Н.СТИНРОД
Д.ЭПСТЕЙН
КОГОМОЛОГИЧЕСКИ Е
ОПЕРАЦИИ
С приложением работы Дж. МЭЯ
«ОБЩИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К ОПЕРАЦИЯМ СТИНРОДА»
Перевод с английского
В. М. БУХШТАБЕРА, Ю. Б. РУДЯКА,
А. Ф. ХАРШИЛАДЗЕ и М. А. ШТАНЬКО
Под редакцией В. М. БУХШТАБЕРА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1983
22.15
С 80
УДК 513.83
COHOMOLOGY
OPERATIONS
Lectures by
N. E. STEENROD
written and revised by
D. B. A. EPSTEIN
Princeton, New Jersey
Princeton University Press
1962
Стинрод H., Эпстейн Д. Когомологические операции: Пер. с англ. — М.:
Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 232 с.
Кнкга является классическим руководством по теорик когомологических операций.
Содержит интересные примеры и нетривиальные геометрические приложения. В ка-
честве добавления к книгу включена работа известного тополога Дж. Мэя, содержа-
щая единый общекатегорный подход к когомологическим операциям.
Для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов математиче-
ских факультетов университетов и пединститутов.
1702040000—017
---------------43-82
953 (02J-83
С
© Перевод иа русский язык.
Издательство «Наука».
Главная редакция
фидико-математкческой лктрратуры, 1983
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая читателю книга является классическим произ-
ведением алгебраической топологии. На протяжении двадцати
лет, прошедших со дня ее выхода, она неизменно оказывает силь-
ное влияние на все последующие монографии и учебные пособия,
посвященные методам и геометрическим приложениям алгебраи-
ческой топологии.
Старший автор книги Н. Стинрод, является одним из основных
создателей теории когомологических операций — теории, кото-
рая лежит в основе большинства замечательных достижений то-
пологии. В настоящее время без знакомства с этой теорией не-
возможно овладеть теорией расслоенных пространств, теорий
характеристических классов векторных расслоений, теорией глад-
ких многообразий, теорией действия групп, не говоря уже о К-
теории и теориях кобордизмов, которые по существу появились
благодаря развитию идей теории когомологических операций.
Рассматриваемая книга представляет собой введение в теорию
и содержит изложение следующих вопросов:
1)	Аксиоматическое построение алгебры когомологических опе-
раций, называемой алгеброй Стинрода.
2)	Изучение структуры алгебры Стинрода как алгебры Хопфа
над полем конечной характеристики.
3)	Топологические приложения.
4)	Конструкция когомологических операций, порождающих
алгебру Стинрода.
Благодаря тщательному отбору материала авторам удалось,
сохранив малый объем книги, существенно сократить требования
к предварительной подготовке читателя, у которого предпо-
лагается только знание начал алгебраической топологии. В то же
время книга дает хорошую основу для работы со специальной
литературой. Например, об алгебре Стинрода изложены все
результаты, необходимые для построения аппарата спектральной
последовательности Адамса (см. [1], [2*] х), [12*]).
В разделе приложения рассмотрены задачи об инварианте
Хопфа, об алгебрах с делением, о векторных полях на сферах,
о вложениях компактов и многообразий в сферу, о гомотопических
группах сфер. На примере этих задач читатель познакомится
практически со всеми классическими методами использования
х) Звездочка отсылает к списку литературы, добавленному при переводе.
1*
4
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
когомологических операций. Отметим, что большинство достиже-
ний современной теории когомологических операций обязано по
существу перенесению классических методов на обобщенные
теории когомологий такие как Л>теория и кобордизмы.
Особо необходимо остановиться на конструкции операций,
изложенной в книге. Эта конструкция была предложена Стин-
родом для доказательства существования когомологических опе-
раций, удовлетворяющих естественным аксиомам. В основе кон-
струкции лежит построение специального эквивариантного цеп-
ного комплекса. Затем, существование операций Стинрода было
получено другим «более топологическим» способом, опирающимся
на изучение когомологий спектра Эйленберга—Маклейна —
представляющего спектра классических когомологий (см. [10],
[11]). Таким образом появилось два способа построения опера-
ций Стинрода. Дальнейшее развитие теории показало, что эти
способы приводят к одному результату только в случае класси-
ческих когомологий. В теории кобордизмов когомологические опе-
рации были построены С. П. Новиковым и Ландвебером на основе
вычисления кобордизмов представляющего спектра, а через не-
которое время Дик [4* ] показал, что в этой теории можно построить
геометрическую реализацию эквивариантного цепного комплекса
Стинрода и тем самым построил операции Стинрода в кобордиз-
мах. Оказалось, что операции Стинрода — Дика принципиально
отличаются от операций Новикова—Ландвебера (см. [3*]).
Можно с уверенностью сказать, что идея когомологической
операции имеет общематематическое значение, так как когомологи-
ческие методы входят в аппарат ряда ведущих разделов математики.
Оказалось, что конструкция Стинрода и здесь является очень
плодотворной. На пути алгебраической реализации этой конст-
рукции С. П. Новиков [9*] построил операции Стинрода в кате-
гории алгебр Хопфа с симметричной диагональю и показал, что
они имеют важные топологические применения. В нашу книгу
в качестве дополнения 1 включен перевод обзорной статьи Дж. Мзя
«Общий алгебраический подход к операциям Стинрода», где чи-
татель встретится с конструкцией Стинрода в довольно общей
алгебраической ситуации. Здесь автор неоднократно указывает
на тот факт (впервые отмеченный С. П. Новиковым (см. [9*]),
что алгебра Стинрода, реализованная как алгебра всех стабиль-
ных преобразований групп когомологий топологических прост-
ранств, не является самой общей из алгебр Стинрода, которые
возникают в алгебраической ситуации.
Таким образом, мы наблюдаем явление, типичное для разви-
тия алгебраической топологии: алгебраический объект возникает
в аппарате топологии, становится объектом чисто алгебраичес-
кого изучения, при этом он очищается от второстепенных деталей,
но обрастает рядом связей с различными разделами математики,
и, наконец, возвращаясь на новом уровне в топологию, становится
бт РЕДАКТОРА ЙЁРЁВОДА
5
основой для еще более мощных методов. Для того чтобы показать
еще один возможный путь такого развития вопросов, связанных
с алгеброй Стинрода, мы написали небольшое дополнение 2,
в котором устанавливаются связи алгебры Стинрода с новым
направлением исследований — суперматематикой над полями ко-*'
вечной характеристики.	'
В заключение хочется выразить надежду, что предлагаемая-
книга будет полезной широкому кругу читателей.
Предисловие и главы I—IV перевел М. А. Штанько, остальную
часть основного текста — А. Ф. Харшиладзе, дополнение 1 —
Ю. Б. Рудяк; мною переведено, приложение к основному тексту.
В. М. Вухштабер
ПРЕДИСЛОВИЕ
Грубо говоря, когомологические операции — это алгебраи-
ческие операции на группах когомологий пространств, коммути-
рующие с гомоморфизмами, индуцированными непрерывными
отображениями пространств. Они используются для решения
вопросов о существовании непрерывных отображений в тех слу-
чаях, когда эти вопросы нельзя решить, рассматривая лишь
группы когомологий сами по себе.
Возьмем, например, задачу продолжения, которая является
одной из основных в топологии. Пусть заданы пространства X,
Y, подпространство 4сХ и отображение h: А -> Y. Задача
продолжения состоит в том, чтобы выяснить, продолжается ли
отображение h до отображения /: X -> У? Эту задачу можно
представить диаграммой
А-~Y
где g — вложение. Переходя к когомологиям, получаем алгеб-
раическую задачу продолжения
Н*(Х)
/ Х
у \ф
Н*(А)	/Г(Г)
п
Если отображение / существует, то гомоморфизм <р=/* служит
решением алгебраической задачи. Вообще говоря, алгебраическая
задача слабее, чем геометрическая. Однако чем больше мы сможем
«запихнуть» в группы когомологий дополнительной алгебраи-
ческой структуры, которую гомоморфизм <р должен сохранять,
тем больше мы приблизим алгебраическую задачу к геометрической.
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Скажем, <р не только является аддитивным гомоморфизмом групп,
но и должен быть кольцевым гомоморфизмом относительно ^’-ум-
ножения. Более того, ср должен коммутировать со всеми когомоло-
гическими операциями х).
В настоящих лекциях мы изучаем приведенные степенные
операции (квадраты Стинрода Sq‘ и р-е степени Р‘, i=0, 1, .
где р — простое число). Их построению и установлению их Ос-
новных свойств посвящены главы V, VII, VIII. Эти главы неза-
висимы от других и могут быть прочитаны первыми. В главе I
операции Стинрода задаются аксиоматически, постулированием
основных свойств. В главах II—IV исследуются дальнейшие
их свойства и даются важные приложения. В главе VI излагаются
аксиомы и приложения операций Р* (р > 2). Глава VIII содержит
доказательство того, что квадраты Стинрода и р-е степени характе-
ризуются некоторыми из аксиом, введенными в главах I и VI.
Метод построения приведенных степеней, данный в главе VII,
является новым и, как нам кажется, более ясным. Вывод соотно-
шений Адема в главе VIII является значительно более простым,
чем ранее опубликованный вариант. Доказательство теоремы един-
ственности в главе VIII также проще. Всё же, несмотря на эти
усовершенствования, построение приведенных степеней и дока-
зательство их свойств—долгая и тяжелая работа. По этой причине
мы приняли аксиоматический подход, с тем, чтобы читатель бы-
стрее мог добраться до более легких и интересных глав.
В приложении, написанном Эпстейном, даются чисто алгебраи-
ческие доказательства предложений, доказательства которых,
приведенные в основном тексте, являются смешанными — отчасти
алгебраическими, отчасти геометрическими.
Эти лекции следует рассматривать как введение в теорию кого-
мологических операций. Существует ряд важных тем, которые
не вошли в них и к изучению которых читатель вполне может
приступить после этой книги. Во-первых, имеется другой подход
х) Наряду с примерными когомологическими операциями, которым по-
священы данные лекции, существуют вторичные, третичные и т. д. когомоло-
гические операции, с которыми гомоморфизм <р также должен в некотором
смысле коммутировать. В терминах этих операций можно задать последова-
тельность алгебраических задач, которая в определенном смысле исчерпы-
вающе аппроксимирует геометрическую задачу существования отображе-
ния /. Доказательство существования такой «алгебраической аппроксимации»
основной задачи гомотопической топологии основывается на теории систем
М. М. Постникова [10*]. — Прим. ред.
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
к когомологическим операциям, основанный на комплексах
К (я, ге) Эйленберга—Маклейна [32]. Этот подход г) был интен-
сивно развит А. Картаном [11]. Дж. Адамс [1] дал очень важное
применение операций Стинрода к вычислению стабильных гомо-
топических групп сфер 2). Наконец, мы не рассматривали вто-
ричных когомологических операций. Дж. Адамс чрезвычайно
успешно использовал их для решения проблемы о существовании
отображений сфер с инвариантом Хопфа, равным 1 (см. [2] и
[351) * * * * 8).
Принстон, Нью-Джерси	Н.С.
май 1962	Д. Э.
-1) Ему посвящен § 10 дополнения 1. — Прим. ред.
*) В этой работе построена знаменитая спектральная последовательность
Адамса. На русском языке соответствующий материал представлен в [6*],
[12*]. — Прим. ред.
8) В дальнейшем,^воспользовавшись введенными Дж. Адамсом примар-
ными когомологическими операциями?’?” в К-теории, Атья нашел новое, изящ-
ное решение этой проблемы (см. [1*]). — Прим. ред.
Глава I
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
АЛГЕБРЫ СТИНРОДА
В § 1 даются аксиомы операций Стинрода Sq\ (Теоремы су-
ществования и единственности отложены до заключительных глав.)
В § 2 рассматривается действие операций Стинрода в проективных
пространствах и доказывается, что любая х) надстройка над ото-
бражением Хопфа существенна. В § 3 определяется алгебра Стин-
рода 21 (2) и строится по Адему [5] и Картану [12] ее векторный
базис. ВА§ 4 показывается, что неразложимые элементы алгебры
21 (2) представляют собой элементы вида Sq2', и даются некоторые
геометрические применения этого факта. В § 5 определяется ин-
вариант Хопфа отображения 52"-1 -> S" и доказываются теорема
существования для отображений с четным инвариантом Хопфа
в случае четного п, а также некоторые теоремы несуществования
для отображений с нечетным инвариантом Хопфа.
Если явно не оговорено противное, все группы гомологий и ко-
гомологий в этой главе рассматриваются с коэффициентами в поле
Z/2.
§	1. Аксиомы
Ниже приводятся аксиомы операций Sq*. Теоремы существова-
ния и единственности будут доказаны в заключительных главах.
1)	Для всех чисел i^O и п^О существует естественное пре-
образование функторов
Sq': Нп(Х, A)-*Hn+i(X, А),	ге>0,
которое является гомоморфизмом.
2)	Sq° = l.
3)	Если dim ж = п, то Sq’,® = ®2.
4)	Если	то Sq<® = 0.
5)	Справедлива формула Картана
к
Sq* (®у) = 5 Sq' х • Sqfc_'y.
<=о
Напомним, что если xf>Hr (X, А) и у^Н* (X, В), то ху £
£Я?+?(Х, A [J В). Вообще говоря, это верно только в симплици-
*) То есть любой кратности. — Прим. пере».
10
АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ СТИНРОДА [ГЛ. I
альных когомологиях; в случае сингулярных когомологий необ-
ходимы некоторые дополнительные условия «хорошего расположе-
ния» подпространств А и В.
6)	Операция Sq1 представляет собой гомоморфизм Бокштейна р,
ассоциированный с последовательностью колец коэффициентов
ОZ/2Z/4-> Z/2-* 0.
ч 7) Соотношения Адема. Если 0 < а < 26, то
£«/2] /Л _ 1 _
Sq“SqJ = 2 ( e_2, JSq^SqA
j=o \ а ю /
Биномиальные коэффициенты берутся, конечно, по модулю 2.
Как будет показано в гл. VIII, последние две аксиомы выте-
кают из первых пяти.
1,1,	Лемма. Если выполнена аксиома 1), то следующие два
вида формулы Картана эквивалентны между собой:
Sq* (ху) = 2 Sqy х  Sq*“y у,
3
Sq* (хХу) = 2sq>a;XSq*"y у.
з
Доказательство. Пусть р-. XxY -*Х и q: XxY -> У —
естественные проекции. Если имеет место первая формула, то
Sq* (irXy) = Sq*((a;Xl) • (1Х^)) =
= 2Sqy (®Х1) • Sq*-y(lXf/)=.
3
= 2 sqy (Р*®) • Sq*~y (q*y) =
J
= 2 p‘ sqy ж • q* sq‘_y и =
3
~ 2(Sqy xXl) • (lxSq*“yy) =
з
= 2sqya:XSq*_y y.
з
Пусть d: X-^-XxX обозначает диагональ. Если верна вторая
формула, то
Sq* (ху) — Sq* d* (х X у) — d* Sq* (<r X У) =
d* 2 Sqy хХSq*-y у = 2 Sqy х • Sq‘_y у. 
3	3
1,2,	Лемма. Из аксиом 1), 2) и 5) вытекает следующее утвер-
ждение: если а: Н9 (4) -> Ht+1 (X, А) — кограничное отображе-
ние, то
8Sq* = Sq*8.
§ 2]	ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	11
Доказательство. Мы покажем, что гомоморфизм 8
по существу эквивалентен X-умножению на некоторый одномер-
ный класс. Тогда применение формулы Картана сразу дает тре-
буемый результат. (Этот метод может быть использован для лю-
бой когомологической операции, если известно ее поведение-
при X-умножении.)	..
Обозначим через Y объединение пространства X и произве-
дения 1хА, где АсХ отождествляется с {0}хА. Положим
Я=[1/2, UxAcY, Z=XUlO, VJxAcY, А'=(1)ХА и А"=
—Bf]Z. Тогда следующая диаграмма коммутативна:
эпимор-
НЧ\А-З^нЪа’)	и VuZ)  //VlM")
6	6	5	 i	6	. 
н ‘(.Y.A) — Н4’ '(У./х А)	4 ’ '(У. A'» '(YA'UZ) A’u A")
Изоморфизмы в нижней строке имеют место в силу гомотопической
эквивалентности, леммы о пяти гомоморфизмах и аксиомы выре-
зания. Чтобы доказать равенство 8Sq‘=Sq*8 для Н1 (А), доста-
точно установить его для Н1 (A'(JZ). Рассматривая на диаграмме
крайний квадрат справа, мы видим, что достаточно доказать тре-
буемое равенство для Я5 (A'UA").
Итак, нам надо доказать, что 8 Sqf = Sq* 8, где
8: Я’(5/хА)^Я?+1(/хА, ЯхА).
Пусть 0 и I — когомологические классы в группе когомологий
Н0(д1), соответствующие точкам 0 и 1,и/— образующая группы
когомологий Н1 (I, д1). Используя равенство 8(1 Хи) = /Хи и при-
меняя формулу Картана, получаем
Sq* 8 (1 Хи) = Sq* (/Хи) = Sq°/XSq’ и =
= /X Sq* и — 8 (I х Sq* и) — 8 Sq* (I Хи).
Аналогично, равенство 8(0хи) = —/Хи приводит к равенству
Sq*8(Oxn)==8Sq*(Oxu). в
§ 2.	Проективные пространства
Пусть Я?(Х) обозначает приведенную группу mod 2-когомоло-
гий.
2.1.	Лемма. Пусть SX обозначает надстройку над простран-
ством Xus: Hq (Х)-> Hi+1(SX\— изоморфизм надстройки. Если
выполняются аксиомы 1), 2) и 5), то sSq* = Sq*s.
/
12	АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ/ СТИНРОДА [ГЛ. I
/'
Доказательство. Пусть СХ и С'Хдва конуса над X.
Тогда SX = СХUС'Х, где СХ{\С'Х — Х. Изоморфизм надстройки
определяется следующей коммутативной диаграммой для приведен-
ных групп когомологий:
Я«(Х)-----------* Я’+1(5Х)
~!‘	1~
В"ЧСХ, X) -5=55; B"4SX, С'Х)
вырезания
Два вертикальных отображения являются изоморфизмами, так как
пространства СХ и С'Х стягиваемы. Утверждение леммы выте-
кает поэтому из аксиомы 1) и леммы 1.2. В
к
2.2.	Лемма. Если Х= (J А(, где каждое А{ является открытым
i=i
и стягиваемым подпространством в X, то произведение любых к
классов когомологий положительной размерности пространства X
является нулевым.
Доказательство. Так как подпространство А{ стягиваемо
в X, то вложение А{ С X индуцирует нулевой гомоморфизм Ня (X)
-+НЯ(А{) для д>0. Следовательно, гомоморфизм НЯ(Х, А/)->
-»Ня (X) является эпиморфизмом для каждого q > 0 и каждого i.
Если элемент ut имеет положительную размерность и u,. £Н*(Х)
для 1 г к, то для каждого i существует элемент г,- £ Н* (X, Л,),
который отображается в а,-. Но . vk £ Н* (X, (J Л4) = 0, а го-
моморфизм Н* (X, U Л,-) -* И* (X) отображает произведение vxv2 • • -vk
в произведение щи^ .. ,ик, что следует из инвариантности ^-умно-
жения относительно вложения
(X; 0, 0, .... 0)С(Х; Лх, А.....Лк). В
Из леммы 2.2 вытекает, что все ^-произведения в когомоло-
гиях пространства SX равны нулю.
2.3.	Теорема, п-кратная надстройка над отображением
Хопфа № -»S2 является существенным отображением.
Доказательство. Пусть X = СР2 — комплексная проектив-
ная плоскость. Применяя теорему двойственности Пуанкаре, мы
видим, что если х— ненулевой элемент из №(Х), то х2 будет не-
нулевым элементом из Я4(Х). Пространство X получается при-
.клеиванием 4-мерной клетки е4 к сфере № по отображению
Хопфа /: № -> №. Поэтому пространство №Х получается приклеи-
ванием (а -|- 4)-мерной клетки 8”е* к №+2 = №№ по отображе-
нию №/: №*8->№+2. Но
Sq® (s”x) = sn (Sq2 (x) <(по лемме 2.1)>
= s” (x2) <по аксиоме 3)>
О, так как s — изоморфизм.
$ 2]	ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	13
Следовательно, является ненулевым элементом группы ко-
гомологий Яя+2(5”Х) и Sq2(s”a;) — ненулевым элементом группы
когомологий Яв+4(5ПХ). Предположим теперь, что отображение S"f
несущественно. Тогда 8пХ ~ 5я+2 у №+4. Пусть г: SnX -» Sn+2 —
композиция этой гомотопической эквивалентности и очевидной
ретракции, и пусть и — ненулевой элемент группы когомологий
Ям+2(5Я+2). Тогда Sq2u = 0. Таким образом,
О = г* (Sq2 и) = Sq2 (r*u) = Sq2 (s”x) =£ 0.
Полученное противоречие доказывает теорему. 
Аналогичным образом можно доказать, что любая надстройка
и над другими отображениями Хопфа дает существенные отобра-
жения.
Аксиомы 3) — 5) позволяют вычислить действие операций Sq*
на некоторой части кольца когомологий.
2.4.	Лемма,. Из аксиом 2) — 5) вытекает, что если dim u = 1,
то Sq* uk =	u*+*.
Доказательство. В случае к = 0 наше утверждение сле-
дует из аксиом 2) и 4). Если к > 0, то применяем индукцию по к:
Sq* ик — Sq* (и • и*”1) =
= Sq° и • Sq* uk~r + Sq1 и • Sq*’1 ик~х =
=[C7*)+(.-i)]“w'=C)““ 
2.5.	Лемма. Если dimu = 2 и Sq1u = pu = O, то
Sq2*(nfc) = (*)u№* и Sq2*+1(»*) = 0.
Доказательство. Это устанавливается индукцией, как
в предыдущей лемме, g
При вычислении биномиальных коэффициентов по модулю р
очень полезна следующая лемма.
’ т
2.6.	Лемма,. Пусть р— простое число, а = 2 а«Р* и Ь =
i—0
= ^jb{p* (0^а4, bf<Zp). Тогда
•=о
ТТ А
(J=lI(eJmod р.
Доказательство. Имеем
^=д!Е^Д^±<>^0(то(1р)
(0<|<р).
/
14	АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ^ СТИНРОДА . [ГЛ. I
Следовательно, в кольце полиномов (Z/p)[x] справедливо равен-
ство (1 -f- х)р = 1 -f- хР- Отсюда получается/индукцией по I, что
(1 -j- x)pi = 1 -f-xpi • Таким образом, /
(1 _L xf = (1 + х? *‘р{ ~ П x)tiP‘ ==
4=П
Коэффициент при xa = xSafp{ в стандартном разложении бинома
(1 +®)д Равен (*) , а из приведенного выше разложения видно, что
т /Ь'\
он равен П( ’)•
1=0	'
%.7. Лемма. Если dimu = l, то
Sq* (»«*) =
и2* для i = 0,
0 для i=7^= 0, 2к,
и*к+1 для I — 2к.
Доказательство. Это немедленно следует из леммы 2.4 и
леммы 2.6. 
§ 3.	Определения. Базис допустимых мономов
Определим теперь mod 2-алгебру Стинрода 21(2). Пусть М =
= (М() — последовательность Я-модулей, где R — некоторое ком-
мутативное кольцо и 1^0. Такая последовательность называется
градуированным модулем. Будем говорить, что элементы из Mt
имеют степень (или размерность) i. Гомоморфизм /: А -»В гра-
дуированных модулей — это последовательность гомоморфизмов
At-*B(. Если М и N — градуированные модули, то градуирован-
ный модуль М N определяется следующим образом: (М ® N)r =
Градуированный Я-модуль А называется граду-
ированной алгеброй, если задан некоторый гомоморфизм <р: А0
®А-*А, называемый умножением, и эта операция умножения
обладает единичным элементом 1 (который, очевидно, имеет сте-
пень 0).
Говорят, что градуированная алгебра ассоциативна, если ком-
мутативна следующая диаграмма:
А®А®А	А®А
1®<р |	?
A (g)4--------► А
g 3]	ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ВАЗЙС ДОПУСТИМЫХ МОНОМОЁ	15
Пусть А и В — градуированные модули и Г: 4®	Л —
отображение, определяемое формулой Т(афЬ)=—lpq(b®a),
где р = dim а И q — dim Ъ. Мы говорим, что алгебра коммутативна,
если коммутативна диаграмма
Гомоморфизм алгебр /: А -* В — это гомоморфизм модулей, пере*
становочный с умножением (/<р^ = <рв (/(g)/)) и такой, что/(1)=1.
Пусть М — градуированный модуль, и А — градуированная ал*
гебра. Модуль М называется A-модулем, если существует отобра*
жение ф: A (g) М -> М, согласованное с единицей из 4 и такое,
что следующая диаграмма коммутативна:
4 (g) 4(g) ЛГ —А®М
I	IФ
4	4
А (g) М--------> М
Если В — другая градуированная алгебра, то A (g) В наделяется
структурой градуированной алгебры, задаваемой умножением
А ® В ® А ® В —А (g) A (g) В ® В А (g> В.
Если N— некоторый 5-модуль, то d/(g) ZV наделяется структурой
4 (g) 5-модуля, задаваемой отображением
A (g) В (§) М (g) N —A®M®B®N^М ® N.
Основное кольцо В можно рассматривать как градуированный мо*
дуль В, в котором Bf = 0 при i > 0.
Мы называем градуированную алгебру пополненной, если за*
дан некоторый гомоморфизм алгебр е: А-*-В.
Пусть М — градуированный 5-модуль. Обозначим через Мг
тензорное произведение модуля М на себя г раз и положим
Г(Л/)=2^Я (М° = В). •
я=О
Г(Л7) называется тензорной алгеброй модуля М. Умножение
Г (М) (g) Г (М) -» Г (М) индуцируется каноническим изоморфизмом
М^М^М^.
16	АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ СТИНРОДА [ГЛ. I
Мы определим mod 2-алгебру Стинрода 21(2) как градуирован-
ную ассоциативную алгебру, порожденную элементами Sq*, удо-
влетворяющими соотношениям Адема (§ 1, аксиома 7). Опишем
подробнее, как она устроена. Пусть М — градуированный Z/2-мо-
дуль, в котором Mi^Z/2 для всех г^>0. Обозначим образующую
модуля Mt через Sq*, так что dim Sq’ = i. Алгебра 21 (2) получа-
ется факторизацией алгебры Г (Л/) по соотношениям вида
Sq“0Sqd—а _2^.7 jsqe+J~'Q Sq', где а<2&.
Будем писать Sq° = 1 в 21 (2).
Для заданной последовательности неотрицательных целых чи-
сел I =	i2, ..., ik) число к называется ее длиной и обознача-
ется через к = I (Z). Определим момент последовательности 1 фор-
к
мулой т (I) = 2 5г«- Последовательность I называется допустимой,
в=1
если выполнены следующие условия: ia_t 2ia для k'^s'^2 и
ik 1. Положим х)
SqJ = Sq’» Sq*’» ... Sq^.
Если последовательность I допустима, то и сам моном SqJ
называется допустимым. Отнесем к числу допустимых мономов
также Sq°. В очевидном смысле мы будем говорить о моментах
монома SqJ.
3.1. Теорема. Допустимые мономы образуют базис алгебры
21(2) как векторного пространства над полем Z/2.
Доказательство. Покажем, прежде всего, что любой
недопустимый моном является суммой мономов с меньшими мо-
ментами, а значит, допустимые мономы порождают 21/2 как век-
торное пространство. Пусть /==(ii, . . . ,	— произвольная не-
допустимая последовательность без нулей. Тогда для некоторого г
мы имеем n=ir <( 2ir+1=2m. В силу соотношений Адема
SqJ = Sq* Sq” Sq’” Sqw = £ Xy Sq* Sq"+m-y Sq' Sq*
j
где X^. £Z/2. Легко проверить, что каждый моном справа имеет
меньший момент, чем SqJ (для случаев /=0 и j > 0 проверка про-
водится по отдельности). Индукцией по моменту легко устанавли-
вается теперь, что каждый моном является суммой допустимых
мономов.
Осталось показать, что допустимые мономы линейно незави-
симы. Пусть Р обозначает бесконечномерное вещественное про-
ективное пространство. Тогда Н* (Р) является кольцом полиномов
(Z/2) [и], где dimu=l. Пусть Р” обозначает n-кратное прямое
J) Операции вида SqJ называются далее мономами. — Прим, перев.
8 31
ОПРЕДЕЛЕНИЙ, БАЗИС ДОПУСТИМЫХ МОНОМОВ
1?
произведение Р на себя, и пусть w=uXuX. . .XuQH” (Ря).
Применение следующего предложения завершает доказательство
теоремы 3.1.g
3.2. Предложение. Отображение 21(2) ->77*(РЯ), определяе-
мое вычислением действия операции на элементе w, переводит
допустимые мономы степени1) в линейно независимые эле-
менты.
Доказательство. Проведем индукцию по га. Для га==1.
наше утверждение следует из леммы 2.4.
Предположим, что 2aJSq/u> = 0, где сумма берется по допу-
стимым мономам Sq7 фиксированной степени q, где q га. Мы хо-
тим доказать, что аТ = 0 для каждого I. Это будет сделано индук-
цией «назад» по длине I (7). Предположим, что ах = 0 для t(1)^>т.
Написанное выше соотношение принимает тогда вид
(1)	S arSqJu>-|- 2 flrSqJu? = O.
/(/)=». /(/)<«
Теорема Кюннета утверждает, что
№+я (р») = 2 Н‘ (Р) ® Я»*™ (Р”-1).
9 .
Обозначим через g проекцию на слагаемое с показателем s — 2m
и положим w = uXw', где w' £ 77я-1 (Р”"1). По лемме 1.1
(2)	Sq7 w — Sq7 (га X w') — 2 Sq7ra X Sq7-7ra/,
где J 7 означает, что 0 /г 7г Для всех г- Обозначим через Jm
последовательность (2т-1, .. ., 21, 2°). Мы утверждаем, что
О,	если ^(7)<^тп,
и2”1 X Sq^wira', если t (7) = т.
Напомним, что, согласно лемме 2.7, Sq7ra = O, если 1 не является
последовательностью вида (2fc-1, 2fe~2, ..., 21, 2°) или такой после-
довательностью с произвольно вставленными нулями, а в случае,
когда J = Jm или J получается из 1т вставкой нулей, то SqJu —
= и2т. В этом последнем случае /’(7)^>тга. Чтобы доказать равен-
ство (3), обратимся к формуле (2). Если I (7) т, то из условия
7^7 вытекает, что ^(7)<^тга и, следовательно, gSq7ra> = 0. Если
£(1) = т, то g (Sq7ra X SqJ~Jw') = 0 при J 7т^7. Это доказы-
вает формулу (3).
Применяя проекцию g к (1) и используя (3), получаем
(4)	и2т X 2 ai Sqr~Jmw' = 0.
к
!) Степенью монома Sq1, где I = ifc), называется сумма 2	—
S=1
Прим, перев.
2 Н. Стинрод, Д. Эпстейн
(3)	gSq7ra> =
18
АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ СТИНРОДА
[РЛ. 1
Легко проверить, что, когда I пробегает множество всех допусти*
мых последовательностей длины т и степени q, I — Jт пробегает
множество всех допустимых последовательностей длины т и сте-
пени q— 2”’-|-1 и что это соответствие взаимно однозначно. Так
как тп 1, то q —	— 1. Из индуктивного предположе-
ния следует, что каждый коэффициент в соотношении (4) равен
нулю. Таким образом, аТ = 0 для t (/) = т. Это завершает доказа-
тельство предложения. 
3.3. Следствие» Отображение 21(2) -> Я*(РМ), задаваемое фор-
мулой Sqz —SqJw, является мономорфизмом в степенях ^п. 
Упражнение. Найти базис группы 2112, состоящий из допустимых
мономов. (Заметим, что если I является допустимой последовательностью
длины к, то deg Sq1- > 2fc-1	1 = 2fc — 1, поэтому решение упражне-
ния сводится к выполнению конечного числа действий.)
§ 4.	Неразложимые элементы
Значительная часть материала этого параграфа принадлежит
Адему [4].
Пусть А — ассоциативная градуированная алгебра и А —
идеал в А, состоящий из элементов положительной степени.
Множество разложимых элементов в А — это образ множества
404 при отображении <р: 404 ->4. Этот образ является
двусторонним идеалом в 4. Элементы факторалгебры Q (4) =
=4/<р (404) называются неразложимыми элементами алгебры 4.
Градуированная алгебра А называется связной, если 40 равно
основному кольцу R.
4.1.	Лемма,. В градуированной связной алгебре А над полем
любое множество В образующих этой алгебры, содержит подмно-
жество Вх, образ которого в Q (4) образует векторный базис.
Всякое такое Вг является минимальным и порождает алгебру А.
Доказательство. Любое множество образующих алгебры А
порождает Q (4). Пусть Bt — подмножество В, образ которого
в Q (4) является базисом, и пусть g £ 4 — элемент наименьшей
степени, который не принадлежит алгебре А', порождаемой под-
множеством (1, Вг}. Существует элемент g’fcA' такой, что эле-
мент g — g’ разложим. Тогда g — g'E<p(404) и g — g' = ^а'(а",
где a{a"QA. Однако а\ и а\ принадлежат 4'. Следовательно, g £ 4'
и мы получили противоречие. 
4.2.	Лемма. Операция Sq* разложима тогда и только тогда,
когда I не является степенью двух.
Доказательство. Записывая соотношения Адема в виде
f ~ *) Sq®*» = Sq» Sq» +	С Г2 ')	S<^-
/>о
§ 4]
НЕРАЗЛОЖИМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
19
а \ = 1, то операция
Sqa+J разложима. Предположим, что i не является степенью двух.
Тогда i = a-\-2k, где 0<а<2*. Положим Ъ — 2к. Тогда Ъ — 1 =
= 1 -|- .. . 4-2fc-1. Согласно лемме 2.6, а ^ = 1. Таким образом,
если i не является степенью двух, то операция Sq* разложима.
2fc-l	?
Пусть теперь I — 2к. Допустим, что Sq2fc = 2ту^Ч'/- Тогда,
в обозначениях §§ 2 и 3, мы имеем согласно лемме 2.7
u^+1 = sq2Vfc=2 Sq" =о.
Полученное противоречие доказывает лемму. 
4.3.	Теорема. Элементы Sq2* мультипликативно порождают
алгебру 21(2).
Доказательство. Это следует из лемм 4.1 и 4.2. И
Заметим, что элементы Sq2* не являются свободными образую-
щими алгебры 21 (2). Например, в силу соотношений Адема,
Sq2 Sq2 = Sq3 Sq1 = (Sq1 Sq2) Sq1.
4.4.	Теорема. Пусть X — топологическое пространство,
x(*Hg(X; Z/2) и x2 =^=0. Тогда Sq2’ х=^=0 для некоторого i, такого,
что 0 </2*</q.
Доказательство. Имеем 0=^= х2 — Sq® х — 2 (мономы от
Sq2,;) х, где 2J q, откуда и следует наше утверждение. 
Кольцом усеченных полиномов от одной переменной х назы-
вается факторкольцо кольца полиномов по идеалу (ж") для неко-
торого п ^>2.
4.5.	Теорема. Если Н* (X; Z/2) является кольцом полиномов
или кольцом усеченных полиномов от одной переменной х размер-
ности q, причем х2=^0, то q — 2k для некоторого к.
Доказательство. Так как Н*(X) — кольцо полиномов, то
№+2‘ (X) = 0 для 0 < 2* < q. Следовательно, Sq2* х = 0 для 0 </
</ 2* </ q. По теореме 4.4 Sq2* 2=^=0 для некоторого к такого, что
0<2*</д. Таким образом, q = 2k. 
Замечания. Дж. Ф. Адамс показал [2], что единственными
возможными значениями для к являются 0,1, 2,3. Его метод требует
гораздо более глубокого анализа алгебры 21 (2). Примерами про-
странств, которые удовлетворяют предположениям теоремы 4.5,
служат:
i)	вещественное проективное пространство любой размерности,
?=1;
ii)	комплексное проективное пространство любой размерности,
?=2;
2*
20
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ СТИНРОДА
[ГЛ. I
iii)	кватернионное проективное пространство любой размер-
ности, д=4;
iv)	проективная плоскость Кэли, д=8.
4.6.	Теорема, Пусть М — связное компактное 2п-мерчое
многообразие такое, что Hq(M) = 0 для l^.q<^n и Н”(М) =
= Z/2. Тогда п является степенью числа 2.
Доказательство. Я2"-1 (ЛГ) = 0 для	и если
и — образующая группы Н*(М), то и2 будет образующей группы
Н2я (М). Таким образом, можно применить теорему 4.5. 
§ 5.	Инвариант Хопфа
Пусть /: S2”-1 -> S” (п > 1)— отображение сфер и X — ассоции-
рованное с этим отображением пространство, полученное приклеи-
ванием 2га-мерной клетки е2” к га-мерной сфере 8я по отображению /.
Тогда НЯ(Х; Z)«iZ и Я2в(Х; Z)?«Z, а все другие группы кого-
мологий положительной размерности равны нулю.
Пусть xQH"(X', Z) и у^Н2я(Х; Z) — образующие. Тогда
x2=h(f)y для некоторого целого числа h (f), называемого инва-
риантом Хопфа отображения /. Инвариант Хопфа определен
однозначно с точностью до знака. При замене отображения /
гомотопным ему отображением гомот пический тип пространства
X не меняется, и, следовательно, инвариант Хопфа является ин-
вариантом гомотопического класса отображения /. Иногда двой-
ному накрытию окружности S1 -* S1 (для которого ассоциирован-
ным пространством служит проективная плоскость) приписывают
инвариант Хопфа, равный 4-1.
5.1.	Теорема. Если существует отображение f:S2n~1-+Sn
с нечетным инвариантом Хопфа, то п является степенью двух.
Доказательство. Пусть т]:Я*(Х; г)->Я*(Х; Z/2) — ото-
бражение, индуцированное гомоморфизмом областей коэффициентов
Z -> Z/2. Это отображение представляет собой кольцевой гомомор-
физм. Поэтому (к]®)2 = цу, ибо h (/) = 1 (mod 2). По теореме 4.5
число п является степенью двух. 
Замечания. 1. Легко видеть, что если число п нечетно, то
h (/) = 0. Действительно, в этом случае ж2 = —х2, а значит 2х2 = 0
(в когомологиях с целыми коэффициентами).
2.	Приведем список стандартных отображений с инвариантом
Хопфа, равным единице, и ассоциированных с ними пространств:
5s -* S2 — комплексная проективная плоскость,
S1 -»£4 — кватернионная проективная плоскость,
£1в->№— проективная плоскость Кэли.
5,2.	Теорема (Хопф [30]). Если п — четное число, то суще-
ствуют отображения f:S2a~1-*-Sn с любым четным инвариантом
Хопфа.
Доказательство. Пусть £х, S2 v. S суть (га — 1)-
мерные сферы и /: Sx х £, -> £ — некоторое отображение. Скажем,
§5]
ИНВАРИАНТ ХОПФА
21
что / имеет степень (а, Р), если / | SlXpi имеет степень а,
a / I jt>iXiSa имеет степень р,. где (рх, р2)€ SxXS2. Степень отобра-
жения / не зависит от выбора пары (plt р2). Пусть Е{ — такая
п -мерная клетка, что 5t=Bd Е(, i=l, 2. Легко видеть, что
Bd (ЯхХЯ2)=(Яхх52)и(5хХЯ2) является (2п — 1)-мерной сфе-
рой и (ЯхХ<5а)Г1(<5хХЯ2)=5хХ5а. Пусть S' — надстройка над S'.
Тогда S'=E+ {JE_, где Е+ и Е_ суть n-мерные клетки и Е+ ПE_=S<
Данное отображение f: S1'XS2 S мы продолжим до отображения
С(/): (Е, X S2) U (<$х X Яа) ^Е+ U Я_ = S'
таким образом, чтобы С (f) (Ях X S2) С Е+ и С(/)(5Х X Я2) с
Таким образом, С (/) есть отображение S2"-1 -> Sn. Для завершения
доказательства нам потребуются следующие две леммы.
5.3.	Лемма. h(C (/)) = ар.
Доказательство. В доказательстве будут использо даться
когомологии с целыми коэффициентами. Пусть X — пространство
(Е1 X Е2) U с (f)S', полученное в результате приклеивания клетки
по C(f). Приклеивающее отображение С(/) задает отображение g:
(Ег X Е2, Ег X Sa, Sx X Е2) -> (X, Е+, Е_). Пусть х — образующая
группы Нп(Х‘, Z). Определим элементы ж+ и х_ как прообразы
образующей х соответственно при изоморфизмах Нп(Х, Е_)~* Н№(Х)
и Нп(Х, Е+)~* Нп(Х). Далее, отображение (X, 0, 0)-»(Х,	Е_)
дает коммутативную диаграмму
Нп (X) ® Н” (X) ---> Я2” (X)
t	t
Я’(Х, Я+)®Я’(Х, Е_) -> Я2"(Х, S')
Вертикальные отображения в этой диаграмме являются изоь орфиз-
мами. Значит, образом о-произведения х+ о х_ при отображении
№"(X, 5,)->Я2я(Х) служит ж2. Имеем следующую коммутативную
диаграмму:
Я"(Х) ---------— Й-(Х, В_) -й Я-(В, х в,, S, > В,)
|~	I	I-
Я” (S')	H”(S', Е_)	Н*(Е+> S) X Я"(ЯХ X ра, 5Х > р2)
?	Л
О | А*	О | fV
Hn~^(S)-------> Я-^^Хр,)
22
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕВРЫ СТИНРОДА
[ГЛ. I
Из нее вытекает, что g*x+ = аи?+, где u?+ — образующая группы
Нп(Ег X Е2, Sr X Е2). Из аналогичной диаграммы видно, что £*ж_ =
= Р»_, где w_ — образующая группы Нп(Е1 X Е2, Е± X Sa).
Пусть р{: E1xEi->Ei (i=l, 2) — естественные проекции.
Определив образующие х^Нп(Е<, S{) равенствами р*х1=ю+
и p*x2 = w_, получим
рХ	Р*х2 = (Ж1 X 1) v (! х х2) = жх X Х2.
Следовательно, g*x+ о g*x_ = a.w+ о |3w_ = ар (хг X яа) и жх X х2
является образующей группы Н2п (Ех X Е2, Ег X S2 U Sx X Е2).
Далее, поскольку отображение g: (EtxE2, E1%S2\J S^E^-^-
->(Х, S') является относительным гомеоморфизмом, оно индуци-
рует изоморфизм 2п-мерных групп когомологий. Таким образом,
мы имеем изоморфизмы
Я2я (X)	Н2*(Х, S’) НЯп(Е1 X е2, e1xs2{js1x е2).
При первом из этих изоморфизмов элементу ж2(<Я2я(Х) соответ-
ствует элемент х+ х_ £ Я2” (X, S'), а при втором произведению
х+^х_ соответствует элемент ар(жхХ^2)- Пусть у — образующая
группы Я2Я(Х), отвечающая элементу х^х* Тогда ж2 = а{3г/.
Лемма доказана. 
5.4.	Лемма. Для любого четного п существует отображение f:
S"-1 X S’1"1 -» S”-1 степени (2, —1).
Доказательство. Пусть х, y^S^1. Обозначим через D(x)
ортогональное дополнение к вектору х в евклидовом пространстве R”
и возьмем в качестве f(x, у) образ точки у при отражении отно-
сительно D(x). Если (®x, ..., хп) и (уг, ..., уп) — координаты век-
торов х и у соответственно, то отображение f(x, у) задается фор-
мулой
У) = У — 2 2 xtyt х-
\ <=1 /
Фиксируем точку х (1, 0,..., 0). Тогда f(x, у) = (—ylt у2,..., уп).
Это отображение х X Sn 1 -> Sn 1 имеет степень —1. Фиксируем
теперь точку у = (1, 0, ..., 0). Тогда
/(ж> y) — (i—2x2, — 2xjX2, . . ., — 2x1xn) — g(x).
Отображение g задает отображение R” -> R", которое переводит
плоскость жх = 0 в точку у и является взаимно-однозначным на
каждом из полупространств ®x > 0 и жх 0. Отображение g:
5я-1 -» S’*-1, очевидно, разлагаемся в композицию S’*-1 -> Р"-1 -> S"-1
двух отображений, первое из которых для четных п имеет сте-
§51
ИНВАРИАНТ ХОПФА
23
пень 2, а второе — степень 1. Следовательно, степень отображе-
ния g равна 2. Лемма доказана1). 
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 5.2. Пусть
/х: S’1-1	S”-1 — произвольное отображение степени К и /2: S”"1 -*
— произвольное отображение степени р. Тогда отображение
=	гДе /—отображение из леммы 5.4, имеет степей!»'
(2Х, —р.). По лемме 5.3 инвариант Хопфа отображения C(g):
равен —2Хр. Теорема 5.2 доказана. 
Замечание. Предположим, что мы имеем конечномерную (раз-
мерности п^>1) вещественную алгебру с делением, с двусторон-
ней единицей и умножением
т: R"XR’-»R”
Рассмотрим сферу S”"1 с центром в начале координат 0, проходя-
щую через единицу алгебры. Тогда отображение
5»-i х s„-i д, R\(0) Л S’1'1,
где г — радиальная проекция из 0, имеет степень (1, 1), так как 5я-1
содержит единицу. Применяя лемму 5.3, заключаем, что суще-
ствует отображение 52я~1 -> Sn с инвариантом Хопфа, равным 1.
Согласно Адамсу [2], отсюда следует, что « = 2, 4 или 8.
х) Дадим более непосредственный вариант окончания доказательства
леммы 5.4: Отображение g: S’1-1 -> iS”-1 переводит полусферу хх < 0 на
всю сферу S’1-1, оставляя на месте точку —у и сохраняя ориентацию,
а полусферу > 0 — на всю сферу так, что точка у переходит в точку
—у и ориентация сохраняется, если п четно. Таким образом, отображение
g имеет степень 2, и лемма доказана. — Прим, перев.
Глава II
АЛГЕБРА, ДВОЙСТВЕННАЯ К АЛГЕБРЕ 21 (2)
В § 1 доказывается, что алгебра Стинрода 21 (2) является алгеб-
рой Хопфа. В § 2 описана структура двойственной алгебры. В § 3
доказывается, что алгебра 21(2) нильпотентна. В § 4 кратко обсу-
ждается канонический антиавтоморфизм с алгебры Хопфа. В § 5
описаны различные конструкции. с использованием модулей над
алгеброй 21 (2).
§ 1. Алгебра 21 (2) является алгеброй Хопфа
1,1. Теорема. Отображение, задаваемое на образующих фор-
мулой.
к
^(Sq^^SSq-OSq^,
продолжается до гомоморфизма алгебр
ф: 21 (2)->21(2)® 21 (2).
Доказательство. Для краткости будем писать 21 вместо 21 (2).
Пусть 21 обозначает свободную ассоциативную алгебру, порожден-
ную элементами Sq* (i^>0). Мы имеем эпиморфизм о>: 21->21
с ядром, порожденным соотношениями Адема. Отображение ф, за-
данное на образующих, естественным образом продолжается до
гомоморфизма алгебр ф: 21-> 21® 21. Нам надо показать, что ф
обращается в нуль на кегш. Рассмотрим отображение 21-модулей
а: Я*(Х)®/Г(У)->Я*(ХХ П
задаваемое формулой a (u®v)=uXv. В силу теоремы Кюннета
для случая, когда областью коэффициентов является поле, а пред-
ставляет собой изоморфизм. Пусть Р — бесконечномерное веще-
ственное проективное пространство и Х=Рп=РХ. . .ХР. Тогда,
в обозначениях § 3 гл. I, отображение w: 21 -> Н* (X), определя-
емое действием операций на элементе w, является мономорфизмом
в размерностях (см. следствие 3.3 гл. I). Поэтому и отобра-
жение щ®ш: 21®21 -> Н* (Х)®Н* (X) будет мономорфизмом
в размерностях ^п.
I 1]
АЛГЕБРА 21 (2) ЯВЛЯЕТСЯ АЛГЕБРОЙ ХОПФА
25
Мы имеем диаграмму
21(8)21	Н*(Х)®Н*(Х)-^ НЦХХХ)
, *	t
ф	»Х»
Докажем, что она коммутативна. Кольцо Н* (X) 0 Н* (X) является
21®21-модулем и, следовательно, 21-модулем (используем отобра-
жение ф). С помощью изоморфизма а это задает структуру 21-мо-
дуля на кольце Н*(ХХХ). Однако Н*(ХХХ) обладает своей
обычной структурой 21-модуля, отвечающей отображению «. Эти
две структуры 21-модуля совпадают между собой, ибо
(о Sq*) (ш X v) = 2 Sq* и X Sq*_*r =
= a ((2 Sq* ® Sq*"*) (u 0 r)) — a (<£ Sq* • a 0 v).
Поэтому приведенная выше диаграмма коммутативна.
Если теперь тп^21, degzn^n и = то из коммутатив-
ности диаграммы и того факта, что гомоморфизм ш0ш является
мономорфизмом в размерностях следует, что фиг —0. ||
Пусть А — пополненная градуированная алгебра над коммута-
тивным кольцом R с единицей. Мы говорим, что А является
алгеброй Хопфа, если
1) задано некоторое диагональное отображение1)
ф: Л->Д0Д;
2) композиции
обе представляют собой тождественное отображение.
Мы говорим, что отображение ф ассоциативно, если следую-
щая диаграмма коммутативна:
ф
А —*—> 40/1
фI	I
10ф
_______________ А 0 А---------► А 0 А 0 А
1) Наряду с термином «диагональное отображение» используется также
термин «коумножение». — Прим, перев.
26
АЛГЕБРА, ДВОЙСТВЕННАЯ К АЛГЕБРЕ (2)
[ГЛ, п
и что Ф симметрично, если коммутативна диаграмма
(определение отображения 7’ см. в § 3 гл. I).
1.2. Теорема. Алгебра 21(2) является алгеброй Хопфа с сим-
метричным и ассоциативным диагональным отображением ф, опре-
деленным в теореме 1.1.
Доказательство. Отображение ф представляет собой
гомоморфизм алгебр, согласно теореме 1.1. Так как 21 (2) — связ-
ная алгебра, то мы имеем единственную аугментацию е: 21 (2) -»
-> Z/2. В диаграмме
все отображения суть гомоморфизмы алгебр. Обе композиции
действуют как тождественные отображения на образующих ал-
гебры 21, и, следовательно, представляют собой тождественные
отображения. Используя тот факт, что отображение ф является
гомоморфизмом алгебр, мы убеждаемся проверкой на образующих,
что оно симметрично и ассоциативно. 
Пусть А — некоторая алгебра Хопфа с диагональным отобра-
жением ф: А -> Л0Л и М — некоторый Л-модуль. Тогда 7И0М
будет А 0А-модулем. Отображение ф определяет на 7И07И струк-
туру Л-модуля. Пусть т: М®М -> М — умножение в М. Мы
будем говорить, что М является алгеброй над алгеброй Хопфа Л,
если умножение т представляет собой гомоморфизм Л-модулей.
1.3. Предложение. Для любого топологического пространства
X кольцо Н* (X; Z/2) является алгеброй над алгеброй Хопфа 21(2).
Доказательство. Этот результат немедленно следует
из формулы Картана, поскольку отображение ф есть гомоморфизм
алгебр. 
Пусть X — градуированный Л-модуль, где Л — алгебра Хопфа
над основным кольцом R с ассоциативным диагональным отобра-
жением ф, и пусть Г (X) — тензорная алгебра модуля X над коль-
цом R г). Очевидно, что обычное умножение т: Г (Х)®Г (Х)->Г (X)
является Л-гомоморфизмом. Следовательно, Г (X) представляет
собой алгебру над алгеброй Хопфа Л.
1) См. § 3 гл. I. — Прим, перев.
$ 2]	СТРУКТУРА ДВОЙСТБЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ	27
§ 2. Структура двойственной алгебры
Пусть X — градуированный модуль над полем R. Будем
говорить, что X является модулем конечного типа, если Я-модУль
Хп имеет конечную размерность для каждого п. Мы определим мо- -
дуль X*, двойственный к модулю X, как градуированный модуль
с Х*=Нот (X„, R). Если X и Y — модули конечного типа, то\
имеет место канонический изоморфизм
(X® Y)*^X*®Y*,
определяемый формулой:
(7®g)(a®&) = (—i^fa^gb, p = dega, q = degg.
Если А — алгебра Хопфа конечного типа с умножением ср и
диагональю ф, то, как легко проверить, А* также будет алгеброй
Хопфа, с умножением ф* и диагональю ср*.
Для к~^>0 положим A/j. = SqJ, где / = (2*-1, 2fc-2, ..., 2, 1).
Ясно, что Мк является допустимым мономом в алгебре 21. Пусть
Sj. £ 2Г — элемент, двойственный к элементу Мк относительно базиса
допустимых мономов в 21, т. е. МкУ = 1 и <^., т> = 0 для
всякого допустимого монома т=^=Мк. Моном Мк имеет степень
2*— 1, следовательно, и lk имеет степень 2*— 1.
Пусть Р — бесконечномерное вещественное проективное простран-
ство, х ^НГ{Р,7>!2)— образующая и Рп = РхР'Х ••• ХР- Рассмо-
трим в группе Нп {Р"; Z/2) элемент хкХх2Х • • • Ххп, где каждое
х( — х. Следующая теорема вместе с предложением 3.3 гл. I
позволяет выяснить структуру алгебры 2Г.
Используя индукцию п, определим элементы х (I) Q Н* (Р”) и
$(7’)£2Г, где Z = (i1, ..., гя) — произвольная последовательность .
неотрицательных целых чисел, следующим образом. Если I = (i),
то мы полагаем х(Г) = х21 и £(1) = ^. Пусть элементы х (Z) и ?(/)
уже определены, когда I имеет длину меньше чем п. Для
/ = &, .... 1„) положим x{l) = x{i1)Xx{i2, ...,i„) и £(/) =
1=1 ? (h) ? (hi • • • > Q-
2.1. Теорема, Для всякого а £ 21 имеет место формула:
а(ж1Х • • • Х®я) = 2 <?(/), «>«(/).
г (/)=«»
{Эта сумма является конечной, так как ? (/), а>=0, если элементы
? (Z) и а имеют неодинаковую размерность.)
Доказательство. Проведем индукцию по п. Если а —
допустимый моном, то аж=0, если a,=^=Mk, а Мкх=2?к (по лемме
2.7 гл. I). Следовательно, доказываемая формула верна для п=1,
в случае, когда а — допустимый моном. Поскольку каждый эле-
мент в алгебре 21 представим в виде суммы допустимых мономов,
теорема верна для п=1.
$8	АЛГЕБРА, ДБОЙСТВЕЙАЯ К АЛГЕВРЙ QI (2)	[М it
Предположим, что теорема верна для всех целых чисел, мень-
ших п Пусть фа = 2 а< 0 а< • И силу предложения 1.3 и теоремы 1.1,
а fox • • • Ххп) = 2 afoX<foX • • • Xfo —
i
= 2<3 (»i). «;><№» • • •> *„), Ф®Ю=
',1
= 2 <6 (»1) 0 ? (»2, • • •> in), а< 0 “О Х (7) =
♦> I
= 2 <« (»1) 0 В («2> in), Фа> Х fo =
I
= 2 W)> *>х<Л
/(!)="
(последнее равенство следует из того, что ф* является умножением
в двойственной алгебре 21*). 
Мы можем теперь определить структуру двойственной алгебры
21* как алгебры Хопфа.
Пусть 21'— алгебра полиномов над Z/2, порожденная элемен-
тами В2.... Так как диагональное отображение ф симметрично, то
умножение ф* в алгебре 21* коммутативно. Таким образом, мы имеем
гомоморфизм алгебр 21' -> 21*, определяемый очевидным образом.
2.%* Теорема (Милнор [16]). Отображение 21' ->2Г является
изоморфизмом.
Доказательство. Покажем сначала, что отображение 21'-*
->2Г опиморфно. Предположим, что <£(/), а)> = О при любом вы-
боре яоследовательности I. По теореме 2.1 мы имеем тогда, что
afox - • • X®„) = 0 Для всех п. Но в силу следствия 3.3 гл. I это
означает, что а = 0. Таким образом, аннулятор кольца im (21'-»2Г)
равев нулю. Следовательно, отображение 21' -* 2Г — эпиморфизм.
Теперь мы докажем, что отображение 21' -> 2Г является изо-
морфизмом, показав, что в каждой размерности ранг алгебр 21' и
21* как векторных пространств над Z/2 один и тот же. Для этого
достаточно убедиться, что в каждой размерности совпадают ранги
алгебр 21' и 21. Положим	. .?*«, где Z = (i1( ia, ..., in,
О, ...). Тем самым устанавливается взаимно-однозначное соответ-
ствие между мономами алгебры 21' и последовательностями не-
отрицательных целых чисел (ix, ia, ..., in, 0, ...). Допустимым мо-
номом Sqi'^21 соответствуют последовательности целых чисел
(i[, ia. ..., i', 0, ...) с i; > 2i'k+1 и i' 1. Остается установить вза-
имно-однозначное соответствие между последовательностями неот-
рицательных целых чисел I и допустимыми последовательностями
Г, такими, что мономы и Sq7 имеют одинаковую степень.
Пусть 1к — последовательность, у которой на А-м месте стоит
1, а но всех остальных местах—нули, и пусть
/; = (2W, 2*-2....2, 1, 0, 0, ...).
§2]
СТРУКТУРА двойственной алгебры
&
Зададим отображение из множества последовательностей I в мно-
жество последовательностей Г, потребовав, чтобы последователь-
ность 1к переходила в последовательность Гк и чтобы это отобра-
жение было аддитивно (относительно покоординатного сложения).
Тогда, если
/ = (Ч, •••> in, 0,	=	i', 0, ...),
то мономы и Sq7 имеют одинаковую степень и
= h + 2^+i + • • • +
Выражая ik через i', получаем
^к — i)c ^к+Г
Следовательно, любая допустимая последовательность Г является
образом некоторой единственной последовательности I неотрица-
тельных целых чисел. Таким образом, построенное соответствие
взаимно-однозначно. Это завершает доказательство теоремы. 
Теперь найдем диагональ в алгебре 21*.
2.3. Теорема (Милнор [16]). Диагональное отображение <р*:
21*	21* 0 2Г задается формулой
к
Л = 2П^®^
<=0
Доказательство. Пусть а, Р 21. Нам нужно показать, что
<?V «®₽> = <2^_(0^ а 0 ₽>.
Другими словами, нужно показать, что
<^, а₽>=2<П<-<. «><5о ₽>•
♦
Мы докажем это, используя теорему 2.1.
Пусть х — образующая группы когомологий Я1(Р; Z/2), и пусть
d: P-*-P"— диагональное отображение, где « = 2*. Тогда
x2i = (PfoX • • • Х®я).
Поэтому
а . аР‘ = а. • (Р^Х . . • Х®я) = <Ра(ж1Х . • • Ххп) —
= <?( 2 <£(/), а>®(/))= 2
\/(/)=я / /(!)=«
где п(/) = 2‘*-[-•••+24 если / = (^, ..., Q. Циклически пере-
ставляя члены последовательности I, мы не изменяем слагаемое
<?(/), а,ухп^. Так как « = 2*, то число различных последователь-
ностей, получающихся циклической перестановкой из заданной по-
следовательности I, есть некоторая степень двух, скажем, равно
30
АЛГЕБРА, ДВОЙСТВЕННАЯ К АЛГЕБРЕ 21 (2)
[ГЛ. и
Если у(7)>0, то входящие в сумму члены, отвечающие ци-
клическим перестановкам последовательности I, будут взаимно со-
кращаться при приведении по модулю 2. Таким образом, остаются
только члены, для которых /(7) = 0, т. е. т = = i2 = ... = in.
Для таких последовательностей I имеем ?(7) = ^‘ и n(Z) = 2m+<.
Следовательно,
аж2’ = У <^*, а)> ж2и,+*'.
т
Далее,
аЗ)> ж^ = а|3 • ж <по теореме 2.1)> =
к
= а • рж=а 2 <&, ₽> ®2< =
= £< «№, ?Х2’п+<-
i, т
Приравнивая коэффициенты при ж2*, видим, что
<^. «Р>= 2 <^, «><&, ₽>.
m+i—k
Это равенство доказывает нашу теорему. 
§ 3.	Идеалы
Пусть А — алгебра Хопфа конечного типа над полем, с диаго-
налью Идеал М называется хопфовским идеалом, если <[» (Л7) С
СЛ/0Л-|-А0Л7. Если М — хопфовский идеал, то факторалгебра
А/M имеет индуцированную структуру алгебры Хопфа (в предпо-
ложении, что 1 (]< М). Если А* — алгебра, двойственная алгебре А,
и Mt — алгебра, двойственная к А/M, то Mt является подалгеб-
рой Хопфа в Л*, которая аннулирует идеал М. Обратно, если Mt —
подалгебра Хопфа в А*, то двойственная к Mt алгебра является
факторалгеброй алгебры А по хопфовскому идеалу М, который
аннулирует Mt.
Обозначим через М (Д, .... jk, ...) идеал в алгебре 21(2)*, по-
рожденный элементами где п — 2^ (& = 1, 2, ...).
3.1.	Лемма. Если	для всех к, то М — хопфов-
ский идеал.
Доказательство. Если п представляет собой степень двух,
к
то = ('р*^)я = l^k-i ® £"• Индукцией по I получаем неравен-
ство jk_t ]'к 4- i. Следовательно, если 1<^к, то	где« =
= 2J*>. В последнем слагаемом суммы (отвечающем i — k) имеем
£ М, где п = 2Jft. Это доказывает лемму. 
Пусть Мh — идеал алгебры Q[ (2)*, определяемый последователь-
ностью (h, h — 1, ..., 1, 0, 0, ...), и 21* — подалгебра Хопфа ал-
ИДЕАЛЫ
31
§ 3]
гебры 21, аннулирующая Мк. Так как факторалгебра <2Г/М„ конечна,
то конечна и подалгебра 21А.
3.2.	Лемма. Sq* £ 21А для i < 2*.
Доказательство. Проведем индукцию по i. Для 1 = 0 до-
казываемое утверждение очевидно. Выполним шаг индукции. Мы
должны показать, что • Sq* = 0 для г = max (1,2А-Й+1) и любых 7.,
Имеем
r(^®^).Sq, = (gj®^).<|>Sq* =
= 2 (% Sq') (&' Sq*-') = Sq* • ¥ Sq’
j'
по нашему индуктивному предположению. Далее,
deg % = г (2* — 1) > 2i-ft+1 (2й — 1) = 2Л+1 — 2'1-ft+1 > 2*.
Также и degSq‘ = l<2\ Следовательно, Sq* = 0. 
Замечание. В действительности элементы Sq2* (1 < h) порождают
21А, однако мы не будем это доказывать.
3.3.	Следствие. Алгебра 21 является объединением последо-
вательности 21/г (Л = 1, 2, ...) своих конечных подалгебр Хопфа. 
ЗА. Лемма. Для ££2Г
( 5 • Sqz, если I =Л1,
р . gqi_ /	4
4	(	0 в противном случае.
Доказательство. Имеем
52.SqJ = f (6® В)- Sqz = (S® £)•<!> SqJ =
= (?®l)- 2 Sqfi®Sqs= 2 0 Sq«) (I Sq*).
Если мы поменяем местами R и 3, то не изменим выражения
(Е SqK) (5 Sq*). Следовательно, все члены суммы взаимно сократятся
после приведения по модулю 2, за исключением члена, отвечаю-
щего R = S = J в случае, когда I = 2j. Но для ж Z/2 выпол-
няется равенство х2 = х. Следовательно, (? Sq*7)2 = ? SqJ. Отсюда
рытекает утверждение леммы. 
Для любой коммутативной алгебры А над полем Z/2 отобра-
жение Х!Л->Л, определенное формулой \х = х2, является гомо-
морфизмом алгебр. Кроме того, X коммутирует с гомоморфизмами
алгебр. Поэтому для алгебр Хопфа А отображение X является
гомоморфизмом алгебр Хопфа.
Таким образом, отображение Х:2Г->2Г удваивает степени.
Оно является мономорфизмом, так как элементы £2/ для разных I
линейно независимы.
Обозначим через X*: 21->21 двойственное отображение. Оно
Является эпиморфизмом алгебр Хопфа. Так как отображение X
32
АЛГЕБРА, ДВОЙСТВЕННАЯ К АЛГЕБРЕ 21 (2)
(ГЛ. и
k*(Sq7) =
удваивает степени, и его образ не содержит элементов нечетной
степени, то отображение к* уменьшает четные степени в два раза
и переводит элементы нечетных степеней в нуль.
3.5.	Предложение.
Sq7, если I = 2J,
О в противном случае.
Ядро гомоморфизма к* совпадает с идеалом, порожденным эле-
ментом Sq1.
Доказательство. Имеем
( ? • Sq7, если 1 = 2J,
5 • (k*Sq7) = к£ • Sq7 = ? • Sq7 = {
(	0 в противном случае.
Это доказывает первую часть утверждения.
Пусть т = Sq7'	Sq7» — некоторая сумма допустимых
мономов. Тогда, если Ir = 2Jr для какого-нибудь г, то Х*т будет
суммой допустимых мономов, содержащей слагаемое Sq7»’. Таким
образом, если к*тп = 0, то 1Г не делится на 2 ни для какого г,
т. е. моном Sq7*’ содержит множитель Sq2,+1. Далее, в силу соот-
ношений Адема,
Sq1 Sq2< = (2i	Sq2<+1 = Sq2,+1.
Поэтому Sq2<+1£ {Sq1}, и, следовательно, ^^{Sq1}, если k*m = 0.
Итак, мы доказали, что kerk* с {Sq1}. С другой стороны, по-
скольку k*Sq1 = O, мы имеем также {Sq1} С ker к*. Это завершает
доказательство. 
3.6.	Следствие. Пусть Sh — идеал алгебры 21, порожден-
ный элементами Sq”, п — 2°, 21,..., 24-1. Гомоморфизм (к*)л; 21 -> 21
имеет Sh своим ядром, и, следовательно, Sh является хопфовским
идеалом. Здесь отображение (к*)А задается формулой
Sq7, если I = 2hJ,
О в противном случае.
Это отображение индуцирует изоморфизм алгебр Хопфа ty/S4 -> 21.
Доказательство. Это получается индукцией по h. 
Упражнение. Пусть [21, 21] — идеал алгебры 21, порожденный
всеми коммутаторами — (За (а, р^21). Доказать, что [21, 21] является
хопфовскии идеалом, а 21/[21, 21] — алгеброй разделенных степеней от
одной образующей, т. е.
Sq* Sq> = (* S q<+/ mod [21, 21].
(Указание. Доказать двойственное утверждение для алгебры 2Г.)
Sq7i->

АНТИАВТОМОРФИЗМ с
33
§ 4.	Антиавтоморфизм с
' Пусть А — связная алгебра Хопфа над полем с ассоциативной
диагональю’ф’и’умножением <р. Определим отображение с: А -+ А
индукцией по размерности следующим образом. Положим с (1)^=1:
Если
ф® = х ® 1	2J х'( 0 x*t -ф- Г® х,
тоЦмы полагаем4!
сх — —х — 2 (с®<)
Пусть А* — противоположная алгебра Хопфа. Это значит,,что
Л'=Л как градуированное векторное пространство, а умножение <р'
и диагональ ф' определяются из условия коммутативности'диаграммы
За доказательством следующей теоремы мы отсылаем читателя
к последней главе статьи Мура'и Милнора [18].
4.1.	Теорема,» Отображение с: А ->Л' является изоморфизмом
алгебр Хопфа. Если алгебра А'имеет либо симметричную'диаго-
наль, либо коммутативное умножение, то с’=1.
Мотивировкой для определения отображения с может служить
следующий пример. Если G — компактная связная группа Ли и
К —’поле, то группа гомологии	(G; Х)тявляется "алгеброй
Хопфа’над’Х’с диагональю ф, индуцированной’диагональным ото-
бражениемг(?.’-> GxG, я умножением <р, индуцированным’умноже-
нием*!"в группе'1'G. ' Отображение с’йндуцируется отображением
gg~* группы G на себя. Как легко видеть, отображение <р (с01) ф
индуцируется отображением g -»1 и, следовательно, приведенная
выше формула для отображения с справедлива. В этом примере
теорема 4.1 очевидна.
В алгебре 21 справедливы формулы:
c(Sq») = Sq\
с (Sq’) = Sq’ + Sq’Sq1 = Sq’,
c (Sq’) = Sq’ 4- Sq^q’ + Sq’Sq1 = Sq’Sq1,
c (Sq*) = Sq* + Sq^q’ + Sq’Sq’ + Sq’Sq^q1 = Sq* + Sq’Sq1
и T. д.
5 H. Стяжрод, Д. Эпстейн
34
АЛГЕБРА, ДВОЙСТВЕННАЯ К АЛГЕБРЕ 21 (2)
[ГЛ, П
§ 5.	Нестабильные 21-модули
Определим избыточность монома Sq1 = Sq** ... Sq4 как число
(h — 21’л-1) 4" Ол-i — 2’fc-a) + • • • + Ga — ^i) + h-
Для допустимых мономов избыточность всегда неотрицательна.
Пусть х(*Н"(Х). Если SqJ (ж) =/£= 0, то	• • • +^_i
по аксиоме 4) § 1 гл. I. Обозначим через В(п) подпространство
в 21, натянутое на все мономы SqJ, которые могут быть пред-
ставлены в виде тк Sq* т2, где тг и т2 — мономы и i п -|- deg т2.
Очевидно, что В (п) является ле’вым идеалом, который аннулирует
все когомологические классы размерности п. Любой допустимый
моном с избыточностью, большей п, принадлежит В (п), так как
избыточность равна ik —	. .-Hi).’
5.1.	Лемма. Подпространство В (п) порождается как векторное
пространство над Z/2 допустимыми мономами с избыточностью,
большей п.
Доказательство. Мы докажем, что, применяя соот-
ношения Адема к моному из В (п), мы получаем его представление
в виде суммы мономов из В (п). Повторно применяя соотношения
Адема, мы в конце концов представим наш моном в виде суммы
допустимых мономов из В (п). Так как любой допустимый моном
из В (п) имеет избыточность, большую п, отсюда будет следовать
утверждение леммы.
Итак, рассмотрим произвольный моном тг Sq* т2 из простран-
ства В (п). Применяя соотношения Адема к мономам или тп2,
мы получим сумму мономов того же самого вида. Если i <Z 2b
и 7n2=Sq4m', то
[•72]
Sq*Sq4m'2 = 2C 7-7 О™1S4<+WS4<m'r
<=ox
Имеем
i-f-b —	deg т% = n -J- deg m2	b > n deg m2 -f-1.
Если a < 21 и тпх — m{ Sq®, to
[e/2]
m{ Sq“Sq* m2 =	(* 7- 7 *)	S(^в+<", S(I*m*
i=0
Теперь
a 4- i — t > n deg m2 a — t~^n-\- deg m2 + t-=
= n 4~ deg (Sq4 mJ.
Это завершает доказательство. |
Пусть X — некоторый градуированный 21-модуль. Мы скажем,
что X является нестабильным ^.-модулем, если В(п)Хп = 0 для
g S]	НЕСТАБИЛЬНЫЕ QI- МОДУЛИ	35
всех n^>0. Это эквивалентно утверждению, что Sq*® = 0, если
i>dim®. Категория нестабильных 21-модулей и их 21-гомомор-
физмов представляет собой подкатегорию категории 21-модулей и
их 21-гомоморфизмов. Эта подкатегория замкнута относительно
перехода к
1)	подмодулям,
2)	фактормодулям,
3)	прямым суммам,
4)	тензорным произведениям над Z/2.
Только последнее утверждение нуждается в доказательстве.
Пусть X и Y суть 21-модули. Тогда Х0У является 21-модулём
со структурой, определяемой диагональным отображением алгебры
Хопфа 21. Таким образом,
Sq* (х 0 у) = 2 Sq'® 0 Sq*-'y.
Если i > dim х dim у, то либо / > dim х, либо i — dim у,
поэтому Sq* (х 0 у) = 0.
Рассмотрим градуированный 21-модуль F (п), определяемый
следующим образом: F(ri)t есть образ ^1{_п в 21/5 (п). Как легко
видеть, F(n) является нестабильным 21-модулем. Он называется
свободным нестабильным ^21-модулем от одной п-мерной образую-
щей. Свободным нестабильным ^-модулем называется прямая
сумма свободных нестабильных 21-модулей от одной образующей.
5.2.	Предложение, Всякий нестабильный ^-модуль является
фактормодулем свободного нестабильного ^1-модуля.
Доказательство точно такое же, как стандартное доказа-
тельство для модулей, g
5.3.	Лемма. Пусть X — нестабильный ^.-модуль, Г (X) —
его тензорная алгебра (см. конец § 1) в D — идеал алгебры
Г(Х), порожденный всеми элементами вида x(g)y — (—1)тп(у0х)
и Sq”® — xfyx (m = dimy, n = dim®), где х, у£Х. Тогда D
является ^21-идеалом и следовательно, Г (X^D является ^.-ал-
геброй.
Доказательство. Если i^>2k и dimх = к, то
Sq* (Sq*® — х 0 ®) = Sq*Sq* ® — 2 Sq'® 0 Sq*-' ® = 0.
•	J
Если i — 2к, то
Sq* (Sq* ® — ® 0 ®) = Sq2*Sq*® — Sq* ® 0 Sq*® = Sq2* у — у® у-
Если i<^2k, то
[•/21
Sq* (Sq* ® - ® 0 ®) = ^ ( i — 2t *) Sq<+WSq* ® — Sq' ® 0Sq*-'®.
/=о	у
3*
36
АЛГЕБРА, ДВОЙСТВЕЙНАЯ К АЛГЕБРЕ 21 (2)
[ГЛ. Й
Но Sq4+*~4Sq4х = 0 при i-J-Zc—	т. е. при i2£. Далее,
производя взаимные сокращения по модулю 2, получаем, что
{О, если i нечетно,
Sq4/2®®Sq*/3®, если i четно.
Таким образом,
Sq4 (Sq* ® — х ® ®) =
О
Sqs+</2Sq*/3 ® — Sq</2 х ® Sq</3 ® =
=Sq*+</2p — у ® у,
если i нечетно,
если t четно.
Мы имеем также
Sq4 (®х ® ®а — ®а ® ®х) = 2 (Sqz xi ® Sq*”y ®а — Sq4-/ ®а ® Sq^ ®х).
Наконец, нам надо показать, что если г — некоторое соотноше-
ние и а, р £ Г (X), то Sq*(arP) принадлежит нашему идеалу.
Имеем
Sq4 (a г Р) = 2 Sq* a • Sq* г • Sq' р.
»+»+<=<
Так как Sq* г принадлежит идеалу, то и Sq4 (a г Р) принадлежит ему. |
5.4.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X, Г(Х) и D — те же, что и
в лемме 5.3. Факторалгебра Г (X)/D обозначается через U (X) и
называется свободной ^-алгеброй, порожденной модулем X. В слу-
чае, когда М — свободный нестабильный 21-модуль, U (М) зазы-
вается вполне свободной ^-алгеброй.
Пусть К (G, п) обозначает пространство Эйленберга—Мак-
лейна группы G в размерности п. В работе Ж.-П. Серра [21]
было вычислено кольцо когомологии H*(K(Z/2, п); Z/2). Его
результат можно переформулировать следующим образом:
#*(X(Z/2, n); Z/2) является вполне свободной 21 (2)-алгеброй от
одной образующей в размерности п:
ff*(X(Z/2, и); Z/2) = Z7(2l/B(w)).
Используя вычисления А. Картана [10], можно показать, что
аналогичный результат справедлив для кольца когомологий
H*(K(Z/p, n); Z/P).
Г[л а в а III
ВЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ В СФЕРЫ
В этой главе мы докажем теоремы Тома и Хопфа об отсутствии
вложений. В теореме Тома речь идет о вложении компактного*
пространства в сферу, а в теореме Хопфа — о вложении (re — 1)-
мерного многообразия в n-мерную сферу. Для того чтобы можно
было применять теоремы двойственности, мы используем в данной
главе когомологии Александрова — Чеха.
§ 1.	Теорема Тома
В этом параграфе показано, что если Y — собственное замк-
нутое связное подпространство сферы Sn, то отображение
с (Sq‘): Нп~™ (У; Z/2) -> Яя-< (У; Z/2), i > О,
является нулевым относительно определения антиавтоморфизма с
(см. § 4 гл. II).
1.1.	Лемма. Все ^-умножения в H*(Sn, У) — нулевые.
Доказательство. Рассмотрим канонический гомоморфизм
i*: Я* (5я, У) -► Я* (5я) и элементы и, v £ Я* (5я, У). Тогда и о v =
= fv = i*u\JV = 0 для всех и, v^H”(Sn, У).
В случае же, когда и, v (j Hn(S", У), мы имеем и v £	У).
Однако по теореме двойственности	У) яй Я_я(5"\У) = 0. и
1.2.	Лемма. Пусть X — компактное хаусдорфово простран-
ство, {ЯД, i£I,— некоторое семейство попарно непересекаю-
щихся открытых подмножеств в X, U — объединение этих мно-
жеств. Тогда отображения
Я«(Х, Х\ЯД-^Я«(Х, Х\Я)
позволяют представить группу НЧ(Х, Х\Я) в виде прямой
суммы групп Н,(Х, Х\С7<).
Доказательство. Предположим сначала, что множество I
конечно. Для любого подмножества У в X обозначим через Y
его замыкание и через У — его границу. Пусть V — дизъюнктное
топологическое объединение пространств и( и W С V — объеди-
нение пространств U(. Тогда (V, W) является компактной парой.
Следующая диаграмма коммутативна:
(Яр #Д-(У, W)
I I
(X, Х\ЯД«-(Х, Х\Я)
38
ВЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ В СФЕРЫ
[ГЛ. III
Вертикальные отображения в ней суть относительные гомеомор-
физмы. Поэтому мы получаем	коммутативную	диаграмму
нцй(,	й()	<-----№(v,	W)
+	t
Г	1~
Н'(Х, X\U{)	> ПЯ(Х, X\U)
Это в свою очередь дает коммутативную диаграмму
П#г(#0	— НЯ(У, J7)
♦
t	t
2я«(х, x\ut) —> н*(х, х\щ
i
Тем самым лемма доказана для случая, когда множество I ко-
нечно.
Если I бесконечно, то в силу свойства непрерывности когомо-
логий Александрова—Чеха мы получим наш результат, перейдя
к пределу по конечным подмножествам множества I. 
1.3.	Лемма. Пусть 0 — любая одноместная когомологическая
операция, такая, что
0: Я» (X) -> Я” (X)	(0 < q < п).
Тогда отображение
0: Я«(5", У)->Я«(5", У)
является нулевым.
(Заметим, что от операции 6 требуется только выполнение
аксиомы естественности относительно отображений пространств;
она не обязана быть гомоморфизмом.)
Доказательство. Для любой когомологической опе-
рации 6, значения которой имеют положительную размерность,
выполняется условие 0 (0)=0. Это доказывается следующим
образом. Пусть X — произвольное пространство и Р — точка
этого пространства. Тогда имеет место коммутативная диаграмма
Я’(Р)--->_Я»(Х)
!• !•
Я"(Р) —> Я-(Х)
индуцированная отображением X -> Р. Так как п > 0, то Я”(Р) = О
и, следовательно, 0 (0) = 0, где 0 (й Ня (X).
Из леммы 1.2 вытекает, что для доказательства нашей леммы
достаточно показать, что отображение 0: Я5 (5",	->
ТЕОРЕМА ТОМА
39
8 1]
-»Я”(5“, S'*\C7<) является нулевым для любого открытого связ-
ного подмножества U{ С Sn. Мы имеем коммутативную диаграмму
Я«(5", Stt\U() —Я”(S’, S”\^)
О = Я« (S")---------- Я” (S”)
Так как множество Uсвязно, то по теореме двойственности
Александера Я"-1 (Stt\U() = 0 и H"(Stt\l7i) — 0. Следовательно,
правое вертикальное отображение в диаграмме представляет
собой изоморфизм. Это доказывает лемму. 
Пусть U — произвольная окрестность собственного замкнутого
связного подмножества Y сферы S”. Тогда существует связное сим-
плициальное разбиение К в S”, являющееся компактным n-мер-
ным многообразием с краем L, таким, что KdU и Yc.K\L.
Мы можем построить разбиение Я, отправляясь от какого-нибудь
симплициального разбиения сферы S" и беря достаточно мелкое
его подразделение. Поскольку Y связно, можно считать много-
образие К связным. Множество таких многообразий К и их вло-
жений друг в друга образует обратную систему с пределом У.
Следовательно, группа Я* (У) является прямым пределом групп
Я* (Я).
Пусть F — поле. Рассмотрим ^-умножение.
Я* (Я, L; F) ®	(К; F)->Hn (К, L; F) « F.
Теорема двойственности Лефшеца утверждает, что индуцированное
этим умножением отображение
а: Я'(Я; Я)-► Нот (Я""'(Я, L; F), F)
есть изоморфизм. • Пусть х £ Я* (Я; Z/2). Определим гомоморфизм
Я”"®"* (Я, L; Z/2) -> Я” (Я, L; Z/2)« Za
формулой у Sq* у <у х. Обозначим через Q'x элемент из
Hq+i(K, Z/2), переходящий при отображении а в этот гомо-
морфизм. Тогда
Sq* у ку х = у ку Q'x.
Отображение Q* является гомоморфизмом
<?':	Я® (Я; Z/2)->Я*+*(Я; Z/2)i
1.4.	Предложение. Qt = c(Sq*) (как гомоморфизмы Hq(K;
Z/2) —> Я®+ (Я; Z/2)).
(Определение антиавтоморфизма с см. в § 4 гл. II.)
40
ВЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ В СФЕРЫ
[ГЛ, Ш
Доказательство. Всюду в этом доказательстве областью
коэффициентов служит поле Z/2.
Проведем индукцию по I. Очевидно, что Q® = 1. Следова-
тельно, <2° = с (Sq°). Для любых х g Hq (К) и у £ Я"-1"* (К, L)
имеем, по определению,
у о f q1 4- 5 QJ sq<_y+sq<)x=Sq* у x -f-
A 3=1	/
+ 2 Sq'y V Sq'-Ar + у Sq* x = Sq* (y x) G R* (K, L).
3=i-	“ '
Далее, имеет место коммутативная диаграмма ,
Нп~{(К, L)----—-------> Н*(К, L)
t	1
I ₽»	I
Я»-‘(5я, S’XInttf —^>ЯЯ(5”, 5*\-IntJT).
Вертикальные отображения суть изоморфизмы вырезания. В силу
леммы 1.3, Sq* (yv>z) = 0, если i>0. Поэтому из приведенных
выше вычислений следует, что
<2*=*—S^-Sq*"' —Sq*
/
= —£c(Sq').Sq*-'-Sq* <(по индуктивному предположению)»
/ •  ,
= c(Sq*) <по определению антиавтоморфизма с.)> g
1.5.	Теорема. Если компактное пространство Y Может быть
вложено в сферу Sn, то для каждого i)>0 гомоморфизм
Q(: Н**(У)-+Н”^(У)
является нулевым. Или, эквивалентно: если компактное простран-
ство У таково, что для некоторых rul>0 гомоморфизм
Q{: Hr(Y)-*Hr+,(Y)
ненулевой, то пространство У не может, быть вложено в Sr+2i.
Доказат е л ь с т в о. Предположим, что пространство У можно
вложить в Sn. Построим многообразие К описанным выше спосо-
бом. Пусть у^Н{ (S", S"\Int К). Тогда Sq* у = у2 = 0, в силу ак-
сиомы 3 § 1 гл. I и леммы 1.1. Имеет место коммутативная ди-
аграмма
Н‘(К, L)------Н*(К, L)
f	t
l~ , I"
H‘{S", 5'\ЫХ) —— S"\InlX),
§ ij	ffiOPEMA *ГОЙА
41
в которой вертикальные отображения суть изоморфизмы вырезания.
Так как нижнее горизонтальное отображение является нулевым,
то и верхнее горизонтальное отображение тоже нулевое.
Пусть х£Нп-*(К) и у£Н*(К, L). Тогда
y^Qfx = Sq* у<~>х — 0.
Следовательно, Q{x — 0, так как это равенство выполняется для
всех у. 
1.6.	Лемма. Пусть х— одномерный mod 2-когомологический
класс. Тогда Qkx — Q, если число к не имеет вида 2* — 1; если же
к —2*— 1, то Q*x — x2k.
Доказательство. Проведем индукцию по к. Очевидно, наше
утверждение верно для к = 0. В случае имеем
к
0 = £ Qi Sqw х = Qkx + Qt-W.
Пусть т: Н*(Х) 0 Н* (Х)-> Н* (X)—* операция о-умножения
и <|>: 21 (2)->21(2) 021 (2) —диагональ. Тогда
(7*"1®2 = с (Sq*-1) ж2
= n»[<|>(Sqfc-1)• ®0хс] <в силу предложения 1.3 гл. П)>
= m[(cXc)?’'|»Sqfc_1 • хс0®] ^согласно § 4 гл. П>
= п» [2 с Sq* Хс Sq*"1-1 • ® 0
. fc-i
= 2 Qtx• (J***"1®-
При^суммировании все члены попарно сокращаются после приве-
дения по модулю 2, кроме среднего члена, если таковой имеется.
Средний член присутствует, когда i = k — I — 1, и по предполо-
жению индукции равен я2".®2", если i = 2m—1, и нулю в про-
тивном случае. Таким образом, ф*-1®2 = ж2"*1, если1|Л = 2ж+1— 1,
и нулю в противном случае. Тем самым лемма доказана. 
1.7.	Теорема. Если 1 < 2* п 2*+1, то вещественное п-мер-
ное проективное пространство Р" нельзя вложить в сферу раз-
мерности меньшей чем 2*+1.
Доказательство. Пусть х— образующая группы Н1(Р;
Z/2). Тогда (J2*-1® = ®**^0. Доказываемая теорема следует поэтому
из теоремы 1.5. g
Теорема 1.7 была впервые доказана для регулярных дифферен-
цируемых вложений при помощи классов Щтифеля—Уитни
42
ВЛ0ЖЕЙИЯ ПРОСТРАНСТВ В СФЕРЫ
[pJi. tit
§ 2.	Теорема Хопфа
Пусть М — замкнутое (п — 1)~мерное многообразие, вложенное
в S". Применяя теораму двойственности Александера с коэффици-
ентами в Z/2, а затем в Z, мы получаем, что М — ориентируемое
многообразие и что М разбивает сферу Sn на два открытых под-
множества, замыкания которых А а В покрывают сферу: A(JB =
= 5”. Согласно теореме двойственности никакое собственное зам-
кнутое подмножество многообразия М не разбивает S" и, следо-
вательно, А(}В — М. Применяя теорему двойственности по отдель-
ности к А и В, получаем, что
НГ(А) — НГ(В) = О (г>« —1)
для любого кольца коэффициентов. Имеет место следующая тео-
рема, принадлежащая Хопфу.
2.1.	Теорема. В приведенных выше обозначениях вложения к
MCA и j: M(Z.B определяют разложение группы Н9(М) в пря-
мую сумму
Н* =	(A) + fH« (В) для 0 <g <n — 1.
Здесь i* и f — мономорфизмы. Если е качестве области коэффи-
циентов используется поле F, отождествляемое с	то
операция ^-умножения для М задает изоморфизм
i*H*(A) tv Hom (у* (Я"-’-1 (В), F) для 0<g<n — 1.
Доказательство. Первое утверждение немедленно следует
из точности последовательности Майера—Вьеториса. Так как
Я"-1 (А) = Я"-1 (В) = О, то </-умножение для А или В со значе-
ниями в размерности п — 1 является нулевым. Оставшаяся часть
теоремы вытекает из теоремы двойственности Пуанкаре. 
2.2.	Следствие. При п 2 вещественное проективное п-мер-
ное пространство нельзя вложить в S"+1. 
2.3.	Лемма. Пусть x£Hr(M; Z/2) и r-|-A: = n —1. Тогда
Sq*® = 0.
Доказательство. Запишем х в виде х — i*a-f-fb, где
а^Нг (А) и Ь £ Нг (В). Наше утверждение следует из свойства есте-
ственности, так как Я”-1 (А) = Я"-1 (В) = 0. g
Пусть (?* = c(Sq*) (см. § 1); и пусть x£Hr(A; Z/2). Предпо-
ложим, что действие алгебры Стинрода 21 (2) в Я* (В; Z/2) известно.
В этом случае Sq*® определяется следующей теоремой.
2.4.	Теорема. Пусть s = n— 1 — г — к, у£П*(В; Z/2) и
x£Hr(A; Z/2). Тогда
С Sq* x\^fy =. l*x^jfQky.
ТЕОРЕМА ХОПФА
43
9 2J
Доказательство. Теорема устанавливается индукцией по
к. При А = 0 она очевидна. При А>0, в силу леммы 2.3,
Sqfc	— 0. Следовательно, по формуле Картава
к
О = 2 Sqm i‘o!^Sqfc-M fy =
и>=0
Л-1
= S Sq*"” fy 4- i* Sq* x^fy
m=0
<по предположению индукции^
= fx<jfQley-]-l*Sqkx'^fy <по определению Qk (cm. § 4 гл. П)>.
Поэтому i*x^fQky — i* Sq* x<jfy. g
Uлава IV
КОГОМОЛОГИИ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
И МНОГООБРАЗИЙ ШТИФЕЛЙ
В этой главе мы вычислим кольцо когомологий вещественного,
комплексного и кватернионного многообразий Штифеля. Кроме
того, мы вычислим кольцо Понтрягина ортогональной, унитар-
ной и симплектической групп, а также специальной ортогональной
и специальной унитарной групп. Метод вычисления состоит в на-
хождении клеточного разбиения многообразий Штифеля (следуя
[15] и [9]). Мы найдем далее действие алгебры Стинрода 21 (2)
в кольце когомологий вещественного многообразия Штифеля.
Используя эту информацию, мы получим оценку сверху для числа
линейно независимых векторных полей на сфере.
§ 1. Определения
Пусть F=Ft для d=l, 2 или 4 обозначает соответственно
поле вещественных чисел, поле комплексных чисел или тело ква-
тернионов. Рассмотрим n-мерное "векторное пространство V-P”
над F, состоящее из векторов’с*координатами’из',Г. При умноже-
нии векторов на скаляры мы записываем скаляры справа. Будем
обозначать через и( вектор-столбец, у которого Ha't-м месте стоит 1,
а на остальных местах — нули/ Пусть х = 2	€ У» гДе 6 У,
♦
я~у = 2»<Уг Определим скалярное произведение х на у формулой
<х, У> = 2®^<,
i
где х( обозначает число, сопряженное к х(. Тогда
<х, ук> — (х, у>Х для Х£У,
<®. У1 + у^> = <Р, Fi> + <®, Уа>.
<®i + ®a- F> = <®1- 0> + <®а> У>
и
<®. У> = <«/, «>• 
Мы вкладываем F* в F”*1, полагая последнюю координату равной
нулю.
Пусть G(n) — группа всех (линейных) преобразований простран-
ства У, сохраняющих скалярное произведение- Это означает, что
g 1]	ОПРЕДЕЛЕНИЯ	45
A£G(n) тогда и только тогда, когда (Ах, Ау} = (х, у) для всех
х, yf*V. Если преобразование А представить в виде пХн-матрицы
[а^], то Af<G(n) тогда и только тогда, когда А*А = 1. Для d=
= 1, 2 или 4 группа G(п) является соответственно ортогональной,
унитарной или симплектической группой. Имеет место вложение
G(n)cG(n4-l), индуцированное вдожением F" С F”*1; матрице
AQG(n) при этом соответствует матрица
(о Э €«(» + *)
Мы пишем G(0) = l.
Многообразие Штифеля G(n, Л) —это многообразие левых
классов сменности G(n)/G (к). Обозначим через G'(п, к) много-
образие (п — /с)-реперов в n-мерном пространстве. Отображение
G (и) -* G' (п, к), сопоставляющее матрице набор ее последних п — к
столбцов, рассматриваемых как п — к векторов (п — Zc)-penepa,
индуцирует отображение G(n, k)-*G’(n, к), которое, очевидно,
является отображением на. Если две матрицы А нВ из G(n)
имеют одинаковые последние п— к столбцов, то A^Bf^G (к).
Следовательно, отображение G (п, k)-*G'(n, к) есть гомеоморфизм,
и мы можем отождествить эти два пространства. Легко видеть,
что G' (п, п — 1) представляет собой многообразие единичных
векторов в V. Таким образом, справедливо следующее
1.1.	Утверждение. Многообразие G(n, п— 1) гомеоморфно
сфере	= причем этот гомеоморфизм осуществляется
отображением, сопоставляющим матрице ее последний столбец. 
1.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть S"**1— единичная сфера (т. е.
многообразие единичных векторов) в пространстве У = F*. В ча-
стности, — это единичная сфера в пространстве скаляров, т. е.
многообразие скаляров единичной нормы в F. Определим отобра-
жение
т: —
полагая <?(х, X) равным преобразованию, которое оставляет у не-
подвижным, если (х, у> = 0, и переводит х в хХ, т. е.
?(®, Х)у = х(к — 1) (х, уУ-\-у
или, в матричной записи,
ф(а:,	— IJJCy-f-Sy
При т < п мы имеем вложение S’"*-1 q S’"*-1, индуцированное
вложенцем F* С F”. Вложение	в свою очередь инду-
цирует вложение
r^x^G^xS^
46
КОГОМОЛОГИИ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
[ГЛ. IV
Следующая диаграмма, очевидно, коммутативна:
. 5'”d-1 X S*'1____> S"*-1 X S^1
г	г
G(m)---------------> G(ri)
1.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обозначим через Qn факторпространство
пространства Snd~1 X Sd~\ индуцированное отображением <р. Это —
множество пар (ж, X) £ S”^1 X Sd-1 с отождествлениями
(ж, X) = (arv, v-1Xv), если vgS'*-1 и (ж, 1) = (г/, 1).
В том, что этим исчерпываются все нужные отождествления, легко
убедиться, рассматривая множество неподвижных точек преобра-
зования <р (ж, X) g G (п). По определению, Qo состоит из одной-един-
ственной точки. Мы вкладываем Qo в	сопоставляя Qo
класс эквивалентности пары (х, 1). Если п~^>	1, то имеет ме-
сто вложение Qm-*Qn, индуцированное вложением	-*
-> S”d-1 X Sd~r. Из коммутативности предыдущей диаграммы выте-
кает коммутативность диаграммы
Qm—> Qn
| I
G(m) —» G(n)
для любых n > m 0.
Пространство Qm является компактным хаусдорфовым простран-
ством; и, таким образом, вертикальные отображения суть вложе-
ния. Мы отождествляем Qm с его образом в G(n) (п^т). При
этом отождествлении Qo переходит в единицу 1 группы G(n).
Пусть Eln~vd — шар, состоящий из всех векторов х £ S'1^1 С
С V — Ftt, у которых координата хп вещественна и неотрицательна.
Тогда хп определяется по xlt. .., хп_г Обозначим через /я:
соответствующее вложение, через g: (Ed~1, Sd~2)-+(Sd~1, 1)—
обычный относительный гомеоморфизм (S-1 = 0) и определим
отображение
hn: E”d~^ Qn (п>1)
как композицию
find-1 _ filn-ltd^ fid-1
^Snd-lxSd-l_^Q^
Пусть 5”d-2 — граница шара Е^"1.
1.4.	Лемма. Отображение hn определяет относительный го-
меоморфизм
hn: (E”d~\	Q^),
§ 21	ЙЛЁТОЧЯаЯ СТРУКТУРА МЙ0Г00ЙРАЗИЙ ШТИФЕЛЯ	47
если п 1. Следовательно, Q является клеточным разбиением
с одной нульмерной клеткой Qo и с одной (md— 1)-мерной клеткой
для каждогд числа т, такого, что 1 <2 т <2 п.
Доказательство. Множество (?ЯХ£)<S,“rf-2 состоит из точек
вида (х, Х)Р Sni~1XSi~l, где жи = 0 или Х = 1. Следовательно,
В любом классе эквивалентности {(ж, X)} £ Qn мы можем вы-
брать представитель (х, X), у которого хп вещественно и хп^0.
При этом, если Х^=1 и жя>0, то этот представитель единствен.
Отсюда следует, что hn: (End~\ S”a~^)->(Qn, Q^)— относительный
гомеоморфизм. Второе утверждение леммы устанавливается индук-
цией по п. 
1.5.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть р.— умножение в группе G(ri)
и те: G(n) -> G (п, к) — стандартная проекция. Нормальной клеткой
в G(n, к) называется отображение вида
X • • • Х^’1	&.Х • • • Х^Л G(n, к),
где п гг > i2 > • • • > 1Г > к (или его образ). Мы обозначаем
такую клетку через (i^,. . ., ir\n, к) или просто через (in . . ., ir),
если это не может вызвать недоразумений. Клетки пространства
Qn (отличные от Qo), описанные в лемме 1.4, суть не что иное, как
нормальные клетки (т | п, 0), где п т > 0. Будем обозначать
клетку (т | п, 0) пространства Qn через (т).
Символом р. мы будем также обозначать действие группы G (п)
на многообразии G (п, к) с помощью левых переносов (п к 0).
§2	. Клеточная структура многообразий Штифеля
В этом параграфе мы докажем следующий центральный ре-
зультат.
£,/. Теорема, Многообразие Штифеля G (п, к) представляет
собой клеточное разбиение, клетками которого служат нормаль-
ные клетки (см. определение 1.5) и нульмерная клетка те (/).
Отображение
р.: QnxG(n —	k)-+G(n, к) (к<^п)
является клеточным и индуцирует эпиморфизм соответствующих
клеточных разбиений.
Прежде чем доказывать саму теорему, сформулируем и докажем
одно ее следствие.
2.2.	Следствие, Если т^п и l^k, то индуцированное
отображение G (т, 1)^>G (п, к) является клеточным. Это отобра-
жение переводит нормальную клетку (ir, . . ., ir | т, I) в нор-
мальную клетку (ilt . . ., ir I п, к), если ir > к, или в нормальную
клетку (in . . ., ir_x | п, к), если d=i и ir_t > к^ гг=1 > 1—0',
в остальных случаях оно вырождено.
48	КОГОМОЛОГИИ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУШ!	(ГЛ. IV
ДАо к а । а_т _еа ь’ст вво. Это^немедленно следуеъиз теоремы
2.1 и определения 1.В_нормальных клеток. 
Теперь приступим~к доказательству теоремы 2.1.
Обозначим через a: (Qu, -* uj композицию
(<?., ^)-=>(G(n. n-1), G(n — 1, n —!))-»• (S"4-1, u„),
где правое отображение — гомеоморфизм из утверждения 1.1.
2.3.	Лемма,. Отображение a: (Qu, Q^)	u„) является
относительным гомеоморфизмом.
Доказательство. Отображение a:	переводит
класс {(ж, X)} ' (х £	Xg^*1) в элемент х (X — 1)®,+»,. Про-
образ вектора и„ при отображении а есть Q^i, ибо если
ж(Х — 1)®и4-гги = ггя, то Х = 1 или хи = 0.
Предположим теперь, что нам задан вектор у £ S’”'-1 С V — F”,
не равный и„. Мы должны показать, что существует только одна
пара (®, X)^Sni~1xSd~1, у которой хя вещественно и больше нуля,
а Х=5^1, такая, что х(Х— 1)хя = у— ия.
В вещественном d-мерном пространстве F точка уя— 1 лежит
в замкнутом шаре, ограниченном сферой скаляров вида X—1, где
|Х| = 1. Далее, уя—1=/=0. Поэтому, используя центральную про-
екцию в вещественном d-мерном пространстве F (с центром в
начале координат), мы можем однозначно разрешить уравнение
ж^(Х—!)=.((/„ — 1) относительно хп и X, при условии, что хе, ве-
щественно и больше нуля, | X [ = 1 и Х^= 1. Зная хя и X, можно
однозначно определить значения xt для l^i^n — 1. Итак, мы
можем одндзначно найти х а X такие, что
®(Х—1)®, = у —и,,
где хя вещественно, |Х 1 = 1 иХ^1.
Теперь надо проверить, что -(х, х>=1. Вычисляя для каждой
части приведенного выше равенства ее скалярное произведение са-
мой на себя, мы получаем, что
<х, х>(2 — X — Х)х» = 2 — уя — ~уя.
Но а£(Х — 1)==уя—1, следовательно,
<®, ®>(2 — X — Х)а* = (2 — X — X)®».
Так как [Х| = 1 и X^l, то 2 — X — Х^О. Поскольку и ®,^=0,
мы заключаем, что <х, х> = 1. jg
2.4.	Предложение. Для п>к^0 отображение
р: (Q„xG(n-l, к), Q^XGin-l, k))-+(G(n, к), G(n-1, к))
является относительным гомеоморфизмом, переводящим
QaXG(n — 1, к) в G(n, к).
Доказательство. Прообраз пространства G(n— 1, к) сов-
падает с Q*-iXG(n— 1, к). Действительно, пусть A£QH и BQ
I 21
КЛЕТОЧНАЯ СТРУКТУРА МНОГООБРАЗИЙ ШТИФЕЛЯ
49
£G(n— 1). Предположим, что ABG(k) сG(n— 1). Тогда
£G(n—1). Проектируя на G(n, п — 1), мы получаем по лемме 2.3,
что Q„r\G(n — l) = Qn_v Следовательно, Af^Q^.
Отображение р взаимно-однозначно на (<2,\(?„_i)XG(n — 1, к).
Действительно, пусть AC G и В, D С G (п—1). Предположим,
что ABG(k) — CDG(k). Тогда AG(n — l) = CG(n — 1). Проекти-
руя на G(n, п—1), получаем по лемме 2.3, что А —С. Следова-
тельно, BG (к) — DG (к).
Отображение р переводит QnXG(n— 1, к) в G(n, к). Действи-
тельно, пусть A£G(ri). Согласно лемме 2.3, существует элемент
С («ф,,, такой, что CG(n—l) = AG(n — 1). Следовательно, суще-
ствует элемент DQG(n — 1) такой, что A = CD. 
2.5.	Лемма. Пусть х £ S”i-1 с V = F” — единичный вектор,
’kf.S*"1 С. F— единичный скаляр и A(*G(n). Тогда Ay (х, Х)Л-1=
= у(Ах, X). (Отображение <р определено в п. 1.2.)
Доказательство. По определению, р(Л®, X) представляет
собой преобразование, которое оставляет точку у неподвижной,
если (Ах, уу = О, и переводит Ах в Ахк. Отсюда сразу следует
утверждение леммы. |
2.6.	Предложение. Для т^1
Р (QmX Qa) = р (QmXС G (т)
Доказательство. Мы сведем случай, когда т произвольно,
к случаю т = 2. Поэтому начнем с проверки нашего утверждения
для случаев т = 1 и т = 2.
Если т — 1, то Q1 = G(1) (это видно из леммы 2.4, применен-
ной к случаю п — 1 и к == 0). Отсюда сразу следует требуемый
результат, так как G(1) = р (<?1Х(?о) С р(QiXQi) С G(l) (напомним,
что, согласно определению 1.3, Qo — единичный элемент (тожде-
ственное преобразование)).
Если тп = 2, то p(&X@i) = G(2). (Чтобы увидеть это, надо
положить в лемме 2.4 п = 2, к = 0 и заметить, что <?i = G(l).) Та-
ким образом,
G (2) = р (QtXQJ С р «?аХ<?а) С G(2),
откуда и следует доказываемое утверждение.
Пусть теперь х, у	CLV— Fm, и пусть X,	—
произвольные элементы. Тогда у(х, X) и р (у, v) являются про-
извольными i элементами из Qm. Нам осталось показать, что
T(«,X)f(0, v)€^—r
Пусть W — двумерное подпрострайство пространства V, содер-
жащее х и у. Используя вложения FrCFr+1, описанные в § 1,
получаем последовательность
О£РГ ... QWnFm = W
4 В, Стнн>од, Д. Эпстейн	J
во
когомологии КЛАССИЧЕСКИХ 1ФУПП
[ГЛ. IV
векторных пространств над F, размерность которых возрастает на
каждом шаге не более чем на единицу. Выберем целое число г,
такое что 1^г<тп и W(~[F' одномерно. Пусть преобразование
А £ G (т) отображает подпространство W в F2 так, что A (W =
= F1. Положим Ах = х' fiF2, Ay^y'^F2. Тогда по лемме 2.5
А<?(х,	v) Л-1 = <р (х', Х)<р(р', v).
Так как предложение верно для т — 2, то
v)e<?2<?r
Следовательно,
Л? (ж, Х)<р(г/, у)Л-1 = ф(®1,
где х-i g S2i-1 С F2, yr g S*"1 С F1, pj £ S*"1 С F. Снова используя
лемму 2.5, заключаем, что
?(®, Х)?(У> у) = ?(Л-1®1, Х^ср (Л-1^, vj.
Но, в силу нашего выбора Л,
Л-^ЕИ'П^СГ”*1.
Следовательно,
?(®> v)£QmQm-i,
чем и завершается доказательство, в
Доказательство теоремы 2.1. Будем называть
теорему 2.1 для случая п=т теоремой 2.1 (т). Мы докажем теорему
2.1 совместно со следующими двумя утверждениями индукцией
по п.
2.7.	Утверждение (п). Пусть я > • • • > ir > 0. Тогда
(Г	\
2	— 1) 1-мерном остове простран-
«=1	/
ства G(n,.k).
2.8.	Утверждение (п). Отображение р: (?„Х<?(и, /с)->
->G(n, к) является клеточным.
В случае когда п=к, все утверждения очевидны, ибо тогда
G (п, к) есть точка те (/). Предположим, что п > к и что верны
теорема 2.1 (п — 1) и утверждения 2.7 (п — 1) и 2.8 (п — 1).
Согласно утверждению 2.8 (п — 1), отображение р: Q^X
XG (п — 1, к)' G (п — 1, к) клеточно. Поэтому, в силу пред-
ложения 2.4 и теоремы 2.1 (п — 1), пространство G (п, к) имеет
структуру клеточного разбиения, относительно которой отобра-
жение р: Q„XG (п — 1, к) -» G (п, к) клеточно. Согласно предло-
жению 2.4, лемме 1.4 и теореме 2.1 (п — 1) клетки пространства
G (п, к), не являющиеся клетками пространства G (п — 1, к),
имеют вид р ((п)Х(1ь . . . , ir)), где n —
Но р ((n)X(i!, . . . ,	И, • . .., ir) согласно определению 1.5.
§ 3]
КОЛЬЦО ПОНТРЯГИНА ГРУППЫ G(n)
51
Это — нормальная клетка пространства G (п, к). Следовательно,
отображение р индуцирует эпиморфизм цепных комплексов, откуда
следует справедливость теоремы 2.1 (га).
Теперь докажем утверждение 2.7 (га). По лемме 2.5, если А (<
€ G (т), то AQm = QmA. Значит, QjQm = QmQj (0 < / < тга). Поэтому,
ввиду предложения 2.6 и утверждения 2.7 (га — 1), мы можем
без потери общности считать, что п — ix > i2	ir к. Имеем
те ((?«, ... Qir) С G (га— 1, к). Следовательно, согласно 2.7 (га — 1),
/Г	\
клетка те ... Qtr) содержится в S (i,d— 1) 1-мерном ос-
' «=2	/
тове пространства G(ra— 1, к). По теореме 2.1 (га), отображение
р: Q„XG(n — l,k)->G(га, к)
клеточно. Поскольку Qn имеет размерность rad — 1, отсюда сле-
дует справедливость утверждения 2.7 (га).
Наконец, докажем утверждение 2.8 (га). Так как Qo — единица
группы, то отображение р клеточно на QOXG (га, к). По теореме
2.1 (га) отображение р клеточно на Q„xG (га — 1, к). Поэтому нам
достаточно проверить, что р клеточно на клетках вида (£)Х
X (га, ix, ... , ir), где га £ > О и п > £t > . . . >ir'> к (см.
теорему 2.1 (га)). Но р ((£)Х(га, £lf ... , ir))C«
так что это утверждение вытекает из утверждения 2.7 (га). Этим
завершается доказательство теоремы 2.1 и утверждений 2.7 и
feb
§	3. Кольцо^Понтрягина группы £?(п) ]
3.1.	СОГЛАШЕНИЕ. На протяжении оставшейся части этой
главы все цепные и коцепные комплексы и все группы гомологий
и когомологий будут браться с коэффициентами в R, где R—
произвольное коммутативное кольцо с единицей, в случае когда
3=2 или 4, и R=Z/2, в случае когда 3=1.
Цель настоящего параграфа — вычислить кольцо Понтрягина
ортогональной группы О (га), унитарной группы U (га) и симплек-
тической группы Sp (га) (т. е. группы G (га) для случаев d=l, 2 и 4
соответственно). Другими словами, мы хотим описать отображение
Я,(б(га); й)®Я,(С(п); Я)^ЯДС(га); Я),
индуцированное умножением G(ra)xG(ra)->G(ra).
3.2.	Лемма. Если d=l, то пространство Qn является дизъ-
юнктным объединением точки Qo и вещественного проективного
пространства Рп~1. Вложение в Qn{n~^ 2) соответствует
обычному вложению Р”~2 в Р”-1. Пространство Q± = G (Г) состоит
из двух точек: 1\ 1-матриц I и —I. Пространство Q„\Qo цели-
ком состоит из матриц с определителем —1.
4’
52
КОГОМОЛОГИИ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
[ГЛ. IV
Если d = 2, то пространство Qn является надстройкой над
комплексным проективным пространством СР”"1 с отождествлен-
ными между собой двумя вершинами надстройки. Вложение Q*_t
в	соответствует обычному вложению СР""2 а СР”"1.
Доказательство. Согласно определению 1.3, при d = 1 или
2 пространство Qn представляет собой множество пар (®, X) f S^^X
XS*"1 С F”xP с отождествлениями (®v, X) = (®, X), v £ S*"1 C F и
(®, l) = (y, 1), если у £ S*4-1 C F*. Отсюда следует вторая часть
леммы.
В случае d=l для любой пары (х, X), если Х^=1, то Х==—1.
Следовательно, пространство Q„ сводится к дизъюнктному
объединению Qo и множества точек вида (х, —1), при отождествле-
ниях (х, —1)=(—х, —1).
Таким образом, если d=i, то Qx состоит из двух точек и G±
тоже состоит из двух точек. Так как &cG (1), то Qx=G (1) и &\@0
состоит из одной точки—матрицы —I£G (1). Эта матрица имеет
определитель —1. По соображениям связности, тогда и все вообще
матрицы в <2„\<?о имеют определитель —1. (Все матрицы в О (п)
имеют определитель ±1.)|
Граница каждой клетки в пространстве Q„ алгебраически три-
виальна. Для d=2 или 4, это следует из леммы 1.4 по размерност-
ным соображениям. Если же d—1, это следует из определения 3.1
и леммы 3.2.
По теореме 2.1 отображение р: ()яХб? (п — 1, Л)->• G (п, й)
определяет эпиморфизм цепных комплексов. Индукцией по п
можно показать, что границы клеток в G (п, А) алгебраически три-
виальны. Следовательно, в цепном комплексе разбиения в G (п, А)
не существует границей все цепи являются циклами.
й,3,3, ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Для всякой нормальной клетки (ц,
. . . ,ЧГ Гп,'/с) (см. определение 1.5) обозначим ее гомологический
класс*через	V | п, АЦ(или просто . . . , ir 1). Через
{?i, . . . ,' ЧГ | п, к} (или {ij, . . . , Q) обозначим когомологичес-
кий’класе’ клеточного разбиения G (п, к), принимающий значение
1 на нормальной клетке (ilf . . . , ir) и нуль — на всех других
клетках. Эти' гомологические и когомологические классы будем
называть нормальными классами. Гомологический класс нульмер-
ной клетки п (I) обозначим через 1. Далее, обозначим через 1
когомологический класс, принимающий значение 1 на нульмерной
клетке « (I) и значение нуль — на всех прочих клетках. Классы 1
и 1 будем называть единичными классами.
Следующая лемма представляет собой непосредственное след-
ствие теоремы 2.1.
3.4,	Лемма, Группа Н* (G (п, /с); R) является свободным R-
Модулемх), порожденным единичным классом 1 и нормальными
классами [if, . . . , ir | п, Л]. Если n^muk^l, то существует.
соглащециеЗЛ. — При», перец.
I 3]
КОЛЬЦО ПОНТРЯГИНА ГРУППЫ G(n)
53
отображение G (п, к) -> G (т, Z), которое переводит класс [Jj,
. . . , ir | п, к] в класс Пх,. . . , tr | т, Z], если ir > I; в класс
I*i» • • • » *r-i Гта» если ^=1 и *r-i >	*r—1 >	и в\нуль
во всех остальных случаях. Отображение
. Н*: HXQnXG (п — 1, к); R) -> Я.(G (п, Л); Я)
есть епиморфизм. 
3.S.	Теорема. Кольцо Понтрягина группы G (п) является
коммутативной ассоциативной алгеброй над кольцом R с едини-
цей 1 и мультипликативно порождено нормальными классами [Z]
размерности id — 1, где п I > 0, подчиненными соотношениями
[*][/] = —[ЛИ. если i^j
, если d=l
[£][/] = О, если />1 ила d>l.
Для нормальных классов [fx, 12, ...» tr|n, 0] справедлива формула
[*х» *а»  • •» *г1п» 0]= 1*11 (У • • • ГУ-
Доказательство. Пусть 1	/ <С *• Рассмотрим диаграмму
Е**'1 X Е^~г ——> Е'*"1 X Ям-1 —EJi~l X Е**'1
| hiy.hj	| ЛуХЛ<
<?<Х^------—— G(n) *-------5---- Q,XQ<
Здесь ф (®, у) —(у, х), hf a hj—отображения из леммы 4.1, р—
умножение, а 6 определено следующим образом. Пусть =
где множество	С 5<<г-1с V = F{ состоит из
всех единичных векторов х, у которых хя вещественно и хя^0.
Множество E(i~l>d инвариантно относительно G(;), поскольку j<^i.
Мы полагаем 6 (х, уг, у2), где х £ Е**"1, у± £ Eli~vi и ря £ Ed~\ рав-
ным (® (Лу®)-1£/1, У г)- Это определение имеет смысл, так как hjx^
6^yCG(/). В силу леммы 2.5 и определения отображений
приведенная выше диаграмма коммутативна.
Вычислим степень отображений ф и 6. Если d = 2 или 4, то
оба сомножителя E<a~l и Е^Л~г имеют нечетную размерность и по-
этому ф имеет степень —1. В случае d — 1 все делается по модулю
2 и знак не играет роли. Отображение 6 имеет степень (—1)*.
Действительно, пусть отображение /: Е^^х! -* Е**"'1 задает стя-
гивание шара Eid~x в некоторую точку z. Тогда оно определяет
гомотопию
(4?, yv у*	ОГУ». V&
54
КОГОМОЛОГИИ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
[ГЛ. IV
показывающую, что отображение 6 гомотопно отображению
(®> Vi,	У 2)
при гомотопии, которая в каждый момент t является гомеоморфиз-
мом. Следовательно, 6 имеет ту же степень, что и hj (z). Каждое
преобразование из группы U (п) или группы Sp (п) имеет степень
1, так как эти группы связны. Если d=l, то hj (z) имеет степень —1,
в силу лемм 1.4 и 3.2. Таким образом, 9 имеет степень (—1)*.
Так как нормальная клетка (г) лежит в Qt и, согласно предло-
жению 2.6, QiQi^QiQ^i, то (г) (^CZQiQ^i- Если г > 1, то согласно
утверждению 2.7, пространство QtQ(_i содержится в остове кле-
точного разбиения G (га) размерности (2i — l)d — 2, которая мень-
ше, чем 2 (id — 1). Следовательно, при i > 1 класс [i] [i] равен
нулю по размерностным соображениям. Если i—1, то (i)(i)(Z.Qi
и имеет размерность d — 1. В случае d > 1 класс U J U1 опять
равен нулю по размерностным соображениям.
Если d=i, то по лемме 3.2, в G (га) существуют две нульмерные
клетки, а именно 1Х 1-матрицы I и —I. Клетка (1) является нуль-
мерной клеткой —I. Следовательно, [11 [11=1.
Для того- чтобы завершить доказательство теоремы, осталось
только показать, что классы!и [txl [i2l. . . [гДгдега > iz >
> ... > ir > 0, образуют свободный базис Я-модуля Я* (G(ra); R).
Это следует из леммы 3.4, так как определение 1.5 нормальных
клеток показывает, что
[У (У • • • [У — [®х» • • •> «гI та, 0]. 
Отображение р.: G(n)XG(n, к) -> G(n, к) позволяет определить
в группе гомологий Я* (G(n, к)-, R) структуру модуля над коль-
цом Понтрягина Я#(С(га); R).
3.6.	Теорема. Группа когомологий H*(G(n, Л); Я) является
модулем над кольцом Понтрягина Я#(С(п); Я) с единственной
образующей 1 (га > /с 1). Определяющие соотношения для этого
модуля таковы:
при d=^=l
[г] 1=0, если k^-i^>Q:
при d — 1
[г] 1=0, если
[11 1 = 1.
Для нормального класса [гг, i2, . . ., ir | га, А:] справедлива
формула [гх1 [i2l. . . [ir] 1.
Доказательство. Это немедленно следует из леммы
3.4 и теоремы 3.5. |
Mi
КОЛЬЦО КОГОМОЛОГИЙ H*(G(n, k)- Й)
§ 4.	Кольцо когомологий Н* (G (п, Jc); R)
Начнем с того, что напомним читателю о нашем соглашении
3.1 относительно области коэффициентов R.
Мы вычислим в этом параграфе кольцо когомологий клеточного
разбиения G (п, к), используя индукцию по п и мономорфизм
(см. лемму 3.4)
H*(G(n, к); R)-+H*(Q„xG(n — l, к); R),
где п > к. Вместо G (п, к) ъш пишем 0 (п, к) в случае d—i, U (п, к)
в случае d=2 и Sp(n, к) в случае d=4.
4.1.	ОБОЗНАЧЕНИЯ. Расширим систему обозначений, вве-
денных в определении 3.3, следующим образом. Пусть ilt . .
ir — произвольное множество целых чисел, больших чем к, где
к 0, если d—2 или 4, и k~^i, еслий=1. Условимся, что символ
{ilt . . ., ir} обозначает нулевой когомологический класс в G (п, к),
если i, > п для некоторого $ такого, что 1 s г, или если
где 1 s г. Во всех других случаях символ {^, . . ., ir}
будет обозначать произведение нормального класса в G (п, к),
полученного надлежащей перестановкой чисел it, . . ., ir, на знак
этой перестановки. (Напомним, что (ir) является клеткой размер-
ности ird—1, которая нечетна, если d—2 или 4, а при d—i наше
кольцо есть Z/2. Следовательно, наши обозначения согласуются
с обычным соглашением об изменении знака.) Фигурные скобки,
внутри которых ничего не стоит, { }, будут обозначать 1.
Далее, мы используем символы {Ь} (где 0 < Ь <>) и I также для
обозначения образов этих классов при отображении H*(G (»); R) ->
-> Я* (^я; Я).
4.2.	Лемма, (а) Пусть п~^к~^ 1. Для мономорфизма
у*-. Н*(О(п, к); Z/2)-^H*(Q,xO(n-l, к); Z/2)
(см. лемму 3.4) мы имеем, в обозначениях 4.1, формулу
}?{&!, ...,ЪГ} =
=1х{ьх,.. ,W1}X{V • А)+2 {Мх{Ьх,. • .Ъ<_г,ъм...............ъд.
t=l
(Ь) Пусть п)^кД>0 и d — 2 или 4. Для мономорфизма
р*: Я‘ (G (п, к); R)-+H* (<?я X G (п — 1, к); R)
мы имеем, в обозначениях 4.1, формулу:
...,&г} =
=5Х&.......ЬД + 2(-1)г+<{ЬДX,bt_lt bi+1, ...,ьд.
«=1
58
КОГОМОЛОГИЙ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
[ГЛ. tv
к 5Д 0 К а в a Tje д ь с/г во. Без4 потери*общности£мы можем
считать, что п .". . >• Ьг > к, ибо взаимная перестановка
двух соседних чисел Ъ( и 6<+1 приводит к умножению обеих сторон
равенства на —1, а если числа Ь{ и bj равны между собой, то обе
стороны равенства равны нулю.
Утверждение леммы устанавливается непосредственно вычис-
лением значений обеих сторон равенства на клетках пространства
Q„XG (n—1, к). Значение левой стороны вычисляется при помощи
теорем 3.5_и 3.6. В случае правой стороны надо учесть следующее
-изменение" знака:
^ХСц — (—1)р* <<\,
где с^Н’(Х), №,<&, с,е (У).	
4.3.	Ленина. Если d — 2 или, k, то ^-произведения классов по-
ложительной размерности в Qn являются нулевыми. Если d=l
и п^а^Ь^О, то 1{а} = 0 и {а} {b} = {a-j-b—1}.
Д о к а з ательство. Согласно лемме 1.4, дляАй=2 или
4 пространство Qu имеет только нечетномерные классы когомоло-
гий. Так как ^-произведение любых двух нечетномерных классов
равно нулю, то лемма доказана для d=2 или 4.
В случае, когда й= 1, пространство Q„, согласно лемме 3.2,
является дизъюнктным объединением Qo и Р"'1. Так как {а} есть обра-
зующая группы когомологий Я®-1 (Р^1; Z/2), то имеет место формула
{а} {&} = {а Ь — 1}. Единичным элементом кольца Я*(^я; Z/2)
Служит класс I так как он принимает значение 1 на каждой
нумерной клетке в Qn. Следовательно,
(1	{1}) {а} = {а} = (а) {1},
откуда и вытекает утверждение леммы для случая d = l. 
4.4.	Лемма. Пусть п^ к 1. В кольце когомологий
Н*(Р(п, k); Z/2) справедливо следующее равенство:
{aM*i.....М = {®, Ь....М +2	• •., 6, + a-l.b,},
еде а^>к и bt^>k для всех I.
Доказательство. Лемма верна для, п = к, поскольку
в этом случае все члены в приведенной формуле равны нулю (см.
обозначения 4.1). Для п>к лемма устанавливается индукцией по
п с использованием лемм 4.2 (а) и 4.3. g
Пусть А (п, к) — коммутативная и ассоциативная алгебра с обра-
зующими {6} размерности Ь— 1, где п~^Ь>к, подчиненными со-
отношениям: {6} {6} = {26 — 1), если 26—1^п, и {6}{6} = 0,
если 26 — 1 > п.
4.5.	Теорема. Пусть п~^к"^1. Тогда Н*(О(п, к); Z/2)«j
яйА(п, к). Если п^ти к^.1, мы имеем очевидное отображение
КОЛЬЦО КОГОМОЛОГИЙ H*(G(n, Л); Н)
57
|«1
О(п, к)-+О(т, Z), индуцирующее гомоморфизм Н*(О(т, Z);Z/2)-*
-+Н*(О(п, к); Z/2). При этом гомоморфизме {6} t->0, если Ь'>п,
и {Ъ}»{Ь1 есЫЪ^п
Доказательство. Из леммы 3.4 следует, что кольцо
Я*(О(п, к); Z/2) имеет векторный базис над Z/2, состоящий
из нормальней: классов [Ьг,...,6Г), таких, что п >6Х> • • • >Ьг >к.
Используя лемму 4.4 и индукцию по г, получаем, что при п^к
нормальные классы {6} мультипликативно порождают кольцо
Н*$Р(п, Ку, Z/2). Из той же леммы 4.4 вытекает, что
	.	{&МЬ} = {&,&/+{26-1}.
С учетом наших обозначений 4.1 мы. видим, что определен эпи-
морфизм А(п, к)->Я*(О(п, к); Z/2).
Предположим, что существует элемент <2£А, образ которого
в Н* (О (п, к); Z/2) равен нулю. Этот элемент Q можнопредставить
как сумму элементов вида {\} {&2} ... {&r} f А, где п	&х > • • • >
^>Ьг^>к. Индукцией по г легко выводим из леммы 4.4, что
{6J {6а} ... {6Г} = {&!, ..Ъг} -{-(члены вида {а1( ..в,}, где з<г).
Собирая вместе члены с наибольшим значением г в выражении для
Q в применяя эту формулу, мы получаем, что Q = 0. 
4.6.	Лемма. Если d — 2 или то в алгебре R*(G(n, к); R)
справедливо равенство
(-ty{a}^{b1,..:,br} = {a,b1..br},
где а^>к и Ь(^>к для всех I.
Доказательство. Для п — к лемма верна, так как обе сто-
роны равенства равны нулю. Для п^>к лемма получается по ин-
дукции с использованием лемм 4.2 (6) и 4.3. g
Пусть Г-(п, к) — внешняя алгебра над кольцом R, порожденная
элементами {&} размерности bd — 1 (d = 2 или 4), такими, что п
>&>к. ’
4.7.	Теорема. Для d — 2 или 4
H*(G(n, к); Я)^Г(п, к).
Если п^т и к ^1, то мы имеем очевидное отображение G(п, к)->
-*G (т, Z), индуцирующее гомоморфизм И* (G (т, I) R)-+ И* (G (п, к); R).
При этом гомоморфизме {&}i->0, если Ь^>п, и {&}'->{&}, если
Ь^п.
Доказательство. Эта теорема выводится из леммы 4.6
точно таким же образом, как теорема 4.5 выводится из леммы 4.4- Ц
58
КОГОМОЛОГИИ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
[ГЛ. IV
§ 5.	Кольцо Понтрягина групп 80 (п) и SU (п)
Группы SO (п) и SU (п) являются подгруппами групп О (п)
и,Я (п) соответственно, состоящими из матрице определителем 1.
Композиции
SO(n)-^O(n)^O(n, 1) и SU(n)-^U(n)^U(n, 1)
суть гомеоморфизмы. Это следует из того, что как в вещественном,
так и в комплексном n-мерном пространстве существует ровно
один способ дополнить произвольный (п—1)-репер до п-репера
„с определителем 1. Далее мы будем отождествлять SO (п) с О (n, 1)
и SU (п) с U (n, 1).
5.1.	Теорема. Кольцо Понтрягина H*(SO (n); Z/2) является
внешней алгеброй от нормальных классов [Ь] группы гомологий
Н*(О (п, 1); Z/2) (см. определение 3.3).
Доказательство. Нормальная клетка (ilf . . ., ir)
в О (п) состоит из матриц с определителем (—1)г (см. лемму 1.4,
определение 1.5 и лемму 3.2). Следовательно, SO (п) как подпро-
странство в О (п) состоит из нормальных клеток (гх, .... iZr),
где n >...>• г2г >0. По теореме 3.5 нормальный класс
гомологий такой клетки равен [гх] [1] [г2] [1] . . . [г2г1 [1].
Следовательно, согласно теореме 3.5, образ гомоморфизма
H*(SO (n); Z/2)-> Н*(О (п); Z/2) представляет собой внешнюю
алгебру от элементов [Ь] [1] с Ь>1. При отображении в
Я* (О (п, 1); Z/2) элемент [&] [1] переходитв [Ь], по теореме 3.6. 
5.2.	Теорема. Пусть [&] £ H*(U (п, 1); В)=Н* (SU (n); В),
п^Ь^>1, — нормальные классы. Кольцо Понтрягина H*(SU (п);
Выявляется внешней алгеброй над В, порожденной классами [Ы раз-
мерности 2Ь—1.
Доказательство. Из теоремы 3.6 мы знаем, что
Ях (U (п, 1); Я)=0. Следовательно, Я1 (SU (п); В)—0. Композиция
H*(U(n, 1); B)^H*(U(n); B)$H*(SU(n); В)
является тождественным отображением. В силу теоремы 4.7,
л* {&}={&), п > & > 1. Следовательно, i* {&}={&}, п Ь > 1.
Кроме того, так как Я1 (SU (п); В)=0, то I* {1)=0. Применяя
лемму 4.6 и индукцию по г, получаем, что i* {Ьх, . . ., 5г}=0,
если &<=! для некоторого г, а во всех других случаях i* {bi,
. . ., &г}={&1, . . ., Ьг}. Поэтому двойственное отображение
H*(SU (п); В)-> Н^(и (п); В) удовлетворяет условию
U (Ь]=[&], п Ь > 1. Так как i* — мономорфизм колец Пон-
трягина, то теорема доказана, в
Теперь мы исследуем вложение Sp (п) с U (2п). Пусть V —
кватернионное n-мерное пространство и W — комплексное 2п-
мерное пространство. Запишем произвольный кватернион 31+
+^г+/Яз+^4» гДе ?i> 7а, ?з и ?4 — вещественные числа, в виде
§ 51	КОЛЬЦО ПОНТРЯГИНА ГРУПП SO(n) И St7(n)	59
(?1+«7а)+/(Зз—Тогда всякому вектор-столбцу (xt, . . ., х„) £
С V можно сопоставить вектор-столбец {ylf .... у2я) € W,
если положить	Это позволяет отождествить
V и W как комплексные векторные пространства. При таком ото-
ждествлении сохраняются скалярные произведения векторов,
самих на себя (но не на другие векторы). Следовательно, любой
элемент иэ группы Sp (п) сохраняет скалярное произведение
в W, и мы получаем вложение Sp (n) -> U (2п). Мы имеем также
отображения Sp (n) -> V и U (2п) -* W, отвечающие взятию
последнего столбца матрицы или, эквивалентно, взятию образа
вектора (0, . . ., О, 1) при действии данного преобразования из
Sp (п) или U (2п). Диаграмма
5р(п)-----> V
U{2n)----->W
коммутативна. Отождествляя множество единичных векторов
в V или W со сферой б’4""1, приходим к следующей коммутативной
диаграмме:
5.3.	Диаграмма.
Sp(n)----► Sp(n, п — 1)
II
54«-1 .
II
U{2ri)----> U{2n, 2п — 1)
5.4.	Теорема. Вложение Sp (n) -> U (2п) индуцирует эпимор-
физм	R)-> Н* (Sp (»); R), определяемый соответствиями
{2b} i-> {b} и {2b—1}	0, где n b > 0. {Напомним, что класс
{Ь} имеет размерность 2Ъ—1 или kb—1 соответственно тому,
обозначает он нормальный класс в U (2п) или в Sp (»).)
Доказательство проведем индукцией по п. Поскольку
группа Sp (0) —U (0) состоит только из тождественного преобра-
зования, то теорема, очевидно, верна для п=0.
Следующая диаграмма коммутативна:
Sp{n — 1)----* U{2п — 2)
Sp{n)----> U (2«)
Следовательно, индуцированная диаграмма
H*(Sp(n — 1)) *--H*{U{2n — 2))
t	t
H*{Sp{n}} <----H*(U(2n})
60
КОГОМОЛОГИИ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
[ГЛ. IV
также коммутативна. По теореме 4.7 левое вертикальное отобра-
жение переводит класс {6} в {&}, если	— 1, и в нуль,
если Ъ^>п — 1. По той же теореме 4.7 правое вертикальное ото-
бражение переводит класс {&} в {&), если 0<6^2п — 2, ив нуль,
если b > 2п — 2. В силу индуктивного предположения и комму-
тативности последней диаграммы, теорема верна для классов {Ь} («
£ да4-1 (jj (2п)), где Ь 2п — 2, и нам остается только проверить
теорему для классов {2п — 1} и {2п}. По размерностным сообра-
жениям класс {2п — 1} £ Я4"-3 (Z/(2n)) переходит в элемент, при-
надлежащий подкольцу в H*(Sp(n)), порожденному элементами
вида (т) £Я4,”-1(5р(»)), где 0<?п<;п. Однако по теореме 4.7 это
кольцо мономорфно переводится в H*(Sp(n—1)). На основании
коммутативности указанной выше диаграммы мы заключаем, что
класс {2п — 1} переходит в нуль кольца H*(Sp(n)).
Чтобы вычислить образ класса {2п} (-Я4""1 (С/ (2п)) в группе
когомологий H^lSpfri)), используем теорему 4.7 и диаграмму
5.3. Так как оба класса {п} £Я4"-1 (Sp (п)) и {2п} £ Я4"-1 (U (2»))
являются образами фундаментального класса в группе Я4"-1 (54"-1),
то класс {2п} переходит в класс {n}. g
§ 6.	Когомологические операции
в многообразиях Штифеля
Действие когомологических операций на группах когомоло-
гии многообразий Штифеля можно вычислить следующим образом.
Из теорем 4.5 и 4.7 следует, что нам достаточно знать действие
этих операций на группах когомологий пространств SO (п)—
=sO (п, 1), UJji) и Sp (п).
Мы имеем" мономорфизмы
[л*; Я*(О(п, 1); Z/2) -> Я*(Q„xO (п -1,1); Z/2)
и
[л*: Я‘(Я(п); Я)->Я*(@яхЯ(п —1, 1); Я).
Индукцией по п мы сможем вычислить когомологические опера-
ции, если будем знать, как они действуют на группах когомологий
пространства Qn и как ведут себя при X-умножении. Согласно
лемме 3.2, если Й=2, то пространство Q„ имеет гомотопический тип
букета SCP"'1 \/ S1, так что достаточно знать, как действуют наши
операции на группах когомологий комплексного проективного
пространства СР”'1 и как они ведут себя при X-умножении
(см. лемму 2.1 гл. I).
Зная, как действуют операции для U (2п), мы сможем затем
найти их действие и для Sp (п) при помощи теоремы 5.4.
Единственные явные вычисления, которые нам предстоит про-
вести, относятся к случаю действия операций Sq' на группах
Я* (О (п, к)-, Z/2) для ft > 1.
В обозначениях 4.1, справедлива
§ 8] КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В МНОГООБРАЗИЯХ ШТИФЕЛЯ 61
6.1.	Теорема. В Н* (О (в, A); Z/2) (в Ъ > к 1) имеет
место формула
Sq<{b} = (671){b + 0-
Ив формулы Картина следует тогда, как действуют операции на
других когомологических классах.
Доказательство. При мономорфизме
fi*: Н*(О(п, k); Z/2)-*H*(Q„xO(n-l, к); Z/2)
образ класса {6} равен 1X {&}-{-{&} X { } (см. лемму 4.2 (а)). Согласно
лемме 2.4 гл. 1 и лемме 3.2, Sq* {b}=(^ t — l}HSq,l =
= 0, если i > 0, откуда и вытекает утверждение теоремы. 
Теперь мы хотим получить другое описание структуры y! (2)-
модуля в терминах § 5 гл. II.
Усеченное проективное пространство Р”— это пространство,
подученное из вещественного проективного «-мерного пространства
Р" сжатием в точку (г — 1)-мерного остова Р1""1. Каноническая про-
екция Ря-»-Р^ индуцирует мономорфизм
Я*(Р”; Z/2)->Z7*(P"; Z/2).
Пусть wt — ненулевой элемент группы Н’(Р”‘, Z/2), г^з^в.
В силу свойства естественности и леммы 2.4 гл. 1,
Sq* ш, =
[t)u>t+i, если з-|-«<в,
О, если s-J-i^b.
По лемме 3.2, если <2 = 1, то Q„lQk = PtTl (n^k^l). Отображе-
ние Qa-*-O{n, к) индуцирует отображение
рг=&/&-> о (л, 4
Мы утверждаем, что это последнее отображение является вложе-
нием. Докажем это утверждение индукцией по п. Оно верно для
п = к. Предположим, что точки х, у £ QJQk имеют один и тот же
образ в О (п, к). По предположению индукции мы можем считать,
что х £ Поэтому наше утверждение вытекает из леммы 2.3.
По теореме 2.1 нормальная клетка (i^ ..., ir | в, к) имеет раз-
мерность, большую чем 2к, если г ^2. Следовательно, 2А-мерный
остов пространства О (в, к) совпадает с Р%к, если в>2А. Если
п^.2к, то n-мерным остовом пространства О (в, к) служит Р>-1«
6.2.	Теорема. Если к^Л, то кольцо Н*(О(п, к); Z/2) явля-
ется свободной ^1-алгеброй, порожденной	Z/2). (См. опре-
деление 5.4 гл. II.)
62
КОГОМОЛОГИИ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП	[ГЛ. IV
Доказательство. Рассмотрим алгебру А(п, к), определен-
ную перед теоремой 4.5. Свободная 21-алгебра, порожденная
Н* Z/2), изоморфна как алгебра алгебре А (в, к) относительно
отображения, переводящего в (6—{—1} (п^>Ь^к). Это следует
из того, что Sq4 wb = w2i, если 2b < п, и равно нулю в противном
случае.
Остается только проверить, что индуцированная этим изомор-
физмом структура алгебры А (в, А) как 21-модуля совпадает с есте-
ственной структурой 21-модуля Н*(О(п, к); Z/2). Фактически, в силу
формулы Картана, нам достаточно произвести соответствующую
проверку на образующих {&}. Но
Sq,“?4 = (J)“’w и Sq<{b + l} = (-)(b + i + l} при 6-Н<п,
а при	правые стороны обоих равенств равны нулю, g
§ 7.	Векторные поля на сферах
Под векторным полем на сфере 5я-1 мы понимаем непрерывную
функцию, сопоставляющую каждой точке сферы 5я-1 касательный
вектор в этой точке. Система к векторных полей на сфере S”'1 назы-
вается независимой, если в каждой точке сферы соответствующие
к векторов линейно независимы. Для каждого положительного
целого числа п обозначим через к (п) Наибольшее из целых
чисел, для которых на сфере S”'1 существуют к независимых
векторных полей. Полностью вычислить функцию к (п) удалось
Дж. Ф. Адамсу [3]. Если записать число п в виде
п = 24в+?(2« + 1),
где а, р и s — целые числа О и {3 = 0, 1, 2 или 3, то
/с(п) = 2₽4-8а — 1.
Таким образом, к (п)=0 для нечетных п. Для малых четных п
значения к (п) даются следующей таблицей:
п
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
1
3
1
7
1
3
1
8
1
3
1
7
1
3
1
9
А(п)
Существование для данного п не менее 2р-|-8а—1 независимых
полей было доказано еще давно Гурвицем и Радоном (см. [34]).
Полное изложение этих результатов выходит за рамки наших
заметок. Однако мы все-таки установим здесь оценку сверху для
S 71
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА СФЕРАХ
63
функции к (п), которая является начальным шагом на пути к до-
казательству окончательного результата и которая оказывается
точной (наилучшей) для п < 16.
7.1.	Теорема (Уайтхед и Стинрод [26]). Если п = 2т(2«4~1),
то к (п) <4 2т.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится одна лемма.
7.2.	Лемма. Пусть п = 2т (2s -]-1). Если 0 <^/<^2’”, то
— j —^ = 0 mod 2. Далее,	1) = lmod2, если s^i.
Доказательство. Положим п — 1=2”* — 1 -J-s • 2m+1 =
= 1	214- ... 4- 2т~14- s • 2М+1. Если i = 2Г 4- X2r+1 < 2"1, то коэф-
фициент при 2Г в разложении числа п — 1 — / равен нулю, а коэф-
фициент при 2Г в разложении числа / равен 1. В силу леммы 2.6
гл. I, — — = 0 mod2. Если 7 = 2*”, то коэффициент при 2т
в разложении числа п — 2т— 1 равен 1. Таким образом,
Доказательство теоремы 7.1. Для заданных к линейно-
независимых векторов v1,...,vk мы можем всегда найти ортонор-
мированный базис натянутого на эти векторы пространства. Мы
просто определяем индуктивно: иг = vlt ик = (проекция вектора v{
на пространство, ортогональное к векторам иг,   , и(_^, а затем
полагаем w( = uj\ ut |. Те же самые формулы позволяют вывести
существование поля /с-реперов из существования к линейно-неза-
висимых векторных полей на любом многообразии с римановой
метрикой.
Касательные /с-реперы в точках сферы S”-1 С R” (R" — евкли-
дово пространство) взаимно-однозначно соответствуют (к 4~ 1 ^репе-
рам в начале координат пространства R” (мы просто добавляем
в качестве последнего вектора вектор, идущий в данную точку
сферы $”-1). Следовательно, существование поля /с-реперов на
(п— 1)-мерной сфере равносильно существованию сечения рас-
слоенид
О(п, п — к — 1)->О(п, п — 1) = SB-1
(см. утверждение 1.1). (Фактически, мы вовсе не будем использо-
вать тот факт, что это отображение является расслоением).
Предположим, что, в противоречии с утверждением теоремы,
для некоторого п = 2т (2s -]-1) на сфере S”"1 существуют 2”1 линейно-
независимых полей. (Ясно, что s^l). Тогда должно существовать
сечение К расслоения
к: О(п, п-2т — Г)-*О(п, п —1) = 5Я"1,
64
КОГОМОЛОГИИ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
[ГЛ. IV
Следовательно, мы должны иметь гомоморфизмы
Н*(О(п, га —1); Z/2)-^ Н*(р(п, п — 2т — 1); Z/2)-^
-> Н*(р(п, п — 1); Z/2),
композиция которых является тождественным отображением. По
теореме 4.5, п* {га} = (га). Поэтому Х*(га} = {га}. Далее класс {га} —
единственный ненулевой класс положительной размерности в кольце
когомологий Н (О (п, га — 1); Z/2) =	Z/2). Следовательно,
к*.{6}==0, если га^>Ь. В силу теоремы 6.1 и леммы 7.2, имеем
Sq2" (га - 2"} = (п - J - *) {га} = {га}.
Применяя к крайним частям этой цепочки равенств гомоморфизм к*,
приходим к противоречию, которое и доказывает нашу теорему, в
Г л а в a V
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
В § 1 мы определяем эквивариантные когомологии цепного
комплекса, на котором действует группа, и показываем, что ин-
дуцированные внутренними автоморфизмами группы отображения
групп когомологий- являются тождественными гомоморфизмами.
В § 2 приводится основная теорема о конструкции цепного отобра-
жения с заданным ацикличным переносчиком и определяются
групп когомологий группы. В § 3 мы даем одно обобщение по-
нятия когомологий группы, привлекая для этого топологические
пространства. В § 4 показано, что несколько различных способов
определения умножений в кольцах когомологий групп приводят
к одному и тому же результату. В § 5 мы вычисляем когомологии
циклических групп, а в § 6 изучаем отображение групп когомоло-
гий, индуцированное каноническим вложением, циклической
группы в симметрическую. В § 7 для получения более подробной
информации об этом отображении мы используем гомоморфизм
переноса.
§ 1. Цепные комплексы с действием группы
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Категория пар — это категория,
объектами которой являются пары (р, А), где го — группа,
а А — левый p-модуль. Морфизм /: (р, А) -> (эт, В) состоит из го-
моморфизмов /х: р -> п, /2: В -> А, таких, что
/а(/1(а)&) = а/2(&)
при всех а£р, Ь(*В. Категория алгебраических троек — это кате-
гория, объектами которой служат тройки (р, А, К), где р и А
обозначают то же, что и выше, а К — цепной комплекс, на кото-
ром группа р действует слева. Морфизм ft (р, А, К) -» (л, В, L)
состоит из морфизма (р, А)->(п, В) в категории пар и цепного
отображения /#: K-+L, такого что f# (ай) =(а)(А) при всех
а £ р, к £ К. Будем при этом говорить, что отображение f#: К -* L
и гомоморфизм /2: В->А эквивариантны (в том смысле, что они
коммутируют с действием группы).
f Пусть С* (К; А) = Нот? (К; А) — комплекс эквивариантных
коцепей на К со значениями в А. Отображение троек /: (р, А, К)-+
->(«, В, L) индуцирует отображение комплексов
/#: С*(£; В)-+С*(К; А)
5 Н. Стинрод, Д. Эпстейн
66
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
[ГЛ. V
при помощи следующей композиции:
к%ь->в Ал.
Обозначим через Н*(К‘, 4) группу гомологий комплекса С*(К‘, 4)»
1.2.	Лемма. С* (К; А) и Н*(К; 4) — контравариантные функ-
торы на категории алгебраических троек
1.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Автоморфизмом алгебраической
тройки (р, 4, К) называется всякий морфизм (р, 4, К) -> (р, 4, К),
для которого существует обратный. Внутренний автоморфизм
тройки (р, А, К), задаваемый элементом Т £ р, определяется
формулами
f1(a) = TaT“1, fa(a) = T-1a> f#(/c) = TA.
Если n — нормальный делитель группы р, то каждый внутрен-
ний автоморфизм тройки (р, 4, К) индуцирует автоморфизм
тройки («, 4, К).
Все данные здесь определения непосредственно переносятся
на случай пар (р, 4) — надо просто опустить все упоминания
о комплексе К.
Согласно лемме 1.2, автоморфизм"тройки'(р, 4 //^индуцирует
автоморфизм группы когомологий Н* (К", 4).
1.4.	Лемма. Внутренний автоморфизм алгебраической
тройки (р, 4, К) индуцирует тождественное отображение группы
Н* (К; 4).
Доказательство. Отображение, индуцированное
внутренним автоморфизмом тройки, является тождественным уже
на уровне коцепей. 
1.5.	Лемма. Пусть (р, А, К) — алгебраическая тройка, к —
некоторый нормальный делитель группы р и у £ р. Рассмотрим
внутренний автоморфизм g  (", А, К) -> («, 4, К), задаваемый
элементом у. Тогда каждый элемент из образа отображения
Н;(К; А)-*Н*(К; 4)
инвариантен относительно автоморфизма g*.
Доказательство. Рассмотрим внутренний автоморфизм
/: (р, 4, К) -> (р, А, К), задаваемый элементом у. В силу
леммы 1.2, следующая диаграмма коммутативна:
4)	(я; Л)
4)-^-> НЦК; 4)
Поэтому утверждение леммы следует из того, что, согласно лемме
1.4, отображение /* является тождественным. |
S 2]
КОГОМОЛОГИИ ГРУПП
67
§ 2.	Когомологии групп
Регулярным клеточным разбиением К называется клеточное
разбиение, в котором замыкание любой клетки является конечным
подразбиением, гомеоморфным замкнутому шару. Если разбиение
К бесконечно, то мы будем считать, что в нем введена тонкая
топология (т. е. подмножество в К считается открытым тогда
и только тогда, когда его пересечение с каждым конечным под-
разбиением, открыто). Пусть К и L — клеточные разбиения.
Переносчиком из К в L называется функция С, сопоставляющая
каждой клетке х £ К подразбиение С (х) разбиения L так, что
каждая грань клетки х переходит в подразбиение разбиения С (х).
Перецосчик называется ацикличным, если разбиение С (х) аци-
клично для каждой клетки х £ К. Пусть р, я — группы, дей-
ствующие на разбиениях К и L соответственно (согласованно
с их клеточной структурой), и hz р -> « — некоторый гомомор-
физм. Переносчик из К в L называется эквивариантным, если
С (ах)=& (а) С (х) для^всех а £ р, х £ К. Пусть ?: К -> L —
цепное отображение. Скажем, что ? переносится при по-
мощи С, если <р (х) являются цепью разбиения С (х) для всех
х е К.
2.1.	Замечание. Пусть К и L — некоторые клеточные разбие-
ния. Снабдим пространство K. XL структурой клеточного раз-
биения, в которой клетками служат произведения клеток из К
и L. Тогда цепной комплекс разбиения KxL будет тензорным про-
изведением цепных комплексов разбиения К и L. Если К и L —
регулярные клеточные разбиения, то клеточное разбиение KxL
также является регулярным. (Как показал Даукер [7], про-
странство К XL с топологией произведения гомотопически
эквивалентно клеточному разбиению KxL.)
Пусть К' — некоторое р-подразбиение p-свободного клеточ-
ного разбиения К и </: К' -> L — некоторое эквивариантное
цепное отображение. Предположим,что имеется такой эквивариант-
ный ацикличный переносчик С из К в L, что отображение <р'
переносится при помощи С | К'.
2.2.	Лемма. Цепное^отображение <?' можно продолжить до
эквивариантного цепного отображения ?: К -> L, которое пере-
носится при помощи С. Если То u Vi — ^ва таких продолжения,
переносимые при помощи С, то существует эквивариантная гомо-
топия 1<2§К -> L между ?0 и <р1 (группа р действует на 1®К та-
ким образом, что I остается неподвижным, а действие ее на К
прежнее).
Доказательство. Выберем по одной клетке из каждой
орбиты действия группы р на К\К' и расположим их в порядке
неубывания размерности. Мы должны построить отображение ср,
такое, что уд=ду. Так как разбиение С (х) ациклично для всех
клеток х, то это легко можно сделать по индукции.)
5*
68
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
[ГЛ. V
Второе утверждение леммы следует из первого, так как раз-
биение 1®К является p-свободным (см. замечание 2.1), и мы мо-
жем определить переносчик из IX К в L как композицию проекции
на К и переносчика С. и
2.3.	Лемма. Для любой группы, л можно построить п-свобод-
ное ацикличное симплициалъное разбиение W.
Доказательство. Введем в группе л дискретную то-
пологию и рассмотрим бесконечнократный джойн
W = л*л#л*....
Этот джойн является симплициальным разбиением. Джойн любого
разбиения и точки является стягиваемым пространством. Каждый
цикл разбиения W лежит в некотором конечнократном джойне
W' с W и потому гомологичен нулю в W * л. Следовательно,
разбиение W ациклично.
Действие группы л на W зададим так: будем считать, что группа
л действует на каждом сомножителе л нашего джойна умножением
слева, и продолжим это действие на всё W по линейности. Такое
действие, очевидно, свободно.в
Пусть даны гомоморфизм л -> р, ацикличное л-свободное
разбиение W и ацикличное p-свободное разбиение V. Тогда сле-
дующим образом определен эквивариантный ацикличный пере-
носчик С из W в V: для каждой клетки х £ W мы полагаем
С (x)=V. В силу леммы 2.2 можно поэтому найти эквивариантное
цепное отображение W -» V, причем все такие цепные отображения
будут эквивариантно гомотопны.
Следовательно, морфизм пар /: (л, 4) -> (р, В) (в смысле
определения 1.1) приводит к отображению алгебраических троек
(л, A, W)-> (р, В, V), в котором цепное отображение W-> V
определено однозначно с точностью до эквивариантной гомотопии.
Значит, согласно лемме 1.2, корректно определен индуцированный
гомоморфизм
f: H*(V; B)-+H*(W; 4).
В классе всех л-свободных ацикличных разбиений любые два
разбиения эквивариантно гомотопически эквивалентны и любые
два эквивариантных цепных отображения из одного такого разбие-
ния в другое эквивариантно гомотопны. Следовательно, группы
H*r (W; 4), где W пробегает указанный класс, все изоморфны
между собой, причем эти изоморфизмы определены однозначно
и транзитивно. Поэтому можно отождествить все эти группы
между собой и писать Н* (л; 4) вместо Н* (Ж; 4).
2.4.	Лемма,. Н* (л; 4) т- контравариантный функтор на ка~
тегории пар (в смысле определения 1.1). 
§ 31	ПРАВИЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ	69
§ 3.	Правильные отображения
Допустим, что имеется непрерывное отображение /: К -> L
двух клеточных разбиений. Переносчиком С для отображения f
называется переносчик из К в L, для которого / (t) С С (т)
для всех клеток т £ К. Минимальным переносчиком отображения
f называется переносчик, который сопоставляет каждой клетке
•с £ К наименьшее подразбиение разбиения L, содержащее / (t).
Каждый переносчик отображения / содержит минимальный пере-
носчик. Будем говорить, что отображение / правильно, если его
минимальный переносчик ацикличен. Если группа те действует
на разбиении К, группа р действует на разбиении L и отображение
/ эквивариантно относительно гомоморфизма h-. те -» р, то мини-
мальный переносчик также является эквивариантным.
3.1.	Лемма. Пусть К и L — конечные регулярные клеточные
разбиения и пусть группа п действует на К, группа р — на L и
непрерывное отображение f: К -> L эквивариантно относительно
гомоморфизма h: те -> р. Тогда отображение f можно представить
в виде композиции правильных отображений
К 4 К' L' XL,
где К' и L' — барицентрические подразделения разбиений К и L
соответственно.
Доказательство. Первое барицентрическое подразде-
ление регулярного клеточного разбиения является симплициаль-
ным клеточным разбиением, в чем легко убедиться, используя
индукцию по размерности. Рассмотрим n-кратное барицентрическое
подразделение L' разбиения L для re 1. Пусть U( — открытая
звезда i-й вершины xt разбиения L'. Тогда семейство {СТ,} дает
открытое покрытие разбиения L. Мы можем выбрать такое ба-
рицентрическое подразделение К' разбиения К, каждый симплекс
т которого содержится в множестве вида /-1 (СТ,). Тогда минималь-
ный переносчик для т состоит из всех симплексов, имеющих х(
своей вершиной. Следовательно, отображение /: К' -» L' пра-
вильно. Тождественные отображения К -» К' и L' -» L, очевидно,
также правильны. Все указанные отображения эквивариантны,
и лемма доказана. 
Заметим, что мы могли бы в качестве L' взять любое бари-
центрическое подразделение разбиения L. Заметим также, чти
вместо К' можно было бы с равным успехом использовать любое
более тонкое подразделение.
Лемма 3.1 остается верной, но доказательство ее усложняется,
если в формулировке опустить слова «конечные» и «барицентри-
ческие».
3.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Категория геометрических троек
определяется аналогично категории алгебраических троек
(см. определение 1.1) с той лишь разницей, что вместо цепного
70
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
[ГЛ. V
комплекса К рассматривается конечное регулярное клеточное
разбиение К, а вместо эквивариантных цепных отображений f# —
эквивариантные непрерывные отображения. Отображение геомет-
рических троек (л, А, К)(р, В, L) казывается^правилъным,
если правильно непрерывное отображение К -> L.
Рассмотрим некоторое отображение геометрических троек
/; (л, А, К) -> (р, В, L). Пусть W — л-свободное ацикличное
разбиение и V — p-свободное ацикличное разбиение (эти разбие-
ния, существуют в силу леммы 2.3). Мы построим сейчас отобра-
жение-
Г: Ht(VxL; B)^H\(WxK-, А),
где действие группы п на WxK является диагональным, т. е.
а (ш, й)=(аи>, ак), а £ л, w £ W, к £ К, и действие группы р
на Рх£ задается аналогично.
Пусть сначала отображение f правильно. Обозначим его мини-
мальный переносчик через С. Сопоставляя каждой клетке шХ т £
£WxK подразбиение VXC (х), мы получаем ацикличный экви-
вариантный переносчик из WXK в VxL. Согласно лемме 2.2,
в этом случае существует эквивариантное цепное отображение
/#: W®K -> V®L, определенное однозначно с точностью до
эквивариантной гомотопии. Бели же отображение / неправильно,
то мы можем представить его в виде композиции правильных
отображений^
(л, А, £)->(л, А, /Г)->(р, В, Lz)-»(p, В, L)
и определить f# как композицию трех цепных отображений
W 0 К -> W 0 К' -> V 0 L'	70 L.
Для правильного отображения геометрических троек (л, А,
К) -> (р, В, L) мы получаем таким образом две разные конструк-
ции эквивариантного цепного отображения W®K -> 7®£. Пер-
вая из них строится непосредственно, а вторая — при помощи
разложения в композицию трех отображений. Результаты этих
конструкций совпадают с точностью до эквивариантной гомотопии.
Нетрудно видеть, что определение отображения не зависит,
с точностью до эквивариантной гомотопии, от кратности барицен-
трических подразделений разбиений К и L, используемых в лемме
3.1. Отсюда легко вытекает, что, если даны отображения геомет-
рических троек
(л, А, К) Л (Р, В, L) 4 (а, С, М),
то для любого ацикличного a-свободного разбиения U цепное ото-
бражение W (g)K ->U 0 М эквивариантно гомотопно ото-
бражению (g/)#. Полагая теперь L~I\K, получаем, что, если
непрерывные отображения h, к: К-> М эквивариантно гомотопны,
3 4]	УМНОЖЕНИЯ	71
то и цепные отображения и из W 0 К в U 0 ЛГ экви-
вариантно гомотопны.
Следовательно, отображение геометрических троек (те, А, К)-*
-> (р, В, L) задаёт отображение алгебраических троек (те, А, РИ0Я)->
->(р, В, F0Z). То же рассуждение, что и при доказательстве
леммы 2.4, показывает, что группа H* (W ® К; Л) ’не зависит
от выбора «-ацикличного разбиения W. Таким "Образом, дока-
зана.
3.3.	Лемма. HZ fWxK; А) — контравариантный функтор на
категории геометрических троек. Индуцированные отображения
не меняются при эквивариантных ’гомотопиях переменной К. в
3.4.	Замечание. Пусть те — нормальный делитель группы р,
А — некоторый p-модуль и К—конечное регулярное клеточное раз-
биение, на котором действует группа р. Тогда определено действие
группы р на геометрической тройке (те, А, К) — по тем же форму-
лам, что и в п. 1.3. Следовательно, согласно лемме 3.3, группа р
действует и на (WXK; А). Это действие коммутирует с экви-
вариантными отображениями переменной К. Если те= р, то группа р
действует тривиально на (WXK; А) (по лемме 1.4). Если дей-
ствие группы те на разбиении К тривиально, то действие элемента
у на’ H*^iy7xK; А) может быть задано следующим образом.
Продолжим внутренний автоморфизм пары (те, А), задаваемый
элементом у (см. определение 1.3), до отображения алгебраической
тройки (те, Л, W) в себя. Это отображение вместе с тождественным
отображением” определяет отображение тройки (те, A^WlQK)
в себя, которое и индуцирует требуемый автоморфизм группы
H^(WxK; Л).
В случае когда разбиение К является точкой, группа
(WXK; А) совпадает с группой Н* (те; Л) и лемма 3.3 сводится
к лемме 2.4.
§ 4, Умножения
Пусть К — некоторое те-свободное клеточное разбиение и L —
клеточное разбиение, на котором действует группа р. Предполо-
жим, что заданы гомоморфизм те -> р и непрерывное эквивариант-
ное отображение /: К -» L. Используя индукцию по возраста-
ющей размерности клеток, образующих те-базис клеток разбиения
К, можно построить эквивариантную гомотопию IxK-^L
между отображением / и некоторым клеточным отображением.
Это дает эквивариантное цепное отображение /#: К -» L, одно-
значно определенное с точностью до эквивариантной гомотопии.
Мы можем добиться, чтобы во время гомотопии образ каждой
клетки разбиения К оставался в минимальном переносчике отобра-
жения /. Поэтому можно считать, что отображение переносится
при помощи минимального переносчика отображения /,
72
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
[ГЛ. V
Отображение / индуцирует отображение g: Kin -► L/p, а ото-
бражение /# индуцирует цепное отображение К/п -> Lip. Этим
цепным отображением можно заменить так как эквивариантная
гомотопия 1хК -» L индуцирует гомотопию IxKIn Lip между
g и некоторым клеточным отображением.
Пусть К и L — регулярные клеточные разбиения с’ таким же
действием групп, как и выше, а отображение/: К -> L правильно.
Тогда можно выбрать цепное отображение /#: К -> L иначе,
чем это описано выше. Можно просто применить лемму 2.2,
используя минимальный переносчик отображения /. Но поскольку
построенное выше отображение /# также переносилось с помощью
минимального переносчика, то с точностью до эквивариантной го-
мотопии обе процедуры приводят к одному результату.
Пусть W — некоторое ^-свободное регулярное клеточное раз-
биение. Положим L=W/n. Снабдим клеточное разбиение WxW
диагональным действием группы я. Диагональ d: W -> WXW
является эквивариантным правильным отображением. Предыду-
щие рассуждения показывают, что имеет место
4.1. Лемма. Любая эквивариантная клеточная аппроксимация
диагонали d: W-^WxW индуцирует цепное отображение
L -> LQL, которое гомотопно цепному отображению, индуци-
рованному клеточной аппроксимацией диагонали L -» L X L.
Если разбиение W ациклично, то любое эквивариантное цепное
отображение W -> W®W индуцирует отображение L -> L®L,
которое гомотопно цепному отображению, задаваемому клеточной
аппроксимацией диагонали. |
Пусть (те, А, М) и (р, В, N) — алгебраические тройки (см.
определение 1.1). Рассмотрим тройку (теХр, A<g)B, M<g)N). Оче-
видным образом определено отображение
С^М; A)®rt(N; B) + Ctxr(M®N;А® В).
Это позволяет нам определить X -умножение (или внешнее когомоло-
гическое умножение)
В*(М; A)®H*(N; B)^HlXf(M0N; А® В).
Пусть W — ацикличное те-свободное разбиение и V — ациклич-
ное p-свободное разбиение. Рассмотрим геометрические тройки
(те, А, К) и (р, В, L). Определенное выше Х-умиожение задает
отображение
H^WXK', А)ХН*(УхЦ B)-+H*Xf(WxKxVxL; А®В).
Далее, алгебраические "тройки (те 0 р, А 0 В, W 0 К 0 V 0 L) и
(те 0 р, А 0 В, W 0 V 0 К 0 L) изоморфны между собой; изомор-
физм осуществляет отображение, меняющее местами V и К (с соот-
УМНОЖЕНИЯ
73
$ 41
ветствующей заменой знака). Здесь действие группы те X р на
W 0 К 0 V 0 L задается формулой
(а, (3) (ц> 0 к 0 v (g) Z) = (aw 0 ак 0 (Зи 0 pZ)
для всех а £ те, р^Р» w£W, к£К, vQV и l£L, а действие группы
те0р на ИЛ0У0В’0В — формулой
(а, р) (w 0 V 0 к 0 Z) = (aw 0 ру 0 ак 0 pZ).
Следовательно, имеет место изоморфизм между группами
H*xv(W®K®V®Ia А®В) и	VX#X£; 40В).
Так как клеточное разбиение W X V ациклично и (те X р)-свободно,
то, взяв композицию этого изоморфизма с определенным выше
Х-умножением, получаем следующее X-умножение:
(4.2)	H*V(WXK; A)®H't(VxL; В)-+
-+Hlxt(WxVxKXb А®В),
определенное на функторе из леммы 3.3. Образ элемента и0о
будем обозначать через uXv.
Рассмотрим диагональное отображение геометрических троек
d: (те, 40В, А:)->(теХ«, 4 0В, К® К),
где действие группы те на 4 0В в первой тройке диагонально.
Согласно лемме 3.3, мы имеем отображение
<Г: H*VXK(WXWXKXK; А 0 В) -> H‘V(W X К; А®В),
где действие группы те X я на W XW XК ХК задается формулой
(а, р)(ух, оа, kv k2) = (avv роа, akv рАа)
для всех а, р£те, ух, уя£W и кг, к2£К. Взяв композицию ото-
бражения d* с X-умножением (4.2), получаем о-умножение
(4.3)	HZ(WXK', A)0HI(WXK; B)^H'(WxK-, А® В).
В случае когда группа те тривиальна, оно совпадает с обычным
^-умножением в группе Н*(К). В случае же когда разбиение К
представляет собой точку, оно совпадает с обычным о-умноже-
нием в когомологиях групп.
4»4* Замечание. Пусть W и L те же, что в лемме'4.1. Можно
определить о-умножение в L при помощи построения эквивари-
антной аппроксимации диагонали в W. Это особенно полезно в тех
случаях, когда L не является регулярным клеточным разбиением,
74	ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ	[ГЛ. V
§ 5.	Циклическая группа
Пусть W — единичная сфера в бесконечномерном комплексном
векторном пространстве. Это значит, что каждая точка из W
имеет вид (z0, zlt . . zr, 0, . . .), где	Снабдим W тонкой
топологией. Иначе сферу W можно определить как клеточное
пространство, являющееся бесконечным^объединением нечетно-
мерных сфер
S1 С S3 С S5 с ....
Пусть п — произвольное целое число, большее единицы, и T:W -»
-* W — преобразование, определяемое формулой
Г (z,. zlt...) = (Xz0, kzx,...), где X
Очевидно, преобразование Т действует свободно на сфере PF и
является образующей некоторой циклической группы те порядка п.
Построим теперь эквивариантное клеточное разбиение сферы W,
относительно которого она будет регулярным клеточным простран-
ством. Для сферы это делается очевидным образом, в результате
чего мы получаем клеточное разбиение с п нульмерными клетками
е0, Те0,..., и п одномерными клетками elt Tet,..
причем дех = {Т — 1)е0. Дальше будем действовать по индукции.
А именно, имеет место изоморфизм №r+1 = Sir~1 * S1 (* означает
джойн), где сфера S1 отождествлена с множеством точек (0, 0,...
. •., zr, 0,...), для которых zrzr= 1. Построим клеточное разбиение
сферы 52r+1, взяв в качестве (2г— 1)-мерного остова уже построен-
ное по предположению индукции клеточное разбиение сферы iS®-1.
В качестве 2г-мерных клеток сферы 52г+1 возьмем клетки 52г-1*Т,ев=
= Т*^, а в качестве (2г 1)-мерных клеток — клетки вида
S2r~l*Tie1=T'ear+1. Таким образом, в каждой размерности имеется
ровно п клеток.
Рассмотрим элементы N = 1 -f- Т -J- ... -J- Г"-1 и Д = Т —1
группового кольца группы те. Если соответствующим образом
выбрать ориентации клеток, получаемых как джойны клеток мень-
шей размерности, то
dTie9r —= N ^.4.,
9Т^ = Т^.
Следовательно, построенное клеточное пространство <S’2r+1 является
те-эквивариантным и регулярным.
Пусть 2 = 2 Т* X — элемент группового кольца Z (теХте).
0<<</<п
Кольцо 2(теХте) очевидным образом действует на цепном ком-
плексе W ®W. Отображение Z (те) -> Z (те х те), индуцированное
диагональю те -► те X те, задает тогда действие кольца Z (те) на цеп-
ном комплексе W ® W.
g 5]	ЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА	75
5.1.	Лемма. Эквивариантное отображение d'. W -» W(&W,
определяемое формулами
t	|«—г
^2< = S еа>-2/ 4“	2е2/+1 ® e2.'-2/-li
<
^а<+1 — S (еау ® еа»-ау+14" еау+1 & ^ж-Яу)»
у=о
является цепным отображением.
Д оказательство. В кольце Z(itX«) имеют место равенства
ТхТ — 1Х1 = 1ХД4-ДХТ,
(ТХГ)2 —2 = 7VX1—I'XW,
1 х 14- т х 7*4-... 4- г*-1 х т”’~1 = 1 х W4-2 (д х 1),
1Х7’4-7’ХТ44----4-7ч’_1Х1 = NXi — 2 (1 X Д).
Используя эти равенства, можно установить требуемое утвержде-
ние непосредственным вычислением, в
Положим L — W/n. Так как клеточное пространство W является
стягиваемым и n-листно накрывает пространство L, то L пред-
ставляет собой пространство Эйленберга—Маклейна типа К (Zin, 1).
Пространство L имеет по одной клетке, также обозначаемой через
е<, в каждой размерности; при этом де2г = пе2г_1 и 5е2г+1 = 0 в L.
Обозначим через wr коцепь, двойственную клетке ег. Группа Hr (L; Z/n)
является циклической порядка п и порождается коцепью wr.
Пусть £: Hq (L; Z/n) -> Hq+1 (L‘, Z/n) — оператор Бокштейна, ассоци-
ированный’с точной последовательностью групп коэффициентов
0-*Z/n->Z/n2->Z/n->0.
5.2.	Теорема, pu>x — in2; pina=O. Если п нечетно, то wl = О'
w2r = (wa)r и ie2r+1 = (io2)rio1. Если п — 2, то wr = (w-tf.
Доказательство. Поскольку 5еа =— пег, то рц>х-еа =
= — (1 /п)и?х • де2 = — wx • ех — 1. Следовательно, ршх = —ша. Так
как р2 — 0, то рц>а = О.
Согласно замечанию 4.4, мы можем вычислять о-произведения
в L, используя в качестве диагонали цепное отображение, опи-
санное в лемме 5.1. Для разбиения L мы получаем таким обра-
зом следующую клеточную аппроксимацию диагонали:
i	1
^®я»= 2 ®	4 ^2	Й2^+1 ®
/-о	у-о
2<+1
^®2.+1 —	® е2«-/+1 •
у=о
Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы. |
76
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
[ГЛ. V
5.3.	Следствие. Для нечетных п кольцо Н* (L; Zin) является
тензорным произведением внешней алгебры, порожденной классом
wlt и алгебры полиномов, порожденной классом Рп>х=—w2. Для
п—2 кольцо Н* (L; Z/2) является алгеброй полиномов, порожденной
классом и>х, причем п’а==₽и’Х-И
§ 6.	Симметрическая группа
В этом параграфе число р всюду будет нечетным простым. Пусть
S (р) — симметрическая группа перестановок множества из р
символов. Будем рассматривать S (р) как группу преобразований
конечного поля Zip. Пусть к — образующая мультипликативной
группы поля Zip. Тогда Лр-1=1. Обозначим через Г циклическую
перестановку Т (i)=i+l. Легко видеть, что любой элемент группы
S (р), коммутирующий с элементом Т, является его степенью.
Определим элемент у f< S (р) формулой yi=A:i. Тогда
тГт-1 (i) = ГГ (Г1 i) = г (к-1 i +1) = i 4- к = T* (i).
Следовательно, fT’y-1 = Т*. Перестановка у является нечетной, что
легко увидеть, рассматривая ее действие на множестве {0,1, к,.. .,кр~*}.
Обозначим через те циклическую группу, порожденную переста-
новкой Т, и через р — нормализатор этой группы. Ясно, что у £ р.
Более того, группа р порождается элементами у и Т. В самом деле,
предположим, что а £ р и аГа-1 = TJ. Тогда j — к* для некоторого I.
Поэтому
т-,аТа-1т* = Т-,7*,Т, = Т.
Таким образом, элемент коммутирует с Т, а значит, является
степенью элемента Т.
Пусть (Z/p)tJ) обозначает S (р)-модуль, Который как абелева
группа есть Z/р, а действие группы S (р) на нем следующее. Для
четного q действие группы S(p) на (Zlp)w тривиально, а для
нечетного q задается знаком перестановки.' Поскольку перестановка
Т — четная, S (р)-модуль (Z/p)tJ) является тривиальным те-модулем,
и поэтому, если действие группы те на клеточном пространстве К
тривиально, то
H^WxK; (Z/p)w) = H*(WxK'> Z/p) = H*(W/n X К; ^p).
Следующие две леммы будут играть важную роль в гл. VII.
Пусть К — конечное регулярное клеточное пространство с триви-
альным действием группы те.
6.1.	Лемма. Пусть q— четное число, г>0 и и — некоторый
ненулевой элемент группы Hr(K‘, Z/р). Элемент w2iXuf*
^Hai+r(W ХК> (^lp)(i}) инвариантен относительно у£ртогда и
только тогда, когда i = m(p— 1) для некоторого т, а элемент
S 6]
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА
77
ipaf_j X в 6 Я2<+’'“1 (W X Я; (Z/p)<?)) — тогда и только тогда, когда
i = m(p— 1) для некоторого т.
(Определение действия элемента у на группе H*(W X К; (Z/p)(?))
см. в п. 3.4.)	,
6,2.	Лемма. Пусть q — нечетное число, г^О и и — некото-
рый ненулевой элемент группы Нг (Я; Z/p). Элемент и>Л(Хи(*
£H$i+r(WxK; (Z/p)<J)) инвариантен относительно утогда
и только тогда, когда i = m(p—1) /2 для некоторого нечетного
т, а элемент w2i_x X и 6 Я2/+г-1 (W X К; (Z/p)(?)) тогда и только
тогда, когда 1 = т(р —1)/2 для некоторого нечетного т.
Доказательство. Ввиду нечетности перестановки у ото-
бражение g: (к, (Z/p)(?>) -► (я, (Z/p)(?)), индуцированное элементом у,
состоит из следующих двух отображений (см. пи. 1.3 и 3.4):
ga:(Z/p)‘” ->(Z/p)(J), где ga =— 1, если q нечетно, и ga = -|-l,
если q четно, и gx, где g^fT) = уГу-1 — Тк.
Для клеточного пространства W, описанного в § 5, мы должны
построить gj-эквивариантное цепное отображение g#:W -+W.
Положим
к-1
g# eaf = к1 e2i и g# еа,+1 = к*^ Tj e2f+1
у=о
(в этих формулах к рассматривается как целое число, i<Ck<j>)-
Продолжим это определенное на образующих отображение g# до
gj-зквивариантного отображения. С помощью следующих формул
легко проверить, что отображение g# цепное. Пусть N и Д — эле-
менты кольца Z («), описанные в § 5. Тогда
gi(N)-=N и ?1(Д) = Г*-1.
Пусть а — произвольная r-мерная клетка разбиения К и и —
коцепь, представляющая класс когомологий u£Hr(K-, Zip). Тогда
g# (w2i X в) • (еа< X о) = g2 [(w2< • g# e2i) (и • а)] =
= ga[A:< (в-а)] =
f к({и-<з), если q четно,
(— к( (и  с), если q нечетно.
Следовательно,
( кг (w2{ X в), если q четно,
g# X в) =	,..
'	( —к (w2i X в), если q нечетно.
Далее,
g* (и’л+х X и) • (е2<+1 X о) = (—l)r g2 [(и>2<+1) • (в • °)] =
= (—l)rga w2f+1
к—1
•^2т^2<+1
у=о
(в• °) =
78
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
[ГЛ. V
==(—i)r«,2(s И (»•«)=
\У=о /
= (-1)г?а(О («•»)=
{(—l)r ki+1(u • о), если q четно,
(—l)r+1A:<+1(ii • а), если q нечетно.
Поэтому
f ki+1 (io2i+1 X и), если q четно,
(.wn+i X и) | —^<+i (ц,а.+1 х иу если q нечетно.
Класс когомологий wrXu инвариантен относительно у тогда
и только тогда, когда g* (wrXu) — (и>гХм)=0. Утверждения обеих
лемм следуют из предыдущих формул, так как kf=i тогда и только
тогда, когда (р — 1) | i, и каждый ненулевой элемент поля Tip
обратим.в
§ 7.	Гомоморфизм переноса
В этом параграфе мы будем использовать один и тот же символ
для обозначения класса когомологий и представляющего его ко-
цикла.
Пусть те — подгруппа конечного индекса в группе р. Рассмот-
рим цепной p-комплекс К и p-модуль А. Имеет место вложение
коцепных комплексов
V. С*(К-, A) + W, А),
индуцирующее отображение ,
Г: Н*(К; А).-+Н*(К; Л).
Определим гомоморфизм переноса1) как отображение
х: С?(К; А)-*С^(К; А),
задаваемое следующим образом: для и£С*(К; Л) и с^К
хи - с = 5 а(»• а-1с),
«бр/«
где а пробегает множество {а.} представителей левых классов
смежности (по одному из каждого класса), т. е. (J а{те = р и
i
при i=^=J. Без труда проверяется, что определение
1) В оригинале transfer. Иногда в отечественной литературе вместо тер-
мина «гомоморфизм переноса» используют термин — кальку с английского —
«трансфер». — Прим,, ред.
§ 7]	ГОМОМОРФИЗМ ПЕРЕНОСА	79
гомоморфизма т не зависит от выбора представителей из классов
смежности. Если (3.£ р, то
Р-1 (ш • ₽с) = 2 ₽-1°Ч (к • а71₽с) = ш • с,
ибо для каждого фиксированного элемента (3 множество {p-IaJ
является множеством представителей левых классов смежности
группы л в р. Следовательно, '-и^С*(К; Л). Непосредственно
видно, что т — цепное отображение, а значит, оно индуцирует
отображение
т: Н*(К; А)-+Н*(К; Л),
естественное относительно эквивариантных отображений цепных
p-комплексов К.
Обозначим через [р: те] индекс подгруппы те в р, т. е. число
элементов множества {af}.
7.1.	Лемма. Композиция
С'((К; А)-Лс;(К; А)±С*?(К; Л)
представляет собой умножение на число [р: те].
Доказательство. Для uQ С* (К; Л)
ш. с — 2 а< (и • а71с) = 2 и • с = [Р : те]и • с- 
i	i
Пусть а — подгруппа группы р и пусть z пробегает множество
представителей двусторонних классов смежности азте подгрупп a
и те в р (по одному из каждого класса). Положим
,те = те [) (z-1az) и a, — (зтег-1) ["| а.
Обозначим через ad, ограничение на ,те внутреннего автоморфизма
группы р, индуцированного элементом z. Ясно, что отображение
ad,: ,те -> а, является изоморфизмом. Будем обозначать через ad,
такжё гомоморфизм
(Я; Л)->«,(£; Л),
задаваемый формулой ad,и • c — z{u- z~lc), где с £ К.
Результаты остальной части параграфа нигде далее в этих
заметках не используются.
7.2.	Лемма. Следующая диаграмма коммутативна:
С*(К; А) С*Г(К; Л) С* (К; А)
А
. 2*>	2t,
2 су (К;.. Л)-------------> 2 C*t (tf; Л)
80
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
[ГЛ. V
Доказательство. Пусть уг пробегает множество предста-
вителей левых классов смежности подгруппы а, группы а. Ниже
символы U и 2 обозначают взятие объединения и суммы по уж
при фиксированном z. Имеем
agzw = z (z-1a,z) it = z (,те) it = zit.
Следовательно,
огте = (J y,o,ztt == L) у,гте
у -у
и поэтому
р = (J aZm = U U У,зте.
*	* у
Легко убедиться в том, что последнее двойное объединение есть
объединение непересекающихся множеств; значит, элемент y,z про-
бегает множество представителей левых классов смежности под-
группы те в р.
Пусть	Л) и с^К. Тогда
2 т, ad, (i,u) • с = 2 2 У, [ad, (GM) • У;1^] =
•	* У
= 2 5 y„z • (z-1p;?)] =
1» У
= iSj/,z[h- (y,z)-1c]. 
*. У
Возьмем теперь а = те. Тогда ,те = те Г| z-1itz и те, = zttz-1 П те.
Положим т — [р : те].
7.3.	Лемма, Для всякого простого числа р, не делящего т,
композиция гомоморфизмов '
Н*{К; А)-^Н*ДК-, А)-^Н*{К- А)
является изоморфизмом на р-примарной части группы Н*(К; Л).
Доказательство. Согласно лемме 7.1, ii = m, а умноже-
ние на т является изоморфизмом на р-примарной части абелевой
группы, в
7.4.	Лемма. Пусть и £Н* (К; Л). Предположим, что р*и = 0.
Тогда, если a^.J,lKu = iKjz для всех zf* р, то и служит образом
при i некоторого элемента	Л) такого, что p*v = 0.
Если и — образ некоторого	Л), то ad^^u-i^u для
всех z£p.
Доказательство. Предположим, что ad,igVu — t*ju для
всех z £ р. Выберем число т' такое, что mm' = 1 mod р*. Тогда,
в силу леммы 7.2,
 itu — 2	ad, 1гКи = 2
Я	2
§ 7J	ГОМОМОРФИЗМ ПЕРЕНОСА	81
где сумма берется по множеству представителей двусторонних
классов смежности nzn в р.
Из первой половины доказательства леммы 7.2 видно, что если у,
пробегает множество представителей левых классов смежности
подгруппы теж в группе те, a z пробегает множество представителей
двусторонних классов смежности nzn подгруппы те в р, то эле-
менты y^z образуют множество представителей левых классов
смежности подгруппы те в р. Пусть тг — [п:пг]. Тогда	т-
Следовательно,
tra = 2W’'«u
— ^mji <в силу леммы 7.1)>
—ти.
Отсюда, полагая п = тт'и, получаем первое утверждение леммы.
Второе утверждение непосредственно следует из определений. 
7.5.	Лемма. Пусть те — нормальный делитель группы р и
число р взаимно просто с [р: те]. Тогда й — изоморфизм р-примар-
ной части группы Н*(К; Л). Класс и из р-примарной части
группы Н*(К; А) принадлежит образу отображения i: Н*(К; Л)->
->Н*(К; Л) тогда и только тогда, когда ad/i = u для ecexzQp.
Доказательство. Это непосредственно следует из лемм 7.3
и 7.4. в
7.6.	Лемма. Пусть тп = |р|. Тогда mHt(p\ Л) —0 при q^>0-
Доказательство. Пусть К — некоторый р-свобод-
ный ацикличный цепной комплекс, и пусть те—1. Применяя
лемму 7.1 и используя то, что Н'1 (К', Л)=0 при <?>0, полу-
чаем утверждение леммы, ц
7.7.	Лемма. Пусть те — силовская р-подгруппа группы р (группа
р конечна). Тогда группа Н* (те; Л) в положительных размерностях
является р-группой и гомоморфизм I: Н* (р; Л) -> Н* (те; Л) изо-
морфно отображает р-примарную часть группы Н* (р; Л) на
подгруппу элементов и, таких, что ad/^ — iKji для всех z£p.
Доказат е л ь с т в о. Заметим, что | те |=р’ и (число
т = [р:те] взаимно просто с р. В силу леммы 7.6, тогда р‘Н* (те; Л)=0
в положительных размерностях. Поэтому группа 1Р (те; Л) яв-
ляется р-группой для q > 0. Остальные утверждения леммы сле-
дуют из лемм 7.4 и 7.3. и
7.8.	Предложение. Пусть те — силовская р-подгруппа группы
р, являющаяся циклической группой порядка р. Обозначим через а
нормализатор группы лер. Тогда мономорфные образы р-при-
марных частей групп Н* (р; Л) и Н* (а; Л) в группе Н* (те; Л)
(в положительных размерностях) совпадают между собой и состоят
из всех элементов группы Н* (те; Л), инвариантных относительно о.
6 Н, Стиирод, Д. Эпстейн
82
ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
[ГЛ. V
яПг-1лг =
Доказательство. Так как | л |=р, то
1, если z(£a,
л, если zga.
Следовательно,	= О в положительных размерностях, если
z (£о. Поэтому, согласно лемме 7.7, условия принадлежности данного
элемента р-примарным частям групп im (Я* (р; Л)) и im (Н* (а; Л))
одни и те'же. Если z£o, то гомоморфизм
ad/Я\(л; Л)->Я*(л; Л)
является автоморфизмом, индуцированным элементом z-1 (по
поводу определения ad, см. п. 1.3). 
7.9. Лемма, Группа Н° А) изоморфна подгруппе элемен-
тов группы, А, инвариантных относительно действия группы л,
причем етот изоморфизм естествен относительно отображений
пар (л, Л) (см. п. 1.1).
^Доказательство. Утверждение леммы непосредственно
следует из определения группы Н* (л; Л), поскольку ацикличный
л-свободный цепной комплекс должен быть связным, в
7,10. Следствие. Если лер и А — некоторый р-модуль,
то образ индуцированного отображения Н° (р; Л) -» Н° (л; Л)
достоит из элементов группы А, инвариантных относительно
действия группы р. 
Глава VI
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЛГЕБРЫ 21 (р)
В § 1 приводятся аксиомы для операции Р{. В § 2 определена
алгебра Стинрода 21 (р) и показано, что она является алгеброй
Хопфа. В § 3 описана структура двойственной алгебры Хопфа.
Доказательства в значительной степени аналогичны доказатель-
ствам в случае р—2. В § 5 получены некоторые результаты о го-
мотопических группах сфер, а в § 6 построена последовательность
Вана.
§ 1.	Аксиомы
Пусть р — простое нечетное число. Обозначим через
₽: НЦХ; Z/p)-+Hin(X; Z/p)
пограничный оператор Бокштейна, ассоциированный с точной
последовательностью групп коэффициентов]
О -> Z/p -* Z/p2 —► Z/p -* 0.
Мы считаем известным, что оператор {3 естествен относительно ото-
бражений пространств, что р2 = 0 и что
Р (®У) = (₽®) У + (—1)’ х (М> гДе 9 = dim
Операции Р* удовлетворяют следующим аксиомам.
1)	Для любых целых чисел i^O, имеются естественные
преобразования функторов
Р{: НЦХ~ Z/р)-»	(X; Z/p),
являющиеся гомоморфизмами.
2)	Р° = 1 (т. е. Р* — тождественный гомоморфизм).
3)	Если dima: = 2A:, то Ркх — хр.
4)	Если 2A>dimo:, то P*x — Q.
5)	Справедлива формула Картана
P1c(xy) = ^Pfx-Pk-iy.
6*
84.
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЛГЕБРЫ Q[ (р)
[ГЛ. VI
6)	Соотношения Адема. Для a<^pb
рарЬ_________	j	0 ра+Ъ-tpt
i=0
Для а^рЬ
t“/p]
J>eppj_	—*) (Ь~ O)ppa+Mp/_j_
/=0
Мы докажем эти аксиомы в гл. VII и VIII и покажем, что
аксиома 6) следует из предыдущих. Как и в гл. I, можно доказать,
что при выполнении аксиомы 1) формула Картана эквивалентна
следующей формуле:
Р* (х X У) — S Р*х X Рк~{у-
Можно также показать, что операция Р* коммутирует с надстрой*
кой и с пограничным отображением
8:	Нк(А; Z[p)-+Нк+ЦХ, A; Z/р)
(см. п. 1.2 и 2.1 гл. I). Аналогично, [3 8=—8[3 и [Зз=—з[3, где з —
надстройка.'
§ 2.	Определение и свойства алгебры 21 (р)
Определим алгебру Стинрода 21 (р) как градуированную ас-
социативную алгебру над полем Z/p, порожденную элементами
Р* степени 21 (р — 1) и элементом (3 степени 1, подчиненным соот-
ношениям Ра=1, Р —1 и соотношениям Адема. Всякий моном
в алгебре 21 (р) может быть записан в виде
где е, = 0, 1, а з{ = 1, 2, 3, ... Обозначим этот моном через Р1,
где 7 = (е0, зх, ех, за, ..., sk, ек, 0, ...). Последовательность I
называется допустимой, если р*>’+»-j-при всех i^l. Соот-
ветствующий моном Р1, а также моном Р° будем называть допу-
стимыми мономами.
Моментом последовательности I называется число 2 I (5<+еЛ-
Степенью последовательности I называется степень монома PJ;
мы будем обозначать эту степень через d (7).
2.1.	Предложение. Каждый элемент алгебры 21 (р) пред-
ставляется в виде линейной комбинации допустимых мономов.
g 2]	ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА АЛГЕБРЫ QI (р)	85
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы
3.1 гл. I, убеждаемся прямым вычислением, что соотношения Адема
позволяют выразить любую недопустимую итерацию в виде суммы
итераций меньшего момента. Остается применить индукцию по
моменту, в
Мы будем изучать алгебру 21 (р), рассматривая ее действие на
кольце когомологий произведения линзовых пространств.
Вначале докажем некоторые леммы.
2.2.	Лемма. Пусть х и у — классы когомологий с коэффициен-
тами в Zip произвольного пространства, такие, что dimx=l
и dim у=2. Из аксиом 2)—5) следует, что Р{х~0 при i=H=0 и
Доказательство. Для к—1 требуемое утверждение,
непосредственно вытекает из результатов § 1 (см. аксиомы 2)—4)).
В случае 1 надо применить индукцию по А: и формулу Картава.
2.3.	Лемма. Пусть элемент у такой же, как в лемме 2.2.'
Из аксиом 2)—5) следует, что тогда элемент Р{(ур1с) равен урк
при i = 0; нулю при i^=0, pfc; и равен ypk+1 при i — pk.
Доказательство. Это непосредственно вытекает из
предыдущей леммы и леммы 2.6 гл.
Пусть и — некоторый класс когомологий размерности q и
I — последовательность вида (е0, з0, ех, зх, . . . , er, зг, 0, . . .).
Тогда имеют место формулы
Р (u X и) — pa X и 4- (—1)? и X
Рй(иХо) = 2^ХР*"Ч
Р1 (ио) = 2 (—1 )г‘d(J) Рки X PJv,
pl (их и) = s (-l)!'i(J)№x№.
K+J=I
Пусть пространство L и элемент wt£Hf(L; Z/р) такие же, как
в § 5 гл. V. Положим X = L X • • • X L — L2” и
«,, = ? X ®Х ?Х® X ••• X у X ж gH*n(Lw; Zip),
где х — jox, у — —w2.
2.4.	Предложение. Элементы PJun, где I пробегает мно-
жество всех допустимых последовательностей вида (е0, sx, ех, sa, . . .
.ef, 0, ...) степени ^.п, линейно независимы.
Доказательство. Положим
Jfc = (0, р*’1, 0, р*-2, ..О, р\ 0, р°, 0, ...),
j; = (0, р*"1, 0, рк~\ 0, ..., О, Л 0, р°, 1, 0,...).
86
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЛГЕБРЫ 91 (р)
[ГЛ. VI
Напомним, что ga: = y, —О (см. теорему 5.2 гл. V). Следова-
тельно, согласно лемме 2.3, Pz® = 0, если последовательность /
не совпадает с последовательностью Гк, в которую, возможно,
вставлено некоторое количество пар рядом стоящих нулей, либо
с последовательностью (0, 0, 0, ...), a PJ*x = ур и Р°х = ®. Также,
согласно лемме 2.3, Р1у = 0, если I не совпадает с последователь-
ностью 7fc, в которую, возможно, вставлено некоторое количество
пар рядом стоящих нулей, либо с последовательностью (О, О, 0, ...),
a Р**у = и Р°у = у. Заметим, что Р1 (я X у) = 0. если в по-
следовательности I имеется более чем один ненулевой показа-
тель в,.
Докажем лемму индукцией по п. Для п = 1 она очевидна,
так как имеется лишь два монома степени : Р° и £.
Предположим, что	= 0 (aj£Z/p), где сумма берется
по всем допустимым последовательностям I фиксированной сте-
пени q, q^.n. Мы хотим доказать, что а/ = 0 при всех Z. Сде-
лаем это с помощью индукции назад по длине t (I). Предположим,
что й/ = 0 для всех 7(7)>2m-j-l. По теореме Кюннета
Я«+Зя (£”) = 2 В* (L) ® Н( (£) ®	(£з«-а).
•> I
Обозначим через gm проекцию на сомножитель с s — pm и t = 1,
а через hm — проекцию на сомножитель с s = 2, t — рт- По фор-
муле Картана
(1) Р/и, = Р/(уХ®Х»я_1) —j ^_i(—i)i^P1yy.PKxy.PLun_v
Пусть I — допустимая последовательность. Мы утверждаем, что
(2) если / (/) < 2m 1, то hJFu* — 0, а
если 7(7) = 2m-f-l, то 1"^Гп и
№'».=(-1)‘уХуЪх
где i = deg(Z—7^). Мы утверждаем также, что
(3) если 7 (7)<2т, то g„Pzue = 0, а
[если 7 (7) = 2т, то 1т и^
gmPzu„ = (—1)* y’’wXxXP-r~z“wm_i,
где i = deg(Z— Jm).
Чтобы доказать (2) и (3), вернемся к первому абзацу настоящего
доказательства. Заметим, что любая последовательность, полу-
чаемая из J’„ вставлением нулей, имеет длину, большую 2т+1,
а любая последовательность, получаемая таким же образом из
— длину, большую 2т. Поэтому утверждения (2) и (3) сле-
дуют из (1).
§21,
ОПРВДВЛВНИЕ И СВОЙСТВА ЛЛГВВРЫ. 21 <Р)
8?
Применим теперь (2) и (3) при проведении нашей индукции на-
зад по / (Z). Так как Д/=0 для t (I) >• 2m+l> то, применяя к на-
шему соотношению утверждение (2), заключаем, что
. ухр'“х 2 (-ir«z^=o:
/(Z)=2-+l	1
Когда индекс 1 пробегает множество всех допустимых последо-
вательностей длины 2т+1 и степени д, индекс I — J'm пробегает
множество всех допустимых последовательностей длины 2и и
Степени q — 2рт-|-1. В силу предположения индукции по п, по-
лучаем поэтому, Что в/=0 при t (I)~2m-\-i.
Далее, применяя к нашему соотношению утверждение (3),
находим, что
^"ХаХ 2 (—
Когда индекс I пробегает множество всех допустимых последова-
тельностей длины 2т и степени q, индекс I — пробегает
множество всех допустимых последовательностей длины 2т
л степени q — 2рт+2. Используя предположение индукции по
п, заключаем, что аг=0 при I (1)=2т. Это завершает доказатель-
ство. в
Суммируя результаты предложений 2.1 и 2.4, получаем сле-
дующую теорему.
2.5.	Теорема* Допустимые мономы образуют базис алгебры
21(Р)- 
2.6.	Следствие. Отображение 21 (р)-* Я*^3"), задаваемое вы-
числением, действия операции на элементе и„, мономорфно в сте-
пенях |
2.7.	Теорема. Каждая операция Р* (при к*^ pf) разложима.
Следовательно, алгебра 21 (р) (мультипликативно) порождается
операциями 0 и Pr (i = 0, 1, 2, ...).
Доказательство. Соотношения Адема показывают, что
операция Р**4 разложима, если a<^pb и ——^^Omodp.
Положим
а + b = к=А,, 4- krf	V,
где О^/^^р и АМ«И'О. Пусть Ь—рт. Тогда
(р _ 1) b -1 = (рт -1) + (р - 2) р" =
= (Р-1)(1+Р1+---+р-1) + (р-2)ря’.
Далее,
а = к - Ь Л, -J- М + • - • + ViP"'1 + (*« -1) Г.
88
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЛГЕБРЫ 21 <Р)
[ГЛ. VI
Поэтому, в силу леммы 2.6 гл. I,
Наше утверждение следует теперь из леммы 4.1 гл. I. g
2.8.	Лемма. Если X — пространство, кольцо когомологий
которого Н*(Х; Z/p) представляет собой кольцо полиномов от
одной образующей размерности 2k (возможно, усеченное соотно-
шением х1— Q, где t^> р), то к имеет вид к = тр^, где т— не-
который делитель числа р—.1.
Доказательство. Используя аксиому 3) § 1, получаем,
что Ркх — хр =/= 0. Следовательно, согласно теореме 2.7, Р^ж^О
при некоторых р*^/с. Далее, dim(P^) = 2A-f-2p*(p— 1). Так
как Р^х — чх' (a^Z/p) для некоторого целого s, то 2Л-{-
4-2р*(р — l) = 2As. Поэтому р‘(р—l) = k(s— 1), откуда и сле-
дует наше утверждение, ц
2.9.	Теорема, Если К — клеточное пространство с конеч-
ными п-мерными остовами для всех п, у которого кольцо когомо-
логий Н* (К; Z) представляет собой кольцо полиномов от одной
образующей размерности 2k (возможно, усеченное соотношением
ж^О, где t ^>s), то k—i или 2.j
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диа-
грамму
С* (К; Z)®Z —С* (К; Z)
С* (К; Z)®Zlp-^C*(K; Z/p)
в которой вертикальное отображение справа индуцировано гомо-
морфизмом колец коэффициентов, а нижнее горизонтальное ото-
бражение выбрано так, чтобы диаграмма была коммутативной.
Согласно теореме об универсальных коэффициентах для
С* (К’, Z)0Z/p, мы имеем точную последовательность
0 -> Я» (К; Z) ® Z/p —Я» (К; Z/p) — Тог (Я’-1 (К; Z), Z/p) -> 0.
Так как группа Н* (К; Z) свободна, то третий член этой последо-
вательности равен пулю. Используя коммутативность приведен-
ной диаграммы, мы получаем, что гомоморфизм колец коэффици-
ентов задает отображение Н9 (К’, Z) -» Н9 (К‘, Zip), которое
индуцирует изоморфизм
H9(K;Z)®Zlp~H9(K>Zlp).
Так как гомоморфизм областей коэффициентов является кольце-
вым, то н этот изоморфизм является кольцевым.
в 3]
СТРУКТУРА ДВОЙСТВЕННОЙ АЛГЕБРЫ
89
Следовательно, Н* (К; Zip) — кольцо полиномов от одной
образующей х размерности 2к (возможно, усеченное соотношением
ж*=0, где. f >3). Поскольку то из леммы 2.8 при р=3
следует, что й=/пЗ<, где тга=1 или 2. Так как то из теоремы
4.5 гл. I вытекает, что к=2*. Следовательно, /с=1 или 2. |
2.10.	Теорема. Отображение ф, заданное на образующих
формулами ф (Рк) — 5 Р( 0	“ ф (₽) = ₽ 0 1 +1 ® ₽, продол-
жается до отображения алгебр
ф:21(р)->2((р)®2((р).
Доказательство точно такое же, как у теоремы 1.1
гл. II. Надо только использовать пространство L№ вместо п-й
декартовой степени бесконечномерного вещественного проектив-
ного пространства и заменить w классом ип. в
2.11.	Теорема. Алгебра 21 (р) есть алгебра Хопфа с Симмет-
ричной и ассоциативной диагональю ф.
Доказательство. Такое же, как у теоремы 1.2 гл. II. g
§ 3. Структура двойственной алгебры
Обозначим через 21 (р)* алгебру, двойственную к 21 (р) (в силу
теоремы 2.5, 21 (р)— алгебра конечного типа.) Ясно, что алгебра
21 (р)* является коммутативной и ассоциативной алгеброй Хопфа
с ассоциативной диагональю. Обозначим через и tk соответ-
ственно элементы, двойственные к элементам Мк = Р^ и М'к = Р^ъ
базиса допустимых мономов (где Jk, J'k— последовательности,
введенные при доказательстве предложения 2.4). Элемент имеет
степень 2(р® — 1), а тк имеет степень 2рк — 1. Поскольку сте-
пень элемента tk нечетна, то т| = 0.
Положим
т(О) = $о = 1, t(f) = i;j_1 при
Е(0 = Е< при
®(0) = ж, x(i) = yp'“’ при
y \i) = Vp< при »>0,
где х, y^H*(L',Zfp) — классы когомологий, описанные перед
п. 2.4. Для произвольной последовательности I = (1г,.. .,1^ не-
отрицательных целых чисел положим
г(/)=т(у...г(ус21(Р)‘,
Ц7) = е(У ...S(UG2l(p)*,
х (I) = X (h) х ... X X (tm) G я* (L«; Z/p),
y(/) = Hh)X • • • Xy(im)&H*(L”; Z/p).
90
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИИ АЛГЕБРЫ 21 (р)
[гл: Vi
Обозначим через ?(/) минимальное число транспозиций, необхо-
димое для того, чтобы собрать все нули последовательности I
в ее правом конце.
Следующая лемма поможет нам определить структуру ал-
гебры 21 (р)*.
3.1.	Лемма. Пусть а £21 (р). Тогда
«(®1Х... Xs.XPiX • •.Хум) = S (-1)мЛ <х(7)6(7), а>®(7)Ху(J),
I)	J
где суммирование ведется по всем последовательностям I и 7
длины пит соответственно.
(Указанная сумма конечна,гибо слагаемые, у которых степень
элемента t (7)6(7) 'отлична от~степени операции а, равны нулю.)
Доказательство. Докажем формулу по индукции. Она
верна для (ге, тга) = (0', 1) или (1, 0), поскольку ненулевые члены
в обеих частях равенства появляются тогда лишь при а = М1с
или а — Л7* (см. леммы 2.2 и г2.3, а также теорему 5.2 гл. V).
Предположим теперь, что лемма уже доказана для (0, т—1),
и пусть ф (a) = 5 аЮ а'. Используя формулу Картана, получаем
a (PiX • • • XpJ = 2 <УзХ< (р2Х • • • X Pm)
a
= 2 <?(/), Ф<ЦП где / = (/, П
=2<e(/)®m <®<Ж7)
= 2<е<Л®^(7'),<ра>у(7) ’
= 2<Ф*(^(/)®6(Г)),а>р(7)
=2<m «>»(/)♦
Тем самым для (0, т) лемма доказана.
Предположим далее, что лемма доказана для (п — 1, т). Ис-
пользуя формулу Картана, получаем
а(®1Х...Х®яХУ1Х...ХУст) =
= 2(—l)dega^>iX«;(®2Х • • • ХЖЯХ^Х • •. хут)~
в
='	J-i)T<^(0. <><«(/W). О®(/)Ху(7)»
где 7 = (f, /') и T = dega'-|-g(7'),
= t	<* (О ® т П5 (')’ < ®	(Z)Хр (7),
где’& = deg a" -f- g (I') -j- deg < (deg x (7') 6 (J)).
в 3]
СТРУКТУРА ДВОЙСТВЕННОЙ АЛГЕБРЫ
91
Нам надо вычислить показатель 8 по модулю 2 для ненулевых
слагаемых в этой .сумме. Если слагаемое ненулевое, то t(i) и а'
имеют одинаковые степени и	и а" также имеют одина-
ковые степени. Поскольку элемент ?(/) имеет четную степень,
то имеет место следующее сравнение по модулю 2:
8 == deg т (Г) -f- g (Г) -f- deg т (i) deg т (Z').
Так как число ненулевых элементов в последовательности Г
сравнимо по модулю 2 с degt(Z'), то для 1 = 0 получаем
8 = degt(Z')4-g(Z') = g(Z).
Если i=^*0, то degt(i) = l и 8=g(Z') = g(Z). Поэтому последнее
выражение в проведенной выше выкладке равно
2 <*Дх(0® х(Г)) в(7), а>X(1)ХУ(7) =
= S(-ir(I)<T(Z)B(7), a>®(Z) X y(J). 
Обозначим через 01' свободную градуированную коммутативную
алгебру над Z/p, порожденную символами т0,	... и $х, £а, ...
Как хорошо известно, такая алгебра 01' представляет собой тен-
зорное произведение
(%> xii • • •) & Р (Вр Ва, • • •)
внешней и полиномиальной алгебр (напомним, что элементы z.
имеют нечетные степени и поэтому = 0). Поскольку алгебра 01'
свободна, а алгебра 01 (р)* коммутативна, то отображение, пере-
водящее образующие алгебры 01' в образующие алгебры 01 (р)*,
единственным способом продолжается до гомоморфизма алгебр
01'-*01(р)*.
3.2.	Теорема. Отображение 0!'-*01(р)* является изомор-
физмом.
Доказательство. Покажем сначала, что отображение
01'-* 01 (р)* — эпиморфизм. Допустим, что <4(Z)5(J), а> = 0 для
всех I и J. Тогда, согласно лемме 3.1,
а (®1Х • • • Х®ИХ^Х . • • Xут) = 0
для всех п и т. Но по следствию 2.6 в этом случае а = 0. Сле-
довательно, отображение 01' -* 01 (р)* — эпиморфизм.
Мы докажем, что оно есть изоморфизм, показав, что в каждой
размерности совпадают ранги алгебр 01' и 01 (р)* как векторных
пространств над полем Z/p. Для этого достаточно показать, что
в каждой размерности совпадают ранги алгебр 01' и 01 (р).
Введем обозначение
В' = ^..Л?с?,
где Z = (e0, гх, «х, ...,гл,	0, ...), е4 = 0 или 1, а г4^0. Такие
последовательности I находятся во взаимно-однозначном соответ-
92
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЛГЕБРЫ 21 (Р)
[ГЛ. VI
ствии <5 мономами gJ, образующими базис алгебры 21'. G другой
стороны, допустимые мономы Р1' £ 21 находятся во взаимно-одно-
значном соответствии с последовательностями целых чисел I' =
s=(ej,	е», 0, ...), в которых s(^psi+14-®< для каждого
i и eJ = 0 или 1. Таким образом, остается установить взаимно-
однозначное соответствие между множествами последовательно-
стей I и Г, отвечающих мономам одинаковых степеней.
Обозначим через Rk последовательность с 1 на 2/с-м месте и
нулями на всех остальных местах, а через Qk— последователь-
ность с 1 на 2k -|- 1-м месте и нулями на остальных местах.
Положим
Rk=(0, р*-\ 0, рк~\ ...,0, р1, 0, р°, 0, ...),
Q’k = (0, р*'1, 0, рк~2.О, р1, 0, р°, 1, 0, ...).
Отображение из множества последовательностей I в множество
последовательностей Г можно теперь определить, продолжив по
аддитивности отображение, заданное на последовательностях Rk
и Qk (имеется в виду аддитивность относительно покоординат-
ного сложения). Итак, если
/ = (ео, rlt .., гк, ек, 0,	= (®;, sx, <,..., sfc, <, 0, . . .),
то sj = е( и
s{ = (г{ 4- ®<) 4- (г<+14- ®<+i) р1 4- • • • 4- (г* 4-®*) р*'1-
Разрешая это равенство относительно rf, находим
г( — = — psi+v
Следовательно, для данной допустимой последовательности Г мы
по этим формулам получаем однозначно определенную последова-
тельность I с 6. = 0 или 1 и г. 0, и наоборот. Подсчет сте-
пеней показывает, что
к	к
deg = deg Р1' = 2 г2 (р} — 1) 2 ®, @р* — 1). 
1	о J
3,3, Теорема. Диагональное отображение
?*: 21*-21*® 21*
задается формулами
тЧ=2&-<®^
1=0
к <
тЧ=*к ®14- 2	<® 'с.-
•=0
9 4]
ИДЕАЛЫ
93
Доказательство. Пусть а, р£21. Нам надо показать, что
<<рХ. «<3> ₽>=2	® ef, а х ₽>,
<?Ч.а ® р>=<ъ 01 >а® ₽>+<2^-<® л>а ® ₽)•
Другими словами, нужно показать, что
(1) <Х,	М р>,
(2) <ъ, «₽>=<^> «><?о, ₽>+2<Ж «Ж ₽>-
Пусть х и у те же, что и в лемме 3.1. Так же как и при дока-
зательстве теоремы 2.3 гл. II, убеждаемся, что
«/ = U'‘ а>/“+<-
а
Далее,
2<^*> «Р> урк = арг/ <(в силу леммы 3.1>
к
=*2Ж
i
=Ж«ЖЖ
a, i
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у, получаем
формулу (1).
Осталось доказать формулы (2). Имеем
<?0, «₽>* +	ар> !/Pfc = ара: <(в силу леммы 3.1>
= «[<?», ₽>*+2Ж
= <?0, ₽><&,	₽>«„ а>^“ +
», а
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у, получаем
формулу (2). 
§ 4.	Идеалы
Обозначим через Мк идеал в алгебре 21*, порожденный эле-
ментами
tP*	tP t	_	s
si , «2 , • • •> S*, Sfc+1, Tft+1, . . ., Zk+i, 1-k+i, . . .
Из теоремы 3.3 следует, что идеал Мк хопфовский. Следовательно,
факторалгебра <!21*1Мк является конечной алгеброй Хопфа. Двой-
94
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЛГЕБРЫ 21 (₽)
[ГЛ. Vt
ственной к ней служит подалгебра Хопфа 2lft С 21. Рассуждая,
как при доказательстве леммы 3.2 гл. II (с незначительными видо-
изменениями), получаем, что элементы 0, Р\ ..., Р1**"1 все принад-
лежат подалгебре 21*. Таким образом, справедлива
4.1.	Теорема. Алгебра Хопфа 21 является объединением
последовательности 21* своих конечных подалгебр Хопфа. в
Для произвольной коммутативной алгебры над полем Z/p ото-
бражение X: Л-*Л, задаваемое формулой \х~хр, есть гомомор-
физм алгебр. Более того, этот гомоморфизм X перестановочен
с гомоморфизмами алгебр. Поэтому, если А — алгебра Хопфа, то
X — гомоморфизм алгебр Хопфа.
Гомоморфизм X: 21 (р)*-* 21 (р)* увеличивает степени элементов
в р раз. Его ядром X является идеал, порожденный элементами т0,
Ч, ...
4.2.	Лемма. Для ж£2Г и Р1 £21
а.Р.рг = ( х‘р1^ если! = Р1,
(О в остальных случаях.
(Заметим, что, если I = pJ, то операции Р1 и PJ не содержат
в качестве сомножителя операцию 0.)
Доказательство. Без потери общности можно предпо-
ложить, что х — моном, составленный из элементов ?2, • • • и
То, Тр ... . Если хр • Р*^ 0, то х не содержит множителей вида т(,
ибо т| = 0. Поэтому моном х имеет четную степень. Далее,
хр • Р1 = ф* (х 0 . . . 0 х) • Р1 — (х 0 ... 0 х) • <pPz —
= 2(о:0 ... 0а:).(РЛ0 ...0PJ₽),
где суммирование ведется по всем наборам последовательностей
7Х, • • •» таким, что	Jp — /. Итак,
хр-Р1 = ^1{хР1'}...{хР,р}.
Если в этой сумме имеется слагаемое с двумя неравными после-
довательностями 7,, то слагаемые, получающиеся из него цикли-
ческой перестановкой сомножителей, дадут нулевой по модулю р
вклад в сумму. Поэтому, если хр • Р1 =/= 0, то I = pJ и хр • Р1 =
= (xPJ'f = X‘PJ. И
Пусть 21' — подалгебра Хопфа алгебры 21 (р), порожденная
операциями Р* (j—i, 2, ...). Рассмотрим гомоморфизм X*: 21(р)—►
-*21(р), сопряженный к X.
4.3.	Предложение. Гомоморфизм X* является гомоморфиз-
мом алгебр Хопфа, который уменьшает степени элементов в р раз.
Его образом служит 21', а ядром — идеал, порожденный опера-
циями Р1 и 0. Далее,
^pi = [PJ’ ecjml = pj,
( 0 в остальных случаях.
9 4]
ИДЕАЛЫ
95
Доказательство. Согласно лемме 4.2, достаточно
проверить, что ядро гомоморфизма X* содержится в идеале, по-
рожденном операциями |3 и Р1. Рассматривая линейные комбина-
ции допустимых мономов и используя формулы для X*, убеж-
даемся, что достаточно доказать лишь, что операция Р* содержится
в идеале, порожденном операцией Р1, если к не делится на р.
Но это сразу вытекает из соотношения Адема
Р1Р» = (—l)((p-11)6-1Jp»+i = (&4-l)P»*i. 
Следующее предложение было использовано Ч. Уоллом в [29]
и С. П. Новиковым в [19].
4.4.	Предложение, Если, профакторизоватъ алгебру 2t’(p)
по ее коммутанту [21 (р), 21 (р)1, то получится алгебра Хопфа,
являющаяся тензорным произведением внешней алгебры Е’($)
из образующей Р и кольца разделенных полиномов от образую-
щих Р1, Р2, . . ., т. в.
|p»p* = (* + *)p*+*mod[2l, 21].
Доказательство. Обозначим через I идеал, порожденный
всеми коммутаторами в 21 (р), и положим А = 21/7. Ясно, что А
v A 0 А — коммутативные алгебры. Композиция гомоморфизмов
21-^21021 —40А
является кольцевым гомоморфизмом в коммутативную алгебру и
поэтому она обращается в нуль на идеале Z. Следовательно,
гф(7) С 210Z4-Z021,
и, таким образом, идеал I хопфовский. Значит, А — алгебра Хопфа.
Двойственная алгебра А* состоит из всех элементов а: £21*, у ко-
торых диагональ ф® симметрична. Следовательно, т0, ?Х£А*.
Предположим, что 2®^ 6-4* (flj£Z/p). Тогда элемент
симметричен. Пусть J = (е0, tp ..., rk, ek, 0, ...). Рассмотрим
в слагаемые вида £"0£' и Г05“, где тип максимальны.
Несложное вычисление показывает, что эти слагаемые таковы:
к
ЕГ ®	где п = 2 (г{ -|- •<) р*~\
1
и
м
® 5Г. гДе m = 2 г<-
.	1 а
96
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЛГЕБРЫ 21 (р)
[ГЛ. VI
Заметим, что 2	2 г<, причем равенство имеет место
лишь тогда, когда е<=0 для и г( = 0 для /^2. Теперь
.в сумме 2а^ рассмотрим те слагаемые, для которых показатель
' к
2 (г« + ®,) Р*"1 максимален. В силу симметрии, мы должны иметь
1
е. = 0 для и г< = 0для?>’2. Такие слагаемые порождаются
к
в алгебре элементами т0 и Индукция по 2 (г« 4"®») Р*"1 пока-
1
зывает, таким образом, что А* — подалгебра, порожденная элемен-
тами "0 и
По двойственности получаем, что алгебра А имеет структуру,
описанную в формулировке предложения. 
§ 5.	Гомотопические группы сфер
Для всякой абелевой группы G обозначим через Gp подгруппу
элементов, порядки которых являются степенями данного про-
стого числа р. Если группа G конечно порождена, то ее можно
представить в виде прямой суммы
g=f©2gp>
р
где F — некоторая свободная абелева группа. В этом случае х)
мы можем говорить о р-примарной части элемента группы G,
подразумевая под этим его компоненту в Gp.
5.1.	Теорема. Группа (№) конечна для i >• 3, и
{О, еслв1'<2р,
Z/p, если i = 2p.
Далее, пусть f: Sip->S3— отображение, представляющее неко-
торый элемент группы (8*) с ненулевой р-примарной частью,
и пустьЕ — любая (2р-\-Химерная клетка. Положим L — S’ U ,Е.
Тогда гомоморфизм
Р»: Я’(Л; Z/p)-> H2p+4L; Z/p)
есть изоморфизм. (Для р = 2 операцию Р1 следует заменить опе-
рацией Sq2, см. теорему 2.3. гл. I.)
5.2.	Следствие. Пусть g: SB+2P-*S"+’ есть п-кратная над-
стройка над отображением f, и пусть M — SnL. Тогда гомомор-
физм
Р1: Яв+’(^ Zfp)^H^l(M; Z/p)
*) При фиксированном прямом разложении группы G. — Прим, перев.
§ 5]	ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕР	97
представляет собой изоморфизм. Следовательно,
W^W0'-
Доказательство. Первое утверждение следует из
того, что операция Р1 коммутирует с изоморфизмом надстройки.
Поскольку пространство М может быть получено приклеиванием
(2р+п+1)-мерной клетки к сфере 5М+3 с помощью отображения g,
для доказательства второго утверждения достаточно в качест-
ве/взять отображение, задающее образующую группы п2р (•*%>• Н
На самом деле, если использовать теорему 8.3 и следствие
13.3 из гл. XI книги [31], то из теоремы 5.1 можно вывести сле-
дующий более сильный результат:
5.3,	Следствие. Для всякого нечетного простого числа р
I 0, если i 2р,
)р | Z/p, если 1 — 2р. ц
Остаток этого параграфа посвящен доказательству теоремы 5.1.
Мы будем существенно опираться на теорию Серра классов абе-
левых групп. По этому поводу отсылаем читателя к [31, гл. X]
или [22].
Хотелось бы вычислить гомотопические группы сферы №,
применяя теорему Гуревича (mod ^). Но теорема Гуревича
в размерности п применима лишь к (га—1)-свяэным пространствам
(mod ^). Группа я3 (S3)?^Z препятствует выполнению этой про-
граммы. Поэтому мы построим пространство X, у которого тс3 (Х)=0,
а остальные гомотопические группы те же, что и у сферы S3,
а затем применим теорему Гуревича к X. Ниже приводится
построение (довольно длинное) такого пространства X.
5,4.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть л — абелева группа и п 2 —
целое число. Через К (п, га) обозначается любое пространство,
у которого гомотопическая группа в размерности га изоморфна л,
а гомотопические группы в остальных размерностях нулевые.
Такое пространство называется пространством Эйленберга—
Маклейна.
5.5.	Теорема. Для произвольной абелевой группы т и любого
целого числа га 2 существует пространство К га), являющееся
клеточным разбиением.
Замечание. С помощью теории препятствий легко показать, что
все такие клеточные разбиения гомотопически эквива-
лентны.
Доказательство. Пусть — образующие группы тс,
a rt — соотношения между образующими х(. Возьмем букет
га-мерных сфер, в котором множество сфер взаимно-однозначно
7 Н. Стинрод, Д. Эпстейн
98
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЛГЕБРЫ 21 (Р)
(ГЛ. VI
соответствует множеству образующих {х(}. Для каждого соот-
ношения
Гj —	4“	4~ • • • 4” amjXm’
где коэффициенты а — целые числа, возьмем отображение «-мер-
ной сферы в букет, которое является отображением степени
в сферу, соответствующую жх, степени а2у в сферу, соответствую-
щую а:2, и т. д. Приклеим к букету («4-1)-мерные клетки при по-
мощи таких отображений для/каждого^соотношения ту Затем
последовательно убьем гомотопические группы в размерностях
n-j-1, «4-2 и т. д., приклеивая клетки размерности «4-2, «4-3
и т. д. Если теперь, исходя из клеточной структуры, подсчитать
n-ю группу гомологий построенного пространства, то получим,
что Нп« тс. Применяя, наконец, теорему Гуревича, получаем,
что мы построили пространство К (тс, «). 
5.6.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть К — линейно-связное тополо-
гическое пространство с отмеченной точкой х. Обозначим че-
рез РК пространство путей, начинающихся в х, и через QK —
пространство петель в К, начинающихся и кончающихся в х.
Имеет место стандартное расслоение р: РК -► К, проекция
которого сопоставляет пути его конечную точку. Слоем этого
расслоения является СХ'*'(смЛ [31/гл. IIIJ).
Заметим, что пространство РК -'стягиваемо. Поэтому из точ-
ности гомотопической последовательности стандартного' расслое-
ния получаем изоморфизм д: (К) -2.	(QK). Отсюда видно,
что если К — пространство Эйленберга—Маклейна типа К (тс, п),
то QK — пространство Эйленберга—Маклейна типа К (тс, «—1).
Пусть К—К (Z, 3) — клеточное разбиение. ;; Рассмотрим
отображение Ss -> К, представляющее образующую группы
тс3 (К)=7>, и расслоение р: X -> S3, индуцированное стандартным
расслоением над К. Имеет место коммутативная диаграмма
X-----> РК
4 I’
в которой вертикальные отображения являются расслоениями со
слоем QK=K (л, 2). Выписывая точные гомотопические последо-
вательности расслоений, находим, что тс3 (Х)=0 и р*: тс. (Х)я&
«тс< (№) при 1=^3.
Вычислим теперь Н* (X) и применим затем теорему Гуре-
вича (mod %) к X для нахождения первой не равной нулю
гомотопической группы (mod сферы S3. Обычным методом вы-
числения гомологий расслоенного пространства является метод
спектральных последовательностей. В данном простом случае
§ 5]	ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕР	99
(когда база — сфера) спектральная последовательность сводится
к точной последовательности Вана.
5.7.	Теорема. Для расслоения X -> S” со слоем F имеет место
точная последовательность (послед овательность
Вана)
Н{(Х; A)~^H<(F; Л) Л Н‘~”+1(Р; А)^Н“1(Х; Л),
где А — коммутативное кольцо с единицей. Ёолее того, отобра-
жение 9 является дифференцированием, т. в. для х £ Н* (F; А),
у £ Hj (F-, Л) имеет место формула
9 (ху) = 9®  у (—1)‘я-1)< х • by.
Доказательство теоремы 5.7, использующее спектральные
последовательности, читатель может найти в [20]. В следующем
параграфе приведено доказательство, не использующее спектраль-
ных последовательностей.
5.8.	Лемма. Если к > 0, то Hik (X; Z) = 7,/к и (X; Z)=0.
Доказательство. Рассмотрим расслоение X -> S3 со
слоем QK=K (Z, 2). Бесконечномерное комплексное проективное
пространство также является пространством К (Z, 2), и, следо-
вательно, Н* (QK) есть кольцо полиномов от одной двумерной
образующей и. Имеет место точная последовательность (см. тео-
рему 5.7)
Я‘(Х; Z)->Hf(QK; Z) Л Hi~2(QK; Z)^Hi+1(X; Z).
Таким образом, для вычисления кольца Н* (X', Z) достаточно
лишь определить гомоморфизм 9.
Поскольку пространство X является 3-связным, то Н( (Х)=0
при i 3. Следовательно, 9и=+1; За счет выбора знака обра-
зующей и можно обеспечить, чтобы 9и=1. Так как 9 — дифферен-
цирование, то 9ия=пия-1; следовательно,
Hik(X\ Z) = 0 и Я2*+1(Х; Z) = Z/fc.
Рассмотрим сначала класс Яо конечно-порожденных абелевых
групп. По теореме Гуревича (mod ^) гомотопические группы
односвязных конечных клеточных разбиений конечно порож-
дещл. Следовательно, группы п, (53) конечно порождены для
всех i, и поэтому группы (X) также конечно порождены для
всех i. Таким образом, группы Н{ (X; Z) конечно порождены для
всех i. Применяя теорему об универсальных коэффициентах,
завершаем доказательство леммы, ц
Возьмем теперь в качестве класса класс конечных абелевых
групп. Тогда, согласно лемме 5.8, группа -то, (Х)«я, (8s) конечна
7*
100
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЛГЕБРЫ ЭДр)
[ГЛ. VI
для всех i > 3. Рассматривая класс всех конечных абелевых
групп, порядки которых взаимно-просты с р, получаем, что
( 0, если i<^2p,
те«- )р | Z/p, если г = 2р.
Тем самым доказана первая часть теоремы 5.1.
Пусть /: S2p -> S3 — отображение, о котором шла речь в фор-
мулировке теоремы 5.1, и пусть L — пространство, полученное
приклеиванием (2р+^мерной клетки к Ss с помощью /. Ото-
бражение S3 -> К (Z, 3), которое уже использовалось выше,
можно продолжить до отображения L -> К (Z, 3), так как
(К (Z, 3))=0. Пусть Y -> L — расслоение, индуцированное
стандартным расслоением над К (Z, 3). Клеточная структура
пространства L такова, что
к((£, №) = 0 для 1<2/>4-1
"2,+1(Д s3) = z.
Граничный гомоморфизм
^+1(4 S3)->MS3)
отображает образующую группы, стоящей слева, в элемент группы
(8s), представленный отображением /. На основании точности
гомотопической последовательности пары (L, 8я) заключаем, что
п.(Е)жк((8я) при i<2p, n2p(L)p = 0.
Те же соображения, которые позволили нам выразить гомотопи-
ческие группы пространства X через гомотопические группы
сферы S3, приводят к соотношениям
пДУ) —0 при i<^4,
n((y)«#ref(53) при 4<i<2p,
ЪРМр = 0.
Из теоремы Гуревича (modp) следует, что H{(Y; Z/p) = 0 при
0 < i 2р.
5.9.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть дано расслоение р: Е -> В
со слоем F над Ъ^В. Тогда определены гомоморфизмы
Нп (В, b) Нп(Е, F) НЯ~1(Р).
Элемент ж £ Я"-1 (F) называется трансгрессивным, если Во: £ Imp*.
Непосредственно из определения следует, что в случае, когда
кольцо коэффициентов есть поле Z/p, любая операция из mod р-
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВАНА
101
§ 6J
алгебры Стинрода переводит трансгрессивные элементы в транс-
грессивные элементы.
Покажем, что в расслоении У -> L со слоем 2 К образующая
и £ Н2 (2ZT; Z/p) трансгрессивна. Используя тот факт, что про-
странство Y является 3-связным, из точной последовательности
пары (У, QK) получаем диаграмму
^(z,, х) *-£—«,(У, а*) ——
H3{L, х) H3(Y, QK; Z) —H2(QK; Z)
где вертикальные отображения — гомоморфизмы Гуревича, а х —
отмеченная точка в L. По теореме об универсальных коэффициен-
тах класс и С Н2 (2Я; Z/p) трансгрессивен. Пусть ему соответ-
ствует класс v £ Н3 (L; Zip), Согласно определению 5.9, класс
Р1и=иг> тоже трансгрессивен. Так как IP (У; Z/p)=0 при 0 <
i 2р, то гомоморфизм]
8: H2p(QK; Zlp)-> H2p+1(Y, QK; Z/p)
является мономорфизмом. Поэтому класс 8up=p*P1w не равен
нулю и, следовательно, класс Р*и также не равен нулю. Доказа-
тельство теоремы 5.1 закончено. 
§ 6. Последовательность Вана
В этом параграфе мы докажем теорему 5.7 без использования
спектральных последовательностей. Ограничимся рассмотрением
расслоений, обладающих свойством накрывающей гомотопии для
всех пространств (а не только для полиэдров) (см. [31, гл. III)].
6.1. Теорема. Пусть р: Е -> Хх! — расслоение. Обозначим
через Et расслоенное пространство над X, полученное ограничением
расслоения Е на Xx{t}, где t (« I. Тогда Еа и Ех послойно гомото-
пически эквивалентны.
Доказательство. Рассмотрим отображение р0ХId:
Eoxl -+ Xxl. Поднимая эту гомотопию до отображения в Е,
тождественного на 2?оХ(0), получаем отображение Е0Х{1} -> Ех.
Таким образом строится послойное отображение /: Ео -> Ег и
аналогично строится отображение g: Ех -> Ео. Требуется дока-
зать, что отображение gf послойно гомотопно тождественному и
что то же самое верно для fg.
Рассмотрим ограничение отображения
Po X « X 1: EOXZXZ->XX{O}XZ = XXZ
102
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЛГЕБРЫ 21 (р)
1ГЛ. VI
на подпространство
EoX({O}Xl и IX {0} и {1} х/)
и поднимем его до отображения в Е таким образом, чтобы на
/Х{0) поднятое отображение было постоянным, а на (0}Х/
и {1} XI таким же, как при построении отображений fug. Ввиду
существования накрывающей гомотопии, построенное отображе-
ние можно продолжить на E0XlXl. Ограничение этого продол-
жения на Ео XiX {1} дает послойную гомотопию между gf и тожде-
ственным отображением. Теорема доказана. Ц
6.2. Следствие. Пусть /: X' -> X — отображение, гомотоп-
ное постоянному отображению в точку х относительно гомото-
пии, сохраняющей равенство / (р)—х для некоторой точки р £ X'.
Тогда, если над X имеется расслоение со слоем F над х, то инду-
цированное расслоение Е' -> X' послойно гомотопически эквива-
лентно тривиальному расслоению X'xF X', причем эта по-
слойная гомотопическая эквивалентность задает гомотопию
между индуцированным отображением слоя F над точкой р в слой F
над тонкой х и тождественным отображением.
Доказательство. Гомотопия отображения f: X' -> X,
о которой идет речь, задается отображением X'xl X, при ко-
тором Х'х{1} U Р XI отображается в точку х. Берем в качестве Е
индуцированное расслоение над Х'х! и применяем тео-
рему 6.1. 
Пусть дано некоторое расслоение X -> S”. Согласно след-
ствию 6.2, ограничение этого расслоения на любое собственное
подпространство сферы S" послойно гомотопически эквивалентно
тривиальному расслоению. Положим Sn — E+(JE_, где E+QE_ =
= 5я-1. Пусть F — слой над отмеченной точкой х (< 5я-1, и пусть
Х+ — часть расслоенного пространства над Е+, а Х_ — часть
над Е_.
Тогда имеет место коммутативная диаграмма
(Е+ X F, S’1-1 X F) (X, Х_)	(X, F)
I i I
(Е+, 5я"1)----* (5я, Е_) (Sn, х)
Используя аксиому вырезания и следствие 6.2, без труда полу-
чаем, что
Н* (Е*, S”"1) ® Н* (F) Н* (Е+ X F, S”-1 X F)
^Н*(Х, Х_)^Н*(Х, F).
Следовательно, Hk(X, F)^ Hk~” (F). С учетом этих изоморфизмов
когомологическая последовательность пары (X, F) принимает вид
Hk (X) Нк (F) Нк~м (F) Н*+1 (X).
§ 6]
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВАНА
103
Это и есть искомая последовательность Вана. Остается только
доказать, что 0 — дифференцирование. Имеем коммутативную диа-
грамму
Hk(F)^IIk(X__) -------* Hk(S»*XF) Hk(xXF)&Hk(F)
•I !•	!•
Нк+1(Х, F)^HM(X, XJttH^E+XF, Sn~1xF)^Hk+1~n(F)
Композиция отображений в верхней строке совпадает с тожде-
ственным отображением в силу последнего утверждения след-
ствия 6.2. Поэтому в этой строке при гомоморфизме Hk(F)~*
-> Нк (S""1 X F) элемент x(*Hk(F) переходит в
u X в® +1 X х G Я* (-$я-1 X Л-
где и — образующая группы Я”-1 (5В-1). Следовательно, если
y£H*(F), то ху переходит в
и X (9® • У + (-1 х • Оу) +1 X ху £ Я* (S^1 X F),
откуда получаем
0(жу) = 0ж • у-[-(—1)1”~1}кх  Оу,
чем и завершается доказательство теоремы 5.7. и
Глава VII
ПОСТРОЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ СТЕПЕНЕН
В § 1 показывается, что приведенные степени возникают как
весьма естественное обобщение операции умножения в кольцах
когомологий. В § 2 мы определяем внешнее приведенное степен-
ное отображение Р в общей ситуации и устанавливаем некоторые
его свойства . В § 3 мы рассматриваем специальный случай, когда
группа те (см. § 1) является циклической группой перестановок
множества из р символов, где р — простое число, а в качестве
коэффициентов групп когомологий взято поле hip. В § 4 для до-
казательства некоторых дальнейших свойств приведенных степе-
ней используется гомоморфизм переноса. В § 5 построены при-
веденные степенные операции степени нуль. В § 6 мы строим опе-
рации Р* и Sq* и для всех аксиом глав VI и I, кроме соотношений
Адема, доказываем, что они удовлетворяются для зтих операций.
Доказательство соотношений Адема будет дано в главе VIII.
§ 1.	Интуитивные идеи, лежащие”в основе построения
Пусть К — конечное регулярное клеточное разбиение, и
К" — его n-кратное декартово произведение на себя. Рассмотрим
симметрическую группу S (п) (группу перестановок множества
из п элементов) и зададим ее действие на пространстве Ки переста-
новками сомножителей. Пусть те — некоторая подгруппа группы
S (п) и W — некоторое те-свободное ацикличное клеточное раз-
биение. Тогда пространство WXK” будет те-свободным клеточным
разбиением относительно диагонального действия группы те.
Помимо этого описания ситуации, материал настоящего параграфа
формально не' является необходимым для”понимания последую-
щего текста. Поэтому рассуждения ’в этом параграфе местами
преднамеренно нестроги.
Рассмотрим некоторое другое конечное регулярное клеточное
разбиение L. Пусть и £ Н* (К) и v G Н* (L). Тогда определено
X-произведение uXv g Н* (KxL). Если K—L, то определено
о-умножение, задаваемое формулой
вор = d* («Х у),
где d’, К ->КхК — диагональ. Операцию о-умножения назы-
вают внутренней в том смысле, что все классы когомологий рас-
сматриваются в одном-единственном пространстве К; напротив,
§ 1]
ИНТУИТИВНЫЕ ИДЕИ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ ПОСТРОЕНИЯ
105
X-умножение называют внешней операцией. Преимущество X-
умножения состоит в том, что в его определении нет никакого
произвола, даже на уровне коцепей, в то время как определение
'^'-умножения требует некоторой клеточной аппроксимации d#:
К -> К®К диагонали d. В прошлом много трудностей, связанных
с ^-умножением возникало именно из-за произвола в выборе
аппроксимации диагонали с^, поскольку некоторые особые вы-
боры ее приводили к искусственным формулам. Более того, раз-
личные важные свойства ч^-умножения, такие, как ассоциатив-
ность и коммутативность, легко выводятся из соответствующих
свойств X-умножения при помощи диагонального отображения.
А для X-умножения эти свойства доказываются легко.
Аналогично мы получим (внутренние) приведенные степени
как образ некоторых внешних операций Р при помощи аналога
диагонального отображения. Доказательства многих свойств
(внутренних) приведенных степеней будут получены как следствия
соответствующих свойств внешних операций.
Положим 1УхяЯ” = (РУхЯ”)/те и обозначим через / следующую
композицию (задающую вложение):
Kn^W.xK”^WxKK”.
Отображение Wx^K”-*- W/n является расслоением со слоем К”.
Для данного класса когомологий и разбиения К определен класс
когомологий иХ. . .Хи разбиения К”. При соответствующих
условиях можно одним и только одним способом распространить
этот класс до класса когомологий Ри всего пространства WXVK"
таким образом, чтобы полученный оператор Р был естественным
по отношению к отображениям пространств К и обладал следую-
щими свойствами:
Р0 = 0,
j*Pu = uX • • • Х“-
n-я степень в смысле о-умножения определяется формулой
n* = d*(uX ... Хи)-
Чтобы определить приведенную п-ю степень, заменимЪростран-
ства К” пространством WXKK", а класс аХ-.-Х» — классом Ри.
Диагональ d: К-+К” заменим отображением
1ХЛ WXjt^WX'K”.
Так как пространство К неподвижно относительно действия
группы те, то WXjsK^W/nxK и поэтому
(lX/Q*ft»€tf‘(W7«X*).
106
ПОСТРОЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ СТЕПЕНЕН
[ГЛ, VII
Поскольку мы имеем дело с полем коэффициентов, то можно
разложить группу Я* (W/nXK) при помощи теоремы Кюннета.
Коэффициенты этого разложения для класса (lx,d) Ри, лежащие
в группе Н* (К), и являются по определению, внутренними при-
веденными тг-ми степенями.
В последующих параграфах мы вместо классов когомологий
пространства WX^K” будем рассматривать эквивариантные классы
когомологий пространства 1УхЯя.
§ 2.	Построение
Пусть К — конечное регулярное клеточное разбиение. Пред-
положим, что задан g-мерный коцикл и на К со значениями в абе-
левой группе G. Будем рассматривать группу G как цепной ком-
плекс с Gr=0 во всех ненулевых размерностях г и Ga=G. Тогда
коцикл и: К -> G можно рассматривать как цепное отображение,
понижающее размерность на q. Обозначим через G” (д) цепной
£ (п)-комплекс, у которого во всех^ненулевых размерностях
компоненты нулевые, а нульмерная компонента равна п-кратному
тензорному произведению G". Действие группы S (п) на G” (q)
зададим такое: перестановка а £ 5 (п) в случае, когда q нечетно,
действует на Gn как композиция умножения на знак перестановки а
и сомножителей, а в случае четного q действие а на Gn ограни-
чивается одной лишь перестановкой сомножителей, без замены
знака. Тогда отображение ип: Ktt -» G” (д) является эквивариант-
ным цепным отображением, понижающим размерность на nq.
Обозначим через е: W -> Z аугментацию цепного комплекса W.
Отображение W®K” -> К” представляет собой эквивариант-
ное цепное отображение (относительно диагонального действия на
Поэтому композиция
«(2)1 ип
W^K^K^G^q)
будет эквивариантным цепным отображением, понижающим раз-
мерность на nq. Другими словами, мы получили эквивариантный
ng-мерный коцикл на W®Kn, который обозначим через
Ри^С^фК”; G“(g)).
Докажем теперь, что при изменении коцикла и в пределах его
класса когомологий коцикл Ри остается в пределах одного класса
эквивариантных когомологий.
2.1.	Лемма. Существует, эквивариантное отображение h: I ®
для которого A(O0w) = O”0u> и Л(10ш) =
==1”®и> при всех w£W.
Доказательство. Приведенные формулы задают эквивари-
антное отображение h на 0 0 W и I 0 W. Поэтому, используя су-
8 2]
ПОСТРОЕНИЕ
107
ществование эквивариантного ацикличного переносчика на W 0 I,
для построения h на 10 W достаточно воспользоваться лем-
мой 2.2 гл. V. 
2.2.	Лемма. Если, и и v — когомологичные q-мерные коциклы
на К со значениями в G, то Ри и Pv — когомологичные nq-мерныв
коциклы из группы С* (TV 0 Кп; G” (д)), т. е. коциклы Ри и Pv
эквивариантно когомологичны.
Доказательство. Когомологичность коциклов иии озна-
чает, что между и п v как цепными отображениями существует
цепная гомотопия, т. е. цепное отображение D: I -+G, пони-
жающее размерность на q, такое, что D (0 0 т) = и (т) и D (1 0 т) =
= р(т) для всех х^К. Согласно лемме 2.1, мы имеем следующую
композицию эквивариантных цепных отображений: -
10 W 0 К” Г 0 W 0 Кп	Г 0 К” ™ (10 К)п % G” (д).
Отображение «тас» означает тасовку двух множеств по «-элемен-
тов в каждом, с обычным соглашением о знаках. Эта композиция
дает эквивариантную гомотопию между коциклами Ри и Pv, пока-
зывающую, что они эквивариантно когомологичны. Ц
Из леммы 2.2 следует, что степенная операция Р индуцирует
отображение (вообще говоря, не гомоморфизм)
Р: НЦК; G) + Hy(W 0/Г; G"(g)).
Пусть w — нульмерная клетка разбиения W. Рассмотрим ото-
бражение /: К” -» W 0 Кп, определенное формулой / (ж) = w 0 х
при всех х £ К”. Если L — другое конечное регулярное клеточное
разбиение и /: K-^-L — непрерывное отображение, то согласно
лемме 3.3, гл. V эквивариантное непрерывное отображение/": Кп—>
-+L" индуцирует отображение
(/")*: H^WXL”-, С"(д))-*Я;(^ХЯ"; G”(g)).
2.3.	Лемма. 1) Класс fPu совпадает с п-к ратным %-произ-
ведением их... Хи 6 Нпч (К”; G”).
2)	Имеет место коммутативная диаграмма
НЦЬ-, G) —Gn(q))
|(/Я)*
НЯ(К; G) —H«t(WxK”; G"(g)).
Доказательство. Утверждение 1) немедленно следует
из определений операций Р на уровне коцепей и X-умножения.
Доказательство утверждения 2) достаточно, в силу лемм 3.1 и
3.3 гл. V, провести только в случае, когда отображение / пра-
вильно.
108
ПОСТРОЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ СТЕПЕНЕЙ
(ГЛ. VII
Обозначим через С минимальный переносчик отображения /.
Тогда переносчик из Кп в L”, сопоставляющий клетке OjX. . .X
X <з„ разбиение С (ах)х. . . ХС (ая), является ацикличным экви-
вариантным переносчиком отображения f. Поэтому, если
К L — некоторая цепная аппроксимация для /, то в качестве
требуемого эквивалентного цепного отображения W®Kn -> W®
®Ln можно использовать отображение	Доказываемое
утверждение следует теперь из коммутативности диаграммы
W® К” —ка—
W®Ln —L'
G”(q)
II
2.4.	Замечание. Если п—р, G=Up и тс — подгруппа группы
S (р), состоящая из циклических перестановок сомножителей
разбиения Кр, то операция Р однозначно характеризуется свой-
ствами, указанными в лемме 2.3, и тем, что Р0=0 (это можно до-
казать, используя методы из § 3 гл. VIII).
Пусть тс с р С 3 (п). Рассмотрим соответственно р-свободное
и «-свободное ацикличные разбиения V и W.
2.5.	Лемма.^ Диаграмма
H4(K;G)
H„4(W*Ka,Gn(q»
Hp4(V*Kn;G”(q))
коммутативна. Здесь вертикальное отображение определено согласно
лемме 3.3 гл. V. Из этого следует, что операция Р не зависит от
выбора ^-свободного ацикличного разбиения W.
Доказательство. Пусть q#: W -> V — некоторое эк-
вивариантное цепное отображение. Утверждение леммы непос-
редственно следует из коммутативности диаграммы

ПОСТРОЕНИЕ
109
§ 21
Пусть К и L — конечные регулярные клеточные разбиения, а
G и F—абелевы группы. Рассмотрим классы и^Нч(К; G) и vf*
£Hr(L; F). Тогда Ри£Нп< (W хКп; Gn (g)), Pv £ Hnr (W Xbn; Fn(r)).
Согласно определению 4.2 гл. V, мы имеем Х-произведение
PuXPv £ ЯХяг {WXWxKnXbn-, G”(q)®F*(r)),
где действие группы «Хтс на WxWxKnXLn задается формулой
(а, ЭД (уг, у2, х, у) = (аух, рк2, ах, ру);
здесь а, р £ к, vlt vz £ W, x £ К?, у £Ln. Определены также классы
uXv^H^r{KxL-, G®F)
и
Р (uxv) £ Н”W (7х {КXLY; (G 0 Fy (q Д- г)),
где V — произвольное «-свободное ацикличное разбиение.
Рассмотрим отображение геометрических троек
X: (к, (G0F)’(g-|-r), (Kx^^X^G^g^F^r), K”\L”),
определенное следующим образом: отображение Хх: я-нгХ’' зада-
ется формулой Xt (а) = (а, а), а £ я; отображение Х2: G” (д) 0 Fn (г) ->
-> (G 0 F)n (q -f- г) является очевидным изоморфизмом тасовки двух
множеств по п элементов в каждом, а отображение (КxL)n->КпXLn
есть изоморфизм, обратный к тасующему изоморфизму. Согласно
лемме 3.3 гл. V, определено отображение
X*: Я:хя (WXWxKttxL”; Gn(g) 0Fn(г)) ->
->я;(Рх(Яхаг; (с®Л’!(<7+г))-
2.6.	Лемма.
X* (PaXP^ = (—iy(’’~1)l,rl2P(uXv).
Доказательство. Согласно лемме 2.5, в качестве V можно
взять произвольное «-свободное ацикличное разбиение. Положим
V — W XW и зададим в нем диагональное действие. Имеет место
коммутативная диаграмма эквивариантных цепных отображений
(W 0 ИЛ) 0 (К 0 L)n-W 0W ®Kn®Ln
е ® 1 I	I s ® е ® 1 ® 1
(#0£)”	Kn®L”
(u ®t)n |	| в” 8»”
1	-1
(G0F)”(g4-r) —G”(g)0FB(r)
но
ПОСТРОЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ СТЕПЕНЕЙ
[ГЛ, VII
где [л — отображение, обратное к отображению Х2, умноженному
на (—Левая сторона диаграммы определяет элемент
Р(иХи), а правая — элемент PuXPv- 	'
<
§ 3.	Циклические приведенные степени
Пусть теперь п — простое число р и пусть G = Z/p. Тогда це-
пной комплекс G(q) как абелева группа изоморфен Z/p. Группа
8 (р) действует на Z!p = Gp (g) умножением на знак перестановки,
если q нечетно, и тривиально, если q четно. В обозначениях § 6
гл. V положим Gp (q) = (Z/p)'®’.
Пусть, далее, « с S (р) — циклическая группа порядка р, по-
рожденная перестановкой Т, переводящей число i в вычет числа
i 4-1 по модулю р. Эта перестановка имеет знак (—l)*-1. Поско-
льку (—1)р-1 = 1 (mod р), то комплекс (Z/p)'®’ является тривиаль-
ным «-модулем.
3.1.	Лемма. Для всякого конечного регулярного клеточного
разбиения К с тривиальным действием группы п имеет место
естественный по К изоморфизм
Н* (W х К; Z/p) Н* (Wf-Kх К; Z/p). В
Пусть d: К Кр — диагональное отображение. Оно эквивари-
антно, если группа 5 (р) действует на Кр перестановками сомно-
жителей. Согласно лемме 3.3 гл. V, определено индуцированное
отображение
d*: H*(WxKp; (Z/p)'®>)-> Я; (ЖхЯ; (Z/p)'®>).
Поскольку (Z/p)'®’— тривиальный «-модуль, то его можно за-
менить на Z/p. Поэтому для класса u(<Hq(K; Z/p), можно,
в силу леммы 3.1 и формулы Кюннета, дать следующее^ опреде-
ление.
3.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Положим
<ГРи = 2 X Dku,
к
где wk Нк (W/w; Z/p) — классы, выведенные перед формулировкой
теоремы 5.2 гл. V. Таким образом, определены операции
Я*: Я® (Я; Z/p)-> Яр®_л (Я; Z/p).
Заметим, что пока не доказано, что отображение Dk — гомомор-
физм).
Пусть /: К-> L — непрерывное отображение двух конечных ре-
гулярных клеточных разбиений с тривиальным действием груп-
пы «.
§ 3]
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ
ill
3.3.	Лемма. Для всех к
rD^DJ.
Доказательство. Очевидно, df — fpd, и следовательно, со-
гласно лемме 3.3 гл. V, коммутативна диаграмма
Hp(WxH; Z/p) ~^ HM(WXL; Z/p)
|(/P)* | **
HPt {W x Kp; Zip) — *-+ Hpq(W X K; Zjp)
Пририсовав слева к этой диаграмме диаграмму из леммы 2.3,
й справа изоморфизмы из леммы 3.1, получаем требуемое утвержде-
ние. в
3.4.	Лемма. Dou — up.
Доказательство. Пусть w — нульмерная клетка разбиения
W и d#\ К-+Кр — некоторая аппроксимация диагонали. Рассмотрим
коммутативную диаграмму
К W® К
d#l I1®1*#
Кр -2-у w®Kp
в которой отображение j задается формулой jx = w(g) х.
Имеем

j*d*Pu — d*j*Pa
= <P(uX . .. Хи) <в силу леммы 2.3>
= ир. 
3.5.	Лемма. Пусть и £ Hq (К\ Zip), где р 2. Если q четно,
то' DjU=0, за исключением случаев, когда j=2m (р—1) или j=
—2т (р—1)—1 для некоторого неотрицательного целого т. Если
q нечетно, то DjU=0, за исключением случаев, когда j=
= (2m-|-l) (р—1) или j=(2m-\-i) (р—1)—1 для некоторого неотри-
цательного целого т.
Доказательство. В обозначениях § 6 гл. V рассмотрим
автоморфизм у* группы Н* (WxL-, (Z/p)lql), индуцированный
элементом у f р как описано в п. 3.4 гл. V, где L — конечное
регулярное клеточное разбиение с действием группы р. Пусть
V — некоторое p-свободное ацикличное разбиение. Согласно
лемме 2.5, а также лемме 3.3 гл. V и п. 3.4 гл. V, имеет место
112
ПОСТРОЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ СТЕПЕНЕЙ
[ГЛ. VII
коммутативная диаграмма	'
ИРрЧ(УхКР-(7/р){Ч>) Hp,,(VxK;(Z/p^ H^VxKAZ/p)'4')
р/^
Hq(K',Z/p)
р\
 X т
HPC4(W*KPIZ/p/4') H^MxKM/pfV) -** Hpq№*K-,(Z/p){q>)
Используя теперь результатыТлемм^.6.1 и 6.2 гл. V, получаем
требуемое утверждение, jjg
[* § 4. Гомоморфизм переноса^
Гомоморфизм’переноса^был определен нами в § 7 гл. V. Рас-
смотрим отображение
fe'. <Г: H*(WXKP; Z/р)-* Я* (W ХК‘, zip), 1^4
индуцированное диагональю d: К -»Кр.	4 J
,4.1.. Лемма. Пусть
Z-. Я* (W ® Кр; Zip)	Кр; Z/p)
— гомоморфизм переноса. Тогда d*x = 0.	• '
Доказательство. Имеет место коммутативная диаграмма
Я* (W ® Кр; Zip) H*(W ® Кр; Z/p)
| d*	I d*
H*K(W0K- Z/p) —H*(W®K; Zip) —H*(W®K; Z/p)
Поскольку разбиение W ациклично и отображение Я® (И7; Z/p)->
-♦Я0(И7; Z/p) сюръективно, то отображение
Г: Я” (W ® К; Z/p) -> H”(W ® К; Z/p)
также является сюръективным. Пользуясь теперь тем, что xi* = О,
согласно лемме 7.1 гл. V, получаем требуемое утверждение, в
4.2.	Лемма. Если п — группа циклических перестановок, то
отображение d*P, где
Р: Я* (К; Zlp)-^ff^(WxKp; Z/p)
является гомоморфизмом.
ГОМОМОРФИЗМ ПЕРЕНОСА
113
§ 4]
Доказательство. Пусть и и у — некоторые д-мерные
коциклы на разбиении К. Тогда коцикл Р {u-\-v)—Pu—Pv за-
дается цепным отображением
Согласно лемме 4.1, достаточно показать, что зтот коцикл лежит
в образе гомоморфизма переноса, а для этого в свою очередь
достаточно показать, что коцикл (м-|-р)р — ир — vp принадлежит
образу коциклов при отображении
г: С*(КР; Z[p)-*-C*(Kp; Z/p),
так как отображение е01 эквивариантно.
Выражение (u+v)p—up—vp представляет собой сумму всех
мономов, содержащих к сомножителей и и р—к сомножителей V,
где 1 к р—1. Группа перестановок п действует на множестве
таких мономов свободно. Выберем базис мономов, из^которых
действием злементов группы л можно получить каждый моном
ровно один раз. Обозначим сумму мономов, вошедших в этот ба-
зис, через z. Тогда xz=(u-|-y)’’—ир—vp. Далее, коцепь z является
коциклом на разбиении Кр, так как каждый из составляющих ее
мономов есть коцикл.в
4.3.	Следствие. Для каждого к отображение
Dk: НЯ(К; Z/p)-+Hpq-*(K; Z/p)
является гомоморфизмом, в
4.4.	Лемма. Если и£Ця (К; Z/p), то Dku = 0 для к> (р—1) q
и DiP-i — где aq£Z]p— некоторая константа, не завися-
щая от и и К.
Доказательство. Рассмотрим g-мерный остов Я4” разбиения
К. Гомоморфизм
Г: НГ(К)-+НГ(К1"),
индуцированный вложением i:	-> К, является мономорфиз-
мом при г д. Поэтому согласно лемме 3.3 можно предположить,
что К. — g-мерное разбиение. Обозначим через и0 £ Я’ (S’;
Zip) класс, двойственный циклу Sq. Существует отображение
/: К -> S4, такое, что f*u0=u. В самом деле, отобразим остов
Я'’"1’ в точку, а каждую g-мерную клетку разбиения К отобразим
в сферу S1 со степенью V, где v — значение, которое принимает на
этой клетке коцикл, представляющий класс когомологии и.
Следовательно, согласно лемме 3.3, можно считать, что K—Sq
и u=u0. Из этого вытекает второе утверждение леммы. Если к >
^>(р—1)д,то класс Dk и равен нулю, за исключением, быть может,
случая, когда k—pq и g > 0. Пусть s -> S’ — вложение точки s
в сферу S’. Тогда гомоморфизм j* является изоморфизмом в ну-
8 Н. Стинрод, Д. Эпстейн
114
ПОСТРОЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ СТЕПЕНЕЙ
[ГЛ. VII
левой размерности и /*и=0. Имеем
j*Drtu = Dpifu <в силу леммы 3.3>
= 0 <в силу следствия 4.3/ в
4.5.	Лемма. Пусть р— оператор Бокштейна, ассоцирован-
ный с точной последовательностью
0—>Z/p—*Z/p® —>Z/p—> 0.
Тогда pd*Pu = O, в случае, когда р^>2 ила когда q четно.
Доказательство. Поскольку (3d* = d*p, то, согласно лемме
4.1, достаточно доказать, что класс рРи лежит в образе гомомор-
физма переноса. Пусть v — некоторая целочисленная коцепь на К,
представляющая класс когомологий и £ Нг (К; Z/p). Тогда Зи = pz,
где z — целочисленная (q -f" 1)-мерная коцепь, представляющая класс
(Згг£.№+1(А?; Zip). Коцепь vp является целочисленной коцепью на
Кр; обозначим ее класс когомологий через (ур) £ Hpi (Кр', Z/p).
Рассмотрим цепное отображение е 0 1: W 0 Кр -> Кр. Имеют место
равенства
рРи = р (е ® 1)‘ {И = (е 01)‘ р {i^}.
Поскольку гомоморфизм х коммутирует с гомоморфизмом (в 01)*,
то достаточно показать, что класс р {у₽) лежит в образе гомомор-
физма т. Но
/>-1	p-i
W = 2 (—I)1* V (to)	== р 2 (—1)” v’zv^-1 =
»=о	t=0
= Р 2 (—1)г' ,p"ua	= pt (zt^"1),
«6«
так как одно из чисел р — 1 или q четно. Поскольку коцепь v по
модулю р является коциклом, то и коцепь zv*"1 по модулю р —
коцикл. \ IL результате получаем, что коцикл т (zt>₽-1) представляет
класс когомологий р {vp}, чем и завершается доказательство, ц
4.6.	Следствие. Если либо р^>2, либо же q= dim и четно,
то p.Dou = O, $Diku =—D^^u, p2)8fc_1ii = 0.
Доказательство. В силу определения 3.2 и леммы 4.5
Р^2^хд^=о.
Согласно теореме 5.2 гл. V, [3w2y — 0 и pw2/+1 = w2j+2 (J 0). Поэтому
2 Wilc х 2 W2k+1 X Р^2Л+1М ~Ь 2 X Dtoc-iU = 0.
fc>o
Сравнивая в последнем соотношении коэффициенты при wk, по-
лучаем требуемые утверждения, g
S 4]
ГОМОМОРФИЗМ ПЕРЕНОСА
115
4.7.	Лемма,. Пусть u£Hr(K; Zip) и v£H‘(L; Z/p). Если
р^>2, то
Dik(u X р)М-1)р(^1)г,/2 X D^.
Если р — 2, то
Pfc (и X и) == 2 X Dk_jv.
у=о
Доказательство. Отображение X геометрических троек,
использованное в лемме 2.6, в данной ситуации имеет вид
X: («, Z/p, (К X £)₽) X «, Z/p, Кр X V).
Рассмотрим коммутативную диаграмму отображений геометриче-
ских троек
(«, Z/p, (Кхьу («х«, Z/p, я*хь*)
(«, Zip, KxL) il > ("X", z/p, К XL)
в которой отображение d индуцировано диагональю для KxL,
отображение <4 — диагональю для группы я, a d' — диагоналями
для К и для L.
Пусть W — некоторое «-свободное ацикличное разбиение.
Тогда произведение WxW является л X «-свободным ациклич-
ным разбиением. Из коммутативности приведенной выше ди-
аграммы и леммы 3.3 гл. V вытекает, что следующая диаграмма
коммутативна: t
h*k(Wx(KxLy; z/p) 5=^ я:хх((И7XIF)X(K>XZ₽); Z/p)
p*	| («')*
ff*(Wx&X L; Zip) <---HZX, (WXWXKXL; Z/p).
Согласно определению 4.2 гл. V, класс когомологий PuXPv
принадлежит группе, стоящей в правом верхнем углу этой ди-
аграммы. Имеет место изоморфизм
я:х, (РР х W х к X L; Zip)« Н* (Wf* XWfrX К XL; Z/p).
Относительно этого изоморфизма, согласно лемме 3.2
(d')*(Pu X Ри) = 2 (—1)' <*Г"Л WjXwtXDjUX Dtv.
Применяя гомоморфизм (&)* к обеим сторонам формулы и исполь-
116
ПОСТРОЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ СТЕПЕНЕЙ
[ГЛ. VII
эуя коммутативность диаграммы, получаем формулу
d^(Pu X Pv) = 2 (-1)'(₽r-y’ Wjw, X Dja X Dp.
G другой стороны
d*P(u X v) = ^wk XDk(uX v).
к
Требуемые утверждения непосредственно следуют из леммы 2.6
этой главы и теоремы 5.2 гл. V. g
§ 5.	Вычисление операции Dq(P_i)
Из леммы 4.4 нам известно, что для каждого q определена
константа a} f Z/p такая, что
Dlip-i^ = atu.
5,1.	Лемма. as = (—1)га’, зЭе г — р(р — l)q(q— 1)/4.
Доказательство. Докажем лемму индукцией по q. Сог-
ласно лемме 4.4, она верна для д = 0.
Пусть uf Яг-1(ЛГ; Z/p)—некоторый ненулевой класс когомо-
логий и v — образующая группы Я1(51; Z/p). Тогда элемент
и X v £НЯ\К X S1; Z/p) не равен нулю. В силу леммы 4.4, DjV = 0,
если ]^=р—1. Поэтому, согласно лемме 4.7
<„-i> (» X v) = (-1)' ™	lp_„U X Dp_p =
= (_1)Р (р-D (г-П/2 ai iai (в х v).
Следовательно, ag=(—1)?	Это соотношение позво-
ляет провести шаг индукции и завершить доказательство леммы. 
Для окончательного вычисления операции Dq t/,_D осталось
найти константу ах. Мы сделаем это, исходя непосредственно из
определения, для случая когда пространство разбиения равно S1.
-Пусть К — конечное регулярное клеточное разбиение и и £ Ня (К;
Z/p). Класс когомологий ^WjXD^u представляется коцепью,
задаваемой композицией
W X К —Ч W X К* -!®1> Кр -HL* Z/p,
где (L# — аппроксимация диагонали. Согласно лемме 2.2 гл. V,
любые два эквивариантных цепных отображения W(g)K -» Кр,
переносимые при помощи диагонального переносчика, эквива-
риантно гомотопны.
Следовательно, для вычисления значения операции Dp_k на
одномерном классе когомологий достаточно построить эквива-
§5]	ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАЦИИ (p-i)	117
риантное цепное отображение
<р: ® S1-> (Я1)’’,
переносимое при помощи диагонального переносчика. Введём
в окружности 51 структуру регулярного клеточного разбиения,
представив ее в виде объединения двух полуокружностей
и J2 таких, что dJ\=A — В и dJ2=A—B. Тогда фундаментальный
класс гомологий окружности 51 будет иметь вид J\—J2.
Пусть W — цепной комплекс из § 5 гл. V. Положим
?(е0®Л) = Л₽; ?(е0®В) = ^;
<р(еу® Л) = <р(еу®В) = О при />0.
Фактически эти значения отображения <р однозначно определяются
переносчиком. Нам надо только продолжить <р до эквивариантного
цепного отображения
где I — отрезок и д! = В — А. Отсюда, беря сначала I = Jx, а за-
тем I = 7а, получим отображение <р для W ® S1.
Положим	„
? (е2. ® I) = l! 2 (л^) (1A*4B^... (1А’{1В?‘),
где суммирование проводится по всем последовательностям (а, Р)
таким, что 2 (иу + ₽у) — Р — 2i — 1 и
у=о
? (е2н1 ® Z) = п 2(^)... (7Л'7В₽<)>
где суммирование проводится по всем последовательностям (а, р)
i	 -
таким, что У, («/ + ₽/) = ?-2»-2.
Требуется проверить, что <р — цепное отображение. Сделаем
это, используя стягивающую гомотопию цепного комплекса 1Р.
Рассмотрим стягивающую гомотопию s: I -> I, определяемую форму-
лами sA = 0, sB = I, si = 0. Тогда если s: I -» Л—аугментация, то
sd ds = 1 — е.
Определим теперь стягивающую гомотопию S.IP^>-IP обычной
формулой
р-i
r=l
Тогда
ds + sd = ip — e₽.
Следующие формулы, помогут нам вычислить гомотопию S
в явном виде. Пусть С — некоторая цепь в Г, 0. Тогда, как
118
ПОСТРОЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ СТЕПЕНЕЙ
[ГЛ. VII
нетрудно видеть,
0) S(4^) = 0;
(ii)	S(B')= *2 ArIBp~r"1;
r=0
(iii)	S(A*IC) = 0 (k^Q);
t—i
(iv)	S (B*A4C)} = 2 А'ГВ^АЧС (/ > 1, s > 0).
r=0
Докажем формулы
(a)	<P (e2<+i ® /) = S<? d (e2f+1 0 I);
(b)	<p (e2/ 0 1) = Sep d (e2< 0 Z);
(c)	ep (e, 0 A) = 0 = S<p d (e{ 0 4), если i > 0;
f (e<0B) = O = Sep3(e<05), если i>0.
Положим Д = T — 1, где T — элемент группы я, который чи-
сло i переводит в вычет по модулю р числа Тогда
Sep а (е2<+101) — Sep (Д (e2f 0 Z)) = 5Д<р (е2< 07) =
= i 1 SД 2 (А*1&) (lA*'IB?1) ... (1А’ЧВ?{}.
Согласно формуле (iii), слагаемые с р< = 0 не дают вклада с сумму.
Если р, > 0, то положим pj = p,— 1- Тогда, согласно формуле
(iii), предыдущее выражение принимает вид
i I S' 2 (BA-I&ftlA'ltf*)... (Z4’,ZB₽<).
₽<>о
Согласно формуле (iv), это выражение можно переписать так:
i 1 2 (lA^IEpyjAVB?1}... (1АЛ{1В?‘),
₽<>о
где суммирование проводится по всем последовательностям (а, р)
таким, что S(ay + ₽y) = p — 2f —1 и ₽<>0- Но последнее вы-
ражение равно <p(e2f+i0 Z), что доказывает формулу (а).
Для доказательства формулы (Ь) заметим, что если i — 0, то
S<p3 (е0 01) = Sep (е0 0 В - е0 0 4) = S (В? - А?) =
= 2^W-^1 = (p(eo0Z).
§ 5]	ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАЦИИ Dg (p-tj	119
Положим N = 1 -j- Т -J- • • • + Т*"1. Если I > 0, то
5<р д (е2< 0I) = S<pN (е^ 0I) = SN^e^ 01) =
= (i — 1)! SZV 2	. (1Аа{-ЧВР‘^).
Согласно формуле (iii), ненулевой вклад в сумму дают только
члены, начинающиеся с В. Поэтому последнее выражение равно
(*-1)152 2 2 (ВЧАЧ+ЧВ^')	.
(«, 0) /=0 г=1	в
где индексы к в а.к и pfc представляют собой вычеты по модулю i.
Согласно формуле (iv) это выражение можно записать в виде
1—1	г-1
(i — 1) I 2 2 2 2 (А‘1ВГ~‘~1)(1АЧ+ЧВР*+')... (lA’lIB^} =
(«Г?)/=Ог=1<=1
= (1 — 1)1 2 V<e2{0I)li\ =<р(еа<®/).
у=о
Тем самым доказана формула (Ь). Справедливость формулы (с) не-
посредственно следует из определения отображения у.
Из формул (а) — (с) видно, что если с — цепь из цепного ком-
плекса W 01 и dim с > 1, то ус = 8<?дс.
5.2.	Лемма. Отображение ср является цепным.
Доказательство. Используем индукцию по размерности.
В размерности 0 утверждение леммы очевидно. Для размерности
1 имеем
уд (ei ® -4) = ?д («о ® А) = Ду (в0 0 Л) = ДЛР = 0.
Также ду(ех®Л) = О. Аналогично
уд (ех ® 5) = 0 = ду (ех ® В).
Далее,
р-i
ду (е0 01) = д 2 АЧВ^ — BP — AP — <fd (е0 01).
г=о
Из приведенных формул следует справедливость леммы для
размерности 1.
Если dim с ^2, то
д<$с = dS<fdc = (1 — Sd) уде = ydc,
поскольку по предположению индукции 5удс = у5дс = 0. 
Для р>2 положим т = (р—1)/2,
5.3.	Лемма. Если р>2, то аг = (—1)“лг!. Если р = 2^то
^ = 1.
120
ПОСТРОЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ СТЕПЕНЕЙ
[ГЛ, vn
Доказательство. Обозначим через и одномерный коцикл
на окружности 51, который принимает значение 1 на 7Х и 0— на
7а. Класс когомологий коцикла и является образующей группы
Н1^1; Zip). Имеют место равенства
(^i ® D^u) (е^ ® (7J — Jа)) = (w^ • е^)	• (7Х — 7а)] ==
и
(wf-i ® Dp-P)	® (7j — 7а)) = ир • <Р (е,-! ® (7j — 7а)).
Если р — 2, то’
’ ?(e1®(71-7a)) = 7?-7i
и, следовательно, а^—1. Если р^>2, то число р—1 четно и
?(ер_1®(Л-72)) = /п!(7[-7₽).
Следовательно, ах = т 1ир • 7f = (—1)р(р-1)/2тп!. 
Суммируя результаты леммы 5.1 и 5.3, получаем следующий
результат.
5.4.	Теорема. Пусть q 0 и и £ Н‘ (К; Z/p). Тогда
lp-UU = atU’
где as = i, если р~2,и а? = (—1)“г(4+1)/2(7П!)’, если р'/>2. g
§ 6.	Приведенные степени Стинрода Р{ и Sq*
6.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть К — конечное регулярное клеточ-
ное разбиение и	Z/p). Для р>2 и лг = (р—1)/2 по-
ложим
где г = i -f-т (q* -f- q)/2. Для p = 2 полагаем
Sq<tt = 7>,_<u.
Ограничимся временно рассмотрением лишь абсолютных групп
когомологий конечных регулярных клеточных разбиений (в § 2
гл, VIII это ограничение будет снято).
6.2.	Теорема. Операции Р* удовлетворяют всем аксиомам
§ 1 гл. VI (без соотношений Адема; справедливость последних
будет доказана е гл. VIII).
Доказательство будет получено как следствие результатов ряда
лемм.
6.3.	Лемма, (т !/ = (—l)m+1modp.
16]
ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА Р< И 8q<
121
Доказательство. По теореме Вильсона, (р—1)1=—1.
Следовательно,
(—1)=(р—1)! = 1 • 2 ...(±^1)(2±1)...(р-1) =
= 1.2... (2^1) [—. (-2) (-1) =
= (m!)»(- 1)".И
6.4.	Лемма. Р° = 1.
Доказательство. Пусть dimu = g. Согласно определе-
нию 6.1,
Р0Ц = (-1)-(лг!Г£>у(р_1)И,
где г = т (q2 -|- д)/2. Поэтому, в силу теоремы 5.4, Р°и = и. 
6.5.	Лемма (формула Картана). Для и£Нг(К) и (L)
имеет место формула
Pk(uXv)= 5 Р’а X Ptv.
Доказательство. Согласно определению 6.1
Р*и X Plv = (—1)в(тп l)"*-1 Я(г_2>) (pjjti X Я(г_а<)
где п — s -|-1 -|- т [g2 -|- q -f- г2 -|- г]/2. Следовательно,
S Р‘и X Р о — ( 1)в(тп !)”г я 2 Я(?_2а) X (p-i)v =
8-j-/=k
= (-1Г*+В (т !)-» D(r+q_2k} (и X р),
ввиду лемм 4.7, 4.4 и 3.5. Но mrq -|- п = k -f- т [(г -|- g)2 -|- (г -|- д)]/2,
чем, в силу определения 6.1, лемма и доказана. 
6.6.	Лемма. Если dimu = 2A:, то рки = ир.
Доказательство. Имеем
Рки = (—1)г(тп!)-2’:£>оН,
где г = к-{-т(И^-}-2к)12 = к(т-{-1)тоА2. В силу леммы 6.3,
l)fc(m+1) modp.
Наше утверждение вытекает поэтому из леммы 3.4. в
Суммируя результаты этих лемм, получаем доказательство
теоремы 6.2. 
По-прежнему временно ограничиваясь рассмотрением только
абсолютных групп когомологий конечных регулярных клеточных
разбиений (напомним, что в § 2 гл. VIII это ограничение будет
снято), докажем следующую теорему.
122
ПОСТРОЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ СТЕПЕНЕЙ
ГГЛ. VII
6.7.	Теорема,, Операции Sq* удовлетворяют веем аксиомам
из § 1 гл. I (без соотношений Адема; последние будутГдоказаны,
в гл. VIII).
Доказательство. Доказательство аксиом 1)—5) со-
вершенно аналогично доказательству соответствующих аксиом,
данному в теореме 6.2, и даже проще,’"так как не приходится во-
зиться с коэффициентами из Z/p. Остается лишь установить фор-
мулу p=Sqx. Если dim w=2q, то, по следствию 4.6,
Sq1H = Z)2?_1u = pZ)2lu = pSqeu = Pu.
Для завершения доказательства теоремы надо воспользоваться
приводимой ниже леммой, в
6.8.	Лемма. Для р—2 обозначим через R сумму композиций
операций вида р или Sq' (t=0, 1,2,...). Для нелетного простого
р через R "обозначимсумму композиций операций вида р или Р*>
Ilycmb nj — некоторая последовательность'целых чисел, строго
возрастающая с ростом индекса ]. Тогда, если Ru=Q для""произ-
вольного класса когомологий размерности п^то Ru=Q для всех
классов когомологий и.
Доказательство. Пусть операция R обращается
в нуль на всех классах размерности г. Докажем, что Ru=Q и
для всех классов и размерности г—1. Рассмотрим образующую v
группы Н1 (S1; hip). Из когомологических операций, перечис-
ленных в лемме, единственной, не _ обращающейся в нуль
на классе v, является тождественная операция Р0.7(или78ц°).
Тогда, согласно формуле Картана,*
‘X о) = Ru, X V. I
Так как dim (и х и) = г,г'то”7?и X v = 0 й, следовательно, Ru = 0. в
Глава VIII
СООТНОШЕНИЯ АДЕМА И ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
В § 1 мы докажем, что операции Р* и Sq\ определенные
в гл. VII, удовлетворяют соотношениям Адема. В § 2 показано,
как расширить область определения приведенных степеней таким
образом, чтобы они действовали в относительных когомологиях,
а также в когомологиях Александрова—Чеха и сингулярных
когомологиях. В § 3 мы покажем, что приведенные степени одно-
значно определяются первыми пятью аксиомами.
§ 1. Соотношения Адема
Пусть S (р2) — группа перестановок множества из р2 элемент
тов, а именно множества упорядоченных пар (г, /), где i, / G ^/р,
расположенных в виде матрицы, у которой пара (i, у) стоит в i-й
строке и у'-м столбце. Определим перестановки аир форму-
лами a (i, /)=(i+l, у') и р (i, /)=(», /4-1) соответственно. Тогда
ар = ₽а, перестановка а порождает циклическую подгруппу и
порядка р, перестановка р порождает циклическую подгруппу р
порядка р, и группа о=«Хр является подгруппой порядка р2
группы S (pF).
Рассмотрим некоторое «-свободное ацикличное разбиение W
и зададим на нем действие группы р при помощи изоморфизма,
который перестановку 0 переводит в а. Тогда WX W — ациклич-
ное «X p-свободное разбиение, в котором группа « действует на
первом сомножителе, а группа р — на втором.
Обозначим через (Z/p)‘J) такой S (р2)-модуль, который как
абелева группа есть Z/p, а действие группы перестановок на нем
при нечетном q сводится к умножению на знак перестановки, а при
четном q тривиально. Пусть R — некоторая подгруппа группы
S (р2), а V — ацикличное //-свободное клеточное разбиение.
Согласно § 2 гл. VII существует отображение
Рд: НЦК; ZlP)^H^(VxK^ (Z/p)‘*>).
Если R — подгруппа группы а, то (Z/p)(I) является тривиальным
.R-модулем, поскольку либо р=2, либо группа R состоит только
из четных перестановок.
Обозначим через разбиение W с действием группы «,
а через Wa то же разбиение W, но с действием группы р. Тогда
124
СООТНОШЕНИЯ АДЕМА И ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. VIII
действие группы теХр на И4 X (РИ2 X Кр)р может быть определено
следующей формулой:
(«, ₽)(®Х(У1Х%)X • • • Х(у,Хгр)) =
= a®X(Pi/e(l) xpze(1))x • • • XCPl/atpiXPz^p))
для всех а £ я, р £ р, х £ Wv у, £ W2, z( £ Кр (группы те и р рас-
сматриваются как группы циклических перестановок множества из
р элементов). Определим действие группы «хр наW1XW2X(KP)P
формулой
(®, ₽) (®ХУ1Х • • • ХУ,Х21Х . • • Xzp) =
= ажХ?Рв(1) X • • • ХРрв(р)ХРга(1)Х • • • XPze(j>),
в которой все обозначения имеют тот же смысл, что и в предыду-
щей формуле.
Обозначим через р{ £ S (рР) циклическую группу порядка р, по-
рожденную перестановкой ро где Р< (&, /) = (k, fy при к^=1 и
Р* (t, /) = (г, j-f-l). Поскольку перестановки ро, ..., Рр_г коммути-
руют между собой, прямое произведение групп р0ХР1Х • • • Xpp_i
является подгруппой в S (р2). Очевидно, что группа р представляет
собой диагональ в группе р0Х • . Хрр_г Обозначим через т под-
группу, порожденную группами те и р0Х • • • Хрр_г Так как apfa-1 =
= Р,+1, то группа т представляет собой расщепляющееся расшире-
ние произведения групп р0Х • • • Xpp_i при помощи группы те отно-
сительно действия группы те на этом произведении циклическими
перестановками сомножителей. Порядок группы -с равен рр+1, по-
этому она является силовской р-подгруппой группы S (р2) (в связи
с этим подходящим обозначением для группы -с было бы те#рр).
Определим действие группы т на разбиении Иг1X(И7^X^,’),’ сле-
дующим естественным образом. Пусть р4 действует тривиально на
всех сомножителях, кроме /-го сомножителя W2XKP, на котором
перестановка (3, действует так же, как и [3, т. е. действует обычным
образом на W2, а в произведении Кр циклически переставляет со-
множители. Пусть группа те действует обычным образом на и
циклически переставляет р сомножителей вида W2xKp. Легко про-
верить, что таким образом определено действие группы т, согла-
сованное с действием подгруппы теХрСт:-
Обозначим через
Л: W2xWlx{Kp)p ^W2X{W2XKP)P
изоморфизм, перетасовывающий сомножители W2 и (Кр)р. Снабдим
разбиение WtxW2 Х(КР)Р таким действием группы т, относительно
которого отображение h является т-эквивариантным. Тогда h инду-
цирует изоморфизм
(И\х Wfyx хкрг^ W.Xx (W2xKp)p.
§ 1]
СООТНОШЕНИЯ АДЕМА
125
Легко видеть, что разбиение, стоящее справа, изоморфно разбиению
ИZlXu(^F2Xp^,’),’ и, таким образом, отображение h индуцирует изо-
морфизм
h*: Н* (И\ X , (Wa X еК»У) & Н* ((И\ X И^) X t Кр').
Мы получаем таким образом сопутствующую диаграмму.
1.1. Лемма. Следующая диаграмма коммутативна1):
где отображения i*, i2 индуцированы вложением ^ХрС', диаго~
налью W2 а тождественными отображениями разбиений Wv
К и Кр'.
Доказательство. Коммутативность правой части ди-
аграммы следует согласно функториальности из того, что соответ-
ствующая диаграмма отображений коммутативна. Коммутатив-
ность «треугольника» следует из леммы 2.5 гл. VII. Нижний ле-
вый квадрат коммутативен в силу леммы 2.3 гл. VII. Наконец,
соотношение h*P^t=P^ непосредственно выводится из определе-
ний на уровне коцепей: в обоих случаях Wi®W%®Kp' проекти-
руется в Кр', а Кр' переводится в Цр отображением up'. 
Замечание. Для полной строгости следует заметить, что опе-
рация Р была определена только для конечных регулярных
клеточных разбиений (§ 2 гл. VII), тогда как разбиение В^Хр-К*
бесконечно и, возможно, нерегулярно. Регулярности раз-
*) По поводу определения отображений Р и d см. §§ 2 и 3 гл. VII. Символы
групп, стоящие в качестве индексов при этих отображениях, указывают, от-
носительно какой группы применяются конструкции гл. VII. — Прим, перев.
126
СООТНОШЕНИЯ АДЕМА И ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. VIII
биения ТГаХр№ можно добиться, заменяя его первым бари-
центрическим подразделением. Далее, разбиение Wa может быть
выбрано таким образом, чтобы для каждого п его n-мерный остов
был конечен (например, можно взять разбиение, описанное в § 5
гл. V). Заменяя разбиение W2 его n-мерным остовом W2 с п,
значительно превосходящим p2q, мы получаем конечное разбие-
ние W<n)XfKp, заменяющее разбиение W2XfKp.
Согласно теореме Кюннета, определены классы к и, такие,
что
d*Pau = ^ u>jXwkxDj'ku, где o = itxp-
У, к
1.2. Следствие. Имеет место формула
IZiWjXu’i'XDjkii = '^lwJXDJ('^lwlxDlu\.
j,k	j	\ I	/
Доказательство. Из леммы 1.1 вытекает, что
£x₽P-x₽ = (W(W
Применяя теорему Кюннета, получаем требуемое утверждение, в
1.3. Лемма. Для и£Н*(К; Z/p)
DJt ка — (—l)^+P(P-Vt/2Dk> /Н.
Доказательство. Обозначим через X £ S (р2) пере-
становку, задаваемую формулой X (i, j) = (j, i), и рассмотрим авто-
морфизм групп когомологий X*, индуцированный элементом X
(см. п. 3.4 гл. V). Пусть V — некоторое ацикличное S (/^-сво-
бодное разбиение. Положим о=яХр. В силу леммы 2.5 гл. VII,
леммы 3.3 гл. V и п. 3.4 гл. V имеет место коммутативная диа-
грамма
nf4(W xW xK;(Z/p/’’)X- Hf2<,(Wx Wx/c^Z/p)'9’)
W9(K;Z/p)
rf5(/>2/s(p2)\^
f,PS(ph(V	^K,(2/p)'4')
Для вычисления верхнего^отображения X* надлежит, в соответ-
ствии с определением 3.4 гл. V, построить_цепное отображение
Х#: W®W^»W®W,
8 1]
СООТНОШЕНИЯ АДЕМА
127
для которого Х*а = рХ* и Х*р = аХ*, где а порождает группу те
и действует на первом сомножителе, а р порождает группу р и
действует на втором сомножителе. Такое отображение задается
формулой
x# (vi 0^ = (—1/* (р2 ® рх),
где dimt>1 = / и dimi>2 = fc. Далее, перестановка X транспонирует
рХр-матрицу, составленную из пар (i, у), и потому она имеет знак
(—Согласно лемме 1.2 гл. V, класс когомологий Х*(и>уХ
Х^Х-Оу1йм) представляется «Хр-эквивариантным коциклом
W ® W ® К	W ® W ® К ---------Z/р —----------> Z/p Л
Этот коцикл равен
(—1)/*+р	Q ® DJt ku.
Утверждение леммы непосредственно следует теперь из коммута-
тивности приведенной выше диаграммы, в
Следующие соглашения слегка упростят нам доказательство
соотношений Адема.
1.4. СОГЛАШЕНИЯ. Положим ^ = 0, если г<0 или /<С0;
h(q) = 1, если г^О; будем считать, что классы шг£Яг(те; Z/p)
определены для всех г, считая wr = 0, если г < 0; аналогично вве-
дем операции Sq* и Р* для всех I, считая их равными нулю для
f<0. Во всех случаях, когда нет особых оговорок, подразумева-
ется, что суммирование проводится от —оо до -|-оо.
Согласно теореме 5.2 гл. V и лемме 2.4 гл. I имеет место фор-
мула SqA₽r = wr+p а учитывая наши соглашения, мы видим,
что эта формула справедлива для всех целых г и у. Аналогично,
согласно той же теореме 5.2 гл. V и лемме 2.2 гл. VI, гимеют
место формулы
^ = С)^г + 2/(р-1)
и	0 для всех г и /. Используя формулы Картана и те же
теорему и лемму, получаем формулы
?^И72г-1 = —( у
1.5. Теорема. Операции Sq*, введенные в определении 6.1 гл.
VII, удовлетворяют соотношениям Адема.
128
СООТНОШЕНИЯ АДЕМА И ТВОРИМА ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. VIII
Доказательство. Если dim'a = q, то
(РРи = 2 wt_{ X Sq*u.
В силу следствия 1.2, соглашений 1.4 и формулы Картана, имеем *)
ЦРр = S «VftXSq* (wq_{ xSq'u)
= 2 Г / 9^-*xu,«-'+'xS4*"yS4,B’
Следовательно,
^,^=2 (/71 •)
\г— i +»/
для любого целого Zjj* 2). В силу леммы 1.3,
2д-1И = ^2g-z, 2q~kU-
Таким образом,
(1)	2( ?71 JSq*+'-'-‘Sq'u = 2( ’Ц )sqfc+'—«Sq”u.
~"\q — i + tJ	> ~r\<i — k + rj
Пусть q = 2‘ — 1+c, l=.q-\-c и s, к и с — произвольные не-
отрицательные целые числа. Имеют место равенства
/ q — i \ /2»—1 + (с —i)\ | 0, если i7^с <(в силу 1.4 и 1.2.6>,
—1-Н/	\	(1 — с) )	( 1, если г = с;
(<7 — г \	/9 — г \	/2* — 1 + с — г\	fx\ f х \
4	1	= 1 I = f	I поскольку (1=1	]
g-|-r— к/ \k— 2rj \ к — 2r )*	\yj \x— у J
Предположим теперь, что к <^2с. Биномиальный коэффициент в
последнем соотношении равен нулю при 2г > к. Следовательно, он
равен нулю, если с—г^О. Согласно лемме 2.6 гл. I, этот бино-
миальный коэффициент равен 7 ) при 2* > к и г 0. Под-
ставляя это в (1), получаем, что если к <2*, 2с и dima = q =
= 2* — 1 с, то
SqftSq‘u= 2(Cr27/)Sqft+e-rSq'u.
Г
Применение леммы 6.8 гл. VII завершает доказательство, g
1	.6. Теорема. Операции Р*, введенные в определении 6.1
гл. VII, удовлетворяют соотношениям Адема.
1) а=лХ р, см. доказательство леммы 1.3. — Прим, перев.
2) Здесь полагается дополнительно, что Dj, к—0, если j < 0 или к < 0. -
Прим, перев.
g 1]	СООТНОШЕНИЯ АДЕМА	129
Доказательство. Согласно леммам 3.5 и 4.4 гл. VII и опре-
делению 6.1 той же главы, полагая 2т = р—1 и v(g) =
= (тп!)г(—l)4»(«*+«)/2t имеем
v (9) <ГРи = 2 (—1/ ю(г_аоая1ХР<«+ S (—1)' «’(l_2i)2m_1X₽P<u.
В силу следствия 1.2,
V (РЯ) ’ (я)	= S (—l),+ft	2тX Р* (^<г_ао а„ XР‘и) +
4"2( i),+ft+1iy(J)J_2ft)amxPft(и,(г1а<)ап,-1Хрр<м)-|-
+ S ( l)<+ft+1 M7(P?_aft)am_iX₽Pft («7(г-2оаяХР,н) +
Н" 2 ( 1),+Йц,(рг-2Л:>2т-1ХРР’: (ш(?_ап2т_1Х?Р<И)-
Используя формулу Картана, получаем, с учетом соглашений 1.4,
Р* «Л6 2ИXР1и) = 2 ((? “у20 т) 2тХР^Р<и,
Pk^(g-2i^m-iX^Plu) = 2((’ “ 2 J т ~ 1)«’(,-a<+2/)2TO-iXPft_/₽P,u,
8^ ъ.ХР'и) = 2(k~fi} "О ^-WimX^P{u,
' J
= - 2(<,_ 2‘}т~
У	,	•
'	-2((й“2/’”-1)Н’<^/)2»-1Х₽Р*-/₽Р<и.
i 
Следовательно, если положить a=-pq — 2кг b = q—;2г-|-2/ и про-
суммировать по i, j, к, то
(2)	v (pg) v {q}D^mu J Н1)^ ((’
(3)	v(pg)y(?)Z>2ajB>!!6)n_1U=	(-l),*fc((g-2i!n’“1)Pb-/₽P,u,
<.л*
(4)	v(p9)v(g)Z)aem_li26mu^ 2 (-l)<+fc((?~/2i)m)pP^^ +
£ 1 Ъ
ил
<, /> ft
(д — 2i) т — 1
и.
9 Н. Стинрод, Д. Эпстейн
130	СООТНОШЕНИЯ А ДИМ А и ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ, УШ
Далее, v(g)*=l (modp), согласно лемме 6.3 гл. VII, и, следова-
тельно, v (pq) v (q) ф 0 (mod р).
Доказательство теоремы завершается следующими двумя лем-
мами. g
1.7.	Лемма. Первое соотношение Адема выполняется.
Доказательство. Положим a — pq — 2к ab = pq — 21. Со-
гласно следствию 1.2 и формуле (2), справедливо соотношение
(5)
2
/ (q — 2r) т \
\mq -~k-\-r}

Положим g = 2(1p,+1)2c и l — c-\-mq, и пусть s, с и
к —- произвольные неотрицательные целые числа. Тогда
/(q-2i)m\	/(p_l)(l+...+p-i) + (p_l)(e-t)\
—Z-|-i/ \	(I — c)	)
{0, если l=^=c <в силу 1.2.6 и 1.4>,
1, если l —с.
Кроме того,
едгхгл ") —у ou ,)
_ (р‘—i + (p—1)(с—rh
\ к —рг ) *
Предположим теперь, что к < рс. Биномиальный коэффициент
в последнем соотношении равен нулю при рг~>к. Следовательно,
этот коэффициент равен нулю, если r'^-с. В силу леммы 2.6 гл. I,
он равен	— *) при р’^>к и г^О.
Подставляя это в (4), получаем, что если р* к > рс и dim и =
== q := 2 (1	р*+1) 4* 2с, то
Р*Реи =	(—l)r+* ((Р“	~ i)Pt+k~rPru.
Применяя лемму 6.8 гл. VII, завершаем доказательство, g
1.8. Лемма,. Второе соотношение Адема выполнено.
Доказательство. Положим, как и выше, a = pq — 2к я
b-=pq — 21. В силу леммы 1.3 и формул (3) и (4) имеет место со-
отношение

§ 2]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ
131
(д — 2г) т
mg -j-i — l
|Г+1 ((? — 2г) т 1)
Пусть д = 2р*~1~2с и l = c-\-mq; s, с и к — произвольные неотри-
цательные целые числа. Тогда
/(?-2i)r»-l\ /(р-1)(1 + ...+р”1) + (р-1)(с-0\
\ mg — l + i J \	i — c	/
{О, если i=7^c <в силу 1.2.6 и 1.4>,
1, если i = c;
( (? — 2г) т/(д — 2г) ш\ 7(р — 1) (р* + с — г)\
\тд — к -f- г) \ к — рг /	\ к — рг / *
Предположим теперь, что к рс. Биномиальный коэффициент
в последнем соотношении равен нулю при рг^>к. Следовательно,
этот коэффициент равен нулю, если г ~^> с. В силу леммы 2.6 гл. I,
он равен	при и Кроме того,
/(? — 2г) т — 1\	/(д — 2г) т — 1 \	/(Р - 1) (р* + с — г) — 1\
\ тд — к-\-г )	\ к — рг — i J \ к — рг — 1	/ *
Этот биномиальный коэффициент равен нулю при рг^к. Следо-
вательно, он равен нулю, если с^г. В силу той же леммы 2.6
гл. I, этот биномиальный коэффициент равен
((? “Л(	1) при р’ > Л и г > 0.
Подставляя полученные значения обоих биномиальных коэффици-
ентов в (6), получаем,что если к^рси dimu = g = 2р*-\-2с, то
Р*₽Р»И=2 (—i)r+fc ((р ~ь-Ср7r)) ₽pc+fc_rpr“+
Применение леммы 6.8 гл. VII завершает доказательство. 
§ 2. Распространение операций
на другие теории когомологий
В этом параграфе мы распространим Действие операций Р‘
и Sq‘ на относительные группы когомологий.
2.1. Теорема. Если F — некоторая когомологическая операция,
определенная для абсолютных групп когомологий, то существует
9*
132 СООТНОШЕНИЯ АДЕМА И ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ (ГЛ, VlII
и единственна когомологическая операция, определенная как для
абсолютных, так и для относительных групп когомологий, совпа-
дающая с F на абсолютных группах когомологий. Такое распро-
странение на относительные группы когомологий приведенных
степеней Стинрода Sq* и Р{ удовлетворяет всем аксиомам из
§ 1 ал. I и § 1 гл. VI.
Доказательство. Для каждой точки а пространства К имеет
место коммутативная диаграмма
О^НЦК, a-, G)^H*\K; G)^H*(a; 6)^0
F	| у
О Нг {К, a-, G') -г Нг (К; G') Hr (a; G') О
Используя диаграммный поиск, мы получаем, что существует одно-
значно-определенно отображение
F: НЦК, a; G)^Hr(K, щ G’),
замыкающее диаграмму до коммутативной диаграммы точных
последовательностей. Эта конструкция естественна относительно
отображений пар, в которых второе пространство состоит из одной
точки или пусто.
Пусть (К, Л) — некоторая пара пространств. Обозначим
через L пространство К с приклеенным к нему конусом над А.
По аксиоме вырезания имеет место изоморфизм
H*(L, СА)^Н*(К, А).
Пусть с — вершина конуса С А. Из леммы о пяти гомоморфизмах
следует, что отображение
H*(L, CA)^H*(L, с)
является изоморфизмом.
Приведенные конструкции и изоморфизмы естественны отно-
сительно отображений пар (К, Л). Используя уже определенную
операцию F на группах Н* (L, с), мы получаем таким образом
определение операции F на, группах Н* (К, Л).
Непосредственная проверка показывает, что все аксиомы,
перечисленные в § 1 гл. I и § 1 гл. VI, следуют из соответствующих
аксиом для случая абсолютных когомологий. 
Итак, мы установили, что операции Sq* и Р{ определены для
групп когомологий пар (К, L), где К’ —- конечное регулярное
клеточное разбиение, a L — его подразбиение.
2.2. Теорема, а) Для групп сингулярных когомологий произ-
вольных пар пространств существуют операции Sq* и Р’, одно-
значно определенные условием, что для групп когомологий конечных
регулярных клеточных разбиений они совпадают с уже введенными
операциями.
§2]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПЕРАЦИИ	133
Ь) Для групп когомологий в смысле Александрова — Чеха про-
извольных пар пространств существуют операции Sq* и Р{, одно-
значно определенные условием, что для групп когомологий конечных
клеточных разбиений они совпадают с уже введенными операциями.
Распространенные таким образом операции в обоих случаях
а) и Ь) удовлетворяют всем аксиомам из § 1 гл. I и § 1 гл. VI.
Доказательство. Проверку того, что эти операции
удовлетворяют всем указанным аксиомам, мы предоставим чита-
телю, а сами займемся распространением определения операций
Sq* и Р(.
Вначале распространим определения на пары (К, L), где К —
бесконечное регулярное клеточное разбиение, a L — некоторое
его подразбиение. Группа когомологий Н9 (К, L; Z/p) естественно
изоморфна группе Hom (Hq (К, L), Z/p). Следовательно, группа
Я* (К, L\ Z/p) совпадает с обратным пределом групп Н* (КЛ,
Lu; Z/p), где пара (Ка, Lu) пробегает множество всех пар конеч-
ных подразбиений пары (К, L). Ввиду естественности степеней
Стинрода, мы получаем тем'самым однозначное определение опе-
раций на группах Н* (К, L; Z/p). Непрерывное отображение
одной пары бесконечных клеточных разбиений в другую переводит
конечные подразбиения в подмножества конечных подразбиений.
Отсюда следует, что операции Sq* и Р{ являются естественными
на категории пар (К, L), где К — (конечное или бесконечное)
регулярное клеточное разбиение, a L — его подразбиение.
Распространим теперь это определение на пары (К, L), где
К — произвольное клеточное разбиение, & L — его подразбиение.
Согласно Дж. Г. К. Уайтхеду (см. [17)), такая пара (К, L) гомо-
топически эквивалентна паре симплициальных разбиений. Из этого,
очевидно, вытекает однозначное определение естественных опе-
раций Р* и Sq* на группах Н* (К, L).
Дадим теперь требуемое определение операций на группах
сингулярных когомологий Н* (X, Y) пары произвольных про-
странств X, Y. Пусть SX л SY — геометрические реализации
^сингулярных симплициальных разбиений пространств X и Y
(см. [17]). Существует каноническая слабая гомотопическая
эквивалентность h\ (SX, SY) -* (X, Y), естественная относительно
отображений пар (X, Y). Поскольку (SX, SY) является парой
клеточных разбиений, то операции р{ и Sq' определены на группе
Я* (SX, SY). Используя изоморфизм
h*-. Н*(Х, Y)-+H*(SX, SY),
мы получаем однозначное и естественное распространение опера-
ций Р* и Sq’ на группы сингулярных когомологий.
Распространим теперь операции Р{ и Sq' на группы когомоло-
гий Александрова—Чеха. Группы когомологий Александрова —
134	СООТНОШЕНИЯ АДЕМА И ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. VIII
Чеха пары (X, У) определяются по системе открытых покрытий
пары (X, У), частично упорядоченной по вписанности одного
покрытия в другое, как прямой предел групп когомологий нер-
вов этих покрытий. Операции Sq* и Р* определены на группах
когомологий нерва каждого покрытия и естественны, поэтому
они однозначно определены и на группах Н* (X, Y). Легко ви-
деть, что так распространенные операции Sq* и Р* естественны
относительно непрерывных отображений пар (X, У). Теорема
полностью доказана. 
§ 3.	Теорема единственности	/
В этом параграфе мы докажем, что операции Sq’ и Р* одно-
значно определяются соответственно аксиомами 1)—5) из § 1
гл. I и аксиомами 1)—5) из § 1 гл. VI. Доказательство основано
на исследовании циклического произведения пространств. В ка-
честве области коэффициентов групп когомологий в этом пара-
графе используется поле Z/p.
3.1.	Лемма. Произвольный цепной комплекс К над полем Zip
гомотопически эквивалентен цепному комплексу с нулевым гранич-
ным гомоморфизмом, который как градуированный модуль изомор-
фен группе гомологий Н* (•К).
Доказательство. Пусть Bq — подмодуль границ в Kq,
a Dq — прямое дополнение к Kq к подмодулю циклов. Тогда ком-
плекс К изоморфен комплексу, у которого ^-мерная группа равна
Hq +Dq, а граничное отображение является нулевым на
группе Hq (K)+Bq и изоморфно переводит группу Dq в группу Bq_v
Следовательно, комплекс К можно представить в виде прямой
суммы цепных комплексов Н и P-f-P. Комплекс B-\-D обладает
стягивающей гомотопией s, которая определена тем, что перево-
дит Р+Р в Р, обращается в нуль на каждом Рг, а отображение
s: Bq -> P,+i обратно к граничному гомоморфизму. Продолжим
эту гомотопию s на К, полагая s (Я)=0. Пусть р: К -> Н — ка-
ноническая проекция и X: Н -> К — вложение. Тогда рХ=1,
а Хр гомотопно тождественному отображению 1 (связывающей их
гомотопией служит s). g
Пусть К и L — некоторые цепные комплексы и и — цикличе-
ская группа порядка р, действующая циклическими перестанови
ками на Кр и Lp. Рассмотрим ацикличный ^-свободный цепной
комплекс W и введем в комплексах W®KP и W®LP диагональное
действие группы л.
3.2.	Лемма. Если отображения f,g:K-+L цепно-гомотопны,
то отображения
l®.fp, i®gp:W®Kp^W®Lp
эквивариантно гомотопны.
§ 3]	ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ	135
Доказательство. В силу леммы 2.1 гл. VII, существует
эквивариантное отображение Л: I 0 W -> Ip 0 W, такое, что
Л( 0 0 ц?) = 0 ц? и А(1 0и>) = 1р0и>. Пусть D: I(QK-*L — не-
которая цепная гомотопия между fag. Тогда композиция экви-
вариантных цепных отображений
10 W 0 Кр 1Р 0 W 0 Кр	W 0 (7 0 К)р 1®^ W 0 L*
представляет собой требуемую эквивариантную цепную гомо-
топию. |
3.3.	Следствие. Если f: К -> L — гомотопическая эквивалент-
ность, то 10/р — эквивариантная гомотопическая эквивалент-
ность. 
Из леммы 3.1 и следствия 3.3 вытекает, что цепные комплексы
W (&КР и W <g)H9(K)p эквивариантно гомотопически эквивалентны.
Следовательно, коцепные комплексы Нотх(РИ <&КР, Z/p) и
Нотж(РИ 03*(7£)p, 21/р)гомотопически эквивалентны.
Разложим модуль Н*(К) в прямую сумму подмодулей А{,
СО
каждый из которых изоморфен Z/p. Имеем Н*(К) = 2 А(. Поэтому
«=1
W=S44-(z/p)W03,
»=i
где
В= 2 Ati®...®Aip.
Ч«р
Группа я действует на А$ циклическими перестановками, а на
(Z/p) (я) 03 ее действие задается так: оно обычное на (Z/p) (я) и
тривиальное на В. Таким образом, если модуль Н9(К) имеет конеч-
ный тип, то
Hom* (JV0//.(£)₽, Z/p)«
^2Нот(1У0Л{, Z/p) 4-Нот (W0 Z/p (я) 0 В, Z/p).
i
Отсюда непосредственно вытекает следующий результат.
3.4.	Лемма. Пусть К — конечное регулярное клеточное раз-
биение. Положим
(W®Kp)ln = W ХТКр.
Тогда
Н* (W 0. Кр)« 2 н* (Win 0 л?) 4- н; (W 0 z/p («) 0 з). 
*
Вложим W/nXK в WXrKp при помощи диагонального ото-
бражения d: К -> Кр.
136	СООТНОШЕНИЯ АДЕМА И ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. VIII
3.5.	Замечание. Для каждой пары пространств (X, А) абелевы
группы Я* (X), Я* (Л) и Я* (X, А) очевидным образом имеют
структуру Я*(Х)-модулей. Легко видеть, что отображения в точ-
ной когомологической последовательности пары согласованы
с этой модульной структурой. Если задано отображение X -> У,
то в точную когомологическую последовательность пары (X, А)
может быть введена Я*(У)-модульная структура при помощи
индуцированного отображения Я* (У) —► Я* (X). Точная кого-
мологическая последовательность пары (Wy.KKp, 17/л X К) имеет
Я* (л)-модульную структуру, задаваемую при помощи проекции
WX.TKP -> W/v. Действие класса
и(.//*(л) = Я*(РИ/л)
определяется как умножение на класс иХ1р, где 1 — единичный
класс (или аугментация) на К.
Рассмотрим отображения
Я* (X) 4 Нр< (РГ хт.Кр) Л Hpt (W/« X К).
3.6.	Предложение. Образ отображения d* является Н* (л)-
модулем, порожденным образом отображения d*P.
Доказательство. В силу леммы 4.1 гл. VII, доста-
точно показать, что группа B^.(WXKP; Z/p) представляет собой
сумму группы imt, где t — гомоморфизм переноса, и Я* (л)-
модуля, порожденного группой im Р. Учитывая результат
леммы 3.4, мы видим, что для этого достаточно, в свою очередь,
показать, что
1)	Я* (РИ 0 Z/p (л) 0 В) С im т
й
2)	Я*(л)-модуль Я*(РИ/л0Лу) порождается элементом Ри,, где
и, — элемент, двойственный к образующей группы А..
Доказательство утверждения 1). Рассмотрим отобра-
жение X: Z/p(Z/p) (л), которое l£Z/p переводит в 1£л, и ото-
бражение v: Z/p (л)-> Z/p, которое 1 £л переводит в 1 £Z/p, а все
остальные элементы группы л— в нуль. Отображение X индуци-
рует . отображение
X*: С (РИ 0 (Z/p) (л) 0 Я; Z/p) - С* (W 0 Z/p 0 В; Z/p).
Эквивариантная коцепь на W 0 (Z/p) (л) 0 В однозначно опреде-
ляется своим образом при отображении X*. Рассмотрим, далее, ото-
бражение
v’: C*(PH0Z/p0£; Z/p) - С* (РИ 0 (Z/p) (л) 0 В; Z/p),
индуцированное отображением v. Так как vX=l, то X*v*=l.
Мы должны доказать, что каждый эквивариантный коцикл и
на W 0 Z/p (л) 0 В является образом при гомоморфизме переноса
S 31	ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ	13?
некоторого коцикла на ТУ®(Z/p)(я)®Я. Рассмотрим коцикл v*X*u
на W ® (Z/p) (я)® Я и докажем, что т/Х*» = и. Для этого доста-
точно показать только, что X* (тЛ.*и) = Х*и, поскольку эквивариант-
ная коцепь однозначно определяется своим образом при отображе-
нии X*. Но из определения гомоморфизма т следует, что Х*т/ = 1.
Таким образом, утверждение 1) доказано.
Доказательство утверждения 2). Положим Ct —
— Hom (А{, 7>/р) а обозначим через и{ образующую группы С{.
Структура Я*(я)-модуля в группе HK(W X Кр) задается ^-умно-
жением на элементы вида v X 1Р, где у £/7*(я) (см. замечание 3.5).
Следовательно, группа H*(W® 4?)«йЯ*(я)®С₽ является Я*(я)-
модулем, порожденным элементом 1 х В силу леммы 3.1, можно
рассматривать как подпространство Z/р-пространства Kt при не-
котором q. Пусть Lt — прямое дополнение к А{ в Kf. Представим
класс zij коцепью, полагая иД£г) = 0. Тогда коцикл Ри( задается
композицией
W®Kp^Kp^Z/p,
равной 1 ® uf. Значит, 1 ® = Ра{. Тем самым утверждение 2),
а с ним и предложение (3.6) доказаны. 
Рассмотрим теперь градуированный модуль S = (5Г), где группа
Sr С Нг (W/п X К) задается формулой
Sr= 2
Заметим, что ] = pj — (р — i)j<Z(P — 1)(г — /)•
3.7.	Лемма. Ограничение отображения
8: Hr (WI«X К) -> Н™ (W X, К’, W/^xK)
на подгруппу Sr является мономорфизмом.
Доказательство. Вследствие точности когомологической
последовательности пары достаточно показать, что Sr f~| im i* = О,
а в силу предложения 3.6 для этого достаточно показать только что
Sr П {Н* (я)-модуль, порожденный множеством imd*P} = 0.
Согласно определению 3.2 гл. VII и лемме 4.4 той же главы,
имеет место формула
Кр—1)
й*Ри = 2 wj X О fl,
У=о
а в силу теоремы 5.2 гл. V и теоремы 5.4 гл. VII,
wk(FPu =	X a fl -}- прочие члены.
Но k-j-q(p — 1)^(р— 1)д, и тем самым лемма доказана. |
138
СООТНОШЕНИЯ АДЕМА И ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. VIH
Определим теперь модифицированный гомоморфизм переноса
из условия коммутативности следующей диаграммы:
H*(W*KP) —K₽,W Kd)
Подразделим барицентрически разбиение Кр так, чтобы получен-
ная триангуляция была инвариантна относительно действия
группы л и диагональ была подразбиением (для этого можно,
например, сначала подразделить разбиение К так, чтобы полу-
чить симплициальное разбиение, а затем взять декартово произ-
ведение полученных разбиений как в [33, стр. 95]. Поскольку
Я* (WxKp)=H* (Кр), то любой класс когомологий пространства
WX Кр. имеет представитель вида е0и, где и — коцикл на Кр.
Если w £ W и о £ Кр, то положим, по определению,
-c'(s®«)(w®e) = 2 е (агр) и(аа) = 2 ® (и>) и (аа).
Если <s$>Kd, то аа = а для всех а£тс и поэтому
т' (е 0 и) (гр 0 а) = ре (гр) и (а) = 0.
Следовательно,
т'(е0гг)еС:([УхЯЛ ТУХЯД
Тем самым модифицированный гомоморфизм переноса определен.
Обозначим через h-. Кр -* К проекцию на первый сомножитель.
Напомним (см. замечание 3.5), что отображение
а: Н* (W/n хК)^Н* (W X, кр, w/к х К)
является гомоморфизмом Н* (я)-модулей. Пусть и^Я’(Я).
3.8. Лемма. Справедлива формула
—& (u’a,_i X «) = wa • т' (1 X h*u).
Если р — 2, то
& (wi X u) = wi+i • г’ (1 + h*u).
Доказательство. Коцикл wt♦ t' (1 хh*u) задается
следующей композицией (по поводу определения элемента N
группового кольца я см. стр. 74):
W 0 Кр -> W Q Кр 0 W Q Кр 1®е-.®е81>
-> W 0 Кр^ W 0 Кр^Х К Л Z/p.
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
139
S 3]
Композиция первых двух отображений эквивариантно гомотопна
тождественному отображению, согласно теореме 2.2 гл. V. Следо-
вательно, класс w('t' (lxfe*u) представим коцепью
W 0 Кр	Z/p.
Представим коцепь : Кр -> Z/p в виде и' -|- и", где и' = О на
Кd и а" = 0 на К? \ Kd. Коцепь и" инвариантна относительно дей-
ствия группы п, так как подразбиение Kd неподвижно относительно
этого действия. Поэтому u"N = 0. Следовательно, коцикл и>( • t' (1X
X Л*и) представйм коцепью
w ® Kp(-1}<.,ai®u,N> Z/p.
Далее и" | Ка = и | К. Поэтому класс 8 (u>y X и) представйм ко-
цепью
w	кр 2=1^ W 0Я кр	zip. •
Но 5 = 9014-10 д, а поскольку Wj — коцикл, то слагаемое
д 01 можно опустить. Следовательно, класс 8 X и) совпадает
с коциклом
(~1)’+у	0 «") (109) = (-1/ {Wj 0 8ц").
Далее, так как и — коцикл, то 8и" = 8(Л#и— и') =—8и'. Поэтому
8 (Wj X и) = (w’j X Su') (—1 )y+1-
Нам надо теперь показать, что если i четно или р = 2, то
коциклы —wt®u'N и u>,_108u' лежат в одном и том же классе
когомологий из группы H*(W Х*КР, W/mxK)- Для этого доста-
точно показать, что данные два коцикла принимают одинаковые
значения на всех относительных циклах пары (РИ ХкКр, W/^xK).
Эти относительные циклы имеют вид
2^ 6j ®xCj-y+<»
где
/«+*	\
д 2	с,-У+< € W 0Я Kd.
V=o	/
Следовательно, если j четно или р = 2, то
—в/-х	+ NeJ-i cs-y+i € W 0Я Kd.
Таким образом,
€ К<1-
= uNct = udcq+1 = (—1)’ (8uj Cg+1 =
140	СООТНОШЕНИЯ АДЕМА И ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ. VIII
Поскольку и' = 0 на Кл, то при четном I или при р = 2
2 ey®cj_/+<
(wt ® uN)
= — (^<-1 ® M
2е/® С,-/+<
/—и
3.9.	Теорема. Для всякого фиксированного нечетного простого
числа р аксиомы 1)—5) из § 1 гл. VI однозначно определяют опе-
рации Р{ (i=0, 1, 2, . . .). Точнее, если В{ (1—0, 1,2,...) — неко-
торая последовательность когомологических операций, удовлетво-
ряющая этим аксиомам, то В(=Р{ при всех I.
Доказательство. Из указанных аксиом вытекают
следующие утверждения:
(1)	ЗР^Р‘8 (доказательство такое же, как для леммы 1.2
гл. I).
(2)	РЧ^—0 (это следует из леммы 2.2 гл. VI) и, таким образом,
согласно формуле Картана, Р* (w1u)=u?1P,u.
к	к
(3)	2 (—1)'	(“’а») = 2 (—1)* И’з* (p-D+aP^'» +
<=0	<=0
к—1
+ 2 (—1)' “’at.+D (р-1)+а^<-1“ — »а •
(4)	В силу леммы 3.7, отображение
8:	Hr (W/kX К) ->Я*1 (W X, Кр, WI«XK)
мономорфно на подгруппе Sr.
(5)	В силу леммы 3.8
—8 (wa<_! X и) == wzt • т' (1 X h*u).
Положим
т= ic-ir^^xP^uE^ov/KX К).
Напомним, что, согласно замечанию 3.5, отображение 8 является
Н* (к)-гомоморфизмом. Имеем
2 (—i)‘w9<(,_i>8(wiP*-'u)
к
= 2 (—1)* »2< (r-»Pk~* (S (»!«)) <В силу (1) и (2)>
<=0
л
= 2 (—1)<+1 и,2<(^.1)Р*_< (wv' (1 х h*u)) <в силу (5)>
= —(1 X Л*и) <в силу (3)>
S 3]
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
141
Пусть g = dimu = 2s или 2s-|-l. Положим к = s-|-l. Тогда
и dim z' (1 X Л*и) = q, поэтому P*z' (1 X h*u) — 0 и 8у = 0.
Предположим, что последовательность операций {В*} удовле-
творяет тем же аксиомам, что и последовательность {Р*}. Введем
элемент у', заменив в определении элемента у операции Р* опера-
циями В*. Тогда, как и выше, получим, что 8у' — 0. Следовательно,
8 ( 2 (-1)‘ ш2<(р_1)+1 X (Р-,+1 - В’-,+1)	= 8 (Т - Т') = 0.
\<=о	/
Слагаемое' с i ==. s -|-1 опущено, так как Р° — В° = 1 —1=0. Далее,
dim(T-T') = 2i(p-l)4-l+g + 2(s-i + l)(p-l) =
= 2(s-f-l)(p—l)-|~g +1 =
{2(s-|-l)p, если g = 2s-|-l,
2 (5-|-1)р—1, если q — 2s,
так что
(р —l)dim (у — чУР =
2(s+’l)(p— l) = 2s(p — 1) + 2(р— 1), если g = 2s-|-l,
2(s + l)(p-l)-(p-l)/p =
= 2s(p — 1)-|-2(р — 1) — (р — 1)/р, если q = 2s.
Следовательно,
(р — 1) dim (у — т')/р> 21 (р — 1)-j-1 = dim шЗИг_1)+1.
Таким образом, (у — у')^5г, где г = dim (у — у'). Поскольку
8 (у — у') = 0, то из леммы 3.7 следует, что у — у' = 0. Значит,
Р{и=-В*ч при 0^1^Л. Если 1У>к, то 21 > 2Л > dim и и Р*и =
=В*и = 0. Теорема доказана, g
3.10.	Теорема, аксиомы 1)—5) аз § 1 гл. I однозначно опре-
деляют операции Sq* (1 = 0, 1, 2, ...). Точнее, еслиВ* (1 =
= 0, 1, 2 ...) — некоторая последовательность когомологических
операций, удовлетворяющая этим аксиомам, то В1 = Sq* при всех I.
Доказательство. Из указанных аксиом вытекают следую-
щие утверждения:
(1)	8 Sq* = Sq* 8, (доказательство такое же, как в случае
леммы 1.2 гл. I).
к	к
(2)	2 wi sq*~* (^iB) = S »<+i sq*~‘ “+
<=0	»=0
fc-1
+ S ш<+а Sq*"4"1 и = wt Sq* u-
<=o
142	СООТНОШЕНИЯ АДЕМА И ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ [ГЛ, VIII
(3)	Отображение
8:	Hr (W[n хК)-> Hr+1 (IF х . Kf,	X К)
мономорфно на подгруппе S', в силу леммы 3.7.
(4)	8 (1 X и) —	(1 X Л*и) в силу леммы 3.8.
Положим
к
У = 2Х X Sq*~* и е W х К).
i=0
Напомним, что, согласно замечанию 3.5, отображение 8 является
Н* (я)-гомоморфизмом. Следовательно,
8у — 5	(1 X Sqfc-< и) = 5	Sq*-* (1 X ») =
.•=о	>=о
= S wi Sq*-* 8 (1 X и) = S wt Sq*-*	(1 X A*u)) —
i=0	i=0
= Sq* t' (1 X h*u).
Положим к = q -|~1, где q = dim u. Тогда Sq* t' (1 X &*u) = 0 и
поэтому 8y = 0.
Предположим, что некоторая последовательность операций {R{}
удовлетворяет тем же аксиомам, что и последовательность {Sq*}.
Введем элемент у', заменив в определении элемента у операции Sq’
операциями R*. Тогда, как и выше, получим, что 8у' = 0. Следо-
вательно,
(?	\
S w{ х (Sq®+1-* — Я’+1-*) и = 8 (у — у') = 0.
<=о	/
Далее dim (у —‘ у') — 2q 1 и i q < (2q -f-1)/2. Поэтому у —
— у' £ Sr и, значит, у — у' = 0, в силу леммы 3.7. Таким образом
Sq* u = R*u при 0 i к. Если i > к, то Sq* и = Rfu = 0. Теорема
доказана, ц
Приложение
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ВЫВОД НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ
АЛГЕБРЫ СТИНРОДА
mod р-алгебра Стинрода 21 была определена в § 2 гл. VI (в § 2
гл. I для р=2) в чисто алгебраических терминах как фактор-
алгебра свободной ассоциативной алгебры 21 над Z/p, порож-
денной элементами Pi степени 2i (р—1) и ₽ степени 1 (в случае
р=2 элементами Sq’ степени i) по идеалу, порожденному элемен-
тами ₽2, Р°—1 (Sq°—1 в случае р=2) и соотношениями Адема.
Доказываемый в этом приложении результат (теорема 2) явля-
ется чисто алгебраическим, как в части предположений, так
и в части заключений. В основном тексте он доказан в главах I,
II и VI методом, использующим действие алгебры 21 на группах
когомологий некоторых пространств. В противоположность этому
мы дадим здесь чисто алгебраическое доказательство. Единствен-
ным новым шагом при этом будет использование тождества между
биномиальными коэффициентами mod р, полученного Д. Коз-
ном [14] в статье о соотношениях Адема.
Пусть Р(ЕХ, ...) — алгебра полиномов над Z/p, порождевная
элементами $4 степени 2(р* — 1) (степени 2* — 1 в случае р = 2), и
Е(т0, тх, ...) — внешняя алгебра над Z/p, порожденная элементами
т4 степени 2р* — 1. Положим Н = Р$$Е (Н — Р -в случае р = 2)»
Определим диагональное отображение <]»я: Н -> Н Q Н, превращаю-
щее Н в алгебру Хопфа с коумножением фя. Для этого доста-
точно задать значение отображения фя на образующих В4 и т4 и про-
должить фя на всю алгебру Н по мультипликативности. Положим
ФЛ=S	О &<» Фл=ъ ® * + S ® v
i	i
Легко проверить, что имеют место следующие утверждения:
Лемма 1. а) Коумножение ассоциативно.
b) Н является коммутативной ассоциативной алгеброй Хопфа
с ассоциативным коумножением.
с) Н — алгебра конечного типа. |
Далее мы не будем специально обсуждать случай р—2, так как
все результаты для него могут быть получены из соответствующих
результатов для р > 2, если заменить Р* на Sq* и опустить всё,
относящееся к р или т4.
Зададим гомоморфизм алгебр
ц: 21->Я*,
144	ВЫВОД НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ АЛГЕБРЫ СТИНРОДА
полагая rj (Р‘) равным элементу, двойственному к . £j, и т) (Р)
равным элементу, Двойственному К т0, при двойственности относи-
тельно базиса, состоящего из всех допустимых мономов х).
Теорема, 2. Гомоморфизм •»] индуцирует эпиморфизм 21-*Я*,
при котором никакая ненулевая сумма допустимых мономов не
переходит в нуль.
Из теоремы 2 вытекает следующий результат:
Теорема, 3, а) Гомоморфизм т] индуцирует изоморфизм ‘•21-+Н*.
В 21 имеется линейный базис из допустимых мономов.
Ь) 21 является алгеброй Хопфа с коумножением <|», определяемым
формулами
ф(Р‘) = 2^®^’У и Ф(₽) = ₽®1 + 1®₽- ’
с) Н есть алгебра Хопфа, двойственная к 21.;
Доказательство. Согласно § 2,1 гл. VI, допустимые
мономы порождают алгебру 21, причем из теоремы 2 следует,
что они линейно независимы. Таким образом, утверждение а)
имеет место. Утверждение Ь) вытекает из формул
и
Фя7! (₽) = Ч (₽) ® 1 +1 ® (₽)»
где фя — умножение в Н. Утверждение с) очевидно, д.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 2. В качестве пер-
вого шага покажем, что гомоморфизм т; обращается в нуль на
элементе р2 и на всех левых частях соотношений Адема.
Легко видеть, что т) (р2) — 0, ибо если х — некоторый моном
из Я, то
<71 (₽»), Ж> = <7) (?) ® 7] (Р),'	= О,
согласно формуле для коумножения Фя.
Для доказательства того, что гомоморфизм т; обращается
в нуль на соотношениях Адема, нам нужна следующая_лемма:
Лемма 4 (Д. Коэн [14]). Пусть 0 <Zpd. Тогда
Ct >2(-«гччт~яЛ7;,_‘)
J	
Доказательство. Формальные степенные ряды от перемен-
ной t. с коэффициентами в поле Z/p образуют коммутативное
кольцо. Обратимыми элементами в этом кольце являются ряды
2 У которых а0 7^=0^ Z/p.
<>о
*) Гомоморфизм г, однозначно определен, так как 21 — свободная ассоциа-
тивная алгебра. — Прим. ред.
ВЫВОД НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ AJiTEfiPk стийроДа	145
Пусть f — формальный степенной ряд функции
/ (t) = ((1	+ t)e
Доказательство леммы будет основано на разложении f (t) в ряд
двумя развыми способами. Применяя теорему о биноме К числи-
телю функции /(t), получаем
f (о=2 (е+d)(—(1+у*-'*
J.	
Так как с — pj<^p(d — ]), то коэффициент при i®"^ в разложении
по t выражения (1 -f-равен	ПРИ 7<И
и нулю при j~^d. Следовательно, коэффициент при t® в разложе-
нии функции /(£) равен
С другой стороны, (1 t)F = 1 4~ tp, и поэтому
(1 -НГ1—1 — «а -нг1-
Следовательно,
Обозначим через Хс_у коэффициент при t®-^ в разложении по t
выражения (1 -J-i)'^-®’ Ясно, что = 0, если j с. Таким
образом, коэффициент при t® в разложении по t функции f (t) равен
i
Заметим, что Хо — 1. Для доказательства леммы достаточно
показать, что kfc = 0 для всех Л>0. Но действительно,
%	(—(р — 1) Л — 1) (—(р — 1) Л — 2)'... (—(р — 1) Л — 1 — Л-|-1)
Afc==---------------- —
= + ^)—0, если к^>0 (см. 1.2.6).
Предложение 5. Гомоморфизм	обращается в нуль
на левых частях соотношений Адема.
Доказательство. Пусть х — некоторый моном из Н. Тогда
<Р“ТЛ ®> = (Р“®Р3, фи®).
Ю Н. Стинрод, Д. Эпстейн
146
ВЫВОД НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ аДВебрЫ стийроДа
Из формулы для фя следует, что (Pft ® Р, может быть отлич-
ным от 0, только если х = и (из размерностных соображений)
а-{-₽ = / + ^Ср4" !)• Имеем
<P-P’,	(5l®E(,+S.®51)'(Sr®E1)*>=
=(г®Р,
Положим
R (а, Ь) = -Гл + (-1Г’ ((Ь “	~ 1 ) Р^Р*.
Согласно соотношениям Адема, R(a, b) = 0 в 21, если a<^pb.
С другой стороны, элемент i\R(a, b) априори может принимать
ненулевые значения лишь на мономах вида 6/EJ, где а b = / -|-
-f-A(p-|-1), а его значение на таких мономах равно
/в + Ь_*(р + 1л ,	,(6_<)(р_1)_1ч,в + б-Л(р + 1)\
а-рк	I a —pi )\a + b-i-Pk )'
Используя тождество из леммы 4 при d — b — к, с = а — рк
и j — i—к, получаем, что указанное значение сравнимо с нулем
по модулю р.
Нам осталось только показать, что при	гомоморфизм ц
обращается в нуль на следующем элементе:
(Л -р^р‘+2 (-1)" ((Ь ,}1РР7 "О +
+2 Г 1 pii'i_')
к
Пусть Q^H*— элемент, двойственный к Тогда
(2)	4(Ps₽-₽Pe) = ^(/x"1).
Для доказательства формулы (2) заметим, что элементы щ (Р’Р),
т^рР*) и Qf\[P*~1) априори могут принимать ненулевые значения
лишь на мономах вида 5“т0 и й-1^, а на этих мономах значения
правой и левой частей формулы (2) совпадают.
Если a <pb, то элемент, задаваемый выражением (1), пере-
ходит при гомоморфизме т) в нуль, что легко проверить, исполь-
зуя формулу (2) и равенства n(R(a, Ь)) = 0, т)(Я(а— 1, Ь)) = 0.
Если а = pb, то выражение (1) принимает вид
ВЫВОД НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ АЛГЕБРЫ СТИНРОДА
147
Применяя гомоморфизм т), приходим к элементу —Qi\ (Ppi~1Pt).
Замечая, что
ч (ppi-ip*) = ч (д (pb _ 1, Ь)) = О,
получаем, наконец, доказательство предложения. |
Следствие 6. Гомоморфизм щ: 21->Я* индуцирует гомомор-
физм алгебр тр 21 -> Я*.
Как и в § 4.2 гл. VI, мы можем установить взаимно-однознач-
ное соответствие между последовательностями I = (е0, ix, ех,..., ifc,
еА, 0, ...), где ег = 0 или 1 и ir = 0, 1, 2, ..., и допустимыми
последовательностями Г = (е0, i'v ех....н'к, efc, 0, ...) по фор-
муле ir = i'r — pi'r+1 — er.
Положим P1' =	и	Эле-
менты и Р1' имеют одинаковую степень. Введем порядок в мно-
жестве последовательностей (7) при помощи лексикографического
упорядочения справа налево.
Лемма, 7. (Р1', $J> = 0, если I<^J, и (Р1’, $/>=+1.
Доказательство. Используем индукцию по степени эле-
ментов F. Утверждение леммы, очевидно, верно для степени нуль.
Случай 1. Допустим, что последний ненулевой элемент в по-
следовательности t' есть ik. Обозначим через М' последователь-
ность, полученную из Г заменой Гк на 0. Имеем
= и М = (е0, ix, ех, .... ik_i + pik, efc_x, 0, ...).
(Если к = 1, то Л/ = (е0, 0, ...).) Итак, (Р1',	—
ф-д^, По предположению индукции достаточно в разложении эле-
мента взять лишь слагаемые вида Q $(*, где L М. Исполь-
зуя формулу для ЧГЯ1 получаем, что (Р1', £,> = 0, если только
последовательности J и I не имеют одинаковую длину и
Но J^I, поэтому мы можем считать, что последовательности J
и I имеют одинаковую длину и jk = ik. Следовательно, в разло-
жении элемента фД7 нам достаточно учитывать лишь слагаемые
вида Е1 Q где
L — Ji, 8Х, ..., Д_1-f-8fc_x, 0, ...).
(Если Л = 1, то Z = (80, 0, ...).)
Таким образом, L~^M, причем L — M тогда и только тогда,
когда J = 1.
Используя предположение индукции, получаем утверждение
леммы для рассматриваемого случая.
Случай 2. Допустим, что последний ненулевой член в после-
довательности Г равен гк. Обозначим через М' последователь-
ность, полученную из I' заменой efc на 0. Тогда
^==(ео> li» ех> • • •> lk-v e*-i>	•••)•
(Если Ze = 0, то Л7 = (0, 0, ...).)
10*
148	ВЫВОД НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ АЛГЕБРЫ СТИНРОДА
Итак, (Р1',	=	фя$^. По предположению индукции,
в разложении элемента фя$7 достаточно взять лишь слагаемые вида
гДе	Используя формулу для <|»я, получаем, что
(Р1',	= 0, если только 7 и 7 не имеют одинаковую длину
(и, значит, 8fc = efc==l). Предположим, что / и/ имеют одинако-
вую длину. Тогда в разложении элемента фяЕ7 нам достаточно учи-
тывать только слагаемые вида £с®т0,
Т'= (§о> /1,	• • •> /й-1> е*-1»
{Если к=0, то L=(0, 0, . . .).) Таким образом, L М, причем
L=M тогда и только тогда, когда J—I. Шаг индукций проведен,
и лемма доказана. 
Покажем теперь, что гомоморфизм q является эпиморфизмом.
Заметим, что мономов Е7 данной степени существует лишь ко-
нечное число. Используя*"лемму 7, при’помощи индукции по по-
рядку (сверху вниз) на множествеТпоследовательностейТ(Т),
получаем, что элементы, двойственные^к Е7, принадлежат об-
разу гомоморфизма -q. Далее, гомоморфизм ц^не обращается
в нуль на суммах допустимых мономов^ ? как^легко ви-
деть, применяя лемму 7 к слагаемому с наибольшим 7,. Доказа-
тельство теоремы 2 завершено, jj
ЛИТЕРАТУРА1)
[1]	Адамс Дж. (Adams J. F.) On the structure and applications of the Steenrod
algebra. — Comm. Math. Helv., 1958, 32, p. 180—214.
[2]	— On the non-existence of elements of Hopf invariant one. —Math. Ann.,
1960, 72, p. 20—104. [Имеется перевод: О несуществовании отображений
с инвариантом Хопфа, равным единице. — Математика, 1961, 5:4,
с. 3-86. ]
[3]	— Vector fields on spheres. — Ann. Math., 1962, 75, p. 603—632. [Име-
ется перевод: Векторные поля на сферах. — Математика, 1963, 7 : б,
с. 48-79.]
[4]	Адем Ж. (Adem J.) The iteration of the Steenrod squares in algebraic
topology — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1952, 38, p. 720—726.
[51	— Relations on Steenrod powers of cohomology classes. — Algebraic
Geometry and Topology, Princeton, 1957, p. 191—238.
[6] Борель A., Cepp Ж.-П. (Borel A., Serre J.-P.) Groupes de Lie et puis-
sances, rdduites de Steenrod. — Amer. J. Math., 1953, 75, p. 409—448.
[Имеется перевод: Группы Ли и приведенные степени Стинрода. —
В кн.: Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958, с. 247—281.1
[71 Даукер С. Г. (Dowker С. Н.) Topology of metric complexes. — Amer.
J. Math., 1952, 74, p. 555—577.
[81 Дуади A. (Douady A.) Seminaire H. Cartan, 1958—1959. — Paris. [Име-
ется перевод: Комплексы Эйленберга — Маклейна. — Математика,
1961, 5:2, с. 11—19; Когомологические операции. — Математика,
1961, 5 : 2, с. 19—30.]
[9]	Ёкота И. (Yokota I.) On the cellular decompositions of unitary groups. —
J. Inst. Polytechn. Osaka City Univ., 1956, 7, p. 39—49.
[101 Картан A. (Cartan H.) Sur les groupes d’Eilenberg-Maqlane, П. — Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 1954, 40, p. 704—707.
[Ill — Seminaire H. Cartan, 1954—1955. — Paris. [Имеется 'перевод:
Алгебры когомологий пространств Эйленберга — Маклейна. — Мате-
матика, 1959, 3 : 5, с. 3—50; 1959, 3 : 6, с. 3—45.1
[121 — Sur I’itfiration des operations de Steenrod. — Comm. Math. Helv.,
1955, 29, p. 40-58.
[13] Картав А., Эйленберг C. (Cartan H., Eilenberg S.) Гомологическая
алгебра. — M.: ИЛ, 1960 (1956).
[14] 'Коэн Д. (Cohen”D. Е.) On the Adem relations. — Proc. Cambr. Phil.
Soc., 1961, 57, p. 265—266..
ИбРМилйер К. Э. (Miller С. E.) The' topology of rotation groups. — Ann.
' Math.,-’1953,’57, p. 90-113. ’
[161 Милнор Дж. "(Milnor J.) The^Steenrod algebra and its dual. — Ann.
' Math.,4958, 67, p/' 150-171. ' :
[17]	On spaces having the homotopy type of a CW complex. — Trans. Amer.
I Math. Soc.<1959, 90, p. 272—280,
[18]'Милнор Дж., Мур Дж. (Milnor J./ Moore J. C.) On the structure of Hopf
^algebras. —“Ann. Math., 1965, 81, p. 211—264.
[19]	Новиков С. П. Гомотопические свойства комплексов Тома. — Матем.
сб., 1962, 57,'№ 4, с.’407—442.
!) Для переводных книг в круглых скобках стоит год оригинального
издания. — Прим. ред.
150
ЛИТЕРАТУРА
[20]	Серр Ж.-П. (Sene J.-P.) Homologie singulars des espaces fibres. — Ann.
Math., 1951, 54, p. 425—505. [Имеется перевод: Сингулярные гомологии
расслоенных пространств. — В ни.: Расслоенные пространства, М.:
ИЛ, 1958, с. 9-114.]
[21]	— Cohomology module 2 des complexes d’Eilenberg-MacLane. — Comm.
Math. Helv., 1953, 27, p. 198-231.
[22]	— Groupes d’homotopie et classes des groupes abelians. — Ann. Math.,
1953, 58, p. 258—294. [Имеется перевод: Гомотопические группы и
классы абелевых групп. — В кн. Расслоенные пространства, М.; ИЛ,
1958, с. 124-162.]
[23]	Стинрод И. (Steenrod N. Е.) Products of cocycles and extensions of map-
pings. — Ann. Math., 1947, 48, p. 290—320.
[24]	— Homology groups of symmetric groups and reduced power opera-
tions. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1953, 39, p. 213—223.
[25]	— Cohomology operations derived from the symmetric group. — Comm.
Math., Helv., 1957, 31, p. 195—218.
[26]	Стинрод H., Уайтхед Дж. Г. К. (Steenrod N. E., Whitehead J.H.C.)
Vector fields on the n-sphere. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1951, 37,
p. 58-63.
[27]	Том P. (Thom R.) Espaces fibres en spheres et carrds de Steenrod. — Ann.
Sci. Ёсо1е Normale Sup., 1952, 69, p. 109—182.
[28]	Томас Э. (Thomas E.). The generalized Pontrjagin cohomology operations
and rings with divided powers. — Mem. Amer. Math. Soc., 1957, № 27.
[29]	Уолл 4. (Wall C.T.C.) Generators and relations for the Steenrod algebra.—
Ann. Math., 1960, 72, p. 429-444.
[30]	Хопф X. (Hopf H.) fiber die Abbildungen von Sphfiren auf Spharen
niedrigerer Dimension. — Fundam. math., 1935, 25, S. 427—440.
[31]	Ху Сы-цзянь (Hu S.-T.) Теория гомотопий. — M.: Мир, 1964 (1959).
[32]	Эйленберг С., Маклейн С. (Eilenberg S., MacLane S.) On the groups
H (*, n), I-Ш. — Ann. Math., 1953, 58, p. 55—106; 1954, 60, p. 49—
139; 1954, 60, p. 513-557.
[33]	Эйленберг С., Стинрод H. (Eilenberg S., Steenrod N. E.) Основания
алгебраической топологии. — M.: Физматгиз, 1958 (1952).
[34]	Экман Б. (Eckmann В.) Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von
Hurwitz-Raudon. — Comm. Math. Helv., 1942, 15, S. 358—366.
[35]	Seminaire H. Cartan, 1958—1959: Invariant de Hopf et operations coho-
mologiques secondaires. [Этот выпуск трудов семинара Картана частично
переведен: Математика, 1960, 4 : 5, с. 3—72; 1961, 5:2, с. 11—102.]
Дополнение 1
Jfyx. П. Мэй
ОБЩИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К ОПЕРАЦИЯМ СТИНРОДА1)
§ 0. Введение
После того как были введены операции Стинрода в когомоло-
гиях топологических пространств, стало ясно, что подобные опе-
рации существуют и во многих других ситуациях. Например,
имеются операции Стинрода в когомологиях симплициальных
ограниченных алгебр Ли, в когомологиях кокоммутативных
алгебр Хопфа, а также в гомологиях бесконечных пространств
петель (где эти операции были введены для случая коэффициентов
по модулю 2 Араки и Кудо [3], а для случая mod р, р >2 —
Дайером и Лашефом [5]).
Цель данной статьи, носящей методологический характер,—
построить общую алгебраическую схему, в рамках которой все
такие операции можно изучать одновременно. При этом стано-
вится возможным дать единое, приложимое ко всем описанным
выше случаям, доказательство основных свойств операций Стин-
рода, включая соотношения Адема. В противоположность кате-
горным подходам к операциям Стинрода, элегантные доказа-
тельства, данные Стинродом в [23—28] 2), в действительности
позволяют упростить кое-что в нашей общей алгебраической схеме.
Далее, даже наиболее общий из всех существующих категорных
подходов к операциям Стинрода, — подход, развитый Эпстейном
[30], — неприменим к гомологиям итерированных пространств
петель.
Мы хотим подчеркнуть еще раз, что эта статья носит методо-
логический характер. Хотя в ней и содержится несколько новых
результатов и несколько новых доказательств старых результа-
тов, претендовать на оригинальность может лишь весь текст в це-
лом. Мы сочли целесообразным дать полные доказательства всех
результатов, так как большое количество незначительных упро-
щений в рассуждениях в совокупности ведет к существенному
упрощению теории. Кроме того, мы включили в статью несколько
х) М а у J. Р. A general algebraic approach to Steenrod operations.
— In: The Steenrod Algebra and its Applications: A Conference to Celebrate
N. E. Steenrod’s Sixtieth Birthday, 1970/Ed. by F. P. Peterson. — Lectures
Notes in Math. 168.. Berlin; Heiddberg; New-York: Springer, 1970, p. 153—
231. — Прим. ped.
*) См. основную часть настоящей книги. — Прим. ред.
152	,	ДОПОЛЙЕЙИЕ 1. Дж. П. МЗЙ
хорошо известных, но, по-видимому, нигде не опубликованных то-
пологических результатов. Например, в § 10 мы приводим простое
 полное вычисление mod р-когомологической спектральной по-
следовательности Бокштейна пространства К (л, п) и показы-
ваем, что данная Серром [21] для случая р=2 аксиоматика опе-
раций Стинрода переносится, с совсем небольшими видоизмене-
ниями, на случай р > 2.	I J
Общая теория излагается в пяти первых параграфах. Боль-
шинство доказательств из §§ 1, 2 и 4 основано на идеях Стинрода
[23—28], а доказательства § 3 являются упрощением рассужде-
ний Дайера и Лашефа [5]. В §§ 7 и 8 мы, используя метод ацик-
личных моделей и одну лемму Дольда [7], применяем развитую
теорию к категории топологических пространств, а также к не-
которым симплициальным категориям. Все стандартные свойства
операций Стинрода, действующих в когомологиях топологиче-
ских пространств, за исключением свойства Р°=1, вытекают
из общей алгебраической теории, а это свойство, как показано,
следует из остальных г). Напротив, в когомологиях симплициаль-
ных ограниченных алгебр Ли, как мы показываем, Р°=0.
В § 11 теория применяется к когомологиям коммутативных алгебр
Хопфа; возникающие здесь операции играют важную роль при
Изучении когомологий алгебры Стинрода 2). Хотя настоящая ра-
бота выросла из исследований, касавшихся итерированных про-
странств петель, соответствующее; приложение теории здесь не
рассматривается, но где-нибудь мы это еще сделаем8). Материал
§§ 6 и 9, по существу не относящийся к изучению операций Стин-
рода, представлен здесь именно с прицелом на это последующее
приложение.
§ 1. Предварительные сведения из алгебры;
эквивариантные гомологии
Пусть Л — (неградуированное) коммутативное кольцо. Под
Л-комплексом мы понимаем Z-градуированный Л-модуль, снаб-
женный дифференциалом степени —1. Индекс градуировки мы
пишем внизу. Будем говорить, что Д-комплекс К положителен,
1) Ввиду специфических свойств категории топологических прос-
транств. — Прим, перев.
,	2) Когомологические операции Стинрода в когомологиях алгебры Стин-
рода были введены С. П. Новиковым [9* ] в связи с задачей вычисления гомо-
топических групп сфер методом спектральной последовательности Адамса.
В этой работе было использовано то обстоятельство, что предложенная кон-
струкция алгебраических операций Стинрода является общей для достаточно
широкого класса алгебр Хопфа. Относительно операции Sq° в [9*] говорится:
«Основное отличие „алгебраических" операций Sq* 4 * * * от „топологических" со-
стоит в том, что „алгебраическая" операция Sq° является не тождественным
отображением, а совпадает с гомоморфизмом а*» (индуцированным делящим
гомоморфизмом Адамса а). — Прим. ред.
•) См. [7*] и [8*]. — Прим, перев.
§ 1]	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ	153
если ЙГ =0 при q<0, и отрицателен, если Л?=0 при д>0.
Мы используем Z-градуированные комплексы для того, чтобы
нашу теорию можно было с одинаковым успехом применять как
к гомологиям, так и к когомологиям.
Найте изложение будет приспособлено к гомологическому
случаю, где обозначения несколько проще; соответствующие
обозначения для когомологического случая приводятся в § 5.
В этом параграфе мы приведем несколько элементарных гомо-
логических лемм; в них собраны те немногие сведения о гомо-
логиях групп,' которые необходимы для построения теории опе-
раций Стинрода.
Для всякой группы л через Л~ будем обозначать ее группо-
вое кольцо над Л. Мы будем обычно использовать термин
«Ля-морфизм», а не «ft-эквивариантный Л-морфизм» и будем
говорить просто «л-морфизм», если из контекста ясно, о каком
кольце Л идет речь.
Пусть Sr — симметрическая группа на множестве из г элементов
и я — некоторая ее подгруппа. Для q £ Z будем через Л (q)
обозначать следующий Лл-модуль: как Л-модуль он изоморфен Л,
а Ля-действие на нем задается формулой аХ = (—l)J,trjX, где
(—l)*1*’ —знак перестановки л. Для Лл-модуля М через М(д)
мы обозначаем Лл-модуль MQ$A(q) с диагональным действием
а(лг0Х) = атп0аХ (где 0 = 0А). Для Л-комплекса К положим
Кг = К 0 ... 0 К (число сомножителей равно г). Операция пере-
становки сомножителей, со стандартным соглашением о знаках,
позволяет превратить Кг в Ля-комплекс для л С Sr и ввести Лл-
модуль К' (д).
Пусть I обозначает Л-свободный Л-комплекс с двумя образую-
щими е0, ег в размерности 0, одной образующей е в размерности 1
и дифференциалом d, таким, что d(e) = e1 — е0. Если Г — алгебра
Хопфа над Лив/ введена структура тривиального Г-модуля,
т. е. у(а) = е(т)а, где и aQI, то понятие Г-гомотопии h:
f ~ ё'.’где /, g: К -+L — морфизмы Г-комплексов, эквивалентно поня-
тию Г-морфизма Н: I -> L, такого, что Й (ег 0 к) — f (к)
и Я(ев0А) = #(&), где в J0 Л задано диагональное Г-действие.
Действительно, . морфизм И определяет гомотопию h по формуле
h (к) — Н (е 0 к), и наоборот.
В приведенных обозначениях имеет место следующая лемма.
(На всех тензорных произведениях Лл действует диагонально).
Лемма, 1.1. Пусть я с Sr, п пусть V — некоторый положи-
тельный A-свободный комплекс. Тогда:
(i)	Существует такой An-морфизм h: 10 7 ->7 0/г, что
h(ea^)v) = v<^C^ и h(e1^>v) — v^e{ для всех v^V.
(ii)	Если f, g: K-+L — два А-гомотопных морфизма А-ком-
плексов, то отображения 10 Л 10gr: 7®КГ-+ 70If являются
An-гомотопными морфизмами Ак-комплексов.
154	ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭН
(iii)	Если А — поле, то любой A-комплекс К А-гомотопически
эквивалентен A-комплексу Я (К); кроме того, Ап-комплексы V®Kr
и V (К у An-гомотопически эквивалентны.
(iv)	Пусть элемент v f V таков, что d (v 0 1) = 0 £ V 0Я А;
пусть далее К — некоторый A-комплекс a a, b^Kt — гомологич-
ные циклы. Тогда циклы v(g)ar и комплекса V®TKr(q)
тоже гомологичны.
Доказательство, (i) Пусть е: 1->А — аугментация, е(е0)=
= 1 = е (ег), и пусть ег: Г -> Аг — А — ее r-я 'степень; положим
7 = ker (ег). Определим морфизм k: V -► V 0 J формулой к (п) =
= г;0(е[— ej). Так как Я(7) = 0, то H{V 0 7) = 0. Используя
индукцию по степени, зададим Ля-гомотопию s: V -► V 0 J между
отображением к и нулевым отображением следующим образом.
Положим 5_! = 0 и предположим, что уже построена гомотопия
0 7)Р Ясно, что д((к( — s(_1di)=Q. Рассмотрим
какой-нибудь Ля-базис {жД Ля-модуля V( и, выбрав для x£{xj}
значение з( (х) так, чтобы выполнялось равенство di+1s( (х) = к( (х) —
—	распространим s, на всё У,, по я-эквивариантности.
Требуемый Ля-морфизм h получается теперь, если положить
h (е 0 v) — s (v) для всех v (й V.
(ii) Пусть морфизм t: IQK-+L определяет Л-гомотопию
между fug. Тогда следующая композиция морфизмов является
Ля-морфизмом, задающим Ля-гомотопию между 10 f и 10grj
70 70£г^ 707г02Г	70(70Я)Г^ V0Z7,
где и: Г 0 К* -> (7 0 К)г — очевидный переставляющий изомор-
физм.
(iii) Для каждого элемента х некоторого базиса Л-модуля Н (К)
выберем представляющий его цикл z (ж) (й К и определим Л-мор-
физм f: Н (К) -> К формулой f (ж) = z (ж). Имеет место изоморфизм
Л-комплексов К im (f) -f- coker (f), где комплекс coker f ацикли-
чен, а значит, стягиваем, так как Л — поле. Отсюда следует пер-
вая часть требуемого утверждения, а из нее вместе с (ii) вытекает
и вторая.
(iv) Определим морфизм Л-комплексов f: I -► К степени q, пола-
гая fte-^ — a, /(е0) = Ь и f(e) = (—l)fc, где de —а — Ь (знаки
подобраны так, что d/(e) = (—l)’fd(e)). Зададим морфизм F: I ®
®V-+V®Kr(q) как композицию I ® V-!±V ® V® Kr (q).
Проверка знаков показывает, что f является Ля-морфизмом, так
что F является морфизмом Ля-комплексов степени qr. В силу (i),
имеем F(e40p) = (l 0(у (g) е?) = (—l)«rdeg’p0f (е,.)г, f = 0, 1.
Поскольку я действует на I тривиально и d(v01) =0£ У0яЛ,
то d (е 0 и) = (ех — е0) 0 v (й 10Я V. Следовательно, в комплексе
V 0„ Кr (q) имеет место формула dF (е 0 v) = (—1)’г F (ех 0 v —
— во®р) = (—l)er(deg,+1)(y0ar —	и зто завершает доказа-
тельство. g
S 1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЙ ИЗ АЙГЕВРЫ
155
Рассмотрим теперь случай, когда я — циклическая группа про-
стого порядка р. Прежде всего напомним конструкцию стандартной
Ля-свободной резольвенты W = W (р, Д) Ля-модуля Л.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Пусть тр — циклическая группа простого
порядка р с образующей а. Пусть далее W(— Ля-свободный мо-
дуль с одной образующей е( степени i, i 0. Рассмотрим в Кольце Ля
элементы Л = 1 а	а*'1 и Т — а — 1 и определим диффе-
ренциал А, аугментацию s и коумножение ф в W = фИ\ фор-
мулами
(в2<+1) = ^е2<»	(е2<) = Nва<_1, ® (а<ео) = 1,
(1)	Ф(е2<+1)— 2 е2у®е2*+14~ 2 e2y+l®ae2fc>
i+k=l '	/+*=«
ф(е2() = 2 ea-®e2fc+ 2	2 “Чм-х® “Чьа-
Тогда W будет дифференциальной Ля-коалгеброй и Ля-свободной
резольвентой кольца Л. В случае необходимости вместо W мы
будем использовать более точное обозначение W (р, Л). Очевидно,
что W (р, A.)=W(p, Z) 0 Л. Исследование структуры (Z]p)it-
модуля W (р, (Z/pj) показывает, что группа Я, (я; Z/p) =
— Hr(W (р, Z/p) 0я Z/p) вместе с оператором Бокштейна 0 и
коумножением ф описывается следующим образом:
(2) Я, (я; Z/p) обладает Z/p-базисом {е( | i ^>0), в котором р(е2<)=
= еа( v а (b(ej = 2	когда р = 2 или I нечетно, и
/+*=« '
<№<)= 2 e2y0e2fc при р>2.
Рассматривая Sp как группу перестановок множества {1,.. .,р),
вложим я в Sp, положив а(1, ..., р) = (р, 1, ..., р — 1).
Лемма, 1.3. Пусть WlK,= 2 'W< есть п-мерный остов ком-
i^n
плекса W — W (р, Zp). Пусть далее G — некоторое множество
левых смежных классов группы по подгруппе я. Пусть, нако-
нец, К — некоторый Z/p-модулъ с вполне упорядоченным базисом
{xj IJ € ^}- Обозначим через. А подмодуль в Кр с базисом {х^ ]/£/},
а через В — подмодуль с базисом {а\ I у £ G,
Тогда
Н (WlB) 0, Кр) = ( ф е( 0	ф (е0 0 В) ф (ker dn 0 В),
v=0	/
Л: WH-^W^ — компонента дифференциала е W.
Доказательство. Как легко видеть, (Z/p)я-модуль Кр изо-
морфен (г/р)я-модулю А ф ((Z/p) я 0 В), где я действует на А три-
виально, а на (г/р)я0В — посредством левых сдвигов кольца (Z/p)n.
156
Дополнение i. д®, п. мой
Но Н (W(B) (g) А) = Н (W(B) <S>mXZ/J>))‘<S>а и н (И7‘в)	(Z/p) Я® В)=
откуда и следует требуемый результат. |
Напомним, что, если N (я) — нормализатор некоторой подгруппы я
группы Е, то сопряжение любым элементом у (<N (я) определяет
гомоморфизм у/. Н (я; М)	.М) для любого AS-модуля М.
При этом у, индуцируется отображением комплексов у# (g) у:
W М -* W <g)x М, где W — некоторая Ая-свободная резольвента
кольца А, а -р#: . w -► W — такой морфизм Д-комплексов, что
T# (оШ)= Т°Т-1Т# (ш) Для ° € п и ш £ РИ. (Легко проверить, что такой
морфизм у# всегда существует и что гомоморфизм у* не зависит
ни от выбора резольвенты W, ни от выбора морфизма Оче-
видно, что, если т£л, то у, = 1, так как в этом случае можно
положить = и поэтому
(Т# (w (g) т) =	(g)	= w (g) т, где w£W и т(<М.
Далее, если я Ср С S и у £ 2V (я) ("| N (р), то следующая диаграмма
коммутативна:
М) -£-> Н.(р; М)
Ь-  !’•
НДя; М)Я.(р; Л/)
здесь 4 — гомоморфизм, индуцированный включением у: яср-
Действительно, любая Др-свободная резольвента W модуля А
является также его Ая-свободной резольвентой1), и поэтому ком-
мутативность приведенной выше диаграммы вытекает из того, что
гомоморфизм индуцирован отображением комплексов W -*
-^М^М. В частности, если у g N (я) ("| р, то 7^ = /*.
Лемма 1Л. Пусть я — циклическая группа простого порядка
р^>2,и q^Z — некоторое целое число. Рассмотрим гомоморфизм
Н*(п; (Z/p) (<у))-► Я ДЕ ; (Z/p) (д)), индуцированный вложением
j: я-»Е?. Тогда:
(I) Если q четно, то jr(et) = O для всех I, кроме, быть может,
i = 2t(p— 1) — 1 или i = 2t(p— 1) —1.
(ii) Если q нечетно, то ]*(в() = 0 для всех I, кроме, быть
может, i = (2£-{-l)(p—1) или f = (2f-|-l)(p — 1) — 1.
Доказательство. Пусть к — образующая мультипликатив-
ной подгруппы поля Z/p, kp~x = i. Рассматривая очевидное дей-
ствие группы £? на Z/p, определим элемент т^Е? условием
\ty=.ki, igZ/p. Тогда — и у является нечетной переста-
*) Так как Ар есть свободный Лл-модуль. — Прим, перев.
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ	157
новкой, лежащей в N(it). Определим морфизм	фор-
мулами
"(#(e2i) —	T#(ea<+i) =
fc—1
=	2 а/е2/+1; Т# (ое<) =	° € ’t-
тогда	и морфизм (§) у индуцирует автоморфизм у,
группы Н*(п; (Z/p) (<?)). Так как	to = и потому
j9(et— Т„е<) = 0 для всех i. Далее, у действует на (Z/p) (9) умно-
жением на (—1)’, поэтому у* (е2() = (—1)?&*е2< и у, (e2i+1) = (—1)’Х
X A<+1ea<+i- Следовательно, если 1 — (—1)’ к( 0 mod р, то jr (e2i) =
= 0, и если 1 — (—1)’ /с<+1 0 mod р, то j9 (е2<+1) = 0. Но очевидно,
что условие /c*=lmodp эквивалентно тому, что i = £(p-—1) для
некоторого t, а условие =—1 modр — тому, что 2i = (2f-{-l)X
X (р — 1) для некоторого t. Отсюда легко следует требуемое за-
ключение. g
§ 2. Определение и простейшие свойства
рассматриваемых операций
Здесь мы Для каждого га со построим большую алгебраиче-
скую категорию ^(р, га), в которой будут определены операции
Стинрода. Операции Стинрода для различных интересных кате-
горий будут получены затем построением соответствующих функ-
торов в категорию (р, га). Рассмотрение целых п в приводимых
ниже определениях целиком обязано приложениям к итерирован-
ным пространствам петель; для всех других известных прило-
жений важен только случай га=со.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 2.1. Пусть г — натуральное число и it— под-
группа в Sr. Пусть далее А — коммутативное кольцо, W — неко-
торая Ait-свободная резольвента кольца Л, а V — некоторая ASr-
свобоДная резольвента этого кольца, и пусть задан морфизм у:
W -» V Ait-комплексов над А. Предположим, что РК0?«Апс обра-
зующей е0. Для 0 га со обозначим через РИ<В) и V1”’ га-мерные
остовы комплексов W и V соответственно. Определим категорию
(it, га, А) следующим образом. Ее объектами являются
пары (К, 0), где К — гомотопически ассоциативная градуированная
дифференциальная А-алгебра,. а 0: WM <g)Kr-+K—: такой морфизм
Ait-комплексов1), что
(i) ограничение морфизма 6 на e0<g)Kr А-гомотопно морфизму
итерированного умножения Кт-+К, ассоциированному с некоторым
фиксированным порядком сомножителей, и
’) Предполагается, что it действует на К тривиально. — Прим, перев.
158	Дополнение i. д». п. мэй
(и) морфизм 9 Дя-гомотопен композиции вида JF"’ 0 Кг
-* Vw 0Кг -_?> К, <р — некоторый морфизм Ля-комплексов. Мор-
физмами /: (К, О)-» (Д', О') в категории ^(я, п, Л) являются
морфизмы Д-комплексов /: К-+К', такие, что диаграмма
W1”1 0 2Г —К
|1®Л I/
И7<п) 0(Д')Г —К'
Ля-гомотопически коммутативна1). Назовем морфизм f совершен-
ным, если О'(10/г)=/О, и обозначим через ^°(я, п, Л) подкате-
горию категории ^(я, п, Л), объектами которой служат те же
самые пары (К, 0), а морфизмами — все совершенные морфизмы
таких пар. Заметим, что само кольцо Л задает объект (Л, 6) кате-
гории ^(я, га, Л), где О = е01: Ww 0 Лг -> Лг = Л. Объект
{К, 0) £ (я, га, Л) называется унитальным*), если К обладает
такой двусторонней гомотопической единицей е, что Л-морфизм ц:
Л-►К, ц(1) = е, является морфизмом в категории ^(я, га, Л).
Тензорным произведением объектов (К, 0) и (L, О') из ^(я, га, Л)
назовем пару (К 0 L, 9), где § есть композиция
W(”> 0 (К 0 L) PF” 0 PF” 0 Kr 0 LT —
->Wr(',,02r0IF’0Zr—Д0Л;
здесь U — очевидный переставляющий изоморфизм, t (х 0 у) =
= (—l)deg«degy^ 0 х и ф;ИЛ->)У0РИ— некоторый фиксирован-
ный Ля-морфизм над Л. Очевидно, что пара (К 0 L, 9) удовле-
творяет условиям (i) и (ii). Объект (К, 0) категории (я, га, Л)
называется картановским объектом, если умножение Л 0 К ->К
является морфизмом в категории ^(я, га, Л).
Для случая, когда я есть циклическая группа простого по-
рядка р, условимся в качестве W брать явную резольвенту
W (р, Л) из определения 1.2 и будем вместо ^(я, га, Z/jo) писать
просто % (р, га), а вместо ^®(я, га, Z/p)— просто <^°(р, га)3).
Объект (К, 6) £ (р, га) называется р-приввденным, если он
получается редукцией по модулю р из объекта (/?, 9) £ (я, п, Z),
где К— плоский Z-модуль 4).:
х) Нетрудно показать, что категория ё (it, п, Л) не зависит (с точностью
до изоморфизма) от фигурирующего в определении числа г. Отметим также
функтор ё (it, ге+1, Л) -> ё (it, п, Л). — Прим, перев.
*) В оригинале unital (английский неологизм). — Прим. ред.
8) При этом в качестве морфизма ф, фигурирующего в определении тен-
зорного произведения в категории ё (р, п), берется коумножение ф: W ->
-> W ® W из определения 1.2. — Прим, перев.
*) Отметим, что, если (К, 6) — р-приведенный объект, то имеется гомо-
морфизм Бокштейна 0 : Н (К) -> Н (К) степени — 1. — Прим, перев.
§ 2]	ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ	159
Мы можем теперь определить операции Стинрода на группе
гомологий Н (К) объекта (К, 9)^^(р, ге)- Заметим, что если
O^i^n, то, в силу лемм 1.1. и 1.3, для любого х£Н(К)
произведение et 0 хр представляет собой корректно определенный
элемент группы Н (VT(B)	Н	(К?)', утверждение
(iv) леммы 1.1 (применимое, так как при р^>2 подгруппа
содержит лишь четные перестановки) показывает, что гомологи-
ческий класс 0 хр представйм циклом вида е( 0apQ Wln) 0К Кр,
где а — любой цикл, представляющий гомологический класс х.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть (К, 9)£^(р, п) пх£Н (К). Для
О i п определим элементы D( (х) £ Hpq+( (К) формулой Dt (ж) =
= 9, (е( 0 хр), 9*: Н (РИ(Я) 0Я Кр) -► Н (К). Если р = 2, то опреде-
лим операции Pt: Нд(К)-*НЯ+,(К), где s<^g-J-n, формулами
(i) Р, (ж) = 0 при s < q; Р, (х) = Dt_^ (ж) при s^q.
Если же р 2, то определим операции
Pt:	где 2s (р-1)<д(р-!) + «,
и
₽Р,: НЯ(К}	(К), где 2$(p-l)<g(p-l) + n + l,
формулами
(И)Р,(ж) = 0 при 2s<g; Р,(ж) = (—при
2s > q, .рР. (х)=0 при 2s <g; рР, (ж)=(— 1)’ v (g)	(ж) при
2s >g. Здесь v(2;-|-e) = (—l)^(znl)*, где/— произвольное целое
число, s = 0 или 1, а т = (р—1)/2, или, эквивалентно (с уче-
том того, что (т !)2 = (—l)m+1 mod р), v (g) = (—l)ff(®-i)«»/a(m !)*.
Заметим, что при п=со операции Р, и при р^>2 операции
РР, определены для всех целых s; при этом рР, есть единый-символ,
априори никак не связанный ни с какой операцией Бокштейна.
Операции Р, и рР, определены для гомологий, но, как будет
показано в § 5, соответствующие формулировки для когомологий
получаются простым изменением обозначений.
В следующем предложении представлены основные простейшие
свойства операций Dit Рй и рРж. В частности, оно показывает,
что при р^>2 для построения операций Р, и рР, используются
все нетривиальные операции D( и что для /^-приведенного объекта
(К, 0) операция РР, является композицией операции Рж с гомо-
морфизмом Бокштейна р.
Предложение 2.3. Пусть (К, 9) — объект категории'ft (р, п).
Рассмотрим операцию D(: Нf (К) -* Н (К).
(i)	Если f: К-+-К' —морфизм е категории ^(р, п), то D(f,=s
— tJ^i-
(ii)	Если i <Z n, mo Dt — гомоморфизм.
(iii)	На алгебре H (К) операция Do действует возведением
в р-ю степень; если (К, 9) — унитальный объект и е£Н0 (К) —»
гомологический класс единицы из К, то D, (е) = 0 при
160
ДОПОЛНВИИВ 1. Дж. П. МЭИ
(iv)	Если р^>2 и I < п, то Dt = 0 во всех случаях, за исключе-
нием следующих:
(a)	q четно и i = 2t(p— 1) или i = 2t(p—1) — 1 для некото-
рого t;
(b)	q нечетно, и 1 = (2/ — 1) (р — 1) или l = (2t — 1) (р — 1) — 1
для некоторого t.
(v) Пусть (Я, 0) есть р-приввденный объект и$:Н(К)-+
— гомоморфизм Бакштейна. Тогда
(а)	р£)2/ = D2{1, если либо р >• 2, либо q четно а 21 < п;
(Ь)	PD2(+1 = Z)2j, если p — 2,q нечетно и 2i-\- l <^п.
Доказательство. Утверждение (iii) немедленно следует из
определений, а утверждение (i) — из определений и леммы 1.1 (iv).
(ii). Пусть а, Ь$К9-— циклы; положим Д(а, Ь) = (а-|-Ь)? —
— ар —Ьр£ Кр. Тогда Д (а, Ь) есть сумма мономов, каждый из которых
содержит как а,так и Ь, и на множестве этих мономов свободно дейст-
вует группа «. Пусть с £ Кр — некоторая сумма мономов, перестановки
которых под действием элементов группы к дают каждый моном
из Д(а,Ь) ровно один раз. Тоуда Д(а, b) = Nc. Если i нечетно,
то d (е(+1 0 с) — е{ 0 Nc, а если I четно, то d (Тр"*е(+10 с) == е( 0
0Nc£ W™ 0ЯКр, 1<^п, так как TP~1 = N в кольце (Z/p) я. Сле-
довательно, элемент е{ 0 Д (а, Ь) является границей, и поэтому
при 1<^п операция D( будет гомоморфизмом.
(iy) В обозначениях определения 2.1 морфизм 0 Дк-гомотопен
композиции
W<K) ®„Кр --1* Vм 0,к* -> Vм ®ipKp -*> к.
Поскольку от тензорного умножения на два экземпляра модуля
Zp(g) ничего не изменится, эту композицию можно также запи-
сать в виде
W*(q)®,K’(q)-^ V’>(q)^Kp(q)^V‘(q)^pKp(q) ± К.
Пусть a£Kt—некоторый цикл. Тогда, по определению ком-
плекса Kp(q), элемент ар порождает тривиальный 2?-подкомплекс
Комплекса Kp(q). Следовательно, если /(e() = d(/) в комплексе
v(n) 0Sp ZP (g) = V (g) 0Ep Zp, to d (f 0 ap) = / (ej 0 ap в V'"’ (g) 0Sp
®ipKg(g)- Для i<^n морфизм j индуцирует гомоморфизм
Я((и; (Z/p) (g))-»Я( (Sp; (Z/p)(g)), и требуемое заключение сле-
дует теперь из леммы 1.4.
(v) Пусть {К, 0) — р-редукция пары (^, 9). Пусть далее эле-
мент таков, что d(a) = pb. Легкое вычисление показывает,
что в К.р
d(ap)^pN(bap~1), если р>2 или g четно,
d(a*) = 2T (ab), если р = 2 и g нечетно.
§ 2J	ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ	161
В первом случае при 2i п имеем в W (р, Z)te) 0л jf*
d (e2i 0ар) = е^ 0 Nap + pe2i 0 N (bap~1) =
= P [e2<-i ® «' + d (T^e^ 0 W1)] mod p2
в силу того, что 7’р-1 = Nmodр. Во втором случае при 2i-|-l <Zn
имеем
d (е2!+1 0 я2) = e2i 0 Та2 — 2eaf+1 0 Т (ab) =
= 2 [e2i 0 а2 —d (еа/+а 0 яЬ)] mod 4.
Таким образом, обозначая через я редукцию я по модулю р,
имеем в группе Н (W (р, -fZ/p)w) 0*КР) в первом случае Р(еа<0
0 ар} — {e2£_i Q ар} и во втором случае |Э {e2i_j 0 я2} = (е2,0 я2}.
Так как 0 является р-редукцией отображения б: W (р, Z)W) 0Я
то ^0^ = 0^, откуда и вытекает доказываемое утвер-
ждение. g
Конечно, из (i) и (ii) следует естественность операций Р, и
8Рв (за исключением, в случае ге<^оо, операции максимальной
степени). Подсчет констант дает такое следствие утверждения (iii):
Следствие 2.4. Пусть (К, 0)^^(р, ге). Тогда Ря(х) = хр,
если р=-2 и х£Н (К) или р>2 и х (<	(К). Кроме того, если
(К, 0) — унитальный объект, то Рв(е) = 0 при s^O.
Следствия для операций Р, и (ЭР,, вытекающие из утверждений
(iv) и (v) в случае р > 2, очевидны. В случае р — 2 из (v) получаем
Следствие 2.5. Если объект (К, 0) £^(2, оо) является
2-приведенным, то |ЗР,+1 = sPt.
Следующий результат называется внешней формулой Картана.
Предложение 2.6. Пусть (К, Ь) и (L, О') — объекты кате-
гории Я?(р, п), и пусть x^Hq(K), y£Hr(L). Рассмотрим элемент
х0у£Н(К)0Н(Ь) = Н(К0Е).
(i) Если р — 2, то
Di(x0y)— S Z>/(a:)0Z)fc(y) 9ля
(ii) Если р~^>2, то
D2{(x0y) = (—i)air 5 (Daj(x)0D2k(y)) для 2i<^n
U
=	2 P2y+i(®)®^(y)+
4- (—1)’ D2j (®) 0 Z)2jt+1 (у)) для 2i -|-1 n.
Доказательство. Согласно леммам 1.1 и 1.3, мы можем
проводить вычисления в Ww 0К [Я (К) 0 Н (L)l*. Так как группа те
тривиально действует на элементе (х 0 у)р, то можно вычислить
И н. Стинрод, Д. Эпстейн
162
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
элемент 9« (е< Q (х Q у)*), используя ^индуцированное коумноже-
ние на Wln) (g^Z/p, описанное формулами (2) из определения 1.2.
Требуемый результат получается теперь прямым вычислением пра-
вой части равенства
(е* ® ® У)р) = (6. ® 0;) (1 ® t ® 1) (Ф ® U) (ef ® (х ® у)»). 
Тривиальный подсчет констант в сочетании с утверждением
(iv) предложения 2.3 дает следующий результат.
Следствие 2.7. Пусть (К, 9) и (L, 9') — объекты категории
Ч1?(р,п), и пусть x£Hq(K), y$Hr(L). Тогда
Р.(х®У)= S РДх)®Р^у)
*+/=1
и, если р^>2,
₽^+1(^®у)= S (?Л+1(®)®^(у)+(-1)гЛ(®)<8>₽^+1(0)-
<+У=1
Разумеется, из этого следствия и естественности операций
вытекает, что, если (К, 0) — картановский объект категории
^(р, ге), то операции Pt, а для р^>2 и операции |ЗР, на группе
Н {К) удовлетворяют внутренним формулам Картана
р.(*у)= S р<&рМ
<+/=•
(1)
<+У=«
§ 3. Цепные операции, надстройка
и спектральные последовательности
В этом параграфе мы определим цепные операции Стинрода
и используем их для доказательства того, что гомологические
операции коммутируют с надстройкой. Цепные операции по-
лезны также при изучении действия операций Стинрода в спек-
тральных последовательностях; в частности, с их помощью мы
обобщим теорему Кудо о трансгрессии.
Теорема 3.1. Для любого (К, 9) с (р, со) существуют ото-
бражения Р'-. Kq^Kq+, при р — 2 и Р,: Kq^Kq+iS(p_^, BPg: Kq-+
-» Sj+anp-D-i пРи обладающие следующими свойствами:
(i)	dP, = Psd, d$P, = -$P,d.
(ii)	Если цикл а представляет класс х£Н(К), то Рв(а) и
РР, (я) являются циклами, предстаеляющими гомологические классы
РДх) и рР,(ж) соответственно.
(iii)	Если f: (К, 9) -> (К', 9') — такой морфизм категории
&(р, со), что f9 = 9'(l®f'), то fP, = P,f и /₽Р, = ₽Р/.
§ 31	ЦЕПНЫЕ ОПЕРАЦИИ, НАДСТРОЙКА	163
Доказательство. Пусть а £ Kq и Ь = da £ Kq_r Для р — 2
положим
(1)	Р, (а) = б (с), где с = e,_q+1	es_q ® а ® a G W К2.
Утверждения (i)—(iii) проверяются тривиально. Пусть теперь
р^>2. Обозначим через (я, 6) подкомплекс в К, порожденный
элементами а и Ь, так что (я, 6)р С Кр- Определим гомоморфизм
з: (я, 6) -> (а, Ь) степени 1, полагая з (я) = 0, з (6) = а. Тогда в (я, 6)
имеем ds -J- sd — 1. Определим гомоморфизм S : (я, Ь)р -> (я, 6)р
так, чтобы в (я, 6)р выполнялось равенство dS Sd = l; например,
для любого ,е £ (я, by1 имеем S (ея) = 0, 5(е6) = (—1)ае®вея. Опре-
делим элементы b)p,	рекуррентными формулами
(2)	to = bp; tr = bp \ t2k = S (а. Ч2к_к ^2*-х)> ^2*+i= $
Так как dS -ф- Sd — 1, то
(3)	d (£,) = t0; d (t2k) = (a 1	1) t2k_!, d (i2J:+1) = Nt2k, 1 k m.
Непосредственным рассуждением по индукции, использующим
явную формулу для S, можно получить формулы:
(4)	t2k = ^-\.y9{k-i)\b'm2b^a2 ...Ъ^а2,
где суммирование ведется по всем наборам 7 = ^,...,^)
с 2 ij — Р — %
(5)	£2а.+1 = 2 (—l)k,k! Ь^я^1’2 ... Ь^а2Ь^а, 0 к т,
где суммирование ведется по всем наборам I = (ix,. . ., ik^
с 2^ — 7’— 2Л— 1’
В частности, tp — t2m+1 = (—1)т</т\ар (так как все iy = 0). По-
ложим теперь у = (2з — д-ф-1)(р—1) и определим цепи с и с'
комплекса W Кр следующими формулами (где считается, что
6j = 0 при 1<0):
т	т
(6)	С = 2 (—Sj-2k ® ^2*+1	2 e7+l-2fc ® (a 1	I)*’-2 t^,
k=0	J	fc=l
m	m
(7)	c' = 2 ( 1)Л e/-l-2& ® ^2fc+l + 2 ( 1)* ey-2fc ® ^2Л-
к=й	к=1
Простое вычисление, использующее определение 1.2 и формулу (3),
показывает, что
(8)	d(c) = eJ0bp, d(c') = ^eJ_1<3)bp (j = (2s- q-j-1)(p- 1)).
11*
164
ДОПОЛЙЕИИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
При этом вычислении используются те факты, что 1\Чр — (); что
ае{ 01 = е( 0 а~Ч для t£Kp, по определению тензорного произ-
ведения, и что (а-1—ly"1 = N в кольце (Z/p) к. Наконец, положим
(9)	Р, (а) = (-!)'у (д-1)0 (с), ₽Р,(а) = (-1У*(д-1)0(с').
Если а -—цикл, то 6 = 0, поэтому Z; = 0 при	a tp =
= (—1 }”*т 1 ар‘, следовательно,
„п.
ц }	е=т! С(2<_г) (р_1)Х 0 ар.
Легко видеть, что v(g) = (—1)”“4+1)тп ! v (q— 1), поэтому утвержде-
ние (ii) очевидным образом следует из (9), (10), а утверждение
(i) — из формул (8)—(10), примененных к циклу b£Kq_v Утвер-
ждение (iii) мгновенно вытекает из (9). ц
Остальные результаты этого параграфа представляют собой
следствия этой теоремы и ее доказательства. Для начала опре-
делим и изучим самое общее понятие надстройки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Пусть /: К' -> К и g: К -> К" -
морфизмы Л-комплексов, такие, что gf=O. Определим отобра-
жение о: кег -» coker g* формулой a {6'}={g (я)}, где
Ь' — представитель класса {&'} £ кег и d (a)=f (&') (< Л. Легко
проверить, что отображение ° корректно определено; мы
назовем его надстройкой.
Докажем, что операции Pt коммутируют с надстройкой.
Заметим, что для случая ге=со условия формулируемой ниже
теоремы упрощаются до требования, чтобы f и g были морфиз-
мами категории (р, со), такими, что gf=O. Для случая ге < со
эти условия отражают ситуацию, возникающую на практике при
изучении итерированных пространств петель.
Теорема 3,3. Пусть {К', 0')€.^(Р, п4-1) и	ге)-
Пусть далее К — некоторый Хр-комплекс uf: К' -> К, g: К -> К" —
такие морфизмы, что gf = 0. Определим подкомплекс К комплекса
1У(я+1’ Q Кр формулой
К = W1”-11 0 / (К')р Д- Ж1я+1) 0 f (К'У~1 0 Я Д- W(n> 0 Кр,
где 1^(я+1, = И''я,ф(г/р)ея+1 (т. е. ея+16ТУ(я+1), но
l^i^p). Предположим, что задан такой г.-морфизм 0: К^-К
(условимся при этом считать, что группа к тривиально действует
на 6^0/(К'у-10Л), что диаграмма
Ж(я+1> 0 (К'у К —РИ'Я)0(Л"У
I в'	| 9	|в’
♦	I	+
К' ----—► к-----^К"
§ 3]	ЦЕПНЫЕ ОПЕРАЦИИ, НАДСТРОЙКА	165
коммутативна. (Включение (1 0 gp) (К) С Ж(в) 0 (К")р обеспечи-
вается равенством gf = 0.) Заметим, что подкомплекс кег ин-
вариантен относительно действия операций Pt и (ЭР, и что на
комплексе coker g* индуцируется корректное действие операции Pt.
Пусть х f кег *Тогда аРг (ж) — Рр (ж) и а|ЭРж (ж) = —рР,а (ж) вся-
кий раз, когда Р,(х) и рР, (ж) определены.
Доказательство. Пусть deg ж — q — 1, и пусть Ъ' £ К' —
представитель класса ж. Положим & = /(&') и d(a) = b, где а!^К,
так что элемент g(a) представляет класс а (ж). Из сформулирован-
ных в теореме условий следует, что, если s таково, что на ж
определена операция Р, (соотв. |ЗР,), то на а также определена
построенная выше цепная операция Рг (соотв. pPJ. При п = со
это, конечно, очевидно; что же касается случая п<^со, то здесь
надо только проверить, что все элементы, фигурирующие в опре-
делении элементов Р,(а) и рРДя), попадают в К. Например, если
р=2, то наибольшее из тех s, при которых на ж определена
операция Рв, есть s = g-f-n. Следовательно, Рг(а) = Ь(с), где
с = ея+106 0я4-е)|0а0а, и с действительно лежит в R.
Далее, из коммутативности нашей диаграммы вытекает, что,
во-первых, fPt(b') — P,f(b'). а, значит, fPt(b')=. dP,(a) и, во-вто-
рых, gP, (а) = Peg (а). Равенство aPt (ж) = Раа (ж) следует теперь
из определения надстройки а; доказательство равенства °рР, (ж) =
= —рР#а(ж) столь же просто, ц
Заметим, что, если р > 2 и все объекты являются р-приведен-
ными, то = —ра, в согласии с нашей теоремой. Из теоремы
следует также, что а (хр) — 0 и что □рР< (ж) = 0, если р > 2 и
deg ж = 2s — 1; в случае, когда (К", 9") — p-приведенный объект,
последнее утверждение означает, что ра(ж)р = 0.
Операция рР, (ж), deg ж = 2s— 1, играет в ряде приложений
особую роль; следующий весьма полезный технический результат
об этой операции известен как теорема Кудо о трансгрессии.
Он применим к операциям Дайера — Лашефа в гомологической
спектральной последовательности Серра расслоения путей 2”Х -*
-> PQf^X -> 2Я-1Х, к операциям Стинрода в когомологической
спектральной последовательности Серра расслоения F -► Е -* В
(где К' -> К -> К" есть последовательность С* (В) -> С* (Е) -> С* (F),
в которой индексы размерности поставлены снизу) и к операциям
в спектральной последовательности Адамса [1, стр. 210] для
кокоммутативных алгебр Хопфа.
Теорема 3.4. В дополнение к условиям теоремы 3.3 пред-
положим, что 1) комплекс К снабжен возрастающей фильтра-
цией, {FtK}, 2) Нй(К'} = 7.1р — Нй(Кн) и 3) задан такой морфизм
комплексов п: К (g)f (К') -> К, что либох)
*) Рассматриваемая ниже спектральная последовательность {EfyK} от-
вечает фильтрации {F{K}. — Прим, перев.
166
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
(i)	комплексы К', К и К" положительны; F(K — Q при i<^0;
FiK^Ki при i>0; /(/ST')С«(ад®/(ЛГ'))сад; мор-
физмы fug индуцируют изоморфизмы Е2/: Ну (К') -> Е2уК и E2g:
EtfjK -* НДК"), a it индуцирует такой морфизм Е2п: Е2уКИ£)
0 ElkK -» E2 j^kK, что композиция морфизмов Е2п [(Е2#)-10 E2f J:
Ht (К") 0 Hj (К') -> E2jK является изоморфизмом, либо
(ii)	комплексы К', К и К" отрицательны; F(K — К при г^>0;
F{_xKt—Qnpai^Q; f (K'JczFtK; n(FtK &)f(K'y)) c Fi+yK; морфизмы
f и g индуцируют изоморфизмы E2f: Н( (К’) -> Е2{ йК и E2g: Е2уК ->
-> Ну (К"), а п индуцирует такой морфизм E2tt: Е2уК 0 Е^К —
— E2i+ic,jKf что композиция морфизмов Е2- [(E2g)-10 E2/J: Ну (К”) 0
0 Н((К')-> E2(jK есть изоморфизм.
Пусть т — трансгрессия, так что -z = dt: Е*1йК -> Е‘й> t_xK в слу-
чае (i) и t = d1_i: Е\~*К -> Е);*. 07f (£ < 0) в случае (ii). Тогда т
является обратным к а частичным многозначным отображением,
и если элемент у WK") трансгрессируется в элемент х £	(К'),
то элементы Рг (у) и (при р^> 2) рР, (у) трансгрессируются в Рг (х)
и —РР,(®) соответственно (при условии, что соответствующие
операции определены на элементе у). Далее, при pf>2 и q = 2s
элемент </р-10а: трансгрессируется в элемент —РР8(®) (т. е.
аЯ(р-1>(УР~1(Зх) = —?РЛх) в случае (i) и ^^(у^^х) =
=—рР8(®) в случае (ii)), в предположении, что выполнены сле-
дующие условия:
(iii)	если а у£Е,^К, то 0 (et0aj0 .  . 0ар) Еi =	4~
(iv)	ограничение отображения 9 на ео0 №~’ 0 / (К') индуци-
рует такой морфизм Е29: (Е20Е')р-10 Е^К -> Е2К в случае (i) и
такой морфизм Е26: (Е® Ку~г 0 E2taK -> Е2К е случае (ii), что
Е20 = Е2к [(E2g)-1 <f (E2g)^ 0 1 ], где Н (К'У1 Н (К') — итери-
рованное умножение.
Доказательство. Рассмотрим у^HJ(K"'). По определению
дифференциалов спектральной последовательности фильтрованного
комплекса элемент ту определен тогда и только тогда, когда эле-
мент у представйм циклом g(a) с таким a£Kt, что d(a)—f(p')
для некоторого цикла Ъ'^К'^, и в этом случае х — г (у) — {Ь’}.
Таким образом, первое утверждение теоремы следует из свойств
цепей Рг (а) и РР, (а). Для доказательства второго утверждения
рассмотрим (в указанных выше обозначениях) элемент рРДа), счи-
тая, что q = 2s. Так как d$Pt(а) = —рР/(У), то достаточно по-
казать, что цикл $Р,(а) представляет класс ур-10 х £ Е2К. Но
рр^ (а) = —т 16 (с'),в силу формулы (9) из доказательства теоремы 3.1
и того,что v (q — 1) = v (2s — 1) = (—I)®-1 т I В формуле (7), опреде-
ляющей элемент с', слагаемое с к — т в первой сумме содержит е_г(по-
скольку q = 2s влечет ] = р — 1) и поэтому равно нулю. Во вто-
рой сумме слагаемое с к = т имеет вид (—1)тео0^_1, где,
§ 3J
ЦЕПНЫЕ ОПЕРАЦИИ, НАДСТРОЙКА
167
т—1
в силу (4), t 1 = (т — 1)! S и2< Ьа2(т~*\ b~d(a"). Легко видеть,
р	«=о
что 2 a2iba2lm~h = Р (а) ар-16, где Р (л) — 2 а2*-1, и прямой под-
<=о	<=1
счет показывает, что Р (а) = т -j- Q (а) в кольце (Z/p) тс, где Q(a.) =
= 2 / («^ + а2,/+1). Положим с* — (—1)” (т — 1)! ег 0 Q (а) а*-10
/=1
0Ь^Иг0^р. Тогда с' — d(c*) — (—1)тт! е00ар-1Ь-f-{линейные
комбинации элементов е{ 0 g, где g содержит i 4-1 сомножителей Ь и
р — t — 1 сомножителей а}. Из условия (iii) вытекает, что каждый из
элементов 9 (е< 0 g) имеет меньшую фильтрацию, чем элемент
9 (е0 0 ар-1Ь), а из условия (iv) — что элемент 9 (е0 0 ар~Ч>) представ-
ляет класс х ^Е2К. Но элементы $Рва и—т\ 9 (с' — d(c")) =
= 9(ео0я?-16) представляют ’один и тот же элемент из Е*К. щ
Следующее предложение дает общий рецепт изучения дей-
ствия операций Стинрода в различных спектральных последова-
тельностях; он может быть использован для изучения когомо-
логий алгебры Стинрода. В приложениях построение функции f
зачастую бывает довольно трудным и зависит от того, как устроено
данное отображение 9.
Предложение 3.5. Пусть (К, 9) — объект из Яо (р, оо),
снабженный возрастающей фильтрацией. Пусть, далее, задана
такая функция f(i, j, к), что
(i)	если at £ EttKit^.jt, где ^1^1 и jt — j,mob(ele<^al^...
• • • ® ap) € Ff(i, j, k}Ki+j+k',
(ii)	/(i, j, k)>f(t — r, /4-r —1, A:4-1), r>l;
(iii)	/(i,/, *)>r4-/(i —pr, /4-р(г —1), Zc-j-p—1), r>l.
Тогда для любого элемента у £ ЕГ.^К существуют элементы
Рг(у)^Е(к1К, а при р>2 и элементы $РEfk,t,, такие, что
dtP, (У) = РА (У) и dt^P, (У) = -$РА (у), где
(iv)	если р — 2, то k = f(2i,2j, s — i — j), l — i-{-i-]-s — k,
t = k — f(2i — 2r, 2/4-2(r —1), «4-1 — i — j);
(v)	если p>2, mo k — f(pi, pj, (2s — i — f)(p—1)), Z = t-f-
4-/4-2s(p— 1) — k, t = k — f(pi — pr, p/4-p(r —1)),
(vi)	если p^>2, mo k' = f(pt, pj(2s — i — j)(p—1) — 1)Z' =
= f4-/4-2s(p — 1) — 1— k; t' = k' — f(pi — pr, p/4-p(p — 1),
(2«4-l-f_f)(p_l)-l).
Доказательство. Пусть элемент a Е(К.(^ представляет
класс у. Положим Ь = d (а) — F(_rKi+j+1. Рассмотрим цепь Рг (а),
построенную в теореме 3.1. Ввиду (ii) все ее слагаемые, за исклю-
чением тех, что содержат ея0ар (с подходящим и), имеют филь-
трацию, меньшую к, а элемент ®(еп0ар) ввиду (i) имеет филь-
трацию к. Так как dPt (b) = Psd (b) = 0, где Pgb£FktK, в силу
(i), п к — tZ^r, в силу (iii), то утверждение относительно Ря (у)
доказано. Для $Р,(у) доказательство аналогично, g
168
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
§ 4. Соотношения Адема
В этом’ параграфе мы докажем, что, если объект (К, 0) кате-
гории (р, со) удовлетворяет некоторым условиям, то для опе-
раций Стинрода на Н (К) справедливы соотношения Адема.
В доказательстве отчетливо будет видно преимущество общего
алгебраического подхода. Мы сможем воспользоваться приемом,
предложенным Адемом при его доказательстве классических
соотношений Адема (лемма 4.3); при общекатегорном же подходе
к операциям Стинрода этот прием неприменим, поскольку он
связан с использованием таких объектов иэ (р, со), которые
отсутствуют во многих интересных категориях, как, например,
в категории бесконечных пространств петель или в категории
кокоммутативных алгебр Хопфа.
Прежде чем приступать к доказательству, введем некоторые
обозначения и определения.
Будем рассматривать группу как группу перестановок эле-
ментов множества {(/, /) 11 s^i^p, 1^/Й^р)и вложим группу те
в Ер», полагая a(j, /) = (£ -f— 1, j). Определим элементы a, £Sp«,
1 i р. формулами, a,, (i, /) = (i,	а,- (к, f) = (k, f) для k=£ t
и положим Р = ах ... ар, так что |3(i, =	J-f-l). Тогда
(1)	аа< = а,+1а; а(а.}. = оух.( и ар = |Эа.
Пусть а. порождает подгруппу те0 а |Э— подгруппу v группы
Sp*, так что п. и v — циклические группы порядка р. Положим
а = nv и обозначим через т подгруппу, порожденную всеми а, и а.
Тогда о с т и т есть силовская р-подгруппа группы Sp’, представ-
ляющая собой расщепляющееся расширение группы ... я
посредством группы те.
Пусть и W2 обозначают резольвенту W поля Z/p, рас-
сматриваемую как те-свободная и v-свободная резольвенты соот-
ветственно. Будем считать, что группа v тривиально действует
па группа те тривиально действует на W2, а группа а дейст-
вует на	диагонально. Тогда ® W2 является а-сво-
бодной резольвентой поля Z/p.
Для любого v-модуля М зададим на Мр действие группы т,
полагая, что а циклически переставляет сомножители, а а< дей-
ствует на i-м сомножителе М произведения Мр как {3. Считая, что
а; действует на Wr тривиально, получаем действие на группы
т и соответствующее диагональное действие группы т на Q Мр.
В частности, Wr ® Wp становится в этом случае ^-свободной ре-
зольвентой поля Z/p.
Пусть К — некоторый Z/p-комплекс. Зададим действие группы
Spi на комплексе Кр перестановками его сомножителей К, считая
(i, ])-м сомножителем /-Й сомножитель f-го сомножителя Кр произве-
дения (Кр)р =: Кр • Введем стандартное действие группы v на комп-
лексе	(при котором р циклически переставляет сомножители
$ 41	СООТНОШЕНИЯ АДЕМА	1G9
в Кр). Тогда, согласно конструкции, данной в предыдущем аб-
заце, это определяет действие группы т на Wl<^> (1У2® Кр)р.
Пусть Y — некоторая Ерз-свободная резольвента поля Z/p и ш:
W1(^W^^-Y — некоторый т-морфизм над Z/p. В силу ациклич^
ности комплекса Y, такой морфизм w всегда существует, и лю-
бые два таких морфизма w являются т-гомотопными.
Используя введенные обозначения, дадим следующее опреде-
ление.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Объект (К, 0) категории называется
адемовским1) объектом, если существует такой Ерз-морфизм У'я) 0
0 Кр -+К, что следующая диаграмма:
(W,®
»О	К
1 £ *
т-гомотопически коммутативна.
Здесь U—очевидное тасующее?(переставляющее) отображение,
являющееся, как^легкощидеть, т-морфизмом (группа^Ерз тривиально
действует на^,^элемент а.{ тривиально^действует^на W^(^)KP).
Для простоты^формулировок мы рассматриваем|ниже лишь слу-
чай jre=oo. Полученные соотношения будут справедливы также
для^операций,^ действующих /на^ Ht (К), где^ (К, 6) — адемовский
объект категории/^?(р, п), при условии_,что п^достаточно-велико
поАсравнениюас д?
Сначала мы^покажем, что j тензорное ^произведение ^адемовских
объектов снова ^является адемовским^ объектом, а^затем ^исполь-
зуем этот факт^для доказательства|того,'3что,?<если|некоторое соот-
ношение ^имеета место кна * группах	(К)^ для Jecex адемовских
объектов и подходящих^?,-, тоj ohoJ обязательно^ имеет^место на
всех группах Н* (К) для любых ?.
Лемма 4.2. [Если (К, 9) u%L, 9') — деа [адвмоеских [объекта
категории %(р, оо), то (К0 L, б) — также адемовский^объект
ие^{р, оо).	.	7.Г ..
Доказательство. Морфизм описан в определении 2.1.
В предположениях;’ леммы^существуют^морфизмы^ . и, Ё'.^такие, что
объекты (К, 5) и(Л,^') принадлежат . категории (Ерз, оо, i>lp),
так что мы можем, следуя определению. 2.1, найти аморфизм
такой, что (Я0Д	оо, Z/p). Нам надо показать, что
диаграмма из определения 4.1 для комплекса K^L является
т-гомотопически коммутативной, а это легко следует из определе-
}) Произносится с ударением на первом слоге: Адемовский. — Прим. ред.
170
дополнение i. д». п. мэй
ния морфизмов 6 и и диаграммного поиска на «большой» диа-
грамме. При этом решающую роль играет то обстоятельство, что,
поскольку резольвента	't-свободна, а комплекс Y 0 У
ацикличен, то имеет место следующая -t-гомотопически коммута-
тивная диаграмма (где V — очевидное тасующее отображение,
а ф: У —> У 0 У — некоторое 2р»-коумножение):
W±0 W' И\ 0	0И\ 0	0 Wt 0PF?
IV	I »®v
+
У--------------------*----------------> У0У
Пусть F — свободная ассоциативная алгебра, порожденная
элементами (Р, | s £ Z), а при р > 2 еще и элементами {{ЗР, | s £ Z).
Обозначим через J р с Fp двусторонний идеал, состоящий из всех
элементов a£Fp, таких, что яж = 0 для любого адемовского объекта
(К, 0)t^(P> °0) и любого х£Н(К). Положим. Bf=FpjJp.
Алгебра Вр является универсальной алгеброй Стинрода: как клас-
сическая алгебра Стинрода, так и алгебра Дайера—Лашефа[17]
являются ее факторалгебрами.
Лемма 4,3, Пусть a£Fp, и пусть	—строго возра-
стающая последовательность целых чисел. Предположим, что
ах = 0 для любого адемовского объекта (К, 9)Е^(Р> °0) а любого
х (< HttK. Тогда а £ Jf-
Доказательство. Пусть х£(К), где (К, 9) — адемовский
объект категории ^(р, со). Нам надо доказать, что ах = 0. Под-
берем такое г<0, что g-j-r = gi для некоторого I. Существует
такой адемовский объект (Zr, 6r) GV(p, °0) и такой класс у 6^,(4).
что Ро (р) = у, Р, (у) — 0 при s^O и рР, (у) — 0 при всех з. Такой
объект нетрудно построить явно, но проще сослаться на резуль-
таты § 8, где доказано, что такой объект доставляют неположи-
тельно градуированные сингулярные коцепи (—г)-мерной сферы.
По лемме 4.2 объект (K®Lr, 0) является адемовским объектом
категории (р, со). Используя внешнюю формулу Картана (см. след-
ствие 2.7), находим, что а(х0у) == ах0у. Поскольку ж0у^
£ Ht{ (К 0 Lr), то а (х 0 у) = 0; поэтому и ах — 0, как и утвер-
ждалось. я
Соотношения Адема будут получены путем рассмотрения диа-
граммы из определения 4.1, и в связи с этим нам нужны некото-
рые сведения о гомологиях групп а, т и Пусть <f>: 1У10И/2->
-♦W,j0IPf— некоторый а-морфизм над полем Z/p. Зададим эле-
мент у £ формулой у (i, j) = (/, i); заметим, что у2 = 1 и уа = |3у.
Для любого q £ Z операция сопряжения с элементом у индуцирует
коммутативную диаграмму
8 41
СООТНОШЕНИЯ АДЕМА
171
Н.(°: ЩрШ Я.(т; (Z/p)(g))	Я.(Ер,; (Z/p)(g))
I т.	Ii
i	v
Я.(а; Z/p)(g))—^Я.(т; (Z/p)(g))Я.(2„.; (Z/p)(g))
Таким образом, w* (ср* — ср*у*) = 0. В следующих леммах вычис-
ляются отображения у* и ср*.
Лемма, 4.4. Отображение у*: Я* (о; (Z/p) (д))-» Я* (о; (Z/p)(g))
задается формулой у*(ей0 еу)==(—l)ii+miej 0 е,-
Доказательство. Определим морфизм у#: Wk 0 W2 ->
-*W7’10W2 формулой
Т# (аЧ 0 ₽'еу) = (~1)<У агеу 0 ₽%.
Тогда = и у#(р.ж) = (ур.у-1)у#(х) для р.£а и x^Wk^W2.
Следовательно, морфизм y#0y: (W/10Hz2)0t,(Z/p)(g) ->(И/10И72)0а
0a(Z/p) (q) индуцирует гомоморфизм у*. Так как знак подстановки у
равен (—1)”, то у-1=(—I)”1 £ (Z/p) (д), откуда и следует тре-
буемый результат, в
Прежде чем вычислять гомоморфизм ср*, фиксируем наши обо-
значения для биномиальных коэффициентов.
ОБОЗНАЧЕНИЯ 4.5. Пусть г и /— два целых числа. Поло-
жим (г, /) = (i /) !/г! / !, если i 0, /	0 (причем 01 = 1), а если
г<0 или 7<0, то мы полагаем (i, /) = 0. Напомним, что, если
числа i и / имеют р-адические представления i = и / = S^tP*
соответственно, то (г, /) = П(«4> Ьк) mod р. Очевидно, что (ак, Ьк)
к
=£0modp тогда и только тогда, когда ak-\-bk<Z.p', следовательно,
(i, )) 0 mod р тогда и только тогда, когда выражение 2 (aft + fyt) Рк
является р-адическим представлением числа i -f- j.
Прежде чем формулировать лемму, заметим, что Я* (т; (Z/p) (g)) =
= Я*(т; Z/p) и Я* (a; (Z/p) (g)) = Я* (а; Z/p), поскольку при р>2
группа -с содержит лишь четные подстановки, а а С т.
Лемма, 4.6. Имеет место изоморфизм HJy, (Z/p)) =
= Я*(к; Я (v; (Z/p))p); с учетом этого изоморфизма гомоморфизм
ср*: Я* (а; (Z/p)) -> Я*(т; (Z/p)) задается следующими формулами,
где суммирование ведется по всем целым числам'.
(i) если р = 2, то
?»(ег ® е») — 2 (^> s 2А:) еР+2£_, 0 е1-к>
к
(ii) если р^>2, то
(«г ® «,) = 2 (-1)* v (») (*> [s/2] - рк) er+(ap)fc_„ (/,_1)0eP.2Jt(p_1) —
- S (r) 5 (a - 1) 2 (-1)* v (S - 1) (k, [(a - l)/2] - рк) X
X er+p+(2^fc-«) (p-1) ® e?-3*(p-l)-l’
172
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
где v(2/4-e) = (—1/(тп!)е в 3(2/—е) = е; здесь j — произвольное
целое число, а е = 0 или 1.
Доказательство. Положим ТР’г = ТУ2(g),Z/p = ^,(v; Z/p).
По определению действия группы т на W% имеет место изо-
морфизм Z/p-комплексов	откуда
следует утверждаемый изоморфизм групп гомологий. Разумеется,
группа Н*(т; Z/p) вычисляется теперь с помощью леммы 1.3.
Гомоморфизм <р¥ можно было бы вычислить непосредственно, однако
проще использовать топологические рассуждения. Положим
К (Z/p, l) = Z?/v, где v действует собственным образом* 1) на ацик-
личном пространстве Е, так что, в силу [12, гл. IV, § 11], С,(Е) =
= (Z/p)v(g)C,(jE/v) (все цепи — с коэффициентами в поле Z/p).
Пусть D: Е-> Ер — итерированная диагональ. Тогда морфизм
1 ® D'.	(g) С, (Е) -> W± (g) (Е?) является о-морфизмом, поэтому,
согласно лемме 7.1, мы получаем (г/р)с-морфизм Ф: (g) С» (Ер)->
->Wi®(С*(Е)Р). Положим d = ®(l<g)Z)) и рассмотрим некоторый
v-морфизм /: W2-+Cr(E) над Z/p. Так как резольвента (g) W2
является о-свободной, а резольвента W10(C,(E)p) ациклична
(и т-свободна относительно очевидного т-действия), то следующая
диаграмма а-гомотопически коммутативна:
W10W2 -------
|i®/
W^C^E) W^C^E?
Поэтому гомоморфизмы <р¥ и d¥: Н*(а‘ (Z/p))->#*(-£; (Z/p)) совпа-
дают. Кроме того, ясно, что гомоморфизм d, может быть вычис-
лен из факторотображения d: ^(g^C^P/v)->• И^^СДЯ/у)*1.
В предложении 9.1 мы докажем формулы:
(а)	если р—2, то
d, (е, ® е.} = 2 ег+2к-. ® Л* (е»)2>
к
(Ь)	если р > 2, то
d* (ег ® е,) = 2 (—1)* v (s) er+(2j)/i._t)	(g) Р* (е,)р —
- 8 (г) 2 (-1)* v (s — 1) er+p+(apk_t) lf_„ (g> Р*₽ (е,)р.
Здесь через Р* обозначены гомологические операции, двойственные
к операциям Стинрода Рк на группе Н*{К^р, 1); Z[p)=.H*(r, Z/р).
ИКйи
1) Говорят, что группа Z/p с образующей v действует собственным обра-
зом на топологическом пространстве Е, если каждая точка из Е содержится
в открытом подмножестве U, таком что vZ7 Q U — пустое множество. См.
[12, гд. V, § lit стр. 176]. — Прим, ред.
9 4]
СООТНОШЕНИЯ АДЕМА
173
При этом, поскольку Р° = 1 и для операций Р* справедлива вну-
тренняя формула Картана, то (в силу (1-2)) для элементов wt, двой-
ственных к et, имеют место формулы
(с)	если р = 2, то Рк (wt) = (k, t — k)wk+t, а значит
Р? (*,) = (&, s — 2k)e,_k;
- (d) если p>2, то Pk (wt) = (к, [f/2] — к) wt+Zklp_u и потому
/>:(<?,)=(&, m~Pk)eg_Wp_lr
Комбинируя (а) и (с), получаем (i), а комбинируя (Ь) и (d) и
учитывая равенство р (е,) == 8 (i —1)6^, получаем (ii). g
Теорема 4.7. Следующие соотношения между операциями Р,
и рР, справедливы на любых гомологических классах любых аде-
мовских объектов категории ^(р, оо):
(i)	Если р = 2 и а^>2Ь, то
РаРь=№~а, а — b — i — l)Ра+^Р(‘,
i
(ii)	если р^>2 и а^> pb, то
РаР» = 2(-1 Г‘ (pi-a, a-(p-l)b-i-l)Ра+ь_,Р(,
РЛЛ = 2(-1Г(pi-a, a-(p-l)b-i-l)РР^-.Л;
i
(iii)	если р^>2 и а~^ pb, то
Р<№ь = 2 (-1Г (pi-a, a-(p-l)b-i) №а+ь_(Р< -
- 2 (- 1Г (pi - а -1, а - (р -1) & - i) Р^рРр
i
^Рь = - S (-1Г (pi - а -1, а - (р - 1) b - i) рр^рр,.
«
Доказательство. Заметим прежде всего, что в случае,
когда все объекты являются /^-приведенными, вторые соотношения
из (ii) и (iii) следуют из первых, хотя при нашем общем подходе
они логически независимы. Пусть (К, 0)—некоторый адемовский
объект из ^(р, оо) и x^Ht(K). Согласно определению 4.1, имеет
место Z/p-гомотопически коммутативная диаграмма
(W ®W₽) ® КР(q)	У ®2 г KP(q).
i 4 Л	I
^®л Kp(q)/°
174
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Так как элемент хр’ £ Кр* (q) является Б ^-инвариантным, то для
любых г и s имеем
(а)	(w ® 1), (вг ® е} ® хр*) = (ш, (ег ® е?) ® хр’).
С другой стороны, отображение U вводит знак (—l)™1*, и потому
(Ь)	0, (1 ® 0₽). (1 ® U), (er ®e'®zS) = (—1 )*”*' DrD, (х).
Поскольку w ср, = то из леммы 4.4 вытекает формула
(с)	’ ш.ср.(ег = (—l)rs+m’ w^(e, 8 ег).
Комбинируя (а) и (с), получаем формулу
(d)	£, (w ® 1), (?м (еи ® е,) ® хр2) =
= (-1 Г+т< £>81). (?. (е« 8 ег) 8 хр’).
В силу (Ь), формула (d) задает соотношения между итерирован-
ными операциями, и эти соотношения явно вычисляются, так как
гомоморфизм ср* известен.
Теперь мы последовательно докажем три утверждения тео-
ремы. При этом все утверждения о биномиальных коэффициентах
будут установлены при помощи анализа р-адических представле-
ний соответствующих целых чисел с учетом замечаний из п. 4.5.
(i)	В силу (Ь) и (d), из леммы 4.6 следует формула
(е)	S (*, 8 - 2к) Dr+Zk_,De_k (х) = 2 (Z, г- 21) Dt+2l_rDr_t (х).
к	I
Эта формула справедлива для всех значений г и s. Фиксируем а
я b, а 2Ъ, и положим г=а—2q и 8 = 6—q. Если ввести новые
переменные j=b—к и i=a—q—I и воспользоваться определе-
нием 2.2, то получим формулу
(f)	2 (6 - у, 2/ - Ь - q) Ра+ьчР, (х) =
= 5 (а — q — i, 21 —а) Ра+1>_^\ (х).
г
Условие а 2Ь гарантирует, что одинаковые члены не могут
появиться (с ненулевыми коэффициентами) одновременно в обеих
частях равенства (f). Предположим теперь, что q=b—2*4-1 для
некоторого t 0. Тогда, если / Ь, то
(b-j, 2j-b-q) = (b-j, 2* — 1 — 2(6 — j)) = 0.
Что же касается правой части (f), то Pait ,-Р, (ж) т^= 0 лишь в случае
2*— 1 = b — q~^2t— а. Но если 2*>21 — а, то
(а — q — i, 2i — a) = (2i— а, а — Ъ — i —14-2*) =
?= (2/ — а, а — b — i — 1).
S 4]
СООТНОШЕНИЯ АДЕМА
175
Таким образом, в случае, когда q=b—2*—1 с некоторым
t > 0, формула (f) сводится к доказываемой формуле (i). Из лем-
мы 4.3 следует тогда, что (i) справедливо для всех q.
(ii) Заметим, что рш, — w$, и из доказательства части (v) пред-
ложения 2.3 вытекает, что оператор Бокштейна р на группе
Z/p) действует по формуле р(efc0ef).= р(ej0ef, где
P(eft) = B(A— Поскольку формула (с) остается верной при
замене гомоморфизма <р¥ гомоморфизмом р<р¥, то это же справед-
ливо и в отношении формулы (d), так что
(d') 5, (ш 0 1), (р<р, (ег 0 е,) 0 хр2) =
= (-1 Г+т1 В. (ю 0 1), (₽f. (е, 0) е,) 0 ХР2).
Заменим в формулах (d) и (d') числа г и $ соответственно числами
2г и 2s и положим е = 0 или 1. Тогда, в силу (Ь) и леммы 4.6,
из формул (d) и (d') получаем следующую формулу (для е = 0 и
в = 1 соответственно):
(&) 2 ( 1)* v (^S) (^> 5 Pty	t/»-4.)-e-®2»-2fc(p-l) (Х) =
Л
—	( l)z+'"’ V (2r) (Z, r pl) D2t+(2pl-2ri(p-l)-^2r-2l(p-l) (X}‘
Положим в этой формуле r — a(p—1) — pqm, s — b{p—1) — qm
и произведем следующую замену переменных: j = b — к, i = a—
— mq — I. Для удобства введем фиктивные обозначения р°Рж = Р,,
ргР4 = рР*. Используя определение 2.2 и вычисляя константы,
получим формулу
(Ь) 2 (—1 )4+У (b — J> Pi~b — mq} ?Pa+i-jPj (®) =
- 2 (—1)“+< (a — mq — i, pi — a) P'P^P, (x).
Снова, как и в случае (i), условие а pb исключает возможность
одновременного появления одних и тех же членов в обеих частях
формулы (h). Предположим, что q=2b—2 (1+р+. . .+р<-1),
t > 0. Тогда при j ^=Ъ имеем (b—j, pj—b—mq)—0, а что касается
правой части равенстваДЬ), то Р6 Pa+b-iPi (х)—$, за исключением
случая, когда 1+ . . . +р<-1=&—q/2 pi—а. Но из условия
У —а следует, что (a—mq—i, pi—a.) = (pi—a, а—(р—1) &-{-
+//—1—i) = (pi—а, а—(р—1) b—i—1). Таким образом, из фор-
мулы (h) вытекает требуемое соотношение (ii) в случае q—
=2b—2 (1+. . . +У1) с некоторым t >0. Из леммы 4.3 сле-
дует теперь, что соотношение (ii) справедливо для всех q.
176
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
(iii) Подставим в формулы (d) и (d') вместо г и s соответственно
2г и 2s—1; тогда, в силу (Ь) и леммы 4.6, эти формулы дают сле-
дующую формулу (для е=0 и е=1 соответственно):
(i) 2 (—l)ft+m« v (2s — 1) (к, s — 1 — рк) X
/с
X ^2r+(2pfc-2s+l)	(Ж) =
= (1--®) 2 ( l)Z+’"} V (2г) (Z, Г pl)	(Ж)
— 2 (—1/ v (2Г — 1) (I, r 1 РЦ ^2e+(2pl^2ri-l) (р-1^-»^2г-1-21(р-1у (х)’
Положим в этой формуле г—a (p—l)—pqm, s=b (р—1)—qm
и произведем замену переменных j—b—k, i=a—mq—l. С учетом
определения 2.2 получим формулу
(j) ^(-l)i+'(b-J, Pj-b-mq-l)^Pa^PJ(x) =
= (1 - ®) 2 (-l)e+< (a - mq - i, pi - а) ?Ра+ь_<Р{ (x) -
I
- 2 (-l)“+< (a-mq-i, pi-a- IJ/P^P, (x).
Опять условие a pb исключает возможность появления одних
и тех же членов в обеих частях равенства. Предположим, что
q—2b—2pi, f>0. Тогда (b—j, pj—b—mq—i)=0 при j =£ b.
В правой же части равенства (j) мы имеем	(®)=0, за
исключением случая р* > pi—а, когда (а—mq—i, pi—a)=
—(pi—a, а—(р—1) Ь—i+(p—1) pt)=(pi—a, a—(p—1) b—i), и
P*Palt f3P( (z)=0, за исключением случая p* ^pi-a-i, когда
(a—mq—i, pi—a—l)=(pi—a—1, a— (p—1) b—i-]-(p—1) У)=
= (pi—a—1, a—(p—1) b—i). Следовательно, из формулы (j) сле-
дует требуемое соотношение (iii) для q=2b—2р* с некоторым
t > 0. Из леммы 4.3 вытекает тогда, что соотношение (iii) спра-
ведливо для всех q. g
Замечание 4.8. Следует отметить для дальнейшего использо-
вания в § 9, что соотношения (f)—(h) и (j), полученные в процессе
доказательства, справедливы для любых целых а и b (без ограни-
чений а >pb или а pb). Фактически эти ограничения на а
и Ь были нужны лишь для того, чтобы одни и те же члены не могли
одновременно входить как в левую, так и в правую части рассма-
триваемых равенств.
§ 5. Переиндексация для когомологий
Наши рассуждения были приспособлены к рассмотрению
гомологий, но соответствующие их переформулировки на случай
когомологий получаются легкой и стандартной заменой обозна-
чений.
8 51
ПЕРЕИНДЕКСАЦИЯ ДЛЯ КОГОМОЛОГИЙ
177
Пусть К — некоторый Z-градуиров энный [Z/p-комплекс,
индексы градуировки которого пишутся вверху, а дифференциал
имеет степень +1. Если ввести в К новую градуировку, полагая
K_J=Kt, то к полученному комплексу можно применить всю
развитую в предыдущих параграфах теорию. Эквивалентно,
можно переградуировать резольвенту W, используя неположи-
тельные верхние индексы, и соответствующим образом перефор-
мулировать теорию. При этом, очевидно, в доказательствах ни-
каких изменений не произойдет. Итак, пусть (К,	оо),
причем в комплексе Кив резольвенте W взяты верхние индексы
градуировки, и пусть х£Ня(К). Тогда D( (ж) = 6* (е-< 0 хр) £
g Hft~l (К), i 0, так что мы можем положить Р* (ж) = Р_, (ж),
а при р > 2: рР8 (ж) = flP_t (ж). В явном виде операции Р* (ж) и
рР’(ж) задаются следующими формулами;
(1)	если р — 2, то
Р8 (ж) = Z>f_, (ж) £ Я9+8 (К), где D( = 0 при г < 0;
(2)	если р^>2, то
Р8 (ж) = (-1)8 V (-3) Я1я_^ (/_м (ж) е	<₽-!’ (К),
₽Р8 (ж) = (-1)8 V (-3) Dlt_2ty	(ж) е Ня™ (К),
где Dt — Q при /<^0, и если д = 2/ — е, е = 0 или l,TO‘v(—g) =
= (- 1У(/п!)\
Разумеется, при р — 2 следовало бы в соответствии со стан-
дартными обозначениями вместо Р* писать Sq8, но мы предпочи-
таем сохранить обозначение Р8. В этом случае и соотношения
Адема, и формула Картана формально имеют один и тот же вид
для р = 2 и р>2.
t Операции Р* и рР8 определены при всех целых s и являются
естественными гомоморфизмами. Для (К, 0)^^(р, оо) и ж£Я9(К)
мы имеем:
(3)	если р = 2, то Р8 (ж) = 0 при s > q и Р9 (ж) = ж2;
(4)	если р>2, то Р8(ж) = 0 при 2s>g, рР*(ж) = 0 при 2 s ^q
и Р8(ж) = жр при 2s —q.
Заметим, что не утверждается, что Р8(ж) = 0 при з<^0 или что
Р°=1; эти формулы, вообще говоря, неверны. Если (К, 6) — уни-
тальный объект, то Р8(е) = 0 при з=/=0. Если (К, 0) — р-приве-
денный объект, то
(5)	рР8-1 = зР8 при р = 2 и рР8 есть композиция операции Р8
и гомоморфизма Бокштейна р при р > 2.
12 Н. Стинрод, Д. Эпстейн
178
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Внешние формулы Картана имеют теперь вид
(6)	<+'='
₽Ps+1 (х 0 у) = _ 2 , (₽Pi+1 (х) 0	(у) +
+ (-l)deg * pi (ж) Q ррА1 (<,)).
Кроме того, аР* = Р*а и арР’ = —₽Р’о; конечно, и теорема Кудо
о трансгрессии (особенно в части (ii)) приобретает более привыч-
ный вид при использовании верхних индексов градуировки. Соот-
ношения Адема, переформулированные в терминах операций Р’,
принимают такой вид:
Следствие 5,1» Для всех классов когомологий всех адемов-
ских объектов категории %>(р, оо) выполняются следующие соот-
ношения между операциями Ря и iiPs:
(i)	если р^2 и a<^pb, то
^papb = 2 (—1)вИ (а — pi, (р — 1) b — а 4- i — 1) реР“^-<р/,
где е = 0 или 1 для р^>2 и е = 0 для р — 2;
(ii)	если р^>2, a^pb и е = О или 1, то
ps'P“pp» = (1 — е)2(— 1)““ (а — Pi, (р — 1)b — a-j- i — 1)рр^р* —
— 2 (—1)“+< (а — Pi — 1, (Р — 1) Ь — а 4- i) peP»+*-*pP*
%
(здесь использованы фиктивные обозначения: р°Р’ = Р®, р1Р’ = рР®).
Хотя два вида соотношений Адема, данные в теореме 4.7
и в следствии 5.1, полностью эквивалентны, на практике они при-
меняются существенно по-разному. Соотношения из теоремы 7.4
применяются к операциям на гомологиях положительных комп-
лексов с а, Ъ 0; но условие а, Ь 0 в теореме 4.7 соответствует
условию а, b 0 следствия 5.1, которое относится к операциям
в когомологиях си, Ъ 0. По этой причине алгебра операций
Дайера—Лашефа, действующих на гомологиях бесконечных про-
странств петель [17], представляет собой существенно иной
алгебраический объект, чем классическая алгебра Стинрода.
§ 6. -умножения, операции Браудера
и высшие гомоморфизмы Бокштейна
В этом параграфе мы обсудим ^-умножения, а также не-
которые другие двухместные гомологические операции, перво-
начально введенные Браудером [4]; эти операции появляются
в тех случаях, когда определено „-умножение и отсутствует
оя+1-умножение. Они играют основную роль при изучении гомо-
§ 6]
-УМНОЖЕНИЯ, ОПЕРАЦИИ БРАУДЕРА
179
логий n-кратных пространств петель. Кроме того, мы докажем
один очень полезный результат (предположение 6.8) о высших
гомоморфизмах Бокштейна. В § 10 мы покажем, что этого резуль-
тата достаточно для того, чтобы дать полное вычисление mod р-
когомологической спектральной последовательности Бокштейна
пространства К (л, п) для любой абелевой группы к и любого
простого рЛ
На протяжении всего параграфа А будет обозначать коммута-
тивное кольцо, к — циклическую группу порядка 2 с образующей а,
а ТУ — стандартную Ал-свободную резольвенту кольца А. Согласно
определению 2.1 (i), мы можем считать, что для объекта (К, 0)
категории (к, п, А) ограничение отображения 9 на подмодуль
е0 ® К 0 К совпадает с имеющимся на К умножением.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Пусть (А, 0) — объект категории Яо(л, п, А).
Для элементов х £ Kq и у £ Кг и числа i с 0 I п положим
ж<у<у = (—1)<(’+1)/29(е< ® о;0 у). Ясно, что о0 есть просто данное
умножение в комплексе К, а для г>0 отображение А®
0 К -> К является цепной гомотопией степени i между отобра-
жениями и (—I)*-1т. е.
(i) d(x ^у) = (-1)' d (ж) ^у + (-l)i+’ х ^fd(y) +
+ X ^{_гу + (—1)<+’г у ^_хж.
Если А — Z/2 и х £ Kq — некоторый цикл, то Р{ {ж} = Dt {ж} =
= {жч>(ж}, что в случае когомологий приводит к данному Стинро-
дом [23] первоначальному определению стинродовских квадратов.
Приведем теперь определение операций Браудера для объек-
тов (К, 0) категории (л, п, А). Положим Д< = а-]-(—1)*£Ал.
Тогда d (ef) — Д A-i, t 1, в резольвенте W.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.2. Пусть (А, 6) — объект категории ^(л,
п, А), п со; рассмотрим элементы x(*Hq(K) и у(*Нг(К). Заме-
тим, что, если а и b — циклы, представляющие классы х и у соот-
ветственно, то элемент Дя+1еи 0 а ® 6 является циклом в WM 0 К2,
гомологический класс которого Дя+1ея 0 х 0 у зависит только от
ж и у. Определим элемент Хя(ж, у) £ Нq+r+n(K) формулой
К	У) = (—1)”’+1 (дв+1ев ® х 0 у).
Отметим, что при этом нам не пришлось обращаться к эквива-
риантным гомологиям; разумеется, мы можем это сделать и полу-
чить в комплексе Ww 0ЯА2 формулу
(—1)Я2+1Дя+1ея 0 а ® & = (-1)”’+Ч 0) а 0 b -	6 ® а.
Таким образом, класс \(ж, у) представйм циклом (—х
12*
180
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭИ
В следующем предложении собраны основные из простейших
свойств операции Хв; свойства эти немедленно следуют из опреде-
ления.
Предложение 6.3. Пусть (К, 0)^^(л, п, А), п<^со. Рас-
смотрим отображение кя: Н{ (К) X Нг (К) -* Hs+r+n (К).
(i)	Отображение Хя индуцирует гомоморфизм
Яд(А)0Яг(А)^Яг+г+„(А).
(ii)	Для любого морфизма f: К ->К' в категории (л, п, А)
(iii)	Если морфизм 0: Ww 0 № -> А является ограничением
некоторого морфизма О': iF'"+1,0№->#, то Хя = 0.
(iv)	Если п = 0, то Х0(ж, у) = ху— (—1),гух.
(v)	Если (К, 9) — унитальный объект и ограничение морфизма О
на Wm 0 (е0 0 К -ф- К 0 е) гомотопно морфизму 8 0 ср, где ср —
умножение на К, то \(х, е) = О = Хв(е, у).
(vi)	кя(ж, £/) = (—l)«r+i+B(?+r+i> Хя (у, х),и если 2 = 0 в кольце Л,
то кя(ж, ж) = 0. |
Заметим, что для четных п -j- q из (i) следует равенство
2кв (ж, ж) = 0.
Операция Хя удовлетворяет следующему аналогу внешней фор-
мулы Картана.
Предложение 6.4. Пусть {К, 0) и (L, О') — объекты кате-
гории ^(л, п, A), n<^oo,u А — поле. Для х£На(К), х' £НГ(К),
y(*H'(L) и y'£Ht(L) справедлива формула
Ъ(?®У, х'®у') =
— (—1)г(,+я)жж'0Хв(г/, /)-|-(—1)*и+г+”’Хя(ж, х’)®угу.
Доказательство. Пусть циклы а, а', Ь, Ъ' представляют
соответственно классы гомологий ж, ж', у, у'. Положим с —
= (—1)в(?+>)+15(Дв+1ея0 а 060 а'0 6'), так что цикле представ-
ляет класс Хв (ж 0 у, х' 0 у'). Из формулы (1) определения 1.2
п
получаем ф (ев) = 2 е,- ® ^еп-з € И7, и из определения морфизма 9
У=о
следует, что
с = 2 (—1)г‘+’>(1+г+г)-Яг+'-) б (е 0 а 0-а') 0 0'	-
у=о	7
— S (—1 )”** (р+4’"?(8+г) 0 (аеу 0 а 0 а') 0 0' (ау+1е„_у 06 06').
§61	v с УМНОЖЕНИЯ, ОПЕРАЦИИ БРАУДЕРА	181
Положим
е == 2 (_1)г«+мг+«-(у+1) (1+г> в (е 0 а 0 а') 0 в' (а^ , 0 & 0 &').
>=i
Непосредственное вычисление показывает, что
с 4- d(в) = (—1Г “+я)+вя+я6 (еа0 а 0 а') 0 в' (Д„А 0 Ь ® V)
+ (-1 )*	(Д^ 0 а 0 а') 0 6' (а"+Ч 0 Ь 0 V).
Так как при п > 0 алгебра L гомотопически коммутативна, то
для любого п класс 0' (ая+1е0 0 Ъ 0 V) представляет цикл (—1)**уу',
откуда и следует утверждаемый результат, g
Докажем теперь, что операция Х„ коммутирует с надстройкой.
Предложение 6.5. Пусть (К', 0')€<^(тг> « + 1, Л), (^*>
(^(гс, п, Л), К — некоторый Л-комплекс и f: К'-+К., g: К ->
^К"— морфизмы комплексов, такие, что gf — Q. Рассмотрим
подкомплекс
К _ -jy tn+l) 0 f	Зу<»+1) 0 / (£') 0 к W(n> 0 К2
комплекса W (g) К2, где Иг(я+1) = Ww -f- Лея+1 (при этом ае^ ф
({< РЙ(я+1’). Предположим, что задан п-морфизм 6:	такой,
что коммутативна диаграмма
W(я+1) 0 К' 0 К' К -3®£®±> Wm 0 /Г 0 2Г
I 9'	I 9	I 9»
+	I	4
К' --------------> К -------------> 2Г
Тогда для любых х, y(*kerft справедлива формула
у) = К(°х, 0^)6cokerg,.
Доказательство. Пусть циклы а! f K'q и Ь' £ К'г представ-
ляют классы х и у соответственно. Положим a = f(a'), b = f(b')
и подберем такие элементы и £ Kq+1 и v £ Kr+l, что d (и) — a, d (у) = Ъ.
Определим элемент с^К равенством
Прямое вычисление показывает, что
d (с) = е»+1 ® а ® 6 + (—1)"+гГеп+1 ® b 0 и = (—1 )я Д^^ 0 а 0 Ь.
Таким образом,
(_!)<«+!)/0' (Д^е^ 0 а' 0 V) = (-!)««>	(с),
182
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
И
(-1)<я+п (S+1) g0 (с) =	(Дя+А ® g (U) 0 g (U))>
в силу коммутативности нашей диаграммы, откуда и следует тре-
буемый результат, g
Аналогом соотношений Адема для операций Браудера является
следующее тождество Якоби: пусть х£Hq(К), yf>Hr(L), z£Ht(K);
тогда при соответствующих предположениях
(-i)(*+n'™K&	2)) + (__1Г+»нг+юХя(гл Хя(г> ф)) +
+ (_1)(.+»)(г+»)Хв(г> Хя(а:> у)) = 0
и, если 3=0 в кольце A, a q-\-n нечетно, то Хя (х, Хя (х, х))=0.
Мы опустим доказательство этого факта, так как для случая
гомологий (гё-М)-кратных пространств петель его можно устано-
вить при помощи более простых геометрических рассуждений.
Тождество Якоби и тождество (vi) из предложения 6.3,
рассматриваемые как аксиомы, приводят нас к понятию Хя-ал-
гебры, обобщающему понятие алгебры Ли (Х0-алгебры). Суще-
ствует также понятие ограниченной Хя-алгебры, играющее важную
роль в приложениях. В нашем общем алгебраическом изложении
операция ограничения уже появлялась для случая A=Z/2 в связи
с последней операцией Стинрода, действующей на объекте
(К, 9) £^(2, п). Следующее дополнение к предложению 2.3
устанавливает некоторые свойства этой операции, которые по-
надобятся нам при изучении («+1)-кратных пространств петель.
Предложение 6.6. Пусть (К, 9) 6^(2, п). Положим £„=
= Рг+я: Нг/К)^Н^п{К). Тогда
(О U®+y)=U®)+Uy)+4(®,
(ii) если (К, 9) является 2-приведенным объектом, то
& (®) = (д -Ь » — 1) Р,^ (*)+хя (х, ₽х).
Доказательство. Чтобы доказать (i), выберем циклы
а и Ь, представляющие соответственно классы х и у. Тогда в комп-
лексе К2 имеем (af'+b)2=a2!+b2+Д^аЬ и добавочный член
Дя+1 еп<£)а<£)Ь дает указанное отклонение от аддитивности отобра-
жения $я. Утверждение (ii) легко следует из доказательства
утверждения (v) предложения 2.3. g
Теперь мы свяжем операции Хя с операциями Бокштейна на
группах Н (К), где (К, 9)^^’(тс, п, Z/p) есть /^-приведенный
объект. В противоположность операциям Стинрода высшие опе-
рации Бокштейна все достаточно интересны.
Предложение 6.7. Пусть (К, 9) (^(m, п, Z/p) являетсяр-при-
веденным объектом, и пусть х, у £ Н (К), причем deg x=q. Пред-
положим, что высший оператор Бокштейна *) определен как
>) По поводу высших операторов Бокштейна см. [6*]. Там же имеется
информация о спектральной последовательности Бокштейна. — Прим, перев.
§ 6]	-УМНОЖЕНИЯ, ОПЕРАЦИИ БРАУДЕРА	183
на х, так и на у. Тогда он определен и на элементе \ (х, у), при-
чем по модулю неопределенности имеет место формула
₽г(х»(®» У)) = хя(₽гж. У) + (—IHM®» ₽г£/)-
Доказательство. Пусть (К, ty = (K <g)Z/p, 9 0 Z/p). Выбе-
рем а, b £ К так, чтобы их р-редукции а, Ь представляли соответ-
ственно классы х и у. Существуют такие а', Ъ' £К, что d(a)=pra'
и d(b) = prb'. Тогда р-редукции а' и 5' циклов а' и Ь' представ-
ляют соответственно классы ргж и ргг/. В комплексе Ж1”’ 0 К2
имеем
* (Дя+А 0 а 0 Ь) = (—1)" рг^е„ 0 (а' 0 6 + (—1/ а 0 Ь').
Применяя редукцию по модулю р и проверяя знаки, получаем
требуемый результат.^
Как ни странно, следующий фундаментальный результат не
был отмечен в литературе, хотя, по-видимому, хорошо известен.
Он дает возможность полностью вычислить mod p-гомологиче-
скую спектральную последовательность Бокштейна пространства
QX. — Иш 2И5"Х для любого пространства X и, как мы покажем
ниже, mod р-когомологическую спектральную последователь-
ность Бокштейна пространства К (к, п). Вместе с предыдущим
результатом он позволяет вычислить также mod р-гомологи-
ческую спектральную последовательность Бокштейна простран-
ства 2”<$ЯХ, и 1.
Предложение 6.8. Пусть К — некоторое ассоциативное Z-гра-
дуированное дифференциальное кольцо, являющееся плоским Z-mo-
дулем. Пусть, далее, на К имеется такое ^-умножение, что
(a) d (а Ь) = —d (а) b — 1 (—l)de» aao1d(6)-|-
ab — (—l)deg« deg ь ъа>
а в случае утверждения (ii) (см. ниже) справедлива еще и следую-
щая формула Хирша:
(b) ab	с = (—l)de8 ° а (Ь	с) -j- (—l)deg»deg о (а	с) Ъ.
Рассмотрим r-й mod р-оператор Бокштейна рг на группе
Н (K<g)Z/p), рх = р. Пусть У^Н^К^/р). Предположим, что
элемент рг_х (у) определен для г 2. Тогда определен элемент рг (ур)
и, по модулю неопределенности,
(i)	если р = 2иг = 2, то
m М (!/)!/+^Р(У);
(ii)	если р>2 и г = 2, то
т
₽а(ур)=₽(у)ур-1+2 Шя*. Р(у)^"1);
у=1
184
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
(iii)	если р^2 и г >2, то
Мур) = ^-Лу)ур'1-
Доказательство. Выберем элемент bf^K^, р-редукция 5
которого представляет класс у. Мы можем считать, что d (b) = р^а',
тогда элемент а является циклом1), р-редукция которого а пред-
ставляет класс	Очевидно, что
<Z(^)=:pr-12
•=i
и
d (о&р-'	Ь'"1) =	— b^ab*4 mod р^1,
2<i<p.
Следовательно,
(р	\
b” + pr-1 2	= pW1 modpar-».
»=2	/
Если г^З, то 2r — 2> г и (iii) верно. Пусть г = 2. Мы должны
теперь в формуле для d (аЬр-1 Ь<-1) учесть члены, возникающие
в связи с равенством d(b) = pa. Если р=2, то
d (Ь2 -f- 2а± b) = kdb -J- 4а а.
Так как 2-редукция элемента а оха представляет класс Р^р (у),
то отсюда следует утверждение (i). Остался случай р 2. В этом
случае
d (р 2 abr~i j = p^ab^1 -J- р”с -|- р2с',
\	1—2	/
где
с= 2 2
• =2 j=l
с' = 2 c^~i
Используя формулу Хирша и производя раздельную переиндекса-
цию в двух получающихся суммах, находим, что
с= 2 [(ab<’y'1^ib/'1)ab»’-,-ab<,-,(ad,--'-1^lby-1)].
х) Поскольку К — плоский Z-модуль и потому не имеет кручения. —
Прим, перев.
в в]
v {-УМНОЖЕНИЯ, ОПЕРАЦИИ БРАУДЕРА
185
Поэтому, если положить
е = 2	Ь^1),
*57<<<р
ТО
d (в) = —с -I-	2	'-'i (ab(~2 — b^ab*^"1) mod р.
Сравнивая d(e) с с', видим, что
(р	\
Ь* р 2 a^F'i + р2е I =
•=2	/
Р
= р2^1 + р2 2 (> — 1)
*=2
= p?abF'1-|- Р2 2 7 (abp~j 1	abJ 1 — abj~Y ab^ r) mod р®.
7=1
Из этой формулы с учетом определения 6.2 вытекает утверждение
(ii), что и завершает доказательство.^
Разумеется, если К допускает ч-/2-умножение, то члены фор-
мулы (ii), содержащие Хх, равны нулю. Общий результат необ-
ходим при изучении гомологий двукратных пространств петель.
Формула Хирша справедлива для коцепей данного пространства
[29], для цепей на двукратном пространстве петель [8] и для
конструкции, двойственной к бар-конструкции кокоммутативной
алгебры Хопфа. В связи с этой формулой сделаем следующее
замечание.
Замечание 6.9. Пусть р > 2 и К — ассоциативная диффе-
ренциальная Z/р-алгебра с ч>1-умножением, удовлетворяющим
формуле Хирша. Определим отображение <	(К) -*•
Я2<р 2 (К) следующим образом. Пусть ах — представитель класса
х^Н^К). Для 2<i< р положим а#=(1/г) а(
.-1	р-i
Тогда d (а() = 2	11 элемент а = 2 ajav-i является циклом.
7=1	7=1	~
Прямое вычисление показывает, что если {а\ |1 i < р) — не-
которое множество элементов алгебры К, такое, что а[ представ-
ляет класс х и d (а?) = 2 a'ja\-j Для 2^i<^p, то цикл а' =
р-i
= 2 a'ja'p-j гомологичен циклу а. Следовательно, гомологический
У==1
класс цикла а зависит лишь от х, и мы полагаем <(x>F={a).
В приложениях часто оказывается, что для KQfi (р, р—2) имеет
место равенство <хУ=—|ЗР, (х). Крэйне [9] доказал этот ре-
зультат для случая когомологий пространств, получив для
х^Я24+1(Х) формулу <(ху=—РР* (х), а Кохмэн [8] установил
186
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
его для гомологий итерированных пространств петель. Общее
доказательство этого результата в рамках нашего алгебраиче-
ского подхода представляется возможным, но, по-видимому,
сопряжено со значительными трудностями.
§ 7.	Категория симплициальных Л-модулей
В этом параграфе мы получим некоторые технические резуль-
таты, которые позволят нам применить развитую выше теорию
к большой категории (е^) симплициальных объектов. Кон-
кретные примеры различных интересных категорий будут рас-
смотрены в следующем параграфе. Мы предполагаем известными
основные определения теории симплициальных объектов и ацик-
личных моделей (см., например, [15, § 1, 2, 28, 291).
Пусть А — некоторое коммутативное кольцо. Обозначим через
и соответственно категории (неградуированных) Л-моду-
лей, положительно градуированных Л-комплексов и симплициаль-
ных Л-модулей. Пусть С:	— функтор нормализованных
цепных комплексов (для К £ комплекс С (К) представляет
собой факторкомплекс Л-комплекса К, рассматриваемого как цеп-
ной комплекс с дифференциалом d=S(—I)4d(, по подкомплексу»
порожденному вырожденными симплексами). Положим (К) =
= Н(С(А)) и Н* (К) = Н {С* (К)), где С* (А) = homA (С (К), Л)—
комплекс с дифференциалом S(f)(A:) = (—1)’+1 f(dk) для f £C9(K)
и к£Сд+1(К). Следующая ключевая лемма основана на идеях
Дольда [7].
Лемма, 7.1. Пусть тг — подгруппа группы Sr и W — Ак-сво-
бодная резольвента кольца Л, у которой 1Г0==Лл с Ait-образую-
щей е0. Тогда для любых объектов Klt ...,	существует
морфизм А-комплексое
Ф;	...®	...®С(АГ).
естественный по К{ и обладающий следующими свойствами:
(i)	для любого а л коммутативна диаграмма
ф
W®C{K1X ... ХАГ)---------->W®C(KJ® ...®С(КГ)
<т	9
. W ® С (К, (1, X. • • X ка (г))	W ® С (К, (1)) ®... ® С (К, (г))
(ii)	ограничение морфизма Ф на W ®С0(К1Х ••• Х^г) является
тождественным морфизмом;
(iii)	Ф (е0 ® ki ® ... ® kr) — е0 ® Цкг ® ... ® kr), где kf £ Kt
§ 7]
КАТЕГОРИЯ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ А-МОДУЛЕЙ
187
суть j-мерные симплексы и С (Kr X • • • X Кг) С 0 ...
... 0 С (Кг) — отображение Александера—Уитни;
(iv)	Ф(И70Су(^1Х..-Х^г))С
Кроме того, между любыми двумя морфизмами Ф с такими
свойствами имеется естественная эквивариантная гомотопия.
Доказательство. Так как (К X £)у = К}- 0 L}., то фор-
мулы (ii) и (iii) имеют смысл. Положим Л}. = С(Кх X...XKJ
и Bj = [С (Кг) 0 ... 0 С (Кг)]у. Мы построим отображение Ф на
И7< 0 Лу индукцией по i и — при фиксированном i — индукцией
по j. Формула (ii) позволяет определить Ф для j — 0 и для всех ь
а формулы (i) и (iii) определяют Ф для 1 = 0 и всех j. Теперь
рассмотрим i 1 и / ^ 1 и предположим, что отображение Ф опре-
делено для г'<^г, а также для рассматриваемого! при ]' <Ц.
Выберем какой-нибудь Ал-базис {u>fc} модуля W*. Достаточно
определить Ф на элементах вида ю^х с w £ {юк} и х £ AJy так
как тогда Ф однозначно продолжается на весь модуль W( 0 Aj
в силу (i). Обозначим через АД [у] свободный симплициальный
A-модуль, порожденный стандартным симплициальным /-симплексом
[15, стр. 14]. Очевидно, что функтор wfg)Aj представйм г-кратным
декартовым произведением АД | j]r и что комплекс W 0 В (АД [/]’)
ацикличен. Тогда элемент Ф(ю0 Ду 0 ... 0 Ду) можно опреде-
лить, подобрав такую цепь, граница которой равна Фй («? 0 Ду 0...
... 0 Ду), после чего на любом элементе w 0 kx 0 ... 0 kr значе-
ние отображения Ф однозначно определяется в силу представи-
мости. При этом, очевидно, условия (i) — (iii) выполнены, а спра-
ведливость условия (iv) следует из того, что Сй(АД[/]) = 0 при
k~j>j. Столь же просто доказывается и то, что любое такое ото-
бражение Ф единственно с точностью до естественной эквивариант-
ной гомотопии, |
Замечание 7.2. Определим отображение Ф; W 0 С (Ах) 0 ...
... 0 С (Кг) -> И7 0 С (Ах X • • • X Кг) формулой Ф = 1 0 т), где тр
С (KJ 0 ... 0 С (Кг) -> С (Ах X • • • X К,) — тасующее отображение.
Так как ц в отличие от £ симметрично по своим переменным, то Ф
эквивариантно. Несложное рассуждение, использующее технику
ацикличных моделей, показывает, что композиции ФФ и ФФ экви-
вариантно гомотопны соответствующим тождественным отображе-
ниям.
Мы будем интересоваться только случаем, когда К^ = . . .=КГ.
Тогда Ф: И70С (Кг) —>Ил0(С (К))г является естественным мор-
физмом А «-комплексов. Рассмотрение общего случая понадоби-
лось нам для того, чтобы в доказательстве леммы можно было
188
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
воспользоваться представимостью функторов Aj. Теперь,
отправляясь от объектов определяемой ниже категории
мы используем Ф для построения диагональных аппроксимаций
и тем самым для перехода к введенной в п. 2.1 подкатегории
(тс, со, А) категории (тс, оо, А).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.3. Определим категорию следующим
образом. Ее объекты — это пары (A,Z>), где К £ а Z>:
К -+К хК — такой морфизм в категории o/W, что (2)Х1) =
=(1ХР)Р и tD=D, где t (х0у)=у0х. Морфизмы /:
(К, D) -* (К', D') в категории это такие морфизмы /:
К -> К' в категории gF’cjZ, для которых (fXf)D—D'f.
Каждый объект К £ обладает ' канонической диагональю
D (к) = к & к, поэтому вкладывается в категорию как
полная подкатегория. Заметим, однако, что объекты К £ могут
обладать и другими интересными диагоналями. Например, если
К — симплициальная кокоммутативная коассоциативная А-коал-
гебра, то коумножение ф: К -> К X К является допустимой диа-
гональю, так что (К, ф) £ Следующие далее замечания будут
использованы при изучении относительных и приведенных когомо-
логий.
Замечания 7A. (i) ПустьLqK — пара объектов категории
Положим ЯДА, Я) = Я(С(А/£)) и Н*(К, L) = Н (C*(K/L)). Если
(A, D) £ JiW и комплекс D (А) содержится в L X К -ф- А X L, то
А/L допускает диагональ D, индуцированную композицией А-Д
-> К X К A/L X К/L, где я: К -* К/L — проекция, а значит «
является морфизмом в категории
(ii) Пусть А.= АД [0] £ Тогда Ая = Ддлявсех п^О, все
операторы и суть тождественные отображения С (А) = С0(А) = А.
Превратим А в объект категории снабдив его канонической
диагональю. Объект (A, D) категории называется униталь-
ным, если заданы мономорфизм v: А -> А в категории и эпи-
морфизм е: А-»А в категории такие, что ev = l и (еХ1)О=
= (1Х е) D (где Ах К — К — К X А). Если (A, D) — унитальный
объект, то К = v (Л) © ZA, где ZA = кег е, и для любого k £ ZA
имеет место формула D (к) = к 0 v (1) -ф- v (1) 0 к тф- D (к), где Щк) £
£ ZA X IK- Очевидно, что объекты (ZA, D) и (А/vA., D) катего-
рии изоморфны.
Если (A,	то С* (К) является ассоциативной диффе-
ренциальной А-алгеброй с '^'-умножением, определяемым как сле-
дующая композиция:
а	е*	п*
(1)	С* (К) О С* (К) [С (А) 0 С (A)]* -U с* {К х К) -> С* (К).
Здесь а — очевидное отображение, (а (х 0 у)) (к&}1) = (—l)degydegfc
Хх(к)у(Г), a £ — отображение Александера—Уитни. Если (К, D) —
§ 7]	КАТЕГОРИЯ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ А. МОДУЛЕЙ	189
унитальный объект, то алгебра С* (К) является унитарной (с еди-
ницей в*) и пополненной (с аугментацией v*).
Теперь мы определим некоторый функтор Г; ->^®(л, со, А)
и покажем, как использовать его для применения нашей общей
теории к когомологиям Н*(К) объекта (A, Z>) категории при
А = Z/p.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.5. Пусть (A,	Будем обозна-
чать тем же символом D итерированную диагональ К -> Кг. Рас-
смотрим группу я с2г и Ал-свободную резольвенту W кольца А
с Wo — Ал. Определим отображение A: IV 0 С (К) С (К)г как
композициюг)
(2)	Д: W 0 С (А) -4- W 0 С (Ar) W 0 С (К)г С (К)г.
Пусть далее а: С* (К)г -> [С (A)rJ* — очевидное отображение; опре-
делим Ал-морфизм 6: W 0 С* (К)г -> С* (К) формулой
(3)	9 (ш 0 X) (к) = (—l)degwdeg^a ф Д (ц, 0 /с), ю £ W,
х£С*(К)г, к^С(К).
Проделав эту конструкцию для случая л — Sr, получим аналогич-
ное отображению 9 отображение V 0 С* (Кг) -> С* (А), композиция
которого с отображением /01: Ил0С*(А)г-> V0C*(A)r гомо-
топна исходному отображению 9. Поэтому последнее удовлетво-
ряет условию (ii) определения 2.1. Тогда из формулы (3) с учетом
леммы 7.1 получаем:
(4)	9 (е0 0 х) = Z?*£*a (х) для ®(<С*(А)Г,
(5)	9(ш0х) = е(ш)Z?*a(ж) для ®^С°(А)Г и w£W.
Из (1) и (4) следует, что отображение 9 удовлетворяет усло-
вию (i) определения 2.1, а так как оно естественно относительно
морфизмов в категории то получим контравариантный функ-
тор Г:	(л, оо, А), положив Г (A, D) = (C*(K), 9) для
объектов и Г (/)=€’*(/) для морфизмов. ^Из (5) следует, что если
(A, D)—унитальный объект категории	то Г (A, D)—унитальный
объект категории (л, со, А). Если А = Z/p, группа л является цик-
лической группой порядка р и (A, D) = (К 0 Z/p, D 0 7/р),^где А —
некоторый Z-свободный симплициальный Z-модуль, то условимся
выбирать морфизм 9 для объекта (A, D) так, чтобы он был р-ре-
дукцией морфизма 9 для .объекта (A, -D); в этом случае объект
Г (A, D) будет р-приведенным (так как С* (А) является Z-свобод-
ным и, следовательно, Z-плоским модулем, как и требуется в опре-
делении 2.1).
Заметим, что для любого (A, D)f<&as& определение 6.1 позво-
ляет нам конструировать о^-умножения на С* (А). В случае1А=г/р,
х) В которой Ф — отображение из леммы 7.1. — Прим, перев.
190
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
очевидно, результаты предложения 2.3 можно применить к опе-
рациям Стинрода Р*, действующим на когомологиях объектов
(К, D) £ ^5^. Если (К, D) и (L,	— два объекта категории
то К XL обладает диагональю D = (1 XiXl) (DxD'); при этом,
если D и D' — канонические диагонали, то и 5 тоже. Таким
образом, определен объект (С* (KxL),	оо, А). В сле-
дующей лемме сравнивается объект (С* (KXL), 6) с объектом
(С* (А) 0 С* (L), 6); из нее будет следовать применимость внешней
формулы Картана к операциям на группе H*(KxL) в случае
А - Z/p.
Лемма 7.6. Для любых объектов (К, D) и (L, D') категории
диаграмма
W®C\KxL)r-----------?---->C*(KXL)
i ® ($*)г 111 ® (ч*)г	е*| 1 ч*
I i	I 4
W ® [С* (К) 0 С* (L)Y —с* (К) 0 С* (L)
А.’п-гомотопически коммутативна, т. е. ч\ и Г являются морфиз-
мами в категории со, А).
Доказательство. Из определений отображений 9 и 0 =
= (9 0 0) (1 0 i 0 1) (ф 0 t/) вытекает, что достаточно доказать
Ате-гомотопическую коммутативность диаграммы
W 0 С (К х L)-----------	®--------> С (К х L)r
ф I	I
1®”! j I 1®$	Цг рг
W 0 С (К) 0 С (L) С(А^А)(1|^<®1)(Ф®1®12. [С (К) 0 С (L)]r
Поскольку (1 0Z) 0 1 0 D') (1 0i 0 1)(ф 0 1 0 1) = (1 0f 0 1)о
о(ф0 1 0 1)(1 0Z)0Z)'), то, если мы положим <р = (е01)Фи
обозначим через и: KrxLr -*XKX.L) очевидное тасующее отобра-
жение (так что D = u(DXD')), наша диаграмма примет вид
W®C(Kx£) *®(ДхД> W®C(KrxLr) ^-W®C([XxL]r) —С(«х/У
1*5
1®Г] 1®Е,	1<эц
W® cm ®C(L>	W®C(K'-)®C(lr)My8tpHla-1[С(К )®C(L)]r
Коммутативность левого квадрата следует из естественности
отображений 5 и т). Так как в правый квадрат диагональные
отображения не входят, то мы можем доказать его Ал-гомотопи-
ческую коммутативность, используя, как и выше, рассуждения
с ацикличными моделями, — заменив при этом модули Кг и L7
модулями КГХ ... ХКГ и LyX ... XLr, с тем чтобы при фи-
§ 7]
КАТЕГОРИЯ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ А-МОДУЛЕЙ
191
ксированном иметь дело с областью определения соответ-
ствующих представимых функторов. Для нульмерных симплексов
и любых w £ W эта диаграмма коммутативна, а для е0 £ W и про-
извольных симплексов она А-гомотопически коммутативна,
в силу стандартных соображений теории ацикличных моделей.
Это дает начальный шаг для индуктивного построения желаемой
гомотопии; остальная часть доказательства проводится точно
так же, как в случае леммы 7.1.
Следствие 7.7. Если (К, D)£^orf, то Г (К, D)— карта-
новский объект категории ^’(к, со, А).
Доказательство. Так как диагональ В: К-ъ-Ку К неком-
мутативна и коассоциативна, то она является морфизмом 'в кате-
гории Следовательно, соответствующее ч>-умножение (1)
будет морфизмом категории (тс, со, А), что’и утверждалось, и
Лемма 7.8. Пусть (К, В) — объект категории u А = Z/p.
Тогда Г (К,*Выявляется"адемовским объектом категории Яо (р, оо).
Доказа’тельство. Достаточно доказать, что, в обозначениях
определения 4.1 (с Уо = (Z/p) S^), следующая диаграмма (Z/p) 't-гомо-
топически коммутативна:
w1®wp®<;*wp,--^*y®c*(/c),\ а
1®и
W.® (W.® С‘(К)Р)Р-^ W.® С*(К)Р
16	1
Все отображения 0 — такие, как в определении"7.5; по двойствен-
ности достаточно установить (Z/p) t-гомотопическую коммутатив-
ность диаграммы
W^W^C^K) Y®C(K) --------------С(К)р'.
Ь®1	н
WP 0 О с (Я).:-Л w% ® с (Ку (w2®c(кур
Пусть ср = (е 0 1) Ф. Положим а = ср (w 0 1): И\’0 W% 0 С (К?) ->
-> С (К)р\ Так как Д = ср (1 0 В), то Д (и> 0 1) =‘а (101® В), где
В: С (К) -> С (К?*) — итерированная диагональ. В силу естествен-
ности морфизма <р, следующая диаграмма коммутативна:
Wt®WP®C(K) W2₽®W|®C(KP)^-wf®C(/O₽-^-W2®C(K))P
|®1®0
1®1®а
1®ар
(1®а)р
W1®W2P®CfSp2)-^	'-^~WP®CH(P)P— - IW.,®CIKP))P
192
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Положим р = ч>'Я (1®<р) (txl): W^W^tC {К?'У> С {Ку'. Из
коммутативности приведенной выше диаграммы следует, что
b?U (l-f-Д) (ТХ1)=В (1010Р). Поэтому достаточно доказать
т-гомотопность морфизмов аир. Так как эти морфизмы не со-
держат в своем разложении диагоналей, то требуемую гомотопию
легко можно построить методом ацикличных моделей точно
так же, как это делалось раньше. 0
Следующая теорема суммирует свойства операций Стинрода,
верные для всех объектов категории с A=Z7p. Разумеется,
мы будем пользоваться' обозначениями § 5, поскольку имеем
дело с когомологиями.
Теорема?.9. Пусть (К, D) f	uA=Zlp. Тогда существуют
естественные гомоморфизмы Р*, а при р >2 и рР*, определенные
на каждой группе Ня (К); при этом deg P'—s при р=2 и
deg (p’P*)=2s {р—1)—|—е, где е=0 или 1, при р>2. Эти когомо-
логические операции обладают следующими свойствами:
(i)	р’Р* = 0, если s < 0, или если р — 2 {так что е = 0) и s q,
или если р^>2 и 2s-f-e^>g;
(ii)	Р* (ж) = я’, если р = 2 и s = q; Р* {х)~ хр, если р>2 и
s = 2q;
(iii)	если {К, D) = {R 0 Z/p, D 0 Z/p), где R — некоторый
Z-свободный симплициальный модуль, то рР*'1 = sP* в случав
р = 2, а в случае р^>2 операция рР* есть композиция гомомор-
физма Бокштейна Р и операции Р";
(iv)	на группе
P* = SP*-,0P< и рР’ = 2(рР,0Р'-, + Р,0рР'"');
на группе Н* {К) операции Р* и рР* удовлетворяют внутренней
формуле Картана;
(v)	если f: К' -> К и g: К -+ К” — такие морфизмы категории
что gf = 0, то ар*Р* = (—1)’ Р’Р'а, где а: Я» ()Г) — Я»’1 {К'} —
надстройка, ассоциированная с композицией С* {К”\ -» С* {К) ->
-*С*(Г);
(vi)	если LCK и D(L)(ZLxL. то 8р’Р* = (—1)’р’Р*8, где
№НР (L) -> Ht+1{K, L) — связывающий гомоморфизм;
(vii)	операции Р’Р* удовлетворяют сформулированным в п. 5.1
соотношениям Адема.
Доказательство. Чтобы доказать свойство (i), нам надо
проверить, что Р’Р* = 0 при s < 0 (все остальное вытекает из
того, что е{ = СГпри I < 0). Из формул (1) и (2) § 5 следует, что
достаточно установить, что D,(x) = 0 при ij>(p—l)q, где
deg® = g. Согласно формуле (3) определения 7.5, для этого
достаточно показать, что Д(^0А:) = О для k £Cpq_t (К). Но Д =
= (е 01) Ф (1 0 Я), и поэтому, в силу леммы 7.1 (iv), при
i>(P~ 1)9
Ф(е<0ЩА:))€ S И^0 [С (Я)]? С кег (в 01).
§ 8}
СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
193
Утверждения (ii) и (iii) следуют из предложения 2.3, а утверж-
дение (iv) — из следствия 2.7, леммы 7.6 и следствия 7.7;
утверждения (v) и (vi) вытекают из теоремы 3.3 с учетом того
замечания, что надстройка, ассоциированная с последователь-
ностью С* (K/L) -> С* (К) -> С* (L), является частичным много-
значным отображением, обратным к связывающему гомо-
морфизму 3; утверждение (vii) следует из теоремы 4.7 и
леммы 7.8.И
Согласно теореме 3.4, к подходящим спектральным последова-
тельностям, включающим объекты категории приложима
теорема Кудо о трансгрессии, и при соблюдении условия (iii)
теоремы 3.4 можно применить предложение 6.8 для вычисле-
ния значений высших операций Бокштейна на р-х степенях
элементов групп Я* (К) с (К, D) В следующем параграфе
мы покажем, как вычислять значения операции Р° на произволь-
ных объектах категории	и приведем нетривиальные примеры,
показывающие, что, вообще говоря, Р° i.
§ 8. Симплициальные множества
и симплициальные ограниченные алгебры Ли
В этом параграфе мы получим операции Стинрода в когомоло-
гиях топологических пространств, симплициальных множеств и
симплициальных ограниченных алгебр Ли, а также вычислим
действие операции Р° на группах Н* {К), где (К, D) £
с А= Z/p.
Пусть — категория симплициальных множеств. Для К £ <£Р
будем обозначать через К свободную симплициальную абелеву
группу, порожденную К. Для любого коммутативного кольца А
определим функтор А: <5° -> (где — категория, описан-
ная в определении 7.3), полагая А (К) — К 0 А и вводя в А (К)
каноническую диагональ D, индуцированную диагональю к -> (к, к)
в К. Взяв композицию функтора А с функтором Г из определе-
ния 7.5, мы получим для любой группы « с Sr функтор ГА: аР ->
->^®(1г, оо, А). Пусть — категория топологических пространств
и 5: £Г — функтор перехода к полному сингулярному ком-
плексу. Введем в рассмотрение функтор ГА«$:	-*е^9(«, 00 > А).
Пусть (К, L) — симплициальная пара. Положим А (К, L) =
= i?/Z®A. Тем самым функтор ГА определен на категории сим-
плициальных пар <^2, а функтор Г A S — на категории пар топологиче-
ских пространств Так как нормализованные коцепи с коэффи-
циентами в кольце А симплициальной пары (К, L) и топологической
пары (X, Y) могут быть определены как комплексы С* {К, L) =
=.С* (K]L'(g) А) и С*(Х, Y) = C*(SX, SY) соответственно, то
результаты предыдущего параграфа применимы к когомологиям
симплициальных и топологических пар.
1/а13 Н. Стинрод, Д. Эпстейн
194
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Всюду далее в настоящем параграфе мы считаем, что А—
=%1р, а тс — циклическая группа порядка р. Используя функтор
ГА: ^2-> е?1 (р, оо), мы получаем операции Стинрода Р*, s О,
на группах Н* (К, L) для всех (К, L) £ ^2 и, следовательно,
на группах Н* (X, Y) для всех(Х, У)£</Г2. Напомним, что при
р=2 операция Р’ обычно обозначается через Sq*. Теорема 7.9
доставляет все стандартные свойства операций Р*, за исключе-
нием свойства Р°=1. Мы покажем сейчас, что на группах
Н* (К, L) и Н* (X, Y) равенство Р°=1 вытекает из ранее уста-
новленных свойств операций Р*.
Предложение 8.1, На группах когомологий симплициальных
(или топологических) пар при р—2 операция Рй является тождест-
венным оператором, операция Р1 совпадает с гомоморфизмом
Бокштейна |3.
Доказательство. Так как |ЭР0 = Р1, если р — 2, то доста-
точно доказать лишь, что Р° — 1. Пусть (К, L)^<S°2 nL^0.
Тогда Н* (К, L) —Н* (K[L, Р), где Р — сингулярный комплекс
точки. Таким образом, достаточно доказать, что Р°(х) = х для
х £ Йп (К) = Нп (К, Р), ибо результат для пустого L следует
отсюда тривиально. Пусть К,п> — n-мерный остов симплициаль-
ного множества К; гомоморфизм Н” (К) -> Н” (Kw), индуцирован-
ный включением Kln> С К, мономорфен, поэтому можно считать
K = KW. По теореме Хопфа [22, стр. 555] существует отображе-
ние /: К -> Sn, такое, что f* (t*) — х, где t* £ Н” (Sn) — фундаменталь-
ный класс симплициальной n-мерной сферы. Следовательно, до-
статочно доказать, что Р° (t*) = i*. Для любого К изоморфизм надст-
ройки S*: Йя+1 (SK) -> Йя (К) может быть определен как композиция
Йя+1 (SK) -> Ня+1 (СК, К)-+ЙЯ(К) (где СК — симплициальный ко-
нус над К) и потому он коммутирует с операциями Р*. Так как
Для всех «>1 и ^°Ьо) — (1о)р— 10 (где 10~ образую-
щая группы Й° (S°) — Z'p), отсюда следует требуемый результат. 
Теперь, используя доказанное для симплициальных множеств
равенство Р° = 1, покажем, как вычислить операцию Р° на группе
Н*(К) для произвольного объекта (К, D) категории Дей-
ствительно, имеет место следующее дополнение к лемме 7.1
в случае, когда W есть каноническая (Z/p) тс-свободная резоль-
вента поля Z/p.
Лемма 8.2. Пусть К{ £	1 i Р, и — некоторый
его q-мерный симплекс. Тогда для любого морфизма Ф: W 0
0 С (Кг X ... ХХр) -> W 0 С (Кг) 0 ... 0 С (Кр), удовлетворяю-
щего заключению леммы 7.1, выполняется равенство
(е О 1) ® (^.р-п О К 0 ... 0 kp) = (-1Г v (-q)-r kr 0 ... 0 kp,
где v(—?) = 1 для р — 2 и v(—2j-\-e) = (—i)J(m\)*, e = 0 или 1,
для p^>2.
СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
195
§ 8]
Доказательство. Пусть — базисный g-мерный симплекс
модуля АД [д]. Так как Д2 является единственной Z/р-образующей
Z/p-модуля С?(ЛД[7]), то, очевидно,
<0 ф(«2<р-1>®	••• 0=
= Тео 0 дг 0 • • • 0 дг mod ker (е 0 1), у £ (Z/p) к.
Из естественности морфизма Ф (или из доказательства леммы 7.1)
с учетом (i) следует, что
(ii) (е X 1) Ф (e,(p_X) 0^0...^) =
= е (т) 0 ... 0 /ср для к( С (К(\
Для вычисления е (у) рассмотрим цикл i2 £ Cq (№), гомологический
класс которого служит образующей группы Hq (№); мы можем
считать, что S9 — Д [?]/Д [д|, поэтому цикл iq является единствен-
ной образующей группы Cq (S’) и, следовательно, имеется одно-
значно определенный коцикл i*£C’(S’), двойственный циклу tq.
Из формулы (ii), определения 7.5 и равенства D (i ) = i, 0 ... 0 i,
следует формула
(iii) 0	0 tjp) (Q - «(^) Г(е 0 1) Ф	0 tf)l = (— 1 Г’ е (?)•
Поскольку Р° {i;)=v (—q) Dq (р_Х)	то v (—q) 9 (e? (p_X) 0 fqp)=i*
Значит, (—l)m®v(—д)®(у) = 1, и наш результат доказан, g
Следствие 8.3. Пусть (К, D)£$e$. Для k£Cq(K) пред-
ставим элемент D(k) в виде1) 2^(1)0 •• • 0 &(?) Е (№) и рас-
смотрим каждый сомножитель klt> как элемент группы Cq(K).
Пусть далее x^Cq{K) — некоторый коцикл. Тогда гомологиче-
ский класс Рй{х) представим таким коциклом у^СЦК), что
у (к) — 2Ж(^(1)) • • • ®(A(?))GZ/p для любого k£Cq(K). В част-
ности, если для каждого k D(k) = Nl £ Кр, где N = 2 ^€(Z/p)«,
то Р° = 0 на Н* (К).
Доказательство. Из формул (1) и (2) § 5 вытекает, что
цикл у — v(—?)9(ву(р_1)0я:;’) представляет класс Р°{х), так что
утверждаемый результат легко следует из определения 7.5 и
леммы 8.2. g
Дадим теперь одно полезное приложение теории, в которой
операции Стинрода удовлетворяют заключению теоремы 7.9 и
Р° = 0. Обозначим через и Ж соответственно категорию огра-
ниченных алгебр Ли и категорию примитивно порожденных алгебр
Хопфа над полем Z/р. Пусть2) F: £	— функтор перехода
к свободной ограниченной алгебре Ли, V:	—функтор
перехода к универсальной обертывающей алгебре и Р: Ж -> £ —
!) См. определение 7.5. — Прим, перев.
2) Напомним, что через erf автор обозначил категорию Д-модулей. —
Прим, перев.
13;
196
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Ди:. И. МЭЙ
функтор, сопоставляющий алгебре Хопфа Н £ Ж ограниченную
алгебру Ли ее примитивных элементов. Согласно одному резуль-
тату Милнора и Мура [13, теорема 6.11], PV{L) = L для и
VPH = Н для Н £ Ж- В силу теорем Витта и Фридрихса [6, тео-
ремы. 7 и ,9, стр. 187, 189], распространенных на ограниченные
алгебры ‘ Ли, если Т {К) — тензорная алгебра модуля К £ <$, то
VF {К) = Т (К) в категории Ж и FK — РТ (К) в категории <2?.
Эти утверждения, очевидно, остаются справедливыми и для кате-
горий ^<2? и <^Ж симплициальных объектов в категориях
es/, <$?, Ж соответственно (см. [15, определение 2.11).
Для дальнейшего нам понадобится следующая алгебраиче-
ская лемма:
Лемма 8.4. Пусть L — ограниченная алгебра Лис аугмента-
цией е: V (L) -> Ир. Положим IV (£)=кег е и обозначим через ф:
V (L) -> V (L)P=V (£)0 . . . 0У (£) итерированное коумноже-
ние. Тогда для любого элемента x£IV (L) найдется элемент
y^V (L)p такой, что ф {x)=Ny.
Доказательство. Алгебра L является факторал-
геброй свободной ограниченной алгебры Ли FK, так что имеет
место эпиморфизм те: FK -> L. Тогда гомоморфизм V (те):
V (FK) -> V (L) будет эпиморфизмом алгебр Хопфа, так что без
ограничения общности можно положить' L=FK. Ясно также,
что модуль К можно считать конечномерным Z/p-модулем. Так
как алгебра Т (К) допускает градуировку, в которой она
связна, то из предложения 4.20 работы [13] следует, что опера-
ция ? возведения в р-ю степень тривиальна на ядре IT (К)*
аугментации двойственной алгебры Хопфа Т {К)*. Из кокоммута-
тивности алгебры Т {К) вытекает теперь, что для х£1Т (К)
имеет место формула ф (а:)=Яу-[-2 z«® • • • ®z<6 Т На-
конец, из тривиальности действия операции $ на IT К* следует,
что г{=0, что и доказывает лемму, в
Дадим теперь кратко некоторые вспомогательные определе-
ния, необходимые для изучения гомотопических инвариантов
симплициальных ограниченных алгебр Ли.
Определим категорию следующим образом: ее объектами
являются пары (L, М), где	и М — ограниченный лиев
идеал алгебры Ли L, а морфизмами /: {L, M)-*-{L', М') — те мор-
физмы /: L-+L' категории <§?Х, для которых /(Л/)сЛ7'. Два
таких морфизма / и g называются лиево-гомотопными, если суще-
ствуют морфизмы h{: Lq-*Lq+1,	ограниченных алгебр
Ли, удовлетворяющие условию ht {Mq) С Mq+1 и тождествам (i)—(iii)
из определения 5.1 книги [15]. Определим гомотопические, гомологи-
ческие и когомологические группы объекта (L, М) £ формулами
(1)	".(Д М} = Я, {LJM)- .
(2) Я. (L, М) = Я. {IV {L/М}) и Я* (L, М) = Я* {IV (L/M)).
§ 81
СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
197
Здесь ЫМ и IV (ЫМ) рассматриваются как симплициальные
Z/p-модули, и их гомологические и когомологические группы,
стоящие в правых частях формул (1), (2), определяются, как
описано в начале § 7. Рассуждения из доказательства предложе-
ния 5.3 в книге [15] показывают, что лиево-гомотопные морфизмы
категории	индуцируют одни и те же морфизмы гомотопических,
гомологических и когомологических групп. В силу теоремы 22.2
той же книги, группы тс* (L, М) и Н* (L, М) являются гомото-
пическими группами соответственно объектов ЫМ и IV {ЫМ),
рассматриваемых как симплициальные множества. При этом
гомоморфизм Гуревича h: тс* (L, М) -> Я* (£, М) можно опре-
делить как отображение гомотопических групп, индуцированное
включением ЫМ -> IV (ЫМ). Так какIV (L/M)=IV (L)/LV(M),
то имеют место естественные длинные точные последователь-
ности для гомотопических, гомологических и когомологиче-
ских групп пар (L, М) £ и гомоморфизм h определяет есте-
ственное преобразование одной длинной точной последователь-
ности в другую. Попутно отметим, что, если алгебра Хопфа
Я* (V (ЫМ)) имеет конечный тип, то Я* (L, М) совпадает
с ядром ее аугментации.
Рассмотрим ограниченную алгебру Ли FASn=F (§п^Т1р),
где Sn — симплициальная n-мерная сфера. Можно доказать, что
для L £ группа тся (L) изоморфна Z/p-модулю лиево-гомото-
пических классов морфизмов FAS’1 -> L и что Я* (FAS’1)
Я* (QS''+1) совпадает с ядром аугментации свободной комму-
тативной алгебры Хопфа, порожденной одной примитивной
образующей степени п.
Наша теория немедленно дает операции Стинрода на группах
Я* (L, М).
Теорема 8.5. Существуют естественные гомоморфизмы Р*
и (при р 2) РР*, определенные на группах когомологий H*(L, М)
объектов (L, M)^<S°^2- Дляэтих операций справедливы все утверж-
дения теоремы 7.9 (с той оговоркой, что предположение утвержде-
ния (iii), вообще говоря, не выполняется) и, кроме того, Р° есть
тождественно нулевая операция.
Доказательство. Мы можем рассматривать цепной
комплекс С* (L, М)=С (IV (L, М)) как объект категории
снабдив его диагональю являющейся приведенным коумно-
жением (см. замечание 7.4 (ii)). Поэтому можно непосредственно
применить теорему 7.9. Равенство Р°—0 вытекает из леммы 8.4
и следствия 8.3. g
В [20|_ Придди дал другое определение групп H*(L) и Н* (L).
Пусть W — определенный Муром [14] функтор из категории
симплициальных Z/р-алгебр в категорию Если А — некото-
рая симплициальная Z/р-алгебра, то имеют место следующие изо-
морфизмы Z/p-модулей: Wo (Л) = Z/p и Wq (А) =	® ... (g) Ло,
198
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Операторы граней и вырождения определяются так же,
как в [1.5, стр. 87]. Если	то WV (L) представляет собой
симплициальную некоммутативную коалгебру с коумножением ф,
задаваемым формулой
Ф («г-1 ®	® «о) = 5 (Яд-i ®	® а'о) ®	®	® а”),
где ф(а<)=2а<0а" для a.^V^L). Придди положил по опре-
делению Я# (Ь)=Н* (IW (V (L)) и Н* (L)=H* (IWV (£)), где
IWV (L) рассматривается как симплициальный Z/p-модуль. Для
случая спектров определение Придди отличается от нашего,
очевидно, лишь сдвигом градуировки; согласно его определению,
Н* (FAS”) ^Н* (S”^)=Z/p. Из определения 7.3 и замеча-
ния 7.4 (И) следует, что (С (IWV (L)),ty)(<&e$, поэтому на груп-
пах Н* (L), введенных Придди, тоже действуют операции Стин-
рода, для которых верны утверждения теоремы 7.9 (исключая
утверждение (iii)) и имеет место равенство Р°=0.
§ 9. Двойственные гомологические операции;
теорема Нисиды
Для того чтобы применить развитую теорию к пространствам
петель, а также для того чтобы получить результат, использован-
ный при выводе соотношений Адема в § 4, рассмотрим гомологи-
ческие операции Р*, двойственные к операциям Стинрода
в mod р-когомологиях пространства X. Очевидно, что Н* (Х) =
—Н* (X)*=Homz/p (Я* (X), Z/p)n если Z/р-векторное простран-
ство Н* (X) конечномерно, то Н* (Х)=Н* (X)*. Определим
операции Р’ на группах Н* (X) формулой PS = (P®)*; очевидно,
что это определение корректно, если Z/р-векторное простран-
ство Н* (X) конечномерно. Используя либо рассуждения с пря-
мым пределом, либо следующее ниже предложение, убеждаемся,
что операции Р’ корректно определены и в общем случае. Опе-
рация Р* понижает размерность на s при р=2 и на 2s (р—1)
при р > 2. Из наших результатов об операциях Р* немедленно
вытекают двойственные результаты об операциях Р’. Операции Pj
мы будем писать слева от аргумента, поэтому в композициях,
входящих в соотношения, двойственные к соотношениям Адема,
операции должны быть записаны в обратном порядке (так что
группа Н* (X) есть левый модуль над алгеброй, двойственной
к алгебре Стинрода).
Следующее предложение было использовано при доказатель-
стве леммы 4.6. Формула (2) в его доказательстве по существу
представляет собой данное Стинродом [28] определение опера-
ций D..
Предложение 9.1. Для произвольного пространства X поло-
жим d = Ф (1 0 D): W С, (X)	(Х)р и рассмотрим
$ 9]	ДВОЙСТВЕННЫЕ ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ	19$)
индуцированный гомоморфизм d*. Н* (л; Н* (X)) -> Н* (л; Н* (Х)р).
Пусть х £ Н, (X). Тогда
(i) если р = 2, то
d. (ег 0 х) = 2 er+2fc_, 0 Р* (®) 0 Р* (®);
к
(ii) если р^>2, то
d, (ег 0 х) = v (S) 2 (-1 )* ег+арк_я)	® Р* (ху -
к
- § (Г) V (s - 1) 2 (-1)* е +i2lc_t} (W) 0 (х)рг
к
где v(2/-(-e) = (—1)у(тп!)е и 3 (2;е) = е, ® = 0 или 1.
Доказательство. Можно считать, что Z/р-векторное про-
странство ЯДХ) конечномерно. Вычислим гомоморфизм d*: Н* (тс;
Н* (Х)р) -> Н* (л) 0 Н* (X), а затем двойственный гомоморфизм d*.
В обозначениях леммы 1.3 имеют место изоморфизмы (Z//?) л-моду-
лей Я,(Х)₽^4ф(г/р)л0Яи Я,(л; Я,(Х)')э=Я,(л)0ЛфЯ.
Следовательно, Я* (л; Я* (Х)р) = Я* (л) 0 А* ф В*.
Докажем сначала, что d* (Я*) = 0. С этой целью дадим явное-
описание изоморфизма между В* и гомологиями комплекса
(И7 0Л (Z/p) 0 В)*. Для у£В* определим элемент у £ (W 0Я (Z/p) л 0
0 В)* равенством у (w 0 а*' 0 Ъ) = е (ю) у (Ь) для w £ W, 0 i р,
Ь£В. Ясно, что у является коциклом, и соответствие у -*у устанав-
ливает требуемый изоморфизм. Определим гомоморфизм v: (Z/p) л-»
-*Z/p, полагая v(l) = l и v(a’) = 0, 1 i р, и сопоставим эле-
менту у£В* элемент у £(W 0 (Z/p) л 0 Я)*, задаваемый равен-
ством у (w 0 а* 0 fe) = s (w) v (а*) у (b), где wQW, O^.i<Z.P, bQB.
Очевидно, что у (w 0 a* 0 b) = y(N [m 0 a' 0 bj). Для любых
1(ЯДХ) и id^W цикл Nw0x является границей в комплексе
W 0 Я, (X) (так как d (еа,) — Ne^^ и d (Tp~^eai+l) = Neit в комп-
лексе ГУ), поэтому d* (у) (ш 0 ж) =	(w0x) = gdlt(Nw(^)x).
Таким образом, d* (Я*) = 0.
Вычислим теперь гомоморфизм d* на группе Я* (л) 04. Согласна
определению 7.5, для любых xQHpq_1(X) и yQ Hq (X) имеет место-
формула
(1)	Dt (у) (х) = 0, (е,- 0 ур) (х) = (—!)*« d* (е 0 1)* (ур) (et 0 х)
(в этой формуле для краткости опущен в записи изоморфизм <р-
между тензорным произведением двойственных групп и группой,
двойственной к тензорному произведению).
Пусть — элемент, двойственный к е,-. Тогда (е 0 1)* (ур) =
~w0^>yp, поэтому
d* (и’о ® УР) (е< <0 ®) = (—1)‘г D< (у) (х).
200
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Из определения знака изоморфизма <р следует, что для любого
z£Hpr*(X)
0 z) (в< 0 X) = (—(X).
Сравнивая две последние формулы, получаем
(2)	d* (ш0 0 /) = 2 (-1)' 0 Dt (у).
Чтобы вычислить элемент d* (шу 0 у₽) для / 0, заметим, что
естественный эпиморфизм р: W -»ТУ = ZIp&^W включается в ком-
мутативную диаграмму
d„
W0ЛЯ.(X)--------W®KH(X)”
4>®i I	|<|>®1
4	v
(ту 0 W) 0Л Я, (X) —(ТУ 0 W) 0, Я. (Х)р
р ® 1 ® 1	Iр®1®1
4	4
ТУ 0 (ТУ 0, Я, (X)) —W 0 (ТУ 0Х Я. (Ху>)
(Коммутативность верхнего прямоугольника легко установить мето-
дом ацикличных моделей.) По двойственности получаем, что гомо-
морфизм d* является морфизмом Я*(л)-модулей. Далее, в группе
Я* (тс), в силу формулы (2) из определения 1.2, wjwi — u>i+j, если
р == 2 или произведение ij четно, и w-u>j — 0, если 2 и про-
изведение I] нечетно. С учетом равенства 0 ур) — Wj 0 ур
из формулы (2) следуют формулы:
(3)	если р — 2, то d* (ш, 0 ур) = 2	<0	(у);
(4)	если р>2, то d*(u>y0yp) =
= S	0 °2> (У) ~ 8 (/ -j-1) 2 »2<+i+/ <0 Яа<+1 (у).
Используя формулы (1) и (2) § 5 и производя соответствующую
пере индексацию, получаем из (3) и (4) следующие формулы:
(5)	если р = 2, то {wj ур) =	Рк{у)-,
(6)	если р > 2, то d* {wj ®ур) =
= V (—?)-1 2 (-1)* ^+(p-2fc) (р-1) 0	(У) —
- 8 (j -|- 1) V (-?)-1 2 (—1)*	0 РР* (У).
§ 91
ДВОЙСТВЕННЫЕ ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
201
Перейдем к двойственным формулам. Из равенства d* (В*) = О
следует, что d (Н* (те) 0 Н* (X) С Н* (те) 0 А. Поэтому для X £ Н, (X)
имеет место формула
(er ® ®) = S ег+,-?? ® Ечг (х)р, где Eqr (х) 6 Н{ (X).
Пусть у^Н9 (X). Используя кронекеровское спаривание <( , )>,
получаем
(7)	d,(er^x)y = (-l)^.-3+m^<yi
Так как <Рк (у), я£> = (у, Рк (ж))>, то из (5) следует, что при р = 2
(8) <d*(wr+,_2j0r/2), er®i> = <®r0/”'’(y). ег®®> = <г/, -РГг(®)>-
Следовательно, если р — 2, то Eqr (х) = Ру? (х), что (при к = з — q)
дает утверждение (i). Предположим, что рУ>2. Расписав по фор-
муле (6) элемент d? (wr+t_pq 0 ур), видим, что полученная сумма
лишь в том случае содержит слагаемые, включающие в себя wr,
когда q = s — 2к(р— 1) — е, где А^О, а е = 0 или 1; поэтому
для всех остальных q мы имеем jEr(a:) = O. Для g = s — 2к(р— 1)
из (6) следует формула
(9) <d* (шг+(2„_5) (р_1у 0 у^, ег 0 ху = v (-qy1 (-1)^ <г/, Р* (ф.
В силу (7) и (9), получаем, что, если q = s — 2к(р—1), то
Eqr (х) = (—l)’r+m?v (—qy1 Р* (х); так как (—l)m?v (—qy1 = v (q) = v (s),
это дает нам первую сумму из формулы (ii).
Далее, на основании цепного и коцепного определений гомо-
морфизмов Бокштейна и соглашения о знаках 8(/) = (—l)des/+i/d
в определении комплекса С*(Х) имеем (&у, х)У — (—1)’+1<(у, рф.
Для q = s — 2к(р—1) — 1 из (6) следует теперь формула
(10) <d* (wr+J,+(2j,Jfc_„ (р_„ 0 г/*), er 0 ху =
= 8 (г) v (-qy1 (-1)^<т>+г	рьр
Из (7) и (10) вытекает, что если q — s — 2к(р— 1) — 1, то
Eqr (х) — (—1 )fe+r+n,?v (—qy18 (г) Р*р (ж); поскольку 8 (г) = 0 для чет-
ных г, а (—l)m®v(—дУ1 — ч(д') — у(з—1), ЭТО дает нам вторую
сумму из формулы (ii).
Замечание 9.2. В приведенном доказательстве не использовались
никакие специальные свойства топологических пространств, поэтому
оно содержит фактически вычисление гомоморфизма
d, = Ф, (1 ® Dy: Н, (те; Н* (К)) — Н* (те; Я. (К)р)
в терминах операций Р® и рР® (где операция рР* определяется
формулой (РР*)* = —РР’, если операция рР* не разлагается в ком-
позицию с гомоморфизмом Бокштейна) для произвольных объектов
(К, D) категории
14 Н. Стинрод, Д. Эпстейн
202
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Дадим теперь новое доказательство одного результата
Нисиды [19], который играет важную роль при вычислении дей-
ствия операций Стинрода в гомологиях пространств петель.
Пусть К (71/р, 1) =• Е/п, где те действует собственным образом
на ацикличном пространстве Е; согласно [12, гл. IV, § 11], имеет
место изоморфизм С* (Е) (Z/jo) те 0 С* (Е/п). Пусть а: Е Е/т —
проекция и /: W	— некоторый те-морфизм над полем Z/p.
Для W = Z/p 0кРИ морфизм / индуцирует морфизм /: Ж -> С9(Е/п)
такой, что морфизмы /р и а/ гомотопны между собой, где р: W->W—
каноническая проекция.
Как вытекает из замечания 7.2, следующая диаграмма (где ц—
тасующее отображение) коммутативна для любого простран-
ства X:
W®^C,(X) ------—------* С.(Е)®„С.(Х)-----3——*-С.(ЕX)
d	1<3D	i«D
W®„C,(X)P--------------- С,(Е)% С.(ХР)----3----Хр)
D®1
С.(Е*Е)®Л С.(ХР)
й*1®1
Ф®1
w®w®rt С.(Х)Р
pels!
iv®W®rt C<fflP-T?fflS’fj8T1> С.(E/rt xE) ®л C. {Xp} -J-
o* i
C.(ExExTX/’)
d*] X 1
C,(E/^E^XP)

Рассмотрим гомоморфизм
P, = (Р ® 1 ® 1). (Ф ® 1).: Н, (те; Я, (X)*) "* Н, (те) 0 Н, (те; Н, (X)*).
Так как горизонтальные стрелки индуцируют гомологические
изоморфизмы, то на группах Н* (те; Н* (X)) и Н* (те; Н* (X)*)
действуют операции Стинрода Pl, коммутирующие с и р-*.
В приводимой ниже теореме 9.4 гомоморфизмы d* и р-# использу-
ются для вычисления действия операций Р» на группах Я* (те;
Я* (Х)р). Заметим, что наши формулы отличаются от формул
Нисиды знаком; это связано с тем, что вышеприведенные фор-
мулы (2) и (6) отличаются знаком от соответствующих формул
из книги [28, с. 110, 128]. Именно из-за этого отличия мы были
столь педантичны при определении знаковое предыдущем доказа-
тельстве.
Для доказательства теоремы 9.4 нам потребуется следующее
тождество для биномиальных коэффициентов.
§ «1	ДВОЙСТВЕННЫЕ ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ	203
Лежка S.3. 2(*» a — i)(n — i, i-{-b — n) — (n, a-^b — ri) для
а^О, Ь^О, п^О.
Доказательство. При &=0 результат очевиден, так
как тогда в левой части стоит одно-единственное ненулевое сла-
гаемое, отвечающее 1=п. Используя тождество (с—1, d)+
-г(с, d—1)=(с, d), находим, что из справедливости утверждения
леммы для троек (a, b—1, п) и (а, b—1, п—1) следует его справед-
ливость для тройки (а, Ъ, п). |
Теорема 9.4. Пусть X — топологическое пространство и
х£Н*(Х). Тогда в группе Я, (л;	имеют место следующие
формулы'.
^1) если р = 2, то
Pl {ег 0 х2) = 2 (« - 21, г -j- q - 2s + 2i) er_,+2i 0 Pj (x)2;
((2) если p^>2, mo
Ps. (er ® x^) = ^ (« — Pi, [y] + 9m — ps -f- pi) e„2lpi_, ip_1} 0
0 Pj (x)p 4- a (г) а (g) 2 (s — pi — 1, [-Ц—] + qm — ps + pi) X
X er+f+2(pi-*>	0PjP(x)",
яде a (g) = v (g)-1 v (g — 1) = (—1)H!? m 1 и 8 (2/ e) = e, e = 0 или 1.
Доказательство. Так как для s = 0 результат тривиален,
то мы можем считать, что sj>0. Если г = 0, то элемент е0($хр
лежит в образе гомоморфизма Н (Е х Хр) -*• НАЕ Х-Хр). В группе
Я.(ЕХ^)
Pj (е0 0 хр) = 2 ео 0 ^*(®)0- • '®Pip&),
где суммирование ведется по всем наборам ilt ...,if, таким, что
21р = 5- Сумма тех мономов, у которых не все ij равны между
собой, лежит в подгруппе ео0NH*(X)P и потому при гомомор-
физме в группу Н*(Ех*Хр) она переходит в нуль. Таким обра-
зом, в группе Н*(Е X,XP) имеют место формулы: Pj (е0 0 хр) = 0
при s=fcpt, Р1(е0(£)хр) = е0(£)РЦх)р при s — pt, которые согла-
суются с формулами (1) и (2). Напомним, что в группе Я* (те)
справедливы следующие соотношения (вытекающие из определе-
ния 1.2 и дооказательства леммы 4.6):
(а)	если р = 2, то Pj(e,) = (i, 1 — 21)е^_( и <|> (ег) = 2 «у 0
(Ь)	если р>2, то Pj(e/) = (i, [7/2]— pi) е^р_и
и Ф (ег) = 2 (г> /) ej 0 er-j, гДе & (г» 7) = 0 Для четных г и
нечетных / и 8 (г, /) = 1 в остальных случаях.
14»
204
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Если 5 = 0, то (ег 0 х) = ег 0 хр и потому
Р* (ег 0 хр) = (Р$ (ег) 0 х) = Pj (ег) 0 хр,
так что в этом случае требуемый результат следует из (а) и (Ь).
Теперь мы применим индукцию по q и, при фиксированном q,
индукцию по г. Итак, предположим, что заключение теоремы
верно для всех q' <Z Q, а также, при этом фиксированном q, для
г' г. Положим z = P®(er0rc) и обозначим через z' правую часть
доказываемого равенства. Представим разность z — z' в виде z—z'-=
= 2 е< 06	(п;	Сначала мы докажем, что pe(z— z') =
= е0 0 (z — z'); отсюда будет следовать, что у{ — 0 при всех i 0,
ибо если i — наибольший номер, для которого г/,. =7^ 0, то элемент
е40 ео0 у(, очевидно, входит ненулевым слагаемым в p.e(z— z').
Затем мы явным вычислением докажем, что уо = О, и тем самым
завершим доказательство. Детали доказательства различаются для
случаев р = 2 и р^>2, и мы рассмотрим их по отдельности.
(1)	р = 2. Так как р-, (z) = Р’ц, (ег 0 ж2), то из (а), формулы
Картана в группе Я* (я) 0 Н9 (я; Я* (X)2) и индуктивного пред-
положения относительно г вытекает, что
(с)	р,(z) = Р’ (2 0 в,-у0®3) = 2 (*, / — 2i)еу_,-0P»"f(ег_/0ж2),
где
РГ* 0 ж2) =
= 2(« — i~ U, г — j-\-q— 2в-|-2г4-2А:)ег_/_+/+2й0Р^(ж)2, />0.
Члены с j = i 0 равны нулю, так как (i, —i) = 0. Применяя
к парам (I, j), для которых / — i = l^>0, лемму 9.3 с а — I,
Ъ = г — l-\-q — s и n — s — 2к, мы получаем, что из (с) следует
формула
(d)	p,(z) =
= eo0z4- 2 (s — 2k,r + q — 2s2/c) e; 0 е 2/с_, 0 P* (ж)2,
л, J>o
С первого взгляда на правую часть формулы (1) теперь видно, что
(z — z') = е0 0 (z — z'), поэтому yt = 0 при t > 0. Для вычисле-
ния элемента у0 заметим, что из равенства Р° = 1 и предложе-
ния 9.1 вытекает формула
(е)	ег 0 ж2 = (е 0 ж) -f- 2 W 0	(ж)2-
fc>0
Используя предложение 9.1, равенство P^d, = d,P’ и формулу
Картана на группе Я#(л)0 Я,(Х), можно вычислить элемент
(вг+г ® ж)> а затем на основании индуктивного предположения
§ 91	' ДВОЙСТВЕННЫЕ ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ	'	Й05
относительно q вычислить элемент Р* (er+2J. ® Р* (ж)2) Для
Проведя эти вычисления, мы из формулы (е) цолучаем формулу
(f)	z = S(«-4 r + s-2s + 2Z)er_t+afe+2I®P:Pi(# +
л, I
+ 2 {з-21, г + з + А: — 2s + 2Z) +2ft+2j ® PJPJ (я)2.
ЬХ), I
В принципе формулу (1) можно получить уже непосредственно
из (f), однако наше наблюдение относительно гомоморфизма р*
показывает, что достаточно рассмотреть лишь мономы, содержа-
щие е0, т. е. мономы с 2{к~^-1)=з—г. Положим t=k-\-l—з и с=
=3—к—I; тогда, оставив лишь эти мономы, получаем выражение
(g)	S (* — t, t + с — 2к) е0 ® Р*РГ‘~* (ж)2 +
+ 2 (c + z~ з, з — 21)е0^)Р^1-1{х)\
«<»+*
Согласно формуле (f) из доказательства теоремы 4.7, переписан-
ной, как указано в § 5 и затем дуализированной (с заменой по-
рядка следования двойственных операций в композициях ввиду
того, что мы пишем операции Pj слева), мы получаем, с учетом
замечания 4.8, что, если бы во второй сумме, фигурирующей
в выражении (g), суммирование велось до Z=$+i включительно,
то это выражение равнялось бы нулю. Таким образом, (g) рав-
няется
(h)	| {с +1, s — 2t) е0 ® Р*+/ (ж)2 = (з — з, г) е0 ® р(8~г)/2 (ж)2.
Поскольку последнее выражение в точности равно слагаемому
из z', содержащему е0, то уо=О.
(2)	р > 2. Для сокращения записи положим d=2 (р—1).
Как и в случае (1), используя формулу (Ь) и индукцию пог, полу-
чаем формулу
(i)	р, (z) = 5 8 (г, 7) (i, I7/2] — pi) е^{ ® Р^‘ {е^ ®жр), где 7>Д
Pj"‘ (ег-у ® хР) =
= 2 (s “1 ~ рк' [Ч2-] + gw - Р8 + pi + рк) er_J+d(pk_,+i, ®
к
^Р^{хУ + ЦГ-1)а(д)^(з-1-рк-1,^±1^+
+ qm — ps + pi + pty er_J+p+i(pk_,+i) ® Р*₽ (Ху.
Члены с j=di >0 равны нулю. Применяя к парам (i, 7)» для
которых j—di=l >0, лемму 9.3 с а—[Ц2\, 6=[(г—Z)/21+
206
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
+qm—s (р-—1) и n—s—pk для первой суммы и с а=[1/2], Ь=
= [(г—I—1)/2] и n=s—рк—1 для второй суммы, получаем из (i)
формулу
(j)	Mz) =
= e0®z-}- 2	+	— ps-j-ptye'®
®er+^Pk-S)-i®PkAx)P +
+ 2 5(r’ l^r~0a(?)(s — pk — 1» [-Ц^-J + gzn —
— Ps + Pk) ei ® er+p+np^-i ®	(X)P-
Ho 8(r, Z)8(r— Z) = 8(r)8(r-|-1, 0> и из рассмотрения правой
части формулы (2) видно, что p.e (z — z') = е0 0 (z — z')- Поэтому
yf — 0 при i^>0. Для вычисления у0 заметим, что из предложе-
ния 9.1 следует формула
(к)	е, 0 = v (qy1 d, (er+g(p_lt 0 х) - 2 (-1)" ^dpk 0 Р* (х)? +
+ 8 (г) a (q) 2 (-1)* er+p+dpk 0 Р.*₽ (х)?.
Точно так же, как в случае р=2, можно вычислить действие
операции Pj на элементе из правой части равенства (к); проделав
это вычисление, получим формулу
(О = 2 (—1 )* (« — I, [r/2] -j-qm — ps-)- pl)	0
0 РкМх)” - 3 (r) a (q) 2 (-1)" (5 - I, [r/2] + qm-ps +
+ Pl) er+p+dipk+pl_,y 0 P^P‘. (xy - fc2 (« ~ Pl, [r/2] +
+ k (P — 1) + <im — PS + pl) eri.dipJc+pi_ti ® Pl,Pk, (x)p —
— s(r)a(g)	(—l)*(s — Pl — !» [Ц-^] + *(Р — !) + ?»» —
— PS + Pl) Br+f+iw+pi-.t ® P$P* (X)P +
+ S(r) a (q)	(—l)fc(« — Pl, + k(p — l) + qm —
— Ps + pl) er+f+d(rk+fl_ti 0 Ptf>*? (xy.
S 10]
КОГОМОЛОГИИ ПРОСТРАНСТВ К(х, ПУ
207
Рассмотрим в первой и третьей суммах слагаемые с г-)-й(рЛ~|-
pl— s) = 0. Положим t = k-\-l— s и c=q— d(k-[-l). Тогда
соответствующие суммы примут вид
(т) 5 (—1 )* (& — t, t-\-mc — рк) е0 0 (х)р —
— 2 (—1)*+/+/ (I	тс — s, s — pl)eQ® Р^Р^-1 (х)р.
«<»+<
В оставшихся суммах из формулы (1) отберем слагаемые с r-f-p-f-
-|- d (рк pl — s) = 0; при этом г нечетно, так что 8 (г) — 1. Поло-
жим с' — с—1, и пусть t обозначает то же, что и раньше. Тогда
соответствующие суммы примут вид
(n)	—a (q) S (—1 )fc (к — t, t + тс' — рк — 1) е0 0	(х)р —
— а(д) У, (—1)’+/+/(Z-f-тпс' — s, s — pl— 1)ео0
0 P^P**-1 (x)p -|- a(q) 2 (—1 ),+i+I (I-{-me' — s, s — pl)e00
Используя формулы (h) и (j) из доказательства теоремы 4.7 (при
е=0), переписанные в соответствии с § 5 и затем дуализирован-
ные, заключаем, что, если бы во вторых суммах выражений (т)
и (п) суммирование велось до l=s-{-t включительно, то эти выра-
жения были бы равны нулю. Поэтому, как легко проверить,
(т) и (п) сводятся соответственно к следующим выражениям,
в которых i=k-{-l=s'-{-t:
(о) (s — pt, r/2-f-qm — pspi)eo0 Р^(х)р, где dpt —ds — г;
(p) a (q) (s — pi — 1,’F(r +1)/2 -f- qm — ps pi) e0 0	(x)p,
где dpi = ds — r — p.
Очевидно, что выражение (о) (соотв. (р)) в точности равно сла-
гаемому из первой (соотв. второй) суммы в выражении для У,
содержащему е0. Поэтому уо=О, и доказательство закончено.!
§ 10. Когомологии пространств К (л, п) и аксиоматика
операций Р*
В этом параграфе мы напомним структуру групп Н* (К (те, п);
Z/p)=#* (те, п; Zip) и полностью вычислим mod p-когомологи-
ческую спектральную последовательность Бокштейна простран-
ства К (те, п). Мы покажем также, что (как должно быть хорошо
известно) данная Серром [21] аксиоматика операций Sq‘, исполь-
зующая пространства К (Z/2, п), легко может быть перенесена
на случай нечетных простых чисел,
208
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Мы будем рассматривать лишь циклические группы л: Z/p*,
1 t оо, полагая по определению Zip™ =Z. Сначала введем
понятие монома, отвечающего данной допустимой последова-
тельности и данному числу t.
ОБОЗНАЧЕНИЯ 10.1 (а) р = 2. Последовательность I —
= («!,называется допустимой, если s<J>2s<+1 и 1.
Длина t, степень d и избыточность е последовательности I
определяются соответственно формулами: Z(7) = A:; d(7) = 2s/
е (7) = з — d (7), где I — (s, J). Определим операции формулой
P{ — Ps> ... psk-ip*kf где Pjh = Р’ь, если sfc ^>2, P] — (3, при t < co и
Pio = 0. Таким образом, при t — co для допустимых последова-
тельностей имеем sfe<^2. Пустая последовательность I тоже счи-
тается допустимой, причем ее длина, степень и избыточность
равны нулю, a PJ есть тождествевный оператор.
Ь) р>2. Последовательность I — (еп зх, ss, гЬ1), в{==0
или 1, называется допустимой, если s, p$,+i-f-е,+1 изк^1 или
если к —О, в случае I = (в). Положим / (7) = к, d (7) = 2 ~Ь
+ 52зу(р—1) и e(7) = 2s4~e — d(J), где 7 = (в, s, 7). Опреде-
лим операции Pj формулой P{ = p*'P*i ... Р‘*Р**р/*+>, где Р°=1
для всех t, Р} = р, для t < со и р^ — 0; таким образом, при t — со
для допустимых последовательностей имеем eft+1 = 0.
Укажем способ быстрого вычисления групп Я* (Z/p*, п\ Z/p).
Лемма 10.2х). Имеют место изоморфизмы 77* (Z, 1; Z/p) =
= £(4)ufi*(Z, 2; Z/p) = 7>(i2). Если t< co, mo H* (Z/2*, 1, Z/2) =
= P(tj), примем p, (4) = l? и H*(Z/pf, 1; Z/p== E(t^ ®
repu p>2.
Доказательство. Так как К (Z, 1)=S'1 и К (Z, 2) =
=СР™, то первое утверждение очевидно. Что же касается вто-
рого утверждения, то имеет место изоморфизм Н* (Zip1, 1; Z/p),
и мы для любого коммутативного кольца Л можем построить
Лг/р*-свободную резольвенту кольца Л с коумножением точно
так же, как описано в определении 1.2 (с заменой р на р*). После
этого искомый результат устанавливается легким вычислением, g
Теорема 1О.З. Если п 2 (или если п=1 и либо р>2, либо
t со), то кольцо Н* (Zip1, п; Zip) является свободной косоком-
мутативной алгеброй, порождаемой следующим множеством своих
элементов:
{P{tn |Z — допустимая последовательность с е (I) < п или, если
р >2, е (7) п в в1=1}.
Более того, Н* (Zip1, п; Z/p) является примитивно порожденной
алгеброй Хопфа.
Ч Ниже через Е (х) автор обозначает свободную внешнюю алгебру от
образующей х, а через Р (у) — кольцо полиномов от переменной у. — Прим,
перев.
8 Ю]
КОГОМОЛОГИЙ ПРОСТРАНСТВ К(х, п)
209
Доказательство. При п=1 и t < оо, а также при
п—2 и i=oo требуемый результат дает предыдущая лемма. Пред-
положим, что этот результат верен для п—1. Очевидно, что
в спектральной последовательности Серра {Ег} расслоения
К {Z/p*, л—1) -► Е -> К {Z/p*, п) с ацикличным пространством Е
начальный член Ел имеет вид
£a = #*(Z/p', п; Z/p)®H*{Ztf, п — 1; Z/p),
а Ет — Z/p.
Сначала пусть р = 2. Заметим, что )если рассматривать опера-
цию возведения в квадрат как операцию Стинрода, то полино-
миальная алгебра #*(Z/2*,jj п — 1;^ Z/2) аддитивно изоморфна
внешней алгебре E{S), где
S = (Pf 11 — допустимая последовательность с е (7)< л).
По теореме 3.4 элементы P^„_j трансгрессируются в элементы
Pfin. Построим формальную спектральную последовательность
дифференциальных алгебр {Е'г\, полагая Е'2 — Р (tS) 0 Е (5), где
т(8)— копия множества S, в которой степени всех элементов
увеличены на единицу, и считая, что элемент s £ 8 трансгресси-
руется в элемент тз £ т (8). Очевидно, что Е’а> = Z/2. Определим
гомоморфизм спектральных последовательностей {/г: Е'-+Ег},
полагая /2 = g01, где g: P{xS)-+ Н*(Z/2*, п; Z/2) — гомомор-
физм алгебр, заданный на образующих формулой g{xPjt„) = Pji„;
очевидное коммутирование с дифференциалами позволяет опреде-
лить гомоморфизмы /г для г j>2. Так как гомоморфизмы и fa
являются изоморфизмами, то по теореме сравнения [12, стр. 451]
гомоморфизм fz> = g тоже является изоморфизмом.
Пусть теперь р>2. Кольцо 77* (Z/у/, п; Z/p) аддитивно изо-
морфно кольцу Е(8)0 Q{Т), где Q — алгебра усеченных полино-
мов {хр = 0 для всех х £ Т) и
8 = {Pji„ 17 — допустимая последовательность,
е (7) < п — 1, d (7) 4- п четно),
Т — {P{t„ 17 — допустимая последовательность,
|е(7)<;«, d(7)-f-n нечетно).
(Заметим, что e(7) = d(7)mod2, и потому не) может быть так,
что одновременно число d (7) п четно, а е (7) = п — 1.) По тео-
реме 3.4 элемент Pft^ трансгрессируется в элемент (—l)d(/>Pfte
и если d (7) п = 2q -f-1, то элемент Р{ 0 Pj (i^-j)"-1 трансгрес-
сируется в (—1)врРгРЬя. Построим формальную спектральную
последовательность {Егг} дифференциальных алгебр следующим
образом. Положим
Е'г = [Р (т8) 0 Е (г) 0 Р (ри Г)] ® [Е (8) 0 Q (Т)]
210	дополнение i. дж. п. мэи
(выражения в квадратных скобках отвечают соответственно базе
и слою). Здесь xS и хТ обозначают соответственно копии мно-
жеств S и Т, в которых ^степени всех элементов увеличены
на 1, а — это копия множества Т, в которой степени всех
элементов умножены на р, а затем увеличены на 2. Дифферен-
циалы в этой спектральной последовательности определяются
исходя из требования, что элемент s£S трансгрессируется
в xs g xS, элемент t g Т — в х£ £ хТ, а элемент xtC^t?"1 — в p-Z £ р-Т.
Несложное вычисление показывает, что E'm=Zlp. Определим
гомоморфизм (/г: Е'г -► Ег] спектральных последовательностей,
полагая/a=g01, где g: Р (xS) 0 Е (хТ) 0 Р (у-Т) -> Н* (Z/p‘, п;
Z/p) — гомоморфизм алгебр, заданный на образующих форму-
лами	i)d‘J)Pfi«_i и
если d (7)-{-п=2д+1. Как и при р—2, комммутирование с диффе-
ренциалами позволяет определить гомоморфизмы fr, г > 2, и g
является изоморфизмом по теореме сравнения. Последнее утверж-
дение следует из того, что, согласно внешней формуле Картана,
если X есть //-пространство и если для элемента х^Н* (X)
имеет место формула ф(гс) — ^х'®х", то
<|>Р*(а:) = 2 2Р'(®')®^(®")
<+/=»
и
ФР (®) = 5 (₽ (®') ® + (-l)deg*'z' 0 р (х№)).
Поскольку элементы и pf (Q примитивны, то таковы же и все
элементы Pfin. ц
Теперь мы можем вычислить mod р-когомологическую спек-
тральную последовательность Бокштейна {Ег} пространства
К (Z/р*, п). Напомним, что (Ег) представляет собой спектральную
последовательность дифференциальных алгебр с начальным членом
El = H*(^[pi, п; Z/p), членом Ег+1 которой служат гомологии
члена Ег относительно высшего гомоморфизма Бокштейна Pr, г 1.
Так как группа Н*^£[р{, п; Z) является прямой суммой цикличе-
ских групп, имеющей по одной образующей порядка рг на каждую
образующую группы im (рг) С Ег и по одной образующей беско-
нечного порядка на каждую образующую группы Ет, то спек-
тральная последовательность {Ег} полностью определяет группу
целочисленных когомологий пространства К (Z/р1, п). Из леммы 10.2
следует, что E^=^Et и Et+l = Em = Zlp при £<оо и и = 1,
так что нам необходимо рассмотреть только случай п 2.
Теорема- 10 А. Пусть п~^2. Определим подмножество S
описанной в теореме 10.3 системы образующих алгебры
H*(Z/j/, п; Z/p) следующим образом:
(а)	если р — 2, то S — (P|iB | зг и d(Z)-|-n четны, /(/)>0);
(Ь)	если р^>2, то S = {P^tB|e1 = 0, d(Z)4-n четно, ^(/)>0).
S 10]
КОГОМОЛОГИИ ПРОСТРАНСТВ К(«, п)
211
Для y£S положим z (у) = р (у) у 4~ /*2?Р (j/), если р = 2 и deg у = 2q,
а для р^>2 положим z (у) = р (у) у?"1. Далее, определим алгебру
Аг(п, /), полагая
(с)
(d)
где
4(2», оо) = Р(1в), Лг(2п + 1, оо) = Е(1я);
Р(‘2„)®Ш(2»)}
E{z^)^4}
при г </ со,
при r^>t,
Z (12и) ---
?(4„)Чп + ^ (12„). если р = 2 u i =
₽/ (12») в остальных случаях-,
(е)
Лг (2п -{-1, £) —
Е (12и+1) ® Р {Ml2B+l)} При r<f<CO,
Z/p
при r^>t.
Тогда, если г^>1, то
Er+1 = P{y^\yeS}<8)E{z (у) у*'-* | у € 5} 0 Лг+1 (п, t),
₽г+1 (УрГ) = Z (у) yf-P для y£S, ₽г+/ (l£) = Z (la„) <.%-Р.
Доказательство. Сначала отдельно для случаев р = 2 и
р^>2 вычислим член Е2. Пусть р = 2; определим подмножества
Т и U множества образующих алгебры Ег равенствами
Т = {Pfi„ | з„ четно, d (Z) п нечетно, е (Z)	п — 1, t (I) > 0),
U = {P/tJ d(Z) -J-п нечетно, e(Z) = n—1, ^(Z)>0).
Напомним, что рР’-1 = sP*, и заметим, что если P{i„ б U, то
T=(2q, J), где d (7)n = 2g1 и pPfi„ = (Pfi„)2. Пусть C —
(аддитивный) подкомплекс в E1; являющийся тензорным произве-
дением следующих наборов подкомплексов:
(i) Р {₽ (j/)} ® Е {у} для у £ Т и
(ii) Р {z2} 0 Е {у) для у = P^z £U, deg z = 2q -|-1.
Пусть IC — группа положительных элементов комплекса С.
Тогда гомологии Н (IC, Р) комплекса IC относительно диффе-
ренциала р равны нулю, поэтому группа Е2 изоморфна группе
Н (EJIC). Если	и deg г/=2д+1, то Piqy^U, так что
группа С на самом деле является подалгеброй в Ех, a EJIC —
факторалгеброй дифференциальной алгебры Ех. Легко видеть, что
Е1ДС = Р{у|уб5)®Е{Р(у)|уб5}0Л;(п, t),
где А[ (n, t) — факторалгебра полиномиальной алгебры, порожден-
ной in и, если t<^co, еще и р, (iM), по идеалу, порожденному t2
для нечетного п и р, (t2) для четного п. Таким образом,
Н (EJIC) == Р (j/21 у б 5} ® Е (Р (у) у | у € 5} ® А' (п, t),
212
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
где Л' (n, t)=P {i2} 0 Е {р (t„) 1я} при f=l и четном п, а в ос-
тальных случаях Л' (n, f)—A2 (п, t). Если y£S или, когда п
четно и 2=1, y=t„ и deg y=2q, то элемент z (у)=(3 (у) у+Р2?р (у)
является циклом в Ег, переходящим при ^проекции в цикл
р (у) у £ E-JIC. Так как в Ег цикл z (у)2 представляет собой гра-
ницу, отсюда следует требуемое утверждение о члене Е2 для р=2.
Предположим теперь, что р 2. Определим подмножество Т
множества образующих алгебры Еъ полагая
Т =	| = 0, d (7) 4- п нечетно, 1 (Z)	0}.
Тогда Ег как дифференциальная алгебра разлагается в тензор-
ное произведение следующих семейств подалгебр:
Clii) Р{У}®Е {Р(у)} для у £8,
(iv) Е {у) 0 Р {Р (у)} для у Т и
(v) свободной коммутативной алгебры, порожденной элемен-
том t„, а для t <Z со еще и элементом р t (t„).
Группы гомологий алгебр из (iii) имеют вид Р {ур} 0 Е (z, у};
алгебры из (iv) ацикличны, а группы гомологий алгебр из (v)
изоморфны А2 (п, t); отсюда следует требуемое утверждение
о члене Е2. Предположим теперь, что для нашего простого р
и для всех г 1 член 7?г+1 устроен так, как указано в утвержде-
нии теоремы. Вычисляя гомоморфизм рг+1 с помощью предложе-
ния 6.8 и используя тот факт, что Ег+1 разлагается в тензорное
произведение алгебры Лг+1 (n, t) и подалгебр вида Р {ж} 0
0 Е {рг+1 (ж)}, где ж=у*г, yf<S, получаем нужный результат. 
В заключение этого параграфа приведем аксиоматику опера-
ций Р*, действующих на когомологиях топологических про-
странств.
Напомним прежде всего, что из формулы Картана и равенства
Р°=1 следует, что операции Р" коммутируют с надстройкой
[26, 28], а как показано в предложении 8.1, равенство Р°=1
вытекает из перестановочности операции Р° с гомоморфизмом 5*
и того, что на нульмерных классах когомологий операция Р°
представляет собой возведение в р-ю степень. Таким образом,
выбранные нами (для удобства доказательства) аксиомы явля-
ются на самом деле зависимыми.
Теорема 10,5. Существует единственное семейство {Р* |	0}
естественных гомоморфизмов Н* (X; Z/p)^H* (X; Z/p) с deg P’ = s
для р = 2 и deg Р* = 2s(p—1) для р^>2, обладающих следую-
щими свойствами:
(i)	Р1 — тождественный гомоморфизм;
(ii)	Р* (ж) = ж₽, если р = 2 и s = deg ж или р^>2 и 2s — deg ж;
(iii)	Р*(ж) = 0, если р = 2и s^>degж или р>2 в 2s>deg^;
8 «1
КОКОММУТАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ХОПФА
213
(iv)	Р'(®0г/)= 2 Р'(х)®Р}(у) для x®y£H*(XXY);
<+/=*
(V) а*Р* = Р»а*, где <з* — надстройка в расслоении.
Доказательство. Пусть дано некоторое семейство (R’ 13^0}
операций, удовлетворяющих перечисленным выше аксиомам. Для
любого х£Н”(Х; Z/p) существует отображение /: Х-^-К (Zip, п),
такое, что f*in = x, поэтому достаточно установить равенства
Р’ (t„) = R’ (Q. Для п = 1 или для п = 2 и р>2 эти равенства
очевидным образом следуют из (i)—-(iii)- Предположим теперь,
что Р’ (i,^) = R’ (ьп_Л) для всех s, и рассмотрим элементы у£Р* (i„) —
— Я*(1я), гДе 0</s<n, если Р = 2, и 0<2s<n, если р^>2.
Рассмотрим гомоморфизм
а*: Н* (Z/р, п; Zip)-^Н* (Zip, п — 1; Z/p).
Согласно свойству (v), <з* (у)—у. Если р—2, то в размерностях,
меньших 2п, а* является изоморфизмом, так что у=0. Пусть
р>2. Как было показано в доказательстве теоремы 10.3, из
свойств (i) и (iv) следует, что элементы Р* (in) и R" (i„) прими-
тивны. Из теоремы 10.3 следует также, что множество
{PJi„ 11 — допустимая последовательность, е (I) п)
образует базис в пространстве примитивных элементов алгебры
Хопфа Н* (Zip, п; Zip). Но все элементы этого множества, ле-
жащие в кет а, суть либо р-е степени каких-то элементов, либо
элементы вида (z), где deg z=2<?-|-l, имеющие степень 2р<?+2.
Если число п нечетно, то элемент у имеет нечетную степень и,
значит, у=0. Если же п четно, то все примитивные элементы,
принадлежащие ker а, имеют степень по меньшей мере рп, что
превосходит степень элемента у; поэтому снова мы получаем,
что у=0. и
§ 11. Кокоммутативные алгебры Хопфа
""В этом параграфе мы рассмотрим следующую категорию
Ее~объектами являются тройки С=(Е, A, F), где А — (Z-rpa-
дуированная) некоммутативная алгебра Хопфа над коммута-
тивным кольцом Л, а Е и F — соответственно"правая”’и левая
(Z-градуированные) кокоммутативные'А-коалгебры. Таким обра-
зом, Е и F являются 4-модулями и некоммутативными коал-
гебрами (причем не обязательно унитарными или пополненными)
и коумножения в них являются 4-модульными морфизмами.
Назовем объект С унитальным, если Е и F — унитарные и по-
полненные коалгебры, единицы и аугментации которых представ-
ляют собой 4-модульные морфизмы. Морфизм у: С -> С* в кате-
гории1^ — это тройка (a,	’8),”* где 4'-* А' —"морфизм
214
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
алгебр Хопфа, а а: Е -> Е‘ и |3: F -> F' — эквивариантные мор-
физмы коалгебр, т. е. а (еа) = а (е) > (а) и $(af)=\ (а) ₽(/) для
е£Е, f$F, а$А. При этом если С и С' — унитальные объекты,
а а и р являются морфизмами унитальных пополненных ко-
алгебр, то у называется унитальным морфизмом. Для объектов С
и С' категории положим
С®С' = (Е®Е', 4®4', F®F')£%
и заметим, что отображение
Ф = (ФК. Фр): С = (Е, A, F)^(E®E, A® A. F®F) = C®C
— морфизм в категории при этом очевидно, что если С —
унитальный объект, то ф будет унитальным морфизмом.
Определим на категории гомологический и когомологиче-
ский функторы формулами
(1)	tf<>f(Q = Torsy(£, F) и Я*-'(0 = Ext';'(Я, Г).
Мы определим и изучим операции Стинрода на группах Я* (С)
для случая A=Z/p. Приведенные ниже результаты обобщают
результаты Люлевичуса [111 х).
В следующем определении мы напоминаем описание группы
Я* (О вместе с умножением в ней~в терминах бар-конструкции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Для объекта С=(Е, 4, F)f ^положим
Г = (4, 4, Пусть JA—коядро единицы Д'->'4.'Определим
бар-конструкпию В (С) как A-модуль В(С) = Е®Т (74) фд F, где
Г (74)— тензорная алгебра для 74. Элементы модуля В (С) будем
записывать в виде е[а, |... | а,)/; по определению гомологическая
степень такого элемента равна з, внутренняя степень равна
t — deg е -f- S deg a< -f- deg f и полная степень равна s-|-f. Опре-
делим аугментацию е: В (С) -*Е F и дифференциал d: Bs<, (С) -»
формулами
(2)	е(е[ =	... |а,]/) = 0,
(3)	4(6^1 ... |аД/) = —ёа1[а2| ...	—
8—1
— SefaJ ... |я<_11^«<+11«(+а| ••• !«,]/ —
— е [ях|... |a,_i]aj, где S = (—ly+aeg^.
Если Я = 4, то d является морфизмом левых 4-модулей и dS 4-
-4~5й =1—ае, где морфизмы а: F^»-B(C) и S': Bt
определяются формулами
(4)	о(Л = Г ] А 5 (а[а.I... I a,] f) = [а||... \ а,] f.
>) См. примечание редактора на стр. 152. — Прим, ред.
$ ii]	кокомМутативные алгеёры хопФа	215
Очевидно, что d=10ad в комплексе В(С) = Е®ЛВ(Г). По фор-
муле Сопряженной ассоциативности х) имеем
Нот/В(£), Е*)^В*(С)^Нот4(В(Е, A, A), F*).
Поэтому формулы (1) можно заменить эквивалентными формулами
(5) Я. (С) = Н(В (С)), Н* (С) = Н (В* (С)) = ЕхЬ(а, А) (Л Е*).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2. Пусть С и С — два объекта катего-
рии^. Определим отображение Александера—Уитни В(С0С')-*
-» В (С) 0 В (С') и тасующее отображение тр В (С) 0 В (С) -*
-» В (С 0 С') формулами
(6)	5(в0е'[я10я[|... |я,0я']/0/') =
= Ё (~l^Mail ... |яЛ]яЛ+1... я,/0е'я[ ... а'к [я'+1 | ... ^1/',
к=О
где
к
p(A) = dege'(A-|-deg ях... я,/)+ Sdegfl^A—i-|-degflf+1... я,/)-|-
♦=1
+ 2 (l+dega;)degfly+1... a,f,
и	J=*+l
(7)	1 (« К | • • • | a,] f ® в' [ я,+11... | a,+t] f) =
= 2 (-1)’(«) е 0 е' [ях(1, | ... | ях(,+<)] f 0 f,
Я
где а^А, если is, и я^А', если 1~^з, суммирование ведется
по всем (s, £)-тасовкам л (см. [15, стр. 17]), а
*(«) =	2	(1+ deg a<)(l-[-deg al+J).
«(<)>«(»+/)
Ненормализованная бар-конструкция Е 0 Т (А) 0 F допускает
структуру симплициального градуированного Л-модуля, в ко-
торой отображения В и т) превращаются в обычное нормализован-
ное отображение Александера—Уитни и обычное тасующее отоб-
ражение соответственно. Превратим В (С) в коассоциативную
коалгебру, введя коумножение D= IB (ф): В (С) -> В (С) 0 В(С)',
при этом для унитального объекта С коалгебра В (С) будет уни-
тальной и пополненной. Если Е=А, то D совпадает с морфизмом
левых A-модулей, задаваемым индуктивно следующим образом:
(8) я([ ]/) = 2[ ]/'<£>[ ]Г, где ф(/) = 2/'0Г;
(9) DS = SD, где S: В (С) 0 В (С) -> В (С) 0 В (С) имеет вид
	<S' = S'01-|-o®0‘5.
1) Имеется в виду формула Нотл (X, Нотл (У, Z))sHoma (X У, Z).
— Прим, перев.
216
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Очевидно также, что коумножение D в В (С) = Е ®А В (С) сов-
падает с композицией
Е 0 А В (С) Е®Е®ЛВ(С)®В (С)	Е 04 В (С) О
®е®ав(С).
Наконец, определим на комплексе В* (С) kv-умножение как компо-
зицию
(10)	к>: В* (С) 0 В* (С)	[В (С) 0 В (С)]*	В* (С).
Имеет место следующий аналог леммы 7.1 (можно доказать и
более точный ее аналог (формулируемый в терминах морфизма В)).
Лемма 11.3, Пусть п — некоторая подгруппа группы Sr и
W — такая Ar.-свободная резольвента кольца А, что Wo — Ал
с An-образующей е0. Пусть далее	Биградуируем модуль
W®B(C), полагая [W 0 B(C)]f>/= 2 ^05^(0. Тогда су-
*Ч“У=*
ществует естественный по С морфизм биградуированных Лк-ком-
плексов Д: W 0 В (С) В (С)г, обладающий следующими свойствами:
(i) Д(ш0Ь) = О, если Ь(*В0 ,(С) и wQW{, i^>0;
(п)Д(ео0 b)=D(b), если 'b^BlCy где D: В (С) В (С)г —
итерированное коумножение;
(iii)	Е — А, то Д является морфизмом левых A-модулей, где
действие А на W$§B(C) задано формулой a(w<^)b) =
— l)deg«dega w 0 ab.
(iv)	Д (W( 0 B,t (С)) — 0, если г > (г — 1) з.
Более того, между любыми двумя морфизмами й с такими
свойствами существует естественная Ап-гомотопия.
Доказательство1). Для начала заметим, что из ко-
коммутативности коалгебры А следует, что условие (iii) не про-
тиворечит л-эквивариантности морфизма Д. Кроме того, отме-
тим, что достаточно доказать лемму лишь для случая Е=А,
поскольку на модуле W 0 В (С)=Е®А W®B (С) мы можем
определить Д как композицию
Е 0Л W 0 В (0	в- 04 В (Су -^[Е®АВ (0]',
где U — очевидное тасующее отображение. Мы построим отоб-
ражение Д на группах W( 0 Bgt (С) индукцией по i и, при фикси-
рованном I, индукцией по s. Формула (i) позволяет определить Д
для s=0 и всех i 0, а формула (ii) с учетом л-эквивариант-
ности определяет Д для г=0 и всех з. Фиксируем теперь i 1
и s 1 и предположим, что морфизм Д уже определен для i' <£. I,
*) Имеется другое доказательство, использующее технику полусимпли-
циальных множеств, а не гомологическую технику.
$ И]	КОКОММУТАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ХОПФА	217
а также, при нашлем фиксированном i, для s' s. Пусть’ (uij —
какой-нибудь Ал-базис модуля W(. В силу (iii) н л-эквивариант-
ности морфизм Д достаточно определить на элементах вида
ю03(у), гДе w^.{wkt и Уб-®»-1,»Ю* Зададим морфизм S:
В (С)г -> В (С)г формулой S — 2 С06)4 ® ® Тогда dS
•=i
-}- Sd = 1 — (ое)г. Положим
(v)	Д (w 0 3 (у)) = (—1)’3е8“’£Д (и> 0 у) -f- ЗД (d (w) 0 S (у)).
Заметим, что при w=e0 формула (v) эквивалентна формуле (ii)
и что индуктивное предположение обеспечивает нам корректность
формулы (v). Чтобы проверить равенство ЙД=Д</, перепишем (v)
в виде Д (103)=3д (1014-d03). Тогда
dA(103) = d3A(101-|-d03) = (l—3d)A(101-|-d03) =
= [Д —3A(d01-|-10d)](101-|-d03) =
= A-|-A(d03) — 3A(d01) — 3A(10d)4-
-|-3A(d0d3) = A-|-A(d03) — ЗД (d01) —
— ЗД (1 0 d) 4- ЗД (d 01) — ЗД (d 0 Sd) =
= A-|-A(d03)-A(10d3) = A-|-A(d03) —
— Д-[-Д (1 0d3) = Д (d0 11 0d)(103).
(Как показывает простое вычисление, использующее свойство (i),
члены, содержащие 8s, исчезают.) Таким образом, формулы (i)—
(iii) и (v) с учетом л-эквивариантности дают возможность явно
построить для Ал-комплексов естественный морфизм Д. Дока-
жем, что для него выполняется свойство (iv). Для а £ В (С) опре-
делим £В (С) как элементы, фигурирующие в равенстве
ф' (я)= 2я11,0- • • 0а(г), где ф': В (С) -> В (С)г — итерирован-
ное коумножение, и заметим, что если у=а1 [а2 !•••! а,]/,
то для любого	элемент Д (н>03 (у)) является
линейной комбинацией таких мономов из В (С)г, которые в ка-
честве сомножителей содержат в точности элементы и
комплекса В (С). Таким образом, элемент Д (ш03 (у)) представ-
ляет собой сумму элементов, гомологическая степень каждого
из которых не превосходит rs. Но если i > (г—1) s, то гомологи-
ческая степень i-f-s элемента Д (н>03 (у)) больше, чем rs, откуда
и следует (iv).
Единственность отображения Д с точностью до Ал-гомотопии
легко вытекает из существования стягивающей гомотопии 3
для комплекса В (С)г. 
Теперь перейдем к категории <^®(л, оо, А) из определения 2.1.
15 Н. Стинрод, Д. Эпстейн
218
Дополнение i. Дж. н. Мэй
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.4. Пусть	и пусть а: В*(С)Г~*
-> (В (Сг))* — очевидное отображение. Определим Ait-морфизм 0:
W 0 В* (С)г-+ В* (С) формулой
(И) 0 (и, 0 ж) (&) = (—1)<3е8“<3е8жа(®)Д(Н>®й), w£W,
х£В*(Су, к£В(С).
Выполнив эту конструкцию для it = Sr, получим отображение
f: V0B*(C)r-»B*(C). Его композиция с отображением
/ ® 1: W ® В* (С)г -> V ® В* (С)г
Ал-гомотопна исходному отображению 6, поэтому последнее
удовлетворяет условию (ii) определения 2.1. Лемма 11.3 по-
зволяет выписать следующие частные случаи формулы (И):
(12) 0 (е0 0 х) = D* (а (®))	для всех х£В*(С)г,
(13) 0(w0х) = е(w)D*(а(«)) для всех ж £ В0, * (С)г и всех w(*W.
Из (10) и (12) следует, что морфизм 9 удовлетворяет условию (i)
определения 2.1. Так как он естествен относительно морфизмов
категории то мы получаем функтор Г:	Р{п, со, А), полагая
Г (С) = (В* (С), 0) для объектов и Г (у) = В* (у) для морфизмов.
В силу (13), из унитальности объекта С £следует унитальность
объекта Г(С)£Р(л, °°> А). Если A = Z/p, л является цикличе-
ской группой порядка р и С = С 0 Z/p, где С — некоторый Z-сво-
бодный объект категории (т. е. Ё, А и Р — свободные модули
над Z), то условимся выбирать морфизм 0 для Г (С) так, чтобы
он был mod р-редукцией морфизма 9 для С; в этом случае объект
Г (С) оказывается р-праведвнным. Заметим, что если элемент
®£В*(С)Г имеет бистепень (s, t), то элемент 0(ш0ж) имеет би-
степень (s — degui, t); по этой причине при изучения функтора Г
целесообразно рассматривать модули W 0 В* (С)г и В* (С) в их
полной градуировке.
Отметим, что определение 6.1 позволяет нам для любого С
ввести ч^-умножения на В* (С). Если А~Ъ!р, то, очевидно,
к операциям Стинрода на Н* (С) применимо предложение 2.3,
а из приводимых ниже лемм будет следовать, что эти операции
удовлетворяют внешней формуле Картана и соотношениям Адема.
Лемма 11,5, Для любых объектов С и С категории сле-
дующая диаграмма An-гомотопически коммутативна:
FF0B‘(C0C/f -------5> В*(С0С')
Х®(5*)г||1® (’!*)’	5*||ч*
W 0 [В* (С) 0 В* (С)? —U в* (С) 0 В* (С')
КОКОММУТАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ХОПФА
219
S 11]
Доказательство. Достаточно доказать Лл-гомотопическую
коммутативность диаграммы
W 0 В (С) 0 В (С')	(С) 0 в (С')Г
1®Е I I 1®Ц	$r t I Т|г
1 I	14'
W ® В (С 0 С)------------------------> В (С ® су
причем можно заменить комплексы С и С соответственно ком-
плексами С и С'. Так как, очевидно, комплексы В {С 0 С)г и
![5 (С) 0 В (С,')]г обладают стягивающими гомотопиями, то требуемый
результат легко устанавливается двойной индукцией, аналогичной
той, которая была использована при доказательстве леммы 11.3.И
Следствие 11.6. Если С £ то Г (С) является картанов-
ским объектом категории ^(л, с», Л).
Следствие 11.7. Если С и Л-Я/р, то Г (С) является
адемовским объектом категории оо, Л).
Доказательство. Рассуждая точно так же, как при дока-
зательстве леммы 7.8, находим, что достаточно убедиться в т-
гомотопической коммутативности диаграммы
И\0И70В(С) —У0В(С) -----------------------> в(су
I Т®1	I ь?
1® A	U
WP &W,® В (С) —--> WP 0 В (С? —> (wz 0 В (С))'
причем можно заменить объект С объектом С. Так как комплекс
В (С)гг обладает стягивающей гомотопией, то требуемый резуль-
тат снова легко устанавливается двойной индукцией. 
Следующая теорема суммирует свойства операций’Р* и рР*,
действующих на группах Н* (С), где С £ и Л—Z/p. Мы будем
указывать градуировку абсолютно точно, так как в литературе
этот вопрос весьма запутан. В соответствии с нашей общей тео-
рией мы будем рассматривать группу Н* (С) в ее тотальной
градуировке. Другой возможный подход, полезный в ряде част-
ных случаев, будет указан после доказательства теоремы.
Теорема, 11.8. Пусть С^Я§ и Л — Z/p. Тогда на группе Н* (С)
существуют естественные по С гомоморфизмы Р* и, при р^>2,
РР* видах)
(а)	Р‘:Я'’,(С)->Я'+,-,’а,(С), если р = 2;
(Ь)	Р‘: Н’- * (С)	и
рР*: Я'-1 (С) Я'+1+(2,-<)(^-1’. Р1 (С), если р > 2.
*) См. примечание редактора на стр. 221. — Прим. ред.
15*
220
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Эта операции обладают следующими свойствами:
(i)	Р* |Я*’* = 0, если р — 2 и либо »<(/, либо
Р,|Я»-* = 0, если р^>2 и либо 2i<^t, либо 2i^>s-|-i;
рР*| Я** * = 0, если р^>2 и либо 2i <t, либо 21 s4-1‘,
(ii)	Pl(x) — xp, если p = 2 и i = s-\-t или p^>2 и 2l = s-{-t',
(iii)	если C = Z/p, где C — некоторый Z-свободный объект
категории tf?, mo ^Pt~1 = iPi при р — 2 и операция рР* разла-
гается в композицию операций р и Р* при р~^> 2.
(iv)	р/ = 2Р,®Р/-‘ и рР^ = 2(рР,®р/-,4-Р,®рр/-<) на
группах Н* (С ®С), так что для этих операций на группах
Н*(С) справедлива внутренняя формула Картана:
(v)	если у: С' -> С п <р: С -> С" — такие унитальные морфизмы
в категории <£, что <ру = О на коядре единицы алгебры С’, то
аР*=Р*а и арр‘=—рр‘а, где	(С") Я’"1- * (С') — надстройка;
(vi)	операции Р* и рР* удовлетворяют соотношениям Адема,
указанным в следствии 5.1.
Доказательство. Если х£Н‘‘* (С), то D< (ж) =
— б* (е( 0 x*’) £ Я*’*"4’ pt (С). Определив операции Р* и рР4 фор-
мулами (1) и (2) § 5 и считая, что х имеет полную степень q=s-\-t,
получаем формулы (а) и (Ь). Равенства Р1 (ж)=0 при р—2, i <^t
и р*Р{ (ж)=0 при р > 2, 21 t следуют из утверждения (iv)
леммы 11.3. Остальные утверждения теоремы непосредственно
вытекают из нашей общей теории и предыдущих лемм. Что каса-
ется утверждения (v), то заметим, что композиция В* (С")--*
-* В* (С) ***"► В* (С) на ядре аугментации В* (С") ->Z/p равна
нулю. Легко получить также аналог утверждения (v) для неуни-
тального случая. 
В дополнение к (v) укажем, что к подходящим’спектральным
последовательностям в категории применима (теорема Кудо
о трансгрессии (теорема 3.4). Заметим также, что фигурирующее
в (iii) предположение на практике выполняется чрезвычайно
редко, так что, как правило, рР4 — это самостоятельные опера-
ции, никак не связанные с гомоморфизмом Бокштейна.
Имеется другое определение операций, приводящее к следую-
щей переградуировке наших операций. Положим]	-*
(с) Р1 = Sq4 = Рм: В'- * (С)	* (С), если р = 2;
(d) Р* = РМ:
р£4 = рР4+*: Я’«24 (С)	Я*+1+а,<^1)-*pi (С)7если р > 2.
Эта новая градуировка разумна при р=2, однако для р > 2 она
исключает из рассмотрения все операции на^группах Я*> * с не-
$ И]	КОКОММУТАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ХОПФА	221
четным t; конечно же, эти исключенные операции нетривиальны,
так как если s и t нечетны, то на группе И*’ * (С) операция воз-
ведения в р-ю степень, вообще говоря, нетривиальна х). Резуль-
таты теоремы 11.8 можно легко переформулировать для опера-
ций Р* и рР*; например, соотношения Адема для них остаются
справедливыми в том же самом виде, если только заменить Р‘
и Р-Р* соответственно на Р{ и-рР*. Мотивировкой описанной пере-
индексации служит просто желание иметь в качестве первой
нетривиальной операции операцию Р°. Так как в ряде приложе-
ний эта операция играет важную роль, то мы ее сейчас вычислим.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.9. Пусть С=(Е, A, F) — объект катего-
рии в котором Е, А и F положительно градуированы и имеют
конечный тип. Тогда комплекс В* (С) можно отождествить
с комплексом Е* 0 Т (IA*)®F*. Определим морфизм X:
В** f (С) -> В’’ pt (С) формулой
Х(е[а1|... |a,]<p) = sP[af| ... |аР]<р₽.
Ясно, что X коммутирует с дифференциалами и потому индуцирует
гомоморфизм X*: Н*> * (С) -> Н‘‘pt (С). Разумеется, если р >• 2 и
хотя бы один из элементов е, а< или <р имеет нечетную степень,
то Х, = 0, так что если t нечетно, то Х* = 0.
Предложение 11.10. Пусть С — (Е, A, F) —объект кате-
гории %, в котором Е, А и F положительно градуированы и
имеют конечный тип. Пусть далее х(*Н*’*(С), причем t при
р>2 предполагается четным. Тогда Р°(х) = \(х).
Доказательство. Пусть у = е[а1] ...\a,]f£Bs >pt(Ci. Не-
посредственное, но весьма утомительное вычисление показывает,
что
Д ® У) = 2 (-1)”' v (-S)-1 («' [а[ I ... I а'] /') + Nz,
где сумма берется по симметричным слагаемым е' 0 ... 0 в',
aj 0 ... 0 а, и f 0 ... 0 /' итерированных копроизведений
(рассмотрение случая С = (%/р, (Z/p)G, Z/p), где G— некоторая
группа, и лемма 8.2 должны убедить читателя в правдоподобности
этого утверждения). Требуемый результат легко следует теперь
из определений. 
*) Прир=2 операция 7,,=Sq< совпадает с операцией Sq* из [9*]. Прир >
> 2, чтобы перейти от операций Р{ к операциям С. П. Новикова St<, достато-
чно для i-|-t=sO mod 2 положить
i+i
St'=P2 : Я». ‘	pi (С).
В частности, 8Ь*1 = ?{ и операции P,+t на группах Н*< 2<+1 (А совпадают
с операциями^ St2*-1. — Лриж. ред.
222
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Дж. П. МЭЙ
Замечание 11.11. Довольно громоздкое вычисление показывает,
что если р>2 и ж£Я1,2/(С), где C = (Z/p, A, Z/р), то
—Р-Р0 (х) — <(я:Х> гДе <а:/> — элемент, определенный в замечании 6.9.
Возможно, что —рР’* (ж) = (ху для любого х £ Я2,+1> 21 (С) и любого
объекта С категории $7 но доказать это, по-видимому, трудно.
ЛИТЕРАТУРА »)
[1] Адамс Дж. Ф. (Adams J. F.) On the structure and applications of the
Steenrod algebra. — Comment. Math. Helv., 1958, 32, № 3, p. 180—214.
г[2] Адем Ж. (Adem J.) The relations on Steenrod powers of cohomology
classes. Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of
S. Lefschetz. — Princeton Univ. Press, 1957, p. 191—238.
r [3] Араки С., Кудо T. (Araki S., Kudo T.) Topology of Я-spaces and Я-squa-
ring operations. — Mem. Fac. Sci. Kyusyu Univ., Ser. A, 1956, 10,
p. 85—120.
[4] Браудер В. (Browder W.) Homology operations and loop spaces. — Ill.
J. Math., 1960, 4, № 3, p. 347-357.
[5]’Дайер E., Лашеф P. (Dyer E., Lashof R. K.) Homology of iterated loop
spaces. — Amer. J. Math., 1962, 84, № 1, p. 35—88.
f6] Джекобсон H. (Jacobson N.) Алгебры Ли. — M.: Мир, 1964 (1962).
[7]	Дольд A. (Dold A.) Uber die Steenrodschen Kohomologieoperationen. —
Ann. Math., 1961, 73, s. 258—294. [Имеется перевод: О когомологиче-
ских операциях. — Математика, 1963, 7:6, с. 13—48.]
[8]*Кохмэн~С. (Kochman S.) Ph. D. Thesis. — Univ, of Chicago, 1970.
[9]*Крэйнс Д. (Kraines D.) Massey higher products. — Trans. Amer. Math.
Soc., 1966, 124, p. 431—449.
[10]	Кудо T. (Kudo T.) A transgression theorem. — Mem. Fac. Sci. Kyusyu
Univ., Ser. A, 1956, 9, p. 79—81.
[11]	Люлевичус A. (Liulevicius A.) The factorization of cyclic reduced powers
by secondary cohomology operations. — Mem. Amer. Math. Soc., 1962,
№ 42.
[12]	Маклейн C. (MacLane S.) Гомология. — M.: Мир, 1966 (1963).
[13]	Милнор Дж., Мур Дж. (Milnor J., Moore J. C.) On the structure of Hopf
algebras. — Ann. Math., 1965, 81, p. 211—264.
[14]	Мур Дж. (Moore J. C.) Constructions sur les complexes d’anneaux. —
Seminaire Henri Cartan, 1954—1955.
[15]	Мэй Дж. (May J. P.) Simplicial objects in algebraic topology. — Prince-
ton: Van Nostrand Company, 1967.
[16]	—The geometry of iterated loop spaces. Leet. Notes in Math., 271.—
Berlin; Heidelberg; N. Y.: Sprmger-Verlag, 1972. [Имеется перевод:
Геометрия итерированных пространств петель. — В кн.: Бордман Дж.,
Фогт Р. Гомотопически инвариантные структуры на топологических
пространствах, М.: Мир, 1977, с. 267—403.]
[17]	— Homology operations in infinite loop spaces. — Proc. Symp. Pure
Math., 1971, 22, p. 171—186.
[18]	— Classifying spaces and fibrations. — Mem. Amer. Math. Soc., 1975,
155,
[19]	Нисида Г. (Nishida G.) Cohomology operations in iterated loop spaces. —
Proc. Japan Acad., 1968, 44, № 3, p. 104—109.
[20]	Придди C. (Priddi S.) Primary cohomology operations for simplicial Lie
algebras. — Ill. J. Math., 1970, 14, № 4, p. 585—612.	j f
*) См. подстрочное примечание на стр. 149. —тПрим. ред.
литература
223
[21]	Серр Ж.-П. (Serre J.-P.) Cohomologie modulo 2 des complexes d’Eilen-
berg-MacLane. — Comment. Math. Helv., 1953, 27, p. 198—232.
[22]	Спеньер Э. (Spanier E.) Алгебраическая топология. — M.: Мир, 1971
(1966).
[23]	Стинрод Н. (Steenrod N.) Products of cocycles and extensions of map-
pings. — Ann. Math., 1947, 48, № 2, p. 290—320.
[24]	— Reduced powers of cohomology classes. — Ann. Math., 1952, 56, № 2,
p. 47-67.
[25]	— Homology groups of symmetric groups and reduced power opera-
tions. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1953, 39, p. 213—223.
[26]	— Cyclic reduced powers of cohomology classes. — Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1953, 39, № 3, p. 217-223.
[27]	— Cohomology operations derived from the symmetric group. — Com-
ment. Math. Helv., 1957, 31, p. 195—218.
[28]	Стинрод H., Эпстейн Д. (Steenrod N., Epstein D. B. A.) Cohomology
operations. — Princeton University Press, 1962. [Перевод иа русский
содержится в настоящей книге.]
[29]	Хирш Г. (Hirsch G.) Quelques propriety des produits de Steenrod. —
C. R. Acad. Sci. Paris, 1955, 241, p. 923—925.
[30]	Эпстейн Д. Б. Э. (Epstein D. B. A.) Steenrod operations in homological
algebra. — Invent. Math., 1966, 1, № 2, p. 152—208.
Дополнение 2
В. М. Бухштабер
АЛГЕБРА СТИНРОДА - ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА
СУПЕРГРУППЫ р-АДИЧЕСКИХ
ДИФФЕОМОРФИЗМОВ ПРЯМОЙ
Из аксиоматического определения алгебры Стинрода (см. § 1
гл. I и § 1 гл. VI) вытекает, что для каждого топологического
пространства X определено представление ее в алгебру линейных
операторов градуированного ТЛр-векторного пространства
Н* (X; Z/p). Таким образом, алгебру Стинрода можно рассмотреть
как объект суперматематики, в основе которой лежит математи-
ческий анализ на градуированных пространствах (см. [2]).
В [1] исследована связь алгебры когомологических операций
в кобордизмах с фундаментальным объектом классического мате-
матического анализа — группой диффеоморфизмов прямой. Да-
лее мы докажем результат, формулировка которого вынесена
в заглавие. Основная цель этого дополнения — показать, что для
изучения представлений алгебры Стинрода можно использовать
геометрическую интуицию и подходы теории представлений
групп^Ли. Все необходимые определения будут даны ниже, так
что знакомство с суперматематикой фактически не важно. Гео-
метрические объекты в суперматематике мы будем задавать через
их кольца функций. Обратим внимание, что все рассматриваемые
ниже функции будут принимать значения во внешней алгебре
А над Z/p (где р — простое нечетное число) с образующими 1,
deg 1=0, и К, deg Х=—1.
Таким образом, основным кольцом скаляров будет градуиро-
ванная Z/р-алгебра Л = А-1 -|- Л°, IgA0, kg Л”1. Кольца функций
и их гомоморфизмы будут градуированными Л-модулями и градуи-
рованными Л-гомоморфизмами соответственно. Далее для сокраще-
ния текста мы по возможности не будем напоминать об этом.
Обозначим через Р(п) кольцо полиномов над Z/p от п обра-
зующих, п — 1, 2, ..., оо, через Р(п)— соответствующее кольцо
формальных рядов с обычной топологией и через А (п) — внешнюю
алгебру над Z/p от п образующих, n = 1, 2, ..., оо.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Суперпрямой (или, короче, прямой) V1
над Л называется градуированное топологическое кольцо 0 (F1) =
=Л.0 (Р(1)® Л(1)) с полиномиальной переменной t, degt = 2,
и внешней переменной т, degx = l.
Набор мономов и = 1, 2, ..., е = 0, 1} задает топологи-
ческий базис Л-модуля 0 (V1). Используя разложение по этому
базису, можно любую функцию /(£, 'с)Е^(Р) разложить в ряд
Тейлора:
(1)	flt+tv *-г-ч) = 2*ГСд.,т)-
АЛГЕБРА СТИНРОДА — ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА СУПЕРГРУППЫ
225
(1 дв \ д*
~п\~дйг)~д:сг—непРеРывны® Д-линейный эндоморфизм
кольца 0 (V1). Отметим, что, как и в случае классического ряда
Тэйлора, формула (1) служит основой для определения и изуче-
ния свойств операторов Д„ ,.
Обозначим через End (0 (Vх)) кольцо всех Д-линейных эндо-
морфизмов кольца 0 (V1), умножение в котором задается компо-
зицией эндоморфизмов. Легко проверить, что имеет место следую-
щий результат:
Лемма, 2. 1) Набор операторов Дв>1, n = 0, 1, 2, .... s =
= 0,1, deg Дв>, = — (2п -|“ ®)> г^е ло, о = 1 (тождественный опе-
ратор), образует топологический базис 0 (У^-модуля End(0(V1)).
2) Мультипликативная структура кольца End(^(V1)) пол-
ностью описывается соотношениями
&п, tAm, о “ \ п J Дп+т, 0’	0Д0, 1 = Дя, 1’
Д«. Г = 2 (?)	0. Д0. I*" = ^Д0. 1,
Дя, 0х = тДя, в> Д0, Iх = 1 хД0, !•
Для кратности положим Д„>О = ДВ и До1 = 8.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. 1) Отображением <р: V1 -► V1 прямой в себя
называется непрерывный кольцевой гомоморфизму: 0 (V1)0 (V1).
2) Диффеоморфизмом <р: V1-*?1 называется отображение, для
которого гомоморфизм <р: 0(VX) ->0(VX) является изоморфизмом.
Обозначим через G(VX) множество всех диффеоморфизмов пря-
мой Г1. Непосредственно из определений следует
Лемма, 4. Множество G(VX) является подгруппой мульти-
пликативной полугруппы кольца End (^ (Vх)).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Диффеоморфизм y(EG(Vx) называется р-
адическим, если его значения на образующих t и т имеют вид
? (О = * + 2	?('') = '' + S ^tp<,
<>о
где $<6 A0.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что множество
всех р-адических диффеоморфизмов прямой образует группу
G,(F)C6(F).
Для построения обёртывающей алгебры группы Gp (Vх) мы при-
меним метод универсальных формальных групп Ли. Рассмотрим
градуированное кольцо Я = Р(оо)(£)Л(оо) с полиномиальными
образующими	.... deg£< =—2(р{— 1), и внешними
образующими т0, тх, ..., т,., ..., deg = — 2р‘ 1. Положим
226
ДОПОЛНЕНИЕ 2. В. М. ВУХШТАБЕР
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. 1) Универсальным р-адическим диффео-
морфизмом прямой V1 называется кольцевой гомоморфизм
cp(t) =
(2)	<р:	(	.
<р (т) = Т 4- 2, TftP\
<»
При этом г'^1, и х(, i^O— образующие колец Р(оо) и Л(оо)
соответственно — называются универсальными параметрами диф-
феоморфизма.
2) Универсальной композицией р-адических диффеоморфизмов
<рх и <ра с универсальными параметрами (Ех<, тх<) и ($ау, т2у) соответ-
ственно называется кольцевой гомоморфизм
0(Р)	Ж®л0(Р) —* Ж®л(Ж®л0(Р)):
* ~ ?Х (*) = * + 2 ЫР‘ ?2 (0 + 2	(0р< =
=«-f-2( 2
я>1 \<+/=я	J /
т ь» <Рх (т) = Т 4- 2 V₽< ?2 W + 2^ li?2 (0Р‘ =
=*+2(1®^+ 2
где Sio=^2o=1 €Л°-
Непосредственно из построения следует, что кольцевой гомо-
морфизм
Ф: Н^Н®Н,
5Г(5В) = 2?1<®^,	п>1,
Я^) = 1®^.+2^®^. »>о,
задает в кольце Н структуру алгебры Хопфа над Z/p, относи-
тельно которой гомоморфизм <р (см. (2)) задает в кольце О (У1)
структуру комодуля над Л-алгеброй Хопфа Ж = Л ® Н.
Заметим, что для того чтобы из универсального р-адического
диффеоморфизма прямой получить элемент группы Gp(P1), доста-
точно задать кольцевой Л-гомоморфизм q: -> Л, такой что
?('с<)бЛ“1* Рассмотрим множество А градуированных
Л-линейных гомоморфизмов -> Д, у которых все однородные
составляющие чётномерны, т. е. А = Нот^5т(Ж, Л) =
= Ношчёт(Я, Л). Непосредственной проверкой легко убедиться,
что имеет место
Лемма, 7. Соответствие Н А =Нотч8т (Н, Л)’ переводит
алгебру Хопфа Н в алгебру Хопфа, канонически изоморфную
двойственной алгебре Хопфа ZT*=Hom (Н, Up}.
Цэ предыдущих вычислений вытекает следующий результат;
АЙГЁБРА СТИНРОДА — ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА СУПЕРГРУППЫ 227
Теорема. 8. Существует мономорфизм т: Gp (У1) -> А Н*
группы р-адических диффеоморфизмов прямой Gp (У1) в мульти-
пликативную полугруппу алгебры Хопфа А, образ которозо со-
ставляют все элементы из А, соответствующие кольцевым гомо-
морфизмам Н -+ А.
Теорема 9. Алгебра Хопфа А изоморфна алгебре Стинрода 21.
Теоремы 8 и 9 согласно общим фактам теории представлений
дают результат, формулировка которого вынесена в заглавие
данного приложения. Теорема 9 вытекает из леммы 7, если вос-
пользоваться теоремой 2 из приложения к основному тексту,
доказательство которой опирается на описание алгебры Стинрода
в терминах ее образующих и соотношений между ними.
Для того чтобы показать возможности методов, описанных
в даннОхМ дополнении, мы приведем доказательство теоремы 9,
опирающееся только на факты о представлении алгебры Стинрода
на кольце когомологий линзового пространства (см. § 2 гл. VI).
Как и в основном тексте, упорядочим множество последователь-
ностей / = (е0, »х, ех, ..ik, е&, 0, ...) лексикографически справа
налево. Положим ($, t)z = -фБфтф ... Мономы (I, х)1 образуют
аддитивный базис топологического Z/p-модуля Н. Обозначим
через Pj £ А элемент, двойственный моному (|, х)1 относительно
этого базиса. Тогда любой элемент а£А можно представить
в виде Sa ((В, tfjPi, где a((?, -t)z)£A, причем dega((?, t)z) =
^deg($, ху mod 2.
Следствие 10» Мономорфизм у: GJ,(V1)->A сопоставляет
диффеоморфизму с параметрами (В<, i^l, А0, i^O,
£ А"1) элемент S (?. t)z Pi € А.
Рассмотрим следующие два важных диффеоморфизма (ЕвДУ1),
i —1 2*
<p1={<p1(i)=:f4-i?> <р1(т) = т),
<P2={<Pa(0==f> <P2('t) = 'C + ^}-
Тогда у (<рх) = 2 Р" & Т (fa) — Р° гДе Р° — тождественный
оператор, (Р*,	(3} — мультипликативные образующие ал-
гебры А.
Доказательство тзеоремы 9. Опишем сначала представ-
ление алгебры А на кольце б (У1). Для этого укажем вид гомо-
морфизма I: GJ,(y1)-*End(^(y1)), а затем продолжим его до
гомоморфизма обёртывающей алгебры L: A ->End(0(y1)). Пусть
/(£, т)^^(Ух). Тогда, согласно разложению в ряд Тэйлора (1),
?!(/(«> *))=/(*+*”, ^)= ^)-
»>0
?a(f (г, ')) = /(«. x +	+	4
Следовательно,	и I (сра) = До -|- Xt8. Сопоставляя
п>0
228
ДОПОЛНЕНИЕ 2. В. М. ЕУХШТАВЕР
эти формулы с формулами для у, получаем
Перейдем теперь к представлениям алгебры Стинрода. Рассмот-
рим теорию когомологий #*(•; Л) с коэффициентами в нашем
кольце скаляров Л. Тогда для пространства X любой элемент
х^Н*(Х-, Л) можно однозначно представить в виде
Z/р), i = 0, 1. Определим представление алгебры Стин-
рода 21 на Л-модулях Я*(Х;Л), положив а(х)=а(х0)+(—l)deseXa(®1)
для каждого однородного элемента а £ 21. Следуя основному тек-
сту, возьмем в качестве X линзовое пространство L®. Тогда
Z/p)^A® Р(1)® Д(1).
Отождествив кольцо H*(L™', Л) с 0(Vl), мы получаем, что опи-
санное выше представление алгебры А на 0 (V1) совпадает с пред-
ставлением алгебры Стинрода на кольце Я*(£"; Д) (см. § 2 гл. VI).
В гл- VI было показано, что алгебраическая структура алгебры
Стиврода 21 полностью восстанавливается по ее представлению
в алгебру линейных операторов кольца когомологий Н*(Х; %1р),
где X = X ... X (п раз). Это представление реализуется
на кольце Л®Р(п)®Л(в), п^оо, и совпадает с диагональным
представлением алгебры А, соответствующим рассмотренному выше
представлению ее на кольце 0 (V1). Таким образом, мы показали,
что алгебры А и 21 изоморфны. Теорема 9 доказана.^
Напомним, что когомологические операции, действующие
на кольцах когомологий как кольцевые гомоморфизмы, называ-
ются мультипликативными. Обозначим через G® (V1) подгруппу
группы Gp (V1), составленную из всех р-адических диффеомор-
физмов прямой, у которых нечетномерные параметры нулевые.
Теорема 11. Группа Gp (V1) изоморфна подгруппе в алгебре
Стинрода, составленной из всех мультипликативных когомологи-
ческих операций в теории когомологий Н* (•; Л); при этом под-
группа (0) изоморфна подгруппе всех мультипликативных
операций в обычной теории когомологий Я* (•; Л°), где Л° «
Доказательство следует из построения и свойств мономор-
физма у.Я
ЛИТЕРАТУРА
[1]	Бухштабер В. М., Шокуров А. В. Алгебра Ландвебера — Новикова и
формальные векторные поля на прямой. — Функц. анализ и его прил.,
1978, 12, № 3, о. 1—11.
[2]	Лейтес Д. А. Введение в теорию супермногообразий. — УМН, 1980,
35, № 1 (211), с. 3—57.
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
[1*] Атья М. (Atiyah М.) Лекции по А-теории. — М.: Мир, 1967 (1965).
[2*] Брекер Т., Дик Т. (Brocker Т., Dieck Т.) Kobordismentheorie. Leet.
Notes Math., 178.— Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1970.
[3*] Бухштабер В. M. Новые методы в теории кобордизмов. — В книге:
Стоит Р. Заметки по теории кобордизмов. — М.: Мир, 1973.
[4*] Дик Т. (Dick Т.) Steenrod Operationen in Kobordismtheorien. —
Math. Z., 1968, 107, p. 380—401.
[5*] Милнор Дж., Сташеф Дж. (Milnor J. W., Stasheff J. D.) Характери-
стические классы. — M.: Мир, 1979 (1974).
[6*] Мошер Р., Тангора М. (Mosher R. Е., Tangora М. С.) Когомологические
операции и их приложения в теории гомотопий. — М.: Мир, 1970
[7*] Мадсен И., Милгрэм Р. (Madsen I., Milgram R. J.) Classifying spaces
for surgery and cobordism of manifolds. — Princeton, N. J.: Princeton
Univ. Press, 1979. [Готовится перевод в издательстве «Мир».]
[8*] Мэй Дж. П. (May J. Р.) Homology operations on infninite loop spaces. —
Proc. Symp. in Pure Math., AMS, 22, 1971, p. 171—185.
[9*] Новиков С. П. О когомологиях алгебры Стинрода. — ДАН СССР,
1959, 128, № 5, с. 893-895.
[10*] Постников М. М. Исследования по гомотопической теории непрерыв-
ных отображений, I—III. — I, II: Труды МИАН, 1955, 66; III:
Мат. сб., 1956, 40 (82), с. 415-452.
[11*] Стинрод Н. (Steenrod N.) Cohomology operations and obstructions to
extending continuous functions. — Princeton, N. J.: Princeton Univ.
Press. 1957. [Имеется перевод: Когомологические операции и препят-
ствия к продолжению непрерывных функций. — Математика, 1958,
2:6, с. 11-48.]
[12*] Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая тополо-
гия. — М.: Изд-во МГУ, 1969.
[13*] Шварц Дж. (Schwartz I.) Дифференциальная геометрия и топология. —
М.: Мир, 1970 (1968).
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ............... ............	3
Предисловие ................................................ 6
Глава I. Аксиоматическое построение алгебры Стинрода ....	9
§ 1.	Аксиомы............................................ 9
§ 2.	Проективные пространства.......................... 11
§ 3.	Определения. Базис допустимых мономов............. 14
§ 4.	Неразложимые элементы ............................ 18
§ 5.	Инвариант Хопфа .................................. 20
Глава II. Алгебра, двойственная к алгебре 21 (2)........... 24
§ 1.	Алгебра 21 (2) является алгеброй	Хопфа ........... 24
§ 2.	Структура двойственной алгебры	.............. 27
§ 3.	Идеалы ........................................... 30
§ 4.	Антиавтоморфизм с ...................	33
§ 5.	Нестабильные 21-модули ........................... 34
Глава III. Вложения пространств в сферы.................... 37
§ 1.	Теорема Тома ..................................... 37
§ 2.	Теорема Хопфа .................................... 42
Глава IV. Когомологии классических групп и многообразий
Штифеля................................................. 44
§ 1.	Определения....................................... 44
| 2.	Клеточная структура многообразий Штифеля.......... 47
§ 3.	Кольцо	Понтрягина группы G (п).................... 51
§ 4.	Кольцо	когомологий Н* (G (п, к)',	R).............. 55
§ 5.	Кольцо	Понтрягина групп 80 (п)	и SU (п)........... 58
§ 6.	Когомологические операции в	многообразиях Штифеля 60
§ 7.	Векторные поля на сферах.......................... 62
Глава V. Эквивариантные когомологии........................ 65
§ 1.	Цепные комплексы с действием группы............... 65
§ 2.	Когомологии групп ................................ 67
§ 3.	Правильные отображения ........................... 69
§ 4.	Умножения ........................................ 71
§ 5.	Циклическая группа................................ 74
§ 6.	Симметрическая группа ............................ 76
§ 7.	Гомоморфизм переноса ............................. 78
Глава VI. Аксиоматическое описание алгебры 21 (р).......... 83
§ 1.	Аксиомы .......................................... 83
§ 2.	Определение и свойства алгебры 21 (р)............. 84
§ 3.	Структура двойственной алгебры.................... 89
§ 4.	Идеалы ........................................... 93
§ 5.	Гомотопические группы сфер........................ 96
§ 6.	Последовательность Вана.......................... 101
ОГЛАВЛЕНИЕ
231
Глава VII. Построение приведенных степеней.................. 104
§ 1.	Интуитивные идеи, лежащие в основе [построения ....	104
§ 2.	Построение ........................................ 106
§ 3.	Циклические приведенные степени ................... 110
§ 4.	Гомоморфизм переноса .............................. 112
§ 5.	Вычисление операции DqlJ)_u........................ 116
§ 6.	Приведенные степени Стинрода Р1 и Sq*.............. 120
Глава VIII. Соотношения Адема и теорема единственности 123
§ 1.	Соотношения Адема ..................................... 123
§ 2.	Распространение операций на другие теории когомологий 131
§ 3.	Теорема единственности ................................ 134
Приложение. Алгебраический вывод некоторых евойств алгебры
Стинрода ................................................. 143
Литература ................................................................... 149
Дополнение 1. Дж. П. Мэй. Общий алгебраический подход
к операциям Стинрода ..................................... 151
§ 0.	Введение ........................................................... 151
§ 1.	Предварительные сведения из алгебры; эквивариантные
гомологии ............................................... 152
§ 2.	Определение и простейшие свойства рассматриваемых опе-
раций ................................................... 157
§ 3.	Цепные операции, надстройка и спектральные последова-
тельности ............................................... 162
§	4.	Соотношения Адема..................
§	5.	Переиндексация для когомологий . 176
§ 6.	^-умножения, операции Браудера и высшие гомомор-
физмы Бокштейна.......................................... 178
§	7.	Категория симплициальных А-модулей. 186
§	8.	Симплициальные множества и симплициальные ограничен-
ные алгебры Ли........................................... 193
§ 9.	Двойственные гомологические	операции; теорема Нисиды 198
§ 10.	Когомологии пространств К (л, п) и аксиоматика опера-
ций Р*................................................... 207
§ 11.	Кокоммутативные	алгебры	Хопфа ....................... 213
Литература................................................................ 222
Дополнение 2. В. М. Вухштабер. Алгебра”' Стинрода — обёр-
тывающая алгебра супергруппы р-адических диффеоморфизмов
прямой.................................................... 224
Литер	атура.............................................................  228
Литература, добавленная при	переводе	  229
Норман Э. Стинрод
Давыд В. А. Эпстейн
КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Редактор В. И, Авербух
Техн, редактор Е. В. Морозова
Корректор Н. Д. Дорохова
ИВ ТА 11901
Сдано в набор 11.05.82. Подписано к печати 20.12.82. Формат 60x90Vi«.
Бумага тип. ТА 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. У слови,
печ. л. 14,5. Уч.-изд. л. 15,09. ТиражбООО эка. Заказ ТА 1327. Цена 1 р. 80 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая типография издательства «Наука»
199034, Ленинград, Б-34, 9 линия, 12