Автор: Г. М. Булдык
Теги: теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов высшая математика решение задач
ISBN: 978-985-6868-18-7
Год: 2009
Похожие
Текст
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО
ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ
Г. М. Б^лдык
Руководство к решению задач
упражнений по теории вероятностей
и математической статистике
Для практической и самостоятельной работы
студен гоп экономических специальностей
Минск
«ФУ Аинформ»
2009
УДК 519.21(075.8)
ББК 22.17я73
Б90
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор
Л.1 кСадовский;
кандидат физико-математических наук, доцент Ю.Я. Бон-
дарь.
Булдык, Г.М.
Б90 Руководство к решению задач и упражнений по теории ве-
роятностей и математической статистике : Для практической
и самостоятельной работы студентов экономических специ-
альностей. - Минск : ФУАинформ, 2009. - 228 с.
ISBN 978-985-6868-18-7.
Пособие написано в соответствии с программой курса
«Теория вероятностей и математическая статистика» для ву-
зов. Рассмотрены основные теоретические пеня гия и опреде-
ления теории вероятностей и математической статистики,
приведены примеры решения задач и сформулированы зада-
чи для самостоятельного решения.
Для студентов вузов.
УДК 519.21(075.8)
ББК 22.17я73
ISBN 978 985-6868-18-7
© Булдык Г.М., 2009
© Оформление
ООО «ФУАинформ», 2000
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ............................................4
1 . ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ................................5
1.1. Случайные события. Вероятност ь..............5
1.2. Свойства вероятностей. Условная вероятность.
Независимость событий. Теоремы сложения
и умножения вероятностей......................19
13. Формула полной вероятное! и. Формулы Байеса
(теорема гипотез).................................28
1.4. Дискретные случайные величины...............36
1.5. Законы распределения дискретных случайных величин.42
1.6. Непрерывные случайны величины...............54
1.7. Законы распределения непрерывной случайной величины .60
1.8. Предельные теоремы и закон больших чисел....71
1.9. Двумерные случайные величины................87
1.10. Случайные функции. Цепи Маркова............105
2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА..........................113
2.1 Выборочная статистика..........................113
2.2 Статистическое оценивание......................126
23. Статистические решения.........................145
2.3.1 Статистическая гипотеза. Проверка гипотезы
о среднем значении при известной
и неизвестной дисперсиях.....................145
23.2 Проверка гипотез о дисперсиях........................155
2 33. Проверка гипотезы о равенстве значений двух
средних из нормально распределенных
генеральных совокупностей...........................160
2.4 Критерии согласия..............................165
3. ПРИЛОЖЕНИЕ........................................192
Таблица П1.......................................193
Таблица П2.......................................195
Таблица ПЗ.......................................197
Таблица П4.......................................198
Таблица П5.......................................199
Таблица 116......................................201
Таблица П7..................................... 202
Таблица П8.......................................208
ЛИТЕРАТУРА ..........................................209
ОТВЕТЫ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ .......................... 210
з
ПРЕДИСЛОВИЕ
Студент, начиная знакомиться с теорией вероятностей, сразу
сталкивается со многими новыми понятиями, необходимыми для
описания изучаемых ситуаций. Эти понятия, а также термины и ве-
личины, используемые при их определении, должны быть усвоены,
прежде всего. Только в этом случае станет доступной для понима-
ния вся теория вероятностей и математическая статистика, ее зна-
чение в экономических приложениях. Единственная причина, по
которой студент прекращает изучение предмета, не понимает, о
чем идет речь, или просто не в состоянии учиться - это пропущен-
ное слово, значение которою не ясно. Поэтому никогда нс пропус-
кайте не осмысленных понятий. Простоя истина о том, что нельзя
пропускать непонятные слова, является наиболее важной во всем
обучении, в том числе и в самостоятельном.
Во многих доступных для студентов учебных изданиях по
теории вероятностей и математической статистики основные поня-
тия, либо даются без строго математического обоснования, либо
теряются в обилии формул и символом. Так, например, у студентов
понятие вероятности часто ассоциируется только с классическим
определением, хотя известно, что современные определения веро-
ятностей основаны на аксиоматическом подходе Колмогорова.
Цель настоящего издания заключается в закреплении основ-
ных понятий и определений, используемых в экономических при-
ложениях теории вероятностей и математической статистики при
проведении практических и самостоятельных занятий.
4
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предметом теории вероятностей является анализ явлений,
наблюдения над которыми нс всегда приводят к одним и тем же
исходам и в то же время обладающими некоторой статистической
регулярностью, которая проявляется в статистической устойчиво-
сти частот исходов явлений.
Статистическая устойчивость частот делает весьма правдо-
подобной гипотезу о возможности количественной оценки случай-
ности того или иного события, появляющегося в результате экспе-
римента. Как правило, эксперимент предпринимается для изучения
некоторых свойств интересующих нас экономического процесса
или явления. При этом производится построение математической
модели эксперимента, которое включает описание:
- возможных исходов (элементарных событий);
- класса рассматриваемых событий;
- вероятностей наступления этих событий,
Современная теория вероятностей основана на аксиоматиче-
ском подходе Колмогорова, позволяющем охватить все классиче-
ские разделы теории вероятностей и дать основу для развития ее
новых разделов, вызванных запросами практики.
Одной из важных сфер приложения теории вероятностей яв-
ляется экономика, так как при исследовании и прогнозировании
экономических показателей используется эконометрика, опираю-
щаяся на теорию вероятностей. Практическое значение вероятно-
стных методов состоит в том, что они позволяют по известным ха-
рактеристикам простых случайных явлений прогнозировать харак-
теристики более сложных явлений.
1.1. Случайные события. Вероятность
Пространством элементарных событии называют множе-
ство £i взаимоисключающих исходов эксперимента такое, что каж-
дый интересующий результат эксперимента может быть однознач-
но описан с помощью элементов этого множества. Элементы £2 на-
зываются элементарными событиями и обозначаются аг. Q-.
Событием называют любое подмножество А с 42, элементов
из £1 Событие А произойдет, если произойдет какое-либо из элемен-
тарных событий сое А. Множество 0, нс содержащее ни одного
элементарного события, называется невозможным событием. Мпо-
5
жество Q, содержащее все элементарные события, называется дос-
товерным событием, т.с. эго событие, которое всегда происходит.
Суммой двух событий А и В называется событие
состоящее из элементарных событий, принадлежа-
щих хотя бы одному из событий А или В.
Произведением двух событий А и В называется событие
АВ {ЛГ\В), состоящих из элементарных событий, принадлежащих
одновременно А и R.
Противоположным собы гием событию А называют событие
Л, состоящее из элементарных собыгий, не принадлежащих А.
Разностью двух событий А и В называют событие А\ В, со-
стоящее из элементарных событий, принадлежащих событию Л, но
не принадлежащих событию В.
События А и В называются несовместными, если у них нет
общих элементарных событий.
Пусть F поле собы гий для данного эксперимента. Вероят-
ностью Р(/4) называется числовая неотрицательная функция, опре-
деленная на всех А е F и удовлетворяющая трем аксиомам вероят-
ностей (аксиомам Колмогорова):
1. Вероятность любого события заключается в пределах от 0 до
1: 0 < Р(А) < 1.
2. Вероятность достоверного события равна единице: Р{ £2)=1.
3. Вероятность объединения любой конечной или бесконечной
Поспелова гельности попарно несовместимых собы гий
A{7A2^^-Ah-^ (AiAj= 0 при i ^j) равна сумме вероятностей
этих событий:
^£4 ' = 5>(4)-
\ к J к
В частности для двух собыгий Ли/?: Р(/1 +В)-Р(А)+Р('В)
Существуют 4 способа задания числовой неотрицательном
функции Р(Л):
1, Классический способ задания вероятности.
При данном способе пространство элементарных событий
является конечным, и все элементарные события равновероятны.
Тогда вероятность события определяется равенством:
. ал
п
6
где т - число элементарных событий, благоприятствующих появ-
лению события А\ п - общее число элементарных событий про-
странства £2.
2. Геометрический способ задания вероятности.
При данном способе пространство элементарных событ ий
является бесконечным, по все элементарные события, входящие в
это пространство, являют ся равновозможными.
Если отождествлять пространство элементарных событий с
некоторой замкнутой областью прост ранства из то вероят-
ность события А будет вычисляться по формуле:
с»-2)
где gc:G и p(g) Дб) меры областей:
- длина (если рассматривается пространство /?1);
- площадь (если рассматривается пространство Я2);
- объем (если рассматривается пространство /?з).
3. Дискретный способ задания вероят ности.
При данном способе пространство элементарных событий
является бесконечным счетным множеством. Числовая неотрица-
тельная функция Р определяется таким образом, чтобы вероятность
каждого элементарного события была равна некоторому числу
pk, 0 < рк < I, р> = ). Тогда вероятность любого события А вы-
числяется по формуле:
Р(Л)=£Р(Ч)=£рЛ (1.3)
4, Статистический способ задания вероятности.
При данном способе рассматривается случайный экспери-
мент, для которого построить пространство элемент арных событий
невозможно. Тогда эксперимент проводится Л7 раз при неизменном
комплексе условий протекания и подсчитывается число экспери-
ментов Л/А, в которых появилось некоторое событие А. Вероятность
события оценивается относительной частотой (частостью) появле-
ния события А, т.с. вычисляется по формуле:
Р(А)^^. (14)
Л”
Согласно закону больших чисел, относительная частота (час-
тость) появления события сходится по вероятности к вероятности
появления события в каждом эксперименте:
7
МА Р
—-------->л
На практике, при вычислении вероятностей в классической
схеме, при подсчете числа элементарных событий, принадлежащих
пространству Q или некоторому событию, часто приходиться
пользоваться формулами комбинаторики (соединений). Каждая из
комбинаторных формул определяе! общее число элементарных со-
бытий в некотором эксперименте, состоящем в выборе наудачу т
элементов из п различны к элементов исходног о множества. Суще-
ствуют две принципиально различные схемы выбора:
а) без возращения элементов (это значит, что отбираются либо
сразу все т элементов, либо последовательно по одному эле-
менту, причем каждый отобранный элемент исключается из
исходного множества);
б) с возвращением (выбор осуществляется поэлементно с обяза-
тельным возвращением отобранного элемента на каждом ша-
ге и тщательном перемешиванием исходного множества пе-
ред следующим выбором).
В результате получаются различные постановки эксперимен-
та по выбору наудачу т элементов из обшего числа п различных
элементов исходного множества.
1. Перестановки. Возьмем т различных элементов
будем переставлять эти элементы всевозможными спо-
собами, оставляя неизменным их число и меняя лишь их порядок.
Каждая из полученных таким образом комбинаций (в том числе и
первоначальная) носит название перестановки* Общее число пере-
становок из т элементов обозначается Рт и равно т\\
Рт — 1 2!)’#? = т\
т у /
Символ ml читается «эм факториал». Следует отметить, что 0!=1.
2. Размещения. Будем составлять из п различных элемен гов
множества по т элементов в каждом, отличающихся либо набором
элементов, либо порядком их следования Полученные при этом
комбинации элемен гов называются размещениями из п элементов
по т и обозначаются А™. Их общее число равно:
А™ = -1 )(n -2)...(w-(m — 1)).
Замечание. Перестановки можно считать частным случаем разме-
щений (именно: размещениями из т элементов по /л)-
3. Сочетания. Из п различных элементов будем составлять
множества по т элементов, имеющих различный состав. Получен-
8
ные при этом комбинации элементов называются сочетаниями из
п элементов по т. Общее число различных между собой сочетаний
обозначается Ст и вычисляется по следующим форму-
лам: С -------------, или С, ------------ь
Выше предполагалось, что все п элементов различны. Если
же некоторые элементы повторяются, то в этом случае число мно
жеста с повторениями вычисляются по другим формулам. Так, если
среди п элементов есть П\ элементов одного вида, п2 элементов дру-
гого вида, Пз элементов третьего вида и т.д., то число перестановок
с повторениями определяется формулой
и!
Ря(пр«2,Пз,...,яд) = —;—;—;------
г?! ! п2 !• п3 !• „.пк!
где п + п2 + +... - пк - и.
Число размещений по т элементов с повторениями из п эле-
ментов равно т.е.
I =« •
'С повт
Число сочетаний с повторениями из п элементов по т эле-
ментов равно числу сочетаний без повторений из ич т-1 элементов
по т элементов, т.е.
с повт.
Задачи.
1.1. Плановое задание рабочие строительной фирмы могут
выполнить в срок или увеличив производительность (событие ш1),
или увеличив продолжительность рабочего дня (событие о ), или
применив новую техноло! ию (событие ах). Любые действия рабо-
чих фирмы приводят к выполнению планового задания (событие
Л). Требуется описать пространство элементарных событий £1 и за-
писать Л в алгебре событий co\ci)\аг и через элементарные собы-
тия.
Решение. Данный эксперимент состоит в выполнении плано-
вого задания рабочими строительной фирмы, Все интересующие
нас в данном эксперименте элементарные события состоят в реги-
страции выполнено или не выполнено плановое задание в срок. 11о-
этому пространство элементарных событий состоит из следующих
элементарных событий.
9
co}=co со2 со' - плановое задание не выполнено в срок;
1 2 3
со2 = со со со плановое задание выполнено в срок увеличением
производительности труда рабочих;
соу=со'со2со - плановое задание выполнено в срок увеличением
продолжительное! и рабочего дня;
со*=со со со? - плановое задание выполнено в срок применением
новой технологии;
I 2 3
со5 - со со со — плановое задание выполнено в срок увеличением
производи гельности труда рабочих и увеличением
продолжительности рабочего дня;
7 2 3
со6 = со со со - плановое задание выполнено в срок увеличением
продолжительности рабочего дня и применением
новой технологии;
I 2 3
со-. = со со со - плановое задание выполнено в срок увеличением
производительности труда рабочих и применением
повой технологии,
- сохсо2со3 - плановое задание выполнено в срок увеличением
производительности труда рабочих, продолжи-
тельности рабочего дня и применением новой тех-
нологии.
Итак, Q = ~ 1,8}.
Гак как любые действия рабочих приводят к выполнению пла-
нового задания, то А = сох + со1 + со3 = со2 + + со*+ + + со*.
1.2- Саша и Маша договорились о встрече в определенном
месте между 17 и 18 часами. Каждый приходит в случайный момент
времени указанного промежутка и ждет другою до истечения часа,
но не более 10 минут, после чего уходит. Построить пространст во
элементарных событий, взяв в качестве элементарного события пару
чисел (xj>), где % время прихода Саши, а у - время прихода Маши
(время исчисляется в минутах, начиная с 17 часов). Выразить событие
А - встреча состоялась, через элементарные события.
1.3. Из ящика, содержащего 5 деталей, из которых 2 брако-
ванные, наудачу последовательно и без возвращения извлекается
по одной детали до появления бракованной, после чего экспери-
мент прекращается. Построить пространство элементарных собы-
тий данного эксперимента.
10
1.4. Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого
(событие Л), либо второго (событие В), либо третьего (событие С)
сорта. Что представляют собой следующие события:
Л + Л Л -г С, АВ. АВ + С?
Решение.
• А—В — это событие, которое состоит при наступлении хотя
бы одного из событий А или В Следовательно, А+В в на-
шем случае - деталь первого или второго сорта.
• так как А +С — деталь первого или третьего сорта, то проти-
воположное этому событие А + С - деталь второго сорта
• АВ - невозможное событие, поскольку деталь одновре-
менно не может быть и первого и второго сорта
• АВ+С сумма невозможного события и события С равно С ,
т.е. АВ+С - деталь третьего сорта.
1.5. В урне 5 красных, 2 синих и 3 белых шара. Все они про-
нумерованы цифрами 1,2,...,10. Из урны берется наудачу 1 шар.
Событие - шар с четным номером - обозначим через А с номером,
кратным 3, через В, шар красного цвета - через С, синего - через
D и, наконец, белого - через Е. Что представляют собой следующие
собьп ня: А +В; С+Е; AD; А\В; BE; AD-El
1.6. Очередной зритель входит в фойе театра, где уже собра-
лось 2п человек и начинает отыскивать знакомых среди собрав-
шихся. Пусть событие А состоит в том, что среди собравшихся
найдется г человек, знакомых вошедшему зрителю, а событие В —
среди собравшихся найдется п человек, незнакомых зрителю. Пока-
зать, что А+В и А \ В + В - достоверные собьп ия.
1.7. Собрание, па котором присутствует 25 человек, в том
числе 5 женщин, выбирает делегацию их трех человек. Считая, что
каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может
быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две
женщины и один мужчина.
Решение. Рассмотренный в задаче эксперимент состоит в вы-
боре 3 человек из 25 присутствующих на собрании.
Выбор производится без возвращения и без упорядочения
грех элемен тов из множества, состоящего из 25 элементов. Пусть
<4 - выбор трех человек из 25. Тогда число элементарных событий
пространства £1 определяется числом сочетаний из 25 по 3:
п -
3!22!
- - 3450.
Событие А - наудачу составленная делегация из трех человек
состоит из 2 женщин и одного мужчины. Число элементарных со-
бытий события А равно числу способов выбрать 2 женщин из 5 и
одного мужчину из 20:
т = С52 • С' = — • 20 = 200.
1-2
Воспользовавшись формулой (1.1.), определим вероятность
того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина:
200
3450
4
69
*0,06.
Ответ; Р(Л)Ч).О6.
1,8. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того,
что сумма очков на выпавших гранях равна 7.
1.9. В коробке 6 одинаковых пронумерованных кубиков. Из
коробки наудачу по одному извлекают все кубики без возвращения.
Найти вероятность того, что номера извлекаемых кубиков появятся
в возрас гающем порядке.
1.10. В коробке среди 40 лампочек 5 бракованных. Студент
покупает пять лампочек. Найти вероятность того, что среди 5 куп-
ленных лампочек 2 бракованные.
1Л1.В магазин поступило 30 новых цветных телевизоров,
среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается
один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет
скрытых дефектов?
1Л2. Ревизору нужно за определенный период времени про-
верять 100 предприятий Известно, что одно из предприятий со-
ставляет неправильные бухгалтерские отчетности, имеет скрытые
доходы. За первый квартал ревизор осуществил проверку на 10
предприятиях. Найти вероятность того, что среди 10 проверенных
предприятий окажется предприятие, которое ведет неправильные
бухгалтерские отчетности, имеет скрытые доходы.
1ЛЗ-Из 15 строительных рабочих 10 - штукатуры, а 5 ма-
ляры. Наудачу отбирается бригада из 5 рабочих. Какова вероят-
ность тог о, что среди них будет 3 маляра и 2 штукатура?
1Л4вФирма заключила 30 сделок по продаже товара. У шести
из покупателей есть нарушения в pei истрапиопных документах.
Представитель налоговой инспекции извлекает наудачу 5 догово-
ров о продаже товара. Найти вероятность того, что регистрацион-
ные документы у покупателей окажутся правильно оформленными
12
1.15. 11а столе в беспорядке находятся 15 ведомостей, среди
которых 10 непроверенных. Бухгалтер наудачу извлекает 3 ведомо-
сти. Найти вероятность того, что извлеченные документы окажутся
непроверенными.
1.16 В трех из 15 составленных кассиром счетов имеются
ошибки. Ревизор решил проверить два счета. Какова вероятность
того, что : а) ни в одном из проверяемых счетов нс окажется ошиб-
ки; б) в каждом из двух проверяемых счетов будут обнаружены
ошибки?
1.17ОВ денежно-вещевой латерее выпущено 10000 билетов В
лотерее разыгрывается 120 денежных и 80 вещевых выигрышен.
Определить вероятность того, что на приобретенный билет выпадет
либо денежный либо вещевой выигрыш.
1.18. Среди 600 пошитых на фабрике женских пальто 16 штук
оказались с дефектами. Определить вероятность того, что взятое
наудачу для проверки новое пошитое пальто окажется с дефектом.
1.19. В условиях подписки на Государственный трехпроцент-
ный выигрышный заем 1966 года сказано, что заем выпускается в
облигациях достоинством по 20 руб на 20 лет. Ежегодно произво-
дится 8 тиражей. На каждый разряд займа в 100 млн .руб. ежегодно
падают выигрыши на следующее количество облигаций:
Размер выигрыша на 20-ти рублевую облигацию (руб.), включая нарица- тельную стоимость облигации Количество выигры- шей в одном тираже
5000 2
2500 5
1000 20
500 109
100 750
40 8514
Всего 9400
Определить вероятность выигрыша на одну облигацию: а) в
первом тираже 1966 года; б) в последнем тираже 1986 года.
1.20. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3
цифры. Помня лишь то, что эта цифры различны, абонент набрал
их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
1.21. Двадцать торговых фирм, зарегистрированных в налого-
вой инспекции, среди которых 4 имеют товарооборот свыше 10
миллионов денежных единиц, для проверки налоговым инспекто-
ром случайно разбиваются на 4 пронумерованные i руппы по 5
фирм. Найти вероятность событий:
13
— Л Дв первую и вторую группу не попадет ни одна фирма,
имеющая товарооборот свыше 10 млн.ден.ед.};
- В= {в каждую iруину попадет одна из фирм, имеющая това-
рооборот свыше 10 млн.ден.ед.}.
1.22. Каждая из 8 фирм проверяется одним налоговым ин-
спектором. В штатном составе налоговой инспекции имеется 6 ин-
спекторов. Назначение инспектора на проверку данной фирмы
производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть
фирм будут проверены налоговым инспектором.
1.23. Буквенный замок содержит на оси пять дисков, каждый
из которых разделен на шесть секторов с различными нанесенными
на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каж-
дый диск занимает одно определенное положение относительно
корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если уста-
новлена произвольная комбинация букв.
1.24. В подъезде лома установлен замок с кодом. Дверь авто-
матически открывается, если в определенной последовательности
набраны три цифры из имеющихся десяти. Некто вошел в подъезд
и, не зная кода, стал наудачу подбирать различные комбинации из
трех цифр. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова веро-
ятность события, состоящего в том, что вошедшему удастся от-
крыть дверь за один час?
1.25. Пять человек вошли в лифт на первом этаже девяти-
этажного дома. Любой пассажир может с равной вероятностью
выйти на 2-м, 3-м,..., 9-м этажах. Найти вероятность событий: а} ни
один из пассажиров не выйдет на втором, третьем и четвертом эта-
жах; б) трое пассажиров выйдут на девятом этаже: в) все пассажи-
ры выйду г на одном этаже.
1.26. Два парохода должны подойти к одному и тому же прича-
лу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в
течение суток. Определить вероятность того, что одному из парохо-
дов придется ожидать освобождения причала, если время разгрузки
первого парохода - один час. а второго - два часа.
Решение. Пусть х- время прихода к причалу первого парохо-
да. а у - время прихода к причалу второ1 о парохода. Так как время
прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение
суток, то 0<х<24; 0<j/<24. Тогда множество элементарных
событий Q определяется парой чисел (хгу). т.е
Q-{(x,j)|0<x<24, 0<у<24).
Геометрически - это множество точек квадрата со стороной 24.
14
Пусть событие А состоит в том, что одному из пароходов
придется ждать освобождения причала. Предположим, что первым
к причалу подойдет первый пароход. Тогда второй будет ждать ос-
вобождения причала, если разница между временем прихода второ-
го парохода и первого будет меньше или равна 1 час, т.е. у ~х< 1.
Если же первым к причалу подойдет второй пароход, то первый
будет ждать освобождения причала, если разность между временем
прихода первого и второго будет меньше или равна 2 часа, т.е.
г - л<2. Следовательно, множество элемнтарных событий, соот-
ветствующих событию А будет определяться неравенствами:
>’-х<1; х -у <2, т.е.
={Uy)l>-
Геометрически - это множество точек заштрихованной полоски
(см рис. 1.1).
По формуле (1.2) геометрической вероятности находим вероят-
ность события А:
Рис. 1.1
Ответ: Р(И) = 0,121.
1.27. В точке С. положение которой на телефонной линии АВ
длиной 10 км равновозможно, произошел разрыв. Определить ве-
роятность того, что точка С удалена от точки А, где находится ре-
монтная станция, на расстоянии не менее 1 км
15
1.28. Определить вероятность события, состоящего в том, что
студенту придется ждать поезда метро не более 10 секунд при ус-
ловии, что интервал движения поездов составляет 3 минуты.
1.29. Два поставщика должны привести товар в магазин, у ко-
торого для разгрузки товара имеется одна рампа. Время поставки
товара поставщиками независимо и равновозможно в течение су-
ток. Определить вероятность того, что одному из поставщиков
придется ждать освобождения рампы, если время раирузки перво-
го поставщика один час, а второго - два часа.
1.30. В случайный момент времени к перекрестку, на котором
установлен автоматический светофор, подъезжает автомобиль. В све-
тофоре одну минуту горит зеленый свет и полминуты - красный, затем
снова одну минуту - зеленый и полминуты - красный и т.д. Какова ве
роятность того, что автомобиль проедет перекресток без остановки,
1.31. К остановке через каждые 6 минут подходит автобус и
через каждые 7 минут троллейбус. Интервал времени между мо-
ментами прихода автобуса и ближайшею следующего троллейбуса
равновозможен в пределах от 0 до 6 минут. Определить вероят-
ность того, что: а) первым подошедшим транспортом окажется ав-
тобус; б) авт обус или троллейбус подойдет через 3 минуты.
132. Шарик брошен наудачу внутрь круга радиуса /?. Вероят-
ность попадания шарика (точки касания плоскости круга) в любую об-
ласть, расположенную внугри круга, пропорциональна площади этой
области. Найти вероятность того, что точка прикосновения шарика к
плоскости Kpyi а находится от центра на расстоянии, меньше г (г < К).
133. Случайная точка х равномерно распределена в правиль-
ном треугольнике с вершинами (тдО)Д-я,О),(о,я\/з). Найти веро-
ятност ь того, что квадрат с цен гром х и сторонами длины Ь, парал-
лельными осям координат, целиком содержится в этом треугольнике.
134. Наудачу взять два положительных числа х и у, каждое из
которых не превышает 1 Найти вероятность того, что сумма х+у не
превышает 1, а произведение ху не меньше 0,09.
135. Быстро вращающийся диск разделен на четное число сек-
торов, попеременно окрашенных в красный и синий цвета. Но диску
произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в
один из красных секторов. Предполагается, что вероятность попада-
ния пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.
136. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре.
Найти вероятность того, ч го точка попадет в куб.
16
1.37. Для предварительного опроса населения некоторого го-
рода в связи с избирательной компанией была произведена случай-
ная выборка 1000 участников. 320 человек заявили, что они прого-
лосуют за кандидата от партии «зеленых». Определите вероятность
того, чго случайный избиратель будет голосовать за кандидата от
партии «зеленых».
Решение В эксперименте рассматриваемом задачи нет осно-
ваний считать, что все элементарные события равйовозможны и,
следовательно, нет возможности построить пространство элемен-
тарных событий.
Пусть событие А состоит в том что случайный избиратель
будет голосовать за кандидата от партии «зеленых». Для определе-
ния вероятности этого события воспользуемся формулой (1.4):
320
0,32.
1000
L38. Контролер, проверяя качество 500 деталей, изготовлен-
ных на автоматическом станке определил, что 15 из них не удовле-
творяет стандарту. Определите вероятность изготовления нестан-
дартной детали.
1.39. Среди 1000 новорожденных некоторого города оказа-
лось 495 девочек. Чему равна вероятность рождения девочки в этом
городе?
1.40- При обследовании 1000 семей некоторого города оказа-
лось, что в 120 семьях имеются три ребенка Какова ожидаемая
частость семьи, имеющей 3 ребенка, в этом городе?
1.41. Определите относительную частоту роста солдат равного
1 м 80см, если среди 1000 солдат оказалось 750 имеют рост 1м 80см.
1.42. 11а фондовую биржу на продажу поступило 30 акций, из
них 3 принадлежат нефтяной компании. Все акции случайным об-
разом распределили поровну между 3 брокерами. Определить ве-
роятность того, что каждому брокеру достанется по одной акции
нефтяной компании.
1.43. Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимо-
стью 100 монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и
подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной из каждого
из 100 ящиков. Какова вероятность того, что чеканщик не будет ра-
зоблачен.
1.44. Найти вероятность того, что в номере счета сберкнижки,
случайно в пятого кассиром в банке сумма двух первых цифр равна
сумме двух последних.
17
1.45. Вес некоторых пачек печенья оказывается заниженным.
Число таких пачек составляет 1% от общего числа пачек в большой
пар гии. Наугад из партии выбрали две пачки печенья. Какова веро-
ятност ь того, что обе пачки имеют заниженный вес?
1.46. На отрезок ОА длины L числовой оси ОХ наудачу по-
ставлена точка В(Х). Наши вероятность того, что меньший из от-
резков ОВ и В А будет иметь длину, большую, чем 1/3. Предполага-
ется, что вероятность попадания точки па отрезок пропорциональна
длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.
1.47. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми,
отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен
круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг нс пересечет
ни одной из прямых;. Предполагается, что исход попадания круга на
плоскость определяется центром упавшего круга.
1.48. Имеются 300 претендентов на бухгалтерские должности.
Вероятность того, чго претендент имеет диплом, равна 0,30, что он
располагает опытом бухгалтерской работы - 0,70 и что он имеет
диплом и опыт такой работы - 0,20. Построить диаграмму Венна,
пользуясь обозначениями: С — наличие диплома; IV - наличие опы-
та бухгалтерской работ ы.
1.49. В 10 из 1000 собранных компонентов был обнаружен
монтажный, а в пяти конструктивный брак. Имеются основания
полагать, что ни один из компонентов не имеет одновременно обо-
их браков. Постройте диаграмму Венна, показывающую различные
возможные исходы, при этом пользуйтесь следующими обозначе-
ниями: WD - наличие монтажного брака, SD - наличие конструк-
тивного брака; ND - отсутствие брака.
1.50. При обследовании потребителей была составлена выбор-
ка, включающая 100 человек. Возрасг 60 из них превышает 30 лет.
80 человек живут в городе; возраст 48 из 80 горожан превышает 30
лет. Построй ге диаграмму Венна, отражающую состав выборки При
этом пользуйтесь следующими обозначениями: >30 - лица, возраст
которых превышает 30 лет; < 30 - липа, возраст которых равен 30
годам или менее, N- горожане, В сельские жители.
1.51. Из множества претендентов на должность экономиста,
зарегистрированных на бирже труда, наудачу выбирают одного.
Пусть событие А сос тоит в том, что выбранный претендент закон-
чил вуз с красным дипломом, событие В -- выбранный претендент
закончил вуз без красного диплома, С выбранный претендент за-
кончил техникум. Описать события: а) АВС\ б) А\АВ.
18
1.52. Относительно каждой из группы событий ответьте па
следующие вопросы: образуют ли они полную группу, являются ли
несовместимыми, являются ли равнонозможными. Опыт: результат
сбыта продукции Fo = {фирма не имеет прибыли}; F = {фирма
имеет прибыль}.
1.53. Пусть эксперимент состоит в проведении голосования по
стратегии развития акционерного общества собранием из т членов.
Каждый участник может i о посовать «за» и «против» или воздержаться
от голосования. Каково число элементарных событий в £1 если голо-
сование являегся: 1) открытым, 2) тайным. Если в процессе обсужде-
ния акционеры могут менять свое мнение, то сколько элементов со-
держит £1, если голосование проводится дважды (двумя способами).
1.54. Акционер имеет п ценных бума!' (акций). Пусть событие
Др-1,и) состоит в том, что /-я приобретенная им акция обесцени-
лась. Описать события, заключающиеся в том, что: а) ни одна из акций
не обесценилась; б) хотя бы одна акция упала в цене; в) только одна
акция обесценилась; г) только две акции обесценились; д) по крайней
мере, две акции принесут прибыль; е) только две акции обесценились.
1.55. Событие А, означает, чго данная прибыль получена от
/-го источника дохода. С помощью событий А, и А описать собы-
тия: а) прибыль получена; б) прибыль получена только от одного
источника дохода; в) прибыль не получена
1.56. Пусть события Д = {трактор изготовлен на /-ом заводе},
В- = {трактор, изготовленный на /-ом заводе, дефектный). /=1,2.
Выразить при помощи событий А, и В, и им противоположных сле-
дующие события: а) получен доброкачественный трактор с первого
завода; б) получен один доброкачественный трактор.
1.2. Свойства вероятностей. Условная вероятность.
Независимость событий.
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Пусть для некоторого случайного эксперимента построено
вероятностное пространство (£2,/\Р).
Случайным событием А называется любое подмножество
пространства элементарных событий £1. Событие А - £1\А называ-
ется противоположным событию А: событие А означает, что со-
бытие А не произошло. События А и В называются несовместимы-
ми, если их совместное появление (произведение) — невозможное
19
событие: АВ=& События Ль/Ь,—»4л образуют полную группу собы-
тий, если они попарно несовместны и их объединение является
достоверным событием:
ДА; = 0, при |^]д. - Q.
1^1
Числовая неотрицательная функция Р, определенная на F,
удовлетворяет следующим свойствам:
1. Если события образуют полную группу событий,
то вероятность объединения этих событий равна единице:
( т
т
2. Вероятность противоположного события: Р( А )~ 1 Р(Я).
3. Если событие А влечет за собой событие В. то вероятность со-
бытия А не превосходит вероятности события В. т.е. Р(А)<Р(В).
11усть А и В - наблюдаемые события в эксперименте, причем
Р(Л)>0 ;Р(В)>0). Условной вероятностью P(5|J) (Р(Л Я)) осущест-
вления события В (Я) при условии, что событие А (В) произошло в
Р(В)>0. (2.1)
результате данного эксперимента, называется величина, опреде-
ляемая равенством:
Р(В\А) = ^^, Р(А)>0 или Р(Л|Р)=Р(Л/?\
V ’ Р(А) V ’ Р(В)
Из этих формул следует, что
Р(АВ)=Р(А)Р(В\А) или Р(АВ)=Р(В)Р(А |Я). (2.2)
Теорема сложения:
Пусть Л/Лг»—- совместные события. Тогда вероятность
их объединения вычисляется по формуле:
С т \ f т Л
р VAi 1=£р(4)-ЕЛ4Л>+Х/’(4’яЛ)--Н-1Г,р г 4 I. (2.3)
У -’-I fj tj,k
Для двух событий эта формула имеет вид:
Р(А 4 В) = Р(Л) 4 Р(В) - Р(АВ).
(24)
Событие А называется независимым от события В, удовле-
творяющего условию Р(Б)>0, если выполняется равенство:
Р(Л|Р)=Р(Л).
События А и В называются независимыми^ если:
Р(ЯЯ)=Р(Я)Р(Р). (2.5)
События А/^А29^.9А„ называются независимыми в совокупно-
сти, если для любого набора из т событий (n:=2,3.п) выполняет-
ся равенство:
20
P(AkAk2...AkM)-P(Ak,)P(AkJ...P(AkJ, к„е{1.2..,п}. (2.6)
Теорема умножения :
Вероятность произведения событий AhA?,.*.,Am равна произ-
ведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого
следующего по порядку события вычисляется в предположении,
что все предыдущие имели место:
т-1
= р(4)р(л2|л,)рр}|4^).../’41^4 . (2.7)
1=1
Для независимых событий в совокупности формула (2.7)
принимает вид:
Р Г|А. =ПР(А )'
(2.8)
i-1
Заметим, что при использовании свойств и теорем теории ве-
роятностей пространство элементарных событий строить не обяза-
тельно.
Задачи.
2.1. Вероятность заключить контракт с некоторой фирмой
равна 0,5, а вероятность заключить контракт на сумму 1 млн.ден.ед.
равна 0,2. Найти вероятность того, что при заключении контракта
его сумма 1 млн.ден.ед.
Решение: Для описания эксперимент, рассматриваемого в
задаче введем следующие события: Л={заключен контракт с неко-
торой фирмой}, Я={сумма контракта равна 1 млн.ден ед.}. Событие
ЛЯ={заключен контракт на сумму 1 млн.ден.ед.}. Событие
В\А {сумма контракта при условии, что он заключен, равна
1млн.ден.ед.}. Вероятность событий А и АВ Р(Л)=0,5; Р(ЧВ)=0,2.
Тогда по формуле (2.1) вероятность искомого собы гия равна:
Р(Л) 0,5 5
Ответ: Вероятность того, что сумма контракта при его за-
ключении 1 млн.ден.ед. равна 0,4.
2.2. В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и
девочки - независимые и равновероятные события, вычислить ве-
роятность того, что оба ребенка девочки, если известно, ч го в се-
мье есть девочка.
2.3. Пусть события А и В зависимы. Следует из этого, что
они несовместимы? Независимы9
2.4. Пусть события А и В несовместимы Будут ли они зави-
симыми9 Независимыми?
21
2.5. Из 100 претендентов на должность менеджера внешне-
торговой фирмы 50 человек знают английский язык, 40 - француз-
ский и 35 - немецкий. Английский и французский языки знают 20
претендентов, английский и немецкий — 8, французский и немец-
кий - 10. Все три языка знают 5 претендентов. Один из претенден-
тов зашел на собеседование. Рассмотрим события: А “{вошедший
знает английский язык}; В~{вошедший знает французский язык};
С~ {вошедший знает немецкий язык}; I) {вошедший знает англий-
ский или французский языки}; Е-{вошедший не знает ни одного
языка}. Требуется: а) указать все пары независимых событий; б)
установить, являются ли события А,В.С независимыми в совокуп-
ности; в) вычислить вероятности событий D и Е.
Решение \ Так как рассматриваемый эксперимент состоит в
случайном выборе претендента, то пространство элементарных ис-
ходов Q можно записать в виде: |z - 1,100], vv, - выбор од-
ного /-го претендента. Отсюда следует, что к(Q)~100. События,
приведенные в задаче, имеют следующий состав:
Л ~{и'/1J ” U50 ; B = |vvft | Л = 1;4о|: С = |е = 1:35}, индексы у, к, е
- изменяются независимо друг от друга; +В; Е = А - В • С. Вос-
Р(О = — =—; Р( ЛВ~) = —
100 20 100
пользовавшись классическим определением вероятности, опреде-
лим вероятности событий Л, В, С, АВ, АС, ВС:
100 2 100 5
Р(ЯС) = —= —; Р(ВС)=—; Р(Л5С) = —= —
100 25 100 10 100 20
а) Для ответа на вопрос проверим равенсг ва (2.2):
1) Р(АВ)=Р(лур(ву, 1Д 4
= Следоват ельно события А
и В независимы;
2
2) P(fiQ-P(B)P(C); — -------,
10 5 20
— Следовательно собы-
10 50
гия В и С не явл потея независимыми.
3) Р(АС)-Р(А)Р(С); — = —-----; —*—- Следовательно со-
25 2 20 25 40
бытия Л и Сне являются независимыми.
б) Из приведенных вычислений следует, что для любых двух собы тий
из совокупности событий А.ВХ не выполняется равенство (2.6), то
собьп ия Л, Я и С не являются независимыми в совокупности.
22
в)
Поскольку события А и В совместны и D-A+B, то, воспользо-
вавшись формулой (2.4), получим:
P(D)=P(A) ^Р(В)Р(АВ)
12 11 17
2 + 5 5~2^5 10'
Легко показать, что А В - С - A + В + С.
шись свойством 2 и формулой (2.3) для
Тогда, воснользовав-
трех событий, будем
иметь:
Р(Е) = Р(АВС) = Р(А^В^С) = \-Р(А^В+С) = 1-(Р(А^Р(В}^Р(С}-
Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС)) = 1 -
50 + 40 + 35-20-8 + 5-10
Ч 2 _С
<2^5^20 5 25 10^20,
100
= 0,08.
2.6. В читальном зале имеется 6 учебников по теории веро-
ятностей, из которых 3 в твердом переплете. Библиотекарь наудачу
взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажут-
ся в твердом переплете.
Решение: Пусть А первый взя!ый учебник имеет твердый
переплет, В - второй учебник имеет твердый переплет. Вероят-
3 1
ность того, что первый учебник имеет переплет Р(Л) = — . Be-
6 2
роятность того, что второй учебник имеет твердый переплет, при
условии, что первый взятый учебник был в переплете, т.е. условная
вероятность собы гия В равна: Р( В | /41 = —.
Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет,
по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна
Р(ЛБ) = Р(Л)-Р(В|Л) = 3.1 = 0,2.
Ответ: Р=0,2.
2.7. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное
число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновре-
менно.
2.8. В продукции часового завода брак составляет 5% от об-
щего количества выпускаемых часов. Для контроля отобрано 20
часов. Какова вероятность того, что среди них имеются хотя бы
одни часы с браком?
23
2.9. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным
номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что
все отобранные лица окажутся мужчинами.
2.10. Бухгалтер составил два варианта годового баланса пред-
приятия. Вероятность того, что в первом варианте баланса содер-
жится ошибка 0,85, а во втором — 0,99. Найти вероятность того, что
баланс предприятия составлен с ошибкой.
2.11. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех ору-
дий соответственно равны:р} =0,8; р2 =0,85: р3 =0,9. Какова веро-
ятность хотя бы одного попадания при одном залпе из трех ору-
дий?
Решение: Введем следующие события: Я-{хотя бы одно по-
падание при одном залпе}, А = {попадание z-го орудия}, / 1,2,3,
4 {прома< ьго орудия}. События 4,А2, А3 независимы в сово-
купности, но совместны. Вероятности противоположных событий
равны:
p(4) = l-P(/f ) = 1-0,8 = 0,2; р(Т)-1-/>(И2) = 1 -0,85 = 0,15;
Р(л,) = 1-Р(А)-1-0,9 = 0,1.
Так как событие А противоположно событию, состоящему в
том, что все три орудия промахнулись, то
Р(И) = l-Pp) = l-/’(4)-P(Z) p(4) = 1-0,2 0,15 0,1 =
= 1-0,003 = 0,997.
Ответ: /2=0,997.
2 Л 2. Студент Иванов подписал поздравительные открытки
трем девушкам, запечатав их в конверты, и случайным образом
подписал адреса. Определить вероятность того, чго хотя бы одна
открытка попадет по назначению.
2.13. В коробке лежит 3 буквы разрезной азбуки: буква «М»,
две буквы «И», четыре буквы «Р». Извлекаем подряд 3 карточки из
коробки без возвращения. Определить вероятность того, что в ре-
зультате извлечения букв образуется слово «МИР».
2Л4. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти ве-
роятность того, что студент знает предложенные ему экзаменато-
ром три вопроса.
2.15. Цех производит кинескопы для телевизоров, причем
30% всех кинескопов имеют диагональ 51 см, а 70% - 72 см. Из-
вестно, что 50% всей продукции отправляется на экспорт, причем
24
из общего числа кинескопов с диагональю 72 см 40% отправляется
на экспорт. Найти вероятноегь того, что наудачу взятый кинескоп
имеет диагональ 51 см и будет отправлен на экспорт.
2.16, Студент может уехать в университет или автобусом, ин-
тервал движения которого 20 минут, или троллейбусом, интервал
движения которого 10 минут. Найти вероятность того, что студент,
подошедший к остановке, уедет в течение ближайших пяти минут.
2.17Л а распродаже к некоторому моменту времени опилось:
1 пара мужской обуви; 2 пары детской и 3 пары женской обуви.
Каждый очередной покупатель с равной вероятностью покупает
лишь одну пару обуви. Два человека из очереди последовательно
приобрели обувь. Найти вероятность того, что а) куплена разная
обувь: б) куплена детская или женская обувь.
2Л8.Вероятность того, что в течение полугода цены на това-
ры народного потребления увеличатся, равна 0,95, а вероятность
того, что за этот же промежуток времени изменится (увеличится)
минимальная заработная плата, равна 0,9. Найти вероятность появ-
ления только одного из этих событий, если они независимы.
2.19. На рынке 7 фирм продают средства производства, а 3
фирмы - предметы потребления» Покупатель наудачу заключает
сделки с тремя фирмами. Найти вероятность того, что все отобран-
ные фирмы представляют средства производства.
2.20. Определить вероятность того, что выбранное наудачу
изделие является первосортным, если известно, что 5% всей про-
дукции является бракованной, а 85% не бракованных изделий
удовлетворяет требованиям первого сорта.
2.2ЬБ ухгалгер обслуживает 5 отделов. 20% рабочего време-
ни он проводит в первом от деле, 10% - во втором. 15% - в третьем,
25% - в четвертом и, наконец, 30% - в пятом Найти вероятность
того, что в наудачу выбранный момент времени бухгалтер нахо-
дится: а) в первом или третьем отделе; б) во втором или пятом; в) в
первом или четвертом, г) в первом или втором, или третьем, д) в
четвертом или пятом.
2.22. Акционерное общество состоит из грех независимо ра-
ботающих заводов. Эти заводы работают в течение времени Т без
убытков соответственно с вероятностями 0,851, 0.751 и 0,701. Най-
ти вероятность того, что за время Т с убытками будет работать:
а) только один завод; б) хотя бы один завод.
2,23. Завод содержит 2 одинаковых параллельных цеха, дуб-
лирующих друг друга. Вероятность безотказной работы каждого
цеха равна 0,9. При выходе из строя первого цеха осуществляется
25
мгновенное переключение с вероятностью, равной 1, на второй цех.
Определить вероятность работы завода.
2.24. Завод состоит из трех цехов. Для того, чтобы завод ос-
тановился, необходимо и достаточно, чтобы остановились и пер-
вый и второй цеха или только третий цех. Цеха останавливаются
независимо друг от друга, причем вероятности остановки цехов за
определенный промежуток времени соответственно равны
Определить вероятность того, что завод не выйдет из
строя за указанный промежуток времени.
2.25. Вероятность снижения налога на корпорации в этом го-
ду оценивают в 0,5, а вероятность того, что наш основной конку-
рент не внесет изменений в важнейшее изделие - в 0,3, причем оба
эти события рассматриваются как независимые друг от друга. Оп-
ределить вероятность появления обоих исходов,
2.26. Известны следующие значения вероятности дополнитель-
ных потребностей фирмы в инженерах на предстоящие два года:
Число инженеров <100 100-199 200-299 300-399 400-499 >500
Вероятность 0.1 0,15 0,3 0 0,1 0,05
а) Какова вероятность того, что на протяжении двух предстоящих
лет фирме дополнительно требуется 400 и более инженеров.
б) Какова вероятность того, что фирме потребуется по меньшей
мерс 200, но не более 399 инженеров?
2.27. На протяжении некоторого периода цены двух третей
котирующихся на бирже акций повышались или оставались неиз-
мененными, а цены одной трети акций падали. Предположим, что
проводится исследование цен трех наугад выбранных акций.
а) Обозначая повышение цены акции или ее неизменность через
Л, а падение цены через 5, постройте древовидную диаграмму
вероятностей повышения или падения цен для выборки из трех
акций (диаграмма должна быть трехступенчатой).
б) Пользуясь этой диаграммой, определите вероятность падения
цен всех трех акций.
в) Какова вероятность падения цепы, по крайней мере, одной акции.
(Только одна ветвь диаграммы не удовлетворяет этому условию;
поэтому для получения ответа из 1,0 можно вычеегь вероятность
трех последовательных исходов, представленных на этой ветви)
2.28. Вероятное] ь увеличения потребительского спроса на из-
делия нашей фирмы в будущем году оценивают r 0,7. Если эта
оценка оправдается, то с вероятностью с 0.8 возрастет объем про-
26
даж фирмы. Если же она не оправдается, то вероятность расшире-
ния продаж составит 0,5.
а) Какова вероятность роста потребительского спроса и объема
продаж?
б) Какова вероятность ситуации, при которой нет одновременного
увеличения, как потребительского спроса, так и объема продаж.
2.29.3а некоторый промежуток времени торговая фирма мо-
жет быт ь ликвидирована с вероятностью 0,25, работать с прибылью
с вероятностью 0,25 и разделиться на две фирмы по группам това-
ров с вероятностью 0,5. П следующий такой же промежуток време-
ни с каждой торговой фирмой независимо от ее регисфации про-
исходит то же самое. Сколько фирм и с какими вероятностями мо-
гут работать к концу второго промежутка времени?
2.30. Пусть событие А в каждом испытании появляется с ве-
роятностью р и производится л испытаний. Как вычислить вероят-
ное! ь того, что событие А появится хотя бы один раз в ч испытани-
ях (ответ обосновать).
Решение' Искомая вероятность - 1 -(1 - р«Хотя бы
один раз» - это значит, ч го событие не произойдет ни разу (1-рУ*
Тогда искомая вероятность - это вероятность противоположного
события.
2.31.В продукции завода брак составзяет 3% от общего ко-
личества выпускаемых деталей. Дтя контроля отобрано 10 деталей.
Определить вероятность того, что среди отобранных деталей име-
ется хотя бы одна бракованная.
2.32. На ярмарке п предпринимателей продают одну и гу же
продукцию. Вероя гность продать всю продукцию любы м предпри-
нимагелем равна 0,8. Найти вероятность того, чго хотя бы один из
пих продаст всю продукцию.
2.33, На бирже два брокера соревнуются, кто на большую
сумму заключит сделок. Причем для этого необходимо первому за-
ключить т сделок, а второму - п сделок (т>п) Вероятность заклю-
чи! ь следующую сделку для первого брокера равна р. а для второго
Я~ 1-р. Определить вероятность победить в этом соревновании пер
вым брокером.
27
1.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
(теорема гипотез)
Пусть случайный эксперимент можно описать событиями
Н которые являются попарно несовместными
Н n Нt - 0, i У- / и их объединение достоверное событие
л;
Такие события Ht называют гипотезами. Предполагает-
ся, что событие А может произойти с одной из гипотез Н,.
Вероятность любого события Я, которое может произойти с
одной из гипотез Н1Г будет равна сумме произведений вероятностей
гипотез на условную вероятность события Ау т.е. вычисляется по
формуле:
т
P(A) = ^P(Ht)P(A\H,), (3.1)
которая называется формулой полной вероятности.
Безусловные вероятности Р(ЯГ), /-l.w, рассматриваются
как априорные (доопытные) вероятности гипотез.
Предположим, что эксперимент произведен и в результате
произошло событие А. Как изменится при этом апостериорная (по-
ел еопытная) вероятность г ипотез Hk?
Условные вероят ности гипотез Н\уН^...уНт при условии, что
событие А имело место, вычисляются по фор*мулам Байеса:
P(Hk I Л) = , к = Цп. (3.2)
£лЯ,)Р(Л1/7;)
1=1
Задачи
3.1. В некоторую торговую точку поступает определенною
вида товар от двух производителей. Известно . что первый произ-
водитель поставляет 40% этого товара, а второй - 60%. Опыт пока-
зывает, что, как ппавило, 2% изделий первою производителя со-
держат брак, а для второго производителя брак составляет 3%. Оп-
ределить вероятность того, что случайно отобранное изделие со-
держит брак.
Решение. Из условия задачи следует, что рассматриваемое
событие А={случайно отобранное изделие содержит брак) может
произойти с одной из гипотез Я,: / =1,2. //—{изделие поставлено z-
ым производителем .
28
Безусловные априорные вероятности этих гипотез легко вы-
числяются по классической формуле (1 1):
Р(Н.) = —= 0,4: Р(Н,) = — = 0,6.
' 17 100 ' ' юо
Условные вероятности событий А\Н{ ={бракованное изделие
поставлено i-ым производителем}, /=1,2, так же определяется по
формул е( 1.1):
Р(Л|Н.) = —= 0,02; Р(А\НЛ = — = 0,03.
' 100 '100
Применив формулу полной вероятности (3.1), получим иско-
мую вероя гность:
Р(И) = £р(/7,)Р(,4[//,) = /’(Н1)/’(Л|//1) + Р(//3)Р(у1|Н2) =
f-l
= 0,4 0,02 + 0,6 0,03 = 0,008 ч- 0,018 = 0,026.
Находясь в условиях этой же задачи, предположим, чт о вы-
бранное изделие содержи! брак. Тогда определим вероятность то-
го, что это изделие поставил первый поставщик, воспользовавшись
формулой Байеса:
Р(И IР<Н1)Р(А1Н>) О,4-0,02 = 0,°08 4
' ' J Р(А) 0,026 0,026 13’
Ответ: Р(А) 0,026; Р(Н, |Л)=
3.2. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных,
поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероя гностью
0,95 обнаруживают дефект (если он есть), и существует ненулевая
вероятность 0,03 того, что исправный т ран шстор будет признан
дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный из
пар тии транзистор будет признан дефектным?
3.3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продук-
ция первого завода содержит 20е о телевизоров со скрыты ч дефек-
том, второго - 10%, третьего - 5%. Какова вероятность приобрести
неисправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизо-
ров с первого завода, 20% - со второго, 50% - с трет ьего?
3.4. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 15 но-
вых и 5 использованных в игре. Для игры наудачу выбирается 2
мяча и после игры возвращаются обратно. Затем дли второй игры
также наудачу извлекаются еще 2 мяча. Какова вероятность того,
что вторая игра будет проводиться новыми мячами0
29
3.5. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по
теории вероятностей и взявши х билеты. Иванов и Пеп ров знают 20
билетов из 30. Сидоров успел повторить только 15 билетов, осталь-
ные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного
времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать од-
ного из студентов. Какова вероятность того, что студент сдаст эк-
замен. если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятно-
стью 0,85, а при незнании билета, можно сдать экзамен лишь с ве-
роятностью 0,1 ?
3.6. Для контроля продукции из трех партий деталей взята
для испытаний одна деталь. Как велика вероятность обнаружения
бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей брако-
ванные, а в других - вес доброкачественные?
3.7. Число бракованных микросхем на 1000 априори (до
опыта) считается равновозможным от 0 до 3. Наудачу протестиро-
ваны 100 микросхем, оказавшиеся исправными. Какова вероят-
ность того, что все схемы исправны?
3.8. Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых
наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число
испорчештых лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5.
3.9. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетво-
ряют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодность
стандартной продукции с вероятнос1ью 0,98 и нестандартной - с
вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие,
прошедшее упрощенный конт роль, удовлетворяет стандарту.
3.10. Па фирме работает два бухгалтера - опытный и начи-
нающий. Опытный бухгалтер оформляет 75% документов, а начи-
нающий 25%. У опытного бухгалтера наличие ошибок в доку-
ментах составляет 0,5%, у начинающего - 8%. Какова вероятность
того, что взятый наудачу документ окажется с ошибкой?
3.11. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатыва-
ются однотипные детали. Вероятность брака для первою станка
равна 0,03, для второго - 0,05, для третьего - 0,06. Обработанные
детали складываются в один ящик. Производительность второго
станка в два раза больше, чем первого, а третьего в два раза мень-
ше, чем первого. Какова вероятность того, что взятая науд ачу де-
таль из ящика будет бракованной?
Решение. Введем собьп ия: /4={взятая наудачу деталь брако-
ванная}, : {деталь изготовлена на /-ом станке , /=1,2,3 Пусть х -
производительность первого станка, toj да 2х - производительность
30
второго и — - производительность третьего. Общая производи-
2.
х 7
тельность трех станков равна х + 2х 4 - - —х.
2
Вероятности г ипотез /£ равны:
/>("')=^=7; р(Яг)=^=7; р(н>)=£=7
2 -А * Л ! 2 л 1
Вероятность события А находим по формуле (3.11):
Р(А\ = --0,03 +--0,05 + -0,06 = -(0,06+0,20 + 0,06} = — = — .
1 ’ 7 7 7 7V ' 700 175
8
итвет: р ~ .
175
3.12. Фирма совершает сделки, 80% из которых прибыльные,
а 20% - неприбыльные. Вероятность банкротства фирмы за время t
в случае, когда она заключает прибыльные сделки, равна 0,01, а в
случае заключения не прибыльные сделок равна 0,7. Определить
вероятность банкротства фирмы за время Л :
3.13. При наступлении кризиса сбыта продукции фирма не
терпит убытков с вероятностью pi, полностью терпит банкротство с
вероятностью р2 и имеет серьезные издержки с вероятностью
/7з -1“ (Р\ + Pi) • Двс се-рии серьезных издержек приводят к полно-
му банкротству фирмы. Найти вероятность того, что при наступле-
нии и кризисов сбыта продукции фирма не обанкротится.
ЗЛ4.В группу, состоящую из 20 студентов, добавили отлич-
ника, после чего из нее наудачу перевели в другую г руппу студен-
та. Определить вероятность того, что переведенный студент ока-
жется отличником, если все предполо Кения о первоначальном со-
ставе группы равновозможны.
3.15. Для поиска самолета, потерпевшего аварию, выделено 5
вертолетов, каждый из которых может быть использован для поис-
ков в одном из двух возможных районов, где самолет может нахо-
диться с вероятностями 0,7 и 0,3. Как следуе! распределить вертоле-
ты по районам поисков, чтобы вероятность обнаружения самолета
была наибольшей, если каждый вертолет обнаруживает находящий-
ся в районе поисков самолет с вероятностью 0,3, а поиски осуществ-
ляются К1ждым вертолетом независимо от других? Найти вероят-
ность обнаружения самолета при от имальной процедуре поисков
3.16. Два предпринимателя занимаются реализацией одинако-
вой продукции, которая поставляется ими в один и тот же магазин.
31
Первый предприниматель поставляет продукции в 2 раза больше,
чем второй, причем продукция высшего качества у него coci авляет
60 %, а у второго - 84% Случайный покупатель приобретае т про-
дукцию высшего качества. Определить вероятность того, что она
поставлена первым предпринимателем.
Решение: Рассматриваемое событие А = {приобретена про-
дукция высшего качества} может произойти из одной из гипотез Ht,
Hr-{продукция поставлена i-ым предпринимателем}, /=1,2. Безус-
ловные доопытные вероятности гипотез вычисляются по классиче-
ской формуле (1.1):
P(W,) = |; Р(Я2) = |,
так, как первый предприниматель поставляет в 2 раза больше про-
дукции.
Условные вероятности событий Л|Н?={£-ым предпринимате-
лем поставлена продукция высшего качества}, так же находятся по
формуле (1.1):
Р(А\Н1) = — = 0,6; Р(Л|Я,) = —= 0,84.
17 100 ' 100
Далее находим вероятность того, что случайный покупатель
приобрел продукцию высшего качества, т.е. вероятность события
А. Поскольку событие А может произойти с одной из гипотез Н\
или //2, то для нахождения вероятности события Л воспользуемся
формулой полной вероятности:
Р(Л) = Р(Я,)Р(ЛЯ1) + Р(Я1)Р(Л|Я2) =
- — •0,6 к — 0,84 -0,4 4 0,28-0,68.
3 3
Событие А произошло, т.е. покупатель приобрел продукцию
высшего качества, то1да вероятность события А //{-{продукция
высшего качества поставлена первым предпринимателем} вычис-
лим по формуле Байеса:
г0*6 °»4-10
1 ' Р(4) 0.68 0.68 17
ЗЛ7, Возбуждено дело о банкрота ве фирмы. Основанием для
этого могли быть следующие положения:
I. Заявление предприятия о своем банкротстве.
2. Решение суда о возбуждении дела о банкротстве.
3. Заявление кредитора, поданное после определенного
срока.
Вероятности использования каждого из положений соответ -
ствснно равны 0,9: 0,96; 0,99. Найти вероят ность того, что дело о
банкротстве фирмы возбуждено на основе второго положения
3.18. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе,
па котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых авто-
мобилей, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность то-
го, что будет заправляться фузовой автомобиль, равна 0,1, для лег-
ковых автомобилей эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке
подъезжает для заправки автомобиль. 11айти вероятность того, что
это грузовой автомобиль.
3.19. Изделие проверяется на стандартность одним из двух
товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому то-
вароведу, равна 0,55, а ко второму - 0.45. Вероятность того, что
стандартное изделие будет признано стандартным первым товаро-
ведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Стандартное изделие при про-
верке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это
изделие проверил второй товаровед.
3.20. Расследуются причины банкротства фирмы, о котором
можно высказать четыре предположения (гипотезы) /Л, Яз, Ш
По статистическим данным Р(Я-)=0,2; Р(А/2)=0,4: Р(Я3)=0гЗ;
P(tf4)=0,l. В ходе анализа обнаружено, что фирма обанкротилась в
связи с неудачной маркетинговой политикой (событие Л). Услов-
ные вероятности события согласно той же статистики равны:
Р{А\Н})=$,9; Р(Л1/М=0; P(4U/3>0,2; /*(Д|Н4> 0,3. Какая из гипотез
наиболее вероятна при данных условиях?
3.21. Два из зрех работающих телевизоров, которые работают
независимо друг от друга, отказали Най ги вероятность того, что от-
казали первый и второй телевизоры, если вероятность отказа первого,
второго и третьего телевизоров соответственно равны 0,2,0,4 и 0,3
3.22. Контрольные студентов-заочников попадают для провер-
ки к одному из двух преподавателей Вероятность того, что кон
трольная попадет к первому преподавателю, равна 0,6, а ко второму
0.4. Вероятность того, что работа будет зачтена первым преподавате-
лем, равна 0,94, а вторым - 0.98. Работа при проверке была зачтена.
Найти вероятность того, что ее проверил первый преподаватель.
3.23. Число студентов, изучающих французский язык, отно-
сится к числу студентов, изучающих английский язык как 3:7. Ве-
роятное] ь того, что за границу на практику отправят студентов,
33
изучающих французский язык, равна 0,2. Для студентов, изучаю-
щих английский язык, эта вероятность равна 0,5. За границу отпра-
вили студентов. Найти вероятность того, что эти студенты изучают
французский язык.
3.24. Имеются две партии обуви, причем известно, что в од-
ной партии вся обувь доброкачественная, а во второй - % имеет
брак. Пара обуви, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась
доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая пара
обуви из этой же партии будет иметь брак, если первая пара обуви
после проверки возвращена в партию.
3.25. Исследуется динамика курсов валют А и В (по отноше-
нию к некоторой валюте 0 с целью прогнозирования. Статистика
валютных торгов показывает, что курс В возрастает в 90% случаев,
если вырос курс А; в 60% случаев, если курс А нс изменился. Пред-
полагая, что все три исходные гипотезы об изменении курса А рав-
новозможны, оценить вероятность этих гипотез, если известно, что
на последних торгах курс В вырос.
3.26. В филиале банка А (в банке два филиала) проводят 40%
всех операций этого банка, а в филиале банка В - 60%. В среднем 9
операций из 1000 проведенных в филиале банка А оказываются не
прибыльными, а в филиале В — 2 операции из 500. Некоторая опе-
рация, выбранная случайным образом, оказалась не прибыльной
для этого банка. Какова вероятность того, что она производилась в
филиале В9
3.27. Количество банкнот, поступивших в отделение банка из
четырех магазинов, соотносится как 4:3:2:1. Среди поступивших
банкнот из первого магазина 0,1% банкнот в силу изношенности
подлежат замене, из второго магазина таких банкнот 0,2%, из
третьего 0,25%, из четвертого 0,5%. Наугад взятая контролером
банкнота не подлежит замене. Какова вероятность того, что кон-
тролер взял банкноту, поступившую из первого магазина?
3,28. В филиале Сбербанка клиенты срочных вкладов распреде-
ляются по трем категориям: первая - срок сбережения от 1 до 3 лег,
вторая - срок сбережения от 3 до 5 лет, третья - срок сбережения
свыше 5 лет На 100 срочных вкладов к первой категории относится
55 вкладчиков, ко второй 35, к третьей - 10. В среднем 8 вкладчи-
ков из 1000 первой категории закрывают вклады, нарушив условия
договора размещения денег, т.е. снимают деньги раньше обусловлен-
ного срока - 1 года, среди вкладчиков второй категории нарушите зей
2 из 100, в третьей категории каждый пятый. Вкладчик закрыл вклад,
34
нарушив условия договора размещения денег. Какова вероятность то-
го, что вкладчик относится к клиентам третьей категории?
3.29. Число граждан, имеющих высшее образование, обра-
тившихся на биржу труда с тем, чтобы найти работу, относится к
числу 1раждан, имеющих среднее специальное образование, так же
обратившихся на биржу труда, как 2:3. Вероятность того, что рабо-
ту получит гражданин со средним специальным образованием,
равна 0,1; а для гражданина с высшим образованием эта вероят-
ность равна 0.2. Человек получил работу. Найти вероятность того,
что это человек со средним специальным образованием.
3.30. На распродажу поступает в среднем 50% продукции
фирмы К, 30% - фирмы Н и 20% - фирмы М. Вероятность полной
продажи товаров фирмы К равна 0,7, для фирм Н и Л/эти вероятно-
сти соответственно равны 0,8 и 0,9. Покупатель, попавший на рас-
продажу, покупает товар. Найти вероятность того, что этот человек
купил товар фирмы К.
Случайные величины
Пусть (Q, F, Р) - произвольное вероятностное пространство.
Случайной величиной % называется измеримая функция Л' = Х[о)),
отображающая Q в множество действительных чисел 7?, и такая,
что при любом хей множество тех для которых А"(б9)<х,
принадлежит ст-алгебре событии данного эксперимента (множества
{X (лэ) < х} - это события).
Функцией распределения случайной величины X называется
функция F(x) действительного переменного х, определяющая вероят-
ность юто, что случайная величина X примет в результате реализации
эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х:
F(x) = Р{Х < х} =• Р{Х g (-оо;х)}.
Функция распределения имеет следующие свойства:
I. 0<F(x)<l.
2. F(x) неубывающая функция.
3. limF(x) = 0; limF(x) = l;
X—>—GO х- >00
4. F(x) - непрерывна слева, т.е. lim F(x)-F(x0).
Для любых Х| и х? вероятность неравенства х1<Х<х2 вы-
числяется но формуле:
F^X] < х2) —/* (х2) F(xj).
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
35
1.4. Дискретные случайные величины
Случайная величина, обозначаемая X называется дискрет-
ной, если она принимает конечное либо счетное множество значе-
ний, т е. множество Qx - конечное, либо счетное.
Законом распределения дискретной случайной величины
называется совокупность пар чисел (х6 рД где xf возможные зна-
чения случайной величины, a pt, pt > 0, - вероятности, с которыми
она принимает эти значения, причем pt = L
г
Закон распределения дискретной случайной величины зада-
ют, как правило, в виде ряда распределения:
Xi X) x2 • • • x, ]
Pl Pl P2 * • Pi
Г рафическос изображение ряда распределения называют
многоугольником, т.е. многоугольник распределения - это ломаная
линия, соединяющая точки (х4; рд> /=1.2.
Рис.4.1
Зная закон распределения случайной величины, можно вы-
числить функцию распределения;
= = = (4.1)
х,<|
где суммирование распространяется на все значения индекса /, для
которых xt < х.
36
Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной
величины X называется сумма произведений всех ее возможных
значений и соответствующих им вероятностей:
(4.2)
/ж!
Модой дискретной случайной величины, обозначаемой Мо,
называется ее наиболее вероятное значение:
М0=тахР(Л=хД (4.3)
Медианои случайной величины X называется такое ее значе-
ние М>, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная
величина меньше или больше Ме, т.е. Р(Х < Ме) = Р(Х > Л4).
Дисперсией случайной величины называется математическое
ожидание квадрата ее отклонения: D(X) = М(Х- М(Х})2.
Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по
формуле:
°(^) = LU-A/(^))2 A илиО(Х) = ^ р,-(М(Х))2. (4.4)
Г=1
Средним квадратическим отклонением (стандартом) случай-
ной величины X называется арифметический корень из дисперсии, т.е.
ct(X) = ^D(X). (4.5)
Начальным моментом порядка к случайной величины X на-
зывается математическое ожидание к-й степени этой случайной ве-
личины, т.е. аДЛ)=М(Л*).
Для дискретной случайной величины
ч(Х} = ^р,. (4.6)
Центральным моментом порядка к случайной величины X
называется математическое ожидание к-й степени отклонения X
МЛ), т.е. рк- M(X-M(X)f.
Для дискретной случайной величины
/4=£(т,--Л/(Л))‘ р... (4.7)
1=1
Задачи
4.1. Вероятность изготовления нестандартного изделия при
некотором технологическом процессе равна 0,02. Контролер наудачу
извлекает из партии изделия и проверяет их качество. Партия задер-
живается, если проверяемое изделие является бракованным. Если из-
делие стандартное, то проверяется следующее и т.д., но всего прове-
37
ряется не более 5 изделий. Построить закон распределения случайной
величины Х~ числа проверяемых изделий; многоугольник распреде-
ления. Вычислить функцию распределения, моду, медиану, матема-
тическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение. Случайная величина X - число проверяемых изде-
лий - это дискретная случайная величина. Ее множество значений
Qr= {1;2;3;4;5} - конечное множество. Случайная величина X примет
значение jq=l, если первое проверенное контролером изделие ока-
жется бракованным. Вероятность такого исхода равна 0,02, т.е.
^(^=7)^0,02. Если первое изделие стандартно, то проверяется второе
изделие и если оно содержит брак, то партия задерживается и, значит,
случайная величинаXможет принять значение равное 2, т.е. Х=2. Ве-
роятность исхода равна произведению вероятности того, что первое
изделие является стандартным на вероятность того, что второе изде-
лие является бракованным: Р(Х=2)- 0,98 0,02=0,0196 (0,98=1-0,02).
Контролер проверяет три изделия, если первые два ока-
жутся стандартными, а третье - бракованное. По теореме ум-
ножения вероятностей, вероятность такого исхода равна:
Р(Х=3>0,980,98-0,02*0,0192. Аналогично. Р(Л'=4)=0,98' 0,02*0,0188.
Пять изделий проверяются всегда, ио при этом может оказать-
ся, что пятое изделие стандартно или это пятое изделие содержит
брак. Вероятность такого исхода йо теореме сложения будет равна:
P(Z=5)=0,984-0,98-0,984-0,02? 0,984(0,98-0,02)=0,98^0,9224.
Итак, закон распре деления,рассматриваемой случайной вели-
чины X можно представить в следующем виде:
Таблица 4.1
_а_ 1 9 3 4 5
А 0,02 0,0196 0,0192 0,0188 0,9224
Сумма вероятностей равна единице:
5
0.02 + 0.0196 г 0.0192 + 0.0188 + 0.9224 = 1.
Значит, данная таблица задаст закон распределения дискрет-
ной с гучайной величины,
•г
Для построения mhoi оугольпика распределения на оси абс-
цисс откладываются значения случайной величины X и из каждой
точки х, восстанавливаются перпендикуляры высотой получен-
ные точки (х,ур,) соединяем отрезками прямой и получаем ломаную
линию, которая и является многоугольником распределения
(рис.4.2).
38
Вычислим функцию распределения по формуле (4.1):
О, если х < 1;
xf <х
0,02, если 1 < х < 2;
0,02-0,0196=0,0396, если 2 < х < 3;
0,0396+0,0192 0,0588, если 3 < х < 4;
0,0588+0,0188=0.0776, если 4 < х < 5;
0,0776+0,9224=1,0, если 5 < х.
График функции распределения представлен на рис.4.3.
39
F(r)t
0,0776
0,0588
0,0396
0,02
2
Рис.4.3
Из табл.4.1 следует, что наиболее вероятное значение дис-
кретной случайной величины равно 0,9224. Поэтому Mt =5.
Медианы данное распределение нс имеет.
Математическое ожидание вычислим по формуле (4.2):
МЛ) = 1 -0,02 + 2-0.0196 + 3-0,0192 + 4-0,0188 - 5-0,9224 = 4,804.
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой (4.4):
£)(л) = -(М(х))2 = I2 • 0,02 + 22 • 0,0196 + З3 • 0,0192 <
+42 • 0,0188 + 52 0,9224 - (4,804)2 * 23,632 - 23,078 = 0,554
Среднее квадратическое отклонение равно:
ст(А') ^0,554 * 0,744.
4.2. В течение года некоторая фирма трижды обращается за
кредитом в «Беларусбанк». Вероятность получения кредита для
фирмы равна 0,8- Случайная величина X - число кредитов фирмы
за год. Описать закон распределения данной случайной величины,
вычислить функцию распределения и числовые характеристики
М(Х). D(X), ofA). Построить многоугольник и график функции рас-
пределения.
43. Проводятся независимые испыгания приборов на на-
дежность. Вероятность для каждою прибора пройти испытание
равна 0,8. Испытания заканчиваются после первого прибора, не
выдержавшего испытания, при этом проверяется не более 5 прибо-
40
ров. Описать закон распределения случайной величины X - числа
испытанных приборов; построить многоугольник распределения;
вычислить функцию распределения и числовые характеристики
М(Х). D(X), п(Л). Построить график функции распределения.
4.4. Независимые испытания радиоаппаратуры проводятся до
тех пор, пока нс произойдет отказ. Вероятность отказа от испытания к
испытанию не меняется и равна 0,1 Найти математическое ожидание
и дисперсию числа безотказных испытаний.
4.5. На пути движения автомобиля четыре светофора. Каждый
из них с вероятностью 0.5 либо разрешает, либо запрещает дальнейшее
движение автомобиля. Построить закон распределения, многоуголь-
ник распределения случайной величины X характеризующей число
светофоров, пройденных автомобилем без остановки. Вычислить чи-
словые характеристики М(Х) и D(X); функцию распределения.
4.6. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых
имеется 10 дефектных, выбираются случайным образом (с возвра-
том) 5 изделий для проверки их качества. Построить ряд распреде-
ления случайной величины X ~ числа дефектных изделий.
4.7. Продавец мороженого в солнечный день может зарабо-
тать 100 ден. единиц, а в дождливый - 30 ден. ед. Чему равна ожи-
даемая дневная выручка, если вероятность того, что день окажется
дождливым, равна 0,35?
4.8. В ящике 20 деталей, среди которых 4 имеют скрытый
дефект. Из этого ящика наудачу извлекают 3 детали. Описать закон
распределения случайной величины X - число деталей, не имею-
щих скрытого дефекта среди извлеченных, построить многоуголь-
ник распределения. Вычислить функцию распределения и число-
вые характеристики - моду, медиану, М(Х), D(X), <т(Х\ Построить
график функции распределения.
4.9. Прибор состоит из четырех независимо работающих
блоков 51, 5?, 5з и Б$, каждый из которых выхолит из строя с веро-
ятностями pi=0,4. соответственно. Прибор выходит из
строя как при отказе блока Б] так и при одновременном отказе
блоков 2>ь Б2 и 53. Вычислить:
а) функцию распределения случайной величины X — число испыта-
ний, при которых прибор выйдет из строя, и построить ее график;
б) числовые характеристики случайной величины X - М(Х), D(X),
гт(Х).
4.10. Исследуются одни торги па бирже, при которых изучается
повышение курса акций двух компаний. Вероятность повышения
41
курса акций для одной компании равна для второй Пусть слу-
чайная величина X - суммарное число повышений акции, изучаемых
компанией на данных торгах. Найти М(Х), D(X), о{Х).
4.11. В лотерее, в которой выпущено 100 билетов, разыгрывает-
ся мотоцикл, стоимостью 250 ден. сд., 2 велосипеда, стоимостью 70
ден. ед и четверо часов, стоимостью 40 ден. ед. Некто покупает один
лотерейный билет. Описать закон распределения случайной величи-
ны X - величины выифыша. Вычислить математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение выигрыша.
4.12. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к
замку. Описать закон распределения случайной величины У, харак-
теризующей число попыток открыть замок каждым ключом при
условии, что опробованный ключ в последующих попытках не уча-
ствует. Найт и функцию распределения. Вычислить математическое
ожидание М(Х) и Дисперсию D(X),
4.13. В республике действуют 1000 банков. Из них 150 с го-
сударственной формой собственности. Налоговая инспекция про-
верила 100 банков. Какова вероятность того, что среди них нет с
государственной формой собственности? Хотя бы один с негосу-
дарственной формой собственности? Найти среднее число банков с
государственной формой собственности среди 100 проверенных и
его вероятность. Вычислить среднее квадратическое отклонение
случайной величины X - число банков с государственной формой
собственности среди 100 проверенных.
4.14. Иванов держит пари о появлении (или не появлении) со-
бытия А, шанс наблюдения которого равен 25%. Иванов платит 1
ден. ед. в случае, если событие А появится и получает 2 ден. ед., ес-
ли оно не появится. Найти ожидаемый выигрыш Иванова.
4.15. В партии из 12 деталей имеется 10 С1андартных. Из этой
партии наудачу взяты 2 детали. Описать закон распределения слу-
чайной величины X число стандартных деталей среди отобран-
ных; вычислить функцию распределения, М(Х\ D(X), а(Х) и по-
строить график F(x).
1-5. Законы распределения дискретных случайных величин
Производятся испытания, в каждом из которых может поя-
виться событие А или событие А.
Биномиальным (законом распределения Берну пли) называ-
ют закон распределения дискретной случайной величины X числа
появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность появления события равнар. Вероятность воз-
42
можного значения X = т (числа т появлений события) вычисляют
по формуле Бернулли:
z ч П\
Я = —----------р Я > (5.1)
т!(п — т)!
где ц=\-р - это вероятность не наступления события Л (появления
события Л). Ряд распределения случайной величины X, распреде-
ленной по биномиальному закону (закону распределения Бернулли)
имеет вид:
к 0 1 2 п
к 0 п t Стр я -я С'„РЯп-} c;p-q- = qr
Функция распределения: F(x) = Р(Х < х) = V Qр с;"1.
X,<JT
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины,
распределенной по биномиальному закону, соответственно равны:
М(Х)=пр, D(X)=npq.
Наивероятнейшсс число появлений событий е п независи-
мых испытаниях определяется по формуле:
пр - q< m0 <пр \ р (5.2)
Если число испытаний велико, а вероятность появления со-
бытия р в каждом испытании мала, то вероятность того, что неко-
торое событие появиться т раз в п испытаниях, приближенно вы-
числяется по формуле Пуассона:
, (5.3)
т\
где т - число появлений событий в п независимых испытаниях.
а~пр - среднее число появлений события в п испытаниях.
Ряд распределения случайной величины Ху распределенной
по закону Пуассона имеет вид
0 1 _ _ _ /и В V в 1М’ 1 с
0 —а °! ае~г 2 —и а е 2! - - * ч 1 г Е
Если известно среднее число событий А, которые появтянут-
ся в единицу времени, то вероятность появления т событий про-
стейшего потока событий за время /, вычисляется по формуле;
Р\т) * М-е-*.
т1
43
Функция пуассоновского распределения: F(x) = P(X <х)-
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины,
распределенной по закону Пуассона равны одному и тому же числу
a: M(X)-D(X)= а. а=пр.
Геометрическое распределение возникает в том случае, ко-
гда производится серия испытаний до первого появления события
Л. Тогда распределение случайной величины X имеет вид:
1 *' 1 2 3 • т в в
. р> р ЯР ЯР »• • Я Р • в ♦
Вероятность появления события А в каждом испытании по-
стоянна и равна р, т.е. р=-Р(А), и л) = 1 - р - q .
Функция геомегрического распределения: F(x) = Р(Х < х) =
= Е<7'' р-
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадра-
тическое отклонение случайной величины X, распределенной
по геометрическому закону, соответственно равны:
М(Х) = --, = а(Х) = Л.
Р Р Р
Гипергеометрический закон распределения используется при
проверке качества продукции. 11усть проверяется W изделий, и извест-
но, что среди этих изделий имеется М изделий, которые обладают не-
которым признаком Л, а остальные (N М) признаком Я. Для про-
верки производится выборка, содержащая я изделий. Для определения
вероятности того, что среди этих изделий т изделий обладают некото-
рым признаком Л (событие А). используется классический способ за-
дания вероятности. Число элементарных событий пространство эле-
ментарных событий £2 и события А определятся числом сочетаний
С; Ст; С" 'т , а искомая вероятность вычисляется по формуле:
М N - М
Р(А) =
где А - событие, состоящее в том, что в выборке w объектов обла-
дают признаком Л.
Закон распределения дискретной случайной величины X ха-
рактеризующей число появлений события А т раз в N испытаниях
имеет вид:
Функция гипергеомегрического распределения:
О, х < 0;
F(x) = £ Р( Л" = w) - < —, 0 < х < min(n,M)
Л?<Л
1, х > min(n,M)
Гипергеометрический закон стремится к биномиальному за-
М г
кону распределения, при ЛМсо, если — = р- const. Его числовые
N
характеристики равны:
М М N -п
ЩХ) = пр, р~~; <7 = 1-—;
N N /У-1
Задачи
5.1. Вероятности рождения мальчика и девочки можно счи-
тать равными 0,5. Какова вероятность того, что среди 6 наудачу
отобранных новорожденных будет: а) хотя бы один мальчик - со-
бытие А: б) число мальчиков и девочек одинаково событие В; в)
мальчиков больше, чем девочек - событие С?
Решение. Введем случайную величину X - число мальчиков
среди 6 новорожденных. Так как при каждом рождении вероят-
ность рождения мальчика постоянна, то эта случайная величина
подчиняется биномиальному закону распределения, т.е, согласно
45
формуле (5.1) вероятность того, что случайная величина X примет
значение т будет равна:
^гп
'Ь
6- ГП
I
—
Событию А ={среди 6 новорожденных будет хогя бы один маль-
чик} противоположно событию Л= {среди 6 новорожденных не будет
ни одного мальчика}. Вероятность события А найти проще, поэтому
/ 1 \б
6
-10
ft
Р(Л) = 1-Р(Л) = 1-Р(х = 0) = 1-С
64 64
Вероятность события В вычислим по формуле (5.1):
{2J 1-2-3 64 16
Событие С произойдет, если среди 6 новорожденных будет 4
мальчика или 5 или 6, т.е. {Х>3}. Нетрудно увидеть, что
111-11
2 16 32
Ответ: Р(А \ =
63
64’
/’(С)-
11
32'
5.2. Два равносильных шахматиста договорились сыграть 4
результативных партий. Ничьи не учитываются и считается, что
каждый из участников может выиграть очередную партию с веро-
ятностью 0,5. Определить вероятность выигрыша одного из шахма-
тистов (выигравшим матч считается тот, кто победит в большем
числе партий).
Решение. Во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и
безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии,
поэтому случайная величина X~ число выигранных партий, подчиня-
ется биномиальному закону распределения. Один из шахматистов
победит, если выиграет 3 или 4 партии. Воспользуемся формулой
(5.1) и вычислим вероятност и Р4(3) и Р4(4):
1
Гб 16 4
46
/’(4'1 = С4 — = —= —
дJ 42J 16 16
Тогда, применив теорему сложения, получим
/>(3) + ^(4) = - + — = —.
4 4 4 16 16
Ответ', вероятность выигрыша одного из шахматистов рав-
5
на: р- —.
Г 16
5.3. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобра-
ны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дис-
кретной случайной величины X - числа нестандартных деталей
среди 4-х отобранных и построить многоугольник полученного
распределения. Вычислить М(Х}\ D(X)\ гг(Л); Fix).
5.4. В банк подано 5 заявок фирм на получение кредита. Ве-
роятность получить кредит для каждой из фирм равна 2/3. Найти
вероятность того, что из пяти фирм кредит получит а) ровно I
фирма; б) по крайней мере 2; в) ровно 3; г) больше чем 3 фирмы.
5.5. Десять осветительных лампочек для елки включены в
цепь последовательно. Вероятность перегореть для любой лампоч-
ки при повышении напряжения в сети равна 0,1. Опредепить веро-
ятность разрыва цепи при повышении напряжения в сети.
5.6. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь
43-го размера, равна 0,4. В обувной магазин вошли трое покупате-
лей. Найти функцию распределения случайной величины X - числа
тех покупателей, которым потребовалась обувь 43-го размера. Вы-
числить Р(х >2).
5.7. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Со-
ставить закон распределения числа бракованных изделий из 6 нау-
дачу взятых изделий Найти математическое ожидание и диспер-
сию этой случайной величины.
5-8. Изделия некоторого производства содержат 5% брака.
Взято 5 изделий. Построить ряд распределения числа бракованных
изделий и среднее квадратичное отклонение этой случайной вели-
чины.
5.9. В течение года может обанкротиться примерно один
банк из 50. Определить, какова вероятность того, что из 200 банков
обанкротятся: а) не более двух банков, б) нс менее восьми.
5.10. Акционерное общество выпустило очередной пакет акции
по номинальной стоимости за акцию 100000 и 10000 рублей. 11ричсм
47
в пакете 80% акций по цене 100000 и 20% по цене 10000 рублей. Ка-
кова вероятность того, что из наудачу взятых по схеме возвратной
выборки восьми акций пять окажутся но цене 100000 рублей?
5.11. Вероятность того, что покупатель войдет в магазин в те-
чение часа, равна 0,005. Магазин обслуживает 600 покупателей.
Какова вероятность того, что в течение часа войдет 5 покупателей?
5.12. Из 20 изделий цеха 25% изделия высшего сорта. ОТК
проверяет 8 изделий. Какова вероятносгь того, что из них 6 изде-
лий будут высшего сорта?
5.13. Банк в течение дня принимает 200 денежных вкладов от
населения. Определить с тремя десятичными знаками вероятность
того, что среди них окажется 100 - валютные, если вероятность
принятия вклада в расчетных билетах РБ равна 0,515.
5Л4. Работники коммерческого банка производят 2 вида опе-
раций: депозитные и кредитные счета. Проверка обнаружила, что
вероятности допущения ошибок при оформлении депозитных и
кредитных счетов соответственно равны 0.1 и 0,15. Найти вероят-
ность следующих исходов: а) в пяти проверенных депозитных сче-
тах обнаружено не менее двух неправильных; б) в трех проверен-
ных кредитных счетах обнаружены 2 ошибки.
5.15. Какое минимальное число п испытаний нужно провести,
чтобы с вероятностью нс меньшей, чем 0,95, можно было бы ожи-
дать наступление события А хотя бы один раз, если вероятность
события А в одном испытании равна 0,3.
Решение. Наступление события А хотя бы один раз в п испы-
таниях обозначает, что событие А наступит или один раз или два
раза или... во всех испытаниях. Поэтому проще вычислить вероят-
ность противоположного события А, состоящего в том, что собы-
тие А не наступит ни в одном испытании. Так как испытания неза-
висимы, то но теореме умножения для независимых событий будем
иметь: Р(Л) = 0,7-0,7...0,7 = 0,7", где 0,7=1 0,3.
Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:
Р(/1) = 1-0,7 . Потребуем, чтобы эта вероятность была не меньше,
чем 0,95: 1-0,Т >0,95.
Решив эго неравенство последовательно относительно л, по-
лучим: 1-0,95>0,7я, или 0,7” <0,05, или п• (п0,7<In0,05, или
. In 0.05 1 Л -г л
, так как 1п0,7<0.
In 0.7
48
Отсюда заключаем, что минимальное число испытаний опре-
деляется формулой и0 =
In 0,05
In 0,7
+ 1. Вычислив In 0,05- -2,996; In
0,7= -0,357, получим 9.
Ответ: максимальное число испытаний равно 9.
5,1 & На контроль поступила партия деталей из цеха. Извест-
но, что 5% всех изделий не удовлетворяют стандарту. Сколько
нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью 0,96 обнаружить
хотя бы одну нестандартную деталь?
5.17. Всхожесть семян составляет в среднем 90%. Найти паи-
вероятнейшее число всхожих семян среди 20 семян.
Решение. Воспользуемся формулой (5.2), так как число всхо-
жих семян подчиняется биномиальному закону распределения
Подставив л = 20, р = 0,9, # = 1-0,9 = 0,1 получим
20 0,9-0,1 </??<20-0,9 + 0,9 или 17,9<<18,9.
Из последнего неравенства следует, что wo=18.
5,18. Из практики известно, что в среднем 3% отчетов пред-
ставляемых фирмами в налоговую инспекцию имеет ошибки. Оп-
ределить наивероятнейшее число отчетов, нс содержащих ошибок,
среди 100 сданных отчетов.
5,19. На предприятии работает 1000 рабочих. Какова вероят-
ность того, что 1 января является днем рождения одновременно т
рабочих данного предприятия? Вычислить вероятность для значе-
ний т равных 0, 1,5.
Решение. Рассмотрим случайную величину X - число рабочих,
1000
родившихся 1 января. Эта случайная величина X = X , где = 1,
i=i
если рабочий родился 1 января и Хл = 0, если рабочий родился не 1
января. Вероятность события 4 = X = {рабочий родился 1 января}
1
равна----, т.е. небольшая, а число /? достаточно большое, то можно
365
считать, что случайная величина X подчиняется закону распределе-
ния Пуассона с параметром а = пр = 1000-^^- = 2,74 <10. Поэтому
для вычисления искомых вероятностей применим формулу (5.3):
2 74°
если w = 0, то ^(0) - Р(Х -0) = -е-2-74 « 0,065;
если т = 1, то />^(1) - Р(X = 1) = ^-е « 0,178;
49
если w=5, то Рда0(5) = Р(Х = 5) = ^-е’2-74 « 0.084.
5.20. Число регистрируемых заявок в телеателье случайно и
образует пуассоновскую случайную величину X со средним значе-
нием 500 заявок в день. Каждая регистрируемая заявка может быть
выполнена с вероятностью 0,99. Описать закон распределения чис-
ла не выполненных заявок, регистрируемых диспетчером. Вычис-
лить М(Х} и D(X).
Решение. Рассмотрим случайную величину А" - число не вы-
полненных заявок за день. Так как число заявок п — 500 велико, а
вероятность события А = {заявка не выполнена} мала, Р(Л)=0,01,
то закон распределения случайной величины Xзадается в виде:
Xi 0 1 2 500
р* е~5 -e~s 1! 52 —е"5 2! V 5 -5 500!С ,
где а=кр=500-0,01=5.
Математическое ожидание равно дисперсии для случайной
величины X подчиняющейся закону распределения Пуассона, т.е.
M(X) = D(X)^5.
5.21, Установлено, что численность обрывов нити за некоторой
промежуток времени следует закону Пуассона. Прядильщица обслу-
живает 800 веретен. Наблюдения показали, что в течение 1 минуты в
среднем происходит 5 обрывов. Определить вероятность того, что в
течение 1 минуты произойдет: а) 5 обрывов; б) не менее пяти обрывов.
5.22. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту
равно 120. Найти вероятность следующих событий:
А = {за две секунды на А ГС не поступит ни одного вызова};
В = {за две секунды на АТС поступит менее двух вызовов L
5.23. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Най-
ти наиболее вероятное число опечаток на одной станице текста и
вероятность этого числа.
5.24, При испытании легированной стали на содержание уг-
лерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент уг-
лерода превысит допустимый уровень, равна 0,0 L Считая приме-
нимым закон Пуассона, вычислить, сколько в среднем необходимо
испытать образцов, чтобы с вероятностью р = 0,95 указанный эф-
фект наблюдался по крайней мере 1 раз.
50
5,25. Отдел по обмену валюты Сбербанка производит в тече-
ние рабочего дня 300 операций. Вероятность совершить ошибку
при обмене валюты равна 0,01. Щйти вероятности следующих ис-
ходов: а) не более трех операций из 300 будет произведено с ошиб-
ками; б) пять операций из 300 будет произведено с ошибками.
5.26. Вероятность того, что к концу года акционерное обще-
ство банкротится, равна 0,004. Найти вероятность того, что из 1000
акционерных обшеств к концу года обанкротится не более пяти.
5.27. Вероятность того, что стеклянное изделие повредится
при перевозке по железной дороге, равна 0,001. Какова вероятность
того, что из 1000 стеклянных изделий при перевозке повредится: а)
три изделия? б) больше трех изделии?
5.28. В гссго, подготовленное для выпечки 500 булочек, за-
сыпают 5000 изюминок и тщательно перемешивают. Какова веро-
ятность того, что в случайно выбранной булочке будет: а) 10 изю-
минок? б) больше 10 изюминок?
5.29. Производится ряд попыток реализации некоторого това-
ра по фиксированной цене г0. Каждая попытка длительностью 7 ча-
сов заканчивается реализацией товара по цене го независимо от
других попыток с вероятностью р=0,095. Описать распределение
общего времени Г, которое требуется для реализации некоторого
товара. Вычислить функцию распределения, математическое ожи-
дание и среднее квадратическое отклонение случайной величины
Т - времени, необходимого для реализации товара.
Решение. Введем случайную величину X — число попыток реа-
лизовать товар по фиксированной цене г0. Эта случайная величина
распределена по геометрическому закону распределения. Общее вре-
мя 7, необходимое для реализации товара, связано со случайной ве-
личиной X ио формуле Т = tX, где t ~ 7ч и имеет распределение вида:
т, _ t-1 =7 /2 = 14 /•3 = 21 * 4 » / • m-7m
P(X=xJ р- 0,95 _ др = 0,050,95 = 0,0475 </-/7=0,052-0,95 • • В • г
Функция распределения общего времени Т, необходимого
для реализации товара:
51
о, /<7;
0,95, 7 </<14;
0,95 + 0,0475 = 0,9975, 14</<21;
F(/)=J...
£(0,05' 0,95), 7те</<7(ш + 1);
1 '«I
Математическое ожидание и среднее квадратическое откло-
нение случайной величины Т равны:
М(Т) = / М(х) -1 1 = 7 • -L- « 7,37(4);
р 0,95
cr(T) = t^.= 7- 1,65(4).
р 0,95
Ответ: М(Т)~ 7.37 ч.; /т(Г)« 1,65ч.
530. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при
одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор,
пока он не промахнется. Требуется: а) составить закон распределе-
ния дискретной случайной величины X числа патронов, выдан-
ных стрелку; б) найти наивероятнейшее число выданных стрелку
патронов.
5.31. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы.
Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос,
равна 0,9. Преподаватель прекращает экзамен, как только студент
не отвечает на заданный вопрос. Требуется: а) составить закон рас-
пределения дискретной случайной величины X - числа дополни-
тельных вопросов, которые задаст преподаватель студенту; б) най-
ти наивероятнейшее число заданных студенту дополнительных во-
просов.
5.32. Из ящика, содержащего 4 изделия, содержащих скрытый
дефект, и 6 стандартных изделий, случайным образом и без воз-
вращения извлекают три изделия Описать закон распределения
случайной величины X - число изделий в выборке, содержащих
скрытый дефект. Вычислить функцию распределения, математиче-
ское ожидание и дисперсию случайной величины X.
Решение: Из 10 изделий 4 изделия содержат скрытый дефект
и 6 стандартных изделий. Следовательно, случайная величина А"-
число изделий в выборке, содержащих скрытый дефект, подчиня-
ется । ипергеометрическому закону распределения. Вероятность то-
52
го, что случайная величина X может принимать значение, равное
/77=0.1,2,3, вычисляется на основании классического определения
вероятности, т.е. по формуле:
Р{Х = т)-—-(\ь , гм = 0,1,2,3.
^10
Закон распределения случайной величины X задается в виде:
Функция распределения:
FU) =
2 _3__29
3 * 10 30
при х < 0;
при 0 < х < 1;
при 1 < х < 2;
при 2 < х < 3;
130
при 3 < х.
Числовые характеристики случайной величины, распреде-
ленной по гипергеометрическому закону распределения равны:
4 12
Л/(Л') = га? = 3—= —= 1,2;
10 10
D(X) = npq
N - п
TV-I
3 4 J$_ 10-3_3 2 3 7 .14
10 10 10-1 5 5 9 25
Ответ'. М(ЛЭ=1,2; D(A>0,56.
5.33. На станции технического обслуживания устраняется
один дефект автомобилей. На одну рабочую смену требуется 5 од-
нотипных деталей. Было закуплено 16 деталей, из которых 12 не
имеют дефектов. Мастер на складе получает 6 деталей, которые от-
бираются наудачу, на одну рабочую смену (одну деталь «про за-
пас», учитывая наличие бракованных). Найти вероятность того, что
за смену будут устранены все дефекты.
5.34. На контроль поступила партия деталей. Известно, что
для данных изделий брак составляет 7,5%. Сколько нужно испы-
53
тать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя
бы одну нестандартную деталь?
5.35. На факультете обучается 500 студентов, 20 из которых
систематически занимается научной работой. На конференцию
случайным образом отбирают 5 студентов. Описать закон распре-
деления случайной величины X число студентов в выборке, кото-
рые занимаются научной работой. Вычислить функцию распреде-
ления, математическое ожидание и среднее квадратическое откло-
нение случайной величины X. Построить график функции распре-
деления.
1.6. Непрерывные случайны величины.
Случайная величина X которая может принимать все значе-
ния из некоторого промежутка, называется непрерывной случай-
ной величиной.
Множество значений QK непрерывной случайной величины
X - некоторый числовой интервал.
Плотностью распределения вероятностей р(х) непрерыв-
ной случайной величины X называют предел, если он существует,
отношения вероятности попадания случайной величины X на отре-
зок х;х+Дх], примыкающий к точке х, к длине этого отрезка, когда
последний стремится к 0, т.с.
/ \ Р (х < < х + Лх)
р (х) - 11 m — -------—
Дх
Свойства плотности распределения вероятностей:
1.р(х) - неотрицательная функция, т.е. р(х) > 0, Vx g (-оо;+оо).
,1
2. Вероятность достоверного события е(-оо;+оо)| равна 1,
т.с.
Jp(x)dr=L
3. р(х) - непрерывная или кусочно-непрерывная функция.
Функция распределения случайной величины X - это функ-
ция Р(х) действительной переменной х, определяющая вероятность
того, что случайная величина принимает, значение меньше некото-
рого фиксированного числа х, т.е. X е (~оо;х):
л
F (х) - Р(-оо < X < х) = (6-1)
—эо
Более строгое определение непрерывной случайной величи-
ны формулируется следующем образом.
54
Случайная величина X называется непрерывной, если суще-
ствует такая неотрицательная, интегрируемая по Риману функция
/?(л), называемая плотностью распределения вероятностей, что при
всех xcR выполняется равенство (6.1).
Зная функцию распределения F(x) непрерывной случайной
величины, плотность распределения в точках непрерывности F(x)
можно вычислить по формуле:
р(х) = Г(х). (6.2)
Если X - непрерывная случайная величина, то вероятность
того, что она принимает значения из полуинтервала [хь%2) вычис-
ляется по формуле:
P(x1<2f<xJ = F(xI)-F(x1), (6.3)
или через плотность распределения вероятностей:
X;
Р(х1<А,<х2)= Jp(x)d!x. (6.4)
«I
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной
величины:
ег. сс
М(Х} = jxp(x)dx; D(X) = Jx2p(x)t/x-(A/(A'))2; cr(x) = JD(X). (6.5)
- -Oj -CO
Модой непрерывной случайной величины X называется дей-
ствительное число Моь определяемое как точка максимума плотно-
сти распределения вероятностей р(х).
Медианой непрерывной случайной величины X называется
действительное число удовлетворяющее условию P(X<A£) =
= Р(Х>Ме), т.с. корень уравнения Р (х) = —.
Начальный момент Л-го порядка:
X
л,(¥)-Л/(Х‘) = fx*p(x)Jx.
Центральный момент fc-го порядка:
рк(х) = М(Х-М{Х)/ = ](х-ЛЯ¥))' p(x)dx.
Из определения моментов следует» что а0 - //0 = 1;
М(Х) = а,(Х); D(X) = р2(Х) = а2(Х)-{М(Х))г.
Коэффициент асимметрии или «скошенности» распределения:
<т3(х)
55
Коэффициент эксцесса или островершинности распределения:
£Х=МЧ_3.
<7 (%)
Случайная величина X называется центрированной, если
Л/(Л)=(к Если же для случайной величины X: М(Х)=0, <т(х)=1, то она
называется центрированной и нормированной (стандартизованной)
случайной величиной.
Задачи
6.1. Случайная величина X имеет плотность распределения
Найти параметр С и
вероятностей: р(х) = <
функцию распределения F(x). Построить график функции распре-
деления.
Решение. Для нахождения С воспользуемся свойством 2
плотности распределения вероятностей: j p(x)dx = 1, т.е.
00
2
о
2 2
2
2
.9
2
о \ с
4С = 1, откуда 0=1/4.
О
Следовательно: р(х) = М
0.
Значение функции распределения F(x) зависит от значения
действительного числа х, поэтому если:
X X
1. х < 0,то F(x) = Jp(t)dt = jOdt - 0.
—co - во
2. 0<х<2,то
2 0 2 0 > . < г '
F(x) = = Jodt f- j—(4-2/)dr = —J(4-2/)d/ =
-co -ж П -co 0 4 0
56
з. л >2, то
-ж
О,
0
2
О
2
О
о
X
2
2
О
I
Итак, F(x) = <
2
2
- и изображен на рис. 6.1:
График функции распределения состоит из двух лучей у=0,
у=1 и отрезка параболы у — х —
6.2. Случайная величина А'задана функцией распределения:
0,
х2
Тб’
dF(x)
dx
Найти плотность распределения вероятностей р(х) и вычислить ве-
роятность того, что случайная величина X примет значение из ин-
тервала (0:2).
Решение-. Так как в точках непрерывности F(x) р(х)~
см (6.2), то
Коэффициент эксцесса или островершинности распределения:
<т (х)
Случайная величина X называется центрированной, если
М(Х)=0. Если же для случайной величины X: М(Х)=0, о(х)=1, то она
называется центрированной и нормированной (стандартизованной)
случайной величиной.
Задачи
6.1. Случайная величина X имеет плотность распределения
ГС(4-2х), 0<х<2;
вероятностей: р(х) = 1 Найти параметр С и
[О, х<0;х>2.
функцию распределения F(x). Построить график функции распре-
деления.
Решение. Для нахождения С воспользуемся свойством 2
со
плотности распределения вероятностей: j p(x)Jx = 1, г.е.
со
2
JC(4 - 2x)dx -1,
о
4С = 1, откуда С=1/4.
о’2уфс(8-4)-4С,
*
Следовательно: р(х) =
7(4-2х),
« 4
О,
0<х< 2;
х < 0; х > 2.
Значение функции распределения F(x) зависит от значения
действительного числа х, поэтому если:
1. x<0,toF(x)= Jodr-O.
—со - ап
2. 0<х<2,то
2 0 2 Оу, , г '
F(x) = f = jod1/ t- J- (4-2rW? = — J(4-2r)dr =
-eo ~^x> о -no 0 4 Q
56
3. -Г > 2, то
О
О
—30
2 1
о
2
о
2
х1 2
Итак, ----
График функции распределения состоит из двух лучей у=0,
*2
v=l и отрезка параболы у = х--и изображен на рис. 6.1:
6.2. Случайная величина Xзадана функцией распределения:
О, х < 0;
1, х > 4.
к
Найти плотность распределения вероятностей р(х) и вычислить ве-
роятность того, что случайная величина X примет значение из ин-
тервала (0;2).
Решение'. Так как в точках непрерывности F(x) р(х
см.(6.2), то
dF(x)
dx
57
О, х < О;
Искомую вероятность вычисляем ио формуле (6.4):
г 2
Р(0 < х < 2) = |p(x)tZx = j(x/8)t/x = 1/4.
о о
Эту вероятность можно вычислить с помощью функции рас-
пределения по формуле (6.3):
P(0<x<2) = F(2)-F(0) = ^-0 = ;/
6.3. Дана функция распределения непрерывной случайной
величины X:
О,
F(x) =U sin х,
0< х< тг/2;
х> я/2.
Найти плотность распределения. Построить графики р(х) и F(x).
6.4. Дана функция распределения непрерывной случайной
величины X:
F(x) = <sin2x,
Найти плотность распределения. Построить графики р(х) и F(x).
6.5. Случайная величина задана плотностью распределения
вероятностей'
р(х) = < sin х,
О,
х<0;
0<х<яг/2;
X > 7г/2.
Определить математическое ожидание и дисперсию этой случай-
ной величины.
6.6. Найти дисперсию случайной величины X. заданной
функцией распределения:
58
6.7. Случайная величина X распределена по закону, опреде-
ленному плотностью распределения вероятностей вида:
c-cosл,
р(х) - *
2
О
* 1 2
К
определить Р(х)ч вычислить
Найти константу с,
р(|х| < тг/4), MIX), D(X).
6.8. Пусть функция распределения годовых доходов лиц, об-
лагаемых налогом равна:
F(x) -
О’
О’
|0,
где %о “ минимальный доход.
Определить размер годового дохода, который для случайно
выбранного налогоплательщика может превзойти с вероятностью
6.9. Случайная величина эксцентриситета детали характери-
зуется функцией распределения Рэлея:
2<т2 ntMi v \ Ci-
F(x) = j
0, при х < 0.
Найти: 1) плотность распределения р(л); 2) медиану распределения;
3) моду распределения.
6.10. Функция распределения Вейбулла
Fix) =
—X
х<|
5
10,
в ряде случаев характеризует срок службы электронной аппарату-
ры. Найти: 1) плотность распределения вероятностей; 2) моду рас-
пределения.
6.11. Случайная величина X непрерывного типа имеет плот-
ность распределения вероятностей изображенную на рис. 6.2.
Написать аналитическое выражение для плотности р(х). вы-
числить функцию распределения, математическое ожидание, дис-
персию, моду, медиану. Нарисовать график функции распределе-
ния.
59
Рис.6.2
1.7. Законы распределения непрерывной случайной величины
Равномерное распределение. Пусть плотность вероятности
, на котором вес значения
равна нулю всюду» кроме отрезка [#,/?]
случайной величины X одинаково возможны. Тогда выражение
плотности распределения вероятностей р(х) имеет следующий вид:
О,
р( *) = *
О
Функция равномерного распределения задается формулой:
О, х<а;
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратиче-
ское отклонение срответственно равны:
Л/(А') = ^; D(X) = V~^-, П-3)
Нормальное распределение. Распределение непрерывной
случайной величины называется нормальным, если плотность рас-
пределения вероятностей описывается формулой:
. ( х—m I2
р(х)- —т=-е (7.4)
сг\/2яг
где <j > 0; т - параметры распределения.
60
Функция распределения случайной величины X, распреде-
ленной по нормальному закону:
1 Tr x-m “Г x—m 1 7 - т.
F(x) = fe 2cr dx- dx = adt = -,— |e 2dt. (7.5) x2/~ 2 —co
Полученный интеграл нельзя выразить через элементарные
функции, но его можно вычислить через специальную функцию:
Ф *(х) = / [е 2 dt; (или Ф(х) = JL- [е 2 J/),
называемую нормальной функцией распределения (функцией Лап-
ласа). Эта функция неубывающая, непрерывная слева и
Ф’(-.г) = 1-Ф‘(х), ф‘(-оо) = 0 и Ф‘(+<®) = 1.
Математическое ожидание и дисперсия нормально распреде-
ленной случайной величины X соответственно равны М(Х)=пт,
Центральные моменты случайной величины с нормальным
законом распределения вычисляются при помощи следующих ре-
куррентных соотношений: ^ = (^ - 1)ст2^_2. Поскольку /ц=0, то
нечетные центральные моменты равны нулю, а четные централь-
ные моменты равны: р2 = /м = За4, = 15а6. Коэффициенты
асимметрии и эксцесса для нормального закона распределения рав-
ны нулю, так как они характеризуют «скошенность» и «крутизну»
исследуемого закона распределения по сравнению с нормальным.
Вероятность попадания случайной величины X, подчиненной нор-
мальному закону распределения, на заданный интервал (ат /?), оп-
ределяется следующим образом:
г2
е 2 dt\
9
Ф(х) =
X I2
je 2dt) - функция Лапласа,
о
61
Функция Лапласа удовлетворяет свойствам функции распре-
|
деления и ’Ф(0)^0; Ф(-оо) - —
, ф(-ьоо)--, Ф(-х) = -Ф(х).
Вероятность заданного отклонения вычисляется ио формуле:
— -1, или
Интервалом практически возможных значений случайной ве-
, распределенной по нормальному закону, будет интервал
личины
(га-Зсг; т Збт).
Показательное распределение. Показательным (экспонен-
циальным) называют распределение вероятностей непрерывной
случайной величины X. которое описывается функцией плотности
вероятности:
[О,
где X > 0 постоянная и называется параметром экспоненциального
распределения.
Функция распределения случайной величины, распределен-
ной по показательному закону, имеет вид:
5
О,
Математическое ожидание: А/ ( Az) = —
Дисперсия
среднее квадратическое отклонение: сг(х) = —.
Задачи
7.1- Шкала секундомера имеет цену деления 0,2 сек. Считая,
что случайная величина X - ошибка округления, записать ее плот-
ность распределения функцию распределения. Вычислить М(Х\
D(X), л(Х) случайной величины X. Какова вероятность сделать по
этому секундомеру отсчет времени с ошибкой более 0.05 сек , если
отсчет делается с округлением в ближайшую сторону?
Решенеие. Так как стрелка секундомера двигается скачкообразно
и цена деления равна 0,2 сек, то случайная величина X - ошибка ок-
ругления, распределена равномерно в ин гервале (0; 0,2). Воспользуем-
62
ся формулой (7.1). Тогда плотность распределения вероятностей для
случайной величины X- ошибка округления, запишется в виде:
р(*) =
о,
1
0,2-0
о,
х < 0;
0< х<0,2;
х>0,2.
Функция распределения, согласно (7.2), задается формулой:
[О, х<0;
F(x) =
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратиче-
ское отклонение, согласно формулам (7.3), равны:
М(%) =
0 + 0,2
2
= 0,1; Z)(A') =
0,2-0 1
12 ~300’
сг(ЛГ) =
1
10>/з ‘
Ошибка в отсчете времени будет больше 0,05 сек., если
стрелка секундомера будет «находится» на интервале (0,05; 0,15). Л
вероятность того, что значения случайной величины X принадле-
жат интервалу (0,05; 0,15) вычислим по формуле (6.3):
P(0,05<^<0,15) = F(0,15)-F(0,05) =
= 5-0,15-5-0,05 = 5 (0,15-0,05) = 0,5.,
Ответ. вероятность сделать ошибку более 0,05 равна 0,5.
7,2. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписа-
нию, интервал движения 5 минул. Считая, что случайная величина
Х~ время ожидания автобуса на остановке — распределена равномер-
но, найти вероятность того, что пассажир, подошедший на остановку,
будет ожидать очередной автобус менее 2 минут.
7.3. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания
округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того,
что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
7.4. Шкала рычажных весов, установленных в торговой точ-
ке, имеет цену деления 100г. При измерении массы товара отсчет
делается с точностью до целого деления с скруглением в ближай-
шую сторону. Какова вероятность, что абсолютная ошибка опреде-
ления массы: 1) не превысит величины среднеквадратического от-
клонения возможных ошибок определения массы; 2) будет заклю-
чена в пределах от О до 3o(JV)?
63
7.5. Пациенты заходят в кабинет врача каждые 10 минут.
Пусть время ожидания пациентом посещения врача случайная ве-
личина У, которая имеет равномерное распределение. Найти плот-
.ность распределения, функцию распределения, математическое
ожидание, среднее квадратическое отклонение этой случайной ве-
личины X Вычислить вероятность того, что пациент будет ожидать
посещения врача меньше 3 минут.
7,6. Определить закон распределения случайной величины
X, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией:
1 - 1
а) р(*)=4 ;б) р№=~т==
4у/2л л/72тг
Определить математическое ожидание, дисперсию и функцию рас-
пределения.
+9г
72
Решение, а) Поскольку р(х) =
е 32 , то, сравнив эту
функцию с формулой (7.4), заключаем, что случайная величина X
распределена по нормальному закону с парамсграми т~2\ а=4. Так
как парамсгр т — это математическое ожидание, а а - среднее квад-
ратическое отклонение нормально распределенной случайной ве-
личины, то МУ) = 2, £)(/¥) =16.
Согласно формуле (7.5) определяем функцию распределения:
л-2
~----------------------- 7
1 4 г / „ п X
*
..или F(x) = — + Ф
где Ф(х) - функция Лапласа.
7.7. Записать плотность распределения вероятностей и
функцию распределения нормально распределенной случайной ве-
личины X. если: %) М(Х) = 5; D(X) = 9; б) М(Х) = -3; D(X) = 16.
Решение, а} Так как параметры т и о в формуле плотности
распределения вероятностей являются математическим ожиданием
и средним квадратическим отклонением нормально распределен-
ной случайной величины X, то плотность определяется функцией:
<х-5)г
е 18
е 29
р(Л =
Согласно формуле (7.5) записываем функцию распределения:
64
_ z ...* ( х - 5, ч 1 _ (х-5У
F(x) = Ф ----- , или F(x) = — + Ф------.
\ 3 ) 2 \ 3 j
7.8. Известны числовые характеристики М(Х)=Ь\ £)(АЭ=25
нормально распределенной случайной величины X. Вычислить ве-
роятность того, что значения случайной величины X принадлежит
полуинтервалу [7; 12).
Решение. Для вычисления искомой вероятности воспользу-
емся формулой (7.6), учитывая, что т = 6, <т - yjD(X) = 5:
Р(7 < X < 12) = Ф" ( —- Ф' (I = Ф*(1,2) - Ф*(0,2) =
ч 5 \ 5 j
= 0.8849 - 0,5793 * 0,3056.
7.9. Математическое ожидание случайной величины X рас-
пределенной по нормальному закону равно 5. Вычислить
Р(0 < X < 5), если известно, что Г(0 < X < 10) = ОД.
Решение. Воспользуемся формулой (7.6):
Р(5<Х<10) = Ф‘С^^ -Ф*(——Х = Ф‘[-)-Ф’(0);
V a J к \ ст J
= Ф*(0)—Ф
нии
= 0,5 -(1-0,6) = 0,5 -0,4 = ОД
(при вычисле-
воспользовались формулой Ф*(-х) = 1~ Ф*(х)).
Отпет'. Р(0<г < 5)-0,1.
7.10. Станок-автомат изготавливает втулки, которые удовле-
творяют стандарту, если отклонение величины диаметра А' от про-
ектного размера по модулю не превышает 0,35 мм Каково наибо-
лее вероятное число стандартных втулок из 200, если случайная ве-
личина А'распределена нормально с параметром а ~ 0,2 мм.
Решение. Вначале вычислим вероятность отклонения X от
проектного размера по формуле (7.7), учитывая, что <5 = 0,35, а
а- 0,2:
р(|Х-т|<0,35) = 2 Ф* — -1 = 2 Ф’(1,75)-1 =
65
= 2 - 0,9599 -1 - 0,9198 * 0,92.
Для определения наиболее вероятного числа пг0 стандартных
втулок воспользуемся формулой (5.2), в которой р = 0,92;
q = 1-0,92=0.08, п=200: 200-0,92-0,08 < лл0 < 200 0,92+ 0,92;
183.92 < 7и0 < 184,92, откуда = 184.
Ответ: = 184.
7.11. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически:
средняя масса одной коробки - 1,06 кг. Известно, что только 5%
коробок имеют массу меньше 1 кг. Найти стандартное отклонение,
предполагая, что масса коробок распределена нормально.
Решение, Пусть случайная величина X - масса коробки с шо-
коладом. Из условия задачи следует, что случайная величина X
распределена нормально и что М(Х) - 1,06. Тогда стандартное от-
клонение <г(х ) = V5(7) найдем, из формулы, используя равен-
ство Р(1 <+ос)-Ф* (+эо) -Ф*
. Так как только 5% коробок
имеют массу меньше 1 кг и, следовательно, масса остальных коро-
бок больше 1 кг, то можно записать:
, , .Г0,06^1
или 0,95-Ф
По таблице 1 находим
(0,06
= 1,645, откуда <т=
0,06
0,0365.
7Л2.На автоматическом токарном станке изготавливаются
болты, номинальная длина которых 30 мм. Наблюдаются случай-
ные отклонения от этого размера, распределенные по нормальному
закону с математическим ожиданием т 43 и средним квадратиче-
ским отклонением о = 1мм. При контроле бракуются все болты,
размеры которых отличаются от номинального больше, чем на до-
пуск Д - 3 мм. Найти вероятность того, что наудачу выбранный
болт будет бракованный.
7.13. Случайная величина X подчинена нормальному закону с
математическим ожиданием т = 0 и средним квадратическим от-
клонением о. При каком значении о вероятность попадания слу-
чайной величины Xв интервал (2; 4) достигает максимума?
66
7.14. В нормально распределенной совокупности 15% значе-
ний Л меньше 12 и 40% значений X больше 16,2. Найти среднее
значение и стандартное отклонение данного распределения.
7.15. Химический завод изготавливает серную кислоту номи-
нальной плотности 1,84 г/см3. В результате статистических испы-
таний обнаружено, что практически 99,9% всех выпускаемых реак-
тивов имеют плотность в интервале (1,82; 1,86). Найти вероятность
того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого доста-
точно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинальной более,
чем на 0,01 г/см3, предполагая, что значение плотности распреде-
лено по нормальному закону.
7Д6.В пакете 5% всех акций отклоняется от средней цепы в
120$ более чем на 2$. Считая, что распределение цены акций под-
чиняется нормальному закону, найти, какой процент акций имеет
цену в пределах от 119 до 121$.
7-17. Вероятность банкротства отдельной фирмы равна 0,75.
Основываясь на нормальном законе распределения, определить ка-
кова вероятность того, что из 200 фирм обанкротятся не менее 140
и не более 180.
7.18. С танок-автомат изготавливает цилиндры, номинальный
диаметр которых равен т = 10 мм. Случайная величина X - вели-
чина диаметра, распределена нормально со средним квадратиче-
ским отклонением а -0,1. Найти интервал, в котором с вероятно-
стью 0.9973 будут заключены диаметры изготовленных цилиндров.
7.19. 100 фирм одной отрасли работают независимо друг от
друга. Известно, что каждая фирма обеспечена работой в течение
рабочего времени с вероятностью равной 0,8. Определить вероят-
ность того, что в произвольно взятый момент времени будут рабо-
тать от 70 до 86 фирм, если распределение занятости работой под-
чиняется нормальному закону.
7.20. Средний процент выполнения плана некоторыми предпри-
ятиями составляет 100%, среднее квадратическое отклонение - 9%. По-
ла! ая, что выполнение плана этой фуппой предприятий подчиняются
закону нормального распределения, определить процент предприятий:
а) не выполняющих план; б) выполняющих план от 110 до 150%.
7-21. Два небольших завода F\ и Г2 производят некоторый то-
вар. Количество товара А'] и Х2 производимого соответственно за-
водами F} и Fi за неделю, распределены независимо и можно счи-
тать, что они имеют приближенно нормальное распределение. Ко-
личество товара АГ] имецт среднее значение, равное 6000 и диспер-
сию, равную 900, Х2 имеет среднее значение, равное 15000 и дис-
персию, равную 3600. Товар, производимый па заводе /д, приносит
67
прибыль 3 деп. ед. в расчете на 1 единицу товара, а товар, произво-
димый на F2 - 2 ден. ед. Предполагая, что сумма издержек произ-
водства заводов составляет 10000 ден. ед. в неделю, найти вероят-
ность того, что за некоторую неделю суммарная чистая прибыль
завода будет больше 38500 ден. ед.
7.22. В среднем брак составляет 3%. Какова вероятность того,
что в партии из 500 изделий число бракованных не превышает 20?
Будем исходить из предложения, что число бракованных изделий в
определенных партиях подчиняется нормальному закону распреде-
ления.
7в23.При определении доли прибыли допускают случайные
ошибки, подчиненные нормальному закону распределения со сред-
ним отклонением 10 ден. ед. Найти вероятность того, что опреде-
ление прибыли будет проведено с ошибкой, не превосходящей 15
ден. ед., если систематические ошибки отсутствуют.
7.24. Деталь, изготовленная станком-автоматом, считается
годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектно-
го не превышает I мм. Случайные отклонения конгролируемого
размера от проектного подчинены нормальному распределению со
средним квадратическим отклонением <т=0,5мм и математическим
ожиданием ги=0. Сколько процентов годных деталей изготавливает
станок-автомат?
7.25. Изделие считается высшего качества, если отклонение
его размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине
3,45 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала под-
чиняются нормальному закону распределения со средним квадра-
тическим отклонением равным 3 мм, а систематические отклоне-
ния отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сор-
та, если изготавливаются четыре изделия.
7.26. Как, зная среднее квадратическое отклонение а и мате-
матическое ожидание т случайной величины X, распределенной по
нормальному закону, ориентировочно указать интервал ее практи-
чески возможных значений?
7.27. Как изменяется ордината кривой нормального распреде-
1
ления для с = — и ст — 2 при х — т!
2
7.28. Непрерывная случайная величина распределена по пока-
зательному закону, заданному плотностью распределения вероят-
ностей:
68
при х < 0;
при л > 0.
Вычислить функцию распределения, математическое ожидание
и дисперсию заданной случайной величины X. Найти вероятность то-
го, что значение случайной величины принадлежит интервалу (1; 3).
Решете. Воспользовавшись формулой (7.9) запишем функ-
цию распределения:
Р (*) =
Так как параметр показательного распределения 1=3, то
Вероятность попадания X в ин-
тервал (1; 3) равна разности значений функции распределения на
концах интервала, т.е.
Р(1 < X < 3)=F(3) - F(l) = (1 - е и) - (1 - е'м) = е"3 - е“9 «
« 0,0498 - 0,0001 = 0,0497.
Ответ’. Р(1 < X < 3) * 0,0497.
7.29. Функция распределения случайной величины 7 времени
безотказной работы радиоаппаратуры имеет вид: F{t) -1 - ,
t >0. Какому закону распределения подчиняется эта случайная ве-
личина 7? Вычислить: а) вероятность безотказной работы радиоап-
паратуры в течение времени /=100 ч; б) вероятность того, что ра-
диоаппаратура откажет в течение времени /=100 ч.
Решение. Воспользовавшись формулой (6.2) определим плот-
ность распределения вероятностей случайной величины 7:
р(х) = = (1 - е-0 03')' = О.ОЗе4’’03', t > о,
которая совпадает с функцией (7.8). Следовательно, случайная ве-
личина Т распределена по показательному закону.
Функция распределения F(/) -1 - е 00 г‘, / > 0, определяет
вероятность отказа радиоаппаратуры за время длительностью / с
интенсивностью отказов (среднее число отказов в единицу време-
ни) равной 0,03.
а) Вероятность безотказной работы радиоаппаратуры в течение
времени / = 100 ч. равна:
7J = l-F(/)
0.03100
= 1-1 + е‘3
= 4-» 0.0498.
е
69
б) Так как функция распределения F(j) определяет вероятность
отказа за время длительностью Z, то, подставив /=100 в функцию
распределения, получим вероятность отказа радиоаппаратуры за
время длительностью /=100 ч.:
Р2 = F(100) = 1 - еЧ)03',0° = 1 - е'5 = 1 - 0,0498 = 0,9502.
Ответ'. />,=0,0498; />-=0.9502.
7.30. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной стан-
ции является случайной величиной X, распределенной по показа-
тельному закону со средним временем ожидания, равным 10 мину-
там. Найти вероятности следующих событий; Л - {5 < Х< 15}. В -
= {%>20}.
7.31 На шоссе установлен контрольный пункт для проверки
технического состояния автомобилей. Найти математическое ожи-
дание и среднее квадратическое отклонение случайной величины
Г- времени ожидания очередной машины контролером, если поток
машин рростейший и время (в часах) между прохождениями ма-
шин через контрольный пункт распределено по показательному за-
кону p(t)-$e'5t.
7.32. Студент помнит, что плотность распределения вероят-
ностей показательного распределения имеет вид:
0, прих<0;
-Лк
[Се , прих>0.
Однако он забыл, чему равна постоянная С. Найти постоянную С.
7.33. Производится испытание двух приборов, работающих не-
зависимо друг от друга. Длительность безотказной работы приборов
распределена по показательному закону с плотностями распределе-
ния —0,5/>0; р?(/)- 0,4 е , />0, соответственно.
Найти вероятность того, что в интервале (0; 5) часов откажут. I) оба
прибора, 2) только один прибор; 3) хотя бы один прибор.
7.34. Искусственный спутник земли, движущийся по своей ор-
бите в течение п суток, может случайным образом сталкиваться с ме-
теоритами. Метеориты, пересекающие орбиту и сталкивающиеся со
спутником, образуки пуассоновский поток с плотностью h (метеори-
тов в сутки). Метеорит, попавший в спутник, пробивает его оболочку
с вероятностью р0. Метеорит, пробивший оболочку с вероятностью
Р\. выводит из строя аппаратуру спутника. Найти вероятность сле-
дующих собыгий: а) за время полета его оболочка будет пробита: б)
за время полета его аппаратура будет выведена из строя; в) за время
полета будет пробита оболочка, а аппаратура будет действовать.
70
7.35. При работе некоторого прибора в случайные моменты
времени возникают неисправности. Время Т работы прибора от его
включения до возникновения неисправности распределено по пока-
загельному закону:
p(t)^Ue ' U;
При возникновении неисправности она мгновенно обнаружи-
вается, и прибор поступает в ремонт. Ремонт продолжается время
после чего прибор снова включается в работу. Найти плотность
распределения р* (/) и функцию распределения F (t) промежутка
времени Т между двумя последовательными неисправностями.
Найти его математическое ожидание и дисперсию. Найти вероят-
ность того, что время Т будет больше 2г0.
7.36. Время t между двумя сбоями в работе вычислительной
машины распределено по показательному закону с параметром л:
[О, I < 0.
Решение задачи требует безотказной работы машины в тече-
ние времени т. Если за время т произошел сбой, то задачу прихо-
дится решать заново. Сбой обнаруживается только через время т
после начала решения задачи. Найти закон распределения случай-
ной величины Т - времени, за которое задача будет решена.
1.в.^зИредельные теоремы и закон больших чисел
Все законы теории вероятностей получены из практики, то
есть из наблюдений за массовыми случайными явлениями. Массо-
вые случайные явления проявляются в статистической совокупно-
сти. Было замечено, что при определенных условиях массовые слу-
чайные явления порождают величину неслучайную, которая под-
чиняется вполне определенным закономерностям. Все полученные
соответствующие теоремы и образуют теоремы закона больших
чисел, в которых приведены условия, когда среднее значение слу-
чайных величин стремится к величине не случайной. Таким обра-
зом закон больших чисел - это совокупность теорем, в которых
приведены условия, при которых последовательность случайных
величин подчиняется определенным закономерностям, то есть
стремится к величине неслучайной.
Неравенство Чебышева: Вероятность того, что случайная
величина X отклоняется от своего математического ожидания на
71
величину не меньше е, ограничена сверху величиной —Где
£
Е - положительное действительное число:
млн Р{|х-Л/(^)|<£}>1--^2 (8.1)
£
В частности, если X > 0 и существует М(Х), то
Р(Х>£)< или Р( X < г) > 1 - (8.2)
£ £
Если существует М(Х\ то при любом £>0 справедливо не-
равенство:
(8.3)
Теорема Чебышева (закон больших чисел): Если XiJfa— по-
следовательность независимых случайных величин, которые имеют
конечные математические ожидания и ограниченные дисперсии
(23(^<С)> то ПРИ возрастании п среднее арифметическое наблюден-
ных значений случайных величин сходится по вероятности к средне-
му арифметическому их математических ожиданий:
м
п
Л7->о0
~^М{Х)<£ =1.
Отсюда следует, что для больших п справедливо неравенство:
Г 1 П 1 п \ Л
" /-1
П£~
Закон больших чисел справедлив и для зависимых случайных
величин, то есть справедлива теорема Маркова:
Если для случайных величин выполняется условие
= 0, то при возрастании п среднее арифметическое
наблюденных значений случайных величин сходится по вероятно-
сти к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Теорема Бернулли: Если производится п испытаний, в каж-
дом из которых некоторое событие А может появиться с вероятно-
стью р, то относительная частота появления события в п испытани-
72
ях сходится по вероятности к вероятности появления события в
каждом испытании: lim Р
В частности для больших п:
Теорема Пуассона: Пусть производится п независимых ис-
пытаний, в каждом их которых событие /1 появляется с вероятно-
стями Тогда при неограниченном увеличении числа ис-
пытаний относительная частота появления события А сходится по
вероятности к среднему арифметическому вероятностей появления
события в различных испытаниях:
Г D ™ V*
limr-------/ р.
<Е ~0.
Теорема Линдеберга-Леви: Пусть независимые одина-
ково распределенные случайные величины с математическими ожи-
даниями тп и дисперсиями f?* то при неограниченном увеличении я,
закон распределения нормированной случайной величины Z„ стре-
мится к нормальному закону распределения с плотностью распреде-
1
лспия вероятностей равной <p(Z) ~ >=•<? 2, для которого я?=0, о = 1,
v2zr
где z_ - —— 1=1 — - нормированная случайная величина.
Эго центральная предельная теорема для одинаково распре-
деленных независимых случайных величин.
Теорема Ляпунова: Если AjЛз5— независимые случайные ве-
личины, имеющие конечные математические ожидания пь диспер-
сии г' и конечные абсолютные центральные моменты третьего по-
рядка, удовлетворяющие условиям:
= 0, то закон
распределения величины Zr сходится к нормальному закону распре-
73
деления с плотностью распределения вероятностей (p(z) -
1 4
2л-
интервалу. Условие lim
л- ><»
для которого тО, о =1.
Эта теорема имеет большое практическое значение, так как,
используя се, можно вычислить вероятность того, что сумма неза-
висимых случайных величин принимает значение, принадлежащее
, ' 1 =0, характеризует тот факт,
i=i
что все случайные величины сравнимы между собой, то есть ни од-
на из случайных величин не имеет преимущества перед другими
случайными величинами.
Рассмотрим дискретную случайную величину X, которая ха-
рактеризует число появлений события Анн независимых испыта-
ниях. Эту случайную величину можно представить в виде суммы
случайной величины X» каждая из которых характеризует число
л
появлений события А в z-ом испытании: X - ^Х
i-
Нормированная сумма случайных величин Хь / = 1,м будет
7 т-пр -
иметь вид: Zw ~ ? 1 , где т - число появлении события А в ис-
yjnpq
пытаниях; р - вероятность появления события А в каждом испыта-
нии; п - число испытаний; q~L-p.
Если случайная величина X подчиняется биномиальному за-
кону распределения, то вычисление вероятности того, что некото-
рое событие А появиться т раз в п испытаниях по формуле Бернул-
ли затруднительно, если и достаточно большое, а р мало В этом
случае можно воспользоваться следующими теоремами:
Теорема Муавра-Лапласа (локальная): Пусть производится
п испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может
появиться с вероятностью р (0<р<). Тогда для всех тл, удовлетво-
ряюгцих условию дг < . - < Ь, (где а, Ь - произвольные числа)
\nPq
выполняется соотношение:
74
( 1 -
1 - Р„(т) =0.
yjZ/rnpq
Локальная теорема используется при больших значениях и
для вычисления вероятности Р(А) того, что некоторое событие А
наступает т раз в л испытаниях по формуле:
’ ' Г- z-m~nP
^(w)«-r=^(z); <p(z) =
V"/?v
Теорема Маувра-Лапласа (интегральная): Пусть произво-
дится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А
может появиться с вероятностью р Тогда для любых а и b справед-
ливо соотношение:
(8.4)
b Р
т~пр
JnP4
1
Из предельного равенства теоремы следует формула:
* ж1
Л—НЮ
ту - пр
yjnpq >
т - пр
r\rny I т7) « uj —------
V ,
л
fr ~ X Xiг- число появлений события А в f-ом испытании.
2я
3
Используя теорему Муавра-Лапласа, вычисляется вероят-
т
ность неравенства----р < е, т.е. справедлива формула:
л
В отличие от теорем Бернулли и Пуассона последние две
формулы дают более точную опенку вероятности отклонении час-
тоты появления событий от его математического ожидания и час-
тости события от вероятности появления события в каждом испы-
тании.
Задачи
8.1. Средний вес яблока равен 110 г. Используя неравенство
Чебышева, оценить вероятность того, что наудачу взятое яблоко
весит не более 180 г.
75
Решение. Случайная величина X — вес случайно выбранного
яблока. По условию задачи М(Х) = 110. Тогда искомую вероятность
оценим по второй формуле (8.2), где е будет равно 180. Подставив
значения М(Х) и е, получим:
Р(.¥<180)>1-
110
180
7
18’
Ответ: р - —
18
8.2. Средняя скорость движения автомобилей на одном из
участков автомобильной дороги равно 85 км/час. Используя нера-
венство Чебышева, оценить вероятность того, что у наудачу вы-
бранного автомобиля его скорость не меньше 100 км/час.
Решение. Случайная величина^ — скорость наудачу выбран*
ного автомобиля на данном участке автомобильной дороги. По ус-
ловию задачи МА)=85 км/час. Искомую вероятность оценим, ис-
пользуя первую формулу (8.2), где в—100 км/час. Подставив значе-
85
ния М(Х)^%5 и с= 100, получим: Р{Х > 100) < у— - 0,85.
Ответ: р—0,85.
8.3. Средняя скорость ветра в одном из районов Земли 15
км/час. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность то-
го, что в наудачу выбранный день скорость ветра в этом районе бу-
дет не менее 100 км/час.
8.4. Цля некоторого автопарка среднее число автобусов, от-
правляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских ли-
ниях, равно 5. Оценить вероятность события состоящего в том, что
по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ре-
монт меньше 15 автобусов, если нет информации о дисперсии.
8.5. Число фирм уклоняющихся от полной уплаты налогов для
города N является случайной величиной со средним значением 100
фирм и средним квадратичным отклонением равным 20 фирмам.
Оценить сверху вероятность событий: А = {Х> 150); В = > 200}.
8.6. Вероятность появления события А в каждом испытании
равна 0,5. Используя неравенство Чебышева оценить вероятность
того, что число X появлений события А будет заключено в пределах
от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.
Решение X- число появлений события А в 100 независимых ис-
пытаниях. Найдем математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X):
М(Х) - пр = 100 - 0,5 = 50; D(X) = прд=100- 0,5 • 0,5 = 25.
76
Найдем максимальную разность между заданным числом по-
явлений события и математическим ожиданием М(Х) - 50: £ = 60 -
.-50 = 10. Воспользуемся неравенством Чебышева в форме:
Подставляя М(Х)^50, D(X)=25, £=10, получим:
Р(|Х-50|<10)>1-^ = 0,75.
Ответ: Р(40 < X < 60) > 0,75.
8.7. Вероятность появления события в каждом испытании
равна 0,25. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность
того, что число X появлений события заключено в пределах от 150
до 250, если будет произведено 800 испытаний.
8.8. Вероятность производства нестандартного изделия при
данных технологических условиях равна 0,05. Оценить вероятность
того, что число нестандартных изделий среди 1000 будет заключе-
но в пределах от 85 до 95 включительно.
8.9. Дискретная случайная величина X задана законом рас-
пределения:
Х| 4 5 6 7
£ . 0,2 , (Ц 0,4 0,3
Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность то-
го, что случайная величина X примет значение, удовлетворяющее
неравенству - Л/( )| < 3.
Решение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X: М(Х) = 4 • 0,2 + 5 • 0,1 + 6 • 0,4 + 7 • 0,3 = 5,8;
D(X) = 42 0,2 + 52 0,1 + 62 • 0,4 + 72 • 0,3 - (5,8)2 = 1,16.
Воспользуемся неравенством Чебышева в форме:
Р(|Х-
Подставив значения £)(ЛО = 1,16 и £* = 3, получим:
р(|х - Л/(А >] < г) > 1 - -1 - 0,87.
Ответ. Р(|Л - Л/(2Г)| < £) > 0,87.
8.10. Дискретная случайная величина X задана законом рас-
пределения
0,3 0,6
0,2 0,8
XI -2 3 7 10 15
А 0,1 0,3 0,15 0,25
77
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятноегь того, что
a) - М{Х »| < 0,2; б) |Х - М(Х)| < 4.
8.11. Заданы законы распределения попарно независимых
случайных величин, образующих случайную последователь-
н ос гь {Хп}, л= 1,2,3,...
1 ~\[п 0 \[п
Р(Х=\) £ кют4 i ь-> 1 —
П П П j
-па 0 па
Р(Х = хп) 1 1 1
Зт? Зи2 Зн2
Х„; -па 0 па
Р(Х ~ ) 1 4" ! J_ 1 4"
4” ’
-Tign 0 >/lg«
Л* = х„.) 2 5 СП |
Выяснить, применима ли к этим последовательностям теорема Че-
бышева?
Решение, а) Для того, чтобы к последовательности случайных
величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти
случайные величины были попарно независимы, имели конечные ма-
тематические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.
По условию задачи случайные величины Хп, и=1,2,3,..., по-
парно независимы, т.е. первое условие теоремы Чебышева выпол-
нено.
Для проверки других условий вьгшелим математические
ожидания и дисперсии этих случайных величин. Математические
ожидания равны:
г- 1 ( 2^1 -г 1
Л/(Х,) = -^н-- + 0- 1-- +
п V п J , п
Значит, случайные величины Хп имеет конечные математические
ожидания.
78
Для вычисления дисперсии составим законы распределения X*:
X2 ", п 0 и
’ II 1 п 1 с 1 — | £
Тогда дисперсии равны:
1 ( 2 А 1
= п —+ 0- 1 +л — - 0 = 2.
и \ и у и
Следовательно., дисперсии заданных случайных величин рав-
номерно ограничены числом 2. т.е. третье условие выполнено. По-
скольку все требования выполняются, то к случайной последова-
тельности {X} теорема Чебышева применима.
8.12. Последовательность независимых случайных величин
Х\, Л?,..ХП9... задана законом распределения
-Л 0 л
Pi 1/3 1/3 1/3
Применима ли к данной последовательности теорема Чебы-
шева?
8.13. При изготовлении деталей на станке-автомате брак со-
ставляет 2%. Найти вероятность того, что при проверке партии из
1000 деталей выявится отклонение от установленного процента
брака меньше, чем на 1%.
Решение, Пусть событие А состоит в изготовлении бракован-
ной детали. Вероятность его появления при каждом изготовлении
(испытании) детали постоянна и равна 0,02, т.е. р=0,02. По условию
задачи нам нужно установить, что относительная частота появле-
ния бракованной детали отклонится от вероятности появления бра-
кованной детали в каждом испытании меньше, чем на 1%? т.е.
меньше, чем на 0,01,
Воспользуемся теоремой Бернулли, т.е. неравенством
Поскольку л=1000, £=0,01; р=0,03, (?=1-р=1 0,02=0,98, то
подставив эти значения, получим:
<0,01 >1-
0,02-0,98
1000 (0,01)2
0,0196
0,1
0,804.
79
Таким образом, искомая вероятность Р > 0,804.
8.14. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%.
Найти вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение
относительной частоты (доли) взошедших семян от вероятности
того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по модулю 0,03.
8.15. Для определения средней продолжительности жизни жи~
телей некоторого города, численность которого равна 100000 чело-
век, взяли на выборку по одному человеку из каждой тысячи. Из-
вестно, что для каждой тысячи жителей дисперсия не превышает 3,5
года. Оценить вероятность того, что отклонение средней выбороч-
ной продолжительности жизни отличается от средней продолжи-
тельности жизни жителей для всего города не более чем на 0,5 лет.
Решение. Введем случайные величины Xt - продолжитель-
ность жизни ьго жителя города У-1,100000. Эти случайные вели-
чины независимы, имеют конечные математические ожидания и
ограниченные дисперсии. Следовательно, для оценки искомой ве-
роятности применим теорему Чебышева в форме:
Пн " ,-l J
л
П£ .
Подставив значения к=0,5; с=3,5 и 100, определенные в ус-
с 3 5
ловии задачи, получим Р > 1----- = 1 - —— ----- = 0,86.
НЕ2 100 (0.5)2
Ответ; Р>0,86.
8.16. Для определения средней продолжительности горения
электроламп, изготовленных за некоторое время, в партии из 500
коробок было изъято по одной лампе из каждой коробки. Оценить
вероятность того, что средняя продолжительность горения ото-
бранных 500 ламп отличается от средней продолжительности горе-
ния во всей партии по модулю меньше, чем на 6 часов, если из-
вестно, что среднее квадратическое отклонение продолжительно-
сти горения ламп в каждой коробке меньше 3 часов.
8.17. Па станке изготавливаются цилиндрические детали. Оп-
ределить, сколько нужно произвести замеров, чтобы средний диаметр
цилиндрической детали отличался от номинального значения т не
более чем на 0,02 мм с вероятностью 0,98 Среднее квадратическое
отклонение диаметров изготавливаемых цилиндрических деталей не
превышает О 03 мм и измерения производятся без погрешности.
Решение. Предположим что выбор цилиндрической детали
для замера диаметра, проводится наудачу Тогда случайные вели-
ко
чины Xt - результаты измерения /-ой цилиндрической детали, яв-
ляются независимыми случайными величинами,. Они имеют конеч-
ные математические ожидания и ограниченные дисперсии, так как
по условию задачи <т(Xt) = ^D(Xt) < 0,03 и. следовательно,
в
Подставляя
неравенство
ад) <0,0009.
П£2
значения с=0,0009 и е=0,02, получаем
0,0009
л-0,022
0,0009
л 0,02"
>0,98.
Поскольку 1 -
= 1----->0,98, то, решив это нсравен-
4/1
ство, найдем п: 1-0,98>—,
4л
9
0,02 > — ,
4п
9
4 • 0,02
= 112,5.
п >
Таким образом, поскольку п - натуральное число, то доста-
точно выполнить 113 замеров диаметров цилиндрических деталей.
Ответ: /7-113.
8.18, Сколько раз нужно измерить данную величину, истин-
ное значение которой равно w, чтобы с вероятностью, не меньшей,
чем 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметической
них измерений отличается от т по модулю меньше, чем на 2, если
среднее квадратическое отклонение каждого измерения меньше 5.
ЯЛ 9. При каких значениях пир биномиальный закон распре-
деления вероятностей аппроксимируется пуассоновским? При ка-
ких условиях из биномиального и пуассоновского распределений
получаем нормальное распределение?
8.20. Вероятность поражения мишени при одном выстреле
равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень
будет поражена 75 раз.
Решение: Рассмотрим случайную величину, характеризую-
щую число поражений мишени при 100 выстрелах:
п
«л. - где Xj — число поражении мишени при од-
ном выстреле.
Так как п велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа
1 1 —
(формулой (8 4)): у--#>(х), где ^(х) = —==е 2.
л/ npq \/ 2тг
81
Определяем значение х:
т-пр 75-100-0,8 -5 . __
х = , г ---------- = -^= = -1,25.
yjnpq д/100’0,8-0,2 V16
По таблице функции f?(x) найдем
р(-1,25) = <р(1,25) = 0,1826. Подставив значения ??-100,/?_0,8, ср~\-
0,8=0,2, #>(-1,25) = 0,1826 в формулу (8.4), найдем искомую веро-
ятность: 7Jf)0(75) = — • 0.1826 = 0,04565.
4
Ответ: /J00(75) - 0.04565.
8.21. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400
раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события
в каждом испытании равно 0,6.
8.22. Вероятность рождения мальчика равна 0,512 . Найти ве-
роятность того, что среди 100 новорожденных окажется: 1) 50
мальчиков; 2) больше мальчиков, чем девочек.
8.23. Вероятность появления события А в каждом из 2100 не-
зависимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что собы-
тие появится: а) не менее 1470 и более 1500 раз; б) не менее 1470
раз; в) не более 1496 раз.
Решение, а) Рассмотрим случайную величину Xi - число по-
2100
явлений события А в 2100 испытаниях, которая равна 1=^1,
где X, число появлений события А в z-ом испытании. Случайные
величины Х{ имеют одинаковые математические ожидания
М['Х) = р и дисперсии D[X I- pq. Следовательно, для вычисле-
ния искомой вероятности можно применить интегральную теорему
Муавра-Лапласа, т.е. формулу (8.5).
По условию задачи п =2100, W]=1470, яь=150(), р=0,7, д=1-
п . Г1 т.-пр 1470-2100-0.7 л
р=0,3. Находим вначале х. - . — = 0; и
yjnpq >/2100-0,7-0,3
т2-пр 1500-2100-0.7 30 f
х2 = = ................ — * 1,43.
Jnpq V2100 0,7-0,3 21
По таблице значений функции Ф*(х), находим Ф*(0) - 0,5 и
Ф (1.43) = 0,9236. Затем по формуле (8.5) находим искомую веро-
ятность:
/W 1470; 1500) = Ф*(1,43) - Ф’(0) = 0,9236 - 0,5 = 0,4236.
Ответ-Р2100( 1470; 1500) = 0.4236.
82
8.24. Проводятся последовательные испытания по схеме Бер-
нулли. Вероятность осуществления события А в одном испытании
равна 0,6. Считая применимыми предельные теоремы Муавра-
Лапласа, вычислить вероятность следующих событий: В = {событие
4 произойдет в большинстве из 60 испытаний}; С -{число успеш-
ных осуществлений событий А в 60 испытаниях будет заключено
между 30 и 42}.
8.25. Вероятность того, что деталь стандарта, равна 0,9. Слу-
чайная величина X - число стандартных деталей. Сколько нужно
проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожи-
дать, что не менее 150 деталей будут стандартными.
2п
Решение. Случайная величина X ~^^Хп где X, - число по-
1=1
явлений события А в /-ом испытании; Л={при проверке оказалось,
что деталь стандартна}; М (X ) = р; 7) (X ) = pq.
Воспользуемся формулой (8.5). Согласно условия задачи
р=0,9, ср 1 /7=1 0,9=0,1, т\ 150, т^п неизвестная величина, ко-
торую нужно определить. Подставив эти значения в (8.5), получим:
Р„(150;л) = Ф
или 0,95 = Ф*
0,1/7
.(150-0,9/7
или 0,95 = Ф*
150-0,9и
Из условия задачи следует, что /?>150, поэтому
^4.08. Поскольку Ф*(х) функция возрастающая и
Ф*(3,9)^1,0, то можно положить Ф*
И
- I. Следо вател ьно,
150- 0.9/7
15О-°А9"Уо,О5.
По таблице значений функции Ф*(х) находим Ф(-1,645)- 0 05
150-0,9/7 ,
= -1,645;
сравнивая аргументы, получим:
5
150 0v9n =-0.4935-Jn; 0,9и-0.4935>/й-150 = 0.
83
Решая полученное квадратное уравнение относительно
находим значение я: >/п ~ 13,19; п-174 (с учетом того, что п — на-
туральное число).
Ответ: п= 174.
8.26. Вероятность появления события в каждом из независи-
мых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний,
чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие поя-
вится не менее 75 раз?
8.27. Вероятность появления положительного результата в
каждом из п опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов,
чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150
опытов дадут положительный результат?
8.28. Отдел технического контроля проверил качество науда-
чу отобранных 900 деталей. Вероятность р того, что деталь стан-
дартна равна 0,9. Случайная величина X - число стандартных дета-
лей в партии. Найти наименьший интервал симметричный относи-
тельно М(Х), в котором с вероятностью, не меньше 0,9544 будет за-
ключено число стандартных деталей.
Решение. Воспользуемся формулой (8.7):
в которую подставим значения и=900; р=0,9; ^=1 р 1-0,9 0,1:
Р=0,9544 из условия задачи. Получим равенство:
2Ф*
1 = 0,9544: 2Ф’ (100г )’’ = 0,9544;
2Ф' (100f) = 1,9544; Ф*(100^) = 0.9772.
По таблице значений функции Ф*(х) находим Ф (2)-0,9772.
Сравнивая apiyменты, получим 100£ -2, откуда е = 0,02.
Возвращаясь к формуле (8.7), запишем неравенство
— 0,9 <0,02, решая которое, находим интервал, в котором за-
ключено число стандартных деталей:
-0,02 <--0,9 <0,02; 0,88 < — <0,92; 792 <т <829.
900 900
Ответ: [792; 8291.
8.29. Обследуются 500 пар обуви изготовленной на предпри-
ятии, где брак составляет 2%. Случайная величина X - число пар
84
обуви, не содержащей брак. Найти наименьший интервал, в кото-
ром с вероятностью 0,99 будет заключено обследованное число пар
обуви, не содержащей брак.
8.30. Ежедневно в городе N автобусами перевозится 500000
пассажиров, 10% из которых не оплачивает проезд. Случайная ве-
личина X — число пассажиров, не оплативших проезд. Найти интер-
вал, в котором с вероятностью 0,95 будет заключено число пасса-
жиров, не оплативших проезд.
8.31. Отдел технического контроля проверяет вес 500 коробок
с шоколадными конфетами. Их масса должна ровняться 1 кг. Из-
вестно, что масса 5% коробок не соответствует стандарту. Найти
такое положительное число £, чтобы с вероятностью 0,95 модуль
отклонения частости появления коробки с массой, не соответст-
вующей стандарту, от его вероятности /?=0,05 не превышал £.
8.32. В страховой компании застраховано 10000 автомобилей.
Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии рав-
на 0,006. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в
год 120 ден.ед. страховых взносов и в случае поломки автомобиля в
результате аварии получает от компании 3000 ден.ед. Найти веро-
ятность того, что: 1) А = {по истечении года работы страховая ком-
пания потерпит убытки}, 2) В = {страховая компания получит при-
быль не менее К ден.ед.}, если К = 30000; 40000; 50000.
Решение. 1) С граховая компания потерпит убыток, если при-
дется выплатить потерпевшим сумму, большую страховых взносов
(сумма страховых взносов равна 120 • 10000 = 1200000). Сумма вы-
плат определяется числом автомобилей попавших в аварию и
равна w • 3000 - 3000w. Пусть случайная величина А - число авто-
мобилей, попавших в аварию. Введем обозначения: М- предельное
число автомобилей, попавших в аварию; 5 - сумма, выплачиваемая
пострадавшему; с - страховой взнос; п - количество застрахован-
ных автомобилей.
Страховая компания потерпит убыток, если т < X < п. Тогда,
воспользовавшись формулой (8.5), определим вероятность события А:
Подставив данные из условия задачи п -10000, р- 0,006,
Я = 1 - р =1 - 0.006 ~ 0.994 и значение т, вычисленное из равенства
СП 120-10000
ад = си; т - — =---------= 400, получим
5 3000
85
Р(т
<.¥<л) = Ф*
z 10000-10000-0,006 '
^10000-0,006-0.994,
400-10000-0,006
к V10000-0.006-0.994 у
Ч0000-60л‘
к V2 J
400-60
7,72
=1-1-0
Ответ: 1) Р- 0.
833. С конвейера сходит 85% автомобилей, не содержащих не-
исправностей. Сколько автомобилей следует проверить, чтобы с ве-
роятностью 0,997 отклонение частости исправных автомобилей среди
сошедших с конвейера от вероятности р ~ 0,85 того, что случайно
выбранный автомобиль исправен, по модулю не превосходило 0,01?
834. Всхожесть семян моркови равна 0,95. Найти вероятность
того, что из 1000 посаженных семян моркови число проросших за-
ключено межу 870 и 920.
835.Определить, сколько нужно произвести замеров попе-
речного сечения сосен, предназначенных для вырубки, на большом
участке, чтобы средний диаметр сосен отличался от заданного т не
более чем на 4 с.м с вероятностью не меньшей 0,95. Среднее квад-
ратическое отклонение поперечного сечения сосен на данном уча-
стке не превышает 9 см и измерения проводятся без погрешности.
836. Столовая, вмещающая 850 человек, имеет два разных входа.
Около каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно
быть в каждом из гардеробов, для того, чтобы в среднем в 95 случаях из
100 все посетители могли раздеться в гардеробе того входа, через кото-
рый они вошли? Предполагается, что посетители приходят парами и
каждая пара независимо от других выбирает с вероятностью 0,5 любой
из входов. Насколько можно будет сократить число мест в i ардсробс,
если посетители будут приходить по одиночке и также независимо друг
от друга с равной вероятное! ью выбирать любой из входов.
837. Известно, что в среднем 7% студентов носят очки. Како-
ва вероятность того, что из 250 студентов некоторого факультета
окажется не менее 10% носящих очки?
838. Оценить вероятность события:
т 1
500 5
<0,01.
839. Среднее число вызовов на АТС за 1 минуту равно
Л - 40 - М(Х), где случайная величина X - число вызовов, посту-
пивших на А ГС. Какова вероятность событий: /1-{АЛ>40};
В = {30 < X < 50} 2
8.40. В яшике содержатся изделия, изготовленные на двух за-
водах в отношении 3:2. Проводятся последовательные извлечения
одного изделия с возвращением, причем каждый раз фиксируется
86
на каком заводе изготовлено изделие. Каково минимальное число
извлечений, при котором с вероятностью не меньшей 0,9948 можно
ожидать, что отклонение относительной частоты появления изде-
лия завода № 1 от вероятности его появления в одном извлечении
не превысит величины £ - 0,05 ?
1.9. Двумерные случайные величины
Совокупность случайных величин Аь А2,..., А„, определенных
па вероятностном пространстве (Q,^,^) образует н-мерную слу-
чайную величину (Ац А2,..., АД Если экономический процесс опи-
сывается при помощи двух случайных величин А"] и А?, то опреде-
ляется двумерная случайная величина (Аь А2)или (А, У).
Функцией распределения системы двух случайных величин
(А',У), рассматриваемой как функция переменных х,у назы-
вается вероятность появления события < (X < х)П(У < у)}'
F(x,y) = P{(X <x)C\(Y < у)}.
Значения функции распределения удовлетворяют неравенству
0< F(x,y)< 1.
С геометрической точки зрения функция распределения
F (х, у) определяет вероятность того, что случайная точка (А, У) по-
падет в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х, у), гак как
точка (А, У) будет ниже и левее указанной вершины (рис.9.1).
У*
Рис.9 1
Вероятность попадания случайной точки (А, У) в полуполосу
{г, < А <х2}П{У <у} (рис. 9.2) или в нолунолосу
{X < х} П {у, < У < у21 (рис, 9.3) выражается формулами:
Р((Х| < Лг<х2)П(Г <y))^F(x2,/)-F(x1,y),
87
Р(( X < X) Г (у < Y < у2)) - F(x, у2) - F(x, у,),
соответственно. Вероятность попадания значений двумерной слу-
чайной величины (X У) в прямоугольник
< X < П {у2 < Y < у2) (Г ис.9.4) можно найти по формуле:
/’{(х,<^<хг)П(>1<Г<у2)} =
= (р{х2>Уг)-Г(*пУ2)) - (^(Wi)- F(x„у,)).
Рис.9.2 Рис.9.3
У А
1 х х *
О | х
Рис.9,4
Дискретной называют двухмерную величину, составляющие
которой дискретны.
Законом распределения двумерной дискретной случайной ве-
личины (ХУ) называется множество всевозможных значений (хп ц),
?,7 = 1,оо, дискретных случайных величин X и У и соответствующих
им вероятностей p(xt-,yf\ i.j-\,<x>9 характеризующих вероятность
того, что составляющая X примет значение х{ и одновременно с этим
ТО ОС'
составляющая Y примет значение причем У Р, = 1 •
<-1 у=1
Закон распределения двумерной дискретной случайной вели-
чины (ХУ) задают в виде табл. 9.1.
пЛ X] *2 - ...
Z1 P{x2,y\) — i Р(*лУ1)
- Л- р(-П Jb) Р(Х2,У2) □ . к
• w - « — V • а • ч •
Р(хь>>) . • • Р(*лУ.) • • в
• - • 9 • • “ * V
Непрерывной называют двумерную случайную величину,
составляющие которой непрерывны. Функция р(х,у), равная преде-
лу отношения вероятности попадания двумерной случайной вели
88
чины (А', У) в прямоугольник со сторонами Ах и Ау к площади это-
го прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к
пулю, называется плотностью распределения вероятностей:
Р((х< X <х + Дх)о(у < У <у> + Ду))
р(ху) “ *1т —--------------—~
А‘->о АлДу
Av->0
Зная плотность распределения, можно найти функцию рас-
Л V
пределения по формуле: F(x,y) = | Гpi^^d^di].
Во всех точках, где существует смешанная производная вто-
рого порядка функции распределения f (х, у), плотность распреде-
1
ления вероятностей р(х,у) можно найти по формуле:
Вероятность попадания случайной точки (х,у) в область D
определяется равенством: P((ij)cD}- j jp(x,y)drJy.
(Г>)
Вероятность того, что случайная величина X приняла значе-
ние Х<х при условии, что случайная величина У приняла фиксиро-
ванное значение У=у, вычисляется по формуле:
f y)dx£y J p(^,y)d^
F(x|> ) - Р(Х < х)|(У - у) = .
jp(^,y)d^ рЛу)
Аналогично,
Т У
^p(x.p)dq J р(х, t])dr)
А'(у|х) = Р((У<у)|(Л = х))-^ ---= ^— .
Г ,
J p(xj])dT]
Формулы для вычисления условных плотностей распределе-
ния вероятностей составляющих А и У:
р(х|у)= А,~^=—Рг(у) — р(£,у№;
^х Р2{у) Т
/ । ч dF(y|x) р(х,у) t .wf ( w
р(хI у) =-, р,(х) = I р(
°у p.W I
89
Совокупность условных вероятностей Ptelh),
pfolK), ••• отвечающих условию У^у„ называется условным распре-
делением составляющей Аг при У=у, дискретной двумерной случай-
/ \ P(xi^y}) Pit
ной величины (У,У), где /Я х I у ) --— - —
Pty/) P.J
Аналогично условное распределение составляющей Y при
X-xt дискретной двумерной случайной величины (У, У) - это сово-
купность условных вероятностей
р(У1Ю, Р{У11-*,),р(у7|х,), отвечающих условию Х=х, ,
Начальным моментом порядка k+s двумерной случайной
величины (X,Y) называется математическое ожидание произведе-
ний X* и У1, т.е. ah. =
Если X и У - дискретные случайные величины, то
оо «с
/=1 >1
Если X и Y - непрерывные случайные величины, то
оо
“□С “OD
Центральным моментом порядка к + 5 двумерной случай-
ной величины (X, У) называется математическое ожидание произ-
ведений (У-Л/(У)) и(У-Л/(У)) , т.с.
Дь = Л/((Х-ЛГ(Л))*(У-Л/(У))').
Если составляющие величины являются дискретными, то
а, - ZZU - м(х ))* (у, - И Г)Уpv-
r=l j=\
Если составляющие величины являются непрерывными, то
со «о
I - М(ХУ? (у-p(x,y)dxdyb
—ПО —(О
где р(х, у) плотность распределения двумерной случайной вели-
чины (У, У).
Условным математическим ожиданием } (У) при А' — х (при
Y = у) называется выражение вида;
90
Л/(У IX - х) = Iх);
/- S, „
- для дискретном случайной величи-
М (X \Y--у)-^х^хД у) ;
х У
ны У(Л);
ж
М ( УIX = х) = J я?(у, x)cfy;
-« - для непрерывной случайной вели-
(-М (X | У = у) = jx/?(x, vWxj;
чины У(А).
Математические ожидания составляющих X и У двумерной
случайной величины вычисляются по формулам:
2^xtp - для дискретной случайной величины,
А/(А^) — т ж ю
j j xp(x9y)dxdy - для непрерывной случайной величины.
или
ПО оо
М(Х) = J j xp\x.y)dxdy - для непрерывной случайной величины,
00—30
/?х,Р„ - для дискретной случайной величины,
эо ОС
j - для непрерывной случайной величины,
А/(У) = <
или
А/(У) = ] \xpjx>y)dxdy
- для непрерывной случайной величины.
Корреляционным моментом независимых случайных величин
А' и У, входящих в двумерную случайную величину (А’У), называют
математическое ожидание произведений отклонений эзих величин*
Клу = Л/(( Д' - М(А')){У - М (У))) = А/ { АТ ) - М( А ) А/(У).
J j хур(х, y)dxcly -М(Х) M(Y)
для дискретных случайных величин;
- для непрерывных случайных величин.
91
Корреляционный момент двух независимых случайных вели-
чин А" и У, входящих в двумерную случайную величину (Л, У7)» ра-
вен нулю.
Коэффициентом корреляции /?ЛУ случайных величин X и У,
входящих в двумерную случайную величину (X УХ называют от-
ношение корреляционного момента к произведению средних квад-
ратических отклонений этих величин:
_ ^(ХУ)
о-(х)<т(.у)
Коэффициент корреляции характеризуют степень (тесноту) ли-
нейной корреляционной зависимости между X и У. Случайные ве-
личины, для которых руу = 0 , называются некоррелированными.
Коэффициент корреляции удовлетворяет свойствам:
L Коэффициент корреляции не зависит от единиц измерения
случайных величин.
2. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превы-
шает единицу: |pvr|<l.
3. Если рху = ±1, то между составляющими А' и У случайной
величины (A”,Y) существует линейная функциональная за-
висимость: У = ДЛЛ гД.
4. Если рлу - 0, то составляющие А7 и У двумерной случайной
величины некоррелированы.
5. Если р^. ^0, то составляющие X и У двумерной случайной
величины зависимы.
Уравнения M(X\Y = у) = <р(у) и M(Y X = х) = у(д) называют урав-
нениями регрессии, а. линии, определяемые ими, - линиями регрессии.
Задачи
9Д. Двумерная дискретная случайная величина (X. Y) задана
законом распределения:
Таблица 9.2
пу \ 1 2 3 4
0 0,2 0,15 0,08 0,05
1 0,1 0,05 0,05 0.1
2_ 0,05 0,07 0,08 0,02
Найти: а) законы распределения составляющих А и У;
б) условный закон распределения величины У при А =1:
в) функцию распределения.
92
Выяснить, являются ли независимыми величины X и У.
Вычислить вероятность p(x>y) и основные числовые характе-
ристики М(Х), M{Y), D(X)< D(Y), R(X,F), p(X,Y).
Решение. а) Случайные величины X и Y определены на
множестве ИАГ, состоящем из элементарных исходов, которое
имеет вид:
Одт = {(1;0),(2;0).(3;0),(4;0),....(4;2)}.
Событию {X-l} соответствует множество таких исходов,
у которых первая компонента равна 1: (1;0), (1:1). (1;2). Эти ис-
ходы несовместимы. Вероятность того, что А'примет значение
х., согласно аксиоме 3 Колмогорова, равна:
Р(Х = 1) = р(1;0) + р(1; 1) + /2(1,2) = 0,20 +0,10 - 0,05 = 0,35.
Аналогично
Р(Х = 2) = р(2;0) + р(2;1) + р(2;2) = 0,15 + 0,05 + 0,07 = 0,27;
Р(Х = 3) - р(3; 0) + р(3; I) + р(3;2) = 0,08 + 0,05 -г 0,08 - 0,21;
Р(Х = 4) = р( 4; 0) + /?(4; 1) + />(4; 2) = 0,05 + 0.10 + 0,02 = 0,17.
Следовательно, маргинальное распределение составляющей
А”, может быть задано в виде табл. 9.3.
Таблица 9.3
X,- 1 2 3 4_ УР(Х = л,) = 0,35 + 0.27 + 0,21 + 0,17 = 1.
0,35 0,27 0,21 ОД 7 ’ i
Чтобы найти вероятность P(Y-yt), необходимо сложить веро-
ятности с гроки у/ в табл. 9.2:
ЛУ = 0) = Д1;0) + р(2;0) + р(3;2) + р(4;0) = 0,20+ 0,15+ 0,08 + 0,05 = 0,48:
Р(У = 1) = р(1.1) + р(2;1) + р(3;1) + р(4;1) = 0,10 + 0,05+-0,05 +0,10 = 0,30,
Р(У = 2) = р(1; 2) + /7(2; 2) + р(3;2) + р{ 4; 2) - 0,05 + 0,07 + 0,08 + 0,02 = 0,22.
Тогда маргинальное распределение составляющей У, дву-
мерной случайной величины, имеет вид:
Таблица 9.4
^P(Y = У.) = М8 4 0.30 + 0,22 = 1.
J
У_1 0 1 2
0,48 0,30 ' 0,22
б) Совокупность условных вероятностей р(Г,0), р(1;1), р(1;2)
отвечающих условию А>1, называется условным распределением
составляющей У пои AM. Вероятность значений величины 1 при
AM найдём при помощи формулы:
93
u ’> P(X = V) p(X[)
Поскольку P(X = 1) = 0,2 + 0,10 + 0,05 = 0,35 , го, подставив
значения соответствующих вероятностей, получаем
Ф=о)1м=илл;
VA J -w 1Н/ Г
/>((г.1)1(х = 1))=^=12Ц;
<_ ш_Л г
р((Г,2)|(Х.|))-^| = А = 1.
A. У л—Г и-J Г
Итак, условное распределение составляющей Y при Х~] име-
ет вид:
_____________ Таблица 9.5
- . ° I- 1 2 Ур((у = у,.)|{X = 1)) = 1+ - +1 = 1.
Р У = У, '(х = 1) 0,48 0.30 0,22 U "777
Так как условный и безусловный законы распределения не
совпадают (см. табл. 9.4 и 9.5), то величины У и У зависимы. Этот
вывод подтверждается тем, что не выполняется равенство
р((Х = ^П(Г = у,))-Р(Л^х)Р(Г = у,.)
для любой пары возможных значений Хи К
Например,
Р((ЛГ = 1)А(У = 0)) = 0,2; Р(Х = 1) = О,35; Р(Г = 0) = 0,48;
Р((^ = 1)П(У = 0))*Р(йГ=1). Р(Г = 0), т.к. 0,2*0,35• 0,48.
в) Функция распределения F(x,y) двумерной случайной вели-
чины (X. Y) имеет вид:
Е Р((У = *<Ю(У = У,))= Е Р&'У^
Х^<Х х^<х
yt<y У,<У
где суммирование выполняется по всем точкам (xlyi), для которых
одновременно выполняются неравенства х(<х и у,<у- Тогда для за-
данного закона распределения, получим:
94
о
0,20
0,20-0,15 = 0,35
0,35 - 0,08 = 0,43
0,43*0,05 = 0,48
0,20 + 0.10 = 0,30
F(x,y) = < 0,30 + 0,05 = 0,35
0,20 + 0,10 + 0,15 + 0.05 = 05
0,5 + 0,05 + 0,07=0,62
0,5 + 0,08 + 0,05 = 0,63
0,63 + 0,05 + 0,07 + 0,08 = 0,83
0,63 и 0,05 + 0,10 = 0,78
0,78 + 0,05 1 0,07 + 0,08 + 0,02 = 1
при х < 1 или у < 0;
при 1 < х < 2 и 0 < у < 1;
при 2<х<ЗиО<у<1;
при 3<х<4иО<у<1;
при 4<л и Осу <I;
при 1 < х < 2 и 1 < у < 2;
при 1 < х < 2 и 2 < у;
при 2 < х < 3 и 1 < у < 2;
при 2 < х < 3 и 2 < у;
при 3 < х < 4 и 1 < у < 2;
при 3 <х<4 и 2<у;
при 4 < х и 1 < у < 2,
при 4 < х и 1 < у.
Результат удобнее представлять в виде табл.9.6.
Таблица 9.6
У X 1 1 М Л 1Л 3 < х < 4 4 дг
у<0 0 0 0 0 0
0 < у < 1 0 0,20 0,35 0,43 0,48
1 <у<2 0 0,30 0,5 0,63 0,78
2< у 0 0,35 0,62 0,83 1
Воспользуемся формулами для начальных моментов и ре-
зультатами таблиц 9.3 и 9.4 и вычислим математические ожидания
составляющих А" и У:
4 3
Л4(А) = «10 0,35 । 2 0,27 1 3 0,21 + 4-0,17 = 2,2:
Л/(У) = а01 = yipt = О 0,48 + 1 0.30 + 2 • 0,22 - 0.74.
/+1 у=1
Дисперсии вычислим через второй начальный момент и ре-
зультаты табл. 9.3 и 9.4;
£>( X) = = а№ - ( М (X))’ = 12 0,3 5 - 22 0,27 + 3' 0.21 + 42 0.17 - 4,84 = 1,2;
О(У) = w. =ат (Л/(У))2 = 02 0,48 (I1 -0,30 + 22 -0.22 -(0,74 V =0,6324.
95
Для вычислени ч ковариации К(Х, У) используем аналогичную
формулу через начальный момент:
У) = aN -Л/(А')-Л/(У) = 1-0 0,2 + 2-0-0,15 + 3-0 0,08 + 4-0• 0,05 +1
+ 1-0,10+2-1-0^05 + 3-1-0,05 + 4-1-0,10+1-2-0,05 + 2-2-0.7 +
+3-2 0,08 + 4-2-0,02—2,2-0,74 = 0,142.
Коэффициент корреляции определяется по формуле:
K{X,Y) 0,142
?ху ~ cr(X)<j(Y) ’ 71,2-VO,6324’ ~ °>163‘
Искомая вероятность p(X>Y) определяется как вероятность
попадания в область па плоскости, определяемую соответствую-
щим неравенством:
P(X>Y) = Р„ + Р„ • Р,п - Р» * Р„.Рг, * Ри • Р„ • Ра • Р32 ‘ Р„ =
»=1 7=1
= 0,2 + 0,15 - 0.08 + 0,05 + 0.10 + 0,05 -<- 0,05 + 0,10 + 0,07 + 0,08 + 0,02 = 0,95,
где Plj = р((х=х/)П(г=>7)).
9.2. Кораблем передается сообщение «SOS», которое можея
быть принято двумя радиостанциями. Этот сигнал может быть
принят одной радиостанцией независимо от друтой. Вероятность
того, что сигнал принят первой радиостанцией, составляет 0,95; ве-
роятность того, что сигнал принят второй радиостанцией, равна
0,85. Найти закон распределения двумерной случайной величины,
характеризующей прием сигнала двумя радиостанциями. Написагь
функцию распределения.
Решение: Пусть X - событие, состоящее в том, что сигнал
принимает первая радиостанция. У событие состоит в том, что
сигнал принимает вторая радиостанция.
Множество значений Q -{^Л}.
Х=1 - сигнал принят первой радиостанцией;
Х“-0 - сигнал нс приня т первой радиостанцией.
Множество значений Q, = {0,1}.
У-1 - сигнал принят второй радиостанцией,
К=0 - сигнал не при нят второй радиостанцией.
Вероятность того, что сигнал не принят ни первой, ни второй
радиостанциями равна:
Р{(X = 0) п(У = 0)} - Р(Х = 0)- Г(У = 0) = 0,05 0,15 = 0.0075 .
Вероятность принятия сигнала первой радиостанцией:
Р{(>Г = 1)п(У = 0)} = 0,95 0,15 = 0,1425.
96
Вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией:
Р{( X = 0) п (У = 1)} = 0,05 • 0,85 = 0,0425 .
Вероятность того, что сигнал принят и первой и второй ра-
диостанциями» равна: /’{(Х = 1)п(У = 1]} = 0,95-0,85 = 0,8075.
Тогда закон распределения двумерной случайной величины
(Х,У) равен:
X 0 1
0 0,007 0,142
1 0,042 0,807
При каждом фиксированном значении точки с координатами
(ху) значение /*\хлу) равно сумме вероятностей тех возможных значе-
ний случайной величины (XT), которые понадают внутрь указанного
прямоугольника.
Тогда функция распределения будет иметь вид:
93. Две фирмы выпускают одинаковзло продукцию. Каждая
независимо от другой может принять решение с модернизации произ-
водства Вероятность того, что первая фирма приняла такое решение,
равна 0,6. Вероятность принятия такого решения второй фирмой равна
0,65. Написать закон распределения двумерной случайной величины,
характеризующей принятие решения о модернизации производства
двух фирм» Написать функцию распределения.
Ответ: Закон распределения:
Л L 0 1
0 0,14”! 0,21
1 0,26 039
При каждом фиксированном значении точки с координатами
(л,у) значение равно сумме вероятностей тех возможных
значений (хру,), которые попадают внутрь указанного прямо-
угольника {X < г\ IY < у].
97
9.4. На токарном станке-автомате изготавливаются поршневые
кольца для двигателей автомобиля. Измеряются толщина кольца
(случайная величина X) и диаметр отверстия (случайная величина У).
Известно, что около 5% всех поршневых колец бракованные. При-
чем, 3% брака обусловлены нестандартными диаметрами отверстий,
1% - нестандартной толщиной и 1 % - бракуют по обоим признакам.
Найти: совместное распределение двумерной случайной величины
(А",У); одномерные распределения coci являющих X и У: математиче-
ские ожидания составляющих А и У; корреляционный момент и ко-
эффициент корреляции между составляющими X и У двумерной слу-
чайной величины (X Л.
Ответ: Закон распределения:
М(А') = 0,98; А/(Г) = 0,96; <т(А') = 0.14;
<т(У) = 0,196; =0.019; PxY =0,692.
9.5. В продукции завода брак вследствие дефекта А состав-
ляет 4%, а вследствие дефекта В - 3,5%. Стандартная продукция
составляет 96%. Определить какой процент всей продукции обла-
дает дефектами обоих типов.
9.6. Случайная величина (Д’, У) распределена с постоянной
плотностью р(х,у) = const = С внутри квадрата R, вершины кото-
рого имеют координаты (-2;0), (0;2), (2;0), (0;-2). Определить
плотность распределения случайной величины (ЛГ,У) и условные
плотности распределения р(х\у), р(у\х).
Решение. Построим на плоскости хОу заданный квадрат
(рис.9.5) и определим уравнения сторон квадрата ABCD, восполь-
зовавшись уравнением прямой, проходящей через две заданные
точки: ——= . Подставив координаты вершин А и В полу-
*1 -Хо У\Уо
х-2. у-'О
чим последовательно уравнение стороны АВ: -—- = -^—~ или
у = 2-х.
98
Аналогично находим уравнение стороны ВС: у - х + 2; сто-
роны CD\ у = -х - 2 и стороны DA: у - х - 2.
Согласно условия задачи, плотность распределения вероят-
ностей двумерной случайной величины имеет вид:
[О при(х,у)е/?,
у
Константу С находим, воспользовавшись свойством плотности
распределения:
(*)
Так как область интегрирования является симметричной от-
носительно начала координат, то интеграл, стоящий в левой части
равенства, будет равен:
2 2-х 2
2
2 _
С
(л)
» о
о
о
Тогда 8С L следовательно, С = — и плотность распределения вере
8
я i ностей запишется в виде:
99
5
О при |х|>2-14
Услозные плотности вычислим по формулам:
.л.РС^)
и Iх)-> предварительно вычислив
₽|(Я
а(х) и р2(у):
ж+2
»
А(х) = fp(x,i))d/] =
(х+2>
л 2 х
—
о
О
ог>
х-2
О
” X 1
О прих<-2илих
при х < -2 или х > 2.
2-
приу< 2 или у >2*
Ц-:г при |xj < 2;
или у > 2.
8
О
О
о
100
Тогда
при - 2 < у< 0, |х| < 2 - >,
при 0 < у < 2» |х| < 2 - у;
при |х|+|г| >2.
... h при|х|<2-у, |v|<2;
2(2—,и|)
О при |х|+|у|> 2.
при ~2<х<0, |у|<2-х;
О при |х t |у] > 2.
При |у| < 2;
При х| < 2;
|у|<2-х;
при |х|+|у|>2.
Ответ: р((х) =
Р2(х) =
Р(х | у) = ( 2(2 - |у|)
р(УI *) = < 2(2 -|х|)
х| < 2 - у;
9.7. Плотност ь распределения двумерной случайной величи-
ны (Л.У) имеет вид:
[с(х 4 у) при 0 < х < 2, 0 < у < 2;
О в остальных случаях.
Определить константу С и вычислить математические ожида-
ния составляющих Л и У, коэффициент корреляции.
Решете. Константу С найдем воспользовавшись свойством
плотности распределения вероятности:
101
<х>
f J p(x,y)dxdy = 1
-co
или j J C(x + y)dxdy = 1.
0<x<2
Область интегрирования ограничена прямыми: х=0, х=2 иу-0,
У=2. Поэтому, переходя к повторному интегралу, получим:
2 2
С р/х J(x + y)dy -1.
о о
Вычислим инте1 рал в левой части равенства:
2/ 2\2 2
Cji ху + — dx-C j(2x + 2 )dC -С^х + 2х)
0\ 2/0 0
2
= С(4 + 4) = 8С.
о
Тогда 8С = 1, откуда находим С--. Плотность распределения
двумерной
случайной
величины
примет
вид:
в остальных случаях.
Математические ожидания составляющих вычислим по фор-
мулам:
со оо со <й
M(A')= J ^xp(x,y)dxdy, М(Г)= J fyp(x.y)dxdy.
Подставив значения плотности и учитывая область интегрирования,
Для выполнения коэффициента корреляции, вычислим в на-
чале дисперсии D(X}. £>(13 и корреляционный момент К{Х, У):
102
О
Г>(П =
\(ха _4 _/_35 л; 49 У _lf4_32_35 + 49'\__[ _2___Н
4,*4 3 3 36 2 + 36/4^ ” 9 19 + 18 ) ~ 4 18 Зб’
поскольку нодынтетральные выражения и пределы интегрирования
такие же, как и при вычислении £>(%).
00 1 2 / -т\ / пХ
' 49 1 7(
ах----~—
о 36 8'
49 1
2
О
J 49 1
ах-----= —
36 8
J .J у JL JU
Тогда коэффициент корреляции равен:
-0.09.
г_49
« 36
3
9.8. Двумерная случайная величина (X, У) распределена с по-
стоянной плотностью внутри квадрата R, вершины которого имеют
координаты (0; 0), (0; 2), (2; 0), (2; 2). Найти плотность вероятно-
стей р{х, у) и функцию распределения F(x,y).
103
Ответ' р(х,у) =
при (x,y)£R;
при (х, у) е Л;
О, при х < О; у < О;
—, при0<х<2; 0<v<2;
4
= прих>2; О <у<2;
—, при О < х < 2; у < 2;
1. прих>2; у>*1.
9,9. Поверхность распределения системы случайных вели-
чин (У, У) представляет собой полушар с центром в начале коорди-
нат радиуса R. Найти плотность распределения вероятностей.
Ответ:
+ у1) внутри круга с центром в начале координат радиуса R\
<0
вне этого круга.
9.10. Задана дискретная двумерная случайная величина:
- 3 6
10 0,25 0,10
14 0,15 0,05
18 С,32 0,13
Найги: а) условный закон распределения X, при условии, что у=10;
б) условный закон распределения У, при условии, что х =10;
в) математическое ожидание, дисперсию, коэффициент
корреляции
9.11. Непрерывная двумерная случайная величина (ХУ) рав-
номерно распределена внутри прямоугольного треугольника с
вершинами О(0;0), Л(0;8), £(8,0).
Найти: а) плотность распределения вероятностей:
б) плотность распределения вероятностей состав-
ляющих
104
р(.У I *) ~
32
—; р, (х) -----------
32 1 4 32
при
при 0<х<8, вне указанных интервалов функции
равны нулю.
9.12. В продукции завода брак вследствие дефекта М состав-
ляет 3%, а вследствие дефекта К - 4,5%. Годная продукция состав-
ляет 95%. Определить, какой процент всей продукции обладает де-
фектами обоих типов Вычислить коэффициент корреляции дефек-
тов Ми К.
Ответ: 2,5%; рмк = 0,669.
1.10. Случайные функции. Цепи Маркова
Пусть 7- некоторое множество действительных чисел. Если
каждому значению t е Т поставлена в соответствие случайная ве-
личина %(/), то на множестве Т задана случайная функция ДО-
Если t - время, то случайная функция называется случайным
процессом. Значение случайной функции Д/о) при где t еГ,
называется сечением. Каждое испытание дает конкретную функ-
цию х(0, которая называется реализацией (траекторией) случайной
функции.
При зафиксированном значении аргумента t случайная функ-
ция Х{1) превращается в случайную величину - сечение случайной
функции или процесса Тогда Дг) в данный момент времени / оп-
ределяется плотностью распределения р(х;/). Однако одномерные
законы распределения и их числовые характеристики, вычислен-
ные для одного момента времени (для одного сечения семейства
реализаций) не могут- оценивать характер и вменения процесса во
времени Для этой цели используют характеристики связи между
ординатами, взятыми в различные моменты времени. Наиболее
полно эти связи характеризуются многомерной плотностью рас-
пределения Дх|Л2... л*; 77 произвольных сечений процесса.
Однако многомерная плотность распределения не всегда известна,
поэтому для практических приложений случайные процессы харак-
теризуются математическим ожиданием, дисперсией и корреляци-
онной функцией.
105
Математическим ожиданием случайной функции X(t) назы-
вают неслучайную функцию тих(/), которая при каждом значении
аргумента I равна математическому ожиданию соответствующего
сечения семейства реализаций случайной функции:
№с(г) = Л/[ЛХ/)] и является средней траекторией для всех возмож-
ных реализаций.
Дисперсией случайной функции A(z) называют неслучайную
функцию DA(z), значение которой для каждого I равно дисперсии
соответствующего сечения случайной функции: Dx(t) = £)[А"(Г)] и
характеризующей возможный разброс реализаций случайной
функции относительно средней траектории.
Корреляционной функцией случайной функции ДО назы-
вают неслучайную функцию двух аргументов которая при
каждой паре значении z, f равна корреляционному моменту соот-
ветствующих сечений случайной функции:
" о о
= М x(jyx(t') ,
о о
X(t) = X(t) - X(t’) = X(Z') - ).
Корреляционная функция характеризует степень зависимости
между сечениями случайной функции, относящихся к различным Л
Положительное значение корреляционной функции свидетельству-
ет о том, что при увеличении (уменьшении) ординат процесса в се-
чении t в среднем увеличиваются (уменьшаются) ординаты при
Отрицательная корреляция означает увеличение (уменьшение) в
среднем ординат в сечении t при их уменьшении (увеличении) в
сечении f.
Корреляционная функция является симметричной функцией
своих аргументов, а ее ординаты по абсолютному значению не мо-
гут быть больше произведений среднеквадратичных отклонений в
моменты времени t и t':
|к(м')|<<т(О a(t'). "
Процесс считается стационарным, если его многомерная
плотносз ь распределения не изменяется при сдвиге соответствую-
щих моментов времени на любую величину. В рамках корреляци-
онной теории, процесс считается стационарным, если его ковариа-
ционная функция AffAh) ATfi | не зависит от времени, а зависит
только от разности т = f ~ t,
- mA(r) = ~I'T) = тх = const< К(Ы') - K(t4t + г) = k(r).
106
Корреляционная функция стационарного процесса по моду-
лю не превосходит дисперсию: [/:(г)| < Аг(О) = D - а1.
Стационарный процесс у кот орого корреляционная функция
стремится к нулю Л(г) —>0 при г—>оо называют эргодичным. Эр-
годические процессы представляют наибольший интерес для прак-
тических приложений, поскольку их характеристики, определяе-
мые по семейству и по одной реализации совпадают:
I? 17 ° °
т -+-\X(t)dt‘ к{т}->-\X(t}X(t^f)dt.
О * о
Марковскими случайными процессами называют такие про-
цесса, у которых плотность совместного распределения произволь-
ных двух сечений полностью определяют характер процессов, т.е
дальнейшее поведение процесса зависит только от значений, при-
нятых процессом в настоящий момент времени, и не зависит от ра-
нее принятых, Марковский случайный процесс, в котором сама
функция принимает сче1 нос множество возможных состояний
(дискретные состояния) > переход из одного состояния
в другое происходит скачком под влиянием случайных факторов,
называют цепями Маркова. Если переход из состояния в состоя-
ние происходит в дискретные моменты времени Л,-, то та-
кой процесс называют дискретными цепями Маркова.. Если пе-
реходы возможны в любой момент времени, то процесс называют
непрерывными цепями Маркова.
Вероятность того, что дискретная цепь Маркова в момент
времени примет значение при условии, что в момент времени tr_
1, она имела значение хм, называют вероятностью перехода из со-
стояния в состояние 4)- Если эта вероятность зависит от
длины промежутка времени г-Г -/ч и не зависит от начала от-
счета времени, т.е. не зависит от номера шага, то такую цепь Мар-
кова называют однородной: 0=-
Дискретные цепи Маркова однозначно определяются либо
матрицей переходов
/7 = 1, л?; =
Р mG Р m\ Р nin
107
Sa=1’ / = 0’w’
/-0
или графом состояний
Вектором вероятностей (безусловной вероятностью со-
стояния цепи Маркова называют вероятности рп(Л) того, что в мо-
мент времени цепь примет значение которая представляет со -
бой матрицу-строку:
^,(0 = [Ро(05Р2(0»Рз(^)>-Рп(0]> где =
г-0
Вектор вероятностей состояния однородной цели Маркова
после i этапов однозначно определяется вектором вероятностей
Р(/о) в начальный момент времени и матрицей переходов Р(т):
Р(О = Р(г0)Р'(т);
| А « ), А (Г,).Р„ (0| = I A) <t0 ), р{ (Д, ),.. .р„ <Л> )|х
Если в цепи Маркова I—»<хц то вектор вероятностей состоя-
ния превращается в вектор финальной (стационарной) вероятности
[po,piv-.,pj, определяемый из однородной системы (и+1)-го уравне-
ния:
Л = РоРоо * АРю + Р2Р20 + *-Р„Ря0;
А = Р0Р01 + АРи + Р2Р21 + -РМ
Pl ~ PgPq2 Р\Р\? + Р1Р11 + •,‘РлРл2’
I РП = А)РОя + P1Pi„ + Р2Р2. + РлР«п-
Учитывая, что po+Pi *—+рп ” 1 и заменяя этим соотношением
одно из вышеприведенных уравнений в системе, находим искомые
финальные (стационарные) вероятности однородной цепи Маркова,
108
Для непрерывных цепей Маркова возможности перехода из
состояния хт в состояние х„ за время Дг оценивается плотностью
вероятностей перехода Атм:
Лмп - lim ———при условии, что
Д< >0
Если Атп не зависит от времени, то непрерывная цепь Марко-
ва называется однородной.
Для непрерывных цепей Маркова вектор вероятностей со-
стояния есть функция времени и определяется путем решения сис-
темы дифференциальных уравнений, которые составляются по
графу состояния цепи Маркова по следующим правилам:
- в левой части каждого уравнения стоят производные по вре-
мени вероятностей состояния цени;
- правая часть этих уравнений содержит столько членов, сколь-
ко переходов (с грелок на графе) связанно с данным состояни-
ем;
- каждый член правой части уравнений равен произведению
плотности вероятностей перехода, соответствующей данной
стрелки графа состояния, умноженной на вероятность того со-
стояния из которого исходит стрелка;
- каждый член правой части уравнений имеет знак «минус», ес-
ли стрелка графа состояния входит в данное состояния и знак
«плюс», если стрелка выходит из данного состояния.
Например: Имеем граф состояния однородной непрерывной
цепи Маркова:
Л 2
Для этого графа составляем систему уравнений по вышеуказанным
правилам:
Ф1(0
di
dp2 (/)
dt
(0 Л'азРг (О’
109
Учитывая, что PiW+aGHPsO) "L известными методами находят
Рг(/)> Рз(О-
В случае, когда нас интересуют вероятности состояния не-
прерывных цепей Маркова по истечению длительного промежутка
времени (установившейся процесс t —> оо), то решение системы по-
лучают путем записи в левой части системы дифференциальных
dp
вместо производных нулей, т.е. —- 0.
dt
Задачи
10.1, Имеются три конкурирующих изделия хцхгЛз- Для опре-
деления спроса на эти изделия произведен в некоторый момент
времени г0 опрос 1000 человек. Оказалось, что Xj покупают 500 че-
ловек, х2 ~ 200, xj - 300. По истечению месяца оказалось, что из 500
человек, покупавших изделие хь 450 человек продолжали покупать
это изделие, 40 человек стали покупать изделие 10 человек - из-
делие Хз. Из 200 человек, покупавших изделие х2, 80 стали покупать
изделие хь 60 - изделие х3, 60 продолжали покупать изделие х2. Из
300 человек, покупавших изделие х3, 60 продолжали покупать это
изделие, 210 стали покупать изделие X], а 30 - изделие х2. Опреде-
лить какое изделие по истечению месяца, двух и пяти лет будет
пользоваться наибольшим спросом.
Решение: Предположим, что поведение покупателей в каж-
дый следующий месяц обусловлено их поведением в предыдущий
месяц, то мы можем представить эту задачу в виде дискретной од-
нородной цепи Маркова с тремя состояниями.
В момент времени /о (проведение опроса) вероятности со-
стояния системы (вероятности спроса на изделия) имели следую-
щие значения:
500
200
1000
2°°._од
1000
1000
Р(/с) |0,5;0,2;0,3|.
Определим параметры матрицы переходов (вероятности пе-
рехода из состояния в состояние):
450 Л Л 40 10
ра=—Р\з=—=0.02;
500 и 500 /13 500
60 _ _ 80 „ .. 60 Л „
— =0,3;
200
200
200
110
60 „ 210
Pv=—=0,2; £>,.=—=0,7;
300 300
0,02
0,3
0,2
0,9 0,08
Найдем вектор вероятностей состояния цепи по истечению одного
месяца:
0,9 0,08
0,02
Р(/,) = ^о)х />1(т) = |0,5;0,2;0,3|х 0,4 0,3
0,3 = |0,74,0,13;0,13
0,7 0J
0,2
Т е. наибольшим спросом по истечению одного месяца будет поль-
зоваться изделие Х|, (pi(/i) = 0,74), изделия х2, х3 одинаковым спро-
сом (р2(0) =РзОО = 0,13).
По истечению двух месяцев:
0,9
Р(1г) = Р(!, ) х Р(?) = |0,74; 0,13; 0,13| х
0,4
0,7
0,08
0,3
0,1
0,02
0,3 =|0,809;0,1112;0,0798|
0,2
наибольшим спросом так же будет пользоват ься изделие Хь По ис-
течению более длительного срока, оценку спроса можно произве-
сти исходя из того, что для данной цепи условия эргодичности вы-
полняется. При т —> оо получаем следующую сис гему уравнений:
Pt=0,9 pi +0,4р2+0,7р3;
Р2 =0,08pi +0,3/?2+0,1рз;
Рз =0,07р( +0,Зр2+0^р3.
Заменив одно из уравнений вышеуказанной системы уравне-
нием Р1+р2+рз=1, получим искомые финишные (стационарные) ве-
роятности нашей цепи Маркова pi -0,84; р2 =0,1; р3=0,06.
10.2.В городе N три местных супермаркета Л, В, С, конкури-
руют между собой и относительно их фирма по изучения рынка
выявила следующие факты. На L января каждый магазин имел рав-
ное число покупателей. За предыдущие 12 месяцев в среднем за
месяц:
- Магазин А сохранил 80% своих покупателей и получил 10%
покупателей магазина В и 2% покупателей магазина С;
- Магазин В сохранил 70% своих покупателей и получил 144
покупателей магазина А и 8% покупателей магазина С;
ill
- Магазин С сохранил 90% своих покупателей, получил 6%
покупателей магазина J и 20% покупателей магазина В.
Составьте матрицу перехода для средних ежемесячных изме-
нений. Если предположить, что общее число покупателей в городе
Л постоянно, то какую долю от их числа имеет каждый магазин с 1
февраля, учитывая, что составленная матрица переходов верна в
течение января.
10.3 . Компания по прокату автомобилей выдает автомобили в
ipex аэропортах. Клиенты возвращают автомобили в эти аэропорты
в соответствии с таблицей вероятностей:
Откуда^^-^ В С
0,8 0,2 0
в 0,2 0 0,8
с 0,2 0,2 0,6
а) Вычислить вектор X* Марковской цепи, удовлетворяющий
з
равенству Х*-Х'Р9 = I, Представляет ли эт от вектор ста-
Г=1
циэнарные вероятности?
б) В каком аэропорту следует построить авторемонтную стан-
цию?
10.4 . Некоторая фирма находиться в одном из двух состоя-
нии: «получает прибыль» или «нуждается в диверсификации своей
деятельносз и». Если фирма получает прибыль сегодня, вероятность
того, что она будет получать прибыль завтра, равна 0,7, а вероят-
ность того, что она завтра будет нуждаться в диверсификации сво-
ей деятельности, равна 0,3. Если же фирма нуждается в диверсифи-
кации своей деятельности сегодня, то вероятность того, что она бу-
дет работать с прибылью завтра равна 0,6, а верояп ность того, что
она будет нуждаться в диверсификации своей деятельности, равна
0 4. Определить вероятность работы фирмы с прибылью через три
Дня.
112
РАЗДЕЛ 2* МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
В основе законов распределения случайных величин, событий,
основных теорем теории вероятностей лежит эксперимент, т.е. каждое
исследование случайных явлений, выполняемое методами теории ве-
роятностей, прямо или косвенно опирается на экспериментальные
данные. Поэтому математическая статистика занимается разработкой
методов сбора, описания и анализа экспериментальных дштых, полу-
чаемых в результате наблюдении массовых случайных явлений. При
этом можно выделить три этапа, присутствующие в любом приложе-
нии статистических методов:
1)сбор данных;
2) обработка данных;
3) статистические выводы - прогнозы и решения.
2.1. Выборочные статистики
Статистические распределения. Исходным материалом ма-
тематического исследования является ст атлетическая совокуп-
ность, которая образует выборку. Если X - изучаемая случайная ве-
личина, то возможное множество значений случайной величины
составляют генеральную совокупность, а наблюдаемые значе-
ния случайной величины {хрхр.- выборку.
Распределение выборки, задаваемое интервальным статистиче-
ским рядом (табл. 1.1) или таблицей относительных частот (табл.
1.2), называется эмпирическим распределением случайной величи-
ны X.
Таблица 11
Интервалы на- блюденных значений не- прерывной случайной ве- личины Х,1, [л, ;х2) , Л з ) । , .* д } ее*
Относительные частоты И’ = 1 ГТ £ с и пи = п — - 1 ь? 11 Я |3 • • а =— п
л
1=1
113
Интервальный статистический ряд распределения пред-
ставленный графически, называется гистограммой (рис. 1.1):
йЛ
Л«
й? -
Й| -
Рис. 1.1
Площадь каждош прямоугольника равна соответствующей от-
носительной частоте. А площадь всей гистограммы равна единице.
Таблица 1.2
Наблюденные
значения дис-
кретной слу-
чайной вели-
чины, х{
Относительные
частоты
w =
/
W -
I
Ломаная линия с вершинами в точках или точках
Pi -----
х ,/=Н,А, называется частотным многоугольником (полигоном
частот) или полигоном относительных частот (рис. 1.2):
И',J L
И’4 -
M’j -
М’5 -
И>2 -
*1 Х2 Хз X» *5 Х{
Рис 1.2
114
Эмпирической функцией распределения называется относи-
тельная частота события {Х<х} в данной выборке значений слу-
чайной велич ины X, т.е.
где тх - число значений х„ меньших х, п - объем выборки Значе-
ния эмпирической функции распределения принадлежат отрез-
ку [0;1], т.е. О < F(x) < 1.
Эмпирическая функция распределения удовлетворяет сле-
дующим свойствам:
I. F(x) - неубывающая функция;
2. F(x) кусочно-постоянная непрерывная слева функция;
3. Если х<х/ то F(x)= 0 и если х>хк, то F(x) = 1.
Эмпирическая функция распределения F(x) сходится по ве-
роятности к функции распределения F(x) генеральной совокупно-
сти, т.е. Пт4Нх)_/'М<£)=1’где г>0-
ff >л
Основные числовые характеристики
распределения. Среднее арифметическое:
к
эмпирического
(1.1)
Медиана:
Me - х ., ИЛИ Me = "
где -средняя варианта, если
число вариант нечетно; xwi/xm+l-средние варианты, если число ва-
риант чет но. или Me = хяе
(1.2)
где хте - нижняя граница интервала, в котором лежит медиана; /
длина интервала; 5^-сумма частот во всех интервалах, предше-
ствующих медианному; - частота медианного интервала
Мода:
Мп = х,, где варианта имеет наибольшую частоту;
или
Мо
то
(13)
115
где - нижняя граница интервала, в котором лежит мода; / -
длина интервала; H'nw,wwi_l,kvWt+l - относительные частоты, соответ-
ствующие модальному, предшествующему и последующему ин-
тервалам.
Статистическая дисперсия:
5’ =СТ2 =-£(*, -А’)2 т„ £»», =п; (1.4)
4-1 1=1
s>F-(7)‘;
Среднее статистическое квадратическое отклонение (стан-
дартная ошибка):
Вариационный размах:
^max ^min •
(1.6)
Среднее абсолютное (линейное) отклонение:
<1’7>
Я 4=1 1=1
Коэффициенты вариации:
К = 4- • I00%; Г = i 100%;
Л * *>
г, =-£-юо%.
0.8)
Начальный момент /с-го порядка:
Центральный момент к-1 о порядка:
Асимметрия:
Эксцесс:
(1-9)
(МО)
(1 И)
(112)
нб
Задачи
1.1. Для статистической совокупности данных, характери-
зующих затраты на 1 денежную единицу продукции (работ, услуг)
за год по 100 предприятиям г. Минска:
61,55 61,59 62,09 63,08 63,97 64,74 65.07
67,12 68,10 69,38 70,21 70,21 70,36 71,25
71,86 72,00 72,39 72,41 72,46 72,50 72,80
72,84 73,44 74,93 75,46 75,65 77,13 77,37
77,64 77,86 90,93 78,03 78,28 78.74 78,97
79,07 79,10 79.34 79.34 19.39 79,40 79,49
79.70 80,02 80,26 80,56 80,65 80,69 81,13
81,32 81,40 81,54 81,85 82,27 82,71 82,74
82,78 83,03 83,05 83,59 83,68 83,74 83.78
83,96 84,98 85,18 85.32 85.64 85,71 85.64
86,01 86,03 86,11 86,11 86.48 86,94 86.98
87,38 87,47 87,59 87,89 88,03 88,04 88,11
88.24 88,89 90,34 90,40 90,58 90,73 90.76
92,51 92,72 92,94 94,58 95,06 95,73 96,11
96,34 96,55
построить эмпирическое распределение, эмпирическую функцию
распределения. Вычислить числовые характеристики.
Решение. Составим ряд распределения, характеризующий
затраты в денежных единицах на 1 ден. ед. продукции (работ, ус-
луг) по 100 предприятиям.
Каждое индивидуальное измерение затрат представлено от-
дельно, поэтому эти данные называют несгруппированными дис-
кретными данными. Следовательно, исследуемая случайная вели-
чина X является дискретной случайной величиной. Дискретные
данные также могут быть подвергнуты 1рунпировке. В результате
группировки данных облегчается их интерпретация, хотя при этом
частично теряется точность.
Определим длину интервала по формуле:
V — X
mir
96,55 61,55
1ч 3,3221gм 1 + 3,3221g 100
Вычислим частоты и относительные частоты >vf вари-
ант, принадлежащих каждому интервалу. Результат сведем в
таблицу 1.3
117
Таблица 1 3
Затраты на 1 ден. ед. продукции, ден. ед. Количество предприятий, /п. Относительная частота, wf Накопленная частота, / и;
[61,55; 66,55) 7 0,07 0,07
[66,55; 71,55) 7 0,07 0,14
[71,55:76,551 12 0,12 0,26
[76,55; 81,55) 26 0,26 0,52
[81,55; 86,55) 23 0,23 0,75
.86,55; 91.551 16 0,16 0.91
[91,55; 96,55] 9 0,09 1,00
Затраты по предприятиям, составляющие интервальный ряд
распределения, представим графически. Построим гистограмму и
полигон (рис. 13, 1.4 соответственно).
118
Используя накопленные относительные частоты, составляем
кумулянту (эмпирическую функцию распределения):
О, при л ^61,55
0,07, при 61.55 <х <66,55
0,7 + 0,7 = 0,14, при 66,55 <х <71,55
0,14 + 0,12 = 0,26, при 71,55 < х< 76.55
0,26 + 0,26 = 0,52, при 76,55< х<81,55
0,52 + 0,23 = 0,75, при 81,55 < х < 86,55
0,75 +0,16 = 0,91, при 86,55 <х £ 91,55
[0,91 + 0,09 = 1,00, при 91,55 <х
1 рафик эмпирической функции распределения показан на рис
1.5.
Ли 1
Рис 1.5
Вычислим числовые характеристики затрат (в денежных еди-
ницах) на 1 ден. ед. продукции (работ, услуг) по данным 100 пред-
приятий г. Минска.
Среднее арифметическое для несгруппированных данных
X -Ух, = — (61,55 + 61,5Q+...4.Q6,55) = 80,828.
п 71 100
Если данные представлены в виде интервального статистиче-
ского ряда распределения, то среднюю точку х каждого инт ервала
выбирают в качестве представителя всех вариант, входящих в со-
став интервала Значение средней точки каждою интерната умно-
119
жают на частоту интервала, суммируют эти произведения и делят
на объем выборки:
— 1 * I
X = - У хшт ----(64,05 • 7 + 69,05 7 +... + 94,05 9) = 80,80
ш 1 100х
Как уже отмечалось, группировка всегда сопровождается по-
терей точности, что и подтверждает вычисление среднего арифме-
тического. Поэтому остальные числовые характеристики вычислим
по нс сгруппированным данным.
Не сгруппированные данные образуют дискретный вариаци-
онный ряд, содержащий четное число вариант, поэтому медиана
равна полусумме средних вариант:
Me = = 8Ь32-ь81Л0 = g
2 2
Такие исходные не сгруппированные данные не имеют моды.
Но если рассмотреть интервальный статистический ряд распреде-
ления (таблица 1.3), то модальным интервалом будет интервал
(76,55;81,55), имеющий наибольшую частоту и тогда моду вычис-
лим по формуле (1.3):
-is г г е 0,27 — 0,11 _ 0,16 --
Мо = 76,55 + 5 7--г—т--------г = 76.55 + 5------= 80,55.
(0,27 -0.11)+ (0,27 - 0,23) 0,16 + 0,04
С теоретической точки зрения наиболее подходящей мерой
колеблемости ряда распределения служит статистическая диспер-
сия:
S2 = -У (х, - J)3 = —(371,641 + .. + 247,181) = 70,16498.
п100
Среднее статистическое квадратичное отклонение - величи-
на абсолютная, она выражается в тех же единицах, что и сами за-
траты:
5 = = ^70.16498 = 8,37645.
Пределы изменения затрат характеризует размах.
R = 96,55 61,55=35,0.
Вычисляем безразмерные показатели вариации - коэффици-
енты вариации:
V. = Д • 100% = 5,0 100% = 43,30%;
Л X 80,828
Г = -£ 100% = ] 00% = 8,25%;
р X 80,828
120
к = i । oo% =—7645 i oo% = i о,зо%.
X 80,828
Значение коэффициента вариации показывает, что сово-
купность исходных данных однородна.
Выяснение общего характера распределения предполагает
вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Асимметрия:
3373,14534
100 587,73290
= -0,064198
отрицательна, следовательно, распределение характеризуется не-
значительной левосторонней асимметрией.
Эксцесс:
-3 =
1317212,245
492311,4
3 = -0,3 2443
отрицательный, следовательно, распределение затрат более плос-
ковершинное по сравнению с нормальным.
Ошибки асимметрии и эксцесса 5^0,23774. 5^=0,45475
удовлетворяют неравенствам:
Й = 0,27 <3, й = о.71<3,
S. Sa
откуда следует, что асимметрия и эксцесс незначительны в распре-
делении затрат.
В задачах 1.2 — 1.4 построить эмпирическое распределение,
его графическое представление, эмпирическую функцию распреде-
ления и вычислить числовые характеристики выборки: среднее
арифметическое, моду, медиану, статистическую дисперсию, сред-
нее стат истическое квадратическое отклонение, вариационный
размах, среднее абсолютное (линейное) отклонение, коэффициенты
вариации, асимметрию и эксцесс
1.2. Число построенных квартир (тысяч) различными органи-
зациями приводятся в таблице 1.4
121
Таблица 1.4
Государственными предприятиями и организациями Жилищно- строительными кооперативами Индивидуальными застройщиками Колхозами Кооперативными, арендными, обще- ственными органи- зациями и другими организациями
50,4 8,0 28,2 2,9 0,2
52,5 8,2 21,9 2,9 0,4
51,3 9,1 21,6 з,з 0,4
58,8 8,5 21,8 3,5 0,4
53,2 7,5 20,4 4,2 0,3
53,7 6,4 18,7 5.0 0,4
50,1 6,5 15,2 4,1 0,3
53,7 6,5 13,1 4,6 0,5
54,8 7,0 1L6 5,0 0,3
54,6 6,1 1L0 6,0 0,2
58,3 6,5 8,9 6,2 0,5 1
59,7 .... А1 8,0 7,0 0,3
59,4 7.4 7,6 7,5 0,2
59,4 9,6 6,9 7,3 0,3
61,0 10,2 . 6,4 8,9 0,3
61,1 1L1 5,8 9,9 0,6
61,7 11,8 6,3 11,8 0,5
71,0 13,8 _ 5.7 8,9 0,3
67,5 11/ 1 5,7 7,9 0,2
69,7 12,0 . . .5^9__ 6,5 о,3
63,3 10,8 8,3 5,4 1,3
66,2 52,7 7/) 4,4 3.9 3,9 3J 2J 4J
36,0 ' 11,2 4,2 3.0 4,7
30,8 ...... 83 5j3 1,6 4,9
15,8 3,5 4,7 0,9 2,4
13,4 15,1 12 0,6 32
1.3. Поезда метро идут строю по расписанию с интервалом в
5 минут. В результате измерения получена выборка времени (в се-
кундах) ожидания поезда для 35 студентов, каждый из которых
выходит на перрон в случайный момент времени:
38; 61; 60; 42; 52; 51; 34; 65; 72; 80; 92; 90; 104; 102; 79.
39; 60; 61.40; 41; 42; 50; 70; 71; 72. 73; 74; 75; 77; 80; 81; 84; 85;
40; 42.
122
1.4. Число автомобилей, подъезжающих на заправку в тече-
нии часа в различное время суток характеризуется выборкой:
6-7; 7-8; 8-9; 9-10; 10-11; 11-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16;
12 20 40 37 28 15 21 17 18 11
16-17; 17-18; 18-19; 19-20; 20-21; 21-22: 22-23 .
8 25 30 20 11 10 10
В задачах 1.5-1.14 построить интервальный статистический
ряд распределения (если он нс задан), шетмрамму, полигон отно-
сительных частот, эмпирическую функцию распределения, вычис-
лить числовые характеристики выборки: среднее арифметическое,
медиану, моду, статисзическую дисперсию и среднее квадратиче-
ское отклонение, вариационный размах, среднее абсолютное (ли-
нейное) отклонение, коэффициенты вариации.
1.5. Интервальный ряд распределения:
Таблица 1.5
Границы интервалов. 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80
Частоты, m 10 20 70 180 120 80 20
1.6. Интервальный ряд распределения:
Таблица 1.6
Границы интервалов. 18 20 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 30-32 32 34
Частоты, гл; 10 20 70 180 120 80 20 50
1.7. Результаты измерения емкости затвор сток у 96 поле-
вых транзисторов:
1,9 3,1 1,3 0.7 3,2 1.1 2,9 2.7 2.7 4.0 3.1 3,9
17 3,2 0,9 0,8 3,1 1,2 2,6 1,9 2,3 3,2 1,3 2,8
4,1 1,3 2,4 4,5 2,5 0,9 1,4 1,6 2,2 3,1 2,1 2,5
1,5 1.1 2.3 4,3 2.1 0.7 1.2 1,5 1.8 2.9 2.5 2,1
0,8 0,9 1,7 4.1 4,3 2,6 0,9 0.8 1.2 2.1 1.8 3,1
3,2 2,9 М 3.2 4,5 2,1 3,1 5,1 1,1 1,9 1,3 2,6
0,9 3,1 0,9 3,1 3,3 2,8 2,5 4,0 4,3 1,1 2,5 3,5
2.1 3.8 4.6 3,8 2,3 3.9 2.4 4,1 4.2 0.9 3,7 3,9
123
1.8. Распределение скорости автомобилей на одном из участ-
ков автомагистрали:
64 66 90 101 10 120 102 90 101 100
65 67 91 104 101 117 106 95 100 95
63 69 89 103 109 118 107 94 110 97
61 72 89 102 111 119 110 93 100 99
62 77 94 102 115 120 109 95 100 99
67 81 94 103 117 120 110 100 90 105
71 83 95 ПО 119 115 111 100 90 107
72 91 99 111 120 116 112 100 90 101
67 94 99 115 120 117 105 100 105 104
65 95 100 120 117 118 107 100 107 105
1.9. Распределение общего времени (в минутах) на ожидание
и обслуживание автомобилей на заправочной с ганции:
8 7 7 8 10 11 9 12 10 12 15 15 14 16 20 19 17 16 20 15
8 6 7 9 10 11 9 10 13 14 15 14 15 20 18 19 16 18 19 16
7 6 8 9 10 11 9 12 13 14 15 13 15 19 18 18 17 17 20 15
7 6 8 10 10 10 12 12 13 14 15 14 15 19 18 17 18 17 20 15
6 6 7 10 10 9 12 12 12 15 15 14 15 19 18 17 19 17 19 15
1.10. Как изменятся числовые характеристики выборки, если ре-
зультаты наблюдения увеличить или уменьшить одновременно в т раз?
1.11. Распределение времени наработки на отказ приборов
некоторого типа:
1,31 0,48 0,76 1,71 1.20 0,54 0,20 0,67
0,62 0,15 0,05 0,78 0,24 0,29 1,47 1,11
0,67 0,99 1,02 0,51 0,65 1,56 0,16 0,49
1.12. Производство кожаной обуви в Республике Беларусь (в
млн. пар):
_____ Таблица 1.7
t, ГОДЫ Yj, млн. пар u t, годы Yi, .млн. пар
1977 42 | 1989 45,3
1978 41,8 1990 46,8
1979 41,2 1991 45.3
1980 41,5 1992 37,2
1981 41,3 1993 33,4
1982 42 ЮО4 26,4
1983 42,2 1995 13
1984 43,1 1996 _11,4
1985 44,2 1997 15,6
124
t, годы Yi, млн. пар t, ГОДЫ Y,, млн пар
1986 44,8 1998 16,2
1987 45,3 1999 16,5
1988 46,9
1,13. Динамический ряд, характеризующий изменение значе-
ния денежных агрегат ов (в условных денежных единицах):
Таблица 1.8
Гол Год Y
01 01.97 5109.5 01.08.98 26459,0
01.02 97 5261,7 01.09.98 27803,3
01.03.97 7553,0 01.10.98 28563,3
01.04 97 9223,8 01 11.98 26603,3
01.05.97 10031,4 01.12.98 29837,7
01.06.97 12360,4 01.01.99 31483,2
01.07.97 13032,5 01.02.99 39381,0
01.08 97 12676,1 01.03.99 39995,3
01.09.97 12981,8 01.04.99 40343,7
01.10.97 13351,2 01.05.99 47337,7
01.11.97 12054,2 01.06.99 48812,8
01.12.97 131,86 01.07.99 60232,4
01.01.98 14454.8 01.08.99 65328,2
01.02 98 15610,4 01.09.99 67134,1
01.03.98 16883,2 01.10.99 72487,2
01.04.98 19887,1 01.11.99 66044,1
01.05.98 20484 1 01.12.99 73073,0
01.06.98 24988,2 01.01.00 74311,1
01.07.98 27196,9
1.14. Динамические ряды, характеризующие урожайность
зерна (таблица 1.9) и валовой сбор зерна (таблица 1.10) в Республи-
ке Беларусь:
__________Таблица 1.9
Год Урожайность зерна в РБ (центнеров с 1 гектара) Год Урожайность зерна в РБ (центнеров с 1 гектара)
1990 26,6 1997 23,6
1991 24,2 1998 18,3
1992 26,8 1999 14,5
1993 27,7 2000 19,1
1994 22,4 2001 19,9
1995 20,4 2002 24,7
1996 21,7 2003 24,2
125
Таблица 1 JO
Год Валовой сбор зерна в РБ (тыс тонн) Год Валовой сбор зер- на в РБ (тыс. тонн)
1990 7035 1997 6120
1991 6295 1998 4830
1992 7230 1999 3645
1993 7508 2000 4856
1994 6097 2001 5153
1995 5502 2002 5990
1996 5792 2003 5448,8
2.2. Статистическое оценивание
Основной задачей математической статистики является зада-
ча определения закона распределения наблюдаемой случайной ве-
личины X по данным выборки.
Числовые характеристики выборки {jq,xr .,xj называются
статистическими и являются величинами случайными. Они имеют
законы распределения, зависящие от законов распределения слу-
чайной величины X в генеральной совокупности.
Выборочная числовая характеристика, применяемая для по-
лучения оценки неизвестного параметра а генеральной совокупно-
сти. называется точечной оценкой а . Опенка а - это значение не-
которой функции элементов выборки, зо есть а =а(х1,х2,...,хл).
Наилучшую точечную оценку определяют при помощи усло-
вий: несмещеннсти, эффективности и состоятельности.
Оценка а называется несмещенной оценкой параметра а, если
ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, то
есть М{а) = а. Разность М(а)-а называется смещением.
Несмещенной оценкой математического ожидания генеральной
совокупности с тужит среднее арифметическое выборки: X - —Ух,
где х, - варианта выборки, т - частота варианты х.,л = Ут( - объ
ем выборки.
Для оценки параметра а может быть предложено несколько
несмещенных оценок* Мерой точности несмещенной оценки а счи-
тают ее дисперсию D( а). Если а । и й2 - две различные несмещен-
126
ныс оценки параметра а и D(3|)< D (а2), то оценка 3 t более эф-
фективна, чем оценка а.,;
Несмещенная оценка а параметра а, дисперсия которой дос-
1
тигасг своего наименьшего возможного значени я--, называется
эффективной: £)(£) =——, где J„(a) - информация Фишера, содер-
Л(^)
жагцаяся в выборке объема п относительно неизвестного параметра
а. Для непрерывной случайной величины X с плотностью распре-
деления р (х, а) информация Фишера равна:
Л(^) = пМ {—£п р{х\а))2
V да
Для дискретной случайной величины
= где р(х;п)^ Р(* = х).
I да )
(2-1)
(2.2)
Оценка а называется состоятельной оценкой параметра а,
если а сходится по вероятности к а, при п ->ос: limP(]a-aj < с) - 1 ♦
л—
Если Л/(3)->а и D(3)->0 при и—>оо, то а - состоятельная
оценка параметра а.
Для отыскания оценок параметров генеральной совокупности
по данным выборки применяют метод наибольшего правдоподобия
и метод моментов. Согласно методу наибольшего правдоподобия,
оценку а неизвестного параметра распределения случайной вели-
чины X находят, решая уравнение:
SL{a) dLlx^_ q
да до
или систему уравнений'
c£(af,а2,...ат) _ d£(xt,х2«
V * Ч. * | А» * Т J с,1
йа,
если требуется оценить т неизвестных параметров; где
L(a)^L{xrx2,.^x^a) и функции правдоподобия.
и
t(a) = ]~[p(x,;a) - если .¥ - непрерывная случайная величина и
tel
127
£(o) = P[P(Ar = xi) = F[p(x^<7)’ если X - дискретная случайная вели-
i=i 1-1
чипа, а вероятность Р(Х «х) = р(хча)- функция неизвестного пара-
метра а.
Метод моментов заключается в том, что с гатистические мо-
менты выборки принимаются в качестве оценок для моментов рас-
пределения случайной величины А" и из построенных равенств ста-
тистических и теоретических моментов находят значение оценки
параметра.
Точность и надежность оценки а для параметра а определя-
ют рассматривая вероятность неравенства
|а-л|< б: Р(а-&< а <а + £).
Случайный интервал, определяемый результатами наблюде-
ний, который с заданной вероятностью а -1 - е накрывает неиз-
вестный параметр а. называется доверительным интервалом для
параметра а, соответствующим доверительной вероятности
Доверительные интервалы для математического ожидания т
нормально распределенной случайной величины X имеют вид:
а; при неизвестном среднем квадратическом отклонении а:
7=; , (2.3)
где ta - квантиль распределения Стьюдента (приложения 3) для за-
данной доверительной вероятности а и числа степеней свободы
. - ос
v = находят из равенства Р(Т > = Р(Т = ]-------; S - ис-
2
правленная стандартная ошибка.
б) при известном среднем квадратическом отклонении :
(2.4)
at * с /
yjn yjn
где X - среднее арифметическое (несмещенная, эффективная и со-
стоятельная оценка математического ожидания); значение ар-
гумента функции Ф'(х) (приложения 1), находят из равенства
Ф*(О=~“ \ ” - объем выборки.
128
Доверительные интервалы разности математических ожида-
ний m и т2 двух генеральных совокупностей, распределенных по
нормальному закону, определяются формулами:
а) если дисперсии <т и сг2 известны, тс
где ta - квантиль нормального закона распределения для заданной
доверительной вероятности а находят из равенства Ф (*а) = —;
б) если дисперсии о = а/ = а2, величина о2 неизвестна, то
где ta - квантиль распределения Стьюдента с числом степеней сво-
боды г = л, + п2 - 2 находят из равенства Р(Т > = Р(Т < ~ta ().=I - у;
я - объемы выборок; S2uS[ - исправленные статистические
дисперсии; - средние арифметические выборок.
Доверительный интервал для дисперсии ст' выражается фор-
мулой:
(2.7)
где - исправленная статистическая дисперсия, » Ха ~
I- — 1 :л t
2 ‘ ' 2
кванз или распределения X с г-n-l степенями свободы для дове-
рительной вероятности а; п объем выборки; X среднее ариф-
метическое
Для оценки среднего квадратического отклонения г нор-
мально распределенной случайной величины X применяется так же
доверительный интервал:
(1 - < а < (1 + q)S (при q < 1 ), (2.8)
129
или
О < СГ < (1 + q)S (при ?>1), (2.9)
где значения q = q(a; и) находят по таблице 8 (приложение 8)по за-
данной доверительной вероятности а и объеме выборки п.
Если распределение генеральной совокупности не является
нормальным, то в некоторых случаях по выборкам большего объе-
ма можно построить доверительные интервалы для неизвестных
параметров приближенно, используя предельные теоремы теории
вероятностей Так доверительный интервал для вероятности р по-
явления события в одном испытании имеет виц:
ЕЕ5<р<1,+,..ЁЕщ, (2.Ю)
V п у п
где W - относительная частота появления события в и испытаниях;
п _ объем выборки; ta - квантиль нормального закона распре деле-
ния. находят из равенства Ф (tfl) = , поскольк}/ относительная
частота № по теореме Муавра-Лапласа имеет асимптотически нор-
мальное распределение: а - доверительная вероятность.
Задачи
2.1. Пусть - выборка из нормально распределен-
ной генеральной совокупности с конечными математическим ожи-
данием т и дисперсией а2 , и пусть в качестве оценки матемаз иче-
ского ожидания w генеральной совокупности предполагается взять
среднее арифметическое X выборки. Проверить несмещенность,
эффективность и состоятельность этой оценки.
Решение. Среднее арифметическое выборки {х15х2,..,хп} вы-
числяется по формуле:
Чтобы проверить несмещенность, эффективность и состоя-
тельность среднего арифметического как оценки математического
ожидания т генеральной совокупности, рассмотрим эту статисти-
ку как функцию л- мерной случайной величины
б? А।, Aj,...Ам),
составляющие которой ииеют тот же закон распределения, что и
изучаемая случайная величина X, то естыЛЦЛ)- т и
130
£>(Х,) = ©*,) = 1,2.. ,и, причем X, - независимые случайные величины
в совокупности. Тогда:
п
1
— пт = w;
п
Поскольку ЛГ(Х) = ™, то по определению получаем, что сред-
нее арифметическое X - несмещенная оценка т, и так как
£)(А ) ->0 при лос, то X - состоятельная оценка математического
ожидания т генеральной совокупности.
Для проверки эффективности оценки X вычислим информацию
Фишера Л(ги) по формуле (2.1). Плотность распределения вероятно-
стей нормально распределенной случайной величины имеет вид:
/?(х,т) = —у==е °" .
Прологарифмировав, получаем:
In р(х,т) = -1п(сг\/2л-)-——
2с
Частная производная по т равна:
д In p(x.m) _ х-т
dm о1
2
Математическое ожидание случайной величины
2
Л/
1-м[(Х-т)г
7^ =-Т-
2
2
Подставив значение математического ожидания в (2.1), получим:
п
и
4
Поскольку, ,
п п
2
и дисперсия уменьшается с рос-
том и. то для нормально распределенной генеральной совокупности
131
среднее арифметическое X является эффективной оценкой матема-
тического ожидания m.
Ответ: среднее арифметическое - несмещенная, эффективная и
состоятельная оценка математического ожидания,
2.2. Пусть задана выборка {* ,х2,наблюдений случайной
величины X, распределенной по нормальному закону, и пусть в ка-
честве оценки математического ожидания т генеральной совокуп-
ности предлагается взять медиану: Л&. Проверить несмещенность,
эффективность и состоятельность этой опенки.
2.3. В результате проведения N независимых экспериментов
при одних и тех же условиях <т случайное событие А произошло М
раз. Показать, что относительная частота — появления события А
в N экспериментах, является несмещенной, эффективной и состоя-
тельной оценкой вероятности Р{А) появления события А в каждом
эксперименте.
2.4. Пусть в качестве оценки математического ожидания т
генеральной совокупности предлагается взять моду Мо , вычислен-
ную по выборке {^,л2,...,хя). Проверить несмещенность, эффектив-
ность и состоятельность этой оценки.
2.5. Предположим, что произведены две случайные выборки
И| и п2 из генеральной совокупности, распределенной по нормаль-
ному закону, И пусть вычислены средние арифметические X, и Х2 и
исправленные статис тические дисперсии и S/ этих выборок.
Показать, что объединенные оценки, вычисляемые по формулам:
- _ п А', + _ (л( -1 )$/ ~ 1)^2*
-* п2 - 2
будут несмещенными, эффективными и состоя тельными опенками
математического ожидания тн дисперсии ст2 генеральной сово-
купности.
2.6. Методом наибольшего правдоподобия найти (щенку ма
тематического ожидания т и дисперсии а1 по выборке .....хД,
извлеченной из нормально распределенной генеральной совокуп-
ности.
132
Решение. Пусть (л выборка наблюдений из гене-
ральной совокупности нормально распределенной случайной вели-
чины X с плотностью распределения вероятностей
* <
p(x,m«a) = —2с‘ .
<т^2тг
Составим функцию правдоподобия ь{т,сг по формуле:
Прологарифмировав это равенство, получим:
In Л(гл,<т ) = In ст2 - —1п(2я)—_ -
2 2 ' 2&‘ /=1
Применив необходимые условия экстремума функции
ln£jw5o). составим систему уравнений для нахождения опенок па-
раметров w и о1:
1
п
дт
2
я
2<у1 2сг
Последовательно преобразовывая первое уравнение системы,
находим оценку для т :
У2(х> -л?) = 0 —> ~ У,тп ” й ~ п-т = О -> т - Л\то есть
г=1 »=l i 1 Г=1 П 1=1
оценкой математического ожидания генеральной совокупности яв-
ляется среднее арифметическое выборки X. Подставляя это значе-
ние т во второе уравнение системы, получим
। « 2
—+АгУ(х,-*) -0 или
2о-2 2сг4 ГГ
Откупа находим оценку для дисперсии генеральной совокуп-
ности:
1 " — 2
^=-Х1т-^) =ЭД-
П ,Х1
133
Отмстим, что среднее арифметическое ЛГ является несмещен-
ной, эффективной и состоятельной оценкой математического ожи-
дания нормально распределенной генеральной совокупности, а ста-
тистическая дисперсия D(X} является состоятельной и смещенной
оценкой дисперсии о-2. Поэтому, чтобы получить несмещенную
оценку дисперсии, умножают дисперсию на множитель
2.7. Методом наибольшего правдоподобия найти оценку пара-
метра а распределения Пуассона по выборке
2.8. Пусть р - вероятность появления события л = {У=^}, а
X - дискретная случайная величина, заданная частотным рядом
распределения (таблица 2.1). Методом наибольшего правдоподобия
найти оценку параметра р и вычислить ее значение по выборке;
заданной в таблице 2.1:
Таблица 2.1
Л 3 7 10 15
20 25 50 5
Решение. Случайная величина X является дискретной слу-
чайной величиной, имеюшей биномиальный закон распределения.
Тогда вероятность того, что случайная величина X приняла значе-
ние х, равна Р{Х -х} = С* рх (1 - л)г, где X может принимать не-
отрицательные целочисленные значения от 0 до X-0,1.2,...,п.
Составим функцию правдоподобия дл я выборки:
Л, « «
т\ ^2 * •
134
Прологарифмируем эту функцию:
In L(p) = 1п((С*' г (Q Р ...(С г ) + £Л,т, - In р + [\2 - X V", 1 <п(1 - р) .
.=1 к I 1 J
Применяя необходимое условие экстремума, получим урав-
нение
J£(p) = 1
Ф
решив которое, последовательно найдем оценку р:
Тогда для заданной выборки оценка вероятности появления
события Л = {Х=х,} равна:
3 20 + 7 25 + 10 50+15-5
1002
= 0,081.
Ответ: р=0,081.
2.9. Предположим, что число автомашин, подъезжающих на
заправку в течение п часов, описывается случайной величиной,
имеющей закон распределения Пуассона с параметром где А
возможное число автомашин подъезжающих на заправку в течении
одного часа. Методом наибольшего правдоподобия найти опенку
параметра Я .
2.10. Производится п независимых испытаний, в каждом из
которых событие А может произойти с вероятностью р. Предполо-
жим, что событие А может произойти в тп испытаниях. Методом
наибольшего правдоподобия найти опенку вероятности р появле-
ния события А в каждом испытании.
2.11. Методом наибольшего правдоподобия найти оценку па-
раметра X по выборке из генеральной совокупности,
распределенной по показательному закону:
р(х) =
Ле А\х>0;
О, х < 0, где Л > 0.
2.12. Пусть {
л„) выборка наблюдений случайной вели-
чины X, имеющей распределение Пуассона с неизвестным пара-
метром а:
—е’“
Методом наибольшего правдоподобия найти оценку параметра а .
2.13. Пусть случайная величина X распределена по показа-
тельному закону с плотностью вероятностей
, v [л€-а\л>0;
и неизвестным параметром X, Х>0.
Методом моментов найти оценку неизвестного параметра X по вы-
борке
хг • *
т> тг • * ”h
, =п.
Решение. Вычислим начальный момент первого порядка,
применив формулу интегрирования по частям
= -лТ-Нт(е'АА~1)--.
Л1 * - Л
Поскольку статистический начальный момент первого порядка равен
то приравнивая значения этих двух моментов, получим:
= Откуда находим
Ответ: Л = X.
X
2.14. В п независимых испытаниях событие А произошло m
раз. Методом моментов наити оценку вероятности р появления со-
бытия А в одном испытании.
136
2.15. Методом моментов по выборке {х,х7,...,хД объема п
найти оценку параметров m и а2 нормально распределенной слу-
чайной величины X.
2.16. Методом моментов по выборке объема п
найти оценку параметра случайной величины X. имеющей Пуассо-
новское распределение: Р(Х - х) = — е~а.
х!
2.17. Выборка из большей партии электроламп содержит
№49 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки
оказалась равной X - 500 ч. Найт и с надежностью а=0,95 довери-
тельный интервал для средней продолжительности m горения лам-
пы всей партии, если известно, что среднее квадратическое откло-
нение продолжительности горения лампы = 14.
Решение. Воспользуемся доверительным интервалом для
средней продолжительности т горения лампы при известном сред-
нем квадратическом отклонении (формула 2.4):
Средняя продолжительность горения лампы выборки Z = 5004,
объем выборки я=50 ламп. Но заданной доверительной вероятно-
го 95
сти а~0,95, из равенства Ф‘(/с) =-—, Ф*(^)=0.975, по таблице
(приложение 1), находим /О=1,96. Подставив значения А =500,
С = L96, а = 14, и=49 в (2.4), получим:
14 14
500 -1.96-7= < т < 500 +1,964=.
V49 <49
Вычислив, окончательно находим доверительный интервал:
496,08 < т < 503,92
Ответ: 496,08 < w < 503.92.
2.18. Для проверки износоустойчивости шин фирмы «Белши-
на» из большой партии было отобрано 100 шин. Средняя продол-
жительность эксплуатации одной шины оказалась равной 81 тыс.
км. Найти с надежностью а 0,95 доверительный интервал для
средней продолжительности т эксплуатации шин всей партии если
известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительно-
сти эксплуатации одной шины =9 тыс. км.
137
2.19. Для проверки средней дневной выработки рабочих
строительной организации было проведено обследование выра-
ботки 50 рабочих Средняя выработка одного рабочего оказа-
лась равной 3,95 м“, а среднее квадратическое отклонение
ст = 0,75 м2. Найти с надежностью а - 0,95 доверительный ин-
тервал для средней выработки одного рабочего всей строитель-
ной организации.
2.20. Из партии поршневых колец изготовленных за смену,
извлечена выборка объема п = 100 и вычислено среднее арифмети-
ческое диаметров изготовленных поршневых колец, равное 120 мм.
Найти с надежностью а - 0,95 доверительный интервал для мате-
матического ожидания диаметра поршневых колец изготовленных
за смену, если среднее квадратическое отклонение с = 0,2 мм
2.21. Найти минимальный объем выборки, при котором с на-
дежностью а = 0,99 точность оценки хматематического ожидания m
генеральной совокупности времени безотказной работы электрон-
ной лампы по известному среднему арифметическому, будет равно
8= 0,5, если известно среднее квадратическое отклонение, <т - 10
часов, нормально распределенной генеральной совокупности.
Решение. Воспользуемся формулой, определяюшей точ-
ность оценки математического ожидания, нормально распреде-
ленной генеральной совокупности по известному среднему квад-
ратическому:
/*СГ
откуда следует, что л -
<5
Из условия задачи известно: и = 10, 8 = 0,5. Найдем ta. Пользуясь
таблицей (приложение 1). по доверительной вероятности а = 0,99
А 1 + ^
из равенства Ф (^) = —
НО 99
Ф* ('*) ~ = 0,995 находим ta - 2,58.
Подставив 1а =2,58, о =10, 5=0,5, получим:
л =
2,58<10;
0,5?
2663.
Ответ: п - 2663.
2.22. Найти минимальный объем выборки, при котором с на-
дежностью а = 0,95 точность оценки математического ожидания
нормально распределенной генеральной совокупности емкое гей
конденсаторов по известному среднему арифметическому выборки.
13Я
будет равно 0,3, если известно среднее квадратическое отклонение,
<7=5 мкФ, нормально распределенной генеральной совокупности.
2.23. Для обследования средней урожайности ячменя с одного
гектара по области проведено выборочное обследование участков
посевных площадей, результаты которого приведены в таблице 2.2:
Таблица 2.2
Урожайность пшеницы, х.* 38 40 45 47 50
Число участ- ков, ГП( 3 12 20 9 6
Оценить с надежностью <1-0,95 математическое ожидание т и дис-
персию нормально распределенной генеральной совокупности
по среднему арифметическому и статистической дисперсии при
помощи доверительного интервала.
Решение. Вычислим среднее арифмет ическое и исправление
среднее статистическое квадратическое отклонение соответственно
по формулам:
1*1 2217
-(38-3 + 40-12-45 20+47 9 + 50-6'1 =-- = 44,34;
50V . '50
V * -1
—1(38-44,34)2+(40-44,34)’+(45-44,34)2+(47-44,34)?i-(50-44c38)J I =
149' *)
f 98,2132
( 49
= 1,42.
По доверительной вероятности о=0,95 и числу степеней сво-
боды v = п -1 - 50-1 - 49 находим квантиль распределения Стьюден-
та (приложение 6) ta = 1,68. Доверительный интервал для математ и-
ческого ожидания найдем по формуле:
с
«
Подставив значения X =44,34; S’ = 1,42; « = 50; г, =1,68, после-
довательно находим доверительный интервал:
1 42 1 42
44,34- 1.68 - -X < т < 44 34+^= 1,68, 40ч49 < w < 47,74,
л/49 <49
содержащий математическое ожидание т генеральной совокупно-
сти с надежностью 0=0,95. Для построения доверительного интер-
вала для дисперсии <т воспользуемся формулой (2 ”) Для лове-
139
рительной вероятности а~0,95 и числа степеней свободы v = m-1
по таблице (приложение 4) находим квантили хи-квадрат распре-
деления
A-о = Л1<125;49 *“ 32,4 Л|ч.а = Д).975;4’ = 7 1,4 .
.л -I -—,л-1
2---------------------2
Подставив значения 5 = 1,42; и-1 = 49 и ДгО25 49 = 32,4,
4.975.71 д =71,4 в формулу доверительного интервала (2.7.), получИхМ
1,42 49 2 1,42-49
71,4 <СГ < 32,4
или 0,97 <сг2 <2.15.
Доверительный интервал для среднего квадратического от-
клонения (2.8) после подстановки ^ = <?(«;v) = g(0,95;49) = 0,21 най-
денного по таблице (приложение 5),
(1-0,21) 1,42 < <7 <(1 + 0,21)-1,42 или 1Д2<<т<1,71
Ответ: 40,49 < т < 47,74; 1,12 < ст < 1,71.
принимает вид:
2.24. Для исследования времени средней продолжительности
безотказной работы телевизионных трубок, произведенных на за-
воде «Горизонт» было проведено выборочное обследование 100 те-
левизионных трубок. Оказалось, что среднее время безотказной ра-
боты равно 36 месяцев со среднем квадратическом отклонении
равным 4 месяца. Постройте 95%-ные и 99% -ные доверительные
интервалы для среднего времени безотказной работы телевизион-
ных трубок, произведенных на заводе «I оризонт».
2.25. Предельная нагрузка для выборки из 50 стальных
стержней характеризуется выборкой: _____
11 13 14 16 17
i 5 30 7 4
Постройте доверительные интервалы для оценки с надежностью
а-0,95 средней предельной нагрузки и среднего квадратического
отклонения предельной нагрузки стальных с гержней партии, из ко-
торой произведена выборка.
2.26. Для наблюдений каждой из пяти случайных выборок
постройте с надежностью а-0,95 доверительные интервалы для
оценки математического ожидания генеральной совокупности и
дисперсии:
1) Выборка сопротивлений:
JC i 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0.32
т 1 5 17 20 18 10 5
140
2) Диаметры шаров в шарикоподшипниках:
1,97 1,98 1,99 2,00 2,01 2,02
3 4 13 30 10 4
3) Увеличение частоты пульса студентов после занятий физ-
культурой:
X г 6 7 8 10 12 13 14
13 . 28 32 40 25 10 12
4) Процентное содержание витамина С в выборке витамин-
ных драже:
х. 12,9 14,3 14,8 15,2 16,3
10 17 » 6
5) Рост студентов 1-го и 2-го курсов университета
1,63 1,68 1,70 1,71 1,73 1,80 1,87
2 4 20 43 21 5 5
2.27. Из большой партии микросхем одного типа были слу-
чайно отобраны и проверены 100 штук. У 16 .микросхем обнаружи-
лись отклонения технических характеристик. Найти 95%-ный до-
верительный интервал для вероятности того, что микросхема будет
бракованной во всей партии. Какой минимальный объем выборки
следует взять, для того, ч гобы с вероятностью 0,95 можно было ут-
верждать, что вероятность появления бракованных микросхем в
выборке не более чем 1%.
Решение. Эффективной оценкой вероятности появления со-
бытия в одном испытании является относительная частота 1Г=—
появления события в п испытаниях. По теореме Му авра-Лапласа
относительная частота W имеет асимптотически нормальное рас
пределение, поэтому доверительный интервал для вероятности то-
го, что некоторая микросхема во всей партии будет бракованной
имеет вид (2.10). Вычислив относительную частоту
и'- — = -^- = 0,16 и найдя по таблице 1 (приложение 1) квантиль
1 + ОС
нормального распределения из равенства Ф = 1,96, по-
строим доверительный интервал:
fo,16(1-0,16) /о, 16(1-0,16)
Ц 10 — 1,40-, —----— < Р <и,1О+ 1,ЧО', ---------
V 100 к V 100
или
0,088 <р< 0,232.
141
Для определения минимального объема выборки представим
доверительный интервал (2.10) в виде неравенства
[FT-
И'(1-И9
*
п
которое выполняется с вероятностью а—0,95. Гак как по условию
задачи р|< 0,01, то для определения п получим неравенство
0 975
v' — ’ <0,01.
и
Последовательно преобра зуя неравенство, находим л:
1,96
V п
0,16-0,84 0,01
п ~ 1,96 ’
0,16-0,84 < Г J_¥ .
п U96J ’
и £ 0,16 • 0,84 1962 = 0,1344 • 1962 = 3819.1004 л * 3820.
Ответ: Довсри гельный интервал 0,088 < р < 0,232; минималь-
ным объем выборки п =3820.
2.28. С производственной линии, производящей часы, было
отобрано 100 часов, 10 из которых содержали брак. Найти 95% до-
верительный интервал для вероятности того, что случайно ото-
бранные часы с производственной линии будут содержать брак.
Какой минимальный объем выборки следует взять для того, чтобы
с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что вероя гность по-
явления бракованных часов на производственной линии отличается
от частоты появления бракованных часов в выборке не более чем
на 5%?
2.29. Для определения всхожести семян в партии пшеницы
было отобрано 1000 зерен, из которых взошло 980. Найти 99% до-
верительный интервал для вероятности того, что случайно ото-
бранное зерно пшеницы из партии взойдет. Найти минимальный
объем выборки, на основании которого можно утверждать, ч го ве-
роятность того, что случайно отобранное зерно пшеницы из партии
взойдет, отличается от частоты всхожести семян пшеницы не более
чем на 3%.
2.30. Для предварительного опроса населения города N в свя-
зи с избирательной компанией была произведена выборка 1000 из-
бирателей из которых 350 заявили, что они проголосуют за канди-
дата от оппозиции. Найти 95% доверительный интервал для веро-
142
ят ности того, что случайно отобранный избиратель города N про-
голосует за кандидата от оппозиции. Какой минимальный объем
выборки следует взять, для того, чтобы с вероятностью 0,99 можно
было утверждать, что вероятность того, что избиратель в городе N
проголосует за кандидата от оппозиции отличается от частоты из-
бирателей в выборке которые проголосуют за кандидата от оппози-
ции, не более чем на 2%.
2.31. При осмотре 50 изделий из партии обнаружено 5 содер-
жащих дефект. Найти 99% доверительный интервал для всроятно-
ет и того, что случайно взятое изделие из партии будет дефектно.
2.32. Предположим, что число сбоев компьютеров за месяц
имеет распределение Пуассона с параметром Z Исследование рабо-
ты 100 компьютеров показало, что среднее число сбоев за месяц
равно 1,7. Найти 95% доверительный интервал для параметра Л
Указание. Воспользоваться формулой
где tc - квантиль нормального распределения N(0,1), находят из ра-
венства Ф*(1а) - --, а -доверительная вероятность.
2.33. Изучается работа фирмы на двух рынках. Среднее зна-
чение объемов продаж по 10 наблюдениям на первом рынке соста-
вило Х = 8 единиц продукции в месяц, а на втором по 15 наблюде-
ниям среднее значение объемов продаж У = 84 единиц продукции
Предположим, что дисперсии значений объемов продаж известны и
равны сгд. =16 и <т2 = 18 для первого и второго рынков соответствен-
но. Найти 95% доверительный интервал для разности средних объ-
емов продаж М(Х) и M(Y) на первом и втором рынках. Можно ли
считать, что результаты объемов продаж случайны или действи-
тельно различны?
Решение. Поскольку дисперсии обеих совокупностей наблю-
дений известны, то доверительный интервал для разности средних
М(Х) и M(Y) определяются формулой:
I 2 /т2 ( 2 Г
(А -К)-Г„о. _^ + -Г<М(Х)-М(У)<(А -У^1ио-J—+—>
— V "I «2 2 V П' Ъ
где г]+а квантиль нормального распределения N(0;l) для заданной
2
доверительной вероятности а находим из равенства =
Подставив в формулу доверительного интервала значения
143
=/о.975 = ; А' = 81; У = 84; ст2 =16; ст2=18; Л|=10; и2=15, полу-
2
чим:
(81 - 84) -1< ЩХ) - Л/(У) <(81-84) +1,96^+j|
или
-3 - 3,2732 < М(Х)- M(Y) < -3 -г 3,2732
ИЛИ
-6,2732 < М(Х) - M(Y) < 0,2732.
Поскольку разность XУ - 81 -84 = -3 принадлежит доверительному
интервалу, то можно считать, что средние значения объемов про-
даж фирмы на двух рынках приблизительно равны.
Ответ: -62732 <M(X)-M(Y)< 0,2732. Расхождение результа-
тов объемов продаж случайно.
2.34. Г фоводятся измерения диаметра однотипных валов, из-
готавливаемых на двух станках автоматах. По 20 измерениям ва-
лов, изготовленных на первом станке получено среднее значение
Аг = 61 мм, а по 25 измерениям валов, изготовленных на втором
станке, среднее значение Y = 65 мм. Предположим, что дисперсии
измерений известны и равны: ai =36 мм и сг2 =18 мм для первого и
второго станков. Найти 99% доверительный интервал для разности
средних диаметров М(Х) и M(Y) валов, изготовленных на первом и
втором станках. Можно ли считать, что результаты средних значе-
ний валов различаются?
2.35. Автопокрышки, произведенные на шинных комбинатах
№ 1 и № 2, исследовались на износ (в километрах пройденного пу-
ти). При этом оказалось, что средний пробег по 25 измерениям на
шинном комбинате №1 равен X- 95000 км, а на комбинате №2
средний пробег равен У 105000 км при 15 измерениях. Дисперсии
измерений соответственно равны S* 16000 км, S2 =9000 км. Найти
95% доверительный интервал разности средних пробегов М (X) и
М (Y) шин на шинных комбинатах № 1 и № 2.
144
2.3 Статистические решения
Информация, полученная при обработке выборки из некото-
рой генеральной совокупности, может быть использована для по-
лучения выводов (решений) обо всей совокупности.
2.3 Л, Статистическая гипотеза. Проверка гипотезы
о среднем значении при известной и неизвестной
дисперсиях.
Гипотеза - это предположение о том, что эмпирическое рас-
пределение описывается некоторым теоретическим распределением,
или о принадлежности выборочных данных к одной генеральной со-
вокупности, или относительно одного или нескольких параметров
совокупности и т. д., подвергаемое статист ической проверке.
Статистической гипотезой, обозначаемой называется
любое предположение относительно вида или параметров распре-
деления случайной величины X, которое может быть проверено по
результатам выборки.
Статистическим критерием для проверки гипотез Но, Hi.
Нт называют случайную величину д=8(Х), принимающую значения
=0,т), т.е» 8{Х)-Нп i = o,m.
Критической областью для данного статистического крите-
рия д гипотезы Но называется множество значений статистической
характеристики гипотезы, которые, согласно правилу <5, приводят к
отвержению гипотезы Но.
Проверка гипотез проводится по следующей схеме.
I. Формулировка основной и альтернативной гипотез,
2» Выбор соответствующего уровня значимости критерия:
а0== 0,05; 0,01; 0,001.
3. Определение объема выборки п (если выборки нет).
4₽ Определение статистической характеристики критерия.
5 Вычисление критической области и области принятия ги-
потезы.
6 Формулировка правила проверки гипотезы: гипотеза Но
принимается при заданном уровне значимости а, если вы-
борочное значение статистической характеристики попа
дает в область принятия гипотезы; гипотеза отвергает-
ся, если выборочное значение статистической характери-
стики попадает в критическую Область.
145
Если критические области располагаются слева и справа от
математического ожидания случайной величины д, то критическая
область называется двусторонней, а критерий д - двусторонним
критерием значимости. Если же критическая область располагает-
ся слева или справа от математического ожидания случайной вели-
чины <5, то Крит ическая область называется односторонней, а кри-
терий — односторонним.
Рассмотрим нормально распределенную случайную величину
X с неизвестным математическим ожиданием, среднее квадрат иче-
ское отклонение которой гг известно. Чтобы проверить гипотезу Ну.
т = т. е. проверить предположение о равенстве математического
ожидания всей совокупности значению /я0 при альтернативной ги-
потезе Н] : т = т} нужно воспользоваться статистической характе-
ристикой
Если w, > , то критическая область [zn ;+оо) определяется из
равенства P(Z > ) = aG.
По таблице значений функции
находим значение , такое, что Ф*(гл) = 1-ай.
Тогда, если Zpac4 > zl. то, гипотеза /7() отвергается, в против-
ном случае нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
Если /я, то критическая область (-cc,z„J определяется из
равенства P(Z<zaJ=<P*(zaj = \ - tz0. Если ZpaCu<za , то гипотеза Но
отвергается; в противном случае нет оснований отвергать нулевую
гипотезу.
Если же альтернативная гипотеза Иг определена не одно-
значно, то критическая область определяется так, чтобы ей принад-
лежали все значения статистической характеристики Z, которые нс
больше и не меньше , где zOu определяется из равенства
P(Z<-za^P(Z>2J~^,
т. е. ) = 1 . При выполнении неравенства Z> za или Z< z^
гипотеза Но отвергается; в противном случае нет оснований отвер-
гать нулевую гипотезу.
146
В случае, когда наблюдаемая случайная величина X подчиня-
ется нормальному закону распределения с неизвестным средним
квадратическим отклонением, статистической характеристикой
служит величина
(3.1)
5
имеющая закон распределения Стьюдента с v— п ~ I степенями
свободы.
Для того чтобы при заданном уровне значимости ап прове-
рить нулевую гипотезу Но'. т = при альтернативной гипотезеНс
по таблице распределения Стьюденга находят квантиль
^;и 1 из равенства Р(Т > v) = а0.
Если >Т,то нулевая гипотеза Н$ отвергается на уровне
значимости а; в противном случае (если Грасч< /с л д) нет оснований
отвергат ь нулевую гипотезу Ир.
При альтернативной гипотезе Нр пкт^ по таблице распре-
деления Стьюдента находят квантиль г из равенства
Если Трасч,< ia v то нулевая гипотеза Нр отвергается на уровне
значимости сг0, в противном случае (Эр0Гч>||1. яЧ) нет оснований от-
вергать нулевую I ипотезу.
При альтернативной гипотезе Нс сравниваю! модуль
статистической характеристики Т с квантилем т распределения
Стьюдента, найденным из равенства
Если |7рагч|< ta то нет оснований отвергать нулевую гипотезу Н();
2 Л
в противном случае (|7)w4'i > ta ) нулевая гипотеза //о отвергается.
2
Задачи
3.1. Предельная сила натяжения прядильной нити в среднем
равна 20 г. Выборку1 нити из 64 мотков обработали некоторым хи-
мическим составом. После просушки была заново измерена пре-
дельная сила натяжения нити. В среднем она оказалась равной 21 г.
Предполагая, что среднее квадратичное отклонение сг предельной
силы на гяжения нити равно 2 г до и после обработки химическим
составом, проверить гипотезу о том. чт о эта обработка не увеличи
ла предельной силы натяжения нити.
147
Решение. Обозначим среднюю предельную силу натяжения
прядильной нити через М(Х) = т .
Решение задачи разобьем на ряд этапов.
1. Формулировка нулевой и альтернативной гипотез. Сфор-
мулируем следующие гипотезы: основная гипотеза m = 20, аль-
тернативная гипотеза Hj : т >20 (односторонняя проверка, так как
нас интересует, увеличится ли предельная сила натяжения нити в
среднем после обработки химическим составом).
2, Выбор соответствующего уровня значимости ао. Возьмем
3. Определение объема выборки. В условии выборка опреде-
лена (/г=64).
4. Выбор статистики критерия. В качестве статистики
возьмем величину
имеющую приближенное стандартное нормальное распределение
при условии, что гипотеза Ну верна.
5. Вычисление критической области и области принятия ги-
потезы. При 5%-м уровне значимости для односторонней проверки
наибольшее значение величины Z, при котором Z/o еще не отверга-
ется, будет равно za -1,65. Это наибольшее значение определяется
из таблицы 3.1. Таким образом, область принятия гипотезы - полу-
интервал! (-ос; 1,65), а критическая область - интервал [ 1,65;+<х>).
Таблица 3.1
Критическое значение статистики (3.2) Уровень значимости, л0
0,05 0,01 0,001
Односторонняя проверка 1,65 2,33 3,08
Двусторонняя проверка 1,69 2,58 3,27
6. Формулировка правила проверки гипотезы.
Предельная сила натяжения прядильной нити в среднем уве-
личится, если значение статистики Z, вычисленное по выборке,
больше 1,65. В других случаях считаем, что предельная сила натя-
жения нити в среднем не увеличится.
7. Проверка гипотезы. По выборочным данным находив, что
148
Предельная сила натяжения прядильной ниги в среднем уве-
личится, так как Zrac4-4>1,6-. Этот вывод будет неверным ме-
нее чем для 5% всех случаев.
Ответ предельная сила натяжения ниги в среднем увеличи-
вается.
3.2. Для анализа выпуска химической смеси производится
случайная выборка из дневной партии и определяется процентное
содержание воды двумя способами. Результаты, полученные в те-
чение 8 дней, указаны в таблице 3.2.
1 аблица 3.2
Способ определения процентного содержания воды Дни
1 2 3 I 4 5 6 7 8
А 53 46 55 53 48 45 50 52
г — L в 50 47 53 I 53 47 Лб 45 60 ]
Необходимо проверить гипотезу о том, что методы анализа суще-
ственно различаются между собой.
Решение. Как видно из таблицы 3.2, имеется заметное разли-
чие в процентном содержании воды в химической смеси. Эти коле-
бания не дают возможности определить различие в способах опре-
деления процентного содержания воды.
Наблюдения, в которых результаты экспериментов объеди-
нены в пары и каждая пара представляет собой самостоятельную
экспериментальную единицу, исследуем, применив критерий срав
нения. Каждая пара дает одно сравнение, которое определяет меру
эффекта некоторого действия.
Обозначим через d разность результатов каждой пары. Оно бу-
дет иметь нормальное распределение со средним т и средним квад-
ратичным отклонением S. Значения величины d для дней 1. 2, ...} 8
будут равны соответст венно- -311: -2; 0; - 1:1; -5: -2.
Сформулируем следующие гипотезы, основная гипотеза :
m = 0 (способ определения процентного содержания воды не имеет
значения); альтернативная гипотеза Н/: m>0 (способ В превосхо-
дит способ А для определения процентного содержания воды).
Гипотеза Н] односторонняя, поэтому определяем односто-
роннюю критическую область при ао~О,О5 и n=S.
Статистикой является величина (3.1)
имеющая t распределение Стьюдента с i = п 1 степенями свободы.
149
Так как критическое значение toл для 7 степеней свободы
равно 1,89, областью принятия гипотезы является интервал (-ос; 1,89).
Если значение Г, вычисленное по данным выборки, не мень-
ше 1,89, то можно сделать вывод о том, что способ В имеет пре-
имущество перед способом А. Если Т„асч<1,89> то гипотеза Нс при-
нимается, т. е. способы А и В равнозначны.
По данным выборки имеем:
8 8
11, IX =45.
1-1
Отсюда
J.-LL-i.375.f.-^^.4S-s<-475),.4.27.
8 гг-1 7
Поэтому
J-0
---г -1,375-0
п - 1 ~ - __—
7 =-1,76.
Так как -1,76 < 1,89, то можно утверждать, что при 5%-м
уровне значимости методы анализа процентного содержания воды
равносильны. Таким образом, различия между способами А и В не
установлено.
Ответ: методы анализа не различаются.
3,3. По паспортным данным автомобильного двигателя рас-
ход топлива на 100 км пробега составляет 8 л. В результате изме-
нения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива
уменьшится. Для проверки проводятся испытания 50 случайно ото-
бранных автомобилей с модернизированным двигателем. Среднее
арифметическое расхода топлива на 100 км пробега, у отобранных
автомобилей, по результатам испытаний составило Jf = 7,6//. Пред-
положим. что случайная величина X характеризующая расход топ-
лива на 100 км пробега подчиняется нормальному закону распреде-
ления со средним т и дисперсией <т2 =2л2. Проверить гипотезу о
том, что модернизация двигателя нс повлияла на расход топлива.
Решение- В данной задаче нужно проверить гипотезу о ма-
тематическом ожидании т нормального распределения генераль-
ной совокупности. Проверку гипотезы проведем по этапам:
1. Проверяемая основная гипотеза Но состоит в том, что матема-
тическое ожидание m нормального распределения случайной
величины X составляет 8 л, т.е. HG: т = 8л, при альтернатив-
ной гипотезе Н\. т < 8л (односторонняя проверка; нас интере-
сует, будет ли среднее меньше гаранз ированного минимума).
2. Выбираем уровень значимости — 0,05.
150
3. Объем выборки задан, и=50.
4. В качестве статистической характеристики выбираем слу-
чайную величину:
Х-т г
L =------VZ2 ,
имеющую нормальное распределение с параметрами <7 = 1:
5. Так как альтернативная гипотеза Яд п?<8, то критическая об-
ласть определяется неравенством ZpaCT<z.^>. По таблице I (в
приложении 1) находим из равенства ) = 0,05, z^ =-1,645.
Таким образом, область принятия гипотезы - интервал (-оо; -
1.645). Критическая область - полуинтервал '-1,645; тоо).
6. Правило проверки гипотезы. По выборочным данным нахо-
дим значение статистической характеристики:
Поскольку Zp^ - = -1,645, то гипотеза Яо отвергается и при-
нимается альтернативная гипотеза Н. следует считать, что изменения
конструкции двигателя привело к уменьшению расхода топлива.
Ответ: Изменение конструкции двигателя привлекло к
уменьшению расхода топлива.
3.4. Известно, что при некотором тсхноло! ическом процессе за
смену (к = S часов) выпускается в среднем 350 единиц изделия. По-
сле некоторых изменений в производственном процессе за смену ста-
ло выпускаться в среднем 355 изделий. Предположим, что случайная
величина X характеризующая число выпускаемых изделий за смену
(и “ S часов) подчиняется нормальному закону распределения со
средним m и дисперсией <72 =12сдиниц. Проверить гипотезу о том.
что модернизация производственного процесса не повлияла на уве-
личение производства изделий при уровне значимости ао=О,О5.
3.5. В соот вет ствии с техническими условиями среднее время
безотказной работы приборов из партии, содержащей 10000 прибо-
ров равно 1000 часам. При контрольной проверке 36 приборов из
данной партии среднее время безотказной работы составило Q50
часов. Предположим, что случайная величина X характеризующая
время безотказной работы прибора подчиняется нормальному за-
кону распределения со средним т и дисперсией 100 часов Прове-
рить гипотезу о том, что вся партия приборов не удовлетворяет
техническим условиям при уровне значимости cto=0.05.
151
3.6. Технология производства некоторого вещества дает в
среднем 640 кг вещества в сутки (и=8 часов). После некоторых из-
менений в производственном процессе стали получать в среднем в
сутки 700 кг вещества Предполагается, что случайная величина X,
характеризующая производство вещества, подчиняется нормаль-
ному закону распределения со средним т и дисперсией 100 кг.
Проверить гипотезу о том, что изменения в технологическом про-
цессе привели к повышению производительности.
3.7, Из статистическою сборника известно, что 7% всех за-
страховавших свою жизнь умирает по достижении 60 лет. В группе
из 1000 человек этого возраста, работающих в сфере обслуживания,
умерло 85 человек. Проверить гипотезу о том, что застрахованные
люди, работающие в сфере обслуживания, чаше умирают в 60 лет,
чем все остальные застрахованные. Принять оо=0,05.
Решение. В данной задаче нужно сравнить вероятность появле-
ния события в каждом испытании с заданной вероятностью р0=О,О7.
1. Сформулируем основную гипотезу состоящую в том, что
вероятность застрахованного человека умереть но достиже-
нии 60 лет равна 0,07, т.е. Hq : /7=0,07; при альтернативной
гипотезе Н\, состоящей в том. что застрахованные люди, ра-
ботающие в сфере обслуживания чаще умирают в 60 лет, чем
все остальные, т.е. Hf: р>0,07.
2. Выбираем уровень значимости: ап 0.05.
3. Объем выборки задан: и=1000.
4. В качестве статистической характеристики выбираем слу-
чайную величину:
имеющую распределение, близкое к нормальному распределе-
нию N(0,l).
5. Так как альтернативная гипотеза Н\ : р>0,7, то критическая
область при уровне значимости а0 определяется неравенст-
вом P(Z хал) = ап, квантиль za находим по таблице 1 (прило-
жение 1) из равенства &\zaJ=l-a0. ze-1,645. Следователь-
но, область принятия гипотезы - интервал (-со; 1,645), а кри-
тичсская область полуинтервал [ 1,645;+оо).
6. По выборочным данным находим значение статистической
характеристики
152
— -0,07 Viooo
11000 )
70,07(1-0,07)
,869
Поскольку Zpact = 1,869 > z0,95 = 1,645 лежит в критической об-
ласти, то с вероятностью 0,95 принимается альтернативная гипоте-
за Н}. Следовательно, застрахованные люди, работающие в сфере
обслуживания, чаще умирают в 60 лет, чем все остальные зас гра-
хованные.
Ответ: Застрахованные люди, работающие в сфере обслужи-
вания, чаще умирают в 60 лет, чем все остальные застрахованные
3.8. Количество бракованных деталей в партии не должно
превышать 3%. В результате контроля 100 деталей из этой пар1ии
обнаружено 5 бракованных. Можно ли считать, что процент брака
превосходит допустимый при ао~О,О5?
3.9. При исследовании 100 корпусов упаковки стеклянных
изделии, случайным образом выбранных из большой партии этих
изделий, оказались, что 8-ем из них не имеют необходимой проч-
ности. Согласуются ли эти данные с утверждением о том, что дан -
ная партия содержит более чем 90% прочных корпусов, если
at}~0t05.
3.10. Из суточной продукции кондитерского цеха случайным
образом отобрано и проверено 20 кондитерских продукта. При
этом 5 единиц продукта признаны не соответствующими госту.
Можно ли считать, что годная продукция кондитерского цеха со-
ставляет 99%, если
3.11. Для исследования на прочность волокон некоторого ви-
да после химической обработки было отобрано и пронумеровано
шесть мотков волокон. Каждый отобранный моток был разделен
пополам, одна половина подверглась химической обработке, дру-
гая нет. Затем с помощью прибора, измеряющего прочность во-
локон, была замерена прочность (в %) двенадцати кусков волокон.
Результаты представлены в таблице 33.
Таблица 33
Номер исследуемого куска 1 2 '1 3 4 5 6
Обработанная половина 18,1 173 19.1 18.4 17,2 16.7
Необработанная половина 16,3 17,0 18.4 17,6 1 - - - 17.0 163 -
Увеличила ли химическая обработка прочность волокна?
15Т
3.12- Обследование выпушенных видеомагнитофонов показа-
ло» что 5% из них имеют брак. Проверить гипотезу Hq : вероятность
того, что магнитофон бракованный, равна 0,05, взяв в качестве
уровня значимости критерия 0,01. Объем производимой вы-
борки п принять равным 400 видеомагнитофонов. Какое нужно
принять решение относительно гипотезы Но, если в произведенной
выборке окажется 26 бракованных видеомагнитофонов?
3.13. Считается, что завод, производящий за неделю 1000 те-
левизоров, работает удовлетворительно, если в среднем часзосгь
бракованных телевизоров при контроле качества не превышает 3%.
Допустим, что в течение некоторой недели было забраковано 38
телевизоров. Необходимо ли директору завода провести более пол-
ную проверку качества изготовления телевизоров на производст-
венной линии или же следует отнести высокий процент дефектной
продукции этой недели за счет случайных изменений в условиях
производства? Воспользоваться односторонней проверкой гипоте-
зы с 5%-м уровнем значимости.
3.14. По утверждению фирмы, средний размер дебиторского
счета 187,5 тыс. р. Ревизор составляет случайную выборку из 50 сче-
тов и обнаруживает, что средняя арифметическая выборки равна 175
тыс. р. при среднем квадратичном отклонении 35 тыс. р. Может ли
оказаться в действительности правильным объявленный размер деби-
торского счета? Уровень значимое] и принять равным 0,05 и 0.01.
3.15. По техническим условиям средняя прочность на разрыв
троса составляет 2000 кг. В результате иены ганий 20 кусков троса
было установлено, что средняя прочность на разрыв равна 1955 кг
при средней ошибке 25 кг. Удовлетворяет ли образец троса техни-
ческим условиям? Уровень значимости принять равным 0,05.
3.16. В фирме, производящей электрические лампочки, ут-
верждают, что среднее время безотказной работы лампочек мощ-
ностью 120 Вт равно по меньшей мере 800 ч со средним квадра-
тичным отклонением 120 ч. Из некоторой партии 120-ваттных лам-
почек производится выборка 25 лампочек, для которой выборочное
среднее времени работы лампочек оказалось равным 750 ч. Можно
ли на основании этого сказать, что исследуемая партия лампочек не
удовлетворяет гарантии?
3.17. Поставщик трехпроходных ламп накаливания утвержда-
ет, что их средний срок службы равен 2500 ч. Для выборки из 37
ламп средний срок службы равен 2325 ч при среднем квадратичном
отклонении 600 ч. Можно ли считать, что при уровне значимости
154
ао=О,О5 срок службы ламп оказался значительно ниже гарантиро-
ванного поставщиком?
3.18. Предельная сила натяжения прядильной шерстяной ни-
ти в среднем равна 8 г. Выборку нити из 64 мотков обработали не-
которым химическим составом После просушки была заново из-
мерена предельная сила натяжения нити. В среднем она оказалась
равной 8,5 г. Предполагая, что среднее квадратичное отклонение
предельной силы натяжения нити равно 2 г до и после обработки
химическим составом, проверить гипотезу о том, что эта обработка
не увеличила предельной силы натяжения ниги. Сделать проверку
при уровне значимости 0,05 и 0,01.
2.3.2. Проверка гипотез о дисперсии.
А. Рассматривается нормально распределенная случайная ве-
личина X. Для X получена выборка из п независимых наблюде-
ний, где п достаточно велико. Чтобы при заданном уровне значи-
мости проверить основную гипотезу Ц о равенстве неизвест-
ной генеральной дисперсии о значению ст, при альтернативной
гипотезе : сг = а; применяется статистика
где S’2 _ исправленная статистическая дисперсия, вычисленная по
выборке. Случайная величина К2 имеет хи-квадрат распределение с
числом степеней свободы р = л-1, для заданного уровня значимо-
сти ас.
Посгроение области принятие гипотезы Яо зависит от аль-
терна гивной гипотезы Hi. Можно выделить следующие случаи:
1. Если альтернативная гипотеза имеет вид. И >сг2, то об-
ластью принятия гипотезы является интервал а полуин-
тервал [ 4 °0) ~ критической областью. Вычислив по выборке
расчетное значение статистики ГДг„, сравниваем ГД^ с квантилем
Zi\;i * и если <х -ас> - то нет оснований для отвержения основ-
ной гипотезы , если же 7 то основная гипотеза отвер-
гается.
2. Если альтернативная гипотеза Я, :ст; то гД^ сравни
вают с квантилем ;v. Если 1то нет оснований отвер!ать
155
I
основную гипотезу 7/0; если же ЕДГ.,< х\ то основную гипотезу
Яо отвергают.
3. Если альтернативная гипотеза Я, :сг,2 *<т2, то областью при-
нятия гипотезы является интервал
; а объединение
полуинтервалов
критической областью.
Если
Z2
Оп то пет оснований отвергать основную ги-
Тл
потезу Н{.
Б. Рассматриваются две нормально распределённые случай-
ные величины X и Y. Для У и К получены независимые выборки
объемов пх и п2. По этим выборкам вычислены исправленные ста-
тистические дисперсии и S2y. Нужно сравнить эти дисперсии.
Чтобы при заданном уровне значимости сгп проверить основ-
ную гипотезу Яо: D(X) = £>(Г), о равенстве генеральных дисперсий
нормально распределенных случайных величин X и У, применяет-
ся статистика
Г = £-,где S,2 > 5’, 52=-Цtu-J')2,
имеющая F -распределение Фишера-Снсдокора с ц-n-l и
г>=«2-1 степенями свободы при заданном уровне значимости
F сравнивают с квантилем F- распределения - Fx (ц - чис-
ло степеней свободы большей исправленной дисперсии), или
F а , в зависимости от альтернативной гипотезы.
I. Если альтернативная гипотеза Н :D(X)>£(У), и
т0 нет оснований для отвержения основной гипотезы
Яп.Если v , то основную гипотезу отвергают.
2. Если альтернативная гипотеза 77,:D(A,)*D(K), и
F <F а> , то нет оснований для отвержения основной гипотезы
I—
/70; если > F , то основную гипотезу Hv отвергают.
1-—Л|»* 2
156
Задачи
ЗЛ9. В соответствии с техническими условиями среднее время
безотказной работы для приборов определенного класса должно
составлять в среднем 10000 часов со средним квадратическим от-
клонением сгп= 50 часов. Время безотказной работы приборов под-
чиняется нормальному закону распределения. Из некоторой партии
извлечена выборка объема п = 36 приборов и по ней найдена ис-
правленная выборочная дисперсия времени безотказной работы
приборов 52=300 часов. Можно ли считать, что вся партия прибо-
ров не удовлетворяет техническим условиям, если ас = 0,05 ?
Решение. Для того чтобы ответить на поставленный вопрос
сформулируем основную гипотезу /7г:сг = 250 и альтернатив-
ную гипотезу Н \ст >с2 =250. Уровень значимости = 0,05 задан.
Объем выборки п = 36 .
Для проверки гипотезы воспользуемся статистикой
(я _ ] ।
К2 _ v—Подставим значения л = 36, S2 = 300; сг* = 250, найдем
<*0
рогч
(36-1)300
250
По таблице (приложение № 5), по уровню значимости = 0,05
и числу степеней свободы v =36-1 = 35 находим квантиль
=Zro$.i5 = 49,8. Тогда интервал (-00.49,8), определяет область
принятия гипотезы, а полуинтервал, [49,8; -юо)- критическую об-
ласть, поскольку То нет оснований для утверждения основной
гипс гезы . Это значит, что партия приборов удовлетворяет тех-
ническим условиям.
Ответ: партия приборов удовлетворяет техническим условиям
2. Известно, что добавление специальных веществ уменьшает же-
сткость воды. Дисперсия измерении оценки жесткости воды по 50 про-
бам после добавления специальных вешеств равна 4.0 град1. Требуется
при уровне значимости а -0,05 проверить гипотезу о том, что гене-
ральная дисперсия л- измерений равна предполагаемому значению:
а) а2 - 5 град2; б) гт2 - 3 град7.
3.20. Точность наладки некоторого класса приборов характе-
ри дуется дисперсией показания прибора. Если эта величина будег
больше 120 то прибор переналаживается. Исправленная вы-
борочная дисперсия 25 случайных измерений прибором оказалось
равной: a) S2 = 200лкм2; б)5г =200 л/кч2.
157
Нужно ли производить паладку прибора, если уровень значи-
мости -0,01 ?
3.22. Из нормально распределенной генеральной совокупности
извлечена выборка значений коэффициен га трения шины по ас-
фа л ьгу: _______________________________________________
Значения коэффициен- та грения, xt 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21
Частота значений ко- эффициента 1рения, w. 2 7 10 6 4 1
Согласно технологии изготовления шины при определенной
процедуре проверки коэффициента трения установлено, что дис-
персия сг* результатов измерений этого коэффициента равна 0,1.
Требуется, при уровне значимости ао = 0.05, проверить гипотезу о
том, что дисперсия результатов измерений коэффициента трения
равна 0,1.
3.23, Точность наладки станка - автомата, производящего де-
тали, характеризуется дисперсией длины деталей. Из нормально
распределенной генеральной совокупности извлечена выборка:
Длина деталей, х 3,1 3,2 3,3 3,4 зл 3,6 3,7
Частота, т 2 5 7 12 9 4 1
Требуется, при уровне значимости ап = 0,05, проверить, обес-
печивает ли станок требуемую точность, если дисперсия длины де-
талей не должна превышать ст* =0,1.
3.24, Фирма работает «устойчиво», если дисперсия величины
прибыли не превосходит 600 ден.ед.2. Исправленная выборочная
дисперсия 15 случайно отобранных фирм оказалась равной
720ден.ед.2. Требуется, при уровне значимости =0,01, проверить
гипотезу о том, что отобранные фирмы работают неустойчиво.
3.25. По двум независимым выборкам, объемов и, = 21 и = 25,
извлеченных из нормально распределенных генеральных совокуп-
ностей А' и У, вычислены исправленные выборочные дисперсии
5: =1,45 и S =1,21. Требуется, при уровне значимости а, =0,05,
проверить основную гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.
Решение: Сформулируем основную гипотезу Н :D(A') = D(F),
и альтернативную Н,: D(X)> D(Y).
Уровень значимости задан 0,05.
Объемы выборок известны п - 21 и л, =25.
158
Для проверки гипотезы Hv применим статистику
«!>*!; F_.bg.U9».
у
По таблице F ~ распределения (приложение 7} находим кван-
тиль Л-о 05^1 . |,г5Ч = Д,45.2o.74 =1,73. Поскольку альтернативная гипотеза
Ну: D(X) > D(Y), тс критическая область правосторонняя
[1,73;+ос), а областью принятия гипотезы является интервал
(0-Д73). Так как /^=Т,198< FfJ95 2024 = 1,73, то нет оснований для от-
вержения основной гипотезы HQ. Значит, генеральные дисперсии
D(X) и D(Y) равны.
Ответ: D(X) = D(Y).
3.26. Па предприятии разработаны два метода изготовления
изделия и вычислены исправленные дисперсии расхода сырья на
единицу готовой продукции 5^ =5,9 кг2, S2=6,3 кг по выборкам
объемов п =11 изделий и и3 = 15 изделий. Т ребуется, при уровне
значимости ао = О,О5, проверить гипотезу о равенстве генеральных
дисперсий нормально распределенных совокупностей расхода сы-
рья на единицу изделия.
3.27. Для проверки эффективности нового лекарства были
отобраны две случайные группы больных по 30 человек. Одной
группе давали таблетки с прежним проверенным лекарством, а
другой с новым. В первой группе исправленная дисперсия выздо-
ровления = 5 дней, а во второй - S2 = 3 дня. Требуется, при уров-
не значимости ^=0,05, проверить гипотезу о том, что новое ле-
карство не более эффективное, чем прежнее.
3.28. При исследовании работы стабилизатора напряжения в
самолете на стенде проведено 12 независимых испытаний:
Выходное напряжение, xf, В 0,21 0,24 0,28 0,30
Частота значений выходного напряжения, 1 3 6 2
В полете проведено еще 15 испытаний стабилизатора напря-
жения в самолете:
Выходное на пряжение j , В 033 0,34 0,36 0,37 0,40
Частота, w 1 2 7 3 2
159
Требуется, при уровне значимости ло=0,05, сравнив исправ-
ленные дисперсии, ответить, есть ли основания полагать, что фак-
торы, воздействующие на стабилизатор в полете, оказывают суще-
ственное влияние на точность его работы.
3.29. Результаты независимых измерений производительности
двух агрегатов приведены в таблице ________________________
Агрегат № 1 15,0 15,2 15,7 16,0 16,1 и,3 16,6
Агрегат № 2 14,7 15,1 15,5 15,9 16,2 16,4 16,5
Можно ли считать, что производительности обоих агрегатов
равны? Требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных
дисперсий нормально распределенных совокупностей при уровне
значимости а0 - 0т О J.
3.30. Для сравнения качества консервов двух заводов взяты
две выборки продукции этих заводов. Качество каждой банки кон-
сервов оценено в баллах при помощи органолептических показаге-
лей. Результаты оценок приведены в таблице: ____________
Завод Ki 1 71 73 74 75 77 80 83
Завод Ki 2 69 70 72 74 75 79 80
Можно ли считать, что качество продукции одинаковое на за-
водах №1 и №2, сравнив исправленные дисперсии выборок при
уровне значимости ао=0,05. Предполагается, что результаты оце-
нок распределены нормально и выборки независимы.
2.3.3. Проверка гипотезы о равенстве значений двух средних из
нормально распределенных генеральных совокупностей
Рассмотрим нормально распределенные случайные величины
X и У Пусть в результате наблюдения получены две независимые
выборки объемами nf и п2. Проверим гипотезу Но о равенстве ма
тематических ожиданий случайных величин X и У: MIX) = М( У!
при альтернативной гипотезе Нс М(Х)
Если сг(Х) и a(Y) известны, то в качестве статистической харак-
теристики принимаем величину
z = , Y~x (3.3)
И*), НИ
V Ч *2
имеющую нормальный закон распределения с параметрами 0 и 1:
160
Критическая область (-w; — za ] [ze; +oo) определяется та-
ким образом, чтобы Z a zQn, где if;< находят из условия P(\Z >z -
= , т.е. Ф*( z„n)-
^1}
2
для уровня значимости cq?.
При альтернативной гипотезе Нц : М(Х) > M(Y), находят zfl из
условия P(Z< -zn ) ' т. е Ф*(г ) = а0, для уровня значимости (ц,
Тогда, если Zpac4 <-zu то, нулевую гипотезу Н(.отвергают; в про-
тивном случае (ZpaC4 >-zaJ нет оснований отвергать нулевую гипо-
тезу.
При альтернативной гипотезе Hi : М(Х) < M(Y), z^ находят из
условия P(Z > z ) - а0, т. е Ф*(го ) =1-ао для уровня значимости
ао (по таблице значений функции Ф*(г)). Если ZpaC4 > z^, то ну-
левую гипотезу отвергают; в противном случае (2расУ < zn) нет ос-
нований отвергать нулевую гипотезу.
Пусть для нормально распределенных случайных величин X и
Y дисперсии о' X' и cr(Y) неизвестны. Тогда в качестве статисти-
ческой характеристики принимаем величину
yl^S2x+n.Sy \ ’
имеющую распределение Стьюдента с v = п. + п - 2 степенями сво-
боды.
При альтернагивной гипотезе Hi : M(X)*M(Y), критическую
область (-ос; - ] и ; Гос) определяют таким образом, чтобы
—’—yV
2 2
|Т| >ta „где ta находят из условия Р(|Т|> / ) - а<>‘2 для уровня
— ’ —°:р * — -у
2 2 2
значимости сгппо таблице значений распределения Стьюдента с
v = + пг - 2 степенями свободы (приложение 6).
Тогда, если |Т^ГЧ| > t нулевую гипотезу отвергают; в про-
—=-;г
2
гивном случае (|5%rv ) ног основании отвергать нулевую гипо-
2
тезу.
При альтернативной гипотезе Hf. M(X)>M(Y) (или M(X)<M(Y)),
находят t0 .y из условия Р(Т> ) = Оа (или Р(Г < = Оо) для
уровня значимости а0 по таблице значений распределения Стью-
дента с и = л, + п2 - 2 степенями свободы.
1Ы
Если Трасч>1а л (или Tpac4<-ta у\ то нулевую гипотезу отверга-
ют; в противном случае (Tp(JC4<tQ или Тр(1СЧ>- ) пет оснований
отвергать нулевую гипотезу.
Если объемы выборок щ и п2 достаточно велики, то в качестве
статистической характеристики для проверки нулевой гипотезы
используется величина
у _ V
Z = <35>
\ "l «2
Величина (3.5) имеет нормальный закон распределения с па-
раметрами 0 и 1: iV(OJ).
Задачи
3.31. В двух фирмах, выпускающих детское питание, произ-
водилась оценка качества продукции. В фирме А где проверялось
30 единиц продукции, средняя сумма баллов оказалась равной 52.
Во второй фирме В проверялось 36 единиц продукции, и их сред-
няя сумма баллов оказалась равной 47. Среднее квадратичное от-
клонение суммы баллов, вычисленное для нескольких тысяч еди-
ниц продукции, о = 12. Определить, лучшее ли питание выпускает-
ся фирмой А, чем фирмой В.
Решение. Из условия следует, что проверенная продукция
фирмы А лучше, чем продукция фирмы В. Можно ли утверждать,
что фирма А выпускает лучшую продукцию, чем фирма В?
Сформулируем гипотезы. Основная гипотеза H(f: ХА * Хв„ где
и Хи средние совокупностей балльных оценок детского пита-
ния, производимого фирмами А и В соответственно. Альтернатив-
ная гипотеза///.* ХЛ>Х'
1 A ft
Поскольку пас интересует, лучшее ли детское питание выпус-
кается фирмой А , чем фирмой В, воспользуемся односторонней
альтернативной гипотезой. Возьмем уровень значимости ап= 0,05.
Из условия задачи известно, что пА = 30, = 36.
В данной задаче нет другой информации, кроме двух выбо-
рочных средних. Поэтому разность средних Хл — А д представляет
собой меру сравнения качества детского питания фирм А и В. Эта
величина распределена приближенно нормально со средним хА
X* и стандартным отклонением
2
V пв
В качестве статистики возьмем стандартную нормальную ве-
личину
/1
(3.7)
Крит ическое значение 2ц при 5%-м уровне значимости для од-
носторонней проверки гипотез равно 1,65 (см таблицу 3 1) Поэто-
му областью принятия нулевой гипотезы Нс будет множество зна-
чений Z, не превосходящих 1,65, т.е. интервал (-оо; 1,65).
Если выборочное значение Zpt^
фирмой А выпускается детское питание лучшего качества, чем
фирмой В.
Если Z
рш ч
пускают детское питание одинакового качества. .
Так как по формуле (3.6) имеем
> 1,65, то делаем вывод, что
< 1,65, то заключаем, что в общем фирмы А и В вы-
Л Л
—*—*3,027,
30 36
то выборочное значения статистики (3.7) равно:
52-47
3,027
= 1,6515 >zG
*1.6515.
= 1,65. Поэтому при
Значение статистики
5%-м уровне значимости можно утверждать, что фирма А выпуска-
ет лучшее детское пи гание, чем фирма В.
Ответ: фирма А выпускает детское питание лучшего качества,
чем фирма В.
332. Покрышки автомобиля были исследованы на износ после
10 000 км пути. Каждая покрышка сделана наполовину из резины
сорта А. наполовину - из резины сорта В. Все колеса вращаются с
одинаковой скоросз ью, поэтому можно считать, что отги находятся
в одинаковых условиях. Результаты исследования (в баллах) при-
ведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Номер покрышки 1 2 3 4
Износ резины сорта А 32 40 36 35
Износ резины сорта В 25 28 2L 26
163
Сделать проверку односторонней гипотезы о том, что резина
сорта В больше изнашивается, чем резина сорта А, при уровне зна-
чимости критерия а0 -= 0,05.
333. В магазине отобрали случайным образом по 40 банок
«Солянки» производства двух заводов. Каждая из банок была оце-
нена в баллах с помощью органолептических показателей. Резуль-
таты оценки приведены в табл. 3.5.
Таблица 3.5
Завод № 1 Завод № 2
Средний балл 71 76
Стандартное отклонение 5 - _. — - 6
Проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что
консервы завода № 2 лучшего качества, чем завода № 1.
3.34. На некотором поле выбрали 100 участков земли; 50 уча-
стков засеяли одним сортом ячменя, 50 другим сортом. На первых
50 участках получили урожай в среднем 60 ц/га со стандартным от-
клонением 3 ц/га. Средний урожай на участках, засеянных ячменем
другого сорта, оказался равным 65 ц/га со стандартным отклонением
3,5 ц/га. Будет ли средний урожай этого сорта ячменя значимо пре-
восходить средний урожай ячменя первого сорта? 11ринять = 0,05.
3.35. Для проверки эффективности нового лекарства были
отобраны две случайные группы по 50 человек, с градающих грип-
пом. Одной группе давали таблетки, не содержащие никакого ле-
карства, другой группе давали такие же по внешнему виду таблет-
ки, но содержащие новый вид лекарства от гриппа. В первой груп-
пе люди выздоровели в среднем через 7 дней, а во второй - через 6
дней. Стандартное отклонение продолжительности лечения одного
человека от гриппа независимо от того, принимал или не принимал
он лекарства, можно положить равным двум дням. Можно ли па
основании полученных результатов сказать, чго новое лекарство
существенно ускоряет выздоровление?
3.36. Было произведено 12 измерений диаметра вала. При этом
оказалось, что среднее X = 10,20 мм, а стандартное отклонение 0,05
мм. Затем вал поместили в условия с высокой температурой и про-
извели еще 8 измерений диаметра его оси. Среднее на этот раз ока-
залось равным 10.25 мм. а стандартное отклонение 0,05. Можно ли
сделать вывод, что диаметр вала существенно увеличивается в про
странстве с высокой температурой при 5%-м уровне значимости?
3.37. Студенты экономического и гуманитарного уни-
верситетов сдавали экзамен по математике. В экономическом уни-
верситете. |де экзаменовались 30 студентов, средняя оценка оказа-
164
лась 4,52. В гуманитарном университете сдавали экзамен 36 сту-
дентов, их средняя оценка оказалась равной 4,47. Среднее квадра-
тичное отклонение оценок по математике, вычисленное для не-
скольких студентов, ст == 0,12. Лучше ли подготовлены но матема-
тике студенты экономического университета, чем студенты гума-
нитарного университета? Принять = 0,05.
3.38. С целью ускорения производства интегральных схем про-
изводственная линия была модифицирована. Для исследования эф-
фекта от этой модификации было зафиксировано время изготовле-
ния каждой из 50 интегральных схем при старом и новом процессах.
Для немодифицированного процесса среднее время изготовления
одной интегральной схемы оказалось равным 35 с, а для процесса,
подвергшегося модификации - 33 с. Стандартные отклонения вре-
мени изготовления интесральной схемы для первого и второго про-
цессов можно считать приблизительно одинаковыми. Вычисленное
значение объединенной оценки среднего квадратичного отклонения
равно 1,5 с. Можно ли сделать вывод, что скорость изготовления ин-
тегральной схемы при модифицированном процессе больше?
3.39. Месячная заработная плаза для выборки из 50 рабочих оп-
ределенной фирмы составляет 910 тыс. р. при среднем квадратич-
ном отклонении 1,44 тыс, р., а заработная плата для выборки из 40
рабочих другой фирмы равна 905 тыс. р. при среднем квадратичном
отклонении 1,50 тыс. р. Выше ли заработная плата в первой фирме,
чем во второй? Уровень значимости а(: принять равным 0,01.
3.40. Средний диаметр для случайной выборки из 65 подшип-
ников, обработанных на каком-либо станке, равен 0,24 см при
среднем квадратичном отклонении а =0,02 см На следующий день
из числа обработанных на этом станке подшипников вновь отби-
рают 65 штук и устанавливают, что их средний диаметр равен 0,25
см при среднем квадратичном отклонении 0,04 см. Требуется ли
переналадки станок? Уровень значимости а()принять равным 0,05.
2,4. Критерии согласия.
Критерии согласия применяются для проверки гипотез о том,
что распределение изучаемой случайной величины X подчиняется
некоторому известному распределению р(х)> например, нормаль-
ному, биномиальному или другому закону распределения.
Критерий согласия Пирсона основан на выборке определенной
меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распреде-
165
лениями. В качестве такой меры берется величина
2 = у (™, -»л)2
Tv
Zt пр.
которая имеет % - распределение с и = Л-г-1 степенями свободы,
где к- число интервалов или групп, на которые разбито все множе-
ство наблюденных данных, г - число параметров гипотетического
распределения вероятностей Р, оцениваемых по выборке.
Применение критерия Пирсона основано на том, что сумма
квадратов случайных величин A, = имеет распределение
у1пР.
%г~хи, а случайные величины Xt асимптотически нормально рас-
пределены. Чтобы это утверждение выполнилось, нужно чтобы для
всех интервалов выполнялось условие пр. > 5. Если в некоторых ин-
тервалах это условие не выполняется, то их следует объединить с
соседними.
А. Алгоритм применения критерия Пирсона:
1. Формируется выборка из наблюденных данных случайной
величины X. Исходя из качественного анализа изучаемого
социально - экономического явления определяется тип слу-
чайной величины: дискретная или непрерывная.
2. Строятся эмпирические распределения:
- если X дискретная случайная величина, то составляется
статистический ряд распределения относительных частот;
- если X - непрерывная случайная величина, то составляется
интервальный статистический ряд распределения относи-
тельных частот.
3. Строится графическое представление эмпирических распреде-
лений. По виду полигона (многоугольника) относительных
частот, или гистограммы визуально определяется вид теоре-
тического распределения F, которому подчиняется выборка.
4. Вычисляются оценки параметров закона распределения Р.
5. Формулируются основная и альтернативная Нх гипотезы.
6. Задаётся уровень значимост и , (ап=0,5; 0,01).
7. Вычисляется значение статистики %2.
8. Для заданного уровня значимости а и числа степеней сво-
боды v = по таблице х1 ~ распределения находится
квантиль Xi - .-V и строится область принятия гипотезы и
критическая область.
166
9. Формулируется правило принятия гипотезы Н : если
< /2_С(1Л, то пет оснований для отвержения гипотезы Н. ;
если /2 г к2 > ,.,то гипотеза Н отклоняется.
Отмстим, что если объем выборки большой и изучается дис-
кретная случайная величина X , то выборка также разбивается на
группы (интервалы).
Задачи
4.1 . В налоговой инспекции проведено 100 проверок за год о
правильности уплаты налогов частными предпринимателями. При
каждой проверке проверялось 10 частных предпринимателей.
Пусть дискретная случайная величина X— число предпринимателей
неправильно уплативших налоги. Результаты проверок сведены в
таблицу 4.1:
Таблица 4.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 И 20 25 19 16 3 1
где - число предпринимателей неправильно уплативших налоги,
при одной проверке; т - количество проверок, содержащих х
предпринимателя, Требуется, при уровне значимости «Л = 0,05,
проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена
по биномиальному закону.
Решение. Поскольку изучаемая случайная величина А явля-
ется дискретной, то составим ряд распределения относительных
частот, таблица 4.2.
Таблица 4 2
Л 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Ю, 2 3 11 20 25 16 3 1
i п 100 100 100 “ 100 “ 100 ’ 100 100 ’ 100 ~ 100“
0,02 0,03 0,11 0,20 0,25 0,19 0,16 0,03 0,01
и пос гроим полигон относительных частот
1*7
По виду полигона относительных частот можно предполо-
жить, чтд изучаемая случайная величина X распределена по бино-
миальному закону.
Неизвестным параметром является вероятность появления собы-
тия а - {случайно выбранный предприниматель неправильно уплатил
налоги). Оценкойр вероятности появления события А, р ~ р(Л), бу-
дет относительная частота появления события в выборке:
р*=-—(0-2 *-1-34-2 11 + 3-20 +4-25 + 5 19-616+ 7-3+ 8-1)^0.405.
100 '
Сформулируем основную гипотезу Н0: случайная величина X
распределена по биномиальному закону, и альтернативную гипоте-
зу HY: случайная величина X распределена не по биномиальному
закону. Уровень значимости адан а0 -0,05.
Вычислим значение статистики %2 у
м ript
пирические, а ир- теоретические частоты. Для вычисления теоре-
тических частот, по формуле Бернуллй найдем вначале вероятно-
сти того, что событие А появи гея л. раз в 10 испытаниях:
P^X^Xi) = C^p^-\
где р=0,405; q=\-0,405=0,595.
Подставив значения, получим:
PJ.X = 0) = С 0,405 - 0,5951С * 0,006 ;
Р„(X = 1) = Cjc 0,405 0,5959 10 0,405 - 0,0093 «0.038;
Рю (X = 2) - СД 0,4052 0,595s = — - 0,1641 0,0157 ® 0,116;
I6R
10-9-Я
PW(X = 3) = С|с 0,405! -0.5957 ®——— 0,0664-0,0264 ® 0,211;
1
10’9*8-7
р (= 4) =- с; 0.4054 • 0,595* * — 0,0269 О,С 144 * 0,251;
ли r |1J * Л r J 2
1-2-3-4
I О' 9-8 7-6
Р (X - 5) = С’ 0,405s -0,595s ® ------ 0,0109-0,0746 ®0,205 ;
1-2-3 4 5
Рю(X = 6) = Со 0,405'’ 0.5954 ® О,0044 • 0,1253 = 0,116;
р (X = 7) = С’ 0,405’ -0,595’ ® — -0,0018-0.2106® 0,046;
Р (А' = 8) = С’ 0,405’ • 0.5952 ® — 0,0007-0,3540 ® 0,011.
JI/4» 'III 7 g I * 7 1
Составим расчетную таблицу 43, в которой объединим значе*
ния частот меныпие 5,
Таблица 4.3
пр, ^100х xP(X = xf) "А - «А (т, -пр,)1 (от,-ид)2
2 о,6 1 5 4,4 0,6 0,36 0.0818 ¥
3 3,8
11 1 1,6 11 11,6 -0,6 0,36 0,0310 *
20 21,1 20 21,1 -и 1.21 0.-О573
25 25,1 25 25,1 -0,1 0.01 Q.0004
19 20,5 19 20,5 -1,5 2,25 ОД 098
16 1.6 16 11,6 4,4 19,36 1,6690
3 4,6 4 5.8 -L8 3,24 0,5586
1 1,2
Х:10° 100 100 100 i 2t426i ;
В таблице находим расчетное значение статистики
= 2,4261.
Для заданного уровня значимости = 0,05 и числа степей сво-
боды v = = 6-1 -1 4 (число групп, после объединения двух и
трех групп, стало 6, один параметр оценивался, поэтому г=7), на-
ходим квантиль
Т - распределения: =9,49.
Область принятия гипотезы /7, - интервал ( -оо;9,49); критиче-
ская облает ь полуинтервал [9,49;+со).
16Q
Так как =2.4261 < /0295.4 =9,49, то нет оснований для отвер-
жения гипотезы Нпо биномиальном распределении случайной ве-
личины X.
Ответ: изучаемая случайная величина X распределена по би-
номиальному закону.
4.2 Для проверки качества производимой продукции в течении
года проводилось 200 проверок. При каждой проверке изучалось
качество 7 изделий. В итоге получено эмпирическое распределение
числа л, изделий содержащих дефекты в одной выборке; табл, 4 4:
Таблица 4.4
Число изделий в одной выборке, х, 0 1 2 4
Количество выборок, содержащих х, дефект- ных изделий, т, 45 68 41 35 10
Требуется, используя критерий Пирсона, при уровне значимо-
сти а =0,05, проверить гипотезу о том, что дискретная случайная
величина X. характеризующая число дефекз ных изделий, распреде-
лена по биномиальному закону.
4.3 . Для оценки всхожести семян ячменя посеяно 100 выборок
по 50 семян в каждой. В итоге получено эмпирическое распределе-
ние числа х. не взошедших семян в каждой выборке и число выбо-
рок, содержащих х. не взошедших семян:
Требуется, используя критерий Пирсона, при уровне значимо-
сти а =0,05, проверить гипотезу о том, что дискретная случайная
величина X, характеризующая число не взошедших семян ячменя,
распределена по биномиальному закону.
4.4 Данные об отказе 400 электрических приборов за 10000 ча-
сов работы приведены в таблице 4.6;
170
Таблица 4.6
Число отказов, х 0 1 2 3 4 >5
Количество случаев, в которых наблюдалось х отказов, 236 105 56 2 1 0
Требуется, используя критерий Пирсона при уровне значимо-
сти ас=0,05, проверить гипотезу о том, чго дискретная случайная
величина X характеризующая число отказов, распределена по за-
кону Пуассона.
Решение Поскольку изучаемая случайная величина X являет-
ся дискретной, то составим ряд распределения относительных час-
тот, табл. 4.6.
Таблица 4 "
0 1 2 3 4 2>5
п 236 „ = 0,59 400 —=0,2625 400 56 „,, = 0,14 400 2 400 1 400 0
-1, и построим полигон относительных частот, рис. 4.2:
г
171
По виду полигона относи тельных частот можно предполо-
жить, что изучаемая случайная величина подчиняется закону рас-
пределения Пуассона Рп{Х —е~", где а = пр. Неизвестным
х !
параметром закона распределения Пуассона является параметр
а = п-р. Согласно метода наибольшего правдоподобия оценкой па-
раметра а является среднее число отказов:
1 «С 1 227
<5 = -Уа; tti =-(0-236 -1 105 + 2-56 + 3-2 + 4 1) = -—-0,5675.
п 400 400
Сформулируем основную гипотезу Яо: изучаемая случайная
величина X подчиняется закону распределения Пуассона: при аль-
тернативной гипотезы II : случайная величина X подчиняется дру-
гому закону распределения.
Уровень значимости задан, =0,05.
Для вычисления значения статистики % найдем вероятности
числа отказов по формуле:
Подставляя значения х/5 получим;
X, -0: Лоо И = 0)= е °5675 « 0.5669 ;
X. = 1: = I) = е-”-56’5 * 0,3217;
х = 2: Рт(Х = 2) = 0,5675 е ® « 0.0913;
-4 = 3: Р4(К.(Х = 3) = 5 -е йЛьп = 0,0173;
х, = 4: Р,т(Х = 4) - • е 0J6” « 0,0024;
4 * ?' Рт(Х ;> 5) -1 -(Р^(Х = ОН (X = В + Р^Х = 23+Рт(Х =3) +
* = 4) = 1 -0,9996 = 0,000^.
Составим расчетную таблицу 4.8, в которой объединим значе-
ния частот (л#) меньшие 5.
172
Таблица 4.8
-Г—----—1
лд = 400 * хР(Х = х.) «Л w. - лр( (от, - пр, )2 (от -пр)2 пр.
236 226,76 236 226,76 9,2 а 85,3776 0,3765
105 ' 128,68 105 128,68 -23,68 560,7424 4.3576
56 36,52 56 36,52 19,48 379,4704 10,3908
2 6,92 з 1 8,04 5,04 25,4016 3.1594
] 0,96
0 0,16
£400 400 400 400 18,2843
В таблице 4.8 находим расчетное значение статистики.
=18,2843.
Для заданного уровня значимости ап=0,05 и числа степеней
свободы и= Л-г-1 = 3—1-1-= 1 (число групп после объединения че-
тырех последних групп стало 3, к=3, один параметр оценивался,
поэтому г=7, находим квантиль хг - распределения: =3,84.
Область принятия гипотезы Яо- интервал (-оо,3,84): критиче-
ская область - полуинтервал [3,84; + ос).
Так как z^ = 18-2843 >/029?1 = 3,84, то гипотеза 77п отклоняется
и принимается гипотеза Н .
Ответ: изучаемая случайная величина X подчиняется другому
закону распределения.
4.5. Отдел технического контроля проверил точность хода
произведенных часов в 200 партиях, и получил следующие данные,
указанные в таблице 4.9.
Таблица 4.9
Количество часов с неточным ходом в одной партии, л 0 ] 2 3 4 5
Количество партий, содержащих х часов с неточным ходом, tni 111 52 24 7 4 2
Требуется при уровне значимости ао = 0,01, проверить гипо-
тезу о том, что число часов с неточным ходом распределено по за-
кону Пуассона.
173
4,6. Отдел сбыта завода, по производству стеклянных изде-
лий изучал количество поврежденных изделий в результате транс-
портировки в 400 отправленных партиях. Количество поврежден-
ных изделий в одной партии приведено в таблице 4.10:
Таблица 4.10
Количество поврежденных стек- лянных изделий в одной партии, х, 0 1 э л* 3 4 5 1 6
Количество партий, содержащих х поврежденных изделий, т. 189 165 84 33 14 9
Требуется при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу
о том. что распределение количества поврежденных стеклянных
изделий в результате транспортировки подчиняется закону распре-
деления Пуассона.
4.7. В автопарке регистрировалось число автобусов не вы-
шедших на маршруты. Всего было проведено 400 наблюдений, ре-
зультаты которых приведены в таблице 4,11:
Таблица 4 Л1
Число автобусов не вышедших на мар- шруты, xt 1 2 3 4 г— 5 6 7 8 9 10 11 12
Число зарегистриро- ванных случаев, /иг 106 95 . —... 67 42 30 25 21 6 4 2 1 1
Требуется при помощи кри герия Пирсона при уровне значимо-
сти «о = 0,05, проверить гипотезу о том, число автобусов не вышед-
ших на маршруты подчиняется закону распределения Пуассона.
4.8 В результате взвешивания 500 упаковок расфасованных
продуктов получены данные, приведенные в таблице 4 12:
Таблица 4 12
Интервал веса в граммах | х/ч;хг) [470; 480) [480:490) [490; 500) ' [500; 510) [510; 520) [520; 530]
Количество упаковок, вес которых принадлежит этому интервалу, mt 91 85 80 78 84 82
Требуется при уровне значимости ао=0,05, проверить гипоте-
зу о том, что вес упаковок X распределен равномерно.
174
Решение. Поскольку изучаемая случайная величина X являет-
ся непрерывной, то составим интервальный статистический ряд
распределения, таблица 4.13:
Таблица 4.13
и построим гистограмму
По виду гистограммы можно предположить, что изучаемая
непрерывная случайная величина X подчиняется равномерному за-
кону распределения.
распределена по закону:
/>(л) = 4
,если х е|сг.^];
О, если > ё [сг; /?].
Неизвестными параметрами являются сги /?. Поскольку лля
равномерного распределения М{Х)=---^ и <у(Х) = —1~ , а оденка-
2 2V3
ми математического ожидания М(Х) и среднего квадратического
отклонения <т(Х) являются среднее арифметическое X и исправ-
ленное среднее статистическое квадратическое отклонение S, то
175
для нахождения оценок параметров а и /? получим систему двух
линейных уравнений:
По эмпирическим данным выборки, вычислим среднее ариф-
метическое:
_ 1 к I
1=-Ух* т)= (475-91 • 485-85 t-495-8O + 5O5-78 + 515-84 + 525-82) = 499,5
w 500
(где х*- середины заданных интервалов), и исправленное среднее
статистическое квадратическое отклонение:
499
(4752 91 + 4852 -85 + 4952 -80 + 5052 -78+5152 -84+5252 -82)
-499,52)2 ~ 28,294.
Составим систему
а+ /7 = 2-499,5;
Д-<5 = 2^-28,294
или
а + /? = 999;
Д-d-98,013,
решив которую, найдем а « 450,49; р 548,51. Тогда плотность рав-
номерного распределения будет иметь вид:
р(х)<
1 1
Р~ а 548,51-450,49
------» 0,0102, если х е 450,49,548,511;
98,02 1 J
0, если х & [450,49; 548,51]
Сформулируем основную гипотезу Но: вес упаковок расфасо-
ванных продуктов, подчиняется равномерному закону распределе-
ния, и альтернативную гипотезу //:: вес упаковок не подчиняется
равномерному закону распределения.
Уровень значимости ао задан, ап=0,01.
Для вычисления значения статистики найдем вероятности
того, что значение веса упаковки принадлежит конкретному интер-
валу по формуле:
Vi < < X,) = р(х) (х, - X и):
Р(а < А' < х) = Р( 450,49 < X < 480) - 0,0102 - (480 - 450,49) = 0,3010.
Р(480 < X < 490) = 0 0102-(490-480) -- 0,102.
176
Длины второго, третьего, четвертого и пятого ин гервалов рав-
ны, поэтому вероятности также будут равны, т.е.
/4480 < Л' < 490) - /(490 < X < 500) =- /(500 < X < 510) - /(510 < X < 520) = 0,102;
/(х5 < х < р} = /(520 < X < 548,5 Г) = 0.0102(548,51 - 520) «=0.2910.
Составляем расчетную таблицу 4.14.
Таблица 4.14
г пр, =500 Р(х,_, < Лсх.) *4 " - пр, )2 (m,-np,)2 «А
[450,49; 480) 150,8 -59,8 3576.04 23,7138
[480; 490) 85 51,0 34,0 1156,0 22,6667
[490; 500) 80 51,0 29.0 841,0 16.4902
[500; 510) 78 51,0 27,0 729,0 14,2941
[510; 520) 84 51,0 33,0 1089,0 ' 21,3529
[520; 548,52 82 145,2 -63,2 3994.24 27,5085
£:500 । 500,0 1 126,0262
В таблице находим расчетное значение статистики
Х^ =126,0262.
Для заданного уровня значимости aCi - 0,01 и числа степеней
свободы V /-г-1 -6-2-1 = 3 по таблице /2 - распределения нахо-
дим квантиль - /*W;3=11,3. Так как =126,0262 >z2w = 11.3, то
гипотеза Яо отклоняется и принимается гипотеза Н}.
Ответ: изучаемая случайная величина X не подчиняется рав-
номерному закону распределения.
4.9 В течение суток регистрировалось прибытие отдыхающих
в лом отдыха Полученные данные сведены в таблицу 4.15!
Таблица 4.15
Время суток в часах. Количество отдыхаю- щих прибывших в этом интервале, mt Время суток в часах [*,-6*,) Количество отдыхаю- щих прибывших в этом интервале, т
0-2 12 12 — 14 10
2-4 15 14- 16 16
4-6 14 16- 18 21
1 е» 20 18 20 18
8-10 18 20-22 21
10- 12 19’ 22 - 24 16
177
Требуется при уровне значимости «„ =0,05 проверить гипотезу
о том, что время прибытия отдыхающих в дом отдыха распределе-
но равномерно.
4.10 В результате исследования уровня заработной платы учи-
телей средних школ получены результаты, приведенные в таблице
4Л6:
Таблица 4.16
" " Интервал заработной платы, тыс. р., о 1 о 750 - 800 800 - 850 о о сг 1 о «п оо 900 - 950 0001 0S6 1000-1050
Число учителей, заработная плата которых принадлежит данному интервалу, 93 84 94 81 79 87 82
Требуется при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу
о равномерном распределении уровня заработной платы учителей.
4.11 Данные об износе основных производственных фондов по
60 предприятиям г. Минска представлены в виде простейшей ста-
тистической совокупности:
15,4 20,3 19,2 17,2 18,1 23,3 21,9
16,8 15,3 20,4 13,2 16,5 20,5 19,7
20,1 14,3 16,8 14,7 19,5 20,8 15,3
17,8 19,3 15,7 16,3 22,9 21,8 12,6
10,2 21.1 18.4 15,8 14,6 18,2 18,3
13,8 19,2 18,6 20,3 23,7 16,6 20,2
19,4 17Д 19,5 17,7 21,2 17,4 19,3
17,8 15,3 17,7 12,1 18,5 14,0 13,4
15,2 16.4 17.1 18.2
Требуется при уровне значимости =0,05, проверить гипоте-
зу о том, что износ основных произведет венных фондов описыва-
ется нормальным законам распределения.
Решение. Рассматриваемая случайная величина X описываю-
щая износ производственных фондов, является непрерывной слу-
чайной величиной. Разобьем простейшую статистическую сово-
купность на интервалы одинаковой длины
V —
/ _ тал п’.'.’!
I, где
1г 3,3221g 60
178
Т огда число к интервалов равно;
_ -Чпах ~ *mir. _ ^3, 7 ~ 10, 2 у
I 1,95
Построим интервальный статистический ряд распределения в
таблице 4.17
Таблица 4.17
Интервалы износа производ- ственных фондов, (хн;л,) (г4 1— гч гч • гч ГЧ ГЧ г» 40 г* [16.05; 18.0) •7? Л О’ о ос 6? г> ГЧ • ГЧ */» СТ' *> Оч Г— ОС ** ст СЧ * о г* гч
Относительная частота значе- ний износа производственных фондов, которые принадлежат данному интервалу, w 1 30 1 12 2 6 7 30 2 4 2 6 1 15
По виду гистограммы можно предположить, что исследуемая
случайная величина X распределена по нормальному закону рас-
пределения. т.е. по закону
1 _ о-”)8
р(х. т, <т)-----е 2<?3
ст>/2л
Неизвестными параметрами являются математическое ожида-
ние т и дисперсия сЛ В соответствии с методом наибольшего
правдоподобия, опенками параметров нормального распределения
т и а2 являются среднее арифметическое X и исправленная стати-
17<з
стическая дисперсия 52. Из таблицы интервального ряда распреде-
ления находим:
Х = -Ух> = —(11,175-24 13.125-5 н
' ' 60
+ 15,075 10 + 17,025 14-18,975 15 + 20,925 10 + 22,875 4) =
= 17.7075 «17,71;
-(X)2 =—(11,175’-2+ 13,125’-5 + 15.075’-10 +
и — I 59
+17,025’ -14+18,975’ -15+ 20.925’ • 10 +
+22,875’ • 4) -17,70752 « 327,355 - 313,555 = 13,80;
S = 7F = V13,80 = 3,71,
(в формулах х* - центры интервалов).
Подставив в плотность нормального распределения вместо па-
раметров т и а2 их оценки, получим:
(л 17,71)-
2IJ.JW .
Г(х) = Ф'[А 17'71 , где ф*(х) =
I 3,71 ) 7^ 1
Сформулируем основную гипотезу Нп: коэффициенты износа
производственных фондов подчиняются нормальному закону рас-
пределения, и альтернативную гипотезу Н}: износ произволе!вен-
ных фондов подчиняется другому закону распределения.
Уровень значимости задан, =0,01.
Для вычисления значения статистики %2 найдем вероятности
того, что значения коэффициентов износа производственных фон-
дов принадлежат конкретному интервалу по формуле:
при этом наименьшее значение - левую границу первого интерва-
ла, заменяем « х », а наибольшее значение правую 1раницу седь-
мого интервала заменяем «+со».
(12 15-17 7Й
Р( <12,15) - Ф’ --- - -Ф*( оо) = Ф*(-1,5)-Ф’(-оо)-
\ 3,71 }
= 0,0668-0 = 0,0668;
180
Р(12Д 5 < A'< 14,1) = Ф*
f 14,1-17,71^ J 12,15-17,7П
— -------- -ф — --------’— |
I 3,71 J t 3,71 )
= Ф*(-0,97) - Ф’ 1-1,50) - 0,1660 -0,0668 = 0,0992;
P(14J<% <16,05) = Ф‘
(16,05-17,71^
I 3,71 J
Ф*(-0,97)
= Ф* (-0,45) - Ф’ (- 0, 97) = 0? 3264 - 0,1660 = 0,1604;
/>«6.05 SX < 18.0).Ф-f16'05-17'11 1.
V 3,71 J ( 3,71 J
= Ф’ (0,08) - Ф* (-0,45) = 0,5 319 - 0,3264 = 0,2055;
P(19,95 < X < 21,9) - ФЧ1,13)-Ф*(0,60) = 0,8708-0,7257 = 0,1451;
P(21,9 < X < +oc) = Ф*(тос)- Ф’(1Л 3) = 1- 0,8708 = 0,1292.
Составляем расчетную таблицу 4 18:
Таблица 4.18
А пр - 60 * Ф * —: - 1 1 3,71 ) -17.71^ -ф* — — 1 3,71 JJ 7Иг - Пр{ (w,-np,)2
12,15) 2 4,0081 Р f9,96 5,952] -2,96 0,8797
[12,15; 14,1) 5
[14,1; 16,05) 10 9,624 0,376 0,0147
[16.05:18.0) 14 12,330 1.67 0,2262
[18,0; 19,95) 15 11.628 3,372 0.9778
|19.95;21,9) 10 8.706 1.294 0,1923
[21.9, + со) 4 7,75602 -3,752 1,8160
60 4,1067
В таблице находим расчетное значение статистики
г2 =4 1067.
Л pocv. >
Для заданного уровня значимости ас=0,05 и числа степеней
свободы г £-г-1 = 5- 2-1 = 2 (объединили первый и второй интер-
валы, так как теоретически частота ир, = 4,008 в первом интервале
181
меньше 5) в таблице П5 (приложение 5) находим квантиль
у2 - 5 99
Так как = 4,1067 < /€\5.2 = 5,99, то нет оснований для отвер-
жения основной гипотезы //0.
Ответ: изучаемая случайная величина X подчиняется нор-
мальному закону распределения.
4.12 Используя критерий Пирсона, при уровне значимости
ап = 0,01, проверить гипотезу о нормальном распределении изучае-
мой случайной величины X по заданным выборкам.
а) отклонения диаметров валов от номинального размера;
Интервалы отклонений, КрО [25; 27) [27; 29) [29; 31) ; [31;33) * m m i—। [35; 37) [37; 39) [39; 41]
Число ва- лов, 5 22 23 29 28 17 И 5
б) прочность нити волокна:
Прочность нити, г [Xi-i »-Ч)) [160; 180) [180; 200) [200; 220) [220; 240) [240; 260) о ос О ЧС <N [280; 300) [300; 320]
Число ни- тей, т. 36 70 105 129 128 I 15 87 30
в) диаметр стволов деревьев на участке леса:
Диаметр ствола, см к->;*,)) гч • о [12; 14) (9! -М] (81 !91] [18; 20) [20; 22) 1 1 [22; 24) 1 [24; 26) J [26; 28]
Количество де- ревьев, mt 10 25 51 66 87 147 120 80 39
182
4.13 При исследовании времени безотказной работы приборов
получены следующие данные:
Интервалы времени в днях [\-1 ’ */)) [0; 20) [20; 40) [40; 60) S' ОС • с [80: 1001 — — - - [100; 120) [120; 140) [140; 160]
Число приборов, безот- казно проработавших вре- мя в пределах соответст- вующего интервала, лд 228 120 65 36 19 17 9 6
Требуется при уровне значимости ао = 0,05, проверить гипоте-
зу то том. что время безотказной работы приборов распределено по
показа тельному закону.
Решение. Изучаемая случайная величина X характеризующая
время безотказной работы приборов, является непрерывной слу-
чайной величиной. Вычислим интервальный статистический ряд
183
По виду гистограммы можно предположить, что изучаемая
случайная величина подчиняется показательному закону распреде-
ления:
я\при х > 0;
р(х) = 1
0, при* < О,
где Х> о-параметр показа гельнох о закона распределения. Найдем
оценку параметра л. В соответствии с методом наибольшего прав-
доподобия, оценкой параметра Л служит среднее арифметическое
выборки, т.е. Л-JL. Вычислим У — среднее время безотказной ра-
боты приборов по формуле:
_ i * 1
Х=-У х“ т. =-----(10 258+30 125+50-65+ 70-35+90-19+110-17 +
лГГ 500
1 130-9 + 150-6) = 35,2
Тогда А - X - —— « 0,03.
X 35,2
Таким образом, плотность р(х) предполагаемого показатель-
ного распределения имеет вид
t 10,03 е °’ , при х > 0;
р(х) = <
[ 0, при х < 0
Сформулируем основную гипотезу Яо: изучаемая случайная
величина подчиняется показательному закону распределения; при
альтернативной гипотезе /Д: изучаемая случайная величина под-
чиняется другому закону распределения.
Уровень значимости а задан, ао=0,05.
Для вычисления статистики х1 найдем вероятности попадания
значений X в каждый из интервалов по формуле:
Pt = P(x. , <А<х,) = Гр(х)с/х = 0,03 f^O3,Ji = 0,03--'' -
? ? I 0,03 х,_.
-О.ОЗх, -0,03 л; .
е ‘—е
-О.ОЗх . -O.fPt
е 1 —е
Получим. Р, = Р(0 < X < 20) = еомо -е °-И2° = 1 -е 06 = 1 - 0,5488 = 0,4512;
Р, = Р [20 < X < 401 = е °‘ - ёлл = 0,5488 - 0,3012 = 0.2476;
Р, = Р[40^А’ < 60)-с'12-е'11’ =0,3012 -0.1653 = 0,1359;
Р, = Р [60 < X < 80) = 5 - ёгл = 0.1653 - 0,0907 - 0,0^46;
Р. - Р [80 < X < 100) = е'2 4 - = 0.0907 - 0.0498 = 0.0409;
184
Pfi = Р [ 100 <. X < 120) = е 3 - е ™ = 0,0498 - 0,0273 = 0,0225,
Р, = Р [120 < X < 140) = 6 - с’4'2 = 0,0273 - 0,0150 = 0,0123;
Рк = Р[140<Х <+к) = е^7-е* =0,0150-0 = 0,0150,
(правую границу восьмого интервала заменим «+со»).
Составляем расчетную таблицу 4.20:
Таблица 4.20
сс\г\г 1 -О.ОЗх \ - 500(е 1 - е 1) - нд (т-ир,)2 npi
228 225,6 2,4 0,0255
120 123,8 -3,8 0,1166
65 67,95 -2,95 0.1281
36 37,3 -1,3 0,0453
19 20,45 1.45 0,1028
17 11,25 5,75 2,9389
9 6,15 2,85 1,3207
6 7,5 -1.5 0,3000
^:500 500 4,9779
R таблице находим расчетное значение статистики
/2 =4.9779.
Для заданного уровня значимости «с = 0,05 и числа степеней
свободы v=A-r —1=8—1-1 = 6 в таблице П4 (приложение 4) нахо-
дим квантиль /п?5:6=12Л
Так как . = 4,9779<^956 = 1 2,6, то нет оснований для отвер-
жения основной гипотезы А/о.
Ответ: изучаемая случайная величина X подчиняется показа-
тельному закону распределения
4Л4 В результате регистрации времени прихода покупателей в
супермаркет с момента открытия, получены данные приведенные в
таблице 4.21
185
Таблица 4,21
Интервалы времени, (л-вл) (1 -0J 1 • (£ ;Z] । Р;4) [4, 5) [5; 6) [6; 7) (8 [8: 9) (01 :б] [Ю; И) [И; 12]
Количество покупате- лей пришедших в те- чении соответствую- щего интервала, т, 646 920 600 431 345 207 130 78 - 46 38 34 25
Требуется при уровне значимости an=0,01 проверить гипотезу
о том, что время прихода покупателей в супермаркет распределено
по показательному закону.
4Л5. В результате испытания на прочность нового разработан-
ного синтетического волокна получены данные, приведенные в
таблице 4.22:
Таблица 4.22
Интервалы изменения натяжения волокна [Vi!*.) [0; 500; [500; 1000) [1000; 1500) [1500; 2000) [2000; 2500) [2500; 3000)
Количество выдержав- ших соот- ветствую- щего силу натяжения, т 245 122 48 39 25 21 ]
Требуется при уровне значимости ао=О,О5 проверить гипотезу
о том, что сила натяжения волокон распределена по показательно-
му закону.
Б. Критерий согласия Колмогорова основывается, по мере от-
клонения эмпирической функции распределения F(x) выборки
{х,,х2,.01 гипотетической функции распределения F(x)изу-
чаемой случайной величины X. В качестве такой меры рассматри-
вается величина z-maxF(x) F(x)|V^, где F(x)- непрерывная
функция распределения
186
Алгоритм применения критерия Колмогорова:
1. Из эмпирических данных составляется интервальный ряд
распределения.
2. Строится гистограмма эмпирического распределения. По ви-
ду гистограммы визуально оценивается вид теоретического
распределения Р, которому подчиняется выборка.
3. Вычисляются оценки параметров закона распределения Р.
4. Формулируется основная Н( и альтернативная //, гипотезы.
5. Задастся уровень значимости а0(а0 = 0.05; 0.01).
6. Вычисляется значение статистики Apgcv =D>/n, где
D = max |F(x)-F(x)|;
а) вычисляются значения эмпирической функции распреде-
ления
п
б) вычисляются значение гипотетической функции распреде-
ления F(x}.
7. Для заданного уровня значимости а-} по таблице П9 (прило-
жение 9) находят критическое значение Ла& распределения
Колмогорова и строится область принятия гипотезы HL и
крт ическая область.
8. Формулируется правило принятия гипотезы HQ: если
< \ >10 нет оснований для отвержения гипотезы HG; если
Л > Л, , то гипотеза Нг отклоняется.
Ji-| л V
Подчеркнем, что критерий Колмогорова применяется для про-
верки гипотез о законах распределения только непрерывных слу-
чайных величин.
4.16, В результате обследования средней урожайности зерновых
на плошадях района получены данные, сведенные в таблицу 4.23.
Таблица 4.23
Урожайность зерновых, ц/га. — ос со « — ГП —J »* ОС m 1—। [41; 44) [44; 47) [47; 50) [50; 53) [53; 55) а ir [59; 62)
_| Количество услов- ных участков пло- щадью Юга, т. 120 200 320 450 600 350 270 120 70
187
Требуется, используя критерий согласия Колмогорова, прове-
рить гипотезу о том, чз о средняя урожайность зерновых распреде-
лена по нормальному закону. Принять уровень значимости
ао=0,05.
Решение. Поскольку изучаемая случайная величина X являет-
ся непрерывной, то составим интервальный ряд распределения в
таблице 4.24.
Т аблица 4,24
Урожайность зерновых, [35; 38) 1 [38141) т [41; 44) _____1 [44; 47) Г [47; 50) [50; 53) [53; 55) [55; 59) [59; 62)
Относительная частота количест- ва условных уча- и/ СТКОВ, = — п в о 1 с 3 оо II g 8 г- м 320 = 0.128 2500 сг> о II с g -1 ! <-< О И г- g о V-, rs •- О II ° 13 ОО о II €4 120 -0,048 2500 оо О О II elg Г-* (О irs
и построим гистограмму
По виду гистограммы можно предположить, что изучаемая
случайная величина А7, подчиняется нормальному закону распреде-
ления, который описывается функцией распределения
188
. -V - m I
F(x) = Ф ,--------- , где Ф (л-) =
I о J
Неизвестными параметрами являются математическое ожида-
ние т и дисперсия с1. Согласно метода наибольшего правдоподо-
бия. оценками т и <т являются среднее арифметическое X и ис-
правленная статистическая дисперсия S2. Вычислим их значения
по эмпирическим данным:
Х = =——(36.5 120+39.5-200+42,5-320 + 45,5-450 + 48,5'600 + 51,5-350+
п^' ' 2500
Г а
+54,5 - 270 + 57.5-120 + 60,5 • 70) = 47.732, ( х* - середины интервалов),
S1 У(уг V -м -(гУ = —^—(36,51-120 г 39,52 -2004 42.52 320 + 45,5г 450-48.53 600 к
л-ltf V } 2499
+51.51 -350 - 54,5'-270 4 57.52 120 + 60,5' 70)- (47.732)’ *33,02, 5 = VF = ^33,02 « 5.75.
Тогда функция распределения предполагаемого нормального
распределения будет иметь вид:
Сформулируем основную гипотезу изучаемая случайная
величина распределена по нормальному закону распределения; при
альтернативной гипотезе Н.: изучаемая случайная величина рас-
пределена по другому закону.
Уровень значимости а задан, щ -0,05 .
Для вычисления статистики А= D^n = шах|р(х) - F(a)|- Vrr,
вычислим значения функции распределения F(x); заменив левую
границу первого интервала «-оо», а правую границу последнего ин-
тервала «+оо»: если % t (-со; 38), то
f 38 — 47 73А
/’(38) = Ф‘ I ’ ' Ь= Ф’(-1,69) = 0,0455;
(41-47 73 3
л е [38, 41),то Г(41) = Ф’ -2— |®Ф"(-1,17) = 0,1210;
(44 _Л7 73\
хф I; 44).mo F(44) = Ф’ —5'75 Ф7“°’65) = °’2578;
( 47-47 73^
хе[44,47),то Г(47)^Ф" ' Ф'{-0,13) = 0,4483,
I 5,7 5 J
( 50-47 7
хф7;50),то Е(50) = Ф’ -----«Ф‘(0,39)-0,6517;
\ 5.75 j
189
хе [50; 53) ,то /7(53) = Ф'
53-47,73
Ф' (0,92) = 0,8212,
f СА Л *7
хе[53;5б),то Г(56) = Ф,[ -~ «Ф*(1,44) = 0,9251,
5,75 у
хе [56; 59),™ Р(59) = ф*
г59-47,73л
< 5,75 ,
*Ф'(1,96) = 0,9750;
х с [59,+ос),™ F(+oo) = l.
Составляем расчетную таблицу 4.25.
Таблица 4.25
Интервалы урожайно- сти зерно- вых, [*,-!’ *ij) Количе- ство ус- ловных участков, F(x) = п F (х) = Ф* ^х-47,73^ 1 5,75 ) |^W-F(x)|
35-38 120 0,048 0,0455 0,0025
38-41 200 0,128 0,1210 0,007
41 -44 320 0,256 0,2578 -0,0018
44-47 450 0,436 0,4483 -0,0123
47 - 50 600 0,627 0,6517 0,0243
50-53 350 0,816 0,8212 -0,0052
53 - 56 270 0,924 0,9251 -0,0011
56-59 120 0,972 0,9750 -0,003
59-62 70 1,0 1 1,0 0
S 2500
Наибольший модуль разности между соответствующими зна-
чениями эмпирической и гипотетической функциями распределе-
ния выбираем в последнем столбце таблицы 4.25.
D = max|F(x)-F(x)| = 0,0243. Тогда расчетное значение статистики
& = 0,0243 х 72500 =1,215. По таблице (приложение 9) крити-
ческих значений распределения Колмогорова для заданного уровня
значимости ап 0,05 находим квантиль ~ 1,358. Так как
= 1.215 =1,358, то нет оснований для отклонения’нулевой
гипотезы Но о нормальном законе распределения средней урожай
пости зерновых.
190
Ответ: средняя урожайность зерновых в районе распределена
по нормальному закону.
4.17. В результате испытаний 1000 элементов системы сигна-
лизации на время безотказной работы получены данные, приведен-
ные в таблице 4.26:
Таблица 4,26
Интервалы времени в часах [х;.,;*,,) [50; 100) L [100; 150) [150; 200) [200; 250) [250, 300) [300; 350) 1
Количество отказав- ших элементов, m 381 243 138 т 105 73 1 . 41 19
Требуется при уровне значимости = 0,01 при помощи крите-
рия Колмогорова, проверить гипотезу о том, что время безотказной
работы элементов сигнализации распределено по показательному
закону.
4.18. Результаты взвешивания валов, произведенных за смену
на станке - автомате, приведены в таблице 4.27
Требуется при уровне значимости - 0,01 при помощи Крите
рия Колмогорова проверить гипотезу о том, что вес валов А рас-
пределен равномерно
191
Таблица Ш. Функция распределения Ф* (х)
e2rfr
нормального закона N(0,1); Ф* (-х) = 1 - Ф’ (х), Ф* (х) =
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0.06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 _ 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,6636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,587£ । 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 _
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 1
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 I 6,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
f~o.6 0,7257 0,7291 0/7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
Г 0.7 0,7580 0,7611_ 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0J823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0.8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0.8365J 0,8389
1.0 0,8413 0,8438 0,8461 __ 0,8485 0,8508 0,8531 0,8524 0.8577 h 0,8599 0,8621
ГМ 0,8643 0.866 5_ 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 1 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 6,8925 0.8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
: 1.з 0.9032“" 0,9049 0,9066 0,9032 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0.9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 6,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
; 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0.9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 1 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1 I , 1,7 0,9554 " 0,9564 0,9582 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0.9616 0,9625 0,9633
0,9641 0.9649 Г0,9656 0,9664 ' 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0.9706
Таблица П1 (продолжение)
X 1 0.00 0.01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
j 1,9 ГО.9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
। 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9797 0,9798 0,9803 0.9808 0.9812 0.9817
2,1 Г 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2.2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 1 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0.992U 0,9922 0.9925 0.9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 I 0,9938 0,99^0 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0.9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9057 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,907-1
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0.9977- 0.9978 0,9979 0,9979 0,9980 0.9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0.9986 0.9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 Г 0,9989 . 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0.9994 0,9995 0.9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3,6 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1ДМЮ0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 j 1,0000 1,0000
Таблица П2. Значения функпии плотности нормального распределения (0,1) ф(х) = -т=- г2
\/2я
X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0.0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973
0,1 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918
0,2 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825
0,3 0,3814 0.3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0.3739 0,3725 0.3712 0.3698
0,4 0,3683 0,3668 0,3653 0.3637 0.3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538
0,5 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0.3372 0,3352
0,6 0.3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0.3209 0.3187 0.3166 0,3144
0,7 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 03034 0,3011 0,2989 02966 0,2943 0.2920
0,8 0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2780 0,2756 0,2731 0,2709 0,2685
0,9 I 0,2661 0,2637 0,2613 02589 0,2565 0.2541 0,2516 0,2492 0,2468 0,2444
1,0 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203
1,1 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0.2012 0,1989 0.1965
1,2 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1736
1,3 0,1714 0,1691 0,1669 0.1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518
1,4 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0.1374 0.1354 0,1334 0,1315
1,5 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127
1,6 0.1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0-0989 0.0973 0.0957
1,7 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0.0848 0,0833 0,0818 0,0804
1,8 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0669
1,9 1 0,0656 0,0644 0,0632 _ 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0662 0,5551
Таблица П2
2.0
2Д
2.2
2,3
2.4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
34
3,5
3,6
3.7
3,8
3,9
4,0
0,00
0,0540
0,0440
0,0355
0,0283
0,0224
0,0175
0,0136
0,0104
0,0079
0.0060
0,0044
0,0U33
0,0024
0,0017
0,0012
0,0009
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
0.01
0,0529
0,0431
0,0347
0,0277
0,0219
0,0171
0,0132
0,0101
0,0077
0,0058
0,0043
0,0032
0,0023
0,0017
0,0012
0,0008
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
0.02
0,0519
0,0422
0,0339
0,0270
0,0213
0,0167
0,0129
0,0099
0,0075
0,0056
0,0042
0,0031
0,0022
0,0016
0,0012
0,0008
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
_0,03
0,0508
0,0413
0,3332
0,0264
0,0208
0,0163
0,0126
0,0096
0,0073
0,0055
0,0040 0,0039 0,0038 0.0037 I 0.0036
0,0030
0,0022
0,0016
0.0011
0,0008
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,04
0,0498
0,0404
0,0325
0.0258
0,0203
0,0158
0,01222
0,0093
0,0071
0,0053
0,0029
0,0021
0,0015
0,0011
0,0008
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,05
0,0488
0,0396
0,0317
0,0252
0,0198
0,0154
0,0119
0,0091
0,0069
0,0051
0,0028
0,0020
0,0015
0,0010
0,0007
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
0,06
0,0478
0,0387
0,0310
0,0246
0,0194
0.0151
0,0116
0,0088
0.0067
0,0050
0,0027
0,0020
0,0014
0,0010
0,0007
0,0005
0,0003
0.0002
0,0002
0,07
0.0468
0,0379
0,0303
0,0241
0,0189
0,0147
0,0113
0,0086
0,0065
0,0048
0,0026
0,0019
0,0014
0,0010
0,0007
0,0005
0,0003
0,0002
0,0002
0,08
0,0459
0,0371
0,097
0,0235
0,0184
0,0143
0,0110
0,084
0,0063
0,0047
0 0035
0,0025
0.0018
0,0013
0,0010
0,0007
0,0005
0,0003
0,0002
0,0001
0,09
0.449_
0,0363
0,0290
0,0229
0,0180
0.0139
0,0107
0.0081
0,0061
0 0046
0,0034
0,0025
0.0018
0,0013
0,0009
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0.0001
оооооооо
9 <4 <4 ** '•» ** 'Л -М
О О О О О — NJ ЬЭ
О' Ф» W о N t?) «4 -J
oooooooo
M • J 41 W J ,
О © ►—‘ — >— <—* - о
К) 1Л О 1 sO -U -J
x) 4^ 0 0 ‘-•j "4 O'
NJ bJ NJ NJ NJ >-* — •—‘ |—‘ *—• •—' 1—1 qq —л г*» i*j Kj t—> N) — О C DO Р» СЛ -Д См NJ — ?г / *^4 с\ UI Д W I4J >- о г^* /
о В 8 о ь 5 Ч* g о о 'О Xj • vj о 0-лОДюОР tU 00 — ОС NJ н- Cj О 0,8 1,00000 0,09516 00468 00016 0 0,1
OOOOOON«®£ О О О О — CN NJ О OOONJt-MNJ-^^Q о о w w ос 'л *1 2 — Х -pi О' О' NJ А О UJ о о о о —> о о — ~ 2 О О — О о — v< гр 2 О Vi NJ NJ О -J О ю
О О О О О О NJ Р £ 5 о о о —1 х р- £ OOOWPCOJ^^g моороррдро NJ О 0*1 О О О О £р -X О О О W Ь“? О о о w 2 о м е\ р> 'О 2 NJ О 4^ — 2 Q0 О 0,3
О О О О О О О •-• w £ ooooo-'j<^mo2S2 ООО — -t>CSNJNJi*»UJC*O О О NJ — LA ЦП О' W LJ \О * 2 — uia©wo'uiooW'02^2 О' о NJ * о О О О О о о о о 2 о о -j — 2 О \О *л 5 О CN ОС См VI 2 30 О о '^£х
О О О О О О О О О — NJ tjJ LH О чо - О О О О О» О О NJ Vi *— — О' О' О 9 OOQOONJD0 — — 04^ — PS — ООООО О OOM4000NJVJ — OSOO— -WXsJNJ^WPW^sJP о N) £ 2 00 о 4.0 о о о о о - о о о — чо 2 о о — -с^ о >2 2 о - w w w 2 — v> чо о 2 -J о 0,5
о >— ООО 000 О О О Р О — N3UJV-JOO404C>-- ООО 000 OONJAOOU»Lft>DV* — w х 2 2 О О О О О — WXOtJWNJO'W-bAXXN)2° ооо — 'ji-^^xooo^io^wsoxo^^S — М OS '-Д — OWWONJNCSWONi-^OWJ'^g 6,0 0 0 0 0 —^2* О О О N) NJ 2 О О CM СМ — 2 о см см — чо 2 4- CN NJ О ~ О 0,6
ООООООООО ОО — — NJ Pi Vi О'. 00 '© чС О МР -* %* о о о о о о о о — см о\ — ооооолооооо\»^«2 О Оооо—‘ w X 's) 4b. W 4w-4-MO'OOO^PO'4£g ОООМО'-Л ч)М№ — Х'О — R— Uj sO’ViUI'ONJCiJOsOOONJ — Х1лД^Р^Ю'ЛХ22 о 00 >4 о о о о о о — « OOOOWVi<£2 О О О V» Vi р о PC^'sl-xWO — so о со д о 2 — о о
661
Таблица П5. Квантили хи-квадрат распределения » а0 - уровень значимости.
ас , v \ 0,005 г одно 0,025 0,05 0,10 0,20 0,30 0,70 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 г 0,999
1 0.04393 ‘<£6’157 0.03982 0.СГ393 00158 0.0642 0.148 । 1 07 1.64 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 10.8
2 0,0100 0.0201 0.05'16 0.103 0 211 0.446 0.713 241 3.22 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6 13.8
3 0.0717 0 115 0.216 0352 0 584 1.00 1.42 3 67 4.64 6.25 7.81 9.35 11.3 12.8 16.3
4 0.207 0 297 0.484 0.771 1.06 1.65 2 19 4.88 5.99 7.78 9.49 11.1 13.3 14.9 18.5
5 0.412 0.554 0.831 1.15 1.61 2.34 300 606 7.29 9.24 11.1 12.8 15 1 16.7 20 5
6 0676 0 872 1 24 1 64 2.20 307 3.83 7.23 856 10.6 12.6 14.4 16.8 18.5 22.5
7 0.989 1.24 1.69 2.17 2.83 3.82 4.67 8.38 9.80 12.0 14.1 16.0 18.5 20.3 24.3
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 4.59 5.53 9.52 11.0 13.4 15.5 17.5 20.1 22.0 26.1
9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 5.38 6.39 10.7 12.2 14.7 16.9 19.0 21.7 23.6 27.9
10 2.16 2.56 3.25 394 4.87 6.18 7.27 11.8 13.4 16.0 18.3 20.5 23.2 25.2 29.6
11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 6 99 8.15 12.9 ' 14.6 17.3 19.7 21.9 24.7 26.8 31.3
12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 7.81 9.03 14.0 15.8 18.5 21.0 23.3 26.2 28.3 32.9
13 <57 4.11 5.01 5.89 7.04 863 9 93 15.1 17.0 19.8 22.4 24.7 27.7 29.8 34.5
14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 9.47 10.8 16.2 18.2 21.1 23.7 26.1 29 1 21.3 36.1
15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 10.3 11.7 17.3 Ю.З 22.3 25 0 27 5 306 32.8 37.7
16 5.14 581 6 91 7.96 9.31 11.2 12.6 18.4 20.5 23.5 26.3 28.8 320 34.3 39.3
17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.1 12.0 13.5 19.5 21.6 24.8 27.6 30.2 334 35.7 408
18 6.26 7 01 8.23 9.39 10.9 12.9 14.4 20.6 22.8 26.0 28.9 31.5 34 8 372 423
19 6.84 7 63 8.91 10.1 11.7 13.7 15.4 21.7 23.9 27.2 30.1 32.9 36.2 38.6 43.8
20 743 826 959 10.9 12.4 14.6 163 32-8 25.0 284 31.4 34.2 37.6 40.0 45.3
0,999 ОО СП р CN </ -* 1Г. Г4; О Tf Г чо об -4 n xt ir' <: ос сг?с г с £ 00 2 xt Xt xj 4П >Л Т) Л 1Л \5 N ОС ОС
0,995 xt 00 CN 4© О СГ О Г» X ts ' л °9 CN xt l/S 4?OO(>>’-'rinr')Q\br'cSS2 xt xt xfr xl >Л»лФ^Г'-'Г''-^3
0,99 p СП 4© О рррСП’ООхсНРОСЧ'Ч^ 00 Q СП ’t'ZrOO^dSnO’^S^
0,975 vn oo p xt pppinppcNcnxtxt0^^ IH 4© 00 O* Q—4cn’^wSl>rnOSV>’--’3iS2j m m m сн -ё rt- тг rt rr и un r>
0,95 p p p xt pppppp oc 00 pvnp1^ CN CH <H 4© SoCC^riri^unriS^S ch m ch cn tnmxtxrxtxtxtinkovoop
0,90 4© DO P СЧ xtSOpppCHpOOincNp^. 04 О cn cn xt vS \© O\ О \© r^ cn 22 cn cn ch cn m ch ch ch m xt xt m m \C 04 ~
08*0 p cn xt \© p 00 p p p CH ос сП p <N p °- 4© t> 06 04 0 —*rixt'i/<j-^rrixi/2 CN cn cn cN m m ch m ch ch xt xt in m 00 .
0,70 P P P ^CNCNrnxtpppCNinpp0^ CH xt 4© r< ОС 0’ О <N CH 00 Xt 04 xt G> CN CN CN CN N N Г) Г, ’e Xt IT DO *
0,30 cn —’ 0 os O4OOr-40\©mcNO44Dm»-<^-’ Г* DC 04 04 C^-CNCHxtVHOxtOvXtOOCN _« <NCNCNCN(NCNCHCHCHTF4©^
0,20 xt CH CN — 04 00 Г- 4© xt 00 CH 04 Xt 0» m 4© 00 ocoxQ»-*cNmr^cN'©—< r- 1—<1—<C\ICNr4<NCNrnmxt4©oo
0,10 CN О 00 г- ШСН <04Q0 4©00»—«xtODOxt cn Xt xt 4П 4©C^000004©Xt04Cnr-OsCN •—। •—» —i »»»ч *-< r~« —« fN cN CN cn CH V*J O0
s Ль 4© cn < 00 <CxrN^NV4m^ir, OO’-’C'- —’ CN cn cn XflHV©4©r~OCCN4©C>xr4Dr- »—« »—* »"* t—i •—< ih t—< cn cn m m in
0,025 СП Q p Xt»— 004©rnOD04©xtxd xt04CN О CHCHxtinsDXOOxrodcNCNxt 1—< »—1 --- t—1 t—» r—< —- ir-r-t^fxjcNNir, N
0,010 О xt CN p pcNp pcnOinCN04pm»-* *0 О О CN CN ГП Xt in ЭС <N in 04 O\ 0 00 Q4 — ._<NCNCNxfP
0,005 cn ’j’ 4© Os inCNOOin^OOCNt^cnOCNCn P 4© CN 00 a.-i^cNcncnr^OxtooSt^ DO ot> 04 Ch »-^T—t^CMCNCNxj-s©
я/ / > cn tn xt vn40r-ooo40m0inomp CN CN CN CN N N N N N N| n xt N N C
200
Таблица П6. Квантили распределения Стьюдента, удовлетворяющие
начальному условию P(t < = 1 -а0, aQ-
уровень значимости (а,, = 0,25; 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001).
0,750 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,999
1 1.000 3.078 6 314 12706 31.821 63.657 318
э 0.816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.3
3 0.765 1.638 2.353 3.182 4.5 И 5.841 10.2
0.74 1 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173
5 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893
6 0.718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208
7 0.711 1.4 15 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785
8 0.706 1.397 1.860 2.306 2.986 3.355 4 501 [
9 0.703 1.383 1.833 2.262 2.821 3250 4.297
10 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4 144
И 0.697 1 363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025
12 0.695 ' 1.356 1.782 2.179 2 681 3.055 3.930
13 0.694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852
14 0.692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787
15 0.691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733
16 0.690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686
17 0.689 1 333 1.740 2 НО 2 567 2 898 3.646
18 0.688 1.330 1.734 2.101 2 552 2.878 3.610
19 0.688 1.328 1.729 Г 2.093 2 539 2.861 3 579
20 0.687 1.325 1.725 2086 2.528 2.845 3.552
21 0.686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527
22 0.686 1 321 1 717 2.074 2,508 2.819 3 505
23 0.685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485
24 0.685 1.318 1.711 2.054 2.492 2.797 3.467
25 0.684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450
26 0.684 1.315 1 706 2.056 2.479 2.779 1 3.435
27 0684 1.314 1 703 2.052 2.473 2.771 3.421
28 0.683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408
29 0.683 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396
30 0 682 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385
40 0 681 1 303 1.684 2 021 2423 2.704 3.307
60 0.679 1.296 1 671 2.000 2.390 2.660 3.232
120 0.677 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160
j 0.674 [1.252 1.645 1.960 2,326 2.576 3.090
20 L
Таблица П7. Квантили распределения Фишера FJk,, к2)
Г 1 2 3 1 4 1 5 п “ _7__J ~~8~1 9 10 12 15 20 24 Т" зо 40 60 120
Rs 1 ,JL р=о,9; «0=0,1
г-—J 39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 60.19 60.71 61.22 61.74 62.00 62,26 62.53 62,79 63,06
2 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 941 9 42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.48
3 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 5.22 5 20 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.14
4 4.54 4 32 4.19 4.11 4 05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92 3.90 3.87 3.84 3.83 3.82 3.80 3.79 3 78
5 4,06 3 78 3.62 ’3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.12
6 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.74
7 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 272 2.70 2.67 2.63 2.59 258 2.56 2,54 2.51 2.49
В 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54 2.50 2.46 2.42 2.40 2.38 2.36 2.34 2.32
9 3.36 3.01 2.81 2 69 2.61 2.55 2.51 2 47 2 44 2.42 2.38 2.34 2.30 2.28 2.25 2.23 2.21 2.18
10 3.29 2.92 2.73 2 61 2.52 2.46 2.41 2.38 235 2,32 2.28 2.24 2.20 2.18 2.16 2.13 2.11 2.08
11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25 2.21 217 2.12 210 2,08 2,05 2.03 2.00
12 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 2.15 2.10 2.06 2.04 2.01 1.99 196 1 93
13 3.14 2.76 2 56 2 43 235 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14 2.10 2.05 2.01 1 98 1 96 1 93 1 90 1 88
14 3.10 2.73 2 52 2 39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10 2.05 2.01 196 1 94 1 91 1.89 1 86 183
15 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2л 2 2.09 2.06 2.02 1.97 1.92 1 90 1 87 I 85 1 82 1 79
16 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75
17 3.03 2.64 2.44 231 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 1.96 1.91 1.86 1.84 1 81 1.78 1.75 1.72
18 3.01 2.62 2.42 2 29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98 1.93 1.89 1.84 1.81 1,78 1.75 1.72 1.69
19 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1 96 1.91 1.86 1.81 1 79 1.76 1.73 1.70 1.67
20 2.97 2.59 2.38 2 25 2.16 2.09 204 2.00 1.96 1 94 1.89 1.84 1.79 1 77 1,74 1.71 1.68 1.64
21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2,02 1.98 2.95 1.92 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.62
221 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 1.86 1.81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.64 1.60
23 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89 1.84 1.80 1.74 1.72 1.69 1 66 1 62 1.59
24 2 93 2.54 2.33 2 19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 1.83 1.78 1.73 1.70 1.67 1,64 1 61 1 57
25 2.92 2.53 2.32 2 18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 1.82 1.77 1.72 1.69 1 66 1.63 1 59 1 56
2(з 2.91 2.52 2.31 2.17 208 2 01 1.96 1.92 1.88 1.86 1.81 1.76 1.71 1.68 1.65 1.61 1 58 1 54
27 2.90 2.51 2.30 2 17 207 2.00 1.95 1.91 1.87 1.85 1.80 1.75 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57 1.53
28 2.89 2.50 2.29 2.16 206 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84 1.79 1.74 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52
29 2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 199 1.93 1 89 1,86 1.83 1.78 1.73 1.68 1.65 1.62 1.58 1.55 1.51
30 2.88 2.49 2.28 2.14 205 198 1 93 1 88 1.85 1.82 1.77 1.72 1.67 1.64 1.61 1,57 1.54 1.50
40 2.84 2,44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1 83 1.79 1 76 1-71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1,47 1.42
60 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1 77 1.74 1.71 1 66 1 60 1.54 1,51 1.48 1.44 1,40 1.35
120 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1 65 1 60 1 55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.32 1.26
оо 2.71 2.30 2.08 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1 63 1 60 1.55 1 49 1 42 1.38 134 1.30 1.24 1 17
Таблица П7. ('
vjNj 1 2 1 3 4 5~| 6 7 П _ 8 ] 9 1 10 12 15 20 24 30 40 60 120
Р = 0,95; а о=о,os
i 2 ч 161 4 199 5 215-7 224-6 230.2 234.0 236 8 238 9 240.5 241 9 243 9 245.9 248.0 249 1 250.1 251.1 252.2 253.3
18.51 10 13 19.00 о 55 19.16 9.28 19.25 9.12 19.30 901 19.33 8,94 19.35 880 19.37 8.85 1938 8.81 19.40 8.79 19 41 8,74 10.43 8.70 19.45 8.66 19 45 8.64 19.46 8.62 19,47 859 19.48 8.57 1949 8.55
4 7 71 6 94 6.59 6.39 6,26 616 6,09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5-77 5.75 5.72 5.69 5.66
5 6 6 61 5 79 5.41 5.19 5 05 4 95 4 88 4 82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4 46 4.43 4,40
5 99 5J4 4 76 4.53 4.39 428 421 4 15 4.10 4 06 400 3.94 3.87 3.84 3,81 3.77 3.74 3.70
7 5 59 4 74 4 35 4 12 3 97 3.87 3.79 3 73 3.68 364 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3 34 3.30 3.27
Q 5 32 4 46 4.07 3.84 3 60 3 5R В 50 3.44 3.39 3.35 3,28 3.33 3.15 3.12 3.08 3.(М 3.01 2,97
9 5 ]2 4 26 3.86 3.63 3.48 3.37 3 29 3,23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75
10 4 96 4 10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3 07 3.03 298 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2 66 2.62 2.58
И 4 84 3 98 3 59 3.36 3.20 3.09 3.01 2 95 2.90 2,85 2.79 2.72 2.65 2.61 2,57 2.53 2.49 2.45
1 л 12 4 75 V89 3.49 3.26 3 и 3.00 291 2,85 2,80 2-75 2,69 2.62 2.54 2.51 2.47 2,43 2.38 2.34
13 4 6^ 3 81 3.41 3.18 3 оз 2 42 2 83 2.77 2.71 267 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 230 2.25
14 460 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2 76 270 2.65 260 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18
д *т 15 4 54 3 68 3.29 3,06 2.90 2.79 2.71 2 64 2.59 254 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2 16 2.11
16 4 49 1 63 3.24 3.01 2.R5 2.74 2.66 2,59 2.54 2 49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2 15 2.11 2.06
17 18 19 20 4.45 4,41 4.38 4 35 3.59 3.55 3.52 3 4Q 3.20 3.16 3.13 3,10 2.96 2.93 2,90 2.87 2.81 2.77 2.74 2-71 2.70 2.66 2.63 2.60 2.61 2.58 2.54 2.51 2.55 2 51 248 2,45 2.49 2.46 2.42 2,39 2 45 2.41 2.38 2.35 2.38 2.34 2.31 2,28 231 2.27 2.23 2.20 2.23 2.19 2.16 2.12 2.19 2.15 2.11 2.08 2.15 2.1» 2.07 2.04 2 10 206 203 1 99 2 06 2-02 1,98 1.95 2,01 1.97 1.93 1.90
21 4 32 3.47 3,07 2.84 268 2 57 2,49 242 2.37 2.32 225 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87
22 4 30 3.44 3.05 2.82 2*6 2 55 246 2 40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2,03 1.9F 1 94 1.89 1.84
23 4 28 3-42 3.03 2.80 2.64 2 53 2,44 237 2.32 2,27 2.20 2.13 2.05 2.01 1 96 1.91 1.R6 1,87
«Л 24 4.26 7 40 3.01 2.78 2.62 2.51 242 2 36 2.30 225 2.1» 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79
25 424 3.39 2 99 2.76 2,60 2.49 2 40 2.34 2.28 224 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77
26 423 3-37 2.98 2.74 2.59 2 47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1,85 1.80 1.75
27 4.21 2.25 2.96 2.73 2.57 2,46 2.37 231 2.25 2.20 2,13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73
28 4.20 1.74 295 2.71 2.56 2 45 2.36 229 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1,87 1.82 1.77 1.71
29 4.18 3.33 2.93 170 2 55 2 43 2 35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1,85 181 1.75 1.70
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2 53 2 42 2.33 2.27 2-21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1 74 1.68
40 4 08 3.23 2,84 2.61 2.45 2-34 2.25 2.18 2.12 2,08 2.00 1 92 1.84 1.79 1.74 L69 1.64 1.58
60 4.00 3.15 2.76 2.53 2 37 2.25 2.17 2.10 2.04 199 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47
120 3.92 3.07 2.68 2.45 2 29 2 17 2.09 2.02 1 96 1.91 1.83 1.75 1.66 1 61 1.55 1,50 1.43 1.35
1 °° 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 210 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46_ 1,39 1.32 1.22
Таблица П7. (продолжения)
1 2 3 1_4_ 5 6 7 8 1 0 12 п 15 20 1 24 30 40 120
v\ р =0,975; а 0=0,025
1 647 8 799.5 864.2 899.2 921 8 937.1 948.2 956.7 963.3 968.6 967.7 9849 993.1 997.2 1001 1006 1010 1014
2 38 51 39.0U 39.17 39 25 39.30 39.33 .39.36 39.37 39.39 39 40 39.41 39.43 3945 39.46 39 46 39 47 39.48 3944
3 17 44 16.04 1544 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.34 14.25 14.17 14.12 14,08 14 04 13.99 13.95
4 12 22 10.65 9.98 9.60 9 36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84 8.75 8.66 8.56 8.51 8.46 8.41 8.36 8.31
5 10.01 8 43 7.76 7.39 7 15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.52 6 43 6.33 6.28 6.23 6.18 6.12 6.07
б 8,8] 7 26 6.60 6.23 5 99 5.82 5,70 5.60 5.52 5^6 5.37 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.90
7 8.07 6 54 5.89 5.52 5 29 5.12 4 99 4.90 4.82 4.76 4.67 4 57 4.47 4.42 4.36 4.31 4.25 4.20
8 7 57 6 06 5.42 5,05 4 82 4.65 4.53 4 43 4 36 4.30 4.20 4 10 4 00 3.95 3.89 3.84 3.78 3.73
9 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 3.87 3.77 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.39
10 6.94 546 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3,85 3.78 3.72 3.62 3 52 3.42 3.37 3.31 3.26 3,20 3 14
11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 366 3.59 3,53 3.43 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3.00 2.94
12 6.55 5.10 4.47 4Л2 3.89 3.73 3.61 3 51 3.44 337 3.28 3 18 3.07 3.02 296 2.91 2.85 2.79
13 6Л1 4 97 4.35 4.06 3 77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25 3.15 3.05 2.95 2,89 2.84 2.78 2.72 2.66
14 6.30 4 86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15 3.05 2 95 2.84 2,79 2.73 2.67 2.61 2.55
15 6.20 477 4.15 3.80 3 58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06 2.96 2 86 2.76 2.70 2.64 2.59 2.52 2.46
16 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.89 2.79 2,68 2.63 2.57 2.51 2.45 2.38
17 604 4 62 4.01 3.66 3 44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.82 2.72 2.62 2.56 2.50 2.44 2.38 2.32
18 5.98 4 56 3-95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87 2.77 2.67 2.56 2.50 2.44 2.38 2.32 2.26
19 5.92 4 51 3,90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.72 2.62 2.51 2.45 2.39 2.33 2.27 2,20
20 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.68 2.57 2.46 2.41 2.35 2,29 2.22 2,16
21 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.73 2 64 2.53 2.42 2 37 2.31 2.25 2.18 2.11
5.79 4 38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70 260 2.50 2.39 2.33 2.27 2.21 2.14 2.08
23 5.75 4 35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2,67 2.57 2.47 2.36 2.30 2.24 2.18 2.11 2.04
24 5.72 4 32 3,72 3.38 3.15 2,99 2.87 2.78 2.70 2.64 2.54 2.44 2.33 2.27 2.21 2.15 2.08 2.01
5 59 4 29 3.69 3.35 3.13 2,97 2 85 2.75 2.68 2.61 2,51 2.41 2.30 2.24 2.18 2.12 2.05 1.98
26 5 66 4.27 3.67 333 3.10 2.94 2 82 173 2.65 2.59 2.49 2,39 2,28 2.22 2,16 2.09 2.03 1.95
27 5.63 4,24 3.65 3.31 3.08 2.92 2 80 2.71 2.63 2.57 2.47 2.36 2,25 2.19 2.13 2.07 2.00 1.93
28 5 61 4 22 3.63 3 29 3.06 2.90 2.78 2,69 2.61 2.55 2.45 2J4 2.23 2.17 2.11 2 05 1.98 1.91
29 5.59 4.20 3-61 3.27 3,04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53 2.43 2.32 2.21 2.15 2.09 2.03 1.96 1.89
30 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2 75 2.65 2.57 2.61 2.41 2.31 2.20 2.14 2,07 2 01 1.94 1.87
40 5 42 4,05 3.46 3.13 2.90 2.74 2 62 2.53 2.45 2.39 2.29 2.18 2.07 2.01 1.94 1.88 1.80 1.72
60 5,29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2 17 2.06 1 94 1.88 1 82 1.74 1.67 1.58
120 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16 2.05 1,94 1.82 1 -76 1 69 1 61 1.53 14.3
ею 5.02 3,69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.94 1.83 1.71 1 54 1.57 1.48 1.39 1.27
Таблица П7. (продолжения)
/ 1 2 3 ! « Г 5 1 6 7 8 9 >0 1 20 24 30 40 ! 60 J 120
Р = о,99; а о=о, 01
1 ^4052 4999 5 5403 5625 5764 5859 5928 5982 6022 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339
2 98.50 99 00 99 17 99.25 99 30 99.33 90 36 99,37 99.39 99.40 99.42 9943 99 45 99,46 90.47 9947 99.4R 9949
3 34.12 30 82 29.46 28 71 28 24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.05 26.87 26.69 26.60 26.50 26 41 26.32 26.22
4 21.20 1800 1669 15 98 15.52 15.21 М.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.20 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56
5 16.26 13,27 12.06 11 39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10,05 9.89 9,72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.11
6 13.75 10 92 9.78 9 15 8.75 847 8,26 8 10 7.98 7.87 7.72 7.56 7Л0 7.31 7.23 7.!4 7.06 6.97
7 12.25 9.55 8.45 7 85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.47 6.31 6.16 6.07 5 99 5.91 5.82 5.74
8 11.26 8.65 7.59 7 01 6 63 6.37 6.18 6.03 591 5.81 5.67 5.52 5.36 5.28 5.20 512 5.03 4.95
9 10.56 802 6.99 6.42 606 5 80 5-61 5.47 5.35 5 26 5 И 4.96 4,81 4,73 4,65 4.57 448 440
10 10.04 7.56 6,55 5.99 5,64 5.39 5,20 5.06 494 4 85 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 408 4.00
И 9 65 721 6.22 5 67 5 32 5.07 4.89 4,74 4.63 4.54 4.40 4,25 4.10 4.02 3 94 3.86 4.78 3.69
12 9,33 6.93 5,95 5,41 5 06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.16 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.45
13 907 6.70 5.74 5.21 4 86 4,62 444 4.30 4.19 3.10 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25
14 8.86 6.51 5.56 5.04 469 4.46 42R 414 4.03 3 94 3 .80 366 351 3.43 3.35 3.27 ЗЛЯ 3 09
15 8.68 6,36 5.42 4.89 4 56 4.32 4.14 4.00 3.89 3 80 3,67 3.52 3 37 3.29 3.21 3 13 3.05 296
16 8.53 6,23 5 29 4,77 444 4,20 403 3.89 3.78 3 69 3.55 3 41 3 26 ЗЛ8 3 10 302 293 2 84
17 8.40 6.11 5.18 4.67 434 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.31 3.16 3.08 3.00 292 2.83 2.75
18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.37 3.23 3.08 3.00 2.92 284 2.75 2.66
19 8.18 5 93 5.01 4.50 4 17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.30 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58
20 8.10 5 85 4.94 443 4ЛО 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2,94 2.86 2.78 2 69 2.61 2,52
2! 8.02 5.7R 487 437 4.04 3.81 3,64 3.51 340 3.31 3 17 3,03 2 8R 2,80 2.72 2-64 2.55 246
22 7,95 5.72 4,82 4 31 399 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 ЗЛ2 2.98 2.83 2.75 2.67 2 58 2.50 2.40
23 7.88 566 4-76 426 3,94 3,71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2 54 2.45 2.35
24 7.82 5,61 4.72 4 22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 317 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2 49 2.40 2.31
25 7 77 557 4Л8 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3,13 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 245 2.36 2.27
26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 2.96 2.81 2.66 2.58 2.50 2.42 2.33 2.23
27 7.68 5 49 4.60 4,11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.20
28 7.64 5.45 4.57 4 07 3.75 3.53 3.36 3.23 312 3.03 290 2.75 2.60 2 52 2.41 235 2.26 2Л7
29 7.60 5 42 4.54 404 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 2,87 2.73 2.57 2.49 2.41 2.33 2.23 2.14
30 7,56 5 39 4.51 4 02 3,70 3-47 3.30 3-17 3.07 го8 2Я4 2.70 2.55 2.47 2.39 230 2.21 211
40 7.31 5 18 4 31 3,83 3.51 3.29 3 12 299 2.89 2.80 266 2.52 2.37 2.29 2.20 2Л1 2.02 192
60 7 08 498 4)3 3 65 3 34 3.12 2 95 282 2.72 2.63 250 2.35 2.20 2.12 2.03 194 1.84 173
120 6.85 479 3.95 3.48 3.17 2.96 2 79 2.66 2.56 2.47 2 34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1 53
ее 6.63 4.61 3,78 3.32 3.02 2.80 264 2.51 2.41 2.32 2.18 204 1.88 1.79 1.70 1.59 1 47 1.32
Таблица П7 (продолжения)
r\v i 1 1 :г 3 1_4 Г~5~1 6 7 8 9 1 10 12 15 20 24 30 “Т 40 60 120
X 1 vl\ Р = 0,995; а о=о.1
1 16211 20000 21615 22500 23056 23437 23715 23925 244)91 24224 24426 24630 24836 24940 25044 25148 25253 25359
2 198.5 199 0 1992 1992 199.3 199.3 199.4 199 4 199.4 199.4 199 4 199.4 199 4 1995 199.5 199.5 199.5 199.5
3 55.55 49.80 47.47 46.19 45.39 44 84 44 43 44 13 43.88 43.69 43.39 43.08 42,78 42.62 42.47 42.31 42.15 41,99
4 31 33 26 28 24 26 23.15 22.46 21 97 21-62 21.35 21.14 20.97 20.70 20.44 20.17 20.03 19.89 19.75 19.61 1947
5 22.78 18.31 16 53 15.56 14.94 14.51 1420 13.96 13.77 13.62 13.38 13 15 12.90 12.78 12.66 12 53 12.40 12.27
6 18.63 И.54 12 92 12.03 11.46 11.07 10.79 10.57 10.39 10.25 10.03 9.81 9,59 9 47 9.36 9.24 9.12 9 00
7 16.24 12.40 10 88 10.05 9 52 9.16 8.89 8.68 8.51 8.38 8.18 797 7 75 7.65 7.53 7.42 7.31 7 19
Н 14.69 11.04 9.60 8.81 8 30 7.95 7.69 7.50 7.34 7.21 7.01 6.81 6.61 6.50 6.40 6.29 6.18 6.06
9 13.61 10.11 8.72 7,96 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54 6.42 6.23 6.03 5.83 5.73 5.62 5.52 5.41 5.30
10 12.83 9.43 8.08 7 34 687 6.54 6.30 6.12 5.97 5.85 5.66 5.47 5.27 5 .17 5.07 4.97 4.86 4 75
И 12.23 8.91 7.Ы1 6 88 6 л2 6.10 5.86 5.68 5.54 5.42 5.24 5.05 4.86 4.76 4.65 4.55 4.44 4 34
12 11.75 8.51 7.23 6,52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.20 5.09 4,91 4,72 4.53 4.43 4,33 423 4 12 4 01
и 11.37 8 19 6.93 6.23 5 79 5,48 5.25 5.08 4.94 4.82 4.64 4.46 4 27 4.17 4.07 3.97 3 87 3 76
14 11 06 7 92 6.68 6.00 5.56 5.26 5.03 4.86 4.72 4.60 4.43 4.25 4.06 3.96 3.86 3.76 3,66 3.55
15 10.80 7.70 6.48 5 80 537 5,07 4.85 4.67 4.54 4.42 4.25 4.07 3.88 3.79 3.69 3.58 3.48 3.37
16 10.58 7 51 6.30 564 5.21 491 4.69 4.52 4.38 4.27 4.10 3.92 3.73 3.64 3.54 3.44 3.33 3.22
17 10.38 7.35 6.16 5 50 5.07 4.78 4.56 4.39 4.25 4.14 3.97 3.79 3,61 331 3.41 3.31 3.21 3.10
|8 10.22 7.21 6.03 5.37 4.96 4.66 44,4 4 28 4.14 4.03 3.86 3.68 3.50 3.40 3.30 3-20 3 10 2.99
19 10.07 709 5.92 5.27 4.85 4.56 4.34 4.18 4.04 3.93 3.76 3.59 3.40 3.31 3,21 3.11 3.00 2.Х9
20 9.94 6.99 5.82 5 17 4.76 4,47 4,26 4.09 3.96 3.85 3.68 3.50 3.32 3.22 3.12 3.02 2 92 2.81
21 9,83 6.89 5.73 5.09 4.68 4.39 4.18 4.01 3.88 3.77 3.60 3.43 3.24 3.15 3.05 2.95 2.84 2.73
22 9ЛЗ 6.81 5.65 502 4.61 4.32 4.11 3 94 3.81 3.70 3.54 3.36 3.18 3.08 2.98 2.88 2,77 2,66
23 9,63 6.73 5*8 4 95 4.54 4.26 4.05 3.88 3.75 3.63 3.47 3.30 3.12 3.02 2.92 2,82 2.71 2.60
24 9 55 6.66 5 52 4.89 4.49 4.20 3.99 3.83 3.69 3.59 3.42 3.25 3.06 2.97 2.87 2.77 2.66 2.55
25 9.48 6.60 5 46 4.84 *.43 4.15 3.94 3.78 3.64 3.54 3.37 3.20 3.01 2.92 2.82 2,72 2.61 2.50
26 9.41 6.54 541 4 79 4.38 4.10 3.89 3.73 3.60 3.49 3.33 3.15 297 2.87 2 77 2.67 2.56 2.45
27 9.34 6.49 536 474 4,34 406 3.85 3.69 3.56 3-45 3-28 3 11 293 2.83 2.73 2.63 2.52 2.41
28 9.28 6.44 5 32 4.70 4.30 4.02 3.81 3.65 3 52 3.41 3.25 3.07 2.89 2.79 2.69 239 2.48 2.37
29 923 6.40 5.28 4.66 4,26 3.98 3.77 3.61 3.48 3.38 3.21 3.04 2.86 2.76 2.66 2,56 2.45 233
30 9.18 6.35 5 24 4.62 4.23 3.95 3.74 3,58 3.45 3.34 3.18 3.01 2.82 2.73 2.63 232 2.42 230
40 8.83 6.07 498 437 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22 3.12 2.95 2.78 2.60 2.50 2.40 2.30 2.18 2,06
&0 8.49 579 4 73 4. J4 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01 2.90 2.74 2.57 2.39 2.29 2.19 2.08 1.96 1.83
120 8 18 5.54 4 50 3.92 3.55 3.28 3,09 2.93 2.81 2.71 2.54 2.37 2.19 2.09 1 98 1.87 1.75 1.61
ОС 7.88 5.30 4.28 3.72 3.35 3.09 2.90 2,74 2.62 2.52 2.36 2.19 2.00 1.90 1.79 1.67 1.53 1.36
Таблица П7. (продолжения)
1 2 3 4 5 Г 1 7 8 9~ 10 1 12 1 15 20 24 30 40 60 | 120
Р=0,995; a of=o,oo5
1 *053 + 5000 + 5404 + 5625 + 5764 + 5859 + 5929 + 5981 + 6023 + 6056+ 6107 + 6158 + 6209 + 6235 + 6261 + 6287 + 6313 6340 +
2 998.5 9990 999.2 999.2 999 3 999,3 999-4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.5 999.5 999.5 999.5 999,5
3 167.0 148 5 1411 137.1 134 6 132.8 131 6 130 6 129 9 129.2 128.3 127.4 126,4 125.9 125 4 1250 124 5 12*0
4 74. л 4 61.25 56.18 53.44 51,7! 50,53 49 66 49 00 48.47 48.05 47.41 46 76 46.10 45.77 45.43 45.09 44,75 44.40
5 47.18 37.12 33.20 31.09 29.75 28.84 28.16 27.64 27.24 26 92 26.42 25.91 25.30 25.14 24.87 2460 24.33 2.4.06
6 35.51 27.00 23 70 21.92 20.81 20,03 19*6 19.03 18.69 18.41 17.99 17.56 17.12 16.89 16.67 16.44 16.21 15.99
7 29.25 21.69 18 77 17.19 16.21 15.52 15.02 14.63 14.33 14.08 13.71 1332 12.93 12.73 12.53 12.33 12.12 11.91
8 2542 1849 15.83 14 39 13.49 1286 12 40 1204 11.77 И 54 11.19 10 84 10 48 10 30 10.11 992 973 953
9 22.86 16.39 13 90 12.56 11.71 11.13 10.70 10 37 10.11 9.89 9 57 9.24 8.90 8.72 8 55 8 37 8 19 800
10 21 04 14.91 12,55 И 28 10.48 9.92 9.52 9.20 8.96 8.75 8.45 8.13 7.80 7,64 7.47 7.30 7.12 6 94
11 19 69 13.81 И 56 10 35 9.58 905 8.66 8,35 8.12 7.92 7.63 7.32 7 01 6.85 6.68 6.52 635 6 17
12 18.64 12.97 10.80 963 889 8.38 8.00 7 71 7.48 7.29 7.00 6.71 6.40 6.25 6.09 5.93 5,76 5.59
13 17.81 12.31 10.21 9.07 8.35 7 86 749 7.21 698 6.80 6,52 6.23 5 93 5.78 5 63 547 530 5.14
14 17.14 11,78 9.73 8.62 7.92 7.43 7.08 6.80 658 6.40 6 13 5.85 5.56 6.41 5 25 5.10 4 94 4 77
15 1639 11.34 9,34 8.25 7.57 7.09 6.74 6.47 6.26 6,08 5.81 534 5.25 5.10 4.95 4.80 4.64 4.47
16 16.12 10.97 900 794 7.27 6 81 646 6.19 5.98 5.81 5.55 5.27 4.99 4.85 4.70 4.54 439 4.23
17 15.72 10.66 8.73 768 7.02 7.56 6.22 5.96 5.75 5.58 5.32 5.05 4.78 4.63 4.48 4.33 438 4.02
18 15.38 10.39 8.49 7.46 6.81 6.35 6.02 5.76 5.56 5,39 5.13 4 R7 4 50 445 4.30 4 15 4.00 3-84
19 15 08 10.16 8.28 7.26 6.62 6 18 5.85 5.59 5.39 5.22 4.97 4.70 4.43 4.29 4 14 3.99 3.84 3.68
20 14 82 9.95 8 10 7Л0 6.46 6.02 5.69 5.44 5.24 5.08 4.83 4.56 4.29 4.15 4.00 3.86 3.70 3.54
21 14 59 9.77 7,94 6.05 632 5 88 556 5.31 5,11 4.95 4.70 4 44 Д. 17 4.03 3.88 3.74 358 3.42
22 14 38 9.61 7 80 6.81 6.19 5 76 5,19 4.99 4.83 4.58 433 4.06 3.92 3.78 3.63 3.48 332
23 14.19 9.47 7.67 6.69 6.08 565 5.33 5.00 4,89 4 73 4,48 4 23 396 3.82 3.68 353 3.38 3.22
24 14 03 9.34 7 55 6,59 5.98 5.55 5.23 4.99 4.80 4.64 439 4.14 3.87 3.74 339 3.45 3.29 3.14
25 13 88 9.22 7.45 6.49 5.88 516 5.15 4.91 4.71 4.56 431 406 3.79 3.66 332 3.37 3.22 3.06
26 13 74 9.12 7 36 6.41 5.80 5.3R 507 4.83 4,64 4 48 424 390 3.72 3.59 3.44 3.30 3.15 2W
27 13 61 9.02 727 6.33 5.73 5.31 5,00 4 76 4.57 4.41 4.17 392 3 66 332 3.38 3.23 3.08 2.92
28 13 50 8.93 7 19 6.25 5.66 5.24 4.93 4.69 4.50 4.35 4,11 3.86 3 60 3-46 3.32 318 3.02 2.86
29 13^9 8.85 7 12 6.19 5.59 5.18 487 464 4.45 4.29 4.05 3.80 3.5* 341 3.27 3.12 2.97 2.81
30 13 29 8.77 705 6.12 5.53 5.12 4.82 4 58 4.39 4 24 4.00 3 75 3.49 3.36 3.22 3.07 2.92 2.76
40 12.61 8.25 6.60 5.70 5.13 4,73 4.44 421 4.02 387 3,64 340 3 15 301 2.87 2.73 2.57 2.41
60 1197 7.76 6.17 5 31 4.76 4.37 409 3.87 3.69 3.54 3.31 3.08 2 83 2.69 2.55 2.41 2.25 2.08
120 11.38 7.32 5,79 4 95 4.42 4.04 3.77 3 55 3.38 3.24 3.02 2.78 2,53 2.40 2,26 2.11 1.95 1.76
DO 10.83 6,91 5.42 462 4 Ю 3.74 3.47 1 27 3.10 2.96 2,74 2.51 2.27 2.13 1.99 1.84 1.60 1.45
40*3' означает 40ЭЗ 1U
Таблица П8 Таблица значений q = и)
\ г 0,95 0,99 0,999 X Г п 0,95 0,99 0,999
5 1,37 2,67 5,64 20 0.37 0,58 0,88
6 1,09 2,01 3,88 25 0,32 0,49 0,73
7 0,92 1,62 2.98 30 028 0,43 0,63
8 0,80 1,38 2,42 35 0,26 0,38 0,56
9 0,71 1.20 2,06 40 0,24 0,35 0,50
10 0,65 1,08 1,80 45 0,22 0,32 0,46
11 0,59 0,98 1,60 50 0,21 0,30 0,43
12 0,55 0,90 1,45 55 ОД 88 0,269 0.38
13 0,52 0,83 1,33 60 0,174 0,245 0,34
14 0,48 0,78 1,23 65 0,161 0,226 о,31
15 0,46 0,73 1,15 70 0,151 0,211 0,29
16 0,44 0,70 1,07 75 0,143 0,198 0,27
17 С,42 0,66 1,01 80 ОД 15 0,160 0.211
18 0,40 0,63 0,96 85 0,099 0Д36 ОД 85
' 19 0,39 0,60 0.92 90 0,089 ОД 20 0,162
Таблица П9 Критические значения Ла
распределения Колмогорова:
। Уровень значимости 0.20 ОДО 0,05 0.02 0,01 0,001
4 1,073 1,224 —— . d 1,358 — 1,520 1,627 1,950
208
ЛИТЕРАТУРА
1. Бул дык Г М. Теория вероятностей и математическая статисти-
ка. - Мн.: Выш. шк ,19X9. - 285 с.
2. Булдык Г.М. Статистическое моделирование и прогнозирова-
ние.- Мн.: 110 ООО “БИП-С”, 2003. - 399 с.
3. Сборник задач по математике для втузов. 4 3 Теория вероят-
ностей и математическая статистика Под редакцией А.В*
Ефимова. - М.: Наука, 1990. - 432 с.
4. Сборник задач по теории вероятностей, математической стати-
стике и теории случайных функций, Под редакцией А. А.
Свешникова. - М.: Наука, 1970. - 656с«
204
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
1. Теория вероятностей
1.1. Случайные события. Вероятность
12. Q = {(x,y)|0<x;y<60};
А = {(х, yjy - х < 10; х - у < ю}. 1.3. Исход эксперимента
<у, = {бракованная деталь появится при /-том испытании},
Q, = ;<у|,£У1£У2,<У|й)2<У3,...,(У|й>2й>}£У4j. 1.5. А+В={появился шар с
четным номером или кратным 3) и т.д. 1.6. о( - {среди 2и собрав-
шихся ровно i человек знакомы вошедшему}.
Q(, ={<ус,<у1,<у2,...,<у2,}. Учесть, что А\В = В. 1.8. <у1; = {выпала
грань, содержащая i очков на первой игральной кости}, ш. - {вы-
пала грань, содержащая j очков на второй игральной кости!.
Q - {(л;,,,<у2/)|1 < i < 6; 1 < j < б). А = {(ty1/5(y2j.) i + j ~ 7f.
1,9. Номера кубиков могут появиться в любом по-
рядке. Число таких способов появления равно числу перестановок
из 6 элементов: Р6=6!=720. А - {(Л^1,Л^2,Л^З,...,Лр6)}.
Р(Л)-——. 1.10. а) = {отобраны пять лампочек из сорока}, / = 1,и;
*7 о
и = С^. Все равновозможны. А {среди 5 купленных лампочек 2
бракованные}, А - ур.), j' = L т; т - C,s - С\2;
С’ С?
Р(Л) = 35 5 5 а 0,09. 1.11. = {отобран телевизор для проверки},
^40
i -1,2,...,30. j -1,25, так как 5 телевизоров имеют де-
фекты. Р( А I =
30 = £' 1*12. а)[ = {десять предприятий отобранные
для проверки}, / = 1,и; п- , А= {среди десяти проверенных одно
предприятие, которое ведет неправильные бухгалтерские отчетно-
сти, имеет скрытые доходы}, А - /=l,w; w = C^-C,‘;
1.13. О - {о,.}, i; = 1,п ; п ~ СД , где = {отобрана
100
210
бригада из пяти строителей}. 4={бригада состоит из 3 маляров и 2
С3 . с 2 С5
штукатуров}. Р(я)=—-——— • 1-14. Р(4)--—*0^98. 1.15.
^*15 ^30
Р(а) = ^-. 1.16. а) ф)=^; б) Р(Я)=£ь 1.17.
^15 ^15
Р(л) = !20 + 80= 292_ = ±. 1.18. р(л)= —«0,027. 1.19.
10000 10000 50 600
А= {выигрыш в первом тираже 1966 года}. Всего выпущено обли-
гаций: 100000000:20=5000000. Р(а) = - - 94-°— = 0.00188.
4 ' 5000000
В= выигрыш в последнем тираже 1986 года}. За 20 лет было 159
тиражей, без последнего, и было выпущено 20 9400=188000 выиг-
рышных облигаций. Общее число облигаций в последнем тираже
равно: 5000000-4159-9400) *3505400.
Р(Я) =
9400
3505400
« 0,00268.
1.20. 12= эд i = 1,и), а = {набраны три цифры}, п = А^0 - число
всех наборов трех цифр равно числу трехэлементных упорядочен-
ных подмножеств из 10 элементов. А-{набраны три нужные циф-
ры}. Множество А состоит из одного элемента.
^)=-=4-
w 410
1.21. / = 1,н|,
coi = {выбор пяти фирм}; число элементов fi
определяется как произведение выбора пяти элементов из ос гав-
/^5 /-»5 /^5 20!
шихся элементов исходного множества z? = C2n-CI5-С10-Ся
h (5!)4
Для определения числа элементов множества А представим все
множество 20 фирм в виде двух множеств Е} = и
Е2 = где “ фирмы имеющие товаро-
оборот свыше 10 млн ден.ед., a tz/3 j - 5,20 другие фирмы. Число
элементов множества А равно тх = ’С5О-С5; число элемен-
ту /"*4 /—I /^4 /“’I Х""!
тов множества В равно - Cl6 C4 • C|2 - C3 • CK - C2 • C4 • Ct .
Р(л)- —; Р(В)~ —
323 969
1.22. Q ~ fcy.л = 1,k|, = {выбор шести
фирм для проверки}, л =
г(л)=
где 4= [проверены пер-
»
211
1.23. А={замок
вые шесть фирм}.
-0,00013
1.24. Q = {у |z = 1,л),
открыт},
zy, = {на-
браны три цифры}, п = Аи =720. Время 7^=720-20 = 14400
(сек). А~{вошедший открыл дверь на один час}, Т.ж = 3600 сек.
3600
14400
* Q
= 1,и L = {пассажир вышел
на каком-то этаже} Число способов выйти 5 пассажирам на 8-ми
этажах и-58. Я^{ни один из пассажиров не вышел на 2. 3 и 4 эта-
жах}, число способов = 55; В - {трое пассажиров выйдут на девя-
том этаже}, при этом каждый из оставшихся двоих может выйти на
любом этаже, w2 =1-28; О {все пассажиры выйдут на одном эта-
же}, ^=8. pO) = ^ = -I_; p(5>^=|Tj; Р(С) = |. 1.27.
9
D~ {точка разрыва телефонной линии удалена от точки А не менее
9
чем на 1 км}, P\D)- — . 1.28. А = {студенту придется ждать поезда
метро 10 сек.}, Р(А)- — , 1,29. А- {одному из пос гавщиков придет-
18
ся ждать освобождения рампы}, Р(Л) = 0Д21. 1.30- А ^{автомобиль
2
проехал перекресток без остановки), Р(Л)-— 1.31. Пусть х и у -
моменты времени прихода автобуса и троллейбуса. Областью воз-
можных значений х и у является множество точек прямоугольника:
0 < х < 18 и 0 < у < 6, т.к. если х произвольный момент времени:
0 < х < 18 и моменты прихода автобуса: 0, 6; 12; то моменты при-
хода троллейбуса: у\ у~7, где 0<у<6. А~{первым подошедшим
транспортом окажется автобус). Благоприятствующие значения х и
у появлению события А удовлетворяют неравенствам; 0<у<3,
у<х, х<6, у + 7 < х < 18; при у>3, у<х, х<12 или
у+ 7<х<18; (рис. 1).
Р(А) =
6?
jaunpH.x. __ 2
6 18
165
216
В {автобус или троллейбус подойдет через три минуты}. Благо-
приятствующие значения х и у появлению события В удовлетворя-
ют неравенствам 0 < у < 3, 0 < х < у, а при у > 3 у 3 < х < у; или
212
1.32. Р = |-|. 1.33. Р = \ + , 0<Ь<2i?73(2-Л),
\/?у бг2л/3 j
/)>2а>/з(2-7з). 1.34. р ~ 0,02. 1.35. р = 0,5. 1.36. Я= {точка попа-
ла в куб}. Пусть R радиус шара; а - ребро куба. Тогда
к
8
_1_ Л3
р =----= 0,03. 1.39.
500
750
1.41. И"'-—— = 0,75.
1000
495
= 0,495 .
1000
120
1000
р = 0,246. 1.43. 0,366. 1.44.
2
р ~ 0,067. L45. р -= 0,0001.1.46. р - 1.47. р = -
Свойства вероятностей. Условная вероятность. Независи-
мость событий. Теоремы сложения и умножения веро-
ятностей
2.2. Пространство элементарных событий определяется сле-
дующими парами (ЛАЛ/), (D4D), (Л/,£>). (£\Л/); А~{в семье есть де-
вочка}, Л{в семье две девочки}, Я.Л~{в семье две девочки, если
213
известно, что уже есть девочки}; р(в[Л) = ^р^у ~ "з^' =
21
2.14.
24
2.10.
20
19
24
р = 0,9785
18 57
. 2.12
2.15.
И={ наудачу взятый кинескоп имеет диагональ 72 см}; А - {наудачу
взятый кинескоп имеет диагональ 51 см}; В- {кинескоп отправляет-
ся на экспорт}; Л/?={наудачу взятый кинескоп имеет диагональ 72
см и отправляется на экспорт); АВ = {наудачу взятый кинескоп
имеет диагональ 51 см и отправляется на экспорт). АВ + АВ = В:>
р(ав)+ р{ав)= р(в), р(ав)= р(в)-р(ав)=
= р(в)- Р(А)-Р(в) = 0,5-0,7 0,4 = 0,5-0,28 = 0,22.
=А _L_JL JL- -1 1_11-2-1-2
Р’1О 20 10 20 ” ’~2 4 2 4 4 8~8‘
111 11112
р ----= —; б) р ---------+---= —.
32 6 33339
р = 0,95-0,1+ 0.05 0,9-0,14. 2.19. р = —
10 9 8
р = 0,95 0,85 = =0,8075. 2.21. р,= 0,20 + 0,15 = 0,35;
р2 = 0,10 + 0,30 = 0,40; р, = 0,20 + 0,25 = 0.45;
=0,20+0,10+0,15 = 0,45; р5 = 0,25 + 0,30 = 0,55. 2.22. а)
р = 0,418; б) р = 0.552. 2.23. р = 0,99. 2.24.
Р = \~Р\Рг-Рз + Р1Р1Рз- 2-25- Р-0,15. 2.26. а) р = 0,15; б)
2.16.
2.17. а)
2.18.
7
—. 2.20.
24
1 19
р = 0,6. 2.27. б) р = —; в) р = —. 2.28. а)р - 0,56; б) р = 0,15.
27 2*7
2.29. Могут существовать 0т 1, 2, 3, 4 фирмы соответственно с ве-
роятностями
11 4 9_ 4 4
32’32’32’32’32
А - {к концу второго промежутка
времени все фирмы ликвидированы); А. ~ {фирма ликвидировалась
к концу первого промежутка времени); А2 = {фирма работает с
прибылью к концу первого промежутка времени); Л-{фирма
разделилась на две к концу первого промежутка времени);
Bi = {фирма, работавшая в первом промежутке времени, разори-
214
лась}, В = { фирма, отделившаяся в
разорилась}, / = 1,2. Тогда
I 1 1 1-11
4 2 4 ’4 ‘ 32
и т.д.
первом промежутке времени,
А = А. + А В. + А. • В, В,;
। л I J । 2 ’
2.31. р = 1 - (1 - 0,03)'°. 2.32.
Л = 1 -0-0,8)". 2.33. р = 1-
Я7+Л
гп- п
т + п
Формула полной вероятности. Формулы Байеса (теорема
гипотез)
3.2. А = {случайно выбранный из партии транзистор будет
признан дефектным}; ^-{транзистор является дефектным};
Н2 - {транзистор является исправным}.
р{а) = Р(Я, )р(л Ht)+ P(ii2 )р(а\Н2 )= 0,01 0,95 + 0,9 • 0,03 = 0,122.
3.3. /1 = 0,105. 3.4. А- {вторая игра будет проводиться новыми мя-
чами}; /7t={B первой игре были использованы новые мячи};
Я2={в первой игре были использованы старые мячи}; Н, = {в
первой игре был использован один старый и один новый мяч].
Р\А')-0,445. 3.5. А = {студент сдает экзамен}; = {студент знает
билет}; Я, = {студент не знает билет}; В, = {вызван Иванов или
Петров}; В, = {вызван Сидоров}; В. = (вызван отличник);
Я, =В,-А + В2А + В3 -А; II г = В А + В2- Л; А = Н, -А + Н:- А.
р(я1}=р(Б1) р(л|д)н
_2_ ?0 _1_ 15 7 53
10 30 10 30 110 ~60
Р(Я2) =
2 10 1 15 7
10 30 К) 30 60 ’
Р(4) = Р(Я.) Р(А\Н,)- Р(Я2 ) Р(А\Н2) =
= — •0,85 + —-0,1 = 0,763. 3.6. РМ) = 1--ч- 0 + --0 = ~. 3.7.
60 60 - 3 3 3 3 9
А — {100 микросхем исправны); Н ={/ микросхем бракованные},
/ = 0,1,2,3. Р(Я0)=Р(Я1) = Р(Я,) = Р(Я1)=~. А\Н = {микросхе-
мы признаны исправными, при условии, что среди 1000 имеются i
бракованных}, / - 0,1,2. 3. Р(л|Я0) - 1; Р(А\Н{ )= ;
^1000
Р(Я|л)«0,29. 3.8. Я = {все 100
О looo O'innn
215
лампочек исправны}; Ht - \ число лампочек содержащих брак рав-
но 1}, i = 0,l,2.3,4,5. Р(л) =/>(//„ )/>(л|/7 )+Р(Н ) )+Р(Н2)
+ Р(Н.) Р(Л Я,)+ Р[Н,)• р(лн4 )+Р(Н5)- Р(а\Н,)« 0,78.
хЧОО
л(4»,)=».>'*?•
Цооо
3.9. р(л) = р(я,) Н/1|Д) -ЛЯ2) ГМ|Я,)=°,96 0,98 i 0,04 0,05 = 0,998-
3.10. р(и) _ р'//,) р(н н,) + р(я2) р(л|// I - 0,75 0,005 I- 0,25 0,08 - 0,02375.
3.12. Р(Л)= P(Hl)- р(А Ht)+ Р(Н, )• р(л|^) = 0,8 0,01 +0,2 О? - 0,148.
3.14. Р(/1)*Ю,5236.
3.15. А - {обнаружение самолета }; Ht - {самолет находи ся в i-ч ом
районе}, /—1, 2; P(lPt )= 0,7; Р[Н ) -0,3. Допустим, что в первый
район поисков отправлено т вертолетов, тогда во второй будет от-
правлено (5 - т) вертолетов. = {самолет обнаружен, если он
находится в z-том районе}, z-1,2; p(j|/7,)=l -('1 — 0,3)'”,
Р{А Н2)=\- (1-0,3)5 -. Р(Л) = 0,7(1 -(1 -0,3)т) + 0,3(1 -(1 - 0,3)5'")-
Нужчо определить т так, чтобы вероятность Р(л) была наиболь-
dP(4)
шеи Вычислим производную: —=
dm
= 0,7(1 -0,ЗГ1п0.7 rO,3 0^i’m»0,7 = lnO,7(0,3-0,7,-"’-0^"| Пола-
гая -0, приходим к равенству: 0,3 • 0,75-'" - 0,7т+| = 0 или
dm
о I-”’ ni пл4 In 0,2401 . п „
0,7 - 0,3 0,7 , т - —। ® 4. В первый район нужно напра-
вить 4 вер" слета р(а 1 « 0,74 3.17. р I 0,337 3.18. р - 0.429. 3.19.
р^0.47. 3.20. Я,. 3.21. р-0,92. 3.22. п = 0.59. 3-23. р -0.146.
3.24. J - {взятая наудачу пара обуви доброкачественная};
Н} - (выбрана партия с доброкачественной обувью}; Н2 ={выора-
на партия с недобрОЙЛесгвенной обувью}. Р{Н
р(л|//1) = 1; ) = ^. Тогда по формуле полной вероятности
„/ ,х 1 . 13 7
1-—1+ -• — - —. После первого испытания вероятность того,
что партия содержит недоброкачественную обувь, равна
216
of увь,
содержит
1 3
Р(Нг}Р[А\Н^ 2’4 3 _
----—---------- - Вероятность того, что партия
8
доброкачест вен ну ю
1 ‘ 4
- — Введем событие R = (при впго-
1
равна
111 ’ Р{АУ ' 7
8
рем испытании пара обуви окажется недоброкачественной}. Но ве-
роятности гипотез Н и Н2 найдены ранее и
они равны Р\ Н ) = у
Р(/72)-у. Кроме того р(р|7/, ) = 0; Тогда
Р(В) = --0 + ---= —. 3.25. 0 = 0,6. 3.26. р-0,4. 3.29. р = -
7 7 4 28 7
3.30. р = —.
11
Случайные величины
Дискретные случайные величины
4.2.
Р( X - 0) = 0.2 0.2 0.2 = 0.008 ;
0 1 2 3
р> 0,2’ 3-0,8 0,2 3-0,82 -0,2 0-8?
F{x) = - 0, сс.1и г < 0; 0.008. если 0<х<1; 0,008 + 0.096.если 1 <т <2. 0,104-0.384, если 2< х<3; 0,488 + 0.512-1 еслиЗ<х к
Р(А'-Р-0,8 0,22 । 0,2 - 0.8 0.2 +0 2: 0,8- = 3 0,032 - 0.096;
р(Х - 2) - 0.8 0,8 0.2 т 0.8 0,2 0.8 + 0.2 0.8 0.8 = 3 - 0.128 - - 0.384;
р(А'-3)-0.8 0,8 -0.8 = 0.512 ЛДУ)- 0-0.08-1 0.096-2-0?Н-
+ 3 0.512 = 2,4;
217
D(x)= О2 • 0,08 +12 • 0,096 + 22 0,384 + 3?0,512 - 2,42 = 0,48,
о-(х| = Т0Д8 = 0,69.
1 2 3 4 5
Pi 0,2 0,8 0.2 0,82 • 0,2 0,8J 0,2 0.81 0,8+ 0,8 0,2
4.4. Л/М=1-0.1 + 2-0,9-0,1+ 8 0,91-0,1+ .. +n 0,9' 1 -0,1 + ... = — = 10;
0,1
Д^)=лу(%2'-
-(Л/(л))2 -1’ 0,1^2’ 0,9 0,1 + 32 -0.92 -0 t+...-л2 0.9"’1 0.1 + ..-(1O)2 = ^--90-
4.5. X e {0;V2;3;4},
х. 0 1 2 3 4
- 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,0625
Р, = р(х = *,) = р(1-р)' Д-пя » = 1,2,3,4; (1 - р)* для i ~ 5,
гдеp - вероятность светофора задержать аьтомашину, р ~ 0,5.
х 0 1 2 3 4 5
к с°с5 '“'10'“'90 с1 С4 с2 с3 v 10*^90 CJ с1 v"10v'90 С4 С С5 V 10
С5 '“'100 С5 v'100 с’ v-too с’ ^too С5 v 100 с5 Ноо
100 30
р, 0 65 0.35
М[Х =100 0,65 + 30 0.35 = 75.5 (ден.ед.)
х, 0 1 2 3
р. С2С' С1 С2 4 4^16 с3 ’-.j
С с3 ^20 G3 ^20 С' ^20
218
0 при х<0;
_1_ 285 при 0<х<1,
Л(х) = < 1 24 285* 285 " 25 285 при 1 < х < 2;
25 120 285+ 285 “ 145 285 при 2 < у < 3;
145 .40 1285 + 285 ’ 1 при х>3
4.9. Д - {отказ Д-блока}, i = l, 2,3,4 X- случайное число испы-
таний.
1 2 3 п ♦ .
р. 0.408 0,125 0,038 (о,6-О,83 Г4 0.488
Р(У = 1)=Р(Л + А.А,АУ)=Р(А )+ Р| А}А?А- ) = 0.4 + 0.2’ =0.408
Р( X = 2)=Р(д Тг • Д Д)' КЛ + Д • АЛ ) = 0,6 0,8’ 0408 * 0,125 .
Р(.¥ = з) = (о.б - 0,83 У 0,408 ® 0,038 и т.д.
Л, 0 1 2
А <7i ’<h Pi'Qi-Pi <7i P.-Pi
4.11.
xt 0 40 70 250
р, 93 4 X. 1
100 100 100 100 |
4.12.
X 1 2 3 4 5
Р, 1 5 IV. I 42, СП | 1— р!^ m | ч-> ’Т | чп 4 3 2 _1 5 4 3 2 4 3 2 ! 1 5 4 3 2
Случайная величина X примет значение равное 1, есл и с первой по-
пьп ки замок будет от крьп, X - 2. если первым ключом за мок не
откроется, а вторым будет открыт ит.л 4.13. 1 - {^репи 100 прове-
ренных банков нет банков с га; у дарственной формой собс гвенно-
С>™
сги}: Р(Д)- ; В- (среди 100 проверенных банков хотя бы
^1000
один с негосударственной формой собственности}; В = (среди 100
219
проверенных банков все с государственной формой собствснно-
£,100
сти}; Р(В) = I -Р\В ) = 1-J^L. Среднее число банков с государст-
4 on fl
венной формой собственное! и равно математическому ожиданию
М(Х) = -0 150 85!) 1 1 V|S(I 'Lg?0 ' д Vl*>'*-850 , 1ЛО С150
^1000
4.14. X - возможные
1 3 5
М(Х)=(—1)-------2 — = —(ден.ед.). Сели Иванов будет
4 4 4
такое пари много раз, то его выигрыш составит в среднем 1,25
ден.ед. на одну юру.
4.15.
.1
,-400
(Will
С2 С'
+ 2- 1Ж *
100
1000
выигрыши В
г +100—
-T...TIVV )00 .
'-'1000
ден.ед.
заключать
xi 0 1 2
р. Q2 С1 с1 ^20^2
ск С2
Закон распределения дискретных случайных величин
X, 0 1 2 3 4
Ро 0,6561 — 0,2916 0,0486 0.0036 0.0002
Р(Х = 0) = 0.9\ p(X = l)=C‘O,IO,9J; Р(Х^2)=С2л 0,12-0,9? и т.д
5.4. а) Р<(1)=—; б) Р(^>2) = —; в) Р5(3)- —;
л/ 243 243 ’ 243
112
г)Р.(Аг 5’5' P'd3Pb,B в Цепи произойдет, если перегорит
хотя бы одна лампочка. Вероятность равна Р = 1-0,9’° «0,6513
0 при х<0;
27 125 при 0 < х < 1:
5.6. Р(У>2)~0.663. F(x)_. 81 125 при 1<х<2;
117 125 при 2<х<3;
1 при 3<х.
5.7. Mv)-0.3; Г>(А')-0,285. 5.8. Л/(А')-0,25; £>U') = 0,2375;
сг(А') = 0,487 5.9. а) Р(Х < 2) - 0,24; б) Р(Х > 8) = 0,05
220
5.10. Р3(5) = 0,147 5.11. Р(5)= 0,101. 5.12. Ря(б)= 0,0038.
5.13. Р2№(100)-0,051 5.14. а) Р5(2)+ Р,(з)ч Р5(4)т Р(5) =
= 1 - (Р5 (0) 4 Р5 (1)) = 1 - (0.95 + С* + 0,1 0,94 )* 0,081; б)
Р,(2) = С3-О,152-0,85*0,057. 5.16. м>59. 5.21. p = ^Le-’J, а)
р(л) = ^^-е 5 *0,175; б) P(P)=P(m>5)= = 1-р(т<5). 5.22.
Р(л) = 0,018; Р(Я) = 0.092. (/’(л) = ^-еЛ Л = —= 2 (вызова в
т\ 60
сек.)). 5.23. 2 опечатки с вероятностью р » 0.251 5.24. п > 300 .
5.25. Рзоо0п^З)-ГК0(О)+Рзоо(1)+Рзоо(2)+Рзоо(3); « = 300 0,01 = 3.
з° з з2 з-3 /о о А
P3OT(w < 3 = =—е ’ + — е~’ + — е'3 + — е'3 = е~3 1 + 3 4 - + - * 0,647.
0! 11 2! 3! V 2 2)
5.26. « = 1000-0,004 = 4.
^?oo(J ,п — ^)= ^)ооо (®) + ^(1)+ Т^ооо (2)+ ^}ооо(3)+ Дооо (4-) 4 ^^(S).
|Э
5.27. « = 1000 0,001 = 1. /1^(3) = -е~’*05061. 5.28.
ИЛЛ. К /
а = 5000 -L = 10; />5000(10)* 10 * 0,125.
роятность того, что деталь не стандартная, р - вероятность того,
что деталь стандарт ная 1 - рп > 0,05; р" < 1 - 0.95 - 0,05;
0,925" < 0,05; п >
In 0,05
In 0,925
221
X, 0 1 2 3 4 5
р0 С5 ^480 ^№С'О С3 с2 ^480^20 с2 с3 '“'4SOV'2O С1 С4 480 *^20 С5 ^20
с’ '“'500 Q<w С5 ^500 С5 ^500 С5 '~500 С- ^500
Непрерывные случайные величины
0 при х<0;
6.3. р(х) = COSX при 0<х<-; 2
я
0 при х>—.
2
О
при
6.4. р(х)~-
2cos2x
при
л.
4’
О
при
4
6.5. W(x)-1; £)(А'>0,47. 6.6. О(А')-|. 6.7. С=|; г=у;
-2 »
Л/(Х)=0; £>(%)-— -2 6.8. 2"х0. 6.9. Ме=а; Л/о«1,18сг.
т -1
— *0
т
6.10. Л/„ =
. 6-11. Закон равнобедренного треугольника.
1
/>(*)= 5
A 5J
Л 1-^5-
(5 +- х)2
50
1-^----
50
Законы распределения непрерывной случайной величины
7.2. Р(0 < X < 2) - 0,6.7.3. Р(0,02 < X < 0,1) = 0,6
222
7.4. n pfo<y<^)+ + /l«^<A<lool=-U;
1 <з) v 7з J v?
2)p| 0< A’ <3 —
I y[3J {Ji) 2
0 при х < 0; 0 при л < 0;
7.5. р(х) = - 1 10 при 0 < X < 10; F(x) = - X 1о при 0<х<10;
0 при л > 10. 1 при х>10.
.V(A) = 5; 12 25_. 3 ’
F(7 < A'< 10)= 1-0,7 = 0.3 7.12. p-0,0028. 7.13. cr » 2,942.
7.14. m «15,39; G 3,26. Воспользоваться формулами:
Р(%>12) = 0,15 и P(X> 16,2) =0.40; Ф *(l2^ =0,15 и
V <7 J
Ф*|—-------j- =1 0,4 = 0,6. 7.15. M{X)= 1,84 Найти <т из равен-
ства: Р(1.82 < X < 1,86) = 0,999. Воспользоваться формулой:
Р(|х-/и|<0,01) = 2Ф* — '-1«0.898. 7.16. P(]x-w|<2)=0,95,
т.е. 2Ф*Г- | 1=0,95; Ф = 0,975; - = 1,96; ст = 1,01;
<crj <т
Р(100<%<130)-Ф^121~120Ъф*р19~120\:0,68. 68% ак-
I 1,01 ) I 1,01 J
пий имеет цепу в пределах от 119 до 121$. 7.17. />-0,75:
9 = 1 0.75-0.25;
Р(140< У <180)- Ф
180- 200 0,75
<Л/200 0,75-0.25
140-200 -0.75 '
^200-0,75-0,25 ?
/ 200
-0,9484. У = У^Л,,
\ I =1
^А, ={0,1}
223
7.18. Воспользоваться формулой: р('х~т <<5) = 2Ф* — Из
равенства 2Ф*| — |-1 = 0,9973. находим <5 = 0,3 и интервал
'чсг)
|х-10|<0,3,т.е. 9,7 <Х< 10,3.
719. /? = 0.8; <7 = 1-0,8 = 0,2. Г(70<У<86) =
. .Г 86-100 0,8 70-100 0,8 А
= Ф* —- Ф* —
^7100 0,8-0,2 J 1^7100-0,8 0,2 ,
У = ^2Г„ ОЛ. ={0,1}1
\ r=l J
7.20. Р(А <100%) = Р(0<%<100) = Ф*^ J-
_ф * ^0 = 0,5; 0,5 100% = 50% предприятий не выполняют
„„ n/КА V 150 -100А ^/110-100'I
план. Р(110<А <150) = Ф*1------|-Ф* -------- =
1-0,8685 = 0,1335. Следовательно, 13,35% предприятий выполняют
план от 110% до 150% 7.21. Объемы реализации заводов F, и F?
ЗУ, и 226.. У = ЗА,+2АГ2; Л/(У) = ЗЛ/(Х) + 2М(Аг7) =
= 3 6000ч 2-15000 = 48000; сг(У) = 3-30 + 2-00 = 270. Прибыль рав-
на: У-10000. Нужно найти
У >38500+ 10000 = 48500.
^/48500-48000^ ^5003^
I 270 ) 1.270J
вероятность того, что
P(Y >120000) = Ф*( +ос) -
0,9676 = 0,0324.
7.22. -(A, 20 - 500 0,03 0 - 500.0,03 )
^7500-0^7-0,03; ^7500 0,47-0.03
7.23. X - ошибка определения прибыли. Л/(-¥) = 0; С(Аг) = 10,
Р(Х <15) = Ф*|Г1^- -Ф*(0) = 0,9392 0,5 = 0.4392.
7.24. Р(|у|<1) = 2Ф*|^у |-1 = 0,9544.
Следовательно, 95.44%
годных деталей изготавливается станком-авгоматом.
224
7.25. М(Х)=3 (P(|jf|< 3,45) = 2Ф*'^-'-1 = 0,7495.
М(Х) = п РфГ|<3,45) =4-0,7495*3). 7.30. М(а)--, 10 = -;
Я я
А = ~ = 0.1. Р(л) = (1-е-0-"5)- -(l-e4,H) = e4,J-e-,s*0,39
Р(Р)= 1-(1-е-0'2,1 )=е‘2 *0,135 7.33.. 1) Р(Л) =
= е’2-5-е-20 *0.0112.
2) Р(Р) - (1 - (1 - е 05 ’)) (1 - е°45)+ (1 - '5 \1 - (1 - е-°54 ))=
= е 2 ’(1 -е~?)+ 0 - * ) e lfi = е 25 - 2е 2 S е~2 + е'20 * 0.1976 .
3) Р(С)= = 1 - (1 -е ®55) (1 -е°45 )* 1 -0,7912 = 0,2088 .
7.34. а) Р(Я) = 1 - е ; б)Р(В) = 1 - е'**' . в) Р(С)= Р(Л)р(в).
Предельные теоремы и законы больших чисел
8.3. Р(А’ > 100)< у— = 0,15. (Воспользовались формулой (8.2)).
8.4. Р(АГ< 15) = = 1-Р(АЛ > 15)* 0,667. 8.5. Воспользоваться фор-
мулами Р(X > е ) < ; £)(X ) = м{х2)- (М (X ))2,
Л/(Х2)=Р(Л)+(М(.¥))2; Р(А> 150) = |^ *0,46.
Р(Х > 200)- *0,26. 8.7. М(Х)= пр -800 0.25-200;
D(x)=npq= =800-0.25 0.75 = 150; 5 = 250-200 = 50,
Р(Х-200|<50)>1--^ = 0,94. 8.8, Найти Л/(А')-^;
D(x)=npq; £ = 25О-Л/(А') и воспользоваться формулой i8.ll
8.10. Найти М(АЛ)-£х,р, ; D{x)-^x2Pi (Л/(А’))2, £ = 0,2 и
<=1
воспользоваться
^ = 1-0,8-0.2;
формулой (8.11 8.14. р-0.8, п-10000;
£-0.03. Воспользоваться формулой:
< £
>1--^-.8.16. £ = 3; п -500; С = 6. Воспользовать
И£
ся
формулой
из теоремы
Чебышева
225
1 u" -< 1 х.” , J I С
-УХ,—>1-----------------------8.18. Воспользоваться фор-
П 1 I П£
иудой из теоремы Чебышева:
где
С-25, т.к. ст(.¥)<5, тогда О(х)<52 = 25; £ = 2.
\-—л> 0,95 =>н = 125. 8.21. Р24СО(1400)«-J=<z>(x), где
и'4
т-пр 1400-2400-0,6
х = . = -^== « -1.67;
yjnpq д/2400- 0,6 0,4
Р240с(1400)« 0,0041.
<р(-1,67)=^1,67)-0,0989.
8.22. 1) ^(50)-
J________ J 50 100 0,512
7100-0,512-0,488 Д v'100 0.512 0,488,
«0,078
2) /^(51;100) = Ф*
100-100-0,512
^100-0,512 0,488
-Ф*
51-100-0,512
7100-0,512 6,488
0,516.
8.23. a) »100-М> ^/1470 - 2100 0,7^.
^72100 0,7 0,3 ) 1,72100 -0,7 -0,3 j
«0,4236. б) Р2|(Х)(1470; 2100)« 0,5; в) Р21оо(0; 1470)« 0,5.
8.24. Рм)(31; 60)«0,9066; Р60(30; 42)« 0,8858 8.26. п -100.
8-27. и = 177. 8.29.
Воспользоваться формулой:
Наименьший интервал равен
482 <т< 498.8.30. 49875 < т < 50125 8.31. е «4,16-10 ’.
8.33. Воспользоваться формулой: Р —-р <е
-1
п находим из равенства е =
- 2,96, откуда п -11171.
8.34. ^мо(87О;92О) = Ф*
920-1000-0,9
, -Ф*
71000-0,9-0,1 J
870-1000-0.9
71000-0,9 0,1/
8.35. Воспользоваться формулой:
---т,где
п е
81
С-81, е = 4 п находим из неравенства. 1--------—>0,95; и «102.
226
8,36. 459 мест, если посетители приходят па.лми и 450 мест, если
посетители приходят по одному. 8.37. P2JO(25; 250)~ 0,0314
т 1 |
<0,01 находим т: 95<лг<105.
500 5J
8.38. Из неравенс! ва
(95; 105) - Ф * 105-500•- 5 -О* ( И 95-500 - 5 ч 0,4246.
к \ 1 4 500-- •- 5 5 J к N 1 4 500 -- 5 5,
8.39. Р(Л)=Ф*(-«:)-Ф*
Р(Л) = Ф*
50 40
<40
-ф*
40 - 40
* 1-05-0,5;
. <40 )
30 40
<40
*0,8858. 8.40. и-753,
227
Учебное издание
Булдык Георгий Митрофанович
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕС КОЙ СТАТИСТИКЕ
Для практической и самостоятельной работы
студентов экономических специальностей
Редактор Д. К. Васильев
Компьютерная верстка А. В. Липницкий
Корректор Р. А Кузнецова
11одписано в печать 2 4.08.2009.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная Гарнитура «Таймс».
Печать офсетная. Уч.-изд. л. 13.7. Уел. печ. л. 8,0.
Тираж 1000 экз. Заказ №557.
О( >О «ФУ Аи1,форм».
ЛИ № 02330/0549453 от 8.01.2009.
Ул. Кульман, 2 220.220013, Минск.
Отпечатано в типографии ПЧУП «Бизвесофсет»
ЛИ № 02330/0150481 от 25 02.2009
Пр-т Независимости, 95 - 3, 220043, г Минск.
По вопросам приобретения книги обращаться по тел. в Минске;
(8-017)292-71-62.
E-mail; EUAinform@tut.by