Η. Π. ВЕКУА
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
И ПРИЛОЖЕНИЯ
В МЕХАНИКЕ
и
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1991

ББК 22.161.6
В26
УДК 517.9(023)
В е к у а Н. П. Некоторые вопросы теории дифференциальных
уравнений и приложения в механике.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-
мат. лит., 1991.—256 с.
ISBN 5-02-014278-6
Рассмотрены важные вопросы теории дифференциальных
уравнений, находящие непосредственное применение в классических
и современных отраслях теоретической механики. Большое
внимание уделено изучению законов движения материальной точки,
рассмотрены законы движения материальной точки переменной
массы и непосредственно связанные с ними реактивные силы.
Показано значение реактивных сил для достижения так называемых
космических скоростей. Рассмотрены некоторые вопросы теории
космического движения, вопросы специальной теории
относительности Эйнштейна, а также актуальные вопросы теории
устойчивости движения.
Для инженеров и технических работников, занимающихся
исследованиями в различных отраслях теоретической механики и
приложений. Предназначена также широкому кругу читателей,
включая преподавателей математики и физики, учащихся
специализированных математических средних школ.
Ил. 36.
Рецензенты
доктор физико-математических наук профессор В. В. Белецкищ
доктор физико-математических наук профессор В. М.
Миллионщиков
В 1602070100-015
053 (02)-91 bU"yi
ISBN 5-02-014278-6
(©Издательство «Наука»,
wГлавная редакция
физико-математической
литературы, 1991

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1. Некоторые вопросы математического анализа . 9
§ 1. Неопределенный интеграл . 9
§ 2. Определенный интеграл И
§ 3. Интеграл с переменным верхним пределом. Связь
между неопределенным и определенным
интегралами .... 15
§ 4. Числовые ряды 17
§ 5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость 19
§ 6. Конические сечения 20
§ 7. Эллипс 20
§ 8. Гипербола 23
§ 9. Парабола 24
§ 10. Уравнения конических сечений в полярных
координатах 25
§ И. Скалярное и векторное произведение двух
векторов 26
§ 12. Момент вектора относительно точки и оси . · 31
Глава 2. Некоторые обыкновенные дифференциальные
уравнения 33
§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка 33
§ 2. Поле направлений. Приближенное определение
решения дифференциального уравнения первого
порядка с начальным условием ...... 35
§ 3. Общее и частное решение обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка . 37
§ 4. Дифференциальное уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными 39
§ 5. Однородное дифференциальное уравнение первого
порядка 40
§ 6. Линейное дифференциальное уравнение первого
порядка 45
§ 7. Доказательство теоремы существования и
единственности решения обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка методом
последовательных приближений (метод Пикара) ... 48
§ 8. Об общем решении обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка 55
§ 9. Система обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка 56
3

§ 10. Дифференциальное уравнение, разрешенное
относительно производпой высшего порядка ... 61
§ 11. Простейшее дифференциальное уравнение п-то
порядка L 64
§ 12. Об одной системе дифференциальных уравнений
второго порядка 65
§ 13. Линейное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами ... 67
лава 3. Линейные дифференциальные уравнения . . 70
§ 1. Линейно независимые функции 70
§ 2. Линейное дифференциальное уравнение ... 71
§ 3. Однородное линейное дифференциальное
уравнение. Фундаментальная система решений ... 74
§ 4. Неоднородное линейное уравнение 79
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами . . . . . . . 82
§ 6. Линейное дифференциальное уравнение второго
порядка 86
§ 7. Система линейных дифференциальных уравнений
первого порядка 87
лава 4. Основные законы динамики материальной точки 92
§ 1. Основные понятия и законы классической
механики 92
§ 2. Кинематические уравнения движения
материальной точки 96
§ 3. Естественное уравнение движения материальной
точки. Скалярная скорость и скалярное ускорение 99
§ 4. Скалярная угловая скорость и ускорение
материальной точки. Круговое движение .... 103
§ 5. Векторная скорость и векторное ускорение . . 106
§ 6. Секториальная скорость и ее связь с моментом
скорости 112
§ 7. Главная нормаль и кривизна линии . . . . ИЗ
§ 8. Разложение ускорения на касательное и
нормальное ускорения 116
§ 9. Разложение скорости на радиальную и трансвер-
сальную составляющие 118
§ 10. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки в декартовых координатах . . . 120
§11. Закон количества движения и момента количества
движения для материальной точки .... 125
§ 12. Закон сохранения энергии 129
§ 13. Уравнения прямолинейного движения
материальной точки 133
§ 14. Колебания материальной точки 135
§ 15. Движение материальной точки в пустоте под
действием силы тяжести 142
§ 16. Формула Бинэ 145
§ 17. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения
Ньютона 147
§ 18. Задача Ньютона 149

§ 19. Задача двух тол. Поправка к третьему закопу
Кеплера 150
§ 20. Связи 152
§ 21. Уравнения движения системы свободных
материальных точек 154
§ 22. Количество движения и закон количества
движения для системы материальных точек . . . . 157
§ 23. Момент количества движения системы
материальных точек и кинетическая энергия . . . . 157
Глава 5. Некоторые вопросы динамики тел переменной
массы 159
§ 1. Тела переменной массы 159
§ 2. Уравнение движения материальной точки перемен-
пой массы (уравнение Мещерского) . . . . 160
§ 3. Уравнение Циолковского 163
§ 4. Задача Циолковского 166
§ 5. Обобщенное уравнение Мещерского .... 168
§ 6. Об основных законах динамики материальной
точки перемеппой массы 171
Глава 6. Некоторые вопросы теории космического полета 174
§ 1. Движение небесных тел 174
§ 2. Задача η тел 175
§ 3. Уравнения движения спутника относительно
центра притяжения в декартовых координатах . . 176
§ 4. О некоторых свойствах движения спутника . . 180
§ 5. Уравнения движения спутника в полярных
координатах. Определение траектории 183
§ 6. Определение движения спутника на орбите.
Уравнение Кеплера 188
§ 7. Движение тела в поле притяжения Земли . . 189
§ 8. Искусственный спутник Земли 192
Глава 7. Некоторые вопросы специальной теории
относительности 195
§ 1. Предварительные замечания 195
§ 2. Принцип относительности в классической механике 197
§ 3. Преобразования Галилея 200
§ 4. Инвариантность законов классической механики
относительно преобразования Галилея .... 204
§ 5. Противоречия между электродинамикой,
классической механикой и опытами 207
§ 6. Основные принципы специальной теории
относительности 213
§ 7. Интервал между двумя событиями 215
§ 8. Преобразования Лоренца 220
§ 9. Относительность длины и объема 224
§ 10. Относительность продолжительности и парадокс
часов 226
§ 11. Относительность одновременности 229
§ 12. Формулы преобразования скорости 231
5

§ 13. Формулы преобразования ускорения .... 233
§ 14. Относительность массы (зависимость массы от
скорости) 235
§ 15. Уравнения движения материальной частицы в
теории относительности 237
§ 16. Закон пропорциональности энергии и массы . . ч 240
Глава 8. Некоторые вопросы теории устойчивости
движения 243
§ 1. Знакоопределенные, знакопостоянные и
знакопеременные функции 243
§ 2. О системе несвободных материальных точек . . 245
§ 3. Дифференциальные уравнения возмущенного
движения 247
Предметный указатель 254

ПРЕДИСЛОВИЕ
Как известно, принципиально новый подход к обучению
в средней общеобразовательной школе состоит в том, что
обучение будет вестись на основе широкой и глубокой
дифференциации (например, углубленное изучение
математики, химии, биологии и других предметов). Такое
обучение создает условия для наиболее полного учета
интересов учащихся, раскрытия их способностей и
профессионального самоопределения.
Развитие склонностей и способностей школьников
обеспечивается также широким развертыванием
факультативных курсов, внеклассных занятий, обучения по
разным программам. Для достижения поставленной цели
важное значение имеет наличие высококачественных
учебных пособий. Предлагаемая книга окажет
значительную помощь учителям математики и учащимся,
интересующимся математикой, физикой и механикой.
По этим причинам настоящая книга написана в
доступном для широкого круга читателей виде. В ней
рассмотрены актуальные вопросы, связанные с теорией
движения материальной точки переменной массы. В
удобной для читателя форме освещены основные вопросы
теории космического движения. В частности,
рассмотрены вопросы движения искусственных спутников. Большое
место уделено изложению теории классической механики
и ее применений. Показано, что рамки применения
законов классической механики ограничены, и, естественно,
приходится обращаться к вопросам теории
относительности. Достаточно полно и вместе с тем в доступной для
широкого круга читателей форме излагается специальная
теория относительности Эйнштейна.
В последней главе рассмотрены актуальные вопросы
теории устойчивости движения.
Чтобы облегчить читателю работу с книгой, в гл. 1
излагаются некоторые вопросы математического анализа:
необходимые определения, некоторые теоремы и т. д.

Теоремы в основном без доказательства и
сопровождаются различными указаниями общего характера. Хотя
с большинством из приводимых в гл. 1 понятий,
определений и теорем учащиеся 9-х и 10-х классов хорошо
знакомы, автор счел целесообразным лишний раз напомнить
их читателю.
Таким образом, в рамках одной книги в едином стиле
изложены основные вопросы и все необходимые для их
изучения сведения.
Сейчас, когда в средней общеобразовательной школе
обучение будет вестись на основе широкой и глубокой
дифференциации, необходимо создание соответствующих
учебных пособий.
Учитывая все вышеизложенное, автор предлагает
настоящую книгу для факультативных и специальных
курсовых занятий.
Все замечания и пожелания читателей автор примет
с чувством благодарности и по возможности учтет в
последующем издании.
Заметим, что книга эта в несколько сокращенном
виде была впервые издана на грузинском языке
издательством «Мецниереба» Академии наук Грузинской ССР.
При подготовке к печати настоящего издания большую
помощь оказал автору научный сотрудник
Математического института им. А. М. Размадзе АН ГССР Д. М. Яна-
ков. Также большую техническую работу выполнили
сотрудники института О. О. Чкадуа и Л. И. Калита. Автор
считает приятным долгом выразить всем им глубокую
благодарность.
Я. Я. Векуа

ГЛАВА 1
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 1. Неопределенный интеграл
Рассмотрим функцию /, определенную на некотором
интервале ] а, Ь[. Введем следующее
Определение. Функция F, определенная на
интервале ] а, Ъ [, производная которой в любой точке χ
этого интервала равна /(я), называется первообразной
функции /.
Таким образом, если функция F — первообразная
функции /, то для всякой точки χ из ] а, Ъ [ имеем
*"(*) = /(*). (1.1)
Отсюда вытекает, что всякая дифференцируемая
функция есть первообразная своей производной.
В интегральном исчислении изучается вопрос о том,
каким условиям должна удовлетворять функция /, чтобы
существовала ее первообразная, и, если существует
первообразная данной функции, то как ее найти. Приведем
без доказательства следующее достаточное условие
существования первообразной функции /:
Для существования первообразной функции f на
интервале ] а, Ъ [ достаточно, чтобы / была непрерывной на
этом интервале.
В дальнейшем будем подразумевать, что / —
непрерывная функция. Так как производная постоянной
величины равна нулю, то если F — первообразная функции /,
то F + С, определенная формулой
(F + C)(x) = F{x)+C, (1.2)
где С — произвольная постоянная, также представляет
собой первообразную функции /.
Доказывается, что всякая первообразная функции /
получается соответствующим выбором постоянной С в
равенстве (1.2). Таким образом, для всякой непрерывной
функции / существует бесчисленное множество первооб-
9

разных, представляемых формулой (1.2), где F
обозначает одну из первообразных, а С — произвольная
постоянная.
Нахождение первообразной для данной непрерывной
функции / — сложная математическая задача. Заметим,
что вообще первообразная для функции / не
выражается элементарными функциями. Иначе говоря, не всегда
возможно написание явного аналитического выражения
первообразной функции с помощью элементарных
функций или их комбинаций посредством известных нам
математических операций. Однако существует достаточно
широкий класс функций /, первообразные которых
выражаются посредством элементарных функций.
Определение. Функция F + С, где F —
первообразная функции /, а С — произвольная постоянная,
называется неопределенным интегралом функции / и
обозначается следующим образом:
§f(x)dx=F(x) + C. (1.3)
Функция, находящаяся под знаком интеграла,
называется подынтегральной функцией.
Вспомнив формулы производных элементарных
функций, можно выписать формулы первообразных для
некоторых из них:
где m — произвольное действительное число, отличное от
-1 (тФ-1).
2. J sin χ dx = — cos χ + С.
3. J cos χ dx = sin χ + C.
4. J§-ln|z| + C (*=ji=0).
J COS X
6. f-^-^-ctgs + C.
J sin χ
» С dx
7. I -y- 2 = arcsin χ + С = — arccos χ + Сш
10

8. f-^Ц = diTctgx + С = — arcctgχ + С.
J 1 + χ
9. §exdx = ex + C.
10. ] sh # Лг = ch χ + С, sh # ==!
11. I chxdx = shz + С, спя;
2
β* + e~*
Операцию нахождения неопределенного интеграла
функции называют интегрированием этой функции.
Приведенная выше таблица дает возможность
интегрирования довольно большого класса функций.
Замечание. Формула (1.3) не определяет интеграл
однозначно. Каждому значению постоянной С
соответствует определенное значение интеграла. Именно поэтому
рассмотренный интеграл называется неопределенным.
В следующем параграфе будет дано понятие
определенного интеграла. Как мы увидим, определенный интеграл
данной функции однозначно определяется этой
функцией.
§ 2. Определенный интеграл
Рассмотрим непрерывную функцию /, определенную на
сегменте [а, Ъ]. Так как непрерывная на сегменте
функция ограничена, то
\f(x)\<M, (2.1)
где χ — произвольная точка сегмента [я, Ь], а М —
некоторая положительная постоянная.
Разделим сегмент [а, Ь] на подсегменты [а, х\],
[х\, Х2], ..., [хп-\, 6], где х\, Х2, ..., хп-\ — точки
сегмента [а, 6], расположенные в порядке возрастания:
а = х0 < хх < х2 < ... < χη-ι < хп = Ъ.
Рассмотрим произвольную точку \к сегмента [xk, xh+\]
(& = 0, 1, 2, ..., п—1) и составим следующую сумму:
σ= Σ/(БО (**+!-**)· (2.2)
fc=0
Эту сумму называют римановрй суммой.
Введем определение, которое понадобится в
дальнейшем. Пусть дана бесконечная последовательность дейст-
11

вительных чисел αϊ, α2, ..., αη, ... Рассмотрим
бесконечную сумму
а\ + а2 + ... + ап + ..., . (2.3)
называемую числовым рядом. Сумму первых η членов
этого ряда обозначим через Sn:
Sn-Σ ah. (2.4)
Сумма (2.4) определяет последовательность чисел.
Будем говорить, что последовательность Sn сходится
к числу S, если для всякого наперед заданного
положительного числа ε отыщется натуральное число п(&)
такое, что при п>п(&) будет иметь место неравенство
15» — S\ < ε. Ряд (2.3) в таком случае называют
сходящимся и пишут
со
S = Σ ah·
Мы предполагаем, что с признаками (критериями)
сходимости последовательности Sn и, следовательно, ряда
(2.3) читатель знаком.
Вернемся к римановой сумме σ, определенной
равенством (2.2). Наибольшую из величин xh+\ — xh (к—
= О, 1, ..., п— I) в этой сумме обозначим через λ:
λ = max(.rA+i — xh) (О < к^п — 1).
Ясно, что сумма σ зависит от выбора точек |ft в под-·
сегменте [xh, xk+\] и от числа λ. Если λ ->- 0, то длина
всякого подсегмента стремится к нулю, а η ->- «>.
Можно доказать, что если f — непрерывная на
сегменте [а, Ъ] функция, то риманова сумма σ,
определенная равенством (2.2), имеет предел при λ ->- 0 и,
следовательно, при η ->- оо. Этот предел не зависим ни от
правила деления сегмента [а, Ъ] на подсегменты, ни от
выбора точек ξΑ в подсегментах (доказательство этой
теоремы читатель сможет найти в любом университетском
учебнике по математическому анализу).
Предел, который упоминается в этой теореме,
называется определенным интегралом от функции / на сег-
ь
менте [а, Ь] и обозначается символом \f(x)dx. Таким
12

образом,
Ρ η^
/ (χ) dx = lim 2 / (Ik) (Ч+г — Ч)-
α λ-И) fc*=0
Определенный интеграл, задаваемый этим пределом,
называют также интегралом Римана.
Замечание. Вопрос о существовании предела
суммы, определенной равенством (2.2), может быть
поставлен и в том случае, если / — ограниченная функция
(имеет место неравенство (2.1)), но имеет разрыв в
определенных точках сегмента [а, Ъ]. И в этом случае
можно определить риманову сумму σ формулой (2.2).
Если существует предел этой суммы при λ -► 0
независимо от деления сегмента [а, Ъ] на подсегменты и выбора
точек \h в подсегментах, то этот предел назовем
интегралом Римана от функции /. Числа а и Ъ называются
границами интегрирования: а — нижней, а Ъ — верхней.
В приведенном нами выше определении понятия
интеграла нижняя граница интегрирования меньше его
верхней границы Ъ (а<Ь). Интеграл может быть определен
и в случае, если это условие не соблюдено. Тогда
интеграл определится следующим равенством:
а Ь
\f{x)dx= — \f{x)dx. (2.5)
Ь а
Отметим несколько свойств интеграла Римана:
1. Если с — некоторая точка сегмента [а, 6], а<с<
< Ь, то
Ъ с Ъ
J f(x)dx=^f(x)dx + J f(x)dx.. (2.6)
а а с
Ь Ь
2. \kf{x)dx = kl f(x)dx, (2.7)
a a
где k — произвольное постоянное число.
ъ ь ь
3. j [/ (χ) ± φ (χ)] dx = j / (χ) dx ± j φ (χ) dx. (2.8)
a a a
4. Σ J Ckfk (x) dx=icAfh (x) dx, (2.9)
13

где fk(x) (& = 1, 2, ..., η)— заданные непрерывные
функции, a Ch — произвольные постоянные.
ь ъ
I J /(χ) dx I <j | f(x)\dx^M(b — a) (b> a), (2.10)
| a a
где / для всякого х из [а, Ь] удовлетворяет условию
\f(x)\^M. (2.11)
Формула (2.10) справедлива не только для непрерывной
функции f(x), но и в том случае, если /-— ограниченная
интегрируемая функция. Таким образом, если
/—интегрируемая функция на сегменте [а, Ь], то интегрируема
на этом сегменте и функция 1/1 и имеет место
неравенство (2.10). В неравенстве (2.10) имеется в виду, что
а < Ь. В общем же случае (т. е. когда условие а < Ъ
может быть и не выполнено) справедливо неравенство
ь ι ι ь
lf(x)te\<\\\f(x)\dx
^М\Ъ — а\.
(2.12)
6. Из определения интеграла непосредственно
вытекает справедливость следующего равенства:
ь
\ f(x) dx = 0, если а = Ъ. (2.13)
а
7. Имеет место равенство (см. свойство 1)
*0+л х0 x0+h
j / (χ) dx — J / (x) dx + J / (x) dx,
(2.14)
где xo — произвольная точка интервала ]я, Ь[, a h —
настолько малое число, что и точка xo + h принадлежит
сегменту [а, Ъ].
8. Если для неотрицательной функции / имеет место
неравенство
ь
j/(*)^r = 0,
α
то функция / равна нулю на сегменте [а, Ь].
9. Пусть / и φ — непрерывные функции на сегменте
[а, Ъ] и функция φ сохраняет знак на этом сегменте.
Тогда отыщется такая, точка ξ сегмента [а, Ь], что бу-
14

дет иметь место равенство
ъ ь
$f(x)<p{x)dz = f®$<p{x)dx. (2.15)
а а
Эта формула называется формулой о среднем значении.
Замечание. Как уже было отмечено, приведенные
выше свойства определенного интеграла доказываются
непосредственно на основании определения самого
интеграла. Доказательства этих свойств читатель при
желании сможет найти в любом университетском учебнике
по курсу анализа.
§ 3. Интеграл с переменным верхним пределом.
Связь между неопределенным
и определенным интегралами
Рассмотрим непрерывную на сегменте [Л, В] функцию
/ и возьмем в этом сегменте две произвольные точки а
и Ъ. Ввиду непрерывности функции /, существует
интеграл
ь
\ f (х) dx.
а
Этот интеграл зависит только от значений а и Ъ и не
зависит от того, каким символом обозначена
подынтегральная переменная. Так, например, его можно записать
в виде
ь ъ
\f{x)dx = \f{t)dt.
а а
Возьмем теперь некоторую точку а сегмента И, β] и
обозначим через χ произвольную точку этого сегмента.
χ
Рассмотрим определенный интеграл J f(t)dt. Ясно, что
а
если а — постоянная, а х изменяется в сегменте [^4, В],
то этот интеграл представляет собой функцию
переменной х. Обозначив эту функцию через Ф(х), получим
09
Ф(*)-1/(0*. (3.1)
15

В целях устранения неясностей мы обозначили
подынтегральную переменную через t.
Докажем теперь следующую основную теорему:
Функция Φ представляет собой дифференцируемую
в произвольной точке хо интервала ]А, В[ функцию, и ее
производная в этой точке равна f(xo):
ф'Ы=/Ы. (3.2);
Действительно, в силу формулы (2.14), имеем
x0+h х0
Ф(х0 + Щ-Ф(х0) = J f{t)dt-\f{t)dt =
а а
хо xo+h хо xo+h
= §f(t)dt+ j f(t)dt-[ f(t)dt= J f(t)dt,
a xQ a xQ
где h — бесконечно малая величина. В силу формулы
(2.15) последнее равенство дает:
ф(ю + Ч-ФЫ=/(^, (з.з)
где ξ — определенная точка сегмента [хо, хо + Щ. Из
равенства (3.3) в силу непрерывности функции получим
Φ (χη + h) — Φ (χΛ
Таким образом
ф'Ы=/ы, (3.4);
и теорема доказана.
Итак, для любой точки χ интервала ]А, В[ имеет
место равенство
Следовательно, функция Ф(#), определенная равенством
(3.1), представляет собой одну из первообразных
функций f(x) и для неопределенного интеграла имеем
следующее представление:
X
§f(x)dx = $f(t)dt + C, (3.5)
а
где С — произвольная постоянная. Формула (3.5)
устанавливает связь между- неопределенным и определенным
интегралами.
16

§ 4. Числовые ряды
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность
и>и ···> и»и ... и составим суммы S\, £2, ..., Sn, ..., где
Sn= £иЛ. (4.1)
Таким образом, посредством данной числовой
последовательности uh (k=i, 2, ...) мы составили новую
последовательность S\, S2, · · ·, Sn, ...
Определение. Будем говорить, что
последовательность S\, S2, . ·., Sn, ... сходится и ее предел есть число
S, если для всякого наперед заданного положительного
числа ε найдется такое натуральное число ^(ε), что при
η > п(&) будет иметь место неравенство
\Sn-S\<e. (4.2)
В подобном случае пишут
lim£n = S.
П-»оо
Рассмотрим пока формально только сумму,
называемую рядом:
ui + u2 + ... + Un + ... (4.3)
Если последовательность Sh (А = 1, 2, ..., η, ...)
сходится, то говорят, что ряд (4.3)— сходящийся и его
сумма равна S. В противном случае ряд (4.3) называется
расходящимся. Если ряд (4.3) сходится и его сумма
равна S, то
S - 2 и*. (4.4)
Суммы Sk (к = 1, 2, ...) называются частичными
суммами этого ряда. В качестве примера рассмотрим
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
a, aq, aq2, ..., aqn, ..., (4.5)
где а — некоторая постоянная, a q (знаменатель
прогрессии) таков, что Igl < 1. Для этой прогрессии будем иметь
с it ι η а аап
Sn=a + aq+ ... + aq = γ—^ — j-f-^
откуда получаем
S = lim Sn = . а .
17

Итак,
а + aq + ... + aqn + ... = ^~. (4.6)
оо
Этим мы показали, что при \q\ < 1 ряд 2 аЯ. схо-
а
дится и его сумма равна , _ .
Можно показать, что при 7г -► о© общий член ип
сходящегося ряда стремится к нулю. Действительно, имеем
откуда
lim un = lim Sn — lim Sn^1 = S — £== 0.
П-»оо П-ЮО n-»°o
Из определения сходимости числового ряда вытекают
следующие свойства:
оо
1. Если ряд 2 и& сходится и его сумма равна S, то
ft=l
оо
ряд 2 auki где α — некоторая постоянная, также схо-
ft=l
дится и его сумма равна aS.
оо оо
2. Если 2 ии и 2 yft—сходящиеся ряды и их сум-
ft=i fc=i
оо
мы соответственно равны S и σ, то ряд 2 (ма ± vk) так-
же сходится и его сумма равна S ± σ.
Если все члены ряда (4.3) положительны, то его
называют положительным. Очевидно, что частные суммы
S\, #2, ..., Sn, ... положительного ряда составляют
возрастающую последовательность:
' 5Ί ^ S2 ^ S3 < ... ^ Sn^Sn+l <... (4.7)
Так как эта последовательность монотонно возрастает, то
она имеет предел, если ограничена сверху.
3. Пусть даны два положительных ряда
оо
Σ Uh, (4.8)
ft=i
Σ Vk* (4.9)
k-l
18

члены которых удовлетворяют условиям
uk*£vk, Л = 1, 2, ..., (4.10)
и пусть ряд (4.9) сходится. Тогда сходящимся будет и
ряд (4.8). Если ряд (4.8) расходится, то расходящимся
будет и ряд (4.9). Доказательство этого утверждения
непосредственно следует из определения сходимости ряда,
если применить неравенство (4.10). Это положение
называется принципом сравнения. Легко доказать также
следующее свойство числового ряда:
4. Если ряд, составленный из абсолютных величин
членов данного ряда
\щ\ + \и2\+... + \ип\ + ...1
сходится, то сходится и данный ряд. В таком случае ряд
щ + U2 + ... + ип + ... называется абсолютно сходящимся.
5. Легко доказать также, что если для ряда
и\ + U2 + . .. + ип + ... (4.11)
с произвольными членами существуют такое
положительное число q < 1 и такое натуральное число пг, что
при п> m имеет место неравенство
<г. (4·12)
то ряд (4.11) абсолютно сходится. Этот признак
сходимости ряда носит название признака Даламбера.
§ 5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость
Рассмотрим бесконечный ряд функций
/>(*) + /2(*)+... + /»(*) + .·., · (5.1)
где Д (А: = 1, 2, ...) представляет собой определенную
на сегменте [а, Ь] непрерывную функцию. Очевидно,
для некоторой фиксированной точки хо сегмента [а, Ь]
мы будем иметь числовой ряд
/i (xo)+f2(xo)+.. . + /»(*<>)+... (5.2)
Если ряд (5.2) сходится, то будем говорить, что
функциональный ряд (5.1) сходится в точке хо сегмента [а, 6].
Если ряд (5.1) сходится в любой точке χ сегмента
[а, Ъ], то говорят, что он сходится на сегменте [а, Ъ].
Определение. Ряд (5.1) называется равномерно
Сходящимся на сегменте [а, Ь] к функции /, если для
п+т
19

всякого положительного наперед заданного числа ε
найдется такое натуральное число п(&), зависящее только
от ε (но не от выбора точки χ на сегменте [а, &]), что
имеет место неравенство
\f(x)-Sn(x)\<s, (5.3)
при п>п(г)1 где
Используя понятие равномерной сходимости ряда,
легко доказать следующую теорему:
Теорема. Если члены ряда (5.1) для
произвольного значения χ из сегмента [я, Ъ\ удовлетворяют условию
\fn(x)\ <ап, п = 1, 2, ..., (5.4)
где
а\ + а2 + яз + · · · + я„ + ... (5.5)
представляет собой сходящийся ряд, то ряд (5.1)
равномерно (и абсолютно) сходится.
§ 6. Конические сечения
Линия на плоскости, координаты точек которой
удовлетворяют условию
апх2 + а22У2 + а\2ху + а\х + а2у + а = О,
где ац, «22, «12, «ι, яг, ^—некоторые постоянные,
называется линией второго порядка. В аналитической
геометрии доказывается, что всякая линия второго порядка,
если она не распадается на прямые, есть либо эллипс,
либо парабола, либо гипербола. Доказывается также, что
всякая линия второго порядка получается сечением
кругового конуса плоскостями. Именно поэтому такие
линии называют коническими сечениями.
§ 7. Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний от которых до двух данных точек есть
величина постоянная.
Упомянутые две фиксированные точки обозначим
через F и F'. Они называются фокусами эллипса. Расстоя-
20

ние между этими точками обозначим 2с. Пусть оумма
расстояний от некоторой точки Μ эллипса до фокусов,
которая, согласно определению, постоянна, равна 2а
(рис. 1). Тогда
г' + г = 2а,
где r'=\F'M\, r= \FM\.
Рассмотрим треугольник F'FM.
венство
с<а. (7.2)
Если с = О, то точки F' и F
совпадают и эллипс перерождается
в окружность радиуса а.
Следовательно, окружность есть
частный случай эллипса.
Возьмем в качестве начала Рис. 1
прямоугольной системы
координат Оху середину отрезка F'F. Ось абсцисс направим в
сторону точки F. Координаты точек F' и F в этой
системе будут соответственно (—с, 0) (с, 0), и поэтому
г' = 1{х + с)2 + у2, г=У(х — с)2 + у2. (7.3)
Внося эти значения в равенство (7.1), получим
1/(х + с)2 + у2 + У(х — с)2 + у2 = 2а. (7.4)
Перенося второй радикал в правую часть и возводя обе
части полученного равенства в квадрат, получим
72.
а1(х — с)2 + у2-
αΔ
ex.
(7.5)
Возводя полученное равенство снова в квадрат, будем
иметь
(а2 — с2)я2 + аУ = а2(а2 — с2). (7.6)
Введем обозначение
Ь = Уа2-с2
(7.7)
Такое обозначение допустимо в силу неравенства (7.2),,
Деля теперь равенство (7.6) на а2Ь2, получим уравнение
эллипса в нормальном виде:
■ 2 2
— л.
Σα* + Ь2
= 1.
(7.8)
21

Из этого уравнения непосредственно вытекает, что Ох и
Оу — оси симметрии эллипса. Очевидно также, что точка
О — центр симметрии эллипса. Кроме этого,
2 2
— <1 —<1
откуда ясно, что
-а^х ■
— b^y^b.
(7.9)
Из последних неравенств следует, что эллипс —
конечная линия (не содержит бесконечно удаленной точки).
Изучим теперь форму эллипса более подробно.
Перепишем сначала уравнение (7.8) в виде
.А уа2-х2.
У
(7.10)
Так как эллипс симметричен, то для изучения его
формы достаточно изучить ту его часть, которая
расположена в первой четверти системы
координат: х>0, у>0. Форму
же линии в остальных
четвертях легко установить,
используя симметрию. Из равенства
(7.10) следует, что если χ =
= ±α, то у = 0, если же у =
= ±6, то χ = 0. Эти точки
(А(а, 0), 5(0, Ь), А'{-а, 0),
5'(0, —&)) называются
вершинами эллипса. Таким образом,
для изучения формы эллипса
в первой четверти достаточно в равенстве (7.10) перед
радикалом оставить лишь знак (+):
Ъ_
а
У
/а2
(7.11)
Из (7.11) ясно, что если # = я, то г/ = 0; далее, если χ
убывает от χ = а до χ = 0, то у возрастает от у = 0 до
у = Ъ. Теперь становится очевидным, что эллипс имеет
вид, показанный на рис. 2. Величина 2а называется
большой осью эллипса, а 26 — малой осью. Величины а
и Ъ называются большой и малой полуосями
соответственно.
Отношение
e-i-^ΞΕ (,12)
22

йазывается эйсцентридигегом эллипса. Очевидно, е < 1.
Без доказательства отметим, что площадь эллипса
вычисляется по формуле
S = nab. (7.13)
§ 8. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек М,
разность расстояний которых от двух данных точек F и
F' постоянна. Обозначим \MF\=r, \MF'\=r', \FF'\ =
= 2с. Постоянную величину, упоминаемую в
определении, обозначим через 2а. Очевидно, будет иметь место
неравенство 2с > 2а (с>а). Если 2с = 2а, то гипербола
У*
Г\а!о
IV
A F <р'
1
")\
\У
о Г> S
Рис. 3 Рис. 4
будет представлять собой ту часть прямой, проходящей
через точки F и F\ которая расположена вне
отрезка FF'.
Согласно определению
г' — г = ±2а. (8.1)
В правой части необходимо брать знак (+) при г > г и
знак (—), если г' <г.
Из определения гиперболы следует, что она состоит
нз двух отдельных ветвей: на одной из них г' > г, а на
другой г < г (рис. 3 и 4).
Построим систему координат с началом в середине
отрезка FF' и осью Ох, совпадающей с прямой,
проведенной через отрезок F'F. Координаты точек F и F'
будут (с, 0) и {—с, 0), поэтому уравнение (8.1)
перепишется следующим образом:
У[х + с)2 + у2- i(z-c)2 + i/2 = ±2а. (8.2)
23

Перенося второй корень вправо и возводя обе части в
квадрат, в результате несложных преобразований
получим
±а У (х — с)2 + у2 = сх — а2.
Возводя это равенство в квадрат, легко получим
{а2 — с2) х2 + а2у2 = а2 (а2 — с2).
Введем обозначение
Ь2 = с2- а2, Ъ = Ус2 - а2. (8.3)
Разделив обе части последнего равенства на а2 (а2 — с2) =
= —а2Ь2, окончательно будем иметь
-?-?-1· (8·4)
Это уравнение носит название уравнения гиперболы.
Из уравнения (8.4) ясно, что Ох и Оу — оси
симметрии гиперболы, точка О — ее центр симметрии. Итак,
для установления формы гиперболы, как и в случае
эллипса, достаточно изучить только ту ее часть, для
которой χ > О, у > 0.
Таким образом, мы пришли к заключению, что
гипербола имеет вид, изображенный на рис. 3 и 4.
Точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки
А (а, 0) и А' (—а, 0). Они носят название вершин
гиперболы. Величина 2а называется продольной, а величина
2Ъ — поперечной осью; величина
, = ^ = J^Z±Z (8.5)
называется эксцентриситетом гиперболы. Из равенства
(8.5) очевидно, что для гиперболы е > 1.
§ 9. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек
плоскости, одинаково удаленных от данной точки
(называемой фокусом) и данной прямой (называемой
директрисой).
Выведем уравнение параболы. Расстояние от фокуса
F до директрисы обозначим через ρ, ρ = \FK\ (рис. 5).
Начало координат возьмем в середине отрезка FK, ось
Ох направим так, чтобы она проходила через фокус F.
24

Очевидно, координатами точки F будут (р/2, 0), а
координатами точки К пересечения директрисы с осью Ох
будут (—р/2, 0). Если обозначить расстояние от точки
Μ параболы до директрисы через б, а длину отрезка FM
через г, то согласно определению
параболы будем иметь
г = 6. (9.1)
Так как г = j/ (ж- |-)2 + у\ δ =
= .ζ + —, то равенство (9.1) даст
/(*-£)'+ ¥'-*+f
s<
д·
^
, ι
С
|#
^
Ь^
vF
X
Рис. 5
Возводя это равенство в квадрат
и производя соответствующие упрощения, получим
у2 = 2рх.
(9.2)
Из последнего уравнения ясно, что осью симметрии
параболы является Ох; парабола проходит через начало
координат и целиком расположена в правой
полуплоскости (рис. 5). Точка О начала координат, через которую
проходит парабола, называется ее вершиной.
§ 10. Уравнения конических сечений
в полярных координатах
В случае эллипса в качестве полюса возьмем правый
фокус F (рис. 6). Формула (7.5), в силу обозначения
(7.12), может быть переписана в виде
r = a — ex. (10.1)
Вместе с тем очевидно, что
χ = про* ОМ = про* OF + про* FM,
откуда .z = c + rcos9, c = ae (см. формулу (7.12)).
Таким образом, имеем
x = ae + rcosQ. (10.2)
Внося это значение в равенство
(10.1), легко получим
г =
Ι+^οϋδ.θ'
(10.3)
Рис. 6
25

где
p=*a(l + e2). (10.4)
Если теперь в эту формулу внести е = с/а (см. (7.12)),
το учитывая равенство (7.7), получим
р = т- <10·5)
Рассмотрим теперь случай гиперболы. В качестве
полюса здесь снова возьмем правый фокус. Как и в случае
эллипса, легко получить, что
г^ТлГ*—5. (Ю.6)
1 + е cos θ ν '
b2
где ρ = —, е > 1 — эксцентриситет гиперболы.
В случае параболы будем иметь
1 + cos θ ν '
Здесь в качестве полюса взят фокус параболы, ρ —
параметр, участвующий в уравнении (9.2).
Таким образом, уравнения эллипса, гиперболы и
параболы в полярных координатах могут быть записаны с
помощью одного уравнения:
г = rrr^—Sf (10·8)
1 + е cos θ ч '
где параметр ρ для случаев эллипса и гиперболы
определяется равенством (10.5), причем для эллипса е<1,
для гиперболы е > 1, а для параболы е = 1. Для
параболы параметр ρ есть расстояние от ее фокуса до
директрисы.
§ 11. Скалярное и векторное произведение
двух векторов
Читатель, естественно, знаком с определением понятия
вектора, а также с некоторыми элементарными
операциями над векторами, такими, как проектирование
вектора на данную ось, сложение векторов, умножение
вектора на число и др. Изучение этих вопросов
предусмотрено программой средней школы. Наша цель — привести
здесь определение понятий скалярного и векторного
произведения двух векторов, а также некоторые свойства
26

этих произведений, которые нам понадобятся в
дальнейшем (при изучении вопросов механики).
Пусть дан некоторый вектор Ρ и система
прямоугольных декартовых координат Oxyz. Координаты вектора Ρ
относительно этой системы обозначим через Рх, Ру, Ρζ:
Р = (Рх,Ру,Рг).
Заметим, что Рх, Ру и Рг представляют собой
проекции вектора Ρ на оси Ох, Оу, Οζ. Орты осей Ox, Оу, Oz
обозначим соответственно через i, j, k. Напомним, что i —
это вектор, имеющий направление оси Ох, длина
которого равна единице Аналогичный смысл имеют векторы j
и к. Справедливо равенство
Ρ = iPx + \PV + kPz. (11.1)
Рассмотрим два вектора Ρ и Q. Произведение их длин
и косинуса угла между ними называется скалярным
произведением этих векторов.
Обозначив скалярное произведение символом (P-Q),
согласно определению, будем иметь
(P-Q)=|P| |Qlcos0, (11.2)
где θ — угол между векторами Ρ и Q. Из этого
определения непосредственно вытекают следующие свойства
скалярного произведения:
(P-Q) = (QP), (P.aQ) = (aP.Q) = a(P-Q),
где а — произвольная постоянная, а также
(P.Q) = |P|npPQ = |Q|npQP. (11.3)
Применяя равенство (11.3), легко доказать, что
((P + Q)-R) = (P.R) + (Q.R). (11.4)
Рассмотрим следующие суммы векторов:
η m
А = 2 M*, В = 2 bhBh,
fc=l fc=l
где ah (k = l, 2, ..., η) и bh (1, 2, ..., m)—
определенные постоянные. Учитывая приведенные выше свойства
скалярного произведения, легко убедиться, что
скалярное произведение (А · В) можно вычислить с помощью
правила перемножения многочленов.
Нетрудно убедиться, что равенство нулю скалярного
произведения двух векторов
(P-Q) = 0
27

является необходимым и достаточным условием их
ортогональности (перпендикулярности). Здесь необходимо
учесть, что направление нулевого вектора не определено,
следовательно, он может быть принят за вектор,
перпендикулярный любому другому вектору.
Очевидна также справедливость следующих равенств:
(Р-Р)-Р2=|Р|2, (i.i) = i2 = l, f = l, k2 = l,
(j .k) = (ki) = (i. j)=0.
Используя их, легко убедиться, что
(P(l) = PxQx + PyQy + PzQz. (11.5)
Для получения этого равенства достаточно учесть лишь,
что
P = iPx + jPy + kPz,
Q = i<?* + \Qy + k<?z,
и перемножить их по правилу перемножения
многочленов.
Пусть даны три вектора Р, Q, R, приложенные к
одной точке и не лежащие в одной плоскости.
Определение 1. Будем говорить, что векторы
Р, Q и R (записанные во взятой последовательности)
образуют левую систему, если для наблюдателя,
смотрящего вдоль вектора R, поворот от вектора Ρ к вектору Q
происходит по направлению движения часовой стрелки.
Система Oxyz называется левой системой координат,
если направляющие векторы i, j, k осей Ох, Оу и Oz
соответственно составляют левую систему.
Определение 2. Векторным произведением
векторов Ρ и Q называется такой вектор R = [Р · Q],
который определен следующими условиями: а) вектор R
перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы Ρ и
Q; б) длина вектора R определена равенством IRI =
= |Р| IQI sin θ, где θ — угол между векторами Ρ и Q;
в) вектор R направлен так, что векторы Р, Q, R
составляют левую систему.
Из приведенного определения следует, что
1) [P-Q] = -[Q-P],
(11.6)
2) [mP ■ nQ] = mn [Ρ · Q],
где m и η — произвольные числа. Если, в частности,
28

m = — 1 и п = 1, будем иметь
[(-P)-Q] = -[P-Q] = [Q-P]. (И.7)
Докажем теперь распределительный закон векторного
произведения. Для этого рассмотрим сначала векторное
произведение [е · Р], где е — единичный вектор.
Спроектируем вектор Ρ на плоскость D, перпендикулярную к
единичному вектору е, и повернем эту проекцию в
данной плоскости по направлению движения часовой
стрелки на угол π/2 (относительно наблюдателя, стоящего
Рис. 7 Рис. 8
вдоль вектора е). Придав полученной в результате
такого поворота проекции соответствующее направление,
получим вектор р, равный векторному произведению [е, Р]
(рис. 7).
Теперь легко получить равенство
[е.(Р1+Р2 + ... + Рп)] = [е.Р,] + [е.Р2] + ...
... + [е.Р„]. (11.8)
Для этого к концу вектора Pi приложим вектор Р2,
к концу Р2 — вектор Рз и т. д., конец вектора Рп
соединим с началом вектора Pi. Полученный замыкающий
вектор обозначим через Р.
Спроектируем теперь построенный таким образом
многоугольник на плоскость D и повернем его в этой
плоскости на угол π/2. Получим многоугольник,
образованный векторами pi, p2, ..., рп и замыкающим их
вектором р, где
Р* = [е-РА], Р = [е-Р].
Теперь справедливость равенства (11.8) очевидна. Оно
останется в силе и в случае, если единичный вектор е
заменить произвольным вектором Q. Действительно,
29

представим вектор Q в виде
Q = <?e (ell Q),
где Q = +\Q\, если Q и е сонаправлены, и Q =—\Q\^
если они направлены противоположно. Будем иметь
(рис. 8)
[Q-(Pi+P2 + ... + Pn)] = [<?e(Pi + P2 + ... + Pn)] =
= (?([е.Р1]+[е.Р2]+... + [е.Рп]) =
= [<?е· ?!] + .. . + [(?е· Рп]-
-[Q-Pi] + ... + [Q-P.]. (11.9)
Таким образом, мы доказали, что равенство (11.8)
справедливо и в случае, если е заменен произвольным
вектором Q.
Этот распределительный закон остается в силе и
тогда, когда сумма векторов справа умножается на вектор
Q. В этом легко убедиться, воспользовавшись свойствами
(11.6) и -(11.7). Рассмотрим две суммы
Р = Р1 + Р2 + ... + Р„ и Q = Qi + Q2 + ... + Qm.
С помощью равенства (11.9) легко можно убедиться, что
для составления векторного произведения двух сумм
достаточно каждый член первой суммы векторно умножить
на каждый член второй суммы и полученные таким
образом векторы сложить. При этом соответствующим
образом необходимо соблюдать последовательность
сомножителей.
Найдем теперь координаты векторного произведения
двух векторов. Пусть заданы два вектора
F = (PX,PV,PZ), Q = (<?«,&.&)·
Представим их следующим образом:
? = iPx + jPy + kPz, q = iQx + }Qv + kQz. (11.10)
Очевидно, имеют место следующие равенства:
[ii] = [ii] = [k-k] = 0, [j-k] = i, [k-i] = j,
(11.11)
[ij] = k.
Перемножая векторно (согласно 11.10) Ρ и Q и
учитывая равенства 11.11), легко можно получить
[Р Q] = (ВД - PzQy) i + (PZQX - PjQ,)\ +
+ (P«Qv-PyQ*)k. (H.12)
30

Таким образом,
[FQ]z=*PxQy-PyQx.
Эти равенства можно записать и в виде детерминанта
1
[PQ]
(11.13)
i J k
ρ* рУ ρ ζ
\Qx Qy Qz
Для доказательства справедливости полученного
равенства достаточно уметь разлагать детерминант третьего
порядка по элементам первой строки. Это разложение
дает правую часть равенства (11.12). Согласно формуле
(11.13), запомнить которую не представит особого
труда, легко получаются координаты векторного
произведения (проекции на оси координат).
Имеет место
Теорема. Для параллельности векторов Ρ и Q не-
обходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение
было равно нулю:
[PQ] = 0. (11.14)
§ 12. Момент вектора относительно точки и оси
Рассмотрим некоторый вектор Ρ и произвольную точку
О плоскости. Обозначим через г радиус-вектор начала
(точки приложения) вектора Ρ относительно точки О.
Векторное произведение (рис. 9)
L = [r.P], (12.1)
за точку приложения которого примем 0, называется
моментом вектора Ρ относительно
точки О. 1^
Согласно определению
векторного произведения, длина
вектора L вычисляется формулой
ILI-IH ΙΡΙ sin(r, P),
откуда получаем
\L\ = \P\h. (12.2)
Здесь h обозначает длину перпен- Рис. 9
дикуляра, опущенного из точки
О на основании вектора Ρ (прямую, на которой
расположен данный вектор). Точка О называется
31

центром момента, а Л — плечом вектора Ρ относительно
точки О.
В силу известного свойства векторного произведения
(см. предыдущий параграф) и формулы (12.2),
нетрудно убедиться, что момент вектора Ρ относительно точки
О не изменится при произвольном скольжении этого
вектора относительно основания.
Рассмотрим прямоугольную декартову систему
координат с началом в точке О и введем обозначения
Ρ = (РХ1 Ру, Ρζ), г = (я, y,z), L = (Lx, Ly, Lz).
Спроектировав равенство (12.1) на оси координат,
получим
Lx = уРг — zPyi Ly = zPx — xPZl
(12.3)
Lz = xPy — yPK.
Моментом вектора Р относительно оси Δ называется
проекция на эту ось момента вектора Ρ относительно
любой точки этой оси. Легко убедиться, что момент
относительно оси не зависит от выбора центра момента на
этой оси. Таким образом, величины Ъх, /vy, Zvz,
определенные формулами (12.3), представляют собой моменты
вектора Ρ относительно осей Ox, Оу, Oz соответственно.

ГЛАВА 2
НЕКОТОРЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка
Уравнение, содержащее независимые переменные,
искомые функции этих переменных и производные этих
функций, называется дифференциальным уравнением.
Если неизвестные функции, входящие в уравнение,
зависят только от одной независимой переменной, то его
называют обыкновенным дифференциальным уравнением.
Если же уравнение содержит частные производные
искомых функций, то его называют дифференциальным
уравнением с частными производными.
В настоящей книге мы будем рассматривать только
обыкновенные дифференциальные уравнения.
В этой главе будут рассмотрены обыкновенные
дифференциальные уравнения первого порядка, т. е.
уравнения, содержащие одну независимую переменную, одну
искомую (неизвестную) функцию этой переменной и
производную первого порядка от этой функции.
Пусть χ — независимая переменная, а у — искомая
функция этой переменной. Согласно приведенному выше
определению общее представление обыкновенного
дифференциального уравнения имеет вид
Ф(*. У, У\ У", ··- У{п)) = 0. (1.1)
Наивысший из порядков производных, входящих в это
уравнение, называется порядком дифференциального
уравнения.
Дифференциальное уравнение первого порядка в
общем виде выразится следующим образом:
Ф(*, У, У') = 0. (1.2):
Если это уравнение разрешимо относительно
производной у', то его можно переписать в виде
»'-/(*.?). .(1.3);
33

Дифференцируемая функция
ГФМ. (1.4)
удовлетворяющая этому уравнению, т. е. обращающая
ei*o в тождество при подстановке в него значений у =
= φ (χ) и у' = φ' (χ), называется решением уравнения
(1.3). Аналогично функция, определенная равенством
(1.4), будет решением уравнения (1.1), если при
подстановке величин у = у(х), у(Ю — cp(ft) (х) (к = 1, 2, ..., п)
в это уравнение оно обратится в тождество.
Нахождение решения дифференциального уравнения
называют его интегрированием. Рассмотрим теперь х, у
в качестве координат точки плоскости Оху. Тогда,
очевидно, у = Ц>(х) представляет собой уравнение линии на
плоскости. Как известно, у' —<$'(х) будет угловым
коэффициентом этой линии в точке (ху г/), т. е. тангенсом
угла, образуемого касательной к линии в точке (х, у)
с положительным направлением оси Ох. Таким образом,
уравнение (1.3) устанавливает определенную
зависимость между координатами точек линии, определенной
уравнением (1.4), и соответствующими угловыми
коэффициентами. Упомянутую линию называют интегральной
кривой уравнения (1.3).
Рассмотрим следующие примеры:
1. Пусть правая часть уравнения (1.3) не зависит от
функции у. Тогда будем иметь
У'-fix). (15)
Решением этого уравнения (интегральной кривой) будет
y = $f(x)dx+C, (1.6)
где С — произвольная постоянная, а под интегралом
понимается неопределенный интеграл, т. е. первообразная
функции f(x) (см. § 1 гл. 1). Таким образом, решением
уравнения (1.5) является семейство линий, зависящее
от одного постоянного параметра С.
2. Пусть U — некоторая функция переменных х, у.
Рассмотрим уравнение
^+^ = 0, (1.7)
дх2 ду2 '
представляющее собой дифференциальное уравнение с
частными производными. Его называют уравнением Лап-
34

ласа, а решение этого уравнения — гармонической
функцией.
В дальнейшем нам понадобится понятие области.
Приведем его определение.
Областью называется непустое множество D точек
плоскости, определенное следующими условиями:
1. Всякая точка множества D — внутренняя, т. е. для
всякой его точки отыщется круг с центром в этой точке,
целиком принадлежащий этому множеству.
2. Множество D — связное, т. е. всякие две его точки
можно соединить ломаной, целиком принадлежащей
множеству D. Если к множеству точек области D добавить
множество точек его границы, то получим замкнутую
область, которую будем обозначать символом D.
В дальнейшем будем подразумевать, что функция / в
правой части уравнения (1.3) есть непрерывная в
области D функция. D может быть любой областью
плоскости Оху, в частности, всей плоскостью.
При доказательстве некоторых положений теории
дифференциальных уравнений нам придется требовать
от функции / выполнения определенных
дополнительных условий, которые будут отмечены ниже.
§ 2. Поле направлений.
Приближенное определение решения
дифференциального уравнения первого порядка
с начальным условием
Как было отмечено в предыдущем параграфе, уравнение
(1.3) устанавливает определенную зависимость между
координатами х, у точки и угловым коэффициентом у'
касательной к интегральной кривой в этой точке. Пусть
/ есть непрерывная функция координат х, у в области D
плоскости Оху, являющейся областью определения
функции /. Каждой точке М(х, у) области соответствует
определенное направление, характеризуемое угловым
коэффициентом /(#, г/)=г/'. Таким образом, получаем так
называемое поле направлений. Для нахождения
направления этого поля в некоторой точке М0(х0, у0) области
D вычисляется значение функции / в точке (xq, г/о), т. е.
/(#о, г/о), и в точке Mq проводится единичный вектор
таким образом, чтобы тангенс угла, составленного этим
вектором с положительным направлением оси Ох, был
равен /(.го, г/о). Вектор, построенный по такому правилу,
определяет направление поля в точке Mq.
35

Рассмотрим произвольную точку М(х, у) области D.
Как было отмечено, точке Μ соответствует однозначно
определенное направление, являющееся касательным к
интегральной кривой, проходящей через эту точку.
Сформулируем следующую задачу: найти решение
2/ = φ(#) уравнения (1.3), удовлетворяющее начальному
условию:
если х — хо, то ι/ = φ(£ο) = ί/ο, (2.1)
где Мо(хо, у о) — фиксированная точка. области D. Иначе
говоря, необходимо найти интегральную кривую
уравнения (1.3), проходящую через точку М0(хо, уо). Эта
задача носит название задачи Коши.
Для приближенного построения интегральной кривой,
проходящей через точку Mq(xq, z/q), можно поступить
следующим образом.
Так как Μ0(χ0ι у о)— точка области D, то через эту
точку проходит определенное направление
(принадлежащее упомянутому выше полю направлений). Отмерим на
нем отрезок MqM\ так, чтобы он не выходил за пределы
области D (это всегда возможно, если взять М\ в
достаточной близости к Mq). Очевидно, точке Μι(χ\, у ι)
области D также соответствует однозначно определенное
направление поля направлений. Отметим на этом
направлении отрезок М\М2 достаточно малой длины так, ^тобы
и этот отрезок целиком располагался в области D.
Продолжив этот процесс, получим ломаную линию, которая
с определенной точностью приближается к интегральной
кривой, проходящей через точку Mq (х0, у о) .
Изложенный метод приближенного построения
интегральной кривой, проходящей через точку Mq(xo, ι/ο),
принадлежит Эйлеру.
Приведенное выше правило построения интегральной
кривой уравнения (1.3) указывает на то, что через
каждую точку Мо(хо, у о) области D проходит одна, и только
одна, интегральная кривая и, следовательно, существует
решение у = <р(#) уравнения (1.3), удовлетворяющее
начальному условию: если χ = #о, to ϊ = ι/ο; это решение
единственно.
Мы сформулировали основную теорему о
существовании и единственности решения, которая может быть
строго доказана, если потребовать от функции /, помимо
ее непрерывности в D, выполнения определенных
дополнительных условий (см. § 7).
36

§ 3. Общее и частное решение обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка
Рассуждения предыдущих параграфов убеждают в том,
что обыкновенные дифференциальные уравнения имеют
бесчисленное множество решений.
Действительно, если в задаче Коши будем придавать
ζ/ο различные значения, то получим, вообще говоря,
различные решения уравнения (1.3). Следовательно,
решения уравнения (1.3) зависят от одной произвольной
постоянной.
Уравнение (1.3) является обыкновенным
дифференциальным уравнением первого порядка. Решения же
обыкновенного дифференциального уравнения п-то
порядка зависят от η произвольных постоянных. Некоторое
конкретное решение заданного дифференциального
уравнения называется его частным решением. Возникает
вопрос, существует ли такое решение дифференциального
уравнения, из которого можно было бы получить все его
частные решения?
Определение. Функцию # = φ(#, Си Сг, ..., Сп),
где С\, Съ, ..., Сп — произвольные постоянные, назовем
общим решением уравнения (1.1) или его общим
интегралом, если при надлежащем выборе постоянных
Си Сг, ···» С* из него можно получить все частные
решения уравнения (1.1), т. е. произвольную
интегральную кривую. В дальнейшем интегральную кривую
данного дифференциального уравнения будем называть
интегралом этого уравнения.
Таким образом, согласно определению, под
интегральной кривой и интегралом данного
дифференциального уравнения мы будем понимать одно и то же.
Исходя из приведенного определения, скажем, что
функция г/ = <р(#, С), где С — произвольная постоянная,
есть общее решение уравнения (1.3), если при
соответствующем выборе постоянной С на него получается любое
частное решение уравнения (1.3).
Из основной теоремы, сформулированной в конце § 2,
следует, что если f(x, у) удовлетворяет определенному
условию, то всегда существует решение уравнения (1.3),
в котором произвольная постоянная определяется из
начального условия (2.1).
Как было показано в § 1, решение уравнения (1.5)
представляется формулой (1.6). Если неопределенный
интеграл (одну из первообразных), входящий в формулу
37

(1.6), представить в виде (см. формулу (3.5) гл. 1)
χ
то решение уравнения (1.5) выразится следующей
формулой:
χ
y = lf{t)dt+C. (3.1)
В силу начального условия (2.1), будем иметь С = г/о и
χ
y = y0 + U®dt- (3·2>
χ
Таким образом, (3.1) представляет собой общее
решение уравнения (1.5), из которого могут быть получены
все частные решения этого уравнения.
В рассмотренном простейшем случае решение
дифференциального уравнения содержит одну произвольную
постоянную. Как будет показано дальше, ив общем
случае решение (интеграл) дифференциального уравнения
первого порядка будет зависеть от одной произвольной
постоянной (общее решение).
В следующем разделе рассмотрим уравнения, процесс
отыскания общего решения которых будет сведен к
вычислению неопределенного интеграла или, как иногда
говорят, к квадратуре.
Замечание. Пусть / — дифференцируемая
функция, определенная на интервале ]а, Ъ [; χ— некоторая
фиксированная точка этого интервала, а (х + Ах) —
ближайшая к χ точка, также принадлежащая интервалу
]а, Ъ[. Здесь Ах — настолько малое, число, что точка
(х + Ах) попадает в интервал ] а, Ь[ (в школьном
учебнике по математике вместо Ах часто употребляется
символ h). Соответствующее приращение функции /
обозначим через Af(x). Следовательно,
Af(x) = f{x + Ax)-f{x).
Как известно,
Так как предел выражения А при Ах -*- 0 (точка χ
38

фиксирована, а Ах — переменная) есть /'(#), то выра-
жение V в окрестности точки χ представится
следующим образом:
£Ш = /'(*) +α (Δ*).
Ах
где α(Δ#) есть функция от Ах и α(Δ.τ)->0 при Δ.τ-^0.
Отсюда
Δ/ (х) = f'(x)Ax + a (Ax) Ах.
Определение. Выражение /' (х) Ах называется
дифференциалом функции f в точке χ и обозначается
символом df(x):
df(x) = f'(x)Ax. (3.3)
Если /(#) = #, то Υ(х)= 1 и из (3.3)
df(x)~ dx = Αχ.
Следовательно, приращение аргумента Ах и
дифференциал аргумента dx — одно и то же. Теперь (3.3)
перепишется так:
df(x)= Y (x)dx,
а отсюда
Ц® = Г(х). (3.4)
Таким образом, производная функции оказалась
отношением дифференциала функции к дифференциалу
(приращению) аргумента. Вместе с тем мы получаем
новое обозначение производной функции, известное под
названием обозначения Эйлера. Кроме того, теперь
понятно, почему употребляется название
«дифференциальное уравнение» вместо «уравнения с производными».
§ 4. Дифференциальное уравнение первого порядка
с разделяющимися переменными
Пусть в уравнении (1.3) функция / представляется
в виде
Hx,y) = Mx)f2(y); (4.1)
тогда получаем уравнение
% =/1(*)Ш, (4.2)
39

называемое уравнением с разделяющимися переменными.
Предположим, что /ι и jfe — непрерывные функции
соответственно на сегментах [я, Ъ] и [с, d], при этом для
всякого у(х) из [а, Ь] /2(2/)^ 0.
Уравнение (4.2) можно тогда переписать в виде
-Щ=к(*)^ (4-3)
откуда
frfo-jAWb + e. <">
где С — произвольная постоянная. Под интегралами
понимаются неопределенные интегралы. Очевидно, (4.4)
устанавливает определенную зависимость между
величинами х, у и С.
Обозначим какую-нибудь первообразную функции
1//г(г/) через ^г(г/), а одну из первообразных функции
/ι (χ) через F\(x). Тогда равенство (4.4) перепишется
в виде
F2{y)^Fl{x) + C. (4.5)
Если это уравнение решить относительно у
(подразумевается, что оно разрешимо), то получим
У = <Р(*. С). (4.6)
Приведенные рассуждения убеждают в возможности
получения из (4.6) произвольного частного решения
уравнения (4.2) и, следовательно, (4.6) представляет
собой общее решение уравнения (4.2). Можно показать,
что начальным условием (2.1) постоянная С
определяется однозначно и, следовательно, через каждую точку
Mq(xo, г/о) прямоугольника a<x<b, c<y<d проходит
одна и только одна интегральная кривая
дифференциального уравнения (4.2).
§ 5. Однородное дифференциальное уравнение
первого порядка
Однородным называется уравнение вида
Введем обозначение
у = хи, (5.2)
40

где и — новая искомая функция независимой переменной
х. Из равенства (5.2) имеем
dy , du
dx dz
Очевидно, уравнение (5.1) перепишется в виде
*^ = /И-ы, (5.3)
откуда разделением переменных получим
dx du л
~ и — f (и)~~
Предположим, что f(u)¥=u и хФО. Интегрированием
последнего равенства получим
ы\'\ + \т=ш-с» (5·4)
где С\ — произвольная постоянная. Из равенства (5.4),
очевидно, будем иметь
х = С$(и), (5.5)
где 6 = е —также произвольная постоянная,
Г du
у(и) = е Кч(и\ (5.6)
В силу обозначения (5.2), равенство (5.6) даст
семейство интегральных кривых уравнения (5.1) в виде
*-<?*(i)·
(5.7)
Если это уравнение разрешимо относительно у, то
у=<р(х, С), (5.8)
что представляет собой общий интеграл уравнения (5.1).
Можно показать, что начальным условием (2.1)
постоянная С определяется однозначно.
Уравнение (5.1) называется однородным уравнением,
исходя из следующих соображений: пусть функция /,
входящая в уравнение (1.3), представляет собой
однородную функцию нулевого порядка, т. е. имеет место
равенство
f(tx, ty) = f(x, у), (5.9)
где t — произвольный параметр. Вообще функция / на-
41

зывается однородной функцией порядка т, если имеет
место равенство
f(tx,ty)=tnf(x, у). (5.10)
При т — 0 отсюда получается (5.9). В равенстве (5.9)
предположим t = i/x. Получим /(#, г/) = /(1, у/х). Вводя
обозначение /(1, ylx)=tf\{ylx), равенство (1.3) можно
переписать в виде
dx ~~Ίι\χΓ
а это есть уравнение вида (5.1).
Рассмотрим уравнение
dy ( ах-\-Ъу-\-с \ (*ц\
-te-iyaf + bj + cj' (ЬЛ1>
где а, Ь, с, αϊ, b\, c\ — заданные постоянные, а
/—непрерывная функция своего аргумента. Если c = ci = 0,
то, очевидно, уравнение (5.11) однородно. Покажем, что
и в общем случае это уравнение сводится к однородному.
Для этого введем новые переменные
x = l + h, у = ц + к, (5.12)
где h и к — пока неопределенные постоянные. Из
равенства (5.12) получаем
dx=*dl, dy = dr\. (5.13)
В силу равенств (5.12) и (5.13), уравнение (5.11)
перепишется следующим образом:
dr\ = 11 al + br\+ah+bk + c \ К \L\
« ' К* + Μ + aih +bik + ciJ '
Постоянные к и h определим из следующей системы
уравнений:
ah+bk + c = 0, aih+bik + a=0. (5.15)
Тогда (5.14) даст уравнение
|-/(^ί%).· (».«>
являющееся однородным. Как известно, общее решение
его запишется в квадратурах и будет иметь такой вид:
η = Ψ(Ι, С). (5.17)
Если ввести сюда величины \ — х — Ъ, и ц = у — к, то по-
42

лучим общее решение уравнения (5.11) в следующем
виде:
у=<р(х, С), (5.18)
где С — произвольная постоянная.
Постоянные кик могут быть найдены из системы
(5.15) при условии аЪ\ — а\ЬФ0. Можно показать, что и
в случае, когда ab\ = a\b, уравнение (5.11) некоторыми
преобразованиями может быть сведено к однородному.
Рассмотрим теперь однородное уравнение простейшего
вида:
■i-f (5·ΐ9>
Его можно переписать в виде
dy _ dz
у ~~ ζ
а отсюда интегрированием получим
1п|г/|=1пЫ+1п1С1
и, окончательно,
у = Сх. (5.20)
Таким образом, общий интеграл уравнения (5.19)
представляет собой семейство прямых, проходящих через
начало системы координат. Поле направлений уравнения
(5.19), очевидно, представляет собой прямые, проходящие
через начало координат.
Решение уравнения (5.19), которое удовлетворяет
начальным условиям (2.1), задается формулой
Рассмотрим еще один пример однородного уравнения:
dy 2xy
dx x2-y2'
Подстановкой у = их ему можно придать вид
dy u(i + u2)
(5.21)
χ
dz г_и« '
43

откуда разделением переменных получаем
•du = 0. (5.22)
dx и2 — 1
~ + иЬ + и2)'
Если учесть, что —-. о\ = ~~2 » т0 уравнение
и2— 1 _ 2ц 1
и(1 + и2)~~ и2 + 1
(5.22) даст
_Й£ с?(ц2 + l) ___ du __ ^
х + Μ2 + 1 „ — ·
Отсюда имеем
1пЫ+1п(и2 + 1)-1пи = 1п|С1, (5.23)
где С — произвольная постоянная. Заметим, что в правой
части (5.23) произвольную постоянную мы взяли в виде
lnlCl. Очевидно, (5.23) можно переписать в виде
х(и2 + 1)
= С.
Если теперь учесть, что и = —, то получим
х* + у*~Су.
Этим равенством задается семейство окружностей,
касающихся оси Ох в начале координат.
Теперь ясно, что интегральная кривая уравнения
(5.21), удовлетворяющая начальному условию у = уо при
xlt=xo, задается формулой
x* + f = npLy. (5.24)
Рассмотрим следующее простейшее однородное
уравнение:
I — f (5·25)
Разделением переменных получим
χ dx + у dy = 0.
Проинтегрировав это равенство, будем иметь
я2 + ^ = с2)
где С —· произвольная положительная постоянная. Таким
44

образом, общий интеграл уравнения (5.25) представляет
собой семейство окружностей с центром в начале
координат. Очевидно, поле направлений в этом случае —
касательные к этим окружностям.
§ 6. Линейное дифференциальное уравнение
первого порядка
Линейным называется уравнение следующего вида:
А(х)% + В(х)у + С(х) = 0, (6.1)
где А, В, С представляют собой заданные функции
переменной х. Пусть функция А не обращается в нуль в
определенном интервале изменения переменной х. Тогда это
уравнение в результате деления на А примет вид
-g+ />(*)!/= ?(*)· (6.2)
Если для всякого χ из рассматриваемого интервала
q (χ) = О, то имеем однородное уравнение
fx+p(X)y = 0. (6.3)
Разделением переменных из этого уравнения получим
•у = — Ρ {*) dx.
Интегрирование последнего равенства даст
In | у | = — J ρ (χ) dx + Cv
В силу формулы (3.5) гл. 1 можно записать, что
ос
In | if J — — §p(t)dt + Cv
xo
где С\ — произвольная постоянная. Последнее равенство,
очевидно, можно переписать в виде
00
- J P(№t
У = Се *° (6.4)
где С — произвольная постоянная. Формула (6.4) дает
выражение общего интеграла однородного уравнения
(6.3).
45

Будем искать частное решение неоднородного
уравнения (6.2) в виде
X
-$Pd)dt
У= ze *° , (6.5)
где ζ— новая искомая функция от х. Определим эту
функцию так, чтобы формула (6.5) давала решение
уравнения (6.2). В силу равенства (6.5) уравнение (6.2) даст
XXX
-Jp(f)<» -Jp(i)d* -Jp(*)d*
— e —zpe° + zpe = q (x),
откуда
X X
-Jp«)d< Jp(f)df
dz Xn . . dz
Для функции ζ, в частности, получим
*== J\g(5)e X° J dS. (6.6)
В силу (6.6) из (6.5) имеем
s
-\vWdtl х $v(t)dt
У = е ° ?(*)' ° dS . (6.7)
Формулой (6.7) задается частное решение неоднородного
уравнения (6.2), удовлетворяющее начальному условию:
если х = хо, то у-0. Сумма функций (6.4) и (6.7) дает
общее решение уравнения (6.2), и это решение можно
записать в виде
х / 8 \
у=еХ° [c+$q[S)e*° [dSJ. (6.8)
Постоянная С определяется начальным условием (2.1).
Это условие, в силу равенства (6.8), даст С = уо.
Решение уравнения (6.2) нами получено в виде
суммы его частного решения и общего решения
соответствующего однородного уравнения.
46

Вообще можно показать, что зная некоторое частное
решение линейного уравнения (6.2), это уравнение можно
свести к однородному линейному уравнению.
Действительно, пусть г/ = г/ι (х) есть некоторое частное решение
уравнения (6.2). Будем искать общее решение уравнения
(6.2) в виде y — yi + u, где и — искомая функция. Внося
это в уравнение (6.2), получим относительно и следующее
однородное уравнение:
£+р(х)и = 0. (6.9)
Таким образом, если известно какое-то частное
решение неоднородного уравнения (6.2), то его общее
решение строится при помощи одной квадратуры — решением
уравнения (6.9).
Если известно какое-либо частное решение у = у\ (х)
однородного уравнения (6.3), то Су\(х), где С —
произвольная постоянная, также будет решением. Это решение
является общим для однородного уравнения (6.3).
Выше было показано, что общее решение
неоднородного уравнения (6.2) может быть представлено в виде
y = C<p(s) + i|)(s), (6.10)
где Сц)(х)— общее решение однородного уравнения (6.3),
а ψ (χ) — некоторое частное решение неоднородного
уравнения (6.2). Можно показать, что наоборот, если решение
дифференциального уравнения первого порядка имеет вид
(6.10), где φ (я) и ψ (χ)— дифференцируемые функции,
то это дифференциальное уравнение будет линейным.
Действительно, дифференцированием равенства (6.10)
получим
•g-Cq/(*) + *'(*)· (6.11)
Если из равенства (6.10) определить постоянную С
(имеется в виду, что φ(χ)ΦΟ) и внести ее в равенство (6.11),
то получим линейное уравнение, и этим истинность
сказанного будет доказана.
Рассмотрим теперь уравнение следующего вида:
j~+p(x)y = q(*)yn, (6.12)
где ρ и q представляют собой непрерывные функции
переменной х\ η — определенное постоянное число. Если η —
= 0,. то имеем неоднородное линейное уравнение; если
47

л«1, то будем иметь уравнение
£х + (р-я)у = о,
представляющее собой однородное линейное уравнение.
Допустим, что пФО и ηΦί. Уравнение (6.12),
называемое уравнением Бернулли, легко свести к линейному
дифференциальному уравнению. Для этого введем
обозначение
z = y-n+K (6.13)
Тогда
-| = (_Л+1)Г»-|. (6.14)
Разделив уравнение (6.12) на уп, получим
y~nt+py~n+1■-«<*)·
Если умножим это равенство на (—п+ 1) и учтем
равенства (6.13) и (6.14), то будем иметь
•%+(-n + t)p(x)z = (-n + i)q(z).
Последнее равенство, очевидно, есть линейное
уравнение относительно ζ. После нахождения решения этого
уравнения решение уравнения (6.12) получится из
равенства (6.13).
§ 7. Доказательство теоремы существования
и единственнности решения обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка методом
последовательных приближений (метод Пикара)
Приводимый ниже метод последовательных приближений,
принадлежащий Пикару, дает возможность не только
доказать теорему существования и единственности решения
дифференциального уравнения по начальным данным, но
и приближенно построить это решение.
Пусть дано дифференциальное уравнение
-!-/(*.¥> (7.1)
и начальные данные (хоУ уо).
Допустим, что данная функция / удовлетворяет
следующим условиям:

а) / представляет собой непрерывную функцию в
замкнутой области R
хо — а^х<:Х0 + ау Уо~Ъ^у ^у0 + Ъу (7.2)
где а и Ъ — определенные постоянные. Очевидно, R
представляет собой замкнутый прямоугольник со сторонами
2а и 2Ь, центр которого расположен в точке (хо, г/о). Так
как по условию функция / непрерывна в замкнутой
области Д, то она ограничена в этой области, т. е. для всякой
точки (х, у) из R имеет место неравенство
\Нх,у)\&М, (7.3)
где Μ — определенная постоянная.
б) Функция f(x, у) удовлетворяет в области R
условию Липшица относительно переменной у, которое
заключается в следующем:
Существует такое положительное число М\, что имеет
место неравенство
1/(*. Уг)~Пх, 0i)l<Af,ly3-y,l, (7.4)
где \х — #ol ^а, а у\ и У2 — произвольные значения
переменной у, удовлетворяющие условиям
\у\~Уо\ <Ь, \у2-уо\ <Ь.
(Это означает, что точки (#, у\) и (х, у2) не выходят
за пределы области R.)
Условие Липшица может на первый взгляд показаться
очень сильным ограничением, однако это не совсем так.
Заметим, что всякая функция /, производная которой по
переменной у ограничена в области R, удовлетворяет
условию Липшица. Действительно, пусть
\fv(x,y)\<Mv (7.5)
Известная формула Лагранжа о конечных приращениях
дает
/ (*. У*) - / (*. И)=(У2 - У i) fy (*. У± + 0 (У2 - »ι))· (7·6)
В силу неравенства (7.5) отсюда получим неравенство
(7.4), что и доказывает справедливость нашего
утверждения. Имеет место следующая основная теорема:
Если функция f удовлетворяет приведенным выше
условиям а) и б), то существует решение y = <p(#)
уравнения (7.1), определенное на сегменте хо — h<:X<:Xo + h
(где h — наименьшее из чисел а и Ь/М\ и удовлетворяю-
49

щее начальному условию:
если χ = хо, то у = у о (φ (яо) = J/o);
такое решение единственно.
Эта теорема известна под названием теоремы Коши.
Решение уравнения (7.1), удовлетворяющее данному
начальному условию, называется решением задачи Коши.
Эту теорему называют также теоремой существования и
единственности решения рассматриваемого
дифференциального уравнения. Приводимый ниже метод
последовательных приближений, с помощью которого доказывается
сформулированная теорема, принадлежит Пикару.
Вспоминая связь между неопределенным и
определенным интегралом (§ 3, гл. 1), из уравнения (7.1) получим
χ
у = С+ J/(f,y)ctt, (7.7)
откуда, учитывая начальное условие, установим, что С==
= г/о,' и будем иметь
χ
2/= 2/о+ \f{x,y)dx. (7.8)
Здесь под интегралом вместо t записано х, а это,
естественно, ни на что не влияет. Уравнение
(7.8)—интегральное, так как искомая функция у входит под знак
интеграла. Это уравнение равносильно
дифференциальному уравнению (7.1) с заданным начальным условием.
Решим уравнение (7.8) методом последовательных
приближений. За нулевое приближение возьмем уо.
Подставив вместо у под знак интеграла уо, получим первое
приближение у\, определяемое равенством
X
2/i = 2/o+ lf{x>V*)dx. (7.8X)
х0
Для нахождения функции у\(х) нам понадобится одна
квадратура (вычисление интеграла, содержащегося в
(7.8ι)). Функцию у и определенную равенством (7.8ι),
внесем под знак интеграла в равенстве (7.8) и получим
второе приближение
X
2/2 = 2/о+ J/(*.0i)<fa. (7#82)
*о
50

Это значение снова внесем под знак интеграла в (7.8) и
получим третье приближение
χ
Уз = Уо + J/i*. »а)&. (7.83)
хо
Продолжая этот процесс, получим для п-то
приближения формулу
χ
Уп = Уо+ j / (я, Уп-ι) dx, η = 1, 2, ... (7.8η)
*о
Таким образом, мы получаем бесконечную
последовательность функций: i/i, у2, ..., г/п, ... Можно показать,
что существует предел этой последовательности.
Рассмотрим следующий ряд:
Уо + (г/1~г/о) + (У2-г/1) + ... + (Уп-уп-1)+... (7.9)
Сумма первых η + 1 членов этого ряда, которую
обозначим через Sn, будет равна г/п. Поэтому вопрос о
сходимости рассмотренной выше последовательности сведен к
вопросу о сходимости ряда (7.9).
Прежде чем заняться этим вопросом, покажем, что ни
одно из приближений не выходит за соответствующие
границы. Во-первых, в силу условия теоремы, \x — xo\<h.
Из равенства (7.8ι), используя неравенство (2.13) гл. 1,
получим
\yi-yo\<M\x-xo\ ^Mh.
Учитывая значение величины fe, из последнего
неравенства будем иметь \у\ — уо\^Ь. Таким образом,
приближение у\ не выходит за пределы границ, определяемых
неравенством (7.2). Таким же путем убедимся, что
\У2~Уо\ ^M\x-x0\^Mh^b.
Вообще,
\уп~Уо\ <Ь, л=1, 2, ...
Итак, ни одно из приближений не выходит за пределы
допустимых границ. Оценим теперь члены ряда (7.9) и
докажем абсолютную и равномерную сходимость этого
ряда (см. § 5 гл. 1):
Hm Sn = lim yn = Υ (χ). (7.10)
П-*оо П-»оо
51

Оценим абсолютные величины членов ряда (7.9).
Очевидно, будем иметь
\У1 — Уо\ =
]"/(*. ί/ο) <**
<М|я — х0\,
(7.11)
Itfi —0il™li[/(*.0i) —/(*. 0о)]<&|<
«о
<
Jl/(*. Vd — f&Va
dx. (7.12)
Так как функция f(x, у) удовлетворяет условию
Липшица, то
Щх, yi)-f(x, уо)\<Мх\У1-уо\. (7.13)
В силу (7.11) из (7.13) будем иметь
\f(x, yi)~f(z, yo)\<MiM\x-xo\,
и тогда неравенство (7.12) даст
\У2-У1\<
М-
X
χ — х01 dx
ММ,
= -ТУ-|*-*о12. (7.14)
Аналогично получим
, ММ*,
-щ— , ~ ^oi · (7-15)
Докажем, что для произвольного натурального числа η
ММ71"1
л ' ■*■ (7.16)
\Уп—Уп^1\<:—^—\х—Хо\П·
Для доказательства используем метод индукции.
Допустим, что неравенство (7.16) истинно для п, и докажем,
что тогда оно будет истинным и для п+1. Имеем
\Уп+1 — Уп\<
<
II
J 17(*> Уп) — /(*, Ifa-i) | ώ < МЛ )\Уп — Уп-i I dx
В силу неравенства (7.16), получим
I Уп+1 — Уп I <
ОС
dx
„ мм7}-1
<М± г
п\
J|*-*0|ni
= (S-ll^-oln+1. (7.17)
52

Таким образом, неравенство (7.16) истинно и для
и+1. Так как это неравенство справедливо при и = 2,
η = 3, то, согласно методу полной индукции, оно
справедливо для любого натурального числа п. Если теперь
учтем, что \х — xo\*^h, и составим числовой ряд с
положительными членами
Л| , _ МЛ? ММЬ? MM?"1^
2\y0\ + Mh + M-±- + —^—+ ... + Jj + ...,
(7.18)
то убедимся, что члены ряда (7.9) не превосходят
соответствующих членов ряда (7.18). Используя для этого
ряда признак сходимости Даламбера (см. условие (4.12)
гл. 1), получим
KmJin±i = limJ^. = 0<l.
Таким образом, ряд (7.18) сходится и, следовательно,
абсолютно и равномерно сходится ряд (7.9) (см.
теорему, сформулированную в конце гл. 1).
Итак, мы убедились, что ряд (7.9) и, следовательно,
последовательность (7.8П)—равномерно сходящиеся.
Обозначив предел этой последовательности через У(#),
получим равенство (7.10).
Докажем теперь, что функция У удовлетворяет
интегральному уравнению (7.8), а следовательно, и
дифференциальному (7.1). Так как функции уп (и—1, 2, ...)
удовлетворяют начальному условию у(хо)=Уо, то,
очевидно, этому условию удовлетворяет и функция У.
Так как последовательность уп равномерно сходится
на сегменте хо — h<x<xo + h к функции У, то для
положительного числа е существует такое натуральное
число по, что при η — 1 > по имеет место неравенство
|У«_1(*)-Г(*)|<^.
Имеем
х I
<
j / (х, Уп-ii dx — )f{x,Y) dx
χ Ι
J I / (x, г/„_х) — / (χ, у) I dx < MA J | yn-i(x)—Y(x) | dx
<
53

откуда вытекает справедливость следующего равенства:
lim J / (я, уп-χ) dx = J / {χ, у) dx.
П-»оо Jr ~
Переходя теперь в равенстве (7.8) к пределу при п-*°°,
получим
Y = y0+ lf{x,Y)dx, (7.19)
Xq
откуда имеем
§ = /(*, У)· (7·20)
Покажем, что Г(#)— единственное решение уравнения
(7.1), удовлетворяющее условию Y(xo)~ yo. Допустим
обратное: пусть существует решение Ζ, удовлетворяющее
условию Z(xo)~y0 и не совпадающее с Г. Не
ограничивая общности, можно предположить, что значения я, для
которых Y(x)¥*Z(x), расположены правее хо сколь
угодно близко от нее (в противном случае в качестве
значения хо возьмем другую выбранную соответствующим
образом точку). В силу этого допущения существует
достаточно малое число ε > 0 такое, что на сегменте хо ^
<х<хо + ε функция Y{x) не равна тождественно
функции Ζ(χ). Тогда положительная функция \Υ(χ)~ Ζ (χ) Ι
в некоторой точке ξ этого сегмента достигнет своего
максимума Θ' > 0. При этом | не может совпасть с хо, так
как Γ(#ο) = Ζ(#ο). Очевидно, будем иметь
к χ
У(х) = Уо+ lf{x,Y)dx, Z(x) = y0+ §f(x,Z)dx.
χ0 χ0
Если теперь вместо х возьмем ξ и вычтем из первого
равенства второе, получим
|Υ(ξ)-Ζ(ξ)|=θ<
< )\f(x,Y)-f{x,Z)\dx^M1 l\Y{x) — Z{x)\dx.
x0 x0
Заменив под знаком интеграла величину \Υ(χ) — Ζ (χ) \
ее наибольшим значением θ и расширив границы интег-
54

рирование с ξ до хо + ε, мы тем самым увеличим само
значение интеграла и будем иметь θ<Μιεθ, ΚΑίιε.
Выбирая после этого ε так, чтобы ε < 1/ΛΓι, получим
противоречие: 1 < 1. Это противоречие доказывает, что Υ не
может отличаться от Ζ, следовательно, Υ(χ) = Ζ(χ).
§ 8. Об общем решении обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка
В предыдущем параграфе было доказано существование
решения уравнения (7.1), удовлетворяющего начальному
условию Y(xo) = yo, а также доказана единственность
такого решения. Очевидно, функция y = Y{x) зависит от
начальных данных, и можно написать
у «Г (ж, *о, У о). (8.1)
Здесь хо будем фиксировать, а в качестве г/о будем брать
произвольные числовые значения так, чтобы точка (хо,
г/о) не выходила из прямоугольника R.
Если вместо г/о напишем С, получим решение
следующего вида:
y = ep(z, С). (8.2)
Очевидно, С можно определить таким образом, чтобы
удовлетворялось условие у = г/о при χ = Хо, следовательно,
φ(*ο, С)==уо
можно решить относительно постоянной С.
Таким образом, мы получили общее решение
уравнения (7.1) в виде (8.2).
Замечание 1. Теорема Коши о существовании и
единственности решения дифференциального уравнения
(7.1) нами доказана для случая, когда функция /
удовлетворяет условию Липшица относительно переменной у.
Если потребовать от / только лишь непрерывности в
области R, то и в этом случае можно доказать, что
существует решение уравнения (7.1), удовлетворяющее
начальному условию Коши: если х*=хо, то г/— г/о; однако
это решение, вообще говоря, не будет единственным.
Замечание 2. Из теоремы, доказанной в
предыдущем параграфе, непосредственно вытекает, что решение
уравнения (7.1), удовлетворяющее указанным начальным
условиям, есть непрерывная функция величины х0 и у0.
55

§ 9. Система обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка
Для системы (9.1) ставится следующая задача
(задача Коши):
найти решение уи г/2, ..., уп системы (9.1),
удовлетворяющее начальным условиям:
если χ = х0, то у{ = у°, ϊ= 1, 2> ... (9.2)
Эту задачу называют задачей Коши для системы (9.1).
Предположим, что функции /»(#, у и г/2, ..., уп) (i =
= 1, 2, ..., η) удовлетворяют следующим условиям:
1) Они представляют собой непрерывные функции
относительно своих аргументов в следующей замкнутой
области D:
хо — я < я < х0 + а; у\ — Ъ < у{ < у\ + b, i = 1, 2, ..., пъ
(9.3)
где α и Ъ — определенные постоянные. Отсюда вытекает,
что \fi{x, у и У2, ..., уп)\ <М, где Μ — определенная
постоянная.
2) Функции fi удовлетворяют условию Липшица
относительно переменных у{ (г = 1, 2, ..., п):
I/,(*,у[2\yi2\ ...,у?)-h(χ,у?,у?\ ....i4a)I<
<κ{№-№\ + №-№\+ ... + №-m. (9.4)
Здесь у[г) и гД2)(г = 1, 2, ..., п) — две произвольно
взятые последовательности из области, определенной
неравенствами (9.3).
Имеет место теорема:
Если выполнены условия 1) и 2), то существует одно
и только одно решение yi = yi{x) (i==l, 2, ..., η)
системы (9.1), определенное на сегменте \х — #о1^й, где
A = min(a, Ъ]М)1 и удовлетворяющее начальному условию
Vi (*o) = УЬ
Эта теорема доказывается так же, как и для случая
одного уравнения. В первую очередь заметим, что
система (9.1) равносильна следующей системе интегральных
56

уравнений:
У
г = У°г + ) /i {х, У ν У ν · · -ι Уп) dx, ί = 1, 2, ..., л. (9.5)
Применим метод последовательных приближений.
В качестве нулевого приближения возьмем у? и внесем
его под знак интеграла вместо переменных у{; получим
первое приближение:
X
У™ = У°г + J h (*. У1 У% ·.., Уп) Ас. (9.5^
Покажем, что это приближение не выходит из области
\х — sol < Л, | У^ — г/10) | < Ь. Действительно, из (9.5ι)
имеем
χ
li^-rfl-
l\n(x,Vi,vl-:,ti)\dx
<Mh<b.
Внесем первое приближение под знак интеграла в
уравнении (9.5); получим второе приближение
к
у\ш) = у" + J /i (χ, υ(ΐ\ у?,..., г/п") dx, г = ι, 2,..., η.
«о
(9.52)
Легко убедиться, что это приближение не выходит из
упомянутой области. Если приближение (9.5г) внести под
знак интеграла в уравнении (9.5), получим третье
приближение
УТ = У\ + | /* (*, ¥?\ y{i\ ... У{?) dx. (9.6)
Продолжая этот процесс, получим для πι-το приближения:
уГ -у\ + fax, У(Г1}, уТ'1', ■ · ·, νϊΤ^άχ, m=l, 2, ...
«о
(9.7)
Можно показать, что ни одно из приближений не
выходит за пределы области
|*-*в|<л, 1у\т)-уЧ\<ъ.
57

Покажем теперь, что у? при т ->■ о© равномерно
сходится к определенной функции Yi(x) (£'= 1, 2, ..., η).
Для этого рассмотрим следующий ряд:
у\ + Ыа - уЬ + № - ύ») +■■■+ №- у(Гг)) +... ,
г = 1,2, ...,«. (9.8)
Сумма первых т + 1 членов этого ряда, которую
обозначим через Sim\ оказывается равной у™' . Таким образом,
вопрос сходимости приближения (9.7) сведен к
сходимости ряда (9.8). Легко показать, что имеет место оценка
(см. оценку членов ряда (7.9) в предыдущем параграфе)
\у(^-у1\^М\х-х0\^Мк, (9.9)
/ί2) - У^ I <
<
JI /i (*, у?\ tf\ ..., yW) - /i (χ, y\, yl ■ ■., y°n) I dx
0
X
<
<\$K(\y[1)-y°\ + \yi1)-yl\+... +\y^-y°n\)dx\.
x0 I
(9.10)
В силу неравенства (9.9), последнее даст
WP-y^l^MnK ΙΧ~2ΐο1\ i = 1,2, ...,«.
Продолжив этот процесс и применяя метод
математической индукции, как и в предыдущем параграфе получим
| гГ - у(Г1} I < м (nKf-1' та!о1 < м (пкг-1 L·.
Рассмотрим теперь числовой ряд
оо
Ы + Μ 2 (ntff-1^-, (9.11)
77ls=l
где г/о — постоянная, удовлетворяющая условию | у\ \ <.
<|г/0|. Применением признака Даламбера сходимости
числового ряда (см. условие (4.12) гл. 1), убедимся, что
числовой ряд (9.И) сходится. В силу теоремы,
сформулированной в конце первой главы, легко убедиться, что ряд
(9.8) сходится абсолютно и равномерно. Обозначая сумму
58

этого ряда через Yi(x), можно написать
Yi {χ) = lim yT\ ί - 1, 2, ..., п. (9.12)
m-*oo
Очевидно, Υ ι {χ0) = г/?. Так же, как в случае одного
уравнения, убедимся, что последовательность Υ\(χ),
У2(я), ..., Yn{x) дает решение системы (9.1),
удовлетворяющее условию Yi (х0) = г/?.
Решение системы {9.1), удовлетворяющее данным
начальным условиям, зависит от этих начальных данных, и,
следовательно, можно написать
yi = Yi(x,x0,y01,yl,...,y°n). (9.13)
Пусть хо—заданное число, а величины
yi—переменные параметры, не выходящие из области D (см. формулу
(9.3)). Каждому значению упомянутых параметров
соответствует однозначно определенное решение системы
(9.1), что непосредственно вытекает из приведенной
выше теоремы. При надлежащем выборе величин у\ в (9.13)
можно получить соответствующее частное решение
системы (9.1). Итак, общее решение системы (9.1) имеет
вид
Vi = 4>i{x, Си С2, ..., С»), (9.14)
где Сг (£ =s 1, 2, .. .; п)— произвольные постоянные.
Рассмотрим множество, состоящее из к действительных
чисел, расположенных в определенной
последовательности: щ, U2, . .., uh. Эту последовательность обозначим
через и и запишем в виде
И = (И1, И2, · · ·, Ид)·.
Элемент и назовем вектором. Рассмотрим множество всех
векторов и и обозначим его через R\ Величины щ, U2, ...
..., uh назовем координатами вектора и. Пусть и —
= (щ, и*, . .., uh), v^(v\, V2, . .., vh)— два элемента
множества R\ a a — некоторое число. Будем считать
U + V = (щ + VX, U2 + V2, . . ., Uh + Vk) ,
аи — (ащ, au2, . .., auk).
Таким образом, и + ν e= R^ au ^ Rft.
Этим определены операции сложения векторов и
умножения вектора на постоянное число. Эти две операции
подчиняются законам коммутативности, ассоциативности
59

и дистрибутивности (доказательство тривиально).
Множество R* представляет собой векторное пространство над
полем действительных чисел. Нулевой элемент в этом
пространстве обозначим символом 0. Под ним будем
понимать вектор, координаты которого равны нулю.
Скалярное произведение двух векторов и и ν
определим равенством
h
[u-v] = Σ Wi, (9.15)
а нормой (длиной) вектора и назовем число
/ h \1/2
|u| = (u.u)1/2 = 2 и? ' (9.16)
Векторное пространство R\ определенное таким
образом, называется к-мерным евклидовым пространством.
Определение 1. Векторы и и ν будем называть
равными и писать u{s= у, если щ = у*.
Пусть элементы пространства Rft представляют собой
функции независимой переменной х:
u=*(ui(x), и2{х), ..., uk{x)).
Очевидно, каждому значению переменной χ будет
соответствовать определённый элемент пространства R\
Этим определено функциональное векторное
пространство.
Определение 2. Производной вектора и до
переменной χ назовем вектор, определенный равенством
du (du± du2 du\
?)·
dx \dx ' dx ' " ""' dx
Можно подразумевать, что вектор u = (^i, 112, ..., uh)
определяет точку в пространстве R\ Величины щ, U2, ...
..., uh можно назвать в таком случае координатами
упомянутой точки относительно системы координат, начало
которой расположено в точке 0 = (О, 0, ..., 0).
Возвратимся теперь снова к системе (9.1).
Рассмотрим следующие векторы:
У = (Уи У2, · · ·, Уп), / β (/ι, /2, . . ·, /η).
Системы (9.1) в векторной форме можно записать в виде
dy_
dx
60
g = /(*,*/), (9.17)

где под выражением f(x, у) понимается
f{x, Уи W, ..., Уп)г=
=* (Л (*, У Ь У2, . . ., Уп) , U {*, У U У2, . . ., Уп) , . . .
.'.., /»(*, Уь У2, ..., ζ/η)).
Задачу Коши для уравнения (9.17) можно
сформулировать следующим образом:
Найти решение у = у{х) уравнения (9.17),
удовлетворяющее начальному условию:
если χ = х0, то у = ι/0, у0 = (z/J, j& ..., у°п).
В силу доказанной выше теоремы существует одно и
только одно решение уравнения (9.17), которое
удовлетворяет упомянутому начальному условию.
Таким образом, после определения векторов и их
свойств в евклидовом пространстве Rn стало возможным
записать систему (9.1) дифференциальных уравнений в
виде одного уравнения, и теорему существования и
единственности решения сформулировать точно так же, как
в случае одного уравнения (см. § 7).
Всякое решение уравнения (9.17) представляет собой
некоторую кривую в пространстве Rn+1 (интегральную
кривую в (гс+1)-мерном пространстве Евклида),
координаты точек которой будут х, Уи Уь · · ·, Уп. Общее
решение уравнения (9.17) запишется в виде
У-Ч>(*. С), (9.18)
где C*=(CU C2, ..., С„), φ = (φι, Ч>2, ..., <рп), причем С —
произвольный постоянный вектор (см. (9.14)).
§ 10. Дифференциальное уравнение, разрешенное
относительно производной высшего порядка
Рассмотрим уравнение
y(n) = f(x,y,y',y",..,y{n-l)), (ЮЛ)
где /(я, ζ/, у', у", ..., у{п"Х))— непрерывная функция
своих аргументов в определенной области их изменения.
Задача Коши для уравнения (10.1) заключается в
следующем.
Найти решение у==у(х) уравнения (10.1),
удовлетворяющее начальному условию:
если χ = х0, то у = у0, у' = у0, у" = у"0, ...
...,z/»-i> = y<»-i>, (Ю.2)
61

где г/0, у о, г/о» ..·»2/οη ^ — произвольно заданные
постоянные, и точка (х0, г/0, у'о, . .., г/(п-1))принадлежит
области определения функции /.
Покажем теперь, что уравнение (10.1) легко
сводится к системе такого же вида, что и система,
рассмотренная в § 9. Действительно, помимо функции у введем в
рассмотрение искомые функции г/ι, г/2, · · ·, г/η-ι, которые
определяются следующими равенствами:
*_„ *i_M *2ζϊ_ι/ Μ03Ϊ
Уравнение (10.1) в этих обозначениях перепишется так:
-^р = / (*, У ν Vv · · ·> Уп-ι)· (Ю.4)
Относительно функций г/, г/ι, ..., уп-\ мы получили
систему дифференциальных уравнений первого порядка
такого же вида, как в § 9. Эта система, очевидно,
равносильна системе (10.1). Если от функции /(#, г/, у', у", ...
..., уы~Х)) помимо непрерывности потребовать
выполнения условия Липшица относительно величин г/, г/7, у", ...
..., уы~1) (в определенной области их изменения), то
(10.3), (10.4) представят собой систему
дифференциальных уравнений первого порядка, подобную той, которая
была рассмотрена в § 9. Поэтому при требуемых
условиях существует одно и только одно решение уравнения
(10.1), удовлетворяющее начальным условиям (10.2).
Как видим, уравнение п-то порядка (10.1) сводится
к системе η уравнений первого порядка. Можно показать,
что и наоборот, система, рассмотренная в § 9, при
соблюдении некоторых дополнительных условий относительно
функций fi (i= 1, 2, ..., η) сводится к уравнению п-го
порядка вида (10.1).
Действительно, рассмотрим упомянутую систему
дифференциальных уравнений первого порядка
ώβ/ι№ϊΐ' У ν -·μ г/n),
dli — (
dx — /2 \Xi Vv У2i · · ·» Уп)ч
dx — ]η\%·> У\.-> У2·> · · ·» Уп)'
62

Продифференцировав первое уравнение этой системы по
х, получим
В силу (10.5) последнее равенство можно переписать
в виде
dx2 - дх + g^hV'Vv ■■•>Уп)
или, обозначив правую часть этого равенства через
F2{x, 0ь 02, . .., 0»), в виде
—± = F2(x, yv y2, ..., уп). (10.5!)
ах
Продифференцируем последнее равенство снова по х,
получим
d\_dF* , Χ?9?* > _д1г , у**,
Таким образом,
d3y,
~j-$ = ^3 (*, 011 02' · · " 0п). (Ю.52)
Продолжив этот процесс, получим
dn~xy
-^zr =^η-ι(^, 0ι, 02, ..., 0η), (Ю.5П_2)
^^
—\ = Fn (Ж, yv 02, . . ., 0η). (10.5η_!)
αχ
Если теперь систему (/г— 1) уравнений, состоящую из
первого уравнения (10.5) и уравнений (10.5ι), ...
..., (10.5η-2), решим относительно величин г/2, 0з, ..., уя,
dy ап~лу
выразим их через χ·> У\->~а^-> ···> —п~^\ и внесем в
(10.5η_ι), то получим следующее уравнение
относительно 0ь
^ = Φ (*, 01, 0ί, 0Ϊ, ..., 0(ιη""1))»
что и доказывает справедливость сказанного.
63

Для получения этого результата необходимо, чтобы
функции fi удовлетворяли условиям, обеспечивающим
правомерность проведенных выше преобразований.
Наконец заметим, что системы дифференциальных
уравнений высоких порядков, решенных относительно
производных высших порядков, обозначениями,
аналогичными приведенным выше, сводятся к системам первого
порядка.
§11. Простейшее дифференциальное уравнение
п-то порядка
Рассмотрим уравнение
у(ж>-/(*}. (11.1)
Решение этого уравнения запишется в квадратурах.
Проинтегрировав уравнение (11.1) последовательно
η раз, получим
X
г/(п-1) = lf(x)dx+Cv
X X
j/"-2> = $dx$f(x)dx + Сг (χ - χ0) + С2,
хо хо
ххх
г/"-з> = J dx J dx j / (χ) dx + СЛХ~Х^ + C2 (x - x0) + C3,
y = ^dx^dx...^f(x)dx + Cl{X{n_X^ +
xo xo xo
+ ^2(η-2)Γ 2 + ■■■ +Cn-i(x-x0) + Си, (И.2)
где Си Съ, ..., Cn— произвольные постоянные. Формулой
(11.2) дается общее решение уравнения (11.1). Заметим,
что интегрирование в правой части формулы (11.2)
производится η раз, причем этот интеграл и его производные
до (п— 1)-го порядка при х = хо обращаются в нуль.
Поэтому произвольные постоянные однозначно
определяются начальными условиями Коши (10.2):
^П — Уо1 ^п—1 — У0» · ·'» ^2 — УО J Wl— Уо »

Интегральный член, расположенный в правой части
формулы (11.2), может быть представлен проще; имеет
место следующая формула:
XXX X
j dx j dx ... f f{x) dx = ^4^у! J {χ-ίΐ~Ί (*) dt- (И·3)
Таким образом,
χ
V-J^Sb-^Wdt (И.4)
Ч
представляет собой частное решение уравнения (11.1),
удовлетворяющее определенным начальным условиям.
Доказательство формулы (11.3) основывается на
формуле Дирихле перестановки повторных интегралов (см.
любой университетский курс математического анализа).
§ 12. Об одной системе дифференциальных уравнений
Βτοροίο порядка
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
d2x
■^ = Ζ(ί, я, у, ζ, х\ у, ζ),
|f = У (*, χ, у, *, χ\ у', ζ'), (12.1)
d2z
-~ϊ^Ζ{ί, χ, y,z,x',y\ ζ'),
at
где Ζ, У, Ζ — непрерывные функции своих аргументов
в определенной области Ό изменения этих аргументов,
удовлетворяющие условию Липшица относительно
величин х, г/, ζ, χ', у', ζ'; χ, у, ζ — искомые функции
независимой переменной £. Рассмотрим задачу Копти:
Найти решение (интегральную кривую) системы
(12.1), удовлетворяющее начальным условиям:
если t = ί0, то χ = s0, г/ = г/0, ζ = ζ0,
s' - ^, г/' = у'0, ζ' = 4, (12.2)
где ίο, #о, ι/ο, £о, #о> г/о» 2о—произвольные заданные числа
и точка (t0, .r0, r/0,20, .г0, у0, ζ0) принадлежит области D.
Система (12.1) легко сводится к системе дифференциаль-
65

ных уравнений первого порядка, состоящей из шести
уравнений.
Действительно, помимо неизвестных х, у, ζ введем
новые искомые, неизвестные и, ν, ω, определенные
следующим образом:
§-». !-».£-*· <12-3>
Тогда, очевидно, система (12.1) перепишется так:
■£ = X(t, χ, у, ζ, и, у, ω),
—■ = Y(t, χ, у, ζ, и, у, ω), (12.4)
άω г, ι. \
ji= Z(t, x, у, ζ, и, ν, ω).
Система дифференциальных уравнений первого
порядка (12.3), (12.4) содержит шесть неизвестных: х, у, ζ,
и, ν, ω. Очевидно, что эта система равносильна системе
(12.1). В силу отмеченного в § 9, имеет место теорема:
Если функции X, У, Ζ удовлетворяют требуемым
условиям, то существует решение системы (12.1),
удовлетворяющее начальным условиям (12.2), и такое решение
единственно.
Кроме того, ясно, что общее решение системы (12.1)
будет иметь вид
χ = #(£, С\, 6*2, ..., Cq),
y = y(t,CuC2, ..., С6), (12.5)
Ζ = z(t, C\, C*2, . . ·, Cq),
где C\, C*2, ..., Cq — произвольные постоянные, которые
определяются из следующей системы:
Х (ч>> ^V ^2» · · ·» ^б) == ^0»
У \Ч>» ^V ^2' · · ·» ^β) = ί/θ»
ζ \*qi Cv G2> .. ·> ь6) = z0,
% \^0' ^V ^2» · '·> ^6/ 5=s ^0»
У ГО' ^1» ^2» · ··» ^β) === 2/θϊ
^ (*0> ^1» ^2» · ··» ^β) === ^0·
Причем отсюда постоянные С и ..., Cq определяются
однозначно (см. § 9).
66

Рассмотрим зависимость
ф(«, *, », *, *', ιΛ OeC (12.6)
где С — постоянная, а функция Ф(£, ж, у, ζ, χ, у', ζ')
становится тождественно равной постоянной величине,
если вместо переменных х, у, ζ и производных х\ у\ ζ' в
ее выражение подставлено некоторое решение системы
(12.1) и соответствующие производные. В таком случае
будем говорить, что зависимость вида (12.6)
представляет собой первый интеграл системы (12.1).
Допустим, что известно общее решение системы (12.1),
представленное равенствами (12.5). Дифференцированием
этих равенств получим
х'^х'Ц, Си ..·, С6), 2/'= */'(*, Ci, ..., Се),
(12.7)
z' = z'{t4Cu .... Се).
Находя из равенств (12.5) и (12.7) постоянные Ci,C2,...
..., Cq, будем иметь
ΦΛ(ί, хч у, *, х\ у', z')=Ch (к = 1, 2, ..., 6). (12.8)
Таким образом, если известно общее решение
системы (12.1), то можно написать первые 6 интегралов этой
системы. Очевидно и обратное, если мы знаем первые 6
интегралов системы (12.1), то будет известно и общее
решение этой системы (нужно систему (12.1) решить
относительно величин х, у, ζ, х', у', ζ).
§ 13. Линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение
^ + 2&г' + со2* = 0, (13.1)
at
где Ъ и ω —определенные положительные постоянные;
через t обозначена независимая переменная, χ
представляет собой искомую функцию независимой переменной
£, #' = 5г Предположим, что ω > Ь, и введем
обозначение
ω* = Усо2-Ь2. (13.2)
Рассмотрим функции
х\ (t) = е~ы cos ω*ί, χ2 (f J=» e~bt sin ω*ί.
67

Простой проверкой убеждаемся, что x\{t) и X2(t)
представляют собой частные решения уравнения (13.1). Так
как решением будет и их линейная комбинация, то
функция
χ = е'ы{А cos ω*ί + В sin ω*ί), (13.3)
где А и В — произвольные действительные постоянные,
будет решением уравнения. (13.1). Вместо произвольных
постоянных А и В введем новые произвольные
постоянные α и ε посредством равенств
А = asms, В = a cos ε. (13.4)
Тогда равенство (13.3) перепишется в виде
x = ae-btsin((u*t + e). (13.5)
Рассмотрим задачу Коши:
Найти решение уравнения (13.1), удовлетворяющее
условиям:
если t = 0, то χ — х0, χ' = х0,
где хо и х0—произвольные постоянные. Из этих условий
постоянные а и г, входящие в решение (13.5),
определятся следующим образом:
"l/ 2 *'S t ( Х0Ь\
я=|/ *о+-^-, ε = arctg I — — l#
Очевидно, (13.3), или, что то же самое, (13.5)
представляет собой общее решение уравнения (13.1). Ясно, что
в приведенных начальных условиях вместо значения ί = О
мы могли бы взять t = to.
При Ъ = 0 имеем уравнение
§ + йАг = 0. (13.6)
at
В силу равенства (13.5) общим решением этого
уравнения будет
χ == a sin(cu£ + ε). (13.7)
Здесь принято во внимание равенство ω* = ω,
справедливое в силу (13.2), так как Ъ = 0.
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
£^ + 2&|+аЛс-д(«), (13.8)
где q{t)— непрерывная функция. Имеет место теорема:

Если функция я = ф(£) представляет собой некоторое
частное решение уравнения (13.8), то его общим
решением будет
χ = ае~ы sm((u*t + ε)+ φ(£). (13.9)
Иначе говоря, общее решение неоднородного
уравнения (13.8) есть сумма некоторого его частного решения
и общего решения соответствующего однородного
уравнения. Действительно, будем искать решение уравнения
(13.8) в следующем виде: # = y + cp(£), где
φ(ί)—упомянутое частное решение, a y(t)— исжшая функция.
Внося это значение в уравнение (13.8), получим однородное
уравнение (13.1) относительно у, и этим справедливость
формулы (13.9) доказана.

ГЛАВА 3
ЛИНЕЙНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Линейно независимые функции
Пусть заданы функции <р\(х), фг(^), ..., <Ρη(#), α < χ <
< 6, определенные на интервале ] а, Ь[. Будем говорить,
что эти функции линейно зависимы, если можно отыскать
такие постоянные с\, С2, ..., Сп, хотя бы одна из которых
отлична от нуля, чтобы имело место равенство
c\(pi(x)+ с2ц>2{х)+ ... + спуп(х)= 0 (1.1)
для любого значения χ из интервала ] а, Ъ [. В противном
случае будем называть их линейно независимыми.
Если из заданных функций хотя бы одна, например
<Рп(#), равна нулю на интервале ]а, Ь[, то эти функции
линейно зависимы. Действительно, в этом случае
равенство (1.1) выполняется, если сг = 0, i = 1, ..., η— Ι,
сп ^ 0. Таким образом, равенство (1.1) выполняется и в
случае, если все d не равны нулю, а это означает, что
заданные функции линейно зависимы.
Пусть к\, &2, ..., кп — различные взятые произвольно
постоянные действительные числа. Не ограничивая
общности, можно считать, что к\ < кч < ... < кп (в
противном случае можно соответствующим образом изменить
нумерацию). Рассмотрим определенные для значения
х> 0 функции
ДА ..., А (1.2)
Покажем, что они линейно независимы. Для этого
предположим, что имеет место равенство
сД + с/2 + ... +cnxkn = 0, (1.3)
где Сг—постоянные; делением равенства (1.3) на х
получим
q + с2х г 1 + ... + спхп = 0.
70

Переходя теперь к пределу, при χ ->■ 0 получим с\ = 0.
Аналогично можно убедиться, что съ = сг = ... = сп = 0.
Таким образом, равенство (1.3) будет иметь место для
значений χ > О лишь в случае, если все d = 0. Этим
доказана линейная независимость функции (1.2).
Из линейной независимости функций (1.2) вытекает,
в частности, что функции
1, х, х2, ..., хп (1.4)
также линейно независимы. Нетрудно убедиться, что эти
функции так же, как и функции (1.2), линейно
независимы не только при χ > 0, но и на интервале ] — °°, + °° [.
Можно показать, что как функции (1.2), так и (1.4),
линейно независимы на лк>бом интервале ]а, Ъ[ из
множества действительных чисел. Покажем истинность этого
утверждения для функции (1.4). Для этого приравняем
их линейную комбинацию нулю:
со + с\х + с2х2 + ... + спхп = 0. (1.5)
Предположим, что (1.5) выполняется и в том случае,
когда не все d равны нулю. Получим алгебраическое
уравнение п-то порядка, корень которого является
произвольным числом из интервала ] а, Ъ [. Таким образом,
уравнение (3.5) будет иметь бесчисленное множество
решений, а это невозможно. Полученное противоречие
доказывает линейную независимость функций (1.4).
Рассмотрим следующие функции, определенные на
интервале ] — °°, + °° [:
φι(#)= sin2 .г, φ2 (я) = cos2 .r, φ3(.ζ)=1, (1.6)
и приравняем нулю их линейную комбинацию:
С\ Sill2 X + С2 COS2 X + Съ = 0.
Очевидно, это равенство выполнится для произвольного
значения χ из интервала ] — °°, + °° [, если с\ = с2 = 1 и
сг = — 1. Этим доказана линейная зависимость
функций (1.6).
§ 2. Линейное дифференциальное уравнение
Пусть χ — независимая переменная, а у — искомая
функция. Будем называть дифференциальное уравнение п-то
порядка линейным, если оно имеет первую степень отно-
ду d2y dny „ Л
сительно совокупности у,-т-·,—«» ...,—~. Гаким образом,
ах dx dx
71

линейное дифференциальное уравнение п-то порядка
имеет вид
ао(х)у{п) + аь(х)у<"-» + ...
... + α»-ι(χ)у' + ап(х)у = F(x), (2.1)
где функции di{x) (i=l, 2, ..., η) и F(#) непрерывны
на интервале ]а, Ъ[, при этом ао(х)^0. Разделив обе
части уравнения (2.1) на функцию ао(х), получим
Ь(у)ш*У™+р1(х)у<*-1> + ...
.•• + pn-i(x)y' + Pn(x)y = f(x), (2.2)
где
рЛ*) = т0 (* —*·2 Л>» /И = ^·
Уравнение
L(y)=y™+Pi(x)y<*-» + ...
... + рп-1(х)у' + рп(х)У = 0 (2-3)
называется однородным уравнением, соответствующим
неоднородному уравнению (2.2).
Отметим несколько простейших свойств линейного
дифференциального уравнения (2.2).
1. Оно останется линейным, если в нем произвести
преобразование переменной
* = ф(6), (2.4)
где φ (ξ)— непрерывно дифференцируемая до л-го
порядка функция на интервале ] α, β [ изменения переменной £,
соответствующем интервалу ]а, Ъ[ изменения х.
Предположим, что φ' (ξ) Φ 0 на всем интервале изменения
переменной |. Тогда существует обратная функция ξ =
= ψ(.τ), определенная на интервале ]я, Ь[ изменения
переменной х. В силу преобразования (2.4) функция у
будет функцией переменной |, и мы получим
dy dy d% 1 dy
dx ~~ 5| dx ~~~ φ' (ξ) d£ '
При получении этой формулы мы приняли во
внимание, что по правилу дифференцирования обратной функ-
72

dl· 1
ции ^ = ψ-щ. Теперь будем иметь
d2y _ 1 d I 1 dy\ _ 1 d2y φ"(ξ)^
d*a ψ' (6) 4W' (6) dl) φ'2 (ξ) <*ξ2 φ'2(ξ) dl'
Вычисляя таким способом производные, входящие в
уравнение (2.2), приведем его к виду
!^ + ьЛ)~р1+ ... + &»-i(g)f + &п (ξ) г/= Φ (ξ),
где Ьг.(ξ) (г = 1, 2, ..., η— 1) и Φ(ξ) вполне
определенные функции, содержащие функцию φ (ξ) и ее
производные. Помимо этого очевидно, что преобразование вида
(2.4) переводит уравнение (2.3) снова в однородное
уравнение того же вида.
2. При линейном преобразовании величины у,
линейное дифференциальное уравнение остается линейным:
y = v(x)t\ + <f(x), (2.5)
где v(x) и ч(х)—функции, непрерывно
дифференцируемые до порядка η на интервале ] а, Ъ [ изменения
переменной х, причем на этом интервале ν(χ)¥= 0.
Действительно, имеем
*_„§+*£ +•„ + „.
Вычисляя так же остальные производные и внося их
в уравнение (2.2), снова получим уравнение вида (2.2)
относительно η.
Заметим, что если Ύ(#) = 0, то однородное
уравнение (2.3) преобразуется снова в однородное.
3. Приведенные в § 10 гл. 2 результаты о
существовании и единственности решения дифференциального
уравнения п-то порядка могут быть распространены на
уравнение (2.2). С этой целью перепишем его в виде
уЩ) = _pi (*)j,<»-i> - р2(х)у*-» -...-рп(х)у + /(*) =
= F(x,y,y', ..,ι/Μ). (2.6)
Сформулируем задачу Коши:
Найти решение у = у(х) уравнения (2.2) или, что то
же самое, уравнение (2.6), удовлетворяющее начальным
условиям:
если χ = х0, то у = у0, у' = у0, у" = у", ...
..-■^-УГ*. (2.7)
где у0, г/о, у0, ..., у(0п 1} — произвольные заданные по-
73

стоянные, причем точка (х0, у0, у0, ..., у*~ )
принадлежит области определения функции F.
Как нам известно (см. § 10 гл. 2), дифференциальное
уравнение п-то порядка, разрешенное относительно
производных высшего порядка, сводится к системе
дифференциальных уравнений, для которой теорема о
существовании и единственности решения приведена в § 9 гл. 2.
Для переноса упомянутых результатов на уравнение (2.6)
необходимо показать, что функция F(x, у, у\ у"у ...
..., 2/(п-1)) удовлетворяет условию Липшица
относительно величин у, у', у", ..., у(п""п. С этой целью возьмем по
два значения упомянутых величин: yv у[, у[, ..., 2/ίη-1)>
У21 Уг-> 02» · · ·» У2П_1>· Очевидно, будем иметь
I F (ζ, у2, У1...ч у<Г*) - F (z, yv у'1% ..., у?~Л)) I <
< I л (*) 11 у{Гг) - у(Г» I + \Рг <*)1 I у{Г2) - г/Г2) I + ...
+ | рп-! (х)\\у2 — у[\+ \рп (х)\ | г/2 — Ул. Ι- (2·8)
Рассмотрим произвольный сегмент [α, β] на
интервале ] я, Ъ [, где а < а, Ь > β. Непрерывные на этом
сегменте функции Pi(x) (i = 1, 2, ..., и), очевидно,
ограничены и можно написать, что \pi(x\\ < Л/<, где Л/*—
положительные постоянные.
Теперь из неравенства (2.8) получим
I F(x, у„ yi,..., y2n""1)) - *(*, л, y'v .... у^) I <
<м(|у2~у^ + |у;-у;|+...+]уГ-1)-уГ1)1).
где через Л/ обозначено наибольшее из чисел Mi
(t=l, 2, ..., η). Значит, выражение F{xy у, у\ у", ...
..., у(п-1)) действительно удовлетворяет условию
Липшица и, следовательно, для уравнения (2.2) имеет место
теорема существования и единственности. Таким
образом, существует решение у = у(х) уравнения (2.2),
удовлетворяющее начальным условиям (2.7), и это решение
единственно.
§ 3· Однородное линейное
дифференциальное уравнение·
Фундаментальная система решений
Рассмотрим однородное уравнение (см. уравнение (2.3))
L(y)-y™ + Pl(z)y<-" + ...
... + Pn-i(*)v' + Pn(x)V = 0. (3.1);
74

Выражение L(y) называется линейным
дифференциальным оператором. Этот оператор обладает следующими
свойствами:
1. L(yi + y2)=L(yi)+L(y2), (3.2)
где у\{х) и у2(х)—произвольные функции,
дифференцируемые до п-то порядка включительно. В справедливости
равенства (3.2) можно убедиться, если внести в
выражение (3.1) сначала у\(х), потом У2(х) и сложить
полученные равенства. Нетрудно убедиться, что равенство (3.2)
справедливо и в случае произвольного числа слагаемых:
Ь(У1 + у2 + ... + j„)=L(j,)+%)+. . . + L(yn). (3.3)
2. Учитывая значение оператора (3.1), легко
убедиться, что имеет место равенство
Ь(су)=сЬ(у), (3.4)
где с — произвольное постоянное число.
В силу равенств (3.3) и (3.4), очевидно, будем иметь
Ь(сху\ + с2у2 + ... + спуп) =
= clL(yl)+c2L(y2)+ ... + спЬ(уп). (3.5)
Из равенства (3.5) непосредственно вытекает, что если
Ух = У^(х) (i = 1, 2, ..., η) представляют собой решения
уравнения (3.1), т. е. L(j/i)= О (i = 1, 2, ..., η), то
функция у(х), определенная равенством
у = ciy{ + с2у2 + ... + спуп,
где d (i = 1, 2, ..., η)— произвольные заданные
постоянные, будет также решением этого уравнения.
Определение, η линейно независимых на
интервале ]а, Ъ[ решений уравнения (3.1) называются
фундаментальной системой решений этого уравнения.
Рассмотрим решения уравнения (3.1) Ν\ (χ), Ν2(χ), ...
..., Nn(x), удовлетворяющие следующим начальным
условиям: если χ = хо, то
ЛГ1==1, N[ = 0, ΛΓί = 0,...,Μη"1) = 0, (3.6Х)
ЛГ2 = 0, ЛГ; = 1, ^ = 0 ЛГГ-х) = 0, (3.62)
Νη = 0, ЛГ; = 0, ЛГ; —0 ЛГЙ1-^ —1. (З.6п)
В силу теоремы существования и единственности
решения η решений, обладающих такими свойствами, суще-
75

ствуют. Докажем, что эта система решений представляет
собой фундаментальную систему. Для этого составим их
линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:
ciNi(x)+ c2N2(x)+ ... + cnNn(x)=0. (3.7)
В силу равенств (3.6ι), (З.62), ..., (3.6П) легко
заключить, что (3.7) имеет место на интервале ]я, Ъ[ тогда и
только тогда, когда все с{ = 0. Этим доказано, что N\,
N2, ..., Nn (определенные приведенными выше
начальными условиями)— фундаментальная система решений.
Эта система решений называется нормальной
фундаментальной системой.
Имеет место следующая теорема:
Теорема 1. Общее решение уравнения (3.1)
представляется формулой
у = ciNx + c2N2 + ... + cnNn, (3.8)
где Ci, c2, ..., сп — произвольные постоянные числа.
Теорема будет доказана, если мы покажем, что из
(3.8) получается произвольное частное решение
уравнения (3.1). А для этого, в свою очередь, достаточно
показать, что формула (3.8) при надлежащем выборе
постоянных d (ί = 1, 2, ..., η) дает решение задачи Коши для
уравнения (3.1) с начальными условиями (2.7).
Учитывая (3.6ι), (3.62), ..., (3.6η), в силу условий (2.7) из
формулы (3.8) получим: с1= у0, с2 = у0, ..., сп = у0п~1\ Этим
теорема доказана. Внося найденные значения величин
Ci в (3.8), получим
У = У0^1 + У>2 + · · · + УоП_1)^п. (3.9)
Таким образом, решение уравнения (3.1),
удовлетворяющее начальным условиям (2.7), представляется
формулой (3.9).
Можно показать, что представление общего решения
уравнения (3.1) в виде (3.8) имеет место и в случае
произвольной фундаментальной системы решений, т. е.
если уи 2/2, ..., уп представляют собой фундаментальную
систему решений уравнения (3.1), то его общее решение
представится формулой
У = сху\ + с2у2 + ... + спуп, (3.10)
где Ci (г = 1, 2, ..., п) — произвольные постоянные числа.
Рассмотрим, например, уравнение
у'-у-О. (3.11);
76

Нетрудно проверить, что фундаментальная система
решений этого уравнения будет иметь вид
У\ = ех, У2 = е~х,
где у ι и ζ/2 определены на интервале ]— °°, + °°[.
В силу формулы (3.10) общим решением уравнения
(3.11) будет
у = ciex + c2e~x, (3.12)
где с\ и С2 — произвольные постоянные числа. Из
решения (3.12) при надлежащем выборе постоянных с\ и съ
получим нормальную фундаментальную систему решений
л·^ ι. β—*^ g^ g
Νχ = —^ = ch χ, Ν2 = 2— = sh χ·
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (3.11).
Найдем решение этого уравнения при следующих начальных
условиях: если χ = хо, у = г/о, У' = У о- В силу
формулы (3.9) таким решением будет
у = у0 ch χ + у0 sh χ.
Теорема 2. Если функции г/ι, г/2, ..., г/η+ι
представляют собой частные решения уравнения (3.1), то они
линейно зависимы.
Действительно, рассмотрим следующие два возможных
случая:
1. Функции г/1, г/г, ·.., Уп линейно зависимы. Тогда,
по определению линейно зависимых функций, линейно
зависимыми будут также функции ζ/ι, у2, ..., уп, г/п+ь
2. Функции ζ/ι, г/г, ..., уп линейно независимы; тогда
они составляют фундаментальную систему решений
уравнения (3.1). Так как всякое частное решение с их
помощью может быть представлено формулой вида (3.10),
то, в частности, и решение уп+\ будет их линейной
комбинацией. Этим теорема полностью доказана.
Теорема 3. Если два линейных дифференциальных
уравнения п-го порядка имеют общую фундаментальную
систему решений, то они тождественно совпадают.
Действительно, пусть даны дифференциальные
уравнения:
у{п) + Рх{х) у{п~1) + ... + Рп(*)у = 0, (3.13)
У{п) + qi (х)у{п~1) + · · · + qn(х)У = 0, (3.14)
имеющие общую фундаментальную систему решений.
Нужно доказать, что Рг{х)= &(х) (i = 1, 2, ..., ή) для
77

любого решения, входящего в фундаментальную систему.
Вычитая из (3.13) равенство (3.14), получим:
(р\ - 5i)y(-!) + · · · + (рп ~ qn)y - 0. (3.15)
Допустим, что р\(х) не совпадает с qi(x). Тогда в
силу их непрерывности будет существовать интервал ] α, β [,
в котором р\ — q\ Φ 0. Деля равенство (3.15) на разность
Р\ — ?ι, получим
г/(п_1) + г5г у(п~* +■■■+ т^г у = °- (3·16)
Очевидно, этому уравнению удовлетворяет всякая
функция из упомянутой выше фундаментальной системы
решений, и, следовательно, это уравнение (и — 1)-го
порядка (3.16) имеет η линейно независимых решений, что
противоречит теореме 2. Значит допущение, что р\(х) не
совпадает с q\{x), неверно, и р\(#)= #ι(#). Рассуждая
аналогично, получим, что
№(*)=" ?2'(я), · · ·, Рп(х)=* ?»(*)·
Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает, что фундаментальная
система решений целиком определяет линейное однородное
уравнение, в котором коэффициент при производной
высшего порядка равен 1.
Можно доказать, что линейное дифференциальное
уравнение п-то порядка вида (3.1) имеет бесчисленное
множество фундаментальных систем решений и что
можно отыскать формулу, с помощью которой из одной
фундаментальной системы решений могут быть получены все
остальные фундаментальные системы, однако на этом
вопросе мы останавливаться не будем.
Рассмотрим, например, уравнение
(1-*2)ё-*й+"2у = 0' (ЗЛ7)
где η — положительная постоянная. Производя
преобразование переменных χ = cos φ, простыми вычислениями
убедимся, что это уравнение примет вид
αφ
Фундаментальная система решений этого уравнения
будет иметь такой вид:
ух = cos тмр, уг = sin щ.
78

Возвращаясь к переменной х, получим:
г/ι = cos (n arccos χ), y2 = sin (η arccos χ).
Можно доказать, что если η — целое положительное
число, то г/ι (х)= cos (n arccos x) представляет собой
полином п-то порядка Tn(z) = cos(n arccos .r). Этот полином
называется полиномом Чебышева.
§ 4. Неоднородное линейное уравнение
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение
L(y)^y{n)+pi(x)y{n-l) + ...
... + Pn-i (я) г/' + рп(χ)y = f(x). (4.1)
Соответствующее однородное уравнение имеет вид
L(y)^y{n)+Pi(x)y{n'l) + ...
•·. + Ρ·-ι (х) У' + Рп (х) У = 0. (4.2)
Теорема 4. Если известно некоторое частное
решение у = у(х) неоднородного уравнения (4.1), то общее
решение этого уравнения выразится суммой данного
частного решения и общего решения соответствующего
однородного уравнения.
Действительно, ввиду того, что у (х) представляет
собой решение уравнения (4.1), имеем
ОД-/(*). (4.3)
Общее решение уравнения (4.1) будем искать в виде
y-Y(x)+z, (4.4)
где ζ — новая искомая функция. Если внесем значение
(4.4) в уравнение (4.1), то с учетом (3.2) получим L[y] +
+ L(z) = f(x), откуда в силу равенства (4.3) имеем
ВД=0.
Пусть Nu N2, ..., Nn — нормальная фундаментальная
система решений уравнения (4.2). Тогда в силу (4.4)
заключаем, что сумма
у = ClNx + c2N2 + ... + cnNn + Y(x), (4.5)
где ci, C2, . ,., cn — произвольные постоянные, есть
решение уравнения (4.1). Теперь покажем, что (4.5)
представляет собой общее решение уравнения (4.1). Для этого
достаточно показать, что формула (4.5) при надлежащем
выборе постоянных с* (£=1, 2, ..., п) дает решение
79

задачи Коши для уравнения (4.1) с начальными
условиями (2.7). Учитывая свойства (3.6ι, З.62, ..., 3.6П)
функций Ni, для постоянных d получим
Сг = Уо~ Y(*o)> с*=Уо- Υ' (*.), · · ·, *η =^"-1)-ir(n"1)K).
Внося эти значения в формулу (4.5), получим решение
уравнения (4.1), удовлетворяющее начальным условиям
(2.7). Этим теорема доказана полностью.
Рассмотрим теперь следующее неоднородное
уравнение:
у*-у = ι-ζ. (4.6);
Соответствующим однородным уравнением для (4.6)
является рассмотренное в предыдущем параграфе
уравнение (3.11). Очевидно, одним из частных решений
уравнения (4.6) является у = х — 1, и, следовательно, в силу
теоремы 4 его общее решение задается формулой (см.
(3.12))
у = с\ех + с2е~х — 1 + хл
В качестве примера рассмотрим также следующее
уравнение для χ > 0:
tl
*2ίΗ + *§ + (*2-"2)ί/ = 0. (4-7)
где η — произвольное постоянное число. Это уравнение
называется уравнением Бесселя. Рассмотрим случай,
когда η — 1/2, и покажем, что уравнение Бесселя
разрешимо в элементарных функциях. Произведем
преобразование искомой функции
dy d2y
Вычисляя величины -τ- и —г и внося их значения в
dx dx
уравнение (4.8), получим следующее уравнение
относительно ζ:
ζ" +ζ = 0.
80

Фундаментальную систему решений этого уравнения
образуют функции z\ = sin χ, Ζ2 = cos χ. В силу
формулы (4.9) получаем следующую фундаментальную систему
решений уравнения (4.8):
sin χ cos χ
Общим решением уравнения (4.8) является
I
у = —р= (с± sin χ + сг cos x). (4.10)
ух
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
^0 + ** + (χ,-τ)ΐ'-*9 + τ*· <411>
соответствующим однородным уравнением которого
является уравнение Бесселя (4.8). Легко убедиться, что у =
= χ — одно из частных решений этого уравнения, и,
следовательно, общим решением уравнения (4.11) является
у = —р=: (с1 sin χ + Со cos χ) + х-
ух
Заметим, что уравнения (4.8), (4.11) и их решения
определены на произвольном интервале, для которого
χ > 0. Заметим также, что если χ > 0, то задача Коши
для уравнения (4.7) всегда имеет решение при
произвольном п. В частности, для натурального η получим
функции z/n = <Pn(#) (/ι=1, 2, ...), называемые
функциями Бесселя. Изучение свойств этих функций не
входит в круг рассматриваемых здесь задач.
Как было показано выше, для нахождения общего
решения неоднородного уравнения (4.1) нужно знать
некоторое частное решение этого уравнения. Поэтому
естественно возникает вопрос: как найти частное решение
этого уравнения? Мы не имеем здесь возможности дать ответ
на этот вопрос, так как он также выходит за рамки
настоящей книги. Заметим лишь, что существуют общие
методы для решения поставленной задачи. Таковыми,
например, являются метод вариации переменных, метод
применения теории рядов и др. Заинтересованный
читатель может обратиться к любому университетскому учеб-
81

нику по теории дифференциальных уравнений, например,
к учебнику В. В. Степанова*), И. Г. Петровского**)
или Л. С. Понтрягина***).
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение
L[y] = у<»> + а^п~^ + а*у<п-2) + ...
... + ап-ху' + апу = 0, (5.1);
где αϊ, α2, ..., αη — действительные (не комплексные)
постоянные числа. Найдем фундаментальную систему
решений этого уравнения (см. § 3). Решение уравнения (5.1)
будем искать в виде
у = е**, (5.2)
где к — постоянная, которую нужно выбрать таким
образом, чтобы (5.2) было решением уравнения (5.1). В силу
равенства (5.2), имеем
у' = ке**, у" = /cV*, ..., у{п~1) = кп-хеы, у{п) = &V*.
(5.3)
Внося (5.2) и значения (5.3) в уравнение (5.1), полу-
чим
L[e**] = e**(fcn + aift—1 L+ a2kn-2 +..,
... + an-xk + an)=0. (5.4)
Так как е** Φ О, то
F{k) ^кп + ахкп'х + а2кп~2 +... + ап-Хк + ап = 0. (5.5)
Выражение (5.5) представляет собой алгебраическое
уравнение п-то порядка относительно неизвестной к. Оно
называется характеристическим уравнением для
уравнения (5.1). Если известно какое-либо решение этого
уравнения &*, то в силу (5.4) у = ек*хестъ решение
уравнения (5.1).
*) Степанов В. В. Курс дифференциальных уравне*
ний.— М.: Физматгиз, 1959.
**) Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1970.
***) Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные
уравнения.— М.: Наука, 1982,
82

Из курса алгебры известно, что алгебраическое
уравнение η-ro порядка вида (5.5) имеет η корней
(действительных или комплексных), учитывая кратность*). Мы
будем рассматривать в основном случай, когда
характеристическое уравнение (5.5) имеет η действительных
простых корней к\, fo, ..., кп; получим следующие решения
уравнения (5.1):
Уа = е , α = 1,2, ...,п. (5.6)
Нетрудно показать, что эти решения линейно независимы
на интервале ] — °°, + °° [ и, следовательно, составляют
фундаментальную систему решений уравнения (5.1).
Итак, общее решение уравнения (5.1) представится
формулой
у = cj*1* + с2еК* + ... + cnehnX. (5.7)
Прежде чем начать рассмотрение случая комплексных
корней, вспомним некоторые сведения из курса алгебры.
Число вида а + ib, где i = T/ — 1, а ли Ъ —
действительные числа, называется комплексным. Величина i
называется мнимой единицей, i2 = — 1. Числа а и Ъ
называются соответственно действительной и мнимой частями
данного комплексного числа. Все действия, производимые
с действительными числами, справедливы и для
комплексных, однако при этом необходимо учитывать, что
ί2 = — 1. Имеет место соотношение
eix = cos χ + i sin χ. (5.8)
Равенство комплексного числа нулю означает, что его
действительная и мнимая части равны нулю, т. е. а + ib =
= 0, если а = 0; Ъ = 0. Всякую комплексную .функцию
j{x) действительной переменной можно представить
следующим образом:
f(x)=u{x)+iv(x), (5.9)
где и (х) и ν (х) — действительные функции
действительной переменной х. Сопряженной с f(x) называется
функция ](х)=и — iv. Имеет место следующая теорема:
*) Используемые здесь результаты, касающиеся
алгебраических уравнений, известны учащимся старших классов средней
школы (во всяком случае для некоторых частных видов уравнений п-ш
степени: квадратного, кубического, биквадратного, двучленного
и т. д.).
83

Теорема 5. Если комплексная функция f(x),
определенная равенством (5.9), представляет собой решение
дифференциального уравнения (5.1) с действительными
коэффициентами, т. е.
Ч/(*)] = 0, (5.10)
то функции и(х) и ν {х)— решения этого же уравнения.
Действительно, в силу свойства (3.2) линейного
дифференциального оператора (5.10) дает
L[u(x)+ ίν(χ)] = L[u(x)]+ iL[v(x)] = 0,
откуда L[u(x)] = 0, L[v(x)] = 0. Теорема доказана.
Пусть k\ = α + £β представляет собой комплексный
корень уравнения (5.5). Сопряженная с ним величина &2 =
= а — &β, очевидно, также корень этого уравнения. На
основании проведенных выше рассуждений можно сделать
заключение, что функции
ух _ e<a+<w* у2 = е<*-тх
представляют собой решения уравнения (5.1), и согласно
формуле (5.8) имеем
у ι = ea*(cos $x + isin$x), y2 = eax(cos βζ — ί sin β#).
В силу доказанной выше теоремы получаем следующие
два действительных решения уравнения (5.1):
* (XX О * OWC · О
у1 = е cos prr, у 2 = е sin px.
Таким образом, каждому комплексному корню
соответствует два действительных решения уравнения (5.1).
Рассмотрим случай, когда корни характеристического
уравнения (5.5) просты. Заметим, что если это
уравнение имеет кратные корни, то существует
фундаментальная система решений в элементарных функциях. Мы не
будем останавливаться па этих вопросах. Желающие
могут найти их в упомянутых выше учебниках (см. сноски
на с. 82).
Рассмотрим следующий пример. Найдем общее
решение уравнения
гГ-2у"-у' + 2у = 0. (5.11)
Характеристическое уравнение для (5.11) имеет вид
ft3 - 2ft2 - ft + 2 = 0.
Корнями последнего являются числа fti = —1, &2 —1,
&з = 2. Таким образом, все корни характеристического
84

уравнения действительны и просты. Фундаментальная
система решений уравнения (5.11) имеет вид
У\ = е~х, у 2 = ех, у г = е2х.
Следовательно, общее решение этого уравнения может
быть записано так:
у = с\е~х + С2вх + сге2х.
Рассмотрим еще один пример уравнения:
У'" + У = 0. (5.12)
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
кг + 1 = 0.
Корнями последнего являются числа кг = — 1, к2 = у ±
_,_ .т/г
± t-V"» два из которых — сопряженные комплексные
числа.
Общее решение уравнения (5.12) запишется
следующим образом:
у = с1е~'х + ех/2 lc2 cos-~- χ + с3 sin -^— χ).
Рассмотрим теперь уравнение
ylw + 8y" + 16у = 0.
Соответствующее характеристическое уравнение,
&4 + 8/с2+16 = 0
или, что то же самое,
(/с2 + 4)2 = 0,
имеет корни к\ = кч = 2ί, &3 = &4 == —2ί. Таким образом,
характеристическое уравнение имеет кратные
комплексные корни. Нетрудно убедиться, что фундаментальная
система решений имеет вид cos 2х, sin 2х, χ cos 2#, χ sin 2x,
а следовательно, общее решение запишется формулой
У = {с\ + С2х) cos 2х + (сз + ££4) sin 2х.
85

§ 6. Линейное дифференциальное уравнение
второго порядка
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
второго порядка, в котором коэффициент при производной
второго порядка равен 1:
y"+p(x)y' + q(x)y = 0. (6.1)
Соответствующим преобразованием искомой функции
это уравнение можно свести к уравнению второго
порядка, в котором коэффициент при производной первого
порядка равен нулю. С этой целью произведем подстановку:
y = u{x)z, (6.2)
где ζ — новая искомая функция, а функция и (х) должна
быть определена так, чтобы коэффициент при ζ стал
равен нулю. В силу (6.2) имеем
у' = uz' + u'z, у" =uz" +2u'z +u"z.
Внося эти значения в уравнение (6.1), получим:
uz" +{2u' + pu)z'+(u" +pu' + qu)z = 0. (6.3)
Приравняем нулю коэффициент при ζ'; получим
2и + ри = О,
откуда имеем
1 , λ -?1р(х)<гх
— τ Ρ (χ)е
i n2_ 1 „Λ* 2
|-| V(x)dX
Теперь уравнение (6.3) перепишется следующим образом:
ζ"=2(χ)ζ = 0, (6.4)
где
ЗГ(х) = д(х)-±р*-±р'. (6.5)
Таким образом, мы получили уравнение (6.4)
относительно искомой функции ζ, которое не содержит
производную z\ Функция Э (х), определенная равенством (6.5),
называется инвариантом уравнения (6.1). Нетрудно
убедиться, что если два уравнения вида (6.1) имеют один
и тот же инвариант, то преобразованием вида (6.2) одно
86

из них может быть сведено к другому. Именно поэтому
Э{х) и называется инвариантом уравнения (6.1).
Рассмотрим следующие два уравнения с постоянными
коэффициентами:
у"-а2у = 0, (6.6)
y"+a2i/ = 0, (6.7)
где α — произвольная положительная постоянная.
Фундаментальной системой решений уравнения (6.6) будет
ух = еах, г/2 = α~αχ. Каждое из них на сегменте [— °°, + °°]
лишь однажды равно нулю: у\ = 0, если χ = — <», и #2 =■
= 0, если χ = + <». Каждое частное решение уравнения
(6.7) получается из его общего решения, которое имеет
вид (см. § 13 гл. 2) у = A sin(ax + ε), где А и ε —
произвольные постоянные. Очевидно, всякий интервал, длина
которого больше π/α, содержит хотя бы один нуль
произвольного решения уравнения (6.7). Таким образом,
множество нулей любого решения уравнения (6.7) на
интервале ] — °°, + °° [ бесконечно.
Определение. Если решение дифференциального
уравнения (6.4) на данном интервале имеет не более
одного нуля, то будем говорить, что это решение на взятом
интервале неколеблющееся, в противном же случае
будем называть его колеблющимся.
Таким образом, уравнение у" + ау = 0 имеет
неколеблющееся решение на произвольном интервале, если
а < 0, и колеблющееся решение на достаточно большом
интервале, если а > 0. Можно доказать, что уравнение
вида (6.4) при &(х)<0 имеет только неколеблющиеся
решения, однако на этих вопросах мы здесь
останавливаться не будем·
§ 7. Система линейных дифференциальных уравнений
первого порядка
Системой линейных дифференциальных уравнений
называется совокупность уравнений, в которых искомые
функции и их производные содержатся линейно; рассмотрим
систему вида
d П
£ + 2 а*У* = 7«(*)' * β 1· 2, ..., и, (7.1)
где aik(x) и Уг(х)—данные непрерывные функции на
данном интервале ]а, Ъ [. Если 7<(#)=з 0 (i = 1, 2, ,.., /г),
87

то получается однородная система
j n
■^ + 2ί flifcW»* = 0, (7.2)
fc-1
соответствующая системе (7.1). Всякое решение этой
системы определяет в и-мерном евклидовом пространстве
вектор (см. § 9, гл. 2):
У = {Уи У2, .... У»)· (7.3)
Рассмотрим η векторов вида (7.3):
α /α α α \
У = Ui>»2»· · -,Уп), α= 1,2, ...,/г. (7.4)
Пусть эти вектор-функции определены на интервале
] а, Ъ [ изменения независимой переменной х.
Линейная независимость и линейная зависимость
векторов, определенных равенством (7.4), формулируется
таким же образом, как и соответствующие понятия для
случая обыкновенных функций. Скажем, что векторы
α
у (а = 1, 2, . . ., п) линейно зависимы на интервале ] а, Ъ [,
если возможно отыскать постоянные с\, С2, . .., сп, хотя
бы одна из которых отлична от нуля, такие, что на
интервале ] а, Ъ [ будет иметь место тождество
12 η
W + С2У + · · · + °п У = О-
В противном же случае будем говорить, что эти векторы
линейно независимы. Систему (7.1) перепишем в виде
dyi
•te=Fi(x,yvy2, ...,г/п). (7.5)
Для системы (7.5) рассмотрим задачу Копта:
Найти решение у\, г/2, · · ·, Уп этой системы,
удовлетворяющее начальным условиям:
если χ = х0, то yi = у\, i = \, 2, .. ., п, (7.6)
где хо — произвольная точка интервала ]а, Ь[, у% —
произвольно заданные постоянные.
Для системы (7.5), а следовательно и для (7.1),
соблюдены условия теоремы существования и
единственности решения (см. § 9, гл. 2), и, значит, имеет место
теорема:
Существует решение системы (7.1), удовлетворяющее
начальным условиям (7.6), и это решение единственно.
88

Определение. Совокупность линейно независимых
на интервале ]а, Ь[ решений системы (7.2)
α /α α α "\
У = \l/v »2» · · ·» ?Ji α = 1,2, ..., л,
называется фундаментальной системой решений.
Докажем, что фундаментальная система решений всегда суще-
12 η
ствует. С этой целью обозначим через Ν, Ν, ..., N
решения системы (7.2), удовлетворяющие следующим
начальным условиям:
еслжх = х0, то N = (1,0, 0, ..., 0), N = (0,1, 0,...,0), ...
...,#=(0,0, ...,0,1). (7.7)
В силу сформулированной выше теоремы
существования и единственности решения вида (7.7) всегда
существуют. Докажем, что эта система решений линейно
независима, т. е. представляет собой определенную
фундаментальную систему решений системы (7.2). Составим
для этого линейную комбинацию указанных решений и
приравняем ее нулю:
cji + c2N + . .. + cnN = 0. (7.8)
Если внесем в это векторное равенство χ = хо и запишем
его в компонентах, убедимся, что равенство (7.2) имеет
место тогда и только тогда, когда с{ = 0 (ί = 1, ..., η).
12 η
Этим справедливость утверждения доказана. Ν, Ν, .. . ,iV
называется нормальной фундаментальной системой
решений.
Докажем следующую теорему:
Теорема 6. Общее решение однородного уравнения
(7.2) может быть представлено формулой
у = ClN + c2N + ... + cnN, (7.9)
где си сч, · · ·, сп — произвольные постоянные.
Теорема будет доказана, если мы сумеем показать, что
из равенства (7.9) при надлежащем выборе постоянных
получается решение задачи Коши для уравнения (7.2)
с начальными условиями (7.6). Векторное равенство (7.9)
равносильно следующим равенствам:
У г = с^г + c2Nx + ... + cnNv
89

12 η
УI = C1N2 + C2.N2 + · · . + CnN2,
12 Π
yn = c^Nn + c2Nn + ... + cnNn.
Внося в эту систему значение х = 1ои учитывая (7.7), в
силу условий (7.6) получим
с1 — У ν с2 == У21 · . ·» £п = Уп'
Если подставить эти значения постоянных в равенство
(7.9), получим решение системы (7.2), удовлетворяющее
начальным условиям (7.6). Теорема полностью доказана.
Замечание. Можно доказать, что представление
общего решения уравнения (7.2) формулой вида (7.9)
имеет место и в случае произвольной фундаментальной
12 η
системы решений, т. е. если у, у, . .., у — некоторая
фундаментальная система решений системы (7.2), то общее
решение системы (7.2) может быть представлено в виде
12 η
У = сху + с2у + ... + спу, (7.10)
где Сг — произвольные постоянные.
Равенство (7.10), очевидно, равносильно следующим
η равенствам:
η α
Уа=2лС1Уъ а = 1,2,..., п. (7.11)
г-=1
Для того чтобы убедиться в справедливости этого
утверждения, достаточно показать, что в равенстве (7.1)
постоянные Сг (ί = 1, 2, .. ., η) могут быть выбраны так,
чтобы решения уа (а = 1, 2, ..., п) удовлетворяли
начальным условиям (7.6). Для нахождения постоянных с»
получим определенную систему алгебраических
уравнений, которая всегда разрешима.
Рассмотрим теперь систему неоднородных линейных
дифференциальных уравнений. Имеет место
Теорема 7. Если известно некоторое частное
решение 3f\(x), &2(x), .. ·, З^п(х) неоднородной системы
(7.1), то нахождение общего решения этой системы
сводится к нахождению решения соответствующей
однородной системы.
Действительно, будем искать решение системы (7.1)
в виде
V-3Tt{x)+Zb (7.12)
90

где Zi— новая искомая функция. Внося значения (7.12)
в систему (7.1), относительно функций zx получим систему
dz- -ЦТ)
-^ + 2d aik(x)*k = 0, ζ = 1,2, . ..,rc,
совпадающую с однородной системой (7.2). Этим теорема
доказана.
В качестве примера рассмотрим систему
Соответствующая однородная система имеет вид
Внося значение ζ = -/·, определенное из первого урав-
нения, во второе, получим уравнение относительно у:
Решениями этого уравнения будут у ι = cos χ, г/2 = sin x.
Из первого уравнения системы (7.14) получим: ъ\ =
= —sin χ, Ζ2 = cos x. Теперь нетрудно убедиться, что
фундаментальная система решений системы уравнений (7.14)
имеет вид y\ = cosx, zi = —sin.z; г/2 = sin x, Z2=1cosx.
Общим решением системы (7.14) является
у = с\ cos χ — сг sin χ, ζ — с\ sin χ + C2 cos x.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что частным
решением системы (7.13) будет у* = 1, ζ* = х, а тогда
общее решение запишется в виде
у = с\ cos χ — с2 sin χ + 1, 2 = ci sin # + с2 cos # + #.
Здесь мы рассмотрели пример системы с постоянными
коэффициентами. Заметим, что существует общий метод
нахождения фундаментальной системы решений
произвольной системы линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а также
построения частных решений соответствующей
неоднородной системы. Изложение этого общего метода не входит
в круг вопросов, рассматриваемых в настоящем издании.
Заинтересованным читателям советуем обратиться к
любому университетскому учебнику до дифференциальным
уравнениям (см. сноску на с. 82).

ГЛАВА 4
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1. Основные понятия и законы
классической механики
Теоретическая механика является наукой, изучающей
механическое движение материальных тел. Механическим
движением материальных тел называется изменение
взаимного расположения тел в процессе измепения времени.
Таким образом, механическое движение есть простейшая
форма движения материи, не определяющаяся
изменением взаимного расположения материальных тел.
Механическое движение материальных тел —
физический процесс, поэтому теоретическая механика может
быть отнесена к физике. Но в теоретической механике в
качестве орудия исследования настолько широко
используются методы математического анализа и настолько
большую роль играют аксиоматика и абстракция, что ее
можно смело отнести к математической науке.
Под механическим движением тела понимается и
изменение взаимного расположения частей этого тела
(деформация). Если тело таково, что расстояние между
любыми двумя его частицами остается неизменным, то его
называют абсолютно твердым телом.
Таким образом, твердое тело не испытывает никакой
деформации. Ясно, что твердого тела в точном понимании
этого слова (абсолютно твердое тело) в природе не
существует, но для практики с достаточной точностью
многие тела могут рассматриваться как твердые. Если
деформация в теле настолько велика, что при рассмотрении
того или иного практического случая ею невозможно
пренебречь, то тело называется деформируемым.
Итак, материальные тела могут быть разделены на две
группы: деформируемые и недеформируемые тела.
Деформируемые тела здесь рассматриваться не будут.
Материальное тело, размеры которого настолько
малы, что его механическое движение с достаточно боль-
92

шой точностью определяется движением одной
какой-либо его точки, называется материальной точкой
{материальной частицей).
Совокупность материальных точек, расположение и
движение каждой из которых зависит от расположения
и движения остальных точек, называется системой
материальных точек.
Механическое движение материальных тел, которое в
дальнейшем будем называть просто движением, имеет
смысл лишь в случае, если выбрана определенная
система отсчета, относительно которой тело движется или
неподвижно. В качестве таковой, как правило,
рассматривается та или иная система координат. Если тело
относительно заданной системы координат неподвижно, то будем
говорить, что оно относительно этой системы находится в
равновесии, и, следовательно, равновесие рассматривается
как частный случай движения. Из сказанного вытекает,
что равновесие и движение — относительные понятия.
Так, например, тело, которое неподвижно относительно
Земли, движется относительно Солнца и т. д.
Теоретическую механику обычно делят на три части:
статику, кинематику и динамику.
Статика изучает условия равновесия
материальных тел.
Кинематика изучает геометрическую сторону
движения материальных тел, при этом не обращают внимания
на причины (силы), вызывающие движение. Таким
образом, кинематика изучает движение геометрических
объектов во времени. Кинематику иногда называют
«геометрией четырехмерного пространства», где за четвертое
измерение принимается время.
Динамика изучает законы движения материальных
тел в зависимости от причин (сил), вызывающих
движение.
Сила в теоретической механике рассматривается как
результат взаимодействия материальных тел.
Взаимодействие тел вызывает изменение их движения. Сила
представляет собой меру механического взаимодействия тел.
Каждодневная практика показывает, что сила —
векторная величина.
Теоретическую механику иначе называют
классической механикой; ее основные законы впервые в
законченном виде были сформулированы Галилеем и Ньютоном.
Так как под механическим движением подразумевается
перемещение тела в пространстве с изменением времени,
93

то пространство и время — основные понятия механики.
В классической механике под пространством
подразумевается евклидово пространство, свойства которого
изучаются в евклидовой геометрии (см. § 9 гл. 2)*).
Как было отмечено выше, для характеристики
движения тела необходимо выбрать определенную систему
отсчета, относительно которой рассматриваемое движение
будет охарактеризовано изменением расстояний. Взятая
система отсчета должна быть оснащена приспособлением
для отсчета времени, чтобы можно было различным
положениям движущегося тела поставить в соответствие
различные значения времени (моменты времени).
Основные законы динамики, изучение которых начал
еще Галилей, приняли законченный вид в исследованиях
великого английского ученого И. Ньютона (1643—1727).
Ньютон сформулировал основные законы классической
механики и, основываясь на них, значительно развил
динамику. Поэтому классическую механику называют
ньютоновой. На основании анализа трудов своих
предшественников и своих собственных исследований Ньютон
написал гениальный труд «Математические начала
натуральной философии», в котором он сформулировал
основные понятия и принципы классической механики. Эти
принципы, называемые законами Ньютона, следующие:
1. Всякое тело находится в состоянии покоя
(неподвижно) или равномерного прямолинейного движения до
тех пор, пока его не выведут из этого состояния внешние
причины (силы). (Закон инерции.)
2. Произведение массы и ускорения частицы равно
силе, действующей на эту частицу:
mw = F. (1.1)
(Закон пропорциональности силы ускорения.)
3. Два тела действуют друг на друга с силами,
равными по величине, но противоположными но направлению.
(Закон действия и противодействия.)
Относительная система отсчета, для которой
справедлив первый закон Ньютона (закон инерции), называется
инерциальной. Система координат, начало которой
находится в центре инерции Солнечной системы
(приблизительно в центре Солнца), а оси направлены в сторону
неподвижных звезд, для практических целей с значитель-
*) Мы полагаем, что читатель знаком со свойствами
евклидова пространства.
94

ной точностью может считаться инерциальной. Эту
систему называют гелиоцентрической. Здесь же заметим,
что для изучения целого ряда явлений, происходящих на
Земле, допустимо считать Землю неподвижной. Правда,
неинерциальное движение Земли оказывает влияние на
тела, движущиеся относительно Земли, однако часто это
влияние настолько незначительно, что практически им
можно пренебречь. Заметим, что основные законы
классической механики сформулированы относительно
инерциальной системы.
Конец XIX и первая четверть XX столетий отмечены
большим прогрессом в области физики. Благодаря новым
открытиям в электродинамике, радиотехнике, строении
атома, а также установлению новых законов движения
мельчайших частиц атома стали четко вырисовываться
рамки применяемости классических законов механики.
Выяснилось, что движение мельчайших частичек часто не
подчиняется этим законам. Оказалось, что для тел,
движущихся со скоростью, близкой к скорости света, законы
классической механики теряют силу. В связи с этим
возникла релятивистская механика, целиком опирающаяся
на теорию относительности Эйнштейна.
В классической механике время и пространство
независимы друг от друга. Теория относительности, в
отличие от классической механики, устанавливает
определенную зависимость между пространством и временем. В
теории относительности время не рассматривается как
абсолютное, одинаковое для всех точек пространства, и,
следовательно, согласно этой теории, всякой системе
отсчета, всякому движущемуся телу соответствует свое, так
называемое местное время. Продолжительность события,
происходящего в некотором теле, для разных систем
может быть различной. Если относительные системы
двигаются друг относительно друга со скоростью, значительно
меньшей скорости света, то для этих систем время будет
примерно одинаковым. Если мы имеем дело с телами,
движущимися со скоростью, значительно меньшей
скорости света, и размеры тел не очень малы, то пользоваться
законами классической механики вполне целесообразно.
Поэтому классическая механика никогда не потеряет
своего значения.
Нет возможности с достаточной полнотой осветить
здесь актуальные вопросы теоретической механики.
Однако постараемся сравнительно полно осветить основные
ваконы динамики материальной точки и вытекающие от-
95

сюда вопросы. Попытаемся в удобной для широкого
круга читателей форме изложить такие важные вопросы, как
закон всемирного тяготения Ньютона, динамика
материальной точки переменной массы и эффект действия на
тело реактивной силы, теория космического полета,
специальная теория относительности Эйнштейна и др. Для
иллюстрации приложений систем дифференциальных
уравнений в механике рассмотрим также уравнения
движения системы материальных точек.
§ 2. Кинематические уравнения движения
материальной точки
Как было сказано выше, материальной точкой или
материальной частицей называется тело настолько малых
размеров, что его движение с достаточной точностью
определяется движением одной его точки. Таким образом, под
материальной точкой практически можно понимать
геометрическую точку, имеющую определенную массу.
Движение и равновесие — относительные понятия. В качестве
системы отсчета возьмем прямоугольную декартову
систему координат. Будем говорить, что относительно этой
системы координат материальная точка находится в
равновесии, если она неподвижна относительно этой
системы. Если точка не находится в состоянии равновесия
относительно упомянутой системы, то с течением времени
она изменяет свое положение относительно этой системы.
В дальнейшем под системой отсчета будем подразумевать
всю среду, неподвижно связанную с системой.
Геометрическое место точек среды, неподвижно
связанных с системой Oxyz, через которые с течением
времени проходит подвижная точка, называется траекторией
этой точки.
С понятием движения тесно связано понятие времени.
Пространство и время — основные понятия механики.
Понятие времени естественным образом связывается с
понятием движения. Возможность измерения времени природа
дает с помощью происходящих в ней периодических
явлений. Такими периодическими явлениями являются
сутки, годы и т. д. За единицу измерения времени
принята 1/(3600.24) часть средних суток, называемая
секундой. После выбора единицы измерения времени какое-то
определенное значение времени (момент времени) может
быть принято за начальное (момент t = 0), начиная с
которого время измеряется упомянутой единицей. Время
96

в дальнейшем всегда будем обозначать через t. Время
может принимать как положительное, так и
отрицательное значения в зависимости от того, произошло ли
рассматриваемое событие после или до выбранного момента
t = 0. Этим способом может быть проведена арифметиза-
ция времени, т. е. установлена
определенная зависимость между
действительными числами и временем.
Сущность арифметизации времени
заключается в том, что время
рассматривается как непрерывная
последовательность одного измерения,
которой графически соответствуют
точки прямой линии, называемойгУ
осью времени. Каждой точке этой ρ с 10
оси соответствует определенное
значение времени или, как иногда говорят, определенный
момент времени. Два момента времени определяют
промежуток времени.
Обозначим радиус-вектор подвижной точки Μ
относительно точки О (начала координат) через г = (£, у, ζ).
Очевидно, что движение точки задано, если известен ее
радиус-вектор г как функция времени (рис. 10):
r = r(f). (2.1)
Уравнение (2.1) представляет собой векторное
уравнение движения точки. Проектируя уравнение (2.1) на
оси координат, получим уравнения
*"=■*(*). ί/ = */(0, * = *(*>. (2.2)
называемые уравнениями движения в декартовых
координатах. Исключая из этих уравнений £, получим
уравнения следующего вида:
/ι(а?, у, *) = 0f f2(x, У, z) = 0;
здесь траектория представлена в виде пересечения двух
поверхностей.
При движении точки по траектории ее ортогональные
проекции на оси координат совершают определенные
движения, уравнения которых заданы формулами (2.2).
В дальнейшем всегда будем подразумевать, что функции,
определенные формулами (2.2), непрерывны и
непрерывно дифференцируемы до второго порядка.
Если точка движется в плоскости Оху (плоское
движение), то уравнение движения имеет вид
x = x(t), y = y(t).
97

Исключая время, отсюда получим уравнение траектории
в следующем виде:
Аналогично можно написать уравнения движения точки
в полярных координатах на плоскости, в
цилиндрических координатах и т. д.
Рассмотрим однозначные непрерывные функции
переменных х, г/, z, ?i = ?i(s, г/, z), #2 = #2 (я, г/, ζ), g3 =
8=5 ?з(^, I/, ζ). Предположим, что эти уравнения
разрешимы однозначно относительно переменных х, г/, ζ. Решая
их, получим x = x(qu ?2, ?з), У = у(9и ?2, ?з), 2 =
= ζ(?ι, #2, #з), где .г, г/, ζ — однозначные непрерывные
функции переменных qu q2, ?з.
Так как между переменными х, у, ζ έ q\, q2, <7з
существует взаимно* однозначная зависимость, то величины
<7ь ?2, #з также называются координатами точки
Μ (χ, у, ζ) — обобщенными координатами, или общими
криволинейными координатами.
Уравнения движения точки в обобщенных
координатах имеют следующий вид:
?1 = ?Г(*)\ ?2-д2(0\ ?з = дз'(*). (2.3)
Упомянутые полярные координаты на плоскости,
цилиндрические координаты и сферические координаты
являются частными случаями обобщенных координат.
Примеры.
1. Пусть уравнения движения точки в декартовых
координатах имеют вид
х = а+ bf(t), y = a\ + b\f(t), z = a2 + b2f(tj,
где α, Ь, αϊ, b\, α2, Ъ2 — постоянные; f(t)— определенная
функция. Найдем траекторию точки.
Исключая параметр, получим
ж — а У—<*1 _ z~a2
Таким образом, траектория представляет собой прямую,
проходящую через точку Μ (а, а\, а2) и параллельную
вектору В=(Ь, Ъ\, Ы·
2. Уравнения движения точки имеют вид
χ = а + a cos kt, y — asinkt, (1)
где α и к — постоянные. Найти траекторию точки.
98

Из уравнений (1) получим
(х — а)2 + у2 = а2,
т. е. траектория представляет собой окружность радиуса
а, проходящую через начало координат и касающуюся
оси Оу. Центр этой окружности расположен в точке
(«, 0).
3. Уравнения движения точки заданы в виде
х=%(ем + е-м), у^{ем-е-м), (2)
где a, b, k — постоянные. Найти траекторию точки. Из
уравнения (2) имеем е =~ + j-, е =— — -|-,
откуда перемножением получаем
2 2
α2 δ2 '
Таким образом, траектория представляет собой гиперболу
(см. § 8, гл. 1).
§ 3. Естественное уравнение движения
материальной точки.
Скалярная скорость и скалярное ускорение
Пусть задана некоторая линия L, представляющая собой
траекторию точки М. Выберем на линии L определенное
положительное направление и охарактеризуем положение
на ней точки Μ так называемым естественным
параметром 5, за точку отсчета которого примем некоторую
фиксированную на линии точку Л/о (рис. И). Параметру
s присвоим положительное значение, если точка Μ
расположена в положительном
относительно точки Л/о
направлении; в противном случае
параметру s присвоим
отрицательное значение. Положение
точки Μ на линии L полностью
характеризуется естественным
параметром s = MqM (дуговая Рис· **
абсцисса). Поэтому уравнение движения точки по данной
траектории будет иметь вид s = s(t). Это уравнение
называется естественным уравнением движения точки.
Так как линия L рассматривается как траектория
подвижной точки, то s(t)—однозначная непрерывная
99

функция переменной t. Будем предполагать, что она
также непрерывно дифференцируема до второго порядка
включительно.
Пусть в моменты времени t и t + At, где At — малое
приращение времени, на линии L точке Μ
соответствуют значения s и s + As естественного параметра (т. е.
As представляет собой приращение дуговой абсциссы за
момент времени At). Отношение д^- называется
средней скалярной скоростью за время At, а предел этого
отношения при At -*- 0 называется скалярной скоростью
(в момент t). Обозначив скалярную скорость через ν,
согласно определению будем иметь
Таким образом, скалярная скорость представляет собой
производную дуговой абсциссы (пройденного пути) по
времени.
Если скалярная скорость ν постоянна, то движение
называют равномерным. В этом случае уравнение (3.1)
дает
в = й + С, (3.2)
где С — произвольная постоянная. Если к моменту t = t0
задано s = s0, то из равенства (3.2) получим С = s0 — vto.
Внося это значение в выражение (3.2), получим
s — s0 = v(t — t0). (3.3)
Таким образом, в случае равномерного движения s
представляет собой линейную функцию времени. Наоборот,
если s представляет собой линейную функцию
переменной £, то дифференцированием выражения (3.3)
убедимся, что движение — равномерное.
Как следует из определения, размерность скорости
равна
где L — размерность длины, а Г — размерность времени,
Если за единицу длины принят сантиметр, а за единицу
времени — секунда, то размерностью скорости будет см/с.
Если в равенстве (3.3) взять £ -— £0 = 1» s — so = 1,
то у = 1, и, следовательно, если путь, пройденный за
единицу времени, равен единице длины, то и скорость
будет равна единице скорости. Таким образом, за
единицу скорости принята скорость такой равномерно дви-
100

жущейся точки, которая йа единицу времени проходи*
расстояние, равное единице длины.
Пусть к определенному моменту времени t я t + At
скалярная скорость равна, соответственно, ν и ν + Αν.
Отношение -ττ- называется средним ускорением, а
предел этого отношения, когда At -> 0, называется
скалярным ускорением (в мрмент t). Если скалярное ускорение
обозначить через w, то согласно определению получим:
dv d s /о /\
w =17 =~2· (3·4)
dt dt2 '
Таким образом, скалярное ускорение представляет
собой производную скалярной скорости по времени или,
что то же самое, производную второго порядка по
времени от дуговой абсциссы.
Движение называется равномерно переменным, если
скалярное ускорение постоянно. Пусть начальное
условие таково: если t = to, то ν = Vq и s = sq. В этом случае
из равенства (3.4), интегрируя дважды и применяя
начальные условия, получим:
s = y (t-t0f + v0(t-t0) + s0. (3.5)
Наоборот, если выражение дуговой абсциссы имеет вид
(3.5), где w, vq, sq — постоянные, то, дифференцируя
дважды, убеждаемся, что движение равномерно
переменное.
Равномерно переменное движение называется
равномерно ускоренным (равноускоренным) в данный момент,
если в этот момент скорость и ускорение имеют
одинаковые знаки. В противном случае движение называется
равномерно замедленным (равногамедленным).
Из определения следует, что размерность ускорения
задается формулой
[w] = LT = L/T2.
Если за единицу длины взят сантиметр, а за единицу
времени — секунда, то размерность ускорения будет
см/с2.
Если уравнения движения точки заданы в декартовых
координатах
x = x(t), y = y(t), z = z{t) (3.6)
и мы хотим найти уравнение движения точки, то
101

воспользуемся формулой
% = ± ΥχΛ + У'2 + Л (3.7)
а уже отсюда интегрированием найдем естественное
уравнение движения.
Примеры.
1. Подвижная точка выходит из точки Мо(1, 2, 4)
в момент времени ί = 0 и движется равномерно со
скоростью Vq по прямой, косинусы направления которой
1 2
-о-, -J? cosy>0. Найти траекторию точки, естественное
уравнение движения точки и уравнения движения точки.
Так как сумма квадратов направляющих косинусов
, 2
равна 1, то cosv = -3-, и, очевидно, уравнениями
траектории будут
х — 1 у —-2 _ 2 — 4
~Т~ = Τ~ ~~""ΊΓ"·
Если за точку отсчета естественного параметра принять
Л/о, то получим
s = vot.
Легко видеть, что уравнения движения будут такими:
12 2
х = 1 + у v0t, у = 2 + у V' * = 4 + "з" *V-
2. Пусть уравнения движения точки имеют вид
x = 4t2, y = 6t2.
Найти естественное уравнение движения точки,
скалярную скорость и ускорение.
Очевидно, траектория точки — прямая Зх — 2у = О,
проходящая через начало координат. Если за точку
отсчета естественного параметра принять начало системы
координат, то получим
s2 = x2 + y2==:52tA, 5 = 2ί13ί,
z;=4VHH, w = 4Vl3.
3. Уравнения движения точки заданы в декартовых
координатах χ = a cos ω£, у = Ъ sin ω£, где α, Ь, ω —
постоянные. Найти траекторию точки и скалярную
скорость.
102

Перепишем уравнения движения следующим образом:
— = cos ω£, 4- = sin cot.
a ' b
Возводя эти уравнения в квадрат и складывая их,
получим
2 2
а2 + Ь2
Таким образом, траектория точки — эллипс (см. § 7,
гл. 1). Очевидно, скалярная скорость вычислится
формулой
v\ =
I = ]/V2 + у'2 = Ι ω | Υ a2 sin2 ωί + &2 cos2 ω*.
4. Поезд с момента торможения двигался равнозамед-
ленно и прошел до полной остановки 200 м за 40 с.
Найти ускорение движения w и определить скорость vo
поезда перед началом торможения.
За начальный момент примем момент начала
торможения. Тогда ίο = so = 0 и формула (3.5) дает
s =
wt2 , . ds
-у + V0t, V = — = Wt + V0.
Учитывая заданные условия, получаем
200 = 800м; + 40у0, 40ш + v0 = 0.
Решая эту систему, окончательно имеем
v0 = 10 м/с, w = — -г- м/с2.
Таким образом, как и ожидалось, скорость и ускорение
имеют противоположные знаки (движение равнозамед-
ленное).
§ 4. Скалярная угловая скорость и ускорение
материальной точки. Круговое движение
Пусть дана некоторая плоскость, на которой выбрано
определенное положительное направление вращения,
например, против движения часовой стрелки, и пусть на
этой плоскости задана некоторая ось Ох.
Рассмотрим ось Δ, выходящую из точки О и
вращающуюся в упомянутой плоскости. Через θ обозначим тот
положительный или отрицательный угол, на который
нужно повернуть ось Ох в положительном или отрица-
103

тельном направлении, чтобы она совместилась с осью Δ
(рис. 12).
Положение оси Л вполне определено, если известен
угол θ как функция времени; таким образом, уравнением
вращения оси Δ естественно назвать уравнение
θ = θ(ί).
Для определенности будем подразумевать, что угол θ
измеряется в радианах. Пусть углы поворота соответствую-
Рис. 12
Рис. 13
щие двум соседним моментам времени t и t + At, равны
θ и θ + ΔΘ. Отношение -77 называется средней
скалярной угловой скоростью, а его предел, когда At ->- 0,—
скалярной угловой скоростью. Таким образом, обозначив
скалярную угловую скорость через ω, в силу
определения получим
ω =
dt
(4.1)
Если ω = const, то вращение называется равномерным.
В этом случае легко получим
θ = ω(ί — ίο)+θ0,
(4.2)
где θο обозначает угол поворота в начальный момент
времени t = t0. Так как θ — отвлеченное число, то
очевидно, размерностью угловой скорости будет [ω] = ί/Τ.
Пусть значения скалярной угловой скорости,
соответствующие моментам t и t + At, равны ω и ω + Δω.
Отношение -Tj называется средним скалярным угловым ус-
корением, а его предел при At -> 0 назовем скалярным
угловым ускорением. Таким образом, обозначив скаляр-
104

ное угловое ускорение через κ, напишем
_ άω _ d20
%-"dt- at*'
Если κ = const, то вращение называется равномерно
переменным (равнопеременным). В этом случае будем
иметь
θ = γ (t - ί0)2 + ω0 (t - у + θ0, (4.3)
где θο и ωο представляют собой значения угла поворота
и скалярной угловой скорости в начальный момент
времени t = to. Очевидно, размерность углового ускорения
м-р-·
Рассмотрим теперь движение точки по окружности
радиуса г. За положительное направление вращения по
упомянутой окружности примем направление,
противоположное направлению движения часовой стрелки, и
проведем через центр О окружности некоторую ось Ох,
пересекающую окружность в точке Mq (рис. 13). За точку
отсчета естественного параметра примем точку М0.
Положение подвижной точки Μ на окружности полностью
определяется углом Θ, который составляет вектор ОМ
с осью Ох*). Обозначив естественный параметр,
соответствующий точке М, через 5**), получим***)
s = γΘ. (4.4)
ds
Так как скалярная скорость υ = -^, то равенство (3.4)'
дает
v = r J =τω. (4.5)
*) θ обозначает тот положительный или отрицательный
угол, на который нужно повернуть ось Ох соответственно в
положительном или отрицательном направлении, чтобы она
совместилась с ОМ.
**) Если точка Μ движется по окружности в
положительном направлении вращения, то s присваиваем положительный
знак и отсчитываем его от точки М0 в положительном
направлении, в противном же случае s присваиваем отрицательный знак и
отсчитываем его от точки М0 в отрицательном направлении.
***) Как было отмечено выше, угол θ измерен в радианах.
105

Таким образом, при круговом движении скалярная
скорость равна произведению радиуса окружности и
скалярной угловой скорости.
Дифференцирование формулы (3.5) дает
и? = г^ = гк, (4.6)
at
т. е. при круговом движении скалярное ускорение равно
произведению радиуса окружности
на скалярное угловое ускорение.
Примеры.
1. Точка движется равномерно
по окружности радиуса 2,5 м со
скоростью 9 м/с. Найти угловую
скорость вращения.
Воспользовавшись формулой
(3.5) и внеся в нее ν = 9 м/с, г =
Рис. 14 = 2,5 м, получим ω = 3,6 1/с.
Значит, за единицу времени (секунду)
радиус-вектор движущейся точки повернется на угол,
180° Q a
равный «о,о.
2. В плоскости Оху вокруг точки О вращается ось Δ,
скорости точек А и В которой равны vA и vB
соответственно (рис. 14). Расстояние между точками А и В
равно а. Найти угловую скорость вращения и расстояние
г=ОВ.
В силу формулы (3.5) имеем
vA = (r + a)(u, vB = m.
Из этих уравнений получим
ω = , r = a.
§ 5. Векторная скорость и векторное ускорение
Пусть линия L представляет собой траекторию
подвижной точки М. Рассмотрим систему прямоугольных
декартовых координат Oxyz. Радиус-вектор точки Μ
относительно точки О в момент времени t обозначим через г =
,==(я» Уч z)> Уравнение движения точки будет иметь вид
(см. § 2)
г = г(0\ (5.1)
где
*»*(*). »вУ(0. *-*(*)· (5·2)
106

Рассмотрим два близких значения времени t ж t + At.
Обозначим соответствующие им радиус-векторы через г
и γ + Δγ, где γ + Δγ = γ(£ + Δ0, т. е. Ar = r(t + At) —
Δγ
— г(£) (рис. 15). Отношение д-р
называется средней векторной
скоростью точки М, а предел этого
отношения при At -> 0 называется
векторной скоростью точки Μ в момент t.
Обозначим векторную скорость
через у = (уж, vy, vz). Согласно
определению, получим*)
дт (dx dy dz \ ,г о\
= άΓ-[ΊΓ> Ж* Ж у (°·ό)
Рис. 15
Очевидно, что векторная скорость подвижной точки М,
представляющая собой производную радиус-вектора
точки по времени, направлена по касательной к траектории
в точке М.
Спроектировав равенство (5.3) на оси координат,
получим
dx
dy dz
vy — if' Vz — it
dt
(5.4)
π dx dy dz w „
Величины -jj-, -Tj-, -T7 представляют собой скалярные
скорости ортогональных проекций точки Μ на оси
координат. Поэтому в силу равенств (3.4) скалярные
скорости ортогональных проекций подвижной точки Μ на оси
координат равны проекциям векторных скоростей на эти
оси. Но так как всякая ось может быть принята за одну
из осей координат, то ясно, что скалярная скорость
ортогональной проекции подвижной точки Μ на некоторую
ось равна проекции на эту ось векторной скорости.
Пусть близкие друг к другу моменты времени t и
t + At, соответствующие значения векторных скоростей
равны ν и ν + Δν, где ν + Δν = \(t + At). Отношение
тпг называется средним векторным ускорением, а
предел этого отношения, когда At ->■ 0,— векторным
ускорением. Таким образом, если векторное ускорение обозна-
*) Производная вектора есть вектор, координатами которого
являются производные соответствующих координат данного
вектора (см. § 9, гл. 2).
107

чить через w = (wx, wy, wz), то в силу определения
d\ d2v iK rv
w = -37 = —о. (5.5)
dt dt2 '
Спроектировав это равенство на оси координат,
получим:
dvx d2x d»y d2y dvz d*z
w* = ~dt=l^ w« = m- = W "* —л -s?· (5-6>
В силу формул (5.6), как и в случае векторной
скорости, убеждаемся, что скалярное ускорение
ортогональной проекции подвижной точки Μ на некоторую ось
равно проекции на ту же ось векторного ускорения.
Ввиду того, что длина дуги ММ\ (рис. 15), равная
As, и ΙΔγ|—равносильные бесконечно малые величины,
величина векторной скорости равна скалярной скорости
с соответствующим остатком, т. е. ν = ±-^ . Это
обстоятельство, вообще говоря, не имеет места для
ускорения, т. е. величина ускорения в общем случае не равна
скалярному ускорению (см. § 8).
Пусть дана векторная скорость точки Μ как функция
времени
v = f(i). (5.7)
άτ
Найдем траекторию точки. Ввиду того, что ν = -тр,
равенство (5.7)*) дает
t
r=\i{t)dt + c, (5.8)
'о
где с — произвольный постоянный вектор. Пусть заданы
начальные условия:
если t = t0, то г = го.
При этих начальных условиях предыдущее равенство
дает с = го. Внося это значение в равенство (5.8), найдем
t
r = r0+ \t(t)dt.
*) Интеграл из вектор-функции есть вектор, координаты
которого равны интегралам из координат вектора.
108

Мы получили векторное ^равнение траектории.
Проектируя его на оси координат, падучим
t t
* = *o + J/ι (0*. У = Уо+ ί/2(ί)Λ»
2 = zo + J /з (0 *»
где я0, г/о, £о — координаты вектора г0; /ι(0, Ы0>
/з(0~ координаты вектора f(i)· Полученные уравнения
являются параметрическими уравнениями траектории
подвижной точки М.
Пусть ускорение задано как функция времени
*-$=φ(ί), (5-9)
at
а начальные условия таковы:
если t = to, то г = го, ν = ν0,
где го и vo — заданные постоянные векторы. Тогда
уравнение движения точки (уравнение траектории)
получится из (7.9) после двукратного интегрирования и с
учетом начальных свойств. Таким образом, если в
начальный момент t = to заданы положение и скорость
движущейся точки М, то из уравнения (5.9) траектория
определится однозначно.
В дальнейшем всегда, если противное не будет
оговорено особо, под скоростью и ускорением точки будем
подразумевать векторную скорость и векторное ускорение.
Так как ν2 = ν% + ν\ + ν\, то в силу равенств (5.4)
получим
f/dxV
м-уЧ'М*)'^)'· (М0)
Кроме того, очевидно, что
dx
cos(v, x)=j^j =
/(i)'+(§)!+(!)"
dy_
^(γ,,)-^-__*=_ (5.11)
V W+H+fci
[dt
109

COS (V, Z) = γ^- =
Аналогично получим
dt
/(f)*+(l)*+(§)'
м-/($Н*Н
dt2
cos (w, a;)
dt2
/т+т+{я
cos(w, y) =
cos (w, z) =
eft2
/(£)Ч£)Ч
A
rfi2
(5.12)
A
it2
vm'+m'+ffi
Векторную скорость приложим к некоторой
фиксированной точке, например к
точке О. Конец этого вектора
опишет некоторую линию,
которую будем называть
годографом скорости.
Примеры.
1. Точка Μ равномерно
двигается по окружности радиуса
г с угловой скоростью ω (рис.
16). Найти векторную скорость
и ускорение точки М, а также
годограф скорости.
Приняв момент совмещения
вектора ОМ с осью Ох за на-
Рис. 16
чальный момент, согласно формуле (3.2) получим
θ «ω*.
(1)
110

Ясно также, что уравнение движения точки будет
# = rcosco£, y = rsincu£, (2)
откуда
χ = —rco sin ω£, у' = rco cos cat. (3)
Следовательно,
v=rco(—sincoi, coscoi), Μ=ΗωΙ.
Дифференцированием равенства (З) получим
χ " = — rco2 cos ω£, г/" = —τω2 sin ω£. (4)
Отсюда
w = — rco2(cos ω£, sincoi), |ω|=τω2.
Сравнивая равенства (2) и (4), имеем
W = _Q2<9M. (5)
В силу равенств (3) и (4) получим
(wv) = zV+2/y =0.
Это равенство показывает, что ускорение
перпендикулярно скорости (их скалярное произведение равно нулю).
Помимо этого, в силу равенства (5) ускорение
направлено к центру.
Если возведем равенства (3) в квадрат и сложим их,
то получим
Таким образом, годограф скорости есть окружность
радиуса Ηωί.
2. Даны уравнения движения точки
# = acosco£, y = bs'm(ut, (6)
где а, Ъ и ω — постоянные. Найти траекторию точки, го-
дрграф скорости и ускорение.
Из уравнения (6) имеем
4 + 4 = 1- (7)
а о
Таким образом, траектория — эллипс, полуосями которого
являются а и Ь. Дифференцированием равенств (6)
получаем
х' = — αω sin ω£, у' = b(ucos(ut, (8)
111

откуда
й- + -6=1· (9)
α ω ο ω
Следовательно, годограф скорости — также эллипс с
осями αω и b(u.
Дифференцируя равенства (8), получим
χ " = —αω2 cos ω£, у " = — Ьсо2 sin ωί,
_ (10)
w = — G)2(acoso)£, Ь sin ωί)= —ω2ΟΜ.
На основании формулы (10) заключаем, что ускорение
направлено к центру траектории (эллипса, определенного
равенством (7)).
§ 6. Секториальная скорость и ее связь
с моментом скорости
Пусть материальная точка движется по плоской
траектории и ее положение определено радиусом-вектором г =
= ОМ; пусть, кроме того, полярные координаты точки Μ
есть г и φ; за полярную ось примем ось Ох.
Предположим, что в начальный момент времени точка
Μ занимает положение, определяемое радиусом-вектором
то = ОМ0.
Обозначим через c(t) площадь фигуры, описываемой
радиусом-вектором из начального положения за время t.
Рассмотрим бесконечно малое приращение At времени,
а площадь фигуры, описанной
радиусом-вектором за это
время, обозначим через Δσ (рис.
17). Отношение ^-называется
средней скалярной секториалъ-
ной скоростью, а предел этого
отношения при At ->■ 0
называется скалярной секториалъной
скоростью в момент t. Согласно
этому определению, скалярной
Рис. 17 секториальной скоростью точки
^ do
будет ж.
Рассмотрим теперь вектор Δσ, определенный
следующим равенством:
Δο = |-[γ·Δγ], (6,1)
112

где Δγ = ММ', г = ОМ. Величина этого вектора равна
площади треугольника ОММ'. Выражение
Ί. Δσ da
Δί-»0 Δί dt
называется векторной секториалъной скоростью.
Очевидно, она перпендикулярна плоскости траектории
(плоскости Оху) и ее величина равна скалярной секториалъной
скорости. В силу равенства (6.1) имеем
2§ = [Γ·ν]. (6.2)
Правая часть равенства (6.2) представляет собой момент
скорости ν относительно центра О (см. § 12, гл. 1). Из
равенства (6.2) имеем
ι§ | = ΐ['·ν]|. (б.з)
Формулы (6.2) и (6.3) устанавливают зависимость
между моментом скорости и секториальной скоростью.
Ввиду того, что площадь треугольника ОММ' с до-
А
вольно большой точностью равна -к τ*2Δφ, имеем
Здесь скалярная секториальная скорость выражена в
полярных координатах.
§ 7. Главная нормаль и кривизна линии
Рассмотрим вектор-функцию P(t) с постоянной длиной:
IP (01= const. (7.1)
Покажем, что производная вектора постоянной длины
перпендикулярна этому вектору. Действительно,
рассмотрим скалярное произведение вектора постоянной длины
Р(£) на себя. Имеем
(Р-Р)= lPl2 = const. (7.2)
Дифференцированием равенства (7.2) получим
НН·
ИЗ

Это равенство является условием перпендикулярности
векторов Ρ и -^ (см. § 11 гл. 1). Справедливость
утверждения доказана.
Пусть дана некоторая линия С пространства, на
которой выбрано определенное положительное
направление. Положение точки на этой
линии охарактеризуем дуговой
абсциссой s (естественным параметром),
точкой отсчета которой является
точка М0 (рис. 18).
Пусть параметрическое
уравнение этой линии имеет вид x = x{s)1
y = y{s)i z = z(s). Предположим,
что x(s), y{s), z(s)—непрерывно
дифференцируемые до второго
порядка включительно относительно
параметра s функции.
Возьмем на линии произвольную
точку М, соответствующая дуговая
абсцисса которой равна s. Проведем
в точке Μ касательную к линии*), ортом которой**)
является е. Очевидно е будет функцией параметра s.
Рассмотрим соседнюю с Μ точку М\. Пусть орт
касательной к линии, проведенной в точке М\, есть е\. Приложим
вектор ci к точке Μ и проведем через векторы е и ei
плоскость. Предельное положение этой плоскости, когда
точка Μι стремится к точке Μ вдоль линии С,
называется плоскостью, соприкасающейся с линией в точке М.
Всякая прямая, перпендикулярная к касательной в
точке М, называется нормалью. Нормаль, расположенная
в соприкасающейся плоскости, называется главной
нормалью. Нормаль же, перпендикулярная к
соприкасающейся плоскости, носит название бинормали. Очевидно,
касательная, нормаль и бинормаль взаимно
перпендикулярны.
Обозначим угол между векторами е и ei через ε. Οτ-
, где ΙΔ$Ι — длина дуги ММи называется
Рис. 18
ношение
|Δ·|
средней кривизной этой дуги, а предел lim -г-, который
As->0
Δ*'
*) В силу приведенного выше требования, данная линия в
каждой точке имеет непрерывно меняющуюся касательную.
**) Подразумевается, что е направлен в сторону возрастания
параметра s.
114

обозначим через ■—:
1 ,. ε
— = lim -г-т-
Р As->0 I Δ*
называется кривизной данной линии в точке М.
Величина ρ называется радиусом кривизны в этой точке.
Вычислим производную по параметру s орта е
касательной. Ввиду того, что длина вектора е постоянна
(равна единице)
то
с как
[чем
de I
ds I —
de .
de ·,. Ле
-г- = lim -г-,
ds Δ«-Χ> Δβ
|Ae| = 2sin|-,
8 ε
2 sin -Ту sin тг
lim , . , = lim , . ,
Δ5-*0 ΙΔδΙ Δ*->0 Δ ΙΔ5Ι
2
= lim -τ— =
Δ.-0 AS
_ 1
Ρ
Если теперь предположим, что As > 0, т. е. точка М\
расположена по ту сторону от М, в которую возрастает
параметр s, то &е=АВ направлен в сторону вогнутости
линии. Легко убедиться, что -г- = lim -г- направлен
также в сторону вогнутости линии (рис. 18).
Таким образом, -^ перпендикулярен касательной,
его длина равна кривизне линии в данной точке, он
совпадает с главной нормалью и направлен в сторону
вогнутости линии. Обозначим координаты точки Μ через х, у,
ζ, т. е.
(dχ dy dz \
~57' U' Is у
тогда
' j2„ ,2.. j2_
de _ I df'x d*y dzz
ds \ ds2 ' ds2 ' ds2 .
115

Ввиду того, что координаты точек данной линии
имеют производные второго порядка по дуговой абсциссе s,
линия имеет непрерывную кривизну в каждой точке.
§ 8. Разложение ускорения на касательное
и нормальное ускорения
Пусть, как и в § 5, линия L представляет собой
траекторию движущейся точки М, на которой выбрано
положительное направление. Охарактеризуем
положение точки Μ на линии L
естественным параметром s,
отсчитываемым от некоторой точки Mq этой линии
(рис. 11), таким образом, как это
делалось в § 3. Так как скорость точки
Μ (векторная скорость) касательна к
траектории, то
v = ye, (8.1)
где ν — скалярная скорость точки М,
а е — орт касательной, направленный
в сторону положительного направления на линии (т. е.
в сторону роста параметра s).
Рис. 19
Дифференцированием равенства (8.1) получим
d\
Ψ=4Γ =
Очевидно,
de de
dt ~~ ds
Как было показано в § 7,
de
ds
dv , de
ds de
dt ds
~ P'
(8.2)
где nu — орт главной нормали, проведенной к линии в
точке М, направленный к центру кривизны; ρ — радиус
кривизны.
Предыдущее равенство дает
dt ρ11.
Внося это значение в (8.2), получим (рис. 19)
w = wt + wn,
116
(8.3)

где
w„ = -^-n°. (8.5)
Равенство (8.1) показывает, что ускорение состоит из
двух слагаемых. Слагаемое wT = ^- е, совпадающее с
касательной, называется касательным ускорением; его
величина равна скалярному ускорению. Слагаемое wn =
= — ηϋ, совпадающее с главной нормалью, называется
нормальным ускорением.
Таким образом, ускорение точки, представляющее
собой сумму касательного и нормального ускорений,
расположено в соприкасающейся плоскости. Отсюда вытекает,
что проекция ускорения на бинормаль равна нулю.
Спроектируем равенство (8.4) на касательную, а
равенство (8.5)—на главную нормаль. Получим
dv ν /0 лч
ух =-off ιυη-Ύ· (8-6)
Так как — представляет собой скалярное ускорение
точки, то в силу равенств (8.6) величина векторного
ускорения совпадает со скалярным ускорением тогда и
только тогда, когда нормальное ускорение равно нулю.
Рассмотрим движение точки по окружности радиуса г.
Воспользовавшись обозначениями, использованными в
конце § 4, и вспомнив формулу (4.5) ν = τω, в силу
равенств (8.6) получим
dv d(u лл /0 rrv
w* = -dT = r^- = ™> (8·7)
wn = j-^f = ™2, (8.8)
dQ
где г — радиус окружности, ω = — — угловая скорость
вращения вектора ОМ (рис. 13), κ — угловое ускорение.
Ускорение wn называется центростремительным
ускорением, wx — касательным ускорением.
В силу формулы (8.3) имеем
2 2 , 2 I dv Υ У4
w* = wx + wn = (-^-j +-J-,
117

откуда
1~^-(*Г·
(8.9)
Если известны уравнения движения в декартовых
координатах
x = x(t), y = y{t), z = z{t),
το
причем (8.9) даст возможность вычислить кривизну
линии в данной точке.
§ 9. Разложение скорости на радиальную
и трансверсальную составляющие
Рассмотрим некоторую плоскость, на которой выбрано
определенное положительное направление вращения
(например, направление, противоположное движению
часовой стрелки), и допустим, что траектория точки
представляет собой определенную линию, расположенную в
этой плоскости. Возьмем на упомянутой плоскости
полярную ось Ох и охарактеризуем положение движущейся
точки Μ на линии L полярными координатами φ, я, где
φ — тот положительный или отрицательный угол, на
который надо повернуть ось Ох соответственно в
положительном или отрицательном направлении, чтобы она сов-
<—у
падала с вектором ОМ; г представляет собой длину
вектора ОМ = τ (рис. 20). Очевидно,
полярные координаты г, φ точки Μ
есть определенные функции
параметра t (времени):
r = r(t), φ = φ(0·
Обозначим через г° орт вектора
Рис. 20 г и проведем через точку Μ две
взаимно перпендикулярные оси,
ортом одной из которых является г°, а второй р°, причем
р° получается из г° поворотом вокруг точки Μ на поло-
118

яштельный угол -γ. Наша цель — найти составляющие
скорости на этих двух осях, называемых полярными
координатными осями.
Радиус-вектор г точки Л/, очевидно, может быть
представлен в виде
г = гг°. (9.1)
Продифференцировав это равенство по времени, получим
v=-£=£r0+^· (9·2)
Придадим полярному углу φ бесконечно малое
приращение Δφ, а соответствующее приращение г° обозначим
через Δγ°. Приращения Δγ° и Δφ — равносильные
бесконечно малые величины, поэтому \dr°\« |ώφ|. Если, кро-
dv°
ме того, примем во внимание, что —— I г°, то нетрудно
dt -L-
убедиться в справедливости следующих равенств:
-£-?р·· <9·3>
Внесем это значение в (8.2), получим:
il = v = —г° + г^Рр°. (9.4)
dt v dt l ^ dt p # v *'
Таким образом, скорость состоит из двух слагаемых,
одно из которых совпадает с направлением г°, а второе
с направлением р°. Обозначив первое слагаемое через vr,
а второе через vP, получим
ν — vr + vPl
где
Vr—Λ (9.5)
Vp = r^P°. (9.6)
Первое из этих слагаемых носит название радиальной
составляющей, а второе — трансверсалъной составляющей.
Так как vr -l- vP, то
*-*+*-[$)'+**№' (9·7)
w-Yffl+HZf· (9·8)
119

Дифференцированием равенства (8.4) легко получается
разложение ускорения на радиальную и трансверсальную
составляющие.
§ 10. Дифференциальные уравнения движения
материальной точки в декартовых координатах
Как было отмечено в § 1, сила рассматривается как
результат взаимодействия материальных тел.
Каждодневные наблюдения, опыты и эксперименты показывают,
что силу характеризуют точка приложения, интенсивность
(величина) и направление. Для возможности
использования понятия силы в точных науках необходимо
придать ей вполне определенный смысл. С этой целью
понятие силы вводится в виде определенного принципа,
принимаемого без доказательства, правильность которого
подтверждается наблюдениями, опытом, экспериментом.
Этот принцип формулируется следующим образом:
Всякая сила имеет определенную точку приложения,
величину и направление; эти три элемента вполне
определяют заданную силу.
Из этого принципа следует, что сила — векторная
величина.
Галилей показал, что все свободно падающие в
пустоте тела в одном и том же месте земной поверхности
получают одинаковое ускорение g, называемое
ускорением силы тяжести*).
Рассмотрим теперь материальную точку М, на
которую действует определенная сила F. В силу первого
закона Ньютона (§ 2) материальная точка будет
находиться в состоянии покоя или прямолинейного равномерного
движения до тех пор, пока на него не подействует сила.
Следовательно, в результате действия силы материальная
точка обязательно получит ускорение, которое обозначим
через w. На основании эксперимента Ньютон пришел к
заключению, что сила и ускорение сонаправйены и
отношение их величин не зависит от действующей силы,
т. е. отношение
·£ = »» (10Л)
*) Так же, как и вес тела, ускорение силы тяжести g в
разных местах земной поверхности имеет разное значение, одпако
разница невелика и практически не учитывается.
120

есть постоянная величина. Она зависит только от взятой
материальной точки и не зависит от действующей на эту
точку силы и вызванного ею ускорения. Таким образом,
взятой материальной точке сила придает ускорение,
пропорциональное этой силе. На основании отмеченного
выше можно написать
mw«F. (10.2)
Это равенство дает второй закон Ньютона (см. формулу
(1.1)): произведение массы и ускорения материальной
точки равно силе, действующей на эту точку.
Величина тгс, участвующая в равенстве (10.2),
называется инертной массой материальной точки. Таким
образом, инертная масса рассматривается как коэффициент
пропорциональности, связывающий между собой
кинематическую величину — ускорение и кинетическую
величину — силу.
Из равенства (10.1) имеем
[F]T2
L '
[m]
(10.3)
где [m] обозначает размерность массы, [F] —
размерность силы, Τ — размерность времени, L — размерность
длины. Равенство (10.3) устанавливает зависимость
между размерностями массы и
силы. Из формулы (10.3)
получается, что
ед. силы
кг-см
называется
Эта единица
ньютон.
Рассмотрим
прямоугольную декартову систему
координат Oxyz и материальную
точку Μ с массой т.
Радиус-вектор точки Μ
относительно точки О обозначим через г. В силу равенства
(10.2) имеем
/«
У
Рис. 21
m
F,
(10.4)
где F— сила, действующая на точку Μ (рис. 21).
Наблюдения и эксперименты показывают, что сила
может зависеть от расположения точки, ее скорости и
121

времени, т. е. от г, ν и t, или, что то же, от х, у, ζ, х\
у\ z\ t, причем х\ у', ζ' — производные координат х}
у, ζ по времени.
Пример силы, зависящей от положения тела,
представляет собой сила натяжения пружины. Пусть один
конец пружины закреплен неподвижно, а ко второму
концу прикреплена материальная точка, движущаяся по
оси Ох. Очевидно, сила натяжения пружины будет
функцией координат (положения) χ подвижной точки.
Пусть неподвижная материальная точка М\ с массой
т\ притягивает, согласно закону всемирного тяготения
Ньютона, материальную точку Μ с массой т. Сила
тяготения представляет собой функцию расстояния г
между точками:
F-fH^, (10.5)
Г
где / — гравитационная постоянная. Массы Ш\ и гпч в
законе всемирного тяготения носят иной характер, чем
инертная масса. Такие массы называют гравитационными.
Многочисленные эксперименты доказывают
эквивалентность инертной и гравитационной массы. Поэтому
они и обозначаются одинаково.
Согласно закону Кулона, сила взаимодействия двух
ее
заряженных частиц равна F = —ψ , где г — расстояние
между частицами; е\ и е% — заряды частиц.
Примером силы, зависящей от скорости, может
служить сила трения. Если тело при движении
соприкасается с другими телом, то сила трения зависит от
скорости движения одного тела относительно другого. Другим
примером такой силы может служить сила сопротивления
окружающей среды. Чем больше скорость движущейся в
атмосфере частицы, тем больше сила сопротивления
воздуха.
Спроектировав векторное уравнение (10.4) на оси
координат, получим
d2x
m—2=Fx (ί, χ, г/, ζ, χ\ у, ζ'),
at
тчт=ру С· *· 0»z-х'' ν''ζ')' (10·6)
m—^ = F2(t. χ, у, ζ, χ', у', ζ'),
at
122

если t =
~ ч)>
то
X — Xqi
У = Уо>
\z = z0,
Χ — Xqi
у' = г/ό.
ζ' = ζ0,
где Fx, Fyi Fz — проекции силы F на оси Ох, Оу, Oz
соответственно. Система (10.6) представляет собой систему
обыкновенных дифференциальных уравнений второго
порядка. В дальнейшем всюду будем подразумевать, что
F*i Fyj Fz — непрерывные функции своих аргументов,
удовлетворяющие условиям Липшица относительно
величин х, у, ζ, χ , у', ζ' (в той области, где
рассматривается движение точки).
Система (10.6) представляет собой систему,
рассмотренную в § 12 гл. 2, для которой соблюдены условия
теоремы существования и единственности решения.
Рассмотрим для системы (10.6) следующую задачу (задача
Коши):
Найти решение системы (10.6) (движение точки),
удовлетворяющее начальным условиям:
(10.7)
где Го = (.го, г/о, zq) определяет начальное положение,
а у0 = (х0, у'0, z'o) — начальную скорость, причем
начальное положение и начальная скорость (т. е. хо, ι/ο, £о
и #о> #о> ζο) заданы произвольно. При налагаемых на
систему (10.6) условиях такое решение (движение точки)
существует и единствецно.
Общее решение этой системы имеет вид
x = x(t, Cu Сг, ..., С6),
y*=y{t, Cu С2, ..., С6), (10.8)
ζ = z(t, Си' Сг, ..., Сб),
где Си С2, ..., Сб — произвольные постоянные,
однозначно определяемые начальными данными (10.7).
В силу начальных условий (10.7) формулы (10.8)
дают
Xq = Х \Lq, С ι, С 2,
Уо == У VOi ^V ^2'
ζ0 = ζ(£0, Cv C2t
Из этих уравнений постоянные С\, Сг, ..., Се определя-
123
, Сq),
» ^б)>
.Q.
Xq X (£q, С-р С2, .
Уо === У (^о> W» ^2»
Zq =■ ζ \Iq, Сг, С2,
.·» Св),
. .·, Св),
(10.9)
...,Св).

ются однозначно. Имеем
Ch = /л(*о» жо» #о> *о> 4» Уо» 4) (Л = 1, 2, . .., 6).
Спроектировав уравнение (9.5) на касательную к
траектории, главную нормаль и бинормаль, получим (см.
§ 8):
где Fx, Fn, Fb — проекции силы F соответственно на
касательную, главную нормаль и бинормаль.
Вспомним определение первого интеграла системы
дифференциальных уравнений (§ 10, гл. 2).
Первым интегралом системы (10.6), согласно
определению, является такая зависимость между величинами
t, χ, у, ζ, х\ у', ζ', которая не равна тождественно
постоянной, но станет равной ей, если в эту зависимость
вместо координат х, г/, ζ и их производных подставить
какие-либо решения системы (10.6) и их производные.
Таким образом, функциональная зависимость
Ф(«, х, у, z, x\ y\ z') = C (10.11)
между величинами £, х, г/, ζ, χ\ у', zr и постоянной С
является первым интегралом этой системы.
Описанные выше дифференциальные уравнения
движения материальной точки дают возможность
рассмотреть две задачи:
1) по заданному движению точки найти
действующую на нее силу, которая вызвала это движение;
2) по заданной силе найти закон движения точки.
Первая задача, называемая прямой задачей
динамики, решается просто; действительно, если известен закон
движения точки, т. е. радиус-вектор г, как функция
времени, то в силу равенства (10.5) для отыскания
действующей на точку силы достаточно найти производную
второго порядка радиус-вектора г.
Для решения второй задачи, называемой обратной
задачей динамики, нужно проинтегрировать систему
дифференциальных уравнений (10.6). Интегрирование этой
системы для общих значений функций Fx, Fy, Fz очень
трудное дело. В таком общем случае представление
решения в виде квадратур невозможно. Однако часто, для
конкретного значения заданной силы, решение системы
может быть записано в квадратурах.
124

Задача отыскания силы, движущей планету, которую
мы рассмотрим в § 17, представляет собой пример
прямой задачи динамики. Что же касается рассмотренной в
§ 18 задачи Ньютона, то это пример второй задачи.
§ 11. Закан количества движения и момента
количества движения для материальной точки
Пусть дана материальная точка с массой т. Вектор,
определенный равенством
K=/rcv, (11.1)
называется количеством движения заданной точки.
Таким образом, количество движения материальной точки
представляет собой произведение массы на скорость
точки.
Произведение силы, действующей на точку,
дифференциал времени (F dt) называется элементарным импульсом
силы. Рассмотрим конечный промежуток времени (fo, t).
Интеграл
t
§Fdt (11.2)
Ч
назовем импульсом силы в промежутке (ίο, t). Так как
подразумевается, что масса заданной точки при
движении не меняется, то уравнение (10.4) движения
материальной точки можно переписать следующим образом:
d{my) = Fdt. (11.3)
Последнее равенство убеждает нас в справедливости
следующей теоремы:
Теорема 1. Дифференциал количества движения
материальной точки равен элементарному импульсу
силы, действующей на эту точку.
Эта теорема известна под названием закона
количества движения.
Если в момент t <= to значение скорости обозначим
через vo, в силу формулы (11.3) получим
t
mv — m\0 = J F dt, (11.4)
4
и, следовательно, изменение количества движения мате-
риальной точки за конечный промежуток времени (to, t)
равно импульсу силы за этот же промежуток времени.
125

Таким образом, формулой (11.4) дан закон
количества движения для конечного промежутка времени.
Из равенства (11.4) очевидно, что если промежуток
(ίο, t) бесконечно мал и величина силы конечна, то
изменение количества движения будет бесконечно малым.
Но есть явления, для которых изменение количества
движения за бесконечно малый промежуток времени
конечно. Такие явления называются явлениями удара.
Явления удара мы рассматривать не будем.
Уравнения движения материальной точки (10.5)
перепишем следующим образом:
m^r = F. (11.5)
Умножим обе части этого равенства слева векторно на
вектор г. Получим
[r-n»0] = [r.F]. (11.6)
Ввиду того, что
Г dv~\ d r .
dv 1
di'my\
и при этом ^ *mx
репишется в виде
[dt
= m [ν·ν] = 0, равенство (11.6) пе-
|[r.wv]-[r-F]. (И.7)
Так как [г · тх] представляет собой момент
количества движения относительно точки О, а [г · F] — момент
силы относительно этой же точки О (рис. 21), то
равенство (11.7) убеждает нас в справедливости следующей
теоремы:
Теорема 2. Производная по времени момента
количества движения относительно некоторой точки равна
моменту силы относительно этой же точки, действующей
на материальную частицу.
Эта теорема известна под названием закона момента
количества движения. Спроектировав равенство (10.7)
на оси координат, получим
τη л (yz' — zy') = yFz — zFy = MoxF,
m |- (zx' - xz') = zFx - XF2 = M0yF, (11.8)
m -^ (xyf — yx') = xFy — yFx = M0zF.
126

Если момент силы относительно какой-либо оси равен
нулю, то получим один первый интеграл системы
дифференциальных уравнений движения (10.6).
Действительно, пусть момент силы F относительно оси Ох равен
нулю. Тогда первое равенство системы (10.8) дает
yz' - zy' = С4,
где Са — постоянная. Этим справедливость утверждения
доказана. Если моменты сил относительно осей Ох и Оу
равны нулю, то получим следующие два первых
интеграла:
yz' — zy' = Са, zx — xz = С5.
Пусть момент силы относительно точки О равен нулю:
[r-F] = 0. (11.9)
Тогда система (11.8) даст следующие первые интегралы
системы дифференциальных уравнений движения:
yz' _ zy' = Са, zx' — xz' = С5, ху' — ух' = С6. (11.10)
Так как (11.9) представляет собой необходимое и
достаточное условие параллельности векторов г и F, а векторы
г и F имеют общую точку, То (11.9) есть необходимое
и достаточное условие того, что линия действия силы F
проходила через точку О. Сила, линия действия которой
всегда проходит через одну и ту же точку, называется
центральной силой.
Таким образом, если действующая на материальную
точку сила — центральная, то имеем первые
интегралы (11.10).
Докажем, что под влиянием центральной силы
материальная точка совершает плоское движение, т. е.
описывает плоскую кривую.
Действительно, если действующая на точку сила —
центральная, то имеем первые интегралы (11.10).
Умножая первое равенство (11.10) на х, второе на у, третье
на ζ, а затем складывая их, получим
CAX + Cby + C6z = 0. (11.11)
Полученное равенство представляет собой уравнение
плоскости, проходящей через начало координат, и
справедливость утверждения доказана.
Если сила—■ центральная, т. е. имеет место равенство
(11.9), то согласно (11.7)
[г · ν] = const, (11.12)
127

и, следовательно, момент скорости относительно точки О
есть постоянная величина.
Пусть, наоборот, момент скорости относительно точки
постоянен, т. е. имеет место (11.12); покажем, что
действующая на точку сила — центральная. Действительно,
дифференцированием равенства (11.12) получим [r-w] =
= 0 или, после умножения на т,
[г · mw] = 0.
Но так как mw = F, последнее равенство дает
[r-F] = 0,
и, следовательно, сила F — центральная.
Пусть сила — центральная; обозначим площадь,
описываемую радиусом-вектором точки Μ за промежуток
времени (0, £), через σ.
Ввиду того, что величина момента скорости равна
удвоенной секториальной скорости (см. § 6), в силу
равенства (11.12) будем иметь
2§ = |[r-v]| = C, (11.13)
где С—постоянная. Из последнего равенства следует
о = -γί + С0,
где Со — произвольная постоянная. Так как σ = 0 в
момент t = 0, то Со = 0, и последнее равенство дает
o = ~t. (11.14)
Таким образом, мы убеждаемся в справедливости
следующей теоремы.
Теорема 3. Если материальная точка движется
под влиянием центральной силы, то траектория точки
есть плоская линия и площадь, описанная
радиусом-вектором этой точки, пропорциональна времени.
Эта теорема известна под названием закона площадей.
Постоянная С, входящая в равенство (11.14),
называется постоянной площадей.
Покажем теперь, что имеет место и обратная теорема.
Теорема 4. Если материальная точка совершает
плоское движение так, что описываемая
радиусом-вектором точки площадь пропорциональна времени, то
действующая на эту точку сила — центральная.
128

Действительно, так как площадь, описываемая
радиусом-вектором, пропорциональна времени, то
-г- = const,
at
но так как удвоенная секториальная скорость равна
величине момента скорости, то
|[r.vJ| = 2j = const. (11.15)
Если теперь учесть, что в силу условия траектория
точки есть плоская линия, расположенная в плоскости,
проходящей через г и ν, то из равенства (11.15) легко
заключить, что
[г - v] = const.
Но как было показано выше, если момент скорости
относительно точки О постоянен, то сила центральная, и этим
теорема доказана.
§ 12. Закон сохранения энергии
Обе части урав'нения (12.5) умножим скалярно на
выражение dr = \dt. Получим
m(Ydy) = (Fdr). (12.1)
Очевидно, имеет место равенство
ν2 = (ν · ν).
Дифференцированием этого равенства получим
(v-dv) = νάν=άγ.
Внося это значение в (12.1), получим
ά^ = (ρ.άτ). (12.2)
Здесь mv2/2 — кинетическая энергия материальной
точки, а выражение (F · dr) называется элементарной
работой силы F (работой силы F на перемещении dr).
Из (12.2) получаем следующую теорему:
Теорема 1. Дифференциал кинетической энергии
материальной точки равен элементарной работе силы,
действующей на эту точку.
129

Замечание. Для элементарной работы справедлива
формула
(F · dt) = Fxdx + Fydy + Fzdz. (12.3)
Пусть сила F = (FX1 Fyi Fz) представляет собой
функцию только переменных х, г/, ζ и существует такая
функция U, называемая силовой функцией, что правая часть
(12.3) представляет собой полный дифференциал этой
функции:
Fxdx + Fydy + Fzdz = dU=^dx + ^dy + ^dz. (12.4)
Так как величины dx, dy, dz независимы, то последнее
равенство дает
F —— F — — F — — М2^
*х~ dx' гу~ dy' z~ dz' ^ΙΔ^>
Будем говорить, что сила F потенциальная, если
имеет место равенство (12.5). В этих условиях равенство
(11.2) дает
d^ = dU,
откуда
^f^U = h, (12.6)
где h — произвольная постоянная.
Функция V, определенная равенством
^ 17,
называется потенциальной энергией.
Теперь равенство (12.6) может быть переписано
в виде
?f + V = h,
и, следовательно, сумма кинетической и потенциальной
энергий есть величина постоянная. Сумма кинетической
и потенциальной энергий называется полной
механической энергией точки.
Таким образом, когда действующая на точку сила —
потенциальная, имеет место закон сохранения энергии.
Силу, для которой имеет место закон сохранения
энергии, часто называют консервативной.
130

Пусть главный вектор системы сил, действующих на
материальную точку, можно разделить на две силы:
F + F", где F' обозначает потенциальную, a F —
непотенциальную силу. Тогда уравнение движения точки (11.5)
запишется в виде
w = F + F',
а закон кинетической энергии (см. равенство (11.3)) дает
^ = (F'.dr) + (F.dr). (12,7)
Так как сила F' потенциальная, то
F'dr = dU=-dV, (12.8)
где U— силовая функция, а V — потенциальная энергия.
Равенство (11.7) дает
ά(η£+ν) = (¥·άτ),
или
dE=(F-dx), (12.9)
где
представляет собой полную энергию материальной точки.
Таким образом, дифференциал полной энергии равен
элементарной работе силы F.
Обозначив кинетическую энергию, соответствующую
силе F, через Т, получим dT = (F · dr), откуда
t
Τ = j(F.dr). (12.10)
о
Равенство (11.9), очевидно, дает
E-E0 = ^(F-dr),
О
где Eq — значение полной энергии при t = 0. В силу
(12.9) последнее равенство дает
Е-Ео = Т, (12.11)
и, следовательно, в рассматриваемом случае приращение
полной энергии равно кинетической энергии точки.
131

Может показаться на первый взгляд, что случай
потенциальных сил редок в реальном мире, однако это не
так, в чем нас убеждают приводимые ниже примеры
потенциальных сил:
1. Рассмотрим, в первую очередь, случай, когда
силы, действующие на движущуюся материальную точку
М, представляют собой силы притяжения нескольких
неподвижных точек. Пусть Ми М^ ..., Мп — неподвижные
материальные точки, действующие на точку М.
Обозначим радиуснвектор точки Mi относительно начала
неподвижной системы Oxyz через гг, а радиус-вектор точки Μ
относительно этой же точки О — через г. Пусть сила,
действующая на точку Μ и вызванная материальной точкой
М^ имеет вид
Fi-Fiipi)^1,
где рг-= \М{М\, Fi (pi) представляет собой проекцию силы
Ft на направлении вектора М{М, т. е. Fi>0, если сила
Fi направлена по вектору MiM, и /^ < 0 — в противном
случае. Главный вектор упомянутых сил притяжения
будет
г=1 г=1 Гг
поэтому работа, совершенная силой F' на элементарном
перемещении dv', определяется формулой
г=1 г г=1 г
η
i=1 Ρ* г=1
г=1
Очевидно,
где
(F · dt) = du,
U=%\F\{9i)d9i + C, (12.12)
причем С — произвольная постоянная (интеграл —
неопределенный) .
132

2. Пусть точки М{ (i = l, 2, ..., η) притягивают
точку Д/ в соответствии с законом всемирного тяготения:
, k2ms
F\= ^ («=1,2, ..., η),
/с2 — положительная постоянная, Ш\ — масса точки Ми
В этом случае, в силу формулы (12.12), имеем:
η
U = k2 2~ + const.
Пусть теперь точки Mt притягивают точку Μ с силой,
пропорциональной расстоянию рг= \М{М\:
F'i = — к2т{рь
где к2 — положительная постоянная (коэффициент
пропорциональности). В силу формулы (12.12) имеем
η
U = ± -j 2 т*Р* + const,
г=1
где верхний знак необходимо брать в случае сил
отталкивания, а нижний — в случае сил притяжения.
3. Пусть сила F^ имеет вид
F' = iX{x) + iY(y) + bZ(z);
тогда имеем:
U = j {Χ {χ) dx + Υ (у) dy + Z (ζ) dz) + const.
Приведенные примеры убеждают нас, что довольно
часто силы, действующие на материальную точку М,—
потенциальные.
§ 13. Уравнения прямолинейного движения
материальной точки
Условие прямолинейного движения материальной точки
дается следующей теоремой:
Теорема 1. Для прямолинейного движения
материальной точки необходимо и достаточно, чтобы в
начальный момент линия действия силы совпадала с пря-
мой% по которой направлена скорость.
133

Упомяаутую прямую примем за ось Ох. Если точка
движется по оси Ох, то
у = z = 0. (13.1)
Дифференцирование этих равенств по t дает
*/' = *' = 0, (13.2)
и, следовательно, скорость всегда имеет направление оси
Ох; в частности начальная скорость также направлена
по этой оси.
Дифференцирование равенств (13.2) по времени дает
у" =z" =0. (13.3)
Вспоминая дифференциальные уравнения движения
материальной точки
тх" = Fx, ту" = Fyi mz" = Fz, (13.4)
напишем
Fy = ту" = 0, Fz = mz" = 0,
Следовательно, сила F имеет направление оси Ох. Этим
необходимость доказана.
Предположим теперь, что точка в начальный момент
находится на оси Ох, причем начальная скорость и сила
имеют направление оси Ох. Покажем, что точка будет
двигаться по оси Ох. Так как сила направлена по оси
абсцисс (Fy = Fz = 0), то уравнение (13.4) дает
*/"=*" =0,
откуда у' = а, ζ'= Ь, причем а и Ъ — постоянные. Так
как начальная скорость имеет направление оси абсцисс,
то а = Ъ = 0, и следовательно,
У' = *' = 0,
откуда у = а\, z = b\, причем а,\ и Ъ\ — постоянные. Так
как в начальный момент точка находится на оси абсцисс,
то а,\ = Ъ\ = 0, и, следовательно
*/= z = о, (13.5)
а это есть уравнения оси Ох, и достаточность условий
теоремы доказана.
Следующая теорема является прямым следствием
теоремы 1.
Теорема 2. Если сила F, действующая на
материальную точку, центральная, и начальная скорость имеет
направление силы, то движение точки прямолинейно.
134

В силу теоремы 1 дифференциальное уравнение
движения точки по оси Ох имеет вид
m—2 = X(t,x,x'), (13.6)
dt
где X — проекция силы F=(X, О, 0) на ось Ох. Если
предположить, что X(t, x, #')—непрерывная функция
своих аргументов, удовлетворяющая условию Липшица
относительно величин χ и х', то для уравнения (13.6)
будут соблюдены условия существования и
единственности решения.
§ 14. Колебания материальной точки
Для иллюстрации прямолинейного движения рассмотрим
в настоящем параграфе так называемые гармонические,
затухающие и вынужденные колебания.
1. Гармоническое колебание. Рассмотрим
движение по оси χ материальной точки Μ под действием
силы притяжения центра О (находящегося на оси х),
величина которой пропорциональна отклонению
материальной точки от неподвижного центра притяжения О.
Проекция на ось Ох силы притяжения к центру О
имеет вид
Х = -кх, (14.1)
где к — положительное число, представляющее собой
коэффициент пропорциональности. Дифференциальное
._J 1 1 ^
Рис. 22
уравнение (13.6) движения материальной точки примет
вид
т^-кх. (14.2)
Равенство (14.2) можно переписать следующим образом:
^ + аАс-0, (14.3)
где ω2 = к/т.
Пусть в начальный момент времени материальная
точка Μ расположена вправо от точки О на расстоянии
хо от этой точки (рис. 22). Предположим, что точка
начинает двигаться с нулевой начальной скоростью.
135

Так как на точку Μ действует сила притяжения
к центру 0, то Μ движется в сторону этого центра.
Когда Μ достигнет О, тогда, в силу равенства (14.1),
действующая на нее сила обратится в нуль. Однако
точка продолжит по инерции двигаться влево от точки О
и будет двигаться в указанном направлении до тех пор,
пока ее координата не станет равной —xq. После этого
точка Μ под влиянием силы притяжения к центру О
начнет двигаться обратно по направлению к О, пройдет
через нее и достигнет первоначального положения,
определенного координатой xq. Описанное движение точки Μ
будет после этого повторяться периодически. Такое
движение точки называется гармоническим колебанием.
Покажем теперь аналитически, что движение точки
Μ имеет описанный выше характер, т. е. представляет
собой гармоническое колебание.
Легко проверить, что функции
х\ = cos (ut и Х2 = sin ωί
представляют частное решение уравнения (14.3).
Поэтому (см. § 13 гл. 2) общее решение уравнения (14.3)
имеет вид
χ = A cos ωί + В sin ωί, (14.4)
где А и В — произвольные постоянные. Вместо А и В
введем постоянные α и ε, связанные с А и В
следующими равенствами:
Л = я sin ε, B = acosE. (14.5)
Внося эти значения в (14.4), получим
χ = asin(o)£ + ε). (14.6)
Таким образом, общее решение уравнения (14.3) имеет
вид (14.6).
Постоянная а называется амплитудой колебания;
величина (ωί + ε) называется фазой колебания; ε —
начальной фазой (фаза к моменту £ = 0). Величина а есть
максимальное отклонение от центра О.
В силу формулы (14.6) ясно, что движение точки
Μ — периодическое. Обозначая наименьший период
через Г, получим
sin [ω (t + Τ) + ε] = sin(ωί + ε), (14.7)
откуда ωί = 2π и, следовательно,
Γ = 2π/ω.
136

Период Т представляет собой время, необходимое для
одного полного колебания.
Величину, обратную периоду, будем обозначать через
ν и называть частотой колебания
ν=4 = £· (14.8)
Очевидно, ν — число колебаний за единицу времени.
Из равенства (14.6) видно, что движение точки
имеет описанный выше характер.
Определим произвольные постоянные α и ε, входящие
в равенство (14.6), по следующим начальным условиям:
если t = 0, то χ = хо, χ = υ = vq. (14.9)
Легко получим, что
.-/4+5.
Хп(й ХЛ(д
tge = ^-, e = arctg-^-. (14.10)
Внося эти значения в равенство (14.6), получим
уравнение движения точки, удовлетворяющее начальным
условиям (14.9). Из равенств (14.10) ясно, что при zV^O
амплитуда больше начального отклонения. Если Уо = 0,
jt
то а = хо, ε = -γ и уравнение (14.6) дает
z = xocos(ut. (14.11)
Ввиду того, что период колебания, а следовательно,
и частота не зависят от начального отклонения,
материальная точка, если начальная скорость равна нулю, за
время Г/4 достигнет центра тяготения, на каком бы
расстоянии Хо ни находилась она от этого центра. Такое
движение называется тавтохроническим. Таким образом,
гармоническое колебание обладает свойством тавтохро-
низма.
2. Затухающие колебания. Пусть на
материальную точку, движущуюся по оси х, помимо
вышеуказанной силы действует также сила сопротивления,
направленная противоположно движению и
пропорциональная скорости. Обозначив проекцию упомянутой силы
сопротивления на ось Ох через X', запишем
X' = -2Ьшх',
где 2Ъш — коэффициент пропорциональности, причем
Ъ — определенная постоянная, пг — масса материальной
точки. Легко видеть, что в рассматриваемом случае диф-
137

ференциальное уравнение движения точки имеет вид
А
Его можно переписать следующим образом:
—2 + 2Ъх' + ω2χ = 0, (14.12)
где, как и выше, ω2 = к/т.
Предположим, что ω > Ь, и введем обозначение
со* = Усо?-Ь2,
Легко проверяется, что функции
е~ы cos ω*ί, e~bt sin ω*ί
представляют частные решения уравнения (14.12). Эти
решения линейно независимы (составляют
фундаментальную систему решений уравнения (14.12)).
Общее решение уравнения (14.12) будет иметь вид
χ = е~ы (A cos ω*ί + В sin ω*ί),
где А ж В — произвольные постоянные. Если вместо А
и В введем новые постоянные α и ε, согласно равенствам
(14.5) получим
χ = е~ыа sin (ω*ί + ε). (14.13)
Последняя формула показывает, что движение
материальной точки по оси χ имеет колебательный характер.
Амплитуда колебания зависит от времени и имеет вид
А=ае-Ы.
Итак, если время возрастает, амплитуда убывает. При
t ->■ °о амплитуда стремится к нулю. Поэтому в
рассматриваемом случае колебание называется затухающим.
Обозначив период функции sin(cu*i+e) через Г*,
получим Г* = 2π/ω*. Так как ω* < ω, то Г* > Т, где Г—■
период гармонического колебания. Таким образом, сила
сопротивления увеличивает период и, значит, уменьшает
частоту.
Из равенства (12.7) ясно, что в момент времени
£ = 0 амплитуда равна Ао = а\ по прошествии времени
Г*/2 амплитудаΑλ = ае~ т , по прошествии одного
периода амплитуда станет А2 = е~ и т. д. Таким образом,
амплитуда убывает по геометрической прогрессии со зна-
—Нт*
менателем, равным е 2
138

3. Вынужденное колебание. Пусть помимо
сил, действующих в случае затухающих колебаний, на
точку действует возбуждающая периодическая сила,
параллельная оси х. Проекция этой силы на ось Ох имеет
вид
Ρ sin pt,
где Ρ я ρ — определенные постоянные. Уравнением
движения материальной точки будет
тх" = —-кх — Zbmx' + Posinpt,
или
χ " + 2Ъх + ω2χ = Ρ sin pt. (14.14)
Движение точки под воздействием указанных выше
сил называется вынужденным колебанием, а уравнение
(14.14)—уравнением вынужденных колебаний.
Формулой (14.14) представлено линейное неоднородное
уравнение с постоянными коэффициентами, решение которого
есть сумма некоторого частного решения этого
уравнения и общего решения соответствующего однородного
уравнения (см. § 13 гл. 2). Рассмотрим случай, когда
Ъ < ω. Общее решение однородного уравнения,
соответствующего уравнению (14.14), задается в этом случае
формулой (14.13).
Решение уравнения (14.14) будем искать в виде
xi = Qsm(pt + r\), (14.15)
где Q и η — искомые постоянные, которые должны быть
определены так, чтобы (14.15) было решением
уравнения (13.14). Вводя обозначение
pt + r\=Q
и внося значение (14.15) в формулу (14.14), получим
Q^2 + p2)sm® + 2bQp cosQ = Ρ sin tp = Ρ sm(Q - у\) =
= Ρ (cos η sin θ — sin η cos θ)'·
Сравнение коэффициентов при sin θ т cos θ дает
ζ)(ω2-ρ2) = Ρ cos η, 2Qbp = -Ρ sin η. (14.16)'
Возведя в квадрат обе части полученных равенств,
находим
139

Разделив второе равенство (14.16) на первое, будем иметь
*βη = π· η-arctg-s^. (14.17)
ω — ρ ρ —ω
Таким образом, мы получили следующее частное
решение уравнения (14.14):
Х1= 1// 2 L 2=Т 8Ь {pt + ^ (14Л8)
К (co2-V)2 + 4bV
где η определено равенствами (14.17).
Общее решение уравнения (14.14) имеет вид
х = a*-Msin(<D*i + ε) + f P ===== sin {pt + η).
(14.19)
Последнее равенство показывает, что в
рассматриваемом случае материальная точка совершает сложные
колебательные движения, представляющие собой
совокупность двух колебательных движений. Первое из них,
называемое собственными колебаниями, представляет собой
затухающие колебания и характеризуется формулой
(14.13); второе, называемое вынужденными
колебаниями, охарактеризовано формулой (13.18).
Рассмотрим случай, когда отсутствует сила
сопротивления, т. е. 6 = 0. Формула (14.14) дает
х" +<u2x = Psmpt_. (14.20)
Общее решение этого уравнения, в силу формулы (14.19),
имеет вид
р
я = a sin (ωί + ε) + -^ Έ sin pt. (14.21)
Частота собственных колебаний в этом случае равна
ω/(2π).
Изучим случай, когда частота собственных колебаний
совпадает с частотой вынужденных колебаний, т. е.
ω=ρ. Второе слагаемое в правой части равенства
(14.21), представляющее собой определенное частное
решение уравнения (14.20), теряет смысл. В
рассматриваемом случае, когда ρ = ω, уравнение (13.20) даст
х" +G)2z = Psincui. (14.22)
Частным решением этого уравнения будет
ρ
хг = —- 2~ t cos ωί, (14.23)
140

в чем легко убедиться проверкой; теперь ясно, что
общее решение уравнения (14.22) имеет вид
р
х = a sin (ω£ + ε) — =- t cos ω£. (14.24)
Из формулы (14.24) видно, что в рассматриваемом
случае амплитуда вынужденных колебаний, которая рав-
р
на J-1, бесконечно возрастает при t ->■ °°. Такое явление
называется резонансом. Итак, если сила сопротивления
равна нулю (Ь = 0) и частота собственных колебаний
равна частоте вынужденных колебаний, то имеет место
явление резонанса. Это обстоятельство используют в
акустике, радиотехнике, в динамическом расчете строений
и т. д.
Пример. Пусть тело падает с нулевой начальной
скоростью с очень большой высоты под действием силы
притяжения к центру Земли. Найдем движение центра
тяжести тела, если сила сопротивления воздуха не
принимается в расчет. Примем за начало оси Ох центр
Земли и обозначим массу тела через т. В силу закона
тяготения Ньютона проекция на ось Ох силы,
действующей на центр тяжести тела, равна Х = — μτη/χ2, где μ —
положительное число. Очевидно, уравнение движения
центра тяжести тела будет иметь вид
тх = — ^-з-,
X
поэтому закон кинетической энергии дает
о
jmv ttm 7
2 χ2
Отсюда
την2 μπι η
причем С — произвольная постоянная. Так как при t = О,
χ = оо и ν = О (тело падает с очень большой высоты с
нулевой начальной скоростью), то С = О, и,
следовательно, последнее равенство дает ν = ί2μ/χ. Обозначив
радиус Земли через i?, отсюда получим скорость тела в
момент падения на Землю:
v = 12\ilR.
Так как вблизи Земли сила тяжести равна mg, то mg^
= μπι/R2, откуда μ = gR2. Внося это значение в предыду-
141

щее равенство, получим
y = i2gi?«11000 м/с.
Таким образом, в момент падения тела на Землю
скорость его конечна. Если тело падает с высоты h, то
согласно формуле Галилея скорость падения на Землю
равна
v = l2gh.
Если h = <», то ν = ©о, что противоречит приведенному
выше заключению. Это противоречие вызвано тем, что
1хри выводе формулы Галилея сила тяжести
подразумевалась равной mg, что справедливо лишь вблизи Земли,
однако это неверно, если тело удалено от поверхности
Земли на очень большое расстояние.
§ 15. Движение материальной точки в пустоте
под действием силы тяжести
Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат
Oxyz, ось Oz которой направлена вертикально, снизу
вверх. Ввиду того, что в рассматриваемом случае сила
тяжести
р = (0, 0, -mg),
где т — масса точки, g — ускорение силы тяжести в
силу формулы (10.6) будем иметь
Лв0 Л=0, ^2 = -g. (15.1)
dt2 dt2 dt2 x '
Интегрированием этой системы получим
x^Cjt+Cv y = C2t+Cb, z = -^ + C3t+ Ce, (15.2)
где Си C2, ..., Сб — произвольные постоянные. Пусть
начальные условия имеют такой вид:
χ = у = z = 0,
если t = 0, то \
х'= y0cosa, Μς«
у'-0, (15·3)
Таким образом, в начальный момент материальная
частица выброшена из начала коордилат в плоскость Qxz
142

со скоростью vo, причем скорость vo составляет с осью
Ох определенный угол <х.
В силу начальных условий (15.3) получим, что
С 4 = Съ = Св = О, С ι = vo cos α, Съ = 0, С$ = vo sin α.
Внося эти значения в равенства (15.2), будем иметь
х = v0tcosa, у = 0, ζ = — ^γ + z;0£sina. (15.4)
Равенства (15.4) убеждают нас в том, что точка
движется в плоскости Oxz. Исключая из этих равенств
параметр t, получим
ζ = χ ig a —
gx
2v* cos2 a
(15.5)
Последнее представляет собой уравнение параболы, ось
симметрии которой параллельна оси Oz, и,
следовательно, в рассматриваемом случае точка двигается по этой
параболе.
Найдем для данного α дальность полета
материальной точки, т. е. то максимальное расстояние, на которое
она удалится от начального положения на горизонте.
Для этого найдем точки пересечения параболы (15.5)
с осью Ох (рис. 23). Имеем
х tg a —
gx
2i;2)cos2a
= o,
откуда легко получаем
0, х2
— sin 2a.
g
(15.6)
Очевидно, Х2 представляет собой для данного α дальность
полета, принимающую
максимальное значение при а = π/4.
Обозначив это максимальное
удаление через ho, в силу равенства
(15.6) имеем
0 g
(15.7)
Найдем теперь минимальную
начальную скорость vo и соответ- ГИСш 23
ствующий ей угол а,
обеспечивающие преодоление данного расстояния хч. Из (15.6)
получаем
vl
g*2
sin 2a'
143

Правая часть этого равенства принимает минимальное
значение, если α = π/4. Следовательно, для искомой
начальной скорости получим
,.2
Так как sin 2α = sin (π — 2α), то, вводя обозначение
π
β = -£· —α, получим sin 2α = sin 2β, и в силу (15.6)
будем иметь
x2 = -2sin2p.
Таким образом, дальность полета одинакова
независимо от того, составляет ли начальная скорость с
горизонтом угол α или β = "о" — α· Это обстоятельство
используется в артиллерии.
Найдем теперь максимальную высоту полета при
данном а. Для этого отыщем значение х, для которого
функция ζ, определенная равенством (15.5), достигает
максимума. Известно, что упомянутое значение χ должно
быть найдено из равенства
dz . gx Л
ах v% cos a
откуда
ν sin a cos a
(15.8)
m d2Z g n
Так как —« = ; о— < U, то в силу известной теоре-
dx yjjcos a
мы из курса анализа значение (15.8) придает функции,
определенной равенством (15.5), максимальное значение.
Внося значение (15.8) в равенство (15.5), получим
*-*£=. (15.9)
где через zq обозначено максимальное удаление точки от
горизонта при данном значении а. Это удаление в силу
равенства (15.9) имеет наибольшее значение при α = π/2.
Обозначив это наибольшее удаление от горизонта через
Но, получим
H0 = vt/(2g). (15.10)
144

Парабола, определенная формулой (15.5), зависит от
угла ос. Изменяя этот угол, получим различные
параболы. Вводя обозначение
Ρ = tg α,
формулу (15.5) перепишем следующим образом:
Линия, огибающая это семейство зависящих от одного
параметра ρ кривых, имеет вид
έ-ϋί· с15·11)
2g
К
Рис. 24
Это, очевидно, тоже парабола.
Она пересекает ось Ох в точке
с абсциссой ho, где ho
определена равенством (14.7). Если
в равенстве (15.11) положить
χ = О, то получим Но, где Но —
величина, определенная
равенством (15.10) (рис. 24).
Нетрудно убедиться, что парабола (15.11)—это
линия, вне которой не может очутиться материальная
частица, выброшенная с начальной скоростью vo, какой бы
ни был угол а, составленный вектором vo с горизонтом.
§16. Формула Бинэ
Пусть на материальную точку Μ действует центральная
сила. Как было показано в § 11, под действием
центральной силы точка совершает плоское движение. В
качестве начала системы координат возьмем центр сил и
за плоскость Оху примем плоскость, на которой
помещается траектория точки. Ввиду того, что в случае
движения под воздействием центральной силы имеет место
закон площадей, имеем
da С
dt
(16.1)
da
где С — секториальная постоянная (ом. § ll),^j— сек-
ториальная скорость. Обозначив полярные координаты
145

точки через г и φ (см. формулу (6.4)), получим
άσ_= 1
dt ~
- =JL 2^Ф
г"
2 dt
(16.2)
Внося эти значения в равенство (16.1), будем иметь
(16.3)
2 άφ _ г
Известно (см. формулу (9.2)), что скорость точки Μ
может быть представлена в виде (рис. 25)
V Л* Г ^ ' й± Г »
dt
dt
dt
(16.4)
где r° и р°—орты осей полярных координат, г —радиус-
вектор точки Μ относительно
точки О. Последняя формула дает
dr = dri° + rdyV0. (16.5)
Возводя обе части равенства
(15.4) в квадрат, получим
dr* + г2У
ν* ==■
Л*
Рис. 25
Внесем в это равенство вместо dt
.его значение из формулы (16.3). Имеем
v2 = C2
V >) + А'
Если введем обозначение
1
7 = ».
(16.6)
(16.7)
то последнее равенство можно переписать так:
*=с2Ш+и\ (16·8)
Закон живой силы дает
d^ = (F·*), (16.9)
где F—параллельная г центральная сила, действующая
на точку. В силу равенства (16.5) получим
(F-dv) = Fdr, (16.10)
146

»*ItS + »j5-f^' (16·ιι)
где F — проекция силы F на вектор г*), т. е. jP = li7!,
если сила F и вектор г направлены одинаково (в случае
отталкивающей силы), и F = —\F\ в противном случае
(в случае силы притяжения к центру О). Учитывая
последнее равенство, из (16.9) получим
7 mv2 η , d mv2 τ? dr
d-T = Fdr, т.е. -_ = F^.
Внесем сюда значение ν2 из равенства (16.8). Имеем
d2u , _. \ du r?dr
Из равенства (16.7) получаем
du 2 ^г
dcp d(p'
Внося значение j- в левую часть равенства (16.11),
получим следующую формулу Бинэ:
mC2uM^ + u) = -F, (16.12)
имеющую большое применение в механике небесных тел.
§ 17. Законы Кеплера.
Закон всемирного тяготения Ньютона
В основе небесной механики лежат три закона,
установленные в результате анализа многочисленных
наблюдений Кеплера (1571—1630). Они заключаются в
следующем:
1. Все планеты движутся по плоской траектории,
представляющей собой коническое сечение, в одном из
фокусов которой находится Солнце.
2. Площадь, описываемая радиусом-вектором центра
планеты относительно центра Солнца, пропорциональна
соответствующему времени {закон площадей).
3. Квадрат времени одного обращения планеты
вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси
траектории, т. е. отношение Г2/а3, где а —большая полуось
траектории, а Г — время одного обращения вокруг
Солнца,— постоянно для всех планет.
*) Так как F — центральная сила, то она параллельна г° и,
следовательно, перпендикулярна к р°,
147

На основании этих законов Ньютон нашел силы,
движущие планеты, а потом обнаружил закон всемирного
тяготения.
В силу тЛ)ремы 4 § 11 из первого и второго
законов Кеплера непосредственно следует, что силы,
действующие на планеты, есть центральные силы, направления
которых проходят через центр Солнца. Установим теперь
вид этих сил.
Уравнение конического сечения в полярных
координатах имеет вид (см. § 10, гл. 1)
г = Г+7^ (17-D
где е — эксцентриситет, ρ — параметр, причем в случае
эллипса и гиперболы ρ = b2Ja, где а — большая полуось
конического сечения, Ъ — малая полуось, г и φ —
полярные координаты.
В силу формулы (17.1)
1 1 + е cos φ
и = — = —■ -#
г Ρ
Внося это значение в формулу Бинэ (16.12), получим
*■ = -££, (17.2)
где
С* аС2
μ = ν=^· (17·3)
ρ ъ*
Таким образом, формула (17.2) показывает, что сила,
действующая на планету, представляет собой силу
притяжения Солнца, которая обратно пропорциональна
квадрату расстояния планеты от центра Солнца. Коэффициент
пропорциональности μ носит название гауссовой
постоянной.
Покажем теперь, что гауссова постоянная одинакова
для всех планет. Так как секториальная постоянная
равна удвоенной секториальной скорости, то С = 2-^-. Так
как траектория планеты — эллипс, площадь которого
равна паЪ (см. формулу (7.13) гл. 1), то в силу последнего
равенства получаем С = 2лаЬ/Т, откуда
п. 4π2α262 4π2α362 4π2α3
i4a

Из последнего равенства, очевидно, следует
4π2 -5- = — = μ.
Отсюда вытекает справедливость сказанного выше, так
как в силу третьего закона Кеплера а3/Т2 одинаково для
всех планет.
Таким образом, Солнце, как центр притяжения, имеет
свою гауссову постоянную; она зависит только от
Солнца. Рассмотрим в качестве центра притяжения
произвольную планету. Пусть масса планеты равна пь;
гауссову постоянную для нее обозначим через v. На эту
планету действует сила притяжения Солнца, величина
которой, в силу формулы (17.2), будет μηι/r2. Но и на
Солнце действует сила притяжения данной планеты,
величина которой, очевидно, будет vM/r2, где Μ — масса
Солнца. Из принципа действия и противодействия (см. § 11)
следует
μτη _ νΜ
2~ 2~>
г г
IX V
откуда — = —·. Таким образом, отношение гауссовой
постоянной данной планеты (как центра тяготения) к ее
массе есть величина постоянная:
ϋ = — = ^ZL = /
Μ m mn ''
Постоянную / называют гравитационной постоянной.
Из последнего равенства имеем μ = fM. Внося это
значение в (17.2), получим
Таким путем Ньютон пришел к следующему закону:
Два тела притягиваются друг к другу силой, прямо
пропорциональной произведению их масс и обратно
пропорциональной квадрату расстояния между центрами
инерции.
Этот закон, как уже говорилось, носит название
«закона всемирного тяготения».
§18. Задача Ньютона
Найдем траекторию материальной точки, если известно,
что на нее действует сила притяжения определенного
центра, прямо пропорциональная массе этой точки и об-
149

ратно пропорциональная квадрату расстояния от центра
до рассматриваемой точки.
Для решения этой задачи Ньютона воспользуемся
формулой Бинэ. Согласно условию задачи
Внося это значение в формулу Бинэ (16.12), получим
d2u , μ
άψ2 С2
Общее решение этого уравнения имеет вид
и = α sin (φ + ε) + -^,
с
где α и ε — произвольные постоянные. Последнее
равенство можно переписать следующим образом:
и = a cos (φ — β) + ^ = ^ [ 1 + Ц- cos (φ — β) J,
где β = — — ε.
Введем обозначения —о = — > -гг = е и вспомним, что
1
г/ = —.
Г
Тогда из последнего равенства найдем
г== Ε
1 + е cos (φ — β) *
Мы получили уравнение конического сечения в
полярных координатах, которое в зависимости от заданных
начальных условий может быть эллипсом, гиперболой
или параболой (советуем читателю доказать это).
§ 19. Задача двух тел.
Поправка к третьему закону Кеплера
Пусть даны две материальные частицы S и Р, массы
которых соответственно равны Мят. Обозначим через rfl
и Тр радиусы-векторы этих частиц относительно
некоторой неподвижной точки О (рис. 26). Эти точки
притягиваются согласно закону всемирного тяготения Ньютона;
150

если обозначить силу притяжения через F, то
1*1-/=?.
г
где г — расстояние между точками S и Р.
Наша цель — изучить движение одной точки
относительно другой. Очевидно,* уравнения движения точек S
и Ρ имеют вид
f4 mMr
dia ' г2 г'
d Тт , ТПМ Г
di1 ' г2 г
(19.1)
(19,2)
где г — радиус-вектор точки Ρ относительно точки S.
Умножив первое равенство на т, второе на Μ и вычтя из
второго первое, получим
d2r
и, ж _ 4т(т + М) г
rf*2 "" ~ ; г2 ^
(19.3)
Последнее равенство представляет собой уравнение
относительного движения точки Ρ относительно S. Оно
показывает, что движение точки Ρ относительно S
происходит так, будто точка S неподвижна, а ее масса
равна т + М.
Аналогично запишется уравнение движения точки S
относительно точки М.
Предположим, что S — центр Солнца, а Р — центр
какой-либо планеты (например Земли). Тогда (19.3)
представляет собой уравнение
движения планеты относительно
Солнца. С другой стороны,
в силу формулы (17.2)
уравнение движения планеты
относительно центра Солнца имеет
вид
dzr
μτη г
Рис. 26
»?-?? <19·4>
где μ — гауссова постоянная.
Сравнивая между собой (19.3)
и (19.4), убеждаемся, что гауссова постоянная для
Солнца имеет вид
μ=(τη + Μ)ί. (19.5)
151

В предыдущем параграфе нами было показано, что
если Солнце представлено неподвижной притягивающей
точкой, то гауссова постоянная для всех планет
одинакова. Если Солнце не предполагается неподвижной
точкой, то этот вывод — неправильный. Действительно,
рассмотрим две планеты с массами т\ и ni2.
Соответствующие им гауссовы постоянные, согласно равенству (18.5),
будут
μι =(т{ + Л/)/, μ2 = (т2 + Л/)/,
откуда получим
т
μ± πιχ + Μ 1+Ж
"*" Μ
Из этого равенства видно, μι Φ μ2, но так как массы т\
и /7i2 планет по сравнению с массой Солнца очень малы,
то μι ~ μ2. В оилу равенства (16.4) имеем
4π2α^ 4π2α|
11 ^ 2
откуда
т
^ __(<).(4) 1 + ж
Последнее равенство дает некоторое уточнение
третьего закона Кеплера.
§ 20. Связи
До сих пор мы рассматривали свободную материальную
точку, т. е. точку, движение которой не было ограничено
каким-либо геометрическим условием. Пусть теперь
точка несвободна, подчиняется связи. В этом случае между
координатами х, у, ζ точки существует определенная
функциональная зависимость, так как в противном
случае точка была бы свободной. Упомянутую
функциональную зависимость называют уравнением связи. Если
материальная точка все время должна находиться на
некоторой поверхности, уравнение которой
f(z,y,z) = 0, (20.1)-
то, очевидно, это последнее будет уравнением связи.
152

Рассмотрим следующий пример. Дан стержень
длиной Z, один конец которого шарнирно закреплен в
определенной точке 0, а на втором конце расположена
материальная частица М. Точка Μ может двигаться только
на сферической поверхности радиуса Ζ, и, следовательно,
если систему координат Oxyz взять с началом в точке
О, то уравнение связи будет иметь вид
x2 + y2 + z2-l2 = 0.
Точка может одновременно подчиняться двум связям.
Так, например, если точка должна располагаться на
некоторой кривой, то координаты точки должны
удовлетворять уравнениям этой кривой, и, следовательно,
уравнения связи будут иметь вид
/ι (*,*/,*) = О, f2(x,y,z) = 0. (20.2)
Здесь кривая представлена как пересечение двух
поверхностей.
Наблюдения и эксперименты показывают, что
механическое воздействие связи на материальную точку
равносильно определенной силе. Эту силу называют силой
реакции. Одним из основных принципов статики
является так называемый принцип реакции, заключающийся
в следующем: механическое воздействие всякой связи на
материальную точку эквивалентно действию силы
реакции, так что если эту силу приложить к точке, то ее
можно считать свободной от связи. Таким образом, если
на несвободную точку действует сила F и сила реакции
обозначена через R, то уравнение движения точки
можно записать в виде
mw = F + R. (20.3)
Вопросы движения несвободной материальной точки мы
рассматривать не будем, а лишь заметим, что
сформулированный выше принцип дает возможность свести
изучение вопросов движения несвободной материальной точки
к изучению движения свободной материальной точки.
Однако нужно учесть, что сила реакции не задается
заранее и должна быть определена для каждого
конкретного случая.
Условие равновесия материальной точки дается в
следующем принципе: для равновесия материальной точки
необходимо и достаточно, чтобы суммарный вектор си-
стемы действующих на нее сил был равен нулю. На
153

основании этого принципа условием равновесия
свободной материальной точки будет F = 0. Учитывая принцип
реакции, можно заключить, что условием равновесия
несвободной материальной точки будет
F + R = 0. (20.5)
§ 21. Уравнения движения системы
свободных материальных точек
Пусть дана совокупность Ми Л/г, ..., Мп материальных
точек с массами т\, т2, ..., тп соответственно. Такая
совокупность называется системой материальных точек,
если движение каждой точки из этой совокупности
зависит от положения и движения остальных. Примером
системы материальных точек может явиться Солнечная
система, электроны, движущиеся в атоме, и др.
Характерным признаком системы материальных точек является
взаимодействие точек, входящих в эту систему,
выражающееся определенными силами.
Система материальных точек называется свободной,
если каждая точка этой системы свободна. В противном
случае систему будем называть несвободной или
говорить, что она подчиняется связи. Из этого определения
следует, что точки свободной системы могут занять
любое положение в пространстве, и их скорости могут иметь
любые значения. Что же касается несвободной системы,
то здесь это обстоятельство не будет иметь места.
Силы, действующие на систему материальных точек,
могут быть разделены на две группы: внутренние и
внешние силы. Силы, действующие на систему материальных
точек и вызванные точками, входящими в систему, носят
название внутренних сил. Силы же, действующие на
систему, но не вызванные входящими в эту систему
точками, называются внешними.
Пример. Рассмотрим систему, составленную Землей
и Луной. Силы взаимного притяжения Земли и Луны,
очевидно, внутренние. Что же касается сил притяжения
Земли и Луны Солнцем, то это — внешние силы.
Главный вектор внешних сил, действующих на точку
М{ (& = 1, 2, ..., п), обозначим через Ft, главный же
вектор внутренних сил, действующих на эти точки,
обозначим через F{. Силы Ft и F^ вообще зависят от
положения системы материальных точек, от скоростей точек,
входящих в систему, а также от времени. Таким образом,
Fi = Fi(ri, г2, ..., гп, vi, v2, ..., vn, 0»
154

где через г< (i = 1, 2, ..., η) обозначен радиус-вектор
материальной точки Mi относительно начала О системы
координат Ох у ζ; ν» — скорость точки Mi.
Введем следующие сокращенные обозначения:
Fi (τν r2, ..., гп, yv v2, ..., vn, ί) = Fi (rjf vjf t),
F'i (tv r2, . .., rn, v1? v2, ..., vn, f) = F· (rjf vj, t).
Напишем дифференциальное уравнение движения
каждой точки, входящей в систему. Имеем
d2r
лц—T = F,+ Fi, ί = 1,...,η. (21.1)
dt
Введем обозначения
Fi = (Хи Υ и %i)y Fi = (Xi, Υι, Ζχ)
и спроектируем равенства (21.1) на оси координат.
Получим:
rrti—4 = Xi (xj, У 2,Ц, x'v У ν ζν 0 +
at
+ Xi \Xj, y-v £j, Xj, Z/j, £j, t),
d уj -\r ( r ' r \
at
+ Y\ (χά, z/j, Zj, *·, z/j, Zj, *), (21.2)
™>i —j = Zi (2·;·, z/j, Zj, ^·, z/j, Zj, ί j +
at
Способом, приведенным в § 10, 12 гл. 2, эта система
может быть сведена к системе 6п дифференциальных
уравнений первого порядка, поэтому теорема существования
и единственности решения для системы (21.2) будет
всегда справедливой, если Хг, Гг, Zu Х\, Yi, Z{
представляют собой непрерывные функции своих аргументов
/ г / / / /
^1» Vv ZV ^2' Уч, ' · * » ^w» £/?*» ^n» ^1» ϋ/l» Zl» -^2» ^/21 ^2» · · ·
•. .} Xni Уш %п, *
и удовлетворяют условию Липшица относительно
величин
' ' ' ' 4 9
155

Система (21.2) представляет собой уравнения
движения системы свободных материальных точек в
декартовых координатах. Общее решение этой системы имеет
вид
Xi^Xi^t, 6 ι, 62, . . ., CQnj,
y< = yi(t, Си С2, ..., С6„), (21.3)
2t = 2i(i, Си С2, ..., Свп),
где Си С2ч ..., Свп — произвольные постоянные. Эти
постоянные определяются следующими начальными
условиями (соответствующими данными Коши):
если ί = ί0, то
Х\ — Х\ч X l
У1 = УЪ Уг=У1, (21.4)
Ах — **гч *>\ — *>г >
где хь yi,z°i,Xi , г/i ,z4 (/· = 1, 2, . .., η) — заданные
произвольные числа. Условия (21.4) определяют
начальное положение системы и начальные скорости точек
системы.
В силу начальных условий (21.4) для нахождения
постоянных С\, Сг, ..., Свп получим следующую систему:
Х% (pQ·, С-р С2, . · ·) ^бп) = %ii
У г (ч)» ^1» ^2» · · ч ^бп) = Угч
zi (чр ^1' ^2» · · ч ^бп) = 2i,
#i V^O' ^1» ^2» ' · ч ^бп) == Х% >
2/i \^0> ^1» ^2» · · ч ^бп) — */i >
^i (л0' ^Ί» 2» · · ч ^6η; == ^i ·
Внося определенные из этой системы постоянные Си
Сг, ..., Сбп в равенства (21.3), получим решение системы
(21.2), удовлетворяющее начальным условиям (21.4).
Будем говорить, что система материальных точек
находится в состоянии равновесия, если каждая точка этой
системы находится в равновесии. Необходимое и
достаточное условие равновесия системы материальных точек
имеет вид (см. § 20 гл. 4)
Fi+Fl^O, i = 1,2 wf (21.6)
или, что то же самое,
Xi + X'i=01 Yi + Y'^0, Ζί + ζ; = 0. (21.7)
156

§ 22. Количество движения и закон количества
движения для системы материальных точек
Сумма количеств движений материальных точек,
входящих в данную систему, называется количеством
движения этой системы. Таким образом, если количество
движения системы обозначим через К, то в силу
определения получим
К = Σ m(4i. (22.1)
i=l
Систему (22.1) перепишем следующим образом:
jl(mivi) = Fi+F'i. (22.2)
Согласно определению внутренних сил, очевидна
справедливость равенства
г=1
Складывая равенства (22.22), получим
η
άΚ = άΣ miVi = Fdi, (22.3)
η
где F = 2 Fi· Из равенства (22.3) имеем
t
К-К0 = JFdi, (22.4)
Ό
где Ко — значение количества движения системы к
моменту ίο. Равенства (22.3) и (22.4) дают закон
количества движения для системы материальных точек.
§ 23. Момент количества движения для системы
материальных точек и кинетическая энергия
Как и в § 21, рассмотрим систему материальных точек
М\, Л/2, ..., Мп, массы которых соответственно равны
mi, m2, ..., тп.
Рассмотрим основную систему координат Oxyz.
Радиус-вектор точки Mi относительно точки О обозначим
через гг, скорость точки М{ — через vt·. Выражение
η
r=42m^' (23л)
157

представляющее собой сумму кинетических энергий
;(«живых сил») точек, входящих в систему, называется
кинетической энергией («живой силой») системы.
Очевидно, что закон момента количества движения
для точки М{ дает (см. уравнение (21.1)), что
Л^г'ЩУг] = [Γί-Fi] + [ri-FJ].
Просуммировав это равенство по индексу ί и учитывая,
η
что 2 [*Ч · F'] = 0, получим
f - L' (23·2)
где
G= JSfo-WiVd, (23.3)
1=1
L-ilri-F,]. (23.4)
Вектор G, (определенный равенством (23.3),
называется моментом количества движения системы материальных
точек или кинетическим моментом. Очевидно, что G есть
сумма моментов количества движения точек системы.
Вектор L носит название главного момента внешних сил,
действующих на систему. Этот вектор представляет собой
сумму моментов внешних сил, действующих на точки
этой системы. Равенством (23.2) дается следующий закон:
Производная по времени момента количества
движения системы материальных точек равна главному
моменту внешних сил, действующих на систему.
Этот закон носит название закона момента количества
движения.
Мы не будем изучать законы динамики системы
материальных точек. Здесь рассмотрены лишь вопросы,
которые понадобятся при изучении дальнейшего материала.

ГЛАВА 5
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДИНАМИКИ ТЕЛ
ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
§ 1. Тела переменной массы
В классичеокой механике рассматривается движение
лишь таких: тел, масса которых при движении не
изменяется (масса принята за постоянную величину),
поэтому законы классической механики не дают возможности
изучения таких явлений, которые непосредственно
связаны с изменением массы.
Можно назвать множество случаев движения, когда
масса тела подвергается изменению: масса Земли
увеличивается в результате падения на нее частиц
метеоритов; масса метеорита уменьшается при движении в
атмосфере из-за того, что от него отделяются определенные
частицы; масса градинки при движении в атмосфере
может увеличиться в результате прилипания к ней
различных частичек из атмосферы или частичек водяных па-
рсш; масса Солнца уменьшается в результате излучения
и выбрасывания корпускулярных потоков.
Перечисленные примеры представляют собой случаи,
преподносимые самой природой. Можно привести множество случаев
искусственно производимых движений, при которых
одновременно происходит изменение массы. Например,
катушка, на которую наматывается или с которой
сматывается нитка; в результате сгорания горючих продуктов
и выхлопа газов уменьшается масса движущейся ракеты;
масса самолета, приводимого в движение реактивными
двигателями, беспрерывно возрастает и уменьшается:
увеличение массы происходит, когда реактивный
двигатель всасывает огромное количество частиц воздуха,
уменьшение же массы происходит в результате выхлопа
указанных частиц вместе с продуктами сгорания; масса
корабля, двигающегося в ледяном океане, увеличивается
в результате обрастания коркой льда и т. д.
Приведенные примеры показывают, что при движений
тела масса его может уменьшаться или увеличиваться,
159

а в некоторых случаях потеря и увеличение массы
происходят одновременно. Последнее обстоятельство имеет
место, как мы отметили, при движении самолетов с
реактивными двигателями. Эти примеры дают достаточное
основание для изучения законов движения тела
переменной массы. Современная ракетная техника основывается
на законах динамики тел с переменными массами.
Механика тел с изменяющимися массами — наука
XX века; основу ее заложил известный ученый,
профессор Ленинградского политехнического института И.
Мещерский, который вывел уравнения движения
материальной точки с переменной массой. Эти уравнения сыграли
определенную роль в развитии теоретической механики
ив особенности в деле установления законов ракетной
динамики. К. Циолковский, опираясь на результаты
И. Мещерского, изучил несколько случаев движения тел
переменной массы. На основании изучения конкретной
задачи он принципиально доказал воеможность
реактивного движения. Он доказал также, что если с довольно
большой скоростью происходит регулярное
выбрасывание массы движущегося тела, то тело может приобрести
очень большую скорость движения, достаточную для
совершения космического полета. К. Циолковский первым
оценил эффективность выбрасывания массы движущегося
тела и указал на преимущества реактивного двигателя
при достижении больших скоростей. Он подробно изучил
вопрос о том, какой запас высококалорийного топлива
необходим для преодоления силы земного притяжения.
К. Циолковский выдвинул множество интересных идей
конструирования реактивных аппаратов для освоения
межпланетного пространства. Он заслуженно считается
создателем теории освоения межпланетного пространства.
§ 2. Уравнение движения материальной точки
переменной массы (уравнение Мещерского)
В дальнейшем под материальной точкой переменной мае-
сы всегда будем подразумевать тело достаточно малых
размеров, масса которого меняется с течением времени.
С математической точки зрения материальную точку с
изменяющейся массой можно рассмотреть как
геометрическую точку, обладающую переменной массой. Взятая
материальная точка переменной массы за все время
движения будет рассматриваться в качестве основного
движущегося объекта, в котором происходит сброс частиц
160

сравнительно малой массы, причем сброс массы
происходит непрерывно.
При выводе уравнения движения материальной точки
переменной массы ограничимся допущением контактного
взаимодействия, т. е. будем предполагать, что частица,
сброшенная материальной точкой, влияет на ее движение
до тех пор, пока находится в контакте с этой точкой;
в момент сброса упомянутая частица изменяет
количество движения точки, а в' последующий период на ее
движение влияния не оказывает. Это допущение
упрощает уравнение движения материальной точки
переменной массы.
Предположим, что с основной материальной точки
сброс массы происходит под действием внутренних сил
(например, сил, возникающих при взрыве,
представляющих собой .внутренние силы).
Пусть в заданный момент времени t масса точки Μ
переменной массы равна т. Обозначим массу,
сброшенную с массы т за бесконечно малое время dt, через
(—dm) (dm<0, —dm>0). Точку М можно рассмотреть
как совокупность двух материальных точек с массами
m + dm и (—dm). Рассматривая эти точки как систему
материальных точек, согласно закону количества
движения получим (см. § 3, гл. 4)
dK = Fdt, (2.1)
где К — количество движения системы, a F —- главный
вектор внешних сил, действующих на точку М.
Проинтегрировав равенство (2.1) в промежутке (£, t + dt),
получим
t+dt
К-К0 = f Fdx, (2.2)
i
где К — количество движения в момент t + <Й, т. е. сразу
же после сброса из точки Μ массы (—dm);
Ко—количество движения в момент t. Применяя формулу о среднем
значении, получим
K-K0 = F*cft, (2.3)
где F* — значение силы F в определенной точке
промежутка (t, t + dt). Так как dt бесконечно мало и, кроме
того, подразумевается, что сила F — непрерывная
функция времени, то с достаточно большой точностью будем
иметь F* = F, и, следовательно, равенство (2.3) можно
161

переписать в таком виде:
K-K0 = Fdt. (2.4)
Скорость точки Μ в момент времени t относительно
неподвижной системы Oxyz обозначим через ν;
абсолютную скорость выброшенной частицы {—dm) относительно
той же самой системы Oxyz обозначим через и;
изменение скорости точки М, вызванное сбросом частицы
(—dm), обозначим через d\. Очевидно, скорость точки Μ
в момент t + dt будет ν + d\. Легко убедиться, что
K = (m + dm) (v + d\) + (-dm)u, (2.5)
Ко = ту. (2.6)
Внося эти значения в равенство (2.4) и пренебрегая
произведением бесконечно малых величин dmdw, получим
тЖ = ¥ + 1г(и-х)- (2·7)
Уравнение (2.7) можно переписать следующим образом:
-£(mv) = F + Ju. (2.8)
Разность u —v, входящая в равенство (2.7),
представляет собой относительную скорость сброшенной частицы
(—dm) относительно точки М. Вводя обозначение
u — v = vi, получим
d\ γ, dm /0 ~\
Уравнение (2.7), или, что то же самое, уравнение (2.9),
впервые было получено в 1897 году И. Мещерским,
поэтому его называют уравнением Мещерского.
Выражение
»-1Г<«-*>-§^ (2-Ю)
входящее в уравнение (2.7), называется реактивной
силой. Здесь dm отрицательная величина, поэтому если
предположить, что абсолютная скорость и сброшенной
частицы направлена противоположно скорости ν точки М,
dm, ч
то проекция векторной величины ^-{Ц —v) на
направление движения положительна и, следовательно, в этом
случае реактивная сила ускоряет движение точки М. Чем
больше относительная скорость Vi сброшенной частицы,
162

тем больше реактивная сила R. Величина -^-,
участвующая в выражении реактивной силы, представляет собой
потерю массы за единицу времени или, как иногда
говорят, скорость потери массы.
В рассматриваемом случае, когда абсолютная скорость
сброшенной частицы направлена противоположно
скорости точки Л/, движущийся объект Μ (точка) называется
ракетой. Таким образом, (2.7), или, что то же самое,
(2.9), представляет собой уравнение движения ракеты.
Это уравнение имеет большое применение в теории
космического движения. В силу обозначения (2.10)
уравнение (2.7) перепишется следующим образом:
тгс^-= F + R. (2.11)
Механизм сброса с движущейся точки Μ
материальной частицы может быть разного рода. Например, сброс
частицы может произойти вследствие взрыва или
посредством химической реакции и т. д. Для различных случаев
движения могут быть установлены величины,
характеризующие сброс частицы: относительная скорость vi = u — ν,
dm ^
потеря массы за единицу времени -^т. Если эти
величины известны как функции времени, то реактивная сила
определена и, следовательно, правая часть уравнения
(2.11) будет известной функцией. Спроектировав это
уравнение на ось неподвижной системы координат Oxyz,
получим
m^- = Fx + Rxt mly=Fv + Ry, m^2 = Fz + Rz.
at at at
(2.12)
В общем случае правые части этой системы
представляют собой функции величин х, у, ζ, χ', у', z\ t.
Систему (2.12) называют уравнениями движения
материальной точки переменной массы (уравнениями Мещерского).
§ 3. Уравнение Циолковского
Корпус ракеты вместе с помещенным в него горючим
материалом может быть рассмотрен как тело переменной
массы. В ракете имеется специальная камера, при
выходе из которой получающиеся в результате сгорания
газы порождают реактивную силу, имеющую
направление движения ракеты.
163

Рассмотрим движение ракеты в безвоздушном
пространстве под действием только реактивной силы. В силу
формулы (2.9) будем иметь
dv dm /0 ,х
где v\ есть величина относительной скорости Vi.
Интегрированием последней формулы получим
X
" = "o-j4^. (3-2)
где vo — начальная скорость ракеты: Vo=v(t0). Если
предположим, что v\ = const, то последняя формула даст
т
у = у0 + УдДп-^-, (3.3)
где то — масса ракеты в начальный момент t = ίο. Это
уравнение впервые получено К. Циолковским и носит
название уравнения Циолковского.
Значение скорости в момент завершения процесса
сгорания горючих материалов обозначим через у*, а
массу ракеты в этот же момент — через тга*. В силу
формулы (3.3) получим
ν* = ν0 + νι]η^-. (3.4)
Формула (3.4) показывает, что на последнем этапе
процесса сгорания скорость у* зависят, помимо начальной
скорости Уо, еще и от относительной скорости у ι, а
также от отношения то/т*; она не зависит от режима
расхода горючих материалов (от режима работы двигателя).
Обозначим через т' сумму масс, сброшенных при
окончании процесса сгорания (массу горючих материалов),
и предположим, что начальная скорость ракеты Уо = 0.
Тогда формула (3.4) даст
^-«Ίΐη=^--Λΐ"(ΐ + ^)· (3-5)
Эта формула носит название формулы Циолковского.
Отношение пг'/т*, входящее, в нее, представляет собой
отношение массы горючих материалов, помещенных в
ракету, к массе корпуса ракеты (без горючих материалов).
Отношение т'/т* называется числом Циолковского.
164

Из формулы (3.5) вытекают следствия:
1. Скорость ν* материальной точки переменной
массы на последнем этапе сброса масс тем больше, чем
больше относительная скорость V\ сброса частиц.
2. Упомянутая скорость у* тем больше, чем больше
число Циолковского.
3. Скорость ν* точки переменной массы на последнем
этапе сброса масс не зависит от закона изменения
массы (режима работы двигателя). Данному значению
числа Циолковского на последнем этапе сброса масс
соответствует определенная скорость точки у*, независимо
от того, как проходил процесс сброса масс (быстро или
медленно заканчивался процесс сгорания).
Из приведенных выше следствий вытекает, что для
получения большой скорости на последнем этапе сброса
масс полезно достигнуть увеличения относительной
скорости сброса масс.
Выведем теперь формулу для вычисления расстояния,
пройденного точкой Μ переменной массы, при
допущении, что движение происходит только под действием
реактивных сил и что относительная скорость сброса масс
постоянна. Уравнение (3.3) даст
Ij- = !>„-!>! 1П/(ί), (3.6)
где
/(0 = ^· (3.7)
Интегрируя уравнение (3.6), получим
t
s = vQt — v1\lnf (t) dt + С, (3.8)
«О
где С — произвольная постоянная. Пусть s = sq при t = t0.
В силу этого начального условия получим С = s0— v0t0.
Следовательно,
s = s0 + v0{t -g - v1 J In / (t) dt. (3.9)
U
Для вычисления расстояния необходимо знать
функцию /(£), т. е. закон потери массы в процессе движения.
При изучении многих интересных задач рассматривают
два закона изменения масс: так называемые лилейный
закон и показательный закон. В первом случае /(£) =
165

= 1 — at, а во втором f{t) = e-at, где а — определенная
постоянная. Формула (3.7) для этих случаев
соответственно даст
m = m0(l-at)1 (3.10)
m = mQe-at. (3.11)
В силу равенства (3.10) получим
-тт = — m0a = const, (3.12)
и, следовательно, если изменение масс характеризуется
линейным законом f(t)=l — at, то расход массы за
единицу времени есть величина постоянная. В этом случае
реактивная сила R вычисляется по формуле
R = ("" έ) Vl =amovv (3·13)
Так как мы предполагаем V\ = const, то в
рассматриваемом случае и реактивная сила постоянна.
Если i(t) = e~at, то реактивная сила вычисляется по
формуле
Д-(-^)*1-т««е-СЧ· (3-14)
Обозначив ускорение, вызванное этой реактивной силой
через а, получим
ma = R = m0ae~atVi = may ι, (3.15)
откуда
а = ayi = const. (3.16)
Таким образом, убеждаемся, что если скорость v\
сброса частиц постоянна и изменение масс
характеризуется показательным законом f(t) = e~at1 то ускорение,
вызванное реактивной силой, постоянно.
§ 4. Задача Циолковского
Пусть материальная точка Μ переменной массы
движется вертикально снизу вверх в поле сил тяжести с
начальной скоростью Уо. Предположим также, что
относительная скорость vi сброшенных из точки Μ частиц
постоянна и направлена противоположно движению.
Установим закон изменения скорости и расстояния в
зависимости от времени. Для различных случаев изменения
166

массы эта задача подробно изучена Циолковским,
поэтому ее называют задачей Циолковского.
Вертикальное направление примем за ось Oz.
Спроектировав на эту ось уравнение движения точки с
переменной массой (2.9), получим
dv dm
откуда
υ Am
du=-gdt !—. (4.1)
Учитывая, что V\ = const, и проинтегрировав равенство
(4.1) в промежутке (0, t), получим
^^ο-^-^Ιη-^-, (4.2)
где то — масса точки Μ в начальный момент времени
t = 0. Перепишем это равенство в виде
i; = i;o-£f-i>iln/(i)f (4.3)
где
/0 = ^· (4.4)
Интегрированием равенства (4.3) получим
t
s = s0 + vQt—^ — v1 j In/(f) Л, (4.5)
'о
где so = s(0).
Формулы (4.3) и (4.5) дают законы изменения
соответственно скорости и расстояния в зависимости от
времени, если известна функция /(£)» т· е. закон изменения
массы. Если f(t) = e~at, где а — постоянная, то формула
(4.5) даст
gt2 1
s = s0 + v0t — s— + — αι;^2, (4.G)
2 ' 2
если же /(£) = 1 — at, то получим
gt
2
5 = 50 + ^0ί-~- + -γ[(1 - at)ln(l - at) + at]. (4.7)
С помощью этих формул для данного случая изменения
массы может быть найдена максимальная высота,
достигаемая движущейся точкой (ракетой).
167

§ 5. Обобщенное уравнение Мещерского
В § 2 мы рассматривали движение материальной
точки Μ переменной массы, когда с нее происходит сброс
масс. Рассмотрим теперь тот общий случай, когда
одновременно происходит сброс и присоединение масс. Пусть
масса точки Μ в момент времени t равна т и
предположим, что за бесконечно малый промежуток времени dt
происходит сброс массы — dm\ и присоединение массы
dm2 (dmi<0, dm,2>0). Точку М можно рассматривать
как объединение двух точек с массами т + dm\ + drti2 и
—drti\. Для этой системы закон количества движения даст
dK = Fdt, (5.1)
где К— количество движения системы, составленной
указанными двумя точками, a F — главный вектор внешних
сил, действующих на точку М. Из последнего равенства
с достаточно большой точностью получим
K-K0 = Fcft, (5.2)
где К — значение количества движения в момент
времени t + dt, а Ко — в заданный момент t.
Обозначим скорости частиц — dm\ и dm2 в заданный
момент времени t через ui и U2. Имеем
К = (m + dmi + dm2) (v+ dv) + (—dmi)uu (5.3)
Ко = mv + dm2u2, (5.4)
где dv—приращение скорости точки М за время dt.
Внося эти значения в уравнение (5.2) и пренебрегая
произведением бесконечно малых dm\ dv и dm2 dv, легко
получим
/7V dm, dmn
Уравнение (5.5) называют обобщенным уравнением
Мещерского. Если присоединения массы не происходит,
то это уравнение совпадет с уравнением (2.7).
Величины ui — ν, щ — ν, входящие в уравнение (5.5),
представляют собой относительные скорости частиц — dm\
и dm,2 соответственно относительно точки М. Вводя
обозначения
Ui — V = Vi, U2 — V = V2, (5.6)
уравнение (5.5) можно переписать следующим образом:
dv dm, dmn _ „
168

R2=-5fv2 (5.9)
Для большинства задач, возникающих в современной
технике, относительные скорости vi и \2 параллельны ν
и противоположно ей направлены. В этом случае
векторная величина
входящая в правую часть уравнения (5.7) и
представляющая собой реактивную силу, которая возникает при
сбросе частицы (—dm\), имеет направление движения
точки Μ и ускоряет ее движение. Так как dni2 > 0 и
относительная скорость V2 направлена противоположно
движению точки Л/, то векторная величина, входящая в
правую часть уравнения (5.7),
dt
имеет направление, противоположное движению точки М,
и, следовательно, она тормозит движение. Величина Дг,
определенная равенством (5.9), называется
отрицательной реактивной силой.
Масса движущейся точки Μ для определенного
момента времени t вычисляется по формуле
t t
Г Ι άπιΛ I С dm0
m(t) = m0 — \m1\ + m2=m0 — ^ -^i- Λ + J -^ dt, (5.10)
о о
где mo— масса точки М к моменту времени t = 0, \ш\\ —
количество масс, сброшенных из точки Μ за время £,
тп2 — количество масс, присоединенных к точке Μ за
время t.
Спроектировав уравнение (5.5) на оси неподвижной
системы Oxyz, получим
dm, dmn
mx" = FX + -L(ai- χ') + -£ (α2-*'),
my" = Fy + '^ф1-у>) + ^ф2-у'), (5.11)
dm, dmn
mz" = Fz + _i (Vl - z') + -ji (γ, - z'),
где αϊ, βι, γι и аг, β2, Тг — координаты абсолютных
скоростей U| и иг относительно системы Oxyz. Если пред-
dm, dma
положить, что _i, _J.t u, =(αι, βι, γι), ιι2 = (α2, β2, γ2)-
169

известные непрерывные величины, то (5.11) будет
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка. Интегрированием этой системы определяется
движение материальной точки переменной массы.
Предположим теперь, что траектория точки
представляет собой плоскую линию и относительные скорости V!
и V2 совмещены на касательной к траектории. Пусть
vi = — V\x°, V2 = — У2Т°, где τ°—орт скорости движущейся
точки М. Если спроектируем в этом случае равенство
(5.7) на касательную к траектории, то получим (см.
§ 8, гл. 4)
d\ „ dm dm ν*
m-df = F*--drvi--drv2> ™~J=Fn,
где р —радиус кривизны траектории.
Рассмотрим частный случай движения материальной
точки Μ переменной массы, при котором не происходит
сброса массы с этой точки, а имеет место лишь
присоединение массы. В этом случае уравнение (5.5) даст, что
И\т dmn
d\ „ , dm
или m_ = F + _2v2.
Рассмотрим теперь случай, когда расход массы за
единицу времени равен количеству присоединенной за еди-
dmx dm2
ницу времени массы, т. е. — -^- = —^- · В силу формулы
(5.10) масса точки Μ не меняется, и уравнение (5.5)
дает, что
Если предположить, что ui=u2, то из (5.14) следует
уравнение
™4f = F' (5-15)
которое совпадает с уравнением движения материальной
точки с постоянной массой. Если абсолютная скорость и2
частицы drri2 равна нулю, то уравнение (5.14) дает, что
d\ ^ . dm
170

Формула (5.14) показывает, что результатом действия
реактивных сил будет ускорение точки лишь тогда, когда
l^il > |иг1 *). Если же Uil<lw2l, то преобладает
отрицательная реактивная сила и происходит замедление
движения, торможение. С этим случаем мы встречаемся,
в частности, тогда, когда имеет место присоединение
массы, но не происходит сброса масс (см. (5.13)). Имеем
d / ч dv dm md\ f dmx f dm2 /к л 7ч
_(mv) = m_ + _v = __+_lv + _2Vi (5.17)
откуда получим
dv d dm dm0
Внося это значение в уравнение (5.5), получим
й dm, dmn
^(mv) = F + -^u1 + ^u2. (5.19)
Предположим, что абсолютные скорости сброшенных
и присоединенных частиц равны нулю (ui = u2 = 0).
Тогда последнее дает уравнение Ньютона
-i-(mv) = F. (5.20)
§ 6. Об основных законах динамики
материальной точки переменной массы
Основные законы динамики материальной точки с
переменной массой получаются аналогично тому, как эти
законы были получены в случае материальной точки с
постоянной массой.
Уравнение (5.19) можно переписать в виде
d (т\) = F dt + Φ ι dt + Ф2 dt, (6.1)
где
dm, , dmn
Фх = ^Ч. Ф2 = ^Г«2. (6.2)
Равенством (6.1) дается закон количества движения
для материальной точки с переменной массой.
Дифференциал количества движения материальной точки с
переменной массой равен сумме импульсов силы F и
векторных величин Φι и Фг.
*) Мы предполагаем, что скорости Ui и и2 имеют направление,
противоположное скорости ν, в результате чего реактивные силы
параллельны направлению движения.
171

Если абсолютные скорости сброшенных и
присоединенных частиц равны нулю, то в силу равенства (6.2)
ф1=ф2 = 0 И равенство (6.1) дает
d(mv) = Fdi, (6.3)
откуда интегрированием в промежутке (to, t) получаем
t
т\ — т\0= [ F dt. (6.4)
'о
Из этих формул очевидно, что если абсолютные скорости
сброшенных и присоединенных частиц равны нулю, то
закон количества движения для материальной точки с
переменной массой формулируется так же, как и для
материальной точки с постоянной массой.
Обозначим радиус-вектор точки Μ относительно
начала системы координат Oxyz через г. Перепишем
равенство (6.1) в виде
±(ту) = ¥ + Ф1 + Ф2 (6.5)
ж умножим его слева векторно на г; получим
[r.^-(mv)]= [r-F] + [г.Φ,] + [г- Ф2]. (6.6)
Имеет место равенство
[r.-^-(mv)] = -|-[r.mv].
В силу последнего равенства (6.6) перепишется в виде
■^[t-my] = [r-F] +[p.OJ + [г-Ф2]. (6.7)
Равенство (6.7) дает закон момента количества
движения для материальной точки с переменной массой:
производная по времени момента относительно центра О
количества движения материальной точки с переменной
массой равна главному моменту относительно этого же
центра векторных величин F, Φι, Фг.
Рассмотрим частный случай:
Ρ + Φι + Φ2 = 0. (6.8)
Равенство (6.7) в этом случае дает, что [r-m\] = c =
*=(с\, C2j сг). Умножая это равенство скалярно на ра-
172

диус-вектор г и учитывая, что г -L [г · т\], получим
(г · [г · т\]) = с\х + счу + съъ = 0.
Последнее равенство показывает, что в рассматриваемом
случае траектория материальной точки Μ с переменной
массой есть плоская линия, расположенная на
плоскости, проходящей через начало координат:
с\Х + с2у + с%ъ = 0. (6.9)
Уравнение (5.19) можно переписать следующим
образом:
Умножив обе части равенства (6.10) на выражение <2г =
= vd£, получим
т(\ · d\)+ v2dm = (F · dr) + (u{ -\)drrti +(u2 -\)dm2.
Легко убедиться, что имеет место равенство
2 л
т (ν · d\) + v2dm = d ^~ + у v2dm.
Из последних двух равенств следует:
d4~ + Τ v4m = (F'rfr) + (ui'v)imi + (»2-v)*»2- С6·11)
В силу равенств (6.2) получим
(ui · ν) dmx = (Φι · dr), (u2 · ν) dm2 = (<Ε>2 · dr).
Теперь (6.11) можно переписать следующим образом:
d "Г" + Τ ^*»=(F'*)+ (Φι'*) + (Ф2·^)·
Учитывая, что dm = ίϋττίι + d77i2, окончательно получим
d^ + -j-1 + -^ = (F-dr) + (Φχ·ώ·) + (Φ2·ώ·).
(6.12)
Это равенство дает закон кинетической энергии для
материальной точки переменной массы.
Приведенные выше результаты показывают, что и
другие теоремы, известные для случая материальной
точки с постоянной массой, могут быть перенесены с
определенной модификацией на случай материальной
точки с переменной массой.

ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА
§ 1. Движение небесных тел
Движение как искусственного, так и естественного
небесного тела обусловлено в первую очередь силами
притяжения тел в пространстве, которые определяются
законом всемирного тяготения Ньютона (см. § 17 гл. 4). Две
материальные точки с массами т\ и /гсг, расстояние
между которыми равно г, притягивают друг друга силой,
величина которой выражается формулой
где /—гравитационная постоянная (универсальная
постоянная притяжения).
В механике небесных тел и космонавтике для
упрощения изучения движения того или иного тела это тело
заменяют его центром тяжести, в котором сосредоточена
масса всего тела. Подобная замена небесного тела
материальной точкой в большинстве случаев дает вполне
удовлетворительный результат.
Влияние сил притяжения какого-либо достаточно
большого небесного тела на другие тела отмечается на
очень больших расстояниях. Так, например, сила
притяжения Солнца может ощущаться на расстоянии
биллионов километров.
На основании многих экспериментов установлено, что
сила притяжения между двумя телами не зависит от
вида пространства, находящегося между ними, от
пустоты или заполненности его некоторыми твердыми
предметами. Таким образом, сила притяжения {гравитационное
поле, вызванное рассматриваемым телом) не зависит от
наличия какого-либо загораживающего тела; помимо
того, установлено, что действие силы притяжения
распространяется в пространстве мгновенно. Природа
притяжения и характер его распространения научно исследованы
в общей теории относительности Эйнштейна.
174

В основу теории движения небесных тел и, в
частности, искусственных спутников Земли положены
упрощения, вызванные некоторыми предварительными
допущениями. В основном обращаются к следующим
допущениям.
1. При изучении движения какого-либо небесного тела
(в частности, спутника) принимается во внимание
влияние на него одного или нескольких тел, тогда как
влияния многих других тел не учитываются. Не учитываются
влияния тех тел, у которых массы достаточно малы или
которые удалены от рассматриваемых объектов на
большие расстояния.
2. Тела рассматриваются как абсолютно твердые.
3. В ряде случаев тела рассматриваются как
материальные точки.
Помимо этих допущений в каждом конкретном случае
имеют место и другие, на которые в свое время будет
указано.
Космический корабль выводится в космическое
пространство с помощью ракеты, приводимой в движение
реактивным двигателем. В определенной точке космического
пространства кораблю придается скорость,
обеспечивающая его движение по заранее установленной траектории.
В результате работы двигателя происходит сброс части
массы ракеты. Для маневрирования корабля также
необходимо включение двигателей, и, следовательно,
изменения массы могут происходить и в процессе движения.
Таким образом, изучение движения космического
корабля связано с изучением движения тела переменной
массы. Заметим, что расчет движения ракеты-носителя
производится с помощью законов динамики тел переменной
массы (см. § 21—23 гл. 4).
§ 2. Задача η тел
В механике небесных тел большое значение имеет
так называемая задача η материальных точек {задача η
тел), которая может быть сформулирована следующим
образом:
Определить движение η материальных точек под
действием сил притяжения Ньютона, если известны массы
этих точек, а также их положение и скорости для какого-
нибудь значения времени (начальные данные).
175

В задаче η тел принимают во внимание лишь силы
взаимодействия этих тел, действием же всякого другого
тела на данные η тел пренебрегают. Частным случаем
задачи η тел является движение 9 больших планет
вокруг Солнца. Задача η тел полностью решена лишь для
случая η = 2.
Особое значение для космонавтики имеет тот случай
задачи η тел, когда масса одного из этих тел
значительно меньше масс остальных, в результате чего влияние
этого тела на остальные незначительно. С таким случаем
мы сталкиваемся при рассмотрении движения
космической ракеты к Луне. Здесь налицо случай задачи четырех
тел: Земли, Луны, Солнца и ракеты (тело с малой
массой).
В упомянутом случае задачи η тел не оказывается
никакого влияния на остальные тела со стороны тела с
малой массой (ускорения, сообщаемые телом малой
массы на другие тела, настолько незначительны, что
практически ими можно пренебречь). Это допущение
фактически равноценно допущению, что тело с малой массой не
притягивает другие тела. Таким образом, мы приходим
к так называемой ограниченной задаче η тел, которую
можно сформулировать следующим образом:
Даны лг — 1 материальных точек Л ι, Лг, ..., Ап-\ с
массами mu m2, ..., тп-\, которые притягивают друг
друга согласно закону всемирного тяготения Ньютона.
Пусть известно движение этих тел относительно
некоторой инерционной системы. Предположим, что точки
А\, Лг, ..., Лп-1 притягивают одну, определенную
точку Лп, а точка Ап не притягивает ни одну из точек
А\, Лг, ..., Л„-1 (ускорения, вызванные силой
притяжения точки Л„, настолько малы, что их можно не
принимать во внимание). Требуется определить движение
материальной точки Ап.
§ 3. Уравнения движения спутника
относительно центра притяжения
в декартовых координатах
Рассмотрим небесные тела S и Τ с массами Μ и т
соответственно. Предположим, что масса т тела Τ достаточно
мала по сравнению с массой Μ тела S. Нашей целью
является изучение движения тела Τ относительно тела 5
под влиянием силы тяготения последнего. В частности,
176

за тело S можно принять Землю, а в качестве тела Τ
рассмотреть искусственный спутник или в качестве S
возьмем Солнце, а в качестве Τ—Землю и т. д.
Допустим, что размеры тела Τ достаточно малы по сравнению
с расстояниями от точки тела Τ до точек тела S. В таком
случае с некоторым приближением можно предположить,
что масса тела Τ сосредоточена в барицентре Ρ этого
тела (центр тяжести, центр масс), и, следовательно, тело Г
можно заменить материальной точкой (Р, т). Помимо
этого допустим, что тело S
представляет собой однородную сферу.
В таком случае сила,
действующая на материальную точку (Р,
т), не меняется при замене
тела S ее барицентром А в
предположении, что в нем
сосредоточена вся масса Μ тела S. Таким
образом, мы получим задачу двух
материальных точек (двух тел):
Определить движение матери- Рис- 27
альной точки (Р, т)
относительно материальной точки (А, М) под влиянием силы
притяжения последней.
Если тело Τ движется относительно тела S под
влиянием силы притяжения последнего, то его называют
спутником тела S.
Рассмотрим сначала ограниченную задачу двух точек
(двух тел):
Определить движение точки (Р, т), если точка (А, М)
притягивает ее согласно закону всемирного тяготения
Ньютона, но точка (Р,пг) не притягивает точку (А,М)*)
(ом. § 2).
Рассмотрим некоторую инерционную систему
координат и введем следующие обозначения: ОА = а, ОР = р,
АР = т (рис. 27). Предположим, что центр притяжения
(А, М) неподвижен относительно взятой системы
координат.
*) Здесь необходимо заметить, что и точка (Р, тп)
притягивает точку (Л, Л/), причем с силой той же величины, с какой
точка (А, М) притягивает точку (Р, иг). Однако влияние этой
силы тяготения на точку (Л, М) не учитывается. Как было
отмечено в предыдущем параграфе, это равносильно допущепию о том,
что точка (Р, тп) не притягивает точку (Л, М).
177

Очевидно, уравнение движения точки Ρ относительно
точки А будет иметь такой вид*):
d2r , Mm /Q ,ч
m— = -f—r, (3.1)
где / — гравитационная постоянная.
Как мы знаем (см. § 17 гл. 4), гауссова постоянная μ
относительно центра А определяется равенством
μ = ίΜ. (3.2)
Вычисления показывают, что для Солнца μ = 1325 X
Χ 108 см3/с2, для Луны μ = 4900 см3/с2, для Земли μ =
= 398600 см3/с2. Уравнение (3.1) можно переписать так:
0, (3.3)
следующим
образом:
Ρ
Ιρ-
Γ
~7~
— а
= 0. (3.4)
.Уравнение (3.3) представляет собой векторный вид
уравнения движения материальной точки (Р, т)
относительно точки (А, М).
Если обозначим координаты вектора г относительно
системы Oxyz через х, у, ζ и спроектируем уравнение
(3.3) на оси системы координат Oxyz, получим:
d χ цх л
7? + (*2 + ί,2 + *2)3/2 = °'
7ί + (^ + /+22)3/2 =0, (3.5)
d<2>z j μ* = ο
Уравнение (3.3), или, что то же самое, система (3.5),
представляет собой уравнение движения спутника в
декартовых координатах.
Рассмотрим общую задачу двух тел (§2).
Предположим, что не только точка А действует на Р, придавая
ей определенное ускорение, но и сама точка Ρ действует
*) Так как вектор а в рассматриваемом случае постояпный, то
dp d dv
~dt=~dt^ + T)==~dt·
178

на А, придавая, в свою очередь, ей определенное
ускорение. В этом случае, очевидно, вектор а не будет
постоянным. Уравнение движения точки Ρ относительно
системы Oxyz будет иметь такой вид:
d2p . Mm /0 лЧ
m1F = ~ f-?-T· (3·6)
Аналогично, уравнение движения точки А относительно
системы Oxyz будет
,, d2a , Mm /0 п.
M-^-j-ft. (3.7)
Умножим уравнение (3.6) на М, а (3.7)—на т и вычтем
из первого второе, получим
-$- + μ4 = 0, (3.8)
at r
где
μ —/(Af+те). (3.9)
Формула (3.8) представляет собой уравнение
относительного движения материальной точки (Р, т) относительно
точки (А, М). Это уравнение имеет тот же вид, что и в
случае ограниченной задачи о двух телах, отличаясь от
последнего лишь значением коэффициента μ.
Таким образом, принимая во внимание влияние
точки Ρ на точку А, можно предположить, что точка А
неподвижна, но ее масса равна М+т (см. § 19 гл. 4).
Формула (3.8) представляет собой уравнение
движения спутника Р. Это уравнение равносильно системе
(3.5)*), которая представляет собой систему нелинейных
обыкновенных дифференциальных уравнений второго
порядка относительно координат х, у, ζ вектора г. Если
решение этой системы известно, т. е. вектор г найден, то
движение спутника Ρ определяется условием
ρ = а + г.
Пусть теперь тело S (точка А) представляет собой
Землю, а тело Τ (точка Р) — космический корабль,
поднятый на некоторую заданную высоту от поверхности
*) В случае ограниченной задачи о двух телах μ, входящее
в эту систему, определится равенством (3.2), а в общем случае —
равенством (3.9).
179

Земли, и ему придана некоторая скорость. Очевидно,
характер движения тела Τ (космического корабля)
относительно Земли зависит от начальных данных. Как мы
увидим в дальнейшем, начальные данные можно взять
так, чтобы в первом случае космический корабль начал
движение вокруг Земли, превратившись в ее
искусственный спутник, во втором случае — удалился от Земли
бесконечно, а в третьем случае — упал на Землю.
Установление этих условий, а также выяснение когда и с
каким случаем мы имеем дело составляет нашу основную
задачу. Прежде чем приступить к решению этой задачи,
сформулируем некоторые существенные свойства двия^ег
ния спутника, вытекающие непосредственно из
уравнения движения спутника.
§ 4. О некоторых свойствах движения спутника
Движение точки (Р, М) относительно точки (А, М), как
было отмечено в предыдущем параграфе, происходит под
влиянием сил притяжения точки (А, М). Значение этой
силы, если воспользоваться обозначениями предыдущего
параграфа, задается формулой
F = -/^r. (4.1)
Так как эта сила — центральная (ее направление всегда
проходит через центр тяготения А), то справедливы все
результаты, приведенные для случая движения,
вызванного центральной силой, в § 11 гл. 4. Используя эти
результаты, для движения спутника можно
сформулировать следующие свойства.
1. Движение спутника (Р, т) относительно
притягивающей точки (А, М) представляет собой плоское
движение, происходящее в плоскости, содержащей точку А.
2. Указанное движение происходит так, что имеет
место закон площадей, т. е. площадь, описываемая
радиусом-вектором точки Ρ относительно точки А,
пропорциональна времени движения Р. Обозначив площадь,
описываемую радиусом-вектором с момента £ = 0 до момента t
через а, получим
*--£<· (4.2)
где С — секториальная постоянная.
180

3. Момент скорости спутника относительно центра А
постоянен:
[г · v] = const, (4.3)
откуда I [г · v] I = С.
Возьмем прямоугольную систему координат Axyz
такую, чтобы плоскость Аху совпадала с плоскостью, на
которой происходит движение
спутника (траектория спутника
представляет плоскую линию).
Очевидно, векторное произведение [г · ν]
перпендикулярно плоскости Аху.
Спроектировав равенство (4.3) на
ось Αζ, получим следующий первый
интеграл:
ху'-ух' = С. (4.4) рис 28
Введем полярные координаты.
Заполярную ось примем ось Ах, обозначим полярные
координаты точки Ρ через г и θ (рис. 28). Очевидно, будем иметь
x=rcosQ, у = г sin θ. (4.5)
В силу (4.5) равенство (4.4) можно переписать в виде
Г2 -тг = С ИЛИ
at
άθ _С_
ΊΓ г2
(4.6)
Из последнего равенства видно, что чем дальше
находится спутник от центра притяжения, тем меньше его
угловая скорость, т. е. тем медленнее вращается радиус-
вектор т = АР вокруг центра А.
В качестве иллюстрации сказанного рассмотрим
следующий пример: Земля в январе ближе к Солнцу, чем
в июле, поэтому в январе Земля вращается вокруг
Солнца быстрее, чем в июле. В январе угол поворота
радиуса-вектора Земли относительно центра Солнца примерно
равен 6140", а в июле — примерно 57'И".
4. Если начальная скорость спутника Ρ направлена
к центру А, то движение спутника линейно и происходит
по прямой, проходящей через центр А (см. § 13 гл. 4).
Уравнение (3.8) перепишем в виде
т$- + *-7 = 0' (4'7)
181

где к = μτη. Действующая на спутник сила —
потенциальная (см. § 12 гл. 4). Потенциал, соответствующий
этой силе, имеет вид
U = y. (4.8)
(г · dr) к
Действительно, (F · dr) = — kv—=-^ = d — = c?i/. Теперь
г г
очевидно, что закон кинетической энергии для спутника
(Р, т) даст (см. § 12 гл. 4)
, ту" 7 /с , / την2 к\ А
<z —= d7, <^_—-j-o,
откуда имеем
к = Г, (4.9)
2
где Г — произвольная постоянная, называемая
постоянной энергии. Постоянная Г определяется начальными
mv\ к
данными г = Го, ν = vo, t = t0. Имеем Г = —ъ .
z го
Из формулы (4.9) непосредственно вытекает: если
спутник удаляется от центра тяготения, то его скорость
уменьшается; если спутник приближается к центру
тяготения, то его скорость возрастает.
Для иллюстрации этого результата можно снова
рассмотреть движение Земли вокруг Солнца. Так как в
январе Земля ближе к Солнцу, чем в июле, то в январе
она вращается вокруг Солнца с большей скоростью,
нежели в июле. Так как потенциал силы притяжения
центра А определен формулой (4.8), то потенциальная
энергия спутника (Р, т) будет (см. § 12 гл. 4)
V = - А, (4.10)
и, следовательно, равенство (4.9) можно переписать так:
^f + V=T. (4.11)
Мы убеждаемся, что для движения спутника (Р, т)
имеет место закон сохранения энергии. Учитывая
определенное выше значение постоянной Г, формулу (4.11) можпо
1S2

переписать в виде
г2
2
ffl,"2
где Н{
т? + F = #0, (4.12)
™»Ъ к
г
Ясно, что Но представляет собой полную начальную
энергию спутника (Р, т). Из формулы (4.12) вытекает
также, что если спутник бесконечно удаляется от
центра притяжения, то его скорость стремится к скорости у«>,
определяемой равенством
2Я
Л = —°- (4-13)
Из последнего равенства вытекает, что Н0 > 0.
§ 5. Уравнения движения спутника
в полярных координатах. Определение траектории
Как и в предыдущем параграфе, предположим, что центр
притяжения (А, М) притягивает точку (Р, т) в
соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона.
Предположим, что центр (А, М) неподвижен, и
определим движение (траекторию) точки (Р, т). Как было
отмечепо выше, за точку (А, М) можно принять центр
Земли, в котором сосредоточена вся масса Μ Земли,
а за точку (Р, т)— искусственный спутник Земли. Как
известно, движение точки Ρ{т)— плоское и происходит
в плоскости, проходящей через центр притяжения А.
За начало полярной системы координат (полюс) примем
точку А, а полярную ось Ах возьмем на упомянутой
плоскости; полярные координаты точки Ρ обозначим
через г, θ (рис. 28).
Вспомним некоторые формулы, приведенные в гл. 4.
В § 9 гл. 4 была получена формула
dr . dQ /г л\
у = 1ГТо + г1Г^ (5-1)
где го и ро — орты оси, определенной вектором АР = г,
и перпендикулярной к ней оси соответственно (орты
полярных координатных осей). Формула (5.1) дает
разложение скорости на радиальную и трансверсальную
составляющие:
dr dQ /r ~v
IV = ж, vp = vB~rir. (5.2)
183

В силу равенств (5.2) убеждаемся, что если vr и νθ
имеют одинаковые знаки, то и величины dr и dQ имеют
одинаковые знаки, и, наоборот, если величины dr и <2Θ
имеют одинаковые знаки, то и скорости vr и vQ имеют
также одинаковые знаки.
Квадрат скорости можно вычислить (см. § 16 гл. 4)
по формуле
7лН2
С2
Л ' + и
(5.3)
где С ■— секториальная постоянная, а
и = 1/г. (5.4)
В § 16 гл. 4 была выведена также формула Бинэ
mC>u[^ + u) = -F, (5.5)
где F обозначает проекцию на вектор г силы,
действующей на спутник (Р, т), и, следовательно,
F = — μ—2- = — μ/тш2, (5.6)
г
причем μ — постоянная Гаусса. Нам понадобится также
формула (4.6):
■зг -£ - Cu2· (5J)
Для получения уравнения движения спутника (Р, т)
воспользуемся формулой Бинэ (5.5), которая, в силу
(5.6), может быть переписана в следующем виде:
d2u μ /г о\
дг+ »--£· (5-8)
Общее решение этого уравнения, очевидно, будет
иметь вид
w = cccos(0 + e) + -τ· (5.9)
с
где α и ε — произвольные постоянные. Если введем
обозначения
р=С2М, е=ра, (5.10)
то равенство (5.9) можно переписать так:
1 + g cos (θ + ε) Ρ /с ш
W== ρ ' r- l + *cos(9 + e) РЛ1'
184

Таким образом, траектория спутника (Р, т)
представляет собой коническое сечение (эллипс, гиперболу или
параболу), один из фокусов которого совпадает с центром
тяготения (А, М). Конкретный вид траектории зависит,
как мы в этом убедимся ниже, от начальных условий.
Вместо полярной оси Ах рассмотрим полярную ось
Ах', получающуюся поворотом Ах в плоскости Аху
(в плоскости движения спутника) на угол ε (если ε > О,
то поворот должен осуществляться против направления
движения часовой стрелки, если ε < 0, то по направлению
движения часовой стрелки). Так как ε не задается
заранее, то направление оси Ах является искомым.
Обозначим через π точку, в которой ось Ах' пересечет
траекторию точки Р. Очевидно, точка π не задается заранее, и ее
нужно определить в дальнейшем.
Ясно, что полярными координатами точки (Р, т),
когда полярной осью является ось Ах', будут г и θ — ε. Если
теперь вместо θ написать φ(θ = φ) и предположить, что
φ отсчитывается от оси Ах\ то уравнение (5.11) можно
переписать следующим образом:
г Ρ l + gcosq> ^12\
Так как угол φ отсчитывается от полярной оси Ах' и
cos φ = 1 при φ = 0, то нахождение точки π означает
нахождение точки траектории спутника (Р, т), удаленной
от центра притяжения (А, М) на наименьшее расстояние.
Очевидно, вид формул (5.1), (5.2), (5.3), (5.5), (5.7)
и (5.8) не изменится при переходе от угла θ к углу φ.
Точка π, удаленная от центра притяжения на
наименьшее расстояние, называется перицентром. В случае
движения спутника вокруг Земли перицентр называют
перигеем, а в случае движения вокруг Солнца —
перигелием. Точку эллиптической орбиты, удаленную от центра
притяжения на наибольшее расстояние, в случае
движения вокруг Земли называют апогеем, а в случае
движения вокруг Солнца — афелием. Из равенства (5.12) имеем
^ = -±8ίηφ. (5.13)
Пусть в начальный момент спутник занимает
положение Мо, удаленное от центра тяготения А на
расстояние Го, и пусть в этом положении его скорость равна νο
(рис. 29). Угол ΜοΑη = φο определяет положение
перицентра относительно начального положения спутника.
185

В силу равенства (5.3) получим (в (5.3) вместо θ нужно
взять φ)
<2φ ~ V &
•U*.
Имеем следующие начальные условия:
(5.14)
(5 )„=-/#-"'· "ри*
Фо»
и = ип =
(5.15)
В последнем равенстве знак «—» перед корнем взят по
следующим соображениям: мы подразумеваем, что
скорость vo направлена так, чтобы
ее радиальная и трансверсаль-
ная составляющие (vr)o и (ζλρ)ο
имели одинаковые знаки.
Тогда, как было отмечено выше,
и величины (dr)o и (άφ)ο
будут иметь одинаковые знаки.
Далее, так как в силу
равенства (5.4)
du 1 dr
~7
-^w (5·16)
то величина
равенств (5.15) и (5.13) получаем
1 1 ί~2 7^2 2 е ·
-ς V ^о — Саи0 = — sin φ0,
должна быть отрицательной. В силу
(5.17)
а в силу равенства (5.12) имеем
е cos φο = щр — 1. (5.18)
Если внесем в равенства (5.17) и (5.18) вместо ρ его
значение из равенства (5.10), получим
е sin φ0 = — у ν% — Сги%, ecos φ0 = — и0 — 1. (5.19)
Из последних равенств имеем
tg<Po
cyvl-сЧ
с\ - μ
е =
μ2
1/ 1 + Τ2-(ί'ο-2μΟ·
(5.20)
(5.21)
186

Замечание. Начальные данные взяты т&к, чтобы
подкоренное выражение было неотрицательным,
векториальная постоянная С, входящая в эти равенства,
определяется следующим равенством (см. § 4):
I [го · vo] I = С
(5.22)
Таким образом, равенство (5.20) определяет искомый
угол φο посредством скорости Vq и величины щ = 1/го.
Равенство (5.21) дает значение эксцентриситета
траектории. В силу этого равенства значение эксцентриситета
зависит от величины
h
vl
2μ^0
(5.23)
Для установления физического значения величины h
вспомним значение начальной полной энергии спутника
(см. формулу (4.12)):
2
Таким образом, h представляет собой величину,
пропорциональную полной начальной энергии спутника, и,
следовательно, вид траектории зависит от знака начальной
энергии:
если h < 0, т. е.
эллипс;
если fe = 0, т. е.
парабола;
о
2μ
то е < 1 и траектория ■
то е = 1 и траектория ■
2μ
если h > 0, т. е. v0 >—» то е > 1 и траектория — ги-
о
пербола.
Спутник бесконечно удаляется от центра притяжения,
если его скорость является параболической, т. е. если
Параболическую скорость vv = ~ι / —
скоростью освобождения от центра притяжения.
(5.24)
называют также
187

§ 6. Определение движения спутника на орбите.
Уравнение Кеплера
В силу (5.7) будем иметь
d£ = Cu\ (6.1)
Внося сюда значение w из (5.12), получим
ρ2 άφ
С (1 + е cos φ)2
dt = P* *L
откуда
'-«•-τΙτγγ3^· (6·2)
υ J (1 + ecos φ)
где ίο —момент времени выхода спутника на перицентр.
Для вычисления интеграла в правой части (6.2)
произведем подстановку:
tg^-η. (6.3)
Имеем
.»»-*=£ Λ,-Άρ (β.4)
Легко получим
<*<р = 2 (ι + η2) ^η ί6 5ч
Рассмотрим случай, когда движение происходит по
эллиптической орбите, т. е. е< 1. Введем обозначение
/ff^ = *. θ = *η (6·6)
и перейдем от переменной θ к переменной Ε с помощью
следующей подстановки:
θ = tg 4·» ^ = (Ц^)^, cos£ = i^2. (6.7)
В результате простых преобразований из равенства (6.5)
получим:
о Ιιϊ , Q2\ JQ ^ Λ , ,„ , λΝ q2
^ф 2 (&2 + θ2) cffl ^ 1 — g + (1 + e) θ2
(1+e cos φ)2 ~~ ks (1 + ef (l + θ2)2 /b3 (1 + e)3 (l + Θ2)
1 /4 1 — θ2\ Ί„ 1-е cos Я
1-^Кг- Г Г,/, rf£· (6·8)
k3(i + ef [ l+θ2; (l-e2)3/2
188

Внося полученное значение в правую часть равенства
(6.2) и вычисляя интеграл, получим
E-esinE = K{t-t0), (6.9)
где
г Ы - е2)3/2
λ= u l] . (6.Ю)
Вспоминая связь между величинами φ и Ε (см. (6.3),
(6.6) и (6.7)), будем иметь
*4·-ιΊϊ>ϊ· <вЛ1>
В механике небесных тел угол φ называют истинной
аномалией, & Ε — эксцентрической аномалией. Уравнение
(6.9), устанавливающее связь между эксцентрической
аномалией и временем, называется уравнением Кеплера.
Уравнение Кеплера вместе с уравнением (5.12)
определяет координаты г и φ к произвольному моменту времени.
Этим для рассматриваемого случая определен и закон
движения спутника по орбите.
Скорость движения по орбите в силу формулы (5.3)
представится следующим образом:
--* [(£)"+■*]■
Найдем теперь период обращения спутника по орбите.
Ясно, что если φ = π, то промежуток времени будет
t — t0 = у, а в силу равенства (6.11) tgy = οο и,
следовательно, Е = л. Теперь уравнение (6.9) дает
Γ = 2π/λ, λ = 2π/Γ. (6.12)
Равенство (6.12) устанавливает связь между величиной
λ и периодом Т.
В силу равенства (6.12) уравнение Кеплера можно
переписать следующим образом:
E-esinE=*^{t-t0).
§ 7. Движение тела в поле притяжения Земли
Пусть центр притяжения (А, М) представляет собой
центр Земли, а (Р, тп)— материальная точка (спутник),
движущаяся под действием силы притяжения Земли.
Предположим, что Земля неподвижна, и, кроме того, не
189

буден принимать во внимание сопротивление воздуха.
Движение искусственного спутника Земли происходит на
такой высоте от поверхности Земли, что пренебрежение
силой сопротивления воздуха не накладывает особых
ограничений. Пусть в начальный момент спутник
находится в точке Мо, удаленной от центра Земли А на
расстояние R: R = AMq (рис. 30), и пусть ускорение силы
тяжести в точке Мо равно g. Под R
всегда подразумевается величина,
которая не меньше радиуса
Земли i?o. Под радиусом Земли
подразумевается радиус экватора
Ro = 6378 км. Помимо этого
допустим, что на поверхности Земли
g = go = 9,81 м/с2.
В положении Мо сила,
действующая на точку (Р, т), равна
F= —
μτη
— rng,
(7.1)
Рис. 30
откуда
μ = Ε% (7.2)
Предположим, что в положении
Мо в точке (Р, т) придана скорость νο, составляющая
с горизонтом угол а*). Для вычисления секториальной
постоянной имеем следующую формулу:
С = Rvocos а. (7.3)
Траектория точки (Р, т) будет коническим сечением
l + ecosq) тлтттт „ Ρ (1 /\
и =
или г
1 + е cos φ'
где угол φ отсчитывается от полярной оси, проходящей
через перигей (рис. 30); параметр ρ и эксцентриситет е
вычисляются по следующим формулам (см. (5.10) и
(5.21)):
Р =
β = γ/Γί + £(νΙ-2μ*ι0).
Угол φο, определяющий положение перигея, вычисляется
посредством формулы (5.19). Учитывая значения (7.2)
*) Подразумевается, что тело (Р, т) поднято посредством
ракеты-носителя на высоту R — R0 от поверхности Земли и после
этого ему придана скорость v0.
190

и (7.3), из последних формул получим
С2 у2, cos2 a
Р~ μ ~ 8 '
, / vl cos2 α / „ Λ „ч
е=у l + JLS¥-(vl-2gR).
(7.5)
(7.6)
Формулы (5.19) перепишутся следующим образом:
е sin φ0 =
2 2
y^ cos α
ecoscpo = ^ 1.
(7.7)
В силу формулы (7.6) траектория будет:
эллипсом (е < 1), если Vq < l/2gR,
параболой (е = 1), если Уо = V2gi?,
гиперболой (е > 1), если Уо > V2gi?.
Обозначим параболическую скорость через у
* = V2g/T.
Очевидно, у* есть наименьшая начальная скорость,
которую нужно придать точке (Р, т) для того, чтобы она
покинула область притяжения Земли. Эта скорость носит
название второй космической скорости.
Предположив, что в начальный моМент точка Л/о
находится на поверхности Земли, и вспомнив, что i?o =
= 6378 км, g = go = 9,81 м/с2, получим с определенной
точностью:
у* = 11,2 км/с.
Если придать телу скорость Уо > у*, то оно удалится от
Земли на бесконечное расстояние, каким бы ни был
угол а. Траектория будет параболой (при Уо = у*) или
гиперболой (если Уо>у*). В том частном случае, когда
α = -tjt, траектория будет прямой линией.
Если начальная скорость Vq < у*, то тело (Р, ш)
обратится в искусственный спутник Земли или же упадет
обратно на Землю. В первом случае тело опишет вокруг
Земли эллиптическую траекторию и начнет
периодическое движение по этой траектории. Во втором случае
тело опишет некоторую часть эллиптической траектории
и упадет на Землю.
191

§ 8. Искусственный спутник Земли
Для того чтобы тело (Р, т), пущенное с поверхности
Земли со скоростью Уо, описало замкнутую линию
(эллиптическую орбиту), необходимо, чтобы радиус-вектор г
каждой точки этой линии удовлетворял условию r>Ro =
= г(сро), и, следовательно, нужно, чтобы
Ρ «> Ρ /g j\
1 + e cos φ *^ 1 + e cos φ ' V · /
В силу этого неравенства, если φ изменяется от 0 до π,
должно выполняться неравенство φ ^ сро, которое
справедливо при сро = 0. Это означает, что перигей
искусственного спутника должен совпадать с начальным положением
точки М0. Подставляя в равенство (7.7) i? = i?o, cpo = 0,
получим
cos2a.tgcc = 0, (8.2)
^-i-e. (8.3)
*о о
Ввиду того, что ε > 0, из равенства (8.3) получаем
cos2 а Ф 0, а отсюда равенство (8.2) даст tga = 0H<x = 0
(или <χ = π). Теперь из равенства (8.3) имеем
ёо о
Так как е > 0, то в силу (8.4)
vo > У*оДо. (8.5)
Таким образом, для того чтобы тело (Р, т), пущенное
с поверхности Земли, превратилось в искусственный
спутник Земли, необходимо выполнение двух следующих
условий:
сс = 0, (8.6)
y2goRo>v0>ygoRo. (8.7)
Покажем теперь, что эти условия являются и
достаточными. Действительно, в силу условия (8.6) система
(7.7) даст сро = 0, и, следовательно, всегда будет
выполняться условие (8.1). Второе условие системы (7.7) в
этом случае убеждает нас, что имеет место условие (8.4),
которое в силу (8.7) дает е > 0. Условие (8.7)
обеспечивает эллиптичность орбиты.
192

Таким образом, мы пришли к следующему результату:
для того чтобы тело (Р, т), пущенное с поверхности
Земли, превратилось в искусственный спутник Земли,
необходимо и достаточно выполнение условий (8.6) и (8.7).
Рассмотрим тот частный случай, когда
эксцентриситет равен нулю: е = 0. В этом случае из равенства (8.4)
получим
*о = »о* -У1Ж- (8-8)
Орбита тела (Р, т), очевидно, будет окружностью.
Скорость v0, определенная равенством (8.8), называется пер-
вой космической скоростью. Вычисления показывают, что
»1 = У1Ж= 7910 м/с. (8.9)
Приведенные выше рассуждения показывают, что
если а Ф 0, то какова бы ни была скорость vq тела,
пущенного с поверхности Земли, оно не может обратиться в
искусственный спутник Земли. Практически для вывода
искусственного спутника на орбиту используют ракету,
сообщающую телу на некоторой высоте Η необходимую
скорость vq. В этом случае становится возможным малое
отклонение от условия а = 0. Это отклонение может быть
тем больше, чем больше Н.
Вместо условия (8.7) в этом случае (когда тело
поднято на высоту Η над поверхностью Земли) имеем
l/2gR>v0>l/gR,
где
R = R0 + H.
В силу равенства (7.2) имеем gR2 = g0Rl
тельно,
(8.10)
(8.11)
и, следова-
(8.12)
Вместо равенства (8.8) будем иметь у* = VgR> которое,
в силу (8.11) и (8.12), можно переписать в виде
>: = /г#=^/3^. (813)
Таким образом, с увеличением Η скорость кругового
движения убывает.
Для вычисления эксцентриситета в этом случае
пригодна формула (7.6) (а может и не быть нулем).
193

Найдем теперь период обращения Τ спутника по
орбите. Для этого рассмотрим формулу (см. гл. 3)
μ=4π^\ (8.14)
где а — большая полуось орбиты. Внося сюда вместо μ
его значение из (7.2), получим
Τ=ψγΐ, (8.15)
где, как известно,
ρ с2 »lcos2 α
а = 9, ρ = — = —
1-е2 * μ 8
вычисляется по формуле (7.6). Если а = О, то находим
по формуле
е-^-1. (8.16)
Обозначим радиусы — векторы перигея и апогея
относительно центра Земли соответственно через г\ и гг. Будем
иметь
а = Г-^р-. (8.17)
Для первого искусственного спутника Земли высота
перигея над поверхностью Земли была равна Η = 230 км,
высота апогея 950 км.
Вычислим период обращения спутника. Имеем
П=Я+Ло, г = #* + Д0,
где До — радиус Земли, R0 = 6378 км. В силу формулы
(8.17)
а = 1(2Д0 + Η + Я*) = 6968 км.
Очевидно, Л = η = По + Я = 6608 км. Кроме того, g вы-
числится по формуле (8.12). Внося значения а, Я, g в
равенство (8.15), получим Г ~ 96,1 мин.
Для вычисления периода мы можем также
воспользоваться формулой (6.12), в которой λ определяется
равенством (6.10).

ГЛАВА 7
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Предварительные замечания
Теория относительности Альберта Эйнштейна является
краеугольным камнем современной физики. Эта теория,
на практике, нашла широкое инженерно-техническое
применение при решении многих значительных вопросов. Она
возникла в результате попытки преодоления
противоречий, с которыми столкнулась физика в конце XIX и в
начале XX века. Эти противоречия оказались настолько
глубокими, что их преодоление в рамках законов
классической физики стало невозможным. Возникла
необходимость отказа от укоренившихся на протяжении веков
взглядов и введения новых принципов, а это вызывало
изменение целого ряда законов классической физики.
Самые значительные изменения претерпели общепризнанные
взгляды классической физики, касающиеся пространства
и времени.
В основе положений классической физики конца
XIX и начала XX столетия лежали две научные
гипотезы, использование которых давало объяснение многим
фактам каждодневной практики.
Согласно одной из них, атомистической гипотезе, все"
ьещества в природе состоят из мельчайших частиц —
атомов и молекул. Причем атом не есть элементарная
неделимая частица, а представляет собой сложную систему,
состоящую из положительных и отрицательных зарядов —
протонов и электронов. Электроны совершают внутри
атома колебательные движения и согласно законам
электродинамики порождают электромагнитные волны.
Вторая гипотеза — о существовании эфира, т. е. такой
упругой среды, которой заполнен весь мир (в частности,
пространство между атомами и внутри атома), и
посредством которого происходит взаимодействие между
частицами вещества. Для обоснования волновой теории света
существование эфира считалось вполне естественным. Так
195

же, как и звук (волновое движение воздуха), срет
рассматривался как волновое движение эфира. После того
как Максвелл обнаружил, что свет представляет собой
электромагнитную волну, казалось, что существование
эфира — непреложная истина, так как иначе невозможно
было представить распространение электромагнитной
волны.
Электромагнитные волны, существование которых
следовало из теории Максвелла, посредством эксперимента
были получены Г. Герцем, а в 1895 году А. Попов
использовал их для радиопередач. После этого
существование эфира почти ни у кого не вызывало сомнения.
Таким образом, в начале XX века считали почти
несомненным существование упругого эфира, которым
заполнено все бесконечное пространство и в которое
погружены атомы; при этом атомы представляют собой
сложную систему электрозарядов, осуществляющих
колебательные движения. Такое движение электрических
зарядов вызывает деформацию эфира, распространяющегося
как упругие волны, и обусловливает взаимодействие
атомов.
Допущение существования эфира и приписывание ему
целого ряда свойств все же не обеспечило объяснения
многих фактов; классическая физика попала в сеть
противоречий. В первую очередь подтвердилось, что.
электромагнитные волны — это поперечные волны, что следует
из факта существования поляризованного луча. С другой
стороны, так как поперечные волны распространяются
только в твердых телах, стало необходимым допустить,
что эфир представляет собой упругую твердую среду. Но
если это так, то как можно объяснить тот факт, что при
движении в эфире планеты и другие небесные тела не
встречают сколько-нибудь заметного сопротивления?
Собралось множество фактов, объяснение которым
найти в рамках законов классической физики
становилось невозможным. Уточнение отдельных взглядов и
утверждений не вносило существенных облегчений. В
начале XX века классическая физика оказалась в тупике;
вывел ее из этого тупика Альберт Эйнштейн. Для этого
ему потребовалось радикальное преобразование целого
ряда взглядов классической физики. Наибольшим
изменениям подверглись наши представления о пространстве и
времени.
Ввиду того, что всякое механическое движение
происходит в пространстве и времени, радикальные изменения
196

претерпели и законы классической механики (механики
Ньютона).
Отметим, что теория относительности, возникшая в
результате попытки преодоления указанных противоречий,
отнюдь не связана с допущением о существовании эфира.
§ 2. Принцип относительности
в классической механике
Теория относительности Эйнштейна была естественным
результатом развития физики. Отправным пунктом этой
теории является принцип относительности в классической
механике, сформулированный еще в XVII веке Галилеем.
Почти все законы механики служат для определения
свойств движения объектов в пространстве и времени.
Очевидно, подвижность и неподвижность тела имеет
смысл относительно какой-либо системы отсчета.
Механическое движение тела имеет относительный характер. Так
тело, неподвижное относительно одной системы отсчета,
может двигаться относительно другой системы отсчета.
Например, человек, неподвижно стоящий в поезде,
движется вместе с поездом относительно Земли. Земля,
в свою очередь, движется относительно Солнца, а
последнее движется относительно Галактики.
Приведенные примеры ясно показывают, что
характер движения тела существенно зависит от системы
отсчета. Относительно одной системы отсчета тело может
находиться в состоянии покоя или двигаться прямолинейно
и равномерно, а относительно другой — двигаться
криволинейно и ускоренно.
Свойства движения и его законы могут быть изучены
относительно произвольно выбранной системы. Однако
полезно воспользоваться такой системой отсчета,
относительно которой эти законы имели бы простейший вид.
В качестве такой системы можно взять инерциальную
систему. Возникает вопрос: существует ли система,
находящаяся в абсолютном покое? Ньютон предложил
следующую научную гипотезу: существует находящаяся в
абсолютном покое система отсчета, и всякое неподвижное
тело в этой системе находится в абсолютном покое, а
всякое движение относительно этой системы представляет
собой абсолютное движение. Эта гипотеза носит название
гипотезы Ньютона об, абсолютном пространстве. Согласно
этой гипотезе, можно говорить об абсолютном движении
197

тела относительно упомянутой абсолютной системы,
движение же тела относительно любой другой системы можно
назвать относительным. Так, движение планет
относительно Солнца до того времени, пока не было известно о
движении Солнца в Галактике, можно было считать
абсолютным, движение же Луны, например, относительно
Земли — относительным движением.
Гипотеза об абсолютном пространстве утвердилась в
физике в конце XIX века в связи с утверждением
концепции эфира. Считалось естественным допущение, что
абсолютная система связана с мировым эфиром, которым
заполнен весь мир; всякое движение относительно эфира
считалось абсолютным. Высказывалась надежда, что с
помощью опытов, проведенных в некоей движущейся
лаборатории, будет возможно нахождение абсолютного
движения, однако осуществить это не удалось.
Ввиду того, что выбор системы отсчета фактически
определяет форму законов, большое значение имел выбор
такой системы отсчета, относительно которой эти законы
имели бы наиболее простой вид. В качестве такой
системы, как уже было отмечено, принята инерциальная
система отсчета. Оказалось, что система, связанная с так
называемыми неподвижными звездами, с достаточно
большой точностью представляет собой инерциальную
систему. Выяснилось, что если законы механики
сформулированы относительно некоторой инерциальной системы, то
их вид останется неизменным и в любой другой
инерциальной системе. Таким образом, установлено, что имеет
место следующий закон природы:
В двух системах отсчета, движущихся друг
относительно друга по инерции, все механические явления
происходят одинаково [тождественно) при одинаковых
начальных условиях. Этот закон, сформулированный еще
Галилеем, носит название принципа относительности в
классической механике.
Земля, правда, не представляет собой инерциальную
систему, однако при рассмотрении целого ряда вопросов
можно пренебрегать ее неинерциальностью. Для
иллюстрации сформулированного выше закона рассмотрим две
лаборатории (две системы отсчета), одна из которых
неподвижно связана с Землей, а вторая — с движущимся
поездом. Предположим, что поезд двигается прямолинейно
и равномерно. Тело, подброшенное вертикально вверх
с какого-либо вагона, возвратится в ту же точку вагона,
откуда оно было подброшено (не сместится в направлен
198

нии, противоположном направлению движения поезда),
т. е. движение тела происходит так, как если бы поезд
был неподвижен. Тело, брошенное вдоль вагона, достигнет
противоположной его стенки за одно и то же время,
независимо от того, будет ли оно брошено по направлению
движения поезда или в противоположном направлении.
Два одинаковых физических маятника, помещенных в
упомянутые две лаборатории, выполняют одинаковые
колебания, если начальные условия для обоих маятников
одинаковы.
Согласно принципу относительности в классической
механике, все инерциальные системы для описания
явлений природы эквивалентны. На основании многих
экспериментов установлено, что ни в одной инерциальной
системе не может быть обнаружено, находится ли эта
система в состоянии покоя или движется по инерции
относительно другой инерциальной системы.
Возникает вопрос: подчиняются или нет законы
движения современной физики принципу
относительности?
Считалось, что обнаруженные Максвеллом законы
электромагнитного поля несовместимы с принципом
относительности. В силу упомянутых законов,
электромагнитная волна в пустоте распространяется с
универсальной скоростью с = 3 · 1010 см/с. Это считалось
невозможным относительно двух инерциальных систем,
движущихся друг относительно друга с определенной
скоростью.
Предполагалось, что в случае существования
инерциальной системы отсчета, в которой скорость
электромагнитной волны была бы одинаковой во всех направлениях,
ее можно было бы использовать для определения
абсолютного равновесия и абсолютного движения.
Многие эксперименты пытались обнаружить такую
систему отсчета и определить движение Земли
относительно нее, но все эти попытки не принесли положительного
результата. Как мы убедимся в дальнейшем (см. § 6),
законы движения современной физики также находятся
в полном соответствии с принципом относительности. То
обстоятельство, что скорость распространения
электромагнитной волны (в частности, скорость распространения
света) одинакова в движущихся друг относительно друга
инерциальных системах, указывает не на то, что в этом
случае не имеет места принцип относительности, а на то,
что не имеет места обычный закон сложения скоростей.
199

§ 3. Преобразования Галилея
В дальнейшем всякая инерциальная система будет
представлена посредством неподвижно связанной с ней
прямоугольной декартовой системы координат Oxyz. Всякому
событию, происходящему в данной инерциальной системе,
можно поставить в соответствие пространственные
координаты х, у, ζ, определяющие местоположение этого
события, а также время t происхождения этого события. Для
определения пространственных координат х, у, ζ и
времени t события, наблюдатель, находящийся в данной
инерциальной системе, должен иметь эталоны длины и
времени. В классической механике принято, что время и длина
отрезка одинаковы во всех инерциальных системах. Но
для этого, очевидно, необходимо иметь одинаковые
эталоны длины и времени во всех инерциальных системах.
Это возможно при допущении, что эталоны, выполненные
для одной из инерциальных систем, будут неизменными
во всех других инерциальных системах.
Пусть заданы две инерциальные системы Oxyz и
O'x'y'z , которые назовем соответственно системами S и
S'. Для простоты в дальнейшем, если не будет оговорено
противное, будем подразумевать, что начало О'
расположено на оси Ох и что оси систем S и S' взаимно
параллельны (рис. 31). Предположим, что система S'
движется относительно системы S со скоростью и. Очевидно,
ветер и параллелен оси Ох, и можно написать, что и = ш,
где i — орт оси Ох, и — постоянная скалярная величина
(скалярная скорость).
Пусть в точке N(x, у, ζ) системы S в момент времени
t произошло некоторое событие; пространственные
координаты этого же события в системе S' обозначим через χ',
у\ ζ\ а время события в этой же системе обозначим че-
200

рез t' (рис. 32). Предположим, что в момент t = t' — О
обе системы совпадают друг с другом (О совмещена с О'),
и примем этот момент за начальный. Как уже отмечалось,
время в классической механике во всех инерциальных
системах одинаково. Поэтому
Установим теперь связь между координатами х, у, ζ и
х', у', ζ'. Эта связь осуществляется с помощью принятого
в классической механике второго основного допущения
о том, что длина отрезка во всех инерциальных системах
одинакова. Ясно, что координата χ точки N представляет
собой длину отрезка О А в системе S (рис. 32.) Можно
написать:
х = 00' + 0'А, (3.1)
где длины отрезков 00' и О'А измерены в системе S.
В силу вышесказанного длина отрезка О'А в системе S
такая же, как и в системе S'; поэтому
0'А=х'.
Кроме того, очевидно, что 00' = ut. Внося это значение
в (3.1), получим
x = ut + x'. (3.2)
Легко убедиться также, что имеют место равенства
у = у\ z = z'.
Таким образом, мы получили следующие формулы
преобразования координат:
x = ut + x\ y = y', z = z', t = t'. (3.3)
Формулы (3.3) носят название формул преобразования
Галилея. В векторном виде их можно записать в
следующем виде:
г = г' + ut, (3.4)
где г = ON, г' =» O'N. Согласно этим формулам при
переходе от одной инерциальной системы к другой происходит
преобразование координат точки, а также времени. Из
этих формул непосредственно следует, что во всех
инерциальных системах расстояние между двумя точками
одинаково*). Действительно, пусть координаты точек М\ и
*) Этого следовало ожидать, так как формулы преобразования
Галилея были приняты при допущении, что длина отрезка и
время одинаковы во всех инерциальных системах,
201

М2 tf системе S будут хи уи z\ и #2, г/2, z2 соответственно,
с/ ' ' '
а координаты этих же точек в системе о —xv уъ z1 и
х2-> Уъ-> ζ2 соответственно. В силу формул (3.3) имеем
x1 = ut + xlJ У1 = у[, zl = z[,
Х2 = Ut + Х2, Уъ = £/2> z2 ~ Z2)
откуда
/ ι г г it
Х2 — Х1 = Х2 Χ1·> У 2 — У\ === У 2 У\-> Ζ2 Ζ1 == Ζ2 Ζ1·
(3.5)
Из равенств (3.5) получаем
V{x2 - xxf + (у2 - ytf + (za - zxf =
= V{^-x[Y+{y2-y[Y + {z'2-z[Y. (3.6)
Левая часть этого равенства представляет собой
расстояние между точками М\ и М2 в системе S, а правая
часть — то же расстояние в системе S'. Этим
справедливость нашего утверждения доказана.
Продифференцировав равенство (3.4) по времени (по
параметру £), получим
v = v' + 11, (3.7)
где ν — скорость движущейся точки N в системе S, a v' —
скорость той же точки в системе S'. Формула (3.7) дает
хорошо известный, закон сложения скоростей.
Определение. Величина, значение которой не
зависит от выбора системы отсчета (мы всегда имеем в
виду инерциальные системы), называется инвариантной,
а величина, значение которой зависит от системы
отсчета, называемой неинвариантной.
Ввиду того, что переход от одной инерциальной
системы к другой осуществляется по формулам
преобразования Галилея, ясно, что инвариантность или
неинвариантность той или иной величины определяется формула-
ви преобразования Галилея.
В силу формул (3.3) и (3.7) координаты точки и
скорость — неинвариантные величины, а расстояние между
двумя точками (длина отрезка) и время — инвариантные
величины. Масса материальной точки в классической
механике также инвариантная величина.
Количество движения системы материальных точек
(см. § 2 гл. 6)
η
К = 2 Щ^г
г=1
202

представляет собой неинвариантную величину (так как
скорости неинвариантны).
Дифференцируя формулу (3.7) по времени, получим
w = w', (3.8)
где w — ускорение движущейся точки в системе S,aw' —
ускорение той же самой точки в системе S'. В силу
формулы (3.8) ясно, что ускорение — инвариантная величина.
Ввиду того, что скорость не является инвариантной,
кинетическая энергия материальной точки есть
неинвариантная величина.
Покажем теперь, что относительная скорость одной
материальной точки относительно второй точки
инвариантна. Действительно, рассмотрим две точки N\ и N% со
скоростями vi и V2 в системе S и соответственно со
скоростями \[ и Va в системе £". В силу формулы (3.7) имеем
v-l = vi + u, v2 = Va + u. (3.9)
Относительная скорость точки iVi относительно точки N2
будет
V/2 — Vi. .
В силу формул (3.9) эта разность может быть
представлена в виде
v2 - vx = V2 - vi. (3.10)
Этим наше утверждение доказано.
Ввиду инвариантности времени, промежуток
(интервал) времени также есть инвариантная величина.
Механические величины определяются длиной и
временем, поэтому формулы Галилея дают возможность
преобразовать и механические величины. Рассмотрим,
например, количество движения системы материальных точек
в системе S:
η
Κ = Σ т^. (3.11)
2=1
Используя формулу (3.7), легко получим
К = К' + Л/и, (3.12)
где К' — количество движения данной системы
материальных точек в системе S'; Μ—полная масса системы
материальных точек,
η
м = 2 т-
i = l
203

Рассмотрим кинетическую энергию системы
материальных точек в системе S (см. § 3 гл. 3):
η
1
Г=у 2 miv2i·
i=l
В силу формулы (3.7) получим
η
г=1
откуда имеем следующие формулы преобразования
кинетической энергии:
Т=Т'+(К'.и) + ¥£, (3.13)
где К' и Λί имеют те же значения, что и выше.
Момент количества движения системы материальных
точек (кинетический момент) относительно системы S
будет (см. § 3 гл. 6)
G —S ['i-WiVi], (3.14)
где гг — радиус-вектор материальной точки Л/,·
относительно начала координат системы S, ν» — скорость точки М{
в системе S. Посмотрим, как применением формул
преобразования Галилея преобразуется вектор G. Используя
формулы (3.4) и (3.7), получим
Гг = т[ + ll£, Vi = У\ + U. (3.15)
Внося эти значения в правую часть (3.14), будем иметь
G = G' + M[r'cu] + [u-K']i, (3.16)
где G' — кинетический момент относительно системы £';
гс— радиус-вектор центра инерции данной системы
материальных точек в системе S'; К' и Μ имеют те же
значения, что и выше.
§ 4. Инвариантность законов классической механики
относительно преобразования Галилея
В силу принципа Галилея (см. § 2), все механические
явления протекают одинаково во всякой инерциальной
системе. Следовательно, и законы, определяющие эти
явления, должны быть одинаковыми во всякой иперциаль-
ной системе.
204

Математически это заключение можно сформулировать
в виде следующей теоремы:
Законы классической механики инвариантны
относительно преобразования Галилея.
Эта теорема может быть рассмотрена как естественное
следствие принципа относительности в классической
механике. Несмотря на это, мы покажем справедливость этой
теоремы на примере основных законов классической
механики. Этим фактически будет показано, что принцип
относительности классической механики и эта теорема
равносильны.
В первую очередь вспомним закон механического
движения материальной точки — второй закон Ньютона,
который математически задается следующей формулой:
77W = F, (4.1)
где m — масса материальной точки, w — ускорение, F -—
сила, действующая на материальную точку. Очевидно, это
уравнение написано относительно определенной инерци-
альной системы S.
Покажем, что это уравнение инвариантно
относительно преобразования Галилея.
Действительно, как было отмечено в предыдущем
параграфе, масса и ускорение точки инвариантны
относительно преобразований Галилея, и, следовательно, левая
часть равенства (4.1) инвариантна относительно
преобразований Галилея. В классической механике сила
рассматривается как функция следующих величин:
1. Сила зависит от расстояния между
взаимодействующими точками (например, гравитационные силы: F =
ρ /
2. Сила зависит от относительной скорости одной
частицы относительно другой (например, сила трения).
3. Сила зависит от трения.
Ввиду того, что расстояние между точками,
относительная скорость одной точки относительно другой и
время инвариантны относительно преобразований Галилея,
сила инвариантна относительно преобразований Галилея.
Этим доказано, что уравнение {4.1) инвариантно
относительно преобразований Галилея.
Теперь ясно, что все законы, полученные при
посредстве этого уравнения, также инвариантны относительно
преобразований Галилея.
205

Рассмотрим систему материальных точек М\, Μ\, . ..
. . ., Мп. Сумму всех внутренних и внешних сил,
действующих на материальную точку Ми обозначим через F{.
Если система материальных точек не свободна, то в состав
сил Ft войдут и силы реакции.
Уравнения движения рассматриваемой системы
материальных точек имеют вид (см. § 21 гл. 4)
ты = ¥< (i — 1, 2 η), (4.2)
где rrii — масса точки Mit Как и в случае уравнения (4.1),
легко убедимся, что система (4.2) инвариантна
относительно преобразований Галилея. Отсюда следует, что
законы механики, полученные при посредстве системы
(4.2), инвариантны относительно преобразований Галилея.
В качестве примера рассмотрим закон количества
движения для системы материальных точек (см. § 23 гл. 4).
В системе S, рассмотренной в § 3, этот закон задается
следующим равенством:
η
J-2[ri-™«Vi] = L, (4.3)
г=1
где Гг — радиус-вектор точки Mi относительно начала О
системы S; ν» — скорость точки Mi в системе S; L —
главный момент внешних сил, действующих на систему
материальных точек относительно начала О системы S.
Покажем, что этот закон инвариантен относительно
преобразований Галилея.
Ввиду того, что уравнение (4.2) инвариантно
относительно преобразований Галилея,
где \\ — скорость точки Mi относительно рассмотренной
в § 3 системы S'\ Fj — сила, действующая на точку М{
в системе S' (очевидно, F$ = Fj). Умножим обе части,ра-
венства (4.4) векторно на радиус-вектор Г\ = Ο'Μχ,
получим
dv.
•mi-dT
■[ri-Fj].
Эти равенства можно переписать в виде
— [rJ-TOivi] = [r-.F·]·
206

Просуммировав последние равенства, получим
~-£[ιν^νΠ = Ι/, (4.5)
где L' — главный момент внешних сил, действующих на
систему материальных точек, относительно начала О'
системы S'. Этим инвариантность закона момента
количества движения относительно преобразований Галилея
доказана.
Заметим, что справедливость этого положения
непосредственно вытекает из равенства (4.3). Действительно,
приняв во внимание, что
L-2[ri-FT],
г = 1
где F* — внешняя сила, действующая на точку Л/г, и
воспользовавшись формулами преобразований Галилея
(3.4) и (3.7) для гг и уг, легко убедимся, что из равенства
(4.3) получается (4.5).
После этого можно считать доказанной следующую
теорему: Принцип относительности классической
механики и инвариантность законов классической механики
относительно преобразований Галилея — вполне
эквивалентные законы.
§ 5. Противоречия между электродинамикой,
классической механикой и опытами
Как мы убедились, законы классической механики
инвариантны относительно преобразований Галилея, что
находится в полном соответствии с принципом
относительности Галилея. Возникает вопрос: инвариантны ли
относительно преобразований Галилея законы
электромагнитного поля? Имеет ли место принцип относительности
Галилея для этих законов? Оказывается, основные законы
электромагнитного поля (законы Максвелла) не
инвариантны относительно преобразований Галилея, хотя и для
этих законов справедлив принцип относительно Галилея.
Это заключение существенно противоречит основному
положению классической механики о том, что принцип
относительности Галилея и инвариантность законов
классической механики относительно преобразований Галилея —
вполне равноценны законы (см. § 4). Это противоречие
подтверждено множеством опытов и экспериментов. Отме-
207

ченное противоречие настолько существенно, что в
рамках законов классической механики оно оказалось
непреодолимым. Как будет показано ниже, лишь теория
относительности Эйнштейна дает возможность устранить эти
противоречия.
В целях иллюстрации отмеченных противоречий
рассмотрим хорошо известный из теории электромагнитного
поля закон о распространении электромагнитной волны *).
Теорема 1. Скорость распространения
электромагнитной волны, а значит и света, в пустоте не зависит от
скорости источника и одинакова во всех направлениях.
Как известно, этот закон — непосредственное следствие
основных законов электромагнитных явлений (законов
Максвелла), и, следовательно, если справедливы законы
Максвелла, то справедливы и эти законы.
Покажем, что закон (3.7) сложения скоростей,
являющийся следствием преобразований Галилея, противоречит
этой теореме. Действительно, пусть S и S' обозначают
инерциальные системы, рассмотренные в § 3. Система S'
движется относительно системы S вдоль оси Ох со
скоростью и (рис. 31). Предположим, что в начальный
момент, когда точки О ж О' совмещены, из точки О лучи
света распространяются как по направлению оси Ох, так
и в противоположном направлении. В силу теоремы 1
скорость света в системе S будет равна с как по
направлению оси Ох, так и в противоположном направлении.
В силу формулы (3.7) скорость света в системе 5" по
направлению оси О'χ будет равна с — а, а в
противоположном направлении с-\-и. Для наблюдателя,
находящегося в системе S', источник света, расположенный в
точке О, движется в направлении, противоположном
направлению оси О'х , со скоростью и, и, следовательно,
скорость распространения света в системе S' оказалась за*
висимой источника, что противоречит сформулированному
выше предложению. Таким образом, теорема не
инвариантна относительно преобразований Галилея.
Можно доказать, что не только этот закон, но и ни
один из основных законов электромагнитного поля не
инвариантен относительно преобразований Галилея.
Так как законы электромагнитных явлений
неинвариантны относительно преобразований Галилея, то, если со-
*) Согласно теории Максвелла, свет представляет собой
частный случай электромагнитных волн.

храним преобразования Галилея, необходимо
предположить, что эти законы неодинаковы в различных инерци-
альных системах. Если это так, то естественным образом
приходим к следующему заключению: если для взятой
основной инерциальной системы установлены законы
Максвелла, то, наблюдая за электромагнитными явлениями
в некоторой инерциальной системе, можно установить, что
эта система или основная, или она движется
относительно основной системы! по инерции.
Возьмем в качестве основной систему, связанную с
неподвижными звездами, относительно которой справедливы
законы Максвелла. В качестве второй системы возьмем
Землю, движущуюся относительно основной системы с
определенной скоростью; правда, движение Земли
относительно выбранной основной системы не будет инерциаль-
ным, однако для интересующего нас вопроса это
несущественно. В силу теоремы 1 в основной системе скорость
распространения света одинакова по всем направлениям,
но как показывает эксперимент, относительно Земли это
неверно.
Обозначим скорость Земли относительно основной
системы через гг. Тогда скорость света по направлению
движения Земли будет с — и, а в противоположном
направлении будет с + и. Поэтому должно быть возможным
проведение такого эксперимента на Земле, который даст
возможность определить скорость движения Земли
относительно основной системы. Так был поставлен вопрос
Максвеллом в 1879 году и им же была дана идея проведения
соответствующего эксперимента. Эксперимент был
проведен американским физиком Майкельсоном. Результаты
этого эксперимента раскрыли противоречия,
существующие между законами классической механики и
электродинамики. Он сыграл огромную роль в создании теории
относительности.
Рассмотрим этот эксперимент Майкельсона*).
Световой луч, исходящий из источника S* (рис. 33),
попадает на полупрозрачное зеркало М, т. е. зеркало,
отражающее часть (примерно половину) попавшего на-него
светового потока и пропускающее вторую его часть. Это
зеркало установлено под углом 45° к попадающему на
него световому лучу, в результате чего отраженный и про-
* Описание эксперимента Майкельсона почти без изменения
позаимствовано из книги М. Мирианашвили «Теория
относительности» (Тбилиси: Ганатлеба, 1967).
209

никающий лучи распространяются перпендикулярно друг
другу. После прохождения определенных расстояний они
попадают на зеркала А и 5, установленные
перпендикулярно этим лучам, и снова отражаются к зеркалу М;
часть луча, отраженного от А, проходит через зеркало Μ
и попадает в бинокль L.
Часть луча, отраженного от
В, отражается от Μ и также
попадает в бинокль L. Как
видим, оба луча,
разделенные зеркалом М,
отражающиеся от зеркал А и В,
попадают в бинокль L. Явление
А интерференции света дает
возможность установить, на
\з сколько отстает один луч от
рис зз другого после их разделения
зеркалом М. Это отставание
может быть вызвано тем, что расстояния ОА и ОВ могут
быть неодинаковы, или другими причинами, о которых
будет упомянуто ниже. В результате этого отставания
в бинокле видны так называемые интерференционные
полосы, т. е. темные и светлые полосы, вызванные тем, что
две волны света, попадающие в бинокль, в некоторых
местах усиливают друг друга, а в некоторых —
ослабляют. Опыт проводится следующим образом: после
установления приборов и получения определенной
интерференционной картины приборы поворачиваются вокруг
точки О по направлению движения часовой стрелки на 90°
так, чтобы лучи ОА и ОВ поменялись местами (источник
£* остается неизменным).
Цель опыта — определить, каково влияние этого
поворота на отставание световых лучей друг от друга, т. е.
на картину интерференции.
Прежде чем разобраться в результатах опыта,
установим, что ожидается в том случае, если опыт проводится
в основной инерциальной системе, а также в случае, если
опыт проводится на Земле. Для упрощения рассуждений
допустим, что ОА = ОВ = I.
Рассмотрим сначала основную инерциальную систему.
Так как в ней свет распространяется с одинаковой
скоростью по всем направлениям, то луч, направленный из
О к А и возвращенный обратно, затратит на это время
210

— Ύβ
такое же время потребуется на распространение луча,
направленного из О в 5 и возвращенного обратно:
отставание наблюдаться не будет.
Представим теперь, что приборы повернуты вокруг О
на 90°. Так как скорость распространения света в
основной системе по всем направлениям
одинакова, то время распространения
света не изменится, отставания не будет
и, следовательно, картина
интерференции останется без изменения.
Пусть теперь этот опыт проводится
на Земле. Установим приборы так,
чтобы ОА было направлено по
направлению движения Земли, а ОВ —
перпендикулярно движению. Вычислим время,
необходимое на распространение
соответствующих лучей. Легко видеть,
что луч, вышедший из О, распространится к зеркалу А со
скоростью с — и, где и — скорость движения Земли
относительно основной системы. Значит, для прохождения лу-
I
Рис. 34
чом расстояния ОА потребуется время
Луч,
отраженный от А, распространяется в направлении,
противоположном направлению движения Земли, со скоростью
с Л- и, поэтому для прохождения расстояния АО
потребуется время —г—· Общее время, необходимое лучу для
распространения из О в А и возвращения обратно, будет
_J l_ _ 2Z_
с — и с -\- и с
(5.1)
1-
Рассмотрим теперь второй луч. Этот луч
распространяется перпендикулярно движению приборов, и, как
нетрудно убедиться, скорость его οτΟκδποτδκΟ будет
Ус2 — U2 (рис. 34). Поэтому, очевидно, для
распространения из О в В и возвращения обратно потребуется время
21 ί (5.2)
t2=-
/«-ί
Сравнивая (5.1) и (5.2), убеждаемся, что время
распространения лучей зависит от ориентации плеч приборов
211

относительно движения Земли, и тот луч, который
распространяется по направлению движения Земли,
опоздает возвратиться в точку О. Вычислим это опоздание
t\ —12. Учитывая, что и очень мала по сравнению с с,
с достаточной точностью можно написать:
1+£; —-*=!+£. (5.3)
1- —
с
и2 · са ' / „2 ' 2с
2 I/ х- 2
Внося эти значения в (5.1) и (5.2), получим
'.=τ(ι + 7> <.=тКт.)· <">
откуда имеем
h- h = 14· (5·5)
Из-за отставания первого луча в бинокле должна
получиться соответствующая интерференционная картина
этого.
Повернем теперь приборы на 90° по отмеченному
выше правилу. Тогда луч ОА распространится по
направлению движения Земли. Поэтому в силу второго равенства
(5.4) соответствующее время будет задано формулой
Плечо ОВ после поворота будет направлено вдоль по
движению Земли, и в силу первого равенства (5.4) время
распространения соответствующего луча будет
4-t(i + xV (5-7)
Очевидно, имеем
/' ' 1и
3
Таким образом, после поворота луч ОВ отстанет от
луча ОА (до поворота, наоборот, луч ОА отставал от
луча ОВ). В результате поворота интерференционная
картина должна измениться, т. е. темные и светлые полосы
должны поменяться местами, что должно быть четко
замечено наблюдателем.
Был получен совершенно неожиданный результат.
Поворот прибора не повлек за собой какое-либо заметное
212

изменение интерференционных полос. Этот опыт
повторялся неоднократно Майкельсоном и другими учеными,
однако результат был всегда отрицательным. Влияние
движения Земли на скорость распространения света не
было выявлено. Объяснение этого факта в рамках законов
классической физики оказалось невозможным. Можно
назвать множество других явлений, объяснить которые
законами классической физики также невозможно. К числу
таких явлений относятся: распространение света в
движущихся телах (опыт Физо), аберрация света и др. На
основе многих экспериментов установлено, что не только
распространение света, но и другие электромагнитные
явления протекают на Земле так, как они протекали бы,
если бы Земля была неподвижна относительно основной
инерциальной системы.
Классическая физика запуталась в сети противоречий.
Для ликвидации этих противоречий пользовались
различными гипотезами. Самой распространенной среди них
была гипотеза об эфире (см. § 1).
Некоторые ученые думали, что влияние движения
Земли на электромагнитные явления не может быть
обнаружено по той причине, что Земля при своем движении
увлекает за собой эфир, которым заполнен весь мир и в
котором свет распространяется во всех направлениях с
одинаковой скоростью. Заметим, что для преодоления
противоречий, возникающих между законами электромагнитных
явлений и законами классической механики, оказывалось
необходимым приписывать эфиру такие свойства, которые
часто противоречили друг другу. Все это выявило, что
использовать концепцию эфира для преодоления
изложенных выше противоречий невозможно.
Поскольку законы электромагнитного поля вызывали
полное доверие, возникла необходимость разработки таких
принципов, которые объединили бы законы как
классической механики, так и электромагнитного поля. Этим
путем оказались бы преодолены упомянутые противоречия.
Эту задачу выполнил Эйнштейн.
§ 6. Основные принципы
специальной теории относительности
В основу специальной теории относительности
Эйнштейна проложены два основных принципа, к формулировке
которых мы и переходим.
213

В силу принципа относительности классической
механики все механические явления протекают одинаково во
всех инерциальных системах (см. § 2). Как было
отмечено в предыдущем параграфе, результаты опыта Майкель-
сона указывают, что в этом отношении не должны быть
исключением и законы электромагнитного поля, т. е. и
законы электродинамики должны подчиняться принципу
относительности Галилея. Следовательно, для законов
электромагнитного поля все инерциальные системы
равноценны (равносильны). Для законов классической
механики и законов электродинамики Эйнштейн обобщил
принцип относительности и сформулировал его
следующим образом:
Принцип 1. Во всех инерциальных системах
отсчета физические явления протекают тождественно
(одинаково).
Этот принцип носит название специального принципа
относительности. Очевидно, он представляет собой не что
иное, как принцип относительности Галилея,
распространенный на всевозможные физические явления.
Из законов электромагнитных явлений Максвелла
следует, что электромагнитная волна и, следовательно, свет
в пустоте распространяется с универсальной скоростью
с = 300 000 км/с. Этот закон Эйнштейн получил в качестве
второго основного принципа и сформулировал его так:
Принцип 2. В заданной инерциалъной системе
скорость света не зависит от направления
распространения и от скорости источника.
Опираясь на эти два принципа, можно получить новые
формулы преобразований (формулы преобразований
Лоренца). Как будет показано ниже (см. § 8), эти формулы
отличаются от формул преобразования Галилея.
Применением этих новых формул преобразования будет
доказано, что время и длина отрезка не инвариантны при
переходе из одной инерциальной системы в другую. Таким
образом, инвариантность времени и длины отрезка, лежащая
в основе преобразования Галилея, не будет справедливой
для новой механики, построенной на принципах
Эйнштейна. Время и пространство в этой механике, в отличие от
механики Ньютона, являются величинами
относительными.
Так как по второму принципу скорость
распространения света не зависит от направления распространения и
скорости источника, в силу первого принципа это
утверждение имеет место во всякой инерциальной системе. Отсю-
214

да следует, что скорость света во всех инерциальных
системах должна быть одинаковой. На основании опытов
установлено, что эта скорость с = 300 000 км/с.
§ 7. Интервал между двумя событиями
Рассмотрим две инерциальные системы S и S',
движущиеся относительно друг друга с постоянной скоростью.
Как и в § 3, предположим, что оси Ох и О'х' совмещены,
а оси Оу и Oz соответственно параллельны осям О'у' и
0V. Время в этих системах обозначим соответственно
через t и £'. Всякому событию можно поставить в
соответствие его место и время. Таким образом, во взятой
системе координат S некоторому событию соответствуют
пространственные координаты этого события: х, г/, ζ и
время t. На эти четыре величины можно смотреть как на
координаты точки четырехмерного пространства.
Следовательно, всякому событию в упомянутом четырехмерном
пространстве соответствует точка. Координаты этой точки
будем называть координатами рассматриваемого события.
Такие точки носят название «мировых точек». В
четырехмерном пространстве каждой движущейся частице
соответствует определенная линия, называемая «мировой
линией».
В силу рассмотренного в предыдущем параграфе
второго принципа, скорость света одинакова во всех
инерциальных системах. Эту инвариантность скорости света
выразим математически.
Рассмотрим в системе S два события. Первое
заключается в том, что из точки х\, г/ι, z\ системы S при
t = t\ происходит излучение света. Второе событие
заключается В ТОМ, ЧТО ЭТОТ ЛуЧ ДОСТИГНеТ При t = t2 ТОЧКИ Х2,
г/2, Z2 системы S. Ввиду того, что свет распространяется
со скоростью с, имеем
(*«-*ι)' + (",-«Ί)' + (',-Ί)8 _ .
или, что то же самое,
(х2 -хх)2 + (г/2 - Ух)2+ (Ζ2 - zi)2- c2(*2 ~ti)2 = 0. (7.1)
Координаты упомянутых первого и второго событий в
системе S' обозначим через хг, уг, ζλ и х2, у2, ζ2
соответственно. Ввиду того, что в системе S' луч распространяется
с такой же скоростью с, аналогично (7.1) имеем
te - *ί)2 + & - у'гУ + (*; - z[Y - с> (fi - t[Y = 0. (7.2)
215

Рассмотрим теперь в системе S некоторые два события
с координатами х\, у\, z\, t\ и Х2, у 2, Z2, t2. Обозначим
через 5i2 величину
*12 = [C2(t2 ~ иУ~{х2 ~ *l)2-0/2 ~ yi)2~(z2 ~ Ζ,)2] 1/2.
(7.3)
Эта величина носит название интервала между
упомянутыми двумя событиями. В системе S' этот интервал
задается формулой
4 = И4- кУ-{х*-х[У-{у'г- y'lY-i^-zd2]1'2. (7-4)
Из инвариантности скорости света следует, что если
в какой-либо инерциальной системе интервал между
двумя событиями равен нулю, то он будет равен нулю и в
любой другой инерциальной системе.
Пусть теперь два события бесконечно близки друг к
другу. Интервал между ними обозначим через ds. В силу
(7.3) в системе S имеем
ds2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2. (7.5)
Аналогично, для системы S' получим
ds'2 = с2 dt,% - dx'2 - dy'2 - dz'2. (7.6)
Приведенные формулы можно записать в более
симметричном виде, если вместо t введем величину τ,
связанную с t следующим равенством:
x = ict, (7.7)
где i — мнимая единица (£ = У— 1). В силу этого
обозначения формулы (7.3) и (7.5) перепишутся в виде
4 = - [(*, - *ι)2 + (у2 - У,)2 + (*. - Ч? + (τ8 - ЧП
(7.8)
ds2 = - (dx2 + dy2 + dz2 + d%2). (7.9)
Аналогично перепишутся формулы (7.4) и (7.6):
«и = — [(*2 — *ί)2 + {у'г — y'iY + (z2 — ζ'ιΥ + (τ2 — τί)2],
(7.10)
ds'2 = - (dx'2 + dy'2 + dz'2 + άτ'*). (7.11)
Величины х, у, ζ, τ определяют точку в
четырехмерном пространстве. Таким образом, величины х, у, zt τ
216

рассматриваются как координаты точки, взятой в
определенной системе координат в четырехмерном
пространстве. Эту систему координат обозначим через К.
Очевидно, три оси этой системы совпадают с осями системы S,
а четвертая — ось τ = ict'. Систему координат К назовем
четырехмерной системой, соответствующей S.
Четырехмерную систему, соответствующую системе S', обозначим
через К'. Очевидно, три оси системы К' совпадают с
осями системы S', а четвертая есть ось τ = ict'.
Из равенства (7.8) ясно, что — s\2 можно
рассматривать как квадрат расстояния между точками х\, у\, ζ\, τι
и х2, г/2, Ζ2, Τ2 в системе К. В силу формулы (7.10) квад-
/ / t t t t t t
рат расстояния между точками xv yv zv x1 и x2, y2, z2, τ2
в системе К' будет — s12. Величину — ds2, определенную
формулой (7.9), можно рассматривать как квадрат
элемента длины в системе К. В силу равенства (7.11)
величина —ds' будет квадратом элемента длины в системе К'.
Понятие геометрии четырехмерного пространства,
в связи с теорией относительности Эйнштейна, ввел
Г. Минковский. Свойства геометрии Минковского
определены дифференциальной квадратичной формой (7.5), или,
что то же самое, (7.9).
Как было отмечено выше, если в некоторой инерци-
альной системе S имеем ds = 0, то ds' = 0 в другой инер-
циальной системе S'. Помимо этого, учитывая, что ds и
ds' — бесконечно малые величины одного и того же
порядка, легко убедимся, что ds2 и ds' должны быть
пропорциональны друг другу:
ds2 = ads'\ (7.12)
где коэффициент а может зависеть лишь от абсолютной
величины скорости одной инерциальной системы
относительно другой. Величина а не может зависеть от
пространственных координат точки и времени, так как в
противном случае вид формул преобразования координат
точек системы К зависел бы от положения точки в этой
системе, что противоречит однородности системы S (т. е.
системы К) и времени. Если система S' движется
относительно системы S со скоростью и, то ясно, что система
S движется относительно системы S' со скоростью —и.
Следовательно, относительное движение одной
инерциальной системы относительно другой вполне равноценно
относительному движению второй инерциальной системы
относительно первой. Это свойство называется свойством
217

изотропности пространства. Из этого свойства вытекает,
что коэффициент а не может зависеть от направления
скорости движения одной инерциальной системы
относительно другой.
Рассмотрим теперь три инерциальные системы S, S',
£". Обозначим через ui и U2 относительные скорости
систем S" и 5" относительно системы S. В силу равенства
(7.12) имеем
ds2 — а (иг) ds\, ds2 = a (u2) ds\, (7.13)
ds\ = a(u12) ds\, (7.14)
где и\2 представляет собой абсолютную величину скорости
относительного движения системы S" относительно
системы S'. В силу (7.13) будем иметь
ffi _ а(и2)
ds2 - а (ig '
Из равенства (7.14) получаем
ds2
5ϊ-«Κ.>·
Сравнение равенств (7.15) и (7.16) даст
а (и А
, : = а (и, А.
а (иA v 12/
Очевидно, что и\2 зависит не только от абсолютных
величин и\ и U2, но и от их направления. С другой стороны,
левая часть (7.17) зависит лишь от абсолютных величин
щ и U2. Теперь ясно, что равенство (7.17) имеет место
лишь тогда, когда а = const. Но в силу той же формулы
(7.17) в этом случае а = 1, и, таким образом, в силу
равенства (7.12) получаем
ds2 = ds'2. (7.18)
Отсюда легко заключить, что s = s'.
Таким образом, мы пришли к следующему результату.
Теорема. Интервал между событиями одинаков во
всех инерциалъных системах, т. е. инвариантен при
переходе из одной инерциальной системы во всякую другую
инерциалъную систему.
Пусть, как и выше, х\, г/ι, z\, t\ и #2, г/2, zi, h—
координаты двух событий в системе s. "Возникает вопрос: су-
(7.15)
(7.16)
(7.17)
218

ществует ли такая инерциальная система S", в которой
эти события происходят в одной точке?
Введем обозначения:
h—h = *12» (Х2 — Х1? + (У 2 — UlT + (Z2 — Zlf = 1212·
Тогда в системе S для интервала между двумя
событиями будем иметь
^12 ~ ^ ^12 — 'ΐ2· ('·*·ν
Аналогично в системе S':
'2 2/'2 7'2
512 — С 1\2 ^12·
Ввиду инвариантности интервала между двумя событиями
можно написать
С 112 — ^12 == ^ ^12 — 'ΐ2· \ ' Λν)
В системе S' оба события произойдут в одной точке, если
112 = 0; поэтому в силу равенства (7.20) получим
4 = с24-г22 = с242>о. (7.21)
Таким образом, система £", обладающая этим
свойством, всегда существует, если выполняется условие (7.21).
Из (7.21) вытекает, что для существования такой
системы S' необходимо условие s^2 > 0, т. е. интервал
между двумя событиями должен быть вещественной
(действительной) величиной. Вещественный интервал
называют времяобразным.
Если существует такая система £", в которой оба
события происходят в одной точке, то время между
событиями t12, в силу (7.4), вычислится по формуле
t'lt = ±V<*lt-H, = '-f. (7-22)
Если оба события происходят в одном и том же теле, то
интервал между ними будет времяобразным.
Действительно, расстояние Ζχ2 между этими событиями будет меньше,
чем ct\2, так как скорость тела меньше скорости света.
Таким образом,
l\2<Cti2.
Ставится вопрос: существует ли такая система £', в
которой оба события происходят в одно и то же время? Для
219

этого, в силу формулы (7.21), должно быть
4i=-42<0. (7.23)
Следовательно, для существования искомой системы S'
необходимо, чтобы интервал между двумя событиями
был мнимой величиной. Мнимый интервал называют
пространственнообразным интервалом. В этом случае
расстояние между двумя событиями в системе S' задается
формулой (см. формулу (7.23))
4 = V^-c2*2!* = isu- (7·24)
§ 8. Преобразования Лоренца
Пусть даны две инерциальные системы S и 5",
рассмотренные в предыдущем параграфе. Предположим, что
система S' движется относительно системы S со скоростью
и = ш, где и — постоянная скалярная величина, i — орт
оси Ох (рис. 31).
Для того чтобы в заданной инерциальной системе
определить пространственные координаты и время
некоторого события, наблюдатель, находящийся в этой
системе, должен быть снабжен эталоном пространства и
времени. Применяя эталоны пространства и времени
(масштаб и часы), наблюдатель определяет координаты и
время происхождения события. Таким образом, каждому
событию ставятся в соответствие четыре координаты,
первые три из которых обозначают пространственные
координаты события, а четвертая — момент времени, когда
произошло событие. Эти четыре величины в дальнейшем
будем называть координатами события.
Координаты события в системах S и S' обозначим
соответственно через х, у, z, t л χ', у', ζ , t'. Наша цель —
установить зависимость между координатами события в
системах S и S', т. е. найти формулы преобразования
координат. Для этого мы используем принципы,
сформулированные в § 6, а также результаты предыдущего
параграфа.
Можно доказать, что имеет место следующая
теорема*):
*) Доказательство теоремы приведено в работе Эйнштейна.
Простое доказательство этой теоремы имеется в статье А.
Александрова и В. Овчинникова «Замечания к основным теоремам
относительности» (Вестник Ленинградского университета.— 1953.—
№ И.)
220

Координаты некоторого события в одной инерциальной
системе получаются в виде линейных однородных форм
координат этого же события в другой инерциальной
системе.
В силу этой теоремы имеем
χ = а\х' + а2у' + a%z' + atf',
у = с\х' + счу' + c%z' + erf',
ζ = d\xr + d2y' + dzz + d*},',
t = blx' + b2y' + hz' + bAt',
(8.1)
где au bi, Ci, d{ (£ = 1, 2, 3, 4)— искомые постоянные.
Предположим, что в начальный момент, при t = t' = О,
системы S и S' совпадают (О и О' совпадают) и в этот
момент из общего начала излучается свет. Свет в силу
второго принципа (см. § 6) распространяется по всем
направлениям с одинаковой скоростью с. Пусть в момент t
световой луч пройдет через точку N(x, г/, ζ) системы S.
Очевидно,
t2 = *2· (8.2)
Ввиду того, что скорость света во всех инерциальных
системах одинакова, в системе S' будем иметь
я'2 4- ,/2 л-*'2
Г*
где #', г/', ζ' —координаты точки N в системе S'. Таким
образом, получаем следующие равенства:
x2 + y2 + z2-c2t2 = 0, (8.3)
χ'2 Λ- г/'2 + ζ'2 - r2*'2 = 0. (8.4)
Ввиду инвариантности интервала между двумя
событиями для любых двух событий получим:
Х2 + у2 + Z2 _ СЦ = χΛ + ^2 + z,2 __ ΛΛβ (g ^
Внося в левые части равенств (8.5) вместо величин х, у,
z, t их значения из формул (8.1), для нахождения
коэффициентов аи Ь{, d, di (ϊ= 1, 2, 3, 4) получим следующую
систему алгебраических уравнений:
а\ + с\+ d\-c2b\ = l,
а\ + с\ + d\ - £2Ь2 = - с2, (8.6)
αΐα4 + С1С4 + dld4 -" ^ Α = °»
221

a\ + c\ + d\-<*b\ = i (Λ=2,3); (8.7)
axa2 + C\C2 + d\d2 — с2Ъ\Ъ2 = 0,
ахаъ + с\Съ + d{dz — с2Ъ\Ъъ = 0,
а2аъ + с2сг + d2dz — с2Ъ2Ъъ = 0, (8.8)
a2ci4 + c2Ci + d2dA — с2Ъ2Ъ\ = О,
^3^4 + СъС\ + Йз^4 — С2Ъфь = 0.
Равенства (8.7) и (8.8) удовлетверяются всегда, если
внести в них следующие значения коэффициентов:
с2 = из = 1, с\ = съ = сА =■ 0, d\ = d2 = di = О,
(8.9)
#2 = яз = 0, Ь2 = Ьг = 0.
Таким образом, для нахождения величин αϊ, щ, bi, 64
будем иметь условия (8.6), которые теперь можно
переписать в виде
а\ - #Ъ\ =1, а\ - с% = - с\ ага^ - сЧгЪ^ = 0. (8.10)
К таким условиям можно добавить еще одно,
получающееся следующим образом. Преобразования (8.1) в силу
равенств (8.9) перепишутся в виде
ζ = α{χ' + αΑϊ, t=b{x' + bAt', (8.11)
У = У\ z = z'. (8.12)
Так как точка О' движется вдоль оси Ох системы S со
скоростью и, то спустя время t она удалится от начала О
на расстояние ut, причем в системе S' координата точки
О' будет χ = 0, и, следовательно, при χ = 0 имеем χ =
= ut. В силу этого равенства (8.11) дадут
ut = а$', t = b\t',
откуда
α4 = ub±. (8.13)
Внося это значение во второе уравнение системы (8.10),
легко получим
Ь,= ' . ■ (8.14)
V
4-?
Теперь из равенства (8.13) имеем
и
V
и2
1--Ϊ.
(8.15)
222

В силу равенств (8.14), (8.15), последнее уравнение
системы (8.10)
*i = 4bi· (8Л6)
Внося это значение в первое уравнение системы (8.10),
легко получим
, и 1
Ь1 =
Vi-b
В силу последнего равенства из (8.16) имеем
1
V·-?'
Внося полученные значения коэффициентов в формулы
(8.11) и учитывая (8.12), окончательно получим
следующие формулы преобразования координат:
х=-*±Ж=, у = у', z = z', t= .' .(8.17)
V -7 V>-?
Эти формулы носят название формул преобразования
Лоренца.
Рассмотрим дифференциальную квадратичную форму,
введенную в предыдущем параграфе (см. формулу (7.9)),
ds2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2. (8.18)
Среди преобразований вида (8.1) лишь
преобразования (8.17), и только они, оставляют дифференциальную
квадратичную форму (8.18) инвариантной.
В дальнейшем нам понадобятся также формулы
обратных преобразований, получающиеся решением системы
(8.17) относительно* величин х', £', у', z\
и
ut ,, с
y'~y, z' = z.(8.19)
223

Эти же формулы могут быть получены непосредственно
из (8.17), если поменять местами величины х, у, z, t и
χ', у', ζ , t' и вместо и взять — и. Последнее вызвано тем,
что когда система S' движется относительно S со
скоростью и, то система S относительно S' движется со
скоростью —и. Если скорость движения S относительно
S' достаточно мала по сравнению со скоростью света, то
в формулах преобразования Лоренца можно величинами
и2/с2 и и/с2 пренебречь, и формулы преобразования
Лоренца дадут формулы преобразования Галилея:
х = х' + ut, У = у\ z = z\ t = t\
Ввиду того, что скорость света значительно больше
скорости движения обычных движущихся тел, неточность
формул Галилея долгое время оставалась незамеченной.
Очевидно, формулы (8.19) при с-+оо совпадают с
формулами преобразований Галилея. Этим вызван тот
факт, что ряд формул классической механики
получается (при с -► оо ) из точных формул теории
относительности. Если же еще учесть, что формулы преобразования
Галилея значительно проще по сравнению с формулами
преобразования Лоренца, приходим к выводу, что в
рамках рассматриваемых в классической механике скоростей
вполне целесообразно пользоваться формулами Галилея,
обладающими достаточной точностью приближения.
Таким образом, теория относительности Эйнштейна не
отрицает правильность формул и законов классической
механики, а уточняет их и устанавливает границы, вне
которых их применение невозможно.
§ 9. Относительность длины и объема
Пусть S и б" обозначают рассмотренные в предыдущих
параграфах инерциальные системы. Предположим, что на
оси Ох системы S лежит стержень аЪ длиной Z, где а и
Ь — концы стержня. Пусть длина этого стержня для
наблюдателя системы S' будет Г'. Найдем зависимость
между величинами I и V. Координаты концов а и Ь стрежня
аЪ в системе S для одного и того же значения времени
обозначим через х\ и хч. Очевидно, 1 = Х2 — х\.
Координаты концов этого стержня в системе S' для одного и того
же значения времени t' обозначим через хг и х2. Ясно,
что V = х2 — Χχ. В силу первой формулы преобразования
224

Лоренца (8.17) имеем
х1 + ut' #2 — ut
хг= , х2 = . (9·1)
/*-;
Вычитая из второго равенства (9.1) первое, получим
или
J'-lj/i-^.
(9.2)
Отсюда вытекает, что наибольшая длина стержня
достигается относительно той системы, в которой он
находится в неподвижном состоянии. В системе же,
относительно которой стержень движется, его длина
уменьшается в отношении
V
т-\/<~?
2*
Это явление известно под названием явления
уменьшения длины.
Рассмотрим стержень, находящийся в покое в системе
S'. Пусть длина его в системе S будет б'. Длину этого
стержня в системе S обозначим через б. Получим
в=б'У"1-£. (9.3)
Таким образом, согласно теории относительности
Эйнштейна длина стержня неинвариантная величина; она
зависит от его скорости относительно взятой системы
отсчета, и его длина тем меньше, чем больше эта скорость.
Как нетрудно догадаться, в плоскости, параллельной
Oyz, длина стержня не меняется при переходе из
системы S в систему S'.
Из формулы (9.2) ясно, что неравенство и>с
невозможно, так как в этом случае длина V в системе S' была
бы мнимой величиной. Невозможно также равенство и = с,
ибо в этом случае V = 0. Значит, скорость света является
наибольшей из bgbx возможных скоростей в природе.
225

Рассмотрим теперь некоторое тело, которое
неподвижно относительно системы S. Объем этого тела в
названной системе обозначим через V. Объем этого же тела
относительно системы S' обозначим через V. Ввиду того,
что в плоскости, перпендикулярной оси Ох, размерность
длины не меняется, поэтому, как нетрудно догадаться,
имеет место равейство
ν = νγί-^. (9.4)
Из этой формулы следует, что если тело в одной системе
представляет собой куб, то во второй системе оно
является параллелепипедом, сфера превращается в эллипсоид
и т. д. Итак, объем тела и его форма — неинвариантные
величины.
§ 10. Относительность продолжительности
и парадокс часов
Пусть в некоторой точке А системы S' происходит
событие, которое начинается в момент t1 и завершается в
момент ί2· Начало и конец этого события в системе S
обозначим через t\ и £г. Введем обозначения
Τ = t2 — tv Τ = t2 — £χ.
Очевидно, Τ — продолжительность события в системе
S, а Т' — продолжительность этого же события в системе
S'. Найдем зависимость между величинами Г и Г'. В
силу последнего равенства (8.17)
, и , и
t ° - t - С -
Т'
Вычитая из второго первое, получим Т= — , или
_ /-т.
r=r-j/"l-£ (10.1)
Эта формула показывает, что рассматриваемое событие в
системе S имеет большую продолжительность, нежели а
22Q

системе S'. Так, например, если
V с2 " 5 '
т. е. и = 2У6/5, то Г' = Г/5. Таким образом, когда
продолжительность события в системе S составляет 5 часов,
в системе S' она равна 1 часу.
Из сказанного следует, что продолжительность
события в системе, относительно которой его место движется,
больше, чем в системе, относительно которой место
события неподвижно. Следовательно, часы, движущиеся
относительно системы 5, отстают от часов, неподвижно
связанных с этой системой. Таким образом, мы приходим к
выводу, что продолжительность события не инвариантна
при переходе из одной инерциальной системы в другую;
она величина относительная.
Поскольку как в органическом, так и в
неорганическом мире всякое событие подчинено законам физики,
относительность времени не исчерпывается отставанием
часов по сравнению с неподвижными часами, она может
распространиться и на биологические процессы. Так,
например, представим себе ракету, движущуюся вместе с
находящимся в ней космонавтом со скоростью и =»
2 V6 / ч
= —τ—с (см. пример выше), и предположим, что по
времени этой ракеты, она возвращается на Землю через 2
года. За это время на Земле, очевидно, пройдет 10 лет, и,
следовательно, за время, в течение которого космонавт
в ракете стал старше на 2 года, люди на Земле
постарели на 10 лет.
Отставание продолжительности события в системе S'
по сравнению с его продолжительностью в системе S было
отмечено Эйнштейном в первой же его работе о теории
относительности. Этот результат на примере живого
организма обобщил известный французский физик Ланже-
вен, что вызвало сильнейшие споры среди ученых. Этот
спор продолжается и поныне, хотя как результат
теоретических исследований, так и множество экспериментов
говорят в пользу Ланжевена.
Рассмотрим два события, происходящие в одной и той
же точке системы S'. Время событий в этой системе
обозначим через t± ж t2- В системе S время этих же
событий обозначим через t\ и fe. Очевидно, время,
прошедшее от одного события до другого, в системах S и S'
227

будет соответственно
Τ =,t2 — t1 и Τ' = t'2 — t[.
В этом случае также будет иметь место формула (10.1)
Рассмотрим теперь так называемый парадокс часовг
заключающийся в следующем.
Пусть в точке О оси Ох системы S расположены двое
часов А ж В, показывающие одинаковое время, и пусть в
момент времени t = 0 часы В начали движение по
направлению оси Ох со скоростью и, а пройдя некоторое
расстояние, возвратились снова в точку О. После
возвращения часы В показывают время £', меньшее времени ί„
которое показывают часы А:
Представим себе наблюдателя, неподвижно
связанного с часами В и движущегося вместе с ними. Для этого
наблюдателя часы В неподвижны, а часы А — двигаются
со скоростью и, и, следовательно, отставать должны часы
А по сравнению с В. Таким образом выходит, что, с одной
стороны, А должны отставать от 5, а с другой стороны,,
В должны отставать от А, Это невозможно, и в этом-то
заключается парадокс часов. Этот парадокс раскрыл
тогда же Эйнштейн. Дело в том, что система S',
неподвижно связанная с часами 5, не является инерциальной и,
следовательно, равносильной системе S. Поэтому выводы,
сделанные при переходе из S в £', неверны, и парадокс
часов устранен.
Замечание 1. При выводе формул преобразования
Галилея мы имели равенство (3.1) (см. § Д рис. 32):
х = 00'+0'А, (10.2)
где длины отрезков 00' и О'А измерены в системе 5".
Используя для вычисления длин этих отрезков
приведенные выше формулы (9.2) и (10.1), получим первую иа
формул преобразования Лоренца (8.17).
Действительно, очевидно, 00' = ut. Однако в силу
формулы (10.1)
"7^
228

и, следовательно, будем иметь
00' = "*' (10.3)
V>4
Так как длина отрезка О'А должна быть измерена в
системе 5, то в силу формулы (9.2) будем иметь
0'А= *!—-. (10.4)
Внося значение (10.3) и (10.4) в равенство (10.2),
получим
х = *'+^!L. (Ю.5)
/-ί
Замечание 2. Из замечания 1 следует, что если
формулы преобразования времени и длины отрезка
получены предварительно (например, с помощью
эксперимента), то получение формул преобразования Лоренца не
представляет особой трудности.
§ 11. Относительность одновременности
Рассмотрим снова инерциальные системы S и 5". Пусть
в точках оси О'х' системы S' с координатами хг и х2
одновременно, в момент tl3 происходят два события. Будут
ли эти события одновременными в системе 5?
Координаты точек этих событий в системе S обозначим через х\ и
#2, а моменты свершения событий через t\ и £г. В силу
последней формулы (8.17) будем иметь
Г1 "Г с2 Xl h "Г с2 х2
/-7 V'-i
Вычитая из второго равенства первое, получим
/н
229

Так как по условию в двух различных точках системы S'
рассматриваются одновременные события, то х2 = χι Φ Ο
и, следовательно, t2~ti¥= 0. Таким образом, два
одновременных события в системе £', вообще говоря, не
будут одновременными в системе S.
Пусть теперь в точке х1 оси Ох' системы S'
происходит событие А, а в точке х2 этой же оси — событие В.
Пусть моменты свершения этих событий будут равны
соответственно ίι и ί2. Предположим, что сначала
происходит событие А, а затем событие В, т. q. t2> t±. Может ли
измениться в системе S последовательность этих событий,
т. е. произойти сначала событие В, а уже потом событие
А? Координаты и время событий в системе S обозначим
соответственно через х\, Х2 и t\, Ц. В силу последней
формулы (8.17) получим
V *-7> V 4-7
Вычитая из второго равенства первое, получим
*'% ~ *Ί + J (х2 ~ ΧΊ)
ί,-ίχ- j== · (ИЛ)
Для изменения последовательности событий нужно
чтобы t2 — t\<0, что в силу (11.1) даст
^-«ί<-^(ίί-*ί). (И.2)
Учитывая, что ~^1» из (11.2) легко получим
xi — 4>c(t'2 — t'1). (11.3)
Таким образом, в системе S событие В произойдет
раньше события А, если выполнено условие (11.3). Из
этого условия следуют следующие два необходимых
условия:
1) #2<#ι, т. е. место события В должно быть ближе
места события А (рис. 35);*
230

2) расстояние между местами событий должно быть
больше расстояния, которое проходит световой луч за
время t2 — t1 в системе S'.
Факт возможности изменения последовательности
событий вызвал большие разногласия среди ученых. Для
отрицания этого результата
приводились следующие примеры:
пусть событие А — выстрел
ружья, а событие В — попадание
пули в цель. Как можно
предположить, что в системе S
происходит сначала попадание пули в
цель, а уже после этого раздается
выстрел? Это действительно
невозможно, но в этом случае не
соблюдены условия,
обеспечивающие перемену последовательности
событий во времени. С целью
разъяснения этого докажем следующую теорему:
Если в некоторой инерциалъной системе событие В
есть результат события А, то в любой другой
инерциалъной системе эта последовательность событий сохранится.
Действительно, пусть событие, происшедшее в точке
В{х2), есть результат события, происшедшего в точке
А\Хт). Время этих событий обозначим через t2 и tv Так
как распространение события из А (х[) в В (х2)
происходит со скоростью не большей, чем скорость света, то
будем иметь
χι — х'г < с (*2 — h). (11.4)
Сравнивая это неравенство с (11.3), убеждаемся, что в
этом случае не соблюдено одно из основных условий
перемены временной последовательности двух событий в
системе S. Эта теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что в теории
относительности имеет силу принцип причинности, т. е. если
некоторое событие А есть причина события В в какой-то инер-
циальной системе, то и в произвольной инерциалъной
системе событие А будет причиной события В,
§ 12. Формулы преобразования скорости
Пусть S и S\ обозначают рассмотренные в предыдущем
параграфе инерциальные системы (см. § 3). Напомним,
что оси систем Oxyz и O'x'y'z' параллельны, причем ось
ч
β А
Λ L
Рис. 35
231

Ох совпадает с 0'х\ система O'x'y'z' движется
относительно системы Oxyz со скоростью и. Имеют место
формулы преобразования Лоренца (см. § 8)
и
, , „ «'+-2*'
χ' + иГ Р , , с ..
х - 7- V У=^' z==*' t = ——=r.(i2.i)
Продифференцировав эти равенства, получим
(12.2)
d# = х ~Г =., dy = di/', dz = dz',
<ft = c
Разделим теперь первые три формулы (12.2) на
четвертую:
dx dx' 4- wd*'
"57 » ·
С С
Разделив числители и знаменатели правых частей этих
равенств почленно на dt', окончательно получим
следующие формулы преобразования компонент скорости:
Vx + U " ' "' vt= ' , - ,(12.4)
/ »
l>~tt 1>~И 1>„.W
1+7" 1+fr *+-3r
где Уж, vy, у* — компоненты скорости ν в системе о, у*,
vy, vz — компоненты скорости ν' в системе £'.
Переходя в формулах (12.4) к пределу при с -+- <»,
получим формулы преобразования скоростей в классической
механике:
vx = Vx + и, vy = v'y, vz -= vz (12.5)
232

или, в векторной форме,
v = v' + u. (12.6)
Очевидно, формулы (12.4) представляют собой формулы
преобразования скоростей в теории относительности. Они
здесь выполняют такую же роль, как формы Галилея
сложения скоростей (12.5) в классической механике.
Пусть точка движется по оси О'х системы S' со
скоростью света с, т. е. vx = с. Найдем скорость этой точки
относительно системы S. В силу первого равенства (12.4)
скорость в системе S будет
.+. -И)
ν = —— = — = с.
и и
1 + 7 1 + 7
Таким образом, в обеих инерциальных системах
скорость света одинакова, что вполне согласуется с
принципом 2, сформулированным в § 6.
§ 13. Формулы преобразования ускорения
Найдем теперь формулы преобразования компонент
ускорения. Дифференцируя формулы (12.4), получим
dvx =
dvv 1 — -ό
χ 2 »
ι + ^
с2
dvv =
фЩ-Q'W'-i
У ~~ / ' \2
Если разделить эти равенства на последнее равенство
'(12.2), получим следующие формулы преобразования
233

компонент ускорения:
wx
<И)
2\3/2
г
1"
л
I1
ι
~wx
щ
л
l1-
*г\
-τ)
wz =
(13.1)
, uv I / и
1 +
' \ 3
г* )
где м;*, wyj wz — .компоненты ускорения в системе S, а
м>х> wy, wz — компоненты ускорения в системе 5".
Переходя в этих равенствах к пределу, при с -*■ «> получим
wx = wx
IV у = W<
У»
wz = wz
(13.2)
Так как и = const, поэтому эти формулы в
рассматриваемом случае непосредственно получаются из (12.5).
Формулы (13.1) показывают, что ускорение не
инвариантно при переходе из одной инерциальной системы в
другую. Таким образом, ускорение, которое инвариантно
относительно преобразований Галилея, не инвариантно
относительно преобразований Лоренца.
Если скорость и мала по сравнению со скоростью
света, то точные формулы (13.1) можно заменить
приближенными формулами (13.2).
Рассмотрим теперь частный случай. Пусть подвижная
частица в данный момент времени неподвижна
относительно системы 5". Вычислим для этого случая ускорение.
ы t г
В силу условия очевидно, что в данный момент vx = vy =
= vz = 0. Помимо этого ясно, что в этот момент скорость
подвижной частицы в системе S совпадает со скоростью
системы 5" относительно S и, следовательно, u=v.
Учитывая эти условия, из формул (13.1) для
рассматриваемого случая получим
w-
234
wx
1
(2\3/2
Wv — Юг
(1-?)· »'-"'[*-$)·

§ 14. Относительность массы
(зависимость массы от скорости)
В классической физике масса инвариантна при переходе
из одной инерциальной системы в другую; масса
подвижной частицы принята за постоянную величину, не
зависящую от скорости частицы. Согласно теории
относительности масса тела зависит от
скорости этого тела, т. е. она
величина относительная. Установим
формулу зависимости массы
тела от скорости. Для этого
рассмотрим йнерциальную
систему £, в начале О' которой
расположены две материальные
частицы одинаковой массы.
Пусть эти частицы под
действием некоторых сил
взаимодействия (под действием внутренних сил *)) в определенный
момент времени начали двигаться вдоль оси О'х' в
противоположных направлениях со скоростями и и —и (рис. 36).
Предположим, что наблюдатель, изучающий это
движение, находится в системе S, и, следовательно, движется
вместе с этой инерциальной системой по оси χ со
скоростью —и относительно системы S\ Очевидно, для этого
наблюдателя левая частица неподвижна. Скорость
правой частицы относительно системы S обозначим
через v. В силу первой формулы системы (12.4) для
скорости ν получим следующее значение**):
ν = ■
2и
(14.1)
1+-
Решив уравнение (14.1) относительно и, получим
Первый из этих двух корней непригоден. Действительно,
из (14.1) ясно, что при v = 0 будет и = 0. А это условие
*) Эти внутренние силы могут возникнуть, например, в
результате взрыва или какого-либо иного химического процесса.
**) Для получения этой формулы в правую часть первой
формулы (12.4) вместо νχ внесем и.
235

выполнимо лишь для второго корня (когда перед
радикалом стоит знак «—», и, следовательно, будем иметь
и-4-{1-\/~1-т)· (14·2)
Обозначим массу левой частицы относительно S через то,
а массу второй частицы, движущейся относительно S со
скоростью ν,— через т. Массы обеих частиц до начала
движения были одинаковыми, однако после начала
движения масса может измениться; поэтому для масс мы
вводим разные обозначения. Ввиду того, что внешние
силы как до движения, так и после начала движения на
частицы не действуют, можно применить закон
постоянства количества движения.
С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе
отсчета S, количество движения данных двух частиц
относительно системы отсчета S' до начала движения этих
частиц, очевидно, равно нулю. Поэтому количество
движения системы двух частиц и после начала их движения
относительно S' (для наблюдателя, находящегося в S)
также должно быть равно нулю (в силу закона
сохранения количества движения). Количество движения левой
частицы относительно системы S' (для наблюдателя,
находящегося в S) будет равно —той, а количество
движения правой частицы (в тех же условиях) будет m(v — u).
В силу закона сохранения количества движения имеем
m(v — u) — moii = О, (14-3)
откуда
-2· + 1 = -. (14.4)
т и
Внося в правую часть последнего равенства вместо и его
значение из (14.2), легко получим
V'
л» = —р=*=г. (14.5)
Как было отмечено выше, то представляет собой
массу в системе S неподвижной относительно системы S
частицы, a m есть масса в той же системе S частицы,
движущейся относительно системы S со скоростью v. Эти
массы взаимосвязаны формулой (14.5). Из этой формулы
следует, что масса движущейся частицы возрастает по
сравнению с массой неподвижной частицы в следующем
236

соотношении:
т 1
Если скорость частицы значительно меньше скорости
-света, то изменение массы незначительно, и это
изменение может не приниматься во внимание. В то же время
необходимо учитывать изменение массы частиц,
движущихся с довольно большими скоростями. К таким быстро-
движущимся частицам относятся электроны, протоны и
другие элементарные частицы.
Рассмотрим теперь некоторую материальную частицу,
связанную с системой S' неподвижно. Массу этой
неподвижной частицы (в системе S') обозначим через то.
Очевидно, эта частица движется вместе с системой S'
относительно системы S со скоростью и; поэтому, если массу
частицы в системе S обозначим через т, то в силу
формулы (14.5) получим
">- ,"' ,· (W.7)
/-7
Отсюда следует, что масса рассматриваемой частицы
ф£ть величина относительная. Относительность массы
подтверждена множеством вполне надежных экспериментов.
Из формулы (14.5) следует также, что если скорость
тела стремится к скорости света, то его масса стремится
к бесконечности. Поэтому ясно, что ни одно тело,
имеющее в неподвижном состоянии отличную от нуля массу,
не может достичь скорости света. Скорость света —
предельная скорость, недостижимая для тела, имеющего в
неподвижном состоянии ненулевую массу.
§ 15. Уравнения движения материальной частицы
в теории относительности
Изменения, вызванные в теории относительности
преобразованиями Лоренца, касаются не только времени,
пространства и массы, но и законов механического движения.
Ввиду того, что масса — величина относительная, второй
закон Ньютона о пропорциональности ускорения и силы,
вызванной этим ускорением, не должен быть
справедливым. Для получения уравнений движения теории относи-
237
(14.6)

тельности вспоминаем закон количества движения,
задаваемый следующей математической формулой:
d(mv) = Fdt, (15.1)
где F — сила, действующая на частицу, ν—скорость
частицы в системе S, т — масса частицы в системе S, dt —
дифференциал времени в этой же системе. Уравнение
(15.1), очевидно, может быть переписано в виде
^(mv)=F. (15.2)
В силу формулы (14.5) имеем
d
dt
V'~7
F, (15.3)
где то — масса частицы, неподвижной относительно
системы S.
Уравнение (15.3) называют векторным уравнением
движения материальной точки в теории относительности.
Спроектировав это уравнение на оси системы S, получим:
= FX4
Fy, (15.3')
= F.
Эти уравнения носят название скалярных уравнений
движения материальной частицы в теории относительности.
Если значение скорости ν очень мало по сравнению со
скоростью света, то с довольно большой точностью
уравнение (15.3) можно заменить уравнением Ньютона
m0w = F.
Используя уравнения (15.3'), можно прийти к
уравнениям преобразования компонент силы. Для этого
рассмотрим материальную точку, движущуюся относительно
системы отсчета S со скоростью ν вдоль оси Ох.
238

Пусть, начиная с момента t, на протяжении
достаточно малого промежутка времени dt на материальную
точку действовала сила F, изменившая ее скорость на
величину dv, т. е. материальной точке придано ускоренже
w = -rp В момент начала действия силы F (момент t)
рассмотрим вторую инерциальную систему S', которая
движется относительно системы S по оси Ох со
скоростью v. Скорость рассматриваемой материальной точки
относительно системы S' после действия силы будет
довольно малой. Ввиду того, что для тел, движущихся
относительно инерциальной системы с достаточно малой
скоростью, справедлив второй закон Ньютона, в системе S'
m0w' = F', (15.4)
где то — значение массы в системе S' (т. е. масса
неподвижности), a w' и F' — значения ускорения и массы
соответственно в системе 5".
Спроектировав равенство (15.4) на оси системы 5",
получим*)
m0w'x = F'x, m0Wy = F'v, m0wz = Fz. (15.5)
Используем формулы преобразования ускорений (13.3),
которые в рассматриваемом случае можно переписать
следующим образом (в нашем случае u — vx=v):
и>х= I 1 —— I wx, wy = \ 1 — -уJWy, wz = Μ——1и72.
(15.6)
В силу формул (15.6) равенства (15.5) перепишутся
в виде
/ у2 \-3/2
(15.7)
mn [ 1 — Λ· Ι ινυ = F'y, m0 (1 — -^ ] wz = F'z.
vo \ x 2 / шу
с
Эти уравнения с определенным приближением (с
допустимой точностью) можно переписать в следующем
*) Ввиду того, что материальная точка движется относительно
системы S' с достаточно малой скоростью, масса движения этой
частицы может рассматриваться как равная массе неподвжжностж.
239

виде:
ii^r)-^'-*
ΤΤΙ ,"''" . \-Г,\/ 1-^· («-β)
'•l/1-?·
Сравнивая между собой уравнения (15.8) и (15.3),
легко убедиться в справедливости соотношений
ν
(15.9)
Формулы (15.9) представляют собой формулы
преобразования компонент силы при переходе из системы S в
систему S'.
§ 16. Закон пропорциональности энергии и массы
Как известно (см. § 12 гл. 4), дифференциал полной
энергии материальной частицы равен элементарной
работе действующей на эту частицу силы:
dE = Fds, (16.1)
где ds есть бесконечно малое смещение материальной
частицы по направлению силы. Ввиду того, что (см. форму-
лу (15.2))
равенство (16.1) можно переписать в виде
dE = 1№ ds = vd(mv), (16.2)
где ν — скорость частицы.
В силу формулы (14.6) преобразования массы ло-
лучаем
mV = c*(ro* —л*?). (16.3)
240

Дифференцированием формулы (16.3) получим
vd(mv) = c2dm. (16.4)
В силу (16.2) из последней формулы имеем dE = c2dmr
откуда
Е = с2т. (16.5)
Эта формула дает хорошо известный закон Эйнштейна а
пропорциональности энергии и массы:
Полная энергия всякого тела равна произведению
массы этого тела на квадрат скорости света.
Этот закон справедливо считается величайшим
открытием XX века.
Если тело неподвижно, то его масса будет то;
соответствующая энергия Eq будет задана формулой
Е0 = с2шо. (16.6)
Вычитая из (16.5) равенство (16.6), получим формулу
для вычисления приращения энергии
E-E0 = c2(m-m0). (16.7)
Таким образом, в результате приведения тела в
движение его масса и энергия возрастают согласно
закону (16.7).
Приращение энергии, как известно (см. § 12 гл. 4)г
представляет собой кинетическую энергию, и,
следовательно, будем иметь
Τ = (m— /no) с2.
В силу (14.5) последняя формула может быть
переписана в виде
(16.8)
Таким образом, кинетическая энергия материальной
точки, движущейся со скоростью ν, задается формулой
(16.8).
Если скорость ν достаточно мала по сравнению со
скоростью света, то с определенной точностью будем
иметь
1
V'-
"с2
-1 +
»2
2с2
241

Внося это значение в формулу (16.8), получим
выражение кинетической энергии в классической механике:
mv2
γ ο
1 ~~ 2 '
Ввиду того, что скорость света очень велика, тела,
согласно формуле (16.5), обладают очень большой
энергией. Вычислим в качестве примера энергию тела
массой 1 г. Так как в абсолютной системе единиц с =
~3 · 1010 см/с, то по формуле (16.5)
Ε = 9 · 1020 эрг.
Для выработки такой энергии Куйбышевской
гидроэлектростанции придется работать непрерывно в
течение 12 часов.

ГЛАВА 8
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
§ 1. Знакоопредеденные, знакопостоянные
и знакопеременные функции
Рассмотрим 5-мерное евклидово пространство (см. § &
гл. 2) и охарактеризуем положение точки Μ в этом
пространстве координатами q\, #2, ..., #*. Точку Л/о с
координатами q} = 0 назовем началом системы координат
в упомянутом 5-мерном пространстве. Расстояние между
точками Л/0(0, 0, ..., 0) и M(qi, qi, ..., #«) обозначим
через р. Очевидно, ρ представляет собой длину вектора
М0М и вычисляется по формуле
9 = Vq\ + ql+ ... +ql. (1.1)
Множество точек M(q\, #2, ..., qs), для которых имеет
место неравенство
Ш<*, (1.2>
где ε — определенное положительное число, назовем ε-
окрестностью точки Л/о(0, 0, ..., 0).
Рассмотрим непрерывную функцию ω(#ι, #2, ..., q»\
координат qu #2, ..., q», равную нулю при qt = 0 (/ =
= 1, 2, ..., s) (в начале системы координат). Примем
следующие определения:
1. Будем говорить, что ω(?ι, #2, ..., qa)-~ знакоопре-
деленная функция, если отыщется такая окрестность
\q,\<h (1.3)
точки Л/0(0, 0, ..., 0), в которой эта функция не
обращается в нуль нигде (кроме точки Л/о) и сохраняет один и
тот же знак. Если ω всюду в упомянутой окрестности
положительна, то ее называют положительно
определенной функцией. Аналогично определяется отрицательно
определенная функция.
2. Будем говорить, что ω(?ι, дг, ..., ?·)—
знакопостоянная функция, если существует такая окрестность
24$

точки Л/о, определенная неравенствами (1.3), в которой
функция не меняет знак, однако помимо начала
координат (точки Мо) может обращаться в нуль и в других
точках.
3. Функцию ω назовем знакопеременной, если не
существует такой окрестности точки Л/о, где она бы не
меняла знак.
Примеры. Если предположить, что s = 3, то
ω = q\ + q\ + ql
ω = q\ + 2giq2 + 2q\ + q\ = (?1 + q2f + q\ + q\
представляют собой положительно определенные
функции, каким бы ни было число fe, участвующее в
неравенствах (1.3).
Функция
ω = ?ι + q\ + q\ + ?S
есть также положительно определенная функция, но не
для всякого, а лишь для достаточно малого значения h.
Очевидно также, что функция
ω = (?ι + ?2)2 + Ql
представляет собой знакопостоянную функцию, так как
она всюду неотрицательна и, кроме точки 2ι = ?2 = 2з =
= 0, обращается в нуль также в точке gi = —g2, дз = 0.
Легко видеть также, что
ω = q\ + q\ — q%, ω = q1
представляют собой знакопеременные функции.
Необходимо отметить, что не существует общего
критерия, согласно которому можно было бы установить,
когда заданная функция — знакоопределенная,
знакопостоянная или знакопеременная, однако в целом ряде
конкретных случаев решение этого вопроса не представляет
большого труда.
Пусть ω(#ι, #2, ..., q*) представляет собой
однородную форму /71-го порядка и, следовательно, удовлетворяет
условию
ω (λ?ι, λ?2, ..., λ?θ) = λ"4ο (gi, g2, · · ·, q.), (1.4)
где λ — произвольное число. Легко убедиться, что если
т нечетное, то ω будет знакопеременной функцией.
244

В силу равенства (1.4) легко видеть также, что если
однородная форма т-то порядка есть знакоопределенная
функция, то это обстоятельство будет иметь место при
любом h, участвующем в неравенстве (1.3), и,
следовательно, во всем пространстве. В частности, если
квадратичная форма — знакоопределенная, то
знакоопределенность будет иметь место во всем пространстве (речь идет
о пространстве изменения координат gi, q2. ..., (7s).
§ 2. О системе несвободных материальных точек
Пусть Мг(хи уи ζχ), М2(Х2, У2, Ъ), ..., Мп(хп, уп, ζη)
представляет собой систему материальных точек (см. гл.
6, § 1). Очевидно, между координатами х{, у*, ζ< (ί=1,
2, ... η) несвободной системы материальных точек
должны существовать определенные функциональные
зависимости, так как в противном случае система была бы
свободной. Если система несвободна, будем говорить, что она
подчиняется связи. Упомянутая функциональная
зависимость называется уравнением связи. Система
материальных точек может быть подчинена одной или
нескольким связям, т. е. между координатами системы может
существовать одна или несколько функциональных
зависимостей.
Предположим, что система материальных точек
подчиняется связям к < Здг, выражающимся следующими
функциональными зависимостями:
fa(Xu У U ZU *2, У2, Z2, . . ., Я„, У η, Ζ„) = О
(а=1, 2, ..., ft), - {ΔΛ)
где /а — непрерывные и непрерывно дифференцируемые
функции своих аргументов до второго порядка
включительно. Будем предполагать, что эти связи независимы
в следующем понимании: из Зп координат системы
можно определить из уравнения (2.1) к координат, выразив
их остальные Злг — к координат. В таком случае
положение системы материальных точек определяется Зп — к = s
независимыми параметрами. Если положение системы во
второй момент времени t определяется s = Зп — к
независимыми параметрами, то будем говорить, что степень
свободы системы равна s.
Если система материальных точек подчинена к
независимым связям вида (2.1), то, как нетрудно
догадаться, должны существовать s = Зп — к независимых
245

параметров q\, #2, ..., q», с помощью которых выразятся
координаты системы:
*<=Ф<(?1, ?2, ..., ?.,*). 0< = ψ<(ϊι. Уа. ···, ?.,*).
(2.2)
ζ.· = θ<(?ι, ?2, ..., ?., ί) (i= 1, 2, ..., тг).
Здесь φ,·, «ψ», θ* — непрерывные и непрерывно
дифференцируемые до второго порядка включительно функции
аргументов. При этом функции φ,·, ψ,·, θ,·, представленные
формулами (2.2), должны удовлетворять уравнениям (2.1)
тождественно относительно параметров ^(/ = 1, ..., s)*
Преобразования вида (2.2) с перечисленными
свойствами действительно существует, что непосредственно
вытекает из независимости связей (2.1); как было
отмечено, из уравнений (2.1) вычисляется к координат, ш
они выразятся посредством остальных Зп — к координат.
Упомянутые Зп — к координат можно принять за
независимые параметры q^ (/ = 1,2, ..., s), называемые
обобщенными координатами.
Обозначим массу материальной точки М{ через пг{, а
сумму внутренних и внешних сил, действующих на нее,—
через Ft = (Хг·, Ft, Z{). Тогда уравнения движения
системы материальных точек (см. гл. 6, § 1) можно
переписать следующим образом:
А.
V ( til / / / \
= А| \t, Xv JJV Zv . . .,Χηι Упч ζη\ χΐι УV ZV · · · Хпч Упч zn)r
™г-^= (2.3)
at
= У i\h Х\ч У11 ZV · · ·» ХПч Упч zn\ х\ч У\1 ZV · · · » Xnt Упч ζη)ι
d2z.
= 7*ι \t, x^ у it Zj, . .., xn, г/п, zn\ xi9 y^ z±, ,.., xn, yni zny
(i = 1, 2, ..., n)9
Если теперь посредством формул (2.2) перейдем к
обобщенным координатам ?j(/*=l, 2, ..., s), то
убедимся, что вопрос интегрирования системы (2.3) сводится
к интегрированию системы s дифференциальных
уравнений второго порядка относительно обобщенных
координат, разрешимой относительно производных второго по-
246

рядка. Если эта система проинтегрирована, то
окончательно координаты системы материальных точек отыщутся
о помощью формул (2.2). Для упомянутой системы s
уравнений относительно обобщенных координат будут
-соблюдены условия существования и единственности
решения, если Хи Yi, Zi представляют собой непрерывные
функции своих аргументов (в определенной области их
жзменения) и удовлетворяют условию Липшица
относительно величин Хи i/i, zt-, χχ, У\, Ζι (έ=1, 2, ..., η) (см.
$ 21 гл. 4).
Сводя известным способом (см. § 10 гл. 2) упомянутую
выше систему относительно координат q5 (j = 1, 2, ..., s)
к системе 2s уравнений первого порядка, получим
dr\-
ϊγ = ф; С' 4ι· Л»' · · - Ч») (i - 1. 2, .. ·, 2«). (2.4)
Здесь же заметим, что механические движения как
системы материальных точек, так и материальных тел (см.
^ 4 гл. 4), характеризуются системой вида (2.4).
Изучение рассмотренных нами в предыдущих главах вопросов
механики сводится именно к системе подобного вида.
§ 3. Дифференциальные уравнения
возмущенного движения
β этом параграфе будем рассматривать механическую
систему, движение которой характеризуется системой
дифференциальных уравнений следующего вида:
dyu
-dt=fo (*» У ν У ν · · ·» Ут) (Λ = 1. 2, ..., т). (3.1)
Каждому решению этой системы соответствует
определенное движение упомянутой механической системы.
Легко видеть, что рассматриваемые нами до сих пор
уравнения могут быть представлены в виде системы (3.1).
Доказывается, что и уравнения движения твердого тела
можно представить в виде (3.1). Теперь очевидно, что к
системе вида (3.1) сводится движение всякой
механической системы, рассматриваемой в теоретической механике.
В дальнейшем будем всегда предполагать, что для
системы (3.1) соблюдены условия теорем существования и
единственности решения.
Рассмотрим некоторое частное решение системы (3.1):
Λ-ςϋ(*ϊ (*-1, 2, .... my. (3.2)
247

Ясно, что это решение при некоторых начальных
данных определяет движение заданной механической системы.
Движение механической системы, характеризуемое
частным решением вида (3.2), называется
невозмущенным движением. Таким образом, в качестве
невозмущенного движения можно взять всякое частное решение
механической системы. Любое другое движение,
отличающееся от взятого невозмущенного движения, называется
возмущенным движением.
Рассмотрим некоторое решение системы (3.1):
Λ-МО (&=1, 2, ..., 771), (3.3)
отличное от решения (3.2). Разности
Л(*)-Ф*(0 (* — 1, 2 771)
называются возмущениями.
Определение. Невозмущенное движение
механической системы, характеризуемое равенствами (3.3),
называется устойчивым, если ддя всякого наперед
заданного положительного числа ε существует такое число δ (ε),
что для всякого возмущенного движения Ук = Ук(^) (& =
= 1, 2, ..., ττι), удовлетворяющего в начальный момент
неравенству
Ι?*(ίο)-φ*(ίο)Ι<δ»
при всем последующем движении имеет место неравенства
\yh(t)— 4>к(t)\ при t>t0.
Если невозмущенное движение устойчиво и при этом δ
может быть выбрано настолько малым, что при \yh(to) —
— Фь(£о)1<б будет иметь место равенство
НтЫ*)-<Р*(*)] = 0, (3.4)
*->о
то будем говорить, что упомянутое невозмущенное
движение асимптотически устойчиво.
Гармоническое колебание точки (см. § 13 гл. 5) при
произвольных начальных условиях представляет собой
устойчивое движение. Затухающее колебание точки,
соответствующее произвольно взятым начальным условиям,
асимптотически устойчиво.
Введем вместо функций уи уч, ..., ут функции х\, ..♦
..., хп, связанные с ζ/ι, ζ/2, ..., Ут посредством равенств
** = 0*-<Р*(О (*-1, 2, ..., τη), (3.5)
248

причем уъ = φΑ(ί) (к = 1, 2, ..., /тс)— уравнения
невозмущенного движения.
В силу равенства (3.5) система (3.1) может быть
переписана в виде
-£ = Xk(t, xv х2, ..., хт) (к = 1, 2, ..., т), (3.6)
где
Xk(t, Х\, Х2, ..., Xm)=fh(t, ^1+ф1, #2+ф2, ..., #т+фт) —
-U(t, φι, ф2, ..., Фт). (3.7)
Система (3.6) называется уравнениями возмущенного
движения заданной механической системы.
В силу равенства (3.7)
ад о,..., о) = о,
как нетрудно догадаться, хк = 0 (к = 1, 2, ..., т)
удовлетворяет системе (3.6), причем ясно, что для
невозмущенного движения (3.2) xk = 0 (к = 1, 2, ..., т).
Таким образом, устойчивое движение можно
определить следующим образом:
Невозмущенное движение механической системы,
характеризуемое уравнениями
xh=0 (/с = 1, 2, ..., тп), (3.8)
представляет собой устойчивое движение, если для
всякого наперед заданного положительного числа ε
отыщется такое число δ (ε), что при
\xh{h)\ <δ
имеет место неравенство
\xk(t)\<e, t>t0;
если при этом δ можно взять настолько малым, что
limxk(t) = 0, то будем говорить, что невозмущенное дви-
жение асимптотически устойчиво.
Рассмотрим уравнение гармонического колебания (см.
§ 13 гл. 3) материальной точки
tl + ω*χ = 0
dr
и рассмотрим решение χ = 0 этого уравнения,
соответствующее начальным условиям: если t = ίο, то χ = 0, χ' — 0.
249

Очевидно, это решение определяющее центр притяжения,
устойчиво.
В дальнейшем будем рассматривать так называемые
установившиеся движения, под которыми понимаются
случаи, когда в системе (3.6) функции Xk не содержат
явно параметра t.
В случае установившегося движения для решения
задачи устойчивости системы (3.6) используют два метода^
Первый метод, называемый методом первого
приближения, заключается в том, что функции Xk{x\, #2, ..., #m)
разлагают в степенные ряды вблизи точек хк = О (к =
= 1, 2, ..., т) и освобождаются от бесконечно малых
величин второго и высших порядков. Получается система,,
представляющая собой систему линейных
дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными
коэффициентами. Для такой системы, путем отыскания
общего решения, может быть разрешен вопрос устойчивости
движения. Однако при использовании этого метода
необходимо выяснить, разрешен ли вопрос устойчивости для
начальной системы?
Упомянутый метод включает в себя также и случайг
когда общий интеграл системы (3.6) может быть
построен явно. В этом случае легко разрешима проблема
устойчивости движения. Второй метод заключается в
разрешении вопроса устойчивости движения для системы вида
(3.6) без ее решения. Оба метода окончательно были
разработаны в докторской диссертации великого русского
математика Ляпунова.
Рассмотрим для установившегося движения систему
(3.6)
-^ = Xk(xvx2, ..., хт) (к =1,2, ..., т). (3.9)
Соответствующая линейная система имеет вид
-—- = ак1хг + ak2x2 + ... + akmxm (к = 1, 2, ..., т). (3.10)
В дальнейшем вместо устойчивости движения в случае
необходимости будем говорить об «устойчивом решении»
соответствующей системы дифференциальных уравнений.
Для изучения вопроса устойчивости решения системы
(3.10) сведем эту систему методом, описанным в § 1 гл. Зу
к дифференциальному уравнению т-порядка. Как
нетрудно убедиться, получим линейное дифференциальное
уравнение /71-го порядка с постоянными коэффициентами
250

следующего вида:
χ™ + a{x{m-l) + ... + am^xf + amx = 0. (3.11)
Применяя к этому уравнению результаты, приведенные
в § 5 гл. 3, можно легко решить задачу об устойчивости.
Решением уравнения (3.11), удовлетворяющим нулевым
начальным условиям: t = t0l χ = 0, х{а) (t0) = 0 (α =
= 1, 2,..., т — 1), будет χ = 0. Рассмотрим теперь решение
уравнения (3.11), удовлетворяющее начальным условиям:
если t = t0, то χ = хо, х(а)= 4°° (а = 1, 2, ..., т — 1), где
хоч Х^ — произвольно заданные числа. В соответствии с
приведенными выше определениями; будем говорить, что
решение х = 0 уравнения (3.11) устойчиво, если для
всякого наперед заданного положительного числа ε
отыщется такое число δ(ε), что при \x(to)\<B, \xia)(to)\ < δ
(α = 1, ..., /7i—l), соответствующее решение уравнения
(3.11) будет удовлетворять неравенствам
\x(t)\<E, \xia)(t)\<s (α = 1, 2, ..., m-1).
Решение уравнения (3.11) будем искать в виде х —
= еа\ где α — постоянное число. Для нахождения α
получим следующее характеристическое уравнение:
ат + ахат'1 + ... ат.х а + ат «= 0.
Рассмотрим случай, когда все корни этого уравнения —-
действительные числа. Предположим, что все корни
простые. Пусть это есть числа αϊ, аг, ..., ат. Как нам
известно (см. § 5 гл. 3), общее решение уравнения (3.11)
представляется в виде
at a J amt
χ = сге х + с2е + ... + сте .
Имеет место теорема:
Теорема 1. Если хотя бы одно из чисел αϊ, аг, ...
•.., ат положительно, то невозмущенное решение системы
(3.11) (невозмущенное движение соответствующей
механической системы) неустойчиво. Если все αι отрицатель-
ны, то всякое невозмущенное решение уравнения (3.11)
асимптотически устойчиво.
Теперь заметим, что решение задачи об устойчивости
решения линеаризованной системы, вообще говоря,
не дает решения этого вопроса для первоначально данной
системы. Для иллюстрации сказанного рассмотрим
следующую систему:
£=-у+ая*, % = х+ау\ (3.12)
251

где а — постоянное число. Соответствующая ей
линеаризованная система имеет вид
§--„, § = *. (3.13>
Из системы (3.13), исключая х, получим
% + У = 0. (3.14)
Общее решение последнего будет
ζ/ = γ8ίη(ί + β), (3.15)
где γ и β — произвольные постоянные. Второе уравнение
системы (3.13) даст
* = 7Cos(*+P). (3.16)
Таким образом, функции χ ж у, определенные равен·
ствами (3.15) и (3.16), дают общее решение
линеаризованной системы (3.13). Рассмотрим теперь следующие
начальные условия: если ί = 0, то х = Хо, У = Уо- В силу
этих условий легко получим
y-Vxl + yl P = arctgp. (3.17)
Χ
о
Внося эти значения в равенства (3.15), (3.16), получим
s=l/*o + yJcos(f+ β), y = Vx\ + yl&n(t + % (3.18)
где β определено вторым равенством (3.17).
Теперь становится очевидным, что для всякого
наперед заданного малого положительного числа ε можно
выбрать хо и г/о настолько малыми, чтобы всегда выполнялись
неравенства \х\ < ε, \у\ < г, и, следовательно,
невозмущенное движение χ = у = 0 для системы (3.13) будет
просто устойчивым (не асимптотически).
Теперь посмотрим, что же даст нам система (3.12).
Пусть x = x(t) и y~y{t) представляют собой некоторое
решение этой системы. Будем иметь
у| [*2(0 + УЧЩ = x{t)% + y(t)%. (3.19)
τ» dx dy
Если сюда вместо величин -^ и — внести их значения из
системы (3.12), получим
41, № (*) + У2 (*М = а [х* (t) + у' (*)]. (3.20)
252

Рассмотрим два случая:
1. Если а > 0, то в силу равенства (3.20) производная
функции х2 + у2 всегда положительна, и, следовательно,
эта функция — возрастающая и с течением времени
принимает довольно большое значение. Из сказанного ясно,
что невозмущенное движение х = у "= 0 для системы
(3.12) при а > 0 неустойчиво.
2. Если а < 0, то в силу равенства (3.20) функция
х2 + У2 — убывающая и, как нетрудно увидеть,
невозмущенное движение х = у = 0 для системы (3.12)
устойчиво асимптотически.
Таким образом, невозмущенное движение χ = у = О
для системы (3.12) может быть как устойчивым (при
а<0), так и неустойчивым (при а>0), тогда как
невозмущенное движение для линеаризованной системы
(3.13) всегда устойчиво.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно твердое тело 92
Амплитуда колебания 136
Бинормаль 114
■Векторное произведение 28
Величина инвариантная 202
— неинвариантная 202
Взаимодействие контактное 161
Возмущения 248
«Вращение равномерно переменное
105
.Гипербола 23
Гипотеза Ньютона об абсолютном
пространстве 197
Главный момент 158
Годограф скорости 110
Граница интегрирования верхняя
13
нижняя 13
.Движение возмущенное 248
— невозмущенное 248
асимптотически устойчивое
248
устойчивое 248
— равномерное 100
— равномерно замедленное 101
переменное 101
ускоренное 101
инамика 93
ифференциал функции в точке 39
ифференциальное уравнение 33
линейное 45, 71
обыкновенное 33
однородное 40
с частными производными 33,
34
Задача динамики обратная 124
прямая 124
— {Коши 36, 56, 123
— Ньютона 150
— Циолковского 167
— η тел 175
ограниченная 176
Закон всемирного тяготения 149
— кинетической энергии 173
— момента количества движения
126, 158
— площадей 128, 180
— сохранения энергии 130
— Эйнштейна 241
Законы Кеплера 147
— Ньютона 94
254
Импульс силы элементарный 125
Инвариант уравнения 86
Интеграл дифференциального
уравнения 37
— Римана 13
Интегральная кривая 34
Интервал между двумя событиями
216
— пространственнообразный 220
Кинематика 93
Колебание вынужденное 139
— гармоническое 136
— собственное 140
Количество движения 125, 157
Координаты обобщенные 98, 246
— события 220
Кривизна линии 115
Линейное дифференциальное
уравнение 45, 71
Линейный дифференциальный
оператор 75
Масса гравитационная 122
— инертная 121
Материальная точка (частица) 93
Метод первого приближения 250
— последовательных приближений
Пикара 48
— Эйлера приближенного
построения интегральной кривой 36
Множество связное 35
Момент вектора относительно оси
32
точки 31
— количества движения 126, 158
— силы относительно точки 126
Неопределенный интеграл функции
10
Норма (длина) вектора 60
Нормаль 114
Область 35
Общее решение неоднородного
уравнения 69, 79
неоднородной системы 90
Обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка 33
, общее решение 37
, частное решение 37
Однородная функция порядка m 42
Однородное дифференциальное
уравнение 40, 72
Оператор дифференциальной
линейный 75

Определенный интеграл 12
Ось времени 97
Парабола 24
Парадокс часов 228
Первообразная функции 9
Первый интеграл системы 67
Период 137
Перицентр 185
Плечо вектора 32
Подынтегральная функция 10
Поле направлений 35
Полином Чебышева 79
Порядок дифференциального
уравнения 33
Постоянная Гаусса 148
— гравитационная 149, 174
Преобразования Галилея 200
Принцип относительности в
классической механике 198
Принципы относительности
Эйнштейна 214
Промежуток времени 97
Работа силы элементарная 129
Равновесие тел 93
Радиус кривизны 115
Резонанс 141
Решение дифференциального
уравнения 34
колеблющееся 87
неколеблющееся 87
— задачи Коши 50
Ряд абсолютно сходящийся 19
— положительный 18
— функциональный 19
, равномерно сходящийся 19
, сходящийся в точке 19
— числовой 12
расходящийся 17
сходящийся 12, 17
Свойства интеграла Римана 13
— числового ряда 18, 19
Свойство изотропности
пространства 217
Связь между неопределенным и
определенным интегралами 16
Сечения конические 20
Сила 93
— консервативная 130
— реактивная 162
отрицательная 169
— центральная 127
Силы внешние 154
— внутренние 154
Система координат левая 28
— линейных дифференциальных
уравнений 87
— материальных точек 93
■ несвободная 154
свободная 154
— отсчета 93
— четырехмерная 217
Теорема Коши 50
Точка материальная переменной
массы 160
Уравнение Бернулли 48
— Бесселя 80
— возмущенного движения 249
— гиперболы 24
— движения в декартовых
координатах 97
материальной точки в теорш*
относительности векторное 238
скалярное 238
ракеты 163
— дифференциальное 33
обыкновенное 33
первого порядка 33
с разделяющимися перемен*
ными 40
с частными производными 3£
— Кеплера 189
— Лапласа 35
— Мещерского 162
обобщенное 168
— параболы 25
— связи 152, 245
— траектории векторное 109
— характеристическое 82
— Циолковского 164
— эллипса в нормальном виде 2t
Ускорение векторное 107
— касательное 117
— нормальное 117
— силы тяжести 120
— скалярное 101, 106
угловое 104
Условие Липшица 49
Фаза колебания 136
Формула Бинэ 147
— Циолковского 164
Формулы первообразных 10
— преобразования Галилея 201
Лоренца 223
Фундаментальная система решений"
75, 77, 78, 89
нормальная 76, 89
Функции Бесселя 81
— линейно зависимые 70
независимые 70
Функция гармоническая 35
— знакоопределенная 243
— знакопеременная 244
— знакопостоянная 243
— отрицательно определенная 245
— положительно определенная 24$
— сопряженная 83
Центр момента 32
Частичные суммы ряда 17
Частота колебаний 137
Число комплексное 83
Числовой ряд 12, 17
Эксцентриситет гиперболы 26
— эллипса 23
Эллипс 20—22
Энергия кинетическая 158
— потенциальная 130
— точки полная механическая 130
Явление уменьшения длины 225
255

Учебное издание
ВЕКУ А Николай Петрович
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И ПРИЛОЖЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Заведующий редакцией А. П. Баева
Редакторы М. М. Горячая, И. Е. Морозова
Художественный редактор Т. Н. Нольченко
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректор О. М. Карпова
НБ К» 41000
•Сдано в набор 19.09.89. Подписано к печати 11.12.90.
Формат 84 X108732. Бумага тип. № 2. Гарнитура
обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 13,44. Усл.
кр.-отт. 13,44. Уч.-изд. л. 14,59. Тираж 13 500 экз.
Заказ № 855. Цена 1 р. 50 к.
Издательско-производственное
и книготорговое объединение «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
€30077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25

φ
τ