------= C, H=L= Lo+Mgtk-, при Ct <cd2 <klM
Mg+kL() 1
H-g/c^, L=kL^{k-M of ); при к IM < m2 деформации пружины становятся столь большими, что пружина перестает подчиняться закону Гука.
IV.8. т = J gtS--a « 8,3 с’1. IV.9. Р = mJg2+v4/R2 .
V r+Lsina
184
IV.10. Ta - 2лу]Н/g , Тб - 2^y/H/(g +а).
IV.ll. r=glaftg {a!2) »1,7 m.
IV.12. T=maL, N=m(g-ci?Lsin а), причем cd <Jg/Lsina .
IV. 13. Nt=mg; N2=(g-v2/R)>Q, иначе тележка не касается моста;
A,3=w(g+v2/T?).
IV.14. a^^g-v^lR) х 3 м/с2.
IV.15. NB=mg(v2IRg-l), N„=mg(v2/Rg+1), NB x 4,05 кН, NH x 5,62 кН.
IV.16. Fx = mv2 cosa/Rcos2a, Fy = m(g + o2 sin a/R cos 2a).
IV.17. T = 3mg. IV.18. T = (6n+l)mg/n x 64 H.
IV.19. Ta = m(v2/L-g) x 150 H; TB =m[v2/L+g(2-3cos a)>165 /7;
Tc = m(v2/L+5g) x 209 H; vmin = -JgL »1,98 м/с.
о T + 2mgcosa IV.20. /3 = arccos-----------«583 .
3mg
IV.21. атят = arccos - 60°. IV.22. 7=wg(3cos <p-2cos a).
IV.23. H=/i+L(l-cos3 a)=27 cm. IV.24. T = m(y2 /b + ^g2 +a2 cosa)
IV.25. a = arctgTI» 54,7°.
IV.26. aBepi=0 и 90°, arop= arctgV2 » 54,7°.
IV.27. v > JgR . IV.28. H=2R/3. TV.29. t = 7/?(46 - V10)/27^ ® 0,3 c.
IV.30. При o2>7?gcos a a^=gsina, N=0.
Иначе a,=[g(sin a - jjcos a)+/uv2/R], N=M(gcos a-v2/R).
IV.31. Я=50Я/27. IV.32. Hmin=2,5R. IV.33. x > (0,6 + 0,4 cos a)L .
IV.34. N=mg(2HIR+3cos a-2), a = g-^/sin2 a + 4(h/r -1 + cosa)2 .
IV.35. /i=(2H+W/g)/3 » 8,6 m.
IV.36. v = yjg(4R + 2/LiL + L2/4R , L>2R .
H при H <R
IV.37.H =/Л при R < H < 2,57?, где 27? при H > 2,57?
h=(47?3+15HR2+1 2Z727?-4H3)/277?2.
IV.38. T=(M+m)g(3-2cos a). TV.39. v > m + M J5gL x 104 м/с. tn
185
IV.40. 62cm.IV.41. V, = j2gL, v2 = j2,4gL .
(m + Mj /
L ,, J m,r, — n,r21
IV.42. v^cor,, v2=cor2, где co = 2g(l - cosa)—.
у + m2>2
IV.43. v = -ylgL(2 cos a - sin 2a) » 64 см/с. IV.44. T=2m2mR.
1NA5. R = —-----------если co <2л^к/m. Иначе жесткость
4я2к-тсо2
кольца нельзя считать постоянной.
IV46. L, < l2> .
&)2(sina + /zcos«) 692(/zcoscr-sina) y
IV.47. v = yfgR . IV.48. v = rJg/R .
IV.49. co = 2д-/Т« 10‘3cl, v - y/gR3co ®7,4км/с.
IV.50. Л = ^g(RT/27v)2 -R « 2,2 106 m.
IV.51. T = y[lx/Gp . IV.52. p^?>7cR3/GT2R3c «1,4 г/см3.
IV.53. ^.=(2л/ЯсТ)2Я3 ~ 0,27 км/с2. IV.54. Л/с/Л/3=А:3/н2=351 103.
IV.55. pjpc =g-fc?l327?R3 и 4,4.
IV.56. w1=i’2(i’i+i’2)2772^G!, /«2=Ui(Ui+u2)27/2X7, L=T(vx+v2)!2tc.
TV.57. P=m(g-co2Rcos2<p).YV.58. T = 2^7^77 «1,4 ч.
IV.59. T = .fan/pG(n-l) « 2,7 ч. IV.60. V=0.
IV.61. Др = -2x a -2,5 см/с. IV.62. V = R = 2Fv/mg my/g
IV.63. m = 2A(-h + R^ ~ 0,9 T. rv.64. ^=Wl(l-R1/R2)=5 кДж. gR(2h + R)
IV.65. Axmgfa-tiJV й 108 Дж. IV.66. R„/R3=(T„/T3)213 » 30.
IV .67. T^TJc1’5« 1,84 год. IV.68. Дг = (R + R3 )*’5 тс/2R3 y/2g .
IV.69. Др >
\R + h
i-pL.
\2R + h
TV.70, Vi=ViHi/H2.
IV.71. a=b(.Hi+R)/(H2+R).
186
V. Статика
V .1. T=OTg/(2cos a/2>196 H. V.2. F=-(m+M)g/2, N=(m-M)g/2.
V. 3. 7=F/(2cos a/2). V.4. T=Mgr/L. V.5. T4B=jWgctg a, TBC=Mg/sin a.
V.6 . T= Mg s/^4s2 -L2 «98 H, F = я 59 H.
2^4s2-L2
V.7. T = - Mg — V.8. ц > tg a/2.
^/3(3-4sin2 a/2j
N.9. Во втором случае, т.к. Ti=l,5F>Ti=F.
V. 10. 1) Имеет, R=F,+E+E; F3f R xH^ + EJ/R; FK-t-- '/ R=20 H,x=0,4 m.
2) He имеет. Система эквивалентна паре сил с моментом A/=jL(F]+F3)=8 Н м, и может вызвать ускоренное вращение против часовой стрелки вокруг оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости pnc.V.12.
V .11. Гл,= 2F, FAZ= -F. V.12. Р= y/PiP2 =60 Н.
V .13. Покупатель получит больше товара, чем заказал.
V .14. TA=(L-d)mg/L « 88 Н, T^mgd/L « 29 Н.
V .15. F>MgH/4L«490Н. V.16. Ц = F7L2 -Н2/(mgL-FH).
V .17. F = Mg^l + (ctg2a)/4 , T=0,5Mgctg a.
V .18. F = /.iM g/2(1 + /jctga) .
V .19. F>g[p2M + ^+^) \
2(l + xZ]Ctga) J
V .20. a = 2arcsin— =—, F = \m + mJ#sin —.
m3 2
V .21. x=(M-m)L/(3M-m), F=(m+M)g/4. V.22. Сжат, F=mg.
V .23. ш/М=и/3=1. V.24. m=F!g « 306 кг. V.25. x2=U6, x3=L/4, x4=L/2.
V .26. F=2Mg (tg a)/3.
V .27. F=mg ^4 + ctg2a/2 « 0,15 кН, направлена под углом
Р = arctg 2tg а «74° к горизонту.
V .28. ц > sin 2а/(3 - 2 cos 2 а) =0,5.
487
V .29. W=-^^sin 2а » 0,17 кН, T=Ncos а *0,15 кН, 4Н
R=mg-N sin а «0,50 кН.
V. 30. Ни при каком, т.к. центр лестницы будет двигаться по дуге окружности.
V.3 1. х < /zjL(//+-tg а)/( !+/?)= 10 см.
V.32 . При а<л/4 р> (ctg а-1)/2, а > я/4 /z > (tga-1)/2, а-п/4
положение неустойчиво при любом р.
V. 33. ра = 2^(d/bcosa)2 -1 + tg а , Та = —===~=L---------,
V</2 -i2cos2a + L-sina
р6 = 2^](d/ Lcosa)2 -1 - tg а , T6 = ... — '
yd2-L2cos2 a-Lsina
V .34. T=mg(s+r)/js2 + 2sr , N=mgrl-Js2 + 2sr . V.35. // > 1.
V. 36. fi > r/(/?sin a)=0,2.
V.3 7. 7t=(m,gsina)/(l+cosa) « 10 H, N=mg * 39 H.
V.38 . 7=(Mgsina)/(l-sina)» 1 H. V.39. A/=w(sin ’a-l)=50 r.
V.4 0. m > pM/[-/1 + /z2 - /z ]. V.41. T=mg(L+r)IR, F-(\+r!R)mg.
V. 42. fi > ra/(R-r)g.
V.4 3. ^=(w^sin a2 )/sin(a1 +a2)» 25 H,
^2=(/?1^sin a| )/sin(a4 +a2) «15 H.
.. sina + /zcosa ,, ,, sin a - zzcosa ,.
V.44 . Nt =-------------Mg, N2 =-----------------Mg.
(1 + fi )sin2a (1 +fi )sin2a
V.45. F > mgyl[r/(r-h)]2 -1 . V.46. x > [(л tg a )/fi - a - ph ]/2
V.4 7. tg a< 4Л(р|+р2)/Н(3 p\+p£). V.48. Д=агс tg(2tg a).
V. 49. p > 1/(2 + -Л). V.50. M > 2m(l-r//?).
„ M L + h tg a
V.5 1. Первая, —- -----2— «1,6.
^2 i - ft tg a
V.52 . ^=#3= -wg/(2+n), -mng/(2+n\ V.53. F^F^F^ -mg/3.
V.54. Fh2 =A/g/(l + 2cos3a), FH1 =Fh3 =jWg(cos2a)/(l + 2cos3a).
V.55 . Fu =Mg^a2 +h2/dh.
188
VI.22. X(t) =
VI. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
VI.1. «]=(arc sin l)/2«-=l/4, н2=(агс sin 0,5)/2^=l/12, w3=n1-n2=l/6.
VI.2. p;1=45v=6 м/с, р;2=65и=9 м/с, ид=35и=4,5 м/с.
V I.3. j(Z>5sin(W/5+^tarc sin/(/S=Ssin[W/S+Xl±l/6)].
¥1.4. Ax = V2(1-71-Pi2/v2 )/A.
V I.5. й(0 = 4?r2v25-Jsin2 2ятГ + 52 cos4 2flvr/7?2.
V I.6. 1) Биссектриса угла ХОУ. 2) Окружность радиуса В в плоскости
ХОУ с центром в начале координат.
V I.7. Парабола у2=С2(1+х/В)/2. VI.8. x(t)=F0(a)t-sin ая)!т а/.
V I.9. x(/)=Fu[ 1 + оЯ - д/з sin(a>/+ л/4)]/от of.
V I.10. v > -yl/Jg/X/2л й 2,2 Гц. VI.11. Y= Jgh/2 /(ты) ® 0,08 мм.
V I.12. L]= п2ХL/(h2 - Пг) = 9 см, L2= и2 A l/(h2 -n2) = 25 см.
V I.13. Прибавить A? = r(l - -Jl - H/R)» tHI2R » 68 c.
V I.14. ТЛ/Т3=7«А»2,4.
V I.15. a=g(\-n2T2/r2), a a 5,4 м/с2, направление v - произвольное.
V I.16. T = 2^b/i/g2 +a2 . VI.17. T = To/Jcosa .
V I.18. T = (д- + 2arcsin a/fl)^L/g .
V I.19. H=min(Hb н2), где н,"целая часть [зг/[л + + з/^з")] ’т,е' п=^‘
V I.20. Т = 2лу[^к й 0,42 с.
V I.21. к^тсо2, Wmx=ma?X2/2, VVKcp=VVncp=W«X2/4.
2Е1 [11] при OXUg.
.ММ
I 2 -Vi 2 • u0 — + л0 sm t g
VI.23. T = 2тГу/(т + M)/к , X = mg -jl + 2hk/[g(m + M)/k.
VI.24. T = 2л xjy]vl+2gx0 , X = x0(v% + gx^fal + 2g.v0;.
7Г . gxo — + arcsm —-----
. 2 t’o+^o
VI-25, т = x0-- =---•
+2№
- arctg
189
VI.26. x(t) = &- + -^1 cos t J— -1 при 0ЛШ.
2 к V m J
V I.27. Т=2л^т1т2/[к{т1 +m2)].
V I.28. T = -]t2 + T2 . VI.29. v = -^v2 + v% . VI.30.
i F
V I.31. T=7T^2mLlF . VI.32. T=Jm[k .
V I.33. T=2^2k/m-а2 «0,47 c, co > -J2k/m « 14 рад/с.
V I.34. « 42 мин, v(x)= yjgx(L-x)/R .
V I.35. 7=-^^. VI.36. T=2n^L-d)2+d2] /|g|Z -2djj. '
VL37. T=2njR(m + M)/mg. VI.38. T=^m/k.
V I.39. T=xJ(m + 2M')/k . VI.40. X<gm/k.
V I.41. v<(l+M/m)y[gXx «2,1 м/с. VI.42. v< J pg Ax «0,8 м/с.
V I.43. m>kAx/pg-M « 8,2 t.
V I.44. jW<0,696ot, vti<I,22Ly]k/m . Указание: уравнение tg a=a имеет корни: 0; «1,430л; «2,459л и т.д.
V I.45. При xH<pmg/k х =0 и x(t)=xH, иначе тх =-kx-pmg х/\ х I.
V I.46. /г<7<г, <(п+1 )<7, X„=xH-nd, где d=2/jmglk.
NIAT. Lvl< /jmg/к.
,,т . [d-xH npnd/2 < х.. < l,5d „
V I.48. x(oo) = / H " у,, где d=2umg/k.
[ хи - 2d при 1,5г/ < хн < 2d 6
V L49.V = Fql^pm-klр)2 +b2 .
VI.50. А = РйЦ{т~к!р2)2 +Ь2 /р2 .
VLSI. Резонанс смещения будет прир=ру= ^к/т-Ь2 /'2т2 , ускорения — Р-Рл- ^/4т/к-Ь2 /2к2 , если bz<2km, иначе их нет. Резонанс скорости будет прир=рч= 4к/т . рура= р2.
VL52. ку=к^=к^р~т. VI.53. V=F0lcosA^I/rm/>-k/pl'.
190
VI.54. py =4(pI~P2^/2 • VI.55. pv =^PiP2 . VI.56.A=«foysin^.
VI.57. pm = Jk/m , N = Fq /lb. VI.58. 17 мм<Я=р/К17 m.
VI.59. b<p=27nUv=O,6 ж VI.60. и=Я/Т=1,44 км/с.
VI.61. v=y Д<д/2я£ » 812 Гц.
VI.62. Х=
'flv.Xpsl,? Ю10
см, Х2»5,4 103 см.
V I.63. 21 нм/с<У= ^2//ри <21 см/с.
V I.64. £(г,/)= —— sin2>Ti</-;7v±/?/L>).
Г
V I.65. W=2жЛЛ2(1-1/71+(Л/L)2 ]
V I.66. v=u/2L=425 Гц. VI.67. у1=и/2=200 Гц. VL68. и=2гДЛ=340 м/с
V I.69. £=ДЛ/2=8,5 см.
V I.70. к=(2и+1)и/2Г, где и=0,1, 2, т.е. v=3,9 или 15 кГц, т.к.
20 Гц<г<20 кГц.
V I.71. F=4mLv=120 Н.
V I.72. vM=(2n+l)yjF/mL/2 , vm=(n+1)^F/игЛ/2, где n=0, 1,2,...
V I.73. v(x,t)=Vcos(m/2L)sin(mt/2L).
V I.74. г+=(1-и/р)т» 4,5 с, t=(1+u/v)t» 5,5 с.
V I.75. k=v0(1 +u/v)=1,049 кГц. VI.76. v= vov/(v-uyjl- (b/R)2 ).
S = 2m/c.
V I.77. и=и(г-гоУ(г+Го)- VI.78. и =
V I.79. <y=uAv/[X(v+Av)].