АКАДЕМИЯ НАУК
СССР
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
им. А. Ф. ИОФФЕ
Я. С. УФЛЯНД
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ЗАДАЧАХ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ЛЕНИНГРАД • 1968

УДИ 617.У;63Ь...
Интегральные преобразования в задачах теории упругости.
Уфлянд Я. С. Изд. 2-е, доп. Изд-во «Наука». Ленингр.
отд.. Л.. 1967, 1—402.
В книге даетоя систематическое изложение одного из
аффективных методов современной математической физики —
метода интегральных преобрааовании применительно к задачам
теории упругости. Исследуются классы плоских и простран-
ственных задач упругого равновесия, разрешимых с помощью
интегральных преобразований. Помимо классических вопро-
сов, рассмотрены . некоторые сложные смешанные задачи,
служившие предметом оригинальных работ последних лет.
В настоящее издание включены некоторые дополнительные
вопросы свняаниые с методом парных интегральных уравне-
ний
Библ. 337 назв., рис. 51, табл. 37.
Ответственный редактор
чл.-корр АН СССР Г. А. ГРИНБЕРГ
2-2-3
248-68 (] пол.)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ко второму изданию 8
Предисловие 9
ОБЗОР РАБОТ ПО ПРИМЕНЕНИЯМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1. Двумерные вадачи 13
2. Пространственные задачи 18
* Часть!
ПРЕОБРАЗОВАНИИ' ФУРЬЕ
Глава I. Плоская задача теории упругости для бесконечной полосы 26
§ 1. Упругое равновесие полуплоскости 26
§ 2. Первая основная задача теории упругости для бесконеч:
ной полосы 29
§ 3. Вторая основная задача для бесконечной полосы . . 33
§ 4. Полоса, закрепленная но контуру и нагруженная сосре-
доточенным моментом 37
§ 5. Смешанная задача для бесконечной полосы 40
§ 6. Рнвпрвесие полосы с закрепленным основанием .... 42
Глава II. Кручение и изгиб призмы, образованной пересечением
двух круговых цилиндров . . 44
§ 7. Решение вадачи Дирихле для области, ограниченной
дугами двух пересекающихся окружностей ....... 44
§ 8. Кручение призмы, образованной двумя пересекающимися
круговыми цилиндрами 46
§ 9. Вычисление касательных напряжений и жесткости при
кручении 47
§ 10. Й8гиб поперечной силой стержня луночного профиля 51
§ 11. Изгиб кругового цилиндра, срезанного плоскостью,
параллельной оси 54
§ 12. Изгиб стержня с сечением в виде симметричной круговой
луночки - 56
Глава III Плоская задача теории упругости для круговой луночки 59
§ 13. Решение основной бигармонической задачи для луночной
области 59
§ 14. Сжатие симметричной круговой луночки местной наг-
рузкой . . - - • . 62
$ 15. Некоторые смешанные задачи для упругой полупло-
скости 69
S

Стр.
§ 16. Плоская контактная задача при наличии сцепления . . 74
§ 17. Плоская задача для внешности круговой луночки ... 80
§ 18. Влияние луночного отверстия на распределение напря-
жений в растянутой плоскости 82
§ 19. Растяжение полуплоскости с сегментной выемкой ... 88
§ 20. Концентрация напряжений в плоскости, ослабленной
луночным отверстием и находящейся в условиях чистого
сдвига 90
Глава IV. Применение преобразования Фурье к задачам изгиба тон-
ких плит 91
§ 21. Изгиб полуплоскости с закрепленным краем 91
§ 22. Приложения преобразования Фурье к решению задач
изгиба ленточных плит 95
§ 23. Изгиб бесконечной полосы сосредоточенной силой . . . 101
§ 24. Решение неоднородного бигармоиического уравнения
в биполярных координатах . 105
§ 25. Ивгиб луночной плиты с закрепленным контуром . . 107
§ 26. Решение задачи изгиба для симметричной круговой луяо-
чки HU
§ 27. Изгиб кругового сегмента И4
§ 28. Изгиб полуплоскости с сегментной выемкой 117
§ 29. Смешанная задача изгиба полуплоскости 119
§ 30. Луночная плита под равномерной нагрувкой 120
Часть 11
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
Глава V. Плоская задача теории упругости для клина 125
§ 31. Первая основная задача теории упругости для клиновид-
ной области 125
§ 32. Равновесие клина, нагруженного сосредоточенной силой 130
§ 33. Решение второй основной задачи для клина 136
§ 34. Растяжение неограниченного тела, содержащего жестко
впаянную пластинку (плоская задача) 142
§ 35. Смешанная задача теории упругости для клина .... 144
§ 36. Действие сосредоточенной силы на клин с закрепленной
гранью 149
Глава VI. Иагиб клиновидных плит 153
§ 37. Применение преобравонания Меллина к вадаче ивгиба
клиновидной плиты 153
§ 38. Иагиб клиновидной плиты с закрепленным контуром . 155
§ 39. Клиновидная плита, опертая по краям 158
§ 40. Клиновидная плита со свободным контуром 160
§ 41. Смешанная задача ивгиба клиновидной плиты 162
Часть III
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
Глава VII. Деформация упругого слоя 167
§ 42. Сведение первой основной задачи для упругого слоя
к краевым задачам математической физики 167
§ 43. Равновесие упругого слоя при заданных нагрузках . . 171

Стр.
§ 44. Вторая основная задача теории упругости для слоя . . 174
§ 45. Деформация упругого слоя при смешанных краевых
уоловинх 177
§ 46.-. Функция Грина для слоя с закрепленным основанием. 180
Глава VIII. Метод парных интегральных уравнений в пространствен-
ных задачах теории упругости 183
§ 47. Кручение упругого слоя 183
§ 48. Осесимметричяая деформацкя упругого слоя с круговой
линией раздела краевых условий на одной иа граней . 188
§ 49. Осесимметричная контактная задача для упругого слоя 193
§ 50. Общая смешанная задача для упругого слоя 198
§ 51. Контактная задача для упругого слоя при отсутствии
тренин . - . . . 203
§ 52. Контактная задача для слоя, сцепленного с основанием 207
§ 53. Концентрация напряжений в упругом слое, ослабленном
плоской круглой щелью 211
§ 54. Деформация неограниченного тела, ослабленного двумя
круглыми щелями 216
§ 55. Расчеты для случая равномерного осевого растяжения 224
Часть I V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЕРА—ФОКА
Глава IX. Краевые вадачи теории потенциала для полупространства,
разрешимые с помощью интегрального преобразования
Мелера—Фока 230
§ 56. Уравнение Лапласа в тороидальных координатах . . . 230
§ 57. Применение преобразования Мелера—Фока к решению
смешанных краевых калач для полупространства . . . 232
§ 58. О некоторых типах особых гармонических функций . . 238
Глава X. Смешанная задача теории упругости для полупространства
с круговой линией раздела краевых условий при задании
на всей границе касательных напряжений 241
§ 59. Осесимметричная задача для случая, когда внутри круга
задано нормальное перемещение, а вне его — нормальное
напряжение 241
§ 60. Контактная задача для кругового в плане штампа при
отсутствии трения 245
§ 61. Осесимметричная деформация неограниченного тела,
ослабленного внешней круговой щелью 248
§ 62. Постановка и решение общей смешанной вадачи .... 254
§ 63. Общий случай равновесия упругого пространства, содер-
жащего внешнюю круговую щель 258
§ 64. Смешанная задача для случая задании внутри круга
нормального напряжения, а вне его — нормального пере-
мещения 262
§ 65. Растяжение упругого тела, ослабленного плоской круг-
лой щелью 264
Глава XI. Решение смешанной вадачи для полупространства с кру-
говой линией раздела краевых условий, когда на всей
границе известно нормальное напряжение 266
§ 66. Случай заданий внутри круга радиального смещения,
а вне его — касательного напряжения 266
5

Стр.
§ 67. Приложение ь задаче о равновесии упругого тела, содер-
жащего внешнюю круговую щель 269
§ 68. Общая задача при вадании внутри круга касательных
перемещений, а вне его — касательных напряжений. . 272
§ 69. Антисимметричная деформации тела, содержащего внеш-
нюю круговую щель 277
§ 70. Осесимметричная задача в случав задания внутри круга
касательного напряжения, а вне его — радиального пере-
мещения 280
§ 71. Напряжения в упругом теле, ослабленном плоской круг-
лой щелью 282
§ 72 Решение общей задачи для случая, когда внутри круга
известны касательные напряжения, а вне его — каса-
тельные смещения 284
§ 73. Приложение к расчету напряжений в неограниченном
теле, содержащем внутреннюю круговую щель . . 288
Глава XII. Основная смешанная задача теории упругости для полу-
пространства с круговой линией раздела граничных
условий 291
§ 74. Основная смешанная задача и случае осевой симметрии 291
§ 75 Осесимметричная контактная задача для круглого штампа
при наличии сцепления 294
§ 76. Случай, когда вне круга заданы смещения, а внутри
него — напряжения 297
§ 77. Решение основной смешанной задачи в общем случав . . 302
§ 78. Контактная задача для цилиндрического штампа, сцеп-
ленного с полупространством 312
§ 79. Контактная задача со сцеплением при наличии нагрузок,
приложенных вне штампа 319
Часть V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА-ЛЕВЕДЕВА
Глава XII!. Пространственная задача теории упругости для клина
при заданных перемещениях на границе 324
§ 80 Некоторые трехмерные краевые задачи для клиновидной
области 324
§ 81. Вторая основная задача теории упругости для клина . . 328
§ 82. Растяжение тела, содержащего жестко впаянную пла-
стинку . . 332
Глава XIV. Равновесие неограниченного упругого тела, ослаблен-
ного плоским раарегом . . . 337
§ 83. Постановка задачи 337
§ 84. Случай нормальной симметричной нагрузки 340
§ 85. Нормальная антисимметричная нагрузка -444
§ 86. Касательная симметричная нагрузка, перпендикулярная
ребру равреаа 350
§ 87. Касательная антисимметричная нагрузка, перпендику-
лярная ребру разрева 354
§ 88. Касательная нагрузка, параллельная ребру разреза . .- 359
Глава_ XV. Основная смешанная вадача теории упругости для полу-
пространства с прямолинейной границей раздела крае-
вых условий 361
в

Стр.
§ 89. Сведение задачи к краевым задачам для гармонических
функций 361
§ 90. Решение смешанной краевой задачи 364
Литература 371
Дополнение 1. Обзор новых работ по приложениям интеграль-
ных преобразований в задачах теории упругости . . 382
Дополнение 2. О парных интегральных уравнениях, связанных
с преобразованием Мелера— Фока, и их приложениях в теории
упругости . . :587
Дополнительная литература 398

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Основной текст настоящей книги сохранен без изменений —
в нем сделаны только исправления замеченных опечаток, а также
внесены небольшие коррективы редакционного характера.
В связи с тем что за последние годы появилось большое коли-
чество новых исследований по приложениям интегральных преобра-
зований в теории упругости, автором в специальном дополнении 1
сделан краткий обзор некоторых новых работ указанного напра-
вления.
В книгу включено также дополнение 2, посвященное одному
из недавно разработанных вопросов — парным интегральным
уравнениям, связанным с интегральным преобразованием Ме-
лера—Фока.
Вся дополнительная литература, ссылки на которую имеются
только в дополнениях 1 и 2, помещена отдельным списком в конце
книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга посвящена некоторым классам задач ста-
тической теории упругости, разрешимых с помощью интеграль-
ных преобразований.
Методы математической физики, связанные с использованием
различных интегральных преобразований, за последние десяти-
летия проникли также и в теорию упругости. К настоящему
времени в работах многих авторов уже рассмотрено значитель-
ное количество как двумерных, так и пространственных (главным
образом оеееимметричных) задач упругого равновесия, точные
решения которых получены с помощью классических интеграль-
ных преобразований Фурье, Меллина и Ханкеля. Сюда отно-
сятся, в частности, плоские задачи для бесконечной полосы и
клина, соответствующие вопросы изгиба тонких плит, простран-
ственные задачи для упругого слоя и неограниченного ци-
линдра.
За последние годы в теории упругости нашли также большое
применение менее известные интегральные преобразования по
сферическим функциям с комплексным значком (преобразование
Мелера—Фока) и по цилиндрическим функциям мнимого значка
и аргумента (преобразование Конторовича—Лебедева), позволив-
шие дать эффективное решение некоторых классов смешанных
задач теории упругости для полупространства с линией раздела
краевых условий в виде окружности или прямой.
Целью данной монографии является систематическое изло-
жение методов, связанных с интегральными преобразованиями
различных типов, применительно к краевым задачам теории
упругости. Автор пытался охватить с единых позиций широкий
класс задач упругого равновесия, начиная со сравнительно
простых вопросов, разрешимых с помощью классических инте-
гральных разложений типа Фурье, и кончая сложными смешан-
ными задачами, исследованными в оригинальных работах послед-
них лет путем применения некоторых специальных интегральных
преобразований.
Использование интегральных преобразований в краевых зада-
чах математической физики осуществляется, вообще говоря,
с помощью двух несколько отличных друг от друга подходов.
9

В первом варианте применяется, по существу, метод Фурье,
т. е. решение ищется в виде некоторого интегрального разложе-
ния, содержащего неопределенные функции параметра интегри-
рования, которые определяются из граничных условий с помощью
соответствующей теоремы разложения. Такой метод представля-
ется наиболее удобным в однородных краевых задачах. При
втором подходе, обычно называемом методом интегральных
преобразований, дифференциальные уравнения и граничные уело
вия задачи переводятся в уравнения и условия для трансфор-
мант, после нахождения которых искомое решение дается фор-
мулой обращения для рассматриваемого интегрального преобра-
зования. Этот метод имеет несомненные преимущества при
решении неоднородных задач.
В настоящей книге применяются оба указанных метода, при-
чем изложение ведется с той степенью строгости, которая обычно
принята в книгах прикладного направления. В соответствии
с этим основное внимание уделено нахождению эффективных,
хотя и формальных результатов, полученных в предположении,
чго как искомые, так и заданные функции подчинены некоторым
условиям общего характера. Во многих случаях можно непосред-
ственно проверить, что найденные решения удовлетворяют всем
поставленным условиям.
Монография состоит из пяти частей.
В первой части излагаются методы решения двумерных задач
теории упругости, основанные на применении интегрального
преобразования Фурье в прямоугольных и биполярных коорди-
натах. Здесь рассмотрены первая, вторая и смешанная задачи
для бесконечной полосы, кручение и изгиб призмы, образованной
пересечением двух круговых цилиндров, плоская задача для
внутренности и внешности круговой луночки, вопросы изгиба
тонких плит ленточной и луночной формы, а также некоторые
смешанные задачи для полуплоскости.
Применению интегрального преобразования Меллияа к основ-
ным плоским задачам теории упругости для клина и к вопросам
изгиба клиновидных плит при различных краевых условиях
посвящена часть вторая.
Третья часть данной книги содержит решения некоторых
классов трехмерных краевых задач упругого равновесия, полу-
чаемые с помощью интегрального преобразования Ханкеля. Кроме
исследований, относящихся к основным краевым задачам для
упругого слоя, рассмотрены также более сложные смешанные
задачи для тех случаев, когда на одной из граней слоя имеется
окружность, разделяющая краевые условия различных типов.
Задачи этого класса уже не допускают непосредственного точ-
ного решения, однако применение к ним интегрального пре-
образования Ханкеля приводит к так называемым парным ин-
тегральным уравнениям, сведение которых к интегральному
ю

уравнению Фредгольма с непрерывным ядром позволяет дать
эффективное решение некоторых контактных задач для упру-
гого слоя, а также рассмотреть напряженное состояние в слое
с круглой щелью и ряд сходных смешанных задач.
В четвертой части настоящей монографии подробно освеща-
ются методы решения пространственных задач теории упругости,
основанные на применении интегрального преобразования Ме-
лера—Фока. Здесь даны точные решения смешанных задач для
полупространства с круговой линией раздела граничных условий,
а также их приложения к контактным задачам (в том числе и
при наличии сцепления) и к сходным вопросам" о напряжениях
в неограниченном упругом теле, ослабленном внутренней или
внешней круговой щелью.
В пятой части книги рассмотрены некоторые трехмерные
задачи теории упругости, разрешимые с помощью интегрального
преобразования Конторовича—Лебедева: вторая основная задача
для клина, равновесие неограниченного тела, ослабленного
плоским разрезом, и основная смешанная задача для полу-
пространства с прямолинейной границей раздела краевых
условий.
Автор счел необходимым в качестве иллюстрации изложен-
ных общих методов рассмотреть достаточное количество конкрет-
ных задач из различных разделов теории упругости и привести
необходимые для численных расчетов таблицы связанных с инте-
гральными преобразованиями корней трансцендентных уравнений,
а также значения ядер некоторых интегральных уравнений.
Монография рассчитана на научных работников и инженеров,
занимающихся вопросами теории упругости и ее приложений,
а также на преподавателей и аспирантов высших учебных заве-
дений соответствующего профиля. Предполагается, что читатель
знаком с основами теории упругости, а также с аппаратом клас-
сических интегральных преобразований в объеме обычных курсов
математической физики. Каждой части книги предшествует крат-
кий перечень основных зависимостей, характеризующих соответ-
ствующее интегральное преобразование. Что касается менее
известных специальных интегральных преобразований по сфери-
ческим и цилиндрическим функциям, то относящиеся к fhm
сведения изложены в тексте несколько более подробно.
В специальном вводном разделе монографии дан подробный
обзор работ по применениям интегральных преобразований
в теории упругости. В список литературы наряду с известными
автору источниками, относящимися к приложениям метода инте-
гральных преобразований в задачах теории упругости, включены
также другие работы, связанные с излагаемыми вопро-
сами.
Настоящая монография не претендует на полноту в изложе-
нии задач теории упругости, разрешимых с помощью интеграль-
11

ных преобразований: в нее не вошел ряд вопросов, главными
из которых являются деформация неограниченного цилиндра,
парные интегральные уравнения, связанные с преобразованием
Фурье, температурные напряжения и некоторые задачи для
анизотропных тел.
Автор выражает глубокую признательность Н. Н. Лебедеву
аа ценные советы, а также благодарит К. А. Аристову, Т. А. Чер-
нову и А. Я. Черняк, выполнивших трудоемкие расчеты.

ОБЗОР РАБОТ ПО ПРИМЕНЕНИЯМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1. Двумерные задачи
В первую часть настоящего обзора входят работы, посвя-
щенные применению интегральных преобразований Фурье и Мел-
лина к решению двумерных задач статической теории упру-
гости.
Наиболее многочисленные приложения к двумерным задачам
теории упругости до последнего времени имело интегральное
преобразование Фурье.
Первым решением из области теории упругости,- связанным
с аппаратом интегралов Фурье, следует, по-видимому, считать
исследование Файл она [1661 напряженного состояния в бесконеч-
ной полосе, по кромкам которой заданы внешние усилия. В даль-
нейшем этим же вопросом занимались многие авторы (см., на-
пример, работы 1145, 180, 198]), которые либо видоизменяли и
усовершенствовали решение Файлона, либо применяли его к кон-
кретным задачам.
В конечном счете все указанные работы базируются на воз-
можности представления бигармонической функции, через кото-
рую выражается решение плоской задачи теории ~ упругости,
в виде интеграла по параметру X от частных решений бигармо-
нического уравнения
{[А (X) + уВ (Х)| *' + [С (X) + yD (X)] «г*»} ™ ?. * > 0,
причем в пределах рассматриваемой полосы —оо < х<-\- со.
\у\<а.
Если заданные внешние нагрузки разложить в соответствую-
щие интегралы Фурье, то можно найти величины А, В, С, D.
Изложение этой методики дано П. Ф. Папковичем в его курсе
теории упругости [84]; там же даны основы расчета тепловых
напряжений в бесконечной полосе (см. также работу Париа [208 ]).
При расчетах напряжений в полосе встретилась необходимость
составления таблиц некоторых специальных трансцендентных
уравнений (см. статью Фадле [164]).

В книге Снеддона [1001 рассмотрено упругое равновесие бес-
конечной полосы и, в частности, полуплоскости (у^О), причем
в последнем случае следует, очевидно, положить А=В=0. При-
менение преобразования Фурье к решению первой основной
задачи для полуплоскости изложено в монографии В. В. Ново-
жилова [80].
С помощью интегрального преобразования Фурье можно дать
также решение плоской задачи теории упругости для многослойной
среды, состоящей из ряда параллельных полос с различными
упругими свойствами. Частным случаем такой задачи является
задача о балке на упругом основании, рассматривавшаяся в ра-
боте И. Г. Альперина [4] (см. также [31, 70, 134, 195]).
Интегральное преобразование Фурье дает возможность полу-
чить точное решение плоской задачи для бесконечной полосы
при заданных на ее границе перемещениях (вторая основная
задача), а также смешанной задачи, когда на одной кромке заданы
усилия, а на другой — перемещения (см., например, работу
Н. И. Сомова [103 ]). Заметим, что результаты, относящиеся
к последнему случаю, нашли важные практические применения
при исследовании явлений откола в толстых плитах [102], а также
при расчетах на прочность резино-металлических изделий [991.
За последнее время, в связи с развитием методов акад.
Н. И. Мусхелишвили решения плоских задач теории упругости,
ряд авторов вновь обратился к исследованию напряженного
состояния в балках бесконечной длины при задании нагрузки
на продольных сторонах. Так, в работах С. Е Бирмана, полу-
чивших завершение в его диссертации [И I, решение Файлона
преобразовано к виду, весьма удобному для практических целей,
а также даны многочисленные приложения этой методики. При-
менение аналогичных методов к задачам о равновесии балок слу-
жило и позднее предметом многих работ (см., например, [173, 226 ]).
Методы теории функций комплексной переменно!*] дали воз-
можность получить — в виде интегралов Фурье — решения ряда
более сложных смешанных задач теории упругости для беско-
нечной полосы. В работе И. Г. Альперина [51 рассмотрена
полоса, сжатая по половине длины, причем задача сведена к пар-
ным интегральным уравнениям специального вида, разреши-
мым по методу факторизации. М. Я. Беленьким [6] исследовалась
плоская контактная задача для жесткого штампа, вдавливаемого
в упругую полосу.
Среди большого количества работ, связанных с применением
интегрального преобразования Фурье к плоским задачам теории
упругости в прямоугольных координатах, отметим еще моногра
фию С. Г. Лехницкого [631, в которой рассматривается напря
женное состояние в анизотропных пластинках соответствующей
формы (см. также статьи [44, 135, 146, 153—155, 2231), работы
[176, 201, 224], относящиеся к расчетам напряжений в полубес-
14

конечной балке, а также интересные исследования Линга [188,
190], посвященные приближенному расчету концентрации напря-
жений в области выемок на кромках полосы.
Наряду с плоскими задачами теории упругости интегральное
преобразование Фурье широко применялось также к вопросам
поперечного изгиба упругих тонких плит, имеющих форму бес-
конечной плоскости, полуплоскости, бесконечной полосы и полу-
полосы при различных краевых условиях. Отдельные частные
случаи таких задач рассматривались во многих журнальных
статьях (см., например, [169, 172, 177, 184, 192, 1931). Систе-
матическое изложение методов расчета ленточных плит дано
в монографии П. Ф. Папковича [85]; им же рассмотрены некото-
рые случаи изгиба плиты в виде полуполосы.
Некоторые применения интегралов Фурье к вопросам рас-
чета анизотропных плит имеются в книге С. Г. Лехницкого [63],
а также в работе Новацкого и Турского [207 ]. Многочис-
ленные приложения преобразование Фурье находит также-
при расчетах тонких плит, лежащих на упругом основании; огра-
ничимся здесь указанием на работы Г. С. Шапиро [130, 131 ],
Б. Г. Коренева [40, 41], Г. Я. Попова [86], а также на моно-
графию С. С. Голушкевича [22].
Характерной особенностью всех рассмотренных выше задач
является то обстоятельство, что в область упругого тела входят
бесконечно удаленные точки. Наряду с этим интегральное пре-
образование Фурье может быть применено и к задачам для конеч-
ных областей, ограниченных координатными линиями такой
системы криволинейных координат, для которой одна из пере-
менных изменяется в бесконечных пределах. Такой системой
является, в частности, система биполярных координат (а, Р),
причем координата а может изменяться п пределах от — bo до +оо.
так что в форме интеграла Фурье удобно представлять решения-
краевых задач для областей, ограниченных кривыми p=const.
Этими кривыми оказываются дуги двух пересекающихся окруж-
ностей, образующие область, обычно называемую круговой лу-
ночкой.
Применение интегрального преобразования Фурье дало воз-
можность получить точные решения задач кручения и изгиба
призмы, образованной пересечением двух круговых цилиндров,
а также ряда плоских задач теории упругости и задач изгиба
упругих тонких плит луночной формы. В задачах, связанных
с решением бигармонического уравнения, искомая функция может
быть представлена в форме интеграла Фурье
00
\ [А (X) ch хр cos р + В (X) ch Xp sin p -f- С (X) sh Хр cos p -f-
о
IS-

причем для первой основной задачи величины Л, В, С, D опре-
деляются из граничных условий.
Решения задач о растяжении неограниченной плоскости,
ослабленной луночным отверстием, были даны Вайнелем [231 ] и
Липгом [185, 187] (см. также монографию Г. Н. Савина [95]
п работы Карунеса [181] и М. А. Саврука [96]). Плоская задача
для внутренности круговой луночки составила предмет диссер-
тационной работы В. В. Еганяна [28 ]. Задачи кручения и изгиба
стержней луночного профиля, изгиба плит луночной формы,
а также некоторые плоские задачи для областей подобного вида
рассматривались в работах автора [108—110], Вайнгардена [234],
Ху Хай-чана [174], Войновского-Кригера [240, 241], Жар-
нея [179], Мияо [202]. Отметим, что указанные выше общие
решения ряда задач теории упругости для луночных областей
включают в себя как частные случаи многие решения, полученные \
с помощью различных искусственных приемов либо для областей
специального вида [15, 220, 232, 233], либо для частных типов
нагрузок [13, 165, 199, 205].
Использование аппарата интегралов Фурье в биполярных
координатах позволяет дать точное решение плоских контактных
задач для одиночного штампа (как при отсутствии трения, так
и при наличии сцепления), а также сходных смешанных задач
о напряжениях в неограниченном теле, ослабленном плоской
щелью (см. книгу Снеддона и Берри [101 ], а также главу III на-
стоящей монографии). Простейшие из таких задач рассмотрены
в книге Снеддона [1001 — решение здесь проводится в декарто-
вых координатах, что приводит к парным интегральным уравне-
ниям, разрешимым по способу Басбридж [149]. Нам предста-
вляется, однако, что наиболее эффективное решение как указан-
ных, так и более сложных смешанных задач для полуплоскости
получается с помощью методов теории функций комплексной
переменной (см. монографии Н. И. Мусхелишвили [77, 781 и
Л. А. Галина [20]).
Наряду с интегральным преобразованием Фурье к решению
плоских задач теории упругости часто применяется интегральное
преобразование Меллина, которое дает эффективные результаты
для клиновидных областей, ограниченных двумя бесконечными
лучами, исходящими из одной точки. Применяя систему поляр-
ных координат (г, 6), в которой эти лучи являются линиями
¦6=const, бигармоническую функцию представляют в виде комп-
лексного интеграла по параметру р от выражения
[ А (р) cos A — р) 6 + В (р) sin A — р) 6 -+- С (р) cos A -f- р) Ь +
причем путь интегрирования выбирается в соответствии с по-
ведением искомой функции при г-*0и г-» оо.
16

На возможность построения функции Эри в указанной форме
было, по-видимому, впервые указано В. М. Абрамовым [1] (см.
также [148]); однако им не были доведены до конца необходи-
мые выкладки. Частный случай клиновидной пластины — беско-
нечная плоскость с прямолинейным разрезом — рассматривался
в статьях Барнарда [142] и Л. И. Лурье [65]. Несколько позднее
A. И. Лурье и Б. 3. Брачковским [68] при помощи функций
комплексной переменной и интегралов Меллина было дано общее
решение плоской задачи для клина с произвольным углом раст-
вора, а также проведены некоторые численные расчеты. Анало-
гичные задачи впоследствии рассматривались Трантером в ра-
боте [228] и книге [106].
С помощью интегрального преобразования Меллина можно
получить точное решение как второй основной задачи теории
упругости для клина, так и смешанной задачи при задании на од-
ной грани перемещений, а на другой — напряжений. Смешанная
задача рассматривалась в статьях автора [121 ] и Л. М. Кур-
шина [42], причем в последней работе исследован частный слу-
чай квадранта.
Применению преобразования Меллина к различным плоским
задачам для упругого клина посвящены также статьи С. Г. Лап-
шина [45], Годфри [170] и работы Пехоцкого и Зорского [213,
214] по расчету температурных напряжений в клине. Плоская
задача теории упругости для анизотропного клина исследовалась
B. М. Абрамовым [1] (см. также статью П. П. Куфарева [43]).
На основе общих решений, относящихся к равновесию безгранич-
ного клина, С. Г. Шульманом [139, 140] детально изучались
случаи нагрузок, связанные с расчетом плотин треугольного про-
филя, в том числе и для слоистой структуры. В диссертации
того же автора [141 ] приведен большой численный и графиче-
ский материал, относящийся к расчетам напряжений в клине,
проведенным на электронной машине.
Аналогично плоской задаче теории упругости с помощью
интегралов Меллина можно получить решение задачи изгиба
клиновидной плиты с закрепленными краями. Этому вопросу
посвящена диссертация И. Б. Сахарова [97], в которой дано
подробное (вплоть до численных расчетов) решение указанной
задачи для случая сосредоточенной нагрузки. Построение функ-
ции Грина в этой работе проведено с помощью выделения част-
ного решения неоднородного бигармонического уравнения. Общее
решение задачи изгиба клиновидной плиты дано в статье ав-
тора [111], причем решение, отвечающее любым образом распре-
деленной внешней нагрузке и произвольным краевым условиям,
получено путем непосредственного применения интегрального
преобразования Меллина к неоднородному бигармоническому
уравнению и граничным условиям задачи. Аналогичные исследо-
вания были проведены Войновским-Кригером в (статьях [238, 239 ].
Z Q /Тс 9 ! БИБЛИОТЕКА

С помощью интегрального преобразования Меллина Вилльямс
[236, 237 ] исследовал напряженное состояние в окрестности угло-
вой точки клина (см. также работы [26, 138, 218]). Этот вопрос
связан со свойствами корней некоторых классов трансцендентных
уравнений, которые рассматривались К. А. Китовером [34] для
ряда плоских задач и задач изгиба плит путем конструирования
бигармонических функций, удовлетворяющих различным однород-
ным условиям на контуре области.
Преобразование Меллина иногда дает возможность найти
некоторые приближенные пути подхода к решению задач для
областей, содержащих угловые точки. Укажем в качестве при-
мера на работы Койтера и Албласа [182, 183], в которых рас-
сматриваются консольные прямоугольные плиты.
Существенным этапом в дальнейшем развитии метода интег-
ральных преобразований применительно к задачам теории упру-
гости являются работы С. М. Белоносова [7, 8] и его диссер-
тация [9], в которых использование интегральных преобразова-
ний Фурье и Меллина в сочетании с интегралами типа Коши
позволило провести ряд исследований, относящихся к областям
с угловыми точками, и дать, в частности, эффективное решение
некоторых задач для полосы и клина.
2. Пространственные задачи
Вторая часть литературного обзора содержит работы, связан-
ные с применением к трехмерным задачам теории упругости
интегральных преобразований Фурье, Ханкеля, Мелера—Фока
и Конторовича—Лебедева.
Простым примером, иллюстрирующим применение преобразо-
вания Фурье в трехмерной теории упругости, является задача
о равновесии полупространства (z>0) при задании на его границе
перемещений. В курсе теории упругости Л. С. Лейбензона [571
решение этой задачи проведено путем использования гармони-
ческих функций Трефтца [107 ], для которых удается сформули-
ровать раздельные граничные условия, причем перемещения
представляются в виде двойных интегралов по параметрам X и
ц от бигармонических функций вида
| А (к, A) + zB (X, р)] exp [-z v/ХЧТ2 + *(** + W)]-
Аналогичным способом можно было бы получить решение и
первой основной задачи для упругого полупространства, однако
выкладки в этом случае сильно усложняются, в то время как
решение для произвольной внешней нагрузки, по существу,
может быть представлено через простые решения, соответствую-
щие сосредоточенным силам и известные еще со времен Бус-
синека [147 J.
1Ь

В монографии А. И. Лурье [67] проведено полное исследо-
вание первой основной задачи не только для полупространства,
но и для упругого слоя (—оо<ж, у<^+со, |z|<h), причем в по-
следнем случае для получения решений уравнений теории упру-
гости использован символический метод того же автора [661.
Интегральное преобразование Фурье нашло большие прило-
жения в пространственных задачах теории упругости для бес-
конечного цилиндра, нагруженного по боковой поверхности.
Простейшими примерами таких дршюжений являются задачи
о кручении, рассмотренные в работе Тимпе [227 ]. Некоторые соо-
бражения о возможности применения интеграла Фурье к более
общим задачам имеются в книгах Кокера и Файлона [38] и
П. Ф. Папковича [84], а также в работе Рэнкина [215]. В книге
Снеддона [100] воспроизводится и обобщается решение Тран-
тера и Крэггса [229 I задачи о равновесии бесконечного цилиндра,
нагруженного нормальными усилиями по участку боковой поверх-
ности. Случай загрузки касательными усилиями рассмотрен
в статье П. 3. Лившица [64]. Указанные решения основаны
на возможности представления перемещений и напряжений в осе-
симметричном случае через одну бигармоническую функцию, кото-
рая строится в виде интеграла по параметру X от выражения
причем коэффициенты разложений возможно определить из гра-
ничных условий.
Наиболее исчерпывающее исследование приложений преобра-
зования Фурье к вопросам деформации бесконечного цилиндра
дано в книге А. И. Лурье [671, где разработаны также эффек-
тивные методы вычисления получающихся несобственных инте-
гралов. Подобным же образом могут быть решены и соответ-
ствующие задачи для полого бесконечного цилиндра, однако
результаты в этом случае получаются весьма громоздкими (см.
работы Г. С. Шапиро [129, 132]). Выкладки могут быть упрощены,
если радиус внешнего цилиндра неограниченно возрастает; неко-
торые частные типы нагрузки для этого случая рассмотрены
в работе Даса [158].
За последние годы в литературе появились исследования,
посвященные сложным смешанным задачам теории упругости
для бесконечного цилиндра. Первой работой такого типа явилась,
по-видимому, статья Б. И. Когана [36], в которой с помощью
преобразования Фурье и применения метода факторизации к спе-
циальным парным уравнениям было дано решение задачи для
случая, когда на половине цилиндра задано смещение. Дальней-
шее развитие эта методика получила в работах Б. И. Когана,
А. Ф. Хрусталева и Ф. А. Вайнштейна (см. [126—128]).
Интересные применения интегрального преобразования Фурье
к пространственным задачам теории упругости даны в работах
2* 19

А. П. Филиппова A24 ] и В. Л. Рвачева 190, 911, в которых
рассматривается контактная задача для штампа в виде полосы.
Наряду с преобразованием Фурье в пространственных за-
дачах теории упругости, главным образом осесимметричных,
широкое применение имеет интегральное преобразование Хан
келя*
Бигармоническая функция, через которую выражается реше-
ние осесимметричных задач, может быть представлена в виде
интеграла от частных решений
{\А (X) + zB (X)Je* + [С. (X) + zD (X)jО /„(кг)
@<Х<со, 0<г<оо),
причем выражения такого типа дают возможность получить точ-
ные решения различных задач для упругого слоя (|z| < h) и,
в частности, для полупространства (z > 0).
Первое приложение интегрального преобразования Ханкеля
к задачам теории упругости дано, по-видимому, в работе Тере-
зава [225], где решена известная задача Буссинека об осесим-
метричной деформации полупространства нормальными к его
границе усилиями. Аналогичное исследование позднее прове-
дено в диссертации Вайнгардена [234 ] с целью уяснения пределов
применимости принципа Сен-Венана. Решение задачи Буссинека
с помощью преобразования Ханкеля приведено в книгах Снед-
дона [100] и Трантера [106]. Приложения интегралов Ханкеля
к задачам нормально загруженного упругого слоя имеются также
в работе Г. С. Шапиро [1331. В монографии А. И. Лурье [67 ]
рассмотрены общий случай загружения поверхности слоя, а также
задача о тепловых напряжениях, причем, ввиду того что рас-
сматриваемые задачи уже не обладают осевой симметрией, ре-
шение выражается через три гармонические функции.
Кроме первой основной задачи теории упругости, интеграль-
ное преобразование Ханкеля может быть применено и к задаче
определения напряженного состояния в слое, на границах кото-
рого заданы перемещения, а также к смешанному случаю. В ра-
боте автора [1181 с помощью функций Папковича—Нейбера дано
точное решение смешанной задачи для упругого слоя, на одной
грани которого заданы внешние усилия, а на другой — переме-
щения. Некоторые смешанные задачи для слоя рассмотрены
в статье К. Е. Егорова [29 [.
Методы, связанные с интегралами Фурье и Ханкеля, могут
быть распространены на случай многослойной среды (статьи
Р. М. Раппопорт [89 1, Б. И. Когана [37 ] и Парна [209 1), а также
применены к решению различных задач для анизотропного полу-
пространства или слоя (см. книгу С. Г. Лехницкого [62 J и ра-
боту [1611). В статье Датта [160] с помощью преобразования
Ханкеля дано решение задачи о кручении неограниченного слоя,
20

когда модуль сдвига является линейной функцией осевой коорди-
наты. Ряд задач о кручении цилиндров рассмотрен в статье
В. И. Блоха [14] с помощью преобразований Фурье и Хан-
келя.
Интегральное преобразование Ханкеля позволяет дать реше-
ние некоторых смешанных задач для полупространства с круго-
вой линией раздела граничных условий.
Простейшей из таких задач является контактная задача для
кругового в плане жесткого штампа в предположении отсутствия
трения, решение которой хорошо известно и может быть полу-
чено различными способами (см. монографии И. Я. Штаермана
[137], Л. А. Галина [20] и А. И. Лурье [67]). Применение раз-
ложения Ханкеля дало возможность В. М. Абрамову [2] свести
эту задачу к парным интегральным уравнениям и впервые дать
решение контактной задачи для случая вдавливания штампа не-
осевой силой. Эффективное решение соответствующей осесим-
метричной задачи позднее было дано Гардингом и Снеддоном [171 ]
путем решения методом Титчмарша [1051 парных интегральных
уравнений вида
СО 00
Ji4(X)J0(X/-)dX=/(r), г<а; J 1А (X) /0 (Кг) dl = 0, г>а,
о о
где а — радиус площадки контакта.
С помощью интегрального преобразования Ханкеля можно
также дать точное решение некоторых сходных с контактными
задач для неограниченного упругого тела, ослабленного плоской
круглой щелью. В случае загружения, симметричного относи-
тельно плоскости щели, решение дано Снеддоном [221 ).* Ана-
логичным смешанным задачам для полупространства посвящено
еще несколько работ, из которых укажем на статьи Чжуна [151,
152] и Пейна [212], а также на работы Ху Хай-чана [175] и
Р. Я. Сунчелеева [104], в которых рассматриваются анизо-
тропные тела. Ряд важных и интересных задач термоупругости
рассмотрен в монографии В. Новацкого [206] путем применения
метода интегральных преобразований.
Хотя интегральное преобразование Ханкеля не является про-
стейшим методом решения упомянутых смешанных задач, однако
связанная с ним методика допускает эффективное распростране-
ние на класс более сложных задач о деформации упругого слоя,
на одной из граничных плоскостей которого имеется круговая
линия раздела граничных условий. В отличие от случая полу-
пространства здесь уже не удается найти точных решений по-
* Другие способы решения этой же задачи наложены в работах
М. Я. Леонова [59, 60J и Сака [219].

ставленных задач, так как получаемые в результате применения
интегралов Ханкеля парные уравнения
<a; \ ^ffc h(Xr)dk = 0, r>a
не могут быть непосредственно разрешены. С помощью специ-
ального приема, предложенного в работах [52, 157], эти парные
уравнения могут быть сведены к интегральному уравнению Фред-
гольма с непрерывным ядром, допускающему эффективное прибли-
женное решение.
Указанные методы за последние годы были использованы
рядом авторов при решении смешанных задач для упругого слоя.
Первым исследованием в этом направлении явилась, по-види-
мому, работа Н. Н. Лебедева и автора [55 ], в которой рассмотрена
осесимметричная контактная задача без трения для упругого слоя,
лежащего на жестком основании.* Распространение этой мето-
дики на случай вдавливания штампа неосевой силой осущест-
влено В. А. Пупыревым [87], К. Е. Егоровым [30] и Флоренсом
[167]. В последней работе рассмотрена также более простая за-
дача о кручении упругого слоя, решение которой ранее было дано
в статье автора [1201 (см. также статью Д. В. Грилицкого [23 ]).
В работе В. А. Пупырева ш автора [88] исследованы более общие
смешанные задачи для упругого слоя, а также рассмотрен случай
сцепления слоя и основания. В. А. Пальмовым [831 с помощью
преобразования Ханкеля и сведения получающихся парных
интегральных уравнений к уравнению Фредгольма решена инте-
ресная задача об изгибе круглой пластинки, лежащей на упругом
слое, содержащая в себе как частный случай решение известной
задачи о круглой пластинке на упругом полупространстве
(см., например, работы А. Г. Ишковой [331 иМ. Я. Леонова [58]).
Описанная методика без существенных изменений применима
и к сходным смешанным задачам как для упругого слоя, ослаб-
ленного круглой щелью [119, 19Ц, так и для неограниченного
тела, ослабленного несколькими круглыми щелями (осесимме-
тричная задача для двух щелей рассмотрена в работе [56 ]).
Переходим теперь к обзору работ по применениям в про-
странственной теории упругости двух менее известных инте-
гральных преобразований, получивших в литературе последних
лет [25, 27, 163] название преобразований Мелера—Фока и
Конторовича—Лебедева.
* Иные приближенные подходы к решению аналогичных задач раз-
виты в работах Б. И. Когана [35], И. И. Воровича и Ю. А. Устинова
[18], В. М. Александрова и И. И. Воровича [3], Д. В. Грилицкого и
Я М Киоыи.о Г9Д1
Я. М. Кивима [24].
22

Интегральное преобразование Мелера—Фока, теория кото-
рого разработана Мелером [197], В. А. Фоком 1125] и Н. Н. Ле-
бедевым [50], широко используется при решении краевых задач
математической физики для гиперболоида вращения [47, 54 ],
а также для областей, ограниченных двумя пересекающимися
сферами [51, 54, 125]. В краевых задачах теории упругости
оно дает возможность получить эффективные решения уже упо-
минавшихся осесимметричных контактных задач для полупро-
странства, а также родственных им задач о концентрации на-
пряжений в неограниченном упругом теле, ослабленном плоской
круглой щелью (см. статьи Пейна [210, 211 ]). -
Однако с помощью интегрального преобразования Мелера—
Фока можно получить точные решения и более сложных кон-
тактных задач (например, когда жесткий штамп и упругое полу-
пространство находятся в условиях сцепления), являющихся ча-
стным случаем основной смешанной задачи для полупространства
с круговой линией раздела граничных условий. В работе ав-
тора [113 ] дано точное решение соответствующей осесимметрич-
ной задачи, основанное на представлении двух определяющих
решение гармонических функций в виде разложений
00
J [А (т) ch рт + В (т) sh рт| />_./rH,(cha) d*
о
@<а<оо)
по функциям Лежандра с комплексным значком. Здесь аир—
тороидальные координаты, причем значениям р=0 и р=тг соот-
ветствуют внутренность и внешность некоторой окружности на
границе полупространства. Хотя для функций напряжений мы
имеем неразделенные граничные условия, преобразование Ме-
лера—Фока позволяет дать точное решение задачи. Заметим,
что все иные ранее известные методы решения контактных за-
дач для полупространства оказались непригодными для случая
сцепления, в связи с чем В. И. Моссаковским [73, 74] был разра-
ботан специальный, довольно* сложный прием сведения такой
задачи к плоской задаче линейного сопряжения двух анали-
тических функций.
Контактные задачи со сцеплением, не обладающие осевой
симметрией, могут быть эффективно решены с помощью разло
жения по присоединенным функциям Лежандра Р^/г + п(сЬ а).
Соответствующее интегральное преобразование, которое уместно
называть обобщенным преобразованием Мелера—Фока, исследо-
валось в работах М. Н. Олевского [81, 82 ] и Н. Я. Виленкина [17 ].
К ряду смешанных задач теории упругости для полупространств.)
с круговой границей раздела граничных условий оно было при
менено автором в работах [112, 114, 115, 122]. Некоторые из этих
S3

задач иным способом были решены В. И. Моссаковским в рабо-
тах [74, 75].
Интегральное преобразование Конторовича—Лебедева, впер-
вые введенное его авторами в работах [39, 53] и получившее
дальнейшее развитие в исследованиях Н. Н. Лебедева [46, 48,50],
нашло большое применение при решении трехмерных краевых
задач математической физики, связанных, в частности, с клино-
видными областями [25, 51, 54, 98]. При этом искомая гармони-
ческая функция представляется в виде интегрального разложе.
ния Фурье по осевой цилиндрической координате (z) и разложе-
ния Конторовича—Лебедева по радиальной координате (г)
И
[A(a, x)cbbz + B(o, x)shfc]KiT(or)™™dad*.
о e
Для решения соответствующих краевых задач необходимо,
следовательно, кроме формул преобразования Фурье, распола-
гать еще специальной теоремой разложения по функциям Мак-
дональда с мнимым значком.
Использование интегрального преобразования Конторовича—
Лебедева позволило автору с помощью гармонических функций
Папковича—Нейбера дать точное решение пространственной за-
дачи теории упругости для клина при заданных на его гранях
перемещениях [123], а также ряда смешанных задач для полу-
пространства с прямолинейной границей раздела краевых усло-
вий [115—117].

Часть I
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Преобразованием Фурье некоторой функции f(x), заданной
в промежутке (—оо, -}0)' называется интеграл
где X — произвольное вещественное число.
Для существования преобразования Фурье /(X) достаточно
предположить, что функция f(x) кусочно непрерывна в любом
конечном промежутке и абсолютно интегрируема в интервале
(—оо, -fco).
Для функций /(ж), удовлетворяющих, сверх того, условиям
Дирихле в любом конечном промежутке, в точках непрерыв-
ности справедлива формула обращения Фурье *
m
№ = щ \ fWe-'x*d\ (-со<*<+со), B)
—00
выражающая функцию f(x) через ее преобразование Фурье.
Подробные сведения по теории преобразований Фурье чита-
тель может найти, например, в монографии [105].
Пара формул A) и B) может быть записана в виде одного
разложения
= -ST J «"*•<** J/(E)e*W (-оо<Ж< + оо), C)
* В точках разрыва правая часть равенства B) дает величину
у U1—0) + /(* + 0)].
SS

которое представляется также в вещественной форме
СО Г 00 СО -|
/(а;)=Д J cosXa: J / (S) cos XSdE + sin Хж J / (?) sin №Ц dl.
—00 |_ —00 —CO J
D)
Для функций, удовлетворяющих условиям Дирихле в любом от-
крытом промежутке 0 <[ х <[ А и абсолютно интегрируемых
в интервале @, со), имеют место разложения в синус- и коси-
нус-ивтегралы Фурье @<Хоо)
sin
Sin
о
00
00 oo
/ (e) = J/ A j /, (X) cos XaxA, /, (X) = ]/1- j / (s) cos
E)
С помощью интегрального преобразования Фурье могут быть
даны эффективные точные решения некоторых классов двумер-
ных краевых задач теории упругости для полуплоскости, бес-
конечной полосы и круговой луночки.
В первой части настоящей квиги рассматриваются плоские
задачи о равновесии бесконечной полосы при задании на ее
границах напряжений или перемещений, кручение и изгиб
призмы, образованной пересечением двух круговых цилиндров,
плоская задача теории упругости для внутренности и внеш-
ности круговой луночки, а также вопросы изгиба упругих тон-
ких плит, имеющих форму бесконечной полосы или круговой
луночки.
Глава I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЫ
§ 1. Упругое равновесие полуплоскости
При рассмотрении плоских статических задач теории упру-
гости для бесконечной полосы в том случае, когда на контуре
области заданы внешние усилия, весьма удобно применять ин-
тегральное преобразование Фурье непосредственно к уравне-
ниям теории упругости в напряжениях, а также к граничным
условиям задачи.
Мы начнем изложение указанной методики с наиболее про-
стого случая упругой полуплоскости, нагруженной по контуру,
причем будем считать, что в прямоугольных координатах рас-
сматриваемое тело занимает область у~^0. Тогда задача, оче-
26

видно, состоит в интегрировании системы уравнении для на-
пряжений ая, т , а^, состоящей из уравнений равновесия
&+^=0, ^ + ^ = 0 (...)
и условия сплошности
д(°,+«д=о, A.2)
при граничных условиях
о J^, = /(*), ^P\^ = g(x), _ A.3)
где / и g — заданные функции.
Предполагается также, что на бесконечности напряжения
стремятся к нулю вместе со своими первыми производными.
Вводя преобразования Фурье от напряжений обычными фор-
мулами
A.4)
умножая уравнения A. 1) и A.2) на е1^ и интегрируя по х от
—со до -\-со, получаем систему равенств, которые после инте-
грирования по частям превращаются в следующую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вели-
чин ах, z , ау, рассматриваемых как функции переменной у.
Система.A. 5) должна быть решена при граничных условиях
A.6)
полученных после преобразования по Фурье условий A. 3). За-
метим, что здесь и в дальнейшем мы всегда будем предпола-
гать, что преобразования Фурье как заданных граничных функ-
ций, так и искомых величин существуют.
Исключение из системы A.5) величин о и ^ с помощью
формул
приводит к уравнению четвертого порядка для функции ар
+ \\ = 0. A.8)
27

Выбирая в соответствии с условиями на бесконечности
общий интеграл уравнения A.8) в виде
в, = ИМ + »Д(*)]<НИ* A.9)
и удовлетворяя преобразованным граничным условиям A.6),
находим следующие значения величин А и В: A = f, B = f-\-
-j—мт'?> пооле чего выражения для преобразованных напря-
жений принимают вид
=[(* -14 J/)/ + B-!yi-
A.10)
Окончательное решение поставленной задачи может быть
теперь получено с помощью формулы обращения Фурье. На-
пример, для напряжения оя находим
=i S a—ixMHMv^-dx J
—со —а>
со со
g(?)e'x«d5. A.11)
—СО —СО
Предполагая, что допустима перестановка порядка интегри-
рования, получаем
J (l-X^)e-x*cosX(a;
—СО
со
т J ^ Ю Л J B - Ху) вг^ sin X (я- - Е) dX,
—СО —СО
со со
что после взятия квадратур по переменной X приводит к ре-
шению в виде однократного интеграла
°-—1Г 1 [(«б)» + ^1» (Ж-

Аналогичным образом получаются формулы для двух других
напряжений:
т _А Г У/«) + (*-6) g <6)
A.13)
2
о.. = —
Таким образом, получено в однократных квадратурах точное
решение поставленной задачи для случая произвольного внеш-
него загружения. Нетрудно непосредственной проверкой убе-
диться в том, что выражения A.12) и A.13) удовлетворяют
всем условиям задачи.
В частности, для случая приложенной в начале координат
сосредоточенной силы с составляющими (N, Т), положив в на-
ших формулах
+е -И
Iim \f{\)d% = N, lira \g$)d% — T,
сразу получаем
§ 2. Первая основная задача теории упругости
для бесконечной полосы
Рассмотрим упругое равновесие бесконечной полосы (— оо <[
<С.х<С-\-<х>, \у\^Ь) под действием заданных усилий на ее
границах.
Задача состоит в интегрировании уравнений A.1) и A.2)
плоской задачи теории упругости при задании на границах
полосы у—+Ь напряжений aff и т^.
Применение интегрального преобразования Фурье к уравне-
ниям равновесия и сплошности приводит, как мы видели в пре-
дыдущем параграфе, к обыкновенному дифференциальному урав-
нению четвертого порядка A.8) относительно преобразованного
напряжения ау, причем величины ах и txy выражаются через ау
формулами A. 7).
Для удобства выкладок разобьем поставленную задачу на
две: симметричную и антисимметричную по координате у — и
вачнем рассмотрение с первого случая, когда граничные значе-
ния напряжения а симметричны по координате у, а граничвые
29

значения t^ антисимметричны по у. Это означает, что в про-
тивоположных точках границ полосы {х = х0, у=+Ь) напря-
жения имеют одинаковую величину, причем нормальные на-
пряжения имеют противоположные направления, в то время
как касательные напряжения направлены в одну сторону
(рис. 1,D)].
Разумеется, надо предположить, что приложенные к полосе
внешние усилия
уравновешиваются; это в данном случае приводит к условию
2Ь
У f(x) f(x)
t
g(x)dx = 0.
B.2)
\gao
Переходя к решению задачи,
иозьмем общий интеграл уравне-
ния A.8) в форме функции, чет-
ю координате у,
Рис; 1- и, рассматривая верхнюю поло-
вину полосы (O^i/^й), опре-
делим величины А и В из преобразованных по Фурье гранич-
ных условий
B. 5)
Так как, согласно A.7),
zxy = 1
то для неизвестных А и В получается следующая система
уравнений:
из которой находим
л 9
_9 -/ShjJi+gichlx
где введено обозначение
B.8)
го

Таким образом, полное решение поставленной задачи дается
формулами
00
1_
" л/2тс
= -±=r \[A sh \у + В (Ху ch Ц + sh Щ\
B.9)
Исследуем теперь сходимость входящих в полученное ре-
шение интегралов в точке Х = 0, где знаменатель в форму-
лах B.7) обращается в нуль (сходимость при X -». + оо оче-
видна).
Нетрудно видеть, что условием сходимости при Х = 0 будут
требования ограниченности величин А@) и В@), что в свою
очередь приводит к условию
g@) = 0. B.10)
Но так как
то последнее условие выполнено, ибо оно совпадает с условием
статики B. 2).
Аналогичным образом может быть получено точное решение
соответствующей антисимметричной задачи, когда граничные
значения напряжения оу антисимметричны, а значения t сим-
метричвы по координате у |рис. 1, (/>)].
Условия статики в этом случае имеют вид
f(x)dx = O, J [xj(x) — bg{x)]dx=O B.11)
—со
и могут быть записаны еще в следующей форме:
/@) = 0, 1^=^@). B.12)
Так как в рассматриваемом случае напряжение а является
нечетной функцией переменной у, то общий интеграл уравне-
ния A. 8) следует выбрать в таком виде:
B.13)
причем достаточно рассмотреть только область О^у^Ь.
31

Составляя выражение для преобразованного касательного
напряжения
*ху = 1 [С ch \у + D <\у sh ly + ch Щ] B.14)
и подставляя B.13) и B.14) в преобразованные граничные
условия B.4), мы придем к следующей системе уравнений от-
носительно неизвестных величин С и D:
BЛ5>
решая которую, найдем
Окончательные значения искомых напряжений будут
00
о = — -L [ [Csb\y + D(\ycb\y-i-2sb\y)]eri>'xd\,
—со
CD
-±—
—СО
00
B.17)
Можно проверить, что преобразованные по Фурье условия
статики B.12) обеспечивают сходимость при Х = 0 входящих
в это решение интегралов.
В полученных решениях B.9) или B.17) все три искомых
напряжения выражаются несобственными интегралами вида
B
которые можно находить приближенно с помощью различных
численных методов.
Наряду с этим квадратуры типа B.18) представляются при
определенных условиях в виде бесконечного ряда с помощью
теоремы о вычетах. Для этого интеграл по вещественной оси
дополняется полукругом радиуса R -»со с центром в начале
координат, проведенным в верхней (при ?<С0) или нижней (при
I > 0) полуплоскости, и рассматривается интеграл по замкну-
82

тому контуру от функции, получаемой из подынтегральной
функции в B.18) заменой вещественной переменной на комп-
лексную (например, 2р. на z). Если полученная при этом фувк-
) = А'(-|Л будет мероморфной функцией, то интеграл но
о
2.251
3.103
3.551
3.900
4.094
4.213
10.71
17.07
23.40
29.71
2
3
3
3
shz —
9
.769
.352
.717
.983
—
2 = 0
X
7.498
13.90
20.24
26.56
—
ция '
замкнутому контуру, согласно теореме Коши, равен умножен-
ной на 2ш сумме вычетов 2a-i подынтегральной функции в верх-
ней (нижней) полуплоскости комплексной переменной z. Если
удается доказать, что интеграл по полукругу стремится к нулю
при i?-»-oo, то значение искомой функции /(I) будет равно
В рассматриваемом случае Таблица 1
нетрудно показать, что для
кусочно-непрерывных внешних
нагрузок, приложенвых на ко-
нечном расстоянии от начала
координат, функции типа Ф(г)
будут целыми на всей комплек-
сной плоскости, причем ин-
теграл по полукругу, прове-
денному в соответствующей по-
луплоскости, при i?-»co стре-
мится к нулю. Таким образом,
все искомые папряжения представляются формулами вида
2ra'2a_j, где особыми точками (простыми полюсами) в подобных
задачах будут корни уравнения
shz + z = 0 B.19)
в случае симметричной задачи и корни уравнения
shz — z = 0 B.20)
— в автисимметричном случае.
В табл. 1 приведены значения нескольких первых корней
z= +o + Н указанных уравнений. Корни с большими номерами
могут быть найдены по легко получаемым асимптотическим фор-
мулам (см., например, |68|).
Заметим еще, что для симметричного случая Снеддоном |100|
предложен приближенный метод вычисления несобственных ин-
тегралов полученного типа, основанный на специальной аппро-
ксимации функции (sh z -\- z) (см. также [67, стр. 199]).
§ 3. Вторая основная задача для бесконечной полосы
Под второй основной задачей обычно имеют в виду краевую
задачу теории упругости для того случая, когда на границе
тела заданы значения упругих перемещений. В случае плоской
задачи теории упругости можно, вообще говоря, пользоваться
3 я. с. уфлянд
S3

представлением перемещений через бигармоническую функцию.
Однако нам представляется более удобным другой метод реше-
ния, основанный на использовании функций Папковича—Ней-
бера, который и будет развит как при решении второй основ-
ной задачи, так и при решении смешанной задачи (§ 5).
Приведем прежде всего общее решение уравнений плоской
задачи теории упругости, содержащее, согласно Папковичу—
Нейберу, три гармонические функции—Фо, Ф,, Ф2,
^ = _-^.+4A _*)<!>„ C.1)
где a, v — перемещения, F = Фо -\- хФ, -|- уФг, v — коэффициент
Пуассона.*
Пользуясь произвольностью одной из гармонических функ-
ций, положим Ф, = 0 и запишем соотношения C.1) в следую-
щей форме:
?? %% C.2,
где положено
к = 3 —4v. C.3)
Поставленная в давном параграфе задача состоит, очевидно,
в нахождении двух гармонических функций Фо и Ф2, удовле-
творяющих следующим краевым условиям на границах по-
лосы у = 0 и у — Ь:
и|у=0 = и0(а:), и\р=„ = иь(х), v\3/=a = v0{x), v|y=4 = vb(x), C.4)
где ц„, иь, v0, иь— заданные функции.
Представляя гармонические функции Фо и Ф2 в ниде инте-
гралов Фурье
C-5)
получим на основании C.2) следующие выражения для упру-
гих перемещений:
—с
Ф2=-±=[С(к)сЪЦ + 0(к)8]
* Модуль сдвига G адесь введен для удобства выкладок, связанных
с расчетом напряжений.
34

—00
Wv = -jL= J [—(i4shXj/-f BchXj/)-f C(xchXj/ —Xysh ty) +
-f D (x sh Xj/ — Xy ch Xy)J e-*^dX.
C.6)
Подставляя далее (З. 6) в граничные условия C. 4) и разла-
гая правые части последних в интегралы Фурье, мы приходим
к следующей системе уравнений относительно А, В, С, D:
= 2Gu0, xC — B=
2G_
А ch ji -f- В sh fi -j- ji (C ch [i -j- D sh ji) = -г- Щ
(xch(x — psh[A)C -J- (xsh[A — [ichji)/) — (^4sh[A -j- Bch ji) = 2Gvb,
C.7)
где черта, как обычно,'означает преобразование Фурье и поло-
жено ji=X6.
Исключая теперь величины А и В с помощью соотношений
A = —2Giu0, B = xC — 2Gvv C.8)
приходим к системе двух уравнений с двумя неизвестными ве-
личинами С и D:
(х sh [л — ji ch ji) С -j- ji sh ji/> =
= 2G (»0 sh jx + i ch fi п0 — Ш4) = ф, (
—ji sh ji С -j- (x sh ji — ji ch ji) Z) =
= 2G (e, — v0 ch [i — ш0 sh p) = ф2 (
Определив из C.9) значения С и D:
r (« sh ^ — ц ch ^) ^ —
Х2 8^A ^2
C.9)
г,„_ fLshtKh + ^ah^ + ^chti)^ f ^10)
и подставив их в C. 8) и C.5), получим окончательное реше-
ние задачи.
Перемещения и и v даются формулами C.6), а напряжения
°яг» тву и °» выражаются через введенные функции Фо, Фг и Ф2
с помощью следующих зависимостей:
3* 35

=*L2( v)®f*"rJ+ vftT~
C.11)
так что для получения напряжений в рассматриваемой задаче
достаточно положить Ф| = 0 и подставить в C.11) выраже-
ния C. 5).
Таблица 2
0
2
2
3
3
V
О
.238
.834
.202
.470
SH г g-
1
3
t
1.660
7.560
13.94
20.26
26.57
г
-4v
0
2.
2.
3.
3.
-=0
О
047
648
017
287
1
4
T
1.896
7.582
13.95
20.27
26.58
1
2
3
3
3
V =
О
.692
.581
.035
.345
.581
aha
1
3
4
10
17
23
29
'"*" 3
T
.315
.76
.10
.42
.72
z
— 4v
1.
2.
2.
3.
3.
- = o
О
488
393
850
161
398
l
4
i
4.350
10.77
17.11
23.43
29.73
В табл. 2 даны значения нескольких корней z=
уравнений
C.12)
необходимых при вычислении полученных интегралов по тео-
реме о вычетах* (значение коэффициента v принято равным
1 *
Т и Т
Заметим, что уравнение xsbz — г = 0 относится к случаю
b
задачи, симметричной относительно средней линии y=—t
а уравнение xshz-(-2=:0 — к соответствующему антисимме-
тричному, случаю.
Рассмотренная задача относилась к случаю плоской дефор-
мации. Для плоского напряженного состояния во всех форму-
*См. 5 2.
$6

лах следует величину v заменить на .¦ * . В частности, вместо
C.12) будем иметь
= 0. C.13)
1
--г све-
в C. 13)
Результаты расчета корней этого уравнения для v
дены в табл. 3 (z=±c + iz). Заметим, что значения z
1
при v=- совпадают со ана-
о
чениями г в C.12) при v = -^-.
Сравнение полученных в §§
2 и 3 решений с результатами,
относящимися к решению пер-
вой и второй основных задач
для полосы с помощью дру-
гих методов (см., например,
статью Б. А. Берга [10]), убе-
дительно иллюстрирует про-
стоту и эффективность метода
интегральных преобразований
класса задач теории упругости.
sb z — s-
а
0
1.946
2.551
2.922
3.190
1
т
2.001
7.593
13.96
20.28
26.58
Таб
У =
а
1.378
2.296
2.754
3.065
3.302
л и
1
4
10
17
23
29
'1 Я '
= 0,
т
.368
.78
.12
.43
.73
при рассмотрении данного
гь\
§ 4. Полоса, закрепленная по контуру и нагруженная
сосредоточенным моментом
В качестве примера антисимметричного напряженного со-
стояния при заданных на границе перемещениях рассмотрим
равновесие бесконечной полосы, закрепленной но контуру и
подверженной дейстнию сосредото-
ченного момента в центре (рис. 2).
'////////// При этом, действительно, переме-
щение v и напряжение тзд четны,
-—% а перемещение и и напряжения сх
и оу нечетны по координате у.
Упругие перемещения точек та-
кого тела мы будем представлять
в виде суммы перемещений ы0, р0,
создаваемых моментом М в неогра-
ниченной плоскости, и дополнитель-
ных перемещений uv vv подобранных так, чтобы выполнялись
граничные условия
причем
м
'/////////777.
Рис. 2.
37

Первичные перемещения ы0 и v0 даются следующими форму-
лами: *
Вторичные перемещения ыа и vt мы будем представлять
через функции Фо и Ф2 согласно формулам C.2), причем со-
ображения симметрии ** позволяют выбрать гармонические
функции Фо и Ф2 в виде синус-интегралов Фурье следующего
вида:
00
Фо = 1/ — [ Ashky sin Хж -у,
D.4)
Таким образом,
00
, = — у U (A sh Xj/ -j- J5Xj/ ch Xy)
00
2Gy, = у -=- \ |—A ch ty -f- В (x ch Xj/ — Xj/ sh Xy)] sin XardX.
D.5)
Граничные условия рассматриваемой задачи, которые до-
статочно взять лишь при у==Ъ, имеют вид
_ I _ »,
_ »,*(*2-<>2)
D>6)
62J •
* Зависимости D.3) получены путем предельного перехода в случае
двух сосредоточенных сил величины Р каждая, приложенных в точках
? = 0, г/=+6 соответственно и направленных а разные стороны, причем
lim 2Ре = М.
** Очевидно, что перемещение и симметрично,' а перемещение v анти-
симметрично по координате х.

Подставляя D.5) в D.6) и разлагая функции мо|у=4 и t>0|y=4
в косинус- и синус-интегралы Фурье соответственно, приходим
к следующей системе (ji = X6):
= -2GbN J/I
Л ch Ц, -f В (ц sh Ц, — x ch fi) =
D.7)
Квадратуры, стоящие в правых частях, вычисляются и при-
водят к выражению ыо|у=4 и 0о|у=4 в явном виде:
D.8)
Решение системы D.7) представляется в следующем виде:
(xchji — (ish(i)uo|y=6-|-(ichfj.»o|y
в _ 4? ch^60|y=A-sh|x80|9 ( ' '
xsh2fj.
после чего окончательное решение задачи дается форму-
лами D.4) в виде однократных интегралов.
Приведем, в частности, расчетные формулы для нормального
и' касательного напряжений в заделке, полученные из зависи-
мостей C.11):
D.10)
!. J {—i4shji-f-[2(l — v)shji —
— 2v)chfx—

что окончательно дает после некоторых преобразований
— v)
X
— 2v) ch{л sh|x + у] A — у- + ») — 2 (* — v) (* — У-) sh2P
X
X
M
X
X
D.11)
xsh2(j.
X [AC11 cos fi
Для получения полных напряжений необходимо к найден-
ным' выражениям добавить еще первичные напряжения, соот-
ветствующие действию момента М в неограниченной плоскости
и легко находимые через известные перемещения ы0 и v0.
§ 5. Смешанная задача для бесконечной полосы
Рассмотрим упругое равновесие бесконечной полосы (—оо <
<Цх<^-\-со, О^^^б), на границе у = 0 которой заданы зна-
чевия упругих перемещений и и v, а на остальной части кон-
тУРа (У = Ь) известны напряжения оу и -zxy.
Эффективное решение поставленной задачи может быть по-
лучено с помощью интегрального преобразования Фурье, если
предварительно выразить перемещения и и v, а также напря-
ф ПН П
р рщ р
жения ау и txy через функции Папковича—Нейбера. Принимая,
и выше, одну из функций напряжений равной нулю
как
(<t>j =
имеем
f2
дх
дх
E.1)
40

Граничные условия рассматриваемой задачи, очевидно,
таковы:
= *(*). J
Представляя функции напряжений Фо и Ф, в виде интегра
лов .Фурье
00
... ,Ф0==-!_ \
E.3)
со
1
подставляя выражения E.3) в формулы E.1) и используя гра
ничные условия E. 2), мы приходим к следующей системе урав-
нений для величин Ао, Во, А2, В2:
E.4)
[2A— v)shfi —fichji]yl2 + |2(l— v)chji —
-(Aocbv.-\-Boshv.) = {,
[A — 2v) ch ji — ji sh jij A2 + [A — 2v) sh [>. — [>. ch (i j fi2 —
здесь, как и выше, положено jx = X6, а символ / означает ком-
плексное преобразование Фурье от функции f(x).
Исключая Ао и Во с помощью соотношений
Л0 = -2Сш0, Я0 = хЛ2-2Сг0, E.5)
получаем систему двух уравнений с неизвестными Аа и В2:
где введены обозначения
<]>!=i- — 2Gi ch Aп0 — 2G sh ^0,
Ф2 = х ~ 2Gi sh ^"o — 2G ch K-
Решая систему E. 6) и подставляя найденные значения А%
и В2 в E. 5) и E. 3), получаем функции напряжений, через ко-
торые выражаются перемещения и напряжения.
U1

Составляя определитель основной системы E. 6)
к sh2 ji + ц2 -f- 4 A — vJ = О,
E.8)
мы приходим к заключению, что для производства численных
расчетов по полученным формулам с помощью теоремы о вы-
четах необходимо иметь корни z=+a + ix уравнения*
Таблица 4
Таблица 5
"З — V
а
0
3.005
4.549
5.375
5.932
t
3
t
1.768
5.122
11.82
18.27
24.66
0
2
4
5
5
а
.770
.353
.187
.747
1
"Т
т
1.913
5.164
11.84
18.29
24.67
О
0
2.641
4.249
5.091
5.657
2.001
5.183
11.85
18.30
24.68
В случае плоского
таким уравнением
напряженного состояния E.9) заменяется
E.10)
«орни которого приведены в табл. 5 при v = -g- уравнение E.10)
совпадает с уравнением E.9), взятым для v = -r- L
§ 6. Равновесие полосы с закрепленным основанием
Рассмотрим частный случай общей смешанной задачи, когда
основание полосы «/ = 0 жестко скреплено с неподвижным те-
лом, т. е. перемещения ио(х) и vo(x) тождественно равны нулю.
Предположим, что в произвольной точке верхней кромки
у — b приложена произвольно направленная сосредоточенная
сила. Не нарушая общности, можно считать, что сила прило-
жена в точке х = 0, у = Ь. Заметим также, что случай произ-
вольной нагрузки, приложенной к верхней кромке полосы, сво-
дится к рассматриваемому случаю сосредоточенной силы путем
интегрирования но области приложения нагрузки.
См. табл. 4, соответствующую задаче о плоское деформации.
42

Решение поставленной в настоящем параграфе задачи может
быть непосредственно получено из общего решения смешанной
задачи, если в формулах E. 7) положить
При этом
'"к
ь
по==г>0==0, /= ?_ , gz= т^ш F.
— A — 2v)shft|P-f-[2A — v)ch[x
F.2)
Рис. З.
Приводим расчетные формулы для напряжений в заделан-
ном основании
F.3)
ху I
=i(i-v)|/| J x.
—CD
или после выкладок
°»l»=0— я6 ' J C_
F.4)

xy I
__2(l-v)rf
— Tib * ) C
тсЬ
На рис. З показано распределение напряжений в заделке
в случае, когда к верхней кромке приложена только нормаль-
ная сила (Т = 0).
Глава П. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМЫ, ОБРАЗОВАННОЙ
ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ ДВУХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРОВ
§ 7. Решение задачи Дирихле для области, ограниченной
дугами двух пересекающихся окружностей
В настоящей главе рассматриваются некоторые задачи кру-
чения и изгиба стержней, разрешимые применением интеграль-
ного преобразования Фурье в биполярных координатах. В связи
с этим в данном параграфе
кратко излагается геомет-
рия этих координат и дает-
ся решение связанной с ни-
ми первой краевой задачи.
Рассмотрим плоскую об-
ласть, граница которой об-
разована дугами двух пере-
секающихся окружностей.
Решение краевых задач
для подобного рода обла-
стей, называемых обычно
Рис. 4. круговыми луночками, удоб-
но проводить в биполярных
координатах (а, Р), определяемых при помощи соотношения
x-\-iy — alh—g— V'1'
(а — размерный параметр).
Из G.1) легко получаются выражения прямоугольных коор-
динат через биполярные
х-
ash
ch a + cos
a sin Э
У —
ch a + cos Р
G.2)
Дуги окружностей, образующие круговую луночку, являются
координатными линиями {3 = const и проходят, очевидно, черев
точки ж=±о, у = 0. На рис. 4 изображена круговая луночка
44

ограниченная линиями P = Pi и р1 = Р2, причем координата а
внутри рассматриваемой области изменяется в пределах от —сю
до -{-со. Заметим, что величина Р измеряется углом между
касательной к дуге в точках х= +ау у=Ои отрезком (—а, -\-а)
оси х, соответствующим значению р = 0.
При частных значениях углов р\ и Р2 круговая луночка выро-
ждается в такие области, как полуплоскость ^ = 0, Р2 = тг),
плоскость с двумя полубесконечными разрезами (Р1 = —тс, р2^тг),
круг (Р2 — рх = iz), полукруг\Вг = 0, Р2 = у\ полуплоскость с сег-
ментным вырезом или выступом ф2 = тг) и т. п.
Оператор Лапласа в биполярных координатах имеет вид
где h — коэффициент Л яме, определяемый по известной формуле:
Путем разделения переменных легко получаются частные реше-
ния е±'Хае+хз (X ^ 0) уравнения Д/ = 0, ограниченные при а"-* +со
{углы луночки). Общее решение уравнения Лапласа удобно пред-
ставить в виде интегрального разложения Фурье по перемен-
ной а
-K.. G.5)
Для задачи Дирихле, когда на границе области заданы зна-
чения самой функции
/ («. Pi) = /1 («). / («. W = /»(«). G-6)
краевые условия приводят к разложениям заданных функций
в интеграл Фурье
со
/j (а) = —— 1 (А1 cos Ха -(- .Bj sin Ха) dX,
G.7)
45
1 ^
/2 (a) = -j=-1 (Л2 cos Xa -f- ?2 sin Xa) dX,

откуда величины А(, B((t = \, 2) сразу определяются по извест-
ным формулам
СО 00
A.(k)=-j=- J/.HcosXada, Я. (X) = -±- j /. (a) sin Xorfa. G.8)
—со —СО
Таким образом, с помощью интегрального преобразования
Фурье получено решение задачи Дирихле для внутренности
круговой луночки.
§ 8. Кручение призмы, образованной двумя пересекающимися
круговыми цилиндрами
Профиль призмы, образованной пересечением двух круговых
цилиндров, очевидно, представляет собой рассмотренную в § 7
круговую луночку (рис. 4).
Задача кручения, как известно, сводится к решению урав-
нения
Д<р = —2 (<р—функция кручения) (& 1)
при граничных условиях
С целью сведения задачи к решению гармонического урав-
нения положим
где
Тогда новая веизвестная функция / должна удовлетворять урав-
нению Лапласа и краевым условиям
следовательно, ее можно представить в виде интегрального
разложения G. 5).
В силу четности функции кручения по переменной а коэф-
фициенты Вг и Bg равны нулю. Для нахождения величин А1 и
А2 по формулам G.8) следует воспользоваться значением инте-
грала
о
46

Окончательное решение поставленной задачи может быть.
представлено в следующей форме:
— ^ I clp В» \ —п . . /D к-г- COS haxth -+-
I е Г2 J sh A.7C sh X ф2 — px) '
L
2lrtoR
—; ; n" — ^ I clp В» \ —п . . /D к-г
ch о + cos p I е Г2 J sh A.7C sh X ф2 — px)
L
о
<&7>
§ 9. Вычисление касательных напряжений и жесткости
при кручении
Касательные напряжения тм и т могут быть вычислены по
формулам, полученным заменой производных по касательной и
„ D . 1 д 1 д
нормали к кривой р = const операциями -г--^- и х"Ж":
G6 &f Gb *р о ¦
(G — модуль сдвига, 6 — угол закручивания на единицу длины)
Максимальные касательные напряжения достигаются на кон-
туре луночки в точке в = 0и выражаются следующей формулой
(для дуги Р = Р2):
Т *stap2chMP2-Pi)
(9>
Аналогичной формулой дается максимальное напряжение на
дуге р = р,.
Жесткость при кручении С определяется отношением кру-
тящего момента
М = ЮЬ J J^dadp (9.3)
—со В.
к углу закручивания 6 на единицу длины.
47

После интегрирования по переменной а, производимого
с помощью формул
? da- р C — 2 sin 2 р) — 3 sin p cos ft -g ^.
о
SCOS Xada г. д shXft ,g ^\
(ch a -|- cos CJ sh лл sin Р * д$ ' sin р • \ • )
о
выражение для жесткости принимает следующий вид:
С _
AGa* 1
— 2ltctePtJshaX«sh3L(p2-pI)S Snl Ж'ЗпТ^-
0 Р
Р,
'sh^.(Pg-P) д shXp
—SS| Ж'Ж
Квадратуры по переменной |В также могут быть выполнены,
так как имеет место такая формула:
о f * ch Хр д sh Xp ,D
- 1 йпТ'Ж'^п? Р"~
Pi
Используя еще значение интеграла
(9- 7)
(9.8)
после некоторых выкладок получаем окончательное выражение
для жесткости в таком виде:
С р 4- sin p cos Р B cos2 Р — 3) г*
Ga* 2 sin4P .J
Р,

Приводим формулы максимальных касательных напряжений
и жесткости при кручении для двух частных случаев.
1. pi = 0, Р2—Т — круговой цилиндр, срезанный плоскостью,
параллельной оси (рис. 5):
(9.10)
я ,
7 0
У
а ,
A/ i
У V
s
a \
о у
ь x
Рис. 5.
Рис. 6.
В этих формулах Л = ^ радиус дуговой части контура.
2. Р2 = — Pi=T — симметричная круговая луночка (рис. 6):
х = -^гI =-Д- Т + sin Г cos Т B cos2T — 3)
(9.11)
В табл. 6 приведены численные значения величин Xj, x2 « х;
для значений угла f, соответствующих различным отношениям ?
высоты луночки Я к ее диаметру 2R:
= sin2-I = !- (n = i, 2, ...,8).
4 Я. С. Уфлянд
43

Таблица 6
6
1
8 '
1
4
3
1
2
5
3
7
8
1
т
0.722
ТС
1.31
тс
"
1.83
2тс
3
2.42
тс
0.245
0.444
0.659
0.848
1.03
1.15
1.21
1
*>
0.221
0.407
0.562
0.726
0.824
0.920
0.972
1
0.0152
0.0375
0.132
0.297
0.553
0.931
1.26
тс
т
В случае у = у, соответствующем стержню полукруглого
сечения, квадратуры в формулах (9.10) могут быть выполнены,
в результате чего получаются значения
. ^=?. ^=2-4- *-=!-?• (в-12)
2
Эти результаты могут быть, разумеется, получены путем реше-
ния задачи кручения в полярных координатах (см., напри-
мер, |220|).
В предельном случае f = iz при условии неизменяемости
величины радиуса R луночка превращается в круг и фор-
мулы (9. 10) дают соответствующие значения
тс
(9.13)
Для остальных значений угла f расчеты велись с помощью
численного интегрирования.
В табл. 7 представлены результаты вычислений для случая
симметричной круговой луночки |формулы (9. 11)], причем через
т] = tg-|- обозначено отношение ширины луночки b к ее длине 2а.
50

Таблица 7
Хо
0
0
0
1
8
.248
.242
.0144
0
0
0
l
4
.490
.445
.0352
0.
0.
0.
3
8
718
601
102
0.
0.
0.
ч
1
2
928
743
243
1
0
0
5
8
.12
.835
.472
3
4
1.29
0.912
0.878
7
8
1.44
0.962
1.32
1С
т
1
It
Последний столбец этой таблицы М( = -]г) соответствует круг-
лому сечению.
Можно показать,* что при у^>~2 напряжения в углах лу-
ночки бесконечно возрастают (результат, совершенно естествен-
ный при наличии на контуре области входящих углов).
Укажем в заключение еще два частных вида профиля сече-
ния, для которых решение задачи кручения выражается через
элементарные функции: а) Р2 — pt = .-^- — дуги окружностей пере-
секаются под прямым углом 1233]; б) Р2 = 2|31— продолжение дуги
Р=р2>у проходит через центр дуги р:=рх<^у.
Во втором случае, исходя из формулы (9. 2), можно показать
[НО, стр. 39], что максимальное касательное напряжение воз-
никает в середине дуги Р = Р] и оказывается равным
тшах =G6 B<R — г), (9.14)
где ft — радиус внешней, а г — внутренней дуги. Этот резуль-
тат был получен Вебе ром [2301 другим способом.
§ 10. Изгиб поперечной силой стержня
луночного профиля
Пусть призматический стержень с поперечным сечением
в виде круговой луночки подвергается действию поперечной
силы Р, приложенной на его конце, причем предполагается,
что кручение отсутствует, т. е. сила проходит через центр
изгиба (г, у) поперечного сечения. В силу симметрии сечеаия
• См. [110, стр. 37].
51

относительно оси у абсцисса х центра изгиба равна нулю
(рис. 7), а ордината у центра изгиба находится по известной
формуле*
М
где
A0.1)
(F — площадь поперечного сечения стержня).
Касательные напряжения тхг и хуя могут быть выражены
через функцию напряжений <р (х, у) следующими соотношениями:
ду
A0.2)
где Jx и Jy—моменты инерции поперечного сечения, у0 — орди-
ната центра тяжести (хо = 0), причем функция у должна удов-
летворять уравнению
Х[А(у-у0)-Вх1 A0.3)
(v — коэффициент Пуассона) и
х условию на контуре
ds~T
ByByo — y)^j A0.4)
(s — переменная дуга контура.)
Желая свести задачу изгиба к решению уравнения Лапласа,
полагаем
A0.5)
при этом функция / должна быть решением уравнения
Д/=0 A0.6)
* См. [57, стр. 2871. Разумеется, величина у может быть найдена
только после решения задачи изгиба, когда будут известны напряжения

и удовлетворять граничным условиям
= 1, 2),
A0.7)
Представляя гармоническую функцию / в виде интегрального
разложения G. 5) и применяя условия A0. 7), находим коэффи-
циенты А{A) и В((\):
со
В. (к) = —L_ Г pt (a) cos
Л. V7C J
A0.8)
Опуская выкладки, связанные с вычислением интегралов,
приводим окончательные значения величин А. и Bf:
A0.10)
Подставляя A0. 9) и A0.10) в G. 5) и производя некоторые
упрощения, получим окончательное решение задачи изгиба

где функции Ф и Ф представляются следующими квадратурами:
0.12)
;tg Pi ¦+- —;
sin Xad\ 1-f-v Г Г/ 1 . y0 r, \
sin
§ 11. Изгиб кругового цилиндра, срезанного плоскостью,
параллельной оси
Поперечное сечение кругового цилиндра, срезанного парал-
лельной его оси плоскостью, представляет собой круговой
сегмент, контур которого ограничен линиями ра =0, Р2—Т
(рис. 5).
Ради упрощения выкладок ограничимся случаем, когда попе-
речная сила Р параллельна хорде сегмента, т. е. положим
в формулах предыдущего параграфа
РХ = Р. Рр = 0, 5 = 0, А^~ (J = Jy).
Приводим окончательное выражение для функции напряже-
ний <р:
/V v Г2у-1/У\з 1 уо/Уу . 1 y/l+2v , 1
*~ J *i+v|_ 24v \а) 2 а \а) ~> 2 а\ 4м "г 2vsin2T
54

где
оэ
Г л SO Лр .1 л л j\ /л л Ov
<в = \ . . сьп лу cos лаоА. (i i. z^
о
Для полукруглого сечения Гу = т) последний интеграл вы-
числяется
1 Г9 р A — ch 2а cos 2ft) + a sh 2а sin 2р .
(cb 2<7 — cos
sin 2P
Определим ординату центра изгиба по формуле A0.1). Опу-
ская довольно громовдкие вычисления (см. [НО, стр. 53—58|),
приведем окончательную формулу
F = rb;-:T{wl1
— к cos т sin4 T" I -\- vjy (sin у —f cos у) — -gg-E -j- 2 sin8 у) sinsY +
где введены обозначения:
sin 7
— радиус дуги сегмента;
При этом ордината центра тяжести и момент инерции могут
быть вычислены по формулам
Уо __ 3 <sin Т — Т cos т) — sin»^ fll g
R 3 (f — gin f cos т) * \ • )
1 т — sin т cos Y 1 . . /л л -7v
ж = -^ ji i ?cosTsmsT. A1.7)
В табл. 8 даны значения ^ и -Щ- для тех же значений отно-
шения Е = sina ^ высоты луночки к ее диаметру, что и в табл. 6,
причем положено v = 0.3.

Таблица 8
37
R • • • •
Уо
R ¦ • • ¦
1
8
0.151
0.0924
1
i
0.276
0.205
3
8
0.387
0.326
0.
0.
E
1
2
511
424
5
8
0.628
0.541
3
T"
0.739
0.659
7
8
0.892
0.829
l
1
1
Из рассмотрения данных этой таблицы видно, что во всех
случаях ордината центра изгиба превышает ординату центра
тяжести (равна ей в случае круглого сечения).
Как уже отмечалось выше, в случае полукруглого сечения
решение задачи изгиба выражается в элементарных фувкциях.
В частности, формула A1.4) дает
В курсе теории упругости Л. С. Лейбензона-[57, стр. 304]
приведена формула для ординаты центра изгиба полукруга,
полученная путем решения задачи в полярных координатах,
? 8C+4v)
4v
К — lj-i^e
л "г ГО2
п=Л, S, 5
— 2) п* (п + 2J
A1.9)
Если просуммировать входящий сюда ряд, то получится
величина -g-—^, после чего формулы A1.9) и A1. 8) совпадут.
В предельном случае у:=гс формула A1.4) приводит к зна-
чевию у|т=я=Д, как и должно быть в случае круглого сечения.
§ 12. Изгиб стержня с сечением в виде симметричной
круговой луночки
В настоящем параграфе даются результаты расчета касатель-
ных вапряжений, возникающих при изгибе стержня с поперечным
сечением в виде симметричной круговой луночки (Р2 = —ра=у)
(рис. 6), причем поперечная сила Р считается действующей
вдоль оси симметрии а = 0 (ж = 0).
56

Полагая в формулах A0.5) и A0. И)—A0.13) Р2 = — Э1 = т»
Рх = 0, Рр = Р, А = 0, B = ?-(J = JX), Уо = О, находим сле-
дующее выражение для функции напряжений <р:
Подсчитаем, как это обычно .делают для подобного рода
профилей, касательное напряжение на горизонтальной оси
симметрии у = 0 ([3 = 0). Из формулы A0.2) имеем
¦ дчр I /1 дф\ I сп а -(- 1 д<р
V*l"=0 Лс|у=о \Л да)\$=о а да
или, после выкладок,
. 1 Рдз f I [~i -f-2v 1+у ¦ 1 —2у/ж\а~1
ту* 1C=0 l-(-v* 7 12 L ^ sin2 f ' 4 ve~/J
Если T^Y> TO максимальное касательное напряжение
получается в центре луночки (а = 0):
1 Рд2 /1 /1 + v 1 + 2v\
— i+* / [2Vi2 4 ;
В табл. 9 приведены значения величины т = — т,,,,^ (F — пло-
щадь сечения) для различных значений отношения ij = tg -|-
ширины луночки к ее длине 2а (принято v = 0.3).

••nix„,L=0=0, т. е. напря-
а-МХ>
Для установления минимального значения касательного
напряжения, которое имеет место в углах луночки, осуще-
ствим в формуле A2. 2) предельный переход а -*> со. Применяя
теорему о вычетах, находим, что
жения в угловых точках сечения равны нулю.*
Это обстоятельство показывает, что напряжения вдоль гори-
зонтальной оси симметрии луночки распределевы более неравно-
мерно, чем, скажем, в случае эллиптического сечения, для
которого напряжения на концах большой полуоси отнюдь не
нули. В частности, для кругового сечения (у = -^) из A2. 2)
при а -•• со получаем извест-
Таблица 9
¦")
1
1
т
3
"8"
1
2
1
1
1
1
Т
.53
.52
.50
.47
1
5
~8~
3
Т
7
Т"
1
1
1
1
1
т
.45
.42
АО
.38
а -•• со
ное выражение для минималь-
ного касательного напряжения
= 1.23-?-.
A2.4)
Даже в случае весьма удли-
невного эллипса, близкого по
форме к луночке (при т-»0),
распределение напряжений
вдоль большой полуоси будет
сильно отличаться от соответ-
ствующего распределения в случае луночки. В самом деле,
известно, что для сильно вытянутого эллиптического сечения
xmin л? 0.92-jf (при v = 0.3), в то время как для луночного профиля
и при у -* 0 остается в силе равенство xmto = 0. С другой сто-
роны, максимальное касательное напряжевие, имеющее в случае
р
эллипса значение хаю = 1.54-^-, совпадает с соответствующим
значением для случая луночки, в чем можно легко убедиться,
если в формуле A2. 3) устремить г к нулю и удержать члены
первого порядка малости.
Таким образом, элементарное решение, считающее касатель-
ные напряжения постоянными по ширине профиля, оказывается
неприменимым к рассмотренным луночным сечениям.
• Разумеется, ато имеет место при т<~« При T>f напряжения
в углах луночки неограниченно возрастают.

Глава III. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ КРУГОВОЙ ЛУНОЧКИ
§ 13. Решение основной бигармонической задачи
для луночной области
В настоящей главе с помощью биполярных координат и
аппарата интеграла Фурье будет дано точное решение плоской
задачи теории упругости для области, ограниченной дугами
двух пересекающихся окружностей, а также рассмотрен ряд
конкретных задач (в том числе и внешних).
В данном параграфе рассматривается основная бигармони-
ческая задача для внутренней луночной области, т. е. для
области, контур которой в биполярных координатах описы-
вается кривыми Р = Р] и Р = Р2 (рис. 4). Поставленная задача
состоит, очевидно, в интегрировании бигармонического урав-
нения для функции напряжений Ф(а, |3) при задании на гра-
нице области (т. е. при $ = $f, i = l, 2) значений самой функ-
ции Ф и ее нормальной производной, т. е. фактически значе-
„ дФ
нии -s-, так как
дФ 1 дФ ,Ло »\
A31)
где h=-—г—j к—коэффициент Ляме, а — параметр биполяр-
ен О. -J— COS р
ных координат (см. § 7).
Бигармоническое уравнение в биполярных координатах
может быть представлено в виде уравнения с постоянными
коэффициентами относительно функции -т- [178|
и допускает частные решениях вида
XB cos p + fishXp sin P +
A3.3)
В связи с этим становится возможным после представления
общего решения основной бигармонической задачи в виде
интеграла по параметру от частных решений типа Фх (а, Р)
определить величины А, В, С, D из следующих четырех условий:
где функции <pt и ^ легко выражаются через заданные гранич-
ные значения Ф и^-. Предполагается также, что <р. и ф4
удовлетворяют условиям разложимости в интеграл Фурье.
59

Для фактического проведения выкладок, а также для иссле-
дования получающейся системы четырех уравнений с четырьмя
неизвестными удобно представить бигармоническую функцию Ф
интегралом Фурье такого вида:
го
+ Л4 sh X (р — Pj) sin (p2 — Р)] ег*Ык. A3. 5)
Граничные условия A3.4) приводят нас при этом к двум
раздельным системам:
А1 ch 2XT -f. A2 cos 2y =/1? Л, cos 2y -f Ach 2ХТ =/2, A3.6)
4ssh 2ХТ -)- ХД, sin 2Т = /з» Х4э sin 2у + Л4 sh 2ХТ=Д, A3. 7)
где через 2у = Р2 — рх обозначен угол между касательными
в угловой точке луночки.
В формулах A3.6) величины Д и /3 являются преобразова-
ниями Фурье от заданных функций <Pj и <р2
00
так что значения А1 и А2 определяются следующими ранен-
ствами:
л h ch 2>-Т — h cos 2-у . /2ch2X-y — /t cos 2т мч q\
1— ch2 2^T— cos2 2t ' ^2~ ch2 23iT—cos2 2t * l '
Что касается входящих н формулы A3. 7) величин /8 и /4,
то они выражаются через преобразования заданных величин
ф2 и ф2 и уже найденные значения А1 и А2 следующими зави-
симостями:
со
—00
A3.10)
1 f
Таким образом, для Ай и Д, находим
. /3 sh 2Х? — /4Х sin 2f . /4 sh 2Л.-у — /8Х sin 2-(
S sh2 21v — 3i2sin2g-v » Л« sh22Xf — i.2 sin2 2-v V
60

После того как бигармоническая функция найдена, значе-
ния напряжений даются формулами [178|
=[(ch » + cos р) ^ — sh а ± +'sin р ^ + ch а](|-),
A3.12)
на чем и заканчивается общее решение задачи.-
Из полученных в настоящем параграфе общих формул видно,
что для фактического вычисления интегралов Фурье типа
A3.5) с помощью теоремы о вычетах (см. § 2) необходимо
иметь значения корней г =+о+гЧ трансцендентных уравнений *
sbz-{
sin
shz
sin
A3.13)
A3.14)
которые представлены в табл. 10 для некоторых значений
угла у.
Таблица 10
&Ъг-\
ein 2rt
т =
•
2.137
2.996
3.445
3.753
3.951
X
4
10
17
23
29
.234
.72
.08
.40
.71
1
2
3
3
3
т =
о
.758
.641
.093
.404
.640
_
т
4.303
10.75
17.10
23.42
29.72
т =
а
0.8501
1.863
2.331
2.646
2.884
8*
8
т
4.442
10.82
17.14
23.45
29.75
0
0.
1.
1.
2.
Y —
о
8702
585
976
253
8
1
2.W5
7.694
14.02
20.32
26.62
sh г —
sin 2т
2 = 0
0
2.660
3.246
3.611
3.878
0.7854
7.511
13.91
20.24
26.56
0
2.300
2.894
3.262
3.529
1.571
7.553
13.93
20.26
26.57
0
1.497
2.125
2.501
2.772
2.356
7.641
13.98
20.30
26.60
0
0
1.302
1.801
2.124
2.367
3.927
5.114
10.86
17.17
23.47
29.77
* Корни уравнений ch 2hj ± cos 2f = 0 находятся в явном виде,
а именно: ХЯ = 1П +•>¦*¦); п==®> ±*» ±2. •••
61

Исследование свойств корней уравнений A3.13) и A3.14),
проведенное н главе V (§ 31), позволяет установить, что напря-
жения в угловой точке луночки в случае симметричного
загружения стремятся к нулю," если 2у < п, и к бесконечности
при 2у>п (в антисимметричном случае таким разграничиваю-
щим углом будет корень уравнения tg2y —2у). В связи с воз-
можностью наличия на контуре области точек разрыва напря-
жений следует заметить, что при постановке подобных задач
необходимо, кроме дифференциальных уравнений и граничных
условий, дополнительно сформулировать еще некоторые тре-
бования, обеспечивающие единственность решения. Мы в даль-
нейшем будем предполагать, что при а—»• ±_ со упругие пере-
мещения остаются ограниченными, а главный вектор усилий,
приложенных к дугам окружностей а= +А, охватывающим
угловые точки, стремится к нулю при А—» со. Можно показать
(см. |78, стр. 140|), что таких дополнительных условий доста-
точно, для того чтобы поставленная задача имела единствен-
ное решение.
Отметим далее, что во многих из рассматриваемых в настоя-
щей главе задачах луночные области содержат бесконечно
удаленную точку (см., например, §§ 17—20). В таких случаях,
как известно, постановка задачи требует формулировки веко-
торых условий на бесконечности. Мы не останавливаемся
здесь подробно ва этих условиях, так как для рассматривае-
мого случая плоской задачи эти вопросы хорошо изучевы
в литературе (см., например, 178]). Укажем только, что напря-
жения при Я = \/х2 -\- \f -*¦ со должны иметь порядок -g (пере-
мещения, как известно, могут при этом стремиться к беско-
нечности, но не быстрее чем In Л).
В следующем параграфе на примере будет дано применение
изложенного метода решения плоской задачи.
Заметим, что можно дать решение поставленной задачи и
непосредственно, используя формулы A3.12) (см. работу
В. В. Егаыяна [28|, а также §§ 17—20 данной главы).
§ 14. Сжатие симметричной круговой луночкв
местной нагрузкой
В качестве приложения изложенной в предыдущем пара-
графе общей методики рассмотрим симметричную круговую
луночку (р2 = —?i = t)> подвергающуюся по участкам боковой
поверхности \а\ <^% равномерному нормальному обжатию интен-
сивности q (рис. 8).
62

Прежде всего необходимо составить граничные значения
бигармонической функции Ф и ее производной -^- по заданным
аконтурным значениям касательного и нормального напряжений
—?> 1а1<А.
о. 1«1>«о»
A4.1)
В дальнейшем, в силу симметрии напряженного состояния
по обеим биполярным координатам, рассматривается лишь
четверть всей луночной области,
где 0<а<со, 0<р<т.
Пользуясь известными связями
между значениями производных
дФ дФ V Л7
-г-, -J— и составляющими Ар, Ур на-
пряжения, действующего по пло-
щадке с нормалью [3,
h'da\dy
у <К?ф\ JL A^?*
В lfc\dxj T"fa\dx
Рис. 8.
где /г= hc-4-c—В коэффициент Ляме, и замечая, что в дан
ном случае
о,
причем
A4.2)
дх да' ду да*
дФ дФ
находим контурные значения величин -г- и j-:
A4.3)
63

Пользуясь формулами A4.3), вычисляем значения произ-
дФ дФ ,
водных т- и Tj-на контуре области
дФ\ __
да j
дФ\
|
Л-2
' а<а°'
A4. 4)
Контурные значения самой функции напряжений Ф могут
быть теперь получены интегрированием первого из соотноше-
ний A4. 4):
-, <*<«о»
И. «>ао>
причем величину постоянной интегрирования естественно вы-
брать таким образом, чтобы НшФ|8 _0. Так как при а-*
ес->со '
-*¦ со х-*а, у-*0, то следует принять с = ах0 — Щ-.
В соответствии с изложенной в предыдущем параграфе общей
методикой решения основной бигармонической задачи для
луночной области необходимо далее составить контурные зна-
чения функций
Пользуясь формулами A4. 4)—A4. 6) и переходя от декар-
товых координат к биполярным по известным зависимостям
(см. § 7)
h
у _ sin р
hf
cho + cosp' a cha-fcosp»
... „
после некоторых выкладок находим
а
«<a0,
0 -f q (x0 cos Tf — y0 sin y), a > «0,
<})(«)=— g(y0 cos Tf 4-ж0 sin y).
A4.9)
Особенностью данной задачи является то обстоятельство,
что значения функций <р (а) и ф (а) не стремятся к нулю при

о —»¦ со и не могут быть поэтому разложены в интеграл Фурье
по координате а. Однако нетрудно видеть, что за бигармони-
ческую функцию Ф, (а, р), удовлетворяющую краевым условиям
Т L, = V (жо cos T " Уо sin Г)»
^oCOsr + ^sinT), I
можно принять выражение *
1Ф, = q {x0 cos р — у0 sin р). " A4.11)
Если в соответствии с атим положить
Ф = Ф,+Ф2, A4.12)
то для бигармонической функции Ф2 получим следующие гра-
ничные условия:
i е-«о Ch о
i
«•»*T~V.'<S ?$)^=0. A4.13,
причем условия разложимости правых частей в интеграл Фурье
теперь уже выполняются.
Неизвестную функцию Ф« удобно представить в виде инте-
грала A3.3) по параметру Л. от частных решений бигармони-
ческого уравнения, причем в силу симметрии следует положить
С = D = 0 и разложение вести в косинус-интеграл Фурье
00
Ф2 = qah \ \ \ (A ch Хр cos р + в sh XP sin P) cos X«dX. A4.14)
о
Применяя граничные условия A4.13) и вычисляя квадра-
туры, входящие в преобразование Фурье от правой части
соотношения A4. 13),
S A - 6^ Ch a) °OS X<Xda + ? i e" C0S Xada =
sin Xa0
~~\ (X2 4-1) (ch n0 + cos
, = да[x0 cha+cosp - УосЬа+СОЗ$)-«"LfI,1 -S5J-»o7j~
бигармоническая функция. Заметим, что второе слагаемое в формуле
A4.11) вообще не влияет на напряженное состояние.
5 Я. С. Уфлянд 65

мы приходим к следующей системе .уравнений относительно
величия А и В:
ch Ху cos у Л -f-sh Ху sin ^В= у —
sin Ха0
ЧХ2+l)(chao+COST) *
(X sh Ху cos у — ch Xy sin у) Л -f- (X ch Xy sin у -f-
+ sh Xy cos у) В = 0.
Решение этой системы имеет вид
sin Xa0 X ch X7 sin 7 -fr- sh X7 cos 7
. = 2/4
B=2]/-
sin
sh 2X7 + X sin 27
ch к-ц sin 7 — X sh X7 cos 7
sh 2X7 4- X sin 27
A4.15)
A4.16)
A4.17)
Таким образом, получено полное решение поставленной
плоеной задачи теории упругости, причем для проведения
численных расчетов с помощью теоремы о вычетах необходимо
воспользоваться данными табл. 10 для корней уравнения
sh z -f- -~y~^ z = 0» полученного из определителя системы A4.15)
подстановкой 2Xy = z.
Приводим формулу для напряжения о, в средней плоскости
луночки
, Ф2| 4д 1
' ah |0=о и ch o0 -\- cos 7
X
Г (X ch X7 sin у + sh X7 cos 7) sin Xa0 соз Ха -.
X 1 X(X2-(l)(sh27X + Xsin27) ° "
A4.18)
Случай двух сосредоточенных сил величины Р, приложен-
ных в точках а = 0, р= ±у, получается предельным переходом
= —-cos2 4-, ^
и Т=
Следует заметить, что в частных случаях Т —"
определитель системы A4.15) становится одночленным, в связи
с чем применение теоремы о вычетах не требует составления
специальных таблиц, а в отдельных случаях может привести
и к явным выражениям для напряжений в элементарных функ-
циях.
Мы не будем останавливаться здесь на случае у=-=-> так

как он соответствует случаю круговой области, для которой
решение просто получается в полярных координатах.
Второй частный случай у = л дает решение первой основной
задачи теории упругости для неограниченной плоскости с двумя
полубесконечными разрезами. В частности, в рассмотренной
выше задаче с симметричным по координате C распределением
напряжений случай у = л представляет собой также и решение
некоторой смешанной задачи для упругой полуплоскости. В са-
мом деле, в силу симметрии равны нулю касательные напряже-
ния т^ на всей границе у —0 полуплоскости, а также ради-
альное смещение и на части границы C = 0 (| я | <; я), в то время
как на остальной части (р = тг) контура заданы нормальные на-
пряжения Ор. Более общее решение подобного рода смешанных
задач теории упругости для полуплоскости с помощью функций
3
-¦-й-
/S-7C
Рис. 9.
Папковича—Нейбера будет дано в следующем параграфе, однако
решение одной частной задачи может быть непосредственно
выведено из полученных выше результатов, на чем м"ы кратко
и остановимся.
Пусть участки полубесконечных разрезов а<^|:с|<^:с0 за-
гружены равномерными сжимающими усилиями интенсивности q
(рис. 9). Напряженное состояние в таком теле получится, оче-
видно, наложением данного выше решения, в котором следует
положить y = 7i и изменить знак у множителя q, и решения,
соответствующего равномерному сжатию по всей длине обоих
берегов разрезов. Но бигармоническая функция, соответствую-
щая этому последнему решению, может быть взята, например,
в форме полинома Ф* = уГ 1 —r-^\t дающего всестороннее рас-
тяжение во всех точках. Так как в биполярных координатах
, r2 2cosP Ф* D
1 g= . • . —к-, то -г- = qacosp, причем слагаемое такого
типа удобно включить в функцию Ф1 [см. формулу" A4.11)].
Таким образом, решение поставленной задачи имеет вид
A4.19)
5» 67

где
=cthf,
A4.20)
Ф2= — qah \f^ \ (A ch Xp cos p -f В sh Xp sin P) cos XadX. A4. 21)
о
Величины А а В определяются по формулам A4.16) при
=тс, а именно
п— V it 2
it 2X (X2 -f 1) (ch a0 - 1) ch itX *
f l)(cho0— 1)shidi •
Выражение A4.18) для напряжения зв в плоскости В = (
принимает вид
g
ш
Jsin i.a0 cos Xa
*• it
A4.23)
Входящие в последнюю формулу квадратуры могут быть
представлены через элементарные функции. В самом деле, пре-
образуя выражение о0 к виду
ваходим следующие значения для входящих сюда квадратур:
= arc te
sh-
СО
J

где
§ 15. Некоторые смешанные задача для упругой полуплоскости
В данном параграфе рассматривается упругое равновесие
полуплоскости (у^О) в том случае, когда характер граничных
условий различен на различных участках граничной прямой
у = 0, а именно на отрезке |х|<Са краевые условия отличаются
от условий на линии |ж|^>а. В таких задачах весьма удобно
использовать биполярные координаты, так как область у = 0,
| х | <С о. описывается координатной линией J3 = 0, а область у =
= 0, |ж|^>а — линией |3 = я. Наиболее сложная задача такого
рода, когда при | х | > а заданы упругие перемещения, а при
| а; О а — напряжения (основная смешанная задача), рассматри-
вается в § 16.
В настоящем параграфе будет дано точное решение некото-
рых более простых смешанных задач, предусматривающих за-
дание на всей границе либо касательного Ь^)> либо нормального
(оу) напряжения. В такого сорта задачах удобно представлять
решение уравнений теории упругости через гармонические
функции Папковича—Нейбера. Приведем выражения перемеще-
ний и и v и входящих в краевые условия напряжений т и ag
через две гармонические функции Фо и Ф2 (см. § 3)
A5.1)
где G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона, х = 3 — 4v.
Мы начнем исследование с того случая, когда на нсей гра-
вице полуплоскости задано касательное напряжение
xjy=o = *(*)- A5.2)
Второе граничное условие носит смешанный характер, причем
при | х | <С в задается нормальное перемещение v (или нормаль-
ное напряжение о^), а при |ж|>а — напряжение о^ (или пере-
мещение и).
Рассмотрим поначалу смешанное краевое условие вида
у|р=о=Уо(а)> ef|p=, = o(o). A5.3)
Поставленная краевая задача может быть сведена к крае-
вым задачам теории потенциала следующим образом: сперва
69

<; помощью граничного условия A5. 2) и формул A5.1) находим
краевое условие для гармонической функции <])
затем, считая функцию ф найденной, исключая из выражений
для v и ау величину -—$ и применяя краевые условия A5. 3),
находим следующие граничные условия для функции Ф2:
. A5- 5)
ф| —
Таким образом, остается определить гармоническую функ-
цию Ф2, удовлетворяющую смешанным краевым условиям
Предполагая, что функции fug удовлетворяют условиям
разложимости в интеграл Фурье, представляя искомую функ-
цию в виде
со
Ф2 = -L [ (A sh Xp -f В ch Щ е- iUdl A5. 7)
v2it J
и используя граничные условия A5.6), приходим к системе
двух уравнений для неизвестных величин А и В, на чем и за-
канчивается общее решение поставленной задачи.
В частности, при vo = const, a==0 мы приходим к контакт-
ной задаче теории упругости для плоского штампа при отсут-
ствии трения, решение которой хорошо известно и может быть
получено другими способами.
В качестве другого приложения полученных результатов
рассмотрим равновесие упругой плоскости, ослабленной двумя
полубес конечным и разрезами (C=+я).
Если напряжения, приложенные в двух противоположных
точках М а N разреза, одинаковы по величине, причем нор-
мальные напряжения имеют противоположное направление,
а касательные напряжения направлены в одну и ту же сторону
оу|р=к = оу|р=_11 = о(а;), x-fb==, = —*„ |р« = т (ж), A5.8)
т. е. напряженное состояние симметрично относительно сред-
ней плоскости у = 0, то на линии |3 = 0 будут отсутствовать
касательные напряжения и нормальные перемещения. Таким
образом, такая задача представляет собой частный случай рас-
70

смотренвой выше общей задачи, когда ио(ж)=О и функция
- (х) = 0 на участке | х | <Г а.
Дадим решение одной конкретной задачи такого типа, когда
внешние усилия, приложенные к берегам разрезов, сводятся
к двум противоположно направленным сосредоточенным силам
величины Я, приложенным в точках а = а0, |3= ±этГб = aether)
(рис. 10).
В этом случае z(x)==0 и, следовательно, <]) = 0.*
Граничные условия A5. 6) для функции Ф2 принимают в дан-
ном случае вид
Фв =0, 2Z? — ° t ; A5.9)
2 |р=о а? |р=яс ch о — 1 v '
Представляя Ф2 в форме
^.Л A5.10)
—00
получаем из гравичных условий
L ?
откуда для А (X) ваходим
Для рассматриваемого случая точечной нагрузки получаем
Л=-^=е'И, A5.12)
после чего выражение A5.10) принимает вид
и может быть представлено в явном виде:
a — о0 C
oh —5— + sin T
ch
* Можно было бы принять функцию $ равяой любой постоянной.
Однако нетрудно проверить, что введение такой постоянной не изменяет
напряженно-деформированного состояния.
71

Приведем простое выражение для напряжение ь средней
плоскости
2*
ch
о _ о„ я F — яг)
:. A5.15)
Аналогичным образом может быть решена смешанная задача
для полуплоскости при задании на всей ее границе касатель-
ных напряжений [см. A5.2)], если на участке р== 0 (у=0, |ж|<
<) заданы нормальные напряжения, а на линии C = jt(j/ = O,
/НЕ
и
а
b
м
N
Р
Р
р-п
Рис. 10.
Рис. 11.
|х|^>а) — нормальное перемещение,
заменяются следующими:
т. е. если условия A5.3)
= vo(a). A5.16)
He останавливаясь на общем решении этой задачи, заметим
только, что одним из интересных приложений такого решения
является задача о распределении напряжений в упругой пло-
скости, ослабленной прямолинейной щелью конечной длины.
Если внешние усилия в двух противоположных точках М и N
разреза имеют одинаковую величину и направлевия, указанные
на рис. 11, то в силу симметрии t» |р=±ж = тжу |р=±ж = 0, что яв-
ляется частным случаем вышеуказанной общей задачи.
В заключение данного параграфа остановимся коротко на
тех смешанных задачах теории упругости для полуплоскости,
в которых на всей границе заданы нормальные напряжения
с!/\^о = с(х). A5.17)
При этих условиях формулы A5.1) приводят нас к граничным
условиям второго рода для гармонической функции ш
v)*2~ Xе. A5.18)
так что последняя может считаться найденной в результате
решения задачи Неймана для полуплоскости.
72

При дальнейшем решении смешанных задач такого типа
могут представиться две различные возможности. Первая из
них соответствует следующим краевым условиям:
а |0=о = и0 (а), хад |р=я = х (а), A5.19)
которые с учетом A5. 1) и A5.18) могут быть преобразованы
в условия для гармонической функции Ф2
дх |р=1с дх |р=п
Поскольку условия A5. 20) по существу эквивалентны усло-
виям A5.16), постольку функция Ф2 может считаться наиден-
ной в результате решения соответствующей краевой задачи
методом разложения в интеграл Фурье типа A5.7). На этом
мы и заканчиваем общее исследование данной задачи.
Одним из приложений полученного решения может явиться
задача о концентрации напряжений в неограниченной пло-
скости, содержащей два полубесконечных разреза («внешние»
щели) в случае антисимметричного относительно средней пло-
скости напряженного состояния:
s в з тяу |э=_я = т. A5. 21)
При этом
О, A5.22)
так что условия A5. 21), A5. 22) являются частным случаем по-
ставленных выше общих граничных условий A5. 17)—A5. 19)
при но==0, о^^О.
Любопытно отметить, что если внешних касательных усилий
на разрезе не приложено (т=0), то решение рассматриваемой
задачи просто совпадает с решением задачи о равновесии полу-
плоскости, к части границы которой (|ж|]>а) приложены за-
данные нормальные усилия (о). В самом деле, при ио=О, т =
= 0 гармонические функции Ф2 и ш удовлетворяют однородным
граничным условиям A5. 20)
А|2A_у)Ф, —«]| =0,
7°
и могут поэтому, отличаться лишь на постоянную величину:
(о — Ф2 — С. Но это влечет за собой равенство ол.у|р=и = 0, т. е.
действительно касательные напряжения отсутствуют на всей
границе полуплоскости.
73

Наконец, наряду с рассмотренным случаем может встретиться
и такая смешанная задача, когда, кроме граничного усло-
вия A5.17), заданы радиальные смещения на участке |а;|^>а
it касательные напряжения на остальной части границы (|х|<[
<Гй), т. е. когда условия A5.19) заменяются следующими:
иж. A5.24)
Общее решение задачи проводится совершенно аналогично
предыдущему случаю, и, ве останавливаясь на подробностях,
заметим лишь, что частным случаем (^ = 0) такой задачи яв-
ляется задача о равновесии плоскости с внутренней щелью
(рис. 11) в случае антисимметричного относительно средней
плоскости напряженного состояния.
§ 16.; Плоская контактная задача
при наличия сцепления
Перейдем теперь к так называемой основной смешанной за-
даче теории упругости для полуплоскости в том случае, когда
на отрезке |а;|<^а ее границы (у — О) заданы упругие пере-
мещения и a v, а на остальной части (|а:|>о) — напряжения о^
и |з=о= и0 (<*)• v 1з=о = v0 (а), ор |3=я = о (а), хву |э=п = -. (а). A6.1)
В частности, для контактной задачи о вдавливании в упру-
гую полуплоскость жесткого штампа при наличии сцепления
будем иметь
ио = 0, уо = const, o = t = 0.
Решение основной смешанной задачи является более слож-
ным, чем смешанных задач других типов, рассмотренных в пре-
дыдущих параграфах, ибо она ве может быть сведена к ряду
раздельных краевых задач для гармонических функций. В самом
деле, подставляя в граничные условия A6.1) выражения A5.1)
перемещевий и напряжений через две гармонические функ-
ции (Фо и Ф2) Папковича—Нейбера, мы приходим к некоторой
краевой задаче для полуплоскости с неразделенными граничными
условиями такого вида:
A6.2)

Рассматриваемая смешанная краевая задача допускает точ-
ное решение в биполярных координатах, если представить ис-
комые функции в виде интегралов Фурье
00
Фо, ,=-^ \ {AOi 2chXp + ВОш ,ehXp)e^dX. A6. 3)
о
Подставляя A6.3) в A6.2),* мы приходим к системе четырех
линейных алгебраических уравнений для величин Ао 2, Во2,
правые части которых будут содержать преобразования Фурье
от заданных функций (разумеется, следует предположить, что
ати преобразования существуют).
Не выписывая решения задачи в общем виде, обратимся
непосредственно к решению соответствующей контактной задачи
со сцеплением, причем начнем со случая вдавливания штампа
осевой силой. Как уже указывалось выше, граничные условия
будут при этом иметь вид**
-фзЫ = const,
(
где введена новая гармоническая функция Ф3 = -г-^.
В связи с тем, что постоянная величина не может быть раз-
ложена в интеграл Фурье, представим искомые функции в виде
суммы
где гармоническая функция Ф* удовлетворяет условиям
Ф*| = const, 2?| =° A6-6)
|р=о д$ |р=* '
* При этом следует перейти от производных по х и у к производным
по а в р, пользуясь очевидными соотношениями:
дх к=и ~ h ' да |д=0 ' ду |р=о ~~ А " д$
— I -= ---
дх |0=i' k 'да
cha+cosP
** Так как задача плоская, то значение входящей во второе равен-
ство постоянной несущественно, ибо фактически задается не значение
осевого смещения, а величина осевой силы.
75

и является, следовательно, логарифмическим потенциалом бес-
конечной полосы ширины 2а, выражение которого в биполяр-
ных координатах имеет вид
а В
ch -гг -\- sin -$•
Ф* = In = -J- + const. A6. 7)
ch ~2 — sin -q"
Принимая, что постоянные С2 и С3 связаны соотношением
A — 2v) С2 — С3 = 0 и преобразуя первое условие A6.4) -^- _ =
С3 = 0 и преобразуя первое условие A6.4) -^- _
= 0 дифференцированием по а; к виду
| ^??31 =
|з=о ду |р=о
ваходим следующие граничные условия для гармонических
функций <р2 и <р3:
ch ~2
A6.8)
причем единственная не равная тождественно нулю правая
часть в этих условиях удовлетворяет разложимости в интеграл
Фурье.
6 силу симметрии задачи по переменной а, положим
A6.9)
Подстановка интегралов A6.9) в граничные условия A6.8)
с учетом значения косинус-преобразования Фурье от функ-
ции -ij-
ch у
* Последнее условие эквивалентно исходному, ибо аддитивная по-
стоянная, могущая при этом появиться в граничном значении «0 пере-
мещения и, равна нулю в силу того, что это перемещение есть нечетная
функция переменной а (или х).
76

и связей Bs= >. . ? , хЛ2=Л8 приводит нас к следующей си-
стеме уравнений для А2 и В2:
—2 A — v) Л2 ch irX 4-A — 2v) ^2 sh их = \/2п С3 Уу^,
—A — 2v) /12 sh этХ 4~ 2 A — v) B2 ch этХ = \
со знакопостоянным определителем, равным —х
A6.10)
Решение системы A6.10) может быть представлено следую-
щими формулами:
?3sIibX
A6.11)
где введены обозначения
D A) = ch 2пХ 4- ch 2izb,
&^ 2A -v) &==Iilx /x==3_4v4 A6.12)
^J~ * 2i^ * '*
Для полного решения задачи необходимо еще определить
постоянную Cs .из условия статики
а
\og]Bmodx=-P. A6.13)
—а
Вычисляем значения нормальных напряжений под штампом
2CS ch y
го
,p 1 — 2v Г
~ s ^ 3
cosAa
-f ch2я»
„
Пользуясь значением интеграла
ch тсХ cos kadk -a cos ad
^т .
ch ш ch -i

находим после выкладок
h-^-cosa». A6.14)
Подставляя A6.14) в A6.13) и вычисляя квадратуру, на-
ходим для постоянной С3 значение
Сз = Т^ A6Л5)
Подсчитаем еще касательные напряжения в области кон-
такта
х „I =/-[A— 2v)<p, — <р„]| =
j [A 2) ^2 ^3j sin ХайХ =
о
со
„ 1 — v _ , , Г sh icA. sin A
= -8 — C,(ch« + 1))
Использование формулы
Г sh ftX. sin \a d\ it sin ab
о sh -nS ch ~2
приводит к следующему выражению:
Таким образом, напряжения под штампом могут быть пред
ставлены в виде единой формулы такого вида (ср. [78, стр. 433J):
Обратимся теперь к более общему случаю загружения
штампа, когда точка приложения внешней силы смещена от-
носительно оси. Так как воздействие осевой силы уже изу-
чено, то достаточно рассмотреть контактную задачу для штампа,
загруженного опрокидывающим моментом величины Л/ (рис. 12).
При наличии сцепления в области контакта [3 = 0 осевое
перемещение равно р;,. а. горизонтальное перемещение отсут-
78

ствует, так что граничные условия A6.4) для рассматривае-
мого случая с учетом равенства ar|p=0=eth-^- заменяются сле-
дующими:
A6.18)
. [2 A - v, Ф2 _ Фз] |р=и = О, ? 1A _ 2.) Ф2 - Ф3] L = 0.
Так как данная задача антисиммет-
рична по переменной а, то гармоничес-
кие функции Ф2 и Ф3 следует выбирать
в форме
оо
м
4- Яг,з sh Щ sin XotdX. A6.19) рис. 12.
Пользуясь легко проверяемым интегральным разложением
th-|-=2fsin*a
мы приходим к следующей системе уравнений, аналогичной
A6.10):
2 A — v) A2 ch яХ — A — 2v) Й2 sh пХ = Л' ch пХ,
— 2A — v)^2chitX
, 1
, J
где введено обозначение
sh
Что касается величины А3, то она выражается через Л2
формулой A3 = y.A%^-N, в то время как величина В3 вообще
равна нулю.
Остается вычислить нормальное вапряжение в области кон-
такта и воспользоваться условием статики
°v |i3=o xdx=—М
A6. 21)
79

для определения величины неизвестного угла т -через задан-
ный момент М: Имеем
;0 О
II
_ i6GTf(l-v)(chc. , и * [ chid.
х * дп j ch 2^X
и
= ^ ch 4-( 2& sin a& + th 4- cos a&V
Вычисление квадратур в соотношении A6.21) приводит
к следующей связи угла f и момента М:
v М(\ +») ,ло ооч
на чем и заканчивается решение данной задачи.
В заключение вычислим еще касательные напряжения под
штампом
=^- ch yB& cos a& — th -| sin «&).
Итак, напряжения в области контакта выражаются следую
щей формулой:*
f (|)|e'\ »ei»i^ia. A6.23)
§ 17. Плоская задача для внешности круговой луночки
В предыдущих параграфах настоящей главы исследовались
некоторые плоские задачи теории упругости для внутренности
круговой луночки. Наряду с этим значительный интерес пред-
ставляют соответствующие внешние задачи, т. е. задачи о рав
новесии неограниченного тела, содержащего отверстие, контур
которого образовав дугами двух пересекающихся окружностей.
В частности, существенно уставовить степень концентрации
напряжений в неограниченной плоскости, ослабленной отвер-
стием луночного типа.
* Ср. [78, стр. 435J.
80

Внешние задачи для луночной области удобно решать в не-
сколько видоизмененной системе биполярных координат: именно,
вместо основной зависимости G.1) введем координаты (а, |3)
с помощью соотношения
: ai cth -
0<a<oo, —ic<p<«. A7.1)
При таком выборе координат-
ной системы линия разреза аг=О,
|y|<a, на берегах которого пере-
менная C принимает значения'
Р=±эт, не попадает в рассмат-
риваемую область (рис. 13).
Связи прямоугольных коорди-
ват с биполярными даются такими
формулами:
X
а
sin
" Ch a — COS P
sho
у__
a ch a — cos C "
A7.2)
Рис. 13.
Основные зависимости A3.12) для плоской задачи теории
упругости в данном случае несколько видоизменяются и при-
нимают следующий вид:
A7.3)
=[(cha — cos p) A_sh a^—sin
cosр](?
t — cos р "
Что же касается бигармонического уравнения A3.2), то оно
не моняет своей формы, и, следовательно, общее выражение
для бигармонической функции Ф имеет вид
Ф=-^
—00
+ С sh xp cos р + D ch xp sin pj e'*" dk. A7.4)
Таким образом, если требуется решить основную бигармо-
ническую задачу, когда заданы значения величин Ф и тг на
Ф <)/Ф\
контуре отверстия, то следует разложить значения -г и ¦щ\-^
6 Я. С. Уфлянд
81

при р = р1 и Р = Р2 1СМ> A3.4)] в интегралы Фурье по пере-
менной а. и составить систему четырех линейных алгебраи-
ческих уравнений для неизвестных величин А, В, С, D.
Дополнительная трудность, возникающая при решении
внешней задачи, состоит в том, что напряжения, соответству-
ющие функции A7.4), на бесконечности (а = р = 0) могут не
стремиться к нулю, и в тех задачах, в которых напряженное
состояние должно исчезать на бесконечности, бигармоническую
функцию A7. 4) следует дополнять слагаемыми типа А^х2-\-
-f- Вгу2 -f- Су In —, причем коэффициенты А13 By и Сх подбира-
ются так, чтобы удовлетворить условиям на бесконечности.
Соответствующая методика в следующем параграфе будет про-
демонстрирована на частной задаче.
§ 18. Влияние луночного отверстия на распределение
напряжений в растянутой плоскости
Рассмотрим равновесие упругой плоскости, содержащей лу-
ночное отверстие и подвергающейся равномерному растяжению
на бесконечности. При этом могут представиться случаи все-
стороннего или одностороннего растяжения, причем в послед-
нем случае растяжение в произвольном направлении может
быть разложено на два направления по осям прямоугольных
координат (рис. 13).
Во всех трех случаях бигармоническую функцию напряже-
ний естественно представить в виде суммы
© = <&„ + «•„ A8.1)
где Фо соответствует заданному напряженному состоянию на
бесконечности, а бигармоническая функция Ф, должна на бес-
конечности стремиться к нулю и предназвачена для снятия
напряжений на контуре отверстия.
Нетрудно видеть, что, придавая различные значения пара-
метрам hi с в выражении
можно получить функцию напряжений для всех трех указан-
ных случаев. В самом деле, при 6 = 0, с = -^ имеем Фо = ^>
(одностороннее растяжение интенсивности р в направлении
оси у); при b = 1, с. = — -^ Фо = р 0j—а2\ что соответствует рас-
82

тяжению по оси х; наконец, при 6 = 1, с = 0 получается Фо =
=у(г2— а2)* — случай всестороннего растяжения.
Записав формулу A8.2) в биполярных координатах
Фп , п I с sin2В ,.„ ,.
—\ = 6 cos P + -г —=-, A8.3)
pah r ' ch а — cos В * v '
—\ = 6 cos P + -г —=-,
pah r ' ch а — cos В *
заметим прежде всеги, что в данной задаче представить функ-
цию-^ в виде интеграла Фурье A7.4) невозможно, так как
последний на бесконечности (а, |3-*•()) стремится к величине
1 Г
-= \ .4(X)dX, ве равной, вообще говоря, нулю. Добавление
—оо
к выражению A7.4) членов типа -j-{Mx*-{- Ny2) позволяет так
подобрать величины М и N, чтобы условия на бесконечности
были выполнены, во при этом возникает другая трудность,
связанная с тем, что правые части- граничных условий A3.4)
не будут стремиться к нулю при |а|-г»оо и не будут поэтому
разлагаться в интеграл Фурье по переменной а. В соответ-
ствии со сказанным мы, следуя идее Линга [185], используем
еще гармоническую функцию In г и положим
—00
+ С cos p sh xp -f- D sin p ch xp | e^x"dX, A8.4)
где постоянная к после решения задачи должна быть найдена
из условия на бесконечности
Нетрудно видеть, что так как функция
п П1,. №. chi — cos S
2,cos P 4- (ch a — cos P) In -=;—= у-
: . r ' v r/ cha-|- cos В .^
* Постоянное слагаемое, возникающее во втором и третьем случаях,
обеспечивает стремление к нулю функции Фо при |а|-»¦ со, что необхо-
димо для дальнейшего ее разложения' в интеграл Фурье.
6* S3.

разложима в интеграл Фурье в промежутке —со<[а<^со, то
и правые части краевых условий A3. 4) допускают соответству-
ющие разложения.
Таким образом, задача состоит в определении величин А,
В, С, D из граничных условий; требующих, чтобы полные на-
пряжения о и ia? были равны нулю на обеих дугах C = (!I и
Р = Р2. Из рассмотрения формул A7.3) ясно, что для выполне-
ния этих условий достаточно принять
\ °
после чего задача сводится к решению системы четырех ли-
нейных алгебраических уравнений с неизвестными А, В, С, D,
в правых частях которой будут стоять преобразования Фурье
от известных функций
t7L h
ch a -f- cos p ' ch a — cos
а также от их производных по переменной р.
Не приводя довольно громоздкого решения этой задачи
в общем виде, остановимся более детально на случае симмет-
ричной круговой луночки (Р2=—Pi=t). В силу симметрии за-
дачи по обеим координатам имеем
рай cha—cosp ' L cha + cospj'
oo
-f-1/^ (Л cos p ch Xp -j- 5 sin p sh Xp) cos XadX, A8. 7)
причем величины А а В должны быть найдены из граничных
условий
а постоянная к — из условия на бесконечности:
A8.9)
84

Подстановка A8. 7) в A8. 8) приводит к равенствам
усоБ y-j- Bsb Ху sin у = — |/—с sin2 у х
, ch а — cos "Tf I ¦. ,
X ш-г—; L cos hada,
ch a 4-cos y J
-г—;
ch a 4-cos
A (X sh Xy cos у—ch Xy sin
T 2cosTf
sin y-f-sh Xy cos у)=
00
1 /2 , . ГГ,
— I/ —A; sm r \ ln
cha —cost (cha —
cha — cos т 2 cos 1
-r—: ! r—:—!—
ch a + cos f ch a + cos Tf
cos Itida.
- 1U)
Воспользовавшись значениями квадратур @<у<я)
00
Scos \a , л shX (л — -у)
cha — cos f shnX sin if *
cos TfJ sh7tX
CO
Sin '.'~ cos T cos Xada =
ch a + cos -у
о
CO
COsKa
sin3 Tf
Scos \ada тс К sin Tf ch А. (тс — -у) -|-cos TfshA(TC— -y)
(ch a — i
TtshA-f-g- — Tj
S
ch a + cos 7
sin Tf *
Г Го i / т_ . , ch a — cos Tf "I » 7
J |_2 cos у + (ch a — cos T) In chg_|_cosj j cos Ша =
о
X Г sin у ch ^+у cos у sh ^-J — X cos y ch Xy j,

после некоторых выкладок получаем следующую систему урав-
нений для А и В:
Ach Хт cos т -f- Bsh Хт sin т =
4(Xsh Xy cos у—chXy sin y)-f-^(X ch Ху sin y-f-sh Xy cos y)=
sin T ch X (« _T) - cos т sh X (ic -T)j +
2ftj
' X sh тЛ I
^ sinysh -^shfy — yJX-j-XcosyshXy".
. A8. 11)
Приводим окончательные выражения для величин А а В,
полученные в результате решения системы A8.11),
[тсЛ I
b2_sh2— BhagL7__x,ailt,T ^
sh*X +sh2Xf + Xsin2fJ
у/2ъ к sins t
. sin
2ft
тсХ
A8. 12)
Для полного решения поставленной задачи необходимо еще
определить постоянную к из условия A8.9). Подставляя зна-
чение А из A8.12) в A8.9) и пользуясь значением интеграла
2»
получаем
6 + 4с sin2 -у I
sh 2Xf + X sin 2f
A;=-
sh^X-y —
X (X2 + 1) (sh2Xf + X sin 2т)
dX
A8.13)

Из формул A8.12), A8.13) видно, что для проведения рас-
четов с помощью теоремы о вычетах следует воспользоваться
данными табл. 10 для корней уравнения
shz-f^?ilz = 0, A8.14)
соответствующего рассматриваемому случаю симметричного на-
пряженного состояния BХу^г).
Для практики представляет, в частности, интерес распре-
деление напряжений са в сечениях, перпендикулярных контуру
отверстия. Формулу A7.3) для нормальных напряжений ав
в рассматриваемом случае- можно записать в следующем виде:
A8Л5)
Подстановка в A8.15) найденного выше выражения для Ф
после некоторых выкладок дает
X sh Ху cos
A8.16)
Результаты некоторых численных расчетов, относящихся
к рассматриваемой задаче, читатель может найти, например,
в монографиях |95, НО].
В заключение видоизменим фор-
мулу A8.16) для особого случая,
когда у-»0.
Предельный переход у -» 0 при ус-
ловии, что размер а также стремится
к нулю, причем величина Д = -Д-
радиуса дуги сохраняет конечное зна-
чение, приводит нас к отверстию, рис ^
имеющему форму двух касающих-
ся кругов одинакового радиуса.
Не останавливаясь подробно на вырожденных биполярных
координатах, которые следует применять при решении подобных
задач, укажем только, что при вычислении контурных значе-
ний напряжения по формуле A8.16) переменную а также еле
дует устремить к нулю и ввести вместо нее координату 6 =—,
изменяющуюся в пределах одной окружности от бесконечности
(в начале координат) до нуля (в точке А) и принимающую
в точке В (рис. 14) значение ? = 1. Формула A8.16), с учетом
87

сказанного и после введения новой переменной интегрирования
Ху = 6, может быть записана в таком виде:
e, (is.iT)
P №=
где введена величина Ь=кг{*, определяемая равенством
bh 26 + 26
A8.18)
63 (ch 26 + 26)
dB
' § 19. Растяжение полуплоскости с сегментной выемкой
Представляет интерес рассмотреть частный случай внешней
задачи для луночной области при р.,=:0, р2 = у, соответствую-
щий полуплоскости, содержащей на краю выемку в виде кру-
гового сегмента.
В том случае, когда граница области сво-
бодна от напряжений, а на бесконечности
имеет место равномерное напряженное состо-
яние, имеет смысл рассмотреть только про-
дольное растяжение (рис. 15).
Следуя методу; изложенному в преды-
_\ _^ дущем параграфе, разобьем бигармоническую
Т функцию на две части:
Ч
"* ф ф I ф _5о____1 sin2P
«Т >' pah 2 " ch а — cos P '
A9.1)
-f- Bsb. Xp sin p -f- С sh Xp cos |
-f- D ch Xp sin P)'cos XadX,
причем в данном случае нет необходимости вводить решения
типа In г, ибо условие на бесконечности {-тг\ = 0J будет
выполнено, если положить Л=0. При этом одновременно
удовлетворяется и одно из гравичных условий A8. 6): Ф|р_0 = 0.
Остающиеся три неизвестные величины В, С, D должны быть
найдены из граничных условий
— (—\\ =0 —I =0, — (—)\ =0. A9.2)
88

Первое из этих условий определяет связь D = —ХС\ а по-
следние два приводят к следующей системе уравнений: *
В sin у sh Ху -j- С (cos у sh Ху — X sin у ch Xy)=
fi(XsinychXy-j-CosyshXy) —C(X2 + l)sinyshXy =
— \ Tl^rIXsinTcbXGr—у)—cosyshX(« —у)],
A9.3)
решение которой дает
Поскольку знаменатель этих выражений представляется
в виде произведения (sh Ху -}- X sin у) (sh Ху — X sin у), постольку
при некоторых вычислениях можно, как и в предыдущем слу-
чае, пользоваться табл. 10 для нахождения корней соответ-
ствующих трансцендентных уравнений.
Полное решение поставленной задачи дается функцией на-
пряжений:
— XsinpchXp)|cosXadX. A9.5)
Для величины нормального напряжения аа на контуре выемки
из A8.15) после некоторых преобразований находим
Максимальное напряжевие получается, очевидно, в среднем
сечении а = 0 и выражается формулой**
В предельном случае у-*0, когда круглое отверстие ка-
сается края полуплоскости, вводя подстановку Ху = 8, подобно
• См. квадратуры, испольвованные при выводе формул A8.11).
*• Численные расчеты см. в [110, 186J.
89

тому как это было сделано в предыдущем параграфе, находим
следующую формулу:
00
о"» f бсЬе— sh6 CJft ,,ОЙ>
§ 20. Концентрация напряжений в плоскости, ослабленной
луночный отверстием и находящейся в условиях
чистого сдвига
В этом параграфе исследуется напряженное состояние в не
ограниченной упругой плоскости, ослабленной отверстием
в виде симметричной круговой луночки, находящейся в усло-
виях чистого сдвига на бесконеч-
ности (рис. 16).
Поскольку функция Фо, ха-
рактеризующая состояние чистого
сдвига, дается выражением
Ф0 = —Тху =
8hasinP B0 1)
(cha — cos 0J К^-1)
= — Та*
Рис. 16.
и является нечетной функцией обеих
биполярных координат (а, C), по-
стольку бигармоническую функцию
Фх следует выбрать в форме синус-
интеграла Фурье
11 (С cos p sh Xp -J- D sin p ch Щ sin XadX B0. 2)
cho —
Заметим, что при таком выборе условие на бесконечности
=0) выполнено при любых значениях С и D.
раничные условия, обеспечивающие отсутствие напряжении
на контуре отверстия (Р=±у), сводятся к следующим требо-
ваниям:
Если воспользоваться разложением
«SLI = «basing =_2 ?
Гей ^=7 cha — cosf ' J
shA«
'

а также разложением, получаемым из него дифференцированием
по параметру у, то краевые условия B0.3) после подстановки
в них выражения B0. 2) для функции Ф2 приводят нас к сле-
дующей системе уравнений для неизвестных С и D:
С cos у sh Xy -}- D sin у ch Xy = yj2n sin у ——Д-——,
С (X cos у ch Xy — sin у sh Xy) -j- D (X sin у sh Xy -|-
-j-cosych Xy) = -^-r— {cosychX(n—y) — XsinyshX.(m — y)].
Решение этой системы таково:
B0.4)
чем и дается решение поставленной задачи.
Заметим, что после подстановки найденных значений С и D
из B0. 5) в B0. 2), а также представления функции -^ в виде
соответствующего синус-интеграла Фурье полная функция на-
пряжений может быть записана в виде следующей простой
формулы:
—- = 4 \ [X sin у sin (y
о
-sinpshXy shX(y_p)]5K^g--. B0.6)
Нормальное напряжение по обводу отверстия, вычисленное
по формуле A8.15), дается следующим выражением:
-^- = 8 (ch а — cos у) \ (cos у sh Xy — X sin у ch Xy) x
0
A sin \adk _2q 74
X sh2Xf — Xsin2f l ' '
Результаты вычислений по этой формуле для ряда значений
параметра читатель может найти в работах |96, 181).
Глава IV. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ К ЗАДАЧАМ
ИЗГИБА ТОНКИХ ПЛИТ
§ 21. Изгиб полуплоскости с закрепленным краем
Простейшим примером применения преобразования Фурье
к вопросам изгиба плит является задача об изгибе упругой
тонкой плиты в виде полуплоскости ({/^0).
91

Прогиб плиты w(x, у), как иавестно, удовлетворяет неодно-
родному бигармоническому уравнению
B1.1)
где q — плотность внешней поперечной нагрузки, D — цилин-
дрическая жесткость плиты.
Переписывая уравнение B1.1) в развернутой виде
д*и> ! о d*w , d*w q(x, у)
подвергая его преобразованию Фурье по переменной х я пред-
полагая, что при |х)->оо w-*-0 вместе со своими производ-
ными первых трех Порядков, мы приходим к обыкновенному
дифференциальному уравнению четвертого порядка
, со
l \ B1.3)
относительно преобразования Фурье W от прогиба из
00
Ф(у) = -^\ w(x, y)^dx. B1.4)
-00
Частное решение й>0 уравнения B1.3) проще всего найти
с помощью интегрального преобразования Лапласа, для чего
необходимо умножить B1.3) на е~** и проинтегрировать по у
от нуля до бесковечности. Предполагая, что
а>0 @)=ф'о @)=а>; @)=«г @)=О,
получаем
(р* - 2р*к* + X*) №1 = К B1. 5)
где введено обозначение для преобразования Лапласа
00
Находя из B1. 5) значение fi)J и применяя формулу обраще-
ния Римана—Меллина, получаем
1 Г
F*e
1 WW
и—loo
что после применения теоремы Бореля дает
5

причем функция Фх(ж) определяется следующим комплексным
интегралом:
А
р
Применение теоремы и вычетах приводит к следующему
з начению:
^р B1.7)
так что частное решение а>0 уравнения B1.3) дается такой
формулой:
S J х B1.8)
Общее же решение уравнения B1.3), составленное по из-
вестному способу, имеет вид
u> = D-J-mj/)e-** + (C-J-?Xy)e** + a>0. B1.9)
Как известно, решение задачи для случая произвольной
внешней нагрузки q{x, у) может быть получено из решения
для одиночной сосредоточенной силы путем интегрирования
последнего по области приложения нагрузки. Поэтому в даль-
нейшем исследуется задача об изгибе плиты сосредоточенной
силойР, приложенной в произвольной точке плиты.
Обращаясь к случаю полубесконечной плиты @^у<оо),
считая силу Р приложенной в произвольной точке (О, Ъ) оси
ординат и вводя косинус-преобразование Фурье от функции
w(x, у)
W (у) = |/ -| J w (х, у) cos XardX, B1.10)
о
находим, как а выше, значение й) по формуле B1.9), причем
частное решение Фо для рассматриваемого случая сосредоточен-
ной нагрузки будет
0,
Таким образом, величина а» дается следующим выражением:
(А + ВЩ<Г* + (С+ЕЦ)е* + B1 12)
93

Неизвестные С и Е определяются из- условия на бесконеч-
ности (w Is,-*» -»• 0) и, так как Кх (ж) « -j (Хж— 1)е , равны сле-
Ж-МЗО
дующим величинам:
Е==—р
A/2
Оставшиеся две величины А и В должны быть найдены из
граничных условий на краю плиты (j/ = 0).
В случае закрепленного края ш|у=0 = -^ =0, т. е. й>@) =
:=й>'@)=:0, что приводит к следующим значениям:
А = —С, В = — BС + Е). B1.14)
Полное решение поставленной задачи дается формулой обра-
щения косинус-преобразования Фурье
w=Y ^\wcoslxd\, B1.15)
о
где выражение й> определяется из B1.12), а значения А, В,
С, Е — из формул B1. 13), B1. 14).
Заметим, что аналогичные решения могут быть получены и
для других типов граничных условий.
Выведем теперь выражения для изгибающего момента и
перерезывающей силы на закрепленном крае, которые даются
формулами
М=— ?>^|у=о, N = — ?>|^|=o. B1.16)
Используя значение преобразованвого прогиба при
Ре и
ТЖ5п ], B1.17)
получаем
откуда по формуле обращения находим
Р h'i ">P h'i

§ 22. Приложения преобразования Фурье к решению задач
изгиба ленточных плит
Обратимся теперь к решению задач поперечного изгиба
упругих тонких плит, имеющих форму бесконечной полосы и
называемых обычно ленточными плитами.
Методика, основанная на использовании интегрального пре-
образования Фурье по переменной х(—оо<а;<[со), вполне
аналогична развитой в предыдущем параграфе, а именно: для
преобразованного по Фурье прогиба w [см. B1.4)] получается
обыкновенное уравнение B1.3), частное решение которого й^
выражается формулой B1.8). Однако общий интеграл послед-
него уравнения в случае ленточной плиты удобно выбрать
в такой форме:
й> = (А + ВЦ) ch \у + (С -f- Ely) sh Ху -f- й>0, B2.1 >
причем величины А, В, С, Е должны быть найдены из четырех
граничных условий на двух параллельных кромках плиты.
В дальнейшем в первую очередь будут рассмотрены следую
щие основные типы граничных условий: а) на обеих кромках
заданы прогибы и углы поворота (в частности, защемленные
края); б) на обеих кромках заданы прогибы и изгибающие мо-
менты (в частности, шарнирно опертые края); в) на обеих кром-
ках заданы изгибающие моменты и перерезывающие силы
(в частности, свободные края); г) на одной кромке (j/ = 0) за-
даны прогибы и углы поворота, а на другой (у = Ь) — изгибаю-
щие моменты и перерезывающие силы.
В первых трех случаях начало координат будем распола-
гать на средней линии (у = 0) полосы шириной 2Ъ, причем каждая
задача разбивается нами на симметричную и антисимметричную
относительно средней линии. Очевидно, что в симметричном
случае в общем интеграле B2.1) следует принять В = С = 0г
а в антисимметричном — A = i? = 0, причем достаточно рассма-
тривать лишь верхнюю половину полосы (O^j/^fe) и гранич-
ные условия ставить при у = Ъ*
Начнем рассмотрение с тех задач, в которых на обеих кром-
ках (у—±.Ь) плиты задаются прогибы и углы поворота, т. е.
граничные условия имеют вид
IL^w- B2-2>
* Легко проверить, что частное решение щ [см. B1.8)] будет четной
(нечетной) функцией координаты у, еслн нагрузка q (x, у) — четная (не-
четная) функция у.
9S

После преобразования по Фурье находим
00
= -4- \ f(x)e^dx = f,
>12п _
B2.3)
= -J=- \ g(x)e»*dx=g.
Подстановка B2.1) в B2. 3) в симметричном случае приво-
дит нас к следующей системе ураввений для неизвестных ве-
личин А и Е:
Так как в правых частях последней системы стоят извест
ные величины, а ее определитель пропорционален функции
sh 2kb -f- 2X6, корни которой табулированы в главе I (см. табл 1);
то задачу можно считать полностью решенной как с принци-
пиальной стороны, так и с точки зрения получения численных
результатов с помощью теоремы о вычетах.
Аналогичным образом в случае антисимметричного загруже-
ния граничные условия B2.2) дают систему уравнений для
В и С
с определителем, пропорциональным функции sh 2Хй — 2Хй, корни
которой также приведены в табл. 1.
Переходим теперь к следующему типу граничных условий,
когда на обеих кромках (у=±Ь) задается прогиб f(x) и изги-
бающий момент М (х): *
B2.6)
После подстановки B2.1) в преобразованные по Фурье гра
ничные условия B2. 6)
Щ^ = /, fi/V*=g B2.7)
находим н симметричном случае для величин А и D систему
A ch Хй -f E\b sh Хй = / — й>0 (Ь).
± B2.8)
• См. B2.10), v — коэффициент Пуассона.
96

а в антисимметричном случае — следующую систему для В и С:
Так как в первом случае определитель системы равен 2сЬ2Хй,
а во втором — 2sh2Xfe, то проведение численных расчетов
в таких задачах не требует составления специальных таблиц
корней трансцендентных уравнений.
Третий из рассматриваемых типов задач предусматривает
задание на обеих кромках плиты изгибающих моментов М (х)
и перерезывающих сил N (х)
М (х)
=—zr=
B2Л0>
D — 6 yf v "/
Если умножить эти соотношения на eiX*dx, проинтегриро-
вать по х от —со до -f-оо и предположить, что на бесконеч-
ности (|лг|-*-оэ) прогиб стремится к нулю вместе с первыми
двумя производными по х, то получим преобразованные гра-
ничные условия
Of' (b) — vX«tf> (b) = /, Я)'" (b) — B — v) XV (b) = g. B2.12)
В случае симметричного загружения подстановка в B2.12)
выражения для преобразованного прогиба
а = A ch Xy -f- D Xj/ sh \y -\- й>0
приводит к системе
ЛA —v)chXfe -\-Е\
\
"Til/—®о FМ = .¦*.
к B2.13)
-#„" FI= Pi.
определитель которой равен
у A — у) [C -|- v) sh 2 U — A — у) 2ХЙ1.
Таким образом, Для проведения в этом случае численных
расчетов по теореме о вычетах следует табулировать корни
г= +о ± ix уравнения
C-fv)shz — (I— v)z —0. B2.14)
7 Я. С. Уфлянд 57

Приводим соответствующие результаты для двух значений
коэффициента Пуассона: v = -^- и у = -д-(табл. 11).
0
i
1
2
2
a
.013
.699
.086
.360
1
3
2
7
14
20
26
l-
1 з+v
T
.596
.684
.01
.32
.61
0
1
1
2
2
.193
.851
.233
.506
l

2.
7.
13.
20.
26.
521
669
99
31
61
0
С
1
1
2
2
.422
.912
.232
.474
sh
1
"з
4.
4.
10.
17.
23.
29.
105
906
85
16
46
76
1 — V
3+v
0
1
2
2
2
Та
блица 11
1
V~ 4
.3512
.581
.060
.379
.619
—
4
10
17
23
29
Т
484
84
16
46
76
Теперь необходимо провести исследование сходимости по-
лученных интегралов, ибо в рассматриваемом случае, в отли-
чие от остальных типов краевых условий, решение задачи су-
ществует только в том случае, когда заданные граничные зна-
чения /V (х) уравновешиваются поперечной нагрузкой q(x, у).
В исследуемом случае симметричного загрузкеыия условия
статики имеют вид
j N(x)dx+ \ \q{l,
—00 0
rat
N (х) xdx +\\q E.
= 0
B2.15)
и, очевидно, эквивалентны следующему равенству:
? — а>„' ф) = О (X2) при X -»¦ 0. B2.16)
При этом имеем: p1 = OQ.~% p2 = O(X~1). Отсюда вытекает,
что величина А (X) при X -> 0 будет иметь порядок \~*, а это
влечет за собой расходимость в точке Х = 0 интеграла Фурье,
представляющего прогиб плиты w(x, у). Причина этого обстоя-
тельства заключается, очевидно, в том, что в принятой нами
постановке задачи прогиб определен с точностью до беско-
нечно большой постоянной и для определенности поставленной
задачи необходимо задать значение w в какой-либо точке
плиты, например, принять, что w@, 0) = 0. Так как w@,0) =
9И

= -7= \ A (X) dX, то из выражения для преобразованного прогиба
VZ7I J
—00
©следует вычесть величину Л(Х), что приведет к окончатель-
ному решению задачи в виде следующего сходящегося интеграла:
00
B2.17)
Аналогичным образом для антисимметричной загрузки на-
ходим
В A — v) sh \b + С |2 sh Хй + (! — v) Хй ch Щ = pv
—B(l — v)chX&4-C[(l 4"v)cbX& — A —
причем определитель этой системы пропорционален функции
BKb —г)
3 (l— v)z,
корни которой для v = -r- и v:=-q" даны в табл. 11.
Условия статики в рассматриваемом случае будут
оо Ь
M(x)dx — b J N(x)dx— j J
—го О
00 *
B2.19)
—оо —оо О
и могут быть представлены в виде одного равенства
B2. 20)
Нетрудно видеть, что при этом интеграл Фурье для про-
гиба w будет сходящимся в точке Х = 0. В самом деле,
W0
причем
В + С=(
Х-М)
т. е.
й> = 0A).
Обратимся теперь к последнему из рассматриваемых типов
краевых условий — случаю смешанных граничных условий,
когда на одном краю (у = 0) плиты заданы прогибы и углы
поворота (в частности, эта кромка может быть жестко заде-
7» 9У

лана), а на другом краю (у = Ь) — изгибающие моменты и пере-
резывающие силы (в частности, свободный край). Граничные
условия в этом случае имеют вид
»=/o(«). ?L =<
B2.21)
или, после преобразования по Фурье,
J
)=gb. J
, = /., *@)=Л,
й>" F) - vX2® F)=Л, й>'" F)—B - v) х*а>' F)
Подстановка в эти преобразованные граничные условия об-
щего выражения B2.1) для w, произведенная с учетом равенств
fl70@) = fl>o@) = 0, дает А=}0, C = —B + ^l, причем вели-.
чины Е 1/1 В должны быть найдены из следующей системы
уравнений:
[2 ch X6 -f- A — v) Хй sh Щ E — [A -f v) sh Хй -f
+ A - v) ХЙ ch Щ В = vfiH F) +1 [Д - a", (b)] -
A—
— A —v)X6chXfc|?' —|2chX6 —
B2. 23)
4- A — v) sh kb • /0 — [A -f v) ch kb — A — v) X6 sh X6]^L.
Определитель этой системы пропорциовален функции (z =
l 1
корни z= +o ±it которой для v = —и v = y сведены в табл. 12.
В следующем параграфе дается решение некоторых конкрет-
ных задач изгиба ленточных плит, основанное на использова-
нии вышеизложенной методики.
Здесь же мы сделаем замечание, касающееся еще двух типов
смешанных граничных условий, когда одна кромка (г/ = 0) лен-
точной плиты шириной b находится в условиях свободного опи-
рай ия. Что касается другой кромки (у = Ь), то на ней могут
100

быть заданы либо прогиб и угол поворота, либо изгибающий
момент и перерезывающая сила. Кроме того, известна попереч-
ная нагрузка q(x, у).
Легко видеть, что если варяду с этим рассмотреть плиту
шириной 26, загруженную по области 0<Су<ЦЬ теми же нагруз-
ками q(x, у), а по области —6<Су-<0— нагрузками той же
величины, но противополож-
ного направления, то краевые Таблица 12
условия свободного опирания
chz +
w
= 0,-^1 =0 B2.25)
0 ду* |=0 v '
1 —v
3+v
4 — A +
V —
9
1.055
0
3.267
4.193
4.797
1
3
X
3.831
5.956
11.93
18.36
24.74
0
1
3
4
4
а
.080
.460
.361
.950
1
4
т
3.366
5.004
11.92
18.35
24.73
статически уравновешиваться
будут выполнены. Таким обра-
зом, рассматриваемый случай
сводится к антисимметричному
изгибу ленточной плиты ши-
риной 26, т. е. для указанных
двух случаев задача может
считаться решенной. Разуме-
ется, во втором случае задан-
ные силы и моменты должны
внешней нагрузкой.
Наконец, интегральное преобразование Фурье успешно
используется для расчетов на изгиб ленточных плит и при более
сложных типах граничных условий (см., например, недавно
опубликованную работу М. П. Шереметьева и Д. Г. Хлебни-
кова [136]), а также при исследовании деформаций плиты в виде
полуполосы (х ^ 0). В последнем случае точное решение может
быть получено для случая, когда на кромке ж = 0 заданы про-
гиб и изгибающий момент, путем применения синус-преобразо-
вания Фурье.
§ 23. Изгиб бесконечной полосы сосредоточенной силой
Рассмотрим изгиб ленточной плиты (—со<?<оо, ||)
нагруженной сосредоточенной силой 2Р в произвольной точке
0 Ь
у^
Считая, что краевые условия на обоих краях у=- ±6 одно-
типны, разобьем, как и выше (§ 22), задачу на симметричную
[рис. 17, (А)] и антисимметричную [рис. 17, (Б)], причем в пер-
вом случае следует в B2.1) положить В = С = 0, во втором —
А-=Е = 0 и рассматривать лишь половину полосы @^у<^6).
Частное решение п>0 (у), входящее в общее выражение B2.1)
для преобразованного прогиба
й>=(А + ВЦ) ch \y-\-(C + ЕЦ) sh \y + й>0.
B3.1)
101

согласно формуле B1.11), имеет для рассматриваемого типа
нагрузки вид
[О, 0<j/<a,
й>0 =
B3-2)
где обозначено, как и выше.
х — sh Хж. B3. 3)
Из всех разобранных в предыдущем параграфе случаев
в дальнейшем рассматриваются два типа краевых условий:
закрепленные края и шарнирно опертые края.
Для решения задачи о симметричном загружении плиты
с закреплением!] краями необходимо определить величивы А
и Е из системы
(А)
(Б)
РКх(Ь-а)
2\tZh DX3
PKj(b-a)
Рис. 17.
B3.4)
которая получева подстановкой в B2.4) значений f = g = O,
соответствующих отсутствию на краях плиты прогибов и углов
поворота, а также звачений wo(b) и to'n(b), взятых из B3.2).
Решевие системы B3. 4) имеет вид
. Р QA ch kb + sh Kb) Kx(b — a) — b sh kbK{ (b — a)
2 V2k Dk? ch kb sh kb 4- kb
1
2 у/2ж DP
¦j-сЬЬЬКЦЬ — a) — sh kbKx(b —
ch kb sh kb 4- kb
B3.5)
причем входящая сюда производная от функции Кх(х) дается
формулой
K[(x) = l2xshlx. B3.6)
Подстановка найденных значений в выражение B3.1) (В =
= С = 0) и использование формулы обращения
00
Ш = У — \ Й> COS X;rdX
B3. 7)
дают полное решение поставленной задачи.
юг

Получим выражение для изгибающего момента М (х) ыа за-
делке.
Преобразуя по Фурье справедливую в данном случае фор-
мулу
находим
Я = — DI*[a chKb + E (Kb sh Kb -f 2 ch Kb) +_^ < F)].
Учитывая еще, что
B3.8)
получаем после некоторых выкладок
tg, Р bcbXashXb—a chXbshXa
Tire" ch Xb sh Xb -f Xb
или окончательно, после применения формулы обращения,
GD
Р
M(x) = \
cb Xb sb Xb -\-\b
cos Ixdl. B3. 9)
Решение соответствующей задачи об антисимметричном за-
гружении ленточной плиты с закрепленным контуром приводит
к системе уравнений B2. 5) при f = g=O
2 v/2* 0X3
B3.10)
Решая эту систему, мы получим
1
р chXbKx{b — a) — ysh XbK{(b — a)
2 V2
2 V2k DX3
DX3
' Xb — chXbshXb '
# bchXbKj (b — a)— (Xfesh Xb -\- ch Xb) Kx(b — o)
' Xb— ch Xb sh Xb '
B3.11)
после чего решение задачи сводится к применению формулы
обращения.
103

Определим, как и в предыдущем случае, значения изгибаю-
щего момента на закрепленном крае. Имеем
=—Dv)"(b)=—
Р b sh \a ch X6 — a sh ХЬ ch Xq
v'Sn " cnX6snX6 —ХЬ
или окончательно
09
p [ feshXflchXb — ashX6chXa
~\ p [ feshXflchXb — ashX6chXa ^ ^ ,94 ,9.
*)= —Г J cbX6shX6-Xb C0SXa;dX' <23-12>
Суммируя значения, даваемые формулами B3. 9) и B3.12),
находим выражение для изгибающего момента ва заделанном
краю (у = 6) ленточной плиты шириной 2Ъ, нагруженной в точке
а:=0, у —а сосредоточенной силой 2Р,
Г F — a) sh 2X6 sh X F + а) — 2X6 F + a) sh X F — a)
X J sh2 2X6-BX6J cos
о
В качестве второго примера исследуем симметричное напря-
женное состояние в ленточной плите (—со <а;<со, —&<
< у <С Ь), шарнирно опертой по краям и нагруженной сосредо-
точенными силами в произвольных точках х=0, у=±а, a<Zb.
В этом случае преобразованный прогиб имеет вид
ф = A ch ly + E\y sh Xf/ 4. я>0 (у), B3.14)
где выражение для й>0 дается формулами B3. 2) и B3. 3). Вели-
чины А и Е следует определить ив системы -B2. 8), принимаю-
щей в рассматриваемом случае (/=g=0) вид
4chXb-j-?X6shXb = — й>0F), j
4chX6-|-?'(XfeshX6-[-2chX6)=—-тт-яЦЬ)- I '
Вычисление, проведенное с учетом равенств
B3.16)

приводит к следующим значениям:
А= _ Р
2V2
fe — XfechXa},
Р Shl{b-a)
ХЗ " ch lb
B3.17)
после чего решение задачи дается формулой обращения коси-
нус-интеграла Фурье.
В частном случае а = 0 мы приходим к вадаче об ивгибе
полосы шириной 2Ь с опертыми краями силой 2Р, приложенной
в произвольной точке (а;=0, j/ = 0) средней линии. Приводим
для атого случая выражение прогиба средней линии
d,. B3.18)
Вычисление прогиба непосредственно под силой приводит
к следующему значению \{.(х)—дзета-функция]:
§ 24. Решение неоднородного бигармонического
уравнения в биполярных координатах
С целью рассмотреть далее вопросы изгиба упругих плит
луночной формы в настоящем параграфе будет дано общее
решение неоднородного бигармонического ураввения
Д2/=р, B4.1)
где неизвестная функция / и заданная правая часть р суть
функции биполярных координат (a, J3), причем форма искомого
решения должна быть специально приспособлена для рассма-
триваемых луночных областей, внутри которых переменная a
изменяется в бесконечном промежутке (—со, -j-oo), в то время
как границу области образуют координатные линии P = pj ч
р=Р2 (рис. 5).
Преобразуем прежде всего оператор Лапласа
в биполярных координатах к такому виду:
B4.2)
10S

Тогда бигармонический оператор после некоторых выкладок
может быть представлен в следующей форме:
Так как выражение в квадратвых скобках является ливей-
вым дифференциальным оператором с постоянными коэффициен-
тами, то естественно искать решение веоднородного бигармо-
нического ураввения B4.1)
в форме интегрального разложения Фурье по переменной а.
В соответствии с этим положим
00
—00
и подставим B4.5) в B4.4). Если варяду с этим разложить
правую часть уравнения B4.4) в интеграл Фурье
00
Ph3 = 1/L- \ px§)e-^dK B4.6)
-00
где функция рх(Р) дается теоремой обращения
00
Р,Ф) = -^У \ phVd* B4.7)
— 00
и может поэтому считаться известной, то получаем следующее
обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка
относительно преобразованной функции Fх ф):
Fr + 2A- X*) Г, + A + Х«)« Fx = Pv B4. 8)
Общий интеграл уравнения B4. 8) может быть, как всегда,
представлев в виде суммы общего решения соответствующего
однородного уравнения и какого-либо частного решения F* ф)
Fx ф) = А (X) ch xp cos j3 -f В (X) ch Xj3 sin p -f- С (X) sh Xp cos p -f
B4.9)
где величины А, В, С и D суть искомые функции параметра X.
Частное решение F* ф) дбычно находят методом Лагранжа
вариаций произвольных постоянных; однако нам представляется
106

более простым операционный метод. В самом деле, если ввести
преобразование Лапласа функции F{ (J3)
00
B4.10)
= _L [ **p 24 13
умножить уравнение B4. 8) на e~^d^ и проинтегрировать но р
от 0 до оо, предполагая, что
F*x @) = F? @) = F? @) = Ff @) = О,
то сразу найдем, что
/?*== El B4 11)
Теперь, применяя теорему Бореля, получаем
где
(Z/) — контур Римана—Меллина.
Примевение теоремы о вычетах дает
v / \ X ch Xx sin х—sh \x cos x /O/ л /\
«х (*) = гЩГ+Т) • B4-14>
Таким образом, общее решение бигармонического уравне
ния B4.1) дается формулами B4.5), B4.9), B4.12) и B4.14).
Некоторые соображения, связанные с постановкой рассма-
триваемых бигармонических задач и единственностью их регае
ния, приведены в § 13.
§ 25. Изгиб луночной плиты с закрепленным контуром
Прогиб w(a, P) точек упругой тонкой плиты, изгибаемой
поперечной вагрузкой q (a, P) на единицу площади, как известно,
удовлетворяет уравнению
^r, B5.1)
-?.
где I — толщина плиты, Е — модуль Юнга, v — коэффициент
Пуассона.
Общее решение уравнения B5. 1) в биполярвых координа-
тах, удобное для случая луночной плиты (рис. 18), было дано
107

в предыдущем параграфе, причем следует только функцию /
заменить на w, а функцию р на -^-. Входящие в решение не-
известные величины А, В, С, D должны быть найдены из гра-
ничных условий задачи.
Если края плиты (P = Pj и Р = Р2) закреплены, то граничные
условия имеют вид
w\ =0, -^я- =0 (? = 1, 2). B5.2)
la a ' Ali la а \ ' / \ /
Легко видеть из формулы B4. 5)
03
Up / \
W == v'Si J Х V ch a + cos р)' \ • I
что услония B5.2) эквивалентны следующим условиям для
функции Рхф):
Рх (Р,) = О, F'x (P.) = 0. B5. 4)
Последняя форма граничных условий на основании B4.9)
дает нозможность определить неличины Л(Х), В (К), С (К), D(K),
на чем и заканчивается общее решение
поставленной задачи.
Обратимся теперь к изгибу плиты со-
средоточенной внешней нагрузкой. Пред-
положим, что в произвольной точке
(а0, ро) плиты приложена сосредоточен-
ная сила Р. Решение задачи для этого
случая дает, по сущестну, функцию
Грина для луночной плиты с закреп-
Рис. 18. ленным контуром. Легко видеть, что
окончательной формой решения и этом
случае являются однократные крадратуры. В самом деле, под-
ставляя B4.7) в B4. 12) и заменяя р на -^, находим*
==Ж5 \ \Dh\=teikaKy^-t)d^dt. B5.5)
—00 О
Распределяя теперь сосредоточенную силу Р по малой области
а0 —e<a<ao-f-e, Ро—8<Р<РО+8. окружающей точку (а0, Ро),
и устремляя величины е и 8 к нулю, сразу получаем для рас-
сматриваемого случая **
* Не нарушая общности, можно считать, что р0 > 0.
** Здесь еще учтено то обстоятельство, что площадь области, по кото-
ров распределяется сила Р, будет 4А2е8.
108

О при р<р0,
Ра ** К (о »\ ппи
сЬа0+СО8р0^(Р-Р«) при
Окончательное решение запишем в вещественной форме
00
i»<j2 1
(ch a0 -f cos po) (ch a + cos
о
ft) S ^
C0S X (Д ~
где введено-обозначение
U7X (Р) = ,4, (X) ch Xp cos р + Аг (X) ch l$ sin p + Вг (X) sh Xp sin
0 при В<рп,
,25.8)
Постоянные А(, В{ (i=l, 2), как уже указывалось, должны
быть найдены из условий закрепления
«^(Р,) = 0, и>1(Р<) = 0 (* = 1, 2), B5.9)
которые в общем случае представляют собой систему четырех
линейных алгебраических уравнений.
В дальнейшем будут приводиться расчеты не только проги-
бов точек плиты, но также значений изгибающих моментов по
известной формуле
[&Ш Л*2 f dWW ,Or ЛПК
где п — нормаль к контуру, s—переменная длина цуги ков-
тура, р—радиус кривизны, D—циляндрическая жесткость
плиты, причем рассматриваемый момент направлен по каса-
тельной к контуру.
Если край плиты ф = $()-закреплен, а нагрузкой является
сила Р, сосредоточенная в точке (а0, ро), то формула B5. 10)
упрощается и для контурного значения изгибающего момента
дает
— — -?. & (w\
— h *dpa ча;
или окончательно
^ U - -Z?o IZ й I < №*) ™ Х С - "о) А. B5.11)
- cos
о
109

§ 26. Решение задачи изгиба для симметричной
круговой луночки
Как уже указывалось в главе II, в случае симметричной
круговой луночки следует положить Р2 = —Pi==T (CM- Рис- 6).
При этом общую задачу об изгибе такой плиты под дей-
ствием сосредоточенной силы IP удобно разбить на две отдель-
ные задачи: симметричную и антисимметричную относительно
оси х. В симметричной задаче внешняя нагрузка представляет
собой две одинаково направленные сосредоточенные силы
величивы Р, приложенные в точках а = а0, р== ±ро, в то время
как в антисимметричной задаче эти силы имеют противополож-
ное направление.
Очевидно, что в первой задаче прогиб точек плиты будет
четвой функцией координаты В, так что в выражении B5.8)
следует положить А2= В2 = 0. Если ограничиться в дальней-
шем значениями Р^=0, то формула B5.8) принимает вид
uf> (Р) = Аг (X) ch Xp cos p -f- Bl (X) sh XB sin
B6
X(P-PO) при
где Кх (х) по-прежнему выражается формулой B4.14)
г, , . A. ch Хх siii х — sh Хх cos x /r>o г,>
кл*)=- гЩмгТ) • B6-2>
В случае закрепленных краев граничвые условия
и\(Т) = О, w[(t)=>0 B6.3)
приводят к следующим значениям величин Аг и Вг:
Д<1> Аг = —(X ch Xr sin у + sh Xr cos т) Кх (х — Ро) +
B6. 4)
) = X sin у cos x + ch Xf sh Xf,
причем
K[ (x) = к- sh Xa; sin x. B6. 5)
Аналогично в антисимметричном случае при Р^О находим
шр (р) = А2 (X) ch XB sin р + В2 (X) sh Xp cos p -f-
ОприР<Ро,
B66>
ПО
, = (X sh Хт cos у — ch Ху sin у) Кх (у — Ро) —

При атом из условий B6. 3) получаем
ДB) Л2 = (sh Xx sin x — * ch Xx cos x) K\ (X — 80) +
ДB'52 = (ch XT cos х + X sh XT sin х) #х (Г — 8о) —
B6. 7)
ДB) = X sin х cos x — ch Xx sh Xx.
Прогиб точек плиты в обоих случаях дается формулой B5. 7)
w =¦
j w\p (B) cos X (a — a0) dX B6.8)
1 (ch a0 -(- cos Cg) (ch a -f- cos [
о
(I 1, A).
Исследование корней уравнений Дш = 0 и ДB)=0, прово-
димое в § 31 следующей главы, дает возможность, в частности,
сделать заключение о поведении изгибающих моментов в угло-
вых точках луночной плиты (а-> + оо). Оказывается, что
в случае симметричного изгиба при Х^Т изгибающий момент
в угловых точках стремится к нулю, а при Х^>"г" («входящий»
угол) неограниченно возрастает. Таким образом, предельный
угол раствора луночки, при котором напряжения в угловых
точках еще остаются ограниченными, равен в атом случае it.
Что касается антисимметричного случая, то при атом таким
предельным углом оказывается значение ж«257°, являющееся
корнем уравнения tgx=a;.
В частном случае В0 = 0, когда сила 2Р приложена в точке
a=aQ оси ж, мы имеем дело с симметричной задачей, причем
выражение B6. 1) принимает следующий вид:
Произведем для этого случая расчет прогиба под силой,
а также контурных значений изгибающих моментов.
Выражение м;х @), необходимое для расчета прогиба w(aQ, 0),
после подстановки значений 4, и В, из B6.4) в B6.9) прини-
мает вид
: — X2 sin21;
после чего получаем окончательную формулу для прогиба
плиты в точке приложения силы
111

Для вычисления контурных значений изгибающих моментов,
даваемых формулой B5.11), подсчитаем величину ш?(у). Учи-
тывая равенство
К"х (х) = 1 (X ch \х sin х -f sh Хх cos x), B6.11)
1
находим
<2612>
что и дает следующую расчетную формулу для изгибающего
момента на заделке:
GO
,, / ч , 2Р . Ch а + COS t Г Sh Xy COS А. (а — о0) ,.
il/(a)| = -smT ; 7i dX
smT eh; + <i sh2XT + ^in27 d- <'13
Для вычисления получающихся интегралов можно восполь-
зоваться теоремой о вычетах и табл. 10 корней знаменателя
подынтегральной функции.
При у = у (круглая плита) квадратуры в общей формуле
B5.7) для прогиба w могут быть выполнены. Полагая ро = 0,*
находим
_ Ра* 1
W l7t2T(cha0+l)(cha+.cOSP) X
х{|[совР-сЬ(—^lln^i-g + ^P+eosp}. B6.14)
Другой частный случай, в котором решение задачи изгиба
может быть выражено в замкнутой форме через элементарные
функции, представляет неограниченная плита, закрепленная
по двум полубесконечным лучам у = 0, ж<^—а и 1/ = 0,
х~^ -J-o.** Такая плита соответствует, очевидно, частному слу-
чаю y = 'c рассмотренной симметричной луночки. Произведем
вычисление прогиба такой плиты при произвольном местополо-
жении силы IP. Выражения B6.4) и B6.7) для величин Av
Bv A2, B2 при у = я упрощаются и принимают вид
B6.15)
ДB) Л2 = X ch ХтгЯ, (л — р0) — sh 1пК[ (я — Ро),
Д«2»В2 = _ch 1пКх (тс — р0), Л"» =г —Д«21 = ch Хтс sh In.
* В случав круглой плиты это не нарушает общности. Решение этой
задачи хорошо известно (см., например, [200]).
** Эта задача решена другим способом в статье [159],
112

Подстановка этих значений в общие формулы B6.1), B6.6) и
B6.8) приводит в конечном- счете к квадратурам такого типа:
со
Xp COS kgdk 1
i
-f- sh g cos p arctg
sin 4
e~ — cos tj-
—-f-sinpshg
_ + ch|sinf
B6.16)
Окончательна^ формула для прогиба после некоторых выкла-
док принимает следующий вид:
Ра*
4л (ch а0 + cos Po) (ch а -|- cos C) D
X
|сЬ (а - а0) - cos (р - ро)| In -—^
ch —о~^ — cos ¦
ch ¦
— +.COS
-f- 4 ch 2_fa cos ^ cos I + sin p0 sin pi. B6. 17)
Если сила IP ириложева в начале координат, то'значевие
прогиба под силой будет м>0 = у-^, т. е. вдвое больше, чем
соответствующее значение для случая круглой плиты.
Таблица 13
к ....
т . . . .
0
0
0356
169
0
0
1
Т
.0832
.133
0.
0.
я
153
105
0
0
.239
.0796
0
.381
—
0
Л
.427
—
0.478
—
Приводим в табл. 13 звачения величив
и /га =
_V2)
2Р 13=^
характеризующих прогиб под силой и максимальвое контурное
значение изгибающего момента, причем сила 2Р считалась
* Имеется в виду, что т<"'
8 Я. С. Уфлянд ЦЗ

приложенной в центре (ао=0) симметричной круговой луночки,
а в качестве входной данной принималась величина Y] = tg-j
отношения ширины луночки Ъ к ее длине 2а (рис. 6).
§ 27. Изгиб кругового сегмента
Как уже указывалось, круговой сегмент получается при
значениях |3j = 0, |32 = y (рис. 5). Так как такая область уже
не обладает симметрией относительно оси Ох, то не имеет
смысла производить разбиение задачи на симметричную и
антисимметричную по координате. р, как это делалось для
симметричной луночки. Обращаясь поэтому к общим формулам
B5. 7), B5. 8) для прогиба плиты под действием сосредоточен-
ной силы и полагая в условиях закрепления B5.9) ^ = 0 и
|32=у, получим следующую систему уравнений для величив
л в в .*
Л2, Dj, В2.
А2 ch Xy sin у -f- 5j sh Xy sin у -j- B2 sh Xy cos у =
= —*i(T —Po).
A2 (X sh Xy sin у -f- ch Xy cos y) -f- Bt (X ch Xy sin у -j-
-f- sh Xy cos y) -j- B2 (k ch Xy cos у — sh Xy sin y) =
He останавливаясь ввиду громоздкости выкладок на вычис-
лении прогибов точек плиты, переходим к определению изги
бающих моментов на заделанвых краях, для чего находим
вторые производные величины и>х(р) при C = 0 и Р = у:
B7.2)
и>1 (у) = Л2 (X2 ch Xy sin у -f- 2X sh Xy cos у — ch Xy sin y) -f-
-f- Bx (X2 sh.Xy sin у -j- 2X ch Xy cos у — sh Xy sin y) -j- B% (X2 sh Xy cos у—
— 2X ch Xy sin у — sh Xy cos y) + K{ (y — po). B7. 3)
Подставляя в B7.2) и B7.3) найденные из B7.1) значения
А2, Bv B2 и применяя соотношение B6. 11), а также общую
* Величина А} из условия i0x(O) = O сразу получается равной нулю.
114

формулу B5.11) для значений изгибающего момента при {3 = 0
и P = y соответственно, получаем после выкладок
__Ш _, Ch а +1
Р |р=о it (ch а0 + cos Ро)
sin р0 sh Х -у sh X (-у — Ро) — X sin y sin G — ftp) sh Д.р0
— X2sin2f
X cos X (а — а0) dX,
ch a -)- cos y
3=7 it (ch a0 + COS
B7.4)
со
Г sin G — ft,) sh >¦? sh Xfo — Л sinif sin
J
sh X G
XcosX(a —
B7.5)
В предельном случае f==n> когда рассматриваемый сегмент
превращается в полуплоскость с закрепленным краем, изги-
баемую приложенной в точке (а0, |30) силой Р, квадратуры
в B7.4) и B7.5) выполняются и приводят к формулам
М
1
3=0
(cha + l)(l — cospp)
ch a — cos p0
il/1 1 (ch a — 1) A — cos Po)
P |p=« 2it ch a 4- cos p0
Если перейти к декартовым координатам, то формулы B7.6)
могут быть записаны в виде одного соотношения
"Р
=0 It
B7.7)
где у0 — ордината точки приложения силы [ср. B1. 18)J.
В табл. 14 приведены значения максимальных контурных
моментов для сегментной плиты, нагруженной силой Р в центре
М
ее
(середине "высоты), причем положено то = — -р _ , тл
М I у
= — ^- ; ?= sin2-j — отношение высоты луночки Н к
диаметру 27? (рис. 5).
Что касается поведения изгибающих моментов в углах
сегментной плиты, то можно показать, что они во всех слу-
чаях равны нулю.
* Здесь положено ав
общности задачи.
0, что для случая полуплоскости ив нарушав!
8*

В заключение рассмотрим еще случай сегментной плиты со
свободно опертой хордой и закрепленной дугой. Легко видеть,
что хорда р = 0 сегментной плиты будет находиться в усло-
виях свободного опирания, если рассмотреть плиту в виде
симметричной луночки с тем же значением параметра у, что
и для рассматриваемого сег-
мента, изогнутой двумя про-
тивоположно направленными
силами величины Р, прило
жеввыми в точках a.=za.o,
р=+р^ соответственно. В са
мом деле, прогиб симметричной
луночки при указанном анти
симметричном изгибе будет не-
четной функцией координаты
Р и при Р=0 обратится
в нуль, а изгибающий момент на хорде, вычисляемый по фор-
муле B5.10), при р = 0 также будет равен нулю (так как
Р|р^о'~* °°)> а в этом и заключаются условия для свободно
опертого края плиты.
Применяя относящиеся к данному случаю соотношения B6. 7),
можно прийти к следующей формуле:
eh a + cos ii
TYIq , . .
ту . . .
Таблица 14
Е
1
4
0.161
O.i52
i
2
0.158
0.132
3
4
0.129
0.114
1
0.0796
0.0796
3=т 7t(chao-f cos
sin (Т - fa) sh I (т + ft,) - sin (-г
sh X G - p0)
sh
— X sin
X cos X (a — a
B7. 8)
дающей значение изгибающего момента на закрепленной дуге
[J:=Y. при условии, что хорда р = 0 свободно оперта, а внеш-
ней нагрузкой является сосредоточенная сила Р, приложенная
в произвольной точке (а0, |30) плиты.
При y = -2"i когда сегмент является полукругом, имеем
после взятия интегралов
. AM „ _ ch a cos p,
P r ?— ~Г1ГТ r~^"
sin
п (ch a0 -I- cos fa) ch 2 (a — a0) -f cos 2p0*
B7. 9)
Если сила приложена по оси симметрии (а. = 0), то макси-
мальное значение момента ва заделке будет — tg^-.
116

§ 28. Изгиб полуплоскости с сегментной выемкой
Если на краю полуплоскости имеется выемка в виде круго-
вого сегмента, то граница такой плиты состоит из координат-
ной ливии р = тс (прямолинейный край) и дуги |3 = у <" тс.
Мы рассмотрим два типа краевых условий, когда прямоли-
вейная часть контура закреплена или свободно оперта, причем
край выемки в обоих случаях считается заделанным.
¦ Общее решение задачи изгиба рассматриваемой плиты
с закрепленным краем под действием сосредоточенной силы
дается формулами B5.7), B5.8), причем постоянные Av А„
Bv В2 должны быть найдены из системы B5.9) при |3j = 0,
Однако в данном случае можно легко показать, что реше-
вие рассматриваемой задачи непосредственно получается из
решения задачи об изгибе кругоного сегмента с закрепленным
контуром (§ 27) заменой в выражении B5,8) для t#x(j3) веди-
чины р на п — C, ро на тс —|30 и у на тс—у. В самом деле,, ;если
заменить в формуле B5.8) величину {3 на п —13 и заметить, на
основании B4.14) и B6.5), что . -•
*X (Р - W = -*1 [(« - Р) - (тс - Ро)|,
К'х Ф - Во) = *; К« - Р) - (*- ВЛ ¦:;
_.1. ¦
то система уравнений B5.9) для рассматриваемого случая
в точности перейдет н систему B7. 1) предыдущего параграфа,
если только в последней вместо величины у подставить тс — у.
В частности, выражение для изгибающего момента на дуге
,3 = т сраяу получается из B7.5) указанной заменой*
М_
~Р
ch a + cos
3=7 *
f \ sin i sin posh X G - ft,) - sin (T - ft,) sh X (it - -y) sh X (it - p0)
J shU(TC — T) — >
0
XcosX(a —ao)dX. B8.1)
Для полукруглой выемки Гу:=у) нами произведены- рас-
четы максимального значения изгибающего момента на контуре
* Множитель перед интегралом, не связанный с величиной шх (f3),
остается при этом без изменения.
117

выемки, которое достигается при а = 0 (сила Р считается при
атом приложенной в точке оси симметрии, т. е. принято ао=О),
М
тп = —j
7 1Г
B8. 2)
здесь у0 — ордината точки приложения силы, a R — радиус
выемки, так что
|=tg|. B8.3)
Наряду с втим интерес представляет выемка в виде круга
радиуса R, касающегося прямолинейного края, — случай, кото-
рый может быть получен из формулы B8. 1) предельным пере-
ходом 7~*я> причем одновременно и величина а также стре
мится к нулю таким образом, что радиус R остается конечным.
При этом следует учесть, что величина |30 тоже стремится к я,
а условие конечности ордиваты у0 точки приложения силы
приводит к соотношению ^Ял* i-. Учитывая сказанное и
вводя новую переменную интегрирования jj. = X (тг — у), получаем
<28-4)
В табл. 15 даны значения тх а тТ для некоторых отноше
Т
иий ^.
Рассуждениями, совершенно аналогичными приведенным
в начале данного параграфа, можно показать, что решение
задачл об изгибе плиты в виде полуплоскости со свободно
опертым краем ф = п), содержащей закрепленную сегментную
выемку (|3 = y)> получится из данного в конце § 27 решения
соответствующей задачи для кругового сегмента с закреплен-
ной дугой и свободно опертой хордой формальной заменой [3
на п — р, |Зв на п —130 и ^ на я — у в выражении шхф) [см.
118

Таблица 15
т% ¦
2 '
т.
2.
1.57
—
1
1
3
.95
.97
Vo
R
4
2.26
2.58
2
3
5
.40
.24
3
3
00
.07
.999
формулу B5. 8)]. В соответствии с этим из B7. 8) сразу полу-
чаем для изгибающего момента на краю выемки следующую
формулу:
Л/I ch a + cos 7 ^
~" Р |з=г~ it (Ch a0 + cos Po)
B8. 5)
' sin (pQ — 7) sh Btc — f — p0) к + sin (p0 + ?) sh (p0 — ц) к
I sh 2X (тс — f) -\- к sin 2f
X cos X (a — a0) dX.
Заметим еще, что при отрицательных значениях у вместо
выемки мы будем иметь сегмевтный выступ на краю полу-
плоскости, влияние которого ва напряженное состояние изо-
гнутой плиты с закрепленным краем можно было бы учесть,
исходя из приведенной выше общей формулы B8. 1). Анало-
гичным образом можно было бы рассмотреть влияние подоб-
ного выступа в том случае, когда прямолинейная часть кон-
тура находится в условиях свободного опирания.
§ 29. Смешанная задача изгиба полуплоскости
Результаты, полученные в предыдущих параграфах, позво-
ляют дать в замкнутой форме решения некоторых смешанных
задач об изгибе плиты в виде полуплоскости, когда гранич-
ные условия на конечном отрезке контура отличны от крае-
вых условий на остальной части края.
Так, например, если участок края плиты длины 2а свободно
оперт, а участки i/ = 0, |я|>а закреплены (рис. 19), то фор-
мула B7.11) при у = тс сразу дает значение изгибающего мо-
мента ча закрепленном краю |я|>а, возникающего при дей-
ствии сосредоточенной силы Р. приложенной в произвольной
точке (а0, ро),
_jW| _ (cha-l)sine,
P Ь=я Tctchete-f-COSPo)"
)dl B91)
//*

Вычисляя квадратуру, находим окончательно
cho— 1
\
Р |3=п
"ch(o—
B9. 2)
Точно таким же образом, полагая в B8.7) ^=0, получим
выражение ¦
_М\ _{,„ cha
Р |з=0 а я
" ch (a — a0) — cos |
B9. 3)
дающее значения изгибающего момента на закрепленном*
участке \х\<а края у = 0 полуплоскости, при условии, что
Заделка -а Ощю а 2а За
Рис. 19.
Опора -а Заделка О
Рис. 20.
остальная часть контура свободно оперта (рис. 20), а сила Р
по-прежнему приложена в точке (а0, |30).
На тех же рис"; 19 и 20 построены графики соответствующих
распределений контурных значений изгибающих моментов,
пр*ичем сила Р считается приложенной в точке оси симметрии
(х = 0,,у — у0) и принято ft = ^=tg^- = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0.
§ 30. Луночная плита под равномерной нагрузкой
Поскольку построена функция Грина для задачи об изгибе,
плиты в виде круговой луночки с закрепленным контуром (§ 25),
то реше.нде задачи в случае любой внешней нагрузки получится
интегрированием по области приложения нагрузки. Однако для
простейших видов внешней нагрузки удобнее непосредственно
находить частлое, решение неоднородного бигармонического
уравнения. '
120

В частности, для случая равномерно распределенной внеш-
ней нагрузки q (a, J3) = qr = const будем искать прогиб плиты
w (а, Ji) в следующей форме: •
(зол)
о
где
wx ф) ±= Аг (X) ch xp cos p -f Аг (X) ch хр sin р -f
" C0.2)
причем за частное решение уравнения A2w = -^- примем выра-
жение
Переписывая C0.1) в форме
| ( ^) C0.4)
и разлагая функцию . g в косинус-интеграл Фурье, на-
ходим
SS[l^ ] C0.5)
Условия закрепления дуг р = р,., записанные в виде
приводят к равенствам
() Ca7)
которые дают систему четырех линейных алгебраических урав-
нений для неизвестных величин Av A.2, Bv B2.
Не рассматривая указанную систему в общем виде, обра-
тимся сразу к некоторым частным случаям.
а) Симметричная круговая луночка (J32 = —j^ = у).
В этом случае в силу симметрии области по координате |3 ве-
личины А2 и В2 равны нулю, а для 4, и fi, имеем систему
• Очевидно, что прогиб ш будет четной функцией координаты о.
т

(X sh Xy cos y — ch Xy sin f) -j- B, (X ch Xy sin у -f-
, . •, . 2 rUh^ sh l-{ cos тП
4-shXr cos r) = in— —=— =~4 • •
C0.8)
Решая систему C0. 8) и подставляя найденные значения А1
и Вл в формулу C0.1) для прогиба плиты, после некоторых
выкладок приходим к следующей расчетной формуле:
«. P)=-
sin2 7 — sin2
4 cos т
Г_^
8D (ch a 4- cos p) L 2 sin« ^ (ch a + cos 0)
CO
\ (sin r cos p sh Xy ch Xp — sin p cos f sh Xp ch X^) X
sh kf cos
~ sh U (sh 2X7 4- X sin 27) *
При Т==" получаем после вычисления квадратур
?«4 cos2P ,.„.. ча4\ *2±у*\2
C0.9)
или ";==
что совпадает с известным решением для случая изгиба круг-
лой плиты с закрепленным краем под действием равномерной
нагрузки.
б) Полукруглая плита* Гр, = 0, Р2 = 4н. В этом слу-
чае система C0.7) имеет вид
C0.10)
Приводим окончательную формулу для прогиба w(a, p) в про-
извольной точке плиты
16Д
cos
C0S
к cos kadi
- X sin p X
cos p sin2ft )
* Известно много приближенных решений этой задачи (см., напри-
мер, A56]).
122

О л
Прогиб центра плиты, где tgY=Y« выражается следующей
квадратурой:
wn=w
0=0
XdX
bt
C0.12)
Численный расчет дает ш0 = 0.00201 Щ^.
Нами произведены еще расчеты максимальных контурных
значений изгибающих моментов по формулам
C0.13)
C0.14)
Чирленные значения этих максимальных моментов будут: на
диаметре —Л/ви1 = 0.0732да2, а на дуге —Мшл = 0.0Ь8&\
м
qai
М
qa*-
о=0
g=o
о=0
1
8
1
8
г
J
_0
-
9
X»cth
X.ic
00
г
J
0
ы
sh2 —-
1
2
—
I?

Часть II
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
Преобразованием Меллива заданной на промежутке @, оо)
функции /(г) называется интеграл
A)
где р — некоторое комплексное число, принадлежащее полосе
a1<Rep<o2. B)
Достаточными условиями для существования преобразования
Меллина являются кусочная непрерывность функции f (г) в лю-
бом промежутке 0<Ср<^г<^2?<^оо и сходимость интегралов
00
, , \r°'-*\f(r)\dr. C)
О 1
Если, кроме этого, функция / (г) удовлетворяет условиям
Дирихле в любом конечном промежутке, принадлежащем ин-
тервалу @, оо), то имеет место формула обращения Меллина,
представляющая функцию f(r) через ее преобразование Мел
лина /(р),
@<r<oo); D)
здесь путь (L) есть бесконечная прямая, параллельная мнимой
оси плоскости комплексной переменной р и лежащая в по-
лосе B).
Если поведение функции /(г) известно как при г-*0, так
и при г-* оо, то значения а1 и а2 находятся из требования абсо-
лютной сходимости интеграла A). Если же поведение /(г) из-
вестно лишь вблизи одного из концов промежутка @, оо), на-
124

пример при г-»оо, то определяется величина о2, и прямая (L)
проводится левее прямой Rep==o2, но правее ближайшей осо-
бой точки функции ] (р).
Более подробное изложение теории преобразования Меллина
имеется, например, в книге 1105].
Интегральное преобразование Меллина является эффектив-
ным способом получения точных решений ряда двумервых задач
теории упругости для клиновидной области.
Во II части данной книги рассмотрены плоские задачи тео-
рии упругости для клина: первая, вторая и смешанная задачи,
а также изгиб клиновидных плит при различных краевых усло-
виях.
Глава V. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КЛИНА
§ 31. Первая основная задача теории упругости
для клиновидной области
В настоящем параграфе с помощью интегрального преобра-
зования Меллина дается точное решение плоской задачи теории
упругости для бесконечного клина при задании на его грани-
цах внешних усилий.
Краевые задачи теории упругости для клиновидной области
естественно решать в полярных координатах (г, 6). В дальней-
шем принимается, что клин ограничен лучами в=^;а@^
<г<оо).
В том случае, когда на контуре заданы напряжения, можно
применять интегральное преобразование Меллина непосред-
ственно к уравнениям статики
и к условиям сплошности
Д(„г_|_ „„) = (). C1.2)
Введем преобразования 3r, 3e, tre напряжений аг, о8 тгв сле-
дующими формулами:*
C1.3)
в о о
где р — соответствующим образом выбранное комплексное число.
* В этом иараграфе, так же как и в § 37, форма преобразования
Меллина несколько отличается от стандартной.
№

Если предположить, что напряжения на бесконечности имеют
порядок —, а на ребре клина (при /•-*•())— порядок г~* (е<1),
то для обеспечения сходимости интегралов C1.3) достаточно
считать, что переменная р меняется в пределах полосы
е — l<Rep<0. C1.4)
Умножая уравнения равновесия C1. 3) на гр, условие сплош-
ности C1.2) — на г**2, интегрируя полученные равенства по
переменной г в пределах от 0 до оо и применяя формулу ин-
тегрирования по частям, мы приходим к трем обыкновенным
дифференциальным уравнениям относительно преобразованных
величин зг, эв, tr6:
^ О
Выражая величины дг и 5гв через ое формулами
для функции зе получим следующее уравнение четвертого по-
рядка:
sjv + 1(Р +1J + (Р -1J1 я; + (Р +1J (Р -1J 5« = 0. C1. 7)
Общий интеграл последнего уравнения
ое = Л cos (р -f 1) 6 -f- 5 cos (р — 1) 6 -f
-4-Csin(p + l)e-f ?>sin(p — 1)9 C1.8)
содержит четыре произвольные функции параметра р, которые
надлежит определять из граничных условий, также предвари-
тельно подвергнутых преобразованию Меллина.
После того как величины А(р), В(р), С (р), D(p) будут
найдены, решение задачи дается формулами обращения
C1.9)
<?)
где за путь интегрирования (L) можно принять бесконечную
прямую, параллельную мнимой оси плоскости комплексной пе-
ременной р и проходящую внутри полосы C1.4). Практически
эту прямую следует проводить левее мнимой оси, но правее
первой особой точки соответствующей подынтегральной функ-
ции (см. [54J).
126

Фактическое проведение ныкладок удобно проводить, разбив
предварительно поставленную задачу на две: симметричную и
антисимметричную относительно средней плоскости 8 = 0 клина.
При этом в каждом случае можно рассматривать лишь поло-
вину клина (О^й^а), учитывая соответствующие условия
симметрии и ставя граничные условия на грани 6 = а
°.L.=/(O. \t\«=a = g(r), C1.10)
или, после преобразования по Меллину,
00
, t,e|e=e=g= \g(r)r"dr. C1.11)
Начнем рассмотрение со случая напряженного состояния,
симметричного относительно средней плоскости, когда напря-
жения аг и а, являются четными, а хгв — нечетной функцией
координаты 9.
В общем интеграле C1. 8) в этом случае следует положить
C = Z) = O, после чего можно написать общие выражения для
напряжений
3, = — ?±-f A cos {p 4-1) 6 — В cos (p — 1) 6,
3, = A cos (p 4-1) 6 4- В cos (p — 1N,
trt = -f±±-Asm(p + l)b-Bsm(p-l)b.
C1.12)
Применение к выражениям о„ и tr8 граничных условий C1.11)
сразу дает нам следующую систему уравнений для А и В:
A cos (р + 1) <* + В cos (р — 1) а = /,
-(р 4-1) A sin (р +1)« — (Р — 1) В sin (р — 1) а =
C1.13)
Таким образом, после нахождения величин А и В точное
решение поставленной задачи дается формулами C1.12) и C1. 9).
В тех случаях, когда допустимо проведение численных рас-
четов по теореме о вычетах, необходимо иметь таблицу корней
определителя системы C1.13), равного sin 2pa 4- р sin 2a..
Заметим, что путем замены переменных 2pa = jz мы прихо-
дим к уравнению
h42° C1Л4>
уже рассмотренному при решении аналогичной задачи для
круговой луночки (см. главу III). Несколько первых корней
12J

it it 3ic 5it
г= ±о ± гт этого уравнения при a = j, -^-, -^-, -g- приведены
в табл. 10 (§ 13).
Аналогичным образом может быть решена и соответствующая
антисимметричная задача, в которой напряжения ог и ае не-
четны, а х^ четно по переменной 9.
Полагая в C1.8) А = В = 0, находим
ar = — ?±f С sin (p -f 1) 9 — D sin (p — 1) 9,
<je = С sin (p + 1) 6 + D sin (p — 1) 9,
lr6 =-^-|- С cos (p + 1) 9 + D cos (p — 1) 9.
C1.15)
Подстановка выражений эе и ъгв в условия C1. И) приводит
к системе уравнений
С sin (р -(-1) а + # sin (p — 1) а =/,
_ (р _|_ 1) С cos (р + 1) а — (р — 1) Z) cos (р — 1) а =
C1.16)
с определителем sin 2ра — р sin 2а.
Замена переменные 2ра = гг позволяет свести нахождение
корней этого определителя к решению уравнения
. sin 2а п ,п. ,п.
shz- —— г = 0, C1.17)
корни которого были даны в табл. 10 (§ 13).
Изложим теперь некоторые общие соображения, относящиеся
« исследованию поведения напряжений в угловой точке клина.
Так как любое из трех напряжений может быть представ-
лено формулой обращения
го для исследования иоведения функции /(г, 9) при г-»0 допол-
«им прямую (L) влево полукругом некоторого радиуса \p\=.R
п применим теорему о вычетах, предполагая, что / мероморфна
и при R -> оо интеграл по полукругу стремится к нулю (эти
предположения выполняются при сосредоточенных внешних на-
грузках; см. § 32). Таким образом (см. § 2),
/(г, e)==2>o"-1|C,,(9)r<*» + Cit(9O.-",,l. C1.19)
где р„ = —a, -\-ibn — корни уравнения
sin 2ра = :р р sin 2а (а„ > О, ЪЯ ^ 0) C1. 20)
12Ь

(верхний знак относится к симметричной задаче, а нижний —
к антисимметричной).
Выражение C1.19) показывает, что если все числа ая> 1,
то напряжения в углу клива стремятся к нулю; если же среди
значений ап есть хотя бы одно, меньшее единицы, то напряже-
ния при приближении к угловой точке неограниченно возра-
стают. Заметим также, что р„ = —1 — корень уравнения C1.20)
в антисимметричном случае — вообще не является особой точ-
кой [см. C2. 7)—C2. 9)|.
Разделяя в уравнении C1. 20) вещественную и мнимую части,
получаем в симметричном случае систему
sin 2аая ch 2аЬя = —ан sin 2а, |
С08 2аав8п2а&я = — 6,,sm2a. J C1.21)
Исследование этой системы показывает, что при 0<^2а<"тс
все значения а„ будут больше единицы, в то время как при
it <^ 2a <^ 2п существует вещественный корень р„=—ап, причем
а„<1. Таким образом, напряжения в углу клина при 2а О
стремятся к нулю, а при 2а^>к — к бесконечности.
В антисимметричном случае вместо C1. 21) имеем
sin 2ая, ch 2abn = an sin 2a, )
I C1 22)
cos 2aaB sh 2аЬя = bn sin 2a. J v ' '
В этом случае оказывается, что при 0 < 2а < 2а*, где
tg2* = 2a*. 2a* «275° «=«4.493, C1.23)
для всех а будет выполняться неравенство ан^>1. Если же
2a*<^2a<27i, то имеется значение а„<Г1 (Ья—0)- Следова
тельно, в случае антисимметрично загруженного клина напря-
жения в углу будут стремиться к нулю при угле раствора,
меняющемся до значения 2а*, и только при 2а > 2а* в окрест-
ности угловой точки появятся неограниченно возрастающие на-
пряжения. Разумеется, в общем случае загрузки разграничи-
вающее значение угла будет равно 180°.
В предыдущем изложении предполагалось, что внешние уси
лия сосредоточены в точках г = а, 8= +а. Если же нагрузки
q(r) распределены по некоторому участку b<i' г<^с грани клина,
то в соответствующих формулах [например, C2. 2)] нужно заме-
с
нить величины Рар и Тар на интегралы типа [q(a)apda, кото-
*
рые являются целыми функциями р, причем не нарушается и
требование стремления к нулю интеграла по полукругу Д-»оо.
Поэтому сделанные выше выводы о поведении напряжений при
г -* 0 остаются справедливыми и в общем случае (по крайней
мере для кусочно непрерывных нагрузок).
9 Я, С. Уфлявд 12У

Заметим, что допущение возможности неограниченного возра-
стания напряжений в угловой точке клина (при г -*¦ 0), а также
наличие бесконечно удаленной точки (г-» со) требует видо-
изменения постановки подобных задач, а именно: искомые
напряжения, кроме уравнений равновесия и граничных условий,
должны удовлетворять еще некоторым условиям на бесконеч-
ности и в окрестности угловой точки клина (см. § 13).
§ 32. Равновесие клина, нагруженного
сосредоточенной силой
Применим полученные результаты к конкретному случаю,
когда внешняя нагрузка на клин сводится к сосредоточенной
силе, приложенной в произвольной точке грани 6 = а, что
дает, по существу, функцию Грина для рассматриваемой за-
дачи.
Если обозначить через 2Р и 2Т составляющие силы по осям
полярных координат, то разбиению задачи на симметричную
и антисимметричную относитель-
но плоскости 6 = 0 будут соот-
ветствовать нагрузки, изображен-
ные на рис. 21, (А) и (Б).
' 6-0 Для определения величин А
а В ив системы C1.13) и равным
образом С и D из системы C1.16)
необходимо иметь преобразова-
ния Меллина в и t от задан- ¦
ных внешних усилий. Распре-
деляя сосредоточенную силу по >
участку грани а — s<r<a-j-e, ~
применяя формулы C1.11) и переходя к пределу при е-»-0, :
находим: 1
-ее
Рис. 21.
f=Pa", g=
C2.1)
Решая при этих значениях / и g систему C1.13), подставляя
найденные значения А и В в формулы C1.12) и применяя
теорему обращения Меллина C1.9), находим после некоторых
выкладок общие выражения для напряжений в симметричном
случае в виде следующих комплексных интегралов:
Р
r(p+3)sin(p-
sin 2ра
МО

Г (р +3)cos (р - 1)a cos (р +1)8 -(р - 1) сое (р +1) a cos (р -1H
А] sm 2po-f-p sin 2a
C2.2)
__Р_ г ( + )(p + )(p)(p)
• ~~ 2icir J sin 2ра + р sin 2a
COS (р -|-1) a COS (p — 1)8 — COS (p — 1) a COS (p + 1) 8
! ' sin 2pa + p sin 2a
x(f)T(p--l)dp, , C2.3)
P г sin (p — 1) a sin (p -f 1) 8 — sin (p -f- 1) sin (p — 1) 8
trS 2nir J sin 2pa + p sin 2a
(p + 1) cos (p — 1) a sin (p + 1) 8 — (p - 1) cos (p + 1) a sin (p - 1) 8
sin 2pa + p sin 2a •*
I)
x(t) dp- C2-4)
Из формул C2. 3) и C2.4) видно, что, поскольку для вхо-
дящих в них интегралов точка р = 0 не является особой, путь
интегрирования (L) может быть сдвинут на мнимую ось пло-
скости комплексной переменной р. При этом, как уже указы-
валось в предыдущем параграфе, замена переменных 2pa = iz
нерёводит знаменатель подынтегральных выражений в функцию
shz-|-z—к—» корни которой табулированы. Это дает возмож-
ность проводить численные расчеты с помощью теоремы о вы-
четах, причем цри г <^а(г^>а) следует брать сумму вычетов
в точках комплексной плоскости z, имеющих положительную
(отрицательную) мнимую часть.
Что касается напряжения ог, даваемого формулой C2.2), то
все сказанное выше остается в силе с той лишь разницей, что
при сдвиге пути интегрирования" йа, мнимую ось плоскости р
следует учесть интеграл по полукругу малого радиуса 8-». О,
окружающему слена точку р — 0. < .
¦ Выведем еще формулу для поперечного напряжения <зг вш
гранях клина, загружённого нормальной силой Р(Т = 0). :
9» m

Из формул C2. 2) и C2. 3) можно получить следующее выра-
жение для разности напряжений ог и ав: . .
Р Г sin (р — 1) а cos (р + 1) 6 — sin (р + 1) а cos (p — 1) 6
г " itir 1 sin 2ра -\- р sin 2а
Ш
(jp. C2.5)
Так как при 6 = а напряжение ав равно нулю (за исклю-
чением, конечно, особой точки г = а, где приложена сила Р),
то для искомого напряжения ог находим простое выражение:
Р Sin 2а Г р + 1- (aYjn CQ? R4
sin 2ра + р sin 2а
Переходим теперь к случаю антисимметричного загружения
[рис. 21, E)].
Решая систему C1.16) с учетом C2.1), подставляя найден-
ные величины С и D в формулы C1. 15) для преобразованных
напряжений бг, ов и хг8 и применяя теорему обращения Мел-
лина, находим
+ 3)cos(p-l)asin(p
sin 2pa — p sin 2a
г 2л<г J
wf(P-1)si"(P+l)°sin(p-lN-(p+3)sin(p-l)asin(p-flN/aVJ^ „„ „.
X J sin 2pa - p sin 2a \T) ap> \6Z- '>
__ f f (p-f l)cos(p + <)qsin(/>-l)8-(p-l)cos(p-l)asin(p-f 1N
6 2itir J sin 2pa — p sin 2<x
r sin (p — 1) a sin (p + 1) Q — sin (p ,-f 1) a sin (p — 1) 6
J sin 2pa — p sin 2a
X (P — 1) (yf dp, C2. 8)
P Г COS (p+ l)a COS (p— 1N — COS(p — 1) a COS (p + 1) 8 v
•r8 ~~ 2nir 1 sin 2pa — p sin 2a *
Q
sin 2pa - p sin 2a

Общие соображения, касающиеся возможности превращения
этих комплексных интегралов в вещественные, а также спо-
собов их вычисления по теореме о вычетах, изложены выше.
Для вычислений напряженияог на грани 0=а в случае действия
нормальной силы (Т = 0) составляем, как и выше, разность вапря-
жений ог и о8, что приводит нас к следующему соотношению:
„I = Psia \ . Р + 1 , (±Ydp. C2.10)
Численные данные, относящиеся к рассматриваемому случаю
загрузки клина сосредоточенной силой, читатель может найти
в работах |7, 68, 141).
В заключение настоящего параграфа рассмотрим некоторые
предельные случаи, вытекающие из полученного решения.
При а = 0 мы имеем дело с клином, нагруженным в вершине.
Очевидно, что при этом, не нарушая общности, можно рассмо-
треть только действие нормальной силы Р, ибо при а = 0
симметричный случай приводит к силе величины 2Р sin a,
действующей в средней плоскости 0 = 0 клина, а антисиммет-
ричный-— к силе величины 2Pcosa, направленной перпенди-
кулярно этой же плоскости.
Для осуществления предельного перехода а -* 0 в случае
симметричного по 0 напряженного состояния представим при
Т = 0 комплексные интегралы, входящие в формулы C2. 2)—C2.4),
в виде суммы вычетов в полюсах, расположенных правее мнимой
оси. При этом все напряжения выразятся суммами, содержа-
щими степени ар", где ро = О, а рп—корни уравнения
sin 2po. -J- р sin 2а = 0,
имеющие положительную вещественную часть. Таким образом,
при предельном переходе а—> 0 в упомянутых суммах останутся
только члены, соответствующие вычету в полюсе р — 0. Так как
для напряжений о8 и хгв точка р = 0 вообще не является осо-
бой, то при а = 0
а„ = 0, tr, = 0. C2.11)
Подсчет вычета в формуле C2. 2) для аг приводит к резуль-
тату
iP sin a cos 6 „_ . _
°r = T' Sin 2a + 2a' C2Л2)
полностью совпадающему с известной формулой, получаемой
обычно иным способом.
Аналогичный предельный переход в формулах C2. 7)—C2. 9)
для антисимметричного случая также приводит к известным
результатам
п с\ ^Р cos a sin 6 ,q<i л о\
ов = 0, тгв = 0, or= T • sin2a_2g. C2. 13)
133

(Б)
(А)
Предетавляют также интерес предельные случаи «—-тт и
а = тс, ибо при этом основные определители, входящие в зна-
менатели комплексных интегралов, становятся одночленными,
их корни сразу находятся, и в ряде случаев решение выра-
жается в явном виде через элементарные функции.
Случай <*=у соответствует полуплоскости, для которой
решение легко получается в декартовых координатах.
При а = л клин нырождает-
ся н плоскость с прямолиней-
ным разрезом.* Можно пока-
зать, что в этом случае квад-
_?-0.^I ратуры в формулах для напря-
жений могут быть выполнены.
Не останавливаясь на выклад-
ках в общем виде, приведем
Рис. 22. один частный результат, а
\ именно значения напряжений
I н средней плоскости 0 = 0.
В /случае симметричного по 0 напряженного состояния
(рис./22, (А)] подстановка значений а = я и 9 = 0 в основные
формулы C2.2)—C2.4) приводит к таким комплексным инте-
гралам:
а I
-i _
9 le-°
?_ [ Л±У_Ё? L [ (аУ
2Kiri\rJ созря nir }\rj
W (*)
p [(° Y rfp
2*tr J \TJ EoT^*
C2.14)
Перенося путь интегрирования на мнимую ось (р =
используя известные значения квадратур
00
i
j
00
00
J
sin X. in —
* Эта вадача в работах [65, 142] была решена несколько иным спо-
собом.
134

а также вычисляя во втором слагаемом, входящем в значение ог,
интеграл по полукругу радиуса 8, находим следующие явные
выражения для искомых напряжений:
с I — 2Т р л/~*
г 1в=о — к(а+г) яГг_,.
V ' C2.15)
Любопытно отметить, что значение нормального аапряже-
ния ов в средней плоскости не зависит от величины внешнего
касательного усилия Т. Это означает, что в том случае, когда
к берегам разреза приложены только касательные силы
[в направлениях, указанных на рис. 22, {А)], в средней пло-
скости 6 = 0 отсутствуют не только касательные напряжения
х^, но и нормальные напряжения од. Таким образом, вся пло-
скость у = 0 (за исключением, конечно, точек приложения
внешних сил) оказывается свободной от напряжений, т. е. ре-
шение такой задачи просто совпадает с более простым реше-
нием первой краевой задачи для упругого полупространства
(как верхнего, так и нижнего).
Приведем также аналогичные результаты для напряжений,
возникающих в средней плоскости антисимметрично загружен-
ного неограниченного упругого тела, ослабленного плоским
разрезом [рис. 22, (В)].
Полагая в общих формулах C2.7)—C2. 9) а = тс, 9 = 0, нахо-
дим выражение для напряжения т^ в виде следующего ком-
плексного интеграла (напряжения ог и ов в средней плоскости
отсутствуют):
(И
Преобразование последнего интеграла к вещественному виду
приводит к квадратуре, выражающейся через элементарные
функции:
Из того факта, что касательное напряжение в средней плос-
кости не зависит от приложенной нормальной силы Р, вытекает
следующее утверждение: если к берегам разреза приложены
только одинаково направленные нормальные силы [см. рис. 22, (Б)],
то в средней плоскости тела, наряду с нормальными напряже-
ниями ов, равны нулю также и касательные напряжения тгв.
Таким образом, эта задача, по существу, совпадает с известной
задачей Фламана о действии нормальной сосредоточенной силы
на упругую полуплоскость. •
135

§ 33. Решение второй основной задачи для клина
В данном параграфе, как и во всех следующих параграфах
главы V, мы будем пользоваться решением уравнений плоской
задачи теории упругости в полярных координатах в форме
Папковича—Нейбера.
Приведем для случая плоской деформации выражения упругих
перемещений и и v в направлении осей гиб полярцых коорди
нат через три функции Фо, Ф1У Ф2 Папковича—Нейбера*
2Gu = х (Ф, cos 8 + Ф2 sin 9) —
2Gv = x (Ф2 cos 8 — Фг sin 8) —
-r(cos9^r+sin6?r)—г-^г.
C3.1)
где G — модуль сдвига, * = 3 — 4v, v—коэффициент Пуассона.
В случае плоского напряженного состояния достаточно
в приведенных формулах произвести замену v на :.
В настоящем параграфе с иомощью интегрального преобра
зования Меллина будет дано точное решение задачи о плоской
деформации клина в том случае, когда на его границах заданы
значения упругих перемещений и и v.
Для удобства выкладок разобьем такую задачу, как обычно,
на две отдельные задачи: симметричную и антисимметричную
относительно средней плоскости клина. В соответствии с этим
в каждой из таких задач мы будем считать, что клин зани-
мает область 0 ^г < со, Q^8^-)-a, и- граничные условия
ставить только на прямой 8 = а, учитывая одновременно с этим
соответствующие требования симметрии или антисимметрии
напряженно-деформированного состояния относительво средней
линии 6 = 0.
Прежде чем переходить к решению двух вышеупомянутых
задач, заметим, что в данном параграфе мы будем принимать
гармоническую функцию Фо равной нулю.**
Таким образом, в случае первой задачи, симметричной
относительно средней плоскости, требуется определить гармо-
нические в клиновидной области функции Фх и Ф2 при гранич-
ных условиях
a\»^ = a,(r), v\^, = v.(r), C3.2)
* См., нацример, [79), где соответствующие формулы выведены для
любых ортогональных криволинейных координат.
** Известно, что в случае плоской задачи одна из трех функций
Папковича—Нейбера может быть выбрана произвольно.
136

2Gu = х (Ф, cos 0 -f Ф2 sin 6) — г (cos 6 ^ -f sin
2Gv — x (Ф2 cos 6 — Ф! sin 6) — (cos 6 ^ + sin 8 ^.
где иа, va — заданные функции, причем связи перемещений и, v
и функций Фх, Ф2 таковы:
C3. 3)
В силу симметрии напряженно-деформированного состояния
по переменной 0 перемещение и является четной, a v—нечет-
ной функцией координаты 6. Отсюда следует чатность но пе-
ременной 6 функции Фх и нечетность функции Ф2.
Будем искать гармонические функции Ф: и Ф2 в форме
интегралов Меллина
C3. 4)
Ч)
где (L) — прямая, проведенная на плоскости комплексной пере-
менной р параллельно мнимой оси внутри некоторой полосы,
границы которой определяются в дальнейшем.
Остается определить функции Аг(р) и А2(р) из граничных
условий. Подставляя выражения C3.4) в формулы C3.2), мы
приходим к днум следующим соотношениям:
C3. 5)
1 Г
Т \ (*-\-P)\cosa.cos
-s—г \ [ (p cos a sin pa. — x sin a cos pa) A1 -j-
-|- (y. cos a sin pa — p sin a cos pa) A2] r~pdp = 2Gva (r).
Если предположить, что заданные функции иа(г) и vx(r)
разлагаются н интегралы Меллина
' C3-6)
• i г _ i г
it» i?>
то мы приходим к линейной алгебраической системе для неиз-
вестных неличин Аг и Лг
C3. 7)
cos a cos pa^4j -f- sin a sin раЛ2 = " ,
{p cos a sin pa — x sin a cos pa) A1 -)- (x cos a sin pa —
— p sin a cos pa) A2 = 2Gf)t
137

с определителем, равным
х cos pa sin pa. — p sin a cos a.
Величины пл и va, стоящие в правых частях системы C3. 7)
и являющиеся преобразованиями Меллина от заданных на гра-
нях клина перемещений, могут быть найдены по известной
формуле Меллина
00 00
*. (Р) = S ». (г) гг-4г, va (р) = J у„ (г) г*-Чг. C3.8)
о о
Если предположить, что на бесконечности перемещения
имеют порядок г~ъ, а на ребре клина (г = 0) остаются ограни-
ченными, то интегралы C3. 8) будут сходиться при условии
0<Rep<8, C3.9)
что и определяет границы полосы, заключающей в себе путь
интегрирования (L) в исходных формулах C3.4). Фактически
прямую (L) следует проводить правее мнимой оси, во левее
ближайшей особой точки.
При сделанных предположениях полное решение задачи
дается формулами C3. 4), в которые следует подставить значе-
ния функций А) (р) и А2 (р), найденных в результате решения
системы C3. 7).
Для проведения расчетов в конкретных задачах часто можно
пользоваться теоремой о вычетах, для чего необходимо иметь
таблицы корней (вообще говоря, комплексных) определителя
основной системы C3. 7). Делая замену 2ра = iz, мы приходим
к уравнению
sin 2a
С трансцендентными уравневинми сходного вида мы уже встре-
чались в первой части настоящей книги; в частности, случай
а = 0 имел место в симметричной задаче о равновесии полосы
при задавии перемещений на ее контуре (см. § 3).
Корни уравнения C3.10) для некоторых значений угла а и
коэффициента Пуассона v даны в табл. 16.
Рассмотрим теперь плоскую деформацию клина в случае,
антисимметричном относительно средней плоскости.
Легко видеть, что гармонические функции Ф1 и Ф2, через
которые с помощью формул C3. 3) выражается решение постав-
ленной задачи, в данном случае следует выбрать так:
7
% = -2^i\B2(p) cos рЪг-'dp.
138
i. 11)

Выкладки, аналогичные проведенным выше, приводят к сле-
дующей системе уравнений:
C3. 12)
cos a sin pafi, 4- sin a cos раВ„ = —г-*-,
— (x sin a sin pa -\- p cos a cos pa) B1 -f-
-f- (x cos a cos pa -(- P sin a sin pa) Bz = 2Gva
с определителем, пропорциональным выражению
sh z + _L_ . !™^. z Bp« = te). - C3.13)
Корни соответствующего уравнения приведены в табл. 16.
Таблица 16
1
v==~
1
4 л
•J. i—
а
0
2.128
2.727
3.096
3.364
—
0
1.936
2.541
2.912
3.181
—
Т
1
1.802
7.573
13.94
20.27
26.58
—
2.010
7.954
13.96
20.28
26.58
—
sh г
а
0
1.761
2.374
2.746
3.015
—
0
1.562
2.186
2.561
2.832
—
г
3 —4v
к
i
t
2.167
7.613
13.97
20.28
26.59
—
2.314
7.634
13.98
20.29
26.60
—
sin2o
a
0
0.8703
1.585
1.976
2.253
—
0
0.5731
1.382
1.785
2.066
—
— »
3*
8
T
2.645
7.694
14.02
20.32
26.62
—
2.721
7.711
14.03
20.33
26.62
—
0
0
0.5962
1.235
1.586
1.839
0
0
0
0
1.009
1.384
1.645
loo
t "
3.533
5.629
10.89
17.19
23.49
29.78
3.458
5.740
10.74
11.07
17.20
23.50
29.79
3 —4v
2a
• = 0
1
V=T
1
v==~4~
1.575
2.473
2.929
3.239
3.475
—
1.365
2.286
2.744
3.055
3.292
—
4.336
10.77
17.10
23.42
29.73
—
4.370
10.78
17.12
23.43
29.74
1.170
2.116
2.577
2.890
3.127
—
0.9331
1.925
2.391
2.705
2.943
—
4.400
10.80
17.13
23.44
29.74
—
4.432
10.81
17.14
23.44
29.75
—
0
0
1.301
1.801
2.125
2.367
0
0
1.081
1.606
1.935
2.180
3.927
5.114
10.86
17.17
23.47
29.76
3.737
5.351
10.87
17.18
23.48
29.77
0
0
0
0.9831
1.428
1.721
0
0
0
0.7192
1.217
1.524
2.831
7.169
8.310
14.05
20.34
26.64
2.879
6.960
8.547
14.05
20.35
20.64
lSi)

Таблица 17
sh г — г
sin а»
3 — 1
= 0, v =
•
0
1.834
2.444
2.816
3.085
—
1С
Я
2.104
7.605
13.96
20.28
26.59
—
0
1
2
2
2
2 =
a
.456
.088
.464
.735
1С
т
2.382
7.645
13.98
20.30
26.60
___
—
0
0
1
1
1
•ж —
3
.3521
.273
.683
.966
— .
3u
2.
7.
14.
20.
26.
756
120
03
33
63
0
0
0
0
0
1
1
5
.8791
.274
.541
bit
•8
т
3.426
5.790
10.45
11.37
17.21
23.50
29.79
sill 2a
3 — i
=-0. ¦> =
—
1.254
2.187
2.647
2.959
3.196
4.388
10.79
17.12
23.44
29.74
0.7952
1.824
2.294
2.609
2.847
4.448
10.82
17.14
23.45
29.75
0
0
0.9573
1.501
1.835
2.082
3.665
5.446
10.88
17.18
23.48
29.77
0
0
0
0.5492
1.101
1.418
2.902
6.882
8.639
14.06
20.35
26.64
Табл. 17 содержит корни уравнения
3—v 2o
z = 0,
C3.14)
необходимые для расчетов плоского напряженного состояния
в клине при заданных перемещениях на его гранях (значения
для случая v=-o- не включены, так как они совпадают с дан-
ными табл. 16 при v=—j.
После определения функций Папковича—Нейбера напряже-
ния могут быть найдены по следующим формулам:
140

4-2A _v)(coS9-^+sin0_-) + _(Cose-^-sln6^
sin
sin
дФ,
i
- cos
C3.15)
причем в данвом случае следует положить Ф0 = 0.
Из формул C3.4) и C3.15) видно, что любое из трех напря-
жений представляется комплексным интегралом вида
C3.16)
ал
Для исследования поведения напряжений в угловой точке
клина применим теорему о вычетах и представим напряжение
f(r, 6) в виде [см. C1. 19)|
f(r, b) = ^lran~l[dn(b)ril"'-\-dn{b)r'<l">], C3.17)
где ря = —an + ibn— корни уравнения
sin 2ра + кр sin 2а = 0 (ая > О, Ья > 0), C3.18)
причем верхний знак относится к симметричному, нижний —
к антисимметричному случаю, а величина к принимает значе-
ния ¦3ТГ47 (цлоская деформация) или ¦,_- (плоское напряжен
ное состояние).
Разделение вещественной и мнимой частей в уравнении
C3. 18) приводит к следующей системе:
C3.19)
sin 2aan ch 2аЬя= + кая sin 2a,
cos 2aaesh 2abn— ±kbn sin 2a.
Легко показать, что так как для всех значевий
величина к остается меньше единицы, то при 2а<^тс все ая_>1.
Если же 2а > тс, то имеется корень ая-<1Fя = 0). Таким
образом, во второй основной задаче (как симметричной, так и
антисимметричной) угол раствора клина, равный 180°, разгра-
ничивает углы, для которых напряжения при г->0 стремятся
U1

к нулю, от углов, для которых напряжения при приближении
к угловой точке клина неограниченно возрастают.
Отметим еще, что частные случаи «=-2" и а=л являются
вырожденными в том смысле, что при этом клин превращается
в полуплоскость или в неограниченную плоскость с разрезом.
В указанных двух случаях уравнение C3. 18) превращается
в элементарное sin 2pa = 0, корни которого не требуют спе-
циального табулирования. Решение задачи для первого случая
(полуплоскость при заданных на границе перемещениях) легко
получается в декартовых координатах. Второй из упомянутых
вырожденных случаев рассматривается в следующем параграфе
на примере одвой конкретной задачи.
§ 34. Растяжение неограниченного тела, содержащего
жестко впаянную пластинку (плоская задача)
Одним из простых приложевий получеввых выше результа-
тов является задача о деформации неограниченного упругого
тела, содержащего жестко впаянную полубесковечную непо-
движвую пластинку и подверженного рас-
i^ тяжениюсосредоточеннойсилойР(рис.23).
pi Упругие перемещения и и v мы будем
в-п
в-rz О
P
представлять в виде двух частей:
C4.1)
где величины
Рис. 23. ы0 = —A cos 0 In р, у0 = A sin 0 (-.—(- In р j
являются перемещениями, создаваемыми сосредоточенной силой Р
в неограниченной плоскости.
На поверхности неподвижной пластинки @= ±л) полные
перемещения и и у должны равняться нулю, что приводит нас
к следующим граничным условиям для неизвестных перемеще-
ний щ и иг:
В дальнейшем перемещения щ и v1 представляются через
две гармонические функции Фа и Ф2 по формулам C3. 3) пре-
дыдущего параграфа.
Рассматриваемая задача принадлежит, очевидно, к катего-'
рии задач, симметричных относительно средней плоскости 9 = 0,
142

в связи с чем функции Ф1 и Ф2 выражаются следующими инте-
гралами:
Ф1= it \ Л1 cos PBr~"dP' ф2 = ^п\А2 sin pbr'dp. C4. 4)
Подстановка C4. 4) в граничные условия C3. 3) дает при 8 — тт
C4. 5)
|в=« = — 2^7 \(* + P)Ai cos
2Gv, |e=« = - ^ \ (рА, + *AJ sin
да
Второе из этих выражений с учетом граничного условия
в_л = 0 сразу приводит к связи
Однако непосредственное применение первого краевого усло-
вия C4.3) невозможно, так как функция \а(г-{-а) не разла-
гается в интеграл меллиновского типа. С целью преодоления
этого затруднения сперва продифференцируем первое из гра-
ничных условий C4. 3) по параметру г. Имеем
5Й 5 Р (Р + *) Ai cos Pn-^'dp = ^, C4. 7>
откуда по формуле обращения находим А1
7 2nAGaP
2GA г rfdr 2itAGaP _, „
1 р(р + х) cos pit J г + а р(р + х) sin ря cos ря' ^ ' '
о
Заметим, что условие C3. 9) заменяется при атом на такое:
-1. C4.9>
Не останавливаясь на дальнейшем преобразовании получен-
ного решения, обратимся к нахождению касательных напряже-
ний в заделке. Исходя из общей формулы
ш

и замечая, что
t)un
с = ^' "dfh^ — ®* vi\b=*. — ®> получаем
2Г
1 Г Wt ¦ ^Ф2
Из последнего выражения следует, что интегрирование можно
производить по мнимой оси. Полагая р==гу, находим
о
или окончательно, после взятия квадратур,
~а 1
§ 35. Смешанная задача теории упругости для клина
Переходим теперь к применению преобразования Меллина
к решению такой краевой задачи теории упругости для клино-
видной области, когда на одной грани клина заданы перемеще-
ния, а на другой — напряжения.
Для решения указанной смешанной задачи нам потребуются
выражения C3.1) упругих перемещений через четыре функции
Панковича—Нейбера
2Gu = х (Ф, cos 6 -f Ф2 sin 6) — г (cos 6 ^1 -f sin 6 ^ — ^,
= 3 —4v),
C5.1)
а также соответствующие формулы C3. 15) для упругих напря-
жений.
Для упрощения дальнейших выкладок предлагается заме-
нить предварительный выбор какой-либо из трех функций * не-
* Например, и $ 33, когда на границе клина были ваданы перемеще-
ния представлялось удобным принять Фо = 0.
J44

которой связью между двумя функциями, а именно, считать
функции Фх в Ф2 связанными условиями Коши—Римана
" r'di' r'db дг '
C5. 2)
При этом зависимости C3.15) упрощаются и принимают
следующий вид:
• йдФ*\
C5. 3)
В соответствии с равенствами C5. 2) мы примем, что гармо-
нические функции Фо, Фх и Ф2 могут быть представлены сле-
дующими комплексными интегралами:
Фо = ^-. | [Ао (р) cos (р — 1) б -j- B0(p) sin (p -
cos
Х (р) sin рв]
_1_ г
sin
cos
C5.4)
причем положение прямой (L), параллельной мнимой оси пло-
скости комплексной переменной р, будет установлено несколько
позднее.
Неизвестные функции /^(р), В0(р), А1(р), 5х(р) должны
быть найдены из граничных условий задачи.
Предположим, что на грани 6 = 0 заданы значения пере-
мещений (в, v), а на другой грани F = а) — значения напряже-
ний (ов, т^). Тогда краевые условия имеют вид
Kl»=o = Mr). "l»=o="o(r)> °ele=* = °(r). тгв1в=«=•*(*•)• C5.5)
Подставляя комплексные интегралы C5.4), через которые
представляются функции напряжений Фо, <&v Ф2, вформулыC5.1)
Ю Я. С, Уфлянд
146

и C5. 3) для перемещений и напряжений, а затем полученные
выражения — в граничные условия C5.5), мы приходим к четы-
рем соотношениям такого вида:
55 S iiP - 1) Л + (Р + *) Аг I ^р = #4 И»
55 \ [-(Р - 1) *о + (* - Р) #J r~pdp = 2Gi;e (г),
(Ь)
ii\p(P- 1ПАо cos (р -1) а + Воsin (p - 1)а
(«
+ cos а (At cos ра -{- Вг sin ра) —
— sin а {At sin ра — Bl cos ра)] r~p~ldp = о (г),
C5. 6)
— (р -f- 1) sin a (^j cos pa -{- 5X sin pa) —
— (p + 1) cos а (Аг sin pa — fl, cos pa)} г~"~Чр = t (r).
Предположим, как это было сделано в § 33, что заданные
функции ио(г), vo(r), о (г), т(г) могут быть разложены в ком-
плексные интегралы следующего вида:
"о С) = Ш \ "о (Р) r~"dP' "о И = 5Й $ s« (P)
¦(?)
5-7)
C5. 8)
причем в последних двух формулах введены величины a(p-j-l)
и *Е(р-|-1) для того, чтобы можно было пользоваться интегра-
лами Меллина в стандартной форме
I — * t
in
Подстановка выражений C5. 7) и C5. 8) в правые части соот-
ношений C5. 6) приводит к следующей системе двух линейных
146

алгебраических уравнений относительно неизвестных величин
Ах{р) и А2(р):
- 2Gu0 (p) cos (р - 1) а + 2Gv0 (р) sin (p - 1) а,
[-(Р + 1) sin (р + 1) а + (х + pjsin (р - 1)«I А, +
1)оо8 (р + 1)в + (х-р) сое (р-1)а]В1 =
C5.10)
причем значения двух других неизвестных А0(р) и В0(р) даются
следующими формулами:
^ C5.11)
Правые части системы C5.10) могут считаться известными,
так как входящие туда преобразованные по Меллину гранич-
ные значения перемещений и напряжений даются известными
формулами:
«о (Р) = \ «о И
о
оо
в(р -f 1) = \ о
(р) = \ v0 (г) г*~Чг,
t(p + 1)= j х (г)
C5.12)
Исследование сходимости последних интегралов дает воз-
можность указать ту полосу на плоскости комплексной пере-
менной р, в которой должен помещаться путь интегрирования (L).
Если предположить, как обычно, что на бесконечности (г-* оо)
порядок убывания перемещений будет г~8E>0), а напряже-
ний— г"8,- то интегралы C5.12) сходятся на верхнем пределе
при условии, что Rep<^8. Далее, условие ограниченности
перемещений ва ребре (г-*0) приводит к требованию Rep>0
сходимости тех же интегралон на нижнем пределе.* Следова-
тельно, на пути интегрирования (L) в основных формулах C5. 4)
должно выполняться условие
0<Rep<8. C5.13)
Таким образом, точное решение поставленной задачи дается
формулами C5. 4), в которые следует подставить значения вели-
* Напряжения на ребре могут и возрастать, но не быстрее, чем вели-
чина порядка !¦"•(•< 1). ".¦
10* 147

Во, Av Bv найденные из системы C5.10) и соотноше-
11)
чин Ат Во,
ний C5.11).
Определитель основной системы C5. 10) имеет вид
D (р) = 4х sin2 pa. + V sin2 a - (х + IJ,
и нахождение его корней после замены переменных
C5.14)
C5.15)
равносильно решению такого уравнения:
Корни последнего уравнения для значений угла a = -v-, -^-.
-г-, ~г п коэффициента Пуассона v = -q- и т приведены
в табл. 18.
Таблица 18
1
v=~3~
1
v== 4
а
0
2.749
4.326
5.160
5.720
—
0
2.504
4.128
4.966
5.535
—
1
011 Z+ 2C-4v) •
К
т
1.864
5.185
11.85
18.29
24.68
—
2.014
5.223
11.87
18.31
24.69
—
а
0
1.832
3.582
4.440
4.713
—
0
1.491
3.375
4.248
4.832
—
к
т
т
2.168
5.377
11.95
18.36
24.75
—
2.340
5.399
11.97
18.38
24.74
—
4A-
а =
9
0
0
0
1.774
2.817
3.461
0.196
0
1.433
2.590
3.349
—
VI + A -
3 — 4»
3*
4
2.759
3.908
7.470
12.15
.18.51
24.82
3.289
7.751
12.16
18.52
24.86
—
-2м)'
а =
9
0.275
0
0
0
1.468
2.295
0.577
0
0
0
1.043
2.029
5*
4
т
3.203
8.330
11.05
13.46
18.59
24.90
3.191
8.568
10.66
13.83
18.60
24.91
Для той же смешанной задачи в случае плоского напряжен-
ного состояния уравнение C5.16) заменяется следующим:
22 + ЙтгзЗг = 0' C5.17)
корни которого для v = -r даны в табл. 19 (при v = -=- они со-
впадают с данными табл. 18 для v = —V
148

Таблица 19
sin's
2C-v)
-»)'
= 0, v =
0
2
4
4
5
« =
a
.365
.024
.872
.438
—
К
2
5
11
18
24
T
.106
237
88
32
69
0
1
3
4
4
a
.263
.263
.143
.734
2
5
11
18
24
T
.454
.400
.98
.38
.75
0.
0
1.
2.
3.
a ^
•
492
205
458
142
T
3
7
12
1?
24
.270
.903
.16
.52
.85
—
-0
0
0
0
0
1
л =
a
.710
.705
.872
5k
4
T
3.185
8.727
10.45
14.02
18.59
24.92
Для исследования поведения напряжений в угловой точке
клина необходимо, вообще говоря, разделить в уравнении C5. 16)
или C5.17) вещественную и мнимую части, положить z =
= 2a(X-}-t)* и, исключая значение параметра X, найти величину
угла раствора клина а*, разграничивающего углы, при которых
напряжения при г-*-0 стремятся к нулю, от углов, для кото-
рых при г-*0 напряжения стремятся к бесконечвости. При
зтом величина а* будет, конечно, зависеть от значения коэф-
фициента Пуассона. Однако в данном случае оказывается, что
Х = 0, и для а* получается яввое выражение: a* = arc sin ^\ v
l
в случае плоской деформации и а* = arc sin ^ , ~ для ило-
ского напряженного состояния. Таким образом, в первом
случае при v = -o- а* = 0.9553 и при v = -r- а = у, а во втором
случае а* = у и а* = 1.107 (при v = -q" и т" соответственно J.
§ 36. Действие сосредоточенной силы на клин
с закрепленной гранью
В качестве приложения рассмотрим задачу о распределении
напряжений в клине, закрепленном по грани i = 0 u нагружен-
ном в произвольной точке г = а, б = а другой грани нормаль-
ной сосредоточенной силой (рис. 24).
iz
* Этому значению г соответствует р = ^ = — 1 + iX, т. е. Rep = —
[ср. C1. 19)J. Такой расчет ироизведен в § 41.
149

Чтобы получить решение задачи в этом случае, нужно
в общих формулах § 35 положить цо = уо=х = О, а функцию а (г)
определять в результате предельного перехода для случая на-
грузки, распределенной по малому участку грани 6 = а, заклю-
чающему точку г = а.
В результате решения основной системы C5.10) получаем
At= ° .|2p sin a sin pa.— cos(p-j~ 1)а — *cos(p— 1)а],
р 1C6-1)
В1= д. |—2psinacospa— эт(р-{-1)а + х sin(p
причем определитель D (р) дается формулой C5. 14), а величины
Ао и Во выражаются через Ал и В5 следующим образом
[см. C5.11)]:
± C6-2)
Не останавливаясь на преобразовании полученного общего
решения, составим выражение для напряжений в заделанной
грани.
Для нормального напряжения имеем из C5.3)
391а=о ^ а0 = ^ J р (Р - 1) (Л, + Л
или, после преобразований,
COS (р + 1)а -f it cos (p— l)a — 2p sin a sin
4x sin2 pa + 4p* sin2 a - (x + 1 J
f a\P j^
\T) aP-
Поскольку здесь за путь интегрирования может быть взята
мнимая ось плоскости комплексной переменной р, то после
подстановки 2pa = ip. получаем искомое напряжение в виде
следующего вещественного интеграла:
inxar
О
-Г(х + 1) cos a ch i + i sin a sh ?•] X
f1 ln T ,. f1 ln T
- + 2^^+4A~T^~2VJ- C6-5)'
i50

Таким же образом приходим к формуле для касательного
напряжения в заделке
+ A — х) ? cos a sh |-] cos
— 1) cos а sh
\rL- C6-6)
Представляет интерес рассмотреть предельный случай a = it,
соответствующий задаче о равновесии упругой полуплоскости
в-а.
¦9-0
'/////**
Рис. 25.
T//////////////////////////
Рис. 24.
(^) заделанной по части границы ?>0 @ = 0) и нагружен-
ной нормальной силой Р в произвольной точке х = а остальной
части границы (х<~0 или б^я) (рис. 25). При этом основной
определитель принимает вид двучлена ch \>. -f- const, что позво-
ляет в ряде случаев выполнить квадратуры и выразить неко-
торые из искомых величин через элементарные функции. В част-
ности, формулы C6.4) и C6.6) для напряжений на заделанной
грани принимают вид
C6. 7)
= 3-4v),
_P(*-i) f L
>— 4«2xr J [л
cos ¦
¦ —(x-f-l)sin
S
X
C6.8)
151

Выполняя квадратуры в C6. 7) и C6.8) с помощью формул
{см. [94])
ch [i + ch ф
C6.9)
oh
^ 2 *
sh -g- oh it?
C6.10)
приходим к окончательному результату
. *=мз-4.). C6.Н)
C6.12)
Наконец, в предельном случае а = 2тг мы имеем дело с не-
ограниченным упругим телом, разрезанным вдоль плоскости
У
Г
Рис. 26.
6 = 0, причем верхний берег раэреза жестко закреплен, а к ниж-
нему приложена нормальная сосредоточенная сила (рис. 26).
Вычисление нормальных напряжений в заделке по фор-
муле C6.4) приводит к такой квадратуре:
¦ cos ¦
oh |x -J- oh <J>
C6.13)
152

которая после использования C6.9) дает следующий ре-
зультат:
я" |п У Т
C6.14)
Глава VI. ИЗГИБ КЛИНОВИДНЫХ ПЛИТ
§ 37. Применение преобразования Меллина к задаче изгиба
клиновидной плиты
Рассмотрим упругую тонкую плиту, имеющую клиновидную
форму, т. е. занимающую область неограниченного сектора.
Если ввести полярные координаты (г, 0), то в рассматри-
ваемой области переменные будут меняться в следующих пре-
делах:
0<г<оо,
Уравнение поперечного изгиба плиты Д2» = -^ (и? — прогиб,
q—внешняя нагрузка, D — цилиндрическая жесткость) в поляр-
ных координатах может быть записано в следующей форме:
Для решения задачи изгиба подвергнем дифференциальное
уравнение C7.1) интегральному преобразованию Меллина,
а именно умножим его на гр+2, где p=a-j-f-c — надлежащим
образом выбранное комплексное число, и проинтегрируем по
переменной г в пределах от 0 до оо. Интегрирование по частям
приводит к следующему выражению:
Т
где через й> обозначено преобразование Меллина искомой
функций
оо
ф=\ш{г, Ъ)г*-Чг, C7.2)
о
152

г. ю dw . о d&w
Ьсли предположить, что величины —, -г—, raw и г2—?— при
г -» 0 имеют порядок /•"< (оа _> 0), а при г -¦ со — порядок
т-""'(о2> 0),* то члены, выделившиеся при интегрировании по
частям, исчезают и мы приходим к обыкновенному дифферен-
циальному уравневию для преобразованвой функции й):
C7.3)
общий интеграл которого может быть записан так:
W = AYcos{p — t) 6-f Я, sin (p — 1N-j- 42cos(p-f-l)9-f
-f fi2sin(p-f lN-f u;*F). C7.4)
В последней формуле w*— какое-либо частное решение урав-
нения C7.3), которое может быть найдено методом Лагранжа
вариаций произвольных постоянных, а также с помощью инте-
грального преобразования. Лапласа (см. § 24). Приводим, опу-
ская выкладки, окончательное выражение для w*:
C7.6)
Входящие в полученное решение четыре произвольные функ-
ции параметра р: А{, В4 (i = l, 2) — должны быть определены
из преобразованных по Меллину граничных услоний задачи,
после чего решение задачи дается формулой обращения
w <г' 9) = Ш \
где (L)—прямая, параллельная мнимой оси и проходящая в по- ¦
лосе — Oj^Rep^o^ В частности, за путь интегрирования
может быть принята мнимая ось комплексной плоскости р.
• Можно показать, что при этих условиях решение поставленной
вадачи единственно. Справедливость этих предположений может быть не-
посредственно проверена во всех рассматриваемых далее случаях. Заме- ¦
тим, что при этом w будет регулярной функцией переменной р в полосе '
—о, <Rep<o2.
154

Если внешняя нагрузка предстанляет собой сосредоточенную
силу Р, приложенную в произвольной точке (г0, б0) плиты
(рис. 27), то, распределяя нагрузку по малой области, окружаю-
щей точку (г0, б0), и устремляя в интеграле C7. 5) размеры этой
области к нулю, получим следующее выражение для частного
решения w*:
О при 0<6<е0,
?рF —0О) при C7.8)
eo<e<a.
-9-0
В последующих параграфах дан-
ной главы будут рассмотрены раз- Рис. 27.
личные частные типы граничных
условий: закрепленные, опертые и
свободные края, а также некоторые смешанные случаи,
когда один край плиты закреплен, а другой оперт или
свободен от внешних усилий. Ради упрощения выкладок во
всех случаях ставятся однородные краевые условия, хотя можно
было бы с помощью того же аппарата вместо условий закреп-
ления задать контурные значения прогибов и углов поворота,
вместо условий опирания — значения прогибов и изгибающих
моментов и т. д. (см. § 22).
§ 38. Изгиб клиновидной плиты с закрепленный
контуром
Если края плиты 6 = 0 и б = а жестко заделаны, то имеем
граничные условия
dw
W
9=0
= w
О=в
=0
или, после преобразования по Меллину:
в |в=о = ** 1в=о = ф\^ = ffi' 1в=. = 0.
Величины Av Bx, А2, В2 определяются из системы
Л,+Л2 =-«;*(())=: 0,
(р - 1) В1 + (р + 1) В* = -»*' @) = 0.
Л, cos (р — 1) a -f- Bx sin (р — 1) а -f- A2 cos (p -f- 1) а +
+ fi2sin(p-f 1)в = —ю*(а),
—(р - 1) Л, sin (р - 1)а +(р - 1) вх cos (p — 1)а-
C8.1)
C8. 2)
+ (Р +1) ^2 cos (р + 1) а = —w" (а),
C8. 3)
155

определитель которой имеет вид
A(p)=sinapa — pssin2a. C8.4)
Не останавливаясь на вычислении прогибон, переходим к на-
хождению изгибающих моментов в заделке. Воспользовавшись
формулой для изгибающего момента на закрепленном краю
-^. =S-SL C8.5)
и учитыная, что u/'\t=Q = ^pAv получаем, после нахождевия
величины Aj и примевевия формулы обращевия,
—М |9=0 = —: \ [(р sin a cos pa — cos a sin pa) w*' (a) -\-
- 1) sin a sin paw' (a)]—^I^-. C8.6)
Если обратиться теперь к случаю сосредоточенной внешней
нагрузки и воспользоваться выражением C7. 8) для w*, то после
*
некоторых ныкладок находим *
__EJp = rj.._L J[sineoSinpaSinp(a-eo)-
-р sin a sin (a - %) sin p%\(ff sin2palPp2sil>2g . C8. 7)
Выбирая за путь интегрирования мнимую ось (р = гт), при-
ходим к окончательному выражению для изгибающего момента
на закрепленном краю в виде вещестненного интеграла
cos тIn —
1
— TSinasin(a —eo)sh6oT]^-5 9 1 9 dz. C8.8)
v 0/0 I sh2ax — x2sin2a '
Выражение для изгибающего момента на краю 6 = а полу-
чается, как легко видеть, из C8.8) заменой величины б0 на
а — б„.
* Получаемое при этом подынтегральное выражение будет мероморф-
ной функцией переменной р с полюсами в точках, являющихся корнями
уравнения Л(р) = О, причем числа oj и о2 совпадают с наименьшей веще-
ственной частью этих корней.
156

Рассмотрение полученных формул показывает, что для про-
ведения численных расчетов по теореме о вычетах можно вос-
пользоваться корнями уравнений (ax = z)
shz± SI^z = 0, C8 9)
приведенными в табл. 10 (§ 13) для соответствующей плоской
задачи теории упругости.
Из рассуждений, сделанных в § 31, вытекает, что в углу
плиты, т. е. при г—»-0, изгибающий момент стремится к нулю
при а<те и неограниченно возрастает при а>л. При а = я
получается известное решение задачи об изгибе полуплоскости
с закрепленным краем.
Особым случаем является задача об изгибе, антисимметрич-
ном относительно средней линии клина, когда граничное зна-
чение угла увеличивается от п до а*, где tga* = a*(cM. C1.22)].
Из полученного решения задачи об изгибе клиновидной
плиты с закрепленвым краем под действием произвольно рас-
положенной сосредоточенной силы легко получить решение за-
дачи изгиба для того случая, когда один край плиты закреп-
лен, а другой свободно оперт. В самом деле, если рассмотреть
плиту с центральным углом 2а, закрепленную по краям 8 — 0
и 6 = 2а, и приложить в точке т-=7-0, 6 = 6О сосредоточенную
силу Р, а в точке г = г0, 6 = 2а — 60—противоположно направ-
ленную силу той же величины, то прямая 6 = а будет на-
ходиться в условиях свободного опирания. В частности, для
изгибающего момента на краю 8 = 0 из C8.8) сразу находим
— т sin 2a sin Ba — 80) sh 60т] — [ sin Ba — %) sh 2ax sh 60т —
cos t In —• dr
— x sin 2a sin 60 sh Ba — 60) z)]} ¦
ИЛИ
cos т In — dr
r C8.10)
~ sh 2ат — x sin 2a •
При а = —, когда плита представляет собой квадрант с за-
крепленным краем 0 = 0 и свободно опертым краем 0=^, иа-
157

груженный в точке (г0, б0) сосредоточенной силой Р, квадра-
туры выполвяготся, п окончательное выражение для изгибаю-
щего момента на закрепленном краю имеет вид
sin 90 sin 29О
-оо ллк
Замкнутое решение получается также и в случае а = п, т. е. длн
полуплоскости, часть края в = 0 которой закреплена,а остальная
часть F = л) свободно оперта [внешней нагрузкой по-прежнему
является сила Р, приложенная в произвольной точке (г0, %)).
Приводим формулу для изгибающего момента на йрямой 6== О
|8=о _
§ 39.* Клиновидная плита, опертая по краям
Если края 11литы4г±=0 и 6 = а свободно оперты, то граничные
условия имеют вид
w le=o -
<*2W\
35?
(P-W
Преобразуя их по Меллйну; приходим к следующей системе
уравнений для величин Л,, Bv A2, В2:
Л, cos (p — 1) а -(- В1 sin (p
-f i^2 sin (p
+ (Р +
с определителем
1) а -f 42 cos (p -f 1) а -)-
(р + 1) а -f B2 sin (р + i) «I = w" («)
b(p)—cos*pa— cos2 а.
C9. 2)
C9.3)
Нетрудно показать, что разложение преобразованного про-
гиба vb на два слагаемых со знаменателями cos pa -f- cos a и
cos pa — cos a соответствует разложению решения на четную и
нечетную части относительно биссектрисы угла клина. Оста-
навливаясь на первом из этих случаев и считая теперь угол 6
меняющимся в пределах от —у до -j, а сосредоточенную силу Р
158

приложенной- в точке г=:г0, 6 = 0 плиты, после выкладок по-
лучаем следующее выражение для прогиба плиты при 6^0
C9.4)
(p— l)cos(p — 1 > -rj-
Интегрирование по мнимой оси приводит к представлению
решения в виде веществевного интеграла
w (r, 6) = -^? \ | cos 6 sh (a — 6) x — cos (a — 6) sh 6т -|-
o
-f- т sin 6 ch (a — 6) т — т sin {a — 6) en 6т] X
dr
cos x in —
cosa'x(T2-fl)'
C9.5)
В частности, для квадравта fa = yj получаем после взятия
интегралов следующее значение прогиба точек биссектрисы:
l.(.L+^ln I/ \y +Ln
C9. 6)
Разумеется, применение интегрального преобразования Мел-
лива не является единственным возможным методом решения
такой задачи. В частности, можно было бы, следуя В. Г. Га-
лерки ну |19|, разложить прогиб w(r, G) в ряд Фурье по три-
гонометрическим функциям sin — п. Однако коэффициенты
такого разложения различным образом зависели бы от пере-
монвой г й области г <>0 и г > ги, а именно: в первом случае
они содержали бы положительные степени г, а во втором —
отрицательные, и получеввые таким образом решения при-
шлось бы сопрягать вдоль линии г = г0, учитывая приложен-
ную в точке г = г0, 6 = 6О сосредоточенную силу.
Заметим, что' если пытаться решать указанным способом
задачу об изгибе клиновидной плиты с закрепленными краями,
то сами триговометрические функции угла 6, по которым ве-
159

дется разложение, будут иметь довольно громоздкий вид,* что
поведет к значительному усложнению выкладок. В связи со
сказанным преимущества метода интегральных разложений, как
нам кажется, становятся особенно очевидными. Заметим, что
разложения в ряды, о которых шла речь, сразу получаются из
решений в виде интегралов [типа C9.4)] после применения
теоремы о вычетах.
§ 40. Клиновидная плита со свободным контуром
В этом случае на гранях клина должны обращаться в нуль
значения изгибающих моментов (М) и перерезывающих сил (N),
выражающиеся через прогиб w в полярных координатах сле-
дующими формулами:
~П ~ 7" ~д? ~> v IP* "т~ г2' ~Ш'
N 1 д /Л
D0.1)
Таким образом, граничные условия задачи после преобразо-
вания Меллина имеют вид (предполагается, что —а^9^
Для упрощения выкладок разобьем прогиб w(r, б) на сим
метричвую и антисимметричную составляющие.
В первом случае из C7. 4) будем иметь
м>= Л, cos (р — 1) 0 -)- А2 cos (р +1N + w*@). D0.3)
Подстановка выражевия D0. 3) в граничные условия D0. 2)
приводит к следующей системе уравнений для величин А1(р)
и А2(р):
Р(Р— !)(> — 1)Агсо8(р — 1)а +
_l)(pv-l)-(p-f lJM2cos(p-|-l)a =
= -К" («) + (Р -1) (vp - 1) W (а)], D0. 4)
= -{w-'" (в) + [(р - 1)« + р (р +1) A - *)] «;*' (а)}. D0. 5)
* Они аналогичны функциям П. Ф. Папковича {45] для случая прямо-
угольной области.
160

Не останавливаясь на более детальных выкладках, заметим,
что определитель этой системы пропорционален выражению
C -f- v) sin 2pa — A _ v) p sin 2a,
так что для применения теоремы о вычетах необходимо рас-
полагать корьями уравнения Bpa = ?z)
_(l_v)z!i?ii = 0. " D0.6)
Таблица 20
п
v~ 3
л
1
4
0
0.8701
1.585
1.976
2.253
—
0
1.063
1.740
2.124
2.399
—
—
тс
Т
т
2,645
2.694
14.02
20.32
26.62
—
2.547
7.680
14.01
20.31
26.61
—
—
it 1-v
3+v
a =
0
0
0
1.191
1.609
1.894
—
0
0.5310
1.358
1.763
2.044
—
sin 2a
а. 2 (
к
~т
X
2.780
7.598
7.854
14.04
20.33
26.63
—
2.729
7.713
14.03
20.33
26.62
—
a ^
a
0
0
0
0
0
0.6581
1.049
0
0
0
0
0
0.8801
1.225
3*
8
т
2.963
6.697
8.864
13.51
14.64
20.36 -
26.65
2.937
6.771
8.772
13.85
14.28
20.36
26.65
1 — v sin 2a
2а
1.302
1.801
2.125
2.367
0
0
1.465
1.951
2.272
2.512
3.927
5.114
10.86
17.17
23.47
29.76
4.204
4.796
10.85
17.16
23.46
29.76
0
о
0.8610
1.424
1.763
2.010
0
о
1.054
1.583
1.915
2.158
3.621
5.506
10.88
17.19
23.48
29.78
3.720
5.374
10.87
17.18
23.48
29.77
0
0
0
о
0.2630
0/8801
1.186
0
О
О
о
0.6140
1.071
1.354
3.344
5.920
10.07
11.78
17.22
23.51
29.80
3.378
5.865
10.21
11.63
17.21
23.50
29.79
11 Я. С. Уфлянд
261

Не останавливаясь на аналогичных выкладках для антисим-
метричной задачи, приведем только соответствующее трансцен-
дентное уравнение
^ 0. D0.7)
Корни z=±o±iz уравнений D0.6) и D0.7) для значений
ТС ТС ЗтС 11 , orv
a = -g-, -^-, -g-_ и v = y, -j даны в табл. 20.
Исследование поведения изгибающих моментов в угловой
1 —v
точке клина показывает, что так как величина „ для всех
;-2- остается меньше единицы, то угол раствора клина
в 180° является предельным в том смысле, что при 2а<[тс
М -* 0 и при 2а>те М -* оо (см. § 33).
г-»-0 г-*-0
§ 41. Смешанная задача изгиба клиновидной плиты
Будем считать край 6 = 0 закрепленным, б = а — свободным
от сил и моментов, а в качестве внешней нагрузки примем,
как и выше, сосредоточенную силу Р, приложенную в произ-
вольной точке г-=г0, 6 = 6О плиты.
Граничные условия рассматриваемой задачи таковы:
T" IF "г 7*' ~m ~r v ^Je^ — u>
D1.1)
где v — коэффициент Пуассона.
Подвергая соотношения D1. 1) интегральному преобразова-
нию Меллина, приходим к следующим преобразованным гра-
ничным условиям:
{*"+Кр -1J+a - v) р (р + *)]«V*=
причем здесь, как и прежде, через id обозначен преобразонан-
ный по Меллину прогиб плиты |см. C7. 2)], в общем случае
даваемый формулой C7. 4). Для рассматриваемой точечной на-
грузки входящее в W частное решение w* определяется из C7. 8).
163

С учетом первых двух условий D1.2) выражение для й>
может быть записано в такой форме:
Ф = А \ cos (р — 1) б — cos (p -f 1) б] -f
in (р — 1) 6 — (р — 1) sin (p -f 1) б] -f-
0 при 0<б<ек
где функция К [х) по-прежнему дается формулой C7. 6). При-
менение оставшихся условий D1. 2) приводит к следующей си-
стеме уравнений для неизвестных величин А и В:
В{(р — 1)[C + v) — рA — v)l cos (p 4- *)«
x{/r;>-eo)-fi(i-v)p(p-f 1)-Кр-1J|я;,(а-б0)}, D1.5)
определитель которой равен
Д (р) = 2 A — v) C -f v) fcos 2pa — 2^1~v) p2 sin2 a] -f
-f 2E-f 2v-f v2). D1.6)
He останавливаясь ввиду громоздкости выкладок на вычис-
лении прогибов, переходим к определению изгибающего мо-
мента на заделке, вычисляемого по известной формуле:
—М=--— D1 7)
1 Г2 <?62 9=0* К '
Из D1.3) видно, что —Mr'1 = kpAD, так что по формуле
обращения
D1.8)
11* 163

Находя из D1. 4) и D1. 5) величину А, подставляя ее в D1. 8)
и производя интегрирование по мнимой оси, получаем после
преобразований следующее выражение для изгибающего мо-
мента на закрепленном краю:
Р, D1.9)
Р г Tti }Ь{р)\г
где положено
F (р) = sin 0О [A — v) cos р80 + C -f v) cos Bа — 60)] —
D1.10)
Переходя в D1.9) к интегрированию по мнимой оси, можно
получить представление изгибающего момента М в виде веще-
ственной квадратуры. Наряду с этим расчеты можно произ-
водить, замыкая контур (L) дугой круга радиуса /?-> оо (вправо
при г^>rQ и влево при r<^rQ) и суммируя по вычетам в по-
люсах, являющихся корнями уравнения Д(р) = 0
cos2pa=rap2 — b, D1.11)
где
Делая, как обычно, замену переменных
уравнение
i 1
' 2(
— v sin2 a
2C + v) a-i T4_(i4-vJ"
корни z=±a± it которого даются в табл. 21.
iz, получаем
0, D1. 12)
Таблица 21
1
v==~3~~
1
1
v=4- I
4 1
к =
a
1.242
0
3.004
3.965
4.576
—
0.676
0
3.210
4.132
4.732
It
т
T
3.617
6.614
11.95
18.38
24.75
—
3.872
5.834
11.95
18.37
24.74
- v sin2
+ v) a'
ОС =1
« .. 1 4 + (
1С
• 1 '
1.465
0
1.971
3.160
3.828
—
1.241
0
2.286
3-354
3.998
3.335
7.915
11.99
18.44
24.79
—
3.392
7.500
12.01
18.44
24.79
О
1.581
1.196
0
0
0
1.794
1.425
0.818
0
0.816
2.134
3*
4
T
3.181
9.564
14.81
17.41
19.47
24.86
3.190
9.605
14.30
18.50
24.86
164

Исследование уравнения D1.12), проведенное способом, из-
ложенным в § 35, позволяет установить значение а* предель-
ного угла раствора клина, обладающего тем свойстном, что
при а<^а* изгибающий момент в угловой точке клина равен
нулю (при а>а* он неограниченно возрастает). Численные
расчеты приводят к следующим результатам: <**|_i =1.677,
1 = 1.656.
'"з
Приведем в заключение асимптотические форлулы для боль-
ших по модулю корней уравнения ch z -f- az2 -f- b = 0:
— b), x ж 2Ы — ^1 (ft > 5).

Часть III
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАНКЕЛЯ
Преобразованием Ханкеля функции /(г), заданной при
называется интеграл
00
\f(r)JA*r)rdr @<Х<оо, v>-l) A)
о
[/,(ж)— функция Бесселя].
Если /(г) кусочно непрерывна в любом конечном проме-
жутке, принадлежащем интервалу @, оо), и интеграл
00
]\f(r)\s/Fdr B)
о
сходится, то преобразовавие Ханкеля существует.
Для функций /(г), удовлетворяющих, кроме того, условиям
Дирихле в любом открытом промежутке 0<г<С#, справед-
лива формула обращения Ханкеля
@<r<oo), C)
представляющая функцию /(г) через ее преобразование Хан-
келя /(X).
Формулы A) и C) могут быть записаны в виде одного раз-
ложения *
00 00
/(г) = J /, (Xr) XdX J /(р) /,(Хр)рйр @<г<оо). D)
о о
Формулы C) и D) имеют место в точках непрерывности
функции /(г); в точках разрыва нместо /(г) следует брать полу-
1
* Строгий вывод формулы D) дан в [16].
166

G помощью ивтегрального преобразования Ханнеля можно
получить точные решения различных краевых задач теории
упругости для полупространства и неограниченной толстой
плиты (упругого слоя).
В третьей части настоящей книги рассмотрена первая и вто-
рая основные задачи для упругого слоя, а также соответствую-
щая смешанвая задача.
Наряду с этим преобразование Ханкеля успешво использо-
вано и в более сложных смешанных задачах, когда на одной
из границ слоя имеется круговая линия раздела "краевых усло-
вий. В задачах этого класса применение разложения Ханкеля
хотя и не дает возможности получить точвых решений, однако
позволяет свести задачу к так называемым парным интеграль-
ным уравнениям. Последние с помощью специального приема
сводятся к интегральному уравнению Фредгольма, допускаю-
щему эффективное численное решение. С помощью описанной
методики рассмотрены, в частности, следующие задачи: круче-
ние упругого слоя, контактная задача для упругого слоя, а также
концентрация напряжений около плоских круглых щелей.
Глава VII. ДЕФОРМАЦИЯ УПРУГОГО СЛОЯ
§ 42. Сведение первой основной задачи для упругого слоя
к краевым задачам математической физики
При применении интегрального преобразования Ханкеля
к пространственным задачам теории упругости мы будем широко
пользоваться функциями вапряжений.
Известно, что в плоских и осесимметричных задачах реше-
ние уравнений теории упругости можно выразить через одну
бигармоническую функцию. Однако даже и в этих случаях
иногда удобвее пользоваться не одной бигармонической функ-
цией, а несколькими гармоническими функциями напряжений.
В настоящей главе будут рассмотрены различные случаи де-
формации бесконечного упругого слоя, причем во всех задачах
будет применяться известное представление Папковича—Ней-
бера перемещений и напряжений через четыре гармонические
функции: Фо, Ф1( Ф2, Ф3. Приводим соответствующие общие за-
висимости для перемещений (F = Фо -{- хФг -f- уФ2 + Ф)
2Gh = —g-
2Gv = — -?-
ду
D2.1)
16 7

и напряжений:
дх
ду
д*ф3
дхду)'
D2.2)
дх ' <?j/
¦+•3").
dz
D2. 3)
(G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона).
Выражения для касательных напряжений т и хгя. записаны
в виде, специально приспособленном к решению краевых задач
для упругого слоя, в которых ось z направлена перпендику-
лярно граничным плоскостям.
В дальнейшем будет показано, что, пользуясь произволь-
востью одной из функций Папковича—Нейбера, можно свести
к линейным краевым задачам математической физики как пер-
вую и вторую основные задачи для упругого слоя, так и сме-
шанную задачу.
В настоящем параграфе мы рассмотрим первую основную
задачу, т. е. случай деформации упругого слоя под действием
приложенных к его граничным плоскостям (z=+A) внешних
усилий.
Граничные условия имеют, следовательно, вид
(г, 9. z — цилиндрические координаты).
Заметим, что во всех задачах, рассматриваемых в этой главе,
предполагается, что на бесконечности (г—»• оо) все функции
1
напряжевии имеют
порядок —,
а их производные — порядок
168

-2, что обеспечивает должное поведение перемещений и на-
пряжений на бесконечности.
Поскольку одна из четырех гармонических функций Фо, Фр
Ф2, Ф3 является произвольной, можно дополнить D2.4) еще
двумя какими-либо условиями. В данной задаче удобно принять
*U» = 0. D2.5)
Тогда из D2. 3) сразу находим раздельные краевые условия для
функций Ф, иФ;
дг
2A—V)
dz
1
,±*
2A—V) * '
D2.6)
так что гармонические функции Ф1 и Ф2 могут считаться най-
денными в результате решения задачи Неймана для слоя (со-
ображения относительно разрешимости этих задач см. в § 43).
Вводя вместо Фо еще одну гармоническую функцию
Ф4 = A-2»)Ф,-^, D2.7)
находим из оставшихся краевых условий, что гармонические
функции Ф3 и Ф4 должны удовлетворять следующим граничвым
условиям:
D2. 8)
Точное решение последней краевой задачи можно получить,
если представить искомые функции в виде разложении н ряд
Фурье по угловой координате <р и в интеграл Ханкеля по пере-
менной г. В самом деле, полагая
4 = 2
е<№?
00
D2. 9)
и разлагая известные функции /i*2(r, <p) в ряды Фурье по углу <р
и интегралы Ханкеля по координате г, из D2.8) сразу получим
систему четырех уравнений для неизвестных величив А% 4 и
В* 4, после чего фувкции Ф3 t, а также Ф„ могут считаться
наиденными.
Более детальные выкладки будут проведены в следующем
параграфе. Здесь же мы ограничимся простым примером.
16»

а именно дадим решение классической задачи Буссинеска о дей-
ствии нормальной сосредоточенной силы на упругое полупро-
странство (z ^ 0). В этом случав граничные условия D2.6) и
{42.8) ставятся при z = 0, и так как касательных усилий на
границе не прикладывается, то
Ф, = Ф2 = Ф,==0. D2.10)
Для гармонической функции Ф3 имеем граничное условие
\г=0
где напряжение а0 соответствует заданной сосредоточенной
силе Р, приложенной в начале координат.
Полагая н силу осевой симметрии
j D2.12)
о
имеем из D2.11)
D2.13)
о
откуда по формуле обращения Ханкеля
D2.14)
Распределяя силу Р по окружности малого радиуса е и осу-
ществляя предельный переход е —> 0, находим
А» = Ш- <42Л5>
Подстааовка D2.15) в D2.12) приводит к выражению для
-функции Ф3 в явном виде
<D. = ?.r=L=-. D2.16)
Теперь легко получить нормальные напряжения
<?Ф« <?2Фо 3Pz;i
о, = -г2-— z-r-?- = ...
dz dz* 2я (^r2 + Z*)
Наконец, составляя фувкцию
~~ZTx 2^(^24- г*?'
170

находим касательные напряжения
дФ ЪРхг* дФ
D2. 19)
§ 43. Равновесие упругого слоя при заданных нагрузках
В предыдущем параграфе была разработана схема решения
первой основной задачи теории упругости для слоя.
При фактическом проведении выкладок удобно разбить
общую задачу на две: симметричную и антисимметричную от-
носительно срединной плоскости
(z = 0) упругого слоя.
В первом случае[рис. 28, (А)\
имеем зависимости
h
1—
A*.
'h
Рис- 28-
так что достаточно использо-
вать краевые условия только на
одной из плоскостей слоя (z=h) и одновременво учитывать
условия симметрии. Например, гармонические функции Фу и Ф2,
определяемые из условий D2.6), будут, очевидно, четными,
а Ф, и Ф^— нечетными функциями координаты z [см. D2. 8)|.
Нетрудно видеть, что услония статики
оо 2» оо 2л
ntxrdrd<? = 0, \ \ •zgrdrdf = O D3.2)
оо оо
обеспечивают разрешимость задач Неймана, сформулировавных
для функций <5j и Ф2. Не принодя решения этих задач, обра-
тимся к нахождению гармонических функций Ф3 и Ф4 из усло-
вий D2. 8). Положим
00 <*>
Ф3 « = 2 ein<f\Al4(k)shlzJa(kr)\d\. D3.3)
* п=—no J
Тогда из D2. 8) получаем систему QJi = [i)
А% sh [i. — i4jn ch |x = /",
Л» ch ji -f- A\ (ch [x — p sh fi)=—/»,
где
оо 2к
D3.4)
D3.5)
о о
171

Здесь и в дальнейшем предполагается, что двойные преобра-
зования последнего типа существуют как для заданных гра-
ничных функций, так и для всех искомых величин.
Находя из D3. 4) значения А% и А%
(chft
chfishfi + A
D3. 6)
и подставляя их в D3. 3), получим решевие поставленной задачи.
В тех случаях, когда вычисления несобственных интегралов
можно производить по теореме о вычетах, необходимо распо-
лагать корнями уравнения ch (ish \i-f- \i = 0 (см. табл. 1 главы I,
составленную для аналогичной плоской задачи).
В качестве примера рассмотрим сжатие слоя двумя сосре-
доточенвыми силами Р, приложенными по оси z. Так как в этом
случае тя = т =0, то Oj = «I>2 = 0. Правые части граничных
условий D2.8) имеют значения
Л (г, <Р) = 0, /,(г, ?)==°(г), D3.7)
где напряжение о(т) соответствует сосредоточенной силе, т. е.
5 = _?. D3.8)
Таким образом, А% = А% = 0, re^l,
40_ Ph ch^ Ип_ ph , shy. ..o q
3 2л ch fi sh (i. + (i' * 2яA. ch|ish|i+(A* v ;
He выписывая общего решения этой задачи, приведем вы-
ражение для сжимающих напряжений в средней плоскости слоя
4>=^>.L,= —?<*• + «•> U=
?.(¦>*)¦¦*• <43-10>
Аналогичным образом можно дать решение соответствующей
антисимметричной задачи [рис. 28, (В)]. Граничные условия
будут

Так как функции Фг и Ф2 нечетны по координате z, то для
них можно поставить краевые условия
дФ,
!=h 2(l-v) V
D3.12)
после чего решение легко получается с помощью преобразова-
ния Ханкеля, если положить
Ф12= 2 е"*(л» 2(X)shXz/B(Xr)XdX. D3.13)
В силу четности по z функций Ф3 и Ф4 будем иметь
D3. 14)
причем А* и 4J находятся из системы [см. D2. 8)]
j4j ch p. — 4j[i sh p. = /j1,
A* sh p. -f- Л* (sh p. — p. ch p.) =—/f
D3. 15)
с определителем ch[xsh[j. — p., корни которого даны в табл. 1
(глава I).
Можно показать, что условия статики
о о
оо 2тс оо %ъ
= 0 D3.16)
о о
о о
обеспечивают сходимость несобственных интегралов, получаю-
щихся для напряжений, а также для перемещений гг и v. Что
касается перемещения w, то его вообще нельзя предстаиить
интегралом Ханкеля.*
* См. [67, стр. 187, 188J, а также § 22 данной книги.
173

§ 44. Вторая основная задача теории упругости
для слоя
Переходим к решению такой задачи, когда на граничных
плоскостях z = 0 и z = h упругого слоя заданы перемещения
D4.1)
Пользуясь произвольностью одной из четырех входящих
в формулы D2. 1) гармонических функций Папковича—Нейбера,
поставим еще следующие два дополнительных условия:
^U = 0, *"U = 0, Р = Ф0 + хФ1 + уФ2 + гФ3. D4.2)
Тогда из D2. 1) и D4. 1) сразу получаем граничные условия
первого рода для функций Ф, и Ф2
ф | — ¦
Guo
Gtt*
2A--
2(l-v) '
-и*-*— 2A-v)
ф I — Gv»
2l»=*— 2A —v) • J
D4.3)
так что эти функции в дальнейшем считаются найденными путем
решения задачи Дирихле для слоя.
Оставшиеся краевые условия приводят нас к следующим
условиям для функций Фо и Ф3:
фо Lo = -
[C _ 4v)
Ф3
= 2Gw0 + ±
=/з ('. т).
4- 4>
Очевидно, что при таких граничных условиях гармонические,
функции Фо и Ф3 могут быть найдены с помощью преобразова-
ния Ханкеля. В самом деле, если положить
o.»= 2
D4.5)
174

то иа D4.4) для величин А$ 3(Х) и В" 3(Х) получаются следую-
щие уравнения:
()
щие уравнения:
А% ch
C — 4v) (Л? ch XA -f Я; sh XA) — X (A» sh XA -f ?» ch XA) —
D4. 6)
— XA {A» sh XA -f fi» ch XA) = /»,
где
со 2п
о о
Исключая из D4.6) величины А* (к) и 5j(X), получаем для
4«?(Х) и -Sj (X) систему уравнений (ХА = р.)
»
1 -f [C — 4v) sh p. — p. ch p.j Л» = <|>;
где введены обозначения
A<J>" (p.) = p. sh p./? -J- p./? — |x ch p./", ]
/ Г44 9\
Аф? (p.) =r A ch p./" -J- A/j -J- p. sh р,/у. J '
Находя из D4.8) Aj и 5j, а из D4.6) —Aj и В; и под
ставляя их в D4.5), получим решение поставленной задачи.
Заметим, что определитель основной системы D4.8) равен
C — 4vJsh2p, — (Л
причем можно показать, что множители
C — 4v) sh p. — |х и C — 4v) sh p. -)- p.
соответствуют симметричной и антисимметричной задачам.
В тех случаях, когда вычисления полученных несобственных
интегралов можно производить с помощью теоремы о вычетах,
необходимо воспользоваться корнями уравнений
= 0, D4.10)
приведенными в табл. 2 (глава I), где аналогичная задача ста-
вилась для случая плоской деформации.
Обратимся теперь к частному случаю деформации, обладаю-
щей осью симметрии (Oz), и заметим прежде всего, что реше-
ние при этом может быть упрощено, а именно можно обойтись
175

только двумя гармоническими функциями / и ш Папковича—
Нейбера, положив*
„=«_** в,= #+C-4v)<d_*? D4.11)
Г дг дг ' ' dz ' v ' dz v '
(ыг, ггГ — перемещения в направлении осей цилиндрических
координат).
Проведем выкладки для конкретного случая, когда слой
с закрепленными гранями деформируется осевой силой (рис. 29).
Разбивая каждое из переме-
щений иг и и, на два слагаемых:
г *
/у//////////////////////////,
z"h
'//////////////////////////у zh где Цн) и Ua0—перемещения, со-
здаваемые такой силой в неогра-
Рис. 29. ничейном пространстве,
V } D4-13)
получим для иг1 и ил граничные условия
~"~~ Г ' D4.14)
Будем представлять перемещения вг1 и ил через функции / и ш
с помощью формул D4.11). Из соображений симметрии имеем
m
/= j M(\)sh\zlo(kr)db, <*>=\N (k)ch\zjo(\r)\d\, D4.15)
и
после чего граничные условия дают для М и 7V следующую
систему уравнений (XA = [i):
М shu.4-7ViJ.chfx = /1, )
) D4. 16)
—М ch p. -j- N [C — 4v)ch[i — [i sh p] =/2, j
* Сказанное относится также и к первой основной аадаче, разобран-
ной в предыдущих параграфах.
276'

где
о
оо
ft=\f,(r)
D4.17)
Определитель системы D4.16) равен
C — 4v) ch p. sh [i -f- p.,
как и должно быть, так как рассматриваемая задача антисим-
метрична по координате г.
После некоторых выкладок окончательное решение задачи
дается следующими квадратурами:
dp,
f ^ 1 C — 4v)ch(i
о
Q f (i-f C — 4v)e"llshu. , z T ( r\,
A J C — 4v)ch(j-sh(i+ (jl "A °\r h/ r
D4. 18)
§ 45. Деформация упругого слоя при смешанных
краевых условиях
Переходим к рассмотрению упругого равновесия слоя, на
одной из граничных плоскостей (z = 0) которого заданы пере-
мещения
И1^о = ио(г' Т). »\r=o = »o(r> <P). wUo = ">o(r' ?)> D5Л)
а на другой (z = A)— напряжения
=ty(r' ?)• D5-2)
Как и в более простых задачах, мы будем пользоваться
формулами D2.1)—D2.3), выражающими упругие смещения и
напряжения через четыре гармонические функции: Ф„, Фх, Ф2, Ф3.
В качестве дополнительных условий выберем следующие
два соотношения:
и = 0, D5.3)
D5.4)
177
12 Я. С. Уфлянд

Использование условий D5.1)—D5. 3) приводит прежде всего
к смешанным граничным условиям для Ф} и Ф2:
2(l-v) •
2A -v) • дг
2A -
г=а 2A -v)
D5.5)
Гармонические функции Фг и Ф2 легко могут быть найдены
с помощью преобразования Ханкеля, если положить
D5. 6)
В самом деле, подстановка D5.6) в D5.5) и применение
формул Фурье и Ханкеля немедленно дает следующие значе-
ния величин А* ,, и В* ,: *
со 2л
И
о о
00 2»
о о
со 2»
о о
СО 2»
о о
(Xr
= i S S в"%('1. Т) /,
D5.7)
Если считать функции Ф! и Ф2 найденными, то для двух
других гармонических, функций Фо и Фа находим следующие
неразделенные краевые условия:
¦ * ¦ Предполагается, что заданные функции и0, i?0, тж, т„ удовлетво-
ряют некоторым общим .условиям, . обеспечивающим сходимость интегра-
лов D5.7). '. • ' ¦
/78

Uo = — 2A ч
= Л <г. ?>•
2 A -
»>•
= ^4 (г, ч>).
D5.8)
Точное решение полученной смешанной задачи также по-
лучается с помощью преобразования Ханкеля. Полагая
Фо=
Ф3=
\(Anosh\z-\-Bnoch\z)JKCkr)d\,
-со О
и подставляя D5. 9) в D5. 8), находим
\Щ = П (X), C — 4v) 4g - 45 = /8 (*).
D5.9)
D5. 10)
после чего для величин А% и Щ получается следующая система
уравнений (р. = ХА):
-[A — 2v) sh v- -f- (i ch (i| 4§ -f-12 A — v) ch |i — p. sh |i| B% =
—[2A—
D5. 11)
где положено
D5.12)
12*

и через /2(&=1, 2, 3, 4) обозначено преобразование Фурье—
Ханкеля от функции Fk(r, <p)
со 2л
fiM = 4z \\ F*(r> 4)e-iw?]»{*-r)rdrd<?. D5.13)
о о
Так как определитель основной системы
C — 4v) shV + p.2 + 4 С1 — vJ
пропорционален выражению
1*%±???.. №,4,
то для вычисления получающихся несобственных интегралов
с помощью вычетов (если это возможно-) надо пользоваться
той же табл. 4 (§ 5) корней уравнения /(р.)—О, что и в слу-
чае плоской деформации полосы.
На этом мы заканчиваем общее решение смешанной задачи
для упругого слоя.
§ 46. Функция Грина для слоя с закрепленным основанием
Пусть нижнее освование z = 0 упругого слоя жестко скреп-
лево с неподнижвым телом, а в точке @, 0, k) верхнего осно-
вания приложена сосредоточенная сила (рис. 30).
Разобьем решение такой задачи на два слагаемых, одно из
которых пропорционально величине 7\
i а второе — величиве Р.
_ Решение первой задачи получает-
¦ ся как частный случай общего случая,
рассмотренного в предыдущем пара-
графе, если положить'
0
V/////////////////////
ио=ро = и>о = в = т =0. D6.1)
Рис. 30. При этом из D5. 5) сразу следует, что
Ф2=0, Л? = 0|см.D5. 7I.
Распределяя силу Т по кругу радиуса е и осуществляя
предельный переход е-»•(), находим
0,
1_ п = 0 D6-2)
Таким образом, функция Фг дается выражением
<46-3>
180

Переходим к определению функций Ф3 и Ф4. Так как пра-
вые части условий D8. 8) в данном случае имеют вид
= r cos
* 2A — v) v*l*=*>
то вместо D5. 9) удобнее положить
D6.4)
Фо = cos <р \ Ао sh Хг/, (Хг) dX,
о
со
Ф3 = cos <p J (A, ch Хг -\- В3 sh Хг) 7, (Xr) XdX.
D6.5)
Опуская довольно громоздкие выкладки, приведем сразу
выражения для правых частей основной системы D5.11)
а также заметим, что
A—
D6.7)
Полное решение задачи получится теперь, если подста-
вить D2.6) в D5.11) и найти величины As и Ва путем реше-
ния системы D5.11).
Приведем без выкладок выражение для нормальных напря-
жений в заделке
_ Г A-у)
COS '
— 2v) sh
D6. 8)
Переходим теперь к определению той части решения, кото-
рая связана с осевой силой Р.
Так как при этом деформация осесимметрична, то удобнее
воспользоваться не общими формулами § 42, а следующими
Ш

выражениями, представляющими перемещения и напряжения
через гармонические функции / и Ф:
Граничные условия
вг u=°. u. U=°. %. U=о. °* U=° @. D6-10)
где аапряжение а (г) соответствует сосредоточенной силе Р,
могут быть записаны в такой форме:
дг
= 0, [C-4,)Ф_4]_ = 0,
D6.11)
/= j .4shXz/0(Xr)dX,
Полагая
Ф = j E ch Хг -f- С sh Хг) /0 (Хг) XdX,
получаем (ц = ХЛ)
C — 4v) 5 — Л = О,
2A — v) (fish [i + С ch (i) — .4 sh ^ — p. (fi ch p + С sh p.) =
= 0.
D6. 12)
A — 2v) Ech [i + С sh p.) —
D6. 13)
Распределяя силу Р по кругу радиуса е, совершая предель-
ный переход е-» 0 и исключая величину А, получаем для ве-
личин В а С систему
на чем общее решение задачи можно закончить.
182

Выражение для нормальных напряжений в заделке имеет вид
Р A — у) г ^ sh[x -\- 2A — у)
^ C _ 4 • " • " •
Так как, по существу, и точка приложения силы, и ее ве-
личина выбирались произвольными, то решение данной задачи
дает функцию Грина для случая упругой деформации слоя
с закрепленным основанием.
Глава VIII. МЕТОД ПАРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 47. Кручение упругого елся
В предыдущей главе с помощью интегрального преобразо-
вания Ханкеля было дано точное решение некоторых задач
теории упругости для бесконечвого слоя. Во всех рассмотрен-
ных случаях считалось, что краевые условия одного и того же
типа заданы на всей граничной плоскости слоя.
Представляет интерес исследовать и более сложные смешан-
ные задачи, когда на данной границе слоя имеется некоторая
линия, разделяющая краевые уело- i
ния разного типа.
В том случае, когда такой раз-
деляющей линией является окруж-
ность, представляется удобным при-
менять к решению подобных задач
интегральное преобразование Хан-
келя; однако этот метод уже не
приводит к точному решению в квад- |
ратурах, как это было в более про- 'г
стых случаях, а лишь дает возмож-
ность свести задачу к так называ- с-
емым парным интегральным уравне-
ниям,- последние в свою очередь с помощью специального при-
ема сводятся к одномерному уравнению Фредгольма с вепре-
рывным ядром, допускающему эффективное численное решение.
Простейшей задачей такого сорта является рассматриваемый
в настоящем параграфе случай упругого равновесия неограни-
ченного слоя, скручиваемого посредством поворота сцепленвого
с ним жесткого цилиндрического штампа с плоским основанием
(рис. 31).
Введем цилиндрические координаты (г, <р, z) и предполо-
жим, что одна гравичная плоскость (г = /г) слоя закреплена,
а другая (г = 0) подвергается скручиванию по площадке
№

Поставленвая задача сводится, очевидно, к определению
единственной отличной от нуля компоненты смещения »,,=
= ц(г, г), которая удовлетворяет уравнению
и граничным условиям
где е — угол прворота штампа.
Последнее из условий D7. 2) получено приравниванием нулю
касательного напряжения
на плоскости z = 0 вне штампа (G — модуль сдвига).
Таким образом, окружность z = 0, r = a является линией,
разделяющей область заданного перемещения от области за-
данного напряжения.
Заметим еще, что на бесконечности (г->со) величина сме-
щения и должна оставаться ограниченной.
Представив функцию и (г, г) в виде интегрального разложе-
ния Ханкеля по функциям /, (Хг)
со
u(r, z)=\A(l) ShX2hx~z) I, (Xr)dk, D7. 4)
о
мы удовлетворяем дифференциальному уравнению D7. 1) и гра-
ничному условию D7.2) на плоскости z^h.
Подставляя выражение D7.4) в смешанные краевые усло-
вия D7.2) на плоскости z = 0, мы приходим к двум интегралы
ным уравнениям относительно одной неизвестной функции А (X).
Эти уравнения, обычно называемые парными (дуальными) инте-
гральными уравневиями, в рассматриваемом случае имеют
следующий вид:
= tr, 0<r<a, D7.5)
= O, а<г< оо. D7.6)
Пользуясь методикой, развитой в работах [52, 157], пока-
жем, что эти парные уравнения можно свести к интегральному
уравнению Фредгольма.
184

Представим искомую величину А(к) в виде интеграла от
новой неизвестной функции ср(?)
а
А (к) = thkh \ «р (t) sin Udt. D7. 7)
о
Для заковвости дальвейших операций как в этой, так и в по-
следующих задачах настоящей главы достаточно предположить,
что функции f(t) и (^(t) непрерывны в замкнутом промежутке
0<<
одставим D7. 7) во второе парное уравнение D7. 6) и запи-
шем его в следующем виде:
J0(Кг) sin Udl = 0, а<г< со. D7.8)
о
Так как [16]
О, г>*.
70 (Xr) sin Ш\ =
• г<«,
то уравнение D7.6) удовлетворено тождественно для любой
функции «р@ рассматриваемого класса.
Обратимся теперь к первому из парных уравнений D7. 5).
Подставляя в него выражение D7.7), разбивая th \h на два
слагаемых 1 r-jr и пользуясь формулой |16J
00
J, r>t, D7.10)
получаем
f
7-f S=W dt~ i?W* Jmf/,(^)sin^X = w. D7.11)
Делая в первом из полученных интегралов замену переменных
t = r sin 6, используя во втором интеграле известное представ-
ление
2
2
х (Xr)=-|- J sin (kr sin 6) sin 6d6, D7.12)
185

можво преобразовать равенство D7.11) к виду
{«
<p (r sin 6) —. 1 j у (*) [G («— sin 6)
о
— G{t + r sin 6)]dqde = era, 0<r<a, D7.13)
где введено обозначение
G\y)=\-?^cos\ydl. D7.14)
о
Полагая
L±\ \ D7.15)
мы можем записать D7.13) в виде ураввевия
F (г sin 6) d6 = / (г) = ег2, . D7.16)
являющегося частным случаем интегрального уравнения Шле-
мильха.
Так как непрерывное решевие уравнения Шлемильха дается
формулой [52]
2
2
/@) + * $/'(я sin 6).d6
о
то мы приходим к следующему равенству:
D7.17)'
?(x)-±\<?(t)\G(t-x)-G(t+x)\dt = ±ex D7.18)
являющемуся интегральным ураввением Фредгольма относи-
тельно искомой функции <р (х).
Таким образом, решение поставленной задачи дается фор-
мулами -D7.4) и D7.7), причем функция f(t) должна быть
найдена из интегрального уравнения D7. 18). Заметим, что не-
прерывное симметричное ядро D7. 14) этого уравнения может
№

быть выражено через логарифмическую производную гамма-
функции
D7.19)
Остается теперь ыыразить входящий н решение неизвестный
угол поворота штампа е через заданное значение крутящего
момента М, где
e2it
М = — J J т9, |к=0 r2drdf. D7. 20)
о в '<а
Оказывается, что напряжение под штампом может быть непо-
средственно выражено через функцию <p(t). В самом деле
[см. D7.9)|
г<а
. D7.21)
Подставляя D7. 21) в D7. 20), приходим к простому соотно-
шению
'М = 4«G j tf (t) dt. D7. 22)
и
Вводя вместо cp(f) безразмерную функцию
получаем из D7. 22) требуемую снязь между углом е и момен-
том М
D7.24)
Для получения численных результатов необходимо прежде
всего дать приближенное решение основного интегрального
187

уравнения D7.18), которое может быть переписано в безраз-
мерной форме
D7.25)
4
a
Заменяя значение интеграла в D7.25) его приближенным
значением по какой-либо квадратурной формуле, приводим
задачу определения основной
функции со (т) к решению си-
стемы линейных алгебраичес-
ких уравнений, что дает воз-
можность составить таблицу
значений этой функции с не-
обходимой степенью точности.
Результаты расчета для слу-
чая, когда промежуток делил-
ся на 10 частей и применя-
лась формула трапеций, при-
ведены в табл. 22, причем
рассматривалось два значе-
ния: р = 1 и р = 2 отношения
р =¦?-. В той же таблице даны
также значения коэффициента
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
а
Та
блица 22
р = 1
0
0.1076
0.2150
0.3221
0.4288
0.5348
0.6401
0.7447
0.8485
0.9514
1.054
0.3556
р = 2
0
0.1383
0.2752
0.4091
0.5388
0.6632
0.7813
0.8928
0.9976
1.096
1.189
0.4212
В
заключение
) имеем
теризующего связь угла пово-
рота е с приложенным моментом,
отметим, что для случая полупространства
что совпадает с известным результатом (см., например, (92J).
§ 48. Осесимметричная деформация упругого слоя
с круговой линией раздела краевых условий на одной
из граней
Переходим теперь к более сложной осесимметричной задаче
для упругого слоя, на граничной плоскости z = 0 которого
имеется круговая линия раздела краевых условий. Предполо-
жим, что на всей границе z = 0 слоя задано касательное напря-
жение тм, в то время как внутри круга z = 0, r = a известно нор-
мальное перемещение и;, а вне его — нормальное напряжение а#.
188

Если на второй границе слоя (z=h) считать заданными
осевое смещение и касательное напряжение, то граничные усло-
вия поставленной задачи имеют вид
V, |*=о = то (Г), т„ |в4 = х4 (г), и, |в4 = и;д (г),
Г<О
г>а
D8.1)
Для решения задачи воспользуемся представлением пере-
мещений и напряжений осесимметричной задачи, через две гар-
монические функции [ср. D6.9)]
D8. 2)
Граничные условия при z=A могут быть приведены к такому
виду:
..= 2A-,>?-?-,?. ' = *
2Gwk+ j
¦=ш,
2A -v)
Г
2G(l-2v)a;A-C-4v) J4(r)<*r
D8.3)
Если искать функции Ф(г, 2) и f(r, z) в виде интегральных
разложений Ханкеля
'= t |(XM+D)chX(A—;
D8.4)
го из D8. 3) находим значения С и D
С (к) = X sh ХА/„ D (X) = X sh ХА/„
D8.5)
где через /(X) обозначено преобразование Ханкеля от фувк-
ции/(г)
/(X)=J/(r)/0(Xr)rdr.
D8. 6)
18У

Существенно отметить, что при этом величины Л(Х) и
остаются неопределенными.
Подстановка функций Ф и F из D8. 4) в граничное условие
xr* L=o= хо (г) позволяет установить связь величин В и А
fi(X) = /3-j-(l — 2v — Х/г cth Х/г) Л (X), D8.7)
где
/3 (г) = J (С — D) cth Шо (Xr) dX — J г0 (г) dr. D8. 8)
Наконец, подставляя D8.3) в оставшиеся граничные усло-
вия D8. 1) при г = 0и учитывая связь D8. 7), после некоторых
выкладок приходим к парным интегральным уравнениям сле-
дующего вида:
D8.9)
48. 10)
(Xr)dX = *<г>-
где введены обозначения
U-\-shlhch\A
CD
J [D — C — 4v) С | cth Шо (Хг) Л,
D8.11)
D8. 12)
Парные уравнения D8.9) и D8. 10) можно упростить, если
разложить функцию <|>(г) в интеграл Ханкеля* и ввести обозна-
чение
D8.13)
* Доопределив ее каким-либо образом аа иромежутке 0 < г < о.
190

Тогда вместо D8. 9) и D8.10) получим
D8. 14)
\ /f ^Х) JoMd\ = 0, а<г<оо, D8.15)
о
где введена новая неизвестная величина Е (к):
Я(Х) = Л(Х)-$|1—?(Х)]. " D8.16)
Полученная система уравнений янляется частным случаем
более общей системы, когда функция Бесселя нулевого порядка
заменяется на функцию /в(Хг). Такой общий случай рассматри-
вается в § 50 настоящей главы. В § 47 мы имели дело со слу-
чаем га = 1 и другой функцией g(K), причем парные уравнения
были сведены к уравнению Фредгольма. Аналогичное сведение
может быть сходвым приемом осуществлено и примевительно
к парным интегральным уравневиям D8.14), D8.15).
Положим
а
= |l — g(k)] \<p(t) cos tidt D8.17)
и подставим D8.17) в D8.15). Имеем при г > а, используя фор-
мулу D7.9),
Х/о (кг) dX J <p (t) cos Udt = J Jo (кг) tp (a) sin Xa —
0 0 |_
a -l a>
— \ <p' {t) sin Udt dX = <p (a) ( 70 (кг) sin XadX —
J
0
a
-^ J <p' (t) dt | 70 (кг) sin Udt = 0.
70
Таким образом, второе парное уравнение D8. 15) удовлетно-
рено тождественно относительно функции <p(f).
Подстановка D8.17) в первое из парвых уравнений D8.14)
после перемены порядка интегрирования и использования фор-
мул [16]
[0. r<t,
/0(Xr) cos Udk= \ ,1 r ^ D8.18)
о
19J
GO
I

2
2
Iо №)=- \ cos (Xr sin 6) d6 D8.19)
0
приводит к соотношению
0 0 0
X cos (Xr sin 9) dX = z (r). D8. 20)
Если ввести в первом из полученных интегралов новую
переменную интегрирования ? = />sin9 и обозначить через G(y)
косинус-преобразование Фурье от функции у yg(X)
00
G(y)=\g(X) cos lydy, D8.21)
и
то D8. 20) может быть записано в виде
1 ,
J
о 1
о
— r sin b)dt\db = x(r). D8.22)
Полагая
? И-Т S V С) [G (t + *) -И? (t - *)] d< = F (x) D8. 23)
приходим к интегральному уравнению Шлемильха типа D7.16),
решение которого дается формулой D7.17).
После определения F(x) равенство D8. 23) можно рассматри-
вать как интегральное уравнение Фредгольма с непрерывным
симметричным ядром относительно неизвестной функции <p(t).
Для решения конкретных задач необходимо прежде всего
располагать значениями ядра полученного интегрального урав-
нения. Если ввести безразмерные величины
Т Т 4*(«). D8-24)
J92

го ядро уравнения D8.23) выражается через безразмерную
функцию
CD
к и=р \
cos
которую и надлежит табулировать во всем промежутке
^а^2 изменения ее аргумента.
"Таблица 23
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
0.5
0.5837
0.5828
0.5798
0.5750
0.5682
0.5598
0.5496
0.5378
0.5248
0.5104
0.4948
0.4784
0.4612
0.4434
0.4251
0.4065
0.3878
0.3691
0.3505
0.3322
0.3141
1.0
1.167
1.159
1.136
1.099
1.049
0.9897
0.9224
0.8502
0.7757
0.7010
0.6282
0.5587
0.4937
0.4339
0.3795
0.3308
0.2877
0.2498
0.2168
0.1883
0.1640
1.5
1.751
1.725
1.649
1.531
1.384
1.220
1.051
0.8894
0.7406
0.6090
0.4962
0.4021
0.3252
0.2635
0.2148
0.1767
0.1472
0.1243
0.1065
0.09253
0.08162
2.0
2.335
2.273
2.099
1.845
1.551
1.256
0.9875
0.7591
0.5753
0.4336
0.3279
0.2512
0.1962
0.1571
0.1291
0.1088
0.09393
0.08269
0.07371
0.06636
0.06026
2.5
2.919
2.799
2.474
2.033
1.571
1.158
0.8269
0.5816
0.4098
0-2946
0.2186
0.1690
0.1360
0.1137
0.09751
0.08504
0.07524
0.06722
0.06053
0.05454
0.04958
з.и
3.502
3.297
2.767
2.103
1.481
0.9922
0.6504
0.4296
0.2944
0.2130
0.1632
0.1320
0.1106
0.09489
0.08251
0.07268
0.06422
0.05702
0.05113
0.04597
0.04145
1 3
В табл. 23 даны значения ядра К (и) для р=-=-, 1, у, ..., 3.
В следующем параграфе эти данные используются в кон-
тактной задаче для упругого слоя.
Заметим, что при малых значениях параметра р решевие
рассматриваемого уравнения может быть построено в виде раз-
ложения по степеням этого параметра.
§ 49. Осесимметричная контактная задача
для упругого слоя
Рассмотрим упругое равновесие неограниченного слоя, лежа-
щего на жестком неподвижном основании и деформирующегося
под действием кругового в плане жесткого штампа. Предпола-
13 Я. С. Уфлянд
193

гается, что штамп ограничен поверхностью вращения и вдавли-
вание осуществляется осевой силой. Будем считать, что трение
между штампом и слоем, а также между слоем и основанием
отсутствует, хотя предлагаемый метод допускает распростране-
ние и на более сложные случаи (см., например, § 52, где слой
и оснонание считаются жестко сцепленными).
При сделанных предположениях граничные условия постав-
ленной контактной задачи имеют вид
,-,=»-x(r). -,U=°. * D9Л)
r<a r>a
где 8—осевое смещение штампа, %(r)— кривая, определяющая
форму поверхвости штампа. Радиус а штампа считается задан
ным, что при неплоском основании соответствует случаю пол
ного погружения иод действием достаточно большой силы Р.
При веполвом погружевии задача осложняется тем обстоятель
стном, что радиус площадки контакта заранее неизвестен и его
требуется определить из условия непрерывности нормальных
напряжений в точках окружности г = а.
Сравнивая D9. 1) с D8. 1), видим, что рассматриваемая ков-
гактная задача для слоя является частным случаем более общей
смешанной задачи (см. § 48), когда в граничных условиях D8. 1)
положено
W~ (Г) — о — у [Г 1 f4У ЛI
ид п и ' О V / л. V /• V /
Используя полученные в § 48 результаты, имеем выраже
иия D8. 4) для функций напряжений Ф и F, в которых следует
положить С = D = 0. При этом величина В (к) выражается фор-
мулой D8.7):
В(к) = A — 2v — lhcth\h)A(k), D9.3)
иеличина А (X) — формулой D8.17):
а
А (к) = [1 — g (к)] \ <р (t) cos Udt,
о D9.4)
g\ > = lh+chlhsh\h'
где функция <f(t) должна быть вайдева в результате решения
интегрального уравнения Фредгольма D8. 23)
л
D9.5)
(О < х < а).
194

Правая часть Последнего уравнений находитсй йЗ фор-
мулы D7.17) при
а ядро G(y) дается формулой D8.21).
Обратимся к случаю штампа с плоским основанием (см. рис. 32
при хо=0), когда
х(г)==0, /И=Т?7, р(*)=1ЩГ^)' D9>6)
и введем безразмерные переменные
Т ^^1 ——•
а '
после чего основное интегральное уравнение D9. 5) принимает
вид
D9.8)
где табулированное в § 48 ядро К {а) выражается форму-
лой D8. 25).
В табл. 24 приведены соответствующие данные для ша (т)
при значениях отношения Р=-г радиуса штампа к толщине
слоя от р = 0 до р = 3 с шагом 0.5, причем интервал 0 ^т ^1
делился на 10 частей.
Таблица 24
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
о.ь
1.530
.529
.527
.523
.518
.511
.503
.494
.484
1.472
1
.460
1.0
2.353
2.348
2.333
2.307
2.272
2.228
2.176
2.118
2.054
1.986
1.915
1.6
3.320
3.308
3.272
3.212
3.129
3.025
2.902
2.763
2.611
2.454
2.290
2.0
4.321
4.303
4.246
4.153
4.022
3.854
3.650
3.416
3.157
2.884
2.608
2.5
5.325
5.301
5.228
5.105
4.930
4.701
4.417
4.081
3.702
3.297
2.889
3.0
6.324
6.295
6.207
6.057
5.842
5.556
5.195
4.756
4.250
3.699
3.142
Интересно отметить, что многие существенные для прило-
жений величины могут быть выражены непосредственно через
13*
193

функцию <?(t), минуя промежуточные формулы, что особенно
удобно при применении численных методов. Так, например,
воспользовавшись формулой
о!
со
= \
а
<Р V) cos Udt D9. 9)
о
и учитывая D7.9), легко получаем следующее простое выра-
жение для распределения нормальных напряжений под штампом:
<4910>
справедливое для общего случая неплоского штампа.
Заметим, что в случае неполного погружения штампа с не-
нлоским дном из формулы D9. 10) получается дополнительное
уравнение
?(а) = 0, D9.11)
вытекающее из условия непрерывности нормальных напряже-
ний на плоскости г = 0 и необходимое для нахождения неиз-
вестного радиуса а площадки контакта.
Интегрируя выражение D9. 10) по площади круга радиуса а
и приравнивая результат величине приложенной силы, полу
чаем соотношение
а
\ D9.12)
из которого необходимо найти величину 5 осевого перемеще
ния штампа.
Для рассмотренного выше случая илоского штампа D9.12)
принимает вид
^( D9.13)
С помощью последней формулы, располагая табл. 24 значе
ний функции и>,(т), легко получить численную связь перемеще-
ния 8 и силы Р для различных значений отношения Р~~г Ра~
196

диуса штампа к высоте слоя. В табл. 29 приведены значения
коэффициента ха
Остановимся несколько подробнее на предельном случае
р = 0(Л=оо), соответствующем хорошо изугешюй задаче об
осевом вдавливании штампа в упругое полупространство. В этом
случае
#(и)==0, «>a(t) = l, *, = 1 D9.15)
и формула D9.5) дает явное выражение основной искомой
функции
?(x) = F(x)=± /(O)-f*
sin
D9.16)
Из D9.16) и D9.12) непосредственно определяется связь
между перемещением штампа 8 и силой Р
= . _v-1 8 — \ X (a sin 6) sin
D9.17)
В случае неполного погружения, штампа с неплоским основа-
нием к этому соотношению добавляется еще уравнение D9.11),
принимающее в данном случае вид
D9.18)
Из равенств D9.17) и D9.18) должны быть найдены вели-
чины перемещения штампа S и радиуса о площадки контакта.
Формулы D9.17) и D9.18) позволяют для заданного радиуса
1птампа о0 находить предельное значение силы Ро, начиная
с которого происходит полное погружение штампа,
/>,== 12? J |вЛ' (а0 sin 6) - sin 0X К sin 9)] db. D9.19)
о
197

В заключение приведем еще формулу нормальных напря
жеяий в зоне контакта для общего случая неплоского штампа,
погруженного в упругое полупространство:
2G
8 — а 5 х' (a sin б) db
+SS
sin 6X (* sin 6) db
dt
\/fi -
D9. 20)
§ 50. Общая смешанная задача для упругого слоя
Рассмотрим упругое равновесие неограниченного слоя 0 <^
<Ir<Coo, 0<^<p<12it, O^z^A (г, <р, г — цилиндрические коор-
динаты) при следующих условиях: на грани z = h задано нор-
мальное перемещение w; на плоскости z = 0 внутри некоторой
окружности радиуса г=а также задано смещевие w, вне ее —
нормальное напряжение зг; наконец, на обеих граничных плос
костях слоя задаются касательные напряжения ххг и т
Таким образом, задача состоит в нахождении решений урав-
нений теории упругости при следующих краевых условиях:
w
= wh (г, <р), х„ ид = тжД (г, 9),
w ,=0 = i
r<0
L-0
= Т^0 (Г,
I |
, <p), E0. 2)
(r, <p). E0. 3)
При решении задачи мы будем пользоваться формулами
Папковича—Нейбера
= -?+4A-')Ф„ ^' = Фо
!+гФ3,
E0. 4)
представляющими решение уравнений Ляме черев четыре гар-
монические функции: Фо, Ф,, Ф2, Ф3 (G — модуль сдвига).
Приведем также формулы для вапряжений, входящих в гра-
ничные условия:
198

^ _-__|_2(l v)—i t -
•x dx < ^ ' dz ' V' d.
E0. 5)
где v — коэффициент Пуассона.
Сохраняя в принятом решении все четыре функции напря-
жений и присоединяя к условиям E0.1)—E0,3) два дополви-
тельных соотношения:
Ф|л = 0, Фи = 0, E0.6)
мы сразу получаем из краевых условий,связанных с касатель
иыми напряжениями, две раздельные задачи Неймана для
функций Ф) и Ф2, в силу чего эти дне функции в дальнейшем
считаются извествыми. Заметим, что условия разрешимости
этих задач эквивалентны условиям статики, которым должны
быть подчинены заданные ва границах слоя касательные на-
пряжения.
Остальным граничным условиям задачи можно удовлетво
рить, если подчинить гармонические фувкции Ф3 и Ф4 следую-
щим условиям: *
-7)
' 8)
Л 2A -
2A -v) •
1A - 2>
- 4v) Ф3
U
* Предполагается, что все искомые фуакции имеют на бесконечности
порядок —. Наряду с этим во всех задачах главы VIII считается, что
выполнены некоторые условия ва линии г = 0, г=а раадела граничных
условий (см. \ 57).
№

Представляя гармонические функции Ф3 и Ф4 в виде
Ф3=
— z) + Cuch\(h—z)]X
4 = 2
shlA
E0. 11)
можно с помощью формул Фурье и Хавкеля* из условий E0. 7)
найти величины Сп(Х) и DK(\):
с« W = т&,х sh XA \
(Xr)rdr-
E0. 12)
Здесь и в дальнейшем величины с индексом (п) являются
коэффициентами разложения соответствующих функций н ряды
Фурье по угловой координате f.
Условие E0.8) позволяет выразить величину В (к) через
остальные искомые величины, после чего E0.9) и (эО. 10) при-
водят нас к следующим парным интегральным уравнениям
относительно основной неизвестной Ап(к):
= Xn(r), r<a,
E0.13)
Ш ' k
kh + sh Uchlh'
* Предполагается, что все функции разлагаются в соответствующие
ряды и интегралы.
200

Здесь величины х„(г) и <|>м(г) даются следующими формулами:
- j [2 A - v) С„ cth Kh + Я,| /, (Xr) dk,
о
X [с, + Еп cth ХА
E0. 14)
2A —V)
Заметим, что, разлагая функцию фи(г) в интеграл Ханкеля
(при r<ia ее следует доопределить), можно систему E0.13)
привести к следующему виду:
= тп(г), г<а,
= 0. г>а,
E0. 15)
где а)„(г)—известная функция, а Ф„(Х)—новая неизвестнвя
величина, связанная с Ап(К) простым соотношением
00
. Ф. (X) = Л„ (X) — [ 1 — ^ (X)l j ф. (г) /„ (Xr) rdr. E0.16)
Таким образом, рассматриваемая задача сведена к парным
интегральным уравнениям E0. 15).
При решении этих уравнений мы будем исходить из системы
парных уравнений более простого вида
/-(X)/и (Xr) dX = F,, (г), г<а;
= Q, r>a,
E0. 17)
201

точное решение которых дается формулой [162, т. 2, стр. 76, 77|
а
где
t
i t'yn @ = lim [x"Fn (x)\ -f-1 | (*2 — жа)-'/»[ж"У?„ (x)f dx. E0. 19)
*"* о
Обозначая . _" : через /В(Х), мы можем привести нашу
систему E0. 15) к виду E0. 17), причем правая часть будет
содержать неизвестную функцию Ф„(Х)
00 •
?„ (О = «>„ (r)-\-\g (X) Фя (X) /, (Xr) dX. E0. 20)
о
Подстановка E0. 20) в E0. 19) дает выражение
i
тс • I Г я— /2 2л Ч
I со
4- / \ х" (t2 - x*)-xi*dx \ g (X) /. (X) /„_, (\х) dX, E0. 21)
которое с учетом E0.18) представляет собой интегральное
уравневие относительно функции <fn(t). После замены пере-
мевных x — tsinb и исиользования интеграла Сонина A6|
/._./,(«)= /^/^(г sin 8) sin" ЫЬ, п >1 E0.22)
о
уравнение E0.21) можно привести к следующему окончатель
ному виду:
E0. 23)
ядро и свободный член которого имени вид*
• Замешм, что формулы E0,23; а E0.24) справедливы и для случая
я = 0 (ср. D8. 23>J.
eon

Ми (х, t) = n\Jxt\g (К) /,(_,/а (Хх) ]п_ч% (kt)Ы1,
и
1
t»Fn (t) = Jim [x"u)B (x)j -f га*" \ mB (* sin 9) sin^bdb -4-
-f tn+
>sin0)sinB9d9.
E0.24)
Итак, поставленная задача сводится к интегральному урав-
нению Фредгольма E0.23) с симметричвым ядром, причем
искомая функция /В(Х) выражается через его решение фор-
мулой E0.18).
§ 51. Контактная задача для упругого слоя
при отсутствии трения
Применим полученные результаты к решению задачи о вда-
вливании плоского кругового в плане жесткого штампа в упру-
гий слой, лежащий на жестком основании, причем линия
действующей на штамп силы не совпадает с его осью (рис. 32).
Если пренебречь трением как между штампом и слоем, так
и между слоем и основанием, то каса-
тельные напряжения ва границе слоя
равны нулю. Кроме того, отсутствуют
нормальные смещения в плоскости z = h
и нормальные напряжения в области
z = 0, г>а.
Таким образом, рассматриваемая за-
дача представляет собой частный случай
задачи, рассмотренной в § 50, когда
E1.1)
Рис. 32.
где §—поступательное перемещение штампа вдоль оси oz,
а у — угол поворота вокруг оси оу.
Нетрудно показать, что в рассматриваемом случае фувкции
Ф1=Ф2 = 0, а в выражениях E0.11) для функций Ф. и Ф4
следует положить Сп = DB = 0, В„ = A — 2v — ХА cth Щ Ав. Далее,
из вида функции w0 следует, что в разложениях в ряды Фурье
следует удержать лишь члены с вомерами га = 0 и п = 1.
R связи с этим задачу формально можно разбить на две: осе-
симметричную, в которой все искомые фувкции пропорцио-
203

нальны величине 6, и задачу, связанную с поворотом штампа,
причем здесь все величины содержат множитель -у cos <?. Так
как первая задача уже рассмотрена в § 49, то мы обратимся
ко второй задаче, в которой парные уравнения E0.13) Для
Аг = А имеют следующий вид:
=r=hr* r<a-
0
oo
0
E1.2)
Согласно E0. 23) и E0. 24), эта система может быть сведена
к интегральному уравнению Фредгольма. Полагая в E0. 18),
E0.23), E0.24) и = 1, w1{x) = * _v#. получаем после некото-
рых выкладок, что искомая величина А(к) выражается фор .
мулой
«
А (X) = 11 — g (X)l J ф @ sin Udt, E1.3);
и
причем функция <р(ж) должна быть найдена из уравнения \
а
* (ж>= «if^v) +1S |G (< - ж) - G (< + ж>] 9 W Л. E1- 4)-_.j
о :
где положено
G (ц) = ( g (X) cos XudX. E1. 5) \
-I
Заметим, что ряд величин и, в частности, напряжения по .;
подошве штампа выражаются непосредственно через функцию |
<f{t), а именно: \
Отсюда приравниванием момента этих усилий величине
Рх0 получаем следующую простую связь между моментом Рх0 ,г
и углом поворота у. \'\
E1.7) '¦
Для проведения численных расчетов основное интегральное ¦
ураввение приводилось к безразмерному виду *
204 i

E1.8)
о
с помощью подстановок
t X t
>_«(*-¦»>¦
'9 И,
E1.9)
причем ядро К (и) имеет тот же вид, что и в осесимметричной
задаче [ср. D8. 25)]:
E1. Ю)
Так как функция К (и) табулирована для широкого интер-
вала значений основного параметра — отношения радиуса
штампа к толщине слоя (см. табл. 23), то уравнение E1.8)
может быть приближенно решено путем сведения его к алге-
браической системе. Результаты соответствующего расчета для
случая, когда интервал делился на 10 частей, приведены
в табл. 25.
Таблица 25
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.5
0.1038
0.2076
0.3113
0.4149
0.5183
0.6215
0.7245
0.8272
0.9297
1.032
1.0
0.1249
0.2490
0.3716
0.4920
0.6096
0.7241
0.8351
0.9426
1.047
1.148
(.5
0.1638
0.3249 -
0.4805
0.6283
0.7688
0.8933
1.009 *
1.112
1.205
1.289
2.0
0.2118
0.4185
0.6148
0.7961
0.9581
1.097
1.212
1.303
1.373
1.426
0.2628
0.5175
0.758а
0.9765
1.166
1.319
1.433
1.505
1.542
1.553
3.1.
0.3130
0.6173
0.9073
1.161
1.383
1.552
1.664
1.716
1.713
1.672
В табл. 29 даны значения коэффициента к , характеризую-
щего отношение момента внешней силы к углу поворота штампа
и вычисленного по вытекающей из E1. 7) формуле
E1.11)
Заметим теперь, что полное решение поставленной кое-
гактной задачи, получаемое суммированием полученного ныше
решения с результатами соответствующей осесимметричной
задачи (см. § 49), фактически реализуется только в том слу-
205

чае, если давление по поДошве штампа неотрицательно, ч?о
станит, очевидно, некоторое ограничение для величины плеча
х0 приложенной силы Р.
Для исследования этого вопроса составим вытекающее и8
D9.10) и E1.6) выражение для полного данлевия под штампом:;
E1.12) 5
где через <Р{(^) и ?7@ обозначены основные неизвестные функ-
ции для задач, рассматриваемых в §§ 49 и 51 соответственно.
Из E1. 12) видно, что данление р обращается в нуль в точ-
ках некоторой кривой, пересекающей окружность г = а в двуя
точках: <р= ±?*(у <Г ?* "С11). Потребуем, чтобы эта кривая
проходила вне области контакта, касаясь в предельном случав
границы г = а в точке q> = ro. Так как
то
p(r, «)» ^(°)~ут(а) E1.13)
откуда получаем требуемое условие, при котором штамп будет
прижат к слою во всей области контакта,
т
Подставляя вместо <р8(я) и ? (с) их значения из D9.7) и
E1.9)
и пользуясь формулами D9.14) и E1.11), мы можем условие
E1. 14) представить в виде формулы для предельного значения
d плеча х0 действующей на штамп силы
этого предельного плеча d
для принятых значений параметра р=^~,
S06
В табл. 29 приведены величины

В заключение настоящего параграфа отметим, что случай
р=гО соответствует хорошо изученной контактной задаче для
полупространства. При этом ЛГ(ц) = О, ю (?) = ?, к =-^-, d = 4r-
§ 52. Контактная задача для слоя, сцепленного
с основанием
Во всем предыдущем изложении, касающемся контактных
задач для упругого слоя, предполагалось, что.трение между
слоем и основанием отсутствует.
Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда упру-
гий слой и жесткое веподвижное основание находятся в усло-
виях сцепления.
Поначалу мы дадим решение более общей задачи, когда на
плоскости г=Л слоя заданы значения упругих перемещений
a\t=k = uh{r, <p), v\2=h = vh(r, <p), w\t=h = wh(r,<p). E2.1)
Что касается другой границы слоя (z = 0), то будем по-
прежнему предполагать, что на ней имеется окружность г = а,
разделяющая граничные услония различных типов, а именно
|см. E0.2)]:
С г*о (г' 9). V 1-о = V (г, 9), |
B7o(r-<P)' 3.L=o = °o(r'4»)-
В качестве дополнительных условий вместо E0. 6) выберем
такие соотношения:
FU = 0, OUo-0. E2.3)
Используя общие формулы E0. 4) и E0. 5), представляющие
перемещения и напряжения через четыре гармонические функ-
ции, получаем прежде всего раздельные краевые условия для
функций Ф, и Ф2:
•iaK что в дальнейшем эти функции считаются вайденными
(например, с помощью интегрального преобразования Ханкеля
и разложения в ряд Фурье по угловой координате <р).
Остальные граничные условия приводят вас к прежним
формулам E0. 8)—E0.10), однако вместо E0. 7) будем в данном
случае иметь
807

[C - 4v) Ф3 - Ф4 - h ^Ц = 2Gwh (r, ?). E2. 7)
t
Условие E2. 6) получено применением оператора jt + TT ~
к первому из соотношений E2.3), которое удовлетворяется,
следовательно, с точностью до плоского гармонического сла-
гаемого. Однако такое слагаемое, будучи ограниченным на всей
плоскости (х, у), может быть только постоянной, причем функ-
ция F по существу задачи также определена с точностью до
аддитивной постоянной.
Представляя, как и в § 50, искомые гармонические функ-
ции Ф3 и Ф4 в виде разложений E0.10), мы можем провести
все решение задачи точно таким же методом, что и в § 50.
При этом хотя формулы E0. 11) для величин Ся и Dn изме-
нятся, однако парные интегральные уравнения E0. 13) и экви-
валентное им интегральное уравнение E0.23) сохранят свой
вид, а входящая в них основная величина g(\) в данном слу-
чае дается следующим ныражением:
He проводя детальных выкладок в общем случае, вернемся
теперь к контактной задаче при условии, что слой жестко
скреплев с неподвижным основанием, а трением между штампом
и слоем по-прежнему пренебрегаем. Очевидно, что такая за-
дача является частным случаем рассмотренной общей смешан-
ной задачи, когда
E2.9)
* Знак черты означает, что рассматривается случай сцеплваия штампа
и основания.
208
где 8 и у — осевое смещение и угол поворота штампа.
Разобьем, как всегда, общую задачу на две: одну осесим
метричную, связанную с величиной 8, и другую, связанную
с параметром у, причем в последнем случае все неизвестные
функции пропорциональны cos <р.
Решение осесимметричной задачи проводится способом, из-
ложенным в § 49, и сводится к интегральному уравнению типа
D9.8)*
E2.10) -.

с ядром
— C —
C—
—VJ
, E2.11)
Функции напряжений F и Ф даются формулами D8. 4), в ко-
торых следует положить
D A— 2v)shU — UchU .
и = . ¦,, Л,
E2. 12)
причем величина А(к) определяется из D9.4).
Основная неизвестная функция ffi8 (?) может быть найдена
численными методами. Прежде всего были составлены таблицы
ядра L{u) для различных величин р при v = 0.3 (табл. 26).
X.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
1 о.ь
0.6882
0.6867
0.6820
0.6744
0.6638
0.6506
0.6348
0.6167
0.5966
0.5748
0.5516
0.5272
0.5020
0.4764
0.4504
0.4244
0.3988
0.3735
0.3489
0.3252
0.3022
1.0
1.376
1.364
1.328
1.269
1.193
1.103
1.004
0.9008
0-7975
0.6978
0.6045
0.5192
0-4429
0.3759
0.3179
0.2684
0.2266
0.1918
0.1630
0.1393
0.1200
1.5
2.065
2.023
1.904
1.724
1.506
1.273
1.047
0.8412
0.6644
0.5187
0.4026
0.3126
0.2445
0.1938
0.1566
0.1295
0.1094
0.09414
0.08228
0.07292
0.06549
2.0
2.753
2.655
2.386
2.008
1.595
1.209
0.8858
0.6358
0.4532
0.3260
0.2400
0.1836
0.1459
0.1198
0.1011
0.08732
0.07704
0.06884
0.06164
0.05518
0.04976
Таб
2.6
3.441
3.253
2.758
2.122
1.511
1.020
0.6710
0.4418
0.3000
0.2158
0.1647
0.1315
0.1092
0.09352
0.08140
0.07090
0.06220
0.05556
0.04982
0.04450
0.03982
лица 26
3.0
4.129
3.809
3.012
2.093
1.329
0.8052
0.4890
0.3132
0.2188
0.1646
0.1310
0.1091
0.09246
0.07848
0.06804
0.05979
0.05214
0.04581
0.04137
0.03720
0.03315
Затем с помощью квадратурных формул находились значения
функции №.(*), причем промежуток делился на 10 частей
(табл. 27). Наконец, связь перемещения штампа <5 с величиной
14 Я. С. Уфлннд
НОУ

Таблица 27
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
о.ь
1.662
1.661
.657
.E51
1.643
1.632
1.619
1.605
1.588
.570
1.551
1.0
2.712
2.704
2.681
2.643
2.592
2.527
2.451
2.365
2.272
2.173
2.071
(.5
3.909
3.893
3.845
3.764
3.652
3.510
3.340
3.147
2.936
2.714
2.490
5.129
5.105
5.035
4.917
4.748
4.530 .
4.261
3.946
3.594
3.220
2.845
г.5
6.350
6.320
6.230
6.078
5-860
5.570
5.204
4.764
4.257
3.709
3.157
3.0
7.573
7.537
7.428
7.244
6.977
6.621
6.163
5.597
4.929
4.188
3.439
силы Р дается прежней формулой D9.14). В табл. 29 приве-
дены значения соответствующего коэффициента к8.
Решение задачи, относящейся к случаю поворота штампа,
может быть дано по схеме § 51.
Функции напряжений Ф3 и Ф4 при этом определяются фор-
мулами E0.11), в которых величины Вв, Ся и /)я(и = 1)
даются теми же формулами E2.12), величина А (X) находится из
E1.3), и задача в конечном счете сводится к интегральному
уравнению E1. 8)
6U?) = 5+-
. E2.13)
Таблица 28
т \^
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 .
0.7
0.8
0.9
1.0
0.5
0.1060
0.2118
0.3175
0.4230
0.5281
0.6328
0.7372
0.8410
0.9438
1.047
1.0
0.1371
0.2728
0.4058
0.5350
0.6595
0.7786
0.8919
0.9994
1.100
1.198
1.5
0.1897
0.3753
0.5527
0.7184
0.8691
1.003
1-118
1.216
1.298
1.367
2.0
0.2500
0.4931
0.7200
0.9311
1.113
1.262
1.376
1.454
1.501
1.524
2.5
0.3114
0.6135
0.8979
1.154
1.371
1.540
1.652
1.705
1.705
1.669
3.0
0.3726
0.7342
1.074
1.378
1.634
1.826
1.938
1.964
1.909
1.802
В табл. 28 даны значения функции ffiT(*) при v = 0.3,
а в табл. 29 — значения коэффициента «, характеризующего
снизь угла поворота штампа и- приложенного к нему момента
[см. формулу E1. H)J. Наконец, в той же табл. 29 приведены
210

Таблица 29
*г
*г
*t
s
А
а • • • •
а
а • • ' •
Р
0
1
1
1
3
1
3
1
3
1
3
0.5
1.51
1.62
0.347
0.352
0.325
0.322
1.0
2.20
2.48
0.397
0.422
0.301
0.294
1.Ь
2.95
3.40
0.472
0.519
0.285
0.278
2.0
3.72
4.34
0.559
0.626
0.275
0.270
2.5
4.49
5.28
-0.650
0.738
0.270
0.265
3.0
5.26
6.20
0.743
0.852
0.266
0.262
данные, относящиеся к величине того предельного плеча d
приложенной к штампу силы, при котором поставленная задача
фактически реализуется [см. E1. 16)].
Полученные результаты позволяют, в частности, сделать вы-
воды о влиянии толщивы слоя на величину просадки штампа
в двух предельных случаях, когда трение между слоем и ос-
нованием отсутствует или когда оно настолько велико, что их
можно считать находящимися в условиях сцепления.
§ 53. Концентрация напряжений в упругом слое,
ослабленном плоской круглой щелью
Наряду с рассмотренными выше контактными задачами для
упругого слоя метод парных интегральных уравнетшй, связан-
ных с преобразованием Ханкеля,
находит эффективные применения
в сходных смешанных задачах, в
частности в задачах о концентра-
ции напряжений в упругом слое,
ослабленвом плоскими круглыми
щелями.
В настоящем параграфе будет
рассмотрена простейшая задача та-
кого типа, когда одна круглая
щель расположена в средней пло-
скости слоя, подверженного действию равномерного сжа-
тия (рис. 33). Заметим, что наложением на рассматрива-
емое напряженное, состояние однородного растяжения мы
получим решение задачи о равномерном растяжении слоя, ос-
~t
ТТ
ч
т
I
t
г
Рис аз.
14*
911

лабленного круглой щелью. И дальнейшем ионачалу дается
решение более общей задачи, когда нормальные напряжения
на берегах щели заданы в виде произвольной функции поляр-
ного радиуса.
Рассматривая по симметрии только половину слоя, мы при-
ходим к краевой задаче теории упругости для области 0 ^ г < оо,
0<^2<СА при следующих граничных условиях:
о. U = 0. ^ U = 0. *„ U = 0. E3.1)
».и=0.я.ил = /(г). E3.2)
В дальнейшем мы будем пользоваться решением осесиммет-
ричных уравнений теории упругости в форме Папковича—Ней-
бера и представим напряжения и перемещения по форму-
лам D8.2) через две гармонические функции Ф a F, которые
выберем в виде следующих интегральных разложений Ханке ля:
о
со
E3.3)
Из граничных условий при z=h находим две связи:
А2 (к) = A - 2v) Аг (к) + UB, (X),
52(Х) = 2A-у)е1(Х) + ХАЛ](Х)
между четырьмя неизвестными величинами Ак(Х), Вк(\)(к~1, 2).
Условие отсутствия касательных напряжений в средней пло-
скости слоя с учетом равевств E3.4) дает следующее соотно-
шение:
МАг (X) -f (I -f- U cth Щ В1 (X) = 0. E3.5)
Остается, следовательно, найти единственную неизвестную
функцию Вг (X) из двух оставшихся краевых условий. Подста-
новка выражений E3.3) в условия E3.2) с учетом равенств
E3.4) и E3.5) приводит нас к парным интегральным уравне-
ниям следующего вида:
O, г>«, E3.6)
=/(r), r<a. E3.7)
в
212

Для сведения этих уравнений к интегральному уравнению
Фредгольма введем вместо Вх (X) новую неизвестную функцию
<p(t) соотношением
Подстановкой E3.8) в E3.6) с использованием формулы
D7.9) можно убедиться в том, что первое из парных интеграль-
ных уравнений удовлетворено тождественно дли любых функ-
ций <?(t), непрерывных вместе с первой производной в замк-
нутом промежутке @, а).
Далее, подставляя величину Вг (X) из E3.8) во второе из
парных уравнений E3. 7) и учитывая формулы D8.18) и D8.19),
приходим к равенству
*
2 о со
J 9 (г sin 8) дй — \ db j «p (I) dt ^g (X) (cos U — cosXa) X
0 0 0
X cos (Xr sin 6) dX=/ (r), E3.9)
где положено
chXAshM + M
Обозначая, как всегда, через G(x) косинус-преобразование
Фурье от функции 1/ y^(^) и полагая
о
—G{a-\-x) — G(a — x)\dt @<ж<с), E3.11)
мы сведем равенство E3. 9) к интегральному уравнению Шле-
мильха D7.18). Поскольку его точное решение дается форму-
лой D7.19)
E3.12)
то задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма
E3.11) с непрерывным ядром.
213

Возвращаясь к случаю равномерной внешней нагрузки,
когда /(/•) = —q, запишем уравнение E3.11) в безразмерном
виде
.х„/,*«1, E3ЛЗ>
ом
где
E3.14)
1 3
В табл. 30 даны значения ядра Д/(и)для p=-^t 1, -к-, 2.
Имея эти данные, можно решать интегральное ураннение
E3. 13) численными методами. Результаты расчета по формуле
трапеций даны в табл. 31, причем промежуток интегрирования
разбивался на 10 частей.
Таблица 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
[.3
.4
.5
.6
1.7
.8
.9
2.0
0.5
0.9676
0.9650
0.9571
0.9442
0.9262
0.9039
0.8773
0.8468
0.8133
0.7768
0.7380
0.6975
0.6558
0.6134
0.5707
0.5282
0.4863
0.4453
0.4056
0.3675
0.3310
1
1.935
1.914
1.852
1.754
1.626
1.476
1.312
1.141
0.9727
0.8113
0.6620
0.5276
0.4098
0.3089
0.2243
0.1551
0.09971
0.05632
0.02321
—0.001315
-0.01842
1.5
2.903
2.832
2.632
2.330
1.967
1.585
1.217
0.8892
0.6147
0.3970
0.2326
0.1149
0.03482
-0.01591
—0.04491
-0.05892
—0.06300
—0.06124
—0.05621
—0.04942
—0.04211
2
3.871
3.705
3.253
2.623
1.945
1.324
0.8197
0.4488
0.1993
0-04642
—0.03702
—0-07403
' —0.08411
—0-07970
-0.06893
-0.05613
—0.04352
—0.03281
—0.02440
—0.01861
-0.01394
214

0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5
1.103
1.102
1.100
1.096
1.091
1.085
1.077
1.069
1.060
1.051
1.041
i
1.731
1.717 '
1.674
1.606
1.517
1.412
1.294
1.175
1.058
0.9499
0.8555
Та
1.5
3.145
3.089
2.923
2.657
2.305
1.S89
1.440
0.9921
0.5824
0.2443
—0.03241
блица 31
2
5.448
5.320
4.943
4.330
3.508
- 2.521
1.438
0.3581
-0.6004
-1.317
-1.707
Приведем формулу для распределения нормальных напря-
жений в средней плоскости слоя
11
1 г
о
о) (т) dx \ g (X) /0(Xr) (cos Хат — cos Ха) dX . E3.16)
0 0 J
В предельном случае неограниченного тела (й-*-со) имеем
и соотношение E3.16) переходит н изнестную формулу |100|
2з« __*?..„..,{„?. E3.17)
ор =
2q . a
—т— arc Sin —.
7tVr2 аВ п Г
Таблица 32
При приближении к краям щели- (г -* а)
асимптотическое выражение растягива-
ющих напряжений E3.16) имеет, оче-
видно, вид
р
0.5
1.0
1.5
2.0
Ф
1.080
1.369
1.768
2.237
Характеристикой степени увеличения концентрации напряже-
ний в слое, ослабленном щелью, по сравнению с соответствую-
щей деформацией неограниченного тела, можно считать отно-
шение
E3.19)

где
4»=
E3. 20)
Значения коэффициента ty приведены в табл. 32.
§ 54. Деформация неограниченного тела, ослабленного
двумя круглыми щелями
Рассмотрим осесимметричную задачу теории упругости для
неограниченного пространства, содержащего две плоские круг-
лые щели радиуса а (рис. 34), и предположим, что напряжен-
ное состояние симметрично относительно средней плоскости
z = —h.
При этих условиях достаточно рассмотреть упругое равнове-
(Л й
сие полупространства
ft
ft
a
г
A)
a
—-Л) с одной щелью, поставив на
плоской границе очевидные условия
симметрии
«.1^ = 0.^.1^ = 0. "E4.1)
Предположим далее, что на поверх-
ности щели (z = 0, г < а) заданы как
нормальные, так и касательвые на-
пряжения*
Рис. 34.
Г<0
«¦<«
Таким образом, задача сводится к интегрированию уравне-
ний теории упругости при граничных условиях E4.1) и E4. 2).
При решении поставленной задачи мы будем пользоваться
формулами Папковича—Нейбера, выражающими упругие пере-
мещения в, и и, в осесимметричном случае через две гармо-
нические функции (<р и F),
E4.3)
Разбивая рассматриваемое полупространство на две обла-
сти: 1)—h.<^z<^Q и 2) 0<Cz<oo. снабжая гармонические
* Это означает, что в точках (г, +0) и (г, —0), принадлежащих раз-
личным берегам щели, напряжения одинаковы iio величине и противо-
положны по направлению.
216

функции F и Ф н соответствующих областях индексами 1 и 2
и пользуясь формулами
о /л \ &F дФ d%F
E4. 4)
E4. 5)
E4. 6)
мы приходим к следующим граничным условиям:*
[2с* -^-
L
где в (г) = \ х (г) dr, а с — пока не определенная постоянная.
о
К поставленным условиям необходимо, очевидно, добавить
требование непрерывности напряжений на всей плоскости z = 0,
разделяющей две рассматриваемые области,
E4. 7)
_ 2v) F, - Ф,и = [A - 2v) F, -
Наконец, на части плоскости г = 0, занимающей область
а, должны быть непрерывны перемещения иг и и^. Потре-
dF
буем непрерывности в указанной области функций F и -т-:
fA =fA ,fi
E4. 8)
г>а
При этом в силу E4.7) в этой же области будут непрерывны
также функции Фи у, Непрерывность перемещения иг при
этом очевидна.
Далее иа равенства
дФ
_<?2y| 1 д( д<р\\ 2G д
* Предполагается также, что на бесконечности функции F и Ф имеют
порядок Ofi?), Д= ^г2+г2, а их производные—порядок О (/?~2). При
атом перемещения и вапряасения имеют требуемый порядок убывания на
бесконечности.
217

вытекает непрерывность производных ^ (гиг1) и^(гиг2) при z=0,
г>а, т. е. сами перемещения url и иг2 в области z = 0, r>a
могут отличаться на величину — (А = const).
Заметим теперь, что на плоскости z = 0 перемещение иг
можно представить в следующей форме:
2Gur\ =4^
г |«=о r J 
о
ибо при г-» О величина иг должна оставаться ограниченной.
Из E4.8) следует, что требуемая непрерывность перемеще-
ния ит в области z = 0, r>o будет обеспечена, если поста-
вить следующее дополнительное условие:
Как будет видно из дальнейшего изложения, из соотношения
E4.9) можно определить входящую в решение неизвестную
постоянную с.
Таким образом, поставленная задача сводится к нахождению
двух пар функций: Fv Ф1 и F2, Ф2, гармонических в областях
—h< z<C0 и 0<z<^oo соответственно и удовлетворяющих
условиям E4. 5)—E4. 9).
Представим функции Fx и Ф, в виде интегральных разложе-
ний Ханкеля
f\ (г, z) = J А, (X) sh X (h -f- z) /0 (Xr)
% (r, z) = J [UAj (X) ch X (h + z) + #, (X) sh X (A-j- z)] X
о
E4.10)
Легко проверить, что граничные условия E4.5) при этом
тождественно удовлетворены.
Исходя иг требований на бесконечности, выбираем функции
<Р2 и Ф8 в следующей форме:
S18

Ф2(г, z)=
E4.11)
где функции А,(Х) и В2(Х) также подлежат определению.
54.10) и E4.11) i
напряжений на плоскости z = 0, приходим к следующим двум
Подставляя E4.10) и E4.11) в условия E4. 7) непрерывности
соотношениям, связывающим 4 неизвестные величины: Av Bv
™2> >
i — 2 A — v) cth f».] А, + cth fiBj = 2 A — v) A, — fi2,
E4.12)
где положено jj. = XA.
Условия E4.8) представляют собой два интегральных
уравнения
со со
(А, — Az) Jo (кг) dk = О, J X (A, cth |х + Л8) /0 (кг) dk = 0, E4.13)
о о
которые имеют место при значениях г^>а.
Условия E4.6) также приводят к интегральным уравнениям
XJn(Xr)<A = o(r). r<a, E4U)
(l(l_2v)-fxcth^MI-B1}
= s(r)-\-ch, r<ia.
Интегральные уравнения E4.13) после подстановки в вих
значения Л2, выраженного через Аг и В, с помощью E4.12),
принимают следующий вид:
E4.15)
{[2A — v) — fxjil, — Bl}(ctb[>.-^i)Jo(kr)dk = O, r>a,
X {[A — 2v) — ijlJ/t - 5X}(cth^ +1) Je(kr)d\=zU,r>a.
о J

Таким образом, рассматриваемая задача свелась к системе,
состоящей и8 двух пар интегральных уравнений E4.14) в
E4.15), содержащих две неизвестные функции Av B1 пара-
метра X.
Что касается дополнительного соотношения E4.9), то после
некоторых преобразований оно приводится к такому виду:
O. E4.16)
Так как величины А1 и А^ зависят от постоянной с линей-
ным образом, то ясно, что из условия E4.16) можно найти
неизвестную величину с.
Будем искать решение уравнений E4.14) и E4.15) в сле-
дующей форме:
E4.17)
X (cos X t — cos Хс) dt,
{1A — 2v) — И At — ?,} (cth fx -f 1)=h J f (t)cos ltdt.
где f(t) и ty(t) — неизвестные функции, непрерывные вместе
со своими производными в замкнутом промежутке @, а).
Подставляя E4. 17) в E4.15), проводя интегрирование по
частям, а также используя формулу
/0 (кг) sin XfdX = 0, если 0 < t < г, E4.18)
убеждаемся в том, что уравнения E4.15) удовлетворевы тожде-
ственно, ори любых значениях функций ср(О и ty(t).
Находя иг E4. 17) значения Л, и В, и подставляя их в си-
стему интегральных уравнений E4.14), получаем после перемены
порядка интегрирования
4" \ ? С) dt\ (cos X* — cos Ха)
о о
о со
+ J ф («) A j gt (X) /0 М cos H dX -f
его

\ \ 9 V) dt J /2 (X) (cos U — cos Xa) /0 (Xr) dX=о (г), E4. 19)
о
a go
-|- J ф @ dt J /0 (Xr) cos ШХ —
о о
a co
-4 S ¦ («) A J *. (X) /0 (Xr) cos XfdX -
0
a oo
- 5 * @ * S/a (X) (cos ^ ~
a ) ( cos
О О
где введены обозначения
/, (X) = BXA +1) <r*\ ft (X) = (XAJ *-**, I
/, (X) = er*\ g2 (X) = BXA - 1) <r*. j E4' 21 >
Используя формулы
fO, r<t,
W-»= I ,Hl<r, E4.22,
2
2
/0 (Xr) =T J cos (Xr sin 6) db, E4. 23)
0
можно преобразовать уравнения E4.19) и E4. 20) к следующему
виду:
0
-{-F^t — r sin G) — Ft(a-\-r sin 6) — F, (a— r sin 6)|efo —
— i 5 ¦(*)[G,(* + »1 sin е) + С,(«—r sin b)]dt\ dB=o(r), E4. 24)
о J
X
j |ф(г sin в)-1 j <p WlW+r sin 6) +
0 1 0
in6) — Fa(a — r sin
a
sin 6) + G2(f-r sin b)\db = *-f- -he, E4.25)
о
221

где через F12(x) и G1 2(х) обозначены носинус-преобрагования
Фурье от функций |/|/1>2(>0 и |/|^,2(Х)
E4. 26)
С помощью решения интегрального уравнения Шлемильха
E4. 27)
имеющего вид
]¦
E4. 28)
уравнения E4. 24) и E4. 25) приводятся к системе интегральных
уравнений Фредгольма
E4. 29)
-l\Ls(x, t)9{t)dt =
E4. 30)
причем переменная х изменяется в промежутке @, а), а ядра
этих уравнений даются следующими формулами:
E4.31)
L, (x, t) = G1 (t + *)¦+ G, (t — x),
Kz(x, t) = G2(t + x)-\-G%{t-x),
L2(x, t) = F2(t-f x) + F2(t-x)-Fu(a+x)-F2(o— x).
222

Дополнительное соотношение E4.16), после подстановки
в него выражения
а
А1 cth (j. -\- А2 = —Л \ ф (f) cos \tdt
о
и использования формулы
00
/, (Xa) cos Udk — i- (f < a), _ E4. 32)
n
приводит к следующему условию:
E4.33)
Если решение системы E4. 29), E4.30) разбить на две части:
? (О = 9, @ + с?2 (*), Ф (<) = ¦, @ + сф2 («). E4. 34)
где функции с индексом 1 соответствуют случаю с = 0, то ве-
личина с определится явным образом из формулы
J ¦,<*)*
с=4 . E4.35)
Таким образом, если найдено решение системы E4.29),
E4. 30), принадлежащее к классу функций, имеющих непрерыв-
ную производную, то полное решение поставленной задачи тео-
рии упругости дается формулами E4.10), E4.11) и E4.17), при-
чем постоянная с определяется соотношениями E4. 34), E4. 35).
Заметим, что ряд величин, существенных для приложений,
может быть непосредственно выражен червя функции ф (?) и <|> (?),
что представляет большие удобства, в частности в том случае,
если решение системы E4. 29), E4. 30) получается численными
методами.
Приводим формулу для нормального напряжения в плоскости
г = 0 при г
°dt+5 *w ф(г> °Л> E4- 36)

4-де величины Ф и 97 даются в замкнутой форме
ф(г, f)=i.f-J—i~,/2< 2I +
2h + ta I, E4.37)
E4.38)
§ 55. Расчеты для случая равномерного осевого
растяжения
Если неограниченное упругое тело, ослабленное двумя кру-
говыми щелями, подвергается на бесконечности равномерному
растяжению интенсивности q в направлении оси симметрии, то
решение такой задачи можно получить, накладывая на ранно-
мерное растяжение неограниченного тела некоторое вторичное
напряженное состояние, создаваемое равномерно распределен-
ными сжимающими нагрузками той же интенсивности q, при-
ложенными к поверхностям щелей. Расчет этого вторичного
напряженного состояния может быть произведев методами, раз-
витыми в предыдущем параграфе, а именно: в полученных общих
формулах следует положить
о(г) = — q, x(r) = 0. E5.1)
Для решения системы E4.29), E4.30) удобно произвести
разбиение функций <р (t) и ф (t) на два слагаемых [см. E4.34)]
ii перейти к безразмерным величинам, положив
х е t
E5.2)
Для функций Xi E) и coj E) из E4.29), E4.30) получаем сле-
дующую систему уравнений:
1 1
Xl (&) = 1_ j М, (Е, т) Xl (x) d-z - j N, E, х)«, (т) Л
«1 (?) = S Л/2 F, *) «о, (х) dx + J /V2 F, х) Xl (t
E5.3)
224

ядра которой даются формулами
J
J
- «J + W 1A -
г « -х- 1брз
+ -
E5.4)
где введено обозначение
E5.5)
Система E5. 3) решалась численными методами, путем замены
интегралов суммами но формуле трапеций и сведения к си-
стеме линейных алгебраических уравнений.
Расчеты производились для трех значений параметра
Р(-7"» ~2 г 1], причем промежуток ивтегрирования разбивался
на 10 частей. Результаты расчета представлены в табл. 33
few) и 3
Таблица 33
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
4
0.5729
0.5742
0.5786
0.5883
0.6086
0.6496
0.7284
0.8648
1.064
1.287
1.451
1
2
0.6750
0.6808
0.6978
0.7260
0.7664
0.8184
0.8802
0.9480
1.016
1.078
1.127
1
0.8836
0.8853
0.8902
0.8980
0.9085
0.9210
0.9350
0.9507
0.9651
0.9799
0.9937
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.7498
0.7432
0.7226
0.6865
0.6319
0.5542
0.4482
0.3114
0-1508
—0.01023
-0.1359-
Ta6j
1
2
0.3015
0.2974
0.2850
0.2645
0.2367
0.2022
0:1629
0.1206
0.07851
0.03907
0.005024
] и ц а 34
0.07533
0.07469
0.07263
0.06931
0.06488
0.05946
0.05330
0.04661
0.03964
0.03260
0.02575
15 Я. С, Уфлянд
4*5

Аналогичным образом для функций Хг(?) и Ш2(&) получаем
систему
\ Мг (I, x) z2 (x) fa - J TV, (E, x) ш2 (x) dz,
V 0
I 1
-f \ Мг % x) ш2 (x) dx-\-^N2 (I, x) & (x) dx.
о о
E5.6)
Таблица 35
Таблица 36
ч
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
4
0.05637
0.05745
0.06083
0.06755
0.07906
0.09656
0.1197
0.1426
0.1499
0.1222
0.05468
1
2
0.1340
0.5352
0.1385
0.1430
0.1473
0.1492
0.1464
0.1366
0.1181
0.09108
D.05755
1
0.1928
0.1916
0.1880
0.1822
0.1737
0.1631
0.1504
0.1360
0.1196
0.1022
0.08403
ч
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
Т~
1.823
1.824
1.812
1.791
1.762
1.725
1.682
1.638
1.599
1.573
1.562
1
2
1.281
.280
.278
.274
.270
.267
.265
.264
1.267
.272
.278
1
1.058
1.058
1.060
1.062
1.066
1.070
1.075
1.081
1.087
1.094
1.101
Результаты соотнетствующего расчета представлены в табл. 35
M) " 36 н(х)).
В табл. 37 даны значения постоянной с, полученные по фор-
муле
E5.7)
Для изучения концентрации напряжений в окрестности края
щели рассмотрим вытекающее из E4.36) асимптотическое вы-
ражение нормального напряжения в плоскости z = 0 при г-»- -\-а

принимающее в безразмерных переменных вид
Сравним полученное выра-
жение с предельным случаем
h=co, соответствующим нали-
чию только одной щели. При
ЭТОМ Р= 00,0)^^ = 0, Ш2(|) = 1,
Xl(S) = l, X2(S)==0, х = 0, а вы-
ражение E5. 8) заменяется сле-
дующим:
"о
Q
+ 0A). E5.9)
E5.8)
Таблица 37
в
1
4
0.2658
0.7703
t
2
0.1447
0.8324
1
0.05252
0.9191
За характеристику степени уменьшения концентрации на-
пряжений, связанвого с наличием второй щели, естественно
принять отношение
где
Т=
E5.10)
Значения коэффициента у приведены в табл. 37.
Заметим в заключение, что изложенная методика без суще-
ственных изменений может быть применена и ко многим другим
задачам, например к исследованию напряженного состояния
в неограниченном упругом теле, ослабленном несколькими внут-
ренними или внешними круговыми щелями.
¦Л*1

Часть IV
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЕРА—ФОКА
Пусть функция /(а) задана в промежутке @, сю) и удовлетво-
ряет следующим условиям: /(а) непрерывна и имеет ограни-
ченную вариацию в интервале 0^.л^А<^со, и интеграл
A)
О
сходится. Тогда имеет место формула
00
/ (а) = J z th mPJ/tttt (ch а) di X
о
со
X \ / (т) P-w («А у) sh TdT @ < а < со), B)
о
где /Ъ/j+iT (ch а) — функция Лежандра первого рода.
Если ввести преобразование Мелера—Фока соотношением
оо
/ (т) = \ f (а) Р.^ (ch а) sh ada (z > 0), C)
о
то на основании B) получаем формулу обращения, выражающую
функцию /(а) через ее преобразование /(т),
@<a<oo). D)
Формула B) была впервые получена Мелером J197], однако
им не был до конца решен вопрос о тех условиях, которые
следует при этом наложить на функцию / (а). Строгое обоснование
228

эта формула получила в работе В. А. Фока [125j и диссертации
Н. Н. Лебедева [50].
Интегральное преобразование Мелера—Фока нашло большое
применение при решении ряда осесимметричных задач теории
потенциала для областей, образованных двумя пересекающимися
сферами, а также для гиперболоида вращения. В более общих
задачах для подобных областей, когда осевая симметрия уже
не имеет места, можво использовать так называемое обобщенное
разложение Мелера—Фока
dz
/(») = (~ 1)" \ * th «rP3/trft(di a) dz
о
00
X 5 / (Т) Л37.ИТ (ch у) sh TdT @ < а < со), E)
о
где f3/1+iT(cha) — присоединенная функция Лежандра,
rCj+t-c — m)
P3U(cha) = -i| («/^(cha), F)
r[j+iz + m)
Г (z) — гамма-функция.
Бели ввести обобщенное преобразование Мелера—Фока
со
/W=S/(»)^?U««(cha)8hBda (т>0), G)
о
то из соотношения E) получим следующую формулу обращевия:
/(<*) = (— irJTthitx/(T)/»Wcha)dT @<a<co). (8)
о
Насколько нам известно, класс функций, для которых эта
формула справедлива, в настоящее время не установлен с доста-
точной определенностью, так как в посвященных этому преоб-
разованию работах М. Н. Олевского (81, 82J и Н. Я. Вилен-
кина A7) условия наложены не на функцию /(а), а ва ее пре-
.образование /(т). Однако это обстоятельство не представляется
существенным в тех конкретных случаях применения этого пре-
образования, когда справедливость соответствующих разложений
может быть непосредственно проверена.
С помощью интегрального преобразования Мелера—Фока
можно получить эффективные точные решения некоторых клас-
сов смешанных задач теории упругости для полупространства
329

с круговой линией раздела граничных условий. В части IV
настоящей книги даны общие решения указанных задач в тех
случаях, когда на всей граничной плоскости полупространства
заданы касательные или нормальные напряжения, а также
основной смешанной задачи. Полученные результаты применены
к целому ряду важвых конкретных задач, главными из которых
являются контактная задача для круглого штампа при наличии
сцепления, а также равновесие веограниченного упругого тела,
ослабленного внешней или внутренней круговой щелью.
Глава IX. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА, РАЗРЕШИМЫЕ С ИОМОЩЬЮ
ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЕРА—ФОКА
§ 56. Уравнение Лапласа в тороидальных координатах
При решении смешанных краевых задач теории потенциала
для полупространства в том случае, когда линией раздела гра-
ничных условий является окружность, оказывается весьма удоб-
ным использовать специальную систему криволинейных коорди-
нат, называемых обычно тороидальными.
Введем тороидальные координаты (а, р, ip) с помощью соот-
ношения
E6.1)
из которого вытекают следующие зависимости:
ash a cos <р a sh a sin 9 a sin [3 ,rr> o\
Х cha + cosP ' У ~ ch a + cos Р ' Z ch a -f cos Р * ^ '
Здесь х, у, z— прямоугольные координаты, а — параметр, имею-
щий размерность длины; координаты а и р изменяются в пределах:
()<><оо, О^р^2тг (или |р|<1тс); координату <р, являющуюся
обычвым полярным углом, будем считать меняющейся от 0 до 2я.
Ортогональность введенных таким способом координат выте-
кает из выражения для квадрата линейного элемента
E6.3)
Координатные поверхности а = const, суть торы
E6.4)
Предельными случаями этой системы поверхностей являются
ось Oz(a = 0) и окружность г —a, z = 0 (a = 00).
230

Координатными поверхностями В = const являются части сфе-
рических поверхностей
E6.5)
пересекающиеся по окружности г.—а, г = 0.
Таким образом, тороидальные координаты специально при-
способлены к решению краевых задач как для областей, огра-
ниченных поверхностью тора (а = const), так и для областей,
ограниченных двумя пересекающимися сферами (B = Bj и р = р2).
Нас в дальнейшем будет интересовать предельный случай
поверхностей второго вида, когда рассматривается пол у про-
/с
0
и '
г
^ i /
\ ZI
ч 1
\!
Рис. 35.
странство z>0 (рис. 35), граница z = 0 которого состоит из
координатных поверхностей Р —0 (внутренность круга г = а)
и р = я (внешность того же круга).
Рассмотрим уравнение Лапласа в тороидальных координатах
sha
sha
да \ch « 4- cos p
" да /"•" ,jp ^ ch a 4- cos P
- = 0.
sh а (ch а 4- cos Р)
E6. 6)
Если положить и = yjch a -}- cos $v, то после подстановки
в уравнение E6.6) и разделения переменных получается сле-
дующая совокупность периодических по координате <р частных
решений гармонического уравнения
W, E6.7)
где P^Li/t(cba.) и Q^/,{cba.) — функции Лежандра первого и вто-
рого" рода (т = 0, ±1, ±2, ...; v — произвольный параметр).
431

Из условия ограниченности решения на оси Oz (т. е. при
а = 0) следует, что Z)v m = 0. Если поставить еще требование
ограниченности частных решений на линии а = сю, то из асимп-
тотического выражения функции Лежандра [21J
E6.8)
вытекает условие: |Rev|^-^-, которое нужно наложить на зна-
чения параметра v. Удобно положить v = ix, так как при этом
рассматриваемые функции Лежандра становятся вещественными.
Таким образом, частные решения гармонического уравнения,
ограниченвые при а-»0 и а-* сю, имеют вид
v/ch а -f cos р | Ат (т) ch fk + Bm (z) sh Эх] X
X #V<, (ch a) е1т* (т > 0). E6. 9)
Поэтому общее решение уравнения Лапласа в тороидальных
координатах может быть представлено в виде следующего раз-
ложения:
и (а, р, <р) = v/ch a -f~ cos p 2 е"
И=-со
+ fim (x) sh рт) P3/,+iT(ch а) йт. E6. 10)
§ 57. Применение преобразования Мелера—Фока к решению
смешанных краевых задач для полупространства
При решении смешанных задач теории упругости для полу- •
пространства с круговой линией раздела краевых условий в ряде
случаев гармонические функции напряжений будут удовлетво-
рять граничным условиям смешанного типа, которые в торо-
идальных координатах имеют вид *
Если представить искомую функцию в виде разложения E6.10),
то нахождение неизвестных величин Лт(~) и Вт(т) сводится,
* К частному случаю такой краевой задачи (хп = 0) сводится задача
о давлении кругового в плаве жесткого штампа на упругое полупростран-
ство цри отсутствии трения (см., например, [67]}.
232

очевидно, к задаче о разложении некоторой заданной функции
в бесконечный ряд Фурье по полярному углу <р и в интеграл
по функциям Лежандра P3/,+iT(cha)
(«. ?) = 2
E7.2)
где величина Fm(i) подлежит определению.
Так как из формулы Фурье следует, что
p
E7. 3)
то задача нахождения функции Fm(z) равносильна задаче о раз-
ложении функции /от(а) в интеграл следующего вида:
0<«<oo.
E7.4)
Сравнивая выражение E7.4) с приведенными во введении
к части IV формулами, относящимися к обобщенному преобра-
зованию Мелера—Фока, мы немедленно получаем для неизвест-
ной величины Fm(t) следующее выражение:
00
Fn (т) = (— 1)-Ч th ire J fm (a) Pz^ix (ch a) sh ad*, E7. 5>
где
ъ (ch a) =
a).
E7. 6)
Учитывая сказанное, можво теперь довести до конца реше-
ние поставленной краевой задачи. В самом деле, граничвые
условия E7.1) приводят нас к следующим значениям входящих
в разложение E7.10) величин Am(z) и Вт(х):
о о
о о
X sh ado.d<$
E7.7)
28$

Аналогичным образом могут быть даны точные решения сход-
ных смешанных задач, когда при |3 = 0 (внутренность круга)
даны значения нормальной производной, а при [В —тг (внеш-
ность круга) — значения самой искомой функции.
Наиболее простым является тот случай, когда входящие
в краевые услония E7.1) функции Хо и X* вообще не зависят
ш координаты ?> т. е. задача обладает осеной симметрией.
При этом разложение E6. 10) заменяется следующим:
и{а, P) = v/cha-j-cosp j [А (х) ch |3х -f-
о
+ В (х) sh Э-с? Р.ч^ (ch a) d-z, E7. 8)
и граничные условия приводят к разложению вида
cha)d-z, 0<a<oo, E7.9)
представляющему собой, по существу, формулу обращения Ме-
лера—Фока (см. введение к части IV). Таким образом,
со
F (?) — т th т | / (а) Я_./а+<т (ch a) sh ada. E7.10)
В соответствии с этим величины А (х) и Б (х), найденные из
граничных условий вида E7.1), даются формулами
A (x) = x th nz \ Xo(a) P-4,+fz (ch a) sh ada,
•! vch a + 1
В (x) = th irx -r— \ . x* * Р-ч,+к (ch a) sh ada — Л (x) I.
l СП ict j ^cjj n — j I
L о -I
В связи с тем,- что в формуле E7.10) предполагалось доста-
a
точно быстрое стремление к нулю функции /(а)е2 при а-» со,
возникает необходимость видоизменения этой формулы на тот
часто встречающийся при решении задач случай, когда lim/(a)x
а-*а
a
Хе2 = М = const. Такая формула получена в работе [50] с по-
мощью легко проверяемого разложения
;ha)dx, IPIO, E7.12)
>I2 (ch а -|- cos P)

и имеет следующий вид:
v/2(ch^cosp)], E7.13)
причем функция
предполагается удовлетворяющей приведенным выше достаточ-
ным условиям разложимости.
В дальнейшем при решении некоторых задач- теории упру-
гости мы столкнемся и с такими случаями, когда стоящие
в правых частях граничных условий типа E7.1) функции вообще
не будут разлагаться в интеграл Мелера—Фока. В таких слу-
чаях для решения задачи приходится принять различные искус-
ственные приемы, связанные с особыми решениями уравнения
Лапласа (см. § 58).
Следует заметить, что хотя решения краевых задач, полу-
ченные указанным способом, содержат под знаком интегралов
функции Лежандра Р-ч&н(ch а), для которых имеются таб-
лицы [32], однако путем использования различных интеграль-
ных представлений этих функций |51|
= - J
cos Tsds /C-7
E7.
о
^ ,
(cha)=- ch m \ eoszsd* E7.15)
v * j ^(chn+chs)
\ 2 , f sin tsds /c-7 4e.
а) = — cthm \ —===== E7. lb)
я J ^(chs— cha)
часто удается преобразовать решение к виду, содержащему
квадратуры от элементарных функций.
Существенно отметить, что при решении с помощью инте-
грала Мелера—Фока конкретных задач зачастую бывает удоб-
нее пользоваться не формулами E7.10), E7.13) или, в общем
случае, E7. 5), а известными представлениями некоторых функ-
ций в виде разложений типа Мелера—Фока, простейшим из
835

которых является разложение E7.12). В частности, в тех кон-
кретных задачах, где разложение ведется по функциям
РЬ/2+.ч(chа)=± Р_ч^(Ch«), E7.17)
используется получаемое из E7. 12) разложение
E7-18)
J
о
Приведем еще полезное интегральное представление для
произведения функций Лежандра |49]
(— 1 )"• />3/!+<t (ch a) PJ^* (ch а') y/sh а sh а' =
CD
2 , f „ /ch s + ch a ch a'\ , /СгП „Пч
= ^ ch «г J ?>)Я_Ц shasha' ) cos -zsds, E7.19)
применяемое нами в главах X—XII.
Сделаем теперь некоторые замечания, касающиеся поведения
искомой гармонической функции и на бесконечности, т. е. при
а-*0, р-^эт.
В дальнейшем при постановке краевых задач, кроме гранич-
ных условий типа E7.1), мы будем еще требовать, чтобы на
бесконечности функция а имела порядок -^(B = \/rz-\- z2),
a|gradti| — порядок-^. Так как имеет место равенство
Л2 ch а — COS Р
a» cha-|-COSp'*
при i?—»со переходящее в асимптотическое соотношение
\/ch a -j- cos p «\/2 ¦?¦,
то для выполнения условий на бесконечности достаточво пред-
положить, что ряд, входящий в решение E6. 10), а также его
производные по х, у и z остаются ограниченными при а-^-0,
Р —»• тт. В пространственных задачах теории упругости пред-
полагают, что перемещения на бесконечности имеют поря-
1 1
док д-, а напряжения -^.
236

Полезно иметь в виду, что обычно выполнение условий на
бесконечности можно проверить с помощью асимптотического
представления
Г (Т
<57-20»
Особенность рассматриваемых краевых задач состоит в том,
что, кроме граничных условий и условий на бесконечности,
необходимо поставить еще некоторые требования, связанные
с поведением искомой функции на особой линии а = со (z = О,
г = а) раздела граничных условий. Обычно в смешанных зада-
чах подобного рода предполагают, что интеграл, взятый по не-
которой поверхности, окружающей особую линию, от цроиз-
ведения ц-р (и—нормаль к поверхности), стремится к нулю,
если эта поверхность стягивается в линию г = с, z = 0. Можно
показать, что в такой постановке решение краевой задачи
будет единственно.
Мы здесь не будем ближе рассматривать этот вопрос, ибо
в изучаемых далее задачах теории упругости условия на осо-
бой линии, обеспечивающие единствевность решения, будут
носить несколько иной характер, а именно: перемещения при
а-»-со предполагаются конечными, а главный вектор усилий,
приложенных к поверхности, охватывающей окружность а = со,
должен стремиться к нулю при стягивании этой поверхности
к особой линии. Видоизменяя обычное доказательство теоремы
единственности решения задач теории упругости (см., напри-
мер, |78|) путем интегрирования по замкнутой области, состоя-
щей из сферы радиуса R-+co, тороидальной поверхности а =
= А-*• со и плоскостей |3 = 0 @ <^ а <J[ Л) и |3 = л (а <^ Л), можно
легко показать, что условия рассматриваемых в части IV задач
теории упругости, дополненные обычными требованиями на бес-
конечности, а также сформулированными выше условиями на
особой линии а = оо, обеспечивают единственность решения этих
классов задач.
В заключение настоящего параграфа приведем две формулы,
являющиеся примером обобщенного интегрального разложения
Мелера—Фока, которое используется в главе XII:
E7.21)
sha-s-
237

2Г(то)-ft 1 = (-1)» \ 1 shaP^(cha)da. E7. 22)
Укажем, что значение интеграла, входящего в соотноше-
ние E7. 22), проще всего получается подстановкой вместо функ-
ции Лежандра ее интегрального представления (см. [51, стр. 268])
tx{t)lL, E7.23)
переменой порядка интегрирования и использованием формулы
th"-1 -J shmae-' <**da=«г«г"Г (m). E7. 24)
§ 58. О некоторых типах особых гармонических
функций
Как уже указывалось в предыдущем параграфе, при реше-
нии ряда смешанных задач теории упругости для полупро-
странства мы встретимся с такими случаями, когда искомые
гармонические функции не будут оставаться ограниченными на
линии 2 = 0, r = a (а = со) раздела краевых условий. Это об-
стоятельство, по существу, связано с тем, что на указанной
особой линии могут неограниченно возрастать упругие напря-
жения, что при определенных условиях (см. § 57) не нарушает
единственности решения.
В связи с тем, что функции, имеющие бесконечный разрыв
при а-* со, не допускают разложения в интеграл Мелера—Фока,
мы в настоящем параграфе рассмотрим некоторые классы таких
функций, которые в дальнейшем позволят устранить трудности,
возникающие при использовании преобразования Мелера—Фока
в задачах теории упругости. Следует помнить, что во всех та-
ких случаях необходимо проверять выполнение условия огра-
ниченности перемещений при а-* со.
Легко проверить простым дифференцированием, что функции
в (о, р, ч>) = « Vcha + cosp/(C), C = th-Je±", E8.1)
где а, р, <р — тороидальные . координаты, а /(С) — произвольная
аналитическая функция, удовлетворяют уравнению Лапласа.
23*

Из полученных комплексных решений можно сконструи-
ровать гармонические функции следующих двух типов:
ue = cos -|- \fch a _j- cos В / (С),
ug = sin у y/ch a -j- cos p / (C).
E8. 2)
Нетрудно видеть, что оба эти решения удовлетворяют сме-
шанным однородным краевым условиям на границе z = 0 полу-
пространства
E8. 3)
Однако, несмотря на то что полученные особые решения
удовлетворяют однородным уравнению и граничным условиям,
а также стремятся к нулю на бесконечности (а—»0, В—*тг), они
не равны нулю тождественно. Причиной этого является то об-
стоятельство, что особые решения типа E8.1) неограниченно
возрастают на линии а = оо раздела краевых условий, так что
сформулированные в предыдущем параграфе условия теоремы
единственности решения в данном случае нарушаются (во вся-
ком случае для функций /, неравных нулю при а=оо).
Найденные классы особых гармонических функций будут
использованы в главах XI—XII при решении некоторых сме-
шанных задач теории упругости.
С помощью решений типа E8. 2) можно составить еще не-
которые решения уравнения Лапласа, также применяемые нами
в последующем изложении.
Так, принимая
f(C) = Cm (ro = 0, 1, 2,...) E8.4)
и интегрируя функцию ие(а, В, <р) по переменной z, получаем
новую гармоническую функцию
E8. 5)
где введено обозначение
= J cos |- Vcha + cos3 thm \ dz. E8. 6)
Полученная функция /?"•' может быть выражена в явном
виде, если произвести интегрирование при r=const и, прини-
839

мая за переменную интегрирования тороидальную координату а,
воспользоваться соотношениями
ada
dz Uconst —
sh a sin p
ch a -f- cos В = — sha,
E8.7)
Так как при г = const, z—» со переменная а стремится
к нулю, то
dx
E8.8)
причем -полученная квадратура может быть вычислена в эле-
ментарных функциях.
Для наших дальнейших целей в первую очередь представ-
ляет интерес тот факт, что гармоническая функция и;'"*'(a, Р, ^р)
является решением краевой задачи для полупространства при
следующих граничных условиях:
\ 1з=о— 2
г\-
Второе из этих условий очевидно, а первое получено взя-
тием квадратуры E8.8), которая при |3 = 0 имеет своим нижним
пределом нуль, так как (—) =th-^-.
Проводя аналогичные выкладки, легко убедиться в том, что
гармоническая функция
= J sin -|
E8.10)
удовлетворяет краевым условиям
В заключение приведем еще две формулы, также используе-
мые в главах XI—XII при решении некоторых смешанных за-
240

дач для полупространства с круговой линией раздела гранич-
ных условий:
о* 14
_ ,.„-.,.- E8.13)
P=o
Глава X. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С КРУГОВОЙ ЛИНИЕЙ РАЗДЕЛА
КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ ПРИ ЗАДАНИИ НА ВСЕЙ ГРАНИЦЕ
КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 59. Осесимметричная задача для случая,
когда внутри круга задано нормальное перемещение,
а вне его — нормальное напряжение
В данной главе будут рассмотрены такие деформации упру-
гого полупространства (z^>0), когда на всей его границе зна-
чения касательных напряжений тжа и т считаются заданными.
Наряду с этим еще одно краевое условие будет различным
для внутренности и внешности некоторой окружности, рас-
положенной на граничной плоскости.
В настоящем параграфе исследуется случай задания внутри
круга радиуса а нормальных перемещений и,, а вне его — нор-
мальных напряжений °„ причем рассматривается осесимметрич-
ная задача.
К задачам такого типа сводятся, в частности, некоторые
контактные задачи, а также вопросы концентрации напряжений
в упругом теле, ослабленном внешней круговой щелью.
Граничные условия поставленной задачи, очевидно, имеют вид
E9.1)
0W E9-2)
(г, f, z — цилиндрические координаты).
Для сведения рассматриваемой задачи к краевым задачам
теории потенциала используем представление упругих смеще-
16 Я. С. Уфяянд 841

ний и напряжений в осесимметричном случае через две гармо-
нические функции Папковича—Нейбера
дФ
dt дФ'\
dz dzy
о дФ дУ д*Ф о
= Zv -3 -г-«- Z -T-s- , Зо = &V
дФ
(G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона).
Прежде всего для гармонической функции
из граничного условия E9.1) сразу находим*
г дг
E9.3)
E9.4)
E9.5)
так что функция <J> может считаться найденной в результате
решения задачи Дирихле для полупространства.
Исключая теперь с помощью E9. 4) одну из двух функций
Папковича—Нейбера (например, /), находим из E9. 2), что гар-
моническая функция Ф должна удовлетворять следующим сме-
танным краевым условиям на границе полупространства:
\г>а
г<а
E9. 6)
Как указывалось в § 57, краевые задачи такого типа могут
быть просто решены с помощью тороидальных координат и
интегрального преобразования Мелера—Фока.
После определения функций <р и Ф можно разыскать и /,
находя ^ из E9.4) и интегрируя по z от со до z. Если же
функция / не стремится к нулю при z -*¦ со, то достаточно найти
df г <Э2/ , , ,
ее производную •?-¦=¦ \-t-t-uz, так как / вообще определена
* Предполагается, «то ори р -* со этот интеграл сходится.
842

с точностью до постоянного слагаемого. Последний же интеграл
сходится, так как перемещение и , а следовательно, и вели
df
чина -j- стремится к нулю при z-> со.
В качестве простого примера применения этой методики
дадим решение задачи о вдавливании осеной силой цилиндри-
ческого жесткого штампа с плоским дном в упругое пространство
для случая, когда трением пренебрегается.
Легко видеть, что эта задача является частным случаем
рассмотренной общей задачи: именно, при таких условиях от-
сутствуют касательные напряжения на всей границе тела,
а также нормальные напряжения вне штампа, т. е. при z = 0
и г > с. Очевидно, что н полученных формулах следует по-
ложить т(г)=а(г)=0, откуда вытекает, что ф^О, и остается
найти гармоническую в полупространстве z>0 функцию Ф,
удовлетворяющую смешанным граничным условиям при z = 0
где 8 — перемещение штампа.
Вводя тороидальные координаты (а, Р) соотношением E6.1),
можно переписать условия E9. 7) в виде
L=°- <59-8>
Полагая в соответствии с E6.10)
го
ф =T^M« + cosp \ А (т) сЬ<;~Р)* P-./,^(chcOrfT, E9.9)
мы удовлетворим краевому условию при {3 = «, причем условие
при р = 0 дает соотношение
оэ
J А (х)
т (ch a) dx = 1, E9.10)
из которого следует найти значение А (х).
Так как на основании E7.12)
то
• E9.11)
<59Л2>
16* S43

Таким образом, решение поставленной контактной вадачи
выражено через функцию Ф, определяющуюся следующей фор-
мулой:
Ф (a, P)=^\/cha_j-cosp J "¦M»tf^,(ch«)db E9.13)
Входящая сюда квадратура может быть вычислена. В самом
деле, пользуясь интегральным представлением E7.15), меняя
порядок интегрирования и учитывая значение интеграла
со
J
(" р)т cos wdx = -=—-- L, E9.14)
ch lex ch s — cos p x
6"
находим
A 2GS
J s
-o- ds
_ E9.15)
vch s 4 ch a (ch s — cos p)
Chi
V'ch s 4- ch a
о
Подстановка sh у = ch -r- sh у дает окончательно
E9.16)
так что решение аадачи выражается через элементарные функ-
ции.
Остается связать неизвестное перемещение штампа б с 8а-
данной величиной Р осевой силы при помощи условия статики
—S". E9-17)
о
Так как. согласно E6.1), rL0 = ath-|-t а
cha + 1 дФ\ 2Gb
то после выполнения квадратуры искомая свявь принимает вид
8p E9Л9>
В следующем параграфе будет дано решение более сложной
контактной задачи для штампа с неплоским дном.
244

§ 60. Контактная задача для кругового в плаве штампа
при отсутствии трения
Постановка осесимметричной контактной задачи для штампа
с неплоским дном отличается от рассмотренного в предыдущем
параграфе случая плоского штампа прежде всего тем, что крае-
вые условия E9. 8) привимают вид
f L°- F0Л)
где х(г) — заданное уравнение поверхности штампа.
Кроме того, при таких условиях радиус с окружности, огра-
ничивающей область контакта, является неизвестным и должен
быть найден ив условия непрерывности нормальных напряже-
ний при переходе от области контакта к свободной поверх-
ности тела.
Вводя для удобства обозначения*
Ь=*-Х(а), <Ka) = Z(fl)-X(r) F0.2)
и представляя гармоническую функцию Ф в виде
А(х) сИс;~/)г P-wtidxa)'*, F0.3)
находим с помощью F0.1) и формулы E7.13)
А м=^ \жы+х th т \ ф <°>sh т p^i>+^ f°h °>da - F°-4)
о
после чего общее решение задачи можно считать законченным.
Не останавливаясь ва вычислении входящей в F0. 4) ква-
дратуры, которое можно выполнить для некоторых форм осно-
вания штампа (например, для параболического основания), пе-
рейдем к установлению тех двух зависимостей, из которых
должны быть найдены неизвестные величины осевого перемеще-
ния штампа 8 и радиуса а площадки соприкасания. Первая ив
ятих зависимостей есть условие статики, а вторая — требова-
ние-непрерывности нормальных напряжений в окрестности точек
окружности z = 0, г = с, где тороидальная координата а неогра-
ниченно возрастает (а—* со).
' • Предполагается, что в окрестности точки г=а функция х(г) равла-
гается в ряд Тейлора, что обеспечивает в дальнейшем сходимость инте-
гралов, содержащих функцию ф(а).
Я4&

Для применения условия статики составим прежде всего
выражение для нормальных напряжений по подошве штампа
¦ ch я -4-1 дФ I G v2 *v | л V», . .
°ж|р=О = r^'gp-Uo—~ a (i -v) (ch« + l)hX
со Г со 
О L О J
X * th «xP_./l+<T (ch a) dx. F0. 5)
Учитывая формулу E9.19), соответствующую случаю пло-
ского штампа (ф = 0), а также вытекающее ив E7.16) соотно-
шение
со
.J^(sinxs), F0.6)
запишем условие статики E9.17) в следующем виде:
0 0 0
где введено обозначение
со
ш (s, с) = [ th «xP_Vl+,t (ch с) sin tsdz. F0.8)
о
Вычисляя внутреннюю квадратуру по переменной а и про-
изводя интегрирование по частям, получаем
со со
I » 1 ° 7 I <?•» us tan q\
» (оI Sh тг О° 1 -г-' • [O\J. O^
4 ' й 1 OS S
«-< J СП "о"
о о 2
Подстановка сюда значения о> из F0. 8) и выполнение инте-
грирования по переменной s дает
СО 00
Наконец, вычисляя квадратуру по г с помощью E9.13) и
E9.16), получаем окончательно условие статики в таком виде:
CD
J <*2т
4?=HiHW^. F0.il)
246

Для получения второй связи между 5 и а обратимся к иссле-
дованию выражения F0. 5) нормальных напряжений в области
контакта при а-» со, т. eJ при приближении к граничной окруж-
ности г = а.
Польвуясь асимптотическим представлением E6. 8) функций
iT(chа) при а-» со, получаем
x
-*-*. F0.12)
Можно показать, что особыми точками подынтегральной функ-
ции в верхней полуплоскости комплексной переменной z = t-|-nc
являются только простые полюса г„= "g—i. Поэтому входя-
щий в F0.12) интеграл по переменной т может быть подсчитан
с помощью теоремы о вычетах и представлен в виде бесконеч-
ного ряда такого типа:
^|""^"- (в013>
Из последнего выражения видно, что все члены ряда, кроме
первого, стремятся к нулю при а-»оо, в то время как первый
член неограниченно возрастает. Одвако мы должны потребо-
вать, чтобы при о—* оо подошвенное напряжение аг|„_0 стреми-
лось к нулю, так как оно отсутствует вне штампа и должно
оставаться непрерывным. Таким образом, коэффициент а0, про-
порциональный вычету в точке z = -я-, должев обращаться
в нуль. Простое вычисление приводит вас к искомой зависи-
мости
00
26 = J ф (a) sh -I da. F0.14)
о
Таким образом, решение поставленной контактной задачи
выражено через одну гармоническую функцию Ф, определяемую
формулами F0. 3) и F0. 4), причем входящие в решение вели-
чины 8 и а должны быть найдены из соотношений F0.11)
и F0.14).
В качестве примера найдем величины 8 и с для известной
вадачи о плотном прилегании штампа, когда форма поверхности
штампа определяется зависимостью
Х(г)=сг», и>2, F0.15)
247

откуда
ф (о) = сап(\ — th" у). F0.16)
Условие статики в форме F0.11) принимает вид
(волу,
о
После элементарных выкладок и подстановки 6=8 — са"
находим
Аналогичные вычисления по формуле F0.14) дают
8 = стш-2 ^^^ . F0.19)
С помощью равенств F0.18) и F0.19) нетрудно получить
следующее значение для величины а:
V
после чего 8 дается формулой F0.19).
В частном случае параболического штампа п = 2,,с = -^ R
(R—радиус кривизны в вершине параболы) легко получаем
Полученные общие формулы дают также следующие зависи-
мости для случая конического штампа с углом раствора 2у,
когда n=l, c = ctgy:
§!?¦ '=¦?•* Т. F0.22)
§ 61. Осесимметричная деформация неограниченного тела,
ослабленного внешней круговой щелью :
Рассмотрим неограниченное упругое пространство, содержа-
щее плоскую щель, занимающую внешность некоторого круга
заданного радиуса а. В тороидальных координатах уравнение'
поверхности такой щели будет р=±я (рис. 36).
248

Предположим, что к поверхности щели приложена внешняя
нагрузка, симметричная относительно плоскости щели z = 0,
а именно;
= *(>-)- F1.1)
Из соображений симметрии ясно, что в среднем сечении р = О
отсутствуют как нормальные смещения, так и касательные на-
пряжения, т. е.
Очевидно, что поставленная задача о деформации неограни-
ченного тела равносильна некоторой задаче о равновесии упру-
гого полупространства z>0, явля-
ющейся частным случаем рассмот- *z
ренной в § 59 более общей задачи. !
В самом деле, краевые условия ь,
F1.1) и F1. 2) равносильны услови- j
ям E,9. 1) и E9. 2), если в последних
положить w(r)~0 и считать, что
т(г) = 0 при г<Гс.
Таким образом, к рассматривае-
мой задаче полностью применима
изложенная в § 59 методика.
В качестве конкретного прило-
жения исследуем симметричное на-
пряженное состояние для того слу- рис 3„
чая, когда внешней нагрузкой яв-
ляются две противоположно направ-
ленные сосредоточенные в точках r = 0, z= ±b силы (рис. 36).
Напряженное состояние будем представлять себе состоящим
из двух частей: известного первичного напряженного состояния,
создаваемого данными сосредоточенными силами в неограничен-
ном упругом теле, и дополнительного вторичного напряженного
состояния, которое должно снять с разреза как нормальные,
так и касательные напряжения. В дальнейшем разыскиваются,
функции вап ряжений, соответствующие вторичному напряжен-
ному состоянию.
Легко видеть, что в данном случае касательная нагрузка
на поверхности щели вообще отсутствует, т. е. т(г) = 0, откуда
немедленно следует (см. E9. 5)|, что <J» = 0. Таким образом, задача
сводится к следующей смешанной краевой задаче [см. E9.6)]
относительно одной неизвестной функции Ф:
ДФ = О, Ф |р=0 = 0, ¦ ? L = « (г). F1. 3)-
849

Что касается функции с (г), то она без труда получается из
известного решения задачи о сосредоточенной силе, приложен-
ной к произвольной точке неограниченного упругого тела:*
В соответствии с методикой, изложенной в §§ 56 и 57, поло-
жим
x. F1.5)
При этом будут удовлетворены все условия задачи, кроме гра-
ничного условия при Р = эт; последнее после замены операции
4"L Ba ~T"|-L (k== cha + cosp) °РИВ°ДИТ * следующему
разложению:
00
o(r) = —i(cha— 1)% J 4(т)/>_./,+*(cha)tfr, F1.6)
из которого требуется найти неизвестную функцию А (т). *
Воспользовавшись формулой E7.10), сразу получаем
со
А (т) = —ах th m \ "(г) ,. Р^щ, (ch a) sh ada. F1.7)
J (cho — 1)'»
Выражая теперь а (г) через переменную интегрирования a
с помощью соотношения р = \JIr-{-a2cth*a, получаем
A W = tthmI-^—^A -2>O3(*) + 3<ЗД], F1.8)
где введено обозначение
со
Для вычисления квадратур типа F1.9) воспользуемся инте-
гральным представлением E7.14) для функции Лежандра, под-
* См., например, [67, стр. 135J.
850

становка которого в F1. 9} после перемены порядка интегриро-
вания приводит к выражению
<Х> 00
у/2 (* С i
J J (J/Wcth^J
а
-g- da
y v'ch a — ch s
F1. 10)
Подстановкой sh-^-=sh-|-chK F1.10) приводится к такому
2
виду:
C0STsds f ch""ludu
Г cos *sd
J «"I
о
где
При га=3 внутренняя квадратура в F1.11) введением shw
в качестве новой переменной легко вычисляется, после чего
имеем
<х>
. . 2 1 Г cos xsds ia. , ov
'wJ ^tt^- <61Л2)
Вычисляя последний интеграл с помощью формулы
со
SCOS Tsds 7tsh(^t,— g) t ,ол ло\
ch s — cos ? sin Z sb лт » » • '
о
приходим к окончательному значению /3(t):
/sW = 2Sinltgfi^=^. F1.14)
причем введено обозначение
851

Необходимо еще найти интеграл *
00
Г chaudu
Г
\
о
Если вычислить, как выше, внутренний интеграл, то после
некоторых преобразований можно получить следующее пред-
ставление /s(?) через /s(t):
Входящая в последнее выражение квадратура может быть
выражена через интеграл F1.13), а также через интеграл, полу-
чаемый из последнего дифференцированием по параметру I.
После выкладок находим
F1Л8)
Теперь, подставляя полученные выражения /s(x) и /5(
в формулу F1.8), получаем значение A (t):
2(l-v)-
— v) ch
cosy
— 2t eta |-ch(« — l)i. sin2-!^-^^, F1.19)
подстановка которого в выражение F1. 5) и дает полное реше
ние поставленной задачи в виде некоторой квадратуры.
Путем использования интегральных представлений для функ-
ций Лежандра Pj^(chа) указанные квадратуры преобра-
зуются в интегралы от элементарных функций. Не занимаясь
этими преобразованиями в общем случае, обратимся к вычисле-
нию нормальных напряжений в круговом сечении тела |3=0
(z = 0,,r<^a) и покажем, что эти напряжения могут быть вы-
ражены в конечном виде.
252

Из формул E9.3) с учетом тождества
^A
получаем следующее значение для нормального напряжения на
плоскости z = 0:
Таким образом, имеем на основании F1. 5)
F1. 20)
Использование интегрального представления E7.15), а также
формулы F1.19) после перемены порядка интегрирования дает
следующее:
^- (cha
" Г* i Г ¦
I I d i sin ts
1 v'ch a + ch s ~ds J «Лит
2A-
sn (K—^Z—
cos-j
dx
ds. F1. 22)
Интегрируя по частям и используя формулу
sh (я — ?) x . cos 2 sft 2
—Ц— sin тест =
oo
J
Ц
ch
-г =-,
ch s — cos t '
F1. 23)
можно после некоторых преобразований прийти к следующему
выражению для искомых нормальных напряжений:
РЪ sin 2 -|-
F1.24)
содержащему однократную квадратуру от элементарных функций
CD S
Г* sh s sh -о- ds
J (Ch*~
cos 5) (^ch a + ch sf '
F1. 25)
S5S

Наконец, вычисляя интеграл F1. 25) с помощью подстановки
sh •q-=ch-Tshu, находим окончательное выражение для рас-
пределения вторичных нормальных напряжений в круговом се-
чении г = 0, г<Гй(Р = О)
*IP=0"
(ch a + cos 5J
2 LfVch а 4- co
а 4- cos E)
c-W
c-lS
\
с-2.0
1
•0.5
\
+ 2-
(v/ch а + cos 5K
X
X arc tg
v^ch a -\- cos g
v/2~sip y
, F1.26)
где величина ? по-прежнему дает-
ся формулой
Sln 2
Cfi
г
а
Рис. 37.
На рис. 37 построены гра-
фики распределения полного нор-
мального напряжения в в сече-
нии [3 = 0, которое получается
добавлением к правой части F1. 26) первичных нормальных
напряжений, создаваемых в том же сечении приложенными со-
средоточенными силами и вычисляемых по формуле, аналогич-
ной F1.4). При расчетах было принято v = -r-, c =—=-к-,
1, l-jr, 2.
§ 62. Постановка и решение общей смешанной задачи
В § 59 настоящей главы рассматривалась осесимметричная
задача для упругого полупространства, содержащего круговую
линию раздела граничных условий. При этом предполагалось,
что на всей граничной плоскости г = 0 известны касательные
напряжения, внутри круга заданы нормальные перемещения,
а вне его — нормальные напряжения.
Перейдем теперь к решению этой же смешанной задачи
общего вида, когда осевая симметрия уже не имеет места.
254

Граничные условия такой задачи имеют вид
V
Uo
\*<а
г>а
F2.1)
(г, 9» 2 — цилиндрические координаты).
Для сведения поставленной задачи к известным краевым
задачам математической физики мы применим гармонические
функции Папковича—Нейбера. Общее представление смещений
и напряжений через четыре таких функции (Фо, Ф1, Ф2, Ф3) было
приведено в главе VII |см. формулы D2.1}—D2: 3)|. Здесь мы
выпишем только выражения перемещений и напряжений, вхо-
дящих в краевые условия,
V)
дФ
dz
F2. 2)
Здесь введена еще одна гармоническая функция Ф4, связанная
с функцией Фо соотношением
Как и ранее в подобных случаях, воспользуемся наличием
одной «лишней» функции и поставим дополнительное граничное
условие
*U=0. F2.3)
При этом для функций Ф] и Ф2 сразу получаются раздельные
краевые условия
дФ9.
2 A — v) ' dz |г=о~ 2 A — v) •
F2.4)
так что эти функции могут считаться найденными в резуль-
тате решения задачи Неймана для полупространства.
Далее, для гармонической функции
Ц = (\—2ч)Ф3 — Ф4 F2.5)
имеем на основании F2. 3) условие
* Uo = 2(l-
F2. 6)
255

Таким образом, для определения ф надо решить эадачу
Дирихле для полупространства.
Наконец, исключая Ф4 с помощью F2. 5), получаем для гар-
монической функции Ф3 смешанные граничные условия
f>a
ду Д=о
"К1 ^i*" ~f~ У ^)г=0 *
*>а
F2. 7)
Краевые задачи с граничными условиями такого типа могут
быть решены с помощью обобщенного преобразования Мелера—
Фока. Наконец, функция Фо либо находится по формуле Фо=
я
= \ <b4dz, либо, если этот интеграл расходится, определяется
со
своими производными:
дх
дх
ду
Рассмотрим приложение из
Рис. 38. ложенвой методики к решению
контактной задачи для наклон-
ного циливдрического штампа
с плоским основанием (рис. 38). Так как трением пренебре-
гается, то ва всей плоскости г = 0 отсутствуют касательные
напряжения; равны нулю также нормальные напряжения вне
области контакта, а нормальное перемещение под штампом за-
дано линейным законом 8-|-уа:. Следовательно, такая задача
есть частный случай рассмотренной выше общей смешанной
задачи, когда
х* = '|:„=о = 0, w(r, <р)=S -f-yr cos <p-
Отсюда вытекает, что Ф1 = Ф2=ф = 0, а краевые условия F2.7)
для гармонической функции Ф3 принимают в тороидальных
координатах вид
= 0. F2.8)
S56

Согласно E6.10), полагаем
^ь (ch a) cos <fA1 (x)| dt. F2.9)
Часть искомой функции Ф3, пропорциональная осевому пере-
мещению штампа 8, была найдена выше (см. § 59). Поэтому
займемся слагаемым, связанным с углом поворота у и приво-
дящим при использовании граничного условия F2.8) к равенству
a
th>"
v'ch a + i
0
00
Аг (г) />Ъ/гНт (ch a) dr. F2.10)
Испольвуя соотношение E7.18), сразу находим
. F2.11)
Для нахождения функции Ф3 необходимо вычислить интеграл
0
который с учетом E9.13), E9.16) и соотношения
Р—Чг+i* (CQ tt) == ~Т~ P—'ll+f (СП ")
равен
1 / ch a
V i-
-(- cos P
t да \loh a + COS p
Таким образом, решение задачи принимает вид
17 Я. С, Уфлявд

Для определения связей перемещений 8 и у с приложенными
силой Р и моментом М составим выражение для напряжения в
в основании штампа
, _ Ch а + 1 <?Ф8|
»1р=о а д$ |р=о
sh4cos<pl. F2.13)
Применяя условия статики
а2п а V»
\\°A^rdrdf = —P, \ \ ejg=oa:rdrd<p = — M, F2.14)
0 0 0 0
легко получим известные соотношения
Р = Т=7> M = W^)' F2Л5)
§ 63. Общий случай равновесия упругого пространства,
содержащего внешнюю круговую щель
В § 61 исследовалось напряженное состояние неограничен-
ного упругого тела, ослабленного внешней кругоной щелью
(рис. 39), причем рассматривалась осесимметричная задача и
предполагалось, что приложенная к берегам щели внешняя на-
грузка симметрична относительно средней плоскости z = 0.
В настоящем параграфе рассматривается соответствующий
общий случай, для которого граничные условия имеют вид
F3.1)
V 1
Так как по соображениям симметрии в сечении [3 = 0 имеем
равенства
uJg=0=0, т„|рмю = 0,- х^|р=0 = 0, F3.2)
то данная задача может быть сведена к частному случаю сме-
шанной задачи для полупространства, рассмотренной в преды-
дущем параграфе, если принять в краевых условиях F2.1)
w = 0, а также считать функции ъя(г, 9) и *„(г, <f) равными
нулю в области C = 0.
- В качестве примера на применение изложенной в § 62 общей
методики исследуем напряженное состояние в неограниченном
теле, ослабленном плоской круговой щелью и подверженном
?58

действию двух противоположно направленных сил величины Р,
приложенных в точках а=а0, [3=+я, 9 = 0 щели (рис. 39).
При этом значение а0 связано с заданным расстоянием Ъ соот-
ношением b = a cth -?¦, вытекающим из E6. 2).
Так как внешние касательные усилия на берегах разреза
Р=+1г отсутствуют, то в общем решении, изложенном в пре-
дыдущем параграфе, следует поло-
жить Ф1=Ф2=ф ==0, Ф4==A —2у)Фд,
и задача сводится к нахождению *2
гармонической в полупространстве р-п • - \Р
z>0 функции Ф3^Ф при следую- :Г{"*'; _——х
щих краевых условиях: Р"и "\" \ \Р
Ф|р=о=О, gl =о(а, <р), F3.3) I—* !
где о (а, 9) — заданная функция, со- Рис. 39.
ответствующая приложенной сосре-
доточенной силе.
В соответствии с изложенной в §§ 56 и 57 методикой и чет-
ностью функции Ф по координате 9 положим
)dx. F3.4)
m=0 о
Учитывая, что
_?| 1_ ±_\ (h_ a \
дж |р=« — й*др|?*« V cha + cosp/'
и применяя оставшееся второе граничное условие F3.3), по-
лучаем
, 00 00
о (а, у)=— (сЬа~1)/г ^ cos т* \ А« (т) ^=ЧИ* О* «) Л. F3. 5)
Неизвестная функция Ат(х) может быть найдена путем при-
менения формул Фурье и Мелера—Фока (см. E7. 3) и E7. 5)J
Ат (т) = ^— (—Г)Г*Ч th «х
00
(m > 1). F3.6)
17» g5S

Распределяя хосредоточенную силу Р по малой окрестности
точки а = а0, р=-я, <p = 0, полагая в соответствии с этим
Р{сЪа0— 1) - ^ .
4е8ай " ПрИ ао~е<а<ао + «.
F3. 7)
О при остальных значениях а и 9
и переходя к пределу при е-»0, 8->0, находим явное выра-
жение для Am(t):
)• F3.8)
Для. случая т = 0 выражение F3.8) приобретает множи-
тель y-
Гаким образом, решение задачи дается следующим выра-
жением:
Ф = — \/ch an — 1 \/ch a -f- cos P 2 (—l)"*emcos то«р X
m=0
о
где
. Оказывается, что функция Ф может быть выражена в ко-
нечном виде через элементарные функции. Для получения такого
выражения воспользуемся прежде всего интегральным пред-
ставлением E7.19) для произведения сферических функций.
Подставляя E7.19) в F3. 9) и переставляя порядок интегриро-
вания и суммирования, получаем
Vsh a sh an
X 2 emQm-4, (cb u) cos m<f dsdx, F3.10)
|_tn=O J
где введено обозначение
geo

Ряд, .входящий tt выражение F3.10), суммируется на осно-
вании формулы (см. E1, стр. 251]):
со
2 V*
=— У, emQm_4t (ch u) cos nvf. F3.12)
^2 (ch в — cos 9)
Воспользовавшись далее соотношением *
со со
Г cos xsds v'sh a sh a0 Г sin zeds .„„ ,m
J v'ch u — cos 9 sh пт J v'ch s — ch fi *
где положено
ch (i = ch a ch a0—sh a sh a0 cos 9, F3.14)
и вначением интеграла
со
JL 2.
sm 2 sh 2
О
получаем функцию Ф в виде однократной квадратуры
+ cosp sin -Е- f ^ . F3.16)
-г г 2 J(ch» + cosP)v'chs-chfi v '
v-
Подстановкой сЬу = сЬ-тсЬи последний интеграл вычис-
ляется и приводит к следующему замкнутому выражению для Ф:
Ру/сЪоо — 1 i/cha + cosp
^ У
Замечая еще, что дробь с. ^ j^c s ^ может быть выражена
через расстояние р (рис. 39) от точки приложения силы до про-
извольной точки тела
±^i F3.18)
* F3.13) вытекает ив F3.11) и интегральных представлений E7.15)
и E7.16>«
861

мы можем после некоторых выкладок представить F3.17) в сле-
дующем окончательном виде:
у/2
У№-<
в
-g-
— vch а -|- cos [
F3.19)
чем и дается полное решение поставленной задачи в вамкнутом
виде.
П rl
Подсчитаем еще нормальные напряжения в наиболее опас-
ном сечении р = 0. Из F2. 2) находим
, дФ\ P i/fc2
О I. . = —— I = —- I/
* IP—о дг р—о п2а2 V о2
(Chao_ lJchSy
ch a ch a0 + 1 — sh a sh a0 cos f
. F3.20)
На рис. 40 построены графики распределения напряжений
для некоторых значений угла ?, причем принято 6 = 2а.
§' 64. Смешанная задача для случая задания внутри круга
нормального напряжения, а вне его — нормального
перемещения
Во всем предыдущем изложении данной главы рассматри-
вались смешанные задачи для упругого полупространства при
задании на всей его граничной плоскости касательных напря-
жений, причем вне некоторого круга было известно нормаль-
ное напряжение, а внутри него — нормальное смещение.
Нетрудно видеть, что изложенная выше общая методика
(см. §§ 59 и 62) с несущественными видоизменениями сохра-
няется и для того случая, когда нормальное напряжение
задается внутри круга, а нормальное перемещение — вне его.
262

В самом деле, граничные условия рассматриваемой задачи
в осесимметричном случае имеют вид
F4.2)
Используя представление E9. 3) упругих смещений и напря-
жений через две гармонические функции Папковича—Нейбера
(/ и Ф), сразу находим, как и в § 59.
функцию
дг
решением задачи Дирихле с гранич-
ным условием E9. 5); затем исключаем
f и приходим к краевым условиям сме
шанного типа для функции Ф
Кг
-'¦—> !
ifi-2K
дФ I
зг1 =<
G
2A-
F4.3)
Рис. 41.
Таким образом, гармоническая функция Ф может быть най-
дена путем разложения в интеграл Мелера-^-Фока по функ-
циям Лежандра Р__,^ия(спa).
Аналогичным образом может быть решена и соответствую-
щая общая задача, определяемая такими граничными условиями:
4.4)
Применяя формулы F2.9) и ставя дополнительное условие
F2.3), находим, как и в § 62, для Ф1 и Ф2 краевые условия
F2.4). Считая эти функции найденными, определяя гармони-
ческую функцию
ф A
в результате решения задачи Дирихле [см. F2. 6)] и исключая Ф4,
приходим к следующим смешанным краевым условиям для гар-
монической функции Ф3:
<ЭФ.1 <*И о /<ЭФ,
v
' ду
G
=-. w.
F4.5)
263

Согласно изложенному в §§ 56 и 57; функция Ф3 находится
с помощью обобщенного интегрального преобразования Мёлера—'
Фока.
Примером рассмотренных смешанных задач теории упру-
гости является симметричная относительно плоскости z = 0
деформация неограниченного тела, ослабленного внутренней
круговой щелью, берега которой являются .координатными nor
верхностями |3 —0 и р = 2к (рис. 41). В самом деле, при этих
условиях из соображений симметрии в области р = тг отсут-
ствуют касательные напряжения и нормальное перемещение,
в то время как ва берегах разреза [3 = 0 и р = 2п заданы
внешние усилия
Х« ||5=0 =
1р=0 = —V
Таким образом, рассматривая нерхнее полупространство,
мы приходим к граничным условиям, являющимся частным
случаем условий F4.4).
§ 65. Растяжение упругого тела, ослабленного плоской
круглой щелью
В этом параграфе дается решение осесимметричной задачи
о растяжении сосредоточенными в точках r = 0, z== ±Ь силами
упругого тела, содержащего круговую щель (рис. 41).
Как и в § 61, напряженно-деформированное состояние раз-
бивается на сумму первичного состояния, соответствующего
действию данных сил в сплошном теле, и вторичного состоя-
ния, уничтожающего напряжения ва поверхности щели. Будем ¦
разыскивать далее функции Папковича—Иейбера / и Ф, соот-
ветствующие вторичному состоянию.
Применяя формулы F4.1)—F4. 5), в которых следует, оче-
видно, положить т(г) = 0, <J> = 0 и u>(r)=0, получаем для
гармонической функции Ф следующие краевые условия:
°. ?L=e^ F5Л)
гпе функция
Полагая
<D(a,P)-V
264
о (г)
alr\
cho
Дается формулой
1 РЬ '"
| со р у A) . tc
0
F1.
- ZV -|
4)
362
\- 62 + Г2
Г+Г2)8
(ch a) dVt F5.3)

мы сразу удовлетворяем, уравнению Далласа „и граничному
условию Ф|р=х = 0.
Величина А (г) должна быть найдена иа второго краевого
условия, которое приводит к соотношению
00
= -1(сЬа + 1Г'. \ A (
F5.4)
Согласно формуле Мелера—Фока E7.10) получаем
, С = А, F5.5)
где введено обозначение
••¦¦¦; ¦ - ш .
а
Shy
da
F5.6)
Использование интегрального представления E7.14) дает
Kb)
со
a
~2 da
cos tsds
a\n/Z
F5.7)
г -тг v'cb а — ch s
Сделан подстановку ch-5- = ch4rch u> получаем
п п
I cos tsds I
I I rVi2 I
(Sh2M + A2)»/2 •
F5. 8)
После некоторых выкладок находим
shGt — ид) x
, COS
2iU=-
3A + c2) »chittsin2-5-
F5.9)

поели чего получается следующая формула для искомой вели-
чины Л(т):
cos2
—v) chirr
Г2A—v)H-sin2-|- I
-sh(n — т])т+2тсо8|-сЬ(я — т])т . F5.
L ^T J
В заключение укажем, что нормальное напряжение в сред-
ней плоскости f3 = 7i, выражающееся формулой
о
может быть представлено в таком виде:
РЬ COS2 -5-
4( |L^j F5.12)
где квадратура
г_ Г sh»shT
I ch s — cos ¦»!
/= 1 -у- - г- F5.13)
выражается через элементарные функции [см. F1. 25)].
Глава XI. РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С КРУГОВОЙ ЛИНИЕЙ РАЗДЕЛА
КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ, КОГДА НА ВСЕЙ ГРАНИЦЕ ИЗВЕСТНО
НОРМАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
§ 66. Случай задания внутри круга радиального смещения,
а вие его — касательного напряжения
Настоящая глава посвящена исследованию таких смешан-
ных задач теории упругости для полупространства z > 0, когда
на всей граничной плоскости (z = 0) задаются значения нор-
мального напряжения о,. Кроме этого, окружность z=0, r=a
является линией раздела граничных условий, так как внутри
или вне ее будут считаться известными касательные переме-
щения или касательные напряжения соответственно.
266

В данном параграфе будет рассмотрена осесимметрияная
задача подобного типа, когда в области z = 0, r<e (Р = 0)
задано радиальное перемещение, а н области г = 0, г>а
ф=я) — касательное напряжение.
Краевые условия в таком случае будут следующие:
e.W. F6.1)
р аж = т(г). F6.2)
Для решения задачи воспользуемся формулами E9.3), вы-
ражающими перемещения и напряжения через две гармониче-
ские функции: / и Ф.
Выпишем здесь необходимые нам выражения для иг, тп и ож:
F6.3)
Применяя к граничному условию — ^- =2Gu(r) диффе-
Of |p^sO
ренциальную операцию --т-г и учитывая, чтоД/ = 0, находим
Заметим, что равенство F6.4) эквивалентно исходному гра-
ничному условию, так как возникающая при обратном про-
цессе гармоническая функция координаты г должна быть огра-
ничена при г-»0 и, следовательно, есть весущественная по-
стоянная.
Теперь из F6.1) сразу имеем
F6.5)
Таким образом, для гармонической функции
ф=A-2у)Ф-|
|
имеем из F6.2) смешанные граничные условия
267

Считая, что величина ф найдена с помощью преобразова-
ния Мелера—Фока, определим теперь функцию Ф в результате
решения задачи Неймана с краевыми условиями
- <ea7>
Для полного решения поставленной задачи остается только
по известной величине -j- найти значение входящей в основ-
ные зависимости производной —
<66-8>
Одним из конкретных приложений полученных результатов
является расчет осесимметричной деформации неограниченного
упругого тела, ослабленного внешней круговой щелью и нагру-
женного усилиями, антисимметричными относительно плоскости
щели, когда
=*(г). F6.9)
Очевидно, что в срединном сечении [3 = 0 равно нулю ра-
диальное перемещение и нормальное напряжение:
F6-10)
Легко видеть, что рассматриваемая задача может быть
поставлена как краевая задача теории упругости для верхнего
полупространства, причем граничные условия являются част-
ным случаем условий F6.1), F6.2), когда ао(г) = и(г)=О.
Фактические выкладки проводятся в следующем параграфе'
на конкретном примере.
Отметим еще следующее любопытное обстоятельство: если
к берегам щели приложены только нормальные напряжения,
т. е. т(г) = 0, то рассматриваемая задача просто эквивалентна
элементарной задаче о равновесии полупространства z]>0
при задании на его границе нормальных напряжений зж(г).
В самом деле, из F6. 6) находим, что ф = 0, а тогда из F6. 3)
следует, что касательные напряжения отсутствуют на всей
плоскости z = 0.
Высказанное утверждение, доказанное также и для соот-
ветствующей плоской задачи (§§ 15 и 32), перестает, однако,
быть справедливым в общем случае пространственного равно-
весия (по этому поводу см. статью [75], а также §§69, 71 и 85).
268'

§ 67. Приложение к задаче о равновесии упругого тела,
.содержащего внешнюю круговую щель
Применим изложенную в предыдущем параграфе методику
к решению осесимметричной задачи для безграничного тела,
ослабленного внешней круговой щелью и нагруженного в точ-
ках r = 0, z=+b одинаково направленными силами (рис. 42).
Как всегда, разложим напряженное состояние на две части:
заданное первичное состояние, создаваемое приложенными
сосредоточенными силами в неограниченном упругом теле,
и вторичное напряженное состоя-
ние, которое снимает с берегов \г
разреза нормальные и касательные '
усилия. Будем в дальнейшем нахо- \р
дить функции напряжений для вто- j
ричного ' напряженного состояния. _ i .
Так как в рассматриваемой за- , "" ^r^~y-N_?l—
рр ^^
даче первичное напряженное состо- р-я т />--
яние вообще не дает в плоскости !
z = 0 нормальных напряжений, то 1
ап(г) = 0. Поскольку, кроме того, [р
в формулах F6. 5)—F6. 7) следует J
положить %(r) = F (г) = 0, то имеем J
связь'
ф(г,я)=з-Ф(г, z). F7.1)
Находя касательные напряжения, создаваемые первичной
нагрузкой в плоскости г = 0 (см., например, [67]),
F72)
я вычисляя входящий в F6. 6) интеграл, получаем следующие
граничные условия для гармонической функции ф:
l n n 2v —1 Р .„„ „
Будем искать функцию <]> в виде интегрального разложения
Мелера—Фока
F7.4)
$69

удовлетворяющего второму краевому условию F7.3). Первое
из этих условий дает соотношение (г |р=][ = a cth -|-j
00
g=y/cha-l
х, F7.5)
из которого следует найти неизвестную величину А(х).
Поскольку функция •¦ не удовлетворяет
v'ch а — 1 у № + а*с№^
условиям применимости формулы Мелера—Фока E7.10), пред-
ставим ее в виде суммы двух слагаемых:
Cba — 1 |/&2+(
1— / ' - J— \ +
VI/ 62 ^_ e2 cth2 -5- I
F7.6)
к первому из которых можно применить формулу E7.10). Что
касается второго слагаемого, то, согласно E7.12), оно пред-
ставимо в виде следующего разложения по функциям Лежандра
()
F7.7)
Таким образом, для нахождения А(х) необходимо вычис-
лить интеграл
со
111/ а v&2 О- а2
oha)da- <67-8>
«го

Воспользовавшись интегральным представлением E7.14) и
меняя порядок интегрирования, получаем
\/0 f
/ = — I COS "CSds X
X
о
Г
J
j
ch
\1сЪ а — chs"
F7.9)
Подстановка sh у = sh -=- ch и позволяет вычислить внутрен-
нюю квадратуру и дает
со
2 С .
/=-
— cos xsds. F7.10)
Интегрирование по частям и использование формулы
ch тг
sin ?s
ch s + cos u
s
sh -g-
тс ch Ttt — ch (at
s ~~ fT shitt
F7.11)
позволяет представить искомый интеграл / в явном виде:
/ =
ch fix — ch Ttt
\l№ + а?т sh Vet *
Так как по формуле E7.10)
A(t)— —p_2=\Z2"
то окончательно имеем
F7.12)
fl2 Ch TCT '
F7.13)
Таким образом, решение поставленной задачи выражается
через функцию <J), определяемую квадратурой
a)dx. F7.14)
«72

Представляя произведение 2chfrcchfk в виде суммы
ch (и 4-Р) т-}-ch ({J. — C) т и пользуясь значением интеграла
1см. E9.13)—E9.16)]
со
J
— cos
о
можно представить ф через элементарные функции
. D v'ch a -f- cos p f те ,
* Я ^62 _|_ fl2 [v'ch а — COS (fi + Р)
F7.16)
В заключение данного параграфа найдем распределение
напряжений в сечении C = 0, пользуясь формулой
*~b-o = S|=e- (б7-17>
Поскольку
д | ch а + 1 д I
dr|pso о <Эа|В:
то после некоторых выкладок получаем
1р=о = —
р 1 — 2v sh 2
или, так как при р = 0 r =
F7.19)
Интересно отметить, что в исследованвом случае касатель-
ные напряжения на ребре щели (г -> а — 0) обращаются в нуль,
а не возрастают неограниченно, как во многих сходных
задачах.
§ 68. Общая задача при задании внутри круга касательных
перемещений, а вне его — касательных напряжений
Рассмотрим упругое равновесие полупространства, граница
которого г = 0 содержит круговую линию раздела (г = а) крае-
вых условий: при г<'а заданы перемещения и и о (в направ-
лении осей х и у), а при г~^>а известны касательные напряже-

ния T#it и хуж. При этом нормальное напряжение о, по-прежнему
задается на всей плоскости z = 0.
Краевые условия поставленной задачи таковы:
= ^о(а. 9).
к=* = оя (о,
= t# (а,
V Ь=«
g j
Для сведения задачи к краевым задачам теории потенциала
воспользуемся, как всегда, представлением D2.1)—D2. 3) пере-
мещений и напряжений через четыре гармонические функции:
Фо, Ф1? Ф# Ф3. Приведем здесь формулы смещении и напряже-
ний, входящих в граничные условия F8.1):
3.2)
/ йФ1
\ дгг
где введены обозначения
F8. 3)
Пользуясь произвольностью одной из входящих в это реше-
ние гармонических функций, поставим наряду с F8.1) следую-
щие два дополнительных краевых условия:
F8.4)
где в правой части первого равенства стоит плоская гармони-
ческая функция. Как будет видно из дальнейшего, с помощью
выбора не определенных, пока коэффициентов Fm можно будет
удовлетворить всем граничным условиям рассматриваемой
задачи.
Исходя из условий F8.1)—F8.4), можно сразу получить
раздельные краевые условия смешанного типа для гармониче-
ских функций Ф, и Ф2:
4 A - v) L ° ^ дх |p=0J' дш |„=. 2 A - v) • t
Ф1 Ir-o —
18 Я, С. Уфлянд
«73

Считая эти функции известными и вводя гармоническую
функцию
о) = 2A— v)«>s — Ф4, F8.6)
будем иметь для нее граничные условия второго рода
С?ьи I **G fOU(\ , Ovn\
_ r=o 1 =-4 -1-
dz \g=0 " 1 — v V dx ' dy )
G Г /д*и . d9u \ . (ffiv . (Pv \ I /ee 4.
^i| =o — 2v
так что си находится решением задачи Неймана для полупро-
странства.
Для гармонической функции Ф4 имеем из второго дополни-
тельного условия F8. 4)
Ф41„_ = A - 2v)»|э=„ - (хх,х + ух^. F8.8)
Второе краевое условие для этой функции может быть по-
лучено из первого дополнительного соотношения F8.4), запи-
санного в таком виде:
F8-9)
В самом деле, после применения к F8.9) операции j-g-bTl
получаем
так что на освовании F8. 8) и F8. 10) можно найти Ф4 с по-
мощью обобщенного интегрального преобразования Мелера—Фока.
Заметим теперь, что если определить функцию Фо равен-
*
Фо= j Ф4Й2, F8.11)
* Если интеграл F8.11) расходится, то находим производные
дг =9*- дх=) дх dz> ду = ) ду dz'
CQ
причем сходимость последних интегралов следует из условий на беско-
нечности. Напомним, что функция Фо вообще определена с точностью до
постоянного слагаемого.
274

то ее значение при р = 0 будет, вообще говоря, отличаться от
правой части условия F8. 9) на некоторую гармоническую фувк-
цию переменных хну. Покажем, что удовлетворить усло-
вию F8.9) можно путем соответствующего выбора входящих
в решение коэффициентов F .
Обозначим через Ф\°\ Ф? , о>@), Ф$ш те части искомых функ-
ций, которые содержат коэффициенты Fm.
Тогда для функций Ф\т и Ф?о> получаем граничные условия
m=l
F8.12)
Вместо того чтобы разыскивать эти функции с помощью
преобразования Мелера—Фока, воспользуемся формулами E8.5)
и E8.9) главы (X, из которых сразу вытекает, что
4A
4A-
rtmi
* в
(<*.
<
P) =
r
CO
ma"
00
m=r]
CO
a +
•-222'
r
cos P cos -г
»-1(т-1)!
Bm —2)!
/'"•""(a
2
O\
pi
p).
Iz,
F8.13)
Для определения гармонической функции ю@> из граничных
условий
вычисляем выражения
= v/2 sh ~ ch2-J Re
1 у
F8.14)
18*

после чего
дг 1C=*
Положим
где
дед*
дг
«Jffi
-v)
Re
:0, "-f.\ = —
*г lg=* 2 у'г A — v)
F8.16)
F8.17)
Очевидно, что в качестве функции ю* можно взять особое
решение типа E8.2) при /(С) = Ст, т. е. сюложить
Далее, на основании E8.10) имеем для ш
4A — V)
m=l
/<"•> (а, р) = j Vch a + cos P sin |- thm-|- dz.
F8.19)
Переходим к определению функции Ф["\ для которой, со-
гласно F8. 8) и F8. 10), граничные условия таковы:
0. F8.20)
Так как -^— =0 и (в*|р_к = 0, то очевидно, что функ-
ция Ф101 может быть представлена в таком виде:
<J>J0) = A — 2v) ffi -f- A*m', F8. 21)
где А* — пока не определенная постоянная.
Необходимость введения величины А* диктуется требова
нием ограниченности перемещений при а->со, ибо входящая
в решение функция ш* неограниченно возрастает при а-» со.
Выкладки показывают, что перемещения и и v при а-» сх> огра
276

ничены при любых значениях А", а асимптотическое выраже-
ние перемещения w при а.-* со'будет
Поэтому следует принять /4* = —1. Таким образом,
Ф4«» = A _ 2v) ш — ев". F8. 22)
Положим
Ф4 = ФГ+Ф;, F8.23)
где функция Ф^ определяется вместе с Фь Фа-И а/ путем по-
следовательного решения краевых задач с условиями F8.5),
F8. 7), F8. 8) и F8.10), правые части которых связаны с задан-
ными нагрузками хх, ху, о0, оя и перемещениями и0, v0.
Составим теперь согласно F8.11) и F8.21) выражение ин-
теграла
г . л
J Ф^г |9=0 = A — 2v) J &dz — j (o'dz -f- J O'tdz
CD L CO CO CD -"
F8. 24)
и приравняем эту величину правой части условия F8.9)
Так как на основании E8.13) и E8.9)
F8-25)
ш=1
\ v'dz |3=0 = Т7?1ГТГ Re J (m - ±) Fj-*e"">, F8. 26)
?' F8-27)
m=0
где Gm — известные числа,* то окончательно получаем следую-
щую формулу для искомых коэффициентов Fm:
T^ F8.28)
на чем и заканчивается общее решение поставленной задачи.
§ 69. Антисимметричная деформация тела, содержащего
внешнюю круговую щель
Нетрудно видеть, что к категории задач, рассмотренных
в предыдущем параграфе, относится, в частности, задача об
антисимметричной деформации неограниченного упругого тела,
* Постоянная Go не влияет на вначения иеремещеиий и напряжений.
877

содержащего внешнюю круговую щель. Действительно, так
как на поверхности щели р=+те в этом случае имеем соот-
ношения
eU^U="<* у) ] F9 1)
то в средней плоскости р = 0 отсутствуют касательные смеще-
ния и нормальное напряжение
Таким образом, рассматриваемая задача равносильна сме-
шанной краевой задаче теории упругости для полупростран-
ства с граничными условиями
F8.1), в которых положено
"* Проиллюстрируем предложен-
ный в предыдущем параграфе
метод решения этой общей за-
дачи на конкретном примере,
когда внешней нагрузкой являют-
Рис. 43. ся две одиваково направленные
сосредоточенные силы, прило-
женные нормально к поверх-
ности щели в точках а=а0, Р=±«, y =
см. рис. 43 V При этом касательные усилия ix и ху отсут-
ствуют, а нормальная нагрузка ои соответствует заданной со-
средоточенной силе.
Для получения решения задачи необходимо найти функции
Фь Фа, wf и Ф4, а также коэффициенты G .
Из F8. 5), F8.7), F8. 8) и F8.10) вытекает, что в данной
эадаче Ф{ = Ф? = 0, а для функции ю' краевые условия имеют вид
^«* й- (в9-3»
Легко видеть, что решением задачи Неймана для рассма-
триваемой точечной нагрузки является функция
9.4)
Чтобы найти коэффициенты Gm, нужно функцию
разложить в тригонометрический ряд по углу 9-
S78

Пользуясь разложением
Sdz I 1
-- = In (z -\- p) \gmQ = -к- In (r2 — 2fer cos
г I3=O
==—Re 2j -^m etm* + const.
получаем
откуда на основании F8.27)
Не выписывая общего решения задачи, подсчитаем напря-
жения в сечении |3 = 0 по формулам
i Рф I 9/1 I ч»4Ч I ( '
VU=L?+2A+v)-^-^=o. J
Так как
то
=-u=»c-')^L-vu-*p-)TL-F98)
Составляя с помощью F8.13), F8.28) и F9.6) выражение
2е ~
Bro-2)! 2
»;=0
и пользуясь суммой ряда
*=0
279

находим окончательно
* =WS^rf*т"г^т[f
§ 70. Осесимметричная задача в случае задания внутри круга
касательного напряжения, а вне его — радиального
перемещения
В § 66 было дано решение следующей смешанной задачи
для упругого полупространства с круговой линией раздела гра-
ничных условий: внутри круга радиуса а задавалось радиаль-
ное перемещение иг, а вне его — касательное напряжение хгя.
При этом нормальное напряжение аг было известно на всей
плоскости 2 = 0, и в рассмотренном осесимметричном случае
дело сводилось к задаче Неймана {см. F6. 7)] и к смешанной
задаче с условиями типа F6. 6).
Оказывается, что в аналогичной задаче, когда в области
г = 0, г<Га задано касательное напряжение, а в области z = 0,
г^>а — радиальное перемещение, указанное выше сведение
к краевым задачам теории потенциала претерпевает, как будет
сейчас показано, некоторые изменения.
Граничные условия поставленной задачи имеют вид
Как и в.§ 66, пользуемся формулами F6.3), выражающими
смещения и напряжения через гармонические функции (/ и Ф)
Папковича—Нейбера, и применяем прежде всего к граничному
условию
—^L=2Gu(r) G0-2)
операцию — 'j-r. Однако в отличие от задачи, рассмотренной
в § 66, получаемое при этом равенство
равносильно не исходному граничному условию G0.2), а со-
отношению .
|Ц^ G0.4)
S80

Покажем, что для точного выполнения краевого условия G0.2)
можно вместо условий F6.6) для функции ф = A—2у)Ф — ¦?
поставить следующие требования:
-' =и— «#« VI — и\п
G0.5)
сохранить условия задачи Неймана для функций Ф
G0-6)
и найти неизвестную постоянную с из условия G0.2).
Непосредственная проверка с использованием зависимостей
F6.3) показывает, что условия G0.5) и G0.6) равносильны
всем исходным краевым условиям G0.1), кроме требования
|t = a(r), которое заменяется следующим:
G0.7)
Нетрудно видеть, что К = М — Nc, где М и N — известные
числа. В самом деле, на основании G0. 5) и G0. 6) функции Ф
и <}>, а следовательно, и / можно представить в виде суммы
двух слагаемых:
/=/<> + <*!. G0.8)
где, согласно G0. 3),
?* ^L <709>
Так как Д/о = Д/2 = 0, то из G0. 9) вытекают равенства
т. е. действительно
Таким образом, 'искомая ¦ величина с должна иметь значение
с =4, G0.11)
на чем и заканчивается общее решение поставленной задачи.
281

§ 71. Напряжения в упругом теле, ослабленном плоской
круглой щелью
Важным частным случаем рассмотренной выше задачи
является деформация неограниченного упругого тела, содержа-
щего плоскую круглую щель, причем р = 0 и |3 = 2я—уравне-
ния ее берегов (рис. 44).
В' самом деле, при антисимметричном загружевии имеем
^И- G1.1)
~J
q
Т
Наряду с этим из соображений симметрии в части плоскости
= я отсутствует нормальное напряжение и радиальное пере-
мещение
Tl Таким образом, поставленвая за-
**г дача может рассматриваться лишь для
верхнего полупространства с гранич-
ными условиями, получаемыми из ус-
ловий G0.1) при о1[ = ы:=0, что пре-
вращает G0. 5) и G0. 6) в следующие
краевые условия:
G1.3)
Рнс. 44.
дФ I ^ дФ I , . д§
dz \fl—r dz |Pr=o ^2
з=о
Займемся преобразованием для данного случая формулы G0.11),
определяющей величину с.
Положим
где
G1.5)
Так как —гМ =0, то на основании E9.7) и E9.16)
Далее, из G1.3) вытекает, что
G1.6)
G1.7^

где
?s| =0,
=o(r).
o v '
G1.8)
Так как
TO
«I e( «Lл| =
откуда
' r •
G1.9)
Таким образом, величины М п N можно определить с по-
мощью квадратур, содержащих функции Фо, ф0 и <}>,, которые
считаются найденными в результате решения соответствующих
краевых задач.
Дальнейшие преобразования формул G1.9) основавы на соот-
ношении
дш
1
G1.10)
верном для гармонических функций a>{r, z), удовлетворяющих
условию ^-1 =0, ограниченных при г-*0 и стремящихся
к нулю при г -• оо вместе со своими производными до второго
порядка включительно.
Применяя формулу G1. 10) к функциям Фо, % и ф,, учиты-
вая G1. 8) и вычисляя квадратуру

иолучаем
М
= (l-2v)[ro(r)dr-2(l_v)(r^dr|p=o,
о
Gi.il)
Таким образом, из G0.11) получаем окончательную формулу
с = пТ^Т) f 2 A - v, f г ^L «Ь- Ц-A - 2v) fro (г) drl. G1.12)
В качестве примера рассмотрим случай, когда к поверх-
ности щели приложена нормальная равномерно распределенная
нагрузка интенсивности q (рис. 44).
Так как при этом о (г) = q, т (г) = 0, то И8 условий ф„ |р_0 == 0,
-jji I =0 получаем, что фо=О> т. е.
Для полного решения вадачи остается только найти функ-
цию Фо из условий G1.8). Не производя этих вычислений,
можно легко найти распределение касательных напряжений
в сечении р = я
или окончательно
Cha-l
1~2v
flp! I 2e_ a
4A—
G1.14)
§ 72. Решение общей задачи для случая,
когда внутри круга известны касательные напряжения,
а вне его — касательные смещения
Дадим теперь решение рассмотренной выше смешанной за-
дачи для полупространства в общем случае, когда осевая сим-
метрия уже не имеет места.
Граничные условия имеют вид

Общий метод решения такой задачи н основном совпадает с ме-
тодом, развитым в § 68.
Кратко изложим основные результаты.
В качестве дополнительных условий выбираем следующие:
= 0,
G2. 2)
и пользуемся, как всегда, четырьмя функциями Папковича—
Нейбера [см., например, F8. 2)J.
Функции Фх и Ф2 находятся решением следующих смешан-
ных краевых задач:
G2. 3)
АФ1==0, Ф1Ь=к^тЛ-т
1р=о
ДФа=0,
дФ2 I т»
dz |р=о 2 A — v) '
Затем для гармонической функции
ш = 2A —у)Ф3 —Ф4
будем иметь граничные условия второго рода
дГ 1з=о—°»*~ ^ Г^" + ~dfh=i>?~\x~dzT -r У~
^L| _o vG (дия dvK\ G
дг |р=» " 1 —V \дх ^ ду ) 2A —V)
G2. 4)
Наконец, для функции Ф4 имеем смешанную краевую задачу
4~ ' *4|B=o=A-2v)«>U-(^, + yv)s=o. G2-5)
G2.6)
Однако правая часть последнего условия может отличаться
от правой части истинного краевого условия (см. G2. 2)]
G2. 7)
285

на гармоническую функцию переменных х и у, ибо G2.6) полу-
чено из G2.7) операцией ;г-2-+-г-5--
Определим теперь коэффициенты Fm таким образом, чтобы
выполнялось G2. 7).
Обозначая через Ф1°>, <&jp>, ш<0), ф№> те части искомых функ-
ций, которые связаны с величинами Fm, находим последова-
тельно
G2.8)
откуда
4A — v) ФО» ^ = —Re 2 mFmr-im+11 *-««•«»*,
00
4A—у)Ф«»|3=я = —Rei 2 '
tn=l
CO
4A у) Ф№» = Re 2 Pm^m
4A_у)ф10)=кег 2
1Я=1
где положено |см. E8.10)|
8
/i-i(а, р) = | Vcha + cospsini- thffly dz,
00
о __ mBm + 1)!
P
Составляя в соответствии с G2.4) выражение
l—p-ttHT
1Я=1
и полагая
ш«0) = ш<0> -J-tu*l<
G2.9)
G2.10)
G2.11)
G2.12>

будем иметь
дг
„
1 - 2v .a
eh-? X
-v) -2
fro*10'
дг
_0
dz
2 ^2 A — v)
Легко видеть [см. 58. 6) и E8. 2)], что
«10)=4тйг Re
!Я=1
— — 4A-v) Sln 2
X Re
где
получаем, что
№) = A _ 2v)ffi@> -f /4*<o*@),
G2.13)
G2.14)
/(») (a, p) = J Vch a + cos p cos i- thCT -j dz. G2.15)
00
Наконец, И8 условий
= A —2v)a)«>)|p=0 G2.16)
G2.17)
причем подобно тому, как это было установлено в § 68, 4* = —1
И8 условия ограниченности перемещений при а-» со.
Полагая далее
G2.18)
где функция Ф^ (так же, как и функции Ф'х, Ф? и со') связана
с теми частями краевых условий G2.5) и G2. 6), которые не
зависят от коэффициентов Fm, будем иметь
Ж

m=0
где Gm — известные числа.
Составляя теперь выражение для интеграла V Of
мощью соотношений (см. § 58)
G219)
с по-
= --ggL— Re J Bm¦ +1) F'j~
и пользуясь условием G2. 7), находим окончательно
G2. 20)
G2.21)
I
i« 2a
г
X
=1
i
§ 73. Приложение к расчету напряжений в неограниченном
теле, содержащем внутреннюю круговую щель
Примером рассмотренной общей смешанной задачи может
служить деформация антисимметрично нагруженного упругого
тела, ослабленного плоской круглой щелью (рис. 45).
В самом деле, так как при анти-
симметричной нагрузке имеем
°. 1з=0 = —°. 1Р=2. = °0 С- <Р)' |
*« Ь=о = ¦=„ 18=2* = *,(*¦. 9). G3.1)
Рис. 45.
то достаточно рассмотреть верхнее полупространство при сме-
шанных граничных условиях, являющихся частным случаем
G2.1), когда
ож=ик=иж = 0. G3.3)
В качестве примера дадим решение этой задачи для одного
конкретного случая, когда к поверхности щели приложено по-
стоянное касательное напряжение тгд. (рис. 45). т. е. имеем
АЬ=о = °. ^|р=о=' = const, Vlp=o = °* G3*4)
?86
причем в части плоскости C = я по
симметрии

Поскольку при общем изложении (§ 72) функции Ф^, Ф&,
ш<°> в Ф(°) были получены, то остается найти функции Ф^т Ф?,
и/ и Ф^, а также входящие в формулу G2. 21) коэффициенты Gm.
Us G2.3) вытекают следующие граничные условия для Ф{
откуда следует, что *
arctg
L a -f- COS (J
I — cos p
. G3.6)
?Р у/сЪ а -\- COS p
В связи с тем, что входящая в правую часть первого усло-
вия G2. 4) величина преобразуется к виду
положим
о)'=ш*'+ш',
где
—— =0, -т— =—
dz I дг |
дг
|g_0
л A - v)
thTch8-5-cos«p,
дг
п да' I тA +2v) . о . а
, о* 1з=о лA — v) г 2
G3.7)
G3. 8)
Тогда на основании E8. 2), E8. 6) можем сраэу заключить,
что
, а + cos P sin -f- th -г- cos <p,
(l —— м\ ?i ii
/О) (а, Р) cos «p.
G3.9)
Далее, для последней неизвестной функции Ф^ имеем
G2. 5) и G2. 6)
откуда вытекает, что
— 2v)<o* 1^, G3.10)
1 + 4*V. G3.11)
* Выкладки здесь аналогичны сделанным в § 59 |см. E9.8), E9.13)
и E9.16)].
19 Я. С. Уфлянд
889

Что касается величины А* , то путем исследования поведе-
ния перемещений при а->оо удается установить, что А* =—1
(см. §§ 68 и 72).
Остается определить коэффициенты Gm из соотношения G2.19)
J Щг |р=, = Re 2 Gj—r**, G3.12)
1Я=0
причем из выражения для функции Ф^ сраэу следует, что при
т"^2 все Gm = 0, а единственный неизвестный коэффициентG1
есть вещественное число, так что G3.12) имеет вид
t
\ Ф$г |р=, = G, ^3. + const. G3.13)
Находя с помощью формул E8.11) и E8.12) значения инте-
гралов
г
S»'j | та COS? rm| taS COS?
ей, = =—-—А1' =—т. г-- -.
1р=1С W2 A — v) * Р=« t(l—v) г •
=--1?±М- \
со
та3A +2v) COS?
— -v) *~Г~
G3.14)
и используя G3.11) и G3.13), получаем окончательно
G^--^-A+2») те». G3.15)
Таким образом, найдены все функции напряжений, через
которые выражается решение поставленной задачи, а также
2
входящий в решение коэффициент F1 = j——Gv
В заключение приведем без вывода простую формулу, кото-
рая получается для перемещений
?90

Глава XII. ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С КРУГОВОЙ ЛИНИЕЙ РАЗДЕЛА
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
§ 74. Основная смешанная задача в случае осевой
симметрии
В предыдущих главах части IV рассматривались такие сме-
шанные задачи теории упругости для полупространства, в кото-
рых на всей граничной плоскости тела задавались либо каса-
тельные (глава X), либо нормальные (глава XI)- напряжения,
причем имелась круговая линия раздела остальных краевых
условий.
В настоящей главе XII с помощью интегрального преобра-
зования Мелера—Фока будут даны точные решения более слож-
ной смешанной задачи, обычно называемой основной смешанной
задачей. Граничные условия такой задачи для полупростран-
ства г>Ос круговой линией раздела краевых условий заклю-
чаются в том, что внутри окружности г = 0, г^а задаются
перемещения (или напряжения), а вне ее — напряжения (или
перемещения).
В данвом § 74 исследуется осесимметричная задача одного
из указанных типов, когда в области 2 = 0, г<я (в тороидаль-
ных координатах C = 0) заданы составляющие иг и иж перемеще-
ния, а в области г = 0, г^>а ф = «)"— напряжения ггд и аж.
Граничные условия имеют, следовательно, вид
Чтобы свести такую задачу к краевым задачам для гармо
нических функций, воспользуемся выражениями упругих пере-
мещений и напряжений через две гармонические функции / и Ф
Папковича—Нейбера:
4v)<D — F — z~,
Gi2)
где G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона, и введена
гармоническая функция F соотношением
19* 491

Применим к первому из условий G4.1) оператор — ••^¦(rur)|p=0
и воспользуемся значением иг, взятым И8 G4. 2). Так как функ-
ция / — гармоническая, то указанные действия приводят нас
к равенству
dF 2G d
Интегрируя еще последнее условие G4.1) по г в пределах
от г до со, сводим поставленную задачу к нахождению двух
гармонических в полупространстве z>0 функций ?иФ при
следующих граничных условиях:*
^1 =
dz |p=o
G4.4)
Заметим, что первое условие G4.4) равносильно первому
из граничных условий G4.1). В самом деле, из G4. 3) и G4.4)
следует, что
1 д ( df\\ d , .
~ 2G • W [r sr) |p=0 = -aF (r?i)>
т. е. значение «r|g=0, равное, согласно G4.2), величине
— 2G""xH • может отличаться от требуемого значения «pj(/•)
лишь на функцию —. Однако в силу ограниченности рассма-
триваемых функций на оси г = 0 постоянная с равна нулю, т. е.
первое условие G4. 4) совпадает с первым условием G4.1).
Для нахождения гармонических функций F а Ф представим
их в виде интегральных разложений по функциям Лежандра
Р(Ь)
*¦(«, P)=1
m
X \ [A (x) ch рг + В (т) sh p-t] P_Vs+i, (ch a) d-z, G4. 5)
Ф (a, P) = \/ch a -j- cos P X
GO
X j [C (t) ch Pt + D (x) sh pt | P_Vi+<t (ch a) dx, G4. 6)
* По поводу условий при R = Vr24-*2 -»• со я a -»• со см. § 57.

где функции А(т), В (г), С(х), D(t) подлежат определению и8
граничных условий G4.4). Заменяя в них дифференцирование
по z дифференцированием по р с помощью соотношений
дг |р=о А " <$ |э=о* dz |p=n А * «$
— коэффициент ЛямеУ, получаем
—г-—-?
W (eh a) * =
= /, (а), -
т { 2 A — v)[C (x) sh пг + О (т) ch тэт] — И (т) sh irx 4-
{A —
G4.7)
Если предположить, что правые части этих равенств могут
быть разложены в интегралы Мелера—Фока по функциям
Лежандра
/,(a) = J f{ (т)/>_./l+<,(cha)dx (i = 1, 2, 3, 4), G4.8)
о
то условия G4. 7) сразу приводят нас к линейной алгебраиче-
ской системе уравнений для неизвестных величин Л(х), B(z),
С(х), ?>(х)
2A—
A — 2v) (С ch тгг -f ?> sh тех) — D ch we + В sh we) = /4,
на чем в принципе и заканчивается общее решение поставлен-
ной задачи.
?93

Важным приложением иолученных результатов является
рассматриваемая в следующем параграфе контактная задача
для штампа, сцепленного с полупространством.
§ 75. Осесимметричная контактная задача для круглого
штампа при наличии сцепления
Рассмотрим контактную задачу о вдавливании жесткого
кругового в плане штампа в упругое полупространство г^О,
причем трение между основанием штампа и упругим телом
будем предполагать настолько большим, что оба тела можно
считать как бы жестко скрепленными.
Если на штамп действует только осевая сила Р и поверх-
ность основания штампа обладает осевой симметрией, то рас-
пределение напряжений в полупространстве будет также осе-
симметричным.
Точки плоскости z = 0, расположенные в области [3 = 0, т, е.
внутри круга г = а (а — радиус основания штампа), после де-
формации получат, очевидно, осевое перемещение
где х(г) — уравнение поверхности штампа, a w0 — пока неиз-
вестное осевое перемещение.
В силу принятого условия сцепления радиальное перемеще-
ние в области [3 = 0 должно отсутствовать:
Что касается области вне штампа (р = эт), то там отсутствуют ^
упругие напряжения:
0. G5.3)
Соотношения G5.1)—G5. 3) представляют собой граничные
условия рассматриваемой осесимметричной контактной задачи,
которая, очевидно, является частным случаем рассмотренной
в предыдущем параграфе общей задачи, когда
*,0-) = Ъ(г) = 94(г)з=О. G5.4)
Применим полученные в § 74 результаты к контактной задаче
для случая штампа с плоским основанием, когда функция у_(г)
в условии G5.1) равна нулю, т. е. <p2(r) = w0. При этом правые
части условий G4. 4), относящихся к основной краевой задаче,
будут, очевидно, таковы:
294

откуда вытекает, что в трех из соотношений G4.7) правые
части будут нулями, а во втором условии G4. 7) следует поло-
жить
/,(«) = ¦
2Gw0
Таким образом, в системе G4.9) /j = /3 = /4 = 0, а для нахо-
ждения величины /2 требуется разложить функцию -
vch а -+- i
в интеграл Мелера—Фока
со
\ G5. 5)
Сравнивая полученное интегральное разложение G5.5)
с E7.12), сразу находим
после чего можно решать систему G4.9). Так как в данном
случае В=0, А = C — 4v)C — /2, то дело фактически сводится
к системе двух уравнений:
A— 2v)Csh7r-c — 2A—
2A—v)Cch7tT —A—2
решая которую, находим
sh8jrc-4-Aa 3_4v«
где введено обозначение
G5'9)
Подставляя найденные значения величин А (т), С (х), D (т)
в формулы G4.5) и G4. 6), получаем выражения для функций
напряжений F(a, |3) и Ф(а, Р) в виде однократных квадратур.
Путем использования различных интегральных представлений
функций Р-'/и-л (°Ь«) указанные квадратуры могут быть пре-
вращены в однократные интегралы от элементарных функций.
Подобное преобразование будет проведено нами в дальнейшем
для нормального напряжения в области контакта.
Полученное решение осесимметричной контактной задачи
выражено через вертикальное перемещение w0 штампа, которое,
по существу, неизвестно и должно быть представлено черев
295

веданную осевую силу Р, действующую на штамп. Для выра-
жения величины w0 черев Р необходимо найти распределение
нормальных напряжений по подошве штампа (?3 = 0) и восполь-
зоваться условием статики
-P. <75Л0>
Ив общей формулы G4.2) для нормального напряжения
легко получаем
со
= 1A _v)(v/ch« + l/ \ *D(х) />_.,,+*(cha)dx G5.11)
о
[последнее — на основании выражения G4.6) для функции Ф].
Подставляя в G5.11) значение />(т) из G5.8), находим следую-
щее выражение нормального напряжения в виде однократного
интеграла:
со
dx-
Внося в G5.12) интегральное представление E7.16) для
функции P-t/rf-it (ch а), изменяя порядок интегрирования и поль-
зуясь формулой
со
ch itx cos те , cos 6s .„._ . „,
I
2*chT
о 2
где введено обозначение
6 = 1 arc chu = -^-111C — 47), G5.14)
получаем рассматриваемое нормальное напряжение в виде
хорошо сходящейся квадратуры, содержащей только элемен-
т грные функции
со
4 A — v) Gw0 ,
296

Применяя к последвему выражению условие статики G5.
учитывая, что
sh
da,
и изменяя порядок интегрирования, находим
со
d /COSta
л 1 dF 7
V \ Ch"
с 1 —у Сц>рд Г
arc cos
G5.16)
Подставляя в G5.16) значения к
из G5.9) и 6 из G5.14), получаем
окончательную искомую связь
р 4Gh>0o . ,п »« ^5 17^
На рис. 46 представлен график
распределения нормальных напряже-
ний как функции координаты г, при-
чем было принято v = -7" и для числен-
ных расчетов в формуле G5.15) пред-
варительно делалась замена перемен-
ных: ch t = ch a cha и.
РА
OS
1.0
Рис. 46.
§ 76. Случай, когда вне круга заданы смещения,
а внутри него — напряжения
В рассматривавшейся выше смешанной задаче для полупро-
странства упругие смещения считались заданными внутри круга
(при р = 0), а напряжения —вне его (при Р = я).
297

Преобразование Мелера—Фока позволяет также дать точное
решение аналогичной осесимметричной задачи, когда при р = О
заданы напряжения, а при {3=тс—перемещения, т. е. пригра-
ничных условиях
0Л-о = 0И> *„ 10=,=*(»•). «rU=«(r)- и.1р=,=и>(г)- G6-J)
Использование двух гармонических функций / и Ф позво-
ляет свести такую задачу к некоторой смешанной краевой ва-
даче с неразделенными граничными условиями (см. § 74). Од-
нако условие
dF\ 2G d, . „ . .
И =(ra) F(a)
в данном случае не равносильно исходному условию цр|р_х = а (г),
а может отличаться от него на величину —, где К = const.*
В связи с этим мы будем в условии.
((l_2v)O -F]fMt=Ft{a)
дополнять правую часть некоторой постоянной
G6.2)
и покажем впоследствии, что величина с может быть подоб-
рана так, чтобы условие иг|р_.,=и(г) было выполнено.
Итак, согласно сказанному, для искомых функций F и Ф
имеем следующие граничные условия:
dF\ 2G d . . „ . ч
[C _ 4v) Ф - F 1е=я = 2Gw (г) = F2 (а),
G6. 3)
В § 74 было показано, что смешанные задачи подобного
типа разрешимы с помощью интегрального преобразования
Мелера—Фока.
Для полного решения поставленной задачи остается только
найти неизвестную постоянную с из условия К = 0. Поскольку
полученное решение состоит ив суммы двух слагаемых, одно
из которых пропорционально с, а другое связано с заданными
* В § 74 речь шла об области р = 0, где К = 0ь силу ограниченности
решения при г-»0.
298

неоднородными граничными условиями, постольку и величина К
является линейной функцией с. Таким образом, из общих со-
Л/
ображений ясно, что К = М — Nc, откуда с=—
Не производя выкладок в общем виде, обратимся к конк-
ретной задаче: пусть по площади круга радиуса а приложено
равномерное давление, а остальная часть границы полупро-
странства жестко закреплена. Очевидно, в этом случае
ы = ц7 = т==0, о = —gr = const. G6.4)
Если положить
F = Vcha+cosP J A ch (я — Р) хР_,/гИт (ch a) di, G6. 5)
Ф
= v^h a+cos P \[B ch (it — Р) т -\-
+ D sh (it — р)
a) dx,
G6. 6)
(cba
1» I
то граничное условие-т-1 =0 удовлетворяется, и из остав-
шихся трех условий G6.3) находим
оэ
— $ х [ A sh от — 2 A — v) (В sh от + D ch от)] X
о
X P-vh-л (ch «) dx = —q, j (?6
(ch а -f 1)*Л J [—Л ch от -f A — 2v) (?? ch от -f D sh от)] X
о
X P-j/rfft (ch a) dx=с,
причем
А=C — 4у)А G6.8)
Исключая величину Л и пользуясь разложениями
1см. E7.12)]
' = V2J
(ch a + 1Г" = 2^5 Р-ад* (ch a)^-,
G6.9)

получаем для В и D систему
_2 A _ v) В ch тих -f A — 2v) D sh ire=^L,
G6.10)
откуда
2адт A — 2v) sh тех — 2 A — v) с ch тех
'C — 4v)chnx
sh2 тех -f A;2
л V2 kaqx A — v) ch тех — A — 2v) с sh тех
U — C —4v)chitx* sh2Tex + fta •
G6.11)
где
—4v
Перейдем теперь к определению величины с из условия
rdzL=Ot G6.12)
которое на основании формулы G1.10) может быть записано
еще так:
Подставляя в выражение
кр
р-о
= — \/ch а -)-1 ^ т^4 sh
х (ch a) dx =
J ch тчг (Sh2
0
X x sh «xP_./J+,4 (ch a) dx
интегральное представление E7.15) и пользуясь формулами
со
1
sh тех sin
sin 6s
Г ch тех cos хв
2сЬтс6сЬ-
cos 6s ., ,
2сЬлвсЬ-
G6.14)
300

получаем
= 4сЬ-|-1адA— 2v) /г (а) - с A - v) /2 (а)],
__ 1 С 1 ?2 /йп9»\
~~я\Тshite J v'chs — cha *<?s2lch_?_) **
а
со
j _ 1 Г 1 <) /COS 6д \
2 izy/Ychiib J v^chs —cha *^s I ch s I
a \ 2 /
Теперь подстановка G6.15) в G6.13) и выполнение интег-
рирования по переменной а дает
G6.15)
G6.16)
где
со
г
arccos
chT
Так как
Г 1 д /cos bs\ ,
'=» arccos—-.Tg —r\ds.
7t6
G6.17)
sh ¦
то окончательно
G6.18)
G6.19)
В заключение выведем еще формулу для нормальных
напряжений в заделке
со
3 —
Sh2 Jtx
UT
6 A - 2v) 7 T
J
6(l~2v)f
"~ 2 J
G6. 20)
SOI

Использование интегральных представлений функций Ле-
жандра (см. § 57), а также формулы
cos ts
Sill
s
sh^-sh 2*6
Gb. 21)
позволяет представить искомое напряжение в виде однократ-
ной квадратуры, содержащей только элементарные функции.
—у)
it C — 4v)
--[
6A —2v)
ds
d /sin bs\
v'ch s - cha ' ds s
a \ I J
sh *ds
d /cos 8s\
G6. 22)
Напомним, что связь величины 6 с коэффициентом Пуас-
сона v дается формулой
к = chтгб =
G6. 23)
или
= JLinC— 4v).
JL
G6.24)
§ 77. Решение основной смешанной задача
в общем случае
Граничные условия основной смешанной задачи для полу-
пространства с круговой линией раздела краевых условий
в общем случае имеют вид
=И'0(а, <р), G7.1)
U
где а0, v0, w0, о, тв, ху — заданные функции.
Воспользуемся представлениями перемещений и напряже-
ний через четыре гармонические функции Папковича—Ней-
бера:*
2§ >)Ф1. G7.3)
* Напомним, что одна из четырех функций может быть избрана про-
извольно.
60S

2Gi7=—Ц. + 4A-у)Ф„ . G7.4)
=-¦?¦ +4 A-*)Ф„ G7.5)
G7.6)
СП. 7)
G7.8)
G7.9)
G7.10)
Так как на двух частях границы z = 0 полупространства —
Р = 0 (г < а) и Р = тс (г > я) — мы имеем шесть граничных условий
G7.1), G7.2), а в нашем распоряжении находятся четыре гар-
монические функции, то мы можем произвольно задавать еще
два краевых условия. В качестве первого из таких дополнитель-
ных условий мы примем, что функция /¦', определяемая равен-
ством G7.7), при р = 0 обращается в некоторую плоскую гармо-
ническую функцию
F U = Re 2 О-VBi* (г == v^TF). G7.11)
1
m — постоявные коэффициенты, подлежащие в дальнейшем
определению.
Наряду с этим удобно положить
*Ь). G7.12)
Из принятых дополнительных соотношений G7. 11) и G7.12),
а также первых двух краевых условий G7.1) и условий G7. 2),
связанных с касательными напряжениями, немедленно следуют
303

раздельные краевые условия для функций Ф, и Фа:
<7713>
G7Л4)
Краевые задачи теории потенциала для полупространства
г>0 при граничных условиях типа G7.13) и G7.14) могут быть
решены с помощью разложения искомой функции в ряд Фурье
по координате <р и в интеграл Мелера—Фока по функциям
P3/a+<T(cha), если предположить, что величины, стоящие в правых
частях G7.13) и G7.14), допускают соответствующее разложение.
Граничное условие G7.11) с учетом G7.13) и G7.14) может
быть записано в виде следующего условия для функции Фо:
фо 1?=о = —
о l?=o— 2A—v) v"*"
00
j^\_ 4A —>
«1=1
Применяя к G7.15) двумерный оператор Лапласа
получаем, что
дг*
дг
»=о
2A-v)
Присоединяя к последнему равенству оставшиеся граничные
условия—последнее условие G7.1), первое условие G7.2) и
соотношение G7.12) — приходим к следующим смешанным крае-
вым условиям для двух гармонических в полупространстве 0
функций Ф3 и Ф4:
дг
р=0
дг
1A-
804
G7.16)

Напомним, что функции |grad®0|, Фх, Ф2, Ф3 на бесконечности
должны иметь порядок -=•, а их производные по х, у и г —поря-
док -р- (R = у/ж2 -j- у2 -)- z2). Кроме того, полученные после реше-
ния задачи перемещения и напряжения должны удовлетворять
некоторым условиям при а -> со (см. § 57).
Заметим теперь, что G7.15) и первое краевое условие G7.16)
неэквивалентны друг другу. В самом деле, из самого способа
получения первого условия G7.16) следует, что если после
решения основной краевой задачи попытаться определить функ-
цию Фо через Ф4 с помощью формулы
то значение найденной таким способом функции Фо при |3=:0
будет, вообще говоря, отличаться от правой части G7.15) на
некоторую гармоническую функцию переменных х и у. В даль-
нейшем, после решения основной краевой задачи, будет пока-
зано, что надлежащим выбором коэффициентов Fm можно до-
биться точного выполнения условия G7.15).
Таким образом, задача заключается прежде всего в нахо-
ждении двух гармонических в полупространстве z>0 функ-
ций Ф3 и Ф4, удовлетворяющих на границе z = О краевым усло-
виям G7.16).
Будем искать Ф8 иФ, в виде двойных разложений: в ряд
Фурье по переменной <р и в обобщенный интеграл Мелера—Фока
по функциям
cha+cosf
-{-Bfshfk
cha + cosf
-j-#fshpx
i
m
P
i
m
]P
CO
^1
CO
2
=—00
3fctft
е""*[Лз"сп{к +
(ch a) dt,
е-ИГсЬрх +
(cha)dx,
G7.17)
где Af(x) (t = 3, 4)—неизвестные функции, подлежащие опре-
делению из граничных условий задачи.
Подставляя G7.17) в краевые условия G7.16) и заменяя опе-
ратор -г- на -г'-зг и т-1 на —г"лв" » гДе *=
== ch а л- о В ' ПРИХ°ДИМ к следующим разложениям:
20 Я. С. Уфлянд т$

[C — 4v) Л? (х) — ЛГ (х)] />3,,+iT (ch a) dx=
_ ^B) С. У) -
т {2 A — v) | Af (x)shnT + ВТ (х) ch тех] —
ях|}
2 е4яг \ {A — 2v) I Л?(х) ch тех•+ Bf (х) sh tit] —
— [ЛГ ch га -j- fif sh tit]} P3/,+iT(cha) dx =
G7.18)
Если функции fk(a, <p) могут быть представлены в виде двой-
ных разложений
00 в
tnz=2 СО *
a) dx (й= 1, 2, 3, 4), G7.19)
то для искомых функций получается система уравнений
Ш~»Ю 1 Гт /О /. \ Л**г Am Гчм .
2 A — v) (AT sh гсх -j- fig1 ch m) —
— (ЛГ sh ях -f- БГ ch m) = ~ ft,
A — 2v) {Af ch тех -f ВТ sh тех) — (Л? ch тех -f
тех) = /f.
G7.20)
Величины /? могут быть, вообще говоря, найдены по теореме
Фурье и формуле разложения Мелера—Фока.
Решая систему G7. 20) и подставляя найденные значения А™,
ВТ, AT, ВТ в формулы G7.17), получим выражения для функ-'
ций Ф8 и Ф4, содержащие неопределенные коэффициенты F .
Согласно сказанному выше, граничное условие G7. 15)
остается, пока -еще невыполнеявым. Покажем, каким- обра-
ном нужно выбирать коэффициенты Fm, чтобы удовлетворить
условию G7.15).
306,

Положим, как и в § 68,
= 0, 1, 2, 3, 4),
G7. 21)
где функции Ф№> связаны с коэффициентами Fm, а функции Ф'п
происходят от заданных условиями G7.1) и G7.2) внешних
усилий и перемещений.
Поскольку для функций Ф{°> и Ф|ГО сохраняются краевые усло-
вия F8.12), постольку эти функции по-прежнему даются фор-
мулами F8.13).
Воспользовавшись далее соотношениями F8.14), а также
вытекающим ив F8.13) выражением
m=l
где
(т — 1) |а
и Bm — 2)!
получаем из G7.18) следующие неразделенные смешанные крае-
вые условия для функций Ф|о) и Ф(°);
КЗ -
ch тг
- 2v
m=l
1A — 2v) ©Sf» — ©Sf»^ = 0.
G7. 23)
В связи с наличием в правых частях условий G7.23) тех
слагаемых, которые не разлагаются в интеграл Мелера—Фока,
производим, как всегда, выделение особых решений (см. § 58).
Бели в данном случае положить
ееФ3, G7.24)
где
COSV
4 A - v) Ф* = —J- Vch a -f- cos p Re 2 Т.Л.1Ьт у**"*. G7.25)
m=l
20*
SOT

и заметить, что
4A -
т=Л
G7. 26)
то на долю функций Ф3, Ф4 остаются краевые условия
G7. 27)
правая часть которых уже может быть представлена в виде
интегрального разложения по функциям P3/J+<T (ch а).
Полагая
X
G7.28)
Подставляя G7.28) в граничные условия G7.27) и пользуясь
обобщенной формулой Мелера—Фока, получаем
A — 2v) (Л Г ch ях + ^ sh m) — А Г ch тст=О,
2 A — v) A S1 sh «т + Bf ch m) — if Г sh m =
CO
s= 2 (—1)" th in j th -1 /q^, (ch a) da.
G7.29)
808

Ив формулы E7.22) находим для величин AT и В$ систему
уравнений
— A — 2v) А% sh т + 2 A — v) В% ch их =
G7.30)
— 2 A — v) /4? ch тгх -f A — 2v) Bf sh tit = 0.
Интересующая нас в первую очередь функция 3>4 находится
подстановкой значения А?
2A —2v)shitT
=
• )i_ ^ Г(тIЪ*х, к==
в интегральное разложение G7. 28)
Re J T-^ j1 И ^ X
я»=1
X J sh'^ + fc» Ch №Jk* (^ «) «h. G7. 32)
о
Искомые коэффициенты Fm должны быть найдены из усло-
вия G7.15), которое можно записать в таком виде:
+ Re 2 С1 -ттт^] V^'- G7-33)
Так как
ф4=Ф4+ф;+ф;, G7.34)
причем *
• Напомним, что соотношения G7.35) вытекают из гармоничности
функции Ф4 и из первого граничного условия G7.16) и G7. 23).
309

f Ф;^|р=о=-Т1Т|г
!Я=0
B»=l
G7.35)
то из краевого условия G7.33) находим следующую формулу
для Fw:
*ш = s-^1 . G7-36)
G
где G'—известные числа, находимые после определения функ-
ции Ф4 для заданных граничных условий задачи. Что касается
величин G*m и Gm, то мы получим их с помощью найденных
выше выражений для функций Ф* и 3>4, а именно (см. § 58):
4A -v)
= ±г Re
я»=1
^ Re
f»=1
откуда
G7.37)
Для вычисления коэффициентов Gm будем исходить из ра-
венства
G7. 38)
m=l
правая часть которого не зависит от а. Поэтому интегрирова-
ние в левой части G7.38) можно производить по оси Oz, на
которой а = 0, dz=. ° р и переменная р меняется от я до
нуля.
Имея в виду асимптотическое представление (см. § 57)
по

находим из G7.32), что
дгт
Re J TmFmr (m) X
A+совРГ
Пользуясь значением интеграла
1-Acos
2A—ft2)Cosy
приводим условие G7. 38) к такому виду:
_
(«7.40)
. . ft /77 Ai\
1 Л=сЬяе- G7-41)
т=Л
-"nTe-in scos2m-21
X A —
= Re ^ Gmeim*m!.
G7.42)
«в=1
Наконец, вычисляя входящую в G7.42) квадратуру (94)
cos2m-2|-(l —
- 2)!'
G7.43)
находим
3~4v
- v)
22и>
sh2
-i @)
после чего формула G7.36) для искомых коэффициентов Fm
принимает окончательный вид
G7. 45)
311

где Ь имеет следующее значение [см. G6.23) и G6.24)|:
сЬ*е = Л=^ё-' <>=2>C-4v). G7.46)
На этом мы заканчиваем общее решение основной смешан-
ной эадачи для полупространства с круговой линией раздела
граничных условий.
Заметим, что решение было дано для того случая, когда
внутри круга (при Р = 0) заданы смещения, а вне его —напря-
жения; однако разработанная методика полностью применима
и к другому типу основных смешанных задач, когда внутри
круга (при Р = 0) иэвестны напряжения, а вне его (|3 = я)—
перемещения.
§ 78. Контактная задача для цилиндрнческого штампа,
слепленного с полупространством
Пусть на круговой в плане жесткий штамп, сцепленный
с упругим полупространством z^O, действует произвольная
система внешних сил. При этом перемещения точек круга
(г = 0, г<^а) будут, очевидно, совпадать с перемещениями
точек основания штампа, в то время как вне указанной области
отсутствуют напряжения.
Так как эадача о вдавливании
штампа осевой силой решена выше
(§ 75), а действие крутящего момен-
та на сцепленный с полупространст-
вом штамп исследовано в извест-
ной работе РейсснераиСагоцци [217],
то нам достаточно предположить,
что к штампу приложена сила в
плоскости его основания (например,
в направлении оси Ох) и пара,
расположенная в плоскости осевого
сечения штампа (xOz).
Поначалу мы будем считать заданными поступательное пере-
мещение и0 штампа в направлении действия силы и угол пово-
рота у штампа вокруг оси Оу (рис. 47). В дальнейшем величины
и0 и т будут выражены черев веданные значения силы Т и мо-
мента М.
Граничные условия такой вадачи в случае штампа с плоским
основанием имеют вид
р=о о- р=о ' I -7g j
V 1,3=0 = °, |р=, = т,я |р=я = V 1Э=« = U i
и являются, очевидно, частным случаем краевых условий G7.1)
и G7.2) основной смешанной задачи, рассмотренной в преды-
дущем параграфе.
312
I
,.„ tEfet^
Рис. 47.

Проведем соответствующие выкладки для получения реше
ния поставленной контактной задачи.
Заметим прежде всего, что так как функции, стоящие в пра-
вых частях граничных условий данной задачи, зависят от поляр-
ного угла через множитель cos <$>, то, очевидно, зависимость
функций напряжений от координаты <$> будет носить тот же
характер. Поэтому коэффициенты Fm при т^2 будут равны
нулю, а дополнительное условие G7. 11) может быть записано
в виде
F)t=o = F1rcoBV. G8.2)
Переходя к определению функции Фх из граничных условий
=°- (ЖЗ)
мы видим, что можно формально положить
согласно E9.7) и E9.16),
= 0, после чего.
Что касается функции Ф2, то для нее имеем однородные
краевые условия, так что Ф2=0. Следовательно, условие G8. 2)
принимает вид
фо 1р=о = (Л — А) г cos ф = [C — 4v) A, — 2Gu0] r cos <p. G8. 5)
На основании результатов, полученных в предыдущем пара-
графе, функции напряжений Ф(о) и Ф?о) определяются следую-
щими выражениями: *
\f2
ф;=—.
4 Tt
l-2v
os-l-th-Tj- cos
г cos <p v'ch a -j- cos P X
X \ (A3 ch рт + B3 sh рт) Pl4t?ia (ch a) dx,
о
з—
_
y/2 A — 2v) sh m th дт
j
i_2v
4 = ^ A — 2vJ cos 9 \[2 (ch a -f cos P) X
00
vv г hp
X J
G8.6)
причем
* Здесь использованы формулы G7.24i, G7.25), G7.28) и G7. 30),
чем вместо F1 подставлена величина 4A — v) Af.
31»

Неизвестный коэффициент А1 (или Fx) можно будет опреде-
лить после нахождения функций Ф3 и Ф^ иэ граничных усло-
вий G7.16), которые в данной задаче имеют вид
10=0
Представляя искомые функции в виде интегральных разло-
жений Мел ер а—Фока
X
Ф^ 4 = 2Gya cos у y/ch a -J- cos р X
со
\ (А'з, 4 ch рг + В'з,«sh рг) РЬМ<Т (ch a) d
G8.8)
11 пользуясь формулой [см. E7.18)]
th-
chirc »
находим, что B'4 = 0, A't=(S — 4v)A'3-\- . т , а величины A'sn
B's должны удовлетворять следующей системе уравнений:
—A — 2v) A'ssh m -f2 A — v) Я; chizx = 2\J2 th jct,
—2 A — v) A'a ch wt + A — 2v) Я; ah we =!
Таким образом, имеем
G8.9)
2A — vL-sh2wc _, 2^2
3 — 4v * ch ят (sh2 tit + **) ' ' 3 3 —4v
C — 4v) ch tit (sha
2A -v)
G8.10)
Остается теперь найти величину А1 из условия G8. 5), кото-
рое на основании G7.35), G7.37) и G7.44) можно записать
так:
4 A - v) A, (G; + Gx)+G[ = C - 4v) Л - 2Gu0,
3 —
8A—v) »
sh2jt8\
G8.11)

Так как
\ °'*dz\B=JO=G'ir cos "P.
ТО
Пользуясь асимптотической формулой
получаем ив G8.8) и G8.10)
с,_ 4^070A-у)A-2у) f
1 3 —4v J
о
J ch ят (sha ят -f Л2)
о
X j ch рг у/1 + cos p # G8.13)
о
или окончательно, после взятия квадратур,
-ai. G8Л4)
, e=JLlnC—4v). G8.15)
Таким образом, искомый коэффициент А1 дается формулой
G8Л6)
на чем можно было бы закончить общее решение поставленной
задачи.
Однако следует помнить, что вошедшие в решение переме-
щения штампа и0 и у на самом деле неизвестны и их следует
определить через заданные значения момента М и силы Т
(рис. 47), пользуясь условиями статики
-М= \ \ о, ^ сов * drd*, -T= \\ *,J^ordrd9. G8.17)
0 0 0 0
315

В дальнейшем вычисляются значения нон в икающих в об-
ласти контакта напряжений и с помощью G8.17) находятся
связи между перемещениями штампа и приложенными к нему
усилиями.
Для нормальных напряжений из G7.7) получаем формулу
e=o
Так как
2 у/2 A — v) (I _ 2v) . ,-г—
. = *C-4») ^1 C0S ^ ^СЬ *
р=о п C — 4v)
00
X ("Pb/rf<x(cha)/r-— j
C0S
i../i+<T (ch
то формула G8.18) принимает вид
°. U=^ЙЙгcos 'p (ch a +1)% x
где введены обозначения
1
f
= J
т sh
V^'x (ch a)
G8..S,
G8.19)
G8.20)
G8.21)
Вычисление первой иэ этих квадратур производится под-
становкой вместо P-ifoh (ch a) его интегрального представления,
переменой порядка интегрирования и использованием второй
формулы G6.14), после чего получаем
/=
со
Г
J
^ Г
у/2 ch тЛ J v'ch в — ch a
G8.22)
ch i.

Второй интеграл G8. 21) вычисляется аналогично с помощью
вытекающей из дифференциального уравнения для функций
Pb/l+<T(cha) формулы
a
—Ц- Р1./а+* (oh a) = - ^ Г
т2+Т oJ
(oh Е) A. G8.23)
Применяя интегральное представление E7.14), пользуясь
первой формулой G6.14) и меняя порядок интегрирования,
находим
it sh itf) sh
о
anrjVAP-
ch sd f ^-J^. G8. 24)
Таким образом, нормальные напряжения под штампом даются
следующим выражением:
sh a
a d С 1 /cos 6«\ ,7fi ,«->
jd(j G8'25)
1 /cos 6«\
Применение первого из условий статики G8.17) с учетом
равенства
а
я tn* -5-
ch2T
приводит к вычислению следующих квадратур:
m a °
а
J
О
! V vch а — ch s

—гага—
после чего одна из искомых связей принимает вид
-М = 8о«в[A - v) 4, _^
G8. 26)
Переходим к определению касательных напряжений в зоне
контакта. На основании F2. 2) имеем
G8.27)
Пользуясь этими формулами, касательные напряжения х
и 1„,|я=о можно выразить в виде однократных квадратур типа
G8.25). Опуская эти громоздкие выкладки, обратимся сразу
ко второму условию статики G8.17). Так как
G8:28)
G8.29)
G8.30)
где введено обозначение
то иэ G8.17) получаем
-v)
J
ю а
| —4
| 4
ch2T
Детальное исследование функции ф показывает, что lim^ =
O-»CD
Поэтому, имея в виду, что

получаем вторую из искомых связей
T = 8a(l— v)Av G8.31)
Подставляя теперь в G8. 26) и G8.31) значение А1 иэ G8.16)
и выражая и0 иу черев Т и М, получаем простые свнви, вы-
ражающие перемещение штампа в0 и. угол его поворота -у через,
величину приложенной силы Т и опрокидывающего момента М,
G8. 32)
СМ г 3A—у)
a
) = i_lnC-4v).
Ив полученных связей видно, что поперечная сила, прило-
женная к штампу, вызывает не только его перемещение в на-
цравлении силы, но и поворот на некоторый угол. Если же
к штампу прикладывается опрокидывающий момент, то штамп
не только поворачивается, но и получает поступательное пере-
мещение.
§ 79. Контактная задача со сцеплением при наличии
нагрузок, приложенных вне штампа
Выше было дано решение контактной задачи для плоского
круглого штампа, сцепленного с упругим полупространством а
подвержевного действию внешних сил.
Сейчас будет рассмотрен случай контактной эадачи со сцеп-
лением, когда сам штамп неподвижен, а деформация произво-
дится путем приложения нагрузок на границе полупростран-
ства вне штампа.
Для упрощения выкладок мы в настоящем параграфе иссле-
дуем частную задачу такого типа, когда в некоторой точке-
а: = 6, у = 2 = О приложена нормальная сосредоточенная сила.
При этом в граничных условиях G7.1) и G7.2) следует
положить
«0 = ^ = 1*0 = ^=^ = 0, G9.1)
и для функций напряжений будем иметь
'.' Ф^ФГ, Ф2=Ф^\ Ф3 = Ф3 + фз. Ф4 = Ф: + Ф4 + Ф;. G9.2)
Так как функции Ф[П1, Ф|°\ Ф> ф* и ^4 были найдены в § 78,
то остается найти Фз и Ф4, а также входящие в формулу G7. 36)
коэффициенты G'm.
SI»,

Краевые условия для функций Ф3 и «Si имеют в данном
злучае такой вид:
»=о.
G9.3)
где напряжение а (а, <р) соответствует сосредоточенной силе Р,
приложенной в точке а = а0, р = я, <p = O(cthу = — J.
Представляя искомые функции в виде разложений в ряды
Фурье по углу <р и в обобщенный интеграл Мелера—Фока по
координате а
e<m<f
X
x\(Afti ch рг + В% 4 sh рг) P!5/a+<T (ch a) <*т,
находим, что
, C — 4v)Af=
G9. 4)
G9. 5)
причем величины Af(x) и Bf (t) должны быть найдены из сле-
дующей системы уравнений:
—2 A — v) AT ch we -f A — 2v) ВТ sh «x=0,
—A — 2v) A? sh jct -f 2 A — v) Bg ch m =
»2, G9.6)
Распределяя сосредоточенную силу Р по малой окрестности
точки <х = а0, <р = 0 и переходя к пределу, находим, что правая
часть второго из условий G9. 6) стремится к величине
после чего для 4™ и В™ получаются следующие выражения:
wC-4v)
G9.7)
7 2 A — v)
где к— 1—yj-.
у'З —4v

Для определения коэффициентов G'm воспользуемся форму-
лой G7.35)
= Re 2 С'пгте{^ G9. 8)
и подставим в нее выражение для функции 6>i*
cos р ^ е™ cosm<P
m=0
= 2Re 2 emOi»"e'""p. G9. 9)
o
2
Условие G9. 8) может быть записано в виде
gM dz = ReSG'mm\e"*', G9.10,
причем интегрирование слева можно производить по оси Oz
где а = 0, dz = -. ° f a перемевная р меняется от п до нуля.
1 ~f~ COS р
Так как**
h а j A , c
)^ G9.11)
то
ch тсс (sh2 itt
о
X
X W/!+« (cfa «o) dt J A + cos P)--% ch pxdp G9.12)
I 1, m^=0.
** Здесь использована асимптотическая формула |см. E7.20)]
V.. '* ¦)-
21 Я. С. Уфлннд

или окончательно
о
где
WB (р2) = (I2 + р2) (З2 + р2)... Ц2п +1J + рЧ. G9.14)
В заключение четвертой части отметим, что наряду с основ-
ной смешанной задачей для полупространства с круговой ли-
вией раздела граничных условий преобразование Мелера—Фока
дает возможность получить точное решение аналогичной сме-
шанной задачи для веограниченного тела с плоской круговой
щелью (внутренней или внешней), на одном берегу которой
заданы перемещения, а на другом — напряжения.

Часть V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНТОРОВИЧА—ЛЕБЕДЕВА
Если функция /(г) непрерывна, имеет ограниченную вариа-
цию в промежутке 0<e^r^i?<oo и интегралы
V. ч>
\\f(r)]lny~, j|/(r)|-^L A)
сходятся, то справедлива формула
со со
2 Г Г dp о
о п
где К.Т (г) — функция Макдональда.
Преобразованием Конторовича—Лебедева называется инте-
грал
со
/W= j /(г) Ял (г)-? (т>0). C)
II
Исходя из зависимостей B) и C), получаем соответствую-
щую формулу обращения
shW(T)/i:<TM^ @<r<co). D)
представляющую функцию /(г) через ее преобразование /(т).
Формула B), нпервые найденная М. И. Конторовичем и
Н. Н. Лебедевым (см. статьи [39, 53]), в дальнейшем получила
надлежащее обоснование в работах II. Н. Лебедева [46, 48, 50].
Подобные интегральные преобразования широко используются
в математической физике при решении трехмерных краевых
задач для клиновидных областей, а также в некоторых зада-
чах дифракции на клине и конусе.
21* 823

Интегральное преобразование Конторовича—Лебедева поз
волнет получить точвые решения ряда пространственных задач
теории упругости для клина.
В пятой части настоящей книги рассмотрены следующие
задачи, разрешимые с помощью преобразования Конторовича—
Лебедева: вторая основная задача теории упругости для клина,
деформация неограниченного упругого тела, ослабленного пло-
ским полубесконечным разрезом, и основная смешанная задача
для полупространства с прямолинейной границей раздела
краевых условий.
Глава XIII. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ КЛИНА ПРИ ЗАДАННЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ НА ГРАНИЦЕ
§ 80. Некоторые трехмерпые краевые задачи
для клиновидной области
Прежде чем переходить непосредственно к решению рас-
сматриваемой и настоящей главе задачи об упругом равнове-
сии клина, исследуем некоторые краевые задачи теории потен
циала для клиновидной области, разрешимые с помощью инте
трального преобразования Конторовича—Лебедева.
Рассмотрим задачу о нахождении функции и, гармонической
в клиновидной области 0<><Ссо, —а<ГЬ<^-\-а, — co<z<
<С -{-со (г, G, z — цилиндрические координаты) при граничных
условиях первого рода
«1в=-^ = /-('•.*). »L»=/.(r, *)• (80.1)
Нее дальнейшее изложение с небольшими модификациями
относится к граничным условиям второго рода (задача Неймана),
а также к условиям смещенного типа, например
«\^ = K{r, «). -g.|fi=a =/.(г, z). (80. 2)
Воспользуемся частвыми решениями уравнения Лапласа
0<т<со
oo<o<-foo
ограниченными как при г-*0 (угловая точка клина), так и при
г-* со (бесконечно удаленная точка), и представим функцию и
в виде двойного интегрального разложения
\ (80.3)
u(r.Q,z)=-L J ^lA^ + Be-^er-to'K^qoMdodx (80.4)
-оо 0
(х) — функция Макдональда].

Граничные условия (80.1) приводят нас к разложению ве-
которой заданной функции в такого рода двойной интеграл:
00 СО
Пг,2)=-± J j e-"'K ft (| а | г) С (о, -с) dadr. (80.5)
—оо О
Применяя обычную формулу Фурье, находим
00 ОО
\ С (о, т) К,ч (| о | г) dx = -~ J / (г, 2) e*°'dz = <р. (80. 6)
О -со
Следовательно, веизнестная функция С (о, т) является коэф-
фициентом некоторого разложения заданной функции <р(г, о)
в интеграл по функциям Макдональда с чисто мнимым значком
(функции эти вещественны).
На основании формулы разложения Конторовича—Лебедева
(см. введение к части V) имеем
(r,d)Kh{\a\r)^-. (80.7)
Формула (80. 7) позволяет дать полное решение поставлен-
ной задачи Дирихле для клина. Бели для удобства выкладок
вместо (80. 4) положить
v/2jc
—со О
О
j »_
(80.8)
то по формулам Фурье и Конторовича—Лебедева сразу вахо-
дим значения неизвестных величин Cto(o, т)
С±. (а, г) = ^-"Т \ \ П„ (г, z) e<°*Kh (| а | г) 1 dzdr. (80.9)
—со О
Формула (80. 7) может быть видоизменена и для того прак-
тически важного случая, когда
<р (г, о)^
S2S

Такая видоизмененная формула получена Н. Н. Лебеде-
вым [50] и имеет следующий вид:
С (о, т) = 1
о
XK(x(\a\r)dr, (80.10)
причем при ее выводе использовано известное интегральное
пр едставление
CD
(80.11)
и предполагается, что функция <р(г, о) — <р@, а)е~ 1°'г удовле-
творяет приведенным выше достаточным условиям разложи
мости в интеграл по функциям К(^(\а\г).
Необходимо заметить, что, кроме граничных условий типа
(80.1), для искомой функции и должны быть еще поставлены
некоторые условия на бесконечности, т. е. при R = y'r2 -f- z2 -*¦ со.
При решении указанных краевых задач для гармонических
в клиновидной области функций предполагается, что ва беско-
нечности поведение искомых функций определяется равев
ствами
В связи с тем, что рассматриваемая клиновидная область
содержит угловую линию г = 0 (ребро клина), оказывается
необходимым потребовать еще выполнения некоторых условий,
касающихся поведения искомой функции при г -»• 0. Можно
показать, что решение поставленной задачи будет единствен-
ным, если, кроме граничных условий и условий на бесконеч-
ности, функции и и -т-при г-»0 ведут себя таким образом.
что интеграл от их произведения, взятый по окружающей ребро
клина цилиндрической поверхности некоторого радиуса е,
стремится к нулю при е -»¦ 0. Мы не останавливаемся на этом
вопросе более подробно по той причине, что при решений-
задач теории упругости условия при г -*• 0, обеспечивающие
единственность решения, формулируются несколько иным обра-
зом. При дальнейшем изложении материала части V мы нсегда
будем предполагать, что перемещения на ребре клина остаются
ограниченными. Что касается упругих напряжений, то при
г -* 0 они могут неограниченно возрастать, однако при этом их
главный вектор по цилиндрической поверхности радиуса е,
окружающей ребро, должен стремиться к нулю при е-*0.
826

Проводя обычное доказательство теоремы единственности
решения задач теории упругости применительно к области,
состоящей из цилиндра радиуса /?-» ею, упомянутой цилиндри-
ческой поверхности радиуса е-*0 и граней клина 6=+а
(е^г<^/?), можно без труда показать, что условия решаемых
далее задач теории упругости, дополненные обычными для про-
странственных Задач условиями на бесконечности (см., например,
§81) и указанными выше требованиями при г-*0, обеспечивают
единственность решения рассматриваемых классов задач.
В связи с тем, что упругие напряжения при приближении
к ребру клина могут неограниченно возрастать, дтим же свой-
ством в ряде рассматриваемых далее задач будут обладать и
искомые гармонические функции напряжений. Так как это
обстоятельство, очевидно, препятствует разложению этих функ-
ций в интегралы Конторовича—Лебедева, то для решения
соответствующих задач необходимо располагать некоторыми
особыми классами гармонических функций, аналогичных рас-
смотренным в § 58. Мы в качестве таких особых решений при-
меняем здесь решения Бейтмана [143| (см., например, §§ 82 и 85),
однако во всех подобных случаях следует проверять выполне-
ние требования ограниченности перемещений на ребре клина.
Заметим, что использопание интегралов Конторовича—Ле-
бедева для численвых расчетов затруднено тем, что имеющиеся
в литературе таблицы |203| функций Kiz(x) охватывают весьма
небольшой интервал значений х и т. Поэтому часто приходится
применять различные интегральные представления,* главные
из которых имеют вид
00
Kh (х) = (e-*ch* cos zsds (Re x > 0), (80. i 2)
cos {x sh s) cos Tsds {x > 0). (80.13)
Приведем еще весьма полезное интегральное представление
для произведения двух функций Макдональда[51]
К* (*) KtT {У) = \ K0{>Jx* + y* + 2xycbs) cos xsds (80.14)
о
(х, У>0).
•Эти представления иногда позволяют выразить искомые решения
в вид? квадратур от элементарных функций.

§ 81. Вторая основная задача теории упругости для клина
В настоящей главе, как и в остальных главах (XIV, XV)
части V, мы будем пользоваться выражениями для перемещений
и, v, w точек тела в направлении осей цилиндрических коор-
динат г, б, z через гармонические функции Папковича—Ней-
бера
2Gu = — ^г + 4 A — v) (Ф1 cos 6 -f Ф2 sin 6),
2Gv = —^--^ -f- 4A— у)(Ф2 cose — Ф, sine), (81.1)
Л Ж?
2Gw= —
где
ДФ, = 0(* = 0, 1, 2, 3),
G—модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона.
Если на границах 6=+а клина заданы упругие перемеще-
ния и, v и w, то задача снодится к нахождению трех гармо-
нических функций (четвертая функция может быть выбрана
произвольно), удовлетворяющих шести граничным условиям,
получаемым из (81.1) при 6=+а соответственно:
-g + 4 A - v) (Ф, cos 6 + Ф2 sin в)]в± = 2Gu |e=±e. (81.2)
(81.4)
Кроме граничных условий непосредственно на гранях клина,
гармонические функции Ф{ должны определенным образом
вести себя на бесконечности (при R = у/г2-? z2 -> оо) и на ребре
клина (при г->0). Мы будем, как обычно, считать, что упру-
гие перемещения при /?—»оо должны иметь порядок-=-, а на-
пряжения— порядок -dj. Легко видеть, что эти условия будут
выполнены, если потребовать, чтобы функции |gra<^0|, Фг
Ф2, Ф8 на бесконечности были бы величинами порядка -=¦, а их
1
производные по х, у и z — порядка ¦?-.
Что касается условий при г -»0, то они сформулированы
в предыдущем параграфе.
Для получения решения поставленной задачи- распорядимся
прежде всего определенным образом одной из четырех гармо-

нических функций, а именно поставим еще два дополнитель-
ных условия на гранях клина. Как нам представляется, наи-
более простое решение задачи в общем случае получится, если
указанные дополнительные условия выбрать в следующей
форме:
0, Р|в=и = 0. (81.5)
При этом граничные условия (81. 2) сразу дают возможность
определить функцию Ф3 в результате решения первой краевой
задачи
ДФ3=0,
2A-v)
(81. 6)
где и'|в=±а — суть заданные функции переменных гаг. При
определенных условиях, накладываемых ва эти функции, Ф3
может быть найдена, как показано выше, с помощью инте-
грального преобразования Фурье по переменной z и интеграль-
ного преобразования Конторовича—Лебедева по переменной г.
Если считать функцию Ф3 известной, то из условий (81.5),
если еще учесть соотношение (81. 2)
(Ф, cos e + Ф2 sin 6N=±a=
|в=±„.
немедленно вытекают граничные условия для гармонической
функции Фо
' + ?l.. (81. 7)
фоUfc« = —
-v)
которые, вообще говоря, дают возможность найти функцию Фо
вышеуказанным способом.
После нахождения Ф3 и Фо оставшиеся граничные условия
(81.2) и (81.3) приводят к следующей смешанной краевой
задаче для функций Ф, и Ф2:
ДФ, = 0, ДФа = О,
G
(Ф,cosе + Ф8sin6)e=±a = 2A_v) и|в=4в,
C — 4v) (Ф2 cos 0 — Ф, sin е)в=±я —
СО8бж + 8ше
(81.8)
S29

Если представить Ф, и Ф2 в виде двойных интегральных
разложений
со со
Ф,.. = ^ \ \[AU2(o,^ + Bus(o,x)e'in]X
—со О
X е-'" KiT(\ о | г) dodt, (81.9)
то для четырех неизвестных функций Av Bv A2, Bs после
применения к правым частям (81.8) формул Фурье и Конто
ровича—Лебедева* получится система четырех линейных алге-
браических уравнений.
На этом общее решение поставленной задачи может быть
закончено.
Следует заметить, что в отдельных случаях изложенный
общий метод иногда целесообразно заменять иными приемами.
Так, например, в случае напряженного состояния, четного
по переменной z (при этом величины «, v, Фо, Фд, Ф2 являются
четными, а н\ Ф3 — нечетными функциями z), можно предло-
жить следующий прием решения, используемый в следующем
параграфе при рассмотрении одной конкретной задачи. Примем
функцию Ф3 равной нулю и разобьем наряду с этим задачу
на две отдельные задачи: симметричную и антисимметричную
по переменной 6. Остановимся сперва на первом из этих слу-
чаев, когда величины и, w, Фо, Ф! будут четными, a v, Ф2 —
нечетными функциями 6. Таким образом, в рассматриваемом
случае можно положить
фо. 1 = Vi И Л°-1 (°' х) 5г? К*
(81.10)
. CO CD
A2 (o, z) ^-rr Kt, (or) cos
о о
считать, что переменная z меняется в промежутке от нуля до
бесконечности, а переменная 6 — от 0 до а, и применять граничные
условия (81.2)—(81.4) только при значении 0 = -|-а.
Дифференцируя (81.2) по г, (81.4) — по г, вычитая второй
результат из первого и снова интегрируя по г, получаем
(Ф, cos б + Ф2 sin в)в=в =
^1 =5l(r,z). (81.11)
где величина I, выражается через данные функции.
* Предполагается, что правые части (81.8) допускают соответствую-
щие разложения.
330

Далее, из (81.4) интегрированием по г находим граничное
условие для функции Фо*
00
\ ) (81. 12)
{¦»] — известная функция).
Если функция •»] (г, z) допускает разложение типа
7] (г, г) = у4
II О
то Фо можво считать известной (.Л0=т]).
Наконец, (81.3) приводит нас к соотношению
[C - 4V) (Ф2 cos е - ф, sin е) - (cos e^i+sin e ^)\^=
z), (81.13)
где 12 может считаться известной величиной.
Если предположить, что функции I, и ?2 разлагаются
в интеграл Фурье по переменной z и в интеграл Конторовича—
Лебедева — по г, то из (81.10), (81.11) и (81.13) сразу нахо-
дим систему уравнений для неизвестных функций Л, и А2:
Л, cos a -j- A2 sin а = |lt J
— 1C —4v) sin о + гШотсозо^^ I (81.14)
-\- [C — 4v) cos о — t cth ot sin o] A2 —12, >
где через^-Sj и |2 обозначены коэффициенты соответствующих
интегральных разложений.
Находя из (81.14) Аг и Аа и подставляя их в (81.10), полу-
чим окончательное решение поставленной задачи.
Фактическое проведение вычислений по указанной схеме
может оказаться весьма трудоемким. В частности, интегриро-
• Если интеграл, входящий н (81.12), расходится, то^даожно поста-
дФ0
вить аналогичную краевую задачу для гармонической функции -г-51 и,
найдя ее, определить функцию Фо соотношениями
причем последние интегралы сходятся в силу принятых нами условий на
бесконечности.
381

вание по переменной г связано с вычислением интегралов,
содержащих в знаменателе определитель системы (81.14), про-
порциональный следующему двухчленному выражению:
D, (т) = C — 4v) sh 2ат — т sin 2а. (81.15)
Заметим, что рассмотрение аналогичной задачи, антисим-
метричной по переменной 0 (но по-прежнему симметричной
по г), приводит к системе уравнений для А} и А&, определи-
тель которой пропорционален двучлену
?>2 (г) = C — 4v) sh 2cre + т sin 2a. (81.16)
Если пытаться вычислять входящие в решение квадратуры
по переменной т с помощью теоремы о вычетах, то необходимо
знать корни (вообще говоря, комплексные) уравнений /)<(т) = 0
(г = 1,2). Обозначая 2«т через г, мы приходим к уравнениям
§ 33, где рассматривалась плоская деформация клина. Следо-
вательно, для нахождения корней полученных трансцендент-
ных уравнений можно воспользоваться табл. 16.
Разумеется, расчеты сильно упрощаются в предельных слу-
чаях а = -тр (полупространство) и а = п (неограниченное тело
с разрезом в виде полуплоскости 6= +п), когда правые части
Z)j(t) и D2(i) становятся одночленными. Задача теории упру-
гости для полупространстве при заданных на границе пере-
мещениях может быть рассмотрена в декартовых координатах
с помощью двойного интегрального преобразования Фурье
(см., например, |57|). Второй из указанных частных случаев
(а=«) рассмотрен в следующем параграфе на примере одной
конкретной задачи.
§ 82. Растяжение тела, содержащего жестко впаянную
пластинку
В качестве приложения полученных общих результатов
рассмотрим распределение напряжений в неограниченном
упругом теле, содержащем неподвижную, жестко соединенную
с телом пластинку в виде полуплоскости х<С.О, при условии,
что в некоторой точке (х = а, у = 0, z = 0) приложена сосре-
доточенная сила Р, напранленная по оси Ох (рис. 48).
Для решения поставленной задачи выделим перемещения,
создаваемые сосредоточенной силой Р в неограниченном упру-
гом теле, положив
u = u0—av v=v0 — vv w = w0—wv (82.1)
332

где*
(82. 2)
Так как пластинка F=+и) неподвижна, то перемещения
точек сцепленного с нею упругого тела равны нулю. Учитыная
симметрию задачи по переменной 6, приходим к следующим
граничным условиям для добавочных перемещений ult vt и w{.
(82.3)
В дальнейшем именно эти добавочные перемещения мы
будем представлять через функции напряжений с помощью
формул (81. 1).
Для решения задачи мы при- W
меним изложенный в предыдущем ]
параграфе частный прием, согласно
которому следует положить
Ф3 =
функцию Фо найти из условия
112
6-п
о\ а Р
в—п
г"
(81.12), после чего для коэффици-
ентов Аг и Л2, входящих в инте-
гральные разложения (81. 10) для Рис. 48.
функций Ф, и Ф2> получается си-
стема уравнений (81.14).
Прежде всего необходимо вычислить величины t, и -ц. При-
меняя формулы (81.11), (81.12) и (82.3), после векоторых вы-
кладок получаем
1GA
со
Ч (г, z) = —г?, + 2G \
(82. 4)
* См., например, |69|, i-де даны аыражения для выделяемых пере-
мещений в декартовых координатах.
833

Обращаясь к системе (81.14) при a = iz, нидим, что из пер-
вого уравнения сразу находится коэффициент Ал:
А1=—11, (82.5)
так что для нахождения функции Ф, достаточно разложить
неличину
1 1
в следующий двойной интеграл:
се со
1
4-
= ^ J g,(o, t) Kh (or) cos azdadz (82. 6)
и определить отсюда функцию ?г
Разложения типа (82.6) рассмотрены в книге [51, стр. 209|,
и мы приведем здесь лишь окончательное выражение для
величины ?,
1^Г*"(оа)- (82'7)
которое без труда можно пронерить вепосредственнои подста-
новкой с помощью интегрального представления (80.11).
Таким образом, величина /lj найдена.
В дальнейшем будет показано, что для получения правиль-
ного решения поставленной задачи интегральное выражение
(81. 10) функции Ф, должно быть дополнено еще некоторым
слагаемым. Оказывается, что можно построить ве равные
тождественному нулю гармонические функции, четные по пере-
менной 6 и обращающиеся к вуль при 6=к, что не нарушает
справедливости граничного условия (81.11). В качестве такого
особого решения мы выберем первое из следующих решений
уравнения Лапласа |143|:
и ь
cos it sin -7) /со о»
-p?Re/(t). —=-Ref(t), t = r + iz <82' 8>
Vr Vr
[f(t) — произвольная аналитическая функция], убывающее на
бесконечности и обращающееся в вуль на границе рассматри-
ваемой области (Ь=±к).
В данной задаче целесообразно принять
334

так что за функцию Ф2 может быть принято, согласно (81.10),
(82. 5) и (82. 7), следующее выражение:
¦ Ф ( л « 8GA Г Г
о о
(82. 9>
где В — постоянная, подлежащая в дальнейшем определению.
Входящий в последнюю формулу интеграл может быть вы
числен следующим образом: воспользуемся интегральным пред-
ставлением (80.14) для произведения цилиндрических функций,
подставим его в (82. 9), переменим порядок интегрирования и
вычислим последовательно квадратуры по переменным а и т,
воспользовавшись значениями интегралов
\ К6 (a \jr2 -j- a2 -f- 2ar ch s) cos azda =
2 %/i-2 J.o2J. 72 J_ 9arrh s ' '
CO
f
в s
. я cos -ЗГ ch -к-
cos -csrfx = . (82.11 >
ch пт ch s 4- cos 6 '
J
о
Получаем
и
n о
ch тг .
№9 1 9v
Наконец, последняя квадратура вычисляется подстановкой-
sh-^-=«, после чего решение представляется в замкнутой
форме
ЛОЛ р _.., р008! ^+5 _ {82.13)
2 y/ar cos it

Что касается функции Фо, то так как из (82.4) и (81.12)
следует, что A0 = ii = —aAv то сразу получаем
_
О
7Ср
в
2 \/ar cos ~2
(82.14)
Остается найти функцию Ф2 из второго уравнения системы
(81.14), которое удобно записать в исходной форме (81.13).
Подставляя в правую часть (81.13) найденные выражения для
Ф находим
Фо и
Так как по условию Ф2 — нечетная функция угла 6, то из
(82. 8) и (82. 15) ясно, что функция Фг имеет следующий вид:
sin -о"
г + а
(г + аJ + «2 •
где положено
(iGWaA B
(82.16)
(82.17)
бы мы не ввели в выражение (82.9) для Ф1 особое
решение, т. е. положили бы в (82.16) В = 0, то полученные
функции напряжений привели бы нас к выражениям для упру-
гих перемещений, не ограниченным при г-»0. Наличие же
в выражениях (82. 13) и (82.16) для функций Ф2 и Ф2 произ
вольной постоянной В позволяет так выбрать ее, чтобы пере-
мещения на ребре г==0 были бы конечны. В самом деле, если
составить асимптотические выражения для функций напряже-
ний при г —> О
2GaA
BGa VaA ,-
Ф,=
аВ
cos-j
vV
(82.18)

и подставить их в формулы (81.1), то для перемещений и, и
i>! получим*
2Gut = ~J^ Г-j sin 6 sin ~ — C — 4v) cos 6 cos -|-1 X
(82. 19)
Отсюда вытекает, что для ограниченности перемещений на
ребре г = 0 следует положить С = В, что на основании (82.17)
дает значение величины В
g—»G_8v) H=i6itC(i-v);- (82-20)
При втом значении В формулы (82.13), (82.14) и (82.16)
дают полное решение поставленной задачи, выраженное через
элементарные функции.
В заключение вычислим касательные напряжения ?гв на
поверхности пластинки
г =» г дь |е_„"
Подставляя сюда значение uv можно получить следующую
формулу для касательных напряжений:
(82.22)
Используя выражевия (82.13) и (82.16) для Ф, и Ф2, нахо-
дим окончательно
т I — 1/Т
тгв 1е=» — 2^2 }/ Т\_(г + а
Глава XIV. РАВНОВЕСИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО УПРУГОГО ТЕЛА,
ОСЛАБЛЕННОГО ПЛОСКИМ РАЗРЕЗОМ
§ 83. Постановка задачи
Рассмотрим неограниченное упругое тело, содержащее раз-
рез в ниде полуплоскости и находящееся под действием произ-
вольной системы внешних сил.
Для решения задачи введем наряду с декартовыми коорди-
натами (рис. 49) систему цилиндрических координат (г, 6, z),
• Легко показать, что перемещение wx \r^0 ограничено при любых В.
22 Я. С. Уфлянд 337

направив ось г по ребру разреза и совместив берега разреза
с плоскостями 0=+я (при этом Ог^г<оо, —л^6^-|^с,
—co<z<-f-oo).
Воспользуемся выражениями (81.1) для перемещений и, v, w
в направлении осей цилиндрических координат
2Ga=—^r
2Gv= — — -ж
— v)(O2cose-OlSin0),
(83.1)
Рис. 49.
где G — модуль сдвига, v — коэффици-
ент Пуассона, Ф4 (г = 0, 1, 2, 3)—гар-
монические функции, одна из кото-
рых может быть выбрана произвольно.
Для решения задачи при заданных
усилиях на границе нам, очевидно, по-
надобятся выражения для напряже-
ний о0, t ., т..
ЙФ 2A — v) (?Ф3
где введено обозвачение
Ф= зг-
(83. 3)
(83.4)
(83. 5)
Таким образом, задача сводится к нахождению трех гармо-
нических в неограниченной области с разрезом функций при
граничных условиях, получаемых из (83. 2)—(83. 4) при 0 = +я,
когда напряжения ов, т^, х9г суть заданные функции координат
гиг. Четвертая функция может быть выбрава произвольно.
Кроме того, вадо поставить соответствующие условия на
бесконечности: функции |grad^0|, Ф]т Ф2, Ф3 при R = \Jr*-\- гг-* со
1 1
должны иметь порядок ^-, а их производные — порядок 35,
S38

а также условия на ребре: при г -> О перемещения остаются
ограниченными, а главный нектор напряжений, действующих по
цилиндрической поверхности г = е, стремится к нулю при е-»0.
В настоящей главе будет построена, притом в замкнутом
виде, функция Грина рассматриваемой задачи, т. е. в качестве
внешнего усилия будет принята сосредоточенная сила, кото-
рую, не нарушая общности, можно считать приложенной в про-
извольной точке г = а, 6 = it, 2 = 0 верхнего берега разреза.
Легко видеть, что этим дается решение задачи для любой си-
стемы внешних сил. В самом деле, если нагрузка приложена
в какой-либо внутренней области тела, то решение такой за-
дачи может быть получено интегрированием по указанной об-
ласти решения, соответствующего сосредоточенной силе, при-
ложенной в произвольной внутренней точке. Последнее же,
путем выделения известного решения о действии сосредоточен-
ной силы на неограниченное упругое тело, сводится к рассма-
триваемой задаче при заданных усилиях на границе.
Разложим внешнюю сосредоточенную силу на три состав-
ляющие 27V, 2ТГ, 2Тг (рис. 49) в направлении осей 6, г, z и
соответственно этому разобьем задачу на три отдельные задачи,
причем в первых двух задачах вапряженное состояние будет,
очевидно, симметрично по координате z (ofi, тгв, Фо, Фг Ф2 —
четные, а -свг, Ф3—нечетные функции г), а в третьей задаче —
антисимметрично по 2. Наряду с этим каждая из упомянутых
трех задач расчленяется нами еще на две в зависимости от
симметрии или антисимметрии по координате б. Последнее об-
стоятельство позволяет свести каждую из таких отдельных за-
дач к краевым задачам для гармонических в полупространстве
функций.
Если составляющая Тг внешней силы, параллельная ребру
разреза, отсутствует, т. е. "ce*le=±«=:t)» то удобно положить
Ф3=0, что и делается в §§ 84—87 при решении соответствую-
щих задач. При этом из граничного условия (83. 4) v- =0
"z 1б=±я
сразу следует, что Ф]е=±я = 0 (так как Ф||Ж|^.го-»-0). Кроме того,
формула (83.3) при Ь=+п приводит к зависимостям, которые
могут служить для нахождения функции Ф1
L r T
Полученные соотношения вместе с краевым условием, полу-
чаемым из (83.2) при Ь=+к, после некоторых преобразований
с учетом соотношения
ду le=±« r ^в 1е=±«
22* 339

могут быть представлены в виде следующих смешанных гра-
ничных условий:
[A-2у)Ф2-Ф4]|е=±1[= -тт^—)^\ь=±ж, (83.7)
(83. 8)
причем введена еще одна гармоническая функция Ф4:
Ф.=^>. (83.9)
Ближайшие четыре параграфа будут посвящены рассмотре-
нию случаев приложения сосредоточенных сил (нормальной и
перпендикулярной ребру касательной), каждый из которых
разбивается на две задачи: симметричную и антисимметричную
по координате б (симметрия по z имеет место во всех четырех
случаях). Как уже указывалось, во всех таких задачах прини-
мается Ф3^0, что позволяет использовать краевые условия
в форме (83. 6)—(83. 8). В дальнейшем под термином «симме-
тричная» («антисимметричная») нагрузка будут пониматься
различные случаи приложения сосредоточенных сил, обладаю-
щие симметрией (антисимметрией) по координате 0.
§ 84. Случай нормальной симметричной нагрузки
В настоящем параграфе рассматривается задача об упругом
равновесии неограниченного тела с плоским разрезом, в точках
г = а, 8 = +п, 2 = 0 которого приложены две противоположно
направленные нормальные силы величины Л' каждая.
В силу симметрии напряженного состояния относительно
координаты 6 поставленная задача может быть сведена к сле-
дующей смешанной задаче теории упругости для полупростран-
ства у^>0: на граничной плоскости g/ = 0 при 6 = « заданы
напряжения
в то время как при 6 = 0 отсутствуют перемещение v и каса-
тельные напряжения тгв и твя:
v I» =0 т ¦>L = О т„ L =0 (84 2^
Легко видеть, что граничные условия (84. 2) после исполь-
зования выражений (83.1), (83.3) и (83.4) могут быть заменены
следующими:
-—- = 0, Ф216_ = 0, Ф4 [о. = 0. (84. 3)
340

Наряду с этим равенства (84.1), согласно изложенному
в конце предыдущего параграфа, эквивалентны условиям
(83. 6)—(83. 8)
L 0. (84.4)
(84-5)
Из приведенных краевых условий немедленно следует, что
функция Oj тождественно равна нулю:
Ф, = 0, (84.6)
а между функциями Ф2 и Ф4 существует зависимость
Ф4 = A —2у)Ф2. (84.7)
Задача, следовательно, сводится к нахождению гармониче-
ской в полупространстве у^>0 функции Ф2, удовлетворяющей
граничным условиям смешанного типа
Ф2|е=0=0, Щ^ = -го(г, z), (84.8)
где о (г, г) — напряжение, соответствующее действию в точке
г = а, 6= it, z = 0 сосредоточенной силы величины /V.
Как уже указывалось в §§ 80 и 82, краевые задачи подоб-
ного рода могут быть решены с помощью интегрального пре-
образования Фурье по координате z и интегрального преобра-
зования Конторовича—Лебедева по координате г. В данном
случае функцию Ф2 следует искать в виде следующего двой-
ного интегрального разложения:
<» 00
*¦= Mr! \ А(°' ^)^hKtT(or)coBczdcdz, (84.9)
о о
где А (о, т) — неизвестная функция.
Граничное услоние при 6 = и: приводит к равенству
00 00
(г, z) = у 1 \ J А (о, т) К{т (or) cos czdcd-z. (84.10)
о о
На основании формулы (80. 7) получаем следующее выраже-
ние для искомой функции А (о, т) н виде двойной квадратуры:
А (о, т) = — Jl^" \\a(r< z) K« (ar) cos ozrfrdz. (84.11)
341

Распределяя сосредоточенную силу N по малой окрестности
точки г = а, 6 = тс, z = 0 и осуществляя соответствующий пре-
дельный переход, находим
А (о, т)=-^ т sh *xKh (со), (84.12)
ТЕ'VTC
после чего решение задачи (84.9) представляется следующим
двойным интегралом:
га со
Ф2 (г, б, z) = ^ J j th тех sh бтЛ:,т (аа) К.т (or) cos ozdodx. (84.13)
о о
Полученное решение может быть представлено в замкнутом
пйде через элементарные функции, если воспользоваться ин-
тегральным представлением (80.14) для произведения цилин-
дрических функций. Подстановка (80.14) в (84.13) после пере-
мены порядка интегрирования и вычисления квадратуры по
переменной о с помощью формулы (82. 10) приводит к следую-
щему выражению:
т&\12аг
^, (84.14)
+ clifi
где введено обозначение
l!+?±?! (84.15)
Воспользовавшись вытекающим из E7.15) и E7.16) соотно
шением
00 СО
Scos -cuds 1 f sin tsds .~. ,. „.
v'ch s + ch fi shitT J v'ch s — ch fi' ^ ' '
^ |<«, (84.17)
а также значением интеграла
со
р
J ch tit chs-|-cos6'
о
получаем выражение искомой функции Ф2 уже в виде одно-
кратного интеграла
6 оо s
N sin -я- (* sh -5- ds
Ф2= ~ , (84.18)
тс2 y/2ar J (ch s + cos 6) vch s — ch fi
342

Вычисляя последнюю квадратуру с помощью подстановки
ch -j = ch y ch и, приходим к замкнутой форме решения
уу 2 v'crsin -^
Ф2 = — arclg , (84.19)
где через р обозначено расстояние от точки приложения силы
до произвольной точки тела
Р=\!{x + af + y* + z*. - (84. 20)
Для полного решения поставленной задачи необходимо еще
найти функцию Фо по заданной функции Ф4 из соотношения (83.9).
В данном случае, очевидно, можно положить
Фо = ^ Ф4% + const
или с учетом (84. 7)
j Q/>0). (84.21)
Хотя квадратуры такого типа не вычисляются в конечном
дФп дФп
пиде, однако значения производных -—¦ и -т^-, входящие в вы-
ражения для упругих перемещений, могут быть выражены через
элементарные функции. Опуская довольно громоздкие выкладки,
приводим окончательный результат:
<М>о ¦ f«Wb_ /V(l-2v)
дх ' dz it2 (x + о — iz) A
X ^? In*+*+<*=^=T;_ JL arctg 1ЕЕЕЩ . (84. 22)
\\fx — a — iz vV -{-x—\/x-a-ii P ь P I
Непосредственной проверкой можво без особого труда уста-
новить, что полученные выражения для функций напряжений
удовлетворяют также сформулированным выше условиям на
бесконечности и на ребре.
В заключение данного параграфа приведем формулу для
напряжений в средней плоскости 6 = 0 рассматриваемого тела.
Общая формула (83.2) для нормального напряжения ое при
6 = 0 переходит п такую:
343

Для рассматриваемого случая находим
°в 1б=о" f),, ._. "я
§ 85. Нормальная антисимметричная нагрузка
В рассматриваемом случае нормальные силы величины N,
приложенные в точках г = а, б=+тс, z = 0, имеют одинаковое
направление.*
В силу антисимметрии поставленной, задачи относительно
координаты 6 в средней плоскости 6 = 0 должны отсутствовать
перемещения и и и;, а также нормальное напряжение
и|в=о = °. Ие=о = О, св|е=0 = 0. (85.1)
На основании формул (83.1) и (83.2) эти граничные условия
могут быть заменены следующими:
Ф,и = 0, (85.2)
Что касается области 6 = тс, то там по-прежнему имеют
место краевые условия
которые на основании (83. 6)—(83. 8) могут быть записаны в сле-
дующем виде:
[A-2у)Ф,-Ф411=, = 0, (85.5)
-v)<D1-<Dt-5l-.(l~2v)[$J} =а(г.«). (85.6)
Заметим теперь, что хотя гармоническая функция Фг удовле-
творяет однородным краевым условиям (85. 2) и (85. 4), однако,
как будет видно из дальнейшего изложения, в данном случае
равенство Фх^0 не приводит к правильному решению постав-
ленной задачи. Оказывается, можно построить гармоническую
в полупространстве f/>0 функцию, удовлетворяющую краевым
* При решении вадачи, рассматриваемой в этом параграфе, мы аообще
не пользуемся методом интегральных преобразований. Однако возникают
некоторые специфические трудности, преодолеваемые нами с помощью
введения особых решений типа (85. 7). Заметим, что отмеченная В. И. Мос-
саковским [75] ошибка в работе |71J относится, в частности, к исследуе-
мому случаю (см. также §§ 69 и 71).
аи

условиям (85.2) и (85.4) и убывающую на бесконечности, но
не равную тождественно нулю. Функции такого типа могут
быть получены с помощью следующих особых решений уравне-
ния Лапласа:
±e±^f(r±iz) (85.7)
If (!*)—произвольная аналитическая функция], частично уже
применявшихся нами в предыдущей главе [см. (82. 8)]. В соот-
ветствии с этим можно положить*
е
sin ~2
Ф1 = Л1ш|, u), = —?-Re/(f), t — r-\-a-\-iz. (85.8)
Далее, применяя к первому из условий (85.3) двумерную
операцию Лапласа —-^ -f- —^, получаем соотношение
W 1в=о дУ 1в=о г ' д® 1е=о '
которое вместе со вторым условием (85. 3), а также (85. 5) при-
водит нас к следующим краевым условиям для гармонической
функции ф = Ф4 — A — 2v) Ф2:
В соответствии с вышеизложенным можно положить ф = Вш<!,
Ф4-A-2,)Ф2 = Вше, (85.10)
где введена неопределенная постоянная В и обозначено
в
cos ~n
». = -^4Re/(«). " (85.11)
Вид функции /(?), а также постоянные Аг и В должны в даль-
нейшем определиться из граничных условий задачи. Предпола-
гается в соответствии с требованиями на бесконечности, что
при \t|-» оо функция /(?) убывает не медленнее, чем
Наконец, оставшееся граничное условие (85. 6) вместе с вы-
текающим из (85. 2) и (85. 3) соотношением
J| =0 (85.12)
* Произвольный множит ел», Ах, который можно было бы и не вво-
дить, удобен для дальнейших выкладок,
Н9

составляют краевые условия второго рода для гармонической
функции, стоящей в квадратных скобках последнего равенства.
Решение поставленной таким образом задачи Неймана для
полупространства не представляет затруднений и может быть
проведено любым из известных способов. Для функции а (г, z),
соответствующей рассматриваемой точечной нагрузке, находим
Из полученных связей (85.10) и (85.13) между функциями
Фо и Ф4, учитывая еще соотношение
sin ~тг
^ <85Л4>
и вводя вместо В постоянную А2 с помощью зависимости
42 = D-2у)^ + Д, (85.15)
находим следующие выражения для искомых функций Ф2 и Ф4:
*L, (85.16)
(85.17)
Необходимо теперь вспомнить, что первое из граничных
условий (85. 3)
фо|в=о = ° (85-18)
выполнено при этом только с точностью до слагаемого, пред-
ставляющего собой плоскую гармоническую функцию (от пере-
менных х и z), ибо при получении условий (85. 9) и (85.12) мы
подвергали равенство (85.18) операции двумерного лапласиана
j-^+^-j. Поэтому, учитывая еще связь Ф4 = —2, необходимо
проинтегрировать соотношение (85. 17) по у в пределах от оо
до у и при 6 = 0 приравнять найденный результат нулю; полу-
346

ченное равенство, как будет видео из дальнейшего, даст воз-
можность определить функцию f(t). Из сказанного ясна необ-
ходимость введения особых решевий типа (85.8), ибо при
А1 = А2~0 выражение (85.17) не дает возможности удовле-
творить условию (85.18).
В силзи с тем, что интеграл от функции — расходится на
бесконечном пределе, рассмотрим вместо (85.18) условие
¦?М =0. (85.19)
dz |e=o v '
Легко видеть, что (85.19) совершенно эквивалентно (85.18).
В самом деле, из (85. 19) следуют равенства
<*2фо1 п <>'2фо
^1 =0 (ибо Щ -»0), O0L =const,
дх |в=о \ дх ||г|->со /' »1»=0
а это равносильно (85. 18), так как функция Фо вообще опре-
делена с точностью до постоянного слагаемого.
Составим выражение
2. {
dz — J dz
с помошью формулы (85.17) и превратим двойную квадратуру
в однократную интсгриропанием по частям.* Имеем
Л °
sin -5-
-2»)» \y^~Reif"(t)dy--
Reif(t)dy\. (85.20)
* При втом предполагается, что
. sil1 2 df (t)
limy \ r~ Re"()z d'J =0
— условие, которое можно проверить впоследствии, после нахождения
функции f[t).
34?

Введем величину t = г -\- а -\- iz в качестве новой независи-
мой переменной и представим входящие в (85.20) интегралы
в следующем виде:
cos ~2
vT
/'
t
1 I /' (t) dt
-IT} <rrr0 '
CO
/
(85.21)
где положено
[при
ЭТОМ COS-s--—Sr = -
2 vT ^217317)'
Учитывая еще равенство
(85. 22)
можно привести теперь условие (85.19) к следующему инте-
гральному уравнению для функции /' (t): *
2A -»М4,-A -
= (l - 2v)
(85. 23)
Полученное уравнение принадлежит к числу хорошо изу-
ченных интегральных уравнений типа Абеля, и его решение
может быть найдено умножением обеих его частей на ° ¦
с последующим интегрированием по Q, в пределах от С до со.
Пользуясь указанной выше произвольностью величины Av
положим
/V
(85. 24)
* Во втором интеграле (85. 21) следует еще произвести интегрирова-
ние по частям и учесть, что, согласно предположенному поведению функ-
ции f (t) при ?-* со, имеет место равенство
*-*•»

Тогда в результате решения интегрального уравнения (85. 23)
найдем
(85.25)
Теперь функции Фо и Ф2 могут быть найдены в замкнутом
виде [первая — из (85.17) интегрированием по переменной I
в пределах от t0 до t, а вторая — из (85. 16)}:
,- ,— е I
\ft +y/2r sin-5-
vV sin -7г
+ A - 2vJ Л, Re — ±___, . (85. 26)
v'/ + \f2r cos -j
cos -к- ,
- A - 2v) Л, Re —_ ^— n, (85. 27)
^2t (VF + y/2r cos -g-j
причем в эти формулы, по существу, входит лишь одна произ-
вольная постоянная, ибо величины Л, и Л9 связаны соотноше-
нием (85.24).
Заметим теперь, что функции Ф, и Ф2, даваемые формулами
(85.8) и (85.27), на ребре разреза, т. е. при г->0, неограни-
ченно возрастают. Необходимо еще потребовать, чтобы полу
ченные из них упругие перемещения оставались бы ограни-
ченными при г-»0. Если составить на основании зависимостей
(83. 1) выражения для перемещений и устремить в них г -> О,
то асимптотические представления перемещений и и и будут
таковы:*
2Gu = 7-^- (Л, -f- Лз) sin б cos -| Re * +0A),
?t Vl* VО. ~~j~ IZ
= ^T7^ (Л1 + A*) cos 6 cos T Re^=W + °A)-
Отсюда следует, что условием ограниченности перемещений
на ребре г = 0 будет связь
0, (85.29)
* Можно проверить что перемещение и>\г^и ограничено ири любых
значениях А1 и А%.
S49

которая имеете с соотношением (85. 24) определяет постоянные
Л, и Аг.
Решение системы (85. 24)—(85. 29) дает следующие значения
постоянных:
,
-v)B-v) '
(85.30)
чем и дается окончательное решение поставленной задачи.
Имея замкнутые выражения для функций Фо, Ф1? Ф2, мозкно
легко установить, что условия на бесконечности и на ребре
выполнены. В частности, ограниченность перемещений на ребре
разреза вытекает в данном случае из самого способа построе-
ния функций напряжений.
В заключение выведем формулу для напряжений в средней
плоскости F = 0) тела. На основании (83.3) имеем
. ГйФ . 2A—v) дФ
Ъ1е=*=| + "a
Так как
ТО
что может быть представлено в виде одной формулы
«о=*+«+^- (85-32)
'о»' о
§ 86. Касательная симметричная нагрузка, перпендикулярная
ребру раареза
Внешняя нагрузка в этом случае представляет собой две
одинаково направленные сосредоточенные- касательные силы
величины Тг, приложенные в точках г = а, 6=±тс, z = 0 соот-
ветственно.
В средней плоскости 6 = 0, очевидно, отсутствуют переме-
щение v и касательные напряжения
4=о = °. ^е|е=о = °- Ъ|в=о=°- <86Л)
что на основании (83. 1), (83. 3) и (83. 4) равносильно условиям
дФ1
6=0
850

При 0 = 7i имеем
0' - (86.3)
где напряжение т(г, z) соотнетствует сосредоточенной силе Т ,
приложенной в точке г = с, 0 = п, z = 0.
Краевые условия (86.3) на основании (83.6)—(83.8) перехо-
дят в такие соотношения:
(86.4)
г, г)," (86.5)
-ф*1-A-а.M1-^(фIЫж=а (86.6)
Из граничных условий (86. 2)—(86. 6) сразу выделяются усло-
вия второго рода для функции Фг
дв |е=о
(86-7)
Следовательно, функция Ф, представляет собой решение
задачи Неймана для полупространства у>0. Для рассматри-
ваемого случая точечной нагрузки находим
Далее, из (86. 2) и (86.5) получаем краевые условия первого
рода для гармонической функции A — 2v)©2 — Ф4
1A - 2v) Ф2 - Ф4!е_ = - щ^ х (г. z). } <86- 9>
Вспоминая, что Ф4 = -р5 и считая
Ф — Ф' -4- Ф" f RR 1 П\
мы можем положить
^==A — 2У)Ф„ (86.11)
fly - \ I
а функцию Ф'и определить в результате решения краевой'задачи
Неймано для полупространства j/>0
l —0
|в=0—и>
851

откуда следует, что
ff.5^ = -«A-^- <86ЛЗ>
Оставшееся условие (86. 6) с учетом тождества
о
ду
и соотношения (86. 11) может быть представлено в таком виде:
(86.14)
Так как правая часть последнего равенства — известная
функция, то, присоединяя к (86.14) второе условие (86.2):
Ф2|в=0=:0, получаем для функции Ф2 краевую задачу смешан-
ного типа, решение которой может быть получено с помощью
интегрального преобразования Ковторовича—Лебедева.
Однако в данном случае можно предложить и другой спо
соб решения, связанный с использованием особых решений
типа (85.7).
Подвергая равенство Ф2 |в=0 = 0 операции -г-2-\--т-%- и исполь-
зуя вытекающее из (86. 2) соотношение
дхду |е=0 '
можно арисоединить к условию (86. 14) еще такую зависимость:
. (86.15)
о '
e=o
Следовательно, гармовическая в полупространстве
функция
¦ fA2)^
как удовлетворяющая однородным краевым условиям
пропорциональна особому решению типа шв
t = r-\-a
352

причем функция f(t) должна быть найдена ив условия Ф2|в=0 = 0,
которое пока еще удовлетворено с точностью до плоского гар-
монического слагаемого.
Составляя функцию Ф2, получаем после вычисления инте-
грала \ -j-loj/
Последний интеграл введением t в качестве новой перемен-
ной интегрирования может быть приведен к виду
Если теперь заметить, что
то условие Ф2|в=0=0 приводит к интегральному уравнению
Абеля для искомой функции f(t):
J \/t-t0
(86.19)
-v) <o
решением которого является функция |см. (85. 25)]
/(« = <'-2v)y- . ' . (86.20)
После того как функция / (t) найдена, интеграл (86.18) может
быть вычислев в яввом виде, и мы приходим к следующему
выражению для функции Ф2:
Ф« = -т—71——г We ,— /,— . ;—;—j- . (ob. 21)
Остается еще найти функцию Ф^ из соотношения (86.11). Так как
функция Ф2 при у^-со имеет порядок — , то из равенства (86.11)
можно получить значения производных -j^- и —^—, которые
только и входят в выражения для перемещений и напряже-
23 я. с. Уфлянд 35Н

ний. Опуская громоздкие выкладки, приводим окончательную
формулу
_ i <?Ф«^ГгA-2уJ f -——.Г_1 1
dz 4n(l —v) \\r + x [t yff 2\ff (\ff + y/F^
<86-22>
Теперь можно составить выражение для самой функции Ф^,
которое имеет следующий вид:
(8e-2S>
Рассмотрим нормальные напряжения в средней плоскости
F = 0) тела. На основании формулы (84.23) получаем
или окончательно
О| = iz^L ?LRe._!_ (86.24)
§ 87. Касательная антисимметричная нагрузка,
перпендикулярная ребру разреза
Если в точках г = а, 6=±я, г = 0 приложены противопо-
ложно направленные сосредоточенные касательные силы вели-
чины Тг, то в средней плоскости 6 = 0 должны равняться нулю
перемещения и и v и нормальное напряжение:
и|в=о = О. Ие=о = О. =е|в==0 = 0, (87.1)
что равносильно следующим краевым условиям для функций
напряжений:
На плоскости 6 = я заданы напряжения

причем последняя группа граничны* условий на основании
(83. 6)—(83. 8) может быть записана следующим образом:
дв
, z) (ф<=
(87.4)
(87-5)
Таким образом, для гармонической в полупространстве ys>0
функции Ф, имеют место краевые условия
(87.7)
Решение соответствующей краевой задачи, данное а § 84
настоящей главы с помощью интегрального преобразования
Конторовича—Лебедева, а также использование особого решения
типа о, приводят к следующему результату |ср. (84. 8) и (84.19)]:
2 \lar sin -к-
в
sin тг
t = r -f- a -f- iz.
(87.8)
где аналитическая функция f(t) подлежит в дальнейшем опре-
делению.
Далее, гармоническая функция A — 2v)®2——^-удовлетво-
ряет следующим граничным условиям:
0Ф0 "| ГТ (г, 2)
1 WSho.~~ 2A-v) •
= 0
Ле=о
(87.9)
| последнее — на основании третьего условия (87.2), а также
применения оператора -зт+^йГ к первому условию (87.2I.
Полагая
(87.10)
23»

где функция Ф^ удовлетворяет условиям
находим значение
а также тождественную связь между функциями Ф2 и ° ,
содержащую особое решение
в
лл" COS —
). (87.12)
Наконец, последнее граничное условие (87.6) с учетом
равенства
¦?[BA-,)Ф,-Ф|-A-2,)[4?*|,-^] =0 (87.13)
L «о Je=O
дает вторую связь между функциями Ф2 и —г-2-:
Вычисляя выражение
ОФо ¦ ^i __ Tr i M d)\ <*>,
ду > дО 2it2 A _ v) Vй ду ~^ дв ) "г Л1 йв
2 О)в=
И вводя вместо /4' постоянную fi с помощью связи
A — 2v)D-2(l -vL' = fi,
получаем из (87.12) и (87.14) следующие выражевия для функ-
ций Ф2 и ^:
а = (D _ Л') a>. + (l-2v)j *?-«*„, (87.15)
^L^.- ¦ (87.18)

Остается удовлетворить последнему оставшемуся граничному
условию
О. (87.17)
Подставляя в (87. 16) значение функции Фх из (87.8) и поль-
зуясь формулой (85.14), находим
I
(87.18)
где новая постоянная Ад введена соотношением
и через х обозначено значение интеграла
o_1 fr + *+^2*-ie1
(87.20)
Интегрируя равенство (87. 18) uo у в пределах от аз до у,
применяя формулы типа (85. 21) и вычисляя квадратуру
J Xdy = УХ ~ (* + в) Ф - № Re -I- arctg J^rrj. (87. 21)
СО
приходим к следующему выражению для функции ФЦ:
. (87.22)
Условие (87.17) приводит нас теперь к интегральному урав-
нению Абеля

решение которого, если поломить

будет
Лг Тг\/а
10 2 2it2 /1 — \\ •
(87. 24)
(87. 25)
После того как функция /(?) найдена, выражения (87.22) и
(87.15) для функций Ф'^ и Ф2 могут быть путем вычисления
квадратур приведены к следующему виду:
Ф2=Aiwe — A —
r^Re-
где положено
Щ
•— V^2a;— to
(87.26)
(87. 27)
(87. 28)
Таким образом, значения функций Фо, Ф, и Ф2, даваемые
формулами (87.11), C7.26), (87.8) и (87.27), содержат вслед
ствие наличия связи (87. 28) только одну произвольную постоян
ную, которая должна быть найдена из условия ограниченности
перемещений на оси г = 0 (ребро разреза).
Если составить асимптотические выражения для иеремеще
ний и и v при г-* О*
6
sin ° cos T
-}- 2 A — v) cos 6 sin 4]
-2v) cosDcos 1-
(87. 29)
* Перемещение w при r-*0 ограничено независимо от значений ио-
стояввых /4j и Л2.

го из них вытекает следующее условие:
А1 + А2 = 0, (87.30)
которое вместе с соотвошением (87.28) позволяет определить
искомые постоянные Л, и А2.
При этом получаем, что
Таким образом, найдено — и притом в конечном виде — пол-
ное решевие поставленной задачи.
Весьма простой вид имеют формулы для напряжевий в сред-
ней плоскости. Исходя из основных формул (83.3) и (83.4),
находим
где
= 2A —v)-^-Re у-, t=z-\-a+iz.
Таким образом,
(87. 33)
что может быть представлено в виде одной формулы
i - \ Г, 1/7 1
+ «е,)в=о=-^Г У J (д + а)
2A-у) Лх <
+ ?f
§ 88. Касательная нагрузка, параллельная ребру разреза
В предыдущих четырех параграфах были рассмотревы задачи
об упругом раввовесии неограниченного тела с плоским разре-
зом, причем внешняя нагрузка сводилась к сосредоточеввой
силе, расположенной в плоскости хОу и перпендикулярной ребру
359

r = 0 разреза. При этом было удобно считать, что Ф^^О,
и пользоваться формулами (83. 6)—(83. 8).
Если рассматривать сосредоточенную силу 2Тг, приложен-
ную в произвольной точке г = а, 6=щ г = 0 верхнего берега
разреза и направленную но оси z, т. е. параллельно ребру раз-
реза, то целесообразно положить <Dj=O. При этом общие фор-
мулы (83.2)—(83.4) для напряжений ce, tr6 и хвя при 6= +я
приводят к следующим граничным условиям:
2A — v) *е
(^) (88.2)
= 0. (88.3)
Разобьем, как и раньше, задачу на две: симметричную и
антисимметричную по координате 6, первая из которых соот-
ветствует двум одинаково направленным (по оси z) силам вели-
чины Тa каждая, приложенным в точках г = а, 6=+я, г = 0,
а вторая — двум нротивоположво направленным силам той же
величины.
Заметим, что в обоих указанных случаях напряженное со-
стояние по координате г будет антисимметричным (св, тгв, Фо,
Фа — нечетные, a iijt, Ф3—четные функции г).
В первой, симметричной по 6, задаче в нлоскости 6 = 0
имеют место граничные условия
0 = 0, (88.4)
равносильные требованиям
| =о = О. (88.5)
в0
Используя (88.1) при 8 = л в решая задачу Неймана для
функции Ф3, находим
°«==4A-vOip. р = у/(* + аJ+^ + г*. (88.6)
Далее, из (88.2) и (88.5) получаем тождественную связь
Ф4 — A — 2v^2. (88.7)
Для функции Ф2 из (88.3) и (88. 5).можно получить смешан-
ные граничные условия
"^ * ди 1о д% In *
360

Решая соответствующую краевую задачу способом, изложен-
ным в § 86, будем иметь
+] <88'9>
Функция Фо может быть найдена теперь из (88. 7):
Ввиду громоздкости выкладок, совершенно аналогичных про-
веденным в § 87, мы не останавливаемся здесь на антисимме-
тричном (по 6) случае. Укажем только, что в особых решевинх
типа <ве вместо вещественной части функции f(t) следует ввести
ее мнимую часть, причем функция Ф3 дается формулой (87. 8),
а интегральное уравнение (87.23) сохраняет свой вид.
В заключение настоящей главы укажем, что в ней, по су-
ществу, были даны решения некоторых классов смешанных
задач теории упругости для полупространства (j/^О) с прямо-
линейной границей (ось Oz) раздела краевых условий. При этом
в задачах одного типа (§§ 84, 86, 88) на всей плоскости j/ = 0
были известны касательные напряжения, в области у = 0, a: J> О
равнялось нулю нормальное перемещение, а при у = 0, х<^0
задавалось нормальное напряжение. В задачах же другого
типа (§§ 85, 87, 88) на всей границе j/ = 0 задавалось нормаль-
ное напряжение, при j/ = 0, а;>0 отсутствовали касательные
смещения, а в области j/ = 0, x<^0 были известны касательные
напряжения. Таким образом, во всех рассмотренных задачах
веоднородности в краевых условиях относились только к напря-
жениям. Однако развитая методика может быть распространена
и на аналогичные, но более общие смешанные задачи для полу-
пространства, когда граничные условия, связанные с переме-
щениями, будут также неоднородными.
Глава XV. ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ
РАЗДЕЛА КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
§ 89. Сведение задачи к краевым задачам
для гармонических функций
Под смешанной задачей, исследуемой в данной главе, пони-
мается такая краевая задача теории упругости для полупро-
странства, когда по одну сторону прямолинейной границы раз-
36 г

дела (например, при 6 = 0) заданы перемещения, а по другую
сторону (при 6 = тс)—напряжения.
Таким образом, задача сводится к нахождению трех гармо-
нических в полупространстве j/}>0 функций, через которые
выражаются перемещения [формулы (83.1)| и напряжения [фор-
мулы (83. 2)—(83. 4)], при следующих граничных условиях:
и|в=о = ио(г« z)> v\b=o = v0(r, z), и>\ъ=я = и>о(г, z), (89.1)
зв|в=]с = о(г, z), тг6|в=я=хг(г, z), teJe=« = >c,(/'> *)• (89-2)
Как и во всех ранее рассмотренных аналогичных случаях,
мы воспользуемся наличием в решении Папковича—Нейбера
четырех гармонических функций: Фо> Фд, Ф2, Ф3 — и дополним
условия (89.1), (89.2) еще двумя соотношениями. Положим, во-
первых, что входящая в (83. 1) функция
F = Ф0 + *Ф1 + УФ2 + гФ3
при 6 = 0 обращается в некоторую плоскую гармоническую
функцию
00
F le=o = Re \ f (о) е-' I °\<г<°'д*, (89.3)
где f{p)—функция, подлежащая в дальнейшем определению.
Кроме того, будем считать, что функция Ф, даваемая фор-
мулой (83.5), при 6=я обращается в нуль. В развернутом
виде это условие имеет такой вид:
(^) (89.4)
При этом граничные условия (89.1) и (89.2), содержащие пере
мещения и, w и касательные напряжения хгб и хвг, на основа-
нии формул (83.1), (83. 3) и (83. 4) сразу приводят нас к раз-
дельным краевым задачам для функций Ф, и Ф3. Граничные
условия этих задач таковы:
Краевые задачи с подобными граничными условиями могут
быть решены с помощью двойного интегрального разложения:
Фурье — по координате г и Конторовича—Лебедева — по пере-
менной г (см., например, (84. 8)J.
362

Если функции Ф} и Ф3 считать^ известными, то оставшиеся
граничные условия приводят к следующим неразделенным крае-
вым условиям для гармонических функций Ф2 и Ф4:
|в=о
>• (89-7)
(C - 4v) Ф2 - Ф4)в=о = 2Gv0 + [± (*ф, + уФ3)^=Ь (г, х), (89. 8)
(Ф + °)]/( ) (89'9)
[A - 2v) Ф2 - ф41в=, = - 2A-v) Iх** + zxe*>e=- = U (r, z). (89.10)
При этом соотношение (89. 7) было получено из (89.3) опера-
цией jt + TT' Следовательно, если принять аа функцию Фо
у
выражение \ Ф^у, то при 6 = 0 оно может отличаться от тре-
00
буемого значения
(89Л1)
на гармоническую функцию переменных х и z.* В дальнейшем
будет показано, что соответствующим выбором функции /(о)
можно добиться выполнения последнего оставшегося условия
(89. И).
* Заметим, что если интеграл \ Ф4й(/ расходится, то все рассуждения
со
можно проводить по отношению к сходящемуся интегралу
V !'
00 00
363

§ 90. Решение смешанной краевой задачи
Будем искать гармонические функции Ф2 и Ф4 в виде сле-
дующих интегральных разложений:
00
Ф24(г, 6, z) = -^ \
—оо О
,4 sh 6т | е""К ft (| а | г) dcdz. (90.1)
Подставляя (90.1) в (89.7)—(89.10), получим соотношения
—оо О
00 00
\ \[(Z-^)A2-
—ooO
X е-
1A—
| r) dodx =
2shjtx) — (Л4 ch я-: + fi4 sh wx)] X
—ooO
(90.2)
Бели предположить, что функции fi(c, x) (i=l, 2, 3, 4),
стоящие в правых частях равенств (90. 2), допускают аналогич-
ные двойные интегральные разложения, то, обозначая через
/4(о, т) коэффициенты этих разложений, сразу получаем си-
стему уравнений для веизвестных функций
2A — v) (Аг sh «г -f- B2 c^ лх) — (^4 sb *" ~\~ ^4 °Ь пт) ^ i
A — 2v) (i42 ch ire -f B2 sh i«) — (Ai ch «x + B4 sh m) = /4,
(90. S)
причем величины /\, стоящие в правых частях этой системы,
могут быть, вообще говоря, получены по формулам (80. 7) или
(80.10).
S64

Для нахождения функции /(о) перепишем граничное усло-
вие (89.11) н такой форме:
2(V-
\ [/ (
4 УЛ v)]
(90.4)
причем предполагается, что
Ига о/ (а) = 0,
е-»0
Как уже отмечалось, в силу условия (89. 7) функция \ Ф4Й?/
00
при 6 = 0 может отличаться от правой части (90.4) ва некото-
рую плоскую гармоническую функцию. Для фактического на-
хождения последней обозвачим через ФФ> (I = 1, 2, 3, 4) те части
функций Фо которые обусловлены наличием в граничных усло-
виях (89. 5) — (89.10) членов, связанных с веизвестной функ-
цией /(о).
При этом для Ф^' и Ф(°' имеем краевые условия
4 A _ v) Ф(«) |e=0 = -Re | | о | е-Мчг""/ (о
—00
= 0,
дв
6=x
00
6=7!
= 0.
(90. 5)
Полагая
(90.6)
и применяя формулу (80.11) при х = г\а\, находим из (90. 5). что
л io. ri = _ М/С) . (90.7)
366

после чего
Re
—СО
(90.8)
Используя далее интегральное представление (80.12) функ
ции Макдональда, меняя порядок интегрирования и учитывая
формулы
со Ь s ¦
сп(*-6)т . sinych-j
;.ьм cosxsdx = .h.-^и. (90-9)
e e
#? 4- sin -5- 2 sin •«
x
X e2|o|PSin! 2 j-4 _ф^2 |o|r sin })], (90.10)
где Ф(х) — функция вероятности, находим окончательно
X [l — Ф(V2Kr sin Y)]e-l-l-e-"*da. (90.11)
Аналогичным способом находим функцию ФЦ"
X e-M*e-ie*do. (90.12)
Подставляя (90.11) и (90. 12) в правые части системы (90.2),
получаем для функций Ф|°), Ф^ следующие краевые условия:
366

^^
Re
[2A —v^<°> —
e=* 8 (l —
?Re J
(90.13)
В связи с тем, что в двух последних уравнениях полученной
1
системы правые части, содержащие множитель —, не разла
vr
гаются в интеграл Конторовича—Лебедева, выделим из функ-
ции ф(°> особые решения типа (82. 8), положив
ф((» __ ф« _|_ ф (90.14)
где
Ь со
108 ~2 С
—=- Re I
^ J
При этом правые части граничных условий для функций
Ф»» и Ф4
дв
Ц=о = °' (A-
со
X J \o\y/\Z\f(o)c-t'Wdo
(90.16)
уже могут быть представлены в виде интегральных разложений
по функциям Kh(\o\r) с помощью формулы [511
(90.17)
367

13 частности, интересующее нас выражение для функции Ф4
имеет вид
со со
—со О
*.тA°И
2A-у)
(90.18)
Теперь подсчитываем следующие интегралы:
\ ФГйг/|в=о=8ТГГ
Re
е=о=2Т^=
Re S
со
zw)*=° + Re S
(90.19>
\У
где g(o)—известная функция, и
подставляем (90. 19) в (90. 4), после
чего имеем окончательно
J
/V
Рис. 50.
1 "*" 8A -¦
(90. 20)
Полное решение задачи полу-
чится теперь, если разыскать функ-
ции Ф, A = 1, 2, 3, 4) из граничных
условий (89. 5)—(89. 10), сохраняя
в правых частях значения ы0, и0, wQ, о, т, и хг, заданные гра-
ничными условиями (89.1) и (89.2).
В качестве примера рассмотрим равновесие упругого полу-
пространства (г/>0), часть поверхности которого F = 0) непо-
движна (например, сцеплена с жестким неподвижным телом),
а к остальной части границы F = тс) в произвольной точке
г = а, 6 = тс, z=0 приложена нормальная сосредоточенная сила
(рис. 50).
В исходных граничных условиях (89.1) и (89.2) следует
в данном случае положить
ыо = 1;о = и>0 = гг = х, = 0. (90.21)
При этом функции Ф, и Фя совпадают с найденными в преды-
дущем параграфе функциями Ф10' и Ф^' |см. (90.11), (90.12)].
Так как функции Ф^°> и Ф^и' также найдены, то остается опре-
368

делить функции Ф'г и Ф^ в результате решения следующей крае-
вой задачи:
^=0, дф;=о,
(90.22)
\±[2 A -v) ф;- ф;]}в=дс= -го, [A -2.) ф;-ф;ь=.=о,
где напряжение о (г, z) соответствует заданной сосредоточенной
силе.
Представляя Ф^ и Ф^ в виде интегральных разложений
типа (90.1)
со со
(90.23)
—со 0
и составляя системы, аналогичные (90. 2), (90. 3), находим, что
/,=/,=/.=о.
а величина /3 определяется двойной квадратурой
со оо
/8 = - -^= х sh т \ \ Kir (| а | г) о (г, z) e-'"dodi. (90: 24>
—ООО
Распределяя силу Р по малой окрестности точки ее прило-
жения и осуществляя предельный переход, находим
(90.25)
Таким образом, для величин A'v B'% и А\ получается система
уравнений
2 A — v) (^ sh тгх -f В; ch m) — i4; sh
A — 2v) (A'2 ch кг + В; sh Tit) — л; ch m = 0,
(90.26>
причем fi^ ^ 0.
Остается еще найти величину /(а) по формуле (90.20), т. е.„
по существу, разыскать функцию g(a) из соотношения
у ОО
\ ®'Ау |е=0 = Re \ g (a)e-l
(90. 27)
i/4 25 я. С. Уфлянд

Полагая здесь 2=0, производя интегрирование при б=-гг
по переменной г от нуля до бесконечности и учитывая значение
2A-у) qf) 2R
получаем
]-dz. (90.29)
Последнее равенство после использования интегрального
представления (80.12) и формулы (80.11) может быть представ-
лено в виде квадратуры от элементарных функций
_cth«e I
J
о
(90. 30)
1 J sh-s- I
l о г j
где сЬ тсб = к.
В заключение заметим, что методика, развитая в настоящей
главе и связанная с преобразованием Конторовича—Лебедева,
может быть также использована при получении точного реше-
ния основной смешанной задачи для неограниченного упругого
тела, ослабленного полубесконечным разрезом, на одном берегу
которого заданы упругие перемещения, а на другом — напря-
жения.

ЛИТЕРАТУРА
1. А б р а м о в В. М. Распределение напряжений в нлосТком безгранич»
ном клине при произвольной нагрузке. Труды Конфер. по оптич.
методу изучения напряжений, НИИММ ЛГУ, ОНТИ, Л., 1937.
2. А б р а м о в В. М. Исследование случая несимметричного давления
штампа круглого сечения на упругое полупространство. ДАН СССР,
23, № 8, 759, 1939. .
3. Александров В. М., И. И. В о р о в и ч. О действии штампа
на упругий слой конечной толщины. Прикл. матем. и механика,
24, № 2, 323, 1960.
4. Альперин И. Г. Задача о бесконечно длинной балке па упругой
полуплоскости. Прикл. матем. и механика, 2, № 3, 287, 1939.
5. Альиернн И. Г. Напряжения в бесконечной полосе, равномерно
сжатой по половине длины. Зап. Научно-исслед. инст. матем. и меха-
ники ХГУ и Харьк. матем. общ., JVs 20, 107, 1950.
6. В е л е н ь к и й М. Я. Смешанная задача теории упругости для бес-
конечной полосы. Прикл. матем. и механика, 16, № 3, 283, 1952.
7. Бе л сносов СМ. Плоская задача теории упругости для клина
прп заданных на границе напряжениях или смещениях. ДАН СССР,
131, № 5, 1041, 1960.
8. Белоносов СМ. Плоская задача теории упругости для бесконеч-
. ной полосы при заданных на границе напряжениях или смещениях.
ДАН СССР, 131, № 6, 1291, 1960.
9. Белоносов СМ. Основные плоские статические задачи теории
упругости для односвязных и двусвязных областей. Автореф. дисс.
на соиск. учен. степ. докт. фнз.-мат. наук. Новосибирск, 1961.
10. Б е р г Б. А. К плоской задаче теории упругости для бесконечной
* полосы. Прикл. матем. и механика, 4, № 4, 37, 1940.
11. Бирман СБ. Задача об упругом равновесии бесконечной полосы
и ее приложения. Автореф. дисс. на соиск. учен. степ. докт. техн.
наук. Л., 1950.
12. Б л о х В. И. Ивгиб плоских кривых брусьев. Научн. зап. Харьк.
мех.-маш. инст., № 5, 107, 1940.
13. Б л о х В. И. Напряжения в плоских кривых брусьях, ограниченных
двумя пересекающимися дугами окружностей для некоторых случаев
загрузки. Инж. сборник, 6, 47, 1950.
14. Б л о х В. И. Кручение упругого изотропного цилиндра поверхност-
ными усилиями при наличии осевой симметрии. Труды Харьк. авто-
дор. инст., № 16, 159, 1955.
15. Б у р а к Я. И., М. Я. Леонов. Кручение стержня, поперечное
сечение которого ограничено дугами двух пересекающихся окруж-
ностей. Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. и маш., № 3, 181, 1960.
16. В а т с о н Г. Н. Теория бесселевых функций. ИЛ, М., 1949.
17. В и л е н к и н Н. Я. Матричные элементы неприводимых унитарных
представлений группы движений пространства Лобачевского и обоб-
щенные преобразования Мелера—Фока. ДАН СССР, 118, № 2,
219, 1958.
24 Я. С. Уфлянд 871

18. В о р о в и ч И. И., Ю. А. Устинов. О давлении штампа на слой
конечной толщины. Прикл. матем. и механика, 23, № 3, 445, 1959.
19. Г а л е р к и н Б. Г. Упругие тонкие плиты. Госстройдздат, М., 1933.
20. Г а л и н Л. А. Контактные задачи теории упругости. ГТТИ, М., 1953.
21. Г о б с о н Б. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций.
ИЛ, М., 1952.
22. Г о л у ш к е в и ч С. С. О некоторых задачах теории изгиба ледяного
покрова. Л., 1947.
23. Г р и л и ц к и й Д. В. Кручения двошарового пружного середовища.
Прикладна мехашка, 7, № 1, 89, 1961.
24. Г р и л и ц к и й Д. В., Я. М. К и з и м а. Тиск штампа на транс-.
версалыго-изотропний шар. Доповдо АН УРСР, 1, 2&, 1962.
25. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории элек-
трических и магнитных явлений. Изд. АН СССР, М,—Л., 1948.
26. Гринберг Г. А., А. Н. Покровский, Я. С. У ф л я н д.
О характере напряженного состояния упругой тонкой клиновидной
плиты с закрепленной и свободной сторонами. Инж. сборник, 22.
193, 1955.
27. Д и т к и н В. А., А. П. Прудников. Интегральные преобразо-
вания и операционное исчисление. Физматгиз, М., 1961.
28. Е г а н я н В. В. Плоская задача теории упругости для области, огра-
ниченной дугами двух пересекающихся окружностей. Автореф. дисс.
на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. Ереван, 1959.
29. Егоров К.Е. К вопросу деформации основания конечной толщины.
Сборник трудов Акад. строит, и архит. СССР, НИИ оснований и
подз. сооруж., № 34, Госстройиздат, М., 3, 1959.
30. Е г о р о в К. Е. Контактная задача для упругого слоя при действии
внецентренной вертикальной силы на круглый жесткий штамп.
ДАН СССР, 133, № 4, 781, 1960.
31. Ж е м о ч к и н Б. Н. Расчет балок на упругом пространстве и полу-
плоскости. ВИА, М., 1937.
32. Журина М. И., Л. Н. Кармазина. Таблицы функций Лежандра
Р 1 (х). Изд. АН СССР. М.. 1960.
33. И ш к о в а А. Г. Точное решение задачи об изгибе круглой пластинки,
лежащей на упругом полупространстве, под действием осесимметрич-
ной равномерно распределенной нагрузки. ДАН СССР, 56, № 2,
129, 1947.
34. К и т о в е р К. А. Об использовании специальных систем бигармонп-
ческих функций для решения некоторых задач теории упругости
Прикл. матем и механика, 16, № 6, 739, 1952.
35. Коган Б. И. Давление жесткого штампа на двухслойное основание.
Труды Харьк. автодор. инст., № 17, 43, 1954.
йб. К о г а н Б. И. Напряженное состояние бесконечного цилиндра, зажа-
того в абсолютно жесткую полубесконечную цилиндрическую обойму.
Прикл. матем. и механика, 20, № 2, 236, 1956.
37. Коган Б. И. Осесимметрическая задача теории упругости для много-
слойного полупространства. Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. и матг.,
№ 6, 11, 1958.
38. Кокер Э., Л. Ф а й л о н. Оптический метод" исследования наиря- -
жений. ОНТИ, М., 1936.
39. Конторович М. И., Н. Н. Лебедев. Об одном методе реше-
ния некоторых задач теории дифракции и родственных ей проблем
Журн. экспер. и теор. физики, 8, № 10—11, 1192, 1938.
40. Коренев-Б. Г. Об изгибе плиты, лежащей на упругом основании,
нагрузкой, распределенной по прямой и прямоугольнику. ДАН СССР,
79, № 3, 411, 1951.
41. Коренев Б. Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом осно-
вании. Госстройдздат, М., 1954.
378

42. К у р ш и н Л. М. Смешанная плоская задача теории упругости для
квадранта. Прикл. матем. и механика, 23, № 5, 981, 1959.
43. К у ф а р е в П. П. Определение напряжений в анизотропном клине.
ДАН СССР, 32, № 8, 534, 1941.
• 44. К у ф а р е в П. П., В. А. С в е к л о. Определение напряжений
в анизотропной полосе. ДАН СССР, 32, № 9, 609, 1941.
45. Л а п ш и н С. Г. Напряжения в упругом клине от местной касатель-
ной вагрузки. Труды Лен. инст. инж. водн. трансп., 22, 1933,
1955.
46. Л е б е д е в Н. Н. Об одной формуле обращения. ДАН СССР, 52, № 8,
661, 1946.
47. Л е б е д е в Н. Н. Решение проблемы Дирихле длн гиперболоидов
вращения. Прикл. матем. и механика, 11, № 2, 251, 1947.
48. Лебедев Н. Н. О разложении произвольной функции в интеграл
по цилиндрическим функциям мнимого аначка и аргумента. Прикл.
матем. и механика, 13, № 5, 465, 1949.
49. Лебедев Н. Н. Некоторые интегральные представления для произ-
ведений сферических функций. ДАН СССР, 73, № 3, 449, 1950.
50. Л е б е д е в Н. Н. Некоторые интегральные преобразования математи-
ческой физики. Автореф. дисс. на соиск. учен. стен. докт. физ.-мат.
наук. Л., 1951.
51. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. ГТТИ,
М., 1953.
52. Л е б е д е в Н. Н. Распределение электричества на тонком иарабо-
лоидальном сегменте. ДАН СССР, 114, № 3, 513, 1957.
53. Лебедев Н. Н., М. И. Конторович. О применении формул
обращения к решению некоторых задач электродинамики. Журн.
экспер. и теор. физики, 9, № 6, 729, 1939.
54. Л е б е д е в Н. Н., И. П. С к а л ь с к а я, Я. С. У ф л я н д. Сбор-
ник задач по математической физике. ГТТИ, М., 1955.
55. Л е б е д е в Н. Н., Я. С. У ф л я н д. Осесимметричная контактная
задача для упругого слоя. Прикл. матем. и механика, 22, № 3.
320, 1958
56. Л е б е д е в Н. Н., Я. С. У ф л я н д. Пространственная задача тео-
рии упругости для неограниченного тела, ослабленного двумя пло-
скими круглыми щелями. Труды Лен. политехи, инст., № 210.
39, 1960.
57. Л е й б е н з о н Л. С. Курс теории упругости. Гостехиздат, М., 1947.
58. Леонов М. Я. К теории расчета упругих оснований. Прикл. матем.
и механика, 3, № 2, 53, 1939.
59. Леонов М. Я. Некоторые задачи и приложения теории потенциала.
Прикл. матем. и механика, 4, № 5—6, 71, 1940.
<№. Леонов М. Я. Общая задача о давлении круглого штампа на
упругое полупространство. Прикл. матем. и механика, 17, № 1,
87, 1953.
61. Л е х н и ц к и й С. Г. Симметричная деформация и кручение анизо-
тропного тела вращения с анизотроиией частного вида. Прикл. матем.
и механика, 4, № 3, 41, 1940.
62. Л е х н и ц к и й С. Г. Теория упругости анизотропного тела. ГТТИ,
М., 1950.
63. Л е х н и ц к и й С. Г. Анизотропные пластинки. .ГТТИ, М., 1957.
64. Л и в ш и ц П. 3. Напряженное состояние в упругом цилиндре, нагру-
женном по боковой поверхности касательными усилиями. Инж. сбор-
ник, 30, 47, 1960.
65. Лурье А. И. Решение плоской эадачи теории упругости для бес-
конечной плоскости с прямолинейным разреаом. Труды Лен. индустр.
инст., № 3, 94, 1939.
66. Л у р ь е А. И. К теории толстых плит. Прикл. матем. и механика,
6, № 2—3, 151, 1942.
24* N3

67. Л у р ь е А. И. Пространствениые задачи теории упругости. ГТТИ,
М., 1955.
68. Лурье А. И., Б. 3. Брачковский. Решение плоской эадачи
теории упругости для клина. Труды Лен. иолитехн. инст., № 3,
158, 1941.
69. Л я в А. Математическая теория упругости. ОНТИ, М., 1935.
70. М е л ь н и к СИ. Балка на упругом основании.. Прикл. матем. и
механика, 4, № 2, 116, 1940.
71. М и х л и н С. Г. Решение одной трехмерной задачи теории упругости
Прикл. матем. и механика, 10, № 2, 209, 1946.
72. Моссаковский В. И. Давление круглого штампа на упругое
полуиространство. Автореф. дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-
мат. наук. Львов, 1952.
73. Моссаковский В. И. Основная смешанная задача теории упру-
гости для полупространства с круговой линией раздела граничных
условий. Прикл. матем. и механика, 18, № 2, 187, 1954.
74. Моссаковский В. И. Некоторые пространственные контактные
задачи теории упругости. Автореф. дисс. на соиск. учен. степ. докт.
физ.-мат. наук. М., 1955.
75. Моссаковский В. И. Первая основная задача теории упругости
для пространства с плоской круглой щелью. Прикл. матем. и меха-
ника, 19, № 4, 443, 1955.
76. Моссаковский В. И., В. С. Губенко. Hoiri метод! розв'яза-
ния задач1 про тиск кругового штампа на пружний швпросэтр. При-
кладна мехашка, 7, № 1, 25, 1961.
77. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.
ГТТИ, М., 1953.
78. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математиче-
ской теории упругости. Основные уравнения, плоская теория упру-
гости, кручение и изгиб. Изд. АН СССР, М., 1954.
79. Н е й б е р Г. Концентрация напряжений. ГТТИ, М., 1947.
80. Н о в о ж и л о в В. В. Теория упругости. Судпромгиз, Л., 1958.
81. Олевский М. Н. Об одном обобщении бесселевых функций.
ДАН СССР, 40, № 1, 5, 1943.
82. О л е в с к и й М. Н. О представлении произвольной функции в виде
интеграла с ядром, являющимся гипергеометрической функцией.
ДАН СССР, 69, № 1, И, 1949.
83. Пальмов В. А. Контактная эадача о пластинке; лежащей на упру-
гом слое. Прикл. матем. и механика, 24, № 3, 416, 1960.
84. Папкович П. Ф. Теория упругости. Оборонгиз, М., 1939.
85. П а п к о в и ч П. Ф. Строительная механика корабля, ч. П. Суд-
промгиз, Л., 1941.
86. Попов Г. Я. Изгиб полубесконечной плиты, лежащей на линейно
деформируемом основании. Прнкл. матем. и механика, 25 № 2.
342, 1961.
87. П у п ы р е в В. А. Контактная задача для упругого слоя. Сборник
научн. работ студ. Физ.-мех. фак. Лен. политехи, инст., № 3, 1959.
88. П у п ы р е в В. А., Я. С. У ф л я н д. Некоторые контактные задачи
для упругого слоя. Прикл. матем. и механика, 24, № 4, 683, 1960.
89. Р а п п о п о р т Р. М. Задача Буссинеска для слоистого упругого
полупространства. Труды Лен. политехи, инст., № 5, 3, 1948.
90. Р в а ч е в В. Л. Давление на упругое полупространство штампа,
имеющего в плане форму полосы. Прикл. матем. и механика, 20,
№ 2, 248, 1956.
91. Р в а ч е в В. Л. Пространственная контактная задача теории упру-
гости и некоторые ее приложения. Автореф. дисс. на соиск. учен,
стен. докт. физ.-мат. наук. М., 1960.
92. Р о с т о н ц е в Н. А. К задаче о кручении упругого полупростран-
ства. Прикл. матем. и механика, 19, № 1, 55, 1955.
374

93. Ростовцев Н. А. Комплексные потенциалы для вадачи о штампе
круглом в плане. Прикл. матем. и механика, 21, № 1, 77, 1957.
94. Р ы ж и к И. М., И. С. Градштейн. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. ГТТИ, М., 1951.
95. С а в и н Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий. ГТТИ,
М., 1951.
96. С а в р у к М. А. вплив кругових та луночних отворхв на напруженя
в смуз! при чистому зоувь Научн. зап. Львовск. политехи, инст..
№ 38, 126, 1957.
97. Сахаров И. Б. Иэгиб клиповидвой защемленной пластинки под
действием произвольной нагрузки. Прикл. матем. и механика,
12, № 4, 407, 1948.
98. Скальская И. П. Поле точечного источника тока,.расположенного
на поверхности земли над наклонным пластом. Журн. техн. фиалки,
18, № 10, 1242, 1948.
99. С м и р н о в Ю. Н. Две задачи теории упругости со смешанными
краевыми условиями. Труды Лен. политехн. инст., № 210, 79,
1960.
100. Снеддон И. Преобразования Фурье. ИЛ, М., 1955.
101. Снеддон И., Д. В е р р и. Классическая теория упругости.
Физматгиз, М., 1961.
102. Сомов Н. И. Исследование лицевого и тыльного откола в толстых
плитах. Автореф. дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук.
М., 1958.
103. Сомов Н. И. Решение смешанной статической задачи теории упру-
гости для бесконечной полосы. Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. и
маш., № 2, 136, 1958.
104. Сунчелеев Р. Я. К решению контактных задач теории упру-
гости для анизотропного тела с осью симметрии бесконечного по-
рядка. Научн. зап. Львовск. политехн. инст., № 38, 53, 1956—1957.
105. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. ГТТИ,
М., 1948.
106. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической
физике. ГТТИ, М., 1956.
107. Трефтц Е. Математическая теория упругости. ГТТИ, М., 1934.
108. Уфлянд Я. С. Кручение призматического стержня с профилем,
ограниченным дугами двух пересекающихся окружностей. ДАН СССР,
68, № 1, 17, 1949.
109. У ф л я н д Я. С. Точное решение задачи изгиба призматического
стержня для одного класса несимметричных поперечных сечений.
ДАН СССР, 68, № 6, 751, 1949.
110. Уфлянд Я. С. Биполярные координаты в теории упругости. ГТТИ,
М., 1950.
111. У ф л я н д Я. С. Применение преобразования Меллина к задаче
изгиба клиновидной плиты. ДАН СССР, 84, № 3, 463, 1952.
112. У ф л я н д Я. С. Контактная задача теории упругости для кругового
в плане штампа при наличии сцепления. Прикл. матем. и механика,
20, № 5, 578, 1956.
113. У ф л я н д Я. С. Осесимметричная задача теории упругости для
полупространства с круговой линией раздела граничных условий.
ДАН СССР, 110, № 4, 531, 1956.
114. Уфлянд Я. С. О решении одной смешанной задачи теории упру-
гости для полупространства. Труды III Всесоюзн. матем. съезда,
1, М., 213, 1956.
115. Уфлянд Я. С. Некоторые задачи теории упругости, разрешимые
с помощью интегральных преобразований. Автореф. дисс. на соиск.
учен. степ. докт. физ.-мат. наук. Л., 1957.
116. Уфлянд Я. С. Основная смешанная задача теории упругости для
полупространства с прямолинейной границей раздела краевых усло-
375

вий. Научно-техн. инф. бюлл. Лен. политеха, инст., .разд. фиа.-ыат.
наук, № 12, 22, 1957.
'17. У ф л я н д Я. С. Пространственная задача теории упругости для
неограниченного Teia с плоским разрезом. Труды Лен. политехн.
инст., № 192, 60, 1958.
118. У ф л я н д Я. С. Смешавная задача для упругого слоя. ДАН СССР,
123, № 6, 991, 1958.
119. У ф л я н д Я. С. Концентрация напряжений в упругом слое, ослаблен-
ном плоской круглой щелью. Научно-техн. инф. бюлл. Лен. политехн.
инст., разд. физ.-мат. наук, № 8, 56, 1959.
120. У ф л я н д Я. С. Кручение упругого слоя. ДАН СССР, 129, № 5,
997, 1959.
121. У ф л я н д Я; С. Смешанная задача теории упругости для клина.
Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. и маш., № 2, 156, 1959.
122. У ф л я н д Я. С. Упругое равновесие неограниченного тела, ослаблен-
ного внешней круговой щелью. Прикл. матем. и механика, 23, № 1,
101, 1959.
123. У ф л я н д Я. С. Вторая основная задача теории упругости для
клина. Труды Лен. политехи, инст., № 210, 87, 1960.
124. Филиппов А. П. Бесконечная балка на упругом полупростран-
стве. Прикл. матем. и механика, 6, № 2—3, 169, 1942.
125. Фок В. А. О разложении произвольной функции в интеграл по функ-
циям Лежандра с комплексным значком. ДАН СССР, 39, № 7, 279,
1943.
126. X р у с т а л е в А. Ф. Решение некоторых осесимметрических задач
теории упругости при смешанных граничных условиях. Автореф.
дисс. на соиск. учен. степ. капд. физ.-мат. наук. М., 19Й8.
127. Хрусталев А. Ф., Ф. А. Вайнштейн. Об одной смешан-
ной задаче теории упругости для трансверсально-изотропного полого
цилиндра. Изв. вузов, Математика, № 4, 118, 1961.
128. Хрусталев А. Ф., Б. И. Коган. О напряженном состоянии
полого кругового цилиндра. Изв. вузов, Математика, № 4, 178, 1959.
129. Ш а п и р о Г. С. Напряженное состояние бесконечной цилиндриче-
ской оболочки и неограниченной толстой плиты. ДАН СССР, 37.
№ 9, 288, 1942.
130. Шапиро Г. С. О расчете плиты, имеющей вид бесконечной ленты.
лежащей на упругом основании. ДАН СССР, 37, № .7—8, 230, 1942
131. Шапиро Г. С. Изгиб полубесконечной плиты, лежащей на упруго»
основании. Прикл. матем. и механика, 7, № 4, 316, 1943.
132. Шапиро Г. С. О сжатии бесконечного полого цилиндра давлением.
приложенным на участке боковой поверхности. Прикл. матем. и
механика, 7, № 5, 379, 1943.
133. Шапиро Г. С. О распределении напряжений в неограниченном
слое. Прикл. матем. и механика, 8, № 2, 167, 1944.
134. Шевляков Ю. А., А. К. П р и в а р н и к о в. До розрахунку
шаруховатих основ. Прикладна мехашка, 8, № 2, 113, 1962.
135. Шепеленко В. Н. Определение напряжений в двойной орто-
тропной полосе. Учен. зап. Томск, унив., № 36, 59, 1960.
136. Ш е ре м е т ь е в М. П., Д. Г. Хлебников. Згин нескшченшл
смуги з шдкршленним краем. Прикладна мехатка, 7, № 2, 212, 1961.
137. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. ГТТИ,
М., 1949.
138. Штернберг Е., В. Койтер. Клин под действием сосредото-
ченного момента, парадокс в плоской теории упругости. Механика,
Период, сб. переводов иностр. статей, № 3 E5), 57, 1959.
1-49. Щульман С. Г. Два случая расчета плотины треугольного про-
филя. Сб. докладов по гидротехнике. Госэнергоиздат, М., 1961.
140. Ш у л ь м а н С. Г. Треугольный составной клин под действием мест»
ной нагрузки" на участке грани. Инж. физ. журн., 4, № 5, 81, 1961.
376

141. Шульман С. Г. Некоторые задачи статического расчета массив-
ных гидросооружений треугольного профиля. Автореф. дисс. на соиск.
учен. степ. канд. техн. наук. Л., 1962.
142. Barnard M. Flexure an infinite plate, having in it a semiinfinite
straight crack. Ztschr. f. Angew. Math. u. Mech., 15, № 3, 121, 1935.
143. Bateman H. Differential equations. London, 1926.
144. Bierens de Haan D. Nouvelles tables d'integrales definies.
New York, 1939. •
145. В 1 e i с h F. Der gerade Stab mit Rechteckquerschnitt als ebenes
Problem. Bauingenieur, 4, 1923.
146. В о r s С I. Решение уравнений статики анизотропных тел с по-
мощью преобразований Фурье. Studii Cers. Stiint. Mat. Acad. RPR,
Fil. Jasi, 7, № 2, 99, 1956.
147. Boussinesq J. Applications des potentiels & 1'etude de I'equilibre
et du mouvements de solides elastiques. Paris, 1885.
148. Brahtz J. H. A. Stress distribution in wedges witb arbitrary boun-
dary forces. Physics, 4, № 2, 56, 1933.
149. Busbridge I. Dual integral equations. Proc. Lond. ,Math. Soc,
B), 44, 115, 1938.
Z h
150. Chakravorty J. G. On the distribution of stresse in an infinite
circular cylinder of transversely isotrop material caused by a band
of uniform pressure on the boundary. Bull. Calcutta Math. Soc, 48, № 4,
163, 1956.
151. С h о n g F. Solution by dual integral equations of a planestrain Bous-
sinesq problem for an orthotropic medium. Iowa State Coll. Ing. Sci.,
27, № 3, 321, 1953.
152. С h о n g F. Solutions by dual integral equations of mixed boundary
value problems in elasticity. Iowa State Coll. Ing. Sci., 27, № 2, 143,
1953.
153. Choudhury P. Stress distribution in a thin aelotropic strip due
to a nucleus of strain. Ztschr. Angew. Math. u. Mech., 36, № 11—12,
413, 1956.
154. С о n vv а у H. D. Some problems of orthotropic plane stress. J ourn.
Appl. Mech., 20, № 1, 72, 1953.
155. Conway H. D. The stress distibutions induced by concentrated
loads acting in isotropic and orthotropic half planes. Journ. Appl. Mech.,
20, № 1, 82, 1953.
156. Conway II. D., M. K. Huang. The bending of uniformly loaded
sectorial plates with clamped edges. Journ. Appl. Mech., 19, № 1, 5,
1952.
157. С о о k e J. A solution of Tranter's dual integral equations problem.
Quart. Journ. Mech. a. Appl. Math., 9, № 1, 103, 1956.
158. Das S. C. Note on the elastic distorsion of a cylindrical hole by tan-
gential tractions on the inner boundary. Quart. Appl. Math., 11, № 1,
124, 1953.
159. Dean W. R. The Green's function of an elastic plate. Proc. Cambr.
Phil. Soc, 49, № 2, 319, 1953.
160. D u 11 S. B. Torsion of a large thick plate with rigidity varing linearly
with depth and rigidly fixed at one face. Ztschr. f. Angew. Math. u.
Mech., 29, № 7, 290, 1959.
161. Elliott H. A. Axine symmetric stress distribution in aelotropic
hexagonal crystals. The problem of the plane and related problems.
Proc. Cambr. Phil. Soc, 45, № 4, 621, 1949.
162. Erdelyi A., W. Magnus, F. О Ь е г h e 11 i n g e r, F. Tri-
c о m i. Higher transcendental functions, vv. 1—3. New York, To-
ronto, London, 1953.
163. Erdelyi A., W. Magnus, F. О b e r h e 11 i n g e r, F. T г i-
371

с о m i. Tables of integral transforms, vv. 1, 2. New York, Toronto,
London, 1954.
164. F a d 1 e I. Die Selbstspannungs-Eigenfunktionen der quadratischen
Scheibe. Ing. Arch., 11, № 4, 125, 1940.
165. Fillunger P. Uber die Spannung im Mittelschalt eines Eisenbahn-
znghakens. Ztschr. f. Angew. Math. u. Mech., 10, 218, 1930.
166. Filon L. N. G. In the approximate solution for the bending of a beam
of rectangular cross-section under any system of load, with special refe-
rence to points of concentrated or discontinuous loading. Phil. Trans.
Roy. Soc. Lond., A, № 201, 63, 1903. .
167. Florence A. L. Two contact problems for an elastic layer. Quart.
Journ. Mech. a. Appl. Math., 14, № 4, 456, 1961.
168. Franklin Ph. Fourier methods. New York., 1949.
169. Giuliano L. On the equilibrium of an infinite strip, built in and
simply supported. Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa, (HI), 6, № 3—4, 147,
1952.
170. Godfrey D. E. R. Normal-loading on a wedgeshaped plate. Aero
Quart., 6, № 3, 196, 1955.
171. Harding J. W., I. N. S n e d d о n. The elastic stresses produced
by the indentation of the plane surface of a semiinfinite elastic solid
by a rigid punch. Proc. Gambr. Phil. Soc, 41, № 1, 16, 1945.
172. H о 11 D. L. Cantilever plate with concentrated edge load. Trans. AJ3ME
59, № 4, 8, 1937.
173. Hopkins H. G. Elastic deformations of infinite strips. Proc. Cambr.
Phil. Soc, 46, № 1, 164, 1950.
174. (Hu Hai-chang) Xy Хай-чан. Кручение призмы, ограни-
ченной двумя пересекающимися круглыми цилиндрами. Ули Сюэбао,
Acta Phys. Sinica, 9, № 4, 238, 1953.
175. (Ни Hai-chang) Xy X а Й - ч а н. О равновесии трансвер-
сально-изотропного упругого полупространства. Ули Сюэбао, Acta
Phys. Sinica, 10, № 3, 239, 1954.
176. (J a ra a s i d a I.) Я м а с и д а И. Исследование напряжений в по-
лубесконечной полосе под действием сил, приложенных к ее концу.
Нихон кикай гаккай ромбунсю Trans. Japan Mech. Engr., 20, № 95,
466, 1954.
177. Jaramillo Т. J. Deflections and moments due to a concentrated
load on a cantilever plate of infinite length. Journ. Appl. Mech., 17,
№ 1, 67, 1950.
178. J e f f e г у G. В. Plane stress and plane strain in bipolar coordinates.
Phil. Trans. Roy. Soc. Lond., A, № 221, 265, 1921.
179. J u r n e у VV. H. On laterally loaded semicircular plate with clamped
edges. Journ. Appl. Mech., 26, № 2, 224, 1959.
180. К a r m a n T. Uber die Grundlagen der Balken-Theorie. Abhandl.
aus dem Aerodyn. Inst. an der Techn. Hochschule, Aachen, 7, 3,
1927.
181. Karunes B. On the concentration of stress round the edge of a hole
bounded by the two intersecting circles in a laye plate. Ind. Journ.
Phys., 27, № 4, 208, 1953.
182. К о i t e г W. Т., J. В. A 1 b 1 a s. On the bending of cantilever rec-
tangular plates. Proc. Koninkl. Nederl. Acad. Wetench., 57, № 2, 250,
1954.
183. Koiter W. Т., J. В. A 1 Ы a s. On the bending of cantilever rectan-
gular plates. Proc. Koninkl. Nederl. Acad. Wetench., 60, № 3, 173,
1957.
184. Landolino G. Sull equilibrio di uca piastre indefinite a forma
distriscia incastrata e appogiata. Ann. Schola norm. sup. Pisa, 6, № 3—4,
147, 1953.
185. L i n g С On the stresses in a notched plate under tension. Journ. Math.
a. Phys., 26, № 4, 284, 1947.
878

186. Ling C. Stresses in a notched strip under tension. Journ. Appl. Mech.,
14, № 4, 275, 1947.
187. Ling C. The stresses in a plate containing an overlapped circular
hole. Journ. Appl. Phys., 19, № 4, 405, 1948.
188. Ling С On the stresses in a notched strip. Journ. Appl. Mech , 19.
№ 2, 141, 1952.
189. Ling C. Stresses in a circular cylinder having a spherical cavity under
tension. Quart. Appl. Math., 13, № 4, 381, 1956.
190. Ling С Stresses in a perforated strip. ASME, Summer conf. Berke-
ley, Calif., Pap. 57, АРМ 8, 11, 1957.
191. Lowengrub M. Stress in the vicinity of a crack in a thick elastic
plate. Quart. Appl. Math., 19, № 2, 119, 1961.
192. MacGregor С W. Deflection of a long helical gear toth. Mech.
Eng., 57, 225, 1935.
193. M a de г F. W. Contribution to the computation of plate strips. Ing.
Arch., 25, 201, 1957.
194. Magnus W., F. Oberhettinger. Formeln und Satze fur
die speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Berlin, Got-
tingen, Heidelberg, 1948.
195. Marguerre K. Uber den Tragen auf elastischer Unterlage. Ztschr.
f. Angew. Math. u. Mech., 17, № 4, 224, 1937.
196. M e h 1 e г F. G. Ueber die Vertheilung der statischen Elektricitat
in einem von zwei Kiigelkalottenbergrenzten Korper. Journ. R. Angew.
Math., 68, 134, 1868.
197. M e h 1 e r F. G. Ueber eine mit Kiigel und Cylinder Funktionen ver-
wandte Funktion und ihre Anwendung in der Theorie der Elektricitats-
verteilung. Math. Annalen, 18, 161, 1881.
198. M e 1 a n E. Die Druckverteilung durch eine elastische Schicht. Beton
u. Eisen, № 83, 1919.
199. Michell J. H. Elementary distributions of plane stress. Proc. Lond.
Math. Soc, 33, 35, 1901.
200. Michell J. H. The flexure of circular plates. Proc. Lond. Math.
Soc, 34, 223, 1902.
201. Mitchell I. H. A Fourier integral solution for the stresses in a semi-
infinite strip. Quart. Journ. Mech. a. Appl. Math., 7, № 1, 51, 1954.
202. (M i у а о К.) М и я о К. Изгиб плиты, ограниченной двумя дугами
окружностей. Канадзава дайгану кокакубу киё. Mem. Fac. Technol.
Kanazawa Univ., 1, № 4, 56, 1955.
203. Morgan S. Tables of Bessel funktions of imaginary order and imagi-
nary argument. Pasadena, Calif. Inst. Technol., 1947.
204. (M u k i R.) Муки Р. Пространственная задача теории упругости
для цолубесконечного тела, на поверхности которого действуют
тангенциальные нагрузки. Нихон кикай гаккай ромбунсю, Trans.
Japan Soc. Mech. Engr., 22, Щ 119, 468, 1956.
205. N e u b e r H. Der Ebene Stromlinienspannungszustand mit lastlrciem
Rand. Ing. Arch., 6, 325, 1935.
206. Nowacki W. Thermoelasticity. Pergamon Press., 1962.
207. Nowacki W., St. T u г s k i. Application of the Fourier integral
to the theory of orthotropic plates. Arch. Mech. Stos., 3, № 2, 89, 1951.
208. P a r i a G. Stresses in a infinite strip du to a nucleus of thermo-elas-
tic strain inside it. Bull. Calcutta Math Soc, 45, № 3, 83, 1953.
209. P а г i a G. Elastic stress distribution in a threelayered system due
to a concentrated force. Bull. Calcutta Math. Soc, 48, № 2, 75,
1956.
210. Payne L. E. On axially symmetric punch, crack and torsion problems.
Journ. Soc. for Indust. a. Appl. Math. (Philadelphia), № 1, 53, 1953.
211. Payne L. E. On axially symmetric crack and punch problems a me-
dium with transverse isotropy. Proc. Cambr. Phil. Soc, 50, 466,
1954.
379

212 Payne L. E. On a class ol plane and axially simmetric problems
in elasticity. Proc. first. Congr. of Theor. a. Appl. Mech. Kharagpur,
Ind. Inst. Technol., № 1—2, 1955.
213. Piechocki W. The stresses in an infinite wedge du to a heat source.
Arch. Mech. Stos., 11, № 1, 93, 1959.
214. Piechocki W., H. Z о г s к i. Termoelastic problem for a wedge.
Bull. Acad. Polon. Sci., ser. sci. techn., 7, № 10, 555, 1959.
215. R a n к i n A. W. Shrink-fit stresses and deformations. Journ. Appl.
Mech., 11, № 2, 77, 1944.
216. Reissner E. Beitrag zur Problem Spannungsverteilung in Gartplat-
ten. Ztschr. f. Angew. Math. u. Mech., 15, № 6, 359, 1935.
217. Reissner E., H. S a g о с с i. Forced torsional oscillations of an
elastic half-space. Journ. Appl. Phys., 15, 9, 1944.
218. Rumpel G. Rehavior of thin plates corners. Bauingenier, 33, № 3,
50, 1958.
219. Sack A. Extension of Griffith's theory of rupture to three dimensions.
Proc. Phys. Soc. Lond., 58, № 330, 729, 1946.
220. S h e n g P. L. Note on the torsional rigidity of semicircular bars. Quart.
Appl. Math., 9, 309, 1951.
221. Sneddon 1. N. The distribution of stress in the neighbourhood of
a crack in a elastic solid. Proc. Roy. Soc. Lond., A-187, 229, 1946.
222. Snow C. Hypergeometric and Legendre functions with applications
to integral equations of potential theory. Washington, 1952.
223. Sokolowski Marek. Pewne zagadnienia plaskie teorii sprezystosci
ciala ortotropewego. Arch. Mech. Stos., 6, N° 1, 65, 1954. ,
224. Teodorescu P. Sur le probleme de la demibande plane elastique.
Arch. Mech. Stos., 12, № 3, 313, 1960.
225. TerezawaK. On the elastic equilibrium of a semiinfinite solid
under given boundary conditions with same applications. Tourn. Col-
lege of Sci., Imp. Univ., Tokyo, 37, 7, 1916.
226. T i f f e n R. Generalized plane stress problem in infinite elastic strips.
Quart. Journ. Mech. a. Appl. Math., 6, № 3, 344, 1953.
227. T i m p e A. Die Torsion von Umdrehungskorpern. Math. Ann., 71,
480, 1912.
228. Tranter C. J. The use of the Mellin transform in finding the stress
distribution in an infinite wedge. Quart. Journ. Mech. a. Appl. Math.,
1, 125, 1948.
229. Tranter С J., J. W. Craggs. The stress distribution in a long
circular cylinder when discontinuous pressure is applied to the curves
surface. Phil. Mag., 36, № 255, 241, 1945.
230. Weber С Die Lehre der Drehungsfestigkeit. Forschungshefte, № 249,
1921.
231. W e i n e 1 E. Die Spannungserhohung diirch Kreisbogenkerben.
Ztschtr. f. Angew. Math. u. Mech., 21, № 4, 228, 1941.
232. Whitehead L., L. Mcquillin. The centre of shear for sections
bounded by two circular arcs. Journ. Roy. Aeronaut. Soc, 58, № 518,
138, 1954.
233. Wigglesworth L. A., A. C. Stevenson. Flexure and
torsion of cylinders with cross-sections bounded by orthogonal circular
arcs. Proc. Roy. Soc. Lond., A-170, 391, 1939.
234. Wijngarden A. Eenige toepassingen van Fourierintegralen op elas-
tiche problemen. Doctor's, Thesis, Delft, 1945.
235. Williams M. L. The plate problem for a cantilever sector of uniform
thikness. Ail Force Techn. Rep., № 5761, 1, 1950.
236. W i 11 i a m s M. L. Stress singularities resulting from various boundary
conditions in angular corners of plates in extension. Journ. Appl. Mech.,
19, № 4, 526, 1952.
237. Williams M. L. Surface stress singularities resulting from various
boundary conditions in angular corners of platen under bending. Proc.
380

first. U. S. Nat. Congr. Appl. Mech., Publ. Amer. Soc. Mech Engrs.,
New York, 325, 1952.
238. Woinowsky-Krieger S. Cber die Anweudung der Mellin-
Transformation zur Losung einer Aufgabe der Plattenbiegung. Ing.
Arch., 20, 391, 1952.
239. Woinowsky-Krieger S. The bending of a wedge-shaped
plate. Journ. Appl. Mech., 20, № 1, 77, 1953.
240. Woinowsky-Krieger S. Clamped semicirkular plate under
uniform bending load. Journ. Appl...Mech., 22, № 1, 129, 1955.
241. Woinowsky-Krieger S. Uber die Verwendung von Bipolar-
koordinaten zur Losung einiger Problems der Plattenbiegung. Ing, Arch.
24, 47, 1956.

Дополнение 1
ОБЗОР НОВЫХ РАБОТ ПО ПРИЛОЖЕНИЯМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
За несколько лет, прошедших со времени выхода первого
издания настоящей книги, научная литература пополнилась
значительным количеством работ, посвященных применению ме-
тода интегральных преобразований в теории упругости.
Хотя большинство таких исследований связано с аппаратом
парных интегральных уравнений, тем не менее следует кратко
остановиться и на некоторых статьях, посвященных задачам
теории упругости, непосредственно разрешимых с помощью клас-
сических преобразований Фурье, Меллина и Хаякеля. Из работ
этого направления укажем прежде всего на диссертацию Д. Г Хлеб-
никова 155 1, в которой с помощью преобразования Фурье решены
многие плоские задачи о деформации полуплоскости и полосы
с подкреплениями в виде стержней или тонких плит. В статье
С. Е. Бирмана [81 автор распространяет свой способ решения
вадач о равновесии бесконечной полосы на вторую краевую за-
дачу Интегральное преобразование Фурье применялось в за-
дачах о деформации полосы, лежащей на полуплоскости (статья
И. А. Прусова [42 J), а также при изучении многослойных осно-
ваний (работа В. И. Петригаина и А. К. Приварникова [37]).
Продолжались исследования, связанные с применением аппарата
интегралов Фурье в биполярных координатах. Так, в статье
В. М. Дэюба [21 I рассматривались кручение и изгиб составных
стержней луночного профиля; работа В. В. Еганяна [231 посвя-
щена некоторым задачам для плоскости с загруженным луночным
отверстием. К. В. Соляник-Красса 149] с помощью интегрального
преобразования Фурье дал решение задачи о кручении конуса
поверхностными силами. Из работ, относящихся к применению
преобразования Меллина, укажем на статью Бептема [611, в кото-
рой рассмотрена деформация неограниченного анизотропного
клина. В работе Н. А. Ростовцева [45 ], связанной с применением
интегрального преобразования Фурье, даны решения новых и
трудных задач для неоднородной улругой среды. Применению
интегральных преобразований Фурье и Ханкеля к ряду задач

теории упругости посвящены работы Снеддона 185, 87, 88].
В статье Р. М. Раппопорт [43] преобразования Фурье и Ханкеля
использованы для изучения деформации многослойных анизо-
тропных сред. Р. Я. Сунчелеев в работе [50 ] удачно использовал
метод интегральных преобразований при построении общих реше-
ний ряда задач теории упругости для полупространства, слоя
и цилиндра (сплошного и полого), пригодных также при наличии
трансверсальной изотропии. Применению преобразования Конто-
ровича—Лебедева для решения некоторых задач о деформации
бесконечного цилиндрического сектора посвящена статья Н. Б. Ре-
морова [44].
Переходим теперь к обзору наиболее интересных работ, отно-
сящихся к тем классам смешанных задач упругого равновесия,
при решении которых использование интегральных преобразо-
ваний приводит к парным интегральным уравнениям.
Некоторые приложения в теории упругости парных уравнений
с тригонометрическими ядрами даны в работах Снеддона [84 ],
Смайта [83], Г. Я. Попова {40 I, Ловенграба и Снеддона [75, 76 |.
В статьях Г. М. Валова [15, 16] парные интегральные урав-
нения с тригонометрическими ядрами использовались при реше-
нии смешанных задач о кручении бесконечного цилиндра. Раз-
личные смешанные задачи о деформации бесконечного цилиндра
рассматривались также в работах Г. Я. Попова 139 ], Матчинского
[78], Ф. А. Вайнштейна [13], причем в ряде случаев получаемые
парные уравнения могут быть точно решены путем построения
некоторой мероморфной функции в виде бесконечного произве-
дения. Аналогичная методика, связанная с интегральным преоб-
разованием Меллина, применялась в работах Матчинского [77 ]
и Керра [69 ] к смешанным задачам для клина и в статье Лоу [ 74 ] —
к задаче о кручении конуса при смешанных краевых условиях.
Наибольшее количество работ последних лет относится, по-
видимому, к вопросам применения в задачах теории упругости
парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием
Ханкеля. Обзор большинства подобных исследований, выполнен-
ных в основном к 1963 г., был сделан Снеддоном [86 |, который
по праву может считаться инициатором широкого использования
метода парных уравнений в смешанных краевых задачах мате-
матической физики и теории упругости. В последующие годы
различные исследователи успешно продолжали работы этого
направления применительно к полупространству, упругому слою,
слоистым средам, анизотропным телам, задачам термоупру-
гости и др.
В работе Б. Л. Абрамяна, Н. X. Арутюняна и А. А. Баблояна
|2] рассмотрена контактная задача для полупространства при нали-
чии сцепления. В статье Вестманна [95 ] дано решение смешанной
задачи для полупространства с круговой линией раздела гра-
ничных условий в том случае, когда на всей границе заданы

нормальные усилия. В работах Н. М. Бородачева [9, 101 рассмо-
трены термоупругая задача Герца, а также термоупругое равно-
весие неограниченного тела, ослабленного плоской круговой
щелью. В статьях Эрдогана [67, 68] рассмотрен контакт двух
разнородных полупространств, на общей границе которых
имеется круглая щель. Интересные смешанные задачи для полу-
пространства рассматривались в диссертациях Г. Я. Попова |38],
Н. А. Ростовцева [46], а также в статье А. Ф. Хрусталева [56].
Остановимся теперь на некоторых работах, посвященных
применению преобразования Ханкеля к различным смешанным
задачам для упругого слоя и сводящимся к парным интегральным
уравнениям или системам таких уравнений. В работе И. А. Марку-
зона [361 получено распределение напряжений в неограниченном
плоскопараллельном слое, в срединной плоскости которого распо-
ложена нагруженная круглая щель, причем найденные результаты
используются для определения по методу Г. И. Баренблатта
размеров равновесной трещины в условиях хрупкого разрушения.
В работе Керра [701 дано решение задачи о кручении упругого
слоя, сцепленного с жестким основанием; существенно, что при
этом приближенно учитывается трение между штампом, и слоем.
Различные контактные задачи для упругого слоя рассмотрены
в работах Г. М. Валова [14 I, Лоу [72, 73 I, В. И. Довноровича [22 ].
Новые и весьма эффективные методы подхода к смешанным
задачам для упругого слоя, в принципе пригодные для произ-
вольной области контакта, развиты в последние годы И. И. Воро-
вичем и его учениками. Основные результаты этих исследований
изложены в обзорной работе В. М. Александрова и И. И. Воровича
[3 ]. Отметим еще, что указанные методы удалось распространить
на двуслойное основание, а также на случай вдавливании штампа
в клиновидное основание (см. также работу С. А. Лутченко [35 |).
Из работ, относящихся к изучению деформации тел со щелями,
укажем на статью Ю. Н. Кузьмина и Я. С. Уфлянда [31 ], в кото
рой с помощью систем парных интегральных уравнений исследо-
вано упругое равновесие полупространства, содержащего круглую
щель, расположенную в плоскости, параллельной границе. За-
дача сведена к системе уравнений Фредгольма, решаемой методом
разложения в ряд по степеням малого параметра — отношения
радиуса щели к ее расстоянию от границы полупространства.
В работе Ю. Н. Кузьмина 1291 рассмотрено неограниченное тело,
ослабленное системой иериодически расположенных соосных круг-
лых щелей одинакового размера. В другой работе [30 ] этого
автора дано решение осесимметричной задачи о равновесии упру-
гого пространства, содержащего две параллельные круговые щели
различных радиусов.
Статьи С. М\ Котляра [28 ] и Чайла [82 ] посвящены некоторым
смешанным задачам термоупругости для плоскопараллельного
слоя. Из работ, связанных со смешанными задачами для анизо-

тройных тел, укажем на статью Ингленда [64 J и диссертации
Д. В. Грилицкого [171 и Я. М. Киэыма [271, в которых даны
решения многих контактных задач для трансверсальногиэотроа-
ного упругого тела. В статьях Р. Я. Сунчелеева 151, 521 рассмот-
рены вопросы концентрации напряжений около круглых щелей
в трансверсально-изотропном теле. Ряд интересных контактных
задач исследовался в работах В. С. Губенко (см., например,
его статью [20]).
Парные интегральные уравнения, связанные с преобразо-
ванием Ханкеля, допускают интересное обобщение, относящееся
к смешанным задачам с двусвявной круговой границей раздела
краевых условий. Простейшей задачей этого класса является
контактная задача о вдавливании полого цилиндрического (коль-
цевого) штампа в упругое полупространство, рассматривавшаяся
многими авторами с помощью различных методов. Непосредствен-
ное применение к этой задаче преобразования Ханкеля приводит
к так называемым тройным (triple) интегральным уравнениям.
В работе Кука [621 с помощью тройных уравнений рассмотрена
электростатическая задача о поле кольцевого диска, математически
эквивалентная упомянутой контактной задаче для кольцевого
штампа. Решение этим методом контактных задач для кольцевой
области дано в двух работах Н. М. Бородачева и Ф. Н. Бородаче-
вой [11, 121, причем в первой статье. рассматривается кручение,
а во второй — осевое вдавливание. В этих работах результаты
доведены до интересных числовых данных. Задаче о кольцевом
штампе посвящена также работа Олесяка [81 1, в которой решение
тройных уравнений осуществляется путем последовательного рас-
смотрения парных уравнений. Метод тройных интегральных
уравнений с тригонометрическими ядрами эффективно применялся
к некоторым плоским смешанным задачам (см. работы Трантера
1931 и В. С. Тонояна [53, 541).
К рассмотренным исследованиям примыкают интересные ра-
боты Н. X. Арутюняна и А. А. Баблояна [51 и Сривастава 1901,
связанные с интегральным преобразованием .Вебера и соответ-
ствующими тройными уравнениями (см. также статьи Сривастава
[89] и А. И. Цейтлина [581, в которых рассмотрены некоторые
типы парных интегральных уравнений, содержащих цилиндри-
ческие функции первого и второго рода).
Наряду с парными интегральными уравнениями, ядра которых,
выражаются через тригонометрические и цилиндрические функ-
ции, в последнее время в литературе появились исследования,,
связанные с преобразованием Мелера—Фока и относящиеся к пар-
ным уравнениям, ядра которых выражаются через функции
Лежандра с комплексным значком. Первой работой этого нового-
в математической физике направления явилась работа В. Т. Грин-
чснко и А. Ф. Улитко 118 |, в которой парные уравнения указан-
ного типа применены к одной смешанной задаче теории тепло-
та

проводности для полупространства с двусвязной круговой
границей раздела краевых условий. Предложенный этими авто-
рами метод позволяет сводить задачи подобных типов к регуляр-
ному интегральному уравнению Фредгольма. Дальнейшее
развитие эта методика получила в работах А. А. Баблояна [61
и А. Н. Руховец и Я. С. Уфлянда [47, 481. В другой работе
В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко [191 парные уравнения, связан-
ные с преобразованием Мелера—Фока, применены к расчету
напряжений в упругом теле, ослабленном плоской кольцевой
трещиной.
Мы не останавливаемся более детально на этих сравнительно
малоизвестных вопросах, так как на материале упомянутых
статей составлено специальное дополнение 2 настоящей книги,
посвященное парным интегральным уравнениям, возникающим
при использовании преобразования Мелера—Фока для решения
некоторых смешанных задач статической теории упругости.
В самое последнее время появились работы, посвященные
некоторым вовым интегральным преобразованиям по сферическим
функциям с комплексным значком и их приложениям к задачам
теории упругости. Так, в статьях Н. Н. Лебедева и И. П. Скаль-
ской 133, 34] выведена новая формула обращения для одного
интегрального преобразования, родственного преобразованию
Мелера—Фока, и с ее помощью получено точное решение задачи
о кручении однополостного гиперболоида вращения. В работе
Н. А. Беловой и Я. С. Уфлянда [71 дано обобщение преобразо-
вания Мелера—Фока на случай неполного промежутка, которое,
в частности, позволило рассмотреть задачу о кручении тороидаль-
ного сегмента.
Следует указать, что практическое использование преобразо-
вания Мелера—Фока облегчается тем, что в настоящее время
мы располагаем таблицами М. И. Журиной и Л. Н. Кармааиной
[24, 25 ] функций Лежандра с комплексным значком.
В связи с большим развитием за последние годы метода парных
интегральных уравнений мы считаем необходимым в данном
обзоре упомянуть о работах Эрдейи и Снеддона [66 ], Трантера
|94|, Нобла 179 J, Лява 171), Вилльямса 1961, Сривастава [911,
А. И. Цейтлина [57], Шефера [921, в которых рассмотрены
некоторые общие вопросы теории парных уравнений и их прило-
жений в смешанных задачах математической физики и теории
упругости.
В заключение заметим, что некоторые работы, связанные
с применением интегральных преобразований в теории упругости
и не вошедшие в настоящий обзор, читатель может найти в обзор-
ных докладах Д. И. Шермана [601, Снеддона I8fi |, Олесяка [80],
Б. Л. Абрамяна и А. Я. Александрова И ], А Г. Ишковой и
Б. Г. Коренева 126], Г. Я. Попова и Н. А. Ростов-
нова 141 ].
386

Пополнение Я
О ПАРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ, СВЯЗАННЫХ
С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ МЕЛЕРА—ФОКА, И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ
В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
а) Некоторые классы смешанных задач математической
фиэики и теории упругости приводят к необходимости решения
парных интегральных уравнений вида
%i+iT (ch а) [1 + g (т)] d-z = / («), 0 < в < а0; A)
о
оо
=O, а0<а<оо, B)
где т=0, 1, 2,...; А (-с) — искомая, #(т) и /(а) — заданные
функции.
Ниже излагается прием, позволяющий свести уравнения A)
и B) к регулярному интегральному уравнению Фредгольма
с симметричным ядром.
Если ввести новую неизвестную функцию <р (t) соотношением
Л(х)= \<p(t) cos-adt, C)
it
то с помощью формулы
D)
и соотношения*
00
th iziP_>. , . (ch a) sin rtdz = 1 °' * < а' E)
используя прием, примененный в § 48, нетрудно показать, что
уравнение B) удовлетворяется тождественно относительно
любой функции <р(?), имеющей непрерывную производную.
Интегрируя уравнение A) т рае по переменной X. приведем
его к виду
(ch a) dx = F (а) + "^ ctX* = х (а), F)
fc=O
* Формула E) есть следствие E7, 16); см. также [32].
887

где ск — постоянные и положено*
X X
F(a)=J J... J/(«)(X2 — 1) 2d\m. G)
i i i
Подставляя значение А (т) из C) в F) и польвуясь вытекаю-
щим из E7.14) соотношением
f[2(cha — ch *)]-*, t<a,
-Wr (ch a) cos xtdz =| ^ f>a (8)
преобразуем F) к следующему виду:
Ф (ж) B (ch a — ch x)]-''' dz=% (a), (9)
где
«о
о, (Ю)
а функция G есть косинус-преобразование Фурье функции g:
со
G(y)=\g (т) cos zydx. A1)
о
Замечая, что выражение (9) есть интегральное уравнение
Абеля относительно функции Ф(х), находим его решение
A2)
Таким образом, величина Ф(х) может считаться известной,
так что уравнение A0) и является искомым интегральным урав-
нением относительно основной неизвестной функции ч>(х).
Свободный член полученного уравнения A0) содержит т
произвольных постоянных, которые могут быть найдены только
после формулировки некоторых дополнительных условий.
Исходя из постановки краевых задач, приводящих к рассма-
* Считается, что заданные функции удовлетворяют некоторым общим
условиям, обеспечивающим ааконность производимых операций. В част-
ности, должно существовать косинус-преобразование Фурье от функ-
ции g (т).
ЗЬЬ

триваемым парным уравнениям [см., например, B6)j, наложим
на функцию
ф («) = J *А (т) th mP^/и_<т (ch a) dz A3)
дополнительное условие ее интегрируемости в промежутке
0<><^а0. Подставляя C) в A3) и применяя D), E), можно
привести A3) к виду
<Яо. A4)
Проводя в A4) последовательное интегрирование по частям,
убеждаемся в том, что поставленное дополнительное условие
эквивалентно равенствам
9">0) = 0; t = 0, 1 го —1, A5)
причем при а —» а0 — 0 функция <J> (а) имеет порядок
(ch а0 — ch а)-*''.
Нетрудно показать, что условия A5) однозначно опреде*
ляют значения величив ск. Действительно, если разбить функ-
ции <р (ж) и Ф(ж) на две части:
? (в) = ?,(«) +ft (в). Ф(ж) = Ф1(жL-Ф2(х), A6)
где
о
m—1
Ф3 (ж) = ^-- -^ U2 (ch ж — ch a)|-V»F (a) sh ada,
m—1
) = — \ 12 (ch a: - ch a))-1'» chfc a sh i
получим из A0) для искомых функций <р,(а:) и а>к(х) раздельные
уравнения Фредгольма с правыми частями Ф1(х) и Гк(х) соот-
ветственно. Теперь условия A5) являются линейной алгебраи-
ческой системой
относительно искомых постоянных ск.
25 я. с. Уфлявд 889

Отметим еще, что заме.ной переменных sh -|- = sh -i- sin Ь
интегралы типа 1к(х) можно представить в виде полиномов
2Й4-1 порядка относительно sh-§-:
2
4 (х)=4 sh -§- J Р^ (sh ± sin e) sin ЫЬ,
где обозначено P
б) В качестве первого приложения изложенного метода
в теории упругости рассмотрим задачу о кручении усеченного
шара, с плоской поверхностью которого сцеплен круговой ци-
линдрический штамп (рис. 51).
Рис. 51.
Если считать сферическую часть поверхности неподвижной
и ввести тороидальные координаты зависимостями E6.2), то
вадача сводится (§ 47) к решению уравнения
Ди-? = 0 B0)
при граничных условиях
B1)
где е — угол поворота штампа.
Согласно E6.10), функция
о (в. P) =
о
B2)
390

удовлетворяет уравнению B0) и последнему ив условий B1).
Применяя оставшиеся краевые условия B1), мы приходим
к парным интегральным уравнениям
a
eath-rj-
CO
J.,.,
U
CO
\ т cth fzB (t) Pljtr?tz (ch a) dx = 0, a0 < a < oo,
B3)
которые подстановкой В (т) cth -\х = А (т) th n* сводятся к рас-
смотренным выше уравнениям A) и B) при значениях
ch чет ch ус '
m=l. B4)
Таким образом, рассматриваемая смешанная задача круче-
ния сведена к интегральному уравнению Фредгольма A0),
свободный член которого «осле некоторых выкладок может
быть представлен в явном виде:
1^ B5)
Ретение уравнений B3) содержит одну произвольную по
стоявную, определяемую, согласно A5), из условия <р(ао) = О.
Легко видеть, что это условие, являющееся следствием требо-
вания интегрируемости величины ф(а) в A3), соответствует
условию конечности приложенного к штампу крутящего мо-
мента М. Действительно, в данном случае
где G — модуль сдвига, причем момент М определяется фор-
мулой D7. 20). Таким обравом,
—1 \J2na4i J th ~ sh -J ф (a)da, B6)
откуда и вытекает эквивалентность указанных условий.
Соотношение B6) позволяет также найти весьма простое
выражение момента М непосредственно черев основную функ-
25» 391

цию <р(?). Для этого воспользуемся формулой A4), которая
при условии <р(ао) = О и значении т = \ дает
Ф («О = —sir} ч" (*) I2 (ch * — ch a)'~Vl dL B7>
a
Если подставить B7) в B6), произвести интегрирование
по' частям и затем перемену порядка интегрирования, то по-
лучим равенство
М = — Jk
a
d sh2
¦}
которое после некоторых выкладок и дает искомое выражение
Г
Г
\ -^-
J сЬЗтт-
о 2
B8)
Так как свободный член уравнения A0), а следовательно,
и функция <р@ пропорциональны величине е, то формула B8),
по существу, определяет угол поворота штампа е через задан-
ный момент М.
Отметим еще интересный предельный случай у = 1Г. соответ-
ствующий кручению полупространства штампом радиуса Ь
при условии, что поверхность z = 0, r^>a жестко закреплена,
а кольцевая область z = 0, Ъ<^г<а свободна от усилий. При
этом ядро уравнения Фредгольма A0) вычисляется в явном
виде, так как
B9)
Из изложенного ясно, что к парным интегральным уравне-
ниям рассмотренных типов A) и B) сводится также и общая
смешанная краевая задача для усеченного шара в том случае,
когда на сферической его поверхности рч = т задана искомая
гармоническая функция и, а на плоской гравице C = 0 при 0^
известны значения и, а при b<^r<^a — значения -^-.
То обстоятельство, что оба уравнения, A) и B), делаются при
этом неоднородными, несущественно, так как, Применяя обоб-
щенное преобразование Мел ера—Фока, можно уравнение B)
сделать однородным [см. § 48, а также формулу D4)].

В предельном случае ¦jr = rc при произвольном значении т
мы приходим к общей смешанной задаче для полупространства
с двусвязной (г = 6 и г = а) линией раздела краевых условий
первого и второго рода. К таким задачам (см. §§ 62 и 64) сво-
дятся статические задачи для упругого полупространства в том
случае, когда на плоском круговом кольце (z = 0, b<^r <С«)
задано нормальное напряжение, а на остальной части границы.—
нормальное перемещение (касательные напряжения считаются
известными на всей плоскости г = 0). В частности, могут быть
решены задачи о симметричной относительно средней плоскости
деформации неограниченного упругого тела, ослабленного пло-
ской кольцевой трещиной, — см. работу В. Т. Гривченко и
А. Ф. Улитко |19J. В зтой работе авторы удачно аппроксими-
руют ядро вырожденным и получают интересные численвые
результаты, относящиеся, в частности, к определению крити-
ческих разрывающих напряжений.
в) Изложенный выше способ применим также и к парным
уравнениям несколько иного вида:
00
=f(a), 0<а<ао, C0)
\ А (т) th KiP\+iT (ch а) dt — O, «0 < а <^оо. C1)
о
Если сделать подстановку
«о
А (т) = ^<j>(*) sin xtdt C2)
о
и считать <р@) = 0, то уравнение C1) будет удовлетворено,
а C0) можно преобразовать в уравнение Фредгольма A0) с яд-
ром G(t — х) — G(t-\-x) и правой частью A2). Входящие в ре-
шение постоянные можно найти из требования интегрируе-
мости левой части C0) в области 2 = 0, b<^r <^ с, которое после
вычислений по-прежнему приводится к условиям A5).
К парным уравнениям вида C0) и C1) сводятся, очевидно,
краевые задачи о нахождении гармонической в сегментвой
области @<P<y, 0<^a<oo) функции и при условии ее За-
дания на сферической части сегмента Р = х и смешанных усло-
виях на плоской части [3 = 0: при 0^а<а0 задается -щ, а при
а0 <Г а < со — искомая функция и.
Примером такой задачи может служить сметанная задача
о кручении усеченного шара в предположении, что на поверх-
293

ности C = ? заданы касательные напряжения х^ |p=J = т (а),
а штамп неподвижен. При этом удобно ввести в рассмотрение
функцию напряжений Ф, удовлетворяющую уравнению [4]
<33>
и граничным условиям
^|=0, C = 0, 0<><а0; Ф = 0, C = 0, а„<а<оо,
ds, p = f,
C4)
где дуга s отсчитывается от точки А (рис. 51).
Если сделать подстановку Ф =r2w, то функция w будет удо
влетворять уравнению
Ди? —^w—0, C5)
решение которого представляется в виде E6.10) при т=2:
w = v/cha + cosp J [С (х) ch 0i + S (z) sh pxj Pbltttx (ch a) dz. C6)
Применяя граничные условия C4), мы придем к неоднород-
ным парным уравнениям C0) и C1) при т==2.
Для частного случая полупространства (у = «) при помощи
парных уравнений можно дать решение смешанных гранич-
ных задач и иного типа, когда на кольце z = 0, b<^r<^a
задано краевое условие первого рода, а на остальной части
границы — условие второго рода. К таким задачам относятся
проблемы равновесия упругого полупространства при следую-
щих краевых условиях: при z = 0, b <Г г < а задано нормальное
перемещение, а вне этой области — нормальное напряжение,
причем касательные напряжения при z = 0 известны. Частными
случаями такой общей задачи являются некоторые вопросы
концентрации напряжений в неограниченном теле, ослабленном
внутренней и внешней круговыми щелями, а также контактная
задача для полого цилиндрического (кольцевого) штампа, ре-
шение которой приводится ниже.
В случае осевого вдавливания без трения кольцевого штампа
в упругое полупространство задача, очевидно, сводится к на-
ЗУй

хождению одной гармонической в полупространстве z>0 функ-
ции и при следующих граничных условиях:*
*=0, р = 0, 0<а<а0, C7)
« = TZ^I1-X(«I. Р = ». а„<а<оо, C8)
^• = 0, р = «, 0<а<оо, C9)
где 8 — осевое перемещение штампа, а функция % определяется
формой основания штампа (v — коэффициент Пуассона).
Если искать решение задачи и в виде
_?L
CD
\ В (х) Ch(;h~P)t P-w (ch a) d-z, D0)
то условие C9) удовлетворено, а C7) и C8) дают парные ив-
тегральные уравнения
00
о
CO
\ -zB (x) th юР-ч,т (ch a) d-z = 0, 0 < a < a0, D1)
CO
J fi (x) Я_./i+iT (ch a) dx = u> (a), a0 < a < oo, D2)
о
где
a(a) = ±=?±. D3)
Представляя e>(o) в виде разложения Мелера—Фока
со
a) (a) = ^ С (х) P_,/i+<T (ch a) tix D4)
и вводя новую неизвестную А\,Ъ.т = В — С, получим из D1)
и D2) для величины А (х) парные уравнения вида C0) и C1) при
со
т = 0, g (т) = _ -j±-, / (a) = — j xC (x) th 7cxPJ/j+<t (ch a) d-z. D5)
* Как и выше, задача решается в тороидальных координатах.
395

Таким образом, задача о кольцевом штампе может быть све-
дена к интегральному уравнению Фредгольма A0) с ядром
G(t — х) — G(t + z), где, на основании B9), G{y) — — -^--^j ¦
j
sh -о"
Для случая штампа с плоским основанием, когда х(а) = 0,
имеем, на основании E9.11) и E9.13),
/W=,(chf-НГ
После некоторых выкладок основное уравнение A0) при-
нодится к виду
D7)
Решение задачи требует еще нахождения связи между пе-
ремещением штампа S и приложенной к нему силой Р, которую
мы приводим без промежуточных выкладок:
,/O4
D8)
здесь a — радиус внешней окружности, 6 = ath-^—радиус вну-
тренней окружности основания штампа.
При aQ = 0 Р==--. , как и должно быть в случае круглого
штампа.
Развитая методика позволяет дать и более общее решение
контактной задачи для кольцевого штампа с плоским основа-
нием, когда осевая симметрия отсутствует. Нетрудно видеть,
что при этом соответствующие парные интегральные уравнения
типа D1) и D2) должны быть составлены для разложений по
функциям P-tfotx (ch а), где
а
th-s-
"«-ЙЕТТ" <49)

а величина 8 в формуле D0) должна быть заменена на щ (у—
угол поворота штампа). При этом оказывается, что подобные
уравнения совпадают с парными интегральными уравнениями
для смешанной задачи о кручении полупространства, рассмот-
ренной в работе А. Н. Руховец и Я. С. Уфлянда [48], в связи
с чем мы здесь не останавливаемся на соответствующих вы-
кладках.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамян Б. Л., А. Я. Александров. Осесимметричвые
задачи теории упругости. Труды 2-го Всесоюзн. съезда по теор. и
нрикл. механике, Обзорные доклады, 3, М., 7, 1966.
2. Абрамян Б. Л., Н. X. А р у т ю н я а, А. А. Б а б л о я н.
О симметричном давлении круглого штампа на упругое полупро-
странство при наличии сцепления Прикл. матем. и механика, 30,
№ 1, 143, 1966.
.3. Александров В. М.. И. И. В о р о в и ч. Контактные задачи
теории упругости для неклассических областей. Труды IV Всесоюзн.
конфер. по прочности и пластичности, М., 1967.
4. Арутюнян Н. X., Б. Л. Абрамян. Кручеьие упругих тел.
Физматгиз, М., 1963.
5. Арутюнян Н. X., А. А. Баблоян. О контактных задачах
для полупространства с включением. Прикл. матем. и механика,
30, № 6, 1050, 1966.
=6. Б а б л о я в А. А. Решение некоторых парных интегральных уравне-
ний. Прикл. матем. и механика, 28, № 6, 1015, 1964.
7. Белова Н. А., Я. С. У ф л я н д. Задача Дирихле для тороидаль-
ного сегмента. Прикл. матем. и механика, 31, № 1, 59, 1967.
8. Бирман СЕ К задаче теории упругости для бесконечной полосы
в перемещениях. ДАН СССР, 145, № 5, 1016, 1963.
9. Бородачев Н. М. Термоупругая задача Герца. Изв. АН СССР,
ОТН, сер. мех. и маш., № 5, 83, 1964
¦10. Бородачев Н. М. Термоупругая задача для бесконечного тела
с осесимметричной трещиной. Прикл. механика, 2, № 2, 91, 1966.
11. Бородачев Н. М., Ф. Н. Бородачев а. Кручение упругого
полупространства, вызванное поворотом кольцевого штампа. Инж.
журн., МТТ, № 1, 94, 1966.
12. Бородачев Н. М., Ф. Н. Бородачей а. Вдавливание коль-
цевого штампа в упругое полупространство. Инж. журн., МТТ, № 4,
158, 1966.
13. Вайнштейв Ф. А. Об одной смешанной задаче теории упругости
для трансверсально-изотропного цилиндра. Изв. вузов, Математика,
№ 1 D4), 28. 1965.
14. Валов Г. М. Об упругой и термоупругой осесимметричной деформа-
ции бесконечного слоя. Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех и маш.. № 1,
54, 1964.
15. В а л о в Г. М. Решение смешанных задач о кручении бесконечного
упругого цилиндра методом дуальных интегральных уравнений и
дифференцированием граничных условий. Прикл. матем. и механика,
29, № 3, 532, 1965.
16. В а л о в Г. М. Смешанная задача о кручении полого бесконечного
цилиндра. Инж. журн., МТТ, № 5, 70, 1966.
17. Грилицкий Д. В. Применение интегральных уравнений к реше-
нию некоторых контактных задач теории упругости. Автореф. дисс.
на соиск. учен. степ. докт. техн. наук. Киев, 1964.

18. Гринченко В. Т., А. Ф. У л и т к о. Об одной смешанной гра-
ничной задаче теплопроводности для полупространства. Инж.-физ.
журн., 5, № 10, 67, 1963.
19. Гринченко В. Т., А. Ф. У л и т к о. Растяжение упругого
пространств, ослабленного кольцевой трещиной. Прикл. механика,
I, № 10, 61, 1965.
20. Губенко B.C. Об одном типе интегральных преобразований. Прикл.
механика, 1, № 4, 67, 1965.
21. Д з ю б а В. М. Кручение и косой изгиб многослойных луночек. Прикл.
механика, 2, № 10, 63, 1966.
22. Д о в н о р о в и ч В. И. О действии кругового в плане штампа на yupy-
гий слой, лежащий на жестком основании. Изв. АН СССР, ОТН,
сер. мех. и маш., № 2, 119, 1964.
23. Е г а н я н В. В. Общее решение задачи теории упругости для бесконеч-
ной плоскости с луночным отверстием, вдоль которого действуют
заданные усилия. Изв. АН Арм. ССР. сер. физ.-мат. наук. 17, № 4,
35, 1964. '
24. Журив а М. И., Л. Н. Кармазина. Таблицы функций Лежандра
Р 1 (х), тт. 1. 2. Изд. АН СССР. М.. 1960. 1962.
25. Шурина М. И., Л. Н. Кармазина. Таблицы и формулы для
сферических функций P^j_ ^(z). Иад. АН СССР, М., 1S62.
26. И ш к о в а А. Г., Б. Г. Коренев. Изгиб пластинок на упругом
и упруго-пластическом основании. Труды 2-го Всесоюзн. съезда
но теор. и прикл. механике. Обзорные доклады, 3, М., 157, 1966.
27. К и з ы м а Я. М. Напряженно-деформированное состояние упругого
слоя, цоднерженного осесимметричному давлению штампа. Автореф.
дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. Львов, 1964.
28. Котляр СМ. О термоупругости плосконараллельного слоя. Инж.
журн., МТТ, 4, № 2, 297, 1964.
29. К у з ь м и н Ю. Н. Упругое равновесие пространства, содержащего
периодически расположенные круглые щели. Инж. журн., МТТ,
№ 3, 140, 1966.
30. К у з ь м и н Ю. Н. Осесимметричная задача теории упругости для
неограниченного тела, имеющего две соосные щели различных радиу-
сов. Инж. журн., МТТ, № 6, 129, 1966.
31. К у з ь'м и н Ю. Н., Я. С. У ф л я н д. Осесимметричная задача
теории упругости для полупространства, ослабленного плоской круг-
лой щелью. Прикл. матем. и механика, 29, № 6, 1132, 1965.
32. Лебедев Н. Н. Специальные фувкции и их приложения. Изд. 2-е.
Физматгиз, М., 1963.
33. Л е б е д е в Н. Н., И. П. С к а л ь с к а я. Об одном разложении
произвольной функции в интеграл по сферическим функциям. Прикл.
матем. и механика, 30, № 2, 252, 1966.
34. Лебедев Н. Н., И. П. Скальская. Некоторые краевые задачи
математической физики и теории упругости для однополостного
гиперболоида вращения. Прикл. матем. и механика, 30, № 5, 889, 1966.
35. Л у т ч е н к о С. А. О вдавливании штампа в боковую поверхность
упругого основания в виде клина Прикл. механика, 2, № 12, 61,
36. М а р к у 8 о н И. А. Равновесные трещины в полосе конечной ширины.
Прикл. механика и техн. физика, № 5, 69, 1963.
37. П е т р и ш и н В. И., А. К. Приварников. Основные гранич-
ные задачи теории упругости для многослойных оснований. Прикл.
механика, 1, № 4, 58, 1965.
38. Попов Г. Я. Решение контактных задач теории упругости методом
интегральных уравнений. Автореф. дисс. на соиск. учен. стеи. докт.
физ.-мат. наук. М., 1963.
399

39. Попов Г. Я. Контактная задача для бесконечно длинного цилиндра.
Изв. АН. Арм. ССР, сер. физ.-мат. наук, 17, № 4, 51, 1964.
40. Попов Г. Я. Некоторые свойства классических многочленов и их
применение к контактным задачам. Прикл. матем. и механика, 28,
№ 3, 442, 1964.
41. Попов Г! Я., Н. А. Ростовцев. Контактные (смешанные)
задачи теории упругости. Труды 2-го Всесоюзн. съезда по теор. а
прикл. механике, Обзорные доклады,- 3, М., 235, 1966.
42. Прусов И. А. Об одном решении первой и второй основных задач
теории упругости для полосы, лежащей на упругой полуплоскости.
Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. и маш., № 4, 102, 1964.
43. Раппопорт Р. М. К вопросу о построении решения плоской и осе-
симметричной задач теории упругости для среды, составленной из ани-
зотропных слоев. Изв. Всесоюзн. научно-исслед. инст. гидротехы.,
77, 249, 1965.
44. Реморов Н. Б. Некоторые задачи о деформации бесконечного
цилиндрического сектора. Инж. журн., МТТ, 4, № 3, 577, 1964.
45. Ростовцев Н. А. К теории упругости неоднородной среды. Прикл.
матем. и механика, 28, № 4, 601, 1964.
46. Ростовцев Н. А. Некоторые контактные задачи теории упругости
и линейно-деформируемого основания. Автореф. дисс. на соиск.
учен. степ. докт. физ.-мат. наук. М., 1964.
47. Р у х о в е ц А. Н., Я. С. У ф л я н д. Электростатическое поле
пары тонких сферических оболочек. Журн. техн. физики, 35, № 9,
1532, 1965.
48. Руховец А. Н., Я. С. У ф л я в д. Об одном классе парных инте-
гральных уравнений и их приложениях в теории упругости Прикл.
матем. и механика, 30, № 2, 271, 1966.
49. Соляник-Красса К. В. Кручение конусов силами, распределен»
ными по боковой поверхности. Изв. вузов, Строит, и архит., № 11,
31, 1965.
50. С у н ч е л е е в Р. Я. Решение некоторых краевых задач для траыс-
версально-изотропной упругой среды. Изв. АН Узб. ССР, N° 3, 21, 1965.
51. С у н ч е л е е в Р. Я. Деформация неограниченного трансверсально-
изотроиного тела, ослабленного внешней круговой щелью. Инж.
журн., МТТ, № 3, 116, 1966.
52. Сунчелеев Р. Я. Упругое равновесие трансверсально-изотропного
тела, ослабленного внутренним плоским круговым разрезом. Прикл.
матем. и механика, 30, № 3, 579, 1966.
53. Т о н о я я В. С. Об одной плоской контактной задаче для четверть-
плоскости. ДАН Арм. ССР, 37, № 3, 121, 1963.
54. Т о н о я н В. С. О вдавливании двух жестких штампон в полуплос-
кость. ДАН Арм. ССР, 17, № 2, 81, 1964.
55. X л е б н и к о в Д. Г. Некоторые задачи об упругом равновесии
подкрепленных пластипок в виде полосы и полуплоскости с круговым
отверстием. Автореф. дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. паук.
Львов, 1966.
56. X р у с т а л е в А. Ф. Контактная задача термоупругости для полу-
пространства. Инж. журн., МТТ, 5, № 1, 180, 1965.
57. Цейтлин А. И. О методе парных интегральных уравнений и пар-
ных рядов и его приложениях к задачам механики. Прикл. 'матем
и механика, 30, № 2, 259, 1966.
58. Ц е й т л и н А. И. Об одном классе парных интегральных уравнений.
Дифф. уравнении, № 8, 1134, 1966.
59. Шереметьев М. П. Определение напряженного состояния тавро-
вых и двутавровых балок методами плоской задачи теории упругости.
Приложения теории функций в механике сплошной среды. Труды
Междунар. симпозиума в Тбилиси, 1963 г., т. 1, МТТ, изд. «Наука»,
М., 340, 1965.
400

60. Ш е р м а н Д. И. Метод интегральных уравнений в плоских и иро-
странственных задачах статической теории упругости. Труды Всесоюзн.
съезда по теор. и прикл. механике, М., 405, 1962.
61. В е n t Ъ е m I. P. On the stress distribution in anisotropic infinite
wedges. Quart. Appl. Math., 21, № 3, 189, 1963.
62. С о о k e J.C. Triple integral equations. Quart. Journ. Mech a AddI
Math., 16, № 2, 193, 1963. " PP
63. С о о k e J.C. The solution of triple integral equations in operational
form. Quart. Journ. Mech. a. Appl. Math., 18, № 1, 57, 1965.
64. Б n g 1 a n d A. A punch problem for a transversely isotropic layer
Proc. Cambr. Phil. Soc, 58, № 3, 539, 1962.
65. E n g 1 a n d A., A. Green. Some two-dimensional punch and crack
problems in elasticity. Proc. Cambr. Phil. Soc, 59, № 2, 489, 1963.
66. E r d e 1 у i A., I. S n e d d о n. Fractional integration and dual inte-
gral equations. Canad. Journ. Math., 14, № 5, 685, 1962.
67. E r d о g a n F. Stress distribution in a uouhomogeneous elastic plane
with cracks. Journ. Appl. Mech., Trans. ASME, E85, № 3, 232, 1963.
68. E r d о g a u F. Stress distribution in bonded dissimilar materials witb
cracks. Journ. Appl. Mech., Trans. ASME, E87, № 6, 403, 1065.
69. К e r r L. M. Stress distribution at a edge of an equilibrium crack. Journ.
Mech. Phys. Solids, 12, № 3, 149, 1964.
70. К е г r L. M. The torsion of a rigid punch in contact with an elastic layer
where the friction law is arbitrary. Journ. Appl. Mech., Trans. ASME,
E31, № 3, 430, 1964.
71. L о v e E. R. Dual integral equations. Canad. Journ. Math., 15, № 4,
631, 1963.
72. Low R. D. On a mixed boundary value problem for an infinite elastic
layer. Quart. Journ. Mech. a. Appl. Math., 17, № 4, 395,4964.
73. Low R. D. On a doubly mixed boundary value problem for an elaslic
layer. Quart. Appl. Math., 22, № 2, 153, 1964.
74. Low R. D. On the torsion of an elastic cone as a «nixed boundary value
problem. Quart. Journ. Mech. a.Appl. Math., 19, № 1, 57, 1966.
75. L о w e n g r u b M. Some dual trigonometric equations with an appli-
cation to elasticity. Int. Journ. Eng. Sci., 4, № 1, 69, 1966.
76. L о w e n g r u b M., I. S n e d d о n. The distribution of stress in the
vicinity of an external crack in an infinite elastic solid. Int. Journ.
Eng. Sci., 3, № 5, 451, 1965.
77. M a t с z у n s k i M. Elastic wedge with discontinuous boundary condi-
tions. Arch. Mech. Stos., 15, № 6, 833, 1963.
78. Matczynski M. Axisymmetric problem for a partly clamped elaslic
rod. Arch. Mech. Stos., 17, № 1, 17, 1965.
79. N о b 1 e B. The solution of Bessel function dual integral equations by
a multiplyiug-factor method Proc. Cambr. Phil. Soc, 59. № 2, 351.
1963.
80. О 1 e s i a k Z. Обзор польских работ, касающихся задач с разрывными
краевыми условиями в теории упругости. Mech. Teor. i Stos., 2, № 1,
15, 1964.
81. О 1 е s i a k Z. Annular punch on elastic semi-space. Arch. Mech. Stos.,
17, № 4, 633, 1965.
82. S h a i 1 R. Some thermoelastic stress distributions in an infinite solid
and thick plate containing penny-shaped cracks. Mathematika, 11, № 2,
102, 1964.
83. S m i t h S. F. On a flat punch indenting an elastic layer in plane strain.
Quart. Journ. Math., 15, № 59, 223, 1964.
84. S n e d d о n I. Dual integral equations with trigonometrical kernels.
Proc. Glasgow Math. Assoc, 5, № 3, 147, 1962.
85. S n e d d о n I. A relation involving Hankel transform with applications
to boundary value problems in potential theory. Journ. Math. a. Mech.,
14, № 1, 33, 1965.
401

86. S n e d d о n 1. Dual equations in elasticity. Приложения теории функ-
ций в механике сплошной среды. Труды Международн. симпозиума
в Тбилиси, 1963 г., т. I, MTT, изд. «Наука», М., 76, 1965.
87. S о е d d о n I. The relation between load and penetration in the axisym-
metric Boussinesq problem for a punch of arbitrary profile. Int. Journ.
Eng. Sci., 3, № 1, 47, 1965.
88. Sned'don I. The stress on the boundary of an elastic half-plane in wicb
body forses are acting. Proc. Glasgow Math. Assoc., 7, JVs 1, 48, 1965.
89. Srivastav R. A pair of dual integral equations involving BesseJ
funktions of the first and the second kind. Proc. Edinb. Math Soc.,
. 14, № 2, 25, 1964.
90. S r i v a s t a v R. An axisym metric mixed boundary value problem
for a half-space with a cylindrical cavity. Journ. Math. a. Mech., 13,
№ 3, 385, 1964.
91. Srivastava K. N. On some dual integral equations. Journ. Ind.
Math. Soc., N. S., 28, 155, 1964—1965.
92. S z e f e r G. О решениях некоторых систем парных интегральных
уравнений и их применении к теории упругости. Bull. Acad. Polon.
Sci., ser. sci. techn., 13, № 2, 79, 1965.
93. Tranter C. J. The opening of a pair of complanar Griffits crac under
internal pressure. Quart. Journ. Mech. a Appl. Math., 14, № 3, 283,
1961.
94. T r a n t e r C. J. A note on dual equations with trigonometric kernels.
Proc. Edinb. Math. Soc, 13, ser. II, № 3, 267, 1963.
95. W e a t m a n n R. A. Asymmetric mixed-value problems of the elastic
half-space. Journ. Appl. Mech., Trans. ASME, E32, № 2, 411. 1965.
96. Williams W. E. The solution of dual series and dual integral equa-
tions. Proc. Glasgow Math. Assoc., 6, № 3, 123, 1964.

Яков Соломонович Уфлянд
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Издание второе, дополненное
Утверждено к печати
Фивико-техническим институтом
Академии наук СССР
Редактор издательства А. Л. Иванова
Художнии В. В. Грибакин
Технический редактор М. Н. Кондратьева
Корректоры Р. Г. Гершинсная
и А. И. Кап
Сдано в набор 4/Х 1967 г. Подписано к печати 4/IV 1968 г.
РИСО АН СССР 24—12В. Формат бумаги 60X90'/,,.
Бум. л. 12б/8. Печ. л. 25'/, = 25.25 усл. печ. л. Уч.-изд. л.
27.78. Изд. Л 3550. Тип. зак. J* 1034. Допечатка тиража
2Е01ЭК8. М-11435. Бумага типографская№1. Цена 2 р.14п.
Ленинградское отделение издательства «Наука»
Ленинград, В-164, Менделеевская лин., д. 1
1-я тип. издательства «Наука»
Ленинград. Б-34. 9 линия, Д. 12