Д. В. ПЯСКОВСКИЙ
КУРС
СФЕРИЧЕСКОЙ
АСТРОНОМИИ
Допущено Министерством вис
шего и среднего специального
образования УССР в качестве
учебника для студентов спе¬
циальности «Астрономия» у ни
верситетов УССР
ИЗДАТЕЛЬСТВО КИЕВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
! 964

52
П99
Учебник содержит основные сведения по сферической астрономии
и соответствует утвержденной Министерством высшего и среднего
образования УССР программе.
Во многих случаях теоретические выводы подкрепляются число¬
выми примерами.
Рассчитан на студентов физико-математических факультетов уни¬
верситетов, а также на лиц, самостоятельно изучающих курс сфе¬
рической астрономии.
Дмитрий Владимирович П я с к о в с к и й
Курс сферической астрономии
Редактор Костенко Ю. И-
Технический редактор Окопная Е. Д.
Корректор Зуб Ж. М.
БФ 04139. Зак. 807. Тираж 3000. Формат бумаги 60X90!/i6- Условн. печ. ли¬
стов 8,5. Физич. печ. листов 8,5. Учетно-изд. листов 7,3, Бум. листов 4,25.
Подписано к печати 3.X.-1963 г. Цена 26 коп.
Типография Госстройиздата УССР, Киев, Выборгская, 84

ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебник составлен по материалам лекций, которые автор
читал на протяжении многих лет в Киевском ордена Ленина
государственном университете им. Т. Г. Шевченко студентам I
и II курсов, специализирующихся по астрономии.
Большинство ранее изданных учебников по сферической
астрономии охватывает значительно больший круг вопросов,
чем это предусмотрено действующей программой; они являются
прекрасными пособиями для углубленного изучения данного
предмета. Однако для лиц, приступающих к изучению основ
астрономии, такие руководства представляют значительные
трудности.
Автор поставил перед собой задачу, сохраняя строгость вы¬
водов отдельных формул, дать изложение материала достаточно
полным, в форме, вполне доступной для студентов первых кур¬
сов физико-математических факультетов. Этим преследовалась
цель не только облегчить изучение курса, но также дать возмож¬
ность лучше понять и запомнить основные положения данного
предмета, являющегося фундаментальным среди астрономиче¬
ских дисциплин.
В отношении содержания учебника следует указать, что во
введении даны только те сведения из сферической тригономет¬
рии, которые нужны при изучении курса. Так, дан вывод лишь
трех основных формул сферической тригонометрии, а также при¬
ведено мнемоническое правило Непера-Модюи; на них основы¬
ваются все выводы формул учебника. Это обстоятельство долж¬
но упростить изучение предмета, поскольку учащийся будет
иметь дело с ограниченным числом формул сферической триго¬
нометрии.
В ряде случаев в учебнике даются выводы приближенных
формул, в большинстве своем достаточно точных, кроме неко¬
торых исключений, отмеченных в тексте. Такие выводы, не за¬
громожденные деталями, дают возможность лучше понять
принципиальную сторону дела. К ним относятся редукции за
аберрацию и параллакс, формулы процессии и нутации и др.
Кроме того, редукции за годичную аберрацию экваториальных
3

координат выведены для круговой орбиты Земли и как допол¬
нение — для эллиптической. Такой порядок изложения упро¬
щает вывод обычно применяемых формул редукции, влияние же
эксцентриситета учитывается при этом отдельно.
Ряд мест в учебнике, являющихся дополнением к основному
изложению, даны петитом, например вопрос об измерении вре¬
мени часовыми единицами, приближенное соотношение между
звездным временем и гражданским, вывод редукции за годич¬
ную аберрацию экваториальных координат при эллиптической
орбите Земли, различные примечания и т. п.
Для лучшего уяснения содержания учебника в различных
его разделах даны примеры.
В конце книги в виде приложений приведены таблицы для
перевода среднего времени в звездное и обратно — звездного
в среднее.
Автор выражает благодарность рецензентам — чл.-корр.
АН УССР А. А. Яковкину и доц. В. X. Плужникову, — содей¬
ствовавшим улучшению содержания учебника.

ВВЕДЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
§ 1. Измерение углов
Углы измеряются в градусной мере, а также с помощью со¬
ответствующих дуг. При определенном радиусе г каждому углу
соответствует своя дуга S, выраженная в линейной мере. При
изменении радиуса, конечно, одному
и тому же углу ср будут соответство¬
вать уже разные дуги (рис. 1). Одна¬
ко отношения
Г;
будут равными для любых ради¬
усов.
В самом деле, нетрудно убедить¬
ся в справедливости отношения
2к г.	S}
360
откуда
180
где о—отвлеченная величина, постоянная для угла ср.
Таким образом устанавливается связь между выражениями
углов в градусной мере (q>) и отвлеченной, или радианной, (а)
а =
180
180
С)
Примеры:
1)	?	=	90с;	з	=
180
•90= — = 1.571.
2) ср = 18°; а = —• 18 = — = 0,314.
' 180 10
5

Числа 1,571; 0,314 дают длины дуг, стягивающих соответствую¬
щие углы, в долях радиуса.
Очевидно, а имеет значения от 0 до 6,28, соответствующие
углам от 0 до 360°.
Радианом называется угол, для которого дуга равна
радиусу, т. е. S = r. Тогда <7=1.
По (1) можно найти угловую величину радиана
1 ЙП°
СрО =	=	5703.
Д*0^_60 __ 3437'(7;
?" = — ° 'т ' 60 = 206265
С этими значениями по (1) получаем
< = 57°,3 а;
^' = 3437',7 а:
< = 206265 о.
При различных расчетах часто употребляется последнее со-
о"
отношение ю// = 206265 а и соответственно а= —— ; при ©=1"
206265 F ^
а= —-— = arc 1"; при ф=1" о очень близко к sin 1", поэтому
206265	r	J
• i„	1
можно принять, что sm 1 = — -- .
206265
В математическом анализе пользуются только отвлеченными
числами, в прикладной же математике (в астрономии, физике
и др.) употребляют именованные числа.
Пример:
JC3
sin х = х + . . .
6
Здесь х—в радианной мере, если же х дается в секундах
дуги, тогда ряд выразится таким образом:
sin л: =
206265	6(206265У
1 Более точно <р° = 5Г,2957795; ?>' = 3437',74677; ср" = 206264",806.

Для малых углов можно приближенно принять
хт = л:// sin 1";
sin 1" ’
где хт —угол в отвлеченной мере.
В астрономии при измерении углов, связанных с вращением
небесной сферы (об этом подробнее будет изложено дальше),
применяются часовые единицы — час, минута и секунда. При
этом принимается, что 24 час = 360°. Отсюда вытекает следую¬
щая зависимость: 1/г = 15°; lm =15'; И =15"
Существуют инструменты, у которых круги разделены не
на 360 частей, а на 400. В этом случае деления таких кругов по¬
лучили названия градов. Следовательно, один град равен од¬
ной сотой части прямого угла, обозначается 1'^ . Очевидно,
10" =9°.
Для перехода от одной системы счета к другой составлены
специальные таблицы. По этим таблицам легко перевести углы
(данные в радиальной мере) в градусы или обратно.
§ 2. Основные сведения по сферической тригонометрии
Представим себе шар или сферическую поверхность. Очевид¬
но, что при пересечении ее плоскостью на поверхности шара
получится окружность. Если плоскость проходит через центр
шара, то образующаяся при этом окружность называется боль¬
шим кругом, если плоскость не проходит через центр шара,
тогда имеем малый круг.
Полюсами большого или малого кругов называются точки
на шаре, равноудаленные от всех точек соответствующих кругов.
Очевидно, полюсы больших кругов удалены от них на 90°
и при этом лежат на концах диаметра, перпендикулярного к пло¬
скости большого круга (рис. 2).

Нетрудно убедиться б правильности следующего положе¬
ния: если Р и Q являются полюсами двух больших кругов
(р и q), то точки пересечения этих окружностей А и В будут
полюсами большого круга, проходящего через Р и Q (рис. 3).
Применение сферы удобно при определении угла между
двумя направлениями, заданными в пространстве произвольно
расположенными прямыми линиями. Для этого из центра сферы
нужно провести прямые, параллельные заданным направлени¬
ям. Тогда каждая прямая даст на сфере точку, дуга между ко¬
торыми и будет равна искомому углу.
В дальнейшем будем рассматривать только большие круги
и их дуги. Два больших круга пересекаются в двух точках.
Часть сферы, заключенная между полуокружностями двух боль¬
ших кругов, называется двуугольником (рис. 4).
Мерой двугранного угла в двуугольнике является угол меж
ду касательными, проведенными в точке пересечения кругов, а
также плоский угол в центре с дугой АВ. Сумма двух смежных
углов М и N равна 180° (рис. 5). Вертикальные сферические
углы (М и Р, N и Q) равны между собою.
Эти положения легко выводятся при рассмотрении свойств
касательных.
Сферическим треугольником называется фигура на шаровой
поверхности, образованная тремя дугами больших кругов, не
проходящих через одну точку.
Сферические треугольники рассматриваются только такие, у
которых углы и стороны меньше 180°.
В сферическом треугольнике углы будем обозначать через
А, В и С, а стороны — а, b и с. Если соединить вершины сфери¬
ческого треугольника с центром сферы, то получим трехгранный
угол с вершиной в центре сферы. При этом стороны сферическо¬
го треугольника равны плоским углам трехгранника, а углы
его—двугранным углам (рис. 6).
я

Отсюда следует, что как стороны, так и углы сферического
треугольника измеряются в градусной мере.
Из свойств трехгранного угла вытекает, что сумма сторон
сферического треугольника всегда меньше 360°
а -4-£> 4- с <360°.
Сумма углов находится в пределах
180°<Л+В + С<540°.
На рис. 7 изображен треугольник, у которого углы немного
меньше 180°, а стороны немного меньше 120°. Это «критический»
треугольник, для него выполняются вышеприведенные условия.
Основные формулы сферической
тригонометрии
В каждом сферическом треугольнике отмечают шесть эле¬
ментов— три угла А, В, С и три стороны а, Ьу с (рис. 6).
Формулами сферической тригонометрии называются соотно¬
шения, связывающие элементы сферического треугольника. Они
дают возможность по задан¬
ным элементам определить ис¬
комые.
Ниже приводятся три основ¬
ные формулы сферической три¬
гонометрии. При помощи этих
формул можно решить боль¬
шинство задач сферической
астрономии.
Формула косинусов (рис. 8).	р
Пусть ABC будет сферический	Рис	g
треугольник с углами Л, В, Си
сторонами а, 6, с. Очевидно, О будет центром сферы, а ОЛ, ОВ,
ОС — радиусы сферы, их примем равными единице.

Опустим из точки С перпендикуляр ка грань ОАВ, в резуль¬
тате получим точку D. Проведем теперь плоскости через CD
перпендикулярно к ребрам ОА и ОБ, соответствующие точки
пересечения обозначим через £ и В. В плоскости грани ОАВ
проведем линии EG параллельно DF и DH параллельно FG.
Из рисунка видно, что
OF = OG-\-FG.	(2)
Воспользовавшись формулами плоской тригонометрии, мож¬
но написать
OF = cos а\
OG=OE cos с = cos b cos c\
FG = HD = ED sin c = EC sin с cos A = sin b sin с cos A.
После подстановки в (2) получим первую основную форму¬
лу сферической тригонометрии — формулу косинусов
cos a = cos b cos c + sin b sin с cos A.
Формула синусов (рис. 8). Из рисунка видно, что в треу¬
гольниках CFD и CDE сторона CD общая. Выражая эту сто¬
рону из каждого треугольника, получим
CD = sin b sin A = sin a sin B.
Это и есть вторая основная формула — формула синусов, ее
можно записать в виде
sin а   sin b
sin Л	sin Л
Формула пяти элементов (рис. 8). Очевидно, можно записать
GH = EG—EH	(3)
или, поступая как и раньше, получим
GH = DF = CF cos B = sin a cos В\
EG=OE sin	c	= cos b sin c;
EH = ED cos c = CE cos	И	cos c = sin b cos A cos c.
Подставляя в (3), получаем
sin a cos В = sin с cos b—cos с sin b cos A.
Таким образом выводится третья основная формула, связы¬
вающая пять элементов сферического треугольника.
Эти формулы можно получить также путем других геометри¬
ческих построений.
10

Выведенные формулы применим к любой стороне треуголь¬
ника, для этого стороны и углы нужно заменить круговой под¬
становкой. Например, формула косинусов имеет вид
cos a = cos b cos c + sin b sin с cos A;
cos b = cos с cos a + sin с sin a cos B\
cos c = cos a cos b + sm a sin b cos C.
Круговую подстановку можно выполнять для второй и тре¬
тьей основных формул.
Не трудно показать, что из любой из этих формул могут
быть выведены две остальные. Например, выведем из формулы
косинусов формулу для пяти элементов.
Напишем
cos а = cos b cos c + sin b sin с cos А;	(а)
cos 6 = cos с cos a + sin с sin a cos B.	(6)
Подставляя cos a из (а) в (б), получаем
cos b = cos b cos2 a + sin b sin с cos с cos A + sin с sin a cos B\
sin с sin a cos £ = cos b( 1—cos2 c)—sin b sin с cos с cos Л,
откуда
sin a cos £ = sin a cos b—cos с sin b cos A.
Подобным образом может быть выведена и формула синусов.
Прямоугольные и прямосторонние
сферические треугольники
Сферический треугольник, в котором хотя бы один угол яв¬
ляется прямым, называется прямоугольным. В сферическом
треугольнике все три угла могут быть прямыми.
В сферическом треугольнике могут и стороны равняться 90°.
Треугольник, в котором хотя бы одна сторона равняется 90°,
называется прямосторонним.
В сферическом треугольнике могут быть прямыми одновре¬
менно и углы, и стороны.
В сферической астрономии часто приходится иметь дело с
прямоугольными сферическими треугольниками. Для решения
их применяются формулы, выведенные из косоугольных треу¬
гольников, при этом один из углов принимается равным 90°.
В результате получается десять формул, связывающие три эле¬
мента прямоугольного треугольника.
11

Для получения этих формул удобно 'пользоваться мнемони¬
ческим правилом Непера—Модюи. Оно заключается в следую¬
щем: рассмотрим прямоугольный сферический треугольник ABC
(рис. 6), обратим в нем внимание на пять элементов (углы В,
С и стороны а, Ь, с). Если из них взять любые три элемента, то
один из них по отношению к двум другим будет или смежным
или несмежным. Например, для элементов а, Ъ и с элемент а бу¬
дет несмежным по отношению к Ъ и с, для элементов Ь, с и С
элемент b будет смежным по отношению к элементам с и С
(прямой угол А пропускается). Очевидно, для каждой тройки
элементов только один из них будет смежным или несмежным
по отношению к другим. Обозначим его буквой х, затем катеты
Ь и с заменим углами, дополняющими их до 90°, т. е. вместо
Ь и с поставим 90°—6, 90°—с. Тогда правило Непера—Модюи
приводит к следующему соотношению: косинус любого элемента
равен произведению котангенсов смежных элементов или про¬
изведению синусов несмежных, т. е.
cosx = ctg (смежн.) • ctg (смежн.)
cos x = sin (несмежн.) • sin (несмежн.).
Примеры:
1) Найти соотношение между тремя сторонами сферического
треугольника а, Ь, с. Очевидно, нужно положить х = а, тогда две;
другие стороны будут несмежными элементами.
Применение правила Непера—Модюи дает
cos a = cos b cos с.
Это же соотношение получаем из формулы косинусов, если
положить в ней угол А = 90°.
2) Ту же задачу решить для элементов а, Ъ, В. Здесь х = Ьу
два другие элемента несмежные, мнемоническое правило дает
sin b = sm a sin 5,
т. е. то же, что и формула синусов при /4=90°.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЯВЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ВРАЩЕНИЕМ ЗЕМЛИ
Глава I
СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Известно, что на земной поверхности положение каждого
пункта может быть определено двумя координатами — долготой
и широтой. Подобным образом еще в глубокой древности, когда
предполагали, что действительно существует небесная сфера,
положение светил на ней определяли тоже двумя координатами.
В настоящее время хорошо известно, что никакой сферы,
вращающейся вокруг Земли, нет, что небесные светила нахо¬
дятся на самых различных расстояниях от Земли, что Земля
вращается вокруг своей оси, создавая явления восхода и захода
светил. Однако для решения ряда вопросов, связанных с опреде¬
лением направления на то или иное светило, целесообразно
вводить искусственное построение — воображаемую небесную
сферу. На эту сферу относят все светила, проводят на ней опре¬
деленные круги, по отношению к которым двумя координатами
фиксируются для любых моментов положения светила.
Линии на небесной сфере образуют треугольники, применяя
к которым формулы сферической тригонометрии, выражающие
зависимости между элементами треугольника, можно по задан¬
ным величинам определять искомые.
§ 1. Небесная сфера
Выберем любую точку пространства и опишем вокруг нее
сферу произвольного радиуса; на эту сферу спроектируем не¬
бесные светила, для чего соединим мысленно центр сферы с со¬
ответствующими светилами. Таким образом, будем считать, что
все светила находятся на построенной нами сфере.
Обычно центр сферы совмещается с наблюдателем, в этом
случае все построения на сфере, в том числе и координаты, на¬
зываются топоцентрическими. Иногда в центре сферы помещают
центр Земли или Солнца, тогда построения на сфере называются
соответственно геоцентрическими или гелиоцентрическими.
В сферической астрономии измеряются только углы между
различными направлениями. Это либо центральные углы, изме¬
ряемые соответствующими им дугами на сфере, либо двугран¬
ные углы, измеряемые углами в сферических треугольниках.
13

§ 2. Основные круги и точки на небесной сфере
На небесной сфере намечают основные линии и точки, необ¬
ходимые для определения положений светил и различных пост¬
роений. Представим себе небесную сферу (рис. 9), в центре
которой (О) находится наблюдатель, точнее — глаз наблюда¬
теля. Через центр проведем отвесную линию, соответствующую
направлению силы тяжести в данном месте. Она пересечет не¬
бесную сферу в двух точках Z и Z\.
Точка Z, лежащая над головой наб¬
людателя, называется зенитом, а про¬
тивоположная Z\ — надиром. Теперь
проведем через центр сферы плос¬
кость, перпендикулярную отвесной
линии ZZX\ эта плоскость называет¬
ся горизонтальной плоскостью. Она
пересекает небесную сферу по боль¬
шому кругу, получившему название
математического горизонта.
Проведем через центр сферы пря¬
мую РР1, параллельную земной оси,
Рис. 9.	линия эта называется осью мира;
она пересекает небесную сферу в
точках Р и Р1, называемых соответственно северным и южным
полюсами мира.
Для удобства решения различных задач принимается, что не¬
бесная сфера вращается вокруг воображаемой оси мира в нап¬
равлении, обратном вращению Земли, т. е. с востока на запад.
Другими словами, кажущееся вращение небесной сферы соот¬
ветствует видимому восприятию — вращению небесного свода
с востока на запад. Поэтому наблюдаемые явления происходят
одинаковым образом: будет ли вращаться Земля с запада на
восток при неподвижном небесном своде или наоборот — не¬
бесный свод, в данном случае небесная сфера, будет вращаться
с востока на запад при неподвижной Земле. В сферической
астрономии принимается, что небесная сфера вращается вокруг
оси мира, а неподвижной остается Земля.
Проведем через центр сферы плоскость, перпендикулярную
к оси мира; она пересечет небесную сферу по большому кругу,
называемому небесным экватором.
Плоскость, проходящая через ось мира и отвесную линию
(она лежит в плоскости чертежа), пересекает небесную сферу
по большому кругу, который называется небесным меридианом.
Очевидно, он проходит через оба небесных полюса, через зенит
и надир.
Часто для сокращения вместо «небесный полюс», «небесный
экватор», «небесный меридиан» говорят просто «полюс», «эква¬
2
14

тор», «меридиан», подразумевая, что эти термины относятся к
небесной сфере.
В результате пересечения горизонта с указанными выше кру¬
гами на нем фиксируются четыре точки: две при пересечении с
меридианом (точки юга (S) и севера (N) и две при пересече¬
нии с экватором — точки запада (W) и востока (£). Располо¬
жение их определяется по известному правилу: если стать ли¬
цом к полюсу (возле него находится Полярная звезда), то по¬
зади будет точка юга, направо — точка востока, а налево —
точка запада.
Малые круги, параллельные экватору, по которым видимым
образом происходит движение светил при вращении небесной
сферы, называются суточными параллелями.
Малые круги, параллельные горизонту (при этом находящие¬
ся на них светила имеют одинаковую высоту над горизонтом),
называются альмукантаратами.
Большие круги, проходящие через зенит и надир, и, следо¬
вательно, перпендикулярные горизонту, называются вертикала¬
ми, или кругами высот.
Вертикал, проходящий через точки востока и запада, назы¬
вается первым вертикалом; очевидно, он перпендикулярен мери¬
диану.
Полезно отметить, что горизонт делит небесную сферу на
две половины: видимую для наблюдателя (в этой части сферы
находится зенит) и невидимую (здесь находится надир). Эква¬
тор также делит небесную сферу на северное полушарие с север¬
ным полюсом и южное полушарие с южным полюсом. Наконец,
меридиан делит небесную сферу на две половины—восточную и
западную.
Основным кругом на небесной сфере является также эклип¬
тика, которую в первом приближении можно определить как
большой круг. По этому кругу видимым образом происходит
годичное движение Солнца. Но так как годичное движение
Солнца является отражением перемещения Земли по орбите, то
с тем же приближением можно сказать, что эклиптика представ¬
ляет собою большой круг на небесной сфере, получающийся
при пересечении плоскости земной орбиты с небесной сферой.
Экватор и эклиптика пересекаются в двух точках, которые
называются точками весеннего и осеннего равноденствий. В пер¬
вой из них Солнце бывает около 21 марта, передвигаясь види¬
мым образом из южного полушария в северное. Вторую точку
Солнце проходит около 23 сентября, переходя в небе из северного
полушария в южное. Первую точку, имеющую большое значение
при построении сферических координатных систем, а также в
учении об измерении времени, обозначают значком Г, вторую—
значком ~ . Эти обозначения сохранились со времени древне¬
греческого астронома Гиппарха, жившего во II в. до н. э. В то
15

время точка весеннего равноденствия находилась в созвездии
Овна, а осеннего равноденствия — в созвездии Весов. Указан-
ные значки были присвоены этим зодиакальным созвездиям, так
как они отдаленно напоминали рожки овна и весы. Вследствие
прецессии (об этом смотри дальше) к настоящему времени
точки весеннего и осеннего равноденствий переместились в со¬
седние зодиакальные созвездия — соответственно в созвездие
Рыб и Девы. Однако обозначение указанных точек сохранилось
прежнее.
Можно отметить соответствие некоторых основных линий и
точек на небесной сфере с линиями и точками на Земле.
Совместим центр небесной сферы с центром Земли, т. е. бу¬
дем рассматривать геоцентрическую небесную сферу. Тогда ось
мира совпадет с земной осью, плоскость небесного экватора с
плоскостью земного экватора, меридиан данного места на Земле
совпадет с небесным меридианом для данного места. Очевидно,
что каждому меридиану на Земле соответствует свой местный
меридиан на небесной сфере.
Для каждого места на Земле существует свое расположение
(по отношению к горизонту) основных линий и точек на небес¬
ной сфере. Например, для наблюдателя, находящегося на зем¬
ном полюсе, небесный полюс будет в зените, а для наблюда¬
теля на земном экваторе небесные полюсы лежат в горизонте.
§ 3. Системы сферических координат
Подобно географическим координатам, определяющим поло¬
жение места на земной поверхности, в сферической астрономии
также двумя координатами определяют положение светила на
небесной сфере.
На Земле имеем только один основной круг—земной экватор,
и поэтому одну систему географических координат, отнесенную
к нему, а именно: экваториальную систему — долготу и широту
места.
На сфере мы ввели три основных круга —• горизонт, экватор
и эклиптику. Каждый из этих кругов может быть принят для
построения сферической системы координат. Поэтому на небес¬
ной сфере имеется три системы координат — горизонтальная,
экваториальная и эклиптическая. Каждая из этих систем имеет
свою область применения. При наблюдениях применяют первые
две системы, третья система используется в теоретической астро¬
номии и в небесной механике, причем координаты этой системы
из наблюдений не получаются, а могут быть вычислены по
экваториальным координатам.
Горизонтальная система координат. Основным кругом в этой
системе принимается горизонт. Проведем вертикал через све¬
16

тило 5 (рис. 10). Координатами светила являются азимут и
высота, обозначаемые буквами А и h. Азимутом называется ду¬
га горизонта от точки юга до вертикала, проходящего через
данное светило. Для азимута можно дать и другое определение:
азимутом называется угол при зените между меридианом и вер¬
тикалом, проходящим через светило. Азимуты измеряются от
точки юга в направлении вращения небесной сферы, т. е. к за¬
паду, через точки севера и востока, от 0 до 360°.
z
Высотой светила называется дуга вертикала от горизонта
до светила. В видимой части небесной сферы высоты измеряют¬
ся от 0 до 90°. Иногда говорят о высоте светила под горизонтом,
в этом случае высоту считают отрицательной.
Часто вместо высоты за вторую координату принимают зенит¬
ное расстояние г, т. е. дугу вертикала от зенита до светила.
Очевидно, что г = 90°—h.
Пр им ер: Азимут точки запада равен 90°, а высота равна
нулю. Высота зенита равна 90°, а зенитное расстояние равно 0°.
Горизонтальные координаты светила вследствие вращения
небесной сферы все время изменяются. Поэтому, фиксируя по¬
ложение светила в этой системе координат, нужно отмечать
момент времени, к которому относятся координаты.
Первая система экваториальных координат. Основным кру¬
гом в этой системе координат является небесный экватор. Через
светило 5 и один из полюсов проводим большой круг, он назы¬
вается кругом склонения.
Положение светила в этой системе координат определяют
часовым углом t и склонением 6 (рис. 11). Для часового угла
может быть дано два определения: часовой угол — это угол при
полюсе между меридианом и кругом склонения, проходящим
через светило; часовым углом называется дуга эквато¬
ра от меридиана до круга склонения, проходящего через све¬
2—807

тило. Очевидно, что это одно и то же, так как обе величины —
угол при полюсе и дуга экватора — измеряют один и тот же
двугранный угол между плоскостями меридиана и круга
склонения.
Второй координатой является склонение, обозначаемое бук¬
вой д. Склонением называется дуга круга склонения от экватора
до светила.
Дуга круга склонения от полюса Р до светила называется
полярным расстоянием светила. Очевидно, что полярное расстоя¬
ние р и склонение 6 в сумме дают 90°, т. е. р + д = 90°.
Склонение светила, находящегося к северу от экватора, при¬
нимается положительным, а к югу — отрицательным.
Часовой угол отсчитывается в направлении от южной части
меридиана через запад, север, восток от 0 до 360°. Но чаще
он измеряется в часовой мере от 0 до 24-/г .
Следует отметить, что при вращении небесной сферы склоне¬
ние светила не изменяется. При этом изменяется только вторая
координата — часовой угол. Поэтому для определения положе¬
ния светила в этой системе координат необходимо указывать
время, к которому относится это положение.
Вторая система экваториальных координат. Положение све¬
тила в этой системе определяется координатами — прямым вос¬
хождением и склонением.
Прямое восхождение, обозначаемое буквой а, есть дуга эк¬
ватора, отсчитываемая от точки весеннего равноденствия до
круга склонения, проходящего через светило. Оно отсчитывается
от точки весеннего равноденствия в направлении, обратном вра¬
щению небесной сферы, от 0 до 360° или чаще в часовой мере от
0 до 2411 . В этом направлении, так называемым прямым движе¬
нием, по сфере перемещаются Солнце и Луна.
Вторая координата — склонение остается той же, что и в
первой системе экваториальных координат. Легко видеть, что
координаты во второй экваториальной системе не изменяются
при вращении небесной сферы. Это происходит вследствие того,
что точка весеннего равноденствия и экватор принимают уча¬
стие в суточном вращении. Здесь имеет место аналогия с Зем¬
лей, где также экваториальные координаты (долгота и широта)
не изменяются при вращении Земли.
Поэтому вторая система экваториальных координат удобна
для обозначения положения светила на небесной сфере. В этой
системе составляются звездные каталоги, т. е. списки звезд с
указанием их координат.
Эклиптическая система координат. Из самого названия си¬
стемы следует, что основным кругом в этой системе является
эклиптика. Точки, равноудаленные от эклиптики (отстоят от
нее на 90°), являются полюсами эклиптики: в северном полу¬
шарии — северный полюс, а в южном — южный.
18

п
Проведем через один из полюсов и светило большой круг,
называемый кругом широт. Тогда первая координата—дол¬
гота светила, обозначаемая буквой Я, определится как дуга
эклиптики ТК от точки весеннего
равноденствия до круга широт,
проходящего через светило. Вто¬
рая координата — широта светила
является дугой круга широт
KS от эклиптики до светила
(рис, 12).
Долгота светила отсчитывается
в прямом направлении от 0 до
360°, а широта — от 0 до 90°,
причем широты к северу от эклип¬
тики считаются положительными,
а к югу — отрицательными. Оче¬
видно, что при вращении сферы обе
эти координаты не изменяются.
§ 4. Связь между координатами различных систем
Нередко встречается необходимость перейти в от одной си¬
стемы координат к другой, то есть, зная координаты светила
в одной координатной системе, вы¬
числить координаты того же свети¬
ла в другой системе.
Чаще всего в сферической астро¬
номии приходится переходить от
первой экваториальной системы к
горизонтальной или наоборот — от
горизонтальной к первой экватори¬
альной системе. Выведем формулы,
по которым можно совершить этот
переход.
Пусть на небесной сфере в точке
S находится светило, проведем через
него круг склонения и вертикал. В
результате получится сверический
треугольник PZS (рис. 13), называ-
треугольником. В нем стороны равны
ZS=z\ PS = 90°—<S; PZ = 90°—cp, где cp—географическая широта
места1.
Углы в треугольнике: при полюсе—часовой угол t\ при зени¬
те—180°—А, где А—азимут светила; угол в треугольнике при
1 Из общего курса астрономии известно, что высота полюса над горизон¬
том равна широте места.
2
Рис. 13.
емый параллактическим
2*
19

светиле S называется параллактическим углом, обозначается
буквой q.
Сначала найдем формулы для перехода от первой эквато¬
риальной системы к горизонтальной. Воспользуемся для этого
тремя основными формулами сферической тригонометрии. При
подстановке положим a = z, b = 90°—3, с = 90°—ср, A = t, В =
= 180°—А.
Тогда получаем
cos z = sin ср sin сУ + cos ср cos б cos t\
sin z sin A = cos 6 sin /;	(1)
sin z cos A = —cos cp sin tf-t-sin cp cos 3 cos t.
Первая из этих формул однозначно определяет зенитное рас¬
стояние, две другие — азимут.
Разделив почленно вторую формулу на третью, получаем
,	„	cos sin t
sin <p cos 5 cos t — cos cp sin b
Непосредственно по тангенсу угол А однозначно не опреде¬
ляется, так как при положительном тангенсе угол может ле¬
жать или в первой, или в третьей четвертях, а при отрицатель¬
ном — или во второй, или в четвертой. Однако знаки правых
частей второй и третьей формул дают возможность однозначно
определить величину угла А.
В самом деле, пусть tg/l оказывается положительным, тог¬
да	знаки	в	правых	частях второй и третьей	формул	должны
быть	одинаковыми.	Если они положительны,	то,	имея	в	виду,
что sin z всегда положителен, находим, что угол лежит в первой
четверти; если же оба отрицательны, то угол лежит в третьей
четверти. Подобные рассуждения проводятся и при tgА отри¬
цательном.
Из того же параллактического треугольника можно опреде¬
лить параллактический угол q\ для этого применим вторую и
третью формулы сферической тригонометрии. При подстановке
положим: a = z, 6 = 90°—ср, с = 90°—сУ, A = t, B = q, тогда получаем
sin z sin <7 = cos cp sin t\
sin z cos	<7 = sin cp cos 3—cos cp sin 3	cos	t.
Откуда
cos ф sin t
tg q =	:	 .
sin cp cos о — cos cp sin 5 cos t
Квадрант, в котором лежит угол q, определяем так же, как
и при выводе азимута А.
20

Выведем теперь формулы для перехода от горизонтальной
системы координат к экваториальной. Для этой цели опять вос¬
пользуемся тремя основными формулами сферической тригоно¬
метрии в применении к параллактическому треугольнику.
При подстановке положим: а = 90°—b = z, с = 90°—ф, А =
= 180°—А, B = t, тогда получаем
sin $ = sin ф cos z—cos ф sin z cos A;
cos 6 sin t = sin г sin A;
cos 6 cos ^ = cos г cos ф + sin z sin ф cos A.
Таким образом, пользуясь первой формулой, по заданным
горизонтальным координатам светила А и z, а также широте
места ф определяем склонение б, а по второй и третьей — часо¬
вой угол t
. j	sin	2	sin	А
tg t =	—-	.
cos z cos сp 4- sin z sin cp cos A
Об определении квадранта, в котором находится угол t, го¬
ворилось выше.
Вычисления по приведенным формулам удобно проводить
при помощи арифмометра. Если потребуется вычислять с лога¬
рифмами, то тогда следует эти формулы путем введения вспомо¬
гательных величин привести к логарифмическому виду, напри¬
мер, для приведения к логарифмическому виду формул (1) вво¬
дятся вспомогательные величины Мит, определяемые следую¬
щими соотношениями:
т sin M = sin д\
т cos М = cos 6 cos t.
После подстановки в формулы (1) и преобразования их, по¬
лучаем
cos z = m cos (ср—М);
sin z cos A = m sin (ф—M);
sin z sin A = cos 6 sin t,
где
tgM = tg6
m =
cos t
sin 5
sin M
21

Подобным образом к логарифмическому виду могут быть
приведены и остальные формулы.
Пример: Даны экваториальные координаты Арктура
t= 18/г 18"\2 = 274°33'; <5= + 19°23'.
Найти горизонтальные координаты для широты ср = 50°27/.
Вычисления ведутся при помощи арифмометра с четырьмя
десятичными знаками
sin ср 0,7711
sin с? 0,3319
sin cp sin 6 0,2559
cos cp cosd cos t 0,0476
cos z 0,3035
z 17°40'
sin z sinA—0,9403
sin z cos A—0,1537
tg Л+ 0,6118
A 21Г28'
—cos cp sin 6—0,2114,
cos cp и,осюо
cos 6 0,9433
cos cp cos d 0,6007
cos t 0,0793
sin t—0,9968
cos d sin t—0,9403
sin cp cos d 0,7274
sin cp cos 6 cos t 0,0577
Глава II
ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Время представляет собой одну из форм существования ма¬
терии, оно является объективной реальностью, совершенно не¬
зависимой от сознания человека. Подобно движущейся материи,
время бесконечно — оно не имеет ни начала, ни конца.
Математически течение времени можно представить себе как
бесконечный процесс, развивающийся в одномерном контину¬
уме. Еще Энгельс указал, что «в применении ко времени беско¬
нечная в обе стороны линия, или бесконечный в обе стороны
ряд единиц, имеет известный образный смысл» (Ф. Энгельс,
Анти-Дюринг, 1948, стр. 48).
Время удобно изображать отрезком прямой в определенном
масштабе на бесконечной оси от какой-либо фиксированной
точки. Это так называемая «ось времён». Для определенности
можно представить себе, что по бесконечной прямой линии дви¬
гается точка с постоянной скоростью v. Расстояние этой точки
от исходного положения определится из S = vt; это расстояние
5, пропорциональное времени t, может служить мерою времени.
Однако практически осуществить равномерное движение для
измерения времени невозможно.
Несравненно удобнее для измерения времени воспользовать¬
ся каким-либо периодическим процессом, совершающимся с
постоянным периодом. Еще арабы при наблюдении солнечного
затмения определяли его продолжительность, считая число коле¬
баний маятника. Однако в этом случае единица при измерении
22

времени оставалась произвольной, зависящей от самого маят¬
ника.
Поэтому стремление получить единицу для измерения вре¬
мени непосредственно из природы является естественным.
Уже в древности было замечено вращение небесного свода,
а также периодическое движение по нему Солнца. Эти периоди¬
ческие движения, являющиеся результатом вращения Земли во¬
круг своей оси и обращения ее вокруг Солнца, дают две основ¬
ные единицы для измерения времени — сутки и год.
В далеком прошлом эти единицы считались совершенно
неизменными; и только с развитием теоретических исследований
и успехами в деле строительства приборов для измерения вре¬
мени обнаружено весьма малое изменение этих основных еди¬
ниц. Но изменения эти так малы, что часто их можно не при¬
нимать во внимание. На этих изменениях остановимся ниже,
сейчас же будем считать их неизменными.
§ 1. Звездное время и звездные сутки
Промежуток времени, в течение которого Земля делает пол¬
ный оборот вокруг своей оси, близок к звездным суткам. Од¬
нако это не точное определение. Прежде чем дать более точное,
обратим внимание на следующее. Очевидно, для того, чтобы
установить период обращения Земли вокруг оси, нужно иметь
какой-то репер, по которому можно судить, что Земля совер¬
шила полный оборот. За такой репер можно принять любую
звезду, но издавна им служит точка весеннего равноденствия,
положение которой по отношению к звездам хорошо известно.
Момент, когда точка весеннего равноденствия проходит че¬
рез южную часть небесного меридиана данного места, — так
называемая верхняя кульминация светила — служит началом
звездных суток.
Звездными сутками называется промежуток времени между
двумя последовательными верхними кульминациями точки ве¬
сеннего равноденствия 1. Звездные сутки делят на 24 части,
каждая из которых называется звездным часом. Каждый час
делится на 60 частей — звездные минуты, а минуты на 60 звезд¬
ных секунд. Таким образом, звездные сутки и доли их служат
для измерения промежутков времени.
Звездное время в данный момент численно равно часовому
углу точки весеннего' равноденствия. Следовательно, в момент
верхней кульминации точки весеннего равноденствия начинают¬
ся звездные сутки, в это время по звездному времени будет
1 Точка весеннего равноденствия не занимает постоянного места на не¬
бесной сфере, она вследствие прецессии сдвигается за сутки к западу на
0",138. Поэтому звездные сутки на 0^ ,0084 короче периода обращения Земли
вокруг оси.
23

О час 0 мин 0 сек. Затем часовой угол точки весеннего равноден¬
ствия равномерно увеличивается. В момент, когда он достигнет
значения 15°, звездное время будет равно 1 час, при 30°—2 час
и т. д. И, наконец, при следующей кульминации начнутся новые
звездные сутки.
Отметим весьма важную зависимость между звездным време¬
нем S, прямым восхождением какого-либо светила и его часо¬
вым углом
Из рис.
в данный момент.
14 легко вывести соотношение S = a + t, т. е., что
звездное время всегда равно сумме
прямого восхождения светила и его
часового угла.
Очевидно, при верхней кульмина¬
ции светила часовой угол его равен
нулю, т. е. £ = 0, тогда
S = а.
Это важный вывод — в момент
верхней кульминации светила звезд¬
ное время численно равно прямому
восхождению этого светила. Следо¬
вательно, если в некоторый момент
можно установить, что звезда с из¬
вестным прямым восхождением куль¬
минирует, то этим устанавливается
звездное время в данный момент.
Эти соображения лежат в основе
способа определения времени из меридианных наблюдений.
Звездное время широко применяется при астрономических
наблюдениях. В обсерваториях имеются часы, идущие по звезд¬
ному времени.
Рис. 14.
§ 2. Солнечное время, истинное и среднее
Несмотря на то, что применение звездного времени при
астрономических наблюдениях весьма удобно, построены также
часы, идущие по зведному времени, тем не менее применять его
в гражданской жизни крайне неудобно.
Дело в том, что счет по звездному времени не связан с
Солнцем. Вследствие этого одни и те же часы по звездному вре¬
мени будут в течение года приходиться на разное время дня
и ночи.
Например, около 23 сентября начало звездных суток будет
приходиться на полночь, т. е. в это время будет (И по звезд¬
ному времени; через месяц, т. е. в октябре, начало звездных су¬
ток придется на 10 час вечера; еще через месяц, в ноябре—на
8 час вечера; в декабре—на 6 час вечера; в январе—на 4 час
дня; в феврале—на 2 час дня; в марте—на полдень; в апреле—
24

на 10 час утра, в августе—на 2 час ночи и в сентябре снова на
полночь. Поэтому введена вторая система счета времени, свя¬
занная с Солнцем. Аналогично звездным суткам вводятся так
называемые истинные солнечные сутки.
Истинными солнечными сутками называется промежуток
времени между двумя последовательными верхними кульмина¬
циями центра видимого солнечного диска.
Начало истинных суток приходится на момент верхней куль¬
минации центра диска Солнца. Истинные сутки подразделяются,
подобно звездным суткам, на часы, минуты и секунды.
Истинное солнечное время численно равно часовому углу
центра солнечного диска. Однако применение истинного'солнеч¬
ного времени неудобно, так как вследствие неравномерного ви¬
димого движения Солнца по эклиптике (это видимое движение
Солнца является отражением движения Земли по орбите), а
также наклона эклиптики к экватору истинные солнечные сутки
имеют неодинаковую продолжительность в течение года. Они
длиннее зимою (январь) и короче всего летом (июль). Макси¬
мальная разница в продолжительности истинных суток состав¬
ляет около 50 сек *.
Для устранения этого неудобства вводят фиктивные точки,
двигающиеся по эклиптике и экватору, которые определяют
среднее солнечное время.
Одну из этих точек, так называемое эклиптическое среднее
солнце или первое среднее солнце, заставляют равномерно
двигаться по эклиптике, при этом на ее движение накладыва¬
ются условия: время оборота по эклиптике равно времени обо¬
рота истинного Солнца и затем истинное Солнце и среднее
эклиптическое одновременно проходят через перигей и апогей.
Вторая фиктивная точка — среднее экваториальное солнце
или второе среднее солнце двигается равномерно по экватору.
Второе среднее солнце связано с первым следующими усло¬
виями: оба они завершают свое движение (одно по эклиптике,
а другое по экватору) за одно и то же время — за год, а также
одновременно проходят через точки весеннего и осеннего равно¬
денствия 2.
Таким образом, у первого среднего солнца в эклиптической
системе координат долгота изменяется равномерно (т. е. про¬
порционально времени), а у второго — равномерно изме¬
няется прямое восхождение в экваториальной системе коор¬
динат).
Очевидно, вследствие одновременного прохождения обоих
солнц через точку весеннего равноденствия долгота эклипти¬
1 Максимальная пиодолжительность 24h 0m30s> а минимальная—23h39m39s.
Как известно из курса общей астрономии, промежуток времени между
двумя последовательными прохождениями солнца через точку весеннего рав¬
ноденствия называется тропическим годом. Он равен 365,2422 средних суток.
25

ческого солнца всегда равна прямому восхождению экватори¬
ального, т. е.
Li = a2.
Среднее экваториальное солнце может быть принято для
измерения времени, так как вследствие равномерного движения
по экватору часовой угол у него будет увеличиваться пропор¬
ционально времени.
Взаимное расположение истинного Солнца и обоих средних
определяется для любого мо.мента по формулам теоретической
астрономии. Соответствующие данные приводятся в «Астрономи¬
ческом ежегоднике».
Таким образом, вводится вторая система счета времени,
связанная с Солнцем, она также определяет вторую единицу для
измерения времени — средние солнечные сутки.
Средние солнечные сутки — это промежуток времени между
двумя последовательными верхними кульминациями среднего
экваториального солнца. Начало средних суток, так называе¬
мый средний полдень, приходится на момент верхней кульми¬
нации среднего экваториального солнца К
Среднее солнечное время или просто среднее время измеря¬
ется часовым углом среднего экваториального солнца.
Поскольку средние сутки и доли их (часы, минуты и секун¬
ды) сохраняют в течение года постоянное значение, то возможно
построить часы, идущие по среднему времени.
§ 3.	Связь между истинным и средним	временем
Пусть в	некоторый" момент	5 по звездному	времени часовой
угол истинного Солнца будет t, а среднего экваториального t0 ,
прямые восхождения их в тот же момент будут а и а0. Очевидно,
S = ci-srt'1 S = ao + t0 у
т. е.	t—tо	=а—а0.	(1)
Разность между истинным	временем t и средним t0	,	т. е.
E = t—10, называется уравнением времени2.
Величина уравнения времени вычисляется для любого мо¬
мента по формулам, которые выводятся в небесной механике.
Максимального значения уравнение времени достигает в ноябре
около +16т и минимального — в феврале около—14т .
1 Средние солнечные сутки подразделяются на часы, минуты и секунды.
Они соответственно называются средними часами, средними минутами и сред¬
ними секундами.
2 Иногда под уравнением времени понимают обратную величину /0—t.
26

Уравнение времени для каждого дня в году можно нанести
на график (рис. 15). Как видим, получается сложная кривая.
В небесной механике показывается, что эта сложная кривая
получается в результате сложения двух синусоид, имеющих со¬
ответственно годичный и полугодичный периоды
Е = 7п\ 7 sin(L0 +259°) + 9m, 9 sin 2L0,
где L0 —долгота эклиптического солнца.
Первая синусоида с годичным периодом отражает неравно¬
мерное движение Солнца по
эклиптике, а вторая, с полу¬
годичным периодом, зависит
от изменения склонения
Солнца.
Уравнение времени дает¬
ся на каждый день в «Астро¬
номическом ежегоднике».
Найдя для данной даты
уравнение времени, легко пе¬
рейти от среднего времени к
истинному и обратно.
^ИСТ ^ср f~
ср ■
Е.
§ 4. Местное, гражданское, поясное и декретное время
Введенные понятия звездного, истинного и среднего времени,
как было сказано, связаны с определенными точками на небес¬
ной сфере.
Термины «местное время», «гражданское», «поясное», и «де¬
кретное» имеют совершенно другой смысл. Например, говоря
«местное время», мы этим отмечаем,
что любое из времен — звездное,
истинное солнечное или среднее —
относятся к меридиану данного
места.
Очевидно, что на разных мериди¬
анах местное время в один и тот же
момент различно. В самом, деле,
представим себе Землю, обращен¬
ную к нам северным полюсом N
(рис. 16). Пусть а, 6, с точки на зем¬
ных меридианах Na, Nb, Nc. На не¬
бесной сфере земным меридианам
соответствуют небесные меридианы,
которые пересекают небесный экватор в точках Л, В, С. Легко
видеть, что для точек на Земле а, 6, с соответствующие местные
времена будут измеряться дугами Г Л, Г В, ГС. Мало того, не¬
27

трудно заключить, что в восточном пункте местное время будет
больше чем в западном.
В самом деле, пункт b на Земле находится восточнее пунк¬
та а (вспомним, что Земля вращается с запада на восток). Оче¬
видно, в один и тот же момент местное время в восточном пункте
будет больше местного времени в западном на величину раз¬
ности долгот этих пунктов, выраженной во времени,
*^вост *^зап —1“	•
Сказанное относится также и к истинному солнечному и
среднему солнечному времени. Это вытекает из того, что вместо
точки весеннего равноденствия можно на рисунке поместить
среднее или истинное солнце и повторить те же рассуждения.
Обозначая через Т любое из времен, можно написать
Твост = Т’зап 4"
Следствием является соотношение между временем на на¬
чальном меридиане—гринвичским—и местным временем в дан¬
ном пункте.
Местное время в данном пункте равняется гринвичскому
времени, сложенному с долготой места,
7м ==: 7"гр -f Д
Здесь мы считаем долготы к востоку от Гринвича положитель¬
ными (часто долготы считаются положительными в направлении
на запад).
Примечание: Соотношение Т3=Т3 лежит в основе метода опре¬
деления долгот на земной поверхности. Очевидно, что для определения раз¬
ности долгот двух пунктов нужно найти из наблюдений местные времена в
каждом из этих пунктов в один и тот же физический момент. Методы опре¬
деления долгот приводятся в курсе практической астрономии.
Средние сутки начинаются в полдень. Это обстоятельство
вызывает в практической жизни при использовании среднего
времени известное неудобство. В самом деле, в этом случае
смена дат должна происходить в полдень, т. е. до полудня мы
имели бы одно число месяца, а в полдень его меняли бы на
следующее. Для устранения этого неудобства введено граждан¬
ское время. Здесь счет времени ведется по среднему экватори¬
альному солнцу, как и при среднем времени, только начало сче¬
та, т. е. наступление новых суток, отнесено на полночь. Таким
образом, гражданские сутки начинаются на 12 час раньше, чем
средние сутки. Поэтому гражданское время равно среднему
солнечному времени плюс 12 час
Тгр — Тр + 12й-
Астрономы долгое время применяли среднее время. Наблю¬
дения в основном проводятся ночью, поэтому представлялось
28

более удобным относить ночь к одной дате. Однако начиная с
1925 г. гражданский счет времени принят и в астрономической
практике. В «Астрономических ежегодниках» с этого года все
данные приводятся для средней гринвичской полуночи.
Поясное и декретное время. Из определения местного време¬
ни вытекает, что на разных меридианах местное время различно.
Поэтому пользование местным временем создает известные
неудобства при переездах из одного места в другое, при путе¬
шествиях и т. п. Особенно неудобно учитывать разницу в мину¬
тах. Например, разница местных времен между Киевом и Харь¬
ковом составляет около 23 мин, а между Москвой и Ленингра¬
дом около 29 мин, между Москвой и Томском около 3 час
10 мин. При переездах из одного города в другой нужно учиты¬
вать эту разницу в часах и минутах.
Значительно проще ведется счет времени при введении пояс¬
ного времени, которое принято почти во всех странах мира. Для
этого земной шар разделен меридианами на 24 пояса, в каждом
из поясов счет времени ведется по среднему меридиану каждого
пояса. Все пояса в направлении с запада на восток имеют нуме¬
рацию от 0-го (нулевой пояс) до 23-го. По условию средний
меридиан нулевого пояса проходит через Гринвич, т. е. является
начальным меридианом при счете долгот. Нетрудно заключить,
что при таком построении средние меридианы удалены друг
от друга на 15°, или, другими словами, разность долгот у них
равна 15°. Следовательно, в один и тот же момент гражданское
время в различных поясах будет отличаться на целое число ча¬
сов, минуты же и секунды на часах везде будут одни и те же.
В каждом поясе гражданское время будет отличаться от грин¬
вичского (мирового времени) на номер пояса. В поясах с раз¬
личными номерами время отличается на число часов, равное раз¬
ности номеров поясов, например:
1. Москва находится во втором поясе, поэтому поясное вре¬
мя здесь впереди гринвичского ровно на 2 час.
2. Томск находится в б-ом поясе, следовательно, поясное вре¬
мя для него впереди московского на четыре часа.
3. Вся Украина расположена во втором поясе, поэтому здесь
во всех городах и селах ведется один и тот же счет по поясному
времени.
Однако границы часовых поясов из практических соображе¬
ний не проводятся точно по меридианам, принимаются во вни¬
мание границы государств, областей, направление рек и т. п.
Составлены карты с расположением часовых поясов по всей
Земле, по которым легко установить в каком поясе находится
тот или другой пункт.
Из экономических соображений декретом правительства с
16 июня 1930 года по всему Советскому Союзу часовая стрелка
29

передвинута на один час вперед. Таким образом, установлено
декретное время, равное поясному времени плюс один час.
7д — Тп 4" 1 час.
Из сказанного следует, что поясное время и декретное вре¬
мя — это	искусственно	введенный	счет	времени, удобный в
практической жизни. Однако во многих случаях, например при
расчетах времени восхода и захода светил и других, приходится
переходить от декретного времени или поясного к местному
гражданскому и наоборот.
Это легко сделать. Обозначим в какой-либо момент в пункте
с долготой Я и номером пояса п\
через Гд —декретное время;
»	Тп —поясное	время;
»	Др—гринвичское время;
»	Гм—местное	гражданское	время.
Пусть требуется декретное время Тд перевести в местное
гражданское Тм . Последовательно получим
Тп= Tjx 1;
тгр = Тп — п;
ты= Т’гр + л.
Или, объединяя,
Гм=Гд-(/1+1—X).
Примеры:
Для Киева
Л = 2h 2m; п = 2;
Гм= Тц — 0А58т.
Для Москвы
к = 2Л 30от; п = 2;
7"м = 7д — 0h30m.
§ 5. Связь между звездным и гражданским временем
В астрономической практике часто приходится переходить
от звездного времени к гражданскому и обратно.
30

Из наблюдений для некоторого момента может быть опре¬
делено звездное либо истинное солнечное время, разумеется,
местное — для данного меридиана. Затем, уже путем несложных
вычислений, используя «Астрономический ежегодник», могут
быть найдены среднее, гражданское или поясное и декретное
время.
Как было сказано, для измерения времени установлены две
системы основных единиц: звездные сутки с подразделением на
часы, минуты и секунды и средние сутки также с подразделени¬
ем на свои часы, минуты и секунды.
Таким образом, подобно тому, как длина линии может быть
выражена в различных единицах — в сантиметрах или в дюймах
и других, так же и промежуток времени между двумя момен¬
тами можно выразить в звездных или в средних единицах вре¬
мени.
Нетрудно показать, что средние сутки длиннее звездных.
В самом деле, среднее солнце равномерно движется с запада
на восток, т. ё. навстречу суточному вращению небесной сферы.
Поэтому, если допустить, что в некоторый момент одновременно
кульминируют точка весеннего равноденствия Г и среднее
солнце, то при следующей кульминации точки весеннего равно¬
денствия (через звездные сутки) среднее солнце . дкажется во¬
сточнее примерно на один градус, и потому оно пройдет через
меридиан несколько позднее, приблизительно на 4 мин Ниже
разница между средними и звездными сутками будет установлена
точнее.
Из сказанного вытекает, что любой интервал времени будет
содержать большее число звездных единиц (например, звездных
суток), чем соответствующих средних единиц времени. Напри¬
мер, тропический год, содержащий 365,2422 сред, сут., как будет
показано дальше, содержит 366,2422 звезд, сут.
Вывод связи между звездным и гражданским временем рас¬
падается на две задачи: во-первых, обращение промежутка вре¬
мени, выраженного в средних единицах времени, в звездные
единицы и обратно и, во-вторых, в определении звездного вре¬
мени в среднюю полночь (в 0 час гражданского времени).
После этого не трудно будет дать правило перехода от звезд¬
ного времени к гражданскому и обратно.
Остановимся на первой задаче. Пусть дан интервал времени
Т, выраженный в средних единицах, и требуется перевести его
в звездные единицы; допустим, что в этом интервале содер¬
жится S звездных единиц.
Будем исходить из того, что в тропическом году содержится
365,2422	сред. сут. и 366,2422 звезд, сут.
1 Смещение среднего солнца на один градус получается вследствие того,
что за год в 365 с лишним суток оно видимым образом перемещается на 360°.
В часовой мере один градус равен четырем минутам.
31

Очевидно, что интервал времени можно выразить в средних
и звездных сутках, тогда можно написать
^S_ _ 366,2422
Т ~~ 365,2422 ’	'	'
где S и Т выражены в часах, минутах и секундах соответствен¬
но звездного и среднего времени.
Отсюда находим
(1 +—-—) Т.
^	365,2422	)
Обозначая 	^	—а,	получили	зависимость
365,2422	^	J
S=(l+PL)T.	(3)
Следовательно, для того, чтобы интервал, выраженный в
средних единицах времени, перевести в звездные единицы, его
нужно умножить на коэффициент 1+/л, равный 1,00273791.
Для обратного перехода — от звездных единиц к средним,
запишем по (2)
г = [1	!—] s,
1	366,2422'
обозначая
получим
1
365,2422
r=(l-v)S.	(4)
Здесь коэффициент 1—v = 0,99726957.
Между величинами [л и v существует зависимость
[X =
1 4* (х
Выражения (3) и (4) можно написать в таком виде:
S = T + iiT:	(З1)
T = S—vS.	(41)
Для облегчения вычислений составлены таблицы значений
{iT и vS. Они помещаются в «Астрономических ежегодниках» и
в различных руководствах (см. приложения в конце книги).
32

Рассмотрим теперь вторую задачу определение звездного
времени в среднюю полночь.
Пусть на рис. 17 дана небесная сфера и на ней эклиптика
4 В. В некоторый момент t0 в точке 50 находится среднее эк¬
липтическое солнце, в тот же момент
точка весеннего равноденствия нахо¬
дится в точке Г0 . Долгота эклип¬
тического солнца пусть будет L0 s
Через некоторое время - в момент
/, среднее солнце, перемещаясь со
средней суточной угловой скоростью
/г, займет положение S. За это время
в t—t0 средних суток точка весен¬
него равноденствия вследствие пре¬
цессии переместится в точку Т со
средней суточной скоростью р дуго¬
вых секунд. Следовательно долгота
среднего эклиптического солнца в
момент t будет
L = L0 +{n-\-p){t—10 ).
В дальнейшем будет показано, что п + р=и, ранее введенной
величине, т. е.
L = L0 +p(t—t0 ).	(5)
Как раньше было установлено, долгота эклиптического солн¬
ца равна прямому восхождению среднего экваториального солн¬
ца L{) =а0 , поэтому
а о =Д> +fi(t—t0).	(6)
Последняя формула дает возможность вычислить прямое
восхождение среднего экваториального солнца для любого мо¬
мента t по известной долготе среднего эклиптического солнца
для момента t0 . Обыкновенно принимается значение долготы
L0 , полученное С. Ньюкомбом для момента /„ , соответствую¬
щего моменту среднего полудня 31 декабря 1899 г. Этот момент
обозначается как 1900 г., январь 0,0 среднего гринвичского вре¬
мени
L0 =279°4Г27", 57
или
L0 = 18/г 38w 45К836.
В средний полдень, т. е. в момент верхней кульминации сред¬
него экваториального солнца, его прямое восхождение а() бу¬
3	807
33

дет численно равно звездному времени, поэтому можно написать
Si> = La -f to),	(7)
где S0 —звездное время в средний полдень.
Очевидно, нетрудно найти звездное время в среднюю пол¬
ночь. Для этого по формуле (6) вычисляется прямое восхож¬
дение среднего экваториального солнца в полночь, часовой угол
его в это время равен 12 час, а гак как S = a-W, то звездное
время в среднюю полночь
So =
где а0 —прямое восхождение в среднюю полночь.
В «Астрономических ежегодниках» дается звездное время на
каждый день для средней гринвичской полуночи. Исходя из
этого значения, можно получить звездное время в среднюю пол¬
ночь для любого меридиана. Для этого нужно найти для места
с долготой Я поправку, прибавив которую к значению звездного
времени в среднюю полночь в Гринвиче, получим звездное вре¬
мя в среднюю полночь в данном месте. Указанную поправку
можно получить следующим образом: очевидно, что в момент Т
по гринвичскому гражданскому времени (мировое время) мест¬
ное гражданское время на долготе Я имеет значение
Г = Г + Я.
В гринвичскую полночь Т = 0, а местное время будет в этот
момент
К = А.
Следовательно, на меридиане с долготой Я, расположенном
восточнее Гринвича, полночь наступает раньше на Я час (выра¬
зим долготу в часах и долях часа).
Поскольку звездное время изменяется за средние сутки на
величину (х, а за один час на 24 • 60 • 60	=9С 856, то за Я
часов оно изменится на 9,856 Я. Поэтому звездное время в пол¬
ночь меньше, чем в Гринвиче; поправка равна
A S = So — S0 = -9J,856>s	(8)
где SQ —звездное время в гринвичскую среднюю полночь;
So —звездное время в восточном пункте с долготой Я (Я—
выражено в часах).
Пример: Найти поправку на долготу для звездного вре¬
мени в среднюю полночь для Киева (Я = 2Л2т= 2/г ,033)
j5o =— 94',856-2,033 = —20" ,04.
34

Проще эти поправки определять по таблице, составленной
для превращения среднего времени в звездное. Тогда нет необ¬
ходимости переводить долготу в доли часа.
Займемся теперь вопросом перехода от гражданского вре¬
мени к звездному и обратно - от звездного к гражданскому.
Очевидно, местное гражданское время в некоторый момент Т
представляет собою интервал времени, выраженный в средних
единицах времени, между средней полуночью и данным момен¬
том. Поэтому, если этот интервал перевести в звездные единицы
времени и прибавить его к звездному времени в среднюю мест¬
ную полночь, тогда мы получим звездное время S в рассматри¬
ваемый момент времени. Это можно представить графически—
на
S	jS0	S
т	oh	т
оси времен будем откладывать звездное время 5 (в верхней
части оси) и гражданское Т (в нижней части). Гражданскому
времени 0Л соответствует 50 по звездному времени.
Согласно вышесказанному, можно написать •
S = S0 +T(l+fi)
или
S = S<>. + T + pT.	(9)
Для обратного	перехода от звездного	времени к	гражданско¬
му нужно, очевидно, интервал времени в звездных единицах
5—S0 перевести в средние единицы времени, т. е.
Т= (S—S0 )(l-v)
ил и
T = S S0 —v(S S0	).	(10)
Таким	образом,	формулы (9) и (10)	служат	для	перехода
от гражданского времени к звездному и обратно. Звездное вре¬
мя в среднюю местную полночь извлекается из «Астрономиче¬
ского ежегодника» с введением поправки за долготу; поправки
fiT и v(S—S0 ) получаются из соответствующих таблиц.
Остановимся теперь подробнее на введенных величинах /л иг.
Как отмечено выше, тропический год содержит 365,2422 средн.
сут. или 366,2422 звезд, сут. Отсюда следует
366,2422
I средн. cvt.=	звезд,	сут.
F	"	365,2422	‘v
или, согласно принятому обозначению,
1 средн. сут. = (1-1-,м) звезд, сут.

Таким образом, средние сутки длиннее звездных на и звезд
ных суток. Выражая эту разницу в звездных часах, минутах и
секундах, находим, что она равна: 0,06 571 звезд, час.; 3,9426
звезд, мин.; 236,556 звезд, сек. или Зш 565 ,556.
Таким же образом переходим от звездного времени к сред
нему
1 звезд. сут.= (1 — V) средн. сут.
Следовательно, звездные сутки короче средних на v средних су¬
ток или в единицах времени: 0,06553 сред, час.; 3,9318 средн.
мин.; 235,909 сред. сек. или 3/?:55у ,909.
В формулах (5), (6) и (7) время t выражено в средних сут¬
ках. Например а0 для некоторого момента t будет
^ О	t~	 «' 0 ) ,
ровно через средние сутки прямое восхождение среднего эква¬
ториального солнца а0 будет
а о =Т0 +^(^+1—tu )-
Откуда, вычитывая первое выражение из второго, получаем
Аа0=а0 ~ л =
и соответственно
AS0 = [x; AL = ,u.
Следовательно, прямое восхождение среднего экваториаль
ного солнца, долгота среднего эклиптического солнца и звезд
ное время в среднюю полночь за средние сутки изменяются на
величину \i.
Нетрудно показать, что введенная нами величина у,
1
у =	2429	’	дает	изменение прямого восхождения экваториаль
ного солнца за звездные сутки.
Действительно, по выражению (6)
ао Lq -f- [xt0,
где t0 = t—t о в средних сутках. Пусть тот же интервал, но в
звездных сутках, будет т*, очевидно r0 =	(1—г), и, подстав¬
ляя в предыдущее выражение, получаем
=	+^(1—у)т*,
но
,и(1—у) = У,
36

поэтому
ао	^ о
3 через звездные сутки имеем
а0 = Lо f v (Ч* -J- 1),
тогда, вычитая из этого предыдущее равенство, находим
ДаГ) = а0 — а0 == v,
что подтверждает сказанное.
Точно так же заключаем, что звездное время в среднюю пол¬
ночь в течение звездных суток изменяется на величину v.
Покажем теперь, что тропический год содержит 366,2422
звезд, сут.. т. е. на одни сутки больше, чем средних. В самом де¬
ле звездные сутки короче средних на поэтому их должно
быть в году больше на величину 365,2422 [г. После перемноже¬
ния получаем 365,2422 - 0,00273791 = 1 звезд, сут., то есть в тро¬
пическом году содержится 366,2422 звезд, сут.*
Еще остается показать, что в формулах (5), (6) и (7) ^ =
=	1	. Действительно, по выражению (6)
365.2422	F
fl 0 L о [Л (t t о ) ?
а через тропический год (т = 365,2422 сут.) получаем
«о =jL0 +/l(t + r—10).
Взяв разность, находим
ао — а0 = [хт.
Но прямое восхождение среднего солнца за год изменяется на
24 часа или на целые сутки, поэтому /лг — 1 сут.
Следовательно,
1 ^ 1
,fXТ 36572422
Таким образом, в обоих случаях [л имеет одно и то же зна¬
чение. Следует подчеркнуть, что [л—это разность между сред¬
ними и звездными сутками, выраженная в звездных единицах,
мен Же Разность' но выРаженная в средних единицах вре-
0™етим, что в рассуждениях об измерении времени допу¬
щены известные упрощения, например, принято, что точка ве-
37

сеннего равноденствия перемещается равномерно; что прямое
восхождение экваториального солнца равно долготе эклипти¬
ческого; что длина тропического года постоянна и т. п. Впо¬
следствии, в главе о прецессии и нутации, будет показано, что
эти величины изменяются, но крайне незначительно. Поэтому
приходится вводить весьма малые поправки, которые принци¬
пиального значение не имеют.
Укажем еще на некоторую особенность, которая имеет место при измере-
нии времени звездными и средними единицами.
Дело в том, что звездные и средние единицы, как известно, имеют раз
личную продолжительность; было показано, как от одной системы измере
ния времени переходить к другой, а между тем, и звездные, и средние часы
соответствуют углу в пятнадцать дуговых градусов; каждая минута в обеих
системах соответствует пятнадцати дуговым минутам, а секунда — пятнадца¬
ти дуговым секундам.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Действительно, имеются две различ¬
ные системы для измерения времени. Однако применяются они различным
образом. В первом случае ведется измерение интервалов времени раз¬
личной продолжительности. Интервалы можно измерять и в звездных едини¬
цах, и в средних. По указанным выше правилам легко перейти от звездных
единиц к средним и обратно. В этом случае переход от измерения в часовой
мере к градусной неприменим.
Например, два различных интервала времени даны в разных единицах,
пусть один содержит 5 час среднего времени, а другой — 3 час звездного.
Требуется найти разность этих интервалов. Естественно, что нельзя вычесть
один интервал из другого. Оба интервала необходимо привести к одной
системе. При выборе звездной системы единиц 5 час в среднем времени после
перевода дают 5/г 0т 49^,3. Теперь можно сравнить интервалы — в разности
получаем Л — 2Л 0т49‘9,3 в звездных единицах.
Разность интервалов можно выразить и в среднем времени.
Часто измерение интервалов времени называют измерением времени.
Во втором случае в некоторый момент определяется часовой угол
точки весеннего равноденствия (звездное время) либо часовой угол среднего
экваториального солнца (среднее время) 1. Как известно, часовые углы изме¬
ряются в градусной мере, но чаще в часовой, принимая 360° = 24 час
(т. е. 1 час=--\Ь°). По существу здесь вводится новая часовая мера, отличная
от звездных и от средних единиц времени.
Следовательно, звездное и среднее время выражается в одной системе ча¬
совых единиц. Термин «звездное» или «среднее» время указывает только на
то, что принимается во внимание либо точка весеннего равноденствия, либо
среднее экваториальное солнце, единицы же времени одни и те же. Поэтому
можно непосредственно вычитать из одного времени другое, при этом полу¬
чим разность часовых углов основных точек или прямое восхождение эква¬
ториального солнца (рис. 18).
Пример:
S = 10*20"'; Т ----- 8*15"';
5—Т=2* 5'" =ЗГ15'.
Таким образом, звездное время, среднее время, прямое восхождение све¬
тила, а также долготы мест на Земле выражаются в часовых единицах. Они
могут быть выражены в градусной мере. Интервалы же времени выражаются
либо в звездных единицах, либо в средних. Рис. 19 показывает, что разность
долгот АХ на земной поверхности между меридианами А и В равна разности
1 Этот процесс можно назвать определением времени.
38

вездных времен для этих меридианов и одновременно разности средних вре¬
мен для этих же меридианов. Это подтверждает сказанное.
Предположим теперь, что в некоторый момент среднее экваториальное
солнце находится в точке весеннего равноденствия, следовательно, звездное
время равно в этот момент среднему времени. Однако интервалы времени,
протекшие с момента кульминации соответствующих точек до их совпадения,
различны. Например, пусть звездное и среднее время в определенный момент
равно 6 час
Интервалы времени, протекшие с моментов верхней кульминации, будут:
для точки весеннего равноденствия 5 = 6 звездных часов, а для экваториально¬
го Т=6 средних часов. Приведем к одной системе, например звездных еди¬
ниц, интервал времени 7\ тогда получаем S = r(l-fku) =6Л0Ш595,14 в звездных
единицах.
Следовательно, интервал времени, протекший с момента кульминации эк¬
ваториального солнца, больше соответствующего интервала для точки весен¬
него равноденствия на 59^,14 звездных единиц времени.
§ 6. Приближенный расчет звездного времени по гражданскому
и обратно
Укажем теперь на приближенный способ перехода от гражданского, пояс¬
ного или декретного к звездному времени и обратно. В некоторых случаях
требуется произвести такой переход с точностью до нескольких минут (до
5 мин). Это бывает, например, в случае, если нужно знать, какие в данный
момент кульминируют звезды, при определении времени восхода и захода
светила и в других случаях.
Изменение звездного времени 5—S0 за t—/передних cvtok определится из
выражения
5 = Г = 6й.
Рис. 18.
Рис. 19.
5—50 — (Д (/—i о),
24
(И)
час.
365,2422
39

Выразим I и 10 в средних месяцах. Пусть t и t0 в средних месяцах будут
соответственно равны N и N0 , тогда
365.2422
t ■= 	• N\
12
365.2422
'«= 12  '"<>
После подстановки в (11) получаем
S-S0 =2(N-N0).	(12)
За начальный момент при счете времени удобно выбрать, как это будет
видно дальше, 30 ноября. Для этого числа звездное время в среднюю полночь
равно 4.5 час. Поэтому, подставляя в (12) 50=4,5; N0 =0, получаем
5 = 2М + 4,5,	(13)
т. е. звездное время в полночь для числа N, выраженного в средних меся¬
цах. Для любой даты в году легко найти соответствующее число N. При
выбранном	начале	счета	времени (30 ноября)	N	выражается	целым	числом,
равным порядковому	номеру	месяца в году, и	одним	десятичным	знаком, ко¬
торый определяется заданным числом.
Например, 12 мая Л7 = 5,4, а звездное время в полночь определяется из
(13), тогда 5 = 15,3 час или 15 час 18 мин.
Для приближенного перевода звездного времени в местное гражданское,
можно принять
7 м = 5—5 о ,
где Гм—местное гражданское время;
5 — местное звездное время;
S0 - звездное время в среднюю полночь.
Подставляя в выражение (13), получаем
Гм=5—2N—4,5.
Декретное время Тд выразится:
Тд =ТМ +/г+1— I,
где п - помер пояса, a X — долгота места.
Или
7* д —S—2N—3,5 “I- /z—Я,
отсюда
5 = ГД +2ЛГ + 3.5— (п—X).
В частных случаях последняя формула имеет такой вид:
для Москвы п—2; А=2,5; 5-Тд +2JV + 4,0;
для Киева п=2;	А+2,0;	5 = ГД +2М+3,5.
Пример; Найти приближенно звездное время в Киеве 15 июля 1955 г
в 10Л20т по декретному времени:
N 7,5; 5 = 10,3-г 15,0 + 3,5=4Л,8=4Л48//7.
Расчет но «Астрономическому ежегоднику» дает 4Л51т.
46

Используй приведенные формулы, легко решить ряд задач, встречающихся
в астрономической практике.
Рассмотрим несколько задач для Киева, где
S = T д + 2ЛГ+3,5.
1. Определить начало звездных суток по декретному времени для лю
бой даты.
Ответ: 7+ =20,5—2N.
2. Найти время верхней кульминации по декретному времени для любого
дня года светила с прямым восхождением а.
Ответ: Гд = (а—3,5)—2N.
3. Определить моменты элонгаций Полярной звезды.
Ответ: Восточная элонгация 7д =16,3—2N;
Западная » Гд = 4,2—2N.
Все расчеты ведутся в часах.
Пример: Найти Киевское звездное время, соответствую
щее !0Л 17гп 36+25 декретного времени 21 июля 1962 г. Долгота
Киева 2" 2"; 0+45 (2-й пояс).
Поясное	время	7+	= 947+36+25;
Гринвичское	время	7+Р	= 747+36+25;
Гражданское	время	Гм	= 94 9+36+70;
Звездное время в среднюю	гринвичскую полночь S0 =
^19^53^07^,16 (из «Астрономического ежегодника»).
1-й способ	2-й способ
7+р = 7h 17+36+25	50	= 19+53'”07+16
S0 =19 53 07,16	Д5	=—20,04
I* т = + 1 11,89	So	=195247,12
S,... = 3 11 55.30	Гы	=9 19 36,70
_  к =2 02	So	= 19 52 47,12
^Киевск 5 13 55, / о	Т'	 + 131 93
^Киевск — 5 13 55,75
Первый и второй способы дают один и тот же результат.
Приближенный расчет звездного времени при тех же данных
дает следующие результаты:
N = 7h ,7;
s = 10+3 + 15+4 + 3+5 = 5+2 = 542+
Как видно, приближенный способ дает результат с ошибкой,
не превосходящей двух минут времени.
41

§ 7. Юлианский счет дней
Юлианский счет дней представляет собою непрерывный счет
дней от гринвичского среднего полудня 1 января 4713 г. до н. э
Он употребляется для определения числа суток, прошедших
между двумя датами. В «Астрономических ежегодниках» при¬
ведены таблицы, по которым легко найти юлианский день
для заданной даты, например, требуется найти, сколько про¬
шло суток между 1. VII 1950 г. и 10. VIII 1962 г. По данным
«Астрономических ежегодников» за соответствующие годы на¬
ходим
Дата Юлианский день
(в Гринвичскую полночь •
I.VI1 1950 г. 2 433 463,5
10.VIII 1962 г. 2 437 886,5
Разность 4 423 суток.
Юлианский счет дней предложил ученый Скалигер из г. Лей¬
дена в XVI в. Он исходил при этом из трех периодов: 28, 19
и 15 лет. Первый из них представляет период, в который дни
недели приходятся на те же числа каждого месяца; второй —
дает повторяемость фаз Луны на те же числа; наконец, тре¬
тий — применялся в римской налоговой системе. Произведение
этих периодов
28 ♦ 19 • 15 = 7980 лет
дает большой период, так называемый юлианский период, по
истечении которого все три цикла будут повторяться снова в
том же порядке. Скалигер нашел, что ближайшим годом, когда
начало всех периодов приходилось на 1 января, и был 4713 г.
до н. э. Этот год и был принят за начало счета юлианских дней.
Глава III
СУТОЧНОЕ ВРАЩЕНИЕ НЕБЕСНОЙ СФЕРЫ
т
§ 1. Общие положения
Как указывалось выше, в сферической астрономии для удоб¬
ства решения различных задач принимают, что наблюдатель
остается неподвижным в центре небесной сферы, а сама сфера
равномерно вращается вокруг оси мира в направлении с во¬
стока на запад. Принимается, что все светила находятся на не¬
бесной сфере и вращаются вместе с ней. Это относится также
к ряду точек — точки весеннего и осеннего равноденствий, по¬
люсы эклиптики и другие — и к линиям: экватору, эклиптике
и др. Некоторые точки и линии, связанные с положением наблю¬
дателя на земной поверхности, хотя и относятся к небесной сфе-
42

пе но участия в ее вращении не принимают. Это — зенит и на-
цир точки востока и запада, юга и севера, а также меридиан
места наблюдения и горизош.
Несколько слов о том, как изображать небесную сферу на
бумаге. Лучше всего, конечно, она представляется небесным
глобусом, но при решении различных вопросов ее изображают
всю или частично на бумаге. Чаще всего ее рисуют при рассмат¬
ривании с точек запада или востока (рис. 20), в некоторых слу-
Рис. 20.
чаях с других точек, например, с зенита или полюса. Хотя
часто небесная сфера изображается с восточной стороны (с точ¬
ки востока), однако удобнее ее вычерчивать с западной сторо¬
ны, так как в эту сторону отсчитываются часовые углы, азимут
и др.
Кульминация светил. При вращении небесной сферы каждое
светило дважды проходит через меридиан, один раз в южной
части меридиана — это так называемая верхняя кульминация
светила, в противоположной части меридиана происходит ниж¬
няя кульминация. Во время верхней кульминации светило до¬
стигает наибольшей высоты над горизонтом1, при нижней —
наименьшей.
Определим зенитное расстояние светила во время верхней и
нижней кульминаций. Все наши рассуждения относятся к поло¬
жению наблюдателя в северном полуша-рии Земли. Нетрудно
сделать соответствующие выводы и для положения наблюда¬
теля в южном полушарии.
Рассмотрим следующие три положения светила во время
кульминации. Два положения при верхней кульминации
(рис. 21), причем первое Si происходит при положении светила
к югу от зенита, а второе S2—к северу. Третье положение све¬
тила S3 при нижней кульминации.
Светила — Солнце, Луна и планеты, имеющие собственное дви¬
жение по сфере, достигают наибольшей высоты вблизи меридиана, но не во
время верхней кульминации.

Нетрудно показать, что дуга EZ = (p (где ср —широта места),
очевидно, £5i = d, т. е. склонение светила; ZS\ = z—зенитное рас
стояние. Из рисунка непосредственно вытекает: для светила
S.
7 = (р—д:
для светила So
Z =	—ф;
для светила S3 склонение его 6=EiS3 и зенитное расстояние г —
= ZS3, очевидно, можно написать
E]S^~\-ZS^, -г ZE = 180°.
откуда
г- 180°—ср—6.
§ 2. Восход и заход светил
Наблюдая за звездным небом в ясную ночь, мы замечаем,
что многие звезды, подобно Солнцу и Луне, восходят над гори¬
зонтом в восточной части и затем заходят в западной. Это так
называемые восходящие и заходящие звезды. Но нетрудно за-
Рис. 21.	Рис.	22.
метить, что часть звезд, находящихся в северной части небес
ного свода, постоянно остается над горизонтом, совершая круго¬
вое движение вокруг полюса мира. Это иезаходящие звезды.
Существуют еще невосходящие звезды, которые для данного
места на земле всегда остаются под горизонтом.
Зная склонение звезды, всегда можно установить, к какой
из трех вышеуказанных категорий она принадлежит. На рис. 22
44

шипя HHi изображает горизонт данного места, ЕЕ{—небесный
экватор, HiK и ^—суточные параллели, касающиеся точек
севера и юга на горизонте. Очевидно, что все звезды, для кото¬
рых суточные параллели лежат севернее Н\К, будут незаходя¬
щими, а звезды, суточные параллели которых расположены
южнее HL, будут невосходящие. Все же звезды между указан¬
ными параллелями Н\К и HL (эти параллели иногда называ¬
ют «критическими») являются восходящими и заходящими
звездами.
Нетрудно найти, что склонение параллели Н\К будет
б = 90°—ср.
Следовательно, для всех незаходящих светил должно удов¬
летворяться условие
d>90°- (р.
Из этого же рисунка находим, что для невосходящих светил
б<— (90°—ср).
Отсюда вытекает, что восходящие и заходящие звезды име¬
ют склонения б. лежащие в следующих пределах:
— (90°—ср) <б<90°—ср.
Пример: К какой категории звезд принадлежит Капелла
{а Возничего) для Киева {ср = Ъ0°27')?
Склонение Капеллы <5 = -Ь45°58/.
Находим для Киева 90°—<р = 39°33', т. е. это звезда для Киева
является незаходящей.
Однако для Ашхабада (ср = 37°56') Капелла принадлежит к
восходящим и заходящим звездам, так как 45°58/<52°4/.
§ 3. Определение моментов восхода и захода светила
и азимутов соответствующих точек
Моментом восхода или захода светила, не имеющего замет¬
ного диска, называется момент появления светила над горизон¬
том или момент исчезновения за ним. Для светил, имеющих
диск, это будет моментом касания верхнего края диска с мате¬
матическим горизонтом.
Рассмотрим это явление, сначала пренебрегая рефракцией,
радиусом диска светила и параллаксом.
Применяя к параллактическому треугольнику PSZ (рис. 23)
формулу косинусов, находим
0 =sin б sin ср-bcos б cos ср cos t0 ,
45

откуда
cos 10 = —tg 6 tg cp.
(i)
По склонению светила и широте места определяем часовые
углы t0 и —tо светила в моменты захода и восхода. Зная пря¬
мое восхождение светила а, находим звездное время восхода
и захода
*^ВОСХ а
С  п  [_ /
*^зах	:	Lom
Отсюда вытекает, что звезды по звездному времени восхо¬
дят	и заходят	в	одно	и	то же время.
Применяя к этому же треугольнику формулу пяти элементов
и заменяя cos t0 по (1), находим выражение для азимутов то¬
чек	восхода	и	захода	светила
л	МИ О	/ЛЧ
cos Л0 = —	  (2)
COS Ф
По косинусу получаем два значения азимута, отрицательное
для точки восхода и положительное для точки захода.
Рассмотрим	теперь	общий случай, учитывая рефракцию,
параллакс светила и наличие диска.
Как известно из общего курса астрономии, рефракция при¬
поднимает светило, уменьшая его зенитное расстояние. У гори¬
зонта влияние рефракции наиболь¬
шее, здесь светило приподнимается
в среднем на 34х. Вследствие реф¬
ракции светило раньше появляется
при восходе над горизонтом и позже
заходит.
Координаты светила а и д в
«Астрономических ежегодниках»
даются для центра Земли (геоцент¬
рические), вычисленные по ним зе¬
нитные расстояния светила также
будут геоцентрическими, между тем
Рис. 23.	Для	расчета	времени	восхода	и	захо¬
да светила нужно знать топоцентри-
11еское зенитное расстояние в данной точке на поверхности Земли.
Для перехода от геоцентрического зенитного расстояния к топо-
центрическому нужно ввести параллакс светила 1. На рис. 24
г—'Геоцентрическое зенитное расстояние, a zf—топоцентрическое
в точке М. О—центр Земли. Обозначая через R видимый ра¬
диус светила, получаем
z' = z + ,t--/? о,
1 Подробнее о параллаксе смотри дальше.
46

где я— параллакс светила в горизонте, о--рефракция в гори¬
зонте.
Цля светила, находящегося в горизонте точки т, очевидно.
г7 = 90°, т. е. z + л—R—р = 90с. Следовательно, в момент касания
диском светила горизонта, его геоцентрическое зенитное рас¬
стояние будет равно
2 = 90°— (я—R —о)
или. обозначая л- R-'* = d. получаем
2=90°—d.
Не трудно приближенно определить величину d для разных
светил:
Светило
71
j R
1
!
d
d
—
i
\ 15
Звезды
| 1
0
!
0
1
34'
—34'
! —2W,3
Солнце
! 8",8
! 16'
! 34'
; -50'
-3,Mf3
Луна
53'—61'
16
34'
3' 1Г
I 0"',2—0™,
47

Рассмотрим теперь рис. 25, здесь АВ суточная параллель
светила, рядом пунктиром указано видимое суточное движение
светила. Точка Si—это точка горизонта, в которой зашел бы
центр светила при отсутствии рефракции и параллакса (при
d = 0). Точка S2—представляет положение центра светила в мо¬
мент видимого захода края диска в точке S3.
Очевидно, угол при полюсе ZPS2 = t будет часовым углом
центра светила в момент видимого захода края его диска.
Применяя формулу косинусов к треугольнику ZPS2, полу¬
чаем
cos t— sin d sec <p sec 6—tg (p tg d\
но так как по предыдущему cos t0 =—tgcptgp', то можно напи
сать
cos £ = sin d sec cp sec 5-bcos / 0.	(3)
Выражение (3) дает возможность вычислить точное значе¬
ние t.
Однако момент восхода и захода светила обыкновенно вы¬
числяется с точностью до 0т,1 или даже до \ту а азимуты до
Г1, поэтому (3) можно преобразовать следующим образом:
п . t — i{	t	-f-	.	,
zsin	sin		 =sin d sec® sec 6\
2 2 Y
(t—tq )sinl' sin 10 =—d sin Г sec q> sec 6
или
d sec ? sec Ъ
15	sin	t0
(4)
Здесь t и t() выражено в минутах времени, a d в минутах
дуги.
Второй член в правой части At = — d •	t--1	5	можно	рас-
^	г	15	sin
сматривать как поправку к t0
t=t0 +At.
Определим теперь азимуты точек восхода и захода светила
с учетом рефракции, параллакса и радиуса диска светила.
1 С большей точностью вычислить часовые углы точек восхода и захода
светила, а также азимуты этих точек не удается вследствие изменения реф¬
ракции у горизонта. Она принимается в среднем равной 34', однако в зависи¬
мости от состояния атмосферы (температура, давление и др.) рефракция мо¬
жет принимать значения от 30 до 40'.
48

И'* того же треугольника ZPS2 получаем
. sin d sin с - sin о
cos Л = 	:	 .	(5)
cos cp cos d
Примем здесь cosd=l. Это можно сделать, так как при наи¬
большем значении d = 50' для Солнца cos d = 0y99989, тогда по¬
лучаем
л	м	sin	6
cos A =sin d tg ф—	 .
cos ©
Как мы имели раньше,
,	sin	6
cos А ()	—
COS ©
поэтому
cos А = cos А0 H-sin^tgr/9
или с достаточной точностью принимаем
о *	^	^ “t” -^о	•	1	L
— 2sin   sin — =sm d tg ал
о '	о
(А- /10 )sinl/ • sin Au =—dsinTtgr/),
откуда
A-A0=-d~m-
sin Au
или
tg r
A = А» - d
sin A,
Второй член в правой части АА = - d —^§-1- представляет
sin Д()
поправку к А0
Л-Л0 +АА.
Примечание 1. Если вычислено Л/ в минутах времени, то АЛ проще
выразить через эту величину.
Представим 4/U_ d
sin А{)
в виде
sec a sec
А А = — d sin ©
S п /()
1- »7
19

Здесь использовано соотношение (см. стр. 20)
sinzsinA =cos6sin/.
В пашем случае 2 = 90°—а\ sin z=cosa^l (как было показано).
Раньше было получено
<i sec ф sec 5
A tm =
15 sin
Поэтому можно написать
А А' = 15sin ср • A tm,
где А А выражено в минутах дуги, а At — в минутах времени.
Примечание 2. В тех случаях, когда cos А близок к единице, углы
определяются по формуле (5) недостаточно точно, тогда из того же треуголь¬
ника PZS получаем
sin t cos 5
sin A =
cos d
и соответственно для A0
sin Л о = sin t0 cos d.
Примечание 3. Если близок к единице cos t0» то часовой угол t0 мож
но определить по формуле
tn	Г cos нр — $)
tg— = т л/ 	 —
2	у	cos (ср -f S)
которая получается следующим путем:
1 — cos t0 = 2 sin2 — ;
2
to
1 + cos t0 = 2cos2 .
Подставляя сюда cos t0 =—tg^tgrj', получаем
„ t	cos	(ф—5)
2sin2 — = 1 -f- tg cp tg & =	:	;
2	cos	cp cos 5
о *	cos(cp-j-S)
2cos2 — = 1 — tg cp tg 5 =
2* д t 6	«,	>
COS cp COS 5
иткуда
t » t ^ cos(y — 5)
® 2 cos (f + S)
I! Т. Д.
Знак «минус» соответствует восходу светила, а знак «плюс» — заходу.

При вычислении моментов восхода и захода Солнца или
Пуны а также азимутов в соответствующие формулы нужно
подставлять координаты светила для моментов восхода и за¬
хода. Однако эти моменты неизвестны — их нужно определить.
Поэтому задача решается последовательными приближениями—
сначала вычисления ведутся с координатами, взятыми из
«Астрономического ежегодника» для гринвичской полуночи.
Затем для полученных приближенных моментов путем интер¬
поляции находятся координаты светила а и д, с которыми во
втором приближении определяют моменты восхода и захода.
При вычислении времени восхода и захода Солнца опреде¬
ляется часовой угол / центра истинного Солнца, т. е. истинное
время восхода и захода Солнца. Для получения среднего времени
нужно с соответствующим знаком прибавить уравнение времени.
П р и м е ч а н и е 1. В «Астрономическом ежегоднике» приведены удоб¬
ные таблицы, по которым легко определяется время восхода и захода Солнца
и Луны.
Пр имечание 2. Формула cos 10 =—tg <р tg б дает возможность найти
условия восхода и захода светила.
Очевидно.
|cos/0|< 1 или itg <р tg 6 |< 1,
откуда
I l.g<j|<|ctg<p|, Т. е. | tg <51< jtg(90" —<Р)! •
Это неравенство дает ранее выведенное условие, которое должно выполнять¬
ся, если светило является восходящим и заходящим
Ь < 90е — ср.
Примечание 3. Неучет поправки At дает ошибку в определении мо¬
мента восхода и захода светила для средних широт, не превосходящую.5 мин.
Пример. Найти по звездному времени моменты восхода и
захода звезды a Bootis (а= 14л 13т ,8; с?= + 19°23/) в Киеве
(ф = 50°27/).
Пользуясь таблицами натуральных значений тригонометри¬
ческих функций и арифмометром, находим
tg 1,2109;
tg 0,3518;	}
cos tQ =—0,4260;
t0 =±115°13/;
*овосх = - 7*40* 9;
4*
*овм = + 7*40*9;
51

sec? 1,5705	4"', 2
sec 5 =■• 1,0601	А/эах	=	J-4,2
sin/„=0,9047	,	,а4Г,и ,
^восх	'	*.)	,i
d
~~ 15
d =	-2"'	3	+	7	45	•*
S„ocx 6Л28"',7;
S:iax = 21a58"‘,9.
Пример: Вычислить азимуты точек восхода и захода для
Киева.
Находим
sin (5 = 0,3319;
sec (р = 1,5703;
cos 4(, = —0,5212;
,101,(к:>. = —12Г25':
,4оаах = +121°25';
—1П (тех =—49';
-О sax = 4-49'.
Откуда .4 „,нх = —122°14' или 237°46'; .43.1Х = + 122°14/,-
Г1 р п м е ч а н п с. Ид приведенных примеров гак же, как и при теорети¬
ческом рассмотрении, видно, что At и АА отрицательные для восхода и по¬
ложительные для аахода светила.
§ 4. Скорости изменения горизонтальных координат
Горизонтальные координаты светила г и А непрерывно из¬
меняются, причем величина изменения в единицу времени зави¬
сит от положения светила. , .
Найдем выражение для изменения зенитного расстояния
Продифференцируем соотношение, дающее зависимость зенит¬
ного расстояния от экваториальных координат.
cos z^sin (р'sin ^4-cos cp cbs d cos /,
52

где Z
z я в
ляется функцией от /,
sin z
dz
dt
=- — cos ф cos о sin t.
Откуда
no
Поэтому
dz
dt
cos cp cos о si n /
sin г
cos () sin / = sin 2: sin A.
(6)
dz	cos	s	sin	z	sin	A
  - —	1	 ==	rct<z
dt
cos ф sin A .
С точностью до малых первого порядка можно дифференци¬
алы заменить конечными разностями. Тогда получаем
_Л 2
Л t
: cos (р sin /1.
(7)
Если за единицу времени принять минуту, а изменение зе¬
нитного расстояния zi2 выражать в дуговых минутах, тогда на¬
ходим (стр. 20)
Az'= 15cos tp sin А • Atm .
(8)
Выведем теперь выражение изменения азимута в единицу
времени. Для этого продифференцируем полученное ранее соот¬
ношение
sin z cos А — cos (р sin d'-Ь sin ср cos cos t\
a dz .	A	dA	.	p	.
t os ^ cos A	—sin 2 sin л	•=—sin (p cos d sin 1.
dt	dt	*
Откуда
dA	^ sin cp cos 0 sin	/	,	cos	г	cos	A	dz
dt	sin	z	sin	A	'	sin	г	sin	A	dt
Подставляя согласно (6) и (7), получаем
dA	1	л
• = SI n (p + COS (p ctg 2 cos A .
dt
Переходя к конечным разностям, согласно вышесказанному
получаем
АА'= 15(sin tpcos (р ctg2 cos A)Atm.

П р и м с ч а н и е. В частном случае, когда светило находится в меридиа¬
не, его азимут Л = 0°, следовательно, Az = 0 по (8), т. е. зенитное расстоя¬
ние у него не изменяется. Изменение же азимута по (9) в меридиане при
прочих равных условиях наибольшее, так как соьЛ = 1, зенитное же расстоя¬
ние в меридиане минимальное, поэтому и ctg г в меридиане для данного све¬
тила имеет максимальное значение.
В первом вертикале А = ±90°, следовательно, при этом
Az= 15 cos ф • Atm;
АА'= 15 sin ср • А1п\
Следовательно, в первом вертикале изменение зенитного расстояния
наибольшее и при этом одинаковое для всех светил. Р1змснение азимута и
первом вертикале тоже одинаковое для всех светил.
Пример: Определить изменение зенитного расстояния и
азимута светила в одну минуту времени при прохождении им
первого вертикала в Киеве (<р=-- 50°27')
cos (р 0,6368; А г 9',6;
sin ср 0,7711; АА 1 Г,6.
§ 5. Прохождение светил через первый вертикал
В практической астрономии нередко приходится вычислять
зенитное расстояние светила при прохождении им первого верти
кала, а также время, когда это явление происходит.
Решить эту задачу можно различно, например, воспользо¬
ваться формулами перехода от экваториальных координат к го¬
ризонтальным, положив при этом 71=90° (рис. 26).
Но проще воспользоваться правилом Непера-Модюи в при¬
ложении к прямоугольному параллактическому треугольнику
PZS.
На рис. 27 этот треугольник дан отдельно.
54

Прилагая правило Непера-Модюи к элементам треугольника
t 90“—и 90°—б, находим
cos t — ■lg 6 .	(10)
tg ?
Прилагая затем к элементам
90°—д; 90°—<р; г,
получаем
sin а	.	.
cosz =	 .	(11)
sin ср
Формула (10) дает два значения часового угла
+1 и —t.
Отрицательное значение соответствует прохождению светила
в восточной части первого вертикала, а положительное — в за¬
падной.
Следовательно, в первом случае звездное время будет равно
^ воет ^ С
а во втором
5зап =a + tf
где а—прямое восхождение светила.
Примечание 1. Анализ формул (10) и (11) дает возможность найти
условия, которые должны выполняться для того, чтобы светило прошло через
первый вертикал.
Поскольку косинус угла всегда по абсолютной величине меньше или равен
единице, то на основании (10) можно написать
tgb
< 1
откуда
I tg?
Ugd|< | tg<cj,
|S I < ?•
Следовательно, это неравенство является условием того, чтобы светило с
склонением б прошло через первый вертикал.
сЭто же. соотношение может быть получено и по (11).
по /рРимечаиие 2. Светило, находящееся на экваторе (для него 6 = 0),
(при з^х^е^Секает пеРвый вертикал в точках востока (при восходе) и запада

Па угон же формулы видно, что светила с отрицательным склонением
проходят черев первый вертикал под горизонтом (z>90°).
П р п м е ч а и и с 3. Из (10) следует, что одни и те же звезды пересекают
первый вертикал по звездному времени в одно п то же время.
Пример: Определить по звездному времени моменты про-
хождения звездой a Orionis (Бетельгейзе) через первый верти¬
кал в Киеве, а также зенитные расстояния.
Координаты a Orionis
а=5л53"М;
б= + 7°24\
Широта Киева <р = 50°27';
tg 0 = 0,1299;
t o* ср — ! ,2109;
cos ^=0,1073;
/=±83°50'=±5/'35'" ,3.
Звездное время S = a + t.
Прохождение через восточную часть первого вертикала
S = a—i = 0" 17'" ,8.
Пр охождение через западную часть
S = а + /■ = 1128'" ,4.
3 е 11 и г н о е р а с с т о я н и е
sin с) = 0,i288;
sin r/> =0,771 1;
cos 2 = 0,1670;
2 = 80°23'.
§ 6. Наибольшая элонгация светил
Элонгация, или дигрессия -термин, обозначающий уда¬
ление светила от меридиана.
Светила, кульминирующие к югу от зенита, изменяют своп
азимут при вращении небесной сферы в пределах от 0 до 360 .
Светила, кульминирующие к северу от зенита, изменяют азимут
в определенных пределах. В некоторый момент они достигают
наибольшего отклонения от северной части меридиана к западу
или востоку —- это и есть наибольшая элонгация светила.
1 От французских слов elongation и digression удаление.
56

На рис. 28 представления небесная сфера со стороны зенита'
круг * изображенный на рисунке,-- горизонт, NS — меридиан, я
р полюс мира. Круг SKS' — суточная параллель звезды,
кульминирую шеи между зенитом н полюсом. Очевидно, в точ¬
ках 5 и S'" звезда будет находиться в наибольшей элонгации
'первом случае в западной элонгации, во втором случае—в во¬
сточной . Н аибольшая элои гация из мер яется р яви ы м и угл а м 11
SZP и S'ZP. Обозначим их через а, тогда азимут светила в за¬
падной элонгации равен А =- 180°—н, а в восточной /1' - 180е - а
Рис. 28.	Рис. 29.
Следовательно, в этих пределах —от .1 до А' будет заклю¬
чаться азимут светила в течение суток.
В практической астрономии в некоторых случаях необходимо
знать— момент, когда звезда находится в наибольшей элонга¬
ции, зенитное расстояние и азимут ее в это время.
Из параллактического треугольника PZS (рис. 29), приме
няя правило Не пер а Мод юн, не трудно найти выражения для
этих величин
4.	y	sin-	.	cos о	/10
cos t	---- -	-	;	cos -с	----- -	;	sin а		 (	12
1ц	sin	Ь	cos z
Отсюда находим	звездное	время	в моменты	западной и	вос¬
точной элонгаций
S;KJI! Ct I , S1UH T CL t,
1де «----прямое восхождение звезды, а также соответствующие
азимуты

Примечание 1. Рассматривая любую из формул (12), можно найти
условия, при выполнении которых звезда может быть в наибольшей элонгации.
tg'
В самом деле, например, | cos t\
igb\
<1, что приводит к условию
HI
П р и м е ч а н и е 2. Нетрудно заключить, что светило, проходящее через
первый вертикал, не может достичь наибольшей элонгации и наоборот. Отсю¬
да формулы для определения t и г при прохождении первого вертикала
обратны выведенным формулам для наибольшей элонгации.
§ 7. Сумерки и их продолжительность
Солнечный свет, рассеянный верхними слоями атмосферы
после захода Солнца или перед его восходом, производит явле¬
ние сумерек (вечером) или зари (утром). Таким образом, с по¬
гружением Солнца под горизонт не сразу наступает ночь, а не¬
которое время продолжаются сумерки.
В дальнейшем речь будет идти о сумерках, все же расчеты
в отношении сумерек можно применить и к утренней заре.
Различают два вида сумерек — гражданские и астрономиче¬
ские. Началом каждого вида сумерек является момент захода
Солнца, конец же устанавливается условно. Принимается, что
гражданские сумерки заканчивают¬
ся в то время, когда настолько по¬
темнеет, что под открытым небом
становится трудно читать печатный
текст, в помещениях в это время при¬
ходится прибегать к искусственному
освещению. Принимается, что к кон¬
цу гражданских сумерек Солнце
опускается под горизонт на 6°,5.
Астрономические сумерки окан¬
чиваются с исчезновением освеще¬
ния неба, небесный свод делается
повсюду одинаково темным. В это
время Солнце опускается под гори¬
зонт на 18°.
Определим продолжительность сумерек как гражданских, так
и астрономических. Очевидно, продолжительность в каждом слу¬
чае будет зависеть от глубины погружения Солнца под гори¬
зонт. Положим в общем случае, что глубина погружения будет
h, таким образом, в случае:
гражданских сумерек h = 6°,5;
астрономических сумерек Л=18°.
Рассмотрим рис. 30. В точке Si заходит Солнце (здесь не
учитывается рефракция и др., так как большой точности при
Рис. 30.
58

on
делении продолжительности сумерек получить нельзя). В
чке S2 находится Солнце в момент окончания сумерек. Оче¬
видно t0—часовой угол Солнца в момент его захода, т—продол¬
жительность сумерек.
Применяя формулу косинусов к параллактическому треу¬
гольнику, получаем
—sin /г = sin cp sin d'-f-cos cos 6 cus(t0 +т),
откуда
, х	sin/г + sin о sin о	/10	,
COS(fo 'f ') =	LT	•	U'H
COS cp cos 0
Часовой угол ta определяется из cos/0 *=—tgiptgd, а затем
и продолжительность сумерек т.
Вышеприведенную формулу (13) можно привести к более
удобному виду для вычислений
/, ч	sin	(г	,	,	*
cos (t0 -f- t) = — 	 tg 9 tg 0
COS cp COS 0
или
(j.	.	\	sin	h	,	,	. 1 . v
cos itQ + ^) — —  		—h cos t0.	(14
COS cp cos 0
Сюда входит cos t0 , который должен быть вычислен раньше.
Примечание 1. Можно установить периоды в году, когда сумерки
•будут наиболее короткими или наиболее длинными.
Несколько преобразуем формулу (14), для этого перенесем cos t0 в левую
часть, после чего получаем
• т	sinfl	/1С\
sin — 	7	;— .	(10)
2
2cos cp cos
6 sin [t, + у)
Для качественного рассмотрения вопроса о продолжительности сумерек.
X / х	\
•‘•торосим в знаменателе при синусе	значительно меньше /0|-
Тогда, имея в виду, что cos б sin t0 —sin z sin40, получаем
x	sin Л
sin —- =  	.	(lb)
2 2cos cp sin z sin A0
Поскольку для данного места (р, h, z—постоянные, то продолжитель-
сть сумерек по (16) зависит только от азимута во время захода Солнца,
д _опо1еВИДН0’ сУмеРки будут наиболее короткими, если sin 40=±1, т. е.
при заходе и 4 = 270° при восходе.
т*	sin	5
ак как cos40 = — 	 , то при этом склонение Солнца бо=0°. Сле-
COS ср
дова^льно, наиболее короткие сумерки бывают около весеннего и осеннего
59

равноденствий. т. г. п viapic и сентябре. Наиболее длинные — когда sin Л»
достигает наименьшего значения; это происходит во время летнего и зимнего
солнцестояния, т. е. в нюне и декабре.
Примечание 2. Из той же формула! (16) видно, что при прочих рав¬
ных условиях продолжительность сумерек зависит от широты места. С увели¬
чением широты cos <р и sin Л <> уменьшаются, а следовательно продолжитель¬
ность сумерек увеличивается. Таким образом, в более северных районах
страны сумерки продолжительнее, чем в то же время в более южных.
Примечание 3. Очевидно, если Солнце в полночь, т. с. во время
нижней кульминации, опустится под горизонт на величину, меньшую 6°30', то
тогда сумерки не закончатся, они сольются с утренней зарей. В этом случае
имеют место так называемые белые ночи.
Установим широту, с которой можно наблюдать белые ночи.
Зенитное расстояние светила во время нижней кульминации, как известно,
равно г--180°—(р—6, следовательно, если наблюдается белая ночь, должно
выполняться неравенство г()< 96°,5 или 180	(р—-д0<	96°,5 при д 0 - -г- 23°,о
Следует ср. > 60°.
То есть с широты 60° могут во время летнего солнцестояния наблюдаться
белые ночи.
Пример:	Найти	продолжительность	сумерек	в	Киеве
20 июня 1961 г.
Находим
р = 50°27':
о0= + 28°26';
А = 6°30';
tg#>== 1,2109;
tg 8 = 0,4334;
cos cp cos (Чп — 0,5843;
sin h = 0,1132;
sinA - =0,1937;
cos =0,6368;
cos 50 =0,9175;
cos tQ ■----=—0,5248;
/0 = ±121 °39'
COS ~ COS 0
cos (/0 — t) = - 0,/ 185;
t() + r = ± 135°56/;
t0= ± 121°39'= ■:8/,6"\6,
т = 14°17' = 57M.

Ч Л С Т Ь И Т (.) Р л я
РЕДУКЦИИ НАБЛЮДЕНИЙ
Полученные непосредственно из наблюдения положения све¬
тил окалываются искаженными вследствие различных причин.
К таковым относится наличие земной атмосферы; лучи света,
идущие от светила, преломляются в атмосфере, поэтому наблю¬
датель видит светило не в том месте, в котором оно находилось
бы, если бы не существовало атмосферы. Причем это смещение
светила на небесной сфере различно при различных зенитных
расстояниях: в горизонте оно максимальное —■-достигает свыше
полуградуса, в зените же равно нулю. Это явление поспт пазва
I \ и е астр о I ю м и ч ее кон р еф р а к ц и и.
Затем кажущееся наблюдателю смещение светила вызывает¬
ся тем, что он ведет наблюдение с движущейся земли. Возни
кает аберрация света, изменяющая положение светила в зави¬
симости от скорости и направления движения наблюдателя.
Наконец, наблюдения ведутся из разных точек на поверх¬
ности Земли и при различных положениях ее по отношению к
Солнцу. В результате получаются несравнимые между собой
определения вследствие гак называемого параллактического
смещения светила.
Из сказанного видно, что наблюдательные данные нужно,
путем введения редукций, приводить к некоторым стандарт¬
ным условиям.
Учитывая рефракцию, мы как бы устраняем атмосферу
находим положение светила для безвоздушного пространства.
При введении редукции за аберрацию мы как бы останавли¬
ваем Землю в ее вращательном и орбитальном движении по
отношению к Солнцу. В результате получаются положения све¬
тила относительно неподвижной Земли, совершенно независи¬
мые от направления движения наблюдателя.
Редукция за параллакс светила дает возможность привести
наблюдения, выполненные в различных точках поверхности
• емлн к одной точке, обыкновенно к центру Земли. Это в том
случае, если наблюдаются сравнительно близкие тела ----- члены
-олнечной системы, в случае же наблюдения звезд при различ¬
ном положении Земли по отношению к Солнцу наблюдения при¬
водятся к Солнцу.
ы

Таким образом, введение указанных редукций дает возмож¬
ность получить координаты светила независимо от тех условий,
при которых велись наблюдения. Однако полученные в конечном
счете эклиптические или экваториальные координаты относятся
соответственно к положению эклиптики или экватора в момент
наблюдения.
Между тем известно, что вследствие прецессии и нутации
положение этих основных кругов на небесной сфере непрерывно
изменяется. Поэтому изменяются со временем и координаты
звезд, причем они изменяются не только вследствие прецессии
и нутации, но и из-за собственного движения звезд в пространст¬
ве. Из этого следует, что необходимо вводить редукции за пре¬
цессию, нутацию и собственное движение звезды для приведения
координат ее к определенному положению эклиптики или эква¬
тора для определенной эпохи.
Этим важнейшим вопросам сферической астрономии и по¬
священа настоящая часть.
Глава IV
РЕФРАКЦИЯ
Астрономической рефракцией или просто рефракцией назы¬
вается явление преломления лучей в земной атмосфере, идущих
от светила. Но кроме того, этим же термином обозначают угол,
на который изменяется направление луча, идущего от светила
после прохождения им земной атмосферы.
Рефракция была известна уже в древности. О ней упоми¬
нает Птолемей в своем трактате «Оптика». Тихо Браге вводил
поправки за рефракцию на основании своих наблюдений чисто
эмпирически. Кеплер впервые составил таблицы рефракции до
z<70°. Позднее, в XVII и XVIII вв. было установлено, что реф¬
ракция зависит от температуры и давления воздуха. Впервые
теория рефракции была развита Ньютоном и Брадлеем. Затем
ею занимались Эйлер, Лаплас и Бессель. Широкое примене¬
ние в первой половине XIX в. имели таблицы рефракции Бес¬
селя, основанные на его теории. Они были заменены затем
Пулковскими таблицами, составленными на основании теории
астронома Гюльдена. Эти таблицы являются наиболее совер¬
шенными, в настоящее время применяются почти во всех обсер¬
ваториях мира.
§ 1. Общие положения
Из физики известно, что луч света, проходя из одной опти¬
ческой среды в другую, преломляется на границе, разделяющей
эти среды. Оптическая среда характеризуется так называемым.
62

ателем преломления п. Абсолютным показателем прелом¬
ления называется отношение синуса угла падения луча света,
идущего из пустоты, к синусу угла преломления при вхождении
в оптическую среду (рис. 31):
При переходе луча из первой оптической среды с абсолют¬
ным показателем пх во вторую среду с показателем п2 отноше¬
ние синусов равно обратному отношению абсолютных показа¬
телей преломления этих сред (рис. 32), т. е.
sin ix	пг
sin г.,
или
п\ sin i\ = ri2 sin r%.	(1)
Здесь и в дальнейшем для обозначения углов падения луча
введены буквы I, для углов преломления буквы г, индексы при
этих буквах обозначают номер слоя.
/
Гслтуческая
среда
оптическая!
с&ед о
Рис. 32.
В теории рефракции принимают, что атмосфера состоит из
концентрических слоев воздуха, причем каждый из них имеет
абсолютный показатель преломления пь . Таким образом, луч
света, пронизывая атмосферу, претерпевает преломление на гра¬
нице каждого слоя.
Физические исследования показывают, что показатель пре¬
ломления воздуха является функцией его плотности.
Это хорошо представляется следующей зависимостью:
п—\ = с-д,	(2)
где с постоянное число, а 6—плотность воздуха, определяемая
по законам Бойля-Мариотта и Гей-Люссака
в 1
=	~76сГ	-	-Г" -	i3>
1 +	273	‘	f
63

Здесь 4 нормальная плотность воздуха при давлении 760 мм
и температуре / = 0°; В—давление воздуха, выраженное в мил-
1
лиметрах; I—температура воздуха; =0,003663— является
коэффициентом кубического расширения воздуха.
Известно, что плотность воздуха с высотой уменьшается,
следовательно, па основании (2) нужно заключить, что показа¬
тель преломления п также с высотой уменьшается. Поэтому,
допуская, что атмосфера состоит из концентрических слоев воз¬
духа, мы находим, что показатели преломления этих слоев с
высотой все время уменьшаются. Из оптики известно, что луч
света, переходя из среды с меньшим показателем преломления
в среду с большим, после преломления приближается к основа
пню перпендикуляра к границе раздела.
Следовательно, траектория луча в атмосфере представляем
собою изогнутую линию, обращенную вогнутостью к земле
(рис. 33). Если луч света после преломления в атмосфере попа
дает в глаз наблюдателя М, то он видит светило по направле¬
нию последнего элемента траектории AiS', т. е. несколько выпь
действительного положения светила. Таким образом, рефракция
для наблюдателя приподнимает светила, уменьшая их зенитное
расстояние.
Вследствие симметричного положения слоев воздуха по от¬
ношению к отвесной линии траектория луча, идущего от све
тила, все время лежит в одной плоскости, проходящей через, эту
отвесную линию.
Следовательно, рефракция не изменяет азимута светила, а
только его зенитное расстояние. Однако, если слои воздуха рас¬
полагаются не симметрично, что может быть при расположении
вблизи здания, нагреваемого Солнцем, тогда возникает так
называемая боковая рефракция, изменяющая азимут светила.
64

Для устранения боковой рефракции, большие инструменты в
обсерваториях устанавливают вдали от построек.
В теории рефракции уровенные поверхности слоев воздуха
различных плотностей принимают сферическими с общим цент¬
ром на отвесной линии места наблюдений, Земля же считается
шарообразной.
Для приведения наблюденного зенитного расстояния све¬
тила к истинному, необходимо вычислить рефракцию. -В общем
виде эта задача встречает большие трудности, о них будет ска¬
зано дальше. Однако во многих случаях, когда не требуется
большой точности и зенитное расстояние не превышает 70°,
можно воспользоваться приближенной формулой.
Для вывода подобной формулы примем, что слои воздуха
расположены горизонтально. Пусть число этих слоев от поверх¬
ности Земли до верхнего предела, где воздух практически от¬
сутствует, будет k. Показатели преломления слоев, начиная с
приземного слоя, будут: пи п2, . . пк-1 , пк ; причем показа¬
тель последнего (верхнего) слоя для пустоты будет пк =1
(рис. 34).
Очевидно, используя соотношение (1), можно для каждых
двух соседних слоев написать
§ 2. Приближенная формула рефракции
sin iK = пк-\ sin rK-{ ;
Пк 1 sin iK -1 == nK-2 sin rK_2 ;
(4)
1Ц sin iB = n2 sin r2 ;
n2 sin i2 ~	sin r, .
Из рисунка видно, что
Г к— 1 = he— 1 i
(5)
авые части в (4). учитывая
(6)
65

Очевидно, это явствует из рисунка, iK —истинное зенитное
расстояние светила, a i\—наблюденное зенитное расстояние,
т. е. угол между отвесной линией и последним элементом траек¬
тории луча.
Обозначим i\ = C—наблюденное зенитное расстояние;
iK = z—истинное	»	»
Угол между направлением луча до вхождения в атмосферу
и направлением его после прохождения и есть рефракция р.
Следовательно (рис. 35),
?=z—С и z = £ + p .
Рис. 34.	Рис.	35.
Подставляя в (6) соответствующие величины, получаем
sin z = rt\ sin £
или
sin(£ + p) = ti\ sin £.
После несложного преобразования, полагая cosp=l, а
sin р=р , получаем
o=(ri-l)tg£,	(7)
где п—показатель преломления воздуха у поверхности Земли.
Формула (7) показывает, что при небольших зенитных рас¬
стояниях рефракция зависит от показателя преломления только
приземного слоя воздуха и совершенно не зависит от закона
изменения показателя преломления с высотой. Влияние верхних
слоев атмосферы сказывается при больших зенитных расстоя¬
ниях, тогда луч света проходит близко к поверхности Земли и
кривизной ее пренебрегать нельзя.
66

Яыведенной формуле (7) придадим вид, удобный для вычис-
чтого воспользуемся соотношениями (2) и (3), тогда
ления, для cmuiu
В
273
760
273 -М
tg(
Принимая с = 0,2260; д0 —0,0012928,
получаем
о" = 21",62
В
273 -f t
(8)
где В—давление воздуха, мм\
/—температура наружного воздуха;
С—видимое зенитное расстояние светила.
При нормальных метеорологических условиях В = 760 мм.
/ = 0°, формула (8) принимает вид
р" = 60",20 tg£
Для определения ошибок, которые получаются при примене¬
нии этой приближенной формулы, сравним результаты вычисле¬
ний для различных зенитных расстояний по этой формуле и по
точным Пулковским таблицам:
1
10°
1
| 45»
1 60°
! 1
65°
i
70°
1
Приближенная формула |
Пулковские таблицы !
10",62
10", 62
60",20
60",17
!
104",27
103", 99
129", 10^
128", 52
165",40
164", 13
Разность
0",00
о
о
СО
0",28
1
1 0",58
! Г ,27
Как видно из таблицы, приближенная формула до £=45° да-
ег точные значения рефракции, ошибка нарастает с увеличением
зенитного^ расстояния, например при £=80° ошибка достигает
_ _К°Эффицие»т ПРИ	С называется постоянной рефракции при данных ме¬
теорологических условиях.

§ 3. Рефракция с учетом сферичности слоев воздуха.
Основной интеграл астрономической рефракции
Пусть луч света от светила падает на один из слоев воз
духа под утлом iK (рис. 36). Радиус верхней границы этого
слоя, считаемый от центра Земли, будет RK . Радиус нижнеГ,
границы этого слоя обозначим через RK-1 .Углы rK—i и iK—1 имеют
вышеуказанное значение.
Закон преломления света дает
пк sin iK = пк-1 sin гк-\ .
Обозначим угол преломления луча при переходе от
слоя k к слою k—1 через 4 о,
т. е.
Ьр = 1к — /V-
а разность показателей преломле¬
ния двух соседних слоев через
Ап, т. е.
Д п = пк — /1Л-1 .
Подставляя в (9), получаем
пк sin iK = {пк — An) sin (iK — До) .
откуда, отбрасывая малые вели¬
чины выше первого порядка,
получаем
пкАр cos iK = —An sin iK
или
Др	1
—— =	tg	iK	.
Д rt	nK
Переходя к пределу, находим дифференциальное уравнение
траектории луча
do	1
= tgi.	(10)
dn
Здесь угол i является углом между касательной к траекто¬
рии луча и общим радиусом.
68

рассмотрим теперь треугольник А ВО, для него можно напи¬
сать
Rk = RK-X
sin iK-\ sin/V-i
n>c .	.
Подставляя из (9) sin rA-_i	sin	iK, получаем
пк-\
RKnK sin iK = RK-1 nK-1 sin iK-X .	(11)
Это соотношение справедливо для любых двух соседних сло¬
ев; оно может быть выражено следующим образом — произве¬
дение трех величин: 1) радиуса сферы, разграничивающей два
соседних слоя разной плотности, 2) синуса угла падения луча
на поверхность этой сферы и 3) показателя преломления слоя,
есть величина постоянная.
Очевидно, соотношение (11) справедливо не только для со¬
седних слоев, но и для любых двух слоев атмосферы. В этом
легко убедиться, если выписать эти соотношения для всех слоев
RKnK sin iK = RK-1 nK-i sin i = RK-2 nK-2 sin /*_2 =
= . . . Rzti<6 sin iz = R2n2 sin U — Rinl sin i{.
Поэтому напишем это соотношение для любого слоя с пока¬
зателем преломления п, радиусом г и углом падения луча i и
слоя, непосредственно прилегающего к поверхности Земли. Со¬
ответствующие величины для приземного слоя пусть будут:
па , R и £.
*0 , /? и
Тогда
nr sin i = n0 R sin £.
Интегрируя выражение (10)
(12)
получаем
Р=г—£= — j'  tg i .	(13)
"o n
Здесь интегрирование ведется от поверхности Земли, где
’ до верхней границы атмосферы (пустота) с п= 1.
69

Определяя из (12) tgi и подставляя в (13), получаем основ-
ной интеграл рефракпш
п0	n0R
Так выражается рефракция для видимого зенитного рас¬
стояния С при показателе преломления у поверхности Земли,
равном п0 .
Основная трудность мри интегрировании заключается в том,
что подинтегральное выражение содержит две переменных вели¬
чины п и г. Величины эта связаны между собой — действитель¬
но каждому расстоянию г соответствует свой показатель пре¬
ломления п. Но математическая зависимость между ними не
известна. Поэтому в классических теориях вводят те или иные
гипотезы о строении атмосферы, которые дают возможность
выразить математически зависимость между указанными дву¬
мя переменными величинами. Однако наличие гипотезы являет¬
ся недостатком такой теории.
Несомненно, что дальнейшее изучение строения атмосферы,
проводимое при помощи ракет, даст возможность построить
более совершенную теорию рефракции, основанную на факти¬
ческих данных.
Такую теорию, основанную на результатах исследований
атмосферы при помощи шаров-зондов, построил в 1924 г. Гар-
цер, он же вычислил и таблицы.
Отметим, что уточните теории рефракции имеет значение
для вычисления рефракции при больших зенитных расстояниях,
больших 80°. Но при таих положениях светила, близких к гори¬
зонту, астрономы избегает наблюдать, так как вследствие коле¬
баний воздуха вблизи юверхности Земли изображения светил
колеблются и размываются.
Теория рефракции весьма сложна, здесь развивать ее нет
возможности. Укажем только, что основной интеграл рефрак¬
ции представляется в вще бесконечного ряда, разложенного
обыкновенно по нечетным степеням тангенса видимого зенит¬
ного расстояния
или несколько преобразовывая
I dn
—
sin С
о = А tg£4-Btg3£+Ctg5£+
(14)
70

Таким образом, рефракция для любого £ может быть вы¬
числена, причем для малых зенитных расстояний с большой точ¬
ностью, для больших — с меньшей.
Однако в основной интеграл входит п0 — показатель пре¬
ломления воздуха у поверхности Земли. Величина его не
остается постоянной вследствие изменения температуры и дав¬
ления воздуха.
§ 4. Средняя и истинная рефракция. Таблицы рефракции
Как указывалось выше, величина рефракции для заданного
зенитного расстояния зависит от показателя преломления воз¬
духа у поверхности Земли п0 . Следовательно, для вычисления
р нужно прежде всего задать величину п0 .
Показатель преломления, как известно, зависит от темпера¬
туры воздуха и его давления. Эти два метеорологических фак¬
тора изменяются для каждого места сравнительно в небольших
пределах. Во многих случаях достаточно вычислить рефракцию
для различных зенитных расстояний при некоторых средних
значениях этих факторов. Например, для Пулковской обсерва¬
тории принято, что средняя температура равна +9®,31, а давле¬
ние атмосферы в среднем—751,51 мм. Рефракция, вычисленная
при средних значениях температуры и давления воздуха, полу¬
чила название средней рефракции. Если же показатель пре¬
ломления вычислен при существующих истинных значениях тем¬
пературы и давления, то соответствующая рефракция получила
название истинной рефракции.
Обыкновенно составляются таблицы значений средней реф¬
ракции и затем путем введения небольших поправок определя¬
ется истинная рефракция.
Очевидно, для введения редукции за рефракцию при наблю¬
дениях нужно определять давление и температуру наружного
воздуха.
В настоящее время чаще всего рефракция определяется по
Пулковским таблицам рефракции. Они основаны на теории
Гюльдена, изданы впервые в 1870 г. Впоследствии они пере¬
издавались несколько раз, последнее издание вышло в 1956 г.
В Пулковских таблицах приводятся логарифмы средней реф¬
ракции при В = 751,51 мм и /=+9,31° для зенитных расстояний
от 0 до 90° через одну минуту, в дополнительных таблицах со¬
держатся поправки для перехода к истинной рефракции с уче¬
том ряда факторов.
Вычисление рефракции проводится по формуле
lg р = /^ ~Mg tg £-\гХу А (В Т) + C + D + E.
Здесь ^ + lgtg£ является логарифмом средней рефракции
Для зенитного расстояния £.
71

Эти значения, так же как и значения для А, Я, у, В, Т, С,
D, Е, приводятся в соответствующих местах Пулковских таблиц
рефракции.
Примеры:
1. Вычислить рефракцию по Пулковским таблицам при £ =
= 49°45/, В = 741,8 мм, *=+21,8°.
Из таблиц получаем
ц + lgtg£= 1,8320;
у=-188;
А= 1,0021;
В = —57.
После подстановки получаем
lg о = 1,8076;
о=64",21.
Вычисление по приближенной формуле (15) при k0 =60", 12
дает р =64", 18.
2. Вычислить рефракцию при £=75°, г“=+20°, В = 740 мм.
По Пулковским таблицам находим
ji + lgtg £=2,32549;
Ат = —1648;
В = —670.
Отсюда получаем
Igp =2,30231;
Р =200",6.
Приближенная формула дает (k0 =59",34) р = 201 ",0.
Примечание 1. Кроме специальных Пулковских таблиц рефракции,
вышедших отдельным изданием, для вычисления рефракции могут быть
использованы таблицы, приведенные в «Астрономическом ежегоднике».
Примечание 2. Если нет под руками таблиц, то рефракцию можно
довольно точно вычислить (до £<80°) следующим образом. Вынесем в ряду
(14) за скобку tg £, тогда в скобках останутся члены, зависящие от £ и п0 ;
обозначим их буквой &, т. е. p = &tg£.
Значение k определяется из выражения
В	273
k = k0  - 	.	(15)
760	273 -W
Ниже приводятся значения k0 при нормальных метеорологических усло¬
виях (£ = 760 мм, t—0°) для различных £.
72

К I с I К
0°
60",23 j
60°
60",04
10
60,23 !
65
59,93
20
60,22 j
70
59,74
30
60,21 !
75
59,34
40
60,17 !
80
58,27
50
60,12
85
53,77
Глава V
АБЕРРАЦИЯ СВЕТА
§ 1. Общие положения
Как известно из общего курса астрономии, аберрация воз¬
никает при движении наблюдателя по отношению кл светилу.
Движущийся наблюдатель видит светило не в том направлении,
в котором он видел бы, находясь в покое. Аберрацией называ¬
ется как само явление кажущегося поворота луча, идущего от
светила, так и угол этого поворота. Кажущееся смещение све¬
тила на небесной сфере, возникающее вследствие аберрации,
называется аберрационным смещением.
Наблюдатель одновременно совершает несколько движений—
он вместе с Землей обращается вокруг Солнца, вращается во¬
круг земной оси, вместе с Солнечной системой переносится по
направлению к созвездию Геркулеса, участвует в галактическом
вращении и, наконец, вместе с Галактикой с большой скоростью
движется в пространстве.
Каждое из этих движений вызывает свою слагающую абер¬
рацию—годичную, суточную и вековую. Однако только годич¬
ная и суточная аберрации вызывают периодическое смещение
светила на небесной сфере, вследствие чего происходит периоди¬
ческое изменение координат его, которое необходимо учитывать.
Вековая же аберрация хотя и вызывает изменение в положении
светил, но эти положения остаются неизменными, поэтому веко¬
вую аберрацию незачем учитывать.
§ 2. Основные законы аберрационного смещения
Рассматривая любое из движений наблюдателя, мы прихо¬
дим к заключению, что этим движением он переносится в дан¬
ный момент в определенном направлении. Это направление опре¬
деляет на небесной сфере точку А, называемую апексом
73

движения наблюдателя. Действительное положение
светила на небесной сфере, не измененное аберрацией S (рис. 37) ,
называется истинным положением светила, координаты его в
любой системе называют истинными координатами. Смещенное
же аберрацией положение светила S' называется видимым по¬
ложением светила; координаты его — видимыми координатами.
Следующие три основных закона определяют направление и
величину аберрационного смещения.
1-й закон. Аберрационное смещение происходит по большому
кругу, проходящему через истинное положение светила и апекс
движения наблюдателя.
2-й закон. Аберрационное смещение приближает светило к
апексу движения наблюдателя.
3-й закон. Он дает величину аберрационного смещения
у. sin 7	/.
tg С = —	 ,	0)
1 -f- у- cos *[
где	£—величина аберрационного смещения (дуга SS');
а= — —называется постоянной аберрации (v—скорость
с
движения наблюдателя, с—скорость света);
у—угловое расстояние светила от апекса или дуга
большого круга 5Л между истинным положением
светила и апексом.
3-й закон можно вывести следующим образом (рис. 38).
Пусть наблюдатель за короткий промежуток времени т пере¬
местится по направлению к апексу А на расстояние г со ско¬
ростью v (так что r = vx). За это время луч света пройдет рас¬
стояние d=MT = KT' (следовательно, d = cx). Светило 5 вслед¬
ствие аберрационного смещения £ будет видно в направлении
74

fSr или T'S'. Проведем MK\\ ТТ\ тогда из треугольника ТКТ'
вытекает
sin (7 —С)	sin С
d	г
так как
Г	V т
d	ст
то после простых преобразований получаем искомое выражение
для третьего закона.
Ввиду малости постоянной аберрации можно выражение для
нее представить в виде ряда и сохранить в нем члены первого
порядка
JJL2
£ = ^sin у   sm2y +
Тогда третий закон примет вид
£ = ^sinj\	(2)
V
где // выражено в секундах дуги =
с sin I"
§ 3. Аберрация в произвольной системе координат
Приведенные выше системы сферических координат — гори¬
зонтальная, эклиптическая и экваториальная — обладают общи¬
ми геометрическими признаками. Все они имеют основной боль¬
шой круг (горизонт, эклиптика, экватор) и соответствующие
полюса этих кругов (зенит и надир, полюса эклиптики и эква-
тора).
Положение светила в каждой системе определяется двумя
координатами — одна из них отсчитывается по основному кругу
от определенной точки (азимут, долгота, прямое восхождение
или часовой угол), а вторая дает угловое расстояние светила от
основного круга (высота, широта, склонение).
Таким образом, сферические координаты имеют одинаковые
геометрические основы, вследствие чего при рассмотрении одних
и тех же вопросов приходится применять по существу идентич¬
ные математические приемы. Поэтому, чтобы не повторяться при
выводе формул для отдельных координатных систем удобно вве¬
сти условную сферическую координатную систему | и 77, для нее
произвести все расчеты, а затем перейти как к частным случаям
к обычным системам сферических координат.
Переходя к выводу формул аберрации координат в произ¬
вольной системе, нужно отметить, что ввиду малости постоян¬
75

ной аберрации обычно пользуются приближенными формулами
редукций. Исключение представляют те случаи, когда светило
находится вблизи полюса соответствующей координатной систе¬
мы, в этих случаях нужно пользоваться точными формулами
редукций.
Здесь дается вывод приближенных формул, в которых сохра¬
нены члены первого порядка.
Рассмотрим сферу (рис. 39), основной большой круг на ней
служит для отсчета координаты | от некоторой начальной точ¬
ки О. Положительным направлением
выберем направление с запада на
восток, т. е. направление против ча¬
совой стрелки, если смотреть со сто¬
роны полюса круга П. Пусть А обо¬
значает апекс движения наблюдате¬
ля, 5 и S'—соответственно истинное
и видимое положение светила, коор¬
динаты которых соответственно в
произвольной системе координат бу-
дут Г] и	ц'.
Координаты апекса в этой систе¬
ме — a, d. Еще введем позиционный
Рис. 39.	угол р апекса при 5. Очевидно,
SS' = f—аберрационному смешению
звезды, a AS = y.
Рассматривая малый треугольник SS'K как плоский, можно
написать
(£'—|)cos V = £ sin р = р sin у sin р\
rj'—г) = £ cos р = р sin у cos р.
Здесь по третьему закону заменено £ = р sin у.
Применяя теперь к треугольнику A.SU вторую и третью из
основных формул сферической тригонометрии, находим
sin у sin р = cos d sin (а—|);
sin у cos р = cos rj sin d—sin 77 cos d cos (a—|).
После соответствующей подстановки получаем
| = р cos d sec 77 sin (a—|);	(3)
rj'—r]=p [sin d cos rj—cos d sin 77 cos (a—£)].
Это формулы аберрации в произвольной системе координат.
Для применения их к обычным системам нужно в каждом част¬
ном случае выразить координаты апекса а и d в соответствую¬
щей системе координат, а также заменить обозначения | и 77 на
принятые в данной системе.
76

§ 4. Годичная аберрация
До сих пор не фиксировался вид аберрации, все вышеприве¬
денные рассуждения в одинаковой мере относятся ко всем ви¬
дам движения наблюдателя.
Теперь мы переходим к выводу редукционных формул го¬
дичной аберрации эклиптических и экваториальных координат
звезды.
Вначале мы примем орбиту Земли круговой и выведем соот¬
ветствующие формулы, а затем покажем, как изменяются эти
редукции при переходе к эллиптической земной орбите.
§ 5. Годичная аберрация эклиптических координат
На рис. 40 изображена круговая орбита Земли Т и указан
вектор v скорости Земли, направленный к апексу. Очевидно,
если L—геоцентрическая долгота Солнца, то долгота апекса
$
у
Л
Рис. 40,
Рис. 41.
будет меньше на 90°, следовательно, координаты апекса движе¬
ния наблюдателя в эклиптической системе координат будут
a = L—90° = 270°+L ;
d = 0°.
Применяя формулы (3) в произвольной системе координат
к данному случаю, получаем формулы редукции для аберрации
эклиптических координат
Я'—Я = —fi sec /3 cos (L—Я);
Р = — ii sin /3 sin (L— Я),	(4)
гДе Я и /3—эклиптические координаты звезды.
Можно найти уравнение фигуры, которую описывают види¬
мое положение звезды вокруг истинного. Рассматривая участок
небесной сферы с истинным и видимым положениями звезды как
плоский (рис. 41), расположим на нем прямоугольную систему
77

координат с осями х и у с началом, совпадающим с истинным
положением звезды, и осями, направленными параллельно эк¬
липтике (ось х) и по кругу широт (ось у). В некоторый момент
координаты видимого положения звезды пусть будут х и у. Оче¬
видно,
х — (Я'—Я) cos /?;
у = 1Г-р.
Подставляя сюда из (4), получаем
х=—/г cos (Z—Я) ;
	= —у cos (L—л);
sin Э	^	7
После возведения обеих частей в квадраты и сложения, на
ходим
хг	у2
	h — 	=	1.
JA2	((л	sin	Р)2
Следовательно, в течение года видимое положение звезды
описывает вокруг истинного эллипс с постоянной большой полу¬
осью, равной у, и малой полуосью у sin /3. Эллипсы имеют раз¬
личное сжатие — при положении звезды на эклиптике (/3 = 0)
эллипс вырождается в прямую линию, затем с увеличением
широты сжатие уменьшается, и для звезды в полюсе эклиптики
(/3 = 90°) эллипс обращается в окружность с радиусом, рав
ным у.
§ 6. Годичная аберрация экваториальных координат
Пусть А на рис. 42 будет апекс движения наблюдателя,
расположенный на эклиптике, Я0—долгота апекса, о0 и д0 —
экваториальные координаты
апекса.
Следовательно, ТК —не¬
бесный экватор. Применяя к
прямоугольному треугольни¬
ку ТАК три основных фор¬
мулы сферической тригоно¬
метрии, которые для прямо¬
угольного треугольника при¬
нимают вид
Рис. 42.
cos а = cos b cos с\
sin a sin 3 = sin b\
sin a cos 3 = sin с cos b,
78

получаем
cos Ао = cos д0 cos а0 ;
sin Л) sin £ = sin д0 ;	(5)
Sin Ao COS £ = Sin cos do -
Здесь e—наклон экватора к эклиптике.
Выражая А0 через долготу Солнца L (А0 = 270° + L), полу¬
чаем
sin L= cos cos a0 ;
—cos L cos £ = cos tf0 sin a0	(6)
—cos L sin £ = sin d0 .
Введем обозначения h, H, i, определяемые величинами L,
sin L = —h cos H = fi cos d0 cos a0 ;
—[i cos Lcos e = h sin H = \x cos d0 sin a0 ;	-	(7)
—[г cos Lsin £ = i = (j. sinJo .
Здесь крайние слева и справа выражения получены из (6)
путем умножения на [л.
Из последних соотношений (7) получаем
tg а0 =—tg#
или
tg а0 =tg(180°—Н).
Откуда ао=180°—Н.	(8)
Так как sin а0 =sin Н, то из второй строки (7) получаем
6=/zcostfo , кроме того, имеем
i = [i sin <?0.	(9)
Перепишем выражения аберрации в произвольных коорди¬
натах (3), заменив произвольные координаты экваториальными
а'—а = (л cos (У0 sectfsin(a0—а);
дг—6 = [i sin д0 cos д—/1 cos д0 sin д cos (а0 —а).
Или, после введения обозначений h, Н, i, по (8) и (9), полу-
чаем формулы годичной аберрации экваториальных координат
в общепринятой тригонометрической форме
af—a = h sec д sin (Я + а);
6f—d = h sin 6 cos (Н + а) Л-i cos d.	(10)

Часто применяют второй вид формул для перехода от ви¬
димого положения звезды к истинному и обратно.
Эти формулы получаются в результате преобразования вы¬
ражений (Ю).
Представим (10) в таком виде:
а—a = h sec 3 sin Я cos a + h sec d cos Я sin a;
3r—3=h sin 3 cos Я cos a—h sin 3 sin Я sin a + i cos 3. (11)
Введем новые обозначения С и D
Подставляя в (11) новые обозначения, по (12) и (13) нахо-
После подстановки получаем второй вид формулы — алге-
(12,
tgs =
h sin Н
С
или
i = C • tg s.
(13)
ДИМ
а'—а = С • sec д cos а + D sec 6 sin a;
&—6= С [tg ecos 3—sin 3 sin a] + D sin 3 cos a.
Для сокращения обозначаем
с =
15
sec 3 cos a; c' = tg e cos 3—sin 3 sin a:
d =
sec 3 sin a; d/==sin 3 cos a.
15
браический
о!—cl — cC + dD\
tf—6=c'C + d'D.
80

Введенные величины А, Н, г, С, D являются функциями дол¬
готы Солнца, они могут быть вычислены для любого момента.
В «Астрономическом ежегоднике» приводятся значения этих ве¬
личин на каждый день.
Тригонометрической формой редукций (10) удобно пользо¬
ваться при разовых наблюдениях, тогда из «Астрономического
ежегодника» извлекаются для данного вечера Л, Я, i, после
чего для звезды с координатами а, б вычисляются редукции
а'—а, 6'—6.
Но при многократных вычислениях редукций для одних и
тех же звезд выгодней в смысле затраты труда пользоваться
алгебраической формой редукций. Для каждой звезды заранее
вычисляются с, d, с', d\ зависящие только от координат звезд и
потому остающиеся постоянными для ряда вечеров, из «Астро¬
номического ежегодника» получают С, D, после чего простым
перемножением на арифмометре находят нужные редукции.
Следует отметить, что выведенные формулы редукций служат
как для перехода от а и 6 к а' и б\ так и обратно от а' и б' к
а и б, при этом под знаком тригонометрических функций могут
стоять как истинные координаты, так и видимые.
§ 7. Годичная аберрация с учетом эллиптичности земной орбиты
До сих пор мы принимали орбиту Земли круговой и скорость ее по орби¬
те постоянной. Теперь будем ее рассматривать эллиптической с эксцентриси¬
тетом е, посмотрим, как изменятся в
риальных координат вследствие
аберрации.
При эллиптической орбите угол
между радиусом-вектором СТ и
направлением скорости Земли по
орбите уже не будет равен 90°,
как это имело бы место, если
орбита была круговой.
Обозначим угол между радиу¬
сом-вектором и направлением на
апекс через г] (рис. 4'3), тогда угол
СТА = 180°—г]. Очевидно, что в эк¬
липтической системе координат
координаты апекса имеют вид:
этом случае формулы редукций э(квато-
;ч-L — (180°—г|) = 180° + L -И];
Ро=0,
где L, как и раньше, обозначает долготу Солнца.
Скорость Земли по орбите обозначим через w в,место v, так как а форму¬
лах эллиптического движения через v принято обозначать истинную анома¬
лию.
Проекции w на радиус-вектор и перпендикулярное к нему направление
будут
6—€07	81

до = до cost];
Из теоретической механики (кинематика точки) известно, что
dr	dv
до =	;	до	—	г	 ;	(14)
г dt v	dt
применяя законы Кеплера: г =
1 + е cos v
dv	_
 = k\ р (закон площадей), получаем
at
dv kY р	r—	1 + е cos v k
г = —=- k Y P • 	=	(1 + e cos v);
dt	r	p	Yp
dv	dv
p • в sin v 	 •	p	rz	 e	sin	v	,r—
dr	dt	dt	kY	P
 —	=	=	 e	sin	v
dt	(1	+	e	cos	v)z	p
dr	k
e sin v .
dt у p
Подставляя в (14), получаем
k
до cos то = ~ e sin v ;
V~p
k
до sin = —2ПГ (1 + e cos v) .	(15)
V P
Возводя обе части в квадрат и складывая, получаем
до = —^ • V 1 + cos v + е2.	(16)
V р
Такова скорость Земли в орбите, она зависит от положения Земли по от¬
ношению к Солнцу, определяемому истинной аномалией v.
Наибольшая скорость получается при и = 0, т. е. в перигелии до макс =
к	k
=	—	(1 + £), наименьшая — в афелии ДОМИн=—; (1—е) при п=180°.
V р	V	р
Среднее значение из максимальной и минимальной скоростей будет
1	k
(домакс 4“ ^мин) — “ZZX •
2	V	Р
82

При круговой орбите скорость Земли постоянна, поэтому можно было
V
принять за постоянную аберрацию отношениеЕр.= —, где под v понималась
с
средняя скорость Земли по орбите.
Постоянной аберрации в эллиптическом движении принимается отношение
k
(17)
t V/	.
cV Р
Умножим обе части выражений (15), первое на — cos L, а второе на. -
sin L, и сложим, затем те же выражения умножим почленно на sin L и
cos L, а потом снова сложим, учитывая, что
cosAo=— cos (L+rj);
sin Я0 = —sin (L + т}).
И, подставляя в полученные выражения, находим
k	k
w cos \0 — —	 sin	L	+	—-— e sin (L — v)\
V p	V	p
k	k
 cos L — —	 e	cos	(L — v) ,
VT VT
Разделив обе части на с, получаем
/.* cos/10 =^oSin L-f^o^sin</;
(18)
и sin х0 =—м cosL —fio е cos q.
где q = L—а.
Раньше была найдена зависимость между координатами апекса в эклип¬
тической и экваториальной системах (5), а именно:
cos Я0 = cos 60 cos сг0 ;
sin А0 cos e = cos д0 sin aD ;
sin Я0 sin e^sin б0 •
При круговой орбите была проведена подстановка
cos Я0 =sin L; sin Я0 — —cos L.
Теперь же, при рассмотрении эллиптического движения, нужно подставить
выражения (18), в которые входят вторые члены, содержащие эксцентри¬
ситет е.
Подстановка дает
ц cos 60cos а0=Мо sin L+/i0esin q;
it cos 60 sin oc0 = —Mo cos L cos e—Mo^cos <7cos
(19)
u sin §0 = —Mocos L sin e—u0e cos qsin e.
6*	35

Обозначим, как и раньше (7)
—Ро sin L =h cos Я;
—cos L cos e = h sin Hy
—|л0 cos L sin e — i
и аналогично вторые члены в (19)
—рь0 £ sin q = h0 cos H0 ;
—pL0 e cos q cos e = h0 sin H0 ;
—fi0 e cos q sin e — i.
Таким образом, введены новые величины h0t Н0, i0, , связанные с ta0 »
q, £•
Следовательно, вместо (19) получаем
ц cos с?0 cos а0 =—h cos Н—hQ cos Н0 ;
и cos д0 sin а0 =h sin H + h0 sin H0 ;
fi sin d0 = i + i0 .
Отсюда получаем выражения для аберрации экваториальных координат
с учетом эллиптичности земной орбиты
а'—а = h sec д sin (Н + а) + /г0 sec д sin (Н0 + а);
в'—d = h sin д cos(tf + a) +i cos 6-\-h0 sin d cos(tf0 + a)+t0 cos
Как видно, полученные выражения отличаются от ранее выведенных (10)
вторыми членами, содержащими h0, Я0. /‘о* Эти последние величины не за¬
висят от долготы Солнца, они изменяются очень медленно, кроме того, h0 и
iо малы по величине (h0—несколько десятых, a i0—сотых долей секунды).
Поэтому эти дополнительные поправки за эллиптичность земной орбиты мо¬
гут быть приняты постоянными на протяжении одного-двух столетий. Они не
вычисляются при введении редукций за аберрацию-
Таким образом, обычными рабочими формулами являются выражения
редукций за аберрацию, полученные при круговой орбите Земли.
В заключение отметим, что постоянная годичной аберрации рь много¬
кратно определялась. По Международному соглашению (Париж, 1896 г.)
она принята равной pL = 20//,47.
§ 8. Годичная аберрация долготы Солнца
с учетом эллиптичности земной орбиты
Воспользуемся выражением для аберрации в произвольной системе коор¬
динат (3). Подставляя координаты Солнца в эклиптической системе коорди¬
нат i—L, 7] = В и координаты апекса а = Я0 , d = 0 в формулу (3), получаем
L'—L —/л sin (Я0 —L);
В'—В = 0.
Выше было получено, что Я0 = 180°+ L + ту, поэтому
U—L ——pL sin rj.	(20)
84

k	k
С другой стороны, wsinr}=—	4-—	 e cos и (15) или, разделив
V P V p
на с, получаем
tusmr] — Ро + р-о е cos v.
Подставляя в (20), получаем
U—L = —[ло—\xQe cos v.
Так влияет годичная аберрация на долготу Солнца.
Следовательно, при и = 0° (январь) влияние аберрации на долготу Солн¬
ца максимальное (около 20",8), при и=180° (июль)—минимальное (около
20", 1).
§ 9. Суточная аберрация
Кроме годичного движения вокруг Солнца, наблюдатель
принимает участие в суточном вращении Земли. Возникающее
вследствие этого смещение светил носит название суточной
аберрации. К этому виду аберрации применимы общие законы
аберрационного смещения, а также формулы аберрации в про¬
извольной системе координат.
Очевидно, линейная скорость наблюдателя при вращении
Земли зависит от широты того места, где он находится. Наи¬
большая линейная скорость имеет место на земном экваторе и
составляет v0 =0,464 км/сек, затем она уменьшается пропорцио¬
нально косинусу широты
V=v0 COS ф,
достигая нуля на полюсах.
Постоянной суточной аберрации называется отношение ско¬
рости наблюдателя на экваторе к скорости света.
Следовательно, постоянная суточной аберрации имеет вид
= —-5— = 0",319 = 0s,021.
с sin 1"
Для широты ф имеем
= cos ф.
Например, для Киева (9? = 50°27')
/ = 0", 21 =0^,013.
§ 10. Суточная аберрация экваториальных координат
Для определения редукции суточной аберрации экваториаль¬
ных координат снова применим формулы, выведенные для про¬
извольной системы координат (3).
85

Определим координаты апекса в этой системе
Апексом движения наблюдателя является точка востока.
Она, очевидно, лежит на небесном экваторе на 90° к востоку
от меридиана.
Следовательно, координаты апекса будут
a = 90° + S;
d=0°,
где 5—звездное время в данный момент.
Подставляя в выражения для произвольной системы коорди¬
нат, получаем
а'—а = и о cos ср sec д cos t\
—6= /Ло cos (р sin д sin t,
где t = S—а—часовой угол в момент S.
Отсюда видно, что влияние суточной аберрации на эквато¬
риальные координаты непрерывно меняется с периодом в одни
сутки.
Найдем влияние суточной аберрации на светило в момент
верхней кульминации
а'—a =	cos ср sec д:
tf = 0.
Следовательно, а!—а>0, т. е. всегда а>а. Поэтому наблю¬
дателю представляется, что светило кульминирует несколько
позднее, чем оно кульминировало бы при отсутствии аберрации.
Примечание 1. Применяя формулы аберрации координат в произ¬
вольной системе, можно найти аберрационные редукции и для других систем
координат, но они употребляются редко.
Примечание 2. Постоянная вековой аберрации, обусловленной дви¬
жением Солнечной системы к созвездию Геркулеса, довольно велика
20
и" =	—	=	13".
с • sin 1"
Движение Солнечной системы около 20 км/сек.
Однако, как указывалось, вековая аберрация не учитывается вследствие
ее постоянства для отдельных звезд.
§ 11, Аберрация планет
Аберрация планет и комет учитывается иначе по сравнению
со звездами. Объясняется это тем, что указанные светила име¬
ют заметное движение по небесной сфере.

в
Пусть в момент t (рис. 44) планета находится в Р, а Земля
в Т. За время г, в течение которого свет пройдет расстояние от
планеты до Земли, планета займет новое положение Р\. Земля
же за это время переместится по на-	р
правлению к апексу Л на расстояние
r = vх и займет положение Тх. Одна¬
ко вследствие аберрационного сме¬
щения наблюдатель в Т\ увидит пла¬
нету в направлении Рг. Не трудно
показать, что направление ТХР/ па¬
раллельно направлению ТР. В са¬
мом деле, из треугольника ТРТХ по¬
лучаем
sin Ct   sin (7 — С )
но r = vт, s^=cr, где v и с соответст¬
венно скорости движения наблюда¬
теля и света.
После небольшого преобразования полученного выражения,
находим
tgct-
!JL SIB 7
1 + р. cos 7
но, с другой стороны, по третьему закону аберрационного
. ь	{х	sin	7	~
смещения получаем tg£= 	!— . Отсюда заключаем,
1 + в cos 7
что £i = £, следовательно, направления Р'1\ и РТ параллельны,
то есть видимое направление на светило PTj в момент t + r
параллельно истинному в момент t.
Параллельные же направления определяют на небесной
сфере одну и ту же точку. Следовательно, видимые координаты,
полученные из наблюдений в момент t + r, являются истинными
координатами того же светила в более ранний момент t.
Необходимо определить промежуток времени г, в течение
которого свет от планеты доходит до Земли; этот промежуток
называется аберрационным временем. Для его определе¬
ния нужно знать расстояние до планеты в астрономических еди¬
ницах.
Очевидно, расстояние s в километрах не трудно выразить в
астрономических единицах. Если расстояние в астрономических
единицах d, а а—длина астрономической единицы в километ¬
рах, то
- = — = — • d = 498*,5 d.
С	С
87

Глава VI
ПАРАЛЛАКС
§ 1. Общие положения
Параллактическим смещением называется кажущееся сме¬
щение объекта наблюдений при перемещении наблюдателя. Если
наблюдатель переместился из точки А в точку В (рис. 45), то
объект М ему кажется расположенным уже не в направлении
АК, а в направлении BL. Соответствующее смещение и называ¬
ется параллактическим смещением. Расстояние АВ называется
базисом.
Параллаксом называется угол, под которым от объекта ви¬
ден базис, на который переместился наблюдатель. Очевидно,
параллакс увеличивается при увеличении базиса, а также при
приближении объекта к базису.
При рассмотрении параллактического смещения какого-либо
светила имеют в виду воображаемое перемещение наблюдателя,
чаще всего от поверхности Земли к центру или обратно. В этом
случае базисом является радиус-вектор земного сфероида.
Однако, имея базис в пределах Земли, можно измерять па¬
раллаксы только сравнительно близких к Земле светил — членов
Солнечной системы. Для всех звезд, которые находятся значи¬
тельно дальше любой планеты, параллаксы оказываются исче¬
зающе малыми, недоступными для измерений. Только с увели¬
чением базиса, за который принимается радиус земной орбиты,
примерно в 25000 раз больший радиуса Земли, удается измерить
параллаксы ближайших звезд. Однако и при таком огромном
базисе параллаксы звезд оказываются меньше одной дуговой
секунды.
Представим себе Землю со стороны северного полюса
(рис. 46). Пусть на экваторе имеется пункт М, вращающийся
К
L
й
Рис. 45.
Рис. 46.
88

вместе с Землей в направлении стрелки. Для наглядности допу¬
стим, что светило 5 неподвижно и находится в плоскости земно¬
го экватора, т. е. на небесном экваторе. Параллаксом этого све¬
тила будет угол р = ОСМ, где О—центр Земли. Не трудно уста¬
новить, что параллакс р будет изменяться с периодом в одни
сутки. Поэтому такой параллакс носит название суточного па¬
раллакса. Постоянное значение суточного параллакса при дан¬
ном расстоянии d светила от центра Земли получается, когда
светило будет в горизонте для пункта ЛГ. В этом случае обра¬
зовывается прямоугольный треугольник SM'O, в котором гипо¬
тенуза SO является расстоянием от светила до центра Земли, а
малый катет ОЛТ—радиусом земного экватора (большой полу¬
осью земного сфероида). Определенный таким образом парал¬
лакс, т. е. угол jz=M'SO, носит название суточного горизонталь¬
ного экваториального параллакса.
Очевидно, между суточным, горизонтальным экваториальным
параллаксом (в дальнейшем будем называть просто суточный
параллакс) и расстоянием до светила существует простая зави¬
симость
sin тс = — ; d =*—— ,	(1)
d	sin и
где а—радиус земного экватора.
Из (1) видно, что определение расстояний до светил сводит¬
ся к определению их суточных параллаксов.
За базис при определении параллаксов звезд, как указыва¬
лось, принимается радиус земной орбиты. (Ввиду больших рас¬
стояний до звезд и малого эксцентрисите¬
та земной орбиты, эллиптичность послед¬
ней во внимание не принимается). Здесь
пар-аллаксы меняются с годичным перио¬
дом, почему они и называются годич-
н ыми параллаксами.
Для каждой звезды имеется один
вполне определенный параллакс, который
характеризует расстояние до нее. Для
этого параллакса нет специального тер¬
мина, но в дальнейшем под годичным па¬
раллаксом звезды будем понимать этот
параллакс. Годичный параллакс можно
определить следующим образом: это угол,
под которым виден радиус земной орбиты
от звезды, находящейся в плоскости, пер¬
пендикулярной к этому радиусу (рис. 47). Можно дать еще такое
определение: «годичный параллакс звезды есть малый угол в
прямоугольном треугольнике, гипотенуза которого есть расстоя¬
89

ние от Солнца до звезды, а малый катет есть половина большой
оси орбиты земли» [1].
Легко установить связь между параллаксом и расстоянием
до звезды
sin ъ
где А —расстояние до звезды, Л—радиус земной орбиты.
§ 2. Законы параллактического смещения
Предположим, что наблюдатель переместился из О в точку
О'. Направление его перемещения определяет на небесной
сфере точку А, называемую апексом перемещения наблюдателя
(рис. 48).
Светило 5 будет проектироваться из точки О в точку S' на
небесной сфере, а из точки О' наблюдается по направлению
O'S. Это направление определяется на сфере точкой S", для по¬
строения которой нужно провести OS" || O'S.
Очевидно, S'S" = C будет параллактическим смещением све¬
тила, оно происходит в плоскости, проходящей через направле¬
ние перемещения наблюдателя и светило 5. Параллактическое
смещение определяется некоторыми положениями, которые
можно назвать законами.
1-й закон параллактического смещения: параллактическое
смещение светила на небесной сфере происходит по большому
кругу, проведенному через апекс перемещения наблюдателя и
начальное положение светила,
90

2-й закон — параллактическое смещение удаляет светило от
апекса.
3-й закон дает величину параллактического смещения
р .
д sln **
tg С =	   (2)
Р
1 — — cos 7
А
где £—величина параллактического смещения (дуга S'S"):
о—перемещение наблюдателя;
А—расстояние до светила;
у—угловое расстояние светила от апекса.
Этот закон выведем, пользуясь рис. 49, где О—начальное,
а О'—конечное положение наблюдателя.
Очевидно, можно написать
—?— —	— и д' COs С + р cos 7 = А.
sin С sin 7
Отсюда получается выражение для параллактического сме¬
щения (2).
Почти во всех случаях отношение — весьма мало, так как
А
расстояние о во много раз меньше расстояний до светил. Поэ¬
тому, разлагая (2) в ряд по степеням	и	сохраняя	только
члены первого порядка, получаем
С = — sin 7.	(3)
А	1
Здесь £ выражено в радианной мере.
§ 3. Параллактическое изменение координат в произвольной
системе
Светила нашей Солнечной системы наблюдаются из разных
точек земной поверхности, для получения сравнимых данных
положения их нужно редуцировать к одной точке, обыкновенно
к центру Земли. То же относится к звездам, наблюдаемым при
разных положениях Земли по отношению к Солнцу. Для полу¬
чения однородного материала полученные координаты звезд ре¬
дуцируются к центру Солнца.
91

Таким образом, ближайшей нашей задачей является вывод
редукционных формул для различных систем координат (гори¬
зонтальной и т. д.).
Как указывалось при выводе формул редукций за аберра¬
цию, удобно ввести условную произвольную систему координат
I и 77, а затем перейти к обычным систе¬
мам как к частным случаям.
Нами будут выведены приближен¬
ные формулы редукций, в которых со¬
хранены малые первого порядка. Эти
формулы дают достаточную точность
для всех светил, расположенных не
слишком близко к полюсу основного
круга координатной системы, кроме
Луны. Луна, ближайшее к нам светило,
имеет большой суточный параллакс,
около 1°. Поэтому для Луны нужно
Рис. 50.	пользоваться	точными формулами ре¬
дукции.
Пусть А (рис. 50) будет апекс перемещения наблюдателя
с координатами and, S—начальное положение светила с ко¬
ординатами I и r\, S'—смещенное вследствие параллакса, с ко¬
ординатами и Г}'.
Из треугольника SS'K находим
(|—£r)cos rj = C sin Р;
rj—r]'=£ cos p.
Используя 3-й закон, подставляем £ = sin У> получаем
(|—£') cos т}=— sin у cos р;
А
(4)
г]—sin У sin р;
Из треугольника ASP, применяя вторую и третью формулы
сферической тригонометрии, имеем
sin у sin р= cos d sin (а—|);
sin у cos р = cos rj sin d—sin r\ cos d cos (a—£).
92

После подстановки в (4) получаем редукционные формулы
в произвольной системе координат
£—I' = — cos d sec 77 sin (a—§);
(5)
rj—rj'= -- [sin d cos r\—cos d sin r\ cos (a—£)].
Эти формулы внешне схожи с формулами для аберрации в
произвольной системе координат.
§ 4. Суточный параллакс
Наблюдения, проведенные на поверхности Земли, дают так
называемые топоцентрические координаты светила. Эти коорди¬
наты, зная суточный параллакс, нужно редуцировать к центру
Земли, получить геоцентрические координаты. Суточные парал¬
лаксы тел Солнечной системы определяются на основании тео¬
рии их движения или из наблюдений. Они приводятся' либо в
«Астрономических ежегодниках», либо вместе с вычисленными
эфемеридами.
Для перехода от топоцентрических координат к геоцентриче¬
ским, нужно знать размеры и форму Земли. Землю принимают
за эллипсоид вращения, малая ось которого совпадает с осью
вращения Земли. Большая полуось эллипсоида по Ф. Н. Кра-
совскому а = 6378,245 км, а малая 6 = 6356,863 км, сжатие
1
а=  .
298,3
Географической широтой называется угол между отвесной
линией в данном месте и плоскостью экватора. При редукциях
за суточный параллакс используется другая широта — геоцен¬
трическая, под которой понимается угол между радиусом-векто¬
ром места наблюдения и плоскостью экватора (рис. 51).
Это объясняется тем, что воображаемый переход от центра
Земли к поверхности и обратно совершается по радиусу-вектору,
определяемому геоцентрической широтой.
Как известно, географическая широта определяется из на¬
блюдений, геоцентрическую же можно вычислить, зная геогра¬
фическую К
На рис. 51 эллипс представляет собою меридиан места на¬
блюдения М.
1 В настоящее время, когда расстояние от Земли до Луны известно с
большой точностью, можно из наблюдений Луны определять геоцентрические
координаты пунктов на Земле.
ЭЗ

МК является нормалью, ОМ—радиус-вектор о для места на
блюдения, углы (р и срг—соответственно географическая и гео¬
центрическая широты.
Правильнее здесь вместо географической широты ввести гео¬
дезическую, под которой понимается угол между нормалью к
принятому земному сфероиду м
плоскостью экватора. Введение
геодезической широты дает воз¬
можность провести математи¬
ческие расчеты. Однако ввиду
близких значений этих широт в
дальнейшем геодезическая ши¬
рота заменяется географиче¬
ской.
Выразим геоцентрическую
широту через географическую.
Уравнение эллипса в прямо¬
угольных координатах с на
чалом в центре эллипса
Xе
аг
или
Ь2х2 + а2у2 = а2Ь‘2у
угловой коэффициент касательной к эллипсу получаем, как из
вестно, после дифференцирования по х
dy
dx
b*x
а2у
а угловой коэффициент нормали равен-
dy
dx
т. е.
tgcp = -
где х и у—прямоугольные координаты указанного пункта на
Земле.
В правую часть этого выражения вместо х и у подставляем
х = р cos <р \
о sin (р\
(6)
9.4

тогда
4■	а2 ±	,
tg?> = — tg <p',
bz
откуда tgcp'= — tgip или tg<j/=(l—a)2tg<p, где a—сжатие
a£
Земли.
Разложив в ряд, можно вывести выражение непосредствен¬
но для разности <р'—<р
ср'—(p=z — 11'35",64 sin 2ф+ 1",17 sin 4<р— ...	(7)
Следовательно, наибольшая разность между (р и ср' (около
11х,5) имеет место при <р = 45°.
Для Киева <р = 50°27', ф' = 50°16'.
Для вычисления радиуса-вектора р подставляем в уравнение
эллипса
Ь2х2 + а2у2 = а2Ь2
значения ,\г и у по (6), тогда получаем
„	аЧг
рг =
Ьг cos2 ср' -f a2 sin2 ф'
или р , выраженное через географическую широту,
„ a4 cos2 с? 4-М sin2 ф
р2 = 	L	.
а2 cos2 ф + b2 sin2 ф
Представляя в виде ряда, получаем
lg ±- = 9,9992695 + 0,0007326 cos 2<р — .	(8)
в -10
Здесь радиус-вектор места наблюдения выражен в долях
экваториального радиуса.
Примечание. Составлены таблицы, которые дают возможность не¬
посредственно получить для любой географической широты <р' и р0 =
§ 5. Суточный параллакс экваториальных координат
Задача состоит в том, чтобы заданные топоцентрические ко¬
ординаты светил а' и 6\ освобожденные от рефракции и абер¬
рации, перевести в геоцентрические а и 8 или наоборот — от
95

геоцентрических координат перейти к топоцентрическим. При
этом предполагается, что суточный параллакс светила, а также
координаты места наблюдения известны.
Мы выведем приближенные формулы редукций, дающие до¬
статочную точность для всех светил, кроме Луны и тех из них,
которые находятся в непосредственной близости к полюсу мира
(таковыми могут быть только редкие кометы). Для этих тел
нужны точные формулы редукций.
Формулы редукций будут выведены путем преобразования
выражений для параллакса координат в произвольной системе,
а также будет показано, как эти же. формулы получаются из
геометрических соображений.
Для суточного параллакса третий закон параллактического
смещения запишем по-другому.
Очевидно,
где я—суточный параллакс светила или для приближенных зна¬
чений редукции
— = р0 тс sin 1".
А Г
Третий закон запишем теперь так:
С = тср0 sin 7.
Формулы для параллакса координат в произвольной систе¬
ме имеют вид
£' = яр0 cos d sec 77 sin (а—£);
(9)
77—rj' = яр0 [sin d cos 77—cos d sin 77 cos (a—!)].
При переходе от геоцентрических координат к топоцентри¬
ческим наблюдатель мысленно перемещается по радиусу-век¬
тору от центра Земли к геоцентрическому зениту Z'. Этот тер¬
мин обозначает точку на небесной сфере, получающуюся при
пересечении ее продолжительным радиусом-вектором. Противо¬
положная точка называется геоцентрическим надиром (рис. 52).
Геоцентрический зенит, так же как и надир, лежит в плоскости
меридиана. Следовательно, апексом перемещения наблюдателя
в одном случае будет геоцентрический зенит, при обратном пе¬
реходе — геоцентрический надир.
Найдем экваториальные координаты апекса перемещения на¬
блюдателя.
Очевидно, поскольку геоцентрический зенит всегда кульми¬
нирует, то его прямое восхождение всегда равно звездному вре¬
96

мени в данный момент, а склонение — геоцентрической широте,
следовательно, в (9)
а = 5; cl = (p .
Экваториальные координаты геоцентрического надира
a = S+ I2h ; d=—<р'.
После подстановки в (9), получаем
а—а' = — ^ро sec б cos w' sin t\
15	r
(10)
6—d' = Jtpo (cos 6 sin <p'—sin 6 cos cp' cos t):
Здесь t = S—а часовой угол светила. Параллакс л выражен в
секундах дуги, а разность а—а' в секундах времени.
Этими формулами редукций можно пользоваться как для
перехода от геоцентрических координат к топоцентрическим,
так и обратно — от топоцентрических к геоцентрическим. В по¬
следнем случае в правых частях нужно заменить t ид на t' и 6'.
Эти формулы можно вывести геометрическим путем (рис. 53).
На рисунке отмечены экватор и горизонт, положение светила 5
и смещенное параллаксом S', р—позиционный угол геоцентри-
леского зенита Z'
Рассматривая треугольник SS'K как плоский, получаем
(а—a')cos б = С sin р =лр0 sin у sin р\
(П)
б—6'=С COS р = лрО sin у cos р.
Здесь в правой части подставлено £, = лр0 sin у.
7—807
.97

Применяя к треугольнику PZ'S вторую и третью из основ¬
ных формул сферической тригонометрии, находим
sin у sin р= cos ср sin t\
sin у cos р = cos 6 sin ср'—sin 6 cos cp' cos t.
После подстановки в (11) получаем формулы редукций
а—а' = яр0 sec 6 cos cpr sin t\
б—б' = яро (cos 6 sing/—sin 6 cos cp' cos t),
т. e. те же формулы, которые были получены раньше.
Здесь для выражения разности а—а' в секундах времени,
нужно правую часть разделить на 15.
Примечание 1. Если принять Землю шарообразной, то в предыду¬
щих формулах следует положить р0 = 1 и <jо' = <р.
Примечание. 2. Для светила в верхней кульминации t — 0, поэтому
формулы имеют вид
а—а' = 0;
б—д' = я ро sin (ср'—д).
§ 6. Суточный параллакс горизонтальных координат
Для применения формул редукций, выведенных для произ¬
вольной системы координат (9), нужно найти координаты апек¬
са перемещения наблюдателя в го¬
ризонтальной системе.
Апексом остается геоцентриче¬
ский зенит, находящийся, как указы¬
валось, в меридиане места наблюде¬
ния. Зенитное расстояние его очевид¬
но, равно z = cp—следовательно,
высота его над горизонтом Л = 90°—
—(<р—ф')-
Поэтому координаты апекса при
перемещении наблюдателя от цент¬
ра Земли к зениту будут
а = 9°\
d = 99°—{cp—ср').
Отметим, что координаты по основному кругу согласно
условию отсчитывались с запада на восток. Поскольку в гори¬
зонтальной системе азимуты отсчитываются в обратном направ¬
лении, при подстановке нужно положить:
| = -Л; ? = -А';
р = 90°—г; г}' = 90°—z'.
98

Следовательно, по (9) получаем
А'—А=яр о sin (ср—^')cosec г sin Л;
(12)
z'—2 = яр0 [cos (р—p')sin z—sin (99—cpr) COS z COS Л].
Это и есть приближенные формулы редукций за параллакс
горизонтальных координат.
Эти же формулы могут быть выведены непосредственно
без обращения к координатам в произвольной системе. Обра¬
тимся для этого к рис. 54, в котором основным кругом является
горизонт. Обозначения на рисунке понятны без пояснений.
Опять рассматривая треугольник SS'K как плоский и учи¬
тывая, что £ = яф0 sin^, можно написать
(А'—A) sin z = £ sin р = лр0 sin у sin р;
z'—z = £cos р = яр0 sin у cos р;
из треугольника ZSZ\ применяя основные формулы (вторую и
третью) сферической тригонометрии, имеем
sin у sin р= sin (<59—<j9r)sin Л;
sin у cos р =sinzcos((p—ср')—cos 2 sin {ср—<59') cos Л.
Подставляя в предыдущие равенства, получаем те же фор¬
мулы (12).
Примечание 1. Для Земли шарообразной формы формулы редукций
принимают вид
А'—Л = 0;
z'—z=jt sin 2.
Пр имечание 2. Для светила в верхней кульминации 4=0 формулы
тогда имеют вид
А'—4 = 0;
г'—г=лр0 sin [2—(qj—$/)].
§ 7. Влияние суточного параллакса на видимый радиус светила
Вследствие различия в расстояниях светила от центра Земли
О и от наблюдателя М (рис. 55), различными будут и угловые
радиусы светила, усматриваемого из этих точек.
Выведем формулы редукции для перехода от топоцентриче-
ского углового радиуса светила R' к геоцентрическому R.
Землю будем предполагать шарообразной. Пусть светило,
имеющее линейный радиус г, находится на расстоянии А от
центра Земли и на расстоянии А' от наблюдателя.
7*
,99

Можно записать
r = z1 sin /? = zT sin R\
откуда
A   sin R'
A'	sin R
или с достаточной точностью
— = R
А'	‘
(13)
Но из треугольника ОМС следует
 А_ _ А'
sin z' sin z
ил и
A sin z'
A'	sin	z
Подставляя в (13), находим
Rr	sin z
или
R' — R   sin z' — sin z
R'	sin	zf
100

Преобразовывая, получаем
R' — R	2	2	(z	— z) cos z' sin 1"
R'	sin z'	sin	z'
Последнее выражение можно написать ввиду близких зна¬
чений z и г'.
Но для шарообразной Земли мы имели
zr—z = jt sin zr.
Подставляя, получаем формулу редукции
R = R'—R' л cos zf sin 1"	■	(14)
Примечание. Из формулы (14) видно, что разность R'—R наиболь¬
шая в зените (г = 0) и наименьшая в горизонте (z = 90,c). Для Луны она мо¬
жет доходить до 18", для Солнца и планет эта разность всегда меньше 1".
§ 8. Годичный параллакс эклиптических и экваториальных
координат
Как уже указывалось раньше, суточный параллакс звезд,
даже самых близких, вследствие огромной их удаленности от
Земли, исчезающе мал. Даже для самых близких звезд
ясут <0",00004.
Но и годичные параллаксы, когда базисом служит радиус
земной орбиты, оказываются для всех звезд меньше дуговой
секунды.
При учете годичного параллакса рассматривается вообра¬
жаемое перемещение наблюдателя от Земли к Солнцу и обрат¬
но — от Солнца к Земле. Координаты звезды, отнесенные к Зем¬
ле, называют геоцентрическими, а отнесенные к Солнцу — гелио¬
центрическими.
Нужно отметить, что параллактическое смещение учитыва¬
ется только для близких к нам звезд.
Годичный параллакс эклиптических координат. Выведем фор¬
мулы редукций для перехода от геоцентрических координат
звезды к гелиоцентрическим. Воспользуемся при этом форму¬
лами для редукций в произвольной системе координат. Теперь
р равно радиусу земной орбиты, очевидно,	- = ,тг,	годичному
параллаксу звезды.
Координатами апекса в эклиптической системе координат
будут геоцентрические координаты Солнца (L, 0°)
a = L,
d=0.
101

Подставляя в (5), получаем искомые формулы редукций
Я'—Я = л sec /3 sin (L—Я)
/Г—/J = —я: sin /3 cos (L—Я)-
Можно показать, что вследствие параллактического смеще¬
ния геоцентрическое положение звезды описывает вокруг гелио¬
центрического эллипс с большой полуосью, равной л, и малой—
л sin /3.
Годичный параллакс экваториальных координат. Формулы
редукций получаются таким же образом, как и для параллакса
эклиптических координат. Очевидно, при мысленном перемеще¬
нии от Земли к Солнцу координатами апекса будут экваториаль¬
ные координаты Солнца.
Следовательно,
С1 сс0 ,
d=6Q .
Подстановка в формулы для произвольной системы коорди¬
нат дает выражение для редукций в экваториальной системе ко¬
ординат
а'—а = лсо$6д sec(?sin(a0 —а);
df—J=jr[sinJ0 cos 6—cos Jo sindcos(a0—«)]-
Здесь, как и раньше, а и 6—гелиоцентрические координаты
звезды, а а' и 6'—геоцентрические.
Пр имечание 1. Математически установлена зависимость между парал¬
лаксом Солнца Ло и постоянной годичной аберрации » а именно:
па
Нч>*0 =	"-Т.1	 ,	(15)
с у 1—е2 • sin 1"
где п—средняя угловая скорость Земли в одну среднюю секунду по орбите;
а—экваториальный радиус Земли;
е—эксцентриситет земной орбиты;
с—скорость света.
Эти величины соответственно равны:
км
п = 0",04107; е = 0,01673; а = 6378,2 км- с = 299790 	.
сек
Тогда подставляя эти величины в (15) получаем
р-о и0 = 180,24.
Примечание 2. Еще Коперник предпринимал попытки определить
годичный параллакс, однако из-за несовершенства инструментов это долгое
время не удавалось сделать. Впервые надежные результаты при определении
параллакса звезды a Lyrae (Вега) получил В. Я. Струве, закончивший свои
102

наблюдения в 1838 г. Несколько позднее Бессель определил параллакс 61
Cygni а Гендерсон—параллакс a Centauri.
Брадлей в 1725—26 гг. также делал попытки определить годичный парал¬
лакс, наблюдая зведу у Draconis, однако из этих наблюдений ему не удалось
установить параллактическое смещение звезды, но он открыл новое явление—
аберрацию света.
Годичный параллакс и годичная аберрация являются следствием обра¬
щения Земли вокруг Солнца, они являются доказательством существования
этого обращения.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИЗМЕНЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ
Глава VII
ПРЕЦЕССИЯ
§ L Общие положения
Определяя из наблюдений экваториальные координаты звез¬
ды, а затем вычисляя по ним эклиптические, относим их к поло¬
жению небесного экватора или эклиптики в момент наблюдений.
Еще во II в. до н. э. греческим астрономом Гиппархом было
установлено, что небесный экватор не сохраняет свое положение
неизменным на небесной сфере, а медленно перемещается. То
же было позднее установлено и относительно эклиптики.
Вследствие этого координаты любой звезды, даже если она
была бы неподвижной, непрерывно изменяются. Поэтому необ¬
ходимо учитывать происходящие изменения в положении коор¬
динатных систем — экваториальной и эклиптической — с тем,
чтобы иметь возможность переходить от одного положения си¬
стемы к другому. В дальнейшем будут выведены для этого фор¬
мулы редукций.
Из общего курса астрономии хорошо известно, что смещение
небесного экватора вызывается гравитационным воздействием
Луны и Солнца на экзаториальный избыток массы Земли. Под
этим воздействием земная ось описывает круговой конус вокруг
перпендикуляра к плоскости эклиптики. Однако при своем дви¬
жении земная ось помимо медленного перемещения совершает
еще небольшие периодические колебания (рис. 56). Последние
104

вызываются изменением положения Луны и Солнца по отноше¬
нию к земному экватору.
Мы знаем, что земная ось определяет положение полюсов на
небесной сфере, а также небесного экватора. Следовательно,
изменение направления земной оси вызывает перемещение по¬
люсов на небесной сфере. В дальнейшем будет идти речь именно
о движении полюсов и даже для простоты рассуждений — о
движении северного небесного полюса.
Итак, в каждый момент на небесной сфере в определенной
точке находится полюс, его называют истинным полюсом. Он пе--
ремещается по небесной сфере, совершая сложное волнообраз¬
ное движение (рис. 57).
На рис. 57 это движение полюса Р вокруг полюса эклипти¬
ки П представлено в сильно преувеличенном виде. Для более
удобного изучения и учета движения полюса Р, а также эква¬
тора под воздействием Луны и Солнца, вводят понятие среднего
полюса и среднего экватора. Кинематически движение истинного
полюса можно представить как движение фиктивной точки —
среднего полюса Р0 —по малому кругу вокруг полюса эклипти¬
ки по часовой стрелке и одновременного движения истинного
полюса Р также по часовой стрелке по замкнутой кривой вокруг
среднего полюса (рис. 58). При сложении этих движений будем
иметь движение истинного полюса. Первое из этих движений,
т. е. движение среднего полюса по малому кругу называется
лунно-солнечной прецессией, а движение истинного полюса во¬
круг среднего—нутацией. Из сказанного следует, что разде¬
ление на прецессию и нутацию чисто искусственное, на деле име¬
ется одно движение полюса, как результат воздействия на Землю
Луны и Солнца.
Полюс эклиптики и сама эклиптика также не сохраняют не¬
изменного положения. Вследствие притяжения планет изменя-
П
Р
Рис. 58.
Рис. 59.
105

ется положение земной орбиты. На рис. 59 показано положение
АВ плоскости эклиптики в некоторый момент. С—Солнце, Т—
Земля *, Р—планета. Под действием притяжения планеты Земля
смещается в Т\ вследствие чего плоскость эклиптики перемеща¬
ется, занимая новое положение. Воздействие планет на Землю,
вследствие чего перемещаются на небесной сфере эклиптика и
ее полюсы, вызывает планетную процессию.
Следовательно, координаты светил, положение точки весен¬
него равноденствия изменяются вследствие совместного дей¬
ствия лунно-солнечной и планетной прецессии, это воздействие
носит название общей прецессии. Кроме того, изменения проис¬
ходят вследствие нутации, влияние которой рассматривается
отдельно.
Таким образом, важнейшей задачей является учет влияния
прецессии и нутации на координаты светил.
Пусть мы имеем координаты звезды а0 , б0 , отнесенные к
среднему экватору, соответствующему среднему полюсу в мо¬
мент t0 ; это так называемые средние координаты звезды в мо¬
мент t0 . Очевидно, что через некоторое время в момент t сред¬
ние координаты той же звезды будут другие. Отвлекаясь от соб¬
ственного движения звезды (об этом речь будет дальше), най¬
дем, что теперь средние координаты а0 и о0 имеют вид
а0 = а0 -J- Дсср;
о; = 80 + Д^,
где Аар и Адр редукции за общую прецессию за t—10 лет. Ис¬
тинные координаты звезды а, б в тот же момент имеют вид
а = а0 +Аар+Аап;
б=б0 -\-А6р +A6ni
где Аап и Абп—редукции за нутацию.
В дальнейшем будут выведены формулы для вычисления ре¬
дукций за прецессию и нутацию. Займемся сначала прецессией.
§ 2. Движение среднего полюса
Средний полюс описывал бы окружность, двигаясь по стрел¬
ке часов (если рассматривать сферу снаружи) вокруг полюса
эклиптики, в случае если последний был бы неподвижным. Но
мы знаем, что вследствие планетной прецессии полюс эклипти¬
ки тоже перемещается. Поэтому средний полюс описывает спи¬
раль с периодом около 26000 лет.
1 Точнее: Г—центр масс системы Земля—Луна
106

Небесная механика дает возможность вычислить скорость
движения среднего полюса п по малому кругу за год
п~Р sin е cos е,	(Г)
где е—наклон среднего экватора к эклиптике;
Р—величина, близкая к постоянной (изменяется за 100 лет
меньше чем на 0"0001); она зависит от размеров и распределе¬
ния плотности внутри Земли, масс
Луны и Солнца и элементов лун¬
ной орбиты. По определению Нью¬
комба Р = 54",9066.
Скорость движения среднего по¬
люса всегда направлена по дуге
большого круга к средней точке ве¬
сеннего равноденствия. ’Это точка
пересечения эклиптики с экватором,
соответствующим среднему полюсу
в данный момент.
Здесь не должно казаться стран¬
ным, что средний полюс двигается
по малому кругу, а скорость его
направлена в точку весеннего равноденствия. Нужно вспомнить,
что при движении точки по кругу скорость ее движения направ¬
лена по касательной к окружности, здесь полная аналогия с дви¬
жением среднего полюса.
Определим угловое перемещение р среднего полюса за год.
Из треугольника ПР0 Л> (рис. 60), рассматривая его как
сферический, получаем
П
Р = —	(2)
Sin е
ИЛИ ПО (1) р = Р COS £.
Таким образом, период обращения среднего полюса вокруг
полюса эклиптики получается из
~	350° -60-60 остоп
Т =	=	25729 лет,
54",9066 - 0,9174
т. е. почти 26000 лет. Однако нужно помнить, что полюс эклип¬
тики тоже перемещается и потому £ незначительно изменяется.
Поскольку точка весеннего равноденствия всегда располо¬
жена на расстоянии в 90° от круга, проходящего через полюсы
П и Р0 у смещение этого круга на р (новое положение ПР'0 )
вызывает такое же смещение по эклиптике точки весеннего
равноденствия. Последняя смещается из Г0 в Г0 на дугу р.
Эта величина р называется лунно-солнечной прецессией в
долготе. Она входит во все формулы прецессии, почему ее и на¬
107

зывают постоянной прецессии. Название это условно, так как р
с течением времени незначительно изменяется.
По определению Ньюкомба
р = 50",3684 + 0",0050 Т.
где Т—число столетий с 1850 г.
Из (2) получаем
п = р sin е,
числовое значение п близко к 20",04.
§ 3. Движение полюса эклиптики
Как было указано выше, эклиптика и ее полюс вследствие
возмущающего действия планет не сохраняют постоянного по¬
ложения. Полюс эклиптики медленно движется по сложной спи¬
рали, однако на протяжении нескольких сотен лет можно при¬
нять, что он смещается в направлении к полюсу мира со ско¬
ростью 0",47 в год.
Таким образом, эклиптика вращается вокруг некоторой оси,
лежащей в ее плоскости, эта ось медленно перемещается в
плоскости эклиптики, поэтому ее и называют мгновенной
осью. Долгота конца мгновенной оси в начале 1850 г. была
А/ = 6°30/19//,2, она уменьшается в столетие на 54'33". Скорость
вращения эклиптики около этой оси также медленно уменьша¬
ется, так в 1850 г. она равнялась ^ = 0",47141, а в 1950 г.—н —
= 0",47074.
§ 4. Следствия движения экватора и эклиптики
Сначала рассмотрим, как изменяются координаты светила
вследствие одной лунно-солнечной прецессии.
Допустим, что эклиптика ЕЕ' (рис. 61) остается неизменной,
а смещается средний экватор. В момент t0 он занимает положе¬
ние АА\ а через год положение ВВ'. Стрелками указано на¬
правление счета прямых восхождений и долгот. Очевидно, дуга
эклиптики Т0Т0 обозначает лунно-солнечную прецессию в
долготе. Спроектируем Т0 на начальное положение экватора
АА', получим точку Т0. Отсюда видно, что вследствие прецес¬
сии прямые восхождения звезд, расположенных на экваторе,
увеличились на дугу Т0 Т0 , равную р cos е; изменились и скло¬
нения звезд, но на разную величину, максимальное изменение
будет для звезд, у которых а равны нулю или 180°. В эклипти¬
ческой системе координат у всех звезд увеличились долготы на
одинаковую величину р, широты же остались без изменения.
108

Теперь рассмотрим влияние на координаты звезд одновре¬
менного смещения экватора и эклиптики. Пусть на рис. 62 ЕЕ'
обозначает эклиптику в момент /0 , а ЕХЕ\ —эклиптику, сме¬
щенную планетной прецессией через год. АА\ как и раньше,
обозначает экватор в момент t0 , а ВВ' — через год. Остальные
обозначения понятны без дополнительных пояснений.
Мы видели, что вследствие лунно-солнечной прецессии Т0
п
переместилась в положение Т о , планетная прецессия сместила
начальное положение Г0вГь Следовательно, в первом случае.-
как было указано раньше, прямые восхождения звезд на эква-
Рих 61.
Рис. 62.
торе увеличились на р cos е, во втором случае, вследствие пла¬
нетной прецессии, прямые восхождения уменьшатся на дугу
То ТНайдем из треугольника Т 0 T\N выражение для этой
дуги, обозначив ее через А'
sin V   sin N
sin х	sin e
ИЛИ
sin N
К = X ■
Sin (
Так выражается планетная прецессия в прямом восхожде¬
нии. Общая прецессия в прямом восхождении, обозначаемая че¬
рез т, равна
sin N
т = р cos s—%	 .
sin s
Очевидно, что планетная прецессия не изменяет склонений
звезд. Но в эклиптической системе координат планетная прецес¬
сия изменяет и долготы, и широты.
109

Найдем планетную прецессию в долготе. Отложим дугу NT 1 ,
равную NT\, не трудно видеть, что вследствие планетной пре¬
цессии точка То перейдет по эклиптике в Т i . Следовательно,
дуга То Т1 будет прецессией от планет в долготе. Из треуголь¬
ника Го I*i Г г найдем
Г о Т\ =Я' cos £ = х sin N ctg е.
Складывая влияния на долготу обоих видов прецессии, нахо¬
дим общую прецессию в долготе
1 = р—х sin N ctg е.
Следует отметить, что изменение эклиптических координат от
общей прецессии неодинаково для светил. Оно зависит от поло¬
жения светила на небесной сфере (долготы зависят от коорди¬
нат Я и /3, а широты только от Я).
Все величины а, х, N, р, через которые выражается общая
прецессия экваториальных и эклиптических координат, медленно
изменяются.
В «Астрономическом ежегоднике» даются на начало каждого
года значения этих величин. Можно их и вычислить, например,
Андуайе дает такие выражения для m и п:
m = 46",08506 + 0",027945 Г+0",00012 Г2;
п = 20",04685—0",008533 Т—0",00037 Г2,
где Т—число столетий от 1900 г.
§ 5. Скорости изменения экваториальных координат
от прецессии
Выведем изменения экваториальных координат а и 6 от об¬
щей прецессии за один год с точностью до малых первого по¬
рядка (рис. 63).
Будем полагать, что средний полюс Р0 переместился за
промежуток времени в один год по направлению к точке весен¬
него равноденствия Г0 в точку Р0 .
Очевидно, в начале года среднее прямое восхождение а звез¬
ды S представится дугой Г0 k.
Через год полюс переместится на дугу PQ Р0 =п, теперь круг
склонений той же звезды займет положение Р0 L. Очевидно,
110

COS о
откуда
П
прямое восхождение звезды будет другим. Оно увеличится
вследствие общей прецессии на величину т, как это было ука¬
зано раньше, и еще изменится
вследствие смещения круга склоне¬
ний на величину KL = a.
Для определения а рассмотрим
треугольник Р0 , Р0, S, по теореме
синусов имеем
о — п-
Применяя ту же теорему к треугольнику KSL, напишем
а   sin О
а
Обозначая через
чаем
-— ; а = о sin 6 = п sin a tg 6.
da
dt
скорость изменения а за год, полу-
Определяем
da
dt
do
dt
= m + n sin a tg d.	(3)
Для этого опустим в треугольнике
Ро PoS из Р0 сферический перпендикуляр Р0 М на сторону
SP о .
Сохраняя малые величины только первого порядка, примем,
что SPо =SM. Тогда, если в начале года, склонение звезды
6 = KS, то через год оно будет <5' = LS. При сделанном допуще¬
нии найдем, что Ро М = д'—д. Обозначая эту разность через
^0
at
, найдем из треугольника Р0РоМ
db
dt
== П COS а.
(4)
11.1

Эти формулы (3) и (4) дают возможность для звезд, не
очень близких к полюсу (д<80°), вычислить изменения коорди¬
нат а и d от прецессии за промежуток времени около одного
года.
Часто приходится переходить от средних экваториальных
координат а0 и J0, данных для даты t0 , к координатам а и д
для другой даты t или, как говорят, к другому равноденствию.
Такая необходимость встречается, например, при использовании
каталогов, в которых положения звезд отнесены к среднему эк¬
ватору начала какого-нибудь года.
В этом случае прибегают к разложению координат, как функ¬
ций времени, в ряд Тэйлора. Причем в зависимости от интер¬
вала времени, от значения склонения звезды, а также от тре¬
буемой точности используется большее или меньшее число чле¬
нов ряда.
Таким образом, в общем случае имеем
§ 6. Прецессия экваториальных координат
Полагая
к» -f(tо); a=f{t)\
<5о 4i(toh 6=h(t),
получаем разложение в ряд Тэйлора
+('-'о )(-£■)
\dt I
о
, (t-toY
(5)
Обозначение с индексами	и	т.	д.
О
и т. д. показывает
112

что соответствующие величины вычисляются для начального
момента t0 .
Выражения для	и	уже получены (3) и (4); диффе-
с12 a	d:i а
ренцируя их, получаем	т-	Д-	а	затем	подставляем
в (5).
(1г a	dm	. dn	j	с ,	хс/.	•	1	р	\	I
 =	!	 sin a tg (5+ /2 cos а tg 6(т + п sin atg d) -j-
dt2	t	dt
+ n2 sin a sec2 d cos a.'
Заменяя seed на tg d и преобразовывая, получаем
d? a	( dm.	, rt2	.	0 \ , / dn .	\	.	*	,
  = f — sin 2a +	 sin	a	4-	mti	cos	a	]	tg S 4-
dt2	\ dt	2	{	dt
4- n2 sin 2a tg2&.
d2 о   j dn
~dt2	\	dt
cos a—run sin a | —n2 sin2 a tg d.
Как видно, вторые производные представляют собою много¬
члены, расположенные по степеням tgd.
Во второй производной по а обозначаем коэффициенты при
tg в в различных степенях соответственно через А, В и С, а во
второй производной по d—соответственно через А' и В'. Тогда
получаем
Л + Btgrf+CtgM;
— = A' + B'tgo.
dt2	6
Продолжая дифференцирование, можно получить выражения
d? a d3 о 0
для	и	——	.	Они	также	представляются	многочленами,
расположенными по степеням tgd. В общем виде получаем
^=я0 +Pitg6+p2tg2d+p3tg^3-
dt3
8—807
~~ = Qo +Q,tg<J+Q2tg2(J.
113

Формулы (5) учитывают только прецессию за интервал вре¬
мени t—to . Однако за это время звезда сместится по небесной
сфере вследствие собственного движения. Под собственным дви¬
жением понимают смещение звезды по небесной сфере по отно¬
шению к Солнцу за год.
Собственное движение // происходит по большому кругу, при
этом принимается, что двигается звезда равномерно. Обыкно¬
венно собственное движение звезды разлагают на две состав¬
ляющие—по суточной параллели, обозначая через //«cos с?, и
по кругу склонения—fto . Таким образом, изменение прямого
восхождения за t—to лет вследствие собственного движения бу¬
дет (лa (t—10 ), а изменение склонения—/гз (t—10 ).
Следовательно, с учетом собственного движения звезды фор¬
мулы (5) примут вид
а = а„ Ч- 1». (t - t0 ) + (t-to ) ^
,	(t—t0)*(d*a
( dr_a
‘dt2
о ~ o0 4”	(	t	to	)	~h	[t	—	to	)
dt3
d о
dt
(6)
(t — to)* ( db
dt2
(t-t0Y ( dn\
Величины
do.	db
 и
dt	dt
6	\	dt*	/0
носят название годичной прецессии
(praecessio annua). Часто годичная прецессия складывается с
соответствующим значением (аа или f.io :
da
dt
db
и
dt
Эти величины называются годичным изменением (variatio
annua) и обозначаются Vа -
Вторые производные
d2 a	d	/	da	\	d2o	d	j	d	6
-)ИИГ=В'1Г[
dt2
dt
dt
dt
являются изменением годичной прецессии, в каталогах они вви¬
ду их малости приводятся из расчета за 100 лет, т. е.
100
dt
d а
dt
и 100
dt
db
ИГ
I И

Л , — [ — -j + n sin а tg ^(годичная прецессия в a)\
Эти величины носят название векового изменения годичной
прецессии (Variatio saecularis) и обозначаются Vs .
Последние члены в (6) носят название третий член прецес¬
сии соответствующей координаты.
С введенными обозначениями формулы (6) имеют вид
а = а0 + (t—tQ ) Vа +	-	V,	+	III	член:
5 = 80 + (t—t0 ) Va Н—— V,. +111 член.
Однако рабочие формулы для вычисления представляются
иначе
(t — t0y	ft	—	t0y
« = «х0 а. (t - f0 ) + (t - t0 ) A, +	A, +	AH	;
(7)
о = 80 - аг (/ - t0 ) -f (t - t0 ) A +	A + ( — j D, ,
где
da \
dt
^2=100^ -j =A + S tg d-rC tg2 d (вековое изменение
годичной прецессии в а);
Л3 =-1- 10O3(^-j =	+P,tgJ + P2tg2(J + P3tg3rf
(III член) и соответственно
/ rfb \
Di = [—= /2 cos а (годичная прецессия в й);
( о \
Do =•• 100 I —-- j =/Y J-B' tg (вековое изменения годичной
прецессии в <У);
А = -—	=<5°	+<3ngtf + Q2 tg2 rf (III член).
Для облегчения вычислений составлены вспомогательные
таблицы, по которым легко можно вычислить числовые значения
коэффициентов. Таковы, например, Prazessions— Tafelen 1925.0,
изданные Шорром в 1927 г., и другие подобные таблицы.
В каталогах звездных положений обыкновенно приводятся
необходимые данные для приведения координат звезд от равно¬
денствия каталога к любому другому равноденствию.
115

Однако нужно указать, что приведенные формулы прецессии
(7)	приближенные, в них представлены только первые члены в
разложении в ряд Тэйлора. Они дают достаточную точность для
звезд со склонениями, не превышающими 80°, и для интервала
времени (t—ta ) не свыше 100 лет. В других случаях нужно
пользоваться точными формулами прецессии, они приводятся в
более подробных руководствах.
Если же приходится учитывать прецессию за небольшой про¬
межуток времени для звезд с небольшими склонениями, тогда
пренебрегают третьим членом, а иногда и вековым изменением
годичной прецессии.
Глава VIII
НУТАЦИЯ
§ 1. Общие положения
Нутацию, как известно, открыл в XVIII в. английский астро¬
ном Брадлей.
Под нутацией понимают периодическое колебание полюса
мира, происходящее вследствие воздействия Луны и Солнца на
Землю. Кинематически нутация представляет собою периодичес¬
кое движение истинного полюса по замкнутой кривой вокруг
среднего полюса. Эта замкнутая кривая по форме очень близка
к эллипсу с полуосями
а = 9",2; Ь = 6",9.
В дальнейшем указанную фигуру будем называть нутацион¬
ным эллипсом или условно эллипсом.
Истинный полюс двигается вокруг среднего с периодом,
равным периоду обращения узлов лунной орбиты 18,6 г.
Ввиду малой величины нутационного эллипса можно участок
сферы, на котором он расположен, считать плоским. Положение
истинного полюса Р будем определять координатами х, у, при¬
чем прямоугольную координатную систему расположим таким
образом, чтобы начало координат приходилось в среднем по¬
люсе Р0 , ось а:-ов направим по касательной к точке весеннего
равноденствия, а ось у-ков — по касательной к кругу широт в
направлении от полюса эклиптики (рис. 64).
Каждому из полюсов, среднему Ро и истинному Р, соответ¬
ствуют определенные положения экватора и точки весеннего
равноденствия. Среднему полюсу соответствует средний.экватор,
пересечение которого с эклиптикой определяет среднюю точку
весеннего равноденствия. Положение светил в этой системе дает
средние координаты или средние места светил.
Пб

Для истинного полюса имеется соответствующая термино¬
логия —истинный экватор, истинная точка равноденствия,
истинные координаты светила.
Истинный полюс двигается вокруг среднего по стрелке ча¬
сов (при рассматривании небесной сферы снаружи). Очевидно,
это движение на положение эклиптики не влияет, поэтому нута¬
ция изменяет только эклиптическую долготу светил.
Из рис- 65 нетрудно усмотреть, что смещение истинного по¬
люса по оси у вызывает изменение наклонности истинного эква¬
тора к эклиптике в пределах ±9". Это смещение истинного по¬
люса по оси у называется нутацией в наклонности и обознача¬
ется символом As. Смещение же по оси х вызывает смещение
истинной точки весеннего равноденствия относительно средней.
Следовательно, вследствие нутации истинная точка весеннего
равноденствия будет колебаться по эклиптике в пределах ±17".
Это колебание вызывает изменение долгот, поэтому оно назы¬
вается нутацией в долготе и обозначается знаком Aip.
На рис. 65 показан средний экватор АА\ соответствующий
среднему полюсу Р0 . При положении истинного полюса в точке
Р с координатами *=+6",9 и у = 0 истинный экватор занимает
положение ВВ\ а точка весеннего равноденствия— Г. При сме¬
щении Р в противоположную точку с координатами х = —6",9 и
у = 0 истинный экватор займет положение СС\ а точка весен¬
него равноденствия — Г'.
Очевидно, угол при полюсе эклиптики Р0ПР будет равняться
дуге Го Г, т. е. нутации в долготе. Из треугольника ПРР0 уста¬
навливается зависимость
sin л:	sin г	х
	— ИЛИ 	 =	sin	г,
sin Аф	1	Д6
откуда x = Aip sine. Это соотношение справедливо для любого
значения х. Как отмечалось раньше, у = Ае.
117

Величины Агр и Ае называются элементами нутации, они на
каждый день приводятся в «Астрономическом ежегоднике».
Угловое расстояние истинной точки на экваторе от средней
точки весеннего равноденствия называется нутацией в прямом
восхождении. Из рисунка можно получить для нее соответ¬
ствующее выражение
Аг] = Агр cos в.
Истинная точка равноденствия будет совершать также коле¬
бательные движения по экватору вокруг средней с амплитудой
около ±16".
§ 2. Влияние нутации на эклиптические
и экваториальные координаты звезд
Задача ставится таким образом: даны средние эклиптические
координаты звезды 20 , $о или средние экваториальные — а0 ,о0
и требуется для этого же момента найти истинные координаты.
Эклиптические координаты. Поскольку нутация не изменяет
положения эклиптики, очевидно, широты звезд от нутации не
изменяются, т. е. средние и истинные широты одинаковы. Дол¬
готы же для всех звезд будут отличаться от средних на одну и
ту же величину, равную нутации в долготе. Следовательно,
А = Яо Л~Ахр\
P = flo ,
где Агр извлекается из «Астрономического ежегодника» для со¬
ответствующей даты и вводится со своим знаком.
Экваториальные координаты. Рассмотрим рис. 66, на котором
отмечены положения среднего по¬
люса Ро и средней точки весенне¬
го равноденствия Го, а также поло¬
жение для того же момента истин¬
ного полюса Р и точки весеннего
равноденствия Г.
Очевидно,	средние координаты
звезды 5 будут aQ =Т0 К и о0 =KS.
Истинные координаты—a=TL и
6 = LS.
Прямые восхождения	отсчиты¬
ваются по среднему экватору, так
как расчеты ведутся до малых вели¬
чин первого порядка, замена истин¬
ного экватора средним не нарушает
принятой точности.
Из	рисунка	видно,	что	разность а—а0	состоит из	двух ча¬
стей: нутации	в	прямом	восхождении Аг\ и	величины а,	обуслов¬
ленной поворотом круга склонения, т. е.
а—а0 =Аг) + а.
118

Обозначив через у угол Т0 Р0 Р и через d расстояние между
полюсами Р0 Р, получаем
x — d cos
(1)
y — d sin 4u.
При этом координатные оси (расположены так, как указано
раньше.
Из треугольника РР0 S по теореме синусов находим
d	cos 5
з	sin	(а0	—	ц)
откуда
з cos 6 = d cos/i sin а0 —d sin ta cos a0
или no (1)
1
a= (x sin a0 —у cos Go )	.
cos b0
Применяя ту же теорему синусов к треугольнику SKL, полу¬
чаем
a	sin	о0
a	1
откуда
а=(х sin Go —у cos а0 )tg б0 .
Подставляя в а—а0 =Ai] + a значение Arj = Aip cose, х =
= Aip sine, у = Ае, получаем
а—а0 =A'ip(cos г-b sin е sin а0 tg б0 )—Ае cos а0 tg б0 (2)
Для определения влияния нутации на склонения звезд рас¬
смотрим треугольник РР0 М. С принятой точностью можно по¬
ложить,	что	б—до = Р0 М	или
б—б о =d cos (a0 —у*)	=d cos у, cos a 0 +d sin у sin a0 ,
тогда по (1)
б—до =xcos aG + у sin a0
Заменяя хну через элементы нутации, находим
б—до =Aip sin ecos а0 +Ае sin а0 .	(3)
Формулы нутации (2) и (3) точны, как указывалось, до
малых первого порядка. Их применяют для звезд с д<80°, для
звезд, близких к полюсу, нужно вести расчеты по точным фор¬
мулам.
119

§ 3. Приведение средних экваториальных координат звезды
в начале года к истинным в заданный момент
В каталогах звездных положений даются средние места звезд
для начала какого-нибудь года. Пользуясь формулами прецес¬
сии, всегда можно привести каталожные координаты к началу
любого года.
Задача теперь будет заключаться в том, чтобы эти средние
координаты привести к истинным для заданного момента в том
же году.
Для этого необходимо:
1. Учесть прецессию от начала года до заданного момента, а
также собственное движение звезды, в результате будут по¬
лучены средние координаты для заданного момента.
2. Учесть влияние нутации по формулам предыдущего пара¬
графа. После введения этих редукций будут получены истинные
координаты звезды в заданный момент.
Пусть средние координаты в начале года будут а0 ,	;	сред¬
ние координаты в заданный момент aQ , У ; истинные коорди¬
наты в заданный момент а, д. Обозначим интервал времени от
начала года до заданного момента в долях года через т.
Очевидно, можно написать на основании предыдущего
В правых частях оставляем а0 и 60 вместо а'0 и б'а , ошиб
ка от этого будет в пределах малых второго порядка.
После сложения и некоторых преобразований получаем
а0 — а0 =т (т + п sin а0 tg о0 ) ;
Оо — =т п cos а0 ;
а — ао = (cos s -f sin s sin а0 tg 30 ) — Ae cos a0 tg o0 ;
8 — У = ДО sin г cos a0 + Ac sin a0 .
(4)
a — a0
sin s j (m + n sin aG tg o0 ) — Aecos aQ tg 80 -j-
120

Преобразования заключаются в следующем:
а—а0=тт+тп sin aQ tg 6Q+Aip sin n0tg (50sin e4-
+Aip cos e—Ae tg d0 cos a0;
/	Лф	\
a—a0 =xm + n sin a0igb0 M  sine \ + Af cos e— Ae tg <?0 cos a0 .
\	n	I
Прибавляя и вычитая	т	sine,	а	потом	преобразовывая, получаем
п
I	Лф	\	/	Дф
a — а0 = т т + 	 Sin	е	Ы"	п	sin	ao	т	+		 Sin £
(	т	. \
COS £ — Sin е
\	"	I
Ae tg 50 COS а0 -f- Atj; ^COS
Преобразовывая еще раз, получаем окончательное выражение (5).
Складывая выражения для склонений, приведенных в (4), получаем
д—д0 =1 п cos а0 +Aip cos e'0sin e+Ae sin a0.
Откуда, преобразовывая, получаем окончательное вражение (5).
Введем обозначения
Дф	1
А = т -j	sin е ;	а	—	(т-гп sin а0 tg й0 ) ;
15
В = —Ае\
1
b — —— cos aQ tg bQ ;
1	/	т	\	15
Е = Аф cos г sin е
15 т\	я
а =п cos a0 ;
&' =—sin a0 •
Тогда получаем
а—а0 = Аа-\-ВЬ + Е + и* г;
(6)
6—до —Aa'-hBb'-h/io т.
Обратим внимание на то, что отвлеченное число А умножа¬
ется на а, выраженное в секундах времени. В дано в секундах ду¬
ги, оно умножается на отвлеченное число Ь, уменьшенное в 15 раз.
Следовательно, произведение ВЬ, как и последние два чле¬
на, также дано в секундах времени. Е—малая величина, она
изменяется в пределах ±О-,003, поэтому ее часто не принимают
во внимание.
В выражении для д—д0 все члены выражены в секундах
дуги. Отметим еще, что величины А, В и Е не зависят от коорди¬
нат звезд, они являются функциями долгот Луны, Солнца, дол¬
готы узла лунной орбиты и т. п. Они одинаковы для всех звезд,
поэтому приводятся в «Астрономических ежегодниках».
9—807
121

Выведенные формулы редукций (6) имеют алгебраический
вид, часто этим редукциям придают тригонометрический вид.
Для этого выражения (4) и (5) после сложения преобразовы
вают несколько иначе
а—а0 =тт + Д'ф cos e-f sin а0 tg до (г/гЧ-
+ Aip sine)—Ascosa0 tg д0 ;
д—до =cos а0 (тп+А'ф sin s) + Де sin а0 -
Введем обозначения
хт+Аф cos s = f\
—Ae = g sin G;
x п+А'ф sin e = g cos G,
тогда после небольшого преобразования, получаем
а—а0 =f + g sin (G + ao )tge)0 r;
(7i
6—do =g cos (G + a0 ) + fii x.
Здесь fug выражены в секундах дуги, в выражении для
а—а0 их нужно разделить на 15, чтобы получить секунды вре¬
мени.
Величины f, g, G приводятся в «Астрономическом ежегод
нике».
§ 4. Геометрическое значение величин j, g, G
Введенные величины /, g, G имеют определенное геометри¬
ческое значение. Чтобы это обнаружить, рассмотрим рис. 67.
На нем основные обозначения те же,
что и на предыдущем рисунке. Нуж¬
но только указать, что Р0 и То от¬
носятся к началу года, Г0 —сред¬
няя, а Т—истинная точка весеннего
равноденствия в заданный момент.
Р—истинный полюс в заданный мо¬
мент, g—угловое расстояние между
Р0 и Р, G -указанный на рисун¬
ке угол.
Применяя последовательно тео¬
рему синусов к треугольникам
PPoS и SKL, можно записать
Рис. 67.	з	sin	(G -f а0)
g	cos о0
или
1
a~g sin(G-fan )	.
cos Ъ0
122

sin o0
I
ИЛИ
a = о sin do = g sin (G-f-a) tg d0 *
Истинное прямое восхождение звезды S, как видно из
рис. 67, будет
a ~ а0 4- То Т0	То 'Г "г CL \
где Г0 Г о—смещение средней точки весеннего равноденствия
за промежуток времени т, следовательно, Г0Г0 = тт, так как
пг—это прецессия в прямом восхождении за год. Дуга же Г'0Г —
это нутация в прямом восхождении, равная Аг} = А\р cos е. Таким
образом, получаем геометрический вывод полученного ранее
соотношения (7)
а—а0 — ттЛ-Агр cos s-rg sin(G-f-tt0 )tg д0 .
Из треугольника Р0 РМ выводим
6—do	cos (G-f-a0 )■
Следовательно, f представляет собою дугу экватора между
истинной точкой в заданный момент и точкой на экваторе, в ко¬
торой в начале года находилась средняя точка весеннего равно¬
денствия, g и G указаны на рисунке.
Выведенные формулы могут служить и для обратного пере
хода — от истинных координат к средним в начале года.
§ 5. Долгопериодические и короткопериодические члены нутации
В небесной механике для Атр и As даются разложения в виде
рядов, в которых отдельные члены являются функциями сред¬
них долгот Луны и Солнца, долгот восходящего узла лунной
орбиты, лунного и солнечного перигея.
Ниже приводятся главные члены этого разложения
х~ Aip sin е=—60857 sin 4- 0r/,083 sin 2Q—0",506 sin 2 0 -
—00081 sin 2 < —	(81
y — Ae-= 4-90210 cos Q—00090 cos 2f? 4-00551 cos 2 0-*-
-1-00088 cos 2 i

Здесь Q—средняя долгота восходящего узла лунной орбиты;
О —средняя долгота	Солнца;
С —средняя долгота	Луны.
В (8) прежде всего следует обратить внимание на то, что
коэффициенты первых членов в разложении с sin Q и cos Q име¬
ют наибольшую числовую величину. Если бы не было следую¬
щих членов с малыми коэффициентами, то выражения (8) пред¬
ставляли бы уравнение эллипса в параметрах. Небольшие же
члены незначительно искажают фигуру эллипса.
В разложение (8) входят члены, имеющие периоды различ¬
ной	продолжительности. Из	практических	соображений	все чле¬
ны ряда разбиваются на две	группы—долгопериодические члены
с периодами свыше месяца, в них входят долгота узла Q, дол¬
гота Солнца О и другие, кроме долготы Луны; вторая группа.,
короткопериодические с периодом не свыше месяца, в них вхо¬
дит долгота Луны.
Сумму долгопериодических членов принято обозначать че¬
рез Лгр и As, а короткопериодических через djp и de. При этих
обозначениях нутация в долготе обозначается через Axp + dxp, а в
наклонности As + ds.
Приведение средних экваториальных координат к истинным
ведется отдельно с долгопериодическими членами и коротко¬
периодическими. Теперь обозначения А, В, Е, fy g и G сохраня¬
ются только при учете одних долгопериодических членов нута¬
ции, при учете только короткопериодических вводятся соответ¬
ственно обозначения А\ В', g' и G'.
При этом
sin е\ f'^dip cos е;
п
B' = —ds\ g' sin Gr = —de\
g' cos G' = d\p sin s.
Если приведение на истинное место ведется с учетом всех
членов, как долгопериодических, так и короткопериодических, то
тогда в формулах (6) под А, В, . . . нужно понимать
А+А', В + В\ ...	.
Часто вычисляют редукции для приведения на истинное ме¬
сто через определенные интервалы, например, через 10 дней, с
тем, чтобы для промежуточных дней получить значения путем
интерполяции, тогда вычисления нужно вести только с долго¬
периодическими членами, а для промежуточных дней вычислять
дополнительные редукции только с короткопериодическими чле¬
нами. Для этого пользуются формулами
da=A'a + B'b = f' + g' sin(G' + a0)tg б0 ;
dd=Afa' + B'b' = g' cos (G' + aG).
124

Поправки за короткопериодические члены обыкновенно ма¬
лы и потому их часто не вводят.
Например, для da максимальное значение ±(Н,020±
±0^,008 tgtf; для d.6 максимальное значение ±0",13.
Примечание. Коэффициент при cos Q в разложении Ае называется
постоянной нутации. По Международному соглашению принято M = 9",210—
—0",001 Т (для 1900.0), где Г—число столетий после 1900.0.
§ 6. Приведение на видимое место
При обработке астрономических наблюдений чаще всего
приходится иметь дело с видимыми местами звезд. Эти положе¬
ния отнесены к истинному экватору в момент наблюдения и ис¬
кажены годичной аберрацией.
Например, наблюдатель измерил зенитное расстояние какой-
либо звезды и отметил для этого момента звездное время 5.
После введения редукции в измеренное зенитное расстояние за
рефракцию, он вычисляет широту места по формуле
cos z= sin ср sin J + cos cp cos 6 cos(S—a),
где а и д—видимые координаты в момент наблюдения.
Или, определив во время верхней кульминации звезды ее
зенитное расстояние, после введения поправок за рефракцию,
зная широту места, из соотношения
z = cp—сУ,
находим видимое склонение звезды. Может возникнуть необхо¬
димость привести видимое склонение звезды к среднему в на¬
чале года. То же может относиться и к прямому восхождению
звезды.
Таким образом, видно, что астроному часто при наблюде¬
ниях приходится иметь дело с видимыми местами звезд.
Для ярких звезд в «Астрономическом ежегоднике» приве¬
дены на каждый год видимые места через 10 суток.
Однако нередко приходится самому наблюдателю вычислять
редукцию для перехода от среднего места в начале года к види¬
мому в данный момент или обратно.
Очевидно, что если к средним координатам, данным в ката¬
логе для начала года, ввести редукцию за часть года—от на¬
чала его до заданного момента за прецессию, а также за нута¬
цию, то будут получены истинные координаты звезды в задан¬
ный момент. Введение еще редукции за годичную аберрацию
дает видимые координаты звезды.
Если a o'] и до —средние координаты в начале года, а а и
д—видимые в заданный момент,
125

тогда'
а — а(1 н~ Aotjv -г	4~	{Vе;
О Oq —}- Абд; Н~	"~f~ J-^2^«
где4«лг, <4<5;v —редукции за прецессию (часть года) и нутацию:
Аал , —редукции за аберрацию.
Объединяя ранее выведенные формулы, получаем
а—do — Act-]- ЗЬ -Г- С. с 4- Dd -I- Е -ь и <* тз
б—6 о =Л я7 + i? 67 + Сс7 + Dd' ~г и i т
или в тригонометрической форме
г/ - «0 =f + g sin (G + a0 )tg б0 + h sin (H-\-a0 )sec 6Q +
6—d0 =g cos(G-f a0 ) +h cos(tf-t-a0 )sin 60 +icos60 + ^s*.
Это и есть формулы для приведения на видимое место или
обратно.
Глава IX
УТОЧНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ СФЕРИЧЕСКОЙ АСТРОНОМИИ
§ I. Более точные сведения о звездном и среднем времени
Как известно, в астрономии звездное время измеряется часо
вым углом точки весеннего равноденствия. Однако в учение о
прецессии и нутации были введены две точки весеннего равно¬
денствия — средняя и истинная. В связи с этим вводится поня¬
тие о среднем звездном времени и истинном. Это соответствен¬
но углы средней и истинной точек весеннего равноденствия.
Среднее звездное время. Как было показано выше, смещение
от прецессии за год любой точки по прямому восхождению
равно
da	...
— — гп + п siп a tor д.
dt	ь
Смещение средней точки весеннего равноденствия, для ко¬
торой <5 = 0, будет
da
 — т.
dt
Если бы величина т совершенно не изменялась, то звездные
сутки были бы строго постоянными. Однако /п, как мы видели
выше, незначительно изменяется
т = 46",08506 + 0",027945 Т = 3* ,07234 4- 0 5,001863 Т
где Т—число столетий после 1900.0.
m

Таким образом, за i00 лет т изменится меньше, чем на
О5,002. Следовательно, Т0 движется по экватору с небольшим
ускорением. Однако эта величина лежит за пределом точности
современных измерений, поэтому можно считать, по крайней
мере, в пределах сотни лет, что средняя точка весеннего равно¬
денствия движется равномерно, и, следовательно, средние звезд¬
ные сутки имеют постоянную продолжительность.
Таким образом, принимается, что среднее звездное время те¬
чет равномерно. Поэтому звездные часы отмечают именно сред¬
нее звездное время.
Истинное звездное время. Под истинным звездным временем
в данный момент понимают часовой угол истинной точки весен¬
него равноденствия. Следовательно, истинными звездными сут¬
ками называется промежуток времени между двумя последова¬
тельными верхними кульминациями истинной точки весеннего
равноденствия.
Как известно из предыдущего, истинная точка весеннего рав¬
ноденствия Т колеблется по экватору около средней точки Т0.
Нутация в прямом восхождении равна
А?]= (Aip + dip) cos s.
Следовательно, истинное звездное время 5 равно среднему
звездному времени SQ плюс нутация в прямом восхождении
S = S0 + (Aip + dip) cos е.	(1)
Истинное звездное время течет неравномерно, продолжитель¬
ность истинных звездных суток не постоянна. Однако колебания
в длине истинных звездных суток не велики, они не превосхо¬
дят ±06',020.
Разница же между истинным и звездным временем может
доходить до одной секунды. В самом деле, S—S0= (Агр + dip) cos s.
Сохраняя только главный член, из Л у; sin £ =— 6", 857 sin
получаем
до	—6	,85- sin Q = —17",234 sin Q.
sin г
Максимальное значение Агр получается при 0 = 90° и <2 =
= 270°, тогда Агр cos е= 15",85= Is ,06. Следовательно, такова
максимальная разница между истинным и звездным временем
в определенный момент. Она зависит, как видно, от положения
узла лунной орбиты.
В «Астрономическом ежегоднике» приводятся на каждый
день значения долгопериодической и короткопериодической ну¬
тации в прямом восхождении. Это дает возможность легко пере¬
ходить от одного вида звездного времени к.другому.
1:27

При наблюдениях и определениях времени наблюдателю
всегда приходится иметь дело с истинным звездным временем,
связанным с положением истинного экватора.
В выражении разности между истинным и средним временем
(1) входят долгопериодические и короткопериодические члены
нутации. Короткопериодические члены всегда значительно мень¬
ше долгопериодических. Во многих случаях ими можно прене¬
брегать, тогда получают звездное время, весьма близкое к истин¬
ному, но отличающееся от него на величину короткопериоди¬
ческих членов нутации. Такое время, когда учитывают только
долгопериодические члены нутации, носит название квази-ис-
тинного 1 времени, обозначим его S', тогда
S' = S0 +Лтр cose; S = S'-\-dip cose.
Разница между квази-истинным и истинным временем не
превосходит ±СР ,02.
Пример:
S = 11Л 29™ 3" ,513;
Агр cos £ = —0,454;
d \р cos s = +0,003.
Следовательно, среднее звездное время 5(, =1 1А 29™ 3s’ ,964;
квази-истинное время S^ll'1 29™ 3* ,510.
Солнечное время. Истинное солнечное время. Аберрация сме¬
щает, как известно, светила, поэтому и видимый диск Солнца
всегда смещен аберрацией. Уточняя понятие истинного солнеч¬
ного времени, принимают следующее определение: истинное сол¬
нечное время численно равно геоцентрическому часовому углу
центра Солнца, смещенного аберрацией. Среднее солнечное вре¬
мя численно равно часовому углу среднего экваториального
солнца, смещенного аберрацией.
Под смещением аберрацией в обоих случаях понимается
уменьшение прямого восхождения на 20",50 (как было принято
Ньюкомбом). Следовательно, в новом определении отсчет вре¬
мени будет на Is ,37 больше по сравнению с прежним, без учета
аберрации.
§ 2. Астрономическое и эфемеридное время
До сих пор мы принимали, что Земля вращается совершенно
равномерно и период обращения ее вокруг оси остается строго
постоянным. Однако за последние два десятилетия установлена
неравномерность вращения Земли. При этом отмечены три ви¬
да неравномерностей во вращении:
1 quasi (лат.)—«как бы», «якобы»
128

L Вековое замедление, происходящее вследствие приливного
трения, обусловленного водной оболочкой Земли. Дело в том,
что приливные волны в океанах двигаются против вращения
Земли и этим незначительно, но постоянно производят тормозя¬
щее действие. Вследствие этого продолжительность суток увели¬
чивается, правда, незначительно, примерно на 0s ,002 в столетие.
2. Неправильные скачкообразные изменения скорости враще¬
ния Земли, так называемые флюктуации-
3. Сезонные изменения с годовым периодом.
Эти неравномерности во вращении Земли приводят к разли¬
чию между временем, определяемым из астрономических наблю¬
дений, и временем, равномерно текущим, которое принимается
при теоретических расчетах, при вычислении эфемерид светил.
Первое из них получило название астрономического времени, а
второе — эфемеридного.
Для освобождения влияния неравномерности во вращении
Земли, необходимо данные, полученные из астрономических
наблюдений, приводить к равномерной шкале времени. Для
этого вводятся поправки в моменты астрономических наблюде¬
ний.
Обозначая через At разность между эфемеридным време¬
нем и астрономическим в определенный момент, т. е.
At =Тэ — Та ,
находим, что
Т э = Та +At.
Величина At вычисляется по формуле
At = 24* ,349 + 72" ,3165 Г+ 29*,949 F+ Is ,821 В,
где Т—число столетий, прошедших от 1900 г.;
В—флюктуации в долготе Луны, вызванные скачкообраз¬
ными изменениями вращения Земли, они определяются
из наблюдений Луны.
Таким образом, введение поправки At приводит момент каж¬
дой даты, полученный из наблюдений, к одной эпохе — к 1900 г.
Другими словами — интервал времени, протекший от начала
1900 г. до данного момента, выражен в постоянных единицах —
в сутках начала 1900 г.
В связи с непостоянством средних солнечных суток в 1955 г.
принято новое определение секунды. До сих пор секундой на¬
зывалась	средних	солнечных суток. Новое определение
секунды: одна средняя солнечная секунда равна
I5 =	  тропического	года в момент 1900.0.
31 556 925,975 F
129

§ Продолжительность тропического и звездного годов
Тропическим годом называется промежуток времени между
двумя последовательными прохождениями среднего эклиптиче¬
ского солнца через среднюю точку весеннего равноденствия.
Вследствие ускорения в движении средней точки весеннего
равноденствия ([величина т — медленно изменяется) продолжи¬
тельность тропического года не остается постоянной, она мед¬
ленно уменьшается, примерно на 5 сек в 1000 лет.
Продолжительность тропического года в секундах выража
ется по Ньюкомбу таким образом:
Г0 =365,24219879—0,00000614 Т,
где Г—число столетий, прошедших с 1900 г.
Звездный год — это промежуток времени между двумя по¬
следовательными прохождениями среднего эклиптического солн¬
ца через одну и ту же точку эклиптики. Такой год вследствие
планетных возмущений также не остается постоянным. Он изме¬
няется в 1000 лет примерно на 05,1.
Г* =365,25636042 + 0,00000011 Т.
где Г * - продолжительность звездного года в средних сутках.
§ 4. Начало тропического года. Бесселев год
При построении календаря и при различных астрономиче¬
ских расчетах применяют тропический год, продолжительность
которого связана с движением Солнца и перемещением точки
весеннего равноденствия. Необходимо было условиться относи¬
тельно того, что принимать за начало тропического года. Оче¬
видно, что за такое начало нельзя принять среднюю полночь на
каком-либо меридиане, так как начало следующего года на том
же меридиане уже не придется на местную полночь. Поэтому
за начало тропического года следует выбрать такой момент, ко¬
торый будет соответствовать вполне определенному положению
Солнца по отношению к точке весеннего равноденствия. При
этом желательно, чтобы выбранный момент для начала тропи¬
ческого года был по возможности близок к началу календарного
года.
Исходя из этих соображений, Бессель предложил за начало
тропического года принять момент, когда средняя долгота
Солнца, уменьшенная на величину постоянной аберрации
(20//,50) и отнесенная к средней точке равноденствия, точно рав¬
на 280°0/0//. Прямое восхождение Солнца в этот момент будет
близко к 18ЧО'71 .
130

Бессель назвал тропический год, начинающийся в этот мо¬
мент, фиктивным годом (annus Fictus), его также называют Бес
селевым годом.
Начальный момент Бесселева года обозначают числом, соот¬
ветствующим данному году с нулем после последней цифры, на¬
пример 1962.0. Зная среднюю долготу Солнца, всегда можно
определить начало Бесселева года по календарному счету на
меридиане Г ринвича.
Н а п р и м е р:
Принято, что январь 0,0 обозначает 0й 31 декабря предыдущего
года на меридиане Гринвича.
Следовательно, начало Бесселева года 1962.0 приходится на
январь 0,8298 того же года по календарному счету на.меридиане
Гринвича или, что то же—на 19Л 54т ,9 31 декабря 1961 г. ми-
рового времени.
Таким образом, начало Бесселева года приходится на один
и тот же момент для всей Земли, между тем календарный год
начинается для различных меридианов Земли в разные моменты.
Очевидно, что в момент начала Бесселева года местное время
на различных меридианах будет различно. На одном из меридиа¬
нов начало Бесселева года придется как раз на местную пол¬
ночь, этот меридиан получил название нормального меридиана
для данного года. Долгота его легко может быть найдена, на¬
пример, нормальный меридиан для 1962 г. лежит к западу от
Гринвича на 19л 54т,9, проходя несколько к западу от Ташкента.
1960.0 соответствует январь 0,3454
1961.0	»	*	0,5876
1962.0	»	*	0,8298
1963.0	»	»	1,0720
1964.0	»	»	1,3142
1965.0	*	»	0,5564
того же года
»
131

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Перевод звездного времени в среднее 1
Зве¬
здное
Поправка
Звез¬
дное
Поправка
Звез¬
дное
Поправка
1
Звез¬
дное
Поправка
Звез¬
дное
Поправка
1Л
0r/W,830
\т
0^,164
31-т
5*,079
Is
о5,ооз ;
ЗИ 1
О5,085
2
0 19,659
2
0,328
32
5,242
2
0,005 !
32 ;
0,087
3
029,489
3
0,491
33
5,406
3
о,<08 !
33 !
0,0)0
4
039,318
4
0,655
34
5,570
4
о.оп !
34 |
0,093
5
0 49,148
5
0,819
35
5,734
5
o,oi4 ;
35 |
1
0,096
6
0 58,977
6
0,983
36
5,898
6
0,016
36
0,098
7
1 08,807
7
1,147
37
6.052
7
0,019
37
0,101
8
1 18,636
8
1,311
33
6,225
8
0,022
38
0,104
9
1 28,466
9
1,474
39
6,389
9
0,025
39 |
0,107
10
1 38,296
10
1,638
40
6,553
10
0,027 1
40 !
0,109
И
1 48,125
11
1,802
41
6,717
11
0,030
41
! 0,112
12
1 57,955
12
1,9о6
42
6,831
12
0,033
42
1 0,115
13
2 07.784
13
2,130
43
7,045
13
0,035
43
| 0,117
14
2 17,614
14
2,2*4
44
7,203
14
0,038
44
i 0,120
15
2 27,443
15
2,457
45
7,372
15
0,041
45
0,123
16
2 37,273
16
2,621
46
7,536
16
0,044
46
0,126
17
2 47.102
17 ;
2,785
47
7,700
17
0,046
47
: 0,128
18
2 56,932
18
2,949
48
. 7,864
18
0,049
48
! 0,131
19
3 06.762
19
3,113
49
8,027
19
0,052
49
! 0,134
20
316,591
20
3,277
50
8,191
20
0,055
50
! 0,137
21
326.421
21
3,440
51
8,355
21
0,057
51
0,139
22
3 36.250
22
3,604
52
8,519
22
0,060
52
I 0,142
23
3 45,080
23
3,768
53
8,683
23
0,061
53
! 0,145
24
355,910
24
3,932
54
8.847
24
0,066
51
! 0,147
25
4,096
55
9,010
25
0,068
55
0,150
26
4,259
56
9,174
26
0,071
56
! 0,153
27
4,423
57
9,338
27
0,074
57
0,156
28
4,587
58
9,502
28
0,076
53
0,158
29
4,751
59
9,666
29
0,079
1 59
0,161
I
1
i
30
4,915
60
9,830
30
0,иь2
60
0,164
1 Поправка вычитается из звездного времени.
132

rip и л о ж е н и е 2
Перевод среднего времени в звездное *
j Среднее
Поправка
о
а>
X,
а)
&
Поправка
Среднее
Поправка
Среднее
Поправка
<D
О»
X
|=с
О)
о*
и
Поправка
\}г
0^09*,856
1т
ОМ 64
31 ■т
5*,093
Is
! о*,ооз
31*
0*,085
2
0 19,713
2
0,329
32
5,257
2
0,005
32
0,088
3
0 29,569
3
0,493
33
5,421
3
0,003
33
0,090
4
039,426
4
0,657
34
5,585
4
0,011
34
0,093
5
0 49,282
5
0,821
35
5,750
5
0,014
35
0,096
6
059,139
6
0,986
36
5,914
6
0,016
36
0,099
7
1 08,995
7
1,150
37
6,078
7
1 0,019
57
0,101
8
1 18,852
8
1,314
38
6,242
8
! 0,022
38
0,104
9
1 28,708
9
1,478
39
6,407
9
| 0,025
3^
0,107
10
1 38,565
10
1,643
40
6,571
10
1 0,027
40
0,110
11
1 48,421
11
1,807
41
6,735
11
| 0,039
41
0,112
12
1 58,278
12
1,971
42
6,900
12
1 0,033
42
0,115
13
2 08,134
13
2,136
43
7,061
13
1 0,036
43
0,118
14
217,991
14
2,ЗС0
44
7,228
14
0,0 38
44
0,120
15
2 27,847
15
2,464
45
7,392
15
0,041
! 45
j
0,123
16
2 37,704
16
2,628
46
7,557
16
0,044
46
0,126
17
2 47,560
17
2,793
47
7,721
17
0,047
47
0.129
18
257,417
18
2,957
48 i
| 7,885
18
0,049
48
0,131
19
3 06,273
19
3,121
49
8,049
19
0,052
49
0,134
20
3 17,129
20
3,285
50
1
| 8,214
|
20
! 0,055
50
0,137
21
3 26,986
21
3,450
| 51
8,378
21
; 0,057
51
0,140
22
3 36,842
22
3,614
j 52 i
8,542
22
! 0,060
52
0,142
23
3 46,699
23 |
3,778
53 j
8,707
23
0,063
53
0,145
24
3 56,555
24 !
3,943
54 |
8,871
24 j
0,066
54
0,148
i
25 1
!
4,107
55 i
i
9,035
25 ,
0,068
55
0,151
26
4,271
56
9,199
26
0,071
56
0,153
27
4,435
57
9,361
27
0,074
57
0,156
28
4,600
58
9,528
28
0,077
58
0,159
29
4,764
59
9,692
29
0,079
59
0,162
30
4,928
60
9,856
30
0,082
60
j
0,164
1 Поправка прибавляется к среднему времени.
133

ЛИТЕРАТУРА
1. Б л а ж ко С. Н. Курс сферической астрономии, 1954.
2. Казаков С. А. Курс сферической астрономии, 1940.
3. Вентцель М. К. Сферическая астрономия, 1952.
4. И в а н о в А. А. Курс сферической астрономии, 1923.
5. Ф о г е л ь Р. Ф. Курс сферической астрономии, 1910.
7. Куликов К. А. Курс сферической астрономии, 1961.
8. «Астрономический ежегодник СССР».

СОДЕРЖАНИЕ
'Предисловие	^
ВВЕДЕНИЕ
Основные сведения по математике	%
§ 1. Измерение углов ......	5
§ 2. Основные сведения по сферической тригонометрии	7
Часть первая
ЯВЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ВРАЩЕНИЕМ ЗЕМЛИ
Глава I. Сферические координаты	13
§ 1.	Небесная сфера 	 13
§ 2.	Основные круги и точки на небесной сфере	14
§ 3.	Системы сферических координат ...	16
§ 4.	Связь между координатами различных систем	19
Глава II. Измерение времени	22
§ 1.	Звездное время и звездные сутки	23
§ 2.	Солнечное время, истинное и среднее	24
§ 3. Связь между истинным и средним временем .	«.	26
§ 4.	Местное, гражданское, поясное и декретное время	27
§ 5.	Связь между звездным и гражданским временем	30
§ 6.	Приближенный расчет звездного времени по гражданскому
и обратно ...	39
§ 7. Юлианский счет дней	42
Глава III. Суточное вращение небесной сферы	42
§ Г	Общие положения	42
§ 2.	Восход и заход светил	 44
§ 3.	Определение моментов восхода и захода светила	и азиму¬
тов соответствующих точек ....	45
§ 4.	Скорости изменения горизонтальных координат	52
§ 5.	Прохождение светил через первый вертикал	54
§ 6.	Наибольшая элонгация светил	56
§ 7.	Сумерки и их продолжительность	58
Часть вторая
РЕДУКЦИИ НАБЛЮДЕНИИ
Г л а в а IV. Рефракция	62
§ 1.	Общие положения	62
§ 2.	Приближенная формула рефракции	65
§ 3.	Рефракция с учетом сферичности слоев воздуха.	Основной
интеграл астрономической рефракции ...	68
§ 4. Средняя и истинная рефракция. Таблицы	рефракции	71
Г л а в а	V. Аберрация света	73
§	1. Общие положения	 73
§	2. Основные законы аберрационного	смещения	73
§	3 Аберрация в произвольной	системе координат	75
135

§	4.	Годичная	аберрация 	 77
. §	5.	Годичная	аберрация эк.' оптических координат	77
§ 6. Годичная аберрация экваториальных координат .	78
§	7.	Годичная	аберрация с учетом эллиптичности земной	орбиты	81
§	8.	Годичная	аберрация долготы Солнца с учетом	эллип¬
тичности земной орбиты	 84
§	9.	Суточная	аберрация	 85
§	10.	Суточная	аберрация экваториальных координат	85
§ 11. Аберрация планет	.	86
Глава VI. Параллакс	88
§ 1. Общие положения ....	88
§ 2. Законы параллактического смещения	90
§ 3. Параллактическое изменение координат в произвольной
системе	 91
§ 4.	Суточный параллакс	 93
§ 5.	Суточный параллакс	экваториальных координат	94
§ 6.	Суточный параллакс	горизонтальных координат ...	98
§ 7. Влияние суточного параллакса на видимый радиус светила	99
§ 8. Годичмый параллакс эклиптических и экваториальных
координат	....	'	101
Часть третья
ИЗМЕНЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ
Глава VII. Прецессия	104
§ 1. Общие положения	104
§ 2. Движение среднего полюса	106
§ 3. Движение полюса эклиптики ...	.	108
§ 4.	Следствия движения	экватора и эклиптики ....	108
§ 5.	Скорости изменения	экваториальных координат от прецессии	109
§ 6. Прецессия экваториальных координат	112
Глава VIII. Нутация	116
§ 1. Общие положения	116
§ 2. Влияние нутации на эклиптические и экваториальные коор¬
динаты звезд	118
§ 3. Приведение средних экваториальных координат звезды	в
начале года к истинным в заданный момент .	.	119
§ 4. Геометрическое значение величин /, g, G	.	.	.	122
§ 5. Долгопериодические и короткопериодические члены нутации	123
§ 6. Приведение на видимое место	 125
Глава IX. Уточнение основных понятий сферической астрономии	126
§ 1. Более точные сведения о звездном и среднем времени	126
§ 2. Астрономическое и эфемеридное время ....	128
§ 3. Продолжительность тропического и звездного годов .	130
§ 4. Начало тропического года. Бесселев год .	.	130
Приложения
Литература
132
134

f