В. 3. ПАРТОН, П. И. ПЕР ЛИН
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ИНВ №• 33 \
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В j
ОДНИРУХИИ2ХВДР? \
вшвяшкугт*
КОЛОХЗА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1977

531
П 18
УДК 539.30
Интегральные уравнения теории упругости.
Партон В. 3., Перл нн П. И. Главная редак-
редакция физико-математической литературы издательства
«Наука», М., 1977, 312 стр.
В монографии излагаются результаты иовейших
исследований по теории сингулярных и регулярных
интегральных уравнений, используемых при решении
плоских и пространственных статических задач
теории упругости. Приводится вывод самих уравне-
уравнений с построением вычислительных алгоритмов для
их решения. Изложение сопровождается обширным
расчетным материалом.
Монография рассчитана на научных работников,
инженеров, аспирантов и студентов старших курсов,
специализирующихся по теории упругости и ее при-
приложениям.
Табл. 12, илл. 23, библ. 384.
20304—138 © Главная редакция
И—Z —"-140-// физико-математической литер
053@2)-// издательства «Наука», 1977

ОГЛАВЛЕНИЕ
Д. И. Шерман. О становлении методов интегральных уравнений в теории
упругости 5
Предисловие авторов 15
Глава I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ
И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Аналитическая теория резольвенты 17
§ 2. Интеграл типа Коши 31
§ 3. Краевая задача Римана 43
§ 4. Сингулярные интегральные уравнения 49
§ 5. Краевая задача Римана в случае разрывных коэффициентов и
разомкнутых контуров 60
§ 6. Сингулярные интегральные уравнения в случае разрывных коэф-
коэффициентов и разомкнутых контуров 68
§ 7. Двумерные сингулярные интегралы 71
§ 8. Двумерные сингулярные интегральные уравнения 86
Глава II
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 9. Общие вопросы теории приближенных методов 95
§ 10. Метод последовательных приближений 102
§ 11. Метод механических квадратур для регулярных интегральных
уравнений 108
§ 12. Приближенные методы решения сингулярных интегральных урав-
уравнений 112
§ 13. Приближенные методы решения сингулярных интегральных урав-
уравнений (продолжение) 118
Глава III
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 14. Пространственная задача 125
§ 15. Плоская задача 135
§ 16. Изгиб тонких пластин 141
§ 17. Об особых решениях уравнений теории упругости 146
Глава IV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 18. Интегральные уравнения Мусхелишвили 151
§ 19. Интегральные уравнения Шермана—Лаурнчеллы 155
§ 20. Интегральные уравнения Шермана —Лауричеллы (продолжение) . . 160
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 21. Многосвязные (двусвязные) области 164
§ 22. Задачи теории упругости для кусочно-однородных тел 167
Глава V
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 23. Задачи теории упругости для тел с разрезами 171
§ 24. Интегральные уравнения смешанных (контактных) задач 175
§ 25. Задачи теории упругости для тел, ограниченных кусочно-гладкими
контурами 177
§ 26. Метод сопряжения 180
§ 27. Метод сопряжения (продолжение) 184
Глава VI
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 28. Обобщенные упругие потенциалы 193
§ 29. Регулярные и сингулярные интегральные уравнения основных
пространственных задач 200
§ 30. Распространение альтернатив Фредгольма на сингулярные интег-
интегральные уравнения теории упругости 209
§ 31. Спектральные свойства регулярных и сингулярных интегральных
уравнений. Метод последовательных приближений 211
§ 32. Дифференциальные свойства решений интегральных уравнений и
обобщенных упругих потенциалов 217
§ 33. Приближенные методы решения интегральных уравнений основных
пространственных задач 219
§ 34. Задачи теории упругости для тел, ограниченных несколькими
поверхностями 227
§ 35. Кусочно-однородные тела 233
§ 36. Пространственные задачи теории упругости для тел с разрезами . . 240
§ 37. Решение задач теории упругости для тел, ограниченных кусочно-глад-
кусочно-гладкими поверхностями 249
§ 38. Смешанные (контактные) задачи 253
Заключение 259
Приложения 2G1
1. Программа решения второй основной задачи теории упругости при
осевой симметрии 261
2. Программа решения второй основной задачи теории упругости для
тела вращения при неосесимметричном нагружении 286
Основные обозначения 290
Литература 291
Предметный указатель 310

О СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Интенсивное развитие вычислительной техники протекает син-
синхронно и при все более углубляющемся взаимовлиянии и стиму-
стимулировании с разработкой универсальных методов решения задач
математической физики; в первую очередь среди таковых следует
указать методы конечных элементов и конечных разностей, полу-
получившие широкое распространение в инженерных расчетах. Однако
рассмотрение посредством этих методов с требующейся высокой
степенью точности задач повышенной трудности, к каковым зако-
закономерно относятся основные трехмерные задачи теории упругости,
а также двумерные — для областей достаточно сложной конфи-
конфигурации, на данном этапе часто представляется трудноосущест-
трудноосуществимым. В то же время нельзя не отдать должное этим методам;
благодаря своей простоте они доходчивы и доступны весьма ши-
широкому кругу прикладников, и в перспективе неуклонному усо-
усовершенствованию ЭВМ будет неизменно и во все возрастающей
степени сопутствовать и развитие тех же методов.
В настоящее время в затруднительных случаях более пред-
предпочтительными оказываются иные методы и среди них — глав-
главным образом метод интегральных уравнений (как регулярных,
так и сингулярных).
Нам хорошо памятно то время, когда почти любой автор, зани-
занимающийся какой-либо нетривиальной задачей теории упругости,
считал чуть ли не делом своей чести свести ее во что бы то ни стало
к фредгольмову уравнению второго рода. После этого он склонен
был, по меньшей мере, полагать свое исследование завершенным в
теоретическом плане, не касаясь фактической реализации реше-
решения. (Пожалуй, кое-кто сейчас будет удивляться сказанному.)
В сложной и в общем многоступенчатой процедуре приве-
приведения разнообразных задач математической физики к разреши-
разрешимым фредгольмовым интегральным уравнениям второго рода роль
одного из узловых звеньев следует по праву отнести к построению
так называемого фундаментального (вспомогательного) решения —
функции (или матрицы), зависящей от двух точек и удовлетворя-
удовлетворяющей по координатам по крайней мере одной из этих точек исход-
исходному дифференциальному уравнению (или системе уравнений).

6 О СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аппарат построения таких фундаментальных решений отнюдь
не составляет секрета и в известной мере продвинут. Между тем
порой (главным образом в трехмерных задачах) фундаментальные
решения получаются настолько тяжеловесными и труднообозри-
труднообозримыми, что сама собой отпадает всякая мысль об их непосредствен-
непосредственном использовании по назначению. Появляется настоятельная
необходимость предварительно подвергнуть допустимым упроще-
упрощениям структуру фундаментального решения, дабы сделать его
более или менее приемлемым в обращении. Занявшись этим, нужно
всячески оберегать неизменность его главной части, собственно,
и определяющей приведение находящейся в поле зрения задачи
к уравнению Фредгольма второго рода. Естественно, получаемая
окончательная (весьма урезанная и обкромсанная) форма преж-
прежнего фундаментального решения уже не будет таковым в общепри-
общепринятом смысле этого слова, но мы все же условимся сохранить и
за ней это наименование.
Далее осуществляется переход к завершающей фазе, т. е. к по-
построению должного представления для искомой функции (вектор-
функции); она принимается в виде интеграла, взятого по границе
тела и заключающего под своим знаком произведение фунда-
фундаментального решения на некую (еще неизвестную) функцию, назы-
называемую плотностью. Таким образом сконструированное представ-
представление и принято называть потенциалом.
Как известно, простейшие из них, так называемые потенциалы
простого и двойного слоя сплошь и рядом используются во многих
и особенно классических гармонических задачах. В свое время
эти потенциалы были подвергнуты доскональному и скрупулез-
скрупулезному изучению в фундаментальных трудах А. М. Ляпунова для
весьма широкого класса поверхностей, названных его именем.
Имея в своем распоряжении указанным образом обработанное
выражение для упругого потенциала и переходя к краевым усло-
условиям задачи, получаем для определения плотности интегральное
уравнение Фредгольма второго рода.
Теперь на передний план в качестве очередной, никак не менее
серьезной, заботы выступает животрепещущий вопрос о разреши-
разрешимости полученного уравнения. Отнюдь не всегда сразу удается
ответить на него определенно, — это, как правило, связано со спе-
специфическими и порой немалыми трудностями. Если вопреки ожи-
ожиданиям, основанным на некоторых не вполне твердых соображениях,
обнаруживается, что изучаемое интегральное уравнение нераз-
неразрешимо, то возникают новые осложнения; они устраняются, когда
это вообще удается, по-разному, точнее, двояким образом. С одной
стороны, можно предпринять попытки таким образом видоизме-
видоизменить представление, чтобы в итоге добиться подлинной предста-
представимости искомого решения посредством итогового потенциала.
Если же такой путь оказывается не в меру затруднительным и

О' СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7
не приводит к цели, имеет смысл попытаться произвести модифи-
модификацию самого уравнения, внеся в него некие, насколько можно,
элементарные операторы, зависящие от искомой плотности; послед-
последние должны быть нарочито подобраны так, дабы, не меняя существа
дела (т. е. не отклоняясь от поставленной задачи), устранить при-
присущие интегральному уравнению собственные функции. Иной раз
исследователь оказывается вынужденным прибегнуть к обоим
приемам. Именно такой образ действия привел к положительному
результату при обсуждении первой основной трехмерной задачи
теории упругости.
Разумеется, подобного рода модернизация интегрального урав-
уравнения совсем не проста и часто требует длительных раздумий и
неоднократных опробований; причем это почти столь же, а кое-
когда, может быть, и не менее сложно, нежели выполнение рекон-
реконструкции фундаментального решения; вообще, и то и другое, даже
при наличии укоренившихся навыков, в изысканиях подобного
рода, не удается реализовать без ощутительной затраты усилий;
к сожалению, нередко они все же оказываются безуспешными.
Остановимся вкратце на современном состоянии теории интег-
интегральных уравнений применительно к основным пространствен-
пространственным задачам упругого равновесия — теме весьма актуальной для
приложений и достаточно подробно освещаемой в книге.
Вскоре после создания Э. И. Фредгольмом названной его име-
именем теории интегральных уравнений второго рода и их успешного
применения к исследованию краевых задач Дирихле и Неймана *)
начали предприниматься усиленные попытки для осуществления
аналогичного анализа и в случае основных задач теории упругости.
Для первой основной трехмерной задачи (при заданных смеще-
смещениях) это удалось сделать Дж. Лауричелле в 1907 г. посредством
выбора подходящего фундаментального решения. По первому впе-
впечатлению этот выбор представляется в достаточной мере искусствен-
искусственным; на самом деле он осуществляется более или менее законо-
закономерно и на базе доходчивых соображений. Как было показано самим
Лауричеллой, его уравнения всегда разрешимы для любого конеч-
конечного тела, ограниченного одной поверхностью. При некотором весьма
несложном видоизменении этих уравнений, отмеченном чуть выше,
они оказываются разрешимыми как для конечного тела, так и для
бесконечного и при наличии нескольких ограничивающих поверх-
поверхностей.
К сожалению, намного сложнее обстоит дело с построением
регулярных интегральных уравнений для трехмерной задачи
с заданными внешними напряжениями. Г. Вейль построил в 1915 г.
'*) Заметим, что для наиболее общего случая, когда тела ограничены
несколькими поверхностями Ляпунова, углубленное и всестороннее исследование
таких уравнений было осуществлено в работах Н. М. Понтера.

8 О СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
для этой задачи сравнительно простые фредгольмовы уравнения
применительно к конечной области, ограниченной одной замкнутой
выпуклой поверхностью. Однако и по настоящее время они еще
не упорядочены в такой мере, которая допускала бы безоглядное
применение к ним имеющихся вычислительных алгоритмов. Далее
тот же автор указал, каким образом следует модифицировать полу-
полученные уравнения, дабы в принципе сделать их пригодными для
произвольной трехмерной области. К сожалению, этот путь нелегок,
связан с обращением к тензору Грина и приводит к труднообо-
труднообозримым уравнениям, малодоступным как прямому исслгдованию,
так и использованию по назначению.
В свое время многим казалось вероятным, по крайней мере
на первый неискушенный взгляд, что приведение краевых задач
теории упругости к регулярным интегральным уравнениям можно
осуществить также и более наглядными и простыми средствами,
беря в качестве фундаментальных решений весьма элементарные
образования. Чаще всего за таковые пытались принимать решения
пространственной задачи при воздействии сосредоточенных силы и
момента. Однако многие, отправляясь от этих вспомогательных
решений, вскоре разочаровывались, ибо получавшиеся таким
путем уравнения оказывались нерегулярными и выпадали из
класса фредгольмовых. Обычно это обстоятельство действовало
отпугивающе на подавляющее большинство зачинателей и они
быстро ретировались. Теперь со значительным опозданием надобно
признать, что, к общему удовлетворению, нашлись все-таки более
прозорливые исследователи, которые не убоялись неизведанных
трудностей и неясной перспективы и посвятили долгое время доско-
доскональному изучению уравнений указанного типа. В итоге была
создана строгая теория так называемых сингулярных интеграль-
интегральных уравнений одного или большего числа измерений, получив-
получившая широкое признание и выкристаллизовавшаяся в виде самосто-
самостоятельного раздела общей теории интегральных уравнений. Такого
рода уравнения были построены и скрупулезно обследованы при-
применительно к основным задачам теории упругости. Неукосни-
Неукоснительно установленный факт применимости к этим уравнениям
альтернатив Фредгольма ощутительно способствовал глубокому
уяснению их структуры и, более того, установлению ряда их
важных спектральных свойств. После этого стала достаточно
очевидной возможность практического использования этих урав-
уравнений.
Надобно отметить, что сингулярные уравнения, как таковые,
уже давно привлекали к себе внимание; ими занимались столь
блистательные математики, как Пуанкаре и Гильберт; они интере-
интересовались преимущественно случаем, когда ядро имеет вид.ко-
вид.котангенса. Позже общая теория таких уравнений была построена
Ф. Нетером.

О СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ »
Исключительна роль превосходной работы Т. Карлемана A922 г.)
в развитии теории сингулярных уравнений с ядром Коши. Она
снискала огромную известность среди теоретиков и получила
распространение также и среди широкого круга прикладников.
Впервые им было дано в замкнутой форме с поразительным изя-
изяществом и простотой решение одного важного типа сингулярных ин-
интегральных уравнений, что открыло путь к эффективному рас-
рассмотрению широкого класса смешанных задач математической
физики.
Значителен вклад Н. И. Мусхелишвили, а равно и близко
примыкающих к нему других крупных исследователей, в раз-
развитие собственно теории одномерных сингулярных уравнений
и ее приложений в разнообразных вопросах математической
физики.
И все же поначалу сингулярные уравнения могли устра-
устрашить многих и, разумеется, в особенности из впервые встре-
встретившихся с ними прикладников. Однако постепенно распознав
и прочувствовав природу их свойств, начинали не только свы-
свыкаться с ними, но и постигать, сколь широк диапазон охватыва-
охватываемых ими вопросов математической физики. Конечно, все это при-
приходило и усваивалось не сразу, а лишь со временем, после дол-
долгих и напряженных раздумий. Уместно подчеркнуть, что попытка
проанализировать некоторые избранные задачи теории упругости
посредством фредгольмовых уравнений второго рода, пусть даже
нарочито приноровленных и мастерски сконструированных, иной
раз может оказаться технически несколько более затрудненной,
нежели посредством само собой напрашивающихся для тех же задач
сингулярных уравнений. (Дабы не быть превратно понятым, за-
заметим, что легко можно привести примеры, когда имеет место
как раз обратное.)
Обратим внимание на одно обстоятельство, также способство-
способствовавшее настороженности (и не только прикладников) в отношении
сингулярных интегральных уравнений. Аппарат интегральных урав-
уравнений по сути своей предусматривает приближенную, как правило,
численную реализацию. Вопрос же о вычислении сингулярных интег-
интегралов, особенно двумерных, который не может не быть решающим,
когда речь идет о приложении тех или иных алгоритмов, вплоть
до недавнего времени оставался открытым. Кроме того, требова-
требовалось внесение подчас весьма серьезных, принципиальных коррек-
корректив в известные доказательства сходимости тех или иных методов
приближенного решения, применявшихся ранее к регулярным
уравнениям.
Следует напомнить, что намечавшийся перелом в оценке перс-
перспективности сингулярных интегральных уравнений нашел долж-
должное отражение в нашей обзорной статье (см. Тр. Всесоюзного съезда
по теоретической и прикладной механике, Изд-во АН СССР, 1962)»

10 О СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДОЙ ИНТБ.ГРА'ЛЪНЫК- УРАВНЕНИЙ
Что же касается основных двумерных (плоских) задач теории
упругости, то здесь, естественно, дело обстояло намного более
благоприятно. Разными авторами были получены в случае основ-
основных задач регулярные интегральные уравнения. Они были в свое
время досконально изучены и поныне находят достаточно широкое
использование в приложениях. :
Не упуская подвернувшийся к месту случай, подчеркнем и
тут общеизвестные выдающиеся заслуги Г. В. Колосова в разви-
развитии теории упругости; на работах его, а также и Н. И. Мусхе-
лишвили в значительной степени покоится созданный многими
научными работниками специализированный и разветвленный ап-
аппарат для комментирования разнообразных сложных задач дву-
двумерной теории упругости.
К числу наиболее весомых достижений следует отнести работу
В. А. Фока A926 г.), впервые применившего конформные отобра-
отображения с целью привести плоскую задачу для односвязной конечной
области к уравнению Фредгольма второго рода (ранее Лауричелла
непосредственно свел ту же задачу к иному по структуре урав-
уравнению Фредгольма, не прибегая к конформному отображению).
Естественно, подходы, разработанные для построения сингу-
сингулярных интегральных уравнений пространственных задач, оказа-
оказалось возможным заимствовать применительно к плоским задачам,
что и привело в итоге к соответствующим одномерным сингуляр-
сингулярным уравнениям. Отметим также, что сингулярные интеграль-
интегральные уравнения без особых затруднений конструируются при
рассмотрении задач со смешанными краевыми условиями и при
наличии в телах криволинейных разрезов произвольной конфигу-
конфигурации.
Наряду с указанными исследованиями и по настоящее время
интенсивно ведутся работы по специальным классам задач трех-
трехмерной теории упругости; впрочем, они тоже зиждутся на приме-
применениях в той или иной форме интегральных уравнений. К примеру
сказать, нельзя обойти вниманием значительное количество работ,
в которых при помощи суперпозиции плоских состояний осущест-
осуществляется сведение осесимметричных задач теории упругости к регу-
регулярным и сингулярным интегральным уравнениям; при этом одно-
одновременно с общеизвестными используются и специализированные
положения теории аналитических функций. Позже этот метод
позволил перейти к рассмотрению задач для тел вращения и при
неосесимметричном нагружении. В ряде задач для некоторых
тел вращения, подверженных действию нагрузок специального
вида, удалось получить решения в замкнутой форме (в квадра-
квадратурах). В последнее время были рассмотрены и более широкие
классы тел, именно получаемые перемещением замкнутого контура.
Наконец, надо еще заметить, что обсуждаемый подход, как скон-
сконструированный на основе доходчивой и правомерной физической

О СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ И
концепции, по самой своей природе должен оказаться в достаточной
мере перспективным.
Наряду с изложенным существуют иные, столь же любопытные,
развитые Г. Н. Положим варианты использования функций комп-
комплексного переменного в тех же осесимметричных задачах теории
упругости. Приемы сведения их к фредгольмовым уравнениям
(ни в какой мере не опираясь на вспомогательные соображения
инженерно-механического толка) носят сугубо математический
характер и базируются на использовании некоторых классов
обобщенных аналитических функций; их свойства были обстоя-
обстоятельно изучены самим автором.
Отметим также работы, в которых интегральные уравнения
осесимметричной задачи строятся на основе соответствующей
обработки интегральных уравнений общей (пространственной)
задачи, а также посредством специально введенных осесимметрич-
осесимметричных потенциалов.
Накапливаемые в течение всей описанной выше напряженной
работы факты и находки, последовательно анализирумые, а затем
подытоживаемые и синтезируемые, являются, вкупе взятые, фак-
фактором нарастающего значения; с одной стороны, он будет способ-
способствовать неизменному совершенствованию и обновлению численных
алгоритмов, а с другой — энергично содействовать эволюциони-
эволюционированию возможностей ЭВМ.
В предлагаемой книге авторы изложили как вопросы общей
теории интегральных уравнений — регулярных и сингулярных,
так и теории приближенных методов их решения, перейдя затем
к рассмотрению интегральных уравнений плоской и простран-
пространственной задач теории упругости и завершая исследование анали-
анализом различных эффективных методов решения.
Авторы поступили благоразумно и дальновидно, предложив
в значительной мере облегченное изложение материала (касающе-
(касающегося преимущественно теории двумерных сингулярных интеграль-
интегральных уравнений и ее приложений); в то же время они старательно
соблюдали ясность и четкость в передаче информации и, видимо,
бдительно следили за тем,чтобы не допустить проникновения, по воле
случая, каких-либо элементов вульгаризации. Такое изложение было
принято с понятной целью сделать книгу доступной как можно
более широкому кругу представителей технической мысли и тем
самым способствовать как можно большему распространению метода
потенциалов. В свою очередь, это, наверное, подобающе скажется
на масштабе применимости классической теории упругости в при-
прикладных отраслях. Те из значительного контингента читателей,
у кого по ознакомлении с настоящей книгой появится повышенный
интерес к предмету исследования и желание расширить и углу-
углубить свои познания в нем, смогут обратиться к существующим
монографиям Ф. Д. Гахова, В. Д. Купрадзе, С. Г. Михлинй,

12 О СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Н. И. Мусхелишвили, А. Н. Тихонова и В. Я. Арсенкна — каждая
из них примечательна по-своему.
Придерживаясь принятой руководящей линии, в целом прони-
пронизывающей изложение, авторы в прямом соответствии с ней не-
неуклонно и упорно ориентируют читателя на выгоды, которые сулит
рациональное использование численных методов при решении
интегральных уравнений теории упругости для достаточно широ-
широкого класса задач. Об этом недвусмысленно свидетельствует тща-
тщательно произведенный и явственно целенаправленный отбор вклю-
включенного в книгу материала, целиком относящегося к комменти-
комментированию цикла классических задач теории упругости; последние
предстают взору как вполне подходящий и благоприятный объект
для демонстрирования эффективности численного анализа (разу-
(разумеется, с привлечением ЭВМ). Кстати сказать, выборка материала
произведена из весьма солидного арсенала разнородных проблем
и их комментирующих методов — короче, из всего того, чем рас-
располагает современная математическая теория упругости.
Следует отметить значение оригинальных работ самих авторов,
представленных в книге. Большое значение имеет прямое обраще-
обращение к регулярным представлениям сингулярных интегралов, позво-
позволяющее теперь без затруднения пользоваться известными куба-
турными формулами, установленными для несобственных интег-
интегралов; также обращают на себя внимание продвинутые методы
эффективного решения специального класса интегральных уравне-
уравнений посредством должным образом осуществленной приближенной
факторизации. В книге упорно рекламируется методика решения
интегральных уравнений пространственных задач при помощи по-
последовательных приближений (ввиду явных преимуществ при ре-
реализации на ЭВМ). Установлено, что этот процесс (в принципе)
всегда является сходящимся. Однако при решении второй внут-
внутренней задачи показано, что погрешность расчетной схемы (из-за
наличия собственного числа) может, вообще говоря, привести к
расходимости алгоритма. Для устранения подобной неувязки
предлагается (насколько известно, впервые) вводить в правую
часть на каждой очередной итерации нарочито подбираемую ма-
малую добавочную величину, выражаемую определенным образом
через известные фундаментальные функции союзного уравнения.
Внешне эта операция выглядит как будто заурядной; однако до-
додуматься до нее, как в подобных обстоятельствах обычно случается,
видимо, удалось лишь после долгих попыток и размышлений.
На наш взгляд, имеются все основания полагать, что выход
в свет этой книги будет встречен с интересом и вызовет положитель-
положительный отклик. Благодаря доступности изложения читатель сможет,
если того пожелает, войти без излишней потери времени в курс
затронутых проблем. Кроме того, и это главное, книга окажется
ценным пособием для молодых научных работников (в том числе

О СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 13
и активно занимающихся вопросами приложений) на нелегком
пути углубленного ознакомления и критического освоения разно-
разнотипных вычислительных алгоритмов. Это дело не терпит отла-
отлагательств, без него невозможно этих алгоритмов полноценное
использование и дальнейшее их развитие. Все, что мы полагали
нужным отметить по поводу отличительных особенностей книги,
побуждает считать оправданным ее опубликование.
Изложенное выше мы заключим следующим и, на наш взгляд,
на данном этапе весьма своевременным и животрепещущим замеча-
замечанием. Научно-технический прогресс, свидетелями которого нам
посчастливилось стать, охватывает почти все отрасли знания и
приложений. Необходимость в условиях создавшейся ситуации
идти в ногу со временем намного повышает чувство ответственности
каждого научного работника. Любой исследователь в области
математической теории упругости и, более того, каждого раздела
математической физики обязан в этих условиях критически пере-
пересмотреть свои результаты, оттенить те аспекты своих исследова-
исследований, которые по-прежнему нуждаются в интенсивном продвижении,
и смело, без колебаний отринуть ту их часть, которая потеряла
свою эффективность и не выдерживает сравнения с вновь появив-
появившимися работами. Мало кому удается безболезненно осуществить
подобный акт; ему обычно предшествуют мучительные сомнения
и длительные размышления. Дело здесь, конечно, не в трудно
преодолеваемом чувстве ложного самолюбия, а в других, гораздо
более важных и вполне понятных причинах. Ведь затрагиваемый
вопрос, как это ни тягостно, порой фактически неотделим от оценки
итоговой деятельности научного работника. В этом случае он
подчас приобретает особенную остроту и неприкрытый драматизм.
Тот же вопрос не становится более простым и не в столь радикальной
постановке. Ведь психологически невероятно трудно отрешиться
и от частных результатов, на получение которых было в течение
более или менее продолжительного периода времени затрачено
много душевных сил. Однако, следуя велению времени, исследова-
исследователь должен найти в себе силы выполнить требуемое, перешагнув
через вжившиеся пристрастия и влечения, от которых, казалось
бы, невозможно отключиться. Диалектика жизни неумолима.
Между прочим, не надо медлить и доводить дело до того, когда
кто-либо иной по личному почину возьмется за реализацию назрев-
назревшего (по отношению к кому-либо из нас) начинания и, по всей
видимости, сделает это без надлежащей осмотрительности и вдум-
вдумчивости, обязательных в столь деликатных обстоятельствах; не
исключено, что чрезмерное рвение при выполнении добровольно
возложенной на себя миссии приведет его ненароком к умалению
даже и позитивной части ревизуемых работ.
В связи со сказанным само собой возникает вопрос, насколько
обоснованы поводы к настроениям уныния и разочарования, якобы

14 О СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
порождаемые сложившейся ситуацией. На наш взгляд, весомых
причин для этого как правило не имеется. Конечно, мало кто может
похвастаться обилием посещающих его примечательных идей. Это
удел избранных баловней судьбы, щедро ею наделенных. Между
тем полезные мысли по временам приходят в голову работников,
постоянно усердно думающих и самоотверженно преданных делу.
А ведь таких подавляющее большинство. Однажды пришедшая
догадка, впоследствии развитая и четко сформулированная, почти
всегда в той или иной мере непреходяща; она, наряду с другими
ей подобными, вносит свой посильный вклад в фонд постепенно на-
накапливаемых частных результатов и сведений, подготавливающих
почву для долгожданного решающего качественного сдвига.
Все содеянное в прошлом и настоящем в какой-то степени
(и, быть может, в как-либо видоизмененной форме) будет жить
и далее. Нити прошлого редко когда обрываются, они почти
что неизменно протягиваются в будущее. Непреложность по-
подобного положения сама по себе ясна — обыкновенно подтвержда-
подтверждается ходом развития научной мысли. Именно в этом каждый из
нас должен и вправе черпать удовлетворение и моральный стимул
для собственной работы.
Д. И. Шерман

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Бурное развитие вычислительной техники резко увеличило
интерес исследователей к разработке универсальных численных
методов решения задач теории упругости. Наряду с такими обще-
общепризнанными в механике сплошных сред и в инженерных расче-
расчетах как методы конечных элементов и конечных разностей, одним
из наиболее перспективных и хорошо себя зарекомендовавших
является метод потенциала, сводящий краевые задачи к соответ-
соответствующим интегральным уравнениям. Решающее преимущество
этого метода состоит в снижении размерности рассматриваемых
задач.
В настоящей монографии излагаются основные положения
теории регулярных и сингулярных интегральных уравнений в слу-
случае одного и двух переменных. Рассматриваются общие вопросы
теории приближенных методов и их применение к эффективному
решению как регулярных, так и сингулярных интегральных урав-
уравнений. Приводятся также необходимые сведения по трехмерным
и двумерным уравнениям теории упругости, включая постановку
краевых задач. Далее в книге предлагается вывод и исследование
разнообразных интегральных уравнений плоской задачи как
для основных краевых задач, так и для смешанных, а также при
наличии в телах разрезов. В пространственном случае построение
и исследование интегральных уравнений проведено для первой
и второй основных задач.
Основное внимание при написании монографии авторы уделили
изложению эффективных методов решения интегральных уравне-
уравнений плоской и пространственной задач теории упругости. При-
Приводятся примеры, иллюстрирующие преимущества того или иного
подхода, а также типовые программы для ЭВМ. Для удобства
читателя книга снабжена весьма обширной литературой, дающей
практически исчерпывающие сведения о предмете исследования.
Подробное представление о содержании книги можно составить
по оглавлению.
Акцент на численные методы решения интегральных уравнений
задач упругого равновесия соответствует убеждению авторов
в исключительной перспективности такого подхода, особенно
в связи с созданием ЭВМ ближайших поколений.

16 Предисловие авторов
Рамки книги ограничены статическими задачами теории упру-
упругости, хотя, по-видимому, распространение изложенных методов
на динамические задачи не связано с принципиальными труднос-
трудностями.
Углубленное математическое изложение теории интегральных
уравнений заинтересованный читатель может найти в известных
книгах Ф. Д. Гахова, В. Д. Купрадзе, С. Г. Михлина и Н. И. Мус-
хелишвили.
Большую помощь при подготовке монографии авторам оказали
С. Г. Михлин и Д. И. Шерман. Ряд полезных замечаний сделали
И. И. Ворович и В. В. Панасюк.
Н. Ф. Андрианов и С. Ф. Ступак любезно предоставили про-
программы решения некоторых классов задач.
Появление этой книги во многом обязано заботе и помощи в
оформлении рукописи, которую оказала нам Тамара Артемьевна
Алиханова.
Авторы пользуются случаем выразить свою искреннюю благо-
благодарность всем указанным товарищам.
Москва, ноябрь 1976 г. В. 3. Партон, П. И. Перлин

ГЛАВА I
* *
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ
И МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
§ 1. Аналитическая теория резольвенты
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Для простоты изложения ограничимся случаем одного измерения:
, y)<p(y)dy + F(x). A.1)
Будем считать ядро К(х, у) функцией, интегрируемой по х
и у (а^х^Ь, а^у-^b), и разыскивать решение уравне-
уравнения A.1) в виде ряда
Ф (лг) = ф0 (х) + Адр, (х) + X*q>2 (*)+... A.2)
Если ряд равномерно сходится при некоторых значениях
параметра Я, то его можно подставить в уравнение A.1) и, при-
приравняв коэффициенты при одинаковых степенях Я, получить
рекуррентные соотношения
ь
Ф, (*) = $* (х, у) ф|.а (у) dy (i = 1, 2, ...),
Допустим, что ядро К(х, у) и функция F (х) ограничены
(\К(х, у)\<А \F(x) | <М). Тогда из соотношений A.3) сле-
следует, что искомое решение A.2) мажорируется рядом
М f] | Л р-F-а)" Л",
Следовательно, ряд A.2) будет сходиться при условии

18 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. I
С учетом соотношений A.3) получим иное представление
ряда A.2):
:2(x,y)F(y)dy + .A.(l.b)
Ядра Кп(х, у) связаны между собой соотношениями
ь
Кп (х, У) = \К (х, t) Kn-i (t, У) dt (п = 2, 3, ...),
Кг(х, у) = К(х, у). A.6)
t
Из того же условия A.4) будет следовать, что сходится ряд
К, (х, у) + ХКг (х, у) + WKs (х, у) +... A.7)
Поэтому в представлении A.5) можно изменить порядок интегри-
интегрирования и суммирования. Введем для ряда A.7) обозначение
Г (*, у, X) — функция Г (*, у, X) называется резольвентой уравне-
уравнения A.1). Искомое представление решения уравнения A.1)
имеет вид
б
Ф (х) = F (х) + X $ Г (х, у, X)F (у) dy. A.8)
а
Таким образом, зная резольвенту, сразу получаем решение
исходного уравнения при произвольной правой части (для доста-
достаточно малого X).
Заметим, что неравенство A.4) требовалось для сходимости
получаемых рядов, для построения же самих коэффициентов
необходима лишь интегрируемость ядра К(х, у).
Если выразить теперь все коэффициенты Кп (х, у) через ядро
исходного уравнения К (х, у), то нетрудно получить следующие
равенства:
6 6 Ь
а а а
п— 1
...К(Л. y)dtldts...dta-u A.9)
КР+Ч (х, у) = \Кр (х, t) Кч (/, у) dt. A.10)
а
В частном случае получаем (р — п— 1, <?=1)
Ка (х, у) = I Kn-i (х, 0 К (/, у) dt (п = 2, 3, ...). A.11)

5 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 19
Возвратимся к представлению резольвенты A.7), полагая Я
достаточно малым, и рассмотрим цепочку равенств
Г (х, у, Я) = К, (х, у) + \Кг (х, у) + Я2/<3 (х, у) +... =
6 Ь
= /С(лг, у) + ЦК(х, t)Ki(t, y)dt + X\K(x, t)K-,(t, y)dt + ...=
= K(x, y) + -k\K(x
a
= K(x, y) + K\K(x, t)Y(t, y, K)dt. A.12)
a
Это соотношение можно рассматривать как функциональное урав-
уравнение для резольвенты. Исходя же из формулы A.11), можно
получить иное функциональное уравнение для резольвенты
Т(х, у, Х) = К(х, y)+X\K(t, y)T(x,t, K)dt. A.13)
а
Отметим, что при условии A.4) резольвента является анали-
аналитической функцией параметра Я в круге | Я. | < . ,, _ Выше
резольвента определялась именно при этом ограничении на пара-
параметр Я.. Соотношения A.12) и A.13) позволяют определить резоль-
резольвенту во всей плоскости комплексного переменного, исключая
лишь некоторые значения.
Пусть в квадрате а«?х, у «?& существует функция Г (х, у, Я),
заданная при определенном значении Я и удовлетворяющая соот-
соотношениям A.12) и A.13). Покажем, что тогда уравнение A.1)
имеет решение, которое представляется в виде A.8). Умножим
обе части уравнения A.1) на ЯГ (у, х, Я) и проинтегрируем по х.
Преобразуя полученное выражение с учетом соотношения A.13),
приходим к равенству
ь ь
%\F{x)T(y,x,%)dx-%\K(x, у)ф(у) dy = 0,
а а
которое с учетом A.1) приводит к требуемому представлению:
Остается показать, что функция, представимая выражением
A.8), является решением уравнения A.1). Действительно,

20
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
[Гл. I
подставив A.8) в уравнение A.1), придем к тождеству (учитывая,
естественно, соотношение A.12)).
Докажем далее, что резольвента будет представлять собой
отношение двух целых функций, аналитических во всей плоско-
плоскости комплексного переменного X. Введем б рассмотрение опре-
определитель
уд K(*i, Уз) ••• К(хи уп)
г, уд К(хг, у,) ... К{х2, уп)
К
"
Уп
К(хп,
К(хп,
К(хп, уп)
A.14)
По теореме Адамара (см. Е. Goursat [1]) *) получаем следующую
оценку:
* С:: ?::: ;;j<«"/2^ w
так как сумма квадратов элементов каждой из строк меньше пА2.
Образуем функцию
Ь Ь Ь
а а
п
Пользуясь неравенством A.15), получаем оценку каждого
слагаемого ряда A.16), из которой вытекает, что этот ряд схо-
сходится при всех значениях К и, следовательно, представляет собой
целую функцию, называемую определителем Фредгольма ядра
К(х, У).
У)
Введем новую функцию D\
\
положив
D\
Т(х, у, Я)=-
D(X)
A.17)
Тогда из соотношений A.12) для определения функции D
получим уравнение
D
х, t)D
I
D(X)K(x, у). A.18)
*) Если в определителе n-го порядка заданы суммы квадратов элементов
его строк, то сам определитель меньше квадратного корня из произведения
этих сумм.

§ 1J АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 21
Будем искать решение этого уравнения в виде ряда по сте-
степеням X, записав для удобства функцию D
виде:
D
Г
в следующем
... A.19)
Подставим далее ряды A.16) и A.17) (с учетом A.19)) в урав-
уравнение A.18) и приравняем коэффициенты при одинаковых сте-
степенях X:
qo(x, y) = K{x, у), A.20)
ь
qn(x, y) = cnK(x, y)-(—iyln\K(x, /)?«-i(<, у) dt. A.21)
Эти равенства позволяют последовательно вычислить все коэф-
коэффициенты qn (х, у). Кроме того, можно получить общее выраже-
выражение коэффициентов qn (x, у), если ввести в рассмотрение функ-
функцию Ln (x, у):
(n = i, 2,...). A.22)
Очевидно, что L0(x, y) — K(x, у). Непосредственными вычисле-
вычислениями можно показать также, что справедливо равенство
Li(x, y) = qi(x, у), и вообще докажем, что имеет место законо-
закономерность
М*. У) = Чп(х, У) (л = 2, 3, ...). A.23)
Покажем вначале, что функции Ln (x, у) удовлетворяют соот-
соотношению, совпадающему с A.21):
ь
Ln(x, y)=cnK(x, у)-(-\Г-1п\К(х, t)Lnl(t, y)dt. A.24)
Отсюда и из равенства функций Lo a q0, Lx и <7i следует
общая закономерность A.23).
1' *2' '"'' х
Заметим, что в символе /СП1' *2' '"'' х") при транспозиции
\yv г/г- •••- Уп1 F У
двух букв Xi или двух букв iji меняется лишь знак. Разложим
определитель КГ' ," ""' ."] по элементам первой строки, принимая

22 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. I
во внимание указанное замечание
V Iv i \ V I 1' *> "¦¦ ' 1 I f /v / \ IT I 'l' '2' •" ' '»1
-/C(jc, /J/C^ /f tJ-...-K(x, tn)KKk< tf y ).
Интегрируя обе части этого соотношения по всем перемен-
переменным ti и осуществляя в каждом слагаемом надлежащую пере-
перестановку обозначений*), придем к искомому соотношению A.24).
Снова обращаясь к теореме Адамара, получаем оценку
М"+* (Ъ - а)\
из которой следует, что ряд A.19) является целой функцией.
Таким образом, доказано, что резольвента является меро-
морфной функцией комплексного переменного. Поскольку резоль-
резольвента Г (х, у, X) существует при достаточно малых X (неравен-
(неравенство A.4)), а выше была доказана ее мероморфность во всей
плоскости X, то по обобщенной теореме Лиувилля делаем заклю-
заключение о существовании резольвенты при любом X (за исключением
тех значений, при которых D(X) = 0). Следовательно, уравнение
Фредгольма A.1) разрешимо однозначным образом при любом X,
отличном от нулей определителя D(X).
Остановимся на тех значениях X(X = Xq), которые обращают
в нуль определитель Фредгольма и называются собственными зна-
значениями интегрального уравнения. Поскольку определитель D(X)
является целой функцией, то в ограниченной части плоскости X
может быть расположено лишь конечное число собственных зна-
значений. Может случиться, что это же число Xq обращает в нуль
и функцию DI X) (при любых значениях х и у). Покажем, что
кратность корня в числителе окажется все же меньше, чем в
знаменателе. Допустим, что имеют место представления
D (X) = (Х- Хо)" Do (X), Do (Xo) ? О,
D x
Я,) —ряд, расположенный по положительным степеням Я,
где D {
свободный член которого отличен от нуля при некоторых значе-
значениях х и у. Очевидно, что D' (X) имеет в точке Яо нуль порядка
А-1.
*) В «-м слагаемом // и tl меняются местами.

« И ¦ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ¦¦ ¦ ¦ 23
Положим в левой и правой частях формулы A.19) у — х и
проинтегрируем по х:
Ь b со Ь
C(*. x)dx+ 2 (-1)я-^-
л = I
л=1
A.26)
Применительно к рассматриваемому случаю это равенство
можно переписать в иной форме:
х. A.27)
Может случиться, что при интегрировании выделится еще
одна степень сомножителя (К — к0), откуда следует равенство
k— lS=/, из которого вытекает, что fe>/. Таким образом,
полюсы резольвенты обязательно должны совпадать с нулями
определителя Фредгольма.
Допустим, что Хо — полюс кратности г резольвенты. Тогда
имеет место разложение *)
D
а-г (*¦ У) | a-r+i (х. У) , | g-i (*, у) ,
(Х-Я.0К "•" (Х-^)^ " ••¦"•" (Я.-Я.о) "+"
%КУ. A-28)
1=0
Подставим ряд A.28) в функциональное уравнение A.12)
и будем последовательно умножать его на множители (Я, — Яо)"
(п = г, г— 1, ...) и полагать затем Я, = Я,0. Тогда получим соот-
соотношения
ь
а^г (х, у) = Хо\к (х, 0 a-r (t, У) dt, A.29)
а
Ь
а_г+1 (х, у) - а-А? у) = К j К (х, 0 а.г+, (/, у) dt A.30)
а
*) В коэффициентах ап(х, у) опущен параметр X.

24 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ \Гл. I
и т. д. Из соотношения A.29) следует, что коэффициент а_г (х, у)
как функция от х при произвольном фиксированном значении у
(рассматриваемом как параметр) является решением однородного
уравнения
ь
ц(х) = Х0\К(х, y)q>(y)dy.
Нетривиальные решения однородного уравнения называются
собственными функциями (или нулями), соответствующими собст-
собственному значению %о-
Повторяя предыдущие рассуждения применительно к урав-
уравнению A.13), получаем соотношения, аналогичные A.29) и A.30).
В частности, коэффициент а_г(х, у) как функция от у при фик-
фиксированном значении х оказывается собственной функцией одно-
однородного уравнения
б
A.31)
называемого союзным (или транспонированным) к уравнению A.1).
Для построения полной теории необходимо изучить еще воп-
вопрос о разрешимости интегральных уравнений, расположенных на
собственных значениях. Очевидно, что резольвента союзного урав-
уравнения получается из резольвенты исходного уравнения переста-
перестановкой переменных. Следовательно, определитель Фредгольма
исходного уравнения и союзного совпадают между собой. Поэтому
совпадают и собственные значения (числа).
Докажем, что число собственных функций, соответствующих
одному и тому же значению Хо, конечно (имеются в виду линейно
независимые решения). Пусть ф? (х), ф.* (х), ..., ц>%, (х) — ортонор-
мированные собственные функции, соответствующие числу V
Рассмотрим равенства, которым удовлетворяют эти функции:
^11= С К(Х< y)<tf(y)dy. A.32)
а
Очевидно, что правая часть есть коэффициент Фурье функции
К(х, у) (как функции аргумента у) относительно ортонормиро-
ванной системы функций ф* (у). Тогда из неравенства Бесселя
(т — число собственных функций) следует
т * Ь
«1 т* (х)
/ —г;—=ё
** Ал

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 2S
С учетом нормированное™ собственных функций, проинтегри-
проинтегрировав обе части последнего неравенства по х, получим
ь ь
Из этой оценки следует, что число собственных функций конечно.
Докажем, что число собственных функций исходного уравне-
уравнения и союзного ему (разумеется, при одном и том же собствен-
собственном значении) совпадают между ссбой. Допустим, что имеется т
ортонормированных собственных функций ф* (х) исходного урав-
уравнения и п функций союзного, обозначаемых через ч\>*(х). Поло-
Положим, что т<^п, и рассмотрим два союзных уравнения
Ф (х) = Ко\\К (х, у) - |] г|>? (х) Ф? (у) Ф (у) dy, A.33)
a L / = 1 J
6Г т "I
Ч>(*)=М К (у, x)-2lTtf(y)<pUx)H(y)dy. A.34)
at j=l J
Докажем, что уравнение A.33) не имеет собственных функ-
функций. Умножим это уравнение на какую-либо из функций г|з* (х)
(у ^ т) и проинтегрируем по х. Осуществив в двукратном инте-
интеграле перестановку порядка интегрирования (с учетом ортонор-
мированности функций г|э* (х)), придем к равенству
ь
$9f(x)9(x)dx = 0, A.35)
а
выполняющемуся для любого j при j^m. Следовательно, любое
решение уравнения A.33) удовлетворяет уравнению A.1) при
равной нулю правой части, т. е. является собственной функцией.
Поэтому это решение должно быть представлено в виде суммы
Умножим обе части этого равенства на какую-либо функцию ф* (х)
и проинтегрируем по х:
Ь т b
J Ф (х) Ф! (х) dx = ^ ci \ Ф* (х) Ф* W dx-
1
1 = 1
Отсюда следует, что ск = 0, а значит, уравнение A.33) не имеет
собственных функций. Непосредственная подстановка доказывает,
что функции г|э* (х) [}>т) являются решениями уравнения A.34).
Уравнения A.33) и A.34) союзны, и по доказанному выше их

26 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. I
собственные числа должны совпадать между собой. Но уравне-
уравнение A.33) не имеет Я*, собственным числом, а A.34) —имеет. Та-
Таким образом, установлено противоречие.
Перейдем теперь непосредственно к исследованию вопроса
о разрешимости интегрального уравнения A.1). Рассмотрим урав-
уравнение
6Г
a L
(х) =)ч. ЦК (х, у) - 2 Ч>; (х) Ф? (y)W(y) dy + F(x), A.36)
которое, как следует из вышеизложенного, разрешимо при лю-
любой правой части. Поступая аналогично предыдущему, т. е. умно-
умножая левую и правую части на какую-либо функцию tyk (x) и
интегрируя, приходим к равенству
ь ь
x. A.37)
Если потребовать выполнения условий
ь
l^t(x)F(x)dx = 0, A.38)
а
то уравнение A.36) просто переходит в исходное уравнение A.1)
(поскольку имеет место т таких равенств), которое, таким обра-
образом, оказывается разрешимым. Докажем также, что условия A.38)
являются необходимыми условиями разрешимости исходного
уравнения A.1). Для этого умножим A.1) на какую-либо функ-
функцию ijjft (x) и проинтегрируем по х. Если переставить далее
в двукратном интеграле порядки интегрирования, то получим
после надлежащего сокращения те же соотношения A.38).
Таким образом, условия A.38) являются необходимыми и
достаточными условиями существования решения интегрального
уравнения, как принято говорить, «расположенного на собствен-
собственном числе». Решение таких уравнений не может быть единствен-
единственным; оно представляется с точностью до суммы вида
m
2 С*фА (X).
В заключение докажем необходимые в дальнейшем равенства.
Пусть ^о — собственное число и естественно, что условия A.38)
выполняются. Тогда имеют место равенства
где ф* (*) — члены ряда A.2).

П АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 27
Покажем справедливость этих равенств для функции cpi (х):
ь ьь ь
$ (х) dx = l\\F(y)K(x, у)Гг (х) dydx = \F(y)^ d» dy.
Переход к другим функциям щ{х) очевиден и осуществляется
по индукции.
Отметим, что соотношения A.29) и A.30) и аналогичные им
позволяют установить связь между коэффициентами а.-г (х, у) (при
отрицательных значениях индекса) разложения резольвенты
в окрестности полюса и соответствующими собственными функ-
функциями исходного уравнения и союзного. Приведем окончательное
выражение для нерегулярной части
ХгД^ср, (х) i[)r (у) ?чЛ [ф. (*) Ь (У) + фг (*) f з (У) + ¦ • ¦ + Фг-i (*) IV (У)] ,
~г +
где фу- (х) и г|зу- (х) — системы собственных функций, связанных
соотношениями
b b
Я„ \ Фу (х) ф* (х) dx = bjk, Xo) % (х) ^k (x) dx = 6,-ft,
а
Ь
а
Ь
(х)% (x)dx=l (k = j—\, j).
Это выражение позволяет наглядно убедиться в смысле уста-
установленных выше условий разрешимости A.38) интегрального
уравнения, расположенного на собственном числе. Действительно,
обратимся к представлению решения посредством резольвенты A.8).
Из условий ортогональности будет следовать, что решение ока-
оказывается аналитической функцией параметра %. Поэтому в слу-
случае, когда %0 является наименьшим по модулю полюсом резоль-
резольвенты, решение может быть получено непосредственно методом
последовательных приближений.
Выше полагалось, что ядро интегрального уравнения ограни-
ограничено, и поэтому посредством довольно грубых оценок определя-
определялось достаточно малое значение "К, для которого представление
решения в виде ряда оказывалось сходящимся, что было необхо-
необходимым условием при дальнейшем построении всей теории. Однако
представляется возможным распространить теорию резольвенты
на интегральные уравнения с менее жесткими ограничениями на
ядра. Допустим, что ядро имеет слабую особенность. Преобра-

28 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. I
зуем уравнение A.1), заменив в правой части функцию у (у) ее
интегральным представлением, вытекающим из самого уравнения:
ь ь
<t{x) = F{x) + K\Kt(x, y)<p(y)dy + X\K(x, y)F(y)dy. A.40)
а а
Ь
Поскольку F (х) и J К (х, у) F (у) dy есть первые члены разло-
а
жения решения в ряд A.2), то заключаем, что искомая функ-
функция ф (х) удовлетворяет также и уравнению
ь
Ф (х) = Я2 J К2 (х, у) ф (у) dy + фо (х) + ЯФ, (х).
а
Не представляет труда показать, что имеет место общая фор-
формула для любого целого п:
ь
Ф (х) = К" \ Кп (х, у) Ф (У) dy + Sn (x), A.41)
а
Sn (х) = Фо (х) + Яф! (*) + ¦•• + Я"- 4^i (х).
Пусть число п таково, что ядро Кп (х, у) ограничено. Тогда
в области достаточно малых Я может быть построена резольвента
этого уравнения, которую обозначим через Гп(х, у, Ял). Очевидно,
что любое решение уравнения A.1) удовлетворяет уравнению A.41).
Докажем и обратное, т. е. что решение уравнения A.41) удов-
удовлетворяет уравнению A.1). Положим
ь
со(х) = Ф(а-)-Я$/((х, yL(y)dy-F(x), A.42)
а
где ц>(х) — есть решение уравнения A.41).
Покажем, что эта функция удовлетворяет однородному инте-
интегральному уравнению A.41) и, следовательно, равна нулю (по-
(поскольку предполагается Ял отличным от собственного значения).
Первоначально получим нужное представление для интеграла
Ц y)Sn(y)dy = %\K(x, y)<po(y)dy +
а
Ь
+... + Я" 5 К (х, у) ф,,., (у) dy = San (х) - ф0 (х) =
а
\K(x, y)F(y)dy-F(x). A.43)

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 29
Далее преобразуем A.42), подставив в интегральный член равен-
равенство A.41) с учетом A.43). Приведем необходимые преобразова-
преобразования:
ь
«>(х)=<р(х)-Х\К(х, y)<v{y)dy-F{x) =
а
, у)\х»\К„(у, ()<p
Ь
-Sn(x)-X»\Kn(x, y)F(y)dy-
а
b b
$ ф (/) \ Кп (у, 1) К (х, у) dy dt =
а а
Ь Ъ
= Ъ"\Кп (х, у) Ф (у) dy-Xn\ Kn (х, y)F (у) dy -
а а
Ь Ь
-k"^\<p(t)\Kn(x, у) К (у, t)dydt =
а а
= л" \ Кп (х, у) L (У) -F(y)-X\K (у, t) Ф @ dt] dy =
Ь
= Х"\Кп(х, y)(o(y)dy. A.44)
В последнем равенстве учитывалось соотношение, вытекающее
из A.10),
ь ь
\Кт{х, у)К„(у, i)dy = \Km{y, t)Kn(x, y)dy.
а а
Установим связь между резольвентами уравнений A.1) и A.41).
Пусть Г„ (х, у, К") — есть резольвента повторного ядра КП(х, у)-
Т„(х, у, Х») = Кп(х, у) + 1К2п(х, у) +
+ ... + М-1К„п(х, у)+... A.45)
Очевидно, что эта функция выражается через Т(х, у, X). Для
нас представляет больший интерес, наоборот, представление ре-
резольвенты Г(х, у, X) через Тп(х, у, X"). Имеем очевидное равен-
равенство
ь
\ Ki (х, t) Гя (/, у, X") dt = Кпн (х, у) + ККм (х, у) +.. ¦ A.46)

30 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. 1
Перегруппируем члены в формуле A.12), тогда получим
у, К)=*К(х. у) + ХК2(х, у) + ... + Хп-2Кп.1(х, у) +
ь
1Гп (х, у, Я») + Я" J К (х, t) Г„ (/, у, Я") dt +
-2$#„-!(*, t)Tn(t, у, Я») Л-
а
Из этого равенства следует, что в достаточно малой окрест-
окрестности Я представление резольвенты оказывается сходящимся ря-
рядом. Тогда из мероморфности резольвенты будет вытекать ее
существование всюду, кроме нулей определителя Фредгольма.
Изложенная выше теория может быть применена также к слу-
случаю, когда ядра имеют вид
где функция Н (х, у) ограниченная, а а<1. В отличие от изу-
изученного выше случая, нельзя получить ограниченное ядро конеч-
конечным числом повторений.
Рассмотрим последовательность функций Я1л) (х, у), получае-
получаемых по рекуррентной формуле
(я=1, 2, ...), НЧх, у) = Н{х, у).
Нетрудно показать, что выполняется неравенство | Н (n) | <iMhhn-'s-,
где A = fr-«r«-Hfc-«r«t a M = max^(^ y)\.
Определим функцию Г(х, у, X) выражением
1 , у) + ...}, A.47)
Числитель правой части равномерно сходится при достаточно
л,алом Я (j Я. | <С\/(МН)). Непосредственной подстановкой убеждаемся
б том, что определенная согласно A.47) функция удовлетворяет
уравнениям A.12) и A.13) и, следовательно, является резоль-
резольвентой.
Приведенные результаты получены путем непосредственного
изучения интегрального уравнения. Однако подчас оказывается
целесообразным привлекать для исследования свойств резольвенты
исходные дифференциальные уравнения (если интегральное урав-
уравнение возникло в ходе решения краевой задачи). Например,

$ 2J ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ 31
такое сочетание позволило провести исчерпывающий анализ
интегральных уравнений теории потенциала (см. Н. М. Гюнтер [1]).
Далее в §§ 29, 31 именно таким образом изучаются интегральные
уравнения пространственной задачи теории упругости.
§ 2. Интеграл типа Кош и
Обозначим через L гладкий замкнутый контур в плоскости
комплексного переменного г. Внутреннюю область, ограниченную
контуром L, обозначим D+, а внешнюю D . Пусть / (т) есть крае-
краевое значение на контуре L некоторой аналитической внутри или
вне контура функции. Будем полагать сначала, что функция f (%)
непрерывна. Из интегральной теоремы Коши следует тогда, что
интеграл
1
называемый интегралом Коиш, при г (ф. L в первом случае будет
равен указанной аналитической функции при zeD*h обращаться
в нуль при zeD". Во втором же случае интеграл Коши равен
нулю при ze№ и будет восстанавливать функцию при zgD"
с обратным знаком (если на бесконечности она обращается
в нуль) *).
Откажемся далее от предположения, что непрерывная функция
(плотность интеграла) является краевым значением (изнутри или
извне) аналитической функции. В этом случае интеграл вида B.1)
называется интегралом типа Коши. Покажем, что интеграл типа
Коши представляет собой некоторые аналитические в областях
D+ и D~ функции, обозначаемые соответственно через Ф+ (г) и
Ф" (г). Построенные таким образом функции можно обозначать
единой кусочно-аналитической функцией Ф (г).
Образуем разность Ф (г + Аг) — Ф (г), причем точки z + Аг и г
одновременно принадлежат Dr или D~. Рассмотрим разность
Ф(г + Аг)-Ф(г) С / (т)
Si ^7dT
Si
3[\ у дг (T_2
Поскольку ядро аналитично по г (при г ф L), выражение
в квадратных скобках может быть сделано сколь угодно малым
при достаточно малом Дг. Совершая предельный переход, убеж-
убеждаемся в существовании предела Ф (г + Аг) — Ф (г)/Дг, равного
*) Направление обхода выбиралось всюду против хода часовой стрелки.

32
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
[Гл. I
производной функции. Из дифференцируемости же функции комп-
комплексного переменного следует, как известно, ее аналитичность.
Изучение интегралов типа Коши можно проводить, полагая
функции /(т), принадлежащими тем или иным классам. Ограни-
Ограничимся случаем, когда плотности интегралов типа Коши принад-
принадлежат классу Гельдера —Липшица *). Их модуль непрерывности
со (б) является степенной функцией
со (б) = sup | / (т2) — / (т,) | s? А | т2 — тг |\
Основанием выбора такого класса функций является возмож-
возможность построения в этом случае исчерпывающей математической
теории, а также возможность описания ряда
прикладных задач математической физики.
Очевидно, что сумма, произведение и от-
отношение (если знаменатель отличен от нуля)
двух функций также принадлежит классу
Г.— Л. с наименьшим показателем. Заме-
Заметим, что дифференцируемые функции при-
принадлежат классу Г. —Л. с показателем к— 1.
Свойство функции принадлежать клас-
классу Г.— Л. является локальным свойством.
Оно может выполняться в окрестности од-
одной точки контура и не выполняться в
окрестности другой. Далее будут рассмат-
Рис'. 1. Расположение Риваться лишь такие функции, которые на
точек на контуре нн- всем контуре принадлежат классу Г.—Л.
тегрировання. Невыполнение этого условия в отдельных
точках будет специально оговариваться.
Принадлежность той или иной функции <р(т) классу Г. —Л. будем
обозначать далее так: <р(т)е#(Л, к) или ср (т) е Н.
При определении интеграла типа Коши полагалось, что точка
г ф L. Рассмотрим теперь интеграл
B.2)
^йт (/eL).
Интеграл B.2) не существует в обычном понимании (как несоб-
несобственный), поскольку особенность подынтегрального выражения
равна единице.
Определим интеграл B.2) следующим образом. Из точки t
как из центра проведем окружность достаточно малого радиуса S.
Значение б выбирается из условия, чтобы окружность любого
радиуса р<8 с центром в точке t имела с контуром L лишь две
точки пересечения. Точки пересечения окружности радиуса б
*) В дальнейшем «классу Г.—Л.»

S 2] ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ 33
с кривой L обозначим через tx и t2 (в направлении обхода про-
против часовой стрелки), а через Le обозначим малую дугу, соеди-
соединяющую точки tt и t2 (рис. 1). В интеграле
4* J Й
L-Lb
подынтегральное выражение ограничено, и поэтому сам интеграл
существует при любом значении б (б=#=0). Если осуществить
предельный переход, устремляя б к нулю, то получаемый таким
образом предел называется сингулярным значением интеграла
типа Коши или главным значением в смысле Коши. Заметим, что
различие между сингулярным значением интеграла и несобствен-
несобственным значением заключается в том, что в первом случае отноше-
отношение длин дуг (t2, t) и (<ь /) не является произвольным, а должно
стремиться в пределе к единице.
Обратимся к простейшему сингулярному интегралу (ф(т) = 1):
i-O].
Устремляя б к нулю и учитывая при этом гладкость контура L
получаем окончательное выражение для рассматриваемого сингу-
сингулярного интеграла
2га 3 т-/ ~ 2 ' КгЛ)
L
Перейдем к общему случаю. Представим сингулярный интеграл
B.2) в виде
Ф(т) , . I Г ф(т)-«р(О , , ф@
Первый интеграл является несобственным из-за того, что гр (/) е
е Н (А, К), второй же рассмотрен выше.
Рассмотрим теперь предельные значения функции Ф+ (г) и
Ф~(г) при стремлении точек z к точкам t контура L (соответ-
(соответственно изнутри и извне) и обозначим эти предельные значения
через Ф± (/). Зафиксируем на контуре L точку t и рассмотрим
интеграл
С —2
2 Партон В. 3., Перлин П. И.
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В
ОДНИ РУт И 2XS ДВЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Гл. 1
Рассмотрим эту функцию в точках z, расположенных на линии,
пересекающей контур L в точке /. Докажем, что будут суще-
существовать предельные значения tyj(t) и tyi (t), а также прямое зна-
значение tyi \t). Образуем следующую
разность:
(9 =
-[(z П ф(т)~ф@
Разобьем контур L на части
L — L& и Ls (дуга L& определяется
как и ранее) и соответственно
представим интеграл в виде сум-
суммы двух слагаемых: /i —по дуге
Рис. 2. Расположение точек в пло- ^в и h — по дуге L — Ц. Для
простоты доказательства ограни-
ограничимся случаем, когда стремление
точек z происходит по некасатель-
некасательному пути. В этом случае угол ш (рис. 2) всегда больше неко-
некоторого угла оH>0 и очевидно следующее неравенство:
скости и на контуре интегрирова-
интегрирования.
г—t
1
~ sin шв
Из условия Г.—Л. вытекает оценка
¦к.
т — t
= \x-t\.
Поскольку контур L гладкий, то существует некоторая постоян-
постоянная т, которая больше -у- . Применим приведенные выше нера-
неравенства для оценки интеграла /х:
г —1\ ф(т) — ф@
-г x-t
<КАт
4
Задав достаточно малое значение б, можно добиться того,
чтобы интеграл /i был меньше любого наперед заданного числа е.
Для оценки /а выбираем z достаточно близким к точке t так,
чтобы | /21 был меньше е, что возможно из-за непрерывности
подынтегрального выражения. Тогда имеет место оценка
из которой следует непрерывность функции т^ (г).

S 2] ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ 35
Таким образом, можно считать доказанными равенства
lira i|tf(z)= I'm !&-(*) = !&(/). B-7)
Здесь г|3( (<) — прямое значение интеграла B.6), т. е. получаемое
при подстановке z = t. Поскольку интеграл
1 С dx =/1» ге^
2т}х-г-\о, гей-,
и согласно B.4) его сингулярное значение равно 1/2, то из равен-
равенства B.7) следует
Ф+ @ - ф @ = Ф- @ = * (/) = Ф @ - ^ ф (О- B.8)
Исключая из этих равенств вспомогательную непрерывную функ-
функцию г|з(/), приходим к формулам Сохоцкого —Племеля, играющим
в дальнейшем очень важную роль:
L
или, в иной форме,
ф@ = ф+(/)-ф-@, Ф@=4[Ф+@+Ф-@] B.9')
Из формул Сохоцкого — Племеля непосредственно следует, что
предельные значения Ф± (t) будут непрерывными функциями.
Однако оказывается, что эти функции принадлежат классу Г. —Л.
с тем же показателем X, если Я<1, или с показателем 1-е
(е>0), если показать Я=1. Приведенный результат называется
теоремой Племеля — Привалова.
Очевидно, что эту теорему достаточно доказать лишь для
функции B.6). Оценим разность для двух достаточно близко
расположенных точек tx и t%:
Поскольку контур L предполагается гладким, то выполняется
оценка s(tlt t^^m\t2 — tl\, где s(tlt t^)— длина меньшей дуги
контура между точками tt и t2. Выделим на контуре L дугу Ьг,
отложив по обе стороны от точки tj_ дуги, длины которых равны
2*

36 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
2s(tu t2). Тогда имеем
|Гл. 1
2ra
f q>(fi)-g>(fe) Ит . L f JMzIMI^La-
J х-/, 1"*™ J (T_;l)(T_y "T-
L — L,
Оценим интеграл /х:
J__ f |ф(т)-ф(<2)
х—и
L-L,
Смысл введенных постоянных очевиден. Аналогичным образом
строится оценка и для интеграла /2. Оценим интеграл /3:
,1 x-^i
A \t2-tx\>>
2л
Поскольку последний интеграл ограничен, приходим к требуемой
оценке
Образуем цепочку неравенств для интеграла /4:
if 111 21
L—L,
L-L,
, х)
ds
L-L,
2, т) 11 -
J
Из способа построения дуги Lx следует s (t.,, T)/s(tu
поэтому
Таким образом, при А,<1 выполняется неравенство |/4|=^
=^ Л4 | /2 — /х |х. Если же А,= 1, то \ h\^A'i\'l2 — ti\-\ln\t2 — t1\\.
Это неравенство можно ослабить *) | /4 I =^ A[\t2—-tx )x~? (e~>0).
*) Для получения оценки в классе функций, удовлетворяющих условию
Г.—Л.

§ 2]
ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ
37
Из всех полученных выше оценок и следует указанная тео-
теорема Племеля— Привалова.
Рассмотрим далее случай, когда интеграл типа Коши берется
по неограниченной кривой. В качестве примера выберем, напри-
например, действительную ось. Потребуем, чтобы во всех внутренних
точках плотность фA)еЯ(Л, к), а на бесконечности выполня-
выполнялось условие
4г (и>0). B.П)
Если ф (оо) ф О, то возникает вопрос о существовании интег-
интеграла типа Коши
оо
1
поскольку из-за неограниченности пределов интегрирования
он не существует как несобственный. Условимся под интегралом
B.12) понимать следующий предел:
1-
im
N
75—• \ -^^
2m JN^-
Приведем регулярное представление для интеграла B.12):
2л*
т — г
2л;
т —г
где знак « + » берется, когда 1тг>»0, знак « —», когда Imz-<0.
Приведенные выше результаты, относящиеся к интегралам
типа Коши и сингулярным интегралам для замкнутых контуров,
полностью .переносятся и на случай неограниченных контуров
при указанных выше ограничениях.
Остановимся еще на вопросе о перестановке порядка интег-
интегрирования в повторных интегралах, причем вначале рассмотрим
случай, когда один интеграл обыкновенный:
/ (Z) = j со (т, 2) dx
B.13)
Пусть функция ф(т, Тх)еЯ(Л, к) по каждому переменному,
а функция (о(т, z) интегрируема по т для значений z из некото-
некоторого множества. Рассмотрим интеграл h(z), получаемый из B.13)

38
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
[Гл. I
перестановкой порядка интегрирования:
B.14)
Для наглядности будем определять положение на дуге точек
Т] дуговыми абсциссами s и sb отсчитываемыми от некото-
некоторой фиксированной точки (рис. 3). Вы-
Вырежем из области интегрирования (квад-
(квадрата со стороной /) полоску, средняя
линия которой будет совпадать с диа-
диагональю, а ширина (в направлении
каждой из сторон квадрата) равна б
(S —некоторая малая величина). Обо-
Обозначим полоску через L5.
Представим каждый из интегралов
B.13) и B.14) в виде
/ = /о + h, h = ho + hs,
Рис. 3. Область интегриро-
интегрирования в двукратном интег-
интеграле.
причем /о = 110; из-за возможности пе-
перестановки в регулярных интегралах
индекс «б» указывает, что областью
интегрирования является область L&, а индекс «О» — оставшаяся
часть. Далее имеем
'б IT)
причем смысл обозначения 1& (т) очевиден. Рассмотрим второй
интеграл
'a it)
'б(Т)
Поскольку первый интеграл несобственный, то при-достаточно
малом б он может быть сделан сколь угодно малым; второй
же интеграл также стремится к нулю из-за гладкости контура.
Вследствие интегрируемости функции ш (т, z) вытекает оценка
/а|<е, где е —произвольное малое число. Аналогичная оценка
справедлива и в отношении интеграла /i6. Тогда модуль раз-
разности
может быть сделан сколь угодно малым, что и приводит к равен-
равенству
/ = /i. B.15)

§ 2] ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ 39
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда оба интеграла
сингулярные
Следует обратить внимание на то, что оба интеграла имеют
смысл. Чтобы убедиться в этом, введем вспомогательную функцию
По теореме Племеля — Привалова *) получаем, что эта функ-
функция принадлежит классу Г.—Л., а поэтому интеграл типа Коши
от нее существует. Далее сделаем во втором интеграле преобра-
преобразование подынтегрального выражения
(T — <) (Tj — t) Tt—t\_T — t T—Tx
и введем вспомогательную функцию
Посредством этой функции интеграл Д (t) представляется в виде
несобственного интеграла.
Распространим интегралы / (t) и It (t) в плоскость перемен-
переменного z (заменой t на г). Обозначим эти интегралы через / (г) и
1г(г). Из доказанного ранее следует / (z) = h(z). Тогда очевидны
следующие равенства:
/+ @ = /Г @. i-(t) = Ii(t).
Применяя формулы Сохоцкого —Племеля *), получаем
/@ [/
Образуем вспомогательную функцию
*) Допуская зависимость функции <р от двух аргументов.

40 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. I
С ее помощью получаем
L
Определим теперь предельные значения Гг (t) и /j" (/) с учетом
того, что предельное значение плотности гр (z, xt) различно с раз-
разных сторон контура; складывая их, получаем
2я!
L
Преобразуем правую часть этого выражения, учитывая формулы
Сохоцкого — Племеля:
=ф(л о.
m J (t-0(t-
Таким образом, приходим к искомой формуле— формуле
Пуанкаре — Бертрана
Остановимся на одном частном случае, когда плотность ф
есть функция лишь одного аргумента tj. Можно показать, что
интеграл в правой части формулы B.16) обращается в нуль.
Тогда -
Перейдем теперь к рассмотрению интеграла типа Коши для
разомкнутого контура. Пусть L — гладкий разомкнутый контур
с концами в точках а и Ь. Зафиксируем направление обхода,
например, от точки а к точке Ъ и рассмотрим интеграл
Здесь функция ф(т) принадлежит классу Н(А, к) во всех точках
контура L, включая концы. Интеграл B.17) также будем назы-

§ 2] ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШП 41
вать интегралом Коши. Этот интеграл, в отличие от интеграла
B.2), представляет собой не кусочно-аналитическую, а аналити-
аналитическую функцию во всей плоскости, за исключением контура L.
По аналогии с интегралом типа Коши для замкнутого контура
в рассматриваемом случае также вводятся понятие сингулярного
значения и понятия предельных значений слева и справа (Ф+ (/)
и Ф"@) относительно направления интегрирования.
Поскольку интеграл B.17) не изменится, если контур интегри-
интегрирования дополнить каким-либо образом до замкнутого контура
и положить при этом функцию ф (т) на нем равной нулю,
то становится очевидным, что все изложенные выше результаты,
носящие локальный характер, имеют место во внутренних точках
контура L. Изучим поведение интегралов Коши в окрестности
концов. Преобразуя выражение B.17), получаем
Интеграл в последнем равзнстве существует как несобствен-
несобственный и при стремлении точек г к точкам контура L (включая
концы), и при непосредственной подстановке вместо г точек кон-
контура. Особенность для функции Ф (г) определяется лишь первым
слагаемым. Полагая последовательно г = а и z = b, получаем
следующие представления:
B.19)
Здесь Ф1 (г) и Ф2 (г) —аналитические функции, ограниченные
в окрестности соответствующих концов и стремящиеся к опреде-
определенным пределам, когда точка z стремится к а или Ъ.
Полученный результат незамедлительно позволяет дать ответ
на вопрос о поведении интеграла типа Коши в точке, в которой
плотность имеет разрыв первого рода. Обозначим эту точку
через с, а через <р(с — 0) и ср(с + О) соответствующие предельные
значения плотности слева и справа. Используя предыдущие
результаты, получаем
ф (г) =?i?=^-T:ic_±°) 1п (.г -с) +фэ (г). B.20)
Здесь Фо (г)— аналитическая функция, ограниченна в окрест-
окрестности точки с и стремящаяся к определенному пределу, когда z '
стремится к точке с.

42 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
Перейдем к рассмотрению более сложного случая, когда плот-
плотность интеграла типа Коши на одном из концов контура (для
определенности в точке а) имеет особенность вида
Здесь функция ф* (t) удовлетворяет условию Г.—Л. всюду
на контуре, включая точку а, <р**(/) — всюду ограниченная
функция, 7=а + гР> Osga<l. Под радикалом a(t — )'y будем
понимать краевое значение слева любой ветви функции (г — a)~v
в плоскости, разрезанной по контуру L от точки а до b и далее
в бесконечность по произвольной дуге, не пересекающей контур L.
Тогда предельное значение справа [(г ~а)~у]~ равно (t — ayye~2lUv.
Покажем, что в окрестности точки а выполняется следующая
оценка:
^ !)• B-22)
Начнем рассмотрение с частного случая, когда ф(/) = 1.
На основании формул Сохоцкого — Племеля, справедливых, как
отмечалось выше, во всех внутренних точках контура L,
утверждаем, что
ф+(/)_ ф-(/) = (*_ a)-y
Введем вспомогательную функцию
w(z)= (г а)Т. . B.24)
Эта функция является однозначной в плоскости, разрезанной
указанным выше способом. Любая ее ветвь удовлетворяет равен-
равенству
w*(t)-ar(f) = (t-a)-v. B.25)
На основании изложенного можно написать следующее соотно-
соотношение:
[Ф (г) - w (z)]+ = [Ф (г) - w B)]-, B.26)
которое выполняется всюду на L, кроме точки а. В то же время,
поскольку справедлива оценка
jI^, B.27)
то возможная особенность в точке а является устранимой.

$ 3] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА 43
Из предыдущих рассуждений следуют равенства
ф+ (о=2r?W{t -ауу+ф°@' B>28)
где Фо (г) — аналитическая, ограниченная в окрестности точки а
функция. Для сингулярного же значения имеем следующее пред-
представление:
Ф @ = ~ [Ф+ @ + Ф- (*)] = ^|р. (/о - a)-v + Фо @- B.29)
Перейдем к рассмотрению общего случая. После несложных
преобразований получаем для функции Ф(г) выражение в виде
суммы двух интегралов
ffi/.vj.f ф* ft) <fa _
^'~2я| J (t-o)V(t-z) ""
J ^ i У-^П' *• B-30)
Первый интеграл был исследован выше. Можно показать, что
Q
второй интеграл меньше по модулю функции -(a.— 'k<i
a), где ^ — показатель класса Г.—Л. функции ф* (t).
Сформулируем окончательные результаты в следующем виде.
Интеграл типа Коши с плотностью B.21) в окрестности точки а
представим в виде
При условии, что а = 0, функция Фо (z) голоморфна в окрест-
окрестности точки а на плоскости, разрезанной указанным образом,
и стремится к определенному пределу, когда г стремится
к точке а. В общем же случае, когда а>0, справедлива оценка
1 Фо (г) 1 < , С - (сс-^<ссо<сс). B.32)
§ 3. Краевая задача Римана
Пусть L по-прежнему обозначает гладкий замкнутый контур,
G(t) — заданная на нем непрерывная функция, необращающаяся
в нуль. Индексом к функции G (t) на контуре L называется

44 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
деленное на 2л приращение аргумента функции С (t) лри обходе
контура против хода часовой стрелки:
х = Ind G (t) = ± [arg G @]л = ~ [In G (f)]. C.1)
Индекс можно представить и в очевидной интегральной форме
х = ± JjargG(O = ^ JdlnG(/). C-1')
Поскольку функция G (/) непрерывна, то приращение ее
аргумента обязательно кратно Гл, в сз;;зи с чем индекс всегда
ясляется целым числом. Из приведенных формул следует, что
п:;ле:сс прокьведепия двух функции равен сумме индексов сла-
ггемых, а гндекс отношения (при условии иесбращения в нуль
:-п ^копателя) равен разности индексов делимого и делителя.
В том случае, когда функция G (t) дифференцируема и является
краевым значением извне или изнутри аналитической функции,
па основании равенств
можно утверждать, что индекс по абсолютному значению равен
числу нулей функции, краевым значением которой является
функция G (/)*). В том случае, когда функция G(t) есть краевое
значение функции, аналитическое внутри, знак индекса положи-
положителен, а в противном случае —отрицателен.
Введем в рассмотрение функции G (t) и g (() (G(t)^O), удов-
удовлетворяющие условию Г.—Л. и заданные на замкнутом гладком
контуре L. Задача Римана заключается в отыскании кусочно-
аналитической функции Ф (z) (линия скачка есть контур L),
удовлетворяющей предельному соотношению
- C.2)
Функция G{t) называется коэффициентом, a g (t) — свободным
членом задачи Римана. Индекс функции G (t) называется индексом
соответствующей задачи Римана. Если функция g @=0, то задача
Римана называется однородной.
Рассмотрим простейший случай, когда G(t) = l. Решение
задачи Римана сразу представимо интегралом типа Коши
*) Поскольку последний интеграл есть логарифмический вычет (А. И. Мар-
кушевич [1]).

§ 31 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА 45
причем доказательство непосредственно можно получить из фор-
формул Со ходкого —Племеля B.9).
Перейдем к рассмотрению однородной задачи и допустим,
что она разрешима, т. е. имеется решение Ф(г), отличное от
тождественного нуля. Обозначим через N+ количество нулей
функции Ф+ (г), а через N~ — соответственно количество нулей
ф-(г). Вычислим индекс для функций, входящих в предельное
соотношение
Ф+(t) = G (t) Ф~ (ty C.4)
Тогда получаем
N+ + N- = y.. C.5)
Поскольку в C.5) слева стоит неотрицательное число, то это
равенство сразу позволяет сделать следующие выводы о разре-
разрешимости однородной задачи Римаиа.
1. Для разрешимости однородной задачи Римана необходимо,
чтобы индекс х был неотрицателен.
2. Если х>0, то функции Ф+(г) и Ф~ (г) в совокупности
имеют у. нулей.
3. Если х = 0, то \nG(t) является однозначной функцией
и функции 1пФ+(г) и 1пФ~(г) аналитичны соответственно в D-
и D~. Логарифмируя краевое условие C.4) (выбрав при этом для
функции In G (/) любую ветвь), приходим к соотношению
ln<D+(f) = ln<D-(f) + liiG(O. C.6)
Таким образом, для функции 1пФ(г) получена неоднородная
задача Римана с коэффициентом G\(t) — \. Ее решение предста-
вимо посредством формулы C.3)
Искомое решение имеет вид
Ф+ (г) = СеГ+<г>, Ф" (г) = ОГ-<2>. C.7)
Таким образом, если строго следовать введенным выше огра-
ограничениям (аналитичность функции Ф (г) во всей области D~,
включая бесконечность), то на основании формул C.7) (при
условии Г"(со)=0) получаем, что решение однородной задачи
будет всегда равно нулю, так как доставляемое формулами C.7)
нетривиальное решение на бесконечности равно С.
Приведенные рассуждения позволяют получить следующий
результат. Пусть ф (() — заданная на замкнутом контуре функция,
принадлежащая классу Г.—Л. и не обращающаяся на нем в
нуль (прих = 0). Ее можно представить в виде отношения функций,

46 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
являющихся краевыми значениями аналитических соответственно
в D+ и D' (за исключением бесконечно удаленной точки) функций,
не обращающихся в этих областях в нуль. Указанные функции
определяются формулами C.7).
4. Если х>0, перепишем краевое условие C.4) в виде
ф+ (/) = t* [t-*G (t)] Ф- (t) = PGx (t) Ф- (t).
Для определенности полагаем, что нуль принадлежит области D*.
Поскольку индекс функции Gt (t) равен нулю, то на основании
вышеизложенного ее можно представить в виде отношения
,г+(я 1 (" 1п
Поэтому краевое условие перепишем в виде
Ф+ @ - « Ф" @ «т
егип ~~1 ет-и) • \°-о>
В равенстве C.8) слева находится краевое значение функции,
аналитической в D+, а справа —функции, аналитической в D~,
за исключением бесконечной точки, в которой она имеет полюс
порядка не выше х. На основании обобщенной теоремы Лиувилля
заключаем, что общее решение краевой задачи C.8) представимо
следующими формулами:
ф+ (г) = ег+(г>рх л (г)) ф- B) = ег-Юг-нРы (z). C.9)
Здесь Ря., (z) — произвольный полином степени не выше х — 1.
Решение, доставляемое формулами C.9), называется общим
решением однородной задачи Римана. Если допустить, что Ф~ (оо)=^=
Ф 0, то в C.9) полином Я (г) должен быть степени х *).
Таким образом, если х > 0, то однородная задача Римана
допускает у. (или соответственно х+1) линейно независимых
решений **)
Ф1 (z) = г"ет+ <г>, Ф* (г) = г*-хеГ-<2>. C.9')
Введем понятие канонической функции задачи Римана. Назо-
Назовем кусочно-аналитическую функцию X (г), представимую в виде
канонической функцией задачи Римана. При xSsO каноническая
функция является частным решением однородной задачи и общее
*) Далее это допущение будет считаться выполняющимся.
**) При решении краевых задач, имеющих физическое содержание, как
правило, возникают определенные соображения, позволяющие однозначно опре-
определять полином Р-ц (г).

« 3] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА 47
решение может быть записано следующим образом:
Ф(г) = Х(г)Рх(г).
При х<0 каноническая функция также будет удовлетворять
краевому соотношению C.4), однако на бесконечности она будет
иметь полюс порядка — х.
Введение канонической функции позволяет распространить
приведенный выше результат (стр. 45) на функции произволь-
произвольного индекса. Можно показать, что любая функция, принадле-
принадлежащая классу Г. —Л. и не обращающаяся на замкнутом контуре
в нуль, может быть представлена в виде
* Ю=?$- (ЗЛ0)
Здесь X (z) — каноническая функция задачи Римана ф+(?) =
= Ф(/)Ф-(О.
Перейдем к решению неоднородной задачи. Напомним, что
задача Римана в этом случае заключается в построении кусочно-
аналитнческой функции Ф (г), удовлетворяющей соотношению C.2).
Пусть х —индекс функции G(t), a X (z) — каноническая функ-
функция поставленной задачи (при g(t)= 0). Тогда имеет место
равенство
Представим предельное соотношение C.2) в внде
Ф+@ Ф"@ , g(t)
Х+(() ~ X~(t) "^ Х+(() •
Рассмотрим вспомогательную задачу Римана
C.13)
решение которой представляется формулой
Преобразуем краевое условие C.12) с учетом C.14):
В равенстве C.15) слева представлено краевое значение
функции, аналитической в D+, справа —аналитической в D",
кроме, быть может, бесконечно удаленной точки. В том случае,

48 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
когда х<0, отношение Ф~ (г)/Х~ (г) на бесконечности обращается
в нуль. Поскольку функция ?" (г) обращается также в нуль на
бесконечности, то на основании теоремы Лиувилля заключаем,
что выражения, стоящие в обеих частях равенства C.15), тожде-
тождественно равны нулю, откуда следует, что
Ф(г) = Х(г)Ч(г). C.16)
Если же -/.^з-О, то отношен::? Ф" (z)/X~ (z) является краевым
значением ф\нкции, аналитической всюду в D~, за исключением
бескопечлсстч, где онч имеет полюс порядка х. Поэтому на
основании обобщенной теоремы Лиувилля заключаем, что выра-
выражения, находящееся в обеих частях равенства C.15), тождест-
тождественно рягиы некоторому полиному степени х. Решение в этом
случае имост бнд
O(z) = X(z)[W(z) + PK(z)]. C.17)
Решения C.16) и C.17) могут быть аналитически представлены
единым выражением C.17), если подразумевать, что при х^О
полином отсутствует.
Необходимо провести дополнительный анализ решения при
x^ssO Функция X (z) на бесконечности имеет полюс порядка — х,
а функция XV (z) имеет, вообще говоря, нуль первого порядка.
Поэтому произведение X (г) х? (г) (равное функции Ф (г)) будет
иметь на бесконечности полюс порядка — х— 1. Следовательно,
неоднородная задача Римана является неразрешимой при x-f-l<
<0. Она будет разрешима лишь тогда, когда свободный член
удовлетворяет определенным условиям, обеспечивающим анали-
аналитичность функции Ф (г) в бесконечно удаленной точке. Разложим
функцию 4F(z) в ряд
Очевидно, что функция Ф (г) будет аналитична в бесконечности,
если коэффициенты с& = 0 (k=l, 2, ..., — х—1).
Суммируя изложенное выше, получаем следующую теорему.
Неоднородная задача Римана (если она разрешима) имеет реше-
решение, представимое формулой C.17). При х^О задача Римана
разрешима всегда, а при х<0 — лишь при выполнении следую-
следующих условий:
I Я I ч Tk 1 лг n ib 1 9 v 1 "> п |я\

§ 4] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 4?
§ 4. Сингулярные интегральные уравнения
Сингулярным интегральным уравнением называется интеграль-
интегральное уравнение вида
^$^^ D.1)
Здесь L —гладкий, замкнутый контур, содержащий для опреде-
определенности нуль внутри себя, а функции a(l), M(t, г) и /(/) при-
принадлежат классу Г. —Л., причем функция М (t, т) принадлежит
этому классу по обоим аргументам. Введем следующие обозна-
обозначения:
b(t) = M (/,/), ¦Ir-""*>*<'JU
/), rUfel7, T).
Очевидно, что функция b (i) также принадлежит классу Г. —Л.,
и что имеет место оценка
\k{t, ^I<!т^г-А @<?^1).
Уравнение D.1) перепишем следующим образом:
D.Г)
Уравнение D. Г) называется полным сингулярным уравнением,,
представленным в типовой форме. Уравнение называется однород-
однородным, если / (t) = 0. Оператор
называется характеристической частью сингулярного уравнения,
а оператор
k(f=^k ((, т) ф (т) dx
L
— регулярной частью сингулярного уравнения.
В принятых обозначениях уравнение D.1) запишется
АГФ = АГ°Ф + *Ф = /. D.1")
Союзным (или транспонированным) или сопряженным уравне-
уравнением к уравнению D.1) называется уравнение вида
k (т, 0*(T)dt = 0. D.2>

50 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
Следует заметить, что союзное к характеристическому урав-
«ению не будет являться, вообще говоря, характеристическим
уравнением, поскольку в нем возникает дополнительный регуляр-
регулярный член.
Пусть Кц> — сингулярный интегральный оператор вида D. Г),
a K'ty — соответствующий ему союзный оператор D.2). Непосред-
Непосредственной подстановкой (с использованием доказанной в § 2 воз-
возможности перестановки порядка интегрирования в случае, когда
один из интегралов является регулярным) убеждаемся в тождест-
тождественном выполнении равенства
dx = § ф/СЧ> dx. D.3)
L
Пусть Kity и /С2ф —сингулярные операторы вида D. Г) с коэф-
коэффициентами при характеристической части, соответственно рав-
равными a1(t), bxlt) и а2 (t), bi(t). Пользуясь формулами переста-
перестановки Пуанкаре —Бертрана B.16') можно показать, что компо-
композиция сингулярных операторов Ky = KiK2(P будет представлять
собой также сингулярный оператор с коэффициентами при харак-
характеристической части
(t),
9- ( '
Из формул D.4) следует, что характеристическая часть ком-
композиции сингулярных операторов не зависит от регулярных частей
каждого из них, а определяется только их характеристическими
частями. Следует отметить, что характеристическая часть компо-
композиции сингулярных операторов не зависит от ее порядка.
Непосредственной подстановкой убеждаемся также в выпол-
выполнении равенства
D.5)
Рассмотрим простейшее сингулярное уравнение —характери-
—характеристическое уравнение
Dб)
Введем кусочно-аналитическую функцию

$ 4] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5У
Подставляя выражения для q>(t) и Ф(<) согласно B.9') в урав-
уравнение D.6), приходим к вспомогательной задаче Римана
a(t)-b(t) _ f{f) D.7>
Индекс этой задачи будем называть индексом интегрального
уравнения D.6).
Далее будем рассматривать лишь так называемые нормальные
уравнения, полагая, что всюду на контуре L выполняется нера-
неравенство a(t)±b (t) Ф0.
На основании B.9') и C.17) получаем решение вспомогательной
задачи Римана, откуда следует выражение для искомой функции
(t), D.8)
„г (о
Z (t) = [a (t) + Ь @] Х+ @ = [a (t) - Ь (/)] Х~ (t) =
L
Таким образом, ответ на вопрос о существовании решения
характеристического сингулярного интегрального уравнения и его
конструктивное построение вытекают из соответствующей задачи
Римана.
Обратимся к решению уравнения, союзного характеристи-
характеристическому:
±^b(Т}У} = 0. D.9)
С помощью подстановки w(t) = b (t) yp (t) преобразуем его
к характеристическому уравнению относительно вспомогательной
функции (о (t):
а посредством кусочно-аналитической функции
перейдем к вспомогательной задаче Римана. Ее индекс %' оказы-
оказывается равным индексу я исходной задачи с обратным знаком,

>2 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ГГл. I
поскольку коэффициент задачи Риыана для функции п (z) равен
,„?«.,.... Сопоставление решений задачи Римана для исходного
a(t) — b(t)
(характеристического) уравнения и ему сопряженного позволяет
сформулировать определенные утверждения об их разрешимости
в форме, принятой в теории интегральных уравнений Фредгольма.
Однородное сингулярное характеристическое уравнение и ему
союзное никогда нг бывают одновременно разрешимы, они или
оба неразрешимы (/. = 0), или разрешимо то из них, для кото-
которого индекс положителен. Разность числа их линейно независи-
независимых решений равна |х|.
Неоднороднее характеристическое уравнение D.6) всегда раз-
ч'шнмо при люс'ой правой части, если х^гО. Если же х<0,
: спемогательнгя задача Римана Гудет разрешима лишь при вы-
¦,~лнен!ш специальных условий C.18). Можно показать, что эти
условия преобразуются к виду
]%(t)f(t)dt = O (t=l, 2, .... -и).
L
.'¦десь г}-;(*) —полная система собственных функций однородного
союзного уравнения.
Перейдем к вопросу о регуляризации сингулярных операто-
операторов. Пусть К\ и ^ — сингулярные операторы вида D. Г). Рели
оператор К-2 таков, что композиция KiKi является регулярным
оператором (т. е. в ней отсутствует сингулярный интеграл), то
оператор /С2 называется регуляризатором оператора Къ Очевидно,
что если оператор Кг является регуляризатором оператора Къ то
и оператор Кл является регуляризатором оператора /С2. Из фор-
формул D.4) следует, что характеристическая часть регуляризующего
оператора должна иметь вид
где a(t) и b (t) — коэффициенты характеристической части регуля-
ризуемого оператора Kity. Регуляризующий оператор будем обо-
обозначать через К.
Рассмотрим уравнение вида D.1") /?ф = /. Подействуем на обе
части уравнения оператором К, тогда получим уравнение
Kf, D.10)
которое является регулярным. Таким образом, функция ф (/)
удовлетворяет как сингулярному, так и регулярному уравнению.
Приведенная процедура называется регуляризацией слева.
Если же в уравнение D.1") вместо искомой функции ф (/)
ввести вспомогательную функцию <о (t), определяемую соотноше-

§ 4] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 53
нием ср (t) = Кл, то также придем к регулярному уравнению
f. D.11)
В данном случае, вместо сингулярного уравнения для иско-
искомой функции получено регулярное уравнение для вспомогатель-
вспомогательной функции w(t). Решив это уравнение, получаем искомую функ-
функцию посредством оператора /C(cp = A'co). Приведенная процедура
называется регуляризацией справа.
Поскольку теория регулярных (фредгольмовых) уравнений
разработана с исчерпывающей полностью (см. § 1), связь между
решениями уравнений D.10) и D.11) и исходным полным сингу-
сингулярным уравнением D.1) позволяет построить теорию сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений (теоремы Нетера).
В процессе перехода от сингулярного уравнения к регуляр-
регулярному (будь то регуляризация слева или справа) возможна как
потеря определенных решений, так и появление функций, являю-
являющихся решением регулярного уравнения, но не являющихся ре-
решением сингулярного уравнения. Иными словами, получающееся
регулярное уравнение может оказаться неравносильным исходному.
Первоначально рассмотрим этот вопрос применительно к регу-
регуляризации слева. Представим уравнение D.10) в форме
K№-f) = 0. D.12)
Поскольку оператор К—однородный, всякое решение уравнения
D.1) обращает в нуль уравнение D.12). Поэтому регуляризация
слева не приводит к потере решений. В том случае, когда опе-
оператор К*) не имеет собственных функций (х>0), регуляризация
слева заведомо является равносильной. Наличие же собственных
функций у оператора /Сделает возможным появление• дополни-
дополнительных решений, являющихся, вообще говоря, решениями урав-
уравнения
где (Hj — собственные функции, a a,j — произвольные постоянные.
При регуляризации справа (в отличие от регуляризации слева)
может произойти потеря решения, поскольку не всегда уравне-
уравнение АГю = фо (фо (t) — некоторое решение уравнения D.1)) оказы-
оказывается разрешимым. Поэтому регуляризация оказывается равно-
равносильной (эквивалентной), когда это уравнение разрешимо при
любой правой части, что имеет место при х^О.
Приведенные выше результаты позволяют доказать основные
альтернативы теории сингулярных интегральных уравнений.
*) Далее в качестве регуляризующих используются лишь простейшие (ха-
(характеристические) операторы: /С=/@'.

54 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гч. 1
1. Число линейно независимых решений сингулярного урав-
уравнения конечно. Доказательство следует из того, что при регуля-
регуляризации слева не происходит потери решений, и число решений
получаемого фредгольмова уравнения конечно.
2. Необходимым и достаточным условием разрешимости урав-
уравнения D.1) является выполнение следующих равенств:
(/=1, 2, .... п). D.13)
Здесь i|)y- (/) — совокупность линзйно независимых решений урав-
уравнения /f4> = 0-
Необходимость условий D.13) сразу следует из тождества
D.3). Действительно,
$ / (/) % @ dt = \ /Сф @ %¦ (/) dt = $ ф/С'% Л = 0 (/=1,2 п).
L L L
Доказательство достаточности проводится различными спосо-
способами в зависимости от знака индекса. Первоначально рассмотрим
случай, когда х ^ 0. Регуляризующий оператор К имеет индекс
— x=g;0 и, следовательно, не имеет собственных функций. Поэтому
уравнение D.11) равносильно исходному, и уравнения D.11) и
D.1) одновременно разрешимы или неразрешимы. Согласно аль-
альтернативе Фредгольма уравнение D.11) разрешимо при выполне-
выполнении следующих условий:
O. D.14)
Здесь X/ @ — решения уравнения К'К'\ = 0, союзного уравнению
D.11). Преобразуем уравнение D.14)
Будем рассматривать уравнение К'К'у. — ^ как уравнение с опе-
оператором К' и искомой функцией К' ¦ Тогда функция /('% яв-
является собственной функцией оператора К', и обозначив ее через
ty/(t), придем к условию D.13).
При х<0 применим регуляризацию справа. Произведя под-
подстановку ф = /Ссо, придем к уравнению Фредгольма
KK(o = f, D.15)
равносильному исходному уравнению D.1). Условия разрешимо-
разрешимости уравнения D.15) имеют вид

§ 4] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 55
где %j(t) — любое из решений уравнения К'К'Х = 0, союзного
с уравнением D.15). Рассматривая его как уравнение с операто-
оператором К' и искомой функцией К'% и учитывая, что оператор ft' —
оператор с отрицательным индексом (собственные функции отсут-
отсутствуют), приходим к уравнению К'% — 0. Следовательно, %j (t)
является собственной функцией оператора К'. Обозначая ее по-
прежнему через i|>y (i), приходим к требуемому соотношению орто-
ортогональности.
Разность числа линейно независимых решений (л) сингуляр-
сингулярного уравнения /(ф = 0 и числа линейно независимых решений («')
союзного уравнения /C'if = O равна индексу уравнения
л-л' = х. D.16)
Положим xS=0. Возьмем в качестве регуляризующего опера-
оператора К0'. Тогда фредгольмово уравнение /С°'/Сф = О будет равно-
равносильно исходному, и поэтому будет иметь тоже п решений. Соот-
Соответственно союзное уравнение /C'/Coif> = 0 будет также иметь ровно
п решений. Полученное уравнение равносильно уравнению
где % (/) — собственные функции оператора К', а а, — произволь-
произвольные постоянные. Поскольку «5=0, последнее уравнение разре-
разрешимо при любой правой части, и его решение имеет вид
где /? — символическая запись решения сингулярного уравнения
при соответствующей правой части. Докажем, что все функции,
стоящие в правой части, линейно независимы. Допустим, что
выполняется соотношение
хотя бы при одном <ху Ф 0. Действуя на это равенство операто-
п
ром /С0, получаем, что ^ a/ty^O, что невозможно из-за линей-
ной зависимости функций ty(t). Случай же, когда все ау = 0,
приведет к линейной зависимости функций i^ (t), что также
исключено.
Таким образом, интегральное уравнение К'К0^ — 0 будет иметь
гс' + х решений, следовательно, л = л' + х.
Рассмотрение случая х<0 не требуется, поскольку свойство
операторов быть союзными — взаимно, и в качестве исходного

56 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ (Гл. I
оператора нужно взять союзный, поскольку его индекс х' =
Следует отметить, что выше при построении теории сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений в значительной степени использо-
использовались конкретные свойства специальных сингулярных операто-
операторов. Ниже предлагается рассмотрение вопроса в общей постановке
в рамках функционального анализа, причем по ходу дела будет
получен ряд новых результатов. Преимущество такого подхода
скажется при изучении двумерных сингулярных операторов (§§ 7, 8).
Рассмотрение будем проводить в банаховом пространстве,
обозначаемом через Н (см. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев [1]).
Приведем некоторые определения. Оператор называется ограни-
ограниченным, если он переводит всякую ограниченную последователь-
последовательность в ограниченную. Оператор называется вполне непрерывным,
если он переводит любую ограниченную последовательность в ком-
компактную (т. е. последовательность, из которой может быть выбрана
сходящаяся подпоследовательность).
Можно показать (Н. И. Мусхелишвилн [4]), что сингулярные
интегралы являются операторами, ограниченными в пространства
с нормой
| (t) (I I
!j ср [| = max | ф @ ! + max u±.-L-JJ
где и — показатель класса Г. —Л. плотности. Регулярные же
интегралы язляются вполне непрерывными операторами.
В рамках функционального анализа имеет место общая по-
постановка задачи о регуляризации операторного уравнения (когда
сам оператор является ограниченным)
Лф = /. D.17)
Ограниченный оператор В называется регуляризатором для опе-
оператора А, если, применяя его к обеим частям уравнения D.17),
приходим к уравнению
(/+7)сР = ?/, D.18)
где / — тождестветамй оператор, Г —вполне непрерывный. Полу-
Получаемое таким образом урапненне называется фредгольмовым. Будем
далее нетривиальные penieinr;: однородных операторных уразпенил
называть нулями соответствующих операторов. Индексом оператор-
операторного уравнения будем называть разность числа нулей основного
уравнения и сопряженного ему.
Непосредственно из пр?дыдущнх рассуждений следуют, напри-
например, такие результаты. Члсло нулей уравнения D.17) допускаю-
допускающего регуляризацию *), ограничено, поскольку потери решений
*) В соответствии с принятой ранее терминологией предлагаемая регуля-
регуляризация является регуляризацией слева.

§ 4] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 57
не может произойти, а число нулей фредгольмового оператора
конечно. Использование понятия сопряженного оператора позво-
позволяет получить необходимые условия разрешимости уравнения
D.17). Имеем
(/, %) = (Лф, %) = (Ф, Л*Ф;) = 0 (/=1, 2, .... п*), D.19)
где ify — полная совокупность нулей сопряженного уравнения.
Более сложным образом устанавливается, что условия D.19)
являются также и достаточными условиями разрешимости, при-
причем это имеет место при существовании регуляризующего опера-
оператора. Обозначим через Но множество нулей оператора А. Пока-
Покажем, что это множество есть подпространство. Пусть ф/, (k =
= 1, 2, ..., п) — элементы множества //0. Очевидно, что
п
^] ck(fk е #о- Пусть элементы ф& (ц>к е Но) стремятся к ф0.
В силу ограниченности оператора А получаем, что Ащ =
= lim ЛфА = О, т. е. что ср0 е //0. Точно так же можно показать,
что подпространством будет являться множество нулей опера-
оператора А* (которое будем обозначать через Щ).
Определим теперь подпространства //j и Н* соответственно
как ортогональные дополнения подпространств Но и Щ. Будем
теперь рассматривать уравнение D.17) только на элементах под-
подпространства Hi, полагая правую часть принадлежащей подпро-
подпространству Щ. Докажем, что в этом случае уравнение имеет ре-
решение (т. е. что существует обратный оператор). Покажем,
во-первых, что уравнение D.17) имеет в Hi не более одного ре-
решения. Допустим, что оно имеет решения ф! и ф2- Тогда элемент
фх —ф2 принадлежит Hi, но, с другой стороны A((Pi — Фг)=О,
и поэтому (ф!— ф2) е Но. Поскольку же //0 и Hi ортогональны,
то ф! — ф2 = 0. Следовательно, на некотором множестве //' суще-
существует обратный оператор. Сначала докажем, что это множество
плотно в Н* *). В противном случае найдется такой элемент
ие//*, для которого (/, со) = О, если /е//'. Пусть ф = Л~1/-
Тогда придем к равенству (А(р, со) = О. Это равенство должно
выполняться для любого (реЯ] (поскольку / может быть произ-
произвольным из множества //'). С другой же стороны, это равенство
очевидно, когда ф е Но. Следовательно, при любом фё// имеем
(Лф, со) = О. Далее (Аср, со) = (ф, Л*со), и поскольку ф может
быть любым, то получаем Л*со = О, что означает ш е Н$. По-
Поскольку же <л принадлежит одновременно и Н$, то получаем ш = 0.
Далее докажем, что оператор А'1 является ограниченным в //'.
В противном случае должны существовать элементы фя^ Hi такие,
*) То есть его замыкание совпадает с Щ.

58 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. I
что ]|ф„|| = 1 и Ац>п-*-0. Воздействуя регуляризующим операто-
оператором, получаем
Выберем подпоследовательность ф„4 так, чтобы Тц>Пк стреми-
стремилось к некоторому пределу — ф0. Тогда и фя4-»-фо. Из ограни-
ограниченности же оператора А следует /4фо = Нт А<рПк = 0. Поэтому
ф0 е Но. С другой стороны, поскольку Hi — замкнутое подпро-
подпространство, фое//ь что приводит к равенству фо = 0, что невоз-
невозможно, так как ранее полагалось ||фо|=1.
Теперь представляется возможным доказать, что множество Н'
совпадает с Н*. Пусть / — произвольный элемент из Н*. Так
как Н' плотно, то можно построить последовательность элемен-
элементов fn, сходящихся к /. Пусть ф„ = /4~1/п (Лфл = /). Из ограни-
ограниченности же оператора А1 следует существование предела после-
последовательности ф„(ф). В свою очередь из ограниченности оператора А
получаем Аф = Игл Аф„ = lim /„ = /. Тогда / е Н', что и завершает
доказательство. Из доказанного следует, что уравнение D.17)
разрешимо при выполнении условий D.19), если существует огра-
ограниченный регуляризатор.
Наряду с обычной регуляризацией существует и так назы-
называемая эквивалентная регуляризация, при которой уравнения
D.17) и D.18) имеют одинаковые решения. Покажем, например,
что уравнения Ay = f и А*Ац> = A*f эквивалентны, если исход-
исходное уравнение разрешимо. Предположим противное. Тогда наряду
с функцией Фо(Лфо=/) будет существовать еще и функция фх
(A*A(fi~A*f и Лф1 = /). Рассмотрим разность А*А{цц — фо)=О
и умножим ее на ф! — ф0. Тогда получим
0 = (А*А (ф1-ф0, Ф1-Фо))
Следовательно, Д(фх — фо) = О, Дф! = Дф0, что и приводит к про-
противоречию.
Рассмотрим далее вопрос о влиянии на значение индекса до-
дополнительно вводимого в уравнение вполне непрерывного опера-
оператора Т. Докажем, что индекс остается при этом неизменным,
т. е. Ш{А + Т) = ША.
Заметим, что операторы А и А-\-Т имеют одинаковый регу-
лтфизующий оператор —В. Уравнения ВА(р = 0 и A*B*ty = 0
имеют одинаковое число нулей, которое обозначим через г. Обо-
Обозначим далее через п, п*, m и т* число нулей операторов А, А*
и В, В*. Пусть ф; (/=1, 2, .... п) и х/ (/=1, 2, ...,т)-нули
"операторов А и В. Очевидно, что уравнение ВА<р = 0 эквива-
эквивалентно уравнению
? D.20)

§ 4] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 59
где ck — произвольные постоянные. Для разрешимости же послед-
последнего необходимо, как выше было показано, выполнение условий
т
2С*(Х*. Ч>/)=0 (/=1, 2, .... «*). D.21)
k—i
Положим, что ранг матрицы | (%к, %) | равен s. Тогда решение
уравнения D.20) будет содержать tn — s постоянных плюс число
нулей оператора А (п). Тогда получим г = n-\-m — s. Подсчитаем
также это число, исходя из уравнения Л*В*г|з = О. Обратимся
к уравнению
В*Ъ=%У1$„. D-22)
где 7* — постоянные. Поскольку этот оператор имеет регуляриза-
тор (А*), то для разрешимости нужно выполнение условий
Jj Y*D>*. X/)=° (/=1.2 т).
Матрица ||(ф4, х/)| сопряжена матрице ||(хь ify)||, и поэтому
она имеет тот же ранг s. Таким образом, также приходим к ра-
равенству r = n*-\-m*~s. Окончательно получаем
п-п*=т*-т (Ind Л= — ШВ). D.23)
Поскольку введение дополнительного вполне непрерывного опе-
оператора оставляет неизменным правую часть равенства D.23), то
и приходим к требуемому результату *).
Усилим полученный результат. Покажем, что имеет место
более общее равенство Ind (А -\- С) = Ind С, где С —ограниченный
оператор, норма которого меньше ЦВЦ (В —по-прежнему регу-
ляризатор оператора А). Имеем ВА=/-\-Т. Тогда
В(А-\-С)=/+ВС + Т =
= (/+ ВС) [/+ (/+ ВС)-1 Т] = (/+ ВС) (/+ 7\), D.24)
где Т и 7\ — надлежащие вполне непрерывные операторы. Из D.24)
вытекает, что оператор А + С имеет регуляризатор (/+ ВС)'1 В.
Ввиду ограничения (|| /?|||С||< 1) число нулей последнего совпа-
совпадает с числом нулей оператора В. Очевидно также, что одина-
одинаковое число нулей будут иметь операторы В* и В* (/-\-С*В*)~1.
Таким образом, приходим к равенствам
- Ind A = Ind B= Ind B{/+ ВС)-1 = — Ind (A+C).
*) По ходу изложения опускалось доказательство того, чгго операторе А*
ж А*-\-Т* имеют конечное число нулей.

60 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
Отметим, что при выполнении условия |]С||-<1 уравнение
(/-f-C)cp = f оказывается возможным решать методом последова-
последовательных приближений.
Из доказанного следует, что вопрос о разрешимости опера-
операторного уравнения (с ограниченным оператором) сводится к уста-
установлению возможности его регуляризации и определению всех
нулей союзного уравнения. Однако для построения полного ре-
решения необходимо найти все нули оператора, для чего, в пер-
первую очередь, надо установить их число. Поэтому представляется
важным определить значение индекса уравнения (поскольку число
нулей союзного уравнения должно быть обязательно известно при
установлении условий разрешимости). Именно для этой цели и
выявляется возможность эквивалентной регуляризации.
Может оказаться (именно такой случай и встречается для не-
некоторых задач теории упругости (см. § 29)), что исследование
уравнений завершается лишь установлением собственных функций
союзного оператора, необходимых для условий разрешимости,
а нахождение собственных функций исходного уравнения оказы-
оказывается излишним, поскольку они не влияют на решение исход-
исходной краевой задачи.
§ 5. Краевая задача Римана
в случае разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров
В предыдущих параграфах рассматривались краевые задачи,
когда коэффициенты G (/) и g{t) являлись непрерывными функ-
функциями, а соответствующие контуры L —замкнутыми. Получаемое
решение (кусочно-аналитическая функция) автоматически оказы-
оказывалось непрерывно-продолжимым на контур. Расширяя же поста-
постановку краевых задач на разомкнутые контуры и допуская для
коэффициентов G{t) и g(t) разрывы первого рода, приходится
в качестве допустимых функций вводить функции, имеющие в точ-
точках разрыва коэффициентов и в концах контуров интегрируемые
особенности. Необходимость такого ограничения связана с сообра-
соображениями как математического, так и физического (в приложениях)
порядков. Введенное ограничение обеспечивает как единственность
решения, так и условие ограниченности энергии в тех краевых
задачах, которые имеют физическое содержание.
Весьма простым приемом, связанным с введением соответствую-
соответствующих разрывов в концах дуг, задача для разомкнутого кгнтура
может быть сведена к задаче для замкнутого контура. Для этого
следует соединить между собой концы дуг какими-либо непере-
непересекающимися линиями так, чтобы получившаяся система пред-
представляла единый замкнутый контур. На вспомогательных линиях
следует положить G(/)=l, a g(t) = O. Таким образом, придем
к задаче для сплошного контура с разрывами коэффициентов

§ 5] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА 6?
в заданных точках. В последующем случай разомкнутых конту-
контуров, как частный случай общего решения, будет предметом спе-
специального разбора из-за его исключительной важности для при-
приложений.
Переходим к решению задачи Римана для одного замкнутого
контура при наличии у функций G (t) и g (t) точек разрыва пер-
первого рода, а у функции g{t) — еще особенностей вида
где а<1, a g* (f) принадлежит классу Г.—Л.
Решение задачи Римана можно искать в виде функций, при-
принадлежащих различным классам. Так, например, можно искать
решения, ограниченные во всех точках разрывов коэффициентов,
а можно искать решения, неограниченные, но интегрируемые во-
всех точках разрывов коэффициентов. Можно, наконец, искать
решения, ограниченные в окрестности одних концов и неограни-
неограниченные в окрестности других. Под неограниченным, но интегри-
интегрируемым решением понимается решение с особенностями вида
1ФЧ0К .,Д;а («<!)•
В точках, где коэффициент g(t) имеет особенность вида E.1),
функции Ф1 (t) имеют особенность такого же характера, как B.28).
Осуществим переход к задаче Римана с непрерывным коэффи-
коэффициентом G (t). Первоначально рассмотрим случай, когда лишь
в одной точке контура—точке tu коэффициент G (t) претерпевает
скачок. Введем две вспомогательные функции (z —zo)v, (г — tt)yt
где г0 е= D*. у = а + г|3— некоторое комплексное число. Точками
ветвления первой функции являются точки г0 и оо, а второй —
соответственно tx и оо. В плоскости, разрезанной вдоль линии,
соединяющей точки z0 и /ь и уходящей в бесконечность, указан-
указанные функции однозначны. Образуем кусочно-аналитическую
функцию со (г), которая определяется соотношениями
Однозначность этих функций в соответствующих областях
обусловлена надлежащими разрезами. На контуре L эти функции
непрерывны всюду, кроме точки t\.
Введем новую функцию
О) *" (t)
откуда

¦62 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
Исследуем поведение функции со (г) в окрестности точки tx и
введем локальную полярную систему координат с центром в этой
точке:
со+ (г) = (z — tj)y = ev'" <* - <•> = гае^ё <PIn r + a9>,
Следовательно, при а>0 функция co+(z) имеет в точке tt нуль
порядка а; при а<0 — полюс порядка —а (условие интегрируе-
интегрируемости приводит к условию — 1<а). Наконец, при а = 0 функ-
функция со+ (г) остается ограниченной, но не стремится к определен-
определенному пределу, когда точка z стремится к точке tx. Аналогичными
•свойствами в окрестности точки ^ обладает и функция ©- (г).
Переходим к непосредственному решению однородной задачи
Римана C.4). Напомним, что мы пока рассматриваем случай,
когда функция G (t) имеет лишь одну точку разрыва. Определим
теперь у следующим образом:
v ¦ inG(/l-0) Г52>
и образуем функции <о+(г) и «г (г), соответствующие данному
значению у. Введем новую кусочно-аналитическую функцию Фх (г),
положив Ф(г) = ю B)Фх(г). Тогда краевое условие C.4) примет
вид
ФИО = Gx (/) Фг @, Gl{t) = u{t)G{t). E.3)
Коэффициент Gt (t) вспомогательной задачи Римана является
уже непрерывной функцией на всем контуре L, включая и
точку tx. Поскольку кусочно-аналитическая функция Ф1 (г) непре-
непрерывна, особенности функции Ф (г) будут определяться лишь пове-
поведением функции со (г) вблизи точки разрыва. Последнее же свя-
связано с формулой E.2) и зависит только от выбора ветви лога-
логарифма. Если допускаются лишь ограниченные решения, то должно
выполняться неравенство O=^Rev<l- Если же допускаются
неограниченные решения, то должно выполняться неравенство
— l<Rey<0. В последнем неравенстве ограничение слева
связано с условием интегрируемости.
Представляет интерес построение аналогичных оценок непо-
непосредственно для коэффициента G{t). Обозначим через 8 прира-
приращение какой-либо ветви аргумента G (t) при обходе контура L.
Очевидно, что 6 —есть скачок аргумента G(t) в точке разрыва,
поэтому
и, следовательно,
1 СЦ-О) _ В ¦ 1пр
~ 2т Gft + 0) ~ 2я * * 2л

$ 51 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА ° >
где целое число х нужно выбирать в соответствии с приведен-
приведенными выше неравенствами, принимающими теперь вид
Таким образом, для класса ограниченных решений и =
= [6/Bя)]*), а для класса неограниченных решений — и = [8/Bn)]-f
+ 1. Если 6/Bп) — целое число, то может выполняться лишь
первое условие из-за ограничений на Re у. Решение, оставаясь
в окрестности точки t\ ограниченным, не будет стремиться к ка-
какому-либо пределу при стремлении к t\. Точку разрыва называют
в этом случае точкой автоматической ограниченности.
Вычислим теперь индекс вспомогательной задачи Римана,
т. е. индекс функции d (t):
Ind G-, (t) — ' In rGfe~°> о-2Я!к] L. In e2It'x — x
ina иг{i) - 2щ. m^G{h+0)e j - ^ me -x.
Эту величину и будем называть индексом исходной задачи Римана,
Таким образом, при наличии разрыва коэффициента G(t) вели-
величина индекса зависит от выбираемого класса решений.
Распространим полученные результаты на случай, когда коэф-
коэффициент G (t) имеет разрывы первого рода в совокупности точек
t\, U, .... tn. На каждой из дуг можно произвольно задать для
функции \nG(t) ветвь (не допуская при этом перехода с одной
ветви на другую во внутренних точках этих дуг). Аналогично
предыдущему введем в каждой точке tk изменение 8ft аргумента
.функции G(t). Тогда получим
Положим теперь
¦°) _i*L_^, .- 1пР*
2я "к ' 2я '
где числа xk определяются аналогично предыдущему в зависи-
зависимости от того, какая особенность допускается в соответствующей
точке. Введем новую кусочно-аналитическую функцию
ft=i
где индекс k функции ю (г) указывает на то, что эта функция
определяется точкой tk. Естественно, что для каждой функции
*) Знак [ ] —целая часть числа.

€4 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
щ(г) проведена своя система разрезов (при едином выборе
точки г0).
Для функции Фх (г) получаем краевую задачу с непрерывным
коэффициентом
Аналогично предыдущему можно показать, что индекс вспо-
вспомогательной задачи Римана, который также будем называть и
индексом исходной задачи, определяется следующей суммой:
Построение окончательного решения не представляет труд-
трудностей.
Перейдем к рассмотрению неоднородной задачи Римана C.2).
Будем пока полагать, что функция g(t) удовлетворяет условию
Г.—Л. Согласно предыдущему переходим к решению вспомога-
вспомогательной краевой задачи с непрерывным коэффициентом
ф|- (о = П с - гоГт* g (о ф,- (/) + п (/ - („г7» g a).
n
Заменяя коэффициент Y[ (t — zo)~7kG(t) отношением канониче-
k= i
ских функций C.11), приходим к краевому условию в форме
п
П С-/*)"** г (9
фг @ фг (о = ±Е1
Xf(t) X;{t) Xj(t)
Решение же этой задачи имеет вид C.17) и записывается так:
^|I = Y(Z)+Px_1(z), E.4)
где Р*-!(г) — полином степени и—1 при х^1, а при х<1 поли-
полином отсутствует.
Приведем далее выражения для искомой функции
ф+ (г) = Yl (z — tk?kX\ (г) [У+ (z) + /Vi (г)],
"~J E.5)
Ф-(г) = П(

§ 5] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА 65
Выше использовались обозначения
ХГ (?) = е^ <z>, ХГ (?) = (г - z0)-* <Г <z>,
Infer-*,)-* ft (т-г„ГТ*О(т)
П (т-*
Из структуры выражения для функции Y (г) следует необхо-
необходимость введенного ранее (без должного обоснования) ограниче-
ограничения Re 7й < 1.
При х<0 краевая задача разрешима при выполнении усло-
условий, аналогичных C.18):
п
Допустим, что в точках t\, t'%, ..., ^ функция g(t) имеет сле-
следующее представление:
где 7* = а* + 'Р* @^а*<1), функция g* (t) удовлетворяет усло-
условию Г.—Л. всюду, кроме точек t\, &, .... ^si в которых она
имеет разрывы первого рода.
Первоначально положим, что указанные точки t", t'%, ..., t\
отличны от точек разрыва коэффициента G(f). В этом случае
решение E.4) также остается пригодным. Правда, при этом
в силу формул B.31) функция Ф+(г) будет иметь в окрестности
точек t'k особенность вида (г — &)~Ук, а в окрестности точек t% —
логарифмическую особенность. Совпадение какой-либо из точек t\
с точкой разрыва коэффициента G (t) не вносит изменения в пове-
поведение функции
П (t-tk)~
Xt (т)
Совпадение же какой-либо из точек t'k с точкой tk может при-
привести к сложению особенностей. Если сумма ос* + ос* < 1, то
применимость рассмотренной теории имеет место лишь для неог-
неограниченного в точке tk решения (исключая сс? = О).
3 Партон В. 3., Перлии П. И.

66 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
В качестве приложения изучим задачу Римана для системы
разомкнутых контуров Llt L2, ..., Ln (совокупность которых
в дальнейшем будем обозначать через L), когда коэффициент G (t)
тождественно равен некоторой постоянной c<iO. Этот случай
имеет важное приложение в теории упругости (см. далее
§§ 26—27). Концы дуг Lk обозначим через ак и Ьк (ак — начало
обхода, Ьк — конец). Согласно изложенному выше строим доста-
достаточно произвольную систему дуг L'k, соединяющих концы Ьк и
ak+i (будем обозначать эту систему дуг через L'). Совокупность
контуров L и L' образует замкнутый контур.
Таким образом, снова приходим к краевой задаче Римана C.2),
причем на дугах Ьк коэффициент G(*)=c<0, а на дугах L'k —
G(t) = l. Коэффициент g(t) на дугах L'k равен нулю. Определим
во всех точках ак и Ък отношения *):
G(ak+0) - er • Ук~ 2 X + IP' G (bfc+0)
,1 .„ g Ь
p P
fR — 2 'fi f — 2л *
Отсутствие или наличие штриха в выражениях для yk указывает
на то, что величина берется соответственно в концах ак или bk.
Первоначально ищем решение, обращающееся в бесконечность
во всех концах, поэтому целые числа хй и х?, определяемые
предыдущими формулами, равны соответственно х = 0, х' = 1,
откуда yft =—5" + iP, fk = —2~1^' Таким образом, получаем,
что индекс задачи Римана равен числу дуг п, а коэффициент
вспомогательной задачи Римана имеет в окончательном выраже-
выражении очень простой вид Gi(t) — (t — го)п. Каноническая функция
находится элементарно: Xt(z)—\, Xj(z) = (z — 20)~".
Таким образом, окончательное решение, вытекающее из фор-
формул E.5), представляется в виде
г-ььу» ,.
П /(T-e*)(x-ft*)g(x)
ЦУ(г-ак)и-Ьк)
А 1
п
, г — ак )
+ - Pn-i (г), E.6)
Д V (г-а*) (г-ft*)
*= 1
*) Введенный выбор значений 8 несколько отличается от предложенного ранее
(см. стр. 62), что находнт отражение в ином выборе чисел х (см. Ф. Д. Гахов AJ).

§ 5] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА 67
где Рл_! (г) — полином степени п— 1. Следует подчеркнуть, что
радикалы, находящиеся в подынтегральном выражении, не
являются многозначными функциями, поскольку выбранная
система разрезов (г0— ak — oo, г0 — bk — oo) вносит однозначность
в их определение. Иными словами, под радикалом следует пони-
понимать какую-либо ветвь многозначной функции в плоскости,
разрезанной вдоль дуг Lk.
Перейдем далее к решению, ограниченному во всех точках ак,
но по-прежнему неограниченному в концах bk. В этом случае
имеют место равенства хЛ = — 1 и Yft = y + IP- Индекс задачи
Римана равен нулю, а решение с учетом E.5) имеет вид
п
п
X
В том случае, когда определяется решение, ограниченное во всех
концах, индекс оказывается равным —п, а решение имеет вид
Д
т — г
E.8)
Выражение E.8) будет удовлетворять условию на бесконечности
(и, следовательно, являться решением задачи Римана) при выпол-
выполнении соотношений
\
-Z& т>-*Л = О (/=1,2 n-\).
E.9)
Анализ решений E.6) —E.8) показывает, что в зависимо-
зависимости от накладываемых в концах ak и 6Й ограничений следует
3-

68 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (Гл. I
переносить соответствующие радикалы из числителя в знаменатель
и наоборот. Индекс же всегда равен числу дуг минус число кон-
концов, в которых решение ограничено.
Следует отметить, что интегралы, присутствующие в решениях
E.6) —E.8), вычисляются в замкнутом виде, если функция g(t)
имеет вид полинома (см. Н. И. Мусхелишвили [4]).
§ 6. Сингулярные интегральные уравнения
в случае разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров
Подобно тому, как в § 4 строится теория сингулярных интег-
интегральных уравнений на основе теории краевой задачи Римана
для замкнутых контуров, так строится и соответствующая теория
сингулярных уравнений на основе краевой задачи для разомкну-
разомкнутых контуров.
Внешне интегральное уравнение для рассматриваемого случая
совпадает с уравнением D.1) или D.1') при условии, что интег-
интегрирование распространено на всю совокупность разомкнутых
контуров L/ (/=1, 2, ..., п), символически обозначаемую как и
в § 5, через L. Таким образом, будем рассматривать интеграль-
интегральные уравнения вида
0
FЛ)
a(t), b(t), f(t)e=H(A, К).
Под союзным уравнением по-прежнему понимаем уравнение D.2).
Из анализа выражений решений сингулярных интегральных
уравнений для замкнутых контуров можно установить, что иско-
искомая функция принадлежит тому же классу Г.—Л., что и правая
часть. Очевидно, что в рассматриваемом случае этот результат
уже не будет иметь места. Более того, при построении решения
следует заранее задавать из каких-либо дополнительных (воз-
(возможно, физических) соображений порядок особенности в конце-
концевых точках (так же как и при рассмотрении краевой задачи).
Для дальнейшего удобно ввести новую индексацию концов
контуров Lk. Обозначим их единой буквой «с» с таким индексом,
чтобы в концах ck (k=l, 2, ..., q) решение было ограниченным,
а в остальных концах ck (k — q-\-\, q-\-2, ..., 2п) неограничен-
неограниченным, но, разумеется, интегрируемым. Будем теперь говорить,
что решение сингулярного интегрального уравнения принадлежит
классу h(cu с2, ..., сд), если оно ограничено в точках ck (k=l,
2, ..., q) и неограничено в точках ck (k = q-\-l, q + 2, ..., 2ri).
Под союзным решением союзного уравнения будем понимать
решение в классе h (с?+1, с?+2, ..., с2л), называемом союзным.

§ 6] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 69
Как и при рассмотрении замкнутых контуров, потребуем выпол-
выполнения условия а2 (/) — № (t) Ф 0.
Начнем рассмотрение с характеристического уравнения
^$?г F-2)
Посредством интеграла типа Коши
перейдем к вспомогательной задаче Римана
[а @ + b (/)] Ф+ @ = [а @ - Ь (*)] Ф- @ +/ @. F.3)
Общее решение этой задачи запишем посредством E.4), где под
X (t) понимается каноническая функция, ограниченная в тех же
точках съ с2, ..., сд, или в соответствии с введенной терминоло-
терминологией—функция класса Л(сх, с2, ..., сд). Тогда решение уравне-
уравнения F.1) представится в виде
yj?? (t)PK_1(t), F.4)
где
П
Z (t) = [а @ + Ь (О] Х+ (О = [а (О -Ь (О] Х- (О = П (< -<
Постоянные xft определяются в соответствии с характером осо-
особенностей в концах (стр. 63), полином имеет степень х—1,
поскольку Ф(со) = 0 автоматически. Если индекс x«g:O, то поли-
полином отсутствует. При х<0 решение задачи указанного класса
существует тогда и только тогда, когда выполняются условия
МТ;-1Л = О (/-1,2 -х). F.5)
Рассмотрим теперь уравнение, союзное характеристическому
/О|> = а @ ар @ -1- { ЩШ. dx = U {t). F.6)
L
Посредством интеграла типа Коши

70 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
перейдем к краевой задаче
[a (t) - Ь @] й+ (t) = [a (t) + Ь @] Q- @ + h @¦ F.7)
Из предыдущего сразу вытекает, что функция X' (г) = 1/Х (г)
будет являться канонической функцией задачи F.7) в союзном
классе. Следовательно, индекс союзной задачи в союзном классе
будет равен индексу основной задачи с обратным знаком.
Общее решение уравнения F.6) в классе h (с?+1, сд+2, .... с2п)
запишется в виде
(t) = a @ h @ + ^j Z(T)&T!!Vl(T) dx + ^щ Р^г (t). F.8)
При —xscO полином отсутствует, причем при —х<0 для
разрешимости требуется выполнение условий
\Z(x)b(т) h(т) тМ dt = 0 (/ = 1, 2, ..., х). F.9)
L
Из представления F.8) следует, что решением однородного
союзного уравнения являются функции
fy(t) = z\f,tJ~1 (/=1. 2, -.., -х).
Поэтому условия разрешимости исходного уравнения F.1), пред-
представленные ранее в виде F.5), можно представить в традицион-
традиционном виде
$/(T)o|v(T)dT = O (/=1, 2, .... -х). F.5')
Сопоставляя полученные результаты, приходим к формули-
формулировке теорем Нетера для характеристических сингулярных урав-
уравнений на разомкнутых контурах в той же форме, что и для
замкнутых контуров (см. § 4). Для разрешимости интегрального
уравнения F.3) в классе h (сь с2 cq) необходимо и доста-
достаточно выполнение условия F.5'), а для разрешимости союзного
уравнения F.4) в союзном классе необходимо выполнение усло-
условий F.9), которые также могут быть представлены в виде
$Ыт)фу(т)Л = 0 (/=1.2 х), F.9')
L
где фу (f) — решение однородного исходного уравнения.
Отметим, что выполняется также условие равенства индекса
уравнения разности числа решений однородных исходного (k) и
союзного (?') уравнений. Действительно, й = х, k' = 0 при х^0,
a k = 0, k' = — х при хйсО.
Перейдем к рассмотрению полного сингулярного уравнения F.1).
Естественно, что изложенный в § 4 метод изучения сингулярных

§ 7] ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 71
интегральных уравнений на замкнутых контурах переносится и
на исследуемый случай с надлежащими усложнениями, обуслов-
обусловленными наличием особенностей в ядрах и в искомом решении.
Условимся индекс характеристической части считать индексом
полного уравнения (разумеется, в том же классе h(clt c2, ..., сд)).
В случае, когда х^О, осуществляем посредством оператора
F.6) левую регуляризацию, в результате которой приходим
к интегральному уравнению
K'K<P = K'f, F.10)
равносильному исходному. Следует заметить, что это уравнение
не является, строго говоря, фредгольмовым, поскольку его ядро
будет иметь на концах контуров особенности. Напомним, однако,
что в § 1 была доказана выполнимость альтернатив Фредгольма
и для этого случая. Наличие же особенностей у искомой функ-
функции рассматривалось ранее (см. § 5) применительно к краевым
задачам. Существенно, что союзные классы вводятся именно таким
образом, чтобы не происходило сложения особенностей (которое
могло бы привести к появлению неинтегрируемых особенностей).
В случае же х < 0 нужно осуществить регуляризацию справа.
Заметим, что когда две функции ф (t) и ар (t) принадлежат союз-
союзным классам, то для разомкнутых контуров выполняется тож-
тождество D.3). Сами доказательства теорем Нетера воспроизводят
приведенные доказательства для случая замкнутых контуров
с учетом конкретной структуры оператора F.6) и того обстоя-
обстоятельства, что решения исходного и союзного уравнений рас-
рассматриваются в союзных классах.
§ 7. Двумерные сингулярные интегралы
При изложении теории интегральных уравнений Фредгольма
случай одного переменного рассматривался лишь для краткости
записи, хотя теми же методами удается получить полностью ана-
аналогичные результаты и при произвольной размерности. Перене-
Перенесение же рассмотренной выше теории одномерных сингулярных
интегралов и интегральных уравнений на случай большего числа
измерений в значительной части оказывается невозможным.
Построение же соответствующей теории сопряжено с разработкой
специальных методов. Заметим также, что случай двух измерений
удается изучить более простыми средствами, чем случай произволы
ной размерности. Поэтому далее ограничимся лишь этим случаем,
учитывая, конечно, что интегральные уравнения пространственных
задач теории упругости (см. гл. VI) являются двумерными урав-
уравнениями. Отметим, однако, что теория двумерных уравнений
в значительной степени переносится на общий случай.

72 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. I
Пусть функция F (q) определена на некоторой поверхности 5
(первоначально будем считать ее плоскостью и обозначать через П).
Рассмотрим произвольную точку q0 и выделим на П ту ее часть Пе,
которая находится на расстоянии от точки q, меньшем некото-
некоторого е. Допустим, что на оставшейся части плоскости функция F (q)
суммируема при любом е. Если существует при этом предел
Hm \ F(q)dSg,
Е-°п-пЁ
то он называется сингулярным интегралом и обозначается через
\F(q)dSg.
п
Будем далее рассматривать сингулярные интегралы вида
\ К (<7о, q) и (q) dSg. G.1)
п
Поначалу будем считать, что функция u(q) удовлетворяет усло-
условию Г. —Л. и на бесконечности убывает как l/\qf ф>0). Огра-
Ограничимся также случаем, когда ядро К (<7о> <7) допускает представ-
представление
где r — r(q0, ^ — расстояние между точками q0 и q, a 9 —угол,
который составляет луч, идущий от точки q0 к точке q, с фик-
фиксированным направлением. Функция f(qo, 9) называется харак-
характеристикой такого сингулярного интеграла, а функция u(q),
как и ранее, плотностью.
Установим условия существования введенных выше сингуляр-
сингулярных интегралов. Имеем
\ К (q0, q) и (q) dS9 = \ К (</„. q) « (?) dSq +
П r>\
+ \ K(qo, q)[u(q)-u(qo)]dSg + u(qo) \K(qo,q)dSq. G.3)
r<\
В силу введенных ограничений первые два интеграла оказываются
абсолютно сходящимися. Для оценки же третьего интеграла вве-
введем локальную (в окрестности точки q0) полярную систему коор-
координат. Тогда имеем
К (<7., q) dS, = lim \ К (?„, q) dS9 = lim In-M / («/„, 6) dL,
r>l e-°e<r<l I

§ 7] ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 73
где L —окружность радиуса е с центром в точке q0- Предел пра-
правой части существует то1да и только тогда, когда
$/(</„, 9) dL = 0. G.4)
L
Таким образом, условие G.4) является условием существо-
существования сингулярных интегралов рассматриваемого класса. В даль-
дальнейшем будем предполагать, что это условие всегда выполняется.
С учетом изложенного выше получаем из G.3) для сингуляр-
сингулярных интегралов представление
\ К fao, q) « (Q) dSg= \ К fao. q)« (?) dSg +
П r>6
+ \ К (<7„, q) [и (q) - и fa0)] dSq. G.5)
Возможность замены единицы (при определении области ин-
интегрирования) на произвольную постоянную б очевидна.
Допустим, что в силу каких-либо причин (см. далее случай
произвольной поверхности) форма вырезаемой области отлична
от круга. Пусть уравнение границы этой области ое (ранее круга)
таково: r = a(e, q0, 8). Будем считать, что существует предел
Нш
е-0
Распространим теперь представление G.5). Имеем
f hSzJLu{q)dSq= \n3^Lu{q)dSq +
пЛе rU
+ lim f U3sLR[u{q)-u{qo)]dS
е-ОаЯ<6
— u(qo)UmU(qo, B)lna(e, q0, %)dL.
8-0 L
8-0
Из условия G.4) получаем
o, 8)lna(e, q0, 6) dL = ^ f (q0, 6) In °^^.
Следовательно,
lim
=1
« fo) <4 - « M J / {qo, Щ In P (ftl 6) dL. G.6)

74 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
Таким образом показано, что сингулярный интеграл может
быть определен и иными способами (при произвольной функции
Р (<7<>, 9), однако при этом условием его существования всегда
будет равенство G.4). Естественно, что при Р = 1 формулы G.5)
и G.6) будут приводить к одинаковому результату.
Докажем, что сингулярный интеграл
v (<7„) = J К (<7о, Я) и (q) dSq
п
удовлетворяет условию Г.— Л., если характеристика f(qo, 6)
непрерывно дифференцируема по декартовым координатам точки q
и по углу б (следовательно, имеет место оценка grad К (q0, q) —
= 0(г~3), когда r->0) *). Будем исходить из представления G.5).
Первое слагаемое есть функция, имеющая непрерывные произ-
производные. Остановимся поэтому лишь на втором слагаемом, кото-
которое для удобства обозначим через <о (q0). Пусть постоянная
|Л|<6/2, тогда
й (<7о + h) - со (ft) = \ K(qo + K q) [и (q) - u(qo+h)] dS9 -
!<7o + ft —<71<в
- \ K(qo,q)[u(q)-u(q0)]dSg =
|<7о-<7|<в
5 K(qo + h, q) [«(?)- и (qo + h)]dSg -
|<7о—<7|<в — \h\
\ K(qo,q)[u(q)-u(qo)]dSq +
l
K(qo,q)[u(q)-u(qo)]dSg. G.7)
В двух последних слагаемых подынтегральные функции ограни-
ограничены, а площадь поверхности интегрирования имеет порядок h.
Каждый из двух первых интегралов разобьем на интегралы по
площади круга | q0 — q \ <21 h \ и кольца 2 | h \ < | q0 — q \ <б — \h |.
Тогда с учетом неравенств
•) Сформулированный результат называется теоремой Жиро [П. Giraud]
(см; 'С. Г.-Мнхлнн [5]), которую можно рассматривать как обобщение теоремы
Племеля — Привалова (§2).

5 7] ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 75
получаем оценки
r<2\h\
K(qo. q)[u(q)-u(qo)]dS
<С $ r*~*dSg= d
r<2\h\
G.8)
$ K(qo + h,q)[u(q)-u(qo
r<2\h\
<C $ r
r<2\h\
Для вычисления интегралов по площади воспользуемся тож-
тождественным преобразованием
[и (?) - и (<7„ + Л)] К (<7о + А, ?) - [и (?) - и Ы] /( (?о, q) =
= [и (?) - и (9о + Л)] [/С (<7о + Л, 9) - К (?о, ?)] -
0, q).
В силу условия G.3) интеграл от второго слагаемого исче-
исчезает. Из условий теоремы следует оценка
, y)-K(q0, ^К-г^г,
где <7о — некоторая точка, расположенная между q0 и qo + h.
Поскольку \q'o — q\>r — \h\ и так как в области интегрирова-
интегрирования г.^2Л, то \q'i — q\>r/2; а так как функция u(q) удовлет-
удовлетворяет условию Г. —Л. с показателем а, то
\u(q)-u(q + h)\\K(qo+h, q)-K(q0, q)\<
С учетом этих неравенств и неравенства Гельдера (см. С. Л. Собо-
Соболев [2]) (г ¦+¦ | h |)а < Iя +1 h |а окончательно получаем
, q)-K(q0, q)\ ^ +^
Используя предыдущее неравенство, приходим к требуемой оценке
для интеграла по площади кольца
S o + h,q)-K(qo,q)][u(q)-u(qo+h)]dSJ<
2|Л|<|<7о-<7|<в-|А| I
8-!ft| 6-|ft|
\ ^ f -$-<C7|A|e.
2|h|
Таким образом, теорему Жиро можно считать доказанной.

76 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
Остановимся на одном вспомогательном вопросе. При опре-
определенных условиях (см. С. Л. Соболев [3]) производная от
несобственного интеграла по параметру представляется в виде
интеграла от производной по ядру. Ниже изучается специаль-
специальный случай, когда получающийся при этом интеграл оказывается
сингулярным.
Рассмотрим несобственный интеграл
п
Полагаем, что функция и (q) удовлетворяет сформулированным
выше условиям, а функция f (q0, 6) имеет производные по декар-
декартовым координатам точки q0 и по углу 6, удовлетворяющие усло-
условию Г. — Л. Имеем
-jL-^lIm С i^JLu{q)dSq (*=,!. 2) G.9)
лк е—О
(х\, х\ и хи х2 — декартовы координаты соответственно точек q0
и q). Имеем тождество
г>е
>
3
г>е
Оба интеграла справа равномерно сходятся к своим пределам,
когда е->0. Поэтому можно в G.9) переставить порядок диффе-
дифференцирования и предельного перехода. Тогда получаем искомое
равенство
5)^ (cos (r, **) = J^). G.10)
Подобно теории одномерных сингулярных уравнений, в тео-
теории двумерных (и вообще многомерных) уравнений играет важ-
важную роль вопрос о композиции двух сингулярных интегралов.
Естественно, что ему должно предшествовать рассмотрение ком-
композиции сингулярного и регулярного интегралоа.
Пусть v (q) — по-прежнему сингулярный интеграл

S Л ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 77
a w (q) — регулярный интеграл
где fi(<7o, ^) —ограниченная функция,
Перейдем к изучению повторного интеграла
3
±__
п п
Далее будем обозначать г (q0, q) через г, a r(<7, ?i) — через г,.
Докажем, что в выражении G.11) можно изменить порядок
интегрирования, в результате чего придем к регулярному пред-
представлению функции w (q) посредством и (q). Имеем
J
J
Е-°П гГ>е
Проведенные преобразования оказались возможными, поскольку
сингулярный интеграл в левой части равенств равномерно стре-
стремится к своему пределу. Остановимся на внутреннем интеграле
е-»0 J
= С /i(?o. Q)fD> b)-hi4or 9t)/(9i,S) ^s +
II ГУП
+ /i(?o, ffi) lim \ ~~dS0. G.12)
Заметим, что первый интеграл является регулярным. Представим
последний интеграл в виде повторного интеграла в полярных
координатах
L
Во внутреннем интеграле произведем замену переменных rx — r2t,
где г2 — расстояние от q0 до qx. Обозначим через г|> угол <7<7o<7i-

78 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. I
Тогда
- e/r.
—2fcosif)v
v;«a "г fIn T
где В (г2, ip) — ограниченная функция. Следовательно, функция
Q (<7о. Я\) будет иметь особенность
порядка г^у, что и требовалось
доказать.
Аналогичный результат полу-
получается, когда композиция осущест-
осуществляется в обратном порядке.
Рассмотрим теперь два сингу-
лярных интеграла (см. обозначе-
обозначено ния на рис. 4)
о Ы = S ^i (<7o,
п
Рис. 4. Схема расположения точек . . г „ .
в плоскости. w Ш — ) Аг (?о, <7i) У
п
G.13)
Предварительно изучим частный случай. Пусть Л\ (q0, q) —
= е'п^/гг, Л (<7о. Я) = cos i|Vr2, re —целое. Формула G.10) позво-
позволяет второй интеграл G.13) переписать в виде
J^dS tf-I или 2).
Тогда
Как и ранее, переставим операции интегрирования и предель-
предельного перехода, получим
w Ы = - ~Wl im \ " ^2) d5««
П г i >e
Преобразуем внутренний интеграл
>>е

§71
ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
79
Подставляя это выражение в формулу для w (q0), с учетом того,
что е-»-0, приходим к формуле
w
>>=2 if $ -
1п
sin
П -я
Внутренний интеграл в G.14) берется в явном виде
я
С е{пв\п
sin-
9—Ш
пе
t'nco
причем иерхний знак соответствует га>0, нижний —га <0. Тогда
получаем
Выполнив теперь дифференцирование (согласно G.10)), приходим
к решению задачи о композиции рассматриваемых сингулярных
интегралов
w (<7о) =
±2п
п
С
^ и
2я
(пф±1),
(га=1),
Для ядер К\ (?о. ?) и /Сз (9ot 9) =l si°
суждения приводят к формулам
± 2я J ы
П
2я \ и (^i)
п
- 2я
аналогичные рас-
(i sinofi + racosT|)) dSqi (пф±\),
(" = !). G.17)
(га = -1).
Введем обозначение для специального сингулярного оператора
п
причем в дальнейшем индекс «1» будем опускать. С учетом вве-
введенной символики формулы G.16) и G.17) (складывая и вычитая)

80 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. I
оказывается возможным представить в эквивалентной форме
(пФ±\), G.18)
h-ihu = — и, hh_xu = — и.
Из приведенных формул следуют равенства
По индукции легко установить общую закономерность
hnu = \hnu, h-nu=t^-h-"u (n>0). G.19)
Далее оказывается удобным ввести новый простейший оператор,
определив его по формуле h = jh. Тогда все предыдущие фор-
формулы преобразуются очевидным образом. Приведем некоторые
из них, важные для дальнейшего:
h
rt
G.20)
Целесообразность произведенной замены станет очевидной далее
при введении понятия символа оператора. В дальнейшем усло-
условимся знак «тильда» опускать.
Рассмотрим теперь сингулярный оператор
Аи = ao(qo) и (qo)+\K(qo, q)u(q) dSlt K(q0, q)=f(q0, Q)/r2. G.21)
Будем полагать, что коэффициент а0 (q) ограничен и принадлежит
классу Г.—Л. Разложим характеристику f (q0, б) в ряд Фурье*)
со
/ (<7о, б) = 2' Ъя Ы е'л6. G.22)
fl:=-—CO
Будем считать, что характеристика удовлетворяет условию
2л
\ \f*(q0, Q)dQ\<C. G.23)
о
Из теории Фурье (см., например, D. Jackson [1]) будет следовать
тогда, что этот ряд сходится в среднем.
•) Отсутствие нулевого члена обусловлено G.4)

5 П ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 81
Изложенное позволяет представить сингулярное слагаемое
в G.21) в виде ряда
оо
!, G.24)
Если в этот ряд включить также и внеинтегральный член,
то для оператора А получаем представление в символической
форме
Аи= 2 anhnu. G.25)
п = — оо
Пусть даны два сингулярных оператора Ах и А2, которые
записываются в приведенной форме в виде рядов
Вернемся к вопросу о композиции двух таких операторов*).
Положим, что Q (q) — некоторая ограниченная функция, принадле-
принадлежащая классу Г.—Л. Можно доказать, что имеет место равенство
hn{Qu) = Qhnu + Tu, G.26)
где оператор Т является регулярным оператором. Тогда из струк-
структуры рядов G.25) (с учетом доказанной выше возможности пере-
перестановки регулярных и сингулярных операторов) следует искомая
формула для композиции операторов Аг и А%:
со ( оо
fe=—оо ' л=—о
G.27)
где Т— некоторый регулярный оператор. Заметим, что присут-
присутствие в операторах Ai и А2 еще регулярных слагаемых влечет
за собой лишь надлежащее видоизменение оператора Т.
Введем понятие символа**) сингулярного оператора А G.21).
Символом называется комплекснозначная функция Ф (q0, Я), опре-
определяемая рядом
). G.28)
*) Ранее эта задача рассматривалась лишь для простейших операторов.
•*) Это понятие введено С. Г. Михлиным.

82 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. 1
Понятие символа можно распространить и на операторы более
общего вида А' = А-\-Т (Т— вполне непрерывный оператор).
Символом оператора А' будем называть символ оператора А.
Очевидно, при таком определении символ сингулярного оператора
оказывается не зависящим от регулярных слагаемых и далее,
для удобства формулировок, будем приписывать им символ, равный
нулю. Таким образом, сумме сингулярных операторов будет соот-
соответствовать сумма символов. Нетрудно проверить, что их компо-
композиции соответствует произведение символов.
Заметим, что коэффициенты Фурье характеристики по модулю
совпадают с коэффициентами Фурье производной дФ/дк, в силу
чего имеет место тождество
J \P(q0, B)\dB= J \^\2dl, G.29)
из которого при ограничении G.23) следует неравенство
дФ
ж
2 м ^ г
dX<c-
Формула G.28) позволяет определить символ сингулярного
оператора по характеристике сингулярного интеграла, исходя
из ее разложения в ряд Фурье. Однако этот ряд удалось про-
просуммировать, что привело к установлению явной связи между
этими функциями
X,—я
Обратимся к простейшему оператору h. Его символ равен ё%.
Сопряженным с h является оператор h* =hrl. Действительно,
чтобы построить сопряженный оператор, достаточно переставить
в ядре местами точки q0 и q и заменить его комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженным. Следовательно, в рассматриваемом случае символы исходного
оператора и сопряженного являются комплексно-сопряженными
функциями. Представление G.25) позволяет распространить этот
вывод на общий случай.
До сих пор все рассуждения проводились в пространстве
Г.—Л. Покажем, что можно перейти к пространству квадратично
суммируемых функций (L2). Вычислим в этом пространстве нормы

5 7) ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 83
hu и hrxu *). Рассмотрим интеграл
^ J^j-«(<7)dS?. G.31)
п
В правой части G.31) произведем перестановку порядка инте-
интегрирования и одновременно обозначений. Тогда получим
Поскольку же
то будем иметь
"""'*o
I n — •
v (q) = y- \ и (^i) —;
u
Значит,
1 P /*
IK У w —
11
Отсюда получаем
Распространим сингулярные операторы на пространство L2.
Пусть функция и (q) квадратично суммируема. Тогда можно подо-
подобрать такую последовательность функций un(q) класса Г.— Л.,
что имеет место сходимость в среднем
lim un (q) = и (q).
п~*оа
Положим теперь
hu= lim hun, /г~1ы= lim hrlun
un
и аналогичным образом для любых степеней операторов h и /г1.
Таким образом, норма оператора h в пространстве Z.2 равна 1.
Аналогично вычисляется норма оператора /г1, которая также
оказывается равной 1.
Окончательно определим сингулярный оператор (в простран-
пространстве L2) в виде ряда •
оо
Аи= 2 an(q)h»u.
*) и — по-прежнему принадлежит классу Г.—Л.

84 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [Гл. 1
Для дальнейшего будет весьма важным установление доста-
достаточных условий на характеристику сингулярного оператора, при
которых операторы оказываются ограниченными в L2. Будем
считать, что характеристика удовлетворяет условию G.23) *).
Имеем
СО 00
Аи=
Перейдем к вычислению нормы [ Аи |, используя правую часть
G.32)
ОО 2
п=^—оо
2 -srlA"«l
I Vrt = — OO
OO
2 «2i«»(<7o)i25 2 w
?0 л = —оо П n = — oo
Обозначим внеинтегральный член постоянной Со, поменяем
порядки суммирования и интегрирования
ОО 00
л = — оо II
Воспользовавшись далее тем, что нормы операторов h и /г1
равны 1, получаем
ОО 00
\\Auf<c0 2 JHl«P=ceN» 2 i = irc°HI2-
« = — со п=—со
Из определения функций an(q) (см. G.24)) следуют равенства
Просуммируем их по п и воспользуемся равенством Парсеваля
Приходим к оценке постоянной Со (через постоянную, присут-
присутствующую в G.23)). Таким образом, можно считать доказанным,
что оператор А ограничен.
*) Приводимые ниже построения сообщены авторам С. Г. Михлииым.

§ 7! ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 85
Остановимся еще на вопросе о преобразовании символа при
замене координат (И. А. Ицкович [1]). Допустим, что в каждой
точке <7о изменили начало отсчета угла 8, так что 0 = 92 + а(<7о)
(где а (<7о) — некоторая непрерывная функция). При этом изменится
и характеристика
7о. 8)=f(<7o, 81 + a) = /1(Ge, 0J.
Проследим, как в этом случае изменится символ. Пусть харак-
характеристике /(<7о, 6) соответствует символ Ф(<70, к), а характери-
характеристике fi(q0, 6) —символ d>i(<7o. ^)- При новом отсчете углов и при
замене 8 = 8Х + а получаем согласно G.30) выражение для символа
G>i(<70, к) в виде
J
Х.+а—я
Отсюда следует вывод, что множество значений символа инва-
инвариантно относительно способа отсчета углов, т. е. инвариантно
при замене переменных.
Выше всюду рассмотрение производилось, когда поверхностью
интегрирования являлась плоскость П. Перейдем теперь к случаю
замкнутой поверхности Ляпунова 5.
Для определения значения сингулярного интеграла поступим
следующим образом: зададим число е и обозначим через а8
окрестность точки q0, расположенную внутри сферы *) радиуса
е. Поскольку 5 — поверхность Ляпунова, то можно отобразить
взаимно однозначно (при достаточно малом е) поверхность а8 на
некоторую часть плоскости (обозначаемую далее через D), причем
так, чтобы в самой точке q0 преобразование было конформным.
Например, можно осуществить ортогональное проектирование
области а8 на касательную в точке q0 плоскость. Далее проекции
точек <70 и q будем обозначать через q'o и q'.
С учетом сказанного преобразованное подынтегральное выра-
выражение примет вид
К (ft, q) и fa) dSq = К' (q'o, q') v (q') dSq; u(q)=v (q'),
где функция К' (q'o, q') имеет представление
К' (<7с> я') = —~ji Ь ——^— (,ч < 2),
причем функция f0 (q'6t q') является ограниченной.
•) Эту область можно определить также и посредством кругового цилиндра,
ось которого совпадает с нормалью в точке q0.

86 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. 1
По определению положим
\ и (q) К (<7о, q) dSq =
s
= С u(q)K foo, q) dS,7 + f ;-%^ dS,« + f №^3 dSQ>. G.33)
S-<T8
Символ сингулярного оператора G.33) отождествим с символом,
соответствующим характеристике f(q, 8)*). При таком определе-
определении символа сохраняют силу все приведенные выше результаты.
§ 8. Двумерные сингулярные интегральные уравнения
Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение
Аи = а0 (<7„) и (<7о) + $ К (<?„, q) и (q) dSq +
гг
+ $ Ki (<7o. <7) " (<7) d5? = F Ы (Л« = Л'« + Ги = f), (8.1)
п
где функции а0 (q) и f(</) принадлежат классу Г.— Л., ядро
/С(<7о, <7) имеет вид f(q0, б)//-2, ядро Ki(q0, q) — регулярное. Пола-
Полагаем также, что характеристика f(q0, 8) удовлетворяет условию
G.23).
Подобно случаю одномерных сингулярных уравнений иссле-
исследование в двумерном случае опирается на процедуру регуляриза-
регуляризации, т. е. на сведении исходного уравнения к фредгольмову
воздействием на его обе части специально подобранным сингу-
сингулярным оператором (будем здесь обозначать его через В). Этот
регуляризующий оператор должен быть ограниченным и иметь
непрерывный и ограниченный символ.
Примем важное для дальнейшего о граничение, положив, что
символ оператора Л —функция Ф (q0, А,) —ни при каких сочета-
сочетаниях <7о и к, включая и q0 — oo, не обращается в нуль. Тогда
функция
ограничена, непрерывна и легко проверить, что она имеет произ-
производную, удовлетворяющую условию
дФ
2dl<C.
*) Заметим, что точки 6 пробегают единичную окружность, расположенную
в касательной плоскости.

§ 8] ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 87
Будем рассматривать Ф' (q0, А.) как символ некоторого сингу-
сингулярного оператора. Явное выражение для его характеристики
можно получить, воспользовавшись разложением символа Ф' (<70. ty
в ряд Фурье с последующим определением коэффициентов характе-
характеристики согласно G.24). Можно показать, что характеристика
будет удовлетворять условию G.23) (с иным, разумеется, значением
постоянной, чем характеристика f(q0, К)). Введенный таким обра-
образом оператор и будет являться регуляризующим. Действительно,
согласно доказанным выше свойствам символа композиции символ
оператора
ВА ВА + ВТ
будет равен 1 (оператор ВТ вполне непрерывный) и поэтому
уравнение
В Аи = BF
является фредгольмовым.
По-прежнему (как в § 4) индексом будем называть разность
между числом линейно независимых решений исходного уравне-
уравнения и союзного ему. Используя общие положения заключитель-
заключительной части § 4, можно показать, что уравнение Au—F разрешимо,
когда его правая часть ортогональна всем решениям союзного
уравнения.
Осуществленная таким образом регуляризация не будет
являться, вообще говоря, эквивалентной. Однако в ряде случаев
удается показать, что можно подобрать для регуляризатора таким
образом дополнительное регулярное слагаемое, что эквивалент-
эквивалентность будет иметь место. Начнем доказательство с рассмотрения
простейшего уравнения
а» (</о) и (q0) - $ ? и (<7) dSg = F (q0), [а1 (q) -Щ и = F (q0). (8.3)
п
Условие неравенства нулю символа обозначает применительно
к уравнению (8.3), что выполняется неравенство | a1 (q) \ Ф 1.
Ввиду непрерывности коэффициента a1 (q) должно выполняться
неравенство | a1 (q) \ < 1 или | а1 (</)!> 1. Допустим, что | a1 (q) | > 1.
Тогда представим уравнение (8.3) в виде
"(<7)=-тг^м+^. (8.4)
w/ a1 (q) ' a1 (q) v '
Это уравнение можно решать методом последовательных прибли-
приближений, что приведет (е учетом тождества G.26)) к представлению
решения в виде
- 2
(8-5)

88 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. I
где
T*F = \ [Г h 1" й" \F(q)
1 L \W(q)\ W(q)\"\aHqy
Если правая часть уравнения (8.4) включает в себя еще и
регулярный оператор (предварительно перенесенный из левой
части), то выражение (8.5) будет представлять собой эквивалентное
исходному уравнение Фредгольма.
Допустим теперь, что 'a'^JKl, Воздействуем на обе части
уравнения (8.3) оператором /г1. Придем к эквивалентному урав-
уравнению
u{q) = al{q)h-lu-h-lF. (8.6)
Уравнение (8.6) может быть решено методом последовательных
приближений, что при наличии дополнительного регулярного опе-
оператора приведет к эквивалентной регуляризации.
Перейдем к рассмотрению более общего случая, когда символ
сингулярного оператора представляет собой тригонометрический
полином и сам оператор может быть представлен поэтому в виде
произведения
(8.7)
4 = 1
где т, п — целые, причем n>0, a* — некоторые функции.
Теперь из условия неравенства нулю символа будут следовать
неравенства \а'к^)\ф\ (?=1, 2, ..., п). Нетрудно видеть, что
уравнение (8.7) приводится к эквивалентному уравнению Фред-
Фредгольма оператором, символическая запись которого имеет вид
п
[J {[al fo) _ A]-i + 77}, (8.8)
k = i
где Т* — определенные согласно предыдущему вполне непрерыв-
непрерывные операторы.
Перейдем к общему случаю. Представим оператор А в виде
ряда
Л= Z a*(<7)^. (8.9)
Поскольку символ оператора А считается отличным от нуля,
то будет существовать такое большое число п, что оператор

§ 8] ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8")
будет иметь символ, отличный от нуля и, следовательно, будет
существовать ему соответствующий регуляризующий оператор В„.
Очевидно, что выполняются предельные равенства
lim |Bn|H|B|j, Iim Цг„|| = О,
П —* со п —* со
где г„ —сумма оставшихся членов в (8.9).
Представим теперь уравнение (8.1) в виде
С помощью разложения символа оператора Ап на простейшие
множители определяем регуляризующий оператор В„ (при соответ-
соответствующем подборе операторов Т%). Тогда приходим к уравнению
u(q) = Bn(q)rH(q)u + F1{q), (8.10)
которое разрешимо методом последовательных приближений в силу
специального выбора числа п (смысл обозначения Ft (q) очевиден).
Таким образом, доказано, что при сформулированных усло-
условиях на характеристику сингулярное интегральное уравнение
допускает эквивалентную регуляризацию, и поэтому его индекс
всегда равен нулю. Отметим, что доказанный выше результат
автоматически не переносится на случай систем двумерных сингу-
сингулярных уравнений (подробнее об этом см. далее).
Приведенное выше доказательство равенства нулю индекса
сингулярного интегрального уравнения проводилось для плоско-
плоскости П. Его перенесение на случай произвольной поверхности
Ляпунова затруднительно, поскольку не всегда можно выбрать
на поверхности правильную координатную сетку и получить еди-
единое, пригодное сразу на всей поверхности представление символа.
Приведем ниже иное доказательство возможности эквивалент-
эквивалентной регуляризации, свободное от отмеченного недостатка. Введем
в сингулярное уравнение (8.1) комплексный параметр
и (<7о) + v\K (<7o. <7) « (Я) dSq +Tu = F (q0). (8.11)
п
В этом уравнении осуществлена нормировка по коэффициенту
ao{q0). Исходному уравнению соответствует число v=l, уравне-
уравнению Фредгольма соответствует v = 0.
Установим теперь в плоскости v такие области, в которых мини-
минимальное значение 11 — v4r (q, к) | равно нулю *) (т. е. для каж-
каждого v из этой области существует такая пара значений q0 и X, для
которых этот минимум будет равен нулю). Дополнительная
часть плоскости будет представлять собой сумму конечного или
*) В данном случае функция W (q, X)—символ лишь сингулярного слага-
слагаемого.

90 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. I
счетного числа областей, которые обозначим через dj. Докажем,
что в любой из областей 8j индекс уравнения (8.11) остается посто-
постоянным. В каждой из областей модуль символа отличен от нуля
(т. е. | 1— vd> (<7, А,) | >•()), и поэтому существует регуляризующий
оператор, который обозначим через Bv *). Символ такого регу-
ляризатора равен [1 — vd> (<7, Щ'1.
Рассмотрим также уравнение с параметром v + Av (где Av
достаточно малая величина, выбранная таким образом, что v +
+ Av принадлежит той же области б;). Перепишем тогда уравне-
уравнение в виде
=Tu + AvKu + F.
Воздействуя на обе его части регуляризатором Bv, придем
к уравнению
и — AvLu = BVF + Тхи,
где Тх — некоторый вполне непрерывный оператор. Сингулярный
же оператор L имеет символ A — \Ф)-\ являющийся ограничен-
ограниченным. Поэтому норма оператора AvZ. может быть сделана сколь
угодно малой соответствующим выбором Av. Тогда последнее урав-
уравнение может быть п-риведено к эквивалентному уравнению Фред-
гольма методом последовательных приближений. В связи с этим
индексы операторов /— vK и /— (v + Av) К должны совпадать
между собой.
Изложенное позволяет сразу установить равенство нулю
индекса, когда функция W (q, X) по модулю строго меньше 1.
Очевидно, что одна из областей 8j будет включать в себя круг
| v | < 1 + е. Поэтому уравнение при v = 1 и v = 0 будет иметь
одинаковый индекс (равный нулю).
Рассмотрим теперь вопрос об эквивалентной регуляризации
приемом, пригодным и для случая замкнутых поверхностей. Запи-
Запишем исходное сингулярное уравнение в виде (введя в него специ-
специальным образом комплексный параметр v)
u-v(u-Au) + Tu = F. (8.12)
Дополнительно потребуем, чтобы символ оператора был непре-
непрерывным на поверхности 5 по q равномерно относительно 9 и
имел третьи квадратично суммируемые производные. Будем счи-
считать также, что функция/7^) принадлежит классу L2.
Будем считать, что в плоскости vx существует такая кривая
L с концами в нуле и бесконечности, *не имеющая общих точек
с множеством значений символа. Поэтому должна существовать
такая постоянная р, что для всех точек q и всех к выполняется
*) Здесь речь не идет об эквивалентной регуляризации.

§ 8] ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 91
неравенство
|Ф(<7, X)-Vl|>p, vieL (8.13)
Обозначим через L кривую, в которую переходит кривая L,
если осуществить преобразование Vi = (v— l)/v. Очевидно, что
кривую L можно выбрать таким образом, чтобы она не проходила
через точку 1, и поэтому кривая окажется ограниченной. Ее кон-
концами являются точки 0 и 1.
Рассмотрим теперь сингулярное, уравнение (8.12), полагая,
что точка v расположена на линии L. Докажем, что символ урав-
уравнения (8.12) (функция 1—v + уФ) оказывается ограниченным
снизу по модулю. Действительно, ввиду (8.13) имеем
v+v<D
Ф(<7, ty-hr
Поскольку символ Ф (<7, X) ограничен, то существует постоян-
постоянная К>\1— Ф|. Для значений \Х\^\/BК) следует неравенство
Если же |X|< 1/B/0, то получаем неравенство
Используя же установленное ранее свойство индекса быть
постоянным в 'пределах областей 6У, приходим к доказательству
равенства нулю индекса исходного уравнения, т. е. уравнения
(8.12) при v=l (при v = 0 уравнение фредгольмово).
Предложенный способ сводит вопрос об эквивалентной регуля-
регуляризации к доказательству существования введенной выше линии
L(l). Поскольку все рассуждения проводятся в пространстве L2,
то следует перейти к уравнению
эквивалентному исходному (см. § 4). При этом получим уравне-
уравнение, символ которого равен | Ф (q, X) j2, и из условия неравенства
нулю функции Ф (q, X) будет следовать, что линией L может
служить отрицательная полуось.
Опишем схему явного построения оператора, осуществляющего
эквивалентную регуляризацию, используя ограниченность линии
L. Выше было доказано, что | 1— у + уФ|>0. Поэтому оператор,
символ которого . _ ~ ,ф '. ограничен некоторой постоянной
С, не зависящей от v, и, следовательно, С^|/— А\. Зададим
|voj=l/BC). Тогда оператор [/— vo(/—А)]1 будет являть-
являться ограниченным. Подействуем этим оператором на обе части

92 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [Гл. I
уравнения (8.12). Тогда придем к эквивалентному уравнению
с символом
1—у+уФ _ . (у—уо)A— Ф)
' V + V/D~ I v+V/D "
Подействуем на обе части нового уравнения оператором, символ
которого равен A — уо + л>оФ) A — vi + v^I, причем |vi — vo|=^
^ 1/BС). В результате приходим к эквивалентному уравнению
с символом
(уу)Aф)
l
Повторяя описанный процесс, после k-vo шага приходим к урав-
уравнению с символом
(ууй)AФ)
l
Выбрав достаточно большое k, можно добиться того, чтобы v*= 1,
что и требовалось.
Развитая выше теория может быть перенесена и на случай
систем сингулярных уравнений. Будем рассматривать системы
вида
? A,kuk = F, (/=1, 2, .... я), (8.14)
А!кик = а,к (д0) ик (д0) + Г uk (<?)flk %*' 9) dSg + Tjkub,
Tjk — вполне непрерывные операторы.
Введенное выше понятие символа сингулярного оператора
распространяется на случай систем, приводя к так называемой
символической матрице |Ф/*Ц. Определитель этой матрицы назы-
называется символическим определителем системы (8.14). Будем счи-
считать, что все элементы символической матрицы удовлетворяют
тем же условиям, что и символ одного уравнения.
Можно показать, что композиция сингулярных операторов
осуществляется по правилам матричной алгебры, при этом
происходит умножение символических матриц.
Потребуем, чтобы символический определитель был отличен
от нуля. Образуем тогда матрицу с элементами ФуА = ф/*ф~1
(где Ф7* — алгебраическое дополнение элемента Фу*). Можно
показать, что матричный оператор, символическая матрица
которого составлена из элементов Ф/&, будет являться регуляри-
зующим для исходной системы (8.14).
Перейдем к рассмотрению вопроса об эквивалентной регуля-
регуляризации. Положим, что символическая матрица имеет вид
Ф(</, X) = E-Y(q, X).

$ 8] ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 93
Допустим, что характеристические числа матрицы ^(q, к) при
любых q и к меньше 1 по модулю. Определим в плоскости v
области 6/, в точках которых отличны от нуля характеристи-
характеристические числа матрицы E — xYiq, к). Повторяя рассуждения,
относящиеся к случаю одного уравнения, можно показать, что
эти области также будут областями постоянства индекса. Из
введенного ограничения на расположение характеристических
чисел матрицы Y{q, к) будет следовать тогда, что круг |v|< 1-j-
-f- e расположен в одной из таких областей. Следовательно,
индекс исходной системы (v = 1) равен нулю.
В отличие от случая одного уравнения, условие необращения
в нуль символической матрицы оказывается, вообще говоря,
недостаточным для эквивалентной регуляризации. Однако все же
удается выделить отдельные классы систем уравнений, для
которых эквивалентная регуляризация имеет место. Наиболее
существенным для вопросов, исследуемых в монографии, является
то, что эти классы включают в себя сингулярные интегральные
уравнения теории упругости (см. § 29). Поэтому ограничимся
рассуждениями, относящимися к этим случаям.
Полагаем, что в плоскости vi существует кривая L, соеди-
соединяющая точки 0 и со н не имеющая общих точек с множеством
характеристических чисел матрицы Ф (q, к). Так же, как и для
одного уравнения, введем параметр v = 1/A — vj).
Рассмотрим теперь уравнение
u-v(I-A)u = F, (8.15)
где /—тождественный оператор. Символическая матрица такого
оператора имеет вид
Докажем, что определитель этой матрицы отличен от нуля при
VieL (или vel), Если модуль |v| мал, то определитель
близок к | 1 — v Iя (п — порядок системы) и для заданного | > О
можно подобрать такое значение т|>»0, что будет выполняться
неравенство
i при
Пусть | v | > ц. Тогда имеем
ri»n ivj-vffa. к) I,
где v* —характеристические числа матрицы Ф. Поскольку сущест-
существует кривая L, то, следовательно, существует и постоянная у
такая, что jVj — v\(q, к)\^у (k—\, 2 п). Окончательно

94 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (Гл. I
получаем
Поэтому можно показать, что в пространстве L2 существует
ограниченный оператор, символическая матрица которого имеет
вид
Обозначим этот оператор через Hv, и пусть его норма не пре-
превышает постоянную С. Тогда С>||/— А\\. Поэтому для voeL
и |vo|^l/BC) оператор [/—vo(/— А)]'1 явлйется ограниченным
и имеет равный нулю индекс. Воздействуя этим оператором
на обе части уравнения (8.15), придем к равносильному уравне-
уравнению, имеющему символическую матрицу
Воздействуя на обе части этого уравнения оператором
придем снова к равносильному уравнению, имеющему теперь
символическую матрицу
Повторяем предложенный процесс для совокупности значений
vft таких, что | V* —vft-i | < 1/BС). Тогда, выбрав п достаточно
большим, приходим к значению vft=l, соответствующему исход-
исходному уравнению Au — F.
Следовательно, к этой системе сингулярных уравнений при-
применимы альтернативы Фредгольма, если символический опреде-
определитель отличен от нуля и существует кривая L(L), обладающая
указанными свойствами.
Существование линии L совершенно очевидно, когда симво-
символическая матрица является эрмитовой (т. е. самосопряженной),
поскольку ее характеристические числа вещественны, и поэтому
за L можно взять мнимую полуось.

Г Л А В А II
* *
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ 9. Общие вопросы теории приближенных методов
Приближенные методы решения интегральных уравнений
в значительной степени охватываются общей теорией приближен-
приближенных методов, а детальное рассмотрение того или иного из них
связано лишь с получением некоторых оценок. Поэтому изложим
в необходимом объеме общую теорию, следуя работе Л. В. Кан-
Канторовича [2].
Пусть х и у элементы нормированных пространств X и У,
а К— линейный оператор, отображающий X в Y. Рассмотрим
функциональное уравнение
Кх=^(Е~ХН)х = у. (9.1)
Наряду с уравнением (9.1) рассмотрим также «приближенное
уравнение»
(Е = д, (9.2)
где х, д — элементы пространства X и F, оператор К отображает
X в Y, а Е и Е -^соответственно тождественные операторы.
Пространства X и Y выбираются в некотором смысле более
простыми, а оператор /С— полагается близким (также в опре-
определенном смысле) к оператору К-
В дальнейшем будут доказаны две теоремы, позволяющие
судить о разрешимости уравнения (9.2) при разрешимости урав-
уравнения (9.1) и о степени близости решений этих уравнений.
А пока рассмотрим линейные нормированные пространства X и
X, причем будем предполагать X полным и изоморфным некото-
некоторому подпространству X' с= X. Считаем, что изоморфизм осуществ-
осуществляется с помощью оператора ф0 (X' в X), имеющего непрерыв-
непрерывный обратный оператор фо1. Пусть также существует оператор ф,
отображающий X в X и совпадающий с ф0 на X'.
Требование «близости» уравнений (9.1) и (9.2) представим
в виде условия
\\уНх'-Нч>х'\^г\х'\ (дс'еХ'). (9.3)

96 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
или в несколько иной форме
||ф**'-Аф*'||<е|ЛН|х'||, (9.3')
где е — сколь угодно малое положительное число.
Пусть оператор К имеет обратный, а решение уравнения (9.1)
х* €Е X'. Пусть оператор К также имеет обратный, а решение
уравнения (9.2) есть х0. Докажем, что имеет место следующая
оценка:
||xo-q>x*|j<e|X|.||/C-i|H|x*||. (9.4)
Действительно,
|Кух* -Кх01| = |Кч>х* -Ч>Кх* ||<еIX | • ||х* ||,
поскольку Kx.Q = у — щ = фКх*, откуда получаем
Потребуем дополнительно, чтобы для всякого элемента х€Е X
существовал такой элемент х' е X', чтобы
|Afr-x'Ц^е,!*!. (9.5)
Перейдем теперь к доказательству теорем.
1. При выполнении указанных двух оценок (9.3), (9.5),
в случае существования оператора К~х и при условии, что
постоянная
е1].||/С-1||-||фо1|!<1. (9-6)
уравнение (9.2) всегда имеет решение, причем
Обозначим через у0 элемент у, а через у0 элемент Фо'г/о.
Сделанная индексация удобна при построении последовательных
приближений. Введем обозначение
(9.8)
Тогда очевидно, что
г = \Н (г + у0). (д д)
Найдем согласно (9.5) такой элемент х' €Е X', чтобы выполня-
выполнялось неравенство
II // (г + г/о) — ^ [К ег |j г + г/01|.
Тогда согласно (9.9)
. (9.10)

f 9]
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ
97
Поскольку
то справедливо неравенство
Окончательно получаем
Введем еще элемент
и оценим разность
(9.11)
(9-12)
+1 <РК (х' + уо) - Що || = || *ф (х' + у0) - уК (х' + у
Тогда из (9.3') и (9.8) получаем
№i - 9о| ^ е | К | • [!х' + уоl +
Далее с учетом (9.10) и (9.11) имеем
+ 1г-х'Й«?A+е,|А. |)||К1 |
^oll. (9.13)
Используя же (9.12), придем к оценке
о!1 = <7!|^о!|. (9.14)
Таким образом, элемент хх удовлетворяет уравнению (9.2)
с точностью </|г/0|| (лучшей, чем тождественный нуль, при кото-
котором правая часть равна величине #„)•
Реализуем теперь метод последовательных приближений.
Положим у\ = у~о — Кх\. Тогда с учетом (9.14)
а из-за (9.13;
Аналогично тому, как элемент хг строился по у0, находим xit
исходя из yi и определяем Уъ = у\ — К^г- При этом
Аналогичным образом определяются последовательно хп и дп-
4 Партон В. 3., Перлнн П. И,

98 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
При этом выполняются оценки
Складывая равенства (9.15), найдем
причем ряд 2 %п сходится, поскольку q<.\. Обозначим его
я = 1
сумму через х. Элемент х ен X, поскольку пространство X полное,
а элемент х удовлетворяет уравнению
что и требовалось доказать.
Введем теперь еще условие, что правая часть уравнения
(9.1) —элемент у — допускает аппроксимацию элементом у' ен X'
таким образом, что
1у-У'\\<^У1 (9.16)
Определим согласно (9.5) элемент х' ен X' так, что
II Ну* „' II <- о В у* II
\\пх —х ||^exi|jc |.
Тогда
\х*1 = ф*Ъ (9.17)
Докажем вторую теорему, относящуюся к вопросу о разре-
разрешимости уравнения (9.2) при разрешимости уравнения (9.1).
II. Если выполнены условия (9.3), (9.5) и (9.16) и существует
оператор К1, то справедлива следующая оценка:
С-1|1)}!1х*1 = р||^|1*, (9.18)
где х0 —решение уравнения (9.2).
Согласно (9.17) существует такой элемент х' €Е X', что
*!|. (9.19)
Обозначим через fj решение уравнения I(x — <pl(x'. Так какх0 —
решение уравнения (9.2), то

I 9] ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ ' 69
отсюда получаем
Ч (9-20)
Поскольку же х' se X', то выполняется условие (9.4)
и, значит,
Цфо'^-х'Ц^е!^! О+^Пфо1!-!^1!-!^!. (9.21)
Но из (9.20) следует, что
II Фо' *i - Фо' х01| < || фо' || • I К11 ¦ || фАГЦ • | х* ||. (9.22)
Сопоставляя (9.19), (9.21) и (9.22), получаем (при этом нера-
неравенство усилено заменой в первом слагаемом числа t\ на единицу)
Отсюда и следует оценка (9.18), что и требовалось доказать.
Процедура построения приближенного решения операторного
уравнения (9.1) заключается в выборе семейства приближенных
операторных уравнений и решении каждого из них. Сходимость
решении этих уравнений к точному достигается из-за того, что
коэффициент р (см. (9.18)) может быть сделан сколь угодно
малым.
Остановимся также еще на одном вопросе теории приближен-
приближенных методов — вопросе об интерполяции функций. Допустим, что
в ходе решения приближенного операторного уравнения второго
рода получено в пространстве X' некоторое решение. Требуется,
однако, определить решение (приближенное) в пространстве X.
Возможны различные подходы. Можно, например, воспользо-
воспользоваться представлением
кН' (9.23)
А можно воспользоваться какими-либо интерполяционными про-
процедурами, например, кусочно-линейной интерполяцией, полино-
полиномами Лагранжа и др. Будем для определенности считать, что
на отрезке вещественной оси задана сетка Xi (t = 0, ..., п,
хо = а, хп = Ь), в узлах которой известны значения некоторой
функции / (х), дифференциальные свойства которой установлены.
Недостаток, например, полиномов Лагранжа заключается в том,
что при достаточно большом числе п возможна значительная
осцилляция представления.
В последние годы широко используется новый математический
аппарат, так называемые сплайны (Н. С. Бахвалов [1], Г. И. Мар-
ЧУК [!])> У которого этот недостаток отсутствует. Допустим,
что на том же отрезке [а, Ь] требуется найти функцию g{x),
4*

100 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
принадлежащую классу Сь (т. е. непрерывную вместе со своими
производными до порядка k). Эта функция на каждом из отрез-
отрезков [хм, х^ является полиномом степени k-\-\:
А + 1
g (х) ^gt (x) = У) а\ (х-, - х)' (i = 1, 2, ... , п). (9.24)
В точках сетки xt выполняются равенства
g(Xi) = ft (9.25)
и соблюдаются краевые условия следующего вида:
g'^(a) = g(k)(b) = 0. (9.26)
Поскольку функция g(x) непрерывна и имеет непрерывные
производные порядка k, то имеют место также дополнительные
равенства в точках х-г. Далее для простоты ограничимся случаем
кубических сплайнов. Тогда указанные условия примут вид
?; + i (хд = gi (x,), gUt (x,)=g't (Xi),
Таким образом, для определения неизвестных а\ получается
система уравнений, причем соответствующая матрица оказывается
трехднагональной
!(Ai+A2) A2 0 0 0 ... \
А, 2№. + А3) А3 0 0
0 0 0 ... Л7_, 2 (/;.;_, + /;,.,)
где hi = xM — Xi.
Для численного решения этой системы удобно применять
метод прогонки, который заключается в последовательном вычис-
вычислении вспомогательных величин:
2(
;' + А2)
- ^
1-А.ч,)
1
+ А,??_,
_ ( TTvRJ (9.29)
где Fj —правые части системы.

§ 9] ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ Ю1
После вычисления а(/> (t<n —1) коэффициенты а(/> и а[{>
определяются из формул
e,-i_fl| A=1, 2, .... «), (9.3Э)
^=^ЗА~-
Коэффициенты Л<,'> сразу находятся из равенств (9.25).
Покажем, что аппроксимация сплайнами обладает определен-
определенными преимуществами. Допустим, что имеется кусочно-линейная
аппроксимация. Эта функция является решением вариационной
задачи (с ограничениями)
ь
ттФ(и)= U~f dx, u(xl) = fi (t = 0, 1, ...,«) (9.31)
a
в классе функций, имеющих суммируемые с квадратом первые
производные.
Аппроксимация же кубическими сплайнами решает задачу
минимизации функционала
ь
ф (ц) = \ (J^L ,2 dx, и (х,) =}i (t = 0, 1,...,«) (9.32)
в соответствующем классе.
Отметим также, что погрешность интерполяции кубическими
сплайнами имеет оценку
п:ах \g(x)-f(x)\^Cha,
где h = max /г,-, а а и С —постоянные. Если f (х) имеет непрерыв-
непрерывные вторые производные, то а = 2
Аппроксимация искомой функции сплайнами применительно
к решению интегральных уравнений рассмотрена в ряде работ
(см. например, J. H. Ahlberg, Е. N. Nilson, J. L. Walsh [1]).
Относительно целесообразности аппроксимации уже получен-
полученного (каким-либо образом) решения интегрального уравнения
можно сказать следующее. Необходимость в такого рода допол-
дополнительной процедуре для тех или иных физических задач дик-
диктуется тем, что, как правило, представляет интерес не само
решение интегрального уравнения, а те или иные интегралы от
него или производные от интегралов. Поэтому для повышения
точности целесообразно вводить указанную аппроксимацию, тем
более, что дифференциальные свойства решения (как правило)
известны.

102 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
§ 10. Метод последовательных приближений
В § 1 была изложена аналитическая теория резольвенты,
согласно которой решение интегрального уравнения Фредгольма
второго рода
Ф (х) = X \ К (х, у) Ф (у) dy + f (х) A0.1)
а
может быть построено в виде ряда (при некоторых значениях X)
л=0
причем члены этого ряда определяются следующими рекуррент-
рекуррентными соотношениями:
ь
<р„ (х) = $ К (х, у) Фя_г (jf)dy (п = 1, 2, ...), фо (х) = / (х). A0.3)
а
Вычисления не представляют особых трудностей, если руко-
руководствоваться теми или иными квадратурными формулами. Начнем
с простейшей формулы — формулы прямоугольников.
Разобьем отрезок [а, Ь]*) точками xt (t=l, 2, ..., m-f-l,
Xi=*a, xmH = b) на т частей. Эти точки будем далее называть
узловыми. Введем в рассмотрение точки х), расположенные
в центральной части каждого элементарного отрезка и назовем
их опорными.
Сообразно соотношениям A0.3) определим в узловых и опор-
опорных точках функцию ф0 (х) и далее посредством квадратурной
формулы прямоугольников вычислим во всех опорных точках
значение функции ))
Ф1 (*/)^ 2 К(xj, x\)фо(x't)Ax-. A0.4)
Здесь Ax'i — длина t-ro отрезка (х/+1— xt). Повторением указанной
процедуры находим все последующие слагаемые ряда A0.2).
Недостатком этой схемы (кроме ее наихудшей точности в срав-
сравнении с другими формулами) является необходимость модифика-
модификации, в случае когда ядро К(х, у) является неограниченным на
диагонали х = у. В последнем случае необходимо в сумме про-
пропускать /-е слагаемое, что при крупных размерах элементарных
отрезков вызывает дополнительную значительную погрешность.
Для повышения точности и преодоления затруднений, свя-
связанных с особенностями, можно воспользоваться также смешан-
•) Для простоты взят одномерный случай.

§ 10] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ЮЗ
ной квадратурной формулой, когда значения функции фх (х) по-
прежнему полагаются постоянными в пределах отрезка, а для
ядра берется среднее значение по узловым точкам. Тогда получаем
т
2 ^{х'Xi)+к {x'h Xi)} ф°
и аналогично для следующих членов ряда A0.2).
В работе П. И. Перли на [10] предложен способ, в котором
формула трапеций применяется ко всему подынтегральному выра-
выражению. На первом этапе это не вызывает затруднения, так как
и в узловых точках известны значения функции щ{х). На вто-
втором же этапе при определении функций <р2 (х) возникает необхо-
необходимость предварительно найти значения функции q>i(x) в узло-
узловых точках. Эти значения находятся интерполированием, исходя
из значений функций q>i (x) в ближайших опорных точках (напри-
(например, полагая щ (х,) = 1/2[<Pi(*/) + <Pi (*/-i)])- Дальнейшие опера-
операции очевидны. Соответствующая сумма тогда принимает вид
*i- A0.6)
Такая же точность может быть достигнута, если воспользо-
воспользоваться двойным разбиением отрезка [а, Ь], т. е. еще раз провести
вычисления, рассматривая точки xh как опорные, а х) — как
узловые. Но такой путь приведет, естественно, к неоправданному
увеличению объема вычислений.
Остановимся на доказательстве сходимости описанных и им
аналогичных схем. В литературе (Л. В. Канторович, В. И. Кры-
Крылов [1]) известны соответствующие оценки, определяемые через
производные от ядра. Эти оценки позволяют доказать сходимость
расчетных схем *), но для большинства интегральных уравнений,
встречающихся в теории упругости, нельзя непосредственно вос-
воспользоваться этими результатами из-за особенности ядер, а также
из-за того, что заданные значения К или являются собственными
числами, или совпадают с ними по модулю.
Общий прием доказательства сходимости расчетных схем для
метода последовательных приближений заключается в следующем.
Зафиксируем число членов ряда A0.2). Поскольку для соответ-
соответствующей суммы необходимо вычислить конечное число интегра-
интегралов, то эта сумма может быть вычислена с наперед заданной
точностью за счет все более мелкого разбиения. При увеличении
же числа членов ряда необходимо уменьшать размер отрезков.
При таком доказательстве, правда, не принимается во внимание
возможный рост погрешности вычислений.
*) Естественно, в случае сходимости точного алгоритма.

104 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
Из изложенного в § 1 следует, что ряд A0.2) абсолютно схо-
сходится, когда соответствующее значение к по модулю меньше пер-
первого собственного числа. Рассмотрим случай, когда к совпадает
по модулю с первым собственным числом, будучи отличным от
него. Условимся интересующее значение ко считать единицей,
а собственное значение сначала расположим в точке — 1. Есте-
Естественно, что ряд A0.2) окажется расходящимся. Однако, как
отмечалось в § 1, резольвента (фактически конструируемая рядом
A0.2)) является функцией, аналитической по к вне своих полю-
полюсов. Поэтому для получения в точке А,= 1 сходящегося представ-
представления уместно воспользоваться методом аналитического продол-
продолжения. Возьмем какую-либо точку ки расположенную между 0
и 1, и в этой точке получим решение согласно A0.2). Для
построения же интересующего нас решения в точке А,= 1 этот
ряд необходимо переразложить по аргументу k'—l—kx и под-
подставить этот аргумент в окончательное представление. Перестроен-
Перестроенный ряд будет являться условно сходящимся и иметь вид (в слу-
случае, если ki = 0,5)
Ф (х) = фо (х) + [к' + у) Ф1 (х) + [к' + IJ ф2 (х) +... =
-J-Фа (*) + •¦
= [фо(*)
(Ю.7)
Представляется существенным отметить, что функции ф„ (х)
находятся посредством тех же рекуррентных соотношений A0.3),
которые совершенно не зависят от значений к. При принятых
условиях на расположение значений к за промежуточную можно
взять точку, расположенную на действительной оси (что и сде-
сделано в формуле (Г0.7)).
Остановимся еще на так называемом методе уничтожения
полюса посредством домножения, положив при этом дополнительно,
что точка к = —1 является простым полюсом резольвенты. В этом
случае функция (к-\- 1)Г(х, у, к) и, следовательно, (к-\-1)ц>(х)
не имеют точку к = — 1 полюсом. Поэтому ряды для функций
(к+ 1)Т(х, у, к) и (А.+ 1) ф (х) будут сходящимися в круге с цент-
центром в нуле вплоть до второго собственного значения, относи-
относительно которого полагается, что оно по модулю больше единицы.
Очевидно, что тогда ряд для функции (А.+1)ф(лс) имеет вид
Ф (*) = Фо(*)+

§ 101 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ 105
а при Х=1 получаем
||; i (Ю.9)
С целью повышения эффективности метода последовательных
приближений разработаны определенные рекомендации по преоб-
преобразованию ряда A0.2) посредством замены переменной Х = а>(т]),
в частности, посредством конформного отображения. Определен-
Определенные рекомендации такого рода приведены в литературе (см.
Л. В. Канторович, В. И. Крылов [1] и В. Н. Кублановская [1]).
Естественно, что замена переменной диктуется информацией
о расположении полюсов резольвенты.
Перейдем к случаю, когда заданное значение 7^, является
простым полюсом резольвенты. В § 1 показано, что множитель
при наивысшей *) степени разложения в ряд резольвенты является
собственной функцией союзного уравнения (как функция второго
аргумента). Поэтому при выполнении условия ортогональности
правой части исходного уравнения к собственной функции союзного
уравнения, представление решения через резольвенту можно упро-
упростить, отбросив указанный член ряда, что и приводит к доказа-
доказательству того, что решение уравнения является аналитической
функцией по А, в круге радиуса большего, чем модуль | Хо |. Сле-
Следовательно, метод последовательных приближений должен и здесь
привести к решению. Однако этот вывод справедлив лишь в том
случае, когда все вычисления согласно A0.3) производятся с абсо-
абсолютной точностью, что возможно лишь в простейших, далеко не
всегда представляющих интерес случаях. Погрешность же Вычис-
Вычислений необходимо приведет к нарушению условий A.38), sa
исключением элементарных случаев, о которых речь пойдет ниже.
В работе Б. Алиева [1] решение интегральных уравнений вто-
второго рода (с симметричными ядрами) на спектре рассматривается
с точки зрения теории некорректных задач (см. А. Н. Тихонов,
В. Я. Арсенин [1]). Полагалось, что все вычисления проводятся
точно, но правая часть исходного уравнения / (х) задана с неко-
некоторой погрешностью б. Ряд A0.2) в этом случае следует пони-
понимать в специальном смысле (назовем его асимптотическим).
Алгоритм оказывается сходящимся, если №N равномерно стре-
стремится к нулю, где N — число удерживаемых в разложении чле-
членов ряда A0.2). Из этой оценки следует, что нельзя удержи-
удерживать в разложении произвольно большое число членов ряда при
фиксированной величине 6.
Применительно к рассматриваемой задаче о влиянии погреш-
погрешности вычислений на решение интегрального уравнения указан-
указанный результат, по-видимому, приводит К' аналогичному выводу
*) В данном случае первой.

106 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
о том, что ряд A0.2) нужно понимать как асимптотический.
Для получения решения необходимо поступить следующим обра-
образом. Зададим число удерживаемых в разложении членов N и под-
подберем столь мелкое разбиение отрезка, при котором достигается
заданная точность для искомой конечной суммы. Если отвлечься
от погрешности вычислений *), то произвольно заданная точность
всегда может быть достигнута, поскольку конечное число интег-
интегралов вычисляется с желаемой точностью. При увеличении числа
удерживаемых в разложении членов ряда следует соответствую-
соответствующим образом уменьшить размеры элементарных участков. В конеч-
конечном счете удается определить, с наперед заданной точностью,
значения нескольких конечных сумм, и если изменение послед-
последних из них окажется в пределах этой точности, то расчеты сле-
следует прекратить.
Рассмотрим теперь другой прием построения сходящегося
представления (см. П. И. Перлин [10]). Пусть ^ (х) — нормиро-
нормированная собственная функция союзного уравнения
ь
Vp(x) = k]K(y, x)^{y)dy. A0.10)
а
Преобразуем правую часть уравнения A0.1), добавив выражение
ь
-^{x)\Hy)^{y)dy. A0.11)
а
Вообще говоря, этот добавок должен обращаться в нуль в силу
условия A.38), однако если его понимать согласно какой-либо
квадратурной формуле, то он будет малой величиной. Преиму-
Преимущество правой части такого вида состоит в том, что она строго
ортогональна функции ty\ (x) (согласно той же квадратурной фор-
формуле):
ь ь
- ih (x) $ f (у) Ь (У) dy} ^ (х) dx =
а
Ь Ъ Ь
= \f (д) ifc (x) dx-\ip\ (x) dx $ f (у) of! (у) dy = 0. A0.12)
Заметим, что это равенство справедливо, когда нормировка функ-
функции tyi(x) осуществляется согласно все той же квадратурной фор-
формуле. Поскольку каждая функция ф„ (х) должна быть ортого-
ортогональна правой части (см. § 1), то представляется естественным
при переходе к каждой новой функции ф„ (я) осуществлять
*) Остается погрешность квадратурных формул.

$ 10] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯ Ю7
корректировку, аналогичную A0.11)
ь
Ф„ (х) = Ф„ (х) - ih (х) $ Фл (у) Ь {y)dy (п = 1, 2, ...), (Ю. 13)
и функции ф„ (х) использовать для построения ф ()
Приведенные рассуждения приводят к строгому доказатель-
доказательству сходимости, если под функцией tyi(x) понимается не соб-
собственная функция точного союзного уравнения, а собственная
функция уравнения, которое союзно фактически конструируемому
приближенному интегральному уравнению.
Естественно, что для систем интегральных уравнений при
простом полюсе резольвенты возникает несколько собственных
функций союзного уравнения, и поэтому добавки строятся для
каждого из них. Существенно, что в этом случае собственные
функции должны быть взяты в ортонормированном виде, причем
ортонормирование осуществляется по той же квадратурной фор-
формуле, что и формируются добавки.
Заметим, что некоторые специальные частные приемы построе-
построения сходящихся алгоритмов будут приведены при изучении конк-
конкретных уравнений (§§ 18, 19).
Обратим внимание на тот факт, что если решается интеграль-
интегральное уравнение на границе круга сходимости (но не на спектре)
и правая часть оказывается ортогональной собственной функции
союзного уравнения (для собственного числа), то нет необходи*
мости в использовании описанных выше различных приемов
(уничтожение полюса путем домножения и аналогичных), поскольку
ряд A0.2) сам оказывается сходящимся.
Отметим работу С. Г. Михлина [6], в которой решается задача
приближенного построения резольвенты с использованием замены
ядра на вырожденное и получены оценки погрешности.
Выше полагалось, что интегральные уравнения являются регу-
регулярными. Остановимся теперь кратко на особенностях, возни-
возникающих при решении последовательными приближениями сингу-
сингулярных уравнений. Очевидно, что если сходимость метода дока-
доказана, то его реализация также будет сводиться к вычислению
интегралов согласно рекуррентным соотношениям A0.3), при
этом наличие сингулярности проявится только в необходимости
использования специальных квадратурных формул.
В работе С. Г. Михлина [2] (см. § 8) доказано, что при дос-
достаточно малой норме сингулярного оператора (определяемой нор-
нормой регуляризующего оператора) метод последовательных при-
приближений оказывается сходящимся. В. Д. Купрадзе [3] обосно-
обосновал применение метода для решения двумерных сингулярных
интегральных уравнений теории упругости, когда среда кусоч-
кусочно однородна (в специальном случае так называемой главной

108 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
контактной задачи (§ 35)), а Фам Тзи Лай (Pham The Lai [1]) рас-
распространил этот результат на случай для основных (первой и
второй) пространственных задач теории упругости (§ 33). Неко-
Некоторые вопросы сходимости метода последовательных приближе-
приближений, применительно к уравнениям, возникающим при решении
задач теории упругости, дополнительно рассматриваются в § 33.
Вопросы построения квадратурных формул для сингулярных
интегралов в одномерном случае будут рассмотрены в § 12. В слу-
случае же двух и более измерений получены квадратурные формулы
лишь для ядер специального вида. В работе Б. Г. Габдулхаева
12] рассмотрен сингулярный интеграл с ядром Гильберта
ctg ^=f- ctg М=?- q> (*, у) dx dy,
и
о о
а в работе А. И. Вайндинера и В. В. Москвитина [1] —интеграл
с ядрами, присутствующими в интегральных уравнениях теории
упругости (см. также §§ 31, 33).
§ 11. Метод механических квадратур
для регулярных интегральных уравнений
Рассмотрим опять интегральное уравнение Фредгольма A0.1),
которое удобно записать в иных обозначениях:
1
x(s)—%\H(s, t)x(t)dt = y(s).
о
Воспользуемся введенным в предыдущем параграфе разбиением
отрезка на т частей. Любой из предложенных и упомянутых
способов приближенного вычисления интегралов в опорных точ-
точках при условно заданных значениях плотности приводит к системе
линейных уравнений относительно этих значений. Имеются оценки,
позволяющие доказать (при определенных ограничениях на ядро
и правую часть) сходимость получаемого таким образом сеточ-
сеточного представления решения к точному. Кроме того, имеют место
следующие основополагающие результаты.
Если интегральное уравнение разрешимо*), то соответствую-
соответствующая линейная система будет разрешима, начиная, по крайней
мере, с достаточно малого разбиения.
Доказательство будет заключаться в получении некоторых
оценок, которые необходимы для применения сбщих положений
теории приближенных методов (см. § 9).
*) Заданное значение А не является собственным.

§ 11] МЕТОД МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР 109
Формулу квадратур для произвольной функции представим
в виде
Точки tk снабжены также и верхним индексом, чтобы допустить
тем самым изменение их общего числа и расположения. Уравне-
Уравнение заменяется тогда следующей системой:
Ain)H{tT\ №)x(tin)) (f= 1, 2 п). A1.2)
Отметим, что когда разбиение отрезка осуществлено на п рав-
равных участков и применяется квадратурная формула прямоуголь-
прямоугольников, то
An) _ 2k— I .(„) 1 ., - _ .
Будем для простоты считать, что функции Я (s, t) и t/(s),
а следовательно, и х (s) являются периодическими функциями
с периодом 1.. В качестве пространства X примем пространство С
непрерывных периодических функций (с периодом 1). За про-
пространство X' примем множество ломаных периодических функ-
функций с абсциссами вершин в точках №. За X примем конечно-
конечномерное пространство тп. состоящее из элементов х = (?ь |2> • • •. !л)>
с нормой |х || = max |?,-1. а за образ функции —ее значения в п
точках:
Пусть Х=(г|1; Г|2, .... Г|„), тогда элемент х' = фо'л: (простран-
(пространства X') будет кусочно-линейной функцией с вершинами в точ-
точках 0in), r\k). Очевидны равенства
Обозначим через Я оператор в пространстве X, задаваемый
матрицей \А^Н{гТ\ А"})\\. Тогда, обращаясь к § 9, заключаем,
что для выполнения теоремы I нужно лишь проверить выполне-
выполнение условий (9.3), (9.5), (9.16).

по
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
[Гл. I]
Обозначим через a>s (б) и а' (б) модули непрерывности ядра
по каждому из аргументов и приступим к оценке нормы:
| q>Hx' — Пух' | = max
\ H (t,, t) x' (/) dt-
0
(t,, tk) x' (tk)
= max
i
2
Следовательно, условие (9.3) выполнено, причем е = 2со'(-2п ,.
Переходим к проверке условия (9.5). В качестве функции
х' е X', аппроксимирующей интегралы
1
g(s) = ^H (s, t) x (t) dt,
о
берем кусочно-линейную функцию, совпадающую с ними в точ-
точках U, т. е. для ti^s^ti+i.
1 1
х' (s) = n (tM -s)]H (U, t) x (i) dt + n(s- tt) \ H (tM, t) x (t) dt.
о о
Получим оценку
\g(s)-x'(s)\ =
1
= 5 {H (s, t) - n (tM -s)H (tit t)-n(s- tt) H (tm, t)} x (t) dt .
0
Поскольку выражение в фигурных скобках оценивается величи-
величиной со*A/л), то получаем
\Hx-x'\^(as{^j\x\, A1.4)
а следовательно, e1 = (os (\/п).
Аналогичные рассуждения для функции у приводят к оценке
A1.5)

11] МЕТОД МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР
где ю^ (б) — модуль непрерывности функции у. Следовательно,
условие (9.16) соблюдается, причем
Таким образом, постоянная q, фигурирующая в теореме I и
имеющая вид *)
может быть сделана меньше 1 при надлежащем увеличении п,
что и приводит к требуемому результату.
Приведем окончательные формулы для оценки погрешности
приближенного решения фо'Хо:
Аналогичные результаты могли бы быть получены и для
непериодического случая, если воспользоваться формулой тра-
трапеций.
Перейдем к рассмотрению интегральных уравнений, когда
число % является собственным значением. Формальное применение
метода механических квадратур, разумеется, возможно и здесь,
но при этом возникают значительные трудности. Во-первых,
получаемая система линейных уравнений вырождена или близка
к ней, и для получения устойчивости решения надлежит восполь-
воспользоваться приемами регуляризации (см. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсе-
нин [1]). Во-вторых, при получении устойчивых значений тре-
требуется доказать, что в пределе решение системы стремится к точ-
точному решению интегрального уравнения.
Отметим, что в некоторых случаях удается воспользоваться
специальными приемами. Например, если известны собственные
функции исходного уравнения и союзного, то следует перейти к
уравнению A.36), которое уже не будет расположено на собствен-
собственном числе. Укажем, что в § 18 при рассмотрении вопроса о чис-
численной реализации уравнения Н. И. Мусхелишвили изложен прием
П. И. Перлина и Ю. Н. Шалюхина [1].
•) Напомним, что Kx—x—Xffx.

П2 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
§ 12. Приближенные методы решения
сингулярных интегральных уравнений
Из изложенных в гл. I результатов следует, что сингулярные
интегральные уравнения могут быть преобразованы к эквивалентным
регулярным уравнениям (в случае неодномерных уравнений дока-
доказано лишь существование такого преобразования). Поэтому для
получения решения сингулярного уравнения можно, вообще
говоря, перейти к соответствующим регулярным уравнениям и
получить их приближенное решение. Однако фактическая реали-
реализация такой процедуры представляется достаточно громоздкой
из-за сложности построения искомого регулярного уравнения
(как ядра, так и правой части).
Представляется более эффективным построение решения непо-
непосредственно сингулярных (одномерных) интегральных уравнений *).
В значительной степени эти методы являются обобщением прие-
приемов решения регулярных интегральных уравнений, учитывающих
специфику вычисления сингулярных интегралов. Существенным
образом используется также и то обстоятельство, что характе-
характеристические сингулярные интегральные уравнения решаются
в явном виде.
Решению сингулярных интегральных уравнений (как построе-
построению приближенных алгоритмов, так и их обоснованию) посвя-
посвящена обширная литература. Упомянем работы М. А. Лаврентьева,
С. Г. Михлина, А. И. Каландия, В. В. Иванова, Б. Г. Габдул-
хаева.
Первоначально остановимся на случаях непосредственного
решения сингулярных уравнений, как для замкнутых, так и
разомкнутых контуров, без предварительного преобразования
контура в единичную окружность у или отрезок Ьг(—1, 1). Для
простоты ограничимся случаем лишь одного контура.
Допустим (см. С. Г. Михлин, X. Л. Смолицкий [1]), что ядро
регулярного оператора является вырожденной функцией
K(t, x)=fiuk(t)vk(x). A2.1)
Тогда исходное сингулярное уравнение после переноса регуляр-
регулярного слагаемого в правую часть можно представить в виде
L
*) Случай большего числа измерений не рассматривается из-за отсутствия
практически каких-либо общих исследований. Частные же уравнения (уравне»
ння теории упругости) разбираются в § 35 н далее.

§ 12] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗ
где
Ck = \vk (т)ф (т) dx.
L
Будем считать коэффициенты ck условно заданными. Тогда урав-
уравнение удается решить в явном виде (положив, что при отрица-
отрицательном значении индекса функция / (t) удовлетворяет условиям
ортогональности). Полученное при этом решение характеристи-
характеристического уравнения будет зависеть от параметров ck, а подста-
подстановка этого решения в равенства, определяющие постоянные сь,
приводит к линейной системе.
Остановимся на вопросе о вычислении сингулярных интегра-
интегралов, предшествующем, естественно, рассмотрению приближенного
решения сингулярных интегральных уравнений. Если бы плот-
плотности сингулярных интегралов были известны, то само вычисле-
вычисление интегралов было бы элементарной операцией из-за наличия
регулярных представлений B.5) и B.18). Более того, можно и
непосредственно вычислять интегралы как несобственные, осу-
осуществив предварительно разбиение контура на участки равной
длины и исключив согласно определению сингулярного интеграла
два участка, соседних с особой точкой. Пусть t-t (i=l, 2, ...
..., tt + 2, t\ = a, tn+2 = b) — такая совокупность точек. Длины
всех хорд tM — ti должны быть равны между собой, исключая,
возможно, длину хорды tn+2 — tn+ъ которая должна быть не больше
остальных. Точки кривой L будем также определять длиной
дуги s, отсчитываемой от конечной точки гг = а. Обозначим через
-.—j-\ (t, to^L). Будем выбирать число п столь боль-
* «о I
шим, чтобы на дуге (tj, /)+i) выполнялись неравенства
Ify+i-f/K! U-t,\ (кФГ),
В. В. Ивановым [1] доказано, что получаемая предложенным
способом квадратурная формула (при дискретном задании функ-
функции ф@ в точках tj)
где штрих означает, что суммирование ведется по всем
k—l (k=\, 2 и+1), имеет погрешность
Здесь S — полная длина дуги, Л —постоянная в условии Г.—Л.

114 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
Перейдем теперь к случаю, когда плотность имеет особенность,
допустим, в точке t1 = a = — 1. Ограничимся случаем контура Li.
Обозначим через ап D) окрестность точки t0 с центром в ней и
длиной 2/п и возьмем п столь большим, чтобы \to — a\>3/n.
Далее разобьем контур Lx на 2л равных частей точками tlt U, ...
• ••» ?2л+1- Тогда квадратурная формула имеет вид
- = ф(—1)
(t+1)V(t-0
2л
Присутствующий в ней интеграл представляется рядом
со
J(t+1)Y(t-0 =|ТТ^+ Z A+tF^^+1)S> A2<5)
U s = 0
Штрих при знаке суммы обозначает, что суммирование ведется
по всем / таким, что отрезок (tJ+1, tj)^an{t). Если особенность
в точке 1, то необходимо произвести в некоторых слагаемых
замену знаков. Погрешность квадратурной формулы оценивается
следующим образом:
Заметим, что если при построении квадратурных формул
исходить из полигональной аппроксимации плотности, т. е. ср(^)
заменять линейными функциями
то порядок точности повысится. Для замкнутого контура оценка
погрешности такова (см. А. А. Корнейчук [1]): С In п-п 2.
В. В. Иванов [1] использовал для построения квадратурных
формул полиномы Фабера Фк(г)*). В этом случае выражение
для сингулярного интеграла имеет вид
4 = 1
*) Полином Фабера порядка k есть полиномиальная часть А-й степени функ-
функции, реализующей конформное отображение внешности контура на внешность
круга и имеющей старший коэффициент, равный единице.

$ 12] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где
Если в представлении A2.6) удержать лишь п членов, то
погрешность соответственно получаемой формулы такова: Спе~а,
где а —показатель класса Г.—Л., к которому принадлежит
функция ф(^), а е>0. Если же функция q>(t) имеем производную
порядка р, принадлежащую классу Г.—Л., то оценка становится
более сильной: Спг~р'а.
Пусть теперь L — гладкий разомкнутый контур с концами а
и Ь. Допустим, что плотность представима в виде V/_aL (Rev < 1).
Тогда соответствующий сингулярный интеграл имеет вид
J_ (p(a)ctgyn
то J (Т —o)Y(t—0 Я((т — a)V ~>~
J_ С ф (т) их
то J (Т —o)Y(t—
у (ft-fl)-v-»ff
k = 0 ' k=\
Аналогичную формулу (с точностью до знаков) можно получить
для случая, когда плотность имеет особенность в конце Ь. Уместно
напомнить, что полиномы Фабера для отрезка L± совпадают
с полиномами Чебышева.
Рассмотрим далее некоторые специальные случаи представле-
представления плотности, при которых вычисление сингулярных интегралов
элементарно. Пусть у по-прежнему есть окружность единичного
радиуса. Возьмем функцию <pn(t) в виде отрезка ряда Фурье
Ф„@= Б 0»/*. A2.8)
*=—л
Тогда значение сингулярного интеграла от конечной суммы A2.8)
имеет вид
Если же представление в виде ряда построить исходя из
/ft / 2л \
значений плотности в точках tj = e i [Qj =-к-^г! ]], то аппрокси-
аппроксимирующий многочлен имеет вид
1_(±\2п+1
A2.10)

116 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
Сам же сингулярный интеграл равен
2( sm п —jr-1 sin (n+ 1) —5-
2 .A2.11)
_LCL
2ni } x-t
v
2п+ 1
/=-л
in J
sin
Перейдем теперь к построению приближенного решения син-
сингулярных уравнений, когда контур L есть окружность. Будем
считать, что индекс и^О, и поэтому решение всегда существует.
Для определенности будем разыскивать то решение, для кото-
которого интеграл типа Коши
имеет на бесконечности нуль наивысшего порядка. Выберем по-
поэтому представление для решения в виде ряда
j] 2 а***"*- A2.12)
4=0
Определение коэффициентов ak можно произвести различными
способами (так же, как и для случая регулярных уравнений).
Можно воспользоваться методом совпадения (каллокаций), при-
приравняв обе части уравнений в какой-либо совокупности точек
на контуре (например, в тех же точках tj). Можно также потре-
потребовать, чтобы достигалась минимальная невязка (в среднем) между
левой и правой частями (метод наименьших квадратов
(см. С. Г. Михлин [4])) и т. п.
В работе Б. Г. Габдулхаева [1] метод совпадения изучен
с общих позиций теории приближенных методов (см. § 9). Дока-
Доказано, что при равном нулю индексе и в случае, когда уравнение
не имеет собственных функций, существует такое значение «*),
что получаемая по методу совпадения система будет всегда раз-
разрешима. Определенное таким образом приближенное решение
ф (t) сходится к точному с быстротой
A2.13)
где Alt A2, Bj и В2 — некоторые постоянные, не зависящие от п,
Р — произвольная постоянная, а>Р>0. Неравенство A2.13)
•) А именно, удовлетворяющее ограничению
(At In r+Bx) n-'-e+P < 1.

§ 12] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 117
понимается в смысле нормы
Рассмотренный метод изучался также в работе В. В. Иванова
[1] в ином функциональном пространстве, и поэтому им была
лолучена другая оценка.
Перейдем теперь к непосредственному решению сингулярного
уравнения на окружности у методом механических квадратур
(см. Фан Ван Хап [1]). Перепишем уравнение в виде
В уравнении A2.14) уже осуществлена нормировка, и поэтому
a(t)—l. В отношении ядра k(t, т) можно допустить наличие
интегрируемой особенности, т. е.
k(t, x)\<C\t-x\»-1 0*>O).
Рассмотрим далее функциональное уравнение, возникающее
при применении квадратурных формул к исходному уравнению
A2.15)
(*,-, t/+1), k<l-l,
Точки tk по-прежнему делят окружность на п равных частей.
Функции b(t),f(t), k(t, т) принадлежат классу Г.—Л. (кроме
точек x = t для ядра k (t, г)). Для приближенного решения
A2.15) приравняем левую и правую части этого уравнения в точ-
точках tk. Тогда придем к системе
л
+ 2' *«ф('*)=м)- с2-16)
- I, k>l+\
Доказано, что если исходное уравнение A2.14) имеет един-
единственное решение, то, начиная с некоторого п, система A2.16)
также будет иметь единственное решение и при стремлении п
к бесконечности получаемое таким образом приближенное решение
будет равномерно сходиться к точному.

118 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
§ 13. Приближенные методы решения
сингулярных интегральных уравнений (продолжение)
Перейдем теперь к рассмотрению случаев, когда контур раз-
разрывный. Из изложенного в § 6 следует, что всегда уравнение
с разрывным контуром может быть сведено к уравнению с непре-
непрерывным контуром. Однако при этом уравнение становится доста-
достаточно громоздким и, кроме того, увеличивается контур интегри-
интегрирования, что затрудняет эффективное решение при одном и том
же ресурсе ЭВМ.
Использование формулы A2.4) и аналогичных позволяет и
в этом случае получать решение интегрального уравнения. При
этом, конечно, целесообразно (но необязательно) включать в пред-
представление решения множители, соответствующие особенностям
решения в концевых точках. Эти особенности определяются сразу
из рассмотрения вспомогательной задачи Римана (см. § 5).
Исключительно большое внимание уделяется рассмотрению
сингулярных уравнений с постоянными коэффициентами a (t) и
Ь (t), когда контур L есть отрезок, обозначенный нами через Ь±.
Уравнения такого типа довольно часто встречаются в приложе-
приложениях (см. § 23), и для их решения разработан ряд специальных
приемов (М. А. Лаврентьев, А. И. Каландия, Г. Н. Пыхтеев и др.).
Приведем это уравнение:
Li
Из доказанного в § 6 следует, что решение уравнения A3.1)
представляется в виде
ф(9=*@A-0а(* + 1)*. A3.2)
где функция g(t) непрерывна и отлична от нуля всюду на кон-
контуре Lb а показатели аир определяются равенствами
??)+«. »—»*•(??)+*• им>
Целые числа N и М выбираются таким образом, чтобы постоянные
а и Р удовлетворяли ограничениям — l<CRea, Rep<l, обеспе-
обеспечивающим физический смысл решения исходной краевой задачи.
Очевидно, что сумма a + р будет являться целым числом, равным
индексу уравнения, и поэтому, когда а + р = —1 (меньшим чис-
числом сумма быть не может), уравнение A3.1) будет разрешимо
при выполнении условия D.13). Когда же « + {$=1, для одно-

§13] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 119
значности решения уместно потребовать выполнение условия
$<р(т)Л = 4, A3.4)
U
где Л —некоторая постоянная.
Представление плотности в виде A3.2) делает целесообразным
отыскание новой функции g(t) в виде ряда по полиномам Якоби
(см., например, D. Jackson [1])
*(/)=» f>»^a'w (О- A3-5)
я=0
Напомним, что полиномами Якоби называются полиномы вида
^1 -0-аA+0"р%[A—/)«+»A-Ь0р+я]. A3.6)
При а = Р = 0 полиномы Якоби совпадают с полиномами Лежан-
дра, а при а = р = — 7г и а = $ = 1/2 полиномы Якоби совпадают
с полиномами Чебышева соответственно первого и второго рода.
Полиномы Якоби представляют собой (при фиксированных
значениях параметров а и Р) ортогональную систему функций
на отрезке Lt с весом
причем для ортонормированности нужно ввести еще множители
_
2a+p+i
В нашем случае, когда параметры аи р не являются произволь-
произвольными (их сумма (k) есть целое число 1, 0 или —1), имеет место
формула (см. F. Erdogan, G. D. Gupta, Т. S. Cook [1])
A3.7)
Равенство A3.7) сразу позволяет построить приближенный
метод решения интегрального уравнения A3.1), если решение
искать в виде ряда A3.5). Тогда придем к функциональному
уравнению
2 *[-sS№*-*w+Mo]-/(O. («.в)

120 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
где
К @ = \ со (т) Р<*• » (т) k (t, т) dr.
Li
Для решения же этого уравнения можно разложить его левую
и правую части в ряд по полиномам Якоби P<j~a-—&(t) A = 0,
1, ...). Тогда, приравняв коэффициенты при одинаковых поли-
полиномах, придем к системе алгебраических уравнений
N
я = 0
A3.9)
где
dnl = ] Р/-». -Р)(х)A — т)-« A + т)-РЛя (т) dx,
Произведем анализ разрешимости этой системы в зависимости
от значения k. В случае k =—1 уравнение A3.9) разрешимо при
выполнении условия ортогональности, которое можно записать
в виде
\\M-\k(t, т)Ф(т)?*тШ-0. A3.10)
Можно показать, что первое уравнение системы A3.9) эквива-
эквивалентно уравнению A3.10). Таким образом, для N+1 неизвестных
ап получаем систему порядка N -{¦ 1. При k — О система однозначно
разрешима. При &=1 неизвестных W + 2, а поэтому решение
системы не будет однозначным и надлежит привлечь уравнение
A3.4).
Перейдем к рассмотрению сингулярных интегральных уравне-
уравнений более общего типа, чем изученные ранее:
$'. т)Ф(т)Л = /@, A3.11)
Li
где дополнительное ядро kY (t, г) имеет вид
п т
k=0 /=0
Через Zi и z2 обозначены соответственно выражения [(t + 1)е1'01 —
— 1] и [(/ —1)е'е»+1], где 8, и 82 — постоянные в диапазоне
0<6i<2n и — я<62<;я. Уравнения такого типа возникают,
в частности, при решении плоских задач теории упругости при
- г*)-1-

§ 131 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 121
наличии разрезов, выходящих наружу или на границу раздела
сред.
Отличие этих уравнений от изученных в гл. I заключается
в том, что они не сводятся к краевой задаче Римана, однако и
в этом случае можно утверждать, что решение также оказывается
представимым в виде
Ф«=?@A-0аA+0р (-KRea, Rep<l),
где g(t) —функция, принадлежащая классу Г.—Л., а постоян-
постоянные аир определяются из анализа самого уравнения (с исполь-
использованием свойств интегралов типа Коши на разомкнутых кон-
контурах). Воспользуемся квадратурной формулой (А. Н. Stroud,
Т. D. Secres [1])
¦ N
\F(t, х)A-хГA + х)Ых^% WkF(tk, t), A3.12)
где t/, — корни уравнений
P?-l»(f») = O (k=l, 2 N),
а весовые множители равны
2a+P
Использование формулы A3.12) для решения интегрального
уравнения методом совпадения приводит к системе алгебраичес-
алгебраических уравнений
(/=1, 2 N-\).
Точки t) есть корни уравнения
—KRea, Rep<0 (/= 1. ••-, N- 1).
При других ограничениях на а и Р точки t) оказываются
корнями уравнений
Р^+1'р~!>(^) = 0 @<Rea<l, 0<Rep<l),
Pj^-1-P+1)(//) = O @<Rea<l, -l<Rep<0).
, ft-»($ = 0 (_l<Rea<o, 0<Rep<l).

122
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
Заметим, что при условии —l<Rea, ReB<0 для решения
уравнения A3.13) нужно привлечь равенство A3.4), приближен-
приближенная реализация которого приводит еще к одному соотношению
дополнительному к системе A3.13).
Перейдем к определению величин а и В. Рассмотрим интеграл
типа Коши
1Г iOlf @('0яП + 0» dt.
w я J t — z л J /—г
Этот интеграл допускает представление
A3.14)
где функция Фо (г) всюду ограниченная, исключая, возможно,
точки —1 и 1, в которых допускаются особенности меньшего
порядка, чем Re a и Rep. Далее, исходя из формул Сохоцкого —
Племеля B.9'), получаем эквивалентное представление для син-
сингулярного интеграла
A3.15)
Л J 1 — t
где поведение функции /^ {t) аналогично поведению функции Фо (г).
Рассмотрим далее интеграл
T—2
Напомним, что точки гг располагаются на некоторой линии
(отрезке), когда точки t пробегают отрезок Lx. Этот интеграл
допускает представление
^'). A3.16)
Свойства функции F^{t) в окрестности точки —1 очевидны.
Рассмотрим теперь тождество

{ 13] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 123
которое позволяет получить представление
Подставляя полученные выше представления в уравнение A3.11),
получим
—g(— 1) 2actg n$(t+l)*+g AJ* ctgna(l-t)a+F0(t)-
2
Поскольку левая часть уравнения ограничена всюду и, в част-
частности, в окрестности точки —1, то получаем для определения
величин аир уравнения
ctgna = 0, a = — T,
=0. A3.17)
Разумеется, если бы в уравнении A3.11) были удержаны
члены с коэффициентами bj, то уравнения оказались бы более
громоздкими. Заметим, что общие вопросы решения такого рода
уравнений изучены в работе Эрдогана (F. Erdogan [2]).
Укажем, что в работе Д. И. Щермана [26] получено точное
решение для одного конкретного уравнения, принадлежащего
к рассматриваемому классу. Выявленная особенность решения
совпала с определенной по уравнениям A3.17).
Изложенный подход не исключает целесообразности непосред-
непосредственного решения уравнений A3.11) методом механических квад-
квадратур. Следует учесть, что, после вынесения за знак интеграла
плотности на каждом малом участке, остающиеся выражения
берутся в замкнутом виде. Естественно, что в окрестности кон-
концов необходима более мелкая дискретизация.

124 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ [Гл. II
Изложенный выше прием полностью применим, когда коэффи-
коэффициенты ск и Ьк отсутствуют (т. е. когда речь идет об обычных
сингулярных уравнениях). Сошлемся на работу А. И. Калан-
дия [4], в которой исследовано уравнение
1
2.Л J т t
-1 -I
при всевозможных ограничениях на поведение решения на концах.

ГЛАВА III
* *
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 14. Пространственная задача
Пусть упругое тело занимает в трехмерном пространстве
область D, ограниченную замкнутой поверхностью 5. Если область
конечная, то будем обозначать ее через ?>+, если же неограни-
неограниченная—!)-.
Решение задачи теории упругости заключается в определении
в каждой точке р (с декартовыми координатами хи х2, xs) неко-
некоторого вектора и (с декартовыми координатами ии и2, us), харак-
характеризующего малое перемещение этой точки в процессе дефор-
деформирования среды.
Векторное поле а (р) определяет во всем теле так называемый
тензор малых деформаций
dU;
[i, /=1, 2, 3). A4.1)
Эти деформации в свою очередь определяют компоненты тен-
тензора напряжений, которые согласно закону Гука в случае изо-
изотропной среды представимы в виде
а,у = ?Д70 + ?11?;/, e = divM, A4.2)
где л и \i — физические постоянные среды, называемые постоян-
постоянными Ламе *).
Компоненты тензора напряжений удовлетворяют дифферен-
дифференциальным уравнениям — уравнениям равновесия:
до ;,¦
a~ = 0 (i= 1,2,3). A4.3)
Здесь предполагается, что массовые силы отсутствуют.
Если в A4.3) подставить сообразно закону Гука вместо на-
напряжений производные от смещения, то получаются следующие
*) В технической литературе чаще используют иные постоянные: Е =
(ЗХ, + 2|1)ц
^—;-!—t_LT—модуль Юнга, v =
торый полагаем далее 0 =g v < 0,5.
ix ^—модуль Юнга, v= „.. — — коэффициент Пуассона, ко-

126 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1Гл. III
уравнения, называемые уравнениями Ламе:
A*u = iiAu + (k + ii)graddivu = O. (НА)
Поскольку деформации (их шесть) являются производными
от трех скалярных функций, то они связаны между собой сле-
следующими шестью дифференциальными зависимостями, называе-
называемыми условиями совместности Сен-Венана:
Зададим в произвольной точке р плоскость, определив ее
нормалью п (пх„ nXl, n*, —направляющие косинусы). Знание ком-
компонент тензора напряжений и направляющих косинусов позво-
позволяет получить выражение для проекций вектора напряжений
(а,„ (t = l, 2, 3)) в этой точке, приложенного во введенной пло-
плоскости. Имеем
оы = о-,) cos (л, xj) (i=l, 2, 3). A4.6)
Подстановка в A4.6) компонент тензора деформации согласно
A4.2) приводит к компактному представлению для вектора на-
напряжений
непосредственно через смещения. Выражение A4.7) символически
записывается как результат воздействия некоторого оператора Тп
(оператора напряжений) на смещение и (Т„и). Оператор Тп можно
рассматривать не только во внутренних точках упругого тела,
но и определить на ограничивающей поверхности как предел зна-
значений в совокупности внутренних точек, стремящихся к соответ-
соответствующей граничной точке. При этом требуется, чтобы направление
нормалей во внутренних точках совпадало или, по крайней мере,
стремилось к направлению нормали в граничной точке*).
Решение задачи теории упругости заключается в определении
поля напряжений и смещений (или по мере необходимости одного
из них) согласно приведенным выше уравнениям в зависимости
от заданных на поверхности разнообразных краевых условий.
Задача теории упругости называется первой основной задачей,
когда на поверхности заданы предельные значения вектора сме-
смещений. Задача называется второй основной задачей, когда на
*) Имеет смысл говорить лишь о тех точках поверхности S, в которых
однозначно определена касательная плоскость.

§ 14] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 127
поверхности заданы предельные значения оператора Т„. Во всех
этих случаях краевые условия будем обозначать единым образом
через f(q).
Возможны и другие постановки краевых задач. Так, напри-
например, на одной части поверхности 5 могут быть заданы смещения,
а на оставшейся— напряжения (смешанная задача). В ряде слу-
случаев краевые условия задаются в виде определенных соотношений
между смещениями и напряжениями. Например, когда известны
значения нормальной компоненты смещения и касательных ком-
компонент напряжений.
Решение задач теории упругости можно осуществлять непо-
непосредственно в смещениях, исходя из уравнений A4.4), сообразуясь
с исходными краевыми условиями и определяя на заключитель-
заключительном этапе значения напряжений. Если же в процессе решения
сразу определяются компоненты тензора напряжений, то к урав-
уравнениям A4.3) следует привлечь уравнения совместности деформа-
деформаций в напряжениях (так называемые уравнения Белыпрами —
Митчелла), получаемые из уравнений A4.5) при замене дефор-
деформаций на напряжения.
Сообразно используемому в книге математическому аппарату
будем полагать, что компоненты смещений непрерывны и непре-
непрерывно-дифференцируемы в замкнутой области (включая поверх-
поверхность S), а их вторые производные непрерывны лишь в открытой
области *).
Приведем необходимые в дальнейшем некоторые общие тео-
теоремы. Предварительно введем понятие обобщенного напряжения а*,
определив его компоненты следующим образом:
duk ди/
xf
A4"8>
где а — произвольная постоянная.
Тензор обобщенных напряжений порождает в свою очередь
оператор обобщенных напряжений, действующих в плоскости
с нормалью п:
Pau = (a + ii)d?i+(k + ii-a) ndiv u + a(nxrotu). A4.9)
Очевидно, что при a = ji обобщенные напряжения совпадают
с истинными (Я„=ГП).
*) Так 1:г;хывасмое регулярное решение.

128 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [Гл. Ill
Пусть и (р) и v(p) — смещения, заданные в области ?>+. Обра-
Образуем скалярное произведение векторов и (р) и Pav (p):
и ¦ Pnv = Q! cos (л, A',)+Q.2cos(fl, x2)+Q3cos{n, x3),
<& = */<«/ (/=1, 2, 3). ( * '
Будем рассматривать Q,- как компоненты некоторого вектора
Q (Qii Q2> Фз) и вычислим его дивергенцию
, г>). A4.11)
Выражение для Е (и, v) представляет собой симметричную
билинейную форму
* 2 &
ijzk
Используя A4.8) непосредственным дифференцированием убеж-
убеждаемся в том, что двойная сумма в A4.11) есть скалярное про-
произведение и ¦ A*v.
Таким образов, получаем
divQ = u-&*v + E(u, v). A4.12)
Интегрируя тождество A4.12) по объему и применяя формулу
Гаусса —Остроградского, с учетом A4.10), найдем
\ u-A*vdQ = \iu-PnvdS- \E{a,v)dQ, A4.13)
+ S D+
i \
D+ S D+
что является аналогом формулы Грина и называется в теории
упругости первой обобщенной формулой Бетти.
Положив в формуле A4.13) a = v, придем ко второй обоб-
обобщенной формуле Бетти
- \E(u, a)d?i. A4.14)
D+ S D+
Меняя же местами смещения а и v и учитывая симметрич-
симметричность билинейной формы Е (и, v), придем к третьей обобщенной
формуле Бетти
D+
Q= \\u-Pnv-v Pnu}dS. A4.15)
5
Очевидно, что, положив теперь а = ц, получим общепринятые
формулы Бетти (см. J. N. Steddon, D. S. Berry [1]).

t 14] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 129
Отметим, что в этом случае форма Е(и, и) принимает вид
Е(и, «)-
что показывает ее положительную определенность.
Отметим, что представляет интерес случай, когда а = ^} , о «
Тогда оператор псевдонапряжений будем обозначать специальным
образом через Nn. Билинейная форма здесь также положительно
определенная:
Очевидно, что формулы Бетти справедливы и для области,
ограниченной несколькими поверхностями. Если же для области D~
потребовать, чтобы смещения убывали на бесконечности, как 1/R,
а деформации, как I//?2, то приведенные формулы переносятся
и на этот случай (с соответствующей заменой знака перед опера-
оператором напряжений). Доказательство, как и в классической теории
потенциала, основывается на рассмотрении области, ограниченной
изнутри поверхностью S, а извне — поверхностью достаточно
больших размеров (см. Н. М. Гюнтер [1]): проводится анализ
соответствующих слагаемых по этой вспомогательной поверхности
при ее неограниченном увеличении и показывается, что они стре-
стремятся к нулю.
Из установленной выше положительной определенности квад-
квадратичных форм A4.16) и A4.17) сразу следуют теоремы единст-
единственности, поскольку в силу линейности уравнений вопрос
сводится к существованию нетривиальных решений при однород-
однородных краевых условиях.
Рассмотрим первую основную задачу для области Z> при
нулевых краевых условиях. Пусть и„ (р) есть нетривиальное
решение —тогда два интеграла в формуле A4.14) обратятся
в нуль (по условию). Следовательно, и третий интеграл должен
быть равен нулю, что приводит к тождественному равенству
нулю подынтегрального выражения —формы Е (и0, и0). Вектор,
определяющий смещение тела как жесткого целого, и только он,
обращает в нуль форму Е(а0, Uq). Поскольку смещения должны,
6 Партон В. 3.. Перлин П. И.

130 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [Гл. III
кроме того, обращаться в нуль на поверхности, то они тождест-
тождественно равны нулю во всей области.
Проведенные рассуждения доказывают сразу и теорему един-
единственности для второй основной задачи. В этом случае смещения
могут и не обращаться в нуль, а соответствовать жесткому сме-
смещению тела
! rx2, и2 = аг + rxt — рх3,
где aly a2, а3, р, q, л —произвольные постоянные. Соответствую-
Соответствующие же напряжения равны нулю.
Для бесконечной области обе задачи будут иметь лишь нуле-
нулевое решение (даже в смещениях), поскольку перемещения A4.18)
не удовлетворяют принятому при выводе предыдущих формул
ограничению на поведение смещения в бесконечности.
Аналогичным образом рассматривается необходимый для
дальнейшего вопрос (имеющий лишь математический смысл)
о единственности решения задачи, когда на поверхности обра-
обращается в нуль оператор Nn. Из анализа положительной формы
A4.17) будет следовать, что нетривиальное решение внутренней
задачи имеет вид
и1 = аъ щ = аг, и3 = а3, A4.19)
где аи а2 и а9— произвольные постоянные.
В случае же внешней задачи нетривиальное решение отсут-
отсутствует.
Рассмотрим пространство, заполненное упругой средой с по-
постоянными Ламе X и ji. Пусть в точке р (уъ уъ г/3) приложена
сосредоточенная сила единичной величины в направлении оси Xi.
Тогда согласно формуле Кельвина —Сомильяны смещения в точке
Pi (Xi, x2, х3) представятся в виде
&4i(J4-2|i)
6,Л , | _
где г = У{Ух ~ -^iJ + (у* - ) )
Пусть далее в точке р приложена сила F(Flt F2, F3). Тогда
смещения в точке pt представятся в виде произведения неко-
некоторой матрицы Т(ръ р), называемой матрицей Кельвина —Со-
—Сомильяны (и получаемой из A4.20) с помощью циклической под-
подстановки), на вектор F(p).
Согласно правилам матричной алгебры находим смещения
Г(рь p)F(p)=*{TvFh TvFh Га/,}, A4.21)
причем элемент Гу матрицы Т(ри р) имеет вид
A4'2Г)

§14]
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
131
Проведем далее через точку рх плоскость с нормалью п (nXt, nXt,
пХг) и определим вектор напряжений, действующий на эту пло-
плоскость в точке рх. Из A4.21) следует, что искомое выражение
будет иметь вид произведения некоторой матрицы Г, (рх, р) =.
= Tn{pt)Y{Pi, p) на вектор F(p). Используя A4.7), после доста-
достаточно громоздких преобразований придем к выражению для
элементов матрицы Г] (ри р):
т-\-п
дг\* дг дг
дг_дг_
dxt дхг
дг дг
0*1 дх9
1
дг дг
1^ = Из з
дх2 dxt oxs dxt
(dr_V дг_ дг^_
¦" \дхг) дх3 дхг dn (рх) г (рг, р)
дг дг I дг \2
[д—5— т-Х-п 5—
дх2 дх3 ^ \дх3)
| 0 «12 (Pi. P) «is [Pi, P) 1
+ Ш I — ш,2 (pl р) О ш23 (pi, p) I
1> Р) —(в2з(Р1> Р) О ||
A4.22)
где
_ J_
т~2п
Обратимся теперь к третьей формуле Бетти A4.15), положив
для определенности а = р. Пусть р — некоторая точка, располо-
расположенная в области ?>+, ограниченной поверхностью S. Построим
сферу сге достаточно малого радиуса е с центром в точке р.
Рассмотрим область D%, расположенную между поверхностями S
и сге. Применим формулу Бетти к смещению и \р\), удовлетворяю-
удовлетворяющему уравнению Ламе в области D+, и к смещению v (pi), по-
порождаемому силой а,- (т. е. вектором, /-я компонента которого
равна 1, а остальные —нулю), приложенной в точке р. Естест-
Естественно, что имеет место представление
v (рх) = Г (ри p)di.
Первоначально положим /=1, а потом аналогичным образом
рассмотрим случаи i = 2 и 3.
Сразу очевидно, что в формуле Бетти исчезают интегралы по
объему. Поскольку же смещение v (pt) имеет в окрестности
точки р полюс первого порядка, а напряжения, соответствующие
смещению и (рх), ограничены, то можем утверждать, что интеграл
\ Г{рх, p)axTn{pl)u{px)dSPl
стремится к нулю при е->-0, в связи с чем исключаем его из
дальнейшего рассмотрения. Поскольку же смещение u(Pi)

132 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [Гл. III
непрерывно в окрестности точки р, то вычисление интеграла
$ {Тм(р^ (ft, Р) вх} и (ft) dSPl A4.23)
сводится к вычислению интеграла
{Т»МТ (ft, р) ox} dSPl = J Г2 (ft, р) аг dSPl. A4.24)
Поскольку поверхность а„ является сферой, то для вычисле-
вычисления интеграла от каждой компоненты матрицы Г1! (ft, p) A4.22)
применяется сферическая система координат. Легко получаются
следующие равенства:
I -j ; г- dS „, = — 4я,
J dn г (ръ р) л '
A4.25)
Равенство нулю интегралов от функций (oiy- вытекает из их
нечетности.
Таким образом (с учетом A4.25)), из третьей формулы Бетти
следует представление
- — J Тя(р,)Г (л, р) • ^и
+ $ Г (рь р) ¦ «^«(р,)» (р2) dSPl. A4.26)
Повторяя предыдущие рассуждения с использованием векторов а2
и а3, получаем аналогичные представления. Их можно записать
в единой аналитической форме (с очевидной заменой аргументов)
2« (р) = - 5 Г? (р, ?) и (?) <*S? + J Г (р, </) Г„й (<7) dSq, A4.27)
s s
где матрица Т\(р, д) есть матрица, сопряженная к матрице
Гх(р, 9) (т> е- получаемая из нее перестановкой аргументов и
транспонированием). Ввиду важности для дальнейшего приведем

5 14] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА '33
развернутое выражение для элементов матрицы Yl(p, q):
. q) =
,,,004
(H.28)
Пусть теперь точка р выбрана в области D~. Непосредственно
из третьей формулы Бетти следует соотношение
О = - \ Tl(p, q) и (q) dSg+]T (p, q) TnU (q) dSg. A4.29)
s s
В данном случае по-прежнему вектор-функция а (р) удовлет-
удовлетворяет уравнениям Ламе в области D+.
Аналогичные построения возможны и в том случае, когда
смещение а (р) определено в области D~ (при уже отмеченных
ограничениях на поведение в бесконечности). Соответствующие
формулы имеют вид
2й (р) = $ Г' (р, q) U (q) dSg-\T(p, q) Tntt(q)dSg (peD~), A4.30)
s s
0 = \ T\ (p, q) U (q) dSg-\T (p, q) TaU (q) dSg (p e D+). A4.30')
s s
Обратимся теперь к Л^-оператору. Повторяя все проделанные
выше преобразования, можно показать, что имеют место формулы,
аналогичные A4.27), A4.29) и A4.30):
2й (р) = — ^ Г" (р, q) U (q) dSg +
s
+ $Г (р, q) Nail (q) dSg, (peD*), A4.31)
s
0 = - J If (p, q) U (q) dSg+]T (p, q) NnU (q) dSg (p^D~);
s s
2я(р)« $Г"(р, q)u(q)dSg-
s
- J Г (p, q) Nnu (q) dSg, (p e D*), A4.32)
s
0 = [ Tl1 (p, q) и (q) dSg - J Г (p, </) Л?яи (?) dS? (p a D").

134
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[Гл. Ш
ill
Выше через матрицу Г2 (р, q) обозначалось произведение
Na(q)T(p, q). Приведем выражения для этой матрицы
Г \2
дг^дг_
dxi дхг
дг дг
я, т—¦ -—
дх2 дхх
дг дг
дг
dL dL
1 dxt дх3
дг дг
1 дх% дх3
ni
дх3 дхх
дг дг
¦ дх3 dxi
n,=
Обратим внимание на то, что в матрице A4.33) отсутствуют
члены, имеющие полюсы второго порядка. Матрица Г^1 (р, q)
{матрица второго рода), так же как и матрица Т\1 (р, q) (мат-
(матрица первого рода), будет использована в дальнейшем. Некоторая
специфика в обозначениях этих матриц станет понятной ниже
(см. гл. VI). Заметим, что аналогичные формулы возникают при
любом значении а в операторе Р„.
Перейдем к построению матрицы третьего рода. Пусть имеется
некоторая поверхность S, обладающая тем свойством, что внеш-
внешняя нормаль в любой точке более ее не пересекает. Пусть точка q
лежит на S, а точка р — произвольная. Обратимся к функции
v(p, q) = г cos (r0, np)\u[r +r cos (r о, п„)]-г, A4.34)
где пр есть орт внутренней нормали в точке р, г0 — единичный
вектор отрезка, проведенного из р в q. Из A4.34) следует, что
функция v (p, q) не зависит от расположения системы координат.
Выберем ее для простоты записи так, чтобы начало лежало
в точке р, а положительное направление оси хг совпадало с внут-
внутренней нормалью. Тогда соотношение A4.34) (в локальных коор-
координатах) примет вид
r. A4.34')
Очевидно, что в точках, заключенных внутри поверхности S,
функция v (p, q) всегда будет иметь смысл из-за неравенства
Х1Ф0.
Образуем с помощью этой функции матрицу
Z{p, q) =
дх± дх3
дхх дхг дх\ дх\ дх2 дх3
д^и d^v d^v d^v
дхх дх3 дх2 дх3 Ъх{ dxi
A4.35)

15] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
135
Непосредственные расчеты убеждают, что каждый столбец
этой матрицы, рассматриваемый как вектор, удовлетворяет урав-
уравнениям Ламе A4.4).
Перейдем теперь к новой матрице
М(Р< Я) = ^п,,л \-oZ(P' Я)-(^ + ^)Т(р, Я) . A4.36)
введенной Вейлем (Н. Weyl [1]). Отличие фундаментального ре-.,
шения, соответствующего матрице A4.36), от предыдущих за-
заключается в том, что для его построения необходимо хотя бы
локальное задание некоторой поверхности. Кроме того, это
фундаментальное решение не удовлетворяет условиям на бес-
бесконечности.
Остановимся еще на постановке задачи теории упругости для
кусочно-однородной среды. Будем считать, что в упругом теле
(конечном или бесконэчном) имеются полости, заполненные упру-
упругими телами тех же размеров с иными значениями коэффициен-
коэффициентов Ламе. На поверхностях контакта сред возможна постановка
различных условий сопряжения. Например, задание скачка век-
вектора смещений (подчас отсутствующего) или его нормальной ком-
компоненты, в то время как вектор напряжений не претерпевает
разрыв. Допускается также, что между упругими телами (на не-
неизвестной части поверхности) образуется зазор. Тогда на остав-
оставшейся части поверхности, находящейся в сцеплении, по-прежнему
полагается непрерывным вектор напряжений, а вектор смещений
может иметь заданный скачок. Еще одно условие реализуется,
когда на сторонах образовавшейся полости заданы напряжения
(как правило, равные нулю). Условия, позволяющие определить
размеры полости, находятся из того требования, чтобы на остав-
оставшейся части поверхности знак нормального напряжения был
всюду отрицательным (т. е. чтобы реализовывалось сжатие). Не
является необходимым, чтобы линия раздела сред обязательно
была расположена строго внутри суммарной области. Можно до-
допустить, что одна или несколько таких линий своими концами
выходят на наружные границы. При этом также на границе раз-
раздела могут выполняться различные условия.
§15. Плоская задача
Рассмотрим случай, когда все компоненты напряжений и сме-
смещений зависят лишь от двух координат хх = х и х2 = у, а смеще-
смещение Ыз = ш = 0. Из приведенных выше равенств A4.1) и A4.2)
сразу следует, что деформации els = Yx?> ?29 = Vyz, «зз = «г и на-
напряжения o13 = rxz, о2з = Туг равны нулю. Третье уравнение равно-
равновесия A4.3) удовлетворяется автоматически, а первые два

136 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [Гл. III
принимают вид
& + ^-0. *? + f = 0. A5.1)
Из закона Гука при условии ег = 0 следует равенство
Соотношения между деформациями и напряжениями примут вид
[ди . dv\ , 0 ди « /ди , до\ , 9 до
+ )+2i а'вЧ+]+2|1
du,dv
+
Все уравнения совместности деформаций A4.5) выполняются авто-
автоматически. Третье же уравнение приводит к виду
Рассмотрим плоскость, нормаль я к которой лежит в плоско-
плоскости ху. Тогда в этой плоскости будут действовать напряжения
вхп = Ox COS (Я, X) + Хху COS (Я, у),
оуп = гХу cos (n, x) + oycos(n, у), агя = 0. ''
Указанное состояние реализуется в цилиндрических телах при
их неограниченной протяженности по оси г, если внешние напря-
напряжения ах„ и аип или смещения и и о на поверхности постоянны
вдоль образующих. При ограниченной протяженности вдоль оси г
необходимо, чтобы на торцах выполнялись условия равенства
нулю смещения w и касательных напряжений ххг и хуг.
Естественно решение такого рода задач производить лишь
в каком-либо поперечном сечении. Область, занимаемую сечением,
будем обозначать через D, а контур, ее ограничивающий, — через L.
Описанное состояние называется плоской деформацией.
Рассмотрим теперь иное состояние, называемое плосконапря-
плосконапряженным. Пусть имеется цилиндр малой толщины. Оси координат
выберем таким образом, чтобы плоскость ху совпадала с средин-
срединной плоскостью цилиндра, далее именуемого пластинкой. Пола-
Полагаем, что торцы свободны от напряжений (ог = ххг = туг = 0),
а равнодействующая напряжений по образующей лежит в плоско-
плоскости ху. В соответствии с принципом Сен-Венана будем считать,
что напряжения и смещения вдали от кромки ведут себя так,
как если бы напряжения ахл и ау„ были равномерно распреде-
распределены по высоте, а напряжения агл = 0.

5 13] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА 137
Изложенное позволяет приближенно считать напряжения ах,
Оу и тху и смещения и и v зависящими лишь от координат х и у,
а напряжения аг, тхг и туг — равными нулю. Очевидно, что урав-
уравнения равновесия совпадут с уравнениями A5.1), а соотношения
между смещениями и напряжениями примут вид
fdu . dv\ . п ди «* fdu , dv\ , п да
[ + П2* ° = K*W + ) + ^dy> .....
( }
В силу этого уравнение совместности деформаций совпадет с урав-
уравнением A5.3).
Таким образом, плоскодеформированное состояние и плоско-
плосконапряженное состояние описываются одинаковыми дифференци-
дифференциальными уравнениями, отличаясь лишь соотношениями между
напряжениями и деформациями. Поэтому далее их рассмотрение
будет проводиться одновременно (без надлежащей конкретизации).
Из изложенного следует, что решение плоской задачи сво-
сводится к решению системы уравнений A5.1) и A5.3). Введемфунщию
напряжений Эйри U (х, у), посредством которой компоненты напря-
напряжений выражаются следующим образом:
Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что два
первых уравнения системы обращаются в тождество, а третье —
сводится к бигармоническому уравнению
О. A5.7)
Таким образом, к решению уравнения A5.7) и сводится пло-
плоская задача теории упругости. Произвольная бигармоническая
функция в той или иной области может быть выражена посред-
посредством двух аналитических в той же области функций согласно
формуле Гурса (см. Н. И. Мусхелишвили [3])
U(x, y) = Re[Z<p(z) + x(z)] (z=x + iy), A5.8)
где ф (г), х (г) — аналитические в D функции.
Посредством функций <р (z) и -ф (г) (\f> (г) = %' (г)) компоненты
тензора напряжений выражаются в следующей форме:
]> A5.9)
Ф(г) = у'(г), Y(z) = 4>'(z).
Это — хорошо известные формулы Колесова — Мусхелишвили.

138 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [Гл. III
Компоненты смещений при этом выражаются следующим об-
образом:
2ц (и + iv) = щ (г) - гф' (г) -Щг). A5.10)
Здесь
при плоской деформации и плоском напряженном состоянии
соответственно.
Непосредственное выражение краевых условий в напряже-
напряжениях, следующих из A5.4) через функции ф (г) и г|) (г), затрудни-
затруднительно. Представляется более компактной запись этих условий
в иной форме. Рассмотрим в области, занимаемой упругим телом,
некоторую дугу V с концами а и Ь. Определим главный вектор
усилий X-\-iY, приложенных со стороны положительной нормали
к дуге U, тогда имеет место равенство
\ Yb- A5.11)
и
Пусть дуга L' принадлежит границе области— контуру L.
Зафиксируем точку а и положим точку b переменной. Тогда при-
приходим к представлению краевого условия в следующем виде:
$ dS +const. A5.12)
а
Естественно предположить, что определяемые в ходе решения
смещения и напряжения должны быть однозначными функциями.
В случае односвязной (конечной) области эти ограничения экви-
эквивалентны однозначности функций ф (г) и г|з(г). В остальных слу-
случаях (конечная или бесконечная плоскость с т отверстиями)
необходимо допустить наличие у этих функций многозначных сла-
слагаемых
{Xk + iYll) 1П {Z ~ Zk) + ф*
A5.13)
2(X* -/n) 1п (г -
Здесь zk — точки, произвольно расположенные внутри каждых из
ограничивающих (внутренних) контуров Lk, Xk и Yk — компо-
компоненты главного вектора усилий, приложенных к контуру Lk.
Функции ф* (г) и г|з* (z) оказываются однозначными аналитиче-
аналитическими функциями.

§ 15] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА 139
Введем одно математическое ограничение. Будем исследовать
только так называемые регулярные решения, когда функции ф (г),
ф' (г) и г|з (z) оказываются непрерывно продолжимыми в гранич-
граничные точки.
Обратимся к постановке краевых задач теории аналитических
функций, соответствующих первой и второй основным задачам
(согласно терминологии, введенной в § 14). Первоначально огра-
ограничимся случаем, когда область D есть односвязная (конечная)
область, ограниченная гладким замкнутым контуром L.
Положим, что на контуре L заданы напряжения Х„ и У„
(вторая основная задача). Обратимся к условию A5.12), предпо-
предполагая, что точки z лежат па контуре L. Далее будем через t
обозначать точки комплексной плоскости, расположенные на гра-
граничных контурах. Поскольку правая часть в формуле A5.12)
может быть вычислена каким-либо образом, то решение задачи тео-
теории упругости сводится к определению аналитических функций
Ф (г) и я]; (г), удовлетворяющих предельному соотношению
Ф @W @ + 1> @ = »$(*« + iYn) dS + const = / (t) + const. A5.14)
Значение постоянной не играет роли, поскольку при определении
напряжений по формуле A5.9) функции <р (г) и я|з (г) следует диф-
дифференцировать, а при определении смещений согласно A5.10)
различие в выборе постоянной отразится на смещении тела, лишь
как жесткого целого.
Аналогичным образом получается краевая задача для анали-
аналитических функций ф (г) и г|з (г) и при заданных на контуре сме-
смещениях (первая основная задача)
{)() ±[ql(t) + iqt(t)] = f(f), A5.15)
Где qi(t) и ^2 (t) — заданные функции.
При решении задач в случае многосвязных областей, для того
чтобы модифицированное краевое условие стало однозначным,
нужно перейти к однозначным аналитическим функциям согласно
A5.13). В случае же второй основной задачи постоянные Xk и Yh
известны из краевых условий. Постоянные, которые войдут в кра-
краевые условия A5.14), распространенные теперь на все контуры Lk,
не могут быть заданы произвольно (за исключением одной) и опре-
определятся в ходе решения задачи.
Подобно тому, как в заключительной части § 14 излагалась
постановка задач пространственной теории упругости для кусочно-
однородных тел, остановимся на аналогичном вопросе и в случае
плоской деформации. Для простоты изложения рассмотрим слу-
случай, когда имеется область Dlt ограниченная снаружи контуром

140 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [Гл. III
Llt а изнутри контуром Lo и заполненная упругой средой с па-
параметрами Их и (д.1. Внутри контура Lo (область Do) находится
упругая среда с параметрами и0 и ц.о. Напряженное состояние
в каждой из областей представимо двумя парами функций (pt (z),
\рх (г) и фо(г), %(г). На контуре Lx возможно выполнение разно-
разнообразных условий. В случае, например, сцепления условия
имеют вид
Фо @ + fyj (/) + Ь (t) = фх (t) + /ф! @ + ft
причем функция f (t), определяющая допускаемый скачок смеще-
смещения (натяг), может быть равна нулю.
Перенесение постановки задачи на общий случай нескольких
включений очевидно.
Остановимся теперь на вопросе о смешанных (контактных)
плоских задачах. Будем считать, что контур L, ограничивающий
тело, разбит на несколько участков Lj так, что на каждом из
соседних участков выполняются или условия A5.14), или A5.15).
Физически такого рода краевое условие соответствует задаче для
случая, когда на одних участках заданы внешние напряжения,
а на других —приложены (со сцеплением) жесткие штампы.
Вообще говоря, условие A5.15) обычно задается с точностью до
некоторых (определяемых в ходе решения) постоянных, а задан-
заданными считаются главные вектор и вектор-момент усилий. При
отсутствии сцепления (например, при равном нулю касательном
напряжении) соответствующие условия становятся более слож-
сложными.
Возможна также постановка смешанных (контактных) задач,
когда разбиение контура Lj на участки заранее не известно и
определяется лишь в процессе решения. Для их определения
(в ходе построения решения) вводятся некоторые ограничения,
например, при отсутствии трения считается необходимым, чтобы
контактное давление было только отрицательным.
Изложенные выше соображения имеют место и при плоском на-
напряженном состоянии. Более того, в этом случае фактическая
неоднородность может возникать и при сохранении неизменными
всех постоянных среды из-за изменения толщины, что приводит
к краевому условию
A5.17)

5 16]
ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИН
141
где а — отношение толщин ho/hi. Естественно, что в указанной
постановке пространственный эффект концентрации напряжений
на линии контакта не учитывается.
В § 14 были доказаны теоремы единственности для основных
пространственных задач теории упругости. Применительно же
к плоской задаче эти теоремы формулируются следующим образом.
В случае первой основной задачи функции ф (z) и г|з (г) опре-
определяются однозначно с точностью до комплексных постоянных у
и у', связанных равенством ху — у' = 0.
В случае же второй основной задачи функции ф (z) и ty (z)
определяются с точностью до слагаемых Ciz-\-y и у' соответственно
(где С —действительная постоянная). Смещения при этом отли-
отличаются на смещение тела как жесткого целого. Разумеется, если
область бесконечна и из каких-либо соображений введено условие
обращения смещений в нуль на бесконечности, то все слагаемые
обратятся в нуль.
Заметим, что в случае смешанной задачи функции ф (г) и ty (z)
определены с той же точностью, как и для первой основной
задачи.
§ 16. Изгиб тонких пластин
Рассмотрим упругое тело, имеющее форму цилиндра малой
толщины h. Как и раньше, выберем систему декартовых коорди*
нат х, у, г таким образом, что-
чтобы оси хну лежали в средин-
срединной плоскости.
Изучим один специальный
случай деформирования указан-
указанного тела. Положим, что вы-
выполняется гипотеза плоских
сечений (см. А. Е. Н. Love
[1]). Рассмотрим элемент сече-
сечения пластинки, параллельного
плоскости xz (рис. 5). Возь-
Возьмем точки А и В, располо-
расположенные на одной нормали к
недеформированной срединной
плоскости, причем точка А ле-
лежит на самой срединной плос-
плоскости, а точка В —на рассто-
расстоянии г от нее. Запишем вы-
выражения для перемещений точки В в направлениях осей х и у:
_ dw
IF' v г~ду
Перемещения точек срединной плоскости в направлениях осей х
<- и
Рис. 5. Смещение пластинки.
« = — Z-
A6.1)

142 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [Гл. Ш
и у исключается. Тогда выражения для деформаций A4.1) при- /
мут вид I
dzw <Рэ _ п d*w ,.R nJ
&х Z"a^-' еУ==-~21^"> Уху дхду ' AЬ- '
i
Полагая ог, %xz и хуг малыми, приходим к представлению компоч
нент напряжения посредством производных лишь от смещения до:
Ег
rr^(^r + v-^r). A6.3)
Ег
Исходя из этих соотношений можно определить изгибающий
и крутящий моменты, приходящиеся на единицу длины сечения,
параллельного плоскости xz или yz:
Л/2 Л/2
J ^ \ (^+^)zdz. A6.4)
-Л/2 -/г/2
Поскольку ш —есть прогиб срединной плоскости (и, следова-
следовательно, не зависит от г), преобразуем выражение A6.4) к виду
где постоянная D — Ehzl[\2(I — v2)] называется цилиндрической
жесткостью. Аналогичным образом получаем
Л/2
—Л/2
Л/2
Мху = — С Txyzdz=D(l — v)
-ft/2
Заметим, что на гранях элемента (рис. 6) действуют попереч-
поперечные силы Qx и Qyt определяемые напряжениями хгх и xzy:
ft/2 Л/2
5 I
—ft/2 —A/2
Из условия равенства нулю всех сил в направлении нормали
получаем

16]
ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИН
143
где q — поперечная нагрузка. В то же время из условия равен-
равенства нулю моментов относительно осей х и у вытекают соотношения
дМх дМих дМ*., дМ
дх
\\з уравнений A6.9) следуют представления для перерезывающих
сил через смещение w(x, у):
' «.—i>i(?+s-). «г.—Ч(?+?)- (ie.io)
Подставляя эти представления в уравнение A6.8), получаем для
Рис. 6. Нагружение элемента пластинки.
смещения w дифференциальное уравнение, которое является основ-
основным уравнением теории изгиба пластинок — так называемое
уравнение Софи Жермен
A2 D A6.11)
Таким образом, в отсутствие поперечной нагрузки (<7 = 0)
решение задачи изгиба сводится к бигармоническому уравнению.
Очевидно, что и в сбщем случае при известном частном решении
неоднородного уравнения приходим к решению однородной задачи.
Обозначим через w1 (x, у) соответствующее частное решение, а
через Wo {x, у) — общее решение бигармонической проблемы. В ряде
случаев нахождение частного решения осуществляется элементарно.
Вообще говоря, не вызывает принципиальных затруднений
и построение частного решения в общем случае (см. Н. И. Мус-
хелишвили [3]).
Согласно формуле Гурса A5.8) представим функцию wo(x, у)
посредством двух аналитических функций <р (г) и %(z) в области D,
занимаемой срединной плоскостью пластины
wQ{x, 0) = 2Re[Z«p(z)+x(*)]. A6.12)

144 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [Гл. Ш
Используя предыдущие формулы, получаем представление |
изгибающих моментов Мх, Му, крутящего момента Мху, перере-
вывающих сил Qx и Qy и смещений и и v через эти функции ф (г
и г|; (г) = х'(г). Полезно для дальнейшего формулы для силовых
факторов представить в следующем виде: j
My - Мх + 2Шху = 4D A - v) [гФ" (г) + ij/(z)] + (Му-М'х- 2iMlJ,
Qx - iQy = - W (г) + (Qx - iQy). U°-ll3;
Компоненты смещения представим в виде следующей комби-
комбинации (через Z —обозначена координата вдоль оси нормальной
к срединной плоскости):
„ + iv = _ 2 [Ф (г) + z^Jz) + WUZ - (^- + i Щ-) Z. A6.14)
В формулах A6.13) и A6.14) присутствуют члены с индексом «1»,
показывающим, что они соответствуют частному решению w1 (x, у).
Перейдем к рассмотрению краевых условий. Границу области,
как и раньше, будем полагать гладкой и обозначать через L.
1. Допустим, что край плиты свободен от геометрических
связей и приложены изгибающий момент т (s) и перерезывающая
сила р (s) (положение точек контура отсчитывается от какой-либо
начальной по его длине). Пусть М„, Мпх и Qn — изгибающий
и крутящий моменты и перерезывающая сила в сечении с нор-
нормалью п. Тогда имеют место равенства
Mn = m(s), Nn = Qn + ^L = p(s). A6.15)
Силовые факторы Мп, Мпх и Qn выражаются через величины
Мх, Ми, Мх,„ Qx и Qy с помощью формул, аналогичных преобра-
преобразованию компонент напряжений при повороте координатных осей
Mn = Mxcos2(n, х) + Му cos2 (п, у) + 2Мху cos (n, x)cos(n,y),
Мпх = (Му - Мх) cos (п, х) cos (п, у)+Мху[со& (п, х) - cosa (n, у)],
Qa = ±[Qx cos (n, x) + Qycos(n, у)]. A6.16)
Здесь знак «+» соответствует конечной области D, знак «—»
бесконечной — пластинке с отверстием.
Проинтегрируем второе из условий A6.15) по дуге, тогда
получим (с —постоянная)
+ Mn = f{s) + c,
A6.17)

% 161 ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИН 145
С помощью A6.13) перейдем к функциям ф (г) и г|? (г) и под-
подставим A6.16) в первое из условий A6.15) и в A6.17). Тогда
получим искомое представление краевой задачи (с0 — вещественная
постоянная)
- 2D(i-v) S^+'^H^)- С (>n + if)(dz) \~icoz, A6.18)
L О О J
где m1 и Z1 соответствуют частному решению.
2. Допустим, что на краю плиты задана величина прогиба
ну* (s) и значение ее нормальной производной. Образуем комп-
комплексную функцию (а — угол между внешней нормалью и осью х)
. to»
1
~дГ^~1 ds ~е \ дх 1
Используя A6.14), можно показать, что имеет место равенство
Если в уравнениях A6.18) и A6.19) перейти к сопряжен!"-.:м
значениям, то получим уравнения, совпадающие по форме с урав-
уравнениями A5.10) и A5.11) плоской задач» теории упругости.
3. Допустим, что на краю плиты заданы значения прогибоа
и изгибающего момента (так называемое опирание). Тогда имеют
место краевые условия
|) } A6.20)
Re {^Й V }
j. 2(l-j-v) , ,,. ... ,
где х* = 1—v ' а " () и ?Ц)~~ заданные функции.
Пусть теперь область, занимаемая срединной поверхностью,
многосвязна, т. е. ограничена {т+1)-м контуром Ln. В этом
случае также имеет место полная аналогия с плоской задачей.
Функции ф (г) и if) (г) оказываются многозначными, и эта много-
многозначность устраняется введением новых функций ф* (г) и ф* (г):
m A6.22>
* (г)—-ш 2 w (м** - iM«k) In (г ~

-146 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [Гл. III
Здесь Р%~главный вектор усилий, приложенных к контуру Lk,
•a Mtk и M%k — компоненты главного вектор-момента усилий.
Представляется очевидной постановка задачи теории изгиба
кусочно-однородных плит. В отличие от задачи плоской дефор-
деформации, такая неоднородность (как и для плоского напряженного
состояния) может быть вызвана не только изменением механи-
механических свойств, но и скачкообразным изменением толщины.
Соответствующие наборы вариантов условий контакта получаются
на основе соотношений A6.18) и A6.19) аналогично A5.16)
и A5.17). Естественно, что в случае изменения толщины эффект
концентрации напряжения из-за скачка не учитывается.
§ 17. Об особых решениях уравнений теории упругости
Задачи теории упругости сводятся к решению определенной
системы дифференциальных уравнений, в связи с чем естественно
{в классической постановке) рассматривать только такие решения,
которые обладают всеми производными, входящими в уравнения.
Однако представляет большой интерес также класс особых *)
решений, когда в некоторых точках производные от смещений
^напряжения) становятся неограниченными. Ниже будут изучены
некоторые решения подобного рода и установлен их математиче-
математический и физический смысл.
Первоначально рассмотрим плоскую задачу для клина с углом
] аствора а. Введем полярную систему координат (г, 0) с центром
v> вершине этого клина. Следуя работам Вильямса, Зака и Виль-
ямса (М. L. Williams [1], A. R. Zak и М. L. Williams [1]), будем
определять так называемые собственные функции задачи для
клина, т. е. нетривиальные решения при однородных краевых
условиях. Воспользовавшись функциями Колосова—Мусхелишвили
для случая равных нулю значений напряжений, запишем эти
условия в виде
= 0 (8=0), A7.1)
= 0 F = а). A7.2)
В работе А. И. Каландия [3] предложено разыскивать функ-
функции ф (г) и ij>(z), исходя из представлений
ц>(г) = Аг\ ф(г) = Вг\ A7.3)
где А, В к К — постоянные.
Обращаясь к соотношениям A7.1) и A7.2) из условия суще-
существования нетривиального решения (т. е. отличных от нуля значе-
значений коэффициентов А и В), приходим к трансцендентному
*) Такие решения часто называют сингулярными.

§ 17] OB ОСОБЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 147"
уравнению относительно К:
sin Xa = ±K sin a. A7.4)>
Для любого корня этого уравнения можно построить совокуп-
совокупность собственных решений, задав произвольно действительную
или мнимую часть одной из постоянных А и В. Рассмотренную
выше задачу для равных нулю напряжений на каждой стороне
будем называть задачей 1 — 1.
Перейдем к случаю, когда на границе клина равны нулю
смещения, и будем называть эту задачу задачей II —П. Решение
по-прежнему отыскивается в виде A7.3). Для построения К полу-
получаем трансцендентное уравнение *)
sin?ia = dz — sin a. A7.5)
Рассмотрим также задачу III—III, когда на гранях клина
полагаются равными нулю касательные напряжения н нормаль-
нормальные смещения. В этом случае трансцендентное уравнение имеет
вид
sin Xa = ± sin a. A7.6)
Приведем также уравнения, получаемые при рассмотрении
смешанных краевых условий (когда на каждой грани задается
свое условие):
sin2?ia = — Xsin2a (I —HI), A7.7)
sin2a (П-Ш), A7.8)
^(I-II). A7.9)
Трансцендентные уравнения A7.4) —A7.9) имеют бесчислен-
бесчисленное число решений, как с положительными, так и отрицатель-
отрицательными действительными частями. Решения с неограниченными
смещениями (Re^<0) приводят к напряжениям, порядок беско-
бесконечности которых в вершине более 1. Поэтому условие конечно-,
сти энергии деформирования оказывается нарушенным, в силу
чего эти решения исключаются из дальнейшего рассмотрения,
Не представляют также интерес и значения К, действительная
часть которых больше 1, поскольку напряжения в этом случае
стремятся к нулю при приближении к вершине. Таким образом,
напряженное состояние в окрестности вершины клина может ока-
оказаться неограниченным лишь при условии 0<Re^< 1. На рис. 7,
заимствованном из работы А. И. Каландия [2], представлены
•) В формулах A7.5), A7.8) и A7.9) х = C —v)/(l +v).

148
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[Гл. Ш
значения min Re А, для всех шести вариантов краевых условий (I—I,
II—II, I—II, III—III, I—III, II—III) в зависимости от угла
раствора клина при v = 0,3*).
Изложенный выше прием был в дальнейшем перенесен на
кусочно-однородные клинья, когда граница раздела между средами
является прямой, проходящей через вершину. На линиях кон-
контакта сред предполагалось наличие сцепления. Решение в каждом
клине по-прежнему представляется в виде A7.3) (или аналогичной
форме, если используется аппарат действительного переменного).
Из условия равенства смещений и напряжений на границах кон-
контакта сред и из условий на наружных сторонах получается транс-
трансцендентное уравнение для параметра X.
min Re К
6,0
4,0
3,0
2,0-
to
о
\
V
\
3^
Ч
4
¦у
!
40
/20
200
280 ЗдО
ос, град
Рис. 7. График зависимости min Re\ от угла а для шести вариантов нагру-
жсний при плоской деформации.
В работе Вильямса (М. L. Williams [2]) получено решение
задачи для двух клиньев с углами п. Эта задача соответствует
кусочно-однородной плоскости с разрезом по линии раздела сред.
В другой работе (см. A. R. Zak, M. L. Williams [1]) построено
решение для трех клиньев: двух с углом л/2 из одного материала
и одного—с углом я из другого материала. Эта задача соответ-
соответствует кусочно-однородной плоскости с разрезом в одной из полу-
полуплоскостей, выходящим на границу раздела сред. Анализ решений
задач для тела, составленного из двух клиньев, при нулевых
смещениях на наружных границах, приведен в работе
А. Г. Аветисяна и К. С. Чобаняна [1].
Рассмотрим теперь пространственный клин, ограниченный
двумя полуплоскостями, составляющими между собой угол а.
•) Аналогичным образом рассматривается вопрос и в задачах изгиба.

ОБ ОСОБЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
149
Пусть в этом клине реализуется напряженное и деформированное
состояние специального вида: продольный сдвиг (называемый
также антиплоской деформацией), при котором отлична от нуля
только одна компонента смещения — w, параллельная ребру (ось г),
причем эта компонента постоянна по величине вдоль оси г.
Тогда из закона Гука и уравнений равновесия будет следовать,
что отличны от нуля только две компоненты напряжений тгв и
т^р (где г, р, G — цилиндрические координаты), причем смещение
w (р, 9) будет удовлетворять уравнению Лапласа. Определим соб-
собственное решение задачи теории упругости для такого клина при
равных нулю напряжениях тг9, тгр на гранях. Соответствующая
гармоническая функция находится как действительная часть ана-
аналитической функции z\
а для X получается еле- тТ?^_
дующее уравнение:
sinXa = 0. A7.9) 3,0
Интересующее нас
решение (т. е. решение
с наименьшей положи-
положительной действительной
частью) равно я/а.
Ввиду простоты ответа о 45 90
сразу можно сделать
заключение, Что напря- рис 8 График зависимости min Ш от угла a
жения могут быть не- при антиплоской деформации.
ограничены только в
случае, когда a ;> я (т. е. для вогнутых углов). На рис. 8, заим-
заимствованном из работы Си (G. С. Sih [1]), представлено значение
min Re % в зависимости от угла а.
Следует отметить, что определяемые с помощью метода соб-
собственных функций особенности поведения решений в окрестности
угловых точек оказываются тождественными с особенностями,
получаемыми в ходе непосредственного решения (в тех случаях,
когда это удается) соответствующей краевой задачи. Сошлемся
на работу Г. П. Черепанова [1], в которой получено решение
для кусочно-однородной плоскости с линиями разреза вдоль кон-
контура сопряжения сред.
Очевидно, что из существования нетривиальных решений соот-
соответствующих трансцендентных уравнений следует неоднозначность
решений рассматриваемых краевых задач, поскольку коэффициенты
при функциях zk могут быть выбраны, как отмечалось ранее,
достаточно произвольно *).
2,0
1,0
0,0
135 180 225 270 315 360
»,град
•) Сформулированные в предыдущих параграфах теоремы единственности
относились к телам, имеющим замкнутые границы.

150 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [Гл. Ill
Введенные выше собственные функции имеют большое значение,
поскольку показано (см. В. А. Кондратьев [1], И. И. Ворович,
Б. Е. Ковальчук [1]), И. И. Ворович, В. М. Александров,
В. А. Бабешко [1], что они входят в представление (асимптоти-
(асимптотическое) решения краевых задач для областей, ограниченных
кусочно-гладкими контурами. Поэтому при известном значении
угла между касательными к контуру, исходя из характера крае-
краевых условий в окрестности угловой точки, можно определить
собственные функции для соответствующей клиновидной области.
Получение же решения в явном виде в окрестности угловых
точек сводится к определению упомянутых коэффициентов.
В последующих параграфах при решении задач для такого рода
областей, а также в случае кусочно-однородной среды и при
наличии разрезов будут приведены некоторые рекомендации для
их определения в ходе построения решения задачи в целом.
Здесь же обратим внимание читателя на работы В. Г. Мазьи и
Б. А. Пламеневского [1, 2], в которых весьма сложным образом
изучен вопрос об определении этих коэффициентов в общей мате-
математической постановке. ;,7":
Следует также указать на то обстоятельство, что особенности
решения зависят также и от характера краевых условий. Нали-
Наличие сосредоточенных сил и моментов, разрыв в краевых условиях
приводят к особенностям решения даже в тех случаях, когда нет
угловых точек (а = л). Однако с помощью построения соответствую-
соответствующего частного (как правило, элементарного) решения эти осо-
особенности могут быть устранены. .<"
Заметим, что в случае пространственных задач (когда угловая
линия гладкая) особенность'напряженного состояния в окрестности
^ре5ра (в плоскости, ему перпендикулярной) такова же, как и
у клина равного телесного угла при плоской и антиплоской дефор-
деформации (см. Oi К. АксеНТйн [I], R. J. Hartranft, G. С. Sih [1],
В. Д. КолДоркина [1]), /<!>
Распространение Подхода Вильямса на существенно простран-
пространственные задачи выполнено в работе Каван и Фужитанн (Kawai Т.,
Fujitani Y. [1]), в которой построены собственные функции для
полупространства с вырезом в виде клина. Полагая угол клина
равным нулю, придем к весьма важной для теории разрушения
задаче об особенности напряженного состояния в окрестности
выхода разреза на наружную поверхность (правда, лишь при
условии, что контур .разреза нормален к поверхности).
Отметим, что в работах Хартранфта и Си (R. J. Hartranft,
G. С. Sih [1]) и Си (G. С. Sih [1]) акцентируется внимание на
этой проблеме при рассмотрении задач для полупространства
с полукруглым и полуэллиптическим разрезами. Авторы исполь-
использовали при решении альтернирующий метод.

ГЛАВА IV
* *
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 18. Интегральные уравнения Мусхелишвили
Рассмотрим вместе первую и вторую задачи теории упругости
для конечной односвязной области D+, ограниченной гладким
контуром L. Граничные условия перепишем в единой форме
k(p (t)-\-t(p'(t)-\-ty (t) = f (t). A8.1)
Здесь fe = — x —в случае первой задачи, k=\ — в случае второй,
а функция f (t) определена выше (§ 15).
Перепишем условие A8.1) в виде
Правая часть A8. Г) является, таким образом, краевым значе-
значением функции, аналитической в области D+. Согласно B.9') это
условие можно представить в виде равенства, справедливого для
всех точек г, расположенных вне области D+:
if kW)+h'(t) d, i Г/jo* =Л(г). A8.2)
2л« ,' t — г 2л( J t — г у ' v '
L L
Перейдем от функционального уравнения A8.2) к интеграль-
интегральному уравнению. Для этого осуществим предельный переход
к точкам контура L, оставаясь все время вне области D+. При
этом полагаем, что функции <р(?), <р' (f) и f (f) удовлетворяют
условию Г.—Л., и поэтому оказывается возможным использова-
использование формул Сохоцкого — Племеля.
Для получения уравнения в компактной форме воспользуемся
тождествами
Осуществим в A8.2) предельный переход и прибавим к этому
Соотношению последние тождества, умноженные соответственно

152 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ [Гл. IV
на 70 и k. Произведя интегрирование по частям, приходим
к интегральному уравнению, принадлежащему Н. И. Мусхелиш-
вили [3]:
Уравнение A8.3) принадлежит классу интегральных уравне-
уравнений Фредгольма. Проведем его исследование. Начнем рассмотре-
рассмотрение со второй основной задачи (k=l). Вначале покажем, что
любое решение этого уравнения должно быть краевым значением
функции, аналитической в области D+. Пусть (p(t)— любое реше-
решение уравнения A8.3). Образуем интегралы типа Коши (точка г'
берется в области D)
J
J t-z'
i г
2л» J
t—z
Тогда уравнение A8.3) можно трактовать как соотношение между
функциями Ф (/) и ^@, являющимися краевыми значениями
аналитических в D~ функций:
0. A8.5)
Из соотношения A8.5) следует, что
поскольку эти функции являются решением второй внешней
задачи при нулевых значениях напряжений на контуре (а —
действительная, р — комплексная постоянная). Так как эти же
функции являются интегралами типа Коши, то они равны нулю
на бесконечности. Поэтому из первого представления A8.4) будет
следовать, что ф(/) есть краевое значение функции, аналитиче-
аналитической в области Ь+.
Поскольку функция сро (z) = iaz + p (аир по-прежнему дей-
действительная и комплексная постоянные) соответствует нулевому
напряженному состоянию, то очевидно, что она будет являться
нетривиальным (и притом единственным) решением уравнения A8.3)
при равной нулю правой части.
Заметим, что сама задача теории упругости для ограничен-
ограниченной области имеет решение лишь при равном нулю значении
главного вектор-момента внешних сил

§ 18] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МУСХЕЛИШВИЛИ 163
Условие равенства нулю главного вектора внешних сил авто-
автоматически следует из однозначности краевого условия.
Следуя работе Д. И. Шермана [2], докажем, что из усло-
условия A8.6) вытекает разрешимость уравнения A8.3) (при k=\).
Будем считать, что начало координат расположено в области D*.
К левой части исходного уравнения прибавим оператор
2л(
L L
и исследуем полученное уравнение
Докажем, что всякое решение последнего уравнения является
краевым значением аналитической в области D+ функции. В отли-
отличие от A8.4), соответствующую функцию 4(z') определим сле-
следующим выражением:
При этом уравнение A8.3') преобразуется в то же предель-
предельное соотношение A8.5). Аналогично предыдущему получаем
равенство нулю функций Ф (z') и У (z') и, следовательно, про-
продолжимость решения в область D+.
Покажем теперь, что любое решение уравнения A8.3') обра-
обращает в нуль дополнительные слагаемые A8.7), если правая часть
удовлетворяет условию A8.6). Поскольку функция ?(z') = 0,
то и коэффициенты ее разложения в ряд Лорана будут равны
нулю. Первый коэффициент разложения равен
гЦ^Л-О, A8.8)
а коэффициент при 1/z'

154
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ [Гл. IV
Из A8.8) следует, что первый интеграл в A8.7) всегда обра-
обращается в нуль. Преобразуем A8.9) к виду
(Ш0)
Первое слагаемое, так же как и второе (в силу A8.6)), веще-
вещественное, а третье —мнимое. Следовательно, третье слагаемое
в A8.7) равно нулю.
Докажем, что уравнение A8.3') разрешимо при любой правой
части. Для этого следует показать, что однородное уравнение не
имеет нетривиальных решений. Допустим, что такое решение
существует. Обозначим его через ф0 (t). Поскольку правая часть
уравнения равна нулю, то условие A8.6) автоматически выпол-
выполняется, а поэтому обращается в нуль и сумма A8.7) при под-
подстановке в нее функции ф0 (t). Следовательно, функция ф0 (t)
должна также быть решением однородного уравнения A8.3), и
поэтому она равна otf + p. Подставляя эту функцию в A8.7),
получаем из условия равенства каждого слагаемого нулю, что
постоянные аир обращаются в нуль. Таким образом, доказана
разрешимость уравнения A8.3') при произвольной правой части,
в частности при выполнении условия A8.6). В последнем же
случае, как доказано выше, решение уравнения A8.3') является
также и решением уравнения A8.3).
Интегральные уравнения Мусхелишвили могут быть построены
для случая многосвязной области и внешней задачи. В работе
Д. И. Шермаиа [2] проведен анализ этих уравнений и доказана
их разрешимость. Однако фактическая реализация решений в этих
случаях затруднительна из-за необходимости предварительного
решения вспомогательных задач для некоторых частных видов
нагружения *).
Д. И. Шерман установил, что характеристические числа урав-
уравнения A8.3') по модулю больше единицы, что и обеспечивает
сходимость метода последовательных приближений. Естественно,
что этот вывод оказывается справедливым и для интегрального
уравнения Мусхелишвили (разумеется, при выполнении условия
равенства нулю главного вектор-момента внешних сил).
*) Из результатов работы Д. И. Шермана (Статическая плоская задача
теории упругости для анизотропной среды. Труды Сейсмологического ин-та
АН СССР, № 86, 1938) применительно к изотропной среде могут быть получены
всегда разрешимые интегральные уравнения, отличающиеся от уравнений
Мусхелишвили дополнительными операторами элементарного вида.

§ 19] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ШЕРМАНА - ЛЛУРИЧЕЛЛЫ 155
Численное решение уравнения Мусхелишвили методом механи-
механических квадратур затруднительно из-за наличия собственной функ-
функции, поскольку определитель соответствующей системы линейных
уравнений оказывается (в пределах точности) равным нулю, что
и приводит к получению неустойчивых значений искомых величин.
В работе Н. И. Мусхелишвили [1], а также в работе А. Я. Гор-
гидзе и А. К. Рухадзе [1] для устранения указанного недостатка
предлагается фиксировать плотность в каких-либо точках, исклю-
исключая при этом рассмотрение соответствующих уравнений. В рабоге
П. И. Перлина и Ю. Н. Шалюхина [1] предлагается иной способ.
Авторы рассматривают уравнение A8.3'). Из-за погрешности
используемых квадратурных формул и из-за кусочно-постоянного
(или иного) представления плотности дополнительно вводимые
слагаемые будут отличны от нуля, но вносимая ими погрешность
будет малой (порядка погрешности квадратурных формул), однако
при этом решающим образом улучшается структура системы
алгебраических уравнений, поскольку это уравнение не имеет
собственных функций.
Отметим, что при решении уравнения Мусхелишвили методом
последовательных приближений также возникают осложнения ана-
аналогичной природы (из-за погрешности численной реализации)
(см. § 12). В той же работе П. И. Перлина и Ю. Н. Шалюхина
также предлагается для построения сходящегося решения восполь-
воспользоваться уравнением A8.3').
Обратим внимание на то обстоятельство, что при наличии
в задачах двух осей симметрии процесс при обоих подходах
оказывается устойчивым, если, разумеется, и дискретизация кон-
контура, необходимая для численной реализации, будет обладать
соответствующей симметрией.
Аналогичным образом проводится исследование интегрального
уравнения, соответствующего первой основной задаче. В этом
случае следует вводить дополнительный функционал
§ 19. Интегральные уравнения Шермана — Лауричеллы
Перейдем теперь к построению иных интегральных уравнений
основных плоских задач теории упругости, называемых уравне-
уравнениями Шермана —Лауричеллы (см. Д. И. Шерман [6, 7]).
Пусть область D ограничена одним или несколькими конту-
контурами Llt L2, ..., Lm, Lo, где первые т контуров расположены
вне друг друга, а последний содержит все остальные (контур Lo
может и отсутствовать). Конечные области, ограниченные конту-

156 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ [Гл. IV
рами Lft, будем обозначать через D% (k= 1, 2, ..., т), а беско-
бесконечную область — внешность контура Lo через Do.
Начнем рассмотрение со второй основной задачи. Будем счи-
считать, что главные векторы Xk, Yk внешних усилий, приложенных
к контурам Lft, равны нулю (в противном случае надлежит осу-
осуществить очевидное преобразование краевых условий). Тогда иско-
искомые функции ф (г) и т|з (z) оказываются однозначными.
Запишем краевые условия (L = Lk + Lo):
(/<=L). A9.1)
Здесь /(/) —заданная функция, однозначная и непрерывная на
каждом из контуров, постоянные Со и Ск определяются в ходе
решения краевой задачи. Одну из них, например Ст+1, можно
произвольно зафиксировать, положив ее равной нулю. При этом,
естественно, предполагаем, что выполняются условия A8.6).
Будем разыскивать функции ф(г) и я|>(г) в виде*)
Здесь со (t) — искомая функция, zk — произвольно заданные точки
в областях Dt, bk — действительные постоянные, определяемые
следующим образом:
bh = i\ [со (/) dt - colO dt]. A9.4)
Заметим, что представления A9.2) и A9.3) по виду напоминают
аналогичные представления решения задачи для полуплоскости.
Будем считать, что функция со (t) удовлетворяет условию
Г.—Л. Осуществим в A9.2) и A9.3), также как и в получаемом
из A9.2) представлении для функции ф' (г), предельный переход
извне к точкам контуров Lk и изнутри к точкам контура Lo.
Подставим полученные выражения в краевые условия A9.1);
*) В работах Д. И. Шермаиа [6, 7] в выражении для <р (г) содержатся
дополнительные слагаемые, в которых нет особой необходимости.

§19] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ШЕРМАНА —ЛАУРИЧЕЛЛЫ 157'
тогда получим интегральное уравнение Фредгольма
*=о to~Zk
В левую часть этого выражения введено слагаемое
). A9.5).
ЦЛ+Д4 A9.7).
a zo = 0 включено для единообразия записи.
Определим постоянные Ск с помощью соотношений вида
С»—JcD(Ods, A9.8)-
*•*
где ds — дифференциал дуги контура. С учетом этого уравнения
A9.5) превращается в интегральное уравнение относительно ©(/).
Покажем, что любое решение уравнения A9.5) обращает в нуль,
число Ьо, если выполняется условие равенства нулю главного
вектора усилий, приложенных ко всему телу. Для доказательства
представим уравнение A9.5) в виде
(/<=L). A9.9)
i
Умножим обе части этого равенства на dt и проинтегрируем.
Поскольку функции ф (t) и т|з (/) однозначны, получаем
\ [ф(/) dt-цЩ dt]-2nib0 = 5/@ di. A9.Щ-
L L
Так как в этом равенстве все члены, кроме 2ш"Ь0, — мнимы е-
величины, то Ьо = 0.
Докажем, что уравнение A9.5) всегда разрешимо. Положим,,
как обычно, что имеется нетривиальное решение соо (t) однород-
однородного уравнения. Тогда снабдим индексом «0» внизу соответствую-
соответствующие функции ф(г) и 1|з(г), а индексом «0» вверху— постоянные'
Ьки Ск, определяемые соотношениями A9.2) —A9.4), A9.8). Функ-
Функции ф0 (г) и т|з0 (г) должны удовлетворять граничным условиям:
~~ i-a=.O (/si). A9.11)
Из теоремы единственности получаем
¦„(«)=¦ —Р, С1 =

158 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ [Гл. JV
Обращаясь к формулам A9.2) и A9.3), приходим, с учетом A9.12),
.к равенствам
m
_p= I fi?lW^_ I f л?о«.Л+у_**_. A9.13)
r 2ro J <— г 2nt j t — z ' ^ г—Zft ч '
ГВводим теперь на всех контурах Lk-]-Lo функции
ftp*@ = MO-faf-P. A9.14)
iV (t) = щ {() - to» (t) + У -j~-- A9.15)
Поскольку эти функции аналитичны в областях D?, то равен-
равенства A9.13) можно переписать в виде
Из свойства интеграла типа Коши (§ 2) будет следовать, что
функции ф* (t) и ip* (^) являются краевыми значениями функций,
аналитических в областях D* и Dq, причем ф* (оо) = 0 и гр* (оо) = 0.
Ранее было показано, что коэффициент Ь0 — 0 при выполнении
условия A8.6). Очевидно, что в нашем случае это условие также
выполняется, а поэтому имеем Ь = 0. Подставляя же в правую часть
A9.7) выражение для соо (t) из A9.14), приходим к равенству
-а = 0. Исключая далее из A9.14) и A9.15) функцию b>0(t), получаем
т
= i У -^ 2/р. A9.17)
Умножим обе части этого равенства на dt и проинтегрируем
¦по каждому контуру Lk. Тогда придем к равенствам
\ \^rJt) dt - Ф* @ dt] = - 2пЫ, . A9.18)
!Из которых следует, что
[6* = 0. A9.19)
Поэтому получаем
Таким образом, функции ф* (z) и г];* (г) решают вторую основ-
основную задачу для каждой из областей Щ при нулевых значениях
ша границе. По теореме единственности для области Ц: (с учетом,

§19] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ШЕРМАНА - ЛАУРИЧЕЛЛЫ 15&'
что ф* (оо) = ур* (оо) = 0, и, следовательно, <p*_(z) = г|э* B) = 0) полу-
получаем, что р = 0. Тогда
Отсюда на основании формул A9.14), A9.15) следует, что
ю„@ = —а** + *Р* (te=Lk),
©о @ = 0 (*e=L0).
Теперь же, с учетом A9.19) и равенств С% — 0, получаем, что
все ак и $k равны нулю. Поэтому со0(/) = 0. Таким образом,
уравнение A9.5) оказывается всегда разрешимым. При выполне-
выполнении же равенства нулю главного вектор-момента Ь0 = 0, и поэтому
решение уравнения A9.5) совпадает с решением исходного инте-
интегрального уравнения. Следовательно, это уравнение всегда раз-
решимо.
Рассмотрим далее первую основную задачу. Имеем краевое
условие
Т^ (*6=L). A9.20)
В этом случае для функции ф (г) и г|э (г) выберем следующее-
представление:
2™ J t—г ' 2л« J t — г
L l
*=1
где Л* — постоянные, подлежащие определению. Выразим их
посредством функции © (t):
Ak=\(o(t)ds. A9.23).
Осуществим предельный переход к контурным точкам в выра-
выражениях для ф (г), ф' (г) и ty(z). После некоторых преобразований:
получаем интегральное уравнение следующего вида:
^- (со (Odin 4=^-+-— ( JJT(O d
+ 2 2 к In I f - z; I \ со @ ds = / @ (t s L). A9.24),

*6° ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ [Гл. IV
Доказательство разрешимости уравнения A9.24) можно пост-
построить, повторяя, в основном, приведенные выше рассуждения.
В случае, когда контур Lo отсутствует, все рассуждения
:(с незначительными изменениями) остаются в силе.
Интегральное уравнение, близкое по структуре к уравнениям
Шермана —Лауричеллы, для второй основной задачи было полу-
получено И. X. Хациревичем [1]. Правая часть этого уравнения
непосредственно выражена через внешние напряжения.
§ 20. Интегральные уравнения Шермана — Лауричеллы
(продолжение)
Построенные и исследованные в предыдущем параграфе инте-
интегральные уравнения применимы для случая произвольных много-
многосвязных областей. Ука-
Укажем некоторую моди-
модификацию этих уравне-
уравнений, учитывающую спе-
специфику областей и
характер краевых усло-
условий, позволяющую су-
существенно упростить
получение решения.
Для задачи, где са-
сама область и краевые
условия имеют зер-
зеркальную и циклическую
Рис. 9. Параллелограмм периодов в плоскости симМетрию некоторого
¦с двоякопериодическим расположением отвер- порядка, Ь. М. Ьуивол
стай. [1] осуществил надле-
надлежащие преобразования
уравнения A9.5) и получил уравнения, контуром интегрирования
в которых является неприводимая часть контура*).
Остановимся на двоякопериодической задаче, следуя Л. А. Филь-
штинскому [1], рассмотревшему ее в наиболее общей постановке.
Пусть имеется параллелограмм периодов (рис. 9), где cot и со2 —
основные периоды решетки, Imco1 = O, Im ((йг/щ) = 0, щ = се1а,
Imc = 0, -а внутри каждого из параллелограммов имеется группа
из / непересекающихся отверстий, обозначаемых через l}mn, где
верхний индекс соответствует принятой нумерации в пределах
основного параллелограмма, а нижние — обозначают соответствую-
соответствующий параллелограмм.
При постановке второй основной задачи нужно считать, что
нагрузка, приложенная к каждому из контуров, не зависит от
•) Некоторые исправления внесены С. Б. Вигдергаузом [1].

§20] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ШЕРМАНА — ЛАУРИЧЕЛЛЫ 161
нижних индексов, причем во всех случаях главный вектор и глав-
главный Еекгор-момент равны нулю (в противном случае нарушается
периодичность). Кроме того, необходимо в постановку задачи
включить так называемые средние значения напряжений аъ <та
и <Xi2> приложенных по граням параллелограмма периодов, экви-
эквивалентных однородному напряженному состоянию на бесконеч-
бесконечности (с теми же значениями напряжений).
Для функций ф (г) иг]; (г) используются представления
i
bkl(z-zk) + Az, B0.1)
+ 2 bk [I B - z») + Pl B - zk)] + Bz, B0.2)
где t,(z) — дзета-функция Вейерштрасса, р(г) — эллиптическая функ-
функция Вейерштрасса, точки zk расположены в областях D1^, постоян-
постоянные Ьк определяются по формулам, аналогичным A9.4), А и В —
постоянные, которые выражаются через средние значения напря-
напряжений и параметры решетки. Функция Pi(z) имеет вид (см.
В. Я. Натанзон [I])
^^) B0.3)
Соответствующее интегральное уравнение получено и иссле-
¦довано в упомянутой выше работе Л. А. Фильштинского.
Отметим, что в работе В. П. Торопиной [1] была рассмотрена
периодическая задача для плоскости с отверстиями. Автор отобра-
отобразила полосу периодов на плоскость с разрезом и, воспользовавшись
для функций ф (г) и г|э (г) представлением по типу A9.21) и A9.22),
получила соответствующие интегральные уравнения. Из произве-
произведенного анализа спектральных свойств следует, что эти уравнения
можно решать методом последовательных приближении.
Остановимся на вопросе о численном решении интегральных
уравнений Шермана — Лауричеллы и их модификаций. Эти урав-
уравнения являются регулярными, и поэтому их решения можно непо-
непосредственно проводить методом механических квадратур (см. § 11)
с учетом дополнительного слагаемого A9.6). С целью повышения
точности следует воспользоваться тем обстоятельством, что инте-
интегралы от ядер, сходящих з уравнения Шермана —Лауричеллы,
6 Паргон В. 3., Перлин П. II.

162 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ [Гл. IV
вычисляются в замкнутом виде. Поэтому каждое слагаемое инте-
интегральных сумм можно представить как произведение значения
плотности в опорной точке на соответствующее выражение.
Перейдем к определению напряжений в упругом теле уже
после нахождения решения интегрального уравнения. Для внут-
внутренних точек эта задача решается элементарно, поскольку пред-
представления для функций ф (г) и г]) (г) A9.2), A9.3) являются регу-
регулярными. Однако основной интерес, и в то же время наибольшую
сложность (особенно из-за определения функции <р' (t)) представ-
представляют собой точки контура.
В работе К. И. Заппарова и П. И. Перлина [1] для решения
этой задачи привлечен аппарат теории сплайнов (см. § 9). Обо-
Обозначим через t% опорные точки, а через tk — узловые. Тогда будем
иметь, например, для функции ф (г) представление
(ф1п-^^. B0.4)
Построим на каждом участке tl-i, t% кубический сплайн
5@=2 о? (<!-9и.
т = 0
Тогда производная со' (t) в точке t% оказывается равной —а\.
Для функции ф' (t) имеем следующее представление:
Ф'(«) =4«>'(«)+ У а}1п-^Ь/. B0.5)
Выражение B0.5) позволяет определить в точках контура тан-
тангенциальную компоненту напряжений (согласно формуле ot —
= 4Reep'@-Im/'@).
На рис. 10 приведены результаты расчетов ot для внешности
квадрата, а на рис. 11 для внешности контура специального вида,
причем нагружение во всех случаях сводилось к гидростатическому
давлению р. На рис. 10 приведено также решение (пунктирная
линия), найденное посредством конформного отображения (см.
Г. Н. Савин [1]). Цикличность и зеркальная симметрия, разу-
разумеется, были учтены.
Остановимся на интегральных уравнениях изгиба пластинок
при условии их опирания. Краевые соотношения для функций
Ф(г) и г|)(г) приведены в § 16 A6.20) и A6.21). Заметим, что
аналогичная краевая задача возникает и в плосконапряженном
и плоскодеформированном состояниях, когда на границе заданы

201
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ШЕРМАНА — ЛАУРИЧЕЛЛЫ
163
нормальная компонента перемещений и касательная компонента
напряжений.
Первый подход к построению интегральных уравнений изгиба
опертых пластинок был реализован в работе 3. И. Халилова [1].
Автор действует в направлении, аналогичном приведшему Мусхе-
лишвили к интегральному уравнению § 18, и получает при этом
5
\
х\\
¦¦¦
Рис. 10. Распределение тангенциальной компоненты напряжений в пластинке
с квадратным отверстием при нагружении гидростатическим давлением р (пред-
(представлен один октант). На стороне квадрата задавалось: Q —10 участков,
Д — 20 участков, X — 40 участков, штриховая линия — решение
Г. Н. Савина [1].
сингулярное интегро-дифференциальное уравнение, которое затем
удается преобразовать во фредгольмово. По ходу рассуждений
автору пришлось ввести ограничение на форму контура — кривизна
должна быть всюду отлична от нуля,—диктуемое лишь исполь-
используемым аппаратом. От этого ограничения свободен прием, предло-
предложенный в работе М. М. Фридмана [1], в которой также на перво-
первоначальном этапе строилось сингулярное интегро-дифференциальноб
уравнение, причем исследование проводилось для многосвязной
области.
В работе А. И. Каландия [1] использование представлений
И. Н. Векуа [1] для аналитических функций
Ф (г) = J ii (t) In (l -i-j ds+ J |i (t) ds B0.6)
6*

164
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ
[Гл. IV
позволило получить систему сингулярных интегральных уравнений
и дать доказательство ее разрешимости, исходя из общих поло-
положений теории таких систем (см. Н. П. Веку а [1]). Следует отме-
отметить, что на первоначальном этапе автор осуществил эквивалент-
эквивалентное преобразование краевых условий A6.20) и A6.21), произведя
интегрирование одного из них и сложив с оставшимся. Наоборот,
в работе Д. И. Шермана [18] осуществляется иное преобразование
краевых условий—дифференцирование одного из них и сложение
Рис. 11. Распределение тангенциальной компоненты напряжений в пластинке
с вырезом сложной формы при нагружении гидростатическим давлением р
(представлен один октант).
с оставшимся. Цель этих преобразований заключается в полу-
получении условий, содержащих производные одного порядка. В упо-
упоминаемой работе для функций ср (z) и ф (г) были построены пред-
представления, приведшие к регулярным интегральным уравнениям.
Общий случай многосвязной области был исследован на анало-
аналогичной основе в работе Д. И. Шермана [19].
§ 21. Миогосвязные (двусвязные) области
Собственно говоря, вопрос о решении задач теории упругости
для многосвязных областей уже был предметом рассмотрения
в §§ 19, 20, где изложение велось сразу для случая областей
произвольной связности. Более того, представляется возможным
решать задачи для многосвязных областей посредством альтер-
альтернирующего алгоритма, сводящего проблему к совокупности после-
последовательно решаемых задач для многосвязных областей. Напри-
Например, для области, ограниченной изнутри контуром Lu а снаружи
контуром Lo, можно поступить следующим образом: решить внут-
внутреннюю задачу для области Dt при заданном на контуре Lj
краевом условии, далее решить внешнюю задачу для области Di
при краевом условии, являющемся разностью между заданным
и определенным из только что полученного решения, и т. д. Воп-
Вопросы сходимости такого подхода разобраны в работе С. Л. Собо-
Соболева [J]. Фактическая реализация этого алгоритма, однако, пред-

§ 211 МНОГОСВЯЗНЫЕ (ДВУСВЯЗНЫЕ) ОБЛАСТИ 165
ставляется затруднительной, поскольку при сближении границ
необходимо существенно увеличивать число таких шагов.
Поскольку, кроме того, данные о решении задач посредством
интегральных уравнений Шермана —Лауричеллы (или иных) для
многосвязных областей при малых расстояниях между границами
в литературе отсутствуют, то представляет интерес один специаль-
специальный метод, правда, фактически пригодный лишь для двусвязных
областей. Первая публикация (см. Д. И. Шерман [12]) относи-
относилась к решению задачи для гармонического потенциала (приме-
(применительно к кручению стержней), а далее последовал довольно
обширный цикл работ, относящихся к плоской задаче. Подроб-
Подробный перечень содержится в обзоре Д. И. Шермана [21].
Изложим этот метод применительно к плоской задаче (при
напряжениях, заданных на контурах Lo и L^). Требуется опре-
определить функции ф (г) и г|) (г) в области D при краевых условиях
Ы0 (feL0), B1.1)
МО CeLx). B1.2)
Введем на одном из контуров, например на Lo, вспомогатель-
вспомогательную функцию со (t), определив ее соотношением
2<D@^p@-fcp'@-v@ (fesie). B1.3)
Из условий B1.1) и B1.3) сразу получаем, что
Ф @ = @@ + 0,5/! @,
у @ = -1Щ - /V (/) + 0,5 \}г @ + If, {t)].
Доказано, что функции
to
являются аналитическими в области Dj\ Поэтому можно перейти
(считая функцию и (/) условно заданной) к вспомогательной задаче
для этой области при измененных должным образом краевых
условиях. Имеем
ф*(о
где Н (t, со, /i) — символическая запись суммы членов краевого
условия, образованной добавочными слагаемыми.
Обозначим через ф„. {г, /2. Н) и ф* (z, /2, H) решение этой
краевой задачи (не останавливаясь на процессе его получения)

166 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ [Гл. IV
и вернемся к условию B1.3)*), преобразовав его через функции
«р^ (г) и if* (z). В результате получим регулярное интегральное
уравнение Фредгольма
^>dfer BL7)
Следует заметить, что при решении этим методом конкретных
задач, как правило, один из контуров являлся окружностью
(см. Д. И. Шерман [21]); именно на нем вводилась вспомогатель-
вспомогательная функция, которая сразу же разлагалась в ряд Фурье, что
позволяло без значительных усилий получить все добавочные
слагаемые. На заключительном этапе вместо интегрального урав-
уравнения строилась система линейных уравнений. Поскольку эта
система соответствует интегральному уравнению второго порядка,
ее структура оказывалась благоприятной. В работе П. И. Пер-
лина [1] при достаточно общих предположениях доказано, что
эти системы являются квазирегулярными.
Отметим работу П. Н. Мошкина [1], в которой ни один из
контуров не является окружностью, оба они берутся в виде
эллипсов. Автор вводит вспомогательный контур —окружность,
расположенную в области, занимаемой упругим телом, и затем
решает независимо две задачи о равновесии пары двусвязных
областей, ограниченных соответственно изнутри и извне окруж-
окружностью, ставя условие совпадения на ней напряжений и смеще-
смещений. Следует указать, что трудности в вычислении слагаемых,
определяемых функцией <a(t) (если контур отличен от окружно-
окружности), могут быть также преодолены использованием полиномов
Фабера.
Периодическая задача для плоскости с круговыми отверстиями,
центры которых расположены на одной прямой, рассмотрена
Д. И. Шерманом [25]. Задача для плоскости с тремя одинако-
одинаковыми круговыми отверстиями, вершины которых образуют равно-
равносторонний треугольник, при наличии одной оси симметрии в крае-
краевых условиях, решена Н. М. Крюковой [2]. Задача для круга
с круговыми отверстиями в условиях циклической симметрии
изучена В. Г. Кулишом и Б. А. Ободовским [1].
Разумеется, указанный метод также применим, когда на кон-
контурах Lo и Lj заданы краевые условия различного вида. Более
*) Обращение к условию B1.1) не всегда желательно, поскольку при этом
получается сингулярное интегральное уравнение.

, 22]
ЗАДАЧИ ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ 16?
того, можно допустить, что на одном из контуров, например на LOr
заданы условия первой или второй задачи, а на другом —усло-
—условия смешанного типа. Тогда следует по-прежнему вводить на кон-
контуре Z-o функцию со (/) и переходить к вспомогательной, теперь
уже смешанной, задаче для области Dj. В работах И. Г. Ара-
мановича [1] и И. Г. Арамановича, Н. Н. Фотиевой, В. А. Лыткина
[1] эта схема реализована на примере вдавливания штампа
в полуплоскость с круговым отверстием.
§ 22. Задачи теории упругости
для кусочно-однородных тел
Рассмотрим плоскую задачу теории упругости для кусочно-
однородных тел. Пусть имеется некоторая многосвязная область D,
ограниченная гладкими контурами*) Lk (k = I, 2, ..., т) и Lo,
из которых все, кроме Lo, расположены вне друг друга, а кон-
контур Z-o охватывает все другие. Область D заполнена упругой
средой с константами хиA. Области же D%, ограниченные кон-
контурами Lk (?=7^0), заполнены средами с постоянными щ и \хк.
Здесь для удобства вместо постоянной Ламе Я в дальнейшем вве-
введена постоянная к (различная в случаях плоской деформации и
плоского напряженного состояния). Напряженное состояние
в каждой вбласти Dt и D будем описывать функциями <pft (г),
Ц>к(г). На границах сопряжения сред предполагаются заданными
какие-либо условия. Для приложений представляют большой
интерес такие условия, когда на Lk вектор напряжений меняется
непрерывным образом, а вектор смещений претерпевает заданный
скачок iik(t), причем функция ц.*(/) принадлежит классу Г.—Л.
На наружном контуре могут быть заданы условия как первой,
так и второй (и даже смешанной) задачи.
Приведем все краевые условия, необходимые для определения
функций фА (г) и %(г):
СеЦ B2.1)
('et»), B2.2)
,). B2.3)
На контуре ?т + 1для определенности взято условие второй основ-
основной задачи.
Рассмотрение начнем с частного случая, когда все постоян-
постоянные х и ц одинаковы. Следуя Д. И. Шерману [5], преобразуем
Обозначения такие же, как и в § 19.

168 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ [Гл. IV"
уравнение B2.1) и B2.2) к виду
/j\ /j\ | 1 i /*\ /j r j \ /00 Л\
i = if @+Ш (t) + -j-i— Iul @ + Ы (ol,
1+xL J B2.5)
Можно показать, что функции
4 (О
*=¦
будут представлять собой единую аналитическую во всей области
Do функцию, обозначаемую далее через ф0 (г). Аналогичный резуль-
результат имеет место и в отношении функций
т
что приводит к функции tyo(z), аналитической в области Duf.
Учитывая вышеизложенное, можно записать краевое условие
для функций ф0 (г) и г|H (г) в виде
Фо @ + /фГ?) + Ы0 = fV) + H (/,• Hi) (^ 6= Lo), B2.6)
где Я (/, (д.^) —символическая запись членов, определ'яемы.х функ-
функциями (i* (О- Вычисление всех дополнительных слагаемых, вхо-
входящих в выражения для функций qpft (г) и i];ft (г), осуществляется
элементарно в том случае, когда контуры Lh есть окружности
(посредством разложения функций в ряды Фурье). В иных слу-
случаях уместно привлекать аппарат полиномов Фабера (см., напри-
например, Ю. А. Амензаде, Т. Ю. Агаев [1] и Ю. Н. Шалюхин [1]).
Отметим, что изложенный подход может быть использован и
в тех случаях, когда некоторые из областей D% сами имеют отвер-
отверстия, заполненные упругими средами при выполнении на конту-
контурах условий типа B2.1) и B2.2).
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда упру-
упругие постоянные различны. Остановимся на методе, предложен-

§ 5:] ЗАДАЧИ ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ 169
ном в работе С. Г. Михлина [1], в котором считается известной
комплексная функция Грина для каждой из областей Dt. Это
позволяет в явном виде (посредством интеграла Коши в регуляр-
регулярных слагаемых) выразить функции фй (г) и tyk (г) сразу, исходя
из краевых условий B2.1) или B2.2) и считая как бы известными
обе части равенства. После этого, обратившись соответственно
к равенству B2.2) или B2.1), автор приходит к всегда разреши-
разрешимой системе сингулярных интегральных уравнений (т-\-1)-го
порядка.
В работе Д. И. Шермана [9] в каждой из областей Dt задается
представление функций ф* (z) и tyk (г) по типу A9.2) и A9.3) и
потом в них осуществляется предельный переход к точкам кон-
контуров Lk и Lo. Тогда равенства B2.1) — B2.3) приводят к регу-
регулярным интегральным уравнениям порядка 2т-\-1. Такого вида
представления были использованы в работе Л. А. Фильштинского
[2] для построения регулярных интегральных уравнений в слу-
случае двоякопериодической задачи, когда в параллелограмме перио-
периодов содержится некоторое количество включений.
Остановимся теперь подробнее на методе Д. И. Шермана [20],
сводящем задачу к системе порядка т+1 сингулярных уравне-
уравнений второго рода. Для простоты ограничимся случаем, когда
т=1. На контуре Lx имеем соотношения
@ - *р1 V) - Ь @ = *ф @ - ftp' @ -1> @ + -?- и @-
Вводим вспомогательную функцию ю (/) согласно равенству
B2.7)
со @ = Ф1 @ - ftp! @ - *i @ - Ф @ + ftp' @ + Ч> @ С е= U). B2.8)
Строим интегралы типа Коши
) 2л/ 3 t-z at>
Тогда посредством равенств
= ф1(г)-Ф*(г), гр0 (г) = % (г) + гр* (г)
можно перейти к задаче для сплошной области: Фо @ + *Фо @ 4*
+ Ч>о(9 = Я(а), 0-

170 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ [Гл. IV
Представим решение этой задачи в символической форме:
Фо(г) = Я1((о, г), ^о(г)=//2((о, г). B2.9)
Совершим теперь обратный переход к функциям фА (г) и % (г) и
воспользуемся вторым соотношением B2.7); оно приведет к син-
сингулярному интегральному уравнению
2
Г±1+±1Л
2 L hi ^^ t* J
B2.10)
Слагаемые, входящие в левую часть уравнения B2.10) и обо-
обозначенные вкупе через N (а>, t0), являются регулярными опера-
операторами относительно искомой функции со (t). Указанный метод
нашел широкое распространение (см. Ю. А. Амензаде [1]).
Следует отметить, что изложенные выше методы позволяют
получать интегральные уравнения также для более общего слу-
случая, когда внутри каких-либо контуров Lk содержится некоторое
количество других граничных контуров. Заметим, что эти и смеж-
смежные вопросы с общих позиций пространственной задачи изучаются
в § 35.

ГЛАВА V
* *
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 23. Задачи теории упругости для тел с разрезами
Пусть в плоскости комплексного переменного г имеется т
гладких разомкнутых непересекающихся контуров Lk, концы
которых обозначим соответственно через ak и bk. Требуется решить
задачу теории упругости для плоскости с разрезами вдоль кон-
контуров Lk, считая заданными на сторонах разрезов напряжения
или смещения. Для определенности ограничимся второй основ-
основной задачей. Надлежит определить функции <р (г) и i|> (г) во всей
плоскости при условиях
0.w. <23Л>
ф- (t) + tq>-' (t) + ф- (t) = /- @ + Ck B3.2)
Знак «плюс» означает, что предел берется слева при движении
от точки ак к точке bk, а знак «минус» — справа (как и в § 2).
Функции /± (t) считаются заданными и принадлежащими классу
Г.—Л. Постоянные Ск находятся в ходе решения. Равенство
нулю главного вектора внешних усилий проявляется в однознач-
однозначности функций /±@-
Решения подобного рода задач для частных случаев, когда все
разрезы располагаются на одной прямой или окружности эффек-
эффективно находятся на основе метода сопряжения (§§ 26, 27).
Изложим вывод общего сингулярного интегрального уравне-
уравнения, осуществляемый в развитие метода, изложенного в § 22 при
рассмотрении задач для составных тел.
Предварительно упростим постановку задачи, считая, что
функции /+ (t) и /- (t) совпадают между собой (иными словами,
считая, что вектор напряжений меняется непрерывным образом
при переходе через разрез). Не представляет труда перейти от
общего случая нагружения к указанному. Для этого нужно ввести,
во всей плоскости дополнительные функции

172 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ [Гл. V
Тогда для новых функций <p,(z) = <p(z) и i|j# (г) = ty (z) — % (z)
придем к требуемым условиям:
<р: (о+Ы @1' + г, @=ф; @+1 [ф; (*)]'+% (о =
B33)
Введем на разрезах Lk вспомогательные функции ji*(/), опре-
определив их следующими представлениями (индекс «*» снимается):
рк @ = иФ+ @ -/ср+' if) - Г @ - *Т @ + tT' @ - f - @- B3.4)
Очевиден физический смысл функций \ik (t), которые представ-
представляют собой скачок смещений (с точностью до множителя 1/2;х).
Естественно поэтому в постановку задачи включить условие обра-
обращения этих функций в концах отрезков в нуль.
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функции
2л(A+х) J t—z
m
2шA+х) J t-z
L
тождественно удовлетворяют первому из содержащихся в B3.3)
условий, выражающему непрерывность внешних напряжений на
разрезах. Если же обратиться ко второму из равенств B3.3),
определяющему эти напряжения, то придем (воспользовавшись
формулами B.9)) к сингулярному интегральному уравнению
i din
t-u
Поскольку решение этого уравнения следует разыскивать
в классе функций, ограниченных в концевых точках (можно
показать, используя выражение для канонической функции, что
из условия ограниченности следует равенство решения нулю, как
и предполагалось при постановке задачи), то индекс уравнения
получается равным —т. Поэтому уравнение оказывается разре-
разрешимым лишь при выполнении условия A8.6), выражающего орто-
ортогональность действительной компоненты правой части всем соб-

§ 23] ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ С РАЗРЕЗАМИ 173
ственным функциям союзного уравнения. В случае, если разрезы
расположены на одной прямой (вдоль действительной оси), урав-
уравнение упрощается и принимает совершенно элементарный вид
DsLt). B3.6)
В ряде работ (см., например, Л. Л. Либацкий [1], Л. Л. Ли-
Либацкий, С. Т. Баранович [1] и Л. Л. Либацкий, М. И. Вида [1])
вместо уравнения B3.6) используется уравнение, получаемое
из него дифференцированием по переменному t0 с последующей
перестановкой порядка интегрирования и дифференцирования,
что приводит к сингулярному интегральному уравнению относи-
относительно функций nit (t):
] la I 7=1~ dt = (x + 1) f (h) (h e Lk). B3.7)
Поскольку в этом случае разыскивается неограниченное во
всех концах решение, то оно будет содержать произвольные по-
постоянные, которые можно определить из условия однозначности
смещений при обходе контуров Lk.
К сожалению, в литературе отсутствует сравнительный ана-
анализ указанных подходов. Отметим, что в упомянутых выше рабо-
работах Л. Л. Либацкого и др., а также в работе В. В. Копасенко
рекомендуется представлять решение и* (/) в виде произведения
ряда, содержащего неопределенные коэффициенты, на соответ-
соответствующий множитель, несущий в себе особенность решения; можно
также представлять решение в виде суммы, состоящей из членов
ряда и слагаемого (в форме того же множителя) с коэффициен-
коэффициентами подлежащими совместному определению.
Перейдем к рассмотрению случая, когда область, занимаемая
упругим телом, ограничена (снаружи или изнутри) каким-либо
контуром L. Будем разыскивать функции ф (г) и т]; (г) в виде сумм
*&dt, B3.8)
-2
ft
ft-l
где ф0 (г) и гр0 (г) — аналитические в сплошной области D функ-
функции. Тогда придем к системе сингулярных уравнений, отли-
отличающейся от B3.7) лишь наличием слагаемого [ф0 (*0) + ^офо (А>) +
+ 'Фо (fo)]. Кроме того, нужно еще ввести уравнения, учитывающие

174 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ ТГл. V
краевые условия на граничном контуре L. Воспользовавшись
каким-либо конструктивным представлением функций ц.й (t), можно
перейти к определению функций q>0 (г) и т];0 (г) (при уже условно
заданной правой части) и, совершая обратный переход к функ-
функциям ф (г) и ty(z), из краевого условия на контурах Lk опреде-
определить ранее заданные параметры представления функций \ik (t).
Естественно ожидать, что при сравнительно близком расстоя-
расстоянии между разрезами, а также между разрезами и граничным
контуром фактическое построение решения будет сопряжено
с усложнением, для преодоления которого необходимо привлече-
привлечение более тонких вычислений (см. С. Я. Ярема [1]). Можно рас-
рассчитывать, что при достаточном удалении контуров друг от друга
окажется эффективным альтернирующий метод (см. А. М. Линь-
Линьков [1]).
Предлагаемый выше способ решения задач для тел *) с раз-
разрезами ваключался в ее сведении к задаче для сплошной области
(посредством определенных добавок). Можно поступать иным
образом, а именно, получить вспомогательную задачу для всей
плоскости (с теми же разрезами) (см. С. С. Заргарян, Р. Л. Энфиад-
жян [1]). Для этого следует ввести на наружном контуре неиз-
неизвестную функцию, подобно тому как вводилась функция «и (f) при
рассмотрении двусвязных областей (§ 21). Конкретная форма
задания этой функции зависит от характера краевых условий.
После построения соответствующих добавочных слагаемых (в виде
интегралов типа Коши) осуществляется переход к задаче для
всей плоскости. Решая же последнюю каким-либо образом, полу-
получаем для первоначально введенной функции интегральное урав-
уравнение Фредгольма второго рода.
Приведенные расчетные данные относятся к случаю, когда
разрез удален от наружной границы, что не дает возможности
произвести весьма желательное сопоставление двух разобранных
выше подходов.
Естественно ожидать, что при уменьшении расстояния между
разрезом и наружной границей сходимость указанных алгорит-
алгоритмов ухудшится подобно тому, как это имеет место при решении
задач для двусвязных и вообще многосвязных областей. Укажем
на работу Янг Вей Хгуина (Yang Wei Hguin [1]), в которой
высказано это утверждение при решении аналогичного сингуляр-
сингулярного уравнения, возникшего, правда, при изучении иной задачи —
изгиба пластинки с внутренней жесткой опорой.
Заметим, что ряд авторов (см. R. J. Hartranft, Q. С. Sih [2])
привлекает для решения указанных задач альтернирующий метод,
заключающийся в поэтапном рассмотрении задач для тела с внут-
внутренним разрезом и сплошного тела.
•) Отличных от полной плоскости.

§ 24] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ 175
Рассмотрим задачи об изгибе пластинок при наличии разре-
разрезов (см. А. М. Линьков, В. А. Меркулов [1]). Прежде чем перейти
к математической формулировке, отметим, что постановка подоб-
подобных задач (в их чистом виде) находится в противоречии с поло-
положениями, лежащими в основе теории изгиба, поскольку задачи
такого рода являются сугубо пространственными. Однако они
все же имеют определенное практическое значение.
В этом случае (при равенстве нулю изгибающих моментов и
перерезывающих сил) приходим к краевым условиям на разре-
разрезах Lkt аналогичным B3.1), B3.2),
^~Щ (te=Lk), B3.10)
B3.11)
Через функции f+(t) и f~(t) обозначены выражения, определяе-
определяемые частным решением неоднородного уравнения изгиба (см. § 18),
Dk — действительные, a Cft, — как и ранее, комплексные постоян-
постоянные. Таким образом, различие с плоской задачей —лишь в при-
присутствии правой части функций Dk{t).
Введением вспомогательной функции (аналогичной B3.4))
удается получить сингулярное интегральное уравнение. Здесь
также присутствуют условия обращения в нуль вспомогательной
функции на концах. Кроме того, следует принять во внимание
условия однозначности смещений (при обходе вокруг каждого
разреза). Все эти условия приводят к системе уравнений для
постоянных Cft и Dk, а разрешимость этой системы следует из един-
единственности решения самой задачи изгиба.
§ 24. Интегральные уравнения смешанных (контактных) задач
Перейдем к постановке смешанной задачи теории упругости.
Пусть тело занимает конечную область D+, ограниченную гладким
контуром L. На этом контуре выбраны непересекающиеся дуги L'k
с концами в точках ak, bk (k=l, 2, ..., т). Обход по-прежнему
осуществляется таким образом, что рассматриваемая область
остается слева. Оставшиеся участки контура обозначим через
LI (bk, аш) *) и, таким образом, получаем системы дуг L' и L".
Смешанная задача теории упругости заключается в определе-
определении в области D+ функций q> (z) и г}з (г) по граничным условиям
Щ[ (feL'), B4.1)
- хФ @ + ftp'@ + * @-/@ CeL*), B4.2)
ds (A=Z/),
(/si1).
*) Под am+1 понимается точка av

176 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ [Гл V
Здесь Ск — постоянная на каждой дуге L' величина, опреде-
определяемая в ходе решения задачи. Функция f (t) принадлежит
классу Г.—Л. на всех дугах контура L.
Для построения интегрального уравнения воспользуемся теми же
представлениями для функций <р (г) и Ц>(г), что и в § 19 A9.2)
и A9.3). Тогда на основании формул B.9) получим предельные
(изнутри) значения для функций ф+ (t), ф+' (t) и ty+(t), подстав-
подставляя которые в краевые условия B4.1) придем к искомому урав-
уравнению
^А (t0) со (t0) + ^ J ?f? dt + i *> С", t) со (/) dt +
L L
+ $ геП) <Щ It = / {to) + С {t0). B4.3)
Здесь
V Л 1 1
о), Д {t0), С (to)\ { _Kf 0_
Постоянные Cfr определяются из условия разрешимости инте-
интегрального уравнения в классе 1г2т, что приводит к системе
=1, 2, ..., т), B4.4)
где оА (t) — полная система решений класса h0 союзного уравнения.
Исследование разрешимости уравнения B4.3) и, в частности, %
разрешимости системы B4.4) выполнено Г. Ф. Манджавидзе [1].'
Предложим прием, реализация которого не потребует нахож-
нахождения функций ak (t). Будем искать решение, ограниченное в ка-
каких-либо т концах. Тогда уравнение оказывается всегда раз-
разрешимым (поскольку индекс равен нулю), причем решение будет
зависеть от постоянных Сц. Потребуем теперь дополнительно,
чтобы и на остальных концах решение было ограничено. Тогда
придем к системе уравнений, эквивалентной системе B4.4) и по-
поэтому обязательно разрешимой.
Отметим, что для смешанной задачи получены регулярные
уравнения, когда известна либо функция Шварца (С. Г. Мих-
лин [4]), либо функция, реализующая конформное отображение
(Д. И. Шерман [3]). Причем в последнем случае решение уравнения
строится в явном виде, если отображающая функция является
рациональной.
В заключение перейдем к рассмотрению смешанных задач,
возникающих в теории изгиба пластинок. Естественно, что случай,
когда на одних участках границы пластинка защемлена, а на остав-

§ 25] ТЕЛА, ОГРАНИЧГ.ННЫЕ КУСОЧНО-ГЛАДКИМИ КОНТУРАМИ 177
шихся свободна, полностью вписывается в рассмотренный ранее
класс смешанных плоских задач (см. условия A5.14) и A5.15)).
Поэтому остановимся только на задачах, когда на отдельных
участках контура выполняется условие опирания, тогда как на
оставшихся частях могут быть как условия защемления, так и сво-
свободные условия (или те и другие одновременно).
В работе А. И. Каландия [1] изучен самый общий вид задачи
об изгибе пластинки с краевыми условиями смешанного типа
(сочетание опирания, защемления и свободных условий). Перво-
Первоначально автор осуществляет преобразования краевых условий
II после введения представлений для функций ф (z) и tJj (z) в виде
A9.2) и A9.3) приходит к системе сингулярных интегральных
уравнений для действительной и мнимой частей вспомогательной
функции. Проведено исследование этой системы (на основе общей
теории Н. П. Векуа [1]), доказана ее разрешимость и установлен
характер поведения решения в точках перехода одних краевых
условий в другие.
Применительно к случаю, когда отсутствуют участки, на ко-
которых пластинка свободна, автору удалось упростить резуль-
результаты, преобразовав получаемую систему сингулярных уравнений
в регулярную.
Остановимся на двух работах Д. И. Шермана [16,17], в кото-
которых проведено изучение задач для изгиба круглой пластинки.
В первой работе полагалось, что на одной полуокружности пластинка
защемлена, а на оставшейся —оперта. Во второй же —на одной
полуокружности свободна, а на другой — оперта. В обоих
случаях автор непосредственно получал сингулярные интеграль-
интегральные уравнения, которые решались посредством разложения иско-
искомой функции в ряд. Получаемые при этом системы алгебраиче-
алгебраических уравнении оказались вполне регулярными. Если дуги
отличны от полуокружности, рекомендуется в интегральном урав-
уравнении сделать замену переменных, произведя дробно-линейное
преобразование.
§ 25. Задачи теории упругости для тел,
ограниченных кусочно-гладкими контурами
Остановимся на решении посредством интегральных уравне-
уравнений плоских задач теории упругости для областей с угловыми
точками, т. е. для областей, ограниченных кусочно-гладкими кон-
контурами. Будем считать, что все углы между касательными отлич-
отличны от 2я. Первоначально рассмотрим вопрос о разрешимости
самих задач и характере особенностей, присутствующих в реше-
решениях. Этот вопрос изучен как с общих позиций теории эллипти-
эллиптических уравнений в областях с угловыми точками (см. Г. И. Эскин[1]
и В. А. Кондратьев [1]), так и применительно к задачам теории

178 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ ' [Гл. V
упругости (см. Г. В. Гончарова [1] и И. И. Ворович [1]). Уста-
Установлена разрешимость *) этих уравнений.
По-видимому, наиболее полезные для приложений результаты
получены в работе В. Г. Мазьи и Б. А. Пламеневского [1], в ко-
которой дан способ явного вычисления тех членов решения, кото-
которые обращаются в бесконечность в окрестности угловых точек.
Сама структура этих членов определяется фактически посредством
тех же собственных решений (см. § 17). Для определения же
коэффициентов при этих особых решениях используется формула
Грина.
Первая реализация этого подхода применительно к плоской
задаче осуществлена в работе В. А. Дудникова, Н. Ф. Моро-
Морозова [1]. Авторы использовали формулу Бетти, применяя ее
к искомому решению и поочередно к одной из двух собственных
функций. Очевидно (и это отмечалось в работе), что все трудно-
трудности теперь заключаются в определении собственных функций
(т. е. решений при однородных краевых условиях). Учет же
краевых условий связан только с вычислением некоторых инте-
интегралов (согласно формуле Бетти).
По существу аналогичные соображения (непосредственно для
уравнений плоской задачи) предложены в работе Штерна (М. Stern
[1]) и реализованы в работе Штерна и Сони (М. Stern, M. L. Soni
[1]) при решении задачи для прямоугольника при смешанных
краевых условиях(различных на каждой стороне). Первоначально
авторы находят собственные функции, соответствующие углу л/2, и
¦определяют какое-либо приближенное решение задачи, не прояв-
проявляя интереса к погрешности в окрестности угловой точки. Далее
строится контур, состоящий из дуги окружности малого радиуса,
охватывающей угловую точку, значительных участков примыкаю-
примыкающих сторон и расположенной в области дуги, соединяющей
оставшиеся концы сторон.
На заключительном этапе выписывается формула Бетти,
примененная к искомой функции и собственной функции, для
построенного контура. При этом интегралы по сторонам про-
пропадают, интеграл по дуге окружности вычисляется в явном виде
(поскольку особенность решения известна), а для интеграла
по оставшейся части контура используется приближенное реше-
решение. В результате получается уравнение для определения инте-
интересующего коэффициента. В этой работе приведен большой рас-
расчетный материал.
Обратимся теперь к построению интегральных уравнений для
областей с угловыми точками. Следует сказать, что в ряде слу-
*) Речь идет о нормальной разрешимости, т. е. такой, которая может
иметь месте при некоторых определенных условиях (например, условии рав-
равновесия ограниченного тела).

§ 25] ТЕЛА, ОГРАНИЧЕННЫЕ КУСОЧНО-ГЛАДКИМИ КОНТУРАМИ 17&
чаев сами интегральные уравнения, введенные для областей,
ограниченных гладкими контурами, с незначительной модифика-
модификацией остаются справедливыми и для рассматриваемых областей.
При этом, естественно, меняются их свойства, и поэтому тре-
требуется дополнительное исследование.
Первым исследованием такого рода является работа Т. Карле-
мана (Т. Carleman [1]), в которой рассматриваются плоские и
пространственные гармонические задачи посредством представле-
представления решения в виде соответствующих потенциалов. При этом
в угловой точке коэффициент при внеинтегральном члене полу-
получается разрывным (иными оказываются также и дифференциаль-
дифференциальные свойства ядра). Поэтому уравнения уже не являются фред-
гольмовыми (если речь идет о регулярных уравнениях). Автор
разбивает ядро на сумму двух слагаемых следующим образом. Одно
из них, включающее в себя первые члены разложения в ряд
Тейлора, имеет весьма простой вид и отлично от нуля лишь
в достаточно малой окрестности угловых точек (линий). Второе
же слагаемое, которое оказывается совпадающим вне этой окрест-
окрестности с исходным ядром, теперь уже всюду ограничено. Далее,
все члены со вторым слагаемым переносятся в правую часть, и
получаемое таким образом интегральное уравнение (правая часть
считается условно заданной) решается методом последовательных
приближений, что приводит на заключительном этапе к интег-
интегральному уравнению с ограниченным ядром. Указанный подход
был перенесен на регулярные интегральные уравнения теории
упругости (см. М. И. Цандеков [1]).
Еще один подход к решению гармонических задач был пред-
предложен в работе И. Радона (J. Radon [1]). Применительно
к задачам теории упругости это направление развивалось в рабо-
работах Л. Г. Магнарадзе [1, 2]. В этих работах рассматриваются
интегральные уравнения (конкретно речь идет об уравнениях
Мусхелишвили), в которых интегралы понимаются в смысле
Стильтьеса. Показывается, что при таком подходе эти уравнения
по-прежнему справедливы, и устанавливается пх разрешимость.
Заметим, что какие-либо сведения о реализации изложенных
подходов отсутствуют. С. М. Белонэсов [1] строит интегральные
уравнения, осуществляя предварительно конформное отображе-
отображение исходной области на полуплоскость и применяя преобразо-
преобразование Лапласа. Эти уравнения оказываются фредгольмовымн,
когда область ограничена гладким контуром. В случае, когда
контур кусочно-гладкий, они принадлежат к так называемому
классу уравнений с ядрами Карлемана. Автору удалось доказать
разрешимость полученных уравнений. В той же работе приведен
обширный расчетный материал.
Сопоставление интегральных уравнений для исходной области
с угловыми точками и для близкой к ней, но с закругленными

180 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИЯ [Гл. V
углами позволило автору высказать утверждение о близости
решений, что может служить математическим обоснованием
законности такого естественного приближенного приема (разу-
(разумеется, вне угловых точек).
В работе Барона и Робинсона (М. R. Вагопе и A. R. Robin-
Robinson [1]) применяется своеобразный комбинированный прием пост-
построения интегрального уравнения. Вернее говоря, используется
два уравнения (применительно к разным точкам). Одно полу-
получается из формулы Бетти, когда в качестве одной из функций,
удовлетворяющих уравнению Ламе, берется решение для сосредо-
сосредоточенней с.члы (см. § 29). Другое уравнение строится таким же
образом, но только посредством собственной функции для над-
лежзшего угла. В обоих же уравнениях искомыми величинами
оказываются смещения (речь идет о второй основной задаче).
Первое уравнение испольауется почти всюду, исключая окрест-
окрестность угловых точек, второе же —на оставшихся участках.
Интегральные уравнения Шермана — Лауричеллы привлечены
в работе С. С. Заргаряна [1] для решения задач в областях
с угловыми точками. Осуществляется модификация правых частей
этих уравнений (из-за введения в представление для функций ср (г)
и i|) (г) дополнительных слагаемых (см. § 17)). Множители при этих
слагаемых находятся посредством интегрирования краевых условий
в пределах каждого участка контура.
Работа Ю. Н. Шалюхина [1] посвящена разработке метода
решения уравнения Мусхелишвили специально для случая, когда
граничный контур является полигональным. На каждом из отрез-
отрезков автор задает функцию «р (t) в виде полинома, что позволяет
получить в явном виде выражения для всех интегральных членов
уравнения и, следовательно, перейти к системе алгебраических
уравнений, потребовав совпадение левой и правой частей
в соответствующем числе внутренних точек. Проведенные расчеты
показали, что алгоритм является устойчивым.
§ 26. Метод сопряжения
Изложенные выше результаты показывают, что основные
задачи для тел с разрезами, а также смешанные задачи могут
быть сведены к сингулярным интегральным уравнениям практи-
практически во всех случаях. Решение же последних проводится, под-
подчас, с привлечением краевой задачи Римана.
Удобным является способ непосредственного сведения задач
указанных классов (в отдельных частных случаях) к краевой
задаче Римана. Этот метод в литературе известен под названием
метода сопряжения.
Пусть D+ — верхняя, a D' — нижняя полуплоскости. Рассмот-
Рассмотрим в области D+ аналитическую функцию Ф (г), а в области D~

S 2 МЕТОД СОПРЯЖЕНИЯ 181
определим функцию Ф (г):
Ф(г) = ФB) (zz=D+). B6.1)
Приведем несколько необходимых для дальнейшего соотноше-
соотношений между предельными значениями функций Ф (г) и Ф (г)
(t D D
ф-0) = ф+(*), ф-(/) = Ф+(/). B6.2)
Из этих соотношений следует, в частности, что, при условии
1тФ+ @ = 0 на каком-либо участке действительной оси, продол-
продолжение функции посредством сопряжения является аналитическим.
Рассмотрим задачу теории упругости для полуплоскости D~.
Положим, что для функций Ф (г) и W (г) справедливы следующие
представления *):
11 Ш ^l fiV B6.3)
где X и У —проекции главного вектора на оси х и у. Осущест-
Осуществим продолжение функций Ф (г) и Ч*1 (г) в верхнюю полу-
полуплоскость D+ с помощью метода сопряжения, т. е. введем в рас-
рассмотрение функции Ф(г) и ^(г). Определим в области D* функ-
функцию Ф2 (г):
Ф1(г)= _ф(г)_гф'(г)-?(г) (ге№). B6.4)
Подставив в эту же формулу точку г(ге D ) и взяв сопря-
сопряжение над обеими частями, придем с учетом B6.1) к новому
представлению
Ф1(г)=-ФB)-2Ф'B)-ЧгB). B6.5)
Зависимость B6.5) позволяет выразить функцию ^(z) через
две функции Ф(г) и Ф^г). Первая из них аналитична в обла-
области D~, вторая —в области D+. Таким образом, напряженно-
деформированное состояние в области D~ оказывается возможным
представить через две функции (с различными областями анали-
аналитичности).
Приведем выражение для комбинации напряжений oy — ixxy,
которое следует из формул A5.9) при замене функции ^(г)
через Ф(г) и Фх (г) согласно B6.5),
оу - пяу = Ф (г) + (г - г) Ф' (г) - Ф1 B). B6.6)
*) Сообразно изложенному в § 15 н в соответствии с принятыми ограни-
ограничениями иа поведение напряжений в бесконечности.

182 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ [Гл. V
Предположим, что функция Ф (г) имеет почти во всех точках
действительной оси предельные значения Ф- (t), за исключением
некоторых точек, в которых тем не менее выполняется равен-
равенство НтуФ' (z) = 0. Тогда, осуществляя предельный переход
в формуле B6.6) к точкам действительной оси и опуская (теперь
за ненадобностью) индекс у функции Ф1(г)*), приходим к крае-
краевой задаче Римана
Ф- @ - Ф+ @ = а у - ixxu = f(t), B6.7)
где f (t) — заданная функция.
Таким образом, решение второй основной задачи для полу-
полуплоскости (при выполнении B6.3)) сразу представляется через
интеграл типа Коши
00
± \ j^di. B6.8)
— оо
Перейдем к рассмотрению первой основной задачи. Продиф-
Продифференцируем краевое условие для смещений A5.15) в направле-
направлении оси х:
хФ (г) - Ф (г) - z Ф' (г) - ? (z) = 2|i (ы' + to') = f(t). B6.9)
Далее, обращаясь снова к представлению B6.5), получаем
2ц (и' + to') = хФ (г) + (z-z) Ф' (z) + Ф,_ (г). B6.10)
Совершая предельный переход к точкам действительной оси,
приходим к краевой задаче Римана
@ =/(')• B6.11)
Решение краевой задачи B6.11) находится в явном виде. Для
этого следует перейти к вспомогательной кусочно-аналитической
функции Q (г), определив ее следующим образом:
fl(z) = <D(z) (*/>0), fl(z)=-x<D(z)
Тогда функция й (г) находится из краевой задачи
Q+(/)-Й-(/) = /(*),
решение которой также представляется в виде B6.8).
Комбинирование условий B6.7) и B6.11) позволяет получить
краевую задачу для случая смешанной задачи теории упругости.
*) Функции Ф (г) и Фх (г) рассматриваются далее как соответствующие
значения в D~ и D+ единой кусочно-аналитической функции, обозначаемой
через Ф (г).

$ 261 МЕТОД СОПРЯЖЕНИЯ 183
Естественно, что в этом случае коэффициенты окажутся разрыв-
разрывными. Вопросы приложения этого метода к решению контактных
задач рассмотрены в работе Н. И. Мусхелиш§или [3], где также
изучены случаи разнообразных краевых условий (гладкие штампы,
наличие трения между штампом и деформируемым телом), а также
случай совместного деформирования двух упругих полуплоскостей
с различными коэффициентами и и р.
Перейдем к задаче теории упругости для плоскости с прямо-
прямолинейными разрезами L = L1-\-L2-\-...-\-Lm, расположенными
на одной прямой, принимаемой за действительную ось. Функции
Ф(г) и W(z), аналитические во всей плоскости, исключая раз-
разрезы, имеют представление
W 2лA+х) z+U\z*)' Т^ 2лA+х)
B6.12)
причем X и У имеют тот же смысл, что и в B6.3) (напряжения
на бесконечности для простоты полагаем равными нулю).
Определим во всей плоскости, исключая разрезы, функции
Ф(г) и ЧГB) и введем новую функцию й (г), положив
. B6.13)
Функция Q (z) будет аналитической во всей плоскости, исключая
разрезы. Комбинация напряжений ou — iTxy, выраженная через
Ф (г) и Q (г), имеет вид
о у - ixxy = Ф (z) + (z -1) Ф' B) + Q B). B6.14)
Осуществляя в B6.14) предельный переход к точкам разрезов
(со стороны верхней и нижней полуплоскости), приходим к крае-
краевой задаче Римана для Ф(г) и Q (г):
a»(Q + Q-(Q=P('). Ф-@ + Й+@=-<7@- B6.15)
Функции p(t) и q(t) считаются заданными. При выводе
системы B6.15) по-прежнему учитывалось, что lim уФ' (z) = 0.
<7-»0
Система B6.15) сводится к двум краевым задачам Римана
для функций Ф (г) + й (г) и Ф (г) — Q (г):
B6.16)
B6.17)
Решение задач B6.16) и B6.17) осуществляется элементарным
образом.
Заметим еще, что практически все результаты, полученные
для случая полуплоскости или плоскости с прямолинейными
разрезами, переносятся на случай внутренности или внешности

184
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ
ГГл. V
круга, а также на случай плоскости с разрезами, расположен-
расположенными вдоль дуг одной окружности (см. И. Н. Карцивадзе [1]).
Отметим работу И. А. Прусова [1], в которой рассматри-
рассматривается задача дл# плоскости, составленной из двух спаянных
между собой плоскостей с различными постоянными, при нали-
наличии в них произвольных отверстий, расположенных строго внутри
каждой области. Методом сопряжения автор свел проблему
к вспомогательной задаче для суммарной области.
§ 27. Метод сопряжения (продолжение)
Рассмотрим некоторые специальные вопросы плоской задачи,
где эффективно используется метод сопряжения.
Пусть неограниченная упругая плоскость ослаблена двояко-
периодической системой разрезов, параллельных действительной
оси (см. В. 3. Партон [2]
и Б. А. Кудрявцев, В. 3.
Партон [2]). В классе дво-
якопериодических задач
теории упругости исследо-
исследовались главным образом
задачи равновесия пластин
и оболочек с круговыми
или эллиптическими отвер-
отверстиями (перфорированные
пластины и оболочки). Од-
Однако для приложений (на-
(например, в механике раз-
разрушения) представляют
также интерес аналогич-
аналогичные задачи для прямоли-
прямолинейных или дуговых раз-
разрезов (см. В. 3. Партон
[1]). Предположим, что
основной параллелограмм
Рис. 12. Полуплоскость с двоякопериодиче-
ской системой разрезов.
периодов имеет форму
ромба и основные периоды а>! и со2 — комплексно-сопряженные
числа. Внутри параллелограмма периодов два разреза Lx и L8
одинаковой длины, расположенных вдоль диагонали симметрично
относительно центра ромба (рис. 12). Пусть аи Ьъ а.2, Ьг — коор-
координаты концов разрезов
Будем считать, что на берегах разрезов задана нормальная
нагрузка p(t), а касательные напряжения равны нулю, в силу

§ 27] МЕТОД СОПРЯЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 185
чего напряженное состояние плоскости симметрично относительно
осей х, у.
Согласно общему подходу к решению задач для плоскости
с разрезами на основе метода сопряжения (§ 26) следует опре-
определить две аналитические функции Ф(^) и Й (г), удовлетворяю-
удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, которые обеспечивают
двоякопериодическии характер напряженного состояния. Из усло-
условий двоякой периодичности компонент напряжений следует, что
Ф(г) является двоякопериодической функцией, a й (г) должна
удовлетворять условиям
Q (г + щ) - й (г) = (со, - Щ) Ф' (г),
-сО2)Ф'(г).
Кроме того, из условий зеркальной симметрии относительно
осей х, у следует
Ф(г)=ФE), Щг)=Щ
ф(г) = Ф(—г), й(г) = й(—г).
Согласно B6.16) и B6.17) получаем
[Ф (t) + Й (t)Y + [Ф (t) + Й (*)]- = 2р (() на L, B7.4)
[Ф@-Й@1+-[ф@-Й@]" = 0 на L. B7.5)
Здесь L —линия скачков в основном параллелограмме периодов,
состоящая из отрезков L2 и L2 действительной оси.
При решении краевых задач B7.4), B7.5) воспользуемся
представлением двоякопериодических функций в виде интегралов
типа Коши с двоякопериодическим ядром (см. Л. Н. Чибри-
кова []]).
Рассмотрим четную двоякопериодическую функцию
р(г) ='_!- f ?!Mf №.
Учитывая известные соотношения для функций Вейер-
штрасса (см. А. М. Журавский [1]), можно показать, что предель-
предельные значения интеграла B7.6) при стремлении точки г слева и
справа к контуру L связаны равенствами, которые аналогичны
формулам B.9)
F+ {T)+F- (т) = -L f 9'Wf^dt B7.7)
(xj-t-r m _, \ p@_p(T).

186 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ [Гл. V
Точно так же можно установить, что для нечетной двоякоперио-
дической функции
р^4ар'&\ш*т B7-6/)
справедливы весьма полезные для приложений соотношения
- B7-7°
Будем искать функции Ф (г) и Q (г) в виде
f /(ЗР'(ОД
J р@-р(г) '
J
+ JL
Здесь
О (z) = ф (z) + JL j / @ fe (Zf f) dt. B7.9)
где функция Pi (г) определена формулой B0.3). Функции pi(z)
и р (г) удовлетворяют соотношениям (см. Э. И. Григолюк и
Л. А. Фильштинский [1])
Pi B + <Oi) - Pi (z) = fflip B) + Yi, Pi (z + «a) ~ Pi (г) = Щр (г) + Ъ-
С учетом этих зависимостей легко установить, что для функции
k(z, t) = k{—z, t) имеют место следующие равенства:
feB + «2> t) = k(z, t) + (со2-at)р' (г) [рfflp_(p(г)], ¦
Таким образом, условия B7.4) и B7.5), которым должна удов-
удовлетворять функция Щг), выполнены. Легко видеть, что функ-
функция k B, ^) не имеет особенностей в точках z = t и, следова-
следовательно, интеграл в B7.9) непрерывно продолжим через контур L.
Подставляя B7.8) и B7.9) в B7.4) и B7.5), убедимся, что
условие B7.5) удовлетворяется тождественно, а равенство B7.4)
принимает вид
Ф+(9+ Ф-(9 «=Р(9-J-J/(*)*(<• *)Л на L. B7.10)

§ 27] МЕТОД СОПРЯЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 187
Предполагая известной правую часть B7.10), будем искать реше-
решение краевой задачи B7.10) в классе четных двоякопериодических
функций.
Рассмотрим, следуя работе Л. И. Чибриковой [1], канониче-
каноническую функцию однородной краевой задачи B7.10)
у /,ч а(г-А1)а(г-А2)
Уа(г — аг) в (г — b^a (г — аг) в (г — Ьг)
Здесь о (и) — сигма-функция Вейерштрасса, Ау и Л2 — веществен-
вещественные постоянные, не лежащие на L и удовлетворяющие соотно-
соотношению Аг-\- Л2 = с0! + со2. Легко видеть, что Х9 (г) —четная
эллиптическая функция, имеющая в параллелограмме периодов
два простых нуля в точках Ах и Аг. Для предельных значений
Х(,(г) на контуре L справедливо равенство XJ (t)-\-Xo (t) = 0.
Преобразуем выражение для Х0(г) с учетом B7.1) и следую-
следующих формул (см. А. М. Журавский [1]):
В результате получим
Если положить Ai = 0 и отбросить постоянный множитель, то
каноническую функцию однородной краевой задачи B7.10) можно
принять в виде
X (г) = {[р (ах) - р (г)] [р (bt) - р (z)]}-'/..
Значения X (г) на верхнем берегу разреза будут определяться
следующим образом:
при а1<х<Ь1,
при аг<х<.Ь2. ¦
С помощью канонической функции Х(г) найдем общее реше-
решение однородной задачи B7.10) для четной двоякопериодической
функции Ф8 (г), которая удовлетворяет условию
ф0 (Z) = Фо (г) B7.3')
разре-
B7.11)
и не имеет полюсов внутри параллелограмма периодов с разре-
разрезом L. Таким решением будет

188 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ [Гл. V
Здесь р и Pi —произвольные постоянные. В силу условия B7.3')
и равенства р(г) = р(г) постоянные |3 и $1 являются действи-
действительными величинами.
Посредством канонической функции X (г) получаем (со-
(согласно § 6) краевое условие, вытекающее из B7.10):
X+(t) X~(t) X+(t) 2м X+(t)
L
На основании формул B7.6) и B7.7) получим решение краевой
задачи B7.12)
(T)k(t, x)dx dt. B7.13)
Здесь
Ч^Т + |фо(г), B7.14)
причем в случае постоянной нагрузки, приложенной к берегам
разреза,
Ф, (z) = | - -J- [Р (а,) + р F.) - 2р B)] X (г) + -*- Фо (г). B7.15)
Согласно выражениям B7.6) — B7.8) граничные значения О (г),
принимаемые слева и справа от L, удовлетворяют соотношению
Ф+ (t) — Ф" (t) =/ (t), подставляя в которое предельные значения
B7.13), найдем
-шх <«) I ^(оио-рМ] [$f (т)*{^ т) dT)dL B7'
В последнем слагаемом правой части в силу непрерывности
k (t, т) возможно изменение порядка интегрирования. Совершив
его, получим интегральное уравнение Фредгольма для определе-
определения функции f (t):
f (и) = [Ф; (и) - Ф; (и)] + \f (т) К (и, т) dr. B7.17)
L
Здесь

$ 27] МЕТОД СОПРЯЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 189
С учетом соотношений B7.8), B7.9) определим компоненты
напряжений на действительной оси
(о, - пху)у.о = 2Ф (х) + ~ J / @ k (х, t) dt.
Для нахождения постоянных Р и Pi рассмотрим главный вектор
всех сил, действующих вдоль некоторой дуги АВ, соединяющей
две конгруэнтные точки. Выражение для главного вектора имеет
вид (Ф'(г) = ФB), co'(z) = Q(z))
При условии самоуравновешенности внешней нагрузки на каж-
каждом из разрезов главный вектор всех сил вдоль дуги АВ равен
нулю, т. е.
= ср B + щ) - ф (г) +со (г + Щ) - со B) + (ев! - йх) Щг) = О,
Так как функция Ф (г) четная и двоякопериодическая, то
для функции Ф (г) справедливы соотношения ф^г + Ш!) —ф (г) =
= сь ф (г + соо) — ф (г) = с2. Здесь С1 = 2ф(ш1/2), с2 = 2ф (юа/2).
Аналогично для функции со (г) получим из равенств B7.2) сле-
следующие условия:
ю (г -f щ) - со (г) = (со, - (Si) Ф (г) + 4i,
о) (г + «г) - « (г) = (со2 - С52) Ф (г) + d2,
С учетом приведенных соотношений, из условия равенства нулю
главного вектора всех сил вдоль дуги АВ получаем сх +.c?i = О,
с2 + ^2 = 0- Подставляя значения постоянных си с2, йг и d2,
найдем
Следовательно, постоянные р и рх должны быть выбраны так,
чтобы выполнились эти равенства.

190 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ [Гл. V
Укажем теперь несколько иной путь решения краевых задач
{27.4) и B7.5). Будем искать функции Ф(г) и Q (г) в виде
oo
2Фу(г)> B7.18)
4 •
Здесь Ф,- (/ = 0, 1, 2, ...) —четные двоякопериодические функ-
функции. Очевидно, условия B7.4) и B7.5) будут выполняться, если
фу (/ = 0, 1, 2, ...) удовлетворяют на контуре L следующим
-соотношениям:
Ф? @ + Фо @ = Р @ V е L), B7.20)
c)u[T (/-I. 2. •••)• B7.21)
Таким образом, имеем последовательность краевых задач для
четных двоякопериодических функций Фу (г). Определяя функции
Фу(г) (/=«0, 1, 2, ...) из B7.20) и B7.21), получим в случае
постоянных по длине разреза нагрузок
Ф0(г) =
+1ХЫГ + &?Р(г)Ь B7.22)
-Р(г)]
+ j X (z) [p</> + р<Л р (г)] (/=1,2,...). B7.23)
Условия равенства нулю главного вектора всех сил можно
записать так:
B7.24)
B7.25)
-,т (/=1,2,...).

$ 27] МЕТОД СОПРЯЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 191
Здесь
Ф/(г) = 5ф,(г1)Л1 (/ = 0, 1. 2, ...),
о
«„* (г) = Фо (г), со? (г) = \ Qy (Zl) dZl (/=1,2,...). B7.26)
о
Q, (г) = ф, (г) + Л_ J [ф;., @ _фг. х (/)] fe (г> 0 л>
Соотношения B7.24) — B7.26) позволяют последовательно опре-
определить постоянные E<°>, р<°>, р<« и р</>.
Для получения численных результатов было использовано
приближенное решение задачи с учетом первых членов в разло-
разложениях B7.18) и B7.19). Нормальные напряжения на действи-
действительной оси при х<.ах определяются при этом следующим
образом:
2 Vl9(x)-p(a1)][p(x)-9(b])]
B7.27)
Из условий B7.24) найдем
р [т- -7i (t-)J + т ^ [р (ai)+р Ml+2Р'01} 7« (т-) +
p[^-/1(^J + i{p[p(a1) + P(b1)] + 2p"»}/e(^j +
Здесь
о 8
Из уравнений B7.28) получаем значения постоянных Р'01 и Pi01:
P'OI '

192
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ
[Гл. V
Здесь а = ~2 (щ + а>2), b = -^-((x>2~(ui)- В соответствии с B7.27)
найдем приближенное значение коэффициента интенсивности
напряжений в точке а^.
Ki= lim
— x) ay{x, 0)^<aJ^
"n P fp (о,_)- рF,)] - 20""-2ft» ¦
F -J)'
B7.30)
Применение условия разрушения Ирвина (Ki = Kic, Kic~кри-
Kic~критический коэффициент интенсивности напряжений) дает возмож-
возможность связать длину трещины и приложенные нагрузки. Расчеты
6,0
Рис. 13. Полуплоскость с двояко- Рис. 14. Зависимость критического не-
непериодической системой разрезов пряжения р* от длины трещины A;и)
при 61 = а2. для различных значений Ь,а.
по формуле B7.30) были произведены для случая Ьх = аг (внутри
параллелограмма периодов расположен один разрез; см. рис. 13).
На рис. 14 показана зависимость величины р* = р ]/2яа /Kic от
относительной длины разреза l/а при различных значениях Ь/а.
Из приведенного решения следует, что при некоторых значениях
отношения Ь/а возможно устойчивое развитие системы трещин
(их взаимное упрочнение) (см. В. 3. Партон [1], В. 3. Партон,
Е. М. Морозов [1]).

ГЛАВА VI
* *
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 28. Обобщенные упругие потенциалы
Изложим теорию обобщенных упругих потенциалов, следуя,
в основном, классической теории гармонических потенциалов.
Рассмотрим пространство, заполненное упругой соедой с по-
постоянными Ламе ^ и [1. Пусть в точке q {уи у2, у3) приложена
сила ф[ф1(<7), фг(<7)> Фз (<7)]- Тогда, как отмечалось в § 14, сме-
смещения в произвольной точке р (хъ х2, х3) выражаются в виде
произведения матрицы Кельвина — Сомильяны Г (р, q) на век-
вектор <р(<7):
= T(p,q)V(q). B8.1)
Зафиксируем в точке р некоторую плоскость, задав направление
ее нормали n(nlt n2, Пз). Тогда вектор напряжений в этой пло-
плоскости, соответствующий полю смещений B8.1), представляется
как результат воздействия оператора. ТП(Р) A4.7) на смеще-
смещение B8.1).
В результате, как показано в § 14, приходим к выражению
для вектора напряжений в виде произведения матрицы 1\ (р, q)
A4.22) на вектор <p(q). Приведем развернутое выражение для
элементов матрицы Г\ (р, q):
72 J у3 \-
Г . . {Х] — У]) . . (хк — Ук)~\ /00 _,
+ т \пк (Р) —-р1 п, (р) —js—^J• B8-2)
Допустим теперь, что на некоторой замкнутой поверхности Ляпу-
Ляпунова *) S заданы силы (f(q), причем полагаем, что функция <р (q)
*) Поверхность называется поверхностью Ляпунова, если выполняются
следующие условия: 1) в каждой точке поверхности S существует определен-
определенная нормаль (касательная плоскость); 2) существует такое число rf>0, что
прямые, параллельные нормали в какой-либо точке q поверхности S, пересе-
пересекают не более одного раза часть S? поверхности S, лежащую внутри сферы
радиуса d с центром q; 3) угол у (q, q')*=(nq, nq), образованный нормалями
7 Паптон В. 3.. Пеолин П. И.

194 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
принадлежит классу Г.— Л. Тогда суммарные смещения во всем
пространстве оказываются представимыми в виде интеграла
U(p) = lT(p,q)v(q)dS9, B8.3)
s
который называется обобщенным упругим потенциалом простого
слоя. Очевидно, что потенциал B8.3) удовлетворяет уравнениям
Ламе как в области D+, так и в области D~. Имеет смысл гово-
говорить о предельных значениях потенциала простого слоя как внутри
поверхности (из области D+), так и извне (из области D),
а также о так называемом прямом значении, получаемом при
непосредственной подстановке в подынтегральное выражение точек
поверхности S. Однако используя оценки, применяемые при ана-
аналогичных исследованиях в теории гармонического потенциала
простого слоя, можно показать, что все эти три значения совпа-
совпадают между собой (см., например, Л. Н. Сретенский [1]). Сле-
Следовательно, обобщенный упругий потенциал простого слоя пред-
представляет собой непрерывную во всем пространстве вектор-функцию.
Пусть теперь с каждой точкой р, расположенной в достаточно
тонком слое, охватывающем поверхность S, связана однозначным
образом точка q' поверхности S таким образом, чтобы нормаль
к поверхности в точке q' проходила через эту точку. Это обстоя-
обстоятельство позволяет нужным нам образом во внутренних точках
областей D+ и D~, расположенных в упомянутом слое, опреде-
определить значения вектора напряжений. Этот вектор представляется
интегралом
Та й0 V (р) = \ 1\ (р, q) Ф (q) dSg. B8.4)
s
Под п (q') понимается направление нормали к поверхности S
в точке q', соответствующей точке р в указанном выше смысле.
Используем теперь матрицу Г9 (р, q) A4.28) для построения
обобщенного упругого потенциала, называемого потенциалом
двойного слоя первого рода *). Этот потенциал представляется
следующим интегралом:
Wl(p) = \YUp,q)<e(q)dSg. B8.5)
s
Этот потенциал, так же как потенциал простого слоя, представ-
представляет собой вне и внутри поверхности функцию, удовлетворяю-
удовлетворяющую уравнениям Ламе.
в точках q и q', удовлетворяет следующему уравнению: у (q, q') <c Аг&, где
/¦—расстояние между точками q и о', А и б —некоторые постоянные, причем
0<fi-i I
*) В § 14 с учетом этого и введена соответствующая индексация.

§ 28] ОБОБЩЕННЫЕ УПРУГИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 195
Отметим, что матрице Т\(р, q) можно придать физический
смысл. Произведение этой матрицы на некоторый вектор <р (q)
представляет собой смещение во всем пространстве, вызванное
сосредоточенным моментом <р (q), приложенным в точке q в пло-
плоскости с нормалью п.
Прямое значение потенциала двойного слоя W\{p) можно
понимать лишь в смысле главного значения (см. § 7), поскольку
элементы ю^ B8.2) имеют полюс второго порядка.
Для изучения предельных значений смещений, представляе-
представляемых обобщенным упругим потенциалом двойного слоя первого
рода, следует первоначально рассмотреть простейший случай,
когда плотность постоянна. Обозначим ее через ф0 и обратимся
к формуле A4.27), полагая, что вектор <р0 есть смещение всего
тела, а точка р расположена в области D*. Первый член в пра-
правой части равенства обращается в нуль, в связи с чем получаем
следующее выражение:
2ф0 = — $ Г' (р, q) ф0 dSr B8.6)
Если же точка р берется в области D~, то приходим к равенству
\Т\(р, q)(f0dS7 = 0. B8.7)
Перейдем к вычислению прямого (сингулярного* значения
потенциала двойного слоя, когда точка р располагается на поверх-
поверхности S. Окружим эту точку сферой <х8 малого радиуса е и обо-
обозначим через ве и Og части ее поверхности, расположенные
в областях D^ и D~ — соответственно. Через Sf обозначим часть
поверхности S, расположенную вне сферы <те.
Из предыдущего следует, что интеграл по поверхности S* +
+ о1 равен — 2ф0, а по поверхности Sf + ae — нулю. Из сообра-
соображений симметрии заключаем, что в пределе при уменьшении
радиуса е до нуля интегралы по поверхностям ffg и стё оказы-
оказываются равными между собой (с точностью до знака). Следова-
Следовательно, интеграл по поверхности S? в пределе оказывается рав-
равным — ф0:
\ Г\ (р, д) фо dSg = - фо (ре S). B8.8)
Напомним, что именно таким образом и определялось в § 7
сингулярное значение интеграла. Приведенный результат и пред-
представляет теорему Гаусса (в обобщенном виде).

196 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Иногда в литературе формулы B8.6) — B8.8) записываются
условно в иной форме (Е — единичная матрица):
J Т\(р, q)
s
SrJ(p, q)dSq = -
В этом случае интегралы понимаются как интегралы от каж-
каждого элемента матрицы. Полученные результаты позволяют уста-
установить предельные теоремы для потенциала двойного слоя пер-
первого рода. Преобразуем выражение для потенциала
(p, q) = ]T\ (p, q) [Ф (q) -Ф (<?')] dSq
\l(p,q)dSq, B8.9)
] q
s
где ^' — некоторая фиксированная точка на поверхности S. При
стремлении точки р (изнутри или извне поверхности S) к точке q'
первое слагаемое в B8.9) является непрерывной функцией; пове-
поведение же второго слагаемого изучено выше. Теперь можно сфор-
сформулировать полученный результат в форме следующей теоремы.
Если обозначить через Wl+ (q1) и w\~ (q') предельные значения
потенциала двойного слоя изнутри и извне соответственно, а через
Wl (q) — прямое (сингулярное) значение, то результирующий вывод
можно записать в следующем виде:
W\+ (q1) - Wl~ (q') = -2<p (qf), Wl+ (q') + Wlf (q') = 2 W\ (q').
B8.10)
Зависимости B8.10) можно переписать в иной (эквивалентной)
форме:
Wt (<?') = - Ф (<?') + W\ (</), WUq') = <p (q1) + Wl (qf). B8.10')
Заметим, что полученные выше результаты полностью спра-
справедливы для потенциалов, порождаемых матрицей г" (р, q) A4.33),
называемых потенциалами двойного слоя второго рода. Выполне-
Выполнение равенств B8.6)—B8.8), B8.10), B8.10') имеет место, поскольку
матрица Г3 (р, q) отличается от матрицы Tl (p, q) на слагаемые,
интеграл от которых обращается в нуль. По аналогии будем
обозначать этот потенциал через W\l (p, q).

§ 28] ОБОБЩЕННЫЕ УПРУГИВ ПОТЕНЦИАЛЫ 197
Остановимся еще на одном потенциале, введенном Г. Вейлем
(Н. Weyl [1]) и называемом антенным потенциалом *), в котором
используется в качестве ядра решение третьего рода М(р, а)
A4.36):
^[ B8.11)
Потенциал B8.11) представляет собой непрерывную функцию
внутри поверхности S, если плотность <р (q) непрерывна. Что же
касается физического смысла антенного потенциала, то он соот-
соответствует решению задачи теории упругости, получаемому супер-
суперпозицией решений для полупространства, нагруженного на по-
поверхности сосредоточенной силой (решение Буссинеска).
Перейдем к изучению поведения оператора напряжений — Тп
от потенциала простого слоя B8.3). Очевидно, что непосредствен-
непосредственная подстановка точек поверхности 5 в B8.4) приведет к интег-
интегралу, который следует понимать как сингулярный. Введем в рас-
рассмотрение предельные значения оператора напряжений изнутри
и извне и будем обозначать их соответственно через T%V и T~nV.
Преобразуем выражение B8.4), полагая, что точка р стре-
стремится к точке д' поверхности
= lim{ J [Гх (р, q) + Г' {р, д)] ц> (д) dSq - J Г[ (р, q) ц> (д) dSq).
р-+ q S S
B8.12)
Введя локальную систему координат и произведя оценки, по
существу аналогичные оценкам для гармонического потенциала
(см. С. Л. Соболев [2]), можно показать, что первое слагаемое
меняется непрерывным образом, когда точка q пересекает поверх-
поверхность, двигаясь по нормали в ней. Поведение же последнего
слагаемого изучено ранее. Следовательно, существуют прямое
TnV{q') и предельные значения оператора напряжений и между
ними имеются зависимости
V (qr) = 2TnV(g'),
B8.13)
пV(q1), T;V(q') = -v(q') + TnV(q'). B8.13')
*) Название «антенный» потенциал связано с тем обстоятельством, что
функция j- = In (/¦+*)= \ —, где у определено сообразно A4.34), есть элект-
электростатический потенциал, создаваемый зарядами, равномерно распределенными
вдоль нормали к поверхности S антенны.

198
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
[Гл. VI
Операции, аналогичные предыдущим, показывают, что для
предельных значений (изнутри) оператора напряжений от антен-
антенного потенциала выполняется равенство
ПА (q') = - ф (q') + JL J TnM (q1, q) ф (q) dSg. B8.14)
Приведем выражение самой матрицы:
= —3
1дгУ
\дхг)
дг дг
дхг дх%
дг дг
дхх дх3
дг дг
dxi дх2
(дг\2
[dxj
дг дг
дхг дх3
дг дг
дхх дх%
дг дг
дх2 дх3
(дг\*
\дх3
d
dn (</')
B8.15)
Рассмотрим вопрос о поведении предельных значений опера-
оператора напряжений от потенциала двойного слоя TnW\ и TttWl.
Как и в теории гармонического потенциала, здесь получены лишь
некоторые достаточные условия существования этих предельных
значений. Имеет место, например, следующий аналог теоремы
Ляпунова *).
Пусть плотность потенциала двойного слоя первого рода
Ф(q) такова, что существует предельное значение оператора
TnW\ с одной стороны поверхности; тогда существует и предель-
предельное значение оператора TnW\ с другой стороны, и эти предель-
предельные значения совпадают между собой. Для доказательства допу-
допустим, что существует предельное значение оператора T^Wl, ко-
которое обозначим для удобства через F(q). Это значит, что
существует в области ?>+ функция Ui(p), удовлетворяющая урав-
уравнениям Ламе, для которой существует предельное значение опе-
оператора TZ, равное F(q). Значение этой функции на поверхности
обозначим через U\ (q) и образуем потенциал двойного слоя
Wl (р) = W\ (р, Пг) = \ Г1, (р, q) Пг (q) dSq.
s
Введем теперь новую функцию w (p), определив ее в области D+
формулой w(p) = U1{p) — у W\{p), а в области D— формулой
Эта новая функция будет непрерывной во всем пространстве
в силу свойства B8.10). Заметим, что процедура построения
*) Называемый теоремой Ляпунова — Таубера.

§ 28] ОБОБЩЕННЫЕ УПРУГИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 199
функции U\ (р) есть процедура решения второй основной задачи,
а она осуществляется через потенциал простого слоя (см. § 31).
Для потенциала простого слоя, как ранее доказывалось, сущест-
существуют предельные значения оператора напряжений. Поэтому и
смещение U-y (р) обладает этим свойством, причем это предельное
значение будет совпадать с функцией F(q).
Обратимся далее к формуле Бетти A4.27) и запишем ее в виде
иг (р) = у J Т\ (р, q) Ui (q) dSq -1 J Г (р, q) F (q) dSq =
= | Wl (P) - ! $ Г (p, q) F (q) dSq (p e= D+). B8.16)
Следовательно, функция и>(р) B8.6) представляется в области ?>+
в виде потенциала простого слоя
(р, g)F(q)dSq. B8.17)
$
Из B8.17) следует, что в области ?>+ сумма и> (р) +
4- -s- \ Г (р, ^) Z7 (</) ^5? обращается в нуль. Но по доказанному выше
функция w (р) непрерывна. Второе же слагаемое также непре-
непрерывно, поскольку оно является потенциалом простого слоя. Сле-
Следовательно, эта сумма тождественно обращается в нуль также
и в области D~ (из-за единственности решения задачи I-).
Итак, приходим к следующему представлению функции W{ (p)
во всем пространстве:
W\ (р) = 2?Д (р) + \ Г (р, q) F(q) dSq (p s D+), B8.18)
W[ (p) = l Г (р, 9) /=¦ (9) dS, (p c= D-). B8.18')
s
Каждая из правых частей равенств B8.18) и B8.18') имеет
предельные значения оператора напряжений. Поэтому сам потен-
потенциал также обладает этим свойством. Непосредственное вычисление
оператора Тп с разных сторон поверхности приводит к требуе-
требуемому равенству. Аналогичным образом проводится доказатель-
доказательство в случае, когда предполагается существование предельного
значения оператора Тп-
Заметим, что полученные свойства потенциала двойного слоя
дают возможность элементарным путем решать важную в прак-
практическом отношении задачу о натягах. Допустим, что упругая
среда расположена как вне, так и внутри некоторой поверхности
Ляпунова S, а на границе выполняются условия
U4q)-U-(q)^F1{q), T%U (q) - TnV (q).

200 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Из приведенных свойств потенциала двойного слоя первого рода
следует, что решение этой задачи (в предположении, что сущест-
существуют предельные значения оператора Тп) представимо в виде
потенциала двойного слоя
W\ (р) = 1 J Т\ (р, q) F, (q) dSq. B8.19)
s
Очевидна возможность перенесения этого подхода на случай,
когда суммарная область, занимаемая обоими упругими телами,
отлична от полного пространства. В этом случае разность иско-
искомых смещений и потенциала B8.19) приводит к новой задаче
уже для сплошного тела с надлежащим образом видоизмененными
краевыми условиями на наружных поверхностях. Нужно заме-
заметить, что аналогичная плоская задача, решенная в § 22, потре-
потребовала существенно больших усилий.
§ 29. Регулярные и сингулярные интегральные уравнения
основных пространственных задач
Введенные выше обобщенные упругие потенциалы простого
случая, двойного слоя первого рода, двойного слоя второго рода
и антенный потенциал позволяют построить соответствующие
интегральные уравнения. Вообще говоря, для решения каждой
из задач (первой или второй) в принципе можно воспользоваться
любым из введенных потенциалов, поскольку уравнения упру-
упругого равновесия в смещениях (уравнения Ламе) тождественно
выполняются. Желательно, однако, чтобы получаемые при этом
уравнения обладали благоприятной структурой — принадлежали
к классам интегральных уравнений второго рода. Из этого усло-
условия следует, что решение первой основной задачи (задача I)
нужно искать в виде потенциала двойного слоя либо первого,
либо второго рода (в других случаях получаются интегральные
уравнения первого рода).
Пусть /(</) — заданное на поверхности S краевое значение
смещений. Если решение задачи разыскивать в виде обобщенного
потенциала двойного слоя первого рода B8.5), то на основании
формул B8.10') получаем интегральные уравнения соответственно
для внутренней и внешней задач. Представим сразу эти уравне-
уравнения в стандартной для интегральных уравнений второго рода
форме, введя вспомогательный параметр v:
q>fo)-v$r{(<7, q')ff(q')dSr = F(q). B9.1)
s
Значению v=l соответствует внутренняя задача (I+), значе-
значению v = —1 —внешняя A~). Функция F(q) совпадает с функ-

§ 29] ' РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 201
цией/(#) для внешней задачи, а с функцией —f(q) для внутренней
задачи. Уравнение B9.1) является сингулярным, поскольку мат-
матрица Т\ (q, q') имеет члены с особенностью второго порядка (юу).
Совершенно аналогичный внешний вид будут иметь интегралТь-
иые уравнения в том случае, если решение разыскивать в виде
потенциала двойного слоя второго рода (так называемые уравне-
уравнения Лауричеллы)
<р (q) - v$ rj1 (q,q') q> (qf) dS9> = F(q). B9.2)
Принципиальное различие между уравнениями B9.1) и B9.2)
заключается в том, что, как мы отметили, первое иэ них —син-
—сингулярное, а второе — регулярное.
Перейдем к рассмотрению второй основной задачи — задачи II.
Пусть на поверхности S заданы напряжения f(q) *). Если эту
задачу решать посредством потенциала двойного слоя того или
иного рода, то получатся некоторые функциональные уравнения,
вопрос разрешимости которых совершенно не исследован. Эти
уравнения в определенном смысле нельзя даже называть интег-
интегральными, так как перестановка порядка интегрирования и опе-
оператора напряжений исключается.
Будем искать решение второй задачи в виде потенциала про-
простого слоя. Тогда из B8.13 ) следует интегральное уравнение,
которое удобно записать в виде
«Р (Я) ~ vj I\ (q, q') «p (q') dSr = F (q). B9.3)
Здесь значению v=» 1 соответствует внешняя задача Н~, значению
\гш—1 — внутренняя Н+. Функция F(q) равна f(q) во внутрен-
внутренней задаче и —/(#)—во внешней. Интегральное уравнение B9.3)
является сингулярным интегральным уравнением второго рода.
Аналогичные уравнения (правда, регулярные) получаются,
когда решение строится на основе антенного потенциала. Эти
уравнения, непосредственно следующие из предельного равенства
B8.14), имеют вид
B9.4)
причем v = —1 (задача II+), а поверхность S — выпуклая **).
*) Для общности записи сохраняем те же обозначения, что и в первой
задаче.
**) Разумеется, на уравнения теории упругости распространяются резуль-
результаты Я. Б. Лопатинского [1], позволяющие сводить краевые задачи для эллип-
эллиптических систем к регулярным интегральным уравнениям.

202 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Перейдем к изучению вопроса о разрешимости всех получен-
полученных уравнений *). Будем считать, что к введенным выше сингу-
сингулярным уравнениям применима альтернатива Фредгольма (дока-
(доказательство см. в § 30).
Рассмотрим интегральные уравнения B9.1) и B9.3) при v= 1.
Эти сингулярные уравнения — союзные друг другу, а поэтому
вопрос об их разрешимости устанавливается одновременно.
Допустим, что эти однородные уравнения имеют нетривиальные
решения и пусть фо(<7) есть соответствующее решение уравнения
задачи II". Обратимся тогда к потенциалу простого слоя V (р, <p0).
Эта функция решает задачу теории упругости при нулевых
напряжениях на поверхности 5, причем на бесконечности сме-
смещения имеют порядок \/R, а напряжения —1//?а. По теореме
единственности для бесконечной области такое решение есть тож-
тождественный нуль, С другой стороны — потенциал V(p, ф0) является
непрерывной функцией во всем пространстве. Поэтому порожда-
порождаемое им в области D+ поле смещений обращается в нуль на
поверхности S. Из теоремы единственности для первой основной
задачи будет следовать, что эти смещения (т. е. потенциал V(p, <р0))
равны нулю во всей области D+. Введенное же выше нетриви-
нетривиальное решение должно быть равно половине разности предель-
предельных значений оператора TnV(p,q>0) в точках поверхности 5
(согласно B8.13)), и поэтому оно равно нулю.
Таким образом, интегральные уравнения B9.1) и B9.3) не
имеют число v=l собственным значением. На основании альтер-
альтернатив Фредгольма заключаем, что сингулярные интегральные
уравнения задач 1+ и 1Г разрешимы при произвольных правых
частях.
Выше интегральные уравнения выводились с использованием
того или иного представления для искомого вектора смещений.
Теперь приведем другой способ построения интегральных урав-
нений. Воспользуемся формулой Бетти для произвольной вектор-
функции U (р), удовлетворяющей уравнениям Ламе в области D+.
Положим, что на поверхности S заданы напряжения TnU(q)—f(q).
Тогда второй интеграл в A4,27) можно считать известным —
обозначим его через Ф(р). Осуществим в A4.27) предельный
переход изнутри к точкам поверхности 5. Согласно B8.10') после
приведения подобных членов получаем интегральное уравнение-
для смещения U (р) на поверхности S:
\ Г' (q, q') U (q') dSq> = Ф (<?). B9.5)
s
Если же воспользоваться аналогичной формулой A4.30) для сме-
смещения в области D~, то путем тех же рассуждений придем
*) Уравнения B9.1) и B9.3) предложены В. Д. Купрадзе [2].

§ 29] РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ I 203
к интегральному уравнению
U(q)-\T\{q, q')U(q')dSq. = O(q). B9.5')
s
Очевидно, что оба эти уравнения можно записать в единой форме,
введя параметр v: ..
U (q) - v $ Г\ (q, q') U (q') dSq. = Ф (q). B9.6)
s .
Значению v=l соответствует задача Ц-, а значению v = — 1 —
задача П+. Как видим, это уравнение полностью совпадает
с уравнением B9.1).
Непосредственное получение из формул Бетти интегральных
уравнений для первой основной задачи приводит к интегральному
уравнению первого рода с регулярным ядром. Сингулярное же
уравнение второго рода может быть получено, если от всех чле-
членов формулы Бетти взять оператор напряжений, предположив,
что существуют его предельные зиачения от потенциала двойиого
Слоя с заданной плотностью U (q). В результате получаются
уравнения, совпадающие с уравнениями B9.3).
В работах Круза (Т. A. Cruse [1 — 3]) отдается предпочтение
сингулярным интегральным уравнениям, получаемым на основе фор-
формул Бетти. Автор полагает, что эти уравнения применимы и для ку-
кусочно-гладких поверхностей, поскольку для таких уравнений спра-
справедливы тождества Бетти. Одиако когда осуществляется предельный
переход к точкам поверхности, необходимо пользоваться форму-
формулами для потенциала двойного Слоя, а они справедливы лишь
для поверхностей Ляпунова. Другое дело, что фактическое реше-
решение задачи может оказаться предпочтительным из-за большей
гладкости краевого условия.
Перейдем к исследованию уравнений при v = —1, что соответ-
соответствует задачам 1+ и Ц-. В § 14 было показано, что существует
нетривиальное решение внутренней задачи теории упругости при
нулевых значениях напряжений —оно соответствует жесткому
смещению поверхности тела и в декартовых координатах пред-
представляется в виде
Ui = cii + qx3 — rx2, U2 = a2 + rx\ — pxs, U3 = a3 + px2 — qxlt
B9.7)
где alt a2, as, p, q и r — произвольные постоянные, причем иицх
решений быть не : может. Обозначим это смещение через Uo (p).
Очевидно, . что соответствующие ему напряжения равны нулю
во всей области D+. Постараемся^ представить смещение Uo (p)
в виде потенциала двойного слоя первого рода, распростра-
распространенного ца поверхности. 5. Воспользуемся формулой A4.27)

204 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
применительно к смещению U0(p), тогда получим
Uo (Р) "g- J Ti (р, q) Uo (g) dSq. B9.8)
Первое слагаемое в A4.27) пропадает, так как Гя[А)(р)*г0.
Осуществим в левой и правой частях соотношения B9.8) пре-
предельный переход к точкам поверхности S изнутри. Согласно
формуле B8.10') в правой части получим
Таким образом, из B9.8) следует, что вектор Uo (q) должен
удовлетворять уравнению
Uo (?') + $ Т\ (q',q) Uo (<?) dSq = 0, B9.9)
s
являющемуся интегральным уравнением задачи 1~.
Очевидно, что смещения Uo (р), характеризуемые шестью
независимыми постоянными (аи а2, .... ав), можно представить
тем или иным образом как совокупность шести линейно незави-
независимых решений. Можно, например, поступить следующим обра-
образом. Будем последовательно считать лишь одну из шести посто-
постоянных отличной от нуля, тогда каждому такому варианту будет
соответствовать свое линейно независимое решение уравнения
B9.9) (обозначаемое через i|>f (fc=l, 2, .... 6)).
Из теорем Фредгольма следует, что союзное уравнение (урав-
(уравнение для задачи 11+) будет иметь, по крайней мере, шесть линейно
независимых решений. Обозначим их через tyk(q) (k==l, 2, ..., 6)
и докажем, что они образуют полную систему линейно незави-
независимых решений уравнений задачи 11,1*). Пусть г|H (q) — есть еще
одно решение, линейно независимое от шести введенных выше
решений. Рассмотрим потенциалы простого слоя
V(p, фо) = $Г(р, q)^0(q)dSg,
s
Vk(p, **) — $ Г (р, q)Vk(q)dSg.
s
Эти потенциалы решают задачу По" при нулевых значениях
напряжений на границе, в связи с чем они должны представлять
собой жесткое смещение. Следовательно, потенциал V(p, "фо)
*) Дополнительный индекс «0» указывает на равенство нулю правой части.

§ 29] РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 205
есть линейная комбинация потенциалов Vk (р, ч|>*):
б
V(p, %)= 2 CkVk(p, qk). B9.10)
Перепишем это равенство в ином виде:
S Г (р, 9) Гф„ (?) - J] С*фл (9I dS? = 0 (ре D+).
s L *=i J
Обозначим теперь выражение в скобках через ty(q). Тогда потен-
потенциал V(p, t|3) тождественно равен нулю в области Z)+. Используя
ранее приведенные рассуждения, можно показать, что в области D-
этот потенциал равен нулю, что приводит к доказательству линей-
линейной зависимости функции г|з0 (q) от функций г|зА (q). Отсюда сле-
следует полнота системы tyk(q), а на основании B9.8) заключаем,
что все потенциалы двойного слоя IV(р, ц>к) = 0 (/jeD).
Перейдем к доказательству существования решения интеграль-
интегрального уравнения задачи П+. Согласно третьей теореме Фредгольма
необходимым и достаточным условием разрешимости неоднород-
неоднородного уравнения
(f(q)-v\T1(q, q'L{q')dSq^F{q)=f{q) B9.3)
s
являются при v = —1 условие ортогональности правой части f{q)
полной системе собственных функций ф| (q) союзного уравнения
t{q)dSt = 0 (* = 1, 2, ..., 6). B9.11)
Эти условия имеют вполне определенный механический смысл,
который становится ясным, если воспользоваться введенной выше
формой записи функций ф| (q) в виде B9.7), принимая поочередно
какую-либо одну постоянную отличной от нуля. В этом случае
условия B9.11) принимают вид
B9.12)
где fi (i=l, 2, 3) — компоненты вектора f(q), причем xt = xlt
х6=*Хъ, ft — fu h^fa- Очевидно, что формулы B9.12) выражают
условия равенства нулю главного вектора и главного момента
усилий, приложенных к поверхности. Заметим, что решение

206 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
интегрального уравнения B9.3) при v = — 1 не единственно.
Полное решение этого уравнения представляется в виде суммы
5]
4=1
где Ck — произвольные постоянные, а ф* (q) — частное решение
неоднородного уравнения. Потенциалы же простого слоя V(p, i|?fc)
являются решением задачи //+ при нулевых значениях вектора
напряжений. По теореме единственности получаем, что эти по-
потенциалы представляют собой смещение тела как жесткого целого
и не влияют на напряжения.
Таким образом, B9.11) являются не только условиями разре-
разрешимости уравнения B9.3) (определяемыми самой представимостью
решения в специально выбранной форме через потенциал простого
слоя), но и условиями разрешимости исходной физической за-
задачи.
В отличие от задачи П+, условия разрешимости уравнения
задачи I* не имеют физического смысла и определяют лишь факт
представимости решения через потенциал двойного слоя. Можно
показать, что потенциал двойного слоя убывает на бесконечно-
бесконечности, как R'2. В то же время решения задач убывают на беско-
бесконечности, вообще говоря, как R*1.
Если же условия ортогональности правой части собственным
функциям союзного уравнения не выполняются, то в соответствии
с общим приемом *) в представление смещения вводят дополни-
дополнительные слагаемые. Проще всего их взять в виде сосредоточен-
сосредоточенных сил, приложенных в области D+, причем значения их вели-
величин определяются из условий ортогональности. Можно показать,
что получаемая при этом система уравнений всегда разрешима.
Практическая реализация указанного подхода затруднительна,
поскольку она требует знания собственных функций % (д) (&=1,
2, .... 6).
Остановимся на исследовании интегральных уравнений, полу-
получаемых на основе формул Бетти. Поскольку эти уравнения пол-
полностью совпадают**) с уравнениями B9.1) и B9.3) (с соответст-
соответствующей перестановкой), то проведенный выше анализ полностью
переносится и на эти уравнения.
Для задачи 11+ необходимо провести дополнительный анализ,
поскольку правая часть имеет сложный вид и условия ортого-
ортогональности явно не просматриваются. Интегральное уравнение
совпадает с уравнением B9.1) для задачи 1~ и может быть
•) По аналогии с задачей Дирихле.
••) О правых частях уравнений речь пойдет ниже.

§ 29] РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 207
записано так:
U(q)+\ Г' (q, q') U (q') dSg. = $ Г (q, q') f(q') dSr. B9.13)
s s
Необходимыми же и достаточными условиями разрешимости
этой задачи являются условия
$Ы<7) $Г(?> q')f(q')dSrdSq = O (fe = l, 2, .... 6), B9.14)
s s
где % (q) — собственные функции союзного уравнения. Выше,
однако, было показано, что потенциалы V(p, i|)ft) представляют
собой векторы жесткого смещения. Поэтому, переставляя в B9.14)
порядки интегрирования, получаем
, q')f(q')dSrdSq =
ldSq> = 0. B9.15)
S
Следовательно, условия разрешимости интегрального уравнения
B9.13) по-прежнему являются условиями существования решения
исходной физической задачи и автоматически выполняются по
постановке.
Перейдем теперь к анализу регулярных интегральных урав-
уравнений. Будем решать первую основную задачу при помощи обоб-
обобщенного упругого потенциала двойного слоя второго рода. Пере-
Перепишем соответствующее уравнение в виде
<f(q)-v\Yll(q, q')<e(q')dSr = F(q). B9.16)
s
Значению v=l соответствует задача 1+, а значению v = — 1 —
задача I". Функция F(q) совпадает с заданными смещениями /(q)
во внешней задаче и равна им, но с противоположным знаком —
во внутренней.
Остановимся на задаче 1+ и докажем, что соответствующее
уравнение всегда разрешимо. В противном случае союзное одно-
однородное уравнение
4>fa)-$riV.?)W)dS«' = 0 B9.17)
s
имело бы нетривиальное решение. Допустим, что i|H (q) — такое
решение уравнения B9.17), и образуем потенциал простого слоя
с плотностью i|>o(<7). Условие B9.17) означает, что предельное
значение iV-оператора A4.9) (при а = ^-,"^ -) от этого потенци-
ала извне равно нулю. Но сам потенциал решает задачу теории
упругости для области D~ при заданном на поверхности нулевом

208 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
значении оператора N*). По доказанной в § 14 теореме единст-
единственности получаем, что этот потенциал в области D~ равен нулю.
Но потенциал простого слоя является непрерывной функцией.
Поэтому и в области Z> он будет нулем. Следовательно, плот-
плотность этого потенциала, пропорциональная скачку предельных
значений оператора N, будет тождественно равна нулю.
Из аналогичных рассуждений получаем, что поскольку реше-
решение внутренней задачи не единственно, то значение v==—1 яв-
является собственным числом уравнения B9.16).
Изучеиие иитегральных уравнеиий B9.16) при v =—1 может
быть успешно проведено только тогда, когда известны собствен-
собственные функции союзных уравнений (здесь уместна аналогия с внеш-
внешней задачей Дирихле). Общий формальный путь решения пол-
полностью совпадает с изложенным выше решением задачи I- по-
посредством потенциала двойного слоя первого рода.
Вопрос о разрешимости интегрального уравнения B9.4)
остается открытым. Разумеется, из того факта, что задача разре-
разрешима лишь при условии равновесия тела, автоматически следует,
что число v = — 1 будет являться собственным значением. Но
вполне возможно, что этих условий окажется недостаточно.
Естественно, что полученные здесь и в § 28 результаты фак-
фактически полностью переносятся на плоскую задачу теории упру-
упругости. В то же время надо заметить, что приведенные в §§ 18 и
19 интегральные уравнения не допускают очевидного обобщения
на пространственный случай, в связи с чем они и были выделены
в самостоятельную главу.
Исходным моментом для построения соответствующей теории
является решение задачи о перемещениях в плоскости под дейст-
действием силы <р(фь ф2), приложенной в точке q (уъ уг). Рассмотрим
матрицу второго порядка
B9.18)
соответствующую матрице Кельвина — Сомильяны A4.21) и кото-
которую часто называют матрицей Буссинеска. В работе Н. С. Ках-
ниашвили [1] с помощью фундаментального решения B9.18) по-
построена аналогичная теория плоской задачи. Были образованы
потенциалы простого, двойного первого и второго слоев. Полу-
Получены соответствующие предельные теоремы для случая гладких
контуров и плотности, принадлежащей классу Г.—Л.
*) Напомним, что такая задача лишена физического смысла, но ее поста-
постановка необходима для доказательства разрешимости уравнений Лауричеллы.

$ 30] РАСПРОСТРАНЕНИЕ АЛЬТЕРНАТИВ ФРЕДГОЛЬМА 209»
Отметим некоторые новые моменты. Здесь имеется полная
ясность в отношении теории Ляпунова — Таубера. Если плотность,
удовлетворяет условию Г.— Л. вместе со своей производной, то
существуют предельные значения оператора напряжений и оии,
равны (с разных сторон) между собой. В случае внешней за-
задачи II" для регулярности решения на бесконечности требуется,
чтобы главный вектор усилий обращался в нуль. Вопрос оо
индексе получаемой системы одномерных сингулярных уравнений
решается на основе известных результатов теории такого рода,
систем (см. Н. П. Векуа [1]). Непосредственный подсчет пока-
показывает, что этот индекс равен нулю, и поэтому к системам син-
сингулярных интегральных уравнений плоской задачи теории упру-
упругости применимы альтернативы Фредгольма, что в сочетании
с теоремами единственности позволяет ответить на вопрос об их
разрешимости.
Интегральные уравнения плоской задачи также могут быть
получены еще и посредством формулы Бетти в ее двумерной форме
(см. F. J. Rizzo [1])
W (р) = - \ Т\ (р, q) U (?) dSq + $ Г (р, q) TnU (q) dS9. B9.19)
L L
Осуществляя предельный переход к точкам контура, придем
к сингулярному интегральному уравнению (если считать, что
заданы напряжения TjU(?) =/(<?))
=Л@. B9.20>
Отметим, что здесь, в отличие от пространственной задачи^,
реализация метода механических квадратур, несмотря на сингу-
сингулярность, не сопряжена с принципиальными трудностями (см.
§ 12).
В заключение укажем на наличие направления, специально
посвященного построению и исследованию интегральных уравне-
уравнений (регулярных и сингулярных) для осесимметрических задач,,
а также разработке методов их решения. Отметим исследования
А. Я. Александрова [2—4], Ю. Д. Копейкииа [31, Т. Кермаидиса
(Т. Kermandis [1]), Г. Н. Положего [1, 2], Ю. И. Соловьев?
[1—4], Д. И. Шермана [1] и др.
§ 30. Распространение альтернатив Фредгольма на сингулярные
интегральные уравнения теории упругости
В предыдущем параграфе были получены сингулярные интег-
интегральные уравнения первой и второй основных задач теории упру-
упругости. Каждое из уравнений B9.3) и B9.6) представляет собой,
систему сингулярных уравнений. В этих уравнениях сингулярна»

210 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
часть ядра (//-го элемента) имеет с точностью до множителя вид
(см. A4.22))
l<xi-Vi)nj-(xj-y,)nn
Напомним, что при замене переменных аргумент каждого эле-
элемента символического определителя испытывает линейное преоб-
преобразование; такое же преобразование испытывает и аргумент сим-
символического определителя, в связи с чем множество его значений
инвариантно относительно замены переменных (см. § 7). Введем
поэтому в каждой точке q поверхности, ограничивающей упругое
тело, локальные координаты, расположив оси хг и дг2 в касатель-
касательной плоскости, а х3 — по нормали. В качестве неизвестных введем
составляющие векторов ср (q) в местной системе координат (фь
Фг. фз), что также не изменит индекса системы. Система уравне-
уравнений B9.6), например, запишется тогда в виде
± A j ^=^ фз (<?') dSr + Тг (q) =
j
<р2 (q) ±A^ fc^ фз ((?') dSq, + T2 (q) = F2 (q), C0.2)
s
Фз (q) ± A l 1*-У>ъ1<ГШ*-у4ъ(я) dSq,
s
Здесь Т{ (q) — определенные регулярные интегральные операторы
с особенностью га~2, воздействующие на функции фх (q), ф2 (q),
Фз(<7). (а — показатель Ляпунова поверхности S), Л —некоторая
постоянная.
Характеристики входящих в уравнение C0.2) сингулярных
интегралов есть ^—^ = cos6 и х*~Уг- =sin8. Символы же для
таких характеристик получаются их умножением на 2ni (с заме-
заменой аргументов 8 на X).
Выпишем теперь символический определитель
1
0
— iA cos 6
0
1
— iA sin 6
iA
iA
cose
sin 6
1
" ~~ 4 A—aJ' vJU-«y
Этот определитель отличен от нуля для представляющих
интерес в теории упругости значений коэффициента Пуассона.
Поскольку символическая матрица является эрмитовой
Fу = 0у(), то для уравнения B9.6) оказываются выполняющимися
теоремы Фредгольма. Аналогичное заключение можно сделать и
относительно уравнения B9.3).

§31] СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 211
Естественно, что непосредственная регуляризация интеграль-
интегральных уравнений теории упругости представляется излишней, хотя
бы ввиду сложности построения соответствующей эквивалентной
системы уравнений Фредгольма. Заметим также, что в работе
В. Г. Мазьи и В. Д. Сапожниковой [1] дано конструктивное
выражение для регуляризующего оператора. При его построении
существеиио использовались формулы обращения некоторых дву-
двумерных сингулярных интегралов (А. В. Бицадзе [1, 2]).
§ 31. Спектральные свойства регулярных и сингулярных
интегральных уравнений. Метод последовательных приближений
Приведеииые в § 29 теоремы о разрешимости регулярных и син-
сингулярных интегральных уравнений основных пространственных
задач теории упругости с принципиальной точки зрения полно-
полностью решают проблему математического обоснования метода
интегральных уравнений. Однако при фактическом решении этих
уравнений (например, уравнений Лауричеллы для задач 1+) ме-
методом механических квадратур задача сводится к системе алгеб-
алгебраических уравнений, зачастую весьма высокого порядка. В то
же время заметим, что решение двумерных сингулярных уравне-
уравнений методом механических квадратур требует соответствующего
теоретического обоснования, подобно приведенному в § 12 для
случая одномерных уравнений.
Весьма перспективным представляется решение уравнений
основных пространственных задач методом последовательных при-
приближений. Его вычислительные преимущества будут подробно
обсуждаться в § 33. Здесь отметим лишь то, что его обоснование
равным образом годится как для регулярных, так и сингулярных
уравнений и следует из спектральных свойств этих уравнений
(см. § 1).
Докажем, что в круге единичного радиуса с центром в нуле
точка v = —1 есть единственное собственное значение, причем оно
является полюсом первого порядка резольвенты. Соответствующий
анализ начнем с рассмотрения интегрального уравнения Лаури-
Лауричеллы (см. Pham The Lai [1])
Ф (q) - v \ Г'1 (q, q') <p (<?') dSq. =/(?), C1.1)
s
союзное уравнение которого имеет вид
1>fa)-v JrJV, q)^(q')dSg. = g(q). C1.2)
s
Это уравнение можно трактовать как интегральное урав-
уравнение, получаемое при использовании потенциала простого

212 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
слоя V(p, if):
У(Р, Ч>)= \?iP, q)^(q)dSq
s
для решения краевой задачи при заданном на поверхности 5
значении УУ-оператора.
Аналогично B8.14) запишем равенства
NV+-NV- = 2$(q), NV++NV- = 2\ru(q, ?')¦(?') dSq: C1.3)
s
Тогда уравнение C1.2) примет вид
A - v) [NV+] - A + v) [NV-] = 2g (q). C1.4)
Применяя обобщенную формулу Бетти A4.14) к смещению
'$) в области Ь+, получаем
$ V(q, ^)NV+dSq = $ E(V, V) dQ, C1.5)
s o+
где E(V, V) определяется формулой A4.17).
Аналогичным образом для смещений в области D~ получаем
J Vfa, $)NV+dSg = — I E(V, V)dQ. C1.6)
Последние две формулы показывают, что левая часть в C1.5)
всегда отрицательна, а в C1.6) —всегда положительна.
Зададим на поверхности 5 две непрерывные функции г|)а (q) и
4>ь (q) и, рассматривая их как плотности, образуем потенциалы
простого слоя V(p, 1ра) и V(p, г|>й):
V(p,4a)=[T(p,q)Va(q)dS9, C1.7)
s
V(p, Ц)й)= \Т(р, q)^b(q)dSq. C1.8)
s
На основании обобщенной формулы A4.15) имеем
\ {VaM- Vb - VbN~ Va} dSq = 0. C' '9)
s
Докажем теперь, что все полюсы резольвенты уравнения C1.1)
вещественны. Допустим, что существует комплексный корень
VQ = a + ib, и рассмотрим соответствующее ему решение однород-
однородного уравнения C1.2) vo(^) =v? + /v?. Образуем сообразно каж-
каждой функции v^ и \1 потенциалы простого слоя V(p, v?) и

$ 31] СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 213
V(p,v°t) и сделаем замену в уравнении C1.4) (надлежащая за-
замена состоит в замене v на v0)
(l-vo)[N+Va + i№Vb] = (l+vo)[N-Va + iN-Vb]. C1.10)
Умножим обе части последнего равенства на Va — iVb и про-
проинтегрируем по поверхности 5, используя при этом формулы
C1.9). В результате получаем равенство
A - vo) $ {VaN+ Va + VbN* Vb} dS =
\{VaN'Va+VbN-Vb}dS. C1.11)
s
Поскольку первый интеграл отличен от нуля при у\ф0 и
Vj#0, то получаем, что отношение A — vo)/(l+v0) вещественно,
и, следовательно, 6 = 0. Из равенства C1.11) вытекает также,
что отношение A — vo)/(l +v0) есть отрицательная (или равная
нулю) величина. Поэтому значение v0 должно быть по модулю
не меньше единицы. Напомним, что произведенное в § 29 иссле-
исследование показало, что значение v = 1 не есть полюс резольвенты,
в то время как v = — 1—полюс резольвенты.
Последний результат спектральной теории заключаетса в до-
доказательстве того факта, что все полюсы —простые.
Пусть Vi —есть полюс не первого порядка. Тогда (см. A.29)
и A.30)) существуют две функции на поверхности S, которые
обозначим через ц>а и <рй, удовлетворяющие следующим равен-
равенствам:
qU<7) = Ml1V, q)<fa(q')dSg.,
s
4>ь (<?) - 4>a (<?)/Vi = vj $ Г (<?', q) q>b (<?') dSq,.
s
Представим эти равенства через потенциалы Va и Vb, опреде-
определяемые функциями фа и фй как плотностями:
b]. {6 ' >
Умножая первое равенство на Vb, а второе —на Vo, складывая
и интегрируя, получим, с учетом C1.9),
J Va№VadS=[VbN-VbdS. C1.13)
5 S
Согласно же C1.5) и C1.6), выражения, стоящие в левой и правой
частях равенства C1.13), должны быть разного знака (причем
выражение, стоящее в правой части, отлично от нуля). Таким
образом, имеет место противоречие, и поэтому все полюсы резоль-
резольвенты простые.

214 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Из доказанного следует, что интегральное уравнение B9.2)
можно решать методом последовательных приближений при v= 1,
воспользовавшись решением в виде A0.7) и A0.9).
Перейдем теперь к рассмотрению сингулярных интегральных
уравнений. Перепишем сингулярные уравнения основных про-
пространственных задач теории упругости, которые в случае первой
основной задачи имеют вид
4P(<7)-vSrJ(<7, q')v(q')dSg' = F(q), B9.1)
s
а в случае второй основной задачи
Ф (д) - v \ Гг (д, д') <р (д') dSQ- = F(q), B9.3)
s
U(q)-v]T[ (g, g')U (<?') dSq> = Ф (<?). B9.6)
s
Поскольку уравнения B9.1) и B9.3) являются союзными,
а уравнения B9.1) и B9.6) совпадают между собой (различаясь
лишь значениями правых частей и искомых функций), то рас-
рассмотрение их спектральных свойств уместно производить одно-
одновременно.
Повторяя, в основном, анализ, изложенный выше примени-
применительно к уравнениям Лауричеллы, с соответствующей заменой
оператора N на оператор Т (и, разумеется, с заменой обобщен-
обобщенной формулы Бетти A4.14) на общепринятую), удается показать,
что все эти сингулярные уравнения имеют лишь вещественные
собственные значения, по модулю не меньшие единицы. Значе-
Значения же v = l и v = —1 были рассмотрены ранее в § 29.
Очевидно, что доказательство применимости альтернатив Фред-
гольма к уравнению B9.3), приведенное в § 28, распространяется
и на остальные уравнения. Из факта существования эквивалент-
эквивалентной регуляризации следует, как было показано в § 30, предста-
представимость решений сингулярных уравнений посредством резольвенты.
Изучение же поведения резольвенты в окрестности точки v =—1
(проводимое так же, как и для регулярного уравнения B9.2),
т. е. посредством равенств A.29) и A.30)) показывает (В. Д. Куп-
радзе [3] ), что эта точка является простым полюсом резольвенты,
а коэффициент при l/(v+l) в ее разложении является решением
союзного однородного уравнения (как функция аргумента д).
Из всего вышеизложенного следует, что сингулярные интег-
интегральные уравнения основных задач теории упругости можно
решать методом последовательных приближений, исключая урав-
уравнения задачи 1~ (поскольку, как правило, нельзя установит^
условия их разрешимости). На это обстоятельство обратил вни-
внимание Фам Тзи Лай (Pham The Lai [1]). : ., ,ji

§ 31] СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 215
Уравнение B9.1) в случае v=l (задача 1+) можно решать
с помощью рядов A0.8) или A0.10). Аналогично следует решать
уравнения B9.3) и B9.6) в случае задачи II". В случае же задачи
Ц+ оказывается сходящимся первоначальный ряд A0.2). При этом
следует иметь в виду изложенные в § 10 соображения о некор-
некорректности этого алгоритма, приводящие к тому, что рассматри-
рассматриваемый ряд следует понимать в асимптотическом смысле в случае
уравнений B9.3) и B9.6), причем в случае уравнения B9.3)
решение строится также с помощью модифицированного пред-
представления функции <р„ (р)
Ф»(Р) = Ф»(Р)- 1><(Р) S Ч>< (?) ф» (?) dSg. C1.14)
1=1 S
Здесь ife (p) — собственные ортонормированные функции уравнения
B9.1) (как было показано, являющиеся линейными (см. § 29)).
Перейдем непосредственно к решению указанных уравнений.
Вначале остановимся на сингулярном уравнении, получаемом
в результате объединения*) B9.1) и B9.6) и уравнения B9.3):
<p(9)-v lYl(q,q')tp(q')dSq. = F(q), C1.15)
s
V(q)-vlTl(q,q')tf(q')dSg. = F(q). B9.3)
s
Реализация метода последовательных приближений примени-
применительно к уравнениям C1.15) и B9.3) заключается в вычислении
интегралов вида
S. C1.16)
(fn(q)=\V1(q, q') q,B_, (<?') dSq,.
s
Эти интегралы являются сингулярными, и поэтому применение
для их вычисления известных кубатурных формул исключено.
П. И. Перлин [7, 9, 10] предложил воспользоваться тождествами
\ Т\ (<7, q') <р (q1) dSr = - <р (9) + \ Y\(q,q') [Ф (<?') - Ф (q)] dSq;
s s
C1.17)
+ \{T1(q, q')<p(q')-T\(q, q') <f>(q)} dSq., C1.18^
s
названными регулярными представлениями сингулярных интегра-
*) Поскольку они совпадают между собой (при надлежащих обозначениях),

216 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VT
лов, поскольку их правые части представляют собой несобствен-
несобственные интегралы *) (когда функция <р (q) принадлежит классу Г. — Л.).
Вывод этих тождеств основывался на методе понижения особен-
особенностей, предложенном Л. В. Канторовичем [1], с использованием
равенства B8.8) и того обстоятельства, что сингулярные члены
матриц T\(q, q') и Yl(q, q') одинаковы.
Применив эти представления для вычисления правых частей
соотношений C1.1), придем к рекуррентным соотношениям
q') [ф„-1 (q') -ф«- Aq)\dSq: C1.17')
<tn(q)=— <Pn-i(q)+]{T1(q, q') (fn^(q')-T\(q, q') (p^ (q)} dSq:
C1.18')
В работе В. М. Лиховцева и П. И. Перлина [1] обсуждается
следующий вопрос. Допустим, решается какое-либо уравнение,
когда краевые условия отличны от нуля только в некоторой
малой части ограничивающей поверхности. Использование изло-
изложенных выше рекомендаций не представляется целесообразным,
так как с достаточной достоверностью можно утверждать, что
и искомые плотности будут незначительно отличаться от нулевых
на поверхности (охватывающей зону нагружения) не более чем
в два-три раза. Поэтому при решении интегральных уравнений
уместно интегрирование производить лишь по оставшейся части
поверхности. При этом оказывается необходимым ввести новые
регулярные представления, поскольку представления C1.17) и
C1.18) базировались на тождестве B8.8), справедливом лишь для
замкнутой поверхности.
Остановимся на приеме, предложенном Н. В. Курносовым и
В. М. Лиховцевым (см. В. М. Лиховцев [1]). Обозначим через St
ту часть поверхности 5, которая будет использована в расчетах.
Перепишем формулу B8.8) в виде
\Т\ (q, q') dSq. =~E- \ T\(q, q') dSq..
s, s — s,
Тогда рекуррентное соотношение, аналогичное C1.17'), будет
иметь вид **)
Ф« (?) = - Ф«-1 (?) \Е+ $ Г1 (q, q') dSq.] +
J
S,'. C1.19)
*) Заметим, что для интеграла с ядром г]1 (q', q) имеет место тождество,
аналогичное C1.17), которое можно использовать для повышения эффективно*
сти вычислений.
**) Частный случай, когда поверхность St —плоская, рассмотрен в упомя-
упомянутой работе В. М. Лиховцева и П. И. Перлина [1].

4 32] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ 217
Появившийся дополнительно интеграл будет регулярным,
поскольку он определяется только в точках поверхности Si.
Не возникает также вопросов при вычислении этого интеграла
вдоль линии, ограничивающей поверхность Su поскольку, во-пер-
во-первых, вычисления уместно проводить только во внутренних точках
5Ь а, во-вторых, соответствующие плотности в кромковых точках
должны быть (по смыслу постановки задачи) очень малыми, и
поэтому вносимая при определении интеграла погрешность уничто-
уничтожится.
Построение рекуррентного соотношения, соответствующего
C1.18'), теперь очевидно.
Введенные представления оказываются полезными и при реше-
решении задач для полубесконечных областей. Естественно, что
посредством проведения вспомогательной поверхности достаточно
больших размеров внутри тела или вне его можно перейти к соот-
соответствующей внутренней или внешней задаче. Если при этом
потребовать, чтобы исходные краевые условия были самоуравно-
самоуравновешенными, то представляется излишним при решении интеграль-
интегрального уравнения производить интегрирование по всей замкнутой
поверхности, что приведет к необходимости воспользоваться
рекуррентными соотношениями в виде C1.19).
§ 32. Дифференциальные свойства решений
интегральных уравнений и обобщенных упругих потенциалов
При постановке краевых задач теории упругости требовалось,
чтобы решение было регулярным (т. е. имело непрерывные
первые производные в замкнутой области D и непрерывные вто-
вторые—в открытой области D). Из полученных же выше результа-
результатов следует, что если ограничивающая поверхность принадлежит
к классу поверхностей Ляпунова, а краевые условия принадле-
принадлежат к классу Г. —Л,, то решение интегральных уравнений будет
принадлежать классу L2. Представляется необходимым ответить
на заключительный вопрос —будут ли образуемые теперь потен-
потенциалы престого или двойного слоя регулярными (в указанном
выше смысле) функциями? Этот вопрос весьма сложен в матема-
математическом отношении. Поэтому ограничимся лишь некоторыми опре-
определениями и формулировкой основных результатов *). Будем счи-
считать, что функция ф(р) принадлежит классу Ck(D), если в каж-
каждой точке области D она имеет все производные до порядка k,
продолжимые на поверхность. Если же, кроме того, производные
порядка k принадлежат классу Г.— Л. с показателем а, то пишут
<реС*'а(?>). Заметим, что при таких обозначениях принадлеж-
•) См. Т. Г. Гегелиа [1, 2], а также В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелиаидр. [1].

218 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
ность функции классу Г.— Л. обозначается так: <р ее С°-а(?>).
Будем считать, что поверхность S есть поверхность класса Лк (а),
если ее уравнение 1з = V (Si. ?2) в локальной системе координат
Sii ?2. Ъ (плоскость (gi, ?2) есть касательная, а ось |3 направлена
по нормали) таково, что функция у (|ь |2) принадлежит классу
Q(k, а) тОГда принадлежность поверхности классу поверхностей
Ляпунова обозначается так: SE^fa).
Введем обобщенную постановку краевых задач теории упру-
упругости. Будем считать, что потенциалы, построенные посредством
решений интегральных уравнений B9.1), B9.3) и B9.6), при
сформулированных выше ограничениях на поверхность и краевые
условия дают решение именно обобщенных краевых задач.
Сформулируем ряд результатов, позволяющих ввести столь
жесткие ограничения на поверхность и краевые условия, при
которых решение интегральных уравнений приведет к построе-
рию регулярных смещений (т. е. обеспечивает решение задачи
в классической постановке).
1. Если 5еЛп+1(а), фе^С"-РE) @<р<а), то потенциал
двойного слоя W (ф) ее С- Р (D).
2. Если ХеЛяИ(и), q> <= С"-Р (S) @<р<а), то потенциал
простого слоя V(ф) е С"+ '¦ Р (D).
3. Если плотность потенциала простого слоя ф ее Lp, то во всех
точках поверхности S ее Лг (а) существуют предельные граничные
значения (по некасательному пути), определяемые формулами
W± (ф) = + Ф (р) + $ Г' (р, q) q, (q) dSg.
s
Напомним, что в случае плотности «реС0^ имеет место
такая же формула, причем сам потенциал оказывается непрерывно
продолжимой функцией.
Остановимся на свойствах производных (по декартовым коор-
координатам) потенциала простого слоя. Если его плотность принад-
принадлежит классу Сп' Р, то существуют предельные значения произ-
производных (по некасательному пути), причем в случае ф ее С0- Р они
оказываются непрерывно продолжимыми на поверхность.
Приведем также следующий результат. Пусть S ее,/7г+1 (а),
/ее &¦ Р (а>Р >0). Тогда всякое решение интегральных уравне-
уравнений B9.1), B9.3) и B9.6), принадлежащее классу L2, принадле-
принадлежит также и классу Cr- P (S) *).
Из изложенного следует, что если SsJ/jfa) и /ееС'-Р, то
решение интегральных уравнений приводит к решению краевой
задачи в классической постановке.
*) Отметим работу А. А. Хволеса [1], в которой получены аналогичные
результаты при менее жестких ограничениях.

§ 33]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
219
§ 33. Приближенные методы решения интегральных уравнений
основных пространственных задач
Остановимся на численной реализации изученных выше интег-
интегральных уравнений.
Опишем расчетную схему для решения интегральных уравне-
уравнений B9.1), B9.3), B9.6) методом последовательных приближений
(см. П. И. Перлин [10]). Согласно общим положениям, приведенным
в § 10, разобьем поверхность 5 на малые области Sj (/= 1, 2,...
..., N), вершины которых обозначим через qi, а центральные
точки —через pj (/=1, 2, ..., N). Напомним, что точки pj мы
условились называть опорными, а точки ^ — узловыми. Реализа-
Реализация рекуррентных соотношений C1.16) проводится с помощью
регулярных представлений C1.17) и C1.18).
Каждое слагаемое интегральной суммы представляем соответ-
соответственно в виде
щ
1
«7
У
(<??)-ф*-1 (/>,)]
-Г' (р„
AS,-,
к = 1
as*,
C3.1)
AS,, C3.2)
C3.3)
где нижний индекс у точек q обозначает ее принадлежность
к области Sj, верхний — соответствующую нумерацию в пределах
каждой области, а щ — число узловых точек q в области Sj. Эти
выражения позволяют найти значения функций q>! (pj) во всех
опорных точках. Далее посредством интерполирования, исходя
из значений функций фх в ближайших опорных точках, находятся
значения функций q>! в узловых точках и далее процедура повто-
повторяется требуемое количество раз.
Остановимся на результатах расчетов. В табл. 1 приведены
значения нескольких вектор-функций ф„ (точнее говоря, их моду-
модулей Ф„), а также суммарные значения (Ф+ и Ф ), когда поверх-
поверхность S являлась сферой. Разбиение поверхности осуществлялось
посредством географической системы координат при разделении
на 8x8 частей. Нагружение сводилось к гидростатическому дав-
давлению р*). Точка Л —полюс, а точка В взята на экваторе **).
*) В таблицах 1 и 2 приведены значения в долях р.
**) Расхождение объясняется различием фактического размера элементарных
областей.

220
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Приведено точное значение плотности. Расчеты производились
при коэффициенте Пуассона v = 0,3.
Таблица 1
Значения плотности для сферической поверхности
А
В
Фо
1,000
1,000
ф.
0,247
0,269
Ф«
0,063
0,064
Фз
0,015
0,016
Ф4
0,004
0,004
ф-
—1,329
—1,353
Ф+
0,804
0,784
фточн
-1,312
-1,312
фточн
0,807
0,807
В табл. 2 приведены результаты расчетов для сфероидальной
поверхности. Расчеты производились при разбиении поверхности
на 15x15 и 25x25 частей (посредством соответствующей равно-
равномерной сетки координат). Приведены также значения функций
Ф„ в точке полюса А и экватора В. Нагружение сводилось
к гидростатическому давлению р. Полуось вращения вдвое превы-
превышала другую полуось.
Таблица 2
Значения плотности для сфероидальной поверхности
15x15
25x25
А
В
А
В
Фо
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
ф.
0,0389
0,3371
0,0474
0,03367
0,1185
0,1069
0,1208
0,1083
Ф.
—0,0057
0,036
—0,0034
0,0367
Ф4
0,0155
0,0113
0,0158
0,0117
Ф.
—
—0,0015
0,0040
Один из приемов повышения эффективности предложен
С. Ф. Ступаком. Автор производит вычисления функций не во всех
опорных точках (как рекомендуется выше), а лишь в некоторых
из них, руководствуясь при этом их фактической изменяемостью
на поверхности. После того как определена в этих «избранных»
точках функция ф„ (р), нужно посредством интерполяции опреде-
определить функции ф„ (q) во всех узловых точках и далее повторить
процесс. Естественно, что выбор числа и расположения таких
точек может быть произведен в ходе предварительных расчетов.
Автору удалось при решении задачи для сферы достичь точ-
точность 0,2%, исходя из основного разбиения 200 х 100 при опре-
определении плотностей лишь в тех же 64 точках, как и в расчете,
представленном в табл. 1. В приложении 1 приведена программа
для решения задачи для тела вращения произвольной формы

§33] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 22t
в случае осесимметричного нагружения, составле«ная на основе
указанного приема.
А. Я. Александровым [7] предложен способ решения интег-
интегральных уравнений B9.3), который является развитием работы
того же автора, связанной с решением соответствующих плоских
задач (см. А. Я. Александров [1]). Было установлено, что в слу-
случае, когда плотность потенциала простого слоя равномерно
распределена по плоскому прямоугольнику, предельные значения
оператора в центральной точке равны половине значения плотно-
плотности (с разными знаками). Поэтому, вообще говоря, в строгой
постановке этот прием вычисления сингулярных интегралов подхо-
подходит лишь для полигональных поверхностей, причем соответству-
соответствующие грани должны иметь вид прямоугольников или иных бластей,
для которых рассуждения автора могут быть правомерны (оче-
(очевидно, что такими областями являются, по крайней мере, равно-
равносторонние треугольники). Если же разбиение осуществлено на
криволинейные многоугольники общего вида, то использование
формулы TnV(p, ф) = ±0,5<р приводит к некоторой погрешности.
Указанный прием вычисления сингулярного интеграла позво-
позволяет автору предложить определенную форму реализации метода
механических квадратур для решения интегральных уравнений
B9.3), сводящую уравнения к системе линейных алгебраических
уравнений. Для вычисления регулярных слагаемых интегральных
сумм рекомендуется использовать приближенные формулы, постро-
построенные в ходе замены равномерно распределенной нагрузки сосре-
сосредоточенными силами. Получаемую при этом систему предлагается
решать последовательными приближениями.
В той же работе А. Я. Александрова [7] рассмотрена задача
для куба *), нагруженного с двух противоположных граней наг-
нагрузкой, равномерно распределенной по квадрату. Показаны эпюры
напряжений в нескольких сечениях. Однако отсутствие точного
решения не позволяет оценить погрешность.
В работе Круза (Т. A. Cruse [1]) обращается внимание на то
обстоятельство, что интеграл от двойного слоя, равномерно распре-
распределенного по плоскому многоугольнику, вычисляется в замкнутом
виде для любой точки пространства (в частности, и на самом
многоугольнике). Это обстоятельство позволило предложить
приближенный способ решения интегрального уравнения B9.6)
посредством сведения его к системе линейных уравнений (разу-
(разумеется, достаточно высокого порядка). Исследование с помощью
этого метода задач для тел, ограниченных неплоскими поверхно-
поверхностями, требующее их предварительной замены полигональной
поверхностью, сопряжено с внесением значительной погрешности.
*) Здесь не акцентируется внимание на специфике задач, обусловленных на-
наличием у поверхности ребер и вершин.

222 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Автор отмечает, что при решении задачи для пространства
со сферической полостью при нагружении гидростатическим дав-
давлением погрешность в определении коэффициента концентрации
напряжений достигает 13% из-за неестественного разбиения
поверхности.
Нужно сказать, что сам автор (см. Т. A. Cruse [4]) позже
признал, что при современных ресурсах ЭВМ условие постоян-
постоянства плотности в пределах элементарной области приводит к значи-
значительной погрешности. Указанное обстоятельство побудило его
в той же работе построить более точную (и, следовательно, более
громоздкую) кубатурную формулу, положив плотность меняющейся
линейно (в локальных координатах). Отметим также выполнен-
выполненную в том же направлении работу Лаше и Ватсона (J. С. Lachat,
J. О. Watson [1]).
Касаясь указанных работ Т. А. Круза и А. Я. Александрова,
необходимо сделать одно замечание. Как выше отмечалось (§ 11),
решение уравнения второго рода на спектре методом механичес-
механических квадратур сопряжено с большими трудностями *) в силу
вырожденности системы. Конечно, для случая какой-нибудь диск-
дискретизации поверхности определенные разумные значения плотно-
плотности могут и быть получены, однако представляется естественным
ожидать разброс результатов при уменьшении размеров элемен-
элементарных областей, или просто при варьировании их конфигураций.
Обратим внимание еще на одно обстоятельство, носящее чисто
математический характер. В § 11 доказано, что приближенное
решение интегральных уравнений Фредгольма (не расположенных
на спектре), получаемое методом механических квадратур, схо-
сходится к точному решению при уменьшении размеров элементар-
элементарных областей. Получение аналогичного результата в случае одно-
одномерных сингулярных уравнений потребовало больших усилий
(см. § 12). Вопрос же о сходимости метода механических квадра-
квадратур для сингулярных уравнений в двух и более измерениях
остается открытым, в то время как сходимость последовательных
приближений для уравнений теории упругости доказана.
В работе В. Д. Купрадзе [4] предложен приближенный способ
решения основных пространственных задач теории упругости
с помощью функционального уравнения, получаемого из формулы
Бетти
$Г(р, q)TaU(q)dSq-\Tl(p, q)U(q)dS, = 0 A4.30')
s s
для всех точек р, не принадлежащих области D, для которой
и ищется решение. В случае первой основной задачи задается
*) Если в задаче нет трех плоскостей симметрии, при наличии которых
¦автоматически выполняются условия равенства нулю главного вектора и глав-
главного вектор-момента.

§ 33] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 223
первое слагаемое, а в случае второй задачи — второе. Соответст-
Соответственно в случае первой задачи неизвестной функцией является
вектор внешних напряжений TnU(q), а второй —смещения на
поверхности U{q).
Вне области D задается определенное количество точек (кото-
(которые обозначим через pt (t = l, 2 N) и требуется, чтобы
функциональное уравнение A4.30') удовлетворялось в этих точках.
Для фактической реализации такого алгоритма необходимо осуще-
осуществить дискретизацию поверхности 5 так, чтобы в пределах
каждой малой области St функция U (q) (или TnU (q)) полагалась
постоянной, условно заданной величиной. Тогда применение тех
или иных квадратурных формул приведет к системе алгебраиче-
алгебраических уравнений относительно введенных неизвестных *).
В работе Н. М. Хуторянского [1] строится система функци-
функциональных соотношений посредством разложения в ряд ядер
функционального уравнения. Показано, что для тел вращения
указанная система распадается на совокупность независимых
систем.
Изложим кратко метод, предложенный в работе В. Д. Купрадзе,
М. А. Алексидзе [1] и названный авторами методом обобщенных
рядов. Первоначально строится система линейно независимых
решений уравнений теории упругости в области D (обозначим их
через ф; (р)). Требуется, чтобы эта система была полна в прост-
пространстве L2 (на поверхности тела S). Фактически рекомендуется
конструировать эту систему следующим образом. Вне тела зада-
задается некоторая поверхность 5' и в счетном всюду плотном мно-
множестве точек, обозначаемых по-прежнему через /?,-, строятся
решения Кельвина — Сомильяны. Заметим, что эта система решений
удовлетворяет сформулированным выше требованиям. Далее осу-
осуществляется ортонормирование этой системы функций на поверх-
поверхности тела. После этого снова рассматриваются функциональные
уравнения в точках pt. Умножая их на множители, соответствую-
соответствующие переходу от исходной системы функций к ортонормированной,
и складывая, сразу получаем значения коэффициентов Фурье для
искомой плотности. Доказано, что предлагаемый способ приводит
к точному решению в метрике пространства L2 (т. е. в среднем).
Представляется весьма важным вопрос о вычислении напря-
напряжений и смещений уже после достоверного определения решения
интегрального уравнения. Очевидно, что решение этой задачи
не составляет труда для внутренних точек тела, поскольку оно
сводится к вычислению соответствующих регулярных интегралов.
Начнем с определения напряжений при решении задачи II
посредством потенциала простого слоя. Смещения на поверхности
*) Вопросы практической реализации рассмотрены в работах Ю. В. Верюж-
кого [1] и Ю. В. Верюжского, А. И. Вусатюка и В. В. Савицкого [1].

24 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. VI
представляются несобственным интегралом и, как показали расчеты
Н. Ф Андрианова [1], определяются с большей погрешностью
по сравнению с погрешностью для плотности, если воспользо-
воспользоваться той же (как и хотелось бы) дискретизацией поверхности,
которая использовалась при решении интегрального уравнения.
Рекомендуется произвести дополнительное разбиение поверхности,
задавая в соответствующих точках значения плотности, опреде-
определяемые интерполяцией. Естественно, что надлежащее вспомога-
вспомогательное разбиение нужно производить только в окрестности той
точки, в которой определяется смещение. Определение же компо-
компонент напряжений посредством численного дифференцирования
•смещений не представляется желательным из-за потери точности.
Более эффективным является следующий способ. В интересую-
интересующей нас точке поверхности проводится нормаль и в ряде точек
на этой нормали определяется компонента тензора напряжений
посредством вычисления интеграла от соответствующих производ-
производных ядра (аналогичный прием используется в работе П. И. Пер-
лина, В. Н. Самарова [1]). При этих расчетах также необходимо
производить дополнительное разбиение поверхности, обеспечиваю-
обеспечивающее заданную точность в определении напряжений. После этого
нужно путем полиномиальной экстраполяции перейти к значению
на поверхности (более подробно см. § 36).
При решении же задачи I (посредством потенциала двойного
слоя) определение смещений на поверхности уместно производить
только с целью контроля точности решения в точках, отличных
¦от узловых и опорных. В точках же, расположенных в достаточ-
достаточной близости к поверхности, можно воспользоваться представле-
представлениями, аналогичными регулярным представлениям C1.17):
U(p) = l Г' (р, q) [Ф (q) - ф (q')] dSq - аФ (<?'), C3.4)
s
где q' — точка на поверхности S, расположенная вблизи р, причем
коэффициенты а = 0 во внешней задаче и а«=2 — во внутренней.
Определение напряжений по-прежнему целесообразно производить
посредством экстраполяционной процедуры (см. § 36), осуществляя
при этом дополнительное разбиение поверхности в соответствую-
соответствующей области.
В том случае, когда для решения задачи привлекается урав-
уравнение B9.6), необходимо с должной точностью определить правую
часть. Из приведенных выше сведений о вычислении смещений
ло заданным плотностям (вычисление того же потенциала простого
слоя) следует, что вычисление правой части потребует более
мелкого, чем основное, разбиения, которое будет использоваться
при определении неизвестных функций. Нахождение же напря-
напряжений, по-видимому, целесообразно также осуществлять путем
экстраполирования.

4 331 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 22E
Огмртим некоторые дополнительные возможности, возникающие
при решении интегральных уравнений методом последовательных
приближений. Допустим, что решается задача для тела вращения
при неосесимметричных краевых условиях (см. Н. Ф. Андриа-
Андрианов [1]), которая является, вообще говоря, общей пространственной
задачей. Заметим, что в случае осевой симметрии и в краевых
условиях процедура решения существенно сокращается, поскольку
достаточно определить ту или иную функцию ф (р) на одном из
меридианов и перенести ее на всю поверхность с очевидными
изменениями.
Предлагается следующая организация программы расчетов*).
Пусть вычислена матрица Г (p,q), соответствующая некоторым
точкам р и q поверхности. Прежде чем осуществить переход
к матрице Г(р, q*), где точка q*, соседняя, вообще говоря,
с точкой q, происходит построение матрицы Г {ръ <7i), где точки р1
и <7i получаются из р и q поворотом на одно деление. Легко
заметить, что элементы этой матрицы Г (plf 91) получаются из
еще сохраняющихся в памяти ЭВМ элементов матрицы Г (р, q).
Эта процедура повторяется до тех пор, нока не осуществится
полный поворот вокруг оси вращения, и лишь после этого вычис-
вычисляется матрица Г(р, q*).
При построении элементов матриц рекомендуется также
использовать соотношение Гу (р, q) = (— 1)'+;Гу (р, q'), где точка q'
является зеркальным отображением точки q относительно пло-
плоскости, проходящей через ось вращения и точку р.
Другое преимущество метода последовательных приближений
заключается еще и в следующем. Допустим, что для какого-либо
тела нужно решить задачи при некоторой совокупности краевых
условий. Вообще говоря, это потребовало бы выполнения много-
многократных расчетов. В нашем случае нужно после вычисления той
или иной матрицы Г (р, q) и соответствующего ей слагаемого
интегральной суммы сразу же вычислить это же слагаемое для
второй задачи и т. д., сообразуясь лишь с ресурсами памяти
ЭВМ.
В случае, когда поверхность S является сферой, решение
интегральных уравнений можно строить в рядах по присоединен-
присоединенным полиномам Лежандра, привлекая полную совокупность
частных решений задачи теории упругости для областей D+ и D~
(см. А. И. Лурье [1]). Рассматривая соответствующую пару реше-
решений, как порождаемую одним и тем же потенциалом простого или
двойного слоя, можно определить его плотность, используя пре-
предельные теоремы. Решая же обратную задачу, получаем возмож-
возможность выразить для каждой гармоники значение сингулярного
*) В приложении 2 представлена программа для цилиндрической по-
верхност
1/.8 Партон в. з„Перлин п. и. - им

226
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
ГГл. V!
интеграла, а, точнее говоря, всей левой части уравнений. Ука-
Указанный прием использовался в работах П. И. Перлина [4J и
П. И. Перлина и С. Ф. Ступака [1] на определенном этапе реше-
решения задач для тел, ограниченных двумя поверхностями.
В заключение отметим, что для случая сферы решения в рядах
удается просуммировать в замкнутом виде (см. Д. Г. Натрош-
вили [1]). В этой работе автору удалось просуммировать полу-
получаемые из аналогичных соображений ряды, что привело к явной
форме решения.
В работе Ришо (F. J. Rizzo [1]) предложен численный метод
решения интегрального уравнения B9.20) *). Контур интегриро-
интегрирования разбивается на некоторое число дуг точками 1к и на каж-
каждой из них выбирается по точке, обозначаемой через t%, равно-
равноотстоящей от tk и tk+1. Смещения U(t) считаются постоянными
в пределах каждой дуги и приписываются надлежащей точке t%.
Решение интегрального уравнения осуществляется посредством
приравнивая левой и правой части во всех точках t\. Необходимые
для этого значения сингулярных слагаемых находятся в явном
(элементарном) виде, поскольку дуга tk, tk+1 заменяется ломаной
tk, t%, tk+i и фактически вычисляется угол между tk, t\ и 1%, tk+i.
Регулярные же слагаемые находятся с помощью формулы Симп-
сона.
Таблица 3
Погрешность в смещениях для круга при двух разбиениях
Точки
1
2
3
4
л= 12
Ai
0,0482
0,0003
0,0519
0,0000
0,0000
0,0601
0,0165
0,0317
Точки
1
2
3
4
5
6
7
л = 24
Ai
0,0268
0,0185
0,0000
0,0184
0,0261
0,0184
0,0000
Д2
0,0000
0,0211
0,0313
0,0258
0,0091
0,0085
0,0157
В работе Ришо приведен ряд расчетов. Была рассмотрена
задача для круга при его нагружении нормальным давлением,
зависимость которого от полярного угла имеет вид N = Р cos2 <p.
Решение строилось для 12 и 24 дуг равной длины. Расположение
и нумерация участков задавались таким образом, чтобы точка t\
соответствовала углу ср = О. В табл. 3 представлены значения
*) Заметим, что ранее метод решения сингулярных интегральных уравнений
Н. С. Кахнпашвили [1J был предложен в работе А. Я. Александрова [1J.

34]
ТЕЛА, ОГРАНИЧЕННЫЕ НЕСКОЛЬКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
227
относительной погрешности в смещениях &.1 и Д2 (в долях макси-
максимального смещения) *) в точках одного квадранта. Коэффициент
Пуассона v = 0,25.
Получено также решение задачи для прямоугольника с отно-
отношением сторон 1:8. Нагружение сводилось к давлению, равномерно
распределенному по меньшим сторонам. Разбиение контура осу-
осуществлялось на 48 частей таким образом, чтобы центральные
точки не попали на углы, а сами участки имели одинаковую
длину. Нумерация выбиралась так, чтобы точке t\ соответст-
соответствовала середина меньшей стороны. В табл. 4 приведены по-
погрешности в смещениях (Ах и А2) в точках одного квадранта.
Коэффициент Пуассона v = 0,2.
Таблица 4
Погрешность в смещениях для прямоугольника
Точки
1
2
3
4
Д,
0,0036
0,0026
0,0050
0,0102
Да
0,0000
0,0015
0,0058
0,0138
Точки
5
6
7
8
Д,
0,0033
0,0013
0,0005
0,0000
Да
0,0138
0,0126
0,0118
0,0115
Вопросы эффективного решения сингулярных уравнений B9.21)
методом механических квадратур посредством использования
интерполяционных полиномов изучены в работе IO. Д. Конейкниа,
М. И. Аляутдниова и Ю. Л. Бормота 11].
§ 34. Задачи теории упругости для тел,
ограниченных несколькими поверхностями
Пусть область D ограничена несколькими поверхностями So,
Si, ..., Sm, причем поверхность So (которая может и отсутство-
отсутствовать) охватывает все остальные, расположенные вне друг друга.
Требуется решить задачу теории упругости для области D, когда
на поверхностях Sj заданы условия того или иного вида.
Если на всех поверхностях заданы смещения, то будем искать
решение в виде потенциала двойного слоя первого или второго
родов, а если напряжения— то в виде потенциала простого слоя.
Тогда придем к интегральным уравнениям, которые символически
можно представить в том же виде, что и уравнения B9.1)— B9.3),
если под знаком «S» понимать объединение всех поверхностей
*) Имеются в виду проекции смещения на направления ф = 0 и <р = л/2.
Погрешность определена посредством точного решения.
V.8*

228 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ГГл VI
и уравнения рассматривать на каждой поверхности. Таким образом,
строится фактически система интегральных уравнений для всех
плотностей фу (q) (индекс функции соответствует индексу поверх-
поверхности). Параметр v равен 1 в задаче I и — 1—в задаче II.
Заметим, что доказанные в § 16 формулы Бетти автоматически
обобщаются и на рассматриваемые области, что приводит к- рас-
распространению ряда результатов, относящихся к спектральным
свойствам этих уравнений (см. § 31) (все собственные числа веще-
вещественны и по модулю не менее единицы). Очевидна также приме-
применимость альтернатив Фредгольма в случае сингулярных уравнений,
поскольку дополнительные операторы являются вполне непрерыв-
непрерывными. Основное затруднение вызвано более сложной структурой
резольвенты в окрестности v = ± 1.
Для проведения соответствующего исследования уравнений,
которые далее будем обозначать через B9.1) —B9.3), введем
в рассмотрение вспомогательную (союзную) задачу — задачу для
области D', составленной из областей D^, D\, ..., D^. Хотя эта
задача и разбивается на ряд самостоятельных элементарных крае-
краевых задач, ее рассмотрение посредством одновременного задания
на всех поверхностях плотностей тех или иных потенциалов
представляет интерес, поскольку приводит к союзным интеграль-
интегральным уравнениям.
Пусть на поверхностях Sj заданы смещения. Тогда как для
уравнения B9.1), так и B9.2) существуют нетривиальные решения
однородных задач. Они имеют вид
Фо (q) =0, Фу (q) = С, (/=1,2 т), C4.1)
где Су — постоянные векторы.
Из теорем единственности следует, что иных (линейно неза-
независимых) решений быть не может. Таким образом, уравнения B9.1)
и B9.2) оказываются, вообще говоря, неразрешимыми.
Для построения разрешимых регулярных уравнений Д. И. Шер-
ман [10] предложил модификацию представления смещений, разви-
развивающую ранее разработанный им прием исследования задачи
Дирихле (см. Д. И. Шерман [8]). Автор ввел в представление для
смещений слагаемые
Т(р, р/) ]<?j(q)dSq, C4.2)
SJ
где точки pj выбираются произвольно в областях ?>/". Тогда одно-
однозначно разрешимое уравнение примет вид
m m
ф! (?) - v 2 \ Г" (9. Я') Ф/ (?') dSg. + ^ Г (q, pj) \ Фу (я1) dSQ. = 0
/=0 Sj 1=1 Sj
faeS,) (f-0, 1, 2, .... m). C4.3)

§ 3t] ТЕЛА, ОГРАНИЧЕННЫЕ НЕСКОЛЬКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 229
Из теоремы единственности вытекает, что решение C4.3)
(обозначим его через ф* (?)) удовлетворяет однородному функ-
функциональному уравнению, которое следует записать в виде
т
v \ Ц1 (Р, q) фо (<?) dSq = v ^ \ Г'1 (р, q) ф-f (q) dSg +
So 1 = 1 S,
m
+ ? Г2 (p, py) 5 фГ (?) dSg (p e ?»). C4.4)
В уравнениях C4.4) положительное направление нормали выб-
выбрано вне тела. Обозначим выражение в левой части через Ux (p),
а в правой —через U2(p). Каждое из них можно рассматривать
также и в области Do'. Смещения U\{p) имеют разрыв на поверх-
поверхности So, а предельные значения N-оператора совпадают. Для
смещений ?/2(Р) поверхность So не является какой-либо особой
поверхностью Поскольку согласно C4.4) совпадают предельные
(изнутри) значения Лг-оператора от Ur (p) и U2 (p), то будут сов-
совпадать и предельные значения извне, что приведет к совпадению
смещений U\ (p) и 1]г (р) в области Dq. Из непрерывности же
смещений U\ (p) при переходе через Sj следует равенство нулю
функции Фо(<?).
С учетом сказанного перепишем функциональное уравнение
C4.4) для произвольно выбранного индекса i в виде
\ if (p, q) ф? (q) dSq + Г (р, р,) \ ФГ (?),
v
S[
т т
¦ (р<=Ь). C4.5)
Выражение, стоящее в левой части, можно рассматривать во
всей области DJ. Выражение же в правой частл — в областях D и
Df. Поскольку в области D эти выражения совпадают, то они
взаимно продолжимы и представляют собой единую функцию,
удовлетворяющую уравнениям Ламе во всем пространстве и рав-
равную поэтому нулю. Перепишем доказанное равенство
\ Т\' (р, ?) ф? (q)dSg + Г (р, р,) $ ф? (?) dSg =0 (ре DJ).
si si
Первый его член убывает на бесконечности, как R-2, а второ-й—
как R-1. Поэтому оба слагаемых оказываются равными нулю,
т. е.
J Г" (Р, Я) Ф? (Я) dSg = $ ф? (q) dS9 = Q (p s Dt). C4.6)
s{ s,
8 Партон В. 3., Перлии П. И,

230 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Рассмотрим теперь потенциал $ Гг' (р, q) q>* (q) dSg в области
si
Df. Из условия непрерывности N-оператора следует, что этот
потенциал может принимать только постоянное значение, которое
в силу C4.6) должно быть равно нулю. Приведенные рассужде-
рассуждения показывают, что функция <pf (q) обращается в нуль. Ввиду
произвольности выбора индекса приходим к доказательству тож-
тождественного равенства нулю функции'(р* (д). Следовательно, интег-
интегральное уравнение C4.3) всегда разрешимо.
Остановимся на решении задачи I посредством сингулярного
интегрального уравнения B9.2). В работе Т. В. Бурчуладзе [1],
являющейся обобщением подхода к решению задачи Дири:-:ле,
развитого в работе В. Д. Купрадзе [1], предлагается искать сме-
смещения в виде
U {Р> = М \ {Г' (р, q) - Г (р, <?)} <ру (q) dS9, C4.7)
/-os.
что приводит к сингулярному интегральному уравнению
4i (q) - v Z \ {Г1 (q, q') - Г (q, q')} 4j(q') dSg> =F(q)
/=os.
(?eS,.) (i = l, 2 m). C4.8)
Это уравнение отличается от уравнения B9.2) лишь регулярным
слагаемым, и поэтому альтернативы Фредгольма остаются приме-
применимыми.
Для исследования уравнения C4.8) необходимо обратиться
к так называемой пятой (по терминологии работы В. Д. Купрадзе,
Т. Г. Гегелиа [1]) основной задаче теории упругости, >когда на
ограничивающих прверхностях задано соотношение
TnU(q) + o(q)U(q)=f(q), C4.9)
где 0 = 1 (Ту [| (k, /=1,2,3), причем форма ^OkjXktJj положи-
положительно определенная.
Будем искать решение этой задачи для области D', предста-
представив смещения в виде потенциала простого слоя. Тогда для
однородных краевых условий придем к сингулярному уравнению,
союзному с C4.8). Пусть ijj* (q) — его нетривиальное решение,
а V (р, if*)— соответствующий потенциал. Из теоремы единствен-
единственности пятой основной задачи следует, что этот потенциал дол-
должен обращаться в нуль в областях Do и D7h. Поэтому из непре-
непрерывности потенциала простого слоя будет следовать его равенство
нулю в области D, что приводит к доказательству отсутствия
нетривиальных решений у однородного союзного уравнения.
Таким образом, уравнение C4.8) оказывается всегда разрешимым.

§ 34] ТЕЛА, ОГРАНИЧЕННЫЕ НЕСКОЛЬКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 231
Указанные подходы, как частный случай, позволяют рассмот-
рассмотреть задачу 1~ (когда имеется только одна поверхность S{).
Следует отметить, что вопрос о сходимости метода после-
последовательных приближений для рассмотренных выше модифика-
модификаций остается открытым, поскольку фактически мы имеем дело,
вообще гоЕоря, с новыми интегральными уравнениями.
В работе Н. И. Мусхелишвили [2] предложен метод построе-
построения интегральных уравнений для задачи Дирихле, который легко
перенести на задачи теории упругости. Вместо исходной рас-
рассматривается видоизмененная задача, когда смещения на границах
определяются с точностью до произвольного жесткого смешения
каждой поверхности Sj. Представления смещений дополняются
слагаемыми вида Г (р, pk) Ск, с подлежащими определению посто-
постоянными векторами Ск. В получаемые при этом уравнения вво-
вводятся дополнительные интегральные операторы такие, что их
ядра обращаются в нуль, когда точки р и q принадлежат разным
поверхностям. Когда же аргументы расположены на одной поверх-
поверхности, ядра представляют собой постоянную матрицу. Получаемые
таким образом интегральные уравнения оказываются всегда раз-
разрешимыми. На заключительном этапе требуется так определить
постоянные Ск, чтобы видоизмененная задача совпадала с исход-
исходной, что приводит к всегда разрешимой системе алгебраических
уравнений. Структура добавочных членов такова, что любое
решение модифицированного уравнения оказывается решением
исходного уравнения. В той же работе Н. И. Мусхелишвили [2]
показано, что собственные числа превосходят по модулю 1,
в связи с чем появляется возможность решать уравнения методом
последовательных приближений.
Перейдем к рассмотрению второй основной задачи. Однород-
Однородное уравнение (союзное уравнению C4.3)) является интеграль-
интегральным уравнением, которое может быть получено, если решать
одновременно первую основную задачу для областей системы D',
исходя из представлений смещений в виде потенциала двойного
слоя первого рода при нулевых смещениях на границах. Очевидно,
что сами смещения будут равны нулю, а из непрерывности опера-
оператора напряжений будет следовать, что порождаемые этими потен-
потенциалами смещения в области D могут соответствовать смещению
тела, как жесткого целого. Следовательно, нетривиальное реше-
решение союзного уравнения существует и оно элементарно. Можно
показать также, что иных нетривиальных решений нет (см.
Т. В. Бурчуладзе [1]). Таким образом, интегральные уравнения
C4.3) оказываются разрешимыми при выполнении условий орто-
ортогональности, которые, так же как и в задаче П+, выражают
равенство нулю главного вектора и главного вектор-момента
внешних сил. Заметим, что при отсутствии поверхности So задача
оказывается всегда разрешимой.
8*

232 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Уравнение C4.3) можно решать методом последовательных
приближений в модифицированной форме (например, A0.7)) пос-
посредством переразложения в степенной ряд в плоскости v отно-
относительно какой-либо точки, расположенной между v = 0hv = — 1.
Для того чтобы ответить на вопрос о возможности непосредст-
непосредственного решения (т. е. в виде ряда A0.1)), необходимо провести
исследование уравнения C4.3) при v=l, т. е. при решении
задач для областей системы D'. Очевидно, что соответствующие
этим задачам интегральные уравнения будут иметь собственные
функции — они находятся элементарно, поскольку отвечают неза-
независимому смещению поверхностей Sj (/=1, ..., т) как жесткого
целого. Для того чтобы уничтожить полюсы резольвенты в точке
v=l, необходимо потребовать выполнения условий ортогональ-
ортогональности с каждой из таких собственных функций, что эквивалентно
условию равенства нулю главного вектора и главного вектор-
момента внешних сил, приложенных к каждой поверхности. Это
ограничение на общность краевых условий чисто кажущееся,
поскольку простейшее преобразование приводит к их выполнению
(с помощью наложения решения для сосредоточенных сил и
моментов, приложенных в точках областей Dj).
К аналогичным выводам о возможности непосредственного
решения уравнений C4.3) методом последовательных приближе-
приближений приведет обобщение на теорию упругости подхода к решению
задачи Неймана, предложенного в работе Н. И. Мусхелишвили
[2]. Соответствующим образом модифицированные интегральные
уравнения оказывается также возможным решать методом после-
последовательных приближений при выполнении указанных условий
на нагрузку.
Естественно, что реализация решения пространственных задач
теории упругости при наличии нескольких ограничивающих поверх-
поверхностей может быть проведена тем же образом, что и для одной
поверхности (с использованием регулярных представлений). Разу-
Разумеется, что ресурсы ЭВМ при этом должны быть более значитель-
значительными. Отсутствие к настоящему времени расчетов по такого рода
методикам не позволяет судить об эффективности этих подходов.
По-видимому, можно ожидать, что при уменьшении расстояния
(локального или глобального) между поверхностями потребуется
не только увеличить число итераций, но и использовать все
более мелкую дискретизацию поверхности.
Представляется очевидным построение интегральных уравне-
уравнений, когда на поверхности Sj задаются краевые, условия разного
вида.
Остановимся еще на методе решения задач для тел, ограни-
ограниченных двумя поверхностями, предложенном П. И. Перлиным
[2, 5] и являющемся обобщением на пространственный случай
метода Д. И. Шермана [12]. Пусть требуется решить задачу,

§ 35] КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫЕ ТЕЛА 233
когда область ограничена поверхностями So и Su на которых
заданы напряжения /0(q) и fi(q)- Тогда для одной из дополни-
дополнительных областей, допустим для Do, решается задача при том же
краевом условии fo(q)- Обозначим через А.о(<7) получаемые при
этом смещения на поверхности So. Далее на этой поверхности
вводится вспомогательная функция А.(<7)> равная искомому сме-
смещению. Можно показать, что смещения Ui(p) = U (р) + W(p, [i),
где ii (q) — 0,5 [к (q) — А.„ (q)], удовлетворяют уравнениям Ламе
в области D\. Решаем эту задачу (при условно заданной функции
fi (<7)) и определяем смещения на поверхности So, приравняв
которые функции X (q), приходим для нее к сингулярному интег-
интегральному уравнению.
Если на ограничивающих поверхностях заданы смещения или
смещения и напряжения, рассуждения проводятся, в сущности,
аналогичным образом.
В работах П. И. Перлина [4] и П. И. Перлина и С. Ф. Сту-
пака [1] получены решения первой и второй задач для области,
ограниченной эллипсоидом и сферой. Все построения осуществля-
осуществлялись с помощью аппарата рядов.
§ 35. Кусочно-однородные тела
Первоначально будем считать, что в упругом неограниченном
теле с постоянными Ламе kt и jj,j имеется полость, заполненная
упругой же средой с иными постоянными Хо и ц.о. Поверхность
контакта сред будем обозначать через S и положим, что коэф-
коэффициенты Пуассона этих сред совпадают, тогда имеет место
равенство 1ко/к1 = [).о/\х1 = к. Обозначим в области D~ смещение
через Uг{р), а в области D+ —через Uo(p)-
Будем предполагать, что на поверхности S выполняются
следующие условия:
Ul(q)-U0(q) = F1(q), C5.1)
TinU1(q)-T0nU0(q) = F2(q), C5.2)
причем функции Fi(q) и F2(q) принадлежат классу Г.—Л. Допол-
Дополнительный индекс в операторе напряжений соответствует индексу
при коэффициентах Ламе. Указанная задача по терминологии
В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелиа и др. [1] называется главной
контактной задачей.
В соответствии с работой П. И. Перлина [7] видоизменим
постановку задачи, воспользовавшись тем обстоятельством, что
коэффициенты Пуассона для упругих сред одинаковы. Заменим
в одной из областей, например в D+, упругую среду на тело
с теми же постоянными, как и в области D~, сохранив при этом
неизменными смещения. Такая замена возможна, поскольку одно-
однородные уравнения Ламе содержат лишь коэффициент Пуассона.

234 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Тогда уравнение C5.2) примет вид
TlnU1(Q)-kTlnUo(q)^F2(Q), C5.3)
в то время как уравнение C5.1) останется без изменения.
Первоначально для упрощения задачи образуем потенциал
двойного слоя W(p, l/2Fl) и рассмотрим смещения Ux = U\(p) —
— W(p, V*/7!) и C0(p) = U0(p)~ W(p, ViFJ. Очевидно, что эти
значения смещений удовлетворяют тождестве?!но уравнению C5.1),
а уравнение C5.3) примет вид
Ti,Ui (q)-kT2aUo (<?) = ^2 (q)+knnW- T;nW = F3 (q). C5.4)
Таким образом, новые смещения ?/, (р) и Uo (p) представляют
собой непрерывные во всем пространстве функции, предельные
значения оператора напряжений от которых связаны соотноше-
соотношением C5.4).
Введем на поверхности S вспомогательную функцию (р (q),
определив ее следующем образом:
C5.5)
Если бы функция ф (q) била известна, то решение задачи пред-
представлялось бы в виде потенциала простого слоя
V(p, Ф) = $Г(р, q)<?(q)dSr C5.6)
s
Будем считать эту функцию условно заданной. Определив пре-
предельные значения оператора напряжений с разных сторон поверх-
поверхности S и подставив их в истинное соотношение C5.4), придем
к интегральному уравнению для функции (р (р):
-^sM- C5.7)
Уравнения такого класса исследовались нами в § 29. Поскольку
Vo=7Xb<li то уравнение C5.3) оказывается всегда разреши-
мым, причем для его решения можно воспользоваться методом
последовательных приближений (см. В. Д. Купрадзе [3]). Реа-
Реализацию же метода можно осуществлять посредством введенных
в § 31 регулярных представлений. То обстоятельство, что пара-
параметр vo<l, обеспечит быструю и устойчивую сходимость алго-
алгоритма.
Будем полагать, что упругое тело с постоянными Xi и ^ не
простирается в бесконечность, а ограничено некоторой поверхно-
поверхностью St (равным образом можно считать, что упругое тело
с параметрами ^ и |i0 ограничено изнутри некоторой поверхно-

$ 35] КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫЕ ТЕЛА 235
стью So). Повторяя предыдущие рассуждения (с учетом § 29),
придем к системе сингулярных интегральных уравнений
<р (q)~vo^T1(q, q')<?(q')dSQ.+
3(q) (q<=S), C5.8)
+ 5 I\ (q, q') ф1 (<?') dSq, = F, (?) (g e S,), C5.9)
s.
Выше полагалось, что на поверхности Sx заданы напряжения
Fi (q), в связи с чем представление решения выбиралось в виде
потенциала простого слоя. Уравнения C5.8) и C5.9) похожи на
уравнения, полученные в § 36 для тела, ограниченного двумя
поверхностями. Однако теперь нельзя утверждать, что эти урав-
уравнения можно решать методом последовательных приближений
(в отличие от случая, когда vo=l (? = 0)), поскольку сходимость
метода последовательных приближений в § 31 основывалась на
аналитической теории резольвенты, а не на оценках по модулю.
Если же предпринять такую попытку, и в ходе реализации
расчетов будет наблюдаться расходимость алгоритма, то можно
рекомендовать следующий частный прием. Допустим, что одна
из поверхностей, например S, является сферой. Разложим функ-
функцию (р @ в ряд по сферическим полиномам. Затем определим
согласно работе П. И. Перлина и С. Ф. Ступака [1] потенциал
простого слоя вне этой поверхности и для каждой гармоники
решим соответствующую краевую задачу для суммарной области,
заключен-ной внутри поверхности Su пользуясь, разумеется, мето-
методом последовательных приближений (т. е. фактически решив
уравнение B9.3)). Решение же неиспользованного уравнения C5.8)
будет осуществляться в рядах и сведется к системе линейных
уравнений для коэффициентов ряда. Изменения в алгоритме при
решении задачи, когда поверхность St является сферой, очевидны.
Можно подойти к интегральным уравнениям C5.7) на основе
общих функциональных уравнений для кусочно-однородной среды,
пригодных и в случае различных коэффициентов Пуассона (см.
В. Д. Купрадзе [3]). Отметим, что, опираясь на эти уравнения,
автор доказал разрешимость исходных физических задач.
Перейдем к рассмотрению общего случая (с различными коэф-
коэффициентами Пуассона) и будем считать, что есть область D,
ограниченная гладкими поверхностями Sn (п = 0, 1, 2, ..., т),
из которых одна — So охватывает все остальные. Область D,
заполнена упругой средой с постоянными Ламе %о и Мо. а области Di,

236 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
расположенные внутри поверхностей Sn, средами с постоян-
постоянными Ламе J,, и (I, (я=1, 2 т). На поверхностях контакта
сред выполняются условия типа B9.1) и B9.2), а на поверх-
поверхности So заданы условия для первой или второй основных задач.
Обозначим на поверхностях Sn векторы напряжений —через t± (^
а векторы смещений — U~ (q). Применим, следуя Ришо и Шиппи
(F. J. Rizzo, D. J. Shippy [1]), к каждой из областей Dn соотно-
соотношение C1.5), вытекающее из формулы Бетти (в ее основном и
модифицированном на случай нескольких поверхностей виде).
Тогда получим
Ш(q) - $ Г' (<?, <?') Ut (q') dSq> = $ Г <<?• Я') *t (q')dSq, (л < m),
Un(q)+ \ Tl(q, q')U7{q')dSq.-
Sn
m
- Yl \ T\ (q, q') UT (q') dSq. - J Г.^ (q, q') U+ (q') dSq. =
/-IS,
+ 5 Г (q, q') tt (q1) dSq. (n = 1, 2 m), C5.10)
So
m
Uf(q)+ Ц ] r\(q, q')UJ{q')dSq-
- J T\ (q, q') Ut (q) = J Г (q, q') t+ (<?') dSr.
So So
Штрих при суммировании обозначает пропуск n-го слагаемого.
Дополним полученную систему двумя уравнениями вида C5.1)
и C5.2). Тогда окончательно получим систему порядка 4т+1,
которая из-за простоты соотношений C5.1) и C5.2) сразу упро-
упрощается и приводится к системе порядка 2т-|-1. Очевидно, что
понижение порядка неизвестных можно производить различным
образом, приходя как к регулярным уравнениям первого рода,
так и к сингулярным уравнениям второго рода.
В той же работе подробно рассматривается случай плоской
задачи (с использованием представления B9.19)). Описывается
схема численной реализации, являющаяся развитием работы Ришо
(F. J. Rizzo [1]). Приведем некоторые результаты этой работы. Авто-
Авторы рассмотрели задачу об определении напряженного состояния
р плоскости с эллиптическим отверстием, в которое с некоторым
натягом вставлена эллиптическая шайба из того же материала
(рис. 15). На этом рисунке представлено разбиение контура на

»35]
КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫЕ ТЕЛА
237
элементарные дуги и выбор центральных точек для двенадцати
выбранных участков.
В табл. 5 представлены значения относительной погрешности
для нормальных к контуру компонент смещения (Д^ и напряжения
(Д2) в точках 1 и соответственно 4, 7, 13 при числе участков
разбиения я =12, 24, 48. Погрешность определялась сопо-
сопоставлением с точным решением (см. Д. И. Шерман [5]) и представ-
представлена в долях максимального смещения и максимального напряже-
напряжения. В расчетах коэффициент Пуассона
полагался равным v=l/3. Натяг зада-
задавался увеличением полуосей пропор-
пропорционально их размеру. Отношение по-
полуосей а/Ь = 2.
Авторы рассмотрели также задачу
об эллиптической вставке в матрицу,
ограниченную снаружи окружностью R рт ,5 Не0 енная.
(рис. 16). Как включение, так И матри- пластинка с эллиптическим
ца по-прежнему были из одного и того же включением,
материала. В табл. 6 представлены
значения проекций векторов смещений и напряжений на оси 1 и
2 на границе раздела и на наружной границе. Эти значения даны-
в безразмерном виде в долях максимальных смещений и напря-
напряжений, соответствующих случаю, когда наружный контур отсут-
отсутствует (R/a — со). Все прочие параметры соответствуют предыду-
предыдущей задаче.
Таблица 5
Погрешность в смещениях и напряжениях
для плоскости с эллиптическим включением
12
Точки
1
4
7
13
А,
12
0,0220
0,0160
24
0,0115
0,0095
48
0,0055
0,0005
12
0,1560
0,0266
24
0,0426
0,0133
48
0,0113
0,0066
Кроме того, была также рассмотрена задача, когда в беско-
бесконечную плоскость с квадратным отверстием введена с натягом-
вставка из того же материала и из материала с модулем упругости,
втрое превышающим основной (рис. 17). Разбиение контура на дуги
равной длины осуществлялось таким образом, чтобы первая цент-
центральная точка была ближайшей к оси симметрии (но не совпа-
совпадала с ней). Кроме того, требуется чтобы угловая точка не ока-
оказалась центральной. В табл. 7 приведены значения нормальной-

238
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
|Гл. VI
и касательной компонент контактных напряжений, а также тан-
тангенциальной компоненты как во включении (os), так и в матрице
(<те), когда модули упругости совпадают. Все величины представ-
представлены в безразмерном виде (поделены на нормальную компоненту
/2 11 10 9 8
Рис. 16. Круговая пластинка с эллиптическим включением.
напряжений в точке 1, определенную из аналитического реше-
решения). Натяги задавались одинаковыми в обоих направлениях.
В скобках указана относительная погрешность, определенная
по точному решению (в долях той же компоненты нормального
напряжения). Коэффициент Пуассона был
равен v = 0,25.
В табл. 8 представлены результаты ана-
аналогичных расчетов, когда модуль упругости
включения в три раза больше, чем в основ-
основной области (в матрице). Для удобства со-
сопоставления результатов все величины пред-
представлены в безразмерной форме (посредством
Рис 17. Пластинка с т°й же величины, что и в предыдущей таб-
таблице).
Случай, когда в ограниченной области
есть одна поверхность раздела, специально
рассмотрен в работе М. О. Башелейшвили, Т. Г. Гегелиа [1],
где предполагалось, что на наружной поверхности заданы на-
напряжения. Посредством специального подбора представлений
для смещений в каждой области получена и исследована система
квадратным включе
нием.

i 35]
КУСОЧНО ОДНОРОДНЫЕ ТЕЛА
239
Таблица 6
Смещения и напряжгния для круга с эллиптическим выключением
Точки
1
2
3
4
5
6
7
25
26
27
28
29
30
0,623
0,577
0,481
0,368
0,249
0,125
0,000
0,217
0,255
0,281
0,256
0,178
0,064
"г
R/a=:
0,000
0,421
0,718
0,120
0,048
1,121
1,146
0,044
0,154
0.288
0,488
0,585
0,632
0,9115
0,7396
0,4911
0,3239
0,1983
0,0968
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,3414
0,4653
0,5065
0,5243
0,5388
0,5341
0,0000
0,0000 1
0,0000 ;
0,0000
0,0000
0,0000
Точки
1
7
0/527
0,000
1
7
0,081
0,000
«г
R/a = 5
0,00!)
0.61)')
0,000
1,014
Точно? решение
1
7
0,615
0,000
0,000
1,000
"я
0,0581
О.СОСО
о,<»;г>!)
0,0000
\
0,0000
0,б;-;<}9
0,0000
0,6574
R/a = со)
1,0000
0,0000
0,0000
0,6677
Таблица 7
Напряжения в пластинке с квадратным включением
(материал пластинки и включения одинаковый)
Точки
1
2
3
4
5
6
0,987@,012)
0,992@,011)
0,998@,013)
1,009@,013)
1,026@,011)
0,988 @,065)
хп
0,061 @,000)
0,185@,000)
0,327 @,000)
0,501 @,002)
0,726 @,027)
0,525 @,256)
°а
1,831 @,005)
1,827 @,003)
1,819@,0005)
1,808@,003)
1,805@,008)
1,810@,028)
"а
1,005@,005)
1,008 @,005)
1,016@,005)
1,027 @,005)
1,028 @,008)
1,024 @,030)
Таблица 8
Напряжения в пластинке с квадратным включением
(материал пластинки и включения различный)
Точки
1
2
3
%
1,142
1,153
1,177
х
п
0,092
0,285
0,499
°()
2.531
2,541
2,5E5
1,738
1,732
1,719
Точки
4
5
6
°п
1,225
1,307
1,659
0,765
1,100
2,405
°е
2,618
2,765
2,776
1.691
1,623
1,541

240 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
сингулярных интегральных уравнений относительно четырех
неизвестных функций и доказана применимость к ним альтер-
альтернатив Фредгольма.
Принципиально более сложными являются задачи в случае,
когда поверхность раздела сред выходит на границу. По-види-
По-видимому, изложенные выше методы могут быть (с определенными
допущениями) использованы для решения указанных задач,
конечно, с привлечением анализа особенностей напряженного и
деформированного состояний в окрестности особых линий пере-
пересечения наружной поверхности с поверхностью разреза. Отметим,
что в § 22 указанная задача решалась в плоской постановке.
§ 36. Пространственные задачи теории упругости
для тел с разрезами
В предыдущих параграфах этой главы рассматривались методы
решения пространственных задач теории упругости для тел,
ограниченных гладкими поверхностями. Перейдем к изучению осо-
особого случая, когда в упругом теле (конечном или неограничен-
неограниченном) имеется разрез в форме незамкнутой поверхности Ляпунова
S. Эту поверхность следует рассматривать, вообще говоря, как
двустороннюю и обозначать одну из ее сторон через S+, а другую —
через S', соответствующие точки которых — д+ и q~ (положите-
(положительное направление нормали выберем в сторону S~). Гладкий кон-
контур, ограничивающий поверхность S, обозначим через L.
Сформулируем постановку второй основной задачи. Требуется
определить во всем пространстве вектор упругого смещения
U{p), удовлетворяющий предельному условию
HmTaU{p)=t(r). C6.1>
причем предполагается, что функции /+ (q+) и f~ (q) заданы и
принадлежат классу Г.—Л. Считаем также, что напряжения на
бесконечности отсутствуют. Если же напряжения на бесконечно-
бесконечности отличны от нулевых, то с помощью наложения тривиального
решения для сплошного тела легко перейти к рассматриваемому
нами случаю.
Образуем потенциал простого слоя V (р, /,) с плотностью
fi(q) = 0,5[f+ (q+)—f-(q~)]. Можно показать, что смещение
Ui (р) = U (р) — V(p, /О будет удовлетворять одинаковым краевым
условиям (в напряжениях) на поверхности S. Поэтому будем
считать, что это преобразование уже осуществлено, и решать
краевую задачу, когда функции /+ (q+) и /~ (q~) совпадают между
собой, опуская в условиях C6.1) индекс.

§ 36] ТЕЛА С РАЗРЕЗАМИ 241
Будем теперь разыскивать смещение в виде потенциала двой-
двойного слоя первого рода, распределенного на поверхности S *):
Ux(p) =W(p) = \T\(р, q) ч>(?)dSq. C6.2)
s
Как известно, потенциал W(p) удовлетворяет уравнениям Ламе
во всем упругом теле, а порождаемые им предельные значения
напряжений с разных сторон поверхности будут совпадать между
собой**) (см. § 28). Таким образом, решение задачи теории упру-
упругости свелось к решению функционального уравнения
lim Tn\Tl(p, q)y(q)dSq=f(q±). ' C6.3)
Заметим, что искомая плотность ф (q) равна половине скачка
смещений на поверхности S.
Осуществим дискретизацию поверхности S, разбивая ее на
малые треугольники Sj (/=1, 2, ..., N). Выберем в каждой
области S/ по точке, расположенной в центральной части, кото-
которые будем (согласно введенной в § 33 терминологии) называть
опорными и обозначать через р;-. Будем считать плотность постоян-
постоянной (в пределах каждой малой области Sj) и отнесенной к ее
значению в точке р} (ф(Р/). = ф/)- Перейдем к вычислению левой
части уравнения C6.7) в каждой опорной точке. Соответствую-
Соответствующая интегральная сумма должна иметь вид
N
Каждое слагаемое этой суммы есть произведение матрицы
третьего порядка а]к на вектор ф^. Построение этой суммы должно
фактически осуществляться следующим образом. В точке pj за-
задается вектор ф), имеющий первую компоненту единичной вели-
величины, а две остальные — равными нулю. Во всех же остальных
точках все компоненты вектора ф полагаются нулевыми.
После соответствующих вычислений (о чем речь пойдет ниже)
находятся первые строки матриц ajk {k—l, 2, ..., N). Полагая
далее отличной от нуля (и равной единице) лишь вторую компо-
компоненту вектора (обозначаемого через ф|), приходим соответственно
ко второй строке в этих матрицах и далее посредством век-
вектора фу — к третьей строке. Очевидно, что расчеты следует про-
проводить поочередно для всех точек pj.
*) Указанный прием является обобщением способа, предложенного в ра-
работе Трикоми (F. G. Tricomi [1]), для решения аналогичных гармонических
вадач.
*•) В предположении, что эти предельные значения существуют.

242 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Принципиальные трудности возникают лишь при определении
матриц Ujj (с совпадающими индексами) из-за невозможности вне-
внесения оператора Тп под знак интеграла. Все же остальные мат-
матрицы могут быть построены на основе той или иной квадратур-
квадратурной формулы. При этом, правда, следует учесть, что если
индексы / и k таковы, что расстояние между точками pj и рь
сравнимо с диаметром области Sj, то для повышения точности
следует осуществить вторичное (более мелкое) разбиение области Sj
с тем, чтобы те же квадратурные формулы применять к более
мелким областям, сохранив при этом, разумеется, плотность по-
постоянной в пределах первичного разбиения. Размеры этих мелких
областей устанавливаются в ходе расчетов по достижении задан-
заданной точности значений определяемых коэффициентов.
Перейдем к рассмотрению центрального момента расчетной
схемы —построению матриц aj}, и укажем приемы определения
этих коэффициентов, предложенные разными авторами.
Одна из рекомендаций (см. П. И. Перлин, В. Н. Самаров
[1, 2]) состоит в том, что в каждой опорной точке pj восстанав-
восстанавливается перпендикуляр к поверхности и на нем откладывается
по несколько точек вблизи разреза, которые обозначаются через р!.
(верхний индекс «/» указывает на расстояние от точки р1. до точки рЛ
В каждой из вспомогательных точек р\ не представляет труда
построить матрицу а,-,- от потенциала, распространенного на Sj
и имеющего единичную плотность (для каждой компоненты по-
поочередно). Естественно, что при малом значении / применение
простейших квадратурных формул приведет к значительной по-
погрешности. Для достижения же заданной точности необходимо
воспользоваться описанным выше способом, заключающимся
в дополнительном разбиении области Sj на малые области. После
того как построена совокупность таких матриц (при обеспеченной
точности), предлагается определить искомую матрицу а^ посред-
посредством какой-либо (например, полиномиальной) экстраполяции (по
длинам /).
Естественно, что для определения значения матриц ajj в пре-
пределах требуемой точности следует задать точки р1. в достаточной
близости от точки pj в таком количестве и при таком располо-
расположении, чтобы обеспечить достоверность экстраполяции *).
Авторы привели результаты расчета модельного примера. Был
взят плоский квадрат со стороной, равной единице, и на нем
была задана вектор-функция, две касательные компоненты кото-
которой равны нулю, а нормальная— единице. Эта функция рассмат-
рассматривается как плотность потенциала двойного слоя. Далее в точ-
*) Точки pj лишь для простоты расчетов выбираются на нормалях.

§36]
ТЕЛА С РАЗРЕЗАМИ
243
ках, расположенных на нормали, проходящей через центр квад-
квадрата, были определены напряжения, порождаемые этим
потенциалом. Для выбранных точек, характеризуемых расстоя-
расстоянием I от плоскости квадрата, расчеты произвэдились при раз-
различных, все более мелких, вспомогательных разбиениях (на
пг разных частей) основного квадрата. Результаты соответствую-
соответствующих расчетоз представлены в табл. 9. Из этих данных следует,
что при сколь угодно малом расстоянии точки от позерхности
за счзт дополнительного (достаточно меткого) разб 1ения можно
получить устойчивые значения напряжения.
Таблица 9'
Нормальная компонента напряжений в зависимости от расстояния
до поверхности при различных вспомогательных разбиениях
п \.
30
90
120
180
0,40
1,78139
1,78159
1,78159
—
0,20
1,66073
1,66085
1,66093
—
0,15
1,63240
1,63255
1,63260
—
0,10
1,60990
1,61014
1,61023
—
0,05
0,51901
1,57513
1,59691
1,59615
Далее был изучен сам процесс экстраполирования, когда вы-
выбирались различные комбинации и количество точек /,-. Получае-
Получаемые таким образом значения нормальной компоненты напряжения
представлены в табл. 10.
Таблица 10
Предельные значения напряжений
в зависимости от числа и расположения вспомогательных точек
при различных вспомогательных разбиениях
30
со
120
180
0,4; 0,3; 0,2
1,55197
1,55195
1,55200
0,4; 0.3; 0,2; 0,1
1,59238
1,59315
1,59388
0,4; 0,4; 0,2; 0,1; 0,05
1,54165
1,59133
1,59205
Анализируя эти данные, можно сделать также вывод об устой-
устойчивости предложенного алгоритма, разумеется, при использовании
только тех значений напряжений, которые подтверждаются расче-
расчетами с более мелким разбиением.

244 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Конечно, осуществление соответствующего расчета в каждой
опорной точке (особенно, если области Sf различные) достаточно
трудоемко, однако можно заметить, что практически выбор вспо-
вспомогательных точек следует установить раз и навсегда из анализа
модельных случаев (например, как выше, для квадратного эле-
элемента).
Таким образом, задача на заключительном этапе сводится
к решению системы алгебраических уравнений
=/(/>,) (/ = 1,2 N). C6.4)
Система C6.4) оказывается, как установлено в некоторых
частных случаях, системой достаточно хорошо обусловленной и,
по-видимому, для ее решения можно пользоваться методом после-
последовательных приближений.
В работе Б. М. Зиновьева [1] предложен иной способ построе-
построения системы C6.4). Автор рассматривает в пространстве плоский
квадрат и задает на нем равномерно распределенное усилие.
Интегрируя решение Кельвина —Сомильяны, он получает в явном
замкнутом виде выражение для напряжений во всем пространстве,
в том числе и для предельных значений с разных сторон квад-
квадрата в его центре. Суммированием решений, получаемых в слу-
случае двух рядом расположенных квадратов, и осуществлением
предельного перехода, когда расстояние между квадратами стре-
стремится к нулю, а усилия стремятся к бесконечности (так что
произведение остается постоянным), фактически получается точ-
точное значение оператора Т„, когда плотность есть единичный век-
вектор, а поверхность S} — плоский квадрат. В качестве примера
исходный разрез был взят в виде плоского прямоугольника с соот-
соотношением сторон 2:1. На рис. 18 приведены значения плотности
(т. е. смещений) в точках разреза (а) *), а также значения нор-
нормальных . напряжений в точках упругого тела, расположенных
на продолжении разреза (б).
В работе Низитани и Муреками (Н. Nisitani, Y. Murekami [1])
также рассматривается случай разреза плоской формы, причем
рассуждения авторов состоят в следующем. Допустим, что имеется
плоский разрез в виде эллипса. Решение задачи для простран-
пространства с эллиптическим разрезом при гидростатическом давлении
известно (см. А. И. Лурье [1]). Будем решать задачу численно
при заданном произвольном нормальном давлении (заметим, что
из-за наличия плоскости симметрии следует равенство нулю каса-
касательных компонент векторов фу). Осуществим каким-либо образом
•) По постановке задачи в точках контура L плотность должна обращаться
s нуль.

ТЕЛА С РАЗРЕЗАМИ
245
дискретизацию поверхности разреза и перейдем к построению
системы C6.4). Для нахождения диагональных матриц о^ авторы
поступают следующим образом: приближенно расматривают задачу
в случае, когда решение известно в явном виде, и находят этот
диагональный элемент из того
условия, что все недиагональные
члены матрицы вычисляются без
затруднений, а значения чисел
ц>к берутся из точного решения.
Естественно рассчитывать, что
предложенные алгоритмы приве-
приведут к сравнительно легко реали-
реализуемой расчетной схеме, когда в
пределах достаточно крупных эле-
элементарных областей можно пола-
полагать плотности постоянными. Та-
Такое предположение можно считать
логичным лишь во внутренних
областях, если полагать, что кри-
кривизна поверхности и нагрузка
сравнительно слабо меняются.
В узкой же полоске, примыкаю-
примыкающей к контуру L, решение меня-
меняется значительным образом.
Воспользуемся известным в
теории упругости результатом
(см. § 17), состоящим в том, что
напряженное состояние в окре-
окрестности кромки клинообразной
области удовлетворительно опи-
описывается асимптотическими реше-
решениями, извлекаемыми из соответ-
соответствующих плоской задачи и зада-
задачи кручения. Выделим на поверх-
поверхности S кольцевую полоску S6, в
которой решение представляется
посредством указанных решений,
введенных в локальной системе
координат по нормали и по касательной к контуру разреза при
наличии некоторого множителя пропорциональности, меняющегося
по длине контура (см. П. И. Перлин, В. Н. Самаров [1, 2]). Этот
множитель определяется таким образом, чтобы в ближайшей
(по нормали к контуру) опорной точке из оставшейся части
области S* — S — S& скачок смещений, определяемый из анали-
аналитического решения, совпадал с условно заданным*значением 0,5 ф;.
Тогда все расчеты осуществляются лишь в опорных точках,
Рис 18. Пространство с разрезом
в виде прямоугольника. Значение
смещений иа поверхности разреза
(а), нормальные напряжения в
плоскости разреза (б).

246
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
[Гл. VI
расположенных в зоне S*, однако интегрирование проводится по всей
области S. После того как система C6.4) (а точнее, ее модифи-
модификация) будет решена, смещения в полоске определяются анали-
аналитически.
Поясним изложенное на примере осесимметрической задачи
для круглого разреза радиуса R. Поверхность разбивалась
на малые области системой равноотстоящих лучей и концентри-
концентрических окружностей, а опорные точки брались в центрах (при
использовании полярной системы координат). В кольце S6 реше-
решение выбиралось в виде ф(р) = q>kV{R — P)/(R — 9k), гДе fe —индекс
крайней опорной точки, расположенной в области S*, причем
р и рА — расстояние текущих точек р и pk от центра (из-за осе-
осевой симметрии все построения осуществлялись в одном секторе).
Как показывают данные расчетов*) (см. табл. 11), значение
коэффициента концентрации при использовании асимптотических
решений повысило точность с 5% до 1,5% при одной и той же
дискретизации поверхности.
Таблица 11
Значения нормальной компоненты смещений
на поверхности кругового разреза
р
фрасч.
фточн.
Р
фрасч.
фточн.
1
1,10864
1,09645
1/30
1,10203
1,09430
20/30
0,82501
0,82030
5/30
1,09527
1,08020
25/30
0,58735
0,59326
10/30
1,05008
1,06370
28/30
0,35894
0,36148
15/30
0,95484
0,96118
29/30
0,20987
0,21051
Обратимся теперь к изучению задач, когда упругое тело огра-
ограничено, причем здесь надо рассмотреть два различных случая.
В первом будем полагать, что поверхность разреза расположена
внутри упругого тела, а во втором,— что она на определенном
участке выходит на наружную поверхность S^ Очевидно, что
хотя во всех указанных случаях трудоемкость решения сущест-
существенно возрастает, однако не следует преувеличивать значения воз-
возникающих принципиальных трудностей. В отличие от рассмот-
рассмотренной выше задачи для полного пространства, представление
*) При нагружении гидростатическим давлением.

§ 36] ТЕЛА С РАЗРЕЗАМИ 247
смещения имеет теперь вид
U(p) = \ Г' (р, q) ф (</) dS9 + Н(р), C6.5)
s
где слагаемое Н (р) является потенциалом простого или двойного
слоя, расположенного на поверхности Si (в зависимости от харак-
характера краевого условия на ней). Считая далее, что заданы напря-
напряжения fi(q), представим краевое условие на поверхности S,
через функцию ц>(д), полагая ее условно заданной
4>i(q)+ \ Ы</, q')<fi{q')dsq' =
=/, (q) - $ TnVl (q, q') q. (q') dSq. (q e 5,). C6.6)
i
Если на поверхности S введено N малых областей S/t то
необходимо решить 3N краевых задач (т. е. уравнений вида B9.3))
для сплошной области, положив по очереди отличной от нуля
лишь одну компоненту одного из векторов фу. Далее следует
повторить рассуждения первой части настоящего параграфа, при-
прибавив при построении матрицы еще регулярные слагаемые Н(р).
Можно предложить также метод, основанный на подходе
П. И. Перлина [2, 3]. Для простоты считается, что краевые усло-
условия равны нулю на поверхности Sb на которой и вводится вспо-
вспомогательная функция ф2(<7), равная значению половины смещения
на этой поверхности. Образуется потенциал двойного слоя W (р, ф2)
и рассматривается смещение U1(p)==U' (р) — W{р, ф2), которое
удовлетворяет уравнениям упругого равновесия во всем прост-
пространстве, исключая поверхность S. Таким образом приходим снова
к рассмотренной выше задаче. Соответствующее функциональное
уравнение имеет дополнительные слагаемые, зависящие от той
или иной формы представления функции ф2 (q) на поверхности Sx.
Вообще говоря, можно воспользоваться кусочно-постоянным
представлением этой функции.
Отметим, что в случае, когда упругое тело занимает полу-
полупространство, задача может быть рассмотрена специальным образом.
Построение функционального уравнения уместно осуществлять
исходя не из решения Кельвина —Сомильяны, а из решения
Миндлина для сосредоточенной силы в полупространстве
(см. R. D. Mindlin [1]). При этом краевые условия на наружной
поверхности (а их надо положить равными нулю) удовлетворяются
точно. На этой основе было осуществлено решение задачи для
полупространства с разрезом в виде прямоугольника (см. Б. М. Зи-
Зиновьев [1]). На рис. 19 приведены значения плотности в точках
разреза, а также значения напряжений в точках упругого тела,
расположенных на продолжении разреза.

248
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
[Гл. VI
Перейдем к рассмотрению задачи р случае, когда разрез выхо-
выходит на наружную поверхность. Обозначим через L, ту часть
контура L, которая оказывается расположенной на поверх-
поверхности St. Введя вспомогательный потенциал на поверхности S,
перейдем к задаче для сплошной области и, решая ее каким-либо
образом (полагая, например, скачок смещений на S условно
заданным), на заключительном этапе
придем к уравнению для скачка.
Первое существенное затруднение
вызывается тем, что решать вспомо-
вспомогательную задачу для сплошного
тела придется при разрывном кра-
краевом условии вдоль линии Lx. Кро-
Кроме того, как отмечалось в § 17, от-
отсутствует информация об асимптоти-
асимптотическом поведении решения в окрест-
окрестности концов этой линии.
Решение пространственных задач
теории упругости для тел с разре-
разрезами с иных позиций было предме-
предметом рассмотрения в работах М. Д.
Мартыненко [1, 2]. Автор восполь-
воспользовался представлением смещений че-
через гармонические функции в форме
Папковича, а каждую из них пред-
представил в интегральной форме по-
посредством функции Грина двулист-
двулистного риманова пространства с лини-
линией ветвления, совпадающей с конту-
контуром, ограничивающим поверхность S
(см. A. Sommerfeld [1]). Если функ-
функция Грина известна (а ее существо-
существование доказано), то оказывается воз-
возможным построить интегральные
уравнения для вспомогательных
функций (плотностей), входящих в
интегральные представления и зада-
задаваемых на различных элементах дву-
двулистного риманова пространства. Рассмотрены как первая, так и
вторая основные задачи. В случае первой задачи автор исследовал
вопрос о разрешимости интегральных уравнений методом пос-
последовательных приближений. В случае же второй основной
задачи проведен анализ разрешимости соответствующих уравне-
уравнений, причем потребовалось ввести ограничение на форму раз-
разреза—нормаль к поверхности пересекает ее только в одной
точке.
Рис. 19. Полупространство с
наружным разрезом в виде пря-
прямоугольника. Значение смеще-
смещений на поверхности разреза (а),
нормальные напряжения в пло-
плоскости разреза {б).

% 37] ТЕЛА С КУСОЧНО-ГЛАДКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 249
В работе М. Д. Мартыненко [4] введены иные представления
смещений — посредством некоторых обобщений на двулистное про-
пространство потенциалов двойного и простого слоев, что привело
к построению сингулярных интегральных уравнений как для
первой, так и второй задачи. Изучен вопрос об эквивалентной
регуляризации этих уравнений, а также о возможности их реше-
решения последовательными приближениями.
Перейдем к рассмотрению задач при наличии плоских разре-
разрезов. В этом случае, естественно, возникают некоторые упрощения.
Например, интегральные уравнения, предложенные в работе
М. Д. Мартыненко [2], оказываются разрешимыми в явном виде. На-
Наиболее существенное упрощение происходит, когда к сторонам раз-
разреза приложена лишь нормальная нагрузка, одинаковая на различ-
различных берегах разреза. В этом случае задача теории упругости сводит-
сводится к смешанной задаче теории потенциала: требуется определить
в области (полупространстве) гармоническую функцию, прини-
принимающую на одной части поверхности заданное значение, а на
оставшейся части — заданное значение нормальной производной.
Следует заметить, что аналогичная задача возникает при решении
контактных (смешанных) задач теории упругости для полупрост-
полупространства при отсутствии трения между штампом и деформируемым
телом (см. § 38). Поэтому ряд авторов проводит рассмотрение
указанных задач одновременно.
8 работах М. Д. Мартыненко [5, 6] удалось построить (с не-
некоторым приближением) функции Грина для случаев, когда разрез
ограничен симметрично-звездной кривой или представляет собой
двусвязную область. В замкнутом виде получены приближенные
решения, когда области мало отличаются от круга или от круга
с исключенной небольшой внутренней частью.
Большое количество работ относится к случаю, когда разрез
незначительно отличается (в некотором смысле) от круга. Более
подробно методы построения и решения соответствующих интеграль-
интегральных уравнений будут изложены в § 38 применительно к контакт-
контактным задачам.
§ 37. Решение задач теории упругости для тел,
ограниченных кусочно-гладкими поверхностями
Выше всюду полагалось, что поверхность S, ограничивающая
упругое тело, принадлежит классу Ляпунова. Это обстоятельство
использовалось, в частности, при выводе исходных интегральных
уравнений. В противном случае на угловой линии внеинтеграль-
ный член в уравнениях приобретает определенный множитель,
зависящий от величины угла между касательными плоскостями.
Вопросы решения гармонических задач методом интегральных
уравнений для такого рода областей рассматривались в работах
9 Партон В. 3., Перлин П. И.

250 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Карлемана (Т. Carleman [1]), Радона (J. Radon [1]), Ю. Д. Бураго,
В. Г. Мазьи, В. Д. Сапожниковой [1] и др. Аналогичные иссле-
исследования применительно к сингулярным интегральным уравнениям
основных пространственных задач теории упругости отсутствуют.
С другой стороны, в прикладной литературе достаточно подробно
изучен вопрос о характере особенностей решения (смещений
и напряжений) в окрестности угловых линий (см. § 17). Эти
обстоятельства позволили Н. Ф. Адрианову, П. И. Перлину [1]
предложить алгоритм приближенного решения второй основной
пространственной задачи на основе решения сингулярного интег-
интегрального уравнения *).
Изложим этот алгоритм. Для простоты будем считать, что
поверхность S состоит из двух частей Sx и S2, соприкасающихся
между собой по гладкой линии L. В дальнейшем принадлежность
точек той или иной поверхности будем подчеркивать соответствую-
соответствующим дополнительным индексом.
Сингулярное интегральное уравнение, получаемое для решения
второй основной задачи, в случае, когда смещения представ-
представляются в виде потенциала простого слоя, имеет вид
a(q)(f(q)-v^T1(q,q')(f(q')dSq' = F(q). C7.1)
s
Множитель a (q) во внутренних точках**) поверхностей Si и S2
равен 1. Положим также, что функция q>(q) удовлетворяет усло-
условию Г.—Л. во всех внутренних точках. Через Ft (q) будем обоз-
обозначать предельное значение вектора внешних напряжений изнутри
поверхности Si, а через F2 (<?) — изнутри поверхности S2.
Решение уравнений C7.1) будем проводить методом после-
последовательных приближений с учетом указанных выше работ. Задача
сведется к вычислению сингулярных интегралов (см. §§ 31, 33)
Постараемся так выбрать расчетную схему, чтобы отсутство-
отсутствовала необходимость в вычислении множителя a (q). Для этого
необходимую для вычисления интегралов дискретизацию поверх-
поверхности S осуществляют таким образом, чтобы опорные точки не
лежали на линии L. С целью повышения точности естественно
располагать некоторые узловые точки на линии L. Таким образом,
контур L должен быть составлен из общих границ элементарных
областей, расположенных в Si и S2.
*) Без соответствующего строгого математического обосиовання.
**) Определение его для точек контура L не вызывается необходимостью,
что будет ясно из дальнейшего.

8 37]
ТЕЛА С КУСОЧНО-ГЛАДКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
251
При таком способе выбора опорных точек остаются справедли-
справедливыми регулярные представления C1.18).
Реализация соотношений C1.18) практически полностью совпа-
совпадает с описанной § 33. Отклонение от этой расчетной схемы
заключается лишь в следующем. Во-пер-
Во-первых, при определении функций сря (q) в уз-
узловых точках, расположенных на линии L,
поскольку эти функции, как правило, ока-
оказываются разрывными. Поэтому следует рас-
рассматривать эти узловые точки как двойные,
относя к каждой из них значение плотности
со стороны Si или S2. Во-вторых, рекомен-
рекомендуется значения функций ср„+1 (q) (с той и
другой стороны линии L) определять посред-
посредством экстраполирования, исходя из не-
нескольких опорных точек, расположенных
с соответствующей стороны от линии. При
этом, как и следует ожидать, значения
функций с разных сторон в этих узловых
точках окажутся различными.
В качестве примеров решались внешняя и внутренняя задачи
для области, ограниченной двумя одинаковыми сферическими сег-
сегментами (рис. 20) при нагружении гидростатаческим давлением р.
На рис. 21 приведены эпюры нормальной cpfr и касательной ф?
Рис. 20. Область, ог-
ограниченная двумя сфе-
сферическими сегментами.
Рис. 21. Значения нормальной (ф^) и касательной (ф?) значений плотности
в задаче П+ для различных 80.
компонент плотности для внутренней задачи, а на рис. 22 —для
внешней при шести значениях телесного угла. Во всех расчетных
случаях наблюдалось устойчивое изменение плотностей с умень-
уменьшением размеров элементарных областей.
9*

252
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
[Гл. VI
Для определения напряжений в окрестности угловой линии
(когда телесный угол превышает л) авторы не считают возмож-
возможным ограничиться общим приемом (см. § 33) и вводят в рас-
рассмотрение собственные функции краевой задачи согласно урав-
уравнению A7.3), что приводит к асимптотическому представлению
Рис. 22. Значения нормальной (фдЛ и касательной (ф^) значений плотности
в задаче II" для различных 60-
напряжений (в локальных координатах р, 0 в плоскости, нор-
нормальной к угловой линии) в виде
где if (8) — некоторая функция, различная для каждой компоненты,
X— постоянная, определяемая согласно A7.4), аргумент функции
A (s) характеризует положение точки на угловой линии.
Далее, в плоскости, нормальной к угловой линии, выбирается
несколько точек, расположенных на одном отрезке б = 80, и
в них строится та или иная компонента напряжений согласно
решению интегрального уравнения. Существенно, что по мере
приближения к угловой точке необходимо для достижения устой-
устойчивых значений пользоваться решениями при все уменьшающихся
(по крайней мере, в окрестности угловой линии) размерах эле-

§ 381 СМЕШАННЫЕ (КОНТАКТНЫЕ) ЗАДАЧИ 253
ментарных областей. Определение функции A (s) (для фиксиро-
фиксированной точки это — постоянная) осуществляется таким образом,
чтобы обеспечить гладкое сопряжение указанных решений.
Остановимся на приеме решения пространственных задач для
тел, ограниченных кусочно-гладкими поверхностями, предложен-
предложенном в работах Круза и Круза, Ван Бурена (Т. A. Cruse [3]
и Т. A. Cruse, W. Van Buren [1]) *). Авторы специально указы-
указывают, что использование сингулярных интегральных уравнений
B9.6), получаемых посредством формулы Бетти, предпочтитель-
предпочтительней использования уравнений B9.3) (получаемых посредством
представления смещений потенциалом простого слоя) в том слу-
случае, когда поверхность S является кусочно-гладкой. Более того,
высказывается утверждение, что уравнения B9.6) являются
справедливыми и в строгой постановке. С этим утверждением
нельзя согласиться, поскольку при выводе уравнения исполь-
используются предельные формулы B8.10'), справедливые лишь для
поверхностей Ляпунова. Приведенные данные не позволяют оце-
оценить достоверность расчетов и высказать то или иное суждение.
Кроме того, результаты этих работ относятся к случаю фикси-
фиксированной дискретизации поверхности, и поэтому не позволяют
судить о возможном разбросе (или осцилляции) искомых функций.
§ 38. Смешанные (контактные) задачи
Пусть Si есть некоторая часть поверхности S, ограничивающей
упругое тело D, a S2 — оставшаяся часть поверхности. Замкнутую
гладкую линию, являющуюся границей между Si и S2, обозначим
через L.
Решение смешанной задачи теории упругости заключается в
определении поля смещений U(p) в области D при краевых
условиях
U(q)=fi(q) foe SO, TnU{q)=f%{q) foe-S,). C8.1)
Задачи такого рода называются смешанными (или контакт-
контактными), и, хотя они исключительно важны для приложений, ввиду
сложности их исследование в общей постановке осуществлено в
недостаточной степени. Доказательство существования решения
самой физической задачи проведено в работе Фикера (G. Fichera
[1]) **), а построение и исследование интегральных уравнений
этих задач нельзя считать законченными.
*) Общее изложение этого метода было даио в § 33.
**) Для гармонической задачи доказатьцьство получено в работе Заремба
(S. Zaremba [I]).

254 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Построение интегральных уравнений для смешанных задач не
составляет труда. Действительно, если искать смещение в виде
потенциала простого слоя, то, осуществляя предельный переход
к точкам поверхности Si (для смещений) и к точкам поверхности S2
(для напряжений), придем к интегральному уравнению с разрыв-
разрывными коэффициентами и ядрами. Вопрос о разрешимости таких
уравнений остается открытым.
В работе А. Я. Александрова [7] указанное уравнение предла-
предлагается решать методом механических квадратур, воспользовавшись
для вычисления сингулярных слагаемых результатами его же
работы [1]. В работе Круза (Т. A. Cruse [1]) метод механических
квадратур применен для решения интегральных уравнений, полу-
получаемых посредством надлежащего предельного перехода в формуле
Бетти A4.27).
Заметим, что сингулярные интегральные уравнения второго
рода с разрывными ядрами могут быть получены, если восполь-
воспользоваться представлением смещений в виде суммы двух потенциа-
потенциалов—потенциала простого слоя (с плотностью на поверхности Sa)
и потенциала двойного слоя (с плотностью на поверхности S^.
Рассмотрение смешанных задач на основе матрицы Грина изложено
в работе В. Д. Купрадзе [3].
Приближенный метод решения основных задач (см. В. Д. Купрад-
Купрадзе, М. А. Алексидзе [1]) используется в работе М. А. Алексидзе,
К. Н. Самсония [2] для решения смешанных задач. Строится на-
набор частных решений уравнений Ламе — Г (р, рк) ср (рк) посредством
некоторой совокупности точек pk, расположенных вне области D.
Соответствующие коэффициенты ср (рк) находятся методом наимень-
наименьших квадратов.
Возможна также реализация следующей расчетной схемы.
На поверхности Si или S2 (в зависимости от того, какая поверх-
поверхность меньше) неизвестные условия (для поверхности Si —напря-
—напряжения) представляются каким-либо конструктивным образом,
например, посредством разложения в ряд (при введении той или
иной системы координат). Тогда для каждой гармоники следует
построить решение соответствующей краевой задачи, после чего
искомые коэффициенты определяются из условия минимальности в
среднем невязки известных краевых условий на рассматриваемой
поверхности.
Особенно перспективным такой способ представляется в тех
задачах, когда на поверхности St известны касательная компо-
компонента напряжений и нормальная компонента смещений, поскольку
при этом искомой является скалярная функция, а не векторная.
Именно такой случай рассмотрен в работе В. М. Лиховцева и
П. И. Перлина (см. В. М. Лиховцев [1]) применительно к задаче
для полупространства с цилиндрическим вырезом. Усилие Р
передавалось через гладкий плоский штамп, полностью занимающий

«38]
СМЕШАННЫЕ (КОНТАКТНЫЕ) ЗАДАЧИ
255
весь торец. Нормальная компонента напряжений была взята в
виде ряда о (р/а) = [1 — (p/aJ]~v» _>] а« (Р/аJл • Структура мно-
Ь=о J
жителя вытекает из уравнения A7.7) при а = 1,5л. Расчеты
проводились при удержании одного и двух коэффициентов для
различных отношений высоты
цилиндра Н к его радиусу а.
На рис. 23 представлены эпюры
контактных напряжений при
Н/а = 0,2 и 3,5. Пунктиром на-
нанесено точное решение при
В табл. 12 представлены
значения коэффициентов ап
(при удержании различного
числа), а также соответствую-
соответствующие этим расчетным случаям
значения погрешности в смеще-
смещениях и контактные напряжения
а' = па2а (р/а)/Р (Н/а = 0,2).
Перейдем к рассмотрению
задач для некоторых конкрет-
конкретных областей. Естественно, что
речь пойдет о специализиро-
специализированных методах, учитывающих
структуру этих областей. Наи-
Наиболее изученными представля-
представляются контактные задачи для
полупространства.
В тех случаях, когда на по-
поверхности Sx задаются все ком-
компоненты смещения (так назы-
называемое сцепление со штампом), интегральное уравнение можно
получить, исходя из решения Черутти (см. W. Nowacki [1]) для
сосредоточенной силы, приложенной к границе полупространства.
Суммируя смещение от всех трех компонент, можно получить
представление смещений на поверхности Si в интегральной форме.
Остановимся подробнее на наиболее изученном случае, когда
касательные напряжения отсутствуют, в связи с чем воспользуемся
решением Буссинеска. Согласно этому решению нормальная к
границе компонента смещений от воздействия сосредоточенной
силы Р, приложенной в точке q, принимает на поверхности ис-
исключительно простой вид
Рис. 23. Контактные напряжения при
различных заглублениях (Н\а). Пунк-
Пунктирная линия — контактные напряже-
напряжения при Я = 0 (точное решение).
пЕ /-(р, q)
¦CL-
р

2Б6 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
Из этой формулы сразу следует интегральное уравнение
г^ту dSr = /i (g) (g е- Si). C8.2)
Укажем на известную аналогию между смешанной задачей
для полупространства при отсутствии на его поверхности каса-
касательных напряжений и задачей для пространства с тем же
плоским разрезом при нагружении лишь нормальным (равным
с обеих сторон) давлением. Из-за наличия плоскости симметрии
последнюю задачу можно рассматривать как смешанную, когда на
поверхности разреза заданы давления, а вне его нормальные
перемещения, равные нулю. Наложением решения второй основной
задачи для полупространства при тех же значениях напряжений
на поверхности Si приходим к смешанной задаче, когда на
поверхности Si напряжения равны нулю, а вне ее заданы смещения.
Таблица 12
Значения коэффициентов функции а (р/а), невязки смещений
н контактных давлений грн удержании различного числа членов ряда
а.
1,000
1,276
1,266
а,
—0,357
—0,408
а,
0,120
Д (%)
4
1
0,6
о'
(р/а=0,0)
0,678
0,866
0,856
О'
(р/а = 0,5)
0,822
0,972
0,960
(р/а = 0,9)
2,038
2,010
2,005
Таким образом, решение смешанной задачи теории упругости
приводится к решению смешанной задачи теории потенциала,
которая оказывается (иа соображений симметрии) эквивалентной
задаче Дирихле для всего пространства при заданном на поверх-
поверхности Si значении функции. Согласно Трикоми (F. Tricomi [1])
решение этой последней задачи можно искать в виде потенциала
простого слоя, что и приводит к тому же уравнению C8.2).
Из результатов работы Заремба (S. Zaremba [1]) следует сущест-
существование гармонической функции, представимой в виде потенциала
простого слоя (естественно, при достаточной гладкости функ-
функции /(<?))• Поэтому уравнение C8.2) оказывается разрешимым и
притом единственным образом. В работе С. Г. Михлина [4] указана
возможность применения к интегральному уравнению C8.2) (как
уравнению с симметричным ядром) теоремы Гильберта — Шмидта
о представимости решения в виде ряда по собственным функциям.
При этом, правда, можно говорить лишь о сходимости в среднем.
Практическая реализация этого подхода была осуществлена в

J 38] СМЕШАННЫЕ (КОНТАКТНЫЕ) ЗАДАЧИ 257
работе В. И. Довноровича (см. С. Г. Михлин [4]) на примере
осесимметричной задачи.
Получению ряда частных результатов для решения уравнения
C8.2) посвящено исключительно большое число работ, изложение
многих из которых содержится в монографиях И. Я. Штаермана [1],
Л. А. Галина [1] и А. И. Лурье [1], причем они относятся к
случаям круглого и эллиптического штампов.
Перейдем к рассмотрению приближенных методов решения
уравнения C8.2), когда поверхность Sx близка (в некотором
смысле) к кругу. В работе А. Б. Ефимова, В. Н. Воробьева [3]
предлагается осуществить отображение области Si на круг, введя
в отображаемую функцию некоторый параметр, считаемый доста-
достаточно малым. При этом осуществляется соответствующее преоб-
преобразование интегрального уравнения (ядро представляется в виде
ряда по параметру). Запишем это уравнение символически в
виде Kp = f и представим в следующей форме:
KoP = f-{K-Ko)p, C8.3)
где оператор Ко соответствует нулевому значению параметра
(т. е. когда поверхность Si есть круг) и поэтому известен обрат-
обратный оператор К»1. Уравнение C8.3) предлагается решать методом
последовательных приближений, что приводит к рекуррентным
соотношениям
рп = ро-Къ1{К-Ко)рпл (п=1, 2, ...).
Очевидно, что при достаточно малом значении параметра схо-
сходимость будет иметь место. Заметим, что для плоского эллипти-
эллиптического штампа сходимость существует при любом значении экс-
эксцентриситета.
Отметим также прием, предложенный в работе М. Я. Леонова,
К. Т. Чумака [1]. Авторы разбивают область Si на вписанный
круг и оставшуюся кольцевую область. В кольцевой области
напряжения представляются в аналитической форме (посредством
локальных координат в направлении номали (р) и касательной (s)
к контуру L) p(p, s) = р (s)p-''K Множитель р (s) определяется
следующим образом. Решается контактная задача для круглого
штампа при наличии пригрузки р(р, s) и далее из условия ко-
конечности напряжений на контуре круга получается уравнени4
для функции р (s). Возможно уточнение этой схемы, если считать,
что коэффициент р (s) зависит линейно (или более сложным обра-
образом) от координаты р.
Остановимся на решении контактной задачи для шара при нали-
наличии осевой симметрии (ем. В. Ф. Бондарева [2]). В этой работе исполь-
использовано полученное автором в более ранней работе (см. В. Ф. Бонда-

268 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ [Гл. VI
рева[1]) выражение для радиальной компоненты смещения при нагру-
жении осесимметричным нормальным давлением. В результате автор
приходит к интегральному уравнению первого рода на сферическом
сегменте S±. В ядре интеграла удается выделить члены (при
надлежащей замене переменных), которые совпадают с членами
уравнения осесимметричной контактной задачи для полупрост-
полупространства (см. М. Я. Леонов [2]) (в той же работе решение этого
уравнения получено с замкнутом виде). Выделенные члены пере-
переносятся в одну сторону, а все остальные рассматриваются как
правая часть вспомогательного уравнения, решение которого
приводит к интегральному уравнению второго рода с регулярным
ядром. Показано, что получаемое уравнение можно решать методом
последовательных приближений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложенный в книге материал достаточно убедительно пока-
показывает возможности, которые открываются при решении задач
теории упругости с использованием аппарата интегральных
уравнений. Будучи ограничены объемом книги и ее целенаправ-
целенаправленностью, авторы, естественно, оставили без внимания некоторые'
направления, где также используется этот аппарат, и которые
являются очевидным обобщением рассмотренных выше подходов.
К таковым следует отнести задачи теории периодических колебаний
(см., например, В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелия и др. [1]), теории
деформирования анизотропных сред (см., например, S. М. Vogel,
F. J. Rizzo [1], М. D. Snyder, Т. A. Cruse [1]).
Вне поля зрения авторов оказались также некоторые методы,
в которых аппарат интегральных уравнений второго рода возникает
как один из промежуточных этапов.
Большое развитие получили методы интегральных преобразо-
преобразований (см., например, Я- С. Уфлянд [1]), позволяющие находить
эффективные решения задач для областей специального вида.
При рассмотрении смешанных задач и задач для областей с
разрезами проблему можно свести к интегральным уравнениям
первого рода с разрывным ядром (так называемые дуальные или
парные уравнения), которые посредством специального представ-
представления искомой функции приводятся к интегральным уравнениям
второго рода. Заметим, что к этим же уравнениям приходят при
использовании аппарата парных рядовых уравнений (см., например,
В. 3. Партон, Е.М. Морозов [1]).
Значительное число задач решается посредством приближенной,
так называемой факторизации функционального соотношения,
возникающего в ходе применения интегрального преобразования
к одному классу интегральных уравнений первого рода (см.,
например, В. Noble [1]).
В работе не освещены также методы решения интегральных
уравнений первого рода, к которым без труда могут быть сведены
некоторые задачи теории упругости. Как известно (см., например,
А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин [1]), решение этих уравнений
традиционными приближенными методами приводит к неустойчивым

260 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
алгоритмам, и поэтому требуется привлечение специальных приемов
(так называемых регуляризующих алгоритмов).
Внимание исследователей привлекают также задачи для тел
с подкреплениями, т. е. задачи для кусочно-однородных тел, в
которых протяженность области с большим модулем упругости
много меньше, чем основной области. Ввиду этого оказывается
нецелесообразным напряженное состояние таких областей опре-
определять, привлекая общие методы (см. §§ 22, 35). Разработаны
приближенные приемы решения такого рода задач, когда напря-
напряженное состояние в подкреплении устанавливается с помощью
методов строительной механики, что позволяет перейти к специаль-
специальной вспомогательной краевой задаче для основной области. На этом
этапе появляется возможность эффективного использования ин-
интегральных уравнений (см., например, Г. Н. Савин, В. И. Тульчий
[1], Г. Н. Савин, Н. П. Флейшман [1]).
Известно, что некоторые методы решения задач механики
сплошных сред сводятся на промежуточных этапах к задачам
линейной теории упругости. Укажем на применяемый в теории
пластичности (деформационная теория) метод упругих решений
(см. А. А. Ильюшин [1]). В работе Сведлоу и Круза (J. L. Swedlow,
Т. A. Cruse [1]) аналогичный подход переносится на теорию течения.
Разумеется, решение указанных задач можно (при некоторых
ограничениях) осуществить посредством интегральных уравнений,
что и предложено в упомянутой работе.
Очевидно, что и для сред с более сложной реологией можно
пользоваться (в той или иной форме) методом упругих решений.
Важное прикладное значение имеют задачи теории упругости
для сред с непрерывно меняющимися коэффициентами Ламе.
Отметим, что, при некоторых ограничениях на поведение этих
коэффициентов, решение может быть сведено к поэтапному рас-
рассмотрению вспомогательных задач для однородной среды.
Наметились определенные общие подходы к непосредственному
решению задач для неоднородных сред на основе интегральных
представлений (см. Furuhashi Rozo, Kataoka Masoharu [1]).
Изложенное позволяет надеяться, что численные методы
решения интегральных уравнений, открывающие большие возмож-
возможности для эффективного изучения многих задач механики сплошных
сред, будут привлекать все возрастающее внимание исследователей.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Ниже прилагаются программы решения некоторых классов пространствен-
пространственных задач теории упругости на основе реализации уравнения B9.3) методом
последовательных приближений.
Программы состоят из ряда блоков, которые в конкретных контекстах
могут быть использованы по-разному. Такими блоками являются ввод исход-
исходных данных, решение интегральных уравнений, вычисление смещений и напря-
напряжений. Эти блоки оформляются в виде подпрограмм или независимо редакти-
редактируемых модулей, связь между которыми осуществляется через стандартно
оформленные массивы. Наличие предлагаемой документации позволяет значи-
значительно упростить процесс получения решения в конкретных задачах.
I. ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ
(составлена С. Ф. Ступаком)
Программа состоит нз 5 фаз, написанных на языке ФОРТРАН IV и
использующих дополнительные возможности в организации файлов на магнитной
ленте, предусмотренные в системе программирования для ЭВМ Минск-32.
Программа INPUT. Эта программа формирует на магнитной ленте массив
исходных данных задачи. Переменные, описанные в операторе COMMON,
имеют один и тот же смысл во всех остальных программах.
М — число строк в матрице узловых точек,
N — число столбцов в матрице узловых точек,
MB —число опорных точек,
F — модуль упругости,
RNU — коэффициент Пуассона,
XI E0) — массив координат опорных точек по оси х,
ХЗ E0) — массив координат опорных точек по оси г,
XN1 E0) — массив проекций на ось х нормали к поверхности в опорных
точках,
XN3 E0) — массив проекций иа ось г нормали к поверхности в опорных
точках,
FL E0) — массив расстояний между первой опорной точкой и остальными
(данные величины используются в качестве параметров интерполяции при
вычислении итерационных членов в узловых точках),
В1 E0) — массив проекций иа ось х векторов нагрузки в опорных точках,
ВЗ E0) — массив проекций на ось г векторов нагрузки в опорных точках,
Y1 B00) — массив координат узловых точек по оси х,
Y3 B00) — массив координат узловых точек по оси г,
YN1 B00) — массив проекций иа ось х нормали к поверхяости в узловых
точках,
YN3 B00) — массив проекций на ось г нормали к новерхнвсти в узловых
точках,

262 ПРИЛОЖЕНИЯ
XL B00) — массив расстояний между первой опорной точкой н узловыми
точками,
SQ B00) — площади (умноженные на 0,5) элементарных областей, соответ-
соответствующих узловым точкам,
ALE0) — массив величин, характеризующих дискретизацию поверхности
по оси вращения,
F1 B00) — массив проекций на ось * векторов нагрузки в узловых точках,
F3 B00) — массив проекций на ось г векторов нагрузки в узловых точках.
Все описанные переменные получают свои значения в процессе ввода про-
программы INPUT и используются остальными программами.
Программа CPRDZ. На этой фазе реализован метод последовательных
приближений. Входные данные счнтываются с магнитной ленты, куда они
записываются программой INPUT. Количество итераций задается с пишущей
машиики пульта оператора в ответ на директиву ЖДУ- Результат каждой
итерации записывается иа магнитную ленту.
Программа DNSTY. Данная программа вычисляет значения плотности как
для внешней, так и внутренней задач. В качестве входной магнитной ленты
используется леита, полученная на этапе работы программы CPRDZ. Резуль-
Результаты выводятся иа печать и записываются отдельным файлом на выходной
магнитной ленте. Имя файла передается программе с пишущей машинки
пульта оператора в ответ иа директиву ФАЙЛ.
Программа DSPLC. Данная программа используется для вычислений сме-
смещений в заданных точках, координаты которых должны быть подготовлены на
картах. Для повышения точности желательно производить вторичную (локаль-
(локальную) дискретизацию поверхности.
Программа TRACT. Данная программа используется для вычисления
напряжений в заданных точках. Эта программа аналогична программе DSPLC
по вводу исходной информации. Дополнительно для каждой точки указывается
направление нормали к площадке, на которой вычисляется вектор напряже-
напряжений (эта процедура позволяет прн определении напряжений избежать построе-
построения специальной программы). Одна и та же колода перфокарт может быть
использована как прн работе программы DSPLC, так и программы TRACT.
Достоверные значения напряжений выдаются на печать для нормальных н от.
личной от нуля касательной компонент.

С ПРОГРАММА ВВОДА И ЗАПИСИ НА МП ИСХОДНЫХ ДАННЫХ - INPUT
С
dimension aA605> , frmx i16>»frm2U6> »пBоо>»гЗBоо>
common m»n,mb.e»rnu,xic'o),хз<50>,xnkso>,xN3(so), flc5o>,
1 Bl<5O)»t53EO),yiB00),y3
2 Sa<200) , АЦ50)
equivalence u<i>,m)
o
2 F0RMATU6A5) Й
3 F0RMATU«FS.3) g
A f"ORMAT(lH0,4HM = .!4f«Xf«HN = ,U,5HMB = .I^»4X,<«HE = ,F10.0i |
1 -4X».«HRNU я ,F6,3//) ra
5 FoRMAT(I5,5ri2,5,2El6,«.fFl4.7) ^
6 Format <I'»fi2,6> S
KZR»O m 5
с S
С ВВОД УПРАВЛЯЮЩЕЙ КАРТЫ >
M g
С '
с w - число строк в матрице узловых точек
С N - ЧИСЛО СТОЛБЦОВ В МАТРИЦЕ УЗЛОВЫХ ТОЧЕК
с мв - число опорных точек
с е - модуль юнга
С "NU - кОЗфФИЦИЕИТ ПУАССОНА
С .МК = I ЕСЛИ НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ В УЗЛОВЫХ ТОЧКАХ ВВОДЯТСЯ*ИНАЧЕ О

«EAD 2,FRM1,FRM2
READ FRMl,(FLtI)»XX{I),X3<I),xMltl),XN3(l),BlCl).B3l!).Isl.MB)•
READFRMMXUn,mi|,y3(J),yHui),«N3(!l,FUIbF3U),
3,<AL(X),isi,N)
PO Ю 1=1,N
10 4ll » = J,lAl593«AL( I)
IF(MK) 15,Uil5
11 Do 12 lsl,M
XE=XL(I)
call lnirp<fu i ) ,xe,bi ,fl,mb>
12 caul lntrp(f3(i),xe,b3,fl,mb> я
Pause /iihvctahobm мл/,4,б |
m A S
[«> Fl §
:^i) F3
PRINT 4iM»N,MB,E,RK'U.
P
PRINT 6,n,*l(H,lsi,N}
Return
end

С PROGRAM GUPRD
С
PlME^SlON JKB00),TKB0Q),JX(l0),JFA0)
dimension ввх<5о>,ссизо),оо1E0),ввз(зо>,ссэ<5<м,ооз<50)
OlMENSlON R1U4B0Q),R13<4800>,Я31(Ав00)»R33<4800>
DIMENSION SIK50) ,sl3<50>; S3l E0) ,S33t3O)
DIMENSION AU605bCH50) ,ST<50) , Fl(ZoO) ,F5B00)
COWKON M,N,MB,E»RNU,XlE0),X3E0),XNIE0),XN3EO),FLE0),
1 BiE0) »B3|50) ,У1B00) ,УЗB00) ,УМЦ2оо) ,yN3B00) »XUB00), о
2 Sq<2oO),AUEO) S
equivalence im,a(iu 3
Equivalence |ym),rut)),(y]',i),F3U)i I
Equivalence (jk< u ,ym an , *tk<x> ,yN3( i> ) щ
equivalence (ввкп ,ст шь (cckd ,st(D ), (Domi) ,xi(i>) s
Equivalence (bb3(i,,хзd)),(cc3(d,xnux>),too3<xj,хнз<i>^ ё
a format(i5; S
GALL ВПМП0<4НКДУ*,К) ?
DEcODEEtltK.) KIT g
K2R=0 g
NiT = 0
Read ioo,kri»kr2,jns,jn
lOO F0RMATBIl,2l2)
IF{JN,GT.O) REAP IQltt J*U) .JF( I) ,1 = 1, JN)
F6
R
pause /пиусганови
Rewind 4

Read <o a
CALL C0NSTCE»RNU,RL,RMUrCliC2,cl»C2>
t = o.o
Do 2 J=l,N
DfsALcJ)
Су ( J )*COS<т)
ST(J)=5IN(T)
.2 T = T*Dt2
Do 3 lrl,M
3 Sq^I)sO,636620»SQ(I)
MB2=MB
Call спец oakp»5)
call впмпоизнвходной <рарч\*,ка\п)
iFtKAw^EQ.O) GOTO A
caul спец @tb,/kaw,5,6)
Read <5) rii,ri3,r3i,r33,sh,si3,s31
call спец Cab,/kaw»5>
goto б
a continue "*
CALL .WANTR(MfN,MD2,Cl,c2,CT»STtXX,x3,XNXlXN3,yify3,yillf VN3»
ВПМПОAЛНВЫХОДНОй «?АйЛ*»КАИ>
EQ,C> GOTO б
call спец @ты»/кам,?,6>
WRITEE) Rib Rl3,R3l*R33,Sx'ltSl3tS31#S33

1. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
Е67
call спец (Заь»,/хаи,5)
continue
Do 125 i=i#m
XLl=XL < I )
DO 121 J=1,MB
IF(FL(J)-XLI) 121
i2i continue
122 l
J
125 T
I
126 00 12e 1=1,JN
Jl=JX(l)
J2=JF < I )
JK(Jl)sJ2
128 TK(J1>=XL(J1)
i3o continue
read
Read D) fi
Read И> F3
21
Do 21 1 = 1,M
s=sam
OO 21 J=1,N

268 ПРИЛОЖЕНИЯ
OB ЦЭ
¦ *¦
им ' —* —
о сз «¦» —
о и
о и
03 СЭ » »
«-I « -J -5
if\ CO "** *^
a » «¦ ••* e*
CN <M _J _J OO
о о » - ¦ *¦
К\ гЧ (- <\f CM >- t-
m - о ¦ -5-5 * *
о ию -- «~ «~
^ •>)-- *«-f (O r*\ H Q Q *>pa«»
-4 <O —¦ d II ООН QO HL.H
— + ~ it: <r ы ->-^-»_i_i>-« —wil» 11 »n
~-»— ь-azt— щ^^йюои-и uz о •—¦
О II ^ Z м 3 Z ^-5-5_f_i^ti^^*^»-l- CDC\«G»M
«I »- ¦w ~^ 5 I— ¦»- llll_t_I -7 b- w ¦«« Z II «<•>
Ш •- U. L. UJ Ш U. О И N << О II ll^fM О SO II О
of г м-of q:- o-7-3oua-7»-b.u,(j movia
r~ 00 ©> о <rv 00
о и

1. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
209
25
m
Do 26 IS1»M
26
G
0
Do 30 K=1>MB2
S3=0.0
Do.40
50 b3(ki«s3-s31(ki*fk1-s331k)«fk3--fk3
Backspace ь
goto a
END

270 ПРИЛОЖЕНИЯ
z
r\ •
» —
m t-«
-* w
Г» -«
К» Э»
z «
X ~
• a-f
Z It
• It •>
•»
•-•
«-«
It
Cf
It
V)
Xlt ?• И
>¦ 1Л ft It
о -z ^«
«HX OS
14 «4 • »
U IS) <- ^>
О It t-l «4
»« z ««
CD •> X Gf
Z -I •
S it it fi >- к»
•» •-• x •* от ю
a: of » -J « «я
< t-l -» »~ *.
2<Z)/)ZV> ^| ^ „ ^ « ^, 7t«»«
«¦"•©•О* ll^^^^f II •»!!»»•-••"
Эиоиин нпнпоооо aaoo^'XXt-iiti-*
о •• X —• г w axxzz • • • • о • • • >нх и zr«
cen bin un mnnxxoooo4'oooo>iii<i??d
ez?z;no t-i t»> it и it и и и и it и И и К» к» и и <л
Э >>->>-•« II ОХХ^ЧЗ«-1(МЮ-4-о<-<(МП^О
м о о -1оххыы1/IЛ1Л1лоаевевео;>
* * *

1. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА 271
I/I ОТ
* *
CVS N
О О
•-I "Э ->
Э» «-I «Ч Ь- >-
X «Л Ю О О
* «Л V) «•> * *
«О «Ч«М«М* ¦¦¦ -» «-I «-I
хх<'ннм«М1Л|лп4)Л1Л1Л1Л1Л1Л1'!1И1') а^к кс и
* *«^>?NHHHNN «И1Л1ЛИ1ЛИИ1Л II It It It It
>»'*ГМХХХО>>Э«Э«О«Ч+*+** + *+ л л «*.«•»*«.
ем М I II II MUIXXXXV)UH(MI'l4H(Mn<4'HJJJJ)?
It II II «М ir\ IA || II II II || II 1Л ОС Hi ОС (Г «О «Л 1Л «О ¦ «^ w «^ ~' «^
NKiM^lt-ICMt-ICNtKI^WKill II II II tl И II И Н _« .-С ГЛ •-¦ 1Л гЧ
^ ^ CV 5* Э* 5J* »^ ^ ^ 1*4 f*^ 1*^ 1Л —4 W 1*^ ^ *4 W f*V •# II *Л *Ч 1*^ f^ ^
IM IM IM X >С X О W СЭ CS E &9 W Of ОС ОС С? (Л V) ^J V} «J fl? СС О» ОС 1/У
о о
г»
э»
X —
* "ч
П N
N V)
+ « 1Я
х х хс* ' о о»
"» - • *+сз«м ю toxr*
•— Л N (Ч И 1Л «V* «¦«/>
«о«-|"'"> • л »— I— Xf-iesi
с кьхзч» *<~ix'x«-i:»<-tv)xxxx«']xxv)»'(/)
О -Э О 1Я X I OON II 11МХОИ II И II II 1Л >> ^ Ю I 1Л
п I и и и и ем ем и *4 «V» и н и и см rt г<л гл и и и и и и
ЭЕ "Э -9 •¦* М « l>n«-lts|t-IN<-«N«-l«-irMf-lf-ll<VT4l<V>4C«
О Н1-г-31?>НЛ|НЭ1>И1ЛоО5>>31ХНИИП1ЯО
OTUWXXNNNXXIfllrttfllfl XX X>0O>C(a V)IO

50
end
С ПРОГРАММА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ,ПРЕДСТАВЛЕННОЙ РЯДОМ • DNSTil
С
DIMENSION AA605),ElE0>iE3E0)iFl<50),F3E0),BlE0>>ВЗE0J
COMMON M,NtMB,EfRNU»ZB5()),SlE0),S3<5abAL{1250J
EIVLEN
E
DatA К2»К1,К2 /5Н»»»»«»ЗнпЧ*»ЗН1>АйЛ*/ з
1 FORMAT112H01TERATION = , I 3/ /50A5,1PE15 , 6,1PE15 6/)) s
2 FORMAH20H1RE5ULT SOLUTION FoR,I3,HH ITERATIONS// о
1 5oU5,1PE15,6,1PE15»6i15Xi 15,1PE15.6i IPE15.6/)) ^
3 FQRMATtlS) я
call епмпо(ki»kp> §
DEC00EE.3,KP) KAW
pause /пнустанови
Rewind <•
Rea" (<»> a
Read c»)
DO 5 lal,MB
Bl(I)=51{I)
B3( D = S3( I j

'El(t)sSltt)
F5(l) = S3{ I )
5 E3(!>'SS3(I)
ЩТ = 0
10 1МКР°Еа!о!'^1ТЕC,1) NIT,(bBlUbB3(I),lsi,MB)
REAO (^> N!T»81»B3
iF(NIj) 30,30,12 о
12 AK=(-1>»«N1T ™
Do 13 1=1,MB
IT
goto
CAJ.L ВПМП0(К2,КР)
IF(KP,EQ,KZ) GOTO ^0
СПЕЦ (ЗАКР'5)
СПЕЦ @ТЫ»/КР,Э»6>
R) A
m
н
EHt) = EHl|»81t4 g
15 E3( I )=E3A )*B3O ) я
Ja
t
30 Do 31 !=1iM0 >
1UO5»B1(I) ?

Ac
WRjTEE) El»E3
WRiTEE) E1.E3
call спем сзаЫ|/кр,5>
R
С
с
С
С
С
С
С
ПРОГРАММА ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕКТОрА СМЕЩЕНИЯ - DSPlC
Dimension A<i6o3>,cT<5c),sT<5obuioo>»FK2oo>,F3<2oa>,
i BB<50)»CCCC),PDCO)>CXl(lOO),CX3(lOO)»Wl(lOO)»W3clO0)
dimension rRi<i6>,fr2<ie>
COMMON M,N,MB,E.RNU,;XIC5O) ,X3< 30) ,ХНЦ50) ,XN3( 50) ,FL(9O>,
1 Bi<50)»B3C0),yiB00),y3<200),yNlB00),yN3B00)»XL<200),
2 sa<200),ALE0)
з
g
о
data kast /5h»*«**/
call-спец Cakp>4)
Reap ioo#mr,nprob,ma,mk
1X1A} ) , (W3(lbXNl(l)
MR - ИМП ФАйЛА НА МЛ/СОДЕРЖАЩЕГО ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ЗАДАЧИ
*PROB - 1 ДЛЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ
2 ДЛЯ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ
М» . ЧИСЛО ТОЧЕК,в КОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ СМЕШЕНИЕ
МК - I ДЛЯ ВВОДА НОВОЙ СЕТКИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ,ИНАЧЕ 0.

1. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА 27
Q.O) RETURN
ewd ¦
call спец <0tb>/mr,4>6>
Read <4> a
Read <¦> bi,B3
if(nprob,gt,1) read
СПЕЦ CAB>/M^
L C0NST<E#RNU»RURMUfCl,C2,T»T)
lF(MK#?Ol,Oj GOTO 10
С
с ввод новой сетки интегрирования
call впмпоEнфайл*,кИ)
lF(KW,EQ,O) GOTO '10
ew
call спец @tb./kw,4»6)
READ (A) M,M,XL?yi,V3,VNl,yN3,SU,AL
СПЕЦ <2A5,/KW,4)
continue
t = o,o
. Dp 2 J=1,N
ST( J)sSIN(T)

276
ПРИЛОЖЕНИЯ
2
DO 3 1=1,M
3 (,
Do 15 1=1,M
L LNTRp<El<n,XE>Bi»Fk,MB)
15 Call -|.NTRp(E3(X)»XErB3*FL,MB)
С
с ввод координат точек
Read i<K,fr2
REAP FR2,(CXl<!>,CX3tn,| = l»M
с
Do 50 K=1,MA
S3=0,0
Oo *0
sa=o.o
S5=0,0
30 J=1»N

I. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА
277
30 S5
Si-Sl+SA
АО S3sS3+S5
Wl(K)sSl
50 W3rK»=S3
call
!F(KIW,EO,KaST) GOTO 60

l спец
wrjteD) e,rnu,ma,cx1,cx3,w1»w3
call спец (Эаы»/к»у,4)
бо Continue
ИщТЕ< 3,10 2) M,N,MB,E»RNU,(i,CXlC!)»CX3( I), УЦ ( I) , W3 ( ! ) »t = 1 ,MA)
goto i
100
102 FORMATAHO,3HM =»I4,4X»3HN =,I4,4X,4HMB = »1 4, 4X, 3h.E я » F9, 0, *X,
1 5HRNU.=»F5,2/1HO,4X,1HN,6X'2HX1»8X»2HX3,9X»2HU1»13X»2HU3//
, 2 Ю0( I6,OPF10,3,F10,,3,1PE15.6,E15,6/) )
103 ForMAtU.6A5) a
104 ForMAtBI5) s
103 FoRMATA4F5,3) о
&
и
Id
Программа вычисления вектора напряжений - tract
DIMENSION AA6O5),CTE0),STE0),FlB0O),F3Beo>,CXKlOO),
I CX3A00),CN1A00) ,GN3(l00-)»Wl(l00) »N3A00)»rRl(l6)»FR2
OIMENS!ON CH2A00),W2A00)
common m,n,mb,e»rnu,xiEo> ,хзE0) ,xnk50) ,хмзE0) ,rLEo>,
1 Bl<5ObB3E0),yiB00),y3B00),.4NlBoO)»VN3B00)»XLB00),
2 SQBQQ)|AL<50)
equivalence «,m»a(ij)

Data kast /5h*«*»»/
call спец Cakp»*>
1 reao 100,mr,nprob,ma#mk
с mr _ имя Файла на мл,содержащего исходные данные задачи
С NpROB . 1 ДЛЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ
С 2 ДЛЯ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ
С МА . ЧИСЛО ТОЧЕК»В КОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ НАПРЯЖЕНИЕ
С МК . 1 ДЛЯ ВВОДА НОВОЙ СЕТКИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ,ИНАЧЕ 0. о
IF(MA,EQ.O) RETURN й
Rewind * |
call спец <otb»/mr,4»6> I
read (А> а 3
Read < к) В1,вз s
R D) В1ВЗ
., D) В1,ВЗ х
спец Cab»/mr,4> »
alL CON'ST(E»RNU,RL»R»U»C1,C2,C1»C2) g
If(MK,eQ.O) Goto 10 |
с >
С ВВОД НОВОй СЕТКИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Cal.L ВПМПО CH»Artn*,KW)
IF(KW#EB.O) GOTO 10
ewd
caj.l спец @tb,/kw,4,6)
REAO С A) M,N,XL»yi,y3,yNl,yN3>SU,AL
CAUL СПЕЦ CAB»/KW,4)

с
10 Т=0.0
Oo 2 J=1,N
CT(J)=COS(T)
Sj(J)sS!N(T)
2 T=T+Dt2
DO 3 I si,m
3 Sq( l) = 0#63u6П а
Oo 15 !=1,м §
XE=XL(!) §
call lNtrp(Fki),xe,bi,fl,mb) ^
13 CALL LNTRp(F3<n,XE,B3,Fl.,MB) |
С . S3
С ВВОД КООРДИНАТ ТОЧЕК И КОМПОНЕНТ ЕДИНИЧНОЙ НОРМАЛИ
МдЗ«>ЛА
Read io3,fr2 .
Read FR2,(cxi(n,Gx3(n»isi»MA.3j
00 123 1=1,МЛ,3
1 Is 1*1

1. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА 281
1*1
X
«л
V)
ее
с*
i*i
в
i*i
X
*
и
в
см
X
¦ с
•-• f« W
XXX
* X.TZ 3t
5» 3! TJ«45>?>>3i7NMSN»l<M0K)«)
X « НИОНХКХХХХ(Л»!ЧД?>» » «
^^X>XXXXX7I<'>Z2ZXXX
•I b. b. W О О 1Л L И. X I II II II II II X U t «1 И И П II II II
« и н а л и н и н н и гн <м <м 1Л (л м и и и и м и гм тл «л
ГЧ О 1Л О "»-> r-f(Mf«l(M>-IOt<-4<-4tVtN'4<-t<MCMI^IOr<>-l(M
Э> li »i II О t- h liS?>>3i>3«>?lflO«OHHN>>?
>CU.Ii«QOIfl Ь.Ь.ХХХХХХХ1/)</IЛ1/IМ1М|М;КХХ
«X
о сзиооо^» r^ ki v: i? « vfr-» э>
II И О О II II II II II II Ы || w w w w w || *» |
** II II II •*• •» »^.*^ *Ч*»3 WZ HPlrtNrH »-«Ю
(M^^AHHHNNNZ О OXXZZZ о Ow.X
мм^мммммммм О • »О О О О О О . »г-1Х
^-^wwww^^wwt— 1П О О О II И II II М о О О ? II
1Л.ИМК) И UriHNK\Z It II К НП •-! СМ Г\ || U U II П
¦Я-X Ъ -Z -Z Ъ -Z Ъ -Z. -X. О OHNnxXZZZO««no>
uuouuuuuuuu аииоххийпаиийж
ю
см
10 Партон В. 3., Перлин П И,

282 приложения
z
о
CM
z
о
5» •¦*
•» *^
см •-»
г z
¦» о
О X
ц. и. и.
^ см 1л
(9 Ъ9 <3
¦ ¦ ¦
см см см
it * ас
сч; гм см
•-« сч; л
О о о
¦ ¦ ¦
riHri
>-i ^ it ^ v:
И Ю t- L- L-
«О -Irt *» в • *
¦н-
о
49
О
о
•з: о
•в-
?
П
О
с
^»
1—
•л
«
3
V
1—
Z
о
X
о
г-1
X
о
3
осг
ш
эс
V
3'
СП
X
о
*"
Z
«с
UI
•
Z
г-1
II
«X
•
•¦<
ъ^
CS
оз»>э>о>э>р>о--|» t t t t t n ii ни • о -•¦ о z —
юххх!Яххх«ло>»ч>тг-1»ч11Л'>'*'* 2 tu «»-«»
и ii и и и и и и ii«wirtvi«w«iii:zjv:ji-j>-2~
H(\mHNr\ и и ii и и и n«-»~<-'-»~»_»«-»jz»~«-«
1(Ч1(МСЧ!Г>Г>1Л (Л,»Ч>П rt N ПН Nf^ <U.<<? < OB 2
о
rv

goto i
100 F0RMAT(A3,!i, 14,U)
Ю1 P0RMATA4F5,0)
102 roRMATUH0,3HM =.14,4*,3HN =,I4,4x,4HMB =»1*,4X,3HE *»F9,0,4
1 -3HRNU -»P5,2/lH0,4XflHN,6X»2HXi,eX»2HX3,ex»2HN1.8X.2HN2,eXf
2 2hN3,9X,2hT1,13x,2HT2,13x,2hT3//
3 loO<I6»OPP1O,3
103 fORMATA6A3)
104 F0RMATB15) о
103 Г0ЦМАта4ГЗ,3) g
End I
SUBROUTINE SPL03(N1,N2IX,V,B»C,0) I
!ON Xf l> rV<l)»B(ibCU)iD<l) g
1 ¦ I
К !)
Do
°(
R =
C(
10 Sx
ГЧ S
Sx
C(
C(
0o
10
I>
1 )
R
0 «
0*
Nl
N2
1
s
(
s
n
и
0
)
)
5
1
Xt
!¦
R-
= 0
xO
!
=N1,M2
D-VC1
S
.0
CM1.M2

(iA-1)
B( l» = (X<I-l^-X(I*l
Ss0(I>
15 R
M
00 20 1BACK=M1,M2
1=M3-JBACK
20 С(|) = (ОA)»СA*П-С(П)/В(!)
Do 2.5 l=Nl,M2
BM) = (V<!+1)-V(M)/D(I>-<2(O«C(I)#C(|»1M«D(I)
O(I)=<ClI*l^-Ct1))/O(l)
25 C( 1»=3,в«С(П §
RETURN g
и
x
SUBROUTINE LNTPPtyE,XE#y»X,N>
dimension yu>,xu>
oo l j = i»n
lF(X(J)-XE| 1,2»3
1 continue
J=n
бото з
2 УЕ&чи;
rEturn

3 lF< 4.LE.1)
XJi=X(J-l)
VJ1=V<J-l>
о
END §
к
SUBROUTINE CONST(E,RNU»RL,RMU,C1#C2»C3,C4)
data p /o,i59i5<»94/
ClsP«(RL*3,0»R(*U)/B,0»R»AU»(RL*2,0«RMU) )
C2=P*B<R2R
END

2. ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
ПРИ НЕОСЕСИА1МЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ
(составлена Н. Ф. Андриановым)
Программа предусматривает наличие двух плоскостей симметрии, одна из
которых перпендикулярна оси вращения, и состоит из 7 блоков, записанных
на языке АЛГОЛ 60 для ЭВМ БЭСМ-6. Принцип построения расчетной схемы
базируется на равномерной (по углу) дискретизации поверхности. Равномерная
(по длине) дискретизация меридионального сечения взята для определенности.
Блок I. Описание идентификаторов (с I по 5).
Блок II. Описание процедуры расчета напряжений и смещений (при нали-
наличии решения интегрального уравнения F).
Блок III. Описание меридионального сечения G).
Блок IV. Ввод основных параметров (8).
Блок V. Описание краевых условий (9).
Блок VI. Метод последовательных приближений A0).
Блок VII. Расчет напряжений и смещений A1).
NZ — количество разбиений по образующему контуру,
NF — количество разбиений по углу,
Y\ — массив координат опорных точек,
NY\ — массив направляющих косинусов нормали в опорных точках,
DS — массив площадей элементарных областей,
LP — длина образующего контура,
В — массив расстояний опорных точек до оси вращения,
L и MU — постоянные Ламе,
ПЛХ — значения плотностей на нулевой итерации (краевые условия)
в узловых точках,
ВТ и ВШ — суммарные плотности внешней и внутренней задач в узловых
точках,
nJIY — значения плотностей в опорных точках,
X и NX — координаты и направляющие косинусы нормали к поверхности
в текущей опорной точке,
NX — направляющие косинусы в рассматриваемой точке,
SH — компоненты напряжений в плоскости с нормалью NX,
SC—компоненты вектора смещений.
1. begin integer NZ, NFl, I, M, N, K, LA, T, ID, 3, IR, J, D, NZl
NZ2, NFI2, NFI21;
2. real BAP\, BAP2, RB, 12, 1П, B, Z, Z\, DZ, DFI, FI, L, MU, СП,
C12, Rl, R2, R3, PI, DR, Cl, C2, SU, ПП, DJ, DK\
3. real array SC, X, Y, NX, NY, S, SY, SH [I : 3], GXC, GX, GY [1 : 3, 1 : 3];
4. input (NZ, NFI, L2, В, ВАР2, L, MU); NZ : = (NZ - l)/2x2 + l;
NFl : = NFI/2x2;
NZ2 : = (NZ + l )/2; NFI2 : = NFI/2;
NZl : = NZ—\; NFI21 :=»M7/2+l;

2. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ПРИ НЕОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ 287
5. begin real array ВТ, ПЛХ[1:3, 1-.NZ2, l:NFI2\], П, МП [1:3,
i:NZ\], DS[l:NZl], SM [1:3, \:NF12l], CFX, SFX [\ : NFI21], SFY,
CFY{\ :NFI], ПЛУ [1 : 3, 1 :NZ\, 1 :NFI], XI, NX\ [1 : 3, 1 : NZ2];
6. procedure INT; begin
for AT:=1, 2, 3 do S [K] : = SH [K] : = SC [K]: = 0;
for N :=1 step 1 until NZ\ do begin
for M: = l stepl until NFI do begin R\ : = K1 [1, N]; R2 : = WK1 [1.ЛП;
K[M] S(y S>K[Ml
[] ; [] X; [][, ]; []
R2XR3; NY[2]: = R2xSU; NY [3] : = NYl [3, N]; SU : = ЛЯ : =R2 : =0;
for /:=1, 2, 3 do begin D/: = X [Л - К [/]; Sf/: = S
+ [] R2 : =R2 + DJxDJ;
end; #1 : = sqrt(#2); /?3 /?l^2
f A 2 3 d
; q() ;
for AT:=1, 2, 3 do begin DK : = X [AT] - Y [AT];
for / : = 1, 2, 3 do begin D/ : = X [J] — Y[J]\
D: = 0; if /f=/ then D:=l;
NX[J]xDK))/R3;
GXC[K, J]: = CUxD/Rl+Cl2xDKxDJ/R3; SH [K]: = SH [K] +
ЛЛУ[7, JV, M]XDS[N];
end; end; end; end; end;
7. procedure BY I; begin DJ :=DFIxDZ; DK : = L2;
for N : = 1 step 1 until NZ1 do
begin Zl : = (/V —0.5)xDZ; if Zl=sB
then go to Pll;
Y\ [1, W]: = Z1; Kl [3, N]:=0; NYl [1, N]:=0;
ЛГК1 [3, #]:=—1; DS [N] : =Z1 xDJ;
go to P31; Pll :ЯЯ :=/,Я — В;
if Z\>nn then go to P21; У1[1, W]: = B;
Kl [3, /V]:=Z1 — B; NYl [1, ЛГ]: = 1;
Л^У1 [3, W]:=0; DS [W] : = BxDJ; go to P31; P21 : ПП :=?Я — ZI-
ZIYI [1, Щ:=ПП;
Y\ [3, N]: = DK; NYl [1, ЛГ]:=О;
JVV1 [3, JV]: = 1; DS [.V]: = nnxDJ; P31 : end;
for /: = 1 step 1 until NZ2 do begin Z:=(l— 1)XDZ; if Z^S
then go to PI;
ЛЧ [1, N]:=Z; XI [2, iV]: = Xl[3, W]: = 0;
JVX1 [1, ЛП: = ЛШ[2, /V]: = 0; iVXl [3, JV]:=— 1;
go to P3; PI :Xlf\, N]: = B; X\ [2, JV]: = O;
Xl[3, N]:=Z-B; NXl [1, JV]: = 1;
NXl [2, N]: = NX][3, N]:=0; P3 : end;
for M: = l step 1 until ЛГН21 do begin FI: =(M — \)xDFI;
CFX [M]:= cos (f/);
SfX [M]: = sin (F/); end;
for M: = l step 1 until NFI do begin FI: =(M — 0.5)xDF/;
[] ();
SFY [M\: = sin (f/); end; end;
8. BAPl:=0; PI : =arcsin(l)x2; LA:=—l;
Ln-.=L2 + 2xB; DZ;=LII/NZl; DFI :=2xPI/NFI; lR:
Cl :=(L + 2xMU)x2xPI; C2: = 3x(L + MU)/Cl;
Cl :=MU/Cl; Cll :=(L + 3xMU)f(L + 2xMU)/MU/PIx0.25;
Cl2: = (L + MU)/(L + 2xMU)/MU/PI/4; CU :=C11 x 10f 6; C12 :=С12хЮ|6;
BYl;
9. for /: = 1 step 1 until NFI2\ do begin
for AT: = 1 step 1 until A^Z2 do begin

288 приложения
for /: = 1, 2, 3 do ПЛХ[1, К J]:=BT[I, К, Л :=0;
if K??IR then ПЛХ [3, К, J]:=BT[3, К, /]: = 1;
if K>IR then ПЛХ[\, К, J]:=BT[\,K, J]:=—SFX[J];
ПЛХ [2, /С, /]:=?Г[2, /С. J]: =— CFX [/];
end; end; begin procedure ВЯЛ; begin
for /:=1 step 1 until NFI21—1 do begin
for К •¦ = 1 step 1 until NZ2 — 1 do begin D : =— 1; for / : = 1, 2, 3
do begin D:=—D;
ПЛУ[1, К, Ц:=ПЛУ [I, NZ- K, J\: = 0.25 Х(ПЛХ[1, К, J] +
Ш7Х[/, /Г+1, Ц+ПЛХ[1, К, J+Ц + ПЛХи, K+\, У+1]);
ЯЛП/, /<", /VF/ —У+1]: = ЛЛУ[/, NZ — K, NFI~JJr\]: =
ОхПЛ%1/, К, J]; end;
ЯЛУ[3, NZ — K, NFI—/ + 1]:=—ЯЛУ [3, /С, /]; end;
end; end;
10. Р0: output ('4/', '?', ПЛХ); ВПЛ;
for /: = 1 step I until NZ2 до begin
X[1]: = X1[1, /]; X[2]: = X1 [2, /];
X 3 /] NX [1]/VXl [1
[] [, ]; [] [ ];
X[3] : = X1 [3, /]; NX [1]: = /VXl [1, /];
NX[2]: = NX\[2, /]; iVX [3]: = NX\ [3, /];
for M : = 1 step 1 until ^^/21 do begin
for /C: = l, 2, 3 do SM[K, M]: = 0; end;
for M : = 1 step 1 until iV/72 do begin
for N: = \ step 1 until NZ\ do begin /?1: = У1[1, N]\ R2: =
[1, /V]; i?3:=Cfy[M]; S(/ : = SFY [M]; У[3]: = У1[3, M];NY[l]: =
R2xR3; NY[2]:=R2xSU; Y [1]: =R\ xR3; Y [2]: =R\xSU; NY [3]: =
Wyi[3, N]; Z: = X[l]-y[l]; Zf: =
X[31— УГЗ]; DJ : = У[2];
S(/ : =— NX [1]XZ - /VX [3]XZ1;
ПП : = NY[\]xZ-\-NY [3]xZl —/v
/?2 D/D/ ZlZl
/; /;
for К ¦ = 1, 2, 3 do begin ?)/<": = X [/<"]— У [/fl;
for /: = 1, 2, 3 do begin D/ : =X \J] — У [J]; D: = 0; if
then D:=l;
Z:
GX
[] []:))Х^;
(x + ([] -NY[J\XDK))XR3; end; end;
for Г: = 1 step 1 until iVf/21 do begin 3:=T + M— 1;
г:=ПЛУ[\, N, 3]; г1: = ЯЛУ[2, N, 3];
DJ :=CFX[T]; DK : = SFX [T];
S[\]:*=ZxDJ + ZlxDK; S [2]:=ZlxDJ - ZxDK; S [3]: =
ЯЛУ[3, /V, 3];
3:=Г-М; if Зй=0 then 3: = NFI + 3;
г:=ПЛУ[\, N, 3]; г1=ЯУ7У[2, N, 3];
Sy[l]:=ZxD/ + ZlxD/C; SY [2]: = Z\xDJ - ZXDK; SY [3]: =
Ш7У [3, /V, 3];
г:=ЯЛХ[1, /, Г]; Z1:=W^X[2, /, Г];
Stf[l]:=ZxD/ + ZlxD/C; SH \2]:=Z\xDJ - ZxDK; SH [3] : =
ПЛХ [3, /, Г]; D : = 1
for /C: = l, 2, 3 do begin, D:=—D;
for / : =- 1, 2, 3 do begin D : = — D;
SAl[/r, rj SAl[/ 0Х
)
(+))[]
end; end; end; end;
fbr Г: = 1 step 1 until /Ш21 do begin DJ ;=CFX[T]\ DK:

2. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ПРИ НЕОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ 289
ПЛХ\\, J, Т]:=—ПЛХ\\, I, T] + SM[\,T]xDJ—SM[2,T]xDK;
ПЛХ[2, I, Т]:=—ЛЛХ[2, I, T]+SM[\, T]xDK + SM[2, T]xDJ;
ПЛХ[3, I, Т]:=—ПЛХ[3, I, T] + SM\3, T];
for /С : = 1, 2, 3 do
ВТ [К, /, Г]: = ВГ[/С, /, Т]+ЬАхПЛХ[К, I, T]; end; end;
LA
: = ВАР\-\-\; if ВАР\^ВАР2 then go to Afl2; go to PO;
11. M\2: output ('4/', '?', ВТ);
for /: = 1 step 1 until NF12\ do begin for /C: = l step 1 until NZ2
do begin for /: = 1, 2, 3 do ПЛХ[1, К, J]: = BT[/, К, J]; end; end; ВПЛ;
12. X[l]: = X[2]:=0; X [3] :=/.2/2;
NX[\]: = \; NX[2]: = NX[3]: = 0; INT;
output ('/', '?', SW, SC); end; end:
end

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Жирным шрифтом обозначены матрицы, векторы и операторы.
X и ц — коэффициенты Ламе,
_ (ЗЯ+2и.)и. Я,
Я=-—д. и v= — модуль упругости и коэффициент
Пуассона,
D — область (пространственная или плоская),
S — поверхность,
L — контур,
р — точка области (пространственной или плоской),
z = x-\-iy— точка области (плоской), .
р, q, q'— точки поверхности,
q, t, т — точки контура,
п(пх, nv, nz) — единичная нормаль к поверхности, обычно внешняя (если
поверхность замкнутая),
Тп ,_ч — оператор напряжений,
^я (р) — ЛГ-оператор,
Г (р, q) — матрица Кельвина — Сомильяны (ядро потенциала простого слоя),
г!(р, ?) — матрица (ядро потенциала двойного слоя первого рода),
Г» (Р. Я) — матрица (ядро потенциала двойного слоя второго рода),
Fi (Р> Я) — матрица (результат воздействия оператора напряжений на
матрицу Tip, q) (T± (p, q) = Ta{p) T(p, о)),
Ф (?) (ф1 (?)> фг [Я)' Фз (я)) — плотность потенциалов,
V (p) = V (p, ф) — символическая запись потенциала простого слоя с плот-
плотностью ф,
W (p)= W (р, ф) — символическая запись потенциала двойного слоя с плот-
плотностью ф,
f(q, г|}) — характеристика сингулярного интеграла,
Ф (q, К) — символ сингулярного оператора,
К, К, А — общая запись операторов,
г = ш(?) — функция, реализующая конформное отображение,
Рп (х) — полином Лежандра порядка п,
р(а. Р) ^ — полином Якоби порядка п,
К (х, у), Г\ (q, q'), Г2 (q, q') — ядра интегральных уравнений,
Г (х, у, К) — резольвента интегрального уравнения.
Трехмерная задача
*i. хъ хз (Уи Уъ Уз) ~ координаты в декартовой системе,
Оу—компоненты тензора напряжений,
и («1, Uj, и3) — вектор смещений,
е;у—компоненты тензора деформаций.
Двумерная задача
х, у, г — координаты в декартовой системе,
ох, Оу, az, xxv, ххг, хуг — компоненты тензора напряжении,
и, v, w — компоненты вектора смещений.

ЛИТЕРАТУРА
Аветисян А. Г., Ч о б а н я и К- С.
1. Характер напряжений в заделанной окрестности края поверхности соедине-
соединения составного тела, нагруженного в условиях плоской задачи теории упру-
упругости. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 25, № 6, 1972.
АксентянО. К-
1. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности
ребра. ПММ, 31, № 1, 1967.
Александров А. Я.
1. Об одном приближенном методе решения плоских контактных задач теории
упругости. Труды Новосибирского нн-та ннж. ж.-д. транспорта, вып. XI,
1955.
2. Некоторые решения осесимметрнчных контактных задач теории упругости.
Труды Новосибирского ин-та инж. ж.-д. транспорта, вып. XI, 1955.
3. Некоторые зависимости между решениями плоской и осесимметрнчной задач
теории упругости при помощи аналитических функций. ДАН СССР, 129,
№ 4, 1959.
4. Решение осеснмметрнчных задач теории упругости прн помощи аналитичес-
аналитических функций. ДАН СССР, 139, № 2, 1961.
5. Решение некоторых пространственных задач теории упругости прн помощи
аналитических функций. В сб. «Симпозиум по механике сплошной среды
и родственные проблемы анализа», Аннот. докл., Тбилиси, 1971.
6. Решение некоторых классов трехмерных задач теории упругости прн помощи
аналитических функций. В сб. «Механика сплошной среды и родственные
проблемы анализа», «Наука», 1972.
7. Решение основных трехмерных задач теории упругости для тел произвольной
формы путем численной реализации метода интегральных уравнений. ДАН
СССР, 208, № 2, 1973.
Александров А. Я., Соловьев Ю. И.
1. О приведении пространственных осеснмметричных задач теории упругости
к интегральным уравнениям. В сб. «Проблемы механики твердого деформнр.
тела», «Судостроение», Л., 1970.
Алексидзе М. А., Самсония К. Н.
1. Об одном алгоритме решения пространственных граничных задач теории
упругости. Семинар Ин-та прикладной математики Тбилисского ун-та,
Аннот. докл., № 6, 1972.
2. Автоматизация одного метода решения пространственных задач статики
теории упругости. В сб. «Численные методы механики сплошных сред», IV,
№ 5, 1973.
Алиев Б.
1. Регуляризующие алгоритмы для устойчивого нормального решения уравне-
уравнения II рода на спектре. ЖВМ и МФ, 10, № 3, 1970.
Аляутдинов М. И., Давыдова Н. А.
1. Прямое решение стационарной задачи термоупругостн для тел вращения
произвольной формы при осеантисимметричных граничных условиях.

292 ЛИТЕРАТУРА
Труды II Всесоюзи. конф. по численным методам задач теории упругости и
пластичности, Новосибирск, 1971.
Амензаде Ю. А.
1. К проблеме напряженной посадки кусочно-однородных сред. В сб. «Контакт-
«Контактные задачи и их инженерные приложения», Докл. конф., М., 1969.
2. Вдавливание штампа в полуплоскость с включениями. ПММ, 36, № 5, 1972.
3. Плоская задача теории упругости. Изд-во АГУ, 1975.
Амензаде Ю. А., А г а е в Т. Ю.
1. Напряженное состояние от запрессовки эллиптической шайбы в круглую
пластинку при смешанных условиях на внешнем контуре пластинки. Уч.
зап. Азерб. ун-та, Серия физ.-мат. наук, № 1, 1972.
Амензаде Ю. А., Бубутейшвили О. Л.
1. Действия жесткого штампа на полуплоскость, ослабленную эллиптическим
отверстием. Изв. АН Аз. ССР, Серия физ.-техи. и мат. наук, № 1, 1972.
Андрейкив А. Е., Панасюк В. В.
1. Упругое равновесие тела, ослабленного системой круговых трещин, рас-
расположенных вдоль одной плоскости. ДАН СССР, 197, № 2, 1971.
2. Смешанная задача теории упругости для полупространства с круговыми ли-
линиями раздела краевых условий. Изв. АН СССР, Механика твердого тела,
№ 3, 1972.
Андрейкив А. Е., Панасюк В. В., СтадникМ. М.
1. Разрушение хрупких призматических брусьев, ослабленных внутренними
круговыми трещинами. Проблемы прочности, № Ю, 1972.
Андрейкив А. Е., СтадникМ. М.
1. Изгиб прямоугольного хрупкого бруса, ослабленного внутренней трещиной.
Физ.-хим. мех. материалов, 8, № 4, 1972.
Андрианов Н. Ф.
1. Решение пространственных задач теории упругости методом теории потен-
потенциала. Автореферат диссертации, Московский ин-т электронного машино-
машиностроения, 1975.
Андрианов Н. Ф., ПерлинП. И.
1. Решение второй основной пространственной задачи для тел, ограниченных
кусочно-гладкими поверхностями. Прикладные проблемы прочности и плас-
пластичности, вып. 4, 1976.
АрамановичИ. Г.
1. Задача о давлении штампа на упругую полуплоскость с круговым отвер-
отверстием. ДАН СССР, 112, № 4, 1957.
АрамановичИ. Г., Фотиева Н. Н-, ЛыткииВ. А.
1. Вдавливание жесткого штампа в полуплоскость с круговым отверстием.
В сб. «Контактные задачи и их инженерные приложения», Докл. конф., М.,
1969.
Аржаных И. С.
1. Векторные потенциалы изотропного упругого тела. Труды ин-та матем.
и механ. АН Уз. ССР, вып. 8, 1951.
Бахвалов Н. С.
1. Численные методы. «Наука», т. 1, 1973.
БашелейшвилиМ. О., Гегелиа Т. Г.
1. Об основных пространственных граничных задачах для составных изотроп-
изотропных упругих сред. ДАН СССР, 160, № 1, 1965.
Беленький М. Я.
1. Некоторые осесимметрические задачи теории упругости. ПММ, 24, № 3, 1960.
БелоносовС. М.
1. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных
и двусвязных областей. Изд-во СО АН СССР, 1962.
2. О численном решении линейных краевых задач теории упругости методами
теории потенциала. В сб. «III Всесоюзн. съезд по теоретической и приклад-
прикладной механике», Аннот. докл., М., 1968.

ЛИТЕРАТУРА 293
Б е р е з и и И. С, Жидков Н. П.
1. Методы вычислений. «Наука», т. 1, 1966.
БицадзеА. В.
1. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его примене-
применения. Изв. АН СССР, Серия математическая, 17, № б, 1953.
2. Обращение одной системы сингулярных интегральных уравнений. ДАН
СССР, 93, № 4, 1953.
Бондарева В. Ф.
1. О действии осесимметричной нормальной нагрузки на упругий шар. ПММ,
33, № 6, 1969.
2. К теории контакта упругих тел. Труды ВНИИ физико-технических и радио-
радиотехнических измерений, вып. 8 C8), 1971.
3. Контактная задача для весомого полушара. Труды метрол. ин-тов СССР,
ВНИИ физико-технических н радиотехнических измерений, вып. 119A79),
1974.
Буйвол В. М.
1. Бигармоническая задача для многосвязных систем с циклической симметрией.
Прикладная механика, 5, № 3, 1959.
Бураго Ю. Д., Мазья В. Г., Сапожникова В. Д.
1. К теории потенциалов двойного и простого слоя для областей с нерегуляр-
нерегулярными границами. В сб. «Проблемы математического анализа. Краевые задачи
и интегральные уравнения», ЛГУ, 1966.
Бурчуладзе Т. В.
1. Граничные задачи теории упругости для многосвязных областей. Труды
Тбилисского ун-та, 129, 1968.
ВайнбергД. В., Синявский А. П.
1. Расчет оболочек. Госстройиздат, Киев, 1961.
Вайндинер А. И., Москвнтнн В. В.
1. Сингулярные интегральные уравнения трехмерных задач теории упругости:
регуляризация, кубатурные формулы, дифференциальные свойства и при-
приближенные методы решения. ДАН СССР, 228, № 6, 1976.
В е к у а И. Н.
1. Об одном новом интегральном представлении аналитических функций и его
приложении. Сообщ. АН Груз. ССР, II, № 6, 1941.
В е к у а Н. П.
1. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные
задачи. Гостехиздат, 1950.
Верюжскнй Ю. В.
1. Об одном способе аппроксимации интегрального уравнения при решении
методом потенциала некоторых задач теории упругости. В сб. «Сопротивле-
«Сопротивление материалов и теория сооружений», вып. 24, 1974.
Верюжский Ю. В., Вусатюк А. И., Савицкий В. В.
1. Численная реализация метода академика В. Д. Купрадзе при решении неко-
некоторых статических задач теории упругости. В сб. «Сопротивление материалов
н теория сооружений», вып. 25, 1975.
ВигдергаузС. Б.
1. О плоской задаче теории упругости для многосвязных областей с цикличес-
циклической симметрией. ПММ, 38, № 5, 1974.
2. Замечание об относительной эффективности двух численных методов плоской
теории упругости. В сб. «Численные методы механики сплошной среды»,
7, № 1, Новосибирск, 1976.
Ворович И. И.
1. О поведении решений основных краевых задач плоской теории упругости
в окрестности особых точек границы. В сб. «III Всесоюзн. съезд по теорети-
теоретической и прикладной механике», Аннот. докл., М., 1968.
Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А.
1. Неклассические смешанные задачи теории упругости. «Наука», 1974.

294 ЛИТЕРАТУРА
Ворович И. И., Ковальчук Б. Е.
1. О базисных свойствах одной системы однородных решений. ПММ, 31, № 5,
1967.
Габдулхаев Б. Г.
1. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений методом
механических квадратур. ДАН СССР, 179, № 2, 1968.
2. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов. I. Изв.
на матем. ин-т при Бълг. АН, 11, 1970.
3. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и метод механичес-
механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений. В сб. «Конструк-
«Конструктивная теория функций. Труды Междунар. конф. по конструктивной тео-
теории функций», Варна, 19—25 мая 1970 г., София, 1971.
Габдулхаев Б. Г., Душков П. И.
1. О прямых методах решения сингулярных интегральных уравнений первого
рода. Изв. вузов, Математика, № 7 A34), 1973.
Г а в е л я С. П.
1. О сохранении разрешимости граничных задач теории пологих оболочек
при приведении их к интегральным уравнениям. Изв. вузов, Математика,
№ 5 (84), 1969.
ГавеляС. П., Мельников Ю. А.
1. Упругое равновесие тороидальной оболочки при локальных тепловых воз-
воздействиях. В сб. «Теория оболочек и пластин», «Наука», 1973.
Галин Л. А.
1. Контактные задачи теории упругости. Гостехиздат, 1953.
Г а х о в Ф. Д.
1. Краевые задачи. Физматгиз, 1963.
Гегелиа Т. Г.
1. Свойства дифференцируемости решения многомерных сингулярных интегра-
интегральных уравнений. Труды Грузинского политехнического ин-та, № 1 (81),
1962.
2. О некоторых основных пространственных граничных задачах теории упру-
упругости. Труды Тбилисского математического ин-та, 28, 1962.
Гольдштейн Р. В., Клейн И. С, Эскин Г. И.
1. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и ин-
тегро-дифференциальных уравнений трехмерных задач теории упругости.
Ин-т проблем механики АН СССР, Препринт № 33, 1973.
Гольдштейн Р. В., С а в о в а Л. Н.
1. Об определении раскрытия и коэффициентов интенсивности напряжений
для гладкой криволинейной трещины в упругой плоскости. Изв. АН СССР,
Механика твердого тела, № 2, 1972.
Гольдштейн Р. В., Салганик Р. Л.
1. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле. Изв. АН СССР,
Механика твердого тела, № 3, 1970.
Гончарова Г. В.
1. Плоская задача теории упругости в области с угловыми точками. Изв. АН
Азерб. ССР, Серия физ.-техн. и мат. наук, 1, 1972.
Горгидзе А. Я., Рухадзе А. К.
1. Об одном численном решении интегральных уравнений плоской задачи
теории упругости. Сообщ. АН Груз. ССР, 1, № 4, 1940.
ГриголюкЭ. И., ФильштинскийЛ. А.
1. Перфорированные пластины и оболочки. «Наука», 1970.
Г ю н т е р Н. М.
1. Теория потенциала и ее применения к основным задачам математической
физики. Го:техиздат, 1953.
Д а ц ы ш и н А. П.
1. О предельном равновесии полуплоскости с поверхностной трещиной. Физико-
химическая механика материалов, 5, № 6, 1969.

ЛИТЕРАТУРА 2S5
Д а ц ы ш и н А. П., С а в р у к М. П.
1. Система произвольно ориентированных трещин. ПММ, 37, № 2, 1973.
2. Периодическая задача теории трещии. Изв. АН СССР, Механика твердого
тела, № 5, 1974.
3. Интегральные уравнения плоской задачи теории трещин. ПММ, 38, Кя 4,
1974.
Дудников В. А., Морозов Н. Ф.
1. О задачах плоской моментной теории упругости для областей с угловыми
точками контура. ДАН СССР, 225, № 3, 1975.
Е р ж а н о в Ж- С, ТусуповМ. Т.
1. К решению двоякопериодической задачи теории упругости. В сб. «Концент-
«Концентрация напряжений», вып. 2, «Наукова думка», 1968.
Ефимов А. Б., Воробьев В. Н.
1. Об одной смешанной задаче для уравнения Лапласа. Инж.-физ. ж., 23,
№ 5, 1974.
2. Одна смешанная задача для гармонической функции в полупространстве.
ЖВМ и МФ, № 5, 1974.
3. Решение некоторых пространственных контактных задач теории упругости.
Труды III Всесоюзн. конф. по численным методам решения задач теории
упругости и пластичности, ч. I, Новосибирск, 1974.
Журавский А. М.
1. Справочник по эллиптическим функциям. ОНТИ, 1941.
Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А.,
МихлинС. Г., РаковщикЛ. С, Стеценко В. Я-
1. Интегральные уравнения. «Наука», 1968.
Заппаров К- И., Перлин П. И.
1. Численное решение плоской задачи теории упругости для области сложной
конфигурации. Прикладная механика, № 5, 1976.
Заргарян С. С.
1. Плоская задача теории упругости для односвязных областей с угловыми
точками при заданных на границе внешних силах. ДАН Арм. ССР, 60,
№ 1, 1975.
2. Плоская задача теории упругости для односвязных областей с угловыми точ-
точками при заданных на границе смещениях. ДАН Арм. ССР, 60, № 3, 1975.
3. Решение основной смешанной задачи плоской теории упругости для одно-
односвязных областей с углами. ДАН Арм. ССР, 63, № 2, 1976.
Заргарян С. С, ЭнфиаджянР. Л.
1. Плоская задача теории упругости для круга с радиальным разрезом. ДАН
Арм. ССР, 54, № 3, 1972.
Зиновьев Б. М.
1. Один приближенный метод расчета тел с разрезами. Труды Новосибирского
ин-та ж.-д. транспорта, вып. 137, 1972.
3 ю з и и В. А., Моссаковский В. И.
1. Осесимметричное нагружение пространства со сферическим разрезом.
ПММ, 34, № 1, 1970.
Иванов В. В.
1. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению син-
сингулярных интегральных уравнений. «Наукова думка», Киев, 1968.
Ильюшин А. А.
1. Пластичность. Гостехиздат, 1948.
ИцковичИ. А.
1. Задачи эквивалентности в теории двумерных сингулярных уравнений.
Уч. зап. Кишиневского ун-та, 5, 1952.
И ш к о в А. А., Ш а л ю х и и Ю. Н.
1. Определение напряженного состояния в пластине с вваренной упругой
вставкой прямоугольного сечения. Труды Калининградского технического
ин-та рыбной промышленности и хозяйства, вып. 33, 1970.

296: ЛИТЕРАТУРА
Каландия А. И.
1. Об одной смешанной задаче изгиба упругой пластинки. ПММ, 16, № 3,
1952.
2. Общая смешанная задача изгиба упругой пластинки. ПММ, 16, № 5, 1952.
3. Замечания об особенности упругих решений вблизи углои. ПММ, 33, № 1,
1969.
4. Математические методы двумерной упругости. «Наука», 1973.
Каландня А. И., Лурье А. И., Маиджавидзе Г. Ф., Проко-
Прокопов В. К-, У ф л я н д Я. С.
1. Линейная теория упругости. Веб. «Механика в СССР за 50 лет», т. 3, «Наука»,
1972.
Канторович Л. В.
1. О приближенном вычислении некоторых типов определенных интегралов
и других применениях метода выделения особенностей. Математический
сборник, 41, вып. 2, 1934.
2. Функциональный анализ и прикладная математика. УМН, 3, вып. 6 B8),
1Э48.
КантороиичЛ. В., Крылов В. И.
1. Приближенные методы высшего анализа. Физматгиз, 1962.
Калинин А. А.
1. Прямое решение системы интегральных уравнений второй краевой задачи
теории упругости для шара. Труды Витебского ин-та легкой промышлен-
промышленности, № 1, 1970.
Карцивадзе И. Н.
1. Основные задачи теории упругости для упругого круга. Труды Тбилисского
математического ин-та, XII, 1943.
Кахниашвили Н. С.
1. Исследование плоских задач теории упругости методом потенциала. Труды
Тбилисского ун-та, 50, 1953.
Кильчевский Н. А.
I. Интегродифференциальные и интегральные уравнения равновесия тонких
упругих оболочек вращения. ПММ, 23, № 1, 1959.
К и с л е р Л. Н.
1. Об определении поля напряжений в весомой полуплоскости с эллиптичес-
эллиптическим и круговым отверстием. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение,
№ 2, 1961.
Колдоркина В. А.
1. О трехмерных задачах теории упругости в кусочно-гладких областях. Изв.
вузов, Математика, № 1, 1973.
Кондратьев В. А.
1. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими
и угловыми точками. Труды Московского математического об-иа, 16, 1967.
К о п а с е н к о В. В., Т у е б а е в М. К-
I. Напряжения в симметрично-слоистой пластинке, ослабленной центральной
трещиной. ПММ, 37, № 2, 1973.
Копейкин Ю. Д.
1. Применение бигармонических потенциалов в краевых задачах статики упру-
упругих тел. Автореферат диссертации, 1969.
2. Применение бигармонических потенциалов в краевых задачах статики упру-
упругого тела. В сб. «Упругость и иеупругость», вып. 1, МГУ, 1971.
3. Прямое решение двух- и трехмерных задач теории упругости и пластичноств
при помощи сингулярных интегральных уравнений метода потенциала.
В сб. «Численные методы механики сплошной среды», 5, № 2, Новосибирск,
1974.
Копей кин Ю. Д., Аляутдииов М. И., Бормот Ю. Л.
I. Решение двумерной задачи расчета элементов конструкций. В сб. «Материа-
лы по металлическим конструкциям», вып. 18, Стройиздат, 1975.

ЛИТЕРАТУРА 297
Корнейчук А. А.
1. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов. В сб. «Численные
методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадра-
квадратурные формулы», Доп. к ЖВМ и МФ, 4, № 4, 1964.
Крестин Г. Л., Л и б а ц к и й Л. Л., Я Р е м а С. Я.
1. Напряженное состояние диска с диаметральной трещиной. Физ.-хим. ме-
механика материалов, 8, № 2, 1972.
Крюкова Н. М.
1. Об одной плоской задаче теории упругости для изотропной среды. Инж.
журнал, Механика твердого тела, № 5, 1966.
2. Растягиваемая среда, ослабленная тремя круговыми отверстиями. Физ.-техн.
проблемы разработки полезных ископаемых, № 2, 1967.
Кублановская В. Н.
1. Применение аналитического продолжения посредством замены переменных
в численном анализе. Труды Математического нн-та нм. Стеклова, 53, 1959.
Кудрявцев Б. А., Партой В. 3.
1. Квазистатнческая температурная задача для плоскости с разрезом. Проб-
Проблемы прочности, № 2, 1970.
2. Первая основная задача теории упругости для двоякопериодической системы
разрезов. В сб. «Механика сплошной среды н родственные проблемы анализа»,
«Наука», 1972.
К у л и ш В. Г.
1. Упругое равновесие круглого диска с запрессованными шайбами. В сб. «На-
учно-техннческая конф. Ждановского металлургического ин-та, посвященная
100-летню со дня рождения В. И. Ленина», Тезисы докл., Жданов,
1970.
Кулнш В. Г., Ободовскнй Б. А.
1. Исследование напряжений в теле фланцевых муфт. В сб. «II Всесоюзн. конф.
по прочности металлургических машин», Тезисы докл., Жданов, 1969.
Купрадзе В. Д.
1. К решению задачи Дирихле для многосвязной области. Сообщ. АН Груз.
ССР, 1, № 8, 1940.
2. Граничные задачи теории установившихся упругих колебаний. УМН, 8,
№ 3 E5), 1953.
3. Методы потенциала в теории упругости, Физматгиз, 1963.
4. О приближенном решении задач математической физики. УМН, 22, № 2,
1967.
5. К решению трехмерной смешанной граничной задачи теории упругости.
В сб. «Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа», «Наука»,
1972.
Купрадзе В. Д., АлексидзеМ. А.
1. Метод функциональных уравнений для приближенного решения некоторых
граничных задач. ЖВМ н МФ, 4, № 4, 1964.
Купрадзе В. Д., ГегелнаТ. Г., Башелейтвнли М. О., Бур-
чуладзе Т. В.
1. Трехмерные задачи математической теории упругости. «Наука», 1976.
Лаврентьев М. А.
1. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы. Труды ЦАГИ,
вып. 118, 1932.
Л е о и о в М. Я.
1. К теории расчета упругих оснований. ПММ, 3, № 2, 1939.
2. Некоторые задачи и приложения теории потенциала. ПММ, 4, № 5—6,
1940.
3. Общая задача о давлении кругового штампа на упругое полупространство.
ПММ, 17, № 1, 1953.
4. Решение одного интегрального уравнения теории ньютоновского потенциала.
Украинский математический журнал, V, № 1, 1953.

298 ЛИТЕРАТУРА
Леонов М. Я.., Ч у м а к К. Т.
1. Тнск тд штампом, близьким до крутого в плане. Прикладная мехашка,
5, № 2, 1959.
Л и б а ц к и й Л. Л.
1. Применение сингулярных интегральных уравнений для определения крити-
критических условий в пластинах с трещинами. Физ.-хим. механика материалов,
1, № 4, 1965.
2. Всестороннее растяжение круглого диска с внешней радиальной трещиной.
Физ.-хим. механика материалов, 5, № 6, 1969.
3. Предельное равновесие кругового диска с внешними радиальными трещинами.
В сб. «Концентрация напряжений», вып. 3, «Наукова думка», 1971.
Лнбацкий Л. Л., БарановичС. Т.
1. О предельном равновесии пластинки, ослабленной круговым отверстием
и трещинами. Динамика и прочность машин. Республиканский межведомст-
межведомственный науч.-техн. сборник, вып. 8, 1968.
Либацкий Л. Л., Вида М. И.
1. О предельном равновесии пластинки, ослабленной круговым отверстием и
трещинами. Динамика н прочность машин. Респ. межвед. науч.-тех. сб.,
вып. 8, 1968.
Линьков А. М.
1. Интегральные уравнения теории упругости для плоскости с разрезами,
нагруженными самоуравновешивающимися системами сил. ДАН СССР,
218, № 6, 1974.
Линьков А. М., Меркулов В. А.
1. Задачи об изгибе пластин с разрезами. Изв. АН СССР, Механика твердого
тела, № 1, 1975.
Лиховцев В. М.
1. Определение перемещений и напряжений для заглубленного штампа. Авто-
Автореферат диссертации, НИИ оснований, 1976.
Лиховцев В. М., П е р л и н П. И.
1. Решение пространственных задач теории упругости для полубесконечных
областей. Труды МИХМ, № 65, 1976.
Лопатинский Я. Б.
1. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений к регулярным интегральным уравнениям. Украинский ма-
математический журнал, V, № 2, 1953.
Л у р ь е А. И.
1. Пространственная задача теории упругости. Гостехиздат, 1955.
Люстерник Л. А., Соболев В. И.
1. Элементы функционального анализа. «Наука», 1965.
МагнарадзеЛ. Г.
1. Основные задачи плоской теории упругости для контура с угловыми точками.
Труды Тбилисского математического ин-та, IV, 1938.
2. Некоторые граничные задачи математической физики для поверхности с
угловыми линиями. Труды Тбилисского математического ин-та, VII, 1940.
Мазья В. Г., Сапожникова В. Д.
1. Замечание о регуляризации сингулярной системы изотропной теории упру-
упругости. Вестник Ленинградского ун-та, Серия мат., мех. и астр., вып. 2, № 7,
1964.
Мазья В. Г., Пламеневский Б. А.
1. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач
вблизи конических точек. ДАН СССР, 219, № 3, 1974.
2. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач
вблизи ребра. ДАН СССР, 229, № 1, 1976.
М а и д ж а в и д з е Г. Ф.
1. Об одном сингулярном интегральном уравнении с разрывными коэффициен-
коэффициентами и его применении в теории упругости. ПММ, 15, № 3, 1951.

ЛИТЕРАТУРА 299
Маркушевич А. И.
1. Теория аналитических функций. Гостехиздат, 1950.
Мартыненко М. Д.
1. Деяю KpafloBi задач1 теорп пружностч для областей з иллинами. Доповда
АН УРСР, № 8, 1963.
2. Про другу кайову задачу теорп пружностл для областей з шллинами. Допо-
В1Д1 АН УРСР, № 9, 1963.
3. Друга крайова задача теорп пружноеН для областей з щшинами. ДоповЦ!
АН УРСР, № 6, 1964.
4. Ochobhi KpafloBi задач1 просторовоТтеорП пружносп для областей з шллинами
Доповш АН УРСР, № 6, 1964.
5. Некоторые пространственные задачи о равновесии упругого тела, ослаблен-
ослабленного трещиной. Прикладная механика, 6, № 10, 1970.
6. Некоторые пространственные задачи теории упругости. В сб. «Прочность
и пластичность», «Наука», 1971.
М а р ч у к Г. И.
1. Методы вычислительной математики. Новосибирск, «Наука», 1973.
Мироненко Н. И.
1. О равновесии бесконечной полосы с круговым отверстием. Прикладная ме-
механика, 8, № 1, 1972.
М и х л и н С. Г.
1. Плоская задача теории упругости для неоднородной среды. Труды Сейсмоло-
Сейсмологического ин-та АН СССР, № 66, 1935.
2. Проблема эквивалентности в теории сингулярных интегральных уравнений.
Математический сборник, 3 D5), № 1, 1938.
3. Метод наименьших квадратов в задачах математической физики. Вестник
Ленинградского ун-та, Серия физ.-мат., вып. 16, 1948.
4. Интегральные уравнения и их приложения. Гостехиздат, 1949.
5. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Физматгиз,
1962.
6. Об одном методе приближенного решения интегральных уравнений. Вестник
Ленинградского ун-та, Серия фнз.-мат., № 13, 1974.
МихлинС. Г., Смолицкий X. Л.
1. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных урав-
уравнений. «Наука», 1965.
Моссаковский В. И.
1. Основная смешанная задача теории упругости для полупространства
с круговой линией раздела граничных условий. ПММ, 18, № 2,
1954.
М о ш к и н П. Н.
1. Задача о весовой упругой полуплоскости с двумя эллиптическими отверстия-
отверстиями. Уч. зап. Новосибирского педагогического ин-та, вып. 13, 1958.
МусхелишвилиН. И.
1. О численном решении плоской задачи теории упругости. Труды Тбилисского
математического ин-та, 1, 1937.
2. О решении основных граничных задач теории ньютонова потенциала. ПМД1,
4, № 4, 1940.
3. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Изд. 5-е,
«Наука», 1966.
4. Сингулярные интегральные уравнения. Изд. 3-е, «Наука», 1968.
НайштутЮ. С.
1. Об одном способе расчета пластинок с отверстиями и его численной реали-
реализации. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № 1, 1970.
Натан зон В. Я.
1. О напряжениях в растягиваемой пластине, ослабленной отверстиями, рас-
расположенными в шахматном порядке. Математический сборник, 42, вып. 5,
1935.

300 ЛИТЕРАТУРА
Натаисои И. П.
1. Конструктивная теория функций. Гостехиздат, 1949.
Натрошвили Д. Г.
1. Эффективное решение основных граничных задач статики для однородного
изотропного упругого шара. Труды Ин-та прикладной математики Тбилис-
Тбилисского ун-та, 3, 1972.
2. Главная контактная задача для сферы. Семинар Ии-та прикладной матема-
математики Тбилисского ун-та, Аинот. докл., № 8, 1973.
НахибаевМ. X.
1. Определение напряженного состояния диска с двумя круговыми отверстиями,
сопряженного посредством натяга с круглыми шайбами из другого материала.
Уч. зап. Азербайджанского ун-та, Серия физ.-мат. наук, № 5, 1967.
ПанасюкВ. В.
1. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. «Наукова думка»,
1968.
ПаиасюкВ. В., Андрейк1вО. Э., СтадиикМ. Н.
1. Визиачения гранично! р1вноваги крихкого т!ла, ослабленного системою
тр1щин близьких у плаш до кругових. Доповда АН УРСР, А, № 6,
1973.
ПаиасюкВ. В., Д а ц ы ш и н А. П.
1. О предельном равновесии полуплоскости с произвольно ориентированной
трещиной, выходящей на ее границу. Физ.-хим. мех. материалов, 7, № 6,
1971.
ПанасюкВ. В., Дмитрах Н. Д.
1. О предельном равновесии трехмерного хрупкого тела с внутренней плоской
трещиной, имеющей в плане форму овала. Прикладная механика, 5, № 5,
1969.
П а н а с ю к, В. В., С а в р у к М. П., Д а ц ы ш и н О. П.
1. Система дов1льио opiem-ованих трвдин у пружнп з коловою границею.
Доповш АН УРСР, А, 11, 1973.
П а р т о н В. 3.
1. Об одной оценке взаимного упрочнения трещии при их шахматном распо-
расположении. ЖПМ и ТФ, № 5, 1965.
2. Двоякопериодическая система разрезов в неограниченной упругой пластин-
пластинке. В сб. «Симпозиум по механике сплошной среды и родственные проблемы
анализа», Аннот. докл., Тбилиси, 1971.
3. Осесимметричная температурная задача для пространства с дискообразной
трещиной. ПММ, 36, N° 1, 1972.
Партой В. 3., Морозов Е. М.
1. Механика упруго-пластического разрушения. «Наука», 1974.
П а р т о н В. 3., П е р л и и П. И.
1. Интегральные уравнения основных пространственных и плоских задач
упругого равновесия. Итоги науки и техники, Серия «Механика твердого
и деформируемого тела», 8, 1975.
ПартонВ. 3., Черепанов Г. П.
1. Механика разрушения. В сб. «Механика в СССР за 50 лет», «Наука»,
1972.
П е р л и н П. И.
1. О свойствах бесконечных систем уравнений в задачах теории упругости
двусвязных тел. Труды МФТИ, Исследование по механике н прикладной
математике, 5, 1960.
2. К обобщению на пространственный случай одного способа решения основ-
основных плоских задач теории потенциала и теории упругости. ДАН СССР,
153, № 5, 1963.
3. Об одном методе решения основных пространственных задач теории потен-
потенциала и теории упругости для областей, ограниченными двумя замкнутыми
поверхностями. Инженерный журнал, 4, № 1, 1964.

ЛИТЕРАТУРА 201
4. Решение первой основной осесимметричиой задачи теории упругости для
области, ограниченной эллипсоидом и сферой. Инженерный журнал, 4, № 2,
1964.
5. О решении основных задач теории потенциала в теории упругости для не-
некоторых полых и составных тел. Инженерный журнал, 5, № 4, 1965.
6. К решению плоских задач теории упругости для тел с тонкостенными вклю-
включениями. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № 5, 1973.
7. Об одном методе вычисления двумерных сингулярных интегралов и его
применении к решению сингулярных интегральных уравнений простран-
пространственной задачи теории упругости. В сб. «Всесоюзн. школа по теоретичес-
теоретическому исследованию численных методов механики сплошных сред», Звени-
Звенигород, Тезисы докл., М., 1973.
8. К решению пространственных задач теории упругости для кусочно-однород-
кусочно-однородной среды. VI Всесоюзн. конф. по прочности и пластичности. Тезисы докл.,
1975.
9. Численное решение сингулярных интегральных уравнений основных задач
теории упругости. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № 3, 1975.
10. Применение регулярных представлений сингулярных интегралов к реше-
решению уравнений второй основной задачи теории упругости. ПММ, 40, № 2,
1976.
П е р л и н П. И-, Самаров В. Н.
1. Применение теории обобщенного потенциала к решению пространственных
задач теории упругости для тел с разрезами и оценке хрупкого разрушения
конструкций сложной формы. Изв. АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., № 5,
1974.
2. Применение теории потенциала к решению пространственных задач теории
упругости для тел с разрезами. Прикладные проблемы прочности н пластич-
пластичности, вып. 6, 1977.
Перлин П. И., СтупакС. Ф.
1. Решение задачи теории упругости для шара, ослабленного сфероидальной
полостью. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № 5, 1974.
П е р л и и П. И., Ш а л ю х и и Ю. Н.
1. К вопросу о численном решении интегральных уравнений теории упругости.
Изв. АН Каз. ССР, Серия физ.-мат., № 1, 1976.
Подильчук Ю. Н.
1. Плоская эллиптическая трещина в произвольном однородном поле напряже-
напряжений. Прикладная механика, 4, № 8, 1968.
Положий Г. Н.
1. О краевых задачах осесимметрнчной упругости. Метод Р-аналитических
функций комплексного переменного. Украинский математический журнал,
15, № 1, 1963.
2. Теория и применение Р-аналитических и (Р, QJ-аналитнческих функций.
Изд. 2-е, «Наукова думка», 1973.
Положий Г. Н., ЧемерисВ. С.
1. До питания про застосувания Р-анал!тических функцш в осесимметричшй
теорП пружность ДоповЩ АН УРСР, № 12, 1958.
2. Об интегральных уравнениях осесимметричной теории упругости. В сб.
«Исследования по современным проблемам теории функции комплексного
переменного», Физматгиз, 1961.
Полухин В. П., Андрианов Н. Ф.
1. Решение пространственной задачи теории упругости для тел, ограниченных
цилиндрическими полостями. VI Всесоюзн. конф. по прочности и пластич-
пластичности. Тезисы докл., 1975.
Прусов И. А.
1. Некоторые интегральные уравнения для многосвязиой полуплоскости и
кусочно-однородной плоскости. Прикладная механика, 5, № 3, 1969.
2. Метод сопряжения в теории плит. Изд-во БГУ, Минск, 1975.

332 ЛИТЕРАТУРА
Пыхтеев Г. Н.
1. О вычислении коэффициентов и оценке погрешности интерполирования
квадратурными формулами для простейшего интеграла типа Коши и син-
сингулярного интеграла по разомкнутому контуру. ЖВМ и МФ, 12, № 3, 1972.
Романов В. Г.
1. Приближенное решение интегральных уравнений основных плоских ста-
статических задач теории упругости для области с углами. В сб. «Вычислитель-
«Вычислительные системы», вып. 12, Новосибирск, 1964.
2. Численные методы решения интегральных уравнений теории упругости.
Автореферат диссертации, 1964.
С а в и н Г. Н.
1. Распределение напряжений около отверстий. «Наукова думка», 1968.
С а в и н Г. Н., Т у л ь ч и й В. И.
1. Пластинки, подкрепленные составными кольцами и упругими накладками.
«Наукова думка», 1971.
С а в и н Г. Н., Ф л е й ш м а н Н. П.
1. Пластинки и оболочки с ребрами жесткости. «Наукова думка», 1964.
С а в р у к М. П.
1. Напряжения в полосе с продольной трещиной. Физ.-хим. механика материа-
материалов, 5, № 4, 1969.
2. Напряжения в пластине с бесконечным рядом параллельных трещин при
симметричной нагрузке. Физ.-хим. механика материалов, 7, № 6, 1971.
3. Напряжения в пластине с бесконечным рядом параллельных трещин при
антисимметричной нагрузке. Физ.-хим. механика материалов, 8, № 4, 1972.
4. Напряжения около трещины в упругой полуплоскости. Физ.-хим. механика
материалов, 11, № 5, 1975.
Саникидзе Дж. Г.
1. К вопросу оценки погрешности квадратурных формул для некоторых син-
сингулярных интегралов. Сообщ. АН Груз. ССР, 50, № 3, 1968.
С и ню к о в А. М., Вол к о в Л. И., Л ь в о в А. И., Ш и ш к е в и ч А. М.
1. Баллистическая ракета на твердом топливе. Воениздат, 1972.
СирунянВ. X.
1. Две задачи теории трещин в областях с круговыми границами. Изв. АН Арм.
ССР, Механика, 24, № 4, 1971.
Смирнов В. И.
1. Курс высшей математики, т. IV. Физматгиз, 1958.
Соболев С. Л.
1. Алгоритм Шварца в теории упругости. ДАН СССР, 4 A3), № 6, 1936.
2. Некоторые замечания о численном решении интегральных уравнений. Изв.
АН СССР, Серия математическая, 20, № 4, 1956.
3. Уравнения математической физики. «Наука», 1966.
Соловьев Ю. И.
1. Решение пространственной осесимметричной задачи теории упругости для
многосвязных тел вращения при помощи обобщенных аналитических
функций. ДАН СССР, 169, № 2, 1966.
2. Некоторые вопросы, связанные с решением пространственной осесимметрич-
осесимметричной задачи теории упругости при помощи обобщенных аналитических функ-
функций. Труды Новосибирского ин-та инж. ж.-д. транспорта, вып. 62,
1967.
3. Решение осесимметричной задачи теории упругости при помощи обобщенных
интегралов типа Коши. Труды Новосибирского ин-та инж. ж.-д. транспорта,
вып. 62, 1967.
4. О приведении пространственных осесимметричных задач теории упругости
к граничным задачам для аналитических функций комплексного переменного.
ПММ, 35, № 5, 1971.
5. Действие сил, осесимметрично распределенных по плоским и цилиндри-
че:ким поверхностям, внутри упругого пространства и полупространства.

ЛИТЕРАТУРА 303
Труды Новосибирского ин-та ж.-д. транспорта, Механика деформируемого
тела и расчет сооружений, вып. 137, 1972.
Соловьев Ю. И., Плешаков Ф. Ф.
1. Осесимметричиое напряженное состояние упругого полупространства
с цилиндрической выемкой конечной глубины. Труды Новосибирского ин-та
ж.-д. транспорта, Механика деформируемого тела и расчет сооружений,
вып. 137, 1972.
Сретенский Л. Н.
1. Теория ньютоновского потенциала. Гостехиздат, 1946.
СтадникМ. М.
1. О разрушении трехмерного хрупкого тела, ослабленного внутренней плос-
плоской трещиной. Прикладная механика, № 4, 1973.
Телегина Н. А.
1. О второй основной задаче теории упругости при сосредоточенной нагрузке.
Сб. трудов Московского инженерно-строительного ии-та, 100, 1972.
Тихонов А. Н., Арсенин В. Я.
1. Методы решения некорректных задач. «Наука», 1974.
Тоноян В. С, МелкумянС. А.
1. Об одной задаче для полуплоскости с вертикальным конечным разрезом.
Изв. АН Арм. ССР, Механика, 25, № 3, 1972.
Торопина В. П.
1. Периодическая задача теории упругости при заданных на контуре области
напряжениях. Труды Лениигр. технол. ии-та, вып. 23, 1952.
Угодчиков А. Г.
1. Исследование двумерных задач теории упругости для тел сложной формы.
В сб. «Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа», «Наука»,
1972.
У ф л я и д Я- С.
1. Интегральные преобразования в теории упругости. «Наука», 1967.
Фан Ван Хап
1. О применении метода замены интеграла конечной суммой к приближенному
решению сингулярных интегральных уравнений. Вестник МГУ, Мат. и
мех., № 3, 1969.
Фильштинский Л. А.
1. Двоякопериодическая задача теории упругости для изотропной среды,
ослабленной конгруэнтными группами произвольных отверстий. ПММ,
36, № 4, 1972.
2. К теории упругости неоднородных сред с регулярной структурой. ПММ,
37, № 2, 1973.
Фридман М. М.
1. Решение общей задачи об изгибе тонкой изотропной упругой плиты, опертой
вдоль края. ПММ, 16, № 4, 1952.
X а л' и л о в 3. И.
1. Решение общей задачи изгиба опертой пластинки. ПММ, 14, № 4, 1950,
Хациревич И. X.
1. Применение метода Вейля к решению плоской статической задачи теории
упругости. ПММ, 7, .1942.
X в о л е с А. А.
1. Сингулярные интегральные уравнения в пространствах Липшица. Сообще-
Сообщения АН Груз. ССР, 76, № 1, 1974.
Хуторянский Н. М.
1. Об одном методе решения пространственных задач упругого равновесия.
Прикладные проблемы прочности и пластичности, ГГУ, вып. 5, 1976.
ЦандековМ. И.
1. Основные граничные задачи теории установившихся упругих колебаний
для областей с угловыми особенностями. Труды Тбилисского ун-та 56,
1955.

204 ЛИТЕРАТУРА
Чемернс В. С.
1. До питания про застосувания Р-аналггичних фуикшй в осесимметричнШ
теорп пружност1. Доповш АН УРСР, № 7, 1960.
2. Однонпрш интегральш ршяння осесимметрично1 Teopi'i пружносп. Вктник
Кшвского ун-ту, Серия мат. та мех., вып. 2, № 3, 1960.
3. Про чисельний разв'язок задач осесимметричшл теорп пружносп. Доло-
Долови! АН УРСР, Ха 5, 1962.
4. К вопросу о численном решении первой основной задачи осесимметричной
теории упругости. Вычислительная и прикладная математика, Межведом-
Межведомственный научный сборник, вып. 8, 1969.
Черепанов Г. П.
1. О напряженном состоянии в неоднородной пластинке с разрезами. Изв.
АН СССР, Механика и машиностроение, № 1, 1962.
2. Механика хрупкого разрушения. «Наука», 1974.
ЧибриковаЛ. И.
1. О краевой задаче Римана для автоморфных функций. Уч. зап. Казанского
ун-та, 116, № 4, 1956.
Шалюхин Ю. Н.
1. Применение методов плоской задачи теории упругости к исследованию
напряженного состояния элементов корпусов судов. Автореферат диссерта-
диссертации, 1975.
Ш е р м а н Д. И.
1. Некоторые случаи статической задачи теории упругости с осевой симмет-
симметрией. Труды Сейсмологического ин-та АН СССР, № 1, 1935.
2. Статические плоские задачи теории упругости. Труды Тбилисского мате-
математического нн-та, 2, 1937.
3. Плоская задача теории упругости со смешанными краевыми условиями.
Труды Сейсмологического ин-та АН СССР, № 88, 1938.
4. О некоторых свойствах интегральных уравнений теории упругости. Труды
Сейсмологического ин-та АН СССР, № 100, 1940.
5. Об одной задаче теории упругости. ДАН СССР, 27, № 9, 1940.
6. К решению плоской статической задачи теории упругости при заданных
на границе смещениях. ДАН СССР, 27, № 9, 1940.
7. К решению плоской статической задачи теории упругости при заданных
внешних силах. ДАН СССР, 28, № 1, 1940.
8. Некоторое замечание к задаче Дирихле. ДАН СССР, 29, № 4,
1940.
9. Плоская деформация в изотропной неоднородной среде. ПММ, 7, № 4,
1943.
10. Пространственная статическая задача теории упругости с заданными сме-
смещениями на границе. ПММ, 7, № 5, 1943.
П. Об одной смешанной задаче теории упругости. ПММ, 7, № 6, 1943.
12. Об одной задаче кручения. ДАН СССР, 63, № 5, 1948.
13. О напряженном состоянии некоторых запрессованных деталей. Изв. АН
СССР, ОТН, № 9, 1948.
14. О напряжениях в весомой полуплоскости, ослабленной двумя круговыми
отверстиями. ПММ, 15, № 3, 1951.
15. К вопросу о напряженном состоянии междукамерных целиков. Изв. АН
СССР, ОТН, № 6—7, 1952.
16. Об изгибе круговой пластинки, частично защемленной и частично опертой
по контуру. ДАН СССР, 101, № 4, 1955.
17. Об изгибе круговой пластинки, частично опертой и частично свободной
по контуру. ДАН СССР, 105, № 6, 1955.
18. Об упругом равновесии пластинки, опертой на краю. Изв. Арм. ССР,
Серия физ.-мат. наук, X, № 3, 1957.
19. О поперечном изгибе пластинки, опертой вдоль края, составленного из
нескольких замкнутых кривых. ПММ, 239, № 1, 1959.

ЛИТЕРАТУРА 305
20. On the problem of plane strain in поп-homogeneous media. Non-homogeneous
in elasticity and plasticity. London—New York — Paris — Los Angeles,
Pergamon Press, 1959.
21. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах
статической теории упругости. Труды Всесоюзн. съезда по теоретической
и прикладной механике, 1960, Изд-во АН СССР, 1962.
22. Весомая среда, ослабленная периодически расположенными отверстиями
круговой формы. Инженерный сборник, 31, 1961.
23. Весомая среда, ослабленная периодически расположенными отверстиями
круговой и некруговой формы. Инженерный журнал, 1, № 1, 1961.
24. Решение задачи Дирихле для кругового кольца и его некоторые приме-
применения в теории потенциала и теории упругости. В сб. «Приложения теории
функций в механике сплошной среды», т. I, «Наука», 1965.
25. К периодическим задачам Дирихле и плоской теории упругости, ч. I, II.
Уч. зап. Азербайджанского ун-та, Серия физ.-мат., № 5, № 6, 1966.
26. По поводу одного особого интегрального уравнения и его применения
в некоторых задачах теории упругости. Изв. АН Арм. ССР, Механика,
22, № 3, 1969.
27. Об одном способе рассмотрения краевых задач теории функций и двумер-
двумерных задач теории упругости. В сб. «Механика сплошной среды и родствен-
родственные проблемы анализа», «Наука», 1972.
Штаерман И. Я.
1. Контактные задачи теории упругости. Гостехиздат, 1949.
Э с к и н Г. И.
1. Общие краевые задачи для уравнений главного типа в плоской области
с угловыми точками. УМН, 18, вып. 3 A17), 1963.
Я р е м а С. Я.
1. О напряжениях около вершины трещины, приближающейся к поверхности
тела. Физ.-хим. механика материалов, № 5, 1975.
Ярема С. Я., С а в р у к М. П.
1. Напружеиий стаи цилшдричжм оболочки з поздовжиьою або поперечною
тродииою при симетричному иаваитаженш. Доповци АН УРСР, А, №8, 1967.
2. Антисимметричный напружений стан бшя трщииы у полопй оболонш.
Доповш АН УРСР, А, № 8, 1969.
3. Пологая оболочка с трещиной. В сб. «Концентрация напряжений», вып.
3, «Наукова думка», 1971.
4. Напряжение в цилиндрической оболочке с произвольно ориентированной
трещиной. Физ.-мат. механика материалов, 5, № 3, 1969.
5. Влияние кривизны на напряженное состояние оболочки с трещиной. При-
Прикладная механика, 6, № 11, 1970.
Ah! berg J. H., Nil son E. N.. W a 1 s h J. L.
1. The theory of splines and their applications, New York — London, Acad.
Press, 1967. [Русский перевод: А л ь б е р г Дж., Н и л ь с о и Э.,
Уолш Дж., Теория сплайнов и ее приложения. «Мир», 1972.]
Ashbaugh N. Е.
1. On the openig of a finite crack normal to an interface Trans. ASME, E40,
№2, 1973. [Русский перевод: А ш б а у х Н., О раскрытии краевой трещины,
перпендикулярной поверхности раздела двух материалов. Прикладная ме-
механика, № 2, 1973.]
Antes Pf.
1. Spline-Functionen bei der Losung von Integralgleichungen. Numer. Math.,
19, 1972.
2. Ober die Integralgleichungen von Massonet und Rieder. Z. angew. Math,
und Mech., 53, № 4, 1973.
A p p 1 F. Т., К о e r n e r D. R.
1. Numerical analysis of plane elasticity problems. J. Eng. Mech. Div. Proc.
Amer. Soc. Civ. Eng., 94, № 3, 1968.

306 ЛИТЕРАТУРА
2. Stress concentration factors for V-shaped, hyperbolic and rounded V-shaped
notches. Pap. Amer. Soc. Mech. Eng., DE-2, 1969.
Banerjee P. K.
1. Foundations within a finite elastic layer. Civ. Eng. and Public Works Rev.,
66, № 784, 1971.
В a rone M. R., Robinson A. R.
1. Determination of elastic stresses at notches and corners by integral equations.
Int. J. Solids and Struct., 8, № 11, 1972.
Carleman T.
1. Uber Neumann-Poincaresche Probleme fur ein Gebiet mit Ecken. Uppsala,
1916.
Cook T. S., E r d о g a n F.
1. Stress in bonded materials with a crack perpendicular to the interface. Int.
J. Eng. Sci., 10, № 8, 1972.
Cruse T. A.
1. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics. Int. J. Solids and
Struct., 5, № 12, 1969.
2. Some classical elastic sphere problems solved numerically by integral equa-
equations Trans. ASME, E39, № 1, 1972. [Русский перевод: Крузе Т. А.,
Некоторые классические задачи для упругой сферы, исследуемые численно
при помощи решения интегральных уравнений. Прикладная механика,
№ 1, 1972.]
3. Application of the boundary integral equation method to three-dimensional
stress analysis. Comput. and Struct., 3, № 3, 1973.
4. An improved boundary-integral equation method for three-dimensional elastic
stress analysis. Comput. and Struct., 4, № 4, 1974.
Cruse T. A., R i z zo F. J.
1. A direct formulation and numerical solution of the general transient elasto-
dynamic problem. J. Math. Analysis Applic, 22, 1968.
Cruse T. A., Van Buren W.
1. Three-dimensional elastic stress analysis of a fracture specimen with an edge
crack. Int. J. Fract. Mech., 7, № 1, 1971.
Dmowska R., Kostrov B. V.
1. A shearing crack in a semi-space under plane strain conditions. Arch. mech.
stosow., 25, № 3, 1973.
D u b о i s M., L а с h a t J. C.
1. Equations integrates. Application method variation calcul. struct. Journees,
etud. 1972.
Ebert J.
1. Ein Beitrag zur Losung ebener Randwertprobleme mit Hilfe von Funktional-
gleichungen und der elektrischen Potentialanalogie. Schiffbauforschung, 11,
№ 5—6, 1972.
Erdogan F.
1. Approximate solutions on systems of singular integral equation. SIAM J.
Appl. Math. 17, № 6, 1969.
2. Treatise on Continium Physics, edited by A. C. Eringen. N. Y., Academic
Press, 1972.
Erdogan F., G u p t a G. D.
1. Layered composites with an interface flaw. Int. J. Solids and Struct., 7, №8,1971.
Erdogan F., G u p t a G. D., Cook T. S.
1. Numerical solution of singular integral equations. In «Mechan. fracture I.
Methods of analysis and solutions of crack problems». Ed. G. С Sih. Leyden
Noordhoff Int. Publ. Co., 1973.
F i с h e г a G.
1. Existence theorems in elasticity. Springer-Verlag. Berlin — Heidelberg,
N. Y., 1972. [Русский перевод: Ф и к е р а Г., Теоремы существования
в теории упругости. «Мир», 1974.]

ЛИТЕРАТУРА 307
F о 1 i a s E. S.
1. Stresses in a cracked spherical shell. J. Math. Phys. 44, № 2, 1965.
Fredholm I.
1. Solution d'un probleme fondamental de la theorie de Pelasticite. Arch. Mat.
Astronom. Fysik, 2, 1305.
Furuhashi Rozo.Kataoka Masoharu
1. Theory of elastic potential of inhomogeneous material. Bull. ISME, 11, 48, 1968.
G i г a u d G.
1. Equations a integrals principales. Ann. scient., Ecole Norm. Super., 51, №3,1934.
Goursat E.
1. Cours d'analyse mathematique, t. III. [Русский перевод: Г у р с а Э., Курс
математического анализа, т. 3, ч. II. ОНТИ, 1934.]
Hart ranf t R. J., S i h G. С
1. The use of eigenfunctionen expansions in the general solution of three-dimen-
three-dimensional crack problems. J. Math, and Mech., 19, № 2, 1969.
2. Solving edge and surface crack problems by an alteruciting method. In«Mechan.
fracture I. Methods of analysis and solutions of crack problems». Ed. G. С Sih.
Leyden, Noordhoff Int. Publ. Co., 1973.
Heise U.
1. The calculation of Cauchy principal values in integral equations for boundary
value problems of the plane and three dimensional theory of elasticity.
J. Elast. 1975, 5, № 2, 99—110.
Jackson D.
1. Fourier series and ortogonal polynomials. 1941. [Русский перевод: Джек-
Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы. ИЛ, 1948.]
J a s w о п М. А., М a i t i M., S у m m J. Т.
1. Numerical biharmonic analysis and some applications. Int. J. Solids and
Struct., 3, № 3, 1967.
Kawai Т., F u j i t a n i Y.
1. Analysis of three dimensional surface crack problems by boundary integral
method. Seisan kenkyu, Mon. J. Inst. Ind. Sci. Univ. Tokyo, 28, № 2, 1976.
Kermandis T.
1. A numerical solution for axially symmetrical elasticity problems. Int. J.
Solids and Struct., 11, № 4, 1975.
Kinoshita N.,Toshio M.
1. On boundary value problem of elasticity. Res. Repts Fac. Engng. Meiji Univ.,
№ 8, 1956.
Koi ter W. T.
1. Approximate solution of Wiener — Hopf type integral equations with appli-
applications. I. General theory. II. A, B. Some plate bending problems and an
example from hydrodynamics. Proc. Koninkl. nederl. akad. wetensch., B57,
№ 5, 1954.
2. Stress distribution in an infinite elastic sheet with doubly-periodic sets of
equal holes. Boundary problems in differential equations. Madison. Univ.
Wisconsin Press, 1960.
L а с h a t J. C, Watson J. O.
1. Effective numerical treatment of boundary-integral equations: a formula-
formulation for three-dimensional elastostatics. Int. J. for Numerical Methods in Engi-
Engineering, 10, № 9, 1976.
Lauricella G.
1. Alcune applicationi della teoria della equazioni funzionali alia fisica-mate-
mat. Nuovo cimento, 13, ser. 5, 1907.
2. Sur ['integration de l'equation relative a l'equilibre des plagues elastiques
encastrees. Ada Mathem., 32, 1909.
Love A. E. H.
I. The Mathematical theory of Elasticity, Cambridge, 1927. [Русский перевод:
Л я в А., Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935.]

308 ЛИТЕРАТУРА
Massonet. С. Е.
1. Solution generate du probleme aux tensions de l'elasticite tridimensionelle.
Actes IX Congr. internat. mecan. appl. t. 5, Bruxelles, Univ. Bruxelles,
1957. .
2. Numerical use of integral procedures. Stress analysis, London — New York —
Syndey, John Wiley and sons, Ltd., 1965.
Mi с he R.
1. Le calcul pratique de problemes elastiques a deux dimensions par la methode
des equations integrates. Proc. 2 Int. congr. appl. Mech., Zurich, 1926.
M i n d 1 i n R. D.
1. Force at a point in the interior of semi-infinite sclid. Physics, 7, № 5,
1936.
Nlsitani Hironobu, Murekami Yukitaka.
1. Stress intensity factors of semi-elliptical crack and elliptical crack. (Tension).
Trans. Jap. Soc. Mech. Eng., 40, № 329, 1974.
Noble B.
1. Methods based on the Wiener— Hopf technique for the solution of partial
differential equation. London, 1958. [Русский перевод: Нобл Б., Приме-
Применение метода Винера — Хопфа для решения дифференциальных уравнений
в частных производных. ИЛ, 1962 ]
N о w а с k i W.
1. Teoria spr§zystosci. Warszawa, 1970. [Русский перевод: Новацкий В.,
Теория упругости. «Мир», 1975.)
Oliveira Eduardo R. Ar antes.
1. Plane stress analysis by a general integral method. J. Eng. Mech. Div. Proc.
Amer. Soc. Civ. Eng., 94, № 1, 1968.
Pham The Lai.
1. Potentiels elastiques; tenseurs de Green et de Neumann. J. mec, 6, №2, 1967.
Radon J.
1. Cber die Randwertaufgaben beim logarithmischen Potential. Sitzungsberichte
d. Akad. d. Wiss. Wien, math, natur. К.1. Abt. II, 128, 1919. [Русский пере-
перевод: Радон И., О краевых задачах для логарифмического потенциала.
УМН, вып. 1, 1936.]
R i e d e r G.
1. Mechanische Deutung und Kalssifizierung einiger Integralverfahren der ebenen
Elastizitatstheorie. I, II. Bull. Acad. polon. sci. Ser. sci. techn., 16, № 2,
1968.
Ri zzo F. J.
1. An integral equation approach to boundary value problems of classical elasto-
statics. Quart. Appl. Math. 25, № 1, 1967.
R i z z о F. J., S h i p p у D. J.
1. A formulation and solution procedure for the general non-homogeneous elastic
inclusion problem. Int. J. Solids and Struct., 4, № 12, 1968.
S i h G. С
1. Stress distribution near internal crack-tips for longitudinal shear. Trans.
ASME, E32, № 1, 1965. [Русский перевод: Си, Распределение напряжений
вблизи концов трещин продольного сдвига. Прикладная механика, № 1,
1965.]
2. A review of the three-dimensional stress problem for a cracked plate. Int. J.
Fracture Mech., 7, № 1, 1971.
Sneddon I. N.
1. Fourier transforms. New York, McGraw-Hill, 1951. [Русский перевод:
Сне д дон И., Преобразование Фурье. ИЛ, 1955.)
Sneddon I. N.. В е г г у D. S.
1. The classical Theory of Elasticity. Springer-Verlag. Berlin — Gottingen —
Heidelberg, 1958. [Русский перевод: С н е д д о н И., Б е р р и Д., Клас-
Классическая теория упругости. Физматгиз, 1961.]

ЛИТЕРАТУРА 309
S п у d е г М. D., С г u s е Т. А.
1. Boundary-integral equation analysis of cracked anisopropic plates. Int. J.
Fracture, 11, № 2, 1975.
Sommerfeld A.
1. Uber ferzweigte potentiate im Raum. Proc. Lond. Mat. Soc., 28, 1897.
Stern M.
1. A boundary integral representation for stress intensity factors. Proc. 10th
Anniv. Meeting Soc. of Eng. Sci. Raleigh. N. С 5—7, Nov. 1973.
Ster n M., So ni M. L.
1. On the computation of stress intensities at fixed free corners. Int. J. Solids
and Struct., 12, № 5, 1976.
S t г о u d A, H., Secres T. D.
1. Gaussian Quadrature Formulas. Prentice-Hall, N. Y., 1966.
S wed low J. L., Cruse T. A.
1. Formulation of boundary integral equations for three-dimensional elasto-plastic
flow. Int. J. Solids and Struct., 7, № 12, 1971. [Русский перевод: Свед-
л о у Дж., К р у з е Т., Вывод граничных интегральных уравнений для
трехмерного упруго-пластического течения. В сб. «Механика», 4 A34),
1972.]
S z m о d i t s К-
1. Solution of the first basic problem of the theory of elasticity with real poten-
potentials. Acta techn. Acad. Sci. hung., 68, № 3—4, 1970.
T r i с о m i F. G.
1. Potential theory: the sources of many-dimensional singular integral equations.
В сб. «Приложение теории функций в механике сплошной среды», т. 2,
«Наука», 1965.
Vogel S. M., R i zzo F. J.
1. An integral equation formulation of three-dimensional anisotropic elastostatiq
boundary value problems. J. Elasticity, 3, № 3, 1973.
Wang F. D., С r u s e T. A.
1. A comparaison of the finite element and integral method for three-dimensional
mine structural analysis. Rept. Depart. Mech. Eng. Carnegie — Mellon Univ.,
53, № 4, 1973.
Weber С
1. Achsensymmetrische Deformation von Umdrehungs Korpern. Z. angew. Math.
und Mech., 5, № 6, 1925.
Weyl H.
1. Das asymptotische Verteilingsgesetz der Eigenschwingungen eines beliebig
gestalten elastischen Korpers. Rend. Circ. Mat. Palermo, 39, 1915.
Williams M. L.
1. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular
corners of plates in extension. Trans. ASME, E19, 1952.
2. The stress around a fault or crack in dissimilar media. Bull. Seismol. Sos.
Amer., 19, 1959.
"Yang Wei Hguin.
1. On an integral equation solution for a plate with internal support. Quart. J.
Mech. and Appl. Math., 21, № 4, 1968.
Zak A. R., Williams M. L
1. Crack point stress singularities at a bimaterial interface. Trans. ASME, E30,
№ I, 1963. [Русский перевод: Зак А., Вильяме М., Сингулярность
в напряжениях у конца трещины на поверхности раздела двух материалов.
Прикладная механика, № 1, 1963.]
Zaremba S.
1. Sur un probleme mixte relatif a I'equation de Laplace. Bull, de l'Academie
des sciences. Cracovie. Classe des sciences math, et natur., series A, 1310. [Рус-
[Русский перевод: Заремба С, Об одной смешанной задаче, относящейся
к уравнению Лапласа. УМН, 1, вып. 3—4, 1946.]

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Бельтрами — Митчелла уравнения 127
Бетти формулы 128
Буссинеска матрица 208
Вейля матрица 135
Гельдера — Липшица условие 32
Гука закон 125
Деформации малые 125
Деформация плоская 136
Жесткость цилиндрическая 142
Жнро теорема 74, 75
Задача вторая основная 126, 130
- плоская 139, 141, 151, 156
— контактная 127
главная 233
плоская 140, 141
— первая основная 126, 129, 130
плоская 139, 141, 151, 159
— пятая основная 230
— Римана 44
— — неоднородная 44, 48
однородная 44, 45, 46
Задачи I—I, II—II, III—III 147
Закон Гука 125
Значение сингулярное интеграла типа
Коши 33
— собственное интегрального уравне-
уравнения 22
Индекс 43
— задачи Рнмана 44
— операторного уравнения 56
— сингулирного характеристического
уравнения 51
Интеграл Коши 31, 41
— сингулярный 72
— типа Коши 31
Кельвина — Сомильяны матрица 130
Колосова — Мусхелишвили формулы
137
Коэффициент Пуассона 125
Ламе постоянные 125
— уравнения 126
Лауричеллы уравнения 201, 211
Ляпунова поверхность 193
Ляпунова — Таубера теорема 198
Матрица Буссинеска 208
— Вейля 135
— второго рода 134
— Кельвина —Сомильяны 130
— первого рода 134
— символическая 92
— третьего рода 134
Метод сопряжения 188
Модуль Юнга 125
Мусхелишвили уравнение 152
Напряжение 125
— обобщенное 127
Нетера теоремы 53, 54, 70, 71
Нуль оператора 56
Оператор вполне непрерывный 56
— напряжений 126
обобщенных 127
— ограниченный 56
Племеля — Привалова теорема 35
Плотность сингулярного интеграла 72
Поверхность Ляпунова 193
Полином Фабера 114
Постоянные Ламе 125
Потенциал антенный 197
— простого сл^я обобщенный упругий
194
второго рода 196
¦ первого рода 194
Пуанкаре — Бертрана формула 40
Пуассона коэффициент 125
Регуляризатор оператора 52
Регуляризация слева 52
— справа 53
— эквивалентная 58

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
311
Резольвента 18
Решение сингулярное 146
— союзное союзного уравнения 68
Римана задача 44
неоднородная 44, 48
— — однородная 44, 45, 46
Сзн-Венана уравнения совместности 126
Символ сингулярного оператора 81
Состояние плосконапряженное 136
Сохоцкого — Племеля формулы 35
Сплайны 99—101, 162
Тензор малых деформаций 125
— напряжений 125
обобщенных 127
Теорема Жиро 74, 75
— Ляпунова — Таубера 198
— Племеля — Привалова 35
Теоремы Нетера 53, 54, 70, 71
Уравнение Мусхелишвили 152
— сингулярное 49, 214
нормальное 51
однородное 49
полное 49
— — союзное 49
— — характеристическое 50
— Софи Жермен 143
Уравнение союзное 24
— фредгольмово 56
Уравнения Ламе 126
— Лауричеллы 201
— равновесия 125
— совместности Бельтрами — Митчел-
Митчелла 127
Сен-Венана 1?6
— Шермана — Лауричеллы 155
Условие Гельдера — Липшица 32
Фабера полином 114
Формула Пуанкаре — Бертрана 40
Формулы Бетти 128
— Колосова — Мусхелишвилн 137
— Сохоцкого — Племеля 35
Фредгольма определитель 20
Функция напряжений Эйри 137
— собственная 24
Характеристика сингулярного инте-
интеграла 72
Шермана — Лауричеллы уравнения
155
Эйри функция напряжений 137
Юнга модуль 125

Владимир Залманович Партой
Петр Ильич П е р л и н
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
М., 1977 г., 312 стр. с илл.
Редакторы А. Г. Мордвиицев, А. А. Спектор
Технический редактор Е. В. Морозова
Корректор Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 14/Ш 1977 г. Подписано к печати 7/IX 1977 г.
Бумага 60X90'/ie тип. Л» 1. Физ. печ. л. 19,5. Условп,
печ, л. 19,5. Уч.-изд. л. 20,46. Тираж 5400 экз. Т-16415.
Цена книги 1 р. 60. Заказ Nt 1152.
Издательство «Наука>
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71. Ленинский проспект, 15
Отпечатано с матриц изготовленных Ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградским производственно-техни-
производственно-техническим объединением «Печатный Двор> имени А. М. Горь-
Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская
ул., 26, в 4-й типографии издательства «Наука>. 630077,
Новосибирск, 77, Станиславского, 25. Заказ 739.