В. В. СОКОЛОВСКИЙ
5С/-
СТАТИКА
СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1960

12-5-4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 5
Введение 7
Глава I. Предельное равновесие сыпучей среды 11
§ 1. Предельные условия 11
§ 2. Плоское предельное равновесие сыпучей среды 20
§ 3. Уравнения плоского предельного равновесия 28
§ 4. Предельное равновесие оснований 41
Глава II. Несущая способность оснований и откосов 54
§ 5. Удерживающее нормальное давление на основания 54
§ 6. Разрушающее нормальное давление на основания 63
§ 7. Удерживающее и разрушающее наклонные давления 71
§ 8. Несущая способность откосов 77
§ 9. Форма криволинейных откосов 86
§ 10. Разрывные решения 97
Глава III. Давление засыпки на подпорные стенки 106
§ 11. Активное давление засыпки на подпорные стенки 106
§ 12. Пассивное давление засыпки на подпорные стенки 115
§ 13. Разрывные решения. Ломаные подпорные стенки 121
§ 14. Криволинейные подпорные стенки 130
§ 15. Парные подпорные стенки 137
§ 16. Плоское предельное равновесие слоистой среды 143
Глава IV. Предельное равновесие связной среды 149
§ 17. Плоское предельное равновесие идеально-связной среды . . . 149
§ 18. Несущая способность оснований 156
§ 19. Форма криволинейных откосов. Разрывные решения 162
§ 20. Давление засыпки на подпорные стенки. Разрывные решения 172
§ 21. Плоское предельное равновесие связной среды 182
§ 22. Предельное условие специального вида 191
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Предельное равновесие весомого клина 198
§ 23. Уравнения плоского предельного равновесия весомого клина . 198
§ 24. Несущая способность оснований 205
§ 25. Давление засыпки на подпорные стенки 213
§ 26. Разрывные решения. Несущая способность слоистых оснований 225
Литература zo'
Именной указатель 241
Предметный указатель 242
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая монография, посвященная статике сыпучей среды и
излагающая теорию предельного равновесия, выходит в третьем изда-
нии в совершенно переработанном виде. Она затрагивает широкий круг
вопросов, рассмотренных ранее, а также ряд новых вопросов, разобран-
ных лишь недавно. Краткое содержание монографии следующее.
Глава I дает описание теории плоского предельного равновесия
сыпучей среды, использующее обычное предельное условие. Прове-
дено подробное исследование уравнений плоского предельного равно-
весия и преобразование их к канонической системе. Освещен вопрос
о механическом подобии, имеющий весьма большое значение как для
расчетов, так и для моделирования. Сформулированы основные крае-
вые задачи для канонической системы и даны эффективные методы
численного интегрирования.
Рассмотрена важная задача статики сыпучей среды — о предельном
равновесии оснований. Определение искомых решений сводится к ком-
бинациям краевых задач для канонической системы.
Глава II содержит весьма существенные задачи — о несущей
способности оснований и откосов. Построение искомых решений здесь
опять-таки приводит к комбинациям краевых задач для канонической
системы. Всюду как основной элемент входит некоторое решение
с особой точкой, которой на плоскости характеристик соответствует
целый отрезок характеристики.
Большое внимание уделено задаче о форме откосов, аналогичной
предыдущим задачам. Подробно рассмотрены задачи о форме нависаю-
щих откосов, имеющие разрывные поля напряжений.
Глава III посвящена классическим задачам — о давлении засыпки
на подпорные стенки. Дана классификация подпорных стенок в за-
висимости от наклона их задних граней. Детально разобраны задачи,
также обладающие разрывными полями напряжений.
Проведено исследование уравнений плоского предельного равно-
весия в узких пограничных слоях вдоль задних граней и получены
приближенные интегралы.
Особое место занимает описание теории плоского предельного
равновесия сыпучей среды со слоистой структурой. Эта теория
пояснена на весьма интересной задаче о несущей способности сло-
истых оснований..

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Глава IV содержит теорию плоского предельного равновесия иде-
ально-связной среды, лишенной внутреннего трения. Она аналогична
теории плоского пластического равновесия и дает возможность полу-
чить решения многих задач о несущей способности оснований и отко-
сов, а также задач о давлении засыпки на подпорные стенки. Разо-
браны задачи, обладающие разрывными полями напряжений.
Кроме того, здесь приведена теория плоского предельного равно-
весия связной среды, использующая предельное условие общего вида.
Дано подробное исследование уравнений плоского предельного
равновесия и преобразование их к канонической системе. Оказывается,
что для некоторых частных видов предельного условия уравнения
предельного равновесия имеют простые интегралы. Рассмотрены задачи
о сжатии полосы и прямоугольника, решения которых имеют замк-
нутую форму.
Глава V относится к предельному равновесию идеально-сыпучего
клина. Особенности идеально-сыпучей среды, лишенной сцепления,
позволяют получить искомые решения встречающихся здесь задач
более просто, чем на основании общей теории. Удается рассмотреть
некоторые задачи, в которых одновременно имеют место предельные
и непредельные зоны. Разобраны задачи о равновесии насыпей, о не-
сущей способности оснований, о давлении на подпорные стенки.
Решение всех этих задач достигается в замкнутой форме или при-
водит к интегрированию обыкновенных нелинейных дифференциаль-
ных уравнений.
Особое место занимает предельное равновесие идеально-сыпу-
чего клина со слоистой структурой, в частности, задача о несу-
щей способности слоистых оснований.
Все главы проиллюстрированы примерами, которые снабжены
многочисленными графиками и таблицами, причем в последних, для
краткости, сохранены лишь два десятичных знака, хотя вычисления
проводились с большей точностью. Некоторые из этих примеров имеют
целью только пояснить излагаемые методы, другие же могут быть
непосредственно использованы в практических расчетах.
Таблицы составлены путем численного интегрирования соответ-
ствующих дифференциальных уравнений, выполненного в Вычисли-
тельном центре Академии наук СССР.
Цитированная литература для удобства сведена в отдельный спи-
сок, приложенный в конце монографии. Ссылки в тексте на этот спи-
сок как всегда, отмечены номерами, стоящими в квадратных скобках.
В заключение автор выражает искреннюю признательность всем
лицам, высказавшим замечания и соображения по первому и второму
изданиям. Автор приносит также благодарность А. М. Кочеткову и
3. Н. Буцько за их помощь при составлении таблиц и при подготовке
рукописи к печати.
Москва, 1958.
В. В. Соколовский
ВВЕДЕНИЕ
В статике сыпучей среды изучаются напряженные состояния двух
видов: напряженные состояния, при которых небольшое изменение
объемных или поверхностных сил еще не может вызвать нарушение
равновесия, и напряженные состояния, при которых некоторое, даже
малое, изменение тех же объемных и поверхностных сил уже приво-
дит к потере равновесия.
Напряженные состояния второго вида — так называемые предель-
ные напряженные состояния — непосредственно зависят от основных
механических постоянных, характеризующих сопротивление сыпучей
среды сдвигу, и составляют содержание теории предельного равно-
весия.
Основоположник этой теории К. Кулон A773) сформулировал
основные положения предельного равновесия и применил их к опре-
делению давления засыпки, ограниченной горизонтальной плоскостью,
на вертикальную подпорную стенку с абсолютно гладкой задней
гранью, исходя из допущения о существовании плоской поверхности
сползания. Те же положения были использованы впоследствии при
нахождении давлений засыпки, ограниченной произвольной поверх-
ностью, на наклонные и ломаные подпорные стенки с шероховатыми
задними гранями. Далее В. Ренкин A857) рассмотрел предельное
равновесие бесконечного массива, ограниченного наклонной плоскостью,
ввел понятие о поверхностях скольжения и нашел предельное усло-
вие, которое П. Е. Паукер применил к оценке устойчивости основа-
ний. Затем В. И. Курдюмов A889) провел ряд экспериментов о пре-
дельном сопротивлении оснований, ясно показавших, что нарушение
равновесия происходит путем сползания по некоторым криволиней-
ным поверхностям.
Новые исследования по теории предельного равновесия составили
два направления.
Первое направление ставит своей целью создание упрощенной
теории предельного равновесия, дающей возможность разбирать раз-
личные задачи простейшими средствами. Оно было развито С. И. Бел-
зецким A914), Г. Креем A918), Н. М. Герсевановым A923), Н. П. Пу-
зыревским A923) и В. Фелениусом A926), которые принимали довольно
естественное допущение о существовании поверхностей сползания

8
ВВЕДЕНИЕ
некоторых простейших форм — плоских, призматических или кругло-
цилиндрических.
Указанное допущение, сводящее рассмотрение каждой задачи
к выяснению самого невыгодного положения поверхности сползания
выбранной формы, хотя и не имеет достаточного обоснования, не-
редко все же дает приемлемые результаты. Поэтому упрощенная
теория, еще более разработанная И. П. Прокофьевым A934) и
Н. И. Безуховым A934), а впоследствии снабженная удобными гра-
фиками и таблицами, до сих пор еще имеет довольно широкое рас-
пространение.
Второе направление, продолжающее идеи В. Ренкина, пытается
построить строгую теорию предельного равновесия, позволяющую
рассматривать различные задачи и находить соответствующие сетки
линий скольжения. Оно ведет свое начало от Ф. Кеттера A903),
который, взяв дифференциальные уравнения равновесия и предельное
условие в каждой точке, составил систему уравнений предельного
равновесия сыпучей среды, а затем преобразовал ее к соответствую-
щим криволинейным координатам.
Большое влияние на дальнейшее развитие этой теории оказал
Л. Прандтль A920), который поставил и рассмотрел ряд задач о пла-
стическом равновесии, причем впервые использовал решение с особой
точкой и пучком прямых линий скольжения, проходящих через нее.
Эти результаты были затем применены Г. Рейснером A925) и
В. Н. Новоторцевым A938) к некоторым частным задачам об устой- .
чивости оснований, но лишь для невесомой сыпучей среды, когда I
линии скольжения хотя бы одного семейства являются прямыми и j
решения имеют замкнутую форму.
Совершенно иным путем шли Т. Карман A927) и А. Како A934),
изучавшие систему уравнений предельного равновесия идеально-сы-
пучего клина и предложившие приближенные приемы их решения.
Были рассмотрены некоторые интересные частные задачи о давлении
засыпки на подпорные стенки, когда простых решений построить
уже нельзя.
Однако все эти исследования из-за отсутствия общего метода
могли находить лишь ограниченное применение в практических рас-
четах. Так, например, различные попытки использования в задаче об
устойчивости оснований результатов для невесомой сыпучей среды
не имели особого успеха и обычно приводили к совершенно искажен-
ным результатам.
Исходные работы автора A939) в этой области были направлены
на построение такого общего метода, позволяющего рассматривать
основные задачи для весомой сыпучей среды, когда линии скольже-
ния обоих семейств суть кривые, и решения уже не имеют простой за-
мкнутой формы. В них сформулированы и рассмотрены различные задачи
о предельном равновесии, причем очень широко использовано некото-
рое решение с особой точкой и пучком кривых линий скольжения, про-
ВВЕДЕНИЕ 9
ходящих через нее. Полученные результаты уже несколько позднее
были собраны в одно целое и составили первое издание настоящей
монографии.
Вслед за тем появилось много различных исследований, из кото-
рых в целях краткости отметим лишь некоторые. Так, С. С. Голуш-
кевич A948) разработал графический метод интегрирования уравнений
предельного равновесия, в котором строятся сетка линий скольжения
и специальная полярная диаграмма; он .проиллюстрировал этот метод
преимущественно на уже ранее разобранных задачах для невесомой
и весомой сыпучих сред. В. Г. Березанцев A948) изучил так назы-
ваемое полное предельное равновесие при наличии осевой симметрии;
он построил метод, позволяющий рассмотреть соответствующие задачи,
и провел несколько удачных экспериментов о предельном сопротив-
лении оснований.
Дальнейшие работы автора A947—1953) в той же области имели
своей целью, с одной стороны, построение общего метода, дающего
возможность рассматривать задачи о предельном равновесии также
и для связной среды, с другой стороны, получение метода, позво-
ляющего достаточно просто разбирать различные задачи о предель-
ном равновесии идеально-сыпучего клина. Достигнутые результаты
были объединены в одно целое и образовали второе издание дан-
ной монографии.
Все эти исследования значительно развили теорию предельного
равновесия как в отношении расширения круга затрагиваемых во-
просов, так и повышения эффективности применяемых методов, что
позволило ей стать надежной основой приктических расчетов в статике
сыпучей среды.
Правда, пока еще имеют место известные затруднения, связанные
с построением сеток линий скольжения из-за некоторой сложности
и трудоемкости вычислений. Однако эти затруднения могут быть
значительно уменьшены или даже вовсе устранены путем составления
соответствующих графиков и таблиц, а также создания всякого рода
приближенных приемов. Указанные возможности упрощения вычи-
слений уже начали реализовываться в широких размерах.
Последние работы автора A955—1957) были посвящены двум зада-
чам предельного равновесия для весомой сыпучей среды, имеющим
разрывные поля напряжений. Одна из них относится к определению
формы криволинейных откосов, а другая касается нахождения дав-
лений на криволинейные подпорные стенки.
Будущее развитие теории предельного равновесия непременно
должно сочетаться с проведением экспериментов, дающих не только
общее представление о формах нарушения равновесия сыпучей среды,
но и определенные, достаточно надежные, количественные результаты.
Основная цель таких экспериментов, имеющих, конечно, большое
значение, состоит в проверке теоретических выводов и выяснении
пределов их применимости.

10
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемое третье издание этой монографии посвящено теории
плоского предельного равновесия и содержит общий метод решения
соответствующих задач. Оно, однако, не ставит своей целью исчер-
пывающее освещение всех относящихся сюда исследований, круг ко-
торых все более и более расширяется, так как многие из них
изложены в литературе и могут быть изучены непосредственно.
ГЛАВА I
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
§ 1. Предельные условия
Рассмотрим некоторую точку Р сыпучей среды и представим себе
какую-нибудь элементарную площадку, проходящую через эту точку.
На этой площадке приложено действительное напряжение р, обра-
зующее с нормалью п угол 8 и имеющее нормальную и касательную
компоненты ал и in (рис. 1).
Сопротивление сдвигу по данной площадке сыпу-
чей среды с малой связностью, как устанавливают . /у
эксперименты может быть выражено линейной зави-
симостью
имеющей место при нарушении равновесия. Это со-
противление слагается, следовательно, из сопротив-
ления от внутреннего трения и из сопротивления от
сцепления.
Постоянные р и k представляют собой угол Рис. 1.
внутреннего трения и коэффициент сцепления,
но вместе с тем их можно считать за параметры, характеризующие
полное сопротивление сыпучей среды сдвигу.
Сыпучую среду, в которой отсутствует сцепление (k = 0), усло-
вимся называть идеально-сыпучей, а среду, в которой отсутствует
внутреннее трение (р = 0), — идеально-связной. Эти среды обладают
некоторыми характерными особенностями, на которые в дальнейшем
будет обращено особое внимание.
Займемся прежде всего выводом основных условий, при которых
возможно равновесие сыпучей среды в какой-нибудь ее внутренней
точке.
Ясно, что соскальзывание по рассматриваемой элементарной пло-
щадке не будет иметь места, если
I тл | -^ ал tg р —|— ^. причем зл;> — fectgp.
Коэффициент
H=kctgp

12
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
§
ПРЕДЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
13
является временным сопротивлением всестороннему равномерному
растяжению. Этот коэффициент будет широко применяться в даль-
нейшем изложении.
Будем также считать, что на элементарной площадке приложено
приведенное напряжение р', составляющее с нормалью п угол V и
имеющее компоненты а„-(-Я и т„. Приведенное напряжение пред-
ставляет собой равнодействующую действительного напряжения и
нормального сжимающего напряжения Н.
Неравенство, обеспечивающее отсутствие соскальзывания, прини-
мает теперь вид
KK(°/,+tf)tgp. причем оп^ — Н.
Поэтому в сыпучих средах, в которых Н невелико, возможны
лишь небольшие растягивающие нормальные напряжения, а в идельно-
сыпучих средах, когда Н=0, только сжимающие нормальные напря-
жения. Это составляет их существенное отличие от твердых сред,
в которых Н велико, и, следовательно, могут иметь место большие
нормальные напряжения обоих знаков.
Очевидно, что равновесие сыпучей среды в какой-нибудь точке Р
будет обеспечено, если предыдущее неравенство останется справедли-
вым на любой элементарной площадке, проходящей через эту точку.
Особенно большой интерес представляет такое равновесие, когда
на всех элементарных площадках имеет место неравенство
A.01)
а на некоторых элементарных площадках — равенство
K| = (an+#)tgp. A.02)
Подобное равновесие принято называть предельным, а элементар-
ные площадки, на которых выполняется равенство A.02), площад-
ками скольжения.
Написанные соотношения A.01) и A.02) могут быть также выра-
жены в иной форме при помощи одного условия
Обычно существуют целые зоны, во всех точках которых обра-
зуется предельное равновесие. Они называются зонами предельного
равновесия или предельными зонами.
Отметим, что для идеально-связной среды, в которой р = 0, на всех
площадках вместо A.01) имеет место неравенство
а на площадках скольжения вместо A.02) равенство
Эти соотношения могут быть также представлены при помощи
одного условия
тах|хл | = k.
Наглядное представление напряженного состояния в некоторой
точке среды дает диаграмма напряжений О. Мора (рис. 2). По оси
абсцисс на этой диаграмме откладывается нормальная компонента ал,
Рис. 2.
а по оси ординат абсолютная величина касательной компоненты | т„ |
напряжения, действующего на какой-нибудь элементарной площадке.
Напомним известные формулы преобразования
9 9
оп
в которых
= cosX, т. — cos p., я —cosv
суть направляющие косинусы углов У., ja, v между нормалью п к эле-
ментарной площадке и главными осями /, 2, 3.
Из формул преобразования и очевидного соотношения
нетрудно выразить направляющие косинусы I, т., п через главные
нормальные напряжения ои а2, а3 и компоненты ов, тл, а именно:
Введем для удобства следующие обозначения:
«2=
а также
t\ = -2^ — 03). h = -^(a3 — ai). *s = о" (°i — <

14
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
и преобразуем направляющие косинусы I, m, n к более удобному
ВИДУ: 1 г 9 о 21
*2C3
m2 = —
Так как
части предыдущих равенств положительны,
р
то компоненты о„ и т„ на
Р
левые
a Oj^oj^og или t14^.O, t2^>0, t3-^Q, то компонент „ „
любых элементарных площадках, проходящих через точку Р, должны
удовлетворять неравенствам:
("в — $iJ + Tb>*i,
Ясно, что все точки с координатами ол и т„, изображающие на-
пряжения на элементарной площадке, лежат внутри некоторого
криволинейного треугольника. Этот треугольник имеет вершины на
оси ол в точках Plt P2, Р3 с абсциссами olt о2, а3 и ограничен тремя
полуокружностями:
(о„ —в1)яН-т2„ = Й.
("в — Sif -\-x\ = t\,
{On —S3f-j-T?n = tl,
которые имеют центры в точках QlP Q2, Qs-
При наложении дополнительного всестороннего напряжения радиусы
полуокружностей не изменяются, и все построение сдвигается в на-
правлении оси оп.
Вдоль одной из этих полуокружностей
(о„ — Si) +х„ = ^,
очевидно, что
а элементарные площадки проходят через главную ось 2 и наклонены
к главной оси 3 под углом к. Формулы преобразования для этих
площадок имеют значительно более простой вид
an = s2 —12 cos 2k, tn=±t2 sin 2k. A.03)
Аналогичным образом вдоль двух других полуокружностей
22\
("в 5зJ-|-*п = *3 ИЛИ @„
ясно, что
cosv = 0, X —j—v»- = -g- или
=0, ц -j- v = -к-,
§ 1]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
15
а элементарные площадки проходят через главные оси 3 или / и
наклонены к главным осям / или 2 под углами (х или v. Формулы
преобразования для таких площадок опять-таки будут
х„ = ±/3sija
ап = s3 —
или
ап := si — h cos 2v> хл = — h sin 2v.
Предельное равновесие сыпучей среды в точке Р может быть
показано на диаграмме напряжений О. Мора. В самом деле, нера-
венство A.01) устанавливает, что при равновесии сыпучей среды
полуокружности напряжений не должны пересекать так называемую
предельную прямую
hl(
проведенную на плоскости переменных ол и х„. С другой стороны,
равенство A.02) на площадках скольжения приводит к выводу, что
при предельном равновесии точка на диаграмме напряжений, соот-
ветствующая этим площадкам, должна одновременно лежать на пре-
дельной прямой и в указанном выше криволинейном треугольнике.
Это возможно лишь тогда, когда большая полуокружность напряже-
ний касается предельной прямой в некоторой точке R.
Для идеально-сыпучей среды, когда & = Я=0, предельная пря-
мая проходит через начало координат, а для идеально-связной среды,
когда р = 0, параллельна оси абсцисс.
Принимая во внимание A.03) получим
= -S~ р.
= tgp или | X | = ©.
а вводя обозначение
будем иметь
Эти соотношения устанавливают положение площадок скольжения,
проходящих через главную ось 2. Таких площадок всего две, они
наклонены к главной оси / под углами zf e и пересекаются под
углами 2s.
Отсюда следует, что в зонах предельного равновесия через каждую
точку проходят две поверхности, касательные плоскости к которым
совпадают с площадками скольжения. Такие поверхности образуют сис-
тему двух изогональных семейств и, обычно, называются поверхно-
стями скольжения.
Нормальная и касательная компоненты напряжения ап и х„ на
площадках скольжения выражаются в виде
A.04)

16
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
Р
Теперь нетрудно вывести предельное условие, представленное
через s2 и t2. В самом деле, внося A.04) в равенство A.02), сразу же
получим
1 (|Я)!р. A.05)
При других порядках нумерации главных нормальных напряже-
ний Оз^аз^о! или о3-^а1^а2 площадки скольжения проходят
через главные оси 3 или /, а вместо A.05) будем иметь
или
= (sx -f- //) sin p.
Каждое из этих условий в отдельности зависит от порядка нуме-
рации главных нормальных напряжений. Поэтому их следует объеди-
нить в одно предельное условие
РИ12| (
" A.06)
обладающее симметричной формой.
Дадим геометрическую интерпретацию предельного условия в виде
так называемой предельной поверхности, построенной в трехмерном
пространстве Ojp2a3.
С этой целью проведем ось o1 = a2 = as, одинаково наклоненную
к главным осям /, 2, 3, и нормальную плоскость
проходящую через начало координат. Обозначим через /, //, /// проек-
ции главных осей /, 2, 3 на указанную плоскость (рис. 3).
Очевидно, что если отбросить ограничение a1^.a2^az, то пре-
дельное условие может быть представлено в виде шестигранной пира-
миды, образованной тремя парами следующих плоскостей:
I °2 — °з I = (а2 + аз + 2Я) sin p, \t1\ = (s1-\-H) sin p,
I °з — 1 = (а3 + at -\- 2Я) sin р, |*21 = (s2-\-H) sin p,
I ai — а21 = (°1 + а2 + 2Я) sin р, 1131 = (s3 + Я) sin p,
с осью, одинаково наклоненной к главным осям /, 2, 3, и с верши-
ной в точке
<3j =^= О<, '==: О3 ^ /i.
Пересечение этой пирамиды с плоскостью
2+=0
дает шестиугольник со стороной
§ 1] ПРЕДЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
и радиусом вписанной окружности
17
/3 + Sin2 р '
Отметим, что для идеально-связной среды предельное условие
может быть представлено в виде правильной шестигранной призмы
образованной тремя парами таких плоскостей:
i — os\ = 2k, |^| = ft,
\ = k,
3.
= 2k, \tt\ = k
с осью, одинаково наклоненной к главным осям /,
Пересечение этой призмы с плоскостью
а1 + °2+Зз = 0
дает правильный шестиугольник со стороной
и радиусом вписанной окружности r = ]/r2k.
Сопротивление сдвигу по данной площадке среды с большой
связностью, как показывают эксперименты [17],
жено некоторой нелинейной зависи-
мостью
может быть выра-
имеющей место при нарушении рав-
новесия.
Особый интерес представляет со-
бой такое равновесие связной среды
в рассматриваемой точке Р, когда
на всех площадках выполнено нера-
венство
КК^К)> A-07)
а на некоторых площадках равенство
Рис. 3.
Это равновесие по-прежнему следует называть предельным, а пло-
щадки, на которых соблюдается равенство A.08), — площадками сколь-
жения.
И здесь написанные соотношения A.07) и A.08) могут быть
представлены при помощи одного условия
max{\tn\-F(on)} = 0.
Предельное равновесие связной среды в точке Р удобно изобра-
жать на диаграмме напряжений О. Мора. Действительно, неравен-
ство A.07) показывает, что при обычном равновесии полуокружности
напряжений не должны пересекать предельную кривую
2 Зак. 1288. В. В. Соколовский

18
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[гл. 1
ПРЕДЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
19
проведенную на плоскости переменных ал и т„. Вместе с тем равен-
ство A.08) на площадках скольжения позволяет заключить, что при
предельном равновесии большая полуокружность напряжений касается
предельной кривой в некоторой точке R (рис. 4).
Все дальнейшие рассуждения могут быть проведены аналогично
предыдущему, если ввести вспомогательную величину р, которая на
Рис. 4.
диаграмме напряжений изображает угол между касательной к пре-
дельной кривой в точке R и осью абсцисс. Имея в виду A.03), по-преж-
нему найдем
Эти соотношения сразу же определяют положение двух площадок
скольжения. Следовательно, в зоне предельного равновесия существует
система двух семейств поверхностей скольжения.
Нормальная и касательная компоненты напряжения ал и т„ на ',
площадках скольжения выражаются при помощи A.04).
Также легко вывести предельное условие, представленное через s2
и t2. Действительно, подставляя A.04) в равенство A.08) и учи-
тывая, что F' Cn) = tgp, получим
A.09)
При других порядках нумерации главных нормальных напряже-
ний с^ОзО! или 03^0)^02 вместо A.09) будем иметь
|/(*з) или
Эти условия и здесь нетрудно объединить в одно предельное
условие
1-/(*8)] = 0, A.10)
имеющее симметричную форму.
Остановимся теперь на сыпучей среде, у которой угол внутрен-
него трения ш по горизонтальным плоскостям меньше, чем угол
внутреннего трения р по другим плоскостям
ш< Р.
и будем называть ее слоистой сыпучей средой.
Ясно, что соскальзывание по какой-нибудь элементарной площадке
с нормалью п, проходящей через эту точку, будет отсутствовать,
если
или
y
в зависимости от того, будет ли площадка наклонна или горизон-
тальна.
Очевидно, что равновесие слоистой сыпучей среды в какой-нибудь
точке зависит от выполнения первого из написанных неравенств на
любой площадке, проходящей через эту точку. Особенно интересно
такое равновесие, когда на всех наклонных площадках имеет место
неравенство
а на горизонтальных площадках — равенство
|xy| = (ay + tf)tgu>. A-12)
Это равновесие будем называть специальным предельным, а го-
ризонтальные площадки, на которых соблюдено равенство A.12),
по-прежнему площадками скольжения.
Обычно имеют место целые зоны, во всех точках которых по-
является специальное предельное равновесие. Они называются зонами
специального предельного равновесия или специальными предель-
ными зонами.
В зоне специального предельного равновесия через каждую точку
проходит плоскость скольжения, параллельная плоскости zx.
Далее следует напомнить, что применительно к прямолинейной
и прямоугольной системе координат х, у, z напряженное состояние
в какой-нибудь точке может быть определено тремя нормальными ах,
Оу, аг и тремя касательными туг, хгх, zxy компонентами напряжения.
При этом главные нормальные напряжения аи а2, а3 являются
корнями кубического уравнения
— at
которые всегда действительны.
Иногда удобно пользоваться также другими криволинейными и
ортогональными системами координат.
Применительно к цилиндрической системе координат г, 6, z напря-
женное состояние в точке может быть дано тремя нормальными
Зг. ов, ог и тремя касательными x{)z, izr, т,.9 компонентами напряжения.
2*

20
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[гл. i
§ 2]
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
Соответствующее кубическое уравнение для определения главных нор-
мальных напряжений olt a2> а3 следует из предыдущего после замены
индексов х, у, z на г, 6, z.
То же самое относится и к другим криволинейным и ортогональ-
ным системам координат.
§ 2. Плоское предельное равновесие сыпучей среды
Плоским равновесием будем называть равновесие бесконечно длин-
ного цилиндрического или призматического тела под действием сил,
перпендикулярных к образующим и распределенных в их направлении
равномерно.
Обычно при изучении плоского равновесия принято применять
прямолинейную систему координат x,y,z, ось z которой направлена
параллельно образующим.
Компоненты напряжения xyz = -cZJC = O, а остальные компоненты
ох, ау) az и ixy не зависят от координаты z. Для этих компонент
принято такое правило знаков, чтобы сжимающие напряжения были
положительными, а растягивающие отрица-
тельными. Это правило знаков ясно из-
рис. 5, на котором изображены положи-
тельные направления компонент.
Таким образом, при плоском равнове-
сии вместо напряжений в пространстве
достаточно рассматривать распределение
напряжений на плоскости ху, а вместо-
напряжений на какой-нибудь элементарной
площадке можно говорить о напряжениях
на некотором элементарном отрезке.
Прежде всего получим главные нормальные напряжения из при-
веденного выше кубического уравнения, которое теперь существенно
упрощается,
выражаются в компонентах напряжения
II
Iff
Рис. 5.
о, —а, х
¦ху
'¦ху
= 0.
О2-И
ху
Решая это уравнение, найдем два значения
"min J
а третье значение az заключено между ними
Следовательно, а3 и ох переходят в атах и araln, а величины
S = S2 = -g-
<3rain)> * = h = ~2 (°max —
^-х -у i ху
Нередко при рассмотрении плоского равновесия удобно также
использовать цилиндрическую систему координат r.Q.z, ось z которой
направлена параллельно образующим. Тогда компоненты напряжения
тГ)г = 'сгг = 0, а остальные компоненты ат, ан, аг и xr3 не зависят от
координаты z. Правило знаков для этих компонент очевидно из рис. 6,
на котором показаны положительные направле-
ния компонент.
Повторяя предыдущие рассуждения, легко
убедиться, что величины s и t выразятся в ком-
понентах напряжения
— JL@ _1_ч
Рассмотрим точку Р сыпучей среды и пред-
ставим себе какой-нибудь элементарный отрезок,
проходящий через эту точку. На этом отрезке
приложено действительное напряжение р, образующее с нормалью п
угол 8 и имеющее нормальную и касательную компоненты а„ и т„.
Там же приложено приведенное напряжение р', составляющее с нор-
малью п угол 8' и обладающее компонентами ап-{-Н г
и т„ (рис. 7).
Чтобы определить компоненты ол их,,, приме-
ним предыдущие формулы A.03), переписанные сле-
дующим образом:
Рис. 6.
н
A.13)
и будем помнить, что углы v и X связаны так:
Рис. 7.
Аналогичным образом, чтобы найти компоненты an=S и | тя | -= Т
на отрезках скольжения, используем формулы A.04), а именно
•S = s — ^ sin p, r = ^cosp. A-H)'
Наглядное представление плоского напряженного состояния в неко-
торой точке Р дает диаграмма напряжений О. Мора (рис. 8). По оси
абсцисс на этой диаграмме по-прежнему откладывается нормальная
компонента оя, а по оси ординат — касательная компонента т„ напряже-
ния, приложенного на каком-нибудь элементарном отрезке. Ясно, что.
все точки Р с координатами ал и т„ лежат на окружности напряжений
которая имеет центр в точке Q.

:22
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
Плоское предельное равновесие сыпучей среды в точке Р также
может быть изображено на диаграмме напряжений О. Мора. При
этом окружность напряжений касается предельных прямых
или 7 =
проведенных на плоскости переменных ал и хп, в двух симметричных
точках R.
Вместо площадок скольжения необходимо рассматривать отрезки
?кольжения. Таких отрезков два, они наклонены к направлению ашах
под углами q: e и пересекаются под углом 2s.
Рис. 8.
Отсюда следует, что в зоне предельного равновесия через каждую
точку проходят две линии, касательные к которым совпадают с от-
резками скольжения. Эти линии образуют систему двух изогональных
<;рмейств и называются линиями скольжения.
Предельное условие A.05) устанавливает линейную зависимость
между s и t вида:
или еще более простую линейную зависимость между a = s-|-// и t,
а именно
t = a sin p.
На основании A.13) нормальная и касательная компоненты на-
пряжения оп и хп на любом элементарном отрезке определяются так:
оя = зA—sinpcos2X)— Н, т„ = a sin p sin 2Х, A.15)
•а вследствие A.14) компоненты S и Т на отрезках скольжения будут
S = acos2p — Н, r=asinpcosp. A-16)
§ 2]
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
Далее выведем зависимости, связывающие а и X с приведенным,
напряжением р' и углом его отклонения 8'.
В целях простоты записи отбросим штрихи у букв, т. е. оставим
для приведенных напряжений те же обозначения, что и для дей-
ствительных. Таким образом,
или in =
Очевидно, что угол X без всякого труда может быть выражен
через угол 8. В самом деле, уравнения
sin p sin 2X = A— sin p cos 2X) tg 8 или sinBX-|-8) =
sin
sin
после простых преобразований дают
±
где т — какое-нибудь целое число. Здесь введено обозначение, пред-
ложенное еще А. Како [61], а именно
• л sln * I л i / л
SlfI = shTp' ' ' ^ ~2 '
Кроме того, ясно, что величина приведенного напряжения р должна,
быть представлена через среднее приведенное нормальное напряже-
ние о и угол 8. Действительно, величина
р = а \—а = a (cos 8 — у. "l/cos2 8 — cos2 p)
r sin Д ч ' "'
и, естественно, вовсе не зависит от знака угла 8.
Следовательно, X и а принимают такой вид:
а в частном случае 8 = 0 будут
Х=A — %)~-\-т
sin Д
1 — х sin p
A.17)
A.18)
Целое число т нужно фиксировать; обычно удобно считать, что
т = 0 или /в = ± 1.
Предыдущие рассуждения могут быть заменены геометрическими
построениями на диаграмме напряжений. Действительное напряжение р
и угол 8 изображены отрезком ОР и углом его наклона к оси абс-
цисс. Аналогичным образом приведенное напряжение р' и угол 8'
изображены отрезком О'Р и углом его наклона к той же оси абс-
цисс. Углы v, X и Д представляют собой некоторые углы на той же
диаграмме. Все построения очевидны и, конечно, не требуют каких-
либо дополнительных пояснений.

24
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
Р
При данных значениях р и 8 существуют два различных напря-
женных состояния: одно из них соответствует х = — 1, так что
а другое отвечает х = -)-1, и для него
v+=T-T(A-6), л+ = т(Д-5), °+=Psln(A_5)-
Эти напряженные состояния условимся называть минимальным
и максимальным, так как
з+ _ sin (Д + 5)
о_ sin(A — Ь) -^ '
Все величины, входящие в предыдущие формулы, могут быть
показаны на диаграмме напряжений О. Мора. Окружности напряже-
ний, проходящие через данную точку Р, имеют центры в точках Q_
и Q+ с абсциссами s_ и s+, а также радиусы t_ и ?+ (рис. 9).
/Р.
#+
Рис. 9.
Очевидно, что для идеально-связной среды предельное условие
показывает, что
t = k.
Все предыдущие соотношения также могут быть значительно i
упрощены, если принять a = s-{-H и положить р = 0. Ц
Таким образом, нормальная и касательная компоненты напряже-
ния ал и тл на любом элементарном отрезке даются так:
an = s — k cos 2\, in — k sin 2\,
•а компоненты S и Т на отрезках скольжения будут
S = s. T=k.
§ 2]
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
25
Иногда вместо касательной компоненты напряжения тя уместно
использовать новый угол 8, принимая во внимание, что
т„ = k sin 28,
-
4*
Очевидно, что угол \ опять-таки может быть выражен через
угол 8. В самом деле, уравнение
sin 2\ = sin 28
сразу же дает
у. = ±
где т — любое целое число.
Кроме того, ясно, что нормальная компонента напряжения ап = п
должна быть представлена через среднее нормальное напряжение s
и угол о. Действительно, компонента
« = s — *&cos2S
и, конечно, совсем не зависит от знака угла 8.
Итак, окончательно ~к и s имеют вид
s =
а в частном случае 8 = 0 будут
28, A.19)
A.20)
Целое число т нужно фиксировать; чаще всего будем считать, что
т = 0 или т = ± 1.
При данных значениях п и 8 существуют два различных напря-
женных состояния: одно из них соответствует х = — 1, так что
v_ = 8, ^_ = -„—8, s_ = п — k cos 28,
а другое отвечает х = --f— 1, и для него
= -a- — 8,
s+ = я -)- & cos 28.
Эти напряженные состояния будем называть минимальным и
симальным, так как
Плоское предельное равновесие связной среды в какой-нибудь
точке Р также может быть изображено на диаграмме напряжений

26
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
О. Мора (рис. 10). При этом окружность напряжений касается пре-
дельных кривых
|тл| = /-(о„) или T=F(S),
проведенных на плоскости переменных ол и тл, в двух симметричных
точках R.
Отсюда ясно, что в зоне предельного равновесия, через каждую
точку проходят две линии, которые составляют систему двух семейств
и называются линиями скольжения.
Рис. 10.
Предельное условие A.09) устанавливает вполне определенную
нелинейную зависимость между s n t вида
t = f(s).
Вместе с тем, здесь следует иметь в виду, что
dT
dS
==F'(S) =
dt
= /'(s) = stop,
а угол внутреннего трения р и коэффициент Н переменны и связаны
дифференциальным соотношением
dH
W = -°ctgp.
Таким образом, по-прежнему справедливы выражения A.15) или
A.16), определяющие компоненты напряжения ал и тл на любых
элементарных отрезках или на отрезках скольжения. Аналогичным
образом остаются без изменения выражения A.17) или A.18), даю-
щие К в зависимости от р и 8.
Те же рассуждения могут быть заменены геометрическими по-
строениями на диаграмме напряжений. Они не представляют чего-либо
нового и, следовательно, не нуждаются в дополнительных пояснениях.
§ 2]
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
27
Введем прямолинейную систему координат х, у и обозначим,
через ср угол между направлением <зтах и осью х, а через <р + s углы
наклона линий скольжения к той же оси х (рис. 11).
Применяя выражения ал и тл , представим компоненты напряже-
о з и i через в б
ния ох, зу
и i
xy
л л , рд копонеты напряж
через две переменные а и tp следующим образом:
оA + sinpcos2cp) — Н, хху — a sin p sin 2cp. A.21}
Отметим, что если значение о достаточно велико, то коэффи-
циент Н перестает оказывать существенное влияние на компоненты
напряжения. Поэтому при возрастании а предельное равновесие
стремится к соответствующему предельному равновесию идеально-
сыпучей среды.
Рис. 11.
Рис. 12.
Обратимся теперь к полярной системе координат г, б, которой
иногда удобно пользоваться, и обозначим через ф угол между на-
правлением атах и прямой ОР, через ф + s углы наклона линий
скольжения к той же прямой ОР (рис. 12).
Используя выражения зл и тл, представим три компоненты на-
пряжения ог, а9 и т^д через а и ф так:
3' 1 = аA ± ship cos 2ф) — Н, -с,., = a si
a ship sin 2ф. A-22)
Ясно, что для идеально-связной среды предыдущие соотношения
могут быть существенно упрощены, если подставить б — s-\-H и по-
ложить р = 0. Тогда вместо A.21) найдем
j = s ± &cos2cp,
а вместо A.22) будем иметь
а
«9
v = s ± k cos 2ф, т,9 = k sin 2ф.
9 J
A.23)
A.24)

ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
Скажем теперь несколько слов о слоистой сыпучей среде, кото-
рая уже рассматривалась ранее.
Плоское специальное предельное равновесие такой среды вслед-
ствие A.12) определяется при помощи равенства
I
Горизонтальные элементарные отрезки, на которых выполнено
это равенство, по-прежнему называются отрезками скольжения.
В зоне специального предельного равновесия через каждую точку
на плоскости ху проходит прямая линия скольжения, параллельная
оси х.
§ 3. Уравнения плоского предельного равновесия
Обратимся теперь к уравнениям, определяющим плоское предель-
ное равновесие сыпучей среды, применяя обычную систему прямо-
линейных прямоугольных координат х, у и считая для общности,
что ось х наклонена к горизонту под углом а.
Основными уравнениями прежде всего являются дифференциаль-
ные уравнения плоского равновесия
—-I—-fI=
дх ' ду
дх
v
_2 = v cosa,
ду '
A.25)
содержащие объемный вес сыпучей среды f.
Кроме того, здесь имеет место предельное условие
которое может быть выражено так:
A.26)
Система трех уравнений A.25) и A.26) содержит как раз три
неизвестные компоненты напряжения ох, ау и ixy. Поэтому можно
сказать, что задача о нахождении этих компонент напряжения при
статических контурных данных, статически определима.
Остановимся на вопросе о механическом подобии, который имеет
большое значение для дальнейших рассуждений. Он позволяет выяс-
нить, при каких условиях предельные поля напряжений геометри-
чески подобных областей механически подобны, а линии скольжения
геометрически подобны.
При рассмотрении какой-либо конкретной задачи удобно вводить
характерные для нее длину / и приведенное напряжение р, а также
с 3] УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
безразмерные переменные
29
х
7
*У
Преобразуем систему уравнений A.25) и A.26) путем перехода
к этим безразмерным переменным, а затем отбросим черточки над
буквами. Окончательно будем иметь
дх
~дх~
а также
т(°,-О2+^ = -
^х 4-
Очевидно, что в задачах, характеризуемых различными величи-
нами р, k и f. последние уравнения тождественно совпадают, если
в этих задачах безразмерные числа р и -\1\р одинаковы.
Таким образом, закон механического подобия может быть выска-
зан следующим образом: в геометрически подобных областях
при одинаковых числах р, kip и ~\Цр напряжения в соответ-
ствующих точках подобны, если они подобны на границах.
Рассмотрим, например, некоторую область предельного равно-
весия и геометрически подобную ей модель, характерная длина Z
которой уменьшена в N раз. Ясно, что в подобно расположенных
точках области и ее модели компоненты напряжения ах, ау и ixy
будут совпадать, если объемный вес f модели будет увеличен
в N раз.
Отметим, что некоторые соображения о моделировании предель-
ного равновесия сыпучей среды были предложены Г. И. Покров-
ским [26], а затем использованы им в известном методе центробеж-
ного моделирования.
Тот же закон механического подобия может быть сформулирован
несколько иначе: в геометрически подобных областях при одина-
ковых числах р и "\1\р приведенные напряжения в соответствую-
щих точках подобны, если они подобны на границах.
В каждой точке модели компоненты приведенного напряжения
зх-\-Н, ау-\-Н и ixy будут в N раз меньше, чем в подобно рас-
положенной точке области, если приведенные напряжения на границах
модели также будут в N раз меньше. Увеличение же объемного веса
в N раз при неизменных геометрических размерах рассматриваемой
области влечет за собой увеличение компонент приведенного напря-
жения ах-\-Н, о -\-Н и ixy в N раз, если приведенные напряжения
на границах также увеличены в N раз.
Займемся теперь исследованием основной системы уравнений
плоского предельного равновесия сыпучей среды. Внося в дифферен-
циальные уравнения равновесия A.25) выражения A.21), тождественно

30
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[гл.
удовлетворяющие условию A.26), придем к так называемой основно:
системе уравнений:
A -)-sinpcos2cp) -=—|— sin p sin 2ср -^
— 2а sin p I sin 2ср ^Д- — cos 2ср ¦— \ = у sin а,
sin p sin 2ср -г—1-A — sinpcos2cp) -^—\-
Г
Преобразуем эту систему, используя угол
между линиями скольжения, который позволяет достигнуть симмет'
рии уравнений [43].
Умножая первое уравнение на sin (ср ± е), а второе уравненж
на —cos(cp ± е) и складывая, будем иметь
= 0. (..28:
Выясним следующий вопрос: возможно ли при помощи системы
уравнений A.28) определить значения первых производных от искомы^
функций о и ср по координатам х и у вдоль какой-нибудь тнщ
у = у (х), проведенной на плоскости ху. Для этого во«юльзуемс«
системой двух уравнений A.28) и двух уравнений
да
д<о , , д<р ,
= шах+-дУаУ-
справедливых вдоль указанной линии. Легко найти соотношения сле-
дующего вида:
sin (а + р) , Д sin (у + Q
~дх ~"
COS р
COS (a Zf p)
cos р
sin (у т е) dx — cos (у + е) dy '
Д cos (у + г)
sin
+
где обозначено:
Д = do + 2а tg p df l— [sin (а q: p) dx -\- cos (а q: p) dy],
COS р
Если в правых частях этих равенств знаменатели отличны от нуля^
то значения производных будут определены единственным образом,
если знаменатели обращаются в нуль одновременно с числителями;
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
31
то значения производных не единственны, а линия у = у(х) назы-
вается характеристикой; если же знаменатели обращаются в нуль,
тОгда как числители отличны от нуля, то значания производных
бесконечны, а линия у = у(х) называется линией разрыва.
Приравнивая нулю одновременно числители и знаменатели в пра-
вых частях написанных равенств, установим дифференциальные урав-
нения характеристик. Они состоят из системы уравнений
dy = dx tg (<p q: e)
и системы
A.29)
A.30)
Семейство характеристик, определяемое верхними знаками, усло-
вимся называть первым, а семейство, даваемое нижними знаками,—
вторым.
Основная система уравнений имеет, таким образом, два действи-
тельных различных семейства характеристик; она принадлежит,
следовательно, к гиперболическому типу.
Ясно, что характеристики наклонены к оси х под углами <р + е,
т. е. под теми же углами, что и линии скольжения. Отсюда непо-
средственно следует, что характеристики на плоскости ху
являются линиями скольжения.
Через каждую точку рассматриваемой области на плоскости ху
проходят две характеристики, пересекающиеся под углом 2s, и, сле-
довательно, вся эта область покрыта сеткой характеристик.
Приравнивая нулю только знаменатели в правых частях тех же
равенств, аналогично предыдущему найдем дифференциальные урав-
нения линий разрыва
Итак, линии разрыва образуют с осью х углы ср q: e. Это пока-
зывает, что линия разрыва может быть линией скольжения или
огибающей линией скольжения.
Отметим, что применяемый здесь метод вывода уравнений харак-
теристик и канонической системы уравнений был предложен в гид-
равлике С. А. Христиановичем [68].
На линиях разрыва производные от а и ср или от компонент
напряжения ах, оу и ixy по координатам х, у обращаются в бес-
конечность, а сами а и ср или компоненты напряжения ах, ау и ixy пре-
терпевают конечные скачки. Поэтому исходные уравнения дают опи-
сание предельного равновесия только до этих линий.
Допустим, что первое и второе семейства характеристик опре-
деляются соответственно параметрами \ и ;х. Примем сетку характе-
ристик за криволинейную систему координат на плоскости ху
и будем рассматривать х, у, а, ср как функции от ^ и [i.

32
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[гл. Щ
быта
з двуз|
Тогда уравнения характеристик A.29) и A.30) могут был
переписаны в виде удобной канонической системы, состоящей из дв
уравнений
ду о
Ж~д
и двух других уравнений
A.32;
Заметим, что в выборе X и \>. существует известная свобода
если вместо X и ;х ввести новые независимые переменные \ и |х„ npi
помощи произвольных функций
то система не изменится.
Функциональный определитель преобразования
д (х, у) дх_ду_ дх ду_
д (X, (д.) д'к <5[л др. д\
при переходе от переменных х и у к переменным 1и ц, може
быть представлен в виде
cos р
дх дх
д (х, у) =
д (X, ц) cos (<р + е) cos (? — е)
Нетрудно убедиться, что: решение канонической системы урав
нений A.31) а A.32), для которого определитель преобразовани
является решением уравнений A.28).
Кроме того, можно установить, что: для появления разрыве
вдоль какой-нибудь линии необходимо и достаточно, чтобг
вдоль нее определитель преобразования D = Q.
Наконец, легко показать, что: вдоль огибающей характеристи
на плоскости ху определитель преобразования D = 0.
Разберем интересный частный случай, когда собственный ве
отсутствует, т. е. когда f = 0.
Уравнения характеристик A.29)' остаются теми же
:е). A.3:
а уравнения A.30) значительно упрощаются
d<3 zp 2a tg p df = 0.
с 3] УРА ВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Эти уравнения после введения новой функции
так как за параметры X и [а естественно принять
могут быть проинтегрированы, а именно
Х + ср — const. A-34)
Канонические уравнения A.31) и A.32) теперь дают
ду _ дх +„ ,„ _ч ¦ ду_ _ Л* tn ,m L ^ A 35)
A.36)
Конечно, такой выбор независимых переменных законен только
если % и т) переменны. Однако существуют частные решения, соот-
ветствующие постоянным 5 и -ц, так называемые интегралы уравне-
ний предельного равновесия. Эти решения часто встречаются в при-
ложениях и должны быть рассмотрены отдельно.
1. Если \ постоянно, тогда как tj переменно, то на основа-
нии A.36) величина ср есть функция только одной переменной -ц.
Следовательно, вдоль первого семейства характеристик
dy = dx tg (ср — е),
Поэтому
х sin (ср — е) — у cos (<р — s) = const,
<р = const.
ср = const,
а искомый интеграл будет
х sin (ср — е)^—_ycos(cp — е) = /(ср).
Таким образом Интегралы уравнений предельного равновесия
Z И- Т = ^о "ли о = Сехр(—2cptgp),
xsin(cp — s) — _ycos(cp — e) = /(cp)
A.37)
содержат произвольные постоянные ^ или С и произвольную функ-
цию /(ср).
Первое семейство характеристик на плоскости ху состоит из
прямых ср = const, а второе семейство может быть определено в ре-
зультате интегрирования уравнения
dy = dxtg(<f-\-e).
Построенное решение имеет место лишь до огибающей прямых
характеристик. Для того чтобы найти эту огибающую, следует про-
дифференцировать интеграл A.37) по ср так:
х cos (ср — е) -\-у sin (ср — е) = /' (ср)
3 Зак. 1288. В. В. Соколовский

34
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[гл. i
и добавить тот же интеграл A.37). Окончательно, искомая огибаю-
щая определяется уравнениями
х = соз2(ср_?)Г /ft) 7 y=*n«(?-e)[./&> Г.
VY y L COS (f — e) J * VT yLsin(tf —e)J
Особенно часто встречается вырожденный случай, когда прямые
характеристики проходят через одну точку О и, следовательно, со- !
ставляют пучок.
Здесь удобно вводить полярные координаты /-,6 с полюсом
в той же точке О, имея в виду, что
х = г cos б, у = г sin 6.
Из условий х = у = 0 очевидно, что произвольная функция
/(ср) = О, а предыдущие интегралы A.37) еще более упрощаются
= Сехр(— 2cptgp), tg(cp — e) = ¦? или ср =
A.38)
и зависят только от одной произвольной постоянной С.
Кривые характеристики теперь особенно просты —они представ-
ляют собой логарифмические спирали
г ехр (— б tg p) = const,
которые с увеличением угла 6 удаляются от точки О.
2. Если же т) постоянно, тогда как 5 переменно, то вслед-
ствие A.36) величина ср есть функция одной переменной ?. Ана-
логично предыдущему интегралы уравнений предельного равновесия
у — ср = кH или о = D ехр Bср tg p),
xsin(cp-4-e)— у cos (<р + е) = g (ср)
A.39)
имеют произвольные постоянные тH или D и произвольную функ-
цию g(cp).
Первое семейство характеристик на плоскости ху может быть
найдено путем интегрирования уравнения
— e),
а второе семейство состоит из прямых ср — const.
Огибающая прямых характеристик дается теперь следующими
уравнениями:
Нередко встречается вырожденный случай, когда прямые харак-
теристики проходят через одну точку О и образуют пучок.
Здесь естественно применять полярные координаты /-,8 с по-
люсом в точке О. Из условий х = у = 0 ясно, что произвольная
3]
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
35
функция g(cf>) = 0, а интегралы A.39) упрощаются
а = D ехр Bср tg p), tg(cp-|-e)=— или ср=б — s A.40)
и зависят лишь от одной произвольной постоянной D.
Кривые характеристики являются логарифмическими спиралями
г ехр F tg p) = const,
которые с увеличением угла 8 приближаются к точке О.
3. Если, наконец, ? и т\ постоянны, то а и ср также постоянны.
Первое и второе семейства характеристик образуют на плоскости ху
две изогональные системы парал-
лельных прямых.
В дальнейшем часто придется
встречаться с решением обычных
краевых задач для уравнений A.35)
и с определением произвольных
функций, входящих в интегралы
A.37) и A.39).
При этом следует иметь в виду,
что характеристики на плоскости 5т)
могут быть изображены прямы-
ми, параллельными координатным
осям, а равенства ср = const и
5 = const — прямыми, параллельными биссектрисам координатных
углов (рис. 13).
Покажем теперь, как преобразовать уравнения характеристик и
канонические уравнения к некоторым новым переменным и и v.
С этой целью вместо координат х и у введем
1
Рис. 13.
у = [у cos (<в — е) ¦
¦* cos р * ч' '
¦jcsin(cp —е)],
а также
— = -= = У a sin p cos p .
х
Нетрудно видеть, что х и у представляют Рис. 14.
собой координаты какой-нибудь точки отно-
сительно осей, проходящих через начало О и параллельных направле-
ниям линий скольжения в той же точке (рис. 14).
В результате указанной замены уравнения характеристик A.33)
принимают более простой вид
cos р
cos р
A-41)

36 ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
л канонические уравнения A.35) будут
dv | и — л ди | р _ л
^^2cosp~u> Йт!^2со8р~и-
[гл. i
Р
A.42)
Обратимся теперь к обычному случаю, когда собственный вес
направлен параллельно оси у, т. е. когда угол а = 0.
Уравнения характеристик A.33) останутся без изменения
dy = dxtg($ + s), A.43)
а уравнения A.34) существенно упростятся
rfo + 2otgprfcp = f (dy + tgpdx). A.44)
Аналогичным образом канонические уравнения A,35) будут
4^=4^te(«p-e). ^.=4it,r»4-,), (i.45)
а канонические уравнения A.36) напишутся так
да д
да
дх \
A.46)
В дальнейшем постоянно придется иметь дело с решением обыч-
ных краевых задач для уравнений A.45) и A.46).
При этом, однако, нужно помнить, что теперь характеристики
на плоскости \т\ уже не являются прямыми, параллельными коор-
динатным осям, как при отсутствии объемных сил, а изображаются
некоторыми кривыми.
Из системы уравнений A.44) могут быть без труда выведены из-
вестные уравнения Ф. Кеттера, содержащие радиусы кривизны Rx
и R^ характеристик — линий скольжения первого и второго семейств.
Так, первое уравнение
cos p cos (<f — e)
принимает следующий вид
¦?—2о 1
а второе уравнение будет
cos (у + е)
COS р
A.47)
Очевидно, что если форма линий скольжения задана заранее,
?. е. если Rx и 7?^ суть известные функции от ср, то предыдущие
уравнения могут быть проинтегрированы.
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
37
Частный случай, когда линии скольжения суть окружности, был
рассмотрен А. Како [в1], а другой частный случай, когда линии
скольжения суть логарифмические спирали,— С. С. Голушкевичем [м].
Примем, например, R-k = Rex.p(—пер) и проинтегрируем урав-
нение A.47) следующим образом:
о = о0 exp Bcp tg р) —
где обозначено
sin (<p + в — р0),
Аналогичным образом положим /?==/? ехр (ге<р) и проинтегри-
руем уравнение A.48) так:
sin (? - в + Ро)-
о = о0 ехр (- 2ср tg р)+7^
Эти результаты, особенно при п = 0, могут быть с успехом
применены для приближенных вычислений.
Теперь необходимо привести приближенный метод решения основ-
ных краевых задач, который обладал бы достаточной эффектив-
ностью. Такой метод, позволяющий определять искомые функции
в конечном числе узловых точек сетки характеристик, будет изло-
жен применительно к дифференциальным уравнениям A.43) и A.44).
Численное решение конкретных задач следует проводить в без-
размерных переменных, которые могут быть выбраны так:
— х
х——.
у -
Очевидно, что для задач, у которых нет характерной длины /,
но есть характерное приведенное напряжение р, нужно принимать
/ = jo/y» так что безразмерные переменные имеют вид
Для задач, не имеющих ни характерной длины /, ни характерного
приведенного напряжения р, следует считать / = ?/f, так что
Y
~ Y
у=ту,
В^ целях простоты записи отбросим черточки над буквами, т. е.
сохраним для безразмерных переменных те же обозначения, что и
для размерных. Таким образом, чтобы перейти к этим безразмерным
переменным, достаточно во всех формулах положить р = 1, k — 1 и
7=1.
Проведем на плоскости Х[а характеристики
\ = \t. у. = ъ (/. У=1. 2, ...)

38
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ.
В
и составим таблицу, в которой характеристике I = )ч соответствует
i-й вертикальный ряд клеток — столбец, а характеристике [х = [х.
отвечает у-й горизонтальный ряд клеток — строка. Точку пересечения
таких характеристик на плоскости Xjx и
соответствующую клетку таблицы будем
обозначать через ij.
Рассмотрим какую-нибудь узловую
точку сетки характеристик и соседние
точки 1 и 2, расположенные соответст-
венно на горизонтальной и вертикальной
характеристиках, проходящих через эту
узловую точку. Покажем, как определить
значения х, у, а, ср в указанной узло-
вой точке, если известны значения хг>
соседних
и Х2
в
Рис. 15.
уравнениях характеристик
У1> °х.
узловых точках / и 2.
Для приближенного нахождения иско-
мых величин следует в дифференциальных
A.43) заменить дифференциалы dx, dy,
da, rfcp конечными разностями
*™i» V — Vi) о — 0-1 ср — ер,
а в дифференциальных уравнениях характеристик A.44) заменить
дифференциалы dx, dy, do, rfcp конечными разностями
х — х2> у — у2, а — а2, ср — ср2.
Таким образом, вместо дифференциальных уравнений A.43) по-
лучим
У —У1 = (* —*i)tg(<Pi —е).
а — ах ¦— 2oj (ср — cpj tg p = у — yt — (х —
а вместо дифференциальных уравнений A.44) будем иметь
У — Уг = (х — х2) tg (cp2 -4- е).
а — а2 -)- 2а2 (ср — <р2) tg р = у — у2 -\- (х — х2) tg p.
A.49)
A.50)
Первая краевая задача. Вдоль отрезка АВ заданы зна-
чения х, у и а, у. Разделим отрезок АВ на несколько частей и
построим на плоскости \\i координатную сетку характеристик, кото-
рой соответствует некоторая таблица.
Приведенные рекуррентные формулы A.49) и A.50) вместе с гра-
ничными данными позволяют провести вычисления во всех узловых
точках координатной сетки характеристик и вместе с тем заполнить
соответствующие клетки таблицы.
Схема определения значений х, у, а, ср в какой-нибудь внутрен-
ней узловой точке по значениям xu ylt olP cpi и х2, у2, о2, ср2 в со-
седних точках 1 и 2 изображена на рис. 15.
Р
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
39
Рис. 16.
Вследствие существования и единственности решений можно
утверждать, что при достаточной густоте координатной сетки харак-
теристик полученные значения х, у и а, ср дают приближенное реше-
ние первой краевой задачи.
Вторая краевая задача. Вдоль отрезков характеристик О А
и ОВ заданы значения х, у и о, ср, Разделим отрезки ОА и OS на
несколько частей и построим на плоскости Xjj. координатную сетку
характеристик, которой отвечает некото- ^
рая таблица.
Установленные рекуррентные форму-
лы A.49) и A.50) вместе с граничными
данными позволяют осуществить вычисле-
ния во всех внутренних узловых точках
координатной сетки характеристик и тем
самым заполнить все клетки таблицы.
Схема нахождения значений х, у, а, ср
в какой-нибудь внутренней узловой точке
по значениям хъ yt, olt yt и х2, у2, о2, ср2
в соседних точках 1 и 2 представлена на
рис. 16.
Основываясь на существовании и един-
ственности решений, можно утверждать, что при достаточной густоте
координатной сетки характеристик найденные значения х, у и а, ср
дают приближенное решение второй краевой задачи.
Нередко встречаются также вырожденные случаи, когда вдоль
одного из отрезков характеристик х = у = 0. Тогда эти отрезки
характеристик на плоскости ху стягиваются в одну точку.
Третья краевая задача. Вдоль отрезка О А биссектрисы
координатного угла известны два конечных или дифференциальных
соотношения между х, у и а, ср, а вдоль отрезка ОВ характери-
стики второго семейства заданы значения х, у и о, ср. Разделим
отрезок О А на несколько частей и построим на плоскости Xjx коор-
динатную сетку характеристик, которой соответствует некоторая
таблица.
Установленные ранее формулы A.49) и граничные данные по-
зволяют провести вычисления во всех узловых точках отрезка ОА
и заполнить клетки диагонального ряда таблицы, соответствующего
этому отрезку.
Схема определения значений х, у, а, ср в какой-нибудь узловой
1. Уь "i.
в соседних точках 1 и а показана на рис. 17.
Очевидно, что полученные таким образом значения х, у и а, ср
представляют собой приближенное решение третьей краевой задачи.
Значения х, у и а, ср могут быть заданы также вдоль отрезка ОА
характеристики первого семейства, а два конечных или дифферен-
циальных соотношения между х, у и а, ср известны вдоль отрезка ОВ
точке отрезка ОА по значениям xu yu аъ <pt и ха, уа, аа

40
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
биссектрисы координатного угла. При этом формулы A.50) и гра-
ничные данные позволяют провести вычисления во всех узловых.
точках отрезка ОВ и заполнить клетки диагонального ряда.
Схема нахождения значений х, у, а, ср в узловой точке отрезка ОВ
значениям х у а % и х У 2
I
у р
в соседних точках 2 и Ь
Рис. 17.
по значениям х2, у2, а2, % и хь< Уь<
не содержит чего-либо нового.
Четвертая краевая задача. Вдоль отрезков О А и ОВ
заданы по два конечных или дифференциальных соотношения между
х, у и а, ср. Разделим отрезки О А и ОВ на
несколько частей и построим на плоско-
сти Хц координатную сетку характеристик,
которой по-прежнему отвечает некоторая
таблица.
Приведенные выше формулы A.49) и
граничные данные позволяют осуществить
вычисления во всех узловых точках от-
резка О А, а формулы A.50) и граничные
данные — во всех узловых точках от-
резка ОВ. Тем самым они дают возмож-
ность заполнить клетки двух диагональ-
ных рядов таблицы, соответствующих этим
отрезкам.
Схема получения значений х, у, а, ср в узловых точках отрез-
ков ОА или ОВ по значениям xv yx, аи срх и ха, уа, аа, сра в со-
седних точках 1 к а или по значениям х2, _у2> °г> Тг и хь> Уь< сь< Т&
в точках 2 и b показана на рис. 18.
Ясно, что найденные таким путем зна-
чения х, у, а, ср дают приближенное ре-
шение четвертой краевой задачи.
Обращаем внимание, что во всех этих
задачах на плоскости Хц приняты про-
стейшие области, ограниченные прямыми.
Однако вследствие свободы выбора пара-
метров X и [а те же краевые задачи
легко могут быть распространены и на
более сложные области.
Нанесем теперь на плоскости ху точ-
ки с вычисленными координатами и соеди-
ним между собой те из них, координаты
которых расположены в одном горизонтальном или в одном вер-
тикальном рядах. Тем самым на плоскости ху будут построены две
системы линий, дающие изображение сетки характеристик.
В узловых точках этой сетки найдены значения а и ср, а следова-
тельно, значения всех компонент напряжения. При достаточной гу-
стоте сетки можно считать, что компоненты напряжения известны
в любой точке внутри и на границе рассматриваемой области.
b
1
в.
/
An
1
>
л
Рис. 18.
§ 4]
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОСНОВАНИЙ
41
Отметим, что для увеличения точности вычислений следует в ре-
куррентных формулах A.49) и A.50) вместо срх и ср2 подставлять
2-(<Pi4-?) И -(ср2-|_ср).
Кроме того, следует иметь в виду, что существуют другие пути
повышения точности вычислений, которые весьма подробно изложены
в монографии Д. Ю. Панова [25].
Численный метод решения краевых задач, изложенный выше, может
быть заменен другими приближенными приемами, например графи-
ческим. Такой прием в статике сыпучей среды получил значительное
развитие благодаря исследованиям С. С. Голушкевича [14].
В дальнейшем будет применяться только изложенный выше чис-
ленный метод, так как он,' конечно, более удобен и эффективен,
чем какие бы то ни было графические приемы.
§ 4. Предельное равновесие оснований
Исследование полей напряжений в основаниях следует начать
с простейшей задачи об определении напряжений внутри некоторой
области по их граничным значениям.
Смысл этой задачи удобно выяснить на модели в виде обыкно-
венных пружинных весов, у которых вертикальное перемещение чашки
затруднено трением в направляющих.
Если на чашку весов положить небольшой груз, то она останется
в равновесии вследствие значительного трения в направляющих; если
же груз достаточно велик, то для равновесия необходима дополни-
тельная сила вертикальной пружины. Предель-
ным равновесием этих весов будем называть
такое их состояние, при котором сколь угодно
малое увеличение груза или силы пружины вы-
зывает нарушение покоя. Легкие, по сравне-
нию с грузом, весы соответствуют невесомой
сыпучей среде, а тяжелые весы отвечают сыпу-
чей среде с объемными силами.
Рассматриваемая ниже задача о предельном
равновесии оснований аналогична следующей
задаче с весами: на чашку положен достаточно
большой груз Р; требуется определить силу пружины F, чтобы
весы были в предельном равновесии. Очевидно, что эта задача имеет
два решения, одно из которых устанавливает силу пружины, мень-
шую груза, а другое — большую силу. Перемещение чашки при на-
рушении предельного равновесия происходит в этих случаях в разных
направлениях, как это показано на рис. 19 и 20 пунктиром.
Граничные значения действительного и приведенного напряжений
условимся в дальнейшем называть соответственно действительным
и приведенным давлениями.
Рис.

42
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[гл. >
Предварительно рассмотрим частную задачу, а именно: предель-
ное равновесие основания, ограниченного осью х, вдоль которой
равномерно распределено приведенное нормальное давление р.
Возникающее в основании поле напряжений будем называть про-
стейшим. Оно не зависит от координаты х и описывается дифферен-
циальными уравнениями равновесия
dzxy
dy ' dy I'
которые могут быть проинтегрированы, так что окончательно
Поэтому из A.18) нетрудно получить
0 =
1 — х sin р '
A.51)
х=±1, A.52)
а вместе с тем
I — х sin p
Заметим, что полученные формулы и подобные формулы в даль-
нейшем вследствие тождества
1 — х sin р 2х
1 + xsinp — ^S^
могут быть представлены в несколько ином виде.
Из предыдущего следует, что среднее приведенное нормальное
напряжение
Легко видеть, что знак х =—1 дает меньшие, а знак х = -|-1
большие значения среднего приведенного нормального напряжения.
Поэтому напряженное состояние, соответствующее х=—1, будем
называть минимальным, а отвечающее х = -|-1 максимальным^
Линии скольжения здесь особенно просты, так как они образованы
параллельными прямыми.
Из аналогии с моделью ясно, что минимальное напряженное состоя-
ние соответствует предельному равновесию, нарушение которого при-
водит к оседанию основания (опускание чашки на рис. 19), а макси-
мальное— предельному равновесию, нарушение которого влечет выпи-
рание основания (поднятие чашки на рис. 20).
В первом случае внутреннее трение препятствует оседанию осно-
вания и, следовательно, уменьшает напряжения, достаточные для того,,
чтобы не допустить этого оседания; во втором случае внутреннее
трение препятствует выпиранию основания и тем самым увеличивает
напряжения, необходимые для того, чтобы осуществить такое
§ 41
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОСНОВАНИЙ
43
выпирание. Направление, в котором происходит нарушение пре-
дельного равновесия, обычно бывает очевидным из постановки задачи.
Особенно важное значение имеет общая задача, а именно пре-
дельное равновесие основания, ограниченного осью х, вдоль которой
распределено приведенное нормальное давление р = р{х).
Будем предполагать, что функция р{х) непрерывна и допускает
непрерывную производную на всем участке, за исключением конеч-
ного числа точек, в которых р' (х) может претерпевать разрывы.
Нормальная и касательная компоненты давления вдоль оси х вы-
ражены здесь следующим образом:
Эта задача имеет два решения: одно из них определяет мини-
мальное, а другое максимальное напряженные состояния.
Займемся сначала определением минимального напряженного состоя-
ния, предполагая, что нарушение предельного равновесия приводит
к оседанию основания.
Таким образом, вдоль оси х вследствие A.18) при х=:—1
нужно принять
р(х)
A.53)
1 + sin |
Рассмотрим сначала поставленную задачу для невесомой среды,
считая для определенности, что рассматриваемый участок оси х можно
которых
разбить на два участка АО0Ап и АпА22
"оа "го
в каждом из которых соответственно
/>'(*) >0 и />'(*)< 0.
Выполним ряд по-
строений на плоскости \t\,
которая, вообще говоря,
предполагается много-
листной, а в этой задаче
считается состоящей из
трех листов.
На листах / и III про-
ведем отрезки А00Ап и
АпА22 прямой A.53), со-
ответствующие одноимен-
ным участкам оси х. Принимая эти отрезки за гипотенузы, построим
на листах / и III прямоугольные треугольники А00А10Ап и АпА21А22,
а на листе // прямоугольник А10А20А21Ап. Эти области соединены в одну
трехлистную комбинированную область, изображенную на рис.. 21, пу-
тем скрепления листов вдоль отрезков характеристик А10Ап и АпА21.
Важно отметить, что такая трехлистная область может быть раз-
вернута в однолистную, представленную на рис. 22, если перегнуть
прямоугольник А1ОАгоА21Ап вокруг А10Ап, а затем перегнуть прямо-
угольный треугольник AnA2iA22 вокруг АпА21.
Рис. 21.
Рис. 22.

44
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ.
Отрезки АОйАи и АпА22 на листах / и.III соответствуют одно-
именным участкам оси х, а потому вдоль этих отрезков известны
По этим данным первой краевой задачи может быть определено
решение уравнений A.35) в прямоугольных треугольниках А00А10А11
и АпА21А22 на листах / и III. Вместе с тем будут установлены зна-
чения х и у вдоль двух отрезков характеристик Л1ОЛП и ЛПЛ21 на
листе //. Эти же данные второй краевой задачи, в свою очередь,
позволяют найти решение уравнений -_,-A.35) в прямоугольнике
Таким образом, в трехлистной комбинированной области на пло-
скости Ъ\ будут определены непрерывные функции х — х (?, ?;)>
у = у(%, •»)), являющиеся решением
уравнений A.35) в каждой из
однолистных областей А00А10Ап,
i 11 21 22 ^ 10 20 21*^11 • Пй ОТ*
резках характеристик А10Ап и
ЛПЛ21 производные dxjd\, dy/di
и дх]дт\, ду/д-ц имеют конечные
скачки.
Построенные здесь функции
х = хA, -ц), y = y(k, tj) отобра-
жают трехлистную комбинирован-
ную область в одноименную об-
ласть на плоскости ху, приведен-
ную на рис. 23, если в этой
области нет линии разрыва.'Иначе
такое отображение имеет место
рис 23.
лишь до линии разрыва. :-
Нетрудно найти функциональный определитель преобразования на
границе, имея в виду, что вдоль оси х угол <р = 1С/2. Окончательно
этот определитель будет
COS р
W (*)
так что отображение изменяет направление вращения на обратное.
Кроме того, ясно, что на граничном участке разрывов нет. Однако
линии разрыва, вообще говоря, могут появиться внутри построенной
области.
О направлении вогнутости характеристик — линий скольжения на
плоскости ху можно судить по их изображениям на плоскости ?т].
Рассмотрим, например, характеристику А^А^А^, на которой
т) = т]0 = const. При движении вдоль нее от точки Л^ к точке А10 на
листе / величина Е возрастает, а при дальнейшем движении от точки А10
§4]
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОСНОВАНИЙ
45
к точке А20 на листе // величина % убывает. Отсюда следует, что на
плоскости ху угол наклона
характеристики ^ооАо-^го к оси х возрастает при движении от точки Aw
к точке А10 и убывает при движении от точки Л10 к точке А^.
Следовательно, рассматриваемая характеристика — линия скольже-
ния — сохраняет направление вогнутости на участках ДхИю и -^нИго»
а в точке А1й имеет перегиб. Подобные рассуждения оказывают зна-
чительную помощь при построении сетки и
характеристик—линий скольжения на
плоскости ху.
Обратимся теперь к решению той же
задачи для весомой среды, не требуя,
чтобы функция р (х) на участках А(/йАп
и АпА22 была монотонной. С этой целью
построим на плоскости Х[х комбинирован-
ную область, изображенную на рис'. 24.
Ранее, в § 3, уже указывалось, что At
в выборе параметров \ и [х существует
известная свобода, которая позволяет
Рис. 24.
вдоль границы — оси х задать Х=[х==х — х0. Тогда участкам А00Ап
и ЛПЛ22 будут на плоскости Xjx соответствовать некоторые одноимен-
ные отрезки ДхИп И ^и-^22- Таким образом, вдоль А^А^А^ вслед-
ствие A.53) известны
По этим данным первой краевой задачи могут быть получены
решения уравнений A.45) и A.46) в прямоугольных треугольни-
ках ^осИиИи и -^и^гйгг- Тем самым будут установлены значения х, у
и а, ср вдоль отрезков характеристик А10Ап и АпА21. Эти данные вто-
рой краевой задачи позволяют найти решения уравнений A.45) и A.46)
в прямоугольнике А10А20Аг1Ап.
Следовательно, в комбинированной области будут определены
непрерывные функции х = х(к, jx), _y = y(\, jx), a=a(k, jx), cp=cp(X, jx),
являющиеся решениями уравнений A.45) и A.46) в каждой из обла-
стей АхИю^п- АпА21А22 и АюА20А21Ап. На отрезках характеристик
А10Ап и АпАп производные дх[д\, ду/дХ, до/д\, ду1д\ и dxjdp,
dldp, да/др, «?cp/^jx претерпевают конечные разрывы.
Легко также найти функциональный определитель преобразования
на границе, имея в виду, что Х = х — х0 и ср = тс/2. Окончательно
этот определитель будет
д (х, у) __ 1 + slnp
"д (X, (i) 2 cos р

46
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
так что по-прежнему отображение изменяет направление вращения
на обратное.
Характеристики — линии скольжения на плоскости ху вблизи
границы совпадают с характеристиками — линиями скольжения для
невесомой среды. По мере удаления от границы те и другие харак-
теристики— линии скольжения все более расходятся. Однако общий **
характер их расположения для весомой среды останется прежним.
Остановимся теперь на част-
ном случае, когда приведенное
нормальное давление вдоль участ-
ка АпА22 оси х равномерно рас-
пределено и равно своему значе-
нию р в точке Ап.
Для невесомой среды на пло-
скости ху необходимо отдельно
рассмотреть области АпА21А22 и
А10А20А21Ап, изображенные на
рис. 25.
В области АпА21А22 величины
а и ср постоянны
р я
а== 1+sinp' Cp=2">
Рис- 25. a сетка линий скольжения состоит
из двух изогональных семейств параллельных прямых.
В области А10А20А21Ап на плоскости ху могут быть применены
интегралы A.37) уравнений предельного равновесия
а = С ехр (— 2ср tg p), x sin (ср — е) — у cos (ср — е) = / (ср).
Произвольная постоянная С выражается через значения о и ср
в области АпА21А22, а произвольная функция /(ср) определяется по
значениям х = х (ср) и _у = _у(ср) вдоль отрезка характеристики А10Ап.
Таким образом,
_ е) _ У — У (?)
§41
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОСНОВАНИЙ
47
а сетка линий скольжения образована семейством непараллельных
прямых и изогональным семейством кривых.
Комбинированная область на плоскости ?т; теперь значительно
упрощается и может быть расположена на одном листе. Прямоуголь-
ный треугольник АпА21А22 превращается в одну точку Ап, а прямо-
угольник А10А20А21Ап—в один отрезок характеристики А10Ап.
) Таким образом, области АпА21А22 на плоскости ху соответствует
на плоскости ?tj одна точка Ап, а области А10А20А21Ап — отрезок
характеристики Л1ОЛП.
Для весомой среды в области АпА21А22 на плоскости ху согласно
A.52) при х = — 1 величины
а сетка линий скольжения остается той же, что и для невесомой
среды.
Пользуясь свободой в выборе параметров X и (i, можно вдоль ха-
рактеристики
у= (х —
задать Х = х— х0. Тогда отрезку АпА21 на плоскости ху будет
отвечать некоторый отрезок характеристики АпА21 на плоскости Хц.
Комбинированная область на плоскости Хр не имеет теперь пря-
моугольного треугольника AnA2iA22, а вдоль ЛИЛ21 даны
Решения уравнений A.45) и A.46) могут быть получены сначала
в прямоугольном треугольнике А00А10Ап на плоскости Xjx, а затем
в прямоугольнике A10AwA21An по данным вдоль отрезков характе-
ристик Л10 Ап и А11А21.
Здесь, в отличие от невесомой среды, линии скольжения на пло-
скости ху остаются прямыми лишь в области АпА21А22, а в других
областях линии скольжения обоих семейств становятся кривыми.
Ниже приведено численное решение рассмотренной задачи для р = 30° и
Р = Ро + лх
в безразмерных переменных с характерной длиной I = po/f.
Чтобы перейти к этим безразмерным переменным, достаточно во всех
формулах положить р0 = 1 и y = 1. Наоборот, чтобы вернуться к размерным
переменным, необходимо умножить безразмерные координаты х и у на /?0/y,
а безразмерную величину а на ро.
Численное решение задачи приближенным методом § 3 состоит в запол-
нении *) табл. 1 по схеме первой краевой задачи.
Клетки, соответствующие узловым точкам на плоскости Х(х, обозначены
двумя цифрами I, j, первая из которых указывает номер вертикального
ряда — столбца, а вторая — номер горизонтального ряда — строки.
В диагональные клетки 0.10, 1.9, ..., 10.0 соответствующие точкам оси х,
записаны у = 0 и произвольные значения х, выбранные в порядке их воз-
растания, а также значения
\-\rX я
а== 1 + sinp1 * = T"
Вычисления значений х, у и а, ср во внутренних гклетках проведены по
реккурентным формулам A.49) и A.50).
*) Во всех таблицах для краткости сохранены лишь два десятичных
знака, хотя вычисления проводились со значительно большей точностью.

48
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ [ГЛ. I
Таблица 1
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОСНОВАНИЙ
49
§4]
На рис. 26 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
динатам узловых точек, приведенным в табл. 1.
Займемся теперь определением максимального напряженного состоя-
ния, считая, что нарушение предельного равновесия приводит к вы-
пиранию основания.
Следовательно, вдоль оси х
согласно A.18) при ос = -4-1
можно положить
Р(х)
а =
1 — sin р '
- = 0. A.55)
Рассмотрим сначала задачу
для невесомой среды, по-преж-
нему считая, что на участках
А00Ап и ^4И^422 соответственно
р'(х)>0 и /?'(*)< 0.
Выполним ряд построений
на плоскости %т\, считая ее со-
стоящей из трех листов. Эти
листы соединены вдоль отрез-
ков характеристик А01Ап и
ЛПЛ12 в одну трехлистную комбинированную область, представленную
на рис. 27, а в развернутом виде — на рис. 28.
Рис. 26.
л I
А..
Рис. 27.
Рис. 28.
Отрезки ЛО()ЛП и ЛцА^ на листах / и III отвечают одноимен-
ным участкам оси х, а потому вдоль этих отрезков известны
х = х(а), _у=0.
Функциональный определитель преобразования на границе будет
гр
lg р [р'
и>
д E, y)) z cos p lg р [р' (х)
так что отображение теперь не изменяет направление вращения.
4 Зак. 1288. В. В. Соколовский

50
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
[ГЛ. Ш
Остальные рассуждения, приведенные выше, переносятся сюда без!
каких-либо изменений. Отображение трехлистной комбинированной!
области на плоскость ху изображено на рис. 29. ]
Перейдем к решению той же задачи для весомой среды, не тре-
буя монотонности функции р(х) на участках А00Ап и АпА22. По-
строим, как обычно, на плоскости Хц комбинированную область, по-
казанную на рис. 30. „
Рис. 29.
Рис. 30.
Тогда на участке АООА11А22 оси х вследствие A.55) даны
Функциональный определитель на границе будет
<?(¦*, У) _ 1 —sin_p
d (^. (J.) 2 cos p '
так что отображение не изменяет направление вращения. Дальнейшие
рассуждения также не содержат чего-либо нового.
Остановимся теперь на частном случае, когда приведенное нор-
мальное давление вдоль участка АпА22 оси х равномерно распреде-
лено и равно своему значению р
в точке Ап.
Для невесомой среды на пло-
скости ху нужно рассмотреть об-
ласти АпА12А22 и А01А02А12Ап,
представленные на рис. 31.
В области АиА12А22 на плоско-
сти ху величины а и ср постоянны
р
1 — sin р ' ™ '
Рис. 31.
а сетка линий скольжения составлена из двух изогональных семейств
параллельных прямых.
41
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОСНОВАНИЙ
51
В области А01А02А12Ап на плоскости ху должны быть применены
интегралы A.39) уравнений предельного равновесия. Произвольная
постоянная D выражается через а и ср в области АпА12А22, а произ-
вольная функция ^ (ср) находится по значениям х = х(ср) и .у —J>(cp)
вдоль отрезка характеристики А01Аи. Итак,
в—-.—? expBcptgp), tg(ep + s) = .. ,
1 — Sin p f\ Г Sf/г S VT I 1 X — X((f)'
a сетка линий скольжения образована семейством непараллельных
прямых и изогональным семейством кривых.
Комбинированная область на плоскости Чт\ здесь сильно упрощается
и может быть расположена на одном листе. Прямоугольный треугольник
АпА12А22 стягивается в точку Ап, а прямоугольник ^4Oi^4o2^i2^n
сжимается в отрезок характеристики А01Ап.
Следовательно, области АпА12А22 на плоскости ху отвечает
точка Ап на плоскости %ч\, а области А01А02А12Ап — отрезок харак-
теристики ^401Лп.
Для весомой среды в области АпА12А22 на плоскости ху вследствие
A.52) при * = -|~1 величины
г_ Р + 1У
1 — sin р '
ср = 0,
A.56)
а сетка линий скольжения совпадает с той же сеткой для невесомой
среды.
Комбинированная область на плоскости Xjx не содержит прямо-
угольного треугольника АпА12А22, а вдоль АпА12 даны
<Р
= 0.
Здесь, в отличие от невесомой среды, линии скольжения на пло-
скости ху остаются прямыми лишь в области AnAi2A22, а в осталь-
ных областях будут кривыми.
Ниже дано численное решение предыдущей задачи для р = 30° и
в безразмерных переменных с характерной длиной I = /?о/т-
Для перехода к этим безразмерным переменным нужно во всех форму-
лах положить />о = 1 и 1 = 1. Наоборот, для возвращения к размерным пере-
менным следует умножить безразмерные координаты х и у на />о/у> а без-
размерную величину а на р$.
Численное решение задачи приближенным методом § 3 сводится к запол-
нению табл. 2 по схеме первой краевой задачи.
В диагональные клетки 10.0, 9.1, ..., 0.10, отвечающие точкам оси х, по-
мещены у = 0 и произвольные значения х, а также значения
1 +х
—¦ sin
. = 0.

'62
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ [ГЛ.
Таблица
I
X
У
с
— ?
X
у
a
— to
т
X
л/
У
д
ср
X
У
"
V
X
у
— 9
X
У
a
~9
X
У
а
-9
X
У
a
~9
X
У
а
— 9
X
У
a
-9
X
У
а
-<р
К
0
1
2
3
4
5
6
|,
7
8
II
9
10
0
'|
1,00
0,00
4,00
0,00
1
0,90
0,00
3,80
0,00
0,95
0,03
3,96
0,02
2
0,80
0,00
3,60
0,00
0,85
0,03
3,76
0,02
0,91
0,06
3,91
0,04
3
0,70
0,00 i
3,40
0,00
0,75
0,03
3,56
0,02
0,81
0,06
3,71
0,05
0,86
0,09
3,86
0,07
4
|
0,60
0,00
3,20
0,00
0,65
0,03
3,36
0,03
0,71
0,06
3,51
0,05
0,76
0,09
3,66
°>07 |,
0,82
0,11
3,81
0,09
5
1
0,50
0,00
3,00
0,00
0,55
0,03
3,16
0,03
0,61
0,06
3,31
0,05
0,66 1
0,09
3,46
0,07
0,72
0,11
3,61
0,10
0,78
0,14
3,75
0,11
6
0,40
0,00
2,80
0,00
0,45
0,03
2,96
0,03
0,51
0,06
3,11
0,06
0,56
0,09
3,26
0,08
0,62
0,11
3,41
0,10
0,69
0,14
3,55
0,12
0,75
0,17
3,69
0,14
7
0,30
0,00
2,60
0,00
0,35
0,03
2,76
0,03
0,41
0,06
2,91
0,06
0,46
0,09
3,06
0,08
0,53
0,11
3,21
0,11
0,59
0,14
3,35
0,13
0,65
0,17
3,49
0,15
0,72
0,19
3,63
0,16
8
0,20
0,00
2,40
0,00
0,25
0,03
2,56
0,03
0,31
0,06
2,71
0,06
0,37
0,09
2,86
0,09
0,43
0,11
3,00
0,11
0,49
0,14
3,15
0,14
0,56
0,17
3,28
0,16
0,62
0,19
3,42
0,17
0,69
0,21
3,55
0,19
9
0,10
'¦ 0,00
2,20
0,00
0,15
0,03
2,36
0,04
0,21
0,06
2,51
0,07
0,27
0,09
2,66
0,10
0,33
0,11
2,80
0,12
0,39
0,14
2,94
0,14
0,46
0,16
3,08
0,17
0,53
0,19
3,21
0,18
0,60
0,21
3,35
0,20
0,67
0,24
3,48
0,22
10
0,00
0,00
2,00
0,00
0,05
0,03
2,16
0,04
0,11
0,06 •
2,31
0,07
0,17
0,08
2,46
0,10
0,23
0,11
2,60
0,13
о.зо .:
0,14 'I
2,74
0,16
0,36
0,16
2,87
0,18
0,43 j
0,19 !
3,01 |
0,20 '¦
0,50
0,21
3,14
0,22
0,58 |
0,23
3,27
0,23 <
0,65
0,25
3,39
0,25 [
]
!
g 4] ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОСНОВАНИЙ 5$
Вычисления значений х, у и а, ср во внутренних клетках проведены по
рекуррентным формулам A.49) и A.50).
аг
Рис. 32.
На рис. 32 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
динатам узловых точек, помещенным в табл. 2.

Г Л ABA II
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
§ 5. Удерживающее нормальное давление на основания
Наиболее типичной задачей о предельном равновесии сыпучей
среды является определение несущей способности оснований под дей-
ствием нормального или наклонного давлений.
Существо этой задачи может быть пояснено на модели, идея ко-
торой принадлежит С. А. Христиановичу, представляющей собой
обыкновенные рычажные весы, у которых перемещение чашек и ко-
ромысла затруднено трением в направляющих и подшипнике.
Если на одну из чашек весов положить небольшой груз, то они
останутся в равновесии из-за значительного трения; если же груз
достаточно велик, то для равновесия нужно положить некоторый
дополнительный груз и на другую чашку. Предельным равновесием
весов будет такое их состояние, при котором сколь угодно малое
увеличение груза на одной из чашек вызывает нарушение покоя. Лег-
кие, по сравнению с грузом, весы соответствуют невесомой сыпучей
среде, а тяжелые весы отвечают сыпучей среде с объемными силами.
Рассматриваемая ниже задача о несущей способности оснований
аналогична следующей задаче с весами: на левую чашку положен
достаточно большой груз Р; требуется определить груз Q, который
надо положить на правую чашку для того, чтобы весы находились
в предельном равновесии. Очевидно, что эта задача имеет два реше-
ния, одно из которых определяет груз, меньший данного, а другое —
больший груз. Возможное нарушение предельного равновесия в этих
случаях будет происходить в различных направлениях, как это по-
казано на рис. 33 и 34 пунктиром.
Приступим теперь к подробному исследованию несущей способ-
ности основания, ограниченного осью х. Зададим вдоль положитель-
ной полуоси х приведенное нормальное давление р = р(х) и опре-
делим приведенное нормальное давление q вдоль отрицательной
полуоси х, при котором основание сохраняет предельное равновесие
без выпирания или оседания. Будем считать, что функция р{х) не-
прерывна и имегт непрерывную производную.
§ 5]
УДЕРЖИВАЮЩЕЕ НОРМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА ОСНОВАНИЯ
Нормальная и касательная компоненты приведенного давления
вдоль положительной и отрицательной полуосей х выражены следую-
щим образом:
Оу+Я = р, xvv = 0 и су^-Н = д, тгу = 0.
Эта задача имеет два решения: одно из них определяет удержи-
вающее давление, при котором не будет выпирания вдоль отрица-
тельной полуоси х, а другое—разрушающее давление, при кото-
ром не будет оседания вдоль той же — отрицательной — полуоси х;
Q
Рис. 33.
удерживающее давление обычно в несколько раз меньше соответ-
ствующего разрушающего давления.
Начнем с определения удерживающего давления на основание,,
предполагая, что нарушение предельного равновесия приводит к осе-
данию основания вдоль положительной полуоси х (опускание левой
чашки весов) и выпиранию его вдоль отрицательной полуоси х (под-
нятие правой чашки весов). Поэтому в зоне, примыкающей к поло-
жительной полуоси х, будет иметь место минимальное, а в зоне,
примыкающей к отрицательной полуоси х, — максимальное напряженные
состояния.
Таким образом, вдоль положительной полуоси х вследствие-
A.18) при у. = —1 нужно принять
Р(х)
1 -j- sin р
те
~2 '
B.01)
а вдоль отрицательной полуоси х согласно A.18) при ч = -|-1
должно быть
<7=аA— sin p), о = т.. B.02)
Рассмотрим сначала поставленную задачу для невесомой среды,,
считая, что функция р(х) монотонна, например, что р'{х)^>0.
Впрочем, это ограничение несущественно и может быть легко снято.
Выполним ряд построений на плоскости ;т), считая ее состоящей
из двух листов.
На листе / нанесем трапецию А0О1О2А2, у которой сторона А0О1
есть отрезок прямой B.01), а на листе // — прямоугольный треуголь-

:56
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[гл. ijj
ник А2О2А3, ограниченный прямой B.02), которая отвечает игуица*]
тельной полуоси х. Эти области соединены в одну комбинированную]
двухлистную область, изображенную на рис. 35J
путем скрепления листов вдоль отрезка характе-1
ристики О2А2. |
Такая двухлистная область может быть развер-j
нута в однолистную, представленную на рис. 36,|
если перегнуть прямоугольный треугольник А2О2Ащ
вокруг О2А2. ;
Так как отрезок А0О^ на плоскости \ч\ соот-|
ветствует участку А0О положительной полуоси х,
то вдоль А0О1 вследствие B.01) известны ;
х = х(в), у = 0.
По этим данным первой краевой задачи может
Рис. 35. быть найдено решение уравнений A.35) в прямо-
угольном треугольнике А0О1А1 на плоскости ?т).
Следовательно, значения х и у уже известны вдоль отрезка ха-
рактеристики О1Л1, а вдоль другого отрезка характеристики ОгО2
нужно принять
так, чтобы он соответствовал одной точке О. Эти ,
данные второй краевой задачи дают возможность по- ;
строить решение уравнений A.35) в прямоугольнике sj
А1О1О2А2 на плоскости ?т).
Теперь значения х и у найдены вдоль отрезка f
характеристики О2А2, а вдоль отрезка О2АЪ следует ц
положить |
потому что он отвечает некоторому участку отрица-
тельной полуоси х. По этим данным третьей крае-
вой задачи удается найти решение уравнений A.35)
в прямоугольном треугольнике А2О2А3 на пло-
скости ?7).
Таким образом, в двухлистной комбинированной
области на плоскости Ъ\ будут определены непре-
рывные функции х = х(&, т)), y = y(z,ri), являю-
щиеся решением уравнений A.35) в каждой из областей ^40О1^41,
А1О1О2А2 и А2О2А3. На отрезках характеристик О1А1 и О2А2 произ-
водные дх/д-q и ду/д-q претерпевают конечные разрывы.
Отметим, что вдоль отрезка характеристики О_О2 определитель
преобразования
УДЕРЖИВАЮЩЕЕ НОРМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА ОСНОВАНИЯ
57
Рис. 36.
§ 5'
так как вдоль негох = у = 0, а вместе с тем производные дх/дч} =
_____ j)yid-fi = O. Отсюда ясно, что отрезок характеристики Ofi^ на пло-
скости ху вырождается в одну особую точку О, в которой компо-
зиты напряжения имеют конечные разрывы.
Построенные функции х — х(?,т\), у--=у(\,-ц) отображает двух-
пистную комбинированную область на плоскости Ъ\ в однолистную'
область на плоскости ху, приведенную на рис. 37, если внутри
этой области нет линий разрыва.
О направлении вогнутости характеристик — линий скольжения на»
плоскости ху можно судить по их изображениям на плоскости Stj.
Рассмотрим, например, характеристику \АхАгАъ, на которой
; =¦- ?0= const. При движении вдоль нее от точки Ао к точке А2
на листе / величина tj убывает, а при дальнейшем движении от
точки А2 к точке А3 на листе II величина ч] возрастает. Отсюда
следует, что на плоскости ху угол наклона
характеристики
ср + е =-у (&0 —
к оси х при движении от точки Ао
к точке А2 возрастает, а при движении от точки А2 к точке As
убывает, так что направление вогнутости на участках А0А2 и А2А3
остается неизменным.
Таким образом, нетрудно видеть, что характеристики — линии сколь-
жения первого семейства сохраняют направление вогнутости, а вто-
рого семейства имеют точки перегиба при пересечении с характе-
ристикой ОА2.
Весьма важно отметить, что все характеристики — линии сколь-
жения первого семейства в центральной области А1ОА2 на пло-
скости ху проходят через точку О и, следовательно, образуют не-
который пучок кривых.

58
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[ГЛ. ц
Значение приведенного давления q=q0 в точке О может быть!
выражено через значение приведенного давления р = Ро в той >ке|
точке О. „J
Этим значениям р0 и q0 соответствуют на плоскости \ч\ точки О|
и О2, лежащие на одной и той же характеристике
? = const
второго семейства. Поэтому здесь следует применить соотношение
а = Сехр(— 2cptgp).
Произвольная постоянная С на основании B.01) может быть
выражена через значения а и ср в точке Ov Таким образом, вдоль
характеристики ОхОг известно
Это соотношение вследствие B.02) дает возможность определить
.значение а в точке О2, а также
1 — sin р
¦ехр(
B.03)
Разность р0—q0 показывает величину скачка приведенного нор-
мального давления в начале координат О.
Перейдем теперь к решению той же задачи для весомой среды,
яе требуя, чтобы функция р(х) была монотонна. Построим на пло-
скости Х[л область А0О1ОгА3, как это изображено
на рис. 38.
Пользуясь свободой выбора параметров X и \i,
можно вдоль положительной полуоси х задать
Х = —р = х. Тогда участку А0О будет на пло-
скости Хи соответствовать некоторый отрезок
прямой A0Ov Следовательно, вдоль А0О1 на осно-
вании B.01) известны
" ""• J'~v' " — 1 + sin p ' ^ —Т-
Эти данные первой краевой задачи дают воз-
можность построить решение уравнений A.45) и
A.46) в прямоугольном треугольнике А0О1А1 на
плоскости Ха.
Отметим, что в точке Ох значения а и ср сов-
падают с соответствующими значениями для не-
весомой среды, и напомним, что для такой среды
одной точке О соответствует на плоскости Ъ\ целый отрезок харак-
теристики ОхОг.
Очевидно, что собственный вес не оказывает какого-либо влияния
на поле напряжений вблизи точки О. Поэтому отрезок характери-
Рис. 38.
§ 5]
УДЕРЖИВАЮЩЕЕ НОРМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА ОСНОВАНИЯ
59'
и О Оо на плоскости Ъ\, соответствующий точке О, служит от-
CTl ком характеристики и для весомой среды.
Ре Поскольку точка Ох с координатами с = ;0, т\ = t\0 переходит на
оскости Xjj. в одноименную точку Ох с координатами Х = (х==О, то
характеристика Ч~=% переходит на плоскости Ъх в характери-
iikv '/• = 0- Пользуясь оставшейся свободой выбора а, положим
? = '¦? ¦
Т1
Точке О соответствует на плоскости Xjj, отрезок характери-
стики ОхОг. Следовательно вдоль этого отрезка
а также
1 -\- sin р
ехр[(- — 2?)tgp].
Итак, значения х, у и а, ср уже найдены вдоль отрезка характе-
ристики О1А1, а вдоль другого отрезка характеристики ОХО2 известны
(-— 2<?)tgp], cp^a^-J.
Эти данные второй краевой задачи опять-таки позволяют построить
решение уравнений A.45) и A.46) в прямоугольнике А1О1О2А2 на
плоскости Ха.
Пользуясь еще оставшейся свободой выбора р, вдоль отрицатель-
ной полуоси х, положим \х = Х-)-ги/2.
Теперь значения х, у и з, ср известны вдоль отрезка характери-
стики О2Аг, а вдоль отрезка O2Ai заданы
_у = 0, ф = ".
По этим данным третьей краевой задачи может быть найдено
решение уравнений A.45) и A.46) в прямоугольном треугольнике
А.,О.1А3 на плоскости Х
и О2Аг
О.1А3 на плоскости .
Обратим внимание, что на отрезках характеристик О^^ 2г
производные дх1д\х, dyjd\x, да/др, ду/ду. претерпевают конечные
разрывы.
Отметим также, что вдоль отрезка характеристики ОгОг опреде-
литель преобразования
д (х, у) _ ,
Й(Х,(х) U>
так как вдоль него х=_у = 0> а вместе с тем, производные.
дх da = ду/д\ь — 0. Отсюда следует, что отрезок характеристики Ofiz
на плоскости ху переходит в одну особую точку О, в которой
компоненты напряжения имеют конечные разрывы.

60
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
Хотя под влиянием собственного веса характеристики — ли
скольжения на плоскости ху несколько изменяются, но обц*
характер их расположения для весовой среды останется прежним.,
Значения приведенного давления q = q0 в точке О при нали
или отсутствии собственного веса среды одинаковы и определяй
по формуле B.03).
В частном случае, когда вдоль положительной полуоси х рав^
мерно распределено приведенное нормальное давление р, рассматр
ваемая задача весьма проста. ;
Для невесомой среды на плоскости ху различаются три облас
AQOAlt АХОА2 и А2ОА3, изображенные на рис. 39.
зшшшпш
I
Рис. 39.
В областях A0OAt и А2ОА3, соответствующих точкам Ох и
величины о и <р постоянны и равны своим значениям в точках
и О2, так что
р к а
1 + sin p Y 2 1 — sin p T
а сетки линий скольжения образованы двумя изогональными семей-
ствами параллельных прямых.
В области АгОАг на плоскости ху, отвечающей отрезку характе-i
ристики ОХО2, величина $ постоянна. Поэтому здесь имеют место'
интегралы A.38) уравнений предельного равновесия для вырожден-,
ного случая, а именно
а = С ехр (— 2ср tg p), tg(cp — e)=jj- или ср = в -)-е.
Произвольная постоянная С может быть выражена через значе-
ния и и ср в области А0ОА1. Таким образом, окончательно
7r—2cp)tgp], tg(cp — e)= -?- или <p = 6-f-e,
УДЕРЖИВАЮЩЕЕ НОРМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА ОСНОВАНИЯ
61
§5]
етка линий скольжения состоит из пучка прямых, проходящих
& оез точку О, и из семейства логарифмических спиралей
г ехр (— 6 tg p) = const.
Предыдущее соотношение
v = —JL
sin p
ехр [(л — 2cp)tgp]
вследствие B.02) позволяет определить значения а в области АгОАг,
а вместе с тем
Комбинированная область на плоскости Ъ\ теперь значительно
упрощается и может быть расположена на одном листе. Прямоуголь-
ные треугольники Л0О1Л1 и А2О2А3 превращаются в точки Ох и О2,
а прямоугольник АХОХО2А2 — в один отрезок характеристики ОХО2.
Следовательно, областям А0ОАХ и А2ОА3 на плоскости ху со-
ответствуют на плоскости ?т] точки Ох и О2, а области Л^Лз —
отрезок характеристики ОХО2.
Изложенная здесь частная задача была впервые рассмотрена
Л. Прандтлем [27] и Г. Рейснером [75].
Для весомой среды в области А0ОЛХ на плоскости ху согласно
A.52) при -/ = —1 величины
„ _ Р + 7У_ ,„ _ *
1
sin
а сетка линий скольжения остается той же что и для невесомой
среды.
Пользуясь свободой в выборе параметров X и р, можно вдоль
характеристики y = xctge задать [х=0. Тогда отрезку ОАХ будет
на плоскости Xix соответствовать некоторый отрезок характери-
стики OtAv
Комбинированная область на плоскости Хр, теперь не содержит
прямоугольного треугольника AqO^, а вдоль ОХАХ известны
х = X, у = х ctg e,
. _ J> + 7 У
, 1 + sin р '
Решения уравнений A.45) и A.46) могут быть найдены сперва
в прямоугольнике Afix02A2 на плоскости Xjjl по данным вдоль
отрезков характеристик ОХАХ и Ofi2, а затем в прямоугольном
треугольнике А2О2А3 по данным вдоль отрезка характеристики О2А2
и отрезка О2А3.
Здесь, в отличие от невесомой среды, линии скольжения на пло-
скости ху остаются прямыми лишь в области АйОАи а в остальных
областях линии скольжения обоих семейств становятся кривыми.

62
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[гл. I
Представляет также интерес случай, когда приведенное нормаль!
ное давление р равномерно распределено лишь на некотором уЧа
стке ОА10 длины а положительной полуоси х.
Рассмотрим эту задачу для невесомой среды и будем различат
на плоскости ху области, изображенные на рис. 40.
В областях А10ОАп, А12ОА13 и АпОА12 на плоскости ху пол!
напряжений и сетки линий скольжения остаются теми же, что I
раньше. Этим областям соответствуют на плоскости 1т\ две точки О
и О2 и отрезок характеристики ОХО2.
Определение полей напряжений и сеток линий скольжения в
остальных областях приводит к поочередному решению первой, вто-
рой и третьей краевых задач для уравнений A.35) совместно с инте-
гралами A.39).
В области А20А10АпАг1 должны быть применены интегралы A.39)
уравнений предельного равновесия. Произвольная постоянная D
выражается через значения а и ср в области А10ОАп, а произволь-
ная функция g (ср) определяется по значениям х = х (ср) и у~у(ср)
вдоль отрезка характеристики А10А20. Таким образом,
¦' \ Г/
а сетка линий скольжения состоит из семейства непараллельных пря-
мых и семейства изогональных кривых. Из построенного решения
будет, в частности, известно уравнение дуги АпАп.
В области А21АпА12А22 решение уравнений A.35) может быть
определено по значениям хну, найденным вдоль отрезка характе-
ристики АпА21, и следующим данным
х = а
COS (ср —
вдоль отрезка характеристики АпА12.
exp[(?--j)tgP], y =
РАЗРУШАЮЩЕЕ НОРМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА ОСНОВАНИЯ
63
должны быть использованы инте-
§ 6]
J3 области AS2A12A13A1S должны быть использованы инте
лЫ A.39) уравнений предельного равновесия. Произвольная по-
стоянная D выражается через значения а и ср в области А12ОА13,
а произвольная функция g(cp) находится по значениям х = х(<?) и
() ВД°ЛЬ отрезка актери AA Т
ои фуц g(p) дс по значениям
>'(?) ВД°ЛЬ отрезка характеристики Ai2A22. Так что
я сетка линий скольжения состоит из семейства непараллельных пря-
мЫХ и семейства изогональных кривых.
13 области A23A13A2i может быть найдено решение уравнений
A.35) по значениям х и у вдоль отрезка характеристики Ai3A23 и
прежним данным вдоль участка A13A2i отрицательной полуоси х.
Отметим, что при а. = 0 область, ограниченная характеристи-
кой А10АпА12А13 на плоскости ху, стягивается в одну точку О,
а области A20AwAtlA2l и А22А12А13А23 сжимаются в отрезки кривых
характеристик АпЛ21 и АпА22.
Очевидно, что вдоль отрезка характеристики Ofi2 на плоскости Ъ[
теперь
* = ;у = 0,
так как этот отрезок соответствует области АпОА12, а эта область
вырождается в одну точку О.
§ 6. Разрушающее нормальное давление на основания
Перейдем к определению максимального давления на основание.
Допустим, что нарушение предельного равновесия приводит к выпи-
ранию основания вдоль положительной полуоси х (поднятие левой
чашки весов) и оседанию вдоль отрицательной полуоси х (опускание
правой чашки весов). Ясно, что в зоне, примыкающей к положи-
тельной полуоси х, будет иметь место максимальное, а в зоне, при
мыкающей к отрицательной полуоси х, -- минимальное напряженные
состояния.
Итак, вдоль положительной полуоси х вследствие A.18) при
=- -f- 1 можно положить
B.05)
1 дол-
1 — sin
Р
-а вдоль отрицательной полуоси л: согласно A.18) при -/ =
жно быть
? = a(l-r-sinp), ср = ^-.
B.06)
Рассмотрим сначала поставленную задачу для невесомой среды,
считая, что функция р(х) монотонна, например, что р'(х)>0.
Выполним ряд построений на плоскости \т\, считая ее состоя-
щей из двух листов. Отрезок прямой А0Ог на листе / определен

64
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[ГЛ. I,
уравнением B.05), а прямая О2А3 на листе II—уравнением B.06). |
Листы соединены вдоль отрезка характеристики О1А1 и образуют ]
двухлистную область, представленную на рис. 41, а в развернутом \
виде — на рис. 42. ;
А
4 4
Рис. 41. Рис. 42.
Данные вдоль отрезков A0Olt ОХО2 и О2А3 на плоскости Stj могут
быть сформулированы без всякого труда. Так, вдоль отрезка А0О1
вследствие B.05) известны
х — х(а), у = 0.
Как и ранее, вдоль отрезка характеристики О1О2 очевидно, что
х^у = 0,
а вдоль отрезка О2А3 будет
Построенная двухлистная область отображается в одноименную
область на плоскости ху, представленную на рис. 43. Отрезок харак-
теристики Oftz, как всегда, переходит в одну особую точку О.
Рис. 43.
Существенно отметить, что все характеристики —линии скольже-
ния второго семейства в центральной области А1ОА2 на плоскости ху
§ 6]
РАЗРУШАЮЩЕЕ НОРМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА ОСНОВАНИЯ
65
переходят через точку О и, следовательно, составляют некоторый
пучок кривых.
Значение приведенного давления q = q0 в точке О как и ранее
легко выражается через значение приведенного давления р = р0 в той
же точке О.
Этим значениям р0 и <7о отвечают на плоскости Ъ\ точки Ох и О2,
лежащие на одной характеристике
?) — X — ? = const
первого семейства. Поэтому здесь нужно использовать соотношение
a = DexpB<-ftgp).
Произвольная постоянная D при помощи B.05) должна быть выра-
жена через значения а и ср в точке Ог. Таким образом, вдоль харак-
теристики ОХО2 известно, что
н
1
-expBcptgp).
Это соотношение вслед-
ствие B.06) позволяет найти
значение а в точке О2, а затем
п 1 —(— sin
— sin р
exp(Titg-p).
B.07)
4
Рис. 44.
Разность q0 — р0 дает величину скачка приведенного нормального
давления в начале координат О.
Обратимся теперь к решению поставленной задачи с учетом соб-
ственного веса среды, не требуя от функции р(х) монотонности.
Нанесем на плоскости Хр, трапецию А^О^О^А^, как это показано
на рис. 44. Заметим, что отрезку характеристики ОгА2 на плоскости Цх
соответствует одна особая точка О на плоскости ху.
Данные вдоль отрезков А0Ои Ofi2 и О2О3 на плоскости Xjx могут
быть написаны без всякого труда. Так, вдоль отрезка ЛОЛХ вследст-
вие B.05) заданы
у 1 — sin р т
Как и выше, вдоль отрезка характеристики О1О2 имеют место
expBcptgP),
а вдоль отрезка О2А3 будут
Общий характер расположения характеристик — линий скольже-
ния на плоскости ху остается тем же, что и для невесомой среды,
хотя форма их несколько изменяется.
5 3»к. 12ЯЯ. В В. Соколовский

66
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[ГЛ. II
Значения приведенного давления q — q0 в точке О при наличии и
отсутствии собственного веса среды совпадают и по-прежнему выра-
жаются по формуле B.07).
В частном случае, когда вдоль положительной полуоси х равно-
мерно распределено приведенное нормальное давление р, задача осо-
бенно проста.
Для невесомой среды на плоскости ху, как обычно, различаются
три области A0OAlt А1ОА2 и А2ОА3, представленные на рис. 45.
В областях А0ОА1 и А2ОА3, соответствующих точкам Ох и О2.
величины а и ср постоянны и равны своим значениям в точках О1
и О2, так что
1 — sin р 1 + sin p Y 2
а сетки линий скольжения образованы двумя семействами параллель-
ных прямых.
Рис. 45.
В области А1ОАг справедливы интегралы A.40) уравнений пре-
дельного равновесия для вырожденного случая. Произвольная постоян-
ная D должна быть определена через значения а и с? в области А^ОА^.
Итак, окончательно
I = — ИЛИ
х
о = 0
а сетка линий скольжения состоит из пучка прямых, проходящих
через точку О, и из семейства логарифмических спиралей
г ехр (8 tgp) = const.
Предыдущее соотношение вследствие B.06) позволяет найти зна-
чение о в области A2OAZ, а также
B.08)
§ 6]
РАЗРУШАЮЩЕЕ НОРМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА ОСНОВАНИЯ
67
Комбинированная область на плоскости ?tj здесь сильно упро-
щается и может быть расположена на одном листе. Прямоугольные
треугольники Л0О1Л1 и А2О2А3 превращаются в точки О1 и О2,
а прямоугольник А1О1О2А2 в отрезок характеристики ОХО2.
Областям А0ОА1 и А2ОА3 на плоскости ху соответствуют точки О1
и О2 на плоскости %т\, а области АХОА2 отвечает отрезок характери-
стики ОХО2.
Для весомой среды в области А0ОАХ на плоскости ху вслед-
ствие A.52) при ¦/. = -)-1 величины
— sin p
а сетка линий скольжения та же, что и для невесомой среды.
Комбинированная область на плоскости Хр, не содержит прямо-
угольного треугольника А0О1А1, а вдоль О1А1 даны
=1>., y=xtge, a —
Р + 1У
1 — sin p
Здесь, в отличие от невесомой среды, линии скольжения на-
плоскости ху остаются прямыми лишь в области А0ОАи а в осталь-
ных областях будут кривыми.
Ниже приведено численное решение рассмотренной задачи для р = 30°
и р = Н в безразмерных переменных с характерной длиной / = k/y.
Переход к этим безразмерным переменным осуществляется сразу, если
во всех формулах положить k = 1 и у = 1. Обратный переход к размерным
переменным сводится к умножению безразмерных координат ли у на k/-(,
а безразмерной величины а на k.
Численное решение задачи приближенным методом § 3 состоит в запол-
нении табл. 3 по схемам второй и третьей краевых задач.
В клетки 0.0, 0.1 0.10, соответствующие точкам характеристики ОАЬ
записаны различные значения х и у, а вместе с тем
ctg р + у
1 — sin p
= 0.
Далее, в клетки 0.0, 1.0, ..., 10.0 внесены х = у -= 0 и значения <р
в порядке их возрастания, а также
ctg?
1 — sin р
ехр Bс? tg p).
Наконец, в диагональных клетках 10.0, 11.1, ..., 20.10, отвечающих точ-
кам отрицательной полуоси х, помещены у — 0, <р = я/2.
Вычисления значений х, у и а, ср во всех внутренних клетках провг-
дены по рекуррентным формулам A.49) и A.50), а в диагональных клетках —
по рекуррентным формулам A.49).
Значения безразмерной величины
q — а A 4- sin p)

68
X
У
X
У
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ [ГЛ. II
Таблица 3
о
0,00
0,00
3,46
0,00
0,87
0,50
4,46
0,00
1,73
1,00
5,46
0,00
0,00
0,00
4,15
0,16
0,73
0,57
5,32
0,12
1,48
1,13
6,45
0,10
0,00
0,00
4,98
0,31
0,59
0,62
6,32
0,26
1,23
1,22
7,61
0,22
0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00
5,97 j 7,16 ( 8,58
0,47 0,63 0,78
0,46 ; 0,33 0,21
0,64 0,65 0,64
7,50 , 8,90 : 10,6
0,39 0,53 0,67
0,98
1,29
8,96
0,34
0,74
1,32
10,6
0,46
0,51
1,31
12,4
0,60
2,60 2,26 1,91 1,56 ' 1,21 0,87
1,50 1,68 1,82 , 1,92 1,98 2,00
6,46 7,56 8,85 10,4 ,; 12,1 '• 14,2
0,00 0,09 0,19 0,30 0,41 0,54
3,46 3,04
2,00 ! 2,22
7,46 | 8,66
0,00 0,08
4,33 3,83
2,50 ! 2,76
8,46 9,75
0,00 0,07
5,20
3,00
9,46
0,00
4,64
3,30
10,8
0,06
6,06 ; 5,44
3,50 3,83
2,60
2,41
10,1
0,17
3,32
2,99
11,3
0,15
4,05
3,57
12,4
0,14
4,79
4,14
2,16
2,55
11,7
0,27
2,79
3,17
13,0
1,71
2,64
13,6
0,38
2,25
3,30
15,1
0,24 : 0,34
3,44
3,78
14,3
0,22
2,82
3,94
16,6
0,32
1,27
2,68
15,9
0,49
1,71
3,36
17,6
0,46
2,18
4,04
19,2
0,42
0,00
0,00
10,3
0,94
0,11
0,62
12,6
0,82
0,29
1,28
14,7
0,73
0,54 |
1,97
16,7
0,67
0,84
2,67
18,6
0,62
1,18
3,37
20,5
0,57 ;
1,56
4,07
22,3
0,54
10,5
9 ¦ ' 0,00
х 6,93
У
<р
8
4,00
11,5
0,00
11,9
0,06
6,26
4,36
13,0
0,05
13,6
0,13
5,54
4,70
14,8
0,12
15,6
0,21
4,79
4,99
16,9
0,19
18,0
0,30
4,00
5,22
19,4
0,28
20,8
0,40
3,20
5,38
22,3
0,38
X
У
а
9
X
У
7
?
7,79
9 4'50
12,5
0,00
10
8,66
5,00
13,5
0,00
7,07
4,89
14,0
0,05
7,89
5,42
15,1
0,05
6,30
5,26
15,9
0,11
7,06
5,82
17,0
0,10
5,48
5,59
18,1
0,18
6,18
6,18
19,3
0,17
4,62
5,85
20,7
0,26
5,26
6,48
22,0
0,25
3,74
6,05
23,8
0,36
4,30
6,71
25,2
0,34
0,00
0,00
12,3
1,10
0,01
0,58
15,0
0,97
0,09
1,23
17,4
0,88
0,24
0,43
2,60
21,9
0,75
0,67
3,31
24,0
0,70
0,94
4,02
26,0
0,66
4,10 !! 3,40 ! 2,68 1 1,96 ^
4,39 ' 4,59 4,72 4,77 , 4J4
24,0 ' 28^0
0,51 0,62
2,39
5,46
25,8
0,48
2,84
6,15 6,16
27,4 31,7
0,46 0,57
3,31 2,32
6,84 6,87
29,0 33,5
0,44 0,54
0,00
0,00
14,8
1,26
-0,07
0,53
17,8
1,12
-0,09
1,14
20,6
1,02
0,05
2,49
25,7
0,88
0,18
3,19
28,1
0,83
0,36
3,90
30,4
0,79
0,56
4,62
32,6
0,75
1,59
5,45
29,9
0,59
1,94
0,80
5,34
34,8
0,72
1,06
6,07
36,8
0,69
1,34
6,79
38,9
0,66
0,00
0,00
17,7
1,41
-0,14
0,48
21,2
1,27
-0,24
1.04
24,5
1,17
10
0,00
0,00
21,2
1,57
-0,20
0,41
25,4
1,43
-0,37
0,92
29,1
1,32
-0,04
1,80
23,2
0,94
-0,29
1,67
27,5
1,09
-0,51
1,50
32,6
1,24
-0,30
2,33
30,3
1,02
-0,26
3,01
33,0
0,97
-0,19
3,71
35,6
0,92
-0,09
4,42
38,2
0,88
0,05
5,15
40,6
0,85
0,21
5,87
43,0
0,81
0,39
6,60
45,2
0,78
-0,61
2,12
35,9
1,17
-0,67
2,78
39,0
1,11
-0,70
3,45
42,0
1,06
-0,69
4,15
44,8
1,02
-0,66
4,85
47,6
0,99
-0,60
5,57
50,3
0,95
-0,51
6,29
52,9
0,92
§ 6]
х
У
РАЗРУШАЮЩЕЕ НОРМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА ОСНОВАНИЯ 69
Таблица 3 (продолжение)
ю
ю
0,00
0,00
21,2
1,57
-0,20
0,41
25,4
1,43
-0,37
0,92
29,1
1,32
—0,51
1,50
32,6
1,24
—0,61
2,12
35,9
1,17
-0,67
2,78
39,0
1,11
-0,70
3,45
42,0
1,06
-0,69
4,15
44,8
1,02
-0,66
4,85
47,6
0,99
-0,60
5,57
50,3
0,95
—0,51
6,29
52,9
0,92
И
12
13
14
15
-0,48
0,00
29,6
1,57
-0,73
0,50
33,9
1,46
-0,95
1,06
38,0
1,38
—1,14
1,67
41,7
1,30
-1,28
2,30
45,3
1,24
—1,40
2,97
48,7
1,19
-1,48
3,65
51,9
1,15
-1,54
4,35
55,1
1,11
-1,57
5,06
58,1
1,07
—1,58
5,77
61,1
1,04
16
17
18
19
20
—1,06
0,00
38,1
1,57
—1,35 | —1,70
0,55 " 0,00
42,7 46,7
-2,39
0,00
55,3
1,57
—1,82 —2,29 —2,72 —3,11
1,78 , 1,22 ! 0,62 0,00
50,8 55,8 60,4 | 64,1
1,35 ' 1,43 1,51 1,57 ¦
—2,00 —2,54 —3,02 —3,45
2,44 1,87 i 1,27 0,64
1,48
-1,60
1,15
46,9
1,41
1,57
-2,01
0,59
51,5
1,50
54,6
1,30
59,9
1,38
64,8
1,45
69,3
1,51
—2,16 —2,75 i —3,28 ! —3,77
3,11 .; 2,54 1,93 1,30
58,2 ' 63,9 69,0 73,8
1,25 1,33 ! 1,40 , 1,47
—2,28 —2,93
3,80 I 3,22
61,7
1,21
67,7
1,29
—2,38 | —3,09
4,50 | 3,91
65,0 71,3
1,17 1,25
—2,46 ) —3,24
5,21 | 4,61
68,3 ' 74,8
1,14 1,22
—3,52
2,61
73,1
1,36
—3,73
3,30
77,00
1,32
-3,92
4,00
80,8
1,29
—3,85
0,00
72,9
1,57
-4,21 -4,61
0 66 0,00
78,3 ,, 81,8
1,52 1,57
—4,05
1,98
78,2
1,42
—4,31
2,67
82,4
1,38
-4,54
3,37
86,4
1,35
-4,54
1,34
82,9
1,48
-4,84
2,02
87,3
1,44
-5,12
2,72
91,6
1,40,
-4,98' -5,39
0,67 0,00
87,3 90,7
1,53, 1,57
—5,32 —5,77 —6,181
1,36 0,68 о,оо!
92,0 96,4 99,7
1,49 1,53 1,57
—5,64 —6,12 — 6,58 -6,99
2,05
96,5
1,45
1,38
101
1,49
0,69
105
1,53|
0,00
108
1,57,

70
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[ГЛ. II
§ 7]
УДЕРЖИВАЮЩЕЕ И РАЗРУШАЮЩЕЕ НАКЛОННЫЕ ДАВЛЕНИЯ
71
определены по значениям а в диагональных клетках 10.0, 11.1, ..., 20. 10,
так, что:
— х= 0,00 0,48 1,06 1,70 2,39 3,11 3,85 4,61 5,39 6,18 6,99
с =21,2 29,6 38,1 46,7 55,3 64,1 72,9 81,8 90,7 99,7 108
? = 31,9 44,4 57,2 70,0 83,0 96,2 109 123 136 150 162
На рис. 46 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
динатам узловых точек, приведенным в табл. 3.
Аналогично предыдущему выполнено численное решение той же задачи
для различных углов внутреннего трения р. Значения безразмерного давле-
ния зу =<7 — ctg p вдоль отрицательной полуоси х сведены в табл. 4.
1 ^\ p
— Л' ^v
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
5"
6,49
6,73
6,95
7,17
7,38
7,56
7,77
7,96
8,15
8,33
8,50
8,67
8,84
8,34
9,02
9,64
10,2
10,8
11,3
11,8
12,3
12,8
13,2
13,7
14,1
14,5
15°
11,0
12,5
13,8
15,1
16,2
17,3
18,4
19,4
20,5
21,4
22,4
23,3
24,3
20°
14,8
17,9
20,6
23,1
25,4
27,7
29,8
31,9
34,0
36,0
38,0
39,9
41,8
25°
20,7
27,0
32,3
37,3
41,9
46,4
50,8
55,0
59,2
63,3
67,3
71,3
75,3
30°
30,1
43,0
53,9
64,0
73,6
82,9
91,8
101
109
118
127
135
143
Таб
35°
46,1
73,8
97,1
119
140
160
179
199
218
237
256
275
293
лица 4
40°
75,3
139
193
243
292
339
386
432
478
523
568
613
658
§ 7. Удерживающее и разрушающее наклонные давления
Предварительно рассмотрим предельное равновесие основания, огра-
ниченного осью х, вдоль которой равномерно распределено приве-
денное давление р с постоянным углом 8.
Нормальная и касательная компоненты приведенного давления
выражены здесь таким образом:
а -\-Н = pzosb, ixy = ps\nb, причем | 8
р.
Возникающее в массиве поле напряжений не зависит от х и опи-
сывается дифференциальными уравнениями
~-xy
= 0,
dy ' "' dy ''
которые могут быть проинтегрированы, а именно
°у Л~Н~ pcos 8 -\-iy, 1ху =
B.09)

72
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[гл. и
Следовательно, приведенные напряжения, действующие на гори-
зонтальных прямых, параллельных оси х, определяются величинами
= />c°s(8 —
Вместе с тем из A.17) ясно, что
sin Ду ...
а у выражается через 8у или ср в виде
р sin F — 5V) p sin 5 — sin p sin B? + 5)
•^ 1 sinSy I sin p sin 2f
где обозначено
iy B.10)
*я, B.11)
B.12)
7] УДЕРЖИВАЮЩЕЕ И РАЗРУШАЮЩЕЕ НАКЛОННЫЕ ДАВЛЕНИЯ
73
sin 5
sin Д„ =
у sin p
Д.,
Два знака ¦*. = —1 и х = —(— 1, входящие в это решение, соот-
ветствуют двум напряженным состояниям — минимальному и макси-
мальному.
Чтобы найти линии скольжения рассматриваемого поля напряже-
ний, нужно в обычных дифференциальных уравнениях
выразить у через со и преобразовать их следующим образом:
dx 1р . s sin 2<р -Ь cos p
-г— = —Е- sin о •—. „о ,
dtp Y Sln PSln 2<p
а затем уже проинтегрировать
*=7 "SnV(lntg'f + cospctg-2'f)-f-const.
Обобщим предыдущие задачи, считая, что приведенное давление,
действующее на основание, направлено наклонно. Зададим вдоль по-
ложительной полуоси х приведенное давление р = р(х) и угол 8Х,
а вдоль отрицательной полуоси х только угол 82; определим соот-
ветствующее приведенное давление q, при котором основание сохра-
няет предельное равновесие без выпирания и оседания. Будем пред-
полагать, что функция р(х) непрерывна и имеет непрерывную про-
изводную, а также, что углы 8Х и 82 постоянны.
Нормальная и касательная компоненты приведенного давления
вдоль положительной и отрицательной полуосей х выражены так:
oy-j-// = /7cos8x, ixy = р sin 8X и с
причем
Допустим сначала, что нарушение предельного равновесия приве-
дет к оседанию основания вдоль положительной полуоси х (опуска-
ние левой чашки весов) и выпиранию его вдоль отрицательной полу-
оси х (поднятие правой чашки весов).
Таким образом, вдоль положительной полуоси х вследствие
A.17) при х = —1 нужно принять
а вдоль отрицательной полуоси х согласно A.17) при х = —(— 1 дол-
жно быть
Заметим, что приведенные формулы и аналогичные последующие
формулы на основании тождества
sln (^
= cos 8 ±
8
могут быть преобразованы к несколько иному виду.
Рассмотрим сначала поставленную задачу для невесомой среды,
предполагая, что функция р(х) монотонна, например, что р' (х) > 0.
Тогда все построения на плоскости ?tj в основном сохраняются,
только отрезки прямых А0О1 и О2А3 перемещаются параллельно самим
себе.
Значение приведенного давления q = g0 в точке О может быть
выражено через значение приведенного давления р=Ро в той же точке О.
Ход рассуждений здесь тот же, что и в § 5, но значения а и ср
в точках Ох и О2 теперь находятся из B.13) и B.14). Окончательно
получим
Остановимся теперь на решении той же задачи для весомой среды,
не накладывая на функцию р(х) каких-либо ограничений. После-
дующие рассуждения здесь те же, что и в § 5, а граничные дан-
ные отличаются лишь выражениями а и ср на участках А0О и ОА3
ОСИ X.
Общий характер расположения характеристик —- линий скольжения
на плоскости ху остается тем же, что и для невесомой среды, хотя
форма их существенно изменяется.
В частном случае, когда вдоль положительной полуоси х равно-
мерно распределено приведенное давление р, рассматриваемая задача
будет более простой.

74
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ [ГЛ. II
Для невесомой среды на плоскости ху различаются три области:
A0OAlt AfiA2 и А2ОА3, изображенные на рис. 47. Положения пря-
мых OAt и ОА2 определены углами
0lt fi2 и А2ОА3, изображен
мых OAt и ОА2 определены углами
а2 = к — е_(__(Д2_ 82).
В областях A0OAt и А2ОА3 сетки линий скольжения образованы
двумя семействами параллельных прямых, а в области А1ОАг такая
Рис. 47.
сетка составлена пучком прямых, проходящих через точку О, и се-
мейством логарифмических спиралей
г ехр (— 6 tg p) = const.
Очевидно, что приведенное давление q вдоль отрицательной полу-
оси х равномерно распределено и может быть выражено следующим
образом:
Bлб)
Только что разобранный частный случай для невесомой среды был
рвые рассмотрен В. И Новоторцевым [24] в предположении что
р
в предположении, что
раобранный частный случ
впервые рассмотрен В. И. Новоторцевым
угол 82 = О.
Для весомой среды в области А0ОА1, примыкающей к положи-
тельной полуоси х, поле напряжений дается формулами B.11) и B.12),
в которых ф изменяется от
на границе до cp = 7i/2 на бесконечности, а сетка линий скольже-
ния — соответствующими уравнениями.
Если 8Х = 8, 82 = — р, то вдоль отрицательной полуоси х угол
Ф = тс — г, а следовательно, характеристики — линии скольжения вто-
рого семейства сливаются с той же отрицательной полуосью х.
§7]
УДЕРЖИВАЮЩЕЕ И РАЗРУШАЮЩЕЕ НАКЛОННЫЕ ДАВЛЕНИЯ
75
Тогда из второго уравнения A.28) при <р = тг — е после преобра-
зований следует, что
da ,
Это уравнение должно быть проинтегрировано с учетом гранич-
ного условия a = <70/cosp при х = 0, так что окончательно
COS p
и д =
sin р.
Таким образом, приведенное давление q вследствие B.15) является
линейной функцией от х следующего вида:
cos p sin Д
B.18)
а при 8 = 0 то же приведенное давление q будет
Ч — Ро tg ? ехр [ — (тс — 2s) tg p] -\- тх sin p.
Допустим теперь, что нарушение предельного равновесия приведет
к выпиранию основания вдоль положительной полуоси х (поднятие
левой чашки весов) и оседанию его вдоль отрицательной полуоси х
(опускание правой чашки весов).
Итак, вдоль положительной полуоси х вследствие A.17) при
У. = +1 МОЖНО ПОЛОЖИТЬ
°=Р^Ч^ьг)' *=4<Д1-81> <2Л9>
а вдоль отрицательной полуоси х согласно A.17) при х = —1 дол-
жно быть
_ sin (Д2 + 82) _
B.20)
ч~^ sinA2"~ ' т~~ 2~ 1К^
Рассмотрим сначала задачу для невесомой среды, предполагая что
функция р(х) монотонна, например, что р'(х)>0. Тогда построе-
ния на плоскости Ъ] не изменяются, но отрезки прямых А0Ох и ОгА3
перемещаются параллельно самим себе.
Значение приведенного давления q = q0 в точке О может быть
выражено через значение р = р0 в той же точке О. Окончательно найдем
(тг —Д1 + 81-Д2 —82)tgP]. B.21)
Переходя к решению той же задачи для весомой среды, отбро-
сим предыдущие ограничения, наложенные на функцию р(х). Осталь-
ные рассуждения такие же, как и в § 6, а граничные данные от-
личаются лишь выражениями о и ср на участках А0О и ОА3 оси х.
Общий характер расположения характеристик — линий скольжения
на плоскости ху, как обычно, остается тем же, что и для невесомой
среды, хотя форма их изменяется.

76
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[ГЛ. I
В частном случае, когда вдоль положительной полуоси х равно-
мерно распределено приведенное давление р, разбираемая задача более
проста.
Для невесомой среды на плоскости ху, как всегда, различаются
три области: А0ОА,, АгОА2 и А2ОА3, нанесенные на рис. 48. Поло-
жения прямых ОАХ и ОА2 даны углами
В областях А0ОА1 и А2ОА3 сетки линий скольжения состоят из
двух семейств параллельных прямых, а в области АХОА2 эта сетка
Q
Рис. 48.
образована пучком.прямых, проходящих через точку О, и семейством
логарифмических спиралей
г ехр F tgp) = const.
Ясно, что приведенное давление q вдоль отрицательной полуоси х
равномерно распределено и может быть представлено
Для весомой среды в области АйОАи примыкающей к положи-
тельной полуоси х, поле напряжений дается формулами B.11) и B.12),
в которых ср изменяется от
на границе до ср = О на бесконечности, а сетка линий скольжения —
соответствующими уравнениями.
Если 8j = 8, 82 = р, то вдоль отрицательной полуоси х угол ср = е,
а потому характеристики — линии скольжения второго семейства сли-
ваются с этой полуосью х. Тогда из первого уравнения A.28) при.
<р = е вытекает, что
da
§ 8]
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОТКОСОВ
77
так что окончательно
Итак, приведенное давление q вследствие B.21) есть линейная
функция от х вида
lnla> exp[Be —
а при 8 = 0 то же приведенное давление q будет
Ч = Ро ctg е ехр Bе tg р) — т* sin p.
Предположим теперь, что углы
—T^siap. B.23)
B.24)
вдоль положительной и отрицательной полуосей х не постоянны,
а являются функциями от х. Будем считать, что эти функции непре-
рывны и имеют непрерывные производные.
Очевидно, что в отличие от предыдущего положительная и отри-
цательная полуоси х изображаются на плоскости %ч\ в виде некоторых
кривых. Это обстоятельство, однако, не вызывает каких-либо суще-
ственных осложнений.
§ 8. Несущая способность откосов
Остановимся сначала на предельном равновесии массива, ограни-
ченного осью х, наклоненной к горизонту под углом а, вдоль кото-
рой равномерно распределено приведенное давление р с постоянным
углом 8 (рис. 49).
Нормальная и касательная компоненты давления вдоль оси х
могут быть выражены, как обычно, в виде
ау-)-# = ;? cos 8, ixy = /? sin В, причем |8|^р.
Образующееся в массиве поле напряжений не зависит от х и
описывается дифференциальными уравнениями равновесия
¦- -[¦ sin a,
- = -г cos a,
dy ~~ ' •"""" dy
которые могут быть проинтегрированы, а именно
о -\-Н = pcosb-\-^ycosa, ixy = p sin 8-4-f у sin a. B.25)
Итак, приведенное напряжение, действующее на наклонных пря-
мых, параллельных оси х, определяется величинами
t?rg _ _Рsln ь + ТУ sin a
— . Т ,
p cos о -f- iy cos а
= jc cos (о — 8 ) -4-ту cos (a — 8 ). B.26)

78
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
Вместе с тем из A.17) очевидно, что
sin Д„ - 1
[гл. и
ъ, B.27)
а у выражается через 8у или ср следующим образом:
„__Z. sinE~5y) _ P sin 5 — sin p sin B<j> + 3)
где обозначено
V sin (а —5 )
sin a — sin p sin Btp -f а) '
B.28)
• л Sin 5У
sin Д = L
' sin p
Два знака х =—1 и и = -)-1, входящие в это решение, соот-
ветствуют двум напряженным состояниям — минимальному и мак-
симальному.
Рис. 49.
Легко провести прямую, на которой zxy=0; она отвечает
8у = 0, так что
р sin 8
•^ -^ "С sin a
Если a<ip, то предельное равновесие возможно во всей полу-
плоскости О^у-^оо, так как неравенство |8у|-^р выполняется
автоматически; если же а>р, то предельное равновесие возможно
только в некоторой полосе 0 ^ у <^ у,, в которой справедливо не-
равенство 13 | ^ р.
Ордината у„, соответствующая 8у=р, равна
__ р sin(p —о)
У* 7 ain (а — Р) '
а ширина всей полосы Уо^У^У*. в которой О^Зу^р очевидно,
§ 8]
будет
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОТКОСОВ
_,, _,, Р sin p sin (а—8)
— У* Уо — т sin a sin (a — р) •
79
Нетрудно также найти линии скольжения рассмотренного поля
напряжений. С этой целью нужно в дифференциальных уравнениях
при помощи соотношения
У—yo = ftsin(a — р) - . „,
¦> •>" v r/ sln а — sin p sin Btp-|-
выразить у через ср. Выведенные уравнения
d-x г,. . . / х sin 2ф + cos
"ХГ" — 2ft sin a sin (a — ?) j^
a __ sln p sin
могут быть проинтегрированы в элементарных функциях.
Такие линии скольжения, применительно к минимальному напря-
женному состоянию, для угла внутреннего трения р = 30° и угла
a ==45° изображены на рис. 50.
Рис. 50.
Заметим, что прямая у — у*, параллельная границе, служит оги-
бающей второго семейства линий скольжения, а следовательно, является
прямой линией разрыва. Действительно, на этой прямой угловой

80 НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ [ГЛ. II
коэффициент первого семейства линий скольжения
dv
i
t
обращается в нуль, так как угол ср = s
Отметим частный случай, когда' приведенное давление р на оси х
направлено вертикально или когда угол 8 = а. При этом очевидно,
Итак, приведенное напряжение на наклонных прямых, параллель-
ных оси х, также направлено вертикально, а именно
оу=а.
Кроме того, из A.17) следует, что
° = A+т;у)-пGЛа) ¦ <р = 0-*)|-44(хА-а)+'вгс- B-29)
где обозначено
sin a
sin А = ¦
sin
а линии скольжения образуют два изогональных семейства параллель-
ных прямых.
Если при этом ось х наклонена к горизонту под углами а= + р,
то а и <р не содержат знака х, так что
COS р
-тъ.
B.30)
Следовательно, оба напряженных состояния — минимальное и макси-
мальное— совпадают, а линиями скольжения являются наклонные
прямые, параллельные оси х, и вертикальные прямые.
Обратим внимание на некоторое обобщение предыдущих рассу-
ждений. Предположим, что массив ограничен криволинейным конту-
ром, наклоненным к горизонту под переменным углом а, вдоль ко-
торого распределено приведенное давление р = р(а) с углом 8 = 8 (а).
Вместе с тем будем считать, что эти функции непрерывны и имеют
непрерывные производные.
Нормальная и касательная компоненты приведенного давления,
как всегда, выражаются в виде
= р cos 8, <ся =
Таким образом, из A.17) очевидно, что
sin Д
° = Р~
sin(A-x5) '
§ 8]
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОТКОСОВ
81
Отсюда следует, что в отличие от предыдущего контур массива
изображается теперь на плоскости 4,-ц в виде некоторой кривой. Это
обстоятельство, однако, не вызывает каких-либо существенных за-
труднений.
Перейдем теперь к важному вопросу о несущей способности от-
коса, ограниченного соответ-
ствующими полуосями х и х.
Зададим положение свободной
от давлений положительной по-
луоси х и определим приве-
денное нормальное давление q
вдоль отрицательной полуоси х,
при котором откос находится
в предельном равновесии.
Так как нарушение этого
предельного равновесия сопро-
вождается сползанием вниз, то
в зоне, примыкающей к поло-
жительной полуоси х, будет
иметь место максимальное,
а в зоне, примыкающей к отрицательной полуоси х,—минимальное
напряженные состояния.
В области А0ОА, изображенной на рис. 51, поле напряжений не
зависит от х, так что
Н+ ТУ cos а
1 — sin p cos
_
sin p sin 2tf>
a — sin p sin Bcp + а)
B.31)
Характеристика — линия скольжения О А определяется дифферен-
циальным уравнением
dx 2H . . sin 2ф — cos p
—— = sin p sin a т = ,
d<f i [sin a —• sin p sin Btp -|- a)]2
B.32)
которое может быть проинтегрировано в элементарных функциях, и
условием ср = О при л: = 0.
Координаты х, у и х, у связаны между собой обычными фор-
мулами преобразования при повороте осей на угол а, так что
х— л: cos a-j-y sin a, y = ycosa — xsina,
а величины о и ср удовлетворяют простому соотношению
? = ? — <*•
Дальнейшие рассуждения могут быть опущены, так как они
остаются теми же, что и в § 6.
G Зак. 1JSS. В. В. Соколовский

82
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[гл. и
Значение приведенного нормального давления q=q0 в точке О
без всякого труда может быть выражено через угол а, а именно
B.33)
Комбинированная область на плоскости Х\х в этой задаче ничем
не отличается от той же области в § б. При этом следует иметь
в виду, что вдоль характеристики ОХО2 известно, что
тт
<3 = -j :—ехр [2 (со — a) tffp].
Обратим внимание, что для невесомой среды рассматриваемая за-
дача особенно проста. Повторяя обычные рассуждения, найдем
q = н±
э 1
sin
ехр [(я — 2а) tg PJ.
B.34)
Ниже изложено численное решение рассмотренной задачи для р = 30э и
а = 20° в обычных безразмерных переменных с характерной длиной / = k/f.
Оно состоит в заполнении табл. 5 по схемам второй и третьей краевых за-
дач, приведенным в § 3.
В клетки 0.0, 0.1, ..., 0.10, соответствующие точкам характеристики О А,
внесены значения х, у и а, ср. Они определены по формулам
Clg p -]- у COS a
У=-
cos p sin 2tp
sin a — sin p sin Bср -\- a)
1 — sin p cos 2<f
а также из уравнения
dx 2 cos p sin a (sin 2tf> — cos p)
do [sin a — sin p sin B<p 4- a)]9
и условия <р = 0 при х = 0.
Далее в клетки 0.0, 1.0, ..., 10.0 записаны х = у =0 и значения <р в по-
рядке их возрастания, а также
ctg!
1 — sin р
ехр [2 (ср - a) tg p].
Наконец, в диагональные клетки 8.0, 9.1 20.12, отвечающие точкам
отрицательной полуоси х, помещены у = 0, <р = я/2.
Вычисление значений х, у и а, <р во всех внутренних клетках проведены
по рекуррентным формулам A.49) и A.50), а в диагональных клетках по
рекуррентным формулам A.49).
Значения безразмерной величины
9 = a(l+sinp)
найдены по значениям а в диагональных клетках 8.0, 9.1 20.12, так что
— х= 0,00 0,53 1,11 1,71 2,35 2,98 3,67 4,30 5,01 5,65 6,39 7,04 7,79
a =14,2 17,6 20,9 24 3 27 4 30,7 33,7 37,0 39,9 43,3 46,3 49,6 52,5
9 = 21,3 26,5 31,4 36,4 41,1 46,0 50,6 55,6 59,9 65,0 69,4 74,4 78,7
На рис. 52 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
динатам узловых точек, приведенным в табл. 5.
§ 8]
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОТКОСОВ
83

НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[гл.
§ 8]
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОТКОСОВ
10
10
12
13
14
-1,65 -2,01 -2,35
1,06 0 55 0,00
24,7 26,1 27,4
1,46 1,52 1,57
-1,88 -2,27 | -2,65
1,61 1,10 ! 0,54
280 29
26,4
1,41
28', 0 I 29,3
1,47 I 1,52
—2,09 i —2,52 —2',94
2,19 1,67 1,11
28 0 29,7 31,1
1,38 1,43 1,48
-2,28
2,76
29,7
1,34
—2,74
2,25
31,5
1,40
-2,61
3,94
32,8
1,28
-2,75
4,56
34,2
1,26
-2,95 i -3,44
2,83 2,27
34,6
1,41
-3,13 [ -3,65
3,42 L 2,85
34 8 I 36,4
1,34 , 1,38
—3,30 ' -3,86
X
у
a
?
X
V
?
-2.88
11 5'16
11 35,8
1,23
12
-2,99
5,78
37,1
1,21
,
4,03
36,3
1,31
-3,46
4,63
37,9
1,29
—3,60
5,25
39,3
1,27
3,46
37,9
1,36
—4,05
4,05
39,6
1,33
-4,23
4,66
41,1
1,31
—2 98
0,00
30,7
1,57
-3,30
0,58
32,5
1,53
—3,58
1,14
34,5
1,49
—4,09
2,31
38,0
1,43
—4,33
2 92
39^6
1,40
—4,74
4,13
42,9
1,35
15
16
17
18
19
20
-3,67
0,00
33,7
1,57
—3 97
0,55
35,7
1,53
-4,28
1,15
37,5
1,50
-4,54
1,71
39,4
1,47
—4,30
0,00
37,0
1,57
-4,64
0,60
38,9
1,54
-5,01
0,00
39,9
1,57
—4,93 ,—5,32
1,16 0,56
40,8 42,0
1,50 1,54
—5,65
0,00
43,3
1,57
-5,22 -5,65 —6,01 1-6,39
1,78 1,18 i 0,63 0,00
42,6 43,8 '! 45,2 46,3
1,48 1,51 | 1,54 1,57
—5,48 —5,92 !—6,30 —6,70 —7,04
-5,29
3,53
44,4
1,39
2 36
44,5
1,45
1,75 | 1,19 0,56
45,7 J 47 2 48,3
1,48 i 1,51 1,54
-6,22
2,38
47,4
1,46
—6,61
1 83
48,9
1,49
-7,05
1,19
50,1
1,52
0,00
49,6
1,57
-7,40
0,64
51,4
1,55
-7,79
0,00
52,5
1,57

86
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[ГЛ. II
Таблица 6
р
N. а
— х\.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
0°
8,34
9,02
9,64
10,2
10,8
11,3
11,8
12,3
12,8
13,2
3,7
4,1
4,5
10°
10°
7,51
7,90
8,26
8,62
8,95
9,28
9,59
9,89
10,2
10,5
10,8
1,0
1,3
20°
0°
14,8
17,9
20,6
23,1
25,4
27,7
29,8
31,9
34,0
36,0
38,0
39,9
41,8
10°
12,7
14,8
16,6
18,2
19,9
21,4
23,0
24,4
25,8
27,2
28,7
30,0
31,4
20°
10,9
12,0
13,1
14,1
15,0
15,8
16,7
17,5
18,3
19,1
19,9
20,6
21,4
30°
0°
30,1
43,0
53,9
64,0
73,6
82,9
91,8
101
109
118
27
35
43
10°
24,3
32,6
39,8
46,5
52,9
59,0
65,1
71,0
76,8
82,6
88,3
94,0
99,6
20°
19,6
24,4
28,8
32,8
36,7
40,4
44,1
47,6
51,2
54,7
58,1
61,6
65,0
30°
15,7
18,1
20,3
22,3
24,2
26,0
27,8
29,4
31,1
32,7
34,3
35,8
37,4
40°
0°
75 3
139
193
243
292
339
386
432
478
523
568
613
658
"t
10°
55,9
94 0
126
157
185
215
243
271
299
327
354
381
409
20°
41 4
69 6
81,1
98 5
115
132
148
164
179
195
211
226
241
30°
30 6
41 3
50 9
59 8
68 4
75,7
84,9
93,0
101
109
117
95
32
40°
22 *>
27 1
310
347
38 1
41 3
44 4
47 5
50 4
53 3
562
59 0
61,7
§ 9. Форма криволинейных откосов
Займемся теперь исследованием откоса, ограниченного положитель-
ной полуосью х и криволинейным контуром, наклоненным к гори-
зонту под тупым углом р. Зададим вдоль этой полуоси х приведенное
нормальное давление р = р(х) и определим форму свободного от
давлений криволинейного контура, при котором откос находится в
предельном равновесии.
Допустим, что нарушение такого предельного равновесия сопро-
вождается сползанием откоса вниз. Поэтому в зоне, примыкающей
к положительной полуоси х, будут иметь место минимальное
а в зоне, примыкающей к контуру откоса, максимальное напряженные
состояния.
Таким образом, вдоль положительной полуоси х, как обычно,
Р(х) я
3 —
1 + Sin
а вдоль контура откоса согласно A.18) при р — Н, х
быть
dy_
dx
Н
1 — bill p '
B-35)
= 4 I должно
B.36)
§ 9]
ФОРМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОТКОСОВ
87
Рассмотрим сначала нашу задачу для невесомой среды, пред-
полагая, что р'(х)>0, и выполним ряд построений на плоско-
сти Ъ\, которая в отличие от предыдущего считается просто
однолистной. Отрезок прямой А0О1 определен уравнением B.35),
а прямая О2А3 уравнением B.36). Полученная таким образом одно-
листная область — трапеция А0О1О2А3 предста-
влена на рис. 53.
Данные вдоль А0О1 и О1О2 остаются теми же,
что и ранее, а вдоль О2А3 имеют вид
rfy _
dx
= tgcp.
По этим данным могут быть построены реше-
ния уравнений A.35) последовательно в прямо-
угольном треугольнике А^О^А-^, в прямоуголь-
нике А1О1О2А2 и в прямоугольном треугольнике
А2О2А3.
Здесь предполагается, что значение ср = w1 = к/2 Рис. 53.
в точке Ot меньше значения ср = ср2 в точке О2 или,
что 92^>т:/2. Иначе прямоугольные треугольники А0О1А1 и А2О2А3 на
плоскости %-ц имели бы общие части, как это показано на рис. 54.
Неравенство ср2^тг/2 вследствие B.36) устанавливает условие
которое накладывает известное ограничение на значение угла [3 =
в верхней точке О.
Р
G>
'д
Рис. 54.
Рис. 55.
Отображение комбинированной области на плоскость ху предста-
влено на рис. 55. Отрезку характеристики ОХО2, как обычно, соот-
ветствует одна особая точка О.
Обратим внимание, что если C0<тг/2, то области А0ОАХ и А2ОА3
вблизи точки О будут иметь общие части, а следовательно, переход

НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[гл. и
в предельное равновесие обязательно связан с возникновением раз-
рывов напряжений.
Значение угла р = р0 в верхней точке О, о котором только что
упоминалось, может быть выражено через значение р = Ро в той же
точке О.
Ход рассуждений здесь тот же, что и в § 5, но значения а и ср
в точках Оу и О2, определяются из B.35) и B.36). Поэтому вдоль
характеристики ОХО2 по-прежнему
a = Tqa_exp[(«-2«p)tgp].
Это соотношение вследствие B.36) позволяет
найти значение ср в точке О2 и, таким образом,
дает
ctgp . [Ро 1 — sin р
2 \Н 1 + sinp
Из условия р0 ^> т/2 следует, что значение при-
веденного нормального давления р = Ро будет
Рис. 56.
а
Ро —
I — Sin р
Перейдем к решению той же задачи для весомой среды и нане-
сем на плоскости Xjx трапецию АйО^ОгА3, показанную на рис. 56.
Данные вдоль А0О1 и Ofi2
Р остаются прежними, а вдоль О2А3
будут
10 dy _. ,_.. Н
dx "ь т> " 1 — sin p
Контур откоса и общий харак-
тер расположения характери-
стик— линий скольжения на пло-
скости ху остаются теми же, что
и для невесомой среды, хотя
форма их несколько изменяется.
В частном случае, когда вдоль
j\ положительной полуоси х равно-
3 мерно распределено приведенное
нормальное давление р, задача
особенно проста.
Для невесомой среды в областях А0ОА1 и А2ОА3 на плоскости ху
сетка линий скольжения составлена из двух семейств параллельных
прямых, а в области AtOA2 одно семейство линий скольжения со-
стоит из пучка прямых, проходящих через точку О, а другое — из
логарифмических спиралей, как это показано на рис. 57.
Рис. 57.
§ 9] ФОРМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОТКОСОВ
Здесь также необходимо иметь в виду условие
89
ограничивающее угол р.
Областям А0ОА1 и А2ОА3, как и в предыдущих задачах, соот-
ветствуют на плоскости i-т) точки О1 и О2, а области AfiA2 отвечает
отрезок характеристики ОуО2.
Очевидно, что контуром откоса служит прямая, а угол ее наклона
к оси х может быть выражен так:
¦In
(Р 1
[77 Т
-sin р
- sin р
B.38)
Из условия C^>7r/2 вытекает, что приведенное нормальное давле-
ние р будет
Г " 1 — sin p
Для весомой среды в области А0ОА1 на плоскости ху величины
Ь1У я
о =
1 + sin р '
а сетка линий скольжения остается той же.
Комбинированная область на плоскости Х]л, изображенная на
рис. 56, не содержит прямоугольного треугольника AqO^A^, а вдоль
О1Л1 дано
„ _ Р + 1У т—%
°— 1 + sinp' ?—2"
Здесь в отличие от невесомой среды линии скольжения на пло-
скости ху остаются прямыми только в области А0ОАи а в осталь-
ных областях линии скольжения становятся кривыми; контур откоса
также будет криволинейным (ср. с рис. 55).
Ниже дано численное решение рассмотренной задачи для р = 30° и
Ро = 120° в обычных безразмерных переменных с характерной длиной / = Щ-\.
Оно сводится к заполнению табл. 7 по схемам второй и третьей краевых задач,
приведенных в § 3.
В клетки 0.0, 1.0, ..., 10.0, соответствующие точкам характеристики ОАЬ
внесены различные значения х и у, а также
Р + У „ __ *
Далее, в клетки 0.0, 0.1, 0.2 записаны значения х = у = 0 и значения
в порядке их возрастания, а также
exp[(it — 2<p)tgp].
1 -(- sin p
Наконец, в диагональные клетки 0.2, 1.3, ..., 10.12, отвечающие точкам
контура, помещены значения a = ctg p/(l — sin p).
Вычисления во внутренних клетках, как всегда, проводятся по рекур-
рентным формулам A.49) и A.50), а в диагональных клетках по рекуррентным

90
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ [ГЛ. II
Таблица 7
X
У
а
9
X
У
а
<Р
X
У
СУ
го
X
У
а
X
| у
[ у
а
X
у
о
! X
i v
[ 3
1 Щ
1
1 х
у
X
у
?
у
а
о
л:
у
1
1 *
у
J
X
у
а
о
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
9
1
10 1
1
1
11
!
12
0
0,00
0,00
6,34
1,57
0,00
0,00
4,69
1,83
0,00
0,00
3,46
2,09
1
0,12
0,20
6,47
1,57
0,07
0,26
4,86
1,82
0,00
0,31
3 68
2,07
-0,29
0 48
3,46
2,12
!
1
i
2
0,23
0,40
6,61
1,57
0,14
0,52
5,03
1,82
0,02
0,62
3,89
2,05
—0,29
0,81
3,69
2,09
-0,60
0,98
3,46
2,14
3
0,35
0,60
6,74
1,57
0,22
0,77
5,20
1,81
0,03
0,93
4,09
2,02
-0,28
1,13
3,91
2,07
-0,61
1,32
3,71
2,11
-0,94
1,49
3,46
2,17
j
j
j
4
0,4
0,8
6,8
1,5
0,29
1,03
5,38
1,80
0,06
1,23
4,30
2,01
-0,27
1,45
4,13
2,04
-0,61
1,66
3,94
2,09
-0,96
1,86
3,72
2,14
— 1,32
2,03
3,46
2,19
5
0,5
1,0
7,0
1,5
0,3
1,2
5,5
1,7
0,09
1,53
4,50
1,99
—0,25
1,77
4,35
2,03
-0,61
2,00
4,18
2,07
—0,97
2,22
3,97
2,11
—1,35
2,41
3,7!
2,16
—1 73
2,59
3 46
2,21
j
6
0,69
1,20
7,14
1,57
0,45
1,53
5,71
1,79
0,1
1,8
4,7
1,9
-0,2
2,0
4,5
2,0
-0,59
2,33
4,41
2,04
-0,97
2,57
4,22
2,08
—1,37
2,79
4,01
2,13
1,77
2 99
3 76
2,18
2,17
3,16
3,46
2,24
7
0,81
1,40
7,27
1,57
0,53
1,78
5,88
1,78
0,16
2,12
4,90
1,96
-0,20
2,39
4,78
1,99
-0,57
2,66
4,63
2,03
—0,97
2,91
4,46
2,06
—1,38
3,15
4,27
2,10
—1,79
3,38
4,04
2,15
2 22
3,'э8
3,78
2,20
2,65
3,76
3,46
2,26
8
0,92
1.60
7 41
1,57
0,61
2,03
6,05
1,78
0,20
2,41
5,10
1,95
—0,16
2,70
4,99
1,98
-0,55
2,98
4,86
2,01
-0,95
3,25
4,70
2,04
—1,37
3,51
4,52
2,08
-1,81
3,76
4,32
2,12
-2,26
3,99
4,07
2,17
-2,71
4,20
3,79
2,22
-3,16
4,37
3,46
2,27
9
1,04
1,80
7,54
\',S7
0,69
2,28
6,22
1,77
0,25
2,70
5,30
1,93
-0,13
3,00
5,20
1,96
—0,52
3,30
5,08
1,99
—0,93
3,59
4,94
2,03
— 1,37
3,87
4,77
2,06
-1,81
4,13
4,58
2,10
—2,28
4,39
4,36
2,14
-2,75
4,62
4,11
2,18
—3 21
4,83
3,81
2,23
-3,72
5,01
3,46
2,29
10
.—
1,15
2,00
7 67
l|57
0,78
2,53
6,38
1,77
0,29
2,99
5,49
1,92
—0,08
3,31
5,40
1,95
-0,49
3,61
5,29
1,98
-0,91
3,92
5,17
2,01
-1,35
4,21
5,02
2,04
-1,81
4,50
4,85
2,08
—2,29
4,78
4,65
2,11
-2,78
5,04
4.42
2,15
—3,29
5,28
4,15
2,20
-3,80
5,49
3,83
2,25
-4,31
5,67
3,46
2,31
§ 9] ФОРМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОТКОСОВ
формулам A.50) и формуле
91
следующей из контурных данных.
Значения х, у и р, определяющие контур откоса,
таковы:
— х = 0,00
у = 0,00
3 = 2,09
0 29
0,48
2 12
0 60
0',98
2 14
0 94
149
2 17
132 173 2,17 2,65 3,16 3,72 4,31
203 2'59 3,16 3,76 4,37 5,01 5,67
219 2'21 2,24 2,26 2,27 2,29 2,31
На рис. 58 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
динатам узловых точек, приведенным в табл. 7.
¦х 7
Рис. 58.
Остановимся на важном частном случае, когда угол ро = тс/2 или,
когда контур откоса имеет в точке О вертикальную касательную.
При этом вдоль положительной полуоси х приложено ; ¦¦/
Ц1 + Sin Р^
или
. — sin р
2# sin p Ik cos p
1 — sin р
1 — sin р

92 НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ [ГЛ. II
Такое давление можно рассматривать как воздействие некоторого
слоя высоты h, расположенного над положительной полуосью х
(рис. 59). Поле напряжений в этом слое
определяется так:
Из условия непрерывности компо-
ненты ау на положительной полуоси х
нетрудно найти
. 2Яв1п р 2k cos p
~ Y(l —sinp) ~~ 1 A — sin p) *
Эта величина дает также макси-
мальную высоту вертикального откоса
и называется критической высотой.
Таким образом, здесь приходится рассматривать две зоны: не-
предельную, занимающую слой над положительной полуосью х,
и предельную, заполняющую массив под той же положительной
полуосью х. *
В непредельной зоне компоненты напряжения имеют вид
§ 9]
ФОРМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОТКОСОВ
Рис. 59.
_ 2Язшр
У ~ 1 _ sin п
B.39)
а в области А0ОА предельной зоны компоненты напряжения будут
1 — sin p 2#sinp ,
- sin
ху
= 0. B.40)
На общей границе этих зон — положительной полуоси х вкточая
точку О, все компоненты напряжения непрерывны
Обратим внимание, что весь массив никак нельзя считать пре-
дельным. Такое ошибочное предположение, к сожалению, довольно
широко распространено и дает удвоенное значение критической
ВЫСОТЫ.
Ниже дано численное решение рассмотренной задачи для р = 30° в без
размерных переменных с характерной длиной I = */т Оно сводится к запол"
НеНИТаПЛСХЛМе ТРеть^КРЗеВ°Й 3™ Т 1*3 °Л"
вытекающей из контурных данных.
X
У
93
Таблица 8
0,00
0 °'°°
0 3,46
1,57
0,23
0,40
3,73
1,57
-0,05
П ЙЧ
0,46
0,80
4,00
1,57
0,14
1 9й
3,46
1,70
3,78
1,68
0,69
1,20
4,26
1,57
0,34
1,74
4,09
1,68
0,92
1,60
4,53
1,57
0,54
2,19
4,39
1,67
1,15
2,00
4,80
1,57
0,75
2,63
4,70
1,66
1,39
2,40
5,06
1,57
1,62
2,80
5,33
1,57
1,85
3,20
5,60
1,57
0,96 1,16 1,37
3,08 3,52 3,96
5,01 ( 5,30 5,60
1,66 ! 1,65 1,65
—0,22 —0,06 0,11 0,28
1,71 2,23 2,74 3,24
I 3,46 3,82 ( 4,17 4,52
1,81 1,79 1,77 1,76
i—0,50 -0,39 -0,26
! 2,66 3,24 I 3,80
3,46 3,87 ! 4,27
1,91 , 1,88 1,85
-0,92
3,66
3,46
2,00
-0,84
4,31
3,93
1,96
—1,47
4,73
3,46
2,08
—0,75
4,93
4,37
1,93
—1,44
5,45
3,99
2,03
0,45
3,73
4,86
1,74
-0,11
4,35
4,65
1,83
0,63
4,22
5,19
1,73
0,82
4,70
5,52
1,72
0,04 0,19
4,89 5,42
5,02 5,39
1,82 , 1,80
-0,64 1-0,52
5,53
4,79
1,90
-1,38
6,13
4,48
1,99
-2,18
5,87
3,46
2,15
6,12
5,20
1,88
—1,30
6,79
4,94
1,96
—2,20 -2,17
6,67 I 7,41
4,05 I 4,60
2,09 j 2,04
-3,04 —3,10
7,08 7,96
3,46 4,14
10
2,21
2,14
—4,07
8,38
3,46
2,26
0,35
5,95
5,75
1,79
-0,39
6,70
5,60
1,86
-1,21
7,42
5,40
1,93
-2,12
8,12
5,11
2,00
-3,11
8,77
4,74
2,08
-4,19
9,35
4,22
2,17
-5,30
9,78
3,46
2,30
10
2,08
3,60
5,86
1,57
1,58
4,39
5,89
1,64
2,31
4,00
6,13
1,57
1,80
4,82
6,19
1,64
1,01
5,18
5,84
1,72
1,20
5,65
6,17
1,71
0,52
6,46
6,10
1,78
—0,24
7,26
5,99
1,84
-1,10
8,04
5,83
1,91
—2,05
8,81
5,61
1,97
-3,09
9,54
5,31
2,04
—4,23
10,2
4,89
2,12
-5,46
10,8
4,33
2,21
-6,74
11,3
3,46
2,34

94
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[ГЛ. II
§9]
ФОРМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОТКОСОВ
Значения х, у и C, дающие контур откоса, таковы:
— х = 0,00 0,05 0,22 0,50 0,92 1,47 2,18 3,04 4,07 5,30 6,74
у = 0,00 0,83 1,71 2,66 3,66 4,73 5,87 7,08 8,38 9,78 11,3
р = 1,57 1,70 1,81 1,91 2,00 2,08 2,15 2,21 2,26 2,30 2,34
На рис. 60 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
динатам узловых точек, приведенным в табл. 8.
х г
О
-1
Рис. 60.
Аналогично предыдущему И. С. Мухиным и А. И. Срагович [23] выпол-
нено численное решение той же задачи для различных углов внутреннего
трения р через 5°. Значения безразмерных координат х, у контуров откосов
сведены в табл. 9 и Ю; при этом в табл. 9 помещены значения — х, соответ-
ствующие выбранным значениям у, а в табл. 10 —значения у, отвечающие
значениям — х. Формы контуров откосов в целях наглядности представлены
на рис. 61 и 62.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
95
Таблица 9
10°
15°
0,00
0,01
0,03
0,07
0,13
0,22
0,29
0,40
0,54
0,69
0,86
1,07
1,29
1,55
1,84
2,16
2,52
2,93
3,38
3,89
4,45
0,00
0,01
0,02
0,06
0,10
0,16
0,24
0,32
0,43
0,54
0,67
0,82
0,97
1,15
1,34
1,56
1,78
2,01
2,27
2,55
2,84
0,00
0,00
0,02
0,05
0,08
0,13
0,19
0,26
0,34
0,44
0,54
0,65
0,77
0,90
1,05
1,20
1,36
1,54
1,72
1,91
2,12
20°
0,00
0,00
0,02
0,04
0,07
0,12
0,16
0,22
0,28
0,36
0,44
0,53
0,62
0,73
0,84
0,96
1,08
1,22
1,36
1,51
1,66
25°
30°
35°
0,00
0,00
0,01
0,03
0,06
0,09
0,13
0,18
0,23
0,29
0,36
0,43
0,51
0,59
0,68
0,77
0,87
0,98
1,09
1.21
1.33
0,00
0,00
0,01
0,03
0,05
0,07
0,11
0,14
0,19
0,24
0,29
0,35
0,41
0,48
0,55
0,63
0,71
0,79
0,88
0,98
1,07
0,00
0,00
0,01
0,02
0,04
0,06
0,09
0,12
0,15
0,19
0,24
0,28
0,34
0,39
0,45
0,51
0,58
0,64
0,72
0,79
0,86
40°
0,00
0,00
0,01
0,02
0,03
0,05
0,07
0,10
0,12
0,16
0,19
0,23
0,27
0,31
0,36
0,41
0,46
0,52
0,57
0,63
0,70
Т аб л и ц а 10
10°
15°
20°
0
2
4
6
0,00
2,90
3,84
446
4,95
5,39
5,80
6,17
6,71
0,00
3,39
4,69
5,65
6,46
7,19
7,88
8,51
9,13
9,72
0,00
3,89
5,54
6,81
7,90
8,90
9,83
10,8
11,6
12,4
0,00
4,41
6,41
7,99
9,37
10,7
11,8
13,0
14,1
15,2
25°
0,00
5,00
7,35
9,25
10,9
12,5
14,0
15,4
16,8
18,1
30°
0,00
5,66
8,39
10,6
12,6
14,5
16,3
18,0
19,6
21,2
35°
40°
0,00
6,40
9,55
12,2
14,6
16,8
18,9
20,9
22,9
24,8
0,00
7,26
10,9
14,0
16,7
19,4
21,9
24,2
26,5
28,8
10,3
10,8
13,2
14,0
14,8
15,5
16,3
17,0
16,2
17,2
18,2
19,2
20,1
21,1
19,4
20,6
21,9
23,1
24,3
25,5
22,8
24,3
25,8
27,3
28,8
30,2
26,6
28,4
30,3
32,1
33,8
35,5
31,0
33,1
35,3
37,4
39,5
41,5

96
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[ГЛ. II
I
/
1
/
/
i J U
/
/
/
/
О ' О ' О ' О '
¦ / /
/
/
/
/
Г1/У/У
'JLZLAAZ
1
ТУУ/У/
\1У//У/у
V/УА
W
/
/
л
/
/ J
1 ,/
/
/
л
' /
у.
Z
' /
у
У
\? У
У
/
¦1
1
¦
|
1
i
; ! 1
1
—
i '
1
^>1
"
А
^^
о
> II
"а '
-^
о
1
/
/
---
|
s
a
^ ^ ^
§ 10I
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
§ 10. Разрывные решения
97
Распределение напряжений в откосе, изученное выше, для тупых
углов |?0 было непрерывным всюду, за исключением лишь одной
точки О. Наоборот, для острых углов [iQ образуются целые линии раз-
рыва, вблизи которых хотя и сохраняется равновесие, но нет полной
непрерывности напряжений.
Очевидно, что при переходе через линию разрыва, наклоненную
к оси х под углом к, компоненты зЛ и in или величины р и о дол-
жны быть непрерывны, тогда как среднее нормальное напряжение a
может иметь конечный разрыв.
Следовательно.
=~ И
п-
или иначе
причем знаками —- и -\- отмечены разные стороны от линии разрыва.
Нетрудно вывести соотношения между з_, ср_ и з, , с —так
называемые условия разрыва. В самом
деле, из A.17) при ¦/. =
следует, что
= а-+-4-(А — (Л^-тт,
1 ц у. = -^ 1
О
- тт.,
B.41)
а также, что
B.42)
Рис. 63.
а+ sin (A -!- Ь)
Приступим теперь [51] к изучению
нависающего откоса, ограниченного поло-
жительной полуосью х и криволиней-
ным контуром, наклоненным к горизонту
под острым углом р. Зададим вдоль этой полуоси х равномерно
распределенное приведенное нормальное давление р и определим
форму свободного от давлений криволинейного контура, при котором
откос сохраняет предельное равновесие.
Будем рассматривать острые углы C0, когда предельное рав-
новесие откоса сопровождается некоторой линией разрыва, на
которой хотя и сохраняется равновесие, но нет полной непрерывности
напряжений.
В области А0ОА, изображенной на рис. 63, возникает простей-
шее поле напряжений, которое уже неоднократно встречалось ранее
и не нуждается в дополнительных пояснениях.
7 Зак. 1288. В. В. Соколовский

98
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИИ И ОТКОСОВ
[гл. и
Теперь вдоль линии разрыва О А вследствие B.41) и B.42) ну-
жно принять
а_ Р + 1У sin (A+ 5)
1 + sin p sin (Д — 5) '
а вдоль контура откоса ОВ, как обычно,
т
B'43)
? = р. B.44)
В области ЛОБ может быть найдено решение уравнений A.45)
и A.46) по данным B.43) и B.44) четвертой краевой задачи.
Значения углов а = а0 и [3 = ро в верхней точке О должны быть
выражены через приведенное нормальное давление р. В самом деле,
а приведенное нормальное давление р принимает вид
„ 1 + sin p sin (Д — 5)
Р ~~ 1 — sin p" "bin (Д +• 5) *
Ясно, что углы а0 и р0 изменяются в пределах
а приведенное нормальное давление
- sin р
\- ^ -*> j — sin P
Нетрудно показать [76], что при малых значениях а0 и C0 при-
ближенно справедливы простые соотношения
p = tf(l+sinP^), ao = (l+sinP)A,
которые [устанавливают, что вдоль положительной полуоси х нор-
мальное давление
Отсюда видно, что при фиксированном (р — H)jk углы а0 и j30
возрастают с увеличением угла внутреннего трения р.
Обратим внимание, что линия разрыва О А и контур ОВ пред-
ставляют собой кривые, а углы их наклона аир при движении от
точки О увеличиваются от a = a0 и р = р0 до a = тс/2— е и [3 =
= тс — р на бесконечности. При этом разрыв среднего приведенного
нормального давления а постепенно уменьшается до нуля.
Ю]
1
1
X
у
а '
X
у
С7
у
б
у
9
X
у
О"
щ
у
a
CD
JC
V
?
X
у
X
у
а
¦¦?
х
V
1
a
<Р
X
у
а1
л:
у
У
су
X
0
1
9
3
4
5
6
7
8
9
10
; 11
12
0
0,09
0,09
3,46
0,81
1
0,13
0,10
3,48
0,82
0,14
0,15
3,46
0,84
1
2
0,18
0,12
3,49
0,83
0,19
017
3,48
0,84
0 20
0,22
3,46
0,86
1
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
3
0,25 !
0,19
3,51
0,86
0,26
0,24
3,50
0,87
0,27
0,29
3,46
0,90
i
4
0,30
0 21
3,55
0,87
0,31
0,26
3,53
0,88
0,32
0,32
3,50
0,91
0,33
0,38
3,46
0,93
5
0 37
0,28
3,55
0,89
0,38
0,34
3,52
0,91
0,39
0,40
3,49
0,94
0 40
0,47
3,46
0,96
1
6
1
0,43
0,30
3,57
0,90
0,44
0,37
3,54
0,92
0 45
0,43
3,51
0,95
0,46
0 50
3,49
0,97
0,46
0 56
3,46
0,99
1
7
0,52
0,40
3,57
0,93
0,53
0,47
3,54
0,96
0,54
0,54
3,52
0.98
0,54
0,60
3,50
1,00
0,54
0,70
3,46
1,03
8
0,60
0 44
3,61
0,94
0,61
0,50
3,58
0,97
0,62
0,58
3,56
0,99
0,62
0,65
3,54
1,01
0,62
0,74
3,50
1,04
0,62
0,83
3,46
1,08
9
0,70
0,55
3,61
0,98
0 71
0,62
3,60
1,00
0,71
0,69
3,58
1,02
0,71
0,79
3,55
1,06
0,71
0,89
3,51
1,09
0,70
0,99
3,46
1,12
Таб
10
0,79
0,59
3,65
0,99
0,80
0,67
3,64
1,01
0,80
0,74
3,62
1,03
0,80
0,84
3,59
1,07
0 79
0,94
3,56
1,10
0,79
1,05
3 51
1,13
0,78
1,16
'; з,4б
1,17
1
i
ЛИЦ
11
1
1
0 90
0,73
3,68
1,02
0,90
0,80
3,67
1,05
0,90
0,91
3,64
1,08
0,90
1,01
3,61
1,11
0 89
1,12
3,57
1,14
0,88
1,23
3,52
1,18
0,86
1,36
3,46
1,22
99
а И
12
j
1,01
0,79
3,73
1,04
1,01
0,87
3,72
1,06
1,01
0,97
3,69
1,09
1 00
1,08
3,66
1,12
0,99
1,20
3,63
1,15
0,98
1,31
3,58
1,19
1 0,95
1,44
3,53
1,23
0,93
1,57
3,46
1,28

100
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ [гл. II
Заметим, что если приведенное нормальное давление
1 — sin 'j
то углы
а кривая разрыва ОА вырождается в прямую линию скольжения на-
клоненную к оси х под углом tj2 г.
Рис. 64.
¦ч _<к?е "зложено численное решение рассмотренной задачи тля р = 30° и
но — 45 в безразмерных переменных с характерной длиной / = khi Оно со-
стоит в заполнении .табл. 11 по схеме четвертой краевой задачи приведен-
Ю]
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
101
В диагональных клетках 2.0, 4.1, ..., 12.5, соответствующих точкам
линии разрыва, вычисления выполнены по рекуррентным формулам A.49)
и формуле
У = У а "Г (х — ха) (g аа
совместно с условиями
1 ! p 4- у sin (A-j-о)
2 ' J ~ 1 -)- sin p sin (А — 3) ' т ~~
Аналогичным образом в диагональных клетках #Д /,/, ..., 12.12 отве-
чающих точкам контура откоса, значение а = ctg р/ A — sin p). Вычисления
в этих клетках проведены по рекуррентным формулам A.50) и формуле
У = У* + (х — хь) fg fii. т ~ ?*•
Вычисления во внутренних клетках, как обычно, выполнены по рекур-
рентным формулам A.49) и A.50).
Значения х, у и а, определяющие кривую ОА, следующие:
х = 0,08
v = 0,05
а --, 0,57
0,18
0,12
0,60
значения х, у и S, дающие
х =• 0,00
v -= 0,00
i = 0,79
л- = 0,54
v = 0,70
3 = 1,03
0,09
0,09
0,81
0,62
0,83
1,08
0,30
0,21
0,63
криву
0,14
0,15
0,84
0,70
0,99
1,12
0,43
0,30
0,65
ю ОВ,
0,20
0,22
0,86
0,78
1,16
1,17
0,60
0,44
0,68
0,79
0,59
0,71
таковы:
0,27
0,29
0,90
0,86
1,36
1,22
0,33
0,38
0,93
0,93
1,57
1,28
1,01
0,79
0,74
0,40
0,47
0,96
1,00
1,83
1,33
1,25
1,01
0,77
0,46
0,56
0,99
1,05
2 09
1,39
На рис. 64 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
тннатам узловых точек, приведенным в табл. 11.
Рассмотрим частный случай, ко1да угол [30 = 0 и, следовательно,
контур нависающего откоса в верхней точке О имеет горизонтальную
касательную (рис. 65). Покажем, как
построить приближенное решение око-
ло точки О в замкнутой форме. Будем
считать, что з — з0
а также
причем
и х, у
что отношение v'x
малы,
мало,
Jo ¦ ¦¦ 1 ,
Основная система уравнений для весомой
быть представлена в виде
- —к- cm r, qm v.z
1 ciy
— 23sin
Рис. 65.
сыпучей среды может
1
sin о cos
¦sin
1
sin о sin 2-j -,— -
' дх
sin2-j v cos 2c?
ду
= 0,
2-j
с, \
sin p cos 2s)
2з sin
cos 2
2s
дх
- sin 2c
dy

102
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
[гл. и
Оценим в этих уравнениях порядок различных членов и отбросим
те из них, которые малы по сравнению с остальными. Таким путем
нетрудно вывести приближенные уравнения
V=0' О-
и найти простые интегралы
<? = ?(*). A —sinp
, да г, ¦
sin р) ay == т — 2а°sm
дх
B.45)
B.46)
содержащие две произвольные функции / (х) и ср (х).
Также легко видеть, что условия B.43) вдоль кривой ОА значи-
тельно упрощаются
I
ТУ
1 — sin p
а условия B.44) вдоль кривой ОВ будут
ao(l—sinpcp2),
B.47)
B.43)
Интегралы B.46), после определения произвольных функций f (х)
и ср(л-) из условий B.47) и B.48) позволяют найти уравнения кри-
вых ОА и ОБ, а также функции о и ср.
Прежде всего нетрудно получить уравнение
d-Ух 1/11 • ч dy2
= T(l+smp)-^.,
которое вместе с граничными условиями у1 = у2 = 0 при х = 0 уста-
навливает зависимости
y1 = (l+sinp)^-, a=(l-|-sinp)|-
между ординатами у1 и у2, а также между углами наклона а и j>
кривых ОА и ОБ.
Далее легко вывести уравнение
у
ЗЯ
—
ЗА
= — cosp,
которое связывает ординату у2 = у и угол наклона C кривой OS.
Оно может быть преобразовано к виду
§
Ю]
X
у
а
?
д:
у
?
д:
у
у
a
1С
д;
У
a
д;
У
f
X
у
<t
?
X
у
?
У
a
?
У
a
о
д;
У
a
?
X
У
а
?
X
У
a
X
0
1
1
9
о
О
О
Q
Q
У
1П
1U
11
12
0
0,76
0,11
1
0,82
0,10
3,46 3,49
0,29
0,31
0,86
0,15
3,46
0,33
2
0,95
0,13
3,49
0,36
1,01
0,20
3,46
0,39
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
3
1,07
0,19
3,49
0,41
1,11
0,25
3,46
0,43
4
1,14
0,19
3,51
0,42
1,18
0,24
3,49
0,45
1,21
0,29
3,46
0,47
5
1,23
0,24
3,50
0,46
1.26
0,29
3,48
0,48
1,29
0,33
3,46
0,50
6
1,28
0,23
3,52
0,47
1,31
0,29
3,50
0,50
1,34
0,33
3,48
0,51
1,36
0,38
3,46
0,53
7
1,37
0,29
3,52
0,51
1,39
0,33
3,50
0,53
1,42
0,38
3,48
0,55
1,44
0,42
3,46
0,56
8
1,42
0,29
3,53
0,52
1,44
0,33
3,52
0,54
1,47
0,38
3,50
0,56
1,50
0,43
3,48
0,58
1,52
0,48
3,46
0,60
9
1,49
0,33
3 53
0,55
1 51
0,38
3,51
0,57
1,54
0,43
3,50
0,59
1 56
0,48
3,48
0,61
1,58
0,52
3,46
0,62
Таб
10
1,53
0,34
3,55
0,56
1,56
0,38
3,53
0,58
1,58
0,43
3,51
0,60
1,60
0 48
3,50
0,62
1,62
0,52
3,48
0,63
1,64
0,56
3,46
0,65
103
лица 12
и
1,60
0,39
3,54
0,58
1,63
0,44
3,53
0,60
1,65
0,49
3,51
0,62
1,67
0,53
3,50
0,64
1,68
0,57
3,48
0,66
1,70
0,61
3,46
0,67
12
1,65
0,39
3,56
0,59
1,67
0,44
3,55
0,61
1 70
0,49
3,53
0,63
1 71
0,53
3,51
0,65
1,73
0,57
3,50
0,67
1,75
: 0,62
3,48
0,68
1,76
0,66
3,46
0,70

104 НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ И ОТКОСОВ
и имеет простой интеграл
[ГЛ. II
Из условия голоморфности функции р в окрестности точки О сле-
дует, что произвольная постоянная С — О. Уравнение
должно быть проинтегрировано с учетом граничного условия у -¦= 0
при х = 0, так что
Окончательно уравнения кривых ОА и OS принимают вид
а искомые функции а и ср будут
_ з0 sin р C sin р — 1) (лгз — 2#о}')
B.49)
?=* B.50)
§ 101
РАЗРЫВПЫе РЕШЕНИЯ
105
в применении приближенных формул около точки О ив заполнении табл. 12
по схеме четвертой краевой задачи, приведенной в § 3.
Значения х, у, определяющие кривую ОА, следующие:
х =0,20 0,33 0,45 058 0,72 0,82 0,95 1,14 1,28 1,42 1,53 1,65
у =0,01 0,02 0,03 0,05 0,07 0,10 0,13 0,19 0,23 0,29 0,34 0,39
а значения л*, у, дающие кривую ОВ, таковы:
л-=0.00 0,20 0 34 0,47 0.60 0,76 0,86 1.01 111
у = 0,00 0,01 0,02 0,04 0,07 0,11 0,15 0,20 0,25
х -=1,21 1,29 1,36 1,44 1,52 1,58 1,64 1,70 1,76
у =0,29 0,33 0,38 0,42 0,48 0,52 0,56 0,61 0,66
На рис. (>6 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
динатам узловых точек, приведенным в табл. 12.
где /?0 есть радиус кривизны кривой OS в точке О.
г1 ^ 1,6 1? 12 1,0 0,8 0,6 ОА 0,2
Рис. 66.
Вместе с тем нетрудно получить углы наклона кривых ОА и ОВ
к оси х вблизи верхней точки О, а именно
v ' V) 2 r ^?o 3^ cos p
Отсюда ясно, что при фиксированном -fx/& углы ct и р возра-
стают с увеличением угла внутреннего трения р.
Ниже дано численное решение рассмотренной задачи для р = 30° и р0 = О
в безразмерных переменных с характерной длиной / = k/f. Оно состоит

ГЛАВА III
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
§ 11. Активное давление засыпки на подпорные стенки
Классической задачей о предельном равновесии сыпучей среды
служит определение давлений засыпки на подпорые стенки при нали-
чии трения по их задним граням.
Постановку этой задачи можно пояснить на рычажных весах,
обладающих большим трением в направляющих и подшипнике, ко-
торые уже встречались ранее. Она аналогична следующей задаче
с весами: на левую чашку положен груз Р, а правая чашка давит
на опору; нужно определить давление Q, которое испытывает опора,
когда весы находятся в предельном равновесии. Очевидно, что эта
задача имеет два решения: одно из них устанавливает меньшее дав-
ление от напора чашки, а другое — большее давление от отпора той
же чашки.
Приступим теперь к изучению давления засыпки, ограниченной
положительной полуосью jc, на заднюю грань подпорной стенки,
наклоненную под углом C. Зададим вдоль этой полуоси х приведенное
нормальное давление р = р(х) и определим приведенное давление q
вдоль задней грани, образующие с нормалью угол 3.
Распределение напряжений при предельном равновесии засыпки
для достаточно больших углов JB может быть непрерывным всюду,
кроме одной точки О, если на задней грани имеет место равенство
Нормальная и касательная компоненты приведенного давления на
задней грани могут быть выражены таким образом:
*n+H=qcosb,
причем
Эта задача имеет два решения: одно из них определяет активное
давление от напора засыпки, а другое дает пассивное давление от
отпора той же засыпки; активное давление обычно в несколько
раз меньше соответствующего пассивного давления.
§ 11] АКТИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ 107
Начнем с определения активного давления засыпки на подпорную
стенку, предполагая, что подпорная стенка препятствует оседанию
засыпки вниз, так что o = id^>0.
Отсюда легко видеть, что в зоне, примыкающей к положительной
полуоси х, имеет место минимальное, а в зоне, примыкающей к зад-
ней грани подпорной стенки, — максимальное напряженные состояния.
Таким образом, вдоль положительной полуоси х, ограничивающей
засыпку, как и ранее,
а _?(?)_, ?* C.01)
а вдоль задней грани вследствие A.17) при -а = -\~ 1 должно быть
sin (!> — ш)
sin II
<? = $+±(И
¦@),
C.02)
где обозначено
sin Q
sin
sin
Нетрудно видеть, что определение активного давления засыпки на
подпорную стенку аналогично нахождению минимального давления на
основание; эти задачи совпадают, когда C = ти, ю = 0.
Рассмотрим сначала поставленную задачу для невесомой среды,
как всегда, предполагая, что р'(х)>0, и выполним ряд построений
на двухлистной плоскости Ет(. На листе / нанесена тра-
пеция А0О1О2А2, у которой сторона А0О1 есть отре-
зок прямой C.0П, а на листе // — прямоугольный
треугольник А2О2А^, ограниченный прямой C.02). Эти
области соединены вдоль отрезка
характеристики О.,А2 в одну комби-
нированную двухлистную область,
которая представлена на рис. 67,
а в развернутом виде на рис. 68.
Данные вдоль А0Ох и Ofi2
остаются прежними, а вдоль О2/1?,
имеют вид
Рис. 67.
Рис. 68.
По этим данным определяются решения уравнений A.35) последо-
вательно в прямоугольном треугольнике А0О^АХ, в прямоуголь-
нике А1О1О2А2 и в прямоугольном треугольнике А2О2А3.
Здесь предполагается, что значение ср = cpj = -зт/2 в точке Ot
меньше значения <р = ср2 в точке О2 или, что ср2^тг,2. Это неравен-
ство на основании C.02), устанавливает следующее условие:
которое накладывает некоторое ограничение на угол

10S
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[ГЛ. III
Отображение комбинированной области на плоскость ху показано
на рис. 69. Отрезку характеристики ОХО2 соответствует на плоско-
сти ху одна особая точка О.
Отметим, что если предыдущее
неравенство не выполнено, то об-
ласти А0ОА1 и А.,ОА3 вблизи точ-
ки О имеют общие части, а по-
тому предельное состояние без раз-
рывов появиться не может.
Значение приведенного давле-
ния q=^% в верхней точке О зад-
ней грани может быть выражено
через значение приведенного давле-
ния р == р0 в той же точке О засыпки.
Ход рассуждений здесь тот же,
что и в § 5, но значения ; и о
в точках О1 и О., теперь, конечно,
находятся из C.01) и C.02). Таким образом, вдоль характеристики С^О.,
по-прежнему
Рис. 69
Ро
3^T^u77exP^-2?)iSo],
а вместе с тем
Ро bin (<> — м)
' 1 + sin p sin il ~
Перейдем теперь к решению поставленной задачи для весомой
среды, не требуя, чтобы функция р(х) была монотонна. Повторяя
обычные рассуждения, рассмотрим на плоскости Цх трапецию А0О1О.,А3,
представленную на рис. 70. Данные вдоль А0О1
и ОХО2 остаются теми же, а вдоль ОгАг будут
Хотя под влиянием собственного веса форма
линий скольжения па плоскости ху несколько
изменяется, но общий характер их расположения
остается здесь тем же, что и па рис. 69.
В частном случае, когда на границе засыпки
равномерно распределено приведенное нормальное
давление р, предыдущая задача еще более проста.
Для невесомой среды в областях А0ОА1 и
А2ОА3 на плоскости ху сетку линий скольжения
образуют два семейства параллельных прямых, а в области А1ОА2
одно семейство линий скольжения состоит из прямых, проходящих
через точку О, а другое — из логарифмических спиралей (рис. 71).
О.
§11] АКТИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ 109
Областям А0ОА1 и А2ОА3 соответствуют на плоскости $т] точки Ot
и О2, а области АхОАг отвечает отрезок характеристики ОхОг.
Очевидно, что приведенное давление q на задней грани подпорной
стенки равномерно распределено и может быть выражено следующим
образом:
р Sin (V. — со)
4 =
1 — sin p
{- — 23 — Q+o))tgp]. C.04)
Для весомой среды линии скольжения на плоскости ху остаются
прямыми лишь в области А0ОАУ, а в остальных областях становятся
кривыми.
Рис. 71.
Рис. 72.
Отметим теперь случай, когда задняя грань подпорной стенки
вертикальна, а угол трения ш==0.
Поле напряжений определяется компонентами
• " - - ¦ ..ч 1 —sin р , i w _ „ i „,, ^ _ п
а линиями скольжения как для невесомой, так и для весомой сред
являются параллельные прямые (рис. 72). Таким образом, нетрудно
установить, что
—sin P
Следует заметить, что решение задачи о давлении засыпки на
подпорную стенку по методу К. Кулона в этом случае приводит
к тем же результатам. Это естественно, так как прямая линия спол-
зания засыпки совпадает с одной из прямых линий скольжения,
а именно той из них, которая проходит через нижнюю точку задней
грани.

по
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[гл. ш
Ясно, что действительное давление на задней грани подпорной
стенки в точке О не должно быть отрицательным. Следовательно,
необходимо, чтобы
¦ sin р
^^" 1 — sin p •
Остановимся теперь на случае, когда предыдущее условие, на-
кладывающее ограничение на приведенное давление р, не соблюдено.
Расположим систему координат ху так, чтобы давление в точке О
задней грани было равно нулю. При этом
вдоль положительной полуоси х должно
быть приложено
- j ± -j ; .
1 — Sill р
Такое давление, как и в соответст-
вующей задаче § 9, следует рассматривать
как воздействие некоторого слоя высоты h,
лежащего над положительной полуосью х
(рис. 73). Поле напряжений в этом слое
дается следующим образом:
Из условия непрерывности компо-
ненты зу на положительной полуоси х
очевидно, что
Рис. 73.
- sin p
— sin p
— Р
Эта величина дает максимальную высоту слоя, которая не оказы-
вает на заднюю грань никакого давления и называется критической
высотой.
Следовательно, здесь необходимо рассматривать две зоны: непре-
дельную, занимающую слой над положительной полуосью х, и пре-
дельную, заполняющую засыпку под той же положительной полу-
осью х.
В непредельной и предельной зонах компоненты напряжения
определяются соответственно формулами B.39) и B.40). На границе
этих зон — положительной полуоси х, включая точку О, все компо-
ненты напряжения непрерывны.
Если угол трения по задней грани w —р, то уравнения предель-
ного равновесия в узком слое вдоль контактной прямой имеют про-
стые интегралы. При выводе этих интегралов ось х нужно направ-
лять вдоль задней грани подпорной стенки, а угол а — заменять на
угол [3.
Покажем, как построить приближенное решение вблизи контакт-
ной прямой — оси х, когда вдоль нее а = а(х) и ср = е. Считая,
§ 11] АКТИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ 111
что о — ${х), 'f — г и у малы, оценим в уравнениях A.28) порядок
различных членов и отбросим те из них, которые малы по сравне-
нию с остальными. Приближенно будем иметь
^-1_9яГг^»г0-^=0. C.05)
а вместе с тем
(? - •) = Т
Первое уравнение вместе с граничными условиями а = о(х) и
с? = s при у = 0 дает
о = а(*)[1—2 0? —e)tgp], C-07)
а второе уравнение преобразуется следующим образом:
д('у_-е)^__С1|
ду
:>'(*) —7
sinjp_—_
COS р
-]¦
Оно должно быть проинтегрировано с учетом граничного усло-
вия ;р = е при у=0, что, конечно, не представляет никакого труда
, _ctg_p_
2а (X)
I —Т
COS р
C.08)
Легко также преобразовать дифференциальные уравнения харак-
теристик
в том же узком слое. Полагая, что ср — е мало, приближенно
получим
dx T dx ь r i sin2 p
Остановимся на интеграле C.08) в частном случае, когда сыпу-
чая среда лишена сцепления (& = 0), а рассматриваемая задача не
имеет характерной длины /. Так как при этом величины
с'(х) =
У '/
не должны зависеть от /, то произвольная функция
а (х) = -у зох
и, следовательно,
2 L Oq cos p J x
Это соотношение, принадлежащее Т. Карману [68], будет получено
в § 25 как интеграл системы уравнений предельного равновесия для
весомого клина из идеально-сыпучей среды.

112
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ ПА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
х
у
Таблица 13
о 1
10
0,00
0,00
0,67
1,57
о.оо
0,00
0,57
1,71
0,00
0,00
0,-18
1,85
0/20
0.00
0,80
1,57
0,09
0,17
0,86
1,63
0,08
0,20
0,77
1,74
0,06
0,22
-0,70
1,83
0,-ю
0,00
0,93
1,57
0 29
0,17
0,99
1,62
О 17
0,35
1,04
1,67
0,14
0,38
0,96
1,76
0,11
0,42
0,89
1,83
0.60
0,00
1,07
1,57
0 49
0.17
!,12
1,62
0,38
0,35
1.17
1,66
0,25
0,52
1,22
1,'70
0,21
0,57
1,11
1,78
О 16
0,62
¦ 1 08
1,84
I
0.80
0,00
1.20
1.57
О 69
0 17
1 25
1.61
0,32
О 69
1,40
1.72
0 27
0,76
1.32
1,79
0.21
||.Ы
1 27
1,84
0
58
0.35
1
1
0
0
1
1
30
65
45
-32
35
69
0,53
0,69
1,53
1
0,38
0.87
1.57
1,74
0.32
0,94
1,50
1,80
0.26
1,00
1,45
1,85
1.00
0.00
1,43
1.57
0,90
0.17
1 39
1,61
0,78
0Д5
1.44
1.65
0,66
0,52
1,48
1,68
71 |
1,20
0,00
1,47
1,57
1,10
0.17
1,52
1,61
0 98
о',35
1,57
1,64
0 86
0 52
1.62
1,67
0,73
0,69
1 66
1,70
0,59
0,87
1.70
1,73
0,45
1.04
1.74
1,76
0,38
1,12
1.68
1,81
0,31
1,19
1.62
1.85
1,40
0 00
1,60
1,57
1,80
0,17
1,65
1,60
1.18
0.35
1.70
1,64
1,06
0,52
1 75
1,67
0,94
О 69
1,79
1,69
0,66
1,01
1,88
1,74
0,51
1,22
1,92
1,77
0.-13
1.30
1.85
1,82
0.36
1.38
1,80
1,85
".u(J
1.73
1,57
1 50
0.17
1.78
1.60
1.39
1 '.'io
1,83
1.6!
1.01
0.87
1,97
1.71
0.80 0,87
0.87 1.04
1,84 i 2.01
1,72 1.73
0.72
1,22
2,05
1,76
0,57
1.39
2,09
1,78
0.48
1,-19
2/J
1.82
1,80
0,00
1.87
1,57
1.70
0 17
1.92
1 59
0,35
1,97
1,63
1.17
0,52
2 01
1,65
1
1
1
,-10
.57
.98
.86
1.27
-.52
1.88
1.66
1.14
J 69
1,93
1,69
1,35
0.69
2.06
1,68
1,22
0.87
2.10
1 . / {)
1
1
2
1
0
1
2
1
0
1
2
i
08
04
14

93
2-)
18
75
78
39
22
77
0,62
1
2
1
57
26
79
0,53 I
1,67 !
2.19 ;
1,83
0,45
1,75
2,15
1,86
2,00
0,00
2.00
1,57
1.90
0,17
2,05
1.60
1,79
0,35
2 10
1,62
1,67
0,52
2,15
1,65
1,55
0,69
2,19
1,67
1,42
0 87
2,21
1,69
1,29
1.04
2.28
1,72
1.1-1
1,22
2,32
1,71
1,00
1.39
2 35
1,76
0 84
1,57
2.39
1,78
0,68
1.75
2,43
1,79
0,58
1,85
2,37
1,88
0 49
1,9-4
2,32
1,86
§ 11] АКТИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ 113
Таблица 13 (продолжение)
X
у
г
X
¦J
с
12
13
0.00
0.00
0,48
1.85
0,00
0,00
0.41
1.98
14
16
0,00
0,00
0,35
2,12
18
20
23
24
0 06
0,22
0.70
1.83
0 04
0.24
0 64
1.91
0 02
0,25
0.60
1,98
-0 12
0,34
0.52
2 12
0,11
0,-12
0.89
1,8.3
0.08
0.45
0,85
1.90
0,05
0,48
0 81
1,9-1
—0,12
0,60
0,76
2.03
—0,25
0.68
0,68
2.12
1
0,16
0.02
1.08
1.84
"Л
11.81
II 26 0,31
1,00 I 1,19
1.27, 1,151 1,62
1.84 : 1.85 1,85
0,12, 0,16
0,66 , 0 86
1.01 1,23
1,89 1.88
0,08
0.69
1 01
1,92
-0,10
0,83
0 97
1,99
-0 24
0,93
0,91
2,10
-о зб;
1,00
0,84
2,12
о,"И ' 0,25
1 05 J 1,25
1,11 ' 1,59
1,88 1,88
0.12
0 90
1.20
1.91
-0 07
1,05
1 16
1.97
0 23
1.16
1.12
2.02
-0.36
1 25
1.07
2,07
-0,48
1,32
1,00
2,12
0.15
1 10
1.38
1.91
-0 01 -
1,26
1.36
1.95
-0 21 I -
1.39 |
1,32
2,00
-0,35 -
1.48
1,27
2,04
-0 48
1,56
1,22
2,08
-0 59
1 63
1.16
2 12
0 19
1.30
1ДЮ
-0,01
1.47
1,54
1,95
-0.19
1.60
1,51
1,98
-0 34
1.71
1.47
2.02
-0,47
1.80
1,13
2,05
-0.59
1 87
1.37
2,09
-0,70
!,93
1.32
2.12
0.36
1,38
1,80
1.85
0.29
1,44
1.7
и °3
Ы9
1,74
1.90
0,02
1,67
1 72
l!94
-0.16
1.81
1.70
1.97
-0 32
1,93
1,66
2.00
-0.46
2,02
1,62
2.03
-0,59
2,11
1,58
2,06
-0,71
2,18
1,53
2,09
-0,82
2,24
1,47
2,12
IAS i
1,57
1 98
1,86
0,33
1 63
1.94 !
1.88 I
O.i 15
1 37
1 91
1.93
-0,14
2,02
1 88
1,96 |
-0 30
2,14
1,85
1,99
-0.14
2.24
1 82
2^01
-0 58
2,33
1.78
2,01
0,15
1,75
2.15
0,37
1.82
2,12
1.88
0,31
1,88
2.10
1,90
0.08
2.07
2 08
1.93
-0,11
2.22
2.116
1.96
-0 28
2.35
2.04
1,98
-0,13
2 46
2,01
2.00
-0 57
2.55
1.97
2,03
-0,70 I -
1,73
2.0/
-0,82
2 48
1 68
2.09
-0 93
2.54
1,62
2 12
1,69
2.64
1,93
2,05
-0,82
2,71
1,88
2,07
-0 93
2.78
1,83
2,10
-1 03
2,84
1.78
2,12
0 49
1,94
2,32
0,41
2,01 i
2,29 '
1,88 j
0,34
2,07
2,27
1,90
0,12
2,27
2,26
1,93
-0.08
2.42
2,24
1,95
-0,25
2,56
о 92
I! У 7
- 0,41
2,67
2,16
2,01
-0 68
2 86
2^12
2,03
-0,81
2 94
2 08
2,06
-0 93
3,02
2,03
2,08
I
-1.04
3,08
1,98
2.Ю |
-1,14
8.14
1,93
2 12
1288. В. В. Соколовский

114 ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ [ГЛ. III
Ниже изложено численное решение рассматриваемой задачи для р = 30%
= 110° и
в безразмерных переменных с характерной длиной I = po/f. Оно состоит
в заполнении табл. 13 по схемам второй и третьей краевых задач, приве-
денных в § 3.
х 2,0
Рис. 74.
В диагональные клетки 10.0, 9.1 0.10, соответствующие точкам
положительной полуоси х, внесены у = 0 и значения х, а вместе с тем
1 + sin р ' ? 2 *
Далее, в клетки 0.10, 0.11,..., 0.14 записаны х — у = 0 и значения
в порядке их возрастания, а также
Наконец, в диагональные клетки 0.14, 1.15, ..., 10.24, отвечающие точкам*
задней грани подпорной стенки, помещены
Вычисления во внутренних клетках таблицы по-прежнему проведены
по рекуррентным формулам A.49) и A.50), а в последних диагональных
клетках — по рекуррентным формулам A.50) при y=xtgS.
§ 12]
ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
115
Значения безразмерной величины
sin (Q — со)
bin Ь2
найдены по значениям а в диагональных клетках 0.14, 1.15, ..., 10.24, так что
у = 0,00 0,34 0,68 1,00 1,32 1,63 1,93 2,24 2,54 2,84 3,14
а =0,35 0,52 0,68 0,84 1,00 1,16 1,32 1,47 1,62 1,78 1,93
<7 = О,2О 0,30 0,39 0,49 0,57 0,67 0,76 0,84 0,93 1,02 1,11
На рис. 74 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
динатам узловых точек, приведенным в табл. 13.
§ 12. Пассивное давление засыпки на подпорные стенки
Перейдем теперь к нахождению пассивного давления засыпки
на подпорную стенку, считая, что подпорная стенка осуществляет
выпирание засыпки вверх, так что о =-¦—ш .<_ 0.
Отсюда ясно, что в зоне, примыкающей к положительной полу-
оси х, будут иметь место максимальное, а в зоне, примыкающей к задней
грани подпорной стенки, — минимальное напряженные состояния.
Итак, вдоль положительной полуоси х, ограничивающей засыпку,
по-прежнему
з = . Р {х) , 5 = 0, C.09)
1 S111 р ' V
а вдоль задней грани согласно A.17) при
ь1п (О + М)
должно быть
-со). C.10)
Легко видеть, что определение пассивного давления засыпки
на подпорную стенку аналогично нахождению максимального давления
на основание; эти задачи тождественны,
когда, 3 = -, со = 0.
Рис. 75.
Рис. 76.
Рассмотрим сначала поставленную задачу для невесомой среды,
считая, что //(х)>0, и выполним обычные построения на двух-
листной плоскости. Отрезок прямой A0Oi на листе / определен
уравнением C.09), а прямая О2Л3 на листе // — уравнением C.10). Эта
двухлистная область представлена на рис. 75, а в развернутом виде—
на рис. 76.

116
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[ГЛ. ill
§ 12]
ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
117
Данные вдоль Ai)Ol и Ofi2 остаются такими же, как обычно,
а вдоль O.2AS имеют вид
У = ATtg" р.
Здесь считается, что значение ср — сгх — 0 в точке Ог меньше
значения v =- ср., в точке О2 или, что »2>0. Это неравенство вслед-
ствие C.10) приводит к условию
ограничивающему угол fS.
Отображение комбинированной области на плоскость ху изобра-
жено на рис. 77. Отрезку характеристики ОгО2 соответствует одна
особая точка О.
Отметим, что если предыдущее неравенство не соблюдено, то
области А0ОА1 и А2ОА3 около точки О имеют общие части, что
указывает на возникновение
разрывов.
Значение приведенного
давления q = q0 в верхней
точке О задней грани может
Рис. 77.
Рис. 78.
быть выражено через значение приведенного давления р =-- р0
в точке О засыпки так:
<?o -=-- т-
C.11)
Обратимся теперь к решению той же задачи, но для весомой
среды, не накладывая на функцию р(х) ограничения монотонности.
Повторяя прежние рассуждения, рассмотрим на плоскости Ха трапе-
цию А0О1О2Ая, показанную на рис. 78. Данные вдоть А0Ох и ОУО„
остаются прежними, а вдоль О.,А3 будут
Общий характер расположения линий скольжения на плоскости ху
такой же, что и на рис. 77.
В частном случае, когда на границе засыпки равномерно распре-
делено приведенное нормальное давление р, рассматриваемая задача
особенно проста.
Для невесомой среды в областях AQOAi и А,ОЛ3 на плоскости xv
сетку линий скольжения образуют два семейства параллельных пря-
мых, а в области А1ОА2
одно семейство линий сколь- Р
жепия состоит из прямых,
проходящих через точку О,
а другое — из логарифми-
ческих спиралей (рис. 79).
Областям А0ОАХ и А2ОАЛ
на плоскости ху соответ-
ствуют точки О( и О2 на
плоскости Ег(, а области
AfiA, отвечает отрезок
характеристики Ofi-t.
Ясно, что приведенное
давление q на задней грани
подпорной стенки равномерно
ставлено так:
р sin (Q -V- о
Рис. 79.
распределено и может быть пред-
1 — sin
ып и
¦ exp [(Zji — ¦
C-12)
Для весомой среды линии скольжения па плоскости ху остаются
прямыми лишь в области А1)ОА1, а в остальных областях будут кривыми.
Отметим
теперь случай,
когда задняя грань подпорной
стенки вертикальна, а угол
трения ш — 0.
Поле напряжений
компонентами
.14- sin p
J-x " ' - ' I — мп р
а линиями скольжения как дчя
невесомой, так и для весомой
сред служат параллельные пря-
мые (.рис. 80). Итак, легко ви-
деть, что
т г П1Ш1» 1»-'
Рис. 8и.
Нужно заметить, что решение задачи о давлении на подпорную
стенку по методу К. Кулона в этом случае дает те же результаты,
так как прямая линия сползания засыпки совпадает с одной из

118
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[гл. ш
прямых линий скольжения, а именно с той из них, которая прохо-
дит через нижнюю точку задней грани.
Если угол трения засыпки по задней грани о> = р, то уравнения
предельного равновесия в узком слое вдоль прямой контакта до-
пускают интегралы. При выводе этих интегралов ось х нужно на-
правлять вдоль задней грани подпорной стенки, а угол а заменять
на угол р.
Нетрудно построить приближенное решение вблизи контактной
прямой — оси х, когда вдоль нее з —з(х) и з= --г. Считая, что
з — з(х), ъ -|-г и у малы, повторим соответствующие рассуждения § 11.
Приближенно будем иметь
C.13)
а также
,-к„ r-o;_ , j'(x). C.14)
ду ]y' > ' I cos p v ' v
Первое уравнение вместе с граничными условиями а — а (х) и
сь=--е при _у-=0 дает
o = 3(jf)[l+2(? + s)tgp], C.15)
а второе уравнение должно быть проинтегрировано с учетом гра-
ничного условия с. -^ -— s при _у = О, так что
. C.16)
Остается еще преобразовать дифференциальные уравнения харак-
теристик
Aч , , ,
полагая, что -$-\-г мало. Приближенно найдем
Aч , v -4- г йч ,
—,— = с? -4- ?.
Sill2 р
Обратимся теперь к интегралу C.16) в частном случае, когда
сыпучая среда лишена сцепления (/г = 0), а у рассматриваемой задачи
нет характерной длины I. Тогда произвольная функция
так что
clgp
sin
a0cosP
Это соотношение будет также найдено в § 25 как интеграл системы
уравнений предельного равновесия для весомого клина из идеально
сыпучей среды.
§ 12]
ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
119
Остановимся теперь на некотором обобщении прежних рассужде-
ний. Допустим, что засыпка ограничена криволинейным контуром,
наклоненным к горизонту под переменным углом а, вдоль которого
приложено приведенное давление р = р(а) с углом 3==3(а). Будем
считать, что эти функции непрерывны и допускают непрерывные
производные.
Нормальная и касательная компоненты приведенного давления,
как обычно, выражаются так:
оп 4-Я— /jcosS, тл — рsin 3.
Таким образом, из A.17) ясно, что
sin Д
1
у sin (Д — -до)' т
где, как всегда, обозначено
sin Д =
sin й
sin p '
Д
~2 •
Отсюда вытекает, что контур засыпки изображается на плоско-
сти ?¦/] в виде некоторой кривой. Это обстоятельство не вносит
каких-либо существенных усложнений.
Рис. 81.
Задачи о давлении засыпки на подпорную стенку могут быть
также разобраны, когда засыпка многослойна, т. е. состоит из не-
скольких однородных слоев с различными механическими свойствами —
с различными постоянными f, p и Н.

120
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕПКИ
ГЛ. Ill
Очевидно, что на горизонтальных прямых раздела соседних слоев
компоненты зу и -.ху или величины р и о должны быть непрерывны,
тогда как z может претерпевать конечный разрыв.
Покажем, например, как установить активное давление на под-
порную стенку двухслойной засыпки, ограниченной положительной
полуосью х, вдоль которой распределено приведенное нормальное
давление р— р (х). Механические свойства верхнею слоя даны по-
стоянными fj, Oj и Hlt а те же свойства нижнего слоя — постоян-
ными "]¦,' р2 н Hz (рис. 81).
Поля напряжений в областях AuOAlt А1ОА2 и А2ОАЛ в пределах
верхнего стоя как обычно определяются по данным вдоль горизон-
тальной границы засыпки и данным вдоль верхнего участка задней
грани подпорной стенки.
Аналогичным образом, поля напряжении в областях Bf!QBv В$13,
и B2QB?i в пределах нижнего слоя находятся по данным вдоль гори-
зонтальной прямой раздела слоев, отстоящей от границы засыпки
на расстоянии Ь, и данным вдоль нижнего участка задней грани.
Отметим частный случай, когда на горизонтальной границе засыпки
равномерно распределено приведенное нормальное давление р. зад-
няя грань подпорной стенки вертикальна,
а угол трения и> = 0.
При этом на границе засыпки и на
прямой раздела слоев, отстоящей от гра-
ницы на расстоянии Ь, равномерно распре-
делены приведенные нормальные давления
Очевидно, что приведенное нормальное
тавлепне зп-\-Н-[ --Ц\ па верхнем участке
задней грани имеет обычный вид
а приведенное давление -,г
нижнем участке будет
- H, —q, на
Рис. 82.
1 — sin
Линиями скольжения являются два семейства параллельных иря-
кых, пересекающихся в верхнем слое под углами 2г: = -!2 — - о1(
а в нижнем слое под углами 2г, = rJ2— р., (рис. 82).
Из приведенной задачи видно, как обобщить предыдущие методы
на многослойную сыпучую сред)-. Сначала следует определить ноле
напряжений в верхнем слое и приведенное давление вдоль границы
раздела, передаваемое на нижний слой. Затем нужно найти поле на-
пряжений в этом нижнем слое и приведенное давление вдоль сле-
дующей границы раздела. Продолжая эти рассуждения и далее, нужно,
§ 13]
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ. ЛОМАНЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
121
однако, следить за тем, чтобы при переходе через границу раздела
слоев не нарушалось неравенство
-ху | < (зу -)- Н) tg -j или | о I < о.
Многослойпость сыпучей среды может быть без труда учтена и
в других задачах о предельном равновесии. Останавливаться на этом
более подробно пет никакой необходимости.
В этих рассуждениях, конечно, совсем не обязательно, чтобы
границы слоев были горизонтальными прямыми; они могут быть на-
клонными прямыми или даже кривыми.
§ 13. Разрывные решения. Ломаные подпорные стенки
Распределение напряжений при предельном равновесии засыпки
для достаточно чалых углов {} непрерывно всюду, включая точку О.
если на задней грани выполнено неравенство
о ] -^ со <^ о.
Сначала определим активное давление засыпки на подпорную
стенку. В области А0ОА, как обычно,
1
а вместе с тем
или
р -|- '[У
1 -\- sin
eiu A
C.17)
Очевидное неравенство о <w, обеспечивающее отсутствие соскаль-
зывания по задней грани подпорной стенки, устанавливает следую-
щее условие:
?< 1(Q-Leo),
накладывающее некоторое ограничение на угол р.
Теперь, аналогичным образом, найдем пассивное давление засыпки
на подпорную стенку. В области А0ОА, как и ранее,
а потому
а= Р + 1У
1 — sin р
Р ~\~ 1У sm (^ — ^)
1 — sin p sin Д
= — (S — Д)
2 v ;
C.18)
или

122
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[ГЛ. III
Неравенство — S <; w, не допускающее соскальзывания по задней
грани, дает условие
р^^.B —<о),
ограничивающее угол J3.
Распределение напряжений при предельном равновесии засыпки
для углов J3, не удовлетворяющих предыдущим неравенствам, должно
сопровождаться линиями разрыва. Выше,
• v у О
рр
в § 10, уже было показано, что
?-=« + J— |(Д+3)
?+ = а + 2- (Д — 5) +
а также, что
а+ sin (Д -(- S)
а_ sin (Д— 5) '
IV
Начнем, как обычно, с определения
активного давления засыпки на под-
порную стенку.
Рассмотрим сначала задачу для невесомой среды и будем на пло-
скости ху различать две предельные области А0ОА и АОВ, разделен-
ные прямой линией разрыва ОА, как это изображено на рис. 83.
В этих областях А0ОА и АОВ соответственно
¦ sin р
И cp=P+l
Из условий B.41) и B.42) вдоль прямой линии разрыва следует,
что
а из C.02) очевидно, что
д =
Р sin (Д + 5)
1 -f- sin p sin (Д — 5) ' т '
sin (Д 4- 8) sin (ь> — а)
C.19)
1 4~ bi" P bin (Д — 6) sin 12
Заметим, что значение q, определяемое формулой C.19), несколько
больше соответствующего значения д, даваемого формулой C.03) для
тех же углов наклона C задней грани подпорной стенки, т. е. уже за
пределом ее применимости.
Построенное решение имеет место пока углы я <; C и ср-<~/2 или,
другими словами, пока выполнены условия
1 B + ш)< В < - — I B — о>)
устанавливающие пределы изменения угла р.
§ 13]
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ. ЛОМАНЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
123
Разберем ту же задачу для весомой среды, имея в виду, что
линия разрыва ОА теперь становится кривой.
В области А0ОА возникает простейшее поле напряжений, которое
нередко встречалось ранее и не нуждается в каких-либо пояснениях.
Из условий B.41) и B.42)
вдоль кривой линии раз- Р
рываОЛ в результате простых
преобразований следует, что ^
Р + 1У sin (Д + о)
1 -р- sin p sin (Д — 5)'
_ д
Рис. 84.
Перейдем теперь к нахож-
дению пассивного давления
засыпки на подпорную стенку.
Рассмотрим задачу для не-
весомой среды и будем на пло-
скости ху различать две предельные области А0ОА и АОВ, разде-
ленные прямой разрыва ОА, как это показано на рис. 84.
В этих областях А0ОА и АОВ соответственно
о =
1 — sin
.= 0 и cs^p — y + ^'
Из условий B.41) и B.42) вдоль прямой разрыва О А вытекает,
что
Д), 3 =
—8)
а из C.10) ясно, что
1 — sin p sin (Д -4- 8) '
sin (А — 5) sin (il
C.20)
1 — sin р sin (Д 4-в) sin --
Построенное решение справедливо, пока удовлетворены условия
1 (Q — ш)< р < -J — I B + о),
дающие пределы изменения угла C.
Остановимся на той же задаче для весомой среды, принимая во
внимание, что линия разрыва ОА теперь превращается в кривую.
В области А0ОА образуется простейшее поле напряжений, кото-
рое уже встречалось ранее и не требует дальнейших пояснений.

124
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ ПА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
(ГЛ. III
Из условий B.41) и B.42) вдоль кривой линии разрыва О А посте
простых преобразований вытекает, что
'^ ~2
но угол 3 опять-таки будет переменным.
Существенно отметить, что величина интервала изменения 6, в ко-
торой существуют разрывные поля напряжений как при активном,
так и при пассивном давлениях засыпки, равна ~, 2 — 2. Эта вели-
чина уменьшается с увеличением со и равна нулю при ш — р.
Остановимся тетерь на частной задаче о предельном равновесии
остроугольного невесомого клина без трения по боковым граням,
которая была решена Г. С. Шапиро [6"| и Р. Шилдом Г
-./.
\в.
а\/
как в этой за чаче у = О, q = Н и со
формула C.19) сразу же определяет
j, I -i- ,-in p
] Так
—0, то
Sill (Л f о)'
-а-
Ясно,
чго углы а и
C.21)
изменяются в пределах
приведенное нормальное давление
Рис. 85.
Следуя Р. Шплду, можно покачать,
углов а и 3 справедливы соотношения
что
1.
1 — bill p
при м;пых значениях:
а=A -j- sin о) |-,
C.22)
что вдоль положитетьной полуоси х пор-
которые устанавливают,
малыюе давление
Отсюда видно, что при фиксированном (р — H)/k }тлы а и ]3
возрастают с увеличением угла внутреннего трения р.
Нередко встречаются подпорные стенки, в которых задние грани
имеют переломы и состоят из нескольких прямолинейных участков.
Приступим, например, к исследованию активного давления засыпки
на подпорную стенку, у которой задняя грань обладает одним пере-
ломом и образована двумя прямолинейными участками, наклоненными
к оси х под углами р\ и р2.
Рассмотрим сначала поставленную задачу для невесомой среды,
следуя обычному порядку рассуждений, и выполним ряд построений
на четырехлистной плоскости ?tj. Полученные таким путем области
соединены вдоль отрезков характеристик О2А2, QtBt и Q2B2 в одну
четырехлистную область, изображенную на рис. 85, а в развернутом
виде — на рис. 86.
13]
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ. ЛОМАНЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
125
на
Отображение комбинированной области на плоскость ху показано
рис. 87. Отрезкам характеристик Ofi2 и Q,Q2 на плоскости щ
соответствуют особые точки О и Q на плоскости ху.
Рис. 86.
Рис. 87.
Значение приведенного давления q — q2Q в точке Q нижнего уча-
стка задней грани выражается через значение приведенного давле-
ния q=^qiq в той же точке Q верхнего участка
задней грани в таком виде
q>Q =9
Обратимся теперь к решению той же за-
дачи, но для весомой среды, и построим на
плоскости ).\i. комбинированную область со-
стоящую из прямоугольных треугольников и
прямоугольников, представленных на рис. 88.
Остальные рассуждения не представляют чего-
либо нового.
Общий характер расположения характери-
стик— линий скольжения на плоскости х\>
остается прежним, хотя форма их существенно
изменяется.
В частном случае, когда на границе засыпки
равномерно распределено приведенное нормаль-
ное давление р, рассматриваемая задача осо-
бенно проста.
Для невесомой среды в областях А0ОАи
плоскости ху сетку
п
р
о,
/
//
/
\i
4
А
¦ъ
4
в
д
"'я
4J
Рис. 88.
B.,QB3 и A2OQB1 на
линий скольжения образуют два семейства парал-

126
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[ГЛ. III
§ 13] РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ. ЛОМАНЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
127
лельных прямых, а в областях А1ОА2 и BXQB2 одно семейство линий
скольжения состоит из прямых, проходящих через точки О и Q,
а другое — из логарифмических спиралей (рис. 89).
Областям А0ОА1 и B2QB3 соответствуют на плоскости ?т) точки О2
и Q2, а области A2OQBi—точки О2 или Qi- Областям АХОА2 и BlQBl
отвечают отрезки характеристик Ofi2 и Q^Q2-
Рис. 89.
Очевидно, что приведенное давление q2 на нижнем участке зад-
ней грани по/шорной стенки равномерно распределено и может быть
выражено через приведенное давление qt на верхнем участке следую-
щим образом:
(р1 —p2)tgP].
Для весомой среды линии скольжения на плоскости ху остаются
прямыми только в области A0OAV а в остальных областях будут
кривыми.
Ниже изложено численное решение рассмотренной задачи для р = 30°,
ш = 20°, р, = 90°, р2 = 120", р—--\Ь, #=0 в безразмерных переменных
с характерной длиной l — b. Оно состоит в заполнении табл. 14 по схемам
второй и третьей краевых задач, приведенных в § 3.
Порядок заполнения таблицы останется прежним, а значения х, у и с, <р
в клетках 6.0, 6.1 6.8 найдены путем интерполяции.
В диагональные клетки 0.2, 1.3,..., 6.8, соответствующие точкам верх-
него участка задней грани, записаны значения
х 0.6 О.4 0,2 0,0 -0,2 -0.4 -0,6

128
—?
У
_ср
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ [ГЛ. Ill
Таблица 14
§13]
0,00
0,00
0,67
1,57
0,00
0,00
0,59
1,47
0,00
0,00
0,53
1,37
0,06
0,10
0,73
1,57
0,05
0,11
0,67
1,48
0,04
0,12
0,61
1,40
0,00
0,17
0,62
1,37
0,12
0,20
0,80
1,57
0,10
0,22
0,75
1,50
0,09
0,24
0,69
1,42
0,04
0,30
0,70
1,39
0,00
0,34
0,71
1,37
0,17
0,30
0,87
1,57
0,16
0,33
0,82
1,50
0,13
0,36
0,78
1,44
0,09
0,42
0,79
1,41
0,04
0,47
0,79
1,39
0,00
0,52
0,80
1,37
X
У
а
—9
X
У
7
я
10
0,23
0,40 ' 0,50
0,93 1,00
1,57 1,57
0,21
0,44
0,89
1,51
0,18
0,47
0,85
1,45
0,14
0,53
0,87
1,43
0,09
0,59
0,88
1,41
0,04
0,65
0,89
1,39
0,29 | 0,33
0,5
1,05
1,57
0,26 I 0,30
0,54
0,97
1,52
0,23
0,59
0,93
1,46
0,18
0,65
0,95
1,44
0,14
0,71
0,96
1,42
0,09
0,62
1,02
1,52
0,27
0,66
0,99
1,47
0,22
0,73
1,00
1,45
0,17
0,80
1,02
1,43
0,39
0,67
1,11
1,57
0,35
0,72
1,09
1,52
0,32
0,78
1,06
1,48
0,27
0,85
1,08
1,46
0,22
0,91
1,10
1,44
0,77 0,86
0,97 , 1;о3
1,40 I1 1,41
0,12 ; 0,17
0,00 0,04
0,70 0,82
0,89 0,98
1,37 i 1,39
0,00
0,87
0,98
1,37
0,08
0,91
1,04
1,40
0,03
0,96
1,04
1,38
0,98
1,11
1,43
0,08
1,09
1,13
1,40
0,00 ' 0,04 [ 0,09
1,00 1,13 I 1,25
1,05 i 1,14 1,22
0,44
0,77
1,18
1,57
0,41
0,83
1,16
1,53
0,37
0,89
1,14
1,48
0,32
0,96
1,16
1,47
0,27
1,03
1,18
1,45
0,22
1,10
1,19
1,44
0,12 I 0,17
1,04 1,16
1,12 , 1,21
1,41 | 1,42
0,12
1,22
1,22
1,41
0,50
0,87
1,25
1,57
0,46
0,93
1,23
1,53
0,42
1,00
1,21
1,49
0,32
1,15
1,26
1,46
0,26
1,21
1,27
1,44
0,17
1,34
1,30
1,42
0,13
1,38
1,31
0,56
0,97
1,31
1,57
0,52
1,04
1,30
1,53
0,47
1,11
1,29
1,49
0,37 J 0,42
1,07 1,19
1,24 , 1,31
1,47 | 1,48
0,37
1,26
1,33
1,47
0,31
1,33
1,35
1,45
0,22 | 0,26
1.28 1,40
1.29 1,37
1,43 1,44
0,22
1,46
1,38
1,43
0,62
1,07
1,38
1,57
0,57
1,14
1,37
1,54
0,53
1,22
1,36
1,50
0,47
1,30
1,39
1,48
0,42
1,37
1,41
1,47
0,31
1,51
1,45
1,45
0,26
1,58
1,46
1,43
12
0,68
1,17
1,45
1,57
0,63
1,25
1,44
1,54
0,58
1,32
1,43
1,50
0,52
1,41
1,46
1,49
0,47
1,49
1,49
1,48
0,36 !; 0,41
1.45 1,56
1,43 1,51
1.46 1,46
0,36
1,63
1,53
1,45
0,31
1,70
1,55
1,44
0,18 j 0,23 I 0,28
1,50 1,62 1,74
1,39 , 1,47 , 1,56
—?
X
У
a
—?
9
1,37
0,00
1,00
0,90
1,24
1,38
0,03
1,14
1,00
1,27
1,40
0,06
1,28
1,10
1,29
1,41
0,10
1,42
1,19
1,31
1,42
0,14
1,55
1,28
1,33
1,43
0,18
1,68
1,37
1,34
1,43
0,22
1,82
1,46
1,36
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ. ЛОМАНЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ 129
Таблица 14 (продолжение)
1
10
0,00
1,00
0,90
1,24
0,03
1,14
1,00
1,27
0,00 0,01
1,00 1,16
0,77 0,88
1,11 1,16
0,00
1,00
0,67
0,00
1,17
0,79
0,98 1,05
0,06
1,28
1,10
1,29
0,03
1,31
0,99
1,20
0,00
1,33
0,90
1,11
0,10
1,42
1,19
1,31
0,06
1,46
1,09
1,23
0,02
1,49
1,01
1,16
10
0,14
1,55
1,28
1,33
0,09
1,60
1,19
1,25
0,03
1,64
1,12
1,19
И
0,18
1,68
1,37
1,34
0,12
1,74
1,29
1,28
0,06
1,79
1,23
1,22
—9
14
15
-0,27
1,46
0,64
0,85
1
X
У
а
-9
X
У
16
17
—0,30 —0,31 —0,30
1,67 1,86 2,05
0,80
0,96
-0,41
1,72
0,69
0,85
0,95
1,03
-0,45
1,94
0,86
0,95
-0,57
1,98
0,74
0,85
-9
18
1,09
1,08
—0,46
2,14
1,02
1,02
-0,60
2,21
0,92
0,95
-0,73
2,26
0,80
0,85
12
0,22
1,82
1,46
1,36
0,15
1,88
1,39
1,29
0,09
1,94
1,33
1,24
X
1
0,00
V ¦ 1,00
а
-9
X
У
а
-<?
14
14
i 0,57
0,85
—0,03
1,18
0,70
0,96
-0,13
1,22
0,60
0,85
—0,03
1,35
С,83
1,04
-0,15
1,42
0,75
0,96
-0,03
1,52
1,05
1,09
-0,16
1,60
0,89
1,03
-0,02
1,68
1,05
1,13
-0,16
1,78
1,02
1,09
0,00
1,84
1,17
1,17
-0,15
1,95
1,14
1,13
0,02
2,00
1,27
1,20
—0,13
2,12
1,26
1 1Й
1,10
-0,29
2,23
1,22
1,12
—0,46
2,34
1,16
1,07
—0,62
2,43
1,08
1,01
-0,77
2,50
0,99
0,94
—0,90
2,55
0,86
0,85
9 Зак. 1288. В. В. Соколовский

130
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[ГЛ. III
а в диагональные клетки 6.12, 7.13,..., 12.18, отвечающие точкам нижнего
участка задней грани, помещены значения
Вычисления во внутренних клетках проведены по рекуррентным форму-
лам A.49) и A.50), а в диагональных клетках — по рекуррентным формулам
A.50) при у = 0 или по рекуррентным формулам A.50) при у = 1 + х tg pi.
Значения безразмерной величины
п__^ Sin (О — а)
определены по значениям а в диагональных клетках 0.2, 1.3, ..., 6.8 и 6.12,
7.13, ..., 12.18, так что
у =0,00 0,17 0,34 0,52 0,70 0,87 1,00 1,00 1,22 1,46 1,72 1,98 2,26 2,55
а = 0,53 0,62 0,71 0,80 0,89 0,98 1,05 0,57 0,60 0,64 0,69 0,74 0,80 0,86
q = 0,30 0,35 0,41 0,46 0,51 0,57 0,60 0,33 0,35 0,37 0,40 0,43 0,46 0,49
Ha рис. 90 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
динатам узловых точек, приведенным в табл. 14.
§ 14. Криволинейные подпорные стенки
До сих пор рассматривались подпорные стенки с прямолинейными
задними гранями. Теперь необходимо обратиться к подпорным стенкам,
у которых задние грани криволинейны.
Предельное равновесие засыпки, вообще говоря, сопровождается
кривыми линиями разрыва. Условия разрыва вдоль таких линий, выве-
денные ранее, остаются справедливыми и не нуждаются в каких-либо
дополнительных пояснениях.
Займемся [б2] определением активного давления на контуре под-
порной стенки, предполагая, что в верхнем слое засыпки, располо-
женном над осью х, задано обычное простейшее поле напряжений.
Таким образом,
Р + 1У .. *
1 —|— sin р " ^ 2 '
а вдоль соответствующей дуги контура имеют место
п___Р + -(У sin(A + 5) D l ,A ,
или
о. -)-//=
—[— sin
- sin p sin Д
-A -f- sin р cos
хп = -Л+Т:У
п 1 -\- sin р
sin Р sin 2В.
В области А0ОА, представленной на рис. 91, возникает такое
же простейшее поле напряжений, как и в верхнем слое.
с
14] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
Теперь вдоль линии разрыва ОА опять-таки
г_ Р + 1У sin (А+ 5)
1+sinp sin (Д — 5) ' v
131
C.23)
а вдоль контура ОВ по-прежнему
sin (Q — ш)
¦«о.
C.24)
sin il
но угол р уже будет переменным.
Отметим наиболее интересные частные случаи этого контурного
условия
(о = 0 и о) = р,
когда соответственно
ср = р и ср =
J+e.
Точка О контура подпорной стенки
должна быть выбрана так, чтобы ком-
поненты з„ и тл были непрерывны.
Легко видеть, что линия разрыва О А и
контур ОВ имеют общую касательную
наклоненную к оси х под углом
1 ,п , ..ч
Рис. 91.
В области АОВ может быть построено решение уравнений A.45)
и A.46) по данным C.23) и C.24) четвертой краевой задачи.
Значение а = а0 в точке О связано с приведенным давлением /)
следующим образом: „
р sin (9. 4- ш)
J° 1 -{- sin о sin (Q — со) ' х
Если угол трения м = р, то
Рис. 92.
а линия разрыва переходит в прямую л/ „JR^- •„
линию скольжения.
Рассмотрим частный случай, когда
ш = 0 и йо = 0, а контур подпорной
стенки имеет в точке О горизонтальную касательную (рис. 92). По-
кажем, как построить приближенное решение около точки О в замк-
нутой форме. Будем считать, что а — а0, ср и х, у малы, а также, что
9*

132 ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
отношение у/х мало, причем
т =—?—
~° 1 — sin р
Рассуждения § 10 дают прежние приближенные
ду л ,, . да . с
-§у = 0' A—snip) —= т —2злктп-
и такие же интегралы
с? = ср (*), A — sin р) с ц — ^о0 sin р ср' [х)\ у
содержащие две произвольные функции f (х) и <f(x).
Условия вдоль кривой ОА имеют вид
л..
[гл. ш
•-l"t — 2aQsinp<f'(x)]y + f(x)t C.26)
dx
а условия вдоль кривой ОВ будут
C.27)
P = ? = "i- C-28)
Интегралы C.26) после определения произвольных функций f (х)
и ср(лг) из условий C.27) и C.28) дают уравнение кривой О А, а также
функции а и у. Действительно,
а дифференциальное уравнение
^A+ЯШр)_
вместе с граничными условиями _у = 0 при х = 0 устанавливает, что
уравнение кривой ОЛ имеет вид
~
C.29)
__ х
— ~Г,~ » \0.o\J)
Искомые функции о и ср окончательно будут
_ jpsin р C sin р — 1)х3 — 2R0 Bа0 sin р — fR0) у
о (Зл , с
0 2У?^A—sinp) ^о
где /?0 есть радиус кривизны кривой ОВ в точке О.
Нетрудно видеть, что формулы B.50) и C.30) дают одинаковые
результаты при р = Н к /?0 = C//sinp)/y.
Наибольший интерес здесь представляет приведенное нормальное
давление q на самом контуре подпорной стенки вблизи верхней точки О.
Приближенно оно равно
¦-и /
Отсюда следует, что при фиксированных "[У>1р и Р/Т^о отноше-
ние qlp убывает с увеличением угла внутреннего трения р.
§
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
133
Обратимся теперь к уравнениям, описывающим плоское предель-
ное равновесие сыпучей среды, но применяя криволинейные ортого-
нальные координаты специального вида.
Выберем за такие криволинейные координаты х и у соответ-
ственно длину дуги О А какого-нибудь контура, отсчитанной отточки О,
и длину нормали АВ (рис. 93). Вместе
с тем обозначим через
радиус кривизны этого контура в точ-
ке А.
Очевидно, что квадрат бесконечно ма-
лого элемента длины ds напишется так:
а коэффициент М. Ламе равен
У
Рис. 93.
Дифференциальные уравнения равновесия в принятых криволиней-
ных координатах имеют вид
дх~г& ду R
а предельное условие будет
C.32)
Вспомним, что компоненты напряжения на основании A.21) могут
быть представлены через две новые переменные з и w следующим
образом:
'* 1 = а A ± sin p cos 2?) — Я, ^ху = а sin p sin 2cp.
Внося эти выражения в дифференциальные уравнения равновесия
C.31), придем к основной системе уравнений:
,, , . -, . да . . . п да \
A -+- sin о cos 2'о) -^ \- sin p sin 2'os -^
vi , '' дх ' г 'ь ду
C.33)
sin p sin 2? — ¦+- A — sin P cos 2?) S 37'

134
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[ГЛ. III
Умножая первое уравнение на sin (ср ± е), а второе на - cos (cp±s)
и складывая, будем иметь
sin (i. + p)
COS
cos (Ъ - e) -L
COS (a + p)
COS p
-Jsin(cp з: s) =0. I
C.34)
Легко видеть, что эти системы уравнений переходят в системы
A.27) и A.28), когда радиус кривизны R неограниченно возрастает,
а контур у _= 0 становится прямолинейным.
Если угол трения засыпки по задней грани ш —о, то уравнения
предельного равновесия в узком слое вдоль контактного контура
имеют простые интегралы. При выводе этих интегралов контур _у=0
следует совмещать с контуром подпорной стенки, а угол а заменять
на угол р.
Покажем, как получить приближенное решение вблизи контактного
контура, когда вдоль этого контура а = а(х) и cp = s. Считая, что
а — o(jf), ср— гну малы, оценим в уравнениях C.34) порядок раз-
личных членов и отбросим те из них, которые малы по сравнению
с остальными. Приближенно найдем
C.35)
а вместе с тем
= -^T^J^ + Aa(x)tgp~a'W.C.36)
Первое уравнение вместе с граничными условиями а = а(д-), s = г
при )> = 0, как обычно, дает
o=3(*)[l- 2(? —s)tgp].
а второе уравнение окончательно будет
Sin C
C.37)
(?_гK_ clgp Г ,, .
Ту — Щх) Г (Х'
C —рI 1
^ J ~ R ¦
Оно должно быть проинтегрировано с учетом граничного условия
ср —е при у=0, а именно
Л2 C'SP Г // л S
sin C -
COS р
-^. C.38)
Необходимо также преобразовать дифференциальные уравнения
характеристик
§14]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
135
Таблица 15
0,46
0,11
8,70
0,48
;о
0,11
8,84
0,50
0,52
0,15
8,32
0,55
0,55
0.11
8,98
0,51
0,57
0,15
8,45
0,57
0,59
0.19
7,95
0,63
0,61
0,15
8,56
0,58
0,63
0,19
8,04
0.64
0,65
0,15
8,66
0,59
0,67
0,20
8,14
0,65
0,64 0,68
0.23 0,24
7.56 7,65
0,70 0,71
0,70
0,28
7,18
0,77
0.72
0,21
8.23
0,66
0,73
0,25
7,74
0,72
0,75
0,30
7,26
0,78
0,76
0,35
6,70
0,86
10
11
12
0,76
0,21
8,32
0,68
0,78
0,26
7,83
0,73
0,80
0,31
7,35
0,80
0,81
0,37
6,78
0,87
0,81
0,42
6,24
0,95
0,84
0,27
7,90
0,75
0,85
0,32
7,42
0,81
0,86
0,39
6,86
0,88
0,87
0,45
6,31
0,96
0,87
0,51
5,71
1,06
0,89
0,29
7,98
0,76
0,90
0,34
7,50
0,82
0,92
0,41
6,93
0,89
0,92
0,47
6,38
0,97
0,93
0,54
5,78
1,07
0,92
0,6'
5,2С
1,1
10
12
0,97
0,36
7,57
0,83
0,98
0,43
7,00
0,90
0,99
0,50
6,45
0,98
1,04
0,38
7,64
0,84
1,05
0,46
7,07
0,91
1,06
0,54
0,52
0,99
0,99
0,58
5,85
1,08
0,99
0,66
5,27
1,18
0,97
0,75
4,57
1,32
1,06
0,62
5,92
1,09
1,05
0,71
5,34
1,19
1,03
0,81
4,65
1,32
0,99
0,90
3,99
1,47
1,15
0,50
7,15
0,93
1,16
0,59
6,70
1,01
1,16
0,69
6,00
1,10
1,15
0,79
5,43
1,20
1,12
0,91
4,75
1,33
1,08
1,02
4,09
1,48
0,98
1,17
3,09
1,74
1,26
0,55
7,23
0,94
1,26
0,65
6,69
1,02
1,26
0,76
6,09
1,11
1,25
0,87
5,53
1,21
1,22
1,01
4,85
1,34
1,17
1,14
4,20
1,49
1,04
1,33
3.22
1,74
1,47
2,26
2,07

136 ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫЛКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
полагая, что ср-е мало. Приближенно
[гл. ш
dy — -
sin2 p '
Эти интегралы, естественно, переходят в интегралы C.07) и C.08),
когда радиус кривизны R неограниченно возрастает, а контур под-
порной стенки становится прямолинейным.
Ниже изложено численное решение рассмотренной задачи при круговой
подпорной стенке радиуса R для р = 30°, <л = 0 и р = b-(R в безразмерных
переменных с характерной длиной / = R. Оно состоит в применении прибли-
женных формул вблизи точки О и в заполнении табл. 15 по схеме четвертой
краевой задачи, приведенной в § 3.
¦г 12
Рис. 94.
В диагональных клетках 2.0, 4.1, ..., 12.5, соответствующих точкам линии
разрыва, вычисления выполнены по рекуррентным формулам A.49) и формуле
вместе с условиями
' = Уа + (х~.
Р + У sin (Д -f i
+ sin
! А
Аналогичным образом, в диагональных клетках 0.0, 1.1, ..., 12.12, отве-
чающих точкам контура подпорной стенки, вычисления выполнены по рекур-
рентным формулам A.50) при х = sin с, у = 1 — cos 9-
Вычисления во внутренних клетках таблицы, как всегда, проведены
по рекуррентным формулам A.49) и A.50).
§ 15]
ПАРНЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
137
Значения х, у и а, определяющие кривую ОА, следующие:
х = 0,00 0,20 0,31 0,43 0,55 0,65 0,76 0,89 1,04 1,26
у =0,00 0,02 0,04 0,07 0,11 0,15 0,21 0,29 0,38 0,55
а = 0,00 0,15 0,23 0,31 0,38 0,44 0,50 0,55 0,61 0,68
а значения [3 и безразмерной величины д вдоль кривой ОВ таковы:
Р = 0,00 0,21 0,33 0,39 0,48 0,55 0,63 0,70
? = 5,00 4,86 4,67 4,55 4,35 4,16 3,97 3,78
fi = 0,77 0,86 0,95 1,06 1,17 1,32 1,47 1,74
3,35 3,12 2,85 2,60 2,29 1,99 1,54
На рис. 94 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
динатам узловых точек, приведенным в табл. 15.
§ 15. Парные подпорные стенки
Наряду с отдельными подпорными стенками приходится также
рассматривать парные подпорные стенки, как параллельные, так и
непараллельные.
Эта задача по-прежнему имеет два решения: одно из них опреде-
ляет активное давление от напора засыпки, а другое дает пассивное
давление от отпора той же засыпки.
Обратимся, например, к изучению активного давления засыпки
на парные подпорные стенки, у которых задние грани параллельны
и вертикальны. Покажем, что решение этой задачи существенным
образом зависит от взаимного расположения подпорных стенок.
Если расстояние между подпорными стенками достаточно велико,
так что крайняя линия скольжения, проходящая через нижнюю точку
задней грани, пересекает границу засыпки, то определение давле-
ния на эту подпорную стенку аналогично предыдущему; если же
расстояние между подпорными стенками достаточно мало, так что та
же линия скольжения не доходит до границы засыпки, то нахож-
дение давления на подпорную стенку связано с дополнительными
рассуждениями.
Так как при активном давлении подпорные стенки удерживают
засыпку от оседания вниз, то на правой задней грани угол о = ш^>0,
а на левой задней грани угол 3 = — ш ^ 0.
Таким образом, вдоль правой задней грани вследствие A.17)
при у. = -|~ 1 и 8 = (о по-прежнему
? = -^ + 4-^-Ч C.39)
sin (Q — ш)
3 sin 12
а вдоль ле;юй задней грани согласно A.17) при -х. == —|— 1 и 3 = — ш
опять-таки
Я = ?Щ=А, ? = ^-i(Q-«0. C.40)

138
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[гл. ш
15]
ПАРНЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
139
Рассмотрим сначала задачу для невесомой среды, следуя обычному
порядку рассуждений, и выполним ряд построений на многолистной
плоскости Ъ\.
Полученные области соединены в одну комбинированную область,
изображенную на рис. 95, пу-
тем скрепления листов вдоль
одноименных отрезков характе-
ристик. В развернутом виде
комбинированная область пред-
ставлена на рис. 96.
Рис. 95.
Данные вдоль прямых А02А13Аи и А,ОА31АК, соответствующих
задним граням подпорных стенок, имеют вид
х = — а, и х = а.
Эти данные дают возможность определить решения первой, вто-
рой и третьей краевых задач для уравнений A.35) в прямоугольных
треугольниках и прямоугольниках, нанесенных на плоскости bj.
Отображение комбинированной области на плоскость ху пред-
ставлено на рис. 97. Отрезкам характеристик А01А09 и Л10Л20 соот-
ветствуют на плоскости ху особые точки Р и Q.
Переходим теперь к решению той же задачи для весомой среды
и нанесем на плоскости Хр, комбинированную область, составленную
из прямоугольных треугольников и прямоугольников, как это пока-
зано на рис. 98.
Данные вдоль прямой A02A13A2i, соответствующей правой задней
грани, имеют вид
__ л , 1 /Г1
х — — а, ср = -g- Чг j (-!— «О,
а вдоль прямой A20A3lAi2, отвечающей левой задней грани, будут
Эти данные позволяют найти решения первой, второй и тре-
тьей краевых задач для уравнений A.45) и A.46) в соответствую-
щих прямоугольных треугольниках и прямоугольниках, нанесенных
на плоскости Х[а.
Приведенные выше рассуждения как для невесомой, так и для
весомой сред, очевидно, могут быть продолжены и далее.
Укажем также, что задача значительно упрощается, когда пре-
дельное равновесие засыпки обладает симметрией относительно оси у.
При этом достаточно исследовать
лишь правую половину полуполосы,
считая, что вдоль положительной
полуоси у угол ср = я/2.
В частном случае, когда вдоль
границы засыпки равномерно рас-
Рис. 97.
Рис.
пределено приведенное нормальное давление р, рассматриваемая
задача особенно проста.
Для невесомой среды будем различать на плоскости ху области,
изображенные на рис. 99.
В областях ОРАп, А12РА13 и AUPAV> поля напряженки и сетки
линий скольжения остаются такими же, как и в § II. Этим областям
соответствуют на плоскости Ъ\ две точки Ап, А12 и отрезок харак-
теристики АпА12.
Определение полей напряжений и сеток линий скольжения в осталь-
ной части полосы приводит к поочередному решению третьих крае-
вых задач для уравнений A.35) совместно с обычными интегралами
A.37) и A.39).

140
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[гл. щ
Так, например, в области АпА12А22 на плоскости ху указанное
решение уравнений A.35) может быть построено по данным
cos (щ —
вдоль отрезка характеристики АпА12 и по значению х = 0 вдоль
отрезка АпА22 оси у.
В области A12A13A23A2i на той же плоскости лгу должны быть,
как всегда, применены интегралы A.39). Произвольная постоянная D
выражается через значения о и о в области
А12РА13, а произвольная функция g (у) опре-
_х деляется по значениям х = х(у) и у= y(f)
~О\ ' ' ' ' ]МУ/У// * вдоль отрезка характеристики А12А22. Таким
I /llvY/ ' образом,
Р
sin р
а сетка линий скольжения состоит из семейства
параллельных прямых и семейства изогональных
кривых.
В области A13A23A2i решение уравнений
A.35) может быть найдено по значениям х
и у вдоль отрезка характеристики А13А23 и
по значению х = — а вдоль участка A13A2i
задней грани.
Для весомой среды линии скольжения на
плоскости ху остаются прямыми лишь в об-
ласти ОРАп, а в остальных областях будут
кривыми.
Нахождение полей напряжений и сеток линий скольжения приво-
дит к поочередному решению вторых и третьих краевых задач для
уравнений A.45) и A.46).
Предыдущие рассуждения как для невесомой, так и для весомой
сред, очевидно, могут быть без особого труда продолжены сколь
угодно далеко.
Отметим, наконец, случай, когда задние грани подпорных стенок
вертикальны, а угол трения ш = 0.
Поле напряжений во всей полуполосе определяется следующими
компонентами
Рис. 99.
= Р-\~ЧУ, %v = 0.
> 15]
1
i
'1 !
)
|
I
1 i
— X
\. i
j \
v ^
l о
— ?
— X
у
1
— о
— л;
у
a
— т
— X
V
a
-9
— X
2
3
\ '¦ V
i I 4
1 — ? '
— X
у
-9
5
— x ,
v
1 У '
I
i ' — X
\ ' ^
1
i 7
-9
j
! — x
У
I
8
-9
1
_,
У
a
9
-1? i
— X
у
a ! 10
'-?
V"
У
— 9
~*
У
— 9
11
12
0
1,00
0,00
0,67
1,57
1,00
0,00
0,59
1,47
1,00
0 00
0,53
1,37
1
1
0,80
0,35
0,90
1,57
0,82
0,38
0,85
1,51
0,84
0,41
0,81
1,44
1,00
0,60
0,84
1,37
ПАРНЫЕ ПОДПОРНЫЕ
2
0,60
0,69
1,13
1,57
0,63
0,75
1,10
1,52
0,67
0,80
1,08
1,48
0,84
1,03
1,14
1,42
1,00
1,22
1,16
1,37
3
0,40
1,04
1 36
1,57
0,44
1,11
1,35
1,53
0,49
1,18
1,34
1,50
0,68
1,44
1,41
1,45
0,84
1,66
1,46
1,41
1,00
1,84
1,49
1,37
4
0,20
1,39
1,59
1,57
0,25
1,47
1,59
1,54
0,31
1,56
1,59
1,51
0,50
1,84
1,68
1,47
0,68
2,08
1,75
1,43
0,84
2,28
1,79
1,40
1,00
2,46
1,82
1,37
5
0,00
1,73
1,82
1,57
0,06
1,83
1,83
1,55
0,12
1,93
1,84
1,52
0,32
2,23
1,95
1,48
0,51
2,48
2,02
1,45
0,68
2,71
2,08
1,42
0,84
2,91
2,12
1,40
1,00
3 09
2 14
1,37
6
0,00
1,93
1,85
1,57
0,06
2,04
1,86
1,54
0,26
2,35
1,98
1,51
0,45
2 62
2;07
1,48
0,62
2,86
2,14
1,45
0,79
3,07
2,18
1,42
0,94
3,26
2 22
1*39
1,00
3,33
2,19
1,37
СТЕНКИ
7
0,00
2,15
1,88
1,57
0,20
2,48
2,01
1,53
0,38
2,76
2,11
1,50
0,55
3,01
2 19
1,47
0 72
3 23
2,25
1,44
0 88
3,43
2,29
1,42
0,94
3 51
2,27
1,40
1,00
3,58
2 24
1,37
8
0,00
2,84
2 17
1,57
0,18
3,15
2,29
1,54
0,36
3.42
2.39
1,51
0,53
3,67
2,47
1,48
0,69
3,89
2,53
1,46
0,75
3,98
2,52
1,44
0,82
4,07
2,oO
1,42
1,00
4,28
2 47
1,37
9
0,00
3,48
2,43
1,57
0,18
3,77
2,55
1,54
0,34
4,0-1
2,64
1,52
0,51
4,28
2,72
1,49
0,58
4,38
2,72
1,48
0C5
4,49
2,72
1,45
0,84
4,73
2,71
1,41
1 00
4,92
2,68
1,37
Та
10
0,00
4,09
2 68
1,57
0,17
4,37
2,79
1,55
0,33
4,63
2,88
1,52
0,41
4,74
2,89
1,50
0,49
4 86
2,90
1,48
0,68
5,13
2 91
1,44
0 85
5,34
2,90
1,41
1,00
5,52
2,87
1,37
141
блица 16
•l
u
12
i, i,
0,00
4,67
2,91
1,57 !
0,16 0,00
4,95 , 5,24
3,02 ! 3,14
1,55
1,57

142
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[ГЛ. III
а линиями скольжения являются параллельные прямые. Таким образом
нетрудно видеть, что
7.2 -х
( — sin p
Очевидно, что действительные давле-
ния на задних гранях подпорных стенок
в верхних точках Р и Q не могут быть
отрицательными. Поэтому необходимо,
чтобы
г ^ ¦ 1 — sin р
Аналогично предыдущему могут быть
без особого труда рассмотрены парные
подпорные стенки, у которых задние грани
непараллельны.
Ниже дано численное решение рассмотрен-
ной задачи для р = 30°, а> = 20°, р — -{а, Н — 0
в безразмерных переменных с характерной
длиной / = а. Оно сводится к заполнению
табл. 16 по схемам второй и третьей краевых
задач, приведенных в § 3.
--В клетки 0.0, 1.0, ..., 5.0, соответствую-
щие точкам характеристики РАц, внесены раз-
личные значения х и у, а кроме того,
Р + У
1 -f- sin p ' f 2 '
Далее, в клетки 0.0, 0.1, 0.2 записаны
: = —1, у = 0 и ср в порядке их возрастания,
Т Я I/ M/ С
а также
- sin р
ехр [(;-.-2») tgo].
Наконец, в диагональные клетки 5.0,
6.1, ..., 12.7, соответствующие оси симметрии,
внесены х = 0, ср — ъ/2, а в диагональные клет-
ки 0.2, 1.3, ..., 10.12, отвечающие задней грани,
помещены
Вычисления в диагональных клетках, со-
ответствующих точкам оси симметрии, выпол-
Рис. 100. няются по рекуррентным формулам A.49)t
а в диагональных клетках, отвечающих точ-
кам задней грани, — по рекуррентным формулам A.50).
Значения безразмерной величины
4
sin A2 — ш)
16]
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ
143
находятся по значениям с в диагональных клетках 0.2, 1.3, ..., 10.12, так
что:
у =0,00 0,60
: = 0,53 0,84
0,30 0,48
(/
1,22
1,16
0,67
1,84
1,49
0,86
2,46
1,82
1,04
3,09
2,14
1,23
3,33
2,19
1,26
3,58
2,24
1,29
4,28
2,47
1,42
4,92 5,52
2,68 2,87
1,54 1,65
На рис. 100 построена сетка характеристик — линий скольжения по
координатам узловых точек, приведенным в табл. 16.
Уместно также указать на другие задачи о предельном равно-
весии сыпучей среды, аналогичные известным задачам о пластическом
равновесии. Такими задачами занимался С. С. Вялов [8], изучивший
сжатие сыпучей полосы, и М. Ш. Минцковский [20], рассмотревший
давление жестких штампов на сыпучее основание.
§ 16. Плоское предельное равновесие слоистой среды
Плоское предельное равновесие слоистой сыпучей среды опреде-
ляется обыкновенной предельной зависимостью
между нормальной ап и касательной хп компонентами напряжения,
на разных наклонных элементарных отрезках или специальной пре-
дельной зависимостью
между нормальной а и касательной х компонентами на горизон-
тальных элементарных отрезках.
Распределение напряжений в зонах обыкновенного предельного
равновесия слоистой сыпучей среды ничем не отличается от изучен-
ного выше, поэтому здесь разбирается лишь распределение напря-
жений в зонах специального предельного равновесия.
На основании сказанного ранее о линиях скольжения ясно, что
в таких зонах через каждую точку на плоскости ху проходит пря-
мая линия скольжения, параллельная оси х.
Система уравнений обыкновенного предельного равновесия сло-
истой сыпучей среды совпадает с системой уравнений предельного
равновесия неслоистой сыпучей среды, уже изученной в § 3 и 4.
Займемся теперь исследованием основной системы уравнений
плоского специального предельного равновесия слоистой сыпучей
среды.
Дифференциальные уравнения равновесия
дх ~Г ду ' "
и специальное предельное условие
дх
I у
"~г ду ~~
cos a
C.41)
C.42)

144
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[ГЛ. Ill
составляют простую систему трех уравнений с тремя компонентами
напряжения.
Остановимся сначала на интересном случае, когда собственный
вес отсутствует, т. е. когда f = 0.
Интегралы системы уравнений C.41) и C.42) выражаются в про-
стой форме
3,-/M + §Wtg2j. °y = g(x), x^x — ytgo C.43)
и содержат две произвольные функции/ (у) и g (x), а характеристики на
плоскости ху суть горизонтальные и
х \О наклонные параллельные прямые
* I I I I I I I I Г- _
у = const, .v = const,
изображенные на рис. 101.
Будем также применять простое
частное решение, в котором компоненты
напряжения вх, ау и х^ не зависят от
координат х, у и содержат две про-
извольные постоянные.
Перейдем теперь к случаю, когда собственный вес направлен
параллельно оси у, т. е. когда угол а=0.
Интегралы уравнений C.41) и C.42) имеют простую форму
I I I i i I i i I
/ / Г
1111
Рис. 101.
C.44)
и зависят от двух произвольных функций / (у) и g(x), а характе-
ристики на плоскости ху остаются прежними.
Определение полей напряжений в обыкновенных предельных
зонах проводится в слоистой сыпучей среде так же, как и в несло-
истой. Нахождение полей напряжений в специальных предельных
зонах сводится к получению произвольных функций, входящих
в интегралы C.43) или C.44).
Очевидно, что 'угол ср вдоль границ между обыкновенными и
специальными предельными зонами может быть выражен через извест-
ный угол 8. В самом деле, уравнения
sin p sin 2ср = A—sinpcos 2cp) tg§ или sin B9 -4- 3) = ——
после несложных преобразований дают
где т — целое число. Здесь, как обычно, введены обозначения
sin 5 , . 1 ^ 71 - - <in <,>
sin Д =
sin р '
причем 8= ± ш и А -= +>Q.
^ и
§ 16]
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ
145
Таким образом, границы между обыкновенными и специальными
предельными зонами могут быть двух видов: один из них соответ-
ствует * = — 1, так что
-шг, C.45)
а другой отвечает / = -4- 1, и для него
-о) -4- т тт.
.;»¦
C.46)
Изображениями этих границ на плоскости ?т] служат четыре
семейства прямых, параллельных биссектрисе координатного угла.
Прямые каждого семейства зависят от целого числа ш и могут быть
совмещены путем простого переноса в направлении а = const на
расстояния
Рис. 102.
Далее нужно иметь в виду, что для равновесия слоистой сыпу-
чей среды необходимо выполнение неравенства
которое устанавливает на плоскости stj возможные зоны обыкновен-
ного предельного равновесия, расположенные между указанными
прямыми и отмеченные штриховкой на рис. 102.
При (о = 0 эти зоны сжимаются и вырождаются в прямые
ср = тс/2 -(- тъ и ф = т~\ наоборот, при ш;=р они расширяются и
заполняют всю плоскость Ъ\.
Приведем теперь [40] простейшую задачу о предельном равнове-
сии слоистой сыпучей среды без учета собственного веса.
Рассмотрим несущую способность слоистого основания, ограни-
ченного осью х. Зададим вдоль положительной полуоси х равно-
мерно распределенное приведенное нормальное давление р и опре-
делим равномерно распределенное приведенное нормальное давление q
вдоль отрицательной полуоси х, при котором основание сохраняет
предельное равновесие без выпирания или оседания.
10 Зак. 1288. В. В, Соколовский

146
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[ГЛ. III
Начнем с определения удерживающего приведенного давления
на слоистое основание и будем на плоскости ху различать области,
изображенные на рис. 103.
В областях А0ОАХ и AZOA3, как и для неслоистой сыпучей среды
имеют место
x r oiu у ¦ / 1 — Sin p ' ^ lk>
а сетки линий скольжения состоят из двух семейств параллельных
прямых.
Р
27 1
4
\
1
1
А
\
1
Ч
¦ .
\
1
1
' \
1
,,
А
Рис. 103.
в этих областях
1 Ч- sin р
^ ^^ Д0ЛЖНЫ быть применены
ПреДеЛЬН0Г0 Р^новесия.. Таким образом,
ехр[(тг — 2c5
и, опять-таки,
q
¦ехр[2(- —(f)tgp], ? = е+г.
а сетки линий скольжения образованы прямыми, проходящими через
точку О, и логарифмическими спиралями.
Далее из условий C.45) и C.46) при 8 = — ю можно найти углы
- 1 л .... 3, , 1 , „ . .
а также величины з и а на прямых Оах и Оа2. В самом деле, на
прямой Оах, очевидно,
а на прямой Оа2, аналогично,
°2 = i_slnp exp[(Q —u))tgP], с?2 = :г _(S_
S 16]
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ
147
В областях ах0А и АОа2 имеет место частное решение уравнений
C.41) и C.42). не зависящее от координат х, у. Произвольные
постоянные, входящие в это решение, должны быть определены из
условий на прямых Оаг и Оаг.
Вместе с тем можно считать, что в указанных областях воз-
никает либо специальное предельное равновесие с линиями скольже-
ния— горизонтальными параллельными прямыми, либо обыкновенное
предельное равновесие с линиями скольжения — двумя семействами
параллельных прямых.
Легко видеть, что прямая ОА, образующая с осью х угол
т;/2-(-(о, является прямой линией разрыва. Поэтому из условий
B.41) и B.42) следует, что
Sin (Р. — со)
sin (У + м)
а также, что
Я — Р
Sin (У
- 29tg p).
C.47)
Сравнение формул C.47) и B.04) показывает, что удерживающее
приведенное давление q для слоистой сыпучей среды больше, чем
для неслоистой, или, иначе
говоря, что слоистое сыпу-
чее основание требует боль-
шего удерживающего при-
веденного давления, чем не-
слоистое.
При ш = 0 углы «! =
= тг/2 — е, а2 = тг — е, пря-
мая О А совпадает с поло-
жительной полуосью у, об-
ласти AiOa1 и а2ОА2 вы-
рождаются в две прямые
ОАХ и ОА2, а специальная
предельная зона заполняет всю область АХОА2. Наоборот, при и = р
углы ах = а2 = к — 2s, область ах0аг вырождается в одну прямую
ОА, а специальная предельная зона пропадает вовсе.
Отметим, что при ш = 0 поля напряжений в соответствующих
областях, изображенных на рис. 104, особенно просты. Так, в об-
ласти А0ОА имеют место
1 Sill
**+"¦¦
а в
соседней области АОА3 будут
10*

148
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
[гл. ш
Наконец, из условия непрерывности компоненты ах на прямой О А
уже нетрудно получить
q=>
sin р
C.48)
видно, что
-р
„=г
1 + sin p sin (Q -f со)
BStgp).
C.49)
Сравнение формул C.49) и B.08) показывает, что разрушающее
приведенное давление q для слоистой сыпучей среды меньше, чем
для неслоистой, или, другими словами, что слоистое основание спо-
собно выдержать меньшее разрушающее давление, чем неслоистое.
Отметим, что при ш = 0 по-прежнему легко найти
Обратим внимание, что формулы C.48) и C.50) точно совпадают
с известными формулами П. Е. Паукера. Следовательно, последние
справедливы только для слоистого основания при to = 0, а для
неслоистого дают искаженные результаты.
ГЛАВА IV
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
§ 17. Плоское предельное равновесие
идеально-связной среды
Займемся теперь исследованием основной системы уравнений пло-
ского предельного равновесия идеально-связной среды, имея в виду,
что ее можно рассматривать как сыпучую среду без внутреннего
трения т. е. при р = 0. Ограничимся в целях определенности сл>-
чаем когда собственный вес направлен параллельно оси у.
Основными уравнениями здесь являются дифференциальные урав-
нения равновесия
д=х <^ д^у <^у D.01)
-te+W дх ^ ду >
и предельное условие
D.02)
Все соображения о механическом подобии, изложенные в § 3,
сохраняются и здесь, однако безразмерное число р = 0 и, следова-
тельно, оно выпадает из рассмотрения.
Подставляя в дифференциальные уравнения равновесия D.01)
выражения A.23), тождественно удовлетворяющие условию D.02),
получим основную систему уравнений
-5 2?(sin 2a-i — cos2o-r4 = 0,
дх \ Y дх ду)
Умножая первое уравнение на sin (о + тс/4), а второе уравнение
на —cos (9 ± тс/4) и складывая, получим
i ^ ду ' J \' ' 4 j
Исследование этой системы уравнений удобно проводить мето-
дом, который уже использовался ранее при изучении аналогичной

150
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл. Iv
системы A.28). Поэтому дальнейшее изложение кратко повторяет
соответствующие рассуждения § 3.
Дифференциальные уравнения характеристик состоят из системы
уравнений
dy = dx tg (cp + | j
и системы
ds zz 2k do = ¦( dy.
Последние уравнения после введения новой функции
D.03)
нетрудно проинтегрировать, а именно
X + ср = const. D.04)
Семейство характеристик, определяемое верхними знаками, по-
прежнему будем называть первым, а семейство, даваемое нижними
знаками — вторым.
Легко видеть, что характеристики наклонены к оси х под углами
ср q: те/4, т. е. под теми же углами, что и линии скольжения. Отсюда
следует, что характеристики на плоскости ху являются линиями
скольжения.
Уравнения характеристик D.03) и D.04) могут быть переписаны
в виде канонической системы уравнений
D.05)
дг, — д-q TS^ +
так как за независимые переменные удобно выбрать
s = z+?. ti = z —?• D-06)
Дадим также частные решения, отвечающие постоянным \ и т\,
так называемые интегралы уравнений предельного равновесия, впервые
полученные С. А. Христиановичем [68J.
1. Если % постоянно, тогда как -ц переменно, то уравнения пре-
дельного равновесия имеют интегралы
Z-r-<P = So или s = 7y — Щ + С, )
¦S) \ D-07)
с произвольными постоянными ?0 или С и произвольной функци-
ей /(ср).
Первое семейство характеристик на плоскости ху состоит из пря-
мых ср = const, а второе семейство находится из уравнения
dy=dxtg(o-\-ty.
,
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ИДЕАЛЬНО-СВЯЗНОЙ СРЕДЫ 151
Постпоенное решение справедливо лишь до огибающей прямых
ха актернстик, которая определяется такими уравнениями
х =
v
У
Рассмотрим вырожденный случай, когда прямые характеристики
.покодят через одну точку О, и введем полярные координаты г Ь.
Очевидно- ч?о произвольная функция /('f) = 0, а интегралы D.07)
напишутся так:
-^-) = -? или cp = 9-l~J. D.08)
Кривые характеристики теперь особенно просты — они пред-
ставляют собой концентрические окружности с центрами в точке О.
2. Если же tj постоянно, тогда как \ переменно, то уравнения
предельного равновесия допускают интегралы
= Т@ или
I
D.09)
с произвольными постоянными т@ или D и произвольной функцией g(o).
Первое семейство характеристик на плоскости ху находится
из уравнения
а второе семейство состоит из прямых ср = const.
Огибающая прямых характеристик определяется уравнениями
cos(? + r./4)
Разберем вырожденный случай, когда прямые характеристики
проходят через одну точку О, и применим полярные координаты г, 0.
Ясно, что произвольная функция gCf) = O, а интегралы D.09) будут
~\=-^- или ср == 6 — -^-. D.10)
Кривые характеристики теперь очень просты — они являются кон-
центрическими окружностями с центрами в точке О.
3. Если, наконец, ? и tj постоянны, то s — fy и о также по-
стоянны. Первое и второе семейства характеристик образуют на пло-
скости ху две ортогональные системы параллельных прямых.
В дальнейшем часто придется встречаться с решением краевых
задач для уравнений D.05) и с определением произвольных функций,
входящих в интегралы D.07) и D.09).

152
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл. Iv
биссектрисам координатных уЛогГ ~ ПРЯМЫМИ' ПаРаллельНЫм'
Преобразуем теперь уравнения характеристик и иа
уравнения, переходя от координат х /у к РКо^д„нГта- °НИЧеСКИе
и = х sin
v = у
cos(v— j^j — хsin ('-P—j).
После указанной замены уравнения характеристик D.03) прини-
мают вид
dv-\-ady — Q, da — vdy = Q, D.11)
а канонические уравнения D.05) будут
S + f-О. ?+7 = «- <"*
Уравнения плоского предельного равновесия могут быть пре-
образованы к полярным координатам г, 6, которыми также прихо-
дится часто пользоваться.
ы * Дифференциальные уравнения равновесия для весомой среды
с объемным весом •( напишутся так:
дг т~
а предельное условие будет
'COS0,
Исследование этой системы уравнений ничем не отличается от
предыдущего. Приведем лишь частное решение, которое будет при-
менено в дальнейшем,
9 = y.2/fe F0 —
sin 9, ?,, = ¦/.?, /=±1.
Займемся [46] изучением поля напряжений в основании, ограничен-
ном осью х, предполагая, что вдоль положительной полуоси х равно-
мерно распределено нормальное давление р, а вдоль отрицательной
полуоси х нормальное давление q.
Наряду с координатами х, у будем пользоваться координатами г, О,
начало которых помещено в точке О, а полярная ось 0=0 совпа-
дает с осью х.
с 17] ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ИДЕАЛЬНО-СВЯЗНОЙ СРЕДЫ 153
Пока разность давлений р — q невелика, поле напряжений опре-
деляется известными формулами
-^B6 +sin 26), Tr9 = ^(l_cos2e).
Отсюда ясно, что максимальное касательное напряжение
будет наибольшим при 9 = тг/2. Поэтому предельное состояние воз-
никает прежде всего вдоль оси у, когда р — q = kiz.
При достаточно большой разности давлений р — q, а именно
при р — q^-kn, некоторая средняя область АгОА2 становится пре-
дельной, тогда как примыкающие к ней области А0ОА1 и А2ОАг
остаются непредельными. Эти области разделены двумя прямыми
О = 5Ц и 0 = а2, проходящими через точку О и обозначенными ОЛ,
и ОА2 (рис. 105).
Р
' 4
а
\
¦
и* t и и и и и и
V 4
Заметим, что вычитание всестороннего сжимающего напряжения
никак не изменяет максимальное касательное напряжение t, но превра-
щает задачу в антисимметричную относительно оси у. Следовательно,
сг —  (Р + Я) — ТУ> °* — ^
суть нечетные функции от х, а тг-( и t — четные функции от того,
же х. Отсюда ясно, что расположение непредельных областей А0ОА1
и А2ОА3 симметрично относительно оси у, так что углы ct1 = a,
а2 = - — а.

154
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл.
IV
В непредельной области А0ОАг нужно применить следующее част-
ное решение:
r\ = C1 — C229 ± {D1 sin 26 — D2 cos 29) -j- T_y,
Tr9 = C2 + Di l'os 26 -f- D2 sin 29,
а в предельной области А1ОА2 можно использовать такое частное
решение:
Пять произвольных постоянных, входящих в эти частные реше-
ния, и неизвестный угол а находятся из граничных данных
) = ° ПРИ
0; ar = ari = j
при 6 = ^
и условий непрерывности всех компонент напряжения на граничной
прямой ОАХ.
Определим сначала поле напряжений в крайних непредельных
областях А0ОАХ и А2ОА3. Очевидно, что в области А0ОАХ компоненты
напряжения принимают следующий вид:
20 cos 2а — sin 2а ± sin 2 F — а)
1 — COS 2а '
, COS 2 F — а) — COS 2а
tr9 1 — cos 2а
Далее можно показать, что в симметричных точках / и 2 обла-
стей ' А0ОА± и А2ОА3 имеют место простые равенства
= Р + Ч + 2*{ у — ап, о52 =
— 091,
Отсюда уже нетрудно установить, что в области А2ОА3 компо-
ненты напряжения будут
а- 1 ,2(8 — к) COS 2а + sin 2а ± Sin 2 F 4- а)
1 — COS 2а '
, cos 2 F-fa) —cos 2а
Xr!i ~ 1 — cos 2a *
Найдем теперь поле напряжений в средней предельной области
AfiA^. Ясно, что компоненты напряжения таковы:
or = o, = i-Go-f-?) + Tj,+ AG: — 26), тг9 = А:,
а 'сетка линий скольжения состоит из пучка прямых, проходящих
через точку О, и семейства концентрических окружностей с центра-
ми в той же точке О.
171 ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ИДЕАЛЬНО-СВЯЗНОЙ СРЕДЫ 155
Входящий в эти формулы угол а определяет положение гранич-
прямых OAi и ОА2. Между углом а и разностью давлений р — q
меет место простая зависимость
'""¦ пи( 2a — sin 2a \
и ^ \ 1 — COS 2а /
При дальнейшем увеличении разности давлений р—q средняя
предельная область АХОА2 расширяется, а угол а уменьшается; при
р _ ^ = & (~ 4-2) угол а = т/4.
Изучим теперь более подробно случай, когда р — q = k (ъ-\-2),
а поле напряжений определяется предыдущими выражениями при
Р
а —-/4. Здесь удобно вернуться к прямолинейным координатам х, у,
применяя известные формулы преобразования
Окончательно в области А0ОА1 имеют место
а в области А2ОА3 будут
Следовательно, в этих областях образуются простейшие поля
напряжений, а максимальное касательное напряжение
ху
= У т(Ь
Таким образом, при разности давлений р — q = k{K-\-2) угол
а = -/4, а обе крайние области становятся предельными сразу по.
всей их площади (рис. 106).

156
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл.
IV
Ранее были рассмотрены различные задачи о предельном равно
весии сыпучей среды с внутренним трением и сцеплением, причем
каждая задача сначала решалась при отсутствии собственного веса
когда плоскость %т\ служит плоскостью характеристик.
Так как здесь плоскость l-q всегда является плоскостью характе-
ристик, то предварительное исследование при отсутствии собственного ¦
веса не требуется. Что же касается метода решения различных
задач, то он ничем не отличается от метода, примененного выше.
§ 18. Несущая способность оснований
Рассмотрим предварительно частную задачу, а именно предельное
равновесие основания, ограниченного осью х, вдоль которой равно-
мерно распределено давление р с компонентами п и t.
Касательная компонента t может быть для удобства выражена
в форме
? = &sin23, причем 13|<I-j.
Возникающее в основании поле напряжений будем называть про-
стейшим. Оно не зависит от л: и описывается дифференциальными
уравнениями равновесия
dv
dy
которые легко могут быть проинтегрированы, а именно
т = ^ = ^ sin 23.
Поэтому из A.19) очевидно, что
y.k cos 2Ь, о = (\
у.= ±
а вместе с тем
= п -4- iy -4- ¦/. 2k cos 2S.
Знак х устанавливает вид предельного равновесия: у. = —1 соот-
ветствует минимальному, a vt = —J— 1 отвечает максимальному на-
пряженным состояниям. Линии скольжения здесь очень просты, так
как они образованы параллельными прямыми.
Займемся исследованием несущей способности основания, ограни-
ченного осью х. Зададим вдоль положительной полуоси х компо-
ненты п1 и tx равномерно распределенного давления р, а вдоль
отрицательной полуоси х — только компоненту tz такого же давле-
ния q; определим соответствующую компоненту п2, при которой
основание сохраняет предельное равновесие без выпирания или
оседания.
,о| НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ 157
Касательные компоненты давлений вдоль положительной и отри-
атетьной полуосей х могут быть выражены следующим образом:
tx~k sin 2ВХ и t2 = k sin 2o2,
причем
Начнем с определения удерживающего давления на основание,
считая, что нарушение предельного равновесия приводит к оседанию
основания вдоль положительной полуоси х и выпиранию его вдоль
отрицательной полуоси х.
Таким образом, вдоль положительной полуоси х вследствие
A,19) при у. = —1 нужно принять
? —~2" — Ol>
D.13)
я вдоль отрицательной полуоси х согласно A.19) при х = -[- 1 должно
быть
п2 = s — k cos 282, г-? = тс
D.14)
t'eiu
ление этой задачи основано на применении интегралов D.08)
уравнений предельного равновесия. Хотя при этом среда считается
Р
7////////////
весомой, но общий ход рассуждений здесь тот же, что и в соответ-
ствующей задаче § 5 для невесомой сыпучей среды.
На плоскости ху различаются три области: А0ОА1, АгОА2 и А2ОА3,
изображенные на рис. 107; положения прямых ОАг и ОА2 опреде-
лены углами

[гл.
IV
158 ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
В областях А0ОА1 и А2ОА3 соответственно
s = !%!-{-1 у — й cos 28^ <? = ^- — 8i и ? = ^-j-82,
а сетки линий скольжения образованы двумя ортогональными семей-
ствами параллельных прямых.
В области АгОА2 имеют место интегралы D.08) уравнений пре-
дельного равновесия для вырожденного случая, а именно
г = или а = о -4- — .
Произвольная постоянная С может быть выражена через значе-
ния .9 — 1у и ср в области Л0ОЛ,. Таким образом, окончательно
s = п1 -4- ТУ — й Bср — те —j- 231—(- cos 28^,
а сетка линий скольжения составлена пучком прямых, проходящих
через точку О, и семейством концентрических окружностей с цен-
трами в той же точке О. Предыдущее соотношение
s = п1-\~1у — k Bср — тг -4- 28j -4- cos 23Х)
и значение ср = тг-|-82 B области АгОА3 дают возможность определить
s в той же области, а затем
п2 = п1 — k (r,-\- 28j —|— 2о2 —j— cos 28Х -4-cos 232). D.15)
Частный случай предыдущего, когда 81=о2 = 0, был рассмотрен
еще Л. Прандтлем [27]. При этом области А0ОА1 и А2ОА3 на плос-
кости ху расположены симметрично относительно оси у, а нормаль-
ные давления п1 = р и п2 = д связаны следующим образом:
д- = р —&(гс-4-2). D.16)
Перейдем теперь к определению разрушающего давления на осно-
вание, считая, что нарушение предельного равновесия приводит к вы-
пиранию основания вдоль положительной полуоси х и оседанию вдоль
отрицательной полуоси х.
Итак, вдоль положительной полуоси х вследствие A.19) при
И=-М МОЖНО ПОЛОЖИТЬ
s = nl-\-kcos2o1, cp = 81,
D.17)
а вдоль отрицательной полуоси х согласно A.19) при х=
должно быть
п2 = s -\- k cos 282, ?=="?> — <Y
D.18)
Решение этой задачи основано на использовании интегралов D.10)
уравнений предельного равновесия, а общий ход рассуждений здесь
§181
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ
159
>ке что и в соответствующей задаче § 6 для невесомой сыпучей
тот
среды
нане
На плоскости ху различаются три области А0ОАЪ А1ОАг и А2ОА3
есенные на рис. 108; положения прямых ОАХ и ОА2 даны углами
0.1 г— О, . Cto ^= —; Оо.
1 4 4
В областях Л0ОЛ1 и АгОАъ соответственно
5 = ft\~\~ ЧУ~~\~ ^ cos 2^1» Т == ^i и ? ^^ "о" — ^2>
а сетки линий скольжения составлены из двух ортогональных семейств
параллельных прямых.
В области AiOA2 справедливы интегралы D.10) уравнений предель-
ного равновесия для вырожденного случая. Произвольная постоянная D
должна быть определена через значения s — ТУ и ? в области А0ОА1,
так что окончательно
s =
ТУ
2ф — 23t + cos 2\),
7l\ V „ 7С
т) = ^ или ? = е — -j,
а сетка линий скольжения образована пучком прямых, проходящих
через точку О, и семейством концентрических окружностей с центрами
в той же точке О. Предыдущее соотношение и значение а = гс/2 — 32
в области А2ОА3 позволяют найти s в той же области, а также
й2 = й! + й(гс —2§! —232-|-cos2814-cos282). D.19)
Особый интерес представляет частный случай, когда 81 = о2=0,
а нормальные давления ni=p и n2 = q связаны так:
. D.20)

160
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ.
Изучим теперь предельное равновесие массива, ограниченной
осью х, наклоненной к горизонту под углом а, вдоль которой пяв°
номерно распределено давление р с компонентами nut (рис 109)"
Рис. 109.
Касательную компоненту вдоль оси х удобно представить в форме
^ = &sin2o, причем |8|<-.
Образующееся в массиве поле напряжений не зависит от х и
описывается дифференциальными уравнениями равновесия
которые могут быть легко проинтегрированы, так что
*• тдгу = * + 1У sin a.
Итак, касательная компонента напряжения zxy, действующего на
наклонных прямых, параллельных оси х, определяется следующим
образом:
sin 2Ьу = sin 23 -f- Ц sin a, причем I Z \ <; ~.
Далее, из A.19) очевидно, что
т:, D.21)
а у выражается через 8 или ср так:
k_ sin 2Sy — sin 25 k sin 2<p — sin25
У
Sin a
sin a
D.22)
§18]
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ
161
Чва знака у-= —1 и у. = -|-1> входящие в это решение, как
,'да соответствуют двум напряженным состояниям — минималь-
BQUy и максимальному.
Легко найти прямую, на которой -:vy = 0; она отвечает оу = 0,
так что
3' = .Уо = — .у——•
Если а = 0, то предельное равновесие возможно во всей полу-
пюскости 0^3'^со, так как неравенство 18у |<; тг/4 удовлетво-
ряется автоматически; если же a > 0, то предельное равновесие воз-
можно лишь в полосе 0 <С У ^ У*< в которой имеет место неравен-
ство 'Зу|О/4.
Ордината _у*, соответствующая 8у = -/4 равна
__ k — t
У* y sin a '
а ширина всей полосы 3'0<>'<3'*. в которой 0<оуО/4 очевидно
будет
'{ sin a
Легко также найти линии скольжения построенного поля напря-
жений. С этой целью следует в дифференциальных уравнениях
dx'
= tg ф т: —
при помощи соотношения
у — з'о = Z? sin 2?
выразить у через с. Соответствующие уравнения
могут«быть проинтегрированы, так что
х = b (cos 2cp qi 29) + const.,
а линиями скольжения служат дуги циклоид.
Такие линии скольжения, применительно к минимальному напря-
женному состоянию, для угла a =30° изображены на рис. ПО.
Заметим, что прямая у = Уа-., параллельная границе, служит оги-
бающей второго семейства линий скольжения, а следовательно, яв-
ляется прямой линией разрыва. Действительно, на этой прямой угло-
вой коэффициент первого семейства линий скольжения
dy ,
равен нулю, так как угол ср = тг/4.
11 Зак. 1288. В. В. Соколовский

162
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл.
Предположим теперь, что массив ограничен криволинейным кон
туром, наклоненным к горизонту под переменным углом а, вдоль
которого распределено давление р = р(я) с компонентами /г = Я(а\
и t — t(a) или 8 = 8(а).
Рис. ПО.
Итак, из A.19) сразу же следует, что
23, 9 =
ISI^*
Изображением того же контура массива на плоскости ?т; является
некоторая кривая, что, конечно, не вызывает каких-либо существен-
ных затруднений.
§ 19. Форма криволинейных откосов.
Разрывные решения
Займемся исследованием обыкновенного откоса, ограниченного по-
ложительной полуосью х и некоторым криволинейным контуром,
наклоненным к горизонту под тупым углом 3. Зададим вдоль этой
полуоси х равномерно распределенное нормальное давление р и опре-
делим форму свободного от давлений криволинейного контура, при
котором откос остается в предельном равновесии.
Таким образом, вдоль положительной полуоси х, как всегда,
s = p-k. ? = |, D.23)
а вдоль контура откоса согласно A.20) при ч = -)-1 должно быть
s = k, ? = p. D.24)
б 191
ФОРМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОТКОСОВ
163
решение этой задачи основано на применении интегралов D.07)
уравнений предельного равновесия.
На плоскости ху различаются три области: A0OAlt А1ОА2 и А2ОА3,
ставленные на рис. 111.
представле р
В областях A0OAt и А1ОА2 соответственно
и, как
< обычно,
tg
X
а сетки линий скольжения остаются прежними.
В области А2ОА3 справедливы интегралы D.07) уравнений пре-
дельного равновесия. Произвольная постоянная С может быть выра-
\р
жена через значения s — -\у и ? в области A0OAlt а произвольная
функция /(сэ) — через уравнения контура х = хA3), _y = ,vC), которые
пока что неизвестны. Окончательно
а сетка линий скольжения составлена непараллельными прямыми и
ортогональными к ним кривыми.
Чтобы найти эти кривые, следует взять обычное дифференциаль-
ное уравнение
dу = dx tg (<? + J)
и выразить в нем у через ср так
, - . cos (to -4- тс/4).
¦¦«(?)] = -
У*2 * cos (<p — тс/
а затем
11*
проинтегрировать
х = х (-?) — bJM. cos (с? — ~) (In t? -14- const).
т

164 ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
Предыдущее соотношение
s=/> + Ty —*B? —*-Ы)
вследствие D.24) вдоль контура откоса дает
[гл.
IV
Отсюда ясно, что значение 3 = 30 в верхней точке О контура
откоса будет
D.25)
Подставляя выражение у в дифференциальное соотношение
имеющее место вдоль контура откоса, будем иметь
dx Ik , г.
ctg
Это уравнение должно быть проинтегрировано с учетом условия
: = у = Ь при 3 = 30. Таким образом, окончательно
Ik. sin 3 2k .n о ч
D.26)
Здесь следует иметь в виду условия
% ^> 7Г или pt>2k,
которые накладывают некоторые ограничения на угол 30 и давление р.
Контур откоса определяется двумя уравнениями D.26), а после
исключения ^ — одним уравнением
( г, .г /y.v
= у |тс — ,"о — arc sin Jexp (^
.г /y.v\
in J^exp (^ j sin S(
или
sin
х = — In-
D.27)
D.28)
Т "* sinPo
и имеет горизонтальную асимптоту
Ik ,
На рис. 112 изображены граничные кривые, построенные по формуле
D.27) для значений угла % = 90° и р0 = 135°; пунктирные горизонтальные
прямые являются их асимптотами.
ФОРМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОТКОСОВ
165
Остановимся на частном случае, когда угол 30 — тг/2 или когда
контур откоса имеет в точке О вертикальную касательную. При этом
вдоль положительной полуоси х приложено
ау = 2k.
Такое давление можно рассматривать как воздействие некоторого
слоя массива высоты h, лежащего над осью х. Поле напряжений
в этом слое дается так:
з.г = 0, зу = т(й+У)- ^у = 0-
Из условия непрерывности компоненты оу на положительной
полуоси х легко найти
2*
Эта величина дает максимальную высоту вертикального откоса и
называется критической высотой.
D4
ав
12
w
2,0
2.4
*
| У
1 3.2
\
\
2
0.4
ч
\
\
о.в
\
ч
1.2
\
Ч
Ч
Ч
1
в
2.0
JS =
135°
¦^-».
--^
2,8
3,
3.6-1.
1
— —
-
Рис. 112.
Итак, здесь нужно рассматривать две зоны: непредельную, зани-
мающую слой над положительной полуосью х, и предельную, запол-
няющую массив под той же положительной полуосью х.
В непредельной зоне компоненты напряжения имеют вид
а^ = 0, зу = 2?+Ту, хху = 0, D.29)
а в области Л0ОЛ предельной зоны компоненты напряжения будут
•с„„ = 0. D.30)

166
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ.
На границе между этими зонами — положительной полуоси х
включая точку О, все компоненты напряжения непрерывны.
Обратим внимание, что весь массив никак нельзя считать предель-
ным. Такое ошибочное предположение дает удвоенное значение кри-
тической высоты.
Контур откоса при fi0 = тг/2 определяется уравнениями *)
2k г hx\-\ 2k
V = — arc co= i pYn / j— II " "¦»
Y
L-jj или
*=*"¦»•(?)
и по-прежнему имеет горизонтальную асимптоту
¦кк,
Предыдущие результаты могут быть использованы также при ре-
шении другой интересной задачи.
Зададим вдоль горизонтальной границы — положительной полуоси х
достаточно большое равномерно распределенное нормальное давле-
ние р и определим форму свободного от давлений криволинейного кон-
тура, при котором нет выпирания.
z
На плоскости xy по-прежнему различаются три области: А0ОА^
АуОАг и А2ОА3, изображенные на рис. 113. Однако теперь прямые
линии скольжения, вообще говоря, имеют некоторую огибающую —
линию разрыва
'^ "~ п(9-г./4)
которая изображена в виде кривой А2А.
*) Отметим, что приведенные здесь исследования, опубликованные авто-
ром [¦"] еще в 1942 г., были частично повторены Ж. Жаки [В5] в 1948 г.
По-видимому, Ж. Жаки не был знаком с этими исследованиями.
§
ФОРМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОТКОСОВ
167
Крайняя линия скольжения А2А3, проходящая через точку А2,
определяется так:
1
х = х(у) — cos (9
-!)[¦¦
tg M2
Следовательно, уравнение искомого контура D.27) справедливо
тишь до точки контура А3. Угол [3, определяющий положение этой
точки Л3 на контуре, может быть найден из уравнений контура ОА3
и линии скольжения А2А3, а именно
На рис. 114 представлены граничные кривые, построенные в без-
размерных координатах по формуле D.27) для значений угла р0 = 225° и
о, с
-у
2.8
2.4
2.0
-л-
—
ii
j
76 ~л
7.2
ЛП
04
2
У
¦ ^~2
2
/
/
/
/
/
V/L
А
У
1
!
—-
1
!
--р-
270"
—
- —
(
-JU-LJ
; ,1 il
1
1
— ¦*"" "";; ~
1
I
0.0 0,4 0,8 12 7,6 2,0 2,4 2.8 3,2 3,6 -х 4Д
Рис. 114.
?о — 270°; пу}жтирные горизонтальные прямые по-прежнему служат их асимп-
тотами. Точки, отмеченные кружками, соответствуют 30 = 225°, В = 3,34 и
[.„ = 270°, 3=3,85.
Распределение напряжений в откосе для тупых углов ро было
непрерывным всюду, кроме одной точки О. Наоборот, для острых
углов f30 появляются целые линии разрыва, около которых имеет
место равновесие, но нет полной непрерывности напряжений.
Ясно, что на линии разрыва, наклоненной к оси х под углом а,
компоненты оп и хп должны быть непрерывны, тогда как среднее

168
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. IV
нормальное напряжение s может претерпевать конечный разрыв. Та-
ким образом,
Легко вывести соотношения между s_, e_ и s+, cp+> по-прежнему
называемые условиями разрыва. Действительно, из A.19) при у. = \
и у. = —I— 1 вытекает, что
ср_
а также, что
s_:=2fecos23.
D.31)
D.32)
Условия разрыва такого вида рассматривал В. Прагер [73] при
решении задачи о пластическом равновесии остроугольного клина
без учета собственного веса и трения
по боковым граням *).
Перейдем теперь [bl] к изучению
нависающего откоса, ограниченного по-
ложительной полуосью х и криво-
линейным контуром, наклоненным к
горизонту под острым углом р. Зада-
дим вдоль этой полуоси х равно-
мерно распределенное нормальное дав-
ление р и найдем форму свободного
от давлений криволинейного контура,
при котором откос сохраняет предель-
ное равновесие.
В области А0ОА, изображенной
на рис. 115, образуется простейшее
поле напряжений, которое нередко встречалось ранее и не тре-
бует каких-либо пояснений.
Теперь вдоль линии разрыва О А согласно D.31) и D.32) можно
положить
Рис. 115.
dx
1), 9
а вдоль контура откоса ОВ по-прежнему
аУ _ ^ о
= k. ? =
D.34)
В области АОВ может быть получено решение уравнений D.05)
по приведенным данным D.33) и D.34).
*) Отметим, что совершенно аналогичные условия разрыва применительно-
к родственной задаче о пластическом кручении призматических стержней
были выведены автором [42] еще в 1946 г.
§ 191
ФОРМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОТКОСОВ
169
,11ачеНия углов а^ао и р = ?о в верхней точке О выражаются
з нормальное давление р. Действительно,
а нормальное давление р принимает вид
p = 2fe(l —cosp0).
Ясно, что углы а0 и р0 изменяются в пределах
0<а0<|, O<po<-J,
а нормальное давление
0</7<2/е.
Обратим внимание, что линия разрыва ОА и контур ОВ являются
кривыми, а углы их наклона аир при движении от точки О уве-
личиваются от а = а0 и р — р0 до а —т:/4 и р = ти на бесконечности.
При этом разрыв среднего нормального напряжения s постепенно
уменьшается до нуля.
Заметим, что если нормальное давление р — 2k, то углы
те
Т'
ро
2 '
скольжения,
а кривая разрыва ОА вырождается в прямую линию
наклоненную к оси х под углом тс/4.
Ниже изложено численное решение рассмотренной задачи для р0 = 45°
в обычных безразмерных переменных с характерной длиной I = &/•[. Оно
повторяет решение аналогичной задачи для сыпучей среды и сводится к за-
полнению табл. 17 по схеме четвертой краевой задачи. Однако теперь вдоль
линии разрыва
s = р -у- у -f- 2cos 2a — 1, у = 2i.
а вдоль свободного контура s = 1.
Значения х, у и я, определяющие кривую ОА, следующие:
109
.г = 0,05
у = 0,02
a =0,39
0,12 0,22 0,33 0,48 0,65 0,86 1,09
0,05 0,10 0,14 0,22 0,30 0,40 0,53
0,41 0,42 0,43 0,45 0,46 0,48 0,50
а значения х, у и % устанавливающие кривую ОВ, таковы:
л: = 0,00 0,05 0,09 0,12 0,17 0,21 0,25 0,30
36
у = 0,00 0,05 0.09
а = 0,79 0,81 0,83
х = 0,36 0,41 0,47
у =0,46 0,55 0,67
? = 1,04 1,09
0,13 0,18 0,24 0,30 0,36
0,86 0,89 0,92 0,95 0,99
0,51 0,56 0,60 0,63 0,64
0,78 0,93 1,08 1,25 1,43
1,15 1,21 1,29 1,37 1,46 1,55

170
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
X
У
S
1 ?
X
у
S
?
X
\1
У
X
\|
}
s
X
у
S
ср
X
У
S
Л"
у
S
ч
X
у
S
?
1
Л'
У
s
з>
Л"
У
S
X
у
V
X
у
S
'?
X
У
X
и
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
И
12
0
0,0.=
0,0с
1.01
0.81
1
j
0,0?
о,о:
1,01
0.81
0.0S
0,09
1,00
0,83
j
1
[
1
1
1
!
!
2
|
0,15
0,0,"
1,01
0,81
0 12
0,09
1,01
0,84
0,12
0,13
1.00
0,86
3
о,г
0,0?
1,01
0,84
0.17
0,13
1,01
0,86
0,17
0,18
1,00
0,89
1
4
1
1
о,2:
0.1С
l,0i
0,8-1
0 22
0.13
1,01
0,86
0,22
0Д9
1,01
0,89
0,21
0,24
1,00
0,92
5
0,27
0,14
1,02
0,86
0,27
0,19
1,02
0,89
0,26
0,24
1,01
0,92
0,25
0,30
1,00
0,95
1
6
0,33
0 14
1 03
0,86
0,32
0,20
1,03
0,89
0,32
0,25
1,02
0,92
0,31
0,31
1.01
0,95
0,30
0,36
1,00
очч
1
7
0,40
0.21
1,04
0,89
0,40
0,26
1,04
0,92
0,39
0,32
1,03
0,96
0,38
0,38
1,02
0,99
0,36
0.46
1,00
1,04
8
1
0 48
0,22
1,05
0,90
0,47
0 27
1.05
0,93
0,46
0,33
1,05
0,96
0,45
0,39
1,04
0,99
0,43
0,48
1,02
1,04
0,41
0.55
1,00
1,09
9
0 56
0,29
1 07
0^93
0,55
0,35
1,07
0,96
0,54
0,41
1,06
0 99
0,52
0.50
105
1,04
0,50
0,58
1,03
1,09
0,47
0,67
1 00
1,15
т<
1
1 10
0,65
0,30
1 08
о.'эз
0,64
0,36
1,08
0,96
0 63
0,43
1,08
0.99
0,61
0 52
1,08
1,04
0 58
0,61
1 06
1,09
0,55
0,70
1,04
1,15
0,51
0 78
1,00
1,21
1
1 б Л И
11
0 75
0,38
1 11
0,'96
0 74
0,'45
1,11
1,00
0 71
о'55
1 11
1,04
0,68
0.64
1 10
1Д0
0,65
0 74
1,08
1,15
0 61
0,83
1,05
1,21
0,56
0,93
1,00
1.29
11 Л.
IV
ц а 1?
1
12
0 86
0,40
1 14
1,1о
0,96
0 84
0,'47
1,14
1,00
0,82
0,58
1,14
1^05
0,79
0,67
1 13
1,10
0,75
0,78
1,12
1,16
0,71
0,87
1,10
1,22
0,66
0,98
1 06
1,29
1
j
1
1
1
1
1
1
1
0 60
1 08
1,00
1,37
§ 191
ФОРМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОТКОСОВ
171
На рис. 116 построена сетка характеристик — линий скольжения по коор-
пинатам узловых точек, приведенным в табл. 17.
Рис. 116.
Рассмотрим частный случай, когда В0 = 0 и, следовательно, кон-
тур нависающего откоса в верхней точке 0 имеет горизонтальную
касательную. Покажем, как построить приближенное решение около
точки О в замкнутой форме. Будем считать, что s — k, <? н х, у
малы, а также, что отношение у/х мало.
Основная система уравнений для весомой идеально-связной среды
будет
дх
Оцепим в этих уравнениях порядок членов и отбросим те из них,
которые малы по сравнению с остальными. Таким образом, легко
вывести приближенные уравнения
^ = и' ^~1 ^дх
и получить простые интегралы
з = ?(*), s = Y[— 2ky'(х)\ у + f (х).
зависящие от двух произвольных функций f (х) и з(л
D.35)
D.36)

172
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ.
IV
Легко видеть, что условия D.33) вдоль кривой ОА существенно
упрощаются
^ = а = Т> s = iy + k(\—^), D.37)
а условия D.34) вдоль кривой ОВ будут
g=p-?. .=*.
D.38)
Последующие рассуждения ничем не отличаются от соответствую-
щих рассуждений, приведенных в § 10.
Окончательно уравнения кривых ОА и ОВ имеют вид
уЧ „3 о».
у =
4/?о"
а искомые функции s и ср напишутся так:
Т '
где Ro есть радиус кривизны кривой ОВ в точке О.
Также легко получить углы наклона кривых ОА и ОВ к оси х
вблизи точки О, а именно
а — 2 ¦ Р ^ /?0 — 3* '
Таким образом, углы а и ^ здесь меньше, чем соответствующие
углы при наличии внутреннего трения.
§ 20. Давление засыпки на подпорные стенки.
Разрывные решения
Обратимся, наконец, к изучению давления засыпки, ограниченной
положительной полуосью х, на заднюю грань подпорной стенки, на-
клоненную под углом [3. Зададим вдоль этой полуоси х равномерно
распределенное нормальное давление р и определим давление q вдоль
задней грани, имеющее компоненты nut.
Касательная компонента t на задней грани должна быть для
удобства выражена так:
t = k sin 28, причем | 8 [ ^ -^ .
Распределение напряжений при предельном равновесии засыпки
для достаточно больших углов J3 непрерывно всюду, кроме одной
точки О, если на задней грани имеет место равенство
Эта задача и здесь имеет два решения: одно из них определяет
активное давление от напора засыпки, а другое — пассивное давление
§201
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
173
отпора засыпки; активное давление обычно значительно меньше
пответствующего пассивного давления.
Начнем с определения активного давления засыпки на подпорную
тенк\' когда последняя препятствует оседанию вниз, так что
Таким образом, вдоль положи-
тельной полуоси х, как и ранее,
s = p — k, ? = |, D.39)
а вдоль задней грани вследствие
A.19) при ч = -т-1 должно быть
n=s—ftcos2to, ср = р —|— ш.
D.40)
Решение задачи основано на
применении интегралов D.08)
уравнений предельного равнове- Рис. 117.
сия тля вырожденного случая.
На плоскости ху различаются три области: А0ОА1, АгОА2 и А2ОА3,
изображенные на рис. 117.
В областях А0ОА1 и А2ОА3 соответственно
\У
и с? = Р
-со,
а сетки линий скольжения образованы двумя ортогональными семей-
ствами параллельных прямых.
В области АгОА2, как и ранее,
-tWt или ? = 6+^-.
а сетка линий скольжения составлена пучком прямых, проходящих
через точку О, и семейством концентрических окружностей с цент-
рами в той же точке О.
Имея в виду предыдущее соотношение
s = p_uT>,_ftB? — --u 1)
и значение с» = р —J— ш в области А2ОА3, нетрудно определить s в той
>ке области, а затем установить, что
n=p-UTv — k[\— --U cos 2@-1-2 04-"))]. D.41)
Здесь необходимо иметь в виду условие
накладывающее некоторое ограничение на угол

174
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ.
IV
D.42)
а предыдущее условие будет р>тг/4
у
а линиями скольжения являются параллельные прямые. Таким обра-
зом, нормальное давление n — q равно
Я=Р+1У — 2k.
Ясно, что давление на заднюю грань подпорной стенки в точке О
не должно быть отрицательным. Поэтому нужно, чтобы
/?>2?.
Остановимся теперь на случае, когда приведенное условие, на-
кладывающее ограничение на давление р, не соблюдено. Расположим
систему координат ху так, чтобы давление в точке О задней грани
было равно нулю. При этом вдоль положительной полуоси х будет
действовать
oy = 2k.
Это давление, как и в аналогичной задаче § 11, нужно рассма-
тривать как воздействие слоя высоты h, лежащего над положитель-
ной полуосью х. Поле напряжений в этом слое дается так:
Из условия непрерывности компоненты зу на положительной
полуоси х ясно, что
h=jBk—p).
Эта величина дает максимальную высоту слоя, которая не ока-
зывает на заднюю грань какого-либо давления и называется крити-
ческой высотой.
Итак, здесь необходимо рассматривать две зоны: непредельную,
занимающую слой над положительной полуосью х, и предельную,
заполняющую засыпку под той же положительной полуосью х.
В непредельной и предельной зонах компоненты напряжения
даются соответственно формулами D.29) и D.30). На границе этих
зон — положительной полуоси х, включая точку О, все компоненты
напряжения непрерывны.
§20]
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
175
полуоси х по-прежнему
s = />¦+-ft, с; = 0, D.43)
а вдоль задней грани согласно A.19) при у. = —1 должно быть
п = s~\~k cos 2м, ср = р -+- ш — -к. D.44)
Решение задачи основано на использовании интегралов D.10)
уравнений предельного равновесия для вырожденного случая.
В областях А0ОА1 и А2ОА3 соответственно
= O и
-со
¦к
'
а сетки линий скольжения составлены из двух ортогональных семейств
параллельных прямых.
В области А\ОАг по-прежнему
= — или 9 = 0 — -J-,
а сетка линий скольжения образована пучком прямых, проходящих
через точку О, и семейством концентрических окружностей с цент-
рамп в той же точке О. Повторяя предыдущие рассуждения, легко
установить, что
что
n=p-\-^y-A-k\\— it + cos2@-+-2 (Р-(-
Здесь нужно учитывать прежнее условие
D.45)
| —со,
ограничивающее угол °.
Если же угол со =-/4, то прямая ОА2 совмещается с прямой ОА3,
а область.А2ОА3 вырождается в ту же прямую. При этом ясно, что
D.46)
Г^Г^^р подпорной,теГи вертикальна,
а угол «о=0. Поле напряжений дается компонентами
а линиями скольжения служат параллельные прямые. Итак, нормаль-
ное давление п =q равно

176
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл. iv
Следует заметить, что решение задачи о давлении на подпорную
стенку по методу К. Кулона дает другие результаты. Только в частном
случае, когда задняя грань подпорной стенки вертикальна, а угол
о) = 0, те и другие результаты полностью совпадают. Это понятно,
так как в указанном случае прямая линия сползания засыпки
совпадает с прямой линией скольжения, проходящей через нижнюю
точку задней грани.
Допустим теперь, что засыпка ограничена криволинейным кон-
туром, наклоненным к горизонту под переменным углом а, вдоль
которого действует давление р=р(у.) с компонентами п = п(а.) и
t = t(a) или 8 = 8(я).
Итак, из A.19), как обычно, вытекает, что
cos 28.
4 "
некоторая кри-
Изображением контура служит на плоскости
вая, что не вносит каких-либо усложнений.
Приступим теперь к изучению предельного равновесия засыпки
в зависимости от наклона задней грани. Разберем, для простоты
частный случай, когда граница засыпки горизонтальна, а давление р
действует нормально.
Распределение напряжений при предельном равновесии засыпки
для достаточно малых углов [3 непрерывно всюду, включая точку О,
если на задней грани выполнено неравенство
Сначала определим активное давление засыпки на подпорную
стенку. В области А0ОА, как и ранее,
а вместе с тем
— k(\— c
D.47)
Естественное неравенство о^ш, препятствующее соскальзыванию
по задней грани, устанавливает условие
накладывающее ограничение на угол J3.
Теперь аналогичным образом найдем пассивное давление засыпки
на подпорную стенку. В области А0ОА, как всегда,
а потому
D.48)
2Qi ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ 177
Неравенство —S^co, не допускающее соскальзывания по задней
рани' дает прежнее условие
же ограничивающее угол р. Следовательно, пределы изменения
таКя ^ для активного и пассивного давлений совпадают.
'Распределение напряжений при предельном равновесии засыпки
Д1Я углов р, не удовлетворяющих р
предыдущим неравенствам, сопро-
вождается линиями разрыва. Ранее,
{s 19, уже было показано, что
¦й _ = a-f-8 —|— /И7г,
а также, что
s,_ —s_ = 2/г cos 28.
Начнем с определения активного
давления засыпки на подпорную
стенку. В областях Л0ОЛ и АОВ, нанесенных на рис. 118, соот-
ветственно,
s=p + iy — k> гг = Т и ? = ?+ш-
Из условий D.31) и D.32) на прямой разрыва О А следует, что
a = S = I(P+<o),
s=p-\-iy — k[\—2zos (Э + со)],
так что
п. = р 4- iy — k 11 + cos 2w — 2cos (^ -A- co)b D.49)
Заметим, что значения п, определяемые формулой D.49), несколько
больше соответствующих значений п, даваемых формулой D.41) для тех
же углов наклона [3 задней грани подпорной стенки, т. е. уже за
пределом ее применимости.
Построенное решение имеет место, пока углы а <^ J3 и з-^", 2
"•¦и, иначе говоря, пока выполнены условия
устанавливающие пределы изменения угла р.
Перейдем теперь к нахождению пассивного давления засыпки
на подпорную стенку. В областях А0ОА и АОВ соответственно
о = 0, и
те
12 Зак. 1288. В. В. Соколовский

178 ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ [гл. iy
Из условий D.31) и D.32) на прямой разрыва ОА ясно, что
а=—о= i-ф + со), s = p-|-T.y-f.ft[l —2cos(P + co)],
так что
п = /? + ТУ -j- ft [ 1 + cos 2co — 2cos ф 4-">)]. D.50)
Построенное решение справедливо, пока удовлетворены условия
дающие пределы изменения угла р.
Нужно отметить, что величина интервала изменения [3, в котором
имеет место разрывное поле напряжений, равна тс/2 — 2ш. Эта вели-
чина уменьшается с увеличением со и равна нулю при со = тс/4.
Остановимся на частной задаче о предельном равновесии остро-
угольного невесомого клина без трения по боковым граням, которая
была решена В. Прагером [73]. Так как в этой задаче у = 0, и = 0
и со—0, то формула D.49) сразу же дает
p=2k(l— cos P), a = -|. D.51)
Ясно, что углы а и [3 изменяются в пределах
а нормальное давление
0</?<2/г.
Легко показать, что при малых значениях аир имеют место
простые приближенные соотношения
p = kV, а = |-. D.52)
Полученные здесь формулы D.51) и D.52) соответствуют выве-
денным ранее формулам C.21) и C.22).
До сих пор рассматривались подпорные стенки с прямолинейными
задними гранями. Остановимся теперь на подпорных стенках, у кото-
рых задние грани криволинейны.
Предельное равновесие засыпки, вообще говоря, сопровождается
кривыми линиями разрыва. Условия разрыва вдоль этих линий,
конечно, остаются прежними и не требуют каких-либо дополнитель-
ных пояснений.
Займемся!52] определением давлений на контуре подпорной стенки,
считая, что в верхнем слое засыпки, лежащем над осью х, известно
обычное простейшее поле напряжений. Таким образом,
с 20] ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
вдоль соответствующей дуги контура имеют место
; — ft(l — cos2p), ; = ftsin2j;
179
В области А0ОА, представленной на рис. 119, образуется такое
простейшее поле напряжений, как и в верхнем слое.
Теперь вдоль линии разрыва ОА, опять-таки,
1х— 'ь- - >''•-'' *
а вдоль контура ОВ по-прежнему
« = s — ftcos2co, э = jj 4-w.
= 2а, D.53)
D.54)
Точку О следует выбрать так, чтобы компоненты ?п и тл были
непрерывны. Легко показать, что линия разрыва ОА и контур ОВ
имеют общую касательную, на-
клоненную к оси х под углом
В области АОВ может
быть найдено решение уравне-
ний D.05) по приведенным дан-
ным D.53) и D.54).
Значение 5 = s0 в точке О
связано с давлением р следую-
щим образом:
s2a0— 1).
Рис. 119.
Если угол со = тс/4, то
ао ~ ро == f >
а линия разрыва становится прямой линией скольжения ОА. При
этом в области АОВ справедливы интегралы D.07) уравнений пре-
дельного равновесия
^ ( — ^ =/(?).
s^-ty — 2ftc? -j-C,
x sin
—^)—y :os
Произвольная постоянная С выражается чгрез значения s — -[У и 9
в области AQOA, а произвольная функция /(щ)—через уравнения
х~х($), у = уф) контура подпорной стенки. Так что окончательно
а сетка линий скольжения состоит из непараллельных прямых — ка-
сательных к контуру и ортогональных к ним кривых. Вместе с тем
12*

180
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
181
II
X
У
.?
о
X
У
5
'г
X
\ У
s
ц>
X
У
S
'' ?
X
У
S
f
X
У
S
to
X
У
Л'
У
S
'¦?
X
у
s
9
X
У
S
'С
' х
у
S
X
У
S
9
X
У
s
?
i \
и
1
1
с\
1
4
5
6
7
8
1
9
10
1
1
!
1 О
0
0,44
0,10
0,82
0,46
1
0,49
0.09
0.83
0,47
0.51
0,14
0,76
0,53
1
|
i
0,54
0,07
0,84
0,49
0,56
0,13
0.77
0,55
0,57
0,18
0,70
0.61
3
i
0,61
0,11
0,78
0,56
0,62
0,17
0,72
0,62
0,63
0,22
0,64
0,68
I
|
j
4
0,66
0,10
0.79
0,57
0,67
0,16
0,73
0,63
0,68
0 22
0,66
0,69
0,68
0,27
0,59
0,75
1
5
0,73
0,15
0 74
0,64
0,74
0,21
0,67
0,70
0,74
0,27
0,60
0,76
0,74
0 33
0,51
0,81
i
1
|
6
0 79
0,14
0.74
0,64
0,80
0,21
0 68
0,71
0,80
0,27
0,62
0,77
0,80
0,33
0,53
0,84
0,80
0,39
0,44
0,92
1
1
1
|
|
7
0,87
0,20
0,69
0,71
0,87
0,27
0,63
0,78
0 87
0,34
0,55
0,85
0,87
0,40
0,47
0,93
0,85
0,48
0,35
1,02
8
1
0,94
0,20
0,70
0,72
0,95
0 27
0,64
0,78
0,94
0,34
0,57
0,86
0,94
0,41
0,49
0,93
0 92
0,49
0,38
1,03
0,90
0,56
0,27
1,12
9
1,03
0,27
0 66
0,79
1 03
0,35
0,59
0,87
1,02
0,43
0,51
0,94
1,00
0,51
0.42
1,03
0.98
0,59
0,31
1,12
0,94
0,67
0,17
1,24
Та
10
1,12
0,27
0,67
0,80
1.12
0,36
0,61
0,87
1,11
0,44
0,54
0,95
1,09
0,53
0,45
1,04
1,06
0,62
0,35
1,13
1,02
0,71
0,21
1,24
0 98
0,79
0,07
1,36
1
б л и
11
1,24
0,37
0,63
0,88
1,23
0,46
0,57
0,95
1,21
0 57
0.49
1,04
1,18
0 66
0,41
1,14
1,14
0,77
0,28
1,25
1,08
0,86
0,15
1,36
1,00
0,96
-0,09
1,53
12
II,
|
,1
1,37
0,38
0,65
1
1
0,88
1,36
0,48
0,60
0,96 |,
1,33
0,60
0,54
1,05
1,30.
0,71
1
0,46 [
1,14 J
1,25
0,82
0,35 !'
1,25 :
1,19
0,93
0,23
1,37
1,09
1,05
0,01
1,54
0,99
1,14
-0.25
1,71
нетруД наЙ™
г, янпвимся наконец, на частном случае, когда со = 0 и ft, — О,
Sподпорной стенки имеет в точке О горизонтальную,каса-
;е2 и приведем приближенное решение вблизи этой точки О.
Х14 1,2 W 08 0,6 0-4
0,2
ло
Рис. 120.
Окончательно, линия разрыва ОА определяется уравнением
4Rn '
а функции 5 и ср даются формулами
2*
9 =
Наибольший интерес представляет нормальное давление я-? на
самом контуре подпорной стенки вблизи точки О. Приближенно оно
равно
Ниже приведено численное решение предыдущей задачи при круговой
пс торной стенке радиуса R для » = 0 и k = \R в Оезразмерных р. ^^
с характерной длиной" I = И. Оно повторяет решение аналогично
для сыпучей среды и сведено в табл. 18. Но теперь вдоль линии

182
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
I' Л.
а вдоль контура
X — Sin у, У — 1 — COS ср.
Значения х, у и а, определяющие кривую ОЛ, следующие;
,v = 0 00 0,20 0,29 0,42 0,54 0,66 0,79 0,94 112 137
у =0,00 0,01 0,02 0,04 0,07 0,10 0,14 0,20 0,27 0,38
а = 0,00 0,10 0,14 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36 0,40 0,44
.а значения 8 и безразмерной величины р — q вдоль кривой ОВ таковы:
Р = 0,00 0,21 0,31 0,46 0,53 0,61 0,68 0,75
р — ? = 0,00 0,04 0,09 0,18 0,24 0,30 0,36 0,41
Р = 0,84 0,92 1,02 1,12 1,24 1,36 1,53 1,71
p — q = 0,49 0,56 0,65 0,73 0,83 0,93 1,09 1,25
На рис. 120 построена сетка характеристик —¦ линий скольжения по ко-
ординатам узловых точек, приведенным в табл. 18.
§ 21. Плоское предельное равновесие связной среды
Займемся теперь исследованием системы уравнений плоского пре-
дельного равновесия связной среды [43], применяя систему прямоли-
нейных координат х, у я считая, как обычно, что ось х наклонена
к горизонту под углом а.
Подставляя в обычные дифференциальные уравнения равновесия
fax
- + -ду~ = '1*
дх ' ду ' дх ' ду
выражения A.21) и имея в виду соотношения
dH
¦=Y cosa
d?
¦ = - - a ctg p, ? — H=
D.55)
D.56)
получим так называемую основную систему уравнений:
р
$
- sin о sin 2сэ —
¦ дм
= Y sin a,
D.57)
(l-4-sinpcos2cp)~
— 2з sin р (sin 2с5 ~ cos 2»
' \ ' дх
¦ о US • /1 • о \ as I
sin о sin 2сг -г—i-(l — sin о cos 2c?) -. н
' дх ' v ' т ду '
-г- 2з sin p cos 2э ^р—f- sin 2с5^г!- = т cos а.
Преобразуем эту систем)-, используя угол
2г -=-?—- г>
между линиями скольжения, который позволяет достигнуть симметрии
уравнений. J ^
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
21] — -" * ' ._ —
Умножая первое уравнение на sin (с? ± s), а второе уравнение на
cos(cs±s) " складывая, будем иметь
- - -- Ъ ¦¦ sin^xp)]CoS(c?T3) +
COS р
ду
К исследованию этой системы уравнений может быть применен
метод, который уже использовался при изучении аналогичной си-
стемы A.28). Поэтому дальнейшее изложение построено по плану § 3.
Дифференциальные уравнения характеристик состоят из системы
уравнений
dy -= dx tg (cs q: e) D.59)
н системы
ds + 2з to p d'-f =
COS р
[sin(a
D.60)
знаками, как
Семейство характеристик, определяемое верхними
обычно, будем называть первым, а семейство, даваемое нижними
знаками, вторым.
Основная система уравнений имеет два действительных различных
семейства характеристик, и следовательно, относится к гиперболиче-
скому типу.
Очевидно, что характеристики наклонены к оси х под угла-
ми о ~ г, т. е. под теми же углами, что и линии скольжения. Отсю-
да вытекает, что характеристики на плоскости ху являются
линиями скольжения. Углы между характеристиками 2е на плоско-
сти ху, вообще^ говоря, в разных точках различны.
Допустим, что первое и второе семейства характеристик опреде-
ляются соответственно параметрами X и а. Примем сетку характе-
ристик за криволинейную систему координат на плоскости ху и будем
рассматривать х, у, а, » как функции от к и \±.
Тогда уравнения характеристик D.59) и D.60) удобно переписать
в виде канонической системы, состоящей из двух уравнений
. ду дх
)
ду
"Ж
дх<
дх
и двух других уравнений
—S-_ 9
COS р
sin (a— P)
D.61)
D.62)
' J
Функциональный определитель преобразования
с) (л:, у) дх ду дх ду
д (К, ц) йХ й;л d;j. д\

184
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл.
IV-
при переходе от переменных х и у к переменным л и \х, может быть
представлен так:
д (х, у) cos p дх дх
д (A, jj.) cos (9 + &) cos (с — г) дк д;*
Нетрудно убедиться, что: решение канонической системы урав.
нений D.61) и D.62), для которого определитель преобразования
является решением уравнений D.58).
Можно также установить, что: для появления разрывов вдоль
какой-нибудь линии необходимо и достаточно, чтобы вдоль нее
определитель преобразования D = Q.
Наконец, легко показать, что: вдоль огибающей характеристик
на плоскости ху определитель преобразования D = 0.
Остановимся сначала на интересном частном случае, когда соб-
ственный вес отсутствует, т. е. когда у —О-
Уравнения характеристик D.59) остаются без изменения
dy = dx tg (9 + г), D.63)
а уравнения D.60) сильно упрощаются:
ds rp 2-igrjdo — 0.
Последние уравнения, после введения новой функции у, предло-
женной Ж. Л'анделем [70] в виде
могут быть проинтегрированы, а именно
у q: 9 = const. D.64)
Канонические уравнения D.61) и D.62) теперь дают
ду дх , . ду дх . , . ,Л ас\
~- = ^rr-i»-(9 — ?). -7Г~ = -л~ tf? Ь + ?). D.65)
di di * VT ' drj д-q & v' ' ' v
так как за параметры X и ц естественно принять
¦ = у + ?, 7, = z-?. D.66)
Конечно, такой выбор независимых переменных возможен, лишь
если ; и -i\ переменны. Однако имеются частные решения, отвечаю-
щие постоянным X и 7j, по-прежнему называемые интегралами урав-
нений предельного равновесия. Эти решения должны быть рассмо-
трены отдельно.
§ 211
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
185
1. Если X постоянно, тогда как -ц переменно, то на основании D.66)
ечичины е и 'j суть функции только одной переменной т(. Следова-
Ве1ьно, вдоль первого семейства характеристик
dy = dx tg (9 — s), 9 = const, e = const.
Поэтому
x sin (9 — s) — у cos (9 — 3) = const, '-p = const,
a искомый интеграл б^-дет
x sin (9 — г) — у cos (9 — г) = / (с).
Итак, интегралы уравнений предельного равновесия
/. + ? = ^о. -^ sin (? — s) — У cos (? — s) = / (rr) D-67)
содержат произвольную постоянную i;0 и произвольную функцию /('¦?)•
Первое семейство характеристик на плоскости ху состоит из пря-
мых т, = const (или s = const и 9 = const), а второе семейство опре-
деляется в результате интегрирования уравнения
dy, = dxtg(9 + s).
Построенное решение имеет смысл лишь до огибающей прямых
характеристик. Чтобы найти эту огибающую, нужно продифференци-
ровать интеграл D.67) по ср так:
[*cos(f —е)^-у sin (с? —s)
и добавить тот же интеграл D.67). Окончательно, будут иметь место
уравнения
cos*(у-О Г /(¦¦?) ]' кшЧт-ОГ /Of) У
1 + rfe/dy. L COS (ср — E) J ' y 1 + dildx L sin (9 — г) J •
Обратим внимание на вырожденный случай, когда прямые характе-
ристики проходят через одну точку О и, следовательно, составляют
пучок.
Здесь удобно вводить полярные координаты г, 6 с полюсом
в той же точке О, помня, что
x = rcos8, y/ = rsinO.
Из условий х = у = 0 следует, что произвольная функция / (о) = 0,
а предыдущие интегралы D.67) принимают вид
(ср
-?- или 9==
D.68)
2. Если же т; постоянно, тогда как к переменно, то. вследствие
4.66) величины s и щ суть функции одной переменной X. Аналогично
предыдущему, интегралы уравнений предельного равновесия
/_ —9 = т]0, л: sin (9-(-s) — у cos (9 + s) = §¦ (9) D.69)
имеют произвольную постоянную 7j0 и произвольную функцию

186
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл.
IV
[1 Л. Iv
Первое семейство характеристик на плоскости ху находится путем
интегрирования уравнения
dy = dx tg (у — з),
а второе семейство состоит из прямых ? = const (или е = const
и » = const).
Огибающая прямых характеристик дается уравнениями
х =
(<р -f- г)
Г Тел! ^
?) = 0, а интегралы D.69) будут ЯС"°'
' С —М в
Произвольная Функция
' '•? = тю,
~В)=х- и™ г
D.70)
3. Если, наконец, % и tj постоянны, то ей? также постоянны.
Первое и второе семейства характеристик образуют на плоскости х_у
две системы параллельных прямых.
Покажем теперь, как преобразовать уравнения характеристик и
канонические уравнения к некоторым новым переменным и и v. Для
этого вместо координат х и у введем
х ¦
COS р
\х sin (9-f-s) — у cos (»
е)],
У ~
а также
cos (Т
х sin (?
7 — ~ = К a sin p cos p .
Легко видеть, что д; и у по-прежнему суть координаты какой-
нибудь точки относительно осей, проходящих через начало О и па-
раллельных направлениям линий скольжения в той же точке.
После указанной замены уравнения характеристик D.63) прини-
мают простой вид
(da
COS р ¦ COS р
а канонические уравнения D.65) будут
= 0, da — (ds-4-dv) = 0, D.71)
COS p '
2 cos
2 cos
-ш) = °- <4-72)
,21!
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
187
обпатимся теперь к обычному случаю, когда собственный вес
параллельно оси у, т. е. когда угол а = 0.
характеристик D.59) сохранятся без изменения
) D73)
уравнения D.60) несколько упростятся
ds + 2atgpd'j? = i(dy-Agpdx). D.74)
Аналогичным образом канонические уравнения D.61) останутся
прежними
дч дх , , , ду дх . . . .. „_,
4~Л- -^ -^- tcrfcD-1-б), D-/5)
а канонические уравнения D.62) будут
ds _ d» / (
йл & ' dk ' \(
ds , _ й-f / dy , , dx\
d[x ' ь ' да ' \ да ~ ь ' <Эа /
Следует отметить, что рассматриваемые здесь уравнения совпадают
с соответствующими уравнениями § 3, однако углы р и е здесь пере-
менны. Поэтому все рекуррентные формулы сохраняют свой обычный
вид. Отсюда вытекает, что методы решения различных задач также
остаются прежними.
Рассмотрим сначала несущую способность невесомого основания,
ограниченного осью х. Зададим вдоль положительной полуоси х рав-
номерно распределенное нормальное давление р и определим равно-
мерно распределенное нормальное давление q вдоль отрицательной
полуоси х, при котором основание находится в предельном равнове-
сии без выпирания или оседания.
Решение этой задачи связано с применением интегралов D.68)
уравнений предельного равновесия для вырожденного случая.
Допустим, например, что предельное условие определено функцией
5 + Но
которая на плоскости переменных S и Т изображает параболу, или
в параметрической форме — функциями
?JiY
п )
Применяя соотношения A.16), нетрудно представить а и Я через
переменный угол р, а именно
COS2 р \ П

188
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл.
Функция у_, также необходимая для дальнейших рассуждений, мож
быть получена с точностью до постоянного и имеет простой ви
Начнем с определения удерживающего давления на основание и
будем на плоскости ху различать три области A0OAlt АХОА2 и А2ОА
изображенные на рис. 121.
В областях А()ОА1 и АгОАъ, соответственно,
р — plf о = у и р = о2, 9 = ~,
а сетки линий скольжения образованы двумя изогональными
__ Р
семейст-
Рис. 121.
вами параллельных прямых. Из A.21) следует, что р и q могут быть
представлены так:
±^_
1 — sin Pl
— (я— 1) sin
1 4- bill pg
D.77)
В области А{ОА2 имеют место интегралы D.68) уравнений пре-
дельного равновесия для вырожденного случая. Произвольная посто-
янная С выражается через значения р и о в области А0ОА1, так что
Окончательно
я—1
-e) = ? „ли ? =
а сетка линий скольжения состоит из пучка прямых, проходящих
через точку О, и из линий, образующих с этими прямыми углы 2s.
§2П
ПЛОСКОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
189
л „нимая во внимание предыдущее соотношение, а также значе-
ПрИнимая в области Л2ОЛ3, нетрудно видеть, что
r2 '
л— 1
л—
-Pl-
т иим обоазом зависимость между нормальным давлением р и
J ив— нормальным давлением q определена в параметриче-
уД I аопчГ через углы о, и р2 при помощи D.77) и D.78).
СК°О*ратим внимание, что властном случае, когда Я = 2. выраже-
,я D 77) принимают более простой вид
4 sin2 pi
а соотношение D.78) будет
ctg р
... . .. : = ctgPl-4-Pl.
Перейдем теперь к нахождению разрушающего давления на осно-
вание. Аналогично предыдущему очевидно, что
--k
ctg
gPl\n-l I —'
IT) 1
—(Я— 1) Sin P!
Sill pi
г—1) sin p2
1 — sin р2
а также, что
-Pl-
D.79)
D.80)
Итак, зависимость между нормальным давлением р и разрушающим
нормальным давлением q дана в параметрической форме через углы р1
и р.> при помощи D.79) и D.80).
Отметим, что в частном случае, когда /г = 2, выражения D.79)
принимают вид
а соотношение D.80) дает
Результаты вычислений по формулам D.79)_и D^8 0)-" Г^^
безразмерными величинами ^ = (р + Н0)/к и Ч = (д + Н0)/к для различных
л изображены на рис. 122.
Рассмотрим далее давление невесомой засыпки, огра™чй«юЯ по-
ложительной полуосью х, на вертикальную заднюю граньJ»*
стенки, совпадающую с положительной полуосью у. Задали*.вдоль
положительной полуоси * равномерно распределенное нор.малыше
давление /> и получим нормальное давление q вдоль задней грани.

190
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
191
[гл.
.-¦•. IV
Начнем с определения активного нормального давления засыпки
на подпорную стенку и заметим, что
Р = Ро. ? = у >
а сетка линий скольжения образована двумя изогональными семей-
ствами параллельных прямых. Из A.21) ясно, что р-\-На и q-\~H
па могут быть выражены через пара-
метр р0 следующим образом:
п
7Г^1 l±(n
4
_ k I ctg
п
sin р0
Обратим внимание, что в част-
ном случае, когда п = 2, не-
трудно определить
*0,0 0,2 0,4 ОБ
Рис. 122.
а после исключения параметра р0
установить простую зависимость
л/'E+
г k
Перейдем теперь к нахождению пассивного нормального давления
засыпки на подпорную стенку. Аналогично предыдущему ясно, что
Р |
°
\ п ) 1 ± si
— 1) sin
q-, --и ; \ » ' ' ±sin
Отметим, что в частном случае, когда п = 2, легко получить
р + Н0 1 _^ А jl^sinjPoP .
q-f-H0 j 4 ain2 p0
а после исключения параметра р0 найти зависимость
V1
РУЮт'осноГГ ЗДГ "р0Стейшие заДачи достаточно ясно иллюстри-
н других ЧЯячяСШ0СТИ СВЯЗН°Й СреДЫ- ПоэтомУ останавливаться
на других задачах нет никакой необходимости.
ool ПРЕДЕЛЬНОЕ УСЛОВИЕ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
§ 22. Предельное условие специального вида
Предыдущие рассуждения особенно просты, когда предельное
условие определено функцией
которая на плоскости переменных S а Т изображает дугу циклоиды
(рис. 123), или в параметрической форме — функциями
5а-яо = |Gг_ 2р — sin2p), T = |-(l+cos2p), 0<p<|-.
Это предельное условие дает возможность получить достаточное при-
ближение для описания механических свойств многих связных сред.
Рис. 123. Рис- Ш-
Применяя соотношения A.14). нетрудно выразить s и t через
переменный угол р, а именно
Отсюда следует, что предельное условие может быть дано функцией
которая на плоскости переменных s и t представляет дугу синусоиды
соотношения A.16). легко представить а и Н через
переменный угол р, так что
Теперь нужно выразить компоненты *
углы р и ?. Подставляя а и Я в выражения A.21).
Ч = й(* p±cosPcos2?)-tf0. ^ =
получим
. D.81)

192
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл.
IV
Кроме того, следует преобразовать приведенное выше предельное
условие, связывающее sat. Окончательно будем иметь
D.82)
= V sin*
?
Функция у, необходимая для дальнейших рассуждений, может
быть получена лишь с точностью до постоянного и имеет простой вид
2у = ~ — о или y_ — s.
Займемся сначала преобразованием уравнений предельного равно-
весия и покажем, что эти уравнения имеют простые интегралы.
Ограничимся, в целях простоты, частным случаем, когда собствен-
ный вес отсутствует, т. е. когда у = 0.
Уравнения характеристик D.63) могут быть проинтегрированы
у = xtg(oq:e)-irconst, D.83)
а уравнения D.64) напишутся так
si3 = const. D.84)
Отсюда видно, что характеристиками на плоскости ху являются
два семейства прямых, которые наклонены к оси х под углами ср rp e
и совпадают с линиями скольжения.
Уравнения предельного равновесия имеют, таким образом, простые
интегралы
х sin т]-[-у cost] = /G]), xs\x\.X— у cos? = ?"(!) D.85)
с двумя произвольными функциями /(т;) и g (?), так как величины X
и т] теперь будут
? = 6 + ?, т) = е —?. D.86)
Нетрудно также вывести обычные частные решения, соответствую-
щие ПОСТОЯННЫМ S И 7].
1. Если i постоянно, тогда как г\ переменно, то интегралы урав-
нений предельного равновесия
? = ?0, х sinTj-f-y cos7] = /(t]) D.87)
содержат одну произвольную постоянную Хо и одну произвольную
функцию /(tj).
Первое семейство характеристик на плоскости ху состоит из не-
параллельных прямых т] = const, а второе семейство — из параллель-
ных прямых
у = xigK-\- const.
ПРЕДЕЛЬНОЕ УСЛОВИЕ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
193
рассмотрим, вырожденный случай, когда прямые характеристики
юоходят через одну точку О, и введем полярные координаты г, 6.
Очевидно, что произвольная функция /(¦/)) = 0, а интеграл D.87)
принимает вид
Р=?о, tg7) = —-J или т, = —6. D.88)
¦j. Не ли же vj постоянно, тогда как % переменно, то интегралы
т^\ п^1 уравнений предельного равновесия
г\ = гю, xsinS — ye/)s? = g(?) D.89)
iiMetoi произвольную постоянную vj0 и произвольную функцию g(i).
Первое семейство характеристик на плоскости ху образовано
пяр.-!ллс1ьными прямыми ^ п^ „ m , л „
у --- — X tg т; -j- const,
а второе семейство — непарал-
лельными прямыми ? = const.
Разберем вырожденный слу-
ча!1. когда прямые характеристики
проходят через одну точку О, и
опяп.-таки применим полярные
координаты г, 6. Ясно, что произ-
вольная функция g(l) = 0, а инте-
гралы D.89) будут
т, -¦¦¦ v t?^=f или ^ = 6-
D.90)
'.->. Если, наконец, i и ч\ по-
стоянны, то s и ср также по-
сгоянны. Первое и второе се-
MeiiciBa характеристик образуют на плоскости ху два изогональных
свинства параллельных прямых.
Обратим внимание на вырожденный случай общих интегралов
(! ¦¦")), когда прямые характеристики проходят через две точки Р и Q
fK'ii .v с абсциссами q:a.
Здесь удобно применять полярные координаты rx, Oj и г2, б2
^ ;:оносами в тех же точках Р и Q, имея в виду, что
— а
y = r1sin61 и x = a
= r2sin
Произвольные функции /(;/]) и g{X) без всякого труда опреде-
ляются из условий х = —а, v = 0 и х = а, у-=0. Окончательно,
для сетки характеристик, изображенной на рис. 125, интегралы D.85)
имеют вид
Л
х — а
tg 71 =
х-\-а
ИЛИ X =
] = —9^ D.91)
S3 Зак. 1288. В. В. Соколовский

194
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[гл.
IV
а для сетки характеристик, показанной на рис. 126, те же инте-
гралы D.85) будут
,_ У
или ? =
+ J^ 2(.92)
Во всех рассуждениях, наряду с координатами х, у, удобно поль-
зоваться новыми переменными и, v, которые определяются так
и = х sins —
¦v — у cost; J-
или обратно
U COS 7j -j- V COS ;
Х
v sin ? —• и sin т]
После указанной замены об-
щие интегралы D.85), а также
интегралы D.87) и D.89) прини-
мают еще более простой вид.
Остановимся на двух интересных задачах о предельном равнове-
сии связной среды, решения которых имеют простую замкнутую форму.
Рассмотрим сначала предель-
ное равновесие полосы при сжа-
\р тии ее нормальными давлениями р,
равномерно распределенными на
противоположных участках, пред-
полагая, что длины этих участков
равны 2а, а ширина полосы 2Ь.
Вследствие симметрии задачи
будем исследовать лишь верхнюю
половину полосы, которая и пока-
зана на рис. 127.
В области ОРАп на ллодко-
сти ху, как всегда,
то
а сетка линий скольжения обра-
зована двумя изогональными се-
мействами параллельных прямых,
Из D.81) следует, что
/>-(-//„ = * B^ +sin 2Sl). D.93)
В области АпРА12 могут быть использованы интегралы D.88)
уравнений предельного равновесия для вырожденного случая. Про-
извольная постоянная
выражается через значения е и <р
ПРЕДЕЛЬНОЕ УСЛОВИЕ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
195
§221
области ОРАп, что дает
Таким образом,
а сетка линий скольжения состоит из семейства прямых, параллель-
ных АпА12, и из пучка прямых, проходящих через точку Р.
В области ^п^12^22 следует применить интегралы D.91) урав-
нений предельного равновесия также для вырожденного случая
Итак,
а сетка линий скольжения состоит из пучка прямых, проходящих
через точку Р, и пучка прямых, проходящих через точку Q.
Заметим, что в точке Аи угол s = s1^%j4, а следовательно,
что а ^ Ъ.
На участке АпА22 оси у компоненты напряжения D.81) могут
быть представлены как функции от у. Принимая во внимание, что
61-(~62 = т и обозначая 61 = 6, получим
= /г(тг — 20 + sin 26)
= с tg6.
У '
Горизонтальная компонента равнодействующей всех усилий, дей-
ствующих по разрезу РАиА22, должна быть равна нулю. Отсюда
следует равенство
ь
j°xdy =
и
которое после вычисления интеграла устанавливает, что
2k (s2 — cos2 sl tg e2) = tf0,
s2.
D.94)
Таким образом, искомая зависимость между нормальным давле-
нием р и отношением bja выражена в параметрической форме через
углы Ej и s2 при помощи D.93) и D.94).
Рассмотрим теперь предельное равновесие прямоугольника при
сжатии его между двумя шероховатыми плитами, считая что длина
этого прямоугольника равна 2а, а ширина равна 2Ь.
Вследствие симметрии задачи будем исследовать лишь верхнюю
половину прямоугольника, которая показана на рис. 128.
В области ОРАп на плоскости ху, как обычно,
е = е1
О,
13*

196
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СВЯЗНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ.
IV
а сетка линий скольжения образована двумя изогональными семей-
ствами параллельных прямых. Из D.81) вытекает, что
k{24 — sin2El) = W0. D.95)
В области АпРА21 могут быть применены интегралы D.90) урав-
нений предельного равновесия для вырожденного случая. Произвольная
постоянная гю выражается через значения е и ср в области ОРАп,
так что
г = ?_|_?==61, т] = 3 — 9 = 6^
Следовательно,
§22
ПРЕДЕЛЬНОЕ УСЛОВИЕ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
197
'оризоптальная компонента равнодействующей всех усилий, при-
чоженных по разрезу РАпА2г, должна быть равна половине силы,
' 11Маыщей плиты. Эту силу удобно выразить через среднее зна-
чение нормальной компоненты п давления на контактной прямой.
Отекла следует равенство
ъ
/
D.96)
которое после вычисления интеграла дает
п +Я0 = 2k (s2 -\- sin2 el ctg s2), b = a tg e2.
11гак, зависимость между средним значением нормальной компо-
ненты п и отношением b/а определена в параметрической форме
четкм углы зх и г2 при помощи D.95) и D.96).
Для частного случая Но = 0 угол е, =0, а давление
n — 2k arc tg —.
ь а
дальнейшее развитие этих результатов в применении к опреде-
лению несущей способности целиков заданных размеров было дано
К. В. Руппенейтом [34].
а сетка линий скольжения состоит из пучка прямых, проходящих
через точку Р, и из семейства прямых, параллельных АпА21.
В области АпА2хА22 должны быть использованы интегралы D.92)
тех же уравнений предельного равновесия для вырожденного случая
1 = 2 Ср = 7Г 0,.
Итак,
а сетка линий скольжения образована пучками прямых, проходящих
через точки Р и Q.
Заметим, что в точке А22 угол з = з2 <^ т:/4, а следовательно,
что Ь^.а.
На участке АпА2.2 оси у компоненты напряжения D.81) могут
быть представлены как функции от у. Имея в виду, что 019
и обозначая 6, = 6, найдем
= ?B0 ± sin 26) — Но, у = а

ГЛАВА V
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
§ 23. Уравнения плоского предельного равновесия
весомого клина
Особенности идеально-сыпучей среды позволяют получить решения
многих задач о предельном равновесии весомого клина более простым
путем, чем это можно сделать на основании общей теории. Решение
всех этих задач, как будет показано далее, достигается в замкнутой
форме или приводит к интегрированию обыкновенных нелинейных
дифференциальных уравнений.
Займемся сначала подробным исследованием уравнений, описы-
вающих плоское предельное равновесие, применяя преимущественно
полярную систему координат г, 6. Ограничимся для определенности
случаем, когда собственный вес направлен параллельно оси у.
Дифференциальные уравнения равновесия
даг , J_ dtrH ar — as
и предельное условие
= 1 sin
E.01)
E.02)
составляют систему трех уравнений, содержащую три компоненты
напряжения ат, ан и тг9.
Н
р т, н г9.
Напомним, что компоненты напряжения ах,
A21) //
т на осно-
напряжения ах, з и т на осно-
вании A.21) при //=0 выражаются через а и ф следующим образом
E.03)
= аA ± sin p cos 2о), ixy = з sin p sin 2cp,
а компоненты напряжения зг, a(J и т^ вследствие A.22) также при
//=0 представляются при помощи s и f так:
> = з A ± sin о cos 2ф), V- = з sin p sin 2<]>. E.04)
§ 23] УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ВЕСОМОГО КЛИНА 199
Здесь нужно иметь в виду, что о есть угол между направле-
нием стах и осью х, а ty —«— 6 — угол между тем же направле-
нием зтах и прямой ОР, как это показано на рис. 11 и 12.
Многие задачи о равновесии весомого клина из идеально-сыпучей
среды могут быть рассмотрены в предположении, что все компоненты
напряжения зг, а,, и тг-, пропорциональны г или что о пропорцио-
нально г, а в и f зависят только от 6.
Таким образом, будем считать, что 9 = ф@). ф = ф@) и введем
новую функцию / = / (9) при помощи равенства
3 = T/-Z@).
Внося в дифференциальные уравнения равновесия E.01) выраже-
ния E.04), тождественно удовлетворяющие условию E.02), после
преобразований установим основную систему уравнений
Sin о :
1 _ Sin p cos Щ -?¦ + Ч sin P sin 2Ф {Ж + 1
sin P sin
= cos 6-
Она может быть разрешена относительно производных так, что
d'L __ cos B6 + 6) + 7. sin 20 (- nc-.
dd — cos 26— sin о ' {0MD>
а вместе с тем
db i , _ sin 0 — sin p sin B-l> + 0) — 7. cos2 p (т 06^1
d8 ^" 2/, sin p (cos 2i — sin p) ' \.o.vjv)
Легко видеть, что в правых частях знаменатели при ф = ± е
обращаются в нуль; при этом числители также обращаются в нуль
или отличны от нуля. Эти свойства приведенной системы дифферен-
циальных уравнений E.05) и E.06) были исследованы Т. Карма-
ном [68], а впоследствии еще более детально изучены Ж. Эрто [61].
Большой интерес, как известно из предыдущего, представляют
линии скольжения, составляющие два семейства и пересекающиеся
между собой под одинаковыми углами
Эти линии скольжения наклонены к оси х под углами о Н- ?>
а к прямой ОР—под углами d> q: г.
Таким образом, дифференциальные уравнения линий скольжения
принимают вид
и* окончательно дают
ИЛИ
= r ctg
е).
E.07)

200
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[ГЛ. у
Разберем теперь интересный частный случай отсутствия собствен-
ного веса, когда f=Q. Многие задачи о равновесии невесомого
клина из идеально-сыпучей среды могут быть рассмотрены в пред-
положении, что все компоненты напряжения ~г, з9 и тг-, пропор-
циональны степенной функции от г или что з пропорционально
той же степенной функции от г, a сг и / зависят только от 6.
Итак, по-прежнему будем считать, что а = '¦?("'• 4 = фF) и
введем функцию у_=у_F) при помощи равенства
o = r«ZF)-
Подставляя в дифференциальные уравнения равновесия E.01) при
¦у =0 выражения E.04), после простых преобразований получим
основную систему уравнений
sin p sin 2ф
-~
2/ sin p cos 2ф |-^j- -f- 1) -f-я/. A -j-sinp соз2ф) = 0,
A — sin p cos
4- 2/ sin р sin 2
«Zsin Г'sin 20 = 0.
Она должна быть разрешена относительно производных так, что
-'-• "" ; sin 26 ФЪ ^ 1 п cos2 p
Iff ~~
dO ' cos:
sin
1 =
2 bin p (cos 26— sin c)
. E.08)
После перехода к новой независимой переменной 6 и введения
обозначения
п cos3 р
2 sin
- sin p
вместо E.08) будем иметь
, Sill р -j- •/
/г/ sin 2y
cos
Решение первого дифференциального уравнения для v = 1 имеет
простой вид
6 —0o = iA4_Smo)tg-|. —й.
а для v Ф 1 может быть выражено следующим образом:
л sin p 4- v
90 = —r^= arc ¦
ttt tg ф) - *¦ (v
Yl — v3 \ Г 1 _„ v -
Решение второго дифференциального уравнения должно быть
представлено так:
Z = Zo!cos2^4-vP .
& 23] СРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ВЕСОМОГО КЛИНА 201
Эти интегралы, содержащие две произвольные постоянные б0 и /0,
позволяют исследовать предельное равновесие невесомого клина,
когда вдоль одной из его сторон давление изменяется по степенному
Теперь нетрудно определить линии скольжения, соответствующие
приведенному решению. Из уравнений E.07) после простых пре-
образований будем иметь
/-"/ехр[- 2@-4-40^] = const.
Те же линии скольжения легко найти на основании общей тео-
рии § 3, так как из уравнений A.34) следует, что
-j ехр (п: 2c?tgp) = const.
Предыдущие рассуждения справедливы, если ф переменно. Однако
существует частное решение дифференциальных уравнений E.08),
отвечающее постоянному углу ф = ф0. Оно имеет простой вид
У. = Zo е
^ё^^- -*=-»'-^^
а линии скольжения представляют собой обычные логарифмические
спирали
г ехр [— ctg (ф0 х е) 8] = const.
Последнее частное решение было выведено М. В. Малышевым^9]
непосредственно из дифференциальных уравнений E.01) при Т — 0
и предельного условия E.02).
Остановимся на предельном равновесии массива, ограниченного
осью х, свободной от давлений и наклоненной к горизонту под углом а.
г* и тдтЯ Я ЧТО О *\ г*'
Возникающее в массиве поле напряжений, рассмотренное впервые
В Ренкиным ['4], будем по-прежнему называть простейшим. Оно не
зависит от х и определяется дифференциальными уравнениями
которые могут быть проинтегрированы так, что
Таким образом, напряжение на наклонных прямых, параллельных
оси х, направлено вертикально, а именно
Кроме того, из A.17) и принятого выше равенства
же следует, что
in
ср = A - - /) -А -г - (у-Л — а) + "'"• У-= sin 6 7пГ(Г=^)
, E.09)

202 ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
где, как обычно, обозначено
[гл. v
=- 2 '
я линии скольжения составляют два изогональных семейства парал-
лельных прямых.
Два знака -/. = —1 и x = -f-l, входящие в решение, как всегда,
соответствуют двум напряженным состояниям — минимальному и
максимальному.
Если граница массива — ось х наклонена к горизонт)' под
углами и= +р, то <р и /_ не содержат знака •/., так что
Ф=±? + /и-, 7 = • E.10)
т ' '- cos р v '
Поэтому минимальное и максимальное напряженные состояния
совпадают, а линиями скольжения служат наклонные прямые, парал-
лельные оси х, и вертикальные прямые.
Преобразуем теперь формулы E.09), считая, что ось х напра-
влена горизонтально, а ось у вертикально вниз. Заменяя 6 на 6 — а
и о на з> — а, будем иметь';
? = О - *) J+ Y С'-А + я) + «-, Z = з>'пF - а) -г^ц^щ¦ E.11)
Отметим частный случай, когда граница массива горизонтальна
или когда угол а = 0. При этом очевидно, что
= A —-л) -J+ дате, / :=
sln
— -/. ып
E.12)
Приступим теперь к рассмотрению различных задач о предельном
равновесии весомого клина из идеально-сыпучей среды [47], в которых
предыдущие уравнения находят
¦ ° широкое применение.
Исследуем сначала равновесие
весомого клипа, стороны кото-
рого свободны от давлений. Оно
может быть двух видов в зави-
симости от того, будет ли угол
при вершине клина больше или
меньше ~. Оба эти вида должны
быть, конечно, изучены отдельно.
Если угол при вершине клина
больше ~, то предельное равно-
весие не может распространиться
на всю его площадь. Здесь нужно
различать крайние — предельные области А0ОА и ВОВ0, в которых
возникают простейшие поля напряжений и среднюю — непредельную
область АОВ. Эти области разделены прямыми 0 == я и 0 = C, про-
ходящими через точку О и обозначенными О А и О В (рис. 129).
§ 23] УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ВЕСОМОГО КЛИНА 203
В области А0ОА вследствие E.11) при х=— 1 величины
A
где обозначено
sin а0
sin р
а в области ВОВ0 величины
= ¦?—¦§¦ (Во —Ро). х = sinF — р0) ^n
где обозначено
sinB0= —
Далее нетрудно установить величины <р и у на прямых О А и ОВ.
В самом деле, на прямой О А, очевидно,
6 = а, ср =-J--g-(Ао — о,,), у.-=7л = sin (a — ao)_^_
а на прямой ОВ, аналогично,
, E.13)
В области ЛОВ имеет место частное решение, в котором компо-
ненты напряжения ах, ау и х выражаются в виде линейных и одно-
родных функций координат х, у. Четыре произвольные постоянные,
входящие в это частное решение, и неизвестные углы a, f! находят-
ся из условий на прямых ОА и ОВ. После простых преобразований
получим
7л [sin р — sin р sin (Ао — ао-\- Щ = у2 [sin a — sin p sin (Bo — ро + a)],
*/Л [cos p 4" sin p cos (Ao — a0 -\- $)] = у2[cosa -f-sin p cos (Ro — %-\- a)} -}-
+ i( p)
Поле напряжений в рассматриваемой области может быть опре-
делено компонентами
= Тх7лП + sinpcos(A0 —!
sin pcos(B0 —
х = тхх! sin р sin (Ао—а0) +ТУХ2sin ? sin (Bo — Ро).
кптооые удовлетворяют соответствующим уравнениям и граничным
условиям; Здесь принята прямолинейная, но косоугольная система

204
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[гл
с„с,е,,м
X
У :
— у cos
ьш (8 — a) sin (J3 — а) '
у cos a — х sin у sin @ — а)
sin (p — а)
bill (p _ а) •
- «s (A, - *, - I),
крайше-предельные области
прыель"ое
через точку О и обозначенными О А и ОВ (рис. 130).
д д В области Л0ОЛ по-преж-
нему
у = sin (9 — а,) b-!Hio
о; sin (Ло + «о) '
а в области fiO60 опять-таки
?J(л Р)
7 = sin F — 30) -
sin ii0
sin (Ьо-}-р0) •
Углы а и ^ устанавливающие положения прямых ОЛ и OS вьша-
жаются следующим образом: '
Таким образом, на прямой ОА нуж
но принять
а на прямой ОВ можно положить
6 = в v .- i!L(f> + р)
cos?
E.!5)
E.16)
В области Л05 должно быть построено решение дифференциаль-
ных уравнений E.05) и E.06) по граничным условиям E.15) и E.16)
и ОВ
)
на прямых ОА и ОВ.
5 24]
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ
§ 24. Несущая способность оснований
205
Изучим далее предельное равновесие весомого клина, одна сто-
рона которого свободна от давлений, а другая—горизонтальная
сторона — находится под действием давления q, образующего с нор-
малью постоянный угол о. Это давление удобно искать в обычном
виде q~irq0.
Обратим внимание, что приведенное и действительное напряжения,
а также их граничные значения—приведенное и действительное да-
вления для идеально-сыпучей среды, в которой Н = 0, полностью
совпадают.
Будем рассматривать предельную область А0ОА, в которой воз-
никает простейшее поле напряжений, и примыкающую к ней пре-
дельную область АОВ. Эти области разделены прямой — линией
скольжения 8 = а, проходящей через точку О и обозначенной О А
(рис. 131).
В области А0ОА вследствие E.11) при -л-=4-1 величины
7. = sm @ - а0) --ф—^
а угол а, определяющий положение прямой ОА, выражается таким
образом:
a = e4rI(A0+a0).
При этом на прямой ОА имеют место
а па прямой ОВ согласно A.17) при ¦/. = —1 будут
E.17)
E.18)

206
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[ГЛ. V
ЦЛ. V
В области АОВ может быть построено решение дифференциаль-
ных уравнений E.05) и E.06), удовлетворяющее граничным усло-
виям E.17) и E.18) на прямых О А и ОВ.
Отметим, что решение задачи особенно просто, когда 8 = р.
Действительно, согласно E.18) величина ф = е — т: при б = ттг, а из
уравнений E.05) ясно, что
Z = tgp и qo = s\np.
Такое же выражение д0 может быть получено из формулы B.24),
если в ней положить ^0 = 0.
Рассмотрим частный случай, когда свободная от давлений граница
горизонтальна или когда угол ко=0.
х
р„йбХГР1тейш„мРиаТЬ ^^ А»°А' * ^орой поле
(Рис. 132). Ростейшим, и примыкающую к ней область АОВ
В области А0ОА вследствие E 12) чпИ -, _j_ i
(o.iz) при /. = -f-l величины
а угол
' = 0, у = sin "
1 — sin р
у а = е. P
Граничные условия E.17) значительно упрощаются
граничные условия E.18) остаются прежними
sin Д
E.19)
E.20)
: и ранее, может быть построено решение
—„... ^ыопений E.05) и E.06), удовлетворяющее усло-
E.19) и E.20) на прямых О А и ОВ.
задачи
Ре„ия7ЛоГс
УР-не„„й E.05) и
§ 2
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ
2,4
1пХ
2,0
1В
12
ав
1 ! ! '
i ! i
---
1
|
1
|
! '1/
_
J
V
1
А
р.
i
$=о°-¦
—f-v
!
о |
i ! ^
i
! !
2э
1 \1
' N
_
-
*?
1
1
Л
1
0,4 0,8
1,2 IB 2,0
Рис. 133.
2,4 2,8 в 3,2
ПО 04 0,8 1.2 7,6 2,0 2.4 2,8 в 3.2
0,4
0,8
7,2
1В
2,0
2,4
1
1
1
-л
N
N?4
—i
N
NN
jf лО
<"^
^ 70°
^. о^
s^2Ol
\
п
11
i,
Г
—ь
Рис. 134.
207

208
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[гл..
На рис. 133 и 134 построены интегральные кривые функций ¦/ и ф,
ходящие через точку 6 = е, х = 1/B sin е) и точку 6 = е, ф= —е.
окончательно:
5=0° 5° 10° 15° 20° 25° 30°
#0=15,3 11,1 7,76 5,10 3,10 1,66 0,50
На рис. 135 представлены линии скольжения, проходящие через точку
х — — а, у — 0 для углов В от 0 до 30°, причем линия скольжения для угла
5 = р = 30° совпадает с осью х. ;
ZOx/aW IB 1,4 1,2 1,0 пв 0,6 04 0,2 0,0 -0,2 -04 -Q6 -OS -Sf
\Q4
Рис. 135.
Аналогичным образом осуществлено решение той же задачи для углов
внутреннего трения р и углов S от 0 до 40° через 5°. Значения #о. устана-
вливающие давление вдоль отрицательной полуоси х, следующие:
0°
5°
10°
15°
20°
25°
30°
35°
40°
0°
0,00
5°
0,17
0,09
10°
0,56
0,38
0,17
15°
1,40
0,99
0,63
0,26
20°
3,16
2,32
1,54
0,92
0,34
25°
6,92
5,04
3,48
2,23
1,26
0,42
30°
15,3
11,1
7,76
5,10
3,10
1,66
0,50
35°
35,2
24,5
17,7
11,7
7,36
4,24
2,13
0,57
40°
86,5
61,6
42,4
28,6
17,5
10,6
5,73
2,70
0,64
Рассмотрим теперь другой частный случай, когда давление q
направлено вертикально или когда угол В = 0.
Граничные условия E.18) при этом значительно упрощаются и
принимают такой вид:
§ 24]
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ
209
Ниже приведено решение предыдущей задачи для угла внутреннего
тре;:ия р = 30°, состоящее в численном интегрировании дифференциальных
уравнений E.05) и E.06) методом конечных разностей. Окончательно:
«о= 0° 5 10° 15° 20° 25° 30°
<7о=15,3 12,7 10,3 8,20 6,24 4,35 1,92
На рис. 136 изображены линии скольжения, проходящие через точку
х — — а, у — 0 для углов а0 от 0 до 30°.
W x/a O.S
-OS -Щ
Рис. 136.
Аналогичным образом осуществлено решение той же задачи для углов
внутреннего трения р и углов а0 от 0 до 40° через 5°. Значения q0, дающие
давление вдоль отрицательной полуоси х, таковы:
«с \^
0°
5°
10°
15°
20°
25°
30°
35°
40°
0=
0,00
5
0,17
0,13
10°
0,56
0,50
0,31
15°
1,40
1,23
1,03
0,58
20°
3,16
2,75
2,29
1,78
0,92
25°
6,92
5,88
4,88
3,88
2,89
1,40
30°
15,3
12,7
10,3
8,20
6,24
4,35
1,92
35°
35,2
28,3
22,5
17,6
13,3
9,68
6,45
2,54
40°
86,5
67,7
52,1
39,8
29,1
21,0
14,7
9,33
3,27
Остановимся теперь на важной задаче о предельном равновесии
насыпи, ограниченной наклонной прямой и покоящейся на слабом
14 Зак. 1288. В. В. Солоковский

210
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[ГЛ. V
основании. Механические свойства основания даны постоянными -^ и Pj,
а те же свойства насыпи—; постоянными f2 и Рг (рис. 137).
У,-А
Рис. 137.
Поля напряжений в областях А0ОА и ЛОб основания хорошо
известны из предыдущей задачи, а давление вдоль отрицательной
полуоси х определяется следующим образом
sin (Ai + В)
где обозначено
Sill Д1
д bill О
sm Дх = —т-
sin Pl ' -^-i^-2-
Поле напряжений в области ВОВ0 насыпи является простейшим,
так что
а давление вдоль той же отрицательной полуоси х будет
г> п 4 1* . п sin В sin (До -4- Ь)
В — 3 = Л2-р-8, q = -i2rsm3—. ^б~—f.
г i ' ^ |z 'мп Д2 jin (В -р j)
где, опять-таки, обозначено
sin В =
sin р2 '
bin p2
0 < В, Л, < J .
Очевидно, что на прямой раздела основания и насыпи компо-
ненты ау и ixy пли величины q и 8 непрерывны, тогда как з мом;>.-г
претерпевать разрыв.
Отсюда следует уравнение
sin Di + 0) . 0 jin П sin (До-1-5)
ТЛ —lj—" "" Ъ 5Ш 'У "sin Д3 »1п (В -г ?) ' •
которое без особого труда позволяет определить угол 3, а, сле-
довательно, найти положение граничной прямой ОВ0.
§ 24]
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЙ
211
Результаты вычислений — зависимости между углом ? и отношением fi/"B
для угла pi = 10° и различных углов р2 от Ю3 Д° 40° через 5° представлены
на рис. 138.
26
Of I
ю
7В
а.
IU
О
В
4
2
Г)
i
1
If
i
/
//
li
7
1
I,
щ
f
1
///
w
'/,
I
/
//
//
/
\—
>
/!
1
i
/
/V
и /
0
/
J
/
/
!
li
7/7
f
/
У
/*
¦—¦
18
W°
/:
/
30"
/
-2
S
r-
20°-\
^15°*
70°
/
/
/
?
/
/
у
/
—
1
?
S
/
^**
, '
/
—¦
— ¦¦
1
1
4
-
-—-
/P
—•
1
1
j
Рис. 138.
Покажем, как обобщить предыдущие рассуждения для сыпучей среды,
обладающей наряду с внутренним трением также некоторым сцеплением.
С этой целью применим приближенный прием [48], основанный на
сложении предельного напряженного состояния невесомой сыпучей
среды и предельного напряженного состояния весомой идеально-сыпу-
чей среды.
Такое сложение приводит к предельному напряженному состоянию,
но для уменьшенного угла внутреннего трения.
14*

212 ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
Прежде всего напомним обозначения
[гл. v
1
-<У. t==V -тг\
так как ими удобно пользоваться в дальнейших рассуждениях.
Условимся компонентами ovl, ayl и тху1 или величинами s1 и tt
определять предельное напряженное состояние невесомой сыпучей
среды, для которой f = О, НфО. Указанные компоненты удовле-
творяют однородным дифференциальным уравнениям равновесия

ду
Jzxy\
~дх~
ду
и предельному условию
Будем далее компонентами ах2, о 2 и хху2 или величинами s2 и t2
описывать предельное напряженное состояние весомой идеально-
сыпучей среды, для которой -\Ф0, Н=0. Эти компоненты удовле-
творяют дифференциальным уравнениям равновесия
сЬл-2 dzxv2 _ diyv9 . dav9
ду
дх
и предельному условию
Представим себе напряженное состояние, полученное путем сложе-
ния указанных двух предельных напряженных состояний. Оно дается
компонентами
удовлетворяющими дифференциальным уравнениям равновесия
да у
ду
dx
¦у_ "^
и новому предельному условию
t1-\-t2 = (s1 -\- s2 -j- Я) sin p = (s 4- Я) sin p,
полученному путем сложения левых и правых частей предыдущих
условий. Принимая во внимание очевидное неравенство
проверка которого не представляет труда, можно установить, что
t = (s -\~H)sin со.
§ 25]
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
213
Это новое предельное условие содержит некоторый угол внутрен-
него трения
@<р
и может быть представлено так:
Следовательно, компоненты ах, ау и тлу, полученные путем сло-
и а и х
жения компонент ах1,
ау1 и ixyX с компонентами а
х2, ау2 и
жения ко х1 у1 xyX у
описывают предельное напряженное состояние сыпучей среды с умень-
шенным углом внутреннего трения со. Этот угол со может быть
легко найден из нового предельного условия, поскольку компоненты
уже известны.
<зх, ау и txy уже известны.
Рассмотрим, для определенности, задачу § 7 о несущей способ-
ности оснований, предполагая, что вдоль положительной полуоси х
равномерно распределено приведенное нормальное давление р.
Используя приближенный прием, представим нормальное давле-
ние q вдоль отрицательной полуоси х в виде суммы приведенного
давления ql для невесомой сыпучей среды и давления q2 для весомой
идеально-сыпучей среды, а именно
q = р A + sin р) 81п8(д _ 5) ехр [(я — Д — Ь) tg P] +Тг?о-
Нетрудно видеть, что приведенное давление q вдоль отрицательной
полуоси х, вычисленное указанным образом, для г = 0 имеет точное
значение, а для г > 0 имеет значения, несколько меньшие точных.
Отметим, что в частном случае, когда 8 = р, полученная прибли-
женная формула
t(
совпадает с точной формулой B.24).
§ 25. Давление засыпки на подпорные стенки
Рассмотрим, наконец, предельное равновесие весомого клина,
одна сторона которого свободна от давлений, а другая совпадает
с задней гранью подпорной стенки.
Распределение напряжений при предельном равновесии засыпки
для достаточно больших углов {J может быть непрерывным всюду,
кроме точки О, если на задней грани справедливо равенство
|8| = ш<р.
Очевидно, что задача о давлении засыпки на подпорную стенку
имеет два решения: одно из них определяет активное давление, а
другое дает пассивное давление. Эти давления удобно искать в обыч-
ном виде q =
15 Зак. 1288. В. В. Соколовский

214
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[ГЛ. VI
Займемся сначала определением активного давления засыпки на
подпорную стенку. Будем рассматривать область А0ОА, в которой
возникает простейшее поле напряжений, и примыкающую к ней
область АОВ. Эти области разделены прямой 8 = а, проходящей
через точку О и обозначенной ОА
(рис. 139).
В области А0ОА величины
= sin(8 — a0)
sin
у щ
выражается так:
sin (Ao + <z0)'
а угол а, дающий положение прямой О А,
Рис. 139.
Таким образом, на прямой ОА имеют место
?п (а — р)
1
% 1 / д \
а = -g- — s — -g" (Ao — «о)-
' = <*. 1 =
COS р
> = е, E.21)
а на задней грани ОВ вследствие A.17) при х = +1 должно быть
= ~(Q —(о). E.22)
I о sin (Q —
I = В, <7П =: у -
V Чо l sin а
В области АОВ определяется решение дифференциальных урав-
нений E.05) и E.06) по граничным условиям E.21) и E.22) на пря-
мой ОА и задней грани ОВ.
Для того чтобы решение было воз-
можно, значение <р в области А0ОА должно
быть больше, чем значение <р на заД"
ней грани подпорной стенки ОВ. Следо-
вательно, необходимо, чтобы соблюдалось
условие
Рис. 140. налагающее некоторое ограничение на
угол р.
Рассмотрим частный случай, когда граница засыпки горизонтальна
или когда угол 0^ = 0 (рис. 140).
В области А0ОА вследствие E.12) при х = —1 величины
а угол а = 1г/2 — е.
2 '
Sln
- sin р '
§ 25] ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
Граничные условия E.21) значительно упрощаются
6=-2—s. X = 2 Cos e ' Ф = е>
а граничные условия E!22) остаются прежними
оо sin (Q — <о) . 1 ,п
215
E.23)
E.24)
Предыдущее условие, накладывающее ограничение на угол
принимает здесь значительно более простой вид
Если кроме того задняя грань подпорной стенки вертикальна,
а угол трения ш = 0, то решение задачи имеет замкнутую форму.
Поле напряжений в засыпке будет простейшим, так что
_ 1 — sin p
q° — 1 + sin р '
Если угол трения засыпки по задней грани ш = р, то прямая
контакта является вместе с тем огибающей линий скольжения.
Покажем, как построить приближенное решение вблизи контактной
прямой 8 = р, когда на ней х = Хо и ф = е- Считая, что / — /0,
ф — е и 6 — р малы, оценим в уравнениях E.05) и E.06) порядок
различных членов и отбросим те из них, которые малы по сравнению
с остальными. Приближенно
dx _ sin (Р — р) — Хо cos p
db ~~ 2D< — e) cos p
tf ф _ sin (Р — р) — Хо cos p
db ~~ 4(ф— е) Хо sin p
или в результате некоторых простых преобразований
^_ctgpr sln(p
— 2 L
Xocosp
Выведенные уравнения должны быть проинтегрированы с учетом
граничных условий у_ = ;?0, ф = е при 8 = р. Первое из них уста-
навливает, что
а второе сразу же дает
—2(ф —e)tgp].
sin(P —р)
Хо cos p
E.27)
E.28)
Эти же соотношения являются следствиями интегралов C.07)
и C.08), если положить о(х) = ^гу0 и заметить, что приближенно
15*

216
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
n/
PS
/7C
07
0,8
0,9
In*
7,0
го
л
1
/
/
/
-?
/
и
12
13
—-.
\
14
f--0^
-/5
30\
_—
¦^.
15 6
"I
1
I
\
i
\
4
i
;
к
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Рис. 141.
"/,0 U L2, 1,3 7А- ~~ 15 в 16
[гл. v,
§ 25]
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
217
Ниже изложено решение рассмотренной задачи в предположении, что
задняя грань вертикальна, для угла внутреннего трения р = 30° и углов
трения <о = 0, а = р/2 — 15°, а = р = 30°. Оно состоит в численном интегри-
ровании дифференциальных уравнений
E.05) и E.06) методом конечных раз- 08 x/b ffB 0,4
ностей. ' гч-ч<*-
На рис. 141 и 142 построены инте-
гральные кривые функций ^ и ф, проходя-
щие через точку 6 = л/2 — е, \ — 1/B cos e)
и точку 6 = те/2—е, ф = е, которые соот-
ветствуют прямой ОА. Таким образом,
окончательно:
о = 0° 15е 30°
0,30 0,31
Рис. 143.
На рис. 143 представлены соответст-
вующие линии скольжения, проходящие
через точку х = 0, у = b для углов тре-
ния со = 0, со = р/2 = 15°, <о = р = 30°.
Сопоставим изложенный метод ре-
шения задачи об активном давлении за-
сыпки на подпорную стенку с обыч-
ным методом К. Кулона.
Известно, что активное давление д = ЧУ9о на задней грани под-
порной стенки определяется следующим образом:
_ cos2 p т2 _ sin р sin (р + °>)
Чо~~ (l + mJcos<o ' m ~ cos со
а угол а наклона прямой сползания к горизонтальной оси х будет
Эти формулы, заимствованные у И. П. Прокофьева [30], в результате
простых вычислений дают
и= 0° 15° 30°
9о = О,33 0,30 0,30
о = 1,05 0,99 0,95
Сравнение значений до показывает малое их расхождение; это, впрочем,
естественно, так как линии скольжения довольно мало отклоняются от
соответствующих прямых линий сползания.
Аналогичным образом осуществлено решение той же задачи в пред-
положении, что задняя грань наклонна, для углов внутреннего трения р
от 10 до 40° через 10°. Значения q0 для различных углов наклона {$ поме-
щены в приведенной здесь табл. 19.
Отметим еще частный случай, когда задняя, грань подпорной
стенки совпадает с прямой ОА, так что

218
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА [ГЛ. V |
Таблица 19
10°
0°
10°
20«
10°
20°
30"
0° 15°
30°
0°
10°
20°
30°
40°
Чо
Чо
Чо
Чо
50°
60°
70°
80°
90°
100°
110°
Чо
Чо
Чо
Чо
Чо
Чо
0,00
0,00
0,17
0,00
0,34
0,00
0,47
0,00
0,58
0,00
0,67
0,00
0,72
ОД
0,00
0,17
0,05
0,33
0,09
0,47
0,09
0,57
0,09
0,64
0,09
0,68
0,00 0,09
0,73
0,00
0,72
0,00
0,70
0,00
0,65
0,00
0,58
0,00
120° Чо 0,49
* 0,00
0,00
0,00
1,57
0,70
0,70
0,09
0,70
0,09
0,67
0,09
0,61
0,09
0,54
0,09
0,45
0,0(
0,0С
0,17
0,05
0,33
0,10
0,47
0,14
0,57
0,16
0,64
0,17
0,68
0,17
0,70
0,17
0,68
0,17
0,65
0,17
0,59
0,17
0,52
0,17
0,44
0,0
0,0(
0,1
ОД
ОД
ОД
ОД
0,54
0,00
0,59
0,00
0,60
0,00
0,58
0,00
0,54
0,00
0,49
0,00
0,09 0,17
Чо
Р
Чо
0,31
0,30
1,35
0,70
0,87
0,64
0,87
0,64
,: 0,42
0,00
0,35
0,00
0,27
0,00
0,00
0,00
1,57
0,49
40"
0° 20° 40
0,01
од
0,1
од
од
0,1
0,44
0,17
0,52
0,17
0,56
0,17
0,57
0,17
0,54
0,17
0,50
0,17
0,45
0,17
),38
',31
'.17
|,24
,17
0,35
0,33
1,39
0,50
0,01
ОД
0,1
0,01
ОД
0,1
0,45
0,2,
0,53
0,31
0,57
0,34
0,57
0,35
0,54
0,35
0,50
0,35
0,44
0,35
0,37
0,35
1,30
|,35
,23
0,35
0,96
0,57
0,96
0,57
0,00
0,00
0,17
0,00
0,32
0,00
0,44
0,00
0,50
0,00
0,52
0,00
0,50
0,00
0,46
0,00
0,40
0,00
0,33
0,00
0,26
),00
1,20
|,00
0,00
0,00
0,00
1,57
0,33
0,0
0,0
0,1
0,1
ОД
0,2;
0,4с
0,26
0,48
0,26
0,50
0,26
0,47
0,26
0,43
0,26
0,37
0,26
0,30
0,26
0,24
0,26
0,18
0,26
0,12
0,26
0,40
0,36
1,43
0,35
0,00
0,00
0,17
0,12
0,32
0,23
0,44
0,33
0,51
0,43
0,53
0,49
0,50
0,52
0,45
0,52
0,38
0,52
0,31
0,52
0,24
),52
|,52
Ml
',52
1.05
0,50
1,05
0,50
0,00
0,00
0,17
0,00
0,32
0,00
0,42
0,00
0,46
0,00
0,46
0,00
0,42
0,00
0,35
0,00
0,29
0,00
0,22
0,00
0,16
0,00
0,11
0,00
0,06
0,00
0,00
0,00
1,57
0,22
0,0
ОД
0,1
0,1
ОД
0,27
0,4<
0,35
0,47
0,35
0,45
0,35
0,40
0,35
0,34
0,35
0,27
0,35
0,20
0,35
0,14
0,35
0,09
0,35
0,05
0,35
0,46
0,40
1,47
0,24
0,00
0,00
0,17
0,14
0,32
0,27
0,44
0,40
0,50
0,52
0,51
0,62
0,46
0,69
0,38
),70
),29
|,70
,70
',15
МО
,70
,05]
0,70 ]
1,13
0,43
1,13
0,43
§ 25]
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
219
а угол трения со = р. Поле напряжений будет простейшим, а давле-
ние на задней грани выражается так:
= sin [s — 2" (Ао — «о)] •
Если при этом граница засыпки — положительная полуось х на-
клонена к горизонту под углом <*,) = — р, а задняя грань верти-
кальна (рис. 144), то
= fy cos p,
= — чу sin р
= cosp.
Покажем теперь, как обобщить предыду-
щие рассуждения для сыпучей среды, обла-
дающей внутренним трением и некоторым
сцеплением.
Рассмотрим, например, задачу § 11 об актив-
ном давлении засыпки на подпорную стенку,
предполагая, что вдоль положительной полу-
оси х равномерно распределено приведенное
нормальное давление р.
Применяя прием, описанный в § 24, пред-
ставим приведенное давление q вдоль задней
грани в виде суммы приведенного давления q1 для невесомой сыпу-
чей среды и давления q% для весомой идеально-сыпучей среды,
а именно
Рис. 144.
exp [(* - 2C - Q + со) tg p] +7г9о-
"* 1 -(- sin р sin
Очевидно, что приведенное давление q на задней грани подпорной
стенки, вычисленное указанным путем, для г = 0 имеет точное зна-
чение, а для т > 0 имеет значения, немного большие точных.
Во всех предыдущих задачах о давлении засыпки на подпорную
стенку предполагалось, что угол ао = 0.
Покажем теперь, каково влияние угла % на величину q0. С этой
целью рассмотрим активное давление засыпки на подпорную стенку,
когда задняя грань вертикальна, а угол трения ш = 0.
Граничные условия E.24) при этом значительно упрощаются
и будут
9 = р, ?o = Z(l—stop). ф = 0.
Ниже приведено решение этой задачи для угла внутреннего трения
р = 30°, состоящее в численном интегрировании уравнений E.05) и E.06)
методом конечных разностей. Окончательно:
а0 = 0° 5° 10° 15° 20° 25° 30°
?о = 1.00 0,96 0,91 0,88 0,85 0,82 0,79

220
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[ГЛ. V
Перейдем теперь к нахождению пассивного давления засыпки
на подпорную стенку. Будем рассматривать области А0ОА и
АОВ, разделенные прямой 6 = а, обозначенной О А (рис. 145).
В области А0ОА величины
9 = Y (Ао + ао)'
y = sinF — си) f"A° ,,
Л v ^ sin (Ао — а0)
а угол а будет
a = s-f-2-(Ao + ao)-
Итак, на прямой ОА имеют место
0 sin (а 4- р) , ._ _».
6==а> Х= COSp *Лф = —в, E.29)
а на задней грани ОВ согласно A.17) при к^=—1 должно быть
I, ф = |B+ш) —1-. E.30)
Рис. 145.
Для существования решения необходимо, чтобы значение <р в об-
ласти А0ОА было больше, чем значение <р на задней грани ОВ. По-
этому должно выполняться условие
накладывающее некоторое ограничение на
угол р. Остальные рассуждения остаются
теми же, что и при определении актив-
ного давления на подпорную стенку.
В области АОВ находится решение
дифференциальных уравнений E.05) и
E.06) по граничным условиям E.29) и
E.30) вдоль прямой ОА и задней гра-
ни ОВ.
Разберем частный случай, когда граница засыпки горизонтальна
или когда угол ао = О (рис. 146).
В области А0ОА вследствие E.12) при ч = +1 величины
sin 6
Рис. 146.
т —»• а— 1 —sufp'
а угол а = е.
Граничные условия E.29) вдоль прямой ОА упрощаются
]==е- У- =
1
) = —8,
E.31)
§ 25]
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
221
а граничные условия E.30) вдоль прямой ОВ остаются теми же
о с _ Sin(Q4-<o) , 1
E.32)
Предыдущее условие, накладывающее ограничение на угол [3,
напишется следующим образом:
Если, кроме того, задняя грань подпорной стенки вертикальна,
а угол трения ш = 0, то решение задачи имеет замкнутую форму.
Поле напряжений в засыпке будет простейшим, так что
_ 1 + sin р
q°~ 1 — sin р '
Если угол трения засыпки по задней грани ш = р, то прямая
контакта является огибающей линий скольжения.
Легко построить приближенное решение вблизи контактной пря-
мой 6 = {J, когда на ней у. = У.о и ф = — е. Считая по-прежнему,
что у — у0, ф —]— s и б — р малы, проведем те же рассуждения, что и
при определении активного давления. Приближенно
_ sin (Р + Р) — Хо cos р dij _ sin (Р + Р) — Хо cos Р
~ 2 ) ' db ~ 4D>+e)Xsinp
Полученные уравнения нужно проинтегрировать с учетом гранич-
ных условий у = Хо' ф — —s ПРИ в = 3. Первое из них показывает,
что
l+2(* + )t] E.35)
или после некоторых преобразований
*_ ctgpr sin
а второе без труда дает
E.36)
Эти же соотношения следуют из интегралов C.15) и C.16), если
положить о (х) — -^Хо и иметь в виду, что приближенно
x = rt у = г(Ь — р).
Ниже приведено решение предыдущей задачи в предположении, что
задняя грань вертикальна, для угла внутреннего трения р = 30° и углов
трения ю = 0, (о = р/2 = 15°, ю = р = 30°. Оно сводится к численному инте-
грированию дифференциальных уравнений E.05) и E.06) методом конечных
разностей.

222
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
s
о.
[гл. v
§ 25]
ДАВЛЕНИЕ ЗАСЫПКИ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ
223
На рис. 147 и 148 построены интегральные кривые функции х и <|>, про-
ходящие через точку 8 = ., г = 1/ Bsin е) и точку 6 = е, ф = -«. которые
отвечают прямой О А. Итак, окончательно:
«=0° 15° 30°
q0 = 3,00 4,62 6,55
рис. 149 нанесены соответствующие линии скольжения, проходящие
очку х = 0, у = Ь, для углов <о = 0, <о = р/2 = 15 , <о = р — .зи .
2?xAZA 22 ZO W 7,В 7,4 12 W Ф IW__QA__M—JW
На
через точку
а)
-30
0,2
0.4
as
as
r.o
1.2
Рис. 149.
Сопоставим приведенный метод решения задачи о пассивном да-
влении засыпки на подпорную стенку с методом К. Кулона.
Известно, что пассивное давление д — 1У% на задней грани вы-
ражается таким образом:
COS2p
2 Sin p Sin (p -f- to)
m ~~ cos^
& угол а наклона прямой сползания к горизонтальной оси х будет
= tgP(I— l).
Эти формулы, взятые у И. П. Прокофьева [30], после простых вычисле-
ний дают
ш== 0° 15° 30°
q0 = 3,00 4,98 10,1
о = 0,52 0,36 0,23
Сравнение значений q0 показывает существенное их расхождение, кото-
рое быстро возрастает с увеличением угла внутреннего трения р и угла <о;
это легко объяснить значительным отклонением линий скольжения от соот-
ветствующих прямых линий сползания. Таким образом, определение пассив-

224
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА [ГЛ. V
Таблица 20
я
Н.
1,
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
1 70°
80°
90°
1, 100°
110°
120° \
р
ш
Чй
8
Чо
5
Чо
ь
Чо
5
V
Чо
6
Чо
6
Чо
Ъ
Чо
6
Чо
8
Чо
8
Чо
5
Чо
8
Р
<7о
Р
Чо
10°
0°
0,00
0,00
0,17
0,00
0,35
0,00
0,53
0,00
0,71
0,00
0,90
0,00
1,04
0,00
1,18
0,00
1,31
0,00
1,42
0,00
1,49
0,00
1,53
0,00
1,52
0,00
0,00
0,00
1,57
1,42
1
5°
0,00
0,00
0,21
0,07
0,36
0,09
0,55
0,09
0,74
0,09
0,93
0,09
1,11
0,09
1,29
0,09
1,43
0,09
1,56
0,09
1,65
0,09
1,70
0,09 i
1,71
0,09
0,22
0,23
1,26
1,32
10°
0,00
0,00
0,21
0,07
0,36
0,13
0,56
0,16
0,77
0,17
0,97
0,17
1,16
0,17
1,35
0,17
1,52
0,17
1,66
0,17
1,76
0,17
1,83
0,17
1,85
0,17
0,70
0,77
0,70
0,77
20°
0°
0,00
0,00
0,17
' 0,00
0,36
0,00
0,56
0,00
0,77
0,00
1,01
0,00
1,26
0,00
1,51
0,00
1,77
0,00
2,04
0,00
2,30
0,00
2,53
0,00
2,76
0,00
0,00
0,00
1,57
2,04
10°
0,00
0,00
0,18
0,17
0,38
0,17
0,62
0,17
0,88
0,17
1,18
0,17
1,49
0,17
1,83
0,17
2,19
0,17
2,55
0,17
2,93
0,17
3,31
0,17
3,67
0,17
0,18
0,19
1,22
1,83
20°
0,00
0,00
0,18
! 0,17
0,41
0,29
0,67
0,34
0,98
0,35
1,33
0,35
1,73
0,35
2,13
0,35
2,57
0,35
3,04
0,35
3,53
0,35
4,03
0,35
4,51
0,35
0,61
0,82
0,61
0,82
i
0°
0,00
0,00
0,18
0,00
0,37
0,00
0,60
0,00
0,85
0,00
1,14
0,00
1,49
0,00
1,90
0,00
2,39
0,00
3,00
0,00
3,65
0,00
4,42
0,00
5,28
0,00
0,00
0,00
1,57
3,00
30°
15°
0,00
0,00
0,19
0,26
0,42
0,26
0,71
0,26
1,07
0,26
1,50
0,26
2,08
0,26
2,79
0,26
3,62
0,26
4,62
0,26
5,82
0,26
7,38
0,26
9,07
0,26
0,14
0,15
1,17
2,56
30°
0,00
0,00
0,19
0,31
0,48
0,48
0,87
0,52
1,42
0,52
2,00
0,52
2,80
0,52
3,80
0,52
5,03
0,52
6,55
0,52
8,42
0,52
10,7
0,52
13,5
0,52
0,52
0,87
0,52
0,87
40°
0°
0,00
0,00
0,18
0,00
0,38
0,00
0,64
0,00
0,95
0,00
1,35
0,00
1,86
0,00
2,50
0,00
3,37
0,00
4,60
0,00
6,16
0,00
8,34
0,00
11,3 1
0,00
0,00
0,00
1,57
4,60
20°
0,00
0,00
0,20
0,35
0,48
0,35
0,86
0,35
1,41
0,35
2,11
0,35
3,17
0,35
4,70
0,35
6,77
0,35
9,69
0,35
13,9
0,35
19,5
0,35
28,4
0,35
0,11
0,12
1,12
3,73
40°
0,00
0,00
0,22
0,51
I
0,63
0,68
1,25
0,70
1
!
i .
!' i
"i
i
2,15
0,70
3,48
0,70
5,42
0,70
8,23
0,70
12,3
0,70
18,2
0,70
26,6
0,70
39,0
0,70
56,7
0,70
0,44
0,91
0,44
0,91
¦1
i
i
1
§ 261
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
225
ного давления по формуле К. Кулона для больших углов внутреннего трения р
и больших углов трения и> приводит к недопустимым погрешностям.
Аналогичным образом осуществлено решение той же задачи в предпо-
ложении, что задняя грань наклонна, для углов внутреннего трения р от 10
до 40° через 10°. Значения q$ для различных углов наклона fi помещены
в приведенной здесь табл. 20.
Отметим, наконец, частный случай, когда задняя грань подпорной
стенки направлена по прямой ОА, так что
4А +
а угол трения св = р. Поле напряжений будет простейшим, а давле-
ние на задней грани определяется следующим образом:
д0 = cos Ге — j (Ао + <*о) J •
Если при этом граница засыпки — положительная полуось х
образует с горизонтом угол ао = р, а задняя грань вертикальна
(рис. 150), то
Предыдущие рассуждения легко обоб- х
щить для сыпучей среды, имеющей вну-
треннее трение и некоторое сцепление.
Разберем задачу § 12 о пассивном
давлении засыпки на подпорную стенку,
считая, что вдоль положительной полу-
оси х равномерно распределено приведен-
ное нормальное давление р.
Используя прием, изложенный в § 24, представим приведенное
давление q вдоль задней грани в виде суммы приведенного давле-
ния qx для невесомой сыпучей среды и давления q2 для весомой иде-
ально-сыпучей среды, а именно
Ясно, что приведенное давление q на задней грани подпорной
стенки, найденное указанным путем, для г =0 имеет точное значе-
ние, а для г > 0 имеет значения, немного меньшие точных.
§ 26. Разрывные решения. Несущая способность
слоистых оснований
Распределение напряжений при предельном равновесии засыпки
для достаточно малых углов [3 непрерывно всюду, включая точку О,
если на задней грани будет выполнено неравенство

226
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[гл. v
Ограничимся исследованием наиболее простого частного случая,
когда граница засыпки горизонтальна и свободна от давлений.
Сначала определим активное давление засыпки на подпорную
стенку. В области А0ОА, как обычно,
Ф=2-. у.=
sin
1 + sin р '
а вместе с тем
или
sin p sin
8)
E.37)
Очевидное неравенство 8^со, гарантирующее отсутствие проскаль-
зывания по задней грани, приводит к следующему условию:
Значения #о и 5 для углов внутреннего трения р от 10 до 40° через 10°
и для различных углов наклона задней грани р внесены в табл. 19.
Теперь аналогичным образом найдем пассивное давление засыпки
на подпорную стенку. В области А0ОА, как всегда,
а потому
sin
(Д — 5) „ 1
или
E.38)
= т-
-—.— A—sinpcos28), тя = —=—Ц— sinp sin 2S.
— sin p r r п 1 — sin p r r
Ц
sin p
Неравенство — §<;«, не допускающее соскальзывания по задней
грани, дает такое условие:
Значения q0 для углов внутреннего трения р от 10 до 40° через 10° и для
различных углов наклона задней грани р помещены в табл. 20.
Следует отметить, что предыдущие выражения компонент напря-
жения на задней грани подпорной стенки вытекают из соответствую-
щих выражений C.17) и C.18) при Н = 0.
Распределение напряжений при предельном равновесии засыпки
для углов р, не удовлетворяющих предыдущим неравенствам, сопро-
§ 26:
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
227
вождается прямыми линиями разрыва. Ранее уже было показано,
что
а также, что
sin (^ —
Займемся сначала определением активного давления засыпки на
подпорную стенку.
В области А0ОА по-прежнему
п sin 6
V — ~2' У- — 1 + sin p '
а угол а пока что неизвестен и должен быть найден в процессе
дальнейших рассуждений.
Обратим внимание, что на прямой разрыва ОА вследствие B.41)
и B.42) нужно принять
а на задней грани ОВ опять-таки имеют место E.22).
В области АОВ может быть определено решение дифференциаль-
ных уравнений E.05) и E.06) по граничным условиям на прямой раз-
рыва ОА и задней грани ОВ.
Для существования этого решения необходимо, чтобы углы а<^Р
и <р<^7г/2 или, другими словами, чтобы выполнялись условия
устанавливающие пределы изменения р.
Если угол трения засыпки по задней грани ш == р, то на прямой
контакта угол <|> = е, а вместе с тем
а = р = -д- — е, <70='sine.
Ниже изложено решение рассмотренной задачи для угла внутреннего
трения р = 30° и углов трения со = 0, а> = р/2 = 15°, о> = р = 30°, состоящее
в численном интегрировании дифференциальных уравнений E.05) и E.06)
методом конечных разностей.
На рис. 151 и 152 изображены интегральные кривые функций х и Ф для
различных углов я от 0 до 60°, выбранных предварительно. Абсциссы точек
интегральных кривых функции ф, соответствующие ф = 0, определяют углы В
для угла трения со = 0. Таким образом, окончательно:
а= 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60°
р = 0,00 0,20 0,40 0,61 0,83 1,06 1,57
0,19 0,36 0,47 0,52 0,50 0,33

228
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[ГЛ. V
На рис. 153 представлены линии скольжения, проходящие через точки
X = a cos а, у = a sin а, для углов а от 0 до 60°.
7.2
Л
7,0
Цв
ОА
QCr~
/
/a-
/
f
0°
//
//
у
'го'
A
S
?ou
-/
r
¦—*
/
\
4°
°
30°
°
N
60
4
— —
О
k-
i
i
i
i
i
i
—г
1
1
1
f
IV 0Л 0,6 0,8 7,0 12 J,4 в 7,6
Рис. 151.
04
02
00
го
S35E
К
¦30
75'
У=Л°
60
м
02 ОА OS 0,8 7,0 12 7А & 1,6
Рис. 152.
Значения q0 могут быть также расположены по возрастающим углам р
от 0 до 90°, а именно
Р= 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°
#о = 0,00 0,17 0,32 0,44 0,50 0,52 0,50 0,46 0,40 0,33
Очевидно, что абсциссы точек интегральных кривых функции <|/, отве-
чающие
устанавливают углы р, но уже для любых углов трения ш. Поэтому предыду-
щие вычисления нетрудно выполнить и для углов трения <о = р/2 == 15°,
со == р == 30°.
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
229
§ 26] I
i
Аналогичным оЬразом осуществлено решение той же задачи для углов
внутреннего трени^ р от 10 до 40° через 10°. Значения «7о Для различных
углов наклона задней грани р приведены в прежней табл. 19. Два последних
горизонтальных ряда содержат
углы I ю х/а 0,8 0.6 ОА 0,2
и соответствующие значения <7о-
Перейдем теперь к нахож-
дению пассивного давления
засыпки на ту же подпорную
стенку.
В области А0ОА, как всегда,
==0' *=
sine
1-slnp '
Рис. 153.
а угол а пока что неизвестен.
Отметим, что на прямой разрыва О А согласно B.41) и B.42)
можно положить
> . ,5.40)
а на задней грани ОВ по-прежнему справедливы E.30).
В области АОВ может быть найдено решение дифференциальных
уравнений E.05) и E.06) по граничным условиям на прямой разрыва
О А и задней грани ОВ.
Для того чтобы решение было возможно, необходимо выполнение
условий
устанавливающих пределы изменения угла р.
Если угол трения засыпки по задней грани со = р, то на прямой
контакта ф = — е, а также
а=р = е, <70=cose.
Ниже приведено решение предыдущей задачи для угла внутреннего
пня р = 30° и угла трения <о = 0. Окончательно: "
трения р
угла трения
а = 0° 10° 20° 30°
Р =0,00 0,35 0,74 1,57
<7о=О,ОО 0,37 0,93 3,00
16 Зак. 1288. В. В. Соколовский

230 ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА [ГЛ. V
На рис. 154 представлены линии скольжения, проходящие через
точки х = a cos я, у = a sin я, для углов я от 0 до 30°. J
Значения q0 могут быть также записаны по возрастающим углам р от 0
до 90°, так что /
р 0° 10° 2
р = 0°
?0=*0,00
10°
0,18
Ясно, что предыдущие вычисления легко провести; и для углов трения
о = р/2 = 15°, со --= р = 30°. /
Аналогичным образом осуществлено решение той toe задачи для углов
внутреннего трения р от 10 до 40° через 10°. Значения q0 для различных
углов наклона задней грани р
10_х/а пв 0,6 0.4 0,2 по помещены в прежней табл. 20.
Два последних горизонтальных
ряда содержат углы
аг
Рис. 154.
и отвечающие им значения q0.
Обратимся теперь к слои-
стой идеально-сыпучей среде и
покажем, что решения многих
задач о предельном равнове-
сии могут быть получены про-
стым путем.
Плоское предельное равно-
Плоское предельное равно-
весие слоистой идеально-сыпучей среды определяется обыкновенной
предельной зависимостью
между нормальной ал и касательной тл компонентами напряжения на
разных наклонных элементарных отрезках или специальной предель-
ной зависимостью
между нормальной ау и касательной zxy компонентами на горизонталь-
ных элементарных отрезках.
Распределение напряжений в зонах обыкновенного предельного
равновесия слоистой' идеально-сыпучей среды ничем не отличается
от изученного выше, поэтому здесь остается рассмотреть лишь
распределение напряжений в зонах специального предельного
равновесия. Ясно, что в этих зонах через каждую точку на пло-
скости ху проходит прямая линия скольжения, параллельная оси х.
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
231
§ 26]
Обратимся к основной системе уравнений пл.оского специального пре-
дельного равновесия, применяя прямолинейную систему координат х, у.
Дифференциальные уравнения равновесия
йь„ . dzm „ dtxy
— ——_- i yj
L
и специальное предельное условие
дх
ду
—у
'¦ху
8=±ш
E.41)
E.42)
составляют систему трех уравнений с тремя компонентами напряжения.
Хотя общие интегралы этих уравнений имеют простую форму
будем пользоваться лишь частным решением, в котором компоненты
напряжения ах, ау и хху являются линейными и однородными функциями
координат х, у с двумя произвольными постоянными.
Определение полей напряжений в обыкновенных предельных зо-
нах проводится в слоистой среде так же, как и в неслоистой. Нахож-
дение тех же полей напряжений в специальных предельных зонах
сводится к установлению двух произвольных постоянных, входящих
в указанное частное решение; линиями скольжения в этих зонах слу-
жат горизонтальные прямые, проходящие через каждую точку.
Необходимо также иметь в виду, что вдоль границ между обыкно-
венными и специальными предельными зонами все компоненты напря-
жения непрерывны.
Рассмотрим несущую способность слоистого основания, ограничен-
ного осью х. Предположим, что положительная полуось х свободна
от давлений, и определим давление q вдоль отрицательной полуоси х,
образующее с нормалью постоянный угол 8.
На плоскости ху следует различать обыкновенные предельные
области А0ОА, АОа и ЬОВ, а также специальную предельную об-
ласть аОЬ. Эти области разделены прямыми 8 = а и 8 = р, прохо-
дящими через точку О и обозначенными О а и Ob (рис. 155).
16*

232
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[гл. V
В области А0Оа, как обычно,
n
С?>=0, 7 =
а на прямой ОА будут
sin 8
1 — sin р
о4
2 sin
Далее из условий C.45) и C.46) при S = co легко найти вели-
чину Ф на прямых Оа и Ob. В самом деле, на прямой Оа, очевидно,
о 1 ,~
а на прямой Ob, аналогично,
E.43)
E.44)
В специальной предельной области аО? имеет место простое
частное решение уравнений E.41) и E.42), в котором компоненты
напряжения ах, ау и хху являются линейными и однородными функ-
циями координат х, у. Две произвольные постоянные, входящие
в это решение, а также углы а, р и величины Xi> Хг связаны усло-
виями на прямых Оа и Ob. После простых преобразований по-
лучим
Xi [sin р — sin р sin (Q — со — Р) ] = Хг [sin а — sin P sin (^ + ш + аI.
7Д [cos р — sin p cos B — со — Р) ] = Хг Icos а + sin p cos B -)- со -|-а)] -j-
+ sin (а — р).
Поле напряжений в рассматриваемой области может быть дано
компонентами
)_,
Т х Zi П ± sin p cos (Q — со)] -}-j _у /г [1 Т sin p cos (Q -\- со)],
1 * Xi sin P sin B —
которые удовлетворяют соответствующим уравнениям и граничным
условиям. Здесь принята прямолинейная, но косоугольная система
координат х, у, связанная с прямолинейной и прямоугольной систе-
мой х, у простыми формулами
sin (ft — 6)
7 -у sin ft — у cos
sin (ft — a)
• = r
sin (ft — a) '
- у cos a — x sin a sin (8 — a)
^ sin (ft — a) Г sin (ft — a) '
В обыкновенных предельных областях АОа и ЬОВ могут быть
построены решения дифференциальных уравнений E.05) и E.06),
удовлетворяющих граничным условиям на прямых ОА, Оа и Ob, OB.
§ 26]
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
233
В частном случае, когда давление q направлено вертикально или
когда 8 = 0, граничные условия E.18) становятся еще более простыми
?
О
Обратим внимание, что при со = 0 углы а = е, {5 = те, прямые Оа
и Ob совпадают с ОА и ОВ, а специальная предельная зона за-
полняет всю область АОВ
(рис. 156). Так как Xi= 1/B sine),
Х2 = 0, то простейшее поле на-
пряжений, для которого
sine
распространяется на все слоистое рис 156.
основание.
Ниже приведено решение рассмотренной задачи для углов внутреннего
трения р = 30°, со = 15° и угла 8 = 0, состоящее в численном интегрирова-
нии дифференциальных уравнений E.05) и E.06) методом конечных раз-
ностей.
2.0
1пХ
1,6
1.2
0,8——
ОА
00
{
Ч
74
/
/
0.8
гг
1
1
1
1
щ
12
1
1.6
ло
1
2,32
i,
'Л
———
i Т
2,8 t
1
—(-
1
—г
i
i
1
i
i
i
i
л
У J2
Рис. 157.
На рис. 157 и 158 изображены интегральные кривые функций \ и ф,
проходящие через точку 8 = е, i = 1/B sin е) и точку 6 = е, <|> = — е. Окон-
чательно
q0 = 8,32,
тогда как для неслоистой идеально-сыпучей среды имело место
q0 = 15,3.

234
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[ГЛ. V
Сравнение значений qQ показывает, что для слоистой идеально-сыпучей
среды они значительно меньше, чем для неслоистой, или, другими словами,
0.0
as
7,2
7,6
7
-e-
¦--
0.4
?
.1
1
|
4
\
QB
s.
t
\
12
7,34
\
1
1
I
1
I
1
1
si
2,0
2,32
1
1
1
|
t
1
>/)
\
S
в ,
Л
1
1
1
¦—V
1
—j-
1
—|-
1
—г
Si
Рис. 158.
что слоистое идеально-сыпучее основание способно выдержать меньшее
разрушающее давление, чем неслоистое.
На рис. 159 представлена одна из линий скольжения, проходящая через
точку х = — а, у = 0, для углов р = 30° и ш = р/2 = 15°.
7,2 зуа 7,0
0,6 0.4
аг
\
s
<
Й
Y 1
1
/
/
\
no
-04
ij/rr
06^
\
\
>
\
\
/
1
/
]/
/
Рис. 159.
В заключение исследуем предельное равновесие массива из идеаль-
но-сыпучей среды, ограниченного криволинейным контуром, свободным
от давлений и наклоненным к горизонту под переменным углом а,
считая, что а|^р.
Примем за криволинейные координаты х и у длину дуги ОА
контура, отсчитанную от точки О, и длину нормали АВ (рис. 160).
Кроме того, обозначим через
* = *(*> = ?
радиус кривизны этого контура в точке А.
§ 26]
РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
235
Ясно, что квадрат бесконечно малого элемента длины ds напи-
шется так: •
а коэффициент М. Ламе равен
„_i У
Напомним, что в § 14 были при-
ведены дифференциальные уравнения
равновесия C.31) и предельное усло-
вие .C.32) в таких же криволинейных
координатах. Кроме того, в результате рис 150.
обычных преобразований была полу-
чена основная система уравнений C.33), которая, конечно, остается
справедливой и здесь.
Займемся определением величин а и <р в узком слое вдоль контура
массива. С этой целью представим о и <р в виде рядов по степеням у,
а именно
Внесем ряды для а и ср в основную систему уравнений C.33) и
соберем члены с одинаковыми степенями у. Сравнивая свободные
члены, получим
Хо A — sin p cos 2<р0) = cos a, ?0 sin p sin 2<р0 = sin а,
а сравнивая члены первой степени, будем иметь]
Первые уравнения сразу же устанавливают, что
sin A
где, как обычно, обозначено
sin A =
sin я
sin p '
а вторые уравнения после простых преобразований дают
sin (А + «о) 1 sin A cos a
2R sin p cos2 A '
1
2R
R cos2 A sin (А — ха)
. E.45)

236
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ВЕСОМОГО КЛИНА
[ГЛ. V
Перейдем теперь к нахождению угла 8у отклонения напряжения,
действующего на координатных линиях х, от своей нормали. Для
этого представим угол 8 в виде ряда по степеням у, так что
Подставим ряды для 8у и <р в известное уравнение A.17) и опять-
таки соберем члены с одинаковыми степенями у. Сравнивая свобод-
ные члены, найдем
80 = а,
а сравнивая члены первой степени, будем иметь
sin (A + хд)
sin(A-xa) ' <&'4b)
Если v.R < 0, то неравенство | Ьу | ^
чески; если же r.R > 0, то неравенство
образований дает
удовлетворяется автомати-
8у|^[р после простых пре-
Предыдущие формулы переходят в известные формулы В. Рен-
кина [74], когда радиус кривизны R неограниченно возрастает, а кон-
тур массива становится прямолинейным.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
А в е р ш и н С. Г., Сдвижение горных пород при подземных разработ-
ках. Углетехиздат, 1947.
А л ь п е р и н Л. Б., Пассивное давление сыпучего тела на подпорную
стенку. Инженерный сборник, т. 21, 1955.
Б е з у х о в Н. И., Теория сыпучих тел. Госстройиздат, 1934.
Б е з у х о в Н. И.. Теория упругости и пластичности. Гостехиздат, 1953.
Б у ц ь к о 3. Н., Об определении давления засыпки на крутые подпор-
ные стенки. Инженерный сборник, т. 23,- 1956.
Б у ц ь к о 3. Н., Об определении несущей способности сыпучих осно-
ваний. Инженерный сборник, т. 26, 1958.
Березанцев В. Г., Осесимметричная задача теории предельного
равновесия сыпучей среды. Гостехиздат, 1953.
В я л о в С. С, Предельное равновесие слабых грунтов, подстилаемых
жестким основанием. Известия Академии наук СССР, ОТН, № 6, 1951.
Герсеванов Н. М., Расчеты фундаментов гидротехнических соору-
жений на основании учета деформаций построенных сооружений. Гос-
стройиздат, 1923.
Говядинов А И. и Фалькович С. В., Устойчивость откосов
при предельном состоянии равновесия. Инженерный сборник, т. 14, 1952.
Говядинов А. И., Аналитический метод в статике сыпучих тел.
Известия Академии наук СССР, ОТН, № 3, 1955.
Гольдштейн М. Н., Механические свойства грунтов. Госстройиздат,
1952.
Голушкевич С. С, Плоская задача теории предельного равновесия
сыпучей среды. Гостехиздат, 1948.
Голушкевич С. С, Статика предельных состояний грунтовых масс.
Гостехиздат, 1957.
Горбунов-Посадов М. И., Пластические деформации в грунте
под жестким фундаментом. Сборник трудов НИИ по основаниям и фун-
даментам, № 13, 1949. '
Клейн Г. К., Строительная механика сыпучих тел. Госстройиздат, 1956.
К рей Г., Теория давления земли и сопротивление грунтов нагрузке.
Госстройиздат, 1932.
К у р д ю м о в В. И., Краткий курс оснований и фундаментов. Изд. третье,
1916.
Малышев М. В., Об идеально-сыпучем клине, находящемся в пре-
дельно напряженном состоянии. Доклады Академии наук СССР, т. 75.
№ 6, 1950.
Минцковский М. Ш., Несущая способность центрально-нагружен-
ного клиновидного фундамента. Доклады Академии наук СССР, т. 85,
№ 2, 1952.
М и х л и н С. Г., Математическая теория пластичности. Некоторые новые
вопросы механики сплошной среды. Издательство Академии наук СССР,
1938.

238
ЛИТЕРАТУРА
22,
23,
24,
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи теории упру,
гости. Издательство Академии наук СССР. Изд. третье, 1949.
Мухин И. С. иСрагович А. И., Форма контуров равноустойчивых
откосов. Инженерный сборник, т. 23, 1956.
Новоторцев В. И., Опыт применения теории пластичности к зада-
чам об определении несущей способности оснований сооружений. Изве-
стия ВНИИГ, т. 22, 1938.
Панов Д. Ю., Численное решение квазилинейных гиперболических
систем дифференциальных уравнений в частных производных. Гостехиз-
дат, 1957.
Покровский Г. И., О влиянии масштаба сооружений на пластическое
состояние грунта, на котором эти сооружения покоятся. Гидротехническое
строительство, № 4, 1940.
Прандтль Л., О твердости пластических материалов и сопротивлении
резанию. Сборник «Теория пластичности». Государственное издательство
иностранной литературы, 1948.
Прандтль Л., Примеры применения теоремы Генки к равновесию
пластических тел. Сборник «Теория пластичности». Государственное
издательство иностранной литературы, 1948.
Прилежаев А. И., К вопросу о давлении земли на подпорную стенку.
Сборник Института путей сообщения, вып. 75, 1909.
Прокофьев И. П., Давление сыпучих тел и расчет подпорных сте-
нок. Госстройиздат, 1947.
Пузыревский Н. П., Фундаменты. Госстройиздат, 1934.
Протодьяконов М. М., Давление горных пород и рудничное креп-
ление, 1930.
Руппенейт К. В., К вопросу об определении давления в подготови-
тельных выработках. Известия Академии наук СССР, ОТН, № 5, 1950.
Руппенейт К. В., Некоторые вопросы механики горных пород. Угле-
техиздат, 1954.
С е н к о в А. М., Графо-аналитический метод решения задач механики
грунтов. Труды ВНИМИ, сборник 20, 1949.
Снитко Н. К., Строительная механика грунтов, 1947.
Соколовский В. В., Плоская задача теории давления земли. Доклады
Академии наук СССР, т. 22, № 4, 1939.
Соколовский В. В., Плоская задача теории пластичности по
Прандтлю и теории давления земли. Известия Академии наук СССР,
ОТН, № 2 и 3, 1939.
Соколовский В. В., Предельное напряженное состояние сыпучей
и земляной слоистой среды. Доклады Академии наук СССР, т. 24, № 8,
1939.
Соколовский В. В., Обобщенная задача Прандтля для слоистой
земляной среды. Доклады Академии наук СССР, т. 24, № 8, 1939.
Соколовский В. В., Статика сыпучей среды. Изд. первое. Изда-
тельство Академии наук СССР, 1942.
Соколовский В. В., Теория пластичности. Изд. первое. Издатель-
ство Академии наук СССР, 1946.
Соколовский В. В., Плоское предельное равновесие горных пород.
Известия Академии наук СССР, ОТН, № 9, 1948.
Соколовский В. В., О плоской задаче теории пластичности. При-
кладная математика и механика, т. 13, вып. 4, 1949.
Соколовский В. В., Теория пластичности. Изд. второе, Гостехиздат,
1950.
Соколовский В. В., О предельном равновесии сыпучей среды. При-
кладная математика и механика, т. 15, вып. 6, 1951.
Соколовский В. В., О приближенном приеме в статике сыпучей
среды. Прикладная математика и механика, т. 16, вып. 2, 1952.
ЛИТЕРАТУРА
239
48. Соколовский В. В., Статика сыпучей среды. Изд. второе. Гостех-
издат, 1954.
49. Соколовский В. В., Об уравнениях теории пластичности. Приклад-
ная математика и механика, т. 19, вып. 1, 1955.
50. Соколовский В. В., Об устойчивости слоистых сыпучих оснований.
Инженерный сборник, т. 22, 1955.
51. Соколовский В. В., О формах устойчивых полусводов и сводов.
Прикладная математика и механика, т. 20, вып. 1, 1966.
52. Соколовский В. В., О контактных напряжениях на контуре стенки.
Прикладная математика и механика, т. 20, вып. 5, 1956.
53. Соколовский В. В., Предельное состояние сыпучей среды вблизи
свободного контура. Прикладная математика и механика, т. 20, вып. 6,
1956.
54. Соколовский В. В., Некоторые задачи о давлении грунта. Мате-
риалы к Четвертому международному конгрессу по механике грунтов и
фундаментостроению. Издательство Академии наук СССР, 1957.
55. Фелениус В., Статика грунтов. Госстройиздат, 1933.
56. Флорин В. А., Расчеты оснований гидротехнических сооружений.
Стройиздат, 1948.
57. X и л л Р., Математическая теория пластичности. Гостехиздат, 1956.
58. X р и с т и а н о в и ч С. А., Плоская задача математической теории пла-
стичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре. Матема-
тический сборник, т. I, вып. 4, 1938.
Ц ы т о в и ч Н. А., Механика грунтов. Изд. третье. Госстройиздат,
1951.
Шапиро Г. С, О предельном равновесии сыпучего клина и разрыв-
ном решении статики сыпучей среды. Прикладная математика и меха-
ника, т. 16, вып. 2, 1952.
С a q и о t A. et К е г i s е 1 J., Traite de mecanique de sols. Gauthier
Villars, Paris, 1956.
Coulomb C, Application des regies de maximis et minimis a quelques
problemes de statique relatifs a l'architecture. Memoires de savants etran-
gers de I'Academie des sciences de Paris, 1773.
H a n s e n J., Earth pressure calculation. The Danish technical press, Copen-
hagen, 1953.
H e u r t a u x J., Sur certains types de singularites des etats limites plans
des sols pulverulents. Comptes rendus, т. 249, № 23, Paris, 1959.
J k J S l stbilite des masses de terre completement
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
Tirage du Miiegyctemi
k, Budapest, 1947
J а к у J., Sur la stabilite des masses de terre completement plastiques,
Ja ky .
tional с
terdam, 1948.
J a k у J, State of stress in great depth. Proceedings of the Second interna-
tional conference on soil mechanics and foundation engineering, vol. 1. Kot-
leraam, i»to.
К a r m й n Т., Versuche unter allseitigem Druch, Mitteilungen fiber For-
schungsarbeiten. Zeitschrift der VDI, 118, 1911.
К a r m a n Т., Ueber elastische Grenzzustande. Verhandlungen des Zweiten
Internationalen Kongresses fur technische Mechanik. Zurich, 1927.
К б 11 e r F., Die Bestimmung des Druckes an gekriimmten Gleitflachen,
eine Aufgabe aus der Lehre vom Erddruck, Berlin., 1903.
M a n d e 1 J., Equilibres par tranches planes des solides a la limite d'ecou-
lement. 1942.
M e у e r h о f G. G., The ultimate bearing capacity of foundations,
Geotechnique, № 2, 1951.
N a d a i A., Plastizitat und Erddruck. Handbuch der Physik, Bd. 6, 1928.
P r a g e r W., Discontinues solutions in the theory of plasticity. Courant
anniversary volume, 1948.
R a n k i n e W., On the stability of loose earth. London philosophical
transactions, 1857.

240
ЛИТЕРАТУРА
75. R e i s s n е г H., Zum Erddriickproblem. Proceedings of the First interna-
tional congres for applied mechanics. Delft, 1925.
76. Shield R. Т., Stress and velocity fields in soil mechanics. Journal of
mathematics and physics, vol. 33, № 2, 1954.
77. Sokolovsky V. V., Some discontinuous solutions in soil mechanics.
Neuvieme congres international de mecanique appliquee, Brussel, т. 8, 1957.
78. Sokolovsky V. V., Some problems of soil pressure. Proceedings of
the Fourth international conference on soil mechanics and foundation
engineering, vol. 2, London, 1957.
79. T e r z a g h i K., Theoretical soil mechanics, Wiley, New Jork, 1947.
Tschebotarioff G., Soil mechanics, foundations and earth structures,
McGraw-Hill, New Jork, 1957.
80.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Авершин С. Г. 237
Альперин Л. Б. 237
Безухов Н. И. 237
Белзецкий С. И. 7
Березанцев В. Г. 237
Буцько 3. Н. 237
Вялов С. С. 143, 237
Гансен И. 239
Герсеванов Н. М. 237
Говядинов А. И. 237
Голушкевич С. С. 9, 37, 41, 237
Гольдштейн М. Н. 237
Горбунов-Посадов М. И. 237
Жаки Ж. 166, 239
Како А. 8, 23, 37, 239
Карман Т. 8, 111, 199,239
Керизель Ж. 239
Кеттер Ф. 8, 36, 239
Клейн Г. К- 237
Крей Г. 7
Кулон К. 7, 109, 117, 176
Курдюмов В. И. 7, 237
Ламе М. 133, 235
Малышев М. В. 201, 237
Мандель Ж. 184, 239
.Мейергоф Г. Г. 239
.Мицковский М. III. 143, 237
Михлин С. Г. 237
Моор О. 13, 17, 22, 24
Мусхелишвили Н. И. 238
Мухин И. С. 94, 238
Надаи А. 239
Новоторцев В. И. 8, 74, 238
Панов Д. Ю. 41, 238
Паукер П. Е. 7, 148
Покровский Г. И. 29, 238
Прагер В. 239
Прандтль Л. 61, 158, 238
Прилежаев А. И. 238
Прокофьев И. П. 217, 223, 238
Протодьяконов М. М. 238
Пузыревский Н. П. 7, 238
Рейсснер Г. 51, 240
Ренкин В. 74, 236, 239
Руппенейт К. В. 197, 238
Сенков А. М. 238
Снитко Н. К. 238
Соколовский В. В. 8, 238, 239, 240
Срагович А. И. 94, 238
Терцаги К- 240
Фалькович С. В. 237
Фелиниус В. 7, 239
Флорин В. А. 239
Хилл Р. 239
Христианович С. А. 31, 54, 150, 239
Цытович Н. А. 239
Чеботарев Г. 240
Шапиро Г. С. 124, 239
Шилд Р. Т. 124, 240
Эрто Ж. 199, 239