Б. Г. ВОЛОДИН, М. П. ГАНИН, И. Я. ДИНЕР, Л. Б. КОМАРОВ, А. А. СВЕШНИКОВ, К. Б. СТАРОБИН
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ И ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Под общей редакцией заслуженного деятеля науки и техники РСФСР, доктора технических наук профессора А. А.
СВЕШНИКОВА
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. Случайные события.
§1	. Соотношения между случайными событиями
§2	. Непосредственный подсчет вероятностей
§3	. Геометрические вероятности
§4	. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
§5	. Теорема сложения вероятностей
§6	. Формула полной вероятности
§7	. Вычисление вероятностей гипотез после испытания (формула Байеса)
§8	. Вычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях
§9	. Полиномиальное распределение. Рекуррентные формулы. Производящие функции
Глава II. Случайные величины
§10	. Ряд, многоугольник и функция распределения ве роятностей дискретных случайных величин
§11	. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
§12	. Числовые характеристики дискретных случайных величин
§13	. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
§14	. Закон Пуассона
§15	. Закон нормального распределения
§16	. Характеристические функции
§17	. Вычисление полной вероятности и условной плотности вероятности после опыта для гипотез, являющихся возможными значениями непрерывных случайных величин
Глава III. Системы случайных величин
§18	. Законы распределения и числовые характеристики систем случайных величин
§19	. Закон нормального распределения на плоскости и в пространстве. Многомерное нормальное распределение
§20	. Законы распределения подсистем непрерывных случайных величин и условные законы распределения
Глава IV. Числовые характеристики и законы распределения функций случайных величин
§21	. Числовые характеристики функций случайных величин
§22	. Законы распределения функций случайных величин
§23	. Характеристические функции систем и функций случайных величин
§24	. Композиция законов распределения
§25	. Линеаризация функций случайных величин
§26	. Композиция двумерных и трехмерных нормальных законов распределения с использованием понятия векториальных отклонений
Глава V. Энтропия и информация
§27	. Энтропия случайных событий и величин
§28	. Количество информации
Глава VI. Предельные теоремы
§29	. Закон больших чисел
§30	. Теоремы Муавра-Лапласа и Ляпунова
Глава VII. Корреляционная теория случайных функций
§31	. Общие свойства корреляционных функций и законов распределения случайных функций
§32	. Линейные операции над случайными функциями
§33	. Задачи о выбросах
§34	. Спектральное разложение стационарных случайных функций
§35	. Вычисление вероятностных характеристик случайных функций на выходе динамических систем
§	36. Оптимальные динамические системы
§	37. Метод огибающих
Глава VIII. Марковские процессы
§	38. Цепи Маркова
§	39. Марковские процессы с дискретным числом состояний
§	40. Непрерывные марковские процессы
Глава IX. Методы обработки результатов наблюдений
§41	. Определение моментов случайных величин по результатам опытов
§42	. Доверительные вероятности и доверительные интервалы
§43	. Критерии согласия
§44	. Обработка результатов наблюдений по способу наименьших квадратов
§45	. Статистические методы контроля качества
§46	. Определение вероятностных характеристик случайных функций по опытным данным
Ответы и решения
Используемые таблицы со ссылками на литературу
Литература
ГЛАВА I СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
§ 1.	Соотношения между случайными событиями
Основные формулы
Случайные события обозначаются латинскими буквами А, В, С, ..., U, V, причем U—достоверное, а V—невозможное события. Равенство А = В означает, что появление одного из этих событий влечет за собой появление другого. Произведение событий A vi В есть событие С = АВ, состоящее в наступлении обоих событий А и В. Сумма событий А и В есть событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В. Разность событий Au В есть событие С = А—В, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит. Противоположное событие обозначается той же буквой, но с чертой сверху. Например, А и А - противоположные события, причем А означает, что А не происходит. События А и В несовместны, если АВ=У. События Ak (к;= 1, 2, ... , п) образуют полную группу, если в результате опыта обязательно должно произойти я хотя бы одно из них;
при ЭТОМ *2 Аа = и.
Решение типовых примеров
Пример 1.1. При каких событиях А и В возможно равенство А+В = А ?
Решение. Сумма А+В представляет собой событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В. Если А+ В = А, то событие А включает в себя событие В Например, если событие А — попадание в область Sa, а В — в Sb, то область Sb расположена в Sa
Аналогично решаются задачи 1.1—1.3 и 1.8.
Пример 1.2. Из таблицы случайных чисел наугад выбраны два числа. События АиВ соответственно означают, что выбрано хотя бы одно простое и хотя бы одно четное число. Что означают события АВ и А+В?
Решение. Событие АВ означает наступление событий АиВ, т. е. из двух выбранных чисел одно простое, а другое четное. Событие А+В означает наступление хотя бы одного из событий А и В, т. е. среди двух выбранных чисел имеется хотя бы одно простое или хотя бы одно четное число или одно из этих чисел простое, другое четное.
Аналогично решаются задачи 1.4—1.7.
Пример 1.3. Доказать, что АВ = А А-В и С-4-В = СО. Доказательство. Если положить С = А и В = В. то второе равенство . записывается в виде АА- В = АВ, т. е. А 4- В — АВ Поэтому достаточно доказать справедливость только первого равенства.
Событие АВ означает не появление событий А и В. Про
тивоположное событие АВ означает что хотя бы одно из событий А или В имеет место, а это сумма событий А + В.
Поэтому АВ = А 4- В. Доказательство этого равенства можно
Ь,
также произвести геометрически, связав каждое событие с попаданием точки в соответствующую область.
Аналогично решается задача 1.9. Доказанные в примере 1.3 равенства используются при решении задач 1.10—1.14.
Пример 1.4. Электрическая цепь между точками М и N составлена по схеме, приведенной на рис. 1. Выход из строя элемента а—событие А, элемента —событие В^ (к = 1, 2, 3).
Записать выражения для событий С и С, если С означает разрыв цепи.
Решение. Разрыв цепи произойдет в том случае, если выйдет из строя элемент а или все три элемента В^ (к = 1, 2, 3). Эти события соответственно равны А и В1В2В3 Поэтому С = А + В1В2В3
Используя равенства из примера 1.3, находим
С — А + В\В2В3 == АВ'В.Ръ — А	+ В2+#з)
Аналогично решаются задачи 1.16—1.18.
Задачи
1.1.	Что означают события А+А и АА?
1.2.	Когда возможно равенство АВ=А? .
1.3.	Мишень состоит из десяти кругов. Ограниченных концентрическими окружностями с радиусами Гк (к=1, 2, .... 10), причем ri < гг < ... < гю- Событие А^ попадание в круг радиуса
tk (к=1, 2,.... 10). Что означают события
6	' W
B=^Ak,	С = П^?
1.4.	События: А - хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, В -все приборы доброкачественные. Что означают события: а) А+В; б) АВ?
1.5.	События А, В и С означают, что взято хотя бы по одной книге из трех различных собраний сочинений, каждое из которых содержит по крайней мере три тома. События As, и В^ означают соответственно, что из первого собрания сочинений взяты s, а из второго к томов. Что означают события: а) А+В+С; б) АВС; в)А]+Вз, г) А2В2 д) (А]Вз+ В]Аз)С
1.6.	Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А — выбранное число делится на 5; событие В - данное число оканчивается нулем. Что означают события А — В и АВ?
1.7.	Событие А—хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие В—бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события А и В??
1.8.	Упростить выражение Л — (В 4- С) (В 4- С) (В 4- С).
1.9.	Когда возможны равенства: а) А 4- В = А;; б) АВ — А;;
в) Д4-В = ЛВ?
1.10.	Найти случайное событие X из равенства
Х-У-АЛ-Х-У-А^В.
1.11.	Доказать, Что АВ -4- АВ 4- АВ = АВ.
1.12.	Доказать эквивалентность и справедливость дующих двух равенств:
п	И  	п	п
fe=i	*=1	»=1
1.13.	Совместны ли события А и А Ч-В?
1.14.	Доказать, что события А, АВ и Л-4-В образуют полную группу.
1.15.	Два шахматиста играют одну партию. Событие А— выиграет первый игрок, В—выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?
1.16.	Машинно-котельная установка, состоит из двух котлов и одной машины. Событие А—исправна машина, событие
В к (к = 1, 2)—исправен к-й котел. Событие С означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправны машины и хотя бы один котел. Выразить события С и С через А и В^.
1.17.	Судно имеет одно рулевое устройство, четыре котла и две турбины. Событие А означает исправность рулевого устройства. В/о (к =1, 2, 3, 4)—исправность к-го котла, а С,
(j = 1, 2)—исправность j-й турбины. Событие D—судно управляемое, что будет в том случае, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразить события D и D через А и В^.
1.18.	Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. События: Ah (к = 1, 2) — исправен к-й блок первого типа, Bj (/=1,2, 3)—исправен j-й блок второго типа. Прибор работает, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие С, означающее работу прибора, через А^ и Bj.
§ 2.	Непосредственный подсчет вероятностей
Основные формулы
Если результат опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместны и равновозможны. то вероятность события равна отношению числа т благоприятствующих этому событию исходов опыта к общему
__ т
числу п всех возможных исходов, т. е , Под равновозможными понимаются события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одно перед другим.
Решение типовых примеров
Пример 2.1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на
тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две окрашенные стороны.
Решение. Всего кубиков п =1000. Куб имеет 12 ребер, на каждом из которых по 8 кубиков с двумя окрашенными
______________________________________ т сторонами. Поэтому от m = 12 • 8= 96, р ~ =0,096.
Аналогично решаются задачи 2.1—2.7.
Пример 2.2. Определить вероятность того, что последние две цифры у куба наудачу взятого целого числа Nравны единице1).
Решение. Представим Nв виде N= a+10b+..., где а, Ь, ...-произвольные числа, могущие принимать любые значения от 0 до 9 включительно. Тогда № = а3 + 30а2Ь+.... Отсюда видно, что на две последние цифры у N3 влияют только значения а и Ь. Поэтому число возможных значений п = 100. Так как последняя цифра у 7V3 равна единице, то имеется одно благоприятствующее значение а = 1. Кроме того, должна быть № — 1
единицей последняя цифра 10 т. е. должно оканчиваться на единицу произведение ЗЬ. Это будет только при Ъ = '1. Таким образом, благоприятствующее значение единственное (а = 1, b = 7), поэтому р = 0,01.
Аналогично решаются задачи 2.8—2.11.
Пример 2.3. В партии из п изделий к бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки т изделий ровно / окажутся бракованными.
Решение. Число возможных способов взять т изделий из п равно . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа к бракованных изделий взято / (это можно сделать С* способами), а остальные т - I изделий не бракованные, т. е. они взяты из общего числа п — к (количество способов равно Поэтому число благоприятствующих
k^n-k. Искомая вероятность будет
Аналогично решаются задачи 2.12—2.20.
Пример 2.4. Из полного набора костей домино наудачу берутся пять костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой.
Решение. Найдем вероятность q противоположного события. Тогда р = 1- q. Вероятность того, что все взятые пять костей не содержат шестерки (см. пример 2.3), равна
rOzxj	z-.5
'-'Q1
? = -=L	=0.793
с28 поэтому	ъ28
Аналогично переходом к противоположному событию решаются задачи 2.21, 2.22.
Задачи
2.1.	Лотерея выпущена на общую сумму п рублей. Цена одного билета г рублей. Ценные выигрыши падают на т
билетов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет.
2.2.	Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую также взятую наудачу кость домино можно приставить к первой.
2.3.	В колоде 36 карт четырех мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлеченные карты одной масти.
2.4.	Буквенный замок содержит на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на шесть секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.
2.5.	Черный и белый короли находятся соответственно на первой и третьей горизонталях шахматной доски. На одно из незанятых полей первой или второй горизонтали • наудачу ставится ферзь. Определить вероятность того, что образовавшаяся позиция матовая для черного короля, если положения королей равновозможны на любых полях указанных горизонталей.
2.6.	В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 коп. и семь монет по 3 коп. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета, оказавшаяся монетой в 20 коп. Определить вероятность того, что и первая извлеченная монета имеет достоинство в 20 коп.
2.7.	Из партии деталей, среди которых п доброкачественных и т бракованных, для контроля наудачу взято s штук. При контроле оказалось, что первые к из s деталей доброкачественны. Определить вероятность того, что следующая деталь будет доброкачественной.
2.8.	Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое число N при а) возведении в квадрат; б) возведении в четвертую степень; в) умножении на произвольное целое число даст число, оканчивающееся единицей.
2.9.	На десяти одинаковых карточках написаны различные числа от нуля до девяти. Определить вероятность того, что наудачу образованное с помощью данных карточек а) двузначное число делится на 18; б) трехзначное число делится на 36.
2.10.	Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.
2.11.	Десять книг на одной полке расставляются наудачу, Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом. 2.12. На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12. и 13. Наугад берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима.
2.13.	Имеется пять отрезков, длины которых равны; соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность того, что с помощью взятых наудачу трех отрезков из данных
пяти можно построить треугольник.
2.14.	Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов: а) один выигрышный; б) оба выигрышных; в) хотя бы один выигрышный.
2.16.	Обобщение задачи 2.14. Имеются п + т билетов, из которых п выигрышных. Одновременно приобретаются к билетов. Определить вероятность того, что среди них s выигрышных.
2.16.	В генуэзской лотерее разыгрываются девяносто номеров, из которых выигрывают пять. По условию можно ставить ту или иную сумму на любой из девяноста номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти номеров. Какова вероятность выигрыша в каждом из указанных пяти случаев?
2.17.	Для уменьшения общего количества игр 2п команд спортсменов разбиты на две подгруппы. Определить, вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся, а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.
2.18.	В заде, насчитывающем п+к мест, случайным образом занимают места п человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные т [ п мест.
2.19.	Из колоды карт (52 карты) наугад извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.
2.20.	Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются три карты. Определить вероятность того, что сумма очков этих карт равна 21, если валет составляет два очка, дама - три, король -четыре, туз - одиннадцать, а остальные карты -соответственно шесть, семь, восемь, девять и десять очков.
2.21.	Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю три билета по три рубля и два билета по пяти рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что: а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость; б) все три билета стоят семь рублей.
2.22.	Очередь в кассу, где производится продажа билетов по 5 коп, состоит из 1п человек. Какова вероятность того, что ни одному из покупателей не придется ждать сдачи, если перед продажей билета первому покупателю из очереди у кассира было только 2т пятаков, а получение платы за каждый билет равновозможно как пятаком, так и гривенником?
§ 3.	Геометрические вероятности
Основные формулы
Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания в любую часть области пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.
Если геометрическая мера всей области равна S, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть Sb, то вероятность события равна
Области могут иметь любое число измерений.
Решение типовых примеров
Пример 3.1. На горизонтальной плоскости вдоль прямой АВ через интервал I расположены оси одинаковых вертикальных Цилиндров с радиусом основания г. Под углом q к прямой бросается шар радиуса R. Определить вероятность столкновения шара с цилиндром, если пересечение линии движения центра шара с прямой АВ равновозможно, в любой точке1).
Решение. Пусть х — расстояние от центра шара до ближайшей линии, проходящей через центр цилиндра параллельно направлению перемещения центра шара: Возможные значения х определяются условиями (рис. 2)
0< jcC-yZsing1.
Рис. 2.
Столкновение шара с цилиндром произойдет в том случае, если О < х ^.R-\-r.
Искомая вероятность равна отношению длин отрезков, на которых находятся благоприятствующие и все возможные значения х. Поэтому
2(Я4-г)
I sin q
1
при R-A-r
при /?+r>-^sin^.
Аналогично решаются задачи 3.1 - 3.4 и 3.24. Пример 3.2. На одной дорожке магнитофонной ленты длиной 200 м записано сообщение на интервале 20 м, на второй - записано аналогичное сообщение. Определить вероятность того, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи, если начала обоих сообщений равновозможны в любой точке от 0 до 180 м.
Решение. Пусть х и у - координаты начала записей, причем х >у. Так как 0 < х < 180; 0<у < 180 и х / у, то областью возможных значений х и у является треугольник с катетами по 180 м. Площадь этого треугольника
с___JL. 1802 л2
2	‘ Найдем область значений хну, благо-
приятствующих указанному событию. Для того чтобы получилась непрерывная запись, необходимо выполнение неравенства х — у [ 20 м. Чтобы интервал записи был не менее 25 м, должно быть х - у / 5 м. Кроме того, для получения непрерывной записи на интервале от 60 до 85 м должно быть
45 м < у < 60 м. 65 м < х < 80 м.
Проведя границы указанных областей, получим, что благоприятствующие значения х и у заключены в треугольнике, с __ Л. 152 л2
площадь которого Б 2 (рис. 3). Искомая вероятность равна отношению площади SB, попадание в которую благоприятствует данному событию, к площади области S возможных значений х и у, т. е.
Рис. 3.
Аналогично решаются задачи 3.5—3.15. .
Пример 3.3. В любые моменты времени промежутка Т равновозможны поступления в приемник двух сигналов.
Рис. 4.
Рис. 4.
Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше т. Определить вероятность того, что приемник будет забит.
Решение. Пусть х и у — моменты поступления сигналов в приемник.
Областью возможных значений х, у является квадрат площадью Т2 (рис. 4).
Приемник будет забит, если | х -у | [ т. Данная область лежит между прямыми х-у = тих-у = -т. Ее площадь
SB = S-(T —г)2,
поэтому
Аналогично решаются задачи 3.16—3.19. Пример 3.4. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше 2/9?
/
3	3
Рис. 5.
Решение. Пусть х и у—взятые числа. Их возможные значения 0[х[ 1 ; 0[у[1, что на плоскости соответствует квадрату с площадью S=1. Благоприятствующие значения х удовлетворяют условиям:
х + у [ 1 и ху [ 2/9. Граница х+у=1 делит квадрат пополам, причем область х + у [ 1 представляет собой нижний треугольник (рис, 5). Вторая граница ху = 2/9 является гиперболой. Абсциссы точек пересечения этих границ: xi = 1/3 и х2 = 2/3. Величина благоприятствующей площади
2/3	2/3
O I , Г Л 1 , 2 Г dx 1 . 2 . Q ydx=^ + -§j —=3' + vln2-1/3	1/3
SB
T,	»=-£ = 0,487.
Искомая вероятность r s
Аналогично решаются задачи 3.20—3.23.
Задачи
3.1.	В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L, равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее /.
3.2.	На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.
3.3.	В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?
3.4.	Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится отрезок длиной 2h, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину отрезка с центром диска, перпендикулярна отрезку. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы на отрезок, если расстояние между отрезком и центром диска равно /.
I 3.5. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса г. Расстояния между осями прутьев равны соответственно а и Ь, Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.
3.6.	В средней части эллипса с полуосями а =100 см и Ь=10см симметрично расположен прямоугольник со сторонами 10 и 3 см, большая сторона которого параллельна а. Кроме того, проведены не пересекающиеся с эллипсом, прямоугольником и между собой четыре окружности, диаметр каждой из которых равен 4,3 см.
Определить вероятность того, что:
а)	случайная точка, положение которой равновозможно внутри эллипса, окажется внутри одного из кругов;
б)	окружность радиуса 5 см, построенная вокруг этой точки как около центра, пересечется хотя бы с одной стороной прямоугольника.
3.7.	Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно кг (А=1, 2, 3, 4, 5). Круг радиуса г и два кольца с внешними радиусами Зг и 5г заштрихованы. В круге радиуса 5г наудачу выбрана точка. Определить
вероятность попадания этой точки:
а) в круг радиуса 2г; б) в заштрихованную область.
3.8.	Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой, пересекая пролив за один час. Какова вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено, если с лодки обнаруживают судно в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 мин. до пересечения судном курса лодки, и не позднее, чем через 20 мин. после пересечения судном курса лодки? Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны.
3.9.	На отрезке длиной / наудачу выбраны две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше kl, где 0 < к < 1 ?
3.10.	На отрезке АВ длиной / наудачу поставлены две точки L и М. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке М, чем к точке А.
3.11.	На отрезке длиной / наудачу ставятся две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что из трех получившихся частей отрезка можно построить треугольник.
3.12.	На окружности радиуса R наудачу поставлены три точки А, В, С. Какова вероятность, что треугольник АВС остроугольный ?
3.13.	Какова вероятность, что из трех взятых наудачу отрезков длины не более / можно построить треугольник?
3.14.	На отрезке АВ длиной / наудачу поставлены две точки MuN Определить вероятность того, что длины каждого из трех получившихся отрезков не превосходят заданной величины
a	•
\	и /
3.15.	К автобусной остановке через каждые четыре минуты подходит автобус линии А и через каждые шесть минут— автобус линии В. Интервал времени между моментами прихода автобуса линии А и ближайшего следующего
автобуса линии В равновозможен в пределах от нуля до четырех минут.
Определить вероятность того, что: а) первый подошедший автобус окажется автобусом линии А; б) автобус какой-либо линии подойдет в течение двух минут.
3.16.	Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго - два часа.
3.17.	Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.
3.18.	Два судна в тумане: одно идет вдоль пролива шириной L, а другое курсирует без остановок поперек этого пролива. Скорости движения судов соответственно равны vj и V2 .Второе судно подает звуковые сигналы, которые слышны на расстоянии d < L. Определить вероятность того, что на первом судне услышат сигналы, если пересечение курсов судов равновозможно в любом месте пролива.
3.19.	Стержень длиной /=200 мм наудачу ломается на части. Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня
между точками излома будет не более 10 мм, если точек излома а) две, б) три, причем излом стержня равновозможен в любом месте.
3.20.	На поверхности сферы радиуса R. произвольно выбираются две точки. Какова вероятность, что проходящая через них дуга большого круга стягивает угол, меньший
а (а < л)?
3.21.	Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60° северной и 60° южной широты. Считая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30° северной широты.
3.22.	Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии L. Найти вероятность того, что наудачу брошенная игла длиной I (I < L.) пересечет какую-нибудь прямую (задача Бюффона).
8.23. Определить вероятность того, что корни а) квадратного х2+2ах+Ь=0, б) кубического х3+Зах+2Ъ=0 уравнений вещественны, если равновозможны значения коэффициентов в прямоугольнике |а| [ п, |6| [ т. Какова вероятность, что при указанных условиях корни квадратного уравнения будут положительными?
8.24. На плоскости независимо друг от друга прямолинейно перемещаются точка А и центр В круга радиуса R. Скорости этих точек постоянны и равны соответственно и и v. В фиксированный момент времени расстояние AB=r (г > R), а угол между линией АВ и вектором v равен р. Считая все направления движения точки А равновозмож-ными, определить вероятность попадания точки А в круг.
§ 4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
Основные формулы
Условной вероятностью Р(Л|В) события А называется вероятность появления этого события, вычисленная в предположении, что имело место событие В. События АиВ независимы, если Р (А | В) = Р (А). Вероятность произведения двух событий определяется по формуле
Р (АВ) = Р (А) Р (В | А) = Р (В) Р (А | В), которая обобщается на произведение п событий:
/ ”	\	/ п-l X
р Пл =Р(А)РИ2|А)РИзИм2)••• р ЛЫ
События Л у, А 2,Ап независимые, если для любого т
(т=2,3, ...,п) и любых kj (j=l,2,...,n), 1[ ki< к2 <...< кт\_ п
(т \	1п-
Решение типовых примеров
Пример 4.1. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательнио соединенных элементов. Определить вероят
ность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3; 0,4 и 0,6. Как изменится искомая вероятность, если первый элемент не выходит из строя?
Решение. Искомая вероятность равна вероятности того, что не выйдут из строя все три элемента. Пусть событие означает, что к-й элемент не выйдет из строя (к =1, 2, 3). Тогдар =Р (А1А2А3). Так как события независимы, то р = Р(Лу) Р(А2) Р(А3) = 0,7 • 0,6 • 0,4 = 0,168. Если первый
элемент не выходит из строя, то р = Р(А2 Аз) = 0,24.
Аналогично решаются задачи 4.1—4.10.
Пример 4.2. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что выбранное изделие небракованное, а событие В—выбранное изделие первосортное.
Дано; Р (А) =1—0,04= 0,96, Р (В | А) =0,75.
Искомая вероятностьр = Р (АВ) = 0,96 • 0,75 = 0,72.
Аналогично решаются задачи 4.11—4.19.
Пример 4,3. Партия .из ста деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если она содержит 5% неисправных деталей?
Решение. Найдем вероятность q противоположного события , А которое заключается в том, что партия деталей будет принята. Данное событие является произведением пяти событий
А = Л1Л2Л3Л4Л5, где Аъ (к =1, 2, 3, 4, 5) означает, что к-я проверенная деталь доброкачественная.
Вероятность события А/P (А/) = 95/100 так как всего деталей 100, а исправных 95. После осуществления события Л у деталей останется 99, среди которых исправных 94, по этому Р(А2\ Аз)=94/99. Аналогично Р (А)А/А2)==99/98
Р (Аа\ АХА2А^ —И Р{А3\ А1А2А3А^ ~
По общей формуле находим
__ 95	94 93 92 91
4 ~ 100 ’ 99 ’ 98 ‘ 97 '96 — °’77-
Задачи
4.1.	Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Определить вероятность хотя бы одного попадания в мишень.
4.2.	Вероятность выхода из строя к-го блока вычислительной машины за время ТравнарК (к=1,2,п). Определить вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени хотя бы одного из п блоков этой машины, если работа всех блоков взаимно независима.
4.3.	Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт.
4.4.	Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.
4.5.	Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента К или двух элементов Kf, и К2, которые выходят из строя независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,3; 0,2 и 0,2. Определить вероятность разрыва электрической цепи.
4.6.	Работа прибора прекратилась вследствие выхода из строя одной лампы из общего числа N. Отыскание этой лампы производится путем поочередной замены каждой лампы новой. Определить вероятность того, что придется проверять п ламп, если вероятность выхода из строя каждой лампы равна р.
4.7.	Сколько нужно взять чисел из таблицы случайных чисел, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что среди них хотя бы одно число четное?
4.8.	Вероятность того, что в результате четырех независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз, равна половине. Определить вероятность появления события при одном опыте, если она во всех опытах остается неизменной.
4.9.	В круг радиуса R вписан равносторонний треугольник. Какова вероятность того, что четыре наугад поставленные в данном круге точки окажутся внутри треугольника?
4.10.	Определить вероятность того, что написанная наудачу простая дробь несократима (задача Чебышева).
4.11.	События А и В несовместны, Р(Л) не =0 и Р (В) не = 0. Зависимы ли данные события?
4.12.	Вероятность того, что в электрической цепи напряжение превысит номинальное значение, равна pi. При повышенном напряжении вероятность аварии прибора — потребителя электрического тока равна р2. Определить вероятность аварии прибора вследствие повышения напряжения.
4.13.	На участке АВ для мотоциклиста-гонщика имеются
12 препятствий, вероятность остановки на каждом из которых равна 0,1. Вероятность того, что от пункта В до конечного пункта С мотоциклист проедет без остановки, равна 0,7. Определить вероятность того, что на участке АС не будет ни одной остановки.
4.14.	Три игрока играют на следующих условиях. Сначала против первого последовательно ходят второй и третий игроки. При этом первый игрок не выигрывает, а вероятности выигрыша для второго и третьего игроков одинаковы . и равны 0,3. Если первый игрок не проигрывает, то он делает по одному ходу против второго и третьего игроков и, выигрывает у каждого из них с вероятностью 0,4. После этого игра заканчивается. Определить вероятность того, что в результате такой игры первый игрок выиграет хотя бы у одного партнера.
4.15.	Вероятность попадания в первую мишень для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения, обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.
4.16.	Детали могут быть изготовлены с применением двух технологий: в первом случае деталь проходит три технические операции, вероятности получения брака при каждой из которых равны соответственно 0,1, 0,2 и 0,3. Во втором случае имеются две операции, вероятности получения брака при которых одинаковы и равны 0,3. Определить, какая технология обеспечивает большую вероятность получения первосортной продукции, если в первом случае для доброкачественной детали вероятность получения продукции первого сорта равна 0,9, а во втором 0,8.
4.17.	Вероятности того, что любая деталь окажется бракованной в результате механической и термической обработки, равны соответственно pi и р2 Вероятности того, что брак является неустранимым, соответственно равны рз и р4.
Определить: а) какое количество деталей необходимо взять после механической обработки, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что хотя бы одна из них будет сдана доброкачественной в термическую обработку с учетом возможности устранения брака; б) вероятность того, что хотя бы одна из трех деталей будет иметь неустранимый брак после прохождения сначала механической, а затем термической обработки.
4.18.	Показать, что если условная вероятность Р(Л|7?) больше безусловной вероятности Р (А), то и условная вероятность Р (В | А) больше безусловной вероятности Р (В).
4.19.	Мишень состоит из двух концентрических кругов с радиусами кг и /пг, где к < п. Считая равновозможным попадание в любую часть круга радиуса пг, определить вероятность того, что при двух выстрелах будет одно попадание в круг радиуса кг.
4.20.	С помощью шести карточек, на которых написано по одной букве, составлено слово «карета». Карточки перемешиваются, а затем наугад извлекаются по одной. Какова вероятность, что в порядке поступления букв образуется слово
«ракета»?
4.21.	Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.
Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра нечетная?
4.22.	В лотерее п билетов, из которых т выигрышных. Какова вероятность выиграть, имея к билетов?
4.23.	В лотерее из сорока тысяч билетов ценные выигрыши падают на три билета. Определить: а) вероятность получения хотя бы одного ценного выигрыша на тысячу билетов; б) сколько необходимо приобрести билетов, чтобы вероятность получения ценного выигрыша была не менее 0,5.
4.24.	По займу ежегодно разыгрываются шесть основных тиражей и один дополнительный, происходящий после основного пятого. Из 100 000 серий в каждом основном тираже выигрывают 170 серий, а в каждом дополнительном—230 серий. Найти вероятность выигрыша на одну облигацию за первые десять лет: а) в каком-либо тираже; б) в дополнительном тираже; в) в основном тираже.
4.25.	Имеются четыре бракованных изделия: на одном повреждена окраска, на другом имеется вмятина, на третьем — зазубрины, а на четвертом - одновременно все три указанных дефекта. Пусть А, В, С—события, заключающиеся в том, что у первого наудачу взятого изделия повреждена окраска (А), имеется вмятина (В) или имеются зазубрины (С). Являются ли данные события независимыми попарно и в совокупности?
4.26.	Пусть Ai Аг, ..., Ап совокупность попарно независимых событий. Всегда ли условная вероятность появления любого события, вычисленная в предположении, что какие-либо другие события из этой совокупности произошли, равна безусловной вероятности этого события?
4.27.	Квадрат горизонтальными линиями разделен на п одинаковых полос. В каждую из них бросается точка, положение которой равновозможно в любом месте полосы. Затем аналогично предыдущему проводят п — 1 вертикальных линий. Определить вероятность того, что в каждой вертикальной полосе будет только по одной точке.
4.28.	В обществе из 2п человек одинаковое число мужчин и женщин. Места за столом занимаются наудачу. Определить вероятность того, что два лица одного пола не займут места рядом.
4.29.	Общество, состоящее из пяти мужчин и десяти женщин, наудачу разбивается на пять групп по три человека. Найти вероятность того, что в каждой группе будет по одному мужчине.
4.30.	В урне имеются п+т одинаковых шаров, из которых п белого, а т черного цвета, причем mln. Производятся подряд без возвращения п извлечений по два шара. Определить вероятность того, что каждый раз извлекаются пары шаров разного цвета.
4.31.	В урне имеются п шаров с номерами от 1 до п. Шары
извлекаются наудачу по одному без возвращения. Какова вероятность, что при к первых извлечениях номера шаров совпадут с номерами извлечений-?
4.32.	В урне имеются два шара — белый и черный. Производятся извлечения по одному шару до тех пор, пока не появится черный, причем при извлечении белого шара в урну возвращается этот шар и добавляется еще два белых шара. Определить вероятность того, что при первых пятидесяти опытах черный шар не будет извлечен.
4.33.	В очереди за билетами стоимостью в 5 руб. стоят п+т человек, из которых п лиц имеют деньги пятирублевого достоинства, а т (т[п+\)—десятирублевого. Каждый покупает только один билет. В кассе до продажи билетов денег нет. Какова вероятность, что никому из очереди не придется ожидать сдачи?
4.34.	Условия и вопрос задачи такие же, как и в 4.33, но билет стоит один рубль, а покупатели имеют деньги рублевого (п человек) и трехрублевого достоинства (т человек), причем 2m[n+l-
4.35.	Баллотируются два кандидата, причем за первого в урну опущено п бюллетеней, а за второго т бюллетеней (п > т). Какова вероятность того, что в ходе подсчета бюллетеней число подсчитанных голосов, поданных за первого, все время будет больше числа голосов, поданных за второго?
§ 5. Теорема сложения вероятностей
Основные формулы
Вероятность суммы двух событий определяется по формуле Р(А+В)=Р(А)+Р(В) -Р(АВ).
которая обобщается на сумму любого числа событий
I п \	11	л
р 2^ = 2 Р(А)-3 .2 W/)+
+ S 2 2 РИИЛ)-—+(-оя" Р ПЛ)
Й=1j=k+li=j+l	'*~s	'
Для несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.
/ п \ п
Р 2 Л = 2 PW-
\.й=1	/	й=1
Решение типовых примеров
Пример 5.1. Определить вероятность того, что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается бракованных изделий не более одного из пятидесяти.
Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что при испытании не получено ни одного бракованного изделия, а через В—событие, состоящее в том, что получено только одно бракованное изделие. Искомая вероятность р = Р (А +В). События АиВ несовместны, поэтому р = Р(А)+Р(В).
Из 100 изделий 50 можно выбрать с?оо способами. Из 95 небракованных изделий 50 можно выбрать Сэз способами.
Поэтому
Р(Л)
р50 ° 95
z-*50
ь 100
Аналогично
Р(В)
.. « fSO ° 100
Тогда
<-•50
« °95
Р Г5О
^100
Г>1г>49
Ь5Ь95
Г 50
G100
47-37
99-97
= 0,181
Аналогично решаются задачи 5.1—5.12.
Пример 5.2. Электрическая цепь между точками Л/ и А составлена по схеме, приведенной на рис. 6. Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятности (табл.1).
Таблица 1
Элемент			Л,	Л2	Дэ
Вероятность	0,6	0,5	0,4	0,7	0,9
Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.
Решение. Обозначим через А$= 1,2) событие, состоящее в выходе из строя элемента Kj через А — выход
Рис. 6.
из строя хотя бы одного элемента Kj, а через В— выход из строя всех трех элементов Д (7=1, 2, 3). Тогда искомая вероятность
Р = Р (А+ В) = Р (А) + Р (В) - Р (А) Р (В). Так как Р(Л) = Р<ЛР + Р(Л) — P(Aj) Р(Д) = 0.8.
Р (В) = Р (Д) Р (Д) Р (Д) = 0,252, то р = 0,85.
Аналогично решаются задачи 5.13—5.16.
Пример 5.3. Появление события Л равновозможно в любой момент промежутка времени Т. Вероятность того, что событие А за этот промежуток времени произойдет, равна р. Известно, что за время t <.Тданное событие не произошло. Определить вероятность Р того, что событие А произойдет в оставшийся промежуток времени.
Решение. Вероятность р появления события за время Т равна вероятности (t/p) р появления данного события за время t
(1—— 1
плюс произведение вероятности ' т / того что событие не произойдет за время t, на условную вероятность Р
появления события за оставшееся время, если раньше оно не произошло. Таким образом, имеет место равенство
Отсюда находим
Пример 5.4. В урне имеются п белых, m черных и / красных шаров, которые извлекаются наудачу по одному:
а) без возвращения; б) с возвращением после каждого извлечения. Определить в обоих случаях вероятности того, что белый шар будет извлечен раньше черного.
Решение. Пусть р) — вероятность того, что белый шар будет извлечен раньше черного, a Pj—вероятность того, что черный шар будет извлечен раньше белого.
Вероятность Рц является суммой вероятностей извлечения белого шара сразу, после извлечения одного красного, двух красных и т. д. Таким образом, можно записать в случае, когда шары не возвращаются,
п
,______l __________n__________I
' «4-m4-z «-i-ot-i-z —1 '
l__________Z —1___________n
—1 n-{-tn-{-l—2
а при возвращении шаров
p -__ n________I_____in_____। _____Lz?----1_
1 n -f- tn 4-1 ’ (n 4- m 4- Z)2 ' (n 4- + O’
’ ' ' ’	n-^-m
Для получения вероятностей Рд в предыдущих формулах нужно произвести замену п нат, ат пап.. Отсюда следует, что в обоих случаях Pi: Рд = п : т. Так как, кроме того, Pi + Рд = 1, то искомая вероятность при извлечении
р п
шаров без возвращения также равна 1	п-{-т ч Аналогично
решаются задачи 5.23—5.27.
Пример 5.5. Некто написал п писем, запечатал их в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес.
Решение. Пусть событие состоит в том, что на к-м конверте написан правильный адрес (А=1, 2,..., п).
p = p('£lAlt}
Искомая вероятность '*=1 /. События совместны;
\ й=1 /
при любых к, j, i... имеют место равенства:
Р(Л*) = 1 =	1)! ,
4 * п	п!
Р (ЛкА}) = р (АА) р (Aj | ЛА) =	,
\ k=l /
Используя формулу для вероятности суммы п событий, получаем
п — Г1 (л — 1)1 г2 (и —2)!	з (п —3)!
р-сл—-------Сл—----------------
При больших пр ~ 1-е'7.
Аналогично решаются задачи 5.32—5.38.
Задачи
6.1. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0,012, 0,010. 0,006 и 0,002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.
5.2.	Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,20, 0,15 и 0,10. Определить вероятность непопадания в мишень.
5.3.	В квадрат, разделенный на и2 одинаковых квадратов, брошен шарик. Вероятность попадания шарика в малый квадрат z-й горизонтальной и j-й вертикальной полос равна ру
V,/=1	/
Определить вероятность попадания шарика в горизонтальную полосу.
5.4,	Две одинаковые монеты радиуса г расположены внутри круга радиуса R, в который наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что эта точка упадет на одну из монет, если монеты не перекрываются.
5.5.	Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама или король)?
5.6.	В ящике имеются 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся шесть монет. Какова вероятность, что в сумме они составят не более одного рубля? 5.7. Известны вероятности событий А и АВ. Найти вероятность
события АВ.
5.8.	Доказать, что из условия .
Р(В|Л) = Р(В|Л)к£=г>
следует независимость событий А и В.
5.9.	Событие В включает в себя событие А. Доказать, что Р(А)[Р(В).
5.10.	В двух урнах находятся шары, отличающиеся только ' цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных j п 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова веро""" \ ность, что оба шара одного цвета?
5.11.	На плоскости проведены две параллельные полосы, ширина которых 10 мм, а расстояние между ними 155 мм-Вдоль прямой, перпендикулярной этим полосам, на расстояниях 120 мм друг от друга расположены центры окружностей радиуса 10 мм. Определить вероятность того, что хотя бы одна окружность пересечет любую из полос, если центры окружностей располагаются на прямой независимо от положения полос.
5.12.	Вдоль дороги на одинаковом расстоянии друг от друга посеяны в одну линию семена п растений. При пересечении дороги пешеходом в неустановленном месте может быть повреждена посадка одного растения с вероятностью р I 1 \
Определить вероятность того, что /и-й пешеход, пересекающий дорогу в неустановленном месте, повредит посадку, если пешеходы пересекают дорогу последовательно и независимо друг от друга.
5.13.	Определить вероятность того, что наудачу выбранное целое положительное число не делится: а) ни на два, ни на три; б) на два или на три.
6.14.	Вероятность получения билета, у которого равны суммы первых и последних трех цифр номера, равна 0,05525.
Какова вероятность иметь такой билет среди двух взятых наудачу, если оба билета: а) имеют последовательные номера;
б)	получены независимо один от другого?
6.15.	Доказать, что при Р(А)=а и Р(В)=Ь будет
Р(Д|В)>
а-\-Ь— 1 Ъ
6.16.	Известно, что Р (X [ 10) = 0,9, Р ( |F| [ 1) =0.95.
Доказать, что при любой зависимости между X и Y для Z= X + Y имеют место следующие неравенства:
P(Z<U)>0,85, Р (Z К 9) < 0,95.
6.17.	Игра между Л и В ведется на следующих условиях:
в результате первого хода, который всегда делает А, он может выиграть с вероятностью 0,3; если первым ходом А не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с вероятностью 0,5; если в результате этого хода В не выигрывает, то А делает второй ход, который может привести к его выигрышу с вероятностью 0,4. Определить вероятности выигрыша для А и для В.
5.18,	Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна р. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.
5.19.	Игрок А поочередно играет по две партии с игроками В и С. Вероятности выигрыша первой партии для В .и С равны 0,1 и 0,2 соответственно; вероятность выиграть во второй партии для В равна 0,3, для С равна 0,4.
Определить вероятность того, что: а) первый выиграет В;
б)	первым выиграет С.	•'
5.20.	Из урны, содержащей п шаров с номерами от 1 до и последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером 2 будет извлечен при втором извлечении.
5.21.	Игрок А поочередно играет с игроками В и С, имея вероятность выигрыша в каждой партии 0,25, и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, сыгранных с каждым игроком. Определить вероятности выигрыша В и С.
5.22.	Вероятность выхода из строя прибора после того, как он применялся к раз, равна G(k). Найти вероятность выхода из строя прибора при его последующих п применениях, если при предшествующих т применениях прибор из строя не вышел.
5.23.	Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.
5.24.	Трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.
5.25.	Вероятность получить очко, не теряя подачи, при игре двух равносильных волейбольных команд равна половине. Определить вероятность получения одного очка для подающей
команды.
5.26.	В урне имеются п белых и т черных шаров. Два игрока последовательно достают по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, пока кто-нибудь из них не достанет белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинающий игру.
5.27.	Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,2, а для второго равна 0,3. Найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй.
5.28.	Доказать справедливость равенства
рМ=1-р^/*
5.29.	Упростить общую формулу для вероятности сумм» событий применительно к случаю, когда совпадают вероят-я. пости произведений.лри равных количествах событий.
5.30.	Доказать, что
f JL.	\	л	л-1 л
р IП л) = 2 Р(дА) —5 3 Р(лАч-л,)+
\Л = 1 / Й=1	А=1/ = А+1	Й ‘	1
л-2 л-1 л
+ 5 3 22 Р (Дй4-л74-лл— ...
k=u=k+i i=j+i я 1 j 1 и
• •• +(-1)л-1Р (1
\й = 1	/
5.31.	Доказать, что для любых событий
справедливо равенство
_ / — „	\	_ п
р Moll Л ==Р(Л0)-2 Р(Л0+ЛА)+
'	л-1	/	Л=1
л-1 Л	.
2 .22 р Мо •+ + др —
й = 1 / = й + 1	'
+ (- 1)" Р fl Ак
\*=о
5.32.	В урне имеется п одинаковых шаров с номерами от 1 до п. Шары извлекаются по одному без возвращения. Определить вероятность того, что хотя бы при одном извлечении номер шара совпадет с номером опыта.
5.33.	В помещении, насчитывающем п пронумерованных мест, п лицам выдали п номерных билетов. Какова вероятность, что ровно т лиц окажутся сидящими на местах, соответствующих номерам билетов, если все места занимаются наудачу?
5.34.	В электропоезд, состоящий из п вагонов, входят к (kin) пассажиров, которые выбирают вагоны наудачу. Определить вероятность того, что в каждый вагон войдет хотя бы один пассажир.
5.35.	Двое играют до победы, причем для этого необходимо первому выиграть т партий, а второму п партий. Вероятность выигрыша каждой партии первым игроком равна р, а вторым
q = 1 —р Определить вероятность выигрыша всей игры первым игроком.
5.36.	Два игрока условились, что выигрыш получит тот, кто выиграет определенное число партий. Игра была прервана, когда первому игроку осталось до выигрыша т, а второму п партий. Как разделить ставку, если вероятность выигрыша партии для каждого из игроков равна половине?
(Задача де Мере).
5.37.	Задача о четырех лгунах. Из четырех человек а, б, в, г один (а) получил информацию, которую в виде сигнала «да» или «нет» сообщает второму (б), второй—третьему (в), третий—четвертому (г), а последний объявляет результат полученной информации таким же образом, как и все другие. Известно, что каждый из них говорит правду только в одном случае из трех. Какова вероятность, что первый из этих лгунов сказал правду, если четвертый сказал правду?
5.38.	На горизонтальной плоскости проведены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии L. На плоскость наудачу брошен выпуклый контур, периметр которого равен s. Найти вероятность того, что контур пересечет одну из параллельных прямых, если диаметр круга, описанного около выпуклого контура, меньше L.
§ 6. Формула полной вероятности
Основные формулы
Вероятность Р (А) появления события А. которое может произойти только совместно с одним из событий Н1,Н2,..., Нп. образующих полную группу несовместных событий (гипотез), определяется формулой полной вероятности
п
Р(Л) = £ Р(ЯА)Р(Д|Я*),
п
2 Р(//А) = 1.
* = 1
Решение типовых примеров
Пример 6.1. Среди п лиц разыгрываются т [ п выигрышей путем случайного извлечения из ящика и билетов. Одинаковы ли шансы выигрыша для любого из играющих? Когда выгоднее тащить билет?
Решение. Обозначим через событие, состоящее в извлечении выигрышного билета после к извлечений билетов из ящика. По результатам предыдущих опытов можно сделать к+\ гипотез. Пусть гипотеза Hks означает, что из к извлеченных билетов выигрышных было s. Вероятности этих гипотез
QS (jk-S
=	(s = 0, 1...k).
причем
P (Hks) — 0, если s > m.
Так как осталось n—к билетов, из которых т—s выигрышных, то при m/s
По формуле полной вероятности находим
* ps^k-s
ч__ V ^т^п-т m — S
Г Ий)	Ск	n — k
s=0	«
где Ст — 0 при s > т.
Данное равенство можно записать также в виде
Имеем
й
л=()
й
Гк-з „л-й-1	1 X1 dsUn~X dk-s№n~m
V-’a-mU — TV Zj
„ dus duk~s s=0
т.е. справедливо равенство
й
VI /'$ хчй—S _/чЙ
XJ bm_iGn_m — Ья_|. 4=0
Искомая вероятность Р(Л^) = т/п при любом к. Таким образом, у всех играющих шансы одинаковы и очередность извлечения не имеет значения.
Аналогично решаются задачи 6.1—6.17.
Пример 6.2. Отмеченный шар с вероятностями р и 1 —р может находиться в первой или во второй урне. Вероятность извлечь отмеченный шар из урны, в которой этот шар находится, равна Р(Р А 1). Как следует распорядиться правом п раз извлекать шары из любой урны, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара была наибольшей, если шар после извлечения возвращается в урну?
Решение. Пусть событие А — извлечение отмеченного шара. Гипотезы: Hi—шар находится в первой урне. Ib—во второй. По условию Р(77/)=р, Р(/?2)=1—Р- Допустим, что из первой урны извлечено т, а из второй п—т шаров. Условные вероятности извлечения отмеченного шара будут
Р(Л|Я7)= 1-1(1 -Р)т
По формуле полной вероятности искомая вероятность Р(А)=р[1-(1 - Pf]+ (1 -р)[1- (1 - Р)™].
Нужно определить т так, чтобы была наибольшей вероятность Р(Л). Дифференцируя Р(Л) по т (для нахождения приближенного значения т, считаем т непрерывным), получаем
аР(Л) dm
_ _ р (1 - Р)т In (1 - Р)+(1 -р) (1 -Р)п~т In (1 -Р).
d^ (А) — q	__ пт ____
Полагая dm приходим к равенству '>1
__ — г	__ а 1 ____F
Р ’ Поэтому должно быть	2 ' 21п(1— Р) ’
Данная формула используется при решении задач 6.18, 6.19.
Задачи
6.1.	Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партия74 одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии.
Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
6.2.	Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.
6.3.	В двух урнах находится соответственно mi и m2 белых и п.1 и П2 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух шаров наудачу берется один. Какова вероятность, что этот шар белый?
6.4.	Имеется п урн, в каждой из которых по т белых и по А черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну и т. д. Определить вероятность извлечения после такого перекладывания белого шара из последней урны.
6.5.	В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9.
Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.
6.6.	Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других — все доброкачественные?
6.7.	Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностямиpi рз^рз, где Р1=рз = 0,25,рз = 0,5.
Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2 и 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
6.8.	Игрок А играет поочередно с двумя партнерами, вероятности выигрыша для которых в первой партии равны соответственно 0,5 и 0,6 и увеличиваются после каждой сыгранной партии на 0,1. Первые две партии выиграл А. Определить вероятность проигрыша А в третьей партии, если
неизвестно, с каким партнером была сыграна первая партий, а ничьи исключены.
6.9.	Характеристика материала, взятого для изготовления продукции, с вероятностями 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,16 и 0,09 может находиться в шести различных интервалах. В зависимости от свойств материала вероятности получения перво сортной продукции равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4;
О 3 и 0,2. Определить вероятность получения первосортной продукции.
6.10.	Пластина из изолятора длиной 100 мм прикрывает две проводящие полосы, идущие перпендикулярно ее длине и имеющие от края пластины границы на расстояниях 20 и 40 мм и соответственно 65 и 90 мм. С центром в точке, положение которой равновозможно в любом месте пластины, просверлено отверстие диаметром 10 мм. Определить вероятность получения электрического контакта с любой из полос, если проводящий контакт приложен сверху к произвольной точке, расположенной на том же расстоянии от основания пластины, что и центр отверстия.
6.11.	Вероятность поступления к вызовов на телефонную станцию за промежуток времени t равна Pt(k). Считая числа вызовов за любые два соседние промежутка времени независимыми, определить вероятность ?2t(s) поступления s вызовов за промежуток времени длительностью 1t.
6.12.	Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5.
6.13.	В сосуд, содержащий п шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном составе шаров по цвету равновозможны?
6.14.	В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.
6.15.	В правом кармане имеются три монеты по 20 коп. и четыре монеты по 3 коп., а в левом—шесть по 20 коп. и три по 3 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 20 коп., если монета берется наудачу.
6.16.	Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
6.17.	В каких случаях, имеет место равенство
Р(Л) = Р(Л|В) + Р(А| В)?
6.18.	В одной из двух урн, в каждой из которых 10 шаров, один шар отмечен. Играющий имеет право последовательно извлечь 20 шаров из любой урны, каждый раз возвращая
извлеченный шар обратно. Как следует вести игру, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара была наибольшей, если вероятность того, что отмеченный шар находится в первой урне, равна 2/3? Чему равна эта вероятность?
6.19.	Для поисков пропавшего самолета выделено десять вертолетов, каждый из которых может быть использован для поисков в одном из двух возможных районов, где самолет может находиться с вероятностями 0,8 и 0,2. Как следует распределить вертолеты по районам поисков, чтобы вероятность обнаружения самолета была наибольшей, если каждый вертолет обнаруживает находящийся в районе поиска самолет с вероятностью 0,2, а поиски осуществляются каждым вертолетом независимо от других? Найти вероятность обнаружения самолета при оптимальной процедуре поисков.
§	7. Вычисление вероятностей гипотез после испытания (формула Байеса)
Основные формула
Вероятность Р (Н^ | А) гипотезы Н^, после того, как имело место событие; А, определяется формулой
Р| л)==
Р(А)
где
Р^) = 2Р(//у)Р(Л|/7.),
а гипотезы Hj, (j=l, 2,п) составляют полную группу несовместных событий.
Решение типовых примеров
Пример 7.1. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3.
Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если; а) принят сигнал «точка»; б) принят сигнал «тире».
Решение. Пусть событие А — принят сигнал «точка», а событие В—принят сигнал «тире».
Можно сделать две гипотезы: Hi—передан сигнал «точка».
Н2—передан сигнал «тире». По условию
Р (Hi) : Р (Н2) =5:3.
Кроме того, Р (Hi) + Р (Н2)=\ .Поэтому Р (Я;) =5/8
Р(Я2) = 3/8 Известно, что
P(4|W1) = |, РИ|Яг)=-5-> 9	2
Р(В|Я1) = -5-	Р(В|Я2) = Т.
Вероятности событий АиВ находим по формуле полной вероятности:
5	3.31
P(4) = -g • 5-Н--8 •'3	2
5	2 . 3	2 _ 1
Р(В) = -8 • 5- + -§ ' J — 2
Аналогично решаются задачи 7.1—7.16.
Пример 7.2. Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недоброкачественная. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после проверки возвращена в партию.
Решение. Гипотезы: Hi - взята партия с недоброкачественными деталями, Н2 - взята партия доброкачественных деталей. Событие А — первая деталь доброкачественная. По условию задачи Р (Я,) = Р (Я2) =1/2 Р(Л|Я;) = 3/4
Р(Л| Я2) = 1. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность события А будет р(л)=1(4+
После первого испытания вероятность того. Что партия содержит недоброкачественные детали, равна
_з р (Н I ЛЛ _ P(^.)PMI^) __ 2 ' 4 . 3 р(Л) — 7/8 — 7.
Вероятность, того, что партия содержит только добро-
качественные детали,
Р(Я2| Д)=|.
Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании деталь оказалась недоброкачественной. Вероятность данного события также находится по формуле полной вероятности. Если pi и р2,—вероятности гипотез Н1,мН2 после испытания, то согласно предыдущим вычислениям,
_3	— А
Л —у Р2— 7 Кроме того, Р (B\Ht) = 1/4, Р (В\Н2) = 0. Поэтому
искомая вероятность Р (В) = (3/7) *(1/4) = 3/28. Аналогично решаются задачи 7.17, 7.18.
Задачи
7.1.	Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти находятся по два черных и по два белых шара, а в одной— пять белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров?
7.2.	Имеется ki урн, в каждой из которых mi белых и ni черных шаров, и к.2 урн, содержащих по m2 белых и по п.2 черных шаров. Извлеченный из наудачу выбранной урны один шар оказался белым. Какова вероятность, что данный шар извлечен из первой группы урн?
7.3.	Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную — с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.
7.4.	Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?
7.5.	Определить вероятность того, что среди 1000 лампочек нет ни одной неисправной, если из взятых наудачу 100 лампочек все оказались исправными. Предполагается, что число неисправных лампочек из 1000 равновозможно от 0 до 5.
7.6.	Игрок D играет с неизвестным противником на следующих условиях: ничейный исход исключен; первый ход делает противник; в случае его проигрыша делает ход D, .выигрыш которого означает выигрыш игры, а при проигрыше игра повторяется второй раз на тех же условиях. Из двух равновозможных противников В имеет вероятность выиграть первым ходом 0,4, а вторым — 0,3; С имеет вероятность выиграть первым ходом 0,8, а вторым ходом 0,6. Для D вероятность выиграть первым ходом равна 0,3 и не зависит от противника, а для второго хода равна 0,5 при игре с 5 и 0,7 при игре с С. Игру выиграл D.
Какова вероятность: а) что противником был В; б) что
противником был С? •
ПЛ. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7—с вероятностью 0,7; 4—с вероятностью 0,6 и 2 —с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
7.8.	Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.
7.9.	Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6.
7.10.	Попадание случайной точки в любое место области S равновозможно, а область 5 состоит из четырех частей, составляющих соответственно 50, 30, 12 и 8% всей области. При испытании имело место событие А, которое происходит только при попадании случайной точки в каждую из этих частей с вероятностями соответственно 0,01, 0,05, 0,2 и 0,5. В какую из частей области 5 вероятнее всего произошло попадание?
7.11.	В урне имеется п шаров, причем цвет каждого из них с равной вероятностью может быть белым или черным. Извлекаются последовательно к шаров, причем каждый раз после извлечения шар возвращается в урну. Какова вероятность того, что в урне содержатся только белые шары, если черные шары не извлекались?
7.12.	Из двух близнецов первый—мальчик. Какова вероятность, что другой тоже мальчик, если среди близнецов вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек соответственно равны а и Ь, а для разнополых близнецов вероятность родиться первым для обоих полов одинакова?
7.13.	Принимая, что вероятность рождения однополых близнецов вдвое больше, чем разнополых, вероятности рождения близнецов разного пола в любой последовательности одинаковыми, а вероятность рождения мальчика равной 0,51. девочки—0,49, определить вероятность рождения второго мальчика, если первым родился мальчик.
7.14.	Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05, Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень?
7.15.	Произведено три независимых испытания, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,2. Вероятность появления другого события В зависит от числа появления события А: при однократном появлении события А эта вероятность равна 0,1, при двукратном появлении равна 0,3, при трехкратном появлении равна 0,7; если событие А не имело
места ни разу, то событие В невозможно. Определить наивероятнейшее число появлений события А, если событие В имело место.
7.16.	В техникуме п студентов, из которых (к = 1, 2, 3) человек учатся к-й год. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго. Какова вероятность того, что этот студент учится третий год?
7.17.	Третья часть одной из трех партий деталей является второсортной, остальные детали первого сорта. Деталь, взятая из одной партии, оказалась первосортной. Определить вероятность того, что деталь была взята из партии, имеющей второсортные детали. Найти ту же вероятность при условии, что взятая из той же партии вторая деталь оказалась первосортной, если первая деталь после проверки возвращена в партию.
7.18.	Получена партия из восьми изделий одного образца. По данным проверки половины партии, три изделия оказались технически исправными, а одно бракованным. Какова вероятность, что при проверке трех последующих изделий одно из них окажется исправным, а два бракованными, если любое количество бракованных изделий в данной партии равновозможно?
§	8. Вычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях
Основные формулы
Вероятность Р„;т появления события т раз при п независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события равна р, определяется формулой биномиального распределения
_ш п—т
п; т — Сп р q ,
где
9=1 -Р
Вероятность появления события не менее т раз при п опытах вычисляется по формуле п	т—1
Вп‘, т =: 2 Р п\ k ИЛИ /?я; щ = 1 — 2 Рa; k' k=m	fe=0
Вероятность Появления события хотя бы один раз при п опытах будет
Количество п опытов, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью не меньше Р можно было утверждать, что данное событие произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле
„ -- 1п(1- Л
In (1 —
где р — вероятность появления этого события в каждом опыте. Наивероятнейшее значение ц числа т появлений события А
равно целой части числа (п+1)р, а при целом (п+1)р наибольшее значение вероятности достигается при двух числах Ц1=(п+1)р -1 и ц2 = (п + 1)р.
Если опыты независимы, но вероятности появления события различны, то вероятность Рп;т появления события т раз при п опытах равна коэффициенту при ит в разложении производящей функции
° («) = П	4“ 4 k) = ij Рп; тит,
k = l	'	т=0
где =l-pk, Рк - вероятность появления события в к-м опыте.
Коэффициенты Рп;т могут быть определены дифференцированием функции G(w):
а _ 1 (	(») 1
п:т~~тГ\ dum |u=0
что дает, например
Pn;0=qiq2- qn
Решение типовых примеров
Пример 8.1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?
Решение. Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны р = q=l/2,
а)	Вероятность выиграть три партии из четырех
Вероятность выиграть пять партий из восьми Pg-5= _г3 1 -2_ — V8 28	32
Так как 1/4 > 7/32 то вероятнее выиграть три партии из четырех, б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех
/?4;3 = />4;зН- Л; 4 = -J 4~ -jg" ==
а вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми
/?8; 5 = Р%; 5 4" Рз; 6 4" Р&, 7 4~ Рз; 8'=
_ _L j_ (LZ д_ я д_ Л ± - 93 32	\ 2 4~°4- 1) 28 — 256
Так как 93/256 > 5/16, то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.
Аналогично решаются задачи 8.1—8.31.
Пример 8.2. Имеется шесть потребителей электрического тока, для первого из которых при определенных условиях вероятность того, что произойдет авария, приводящая к отключению потребителя, равна 0,6, для второго—0,2, а для четырех остальных — по 0,3. Определить вероятность того, что генератор тока будет отключен полностью: а) если все потребители соединены последовательно; б) если потребители соединены так, как показано на схеме (рис. 7).
Решение, а) Вероятность неотключения всех шести потребителей равна произведению вероятностей неотключения
каждого потребителя,

Рис. 7.
т. е.
Искомая вероятность равна вероятности отключения хотя бы одного потребителя, т. е. р = l q ~ 0.923
б)	В этом случае генератор будет отключен полностью, если в каждой паре последовательно соединенных потребителей отключен хотя бы один потребитель:
р = (1-^2)(1-^0,177.
Аналогично решаются задачи 8.32—8.35.
Пример 8.3. Партия изделий содержит один процент брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,95?
Решение. Искомое число я находится по формуле
. 1п(1— Р) п > 1п(1—/>).
В данном случае Р = 0,95, а р = 0,01.
Поэтому
ге>теэ ~ 296-
Аналогично решаются задачи 8.36—8.40.
Пример 8.4. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.
Решение. В данном случае п = 10 ,р= 0,4, (п + 1)р= 4,4. Наивероятнейшее число ц, заявок равно целой части числа (п + 1)рт.е. ц = 4
Вероятность четырех заявок из десяти Рю;4 = Сю* 0.44.0.66 = 0,251
Аналогично решаются задачи 8.41—8.42.
Задачи
8.1.	Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит: а) цифры пять; б) двух пятерок.
Известно, что все номера четырехзначные, неповторяющиеся и равновозможные.
8.2.	В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того,
что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трех, но и не более восьми.
8.3.	Из таблицы случайных чисел наудачу выписаны 200 двузначных случайных чисел (от 00 до 99). Определить вероятность того, что среди них число 33 встретится;
а) три раза; б) четыре раза.
8.4.	В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. Определить вероятность того, что пять читателей подряд возьмут книги или только по технике, или только по математике, если каждый из них берет только одну книгу.
8.5.	Две электрические лампочки включены в цепь последовательно. Определить вероятность того, что при повышении напряжения в сети выше номинального произойдет разрыв цепи, если вероятность того, что лампочка перегорит, для обеих лампочек одинакова и в этих условиях равна 0,4.
8.6.	Событие В наступает в том случае, если событие А появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В. если вероятность появления события А при одном опыте равна 0,3 и произведено: а) пять независимых опытов; б) семь независимых опытов.
8.7.	Электрическая схема, содержащая два блока типа Л, один блок типа В и четыре блока типа С, составлена так, как это показано на рис. 8. Определить вероятность раз", рыва цепи, неустранимого с помощью ключа К, если элементы типа А выходят из строя с вероятностью 0,3, элементы типа В—с вероятностью 0,4, элементы типа С с вероятностью 0,2.
8.8.	Вероятность того, что агрегат необходимо поставить на ремонт после т аварий, определяется формулой
! 1 \т
О(т)=
5
где (GJ—среднее число аварий до постановки агрегата на ремонт. Доказать, что вероятность того, что после п производственных циклов потребуется ремонт, определяется по
р — вероятность того, что во время одного производственного цикла произойдет авария.
8.9.	Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие Л происходит с вероятностью 0,3. Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если событие А произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие А не имело места, и наступает с вероятностью 0.6, если событие А имело место один раз. Определить вероятность появления события В.
8.10.	По мишени в тире произведено 200 независимых
выстрелов при одинаковых условиях, которые дали 116 попаданий. Определить, какое значение вероятности попадания на один выстрел более вероятно: 1/2 или 2/3, если до опыта обе гипотезы равновероятны и единственно возможны.
8.11.	Рассчитать зависимость вероятности хотя бы одного появления события А при 10 независимых опытах от вероятности р появления события А в каждом опыте для следующих значенийр: 0,01; 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6.
8.12.	Вероятность хотя бы одного появления события при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?
8.13,	Вероятность появления некоторого события в каждом из восемнадцати независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события по крайней: мере три раза.
8.14.	Вероятность выигрыша на каждый из лотерейных билетов равна 0,02. Рассчитать вероятности хотя бы одного выигрыша на п билетов для п = 1, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. 100, если считать, что билеты принадлежат разным сериям.
8.15.	Если известно, что на лотерейный билет выпал выигрыш, то вероятности того, что выигрышем будет велосипед или стиральная машина, равны соответственно 0,03 и 0,02. Найти вероятность выигрыша хотя бы одного из этих предметов на 10 выигравших лотерейных билетов, выбранных из разных серий.
8.16.	Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает кольца до первого попадания. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,1.
8.17.	Определить вероятность получения не менее 28 очков при трех выстрелах из спортивного пистолета по мишени с максимальным числом очков, равным 10, если вероятность получения 30 очков равна 0,008. Известно, что при одном выстреле вероятность получения восьми очков равна 0,15. а менее восьми очков—0,4.
8.18.	Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет равное количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.
8.19.	Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из трех ламп останется исправной после 1000 часов работы?
8.20.	Трое рабочих на своих станках производят изделий только отличного и хорошего качества, причем первый д второй из них производят изделия отличного качества с вероятностью 0,9, а третий—с вероятностью 0,8. Один из этих рабочих изготовил 8 изделий, среди которых 2 хороших. Какова вероятность, что среди следующих 8 изделий, изготовленных тем же рабочим, будут 2 хороших и б от
личных?
8.21.	Для победы в волейбольном состязании команда необходимо выиграть три партии из пяти; команды неравносильны. Определить вероятность выигрыша в каждой партии для первой команды, если для уравнивания шансов она должна дать фору: а) в две партии; б) в одну партию
8.22.	Матч между двумя шахматистами проводится на следующих условиях: 1) учитываются только результативные партии; 2) выигравшим считается тот, кто первым наберет четыре очка при условии, что у противника при этом не более двух очков; 3) если у обоих игроков по три очка, то выигрывает тот, кто первым наберет пять очков.
Определить вероятности выигрыша матча для каждого из игроков, если вероятности выигрыша каждой партии относятся, как три к двум.
8.23.	Для прикуривания гражданин пользовался двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку, Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Какова вероятность, что во второй коробке при этом к спичек, если вначале в каждой коробке было по п спичек?
(Задача Банаха).
8.24.	Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0.7, а в девятку—0,3. Определить вероятность того, что: данный стрелок при трех выстрелах наберет не менее 29 очков.
8.25.	Во время каждого из опытов на 1 час в цепь включается батарея мощностью в 120 втп или в 200 вт; вероятности благоприятного исхода опыта равны соответственно 0,06 и 0,08. Результат проведенной серии опытов считается достигнутым в случае хотя бы одного благоприятного исхода опыта с батареей в 200 вт, или хотя бы двух с батареей в 120 вт. Общая энергия, затраченная на производство всех опытов, не может превышать 1200 вт. Какие батареи выгоднее использовать?
8.26.	Прибор выходит из строя, если перегорит не менее пяти ламп I типа или не менее двух ламп II типа. Определить вероятность выхода из строя прибора, если известно, что перегорело пять ламп, а вероятности перегорания ламп I и II типов равны соответственно 0,7 и 0,3.
8.27.	Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Определить вероятность отказа прибора в серии из трех независимых опытов.
если вероятности отказа прибора при одной, двух и трех опасных перегрузках соответственно равны 0,2; 0,5 и 0,8.
8.28.	Вероятность участия в каждом из опытов любого
из п одинаковых объектов равнар(р < 1/л). Если данный объект участвовал в опытах ровно к раз, результат опытов считается достигнутым. Определить вероятность достижения результата после т опытов.
8.29.	В условиях предыдущей задачи определить вероятность достижения результата при (2к—1) опытах, если после достижения намеченного результата опыты прекращаются.
8.30.	Вероятность отказа каждого прибора при испытании
равна 0,2. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,9 получить не меньше трех отказов?
8.31.	Пункт Л нужно связать с 10 абонентами пункта В. Каждый абонент занимает линию 12 минут в час. Вызовы любых двух абонентов независимы. Какое минимальное количество каналов необходимо для того, чтобы можно было в любой момент с вероятностью 0,99 обслужить всех абонентов?
8.32.	Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, и соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4. Определить вероятность приема к сигналов (к = 0, 1,2, 3,4).
8.33.	Используя условия предыдущей задачи, определить вероятность установления двусторонней радиосвязи, если вероятность этого события при приеме одного сигнала равна 0,2, при приеме двух равна 0,6, а при приеме трех и четырех — единице.
8.34.	Вероятности перегорания первой, второй и третьей ламп равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Вероятности выхода из строя прибора при перегорании одной, двух и трех ламп равны соответственно 0,25; 0,6 и 0,9. Определить вероятность выхода прибора из строя.
8.35.	Охотник стреляет в лося с расстояния 100 м и попадает в него с вероятностью 0,5. Если при первом выстреле попадания нет, то охотник стреляет второй раз, но с расстояния 150 м. Если нет попадания и в этом случае, то охотник стреляет третий раз, причем в момент выстрела расстояние до лося равно 200 м. Считая, что вероятность попадания обратно пропорциональна квадрату расстояния, определить вероятность попадания в лося.
8.36.	Сколько чисел необходимо взять из таблицы случайных чисел, чтобы с наибольшей вероятностью обеспечивалось появление среди них трех чисел, оканчивающихся цифрой 7?
8.37.	Вероятность попадания в десятку при одном выстреле р = 0,2. Сколько нужно произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9. попасть в десятку хотя бы один раз?
8.38.	За один цикл автомат изготовляет 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8, если вероятность того, что любая деталь бракованная, равна 0,01?
8.39.	На прямой через 60 см один от другого расположены центры окружностей, диаметры которых одинаковы и равны 1 см. Несколько таких прямых устанавливаются параллельно друг другу в одной плоскости, причем относительный сдвиг линий равновозможен на любую величину от 0 до 60 см. Перпендикулярно этим линиям в той же плоскости перемещается круг радиуса 7 см. Какое количество линий должно быть, чтобы вероятность пересечения окружности перемещающегося круга с какой-либо окружностью была не менее 0,9?
8.40.	Из ящика, в котором 20 белых и 2 черных шара, п раз извлекаются шары по одному, причем после каждого извлечения шар возвращается. Определить наименьшее число извлечений, при котором вероятность достать хотя бы один раз
черный шар будет больше половины.
8.41.	Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 10 бросков.
Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.
8.42.	Найти наивероятнейшие числа отрицательных и положительных ошибок и соответствующую вероятность при четырех измерениях, если при каждом измерении вероятность получения положительной ошибки равна 2/3. а отрицательной — 1/3.
§ 9. Полиномиальное распределение. Рекуррентные формулы. Производящие функции
Основные формулы
Вероятность того, что при п независимых опытах, в каждом ИЗ которых может Произойти ТОЛЬКО ОДНО ИЗ событий Л;, А2, Ат соответственно с вероятностями/,у, р2, ...,рт события А^к = (т	\
2 nk = п ) *=i	/, определяется
формулой полиномиального распределения
— П1|П21 ... Пт! Pl Pi  Р,п
Вероятность Рп;п1;п2,...,пт ЯВЛЯСТСЯ КОЭффиЦИСНТОМ ПрИ
ип1иП* . . . иПт	~	~ -L
12 т в следующей производящей функции:
G(«P «2- •••• »ni) = (Pl«l + P2«2-4- ••• 4-P/n«m)"
Производящая функция для п + N независимых опытов является произведением производящих функций для п и соответственно для N опытов. Использование этого свойства часто существенно упрощает вычисление искомых вероятностей. Для этих же целей применяется соответствующая замена аргументов в производящей функции. Если, например, нужно определить вероятность того, что событие Л у при п испытаниях появится на / раз больше, чем событие Л^, то в производящей функции следует положить u.2 = 1/u, ui = и, Uj= 1 (/ = 3, 4,..., т). Искомая вероятность является коэффициентом при wz в разложении по степеням а функции
=	. Если Pk = -^-(fe=1>2...т)
\	' у =з /
и требуется определить вероятность того, что сумма номеров появившихся событий равна г, то искомая вероятность является коэффициентом при г/ в разложении по степеням и функции
1	,,п [ 1_1tm \п
= + ... = )
При разложении G(w) в ряд удобно для (1 - и) ” .использовать следующее разложение:
(1—U) =	-J- ...
Факториалы больших чисел могут быть найдена на таблицы логарифмов, этих величин [2Т] или вычислены по формуле? Стирлинга
п!= У^ппп е " +1^ + 288^2+ • • •) •
Вероятность появления события при п опытах иногда может быть получена с помощью соотношений (рекуррентных формул)вида
Pk —	+ ^kPk-2’
где cik и bh—известные постоянные. Искомая вероятность определяется переходом от п к п + 1 после расчета по исходным данным вероятностей для нескольких значений к.
Решение типовых примеров
Пример 9.1. Вероятности того, что диаметр любой детали меньше допустимого, больше допустимого и в допустимых пределах, равны соответственно 0,05; 0,10 и 0,85. Из общей партии берутся наудачу 100 деталей. Определить вероятность того, что среди них будет пять деталей с меньшим диаметром и пять деталей с большим диаметром.
Решение. Пусть событие Ai—выбрана наудачу деталь первого, Аз—второго и Аз—третьего типа. По условию /?/=0,05, Р2=0,10,рз=0,85. Всего производится п = 100 опытов.
Определяется вероятность р того, что при этом события А у и Аз произойдут по пяти раз. Тогда т= пз= 5, «з=90. Поэтому искомая вероятность
р -=Р1оо: з,5,90=	. 0,15.0..8590.
О 10! Vv *
Логарифмируя данное равенство; находим
1g р = 1g 1001 — 1g 901 — 2 1g 5 Г-}- 51g 5 4- 901g 0,85-— Г5.
Воспользовавшись таблицей для логарифмов факториалов и таблицей десятичных логарифмов, получаем
1g р = 3,7824, т. е. р « 0,006.
Аналогично решаются задачи 9.1—9.7 и 9.25.
Пример 9.2. При каждом испытании вероятность появления события равна р. С какой вероятностью оно произойдет четное число раз при п испытаниях?
Решение. Обозначим через рь вероятность того, что после к опытов событие произойдет четное число раз.
Перед к-м опытом можно сделать две гипотезы: при (к— 1)-м опыте событие произошло четное или нечетное число раз. Вероятности этих гипотез равны соответственно P^-i 1- Pk-i
Тогда
Рй = Р*-1(1 — Р)+(1 — т. е.
=	—2#).
Представив последнее выражение в виде
(рь---=	2^)(рй-1—4")	’(*=1. 2.....п)
и перемножив левые и правые части всех п таких равенств, получим
п (л -4-)=« - ЗД" п ('«-• —г) 
Сокращая обе части равенства на
*=1
находим
У»—§- = (1-2р)“(ро-4
Так как ро = 1, то искомая вероятность будет
Аналогично решаются задачи 9.8—9.13 и 9.26. Пример 9.3.
Определить вероятность получения билета, у которого равны суммы первых трех и последних трех цифр номера, если номер шестизначный и может "быть любым от ООО 000 до 999 999.
Решение. Рассмотрим сначала первые три цифры номера.
Так как они произвольны, то можно считать, что производится три опыта (п = 3), в результате каждого из которых с вероятностью р=1/10 появляется одна из цифр. В данном случае число событий т =10, вероятности
Рк = 1/10 (к= 0, 1,... ,9), а производящая функция имеет вид
1 / э \з
Oj («0, й]> ...» «9) = -jgj- S «Л \ft=0	/
где индекс к и Uk, указывает на то, что в результате опыта появляется число к.
Положим Uk = uk. Тогда у функции
01 (й)---JQ3
.	1 /1— и,0\3
1оЦ 1 —и /
коэффициент при неравен вероятности того, что сумма первых трех цифр номера билета равна о. Аналогично у функции
Г ( \ — 1 /1— и-,0\3
коэффициент при иа равен вероятности того, что сумма последних трех цифр номера билета равна о. Но тогда у функции
G(«) = Gl(a)G2(«) =
1 /I — 10eu27 \ 1—и )
коэффициент при и0 равен искомой вероятности того что суммы первых трех и последних трех цифр номера билета равны.
Имеем
(1 — ЙЮ)6 = 1 —	Cl»20 — ...,
(1 — «)-б = 1	4-С?«24- ...
Поэтому искомая вероятность будет
Р = -Ж ~	+ Clcty = 0,05525.
Аналогично решаются задачи 9.14—9.24.
Задачи
9.1.	В урне имеется три шара: черный, красный и белый. Из урны шары по одному извлекались 5 раз, причем после каждого извлечения шар возвращался обратно. Определить вероятность того, что черный и белый шары извлечены не менее чем по два раза каждый.
9.2.	Рабочий производит с вероятностью 0,90 годное изделие, с вероятностью 0,09 — изделие с устранимым браком и с вероятностью 0,01—с неустранимым браком. Произведено три изделия. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно годное изделие и хотя бы одно с устранимым браком.
9.3.	Каждый из девяти шаров с одинаковой вероятностью, может быть помещен в один из трех первоначально пустых ящиков. Определить вероятность того, что: а) в каждый ящик попало по три шара; б) в один ящик попало четыре шара, в другой—три, а в оставшийся—два шара.
9.4.	По мишени, состоящей из внутреннего круга и двух концентрических колец, производится десять выстрелов из спортивного пистолета. Вероятности попадания в указанные области при каждом выстреле равны соответственно 0,15; 0,22 и 0,13. Определить вероятность того, что при этом будет шесть попаданий в круг, три — в первое кольцо и одно попадание во второе кольцо.
9.5.	Прибор имеет четыре блока, в каждом из которых имеются электронные лампы. Если известно, что одна лампа вышла из строя, то вероятности того, что эта лампа принадлежит данному блоку, равны соответственно /?; = 0,6111, р2=р3= 0,0664, Р4 = 0,2561 и не зависят от того, сколько ламп вышло из строя до этого. Определить вероятность прекращения работы прибора при выходе из строя четырех ламп, если прибор прекращает работать как при выходе из строя хотя бы одной лампы из первого блока, так и в том
случае, когда и во втором и в третьем - блоках выходят из строя хотя бы по одной лампе.
9.6.	В электропоезд, состоящий из шести вагонов, садится двенадцать человек, причем выбор каждым пассажиром вагона равновозможен. Определить вероятность того, что; а) в каждый вагон вошло по два человека; б) в один вагон никто не вошел, в другой — вошел один человек, в два вагона - по два человека, а в оставшиеся два вагона соответственно три и четыре человека.
9.7.	Урна содержит / белых, т черных и п красных шаров. Производится li+mi+ni извлечений шаров по одному с возвращением каждого извлеченного шара. Определить вероятность того, что будет извлечено; а) сначала h белых, затем mi черных и наконец П] красных шаров;
б) li белых, mi черных и ni красных шаров, причем все шары одного цвета появляются подряд, но последовательность цветов может быть любой; в) // белых, mi черных и ni красных шаров в любой последовательности.
9.8.	Определить вероятность того, что при п бросаниях монеты герб появится нечетное число раз.
9.9.	Два равносильных противника играют в шахматы до тех пор, пока один из них не выиграет на две партия больше, чем другой. Какова вероятность, что будет сыграно 2п результативных партий?
9.10.	Двое играют до тех пор, пока один из них не выиграет все деньги у другого. Определить вероятность того, что при этом будет сыграно ровно п партий, если все ставки одинаковы, каждый игрок в начале игры имеет по три ставки, а вероятность выигрыша в любой партии для каждого из игроков равна половине.
9.11.	Два игрока продолжают игру до полного разорения одного из них. Капитал первого игрока равен п рублей, второго — т рублей. Вероятности выигрыша каждой партии для этих игроков равны соответственно pviq (p+q=l), В каждой партии выигрыш одного игрока (проигрыш другого) равен одному рублю. Определить вероятности разорения для каждого из игроков.
9.12.	В шахматы играют п+1 равносильных игроков, причем каждый по очереди играет с победителем. Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не выиграет подряд у всех п противников. Какова вероятность, что при
этом будет сыграно ровно т. результативных партий (ничьи не учитываются)?
9.13.	Матч между двумя равносильными шахматистами происходит на следующих условиях:
1)	учитываются только результативные партии;
2)	победившим считается набравший шесть очков, если его противник набрал не более четырех очков;
3)	если у одного шесть, а у другого пять выигранных партий, то игра продолжается до тех пор, пока разрыв не составит два очка.
Определить вероятность того, что результативных партий придется играть: а) не более десяти; б) ровно п.
9.14.	Вероятность появления события в каждом из п опытов одинакова и равна р. Доказать, что производящей функцией для вероятностей появления события менее п—т раз является функция
OW = <£+^.
9.15.	Вероятность появления события в к-м опыте равна (к = 1, 2,..., п). Доказать, что производящими функциями для вероятностей появления события соответственно не более т и
не менее п — т раз при п независимых опытах являются
функции
п
П (ЯьЛ- Рки)
Л=1
О1(«)=
1 —U
И О2(«) =
1 — U
9.16.	Два стрелка производят по п выстрелов, причем каждый стреляет по своей мишени. Определить вероятность того, что у них будет по одинаковому числу попаданий, если вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна половине.
9.17.	В каждом из двух одинаковых приборов - левом и правом - имеется по две лампы. После 100 часов работы только в одном приборе с вероятностью 1/4 перегорает одна лампа и с вероятностью 1/16—обе лампы. Определить вероятность того что в п парах таких приборов ламп в левых приборах перегорит по крайней мере на т (т [ 2п) больше, чем в правых. Рассчитать эту вероятность для случая, когда п=т=3.
9.18,	Матч на звание чемпиона мира по стоклеточным шашкам состоит из двадцати партий. Определить вероятность того, что матч окончится с результатом 12:8, если вероятности выигрыша каждой партии для обоих игроков равны 0,2.
9.19.	Для победы в матче за звание чемпиона мира по шахматам претенденту необходимо набрать не менее 12% очков из 24 возможных. При ничейном исходе (12: 12) звание чемпиона мира сохраняется за чемпионом. Встречаются два равносильных противника, у которых вероятности выигрыша каждой партии в два раза меньше вероятности ничейного исхода. Определить: а) вероятность того, что чемпионом мира останется прежний чемпион, и вероятность того, что чемпионом мира станет претендент; б) вероятность того, что в матче будет сыграно двадцать партий.
9.20,	Определить вероятность того, что при бросании п игральных костей (кубиков) сумма очков на верхних гранях будет а) равна заданному числу т, б) не больше т. Найти эти вероятности при п =10, т = 20.
9.21.	Определить вероятность получения билета, у которого сумма цифр номера равна 21, если номер билета равновозможен от 0 до 999 999.
9.22.	Каждая из п величин X], Х2,Хп с одинаковой вероятностью может принимать любое целое положительное значение от 1 до т. Найти вероятность того, что сумма Xi + Х2 + ... +Хп будет а) равна заданному числу N (пт INI п); б) не меньше заданного числа N.
9.23.	Два стрелка производят по три выстрела каждый в свою мишень. Один стрелок при каждом выстреле с одинаковой вероятностью выбивает любое количество очков от 7 до 10, а для другого вероятности выбить 7 и 10 очков равны 1/8, а вероятности выбить 8 и 9 очков равны 3/8. Найти вероятность того, что: а) первый стрелок выбьет 25 очков; б) второй стрелок выбьет 25 очков; в) оба стрелка выбьют одинаковое количество очков.
9.24.	Бросают две монеты. Определить вероятность того, что равное количество гербов будет при и-м бросании монет (не раньше).
9.25.	Определить вероятность необходимости повторного голосования при выборе / человек, если голосуют п человек; вероятность быть вычеркнутым для каждого из к кандидатов одинакова и равна р а для выбора кандидата необходимо
получить большинство голосов. Повторное голосование производится в том случае, если будет равное число голосов у / -го и (I + 1)-го кандидатов (по числу полученных голосов).
9.26.	Две равносильные волейбольные команды играют одну партию. Игра продолжается до тех пор, пока одна команда не будет иметь по крайней мере на два очка больше, чем другая, причем наименьшее необходимое число очков равно 15. Определить вероятности: а) Р^ и выигрыша первой (подающей первый мяч) и второй команд со счетом 15: к (к=0, 1,.... 13); б) Pi, и Qi выигрыша для обеих команд, когда проигравшая команда имеет не более 13 очков; в) р^ и выигрыша со счетом (16+А) : (14+А) (к= 0, 1,...); г) Рн и Q// выигрыша, когда каждая команда потеряла не менее 14 очков; д) Р и Q выигрыша первой и второй команд.
ГЛАВА П
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 10. Ряд, многоугольник и функция распределения вероятностей дискретных случайных величин
Основные формулы
Случайная величина называется дискретной, если ее частные (возможные) значения можно пронумеровать.
Дискретная случайная величинах может быть задана:
1) рядом распределения, 2) функцией распределения (интегральным законом распределения).
Рядом распределения называется совокупность всех возможных значений хг и соответствующих им вероятностей = Р (X = х^. Ряд распределения может быть задан в виде таблицы (табл. 2) или формулой.
Таблица 2
X,	Xi	X2		xn
Pi	Pl	P2		Pn
Вероятности pi удовлетворяют условию п
2 p/=i.
i=i
где число возможных значений п может быть конечным или бесконечным.
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения воз
можные значения случайной величины (х^-откладываются по оси абсцисс, а вероятности pi—по оси ординат; точки Д- с координатами (хг-, pt) соединяются ломаными линиями (рис. 9).
Функцией распределения (интегральным законом распределения) случайной величины X называется функция F(x),
рис. 9.
равная вероятности Р (Х< х) того, что случайная величина будет меньше произвольно выбранного значения х. Функция F (х) вычисляется по формуле
F(x)== 2 Pi
Xt<X
где суммирование ведется по всем значениями i, для которых xi < х.
Решение типовых примеров
Пример 10.1. Из партии, состоящей из 100 изделий, среди которых имеется 10 бракованных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа Обракованных изделий, содержащихся в выборке.
Решение. Так как в выборке число бракованных изделий может быть любым целым числом в пределах от 0 до 5 включительно, то возможные значения хг случайной величины О равны:
X/ = 0, Х2 = 1, хз = 2, х4= 3, xj = 4, х() = 5
Вероятность Р (Х= к) того, что в выборке окажется ровно к (k=0, 1, 2, 3, 4, 5) бракованных изделий, равна
В результате расчетов по данной формуле с точностью до 0,001 получим:
Р1 = р (X = 0) = 0,583.	р2 = Р (X = 1) = 0,340.
р3= Р (X = 2) = 0,070, р4 = Р(ЛГ = 3) = 0,007. ft = P(X = 4) = 0, р6 = Р(Х=5) = 0.
6
S =
Используя для проверки равенство *=i
убеждаемся что расчеты и округление произведены правильно (см. табл. 3).
Таблица 3
xi Pi	0	1	2	3	4	5
	0,583	0,340	0,070	0,007	0	0
Аналогично решаются задачи 10.13 и 10.14.
Пример 10.2. Изделия испытываются при перегрузочных режимах. Вероятности для каждого изделия пройти испытания равны 4/5 и независимы. Испытания заканчиваются о после первого же изделия, не выдержавшего испытания. Вывести формулу для ряда распределения числа испытаний.
Решение. Испытания заканчиваются на к-м изделии (Л=1, 2, 3,...), если первые к Л изделий пройдут испытания, а к-е. изделие не выдержит испытаний.
Если X— случайное число испытаний, то
/	Г'1^"1	1	1 / 4\~1
Полученная формула для ряда распределения эквивалентна таблице 4.
Таблица 4
Xi	1	2	3		к	
Pi	1/5	4/52	42/53		4k-i/5k	
Особенность данной задачи состоит в том, что теоретически число испытаний может быть бесконечно большим, однако вероятность такого события стремится к нулю:
4*-1
lim P(X = fe)= Нт -— = 0.
£->оо	fe->oo 5
Аналогично решаются задачи 10.2, 10.4, 10.5,10.7, 10.10 и 10.12.
Пример 10.3. На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение.
Построить многоугольник распределения вероятностей числа светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки.
Решение. X—случайное число светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки; оно может принимать следующие значения:
Х1 = 0,Х2= 1, Хз = 2, Х4 = 3, Х5 = 4.
Л = Р(Х==хг) =
Вероятности pi= (Х = х,) того, что число пройденных светофоров X будет равно данному частному значению, вычисляются по формуле
р{\—р)1~1 для I — 1, 2, 3, 4,
(1 — р)4 для 1 = 5,
где р — вероятность светофору задержать автомашину (р = 0,5).
В результате вычислений получимpi= 0,5,р2=0,25,рз=0,125, р4= 0.0625, pj= 0,0625. По полученным данным строим многоугольник распределения вероятностей (рис. 10). Аналогично решаются задачи 10.3, 10.8, 10.9.
Пример 10.4. Космическая ракета имеет прибор, состоящий из четырех блоков Л у, А2, А3 и Л4, каждый из которых дает отказ при попадании в него хотя бы одной элементарной частицы.
Отказ прибора в целом наступает
Рис. 10.
как при отказе блока Л у? так и при одновременном отказе всех трех блоков А2, А3 и А4
Построить функцию распределения F(x) случайного числаХ частиц, после попадания которых в прибор он дает отказ, если вероятность частице, попавшей в прибор, попасть в блок Аг, равна pi = 0,4, а в блоки А2 А3 и А4 соответственно равна р2= рз=р4=0,2.
Решение. Обозначим А у, А2, А3 и А4, события, состоящие в поражении блоков Лу, А2, А3 w.A4, соответственно. Искомая функция распределения F(x) равна вероятности того, что при числе попаданий п < х прибор не выйдет из строя, т. е.
F(x)=P(A1+A2A3A4).
Используя формулу (см. § 5)
А 4“ А2А3А4 = A1(A2~j- А3~{- А4) = А1А2-$~ A1A3-j~ AtA4 =
— (А{	а2) -f- (Л14- Лз) 4- (а4 4- а^
и применяя формулу сложения вероятностей, получим
F (х) = 1 - Р [ (Aj 4- А£ + И! 4- Лз) 4- Их 4- А4) ] ==..
= 1 — Р (А14~ А) — Р (А4 4- Ад) — Р (Aj 4- AJ 4*
4- р [ (аГ+А) (А + А) 1 + РI (А+А) ( А4гА)]4-
+ р [ (аТ+а) (а7+а) ]-р [ (АТ+А) (аТ+а) (аТ+А) l
где все вероятности определяются при условии попадания в прибор п частиц. Так какpi+p2+p3+p4= 1 и при

7 '#7
Z?7 /7А
ЦЗ 0,2 0,7
О
I----
I I \О,4 I д___i_
7
I1
I
I
J
I \о&
I
I _L_____
2
\OjS3
I ।
I I \о,37 I
I I
I 1
I Д_______
A
I
I-I
I Г
I
t f
I I
J


Рис. 11.
каждом попадании частицы в прибор обязательно дает отказ один и только один из блоков, то
Р (А! + Л2) = (р3 + р4)п; р (А! + А) = (Р2 + р4)я;
Р(ЛЯ^44) = (р2+рз)я;
Р[(Я~ьл2)(Л7+л3)1 = р«; Р[(Л?+Л2)(Л^4)] = /^ Р[(Ата)(А + Л)] = Р^
РI (^i+^2)	~Н ^зНА4" ^4) 1=о*
Таким образом/учитывая, чтор2=рз=Р4=0,2, получим
F (х)= 1+Зр»-3(2р2)я= 1 -Зр» (2я-1 )== 1 —3 (2М~^)2М ,
где под [х] понимается наибольшее целое число, меньшее х, например [5,9] = 5, [5] = 4.
Таким образом, график функции распределения вероятностей для нескольких начальных значений х имеет вид, Представленный на рис. 11.
Аналогично решаются задачи 10.6 и 10.11.
Задачи
10.1.	Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа попаданий мячом в корзину при одном броске, если вероятность попадания мячом в корзину при одном броске р = 0,3.
10.2.	Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью р = 0,5. Для случайного числа появлений герба построить:
а) ряд распределения; б) многоугольник распределения;
в) функцию распределения.
10.3.	Производятся последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9.
10.4.	Независимые опыты продолжаются до первого положительного исхода, после чего они прекращаются. Найти для случайного числа опытов: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) наивероятнейшее число опытов, если вероятность положительного исхода при каждом опыте равна 0,5.
10.5.	Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого равна 0,4, а для второго 0,6.
10.6.	Мишень состоит из круга № 1 и двух колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг № 1 дает 10 очков, в ко
льцо № 2 дает 5 очков, в кольцо № 3 дает —1 очко. Вероятности попадания в круг № 1 и кольца № 2 и 3 соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2. Построить ряд распределения для случайной суммы выбитых очков в результате трех попаданий.
10.7.	Опыт производится с помощью серии одинаковых приборов, которые включаются один за другим через 5 сек. Время срабатывания прибора 16 сек. Опыт прекращается сразу же после того, как сработает хотя бы один прибор. Найти ряд распределения для случайного числа включенных приборов, если вероятность сработать для каждого прибора равна 1/2. 10.8. Имеется п заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна р. а) Найти ряд распределения числа заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали, б) Построить ряд распределения для случайного числа использованных заготовок.
10.9.	Производятся испытания п изделий на надежность, причем вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна р. Построить ряд распределения случайного числа изделий, выдержавших испытания.
10.10.	Прибор, состоящий из блоков a,bi и Ъ2 дает отказ в случае осуществления события С = А+В]В2 где А — отказ блока а, В] и В2—отказы блоков Ь] и Ь2 соответственно. Отказы происходят при попадании в блок хотя бы одной космической частицы. Построить ряд распределения числа случайных частиц, попадание которых в прибор приводит к его отказу, если вероятности попадания в блоки частицы, попавшей в прибор, равны Р(Л) = 0,5, Р(5/) = Р (В^) = 0,25.
10.11.	Опыт может быть удачным с вероятностью р или неудачным с вероятностью (1—р). Вероятность получения благоприятного результата при т удачных опытах Р (т) =
'	. Построить ряд распределения числа опытов,
которые необходимо поставить для достижения благоприятного результата.
10.12.	Число проведенных опытов X случайно и может изменяться в пределах от 0 до :. Вероятность Р (Х= к)= пке~п
в А! '•
5
Каждый опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью (1—р). Построить ряд распределения числа успешных опытов.
10.13.	Вероятность получения герба при каждом из пяти бросаний монеты равна 0,5. Составить ряд распределения отношения числа X появлений герба к числу У появлений решетки.
10.14.	Построить ряд распределения суммы цифр трехзначных случайных чисел.
§ 11. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
Основные формулы
Непрерывной случайной величиной называется такая, которая может принимать любые числовые значения в заданном интервале и для которой при любом х из этого интервала существует предел
/(х) = пи ?ЛХ<Х<Х + ^ й.х-Х>
именуемый плотностью вероятности.
Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения F(x) (интегральным законом распределения), либо плотностью вероятности f(x) дифференциальным законом распределения).
Функция распределения F (х) = Р (Х< х), где х—произвольное действительное число, дает вероятность того, что случайная величина X окажется меньше х.
Функция распределения F(x) имеет следующие основные свойства:
1)	Р (а < X < b) = F (b) — F (а);
2)	F (Xj) F (х2), если хг <
3)	lim F(x)=l;
X->4-oo
4)	lim F(x) = 0.
Х-У-оо
Плотность вероятности (дифференциальный закон распределения) f(x) обладает следующими основными свойствами:
1)/(х)>0;
Ч-со
3)
— OQ
4) P(a^X<b) = f f(x)dx. а
Величина определяемая равенством F(xp) =р, называется квантилем; квантиль хо.5 называют медианой. Если плотность имеет максимум, то значение х, при котором f(x) = max, называется модой.
Понятие плотности вероятности f(x) может быть введено и для дискретной случайной величины, если положить f(x)= iiPkb(x—xk)’ k=i
где кх, - возможные значения случайной величины, ^-соответствующие им вероятности:
ркт=Р(Х = хк\
8(х) — обозначение дельта-функции, т. е, такой функции что
d(x) =
oo,
0,
x — 0.
x ф 0,
J i>W*fx = l,
—OO
co
j* <f (x)6 (y — x)dx = Ф (y).
— OQ
где (й(х)—любая непрерывная в точке х=у функция. Для <5 (х) справедливо следующее аналитическое представление где интеграл понимается в смысле его главного значения. (См., например, И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов. «Обобщенные функции и действия над ними».)
Решение типовых примеров
Пример 11.1. Проекция Xрадиуса-вектора случайной точки окружности радиуса а на диаметр имеет функцию распределения (закон арксинуса)
Г(х) =
1
1,1	. X
-я-Н--arcsin —
2 1 л а
0
при х^-а\
при —а < х < а;
при х^— а.
Определить: а) вероятность того, что Xокажется в пределах промежутка (-а/2, а/2) б) квантиль хо.75; в) плотность вероятности f (х) случайной величины X; г) моду и медиану распределения.
Решение, а) Вероятность того, что X окажется в пределах (-а/2, а/2), равна
р / Л v \ р(а \ р( & \	2	.1	1
р Г" т < х < т) = F Ш ~ FI- т.)=aarcsin 2 = з
б)	По условию р = 0,75; решая уравнение
-J-+J- arcsin	= 0,75
2 я	а
находим
в)	Плотность вероятности f(x) случайной величины нравна:
1)	для всех х, принадлежащих промежутку (-а, а), . dp (х) d /1	1	 х\	1
/(х) = ——	—.л— arcsin —1 = —7-	;
dx dx \ 2 1 л a ) я уРа2 x2
2)	нулю для всех остальных значений х.
г)	Модой распределения называется значение аргумента, при котором плотность вероятности достигает максимума. Закон арксинуса моды не имеет, так как функция
/(x)=-7=L=r
л У а2 — х2
не имеет максимума. Медианой распределения называется величина хо.5, определяемая равенством F(xq5) = 1/2. Решая уравнение
1,1	. *0,5	1
-я-4-— arcsin—— — -я-,
2 г я а	2
находим хо.5 = 0.
Аналогично решаются задачи 11.1—11.8.
Пример 11.2. Плотность вероятности случайной величины равна
f (х) —ax2e~kx (k > 0, 0<^х<оо).
Требуется: а) найти коэффициент а; б) найти функцию распределения случайной величины X; в) вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (0,1 /к).
Решение, а) Коэффициент а определяем с помощью равенства
со
^ах2е~кх dx = 1.
о
Отсюда
J'x2e~tx dx о
Двукратным интегрированием по частям получаем
f x2e~*xdx = -^-
0
Следовательно, а = к3/2 и плотность вероятности имеет вид f (х) — ^~-х2е~*х
б) Функция распределения F(x) случайной величины X определяется по формуле
/7(х) = Г t/ А	л
о
в) Вероятность Р (0 < Х< Мк) попадания случайной величины X в заданный промежуток вычисляется по формуле р (° < х < 4)=F (т) =1 - 4 ~ °'086-
Аналогично решаются задачи 11.9,11.10, 11.12. Пример 11.3. Электронная аппаратура имеет три параллельные дублирующие линии. Вероятность выхода из строя каждой линии за время гарантийного срока работы аппаратуры в целом равна 0,1.
Используя дельта-функцию, написать выражение для плотности вероятности случайного числа линий, вышедших из строя за время гарантийного срока, если выход из строя одной линии не зависит от того, работают или вышли из строя другие линии.
Решение. Обозначим через X случайное число линий, вышедших из строя. Случайная величина ^дискретного типа
имеет следующий ряд распределения (табл. 5):
Таблица 5
Хк	0	1	2	3
Рк	0,729	0,243	0,027	0,001
Пользуясь понятием плотности вероятности для дискретной случайной величины, получим
f (х) = 0,7296 (х) 4- 0,2436 (х — 1)4-
4- 0,0276 (х— 2) 4- 0,0016 (X — 3).
Аналогично решается задача 11.15.
Задачи
11.1.	Функция распределения равномерно распределенной случайной величины X имеет вид
F(x) =
0 при х при
1 при
х < 0,
0 < х < 1, х > 1.
1 при х > 1. Найти плотность вероятности случайной
величины X.
11.2.	Дана функция распределения случайной величины
е 2 dt
(закон нормального распределения).
Найти плотность вероятности случайной величины X.
11.3.	В книге Г. Крамера [25] дана функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом;
F(x) =
/ r \a
>-(v) np" x>x°' («>0).
0 при x < xQ
Определить размер годового дохода, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью 0,5.
11.4.	Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры, имеет вид
F(0==l— е т (*>0).
Найти: а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т. б) плотность вероятности f(t).
11.5.	Случайная величина эксцентриситета детали характеризуется функцией распределения Рэлея
F(x) = l — е~2°г
Найти: а) моду распределения; б) медиану распределения; в) плотность вероятности f (х).
11.6.	Функция распределения Вейбулла
хт
F(x)=l — е~ х>
в ряде случаев характеризует срок службы элементов электронной аппаратуры.
Найти: а) плотность вероятности f (х); б) квантиль распределения порядка р; в) моду распределения.
11.7.	Случайное время простоя радиоэлектронной аппаратуры в ряде случаев имеет плотность вероятности
где М = 1g е = 0,4343... (логарифмически нормальный закон распределения).
Найти: а) моду распределения при *о = 1 и °= У5М;
б) функцию распределения.
11.8.	Дана функция распределения случайной величины X:
F (х) = а+Ь arctg х/2— (- :< х <:) (закон Коши).
Определить: а) постоянные а и Ь; б) плотность вероятности; в)Р(а<Х< р).
11.9.	Каково должно быть а, чтобы /	~ ае~х1 являлось
плотностью вероятности случайной величины X, изменяющейся в бесконечных пределах?
11.10.	При каком значении а функция
/(х)
14- х2
(— СЮ < X < -|~ сю)
является плотностью вероятности случайной величины X?
Найти: а) функцию распределения случайной величины А; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (-1, 1).
11.11.	Шкала секундомера имеет цену делений 0,2 сек. Какова вероятность сделать по этому секундомеру отсчет времени с ошибкой более 0,05 сек., если отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону?
11.12.	Азимутальный лимб имеет цену делений 1°. Какова вероятность при считывании азимутального угла сделать ошибку в пределах ±10’, если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов?
11.13.	Известно, что вероятность выхода из строя электронной лампы в течение Дх; дней, с точностью до величины порядка малости более высокого чем Дх, равна к Дх независимо от величины х дней, которые лампа проработала до интервала времени Дх. Какова вероятность выхода из строя лампы в течение / дней?
11.14.	Линия трамвая имеет протяженность L. Вероятность того, что пассажир сядет в трамвай в окрестности точки х, пропорциональна x(L—х)2, а вероятность того, что пассажир, вошедший в точке х, выйдет в точке у, пропорциональна (у — x)h, h/0.
Найти вероятность того, что: а) пассажир сядет в трамвай ранее пункта z, б) пассажир, севший в трамвай в точке х, выйдет после пункта z.
11.15.	Последовательные ускоренные испытания приборов на надежность производятся до первого отказа, после чего они прекращаются. Пользуясь понятием плотности вероятности для дискретной случайной величины, найти плотность вероятности случайного числа испытанных приборов, если вероятность отказа для всех приборов одна и та же и равна 0,5.
§ 12. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Основные формулы
В качестве числовых характеристик дискретных случайных величин чаще всего используются моменты этих величин.
Начальные и центральные щ, моменты к-го порядка дискретных случайных величин определяются формулами
i = l
= м [(X - x)k] = 2 (х/ - x)k pt.
где М[А^]- математическое ожидание А^, хг—возможные значения случайной величины X, pt — соответствующие им вероятности, ах- математическое ожидание Д’. Таким образом, начальный момент первого порядка определяется формулой
второй центральный момент, или дисперсия, — формулой
D [X] = М [(X - 7Я = i (xz - 7)2 pi
или формулой
D[*1 = M[*21 — (М[Х])2.
Среднее квадратическое отклонение о определяется соотношением
о=+УЖ
Если вероятности различных значений случайной величины X зависят от событий Лто условное математическое ожидание случайной величины X при условия есть
М [^ | А#] = 3 xzP (X=xt | Ak}.
Если Ак	..., т) образуют полную группу событий,
т. е.
2 Р (Ak) = 1
*=i	, то полное математическое ожидание X
связано с условным математическим ожиданием формулой
М [X] = м {М [АГ I Лй]} = 2 м [АГ | Ак] р (Лй).
& = 1
Во всех приведенных выше формулах число слагаемых в суммах может быть бесконечным; в этом случае для существования соответствующего математического' ожидания сумма должна сходиться абсолютно.
Решение типовых примеров
Пример 12.1. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 бракованных. Из всей партии случайным образом отбираются с целью проверки качества 5 изделий (случайная выборка). Найти математическое ожидание числа бракованных изделий, содержащихся в случайной выборке.
Решение. Случайное число бракованных изделий, содержащихся в выборке, имеет следующие возможные значения:
X] = 0, Х2 = 1, хз = 2,х4 = 3, хз = 4, Хб = 5,
Вероятности р1=Р(Х=х1) того что X принимает данное значение
Xi равны (см. пример 10.1)
pl —1/^6-i
Pi = —>5 --	0 = Ь 2- 3-	5- 6)-
G100
Искомое математическое ожидание
6	z4-lz>6-i
1 = 1	L100
S JCioCao^
Так как J=° есть коэффициент при и в произведении
10	90 S	5
(1+u) (1+w) то/=° есть коэффициент при и
в выражении
4 {(1 + Z«)»0 (1 + «)90} |<=1 = 10и (1 + и)99.
Следовательно,
2 JCl0C& = lOClg, a JT== 0,5.
J = 0	^100
Аналогично решаются задачи 12.1 и 12.2. Пример 12.2.
Дискретная случайная величинах задана рядом распределения Рк= Р (Х= к), к=1, 2, 3,... Выразить математическое ожидание случайной величины X через производящую функцию G (и) (см. §9).
Решение. По определению математического ожидания случайной величины
М [X] = S kpk. k=i
С другой стороны, значение производной от производящей функции, вычисленное при и=1, равно
<г(1)=,*<у±| =2
й=1
«=1	й=1
следовательно М[Х] = G’(l)
Аналогично решаются задачи 12.3—12.6 и 12.24— 12.26. Пример 12.3. Опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью 1 —р.
Условная вероятность достижения намеченного результата после т успешных опытов Р(т) равна
Р(т)=1-(1-Ш)т (ОТ > 1).
Найти математическое ожидание числа независимых опытов, необходимых для достижения намеченного результата.
Решение. Обозначим Рп (А) вероятность достижения намеченного результата при п опытах. Если Рпт - вероятность иметь ровно т успешных из общего числа п опытов, то согласно формуле полной вероятности
РЯ(Л)=2 Рп,тР(т).
т-0
Так как опыты независимы и вероятность успешного исхода в каждом из них равна р. то
Рп.т=С^рт(1-р)П'т.
Подставляя в формулу для Рп(А) значения Рп>т и Р (т), получим
JL	<	/	1\т*
Рп (А)^Стпрт(\-р)п-“{1 -(1 -4) }-
Для достижения намеченного результата потребуется ровно п. опытов, если при и-м опыте он будет достигнут. Вероятность последнего события равна Рп (А)—Pn-i(A). Следовательно, М [А] — математическое ожидание случайного числа опытов, необходимых для достижения намеченного результата:
со
М = [Рп (Л) - Рп-л (Л)1 =
Л=1
Для вычисления последней суммы воспользуемся равенством оо	00	111
л=1	л=0
при |х| < 1. Полагая в данном случав получим
L \ © /]
Аналогично решаются задачи 12.10—12.15, 12.21 и 12.31.
Пример 12.4. Прибор имеет п предохранителей. В случае перегрузки сгорает один из предохранителей, который заменяется новым. Каково математическое ожидание М [7V] числа перегрузок N. после которых в приборе окажутся замененными все первоначально установленные предохранители, если выход из строя в момент перегрузки любого из п предохранителей (как незамененного, так и нового) равновероятен?
Решение. Обозначим М [N | к] математическое ожидание числа перегрузок, после которых все первоначально установленные п предохранителей окажутся замененными, если остались незамененными к предохранителей.
Для вычисления М [N | к] воспользуемся формулой полного математического ожидания. Если остались незамененными к предохранителей (kt 1), то для повреждения одного из них потребуется очередная перегрузка. В зависимости от результатов очередной перегрузки будут различными средние числа перегрузок, необходимых для сгорания предохранителей, оставшихся из числа первоначально установленных.
При очередной перегрузке могут произойти два события:
А\ — сгорел один из первоначально установленных предохранителей, вероятность чего P(Ai)=k/n‘,
А2 — сгорел замененный предохранитель, вероятность чего
Р(А2)=\ - к/п\.
Если при очередной перегрузке произойдет событие Л; то математическое ожидание числа перегрузок для замены всех к предохранителей, не замененных до очередной пере-
грузки, будет равно 1 + М [У | к— 1]. Если же при очередной перегрузке произойдет событие А2 то это математическое ожидание будет равно 1+М[У | к}. На основании формулы полного математического ожидания имеем
или после несложных преобразований,
М[М|*] —М[М|& —1] = -5р
Если к= 1, т. е. остался лишь один незамененный предохранитель, то вероятность его замены равна 1/п. Следовательно, на основании примера 12.3 будем иметь
M[7V|1] = п.
Итак, имеем цепь равенств:
М(У|л] —М[У|л —=
М1М|31-М[М|2] = £,
М [У[2] -м[У| 1] = у,
суммируя которые, получим п
М1У|Д] = £+^ + Т^Г+	-Н + 4+«
М[ЛП = М1М|п] = п(1Н-4+у+ ••• +7Г^т+4)-
Аналогично решаются задачи 12.16, 12.20, 12.22 и 12.23.
Пример 12.5. В результате испытания двух приборов (А и В) установлена вероятность наблюдения помех, оцениваемых по трехбалльной системе (табл. 6).
Таблица 6
Уровень помех		1	2	3
Вероятность наблюдения помех данного уровня	Прибор А Прибор В	0,20 0.06	0,06 0,04	0,04 0,10
По приведенным данным выбрать лучший прибор, если лучшим является тот, который в среднем имеет меньший уровень помех.
Решение. Обозначим через X случайный уровень помех. Средний уровень помех для прибора А.
МА И= 0,20 • 1 + 0,06 • 2 + 0,04 • 3 = 0.44 балла.
Для прибора В
Мв И = 0,06 • 1 + 0,04 • 2 + 0,10 • 3 = 0,44 балла.
Итак, по среднему баллу оба прибора равноценны. В качестве дополнительного критерия сравнения используем среднее квадратическое отклонение уровня помех:
Од = /ЩТ*] = Кмд [X2] - (7л)2 =
= /0,80 — 0.442 « 0,78 За л ла, = V МВ[Х21-(ХВ)2=
= /1,12 — 0,442 «0,96 балла.
Таким образом, прибор А дает более устойчивые показания относительно средних, и, следовательно, он лучше прибора В.
Задачи
12.1.	Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ за время испытаний на надежность, если испытанию подвергается один прибор, а вероятность его отказа Р-
12.2.	Считая, что вес тела с одинаковой вероятностью может быть равен любому целому числу граммов от 1 до 10, определить, при какой из трех систем разновесов; а) 1,2, 2, 5, 10; б) 1. 2, 3, 4. 10; в) 1, 1, 2, 5, 10—среднее число необходимых для взвешивания гирь будет наименьшим, если при взвешивании разрешается гири ставить только на одну чашку, а подбор гирь при взвешивании осуществляется так, чтобы использовать наименьшее возможное число гирь.
12.3.	Испытуемый прибор состоит из пяти элементов. Вероятность отказа для элемента с номером i равна pz=0,2 + 0,l(z-1).
Определить математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов, если отказы элементов независимы. 12.4. Производятся независимые испытания трех приборов.
Вероятность отказа каждого прибора соответственно равна pi, Р2 и рз. Доказать, что математическое ожидание числа отказавших приборов равно Р1+р2+Рз-
12.5.	Определить математическое ожидание числа приборов, отказавших в работе за время испытаний, если вероятность отказа для всех приборов одна и та же и равна р, а число испытуемых приборов п.
12.6.	В лотерее имеется mi выигрышей стоимостью ki m2 стоимостью к.2тп —стоимостью кп. Всего билетов N. Какую стоимость билета следует установить, чтобы математическое ожидание выигрыша на один билет равнялось половине его стоимости?
12.7.	Первый игрок бросает 3, а второй 2 одинаковых монеты. Выигрывает и получает все 5 монет тот, у которого выпадает большее число гербов. В случае ничьей игра повторяется до получения определенного результата. Каково математическое ожидание выигрыша для каждого из игроков?
12.8.	Три игрока Л, В, С играют на следующих условиях: в
каждой партии участвуют двое; проигравший уступает место третьему; первую партию играют А с В. Вероятность выигрыша в каждой партии для каждого игрока равна !4 Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не выиграет подряд 2 раза. При этом он получает сумму т рублей. Каково математическое ожидание выигрыша для каждого игрока: а) после первой партии при условии, что А ее выиграл; б) в начале игры?
12.9.	Три игрока Л, В, С играют на следующих условиях: в каждой партии участвуют двое; проигравший уступает место третьему; первую партию играют Ас В. Вероятность выигрыша в каждой партии для каждого игрока равна 1/2 Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не выиграет подряд 2 раза; при этом он получает сумму выигрыша, равную числу всех сыгранных партий. Каково математическое ожидание выигрыша для игроков Л и С до начала игры?
12.10.	Автоматическая линия при нормальной настройке может выпускать бракованное изделие с вероятностью р. Переналадка линии производится сразу после первого же бракованного изделия. Найти среднее число всех изделий, изготовленных между двумя переналадками линии.
12.11.	Вероятность приема позывного сигнала одной радиостанции .другой радиостанцией равна 0,2 при каждой посылке. Позывные подаются каждые 5 сек. до тех пор пока не будет получен ответный сигнал. Общее время прохождения позывного и ответного сигналов равно 16 сек. Найти среднее число подаваемых позывных сигналов до установления двусторонней связи.
12.12.	Найти математическое ожидание и дисперсию числа изделий, изготовляемых на поточной линии при нормальной настройке за период между двумя переналадками, если при нормальной настройке вероятность изготовления бракованного изделия равна р, а переналадка производится после изготовления к-го бракованного изделия.
12.13.	Условная вероятность отказа прибора, вычисленная в предположении о неработоспособности т элементов, имеет вид:
а)	для прибора А
Р(т)=\-ета	(сс>0;»2 = 0. 1,2,...);
б)	для прибора В
[	0 при т = 0,
т | 1—j-o(m-.l) ПрИ т—: lt 2, 3, ...
Найти математическое ожидание числа неработоспособных элементов, приводящих к отказам приборов АиВ.
12.14.	Блокировочная схема, состоящая из реле А, включенного последовательно с двумя реле В и С, соединенными параллельно, должна обеспечить замыкание цепи между,
клеммами I и II (рис. 12). Вследствие неисправности реле А может не сработать с вероятностью 0,18, а реле В и С— с одинаковыми вероятностями, равными 0,22. Определить среднее число включений схемы до первого отказа блокировочной схемы. рис. 12
12.15.	Прибор имеет элементы А, В и С, уязвимые к космическому излучению и дающие отказ при попадании в них хотя бы одной частицы. Отказ прибора наступает в случае отказа элемента А или совместного отказа элементов В и С. Определить математическое ожидание числа частиц, попадание которых в прибор приводит к его отказу, если условные вероятности попадания в элементы А, В иС частицы, уже попавшей в прибор, соответственно равны 0,1; 0,2; 0,2.
12.16.	Прибор имеет п элементов типа Л и т элементов типа В. В случае отказа элементов типа Л они не заменяются, а работа прибора продолжается до тех пор, пока в схеме есть хотя бы один исправный элемент типа В. Элементы типа В в случае отказа вводятся в действие повторным включением так, что число исправных элементов типа В в схеме остается постоянным. Отказ любого из исправных элементов прибора равновозможен. Определить среднее число отказов элементов, приводящих к полному отказу прибора, т. е. к выходу из строя всех п элементов типа Л.
12.17.	Доказать, что дисперсия числа появлений события при однократном производстве опыта не превосходит 1/4. 12.18. Определить условия, для которых третий центральный момент биномиального распределения равен нулю.
12.19.	Функция распределения случайной величины Xзадана равенством
F(x)= 5 С™рт(\—р)п-т
Доказать, что если
lim пр — а, то lim D [А'] == fl-
12.20.	Из урны, содержащей весьма большое число белых и черных шаров, смешанных в равной пропорции, вынимаются последовательно 10 шаров. Шары, вынутые до первого появления черного шара, возвращаются в урну; первый появившийся черный шар и все последующие перекладываются во вторую, первоначально пустую, урну. Определить математическое ожидание числа белых и черных шаров во второй урне.
Решить ту же задачу в предположении, что число я вынутых шаров является случайным и подчиняется закону Пуассона с параметром а = 10, т. е.
Р(п = А) = -^-е’в
12.21.	Игра заключается в том, что монету бросают до появления герба. Если герб выпал при к-м бросании монеты, то игрок А получает & рублей от игрока В. Сколько рублей должен
уплатить игрок Л игроку В перед началом игры для того, чтобы математические ожидания проигрыша для каждого игрока равнялись нулю (чтобы игра была «безобидной»)?
12.22.	Автоколонна может прибыть на станцию обслуживания в любой момент времени. При организации дежурства п ремонтных рабочих способом А среднее число обслуживаемых машин равно п р. При организации дежурства способом В будет обслужено: и[1—(1—р)2] машин, если автоколонна прибудет в первые две четверти суток; п р машин, если автоколонна прибудет в третью четверть суток;
0,5 пр машин, если автоколонна прибудет в четвертую четверть суток.
При каких значениях р следует предпочесть организацию дежурства способом В?
12.23.	Рабочий обслуживает я однотипных станков, расположенных в ряд с равными промежутками а. Закончив обслуживание какого-либо станка, рабочий переходит к тому станку, который раньше других потребовал обслуживания. Предполагая, что неполадка в любом из п станков равновероятна, вычислить среднее значение длины перехода рабочего.
12.24.	Случайная величина Сможет получать целые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Выбрать первый член и знаменатель прогрессии q так, чтобы математическое ожидание величины X было равно 10, и вычислить при этом условии вероятность Рю того, что X < 10.
12.25.	Случайная величина Сможет иметь любое целое положительное значение п с вероятностью, пропорциональной 1/Зп. Найти математическое ожидание X
12.26.	Опыт организован таким образом, что случайная величинах принимает значение 1/п с вероятностью 1/ п, где п— любое целое положительное число. Найти М [X].
12.27.	Игра состоит в том, что повторяются независимые опыты, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р. Если событие А произошло в п > 0 опытах подряд, а в (п + 1)-м опыте не произошло, то первый игрок получает от второго игрока у” рублей. Если же п = 0, то первый игрок платит второму игроку 1 рубль. Требуется найти величину у при условии, что игра будет «безобидной», т. е. математическое ожидание выигрыша для обоих игроков равно 0. Рассмотреть пример р = 1/13.
12.28.	Из сосуда, содержащего т. белых и я черных шаров, извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар. Найти математическое ожидание числа вынутых черных шаров и его дисперсию, если каждый шар после извлечения возвращался.
12.29.	Даны два ящика с белыми и черными шарами;
в первом ящике при общем числе шаров N находится М белых шаров, а во втором ящике имеется Mi белых шаров при общем числе N] шаров. Опыт состоит в том, что из обоих ящиков вынимается одновременно наудачу по одному шару, который кладется в другой ящик, после чего шары перемешиваются. Определить математическое ожидание числа белых шаров в первом ящике по окончании указанных к опытов. Рассмотреть
случай к 5>
12.30.	Связь с дрейфующей станцией могут поддерживать п радиостанций. Вступает в двустороннюю связь та, которая первой примет позывные дрейфующей станции, причем это событие равновероятно для всех п, радиостанций
(р = 1/и) Дрейфующая станция будет устанавливать связь
т раз. Определить вероятность того, что радиостанция № 1 вступит в двустороннюю связь А: раз. Найти для нее же математическое ожидание и дисперсию числа вступлений в двустороннюю связь.
12.31.	Независимые испытания аппаратуры повторяются до тех пор, пока она не даст отказ. Вероятность отказа от испытания к испытанию не меняется и равна р. Найти математическое ожидание и дисперсию числа безотказных испытаний.
12.32.	Двое поочередно бросают монету до тех пор, пока у обоих не выпадает одинаковое число гербов. Вероятность того, что после 1п бросаний у обоих будет одинаковое количество гербов, равна
_	(2п-2)!
Рп — 22Л-’п!(п— 1)! 
Определить математическое ожидание числа бросаний.
§ 13. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Основные формулы
Математическое ожидание х = М [Л’] и дисперсия D [АГ] случайной величины X, имеющей плотность вероятности f(x), вычисляются по формулам
Jt = M[Y]= J xf(x)dx, — GO
01^1 = J (x — xf f(x)dx. — CO
В первом случае предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
Математические ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин обладают такими же свойствами, что и аналогичные вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Среднее квадратическое отклонение о определяется формулой
Для симметричного закона распределения характеристикой рассеивания случайной величины может служить срединное отклонение Е, определяемое из условия
Р(| X -х| < £) = 1.
Начальный момент к - го порядка и центральный момемт к - го порядка щ вычисляются но формулам
mk— J xkf(x)dx,
— СО
-Ьсо
v-k= f (x — x)hJ{x)dx. — QO
Решение типовых примеров
Пример 13.1. Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет вид (закон Рэлея)
/(х)==^.е-^	(х>0).
Определить: а) математическое ожидание М [Х]; б) дисперсию -ОИ и среднее квадратическое отклонение о; в) центральные моменты третьего и четвертого порядков
ЦЗ И |14
Решение. Вычисление моментов сводится к вычислению интегралов вида
Ja = f	(п>0 целое),
а
которые равны при п четном
2ft 2 \	2/ 2ft+I

где
(2к- l)!! = (2fc- 1) (2&-3) (2&-5)...7 • 5 • 3 • 1, и при и нечетном
Лй+1 = уГ(й+1) = 4.
а)	Математическое ожидание случайной амплитуды боковой качки равно
СО	00	Д-?
х = М[Х]= J xf(x)dx — -^- J* х2е 2“а dx. о	о
—= Л
Произведя замену переменных аУ2 , получим
M [Xj = 2 /2а J ?е~р dt = 2 /2аJ2 =
= 2	« = «/?•
Итак,
x = MW=a
б)	Так как
a2 = D [A”] = M [A’2] - (x)? = 4aV3 - -J a2 = a2 (2 -
TO 0x=s= a у 2	.
B) H3 = M [(AT — x)3] = m3 — 3xm24- 2 (x)3,
где
и3=4/2аМ4=хЗа3|/-J
Следовательно,
а3 (л — 3)]/-f
Щ = M 1(АГ — х)4] = m,4 — 4х/и3 4- 6x2zzi2 — Зх4,
где от4 ~ 8a4Js = 8«4-. Следовательно, ®4 (8	4-л )
Аналогично решаются задачи 13.1—13.13 и 13.22— 13.23.
Пример 13.2. Найти срединное отклонение случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид (распределение Лапласа.)
/(х) = |е-^'.
Решение. Так как плотность, вероятности симметрична
относительно нуля, то х= 0 . Срединное отклонение Е вычисляется по формуле
£	Е
±-=р(\Х-х\<Е) = /*le-ivldx = J e~xdx=\-e-E,
-F. ft
Отсюда E = 1п2 = 0,6931. Аналогично решаются задачи 13.1 и 13.4.
Задачи
13.1.	Плотность вероятности случайной величины X. имеет вид
/(X)==brnpH I*
( 0 при [x— a|>/.
Определить: a) M [AT]; 6) D [АГ]; в) найти связь между средним квадратическим и срединным отклонениями случайной величины X.
13.2.	Функция распределения случайной величины X имеет вид
!	-  0	при	х< — ],
a-j-^arcsinx при —
I 1	при	t х.
Определить постоянные а и Ь. Найти М [АГ] и D [АГ].
13.3.	Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, если плотность вероятности
/(*) =
eVX
О
при х > О,
при х < 0.
13.4.	Плотность вероятности случайной величины X имеет вид (закон арксинуса)
Определить дисперсию и срединное отклонение.
13.6. Плотность вероятности случайных амплитуд А боковой качки корабля определяется формулой (закон Рэлея)
/(в)
где о2 - дисперсия угла крена.
Одинаково ли часто встречаются амплитуды, меньшие и большие средней?
13.6.	Скорость молекул газа имеет плотность вероятности (закон Максвелла)
/ A&e-w (v > 0).
Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величину Л при заданном h.
13.7.	Плотность вероятности случайной величины Xзадана в виде
/« =
при
при
х <0, х до-
определить М [АГ] и D [АГ].
13.8.	Функция распределения случайной величины X
имеет вид
F(x)= 1
"jF лри	(х0 > 0).
0 при х х0
Найти М [АГ] и D [АГ].
13.9.	Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид
/(х) = А-е-И (распределение Лапласа).
13.10.	Случайная величина X имеет плотность вероятности (гамма-распределение)
/(*) =
0
при х 0 (а > — 1; р > 0).
при х < 0. \	'
Определить параметр А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
13.11.	Случайная величина X имеет плотность вероятности (бета-распределение)
Дхп-1(1—х)а-1 при	(а > 0; b > 0),
0	при х < 0 и х > 1.
Определить параметр А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
13.12.	Случайная величина X имеет плотность вероятности
я+1
f(x)= Л(1 + л2)’ 2 .
где п > 1 — целое положительное число. Определить постоянную А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
13.13.	Плотность вероятности неотрицательной случайной величины X имеет вид
ж1
/(х) = Дх«'2₽’ 2,
Определить А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
13.14.	Доказать, что при выполнении условий
lim [xF(x)l = 0 и lim [*[1 — Л(х)1} =0
Л?->—со
для математического ожидания случайной величины справедливо равенство
М[Х] = J[l—	§ F(x)dx.
0	-со
13.15.	Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t задается формулой
р (.0 = 1 - г* (у > 0).
Определить среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна.
13.16.	Определить математическое ожидание m(t) массы радиоактивного вещества спустя время t, если в начальный момент масса вещества была то, а вероятность распада ядра любого атома в единицу времени постоянна и равна р.
13.17.	Определить время полураспада радиоактивного вещества, если вероятность распада ядра любого атома в единицу времени постоянна и равна р. (Время полураспада Тп определяется моментом, когда масса радиоактивного вещества в среднем уменьшается вдвое.)
13.18.	Обработка результатов одной переписи показала, что дифференциальный закон распределения возраста лиц,
занимающихся научной работой, может быть представлен формулой
/(f) = k (f — 22,5) (97.5 —0s
(t - время в годах, 22,5 < t < 97,5).
Определить, во сколько раз число научных работников в возрасте ниже среднего превышает число научных работников в возрасте выше среднего.
13.19.	Найти для распределения Стьюдента, задаваемого плотностью вероятности
г (д+Л)	g+1
начальные моменты при к < n.
13.20.	Случайная величина ^подчиняется бета -
распределению, т. е. имеет плотность вероятности
'Ю=ТйТйк’(|-’>н
(0 < х < 1; р > 0; ? > 0).
Найти начальный момент к-го порядка.
13.21.	Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей в интервале (-л/2 ; л/2) плотность вероятности 2/kcos2x.
13.22.	Выразить центральный момент Цк через начальные моменты.
13.23.	Выразить начальный момент через центральные моменты и математическое ожидание х,.
§ 14. Закон Пуассона
Основные формулы
Законом распределения Пуассона называется ряд распределения случайной величины X вида
ат
Р (Л" ==/») =	= Р (т, а)=^е-*
где
а = МИ1.
Законом Пуассона может быть приближенно заменено биномиальное распределение, когда вероятность р появления события А в каждом отдельном опыте мала, а число п производимых опытов велико. В этом случае имеет место приближенное равенство
_______________ Л—Д пР \>~Р)_______*
А п,т	"
Где а = пр.
Решение типовых примеров
Пример 14.1. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух электроэлементов за год?
Решение. Считая случайное число X отказавших элементов подчиняющимся закону Пуассона Р (Х= т) = Рт =
= ml ' где а = пр = 1000 • 0,001 = 1, получим:
1) вероятность отказа ровно двух элементов
P(X = 2) = P2 = ^-e-‘- = i=0.184;
2) вероятность отказа не менее двух элементов
Р(Х>2)= V 11-^(1+о) = т»2
= 1 — 2. « о,264.
$
Аналогично решаются задачи 14.1—14.7.
Пример 14.2. При разрыве баллона в процессе испытания на прочность образовалось 100 осколков, распределившихся в конусе разлета, ограниченном углами 30° и 60° (рис. 13), равномерно. Найти математическое ожидание и дисперсию числа осколков, приходящихся на 1 л/2 части поверхности сферы, находящейся внутри конуса разлета, если радиус сферы 50 м, а центр ее совпадает с точкой разрыва.
Решение. Пересечем конус разлета осколков сферой радиуса 50 м и определим математическое ожидание числа осколков, приходящихся на единицу площади поверхности шарового пояса, образовавшегося в результате пересечения конуса разлета со сферой. Обозначим через S площадь поверхности шарового пояса: л/3
S — 502 f f s in 0 d$ tf<p = 5000л (cos £ — cos J) = О тс
$
= 2500л(/Г—1)^5725 л2.
Так как общее число осколков N= 100, то математическое ожидание числа их а. приходящегося на единицу площади поверхности шарового пояса, будет а =-у ="5725 = 0,01745 осколка. Вероятность попадания данного осколка в данную площадку So = 1м2 мала (она равна Sq/S = 1,75 -10 поэтому можно считать, что случайное число осколков X,
а
Рис. 13.
приходящееся на 1 л/2 поверхности сферы, распределено по закону Пуассона и, следовательно, имеет место равенство
D[A] = М[АГ] = а = 0,01745. Аналогично решаются задачи 14.10 и 14.12.
Задачи
14.1.	Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 10000 часов работы равно 10. Определить вероятность отказа радиоаппаратуры за 100 часов работы.
14.2.	Вероятность любому абоненту позвонить на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 4 абонента?
14.3.	Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна р = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?
14.4.	В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек., в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?
14.5.	Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытания. Сравнить результаты расчетов, полученных с использованием распределения Пуассона и с использованием биномиального распределения. В последнем случае расчет производить с помощью семизначных таблиц логарифмов.
14.6.	За рассматриваемый период времени среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента, равно 8. Какова вероятность, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?
14.7.	Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1 %.
14.8.	Корректура в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не меньше трех опечаток.
14.9.	В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 сек. испускало в среднем 3,87 а -частицы. Найти вероятность того, что за 1 сек. это вещество испустит хотя бы одну а - частицу. 14.10.
Определить коэффициент асимметрии случайной величины, распределенной по закону Пуассона. (Коэффициентом асимметрии называется отношение Sk= Цз/о3-)
14.11. В аппаратурный отсек космической ракеты за время ее полета с вероятностью
попадает г элементарных частиц. Условная вероятность для каждой из них попасть при этом в уязвимый блок равна р. Найти вероятность попадания в блок: а) ровно к частиц; б) хотя бы одной частицы.
14.121). Определить дисперсию числа атомов радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, если даны масса вещества М, период полураспада Тп, атомный вес вещества А, число атомов в грамм-атоме Ng.
14.131). Определить вероятность того, что в экран площадью 5 = 0,12 см2, поставленный на расстоянии г = 5 см перпендикулярно потоку от а - радиоактивного вещества, попадает в течение секунды: а) ровно десять а - частиц; б) не менее двух а - частиц, если период полураспада вещества Тп = 4,4 • 109 лет, масса вещества Л/ = 0,1 г, атомный вес вещества А = 238.
14.14. Доказать, что полиномиальное распределение
Рп (&1> ^2, . • ., Йщ. А л,+1) —
— /I	'1'2 ' • • Ут ^т+1
где
А + Л-Н •••	+	1.
а
Ai + Aa+	4-*™+^+! =
можно аппроксимировать многомерным законом Пуассона
jb л»	jfr
*iIA2! ... A„l ’
где Я,- = пр,. если все вероятности р, за исключением pm+i малы, а п. велико.
*) 1. Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь.
2.	Число Авогадро Na = 6,02 • 10й3 — число атомов в грамм-атоме, т. е. в количестве вещества, вес которого в граммах равен атомному весу.
3.	Периодом полураспада вещества Тп называется время, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается в среднем вдвое.
§ 15. Закон нормального распределения
Основные формулы
Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид
1	(х-х?
fix') —---=6
7 v ’	<j /2 л
или
<х-Х?
где о - среднее квадратическое отклонение, £ = Р ]/2 о срединное отклонение (иногда называемое и «вероятным отклонением»), р =0,476936...
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в интервал (xi, Х2) вычисляется по одной из следующих формул:
1) Р < X < *3) = 1 [Ф - Ф .
где Ф(х) = ~7==- / е 2 dt — функция Лапласа (интеграл
вероятности);
2) P(JCj < X < х2) = 1	Ф (¥)]' ’
где Ф(х)=—/ e-fW dt — приведенная функция Лапласа.
У л '/
Значения функций ®(*) и *$(*) даны в таблицах [8Т] и [ИТ].
Решение типовых примеров
Пример 15.1. Измерение дальности до объекта сопровождается систематическими и случайными ошибками. Систематическая ошибка равна 50 м в сторону занижения дальности. Случайные ошибки подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением о = ЮО.м. Найти:
1) вероятность измерения дальности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 150 м\ 2) вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной.
Решение. Обозначим через X суммарную ошибку измерения дальности. Ее систематическая составляющая х = - 50 м.
Следовательно, плотность вероятности суммарных ошибок
имеет вид
U+S0)’
/оч 	1	го мю
100 УъГ
1. Согласно общей формуле имеем Р(|А]< 150) = Р( -150< X <
*• [ф (' i50 + 50\ _ф / — 150 + 50 11 =2.гф/2)—.
150)=ТГ\ 300 )	(	100 Д 2
Интеграл вероятности является функцией нечетной, поэтому Ф(-1) = -Ф(1).
Отсюда
Р(|Х| < 150) = 1/2[Ф(2) + Ф(1)]
Из таблицы [ВТ] находим
Ф(2) = 0,9545, Ф(1) = 0.6827;
окончательно
Р(|А] < 150) = 0,8186.
2. Вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной,
Р (-: <Х< 0) = 1/2 [Ф(0,5) + Ф (:)].
Так как Ф(:) = lim Ф(х) = 1, а из таблицы [8Т] находим Ф (0,5) =
0,3829, то
Р(-:<^< 0) = 0,6914.
Аналогично решаются задачи 15.1—15.4 и 15.10—15.14.
Пример 15.2. Определить срединную ошибку прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±20 м.
Решение. Из условия задачи следует, что
Р(|Х| < 20) = 0,8.
Так как плотность вероятности случайных ошибок нормальная, а х = 0 (систематические ошибки отсутствуют), то, Р(|Х|<2Й=±[ф(4)-«(-^]=«>(4)
Неизвестное значение срединной ошибки находим как решение трансцендентного уравнения
ф^О.8.
С помощью таблицы [ИТ] получим.
Ф(20/£) = 0,8.
Откуда
Я = 20/1.90= 10.5 м
Аналогично решаются задачи 15.8 и 15.18.
Задачи
15.1.	Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и срединную ошибку 50 м. Какова вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 5 Л/?
15.2.	Систематическая ошибка удержания высоты самолетом + 20 м, а случайная ошибка характеризуется срединным отклонением, равным 50 м. Для полета самолета отведен коридор высотой 100 л/. Какова вероятность, что самолет будет лететь ниже, внутри и выше коридора, если самолету задана высота, соответствующая середине коридора?
15.3.	Срединная ошибка измерения дальности радиолокатором равна 25 м. Определить: а) дисперсию ошибок измерения дальности; б) вероятность получения ошибки измерения дальности, по абсолютной величине не превосходящей 20 м.
15.4.	Измерительный прибор имеет срединную ошибку 40 м, систематические ошибки отсутствуют. Сколько необходимо произвести измерений, чтобы с вероятностью более 0,9 ошибка хотя бы одного из них не превосходила по абсолютной величине 7,5 л/?
15.5.	Даны две случайные величины X и У, имеющие одинаковые дисперсии, но первая распределена нормально, а вторая равномерно. Определить связь между их срединными отклонениями.
15.6.	Нормально распределенная случайная величинах имеет математическое ожидание х = -15 м и срединное отклонение 10 м. Вычислить таблицу функции распределения для значений аргумента через каждые 10 м и построить график.
15.7.	Высотомер имеет случайные и систематические; ошибки. Систематическая ошибка равна + 20 м. Случайный ошибки распределены по нормальному закону. Какую срединную ошибку должен иметь прибор, чтобы с вероятностью 0,9 ошибка измерения высоты была меньше 100 л/?
15.8.	Найти связь между средним арифметическим отклонением
М [|Х-х|]
нормально распределенной случайной величины и ее средним квадратическим отклонением.
15.9.	Определить для нормально распределенной случайной величины X, имеющей М [X] = 0,
1)	Р(Х>Ао) и 2) Р(|Х| (при А = 1. 2, 3).
15.10.	Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих срединную ошибку взвешивания 100 мг.
Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,5 г.
15.11.	Производятся два независимых измерения прибором, имеющим срединную ошибку 20 м и систематическую ошибку +10 м. Какова вероятность того, что обе ошибки измерений, имея разные знаки, по абсолютной величине превзойдут Юл/ ?
15.12.	На плоскости проведены две параллельные прямые, расстояние между ними L. На эту же плоскость бросается круг радиуса R. Центр рассеивания расположен на расстоянии b от одной из линий во внешнюю сторону. Срединное отклонение центра круга в направлении, перпендикулярном линии, равно Е.
Определить при одном бросании: а) вероятность накрытия кругом хотя бы одной прямой; б) вероятность накрытия обеих прямых, если Z = 10 л/, R = % м, b = 5 м,
Е= 10 м.
15.13.	Изделие считается Высшего качества, если отклонение его размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,45 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта, если изготовляются четыре изделия.
15.14.	Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более 0,0027 получалась деталь с контролируемым размером вне поля допуска, если случайные отклонения размера от середины поля допуска подчиняются закону нормального распределения с параметрами х = 0 и о = 5 мк?
15.15.	Какое расстояние должно быть между двумя рыболовецкими судами, идущими параллельными курсами, чтобы вероятность обнаружения косяка рыбы, идущего посередине между ними тем же курсом, равнялась 0,5, если ширина полосы обнаружения косяка для каждого судна является нормально распределенной случайной величиной с параметрами х = 3,7 км иЕ = 0,74 км и для разных судов эти величины независимы?
15.16.	При большом числе измерений установлено, что 75% ошибок: а) не превосходят +1,25мм; б) не превосходят по абсолютной величине 1,25 мм. Заменяя частоты появления ошибок их вероятностями, определить в обоих случаях срединное отклонение закона распределения ошибок измерения, считая его нормальным с нулевым математическим ожиданием.
15.17.	Случайное отклонение Хразмера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием х и средним квадратическим отклонением о. Годными деталями являются те, для которых а < Х< Ь. Деталями, подлежащими переделке, являются те, для которых Х>Ъ.
Найти: а) функцию распределения случайных отклонений размеров деталей, подлежащих переделке; б) функцию распределения случайных отклонений размеров годных деталей.
15.18.	Нормально распределенная случайная величинах имеет математическое ожидание, равное нулю. Определить срединное отклонение Е, при котором вероятность Р (а < ; Х< Ь) была бы наибольшей (0 < а < Ъ).
§ 16. Характеристические функции
Основные формулы
Характеристической функцией Е(и) случайной величины X называется математическое ожидание функции е,иХ (где и -
вещественная величина, ai=sV 0:
Е(и) = M[eiuX].
Для непрерывной случайной величины
Е (и) = J eiuJr/ (х) dx, — СЮ
где f(x) - плотность вероятности случайной величины X. Для дискретной случайной величины (и только для дискретной)
где Хк - частные значения случайной величины, рк= Р (X = Хк) - соответствующие им вероятности. Если начальный момент тк существует, то
1 !вя<»
Плотность вероятности f(x) однозначно выражается через
характеристическую функцию:
+ QO
= J e~larE(u)da,
—со
Последняя формула для дискретных случайных величин Дает плотность вероятности в виде суммы дельта-функций. Между функцией распределения и характеристической функцией существует взаимно однозначное соответствие.
Решение типовых примеров
Пример 16.1. В партии, состоящей из п изделий, от изделий дефектных. Для проверки качества произведена бесповторная выборка г изделий (тп, < г < п — тп). Найти характеристическую функцию числа дефектных изделий, содержащихся в выборке.
Решение. Случайная величина Л^-числ о дефектных изделий, содержащихся в выборке, — может принимать все целочисленные значения в интервале (0, тп). Обозначим
Pk = Р(Х= к), где к = О, 1, 2,.... т.
Находя рь как отношение числа равновозможных, единственно возможных несовместных исходов опыта к общему числу таких исходов, получим
г*
Следовательно, характеристическая функция
m f'k f*r — k
£(«>=2-^-^.
л=о
Аналогично решаются задачи 16.1—16.5. Пример 16.2. Найти характеристическую функцию случайной величины X.
плотность вероятности которой
/ (Х) = |е-1лг|.
Решение. Так как характеристическая функция
+ СО
Я(й)= J* eiaxf(x)dx>
—со
ТО
= i У* — —со со	О
= ~f + у f etlu+i'>xdx = О	— oo
1 ( I	1 \	1
— 2Ц-iu l + lu)~ 14-й*’
т.е.
Аналогично решаются задачи 16.6—16.12. Пример 16.3.
Случайная величина X имеет характеристическую функцию
Найти плотность вероятности этой случайной величины.
Решение. Плотность вероятности f(x) связана с характеристической функцией Е(и) соотношением
= f e-^E^du. — СО
Подставив значение Е(и), получим +оо
1 * С p-tox
—со
Будем рассматривать и как вещественную часть комплексного переменного w = и + iv.
При х < 0 интеграл по вещественной оси равен интегралу по замкнутому контуру, состоящему из вещественной оси и полуокружности бесконечно большого радиуса, лежащей в верхней полуплоскости (рис. 14), т. е.
+™
,, .	1 Г	1 р g-lxw
— "ЙГ J Т+н> dii = 2л" У
—со
На основании теоремы о вычетах
Г	f e-ixw\
У 1+^r = 2^ HH.., = или учитывая, что x < 0. имеем

Аналогичным образом при х > О
f
+fX>
1 f eltt,x
где интегрирование ведется по тому же контуру (рис. 14). На основании теоремы о вычетах
или, учитывая, что х > 0, имеем
7(х)=|«-1ж|.
Таким образом, для любого значения х

Аналогично решаются задачи 16.15 и 16.16.
Пример 16.4. Найти начальные моменты случайной величины
X, характеристическая функция которой Е(и) =
=1/1+и2
Решение. Начальные моменты существуют до любого порядка, так как все производные от Е(и) непрерывны в нуле.
Следовательно,
1 d*E(u) |
|„=0
(tt) |
Найдем производные l«=o как коэффициенты при uk/k!
1
в разложении функции 1 + в ряд Маклорена, т. е; используем равенство
t _ у dkE (к) | и* l + «5	|0-о Л1 *
С другой стороны, функция 1 + при |и| < 1 является суммой геометрической прогрессии:
СО	00
TT^ = I=W= S
ЛТ&О	л: =0
1
Итак, ряд Маклорена для функции 1 + содержит только четные степени и. Отсюда следует, что dkE(u) I __f £*Л1 при А четном,
lu=o I 0 при А нечетном,
а начальные моменты ' А! при k четном, Wj ='	.
О при k нечетном.
Аналогично решаются задачи 16.3, 16.7, 16.8, 16.10, 16.14. Задачи
16.1	. Найти характеристическую функцию числа появлений события при одном испытании, если вероятность появления события при одном испытании равна р.
16.2	. Найти характеристическую функцию числа появлений события А при п независимых испытаниях, если вероятность появления события А от испытания к испытанию меняется и для к-го испытания равнаpk (k= 1, 2,.... п).
16.3	. Определить характеристическую функцию случайной величины X, имеющей биномиальное распределение, и по ней найти М [А] и D [А].
16.4	. Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины X. подчиняющейся закону распределения Паскаля
Р {X = т) =--г (а > 0),
по ней найти М [А] и D [А].
16.6	. Случайная величина ^дискретного типа подчиняется закону Пуассона
А®
Р(^=т)=|ге-
Найти: а) характеристическую функцию Е(и) б) используя Е(и), найти М [XJ и D [X].
16.6	. Найти характеристическую функцию нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием х и дисперсий о 2.
16.7	. Найти характеристическую функцию и начальные моменты случайной величины, плотность вероятности которой
{е~х для х О,
О для х < 0.
16.8	. Найти характеристическую функцию равномерно распределенной в интервале (а, Ь) случайной величины и все ее начальные моменты.
16.9.	Случайная величина X имеет плотность вероятности
/ (х) = Жхе-**	(х > 0).
Найти ее характеристическую функцию.
16.10	. Случайная величина X имеет плотность вероятности
/(х) =
pTjT-	При > 0,
0 при х<0
(а, X > 0).
Найти ее характеристическую функцию и начальные моменты.
16.11	. Найти характеристическую функцию случайввй , величины X, плотность вероятности которой (закон арксинуса)
16.12	. Случайная величина X подчиняется закону Коши 1
/(*)=-------J.
л (х — х)г + а’
Найти ее характеристическую функцию.
16.13	. Пользуясь выражением
Е (tt) — exp | lux —	1
для характеристической функции нормального закона распределения, найти характеристическую функцию для случайной величины: a) Y=aX+b. б) Х = Х— х..
16.14	. Пользуясь выражением
ы*аа
£(«) = « 2
для характеристической функции центрированной случайной величины X, подчиняющейся нормальному закону распределения, определить все центральные моменты.
16.15	. Характеристическая функция случайной величины X задана в виде
= e-el«I	(а > 0).
Определить плотность вероятности X.
16.16	. Даны характеристические функции
Определить соответствующие им плотности вероятностей.
16.17	. Дана характеристическая функция
£,а)=^Ь-
Показать, что она соответствует случайной величине дискретного типа. Найти ряд распределения этой величины.
§ 17.	Вычисление полной вероятности и условной плотности вероятности после опыта для гипотез, являющихся возможными значениями непрерывных случайных величин Основные формулы
Полная вероятность события А вычисляется по формуле
РИ)= /	dx.
где f(x)—плотность вероятности случайной величины X, от значений которой зависит вероятность появления собы-
тия А; Р(Л | х)—вероятность появления события А, вычисленная в предположении, что случайная величинах приняла значение х.
Условная плотность вероятности f(x | А) случайной величины X, т. е. плотность вероятности при условии, что событие А имело место, определяется формулой
j /(л)Р(Л
(обобщенная формула Байеса)
где f(x)—плотность вероятности случайной величины X до опыта.
Решение типовых примеров
Пример 17.1. Вероятность события зависит от случайной величины Хи выражается следующей формулой:
( 1 —
РИ|х) = |	0
(А > 0).
Найти полную вероятность события Л, если X является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием х и дисперсией о2.
Решение. Полная вероятность события А
Р(Л)= f f (x)P(Alx) dx.
•Jo’
Подставляя сюда заданную плотность вероятности получим
Р(Л) = f * = J оу 2л о '

1	? A*-**
/ е ™ dx.
Показатель степени уев последнем интеграле можно привести к виду (х~ х)2	.
— 2ои
(х —x-j-fea2)2	fyfi \
2а2	-Vе 2~Г
Следовательно,
1 -*
-=?в
»<т’
(x-x+ita*?
& dx.
о
Так как
1
о /2л
то
_[1+Ф(^)]схр[-4(;_-)]}.
Аналогично решаются задачи 17.1—17.10.
Пример 17.2. Отклонение размера детали от середины поля допуска шириной 2d равно сумме двух случайных величин X и Y, имеющих плотности вероятности
f(x) =----
/2я
и
у*
1 2оЯ ф(у) = —.^=е ву у 2я
Определить плотность вероятности случайных величин X для годных деталей, если распределение со(у) не зависит от того, какое значение приняла случайная величинах Решение. Пусть А—событие, состоящее в том, что изготовленная деталь оказалась годной. Условная вероятность Р(Л | х) получения годной детали, вычисленная в предположении, что случайная величинах приняла значение х, равна -х+а	у1
Пусть f(x\A)—условная плотность вероятности случайной величины X для годных деталей, тогда
J /(х)Р(Л |
или
Подставляя значения Дх) и Р(Л|х/ получим
или
/(*|Л)*=
Задачи
17.1.	На плоскости проведена прямая, на которой с равным интервалом / отмечены точки. Определить вероятность того, что хотя бы одна точка попадает в центр круга диаметром Ь, перемещающегося в той же плоскости таким образом, что центр круга движется по прямой, пересекающей проведенную прямую линию под углом Y, равновозмож-
ным в интервале (YцУг). (Углы и удовлетворяют условиям sin
Yi <b/lw. sin Y2>b/l.)
17.2.	На каждой из двух параллельных прямых независимо отмечены точки с постоянным интервалом I = 100 м. Определить вероятность того, что хотя бы одна точка попадет внутрь бесконечной полосы шириной D = 25 м, которая расположена в той же плоскости, что и прямые, таким обра
зом, что ограничивающие ее прямые перпендикулярны данным прямым.
17.3.	Найти вероятность попадания одним выстрелом в мишень, если расстояние D до мишени в момент выстрела— случайная величина, равномерно распределенная в интервале от 100 до 200 м, а условная вероятность попадания в цель равна 3000/D2 где D выражено в м.
VIA. На берегу пролива шириной L = 30 км установлена наблюдательная станция, дальность обнаружения которой является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием х = 20 км и срединным отклонением Е = 1 км. Судно с равной вероятностью может проходить через пролив, идя вдоль берега на любом расстоянии от берега. Найти вероятность того, что наблюдательная станция обнаружит судно.
17.5.	На правую чашку весов положен груз, вес которого подчинен нормальному закону распределения с параметрами х = 20 кг и Е = 1кг. На левой чашке весов находится другой груз, вес которого равновероятен в пределах от 0 до 50 кг. Определить вероятность того, что правая чашка перевесит левую. Сравнить полученный результат с тем, который получился бы в предположении, что груз правой чашки не случаен, а в точности равен 20 кг.
П.6. Произведено п независимых измерений нормальной случайной величины X, математическое ожидание которой совпадает с началом отсчета, а срединное отклонение равно R. Найти вероятность того, что результат хотя бы одного измерения отклонится от случайной величины Z не более чем на ±г, если Z равномерно распределена в интервале (-1,1).
17.7.	Дан ряд независимых случайных величин X] ,Х? ... Хп имеющих одну и ту же плотность вероятности f(x). Размахом ряда случайных величин называется случайная величина
w =х -X
п ^тах -^-тт
тцеХтах наибольшее, aXmin- наименьшее из полученных значений^ (j = 1, 2,..., п).
Найти функцию распределения размаха
F(w) = P(Wn<w).
17.8.	Какова вероятность того, что две точки, наудачу выбранные в круге, будут лежать по одну сторону от хорды, проведенной параллельно заданному направлению, расстояние которой от центру является равномерно распределенной случайной величиной?
17.9.	КоординатыXt случайных точек А\, А2..., Ап имеют плотности вероятностей
f(x)(i=l,2,...,n).
Одна из этих п точек совпадает с некоторой отметкой А о, отклонение координаты которой от заданного числа имеет плотность вероятности f(x). Определить вероятность того, что с точкой Aq совпала точка Лг.
17.10.	Случайная величина X подчиняется закону Пуассона P(lY = m) = ^Г.-
параметр которого неизвестен, но имеет до опыта плотность вероятности
f(a) = ae~a (а > 0).
Произведен опыт, в результате которого случайная величина X приняла значение то. Найти плотность вероятности а после опыта.
ГЛАВА III СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 18.	Законы распределения и числовые характеристики систем случайных величин
Основные формулы
Функция распределения (интегральный закон распределения)
F(xi, х2,хп ) системы п случайных величин (Х1г Х2,Хп) определяется формулой
F(xh х2,хп ) = Р(Х <х1г Х2<х2>... ,Хп<хп)
Для системы непрерывных случайных величин существует плотность вероятности (дифференциальный закон распределения), определяемая формулой
/(Хр х2.
хг.....хп)
dxt дх2 ... дх„
Система дискретных случайных величин характеризуется совокупностью вероятностей Р(Х/ = xi, Х2=х2,Хп = хп). которые могут быть сведены в таблицу с п входами (по числу случайных величин).
Функция распределения для непрерывных случайных величин выражается в виде кратного интеграла
F( xi,x2,хп) =
xi xi . хп
= / / • • • / f(xv хг. .... xa)dx1dx1 ... Ахл, — СО —со
для дискретных случайных величин — в виде кратной суммы
Р(Хр х2.....хд =
-2 2 .•• 2 Р(*1=<1. x2 = i2...............хя=1а),
/| <-Ц 12<Х2	1п<ХП
где суммирование производится по всем возможным значениям каждой из случайных величин, для которых
Z/ < Xi f l2 < X2, ..., in < Xn
При n = 2 система непрерывных случайных величин может интерпретироваться как случайная точка на плоскости, а при п = 3 — как случайная точка в пространстве.
Вероятность попадания случайной точки в область 5 равна интегралу от плотности вероятности по этой области.
Основными числовыми характеристиками системы п случайных величин являются математические ожидания
СР оо	со
MPGJ= f
—оэ — со	— оо
дисперсии
• • • f xif(xi< х2. • • - . xjdx^ ... dx„.
opr,]=*„=«;=
= / J ...	X|)’/(*|. Xj. ....	... Лх.
—CO — CO	—»	И
корреляционные моменты
MRA'i—хДСХу — */)! —^// = co co	co
—00 —CO	— QO
X/(A- *2....x^dx^dXi ... dx„.
Аналогичным образом вычисляются моменты для дискретных случайных величин, где интегрирование заменяется суммированием по всем возможным значениям случайных величин.
Вторые центральные моменты составляют корреляционную матрицу
|Лц ka k13 ... Aln Aji Ajj ... k2n
*31	*32	*33 •   *з« 1
*nl *л2 &пЗ • • • &пп
где ky = кд Иногда оказывается удобной формула
fty == М Л;1 - М [Л\] • М [Л^.
Случайные величины Xi, Х2,Хп, входящие в систему, не коррелированы (не связаны), если недиагональные элементы корреляционной матрицы равны нулю.
Безразмерной характеристикой связи между случайными величинами Xt, и Xj служит коэффициент корреляции
/Ордере,]
Коэффициенты корреляции составляют нормированную корреляционную матрицу
Непрерывные случайные величины X/, Х2,Хп, входящие в систему, независимы, если
f(X],X2,...,Xn) =fi(xi)f2(x2) ...fn(x^
и зависимы, если
f(Xi,X2,...,Xn) / fi(xi)f2(x2) ...fn(xn)
vRef(xi)—плотность вероятности случайной величины X (см. § 20).
Дискретные случайные величины Xi, Х2,Хп, независимы, если
ij, Х2	5 Хп in)
Решение типовых примеров
Пример 18.1. В результате испытания изделие может быть либо отнесено к первому сорту с вероятностью pi, либо ко второму сорту с вероятностью Р2 либо забраковано с вероятностью рз, = 1 —pi - Р2 Испытано п изделий.
Определить распределение вероятностей различных чисел изделий первого и второго сорта, их математические ожидания, дисперсии и корреляционный момент.
Решение. Обозначим число изделий первого сорта через X, а число изделий второго сорта через Y. Так как испытания независимы, то вероятность того, что к изделий будет отнесено к первому сорту, 5 изделий — ко второму сорту, а остальные п — к—s изделий будут забракованы (с учетом числа всевозможных сочетаний трех слагаемых к, s и п — к—s, из которых может быть составлена сумма п),
равна
Р(Х=4.
Р1+ Рз+ Рг = Ь
Значения этой вероятности при к= 0, 1,..., п, s = 0, 1,..., п и k+ s<n составляют искомую совокупность вероятностей различных чисел изделий первого и второго сорта. Математическое ожидание числа изделий первого сорта п п-Л
М[<¥] = х=^	PiP2p3~*~1==
Л=0 5=0

п n—k
\ k\s\(n — k — S)l Р1Р2Рз~к~3
А=0 s=0
Л	j
— Pi (Pi 4“ Р2 4” Рз) = пР\ (Pi 4“ Pi 4“ Pa)
Дисперсия числа изделий первого сорта
DH1 = 2	—A —s)l Р1Р2Р$~к~г — х2 =
k=0 j=0
In n-Л	1
X k AlSlpi —A —S}1 P[P2Pl~k~s ! — X2 =
A=0 j=0	I
= Л-^-{«Р1(Р1 + Рг + Рз)'"11—*s =
= «Л + «(« — 1) p\ — ri2p* = nPl (1 — Piy
Аналогично находим
М£Г] = «рг. О[К] = «рг(1— pj.
Корреляционный момент между числом изделий первого и второго сорта равен п n-k
k'S Al si (Л — A — s)I P\p2p"~*~* xy = H=0 s=0
—A^P2^l(pl+pi+pli)',l—n3plp2~
= pi^l'ip2(pl + p1 + p3)a~1}~n2plp2 =
= n(n — l)Plp2 — n2p,p2 = — npxp2.
Пример 18.2. Дана плотность вероятности системы случайных величин (X, Y):
f(x, у) = 0,5 sin (х+ у) (0 < х < л/2,0 < у < и/2).
Определить: а) функцию распределения системы; б) математические ожиданиями У; в) корреляционную матрицу.
Решение. Находим функцию распределения
(при 0 < х < л/2,0 < у < л/2):
* у
^(х, у) == Р(А < х, У < у) = J J 0,5s!n(x + y)dxrfy = о о
= 0,5 [sin х 4* sin у — sin (х + у)].
Математическое ожидание случайной величины X
Aft lift
M[Xj = O,5 I* у"	=
0 0 Aft	'	’
= 0,5 I* x[— cos fjc 4*+ cos x]dx = -^- = 0,785. 0
Дисперсия случайной величины X
lift lift
О [X] = 0.5 У x2sin(x + y)dxrfy— ^-==s 0 0
Aft
= 0,5 J* x2 [—cos[x4--y^4-cosxj dx—	=
о
=<+t-2=0J88-
Из симметрии плотности вероятности относительно X и У следует, что
M[Y] = М[Х], D[Y] = D[X],
Корреляционный момент
Aft Aft
Лх, = 0,5 У У xysln(x + y)6fxdy —<== о о
Aft
= 0,5 У х [sin [х-4--^—sin х — у cos(*+<)]dx—= о
= Т-*-< = -0,046.
Таким образом, корреляционная матрица имеет вид
II м =
0,188
—0,046
—0,046
0,188
Аналогично решаются задачи 18.18 и 18.19.
Пример 18.3. Иглу длиной / бросают на плоскость, на которой на расстоянии L друг от друга проведены параллельные линии. Определить вероятность пересечения иглой одной из линий, если I < L (задача Бюффона).
Решение. Введем систему случайных величин (X, Ф), где X— расстояние от середины иглы до ближайшей линии, а Ф — острый угол между иглой и линией (рис. 15). Очевидно, что X может с равной вероятностью принимать значения от О до L/2, а Ф—также с равной вероятностью значения от О до л/2. Поэтому f(x, со), (р) = (2/А)(2/л) = 4/лА при 0 < х < L/2 , 0 < со < л/2 ;
Рис. 15.
Пересечение иглой одной из линий происходит при заданном со, если 0 < х < /sincy/2. Отсюда
I sin ф
P==^Lfd^f = о о
Аналогично решаются задачи 18.20 и 18.21.
Задачи
18.1.	Координаты^ У случайной точки распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного абсциссами х = а. х =Ъ и ординатами у = с, у = d
(b> a, d> с). Найти плотность вероятности и функцию распределения системы величин X, У.
18.2.	Система случайных величин (X, У) имеет плотность вероятности
д
/ (X, у) = nli	•
Требуется: а) определить величину Л; б) найти функцию распределения F(x, у).
18.3.	Определить плотность вероятности системы трех положительных случайных величин (X, Y, Z) по заданной функции распределения
F(x, у, £) = 0~ е-ях)(1—
(х >0, у >0, z >0).
18.4.	В условиях предыдущей задачи определить геометрическое место точек, обладающих одинаковой плотностью вероятности f(x, у, z) =fo , fo < abc.
18.6.	Из отобранных п = 6 изделий Xоказались кондиционными, среди которых Y (Y< 3) — высшего сорта. Система (X, Y) задана следующей двумерной таблицей (матрицей) распределения вероятностей (табл. 7):
Таблица 7
P(X = i,Y=j)
j	i	0	1	2	3	4	5	6
с		0,202	0,174	0,113	0,062	0,049	0,023	0,004
1		0	0,099	0,064	0,040	0,031	0,020	0,006
2		0	0	0,031	0,025	0,018	0,013	0,008
3		0	0	0	0,001	0,002	0,004	0,011
Требуется: а) составить функцию распределения; б) определить вероятность получения не менее двух изделий высшего сорта; в) определить М [Y], М [У] и корреляционную матрицу.
18.6.	Система независимых случайных величин Xi,X2,Хп задана плотностями вероятностей fi(xi),f2(x2), ...,fn(xn). Определить функцию распределения этой системы случайных величин.
18.7.	Задана плотность вероятности f (xi, Х2) системы двух случайных величин, которые могут быть реализованы лишь совместно. Наблюдены значения величин и и v. Определить вероятность того, что и является реализацией случайной величины Xi ? a v — случайной величины Х2
18.8.	Задана плотность вероятности системы трех случайных величинах;, Х2, хз), которые могут быть реализованы
лишь совместно. Наблюдены значения этих величин и, v,w, причем неизвестно, реализацией какой из случайных величин является каждое из этих значений. Определить вероятность того, что и является реализацией X], aw- реализацией Х2
18.9.	Определить вероятность попадания случайной точки в указанную на рис. 16 заштрихованную область, если задана функция распределения F (х, у).
Рнс. 1&.
18.10.	Определить вероятность попадания точки с координатами (X, KJ в область, определяемую неравенствами
(1 < х < 2, 1 < у < 2), если функция распределения (а > 0)
F(x,y)=
| 1—a~xt — а~2*'-4-а~л3-2у’ при х^-0. у^О.
~~ |	0	при х < 0 или у < 0.
18.11.	Координаты случайной точки (X, Y) распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного абсциссами (0, а) и ординатами (0, Ь). Определить вероятность попадания случайной точки в круг радиуса R если а > Ь, а центр круга совпадает с началом координат.
18.12.	Плотность вероятности системы случайных величин равна
/(j;, у) — с(/? — Ух'г + у2) при х2 + у2</?2.
Определить: а) постоянную с; б) вероятность попадания в круг радиуса a<R, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.
18.13.	Случайные величины X и Y связаны соотношением тХ + nY= с, где т, п и с - неслучайные величины
(тфО,пф 0).
Найти; а) коэффициент корреляции б) отношение среднеквадратических отклонений <5Х1<5У.
18.14.	Доказать, что коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицы.
18.15.	Показать, что
kxyt = М [(X — х) (К — y)(Z — z)| =
= м [XKZ] — xk^ — ykxz — zkxy — xyz.
18.16.	Дана корреляционная матрица системы случайных величин (X], Х2, Хз)
	16	— 14	12
нм=	— 14	49	—21
	12	—21	36
Составить нормированную корреляционную матрицу ||ггу||. 18.17. Однотипные детали в зависимости от точности изготовления различаются по форме на круглые и овальные, а по весу—на легкие и тяжелые. Вероятности того, что взятая наудачу деталь окажется круглой и легкой, овальной и легкой, круглой и тяжелой, овальной и тяжелой, соответственно равны а, Р, у и 8 = ос — Р — у. Взята одна деталь. Найти математические ожидания и дисперсии числа круглых деталей X и числа легких деталей Y, а также корреляционный момент кху между числом круглых и числом легких деталей, если а = 0,40,
р = 0,05, у= 0,10.
18.18.	Определить математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если плотность вероятности
2
/ (X । У)	4- у2 4- 1)’ *
18.19.	Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных
величин (X, Y), заданных в интервалах (0 < х < л/2) и (0<у< л/2)
если функция распределения системы F(x, у) = sinx siny.
18.20.	Решить задачу Бюффона о вероятности пересечения иглой хотя бы одной иа прямых для случая I > L (см. пример 18.3).
18.21.	Иглу длины / бросают на плоскость, состоящую из прямоугольников со сторонами, а и Ь, Определить вероятность пересечения иглой хотя бы одной из сторон, если а< I, b < I.
§	19. Закон нормального распределения , на плоскости и в пространстве. Многомерное нормальное распределение
Основные формулы
Плотность вероятности для системы двух нормальных случайных величин (X, 19 (для нормального закона распределения координат точки на плоскости) f(x,y)=
—	1	2 О"2) L ’’	° A	°y.j
2ло jfly У 1 — г3
где х’ У —математические ожидания X и Y, GxGy— средние квадратические отклонения, г — коэффициент корреляции X и Y.
Геометрическое место точек, имеющих равную плотность вероятности, есть эллипс (эллипс рассеивания), определяемый уравнением
(л —х)2	2г (л — х) (у — у)	(у — у? =
Оу
Если г = 0, то оси симметрии эллипса рассеивания параллельны координатным осям Ох и Оу, случайные величины
X и Y не связаны и независимы, а плотность вероятности
- ’	1 г . (У-уУ 3
/	'	1	"г[ о2

-₽» Г (£zSL+<=q>' Ра е L Ех 4 . пЕхЕч
где сх — °^Р К 2- £у - ву?_у f — срединные отклонения Xи соответственно Y, а р = 0,4769 ...
Эллипс, определяемый равенством
(*-*)* , (у—у)г _  “Г рЪ 11 Ех	£у
называется единичным.
Плотность вероятности для системы п нормальных случайных величин (для многомерного нормального распределения)
"   -4 2 {xi-'xi){xr~xj>
-^е	'•>=*	•	.
./(*!• х2. .... х„)
где
/г13	/tt2 ,.. kin
*ai • • * ^гя
д =
’ • ^пп
—определитель, составленный из элементов корреляционной kW*	г.
матрицы; - элементы обратной матрицы, равные
Ан ~
Ay —алгебраическое дополнение элемента ку.
В частном случае трех независимых нормальных случайных величин X, Y, Z имеем кху = kyz = kxz = 0 и
/(х.у. г) =
1
. 1	"г[ г
—	$ L X
(Зя)3''2^^
Р1 е
(У-У)] . (г-гУ
(х-хУ . (У-УР .
-1Г^Г+~1Г
где Ех, Еу ,EZ—срединные отклонения X, Y, Z. соответственно. Этому частному случаю соответствует параллельность осей симметрии эллипсоида рассеивания координатным осям Ох, Оу и Oz.
Решение типовых примеров
Пример 19.1. Дана корреляционная матрица системы четырех нормальных случайных величин (X/, Х2, Х3, Х4)
	15	3	1	0
	3	16	6	—2
Иц 11 =	1	6	4	1
	0	—2	1	3
Определить плотность вероятности f(xi, Х2, Х3Х4), если
*t =ю, Х2 =0, хз = -10, *» = 1.
Решение. Вычисляем алгебраические дополнения определителя А = |&гу|:
	16	6 —2			3	6—2	
ЛЦ =	6	4 / 1		= 23;	»—	14	1	» —13;
		-2	1-	3		© со	
	3 16 —2			3 16	6	
Л|э =	Л 6	1		-16;	Ли= —	1	6	4	= -14;
	0—2 .3			0 —2	1	
	15	10			15	3	0	
Аз-, =	1 ; 4	1		= 162;	Л!3 = —	Л 6	1	= —291;
	0	13			со 'Т о	
	13 з 1			15	3	0	
Л24 =	1	6	4		= 205;	Л„ =	3 16 —2	= 633;
	0—2	1			0—2	3	
		15	3 1		15	3	1	
Из, =		3 16 6	= — 405;	Л44 =	3 16	6	= 404.
		0 —2 1		16	4	
Находим величину определителя;
15	3 10
3	16 6 —2
1	6 4	1
0—2 1	3
=И5Лп4-ЗЛи + Ли«=397.
При составлении формулы плотности вероятности учитываем, что при i / j в показателе степени содержатся равные слагаемые
М/’Ч*/ — Xi) (Xj — Xj) =	(Xj — Xj) (Xi — Xi).
Плотность вероятности
7(X„ x„ж,) = ^;Л^ехр{-Лг[28(х1-10)>_
-26 (x(-10) xa4-32 (Xj - 10) (x3+10)-28 (xt-10) (x4-1) -f-
4- 162x2 — 582xa(x3+ 10)+410х!!(х4—l) + 633(x3-f-10)2— . ~810(x3+10)(x4- 1) + 404(x4- 1)2]|.
Пример 19.2. Случайная точка в пространстве задана тремя прямоугольными координатами, составляющими систему нормальных случайных величин с плотностью вероятности
f(x v
у, z)_ е
Требуется: а) составить корреляционную матрицу; б) определить геометрическое место точек, в которых плотность вероятности равна 0,01.
Р е ш е н и е. а) Так как
/(х, у. г) = /1(х)/3(у, z),
где _*,•	1 г.л Ду («4-SJ , («4-5У1
/1 W = Схе 4 , /2 (у, г) = с2е 21 “4
то
-	DlXl = o2;=i2;
Отсюда следует, что	*	у 1—г-
4	г 1
0121 = ^=^-.	g/,j(1_f.) = 4'	' = '47 = W'
к =~;
12
°
О
Пример 19.3. Определить вероятность попадания точки (X, Z) в область, представляющую собой полый параллелепипед, внешняя поверхность которого задана плоскостями
x=ai, x=bi ,y=ci ,y=di, z=mi, z=ni
а внутренняя поверхность — плоскостями x=a2, x=b2 y=c2, y=d2, z=m2, z=n2
Рассеивание точек (X, Y, Z) подчинено нормальному закону с главными осями, параллельными координатным осям, центром рассеивания в точке х, у, z и срединными отклонениями Ех, Еу, Ez.
Решение. Так как главные оси рассеивания параллельны координатным осям, то событие, состоящее в том, что одна из координат, например х, примет значение в пределах от а до Ъ, не зависит от того, какие значения примут остальные координаты. Поэтому
Р(а <x<b, c<y<d, m<z<n)=
Р(а <x<b) Р (с <y<d) Р(т <z<n).
где
Р (а < х < 6) = 1 [Ф	- Ф (2!=£.)].
Аналогично определяются вероятности других неравенств. Искомая вероятность попадания в полый параллелепипед определится как разность вероятностей попадания в параллелепипеды, ограниченные внешней и внутренней поверхностями, т. е.
х	[.ф
Задачи
19.1.	Известно, что X и У—независимые нормальные случайные величины с математическими ожиданиями х и срединными отклонениями Ех и Еу соответственно. Выразить функцию распределения системы (X, Y) через приведенные функции Лапласа.
19.2.	Даны математические ожидания двух нормальных случайных величин М[А]=26, М [У] = -12 и их корреляционная матрица
Я 196 —91 И
ИМ = |_91 169|
Определить плотность вероятности системы (X, Y). 19.3. Дана плотность вероятности координат случайной точки на плоскости
f(x, у) = се-Ки-5»>+а^-б)(у-з)+5(у-зп,
Требуется: а) определить с; б) определить корреляционную матрицу; в) вычислить площадь $эл единичного эллипса.
19.4.	Определить в точке Х]=2, Х2=2 плотность вероятности системы двух нормальных случайных величин, для которых
'‘->1=1 о “I
-»j = х2 = О и
19.6.	Дана корреляционная матрица системы трех нормальных случайных величин (X, Y, Z):
1!М =
2 —2
6 3
3 8
5
2
Математические ожидания х = у = z = 0. Найти плотность вероятности f(x,y,z) и ее максимальное значение.
19.6.	Система п нормальных случайных величин имеет корреляционную матрицу
ill...	1	1	1
1 2 2 ...	2	2	2
123...	3	3	3
1	2	3 ..	.. п — 2	п~ 2	п — 2
1	2	3 ..	.. п — 2	я..— 1	п~1
1	2	3 .	.. п — 2	п— 1	п
а) Вычислить обратную матрицу, б) Найти плотность вероятности f(xi, Х2, ...,хп), если = х2 = • •  = хп = 0
19.7.	Координаты (Xi, Yj) и (Х2, Y2) случайных точек на плоскости подчинены нормальному закону распределения, причем математические ожидания всех координат равны нулю, дисперсии всех координат одинаковы и равны 10; корреляционные моменты между одноименными координатами М [X/ Х2] = М[У/ Y2]остальные пары координат не коррелированы. Найти плотность вероятности f(xi, yi, Х2, у2)-
19.8.	Координаты (X, Y) случайной точки А на плоскости подчинены нормальному закону
f(x, у') = ~^е	+
" 2лаЬ
Определить вероятность того, что точка Л окажется внутри эллипса с главными полудиаметрами ка и kb, совпадающими с координатными осями Ох и Оу.
19.9.	Координаты случайной точки А в пространстве (X, Y, Z) подчинены нормальному закону
. / №	z1 х
0s	+ £г )
4 2 3
*1
Определить вероятность того, что точка А окажется внутри эллипсоида с главными полудиаметрами kEi, кЕ? и кЕз совпадающими с координатными осями Ох, Оу, Oz.
19.10.	Определение координат точки на плоскости сопровождается систематической ошибкой d в одной из ее прямоугольных координат и случайной ошибкой, подчиненной нор
мальному круговому закону распределения со срединным отклонением Е. Определить вероятность того, что отклонение точки от ее найденного положения не превзойдет величины R.
19.11.	Система случайных величин (X, 19 подчинена нормальному закону с числовыми характеристиками М [Д'] = М[У]=0, Ех=Еу= 10, кху=0. Определить вероятность того, что а) X<Y;6)X>0, Y<0.
19.12.	Вычислить вероятность попадания случайной точки А, координаты X, Y которой подчинены нормальному закону, в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, если координаты вершин прямоугольника будут fa, b), (a, d), (с, b), (е, d) при а = - 5, b = 10, с = 5.
d = 20, х = 0, У = 10, Ех = 20, Еу = 10.
19.13.	Случайная точка распределена по нормальному кру-г- говому закону со срединным от-клонением Е = 10 м. Сравнить
Д вероятность попадания в фигуру, \ \ Рис. 17. площадь которой 314 м2, __1 г| если она имеет форму: а) круга; б) jW квадрата; в) прямоугольника с отношением СТОРОН Ю:1. Центр
\ уС	/ рассеивания совпадает с
геометрическим центром фигуры.
19.14.	Найти вероятность попадания случайной точки в заштрихованную (на рис. 17) фигуру, ограниченную тремя концентрическими окружностями и лучами, выходящими из
центра окружностей, если радиус: внешней окружности R. рассеивание случайной точки на плоскости нормальное круговое со срединным отклонением Е. Центр рассеивания совпадает с центром окружностей.
19.15.	Найти вероятность попадания в фигуру, ограниченную концентрическими дугами, проведенными радиусами Ri и R2 и лучами, выходящими из общего центра О, если рассеивание случайной точки на плоскости нормальное круговое со срединным отклонением Е, а угол между лучами равен а. Центр рассеивания совпадает с точкой О (Ri< R2).
19.16.	Для вероятности попадания в прямоугольник со сторонами 2d и 2к, параллельными главным осям рассеивания, имеет место приближенная формула
Р(х, 7) -
= ХГФ (^±1) —	~
.4 I \ Ех )	\ кг 111 \ Ъ )	\ Е? /1
лар
которой рекомендуется пользоваться при значениях d/Ex и k/Ez не превосходящих 1,5. Приравняв нулевые и вторые моменты левой и правой частей равенства, определить значения А, а и р.
19.17.	Пользуясь приближенной .формулой предыдущей
задачи, определить вероятность попадания в прямоугольник со сторонами 2d и 2к, параллельными главным осям рассеивания, если координаты центра рассеивания распределены равномерно внутри данного прямоугольника, а Ех и Ez даны. Сравнить полученный результат с вероятностью попадания в ту же область при
совпадении центра рассеивания с центром области.
19.18.	Мишень состоит из четырех концентрических окружностей радиусов 10, 20. 30 и 40 см (рис. 18). Попадание в «яблочко» оценивается в 5 баллов, в каждое из трех колец— соответственно в 4. 3 и 2 балла. Задание итается выполненным,
если после трех выстрелов получено
не менее 7 баллов, и оценивается на отлично, если получено более 12 баллов. Какова вероятность выполнить задание при круговом рассеивании со срединным отклонением 20 см. Какова вероятность получить при этом отличную оценку? Центр рассеивания совпадает с центром мишени.
19.19.	Определить вероятность попадания в прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = Ь, параллельными главным осям рассеивания (АС^Оу, ВС\\Ох), если центр рассеивания совпадает с точкой А, а
19.20.	Чему равна вероятность попадания точки с координатами X, Y, Z в область, представляющую собой шар радиуса R, из которого вырезан куб с ребром а (диагональ куба меньше диаметра шара)? Центр рассеивания совпадает с общим центром шара и куба. Рассеивание нормальное шаровое со срединным отклонением Е.
19.21.	Рассчитать вероятность попадания точки А(Х, Y, Z) в прямой круговой цилиндр с радиусом основания R и высотой h, если рассеивание в плоскости XY, параллельной основанию, подчинено нормальному круговому закону со срединным отклонением Е, а рассеивание по образующей независимо от X, Y и подчинено: а) нормальному закону со срединным отклонением В (центр рассеивания находится на оси цилиндра и делит ее в отношении тп: п); б) равномерному закону распределения в интервале (- Н, Н) при H>h.
19.22.	Определить вероятность попадания случайной точки А (X, Y, Z) в прямой круговой конус, вершина которого совпадает с центром рассеивания; высота конуса h, радиус основания/?; рассеивание в плоскостиXY, параллельной основанию, подчинено нормальному круговому закону со срединным отклонением Е, а рассеивание по высоте независимо от X, Y и подчинено нормальному закону со срединным отклонением а.
19.23.	Нормальный закон распределения на плоскости задан математическими ожиданиями случайных величин xi = х2 = 10 и корреляционной матрицей
II 36 - 18 II ИМ =[ _18	25 11
Определить геометрическое место точек, в, которых плотность вероятности равна 10'5
19.24.	Нормальный закон распределения в пространстве
задан математическими ожиданиями случайных величин
Х1 = 2, *2 = О,
II W =
хз = -2 и корреляционной матрицей
О —1
.4 О
О 4
Определить геометрическое место т,очек, в которых плотность вероятности равна 10'5.
19.25.	Для многомерного нормального распределения, приведенного в задаче 19.6, определить геометрическое место точек, в которых плотность вероятности равна 10'5. При каких п задача не имеет решений?
§ 20. Законы распределения подсистем непрерывных случайных величин и условные законы распределения
Основные формулы
Если F(x, у)—функция распределения системы двух случайных величин, то функция распределения случайной величины X, X ©О
J* /(*• у)4у dx.
— оо —со
Аналогично для функции распределения У
У °°
/"у (у) = /7(оо. У) = J f f(X’ y)dxdy. — ОО —со
Плотности вероятности случайных величин, входящих в систему, равны
оо Л(х)= f f(x> y)dy-— оо
со /у(у)= f f(.x> у)ах —оо
Fx(x)z=F(x, оо) = f
Если F(xi,X2, —,Хц)- функция распределения системы п случайных величин, то функция распределения части этих случайных величин (подсистемы случайных величин), например Л7;, Х2, ... ,Хк, равна
Fi,2, ...,к (Х1,х2, ...,Хк)= F(xhx2, ...,xh:).
а соответствующая плотность вероятности
fl,2„..,k(Xl,X2,...,Xk) =
OQ	СО
=	... J" / (хР х2. .... хя) .. dxa
— со	— оо
Плотности вероятности одной из двух случайных величин, входящих в систему, вычисленные при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение (условные плотности вероятности), равны
Плотность вероятности подсистемы случайных величин (Xi, Х2, ... ,Х^), вычисленная при условии, что остальные случайные величиныXk+i, Хк+2, ... ,Хп,приняли определенное значение, равна
/(Хр Х2. .... ХА|хА + р Хй+2> •••• Хя) =
/(*1. Х8, ..., Хя) fk + l.n(xk + l’ •••• хп)
Плотность вероятности системы выражается через условные плотности вероятности по формуле
У (хр х2> Х3, .... Хд) — г=/1(Х1)/2(Х2|Х1)/з(Хз1 Х1‘ Хг) ••• /п(хл1Х1’ Х2.Xn),
Решение типовых примеров
Пример 20,1. Положение случайной точки Л (X, Y) равновероятно в любом месте эллипса с главными полудиаметрами а и Ъ, совпадающими с осями координат Ох и Оу соответственно.
Требуется: а) определить плотности вероятности каждой из прямоугольных координат и их взаимные условные плот-
нести вероятности; б) исследовать зависимость и коррелированность случайных величин, входящих, в систему.
Решение, а) Так как
/(х, у) =
-i-_ при лаЬ г
О при
х2 о2
У3 Ь2
У2
*2
то при заданном х в интервале (- а, а) плотность f(x, у) отлична
от нуля лишь тогда, когда
значит
г а»
/ (Х)= f -Д-
г а*
па
При |х| > a f(x) = 0. Отсюда
/W) =
----Л=== при | х | < а, | у | < Ь 1/" 1 — 2*1/ 1-4-
т а2
/Х^'
1—
Аналогично
2 Г".	«Г'/
у 1	’
/ у, 2«у 1-4-
г
при |у| <b, |х|<а |/"1—
И Г............................................у
/у(У)~/(х|у)==0 при |у| > b или |х| > а |/ 1 —
б) корреляционный момент между X и У
оо со
= J J xyf (х. у) dx dy, — ОО —GO
причем функция подзнаком интеграла отлична от нудя внутри эллипса
4+4=i.
а2 ' Ь2
Производя замену переменных
х = ar cos (О, у = Ъг sin со,
получим 2л 1
kxy = £ J* arbr cosy sin abr dr dq>==0. 0	0	
Таким образом, случайные величины Хи У являются не коррелированными (4 = 0), но зависимыми, поскольку fx(x)fy(y) *f(x, у)
Пример 20.2. Координаты случайной точки на плоскости подчиняются нормальному закону распределения
у) — 2^+! X
1
2(1-- г2)
(у-у)г1
~(х — х)2 2г (х— х)(у — у)
of	0^2
Хехр
Определить: а) плотность вероятности координат Хи У;
б) условные плотности вероятности f(y | х) и f(x | у);
в) условные математические ожидания; г) условные дисперсии. Решение, а) Для определения плотности вероятности координаты X находим
Производя замену переменных
у—у ---i-=V
-----= u. о2
учитывая, что
[«2 — 2r uv + О21 = U2 +	,
получим
е <р-гц)а
у е 2(i-r»r^o — ОО

ИЛИ
Л(*) =
(х-х)2
1	2о2
-== е 1
Oj у 2л
Аналогично находим
(у—у)2
/у<у) = —
3 а2 У 2л
б) Деля f(x, у) на fx(x) получим
/(у|х) =
[у-У-г ^-(х-х)]2
1	е 2 (1 -г2)
а2/2л/Т=72
и аналогично
в) Из выражений для условных плотностей вероятности следует, что условное математическое ожидание случайной величины Y при фиксированном значении X = х равно
Ух = М [К| X] = у 4- г -g- (х — х).
Аналогично
ХУ = М [X | у] = X 4- г %- (у — у).
*	С>2
Эти уравнения, выражающие линейную зависимость условного математического ожидания одной из случайных величин от фиксированного значения другой случайной величины, называются уравнениями регрессии.
г) Из выражений для условных плотностей распределения следует, что условные дисперсии равны
D [К|х] = о2 |л. = о2(1 —г2), D[A’|y]=o2,y = o^(1 — г2).
Пример 20.3. Определить плотность вероятности длины радиуса-вектора, если координаты его конца Л подчинены нормальному круговому закону
Решение. Переходим от прямоугольных координат точки А к полярным (г, со). Вероятность попадания значения радиуса-вектора в интервал (г, г + dr), равная fr(r)dr,
может быть найдена как вероятность попадания случайной точки Л в бесконечно узкое кольцо, показанное на рис. 19. Следовательно,
ft(r)dr — J J /(х, y)dxdy.
гг < х-+у2 < (г+dr)2
Переходя к переменным интегрирования г, (О и учитывая выражение для f(x, у), получим
Н	г»
fr^ = J
о
(распределение Рэлея).
Задачи
20.1.	Система случайных величин (X, Y, Z) равномерно распределена внутри прямоугольного параллелепипеда, образованного плоскостями х = ai, х= а2у = bi, у = bi z = ci, z = С2. Определить плотности вероятности системы (X, Y, Z), подсистемы (Y, Z) и случайной величины Z.
Проверить зависимость случайных величин, входящих, в систему.
20.2.	Положение случайной точки (X, Y) равновероятно в любом месте круга радиуса R, центр которого совпадает с началом координат. Определить плотность вероятности и функцию распределения каждой из прямоугольных координат. Являются ли случайные величины X и Y зависимыми?
20.3.	В условиях предыдущей задачи определить условную плотность вероятности f(y\ х) при |х| < R, |х| = R и |х| > R.
20.4.	В условиях задачи 20.2 вычислить корреляционную матрицу системы случайных величин X и Y. Являются ли случайные величины X и Y коррелированными?
20.5.	Система случайных величин X, Y подчинена равномерному закону распределения внутри квадрата со стороной а. Диагонали квадрата совпадают с осями координат.
Требуется: а) определить плотность вероятности системы (X, Y); б) определить плотность вероятности каждой из прямоугольных координат; в) определить условные плотности вероятности; г) вычислить корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y); д) проверить их зависимость и коррелиоованность.
20.6.	Случайные величины (X, Y, Z) равномерно распределены внутри сферы радиуса R. Определить для точек, лежащих внутри сферы, плотность вероятности прямоугольной координаты Z и условную плотность вероятности f(x, у | z) 20.7. Дан дифференциальный закон распределения системы неотрицательных случайных величин /(х,	=	(х>0, у>0).
Определить к, fx(x),fy (у), f(x\y), f(y\x). первые и вторые моменты распределения.
20.8.	Для системы случайных величин (X, Y) известны fy (у), М[Х| у] и D[X| у]. Определить М [АГ] и D [АГ].
20.9.	Система двух случайных величин (X, Y) подчиняется нормальному закону распределения
/О. у) =
= k «Р { - ~^г [(*-5)24-0,8 (х-5) (у+2}-]-0125 (у-р)2)
Определить: а) условные математические ожидания и дисперсии; б) плотность вероятности каждой из случайных величин, входящих в систему; в) условные плотности вероятности/^ | х) nf(x | у).
20.10.	Плотность вероятности системы двух случайных величин (X, Y) задана в виде
f (х, у) =	(й > 0, с > 0).
Определить закон распределения/ (х) vtfy (у). При каких условиях X и Y являются независимыми случайными величинами?
20.11.	Дана плотность вероятности системы двух случайных величин
/(X, у) =
Определить постоянную к, корреляционный момент между X и Y и условные законы распределения f(x | у) и
20.12.	Положение ориентира на плоскости распределено по нормальному закону при х = 125 м, У = - ЗОлг, = 40 м, Оу = 30 м, гху = 0,6. Координата ^определяет отклонение ориентира «по дальности», т. е. по направлению, параллельному линии наблюдения. Координата У определяет отклонение ориентира «по боковому направлению», перпендикулярному линии наблюдения. Отклонения отсчитываются от начала координат.
Определить: а) плотность вероятности отклонений ориентира по дальности; б) плотность вероятности отклонений ориентира по боковому направлению; в) условную плотность вероятности отклонений ориентира по дальности при отсутствии боковых отклонений; г) условную плотность вероятности отклонений ориентира по боковому направлению при отклонении по дальности +25 м.
20.13.	В условиях предыдущей задачи найти уравнения регрессии Y на X и X на Y.
20.14.	Определить плотность вероятности длины радиуса-вектора случайной точки и его математическое ожидание, если координаты точки (X, Y, Z) подчинены нормальному закону распределения
,,	.1	-та’С^+У’+з’)
fix, у, Z) —--2
J v У 1	(2л)Л а3
20.15.	Координаты случайной точки А на плоскости хОу подчинены нормальному закону распределения
Определить плотность вероятности полярных координат этой точки//г) и fife)).
20.16.	В условиях предыдущей задачи найти условные плотности вероятности f(r | со) wf(co | г).
20.17.	Случайная точка в пространстве подчинена нормальному закону распределения
/(х. у. z} =---i---е
J'	(2л)‘гаЬс
Определить: а) плотность вероятности сферических координат этой точки (R, О, Ф), если х = г cos т> cos со, у = г cos т> sin со, z = г sin d; б) плотность вероятности подсистем случайных величин (R, 0) и (О, Ф); в) условные плотности вероятности fir | и, со) и fi(O | г, V).
20.18.	Для системы случайных "величин X/, У/, Х^, У? задачи 19.7 найти плотности вероятности подсистем Л„х,(*г *2) и А„у.(ХЦ У1)-
20.19.	В условиях предыдущей задачи определить условную плотность вероятности f fey2 I Xi, у2), условные математические ожидания и условные дисперсии
М [Х21 Хр У1], м [У21 Хр yj, D [Х21 Хр У11, D [К21 х1> У11
при Xi = 0, yi = 10
ГЛАВА IV
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 21. Числовые характеристики функций случайных величин
Основные формулы
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины У, связанной заданной функциональной зависимостью Y= co(V) со случайной величиной X, плотность вероятности f(x) которой известна, определяются формулами
у = М[И= f<p(x)f(x)dx,
—со
D[K] = fl<P(x)]2/(x)dx — y2. — СО
Аналогичным образом находятся начальные и центральные моменты любого порядка:
/°[ф (x)}kf(x)dx,
—оо
= у°[<р(х) — yl*/(*)rfx, Л—1,2,...
Данные формулы обобщаются на любое количество случайных аргументов: если Y =G)(Xi, Х2,Хп), то
оо	со
J ••• f Х2..............*Я)]*Х
-со (л) -оо
Х/(*р х2........хп) dxx ... dxn.
со.	оо
J ••• Jl<p(Xi. х2.......xj —у]*х
-со (л) -оо
Х/(*р х2........xn)dxx ... dx„.
гдеf(xi, Х2,...,хп)—плотность вероятности системы случайных величин Aj, Х2,Хп.
Для дискретных случайных величии интегралы в приведенных выше формулах заменяются соответствующими суммами, а плотности—вероятностями соответствующих наборов значений случайных величин Aj, Х2,Хп.
Если функция (f)(Xi, Х2,Хп) линейная, т. е.
п
+ то
7 = 1
М1Г] = 5а,М[%,-]4-^
/=1
п	п п
Din=2j<"?D[XJ+2 jgo.oAr
где ку—корреляционный момент между случайными величинами Xi, Xj.
Знание закона распределения случайных аргументов для нахождения моментов функции не является необходимым также и в некоторых других частных случаях. Пусть Z=XY. тогда M[Z] = М[^]М[У]+Аху - кроме того, случайные величины X и Y не связаны, т.е. корреляционный момент связи кху равен нулю, то
D|Z] = D [A'J D1И+ х2 D [И + У2 D [X], м [zj=м m м [К].
Последняя формула может быть обобщена на любое число
независимых случайных величин:
п 1 п

Если начальный момент линейной функции
п
Y^'SajXj + b j=i
независимых случайных величин существует, то он определяется формулой
2....
где
£гу(0 = / fJ{x)ellxdx
-со	—характеристическая функция
случайной величины Xj.
Коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Y в этом случае определяются формулами
Sk[H
Ех[У] =
^1V (О 1Г (О]2
( п
/=1 7
t=0
Ф (О iriof’ /=о
Решение типовых примеров
Пример 21.1. Случайная величина ^подчиняется биномиальному закону распределения. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= еаХ.
Решение. Случайная величина Сможет принимать значения
О, 1, 2,..., п. Вероятность того, что она примет значение т,
Р =Спотап~т определяется формулой ».т «‘ 1 Поэтому
М[Г]= S утР„ т = £	=
m=0	’	т = 0
п	.	п	__
D[Г] = 2 У2тР„ т —у2= 2 с-(ре2Г	=
m=0	т=0
^(9+ре2а)"-(?+^)2".
Пример 21.2. Индикатор кругового обзора навигационной станции представляет собой круг радиуса а. Вследствие помех может появиться пятно с центром в любой точке этого круга. Определить математическое ожидание и дисперсию расстояния центра пятна от центра круга.
Решение. Случайное расстояние R от центра круга .до пятна может быть выражено через прямоугольные координаты X и Y:
R = yx2+Y2.
Плотность вероятности системы случайных величин
(X, Y) задана и определяется формулой
А- при. х2-Ьу2<а2, О при х2 у2 > а2.
/(х, у) =
Поэтому
= i ff V*2+y2dxdy =
lit a
= l^f d4>f r2dr=^a,
0 .	0
ff t^+y^dxdy —r2—
-v’+y* < as
2л a =-^f d*f r3rfr— 0	0
Аналогично примерам 21.1 и 21.2 решаются задачи 21.1— 21.14, 21.20—21.24, 21.26, 21.27, 21.29, 21.30.
Пример 21.3. Из партии в Nизделий, в которой имеется Т = Np дефектных, произведен выбор без возвращения п изделий. Определить математическое ожидание и дисперсию числа полученных дефектных изделий.
Решение. Обозначим через X случайное число полученных дефектных изделий.
Случайная величина X может быть представлена как
/=i	где случайная величина А/, равна 1, если j-e
выбранное наделение оказалось дефектным, и 0 в противоположном случае. Вероятность первого, значения равна р,
следовательно, XJ =М [X}] = Q*(\-p) + \*p=p (так же, как при решении примера 6.1, можно показать, что вероятность
получения дефектного изделия не зависит от j). Тогда
М[Х] = М
= 2М[Ху] =
При выборе из партии изделий без возвращения, случайные величины Xj зависимы, поэтому
 п "1 п	п п
di.yad 2хг =Sd[xj+2
L« = l J i = l	i = l > = 1
где
D[Xj = (l-xJ2p+(0-7z)2(l-p) =
= (1 — Р)2 Р + Р2 (1 — Д>== РЯ’ kl} = М [(Х( -х{)(X, -X;)] = м [ХАЯ — {МА j}2 — =Р (Xf= 1>Р (Ху—i }хг=1)-Р2=р ^=1 - Р2 =
, pg
~~ N— 1 '
Окончательно
D A]i = npq(\ -£Et).
Аналогично решаются задачи 21.15—21.17, 21.25, 21.28.
Пример 21.4. Определить математическое ожидание квадрата расстояния между двумя точками, выбранными наудачу на любой из сторон прямоугольника.
Решение. При выборе двух точек наугад на любой из сторон прямоугольника возможны следующие единственно возможные и несовместные события (гипотезы) (рис. 20):
Hi—точки выбраны на одной и той же стороне а;Нз—точки выбраны на одной и той же стороне Ъ. Нз—точки выбраны на смежных сторонах прямоугольника; Н4,—точки выбраны на противоположных сторонах а; Н5—точки выбраны на противоположных сторонах Ь.
Для вероятностей этих гипотез имеем
p<H>>=2U-£)=£; p<"A=2(i-v)=^. P(H3) = 8(^.^) = 2 * P(«<) = 2fe-i) = >. PW = 2(^.±)=1P,
где 2p — периметр прямоугольника.
Определим условное математическое ожидание (т. е. математическое ожидание при условии, что имела место гипотеза Hi) квадрата расстояния между двумя точками:
а а
М [Z2|	— У" 1“ f(x,y)\x—y)2dxdy =
6 о
а а
J\x-y)2dxdy = £., о о
ь »
M(Z2|H2] = -^-f f (x — y^dxdy = -^-,
о б
а b
М [Z21Н3] = ~ У У* (X2 + у2) dx dy = | (а2+F). о о
М[22|Я4] = М [b2+(X-Y)2\ = 62Ч-М [(А-Г)2] = Ъ2 + ~,
M [Z2| W5] М [а2+(ЛГ-Г)2] = а2+М [(^-Ю2]-а2 + -^.
Находим полное математическое ожидание случайной вели-чины Z:
MlZ2l = ^P(Hy)M[Z2|Wy] =
/=1
=	(а< + 4аЗ* 4- Qa2b2 + 4aft3 +	= <^L = /
Аналогично решаются задачи 21.18,21.19.
Задачи
21.1.	Определить математическое ожидание длины хорды, соединяющей заданную точку окружности радиуса а с произвольной точкой этой окружности.
21.2.	Найти математическое ожидание длины хорды, проведенной в круге радиуса а перпендикулярно выбранному диаметру и пересекающей этот диаметр в произвольной точке?
21.3.	При сортировке стальных шариков по их размеру в группу с номинальным размером шарика 10 мм попадают шарики, проходящие через круглое отверстие диаметром 10,1 мм и не проходящие через отверстие диаметром 9,9 мм.
Шарики изготовлены из стали с удельным весом 7,8 г/слЛ Найти математическое ожидание и дисперсию веса шарика данной группы, считая распределение радиуса шарика в поле допуска равномерным.
21.4.	Неподвижная точка О находится на высоте h над концом А горизонтального отрезка ЛК. длины /. На отрезке АК. наудачу выбрана точка В. Найти математическое ожидание угла ср между линиями О А и ОВ.
21.5.	Ножки циркуля, каждая длиной 10 см, раздвинуты на случайный угол (О, значения которого равномерно распределены в интервале [0, 180°]. Найти математическое ожидание расстояния между остриями ножек.
21.6.	Случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения. Определить математическое ожидание случайной величины Y, если
21.7.	Вершина С прямого угла прямоугольного равнобедренного треугольника соединяется отрезком прямой с произвольной точкой М основания; длина основания 2 м. Найти математическое ожидание длины отрезка СМ.
21.8.	На окружности радиуса а с центром в начале координат наудачу выбрана точка. Найти математическое ожидание площади квадрата со стороной, равной абсциссе этой точки.
21.9.	В урне черные и белые шары; вероятность извлечь белый шар равна р, а черный - q. Из урны извлекается п шаров, причем вынутый шар каждый раз возвращается обратно в урну. Каково математическое ожидание числа случаев, при которых до и после белого шара извлекается черный шар?
21.10.	Система случайных величин X Y подчинена закону нормального распределения
2 /(Х, У) = ^2-е	* .
Определить математическое ожидание случайной величины
21.11.	В полукруге радиуса а произвольно выбраны две точки X и Y, которые вместе с одним из концов ограничивающего диаметра образуют треугольник. Требуется определить математические ожидание площади этого треугольника.
21.12.	На окружность единичного радиуса наудачу ставятся три точки А, В и С. Найти математическое ожидание площади треугольника ЛВС.
21.13.	Число космических частиц, попадающих на данную площадку за время t, подчиняется закону Пуассона
Р -= с-и
т т\ ‘ Энергия каждой частицы является случайной
и характеризуется средним значением w. Найти среднюю энергию, получаемую площадкой в единицу времени.
21.14.	Радиоэлектронный комплекс содержит п. элементов. Вероятность повреждения (выхода из строя) к-го элемента равнаръ (к=\, 2, ..., п). Определить математическое ожидание числа поврежденных элементов.
21.15.	Комплекс, состоящий из п однотипных блоков, прекращает работу при выходе из строя хотя бы одного из этих блоков, что происходит с одинаковой вероятностью
для любого из них. Вероятность прекращения работы комплекса за некоторый цикл работы равна р. Новый'цикл начинается после завершения предыдущего или после ремонта поврежденного блока, если предыдущий цикл не был завершен. Определить математическое ожидание числа блоков, подвергавшихся ремонту хотя бы один раз при т циклах.
21.16.	Имеется п блоков, действующих независимо один от другого и совершающих ряд последовательных циклов. Вероятность выхода из строя любого блока за время одного цикла равна р. Новый цикл начинается после завершения предыдущего (отдельно для каждого блока) иди после ремонта, если предыдущий цикл для данного блока не был завершен. Определить математическое ожидание числа блоков, подвергавшихся ремонту хотя бы один раз, если каждый блок работал в течение т циклов.
21.17.	Число элементов электронной машины, выходящих из строя за некоторый промежуток времени, подчинено закону Пуассона с параметром а. Длительность ремонта машины зависит от числа т вышедших из строя элементов и определяется формулой tm= 7(1 - e’am). Определить математическое ожидание длительности ремонта и ущерба, причиненного простоем машины, если ущерб пропорционален квадрату длительности ремонта: с — ь/2
21.18.	Приборный комплекс включает п блоков, действия которых независимы. Для выхода из строя комплекса достаточно повреждения хотя бы одного из блоков. Вероятность выхода из строя комплекса за некоторый период времени равна р, а повреждение любого из его блоков равновероятно. Новый цикл начинается после завершения предыдущего или после ремонта поврежденного блока, если предыдущий цикл не был завершен.
По условию комплекс должен сделать 2т. циклов, причем после первых т. циклов (т < п/2) все блоки, подвергшиеся ремонту хотя бы один раз, удаляются, а с оставшимися при прежних условиях повторяется ещё т. циклов. Определить математическое ожидание числа блоков, подвергшихся ремонту хотя бы один раз после двух серий по т циклов.
21.19.	По п мишеням стрелок производит две серии выстрелов по т в каждой. Стрельба организована так, что
выстрелы делаются последовательно по каждой мишени и наблюдения за результатами внутри каждой серии не производятся. Пуля с вероятностью р может попасть только в мишень, в которую прицелился стрелок. Мишень считается пораженной, если хотя бы одна пуля попала в нее. Вторая серия выстрелов производится после наблюдения результатов первой серии и в тех же условиях, но по пораженным в первой серии мишеням стрельба уже не ведется. Определить математическое ожидание числа пораженных мишеней в двух сериях для случаев п = т = 8 и п 11т.
21.20.	Две точки выбраны наудачу на смежных сторонах прямоугольника со сторонами а и Ь. Найти математическое
ожидание расстояния между этими точками.
21.21.	Найти математическое ожидание расстояния между точками, выбранными наудачу на противоположных сторонах прямоугольника со сторонами а, Ь.
21.22.	Получить формулы для математического ожидания и дисперсии числа появлений события при п независимых
опытах, если вероятность его появления от опыта к опыту изменяется и в к-м опыте равна
р^к=\, 2,..., п).
21.23.	При взвешивании на чашку весов положено 10 разновесов. Точность изготовления каждого из разновесов характеризуется срединной ошибкой в 0,1 г. Точность процесса . взвешивания характеризуется срединной ошибкой в 0,02 г.
Найти срединную ошибку в определении веса взвешиваемого
тела.
21.24.	На отрезке длиной / наудачу выбраны две точки. Найти
математическое ожидание и дисперсию расстояния между
ними.
21.25.	Плотность вероятности для системы случайных величин
(X, Y) задана формулой
1 г (х-5)* , у (х-5) у; 1
-А —.	1	1бб~+ 150 + 225 1
У)~ 300л
Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = aX+bY.
21.26.	Случайная величина ^подчиняется нормальному закону
распределения
/(х) =
р 
Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y =|У|.
21.27.	Случайная величина У под чиняется закону Пуассона. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = cosbX.
21.28.	Дальность до маяка определяется как среднее арифметическое из трех измерений. Связь между ошибками измерения зависит от темпа измерений и характеризуется следующими значениями коэффициентов корреляции;
а)	при темпе 3 сек. ri2 = г2з = 0.9, Г13 = 0.7;
б)	при темпе 5 сек. г12 = г23 = 0.7, г13 = 0.4;
в)	при темпе измерения 12 сек. г у = Q,j± i
Определить значения дисперсии для среднего арифметического результата при измерениях с различным темпом, если ошибки отдельного измерения характеризуются дисперсией, равной 30 м2.
21.29.	Случайная величина У под чиняется закону распределения, плотность вероятности для которого
/(х) =
при
при
х>0, х<0.
Плотность вероятности случайной величины Y задана формулой
/<У) =
2рг < — £2 Уе
при у >0,
0
при у < 0.
Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = X- Y, если случайные величины X и Y независимы.
21.30.	Дана случайная точка на плоскости с координатами (X, Y), причем х =10, У = -10, °* = 100, °у = 20 k*y = 0 Определить математическое ожидание и дисперсию расстояния Z от начала координат до проекции точки на ось OZ, образующую с осью ОУ угол а = 30°.
21.31.	Определить коэффициент корреляции для случайных величин У и У, если У— центрированная нормальная случайная величина, a Y = У”, где п — целое положительное число.
21.32.	Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = X (Y -У), если плотность вероятности системы (X, 19 задана формулой
/ (х, у) = —е~ 2°а Д2 t(y-y)3+ Д2'. а3ДК2л
21.33.	Колесу придается вращение, которое затухает вследствие трения; фиксированный радиус а, останавливаясь, образует с горизонтом случайный угол (О, который равномерно распределен в пределах от 0 до 360°. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния конца радиуса а от горизонтального диаметра.
21.34.	Материальная точка под действием центральной силы описывает эллиптическую траекторию. Известны большая полуось а эллипса и его эксцентриситет е. Предполагая, что с одинаковой вероятностью возможно наблюдение за движущейся точкой в любой момент времени, определить математическое ожидание и дисперсию дальности в момент наблюдения, если наблюдатель находится в притягивающем центре, расположенном в одном из фокусов эллипса, а
= д(1—g2) дальность R до точки определяется формулой 1 — cos«, где и - угол, составленный радиусом-вектором R с большой
осью эллипса а. (При движении в центральном поле секторная
скопость R2 W = consh
§ 22. Законы распределения функций случайных величин
Основные формулы
Плотность вероятности fy(y) случайной величины Y, где Y= со(Х) — монотонная функция (т. е. обратная функция Х= y^fY) однозначная), определяется формулой
Если обратная функция X =Х(У) неоднозначна, т. е. одному значению Y соответствует несколько значений A?/1 (у).
7л(у)> Хзб), /к (у) (рис 21), то плотность вероятности случайной величины Y определяется формулой
k
Для функции нескольких случайных аргументов удобнее исходить из формулы для функции распределения Fy(y).
Рис. 21.
Пусть, например, Y= со(Х], Х2) и задана плотность вероятности fx(xi, Х2) системы случайных величин (X), X])- Если Dy - область на плоскости X] ОХ2 для которой Y<y, то функция распределения
Fy(y) = J*J*A(xp x$dxxdxv
а плотность вероятности случайной величины Y fy(y) =
= 4-	(У)’ n zr
ay > в общем случае, если известен определитель Остроградского—Якоби преобразования от случайных величин
(Xi, Х2, ...,Хп) к случайным величинам (Yi, 1					Т2, 	
		< dyi	dxi дуг	ох, ’"' ду„		
р 	 д(Х|, Х2, .. <?(У.. Уг...	*1	_ •. Ул)	дх2 dy.	дх2 ду2	’ * ’ дуп		
		дхп ду.	дхп ду2	дхп дуп		
и если это преобразование взаимно однозначно, то /у (У1- Уг> • • •• Ул) ~ PIА (хр х2' " " х^’
величины х;, ...,хп выражены черезyi, ...,уп.
Решение типовых примеров
Пример 22.1. Через точку (О, Г) наугад проведена прямая (рис. 22). Найти плотность вероятности случайной величины Т| = /cos (О.
Решение. Угол (У является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале (0, л) (рис 22).
It' (П) I = -I
Так как при этом обратная функция %(т|) однозначна (с изменением угла со от 0 до лфункция монотонно убывает), то для определения плотности вероятности случайной величины Г| применима формула
(ч)—/«р ПР (л) 1It' (п>|.
где
ф(ф = arccosy,
при . О < ф < л.
во всех остальных случаях.
1________
/ П \2
/ф(ф)= о
окончательно имеем
1
/П(П) =
Л УI2— Т]2
О
при
Аналогично решаются задачи 22.2, 22.5—22.7, 22.9—22.13, 22.19.
Пример 22,2. Случайная величина Yзадана формулой
у, | + VX при X О,
I + У — X при X < 0.
Определить плотность вероятности случайной величины У, если X— нормальная случайная величина с параметрами х = 0, DM = 1.
Решение. В рассматриваемом примере обратная функция двузначна (рис. 23); так как одному и тому же значению У соответствует два значения^:
Xx = -Y^^(Y)
и
<¥2 = Н=^(Г).
то по общей формуле имеем
/у (у) = fx (- У2) I - %-1+Л (У2) |^| =
У4
А V	— "а*	_
е 2 при 0 у < оо,
У 2л
О
при у<0.
Аналогично решаются задачи 22.3, 22.4, 22.8.
Пример 22.3. Положение случайной точки с координатами (X, Y)
равновероятно внутри квадрата, сторона
которого 1, а центр совпадает с началом координат. Определить плотность вероятности случайной величины Z =XY.
Решение. Рассмотрим отдельно два случая: а) 0 < z < < 1/4 и б) -1/4 < z < 0. Для этих двух случаев построим на
плоскости гиперболы, уравнения которых z = ху.
На рис. 24, а, Ъ заштрихована область, внутри которой выполняется условие Ъ<г.
а)
У
О
Функция распределения случайной величины Z определяется при 0<z< 1/4
Fi(z) = P(Z<z)= 1 —P(Z> z)=l —2S .== иг
— 1 — 2 I dy f dx = — + 2z — 2z In
2» z/y	'
где SD>—площадь, области
при -l/4<z<0
1/2 г/у
(г) = 2$дг = 2 f dy f dx = у -b 2z — 2z In (—Az).
-2г	-1/2
Дифференцируя эти выражения по z, получим плотность вероятности:
при 0<z< 1/4
^<2;> = -^^<z)==-21n4z:
при -1/4 <z <0
f* &	~ 21й 4*>-
Окончательно плотность вероятности для случайной величины Z = XY может быть записана в таком виде:
Л(*) =
— 21n4|z| при ] z | < 4-, о при
Аналогично решаются задачи 22.16—22.19, 22.21.
Пример 22.4. Система случайных величин (X, Y) распределена нормально с плотностью вероятности
1	х'+у1
2а‘ •
Найти плотность вероятности системы (R, Ф), если
Х = R cos Ф,
Y = R sin Ф.
Решение. Для определения плотности вероятности сис-стемы (R, Ф) применяем формулу
/(г, <₽) = Дх(г, <р). у(г.
д(х, у)
где д (г> •₽) определитель Остроградского — Якоби преобразования от заданной системы к системе (R, Ф): дх дх
д(х, у) _	__г
д(г, <р) ду ду dr dtf
Поэтому
г’ cos2<p+r3 sin3 ср	г9
/<'•«>)= 202
Случайные величины 7? и Ф независимы, так как
/(г, <р) = 4(г)/ф(ф),
где	—закон Рэлея, f& (со)—закон равномерного
распределения.
Аналогично решаются задачи 22.22, 22.23, 22.25—22.27.
Задачи
22.1.	Функция распределения случайной величины X есть Fx(x). Найти функцию распределения случайной величины Y=aX+ b.
22.2.	Дана плотность вероятности f(x) случайной величины X (О < х < :). Найти плотность вероятности случайной величины Y= InX
22.3.	Найти плотность вероятности случайной величины
Z= аХ2, если X— нормальная случайная величина, х = О, D[A] = о2, а > 0.
22.4.	Определить плотность вероятности случайной величины Y = |Х|, если X— нормальная случайная величина, Y которой х = 0, а срединное отклонение Е дано. 22.5. Случайная величинах равномерно распределена в интервале (0,1) и связана с Y функциональной зависи-
t<T 2LL. — ex	w w
мостью 2	‘ Наити плотность вероятности случайной
величины Y.
22.6.	Найти плотность вероятности объема куба, ребро которого X— случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0, а).
22.7.	Через точку (О, Г) проведена наугад прямая. Найти плотность вероятности абсциссы точки пересечения этой прямой с осью Ох.
22.8.	Случайная величина ^равномерно распределена в интервале (-Т/2; Т/2). Определить плотность вероятности случайной величины Y = a sin (2it/T) X.
22.9.	Случайная величина Л подчиняется закону распределения Коши
— Л(14-Л2)
Найти плотность вероятности случайной величины Y, если: a) Y = 1 -X3; б) Y=aX2; B)F=arctgX.
22.10.	Определить плотность вероятности случайной величины Y = X1. где п — целое положительное число, если плотность вероятности

22.11.	Случайная величина ^распределена в интервале
(О,:) с плотностью вероятностиfx (х) = ех. Определить плотность вероятности случайной величины Y, если: a) Y2 = X, а знак у Y равновероятен; б) Y = V~X-
22.12.	Случайная величина ^подчиняется закону распре
деления Пирсона
г/а । U —-v )
при |х|<1,

0
при |х| > 1.
Найти плотность вероятности случайной величины
У = arcsin^
22.13.	Случайная величина ^равномерно распределена в интервале (0, 1). Определить плотность вероятности случайной величины Y, если:
22.14.	Случайные величины X и Y связаны функциональной зависимостью Y = Fx(X). Случайная величина ^равномерно распределена в интервале (а, Ъ), a Fx(X) функция распределения. Найти плотность вероятности случайной величины Y,
22.15.	Случайная величина ^равномерно распределена в интервале (0, 1). Задана функция f(f) / 0, удовлетворяющая условию
/ ft(f)dt=\.
Случайные величины X и Y связаны функ циональной зависимостью у f ft(t)dt.
Доказать, что ft(y) есть плотность вероятности случайной величины Y.
22.16.	Система случайных величин (X, Y) подчинена закону нормального распределения
1	4-У‘А
^7 ч	1	2 I а* ал /
---„-е У/
ахоу f 2л
Какому закону распределения подчиняется случайная величина
22.17.	Определить плотность вероятности случайной величины Z = XY, если:
а)	задана плотность вероятности f(x, у) системы случайных величин (X, Y);
б)	Хи У—независимые случайные величины, плотности вероятности которых
1
fAx) — y=^e 2	(—оо<х<оо),
уе 2 при 0<у<оо, О при у С 0;
в)	Хи У — независимые нормальные случайные величины с х — у — 0 и дисперсиями	и °у соответственно;
г)	Хи У—независимые случайные величины, плотности вероятности которых
При | X I 1 ,
Д(х) = | л/1-х2 I О
при |х|>1,
Л(У)= х"2
I о
при 0<у<оо, при у < 0.
22.18.	Найти плотность вероятности случайной величины
Z =X/Y, если:
а)	задана плотность вероятности f(x,y) системы случайных величин (X, Y);
б)	Хи У—независимые случайные величины, подчиняющиеся закону распределения Рэлея:
, 2а’
Л(Х)=^
при х > 0, при х^О.

При у^-0, при у < 0;
в)	X и Y - независимые случайные величины, плотность вероятности которых
=	2	(-оо<х<ТО).
пу’
О	при у < 0;
г)	система случайных величин (X, Y) подчиняется нормальному
закону распределения
1	/*1_2г -УУ , -И2 \
/(Х, у) =------Vy ^у/.
74 У 2®Tf(Ty/l— гг
22.19.	Найти плотность вероятности модуля радиуса-вектора
R = Vx2+Y*. если:
а)	плотность вероятности f(x, у) для системы случайные величин (X Y) задана;
б)	случайные величины X и Y независимы и подчиняются одному и тому же закону нормального распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и срединным отклонением Е;
в)	плотность вероятности для системы случайных величин (X,
Y) задана формулой
/(х. у) =
при X2 4- у2 <£2, 0 при х2 у2 > /?2;
г)	Хи Y— независимые нормальные случайные величины, плотность вероятности которых
У)-2^е'
<х—Л)’+У’ 2а’
Д) случайные величины X и Y независимьги подчиняются закону нормального распределения с х = у=0 и дисперсиями о2 о2
х и у соответственно.
22.20.	Система случайных величин (X, Y) имеет плотность
вероятности
/(х. у) = ----^==е’2(1-^
2л<т/7у	— г2
(X-J)(y y)-
Vy .
Найти линейное преобразование случайных величин X, Y независимым случайным величинам UnV. Определить средние квадратические отклонения новых случайных величин.
22.21.	Оба корня квадратного уравнения х2 + ах + |3 = 0с равной вероятностью могут принимать любое значение от -1 до +1. Определить плотность вероятности для коэффициентов а и
Р-
22.22.	Прямоугольные координаты (X, Y) случайной точки— зависимые нормальные случайные величины, х, у,бх, <зу, гху Даны. Найти плотность вероятности полярных координат (Т. Ф) этой точки, если
-— = ГсозФ,
аХ	Оу
Каким законам распределения подчиняются Т и Ф, если
Гху= 0
22.23.	Пусть $ 5о + Ко/ + -у- • где So. Vo и А — нормальные случайные величины, математические ожидания и корреляционная матрица которых известны. Определить плотность вероятности f(s | t).
22.24.	Найти плотность вероятности неотрицательного квадратного корня из среднего арифметического квадратов нормальных центрированных случайных величин Y=
п
г 11	2
если дисперсия D[A/J = о (/=1,2...., п).
22.25.	Прямоугольные координаты случайной точки
(Xj, Х2, Хп) имеют плотность вероятности
Я
/(4 X,......х.)=
<2л)пи ая
Найти плотность вероятности для «-мерных сферических координат этой точки R, Ф1 Ф2,.... Фп-1- если:
Xt = /?sin®1.
Х2 —/?sin02cosOP
Х3 = R sin Ф3 cos Ф1 cos Ф2.
Л’я_1 = /?51пФя_1СО5Ф1СО5Ф2 ... созФя_2, Хп —R cos COS Ф2 . •  COS Ф„-1.
22.26.	Две системы (Ху Х2, ...,Хп) и (Yy Y2, Yn) случайных величин связаны линейными зависимостями Xk=t^}Yj (*=1. 2. .... п),
>=i
причем |агу| / 0 Определить плотность вероятности
fy (уъУ2, —,Уп) если плотность вероятности fy (хух2, ...,х„) задана.
22.27.	Найти закон распределения системы случайных Величин (R, &), где Я — V^2 4- У2 + Z2—радиус-вектор Y случайной точки в пространстве, а 0 = arcsinl7R—широтный угол, если плотность вероятности прямоугольных координат (X, У, Z) равна f(x, у, z).
§ 23. Характеристические функции систем и функций случайных величин
Основные формулы
Характеристической функцией системы случайных величин (Ху Х2, ...,Хп) называется математическое ожидание ехр[г'2 «л|
функции 1 6=1	> где Uk(k= 1, 2,.... п)—вещетвенные
величины, ? 1 ~ V 1:
[п 1
1 2 “Л
е *=i	*]
Для непрерывных случайных величин
Exv х2, ...,хп (м1> и2, .... «л) —
п СО ОО	ОО V
//•	ukxk
J ... J e *=l	f (xP x2. .... xjdXjdx2 ... dxa.
— OO — CO	—00
Характеристическая функция системы независимых случайных величин равняется произведению характеристических функций случайных величин, входящих в систему:
Х2, .... хп («р «2.мл) — П («/)•
Для многомерного нормального распределения с математическими ожиданиями х2> • • •  хп и корреляционной матрицей
ИМ =
*11 kl2 ... £1Я
*21	*22	• • • *2л
• • • ' • • •
*л1	*л2	• • • *лл
£(«р «2.
п п.
игхг—2^ '^ktsutas
Г=1 J=1
В том случае, когда начальные моменты системы случайных величин соответствующего порядка существуют,
... <»]=
__	2 ПЕхх, Хг.xn(uv и2>
Если случайная величина У = со(Х), то оо
Еу (и) = М [eiuy] = f etu4W f (x) dx.
—oo
— ио
Характеристическая функция системы случайных величин (У;, Y2, Yn)' каждая из которых является функцией других случайных величин
П = Ф1(^1. Х2.....
Х2. .... Хт).
равна	:
. ..УЯ(И1' •••• Ип) =
2“Л(Л.....хт)
4=1	. /(*1....xm)dxi ... dxm.
V
Характеристическая функция подсистемы случайных величин может быть получена из характеристической функций системы, если переменные ик, относящиеся к величинам, не входящим в подсистему, заменить нулями,
Решение типовых примеров
Пример 23.1. Частица начинает движение из начала координат и перемещается в некотором направлении на расстояние I]. Затем она мгновенно меняет направление движения и в новом произвольном направлении перемещается на величину I]. Траектория блуждающей таким образом частицы состоит из отрезков длиной li,l2,...,ln направление каждого из которых определяется углом 0Ск, с осью Ох, равномерно распределенным в интервале (0, 2 л). Случайные величины 0С1,0С2,...,0Сп независимы. Найти характеристическую функцию координаты X конечной точки траектории и соответствующую ей плотность вероятности.
Решение. Координата ^определяется как сумма проекций отрезков 4 на ось Ох:
X = На lk cos а*.
Л = 1
Вследствие независимости «к
7(ai. «2...а«)	= П/(а*Х
feel
причем
/(<**) =
1
2л
при 0<^ай<^2л,
О при aft < 0, ай > 2л.
поэтому
°°/а 2'scosa*
J е *'* /(aj..........a„)6?ai ... dan ==
-ОО
«	Л
-П/
ft=l о	It-l
где jo - функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Отсюда “	п
/(*) = 4г ./ e-l^UJo(Wdu. — оо	k — l
или оо	„
/(Х)=^Г f COS «XII Ja(lku)du. -оо	*=1
Пример 23.2. Задана корреляционная матрица ||А>5|| системы шести нормальных случайных величин X, Х2, Хв, математические ожидания которых равны нулю. Пользуясь методом характеристических функций, определить математическое ожидание произведения Л'зА'гЛ'^.
Решение. Математическое ожидание М [Л3Х2Л4] оп_ ределяется распределением подсистемы случайных величин (Х2 ,Х3 ,Х4. Соответствующая этой подсистеме характеристическая функция имеет вид 4	4
-4 2 S
Ехъ ха, xt (и2’ и3’ а4> — е Г 2 5 2
Искомое математическое ожидание может быть получено путем четырехкратного дифференцирования характеристической функции
м [х1х2х4] =
^Ех2,хг,х,(и2>и3^4)
dii^ ди2 ди4

Первый способ. Если разложить характеристическую функцию в ряд по степеням ее показателя степени, то обнаружится, что при нахождении интересующей нас смешанной производной при из и.2 = из = и.4 = 0 только один член разложения дает результат, отличный от нуля:
(44	\ 2
/ krsurus I
IVI ( Л зЛ 2ZX 4J =  -Г:\ f 2 , 
8 ди3 ди2 ди4
Смешанная производная от квадрата многочлена при U2 = из = U4 = 0 будет в свою очередь иметь отличными от нуля только те члены, которые до дифференцирования были пропорциональны изи2и4’ т.е.
М (Х2Х2Х41 = - (2^^24“з»2»4 + 4^23^34цЗц2ц4) _
I 4	4	ди2ди4
«2 = И, = И4 = О
— ^33^24 ~Ь
Второй способ. Для удобства введем обозначение п
1г = 2j ^rs^s’
s~ 1
Тогда
дВ
в в
g	Г» 1 S-1	.   
х
-Е^- = Ех2 — Ek.v ди3 3 '	33
^Т2 +. 2^23 + ^2*33,
Ex3,
д
ди3 ди3
д!Е _ р^ ди1~~Е 3
д3Е
ди2
д«з ди2 ди4 ~	^Т3^24	2^Т3Т4^23 +
-j- SEk^k^ ^'t21'4^33	^24^33*
При ul—ul2= ... =«6 = 0 имеем
Е = 1, т. = 0,
вследствие чего
М [Л’зХг^й] = k33&24 Н- 2^23^34-
Аналогично решаются задачи 23.11—23.14.
Задачи
23.1.	Доказать, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
23.2.	ЗаданаЕх1,...,хп (ui,...,un)—характеристическая функция системы случайных величин (Xi,X2, ...,Хп). Найти характеристическую функцию суммы Z = Х1+Х2+...
...+ХП
23.3.	Найти характеристическую функцию линейной
функции *=1	независимых случайных величин
Xi,X2,...,Xn, характеристические функции которых заданы.
23.4.	Найти характеристическую функцию квадрата отклонения нормальной случайной величины от ее математического ожидания Y = (X— х)2 и начальные моменты распределения Y.
23.5.	Найти характеристическую функцию случайной величины Y = aF(X)+b, где X—случайная величина. F(x)— ее функция распределения.
23.6.	Найти характеристическую функцию случайной величины Y = InF(X), где А^случайная величина, a F(x)— ее функция распределения. Определить начальные моменты распределения Y.
23.7.	Найти характеристическую функцию проекции отрезка а на ось Оу, если угол между отрезком и осью Оу подчинен закону равной вероятности в пределах от 0 до 2л. Определить плотность вероятности проекции отрезка.
23.8.	Найти характеристическую функцию системы двух случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения
1 Г(х-хГ 2г(х-х)(у-у) 1 (У-У)8~|
1	г(1-г2) о? ’I’a 4 J
характеристическую функцию системы п случайных величин (Х1,Х2, ...,Хп) подчиненных нормальному закону распределения, если заданы математические ожи-
дания случайных величин, входящих в систему, хт =а, и их корреляционная матрица
	о« ао2 0	аа2 0 о2 аа2 ао2 а2	0 0 аа2	0 .. ; о.. о..	. 0 . 0 . 0	0 0 0	
	0	0	0	0	0 ..	. о2	ао2	
	0	0	0	0	0 ..	. ао2	о2	
		(г, S— 1,	2, ..	. я).			
23.10. Найти характеристическую функцию							
/п = 1
где (Х],Х2, ...,Хп)—система нормальных случайных величин.
23.11.	Пользуясь методом характеристических функций, определить М[(Х?-п2)(^-О2)]
если Xi,X2—нормальные случайные величины, для которых xi — х2 — 0.
М[^;] = М[^1] = о2. а М [ВД] = А12.
23.12.	Пользуясь методом характеристических функций, определить: а) М	g) М [(.Y2—о2)(.¥2—о )(>Y2—о)] если
Х],Х2иХз —нормальные случайные величины, для которых xi = х2 — хз — 0. М [A"!] = М [А'г] = М [А'3] = = о2, а А12, й13 и А23—корреляционные моменты между соответствующими случайными величинами.
23.13.	Пользуясь методом характеристических функций, определить М [Х3, Х2, Х3]. если Xj, Х2, Х3—нормальные центрированные случайные величины.
23.14.	Пользуясь методом характеристических функций;
выразить М [X], Х2, Х3, Х4] через элементы корреляционной матрицы kmi системы нормальных случайных величин X], Х2, Х3, Х4 математические ожидания которых равны нулю.
180	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	[ГЛ IV
23.15.	Доказать, что центральный момент четного порядка системы п нормальных случайных величин определяется формулой
Hr,,г2.гп—М [(*1 — х/* (Х2 — Х2р ...(%„ — х„)Ч =
 г,1гг!...г„! у .	.
где г,—]—г2—••• 4-гй = 2у, а сумма распространена на все возможные различные перестановки 2s индексов щ, т2, . ... тп и /2.......1п, из которых г, индексов равны 1, г2 ин-
дексов равны 2, .... гп индексов равны п.
23.16.	Дана система зависимых нормальных случайных величин (<¥р Х2......Хп). Доказать, что случайная вели-
п
чина Y = 2 aiX/ + также подчиняется нормальному за-У=1
кону распределения.
23.17.	Продукция завода состоит из однотипных изделий, каждое из которых в r-м квартале года (г — 1, 2, 3, 4) с вероятностью рг относится к первому сорту и с вероятностью qr = 1 — рТ — ко второму сорту. Изделие первого сорта оценивается в а второго — в S2 рублей. Определить характеристическую функцию системы случайных величин X и Y, где X — стоимость изделий, выпущенных за первые три квартала, a Y — за последние три квартала года. Определить корреляционный момент X и Y. Число изделий, выпускаемых в r-м квартале, равно Nr.
§ 24. Композиция законов распределения
Основные формулы
Нахождение закона распределения суммы независимых случайных величин по известным законам распределения слагаемых называется композицией законов распределения. Если X и Y — независимые дискретные случайные величины, то ряд распределения случайной величины Z = X + Y определяется формулой
==2Р(Г = уА)Р(Х = г/-уй), й
§24]
КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
181
где суммирование ведется по всем возможным значениям случайных величин.
Если X и Y — непрерывные случайные величины, то плотность вероятности для случайной величины Z — X -\-Y
fz(z) = / fx (*) /у (z — х) dx = f fy(Y)fx(z — y)dy,
а функция распределения Fz(z) определяется формулой
Fz{z) = $ f fx(x)fy(y)dxdy.
x+y <z
Плотность вероятности fy (у) суммы независимых случайных величин Хх, Х2.......Хп (У = Хг + %2 + ...	оп-
ределяется или с помощью характеристических функций по формуле
f>^=s /<-* ПМ *
где
Ех. (О — f elxif хt(x) dx, I	J / J
или путем последовательного применения формулы композиции для двух случайных величин.
Решение типовых примеров
Пример 24.1. Найти плотность вероятности суммы Двух независимых случайных величин Z == X -f- Y, где X равномерно распределена в интервале (0, 1), а У имеет распределение Симпсона (рис. 25): •
/у(у) = { 2 —у при .1 <у
у при 0<у< 1, — у при .1 СУ<>2, О ; в других случаях.
Решение, Так как функция fx(x) и /у(у) отличны от нуля только в определенных интервалах изменения своих
182
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
(ГЛ. IV
аргументов, то удобнее сперва найти функцию распределения случайной величины Z. Имеем*
F,(z) = P(Z<s)== f f fAx)fy(y)dxdy, О
где Dz— область, внутри которой х-ру<г и ни одна из функций fх (х) и /у (у) не обращается в нуль (рис. 26).
Рис. 25.
Вид области интегрирования будет различен в зависи- . мости от того, в каком из трех интервалов (0, 1), (1, 2) или (2, 3) будет находиться значение г- Вычисляя для этих случаев интегралы, получим
О	при г < О,
Z
ffy(S)dy f	при 0<z< 1,
О ‘	’ О
Z—l	1	Z —1	Z—X
f dx f ydy + J dx f (2—y)dy + o a	o i
1 z-x
4~ J* dx J* ydy = д — z-l о
. (2 —«)’ (z — 1)’	, ,
-f- i------s—-s-d- при 1 z -C 2,
О	0	r
2	1
1 — J' (2 — y)dy £ dx=l—^-(3—я)3 при г-i	z-y
1	при z > 3. v
$24 J	КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	Г83
Дифференцируя по я, определяем плотность вероятности: при	О <С z	1.
при	1 г	2,
при	2 <; z	3,
при	z < 0 или z > 3.
Функции /^(х), /у (у) и Д(в) представлены на рис. 27.
Аналогично решаются задачи 24.1, 24.2, 24.4, 24.8.
Пример 24.2. На отрезке АХА2 длиной 2L наудачу выбрана точка С. Возможное отклонение центра отрезка F1F2 = 2jB ют середины отрезка AtA2 имеет нормальное
Рис. 27.
распределение со срединным отклонением Е. Определить вероятность того, что удаление точки С от середины отрезка FjF2 не превзойдет заданной величины (d-f-S).
184	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	[ГЛ. IV
Решение. Обозначим случайное отклонение точки С от центра отрезка AtA2 через X, а отклонение центра отрезка FjF2 от середины отрезка Л^ через Y (рис. 28), тогда отклонение точки С от центра отрезка FjF2 будет
Рис. 28.
равно Z = У — X. Так как функция /у (у) отлична от нуля на всей числовой оси, то
Г	1 р	б^г+хг
fz^}= J fx(x)fy(z + x)dx = -^- j	£!	=
—оо	— L
L +2
2L Vn J	4L L \ F /	\ E
z-L
E
Удаление точки С от середины отрезка FjF2 не превзойдет величины d-\-B. если |г|<с?-|-В. Поэтому вероятность этого события определяется формулой
d+B
P = P(|2|<d + B)= f fz(z)dz =
-(d+B)
f [ф(лт£)+ф(Ат£)]‘гг= - (d+B)
Г* L+d+B	L—d—B	~|
E	E
= i f ®®dt~ f ^dt =
L—d—B	L+d^B
- Ё	~Ё
§ 2*f	КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	185
L + d+B
Е
f Ф(Ц {(L + В + Ф (Д-- E±d-} -
L—d—B	'
Е
-(L-B-d)^ BE—) +
е^+в+ау
Аналогично решаются задачи 24.3, 24.5 — 24.7, 24.13 — 24.15.	'
Пример 24.3. Смешаны две группы однотипных деталей, содержащие и и2 деталей каждая. Число бракованных деталей в каждой группе (соответственно X и У) имеет биномиальное распределение:
Р (X = т)— Cnlpmqn'~m, P(Y = п1) = С^ртдПг-т.
Найти ряд распределения случайной величины Z = X -j-У.
Решение. Для того чтобы вероятность Р (Z — z) была отличной от нуля, Z должно быть целым и находиться в интервале (0, П1 + и2). Применяя общую формулу и учитывая, что 0 х z, получим
Z
р (Z = Z) = 2 Cxnipxqn'-xCz~xpZ-Xqni~Z+x =. х=0 z ч
Z
___ пгпп1 + п2-г X1 рХ pZ-X 	+
— Р Я & ьЯ|СЛ2 = СЯ+Яр q х=о
< (z = 0, 1, 2» .*«,	#2)*
(Равенство 2 Gxnpz^x — Czn +я может быть доказано, на-'	х=о
пример, по индукции. Сначала доказать для я, = 1 и любых и2.)
Эта задача может быть решена и с помощью характеристических функций. Для случайных величин X и У имеем
(0 — М [еш] = (реи + q)l,,,
Еу (t) — М [eirt] = (pelt д’)"1.
136	функции случайных величин	(гл. iv
Так как случайные величины X и К по условию независимы, то
Ег (0 = Ех (0 Еу (0 == (рХ+
Из этого следует, что случайная величина Z также имеет биномиальное распределение.
Аналогично решаются задачи 24.12, 24.16 — 24.21. :
Пример 24.4. Пусть Хр Х2, .... Хп— независимые случайные величины, каждая из которых подчиняется закону Пуассона
= =
с одинаковым параметром а. п
Найти ряд распределения случайной величины Y — 2^,
  >=1 и доказать, что центрированная и нормированная случайная
К—у величина---— при п -> оо имеет нормальное распределение.
Пу
Решение. Определяем характеристическую’ функцию для случайной величины X f.
°° ь
*=0 .
со
=2	==и- >.
*=0 .
Так как случайные величины Xj независимы, то характеристическая функция случайной величины ¥ определяется формулой
^у(о=П^,(о=^а(е<-1)-7 = 1	1
Следовательно, случайная величина ¥ имеет своим законом распределения закон Пуассона с параметром па. Обо-
Y__у
значим Z =---Случайная величина Z получена в ре-
Пу
аультате центрирования и нормирования случайной величины К. Известно, что для закона Пуассона математическое
$ 2*1
КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
187
ожидание и дисперсия численно равны между собой и равны параметру этого закона. Поэтому
? . Y—na
Ум '
Определим характеристическую функцию для случайной величины Z:	>
Ег(0 = М	= М [е ] = е~1 Еу =
— e~iyr^ »па Vna _ 1 = е~пае~и Yna^uie __
I р рр па I-----4- ...... .
=е \ 2па 31 (па)/2
. Следовательно,
lim Ez (f)=.e 2. п->оэ
Предельное значение Ez(t) является характеристической функцией случайной величины, имеющей нормальное рас» пределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной единице.	4	4
Аналогично решаются задачи 24.6, 24.10, 24.19, 24.20.
Задачи
* 24.1, Определить плотность вероятности суммы двух независимых величин, каждая из которых равномерно распределена в интервале (а, Ь).
24.2.	Найти композицию двух законов равномерного распределения с параметрами а и b (Ь > а), если центры рассеивания для этих законов совпадают, а параметром закона равномерного распределения называется половина интервала, возможных значений случайной величины.
24.3.	Случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с параметрами х и ох, a Y — закону
188	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	|ГЛ. IV
b — а —  а-4- Ь ' равномерного распределения с параметром—— и у — —. Найти плотность вероятности случайной величины Z= = X — Y, если X и У независимы.
24.4.	Найти плотность вероятности суммы трех независимых случайных величин, каждая из которых равномерно распределена в интервале (а, Ь).
24.5.	Найти композицию нормального закона (математическое ожидание х, срединное отклонение Е) и закона равномерного распределения, заданного в интервале (х — /, х -|- /). Определить относительную ошибку, возникающую от замены суммарного закона нормальным законом, имеющим то же математическое ожидание и ту же дисперсию. (Расчет произвести для х = О, 1 — Е, 1 = 2Е, 1 = ЗЕ и 1 = 4Е в точке г = 0.)
24.6.	Найти плотность вероятности случайной величины Z = X -|- У, если случайные величины X и У независимы и подчиняются закону Коши:
/ /.л	1	h	t	1	k
JAX)— п	W -У i _|_ ki (y — 6)2 •
24.7.	Найти плотность вероятности суммы двух независимых случайных величин X а У, подчиняющихся закону гиперболического секанса:
• 24.8. Пусть X и У — независимые случайные величины, плотности вероятности которых заданы формулами
.. 1_L
fx(х) = ^-е 2	(0<^ х со),
т___2.
3	(0<у<оо).
Найти плотность вероятности случайной величины Z = = ХЛ-¥. 
24.9.	Найти плотность вероятности расстояния между случайными точками Л1(Л'1, Fj) и Л.2(Л'2, У2), если системы случайных величин (Л\, К,) и (Х2, У %) независимы и нор-
§241	КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	189
мально распределены. Единичные эллипсы рассеивания точек Д1 и А2 имеют главные полудиаметры (av Ьг) и (а2, Ь2). Угол между полудиаметрами at и а2 равен а. Центры единичных эллипсов совпадают.
24.10.	Пусть Х} (/= 1, 2...п)— нормально распре-
деленные независимые случайные величины, х;-=0 и D[A^]= 1.
п
Доказать, что для случайной величины Y = У, X] плотность вероятности определяется формулой т-1 X - '
=	(0<У<оо)-
2 = г(1)
24.11.	Прибор дает при измерении систематическуй ошибку а и случайную ошибку, подчиненную нормальному закону распределения со срединным отклонением Е. Доказать, что при E^-d вероятность р (а) получения ошибки; в пределах заданного допуска ±d приближенно определяется
где ,	.	______
= |/~£2 +1Р2^2 •
24.12.	Двое независимо один от другого стреляют в тире каждый по своей мишени до первого попадания. Определить математическое ожидание и дисперсию общего числа промахов и найти функцию распределения числа промахов, если вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для. первого стрелка равна а для второго р2.
24.13.	Какой запас прочности должен иметь образец, чтобы вероятность того, что он выдержит нагрузку, была бы не менее 98% ? Ошибки в определении заданной нагрузки и ошибки определения предельной нагрузки подчиняются закону нормального распределения и характеризуются сре-Динными отклонениями Egl — lQ%q1 и Едг = 5%д2, где qx и q^— математические ожидания заданной и предельной нагрузок, причем ^ = 20 кг.
190
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1ГЛ. "ГУ
24,14.	Для навигационного обслуживания судов, проходящих через пролив шириной £, на каждом берегу пролива установлено по одному радиомаяку. Максимальные дальности действия этих приборов являются независимыми нормальными случайными величинами, характеризующимися математическим ожиданием х и срединным отклонением Е. Полагая, что удаление курса судна от берегов пролива равновозможно и 2х < L, определить: а) вероятность того, что судно будет обслужено двумя радиомаяками; б) вероятность того, что судно обслужит хотя бы один радиомаяк.
24.15.	Наблюдатель А из бесконечности двигается по направлению к наблюдателю В. Максимальные дальности обнаружения друг друга для этих наблюдателей являются независимыми нормальными случайными величинами, характеризующимися соответственно математическим!! ожиданиями хА, хв й срединными отклонениями ЕА, Ев. Найти вероятность того, что наблюдатель А обнаружит наблюдателя В первым.
• 24,16. Найти композицию т показательных законов распределения с одинаковым параметром к.
24.17.	Пусть X и Y — независимые случайные величины, принимающие целые неотрицательные значения I й J с вероятностями Р(Х ==/) = (! — а) а1 и Р (К — J) = (Г— Ь)Ь’, tjifi а и b — положительные числа, меньшие единицы. Найти функцию распределения случайной величины Z = X -\-У-•	24.18. Пусть X и Y— независимые случайные величины;
X принимает три возможных значения 0, 1, 3 с вероятностями 1/2, 3/8, 1/8, a Y — два возможных значения 0 и 1 с вероятностями 1/3, 2/3. Определить ряд распределения случайной величины Z=^X-\-Y.
ш 24.19. Пусть X, Y — независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение Пуассона:
ат
Р(Х = щ) = ^ге-<’.
Р(И=/В) = ^те-.
Найти ряд распределения случайной величины Z — X-^Y-• 24.20. Пусть Х} (J = 1, 2.......п) — независимые слу-
чайные величины, каждая из которых может принимать
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 191 только два значения: единицу с вероятностью р и. нуль с вероятностью ф=1— р. Найти ряд распределения слу-
Я
чайной величины У ==5} Х{.
24.21.	Пусть X и Y — независимые дискретные случайные величины, принимающие целые положительные значения k от 1 до оо с вероятностью (l/2)s. Найти функцию расаределения случайной величины Z — X Y.
§ 25. Линеаризация функций случайных величин
• Основные формулы
.. i
Любая непрерывная дифференцируемая функция, производная которой не обращается в данной точке в бесконечность, при достаточно малых пределах изменения аргументов может быть приближенно заменена линейной путем разложения ее в ряд Тейлора с удержанием только линейных членов. Если вероятность того, что аргументы функции примут значения, лежащие вне области, в которой функцию можно считать линейной, мала, то функцию случайных аргументов можно разложить в окрестности точки, соответствующей математическим ожиданиям ее аргументов. Приближенное значение математического ожидания и дисперсии при этом определяется:
а)	для функции одного случайного аргумента У = <p (X): У«Ф(х). Din Мф'Й D 1X1;
б)	для функции У — Ф(Хр Х2, .... Х„) нескольких случайных аргументов;
уайфСХр Х2, Хя).
где — корреляционный момент для случайных величин Xt и Хр через условно обозначены производные, вычи-сленные для значений аргументов, равных их математическим ожиданиям.
192
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
|ГЛ. IV
Если случайные аргументы взаимно не коррелированы, то
1*4
/=1
Для уточнения результатов, полученных методом линеаризации, в разложении функции сохраняют кроме первых двух и некоторые последующие члены. Если удержаны первые три члена разложения функции в ряд, то математическое ожидание и дисперсия функции приближенно определяются по формулам:
а)	для функции одного случайного аргумента У = ф (X):
у « Ф (х) 4- у ф" (х) D [ X],
D1И ~DM3 4
4-	т!ф" Й]21М*1 — D21*1} +Ф7 й) ф" й) Из 1*1:
б)	для функции ’Нескольких случайных аргументов У = ==ф(Хр -Х2, .... Хп) математическое ожидание определяется формулой
У =» ф(Хр Х2, ..., х„)-{-у О (*/1 + 2 "г/S.....
0 I	i<j 0xi0xf
в общем случае и формулой
удаф(Хр х2, .... хя)4~у V-yrDI*/!-
0Х;
£ = 1 1
когда случайные аргументы взаимно не коррелированы. Если случайные аргументы взаимно независимы, то дисперсия определяется формулой
В Ю “ 2 (Ж в И,)+| i (-§)’ (С. m - О’ mi+
__ « « —
5 25] линеаризация функции случайных величин 193
Решение типовых примероц-
.. Пример 25.1. Математическое ожидание числа бракованных аппаратов при проверке их на безотказность действия определяется формулой
г z	р \rn-i
7'=лФ-(1--5у) ]
где Р — вероятность того, что испытание одного из аппаратов будет признано зачетным; Q — среднее число зачетных испытаний до получения отказа в действии аппарата; N — число аппаратов, участвующих в проверке; т — число испытаний (зачетных и незачетных), приходящихся на один аппарат.
Пользуясь методом линеаризации, определить зависимость математического ожидания и дисперсии случайной величины Т от т, если N, Р и □— независимые случайные величины, математические ожидания и дисперсии которых соответственно равны:
M[?V] = 5, МИ = 0,8, M[Q] = 4, D[/V] = l, D [/3] = 0,1, D [□] = 0,2.
Решение. Применяя общие формулы метода линеаризации, получим
М[7Т^Г1 — /1 — ХГ1=5(1 — 0,96т), L \ <оп / J
 DI ч - «о |«1 + (^)2 D |Р) + «У О |Й). где
6Г _ аг |	—1^/1
дп дп |лг_ - р_- а_-	\ е>п /
—	1 — ХГ 1 = 1 — 0,96т — О.О-ЫО.Эб”’"1,
(Ы1 \	(Ы1 / :
-^•=^(1 — ХГ-1 =0,25/я0,96т~1.
др . и \	:
-^. = _0,05m0,96'n-],
D [Г] « 0,00835m20,962 (т-,) —
— 0,08m (1 — 0,96m)0,96’"~1-|-(l — 0,96й1)2.
13 Б. Г. Володин и др.
194
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Приближенные значения математического ожидания и дисперсии случайной величины Т для различных m приведены в таблице 8.
Таблица 8
m	2	10	30	100
	0,025	0,327	0,684	0,854
М[Г]	0,390	1,675	3,530	4,915
Аналогично решаются задачи 25.1—25.11, 25.14, 25.17, 25.19—25.22.
Пример 25.2. Максимальная высота полета спутника определяется формулой
У = Ун 4- (R 4- у0) [	~ ф
где
А =	(! +	l ==	Gos^’
у0— высота активного участка траектории, g— ускорение силы тяжести на поверхности Земли, /? — радиус Земли.
Функция Y в области практически возможных значений случайных аргументов линеаризуется. Начальная скорость V и угол бросания 0 — нормальные случайные величины, плотность вероятности которых
1 Г/р -7 V / 8-1 \а	(р-о)(8-0П
-______1	/>~2<1~г2)1а J \ °е 7~ <ve 1.
2ло^овУ'1—гг
Найти приближенное значение дисперсии для максимальной высоты полета спутника.
Решение. Так как заданная функция по условию линеаризуема ’в области практически возможных значений случайных аргументов, то
DIH
. de J ***>•
.§25]'	ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ -ВЕЛИЧИН	195
где
дТ	X (/? + Ус) [2 (1 - М (^ ~ О c°s2 0 +1 (1 + /)]
_____	г/(1-А)2	*
дТ	X (Р+у о) sin 20
«0 “ I : ’ _
а X и I вычислены при V=©> 0 = 0.
. Аналогично решаются задачи 25.13, 25.23.
Пример 25.3. Пусть X, Y — независимые случайные величины, плотности вероятности которых
/,(*) =—(0<х<1),
/(у) ==2—	(0<у<1).
J л р1—у2
Пользуясь методом линеаризации, определить математи- < ческое ожидание и дисперсию случайной величины Z = = arctg-y-. Полученные результаты уточнить, используя для этого разложение заданной функции в ряд Тейлора с удержанием в нем первых трех членов.
Решение. Используя общие формулы линеаризации, имеем
МIZ]« arctg #, Dm D МП + D in.
У -	\ dx)	\dy)
ne ’	'	' '
i
~___—__ 2 f xdx 2
D [X] = d 1У]=— f — x2 = 1 — A, \ Я J -fi — xi . 2Z л2
dZ __ dZ I	у ____ л •
dx ~ dx |x=- y=-~ x2 + y5 “T’
dZ___ , x ________.a^
dy . x2+72	: 4 ’
13*
196	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	(ГЛ. IV
Таким образом, метод линеаризации дает
M[Z] «arctg4- = 4' У 4
D fZI « 2 — g2-8 — д2-8.
Uiz.j — z 16	2п2 —	]6 .
Учитывая следующий член разложения в ряд Тейлора, получим
М [Zj « arctg 4+1 (D [XJ + D [И |.
у 2 (\ дх2 /	\ ду2 / J
D [Z] « (g-)2 D [XJ + (ЦТ D [FJ+
{(-КТ~1)2 m)+(^f)2 (ц< m “ D2fF|)}+
+ DID in +-Й-Из	-?Г Нз Iи.
1 дх ду 1 1	1 ’ 1 дх дх2 л ‘ ‘ 1 ду ду2 л
где	_
<):Z  ___2х у ________л2
дх2 ₽ (Р + у2)2 3	8 ’
d2Z __ 2х у ____ я2
~ду^~ С? + у2)2 ~"8~*
d2Z  х2 -у2 0
дх ду	(х2 Д- у2)2
dZ	o2Z л / л2Д_____ л’
дх	дх2	ж 4 \	8 ' ~~	32	’
dZ	d2Z	__! лр2_	л3
ду	ду2 \	4) 8	32	’
Н31^1 = Н31И = тА — 3/п1/?г24- 2т| =
— 2 /*	—Зх Г— -Ь2х3 =
л J У1— х2 J « /1— X2 ~
__4___3.16	16__5_
' Зп	л ’ л* = л3	Зл ’
И4 [ЛД = Ц4 [F] — m4 — 4m1zn3 + б/п^ — Зт* =
3 я 2	4 •	4	1	„ 16	4.3	48
- '	= 8~4 л • to + b'F-,-27~d	3F+.8 ~F'-
§ 25] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 197 Поэтому с учетом квадратичных членов ряда Тейлора получим
ПГ7! «2-8 , Ж , 7я» 3 ’ D[ZJ« J6 Г 8>128 -Г 48 2 •
Аналогично решаются задачи 25.12, 25.15, 25.16, 25.18.
Задачи
25.1.	Количество тепла Q в калориях, выделяемое в проводнике с сопротивлением R при прохождении тока / в течение времени Т, определяется формулой
О = 0,24ЖГ.
Ошибки измерения величин I, R, Т являются независимыми нормальными случайными величинами с математическими ожиданиями /=10а, г = 30 ом, / = 10 мин. и срединными отклонениями f/ = 0,1а, £й = 0,2 ом, Ет — 0,5 сек. Найти приближенное значение срединного отклонения случайной величины Q.
25.2.	Частота основного тона струны определяется формулой
где Р~сила натяжения, М — масса струны, L — длина струны.
Известны математические ожидания р, tn, I и средние квадратические отклонения ор, с,п и ог. Определить рассеивание частоты основного тона струны из-за разброса силы натяжения, массы и длины струны, если соответствующие коэффициенты корреляции равны rpl, гpm, гт1.
25.3.	Сопротивление участка электрической цепи определяется формулой
где R — омическое сопротивление, L — индуктивность проводника тока, С — его емкость, Q — частота тока.
198
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Определить срединную ошибку в величине сопротивления из-за ошибок при независимых измерениях R, L, С и Q, если заданы г, I, с, ® и срединные отклонения ER, EL, Ес, Е,л.
25.4.	При параллельном соединении элементов сила тока в цепи определяется формулой
где Е — электродвижущая сила элемента, W — его внутреннее сопротивление, п — число элементов, R— сопротивле-, ние внешней части цепи.
Пользуясь методом линеаризации, определить математическое ожидание и дисперсию силы тока, если случайные величины Е, R и W независимы, е, г, w и сЕ, a#, аи7 заданы.
25.5.	Используя метод линеаризации, найти срединные отклонения Ех и Еу, характеризующие рассеивание координат материальной точки, движущейся в безвоздушном пространстве, если
X = VTco&&,	-ф,
где V — начальная скорость материальной точки (v = — 800 м[сек, Ev — Q,\% от »), Т — время полета (t = = 40 сек., Ет~0,1 сек.), 0 — угол бросания (0 = 45°;
Ев = 4'), g — ускорение силы тяжести.
Случайные величины V, Т и 0 независимы и нормальны.
25.6.	Найти приближенное значение срединной ошибки определения проекции скорости судна на заданное направление вследствие ошибок измерения его скорости V и курсового угла q, если V\ = — V cos q, Ey=l м/ceic, Eq—1°, а наивероятнейшие значения V и q соответственно равны 10 м[сек и 60° (случайные величины V и q независимы и нормальны).
25.7.	Применим ли в условиях предыдущей задачи метод линеаризации, если ошибка расчетных формул не должна превосходить 0,2 м[сек}
5 25]
линеаризация Функции случайных величин
199
25.8.	Найти приближенное значение средних квадратических отклонений прямоугольных координат случайной точки
X = Н ctg е cos р, У = И ctg е sin р, Z = H,
если случайные величины 77, е и р независимы, а математические ожидания и средние квадратические отклонения их соответственно равны: /г = 6200 м, е = 45°, р = 30°, = 25 м, ср = ое = 0,001 рад.
25.9.	Переход от сферических координат к декартовым производится по формулам:
X — R sin в cos Ф,
У = R sin0 sinO, Z — R cos®.
Ошибки в определении 0, R и Ф независимы со средними квадратическими отклонениями ол=10 м, ав = аф=: = 0,001 рад. Определить приближенное значение средних квадратических ошибок прямоугольных координат, если 9 = = ф = 45°, г = 10 000 м.
25.10.	Приближенное выражение для скорости ракеты в момент окончания работы двигателя определяется формулой К. Э. Циолковского
7 = (/1а1±Я
q
где (/ — эффективная скорость истечения газов, q — вес ракеты без топлива, □ — вес топлива.
Рассеивание веса топлива характеризуется срединным отклонением Еа. Определить приближенное значение срединного отклонения скорости из-за разброса веса топлива, если математическое ожидание М [Q] ~ и-
25.11.	Высота горной вершины Н определяется по наклонной дальности D и углу места е:
H = Dsine..
Найти приближенное значение срединной ошибки определения высоты, если Ed =80 л/, ЕЁ = 0,001, а наивероятнейшие..
200
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
значения соответственно равны </= 12 300 м и е = 31°,2. (Случайные величины D и е независимы и нормальны.)
25.12.	Пусть Z = sin XY, где X и Y— независимые случайные величины. Найти приближенное значение ог, если X— у = 0, ох = оу = 0,001.
25.13.	Высота горной вершины определяется по формуле Н — О sine. Плотность вероятности ошибок в определении наклонной дальности D и угла места е задана формулой
f(d, е)
1
2mJdae У0,91
(d-d)(8-e)j
(1.0 de •»,
где od = 40 м, оЕ = 0,001 рад, </= 10000 м, е = 30°. Найти приближенное значение срединного отклонения ошибок определения высоты.
25.14.	Дальность Dv (рис. 29) определяется радиолокационной станцией, ошибки измерения которой характеризуются срединным отклонением Ер = 20 м. Дальность О2 может быть определена либо дальномером, срединное отклонение ошибок которого ED = 40 м. либо рассчитана по формуле'
d2 = Vo?+</2.
Определить, какой способ определения дальности /С2С является более точным, если ошибки в определении расстояния между и К% ха-рактеризуются срединным отклонением Ed = 50 м.
25.15.	Учитывая три первых члена разложения функции Y = <p (X)
9 ряд Тейлора, определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y, если X подчиняется нормальному закону распределения.
25.16.	Площадь треугольника определяется формулой
г. ab
S^-g-siny.
$ 251
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
201
Учитывая члены разложения в ряд Тейлора функции
5 = <р(у) ДО № включительно, определить математическое ожидание площади треугольника и дисперсию его площади из-за рассеивания угла, если случайная величина у распределена нормально, причем у и D [у] заданы.
25.17.	В треугольнике АВС (рис. 30) сторона а и противолежащий угол а — случайные величины, которые можно
считать некоррелированными и нормальными. Определить приближенное значение математического ожидания угла X и его срединного отклонения, если база Ь известна, а математические ожидания и срединные отклонения случайных величин с и а заданы.
25.18.	Случайная величина X Подчиняется закону нормального распределения
1	<л'+5)2
f fx'i —*-	- - - g 200
Определить приближенное значение математического ожидания и дисперсии случайной величины • Y =	, учитывая
первые два и три члена разложения в ряд Тейлора.
25.19.	Радиус шара можно считать нормальной случайной величиной с математическим ожиданием г и дисперсией о^ (г Г>ог). Определить математическое ожидание и дисперсию объема шара по точным формулам. Сравнить полученные результаты с результатами, получаемыми методом линеаризации.
25.20.	Для определения объема конуса измерены: а) диаметр основания и высота; б) диаметр основания и длина образующей. В каком из этих двух случаев дисперсия ошибки определения объема конуса меньше, если математическое ожидание высоты конуса h — 8 дм, диаметра основания d— 12 дм, длины образующей Z = 10 дм, a ch~dd = cl — &0,1 дм?
25.21.	При взвешивании вместо гирь использована дробь, диаметр которой в среднем равен 2 мм. Какова срединная
202	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	[ГЛ. IV
ошибка взвешивания, если срединное отклонение диаметра .дроби 0,04 мм, удельный вес металла, из которого изготовлена дробь, равен 11,2 г/сл3? При взвешивании использовано 50 дробинок.
25.22.	Ускорение силы тяжести g вычисляется по фор-4 л.2 £
муле g = -р , где L — длина физического маятника, а Г — его период. Определить срединную ошибку в g, если измерение длины маятника, произведенное со срединной ошибкой El = 5 мм, дало L = 5 м, а измеренный период колебаний маятника оказался равным 4,5 сек. Период колебаний маятника найден по длительности времени п— 10 полных размахов, которое измеряется со срединной ошибкой Et — 0,1 сек., а срединная ошибка определения момента прохождения маятника через положение равновесия Et — = 0,5%Т.
25.23.	Используя метод линеаризации, определить приближенное значение дисперсии случайной величины Z— =	К2 , если ?f = sinV, У = созУ, случайная ве-
личина V равномерно распределена в интервале ^0, yj, а k — известная постоянная.
v
§ 26. Композиция двумерных и трехмерных нормальных законов распределения с использованием понятия векториальных отклонений
Основные формулы
Всякий двумерный (трехмерный) нормальный закон распределения может рассматриваться как композиция двух (трех) вырожденных нормальных законов распределения, характеризующих законы распределения независимых косоугольных координат случайной точки на плоскости (в пространстве), если за оси координат выбраны сопряженные направления единичного эллипса (эллипсоида) распределения ’).
) Если в качестве сопряженных направлений выбраны главные, диаметры эллипса (эллипсоида), то вырожденные законы распределения характеризуют законы распределения независимых прямоугольных координат случайной точки.
$ 26] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ 203
Вырожденный нормальный закон распределения однозначно характеризуется вектором, проведенным из центра распределения этого закона по направлению одного из сопряженных диаметров единичного эллипса и равным величине этого полудиаметра. Определенный таким образом вектор называется векториальным отклонением.
Композиция нормальных законов распределения на плоскости (в пространстве) эквивалентна композиции векториальных отклонений. Композиция нормальных законов распределения, лежащих в одной плоскости и заданных векториаль-
ными отклонениями at (I = 1, 2......k),	осуществляется по
следующим правилам:
1)	координаты х, у центра суммарного закона распределения определяются по формулам:
X ~ 2 Xi, у— 2 yt,
Z=1	Z=1
где xz, уг— координаты начала векториального отклонения
2)	элементы корреляционной матрицы суммарного закона распределения определяются формулами:
k	k
А,1 = 2-Уй2 -Л- A-_LVa2__c_ 11	2р2 2^ lx ~ 2р! '	22 — 2р2 а1у — 2р2 ’
Z=1	Z=1
й
. __ 1 V	в '
й12	2р2 alxaiy	>
i = l
rjffe'atx и aiy — проекции век’тъ'риаи.жм'о отклонения at на оси произвольно выбранной единой прямоугольной системы координат;
3)	главные направления (|, т|) суммарного закона распределения, соответствующие им дисперсии (о|, o^j и Угол а, составленный осью О£ с осью Ох, определяются
204
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. tv
формулами:
о2 = cos2 а 4- &12 sin 2а&22 sin2 а =
= ± [Л + С + УИ-С)2 + 4В2] =
= 4~г И + С + (Л - С) sec 2а], о2 = /гх1 sin2 а —Н A12sin2a+ &22cos2a =
= 4^-[л + С-]/(Л-С)2+4В2] =
= 4^1Л + С~<Л~С) sec 2а1’ где а — любой из корней уравнения
. „ 2В
tg2a = 7=r^.
Главные полудиаметры единичного эллипса равны а = о,р /2, b = ото /2.
Если а и b — главные полудиаметры единичного эллипса, т и я — сопряженные полудиаметры того же эллипса, а и
Р — углы, образуемые полудиаметрами пите полудиаметром а, р-]-а — угол между сопряженными полудиаметрами, то согласно теореме Аполлония (рис. 31)
да2 и2 _	£2,
тп sin (a r Р) — ab, где -	.	”
62
tga.tgP = ^-,
Д2_
— *24- (а2 _ *2) sln2 ц 
§ 261
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ
205
Композиция векториальных отклонений в пространстве осуществляется по аналогичным правилам. Необходимые вычисления удобно вести, пользуясь следующей схемой расчета (табл. 9):
Таблица 9
№ п/п (О	а1	а1х	aiy	aiz	а1х			aizaiy	aixaiz	aiyaix	'Ч = а1х+ + aiy+aiz	и2 XZ
1 2												
k												
_л_					Я,	Я2	^3		В2	в3^		А} + Лз+ +	X X (j3] + B2+-S4)
Элементы i корреляционной матрицы ||А/у|| суммарного закона распределения определяются формулами:
д» , — п2 = ь — п2 — Ь ________________«2__
И	2р2 ’ Л22 —	— 2р2 ’ Азз — °г — 2^- -
Ъ —	Ь  	Ъ   &3
«23—^2-	*31— 2р2-	«12— 2^>-
Последние два столбца таблицы 9 служат для контроля правильности вычислений: должно выполняться равенство
k
2	+ Л2 + 43 + 2 (Bj -|- В2	В3).
Дисперсии Т|, £ по главным направлениям cvw«"—<r»T^ эллипсоида' г'“'тппеделениа "9
мгулами:	с2
Z ’	Оп = '^’’
полудиаметры единичного эллипсоида распределения—связаны с корнями
где а, Ь, с — главные суммарного закона
206	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	[ГЛ. IV
(«Р «2, Из) уравнения uz-{-pu-^-q — Q соотношениями:
2 I I а — + ^2 — м2 , с2 = «з + 4’ р — — ^Р-\-т, q — — -X О	// о
/ = Л] А2 -]- А3, т — А\А2-\- Аз^зЧ- ^3^1 — Bi — В2 — В2, - п = АхВ\-\- AtBl+AsBl — АхА2А3 — 2BxB2Bz. Корни кубического уравнения могут быть найдены или по специальным таблицам, или по формулам:
п / I ф	г>, /	~ ф —2л
«1 = 2 у — -д- р cos -g-,	«2 = 2 у — -g- р cos -i—j—,
«з = 2 ]/—cos ""~32Я~ ’ где — 9<? COS Ф — ,   	.
2У—3^
Направляющие косинусы осей £ в координатной системе Oxyz. определяются как решения трех систем уравнений (/ = 1, 2, 3):
(Aj — Лг) an-4-B3a/2H“^2ai3==0’ ^3aZl_b(/^2 — ^z) aI2 Ч-^laZ3 = 0’
4 + a’2+.a?3=l, где
Xj — а2, 12 — ^2> ^з ~ с2, а Ou обозначает косинус угла между Z-й осью координатной 'Чгйётемы	осью <'истемы Oxyz. .	-
Решение типовых примеров
\ Пример 26.1. Положение точки А определяется с наблюдательного пункта О по дальности О А = D и угловому > отклонению от ориентира В.
§ 26] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ 207
Срединная ошибка в определении дальности составляет 100й % от дальности; срединная ошибка в определении углового отклонения составляет е радиан. Ошибка нанесения точки А на карту подчинена нормальному круговому закону со срединным отклонением г; ошибка определения положения точки О также подчинена нормальному круговому закону со срединным отклонением R. Определить суммарный закон распределения, характеризующий ошибку положения точки А, нанесенной на карту. Как изменится вероятность попадания точки А в квадрат 100 X Ю0 м2 при уменьшении В с 20 до 10 км (г = 20 м, R = 40 м, е—0,003, k = 0,005)?
Решение. По направлению оси О А действуют независимые векториальные отклонения kD, г и R, а в перпендикулярном направлении — независимые векториальные отклонения еО, г и R ’)• Закон распределения ошибок положения точки А, нанесенной на карту, определяется единичным эллипсом с полудиаметрами
/FO2'+r2 + /?2 и y^ + ^+R^, поэтому
р — ФI--------52______ф I_______52_______
\y&D* + r2-\-R2)	+ +	}'
При. дальности О А = 20 000 м
("Гоад)® (74j)==0,083'
При уменьшении дальности до 10 000 м
Пример 26.2., Положение точки К. на плоскости определяется путем измерения дальности до нее из точек М и Af. Координаты точки подчиняются нормальному закону распределения, заданному главными полудиаметрами а = 60 м и й = 40 м и углом а1 = 47э52/ между полудиаметром а и направлением NK..
') Вследствие малости угла е отклонение по дуге eD можно заменить отклонением по касательной на величину eD и считать это отклонение перпендикулярным радиусу D.
210	ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	, [ГЛ. IV
Составляем систему уравнений
— 1167ап±- 138а12-|- 1512а13 = 0.
138ап— 2032а12±- 270а13 = 0, а?2+ а?з=к
Из первых двух уравнений находим
а12 = 0,1684аи, а13 = 0,7563ап;
из третьего уравнения
<Хц =fc=-± 0,7905.
Таким образом,
cos(a, х) = а11 = ±0,7905; cos(a, у) — а12 = ±0,1331;
cos (о, z) — а13 = ± 0,5978.
Аналогично решается задача 26.9.
Задачи	(
26.1.	Найти композицию двух векториальных отклонен ний q и с2, если угол между ними у = 30 , сх = 30 м, с2 ~ ~ 40 м, а центры распределения совпадают.
26.2.	Решить предыдущую задачу при у — 0 и при у = 90°.
26.3.	Найти суммарный закон распределения, являющийся ч—>
композицией векториальных отклонений az, лежащих в одной ч—>
плоскости, если их величины aL и углы az между at и положительным направлением оси абсцисс даны в таблице 12.
Таблица 12
1	о/( м	а1	1	.а£-, м	а1
1	0,9	30°37'	5	0,4	158°48'
2	0,5	59°36'	6	0,5	189° 3'
3	0,7	92°12'	7	0,2	273°18'
4	0,8	127°17'	8	. 0,3	316°54'
26.4.	Найти единичный эллипс суммарного закона рассеивания точек на плоскости, получающегося при сложении следующих векториальных отклонений, лежащих в этой плоскости (табл. 13).
S. Ж
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИИ
211
Таблица 13
1		Пр град	i		град
1	10	297	5	40	117
2	30	117	6	60	27
3	30	117	7	70	297
4	40	297	8	80	207
26.8.	Найти композицию векториального отклонения Д (Д — 18 л), образующего с направлением Ох угол 0= 75°, и нормального закона распределения, заданного единичным эллипсом, одна из главных полуосей которого совпадает с направлением Ох и равна а — 30 я, а другая главная полуось b — 20 м.
26.6.	Найти композицию двух нормальных законов распределения на плоскости:
а)	при главных полуосях единичных эллипсов а1=Ь1 — — 50 я, а2 = Ь2 = 25 я;
б)	при главных полуосях единичных эллипсов at = 50 я, Ь\ = 25 я, а2 = 50 я, = 25 я, если угол между полуосями at и а2 равен 30°.
26.7.	Координаты случайной точки на плоскости подчи- йены нормальному закону распределения, заданному единичным эллипсом с главными полудиаметрами а — 24 я, b — 7 я. Определить вероятность попадания в ромб со стороной 22=60 я и острым углом у = 34°,3- Центр ромба совпадает с центром распределения, а смежные стороны ромба параллельны сопряженным полудиаметрам.
26.8.	Определить два векториальных отклонения, эквивалентных нормальному закону распределения на плоскости, характеризуемому единичным эллипсом с главными полуосями 80 м и 60 я, 'если одно из векториальных отклонений образует с большей полуосью угол 30°.
26.9.	Координаты судна определяются путем измерения радиолокационной станцией дальности до берегового ориентира и направления на ориентир. Ошибки измерения радиолокационной станции заданы единичным эллипсом с главными Полуосями Ех=80 я в направлении оси Ох и Ег— 30 М-, в направлении оси Oz. Единичный эллипс ошибок определения координат ориентира вследствие неточного знания.его
14*
212
ФУНКЦИИ случайных величин
[ГЛ. IV
места имеет главные полуоси = 100 м, Е2 = 4Л м, причем Et образует с осью Ох угол 20°.
Определить: а) плотность вероятности для суммарных ошибок определения места судна в координатной системе xOz-, б) главные полудиаметры и ориентировку относительно оси Ох единичного эллипса суммарных ошибок определения координат судна.
Таблица 14
А/, м	А, = 400	А2 = 800	Д3 = 200
е?	= 65	02 = 35	03 = 335
26.10.	Ошибки определения места судна в море вызваны тремя векториальными ошибками, величины которых и на-
правления относительно меридиана приведены в таблице 14.
Найти единичный эллипс ошибок определения места судна/, в море.
26.11.	Найти закон распределения координат точки С, определенных путем ее визирования с двух пунктов А и В, если даиа база Б, углы Pj и р2, а также срединные угловые ошибки визирования с обоих постов Бр=Е$,=
х= Ер. Положение точек А и В известно без ошибок (рис. 32).
26.12.	В условиях предыдущей задачи рассчитать главные
полуоси единичного эллипса и их ориентировку относительно направления АВ при Б—15 км, р, = 60°, р2 — 75°, Ер, = Ер, = 0,0005.
26.13.	В условиях задач 26.11 и 26.12 определить суммарный закон распределения ошибок координат точки С относительно пункта А, если кроме ошибок визирования Ер, и Ер, задан закон распределения ошибок в определении положения точки В относительно точки А с главными полуосями вдоль базы £[ = 30 41 и перпендикулярно базе Е2=15 м-
26.14.	Для определения истинного курса судна и его скорости дважды определяют по береговым ориентирам место
§26] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ 213
судна (в точках Аг и Л2) через-промежуток времени т = 20 сек. Закон распределения ошибок определения места судна — круговой, с радиусом единичного круга г — 30 м. Найти срединную ошибку определения величины скорости судна и его курса, если расстояние А1А.2 оказалось равным D = 1 000 м.
26.15.	Координаты судна в момент / = 0 известны с ошибкой, подчиненной нормальному круговому закону распределения, радиус единичного круга которого равен 100 м. Срединная ошибка определения величины скорости судна равна 2 м/сек, что составляет 10% от его скорости, а срединная ошибка определения курса судна составляет 0,08 рад. Рассчитать единичный эллипс ошибок положения судна для момента времени t = 1 мин.
26.16.	Положение метеорологического шара-баллона в момент наблюдения известно с ошибкой, подчиненной нормальному шаровому закону распределения, радиус единичного шара которого равен 50 л«; скорость шара-баллона известна со срединной ошибкой 2 м/сек. Ошибки определения вектора скорости шара-баллона в плоскости, перпендикулярной его курсу, заданы нормальным круговым законом распределения при радиусе единичного круга 3 м/сек. Рассчитать единичный эллипсоид ошибок положения шара-баллона спустя 20 сек. после момента определения его координат и вектора скорости.
26.17.	Найти плотность вероятности для суммы двух случайных нормальных векторов в пространстве Oxyz и случайного вектора в плоскости Oxz, для которых первые моменты соответственно равны:
х1 — 20, у. =—10, Zi — —15, х2— 10, у2 = 25, z2 = — 40,
z3 — — 20, проекций векторов на
коорди-
х3 = 15, а корреляционные матрицы натные оси
0
0 О
\ш=
10
2
17
— 1
0
5
2
8
214
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
[ГЛ. IV
Случайные векторы взаимно- независимы.
26.18.	Найти композицию векториального отклонения х, параллельного оси Ох, х = 25, Ех = 40; нормального закона распределения на плоскости хОу с единичным эллипсом
(* + 5)2 , (y + W ,
400	900
л нормального закона распределения в пространстве с единичным эллипсоидом
(х—10)2 , (у-10)». , г2
1100 ~г 225	64
если х, у, z — прямоугольные координаты точки в пространстве.
26.19.	Составить корреляционную матрицу системы трех случайных величин (координаты точки в пространстве), соот-
ветствующую композиции следующих векториальных отклонений (табл. 15):	Таблица 15
1	ai	cos (flpx)	<-> cos (ap у)	cos (*;%)
1	40	0,6	— 0,8	0
2	60	4-/з о	4/3 0	-4-/3 0
3	80	— 0,5	0,5	0,5/2
§26] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРИАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ 215
26.20.	В условиях предыдущей задачи определить глав-, ные полуоси единичного суммарного эллипсоида и направляющие косинусы углов между наибольшей из главных полуосей а и координатными осями.
26.21.	Положение точки К2 относительно точки /<j определяется по измеренным из точки А дальностям £), и £>2 и углу в горизонтальной плоскости /_КгВК,= а (рис. 33). Найти корреляционную матрицу ошибок в определении положения точки К2 относительно ^1, если известно, что срединные ошибки в определении дальности равны Ей, а в определении угла равны Еа. Ошибки измерения взаимно независимы и подчинены нормальному закону распределения. Высота II точки А над горизонтальной плоскостью К\ВК2 известна без ошибок.
26.22.	Решить задачу 26.21 при условиях, что вместо Высоты Н задано (без ошибки) значение угла е = / Д/^В.
ГЛАВА V
ЭНТРОПИЯ и ИНФОРМАЦИЯ
§ 27. Энтропия случайных событий и величии
Основные формулы
Пусть АР А2, ...» А„— полная группа несовместных событий.
Тогда энтропия этой группы событий определяется формулой !) п
Я = -2 P(Ay)logeP(Ay)
и представляет собой среднее количество информации, которое дазтся знанием того, какое именно из событий Ар А2, ..., А„ осуществилось при проведении испытания. Таким образом, энтропия является мерой неопределенности ситуации при проведении испытаний с полной группой несовместных событий Ар А2, .... Ап.
По такой же формуле определяется энтропия Н [Х] дискретной случайной величины X, принимающей значения Хр х2.....хп с вероятностями pv р2, ..., рп:
п
Н[Х]=— 2 Pj\ogaPj-i=i
Те же формулы имеют место и когда я = оо.
') Р (А,) — вероятность события Aj; Р (А;) logaP (Aj) = 0, когда Р(Ау) = 0.
§ 27] ЭНТРОПИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИИ И ВЕЛИЧИН 217
Мерой неопределенности случайной величины X, принимающей непрерывный ряд значений и заданной плотностью вероятности f (х), является дифференциальная энтропия 77[М]. определяемая^ формулой
= — [ f(x)logaf(x)dx,
— ОО
причем f (х) loga f (х) = 0 для тех значений х, где /(х) = 0.
Условная энтропия случайной величины X относительно случайной величины Y для дискретных X и Y
Н [XI уг] = - 2 Р {X == xt I Y = уу) logaP(A- =xt.| Y = уу);
Z = 1
для непрерывных X и Y условная дифференциальная энтропия
ОО
//[А’|у]==— J/(x |y)loga/(x|y)dx. — ОО
Средней условной энтропией Ну [<¥] называется математическое ожидание условной энтропии. Для дискретных случайных величин
Ну [М] = м [Н [Л-1 у] 1 = п т	. .
2 P(r=yy)P(;v.=xjr=y7)x
XlogeP(X = x/|r = yy),
для непрерывных случайных величин
Ну [А'] = М [Н [X | у] ] =
= — J J/у(У)/(-^1 y)loga/(x|y)rfxrfy. — ОО —оо
Аналогичные формулы имеют место для систем случайных величин. Так, например,
ОО	ОО	•	5^ S •
"Hl- *2.......f • //(XV Х2, Х„)Х
X logo / (Хр х2...xjrfxi ... d3Ca
218'	энтропия и информация	[гл, v
—энтропия системы п случайных величин,
НДХ, ¥1 =
= — f f f	¥\z}\ogaf{x, y\z)dxdydz
— OO — OO — CO
— средняя условная энтропия подсистемы случайных величин (X. Y) относительно Z;
00 оо оо
= — f f f f(x, у)/(ф, y)10ga/(a|x, y)dxdydz — OO —OO —OO
— средняя условная энтропия случайной величины Z относительно случайных величин X, У. Справедливы неравенства
Н[Х, У]=Н[ХЦ-Нхт<Н[Х1 + Н[У1 и
H[Xlt х2, .... хя]< 2Н[Х,].
Й = 1
причем знак равенства соответствует независимости случайных величин.
При а = 2 единицей измерения энтропии является энтропия полной группы двух несовместных равновозможных событий. При a =f= 2 значение энтропии, вычисленное для а = 2, нужно умножить на loga2. Единица измерения энтропии называется двоичной при а = 2, десятичной при а =10 и т. д.
Решение типовых примеров
Пример 27.1. Производится стрельба по двум мишеням: по первой мишени сделано два выстрела, по второй — три. Вероятности попадания при одном выстреле соответственно равны 1/2 и 1/3. Исход стрельбы по какой мишени является более определенным?
Решение. Исход стрельбы определяется числом попаданий в мишень, которое подчинено биномиальному закону распределения Р {X = т) = С™рт (I — р)""1-
§ 27]
ЭНТРОПИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИИ И ВЕЛИЧИН
219
Составляем ряд распределения для первой мишени при я = 2и р = \/'2 (табл. 16):
Таблица 16	Таблица 17
m	0	1	2 ’
P (A = m)	1/4	1/2	1/4
m	0	1	2	3
P(X=m)	1/27	2/9	4/9	8/27
для второй мишени при я = 3, р = 1/3 (табл. 17).
Мерой неопределенности исхода стрельбы служит энтропия числа попаданий. При стрельбе по первой мишени
//j = —llgl —llgl —lfsl = °,452 дес. ед.;
по второй мишени
„	1.12.24.4
^2 —	27 g 27	9 g 9	9 g 9
8 i 8 пки — 27	г?-= 0,511 дес. ед.
Исход стрельбы по первой мишени обладает большей определенностью.
Аналогично решаются задачи 27.1 —27.11.
Пример 27.2 Среди всех законов распределения непрерывной случайной величины X, для которых задана одна и та же дисперсия D, найти закон распределения с максимальной дифференциальной энтропией.
Решение. Согласно теореме вариационного исчисления для нахождения функции у— у (х), дающей экстремум интеграла ь
/ = J ф (х, у) dx а
при дополнительных условиях ь
f 4>s(x, y)dx = cs (s=l, 2.....m).
a
220	ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ	(ГЛ. V
необходимо решить (не дифференциальное) уравнение Эйлера
-^- = 0.
оу т
где Ф1 = Ф+£ ХЖ- а постоянные Xs определяются с по-5=1
мощью заданных дополнительных условий. В нашем примере ищется максимум интеграла
— J* / In f dx
при дополнительных условиях
J f dx — 1 — ОО
И
J* (х — х)2 f dx=D-— ОО
Отсюда
ФДх. f} = -f^f + ^f + K{x-x)2f.
Следовательно, уравнение для определения f (х) имеет вид	_
— In / — 1 4- Xj 4- Х2 (х — х)2 = 0, откуда	’
f(x) = ce->1{x-^, где с =
Из дополнительных условий находим 1 •> 1 /2лО 2 2D
Найденное решение соответствует максимуму энтропии.
Таким образом, при заданной дисперсии D наибольшей энтропией обладает нормальный закон распределения
§27] ЭНТРОПИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИИ И ВЕЛИЧИН 221
Аналогично решаются задачи 27.12 — 27.15.
Пример 27.3. Доказать, что максимум энтропии дискретной случайной величины, равный \ogan (« — число значений, принимаемых случайной величиной), достигается при
1
Р1 = Р2= • • • =Рп=^ •
Для доказательства воспользуемся неравенством Inx 1 —
----- (х > 0) (знак = имеет место только при х = 1). При-
меняя это неравенство, получим 1
Я
— /7 + loge п = У pk loga («р*) >
Л	, S Pk —1
ТпТ Рк (1 — ~прГ)= irTS = °‘
Отсюда
И — — S Pk ^SaPk < 10ga П.
Случаю прк = 1 соответствует максимум энтропии, равный loga п.
Аналогично решается задача 27.16.
Задачи
27.1.	В двух урнах имеется по 15 шаров, причем в первой урне 5 красных, 7 белых и 3 черных, а во второй — соответственно 4, 4 и 7. Из каждой урны вынимается по одному шару. Определить, для какой из урн исход опыта является более определенным.
27.2.	Вероятность появления события при одном испытании равна р, вероятность непоявления события #=1—р-При каком р результат испытания обладает наибольшей неопределенностью?
27.3.	Исход какого из двух опытов обладает большей неопределенностью: 1) внутри правильного треугольника наугад ставится точка, которая может оказаться внутри или вне вписанного в него круга; , 2) внутри круга наугад ста
222
ЭНТРОПИЯ И. ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
вится точка, которая может оказаться внутри или вне вписанного в него правильного треугольника?
27.4.	В правильный n-угольник путем соединения середин его соседних сторон вписан другой правильный п-угольник. Точка, поставленная внутри данного многоугольника, может оказаться внутри или вне вписанного многоугольника.
Определить: а) энтропию опыта; б) значение п, при котором энтропия максимальна.
27.5.	Вероятность появления события А при одном испытании равна р. Испытания повторяются-до первого появления события А. Найти энтропию числа испытаний и выяснить характер изменения энтропии с изменением р.
27.6.	Определить энтропию случайной величины, подчиненной биномиальному закону распределения: а) в общем случае; б) при ге = 2, р =q = 0,5.
27.7.	Определить энтропию непрерывной случайной величины, подчиняющейся: а) закону равномерного распределения вероятности в интервале (с, сГ); б) нормальному закону распределения с дисперсией о2; в) экспоненциальному закону распределения
f чпри х^-0 (с > 0), / W | q при х < g
27.8.	Найти энтропию случайной величины X, функция распределения которой
F (х) =3
0	при	х X? 0,
х2	при	0 < х	1,
1	при	х > 1.
27.9.	Определить условную дифференциальную энтропию Н{Х | у] и среднюю условную дифференциальную энтропию Ну[Х] случайной величины X относительно Y, а также И 1 х] и HX[Y] случайной величины Y относительно X для системы (X, Y) нормальных случайных величин.
27.10.	Найти энтропию системы п случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения.
27.11.	По заданным энтропиям Н[Х] и случайных величин X н У и средней условной энтропии Ну [X] слу-
§ 271	ЭНТРОПИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ВЕЛИЧИН 223 чайной величины X относительно У определить среднюю условную энтропию HX[Y] случайной величины ¥ относительно X.
27.12.	Среди всех законов распределения непрерывной случайной величины X, для которых плотность вероятности равна нулю вне интервала а < х < Ь, определить закон распределения с максимальной дифференциальной энтропией.
27.13.	Среди всех законов распределения непрерывной случайной величины X, для которых плотность вероятности равна нулю при х < 0, найти при заданном математическом ожидании М[X] закон распределения с максимальной дифференциальной энтропией.
27.14.	Найти плотность вероятности, при которой дифференциальная энтропия случайной величины максимальна, если задан ее второй начальный момент т2.
27.15.	Среди множества законов распределения непрерывных систем случайных величин с заданной корреляционной матрицей найти закон распределения, при котором энтропия.системы максимальна.
27.16.	Сообщение кодируется с помощью двух групп символов, причем в первой группе имеется k символов, встречаю-/ k
щихся с вероятностями рп, р12, —, У. ри = а , а во v=i Г
второй* группе п символов, встречающихся с вероятностями (п	\
2 p2j = 1 — a j • Определить при фиксированном значении а вероятности ри и соответствующие максимуму энтропии.
27.17.	Опыт А состоит в случайном выборе целого числа от 1 до 1050, а опыт В — в сообщении величин остатков от деления этого числа на 5 и на 7. Определить энтропию опыта А и среднюю условную энтропию опыта А относительно опыта В.
27.18.	Между двумя системами случайных величин (Л’р Х2	Хп) и (Кр К2*	^п) установлено взаимно
однозначное соответствие =	(Л\, Х2, .... Хп), Xk =
=='Фй(1Л1> ¥%> Кя) (Аг = 1. 2......я). Найти энтропию
Н (Ур ¥2, • •  > ¥„], если задана плотность вероятности fxixi> х2, .. хя).
224
ЭНТРОПИЯ II ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
27.19.	Две системы (Хр Х2..X п) и (Ур У2....Уя)
случайных величин связаны линейными соотношениями
Л
Yb^^akjXj (* = 1,2..........п).
/=1
Определить разность энтропий
Я1Гр Y2....y„]-W[Xp Х2.......Х„]
а) в общем случае; б) при п = 3 и
матрице преобразований — 1 . : —2 .
5
3
2
4
О —3
§ 28. Количество информации Основныеформулы
Количество информации, которое может быть получено в результате наблюдения полной группы несовместных событий, измеряется ее энтропией Н; количество информации, которое может быть получено в результате наблюдения значения дискретной случайной величины X,—ее энтропией //IX].
Количество информации о случайной величине X, которое может быть получено в результате наблюдения другой случайной величины Y, измеряется разностью энтропии случайной величины и ее средней условной энтропии относительно Y:
/у [X] = //[X] —//у [X].
Для дискретных случайных величин
ЛД r	. P(X = xi, Y—yA
~ Р (X — хг, Y = у}) loga р (^ = Л/ур^г==)|/у • i=l;=1
Если после получения сообщения о дискретной случайной^ величине Y значение случайной величины X полностью определено,: то Ну [X] = 0 и ly [X] — Н [X].
§2gj	КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ	225
Если X и У независимы, то Ну [X] — Н [А”] и Jy[X\=0.
Для непрерывных случайных величин
МА=М[^Н[Ч7$>	/ ,
ОО ОО
-	.	' = f f У^а-f^'^dxdy.
: —оо —jo
Из симметрии формул для количества информации относительно величин Хи У следует, что
/у1Х]=/л[Г].
Решение типовых примеров
Пример 28.1. Закодировать по методу Шениона — Фэно1) алфавит, состоящий из четырех символов А, В, С и D, если вероятности появления каждого символа в сообщении равны:
Р(Л) = 0,28, Р(В) = 0,14, Р(С) = 0,48,
р (О) = 0,10.
Определить экономность кода, т. е. количество информации, приходящееся на один символ.
Решение. Располагаем символы алфавита в порядке убывания вероятностей С, А, В, D и производим последовательные разбиения на группы.
При первом разбиении в первую группу попадает С, а во вторую А, В и D, поскольку Р (С) = 0,48 и Р (Д В D) = ==0,52. Первой группе приписываем кодовый символ 1, а второй группе 0. Аналогично из второй группы в свою очередь получаем подгруппы А и B-\-D с вероятностями
*) При кодировании по методу Шеннона — Фэно совокупность символов (алфавит), расположенных предварительно в порядке убывания вероятностей появления символов, разбивают иа две группы таким образом, чтобы сумма вероятностей появления символов, входящих в группы, была примерно одинаковой. Каждая из групп в свою очередь также разбивается на две по такому же принципу. Операция продолжается до тех пор, пока в каждой группе не останется по одному символу. Каждый символ обозначается двоичным числом, последовательные цифры которого (единицы и нули) показывают, в какую группу попал данный символ при очередном разбиении.
15 Б. Г. Нододии и др.
228
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
(ГЛ. V
0,28 и 0,24 и кодовыми обозначениями 01 и 00. Наконец, группа B-\-D разбивается на В и D с вероятностями 0,14 и 0,10 и кодовыми обозначениями 001 и 000.
Процесс кодирования удобно представить в виде таб-’лицы 18.
Таблица 18
Символы алфавита	Вероятности символов алфавита	Подгруппы и их кодовые обозначения	>	Кодовые обозначения символов алфавита
с	0,48	}1	1
А	0,28	) н	01
В	0,14	Р !о И	001
D	0,10	J ° о	000
Появлению одного из символов алфавита соответствует полная группа несовместных событий, а общее количество информации в данном примере равно энтропии алфавита. Поэтому количество информации, приходящееся на один кодовый символ (экономность кода), равно отношению энтропии алфавита к математическому ожиданию длины кодового обозначения символов алфавита:
— 0,48 log2 0,48 — 0,28 log2 0,28 — 0,14 log2 0,14 — 0,10 log2 0,10
1 -0,48 4-2-0,28 4-3-0,14 4-3 0,10 ~	"~
Аналогично решаются задачи 28.9 и 28.11—28.13.
Пример 28.2. Вероятности поступления и непоступления, сигнала на вход приемника соответственно равны а и а=1—а. Вследствие помех сигнал, поступивший на вход приемника, может быть зафиксирован на выходе с вероятностью р и не зафиксирован с вероятностью р = 1 — р, а при отсутствии сигнала на входе он может быть зафиксирован вследствие помех с вероятностью у и не зафиксирован с вероятностью у=1—у. Определить количество информации о наличии сигнала на входе по наблюдению сигнала на выходе.
Решение. Обозначим через X случайное число сигналов на входе и через Y случайное число сигналов на выходе.
t 2®j*
КОЛИЧЕСТВО' ИНФОРМАЦИИ
227
Тогда
р(ЛГ=1).= а, Р(Г=1|Х=1) = Р, Р(/=1|Х = 0) = у, Р(Г=1) = ар4-ау,
Р(А' = 0) = а,
Р (Г = 01 X = 1) = 0,
Р (К = 0|Х = 0) = у, р (Г = О} = а0 + ау.
Поэтому
/„ 1Хр= ар loga  ^ =—|- ау loga——|-у	а0 4- ау	а0 4- ау
4-ар k)ga	4- ay loga -=Д=- •
а0 4- а у	ар 4- а Y
Можно также воспользоваться формулой
/>[Х] = /Ж[Г]=//[Г)-нх [П>
где безусловная энтропия
И [Г] = — (ар4- ay) loga (аР4-ау) — (а.0 4~ау) !oga (ар4-ay),
* средняя условная энтропия
Нл 1И = — а (р loga р 4- р loga pj — а (у loga у 4~у loge у).
Оба способа дают один и тот же результат.
Пример 28.3. Имеется 12 монет одного достоинства; 11 из них имеют одинаковый вес, а одна — фальшивая, отличается по весу от остальных. Каково наименьшее число взвешиваний на рычажных весах без гирь, которое позволяет обнаружить фальшивую монету и выяснить, легче ли она, чем остальные монеты, или тяжелее? (См. [54]).
Решение. Каждая из 12 монет может оказаться фальшивой и быть при этом тяжелее или легче настоящей. Таким образом, имеется 24 возможных исхода, что при равной вероятности этих исходов дает энтропию сложного опыта, определяющего фальшивую монету, равную log2 24 = 34-1°§2 = __о. 0,477	.
+ 0,301 ~ 4’58’
Каждое взвешивание имеет три исхода, что в предположении их равной вероятности дает энтропию, равную tog2 3= 1,58.
15*
228
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Следовательно,' минимальное число взвешиваний не может
,	• log224 4,58 п п,,
быть меньше, чем ......— ^-=5- — 2,90, т. е. оно не меньше
lOgf 2 v	1 ,Do
трех.	,
Действительно, покажем, что при оптимальном планировании опыта потребуется ровно три взвешивания.
Чтобы число взвешиваний было наименьшим, каждое взвешивание должно давать наибольшее количество информации, а для этого исход взвешивания должен обладать наибольшей энтропией.
Пусть при первом взвешивании на обе чашки положено по I монет. При этом, как упоминалось, возможны три исхода:
1)	чашки весов остались в равновесии;
2)	перевесила правая чашка;
3)	перевесила левая чашка-
При первом исходе фальшивая монета находится среди 12 — 2/ отложенных монет, и, следовательно, вероятность этого исхода равна
р -12 -2‘
~	12	‘
Во втором и третьем исходах фальшивая монета лежит на одной из чашек весов. Поэтому вероятности этих исходов равны
Чтобы взвешивание дало наибольшую информацию, распределение вероятностей исходов должно обладать наибольшей энтропией, чему соответствует равенство всех вероятностей исходов. Отсюда
12 — 2/ i .	.
, f==4,
т. е. при первом взвешивании на каждую чашку весов следует положить по 4 монеты.
Далее рассмотрим отдельно случай а)-, когда при первом взвешивании чашки весов остались в равновесии, и случай б), когда одна из чашек перевесила другую.
В случае а) имеем 8 настоящих (заведомо не фальшивых) монет и 4 подозрительных, которые не участвовали в первом взвешивании. Для второго взвешивания мы можем положить
§ 28]
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
229
на правую чашку I подозрительных монет (Z ^ 4)г а .на левую j I подозрительных и I — j настоящих монет. При э?ом j <С4, так как число подозрительных монет равно 4. Все возможные значения I и у и соответствующие вероятности исходов при втором взвешивании в случае а) сведены в таблицу 19.
Т а б л и ц а 19
>6 опыта	i	1	₽г	Р2	рз	я(7
1 '	1	1	0,5	0,25	0,25	0,452
"2	1	0	0,75	0,125	0,125	0,320
3	2	2	0	0,5	0,5	0,301
4	2	1	0,25	0,375	0,375	0,470
5	2	0	0,5	0,25	0,25	0,452
6	3	1	0	0,5	0,5	0,301
7	3	б	0,25	0,375	0,375	0,470
8	4	0	0	0,5	0,5	0,301
В этой таблице приведена также энтропия опыта, равная = — Р1 Ig Pl — Р2 1g Р2 — p3 1g А-
Наибольшую энтропию дают опыты № 4 и 7. Итак, имеется два равноценных варианта второго взвешивания: необ-’ ходимо либо положить на одну чашку весов две подозрительные монеты, а на другую одну подозрительную и одну настоящую (опыт № 4), либо три подозрительные на одну чашку и три настоящие на другую (опыт № 7).
Читатель может самостоятельно убедиться в том, что в обоих вариантах третье взвешивание позволяет решить поставленную задачу, т. е. определить фальшивую монету и выяснить, легче ли она или тяжелее остальных.
В случае б), когда при первом взвешивании перевесила одна из чашек, монеты распределяются на три группы, по 4 подозрительных, положенных на правую и левую чашки (4 «правых» и 4 «левых»), и 4 настоящих (не участвовавших в первом взвешивании).
Если при втором взвешивании положить на правую чашку весов Zj «правых» и 12 «левых», а на левую чашку j\ «правых», /2 «левых» и Zj + Z2 — 71 — Л настоящих монет и сравнить энтропии всех возможных вариантов, то окажется,
230
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
[ГЛ.' V
что имеется 13 равноценных вариантов с наибольшей (одинаковой) энтропией. Любой из этих вариантов, например г1==3, Z2 = 2, jx—\,	— ® или /1=1, Z2 = 2, j\—0,
j,, = ‘2, дает наибольшую возможную информацию и позволяет при третьем взвешивании определить фальшивую монету и выяснить, легче ли она или тяжелее остальных.
Аналогично решаются задачи 28.2 и 28.5.
Задачи
28.1.	Прямоугольник разделен четырьмя продольными и восемью поперечными полосами на 32 квадрата. Единственная точка с равной вероятностью может находиться в одном из этих квадратов.
Определить количество информации в сообщениях: а) точка находится в квадрате № 27; б) точка находится в третьей продольной и первой поперечной полосе; в) точка находится в шестой поперечной полосе.
28.2.	Имеется W монет одцого достоинства, из которых одна фальшивая, несколько легче остальных.
Сколькими взвешиваниями на рычажных весах без гирь можно обнаружить фальшивую монету? При каком наибольшем N достаточно пяти взвешиваний?
28.3.	Символы алфавита азбуки Морзе могут появиться в сообщении с вероятностями: для точки —0,51, для тире — 0,31, для промежутка между буквами —0,12 и для промежутка между словами —0,06. Определить среднее количество информации в сообщении из 500 символов данного алфавита, считая, что связь между последовательными символам^ отсутствует.
28.4.	Сложная система находится в одном из N различных равновозможных состояний Aj. Состояние системы может быть определено путем постановки контрольных опытов; результат каждого из них показывает группу состояний, в которых находится система.
В одном из опытов при состояниях Ль Л2.......Ak сиг-
нал наблюдается, при состояниях Лй+Р Afc+2, ..., AN — не наблюдается. При другом опыте сигнал наблюдается, если система находится в одном из состояний Лр Л2, . .., Л( (Z k) или Ai + 1, Лй+2....Лй+Г (г — k), и не наблюдается
в остальных состояниях. Чему равно количество информации в первом и втором опытах?
§ 28]
КОЛИЧЕСТВО' ИНФОРМАЦИИ
231
28.5.	Неисправный телевизор находится в одном из пяти различных состояний, которым соответствуют различные виды неисправностей. Для обнаружения вида неисправности может быть проведено несколько из семи возможных проверок, при-» водящих при различных состояниях.телевизора к тому, что контрольная лампочка загорается или не загорается. В приведенной таблице это обозначено соответственно единицей или
проверок, позволяющих определить, вид неисправности телевизора.
28.6.	В сообщениях используются символы алфавита А2, А3, А4 с вероятностями Р(Л1) = 0,45, Р(Л2) = 0,10, Р (Л3) — 0,15, Р(Л4) = 0,30.
Для передачи сообщения по каналу связи могут быть применены два кода — № 1 и 2. В первом коде символам алфавита соответствуют символы кода а, Ь, с и d, во втором коде — символы a, d, b и с.
Определить эффективность кодов, т. е. количество информации, передаваемое в среднем в единицу времени, если длительности передачи символов кода по каналу связи в условных единицах времени равны
^ = 8, ^ = 6, tc = 5, td^=3>.
28.7.	В условиях предыдущей задачи наряду с кодами № 1 и 2 рассмотреть другие возможные коды и определить наиболее эффективный из них.
232	ЭНТГЧЭШТЯ’Н'ИНФОРМАЦИЯ	(ГЛ. V
28.8.	iДля передачи сообщений используется код, состоящий из трех символов, вероятности появления которых равны 0,8; 0,1 и 0,1. Корреляция между символами кода отсутствует. Определить избыточность кода, т. е. величину, дополняющую до единицы отношение энтропии данного кода к максимальной энтропии кода, составленного из того же числа символов.
28.9.	Сообщение состоит из последовательности двух букв А и В, вероятности появления каждой из которых не зависят от того, какая буква была передана ранее, и равны Р(Л) = 0,8, Р(В) = 0,2.
Произвести кодирование по методу Шеннона — Фэно: а) отдельных букв; б) блоков, состоящих из двухбуквенных сочетаний; в) блоков, состоящих из трехбуквенных сочетаний.
Сравнить коды по их экономности.
: 28.10. Сравнить коды предыдущей задачи по их избыточности, определяя средние вероятности появления символа кода aj по формуле
111
^PWZt]
P(aj)=^------------,
2 р (Ai) ъ
1 = 1
где ZZy- — число символов a-j в г-й кодовой комбинации, — число всех символов в Z-й кодовой комбинации.
28.11.	Сообщение состоит из последовательности трех букв А, В и С, вероятности появления которых не зависят от предыдущего сочетания букв и равны Р (Л) = 0,7, Р(В) = 0,2 и Р(С) = 0,1.
1.	Произвести кодирование по методу Шеннона — Фэно отдельных букв и двухбуквенных сочетаний.
2.	Сравнить коды по их экономности.
3.	Сравнить коды по их избыточности.	j
28.12.	Вероятности появления отдельных букв русского • алфавита приведены в таблице 20, где знаком «—» обозначен промежуток между словами.
Произвести кодирование алфавита по методу Шеннона — Фэно, считая вероятность появления последующей буквы не зависящей от предшествующих букв.
234	ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ	[ГЛ. V
в передачу вносятся ошибки, так что в среднем один символ из 100 принимается неверно (ах вместо а2 или а2 вместо ах).
Определить среднее количество информации на символ, передаваемой по такому каналу. Сравнить ее с количеством информации при отсутствии помех.
28.15.	По каналу связи с одинаковыми вероятностями передаются сигналы Alt А2, .... Ат. При отсутствии помех сигналу Aj соответствует символ aj (/=1, 2./и).
При наличии помех каждый из символов имеет вероятность р быть правильно принятым, а с вероятностью q = 1 — р искажается и может перейти в любой из остальных. Определить среднее количество информации на один символ, передаваемое по каналу при наличии и при отсутствии помех.
28.16.	По каналу связи с одинаковой вероятностью передаются сигналы Av А2, .... Ат. При отсутствии помех сигналу Aj соответствует символ dj (J — 1, 2, .... /и). Вследствие помех сигнал Aj может быть принят правильно с вероятностью pjj или воспринят как символ аг с вероят-
(т	\
2....т,	Определить
среднее количество информации на символ, передаваемое по такому каналу с помехами, характеризуемыми матрицей
L
$28]
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
233
Таблица 20
Буква	-	. -	 6 	е, е-	а	и	т ' ' л _	н	с
Вероятность	0,175	0,090	0,072	0,062	0,062	0,053	0,053	0,043
Буква	Р	В	Л	К	м	д	п	У.
Вероятность	0,040	0,038	0,035	0,028	0,026	0,025	0,023	0,021
Буква	й	ы	3	ь, ъ	б	Г	ч	н
Вероятность	0,018	0,016	0,016	0,014	0,014	0,013	0,012	0,010
Буква	X	ж	ю	ш	Ц	Щ	3	ф
Вероятность	0,009	0,007	0,006	0,006	0,004	0,003	0,003	0,002
28.13.	Алфавит состоит из п символов Aj (j ~ 1, 2, .... /г), появление каждого из которых в сообщении независимо и имеет вероятность
P(A;) = 2~*/, где kj — целые положительные числа и п
2Р(Л;)=1.
JF1 ,
Показать, что при кодировании такого алфавита по методу Шеннона — Фэно на каждый кодовый символ приходится максимально возможное количество информации, равное одной Двоичной единице.
28.14.	По каналу связи передаются два сигнала А} и А2 с вероятностями Р (Aj) = Р (Д2) — 0,5. На выходе канала сигналы преобразуются в символы аг и а2, причем из-за помех, которым одинаково подвержены сигналы Аг и А2,
ГЛАВА VI
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
§ 29. Закон больших чисел
Основные формулы
Если случайная величина X имеет конечную дисперсию, то при любом е > 0 справедливо неравенство Чебышева:
Если Xv Х2, .... Хп, ... — последовательность случайных величин, попарно независимых и имеющих дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной:	k= 1,
2.... то, какова бы ни была постоянная е > О,
lim Р
Л->оо
(теорема Чебышева).
Если случайные величины Хг, Х2.........Хп, ... одина-
ково распределены и имеют конечные математические ожидания х, то, какова бы ни была постоянная е > О,
lim Р
(теорема Хинчина).
', Для последовательности зависимых случайных величин Xv Х2, ..., Хп........удовлетворяющих условию
lim Л->со
Г п
^-D
= 0,
236
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
IMiz.VI
при любой постоянной е>0
	п	п
(теорема Маркова).
Для того чтобы к последовательности как угодно зависимых случайных величин Хг, Х2, .... Х„, ... был применим закон больших чисел, т. е. чтобы при любой постоянной е > 0 выполнялось соотношение
lim Р
П	к П R
необходимо и достаточно выполнение равенства
lim М л->со
0.
Решение типовых примеров
Пример 29.1. Доказать, что если <р(х)— монотонно возрастающая положительная функция, а, М 1ф(Х)] — т существует, то
ф(0 ’
Решение. Учитывая свойства функции q>(x), получим цепь неравенств
Р(Х>0= f /(x)dx<-^- J <p(x)/(x)dx< x>t	x>t
+oo
< W A(x)/(x)rfx=WT
—QO '	' ' 
S 29J-
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
237
Ч-оо
так как т — М [<Р(АГ)1 = J q(x)f(x)dx. Отсюда Р(Л>0<
хС -Д- , что и требовалось доказать.
<р(0
Аналогично решаются задачи 29.2—29.5.
Пример 29.2. Дана последовательность независимых Случайных величин Xv Х2, .. ., Хп, .... имейщих одну и ту же функцию распределения
Р (x) = y+7arctg-.
Проверить,- применима ли к этой последовательности теорема Хинчина.
Решение. Для применимости теоремы Хинчина необходимо существование математического ожидания случайной ве-4-оо
X, т. е. чтобы / х d^x^~dx сходился абсолютно. J	ах
-	— 00	.		<
dF(x) , 2а Г xdx	2а Г х dx
—-J—’-dx~— I —5-т—lim — / —гл— dx	л ./ x24-a2	л ,/ х24-а2
— оо	О	О
— ~ lim 1п(1 4-Д-1 = оо.
П Л->оо \ а )
т. е. интеграл не сходится, математическое ожидание ие существует и теорема Хинчина неприменима.
00
Пример 29.3. Можно ли интеграл J=Jdx (о>0)
после замены переменных У~~ вычислить методом Монте-Карло по формуле
личины
Однако
4-оо
f 1*1
где yft — случайные числа Из интервала [О, 1]?
238
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. уг
Решение, получим
Произведя указанную замену переменной,
1
J= / —sin — dy. о
Величину Ja можно считать приближенным значением J только тогда, когда справедливо предельное равенство lim P(|Jn—J| <е)=Е Л-»оо
Случайные числа уй имеют одинаковые распределения, а следовательно, и функции их —sin— имеют одина-yk У/г
ковые распределения. Для применения теоремы Хинчина остается убедиться в существовании математического ожида-
Г 1	*1
ния М -jrsin-p- , где Y — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 1], т. е. надо доказать,
1	• а ,	,
что / — sin — ay сходится абсолютно.
о
Однако если обозначить через $ наименьшее целое число, а удовлетворяющее неравенству а — , то
оо Л
л=« о
А так как
ОО Я	со	я	оо
2	y+"L' <*У> S п(й + 1)/ Sin У rfy = 2 Ий = °°’ k=sO	k=s	о	k=s
то расходится и интеграл
1
5 29]
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
239
Последнее означает, что M^-y-siri не существует, а следовательно, и метод Монте-Карло в данном случае неприменим.
Пример 29.4. Можно ли принять величину
п
Л = 1
в качестве приближенного значения дисперсии ошибок испытуемого прибора, если Хг, Х2, .... Хп, ... —независимые измерения постоянной величины а, имеющие одинаковые функции распределения?
Решение. Обозначим истинное значение дисперсии ошибок испытуемого прибора о2. Величину S2n можно рассматривать в качестве приближенного значения о2, если
lim	— о2| < е} = 1.
Л->со
Так как Xv Х2.......Хп,.. —независимые случайные вели-
чины, имеющие одинаковые распределения, то величины Yk ~ — (Хк— а)2 независимы и имеют одинаковые распределения.
Имеем М_[Г*1 =_М \f,Xk — а)2] = М [X*] — 2аМ [Хл1 + + а2 = а2 + х2—2ах-\- а2 — а2 + (% — а)2, где х — М [Л"А]. Для выполнения равенства М[К*]=о2 необходимо, чтобы х — а, что означает отсутствие систематических ошибок измерения у испытуемого прибора.
Итак, если у испытуемого прибора отсутствуют систематические ошибки, то выполнены условия применимости закона больших чисел и, следовательно,
п
|2<х.-»)!-ог
Л = 1
lim Р я->оо
<£}== 1.
3	а дач и
^29.1. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что нормальная случайная величина отклонится от своего математического ожидания больше чем на: а) четыре срединных отклонения; б) три средних квадратических отклонения.
240
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
(ГЛ. VI
29.2.	Доказать для любой случайной величины X при е > 0 неравенство
где J= М [^еХ1-
29.3.	Доказать, что если М [еаХ] существует, то Р(Л'>е)<е-аЕМ[еаХ1 (а > 0).
29.4.	Случайная величина X подчиняется показательностепенному закону распределения
Доказать справедливость неравенства
Р(0 < X < 2(т+1)) >
29.5.	Вероятность появления события А в одном опыте равна 1/2. Можно ли с вероятностью, большей 0,97, утверждать, что число появлений события А в 1000 независимых опытах будет в пределах от 400 до 600?
29.6.	Определить, имеет ли место закон больших чисел для среднего арифметического из п попарно независимых случайных величин Хк, заданных рядом распределения (табл. 21).
Таблица 21	Таблица 22							
XI	V 2	0	-/2		Х1	Vink	— £
Pl	1 4	1 2	1 4		Pi	1 т ..	1 2
29.7.	Пусть Хк — случайная величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать одно из двух значений ks или —ks. При каком s к среднему арифметическому последовательности Х2, .... Хк, ... таких независимых случайных величин применим закон больших чисел?
29.8.	Доказать, что к среднему арифметическому последовательности независимых случайных величин Хк, 'заданных рядом распределения (табл. 22), применим закон больших чисел.
§ 29J . •	ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ	24Г
29.9.	Установить, будут ли выполнены достаточные условия применимости закона больших чисел для последовательности взаимно независимых случайных величин Xk с распределениями, задаваемыми формулами:
a)	Р(Л\=+2*) = |;
б)	p(Xk= ±2ft)= 2“(2ft+1), P(Arft = 0) = 1 — 2-2ft;
в)	P(Xk=±k) = -^,	P(%ft=,0)==l --^. ,
к	У k
29.10.	Случайные величины Xv X2, .... Xn, ... имеют одинаковые математические ожидания и ограниченные дисперсии. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел, если все корреляционные моменты =	— х) X’
X {Xj — х)] отрицательны?
29.11.	Доказать, что к последовательности случайных величин, в которой каждая случайная величина может зависеть только от случайных величин со смежными номерами, применим закон больших чисел, если только все случайные величины последовательности имеют конечные дисперсии и математические ожидания.
29.12.	Последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин Xv Х2.......Xt, ... задана
рядом распределения
PlX^k)--]-—^	(*-1,2,3,...),
СО
где С (3) =	= 1,20256 — значение функции Римана при
»=i	•	.	’
аргументе 3. Проверить, применим ли к этой последовательности закон больших чисел.	... ,
29.13.	Дана последовательность случайных величин Хг, Х2........Хп.... Для которых D [А"„] < с и г/;.->0 при
И — J\ -> до (ri}—коэффициент корреляции между Xt и X j). Доказать, что к данной последовательности применим закон больших чисел (теорема Бернштейна).
29.14.	Последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин Xv Х2, .... Xt, ... задана
16 Б. Г. Володин и др.
242
ПРЕДЕЛЬНЫЕ : ТЕОРЕМЫ
(ГЛ. vr
рядом распределения
Р(^ = (-1)й-1Л) = ж> (А = 1, 2, ..О-
Проверить, применим ли к этой последовательности случайных величин закон больших чисел.
§ 30. Теоремы Муавра — Лапласа и Ляпунова
Основные формулы
Для серии п независимых опытов, J .„аждом из которых событие А появляется с одной й той же вероятностью р (0 < р < 1), согласно теореме Муавра — Лапласа справедливо предельное равенство
lim Р Iа<т~2.р <Ь} = ~ / е 2 dt = ±[Ф(б)-Ф(а)], И->=о к Vwq / V2R J	2
где ml— число появлений события А в результате п опытов,
ф(х) = _____- I е 2 dt—функция Лапласа (интеграл вероят-
Г л 0
ности), значения которой даны в таблице [8Т].
Для последовательности взаимно независимых случайных величин Хр Х2.......... удовлетворяющей при неко-
тором б > 0 условию
lim ™£Hi*ft-«j2+6}=o,
«-*30 ~
согласно теореме Ляпунова выполняется равенство. (	п 	\
а < ~ < b) = / «= 1 '
1 г 1
* а
§ 301	ТЕОРЕМЫ МУАВРА — ЛАПЛАСА И ЛЯПУНОВА	243
ГД®X‘k== ^-математическое ожидание А*, о* — D [ А* ]— дисперсия Xk, В„ =
Для применимости теоремы; Ляпунова в случае одинаково' распределенных случайных величин достаточно убедиться, что дисперсии слагаемых конечны и отличны от нуля.
Решение типовых примеров
Пример 30.1. Вероятность выхода из строя изделия за время испытаний на надежность р = 0,05. Какова вероятность, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строя: а) не менее 5 изделий; б) менее 5 изделий; в) от 5 до 10 изделий?
Решение. Согласно теореме- Муавра — Лапласа
Р
ф / тг~пр\_ф ( mi —пр
\ Vnpq /	\ Vnpq
если только п достаточно велико. По условиям задачи п —100; р = 0,05; <7=1—/2 = 0,95.
а)	Вероятность выхода из строя не менее 5 изделий
P(m>5) = P(5<m < 100)«
~ i [ф (ж) - ф (wr)H
б)	Вероятность выхода из строя менее 5 изделий
P(m < 5)=Р(0<т < 5) «1 [Ф f4^-) — Ф
'	2 L \ /4,751	/4,75 / J
=4 [ф (°)+ф с2-29)]=т • °>978°=°-489-
в)	Вероятность выхода из строя от 5 до 10 изделий
Р (Э < т < 10) « - Гф (-4=й — Ф	=
2 L I /4,75 /	\/4,75/]
-----1 [Ф (2,29) — Ф (0)] = у • 0,9780 == 0,489.
Аналогично решаются задачи 30.1-—30.4.
Пример 30.2. Сколько нужно произвести независимых испытаний, чтобы с вероятностью 0,8 событие А,, верояг-
16*
244
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
ность появления которого при одном опыте равна Р(Л)=0,05, наблюдалось бы не менее 5 раз?
Решение. На основании теоремы Муавра—Лапласа
Р (т > 5) « 1 ГФ ) - Ф ( 57^05п П =
2 L \ V	( V0,0475л / J
= 1 Гф (4,36 / л) — Ф ( -~0.°5л\1 2L	(/0,0475л/]'
Уже при п — 1 ф(4,36 ]/п)я^ 1; поэтому, заменив по условию
Р(т^>5) = 0,8, получим .	>
нли
1 Г ।__ф / 5 — 0,05л \~1
2 [	( /0,0475л /]
0,8
ф /5 — 0,05л \ 1/0,0475л/
0,6.
По таблице [8Т] находим аргумент х ==— 0,8416, соответствующий значению функции Ф(х) = — 0,6. Решая уравнение
5 —0,05л _ /0,0475л ~'
0,8416,
находим единственный корень п =144. Итак, для появления события А не менее пяти раз с вероятностью 0,8 необходимо произвести 144 испытания.
Аналогично решаются задачи 30.5—30.7.	„
Пример 30.3. Сколько опытов надо произвести при вычислении интеграла
Л 2
J cosxdx о
методом Монте-Карло для тогбГ чтобы с вероятностью 0,9 можно было считать относительную погрешность в вычисленном значении интеграла менее 5%?
л 2
2	2 г
Решение. Интеграл —J=— cosxdx можно рас-
Л	л */
0 сматривать как математическое ожидание функции cosx от случайной величины X, равномерно распределенной в интер-
§ 30]
ТЕОРЕМЫ МУАВРА—ЛАПЛАСА И ЛЯПУНОВА
245
вале (О,	• Т'огда приближенное значение интеграла
п -
k=i 7
In Л где Xk — случайные числа из интервала 10,
Составим случайную величину
> _ J п J 
п~ КЖ1 ’
имеющую своим предельным законом распределения, согласно теореме Ляпунова, функцию
1 f{t) — —^=e 2 , J v 7	/2л
так как величины cos Xk независимы, одинаково распределены и имеют конечную, отличную от нуля дисперсию, a J — М [•/„[• Имеем
[cos <¥1 = ^8^-.
Применяя теорему Ляпунова, при Ь — — а = е получим
Р { /- Jl < 4 ~ ф(£)=0-9;
отсюда е = 1,645.
Для того чтобы относительная погрешность	была
меньше 0,05, учитывая, что J— 1, необходимо произвести такое число опытов п, чтобы
/т^-0.05 > 1,645, _
откуда получаем п > 252.
Аналогично решаются задачи 30-10—30.12.
246
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
Задачи
30.1.	Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3. С какой вероятностью Можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0,2 до 0,4?
30.2.	Имеются 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?
« 30.3. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя: а) не менее 20 конденсаторов; б) менее 28 конденсаторов; в) от 14 до 26 конденсаторов.
» 30.4. Пользуясь теоремой Муавра — Лапласа, показать, что при достаточно большом числе опытов
Р р — е<
где —----частота появления события, вероятность появления
которого в одном опыте р.
<? 30.5. Вероятность некоторого события определяется методом Монте-Карло. Определить число независимых опытов, обеспечивающих с вероятностью не менее 0,99 получение искомой вероятности с ошибкой, не превосходящей 0,01. Оценку произвести по теореме Чебышева и по теореме Лапласа.
30.6.	Вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется бракованной, при каждой проверке одна и та же и равна 0,1. Партия изделий не принимается при обнаружении не менее 10 бракованных изделий. Сколько надо проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,6 можно было утверждать, что партия, имеющая 10% брака, не будет принята?
<4 30.7. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,9 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться от вероятности появления этого события, равной 0,4, не более чем на 0,1?
5 30]	ТЕОРЕМЫ МУАВРА—ЛАПЛАСА И ЛЯПУНОВА ~	247
♦ 30.8. Вероятность появления некоторого события в одном опыте равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие появится в большинстве из 60 опытов?
30.9. Вероятность некоторого события А равна у. Производится 45 000 независимых опытов. Каково срединное отклонение Е числа появлений события А от математического ожидания этого числа? •
• 30.10. Вычисление интеграла J — Jx2 dx произведено о
методом Монте-Карло на основании 1000 независимых опытов. Вычислить вероятность того, что абсолютная погрешность в определении величины J не превзойдет 0,01.
v 30.11. Сколько опытов надо произвести при вычислении интеграла
Я
2
J = J* sin jc dx о
методом Монте-Карло для того, чтобы с вероятностью Р^-0,99 можно было считать абсолютную погрешность вычисленного значения интеграла не превосходящей 0,1% от У?
30.12. Вероятность Р (С) = Р (4 -j- В), где Р(3|Л) дана, определяется методом Монте-Карло двумя способами: а) приближенное значение Р(С) определяется как частота появления события С в ряде из п независимых опытов; б) определяется частота появления события А в ряде из п независимых опытов, а приближенное значение Р(С) определяется по формуле
Р (С) « Р„ (С) = -J-4- (1 - Р(В | А).
1.	Доказать, что оба способа ведут к правильному результату.
2.	Определить необходимое число опытов в обоих случаях для получения ошибки в оценке Р (С), не превосходящей 0,01, с вероятностью не меньшей 0,95, если Р(3| А) = 0,3, а значение Р(Л) имеет порядок 0,4.
248
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
30.13.	Имеется 100 урн, в каждой ив которых находится по 5 красных и 95 черных шаров. Опыты организованы так, что после каждого извлечения из урны шара он вновь возвращается в ту же урну, а результаты опыта наблюдателю не сообщаются. Сколько потребуется опытов, чтобы: 1) с вероятностью 0,8 извлечь хотя бы один красный шар из каждой урны; 2) с вероятностью 0,8 извлечь хотя бы один красный шар не менее чем из 50 урн?
30.14.	Вычислить характеристическую функцию Еу (и) случайной величины		- 
2№-х()
и найти ее предел при п—> эо, если случайные величины Xv Х2, .... Хп, .. . независимы и имеют одинаковые плотности вероятностей или ряды распределения вида:
a) f(xt) —
1
2Л
0
при
при | х{ | > Л;
б) Р(Х/ = т) =
0 при х{ < 0,
в) f
ft*?’1* при хг>0.
30.15.	Найти предел при	характеристической
функции Еуп {и) случайной величины
п
^{Xi-Xi)
]/ 2 D иа
если случайные величины Хх, Х2........Хп, ... независимы,
имеют одинаковые законы распределения, математические ожидания и дисперсии, а моменты более высокого порядка ограничены.
ГЛАВА VII
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 31. Общие свойства корреляционных функций и законов распределения случайных функций
Основные формулы
Случайной функцией вещественного аргумента t называется функция X (0. значения которой являются случайными величинами. Если аргумент t может принимать любые значения из некоторого (конечного или бесконечного) интервала, то случайную функцию называют случайным процессом; если аргумент t может принимать только дискретные значения,-то X (t) называют случайной последовательностью.
Неслучайная функция х (t), равная при каждом t математическому ожиданию М [X (01 случайной величины X (f), называется математическим ожиданием случайной функции X (£)•
Корреляционная (автокорреляционная) функция Kx{tv t2) случайной функции X (t) определяется формулой
Кх (6. О) = М {[%'(/,) — X* (0)] [X (О) — X (О)]} = Кх (t2, 6).
где знаком * отмечены комплексно сопряженные величины ').
Для стационарных случайных функций имеем
/Сж(0. 0) — кх (0 — 0)> X (0 = const.
Дисперсия ординаты случайной функции связана с Kx(tlf t2) формулой D [X (Л] = о2... — К r (t, t)- Нормированная
X v) X
‘) В задачах, если не оговорено, X (t) считается вещественной.
корреляционная функция определяется формулой
Полной характеристикой случайной функции является совокупность законов распределения
/(xJ^j), / (хР х2|^р t2), f (хР х2, х3|^р t2,
где /(Хр .... хп|£р Q есть плотность совместного распределения ординат случайной функции в моменты времени /р t2, .....tn. Математическое ожидание х (t) и кор-
реляционная функция Kx(tlt t2) определяются функциями У(х1|^1) и /(Хр x2|^, /2) по формулам (для непрерывных случайных функций)’)
ОО
х (t) = J" xf (х 11) dx, — ОО оо оо
Kx{tv t2)= f J XjX2/(Xp x2|^p t2) dxx dx2 — X (Q x (tj. — oo —co
Для нормального случайного процесса совместное распределение в п моментов.времени полностью определяется функциями х (t) и Кх (tx, f2) по формулам для закона распределения системы нормальных случайных величин, математические ожидания которых
x(^i). х(Л>), х(^з)....x(tn),
а элементы корреляционной матрицы kjt = Кх (tj, tt), I, J—i, 2......п.
Корреляционная функция связи (взаимная корреляционная функция) Rxy (tv t2) двух случайных функций X (t) и V (t) определяется формулой
t2y=м ([л-*Р1)-х*(л)] I/(f2)-y(f2)ij
Для стационарных процессов
/?лу(^р	= Rxv(f2 — О*
£) Считаем X(t) вещественной.
Понятие корреляционной функции обобщается и на случайные функции нескольких переменных (случайные поля). Если, например, случайная функция X (£, т]) является функцией двух неслучайных аргументов, то
Kx(*v Пр Д>) =
= М {[*%.	%)]	Ъ)-*(£2. Ш
Решение типовыхпримеров
Задачи данного параграфа принадлежат к двум основным типам. В задачах первого типа требуется определить корреляционную функцию случайной функции, использовав свойства ее ординат, или установить общие свойства корреляционной функции. При решении этих задач нужно непосредственно исходить из определения корреляционной функции. В задачах второго типа требуется найти вероятность того, что ординаты случайной функции примут определенные значения. Для решения этих задач необходимо воспользоваться соответствующим нормальным законом распределения, определяемым математическим ожиданием и корреляционной функцией.
Пример 31.1. Определить корреляционную функцию /2), если
k
X (0 — 2 cos +Bjsin ®/]>
где <Юу — заданные числа, а вещественные случайные величины Aj и Bj взаимно не коррелированы, имеют нулевые математические ожидания и дисперсии, определяемые равенствами
DplJ = D [/?,]=: а} (/=1,2.........k).
_ л _	_
Решение. Так как x(t) = S (a;Cos®/-|-fysinG>/) = 0, то по определению корреляционной функции
^2)==
( * * \ » = М | 2 2 MyCOSCd/j SinCO^JM/COSG^-J-B/SinCty^l Г,
Раскрывая скобки и применяя теорему о математическом ожидании, замечаем, что все слагаемые, содержащие множители вида М [XyXJ, М [ByBz] при j + 1 и М (ЛуВг] при любых J и /, равны нулю, а М [Лу] = М [By] =Оу. Поэтому k
Кх (tv t2) — 2 °;cos (z2 —
>=i
Аналогично решаются задачи 31.3—31.6 и 31.10.
Пример 31.2. Пусть X (t)— нормальная стационарная случайная функция, математическое ожидание которой равно нулю. Доказать, что если
7(л —1 Г1	+ й ]
2 L |Х(/)*(*-H)l J ’
to	-1
z(O = — arccos[—kx(x)\.
где kx(x) — нормированная корреляционная функция X (f).
Решение. Пользуясь тем, что X (/) нормальна, закон распределения второго порядка можем представить в виде
/(хР х2|Л * + т) =
1 ------г..... г ехр 2ла2 V 1 — ^(т)
X] -|- х2 — 2kx (т) Х]Х2
2а;. [1 - k* (т)]
Искомое математическое ожидание может быть представлено в виде
ОО со
*(0 f ./ЧЕ1 +Т?1'х;Г]^(Х1’ Х2^' (~ГХ)аХ1аХ2-— оо — оо
Так как jr[l -1-  Х1Хг 1 тождественно равна нулю в том z L I xtx21 J
случае, когда знаки у ординат хг и х2 различны, и равна единице в противоположном случае, то
о о
О О
= 2 J f/(xt, x2\t, t~\-x)dxxdx2, о О
что после выполнения интегрирования дает результат, указанный в условии задачи. (При интегрировании удобно ввести новые переменные г, <р, положив хг — г cos ср, х2 — г sin ср.)
Задачи
31.1.	Доказать, что:
a) |ACr(6. ti) |<о«
«1М.-
31.2.	Доказать, что |/?ху(0,
31.3.	Доказать, что корреляционная функция не изменяется от добавления к случайной функции любой неслучайной функции.
31.4.	Найти дисперсию случайной функции X (t), ординаты которой изменяются скачками на величины Ау- в случайные моменты времени. Число скачков, происходящих в течение отрезка времени т, подчиняется закону Пуассона с постоянной Хт, а величины скачков Ау взаимно независимы, имеют одинаковые дисперсии о2 и нулевые математические ожидания, а X (0) — неслучайная величина-
31.5.	Найти корреляционную функцию случайной функции X (Г), которая может принимать два значения: -|-1 и —1; число перемен знака функции подчиняется закону Пуассона с постоянной временнбй плотностью X, а х (Z) можно считать равным нулю.
31.6.	Случайная функция X (Z) состоит из отрезков горизонтальных прямых единичной длины, ординаты которых взаимно независимы, могут с одинаковой вероятностью иметь любой знак, а их абсолютные величины подчиняются закону распределения
I 1^*
/(|х[)= г ' л е-1*1 (гамма-распределение).
1 (Л -f- 1)
Определить Кх(Х).
31.7.	Корреляционная функция угла крена корабля 0(0 имеет вид
К$ (т) = ае~а Iт । cos 0т.
Определить вероятность того, что в момент времени *2—+ т .угол крена 0(/2) будет больше 15°, если 0(/)—нор
мальная случайная функция, 0 = 0, 0(0) = 5°, т = 2 сек., а = 30 град2, а = 0,02 сек.-1, (5 = 0,75 сек.-1.
31.8.	Использование эхолота с корабля, испытывающего бортовую качку, возможно, если угол крена |0(0|<^0О. Момент первого измерения выбирается так, чтобы это условие выполнялось. Определить вероятность того, что второе измерение может быть произведено через время т0 сек., если 0(7) — нормальная функция, 0 = 0, а дисперсия D [0(0] =о| /<е (т)
и нормированная корреляционная функция k (т) =---5— даны.
31.9.	Корреляционная функция угла крена корабля 0(/) А*е(т) = ае-а|д:1 (cos рт + -2-51пр|т|), где а = 36 град2, а = 0,25 сек.-1, (5= 1,57 сек.-1 В момент времени t угол крена равен 2°, 0 (f)	0. Найти вероятность того, что
в момент времени (Z —2) сек. угол крена по величине будет меньше 10°, если 0(7) — нормальная случайная функция, 0(0 = 0.
31.10.	Определить математическое ожидание и дисперсию случайной функции У (0 = а(/) X (0 b (t), где а (0 и b (t) — числовые (не случайные) функции, a Kx(tx, /2) и х (0 известны.
31.11.	Найти закон распределения первого порядка для ординат случайной функции
X (t) = А (7) cos [о/ + 0 (0], если законы распределения первого порядка для случайных функций А (0 и 0 (0 имеют вид
=	(о>0), /0(О|0 = А- (О<0<2л),
<в — постоянная, а для одного -и того же момента времени А (0 и 0 (0 взаимно независимы.
31.12.	Случайные точки распределяются на числовой оси таким образом, что вероятность Рп появления в заданном интервале т на оси п точек определяется законом Пуассона (ЛтУ1
Рп = -—г- е~Кх, где X — положительная постоянная. Опре-я л1
делить закон распределения первого порядка для случайной
где L*— оператор L, в котором все коэффициенты заменены на комплексно сопряженные; индексы tx. и t.2 в обозначении оператора Lo показывают, что в первом случае оператор действует по переменной tx, а во втором случае — по переменной t2. (Возможность применения оператора, к данной случайной функции должна быть проверена в каждом конкретном случае.)
Если L — неоднородный оператор, соответствующий однородному оператору Lo и функции F (f), и Z (0 — LA (t), то
z (f) — Lx (t) — Lox (/) -j- F (f), Kz(t\, ti) = Lo/,Lg/2Ax (^, t2),
t. e. корреляционная функция не зависит or функции Fit), порождающей неоднородность оператора L.
Случайная функция дифференцируема (один раз), если ее корреляционная функция имеет вторую смешанную частную производную при равных значениях ее аргументов, что для стационарных функций эквивалентно существованию второй производной от К (т) при т = 0.
Нахождение математического ожидания и корреляционной функции результата применения нелинейного оператора к случайной функции, вероятностные свойства которой известны, значительно более сложно. Исключением является только нормальный случайный процесс для некоторых типов нелинейных операторов. Например, если X (t) — нормальная случайная функция (считаем X (t) вещественной), a Y(t)— X‘2(t), то
y(O = M[X2(0] = D[A(OJ + x2(O.
Ку(Л^2) = М[Х2(^)Х2(^)]- 
-{D [А (Л)] + %2(Л)) (D[AO + x2(^)}-2A1^, /2),
так как математическое ожидание произведения четырех нормальных величин A (^i), А (^), А (С) и A (t^) может быть получено путем дифференцирования характеристической функции системы случайных величин (см. § 23).
Так же могут быть получены математическое ожидание и корреляционная функция существенно нелинейного выражения
Y (t) = sgn A (t),
вели X (t) нормальна, (см. пример 32.2).
Решение типовых примеров
Задачи данного параграфа могут быть решены путем использования общей формулы для корреляционной функции результата применения линейного оператора к случайной функции, однако в некоторых задачах удобнее исходить прямо из определения корреляционной функции. Второй путь является неизбежным, если помимо линейных операторов в данное выражение входят нелинейные операторы. Ниже рассмотрены примеры применения обоих этих способов решения.
Пример 32.1. Определить среднее квадратическое отклонение угла W поворота гироскопа направления после 10 мин. работы гироскопа вследствие наличия случайного момента М (t), возникающего на оси внутреннего карданова кольца, если уравнение, определяющее закон изменения W (/), может быть принято в виде W (/) —	, где кинетический момент
/7 = 21 • Ю5-^-2 сек2
Кт(х) — п1е-а}'<^ (cos рт— -2-sin₽|x|'),
*	р	/
, а
n = 1,36 • 104- CM,~, p = 0,7 сек.-1, а = 0,1 сек.
сек3 ’ 1
Решение. Так как после интегрирования имеем (начальные условия, в соответствии со смыслом задачи, нулевые) t
= 7Г f	т. е- 'Р (0 связана с Л1 (t) линейным
о соотношением, то для корреляционной функции (^, получим
Л ^2
Ку>(71. ^ = 7^-/ f Km(t" — f')dt',dt', о о
а для дисперсии
t t
D[T(/)] = o2(0 = -^y’ f Km(t"-t')dt"dt' = о 0
t
о
Так как
g-«lr|^C0SpT — jsinp|T[j =
= a"+p £“ {e““' T1 (COS PT + J S‘n PlT1) } • то последний интеграл просто может быть вычислен по частям, что дает
Dl'P (/)]—• /7S(a2_|_p2)
2пг
~ № (а2 + Р2) ’ аф 45,‘
Пример 32.2. Определить дисперсию угла Т (£) поворота гироскопа направления через Т =10 мин. работы гироскопа, если угол Т определяется уравнением
<PV Ь А ...
-^r=7rssne(0.
где 0 — нормальная стационарная случайная функция, имеющая корреляционную функцию
Ке(т) = ae-ain(cos0T-|-jsin₽|r|),
0 = 0, Ь и Н — постоянные.
Решение. Здесь, помимо линейных операций интегрирования и дифференцирования, в заданное выражение входит нелинейная операция sgn. Поэтому, обозначив временно 0(7) = %(/), положим Y(t)~ sgn X (t). Пользуясь определением Ку (т) как второго центрального смешанного момента случайных величин Yt — sgn X (£) и К2 = sgn X (t-\- т), получим
ОО СО	О оо
Ку(г) — 2^ J* / (хР x2)dx1dx2— 2 J* J* /(xb x2)dx1dx2, О 0	—со 0
где закон распределения /(хР х2) нормальный.
Подставляя значение этого закона распределения и переходя от прямоугольных координат хр х2 к полярным, легко вычисляем оба интеграла и получаем
2
Ку (т) — — arcsin kx (т),
где нормированная корреляционная функция kx(x) определяется формулой
kx(x) = k^(x) = £-“1*1 ^cos рт — J-Sinp|x|^ .
Искомая дисперсия i
D[W)] = -Hr/(t— x)Ky(x)dx~
6
t
—	f &— T)arcSin[e-«in(cos₽T — у sin 0|т|
6
Задачу можно решить и другим способом. Если воспользоваться формулой sgn X = -Д / е1аХ — и подставить ее е/	It
в исходное дифференциальное уравнение, то после интегрирования по времени и нахождения математического ожидания Ч*'2^) получим t t СО со
О 0 —со —со
где £(«!, и2) — характеристическая функция системы нормальных величин X и Л"(/2).
’ Подставив в последний интеграл выражение для Е (uv и,2) и проинтегрировав три раза, получим для D [Ч1, (0] то же выражение, что и выше.
Пример 32.3. Определить математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
где a{t) и b{t) — заданные (числовые) функции, X (f)— дифференцируемая случайная функция, а х (t) и Кх (tx, /2) известны.
Решение. Функция Y (f) является результатом приме? нения линейного оператора (/) + b(0"^] к случайной функции X (t). Поэтому искомый результат может быть получен
путем применения общих формул. Однако решение проще найти путем непосредственного вычисления y(f) и Л, ft, ^)” Имеем
У ft = м [ a (f) X (f) + b ft ^-] = а ft х ft 4~ b (t)	,
Ку (tv f2) = М [ { а* (Л) [Х* ft) - х* ft)] +
+^ft)[^-^F]}x_
х { a ft) [X (t2) - хft)] + b ft)} ] =
= a* (tj a (f2) Kx (tlt ft + a* ft) b ft)	Kx ft, t2) +
+ b* ft) a (t2) -Д. Kx {tv t2) 4- b* ft) b ft) Kx ft, t2).
Задачи
J 32.1. Определить корреляционную функцию производной случайной функции Л" ft, если
А'х(т) = ае-“|Т|(1 -|—в|т|).
У 32.2. Определить корреляционную функцию и дисперсию случайной функции
rft = ^L,
если Кх (т) = ае~а 1 х । ^cos рт 4- sin р | т |) .
32.3. Пусть X (t) — стационарная случайная функция, корреляционная функция которой известна. Определить кор-
,	v,,. dX(t)
реляционную функцию связи X ft и —•
\ 32.4. Сколько производных имеет случайная функция X (t), обладающая корреляционной функцией
/Cx(T) = o2e-a2t’?
, 32.5. Сколько раз можно дифференцировать случайную функцию X ft, если Кх(т) = о2е-а|х| (14-al'tl4~ya2'r2V
32.6. До какого порядка существуют производные случайной функции X (0> если ее корреляционная функция имеет вид
/С (т) = о2е~а I т I (1 —Н а | т | — 2а2т2 + 4- а31 т31V
82.7. Случайная функция X (?) имеет корреляционную функцию
^(т) = о2е-а|т|(1+а|х|).
Определить корреляционную функцию связи
X(t-±t^ и X(t\
32.8.	Корреляционная функция случайной функции X (/) имеет вид
Кх(т) = о2е-“ Iт 1 (1 + а | т |).
Определить дисперсии функций
Y(f) = X(t-\-x) и 2(0 = Х(/+т).
32.9.	Дана корреляционная функция Кх (т) стационарной случайной функции X (£):
^(т) = о2е-°’Л
Найти корреляционную функцию
Г(0==а^0 .
32.10.	Определить вероятность Р того, что производная V от нормальной стационарной функции X (/) будет иметь значение, большее b — ]/5 м/сек, если
ЛГх(т) = ae-a|tl (cospx-|--5-sinp[T|),
где а —4 м2, а — 1 сек.-1, р —2 сек.-1.
82.11. Известны математические ожидания, корреляционные функции и корреляционная функция связи двух случайных функций X (f) и Y (/). Определить математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции
= X(t)+Y(f).
32.12.	По известным вероятностным характеристикам системы п случайных функций Xj(t) (/= 1, 2, ..., п) определить математическое ожидание и корреляционную функцию
^(0=2л-7(Ь.
7 = 1
32.13.	Корреляционная функция KX(Y) стационарной случайной функции X (/) задана. Определить корреляционную функцию Y (/), если
Y (t) = X (f) +	.
32.14.	Случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию
Кх W = oxe~al т 1 ^1 + а | т |-J--j а2т2).
Определить корреляционную функцию
32.15.	Известна корреляционная функция Кх(у) случайной функции X (/). Определить дисперсию
t Y(f^ f X (I) d^.
• 0
32.16.	Стационарная 'случайная функция ¥ (0) связана с другой функцией X (/) -соотношением
Определить корреляционную функцию X (/), если А- (/) —О при t — 0, а Ку (т) известна.
32.17.	Определить корреляционную функцию связи между t
X (t) и Y (ty= j X (У d^, если Кх (tv t^) известна, о
32.18.	Определить, дисперсию И (t) . при t =?20 сек., если t
Y (t) = f X(tjdtx, о
Kx (т) = ае-“1т|(14-а|т|), a=10-^, а = 0,5сек."1.
32.19.	Определить корреляционную функцию и математическое ожидание
t
=	+	+ / е~и'Х {tx)dtx-\-c,
о
если х(0 и Kx{tx, #2) вещественные.
32.20.	Определить
ЯуЛё- t2), если	.
Y(t) = aX(t) + b^-,
Z(t^cdX(t) ..d2X(t)'
— с dt ~t-a dt2 .
известны, а постоянные а0, ах и Ьх
корреляционную функцию связи
где a, b, c, d-—вещественные Постоянные.
32.21.	Скорость самолета определяется, гироскопическим интегратором, который дает ошибку
t
ДУ (f) = g J sin 0 (/i) dtx, о
где 0 (/) — ошибка стабилизации оси интегратора, имеющая корреляционную функцию
/С0(т) = 4- юЛ4*1’1 />я<?2 = ае"а|т|.
a g— ускорение силы тяжести. Найти среднюю квадратическую ошибку определения скорости после 10 часов полета (т дано в сек.).
32.22.	Случайная функция 0 является вещественной, нормальной и стационарной, 6 = 0. Найти корреляционную функцию
х (п = я© (о+ье+сё2 (/),
где а, Ь, с — вещественные постоянные.
32.23.	Возмущающий момент, действующий на ротор гироскопического прибора, установленного на корабле, связан с углом крена 0 (t) и углом дифферента Т (/) корабля соотношением
М (/) = а©2 (0 + bW2 (0 + с© (/) Ф (/).
Определить корреляционную функцию М (/), если Ко (т) и ^(т) известны, /?0ф(т)==О, а 0(Z) и Т (t) нормальны.
32.24.	Дано (т) = е~“2Л Определить корреляционную функцию /( (г), если

32.25.	Дано
Кх (т) = ае~а 1''|(14-а|т| + -|- a2r2j.
Определить корреляционную функцию связи между X (I) „ d2X^
И dt2 ’
32.26.	Дана корреляционная функция Кх (т). Определить /Су (0> 0)> если К (Z) = а (О X (0 + b (f)	. где а (/) и
b (t) — числовые (не случайные) функции.
32.27.	Дано
Г(0 = / Х(£)<К,
Существует ли отличная от нуля функция X (|), при которой Y (0 является стационарной случайной функцией?
32.28.	Является ли функция Z (Z) = X (Z) -ф- Y стационарной в широком смысле слова, если X (Z)— стационарная случайная функция, а К: а) случайная величина, не связанная с X(t)-, б) r=X(Z0)?
32.29.	Определить дисперсию ошибки Y (f) «невозмущае-мой» гироинерционной системы через час после ее включения, если Y (t) определяется уравнением

где v = 1.24 • 10-3 сек.-1 — частота М. Шулера, а X(0— ошибка акселерометра, которую можно считать стационарной нормальной функцией времени,
7=0,	/<д.(т)=о2е-“И1,
а =0,01 -^Ц-, а = 0,1 сек.-1, х	секг
32.30.	Угловые отклонения аир свободного гироскопа, используемого в качестве указателя вертикали на качающемся корабле, приближенно определяются системой уравнений
ZjP — На — — kx sgn [W (05,
Z2a+ Hp = k2 sgn [0 (/)],
где моменты инерции 0, /2, кинетический момент ротора Н и коэффициенты сухого трения kx и й2— постоянные, а угол крена корабля 0 (0 и угол дифферента W (0 можно считать стационарными нормальными функциями времени, корреляционные функции которых даны.
Определить D[a(0] и D 1Р(0]. если t велико.
Указание. Ввести новую функцию у(0 = —£=-а(0 + У q
-j—т=г р (0, q — —, р = —, и заменить sgn [Ф (0] и V Р	Ii	Л
sgn [0(0] интегралами, как в примере 32.2.
32.31.	Определить дисперсию функции Z(0, определяемой уравнением Z (0 + a2 [ 1 + У (0] Z (0 = X (t), Z (0) = О, где X (0 и У (I) — независимые стационарные нормальные функции, математические ожидания которых равны нулю, а корреляционные функции даны.
§ 33.	Задачи о выбросах
Основные формулы
Выбросом случайной функции X (0 за данный уровень а называется пересечение (снизу вверх) графиком этой функции горизонтальной прямой, отстоящей от оси t на расстоянии а.
Вероятность того, что выброс произойдет в бесконечно малом интервале времени dt, расположенном вблизи точки t, равна р (а 1t) dt', временная плотность вероятности р (а 11) выражается через дифференциальный закон распределения /(х, up) ординаты случайной функции X (/) и ее производной V (0 = X (/)> вычисленный для момента времени t'.
ОО
р (а 11) = J / (а, и р) v dv. о
Временная плотность вероятности пересечения случайной функцией уровня а сверху вниз
о
Pj (а р) = — § f(a, v р) V dv.
— ОО	»	'
Для нормальных -функций
(а-хр
—	1 Г 1	I
2л	У Kx(t,t)	cittot2 |/1=<2=/
Для нормальных стационарных функций
(а-х)*
p(a\t') = pl(a\t) = p(a') = -^e
Среднее число выбросов па стационарной случайной функции в единицу времени равно р (а).
Среднее число выбросов стационарной функции в течение промежутка времени Т равно Na = Tp (а).
Средняя длительность выброса ха стационарной случайной функции
J / (х) dx
Та== ’
где f (х) — плотность вероятности ординат случайной функции.
Для стационарного нормального процесса (д-х/
—	2о1 Г, а~
х„ = п — е х 1 — Ф -----------
° <ТО L \ О,
Аналогичные формулы для нестационарных процессов:
Т оо
7- оо.	/ §f(x\t)dxdt
Ka = f	xa = -/^--------—
00	j" vf (a, v ] t) dv di
о 6
К задаче о выбросах сводятся задачи определения сред* него числа максимумов случайной функции (выбросы производной за нулевой уровень) и некоторые другие задачи. При малом среднем числе выбросов в течение интервала времени Т вероятность Q непоявления ни одного выброса за этот промежуток времени может быть приближенно оценена по формуле Q — e~Na, т. е. число выбросов в данном интервале времени приближенно можно считать подчиняющимся закону Пуассона.
Формулы для среднего числа выбросов и среднего времени выброса обобщаются и на случайные функции нескольких переменных.
Решение типовых примеров
Пример 33.1. Определить, сколько раз в среднем в течение времени Т = 10 мин. угол крена корабля ©(/) на качке будет принимать нулевые значения, если 0 — 0,
tf0(T) = a<H>4lT|(cosO,7T-f-ysinO,7jT|j,
где т выражено в секундах, О (/) — нормальная случайная функция.
Решение. Среднее число выбросов за нулевой уровень
Так как
k (т) = — (0,724- О, I2) е-0’11 * । (cos 0,7т — у sin 0,7 | т |), то
р (0) = /бло = 0,1124 сек.-»,
а число выбросов за 10 мин. No — 600 • 0.1124 = 67,5. Искомое число равно 27VO—135.
Пример 33.2. Угол крена 0(7) и угол дифферента Т (/) — несвязанные нормальные случайные функции, корреляционные функции которых заданы формулами Kq (т) = 25е-0'07 |t '(cos 0,7т + 0,1 sin 0,7 | т |) град2, /Сф(т)= 12,5e"0,02|t|(cos/2T+ 10-2 /2 sin /2 | т |) град2, где т выражено в секундах, а математические ожидания 0 и ф равны 0.
.. Определить среднее время пребывания мачты корабля вне конуса, ось которого вертикальна, а угол, составленный образующей с осью конуса, равен 2°, если отклонение мачты от вертикали v можно определять по приближенной формуле V = УФ-Н-Т2.
Решение. Отличие от предыдущего примера заключается в том, что исследуемая случайная функция v(t) не является нормальной. Поэтому необходимо применить общую формулу
J / (v) rfv
7 = _2___________
оо	*
J" vf (a, v) dv о
где v (t) =	•
Для нахождения плотности вероятности f(y) необходимо проинтегрировать плотность вероятности системы нормальных случайных величин ®(f), W(0 по области v	УО2	ф2
что легко осуществляется, если от прямоуголь-ных координат 0, ф перейти к полярным v = У 02 + Ф2* q> = arctg-^.
Выполнив интегрирование, будем иметь 1 /— 1 \ 2 v 4 (	а? ) ,
/(v) = —е V ° ф/ 4 J W|>
ri/J_______L\ V2] =
.4 \ ае аф )
= —е-°№1 (O.Olv2), 12,5/2	04	’
где /0 (z) — функции Бесселя первого рода от мнимого аргумента. Для получения f (у, V) необходимо проинтегрировать плотность вероятности системы взаимно независимых случайных величин 0(f), 0(f), ^(0-	(0 п0 области изменения
ее аргументов, для которой выполняются условия
®<^-^-]/92 + Ф2<Сг'4~ v /02 Д- Ф2 v Д- dv.
Это интегрирование удобней выполнить, если от 0, 0, ф, ф перейти к переменным интегрирования v, v = v, <р, <р. Учитывая определитель Остроградского — Якоби преобразования.
получим 2л со
/(v, р)f f ехр/ —1 4яадвг,О1 J J	12
е ф ° Ф о -со	I
cos2 <р ае
sin2(P\ ,.2
„2	) V
°Ф /
(v cos <р — уф sin ф)2 , (у sin ф Уф cos ф)2 ~
| d<j) Йф.
1	2	I	2
,	«Л	О.
е	ф
В условиях задачи о2 = о? = 12,5 град^/сек1, поэтому Ф в
двойной интеграл упрощается и может быть вычислен:
Тогда уv/(2, гоЛ- = j4irgr-'CV,1(°,M).
Подстановка полученного результата и плотности вероятности f (v) в формулу для та дает
/л J"e-^vZo (0,01 v2) dv
 2	•
а
5е~0’12 /0 (0,04)
Так как в теории функций Бесселя доказывается, что
СО	со
f e-^lQ^vdv = Lf е~Ьх1й(сх) dx =	.
о	о
то интеграл, стоящий в числителе, можно представить в виде
оо	2
у* e-0,03v70(0,01v2)vdv = ~—У* e-o-o^’/otO.Olv^vdv.
2	'fl
В последнем интеграле значение’ аргумента у функции Бесселя при верхнем пределе весьма мало. Поэтому, пользуясь разложением функции Бесселя в ряд
if, 2J "Г •••’
получим
2
у’ e-0,03v« f! _|_ 22_L у4_|_ ... Jv	~ _L, (1 _ е-0,12).
о
т. е.
лг- I 25	1	\
- ./"(rg-w0'1131)	СА
Т“ 5,-0-12 (1+0,0004+ ...)	’ СеК‘
Пример 33.3. Определить среднее число максимумов нормальной случайной функции X (t), приходящееся на единицу времени, если
К- (т) = йС~а1 т । ^COS Р"Гj-SinP|T| j, х = const,
Решение. Случайная функция X(t) имеет максимум, если ее производная X (f) имеет выброс за нулевой уровень (сверху вниз), т. е.
re = j»i(a)
, а..
1 X
2л а.
X
Уа2 + р2 2л
Задачи
33.1.	Определить среднюю длительность выброса нормальной случайной функции X (t) за уровень а = 2 см, если х — — 8 см, а Кх (т) = ЮОе-0-11 х • (1 -|- 0,11 т |) см2, где т выражено в секундах.
33.2.	Среднее число выбросов нормальной стационарной случайной функции за уровень а — х в одну секунду равно 0,01. Определить дисперсию скорости изменения этой функции, если дисперсия самой функции равна 64 см2.
33.3.	Корреляционная функция угла крена корабля 0 определяется формулой
Хе (т) = be~a Iт I (cos (Зт-j- sin р | т | 'j.
Считая процесс качки нормальным, определить, сколько раз в среднем за 20 мин. хода корабля угол крена будет выходить за пределы ±25°, если 0 = 0, b = 100 град2, а = 0,1 сек.-1, 0 = 0,7 сек.-1.
33.4.	Ошибки на выходе динамической системы нормальны, имеют нулевое математическое ожидание и характеризуются корреляционной функцией
К (т) = ае~а 1 т| (1 а | т |), где а = 5 квадратным угловым минутам, а—1,5 сек.-3. Определить, на сколько секунд в среднем будет выключаться система, если выключение производится автоматически при получении ошибки, превосходящей по абсолютной величине 3'.
33.5.	Корреляционная функция нормального случайного процесса
/G (Л- *2> =	'»-'«< (1 + а | /2 - М ).
Определить значение времени t, начиная с которого среднее число выбросов за уровень а = х в единицу времени станет меньше заданного числа р0
33.6.	Для устранения вредного воздействия, оказываемого внешним случайным возмущением, характеризуемым нормальной случайной функцией X (t), необходимо затратить мощность W (f), пропорциональную X2 (t):
W (t)==kX2(f).
Определить, сколько раз в среднем в единицу времени мощности двигателя будет не хватать для устранения возмущения, если максимально возможная его мощность равна w0, х = 0,
К•. (т) — ae~al х 1 (cosPt-4- тг sinр |т, х	\	р	/
a k, w0, а, а, р — известные постоянные.
33.7.	На самолете установлен прибор (акселерометр), измеряющий ускорения, нормальные к оси фюзеляжа в плоскости крыла. Программа, заданная автопилоту самолета, — горизонтальный прямолинейный полет с постоянной скоростью. Вследствие ошибок управления угол Т (Z), составленный направлением вектора скорости самолета с неизменной вертикальной плоскостью, становится случайным. Определить, сколько раз в среднем в единицу времени чувствительный элемент акселерометра будет доходить до упора, если это имеет место в том случае, когда мгновенный радиус кривизны траектории самолета в горизонтальной плоскости становится равным минимально допустимому радиусу циркуляции Ro. Скорость самолета v можно считать постоянной, а
~ Q — ае~а111 (cos Рт-b j sin ₽ | т |) ,
где т = /2— tv
33.8.	Высота H(t) полета самолета, управляемого автопилотом, является случайной функцией, математическое ожидание которой h равно заданной высоте полета, а корреляционная функция
Kh (т) = ае~°-1х I ^cos рт + sin р | т | j .
Считая высоту Н (t) нормальной, определить, какую наименьшую высоту h можно установить в системе приборов автономного полета, чтобы за время полета Т вероятность аварии самолета вследствие столкновения с поверхностью Земли была меньше 6 = 0,01%, если а = 400 м1, а = = 0,01 сек.-1, р = 0,1 сек.-1, Т = 5 час.
33.9.	Радиолиния управления может обеспечить передачу команды без искажения в том случае, если помеха X (/)• поступающая на вход приемника, в течение передачи по абсолютной величине ни разу не превзойдет некоторого уровня а.
Определить вероятность Q передачи команды без искажения, если
х — 0, Кж-(т) = ^-°1*)(1-|-а|т|),
а время передачи команды Т.
33.10.	Определить закон распределения ординат нормальной случайной функции X (t) в точках ее максимумов, если
х = 0, Kx(t) = ae~a*.
33.11.	Дан нормальный случайный процесс X (f). Найти закон распределения ординат его минимумов, если
Кх (т) = о2е~а 1т|^1Н-а|т|-|-у a2t2j.
33.12.	Определить среднее число точек перегиба нормальной случайной функции X (t), приходящееся на время Т, если
Кх (т) = ае~°*.
33.13.	Определить среднее число максимумов п нормальной случайной функции двух переменных £ (х, у), приходящееся на единицу площади, если ее двумерная корреляционная функция является функцией двух переменных
ад л)=м {in*. y)-m(x+i. y-w-ln.
а двумерная спектральная плотность
ОО оо
©2) = f f	rOdldf]
— 00 —со
известна.
33.14.	В условиях предыдущей задачи определить среднее число точек и, приходящееся на единицу площади, в которых обе первые частные производные — и А(* у)	,
дт— меняют знак с «-j-» на «—».
§ 34. Спектральное разложение стационарных случайных функций
Основные формулы
Для всякой стационарной функции X(f) справедливо разложение
X(f) — x = f ela>t с/Ф(®), — ио
где в том случае, когда “	I
f |Я\(т)|</т<оо,	।
приращения а?Ф(со)	удовлетворяют соотношениям	1
М [йФ (®)] =0, М [йФ! (со) с/Ф (©j)] = Sx (®) 6 (со — а»!) da dav Здесь Sx (co) — спектральная плотность случайной функции X (t), 5(х) — обозначение дельта-функции (см. введение к § 11).
Корреляционная функция и спектральная плотность связаны взаимно обратными преобразованиями Фурье
30	оо
кх (Т) = f e^Sx(a) da. Sx(®) =	f ^Kx (t) dx.
—OO	—JO
являющимися следствием спектрального разложения X(Q < При т = 0 первая из приведенных формул дает	।
Кх (0) = D [А" (01 = J Sx (со) da. — иО
Спектральная плотность не может иметь отрицательный' ординат; для вещественных функций
Sx(a)=Sx (—со).
Случайные функции, обладающие конечной дисперсией, имеют спектральные плотности, обращающиеся на бесконечности , 1
в нуль быстрее, чем —
Спектральная плотность производной X (/) связана с Sx (о) формулой
S-(®) = ®25х(®).
Необходимым и достаточным условием дифференцируемости (один раз) случайной функции является условие
J* w25x (w) d® < оо, — со
для выполнения которого нужно, чтобы 5Х(®) при росте ® , 1
стремилась к нулю быстрее, чем
Если случайные функции стационарны и стационарно связаны, то между корреляционной функцией связи /?ху (г) и взаимной спектральной плотностью Sxy (®) имеют место соотношения
СО
Rxy W = J etarxSxy (®) ^®> — со
со
Sxy(®)=2£ f e-l^Rxy{x)dx.
—ОО
Из определений Rxy (г) и Sxy (®) следует, что
Rxy (т) — Ryx ( "О’ $ху (®) == $ух (®)-
Спектральная плотность произведения двух нормальных (вещественных) стационарных случайных функций X (t) и Y (t):
Z(t) = X(t)Y(t),
выражается через (®), Sy (®) и Sxy (®) по формуле ОО
Sz (®) =F J (®------®i) Sy (®1) d®j +
— со со
+ f Sxy (® — ®0 Syx (®j) d®! + x2Sy (w) + y2Sx (®). — co
В частном случае, когда
Y (t) —= X (0, Sy (®) = Sxy (®) = Sx (»), имеем Z (1!) = X2 (f)
И
оо
Sz (о) = 2 J Sx (® — ®j) Sx (®j) rf®! + 2x2Sx (®).
— OO
Тот же результат можно получить, если воспользоваться формулой, справедливой для любых двух нормальных (стационарных) функций:
/?ЛУ (т) = кх (Т) Ку (т) + Rxy (т) Ryx (т) + х*ку (т) + у*кх (т), а затем преобразовать Rxy (т) с помощью преобразования Фурье.
Решение типовых примеров
Для решения задач 34.1—34.10 необходимо непосредственное применение преобразования Фурье. При вычислении Корреляционной функции, когда спектральная плотность является отношением полиномов со, обычно наиболее просто результат может быть получен с помощью вычетов. При нахождении спектральной плотности по заданной корреляционной функции, когда в ее выражение входит модуль аргумента, бесконечную область интегрирования нужно разбить на области (— оо, 0) и (0, оо). В остальных задачах необходимо найти корреляционную функцию или спектральную плотность, пользуясь их определением, а в некоторых задачах и свойствами Нормальных величин.
Пример 34.1. Определить корреляционную функцию, если
Решение. Пользуясь преобразованием Фурье, имеем
K(r) = ^a] f etax
У = 1 —со
d(i)
со
прИ1>0 — оо	J
равняется интегралу от функ-
ции комплексного переменного со, взятому по контуру, со-
ставленному из вещественной оси, замкнутой полуокружностью бесконечного радиуса, расположенной в верхней полуплоскости. Поэтому его значение равно вычету относительно единственного полюса со = гХ, (считаем Re > 0), расположенного внутри контура, умноженному на 2лг, т. е.
Л -Х/Г „ т-e J • а Л] п /=1
Аналогичным образом при т < 0, замыкая вещественную ось через нижнюю полуплоскость, получим К (т) ==*
ai х т
с=л 7,е i , т. е. при любом знаке т ЛяА К] 7=1
V /_х _ -V Л1 -.“М 1 1
/=1 1
Пример 34.2. Определить спектральную плотность, если
К (т) = о2е-“ ।т I (1	а | т| a2T2j .
Решение. Обозначив
ОО
1 л
J(a, со) = -^ I	т 1 dr,
—со
замечаем, что
с, dJ . а2 d2J
S (</>) = J— a-з—к- -у-s-т
4 '	да 1 3 да2
Так как
/(«. »)=^
aa2
л (а2	а2) ’
то после дифференцирования по а и простых преобразований получим
5(<о) =
8о2а5
Зл (а2	а2)3 \
Пример 34.3. Определить спектральную плотность Z(t) = X (t) X (t).
если X (t) — нормальная случайная функция, а
Кх (т) = ае~а 1 т । [cos рт 4- -тг sin р | т | Y х = 0.
Решение. Так как Z(t) = у X2(t), то
СО
(©) —-i-®2Sxs(со) = и2 J'Sx(g>— co1)SJt(to1)dco1 =
,	_ 2да(а2 + Р2)	о2(<о2 + 20а2 + 4Р2)
— л [(и2 + 4а2-j-4Р2)2 — 16pW](<o24-4a2) ’
Задачи
34.1.	Дана спектральная плотность
S(®) =
а,
О,
если
если
Ъ < |®|.
Определить корреляционную функцию ЛГ(т).
84.2.	Дана спектральная плотность
S(®)==
О, если | со | < <оо. с2, если <о0 | со | 2®0, О, если 2со0 < | со |.
Определить корреляционную функцию К (т).
34.3.	Определить спектральную плотность S (со), если К (г) = ае~а И । (1 -j- а | т |).
34.4.	Определить спектральную плотность 5 (о), если f a2(i —HI) при |т|<1, 0 при |т|>1.
34.5.	Определить спектральную плотность S (®), если X (т) = a ।х 1 cos рт.
34.6.	Определить спектральную плотность 5 (<о), если
(т) = о2е~“1 х 1 (cos рт + sin р [ г [ j.
34.7.	Определить спектральную плотность S (®), если 
К (т) = о2е~а ।т 1 (1 -ф- а | т | — 2а2т2 -f- ~ а31 т |3).
34.8.	Определить спектральную плотность S (®), если
#(т) — ае~а h 1 (cos рг — ~ sinр | т | j .
34.9.	По виду спектральной плотности случайной функции X (0 определить, сколько производных имеет эта функция, если
Кх (т) == о^е-» 1х 1 (1 + а | т | Ц-1 а2т2).
34.10.	Определить спектральную плотность S(e>), если
К (т) — а}е “У1 т *, Re > О.1 /=1
34.11.	Определить, для каких значений отношения 'спектральная плотность
а
7
с /,.,Ч __ аа2 <а2 + а2 + ₽2
° W — я (щ2 а2 _|_ р2)2 _ 4(32Ш2
имеет максимум при ® = 0.
34.12.	Определить дисперсию производной случайной Функции X(0, если
SX (®) = (Ш2 _|_а2)2 •
34.13.	Определить взаимные спектральные плотности
•S-(о>) и (®), если
Кх(х) = ае-а2хг.
34.14.	Команда Д(0, поступающая на органы управления автоматически управляемого объекта, определяется по формуле
Д(0 = ^У(0-|-й217 (0.
Найти 5д (со), если
Ки (т) = ае~а ।т । (14- а | т [).
34.15.	Динамическая система (упредитель) используется для получения значения входной случайной функции X (f) в момент времени £—J—т0, где т0 — время упреждения. Определить взаимную спектральную плотность между X (/) и У(/) = А'(^-|-т0), если Кх(х) дана.
34.16.	На вход динамической системы поступает случайная функция X (О, являющаяся суммой полезного сигнала U (t) и помехи V (t):
X (0 = У (0 + ^(0-
Задачей динамической системы является воспроизведение функции
W4-t0).
dt"
Определить взаимную спектральную плотность Sxy(co), если (а), Su(a) и 5ио(со) заданы.
34.17.	Определить спектральную плотность 5г(®), если Z (t) = X (О Y (0. а X (t) и К (О — независимые случайные функции, корреляционные функции которых заданы:
Кх(х) — a1e-a>l'O (cos +-|j-sin₽i |т| j, К’у(т)==а2в-<*!|Т| (cos₽2T-4^-sin₽2'|T|) •
34.18.	Определить спектральную плотность S2(<a). если Z (0 = X(f)Y(t),
где X (I) и Y (t) — независимые случайные функции, Хх(т) = = a^-ail И, Ху (т) = а2е~а^ т1, а х и у даны.
34.19.	«Карданова ошибка» Д (/), возникающая при использовании карданова подвеса в некоторых стабилизационных корабельных устройствах, связана с углами крена 0(0 и дифферента Д’ (0 корабля соотношением
Считая 0(Z) и Д (О независимыми случайными функциями, определить корреляционную функцию, дисперсию и
спектральную плотность ошибки Д(0, если 0 =-ф = О,
Кв (т) = аге~а'1 т । (cos Р/с + -g- sin ft |т|),
К* (т) = аге~^1 х 1 (cos р2т + -g- sin р21т|).
34.20.	Определить спектральную плотность Sy(®), если у (0 = X2 (0» где X (0 — нормальная стационарная случайная функция, а
Кх (т) = ае~а Iх l(cos рт + — sin р|т| j.
34.21.	Определить спектральную плотность 5у(ш), если
У(0 = №(0.
где X (f)— нормальная случайная функция, х известно, а
34.22.	Определить спектральную плотность	если
где X (t)— нормальная случайная функция,
 о?
__		Sx((£i) = ae 2а?,
а х дано.
34.23.	Поправка Д(0 на качку корабля, поступающая в угол горизонтального наведения навигационной радиолокационной станции, определяется формулой
А (0 = — Ф (0 -j- T (t) 0 (f) cos2 q — -£ [О2 (0 — V2 (01 sin 2q.
Определить Дд(ю), если q можно считать постоянным, а угол рыскания Ф(0, угол дифферента Чг (0 и угол крена 0(0 — несвязанные нормальные случайные функции, корреляционные функции которых заданы:
/<ф(т) = aje-nil т I (cos Руг -j-"I1- sin Pj|x| j,
CO = a2e_a»l1'l (cosp2T -]—sin p2lx|),
\	P2	/
/Се(т) = а3е“а»И1 fcos р3т Ч-тг- sin р3|т|к q> = 0 = i|? = 0,
- \	Pa	/
выми скоростями Uj и Ц (рис. 34).
Рис. 34.
•34.24. Нормальная случайная функция X (f) имеет корреляционную функцию КХ(У) =Охе-“|т| й математическое ожидание х. Найти максимум спектральной плотности Sv(<o), если Y (t) = X2 (t).
34.25. Два одинаковых диска, оси вращения которых совпадают, вращаются с различными (несоизмеримыми) угло-~	"	В дисках проделаны от-
верстия, ограниченные радиусами с центральным углом у и окружностями 1 .
С'радиусами г — А и г+уА. Центры отверстий выбраны на окружности в соответствии с равномерным законом распределения.
С одной стороны дисков расположен точечный источник света L, с	другой — фотоэлемент	F,	перед которым расположена
диафрагма D; просвет в диафрагме имеет форму сектора с	углом	Г	при	вершине,	ограниченного окружностями
радиусов, г—~Д и г-]-у А- Сила фототока J пропорциональна сумме площадей просветов всех отверстий, попадающих в просвет диафрагмы. Определить спектральную плотность силы тока Sj(a), если число отверстий в обоих дисках одинаково и равно п, а для любого отверстия 1-го диска независимо от положения других отверстий можно считать равновероятным, что оно окажется против отверстия 2-го диска на любом угловом расстоянии от оптической оси системы источник света — фотоэлемент1). (Случаями, когда размер просвета уменьшается диафрагмой, пренебречь.)
*) Прибор такого, типа предложен В.' С. Гительсоном.
§ 35. Вычисление вероятностных характеристик случайных функций на выходе динамических систем
Основные формулы
Для любого линейного дифференциального уравнения
+«Л(ОК(Г)==Х(О
общее решение может быть представлено в виде
где у7(0 — система независимых частных интегралов однородного уравнения; Су— постоянные, определяемые начальными условиями и являющиеся, вообще говоря, случайными величинами; (t) — частный интеграл неоднородного уравнения, удовлетворяющий нулевым начальным условиям и определяемый равенством
t
-Yt(t)=Jp(t, tJXVJdit, .	о
где p(t, — весовая функция системы (импульсная переходная функция), определяемая частными интегралами у/(О по формуле
p(t, Л) =	У1(Л)	••• у; (Л) ...	Уп (О У?'1)		у[ (Л)	• •-у«(О ...у;co •
	У?-2’(А) •••	y'r2w		y?-2W	... y(„n-2>(G)
	Уг ОТ	у«(о		у(1"-1)(Л)	... у'Г^О
В том случае, когда коэффициенты уравнения постоянные, весовая функция зависит только от разности аргументов
Если система устойчива, — const, а X(/) стационарна, то при достаточно большом t (сравнительно с временем переходного процесса) функцию Y (f) можно считать такт
стационарной. В этом случав
1 ТГ у ~— х> * а-п
с _____________________Sx(<o)______________
у - | (to)" + a, (to)"- ‘	. + ап |* '
а Ку (т) может быть найдена путем обращения Sy (<в) по Фурье.
В том случае, когда X (t) связана со стационарной случайной функцией Z(t) формулой
. dm Z (t) . , dm~l Z (t) .	. . 7ZA
X = b0 —dt^--------Ь   dtm~i----1" * ’ • + bmZ
имеем
• z„4_	+ ••• +M2
yW— । (to)« + a, (to)"-14- ... +a„|2
S2(<o),
причем последняя формула остается справедливой и в том случае, если Z (t) не имеет производной т-го порядка, но выражение для <$у(й) при росте ® убывает быстрее, чем —.
Если время t, прошедшее после начала работы системы, невелико, функция X (t) нестационарна или коэффициенты уравнения зависят от времени, то для нахождения вероятностных характеристик решения уравнения необходимо воспользоваться общими формулами для линейных операторов, применяя которые, находим (считаем для простоты постоянные Cj не связанными с X (/)):
п	*
 У(0 = 2^7(0 9 + f p(t, t^x^dty
Ml- ^2) —
У* (Л) Уг &) k)t + f fp* (ty D P (<2. n) Kx a, П) dn 0 0
где IlfyJI — корреляционная матрица системы случайных величин Cj.
Для уравнения с постоянными коэффициентами в последних формулах вместо p{tv Z2) нужно подставить p{t2 — ^i)*
Если X (/) — стационарная функция, то t	оо
У} (/) = j" р (f- ^)xdft+ J у(®. /)с/Ф(ю), О	—со
где у (и, 0 — взятый при нулевых начальных условиях частный интеграл уравнения, в котором X (t) заменена на е1<л‘.
В этом случае
(ty — J У* (®. ti) У («>. <2)	(«>) da-
— СО
Аналогичная формула имеет место и тогда, когда X (0 нестационарна, но может быть получена путем умножения стационарной функции на заданную (не случайную) функцию времени, например:
X(f) = b(f)Xt(f)_,
где Xx(f) стационарна. В этом случае под у (и, f) нужно понимать частный интеграл уравнения, в котором правая часть заменена на b (f) eia>t, т. е. по-прежнему стационарная функция заменена на eia>t.
Если задана система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, соответствующая устойчивой динамической системе,
с/К/ (0	чгД
-r^24ai‘Yi^-XJ^	' = 1- 2 *.п'
i=i
где ал — постоянные, Xj(f) — стационарные случайные функции, а время t достаточно велико, то ее решения являются стационарными случайными функциями, спектральные плотности и взаимные спектральные плотности которых могут быть выражены через спектральные плотности и взаимные спектральные плотности правых частей уравнений:
$У] (®)
(®) —
п ^lj^mj^x,x (®) т=\	‘
I A (®) |2 п
2 (со) Alnk (со) S (со)
т = 1________________4
|Д(®)|2
Здесь Д(®) — определитель, составленный из коэффициентов левых частей уравнений:
		а12	. . .
A (®) =	а21	й^22	« • • ^2п
		
	««1	ап2
Лг;(<о)— алгебраическое дополнение элемента этого определителя, стоящего на пересечении /-Й строки и j-го столбца,
Закон распределения решения линейного уравнения (системы линейных уравнений), в правую часть которого входят нормальные случайные функции и нормальные случайные величины, также нормален. Если уравнение линейное, но закон распределения случайных функций, входящих в правую часть равенства, не нормален, то закон распределения решения также не будет нормальным. Математическое ожидание у и центральные моменты р;- этого закона распределения для любого t определяются формулами f
У = f P(i> tx) х (ti) dty (J t t
= f f P(t, tx) p (t, f2) Kx (/p f2) dtx dtv 0 0 t t t
Из = J J f Ptt’ P P (*• Kx <?!• f2’ f3) dt\ dt2 dh> 0 0 0
где X (f) — случайная функция, стоящая в правой части уравнения, а
кх (tv ft..... tj) = М { п [К (ti) - х (ti)] |.
Решение типовых примеров
Пример 35.1. Ошибка е(0 измерения ускорения самолета акселерометром определяется уравнением
ё (0 4- 2Ае (0 + я2е (t) = gn?y (/).
где у (0 — случайная функция, характеризующая случайные возмущения, испытываемые чувствительным элементом акселерометра, a SY (и) = с2 « const.
Найти дисперсию скорости самолета, определяемой путем интегрирования показаний акселерометра в течение времени Т, если при интегрировании не возникает добавочных ошибок, а время переходного процесса много меньше Т.
Решение. Согласно условию ошибку е(/) можно считать стационарной случайной функцией времени, поэтому
Q ЛА —	£2П4С2	__ £2П’С2
—	И2)4_2/Лю|2 “ (<в2 —и2)24-4/А)2 ’
t
Ошибка скорости bv =	уже не будет стацио-
о
нарной, и ее дисперсия определится формулой D16® (01 == т т
= J* J*Ks(t2 — 0) dt1 df2. Переходя к новым переменным о о
интегрирования т = /2— tv £ —и вычисляя интеграл по |, получим
Г	оо
D [6® (/)] = 2 f (Т — r)Ks (т) dt^2Tf Ks (т) dr = о	о
= 2л7\$е (0) = 2л^с2Т.
Подобным же образом решаются все задачи, в которых искомая случайная функция является стационарным решением линейного уравнения с постоянными коэффициентами или результатом применения линейного оператора к стационарному решению.
Пример 35.2. Определить для момента времени t дисперсию частного интеграла Yj(t) уравнения ~~raY(t) =» = tX (f), удовлетворяющего нулевым начальным условиям, если
Решение. В данном случае ¥ (t) не обладает свойством стационарности, поскольку в правой части уравнения стоит нестационарная функция времени.
Имеем
Yl{t)=je-^-^Z^dti,
о где
Z(t) = tX(t).
Так как
Кх (т) = f eia*Sx (®)	= о2е~а I *I,
— ОО
ТО
а
D [У; (01 = Kyt (t, t) = f Q e-w-h-h) dt. dt2, 0 0
что после выполнения интегрирования дает
П Г у (Al — 2о2 I_-________Ц2а-|-а)__|__2д -|-а___.
zo-4 2«(а + а) 2д2 (д + а)2	4д3 (д 4-а)2 '
 <(Д —а) —1 „(Л+в)г । 4д3~(2д + а) (а — а)2 __2а<I
'	(д2— а2)2	'	4д3 (д2— а2)	J
Пример 35.3. Найти спектральные плотности и взаимную спектральную плотность стационарных решений системы уравнений
2	+ 4У (0 + Z (t) = X. (t),
^£p.+9Z(0 = zV2(0,
если
о	о2 с	2о2
•*’1 л (<о2 4~ 1) ’ Х2 л (®2 4* 4) ’ SXiXi (®) = (й)2 _ + Zw .
Решение. Заменяя в левых частях уравнений операцию дифференцирования на ia, для определителя системы алгебраических уравнений получим
А(®) =
— а2 -ф- 2/oj 4 О
= [(4- со2) 4- 2/а] (/(»+ 9).
1
9
Алгебраические дополнения элементов этого определителя: i4ji — до —j— 9, A12 -— 0»	^21 —’ — 1 *
Л22 = — ®2) + 2/(1).
Следовательно, по общей формуле получим:
<$у (м) ~
___| -4ц |2^х,(ю)~Ь |-^21|2^хг(ю)~Ь	^21^11	(®)__ —	|Д (®) Is
1	J а?(«2Ч-81) ,
— (®24-81)[(®2 —4)2-ф4(о2] ( л(ш2+1)
2о| 2а [и2 — 9 (ю2 — 2)2] 1
л (to2 4- 4)	(<о2 — 2)4 ф- ®2 J *
5уг(о) =
___-411-412^, (®) 4*	^21^22^х, (®)____
~	|Д((о)|2	. —
1	| a (ia — 9)	,	2о|	|
= К®2 —4) 4-2/<о] (ю24-81) ( (ю2 —2)24-/ю + л(®24-4) J ’
SX2 (to)	2oj
5г Н — I jw + 9 |2 = я (Ю2 + 4) (Ю2	81) •
Задачи
35.1.	На вход динамической системы первого порядка, описываемой уравнением
+	=	а>0,
поступает случайная функция X (/), спектральная плотность; которой в полосе частот (coj sC^o’ гДе	может быть
принята постоянной:
S v (w) « с2.
Определить корреляционную функцию У (/) при
35.2.	Динамическая система описывается уравнением dY{t) ,	к dX(t) . , v ...
«о+	W = b° ~1F ~^b'X (Z)>
где x = const дано, /< (r) = O;e-alTi, — >0.
* x	a0
Определить математическое ожидание и дисперсию стационарного решения этого уравнения.
35.3.	Отклонения U (t) кренометра, расположенного в плоскости мидель-шпангоута корабля, определяются уравнением
+	=	(ге > Л > 0),
где F (/) = [г)е (t) — с 0(7)]. угол, крена 0(0 и скорость бокового смещения центра тяжести корабля т)с(0 вследствие орбитального движения можно считать несвязанными случайными функциями,
/<4, (т) = аге~аЛх I (cos Pfr -|- sin ft | т|), с	X	Р1
/<в(т) = a2e~a^lxl (cosp2r sin р21т1)>
а все постоянные; входящие’ в формулы, известны- Определить $„(»).
35.4.	Астатический гироскоп с пропорциональной коррекцией расположен на корабле в плоскости мидель-шпангоута. Определить дисперсию отклонения его оси а от направления, даваемого физическим маятником, если угол а определяется уравнением
а (0 4- еа (0 = е(7 (f) (е > 0);
время, прошедшее после включения гироскопа, достаточно велико, чтобы а(/) считать стационарным, а для определения спектральной плотности •$„(<») воспользоваться результатом решения задачи 35.3, приняв
1/2
а1=1,24-^г; а1 = 0,1 сек.-1; р1 = Г,20 сек."1;:.
a2 = 3,8- 10~2 рад2; а2 = 0,04 сек.'1; р2= 0,42 сек.'Ч
Л = 0,6 сек.-1; п = 6,28 сек."1; с=10л<;
е = 0,ОГ сек."1!
35.5.	Определить спектральную плотность и корреляционную функцию стационарного решения уравнения
+	=	(£>Л>0),
ut*	и Г
сесли можно считать, что X (f) обладает свойствами «^белого шума», т. е. (со) — с2 * 4 * * ~ const.
35.6.	Угловое отклонение рамки гальванометра ©(/) от положения равновесия при разомкнутой цепи определяется уравнением
, д0й1=А1(/)	4/D>r2,
dt2 1 dt 1	' '	'	г
где / — момент инерции рамки; т — коэффициент трения; D — коэффициент жесткости нити, на которой подвешена рамка; М (t) — возмущающий момент, вызываемый .случайными ударами молекул окружающей среды.
Определить спектральную плотность и корреляционную функцию угла 0(7), если спектральную плотность М (t) можно считать постоянной, а согласно результатам статистической физики o2D — kT, где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура среды.
35.7.	Случайная стационарная функция Y(/) связана со случайной функцией X (/) уравнением
6 +11 67 ®=5Х 7
Определить спектральную плотность 5у((о) для стацио-
4 парного решения уравнения, ;если Sv(<o) =
35.8. Может ли уравнение
Y (О -2Y (/)+ ЗУ (/) = Х(0.
содержащее в правой части равенства стационарную функцию X (7), иметь стационарное решение?
35.9. Определить дисперсию ординаты центра тяжести корабля tc(f) на волнении, если
где ордината волнового профиля X (f) имеет корреляционную функцию
Хх(х) =	^cos ₽т +j sin₽|T|);
h и coo— постоянные, определяемые параметрами корабля; а — параметр, характеризующий нерегулярность волнения; 0 — преобладающая частота волнения; w0 h > 0.
35.10.	Ошибка акселерометра, измеряющего горизонтальное ускорение самолета, определяется уравнением
е (0 4* 2йё (0 4* п?г (t) = gn2\ (f),
где h = 0,6 сек.-1, п — 6,28 сек.-1, g = 9,81 м/сек2', угол крена у (f) — стационарная нормальная случайная функция, корреляционная функция которой дана:
Д\(т) = 3. 10"V0,e|tl(cos5T4-0,12sin5|T|).
Определить дисперсию e(f) при установившемся режиме работы акселерометра.
35.11.	Доказать, что если на вход линейной устойчивой динамической системы, описываемой уравнениями с постоянными коэффициентами, поступает случайная функция X (£), обладающая свойствами «белого шума» (Sx (®) = с2), то при достаточно большом времени после включения системы корреляционная функция выходного сигнала Y (/) определяется равенством
Ху (т) = 2лс2 J p(t) p(t — т) dt, о
где р (/) — весовая функция системы.
35.12.	Найти дисперсию угла крена корабля 0(f)- определяемого уравнением
0(O4-2A0(f)4-A20(O==A2/7(O (Л > А > 0),
если угол волнового склона F (t) имеет нулевое математическое ожидание,
/СДт) = т 1 ^cos [5т 4~у sin р|т| У
а процесс качки можно считать установившимся.
35.13.	Стационарная случайная функция К (О связана со стационарной функцией X (f), спектральная плотность которой известна, уравнением
Y (0 + 2h¥ (04- k2Y (0 = k?X (f),
где k h > 0.
Определить взаимную спектральную плотность Syx (со) и корреляционную функцию связи Рух{¥).
35.14.	Дано:
Ё(04-8Г(0+7Г(0 = ^(0.
К^(т) = 4е-“’Л
Определить корреляционную функцию Y (t) для моментов времени, превосходящих время переходного процесса.
35.15.	На вход динамической системы с весовой функцией р (0 поступает стационарная случайная функция X (t) с нулевым математическим ожиданием. Определить дисперсию отклонения выходного сигнала Y (t) от некоторой стационарной функции Z (/), если Кх (т) и Rxz (т) известны, 2 = 0, а переходный процесс системы можно считать окончившимся.
35.16.	Воспользовавшить спектральным разложением стационарной случайной функции X (/), определить для момента времени	дисперсию интеграла уравнения
Y(t)-\-aY(f) = tX(f)
при нулевых начальных условиях, если
„2
О у, Ct
S ((0) = -£
х ' ' Л й>2 4- «2
35.17.	Вследствие случайного дебаланса гиромотора, установленного на платформе, имеющей случайное вертикальное ускорение W (t), гироскоп направления совершает прецессию с угловой скоростью а (0 = р 4- ~ (О] •
Определить математическое ожидание и дисперсию азимутального ухода а (/) в момент времени I, если М [£] = О, D[L] = (j2, Kw(x) и -w заданы, Р, Н, g — известные постоянные, а между L и W (f) нет связи.
35.18.	Определить корреляционную функцию частного интеграла Yj(t) уравнения
Y (t) 4- 2Л Y (0 + k2Y (t) = e~atX (f)
при нулевых начальных условиях, если
„2 о 4» а
»>*><»
35.19.	Случайная функция Y (0 связана со случайной функцией X(0 уравнением
Y(t) — tY (0 = ^(0.
Определить Ky{tv 0), если Кх(х) = ае~а\х\, а при t~ О у (0 = 0.
35.20.	Определить математическое ожидание и корреляционную функцию частного интеграла уравнения
Y(t) — a2tY(t) = bX(t)
при нулевых начальных условиях, если х (0 — t,
Kx{r) — d2xe~atxt,
35.21.	Определить математическое ожидание, и корреляционную функцию решения дифференциального уравнения
Г(04-1к(0=Х(0,
если при	F(0 = yo, где у0 — неслучайная величина,
х(0 = 1;
0) = 00е-«1'«-Ч
35.22.	Написать общее выражение для математического ожидания и корреляционной функции решения Y (0 дифференциального уравнения n-го порядка, весовая функция которого р (0, 0), если в правой части уравнения стоит случайная функция X (0; х (0 и Kx(t\, 0) известны, начальные значения К (0 и первых п—1 ее производных — случайные геличины, не связанные с ординатами случайной функции X (0, с известными математическими ожиданиями ej и корреляционной матрицей (', /== 1, 2, ..., и).
35.23.	Дана система
Yx (£) + ЗГ1 (/) - У2 (f) = X (/),	Г2 (/) 4- 2Г, (0 = О.
Определить дисперсию Y2(f) для / = 0,5 сек., если прИ t — Q Yi(t) и Y2(t) являются случайными величинами, не связанными с X (/); _D{Ki (0)] = 1, D [ У2 (0)] = 2. М [I Yi (0) - Л (0)1 [ Y2 (0) - у2 (0)]} = - 1,
2
5 , (®)=—, гг2- сек.
'	л(м2-(- I)2
35.24.	Определить дисперсии решений системы уравнений в момент времени £:
Yt (0 4- ЗЛ (О -У2 (0 = ^(0. 1
г2(04-2П(0=о.	|
если начальные условия нулевые, а 5х(®) = Л (И2+1) •
35.25.	Определить дисперсии решений системы уравнений при £==0,5 сек.:
^(ОН-ЗГ^О —^2(О=^(0. I
Г2(0 + 2Г1(0 = 0,	J
2
если Sx (со) =  ^ — —— , а начальные условия нулевые.
35.26. На вход автоматического фрикциона, используе-
мого в качестве дифференцирующе-сглаживающего устройства, поступает случайная функция X (£). Определить дисперсию сглаженной функции Z (£) и дисперсию сглаженной скорости ее изменения Y (£), если работа фрикциона описывается системой уравнений
6Г(£) 4-Г (£) = «*(£). 1
5Z(04-Z(0 = X(0, )
где а и Ь — постоянные масштабные коэффициенты, ^л (т)^ ==ove “ItI, а переходный процесс закончился. ;
35.27;	Определить для t == 1 закон распределения решения уравнения
У(04-ЗУ(04-2У(0 = Х(0,
если при t — G У(0 = Уо, Y(t) = YQ, a Yo. Yo и X (t) нормальны и взаимно не коррелированы,
М[Уо] = М[Уо1 = х = О, О[У0] = 1.5. О[Г0] = 0,2, ЛГл(т) = 2е-|т|.
35.28.	Отклонение U (f) от вертикали плоского физического маятника, плоскость качания которого совпадает с диаметральной плоскостью корабля, определяется уравнениями
{7(0 4- 2hU (f) -f- Y (t) U(t) = X (0,
X (0 = - J- It (0 4- nc(0 Ф (0 -
- Рл [Ф2 (0 + ^2 (0 + w (Z) Ф (0] 4-
4- Рг (0 + Ф(0 © (0 4- 2Ф(0 ё (/)]}.
Y (0 = и2 [1 —	,
L	g J
где все коэффициенты постоянны, а угол рыскания Ф(0, угол дифферента Т (0, угол крена 0 (0 и скорости координат центра тяжести корабля |е(0, т]с (0, £е(0 — нормальные стационарные, не связанные между собой случайные функции.
, Выразить спектральные плотности (®), <Sy (со) и Sxv (<о), необходимые для нахождения вероятностных характеристик U (0 на моделирующем устройстве, через спектральные плотности 5ф(®). $ф(ш), S0(©), S^(co), 5^(®). S^(co).
35.29.	Для момента времени t найти асимметрию Sk и эксцесс Ех частного интеграла уравнения
К(0 + ^К(0 = ^2(0,
удовлетворяющего нулевым начальным условиям, если X (t) — нормальная стационарная функция, х = 0, Кх(т) = ae~ai т|»
35.30.	Определить корреляционную функцию связи /?уг(т) стационарных решений уравнений:
+ 2/0	+ k\Y (f) =±klX (f),
+ 2/0	+ klZ (0 = klX (0.
где случайная функция X (f) обладает свойством белого шума (5Ж(®)« с2). К > hx > 0,	> h2 > 0.
§ 36. Оптимальные динамические системы
Основные ф о р м у’л ы
Будем понимать ’) под оптимальной динамической системой систему, которая по входной функции X (f) — U (f) -|- V (t), где (0 — «полезный сигнал», а V (0— «помеха», получает на выходе функцию Y (0, математическое ожидание которой равно математическому ожиданию некоторой функции Z (t), а
D [е(01 = D [Г (О — Z(0] = min.
Функция Z (t) связана с полезным сигналом U (0 соотношением
t
Z (0 = N(7 (0 = f п (t. ti) U (0) dtv
о
где N — символ известного оператора, a n(t, 0)— его весовая функция.
Под нахождением оптимальной системы понимается определение по вероятностным свойствам случайных функций U (0 и V (0 и виду оператора N вида оператора L или соответствующей ему весовой функции l(t, 0), с помощью
‘) Возможны и другие определения понятия оптимальной динамическом системы. Например, под оптимальной системой можно понимать систему, у которой вероятность того, что разность Y(t)—Z (0 по абсолютному значению ие превысит данной величины, достигает максимума. Термин «динамическая система» понимается здесь в техническом смысле слова, т. е. под динамической системой понимается всякая система, состояние которой (характеризуемое функцией, получаемой на «выходе» системы) изменяется под влиянием внешних возмущений (случайных функций, поступающих на «вход» системы).
которых функция X(f) может быть преобразована в функцию У(£):
t
Yff) = LX(t)*=jl(t.
о
Задача определения оптимальной динамической системы решается просто, если: а) случайные функции U (t) и V (/) стационарны и стационарно связаны, а операторы N и L линейны и не зависят от времени;
б)	спектральная плотность	(®) = Sa (®)-|-(®)-4-
+ Suv (®) 4- Suv (<£>) является дробно-рациональной функцией своего аргумента, т. е. может быть представлена в виде
5	— а2.1	(«О I2,
где полиномы Рт(о) и Q„(®) имеют корни, расположенные только в верхней полуплоскости комплексного переменного, т. е. могут быть представлены в виде
В	v
Л»(®)=П(«—в/Га <?П(®)=П(®—^)Л/* /=1	i=i
где комплексные числа g; и v( имеют положительные мнимые части, т;- и nt — кратности соответствующих корней, и	V
j=i 1 i=i
в)	при определении ординат функции F (?) могут быть использованы значения ординат функции X (t) за неограниченно большой промежуток времени, предшествующий текущему моменту времени t.
В этом случае передаточная функция Д(/<в) оптимальной динамической системы, связанная с ее весовой функцией соотношениями
ОО
I* eimL (I®) d®, tJ
—OO
co
L (/®) = jf* e~ lar4 (r) dx*
определяется следующим образом (считаем u~u = 0).
Если система работает без запаздывания (т. е. Z (/) является результатом применения некоторого оператора к текущим или будущим значениям ординат функции U (О )„ то

где
i Л-8
i
Pm (®)
ckr ~~~ 777 . i.-k (1Т — k)\ dar
Xr (r=l, 2, .... a) — полюс кратности lf выражения
—j1—лежащий в верхней полуплоскости.
Если оптимальная динамическая система должна работать с запаздыванием (т. е. функция Z(t) является результатом применения некоторого оператора к ординатам функции U (Z) в момент времени, на т0 секунд предшествующий текущему моменту времени /), то
£ (1(а\ __
где
а2 Рт(®)	' ’
а I,
скг
г=1»=1
,	'	l',-k
1	d г
(lr—k)l l'-k '	d® r
«г (r= 1. 2......a') —
Ckr
(ffl —	’
J
»
— полюс кратности 1Г выражения Q>) ~	'
лежащий в нижней полуплоскости.
Дисперсия D 1е (/)] для оптимальной динамической системы
Dle(01 = D[Z(01- DJK (01,
Если динамическая система использует ординаты случайной функции за конечный интервал времени (t — Т, t), предшествующий текущему моменту времени t («система с конечной памятью»), а полезный сигнал является суммой полинома Rk(f) заданной степени k (коэффициенты полинома — любые постоянные величины) и стационарной случайной функции U (t), т. е. функция X (t), поступающая на вход системы, равна сумме
X(O = /?H0+^(O + V(O, то при тех же предположениях о виде спектральной плотности <S^(®) весовая функция Z(x) оптимальной динамической системы определяется формулами:
/г	2m
Z(Z) = ^O/ + VC/¥ + ;=0	r=l
“	n-m
+ ./	л»6<г"п(0 +
— оо m	Z=1
1=1
Здесь ar — корни уравнения | Pm (la) |2 = О, N (Z®) — передаточная функция оператора N, а постоянные, входящие в правую часть равенства, определяются путем подстановки выражения Z(r) в уравнение
Г+	й
f Z (т) Кх (Z — т) dx — Rxz(t) = S о-	>=o
(0<Z<7’),
которому удовлетворяет весовая функция Z(t) оптимальной динамической системы, и уравнивания коэффициентов как у одинаковых степеней Z, так и у одинаковых показательных функций. К получаемым таким образом 2п -|- k -f- 1 уравнениям необходимо добавить еще k -f-1 уравнений, дающих равенство моментов функции Z(t) и весовой функ
ции п(т), соответствующей заданному оператору N, т. е. уравнения
J l(x)x} dx — y.j (/==0, 1, 2, ...» k),
0-
где
со
1*у= J п{х)х} dx.
— СО
Получающаяся таким образом система уравнений полностью определяет все постоянные, входящие в выражение для /(т). Передаточная функция L(to) может быть получена из 1(х) путем преобразования Фурье
со
£(/<в)= J e~ie>4(x)dx, — ОО
а дисперсия ошибки е (t) Для оптимальной системы в данном случае
Л
D [e(01 = D 12(01-/?уг(0)+21W
7=о
Аналогичным образом решается задача определения весовой функции оптимальной динамической системы в том случае, если неслучайная часть полезного сигнала содержит линейную комбинацию (с постоянными, но неизвестными параметрами) тригонометрических или показательных функций времени. Отличие будет заключаться только в том, что в выражении ~ для Z (т) появится аналогичная линейная комбинация, коэффициенты которой могут быть определены путем подстановки в исходное интегральное уравнение.
В ряде задач отказываются от создания оптимальных динамических систем вследствие трудностей, связанных с их практической реализацией, и идут на создание систем, не являющихся оптимальными в строгом смысле этого слова, но дающих наименьшую дисперсию D [е (/)] среди систем, реализация которых в данном случае не представляет особых затруднений. Например, при определении значения функ
ции U (t) в момент времени t-\-x в качестве функции F(?) можно принять
у (0 = ^(0+®^ (О
и определить аг и с2 так, чтобы при у (t) = z (t)
D [К (0 — Z (/)] = min.
При такой постановке задачи определение вида оператора L (значений постоянных, входящих в выражение для этого оператора) сводится к определению экстремума функции нескольких переменных.
Решение типовых примеров
Пример 36.1. Динамическая система проектируется для лаилучшего приближения к случайной функции Z (i) = 2= N£7(Z-j- т0). Определить взаимную спектральную плотность Sxz(a), если X (t) = U (/)+ V (t), а передаточная функция N (ito) оператора N, время упреждения т0, спектральные плотности 5и(ю), 5а(и) и взаимная спектральная плотность 5иг,(и) известны.
Решение- Подставив U -f- V вместо X (t) в выражение
Rxz (*) == М {[ -V* (0 - X*] [Z (t + т) -1]), заменив U (t) и V (I) их спектральными разложениями и учитывая, что Z(f)= J n {x)U(f—x)dx, после простых пре-
— ОО образований получим
Sxz («) = [Sa (и) +	(®)] N (/«) е toTo.
Аналогичным образом решаются задачи 36.1 и 36.2, являющиеся вводными для данного параграфа.	'
Пример 36.2. На вход динамической системы поступает случайная функция X (t) = U (t)-\-V (t), где спектральная ;
а2
плотность полезного сигнала S., (со) =	, £„„(«) = 0,
“	(£r р и
а спектральную плотность помехи можно считать постоянной: Sv (®) = с2. Определить передаточную функцию L (lai) оптимальной динамической системы, если задачей системы является получение функции Z (t) = U (t т), где: а) т 0; б) т < 0.
решение. В данном случае с2®2 4- а2 4- с2Р2 _ 2 | Pi (со) |2
—	Ш2442	—с (QU®)!2’
Qi(®)=® — Ф’ V = yV«2 + c2P2-
Pj (и) = со — Zy,
Qi(ffl)
а)	При т^>0 выражение —*--------3Х2(®) имеет один полюс
pi (®)
в верхней полуплоскости: ® = zp; следовательно,
1 со —ZB 1 Г. ,оЧ со-Нф	а2 1
L(Z®) =-с-	e‘at ^-г^-1	=
а2
(Р + V) (Y + <®>
-1<я=/р е-₽т
Q* (®)
б)	При т < 0 —г------Sxg (со) в нижней полуплоскости имеет
Pj (со)
один полюс со — — iy; следовательно,
гу2
с/п>г ^+Р2___________
е с2 (со2 4-у2)
1 Г. . . . й>4-zp а?
с2 <о — iy <в /у
w ю4-гу ®2 + Р2 а2 1 Г Jut
Q l(ul I	—
Ja = -Zy
_ <о — ф
1 ю— ф
Пример 36.3. Дистанция D(t) до самолета, измеряемая радиолокатором с ошибкой V (Z), для определения текущего значения скорости поступает в динамическую систему, которая учитывает ее значения только за период времени (Z—Т, f). Определить оптимальную весовую функцию I (т), если Kv(x) = o2e-“lтI; истинное значение дистанции с достаточной точностью можно считать полиномом третьей степени от Z, 0^ = 30 м, а = 0,5 сек.-1, р = 2,0 сек.-1, Т = 20 сек.
Решение. Так как корреляционной функции ^(т)
СЮ2 соответствует спектральная плотность So (и) = д a2j , а полезная часть случайного сигнала U (Z) = 0, то в соответствии с обозначениями, принятыми в данном параграфе, имеем & = 3, п — m=l, Sx(«) = So(а), числитель Sj,(®) не содержит а и, следовательно, не имеет корней.
Весовая функция оптимальной системы будет
I (т) = Аг д (т) -f- Bj д (т — Т) -f- Dq -f- DjX-f- D2x2 -f- £>3x3.
Для определения постоянных после подстановки /(т) в уравнение т+	з
f 1(г)Кх((—х)аг = ^^ О-	7 = 0
и уравнивания коэффициентов у одинаковых показательных функций получим:
-aA + Do-lDj + ^-A^o, - afij + Do +1 (1 + aT) Dj + -1- (2 + SaT 4 a^2) O2 4-
+ A- (6 + QaT + 3a2T2 + a3?3) D3 = 0.
Дополняя эти уравнения равенствами, получающимися при уравнивании моментов I (т) и п (т) =	(т):
A+Bj + TD0+4	+1 T*D.2 + | T*D3 = О,
Bj +177)0+1 ТЮг 4-1T*D2 +1T*D3 = -1.
В1+1тВо + |7’2^1 + 47’3^2 + |7’4£»з = О-
В, + 177)0+1ТЮ, 4-1ТЮ2 4-1 ТЧ)3 = 0.
получим полную систему линейных уравнений, определяющих искомые постоянные. Решение системы дает:
Do = 5,948 • 10"1,	£)2 = 9,618 • 10"2, Л = 6,138,
D1 = — 7,803 • 10"1, £>3 = — 0,2896 • 10“2, Bj —= — 2,582.
Задачи
86.1. На вход динамической системы поступает
X(0 = f/(0+V(/).
где U (t) — полезный сигнал, а V (/) — помеха. Определить если \(<о), 6\(<в) и Suv(a>) известны.
36.2.	На вход динамической системы, предназначенной для получения функции Z (/) = U (t), поступает случайная функция X (0 = U (О + V (ty V (t) — помеха, возникающая при получении значений ординаты функции U (/). Определить взаимную спектральную плотность Sxz (со), если Su (со), Sua (со) и Sv (со) известны.
36.3.	Определить передаточную функцию L (/со) оптимальной динамической системы, предназначенной для получения производной от случайной функции X (0 за т секунд до последнего наблюдения ординаты X (ty если
SX (®) = (щ2 + а2-)2 •
Найти дисперсию ошибки определения скорости.
36.4.	Определить передаточную функцию L(l<s>) оптимальной дифференцирующей системы, если система служит для определения производной случайной функции U (t) в момент времени t — т(т>0), а на вход системы поступает случайная функция X (ty являющаяся суммой полезного сигнала U (t) и помехи V (ty которая не связана с U (t). Дано:
S“ = (со2 + а2)2 ’ Sv == (®2 + р2)2 •
, 36.5. Определить передаточную функцию оптимального фильтра, предназначенного для получения текущего значения полезного сигнала, если на его вход поступает сумма полезного сигнала U (t) и помехи V (t)', U (t) и V (f) взаимно не коррелированы, а
л2	hi
Su (®) ==	’ SV (®) = Ю2 ‘
36.6.	Выразить дисперсию ошибки оптимальной динамической системы через спектральные плотности Sa (со), S., (со), <$иг,(со) (U (t) — полезный сигнал, V (/)— помеха), если передаточная функция оптимальной системы A (to), a N—оператор, результат применения которого к функции U (t) система должна вырабатывать с наименьшей ошибкой.
36.7.	На вход динамической системы, предназначенной для получения производной U (ty поступает X (t)=.U (t)-\-V (ty где помеха V (t) не связана с U (ty
(®) ==	4у* '	— с2 — const.
Определить оптимальную передаточную функцию системы и дисперсию ошибки определения оптимальной системой производной U (/).
36.8.	Определить оптимальную передаточную функцию динамической системы для получения значения ординаты если на вход системы поступает случайная функция U (/),
=	а>0, т>0.
“ ' ' со- 4- а2
36.9.	Спектральная плотность входного сигнала
=	• время упреждения т 0. Определить оптималь-
ную передаточную функцию динамической системы.
36.10.	Спектральная плотность входного сигнала
$,(«>) =
а2 (со2 4- а2) со4 4-
Найти оптимальную передаточную функцию динамической системы для определения X(t^-x) и дисперсию ошибки определения X(t-\-x) при т^>0.
36.11.	На вход динамической системы поступает сумма полезного сигнала U (t) и помехи V (t), не коррелированных между собой. Определить оптимальную передаточную функцию для получения значения сигнала в момент времени если т 0,
(®) = ы2_|_а2 >	(®) = Ю2_|_р2 •
36.12.	На вход запаздывающего фильтра поступает сумма некоррелированных сигналов: полезного U (t) и помехи V (t), корреляционные функции которых известны:
Определить оптимальную передаточную функцию динамической системы и ошибку фильтрации, если время запаздывания т0 (т0	0).
36.13.	Спектральная плотность входного сигнала Sx(w) =
=	время упреждения т	Определить опти-
СО4 ~|— 4СР
мальную передаточную функцию динамической системы для нахождения X (t 4- т).
36.14.	На качающемся корабле необходимо определить такой момент времени t, чтобы через т0 секунд после него линейная функция угла крена 0(0 и его производной И10и20(0 (где и п2— заданные постоянные) приняла бы заданное значение с. Определить оптимальную передаточную функцию упредителя и дисперсию ошибки, если 6 = 0,
Кв (т) — o^e~a Iт 1 (cos рт-{- у sin р | т |.
36.15.	Координата корабля, идущего прямым курсом при неизменной скорости, определяется с ошибкой V (f). характеризуемой корреляционной функцией
' Ко(т) = о2б-«1Ч
где о„ = 25 м, а = 0,25 сек.-1.
Определить наибольшую точность, достижимую при определении скорости изменения координаты корабля, если время наблюдения Т = 20, 40 и 240 сек.
36.16.	В условиях предыдущей задачи определить наибольшую точность, достижимую при определении скорости изменения координаты корабля, если
^(т) = О2б-“И1(1 +а|т|),
а остальные условия те же.
36.17.	Для определения текущего значения угловой скорости бортовой качки корабля 0(/) используется динамическая система, на вход которой поступает текущее значение угла крена 0(/), искаженное ошибкой измерения V (t). Определить дисперсию ошибки е (0 определения угловой скорости качки, если динамическую систему можно считать оптимальной, 6 = 0, -7= 0, Кг(т) = ^-“»|Т|, /?е,(т) = 0, К0(т) = = о^е-а1 Т1 (cos px4“-|-sin р|т, ofl=0,l рад, а=0,1 сек.-1, Р = 0,75 сек.-1, ov = 2 • 10-2 рад, а0 — 0,5 сек.-1.
36.18.	Динамическая система проектируется для получения значения случайной функции X (/) в момент по значениям ординат этой функции в течение интервала времени (t— T,t). Определить оптимальную передаточную функцию системы и дисперсию ошибки определения X (^ф-Тц).
если измерение ординат функции X (t) осуществляется практически без ошибок:
X(t) = C1 + c2t + U(t),
где С] и с2 — неизвестные постоянные, a U (0 — случайная функция, корреляционная функция которой
^М = °ае"в,Т,О+«М).
ой=1, а = 0,1 сек.-1, то=10 сек., 7 = 40 сек.
36.19.	Динамическая система проектируется для получения производной случайной функции X (0 в момент ^4~т0. Определить оптимальную передаточную функцию системы, если
X (0 = сх + C2t +	. Ка (т) =	(1 + а | т 1),
где с1 и сг — неизвестные постоянные, система обладает «конечной памятью 7» (т. е. учитывает значения X (t) только за интервал времени (/ — Т, t)), ои—1, а = 0,1 сек.-1. то=1О сек., 7 = 40 сек.
36.20.	Определить весовую функцию /(т) оптимальной динамической системы с «конечной памятью 7», предназначенной для дифференцирования функции X (0 =	(0 -f- U (0,
и ошибку определения X (0, где (0 — полином первой степени, a Ktt (т) = о?е~а1 т 1(1 + <z | т |).
36.21.	Для автономного управления самолетами могут быть применены инерциальные системы приборов управления двух типов: в первом случае при работе системы определяется полезный сигнал
их (0 = с j + c2t -j- с3 si и Qt 4- с4 cos Qf,
где Ср с2. с3, с4— некоторые (неизвестные) постоянные, а й= 1,25 • 10-2 сек.~!; во втором случае полезный сигнал имеет вид
и2 (0 = с3 sin -f- с4 cos Q7
Найти оптимальные передаточные функции динамических систем, служащих для определения полезного сигнала в первом и втором случае, если системы обладают «конечной
памятью Т», Т = 20 сек;, а полезный сигнал, поступающий в систему, искажен ошибкой V (Z),
Kv(x) — <j®e-olt|^cospr + -j~sinp|T| j,	v = 0,
a = 0,5 сек.-1, p = 3 сек.-1, о2 = 4- 10-4.
36.22.	В качестве упрежденного значения случайной функции X (t 4- т0) взято К (t} — aX (/). Определить значение постоянной а, обращающей в минимум дисперсию ошибки е (/) = аХ (0 — X (/+ т0), и величину минимальной дисперсии, если х = 0, 9
аат.
х ' '	л (со2 + а2)
36.23.	В качестве упрежденного значения случайной функции X (Н~т) взята линейная комбинация Z(t)—aX(t)-\--v-bX(t)- Определить значения постоянных а и Ь, обращающих в минимум дисперсию ошибки
е (0 = аХ (t) 4- ЬХ (0 — X (t+т),
и величину минимальной дисперсии, если х = 0,
Кг СО — 0^-“1 т I (cos рт 4- -? sin р I т 11. \	р	/
36.24.	В качестве упрежденного значения случайной функции U (/4-т0) взято Y (t) — a[U (t)\, где V (f) — ошибка определения текущего значения полезного сигнала U (О- Определить значение постоянной а, обращающей в минимум дисперсию
е(О = Г(О-£/(^+^о). и D[e(01mta. если
„	ао?,	ро?,
(©) — О, S„ (®) = я(шг ^_а2) •	$г> (®) = л (Ш2_|-р2) >
и — v — 0.
36.25.	Сигнал требуется подать в момент, упреждающий на т0 секунд нулевое значение производной ё(0- В действительности сигнал подается в момент обращения в нуль линейной комбинации
у (0 = аб (о 4- Й (0 4- с.
Определить оптимальные значения постоянных а, Ь, с и величину дисперсии 0(/-]-то), если 9 = 0,
Хв (т) =	1 ^cos pT-f-j-sinpj-rlj,
cre = 5°, (5 = 0,7 сек."1, а = 0,042 сек.-1, то = О,2 сек.
36.26.	В условиях предыдущей задачи определить оптимальные значения постоянных а, Ь, с, при которых
D [0(^ + то) — Y(t)} = min.
§ 37. Метод огибающих
Основные формулы
Всякую нормальную стационарную функцию X (t) можно представить в виде (х = 0)
Х(0 = Л(0созФ(0,
где случайные функции A (f) и Ф (Г) являются взаимно независимыми.
Функция X (f) с функцией Y (t) = A (Z)sinO(Z) имеет корреляционную функцию связи, которая определяется через (со) соотношением
(т) = 2 J” Зл (со) sin ®т cfco	(t).
о
/?д.у(т) обращается в нуль при т = 0. Следовательно, для равных моментов времени функции X (f) и Y (f) не связаны, а так как они нормальны, то и независимы.
Законы распределения ординат функций A (t) и Ф(0 однозначно определяются корреляционной функцией /<х(т) =	(т)
по формулам:
одномерные плотности распределения
а*
0<ф<2л;
двумерные плотности распределения 2 2
,,	ч 0.^1	2а2д2 . I в|в2 — q2 \
л2 fl	X / 2Т	"1
/ (т,. %> =-£7[ТТ^-+ (1	(у + ««I» »)] 
где йр Ф1 и й2, <р2 — значения амплитуды и фазы огибающей в моменты времени t и t-j-x, q2=l—А2 (г) — г2(т), 3#=и(т) = /1 — 92С08(ф2 — Ф1 — у), y = y(x) = &wtg^, а' 10 (д) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента.
Следствием приведенных выше формул являются условные законы распределения
а2	fl2(l-g2)
/ (“г I	4 (.
°хЧ	\	/
f (Фг IФ1) — — Г— ------1----* й' (4- + arcsin х) 1
/W2IV1/ 2л[1—М2 (1 —х2)3/2\2 '	/J
и формула для корреляционной функции
w = °Х [2Е (1 -Л —<2К(1 - q2) —J],
где К (А2) и Е (А2) — обозначения полных эллиптических интегралов первого и второго рода:
Л
2
к(а2)= f f......
J 1 — й2 sin2 q>
я
2
Е (А2) = J ]/1—А2в1п2фйф.
о
Четырехмерный и двумерные законы распределения амплитуды, огибающей, ее фазы и соответствующих скоростей имеют вид:
•	•	а*
/(,. -Ф-Ф)=4„гм_.;)агХ
х ехр {~ Р+- 2-v>+Ф1)!} 
/ (а, ср)  --т=.—-г- =- X
с£ УИл У®2 — ® 1
X ехр ( - -^27^- -2?(®2 - ЧФ + Ф2) ! ’
I ^аг(.®2	®1)	J
/(я. ф) =----..aiZ , ^2-ехР — —777-------7 I -
ах (2 л)3'2 у coj — ш2 |	2о2 (е>2 — ®i) J
/(«, «) — /(«)/(»).
/(<р, ф) =/(Ф)/(Ф).
•	1	(	а2 \
f (а) =5------ ехр J-----------;;-----— I ,
ах УНя 1^о>2 — ®i I 2°х (®2 — ®1) /
9	2
•	®2 —
J	•	2 i / 2	2\1^/2 *
2[(ф-®1) 2 + (®2“®i)j где со
©2 = -^-У* Sx(o)od®,
о
,	оо
®|=4 f Sx(pi)<i?da.
°х о
Вероятность того, что ф больше нуля, определяется равенством
.	Р<Ф>0)=1 (1+£).
Аналогичным образом
При узкополосном спектре случайной функции X (f) величина Д2 = ®2— о2 мала сравнительно с (в2 и некоторые из вышеприведенных формул могут быть упрощены путем разложения соответствующих выражений по степеням малого отношения —. В частности, при узкополосном спектре дисперсии D И (01 и D [Ф (01 становятся малыми, а так как М[^4(01 = 0> М[Ф(01 = ®1> то при дифференцировании случайной функции X (t) = А (0 созФ(0 в ряде случаев Л(0 можно считать равной нулю, а Ф(0 заменять на Юр
При узкополосном спектре для плотности вероятности времени пребывания т случайной функции выше (ниже) нулевого уровня («закона распределения полупериода») имеет место приближенное выражение
,. ,	________л Д2т_______'
' W ** 2 [(л — Ю|Т)2-f-Д2т2]3^ ’
точность которого тем выше, чем меньше отношение
Решение типовых примеров
Пример 37.1. Определить среднее число выбросов в единицу времени случайной функции
©(/) = ф (0 —
где Ф (t) — фаза нормальной случайной функции X (f), если
К*(г) — а2е~а।т! (1 -f- а [г |).
СО
= ~ I S _ (со) <в d<B, а = 0,1 сек."1.
01 К * о
Решение. Определяем спектральную плотность
1	/•	2а3сг
S, («) = -_ / К (т) е- dr != — 2 .х 2.2..
* 2л J	л (и2 4- а2)2
Следовательно,
СО
__ 4а’ Г и do ________2а
— л J (<о24-а2)3 я •
о
Применяя общую формулу для числа выбросов я единицу времени, получим
ОО
р = /ле, 0)0=о[о de.
о
Так как 0(О = Ф(О— <»/. то © будет иметь равномерный вакон распределения в интервале (0, 2л), а закон распределения /(0, 0) может быть получен путем простой замены в законе распределения /(<р, <р) <р через O-j-Wp т. е.
.	ф| — ®i
/(9. 0) =--------------!----5».
4л[02 + Н- о>?)]3/2 где. со
©2 = Д- f 8х(а)(л- da = a2.
°х о
Подставляя /(0, 0) в формулу для р, получим
р = 4-	= а^2~4.. = 0,0061 сек."».
г 4я ' 2	1	4л2
Задачи
37.1.	Корреляционная функция определяется формулой Кх(т) = о2е-“Н1.
Считая X (0 нормальной (х = 0), определить корреляционную функцию амплитуды огибающей этой функции.
37.2.	Какова вероятность того, что фаза огибающей нормальной случайной функции X (Г) будет уменьшаться, если
/Сх(т) = О2е-°1т1(14-а|т|), х = 0, « = 0,01; 0,10; 0,50 сек."1?
37.3.	Для стационарной нормальной случайной функции X (t) определить вероятность того, что фаза будет увеличиваться (уменьшаться), если
Кх (т) = о2хе~а Iт । (cos рт -J- -? sin р | т .
37.4.	Определить вероятность Р того, что скорость изменения фазы огибающей будет больше
СО
= Sx (С») (В й?С£>, Ojr О
если
Кх (т) = о^е-0'!11 (cos рт-|-у sin р | т |j,	х = 0.
37.5.	Для нормальной случайной функции X (/) определить закон распределения скорости изменения фазы, если
А;г(т) = о^-“1 т 1 (1 —ci | т ]), х = 0.
37.6.	Определить закон распределения фазы нормальной случайной функции X (t) — х, для которой
^(т) = о2е-“1г1.
37.7.	Определить закон распределения скорости изменения фазы нормальной случайной функции X (t), обладающей спектральной плотностью
с2	—
(®) = (й)2_а2_ 02)2 4.4^02 »	Х = 0.
37.8.	Определить закон распределения огибающей и скорости изменения огибающей нормальной случайной функции X (t), если
37.9.	В условиях предыдущей задачи определить условный закон распределения огибающей в момент времени если в момент времени t
A(t) = vx, т = 2 сек., а = 0,1 сек.-1.
37.10.	Найти приближенное выражение для закона распределения времени пребывания случайной функции ниже нулевого уровня, если
^(т)~ о^е-0'01111 (cos 0,7г-4--X-sin 0,7 (т А, х = 0.
л	\	1 /и	7
37.11.	Считая возможным пользоваться формулами для огибающей случайной функции с узкополосным спектром, найти закон распределения промежутков времени между последовательными моментами прохождения палубы корабля через положение равновесия, если угол крена 0(f)— нормальная случайная функция, характеризуемая корреляционной функцией
Кв (т) = ф-».’ I г I (cos 0,7т 4- у sin 0,71 т |) ,	0 = О,
а килевая качка отсутствует.
37.12.	Определить среднее число выбросов в единицу времени случайной функции А (f) за уровень 2ах, если A (t) — огибающая нормальной случайной функции X (t), а
^(t) = ff2e-“|T1 (1а] т |), х = 0.
37.13.	Определить среднее число выбросов амплитуды огибающей нормального случайного процесса X (f) за уровень 2ах, если
Кх (т) —	11 (1 4~ а М 4* у а2т2), х — 0.
37.14.	Определить условный закон распределения фазы нормальной случайной функции X (f) в момент времени f-j-т, если в момент времени t фаза равнялась нулю, а
Л'г(т) = <т4~а| т| (cospT4--g-sinp | t|J , х — 0.
Пренебрегая дисперсией амплитуды огибающей, определить дисперсию X (f) в момент (f4-~j> гДе
сю
= (со)tod<o, а = 0,01 сек.-1,	р==0,70 сек.-1
о
37.15.	Определить корреляционную функцию связи двух; нормальных стационарных случайных функций X (t) и V (t) ; если
X(f) = Л(0совФ(0. r(0 = ^(0sin<D(0.
/Сж(т) == Ку (т) = o2e-“i (cos pr4--|-sin p ] т .
ГЛАВА VIII
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
§ 38. Цепи Маркова
Основные формулы
Последовательность испытаний, в каждом из которых может произойти лишь одно событие из полной группы событий Qj, Q2,  • •1 Qm' образует цепь Маркова, если вероятность Рц(!г) того, что при &-м испытании наступит событие Qy при условии, что при (k— 1)-м испытании наступило событие не зависит от того, какие события происходили при предыдущих испытаниях. События QP Q2. .... Qm называются состояниями цепи Маркова или состояниями рассматриваемой системы, a k-e. испытание можно рассматривать как изменение состояния в момент tk.
В каждом столбце матрицы = ||	(k) || имеется
хотя бы один отличный от нуля элемент, причем вероятности перехода Pij(k) (I, J=l, 2, .... т) при любом k удовлетворяют соотношению
т %ри(Ь)=1	(4=1,2......т).
i=i
Цепь Маркова конечная, если число состояний ограничено; неприводимая, когда каждое состояние достижимо из любого другого состояния; периодическая, если возвращение в любое состояние может происходить только через число шагов, кратное х > 1.
Цепь Маркова называется однородной, если переходные вероятности Pij(k) не зависят от k, т. е. Pij(k) — Pij G. 7== 1, 2....т).
Столбец р(п)={р1(пУ, p2(riy, рт(п)} абсолютных вероятностей того, что при л-м испытании система перейдет соответственно в состояния Qv Q2, .... Qm, определяется формулой
Р (») = (<^^2 ... <^д)' р (0),
а для однородной цепи
где штрих означает транспонированную матрицу, т. е. если ^ — \\Рц\\> то = II PjiII •
При любых п, но относительно небольших т для вычисления <^я можно использовать формулу Лагранжа — Сильвестра, которая при простых характеристических числах Х1, X,.....Xm (корнях уравнения |	— <^‘] = 0, где cf — еди-
ничная матрица) имеет вид
V	... (сЯ—A,ft_,g) (^—A,fe+1g)... («У—A,mg). п
Zj. (Ай— Aj) ... (Ай—	— Хй+!) ... (Ай—/,т) к'
£=1
В общем случае при вычислении удобно использовать возможность приведения матрицы к нормальной форме & —	где J — диагональная или квазидиаго-
нальная матрица, которая зависит только от характеристических чисел матрицы При простых характеристических числах J—1|||, где бй = 0 при I k, а	Эле-
менты матриц Н и Я-1 являются решениями алгебраических уравнений, которые в матричной форме имеют вид ff'H — HJ, = НН~1 = &. Тогда S^n = HJnH~x, где при простых характеристических числах Jn — ||	.
Элементы pW матрицы ff"1 определяются также по формуле Перрона
W-V 1 ^S'X
Pil~* (v*~1)! L	J LxJ
где r — число различных характеристических чисел, vs— их (Г	\
, а А}1 (к) — алгебраическое дополне-
5 = 1/
ние для. элемента Мр — рр в определителе |	—& |.
Матрица 1| р'^ || предельных вероятностей перехода и столбец р (оо) — (еТ500/ р (0) предельных абсолютных вероятностей могут быть получены из соответствующих выражений непосредственным переходом к пределу при »->оо. Пределы существуют только в том случае, если р-51 < 1 при s = 2, 3, .... г (для матриц вероятностей перехода всегда |Л,|	1, причем одно характеристическое число равно
единице). При этом
<^00=v1
2——[(Л«-<?»)-» d).‘ ‘___________________
d'1' dk '
f
A = I
характеристического числа = 1.
матрице ^°° все m строк одинаковые,
где Vj — кратность
При v1 = 1 в а элементы столбца р(оо) совпадают с соответствующими* элементами любой строки, т, е.
Р;(оо) = /“> = //“>	(/, 7=1, 2, .... т).
В этом случае вероятности р^ могут быть определены также из решения алгебраической системы
т	т
^РиР[Г} = pf} (/ = 1. 2, .... да), причем g р^=1.
Если конечная цепь Маркова неприводимая и непериодическая, то для определения вероятностей р^ можно использовать последние уравнения. Когда число состояний т — <х>, Цепь Маркова неприводимая и непериодическая, а система
линейных уравнений У и^р^ — и, (7=1, 2, ...) имеет не-« = 1
нулевое решение, для которого 2 I ut\ < °0- вероят-
1 = 1
мости plj0)	j'=l, 2, . •.) находятся как решение
системы р.,р<^ — рЫ (J — 1, 2, ,..), где Д
Если можно выделить группу состояний системы так, чтобы был невозможным; переход из любого состояния этой
группы в любое из оставшихся состояний системы, то эту группу можно рассматривать как самостоятельную цепь Маркова. Группа может состоять из одного состояния Qk; при этом pkb = 1, a Qk — состояние поглощения.
В общем случае из состояний Q2............можно
выделить независимые друг от друга группы С2, .... Ch состояний, называемых существенными; оставшиеся состояния образуют группу Т несущественных состояний. При соответствующей нумерации состояний матрица приводится к виду
/?! О ... О ... О о /?2 ... о ... о

О ... Rh ... О
и W
где /?Р /?2, .... Rh— матрицы вероятностей перехода групп состояний С(, С2, .... СА; W — квадратная матрица, соответствующая несущественным состояниям группы Т, a U — ненулевая (при наличии несущественных состояний) в общем случае прямоугольная матрица.
Если все характеристические числа матриц Rx, R2, ... .... Rh, кроме точно равных единице, по модулю меньше единицы, то

Rf О
О R?
О
О
О
О
R" ... О
где — некоторая прямоугольная матрица.
Пусть в матрице & h — \, т. е. имеется одна группа С состояний поглощения. Если цепь Маркова из состояний этой группы непериодическая, то вероятности перехода системы из несущественного состояния Qj в группу С существенных состояний находятся с помощью уравнений

где в первом слагаемом суммирование ведется по номерам несущественных состояний, а во втором — по номерам существенных состояний.
Пусть Ху (/=1, 2.......Л) — число характеристических
чисел (с учетом их кратности) матрицы Rj, не равных точно единице, но по модулю равных единице. Наименьшее общее кратное этих чисел является периодом х цепи Маркова. Если цепь неприводимая, то все состояния периодической цепи можно разбить на группы Go, GP ..., GK_i так, что переход из состояния, входящего в Gr, за один шаг всегда приводит к состоянию, входящему в Ог+1 (Ои — Go). В цепи Маркова с матрицей ЗР* каждую группу Ог можно рассматривать как самостоятельную цепь. Существуют пределы при г = 0, 1, ... ..., х— 1:
есл" вз °.'а о»из
I 0 в противном случае;
при этом вероятности рк х определяются, как. при х = 0.
В общем случае также существуют матрица (^>х)°° и матрицы <^r = <^r(e^x)°° (r = 0, 1.	%— 1). Матрица
— II Pij II средних предельных вероятностей перехода определяется формулой
^-=1 (г+<^4- ...
Столбец р средних предельных абсолютных вероятностей равен р = $'р	Если в матрице 7г = 1, то средние
предельные-абсолютные вероятности р}	2,..., т)
однозначно определяются равенствами: ЗР’р — р, 2 р; = Ь /=1
Решение типовых примеров
Пример 38.1. Из таблицы случайных чисел, содержащей все целые числа от 1 до т включительно, выбираются числа наудачу. Система находится в состоянии Qy, если наибольшее из выбранных чисел равно j (/—1, 2.........т).
Найти вероятности р'!$ (I, k=\, 2, .... in) того, что после
выбора- из этой таблицы п случайных чисел наибольшее число будет равно k, если раньше им было число I.
Решение. В таблице случайных чисел любое число от I до т равновозможно, поэтому переход из состояния (наибольшее выбранное число равно единице) в любое состояние Qy равновероятен. Тогда рц = — (/= 1, 2, ... .... т). Из состояния Q2 в Qj переход невозможен, поэтому р21 = 0. В состоянии Q2 можно остаться в двух случаях, когда очередное выбираемое число равно 1 или 2, поэтому 2	1
р22 = —, p2j = — (/ = 3, 4......т).	В общем случае по-
лучаем
=	р/7 = 0 при />/;	прп i<J
{I, /=1, 2, .... т).
Матрица вероятностей
перехода записывается в виде
1	Г
т	т
2	.	2_
т	т
1	1
т . т
Характеристическое уравнение
£
имеет простые корни Xft== — (k = 1, 2,	m). Для опре-
деления вероятностей р№, являющихся элементами матрицы воспользуемся формулой Перрона. Алгебраические
дополнения Ащ(к) элементов определителя	—-S^]- -сле-
ДуЮШИе:	1Ь? —<5*1
при i > k Ак1(М = 0; Akk (1) =	J
Л —— —— m
Подставляя эти выражения в формулу Перрона,
получаем
при I > k, при l = k, при I < k.
Аналогично решаются задачи 38.3—38.10.
Пример 38.2. Автомат для продажи билетов в метро может работать при получении монет достоинством в 5 коп. и 10 коп. В первом случае автомат выдает билет, если преемник, вмещающий т пятикопеечных монет, не заполнен, и выключается в противном случае. При получении десятикопеечной монеты автомат выдает билет и 5 коп. сдачи, если в приемнике имеется хотя бы одна пятикопеечная монета. В противном случае автомат также выключается. Известно, что монеты по 5 коп. и по 10 коп. в автомат поступают с вероятностями р и <7=1 — р. Определить вероятности Р’/Г О'- & = 0, 1, ..., т) того, что после п требований билета в автомате будет k пятикопеечных монет, если их начальный запас в автомате был равен I.
Решение. Пусть состояние Qy означает, что в приемнике автомата имеется j пятикопеечных монет (/ = 0, 1, ... •••> т). При	—1 возможен переход из Qy в Qy+1
с вероятностью р и в Qy_i с вероятностью q. При достижении состояний Qo или Qm, которые являются состояниями поглощения, автомат отключается. Поэтому рм — 1, ртт— 1. Р).== р. Pj, w ~q (J == 1, 2i ..., т — 1).
Матрица вероятностей перехода имеет вид
	1	0 0	0	... о	0	0				
	я	0 р	0	... 0	0	0		1	0	0
SP =	0	Я 0	р	... 0	0	0	=	и	W	V
	0	0 0	0	... я	0	р		0	0	1
	0	0 0	0	... 0	0	1				
где W — квадратная матрица порядка т—1. a U и V— столбцы порядка т—1;
	0 р 0 ... 0 011	Я		0	
	q 0 р ... 0 0|	0		0	
F =	0 q 0 ... 0 01 ц __	0	, У =	0	»
					
	0 0 0 ... о />	0		0	
	0 0 0 ... q 0 1	'	0		р	
причем матрица W соответствует цесуществеиным состояниям
Qp @2' • • • ‘
Искомые вероятности являются элементами матрицы
1
Ua
О

о о1 v„
*
О 1
поэтому	P<£>m=U Р$*=Ь (Г = 1. 2, .... т).
= 0 (/=0, 1, .... /и-1).
Чтобы определить элементы матрицы W", составим характеристическое уравнение Дт_1 = |Х,§’ —	= Для опре-
делителей такого вида справедливо следующее рекуррентное соотношение:
j pq^k-z (k ~ 2, 3, .... т — 1),
Причем До=1, At=l. Тогда
Дт-1=Хт ,~Сд_2Д?Х!Л-3-)-Ст-з(^)2^т 5—	=
Последний член получившегося уравнения равен т-1	т-1	,	'	т-2	т-2
( 1) 2 (pq) 2	при нечетном т и (^-1) 2 у (Р<?) 2 X
при четном т-
Если произвести подстановку X — ]/ pt уравнение — & можно записать «в виде
то
т-1
л — (м\ 2 1 — Р-гт W-1 ~ \ |Л2 )	1—Ц2
I ~
Отсюда следует, что \ik = e т (k=l, 2............т—1). По-
этому характеристические числа будут Хй==2у^/?9 cos-^-(*=1.2.........т— 1).
Матрицу W может быть приведена к виду W = HJH'1, где У=|2 Уpq cos-^-dyft||, а // = ||Луй|— пока неизвестная матрица.
Матричное равенство WH = HJ эквивалентно следующим уравнениям:
Р^2, k ~ ^1. й^й’ Чк-т-Ъ, й = ^т-1, й^й>
<7^-1, й + М/+1, й — й^й
<7 = 2, 3.т—2; k=\, 2......т—1).
с
стемы
точностью до общего множителя решением этой си-являются элементы = sin kjn- (k, J = 1» jk \ p j m
.......— 1). Поэтому матрица H =	sia-^-|.
Обратную матрицу W-1 можно записать в виде .Н-1=« = U(yft =	Из. условия ИН~1 — на-
ходим Ck = — (k = 1, 2, ..., т — 1). Используя, равенство
получаем
• .m-l
/х.1 т	,	m-l
2"+1 ±(л+й-/) |(л-»+0 V __ /л „,п	_!п Ля
т "	4	ЛяЛ т т т
i=i
(i, A=l, 2, .т — 1).
Для определения элементов р$ (J—1, 2, ...» т—1) столбца Un воспользуемся формулой Перрона. Характеристическим многочленом матрицы & будет | Xcf —	| —
tn-1
= (Х—I)2 П (X—ХД Для алгебраических дополнений Ай,- (X) элементов определителя |X<f— <S^\ получаются следующие выражения:	.	.	. ш. L
т - / -1 ’	____ ь \
Лад(Х) = ^(Х-1} И (Х-2^ <*5—
: Г' . '	.	* = 1	-	.	,
	(/==1, 2. .... т — 2),
Тогда
р(„) -	_г У
Г J0 т~1	“	'	т-1‘	’
Ц(1-хЛ) *=i (хй-1)2 n*(xft-xv) й=1	.	v=l
где звездочка означает, что из произведения нужно выбросить Множитель при & = v.	... . .
Вероятности 0'=1. 2, ..., т~ 1) вычисляются аналогично. Для их определения можно также воспользоваться равенствами
(/=Г, 2, .... т-1).
Аналогично’ решаются задачи 38.11-—38.14.
Пример 38.3. Препарат облучается потоком радиоактивных частиц через равные интервалы времени ДА Вероят-
ность того, что за время облучения препарат поглотит аг
г радиоактивных частиц, определяется формулой рг = —
Каждая радиоактивная частица, содержащаяся в препарате, за время между двумя последовательными облучениями может распасться с вероятностью q. Определить предельные вероятности числа частиц в препарате.
Решение. Пусть состояние Qt означает, что после очередного облучения препарат будет содержать I радиоактивных частиц (I ~ 0, 1, ...). За интервал времени А/ переход мз состояния Qt в Qk произойдет в том случае, если I — v частиц (v = 0, 1, .... i) распадутся, a k — v	будут
поглощены препаратом. Вероятности перехода
Г (й)	ft
=	V. I.
V = 0
где р == 1 — q, а суммирование производится до I, если k, и до k, если k < I.
В препарате возможно нахождение любого числа, частиц, т. е. все состояния системы достижимые. Поэтому цепь Маркова неприводимая. Так как вероятности ри отличны от пуля, то цепь непериодическая.
Рассмотрим систему линейных уравнений
=	(/ = 0, 1,...).
ГТ	*=*0
Положим
О (д) = У и ,zh
Умножив обе части системы на zf, просуммировав по J от О до оо и применив формулу п — 1 раз, получим
=	+	1) р} =
==еа(г-1)(1+р+р=+ ... +p«-1)G[l (г— 1) рп\.
Отсюда находим
.	а	°°
G(z)~e«  >О(1) = е" « 0(1)
/ = 0
Из сравнения двух выражений для G (z) получаем а	(—V
Иу==е~7 0(1)Ь/~ (7 = 0,1,...). оо
Так как 2 I uj | — I О ОI- а произвольную постоянную G(l) 7 = 0
можно взять отличной от нуля и бесконечности, то алгебраи-
ОО
ческая система имеет ненулевое решение, причем ряд У, | и< | 7=0 сходится. Поэтому могут быть найдены из системы
PijP^~	U —	• • •) Система для анало-
гична решенной выше системе для «у, следовательно,
д (-Y
р^ = е-9	(7 = 0,1,...).
Так как рФ> = 1, то 0(1)= 1, поэтому искомые вероятно 1
ности
(а У	°
p(oo)=Ad_e-7 (/=о,1,...).
Аналогично решаются задачи 38.16—38.22.
Пример 38.4. Число X дефектных изделий в каждой независимой выборке объема N из бесконечно большой партии подчиняется биномиальному закону, т. е. Р(А' = /г) = = pk = CkNpkqN~k (Ze = О, 1....N), q—\—р. Если при
очередной выборке получено г дефектных изделий, то считается, что по условиям приема партия изменила свое предыдущее состояние Qv на Qv+r-i, причем партия бракуется, если v-j-r—1 лг, и принимается, когда v-j-r — 1 = 0-Определить вероятности того, что партия будет принята, если начальное состояние партии по условиям приема Qj (7=1, 2......tn— 1).
Решение. Возможны т -f-1 состояний партии Qi (i = = 0, 1, .... ni). При достижении состояния Qo партия принимается, а при достижении Qm— бракуется. Так как эти
два состояния являются состояниями поглощения, то р00 = 1, Ртт Когда I ф 0 и I =}= т, i+j~i— Pj (J = 0, 1, ..« m — i
.... m —/). pim=l— 2 pj (i—l, 2.......m— 1).
7=0
Матрица	вероятностей перехода						
	1	0	0	0 ..	0	0	0
	Ро	Pi	Р2	Рз ••	Рщ-2	Рпг—\	Р\, т
	0	Ро	Pl	Р2 • • 	Рт-3	Рт-2	Р2, т
	0	0	Ро	Р1 •••	Pm-i	Рт—З	Рз, т
	0	0	0	0 ...	Pl.	Р2	Ptn—2, т
	0	0	0	0 ...	Ро	Pl	Рт-l, т
	0	0	0	0 ...	0	0	1
Искомые вероятности p^ (/=1, 2........m — 1) являются
вероятностями перехода из несущественных состояний Qj, Q2, .... Qm_i в существенное состояние Qo и определяются с помощью алгебраической системы
т-1
P*j = 2 PJVP*V + Pj0 (/=1.2..............т — 1),
которую можно записать в виде
(Pi - 9 p*i + S2 PkP*k = - Ро.
PoP.,r-i+(Pi — S £ = Г4-1
(г = 2, 3, .... m— 1).
Определитель Am-1 этой системы находится с помощью рекуррентной формулы	>
ГЧ—Г
Ащ-r ~{,Pl^ ty^m-r-l	PjPq
(Г =*= 1, 2...т — 1).
где До=1. Искомые вероятности определяются равенствами
PtJ = (- Wp]0	(7=1.2.......т - 1).
.	“т-1
Аналогично решаются задачи 38.23—38.25.
Пример 38.5. Автомашина используется для перевозки грузов между 2т пунктами, которые расположены на кольцевой трассе. Грузы перевозятся из каждого пункта только в следующий с вероятностью р или в предыдущий с вероятностью 9=1—р. Определить вероятности pW (j, k — = 1, 2, .... 2т) того, что после п перевозок автомашина из /-го пункта перейдет в ft-й. Найти эти вероятности при п->оо и вычислить средние предельные вероятности перехода.
Решение. Пусть нахождение автомашины в /-м пункте — состояние Qj (J—l, 2, .... 2т). Вероятности перехода:
Pj.i+i — P (J— !> 2> • • - 2m — 1),
Pj,}-i~4	3, .... 2m—IJ,
P2m,l~P< Pt,2m~f’
Матрица вероятностей перехода
О р 0 0	...	О	0	q
q 0 р 0	...	О	О	О
О q 0 р ... ООО
0000	...	О	р	О
0000	...	д	0	р
р 0 0 0	...	О	q	О
Введем матрицу Н— — Це^-Опорядка 2m, в которой е. = ея‘1т. Непосредственным перемножением получаем, что S?H — H ]j(pzk~1 +9е_(*-1>)6д||, поэтому характеристическими числами матрицы SP будут	+
-4-9е_(*-О (ft = 1, 2, .... 2m).
Наибольшие по абсолютной величине характеристические числа Aj = 1 и Хт+1 = — 1 простые, поэтому цепь периоди
ческая с периодом х = 2. Обратная матрица Я-1
2т 11	1
Из равенства eFn — HJnH~x, где У” = ||f- находим 2m
p{jk=-i- 2 ^E(v -i)+9e-(v"1)]n e(v"w"4
v-1
что можно записать в виде
m
/%> =	[1 + ('-1)"+''*] 2 [₽ev -1 + 9e-(v - dj« e(v-!>(/-*)
v=i
(J, fe == 1, 2, .... 2m).
В сумме все слагаемые, кроме первого, по модулю меньше единицы, поэтому при «->оо
Отсюда следует, что
lim = п->оо '
lim п<2"+1)—. n^ik
fl
—, если j + k — четное число,
О, если /4-А —нечетное число;
—, если / 4-/г —нечетное число, 0, если j-^-k — четное число.
Последние равенства можно записать, не используя выражение для /И”), так как цепь неприводимая, а переход за один шаг из группы Со состояний с нечетными номерами всегда приводит к группе состояний с четными номерами и наоборот.
Средние предельные вероятности перехода
i“ “ Т.'!XW+ '’Й*”)=i ‘	2....2»Й-
Аналогично решаются задачи 38.26, 38.27.
Пример 38.6. При обсуждении основных положений Кинетической теории материи Эренфестом была предложена следующая модель: т молекул, распределенных в двух
резервуарах, случайно по одной перемещаются из своего резервуара в другой. Найти средние предельные абсолютные вероятности числа молекул в первом резервуаре.
Решение. Пусть состояние Qt заключается в том, что в первом резервуаре i молекул (Z = 0, 1........т). Тогда
Pi,	Pl, i+i = 1—	(i==0, 1, .... m). Матрица
вероятностей перехода записывается в виде	
	01	0	0	... 0 0
	— 0 1——	0	...0 0
	т	т
	0 —	0	1—— ... 0 0 т	т
00	0	0	... 0 —
m
00	0	0	... 1 0
Из любого состояния Ql возвращение в Qt возможно лишь за число шагов, кратное двум. Поэтому в данном случае цепь Маркова периодическая с периодом х = 2. Цепь неприводимая, так как каждое состояние достижимо из любого другого состояния.
Столбец р средних предельных абсолютных вероятностей определяется из условия 3?'р = р, т. е.
1 ~	-	/. k~ 1\ -	, Л-|-1 -
— — Ро’	) Р/г-1~\--^~~Ph+l—Pk'
- __ ! -
Pm т Prn-1
(k = 1, 2, ..., nt — 1).
m
Отсюда находим p* — Используя равенство 2 Pk~ I> k=o m
получаем —= У = 2m; поэтому искомые вероятности
Л *=o
Pk = -^nCkm (6 = 0, 1, .... т).
Аналогично решаются задачи 38.28, 38.29.
Задачи
• 38.1. Показать, что для однородной цепи Маркова вероятности перехода связаны равенством тп
= 2 Р%Р®}	& J= 1.2.......m).
• 38.2. Заданы столбец начальных вероятностей р (0) =» == {«; ₽; у} и матрицы вероятностей перехода для моментов времени tv t2> t3‘.
	«1	а2	а3		а2	а3	«I		“з	«1	а2
	“з	а.	а2	, SP 2 =	at	о2	а3	, 3 —	а2	аз	«1
	1 «а	“з	«1		а3	«1	а2		(Xi	а2	«3
Определить столбец абсолютных вероятностей р(3).
38.3.	По условиям соревнований спортсмен прекращает борьбу при потере двух очков, что может быть при одном проигрыше или при двух ничьих. При каждой встрече спортсмен, не имеющий ничьих, выигрывает с вероятностью а, делает ничью с вероятностью 0 и проигрывает с вероятностью 1—а — р. Если ничейный исход был, то вероятность выигрыша в каждой встрече равна у. Определить вероятность потери различного числа очков за п встреч для спортсмена, результаты предыдущих встреч для которого известны.
38.4.	При повышении напряжения в сети электрического тока с вероятностью а выходит из строя блокирующее устройство прибора, а с вероятностью р прекращается работа этого прибора. Если блокирующее устройство вышло из строя, то последующее повышение напряжения приводит к прекращению работы прибора с вероятностью у. Определить вероятности исправной работы схемы, выхода из строя только блокирующего устройства и прекращения работы прибора после повышения напряжения п раз, если начальное состояние прибора известно.
38.5.	В соревнованиях от каждой команды выступают по Три спортсмена, которые встречаются только со спортсменами из других команд. По условиям состязаний ничьих не может быть, а проигравший один раз выбывает из соревнований. Пусть а, р и у — вероятности того, что в очередном туре соответственно из одного, двух и трех остав
шихся членов команды никто не проиграет; Pj и у] — вероятности того, что в очередном туре соответственно из двух и из трех оставшихся спортсменов проиграет один, а у2— вероятность проигрыша в очередном туре двух из трех участников. Определить вероятности (i, k — 0, 1, 2, 3) того, что после и очередных туров в дальнейших соревнованиях от команды будут участвовать k спортсменов, если до этих туров в соревнованиях участвовали i членов команды.
38.6.	Автоматическое устройство может работать, если из общего числа Af однотипных элементов вышло из строя не больше т — 1 элементов, которые могут выходить из строя только во время цикла работы устройства. Известны вероятности pik перехода системы за один цикл из состояния ф/ в состояние Qk, где в качестве номера состояния взято число вышедших из строя элементов, так что при А < /	— О
(Z, k=Q, 1, .... пг), ртт—\. Доказать, что вероятности перехода р<$ за п циклов, в течение которых не производится замена неисправных элементов, при различных вероятностях Pk —Pkk =	1.....т) определяются фор-
мулами:
P(kn — Pl (fe=O. 1. .... m).
при k P^ — ^	1. •••» nt), а при £>Z
1 _______________Pv^i (Pv)________________
* (P-Pi) (P-Pi + !)••• (Pv-Pv - 1Ж - Pv+ 1) • • •
где

Pl, 1+1	Pl, 1+3	Pl, i+3	• • • Pl, »-J	Pi*
Pl+1 — л.	Pl+1, l+з	Pl+t, 1+9	••• Pl+l.H—l	Pi+i, k
0	pl+з — Л	Pl+3, l+s	Pl+t.H-l	Pi+l,k
0	0	0	••• Pi-3, ft—1	Pk-l, ft
о	0	0	••• Pk~l —	Pk-1, ft
38.7.	Доказать, что если в условиях предыдущей задачи Рпк = Р (k — °- 1. • • • • т ~ О- то
P^m = 1 • Р{& = Ра (* = 0. 1.....пг - 1);
при i~>k р(Д' = О (/, k =	1, .... т), а при &>/
r<* (т —1)1	( dXft-z
К-р
“1т
(Z — l)l J dm~l Г Xn D . 11	, - 0^(1)
(т — 1)! | dXm-‘ L Л — 1 ml J Jx=p (1 — p)m~
где Dki(k) определяется формулой из условия предыдущей задачи при рк — р (/е = 0, 1....т — 1).
38.8.	Из урны, содержащей N шаров белого и черного цвета, одновременно извлекают т шаров. Извлеченные черные шары возвращают в урну, а белые заменяют на черные. Всего белых шаров в урне было т, а после нескольких извлечений осталось I. Определить вероятности pffl (I, k — ==0, 1, . .., т) того, что после дополнительных п извлечений в урне останется k белых шаров. Рассчитать эти вероятности при Д; = 6, т — Ъ.
38.9.	При данной серии выстрелов каждый стрелок группы с равной вероятностью получает любое количество очков от N 1 до N-\-m. Определить вероятность того, что среди следующих п стрелков из этой группы хотя бы один стрелок получит N-\-k очков, если наибольшее число очков, полученных предыдущими стрелками, равно N-J-Z (fe>Z= 1, 2......т).
38.10.	На горизонтальной плоскости вдоль прямой АВ через интервал I между центрами расположены вертикально одинаковые цилиндры с радиусом основания г. Перпендикулярно этой линии бросаются шары радиуса R, причем пересечение линии движения шара с прямой АВ равновозможно в любой части участка длины L, на котором стоят т цилиндров. Расстояние между центрами цилиндров / >2 (г —J—/?); каждое столкновение шара с цилиндром приводит к уменьшению числа цилиндров на один. Определить вероятности р$ (i, k~ ~0. 1, .... т) того, что после очередных п бросков останется k цилиндров, если до этого их было /.
38.11.	В области D, разделенной на т равновеликих частей, последовательно ставятся точки, положение каждой из которых равновозможно в любом месте области D. Определить вероятности р'^ (I, k = \, 2, ...; т) того, что после
постановки новой серии из п точек число частей области D, в которых имеется хотя бы одна точка, увеличится с I до k.
38.12.	В моменты tv /2, t3, ... судно может изменять направление движения, выбирая один из т курсов: Q2, .... Qm. Вероятность pi} того, что в момент tr судно изменит курс Qj на Qj, равна ptj = am-i+j+t' причем amJ[ll — ak=hQ (й=1. 2. ..., т), £«а=1. Определить *=1
вероятность pW того, что при tn < t < tn+x направление движения судна будет Qk, если начальное направление было Qj (J, k — I, 2......т).	Найти эту вероятность при п = оо.
38.13.	Рассмотреть следующую схему процесса диффузии при наличии центральной силы. Частица может находиться только на отрезке АВ в точках с координатами хк — хА -f- kA (й = 0, 1, .... tri), где х,п = хв, перемещаясь скачками в соседнюю точку, причем по направлению к точке А из х} с вероятностью J/m, а по направлению к точке В — с ве-j
роятностью 1----Определить вероятности р'^ (I, k~
s=0, 1, .... т) того, что после п скачков частица будет в точке хк, если вначале она была в точке xt.
38.14.	Условия задачи такие же, как в примере 38.2, но автомат не выключается. В тех случаях, когда в приемнике нет пятикопеечных монет, а поступает монета достоинством в 10 коп., или имеется т пятикопеечных монет и поступает пятикопеечная монета, автомат возвращает последнюю поступившую монету, не выдавая билет. Определить вероятности (Z, k = Q, 1,_.... tri) того, что после п требований билета в приемнике будет k монет по 5 коп., если вначале их там было I.
38.15.	Два стрелка А и В поочередно стреляют по мишени, причем после каждого попадания стреляет А, а после каждого промаха стреляет В. Право первого выстрела стрелкам предоставляется на тех же условиях по результату предварительного выстрела, который производит наудачу выбранный стрелок. Определить вероятность поражения мишени л-м выстрелом независимо от предыдущих попаданий, если вероятности поражения мишени при каждом выстреле для этих стрелков равны соответственно аир.
♦ 38.16. Дана матрица ^э = ||р^| вероятностей перехода, которая неприводима, непериодическая и дважды стохастическая, т. е. суммы элементов каждого столбца и каждой строки равны единице. Определить предельные вероятности р^ (/=1, 2, .... т).
38.17.	т белых и т черных шаров перемешаны и поровну распределены между двумя урнами. Из каждой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в другую урну. Найти вероятности p<f^ (I, k = Q, 1, .... т) того, что после бесконечного числа таких обменов в первой урне окажется k белых шаров, если вначале там было I белых шаров.
38.18.	Отрезок АВ разделен на т равных интервалов. Частица может находиться только в серединах интервалов, перемещаясь скачками на величину интервала по направлению к точке В с вероятностью р, а по направлению к точке А — с вероятностью q — 1 — р. В крайних точках отрезка АВ имеются отражающие экраны, которые при достижении частицей точки А и В возвращают ее в исходное положение. Определить предельные абсолютные вероятности р{^ ’(k = = 1, 2, .... т) нахождения частицы в каждом интервале.
38.19.	Даны следующие вероятности перехода для цепи Маркова с бесконечным числом состояний:
— Pi’ г+1 = ТрГ 0=1.2,...).
Определить предельные вероятности р^ (/=1, 2, ...).
38.20.	Вероятности перехода для цепи Маркова с бесконечным числом состояний определяются равенствами pti=q, Pi, i + i — Р — 1 — q 0=1, 2, ...). Определить предельные вероятности /><«) (у=1, 2, ...).
38.21.	Цепь Маркова с бесконечным числом состояний имеет следующие вероятности перехода:
=	/?12=у,	, Pt,/+1 = —-.— (1 = 2,3,...).
Определить предельные вероятности (I, k == 1, 2, ...).
38.22.	Случайное блуждание частицы происходит на положительной части оси Ох. Частица, перемещаясь на один шаг Д вправо с вероятностью а, влево с вероятностью р или» оставаясь на месте, может находиться только в точках с коорди-
натамц Xj (/=1, 2, ...). Из точки с координатой = A частица перемещается вправо с вероятностью а или остается на месте с вероятностью 1 —а. Определить предельные вероятности перехода р^ (А=1, 2, ...)•
38.23.	Матрица вероятностей перехода задана в виде
R
U W
где R — матрица, соответствующая неприводимой непериодической группе С существенных состояний Qv Q2, . .Qs, а квадратная матрица W соответствует несущественным состояниям Qi+1, Qs+2......Qm- Определить предельные вероятности pi} =..........$4-2.......т) того, что система
перейдет в состояние из группы С.
38.24.	Матрица вероятностей перехода задана в виде
R
SP= О
о о г
О
Rl
где R — матрица, соответствующая непериодической группе С существенных состояний Q,, Q2,  • • > Qs> а квадратная матрица W соответствует несущественным состояниям Qr+l> Qr+2...... Qm- Определить вероятности р^ =
r-j-2, ..., tn) того, что система перейдет в состояние, принадлежащее к группе С, если все элементы матрицы W равны а, а сумма элементов любой строки матрицы U равна р.
38.25.	Два игрока АиВ продолжают игру до полного разорения одного из них. Вероятности выигрыша каждой партии для этих игроков равны соответственно р и q
+ О- В каждой партии выигрыш одного (проигрыш другого) равен одному рублю, а общий капитал этих игроков составляет т рублей. Определить вероятности разорения игроков, если до игры А имел J рублей (/ = 1, 2, ..., т — 1)-
38.26.	Даны вероятности перехода р1<)+1— 1 (/ = = 1, 2, . . ., т— 1), рт\ = !• Определить вероятности перехода и средние предельные вероятности перехода Pjn (J, k = 1, 2.....т).
j» 38.27. Матрица вероятностей перехода
О
О
О

Р V
О 1
О о
1 о
б о 1 о
где ачМ. Определить вероятности перехода />(Д’ и средние предельные вероятности перехода pjk (J, fe=l, 2, 3, 4).
38.28.	Даны элементы матрицы вероятностей перехода
Pj.j+1 — P	<7=1-2.........2т — 1).
Pj,j-i = q=l —Р	(j — 2,3.......2m).
Не определяя характеристических чисел матрицы найти предельные вероятности перехода и средние предельные абсолютные вероятности.
• 38.29. Частица перемещается по прямой под влиянием случайных толчков и может находиться в точках с координатами Xj = xA-\- j\ (j = 0, 1.....m).	В крайних точках А
и В находятся отражающие экраны. Каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью р и влево с вероятностью q—l—р. Если частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее внутрь промежутка между стенками на одно деление. Определить средние предельные абсолютные вероятности нахождения частицы в каждой точке деления отрезка АВ.
§ 39.	Марковские процессы с дискретным числом состояний
Основные формулы
Поведение системы, возможными состояниями которой являются Qo, Qt, Q2....Qm. может быть описано случай-
ной функцией X (/), принимающей значение k, если в момент времени t система находилась в состоянии Qk. Если переход системы из одного состояния в другое возможен в любой момент времени t, а вероятности Pik(t, т) перехода системы из состояния Qi в момент времени t в состояние Qk в момент времени т (т Z) не зависят от поведения системы до
т.'
момента времени t, то X (t) является марковским случайным процессом с дискретным числом состояний. (Число состояний может быть конечным или бесконечным.)
Для вероятностей перехода Pik(f, т) справедливо соотношение т
pitt(f, x)=^Pl}{t, S)Pjk{Sl t), J=o
Процесс называется однородным, если
Pik(f, X) = Pik(X-f).
В этом случае для марковского процесса
т
р Ik (* — О = S Рц (s — b Р Jk (* — «)•
Марковский процесс называется регулярным, если:
а)	для каждого состояния Qk существует предел
ск (0.= lim 4-11 -Pkk (Л f + Д01; -д/-»о zu
б)	для каждой пары состояний Q{ и Qk имеется непрерывная по t временная плотность вероятности перехода /»«(/), определяемая равенством
„ -. 1 . .Р/Н^+ДЭ P«(f) =77777 llm -----------
4W Д/-»о
где предел существует равномерно ванном k — равномерно по I.
Для регулярных марковских
Pik{t> т) определяются двумя системами дифференциальных уравнений:
dPik т) dt
bt
no t, а при фиксиро-
процессов вероятности
= -ск^Р^, т) +
+	't)cj(i)Pjk(.T) 0-я система),
J ^к	•
#----~Ci(.t)Pik(t, т) —
— с,(0	^)Рц(О _ (2-я система)
dPik (t, т)
(/, J, k — 0, 1, 2,	/7?)
при начальных условиях
где
( I, если i = k,
( 0, если 14= k.
Для однородного марковского процесса cz(/) и р^ф не зависят от времени, a PlJt(t, x) — Plft(x— t) и системы дифференциальных уравнений приобретают вид
=; — ckPlk (t) 4- V с}р)кР1} (/)	(1-я система),
ЛР^~ — ~~ ёБк (/>+ с‘ S PiiP^(Z)	(2 я система>
(I, J, k = 0, 1, 2.....т)
при начальных условиях
^(0) = д«.
Вероятности Pk(t) нахождения системы в состоянии Qk в момент времени t определяются системой уравнений
= __ Cjt (t) рк (/) +	с. (/) Р}Ь (/) Р} (0
j
(j, k — 0, 1, 2....т)
при соответствующих начальных условиях для Pj(f)- Если начальное состояние Qt задано, то начальными условиями будут
рй(/) = 6« при t = 0.
Для однородных марковских процессов последняя система Уравнений принимает вид
= - CkPk (/) + 2 CjpjkPj (f)
(j, k = 0, 1, 2, ... , m) и начальные условия будут
Pft(f) = 6iS при t=*0.
i Если для однородного марковского процесса существует такой промежуток времени t > 0, что P/A(f)>0 для всех I и k, то процесс называется транзитивным и для него существует не зависящий от номера исходного состояния предел
lim Plk.(t) = Jim Рк (f) = pk. /->CO
Предельные вероятности pk в этом случае находятся <из системы алгебраических уравнений
= S cjPjkPj U> k = Q, 1, 2» .... т). i+k
Уравнения для вероятностей Pik(f, т) и P{(t) могут быть получены или путем применения общих формул, приведенных выше, или путем нахождения изменения вероятностей различных состояний системы за малый интервал времени и перехода к пределу при ZV—>0.
Примером процесса Маркова является простейший поток событий, обладающий следующими свойствами:
стационарностью — при любом ZV > 0 и целом /г'>0 вероятность того, что за промежуток (t,	произойдет
k событий, одна и та же для всех С>0;
отсутствием последействия — вероятность наступления k событий за промежуток (t,	не зависит от числа
наступлений событий до момента t\
ординарностью —
где /?2 (ZV) — вероятность наступления не менее двух событий за промежуток времени Л/.
Решение типовых примеров
Пример 39.1. Система может находиться в одном из состояний Qo, Qp Q2, переходя за время Л/ в состояние с номером, на единицу большим, с вероятностью X № -ф- о (Af). Найти вероятности Рц,(1) перехода системы из состояния в состояние	за время t.
Решение. По условию процесс марковский,. : Кроме того, он регулярный, так как
Ci— lim —г [XЛ/4~°(д01 = = const, ЛГ->0 аг
1 f АД/*4-о (ДО	1
pi, м (О=7;'|т„—д/'~ •' =1 • остальные р(й —0.
• Следовательно, применимы уравнения для регулярного однородного марковского процесса	•
при начальных условиях Р/й(0) — д/й. Умножая обе части полученных уравнений на в* и суммируя по k от t до ©о, получим
^!|Д1==Х(а—l)G(f, в),
где G(t, u)=^Pa(f)u>.
k~i
Решение последнего уравнения имеет вид
lnO(/, а)==Х(а —1)/4-1п О(0, а).
Так как по определению
0(0, й) = | р(Л(0)а‘ = й|, fc=t
ТО
Ь (/; И) =	Ш == и1е-и 2	—
т = 0
~е 2^ (k—t)i
k st i
Сравнивая последнее выражение с определением G(t, и)1, получим	.
Р1Ъ (/) := -М—— е~м. ^inW—	е
Исходная система дифференциальных уравнений для Pik (t) может быть получена и иначе: вероятность Р;/г (t-f-A t) равна сумме вероятности Pik (t) [ 1—A, At— о (Д£)1 того, что переход из состояния Qi в состояние Qk (k > t) произошел за время t, и вероятности Plt k_t (t) [A. At-f- ° (At)] того, что этот переход совершен в интервале времени (t, t -|-At), т- е.
Pw(t+At) = Pzft(t)n-A.At~0(At)] +
+ ^,A-i(0lXAt4-o(At)J.
Перенося Plk(f) в левую часть равенства, деля обе части равенства на А/ и переходя к пределу при At->0, получим искомое уравнение. Так же выводится уравнение и при k = l.
Аналогично решается задача 39.6.
Пример 39.2. Система массового обслуживания состоит из большого (практически бесконечного) числа однотипных приборов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование, затрачивая на обслуживание случайное время, распределенное по показательному закону, т. е. имеющее плотность вероятности В систему поступает простейший поток требований с параметром А.. Определить:
а)	вероятность Рп (I) того, что в момент t в системе ровно п приборов будут заняты обслуживанием (п << т), если в начальный момент все приборы были свободны;
б)	предельные вероятности р,г — lim Рп (t);
в)	математическое ожидание числа занятых приборов в момент t.
Решение. Так как поток требований простейший, а время обслуживания подчиняется показательному закону распределения, то за промежуток времени (t, t-]-At) система может претерпеть более одного изменения только с вероятностями высшего порядка малости относительно At.
... Поэтому, учитывая только однократные изменения состояния системы за промежуток времени At, получим:
Р„ п+1	== A, At (1 — пц At) + о (At) = A, At-f- о (At),
; (t, t —J— At) = (1 — A, At)sp, At —{- о (At) === /ru At о (At),
Pn,At. t+ At) = (1 — A At)(1 — rap At) + о (bf) =
a- 1 — (X -j- At.-f- 0 (M).
Система регулярна, так как
1—РЯ(Я(^.«4-Д0 , .
с. — lim---Е—>. —- % _f_ йр, — const,
дг-*о , аг
__L Пт-ря,я+1а.^+ло	*
/’л. Л+1 сп	Л 4-пн’
п ______L lim л-l f + Af) — ”**
— ся 2; "о	—л+пн*
а) Подставляем найденные значения са, P„,n+i и Рп, л-1 в систему дифференциальных уравнений для P„(t):
dP^L == _ (х 4- пр) Рп (t) + ХРл_ j (0 4- (» + 1) ЦРя+1 (О. если 1, и
^0 =-ХРо(О4-рР1(О.
Если считать, что в начальный момент £ = 0 все приборы были свободны, то начальные условия будут
Лг(0)-дополученную систему решаем с помощью производящей функции
О(Л «)=2 ЛЛ0«”-11=0
Умножая обе части дифференциальных уравнений системы на и" и суммируя их, получим после простых преобразований дй (f, и) .. ч . f , ~ ..	, , dG (t, и) )
Начальные условия: 0(0, «)=1.
Полученное линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных заменяем эквивалентным однородным1)
dV	dV , п дУ Л
---р(1_й)^_-_Мь=«)О^ = 0
с начальным условием: V = О — 1 при t = 0.
') Н. М. Гюнтер, Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных, ГТТИ, 1934.
Для решения последнего необходимо решить «начала систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dt__ du ________ dG
1	ц (1 — и)	Л (1 —и) G'
которая имеет независимые интегралы
/_±1П(1^И):=С11
— и — In G = с,, р	2
Используя начальные условий t = 0, а = «ф G — О0, находим интегралы Коши системы
«о—1—(1—и)е~№,
О0==Оехр{£(1
Правые части являются главными решениями однородного дифференциального уравнения в частных производных. На их основе составляем решение задачи Коши для однородного дифференциального уравнения в частных производных
V = О ехр (1 —и) (1 —	} — 1.
Решением задачи Коши для исходного уравнения является функция О, при которой 17 = 0; отсюда
Q = ехр j —^-(1 — «)(1 — e~v-*) |.
Вероятности Ря(/) связаны с производящей функцией О (Л а) равенством
р < а — 1 dG (t' I яИ' — й! |в=&.
которое дает
1	( 1	\П £.1	1
ехР{-~(1
т. е. закон Пуассона.с параметром
б) Предельные вероятности рп получаются предельным переходом из найденных вероятностей Pn(t\,
1 / 1 \л_-
е и'
• - 	X •'
т. е. рп подчинены закону Пуассона с параметром а — — . (Тот же результат можно получить, решая систему алгебраических уравнений, получаемую из системы дифференциальных уравнений для Рп (0 после замены, в ней Рп (f) на рп. нулями.)	,	.
в) Математическое ожидание числа занятых приборов
СО м (о = 2 nP„(t).
Составим для него дифференциальное уравнение;
\	-	-	 bo ' ’ • •	со. i	
т=2п	®
Л = 0	л = 0	.
4- (Л + 1) |А^п+1 (0) =: X - рЛ1 ($.
Так как'в начальный момент все приборы свободны, то
Аналогично решаются задачи 39.17 — 39.19.
Пример 39.3. Система массового обслуживания состоит из т приборов, каждый из которых может обслужить одновременно только одно требование, затрачивая на обслуживание случайное время, распределенное по показательному закону с параметром р. В систему поступает простейший поток требований с параметром X. Обслуживание требования начинается сразу после его поступления, если в этот момент имеется хотя бы один свободный прибор; в противном случае требование получает отказ и не возвращается в. систему. Определить предельную вероятность отказа в обслуживании.
Решение. Обозначая Q, состояние системы, при котором I приборов заняты обслуживанием, имеем Pik (t) > О Для конечного промежутка времени. Следовательно, применима
теорема Маркова, утверждающая, что существуют предельные вероятности
р„ = lim Рп (/), /->оо
которые определяются по формуле  спРп ~ cn-lPn-l, п Рп-l Ч~ ca+lPrt+l, а Рп+Г
Аналогично предыдущему примеру имеем
X
с. = Х+»ц. />..„1=7^5Г'
Л. .- = 7^5-	«><»<»—1).
Ст = ПЦ1, рт> m+i = 0, а остальные вероятности pjk — Q. Подставляя эти значения Pjk в уравнения для ра, получим
(Ь + яц)ря = 1р„_ЖН-1)М>»+1	1; />-1=0),
ЯЩрт == hpm-V
Подстановкой zn = ^Pn-i — лщрв система приводится к виду Z1=O, zn — zB+r=0 (0< п<т), дт = о, откуда zn = 0 для всех п, а это вначит, что
Л.	1 Ш»
- Рп~-----Рп-1 ИЛИ Ри = —Т — Р0‘
гп пц	•гп п!
Система достоверно находится в одном из состояний Qa (n = 0, 1, 2...т), поэтому
И?
п=0
отсюда вероятность р0 иметь все приборы свободными равна
1
я=0
Вероятность отказа требованию в обслуживании
1 /К\т
рт =	—-— (формула Эрланга).
У 1 /ЛГ лА nl \ |х / п=0
Аналогично решаются задачи 39.8, 39.10, 39.11, 39.14.
Задачи
•
39.1.	Частицы, вылетающие из радиоактивного вещества в процессе его распада, образуют простейший поток с параметром %. Каждая частица независимо от другой с вероятностью р регистрируется счетчиком. Определить вероятность того, что за время t будет зарегистрировано п частиц.
39.2.	По двум линиям связи в один пункт поступает два независимых простейших потока телеграмм. Найти вероятность того, что за время t в пункт приема придет п телеграмм, если параметры составляющих потоков равны Xj и Х2.
39.3.	Электронная эмиссия с катода электронной лампы представляет собой простейший поток электронов с параметром X. Времена полета для различных электронов — независимые случайные величины, имеющие одну и ту же функцию распределения F (х). Определить вероятность того, что спустя время t после включения между электродами лампы будет ровно а электронов, и предельную вероятность того же события.
39.4.	Для простейшего потока событий определить коэффициент корреляции между числами появлений событий в интервалах (0, t) и (0, ZH-T).
39.5.	Для случайного момента времени Тп появления n-го события в простейшем потоке с параметром X определить функцию распределения	плотность вероятности
fntf) и начальные моменты тк.	\
39.6.	Найти вероятности перехода системы из состояния Qi в состояние Qk за время t в однородном марковском процессе, если при однократном изменении состояния она может перейти только из состояния Q„ в состояние Q„+1, а вероятность изменения состояния системы в промежуток времени (t, /-|_Д/) равНа {X Д/ + о (Ы) ].
39.7.	Клиенты, обращающиеся в мастерскую- бытового обслуживания, образуют простейший поток с . параметром X.	*
Каждый клиент обслуживается одним мастером в течение случайного времени, подчиняющегося показательному закону с параметром р. В случае отсутствия свободных мастеров клиент не ждет, а отказывается от обслуживания. Определить, сколько необходимо иметь мастеров, чтобы. вероятность отказа клиенту в немедленном обслуживании не превосходила 0,015, если р = Х.
39.8.	Один рабочий обслуживает т автоматическах станков, которые при нормальной работе не требуют его вмешательства. Остановки каждого станка вследствие неполадок образуют независимый простейший поток с параметром, X. Для устранения неполадки рабочий тратит случайное время, распределенное по показательному закону с параметром р. Найти предельные вероятности того, что k станков не работают (ремонтируются и ожидают ремонта), и математическое ожидание числа станков в очереди на ремонт.
39.9.	Решить задачу 39.8 при условии, что число обслуживающих рабочих равно г (г < т).
39.10.	В электронно-вычислительной машине могут быть применены либо элементы А, либо В- Отказы этих элементов образуют простейший поток с параметрами Хд — 0,1 ед./час и Хв — 0,01 ед./час. Суммарная стоимость всех элементов А равна а, суммарная стоимость элементов В равна Ь(.Ь~> а). Неисправность элемента вызывает простой машины на случайное время ремонта, подчиняющееся показательному закону распределения со средним временем, равным двум часам. Стоимость каждого часа простоя машины равна с. Найти математическое ожидание экономии от применения более надежных элементов за 1000 часов работы машины.
39.11.	В систему обслуживания, состоящую из п однотипных аппаратов, поступает простейший поток требований с параметром X. Обслуживание требования начинается немедленно, если имеется хотя бы один свободный аппарат, и оно требует работы только одного аппарата, который тратит на обслуживание случайное время, подчиняющееся показательному закону распределения с параметром р (рга > X). Если в момент поступления требования нет ни одного свободного аппарата, то требование становится в очередь,,	.
Определить предельные значения:
а)	вероятности рк того, что в системе обслуживания на* ходится ровно k требований (обслуживаемых и находящихся в очереди);
б)	вероятности р* того, что все аппараты заняты обслуживанием;
в)	функции распределения р (f) и математического ожидания 7 времени ожидания начала обслуживания;
г)	математического ожидания т1 числа требований, ожидающих начала обслуживания, т2 числа требований, находящихся в системе обслуживания, т3 числа свободных от обслуживания аппаратов.
39,12.	Поток поступления неисправной аппаратуры в мастерскую гарантийного ремонта является простейшим с параметром 1 = 10 ед./час. Продолжительность ремонта одной единицы является случайной величиной, имеющей показательный закон распределения с параметром р = 5 ед./час. Определить среднее время, проходящее от момента поступления неисправной аппаратуры до начала ремонта, если в мастерской 4 ремонтных рабочих, каждый из которых одновременно ремонтирует только один прибор.
39.13.	Сколько позиций должен иметь испытательный стенд для того, чтобы в среднем не более 1 % изделий ожидало начала испытаний дольше 2/3 смены, если продолжительность испытаний — показательно распределенная случайная величина, имеющая среднее значение 0,2 смены, а поступающие на испытания приборы образуют простейший поток со средним числом поступлений 10 единиц в смену?
39.14.	Система обслуживания состоит из п аппаратов, каждый из которых обслуживает одновременно лишь одно требование. Время обслуживания является показательно распределенной случайной величиной с параметром р. В систему поступает простейший поток требований с параметром X (рп > > А.). Обслуживание требования начинается немедленно, если есть хотя бы один свободный аппарат. Если все аппараты заняты, а число требований в очереди на обслуживание менее т, то требование становится в очередь; если же в очереди т требований, то вновь поступившее требование получает отказ.
Определить предельные значения:
а)	вероятности рк того, что в системе обслуживания находится ровно k требований;
б)	вероятности того, что поступившее требование получит отказ;	.	.
в)	вероятности того, что все обслуживающие аппараты будут заняты;
г)	функции распределения F(t) времени ожидания начала -Обслуживания;
д)	математического ожидания тх числа требований, ожидающих начала обслуживания, т2 числа требований, находящихся в системе обслуживания, т3 числа свободных от обслуживания аппаратов.
39.15.	Парикмахерская имеет трех мастеров, каждый из, которых в среднем на обслуживание одного клиента тратит 10 мин. Клиенты образуют простейший поток со средним числом поступлений 12 человек в час. Клиенты становятся в очередь, если к моменту их прихода в очереди менее трех человек, в противном случае они покидают парикмахерскую.
Определить вероятность pQ отсутствия клиентов в парикмахерской; вероятность р того, что клиент покинет парикмахерскую необслуженным; вероятность р* того, что всё мастера будут заняты работой; среднее число т1 клиентов в очереди; среднее число клиентов т2 в парикмахерской вообще.,
39.16.	Электрическая линия обслуживает т однотипных машин, каждая из которых независимо от других может нуждаться в электроэнергии. Вероятность того, что в промежутке, времени (t,	машина прекратит использование
электроэнергии, равна ц AZ-J- о (Ы), а вероятность того, что-машине потребуется энергия в том же промежутке времени,; равна X А/о (А/). Определить предельную вероятность тогог что к линии будет подключено п машин.
39.17.	Ливень космических частиц вызван попаданием-в начальный момент времени в атмосферу одной частицы. Определить вероятность того, что спустя время t будет п частиц, если каждая частица в промежутке времени (t, f-|- А/) с вероятностью [X Д^+о(Д?)] может вызвать возникновение новой частицы, имеющей практически ту же самую вероят-. ность размножения.
39.18.	Ливень космических частиц вызван попаданием в начальный момент времени в атмосферу одной частицы., Определить вероятность того, что в момент времени t будет п частиц, если каждая частица в промежутке времени (t, с вероятностью [X Af-]-o(A£)] может вызвать возникновение.
новой частицы и с вероятностью [p, о (Д0 j может исчезнуть.
39.19.	В неоднородном процессе чистого размножения (размножение без гибели) п частиц в момент t могут превратиться либо в п-\-1 частиц в промежутке (I, с вероятностью Хл (0 А/о (Д0, где
либо оставаться в неизменном количестве. Определить вероятность того, что в момент t будет ровно п частиц.
§ 40. Непрерывные марковские процессы
Основные формулы
Непрерывный случайный процесс U (t) называется марковским, если функция распределения F(un |«i, ..мл_1) ординаты процесса U(t) в момент tn, вычисленная при условии, что значения ординат процесса мь U2, .... ил_1 в моменты времени 0, t-2, .... £л_1 заданы (б < 0 < ... < /л-1 < 0), зависит только от значения последней ординаты, т. е.
•••> Нл—1)	F (нл|««— 1)-
Условная плотность вероятности /(«л|«л-1) является функцией /(/, х\ т, у) четырех переменных, где для краткости обозначено:
U(t) = X, U(x) = Y, /<т.
Функция /(/, х; т, у) удовлетворяет системе уравнений Колмогорова *)
д^ + а (0	+ х) -g^r = O (1-е уравнение),
:	йу~1я<т- У)л— уУ)/]==0(2-еуравнение),.
') Второе уравнение Колмогорова иногда называют уравнением чюккера—Планка или Фоккера—Планка—Колмогорова, поскольку до его строгого вывода А. Н. Колмогоровым оно встречалось ранее в-Работах физиков.
где
a(t, Х) = lirn—J—— Xj|Xs=Xj,
b(t, x)= lim-i-TM{[r~Xp|Ar = x|.
-r_^/ T —• f
Функция f(t. X', x, у) обладает общими свойствами плотности вероятности:
f(t, х; х, у)>0, J/(/, х; х, y)dy—l
и удовлетворяет начальному условию
/(?, х; х, У) —б (у— х). при x — t.
Если область изменения ординат случайной функции ограничена:

то кроме указанных выше условий должны быть выполнены еще граничные условия для функции
О(т. у)==а(т, у)/ —± JL^(T, у)/),
которую можно рассматривать как «поток вероятности»:
О (г, а) — О (г, р) = 0 для любого х.
Совокупность п случайных функций ЦС/)......... ипУУ
является марковским процессом, если плотность вероятности f (функция распределения) для ординат F2, ..., Yn этих функций в момент времени х, вычисленная при условии, что в момент времени t ординаты случайных функций имели значения Л"1, Ху .... Л'д, ие зависит от значений ординат случайных функций Ur(t)......£/„(/) Для моментов времени,
предшествующих t. В этом случае функция / удовлетворяет
системе многомерных уравнений Колмогорова

+4 2№ *> *2..........х»> д^-=0 <Ье уравненке)-
... Л'=1, •• -и
<+£<57^*................
« 2
~У S Ж [ЬП(т’V У1’ • • • ’ у«) /1 = 0 (2"е уравнение),
где коэффициенты а} и Ь} определяются равенствами tlj (/> xv .... xa) =
= lim_> М[(У	.Хя = х„],
хг.....x„) =
— lim _> M[(K;-A’y)(rl-Xz)!A'1 = xl...........Xa=xa],
x-> r~l J
& начальными условиями будут
т = /,/(/, Xi....Хя\ Т, У!....ул) =
= 6 (У! — Xj) 6 (у2 — Х2) . . . 6 (у„ — Х„).
Если дано, дифференциальное уравнение для компонент марковского процесса Ь\ (t), U2 (/)> • • • •	(0> т0 Для опре-
деления коэффициентов а у и bjt (а и b — в линейном случае) нужно вычислить отношение приращений ординат случайных функций Uj (t) за малый интервал времени к (т — t), найти условные математические ожидания этих приращений и их произведений и перейти к пределу при x->t.
Всякому многомерному уравнению Колмогорова соответствует система дифференциальных уравнений для компонент процесса
V =	....f4)+	uv...,
m = l
Ij= 1, 2, ..., n,
где 6m(/) — взаимно независимые случайные функции с независимыми ординатами («белый шум»), корреляционные функции которых /<т(т) = д(т), а функции ф, и gim однозначно определяются системой уравнений
Для решения уравнений Колмогорова могут быть использованы общие методы теории дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа (см., например, [24]). Когда at и bim являются линейными функциями ординат решение может быть получено, если от плотности вероятности f (t,	хп; т, ур ..., уя) перейти
к характеристической функции
Е (2), ..., za) — со со
= f •  • f exp p(2Tjyi+ ... + *ЯУЯ)} X — ОО	— ОО	' 
X f (t, *1.....хп; х, У1...уя) dyt... dya,
для которой имеет место линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, решаемое общими методами (см., например, Гюнтер Н. М., Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных, ГТТИ, 1934).
В том случае, когда коэффициенты at. blm не зависят от t, имеет смысл задача нахождения стационарных решений уравнений Колмогорова. Для отыскания стационарного решения второго уравнения Колмогорова нужно положить -^- = 0 и искать решение полученного уравнения в виде функции только уР у2, .... уя. В частном случае одномерного марковского процесса решение получается в квадратурах.
Любой стационарный нормальный процесс, обладающий дробно-рациональной спектральной плотностью, можно рассматривать как компоненту многомерного марковского процесса.
Вероятность W (Т) того, что ордината одномерного марковского процесса в течение времени Т — х — t после момента времени t, для которого задана плотность вероятности ординат
случайной функции /0(х), ни РазУ не выйдет за пределы интервала (а, Р). определяется равенством .
W (Т) = f W (г, у) <fy, т = t + Т, а
где плотность вероятности w(t, у) является решением второго уравнения Колмогорова при условиях:
w(r, у) = /0(У) при. т = Л
w(т, а) = w(г, Р) = 0 при x^t.
В частном случае, когда начальное значение ординаты задано, у0(у) = 6(у— х). Плотность вероятности f (Г) времени пребывания случайной функции в интервале (а, р) определяется равенством
=	T — x — t.
. а
Среднее время пребывания Т случайной функции в интервале
ОО
(а, р) связано с w (у у) соотношением Т — J* W (Т) dT.
При а =5^ оо, р = оо /последние формулы дают: вероятность W (Г) пребывания случайной функции выше заданного уровня а, плотность вероятности f (Т) времени выброса и среднее время выброса Т.
Среднее число выбросов за уровень а в единицу времени Для одномерного марковского процесса равно бесконечности, однако среднее число выбросов в единицу времени ге(г0) для .выбросов, длительность которых больше т0 > 0, конечно и Для стационарного процесса определяется формулой
СО
»(т0) — f («) f ® (т0. У) dy,
!	а
где f (а) — плотность вероятности Для ординаты процесса, взятая при аргументе a, v (т, у) — решение второго уравнения Колмогорова для случайного процесса при условиях:
Ь < ч ;	V (г, .,yj == Q'k X t,: » (%,:. й) ==F б (Т - - . . 
что эквивалентно решению уравнения для преобразования v(p, у) Лапласа—Карсона. Для. стационарного процесса
Э7 [т ЭУ" ~~ °'с’] ~ Pv' v~ Р ПРИ у = «• V = О при у=оа. Изображение п(х0) равно
п (р) = — ~ f (а)	4- / (а) а (а),
г	у=а
Вероятность W (Т) того, что ордината U^t) компоненты мно!омерного марковского процесса не выйдет за пределы интервала (а, р), если в начальный момент закон распределения компонент процесса Ц(0.	•••• известен,
определяется равенством
ОО	СО Р
W(T) =	Ур •••.УЯИУ1---^У«-1^УЯ.
—СО — SO <2
r = t — t.
где ®-(т, уР ..., уп) — плотность вероятности для компоненты процесса попасть к моменту времени т в элемент объема fifyj. .. dy„ при условии, что за интервал времени (t, т) ордината Ux (t) ни разу не вышла за пределы интервала (а, р). Функция тех (т, у1...у„) является решением второго урав-
нения. Колмогорова при условиях:
•®(т> У1 . •У„) —/о(Ур •  У^ пРи T===f;
w(t, а, у2, .... ул) = -ш(т, р, у2, .... уя) = 0 при т>^.
Плотность вероятности f(T) времени пребывания компоненты Ul(t) в интервале (а, р) определяется формулой
СО	СО Р
/to = f J	<Т' М <»
—оо —со а
T=zX~t.
В последней формуле а может быть равно —оо или Р равно 4-00, что будет соответствовать вероятностям пребывания не выше или не нцже заданного уровня.
Решение типовых примеров
Пример 40.1. Составить уравнения Колмогорова для многомерного марковского процесса, компоненты которого (У,(/), U2(t), .... Un(t) удовлетворяют системе дифферент циальных уравнений
^2- = ф?.(/, Ц, ..., {/я) + сДД/), /==1,2.............п,
где фу —-заданные непрерывные функции, Су.—заданные постоянные, а £у(/) — независимые случайные функции, обладающие свойством «белого шума», т. е.
^(/) = 0, ^(т) = д(т).
Решение, Для составления уравнений Колмогорова достаточно определить коэффициенты aj и bjt этих уравнений.
Обозначая ординату случайной функции Uj(t) в момент времени t через Xj, а ординату ее в момент времени т через Y }, после интегрирования исходных уравнений получим
F,. - Х^-=	£/i((i), ...,\Ua (/)] dtx + cj f ij (/,) dtv
t . .	I	t
Считая разность x— t малой, с точностью до величин второго порядка малости, в первом интеграле фу можно вынести из-под знака интеграла, положив /] ==/,(/ = U2 = Х2, • • • ..., U„ — Хп, что дает
Ру - А'у = фу (/, Xf, ..., Хп) (х - /) 4- с} f g, (/,) dft. т. е.
^^- = фу(/, ХР .... Хя) + -^7/ t
Полагая случайные величины Х}.........Хл равными xv ...
ч -'1«‘ Хп> находя математическое ожидание последнего равенства и переходя к пределу при т->/, получим
aj^> xi......= Xj...............xn).
Перемножив выражения для (К} — X/) и (Yt — Xt) и находя математическое ожидание полученного произведения, получим м кг, - xz) (yt - ха I •*!••••• •*«!=
“V- Хр .... хя)ф,(А Хр .... хя)(т — /)24-
f 6	^2 ~
t t
=fy(t Хр ..., хя)фДЛ Хр ..., Хя)(т—f)24-C/cz(T—О,
что после деления на (т — t) и перехода к пределу дает bn(t, х,....................хя) = с/сг
Пример 40.2. Дано первое уравнение Колмогорова для условной плотности вероятности f(t, Хр х2; т, уь у2) нормального марковского процесса:
~ + х2 ~ — (й2х1 + 2йхг) 7^- + 4" °2 ТТ = °-
dt dxi	дх3 2 дх2
Определить систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют компоненты процесса Ur(t) и U2(f).
Решение. В соответствии с принятыми обозначениями для коэффициентов уравнений Колмогорова имеем
а1 = х2. а2 — — &2Xj—2/zx2, />п=г>12 = 0, Z>22==o2.
Искомая система дифференциальных уравнений имеет вид
2
= Uv	иг. U2nm(f). Z=l, 2.
т	т-1
где l,m (Z) — «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. В соответствии с общей формулой, приведенной во вводной части параграфа, имеем
£и + £12 = °- ад2+ «22-°-
= =
Следовательно,
а искомая система уравнений имеет вид ^^- = 1/2(0.
== - {k4Jx (О -Ь 2hU2 (01 + <Я> (О-
Исключая из второго уравнения U2(t), получим для Ui(t) уравнение второго порядка
-I- 2/г4г- +	= о£ (О-
dt2 ' ОТ	1	®
Пример 40.3. Нормальный стационарный процесс U(t) имеет спектральную плотность
с /т\__ I (to) I2
“( )— I Qn (to) I2 ’ где ,
РЯ1(х) = ₽оХя, + Мя,"1+ ••• +РОТ.
QZj (х) = х" 4-ajX"-1... -f-a„, п > т,
а а, и Ру — известные постоянные. Рассматривая U (t) как компоненту многомерного марковского процесса, определить коэффициенты уравнений Колмогорова для этого процесса.
Решение. Стационарная нормальная случайная функция с дробно-рациональной спектральной плотностью является решением линейного дифференциального уравнения, содержащего в правой части «белый шум». В данном случае уравнение имеет вид
d"U I a dn~'U А I П-Л | fl	1	4-8?
+ al dtn-l -i----+anu Pod/m+P1 лПг-1+• • • H-P/nS*
Перейдем от уравнения га-го порядка, содержащего в правой части производные от функции к системе уравнений первого порядка, не содержащих в правых частях равенств производных от £ (t). Обозначив U (/) = Ut (t), введем новые переменные, определяемые равенствами:
^2=^. и3=й2..........ип_т = йа^,
^а-т+1 Uп—т ^п-т	а-т+2 == &л-т+1	^л—т+1В>
U п — &а-l	сл-1^>
где с, —пока произвольные постоянные. Выписанные равенства
362
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
1ГЛ. vrn
дают систему п— 1 уравнений первого порядка. Для получения последнего (л-го) уравнения в исходном дифференциальном уравнении л-го порядка необходимо все производные от U выразить через Uj и их первые производные. Выполнив эти преобразования, получим
+	... 4-ай[У1 + гй_т^ +
+ (^ и - „НЛ +	л ~ m) Vm "1 ’ + (с/г - m + 2 4~ <V л - m +1 +
4-а2сл-т)^(т'2) 4~ ••• 4-(сл-14-а1«'ч-2 4-а24г-з4- ••• + ~Ьат-1ея-т) V4~(al<\-14~a2fn-2 4~ • • • 4-атсл-тН =
= Роб('п)4-РД("1-1,4- ... 4-fW'4-M-
Определяя коэффициенты Cj так, чтобы из уравнения исчезли производные от £(/), получим рекуррентные соотношения
Z-1
с1 = ^1+т-п— S	1 = п — т.....л—1,
j=n-m
что для последнего уравнения системы дает
-^Т* * 4 5-4-а1^л4- ••• 4~ал^1 = ^- сп~$т— S an-jcj-dt	Jsn-rn ’
Так как компоненты л-мерного процесса удовлетворяют системе уравнений первого порядка, в правых частях которых стоит «белый шум», то процесс является л-мерпым марковским процессом. Определение коэффициентов уравнений Колмогорова производится так же, как в примере 40.1.
Пример 40.4. Условная плотность вероятности f(t, Хр х2; т, ур у2) двумерного случайного процесса U} (/), U2 (/) удовлетворяет уравнению
(«у./) - V (р V" 1+1/) -
дх ду,	ду2	2 ду^
X иу2 где а и Р — постоянные.
Определить систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют функции t/j (/) и U2 (t).
Решение. Заданное уравнение является вторым уравнением Колмогорова, следовательно, процесс является двумерным марковским процессом.
§ 401	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	363
Коэффициенты уравнения имеют значения
at = —Ру2. а2 = —аУг £ц=р/1-|-У2 А22 = а К 1 -ф- у 1, Ь12 = 0.
Искомая система уравнений имеет вид
-^ = 11-^, Uv U2)-^^glm(t, Uv U2Hm(t),
т~1
S (t' и1  и-] W-
т- 1
где (О и (О— некоррелированные случайные функции типа «белого шума» с единичной дисперсией. Согласно общей теории, для определения glm имеем систему алгебраических уравнений
+	+ • ^1+^22==а VH->!b
^11^12 + ^22 = °-
Отсюда находим
£12 = 0. gn-=J/ р уЧ + уЗ , g-22 = j/’a У 1 + yf,
Ф1 = ~ Р У 2’ Уз = — ayr
Следовательно, искомая система имеет вид
Ь (о.
4 (0-
Пример 40.5. Определить асимметрию Sk и эксцесс Ех ординаты случайной функции Z (t), определяемой равенством
если £ (0 —нормальная случайная функция, £=0, ^(т).= _o2e-a|r|( а переходный процесс предполагается закончившимся (ср. с задачей 35.29).
Решение. Так как спектральная плотность
л со2 а;
364
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIИ
является дробно-рациональной функцией частоты, то t.(t) удовлетворяет уравнению
^-4-а, = ор/ - sW.
где £ (t) — «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Поэтому, введя в рассмотрение двумерный случайный процесс с компонентами (/) = Z (/), U2(f) = для условной плотности вероятности /(/, Xj, х2; т, уР у2) этого процесса получим второе уравнение Колмогорова в следующем виде:
+ -г- [(Я — к\) /] — «	(У2/) — «о2	= 0.
от оу, 1'	7 J фу2	ду..
Для установившегося режима f(t, х2; т, ур у2) = f(y}. у2) и уравнение Колмогорова примет вид
=§=о.
По условию задачи необходимо определить начальные моменты mt ординаты функции Kj (т) до четвертого включительно. Искомые моменты связаны с двумерной плотностью вероятности /(ур у2) соотношением
СО СО	03
/И; f f У'^ (У1’ У2)	= f 7'1 (У2) dy2'
— СО — СО	— СО
где обозначено
7.1 (У2)= / У1/(Ур У2)^г
Умножив обе части уравнения Колмогорова на у^, интегрируя полученный результат по ух в бесконечных пределах и учитывая, что
ио
У	у2)]^’, =
-от	оо
У2)|“от-* У У$-'(yi-^yJ/Cyp y2)<v,.^
— со
§ 401
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
365
получим рекуррентное соотношение между (у2) и y4_i(y2): zf2y
“У2 аУ'2
Умножая обе части последнего равенства последовательно на 1, у|. у2 и у®, после интегрирования по частям и отбра-сывания обращающихся в нуль впеинтегральных членов получим ряд равенств:
ОО
'"z=v J y^z_i(y2) <Ъ’2.
1 mi+i— k2(k2l+2a)
I f У2Хг_1(У2)^2 + 2аа2т7 — со
I 4-1 'и:+2 — k2 (^2/4-4а) [(Z 4-1) А:2 + 2а]
СО
I f (y2)rfy24-— 00
2аа2 (6А:2 4-7А2/4-4а) н----------гр---------ml+l f
т_____________________d+1) (1 + 2)_____________
т1+з — k2 (д.2/ 4- ба) (д.2/ 4- д.2 4- 4а) [Д.2 (Z 4- 2) 4- 2а] А
I г хр J л.!(уг)<<уг +
. 2а2а [(13k2+7k2l + 4а) (k2l+6a) 4- 15k2 (k2l+k2+2a) (/4-2)] mt+2
~t-	(Z4-l)(Z4-2)
60а4а2	)
Z 1 W!+11 •
Положив в этих равенствах 1=1, получим возможность выразить четыре начальных момента через %0 (у2). Вследствие нормальности функции К2 (т) = £ (г)
“	у2
Хо (У2) == f f (Ун У2)	= / (у2) = е 2о’ •
366
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
Следовательно, все интегралы, входящие в предыдущие равенства, вычисляются, и мы получим ответ, совпадающий с ответом задачи 35.29, решенной более сложным образом.
Пример 40-6. Определить условную плотность вероятности f(t, Хр .... х„; т, ур .... ул) многомерного марковского процесса, если во втором уравнении Колмогорова
6/ дх
п	п
к-1	к, > = 1	1 к
коэффициенты = const, функции у;-:
коэффициенты а1 — линейные
/, J = 1,2...п,
а область изменения у у есть (— оо, оо).
Решение. В соответствии с условием задачи решение уравнения должно быть найдено при начальном условии
/ = Il6(yz — xz) при x = t i-i
и при условии, что функция f обращается в нуль при |yz|—> оо, ОО	оо
a j . .. f f dyx ... dyn — 1 для любого т. — СО	—00
Переходим от плотности вероятности / системы случай-
ных величин Ер Е2, .... Yn к характеристической функции
E(zv z2
00	оо
— 00 -оо
п
1=1
• • dy„.

Для этого умножаем обе части второго уравнения Колмого-
{п	1
Z У ztyt 1 и интегрируем по ур у2, . . ., уп в бес-;=i	J
конечных пределах. •	'
§ 40]
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
367
Если учесть при этом, что
=
1
* jVj t zialf аУх ••• dyn =
7 = 1
D V дЕ ' = — iZfltE —
d2f	I. V	I .	,	r,
exp j i Л zmym аУ1 • • • аУп = — z^fi, j 1	I m = l	J
то уравнение для E примет вид п	/ п	п	\
дЕ V дЕ	/ , V	1 V » , а I а
®mlzm ()г^	I 2l zm,,'rn 2 ^Ll ZmzlPml I E
\ m = l	m,l-l	/
Положив E — exp (—V}, для V получим уравнение
dV V OV .v ,1V	,
дх	E 1 dzt	' 2	> 1 E
j,l=i	j=l	j.l^i
которое, в соответствии с начальными условиями для /, нужно интегрировать при условии
п
x — t, V — 12 z iXj.
Из общей теории известно, что закон распределения для рассматриваемого процесса является нормальным. Поэтому ищем решение для V в виде полинома второй степени от z,, т. е. в виде п	п
V = 2 2 kEzizl — 1 S У/У
i, (=i	/=i
где kjt и уу — вещественные функции от г. Для определения этих функций подставляем последнее выражение в дифференциальное уравнение для V и приравниваем коэффициенты
368
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ VIII
при одинаковых степенях zt в левой и правой частях уравнения. В результате получим
^7 dx
гг
У ЭД = «у /=1
(J, 1=1, 2.п).
dkji	,
m = l
Система уравнений для определения уу не зависит от kjt и должна быть решена при начальных условиях: x = t, yj — Xj. Система уравнений для не зависит от у у и должна быть решена при начальных условиях: x = t, kjl = O. Из общей теории линейных дифференциальных уравнений следует, что уу и kjl являются линейными комбинациями экспоненциальных функций вида е?>(т"п, где к— корни соответствующего характеристического уравнения (при наличии кратных корней коэффициентами у экспонент могут быть полиномы от т). Общие формулы могут быть получены методами матричного исчисления.
Пример 40.7. Найти условную плотность вероятности fit, X', т, у) для процесса, определяемого уравнением
дх оу IV >	2у)}\	2 ду* V’
0 < у < оо,
если аир — постоянные.
Решение. Применяем метод Фурье, т. е. ищем сначала две функции ф(т) и % (у), произведение которых удовлетворяет данному уравнению независимо от вида начальных условий. Подстановка в уравнение дает
1 ^Ф _ 1 f _£ Г _______аМ 1 , «г 1
ф dx х I dy LVJ	2у ) лj *" 2 dy2 | *
Так как левая часть равенства не зависит от у, а правая не зависит от т, то обе части равенства равны постоянной. Обозначив эту постоянную через — к, получим
а2
2
dV2

§ 40]	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	369
Первое уравнение имеет очевидное решение
•ф(т) = г~?-<*-').
Второе уравнение имеет решение, стремящееся к нулю на бесконечности, только при дискретных значениях Z. = 2«p, п = 0, 1, ... В этом случае уравнение для х(У) имеет решение
где Ln (х) = ех „ (е~-гхя)— ортогональные полиномы Ла-д2
герра, а о2 =. Так как найденные функции ф(т) и у (у) зависят от целого числа п, то решение f исходного дифференциального уравнения можно искать в виде линейной комбинации произведений этих функций, т. е. в виде
ОО	у2
f (f, Х-, т, у) = У Cne ^(r-t) 1_ e~^Ln ,
л = 0
где коэффициенты сп должны быть определены так, чтобы при t = Z функция f(t, х; т, у) обратилась в б (у— х), т. е.
ОО	у2
С,г'п!"ог е 23	(’Sr)==
п=0
Для определения постоянных сп достаточно умножить послед-I V2 \
нее равенство на ye 2°2Ln I и проинтегрировать по у в пределах (0, со). Пользуясь ортогональностью полиномов Лагерра и свойствами б-функции, получим
с = — — е 21,1 L
" п! о2 "
т. е.
_^2 _j_ СО
f(t,x\x v) — ^-е 21,1 V	A Z, f—1 е-2«Р(т-о,
м , v, I, У) — 0- е	(н 1)2 ьп ^2о2 ) п \2о2)
п=о
370
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
{ГЛ. VII
Пример 40.8. Найти вероятность W(т) того, что ордината процесса U (^, определяемого уравнением ^4-аС/ = £(0 где Sj (со) = с2 — const, £ = 0, к моменту т ни разу не пре взойдет уровень у = 0, если при t = 0 U(t) —— Р; р>0
Решение. Плотность вероятности w(t, у) того, чк в момент времени т ордината случайного процесса, ни раз\ не превзойдя нулевой уровень, будет находиться в интервале (у, у-]-dy). определяется вторым уравнением Колмогоров;
dw д ,, с2 d2w _
-т----а—(у ап—гг-гт-=0.
дх ду '	2 дуг
которое в данном случае нужно решать для у<0 при уело виях: xhj(x, у) = б(у-(-р) при т —0; тг>(т, 0) = 0 при любом т. Искомая вероятность
о lF(t)= J:e>(T, у) dy.
Для упрощения коэффициентов уравнения введем безразмерные переменные
Ко" т1 = ат, y1 = -j-y,
после чего уравнение примет вид
1	d2w , д ,	. dw	_
2	ду\	дуг	d-q
тгДТр у1)=121б(у14-р1) при Tt = 0,
w (Т[, 0) = 0 при Т] > 0, где Р! = р.
Решая уравнение методом Фурье, положим w(xv yi) = = ф(т1)у(у1), что для функций и х(У1) дает уравнения
J^X+2y ^Х__|_2(Х24-1)х = 0.
Ф dxt	ау^ dyt	А
Первое уравнение имеет очевидное решение фДт;) = е-г-2и , второе уравнение имеет конечные на бесконечности решения только при К2~п (/1 = 0, 1, 2, . . .), когда
Z (УО — е~у1Нп (yt).
§ 40)
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
371
где
*	2 я /	2 \
(У1) = (—1)"	~~1Г \е~51)~ полином
Эрмита.
Следовательно, решение можно искать в виде
2 03
® =	2 апе~пх' Нп (ус).
л=0
Так как при yi — 0 w должно обращаться в нуль при любом т5, то ряд может содержать только полиномы Нп (у']) с нечетными индексами (H2k+V (0) = 0, H2k (0) ¥= 0 при любом целом k 0). Следовательно, решение должно иметь вид
О со
fe = 0
Для определения коэффициентов а24+! необходимо удовлетворить начальному условию, т. е. условию
е 1	а2* +1^24 + 1 (у 1)
* = 0
—-6 (у! + ₽!)> У!<0.
Этому условию эквивалентно условие для области изменения у, от —оо до -f-co:
° °°	1/~
।	= V 6 W ~ 6 (У) - ₽1).
*=о
Умножая обе части последнего равенства па Н2к+1(у1'), интегрируя по У] от —оо до -j- со и учитывая, что
J е ~х'Нп W ит (х) dx = 2пп! /л Ьтп
(6„,1=1, f)mn = 0 при п #= т), получим
Ы — о», , ,------------7-^ ~~~— '	j (Р|)*
22*+< (2А-Н)!Кл с
Таким образом,
= — е~У" У е-(2*+»т,.	н (Pi)^2*+1 (3»1)'
22* (2й + 1))/л с 2Л + 1М1/ a+ivu
372
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
Возвращаясь к переменным у и т, будем иметь
__ СО	а
®<(Т, У) =---1-Д.у е-(2А+1)тИе-^5'2 у
сул ~
’ fe=O
v 1 н	и / / а у \
Х 2“ (2й + 1)! М+1 \~1 2к+Х 1~/ •
Подставляя полученный ряд в формулу для W (г) и учитывая, что
J е с Л2*+Ц—7~/— — CQ
О
= / e"yW2A+1 (У1) dyx = (-l)ft+1 -»,
— GO
получим
оо
Г (г) = ~ У е- (2А+’)™	(~1)&---Нчк+г .
/л	22&(2й-{-1)й! -*+Ч с /
Задачи
40.1.	Найти коэффициенты уравнений Колмогорова для «-мерного марковского процесса, если его компоненты Ul(t), U2(t), .... Un(t) определяются системой уравнений
dU,
= U,..........Un) + ^.j(t, U....UJljtt),
J=l, 2, .. •, п,
где фу- и фу —заданные непрерывные функции своих переменных, a jy(O — независимые случайные функции, обладающие свойствами «белого шума»:
Iy = 0, /<v(t) = 6(t).
40.2.	Дана система дифференциальных уравнений
dU,
....Un, Z),	/=1. 2......п.
§ 40]
НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
373
где фу — заданные непрерывные функции своих аргументов, a Z (t) —-нормальный стационарный случайный процесс, имеющий спектральную плотность
(°’) = (И2 4- а2)3 •
Добавить к многомерному процессу (-Л (/). ..Un (t) необходимое количество компонент таким образом, чтобы полученный процесс был марковским. Составить для него уравнения Колмогорова.
40.3.	Дано, что U (t) — стационарный нормальный процесс, спектральная плотность которого
,, . .__	с2о>2
[(Ы2 _|_ аг _|_ 02)2 _ 4fj2ft)£j >
где с, о. и р — постоянные.
Показать, что U (t) можно рассматривать как компоненту многомерного марковского процесса, определить число измерений процесса и коэффициенты уравнений Колмогорова для этого процесса.
40.4.	Определить коэффициенты уравнений Колмогорова для многомерного марковского процесса, заданного системой уравнений
dU .
=	.... UJ + Zjtt),
где
Zj (/) = 0. M [Zj (t) Zl(t + x)] = фуг (/) d (t).
/, /—1, 2.......n,
a (py- и фу-г — заданные непрерывные функции своих аргументов.
40.5.	Случайные функции Uj (f) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
dU 1
Ux..... Ur. Z),	7=1, 2, ..., г,
где фу — заданные непрерывные функции своих аргументов, a Z (/) — стационарная нормальная случайная функция с дробнорациональной плотностью:
374
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. «гш
где полиномы
Pm(x) = pox"- + Mm’‘+ ••• +Pm.
Q„ (.v) — хп 4- ajX"-1 + ... -j- a„
имеют корни только в верхней полуплоскости.
Показать, что .... Ur(t) можно рассматривать как компоненты многомерного марковского процесса, определить число измерений этого процесса и найти для него коэффициенты уравнений Колмогорова.
40.6.	Показать, что если для многомерного марковского процесса справедливо уравнение Колмогорова
п
2 dydv (f’jrnf)'—01 /,т=1	1
где ay. a/m, bjm (j, т=1, 2, .... п) — постоянные, то случайный процесс удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
dC j
~t----F Y = J — l- 2....................П,
где
Д = az, (T) = bjfi (T),	(T) = b/mb (T).
40,7.	Вывести систему дифференциальных уравнений для компонент двумерного марковского процесса (t), U2(t). если условная плотность вероятности f (t, л'Р х<>\ т, ур у2) удовлетворяет уравнению
, 1 Г df । ' / л df 1 4? + 7 [ -v2 4^7 + ф (У1) 77J ~
______i_
.и2
Г д2
-х~2 (Уг/) 4
L дУ\
X2 дгг 2 ду1
|1 = const, — const.
40.8.	Определить закон распределения ординаты случайной функции U (0 для установившегося режима, если
d2U dt2
a2 dU
2 dt

5 40]	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	375
-де а — постоянная, ср (47)—заданная функция, обеспечивающая .-уществовапис установившегося режима,
1(/) = 0, /О(т) = о2д(т).
Решить задачу в частном случае <р (47) = р2473.
40,9.	Определить стационарный закон распределения ординаты случайной функции U (/), если
^- = <р((/)-НФ (0)^(0,
где Ф(О’) и ф((7) — заданные функции, а £(/)— «белый шум» с пулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
40.10.	На вход диодного детектора, являющегося последовательным соединением нелинейного элемента с вольт-амперной характеристикой F (И) и параллельной цепочки RC. поступает случайный сигнал £(/). Определить стационарный закон распределения напряжения U (/) на цепочке RC, если уравнение детектора имеет вид
где R и С — постоянные, a t(t)— нормальная стационарная функция, для которой
1 т |
4(/) = 0, Д'-(т) —сие .
Решить задачу для частного случая, когда
kv, v О, Мо, г» < 0.
40.11.	Определить закон распределения ординаты случайной функции 77(/) для момента времени т > 0, если
fo(x) — -^e 2“г . U(t) = X при t — 0 (х^О).
40.12.	Уравнение, определяющее напряжение U (f) экспоненциального детектора, на вход которого поступает
376
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIH
нормальный случайный процесс С(0> обладающий малым временем корреляции, имеет вид
где R, С, а, 10 — постоянные детектора, £ = 0, К? (т) = о2е-а 1 т L
Представляя приближенно
и считая
=	—М[е“ьЮ]
дельта-коррелированным процессом:
W
где
о| — f Kt, СО dr,
определить стационарный закон распределения для ординаты U (/).
40.13.	Случайный процесс U (t) удовлетворяет уравнению ^.=_ф(г/)+^(0.
где ф (U) — заданная функция, | (f) — «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а при заданном виде функции <p(t7) возможен установившийся режим. Определить плотность вероятности f (у) для установившегося режима.
40.14.	Случайная функция U (f) удовлетворяет уравнению ^. = а(О-|-р(ОС/Н-у(ОНО
при начальных условиях %~t, U(t) — x.
Найти закон распределения ординат случайной функции для момента времени т^-А если а (7). Р(0 и y(t) — заданные функции времени, — «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
§ 40]	НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	377
40.15.	Отклонение руля высоты самолета, сообщаемое автопилотом для ликвидации воздействия пульсаций ветра, характеризуемых случайной функцией е((), приближенно описывается дифференциальным уравнением
где То и 10 — постоянные.
Определить условную плотность вероятности /(/, х; т, у) ординаты случайной функции Д (t), если математическое ожи-ние е(0 = 0 и приближенно можно считать, что Ке (т) = о2д (г), а Д = х при т — t.
40.16.	На вход динамической системы второго порядка поступает случайное возмущение £(£):
+	+ W =	k>h>0.
Определить условный закон распределения ординаты случайного процесса U(t) в момент времени если в момент времени t U (t) — x, U (t) — 0, £(£) = 0, AS (т) = c2d (т); c, h, k — заданные постоянные.
40.17.	Уравнение, определяющее работу звена системы автоматического регулирования, имеет вид
= — a sgn и 4- cs (0.
где а, с — постоянные,
1(0 = 0,	(т) = д (г).
Составить уравнение Колмогорова для определения условной плотности вероятности f(t, х; т, у).
40.18.	Движущаяся заряженная частица находится под действием трех сил, направленных параллельно вектору скорости частицы U (f): силы, создаваемой электрическим полем напряженностью £(/); ускоряющей силы, создаваемой полем, напряженность которого может быть принята обратно пропорциональной скорости частицы, и силы трения, пропорциональной скорости частицы. Уравнение движения частицы имеет вид
378
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
Определить плотность вероятности /(/, х; т, у) для величины скорости частицы U (I), если а, |3 и у — постоянные, а £ (/) — 0, Azj(t) = S(t); масса частицы равна т.
40.19.	На вход радиоприемника поступает случайная помеха U (t), которая воспринимается только в том случае, если абсолютная величина сигнала больше порога чувствительности приемника и0. Определить вероятность W (7’) того, что в течение времени Т не будет принято ни одного ложного сигнала, если U(/) — нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией
А'ц(т) = о7е~а 1 т!,
где и0, а и о — постоянные, а £/(/) = 0 при / — О-
40.20.	На вход радиоприемника поступает случайная помеха U (f), которая воспринимается только в том случае, если величина сигнала больше порога чувствительности приемника и0. Определить вероятность W (Т) того, что в течение времени Т не будет принято ни одного ложного сигнала, если U (/) — нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией
/Са(т) = о2е-а>т1,
где zz0, а и о — постоянные, a U (Q = 0 при / = 0.
ГЛАВА IX
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
§ 41. Определение моментов случайных величин по результатам опытов
Основные форму лы
Приближенные значения моментов случайных величин, получаемые при обработке результатов опытов, называются оценками (подходящими значениями) этих величин и обозначаются далее теми же буквами, что и оцениваемые числовые характеристики случайных величин, но с волнистой чертой сверху (например, М [Х]—х, D[A"], ол. и т. д.). Набор значений (х{, х2...хп) случайной величины X, получен-
ных в результате п опытов, называется выборкой объема п. Предполагается, что опыты произведены в одинаковых условиях и независимо. При неограниченном возрастании объема выборки п оценка должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру. Оценка называется несмещенной, если при любом объеме выборки ее математическое ожидание совпадает с искомым параметром. Несмещенной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое
п	п
>=1	у=1
где С — произвольное число, вводимое для удобства расчетов («ложный нуль»).
380
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
При неизвестном значении математического ожидания несмещенной оценкой дисперсии будет
п
=	—е>2 —<*—с)®-
7=1
Если исследуемая случайная величина распределена нормально, то несмещенная оценка среднего квадратического отклонения определяется формулой
Значения коэффициента k!t приведены в таблице 23.
Таблица 23
п	к„	п	кп	п	
3	1,1284	10	1,0280	30	1,0087
4	1,0853	12	1,0230	35	1,0072
5	1,0640	15	1,0181	40	1,0064
6	1,0506	20	1,0134	45	1,0056
7	1,0423	25	1,0104	50	1,0051
При известном математическом ожидании несмещенная оценка дисперсии п
. ; = 1
>) Если исследуемая величина нормальна, то несмещенная оценка тля среднего квадратического отклонения определяется по формуле
§ 411 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 381
Если Хр ур хп, уп—значения случайных величин X и Y, полученные в результате п независимых опытов, произведенных в одинаковых условиях, то несмещенная оценка корреляционного момента случайных величин:
при неизвестных математических ожиданиях X и Y
п
kxy = 7Г=Т S ~	~ у):
/=1
при известных математических ожиданиях
п
= 77 S — й-/=1
Оценка коэффициента корреляции находится по формуле
£д-у
При большом объеме выборки элементы статистического ряда объединяют в группы (разряды), представляя результаты опыта в виде упорядоченного вариационного ряда (табл. 24).
Таблица 24
№ разряда	1	2		k
Границы разряда xj~i xj Среднее значение для разряда x*j Численность разряда mj Частота разряда * т, Pi-~	1 ч 1	* —• -Г	* — 1	Н S	СС i	° 4	— Х2 * т2 4* Рг		xh-\ — xk * xk mk * Pk
382 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ГЛ. IX
Оценки математического ожидания, дисперсии и моментов более высокого порядка в этом случае приближенно определяются формулами;
j'•=i	'
или более точными формулами (с учетом поправок Шеппарда);
Щ [X] ~ 2
7 = 1 7 7
й
m2[X]
; = 1
п3т
j=} к	й
|.Y) « £ «)* Р-, - 4 2(ху p-t +	.
У=1	7=1
/=1
p3[.Y] «	— xfp*},
k	»
~ S (х- -^6-42 «я - Ъг р',+»•
/=1	/=1
где h — длина интервала разряда.
S 4'1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
383
Решение типовых примеров
Пример 41.1. Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого практически равна нулю, было произведено пять независимых измерений, результаты которых представлены в таблице 25.
Таблица 25
№ измерения	1	2	3	4	5
X], м	2781	2836	2807	2763	2858
Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерительного прибора, если: значение измеряемой величины а) известно и равно 2800 .м; б) неизвестно.
Решение. Значение измеряемой величины равно х. Поэтому в случае а) несмещенная оценка дисперсии определяется по формуле п
D [ А'] = 1 £ (X; - х)2 =	= 1287,8 .мА
7 = 1
Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее
оценка п
х — — У х j = 2809 .м.
п Ал 1
/ = |
Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии
п ; = 1
6034	1 “ЛО Г- 9
“—4—= 1008,5 М-.
Табл и ц а 26
№ опыта	'А' .И
1	92
2	101
3	103
4	98
5	96
Аналогично решаются задачи 41.1—41.4, 41.13—41.16.
Пример 41.2. Для определения оценки среднего квадратического отклонения ошибок измерительного прибора, систематические ошибки которого практически равны нулю, было произведено пять независимых опытов, результаты которых приведены в таблице 26.
384
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
При обработке результатов измерений использовались две формулы, позволяющие определить несмещенные оценки о:
 п	п
О.2= 1/ 9-7------ГТ V Iх/ — х!== k У I-V,- — х[.
2 I-2п (л — 1) aU 1 2	1	^4 * I 1
7=1	7 = 1
Найти О] и о2 и определить дисперсии этих оценок, считая, что ошибки прибора подчиняются нормальному закону.
Решение. Заполнив таблицу 27 и суммируя по ее колонкам, получим:
с?	.> > II	i!	II М -bd - bd «5 to	О II	II  4^ P3	Таблица 27		
	xi		(X.-x)2
	92 101	6 3	36 9
J x = — = 98 я.			
n	103	5	25
°i = kn]/ -^-= 1.064)/	=	98 96	0 2	0 4
= 4,57 .и,			
о2 = 1/ ~:у~7~~—'тс	= 4,48 м.
2 V 2п(п—1)
Полученные таким образом оценки О] и о2 являются случайными величинами, математическое ожидание которых М [oj = М [о2] = о. Для нахождения дисперсии О! имеем
D [01] = М [(0[)2] — {М [oj}2 — М
ь2 кп
= OHD ИВ - о2 = /&? - О2 =	- 1) о2
Для дисперсии случайной величины о2 имеем
D [о2] = М [(о2)2] —	[о2])2,
где М {(о2)2] — А2М
( п
1^*1 —
2 i ~1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
385
п
Обозначим zi — xi—— xz. Так как z: — линейная ;=1
функция нормальных случайных величин, то она также имеет нормальное распределение, параметры которого
М [Zj = М Xf
D KJ = D х,-
Поэтому
М К)2] =
где (J =£= Z) м IKI КП =
=	2 4+* 2 2 2 KI КI
_ 7 - 1	i =s 1 j — i -У 1
= Л'гК,И'Л — 1)M[|KK lb
1
2яо| У 1 — г2
f /к!КЛ
2a| (1- г2)	,	,
2	dZy dzv
После перехода к полярной системе координат имеем
м IKI КН =
2л оо
=-----—/ f Я3| sin ср| |cos cpj
2ло“ У 1 - г2 ' ’I
R2 (1-г Sin 2ф)
р ‘^2 П
dR dq> —
П	М [zizA	1
Здесь г —--------К- = -й- М
о;	о2
2"2
Л
п — 1
[]/1 — г'2 4- г arcsin г]. ч П \
п
/г —1 п
п \ ”
п
1
П — 1 *
386
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Окончательно получим
D[o2]=M [(о2)2]—о2 =	(-| + Уп{п—2)—»+arcsinjj4rJ.
Соотношение между дисперсиями для случайных величин Oj и о2 при различных п, показаны в таблице 28.
Таблица 28
п	5	10	20	50
Р[О2] D[o,]	1,053	1,096	1,150	1,170
Из решения примера следует, что оценка о по формуле
-J / 2 (xi ~ х^
Gx=kn |/	__!--- имеет меньшую дисперсию, чем
п
результат, полученный по формуле o.2 = k 2 |лг-—х\, т. е. y=i
оценка ot является более эффективной.
Аналогично решаются задачи 41.7, 41.12, 41.20.
Пример 41.3. Из текущей продукции прецизионного токарного автомата был произведен выбор 200 валиков. Результаты измерений отклонений диаметров валиков от номинала даны в таблице 29.
Определить оценки математического ожидания, дисперсии, асимметрии и эксцесса отклонений диаметров валиков от номинала.
Решение. Для упрощения промежуточных расчетов введем случайную величину
У* _ С
Л f L/ zi-—
где в качестве «ложного нуля» примем С = 2,5 мк, а ширина разряда h = 5 ми.
Таблица 29
№ разряда	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Границы разрядов, мк	От —20 до —15	От —15 до —10	От —10 до —5	От —5 до 0	От 0 до +5	От +5 до -j-10	От +10 до +15	От +15 до +20	От +20 до +25	От +25 до +30
Среднее значение разряда, мк (х*)	—17,5	—12,5	—7,5	—2,5	+2,5	+7,5	+12,5	+17,5	+22,5	+27,5
Численность разряда	7	11	15	24	49	41	26	17	7	3
Частота разряда	0,035	0,055	0,075	0,120	0,245	0,205	0,130	0,085	0,035	0,015
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 387
388
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Определим оценки первых четырех моментов случайной величины с учетом поправок Шеппарда.
Расчеты сводим в таблицу 30-
Таблица 30
№ разряда	* pj	>'!	и	J	z3 J	Z4. J	* Pjzi	* 9 Р .г. J J	* я pjzj	* 4 Р .Z J /
1	2	3	4	5	6	1	8	9	10	11
1	0,035	—17,5	-4	16	—64	256	—0,140	0,560	—2,240	8,960
2	0,055	—12,5	—3	9	—27	81	—0,165	0,495	— 1,485	4,455
3	0,075	—7,5	—2	4	—8	16	—0,150	0,300	-0,600	1,200
4	0,120	—2,5	—1	1	—1	1	—0,120	0,120	—0,120	0,120
5	0.245	п-2,5	0	0	0	0	0	0	0	0
6	0,205	+7,5	1	1	1	1	0,205	0,205	0,205	0,205
7	0,130	—12,5	2	4	8	16	0,260	0,520	1,040	2,080
8	0,085	—17,5	3	9	27	81	0,255	0,765	2,295	6,885
9	0,035	—22,5	4	16	64	256	0,140	0,560	2,240	8,960
10	0,015	н-27,5	5	25	125	625	0,075	0,375	1,875	9,375
.2							А	В	D	£
			А = 0,36;		D	= 3,21;				
			В = 3,90;		Е	= 42,24.				
Учитывая поправки Шеппарда, получим:
	i hA-y- С = 4,30 ми,
D И] « М3И1~ fljzY] «	; /г2 (в _ А2 _ _L j	92,25 як?, < lP(D — ЗАВ +- 2А3) = — 113,75 мп\ < /г4 [Е - А (40 -4) + В (бД2 -А) -3.44 + А_] - = 24 215,62 мкА,
Sk [ 2С]	, ОзРП _Г2Ш71 = _ 0,128. о3	885,97
Ех [А‘] «	?	_ з __ 24 2Ь,62 _ з _ _ о, 16. 8510,06
§ и]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
389
Для тех же величин без (см. пример 43.2 и 43.4): х «4,30 мк,
учета поправок Шеппарда имеем
ц.ДА'] ~ 25 375,00 мк4,
Sk[A'J « —0,125,
Ь [А"] ~ 94,26 мк1.
Ex [X]
— 0,145.
Аналогично решаются задачи 41.5, 41.8,
41,18, 41.19.
Задачи
41.1. При 12 независимых измерениях одним и тем же прибором базы длиной 232,38 м получены следующие результаты: 232,50; 232,48; 232,15; 232,53; 232,45; 232,30; 232,48; 232,05; 232,45; 232,60; 232,47; 232,30 м. Предполагая, что ошибки измерений имеют нормальное распределение и не содержат систематической ошибки, определить несмещенную оценку срединного отклонения ошибок измерительного прибора.
41.2. Даны результаты 8 независимых измерений одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок: 369, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383 м- Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если: а) длина измеряемой базы известна: х = 375 .и; б) длина измеряемой базы неизвестна.
• 41.3. При обработке данных 15 испытаний спортивного самолета были получены следующие значения его максимальной скорости: 422,2; 418,7; 425,6; 420,3; 425,8; 423,1; 431.5; 428,2; 438,3; 434,0; 411,3; 417,2; 413,5; 441,3; 423,0 .«/сек. Определить несмещенные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения максимальной скорости самолета, полагая, что максимальная скорость самолета имеет нормальное распределение.
41.4. При обработке данных 6 испытаний спортивного катера были получены следующие значения его максимальной скорости: 27, 38, 30, 37, 35, 31 м/сек. Определить несмещенные оценки математического ожидания и срединного отклонения максимальной скорости катера, полагая, что максимальная скорость камера имеет нормальное распределение. • 41.5. Чувствитель юсть телевизора к видеопрограмме характеризуется данными, приведенными в таблице 31.
390
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Таблица 31
* Xj, МКВ		л*.		1 * j хJ, мкв	
200	10	350	20	550	3
225	1	375	10	600	19
250	26	400	29	625	3
275	8	425	5	650	1
300	23	450	26	700	6
325	9	500	24	800	4
Определить оценки математического ожидания и. среднего квадратического отклонения для чувствительности телевизора к видеопрограмме.
41.6.	Для определения частоты события А производится п независимых опытов. Определить, при каком значении Р (Д) дисперсия частоты будет максимальной.
41.7.	Произведено п независимых измерений одной и той же неизвестной постоянной величины. Ошибки измерения подчиняются нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю.
Для определения оценки дисперсии по результатам опыта были использованы две формулы:
Определить дисперсию случайных величин Oj н о^.
41.8.	Полученные в результате опыта значения случайной величины X разбиты на группы. Среднее значение х* для каждой группы и число элементов в группе inj даны в таблице 32.
Таблица 32
* Ъ'		* х!	mj	* xi	
44	7	47	48	50	1
45	18	48	33	52	1
46	120	49	5	58	2
5 1!] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 391
Определить оценки для коэффициента асимметрии и эксцесса.
41.9.	Выборка из генеральной совокупности xv х2, ..., хп подвергается обработке по разностям с целью определения оценки дисперсии. Для обработки результатов опыта применяется формула
Каким должно быть k, чтобы о2 являлась несмещенной оценкой о2, если случайная величина X является нормальной?
41.10.	Пусть хР х2.....хп — результаты независимых
измерений неизвестной постоянной величины. Ошибки измерений подчиняются одному и тому же закону нормального распределения. Среднее квадратическое отклонение ошибок измерений определяется по формуле
п
0 = ^2 | X — X | , ; = ! где
Определить значение k, при котором о является несмещенной оценкой о.
41.11,	Даны результаты независимых измерений хр х.,.......хп известной постоянной величины х. Ошибки изме-
рений подчиняются одному и тому же закону нормального распределения. Обработка наблюдений для определения оценки среднего квадратического отклонения ошибок измерений ведется по формуле
п O = k ^\Х: — Х\.
Каким должно быть k, чтобы были несмещенными оценки: а) среднего квадратического отклонения ошибок; б) дисперсии ошибок?
41.12.	Произведено п независимых неравноточных измерений хр х.,. . . ., ,v„ одной и той же неизвестной постоянной
392
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЯ [ГЛ. IX
величины. Оценка измеряемой величины определяется по формуле п
2 Л-п
- = ---------
2 /!>
/=1
Какими должны быть Aj. чтобы дисперсия х была минимальной, если среднее квадратическое отклонение ошибок /-го измерения равно оу-?
41.13.	Произведено п независимых опытов над системой двух случайных величин, имеющей нормальное распределение на плоскости; в опытах определяются значения этих величии (х,., yk) (k=l, 2, .... п). Главные оси рассеивания параллельны координатным осям. Определить несмещенные оценки математического ожидания и срединных отклонений этих величин.
41.14.	Решить задачу 41.13 для случая, когда результаты независимых испытаний даны в таблице 33.
Таблица 33
№ опыта (/?>	xk' Л1	м	Na опыта (fc)	Дг м	
1	55	77	9	41	31
2	43	46	10	36	60
3	63	34	И	55	48
4	57	61	12	72	78
5	44	84	13	48	62
6	26	54	14	16	49
7	59	53	15	49	31
8	72	21	1	16	36	64
41.15.	Для условий задачи 41.13 определить оценки параметров единичного эллипса рассеивания, если до проведения опытов направление главных осей рассеивания неизвестно.
41.16.	Решить задачу 41.15 для случая, когда результаты 16 независимых испытаний даны в таблице 34.
§ 41]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 393
Таблица 34
№ опы-	Отклонения, м		опы-	Отклонения, м		№ опы.	Отклонения, м			ЛЬ опы-	Отк НИЯ	юне-и
та	Х1	’’г	та	Х1	У/	та	xi			та		V/
1	+2	4-59	5	+2	4-72	9	+1		h 7	13	+4	4-103
2	4-0	+88	6	0	+341	10		2		-57	14	0	г 65
3	+2	-1-32	7	+2	—121	11	—1		-42	15	+ 1 + 1	4- 16
4	—2	—24	8	+з	+50	12	+2		-23	16		+ 28
41.17.	Выборка из нормальной генеральной совокупности Хр х2, .... хп подвергается обработке с целью определения оценки среднего квадратического отклонения по формуле
п
“ х)2
О = k
и
п
где х —
Определить, каким должно быть k, чтобы о несмещенной оценкой среднего квадратического
являлась отклоне-
НИЯ о.
41.18.	Из таблицы случайных чисел взято 150 двузначных чисел (00 принималось за 100). Эти числа были разбиты по десяткам на интервалы (табл. 35).
Таблица 35
1-10	11-20	21—30	31—40	41—50	51—60	61—70	71—80	31—90	91—100
16	15	19	13	14	19	14	И	13	16
Построить гистограмму и график накопленной частоты. Определить оценки математического ожидания и дисперсии.
41.19.	С помощью таблицы случайных однозначных чисел образовано 250 сумм по 5 чисел. По разрядам числа распределены так, как указано в таблице 36 (если число
394
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
попадает на границу разрядов, то в смежных разрядах прибавляется по 1/2)- Построить гистограмму и определить оценки математического ожидания и дисперсии.
Таблица 36
0—3	3—6	6—9	9—12	12—15	15—18	18—21	21—24
0	0,5	1,5	10,0	17,5	28,5	39	41
24-27	27—30	30—33	33-36	36—39	39-42	42—45	
45	30,5	27,0	7,5	1	1	0	
41,20.	Произведено п независимых измерений одной и той же неизвестной постоянной величины. Систематические ошибки измерения равны нулю, а случайные ошибки распределены нормально. Для определения оценок дисперсии ошибок измерения были использованы две формулы:
~ (лу — х)2	~	п-1
°' =	= 2(7П=ЛТ 2-ХУ-
;=1
Являются ли Oi и 02 несмещенными оценками для дисперсии? Какая из этих формул позволяет определять подходящее значение дисперсии с большей точностью?
§	42. Доверительные вероятности и доверительные интервалы
Осло в и ы е ф о р м у л ы
Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной доверительной вероятностью а покрывает оцениваемый параметр 0.
Для симметричного доверительного интервала его ширина 2е определяется условием
<е}=а.
§ 42]
ДОВЕРИТ. ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТ. ИНТЕРВАЛЫ
>95
где 0 — оценка параметра 0, а вероятность Р (|0 — 0|Се} определяется законом распределения оценки 0.
Если (хр х.2......хл) — выборка из нормальной гене-
ральной совокупности, то доверительная вероятность а определяется формулами:
а)	для математического ожидания при известном о
при неизвестном о
а = f SH (I) di,
~(a
где
закон распределения Стыо-дента,
Значения ia даны в таблице [16Т], входами в которую являются число степеней свободы k — n—1 и доверительная вероятность а.
б)	для среднего квадратического отклонения
“ = Р (|5-о| <е| = Р {-Д- < х < XL} =
1-?
= J Pk (X) di,
Г~й
1+»
%2
где =	. A = n-1, <7 = 4.
i k \	о
396
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Г k '-ч Значения интеграла J Pk (/)/// приведены в табли-
1 1 1+</ не [20Т].
Доверительный интервал для о, (у^, у2°)’ вероятность выхода о за правую и левую границы которого одинакова и равна —g—> определяется формулой
Для определения у; и у2 по заданной доверительной вероятности а и числу степеней свободы k — п — 1 можно использовать таблицу [19Т] или таблицу [18Т].
При экспоненциальном законе распределения случайной величины доверительный интервал для математического ожидания (VjX, v2x) определяется выражением г—, f х ~ I । х ~	1 р. ( q ____ 2/1 о 1
Р —	= Р — > v2 = Р X < — = Х?_6 =
I л J I л ) I v2 ' г-ч ( п \ 2/2 .т !	1 а «
= р{х2>— =	—= б.
р.	2п	2/1
Отсюда Vj = — , v2 = —j— .
Х<5	%1- 6
Значения %2 и /2_6 определяются из таблицы [18Т] для вероятностей, соответственно равных & и 1 — &, и числа степеней свободы k — 2n.
При достаточно большом объеме выборки (п > 15) границы доверительного интервала для х приближенно рассчитываются по формулам п	п
4 S xj 4 2 х!
_____!________ ! = ^______________ + е0)2 ’	_ Ео)2 ’
где е0 есть решение уравнения а —Ф(е0).
5 42] ДОВЕРИТ. ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТ. ИНТЕРВАЛЫ 397
Если из одной и той же генеральной совокупности произведено N выборок каждая объемом п и событие, вероятность появления которого согласуется с законом распределения Пуассона, происходило в каждой из этих выборок т; паз (J — 1, 2, .... N), а оценка математического ожидания *	N
для параметра а определена формулой а— , то при а > 0 границы доверительного интервала определяются из соотношения
Р [2Na > Xg) - Р {2/Vя < xL6] ==
т. е. для нижней п верхней границ они соответственно равны
9	9
Xi-6	xg
2JV ’ 2/V ’
где Х;_§ и Xj ПРИ заданном 6 выбираются из таблицы [18Т], Л’
причем Х{_л —для числа степеней свободы k — 2 У, nij,
f Л'	\
а Ха — Для А = 2 I 2	+ 1 ) •
,7 = 1	/
Для а —0 нижняя граница равна нулю, а верхняя равна 7.26
?5дГ, где yjj находится с помощью таблицы [18Т| для k = 2 и вероятности Р (2Л’й > х^} == 2d.
При достаточно большом k (практически более 30) границы доверительного интервала приближенно определяются формулами:
/ г—------------ у
\]/ 4 НИЖНЯЯ --------гт.----------— ,
1Де еи есть решение уравнения а = Ф(е0),
398
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Если при п независимых опытах некоторое событие имело место ровно т раз (0 < т < я), то границы pv р2 доверительного интервала для вероятности появления этого события р определяются решениями уравнений
j = m
у=0
Эти уравнения приближенно решаются с помощью неполной 0-функции. В таблице [30Т| для различных т и п и двух значений вероятности а. равных 0,95 и 0,99, приведены величины р.. и р2.
Когда п достаточно велико, то приближенно
где р — —, ' п
Р1 = Р—е, Р2 = Р-^ч-а е является решением уравнения
\ V?(i — p)J
Более точное приближение дают формулы
2 arcsin У р2
2 arcsin Ург
+ е°
~ 2/7Г ’
одна из которых дает интервал с занижением, другая — с завышением того же порядка; е0—решение уравнения а = -_=Ф(в0).
я _____
Если т = 0, то р1 = 0, а р2=1 —	1 — «;
п______
если т — п, то р2—1> а р} — ]/1 — а.
; 42] ДОВЕРИТ. ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТ. ИНТЕРВАЛЫ 399
Доверительный интервал для коэффициента корреляции, оценка которого получена из нормальной выборки объема п, приближенно вычисляется через вспомогательную случайную величину Z — — In *	, границы (гн, zB) доверительного
2	1 — г
интервала для которой определяются формулами
za--=z— Е0ог, zB = z + е0ог,
где °*-
“Aj-j-A,,	—
, е0 — решение уравнения а = Ф(е0), г —
1	1 I г
— In (значение этой величины опре-
теляется из таблицы [31Т]), А2 =	__^у .
По найденным значениям za и zB из таблицы [31Т] или по формуле r — thz определяют границы доверительного интервала для г. В случае больших п (п > 50) и малых г (г < 0,5) границы гн, га доверительного интервала для г приближенно определяются формулами
' н ~
= г Т е0о>~, ' в f
где е0 — решение уравнения а = Ф(е0),
Решение типовых примеров
Пример 42.1. Среднее значение расстояния до ориентира, полученное по четырем независимым измерениям, равно 2250 м. Срединная ошибка измерительного прибора Е = 40 м. Найти с надежностью 9596 доверительный интервал для измеряемой величины.
Решение. Вероятность покрыть истинное значение измеряемой величины х интервалом (х—е, х-ф-е) со случайными концами при известном Е определяется формулой
е _ 7 г2
J‘e <4^
400
.МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
где -- - _ — срединное отклонение случайной величины Уп
п
1 у ..
Х П	Хi'
7=1	_
л / £ Т^"/2 \
Решая уравнение Ф|—~—I — 0,95, из таблицы [ИТ] находим
-ЦД = 2,91,
2,91 „	2,91 -40 ко „
е — —= Е =-------------= 58,2 м.
Vn	2
Отсюда искомые границы доверительного интервала будут: верхняя 2250 я 4-58,2 м = 2308,2 м, нижняя 2250 м — 58,2 я = 2191.8 м.
Аналогично решаются задачи 42.1, 42.6, 42.13.
Пример 42.2. Средняя квадратическая ошибка высотомера о = 15 я. Сколько надо иметь таких приборов на самолете, чтобы с надежностью 0,99 ошибка средней высоты х была больше—30 м, если ошибки высотомеров нормальны, а систематические ошибки отсутствуют?
Решение. Условия задачи могут быть записаны так:
Р {— 30 < х — х < ex?j = 0,99.
Случайная величина
является линейной функцией нормально распределенных случайных величин, а поэтому также имеет нормальное распределение, параметры которого
M|Z] = M
D[Z] = ^-.
§	ДОВЕРИТ. ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТ. ИНТЕРВАЛЫ 401
Тогда
,	1 I /*	2а~ J
Р (— 30 < Z < оо}=------^=г / е * dz =
= ’ Г1 4-фЖ1 = 0,99.
2 L \ oz )]
Решая уравнение
ф 1/30К” )	0,98,
г о г,	30 У п „ ,,,,
из таолицы [81] находим ------= 2,33,
Отсюда следует, что число высотомеров на самолете должно быть не менее двух.
Аналогично решаются задачи 42.7, 42.11.
Пример 42.3. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были определены опенки математического ожидания и среднего квадратического отклонения их срока службы, которые оказались равными х = 3000 час. и о =20 час. Считая, что срок службы каждой лампы является нормальной случайной величиной, определить:
а)	доверительный интервал для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,9;
б)	с какой вероятностью можно утверждать, что абсолютное значение ошибки определения х не превзойдет 10 час., а ошибка в определении о будет меньше 2 час.?
Решение, а) При определении границ доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся уравнением
'а а = f S„ (t) dt.
-ta
В таблице [16T] по k — n—1 и а =0,9 находим . еУ п .	1,753а о
‘а = —-—= 1,753, откуда е =—— = 8,/6о часа.
о	Уп
402
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Поэтому искомые границы доверительного интервала для х будут:
верхняя 3000	8,765 — 3008,765 часа,
нижняя 3000 — 8,765 = 2991,235 часа.
При определении границ доверительного интервала для о воспользуемся таблицей [ 19Т]. Входами в эту таблицу являются величина k = п — 1 и доверительная вероятность а. Для k = 15 и а = 0,9 имеем
у1 = 0,775, у2 = 1,437.
Таким образом, при доверительной вероятности 0,9 совместимые с данными наблюдения значения о лежат в пределах от 0,775а = 15,50 часа до 1,437 0 = 28,74 часа.
б)	Вероятность неравенства — 10 час. < х — х < 10 час. определяется распределением Стьюдента
а = Р {| х — х| < ej = J S:i(f)dt.
~fa
Из таблицы [16Т] по ta — e-L ” =	= 2 и числу
о 20
степеней свободы k — n—1 = 15 находим а = 0,93;
'/-распределение позволяет определить вероятность неравенства — 2 часа < о—о<2 часа;
ГТ
1-?
а= Р [|о — о| < ej = J Pk№dl-
ГТ
1+<7 е	2
По <7 = =-=— = 0,1 и числу степеней свободы k — о	20
= п—1=15 из таблицы [20Т] определяем вероятность а — 0,41.
Аналогично решаются задачи 42.2—42.5, 42.8—42.10.
Пример 42.4. Случайная величина Т подчиняется экспоненциальному закону распределения, имеющему плотность t
вероятности f(t) = —e ‘ ,
ДОВЕРИТ. ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТ. ИНТЕРВАЛЫ
403
Оценка параметра / определяется по формуле =
/=1 __
Выразить через t границы доверительного интервала для /, удовлетворяющие условию Р {vjF> /} — Р {v27< t\ — тля доверительной вероятности а =0,9 при п, равном 3, 5, 10, 20, 30, 40.
Решение. В соответствии с условиями примера имеем Р {Vj? > 7} = Р {v2? < 7} = 1^1 = 6.
Тождественное преобразование неравенств в этом выражении дает
n ( 2nt 2п	( 2ni '2п о 1 к
РГГ>Т = =Р Т<7=х>-‘Г6,
Q.nt
Случайная величина U = -=- имеет с 2/г степенями свободы, а при п Z—Y^U имеет распределение, < с z = ]/2/г — 1 п < 15) имеем
X2-распределение ' > 15 случайная величина близкое к нормальному, и ог= 1. Поэтому в первом случае (при 2п	2п
vl —“	V2— ~2--•
Хб	Xi-б
таблицы [18Т] х? и х'?_д (для числа степе-
Определив из ней свободы 2п и вероятностей б и 1 — 6), рассчитываем Vj и v., (с.м. табл. 37).	т ,
7	1 а о л и ц а 37
п	3		10
эс&	12,60	18,30	31,40
7-1-6	1,63	3,94	10,90
v(	0,48	0,55	0,64
Vo	3,68	2,54	1,83
404
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Во втором случае (п > 15) в соответствии с формулами, приведенными в начале этого параграфа, имеем (см. табл. 38)
4п	4п
1	(К4п -1 + г0)2 ’ Л’2 <У4п -1 - г0)2 ’
Величина е0 определяется из таблицы [8Т] для вероятности а = 0,9.	_ ,
Таблица 38
п	20
	1,65
V1	0,72
v2	1,53
30	40
1,65	1,65
0,76	0,79
1,40	1,33
На рис. 35 показан график, характеризующий изменение Vj и v2 в зависимости от п для доверительной вероятности а = 0,9.
Пример 42.5. В результате 50 независимых испытаний трех типов приборов (Л, В и С) в течение определенного промежутка времени фиксировалось число отказов (см. табл. 39). Найти границы доверительных интервалов для математического ожидания числа отказов каждого типа приборов за выбранный промежуток времени при доверительной вероят-
ДОВЕРИТ. ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТ. ИНТЕРВАЛЫ
405
кости а =-0,9, если число отказов для каждого типа приборов за выбранный промежуток времени подчиняется закону распределения Пуассона.	Таблица 39
Число отказов	Число наблюдений, в которых такое число отказов имело место		
	для типа А	для типа В	для типа С
0	38	4	50
1	12	16	0
2	0	20	0
3	0	6	0
4	0	4	0
Решение. При определении границ доверительного интервала для приборов типа А воспользуемся распределением %2. Из таблицы [18Т| для числа степеней свободы k — 24 и вероятности + а = 0,95 определяем У2_й = 13,8, а для k = 26 и вероятности б = —= 0,05 находим у2 =38,9.
Верхняя а.2 и нижняя а} границы доверительного интервала для а приборов типа А соответственно равны
„ -	38’9 П 4QQ -	- 13'8 - О 1ЧЧ
2~W ~ W~0’389, fll— 100 —°’138-
При определении границ доверительного интервала для математического ожидания числа отказов приборов типа В, нужно также воспользоваться распределением у2, но с числом степеней свободы k = 180 и k — 182. Таблица [1ST] содержит данные только до k = 30. Поэтому, учитывая, что при числе степеней свободы более 30 распределение у2 практически совпадает с нормальным, имеем
II/ т  ни 1 с0 /	_______
у у ~ 1	1	(У4-90— 1 — 1.64)2 _	5
477	~	200
I 4	1	,______ Ч9
3 fa	/	(/4-90-1-Н.64)2 __9 19
4/7	—	200
406
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
N
Для приборов типа С У т, == 0 и поэтому нижняя граница 7=1
доверительного интервала достоверно равна нулю. Из таблицы (18TJ для k — 2 и вероятности 1—а = 0,1 определяем =4,6 и рассчитываем значение верхней границы:
'Д 4,6
й2 =	= ТОО = °’046-
Пример 4'2.6. В процессе испытания 30 образцов изделия у 10 из них наблюдался отказ. Определить границы доверительного интервала для вероятности отказа при доверительной вероятности 0,95, если число отказов имеет биномиальное распределение. Сравнить результаты точного и приближенного решений.
Решение. Точное решение может быть получено непосредственно из таблицы [ЗОТ]. Для х=10 и п. — х = 20 при 95%-ной доверительной вероятности имеем р^ = 0,173, р2 = 0,528.
При больших др(1—р) уравнения для определения границ доверительного интервала р приближенно могут быть определены с помощью нормального распределения:
1 — «
~"2 '
1
2
Отсюда
Рч
Pi
1
« + ^0
Пр + —±— ±
2	2
$ 421 ДОВЕГИТ. ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТ. ИНТЕРВАЛЫ 407
rJe Р — "з • а величина е0 определяется из таблицы [8Т] для вероятности а = 0,95,
»,	10-0,5+1,92-1,96 1/^^+0,9б1 = 0,180,
1 1 J'j,o4 L	V oU	J
~ тлдл I Ю+0,5+1,92+1,96 1/ —-'п19,5+0,9б1 = 0,529.
1 ~	о<5,о4 ц	V	J
Приближение того же порядка дает формула
arcsin /ж
arcsin у
± -Д=-2У п
воспользовавшись которой, получим
0,526, Pi » 0,166.
Еще с более грубым приближением можно найги рх и р2, считая, что частота р распределена приближенно нормально
около р с дисперсией В этом случае
P(i-P) К «
Ф/ суп i ----- ____— .
\ V/+ — р) /
Пользуясь таблицей [8Т] для а = 0,95, имеем
F 9'30 ’ ’ откуда ^«0,333 — 0,169 = 0,164, р2«0,333+0,169 = 0,502.
Пример 42.7. Для изучения механических свойств стали произведено 30 независимых опытов, по результатам которых определены оценки коэффициентов корреляции г12 = 0,88 и г13=:0,40, характеризующих связь предела выносливости металла соответственно с пределом прочности на разрыв и пределом текучести. Определить границы доверительного интервала для г]2 и г13 при доверительной вероятности 0,95.
408
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Решение. При большом объеме выборки п и малых значениях коэффициента корреляции г его оценка г имеет распределение, близкое к нормальному, с математическим ожиданием М [г] = г и средним квадратическим отклонением 1 — г „	~
Оу = —	. Принимая г « г, имеем:
г12 «0,88, /'13 « 0,40,
о? « -L-gff?. = 0,022, r‘2	V 0,29
1 —0,40 ф'О^Э
= 0,111.
Из таблицы [8Т] для доверительной вероятности а = 0,95 находим е0= 1,96 (е0—решение уравнения а = Ф(е0)) и доверительный интервал: для г12 (0,84; 0,92), для г13 (0,18; 0,62).
Полученный доверительный интервал можно уточнить, если преобразовать г так, чтобы <т~ не зависело от г. Это приводит к новой случайной величине Z — In , распределение которой хорошо согласуется с нормальным даже при малом п-
* л ,	1 , 1 -4- г , г 1.1 -4— г ,
При этом М Z = - In —1--------1---------« — In —==-4-
2	1— г 2 (/1—1)	2	1—г
। r 1
Н---------и о — - —_ .
2 (/г—1)	Уп — 3
Пользуясь таблицей [31Т], определяем доверительный интервал для случайной величины Z:
при г 12 = 0,88 (1,014; 1,768),
при г]3 = 0,40 (0,053; 0,808).
С помощью таблицы [31Т] находим доверительный интервал;
для г,, (0,77; 0,94),
для г]3 (0,05; 0,67).
Задачи
42.1.	Постоянная величина измерена 25 раз с помощью прибора, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки измерения распределены нормально со
§ 42] ДОВЕРИТ. ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТ. ИНТЕРВАЛЫ 409 срединным отклонением £=10 м. Определить границы доверительного интервала для значения измеряемой величины при надежности 0,99, если х=100 м.
42.2.	Результаты измерений, не содержащие систематических ошибок, записаны в виде статистического ряда (табл. 40). Ошибки измерений согласуются с нормальным распределением. Определить оценку измеряемой величины и границы доверительного интервала при надежности 0,95.
Таблица 40
i	$ А'у, М	,.,у	/	4 м	т j
1	114	2	4	117	4
2	115	5	5	118	3
3	116	8			
42.3.	Произведено 40 измерений базы постоянной длины. По результатам опыта получены оценки измеряемой величины и среднего квадратического отклонения: х = 10 400 .и и ох = 85 м. Ошибки измерения подчиняются закону нормального распределения. Найти вероятности того, что доверительные интервалы со случайными границами (0,999х; 1,001%) и (0,95о; 1,05о) соответственно покроют неизвестные параметры х и ov.
42.4.	Результаты 11 измерений постоянной величины даны в таблице 41. Ошибки измерений распределены по нормальному закону, систематические ошибки отсутствуют.
Таблица 41
№ измерения		№ измерения		№ измерения	Xj' .W
1	9,9	5	6,0	9	11.6
2	12,5	6	10,9	10	9,8
3	10,3	7	10,3	11	14.0
4	9,2	8	11,8		
410
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Определить: а) оценки измеряемой величины и среднего квадратического отклонения; б) вероятность того, что абсолютное значение ошибки в определении истинного значения измеряемой величины меньше 2% от х; в) вероятность того, что абсолютное значение ошибки определения среднего квадратического отклонения меньше 1% от о.
42.5.	На основании 100 опытов было определено, что в среднем для производства детали требуется © = 5,5 сек., а о0)-= 1,7 сек. Сделав допущение, что время для производства детали есть нормальная случайная величина, определить границы, в которых лежат истинные значения для (о и о,0, с надежностью 85 и 90% соответственно.
42.6.	Определение скорости самолета было проведено на 5 испытаниях, в результате которых вычислена оценка v — 870,3 з/,’се/с. Найти 95%-ный доверительный интервал, если известно, что рассеивание скорости подчинено нормальному закону со срединным отклонением Ev — 2,1 м/сек.
42.7.	Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально со срединным отклонением Е — 20 м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину с ошибкой не более 15 м при надежности 90%?
t, 42.8. Найти при надежности 0,9 доверительные границы для расстояния до ориентира х и для срединного отклонения Е, если при 10 независимых измерениях были получены значения расстояния, приведенные в таблице 42, а ошибки измерения имеют нормальное распределение.
Таблица 42
№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
% я	25 023	24 970	24 784	25315	24 907	24 646	24 717	25 354	24 911	25 371
42.9.	Произведно 5 независимых равноточных измерений для определения заряда электрона. Опыты дали следующие
ДОВЕРИТ. ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТ. ИНТЕРВАЛЫ
411
§ 42]
результаты (в абсолютных электростатических единицах):
4,781 • 1О~10,	4,792. Ю'10,
4,795  1О~10,	4,779  Ю-10.
4,769 • 1О~10,
Определить оценку величины заряда электрона и найти доверительные границы при надежности 99%.
42.10.	По 15 независимым равноточным измерениям были рассчитаны оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения максимальной скорости самолета = 424,7 м/сек и Oj,= 8,7 м/сек.
Определить: а) доверительные границы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при надежности 0,9; б) вероятности, с которыми можно утверждать, что абсолютное значение ошибки в определении v и не превзойдет 2 м/сек.
42.И.	В качестве оценки расстояния до навигационного знака принимают среднее арифметическое результатов независимых измерений расстояния п дальномерами. Измерения не содержат систематической ошибки, а случайные ошибки распределены нормально со срединным отклонением Е — 10 м. Сколько надо иметь дальномеров, чтобы абсолютная величина ошибки при определении дальности до навигационного знака с вероятностью 0,9 не превышала 15 л?
42.12.	Известно, что измерительный прибор не имеет систематических ошибок, а случайные ошибки каждого измерения подчиняются одному и тому же закону нормального распределения. Сколько надо произвести измерений для определения оценки среднего квадратического отклонения прибора, чтобы с надежностью 70% абсолютное значение ошибки в определении этой величины было не более 20% от о?
42.13.	Систематические ошибки измерительного прибора практически равны нулю, а случайные распределены нормально со срединным отклонением Е == 20 м. Необходимо, чтобы абсолютное значение разности между оценкой измеряемой величины и истинным ее значением не превосходило 10 м. Определить, с какой вероятностью будет выполнено это условие, если число наблюдений 3, 5, 10, 25 (построить график).
412
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
42.14.	Оценка измеряемой величины формуле п
1 X?
/=1
определяется по
Результаты отдельных измерений подчинены одному и тому же закону нормального распределения. Определить границы доверительного интервала с надежностью 0,9 для значения измеряемой величины при следующих условиях: а) о =20?./, /г = 3, 5, 10, 25; б) о = 20 м, га = 3, 5, 10, 25.
42.15.	При испытании 10 однотипных приборов зарегистрирован момент выхода каждого прибора из строя. Результаты наблюдений даны в таблице 43.
Таблица 43
№ прибора	1	2	3	4	5	6	7	3	9	10
*1, час.	200	359	600	450	400	400	500	350	450	550
Определить оценку математического ожидания t времени безотказной работы прибора и доверительный интервал для t при доверительной вероятности 0,9, если случайная величина Т имеет экспоненциальное распределение.
42.16.	Случайно отобранная партия из 8 приборов была подвергнута испытаниям на срок безотказной работы. Количество часов, проработанных каждым прибором до выхода его из строя, оказалось равным 100, 170, 400, 250, 520, 680, 1500, 1200. Определить 80%-ный доверительный интервал для средней продолжительности работы прибора, если время безотказной работы прибора имеет экспоненциальный закон распределения.
42.17.	Плотность вероятности для времени между последовательными отказами радиоэлектронной аппаратуры задана формулой
t
J42] ДОВЕРИТ. ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТ. ИНТЕРВАЛЫ 413 где t — время работы между двумя последовательными отказами, t — математическое ожидание случайной величины Т (математическое ожидание времени исправной работы прибора, называемое в теории надежности «наработкой на отказ»).	__
При определении оценки параметра t наблюдалось 25 отказов, а общая продолжительность безотказной работы с начала испытаний до последнего отказа оказалась равной 25
У, tj == 1600 час.
Определить границы доверительного интервала для параметра t, полученного по результатам этого опыта, при доверительной вероятности а —0,8.
42.18.	Для определения токсической дозы яд был введен 30 мышам, 8 из которых погибли. Определить границы доверительного интервала для вероятности того, что данная доза окажется смертельной, при доверительной вероятности 0,95, предполагая, что число смертельных исходов в данном опыте подчиняется биномиальному закону распределения.
42.19.	Произведено 100 независимых опытов, в результате которых событие А наблюдалось 40 раз. Определить границы доверительного интервала для вероятности появления этого события в одном опыте при доверительной вероятности 0,95 и 0,99, если число появлений события А имеет биномиальное распределение.
42.20.	При испытаниях каждого из 10 приборов не наблюдалось ни одного отказа. Определить границы доверительного интервала для вероятности отказа при доверительной вероятности 0,8; 0,9 и 0,99, если число отказов имеет биномиальное распределение.
42.21.	Стрелок А при 10 выстрелах попал в цель 5 раз, а стрелок В после 100 выстрелов по той же цели имел 50 попаданий. Определить границы доверительного интервала Для вероятности попадания в цель каждым стрелком одним выстрелом при доверительной вероятности 0,99, если число попаданий в цель имеет биномиальное распределение.
42.22.	За время испытаний, равное 15 час., в шести однотипных приборах было отмечено 12 отказов. Найти границы доверительного интервала для математического ожидания
414
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ГЛ. IX
числа отказов за 15 час. работы такого прибора при доверительной вероятности 0,9, если число отказов для проверяемых приборов имеет закон распределения Пуассона.
42.23.	Число частиц, зафиксированное счетчиком в опыте Резерфорда, Чедвика и Эллиса за каждый из 2608 интервалов по 7,5 сек-, дано в таблице 44. Считая, что число частиц, зафиксированное счетчиком, согласуется с законом распределения Пуассона, определить границы доверительного интервала для параметра этого закона, соответствующие интервалу времени 7,5 сек. и доверительной вероятности 0,9999.
Таблица 44
Число частиц, достигших счетчика	Число наблюдений, ! в которых такое число имело место j	Число частиц, достигших счетчика	Число наблюдений, в которых такое число имело место
0	57	6	273
1	203	7	139
2	383	8	45
3	525	9	27
4	532	10	16
5	408		
42.24.	При исследовании содержания повилики в семенах клевера было установлено, что выборка весом 100 г не содержит семян повилики. Найти 99%-ный доверительный интервал для среднего числа семян повилики в выборке весом 100 г, если число семян повилики, содержащееся в семенах клевера, имеет распределение Пуассона.
42.25.	По результатам 190 испытаний образцов железа «армко» были определены оценки коэффициентов корреляции г12=0,55, г13 —0,30, rJ4 = 0,37, характеризующих зависимость коэрцитивной силы соответственно от балла зерна, содержания углерода и содержания серы. Определить границы доверительных интервалов для определенных из этого опыта коэффициентов корреляции при доверительной вероятности 0,99 и 0,95, если можно считать, что рассматриваемые случайные величины имеют нормальное распределение.
42.26.	В результате опыта получены 25 пар значений для системы случайных величин (X, Y), имеющей нормальное
§ 43]	КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ	415
распределение. По опытным данным рассчитаны оценки параметров этой системы: х=10,5; у —74;	— 2,0;
5 =10,0; 7-^, = 0,62. Определить границы доверительных интервалов для параметров системы случайных величин (X, У) при доверительной вероятности 0,9.
§ 43, Критерии согласия
Критерии согласия позволяют оценить вероятность того, что полученная выборка не противоречит сделанному предположению о виде закона распределения рассматриваемой случайной величины. Для этого выбирается некоторая величина х, являющаяся мерой расхождения статистического и теоретического законов распределения, и определяется такое ее значение ха, чтобы Р (х > ха) = а, где а — достаточно малая величина (уровень значимости), значение которой устанавливается в соответствии с существом задачи. Если значение меры расхождения х?, полученное на опыте, больше ха, то отклонение от теоретического закона распределения считается значимым и предположение о виде закона распределения должно быть отвергнуто (вероятность отвергнуть правильное предположение о виде закона распределения в этом случае равна а). Если значение х?<^ха, то отклонение считается не значимым, т. е. данные опыта не противоречат сделанном)' предположению о виде закона распределения.
Проверку гипотезы о характере распределения с помощью критерия согласия можно вести и в другой последовательности: по значению х9 определить вероятность а? = Р(х > х?). Если полученное значение < а, то отклонения значимые; если а,7 а, то отклонения не значимые. Значения а?, весьма близкие к 1 (очень хорошее согласие), соответствуют событию, имеющему весьма малую вероятность, что может указывать на недоброкачественность выборки (например, из первоначальной выборки без основания выброшены элементы, дающие большие отклонения от среднего).
В различных критериях согласия в качестве меры расхождения статистического и теоретического законов распределения принимаются различные величины.
В критерии согласия К. Пирсона (критерий у2) за меру расхождения принимается величина у2, опытное значение %2
416
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
которой определяется формулой
у2 = V (т‘~Пр^
fy ЛеА пр. ’
где I — число разрядов, на которые разбиты все опытные значения величины X, п — объем выборки, /nz—численность i-ro разряда, p-t — вероятность попадания случайной величины X в интервал z-ro разряда, вычисленная для теоретического закона распределения.
При п->оо закон распределения независимо от вида закона распределения случайной величины X стремится к закону ^-распределения с k — l — г — 1 степенями свободы, где г—число параметров теоретического закона распределения, вычисляемых по данной выборке.
Значения вероятностей P(Z2(>Z1Z) в зависимости от и k приведены в таблице [ 17Т].
Для применения критерия Пирсона в общем случае необходимо, чтобы объем выборки п и численности разрядов тч были достаточно велики (практически считается достаточным, чтобы было га 50 ч-60, mz^>5 4-8).
Критерий согласия Колмогорова применим в том случае, когда параметры теоретического закона распределения определяются не по данным исследуемой выборки. За меру расхождения статистического и теоретического законов распределения принимается наибольшее значение D абсолютной величины разности статистической и теоретической функций распределения. Опытное значение D величины D определяется формулой
Dq = max | F (x) — F (x) |,
где F — статистическая, a F — теоретическая функции распределения.
При га->оо закон распределения величины	D
независимо от вида закона распределения случайной величины X стремится к закону распределения Колмогорова. Значения вероятностей а? = Р (D D(]} =	— 1—К (М
приведены в таблице [25Т].
Критерий Колмогорова применим также для статистической проверки гипотезы о принадлежности двух выборок
§ 43]	КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ	417
объемов Л] и п, одной генеральной совокупности. И в этом случае (iQ = Р(Х), где функция Р (Z) приведена в таблице [25Т], но
* = ]f‘ тах1 <х) ~ <х) I •
где Fl(x) и А>(х)— статистические функции распределения для первой и второй выборок.
Вид теоретического закона распределения выбирается или на основании данных о механизме образования случайной величины, или путем качественного анализа вида гистограммы распределения. Если вид закона распределения не удается установить из общих соображений, то применяется его аппроксимация таким законом распределения, соответствующее число первых моментов которого равно их оценкам, полученным из рассматриваемой выборки. В качестве аппроксимирующих выражений могут быть использованы пли кривые Пирсона [21], учитывающие четыре первых момента, или бесконечный ряд Эджворта [21], в котором при сравнительно небольшом отклонении статистического закона распределения от нормального можно удержать только первые члены, образующие Л-ряд Шарлье
сь	Г,
F(z) = 0,5+0,5'P(2)------g- ^2(2) + -^ ф3(г),
где <p2(z), ф3(г)— производные второго и третьего порядка „	, , X— М[Х]
ог нормальной плотности вероятности <р(г); г =------
о
Sk~-^-----оценка асимметрии, Ё\=-^4--------3 — оценка эк-
о3	о4
сцесса, о2, ц3, н4— оценки второго, третьего и четвертого центральных моментов соответственно.
Значения функций Ф(г), ср, (г), ср3(г) приведены в таблицах [8Т], [ЮТ].
Критерий у2 позволяет также проверить гипотезу о независимости двух случайных величин X и У. В этом случае величина */2 определяется формулой
, V V <ЛО'~
7-ч~	тц
Z = i у = 1
418
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
где hjj — число случаев, когда одновременно наблюдались значения X— х{, У = Уу,
htohaj
/гю— общее число случаев, когда наблюдалось значение Х — Xi', hOj — общее число случаев, когда наблюдалось значение У = ур I и т — числа значений, которые принимали величины X и Y.
Число степеней свободы k, необходимое для вычисления вероятности Р ('Z,2	X2). вычисляется по формуле
k = (l — 1)0—1).
Решение типовых примеров
Пример 43.1. Радиоактивное вещество наблюдалось в течение 2608 равных интервалов времени (по 7,5 сек. каждый). Для каждого из этих интервалов регистрировалось число частиц, попавших в счетчик. В таблице 45 приведены числа интервалов времени, в течение которых в счетчик попало ровно i частиц.
Таблица 45
1	,п1	1	mi
0	57	6	273
1	203	7	139
2	383	8	45
3	525	9	27
4	532	10 и более	16
5	408	Итого:	п = S т1 — 2608
Проверить, используя критерий %2, гипотезу о согласии наблюденных данных с законом распределения Пуассона
г,,,	. e~ad
P(t. а) = -1Г.
Уровень значимости а принять равным 5%.
§ 431
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ-
419
Решение. На основании наблюденных данных вычисляем оценку а параметра а закона распределения Пуассона по формуле
СО
а = ~------,
п
со
где п = 2	= 2608, а = 3,870.
/=о
Вычисляем теоретические вероятности pt попадания в счетчик i частиц при наличии закона Пуассона, используя таблицу [6Т] для функции Р(/, а) = р;. В результате интерполирования по а между а = 3 и а —4 получим значения Р[ и npi, приведенные в таблице 46.
Таблица 46
1	Pi	пр.	т;-лР/	(mrnPi)2	(mrnPiY ni>:
0	0,021	54,8	2,2	4,84	0,088
1	. 0,081	211,2	— 8,2	67,24	0,318
2	0,156	406,8	—23,8	566,44	1,392
3	0,201	524,2	0,8	0,64	0,001
4	0,195	508,6	23,4	547,56	1,007
5	0,151	393,8	14,2	201,64	0,512
6	0,097	253,0	20,0	400,00	1,581
7	0,054	140,8	— 1,8	3,24	0,023
8	0,026	67,8	—22,8	519,84	7,667
9	0,011	28,7	— 1,7	2,89	0,101
10	0,007	18,3	— 2,3	5,29	0,289
	1,000				X2 = 13,049
Вычисляем значение х^> выполняя вычисления в табл. 46: 10
X2 = У ~прУ = 13,05.
пр,
i = 0
Так как число степеней свободы k = l— г—1, где общее число интервалов I =11, а число параметров, определенных на основании наблюденных данных, г — 1 (параметр а), то
£—11 — 1 — 1 = 9.
420 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ (ГЛ. IX
По таблице (17Т|, входя в нее с величинами k = 9 и Х|= 13.05, находим вероятность Р(х2^Х^) того, что величина х2 превзойдет значение у2- Получаем
%=р (X2 > X2) = 0.166.
Так как «7 > а — 0,05, то отклонения от закона Пуассона не значимы.
Аналогично решаются задачи 43.1 —43.4.
Пример 43.2. Произведен выбор 200 деталей из текущей продукции прецизионного токарного автомата. Проверяемый размер деталей измерен с точностью до 1 мк-В таблице 47 приведены отклонения xt от номинального размера, разбитые на разряды, численности разрядов mt и их частоты р*.
Таблица 47
м разряда 1	Границы интервала xi ~^xt 1 i		* Pt	№ разряда i	Границы интервала		
1	— 20 ч—15	7	0,035	6	5 ч-10	41	0,205
2	_ 15ч- —10	11	0,055	7	10 ч- 15	26	0,130
3	-10ч— 5	15	0,075	8	15ч-20	17	0,085
4	— 5ч-	0	24	0,120	9	20ч-25	7	0,035
5	0ч-	5	49	0,245	10	25ч-30	3	0,015
Оценить с помощью критерия х2 гипотезу о согласии выборочного распределения с законом нормального распределения при уровне значимости а = 5%.
Решение. Определяем значения х* середин интервалов и находим оценки математического ожидания и дисперсии по формулам:
ю
х — 2 х*р\ — 4,30 мк, о2 — т.2 — х2 = 94,26 мк2.
1°
т2 — 2 x'fp* ~ 112-75 мк2,
Zssl
0 = 9,71 мк.
§ «]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
421
Вычисления сводим в таблицу 48.
Таблица 48
1		г1	4ф(г<)	Pi	п?1	"Pi
1	—17,5	— со	—0,5000	0,0239	4,78	1,04
2	—12,5	—1,99	—0,4761	0,0469	9,38	0,28
3	— 7,5	—1,47	—0,4292	0,0977	19,54	1,05
4	— 2,5	—0,96	—0,3315	0,1615	32.30	2,13
5	2,5	—0,44	—0,1700	0,1979	39,58	2,24
6	7,5	0,07	0,0279	0,1945	38,90	0,11
7	12,5	0,59	0,2224	0,1419	28,38	0,20
8	17,5	1,10	0,3643	0,0831	16,62	0,01
9	22,5	1,62	0,4474	0,0526	10,52	0,03
10	27,5	2,13	0,4834			
11	——	СО	0,5000	—	200	4 = 7,09
Вычисляем теоретические вероятности pt попадания отклонений в интервалы (х^ хЬ1) по формуле
а=|ф(2Н1)-|ф(4
где zt— левая граница /-го интервала относительно х в единицах о:
а
При этом наименьшее = .г0 = 2,06 заменяем на —оо, а наибольшее .гп — 3,09 — на со.
Значения функции Лапласа Ф(г) находим из таблицы [8Т]. Интервал 1= 10, ввиду его малочисленности, объединяем с интервалом I = 9. Результаты вычислений приведены в таблице 48.
Находим значение
9
y(Z2inf<=7,09.
м	npi
<= 1
Число степеней свободы
* = / — г — 1=9 —2— 1 = 6,
так как из-за малочисленности последних двух разрядов 9-й и 10-й разряды объединены.
422 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ (ГЛ. ГХ
Из таблицы [ 17Т] по входным величинам у? н k находим aq= P(x2^-%g) = 0,313. Гипотеза о нормальности отклонений от номинального размера не противоречит наблюдениям.
Аналогично решаются задачи 43.6, 43.7, 43.9, 43.11, 43.13 — 43.21, 43.24, 43.25.
Пример 43.3. Результаты х, измерения 1000 деталей, округленные до 0,5 мм, даны в таблице 49.
Таблица 49
I	xi		i	xi	
1	98,0	21	6	100,5	201
2	98,5	47	7	101,0	142
3	99,0	87	8	101,5	97
4	99,5	158	9	102,0	41
5	100,0	181	10	102,5	25
(/п, —число измерений, давших результат
Проверить, пользуясь критерием согласия Колмогорова, согласие полученных наблюдений с предположением, что величина X подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием х — 100,25 мм и средним квадратическим отклонением о=1 мм, считая, что влиянием ошибок округления можно пренебречь.
Решение. Теоретическая функция распределения F(x,i определяется формулой
Г(х) = |+|ф(х —х).
Статистическая функция распределения F*(x) может быть вычислена по формуле
F*(х^ = Тобо
л
S mi + °>5ffIft z=i
§ «]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
423
Вычисления выполнены в таблице 50.
Таблица 50
i	Xi-X	-|-ф		Ft ( '.)	И* (vz)-^(.vz) I
1	—2,25	—0,4877	0,0123	0,0105	0,0018
2	—1,75	—0,4599	0,0401	0,0445	0,0044
3	—1,25	—0,3944	0,1056	0,1115	0,0059
4	—0,75	—0,2734	0,2266	0,2340	0,0074
5	—0,25	—0,0987	0,4013	0,4035	0,0022
6	0,25	0,0987	0,5987	0,5945	0,0042
7	0,75	0,2734	0,7734	0,7660	0,0074
8	1,25	0,3944	0,8944	0,8855	0,0089
9	1,75	0,4599	0,9599	0,9545	0,0054
10	2,25	0,4877	0,9877	0,9875	0,0002
Составив для каждого значения xt разности F’r(x/) — и выбрав из них наибольшую по абсолютному значению, в соответствии с таблицей 50 находим 7)^ = 0,0089.
Определив
Z = ]/Т	= ]/1 000 • 0,0089 = 0,281,
находим значение Р(Х) из таблицы [25Т]:
а? = Р(Х)= 1,000.
Значение Р (?.) велико. Следовательно, отклонения не значимы и можно считать, что гипотеза о согласии наблюденных данных с законом нормального распределения, имеющим параметры х= 100,25, о=1, не опровергается; однако большое значение а вызывает сомнения в доброкачественности выборки.
Аналогично решаются задачи 43-5, 43.8, 43.10, 43.12, 43.22, 43.23.
Пример 43.4. По данным примера 43.2 требуется подобрать закон распределения, пользуясь Л-рядом Шарлье, и проверить, используя критерий %2, улучшится ли согласие наблюденных данных с полученным законом распределения по сравнению с нормальным законом распределения.
Из примера 43.2 берем оценки математического ожидания х и среднего квадратического отклонения о:
х = 4,30 мк, 0 = 9,71 мк.
424 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Кроме того, используя данные таблиц 47 и 48, вычисляем оценки третьего у3 и четвертого щ центральных моментов случайной величины X.
1° Нз=	Pt ——113,86 лк3,
/=i ю
ц4 = 2(л'<—л:)4pi = 25 375 лк*. i = i
Вычисления выполнены в таблице 51.
Таблица 51
1	* Х1	х.-х	('Г7)3	(ХГ*У	(xi~x)3 pi	(.Г,-7)4 *.
1	—17,5	—21,8	—10 360	225 853	—362,6	7904,9
2	—12,5	—16,8	—4 742	79 659	—260,8	4381,2
3	— 7,5	—11,8	—1 643	19 388	—123,2	1454,1
4	— 2,5	—6,8	—314	2138	-37,7	256,6
5	2,5	—1,8	—6	10	—1,5	2,4
6	7,5	3,2	33	105	6,8	21,5
7	12,5	8,2	551	4125	71,6	587,7
8	17,5	13,2	2 300	30 360	195,5	2580,6
9	22,5	18,2	6 029	109 720	211,0	3840,2
10	27,5	23,2	12 487	289 702	187,3	4345,5
				Итого:	—113,86	25375
Далее вычисляем оценки асимметрии Sk и эксцесса Ех по формулам
Sk = -^- = —0,1247,
о3
Р" 1*4
Ех= -=
а4
3=—0,1455.
Используя первые три члена функции распределения для Д-ряда Шарлье
F (г) = 0,5 + 0.5Ф (z) -	Ф2 (^) + <Рз (*).
где
а
i 43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
425
получим
р (г) = 0,5-j- 0,5 Ф (^) -j- 0,0208 ср2 (2) — 0,0061 срд (г).
Вычисляем значения Г(гг), используя для нахождения значений Ф(г), ФгО). Фз(2) таблицы [8Т], [ЮТ]; здесь гг — координаты границ интервалов относительно х в единицах о. Значения zt н дальнейшие вычисления	приведены
в таблице 52.
Таблица 52
I	г1*гН-1		0,5Ф(г/)40,5Ф(гг. + 1)			Ч>2 Ю) -- Ч>2 (Zl+ |)		
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	— co ч	1,99 —1,99 4- -1,47 —1,47 ч-—0,96 —0,96 ч- —0,44 —0,44 ч-0,07 0,07 4-0,59 0,59 4- 1,10 1,10 ч-1,62 1,62 4-2,13 2,13 4- co		—0,5 ч- —0,4761 —0,4761 4- —0,4292 —0,4292 4- —0,3315 —0,3315 ч--0,1700 -0,1700 4-0,0279 0,0279 ч- 0,2224 0,2224ч-0,3643 0,3643 ч- 0,4474 0,4474 4- 0,4834 0,4834 ч- 0,5000			04-0,1630 0,1630 ч-0,1572 0,1572 ч- —0,0197 —0,0197 4- —0,2920 -0,2920 ч-—0,3930 —0,3960 —0,2185 —0,2185 ч- 0,0458 0,0458 4-0,1745 0,1745 4-0,1460 0,1460 4-0		
z	ff3 Ю) - '<3 Ю+1)			6	пр‘		тГпр1	('"г'Ю)2
								npt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 IO	0 4-0,1062 0,1062 4- —0,1670 —0,1670 ч-—0,5021 -0,5021 4- —0,4472 —0,4472ч-0,0834 0,0834ч-0,5245 0,5245 4- 0,4290 0,42904-0,0654 0,0654 ч-—0,1351 -0,1351 ч-О	0 4-0,0267 0,0267 ч- 0,0751 0,0751 ч-0,1712 0,1712 4-0,3266 0,3266 ч- 0,5192 0,5192 4-0,7147 0,7147ч-0,8627 0,8627 ч- 0,9506 0,9506 4-0,9872 0,9872 4-1,0000		0,0267 0,0484 0,0981 0,1554 0,1926 0,1955 0,1480 0,0879 0,0366 0,0128	5,34 9,68 19,22 28,08 38,52 39,10 29,60 17,58 7,32 2,53		—1.66 —1,32 4,22 4,08 10,48 —1,90 3,60 0,58 —0,12	0,516 0,180 0,926 0,593 2,852 0,092 0,438 0,019 0,001 '4=5,615
Теоретические вероятности рг на основании закона распределения, определяемого Д-рядом Шарлье, вычисляются по формуле
Pt — F(zl+l) — Ftzj.
426
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ, IX
Используя найденные значения и имея в виду, что я = ю
= 2 fni — 200, вычисляем (см. табл. 52) i=i
ю
i ” S '""Г/'1’ =5'615-
Число степеней свободы = Z — г — 1 = 4, так как число классов I = 9 (последние два интервала вследствие их малочисленности объединяем в один); число параметров, определенных на основании наблюденных данных, г = 4(х, о, Sk, Ex). Из таблицы [17Т], входя в нее с величинами й = 4 и ^=5,615, находим а? = Р (х2 > %2) = 0,208.
Гипотеза о согласии опытных данных с законом распределения F(z), определяемым Л-рядом Шарлье, не опровергается. Однако нет оснований утверждать, что согласование лучше, чем с законом нормального распределения, упомянутым в условии задачи.
Таблица 53
№ детали	Размер х		№ детали	Размер х		№ детали	Размер х	
	I группа	II группа		I группа	II группа		I группа	11 группа
1	72,58	72,50	21	72,50	72,35	41	72,30	72,31
2	72,35	72,35	22	72,69	72,16	42	72,28	72,46
3	72,33	72,69	23	72,54	72,51	43	72,51	72,36
4	72,54	72,60	24	72,48	72,50	44	72,37	72,39
5	72,24	72,54	25	72,36	72,50	45	72,14	72,30
6	72 42	72,42	26	72,50	72,48	46	72,42	72,30
7	72,58	72,68	27	72,43	72,53	47	72,36	72,38
8	72,47	72,54	28	72,46	72,25	48	72,28	72,55
9	72,54	72,55	29	72,56	72,48	49	72,20	72,36
10	72,24	72,33	30	72,48	72,36	50	72,48	72,24
11	72,38	72,56	31	72,43	72,53	51	72,66	72,23
12	72,70	72,36	32	72,56	72,23	52	72,64	72,16
13	72,47	72,36	33	72,34	72,55	53	72,73	72,17
14	72,49	72,15	34	72,38	72,51	54	72,43	72,37
15	72,28	72,48	35	72,56	72,25	55 _	72,28	72,38
16	72,47	72,46'	36	72,32	72,11	55	72,64	72,46
17	71,95	72,36	37	72,41	72,44	57	72,72	72,12
18	72,18	72,38	38	72,14	72,51	58	72.35	72,28
19	72,66	72,40	39	72,29	72,55	59	72,60	72,23
20	72,35	72,38	40	72,31	72,24	60	72,46	72,38
§ «]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
427
Аналогичным образом решаются задачи 43.26, 43,27.
Пример 43.5. Имеются две группы деталей одного образца, полученных с двух станков, по 60 штук в каждой. Данные об измерении характерного размера х деталей приведены в таблице 53.
Проверить, используя критерий Колмогорова, гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности, т. е. что оба станка дают одинаковое распределение размера х детали при уровне значимости а = 8%.
Решение. Располагаем детали в группах по возрастающей величине размера х и вычисляем статистические функции распределения Ft(x) и F2(x) для каждой группы (см. табл. 54).
Таблица 54
Х1	Число значений X <		(х;)	Х (х;)	Л(^)-Л(хг)
	I группа	II группа			
71,95	1	0	0,0167	0	0,0167
72,11	1	1	0,0167	0,0167	0,0000
72,12	1	2	0,0167	0,0333	0,0167
72,14	3	2	0,0500	0,0333	0,0167
72,53	 43 '	~50	0,7167	6,8333	0,1'167
72,54	46	52	0,7667	0,8667	0,1000
72,55	46	56	0,7667	0,9333	0,1667
72,56	49	57	0,8167	0,9500	0,1333
72,58	51	57	0,8500	0,9500	0,1000
72,60	52	58	0,8667	0,9667	0,1000
ВД	’57’	' 60 '	6,9500	6,0000	0,0500
72,70	58	60	0,9667	1,6000	0,0333
72,72	59	60	0,9833	1,0000	0,0167
72,73	60	60	1,0000	1,0000	0,0000
Находим наибольшее по абсолютной величине значе-ние ОПь Пг разности Fj (х) — F2 (х):
Dnt> „г = 0,1667 (см. табл. 54).
Определив
428
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
где в нашем случае п{ = п.2 = 6, получим Л = 0,9130. Пользуясь таблицей [25Т], для найденного значения К будем иметь р(л) = 0,375 = а?.
Значение а? велико; следовательно, отклонения не значимы и гипотеза о том, что обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности, не опровергается.
Пример 43.6. Было измерено п = 600 деталей, причем для каждой из них проверялись размеры X и Y. Результаты измерений приведены в таблице 55, где через hl} обозначено число деталей, имеющих размеры X = xt, Y = у?..
Таблица 55
	Заниженные: >1	В пределах допусков: / = 2	Завышенные:	Й10
Заниженные: i = 1 . .	6	48	8	62
В пределах допусков: /=2		52	402	36	490
Завышенные: i — 3 . .	6	38	4	48
hoi	64	488	48	600
Для X: 1=1, если размер занижен; 1 = 2, если размер в пределах допусков; i = 3, если размер завышен; для
Y-. /=1, 2, 3, если размер
Таблица 55 занижен, в пределах допусков
1	1	О	3
1	6,61	50,43	4,96
2	52,26	308,57	39.20
3	5,12	39,06	3,81
или завышен соответственно.
Проверить, используя критерий у2, являются ли независимыми отклонения размеров X и Y детали от допустимых при уровне значимости а = 5 %.
Решение. Находим оцен-
ки nijj математических ожиданий чисел наблюдений, при которых X = хг, Y = уу, исходя из гипотезы о независимости размеров X и Y детали:
Значения mi} приведены в таблице 56.
§ 431
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
429
Вычисляем Хд по формуле
3	3
«2 _ У У
Ч	ти
i=i /=1	'
Вычисления выполнены в таблице 57, где даны значения (Л„->«/;) W
Таблица 57
1	1	2	3	3 j
1	0,0563	0,1171	1,8632	2,0366
2	0,0013	0,0295	0,2612	0,2920
3	0,1513	0,0316	0,0077	0.1906
2 j	0,2089	0,1782	2,1321	2 =Х^= 2,5192 1, /
Получаем х^ = 2,519. Определяем число степеней свободы по формуле
k = (l — 1)(/и— 1),
где I — число групп по размеру Х-, т — число групп по размеру У; Z = 3, т — 3, k = 4. Используя таблицу [17Т] при й = 4 и /| = 2,519, находим а? = Р х2) = 0,672.
Значение aq велико; следовательно, гипотеза о независимости отклонений размеров детали по признакам X и У от допустимых не опровергается.
Аналогично решается задача 43.28.
Задачи
43,1.	В таблице 58 приведены числа участков равной площади (0,25 км2) южной части Лондона, на каждый из
которых во время терия у2 Пуассона
приходилось по i попаданий самолетов-снарядов второй мировой войны. Проверить с помощью кри-согласие опытных данных с законом распределения
г,..	, а‘е~
Р(1, а)——^
приняв за уровень значимости 6%.
430
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Таблица 58
i	0	1	2	3	4	5 и более	Итого
т.	229	211	93	35	7	1	п = 2 т1 — 576
43.2.	Через равные промежутки времени в тонком слое раствора золота регистрировалось число частиц золота, попадавших в поле зрения микроскопа. Результаты наблюдений приведены в таблице 59.
Таблица 59
Число частиц 1	0	1	2	3	4	5	6	7	Итого
mi	112	168	130	68	32	5	1	1	2 «4=517
Проверить, используя критерий %2, согласие с законом распределения Пуассона, приняв за уровень значимости 5%.
43.3.	По каждой из 100 мишеней произведено из спортивного пистолета по 10 выстрелов, причем фиксировались только попадания и промахи. Результаты стрельб приведены в таблице 60.
Таблица 60
Число попаданий		Число попаданий		! Число попаданий	
0	0	4	22	8	4
1	2	5	26	9	2
2	4	6	18	10	0
3	10	7	12		
Проверить, используя критерий '//, имелась ли при каждой из этих стрельб одинаковая вероятность попадания на один выстрел, иными словами, подчиняются ли результаты стрельбы биномиальному закону распределения. Уровень значимости принять равным 10%.
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
431
§ 431
43.4.	Семь монет подбрасывались одновременно 1536 раз, причем каждый раз отмечалось число X выпавших гербов. В таблице 61 приведены числа т1 случаев, когда число выпавших гербов было равно Х{.
Таблица 61
	0	1	2	3	4	5	6	7
	12	78	270	456	386	252	69	13
Пользуясь критерием %2, проверить согласие гипотезы о наличии биномиального закона распределения с опытными данными. Учесть, что вероятность выпадения герба при бросании каждой из монет равна 0,5. Уровень значимости принять равным 5%.
43.5.	Для контрольных испытаний продукции ста однотипных станков, выпустивших за смену каждый партию в 40 изделий 1-м и 2-м сортом, отобрано по 10 изделий от каждой партии и для каждой выборки подсчитано имеющееся в ней число i изделий 2-го сорта.
Результаты испытаний приведены в таблице 62.
Через mt обозначено число выборок, имеющих I изделий 2-го сорта. Количество изделий, выпускаемых 2-м сортом, за длительный срок работы предприятия составляет 30% (р = 0,30).
Проверить, используя критерий Колмогорова, согласие результатов испытаний с гипергеометрическим и биномиальным законами распределения, приняв уровень значимости равным 5%.
432
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Для величины I, распределенной по гипергеометрическому закону, вероятность равна
г1/ рп-1
Pi, п гп 1
ЧУ
где N — число изделий в партии, L — число изделий 2-го сорта в партии, п — объем выборки.
Для биномиального закона распределения
р^-с^а-рГ1.
43.6.	В таблице 63 приведены отклонения диаметра валиков, обработанных на станке, от заданного размера.
Таблица 63
Границы интервала, мк	0-5-5	5-5-10	10-5-15	15-?-20	20 -5- 25
Численность разряда т.	15	75	100	50	20
Частота р\		0,06	0,30	0.40	0.20	0,04
Проверить, используя критерий х2> гипотезу о согласии наблюдений с законом нормального распределения, приняв уровень значимости равным 5%.
43.7.	Образовано 250 чисел х, каждое из которых представляет собой сумму цифр пятизначного числа, выбранного из таблицы случайных чисел. Полученные суммы разбиты на 15 интервалов в соответствии с таблицей 64.
Таблица 64
Границы интервала	т1	Границы интервала		Границы интервала	
0-5-3	0	15-5-18	28,5	30 ~ 33	27,0
3-5-6	0,5	18-5-21	39,0	33-5-36	7,5
6-5-9	1,5	21 ч- 24	41,0	36 ч- 39	1,0
9-5-12	10,0	24-5-27	45,0	39-5-42	1,0
12-5-15	17,5	27 -5- 30	30,5	42 -5- 45	0
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
433
§ -13]
Суммы, кратные трем, условно отнесены к обоим граничащим интервалам, к каждому из которых отнесена половина числа этих сумм. Установить, используя критерий /р, согласуется ли приведенное статистическое распределение с законом нормального распределения, за параметры которого принять оценки математического ожидания и дисперсии, определенные по наблюденным данным при уровне значимости 5%.
43.8,	Решить предыдущую задачу, применяя критерий Колмогорова, считая (вследствие малости ширины интервала в таблице 64) возможным значения всех элементов выборки, попавших в один интервал, принять равными значениям, соответствующим серединам интервалов. Для установления гипотетического закона нормального распределения учесть, что отдельные цифры в пятизначном случайном числе могут принимать любые значения от 0 до 9 с равной вероятностью /? = 0,1.
43.9.	Цифры 0, 1, 2, . . ., 9 среди 800 первых десятичных знаков числа л появлялись 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91 раз соответственно. Проверить с помощью критерия у2 гипотезу о согласии этих данных с законом равномерного распределения при уровне значимости 10%.
43.10.	Решить предыдущую задачу, используя критерий Колмогорова и считая, что вероятность появления любой цифры на месте любого десятичного знака равна 0,10.
43.11.	Из таблицы случайных чисел выбрано 150 двузначных чисел (в совокупность двузначных чисел включается и 00). Результаты выборки приведены в таблице 65.
Таблица 65
Границы интервала	Численность разряда ,ni	Частота 1 *	1 %• 1	Границы интервала	Численность разряда mi	Частота * Pi
0<-9	16	0,107	50 <-59	19	0,127
10<- 19	15	0,100	60 <-69	14	0,093
20 <- 29	19	0,127	70 <-79	11	0,073
30 <-39	13	0,087	80 <-89	13	0,087
40 ч-49	14	0,093	90 <-99	16	0,107
434
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Проверить, используя критерий %2, гипотезу о согласии наблюдений с законом равномерного распределения при уровне значимости 5%.
43.12.	Решить предыдущую задачу, применяя критерий Колмогорова, считая (вследствие малости ширины интервала в таблице 65) возможным значения всех элементов выборки, попавших в один интервал, принять равными значению, соответствующему середине интервала.
43.13.	Отсчет по шкале измерительного прибора оценивается приблизительно в долях деления шкалы. Теоретически любое значение последней цифры равновероятно, но в ряде случаев производящий отсчет отдает предпочтение одним цифрам перед другими. В таблице 66 приведено 200 результатов отсчета последней цифры между соседними делениями шкалы. Установить, используя критерий у2, имеется ли систематическая ошибка в отсчете, т. е. согласуются ли наблюдения с законом равномерного распределе-
43.14.	Результаты наблюдения за среднесуточной температурой воздуха в течение 320 суток приведены в таблице 67.
Таблица 67
,.,°с		V °Г xl’ G	
—40-=-—30	5	10 -г- 20	81
—30 +- —20	И	20+-30	36
—20-г-—10	25	30+-40	20
—10 + 0	42	40+-50	8
0+-10	88	50+-60	4
Проверить с помощью критерия у2, с каким из двух законов распределения — нормальным или Симпсона (законом
§ 43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
435
треугольника) — лучше согласуются данные наблюдений при уровне значимости 3%.
43.15.	В таблице 68 приведены наблюденные на опыте сроки отыскания и устранения отказов электронной аппаратуры в часах с точностью до 1 минуты.
Таблица 68
Номер интервала	Границы интервала	Численность разряда mi	Номер интервала 1	Границы интервала	Численность разряда т1
1	1/60-=-3/60	2	8	1,8 4-3,2	10
2	3/60 4-6/60	5	9	3,2 4-5,6	7
3	6/60 4-10/60	7	10	5,6 4-10	4
4	10/60 -=-18/60	11	11	104-18	2
5	18/60-4-35/60	15	12	18 4-30	1
6	35/60 ч-1,0	21	13	более 30	0
7	1,04-1,8	15			
Проверить, используя критерий %2, согласие наблюденных данных с законом логарифмически нормального распределения, при котором х = 1g у подчиняется закону нормального распределения, приняв за уровень значимости 5%.
43.16.	По данным каталога Воронцова-Вельяминова распределение расстояний до планетарных туманностей представлено в таблице 69, где — расстояние (в килопарсеках) до туманности, а /и, —число случаев (численность разряда).
Таблица 69
*i			"Ч			Х1	т1
04-0,5	9	3,0 4- 3,5	12	6,0 4- 6,5	3	9,0 4- 9,5	2
0,5 4-1,0	11	3<,5 4-4,0	7	6,5 4- 7,0	2	9,5 4- 10,0	0
1,04-1,5 1,5 4-2,0 2,0 4-2,5	8 12	4,0 4- 4,5 4,5 4- 5,0 5,0 4- 5,5	10 8	7,0 4- 7,5 7,5 4- 8,0 8,0 4-8,5	1 0	10,0 4-10,5	0
	13		5		6	21	
2,5 4-3,0	16	5,5 4-6,0	0	8,5 4-9,0	0	а II ЕМ 3 II	= 119
436 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. !Х
Проверить, используя критерий у2, гипотезу о согласии наблюденных данных с законом распределения, функция распределения F(| х |) которого имеет вид
где х и о — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, подчиненной закону нормального распределения, которые связаны с математическим ожиданием М [ | X | ] и начальным моментом второго порядка т2 абсолютной величины ] X | формулами:
Здесь величина v представляет собой корень уравнения
2 [ф (у) 4- 0,5уФ (у)]  М [ | X | ]
где <p(v) и Ф(у) определяются из таблиц [9Т], [8Т]. Уровень значимости принять равным 5%.
43.17.	В таблице 70 приведены результаты измерения некоторой величины X.
Таблица 70
Гранины интервала	т1	Границы интервала	т1	Границы интервала xi	
75ч-77	2	85 + 87	32	95 + 97	8
77-4-79	4	87 + 89	24	97 + 99	3
79-4-81	12	89+91	23	99 + 101	1
81 -=-83	24	91 —93	22		
83 + 85	25	93 + 95	20	13	
				S II е:	= 200
				i-l	
Проверить, используя критерий //, согласие опытных данных с законом нормального распределения и с композицией законов нормального и равномерного распределений, параметры которых следует определить на основании результатов измерений.
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
437
§43]
Учесть, что для случайной величины X = Y 4- Z, где Y подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и с дисперсией о2, a Z — закону равномерного распределения в интервале (а, р), плотность вероятности ф(х) выражается формулой
ф(х) = J—ГГФ
т '	2(р —a) L \ а /	\ а /]
Для определения оценок параметров о, а, р, входящих в формулу для ф(х), необходимо на основании опытных данных определить оценки математического ожидания х и центральных моментов второго и четвертого порядков ц2 и р4, после чего оценки величин о, а, р определяются из уравнений:
~	5~~""
12	~~ V 2	6 н4>
fi I п
43.18.	С помощью контрольного прибора было измерено расстояние г (в микронах) центра тяжести детали от оси ее наружной цилиндрической поверхности для 602 деталей. Результаты измерений представлены в таблице 11.
Таблица 71
Интервалы значений Т1		Интервалы значений Г1	
0-5-16	40	80ч-96	45
16 ч-32	129	96 ч-112	19
32-4-48	140	112 4-128	8
48 ч-64	126	128 ч-144	3
64 ч-80	91	144 4-160	1
Проверить, используя критерий /у, согласуются ли наблюденные данные с законом распределения Рэлея
438
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
оценку параметра а которого определить по оценке г математического ожидания, используя формулу
М[Г] = в|/’
Принять уровень значимости равным 5%.
43.19.	В таблице 72 даны результаты 228 измерений чувствительности X телевизора (в микровольтах).
Таблица 72
	тк	xk	mk	xk	mk
200	1	450	33	650	19
250	2	500	34	700	13
300	11	550	31	750	8
350	20	600	25	800	3
400	28				
Проверить, используя критерий %2, с каким законом лучше согласуются результаты измерения: с законом нормального распределения или с законом распределения Максвелла, плотность вероятности которого определяется формулой
/(*)=/
X х0,
причем математическое ожидание М [X] величины X связано с а формулой М = Jc04~ 1,596а. За значение х0 для простоты принять наименьшее наблюденное значение, величины X.
43.20.	Испытания 200 ламп на продолжительность работы Т (в часах) дали результаты, приведенные в таблице 73.
Проверить, используя критерий %2, согласие опытных данных с экспоненциальным законом распределения, для которого плотность вероятности выражается формулой
Уровень значимости принять равным 5%.
§ 43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
439
Таблица 73
Номер разряда i	Границы разряда	Численность разряда mi	Номер разряда i	Границы разряда	Численность разряда т1
1	0-7- 300	53	7	1800-4-2100	9
2	300-4- 600	41	8	2100-4-2400	7
3	600-н 900	30	9	2400 -4- 2700	5
4	900-4-1200	22	10	2700ч-3000	3
5	1200-4-1500	16	11	3000 4-3300	2
6	1500-4-1800	12	12	более 3300	0
Учесть, что параметр X экспоненциального закона распределения связан с математическим ожиданием случайной величины Т формулой
^ = -щ7Т‘
43.21.	Произведено испытание партии в 1000 электронных ламп на срок службы. В таблице 74 приведены интервалы сроков работы ламп до выхода из строя (^; /; + 1) и соответствующие численности разрядов mt', величины tt даны в часах.
Таблица 74
Номер интервала i	1		2		3		4		5	
Г раницы интервала 4-4-//+1	0 4-100		100 4-200		200 4- 300		300 4- 400		400 4- 500	
Численность разряда т.	78		149		174		165		139	
Номер интервала i	6	7		8		9		10		11
Граница интервала ti ^i+i	5004-600	6004-700		7004-800		8004-900		9004-1000		Более 1000
Численность разряда	107	77		50		32		27		2
466
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Составляем квадратное уравнение для отыскания коэффициента ср
Н-('г+1)М4--[г1~(,г + 1)гЛ 2
й2 ----------------------------а, -—£ = 0,
«/1 — (« + О t'i
которое после подстановки числовых значений принимает вид
«2-ф-0,065708», —0,0028444 =0.
Решая это уравнение, находим два значения оу.
«п = 0,029786; о12 = — 0,095494.
Очевидно, что корень «12 не годится, так как он отрицателен,, а из данных таблицы 97 легко заключить, что при возрастании Т величина р возрастает. Следовательно,
а1== 0,029786.
Определяем коэффициент «0 по формуле
Вычисляем в таблице 97 значения ez:
р(-	р;-,
где р — расчетные значения величины
р = — 6,3558 + 0,0297867’.
На основании данных таблицы 97 находим, что |етах|—0,28. Аналогично решается задача 44.15.
Задачи	
44.1.	Результаты равноточных измерений глубины h про<-никиовения тела в преграду при различных значениях его удельной энергии Е (энергии, приходящейся на единицу площади соударения) приведены в таблице 98.
Подобрать линейную зависимость вида
й == «0 4~ о 1Е,
§ 44)
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
467
определить оценки о- дисперсий коэффициентов аъ и ~ я
оценку о- дисперсии, характеризующей точность отдельною
44.2.	Решить предыдущую задачу, перенеся для упрощения вычислений начало отсчета аргумента Е в точку, равную среднему арифметическому значению величин Е, и начало отсчета величин h в точку, близкую к математическому ожиданию h.
44.3.	Высота h падения тела за время t определяется формулой
h = а0+ «/+ a.2t2,
где «0 — путь, пройденный телом к моменту начала отсчета времени, ах — скорость тела в момент начала отсчета времени, а2 — половина ускорения силы тяжести g.
Определить оценки коэффициентов а0, ах, а2 и оценить точность определения ускорения силы тяжести указанным методом па основании серии равноточных измерений, результаты которых приведены в таблице 99.
Таблица 99
А сек.	Л, см	А сск.	fl, см	Л сск.	/?, см |	А сек.	/1. СМ	А сек.	й, см
1 30	11,86:	4 30	26,69!	7 30	51,13	10 30	85,44	13 30	129,54
2 30	15,67	5 30	33,71	8 30	61,49	11 30	99,08	14 30	146,48
3 30	20,60	6 30	41,93	9 30	72,90	12 30	113,77		
440 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Проверить с помощью критерия %2 гипотезу о согласии результатов испытаний с законом распределения Вейбулла. Функция распределения F(f) для этого закона выражается формулой / w* F(0=l-e V ‘	,
где	.
£ =Г(—+ 1); т \т	)
Г (х) — гамма-функция.
Параметры t (математическое ожидание величины Т) и т вычислить на основании опытных данных. Учесть, что параметр т связан со средним квадратическим отклонением о формулой
где
(S = vmt,
а , , vm — — — коэффициент вариации.
В таблице [33TJ приведены значения Ьт и vm в зависи-
можно из этой таблицы найти т и Ьт. Приводим выдержку из этой таблицы (табл. 75):
Таблица 75
т	Ьт	vm
1.7	0,892	0,605
1,8	0,889	0,575
43.22. Положение точки М на плоскости определяется прямоугольными координатами X и Y. На
опыте измеряется угол <р, составленный радиусом-вектором точки М с осью у (рис. 36). Результаты 1000 измерений величины ф, округленные с интервалами в 15 град, и числа появления данного значения ф; приведены в таблице 76.
§ 43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
441
Таблица 76
Фр град		Фр град	т1	Фр град	mi
-82,5	155	—22,5	49	37,5	67
—67,5	118	—7,5	48	52,5	66
—52,5	73	7,5	48	67,5	111
—37,5	59	22,5	53	82,5	153
Если величины X и Y независимы, нормальны, имеют нулевые математические ожидания и дисперсии, равные соответственно о2 и -|-о2, то величина z = tg <р должна подчиняться закону распределения Коши (закону арктангенса)
$ п (г2 4- 4) ‘
Считая, что ошибки измерения <р отсутствуют и что допустимо не учитывать влияние ошибок округления, проверить, используя критерий согласия Колмогорова при уровне значимости 5%, справедливость сделанных выше предположений о случайных величинах X и Y.
43.23.	Для проверки точности хода специальных маятниковых часов в наудачу выбранные моменты времени фиксировались углы отклонения оси маятника от вертикали. Амплитуда колебаний поддерживалась постоянной и равной а — 15°.
Результаты 1000 таких измерений, округленные с интервалом в 3°, приведены в таблице 77.
Таблица 77
Результаты измерений а-в град	— число появлений значения а.;	Результаты измерений а. в град	т। — число появлений значения а*
—13,5	188	1,5	74
—10,5	88	4,5	76
—7,5	64	7,5	81
—4,5	86	10,5	100
—1,5	62	13,5	181
442
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Считая возможным не учитывать влияния ошибок округления, проверить с помощью критерия согласия Колмогорова гипотезу о согласии наблюдений с законом распределения арксинуса при уровне значимости 5?6-
43.24.	Для проверки стабильности работы станка через каждый час производится проба, состоящая в том, что измеряются 20 случайно отобранных деталей и по результатам измерений в каждой г-й выборке вычисляется несмещенная оценка дисперсии о?. Значения о? по 47 таким выборкам приведены в таблице 78.
Таблица 78
i	°*	1		i	а2	i	
1	0,1225	13	0,1444	25	0,1681	37	0,1089
2	0,1444	14	0,1600	26	0,1369	38	0,1089
3	0,1296	15	0,1521	27	0,1681	39	0,0784
4	0,1024	16	0,1444	28	0,0676	40	0,1369
5	0,1369	17	0,1024	29	0,1024	41	0,0729
6	0,0961	18	0,0961	30	0,1369	42	0,1089
7	0,1296	19	0,1156	31	0,0576	43	0,0784
8	0,1156	20	0,1024	32	0,1024	44	0,5121
9	0,1764	21	0,1521	33	0,0841	45	0,1600
10	0,0900	22	0,1024	34	0,1521	46	0,1681
11	0,1225	23	0,1600	35	0,0676	47	0,1089
12	0,1156	24	0,1296	36	0,1225		
Проверить, используя критерий %2, при уровне значимости 5% гипотезу об однородности ряда дисперсий, или, иными словами, предположение об отсутствии разладки станка в смысле изменения рассеивания по измеряемому размеру детали. Учесть то обстоятельство, что в случае справедливости этой гипотезы величина
и*
Приближенно удовлетворяет закону распределения %2 с nt — 1 степенями свободы, причем о2 представляет собой несмещенную оценку дисперсии о2 всей генеральной совокупности и
§ 43]	КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
вычисляется по формуле
443
тп
1 = 1
где nz = n = 20—число элементов в каждой выборке, m
m = 47— число выборок, iV=2^(- —940 — общее число элементов во всех выборках.
43.25.	Имеется m — 40 выборок деталей по п = 20 штук в каждой, причем для каждой Z-й группы известны оценки математического ожидания xi, наудачу взятое (например, первое в каждой выборке) значение х из Z-й выборки xtl и несмещенная оценка дисперсии о? измерения размера детали х. Значения величин х., х(1, о? для указанных 40 выборок приведены в таблице 79.
Таблица 79
i				I	xn		°?
1	148	132	24	21	114	112	39
2	182	152	38	22	112	108	32
3	195	145	40	23	49	97	52
4	81	134	32	24	116	106	36
5	149	124	37	25	138	124	36
6	143	144	31	26	120	149	37
7	133	142	31	27	120	129	41
8	132	143	34	28	104	120	26
9	111	109	42	29	121	105	26
10	156	121	30	30	99	110	32
11	103	93	35	31	123	105	37
12	61	118	45	32	109	123	24
13	149	116	38	33	100	116	32
14	209	123	40	34	115	123	29
15	124	106	39	35	108	109	27
16	52	181	46	36	125	138	35
17	147	102	32	37	170	126	33
18	145	124	31	38	132	132	33
19	128	125	34	39	114	131	28
20	98	119	32	40	155	115	37
444 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX ‘
Проверить, применяя критерий Колмогорова при уровне значимости 10%, гипотезу о нормальном распределении размера детали х.
Учесть, что в этом случае (при п 4= 4) величины r)z,
т(- Уп — 2
где
xi} — Xi т(- —	~	>
01
подчиняются закону распределения Стьюдента с числом степеней свободы k = п— 2 ==18, где х(-;-— наудачу взятое значение из /-й выборки (в нашем случае хп).
43.26.	Произведено 300 измерений некоторой величины х, результаты которых приведены в таблице 80.
Таблица 80
Границы интервала X-		Границы вала	интер-	7.- 1	Iрапицы вала	интер-xi	т1
50-4-60	1	100-г-	по	56	140 -г-	150	19
60-4-70	2	110-4-	120	61	150-4-	160	16
70-4-80	9	120-4-	130	49	160 -4-	170	4
80-4-90	23	130	140	25	170-4-	180	2
90 -4- 100	33						
Проверить, используя критерий /2, согласие опытных данных с законом нормального распределения, оценки параметров которого подобрать па основании опытных данных. Сгладить опытные данные с помощью закона распределения, который определяется Л-рядом Шарлье, и проверить с помощью критерия х2 согласие опытных данных с полученным законом распределения.
43.27.	Измерения скорости света с, произведенные Май-кельсопом, Пизом и Пирсоном, дали результаты, приведенные в таблице 81. Для сокращения записи первые три цифры значений ct (в км/сек) в таблице опущены (299 000).
§ 43]
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
445
Таблица 81
Гранины интервала С1		Границы интервала ci		Границы интервала	т1	Границы интервала ч	
735ч-740	3	755 4- 760	17	775 4- 780	40	795 4- 800	5
740 4- 745	7	760 4-765	23	780 4-785	17	800 4- 805	2
7454-750	4	765 4- 770	29	785 4- 790	16	805 4-810	3
750 4- 755	8	770 4- 775	45	790 4- 795	10	8104-815	4
Получены следующие оценки математического ожидания с и среднего квадратического отклонения о, вычисленные по опытным данным:
с = 299733,85 км/сек, о=14,7 км/сек.
Проверка на основании критерия %2 гипотезы о согласии опытных данных с законом нормального распределения, имеющим параметры с и о, дала значение %2 = /2н = 18,52; число степеней свободы в этом случае равно kK — 9 и получилось Р (х2 ZjH) = 0,018; малочисленные интервалы объединялись. Гипотезу следует считать опровергнутой.
Сгладить наблюдения с помощью закона распределения, который определяется Л-рядом Шарлье, и проверить, используя критерий х2> согласие опытных данных с полученным законом распределения.
43.28.	Произведено измерение изделий в двух партиях по 100 деталей в каждой. Числа /г;у- деталей с нормальными, заниженными и завышенными размерами приведены в таблице 82.
Таблица 82
№ партий изделий i	Размер деталей }			
	Результаты измерений j			
	I (заниженный размер)	2 (нормальный размер)	3 (завышенный размер)	л/о
1 2	25 52	50 41	25 7	100 100
haj	77	91	32	200
446 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ; IX
Проверить с помощью критерия %2 * *, являются ли независимыми номер партии изделий и характер размеров проверяемых деталей при уровне значимости 5%.
§ 44. Обработка результатов наблюдений по способу наименьших квадратов
Основные формулы
Способ наименьших квадратов применяется для нахождения оценок параметров функциональной зависимости между переменными, значения которых определяются из опыта. Вид искомой функциональной зависимости предполагается известным.
Если на опыте получено «4-1 пар значений (xz, yz), где х; — значения аргумента, а уг — значения функции, то параметры аппроксимирующей функции F (х) выбирают так, чтобы обратилась в минимум сумма
5=2 lyZ-;F(XZ)]2. »=0
Если в качестве аппроксимирующей функции взят многочлен, т. е.
F(x) = Qm(x)==«0+••• +атхт (т^п).
то оценки его коэффициентов а,; определяются из системы т-{- 1 нормальных уравнений
2	=	+	4- sk+mam ~ Vk
j=0
(/г = 0, 1, 2..tn),
где
$ft=2x?	(& = 0, 1, 2, ..., 2m),
vk = 2 У4/	(* = 0, 1, 2, ..m).
§ 44]
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
447
Если значения xt известны без ошибок, а значения yt независимы и равноточны, то оценка дисперсии а2 величины У[ определяется формулой
где Smin — значение S, вычисленное в предположении, что коэффициенты полинома F (х) — Qrll(x') заменены их оценками, найденными из системы нормальных уравнений.
При нормальном законе распределения величин yt изложенный метод является наилучшим способом нахождения аппроксимирующей функции F (х).
Оценки Oaft дисперсий коэффициентов ак и корреляционных моментов Как, а. определяются формулами
== Mfr, > ^ак> aj	У®”’
Д^ у	।
где Mkij = —^~, Д = I dkj | — определитель системы нормальных уравнений (т —1)-го порядка,
dkj = sk+j U> * = 0, 1, 2, ..., т),
\kj — алгебраическое дополнение элемента dkj в определителе Л.
При решении системы нормальных уравнений методом исключения величины Мк< j можно также получить, если при решении системы нормальных уравнений величины vk не заменять их числовыми значениями. Полученные для ак линейные зависимости от vk в качестве коэффициентов у Vj будут содержать искомые коэффициенты Mki
В частном случае линейной зависимости (т=1) имеем:
у = а0-[~а}х.
s2vp —Siv, s2s0 — S?
р2 __ S2____________Smin
a° S2S0 — sf П — 1
~2 ____ Sp__________Smln
a> S2S0 — S; П -------- 1
__£i_______Sm|n
s2s0 —S1 n— 1/
448 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
В случае неравноточных измерений, когда величины у имеют различные дисперсии а?, все предыдущие формулы остаются в силе, если величины S, sk, vk заменить соответственно на п
S' = 2	- ао ~ Я А' - • • • - a,nxin)’
s' = V р2х* (А = 0. 1, 2, .. ., 2т), i = ()
v' — Т	(k — 0, 1, 2......т),
'	1 = 0
где «веса» р? величин у равны
А2 — произвольный коэффициент пропорциональности.
Если «веса» р? заданы, то оценки дисперсий отдельных измерений уг вычисляются по формуле
"^min О —------------ .
(/г — т) р)
Если значение уг получено в результате усреднения /гг равноточных результатов, то «вес» измерения у, пропорционален /г... Можно принять p‘t = пг При этом все формулы остаются без изменений, за исключением формулы для сф в этом случае
Д? _ ^mln
Доверительные интервалы для коэффициентов ак при любой заданной доверительной вероятности а имеют вид
ак —
где у определяется из таблицы [16Т] для закона распределения Стьюдента по входным величинам а и числу степеней свободы k — п — т.
§ 44]
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
449
В случае равноточных измерений доверительный интервал для среднего квадратического отклонения о при доверительной вероятности а определяется неравенствами
< о < у2о,
где Yi и у2 определяются из таблицы [19Т] для закона ^-распределения по входным величинам а и числу степеней свободы k. Можно для той же цели использовать таблицу [18TJ: при этом
где у.] и 7,2 определяются равенствами
Р(х2-<'4)=-Ц^. P(x2>7j) = 14£
при числе степеней свободы k = n — т.
Доверительные границы, образующие полосу, которая с любой заданной доверительной вероятностью а содержит график неизвестной истинной зависимости y = F(.r), определяются неравенствами
Q,n (Xi) — Wy (Xi) < У <X) < Qm (Xi) + YOy ОД
где — оценка дисперсии величины у, определяемой зависимостью y = Q„;(jc) (она зависит от случайных величин — оценок коэффициентов a/t).
В общем случае вычисление о2(л") сложно, так как требует знания всех корреляционных моментов	В случае
линейной зависимости (т=1)
о2 (х) = о2 -I- о2 № 4- 2 k	х.
Значение у определяется из таблицы [16Т] для закона распределения Стыодепта по входным величинам а и числу степеней свободы k — п — т.
При равноотстоящих значениях аргумента xL вычисление аппроксимирующего многочлена можно упростить, используя представление его в виде
т
450
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ГЛ, IX
где Pk „(a'J) — ортогональные полиномы Чебышева: k
р ггч-У	. х’ (а'~1) ... (-V-/+D
М (х ) —	’ v с*с*+/	„(я —1) ...	1)	’
/=0 г  х -^mln fa _____ ^max. Л'пИа
А	п
хтак» xnln—наибольшее и наименьшее значения xlt п	п
~	n (Х/)’	~	п (Xi\
1=0	1 = 0
Оценки дисперсий коэффициентов Ьк находятся по формуле
ф2___^mln 1
ьк п — т Sk
Значения полиномов Чебышева, умноженные на Рк< „ (0) для k— 1-Т-5, /г = 5-т-20, х' — 0, 1, .... п, приведены в таблице [ЗОТ].
Если коэффициенты Ьк вычислены с помощью таблицы [ЗОТ], то при вычислении полиномов Pkn{x') в формуле для Qm (х) необходимо также учитывать коэффициент Рк>„ (0), выбирая ординаты этих полиномов из тех же таблиц или умножая значение полинома, вычисленное по приведенной выше формуле, на /%>п(0).
В ряде случаев аппроксимирующая функция, не являю-цаяся многочленом, может быть сведена к нем}' заменой переменных. Примеры такой замены приведены в таблице 83.
Если у есть функция нескольких аргументов z;, то для юлучения линейной аппроксимирующей функции у^а^о+а^Ч- ... +
ю значениям у, и zki в n-j- 1 опытах требуется найти решетя ак системы нормальных уравнений
'мао + ^1а1+ ••• + $Ата/я = ₽*	(7г = О, 1, 2,	т),
де
skj= 2 Zki*а	(/г, / = 0. 1, 2, . .	m);
/=о
₽* = 3 У,гк1 (fc = 0, 1, 2.......т).
/=0
5 44)
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
451
Таблица 83
мм П;П	Исходная функция	К какому виду приводится	Замена переменных
1	у = Аек v	г — aQ “|* й\Х	z — 1пу; я0 = 1п A; at ~ к
2	у — Вхь	Z = йр —Й|Ц	г = 1g у; и = 1g х
3	У = до4“	У ~ йр “|*	1 и = “
4	И & о 7 k | Ь S 'э'~	у = л04л1и	1
5	у = Ае 2<jS	z — а 0 4 4 atx 4 агх2	г = Igy;	1g А— a 1g е	1g е ai — —г~ 1 а2 ~ ~ тт а ‘ о2 2	2а2
6	У = *о + 5 + 4- —+	V “ йр ~|~ й jU + й2и2 4* -  •	1 и ~ — X
7	У — a04«l.v*4 4«s*2>4 ...	у = й04-а,и4-4 й2к2 4 •  •	и = хь
8	у =аох-”1 + Л)х”	z = а0 4 aiu	2 = уХт\ и=--Хт+П
Если значения 2Ь1 известны без ошибок, а измерения у; равноточны, то оценки дисперсий коэффициентов аЛ определяются формулой ~2	'2
0а* = Л^,*о ,
где о2 =	’ а * есть отношение алгебраического
дополнения соответствующего диагонального элемента определителя системы нормальных уравнений к самому определителю. При решении системы без помощи определителей величины k найдутся как решения этой системы, если в ней заменить единицей, а остальные р; — нулями.
Роль величин zk могут играть любые функции Д (х) некоторого аргумента У. Например, если функция у, заданная
455
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
в интервале (0, 2л), аппроксимируется тригонометрическим многочленом
т
у —	-f- У, cos kx + 14 sin kx),
то при равноотстоящих значениях фициентов и рА определяются
аргумента хь оценки коэф-формулами Бесселя:
п
п
2 V
п + 1
1=0
у; COS kXf,
п
Pi=7TTl)'isin^i
(=0
(k = 1, 2, .... т).
При сложной функциональной зависимости и достаточно малой области изменения аргументов zk вычисления упрощаются, если разложить функцию у в ряд по степеням отклонений аргументов от их приближенного значения (например, от их среднего).
Если ошибки имеются и в величинах и в величинах у;, причем величины xt и у(- подчиняются законам нормального распределения, то в случае линейной зависимости
у = а0~+ ахх
оценка а{ есть корень квадратного уравнения
(« + 1)	К-(л + 1) Г2]	^2
а, Д	__	ai _	= о,
а оценка а0 находится по формуле
где &х‘	—дисперсии отдельных значений xt и у,-,
п	П	I,
=	(6=1,2),
'=0	«=0	/ = 0
Из двух корней квадратного уравнения выбираем один, исходя из конкретных условий задачи.
§ 44]
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
453
Решение типовых примеров
Пример 44.1. При исследовании влияния температуры f на ход хронометра со получены результаты, приведенные в таблице 84.
Таблица 84
t), °C	5,0	9,6	16,0
<0;	2,60	2,01	1,34
19,6	24,4	29,8	34,4
1,08	0,94	1,06	1,25
Считая справедливой зависимость
со = a0-j- «1 (t — 15) -j- а2 (t — 15)2,
где со — расчетные значения величины со, определить оценки коэффициентов ак и оценки средних квадратических отклонений: о — отдельного измерения и — коэффициентов ак, установить доверительные интервалы для коэффициентов ак и для среднего квадратического отклонения о, характеризующего точность отдельного измерения, при доверительной вероятности а = 0,90.
Решение. Составляем нормальные уравнения для нахождения коэффициентов ак и Mktk. Для уменьшения значений коэффициентов нормальных уравнений вводим переменную
и ищем аппроксимирующую функцию
у = Яд “Г a 'tX + а2х2’
Определяем коэффициенты нормальных уравнений sk и vk, выполняя вычисления в таблице 85.
Получаем:
s0 = 7; s1 == 2,254; s2 = 3,712; s3 = 3,056; s4 = 4,122;
^0= 10,28; -и, = 1,215; v2 = 5,017.
454
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. [X
Таблица 85
1		,гг	Al	А			h)ixl	«А
0	1	—0,667	0,4449	—0,2967	0,1979	2,60	—1,7342	1,1567
1	1	—0,360	0,1296	—0,0467	0,0168	2,01	—0,7236	0,2605
2	1	0,067	0,0045	0,0003	0,0000	1,34	0,0898	0,0060
3	1	0,307	0,0942	0,0289	0,0089	1,08	0,3316	0,1017
4	1	0,627	0,3931	0,2465	0,1546	0,94	0,5894	0,3695
5	1	0,987	0,9742	0,9615	0,9490	1,06	1,0462	1,0327
6	1	1,293	1,6718	2,1617	2,7949	1,25	1,6162	2,0898
			i2=		^4 =		г>.=	
	•ty « 7	= 2,254	= 3,7123	= 3,0555	= 4,1221	= 10,28	= 1,2154	= 5,0169
Система нормальных уравнений принимает вид
7»' -f- 2,254»' -f- 3,712а' — т0,
2,254а;4-3,712а; 4-3,056»'=^,
3,712а'4- 3,056»;4- 4,122»; = -»2.
Решая эту систему уравнений методом исключения неизвестных и не подставляя числовых значений vk, получим:
»;=	0,2869^4-0,0986^ —0,33 14д2,
»;= 0,0986^4-0,7248^ —0,62601?2, »; = —0,3314^-0,6260^(4- 1,0051т<2.
Подставляя значения т^, найдем:
a'Q — 1,404; »; = —1,246; а.; = 0,8741.
Величины Л4Д>1 k являются коэффициентами при в каждом из полученных равенств для a'k, т. е.
Л40> 0 = 0,2869;	, = 0,7248; М2> 2 = 1,0051.
Вычисляем значение <Sm)n, необходимое для нахождения оценок дисперсии отдельного измерения у(- и дисперсий коэффициентов аА, сводя вычисления в таблицу’ 86,
§ «1
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
455
Таблица 86
i			“г		2 Ч
0	2,2352	0,3889	2,624	—0,024	0,000576
1	1,8527	0,1133	1,966	0044	0,001936
2	1,3207	0,0039	1,325	0,015	0,000225
3	1,0217	0,0823	1,104	—0,024	0,000576
4	;	0,6230	0,3436	0,967	—0,027	0,000729
5	0,1745	0,8515	1,026	0,034	0.001156
6	—0,2067	1,4613	1,255	—0,005	0,000025
1				5 mln	= 0,005223
Получаем 5т1я = 0,005223. Далее находим:
02^5^^0,001306; о = 0,03614;
О — 2
о2. = Л4о 0о2= 0,0003746; о2. = 0.0009464; о2, = 0,001312;
*0	°1	й2
о  = 0.01936; о . = 0,03076; о  = 0,03623.
°0	°1	п2
Возвращаясь к аргументу /, получим
(,о = а04- й] (t— 15)-1- а2 (7— 15)2, где
а0—а'0= 1,404; а} = -jg- = — 0,08306;
22 = -^- = 0.003885, 2	I52
и соответствующие оценки средних квадратических отклонений о0 :
*
о ,
о =5, =0,01936;	о = — = 0,001291;
д0 й0	ю
О г ~ а0 0^ = ^ = 0,0001610.
456
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Находим доверительные интервалы для коэффициентов ak при доверительной вероятности а = 0,90- Используя таблицу [16Т], по входным величинам а и числу степеней свободы k = п — т. = 4 находим
7 = 2,132.
Доверительные интервалы для ак‘.
— ycfak < ак < ак -ф- у5а^, принимают вид
1,363 < а0 < 1,446,
0,08031 < aY < 0,08581,
0,003542 < а2 < 0,004228.
Находим доверительный интервал для среднего квадратического отклонения о, характеризующего точность отдельного измерения:
YjO < о < у2о, где значения ys и у2 определяются по таблице [19Т] при k = 4, а = 0,90. Имеем: у, = 0,649; у2 = 2,37, что дает 0,02345 < о < 0,08565.
Аналогично решаются задачи 44.1—44-3, 44.5, 44.9, 44.10, 44.13.
Пример 44.2. Равноточные измерения некоторой величины у, отвечающие ряду значений аргумента х, привели к
Таблица 87
V	У	X	У
0,0	1.300	1,5	0,037
0,3	1,245	i 1,8	—0,600
0,6	1,095	2,1	—1,295
0,9	0,855	2,4	—1,767
1.2	0,514	2,7	—1,914
результатам, помещенным в таблице 87.
Подобрать многочлен 5-й степени, приближенно представляющий зависимость у от х в интервале значений х [0; 2,7], используя ортогональные полиномы Чебышева; оценить точность отдельного измерения, характеризу-
емого средним квадратическим отклонением о, и иайги оценки средних квадратических отклонений коэффициентов при полиномах Чебышева ^к. п (х)-
§ «1
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
457
Решение. Переходим к аргументу z —	, чтобы
сделать шаг аргумента равным единице. По формулам, приведенным во введении к данному параграфу, вычисляем величины Sk, ch, bk (k = 0, 1..5). Табличные значения поли-
номов Чебышева берем из таблицы [ЗОТ]. Вычисления выполнены в таблице 88.
Таблица 88
Z	Po.fi <г)	Pf,9 U1	Р‘2,<)М	Т’з.эСО	^4,9 W	Л>,9<г)
О	1	9	6	42	18	6
1	1	7	2	—14	—22	—14
2	1	5	—1	—35	—17	1
3	1	3	—3	—31	3	И
4	1	1	—4	—12	18	6
5	1	„1	—4	12	18	—6
6	1	-3	—3	31	3	—11
7	1	—5	—1	35	—17	—1
8	1	—7	2	14	—22	14
9	1	—9	6	—42	18	—6
	So = 10	S, = 330	S2 = 132	S3 = 8580	S4 = 2860	S5 = 780
Вычисления на арифмометре (клавишной вычислительной
машине) с накоплением результата дают:
So =10,	5, = 330,	S2= 132,
S3= 8580,	S4= 2860,	S5= 780,
е0= — 0,530,	с, = 66,802,	с2 = — 7,497,
с3 = — 14,659.	с4= 14,515,	с5 = — 1,627.
Для оценок коэффициентов Ьк имеем:
£, = — 0,530, bi = 0,20243, £,= —0,05680, b3=- 0,00486, £, = 0,00508, £ = — 0,00209. Напомним, что если при вычислениях используются табличные значения полиномов Чебышева, то формула для искомого многочлена 5-й степени имеет вид
У — £/*О, 9 (г) “Ь ^1^1, 9 (^) + ^2^*2, 9 (г) +
~Т ^3^3,9' (г) + ДЛ, 9 (г) + ^5^5, 9 С2)-
458
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ: IX
Если же для вычисления полиномов Чебышева используются аналитические формулы, то найденные коэффициенты bk следует заменить коэффициентами	„ (0), где Р&, п(0) —
табличное значение Pk, п (?) при z — 0.
Вычисляем оценку о2: п
z«=o
причем для нахождения значений yz используем табличные значения полиномов Чебышева из таблицы 88. Вычисление 5mia выполнено в таблице 89.
Таблица 89
X.		У1	*1	Ч	d
0,0	0	1,300	1,310	—0,010	0,000100
0,3	1	1,245	1,236	0,009	0,000081
0,6	2	1,095	1,098	-0,003	0,000009
0,9	3	0,855	0,868	—0,013	0,000169
3,2	4	0,514	0,514	0.000	0,000000
1,5	5	0,037	0,017	0,020	0,000400
1,8	6	—0,600	—0.602	0,002	0.000004
2.1	7	—1,295	—1,263	—0,032	0,001024
2,4	8	—1,767	—1,793	0,026	0,000676
2,7	9	—1.914	-1,908	-0,006	0,000036
				$01111	= 0,002499
Получаем: S„ 1п = 0,002499, о = |/	= 0,02503.
Далее по формуле
~	о
о» = —т=-
* VSk находим:
0^ = 0,007917;	о», = 0,001378; ty,2 = 0,002179;
6^ = 0,0002702;	= 0,0004680; о», = 0,0008947.
Аналогично решаются задачи 44.4, 44.6, 44.12.
$ 44)	СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
459
Пример 44-3. Показания барометра-анероида А и ртутного барометра В при различной температуре t приведены в таблице 90.
Таблица 90
/	t, °C	А, мм	В, мм	/	/, °C	А, мм	В, м и
0	10,0	749,0	744,4	5	3,8	757,5	754,0
1	6,2	746,1	741,3	6	17,1	752,4	747,8
2	6,3	756,6	752,7	7	22,2	752,5	748,6
3	5,3	758.9	754,7	8	20,8	752,2	747,7
4	4,8	751,7	747,9	9	21,0	759,5	755,6
Считая, что зависимость величины В от t и А имеет вид В — А + ао + а/ + а2(76О — А),
определить оценки коэффициентов аА, построить доверительные интервалы для коэффициентов ак и для среднего квадратического отклонения о ошибок измерения В при доверительной вероятности а — 0,90.
Решение. Обозначим для удобства 2'0=1,	— t,
z2 = 760 — А, у = В — Л. Тогда искомая формула примет вид
у — aozo-\- alzl + а2г2.
Исходные данные при этих обозначениях представлены в таблице 91.
п	п
Определяем значения skt = У, zkizH и Рь=У Vizki i=0	7	(=0
(k, / = 0, 1, 2):
Sjo = Ю; $м = $10 = 117,5; $Э2 = s20 = 63,6; su= 1902,6;
s12 = s2I = 741,97; S22 = 577,22; p0 = —41,7;
p! = 494,87; p2 = — 276,75.
Составляем систему нормальных уравнений, причем вместо рА их числовые значения пока не подставляем:
1Оа0 + 117,5а, + 63,6а2 = р0,
117,5а0-ф- 1902,59а,+ 741,9702 = 3,,
63,6а0+ 741,97а, + 577,22а2 = р2.
460
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Т аблица 91
i	Л1			У		а22с	7	IM	е?
0	1	10,0	11,0	—4,6	—3,725	—0,739	—4,46	0,14	0,0196
1	1	6,2	13,9	—4,8	—3,686	—0,934	—4,62	0,18	0,0324
2	1	6,3	3,4	—3,9	—3,687	—0,228	—3,92	0,02	0,0004
3	1	5,3	1,1	—4,2	—3,676	—0,074	—3,75	0,45	0,2025
4	1	4,8	8,3	—3,8	-3,671	—0,558	—4,23	0,43	0,1849
5	1	3,8	2,5	—3,5	—3,661	—0,168	—3,83	0,33	0,1089
6	1	17,1	7,6	—4,6	—3,799	—0,511	—4,31	0,29	0,0841
7	1	22,2	7,5	—3,9	—3,852	—0,504	—4,36	0,46	0,2116
8	1	20,8	7,8	—4,5	—3,838	—0,524	—4,36	0,14	0,0196
9	1	21,0	0,5	—3,9	—3,840	—0,034	—3,87	0,03	0,0009
Smln = 0,8649
Решая эту систему уравнений методом исключения, получаем:
а0 = — О,6О760о 4-0,02-289^ — 0,03754₽2, = — О,О2289ро +0,001916р. + 0,000059102.
а2 = — 0,03754f50-1-0,0000591(1; + 0,005792Р,2.
Подставляя в эти выражения числовые значения 04, найдем а/г; коэффициенты при |1,. в выражении для ctft представляют собой значения Nk, к:
а0 =— 3,621; И; — — 0,01041;	а,-—— 0,06719;
ДГ0 0= 0,6076;	Nbl=	0,001916;	N2t2 =	0,005792.
Далее находим: £„.;,, = 0,8649 (см. табл. 91);
о2 = 0,12356;	о = 0,3515;
а^ = 0,07508;	0^=0,272;
0^ = 0,0002368;	оС(1 = 0,0154;
о„2= 0,0007156;	оа2 = 0,0268.
Строим доверительные интервалы для коэффициентов ак и для среднего квадратического отклонения а, характеризующего точность отдельного измерения, используя распределение
§ М]
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ	461
Стьюдента (для — таблица [16Т]) и //-распределение (для о — таблица [19Т]).
Число степеней свободы k = п — т = 7, доверительная вероятность а = 0,90.
Находим: у = 1,897, у, = 0,705, у2 = 1,797.
Доверительные интервалы для
a-k — Wak <ak< nk +
принимают вид:
— 4,141 < ct0 < — 0,0396 < o.j < — 0.1180<a2<
3,101, 0,0188, 0,0164,
а для среднего квадратического отклонения о
yjO < о < у2о
или
0,2478 < о < 0,6316.
Пример 44.4. В таблице 92 приведены значения x[t yt и «веса» р?, характеризующие точность измерения у; при данном значении х(.
Таблица 92
i		yz		i		yi	
0	1,5	6,20	0,5	5	—0,5	4,55	1,0
1	1,1	3,45	1,0	6	—1,0	8,85	1,0
2	0,7	2,00	1,0	7	—1,5	15,70	0,5
3 4	0,3 —0,1	1,80 2,40	1,0 1,0	8	—2,0	24,40	0,25
Считая, что зависимость у от х представляется многочленом второй степени вида
У ~ ао + а\х 4~ й2%2'
найти оценки дисперсий отдельных измерений yt и дисперсий коэффициентов д^(А = 0, 1, 2). Построить доверительные границы для неизвестной истинной зависимости y = F(x) при доверительной вероятности а = 0,90.
462
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ, ГХ
Решение. Вычисляем величины sj и v'k для системы нормальных уравнений с учетом «веса» каждого измерения, выполняя вычисления в таблице 93-
Таблица 93
i	fl}	Л'(-	д,2	4	4	у.	4-4	уА
0	0,50	1,5	2,25	3,375	5,0625	6,20	9,300	13,950
1	1,00	1,1	1,21	1,331	1.4641	3,45	3,795	4,174
2	1,00	0,7	0,49	0,343	0,2401	2.00	1,400	0,980
3	1,00	0,3	0,09	0,027	0.0081	1,80	0.540	0,162
4	1,00	-0.1	0,01	—0,001	0,0001	2.40	—0,240	0,024
5	1,00	—0,5	0,25	-0,125	0,0625	4.55	—2,275	1,138
6	1,00	—1,0	1,00	—1,000	1,0000	8,85	-8,850	8,850
7	0,50	—1,5	2,25	—3,375	5,0625	15,70	—23,550	35,325
8	0,25	-2,0	4.00	—8.000	16,0000	24,40	—48,800	97,600
Получаем:
So = 7.250; sJ = O;	s'= 6,300;
s'= —1,425; *4= 11,837;
»' = 40,100; и'= — 24,955; v' = 64,366.
Составляем систему нормальных уравнений:
7,250яо4-0	4-6,300а2 = 40,100,
0 4-6,300^—1,425^ = — 24,955,
6,300ао — l,425aj4- 11.837а2 = 64,366.
Находим числовые значения определителя системы А и алгебраических дополнений <\7 элементов dkj — s'k+}. этого определителя:
А = 275,87; 600= 72,54; бп = 46,12; б22 = 45,68;
б01 = б|0= — 8,98; б02 = б20 = — 39,69; б]2 = 621 = 10,33.
Вычисляем оценки коэффициентов ak:
~ __ бло'1’о+ 6A1t'i + 6*2V2
Д	>
получаем
а0~ 2,096; <^ = — 3,068; д2 = 3,955.
S 4fl
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
463
Находим SmIn, выполняя вычисления в таблице 94: 8
5т1л Р] р/ — «о — aixl — а2хЦ = 0,2208.
Таблица 94
1		«о + «гг/	«2х?	>7	‘7	е?
0	6,20	—2,5044	8.8945	6,390	—0,190	0,0361
1	3,45	—1,2775	4,7833	3,506	—0,056	0,0031
2	2,00	—0,0507	1,9370	1,886	0,114	0,0130
3	1.80	1,1762	0,3558	1,532	0,268	0,0718
4	2,40	2,4030	0,0395	2,442	—0,042	0,0018
5	4,55	3,6298	0,9883	4,618	—0,068	0,0046
6	8,85	5,1634	3,9531	9,116	—0,266	0,0708
7	15,70	6,6970	8,8945	15,592	0.108	0,0117
8	24,40	8,2305	15,8124	24,043	0.357	0,1274
					*5mln	= 0,2208
Вычисляем оценки дисперсий отдельных измерений о2 по формуле
гу2_ ^mln 1 .
п — тр~ получаем:
о2 = о2 = 0,0368 > ~4-= 0,0736; 0	1	0,5
(j2 — 02 _ о2 ™ 02	. 02 __ 02 ___ 0 0368;
12	3	4	5	6
о2 = 0,1472. о
Оценки дисперсий коэффициентов ак и их корреляционных моментов находятся по формулам
6'nI|n 6,;./.	Smin f>hj
ak п — т А- ’ ак. п — т А * Имеем:
о2 == 0,009336; S2 =0,005936; о2 =0,005879; «о	«2
—0,001156; Kai.at = — 0,005108; Ка„ = 0,001329.
464
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Вычисляем оценку дисперсии величины у по формуле
? W =	-’t*4 + 2^». а* + 2^,	+ 2^«„ «Л3
ИЛИ
Оу(х)= 10~5(933,6 — 231,2х-428,0хД-265,8х'!-л-587,9х'1).
Значения tfy(^z) для всех х. вычислены в таблице 95.
Таблица 95
р-I

0,03497 0,01375 0,00794 0,00838 0,00953 0,01012 0,01590 0,04197 0,11217
0,187 0,117 0,088 0,092 0,098 0,101 0,126 0,205 0,335
6.390
3,506 1,886 1,532 2,442 4 618
9,116
15,592
24,043
6,023 3,279
1,715
1,353 2,252 4,422 8,871
15,194 23,392
6,753 3,733
2,057 1,711 2,632 4,814 9,361
15,990 24,694
Строим доверительные границы для неизвестной истинной зависимости у = Л(х):
У, — YOy (*/) < У < yt + YOy (х,-), где у определяется из таблицы [16Т] по входным величинам а =0,90 и числу степеней свободы k — п — т — 6:
у= 1,943.
Доверительные границы для у вычислены в таблице 95.
Аналогично решаются задачи 44.7, 44.8, 44.11.
Пример 44.5. Электрическое сопротивление молибдена р В зависимости от температуры Т °К характеризуется данными таблицы 96.
Считая справедливой линейную зависимость вида
Р — ft0“T~ а Д>
§ 44]
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
465
определить коэффициенты а0 и аг по способу наименьших квадратов. Ошибки измерения р и Т характеризуются соответственно средними квадратическими отклонениями ор = 0.8 и ог — 15°. Найти наибольшее отклонение расчетной величины р от опытной.
Таблица 96
T, "K	p, MKOM-CM	T, °K	p> MKOM-CM
2289 2132 1988 1830	61,97 57,32 52,70 47,92	1489 1286 1178	37,72 32,09 28,94
Решение. Вычисляем величины sk, rk (&=1,2), vt, выполняя вычисления в таблице 97.
Таблица 97
i	T. 1	Т^-ЦГ2	Pi	4	Tp. -10 1	Pi	*i
0	2289	52 395	61,97	3840,3	14 185	61,82	0,15
1	2132	45 454	57,32	3285,6	12 221	57,15	0,17
)	1988	39 521	52,70	2777,3	10 477	52,86	—0,16
3	1830	33 489	47,92	2296,3	8 769	48,15	—0,23
4	1489	22 171	37,72	1422,8	5617	38,00	—0,28
5	1286	16 5,38	32,09	1029,8	4 127	31,95	0,14
6	1178	13 877	28,94	837,5	3 409	28,73	0,21
	A’l = =12192	So = -22 344 -103	Г1 = =318,66	r2 = = 15 490	V! = =58 805'10		
Получаем:
12192;	s2 — 22344 • 103;
318,66;	r.2 = 15490;
= 58805 • 10.
466
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Составляем квадратное уравнение для отыскания коэффициента ар
[«2 —(«4-1)S2]-^-—[г| —(/г+1)г2]
07	Ор,
й2 --------------------------------- О; -—£ = о,
5/1— («+1)1'!	СТ
которое после подстановки числовых значений принимает вид 214-0,065708^—0,0028444 =0.
Решая это уравнение, находим два значения ар.
ан = 0,029786; а12 = —0,095494.
Очевидно, что корень а12 не годится, так как он отрицателен, .а из данных таблицы 97 легко заключить, что при возрастании Т величина р возрастает. Следовательно,
а1 = 0,029786.
Определяем коэффициент а0 по формуле
Вычисляем в таблице 97 значения ер
Е; Р(-	р;-,
где р — расчетные значения величины
р = — 6,3558 + 0,0297867’.
На основании данных таблицы 97 находим, что |ета!£|—0,28. Аналогично решается задача 44.15.
Задачи	'
44.1.	Результаты равноточных измерений глубины h про<-никновения тела в преграду при различных значениях его удельной энергии Е (энергии, приходящейся на единицу площади соударения) приведены в таблице 98.
Подобрать линейную зависимость вида h — а^^йуЕ,
§ 44)
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
467
определить оценки о- дисперсий коэффициентов аъ и ~ я
опенку о- дисперсии, характеризующей точность отдельною измерения.
Таблица 98
i	Е1	,!i	1	Е1	hi	i	Ei	hi
0	41	 4	5	139	20	9	241	30
1	50	8 1	6	154	19	10	250	31
2	81	10	7	180	23	11	269	36
3	104	14	8	208	26	12	301	37
4	120	16						
44.2.	Решить предыдущую задачу, перенеся для упрощения вычислений начало отсчета аргумента Е в точку, равную среднему арифметическому значению величин Е, и начало отсчета величин h в точку, близкую к математическому ожиданию /г.
44.3.	Высота h падения тела за время t определяется формулой
/г = а0+ «/+ а21г,
где «0 — путь, пройденный телом к моменту начала отсчета времени, ах— скорость тела в момент начала отсчета времени, а2 — половина ускорения силы тяжести g.
Определить оценки коэффициентов а0, alt а2 и оценить точность определения ускорения силы тяжести указанным методом па основании серии равноточных измерений, результаты которых приведены в таблице 99.
Таблица 99
А сек.	Л, см	А сск.	fl, см	Л сск.	Zr, см |	А сек.	Л, см	f, сек.	й, CM
1 30	11,86:	4 30	26,69 i	7 30	51,13	10 30	85,44	13 30	129,54
2 30	15,67	5 30	33,71	8 30	61,49	11 30	99,08	14 30	146,48
3 30	20,60	6 30	41,93	9 30	72,90	12 30	113,77		
468
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
44.4.	Решить предыдущую задачу, используя ортогональные полиномы Чебышева.
44.5.	Равноточные измерения некоторой величины у через равные интервалы аргумента х дали результаты, приведенные в таблице 100.
Таблица 100
X	—3	—2	—1	0	1	2	3
У	—0,71	—0,01	0,51	0,82	0,88	0,81	0,49
Считая, что у достаточно точно аппроксимируется многочленом второй степени
у = fi0+ fijX -r Д2Л'2’
определить оценки коэффициентов ак, дисперсии отдельного измерения о- и дисперсий си коэффициентов ак.
44.6.	Величина износа резца у, определяемая его толщиной (в миллиметрах), в зависимости от времени работы t (в часах) представлена в таблице 101.
Таблица 101
t	5'	t	у	t	J’
0	30.0	6	27,5	12	26,1
1	29,1	7	27,2	13	25,7
2	28,4	8	27,0	14	25,3
3	28,1	9	26,8	15	24,8
4	28,0	10	26,5	16	24,0
5	27,7	11	26,3		
Подобрать с помощью ортогональных полиномов Чебышева зависимость у от t в виде многочленов первой и третьей степеней. Считая справедливой полученную зависимость, оценить в обоих случаях величину дисперсии отдельного измерения и построить доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения о при доверительной вероятности а = 0,90.
§44]	СПОСОБ НАП.МСНЬШПХ КВАДРАТОВ	469
44.7.	Величины сжатия х( стального бруса под действием нагрузки у(-, а также значения дисперсий о,-, характеризующих точность измерения уг, приведены в таблице 102.
Таблица 102
1	0	1	2	3	1
Л'1, мк	5	10	20	40	60
Уь кГ	51,33	78,00	144,3	263,6	375,2
	8*2,3	25,0	49,3	51,3	46,7
Найти линейную зависимость
у = а0 +
отвечающую закону Гука; построить доверительные интервалы для коэффициентов ak (k = 0, 1). а также доверительные границы для неизвестного истинного значения нагрузки при х от 5 мк до 60 мк при доверительной вероятности а—0,90.
«Веса» измерений, отвечающих каждому значению сжатия .г,-, принять обратно пропорциональными величинам о?.
44.8.	В таблице 103 приведены средние значения у;, отвечающие значениям аргумента х;, а также числа измерений величины у при х = х(.
Построить аппроксимирующий многочлен второй степени и определить оценки средних квадратических отклонений oc& коэффициентов ак-
Таблица 103
;	Х1			"i	i		-vi	!1i
0	1	0,10	21	3	4	0,32	11
1	2	0,19	8	4	5	0,39	11
2	3	0,24	13	5	6	0,48	10
470
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
44.9,	Себестоимость у (в рублях) одного экземпляра книги в зависимости от тиража х (тысячи экземпляров) характеризуется данными, собранными издательством в течение ряда лет (табл. 104). Подобрать коэффициенты для гиперболической зависимости вида
У = ао + ~-
Таблица 104
X	У	X	У	X	У
1	10,15	10	2,11	100	1,21
2	5,52	20	1,62	200	1,15
3	4,08	30	1,41		
5	2,85	' 50	1.30		
и построить доверительные интервалы для коэффициентов ак (k — 0, 1), а также для величины у при различных значениях X; при доверительной вероятности а = 0,90.
44,10.	Конденсатор заряжен до напряжения Uo, отвечающего момент}’ начала отсчета времени, после чего он разряжается через некоторое сопротивление. Напряжение U измеряется с округлением до 5 в в различные моменты времени. Результаты измерений приведены в таблице 105.
Таблица 105
1	ft, сек.	Ь';, 0	1	!Г сек.	Ь> в	1	/(., сек.	Уг.в
0	0	100	4	4	30	8	8	10
1	1	75	5	5	20	9	9	5
2	2	55	6	6	15	10	10	5
3	3	40	7	7	10			
Известно, что зависимость U от t имеет вид
U = Uoe-a‘.
Выбрать коэффициенты 1/0 и о, составить доверительные интервалы для Uo и а при доверительной вероятности а = 0,90.
« 44!
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
471
44.11.	В результате продувок в аэродинамической трубе для модели самолета были получены данные (табл. 106) о зависимости угла отклонения руля высоты дв, обеспечивающего прямолинейный горизонтальный полет, от скорости воздушного потока v:
.	> <2|
Найти оценки коэффициентов аа и ах и их средних квадратических отклонений.
Таблица 106
1	v., м/сек	йв«	ni	1	м/сек		
0	80	-3° 44'	8	5	140	—0°38'	6
1	90	—2° 58'	12	6	160	—0°07'	9
2	100	—2° 16'	11	7	180	0°Ю'	12
3	НО	—1°39'	9	8	200	0’35'	10
4	120	—1°21'	14				
Через яг- в таблице обозначены числа измерений при данном значении скорости
44.12.	Результаты измерения размера х партии деталей разбиты на интервалы, и для них вычислены частоты которые приведены в таблице 107,
Таблица 107
Границы интервала ли	Pi	Гранины интервала х^	Pi	Границы интервала ,v.	» Pi
50 4-60 60-т-70 70 4-80 80 4-90 90 4-100	0,00333 0,00667 0,03000 0,07667 0,11000	1004-110 1104-120 120 4-130 130 4-140	0,18667 0,20333 0,16333 0,08333	140 4-150 150 4- 160 160 4-170 170 4-180	0,06333 0,05333 0,01333 0,00667
Считая, что значения р*. относятся к серединам интервалов подобрать по способу наименьших квадратов параметры для зависимости
(.г-л'З
2°’ •
472
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. !Х
аппроксимирующей опытное распределение, применив ортогональные полиномы Чебышева. Проверить, соответствует ли полученная зависимость закону нормального распределения величины х, т. е. выполняется ли равенство
44.13.	В таблице 108 приведены измеренные значения некоторой величины у в зависимости от времени t (сутки).
Считая, что
у — a sin (о)7 — ф), где со — 360 \ г/	сутки
определить оценки параметров а и <р. Найти наибольшее отклонение измеренной величины у от аппроксимирующей функции V.
Таблица 108
t	i] >’	| t	У		У
0.00 0,05 0.10 0,15 0,20 0,25 0,30	р —25 У 0,35 —26 ! 0,40 —4 ' 0,45 7 i 0,50 6	0,55 13 Н 0,60 —30 || 0,65 0	26 32 40 32 21 11 —5	0.70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95	—16 3 —21 —22 —29 —32
Указание. Предварительно выбрать приближенное значение (р' и представить у в виде
у = a sin 6 + b cos 0,
де	0 =	— ф',
Ф = —а(ф —ф')-
44.14.	В результате опыта получены следующие значения функции у = f (х) с периодом 2л (табл. 109).
Найти представление этой функции многочленом
у = а0 -ф- »t cos х -f- sin x -j- a2 cos 2x b2 sin 2x
1 наибольшее отклонение измеренной величины у от аппроксимирующей функции у.
§ 451
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
473
Т а б л и ц а 109
град	У<	град	Л-	град	>7	х1-град	У»
15	1,31	105	2,12	195	2,89	285	—2,30
30	1,84	120	2,38	210	2,01	300	—2,22
45	2,33	135	2,98	225	0,92	315	—1,57
60	2,21	150	3,44	240	—0,24	330	—1,03
75	2,24	165	3,51	255	—1,23	345	—0,01
90	2,39	180	3,33	270	—1,98	360	—0,82
44.15.	В таблице 110 приведены уровни х и у воды в реке в пунктах А и В соответственно (пункт В на 50 км ниже по течению пункта А), замеренные в 12.00 в первые 15 дней апреля.
Таблица ПО
1	0	1	2	3	4	5	6
х,, м	12,1	11,2	9,8	10,4	9,2	8,5	8,8
Уь м	10,5	9,3	8,3	9,6	8,6	7,1	6,9
7	8	9	10	11	12	13	14
7,4	6,6	7,0	6,4	6,0	6,5	5,8	5,4
5,8	5,2	5,0 *	5,1	4,6	5,0	4,4	3,9
Считая справедливой зависимость у = а()4- ахх, определить оценки коэффициентов а0 и ах и наибольшее отклонение у; от расчетных значений у;, если известно, что ошибки измерения величин х и у характеризуются средним квадратическим отклонением ол. = о =0,5 м.
§ 45. Статистические методы контроля качества
Статистический контроль позволяет установить качество продукции путем испытания части изделий с гарантируемыми вероятностями а забраковать хорошую партию («риск поставщика») и р принять негодную партию («риск потребителя»).
Партия считается хорошей, если параметр, характеризующий качество партии, не превзойдет некоторого граничного
474 .МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ГЛ.: IX значения, и негодной, если этот параметр имеет значение не ниже некоторого другого граничного значения. Параметром, характеризующим качество партии, может быть или число I дефектных изделий в партии (границы 10 и l} > /0), или среднее значение £ или К параметра в партии (границы £0 и Bi > с0 или 2-0 и > ?.о), или (при контроле однородности индукции) дисперсия параметра в партии (граница о§ и о^|; в том случае, когда качество партии улучшается с ростом значения параметра, соответствующие неравенства должны быть заменены на противоположные.
По методу контроля различают метод однократной выборки, метод двукратной выборки и метод последовательного анализа. Определение объема выборки и признаков для приемки или браковки продукции по заданным величинам аир называется составлением плана контроля.
При однократной выборке определяются объем выборки па и приемное число у; если в выборке значение контролируемого параметра то партия принимается; если > v — бракуется.
Если контролируется число (доля) дефектных изделий в выборке объема /г0, общее число дефектных изделий в партии L, а объем партии N, то
а =Pi VI
гт/Щ-м
V-
V
р ,-.. Р(М <
т
4v-z{

где значения С™ могут быть взяты из таблицы 11TJ или вычислены с помощью таблицы [2Т].
При na~^.QAN возможен приближенный переход к биномиальному закону распределения
« = 1 ~	1 -Р(?о, ne, V),
V

45) СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
475
i де р0 = -у,	= а зна',ен11Я р(Р> могут быть
взяты из таблицы [4Т] или вычислены с помощью таблиц [2Т] и (ЗТ].
Если, кроме того, р0 < 0,1, pt <0,1, то, положив до==«оро. Oi = «oPi (переходя к закону распределения Пуассона), получим
ОО гП
m = v+l
Р = 1
= Р(х2>х2,).
где у2 =2а_, у2 =2а,, У —ге~а Даны в таблице [_7Tj, “W и l*qi 1	т\
m = V4-l
а вероятности P(z2>X|) могут быть получены из таб-
лицы [17Т] при числе степеней свободы fe = 2(v-|-l)-
Если 50< пд<<0,IN, n.,plS^>-4, то можно пользоваться еще более удобными приближенными формулами:
а___J_____1_ ф / т — ПоРо4~О,-5 \
2	2	( /поро (1 — Ро) I ’
В = 1 _ 1 ф I
2	2	( УХл (1 ~ Pi) / ’
где Ф(г) — функция Лапласа (см. таблицу (8Т|).
п
~	1 47
Если контролируется среднее значение х — — У х, па-
По лея
1	= 1
раметра в выборке, а значение параметра одного изделия хг подчиняется нормальному закону распределения с известной дисперсией о2, то
а = 1 —.1ф	plzdlq,	(V—	1	’	ф
2	2	| а	*	2	2 I о I
\ /«7 /	\ /«Г /
При	партия принимается, если х v; бракуется,
если х < v, а в формулах для аир знак минус перед вторым членом заменяется на плюс.
476. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ (ГЛ. IX
Если контролируемый параметр имеет плотность вероятности
f (у) = f-e~ ’-v,
«--=1-Р(Х2>-4).
Р = Р (X2 > 4),
где Х?о ~	'41 = 2йо^Л’> а вероятность Р (у2 > опре-
деляется но таблице [17Т] при k = 2и0 степенях свободы. Если «0 > 15. то приближенно
Р > /2) = 1 ~ 1 Ф ( .......- 2"1?)
2	2	\ 2/п0 /
Если контролируется однородность продукции, а параметр, характеризующий качество изделия, нормален, то
а = 1 — Р (о < у0о0),
Р = Р (о < «/А),
п
где = ~ , <7i == ~ -	- У (Xi — х)2. если матема-
V j	/<Q ЖЖ
тическое ожидание х параметра известно, пли
если х неизвестно, а вероятности Р(а<^<70) вычисляются по таблице [22Т] при k — п0 степенях свободы, если х известно, и при k — п0—1, если х неизвестно.
При двукратной выборке определяются объемы первой пх и второй п2 выборок и приемочные числа Vp v2, v3 (обычно Vj <—-£ v3 < v9), Если в первой выборке коп-третируемый параметр то партия принимается; если контролируемый параметр > v2, то партия бракуется; в остальных случаях берется вторая выборка. Если определенное по выборке объема (я^т-Лз) значение контролируемого параметра -< v3, то партия принимается, в противном случае — бракуется.
§ «1
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
477
Если контролируется число дефектных изделий в вы-
Так же, как при однократной выборке, при наличии определенных соотношений между числами n.v п2, N, 10, 1Х возможен приближенный переход от гипергеометрического закона распределения к биномиальному, нормальному или закону распределения Пуассона.
Если' контролируется среднее значение х параметра в выборке, то при нормальном законе распределения параметра одного изделия с заданной дисперсией о2 в частном случае, когда п1= п2 = п, v1=v3 = v, v2 = oo, будет
а= 1 —— 0,5 (р2 — р1), ₽==Р3 + °.5(>4 —/>2), где
Р1 = 0,5-4-0,5Ф 1~~\,	р2 = 0,5 + 0,5Ф (~М
\ ГТ J	\ V^n J
р3 = 0,5-|-0,5Ф/^^Н . /?4 = 0,5 4-0,5Ф.
\ ТТ /	\ /2Г /
При £о > £1 знаки неравенств в условиях приемки и браковки заменяются на противоположные, а в формулах для Pi' Pz- Рз’ Pi знак п-тос перед вторым членом — на минус.
Если контролируется х, а плотность вероятности параметра X для одного изделия показательная: f (х) = ).е~Кх, П^-П^-П, v1=v3 = v, v2 —оо, то
а = 1 — Pi _ 0,5 (/z, — р2), р = р. + Э,5 (р4 - р2),
478
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ ;ГЛ. IX
где
Л = 1-Р(х2>х20), /’2-1~Р(х2>х^),
Рз - 1 “ Р (х2 > X?,)-	- Р (х2 > X2,)-
Х2о= 2«4V’ '^==2n^iv< а вероятности Р ('/?' > X;') вычисляются по таблице [17Т] при числе степеней свободы k~2n (для р{ и р3) и k = 4п (для р2 и jt?4).
Если контролируется однородность продукции при нормальном законе распределения контролируемого параметра, пг — п2^= п, v1=v3 = v, V2 — со, то
« = 1 — Pj —о,5(р2 — pfy /72	0,5(р, - /Р),
где plt р2, р^ р,А определяются из таблицы [22Т] no q и k, причем q — q^ для р{ и р2, q = Q\ для р3 и р4; при известном х k — п для pt и р3, k = 2п для р2 и /?4; при неизвестном х k~n— 1 для р{ и р5, k — 2(n—1) для р2 и р4.
При последовательном анализе А. Вальда для переменного объема выборки п и случайного значения контролируемого параметра в выборке вычисляется коэффи-фиент правдоподобия у и контроль продолжается до тех пор, пока у не выйдет за пределы интервала (В, А), где В -- j .,
А =—если у <В, то партия принимается; если у7> А, то партия бракуется; при В < у < А испытания продолжаются.
Если контролируется число т дефектных изделий в выборке, то
При п <7 О, LV пригодна формула, справедливая для бино« миального закона распределения:
у (п, т) —
а5"(1-л)л~"'
Р^~Р^т
где
lo	II
j 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯКАЧЕСТВА	479
В этом случае партия принимается, если т < hx -ф- nhs: партия бракуется, если h2-\~ nh3’. испытания продолжаются, если hi + nh:. < т
3’
испытания где
h
|г 21 4. ip- 2-£1
й Ра ‘ g 1-Pi
/г —--------о— --------,
lg 21 д. ig *—£°
Ра 1 — Pi
1 — Ра
a 1 — Pi
/г, —-----------,-----.
1g 21.4- ig *—£1 ” Pa S 1 —Pi
рис. 37. соответствующем этому случаю, полоса // дает область значений п и т, при которых испытания должаются, / — область приемки партии, 111 — область ковки партии.
Ha
про-бра-
а^е~а'
где
Если n<0,l,V, Pj <0,1, то у (и, npQ, ai~npi- В остальном условия последовательного
контроля и графический метод останутся без изменения, но в данном случае
hi^-^L, Ip-21 л Ро
Pi ’ Po h — Q’4^43 (Pi —Po) 3 I<r2i b Pa
Если можно принять биномиальный математические ожидания объема формулами
М [п | р0] =---------------j--—,
Polg^-(1-Po)ig4^ pigB + (l-E) Ig4
л,
orctgAj
Рис. 37.
закон распределения, то выборки определяются
М [И I pj =--------------J-—
pi ig-у--(1-pi) ig 4—f
Pa	1 — Pi
480
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
Наибольшее значение математического ожидания объема выборки имеет место при числе дефектных изделий в партии l — Nh3.
.. , .	Iff В lg A	l0	Ц
—	, где A)— N ’ Pi —
I ст _£_L j ст -£-х-
Ра ” 1“ Pl
Если контролируется среднее значение х параметра в выборке, а значение параметра одного изделия — нормальная случайная величина с известной дисперсией о2, то
Т — Y (п,
х) = ехр { —

£ = 1
Партия принимается, если пх hr -4 й3«; партия бракуется, если пх h2 -f- h3n; испытания продолжаются, если
-j- nh3 < пх < h2 4~ яй3, где
^ = 2,303-^ 1g В; /?2 = 2,303^-2^ 1g Д; Й3 = М^-
Метод контроля и fi данном случае можно представить графически аналогично рис. 37, если по оси ординат вместо т откладывать пх. При Ео > будет hx > 0, й2 < 0 и знаки неравенств в условиях приемки и браковки меняются на противоположные.
Математические ожидания числа испытаний определяются формулами:
£1 -- "3
 в г 1	1 /? о
М Wmax —---------JF- •
Если параметр отдельного изделия имеет плотность вероятности f (х) —~ Хе-?-*, то
АЛ
У (я, х) = —•-	?-о) ПХ .
Zq
§ 431 СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 481
Партия принимается, если пх > А, 4- nk3; бракуется, если пх Л2-j- nh3, испытания продолжаются, если /?14-я/г3> > пх > А24- nh где
А,—— 2,303	;	h<) — — 2,303 ——Д—;
1	/л — 4’	2	4—л»
Графическое представление метода контроля отличается от изображенного на рис. 37 только тем, что в данном случае / — область браковки, III— область приемки. Математические ожидания числа испытаний вычисляются по формулам
М [п | М =
(1 — «) 1g В 4-«1g -4
1g 11 _ 0,4343 АцзЗх
Aq	Aq
М [я I ?ч]
р 1g В 4 (1 — Р) 1g А
1g 0,4343 -Ь-=-£
А о	At
М [Д1тах _—
Если контролируется однородность продукции (закон нормального распределения), то
Партия принимается (при известном х), если /io3<C^i~r !1'1х
бракуется, если по2 й24~ nh3\ испытания продолжаются, если Иг 4- nh-. < nd1 < /г24~ nli3, где
. и?
. ' 4,6061g В Zl _ 1	1_ ' <’о °т	2,303 1g -i- ,	4,6061g 4	,	“ °о /?2	j	। о2	ffo	q
При графическом представлении на рисунке, аналогичном рис. 37, по оси ординат откладываются до2.
482
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
При неизвестном х всюду в формулах п заменяется на (п — 1).
Математические, ожидания числа испытаний
М [п | ой] =	, М [« | ffj
ап~!‘з
ил г 1	h\hi
М РИтах	„.•> •
2*5
При контроле общего числа дефектов изделий выборки, если число дефектов одного изделия подчиняется закону Пуассона с параметром а, применимы все приведенные выше формулы для закона Пуассона при замене т на пх, и р,— на «0 и ар а0 и а, —на пай и нар '/“о —на 2лй0, х^ —на 2«ар где п — объем выборки.
При «'>- 50, па 4 возможен переход к нормальном}' закону
VI дте~а ~ 1 , 1 ,j, Г па — у — 0,5 \ , и! 2	7 \ Vna )'
m-v+I
Для определения вероятности того, что число испытаний п ng при последовательном анализе в случае, когда	или Р<ССа, применимо распреде-
ление А. Вальда
/----i,S 2 _£.f	1
р (у < yff) = wc (yff) = J/ J у- Ч 2 V ' У ~ dy, о
где у — отношение числа испытаний п к математическому ожиданию п при некотором значении контролируемого параметра партии (Z,	X), у =у|	, а параметр с распреде-
g
лепи! А. Вальда определяется формулами:
а)	для биномиального закона распределения доли дефектных изделий
__ д' j£о 1 г» f
р (’ - р) 6g ~+>g тЕ~п°)
р =
§ 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 483
б)	для нормального закона распределения параметра изделия
~ Ео + ё.
2
в)	для показательного закона распределения параметра изделия
К-=
2,303 11g В |, если выбранное значение параметра < 1ц, а	Р;
2,303 1g А, если выбранное значение параметра > /ц, р	а.
Особый случай контроля по числу дефектных изделий возникает при испытании па надежность в течение времени t, при котором обычно считается справедливым показательный закон распределения времени безотказной работы. В этом случае вероятность р выхода изделия из строя за время t определяется формулой р = 1 — е~и. Все формулы для контроля доли дефектных изделий при биномиальном законе остаются справедливыми, если произвести замену рп на 1 — р{ на 1 — Если \t <_ 0,1, возможен переход к закону распределения Пуассона с заменой в соответствующих формулах а0 на nKQt, аг па пК/, х^0 на 2/гЛ.о/, на 2/гл,/.
Последовательный анализ отличается в данном случае тем, что при фиксированном числе п0 испытываемых изделий случайным является время t испытаний. Партия принимается, если	mfz, бракуется, если t^t2-{-mtz; испытания
продолжаются, если tx -ф- nitz > t > f2 -ф- mt3, где
a in — число отказов за время t. При графическом представлении по оси абсцисс откладывается т, а по оси ординат t.
484
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЯ [ГЛ. IX
Математические ожидания времени испытания Т при л/<0,1 определяются по формулам:
м Г I 41 = ~ м 1« I Pol. м [Т I /ч] = М [п I Pl],
Г10
М[Г]гааХ = ^М[я]тах,
«о
где ta — произвольное число, значение которого выбирают, исходя из удобства расчетов, а р0~ 44 Pi = 44
Для определения вероятности того, что время испытания
Т < t в случае, когда а<ХР или Р<<^а, применимо рас-
и определить параметр с по формуле для биномиального закона распределения при выбранном выше значении ta.
Решение типовых примеров
Пример 45.1. Партия в N— 40 изделий считается первосортной, если в ней число изделий, имеющих дефекты, не превышает /0=8 штук. Если число изделий, имеющих дефекты, больше Ц — 20 штук, то партия возвращается на исправление. Требуется:
а)	вычислить аир при однократной выборке объема п0= 10. если приемочное число v = 3;
б)	найти аир при двукратной выборке, для которой и1 = «2 = 5, V, - 0, v2 = 2, v3=3;
в)	сравнить эффективность планов контроля методами однократной и двукратной выборок по среднему числу проверяемых изделий в 100 однотипных партиях;
г)	при аир, полученных в п. а), построить план последовательного контроля, определить ramln для партий с L = 0 и Z, — /V.
Решение, а) Вычисляем а и р по формулам
Используя таблицы [1Т] для С™, находим
а = 0,089, £ = 0,136.
{ 451
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
485
б) Вычисляем а и р по формулам
получаем
а = 0,105, р = 0,134.
в) Вероятность того, что партия первого сорта при методе гвукратной выборки после первой выборки объемом > 5 изделий будет принята, равна
С°С5
Р («О < V0 = р («ц = 0) =	= 0,306.
Цо
Математическое ожидание числа партий, принимаемых после первой выборки из общего числа в 100 партий,
100  0,306 = 30,6 партии;
тля остальных 69,4 партии потребуется вторая выборка; средний расход изделий при методе двукратной выборки составит
30,6  5-+- 69,4 • 10 = 847 изделий.
При методе однократной выборки расход изделий равен
100  10= 1000 изделий.
При сравнении эффективности методов контроля мы пренебрегли разницей между значениями а и р, полученными по методам однократной и двукратной выборок-
г) При а = 0,089 и р = 0,136 план последовательного анализа получается следующий:
В =	-.-0,149, lgB = — 0,826,
I — а	й
А =	=„ 9,71, 1g Л = 0,987.
а	&
486
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ГЛ.. IX
Для определения ят1я в случае, когда все изделия в партии хорошие, вычисляем последовательные значения 1g у (п; 0) по формулам
lgY(l; O)=:lg(Ar-/I)!4-lg(/V-Zo+l)!-
1)1,
lg Y(n + 1: 0) — 1g Y («; 0) — Ig (W- /0 - n) 14- !g (/V-/t-w)!
Имеем:
!g y(l; 0) = 0,7959;
1g у (2; 0) —0,5833;	1g y(3; 0) = 0,3614;
1gy(4; 0) —0,1295;	!gу(5; 0) = — 0.1136;
lgy(6; 0) = — 0,3688; 1g у(7; 0) = —0,6377;
lgy(8; 0) = — 0,9217.
Так как неравенство !g y(n; 0) < lg В выполняется только начиная с л -—8, то nmln = 8.
Для партии, состоящей из дефектных изделий, л = /л. Находим 1g у (1; 1) —0.3979.
Для последующих п пользуемся формулой
lg V (« + 1; '» + 0 = Ь? V («; т) + 1g (^ — т) — 1g (/0 — т).
Получаем 1g у (2; 2) —0,8316; 1g у (3; 3) — 1,3087 > 1g А — = 0,987; следовательно, в этом случае пге1!1 = 3.
Аналогично решается задача 45.1.
Пример 45.2. Большая партия ламп (N > 10 000) проходит контроль на годность. Если доля дефектных ламп р р0 — 0,02, то партия считается хорошей, при р Pi— = 0,10— негодной. Используя законы распределения биномиальный и Пуассона (проверив их применимость):
а)	вычислить аир при однократной выборке (одиночном контроле), если н0=47, v = 2;
б)	вычислить аир при двукратной выборке (двойном контроле), приняв п1 = п2 = 25, \у = 0, v2 = 2, v3 = 2;
в)	сравнить эффективность одиночного и двойного контроля по числу испытываемых изделий, приходящихся на 100 партий;
’ 451 СТАТИСТИЧЕСКИЕ Л  ТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 487
г)	составить план последовательного контроля, начертить график, определить nmil для партий с p = Q, р=1.
Вычислить математическое ожидание числа испытаний при последовательном контроле.
Решение, а) При биномиальном законе распределения
а = 1 — 2 О),02",0,9847~т, 0 = 2 С'^О, 10m0,9047*m.
т =0
т =0
Используя таблицу [4Т] для биномиальной функции распределения и интерполируя между п = 40 и п = 50, получим а = 0,0686, 0 = 0,1350.
При законе распределения Пуассона, вычислив а0 — = поРо = 0,94, at — nspl — 4,7, получим
Используя таблицу [7Т] суммарных вероятностей для закона распределения Пуассона, находим (интерполируя по а)
а = 0,0698, 0 = 0,159.
б) При биномиальном законе распределения, используя таблицы [1Т] и [4Т], находим
а=1— 2 С25'0,02те!0,9825“т' +
т,=0
+ 5 См,0,02т,0,9825'т1 ( 1 — 2' £2520,02",’0,9825'mj) = = 0,0704, 0 = С?5О,1оО,925 +
2 Г	/1-тх	' 1
+ S Сй’О.Г’О.Э25-™’ ( 2 C2?0,l"i20,925“m2 =0,1450.
,m2=0
m,=l
При законе распределения Пуассона, используя таблицы |6Т] и [7Т] и вычислив a0J = 0,5, а02 = 0,5, ап = 2,5.
488
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
д21 = 2,5, имеем
2,5'”'г~2’5	/	у 2,5СТ^~2’5
тр.	I	& т2!
\	ms=3-m1
= 0,1935.
Существенное различие между значениями р, вычисленными при использовании законов распределения биномиального и Пуассона, объясняется большой величиной р! = 0,10, в) Вероятность принятия хорошей партии (р 0,02) после первой выборки при двойном контроле (сравниваем результаты для биномиального закона распределения)
Р («1 <Vj) = Р (пц = 0) = С^0,02° • 0,9823 = 0,6035.
Среднее число хороших партий, принимаемых после первой выборки, из общего числа в 100 партий составит
100 • 0,6035 — 60,35 партии;
для остальных 39,65 партии потребуется вторая выборка; средний расход ламп при двойном контроле 100 партий будет равен
60,35 • 254-39,64 • 50 = 3497 ламп;
в случае плохой партии вероятность забраковать ее после первой выборки при двойном контроле
2
Р(ОТ1 > v2) = POnj > 2) = 1- 2 Си о, im,o,92S-”!i = 0,4629. mt=0
Среднее число партий, бракуемых после первой выборки, из общего числа в 100 партий составит
100 • 0,4629 = 46,29;
§ 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 489
для остальных 53,71 партии потребуется вторая выборка; средний расход ламп при двойном контроле 100 партий будет равен
46,29 • 25+53,71 • 50 = 3843;
при одиночном контроле будет израсходовано во всех случаях
100 • 50 — 5000 ламп.
г) При а = 0,0686, (1 = 0,1350 для последовательного контроля получаем, используя биномиальный закон распределения:
В = 0,1450. lgB = —0,8388, 4=1,261, 1g 4 = 1,1007.
Далее, hr = —1,149, й2 = 1,496, /г3 = 0,0503 (рис. 38).
Находим пП11п для хорошей партии при р = 0:
0 = Й1 +/гт1пй3, пП1111 = —-^- = -^^- = 22,7 « 23 лампы{ для негодной партии при р=1:
Kmtn + nmln^3>
Определяем средние числа испытаний при различных р‘.
М [и | 0,02] = 31,7; М [п | 0,10] = 22,9; М ]/г]1пах = 35,7.
Аналогично решаются задачи 45.2—45.5, 45.7, 45.8, 45.10.
490 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ, IX
Пример 45.3. Большая партия сопротивлений, для которых время безотказной работы подчиняется экспоненциальному закону распределения, испытывается па надежность. Если интенсивность отказов Х<С?.0 = 2 • 10-6час.-1, то партия считается хорошей; если	• 10~’ час.-1 — не-
годной. Считая, что ?./0<0,1, где t0 — фиксированное время испытания каждого элемента в выборке из штук, определить при а —0,005, р = 0,08 /гй для метода однократной выборки при различных tQ, найти v при условии, что = 1000 часов, а также составить план последовательного контроля при п = п1} для /0 = 1000 часов. Вычислить ZmIn для хорошей и плохой партий, а также М [7'| A.], Р(7 < 1000), P(Y< 500).
Решение. Определение объема выборки п0 и приемочного числа v производим с учетом того, что < 0,1, что позволяет использовать закон распределения Пуассона и далее перейти от закона Пуассона к '^-распределению. Вычисляем отношение —0,2. Далее из таблицы [18Т] находим значения Х“о по входным вёличинам р (х2	х^0) == 1 —а —0,995
и k', x2t— по входным величинам Р (х2	X2]) = Р = О><98 и к.
Методом подбора устанавливаем, что при k = 15
Z2o==4,48, x2j = 23,22,	= 0,1930;
X?i
при k — 16
Х2О=5,10, X2,-24,48, ^- = 0,2041.
Zgi
Х2о
Интерполируя по величине —2— = 0,2, находим: А — X«i
= 15,63, /2 =4,87, /-. = 23,99. Вычисляем v = 4-—1 = = 6,815; принимаем v = 6, 2/г0А0Х0 = 4,87, откуда w0/0 = — 9 onomnV^ 1,218 ' 10<i- Условие }.t0 < 0,1 дает
70 <	— 10 000 часов (так как 7^ = 0,00001).
VjUvvV 1
Беря различные значения t0 < 10 000, получим соответствующие значения п0, приведенные в таблице 111.
§ 45)
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
491
Таблица 111
/0, час.	100	500	1000	2 500	5000
«0	12 180	2 436	1 218	487	244
Вычисляем В, A, tv t2, t3 анализа: В = 0,08041; 1пВ=— Примем п0— 1218. тогда
= 258,7 часа;
t2 = — 535,3 часа;
t3 = 165,2 часа (рис. 39).
Минимальное время испытаний при т~0 для хорошей партии = 258,7 часа; для плохой партии /‘mln = — 535,3 4-4-165,2m > О; т — 3,24 « 4; при т~ 4 fmin— 125,5 часа. Если при t < 125,5 часа т 4, то партия бракуется.
Для вычисления среднего времени испытаний при п = = п0~1218 принимаем tn — t0 ~ 1000 час. Тогда
р0 = Zoi*H = 0,002;
Pi =	0,010;
' 17 =-А—0,00497.
1 n0t3
Далее находим
М f>t| Pol = 505; M[n
,ля метода последовательного ,5211; 4=184; In 4=5,2161.
= 572; М [«]тах= Ю01,
после чего вычисляем
М {T'j 10| = 415 час.; М ZJ=470 час.; М [7']тк = 821 час.
Найдем вероятность того, что время испытаний при фиксированном числе элементов п — пй — 1218 меньше 1000 час.
492
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ, IX
и 500 час. Для этого при ^,= 1000 час. вычисляем значение параметра с распределения Вальда и значение у =	=
— м [т” 7.] пр11 Усл°вии, что р0 =/.,/„ = 0,002; pj=V0 — = 0,01. Получим, принимая р — р,}, так как о. <^р, с =2,37, у =-^Я= 2,406. Получаем (см- табл. [26Т])
Р(Т< 1000) = р (п < 1218)— wc (у) = 0,9599.
При у = 0,5 имеем
у= 1,203, Р (Г < 500) —0,725.
Аналогично решается задача 45.9.
Пример 45.4. Качество дисков, изготовленных па плоско-шлифовальном станке, определяется числом пятен на них. Если среднее число пятен на десяти дисках не более 1, то диски считаются доброкачественными, если более. 5 — негодными. Взята выборка в 40 дисков из большой партии (N > 1000). Требуется, предполагая, что число пятен на диске подчиняется закону распределения Пуассона, а) определить б) ио этим а троля, вычислить чепия М [п, j а];
в) проверить
приведены в таблице 112, дователыюго контроля.
« и р при V — 9;
и р построить план последовательного кон-п„.Л1, для хорошей и плохой партий,
значе-
конкретную выборку, для которой по методам одиночного и
данные
после-
Т а блиц а 112
§ 45]
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
493
Решение, а) Используя закон распределения Пуассона, имеем а0 = 0,1; ах = 0,5; па0 = 4; па1 = 20. Используя
таблицу [7Т] для суммарных вероятностей чисел хп появления пятен на дисках в рассматриваемой выборке, находим
0,00813,
0,00500.
б) При а= 0,0081; 0 = 0,0050 получаем для характеристик последовательного контроля (рис. 40):
Z?=0,005041; lgB = —2,298; А= 122,8; 1g А = 2,089,
hx = lgB =— 3,29; k2 = -~^-~ =2,99;
i а,	, Я]
lg —	1g —
а0	а0
h = -9.:4343 <Д| ~ д°) = 0,248.
1g
аа
Вычисляем яп11п:
при хя = 0 nmlll = 13,2 яь 14;
при хп = п пП11п= 18,7= 19.
Средние значения чисел испытаний при последовательном контроле
М [п |а0] = 21,8; М [п [aj = 11,8; М [м]шах = 39,5.
494
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
в) В выборке при п0= 40 оказалось x, = 7<v=9; следовательно, партия принимается. Применяя метод последовательного контроля (см. рис. 40), получаем, что при «==30 точка с координатами (п, т) оказывается ниже нижней прямой, т. е. партия должна быть принята. Действительно,
при п = 29, хп = 4 A]-J-~w/z3= 3,90; хп > hl —f—z«Zz3; при ?| = 30, xn = 4 /г]-ф-тА3= 4,15; хп < Л] 4-/иЛ3. Аналогично решается задача 45.11.
Пример 45.5. О качестве одного типа штамповок горизонтально-ковочной машины судят по рассеиванию их высот X, о которых известно, что они подчиняются закону нормального распределения с математическим ожиданием х — 32 мм (номинальный размер). Если среднее квадратическое отклонение — 0,18 мм, то партия считается хорошей; если o^-Oj = 0,30 мм — негодной. Найти и и р для метода однократной выборки при /г0=39 и v = 0,22 мм. По найденным аир составить план контроля по методу последовательного анализа. Вычислить «П]1п для хорошей и негодной партий, М[»|6].
Решение. Вычисляем а и р по формулам ’
« = 1 — Р (о < ?оао), р = Р (а < ад)
при k = п0 = 39, q0 = -~- — 1,221, q} — ~ = 0,733. Интерполируя по таблице [22Т] для закона /^распределения, находим
а = 0,0303; 0 = 0,0064.
Находим значения В, A, hv h2, h3 для метода последовательного анализа:
В = 0,006601; 1пВ = — 5,021; Д = 30,10; 1пА = 3,405;
Aj = —* 0,528;	/г2 = 0,345;	А3= 0,0518.
Находим zjmfn- Для худшей из хороших партий о2 =
= О2 = 0,0324; п , о2 = й, + nm,h- п .=27,2 «28.
0	.	mln 0	1 * mln 3’ mln
Для лучшей из негодных партий о2 == о2 — 0,0900;
%!п°1 Л2 + ПпнЛ‘> »Ш1П = 9-3 ~ 10-
§ 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 495
Вычисляем средние числа испытаний М[л| о) при различных о:
М {п |о0] = 25,9; М [n| oj = 8,8; М [«]mas = 34,0.
Аналогично решается задача 45.12.
Пример 45.6. Наибольшее давление X в камере порохового ракетного двигателя распределено нормально со средним квадратическим отклонением о= 10 KijCM2. Двигатель считается хорошим, если А' -С — 100 кг/см--, если X — = 105 кг/см1, то двигатель возвращается на завод для регулировки. Установлены значения а = 0,10 и р = 0,01. Составить планы одиночного (дэ, v) и последовательного контроля, вычислить вероятности Р (п < п0) и Р (1г < Д-j того, что при последовательном контроле среднее число испытаний . 1 будет меньше я0 и пд соответственно.
Решение. Для вычисления объема выборки па и приемочного числа v при одиночном контроле используем формулы
Ф {= 1 —- 2а, Ф /=1—20, \ а//«о /	\ о//«о J
Подставляя значения а и р и пользуясь таблицей [8Т] для функции Лапласа, находим
^=^-14=1.2816, 12^1^=2,3264, откуда nt) — 52, v = 101,8 кг/см1-.
Для последовательного контроля находим: В = 0,0111; In В = — 4,500; А — 9,9; 1п А = 2,293; =—90; й2 = 45,86; /г3= 102,5.
Определяем Для худшей из хороших партий при х = = 100
пп,1п • 100 — — 90 -f- rtroIn • 102,5; /гп;1л = 36;
для лучшей из плохих партий при х = £1=105
ramln • 105 = 45,86+ «mIn • 102,5; nni!rl = 18,3 « 19.
Средние числа наблюдений М[яjel равны:
М [п 1^1 = 30,6; М [и ЦП =17,8; М[n]mai = 41.3.
496 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ, IX
Для определения вероятности Р (/г < 52), учитывая, что при х = jj = 105, вычисляем:
АГ = In Л = 2,293; с=1,146;
-v'>=wfe = 4,031; У12=4Уп 2Л)16-
Из таблицы [26Т] для закона распределения Вальда находим
Р (/г < 52) = 0,982, Р (/г < 26) = 0,891.
Аналогично решается задача 45.13.
Пример 45.7. Средняя продолжительность работы одного типа электронных ламп составляет для хорошей партии
/0 = 1282 часа, для негодной t <' = 708 часов. Известно, что время Т безотказной работы подчиняется экспоненциальному закону распределения с плотностью вероятности
/(О = ?.е-Ч
где параметр л— интенсивность отказов — есть величина, обратная средней продолжительности работы лампы в часах.
Определить при а = 0,001 и (3=0,01 объем однократной выборки и приемочное число V, составить план последовательного контроля, найти «п11п, М [га| X], Р(ге < /г0), 1 х
Р < у М-
Решение. Предполагая, что > 15 (так как а и (1 малы), используем замену закона '//-распределения, которому 2Лнп подчиняется величина —=-, нормальным, т. е. полагаем
Z.
/ %; — 2п \
р (у-1 >	= 0,5 — 0.5Ф	- ,
Г (/. о- /,?)	\ 2/и У
так как число степеней свободы k — 2п. Получаем уравнения
0,5 — 0.5Ф (-f,0"-2ra- j = 1 — а,
2 Уп ]
0,5 - 0,5Ф ( 4,1 7-" ) = Р.
\ 2V п )
§ 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 497
откуда находим с помощью таблицы [8Т]
.^0ТГ-- ^ — 3,090,	—2,324
2 Y п	2^/1
пли, учитывая, что х‘о = 27,()/J()v, 7.^ = 27-^v, XQ = ~ = = 0,00078, Z1 = i=0,001413, ч
0,000780 — v = — 3,090 -4=r, Р «0
0,001413— v = 2,324 —X=rj I na
решая эту систему уравнении, получим
v = 0,001141,	/г() = 99,03 яэ 100.
Так как nt} > 15, то использование нормального закона распределения допустимо-
Для последовательного контроля находим:
13=0,01001; 1п£ = —4,604; А = 990; In А = 6,898;
Л1 = 7273; //, = — 1090 • 10; /г3= 938,0;
Г = 4- = 0,001066. 113
Определяем /г1111п. Для худшей из хороших партий t=t0 — = 1282 час., я,п11, = 21,1 «s 22; для лучшей из плохих партий 7=£3 = 708 час., nnilil = 47,4 л; 48.
Находим средние числа испытаний при различных ?/.
М [,г| 7.0] = 20,7; М [п 17.] — 46,6; М [«|т.и — 90,0.
Учитывая, что «<<([>, определяем К~ |1пВ| — 4,604, а затем параметр с распределения Вальда: с = 1,525; далее находим yOi = -^4 = 4,82; у02 — 2,41.
Из таблицы [26Т] по входным величинам у01 (у02) и с имеем
р = Р(Л < 100) > 0,99 (нор < 0,999), Р(П < 50) = 0,939.
Аналогично решается задача 45.14.
498
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. [X
Задачи
45.1.	Отливки поступают в механический цех партиями по 100 шгук и проходят контроль на качество литья. Если в партии количество бракованных отливок	4, то
партия считается хорошей; если L^-lx = 28. то партия должна быть забракована. Найти а и (1 для контроля по методам однократной выборки при /г3 = 22, v = 2 и двукратной выборки при я1 = л, = 15, Vj = O, v2 = 3, v3 = 3, сравнить их эффективность по среднему числу испытаний; составить план контроля по методу последовательного анализа, вычислить минимальное число испытаний для хорошей и негодной партий при последовательном контроле, взяв а и р, полученные по метод}' однократной выборки.
45.2.	Шарики для подшипников изготовляются большими партиями, причем партия считается хорошей, если число бракованных шариков не превышает 1,5%, негодной, если оно больше 5%. Составить и сравнить эффективность планов одиночного контроля при объеме выборки п0 = 410 и приемочном числе v = 10 и двойного контроля при я, = п ,--- 220, Vj = 2, т2 — 7, v3 = 11.
Составить план последовательного контроля, взяв аир, полученные для плана одиночного контроля; сравнить эффективность всех трех методов по среднему числу испытаний, вычислить ят1я для хорошей и плохой партий при последовательном контроле.
45.3.	Большая партия штампованных изделий считается хорошей, если доля дефектных изделий р •< р0 — 0,10, негодной, если р р{ — 0,20. Найти аир при контроле по методу однократной выборки, взяв объем выборки но = ЗОО и приемочное число V —45. По найденным аир составить план контроля по методу последовательного анализа, вычислить яп.1я для хорошей и плохой партий, найти М [н | р} и Р (я < /г0), р (я < у я0 j.
Указание. Перейти к закону нормального распределения.
45.4.	Для большой партии изделий составить план одиночного контроля (я0, v), гарантирующий: а) риск поставщика в 1% и риск потребителя в 2%, если партия считается хорошей, когда доля дефектных изделий /? <4/?0 = 0,10, и негодной,
§ 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 499 когда р р1 — 0,20 (воспользоваться нормальным законом распределения); б) а = 0,20, fl = 0,10 при тех же и pi применительно к закону распределения Пуассона. Составить соответствующие планы последовательного контроля, найти математические ожидания числа испытаний.
45.5.	При а = 0,05 и fl = 0,10 построить планы одиночного и последовательного контроля для проверки качества больших партий заклепок. Заклепки считаются дефектными, если их диаметр X > 13,575 мм. Партия считается хорошей, если доля дефектных заклепок р р0= 0,03, негодной, если р^р1 = 0,08. Вычислить применительно к закону распределения Пуассона объем п0 однократной выборки и контрольный норматив V. При тех же а и fl составить план последовательного контроля, вычислить nml!1 для хорошей и негодной партий, найти среднее число'испытаний М[и| р] при последовательном контроле.
45.6.	Заклепки, диаметр которых X > 13,575 мм, считаются дефектными. Должно отвергаться не более 5% партий с долей брака р р0 — 0,03 и приниматься не более 10% партий с долей брака р Pi — 0,08. Предполагая, что случайная величина X подчиняется закону нормального распределения, для которого оценки математического ожидания х и дисперсии о2 определяются по данным выборки, найти общие формулы для объема п0 однократной выборки при контроле по величине и для величины z0 таких, чтобы выполнялись условия
Р (х -4- oz0 > 11 р = Pq) = а,
Р(х-4-ог0 > 11 р = pi) = 1 — ₽.
Вычислить па и z0 для условий задачи.
Учесть, что величина
и — х огй распределена приближенно нормально с параметрами
M[«] = x4-o^0, 0[и] = оЦ--г-2й
где k = n—1. Сравнить с результатом задачи 45.5.
45.7.	Составить, используя законы распределения биномиальный и Пуассона, план двойного контроля при nI=n2=30, V, = 3, v2=5, v3=8, есди партия считается хорошей при
500
.МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
доле дефектных изделий	= 0,10 и негодной при
р^>Р1 = 0,20. По найденным применительно к биномиальному закону распределения аир составить планы одиночного и последовательного контроля, сравнить все три метода по среднему числу испытаний. Для последовательного контроля найти «П,|П в случаях хорошей и плохой партий, вычислить математическое ожидание числа испытаний М [п | р].
45.8.	Составить планы контроля по методам однократной выборки и последовательного анализа для больших партий радиоламп, если партия с долей дефектных ламп р <3 р0 = 0,02 считается хорошей, а при р р{ = 0,07 — негодной. Риск поставщика а = 0,0001, риск потребителя [3 = 0,01. Для плана последовательного контроля определить nmin для хорошей и плохой партий, найти среднее число испытаний М [га| р] и вероятности Р (га < М [га| р0]), Р (га < 2М [га|р0]).
45.9.	Продолжительность работы Т (в часах) трансформаторов подчиняется экспоненциальному закону распределения с интенсивностью отказов л. Считая, что Мо < 0,1, составить планы контроля по методам однократной выборки и последовательного анализа при а = 0,10, р = 0,10. При одиночном контроле найти приемочное число V и объем выборки и0 для срока испытания каждого трансформатора t0 = 500, 1000, 2000, 5000 часов, заменив распределение Пуассона ^-распределением. При последовательном контроле взять фиксированный объем выборки га0, соответствующий t0 = 1030 часов, найти среднее время испытания каждого трансформатора М [7'р.]. Учесть, что партия трансформаторов считается хорошей, если интенсивность отказов Z<Z0 = 10-5 час.-1, и негодной при =	10-5 час.-1
45.10.	Большая партия электрических сопротивлений подвергается контролю при а = 0,005, р = 0,08, причем партия считается хорошей при доле дефектных изделий р р0 — 0,02, негодной при р рх — 0,10. Применяя ^-распределение в качестве замены закона распределения Пуассона, найти объем га0 и приемочное число v для метода однократной выборки, составить план последовательного контроля, определить rarain для хорошей и плохой партий, вычислить математическое ожидание числа испытываемых элементов и вероятности Р (п < га0), Р (га <у га0).
§ 45] СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА 501
45.11.	Склады семенного картофеля перед посадкой проверяются на отсутствие очагов гниения. Картофель признается годным для посадки, если на каждых 10 плодах обнаруживается не более одного пятна, негодным, если пятен более пяти.
Считая, что число пятен подчиняется закону распределения Пуассона, вычислить аир при контроле по методу двукратной выборки при п1 — 40, /г2 —20, v1 = 4, v., = 12, v3=14. По найденным аир построить планы одиночного и последовательного контроля. Сравнить эффективность всех трех методов по среднему расходу картофеля на производство испытаний для 100 отсеков.
45.12.	В партии электрических сопротивлений, случайные значения которых подчиняются закону нормального распределения с известным средним значением в 200 ом, характеристикой качества является среднее квадратическое отклонение <т, причем партия считается хорошей, если <т<((то = = 10 ом, негодной, если <т^>о1 = 20 ом. Составить планы контроля по методам однократной выборки при и0= 16, V—12,92 и двукратной выборки при /г1=/?2=13, Vj — — v3= 12, v2 — со. По найденным а и р (для одиночного контроля) составить план последовательного контроля. Сравнить эффективность всех трех методов контроля по среднему числу испытаний. Вычислить п . для худшей из хороших и для лучшей из плохих партий.
45.13.	Партии капронового волокна испытываются па прочность. Характеристика прочности X, измеряемая в г'денье (удельная прочность волокна), подчиняется закону нормального распределения со средним квадратическим отклонением <т = = 0,8 г!денье, причем партия считается хорошей, если А">-х0 = 5,4 г/денье, негодной, если X Aj = 4,9 г/денье. Составить план контроля прочности волокна по методу однократной выборки при zz0 = 100 и v = 5,l. По найденным а и р составить план контроля по метод)' последовательного анализа, вычислить средний расход волокна на испытания и вероятности Р (п < /г0), Р < у •
45.14.	Известно, что если интенсивность отказов /. <О»0 = 0,01, то партия гироскопов считается падежной; если К X, = 0,02, то партия ненадежна и должна быть забракована. Считая, что время Т безотказной работы подчинено
502
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
экспоненциальному закону распределения, и принимая а~ — р — 0,001, составить планы одиночного (п0, v) и последовательного контроля по уровню параметра X. Найти среднее число испытываемых гироскопов М [пр.] для случая последовательного контроля.
45.15.	Контролируется большая партия конденсаторов, причем партия считается хорошей, если доля ненадежных конденсаторов р р0 = 0,01; при р '$> р-{ = 0,06 партия считается негодной. Составить план одиночного контроля (n0, v) доли ненадежных изделий, который должен обеспечить а—0,05, 6 = 0,05.
Для установления надежности каждый испытываемый конденсатор из рассматриваемой выборки подвергается многократному последовательному контролю при а'=0,0001, [/—0,0001, причем конденсатор считается надежным, если интенсивность отказов X. = 0,0000012, и ненадежным при X, — 0,0000020 час-1 (п— число испытаний конденсатора, позволяющих установить его надежность при заданных а' и [/). Предполагается, что время безотказной работы конденсатора подчиняется экспоненциальному закону распределения.
45.16.	Составить планы одиночного и последовательного контроля сложных электронных приборов, надежность которых оценивается по среднему времени Т безотказной работы. При Т^>7'0 = 100 час. прибор считается хорошим, при Т 7\ = 50 час.—негодным. Необходимо гарантировать а — — 0—0,10. Учесть, что при фиксированном времени испытаний /и прибор принимается, если = и бракуется, если Т < V, где m — число отказов за время t, a v — приемочное число при одиночном контроле (п0=1; в случае отказа прибор ремонтируется и испытание продолжается); в этом случае величина -= приближенно подчиняется закону
распределения Пуассона. При последовательном контроле величина t зависит от хода испытания.
а)	Определить время испытаний /и и контрольный норматив v при одиночном контроле.
б)	Для плана последовательного контроля условие продолжения испытаний 1пД < 1пу(/, ni) < In А привести к виду t, -j-	mtz. Для tv t2, tz получить предварительно
общие формулы.
§ 4b) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 503
в)	В случае последовательного контроля определить минимальное время испытания ^min для худшей из хороших и для лучшей из негодных партий.
§ 46. Определение вероятностных характеристик случайных функций по опытным данным
Основные формулы
Методы определения математического ожидания, корреляционной функции и законов распределения ординат случайной функции при обработке серии реализаций не отличаются от методов определения соответствующих вероятностных характеристик системы случайных величин. При обработке реализаций стационарных случайных функций обычно допустимо вместо усреднения по реализациям пользоваться усреднением по времени, т. е. находить вероятностные характеристики по одной или нескольким достаточно длительным реализациям (выполнение этого условия иосит название эргодичности). В этом случае оценки (подходящие значения) математического ожидания п корреляционной функции определяются формулами т
I x(t)dt,
° T-t о где Т—полное время записи реализации.
Вместо последней формулы иногда используют практически эквивалентную ей формулу т-т
Кх (т) — у У х (/) х (t 4- т) dt — А2.
6	_
В том случае, когда математическое ожидание х известно точно, т-t
Iх (0 — хПх((4-т) — x]dt tt
О	Г-Г
6
504
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ГГЛ. !Х
Когда х н Кх (т) определяются по значениям ординат реализации случайной функции в дискретные моменты времени tj = (J — 1) А, соответствующие формулы приобретают вид
х — — V X (t •),
jn ~l
Kx (T) = -—-j- 2 [A- (9 — x] [A- (/y + T) — X]
7 = 1
ИЛИ
m-1
Kx W = S x (9 x (h + T) — x2,
/=1
где т —/А, T ~m&.
Для нормальных случайных функций дисперсии х и Кх (т) могут быть выражены через Кх (т). При практических расчетах вместо неизвестной корреляционной функции Кх(г) в формулы для D [х] и D [Кх (т) ] подставляют Кх(х).
При определении значения корреляционной функции по результатам обработки нескольких реализаций различной длительности за подходящие значения ординат Кх (т) следует взять сумму ординат, полученных при обработке отдельных реализаций, с весами, обратно пропорциональными дисперсиям этих ординат.
Решение типовых примеров
Пример 46.1. Ординаты стационарной случайной функции определяются путем фотографирования шкалы измерительного прибора через равные промежутки времени А. Определить наибольшее допустимое значение А, при котором увеличение дисперсии АГГ(О) по сравнению с дисперсией, получаемой при обработке непрерывного графика реализации случайной функции, будет не больше чем на 6%, если приближенное значение Кх (г) — ae~al ’I, полное время записи
Известно, что х=0, а функцию X (t) можно считать нормальной.
§ 46| ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫ?; ХАРАКТЕРИСТИК 505
Решение. Так как х==0, то при использовании непрерывной записи значение Кл- (0) определяется по формуле т
/<j(0) = y- j x-(f)dt. о
Для нахождений дисперсии Кх (0) имеем
D [Кг (0) 1 = м [к? (0)] - {М 1К{ (0) ] р = т т	т
=	! K2x(t2 — /,) dti dt2 «е a2 I" (T — x)e~2axdx-
об	b
Отбрасывая после интегрирования величины, содержащие малый (по условию) множитель е~аТ, получим
Dl^(0)] = ^-(2a7’-l).
При дискретном определении ординат случайной функции значение К,. (0) равно	m
7?!(0)=-± VxS(7A).
7=1
Определяя дисперсию /С2(0), получим
С ш * тп	1
О 1^2 (°) 1 = i S S М 1^2 <УА) А'2 <ZA) 1 -R = III, I ^ЯЯ ЛЭЕЯЯ	1
(у' = 1 l-Х	m m	)
где при вычислении математического ожидания использовано свойство моментов системы нормальных случайных величин. Подставляя значение Кх(х), получим
tn. m
D1К2 (0) ] =	£ £ e-2« П-1 A _
/“I 1=1
m
4я2 V / x
Ча2Д 7(1 —(Г4аЛ) —2A(T2aA
~ Ti	(1_^-2«Д)2
506
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ Г: ' ЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ.'IX
Граничное значение А найдется из уравнения
D (0) ]
14-0,016,
D [£, (0)]
т. е. из уравнения
2а2 А [Г (1 — е-4аА) — 2Ае-2“А] (2аГ—1)(1 — е~2аА)2
= 1 4-0,016.
При аА <?4 1 приближенно получим
. _ —5х-{-К25х2-|-12(1 —11я)	, _ 2аГ — 1 б
~~	2(1 —Ни)	’ Х~2аТ-3 100 1
Задачи
46.1.	Доказать, что условие
lim Л4(т) = 0
т -> со
является необходимым условием для того, чтобы функция X (() была эргодичной.
46.2.	Проверить, можно ли в качестве оценки спектральной плотности взять выражение
V / '	1
(ы)   у.
Т	2
I" ei№Tх (t) dt о
если X (t) — нормальная стационарная случайная функция ОО
(х —0), j* |A'(T)|cfc < оо. о
46.3.	Для определения оценки корреляционной функции стационарного нормального случайного процесса X (f) (х — 0) используется коррелятор, работающий по формуле
г-г
=	x(t)x(t+x)dt.
о
Вывести формулу для D (t) ].
§ 46) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 507
46.4.	Определить математические ожидания и дисперсии оценок корреляционных функций, определяемых по одной из формул
Т-х
(Т) = f Х Х (Z + Т) dt ()
Т-х
К2 Ю = Т~Т f Iх <0 — XJ Iх + г) — х] dt,
б
Т-х
где х = т /* x(t')dt, если X (t) — нормальная случай-o'
ная функция.
46.5.	Корреляционная функция стационарного случайного процесса А" (7) имеет вид
/<д.(т)=о“е-а|т|.
Найти дисперсию оценки математического ожидания, определяемой по формуле
г
х — -у j х (t) dt-о
46.6.	Спектральная плотность St. (ы) найдена путем обращения по Фурье подходящего значения корреляционной функции. Определить D [•$> (<’>) ] как функцию ю, если
т
Кх (т) = ~ I х (/) х (t + т) dt, х = О, о
процесс нормальный, а при решении задачи вместо Кх(Х) в окончательной формуле можно взять
Кх (т) — де-“1 т1 (1 а |т|).
46.7.	Корреляционная функция Кх (т), определяемая из опыта, используется для нахождения дисперсии стационарного решения дифференциального уравнения
у (0 4-2Г (0 = ^(0-
508
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИИ [ГЛ. IX
Определить, во сколько раз изменится оу, если вместо выражения
Кх (т) =	0,211 т 1 (cos 0,75т-4- 0,28 sin 0,75 |т [),
достаточно точно аппроксимирующего (т), принять выражение
Л'.г (т) — ахе~а'1 т 1 cos PjT,
где o.j и Р] подобраны таким образом, чтобы положение первого нуля и ордината первого минимума выражения /бДт) совпали с соответствующими величинами для Кх (т).
46.8.	Подходящее значение /Сг(т) используется для нахождения D [Г(П ] , где
Определить, во сколько раз изменится ov, если вместо выражения
Кх (т) ~ о2е~0,1°1 т| (cos 0,7т -4- у sin0,7|Ti),
достаточно точно аппроксимирующего выражение Л'г(т), принять
(т) — охе ~ l~ cos рт, где а и р подобраны так, что положение первого нуля и значение первого минимума у функций А\.(т) и КХ(У) совпадают.
46.9.	Корреляционная функция угла крена корабля приближенно может быть представлена в виде
Л'е(т) = ае':- >Т1 ^cospr---- sinр |т| j, где а — 36 град11, а=0,05 сек.'1, р = 0,75 сек.-1.
Определить D [/<е (т) ] при т = 0 и т = 3 сек., если 0 (/) — нормальная случайная функция, a Кв (т) получена в -результате обработки записи качки за время Т = 20 мин.
46.10.	Ордината оценки корреляционной функции при т = 0 равна 100 см-, а при т=Т;=4,19 сек. достигает
§ 461 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 509 наибольшего по модулю отрицательного значения, равного —41,5 см2. По этим данным подобрать аналитическое выражение для К (т):
а)	в виде К(г) = £>2е~а1тI (cos 0т + sin 0 jr| j;
б)	в виде К(т) = o2e-“lт I COS0T.
Определить, насколько отличается для этих двух случаев значение первого нуля функции К (т).
46.11.	Определить D [Ке (т) ] при т = 0; 2,09; 4,18 и 16,72 сек., если
т-х
о
Ке(т) = ае~'-’>т I cos 0т,
где а — 25 град2, а = 0,12 сек.-1, 0 = 0,75 сек.-1, Q(f) — нормальная случайная функция, 0 = 0. Для определения Ко (т) использована запись реализации 0(0 длиной 10 м, причем 1 см графика по оси времени соответствует 1 сек.
46.12.	График реализации случайной функции X (t), нанесенный на бумажную ленту проводящим электрический ток составом, протаскивается с постоянной скоростью под двумя контактами, смещенными один относительно другого по направлению оси времени на расстояние, соответствующее т сек. Контакты соединены с релейной схемой таким образом, что реле включает секундомер в том случае, когда ординаты реализации в точках, где находятся контакты, имеют одинаковые знаки, и выключает в противоположном случае. Показать, что если х = 0, а X (f)— нормальная стационарная случайная функция, то оценка ее нормированной корреляционной функции может быть определена по формуле
Л (т) = cos л 1---
где tx — суммарный отсчет секундомера, t — общее время движения ленты.
46.13.	В условиях предыдущей задачи определить D [& (5)], если для определения k (5) использован график реализации
510
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ [ГЛ. IX
случайной функции, соответствующий времени записи Т = = 10 мин.,
k (т) == е~а> т L а = 0,2 сек.-1
46.14.	В результате обработки трех реализаций одной и той же стационарной случайной функции X (t) длительностью ТР Т2 и 7'3 получено три графика оценок корреляционной функции. Предполагая процесс нормальным, вывести формулу для получения ординат оценки корреляционной функции /?х(т) с учетом всего опытного материала, исходя из требования минимальной дисперсии ошибки, если для каждой реализации оценка корреляционной функции определялась по формуле
I/
I х (f) х (t -f-т) dt, у=1, 2, 3 (х = 0).
.' о
46.15.	Определить дисперсию оценки корреляционной функции нормального случайного процесса с нулевым математическим ожиданием, если для нахождения (т) взяты ординаты реализации случайной функции через равные интервалы Д, длительность записи Т = т\, а в окончательной формуле допустимо КхХ) заменить на Кх (т).
46.16.	Ординаты случайной функции определяются путем фотографирования шкалы прибора через равные промежутки времени Д=1 сек. Определить, во сколько раз изменится D [/<(0) ] сравнительно с дисперсией, полученной при обработке непрерывного графика реализации, если
К (т) = ае~°-51
(т дано в секундах), процесс нормальный, время наблюдения Т — 5 мин.
46.17.	Для приближенного определения ординат реализации стационарной случайной функции X (/), имеющей нулевое математическое ожидание и заданную корреляционную функцию Кх (т), используется формула
m
V V / Л 2л/Г . D .
X (/) = 2j ( Л; cos —----1- Bj Sin —f — \ Uj,
§461 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 511
где Aj, Bj — взаимно несвязанные случайные величины с единичными дисперсиями и нулевыми математическими ожиданиями, Т —заданное число. Определить постоянные от,- так, чтобы
т
£ == f \КХ (т) — Кх (т) ]- dr = min. о
где Кх (т) — корреляционная функция, соответствующая выписанному выше приближенному выражению для X (/). Определить величину е при оптимальных значениях постоянных.
46.18.	При измерении слабого тока зеркальным гальванометром для уменьшения влияния случайного дрожания рамки гальванометра произведена запись показаний прибора длительностью Т — 10 сек. и значение j средней ординаты этой записи принято за искомое значение силы тока. Определить срединную ошибку результата, если дрожание рамки характеризуется корреляционной функцией силы тока /(/):
К (т) = ае~а 1 т1, где
й =-1 О'-,6/1‘-, а — 10~1 сек.-1
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
§ 1.	Соотношения между случайными событиями
1.1.	По определению A-j-A = А, АА — А. 1.2. Событие А — частный случай события В. 1.3. В — А6, С = As.
1.4.	а) Достоверное событие U; б) невозможное событие V.
1.5.	а) Взята хотя бы одна книга; б) взято хотя бы по одному тому из всех трех сочинений; в) взята одна книга из первого сочинения или три из второго или одна из первого и три из второго; г) взято по два тома>'из первого и второго сочинений; д) взят хотя бы одни том из третьего сочинения и, кроме того, взяты один том из первого сочинения и три из второго или один из второго п три из первого.
1.6.	Выбранное число оканчивается цифрой 5.
1.7.	А — все изделия доброкачественные; В — бракованных изделий одно или нет пи одного.
1.8.	Учитывая свойства событий (В -+-В = В, ВВ—В, B-\-B--U, BU = В, BB=V, В 4- V = В), получаем А = ВС.
1.9.	а) А — попадание в область 5Д, А — внеЗд. Тогда A4-B = t7, т. е. должно быть А = V, В = U', б) АВ — попадание в область S .
__	’ ’	Ad
общую для п S ; А — вне Тогда АВ — V. т. е. должно быть А = U, В = V; в) АВ — попадание в общую область 5ДВ; АЦ-В—
= только‘при S . = S т. е. должно быть А - В.
А*. В АВ ___ А + В	г А В	__	___
1.10.	X — В. 1.11. Воспользоваться равенствами А — АВ АВ, В = АВ -|- АВ. 1.12. Эквивалентность показывается переходом к противоположным событиям. Равенства доказываются переходом от п к п -|-1. 1.13. Нет, так как А Аг В —АВ. 1.14. Воспользоваться равенством А А-В —АВ. 1.15. С — ничейный исход. 1.16. А (В}+В2), ^А + ВуВ;. 1.17. D = A(B14-Bj + Ч*^з4" В А (С । Cj). D = АByB^BjB^-^-CiCi-
1.18.	С~ (Ai 4_-/h) {В{В2 4- В[В3 4- В2В3).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
513
§ 2. Непосредственный подсчет вероятностей
2.1. р = ^~. 2.2. -i. 2.3. р = 0,25, так как первая карта может 1	23
быть любой масти. 2.4. га 0,00013. 2.5.
2.6.	Очередность извлечения при таких условиях не имеет зиа-2
ченпя, поэтому р = —.
2.7.	Можно считать, что для контроля детали берутся из общей п — k партии; р = —।--------г-
'	п-\- т — k
2.8.	Можно рассматривать только однозначные числа, а) 0.2; б) 0,4; в) 0,04.
2.9.	a) N — а 4-106. Условию удовлетворяют только случаи, когда л—^Четное и а-[- b делится на 9; р = i; б) N = а-\-106 4-160с.
Это число должно делиться на 4 и на 9, т. е. а -4- 6 -4- с делится
11
на 9; а4-26 — на 4 (т = 22); Р = у^-
2.10.
10-9-8-7-6
---------------и 0,302. 2.11.
105 —1
8 - 7! - 3!
10!
1
-. 2.12.
15
5	2
2.13. 0,3.	2.14. а) -; б) —;
9	9
С*
2.16. pk =	(6=1, 2, 3, 4, 5),
С90
2.15. р
С1 5 с[=н’
Ск
и.Е >м
pi = 0,0556, р2 = 0,0025, рз =
. 0,85- 10~4, р4 = 0,2.10-5, р5 = 0,2.10-7. 2.17. а) —2-^2п р2рп-2 ________________,	рп-т
б) 2 -2 2"-2 = ---------= 2.18. р = —2.19. р
С?п	C'>+k
= - 0,0029.
п
” 2п — Г
с\с\с\
2.20. п = С|6 = 7140. Благоприятствующие комбинации: 1) (7, 7, 7); 2) (9, 9, 3), (9, 6, 6); 3) (2, 8, 11), (2, 9, 10), (3, 7, 11), (3, 8, 10), (4, 6, 11), (4, 7, 10), (4, 8, 9), (6, 7, 8), поэтому т = 4 4* 2  4 • С2 + 43  8 = 564; р = 0,079.
clc'cl	cic2-4-c|c^ 7
2.21. а) р = 1---= 0,75; б) = °	, ~-2 = - .
7	С3	С3	94
G10	G10
2.22. Необходимо получить п — т пятаков от Т.п покупателей.
Число возможных случаев р=^---------------7TV где N—число
С2п
514
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
п-т
случаев, когда невозможно продать 2п билетов; N = У, N:; i = i
= С"п_^2т+1)—число случаев, когда первый пятак поступил от (2т 4- 2)-го покупателя; N2 — C"n-?(2n+3) — число случаев, когда первый пятак поступил не позднее, чем от (2т 4* 1)-го, а второй —
от (2т4-4)-го и т. д.; р = 1
§ 3.	Геометрические вероятности
/	Ч	1/' ч
3.1.	р = 1 — 4. 3.2. р = -V 0,316. 3.3. р -- 1 — Аг- ~ 0,134. L	9,о	2
3.4.	Построение: АВ — отрезок длиной 2/г, С — центр диска, AD и BE — касательные к диску, расположенные по одну сторону от прямой АС. Треугольники ADC, ВЕС совпадают при повороте на угол rf.= z DCE, поэтому А А СВ = ср, h — I tg р = — arcig -j-.
3.5.	— -2f.+ rf Wi —-2г + 1\.	3.6. а) 0,0185;
\ а. / \ b )
б) р =	~ 0,076. 3.7. а) 0,16; б) 0,6. 3.8. х — расстояние
от берега до лодки, у (с соответствующим знаком) — от лодки до линии курса судна. Возможные значения: х-аД-г.'; при у>0 х + У < 1 • v< при у <0 | у | < х (v — скорость лодки, 1 = 1 час).
1	5
Благоприятствующие значения: |y|<;-7j-v; р = —. 3.9. k (2 — k).
3.10.	x — AL, у = АМ. Возможные значения: 0< х 4- у < I. Благоприятствующие значения: | у — х | < х, р = 0,75.
3.11.	Два отрезка х, у. Возможные значения: 0<х4*У<С^ с	1	/ I ,	1	1
Благоприятствующие значения:	-j , У , х -у у у>-у', Р —
3.12.	Две дуги х, у. Возможные значения: 0 < (х 4- у) < 2л/?.
Благоприятствующие значения: х<п/?, у < л/?, х 4- у> л/?; Р — ^‘
3.13.	Отрезки х, у, г. Возможные значения: 0 .< (х; у; г) < I. Благоприятствующие значения: / + у>г, xA-zy.y, y-\-z2y>x', р = 1/2.
3.14.	AM = х, MN = у. Возможные значения: 0<4 х 4-)'-<-// Благоприятствующие значения: х^а, v а, х-Уу'у1 — а. При I I " ,4 ЗаV	I '
у<«<-2	---j~] 1 при 2-<а</ р
3.15.	x — произвольный момент времени, 0
12 мин. Мо-
менты прихода автобуса линии А: х = 0; 4; 8; моменты прихода автобуса линии В: у; у 4*6, где 0<СУ-С4. а) Благоприятствующие значения: при 0<у<2 у <	4, 64*У<-*<32; при у >2
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
515
’ < х < 8 или у 6 < х < 12; р = —. б) Благоприятству-
ющие значения: 2 х 4, 6<х<8, 10 < х <4. 12, 4 + у<л:^
6 4- у; при у <2 0 < х < у, а при у >2 у — 2 < х у; р =
2_
3
3.16.	х, у—время прибытия пароходов. Возможные значения.  )гС.с<24; 0<у<24. Благоприятствующие значения: у — х<1: г- у <2; р = 0,121.
/ t \2
3.17.	р= 1 —(1—— j .
3.18. х — расстояние от берега до первого судна, у — до второго. Возможные значения: 0	(.с; у) < L. Благоприятствующая
область | х — у | <rf
получается при переходе к отно
сительному движению (первое судно стоит, второе — движется со скоростью v = v2 — vj);

/	/V, \2
при L < d 1/ 14- (—-) Р = 1.
/ 19 \2
3.19.	а) р— 1 —I20) =0,0975; б) х, у, z— координаты точек излома. Возможные значения: 0 < (х; у; г)-<200. Благоприятствующие значения: |х— у | < 10, |х— г |-< 10, |у—z | < 10; р = — 1 _ (l80 У = 0 271.
3.20.
2п/?2 (1 — cos а) . „ а
Г) — ______-___________zss. Ч1П2 ---.
р	4.т<	2
3.21.
3.22.
2л л/3
2/?'2 J* у cos <р йфг/ф 0
.г — расстояние от середины иглы
Ф — угол между линией п иглой. Возможные
Р =
2л л,3
R2 cos ф г/ф rfip :
0 л/6
= 0,21.
<р < л; благоприятствующие значения:
3.23. Возможные
значения: ] а | п,
о до ближайшей линии,
значения: 0
I "2" ®1п
<₽;
а)
=* 2 ’ 21 Р = Т^ Благоприят-п
ствующие значения:
b < а2. При т > п2
1 Р
2
1
2пт J о
т
1 , п2 „ O-4--S—• При 2 1 6т 1
т п2 р = 1
1
2 п т „
К т
Зп
516
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Корни будут положительными, если а < 0, ЛРО. При т п2 я2	2	1 Vт V	л
Р = ^п> при men1 р = — б) Кории уравнения будут вещественны, если р <73'0. Область благоприятствующих значений п
коэффициентов: а<<0, Ь~ — а3. При п3 < т2 р =	a 2da -
о т
- 4—. При n3>zn2 /? = -!-——-!— / &2's db = 4" (1 — 0,6	).
5zn	r 2 2nm J	2 \ nJ
о
3.24.	Пусть А и В — положения движущейся точки и центра круга, и и v — их векторы скоростей, г—расстояние АВ. Из точки В
Рис, 41.
проводим окружность радиуса /?. Считаем р > 0, если вектор v лежит левее линии АВ, — л < р л. Из точки А проводим касательные к окружности радиуса R. Точка А попадет в круг, если вектор относительной скорости попадет в получившийся сектор с углом при вершине 2е,
R
е = arcsin —. Из точки А проводим
вектор —V. Пусть точка О—конец этого вектора. Из точки О проводим окружность, радиус которой по величине совпадает со скоростью точки А. Точка А попадет в круг только в том случае, если вектор и — v лежит в секторе. Пусть и > v. Тогда искомая вероятность будет (рис. 41) р = Для определения п
положим 5 = /'ОСЛ, x — ^OCD, y=^ODC, \’—£ADO. Тогда а-.-2е——у. Используя равенства
sin у sin (р — е) sin 6	sin(P~ре)
----- == —	-- И —— z=z	--
V	II	V	U
получаем 1 ( г v 1 г v *1)
р —	< 2е 4- arcsin — sin (р -|- е) — arcsin — sin (р — е) -
Данная формула справедлива при любом р. При v > и задача решается аналогично, но при этом нужно рассматривать несколько случаев: 1) | р | > е -j- ; р = 0. 2) у4-е>1Р|>е: а) при и < v sin ( | р | — f) будет р — 0; б) при v sin ( | р | — г) < и
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
517 •
1 Г v	1
< v sin ( | Р | 4-е) имеем р = — arccos — sin (| р | — е) к в) при
; > v sin (| р | е) будет
Р =	] arccos sin (| р | — е)1 — arccos sin (| р | 4- е)1I.
3) | Р1<е: а) при и<о sin (е—| р |) будет р= 1; б) при vsin(е—|₽|)< 1 Г v	1
 w sin (е 4~ i Р I) имеем р=1--------arccos —sin (е — | р |) ;
в) при и > v sin (е -|- | р |) будет
р = 1-------< arccos
г	тг I
sin (е — I Р |) 4“ arccos
[-^sin (e + lPI)]}-
§ 4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
4.1. р = 1—0,3 • 0,2 = 0,94. 4.2. р = 1 — ]| (1 — рк). 4.3./? = к -1
- (1—0,2)3 = 0,512. 4.4. 0,251. 4.5. р = 1 — (1 —0,3) (1 —0,2=) = 0,328. 4.6. р(1 — р)"-1. 4.7. 1 — 0,5" >0,9; п >4. 4.8. 1 — (1 — ру = 0,5; р ъ 0,159. 4.9. р = (= 0,029. 4.10. р = /1 - -X) X r	г \л/?2/	256л4	г \	22 /
У 11----У (1	~ тУ (1	- XV1	- тЦ	... = 4	-0,608 >). 4.11. Из
'	З2 ' \	52 / \	72 / \	112 I л2
несовместности событий следует Р (А | В) = 0 и Р (В | А) = 0, т. е. события зависимы. 4.12. • р,р2.	4.13. р = 0,7 • 0,912 = 0,197.
4.14. р = 0,72 (1 —0,62) = 0,314. 4.15.0.75. 4.16. pj = 0,9 • 0,8 • 0,7 X X 0,9 s 0,45; р2 = 0,72 • 0,8 ж 0,39.	4.17. а) 0,1 = (pip3)n, т. е.
« = |о-р,рз~; б> В= 1 — 0 —PiPs)3 (1 — P2Pi)3- 4.18. Следует из равенства Р (.4) Р (В | А) — Р (В) Р (А | В). 4.19. р = 2 Г1 — (X j j. .	12 111,	1	' 9 8 7	„„
4.20. р-б.5.4.3.2.1_ 3SQ. 4.21. а) р - 1	10’ 9 • 8 — °’3‘
,, г 4 3 2	(п — т)! (п — k)!
б) р = 1 —  ----- • — - 0,6. 4.22. р = 1 — ———5----——.
г 5 4 3	п! (л — т — k)!
,	39997'39000!	,	/ 39 V
4.23. а) р- 1	40000! 38997! ~ 1	\ 40 ) ~ °’° 3’
,	(40 000 — N) (39999 — W) (39 998 — N) _ /(40 000 — Лг\3
40000-39999 39998	~ \ 40000 J’
Лг>8252.
') Решение см. в книге А. М. Яг лом и И. М. Я г л о м, Неэлементарные задачи в элементарном изложении, Гостехиздат, 1954, стр. 314—315, решение .задачи 90.
518
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
424 .	1	(100000 — 170)	(100 000 - 2-170)
 ,а)р~~	100000	' (100000—170) •••
(100000 —60-170—10-230)	(100 000—60-170—10-230)
(100000 — 59- 170— 10-230) ~ 1	100 000
= 0,125;
(100000—5 -170—230) (100 000—11 -170—2-230)
Рмп~ (100 000 - 5-170) (100000—11-170 — 230)"’
(100 000 — 59-170— 10-230)
(100 000-59-170 — 9-230) ~ 0,U24b’
в) Р — 1	(1 Рдоп)(1 /’оси)- Роси ” 1 т ~	=0,1029.
1	г доп
4.25.	Р (Д) = Р (В) = Р (С) = ~ , Р (Д | В) = Р (В | Д) =
= Р (С | Д) = Р (Д I С) = Р (В | С) — Р (С | В) = т. е. события
попарно независимы; Р (А j ВС) = Р (В | АС) — Р (С | АВ) — 1, т. е. события не являются независимыми в совокупности. 4.26. Нет (см., например, задачу 4.25). 4.27. р = ^.
4.28.
4.29.
4.30.
4.31.
4.32.
_	п п (п — 1) (л—1)	1 .	2 (я!)2
Р ~	2п	‘ (2л —	1) ’ (2я —27 (2п —3)	" ’ "2	’ — (2я)!
clcjo Cfel C\cj C!2Cj 355! 10!
~С^~~С1Г~С1 cf 15!
= 0,081.
	с1 с1		_ 2”n! т\
р	С2 ^п + т		Ст-п+2	(п+т)'.
р =	1	1	1	(я —Л)!
	п (л	-1) [«-	(й —1)]	я!
	1 3	5	99	100!	АЛО 1
р =			
	2 4	6 ••• 100	'2100 (50!)2
4.33.	Пусть а2, ..., ап — покупатели с деньгами пятирублевого достоинства, a bi, b2, .... Ьт— десятирублевого, причем их номера соответствуют порядку в очереди. Событие Ак состоит в том, что придется ждать сдачу только из-за покупателя (k = = 1, 2, ..., т);
4.34.	Решается так же, как и задача 4.33;
т
k = \	1
2
Р ^Ак} = п — 2/г + 3 ’
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
519
4.35.	Первый извлеченный бюллетень должен быть подан за первого кандидата. Вероятность этого —	. Затем бюллетени
должны идти в такой последовательности, чтобы бюллетеней, поданных за первого кандидата, всегда было извлечено не меньше, о	п —т I
чем за второго. Вероятность этого события равна ----------- (см. за-
дачу 4.33);
_ п (п — т) ___________ п — т
$	(/г -j-">)	11	11 +т '
§ 5. Теорема сложения вероятностей
5.1.	0,03. 5.2. 0,55. 5.3. рк = Ур*,-. 5.4. 2	5.5. -А.
/Т1	\К )
5.6.	р = 1 - А. (С«о + С>0Сз + С1оС2 + С’А +
+ cjoci(?UAoc?)«o,4.
5.7.	Р {АВ) = р (Л) — Р {АВ).
5.8.	Р {В) = Р {АВ) + Р (АВ) = [Р (Л) 4- Р (Л)] Р {В | А) =
= Р (5 | А).
5.9.	Р {В) = Р (Л) J- Р {В А) > Р (Л). 5.10. 0,323. 5.11. 0,5. 5.12. пр(!т-\ 5.13. а) >; б) 5/6.
5.14.	А — первый билет имеет равные суммы; В — второй, а) Р (Л + В)=2Р (Л)=0,1105; б) Р (А 4- В)=2Р (Л)—Р2 (Л) = 0,1075.
5.15.	Из Р(Л-1-В)<1 следует Р {В) — Р(ЛВ)<Р(Л) или
n/i.D». 1 р (A 'a-'t-b— 1 Р(Л|В)^1~-р^т-----------•
5.16.	Из Z = X4-r следует: ZZX + Щ Z>X —|Г|, P(Z<ll)>P(X<10 ii	10) 4-Р ([ Г| С I)—
— Р(Х<10 или | Г| С1) >0,9 4-0,95 — 1 =0,85, Р (Z > 9) > 0,05, P(Z<9)<0,95. 5.17. 0,44 и 0,35. 5.18. р{‘> — р). 5.19. рв = 0,14-4-0,9-0,8-0,3 = 0,316; рс = 0,9 (0,2 4-0,8.0,7-0,4) =0,3816. 5.20. р =
1	1	, /,	1 \ 1 П2— п 4- 1	- о
=  ------гг+ 1-----— = —т-7----тг-. 5.21. р и 0,8, рг ж 0,2.
п (п— 1) ‘ \ п / п п2 {п—1)	в с
5.22.	G {т 4- п) = G (т) 4- [1 — G (и)] G (п | т); G {п | т) — ('1А— & W
1 — G {т)
5.23.	р{ = А4.А>^-4- ... =	р2=А4- А4.... =1.
1	2	1
Другое решение: /7)4-^ = !, p> = —pi, т. е. р1=-^, р. — -^.
520
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
. ол ,	1	1	4'2
5.24.	р,+Л’4-Рз = 1. Pi = ^Pi< Рз = ^Р:- т. е. р{ =	р2^—,
Рз = ~.	5.25. £-(-? = 1, <? = -|-р; /> = -|.	5-26- Pi+Рз= 1.
т
Р' п + т ~ Р'2’
Р=Р\ =
zz-4— т
п -j- 2m '
5.27.	pi—вероятность попадания первым стрелком; р2 — вторым; Pi + р2 = 1, 0,2р2 = 0,8  0,3pt; p = pi= 0,455. 5.28. Воспользоваться условием задачи 1.12. 5.29. Подсчитывая количество одинаковых членов, получаем
Р S 2 Л И С\Р (.4,) - С'Р (.4^,) + CiiP (Л,Л2Л3) - ..
\ /
I п
... +(- 1)"-’р Пл \А=1
л	п
5.30.	Используя равенство Ц Л = У, А/г из задачи 1.12 н *=1	k=i
общую формулу для вероятности суммы событий, получаем
=	р<л>-2 2 p(-W +
\ k = I /	I А’ - I	А =. 1 j тг k -i-1
п- 2	л-1 п ____ / п
+ 2 2 2 р(Ш)--+Н)л''р
fe = l y = И i = j , I	\Л=1
Л  Учитывая еще равенство 1 — С1п
Но согласно задаче 1.12 П Л = У, Л> поэтому при любом s
S = l pf’rp.j-i-pi'i;
\S=I /	\£=I
4-C^— ... 4*(—1)" = 0, приходим к указанной в условии задачи формуле.
5.31.	Воспользоваться равенством
и формулой из условия задачи 5.30.
v (-I)*-’
5.32.	Р = 2, ~------------------------
fe= I
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
521
5.33.	Вероятность, что т человек из п займут свои места, есть С'п (П	=—г. Вероятность того, что оставшиеся п — т чело-
п П! 1П'
л -т
,	X? (—1)*
век будут сидеть не на своих местах, равна —--7 ;
#~о п-т
_jL у (-1)
р ~ т\ Li k\ ’
л=о
5.34.	Событие Aj — в у-й вагон не войдет ни один пассажир, (1 \ft	/ о \ ft	i 0-4
1--) , Р (Л,Л() = (1 - - ) , Р(Л7Л,.Л5) = (1--2-)
и т. д- Используя формулу из ответа к задаче 5.29, получаем
/ 1\А	/ р,k
р = \~с\ I1-- 4-с; 1-- - ...
Г	и у п I	\ п I
... 4--’(1
п — 1 у; п /
5.35.	Первый игрок выигрывает в следующих п случаях: 1) из т партий не проиграет ни одной; 2) из т партий проиграет одну, но (т-|-1)-ю партию выиграет; 3) из т -;-1 партий проиграет две, но (ги4~2)-ю партию выиграет; ...; п) из т п— 2 партий проиграет л — 1, а затем (т + п — 1)-ю выиграет.
р = Р” (1 + с}пд + с-т, 192 + ... + С«;’„	~!).
5.36.	Ставка делится пропорционально отношению вероятностей выигрыша для первого и второго игроков,
1	. I 1	} । 1	/"• ц — 1	1
Pi “ gm" I 1 » *2*	”t" "оГ mA. 1 "Т • • • "Т “g«- i т п - 2 |»
,,__L 1 1 .Ъ1 Г1 I 2_ Г- I I 1 рт~1 1
2" ’	' 2	' 92 О 1 1 •" Тув-! ил>т/|-2 I’
5.37.	Событие А — первый сказал правду; В — четвертый сказал „ Р (Л) Р (В | А) п
правду; р=Р(Л|В) = — Р (в) —-сть У7* ~ вероятность того, что (с учетом двойных искажений) fe-й лгун передал правиль-ж	1	5	13 ”	41 D...
ную информацию; = Р2 = ^’ Рз = ~27’ ;’4 = 1ГГ’ р(А>^=Р'-
1 3
Р(в|Л) = р3. Р(й) = р4; р = ~.
5.38.	Заменяем выпуклый контур многоугольником с п сторонами. Событие А — будет пересечение, линии Л,у (-й и J-й
522
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
п п	п п
сторонами; Л = У} 2 Р—2 3 гДе Ау=Р (Лу);
2 = 1 ; = 2+1	2 = 1 7=24-1
П	П
1 VI *	#
р' = у V/4, Pk — Zu pki ~Pkk— вероятность пересечения па-s=I	i=i
раллельных линий k-ii стороной длины 1%. Из решения задачи
* <2lh	1 Vi
Бюффона 3.22 pk =-~; р'=— У.1р Так как эта вероятность Lt<П	LtvTt jbhb
к =1 s не зависит от числа и величин сторон, то р= .
§ 6.	Формула полной вероятности
61, р~~ 12 ’ 11 + 12 ' 11	132 ’ 6,2< р 4 ’ 9“^4 ’ 9	18'
6.3.	Н\ — среди извлеченных шаров нет белых; II-,— один белый; /73 — оба белых;
p = ±f_^_
Р 2	+ «1
тг \ «2 + т2 /
6.4.	IIр—из у-й урны извлекается белый шар; Нр— из j-i\
урны извлекается черный шар; Р(/Ун) =—-j——
к т-р k ’
Р (Я12)
Р (Н X _ т________(w +1)	, k________т = т
' 21' (m-pk) (т 4-А 4-1) ' (т -j- к) (т 4- к 4-1)	m-\-k'
Р(Я22) =—1—. Считаем Р (И	= —2L-, р (//.,) =—
' 221 т 4- к	v I1’ тр-к ' т 4-k.
Тогда Р(Я.+ 1 ,) = ——. Поэтому р ——-г—р.
' ’ т-р к	J т-р к
6.5.	0,7. 6.6.' 2/9. 6.7. 0,225. 6.8. 0,75. 6.9. 0,332.
6.10.	Событие А— получение контакта. Гипотеза 11 — на к-к полосе возможен контакт (А=1, 2). Пусть .V — положение центра отверстия, у—точка приложения контакта. Р (7/,) = Р (15<х< 45) = = 0,3, Р (Я2) = Р (60 < х 95) = 0,35. Контакт возможен на первой полосе, если: при 25<Сл:</35 | х—у | 5; при 15 <; х 25 20	4- 5; при 35</.г <145 х — 5<1у < 45. Поэтому Р (Л |/7,) -
= -^. Аналогично Р (Л IЯ2) = Д-; р = 0,045.
15	'	’ s 14 г
6.11.	Событие Л — поступление s вызовов за промежуток 2/. Гипотеза Hk(k = 0, 1.....s) — за первый промежуток времени по
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
523
ступило k вызовов, Р (Нк) = Pt (/г). Вероятность поступления з — k вызовов за второй промежуток будет
Р (Л | Hk) = Pt(s — k), P2t (s) = 2 Л (*) Л - k).
k = 0
6.12.	Гипотеза Ht,— имеется k бракованных лампочек, P (И-Л^
(k = 0, 1....5). Событие A— все 100 лампочек исправные,
С100
Р (А |	-^1 я 0,9* (k = 0, 1, ..., 5);
Цооо
5
р = 12р (Л 1 ~ °’78-
/г =0
6.13.	Гипотеза Н к—в урне было k белых шаров (k =0, 1, .... п);
событие А — из урны будет извлечен белый шар, Р (Нк)
1
п + 1 ’
Р (-4 I Нк) =
А±1 /г —1
/г + 2
Р~ 2 (n-h 1) '
6.14.	Гипотеза Hk (k = 0, 1, 2, 3) — для первой игры взято k новых мячей. Событие А — для второй игры взято три новых мяча,
— k	z^3
P(^)=  g-3 —. Р(Л|ЯА) = -^-; P = 0,089.
C15	CI5
6.15.	p =	(9<?1 + 8C*C1 + 7C>) = 0,58.
21 л. (21	21] 24 _ 190
6.!6.	p - 30 • 29 + go • 29 + 30 ‘ 29 )' 28 “ 203 ’
6.17.	P (Л) = P (AB) + P (AB) = P(B) P (A | В) + P (В) P (A | B). Равенство возможно только в некоторых частных случаях: а) Л = V; 6) В = U; в) В = Л; г) В = Л; д) В — V, где U — достоверное, а V — невозможное события.
6.18.	По формуле из примера 6.2 следует, что т я 13, р к, 0,67. 6.19. В первый район 8 вертолетов; р я 0,74.
§ 7.	Вычисление вероятностей гипотез после испытания (формула Байеса)
7 1 п- О’1-5/6	5	_ . . Г. . k2m2 (/И1+/г,)~1
0,9-1/2+ 0,1-5/6 ”32 • Р~ \. ^kxmi(m2-\-n2)\'
7.3.	Гипотезы ВЦ—изделие стандартное, Н2—нестандартное. Событие Л — изделие признается пригодным; Р (/V1)=0,96, Р (Н2) = 0,04, Р (Л | И0=0,98, Р (Л | Н2) = 0,05, Р (Л)= 0,9428; р= Р (Нх | Л)=0,998.
524
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
7.4,	Гипотезы Нк (А = 0, 1,	5) — имеется k бракованных
изделий. Событие А — извлекается бракованное изделие, Р (Hk) — Р (А	Р (Яй | Л) = Р	।	• Наиболее вероятна
о	г (/1)
гипотеза Н5, т. е. пять бракованных изделий.
7.5.	Р (Яо| А) = тгТГтя = 0,214 (см. задачу 6.12). О • U,/о
7.6.	Событие А — выигрыш игрока D; гипотеза Я*(й=1, 2) — противником был игрок В или С; Р (///,.) — 1/2; Р (Л | Ht) = 0,6 • 0,3 4-4- (1—0,18)  0,7  0,5; Р (Л | Я2)=0,2  0,3-Ц1—0,06) 0,4  0,7; Р (/7, | Л) - 0,59; Р (Я21 Л) = 0,41.
7.7.	Из второй группы. 7.8.. Событие А — попали двое; Нк— промахнулся А-й стрелок;
р = Р(И,Н)_4..
7.9.	Событие А — вепрь убит одной пулей, Р (Л) =	Р (//к).
*=1 Гипотеза Нк— попал А-й стрелок (й=1, 2, 3); Р (Я,) = 0,048, Р (//2) = 0,128, Р (Я3) = 0,288, Р (//, | Л) = 0,103, Р (Я2 I Л) = 0,277, Р (Я31 Л) = 0,620.
*J
7.10.	В четвертую часть. 7.11. р =f
1	2 —.., -п
7.12.	События: Л4,—первый близнец — мальчик; Л12— второй — тоже мальчик. Гипотезы:	— оба мальчика; Н2 — мальчик и
девочка;
Р(Л41) = « + |[1-(«+ед р = Р(М2|Л1,) = 1+2д__у
7.13.	События Лй и Вк. k-м родился мальчик и А-й родилась девочка (А =1,2); Р (Л,Л;) р (ВХВ2) Ц-2Р (ДВ2) = Г Р (Л,Л2 -j- BtB2) = 4Р (Л,В2). Поэтому Р (Л ,Л2) -}- Р (BtB2) = 4-, О
Р (Л ,В2) = 1, Р (Л,Л2) = 0,51 - 1/6; р = Р (Л2 I Л,) =
7.14.	5/11. 7.15. Одно появление.
7.16.	Гипотезы: 7/,—первый студент учится первый год; Нг— второй год. События: А — второй студент учится больше первого, В —• второй студент учится третий год. Р (//>) = П| )- , Р(/72) = 7Г=Т ’ Р । Я‘)= Пп1-13 ' Р I= ТТГТ - Р(Л>^ 11- х	ill	ill
(и 2 ])2 [«1 ("2 + Пз) + «2«з]. Р (АВ) =	, р = Р (В I Л) =
Z2i Пч ’ Из
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
525
7.17.	1/4 и 2/11.
7.18.	Гипотезы Нк (k = 0, 1..8)—из 8 деталей k штук
исправных. Событие А — из взятых четырех деталей тр:: исправные: Р (Нк) = 1 Р (И, | А) = 0 (j = 0, 1, 2, 8), Р (Hk | А) ==
clcJ k	1	з
- —^(* = 3. 4. 5- 6. 7). Р(Л) = ±; />=Р(/У4| Л)-|4-
§ 8.	Вычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях
8.1.	а) 0,94 = 0,656; б) 0,94 + 4 • 0,1  0.93 = 0,948, 8.2. a) =
!-2^0 + Ci1o+Cw+C1o+1) = S-- 8.3. а)
= C/qq - 0,013  0,99197 s 1,35е“2 =0,18; б) р « 0,09. 8.4. 0,17. 8.5. 0,64.
8.6.	а) 0,163; б) 0,353. 8.7. р=\ — (О.84 + 4  О,83 • 0,2 + 5  О,82 • 0,2'-’ + п
+ 2  0,8 • 0,23) 0,72 • 0,6 = 0,718.	8.8. Wn = V C:”pmqn~m [1 —
т-0
— h _	IV" I = I	_ (1	_ £?'.	8.9. р =	1 — (0,74 + 4-0,73-0,3 • 0,4) «
\	о I I \ (о / f
= 0,595.
8.10.	Гипотезы: Нх—вероятность попадания при одном выстреле равна 1'2; Н2— она равна 2/3. Событие А — произошло 116 попаданий. Р (Hi | А) и 2Р (Н21 Л), т. е. вероятнее первая гипотеза. 8.11. См. таблицу 113.
Таблица 113
р	0,01	0,05	0,1	0,2	0.3	0.4	0.5	0,6
^10; 1	0,0956.	0,4013	0,6513	0,8926	0,9718	0,9940	0,9990	0,9999
8.12.	0,2. 8.13. 0,73. 8.14. Rn. 1	1 —«?-°-02" (п > 10). См. таб-
лицу 114.
Таблица 114
п	1	10	20	30	40	50	60	70	89	90	100
1	0,02	0,18	0,33	0,45	0,55	0,63	0,70	0,75	0.80	0,84	0,86
526
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
8.15.	р = 1—0,9510 = 0,4. 8.16. р = 1 — 0,93 = 0,41.	8.17. р =
= Pio + ЗРю(Рэ + Ps) + 3p10Pg = 0,0935. 8.18. а) р =	Р3; kP3; к =
k-0
— 0,311; б) 0,243. 8.19. 0,488.
8.20.	Событие А — изготовлено два хороших изделия. Гипотеза з
/7Й — изготовил &-й рабочий (k — 1, 2, 3); />= 2 Р(^6г1^)Х й = 1
х р (А I Нк) х0;22. 8.21. а) р =	= 0,794; б) Зр* — 4р3 4. _L = 0;
/2	2
/7=0,614. 8.22. Р1 = р4 + С\р4д + Cjp4g2 4- ф3<?3 (р2 + 2р27)= 0,723; Рп = 0,277.
8.23.	р =	- С"п-к  8'24' °’784’ 8ф25, По 200 вт (Л6; 1 = °-394’’
Я10. 2= 0,117). 8.26. 0,64. 8.27. 0,2816. 8.28. Р,п = nC'l,~\jj!!gm~'1 при 2й-1	2&-1
Pm = Q при т < k. 8.29. ^=2 Рт~пРк S Ckm-iQm~k‘ m-k	m-k
8.30.	Должно быть 0,1 > 0,8" ^1 + -^- + ” ( 3‘Г" ] ’• п > 25‘ 8.31. Должно быть 0,99 • 510 = 4104- Cj049 + ... + С"0410~"; п = 5. 8.32. Р4.0 = 0,3024,	Л}. 1 = 0,4404, Р4. , = 0,2144, Р4. 3 = 0,0404,
Р4.4 = 0,0024. 8.33. 0,26.' 8.34. 0,159. 8.35. 95/144. 8.36. п = 29. 8.37. л >10. 8.38. л> 16. 8.39. 8. 8.40. 8. 8.41. ц = 4; р = 0,251. 8.42. ц+ = 3, ц_ = 1; р = 32/81.
§ 9.	Полиномиальное распределение. Рекуррентные формулы. Производящие функции
9-1. Р^Р-0- 2, з, ^ЗР.. 31 2> о=50/243. 9.2. р = Р3. ь ,+Рд. 2>0+ У; 1,2, о = 0/245. 9.3. а) р = -/!_. ± = 0,085; б) р = 6 X 1	10’	,	□	А ’	'
Х-Т- = 0,385. 9.4. Р = Хгтг 0,1560,223 • 0,13 = 0,13  10" 4. 9.5. р = 1 — З9	Ь! 31	г
— 2 (0,0664* 4- -1- 0.25614 4-4  0,0664 • 0,25613 4- 6 • 0.06642 • 0.25612 + + 4 • 0,2561  0.06643) = 0,983.
9.6.	а) Р =	= 0ДО344; б) = | .	= 0Л38.
9.7.	а) р, =----------11'тт'п’г'	— б) р = бр,; в) р =
’ п ц + т-\-п)1'+т'+п'	’ ‘	11	’ И
__ (Ц 4-М1 + «1)1	11>тт'пп'
(I 4- т n)zi+'"i+">
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
527
9.8.	р = рп, Рй = /’А-1-у + (1 —Ра-1) |=0,5; /> = 0,5.
9.9.	Пусть pk—вероятность ничейного исхода, когда сыграно 2Р результативных партий; />А + 1 = у рЛ (А = 0, 1, ...), р0 = 1, ptl_i ~
/П"'1.	1	1
~Д2/	’ Р 2 Рп~х 2Л '
9.10.	Число п должно быть нечетным. Пусть рк — вероятность того, что после 2k 4-1
1, 2,
партий игра не закончилась; />0 = 1, /г-3
п — 3\	_ 1	_ 1
2 )’ Р~~ 4 Р'Р± 4 I 4)
2	4
9.11.	Пусть рк — вероятность разорения 1-го игрока, когда у него k рублей. По формуле полной вероятности рь = PPk + \ + QPk-i-Кроме того, р + ?=1, р0 = 1. /’«+т = 0. Поэтому q(pk — Pk-i) =
= P(Pk±\—PkY 1) Р=Я- Тогда />Л=1—kc, ~у^-,т.е. />1=
Рц = ~ f- 2) p=j=q. Тогда pk — pk-{ =	1* (pi — 1). Сумми-
/4 1”^ fit'	\ Ч /
руя эти равенства от 1 до л и от 1 до п-\-т, получаем 1—рп =
1 —(-)"	1“ (-)"+т
= (1 — Pi)-------- . 1 — Рп+т = (1 — Pi) ----^7:----• Поэтому
1—	-I	1-3-
Р	Р
t п\т	/ Л \ п
1-
\ а /	«
Р\ =--Р\\ = х~Р\
1-4
п + т
9.12.	Р = Рт; Рт = 0 при т<и; P/;=—L-; Рт = -~ при п < т < 2п— 1. В общем случае Рт определяется из рекуррентной формулы Рт = ± Pm-i + -^-pm-2+ ••• + ypzr pm-n+f которая получается по формуле полной вероятности. При этом гипотеза Hk — первый противник победителя выиграл k партий;
/1 \n~k
Pm_k = P(Hk)[~} (й = 1, 2, .... л-1).
9.13.	Pf, — вероятность того, что придется играть ровно k партий. При А = 1,2, 3,4,5 Pk = 0, PG = 2pG = ~, Р7 = ZC^q =	,
10
„	г)-2 6 2	21	„	7	63	. о V D 193
8 1С7Р ? — 2? , ^9 - 25 ,	— 23 > а) Р	4г 256
/г = 1
528
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
б) если п нечетное, то Рп = 0. При четном п Рп=-~- Р п • где 7"1
рк — вероятность того, что после 2k партий противники имеют рав-„5	1	63	1
ное число очков; р3 = С10	, рк . j = - pk, т. е. pk =
63 г „	.	63
= ^Тз- (* = 5, 6,	.
2 -
9,14.	Разложить (1 —и)-1 в ряд и найти коэффициент при ит.
9.15.	Так же, как в задаче 9.14.
9.16.	Искомая вероятность равна свободному члену в производящей функции
г .	1 / . о 1 1 V (1 +»)5Я	1 Гп
°	— фТ ( “ + 2 +— | — ----^75----,	- С2ц-
9.17.	Искомая вероятность равна сумме коэффициентов при и /1	1	3
в степени не меньше т в функции G (u) = I и2 4-	+ у +
4п
,	1	,	1 V (14-и)4Л	1 V г,
П--5----г ттт- =—;	; р = ~гяг /;	С4„. При п — т = 3
1 4и 1 16и2/	(4и)2,г	42Л ЛЛ ™ г
к = 2я + т
р = 0,073.
9.18.	Искомая вероятность равна удвоенной сумме коэффициентов при и4 в функции
1 / 1 \2°
G(«) = W «+- + 3 =
20 20- т
-J_V V ________________2£-_________„т-пф-т-п.
520 2d щ!/г!(20 — т — п)\ т=0 п=0
901	о 16 — 2к
р = 2 -уТ (4 + *)!й! (16 —2й)! = °’104
к=0
9.19.	а) Искомая вероятность р,,емп равна сумме коэффициен' тов при неотрицательных степенях и в функции
г . ч /1	. 1 . IV4 (1-НО48
° (и) = (ТИ +	+	= ”424-ll24 " >
48
Рчемп = 4^Г £ С"« = "rW- С2® + CW = °’5577’ ^рет = 0-4423. Л = 24
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
529
б) вероятность противоположного события равна сумме коэффициентов при и в степенях от —4 до 3 в функции
G (и)
_ 1 (1-4-и)40 .
“ 420	„20
23
S С« = 0-22.
»=16
9.20. а) Искомая вероятность Рт находится с помощью произ-
водящей функции
Используя равенство
1	,,п п _„6\Н
С(и) = ^(и + ^-4-...+^ = 1Аг-^.
/1 _ ...п = 1 + ‘и -4- Спп+{«г -4- .... полу
чаем P,„ = -^-(C"-_1i-C’C"_I7-4-C;C«_113-...)> причем ряд
т
обрывается, когда т—6k < п; б) Rm = Pk. Используя k = п
равенство 1-+-С;'^'-+- ... 4-C’_} = Cj, получаем Rm =
= 4г (С"- С\С"т_6 + с-пс;п_ 12-...). При п = 10, т = 20 Р20 =
=	- с5оС?з) = 0-0014, /?20 = 4о (с2° - ЭД") = 0-0029-
9.21. Искомая вероятность равна коэффициенту при и21 в функции
9.22. a) pN равна коэффициенту при u'v в функции
п _	,7-2^71-1	_ \
Рк ~~ тп .v-i S4v-m-lTSb.V-2m-l
причем ряд обрывается, когда N — ms < п;
N
б)	=
!:— п
=1 ад - (ад-)
(ср. с 9.20).
530
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
(;21 / 1 _ »4\3	1 /„> х
9.23.	a) G, («) =	• Р = 4Г (Сб ~ 3) = 0,1875;
б) G2(t’) = -^r(l+^)9- Р = -gr сэ = 0,2461; в) G (к) = Gj (к) X х о ^+"TK)li' р=з4 +зс-)=°’1585-
9.24.	Гипотеза Нк — равное число гербов стало после k бросаний обеих монет (й = 1, 2, ..., п); событие А — после п бросаний будет равное число гербов, но оно могло быть и раньше. Р (Л) = п
= 2 р №)р (л Iн*>' Р = р р И) = р (л | "о). Р (л\нк) = z?=1
п
= 77=т c2n-2k- Поэтому С$п. = У 4*с"-_fc2ft Р Задаваясь раз--г
А’ = 1
личными п, можно найти р = Р (Нп). Пусть R(u) = 2 4kP Uh), k = l
oo
Q(w) = 2 lllPp гДе Pn-j = P (Л | Hj). Объединяя члены при w", ;=o co n	oo
получаем: Q (w) R (u) = un p„_ftP (Hk) = unPn (4) =
и = 1	/г = 1	л = 1
= Q(u)-l;	=	=	R(w)=l —
/2 = 0 '

9.25.	Пусть ц — число голосов, поданных за определенного кандидата. Вероятность этого Р =С^ри9"“,‘. Вероятность того, что н
за кандидата подано не более р голосов, равна = 2 ^s‘ ^еР°ят" 5 = 0
ность того, что из k кандидатов / — 1 человек получат не менее ц голосов, k — I — 1 человек — не более ц голосов каждый; а двое — по и голосов, будет 2 (/ _ 1}_z _ 1}, (1 +	'pl'<
п
Р = 2(/-1)!(й —/—1)! —I РРаР 1 * (1 + PV- ~~ “р)	’
ц = 0
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
531
9.26.	Вероятность выигрыша одного очка для подающей команды
Ра„Ц. з> Р^С|5(|)!(4)‘3+*+с;.,С?!(|У	+
+ ^А(4ПГ* + •• + С»И1П4Г + +cMI)”(i)'S" МтГ^(4*''с^4'_!с--Л+
-L	- +<cl-,c?s-, + ca:
х(1» + 4»-1С;,с;1 + 4«-2С’с;1+ ... +4С«-1С«,-1 + С‘) (4 = 0.
1,	..., 13). Числа Рк и Qk приведены в таблице 115.
Таблица 115
k	0	1	2	3	4	□	6
Pk	0,00228	0,00571	0,01047	0,01623	0,02260	0,02915	0,03546
Qk	0,00114	0,00342	0,00695	0,01159	0,01709	0,02312	0,02929
k	7	8	9	10	11	12	13
Pk	0,04118	0,04604	0,04986	0,05254	0,05407	0,05450	0,05392
Qk	0,03524	0,04064	0,04525	0,04890	0,05148	0,05299	0,05345
13	13
б)	Р\ = У, Pk = 0,47401, Q[ = У Qk — 0,42056; в) пусть ak — k = 0	й=0
вероятность набрать 14-(- k очков из 28-|-2£ для первой (подающей) команды, выиграв последний мяч, р* — аналогичная вероят-/ 1 \ 2 ' 2 \ 2 6
ность для второй команды; Р0=С?1з> % =	("у) гу) 4~
+ч а (4)‘ (4)” +  • +<%₽» ({)” «У+Ш” - ««* а* + 1 +Рй+1 ='з’ (а£ —Н Р*)> а6 + 1 — Р&+1 =-д' (ая Р*)> т‘ е<
(— 1/ о v „ _ а° + Ро । («о—Ро)> Рп---------3£ + 1 П
(— D*,	0 4	0,10543
9*+1 (а° ~ Ро)’ Pk ~ з* + 1 -
1
........	3.......................
(ак + ₽*) =	(«о + ₽о), (“* — ₽*)
I 1)* (•„ _ о \ „ = ао + Ро "Г дй + 1 (а° Ро)> 4 k gfc + ]
(_ 1)й0,00148	0,10543	(-1)*0,00148.	_ V р, -
—----------1	= з»+"Н---------’ г) ? 11 ~Л“
А-0
532
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
- 0,05257, Q,, =	qk = 0,05286; д) Р = Р\ + i = 0,52658, Q =
*=о
= Qi + Qh = 0,47342.
Глава II
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 10.	Ряд, многоугольник и функция распределения вероятностей дискретных случайных величин
10.1.	См. таблицу 116.
Таблица 116
XI	0	I
Pi	0,7	0,3
F (•') =
10.2. См. таблицу 117.
0	при х < 0,
0,7 при 0 < х < I, 1	при х > 1.
Таблица 117
Pi 0,125 0,375 0,375	0,125
F(^) =
10.3. См. таблицу 118.
0 при
0,125 при
0,500 при
0,875 при
I при
л<0, 0< л<1, 1 < л-<2, 2 < х < 3, х > 3.
Таблица 118
Xi	I	2	3	4	5
Pi	0,1	0,09	0,081	0,0729	0,6561
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
533
10.4.	а) Р (X = т) = qm 1 р = -Дг б) один опыт.
10.5.	Xt— случайное число бросков для баскетболиста, начавшего броски; Х2— то же для второго баскетболиста;
р (X, = /и) = 0,6”!“1 -0,4™,	]
,	1 для всех m 1.
Р (X2 = m) = 0,6", + 1-ОЛ"1-1 J
F<Xj,sO) «Цк
|Д>.6. См. таблицу 119.
Таблица 119
Xi	—3	3	8	9	14	15	19	20	25	30
Pi	0,008	0,036	0,060	0,054	0,180	0,027	0,150	0,135	0,225	0,125
10.7.
Р(Х = И) = ^-4
для всех т 4, так как ми-
нимальное случайное число включений равно четырем и будет иметь место тогда, когда первый же включенный прибор сработает.
.	f qn~l при т=0,
10.8.	а) Р (X = т) = 1
I qn~m-'1 при 0 < т < п — 1;
б) p(x = m)=J pqm
I qn~'
для 1 m ' n — 1,
для m = ii-
lGS. P (X = m) = C™pmqn m для всех 0< m < n.
10.10.	P(X = m) = l— 2-0,25m для всехт>1. 10.11. Р(Х=Л)-
= (1—— 'j	— для всех Л>1. 10.12. Р (X = т) =	—e-i‘P
\ и/ и	ml
для всех т 0. 10.13. См. таблицу 120.
534
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
10.14. См. таблиц}' 121.
Таблица 121
Х1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
\WP1	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	63	69	73	75
Xt	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
WPI	75	73	69	63	55	45	36	28	21	15	10	6	3	1
§ 11.	Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
/(*) = {
11.1.
1, если х принадлежит (0, 1);
0, если х не принадлежит (0, 1). X*	1
11.2.	/(Л) = -1=-е 2 . 11.3. 2“х0. 11.4. а)/7 = 1; б> = \ 2л,	к
t	______	х~_
1	~~т	< < - \ i /" 2 1g 2	., х ~ 2^
. 11.5. а) о; б) о |/	1,18о; в)/(х) = ^е
11	.6. a) f(x) = хт *е Л°(-г>0); б) хр = {— х0 In (1 — р')}т; Xq
1 /в
в) 1	Н.7. а) Ю; б) /?(х) = —1= j‘е 2 dt, где tB
= lg  11.8. а)а = -Ь 6 = —; б) f (х) = — 2^_	;
а	1	2 л ’ J v ' л (л2 4- а2)
в) Р (а < А < ₽) = — arctg а) . 11.9. а = —L.
л а2 ар	Ул
11.10.	а) Л(л-) = 4- + — arctg л; б) Р(|Х| < 1) = 1. 11,11. />= 2 Л	2
11.13.	Ввести случайную величину X— промежуток времени, в течение которого лампа теряет работоспособность. Составить дифференциальное уравнение для F (х) = Р (А < х) — функции рас
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
535
пределения случайной величины X. Решение этого уравнения при л' = I имеет вид F (Z) = 1 — e~kl-
11.14.	а) (6Д2 —	4-Зг-2); б) 1 -
11.15.	/(.<) = ^ ^ 6 (л -лг). » = i
§ 12.	Числовые характеристики дискретных случайных величин
12.1.	х — р. 12.2. л'а=1,8; jrg — 1,7; хп = 2.0; наименьшее среднее число взвешиваний будет при системе б).	12.3. М [X] = 2;
D [X] = 1,1.
12.4.	Для доказательства достаточно вычислить М [X] = 1 dG (и) I	„ , „	.	.	„ .	.	, .	.
""“du—	- ’ где °	(7з + /'з").
12.5.	Составляем производящую функцию G (u) = (q Д- ри')п", M[X] = G'(l) = zjp.
п
2 Х^
12.6.	— У mfa.
( = 1
12.7.	Для первого для второго---уу- монет, т. е. игра
проигрышная для второго игрока.
12.8.	Ввести в рассмотрение величины а, Ь, с — математические ожидания выигрыша игроков А, В, С соответственно при условии, что игрок А выиграл у В. Для этих величин справедливы равен-т , b а , с
едва й =-у Д-у,	' 1<отоРые составляют систему
уравнений для нахождения неизвестных а, Ъ и с. Решая систему, 4	1	2
получим а = -у т, Ь — ^-т, с = т. Во втором случае для , „	_	5	5	2
игроков Л, В и С соответственно получим -уу- т, -уу- т, т.
,2.9. МИ|_^ + (4.+ ^) + (^. + |) + ..._2^
я? = 2
, V т 3	24 , 1 .	3  6 , 9 ,
~3	2^ = 2~ 49 = 1 98' М (с)=2г + -2г+>+ ••• “
т= 1
_ 3 у т + 1 _ 3	1	_ 48
“ 4 2^	~ 4 /. IV — 49 
I1- ТГ
536
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
12.10.	М[Х] = /,
Л = 1
12.11.	М[Х]=/> V	=4 + 2_2L =
ЛГЯ	р
т~\
12.12.	М [Л ] - - : D [XI =. АН-----£>. рЯд S = V qm~k
р	р	(т — ky.
m-k
суммируется с помощью формулы S -
ИН V ат = k dqk	(1—9)*+1 ’
4 т=О	'
где q = 1 — р.
12.13.	а) М [///] = <о, где м —--------—
1 — е а
мирование ряда производится по формулам
— V е~ит da
т =0
б) М [яг] = со + 1. Сум-
12.14.	М [X] =------------------- = 4,55, где pt =0,18, р3 =
Pt+PaPi (1—р,)
= Рг = 0,22.
п
12.15.	М[А'] = 4-А. 12.16. М [/;] = « +и У, 4-. О	ляЛ к
Л-1
12.17.	Исследовать па максимум дисперсию как функцию вероятности появления события.
12.18.	ц3 = /гр(1—/>) (1—2/>) обращается в нуль при /> = 0, р = 0,5 и р = 1.
12.19.	Рассмотреть дисперсию как функцию вероятности появления события.
12.20.	В обоих случаях математическое ожидание числа черных шаров во второй урне равно 5, а белых — в первом случае 4 4-^fij, во втором случае 4-}-е“6.
3
12.21.	Два рубля. 12.22. При р <
12.23. М [X] = - ~ ~ 1 а. При отыскании вероятностей рь = 0/1
= Р (X = ka) того, что случайная длина перехода равна ka, воспользоваться формулой полных вероятностей, приняв в качестве гипотезы Ai то, что рабочий в данный момент стоит у г-го станка.
ОТВЕТЫ 11 РЕШЕНИЯ
537
12.24. 9 = 0,9;	P10 = l —910 ~ 0,651.	12.25. М [Д'] =
12.26.	М[Х]= 2 i =	12-27- >’ = У = 615 РУ6-
12.28.	М [Д'] = —; D [X] = —т + п) 
J т L J т-
12.29.	Xk = N + -^=^- (1 - < + 1 V; N-\-Nx	\	?7 1	/
М 4- М, lim Хк =	доставить конечноразностное уравнение для
математического ожидания числа белых шаров Хк, находящихся в первой урне после k опытов:
v	v _ Л4 -j- 7W (	/1 , 1'lv
** + *	Хк-	+ А'Н*'
12.30.
12.31.
12.32.
V <2лН
21п (nW п=0	' ’
/ х\я (2/г)!
как 2Дт) ~(^У ( ~Х}
п = 0
§ 13.	Числовые характеристики непрерывных случайных величин
13.1.
D[%] =
М [X] = а-
2_ 
2 ‘
13.3.
D[X]=-J;	13.2. M[X] = 0;
о	2
F	Е2 / 1	1 \
М[Х] = -±=--,	D[X]=^-i--.
pF л	р2\2	л/
13.4.	D[X] = y
Е=-^
13.5.	Р(п
а) = 1 — е 4
9
М[Г] =
=>т-Н- *3.8.
Р (а<а) = 0.544 _ } jg
Р (а > а) 0,456
D[Vr] = — (— — -IV 13.7.
Л2 \2 я I
МРП = |х0; D[X] = 44
13.6.	А = -^=:
М [%] = D[X] =
13.9.	М[Д] = 0;
538
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
D [X] = 2. 13.10. A =---—!------;
0“иГ(а4-1)
+	в.".
М [Д’] = (а Д-1) f5; D[*) =
мт = -Л
ab
~ (л+&)2(л+ & + 1)"
13.12. А =
мт = 0;

Dm=- —2 (n > 2). Для вычисления интеграла j и
2 dx
воспользоваться подстановкой х— |/	, приводящей к бета-
функции, а последнюю выразить через гамма-функцию.
□ т-
1
13.13. А
—5---------, м m = —
л —3	’	1 J
-г
—	dF (х)
~n—1—x'2. 13.14. Воспользоваться соотношением f(x) = ———
d[\-F{x)} dx
13.15.	М[7’]=у. Обратить внимание на то, что р (t) является функцией распределения случайного времени поисков (Т), необходимого для обнаружения судна.
13.16.	m (t) = moe~pt. Учесть, что вероятность распада любого фиксированного атома за промежуток времени (Л t -j- М) равна р Ы, и составить дифференциальное уравнение для m (t).
13.17.	7’,| == — Воспользоваться решением задачи 13.16.
Р (Т < Т)
13.18.		— = 0,79, т. е. научных работников, имеющих
Р (Т > Т)
возраст более среднего (среди научных работников), больше, чем имеющих возраст менее среднего. Средний возраст среди научных работников Т — 41,25 года.
«am (2v—l)(2v — 3) ...5-3-1 v
13.19.	да, =—--—Дд------I—.-----——ft	при n^-2v+l>
2V (ft — 2) (ft — 4) ... (« — 2v) H
%+1 ~ 0- Прн вычислении интегралов вида
2 dx
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
539
произвести замену переменных	п< приводящую
к бета-функции, а последнюю выразить через гамма-функцию.
13.20.	mk=Tr	13.21. M[Xj=0; D [X] =
Г (Р) Г (р + q + k)
л2 . 1
~ 12+У
k
13.22	. рй= (—1)*'У тр где т; = М [А7].
/=о k
13.23	. тк ~	сi	где И/ = М [(X — х)!\-
J=o
§ 14.	Закон Пуассона
14.1.	р = 1 — е'0'1 и 0,095.	14.2. р = е~ 3 я 0,17.
14.3.	р = 1 — е~1 » 0,63. 14.4. р = е~°’5 я 0,61.
14.5.	1) 0,95958;	2) 0,95963.	14.6. 0,9.	14.7. 0,143.
500	2
14.8.	р = 1 V ± ~1 _1 V ± » 0,08.	14.9. 0,4.
е ml е ml
т-3	т=0
1	С^р)ь		1
14.10.	Sk = ——-	14.11. а) -——б) 1— е~Кр.
Va	kl
14.12.	М [X] = D [X] = -jy|-	Составить дифференциаль-
ное уравнение для среднего числа частиц в момент времени t. Приравнять среднее число частиц половине первоначального. Полученное в результате этого уравнение дает возможность найти вероятность распада данной частицы; умножая ее на число частиц, получим М[Х].
14.13.	а) р = ^е-п » 1,02-10"19; б) р = 1 — е~п — ns'4 st ~ 0,673, где п = 4^- я 0,475.
4лг2Л
14.14.	Представить Pn(k\, k2, ..., km, km + i) в виде Ря(&]. k2,...
п
540
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
§ 15.	Закон нормального распределения
15.1.	/> = 0,0536.	15.2. />ннжс = 0,1725; /внутри = 0,4846;
Рвыше = 0,3429.	15.3. а) 1372 .и-; б) 0,4105.	15.4. 22 измерения.
15.5.	Ех = 2р у Еу = 0,78£у. 15.6. См. таблицу 122.
Таблица 122
X	-65	— 55	-45	-35	-25	-15	-5	+ 5	+1 □	+ 25	4-35
105Д(л-)	35	350	2150	8865	25 000	50 000	75 000	91 135	97 850	99 650	99 965
15.7.	Е ~ 39 м. Получающееся трансцендентное уравнение проще всего решить графически. 15.8. £, = о ~ • 15-9. 1) 0,1587; 0,0228; 0,00135; 2) 0,3173; 0,0455; 0,0027. 15.10. р ~ 0,089. 15.11. р = 0,25.
15.12.	а) 0,5196; б) 0,1281. 15.13. М [X] = 3 изделия. 15.14. Не менее 30 мк. 15.15. ~ 8,6 км. 15.16. а) 1,25 мм; б) 0,73 мм.
15.17.	а) /'а (х) =---:---------;----------- для х > Ь\ б) Л'6 (х) =
§ 16.	Характеристические функции
16.1.	Е(и) = q-j-реи‘, где <7=1—р. 16.2. Е(и) = JJ (,qk +Pkgiu}'
i ^.1
гДе Pk + Qu = 1- 16-3. E (u) = (q -J- ре"1)"; M [A7] = np; D [A7] = npq.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
541
16.4.	£(«)=---------------—; М[Х]^Й; D[X] = a(l+fl). 16.5. Е (и) =
1 а (1 — г?'")
/ _	п* 2и2\
= ехр{й((?г“ — 1)}; М[Л'] = D[A'] = a. 16.6. £(u) = exp [iux------g-l.
j	ei ub__giua
16.7.	E(u) = ~.-----mk = k'.	16.8. E (u) = -r—-------—; nik==
' ’	1—iu. R	' iu (b — a)
bkJ'-ak''
" (* + 1) (b — a) '
16.9. E (u) = 1 v е~~г" [z—Ф (v)J, где v — и Ф (v) ==
2	/	_ zi rl
--—— I e dz. Произвести интегрирование по частям, а затем р л '
U
12	1/ ЭХ 2
воспользоваться формулами: / е~х sin 2рх dx = '   е~р Ф{/>);
о
I е~рл~ cos qx dx е ip у -^-у (см. И. М. Рыжик и И. С. Град-о
штейн, «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений», Гостех-издат, 1951, стр. 200).
16.10. £(и)==/1-^Г?-;
\ а /	аг
л
16.11. Е(и) =
,iau cos q> __	Перейти к полярным
о
координатам и воспользоваться одним из интегральных представлений функции Бесселя (см. Янке и Эмде, «Таблицы функций», 1959, стр. 239).
16.12. Е (и) — ехр [ixu — а | и|). Путем замены переменных при-
водится к виду Е(и)—-е,л'" —
qIX и
——-dx. Входящий в фор-
теории вычетов, для контуру
мулу интеграл вычисляется с помощью
чего необходимо рассмотреть интеграл по замкнутому
<т С eizu
— J -^2	^2 dz. При положительных и интегрирование
ствляется по замкнутой диаметром полуокружности в полуплоскости, при отрицательных и — по такому же в нижней полуплоскости.
(	.	Ц,2
16.13. Еу(и) = ехр < iu (b их)----п2а2 >; Ех (и) = е
осуще-верхней контуру
я2.»2
2
542
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
16.14.
16.15.
p2ft= о2* (26 — 1)!!; ц2*+1 = 0-
е~х при О при
(закон Коши).
16.16.
Zi(-v) ==
отдель-
( 0 при при Решать с помощью теории вычетов, рассматривая в пости случаи положительных и отрицательных значений х.
16.17.	Р (X — k) = 2_ft, где k = 1, 2, 3, .... Разложить характе-
.	1 1а
ристическую функцию в ряд по степеням -у еш п воспользоваться
аналитическим представлением дельта-функции, приведенным во введении к § 11.
§ 17.	Вычисление полной вероятности и условной плотности вероятности после опыта для гипотез, являющихся возможными значениями непрерывных случайных величин
17.1.	р — г--h 6ntg4-lntg4V ,7-2- Обозначая диа-Z (vo — v|) \	2	2 /
„	,	D(2l—D)
метр круга D и интервал между точками /, получим р = —-- =
= 0,4375.
—ЕЕ_.
2£рКл
1 Г „ / 7, _ X \Т
17.3. р = 0,15.	17.4. р = ^ 1— Ф1	£ I +
.	, (Z-7)2,	- г ,,	-
е"1 £г—е Р £а 1-L —Гф/_----------+ Ф /«0,67.
J 2L L \ Е j \EJJ
17.5. В обоих случаях один и тот же результат р1=р2 = 0,4-
17.6. Р = 1 _ 4. у {1 _д- [®	.. ® у Лг.
-I
17.8. р= 1
128
45л2
«0,712.	17.9. р.=-^—, где
4- -'-'О
rt= J fi (х) fp (х — .го) dx.
— CQ
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
543
Глава III
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 18.	Законы распределения и числовые характеристики систем случайных величии
18.1. /(.г, у) =
F (х, у) = /=\ (л) F2 (у), где
1
(Ь — a) (d — с) О
при а < х < b, c^y^d, вне прямоугольника;
Л1 (х) =
1
х— а b — а
О
при х Ь,
при а < х < b, F2 (у) = при х < л;
1 при у > d, у—с	.	. ,
~с при c^y^d,
О при у -С с.
18.2.	а) А = 20; б) F (х, у) = arctg £ .4.arctg +1).
18.3.	/ (.v, у, z) = abce~t'axJ>'by lrCZ\ 18.4. Треугольник с координа-/ 1 .	abc	. А	/_	1	, abc	А.	/_	„ 1	.abc\
тами вершин: — In—г-, 0, 0 ; 0, = 111 —т-, 0	0, 0, —In-j— .
\ a	fa )	\	b fa )	\ с /о /
18.5.	a) F (г, j) = Р (X < I, Y < j) = Р (X < i — I,	1). Зна-
чения F (г, /) см. в таблице 123.
Таблица 123
£-1	0	I	2	3	4	5	6
0	0,202	0,376	0,489	0,551	0,600	0,623	0,627
1	0,202	0,475	0,652	0,754	0,834	0,877	0,887
2	0,202	0,475	0,683	0,810	0,908	0,964	0,982
3	0,202	0,475	0,683	0,811	0,911	0,971	1,000
б) I —Р(Х<6, Г< 1) = 1 —0,887 = 0,113; в)
М [Г] = 0,504;	I2’610 °'561!.	18.6. F (хъ
1	"	! 0,561 0,5481	1
М [А] = 1,947; л-21 .... х„) =
п	п Х1
= II Fi Ilf fl d^i-
i - 1	i = I - oo
18 7. P =__<1“^______.
/(u, v)+/(v, u)
18.8.	P = f (u, v, w) : [f (u, v, w) 4- f (u, w, v) 4- f (v, u, w)4-4-/O', w, u)A-f(w, u, v)-\-f(w, v, «)].	18.9. P = F (fl[, b3) —
— P(e(, 1>5)4-Р(й2, F (a2, I>3)4-/7 (a3. M—^(«з, b^+F (л4> b.) — Ь^ + Р(а3, bs)~F(a3- b})- 18.10. Р= л“3—a' 6—a-0-j-a~12.
544
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
18.11.
л/?2
4аЬ
при 0 R < Ь,
(л — 2₽ 4-sin 2₽)	при
(л — 2а — 2(3 4- sin 2а 4- sin 2(3) при
b R < а,
а24-62,
„	а
При этом а = arccos -=г
при R У У а2 4- Ь2,	
	3
|j  3 Г С С О о	•	в О. I	3^ к	С л/?3 ’
j 4-1 при	— <0, т
18.13. a) rvy={	fi
—1 при	— > 0; т
п т дратов выражений оу (X—x)yax(Y— у) и оу (X—х)—sx(Y—~у). 18.15. Воспользоваться соотношением kxy = М [ХУ]—ху.
18.14. Рассмотреть математические ожидания ква-
1	—0,5	0,5 "
18.16.	[Т, |1 =
—0,5	1
0,5 —0,5
—0.5
1
18.17.	а) М [X] = а 4-у = 0,5: б) М [У] = а 4- В = 0,45, D [X] = (а 4- у) (₽ 4- 6) = 0,25; D[K] = (а 4- (3) (у-]-&)= 0,2475; Z- = м [ХУ] — М [X] М [У] = а—(а 4-у) (а4-]3) = 0,175.
18.18.	М[Х] = М[У] = 0; р,7|| =
18.19.
= cos х cos у; М [X] = М [У] = -1; || ktj || — || Я
9/ Г /	1	/1
18.20. р =-у- 1 — Т/ 1— ±-+±-arccos ~ . 18.21. nL L т Р 1 I I J
/О, у) =
0
л — 3
? яаЬ X
У [2 (а 4- Ь) — /]. Указание. Воспользоваться формулой Р (Л 4- В) = Р (Л) 4- Р (В) — Р (АВ), где событие Л — пересечение иглой стороны а, событие В — пересечение стороны Ь.
§ 19.	Закон нормального распределения на плоскости и в пространстве. Многомерное нормальное распределение
19.1.	В (х, у) = 1 [1 +ф (^-А)] [1 4-ф
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
545
19.2.
/(х,
2 |(х-26,2
1	3 I 196
--------=- е
182л V 3
(Х-26ИУ + 12) . (уч 12)2 1
182	:	169 J
II 0,132 —0,026 I	о
19.3. а) с = 1,39; б) || kij || = ||	| = в) Яэл = 0,162.
,9Л /(2’ 2)=	= 0'0056°- 19Л /(х'у' г)= 2-^WX
- — (3J.v2 + 36y2 + 262--44.ry +
З6.гг-З8уг>
19.6.
a) II//
I 2 —1	0
—1	2—1
О -1	2
10	0-1
ООО ......
II о о о
/тах	2л/230л
О	0	...	О	II
о	о	...	о	!|
—1	о	...	о	§
2	—1	...	О	2
—1	2	....	I
0	0	...	1	i
= 0,00595.
19.8. Р(Л)=1 — е 2
(=/?2
19.9. Р (*) = Ф (k) — е
19.10. Р (/?) = ₽ Р	dt, где / (х) — фуик-
О
цня Бесселя мнимого аргумента. 19.11. а) Р (X < У ) =-у-;
б) Р (А' <0, У > 0) =- 1. 19.12. Р j j®	® (пй
545
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
X Гф('£-2.\—ф(*_Х\1 = 0,0335.	19.13. а) Ркруг = !—<?-Р2 =
L \ Су /	\ Су /у
- 0,2035; б) Ркв = [ф	= 0,2030; в) Рпрям = Ф	X
ХФ^^-"^ 0,1411.	19.14. Р = 0,5 G —е Р £0.
«2
19.15. Р = -£-
2л
19.16. Л = 4rffe; а=Е,р/1+2£^: р==Егу/'!+^Г-
19.17. Р = Ф
так как а > Ех, р > Ег.
19.18. Рвып = 1—?3— 3<72(1—q)— 3q [(р2 + Р3)2 + 2р2р4]—= 0,379, — pl 4- Зр3 (р3 + р4) + Зр4р5 = 0,007, где р2 = 0.196, р3 = 0,198, р4 = 0,148, р6 = 0,055, q = 0,403.	19.19. Р = [Ф (£)]2.
/?2
• тл
19.20. Р = Ф
б) Р =
19.21. а) Р = 0,5\1~ « г л2)
1 ~р еН 1 — е )
, R"
'ф(_'
\(т 4- п) В
nh \1
(т 4- п) В) J ’
hE
19.23.
19.24.
g, ( У 1г2Е2 + Р2д2
Уh2E2 4- Р2й2
19.22. Р = 0,5 , _ ,	, г.
[ k а / У№Е2 Ц- Р2й2 \ Еа )
25 (%! — IO)2 _|_ 36 (Х1 _ 10) (%2 _ Ю) 4- 36 (х2 — 10)2 = 7484,6.
16(xj—2)24-54+16(х34-2)24-8(х1—2)(х34-2) = 805,1. п
19.25.
lg е
-^-lg(2n)j. Задача не имеет
решений при п > 12.
§ 20.	Законы распределения подсистем непрерывных случайных величин и условные законы распределения
20.1.
f(x. у, z) =
_______________1_____________
(в2 — в1) (Ь2 — bj) (С2	С[)
О
при	6i<y<*2>
Ci < z < с2.
вне параллелепипеда;
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
547
, Ч Th------ГП7-----при 61 < у < 62- «1 < г < «2.
/ (у. z) = | \р2 — 01) (02 — 0,)
I 0	вне прямоугольника;
!1
----— прис1<г<с2>
2	1
О вне интервала. Случайные величины X К, Z независимы.
20.2.	При
2//?2 — у2
n.R2
\x\<R, \y\<R fX^) = -V^R2~2-> /у(У) = rrW = ^[arcSin^ + ^/ l-^J+4-.
/?y(y)=4[arcsini+i/'1-S-]+4: x так как f (x, y) =# fx (x) /y (y).
20.3.
1 --	При 2]/> —л2
/(у|х) = ч 1[&(у4-^) + &(у-/?)] при
и Y зависимы,
I х | < R,
|х| = R,
b (г) — дельта-функция.
при | л| > R,
б)
20.4.
II М =
О
R2
4
X и Y не коррелировгны.
внутри квадрата,
вне квадрата. Внутри квадрата:
/у (У) = й 2- У * 1 = в) /(у|х) =
= -,7^1 о, /(v|y) = --/^-1—Г) D[xj = D[rj = £, а V 2 — 2|х|	а у 2 — 2|у |	12
~ 0; Д) случайные величины X и Y зависимы, но не коррели-3 (1X1 ________________ ?2\
рованы. 20.6. fz (г) = —1	при | г | < R; f (х, у | z) =
=	г2) пРи И<Д 20.7. й = 4; /х(л) = 2л0-г2 (х>0);
/у(У) = 2у^_у2 (у > 0); f(x\y) = fx(xy, f (у | х) = /у (у);
М [X] = М [Г] =
DH] = D[r] = l--J; йгу = 0.

2
548
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
20.8.	М [X] = J М [X I у] fy (у) rfy; D [X] = f D [X | у] /у (у) dy 4.
4-	(л- — М [X | у]}2 /у (у) dy. 20.9. Так как М [X] = 5, М [Г] = —2,
0г = о, Оу — 2а, г = —0,8, то; а) М[Х|у]=5-у-(у+- 2) .-.-_
= 4,2 — 0,4у, М [Г| л] = — 2 — 0,8 • 2 (л — 5) = 6 — 1.6.т,
о^У^О.бо, aJI|v = l,2a; б)
(У + 2/
8ai ; в) /и>,)
(у+1,6.г-6)2
1	2,88a2
f i v\	1	2o2
(.r+0,4y —4,2/
_ 1 e 0'72tj2 0,6a /2л
20.10.	Л(х)=Л|Л-e (° 4e^ ;/у(у) = Л j/ ~e
Для независимости X н Y необходимо, чтобы было l_____ ft2/л-2 -Uy , у-\
ас 4 \ c b a /	1	<-k	, Л
- д- e	=1. Это условие выполняется при b = 0.
п	. V~ac	.л, ,	3 / 3	1
При этом А = —----------.	20.11. Ь=—---------;	&»« =---
1	л	л	у 18 ’
f (.V I у) = —|=r	И'5у)г. у (у ।	_ _JL_ ^-(.г+3у/.
У Jt	у Jt
125)Д	(у + 30/
.	1	3200	.	1	1800
20.12.	а)(лс) =------; б)/у (у) =---------------------- е
40/2л	30/2л
(,г-149)2
\	£ t 1	1	2048
” /(Л |',>"32ЯГ
(У + 75/
г) ^25)=^Же~1152
20.13.	М[Х|у] = 0,8у4-149; М [Г | л] = 0,45л: — 86,25. г2
20.14.	/ (г) =	- е ; г=М(/?) = -7=.	20.15. fr (г) =
а3 у 2л	у 2л
Г ~~ ('a2'+7>2') , Г Г2 / 1	1	,
/0	где /0 (л) - функция
Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента; (<р) =
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
549
И.16. /<г|Ф)-г(^
г2 ( cos2 ср sin2 сг> \ sin2cp\ 2	' ~)
ь2 )
° L 4 \ a2 b2 J
. , ,	„	. г2 sin О Г f" I cos2 ft cos2 <p .
20.17.	a) /(r, ft. q>) =----------exp-----------------------2-4-
(2л)3'2abc L 2 I a2
cos2 ft sin2 <p sin2 ft J	r2 sin ft Г r2 /sin2 ft .
+	+ —) 1  6) >{r- 7S47 “p I” 7 (~ +
! { 1	! 1 \ COS2 ft J , Г Г2 COS2 ft / 1	1 J
+	+ *2~) ~2 ) j '° L 4 ya2' ~	’
_ з_ sin ft /cos2 ft cos2 <p . cos2 ft sin2® , sin2 ft \ 2
;
3
ч „, . n .	2r2 / cos2 ft cos2 <₽ . cos2 ft sin2 q? ,
B) / (Г I ft. Ф) = -—r- ----------------1------- i. -r
У 2л. \ a2	b2
i r2 / cos2 ft cos2 <p , cos2 ft sin2 ® , sin2ft\"l > exP [- т 1——+“Hl
exp | — cos2 fl cos 2q?	j]
/ I r. ft) =
2018 f (x	1	„ 4(4 -4V.
20-I8. Л„Хг(4. 4)- 2я}/-^
дг- у;
f	\	1	2,j
Л1>У1О1.
5	- 47 [-v2+(y >_ 2)2|
20.19.	/ (x2. у JO; 10) = 4-e 9b 1 v J; M [X, I 0; 10] =0;
M]KJ0; 10] = 2; D [XJ 0; 10] = D[r2|0; 10] = 9.6.
Глава IV
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 21.	Числовые характеристики функций случайных величин
21.1.	21,2, л 21.3. М [О] =4,1 г; D [О] = 0,32 г2.
21.4.	М [ф] = arc t<г 4-—-А. 1 и (1+-^Ь 21.5. — с.и. 21.6. М 1У]=1.
4 J ъ h 21	\ ' h- I л
550
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
21,7,	1,15 м. 21.8. Др 21.9. (п —2)р<?2 (при п>3).
21.10.	М [Я]	21.11. -ЦД-’	21.12.	21.13. >.w.
J 2р	18я	л
21.14.	^р.	21.15. «[1 —(1 ——Y"]-	21.16. л[1 —(1—р)т].
21.17.	Л.-7’[1—s=№[l— 2е~а^-е~а}+е-а^-е~'2а')]‘1
т
21.18.	п[1-(1-^)"г] + £ («-k) k = 0
где Р™ (k) — вероятность того, что после первой серии циклов будут повреждены хотя бы один раз ровно k блоков;
k
рп w =	(-1)'- С‘ [1 -
/ = 0
21.19.	а) «р+2 {(«-2А)р+А[1-(1-Р)2]}р'"(й) + »=о
+ Р,'г (5) [3 - (1 - Р)2 -2(1- р)3] + 2Р,7 (6) [1 - (1 - р)4] + + Р™(7) [l-(l-p)8], где Р (k) — С^рк (1 — р)п ' k для н =
= т = 8; б) 2тр для п > 2т.	21.20. 4“1 n а -Д
+ ^±^4^,	21.21. И1пд+^+^ +
1 ba	b 1 3	1	а	b '
п1 _	_______Г) /,3	п	П
+ ~-r^ + b2+j^-	21-22 2^
ft=l
/	/2
21.23. 0,316 г. 21.24.4; 4г- 21.25. M[Z] = 5a; D[Z] = 100a2 + о 1о
£	f2 / 1	1 \
+ 225i2 — 150aZ>.	21.26. М [Г] = —~=:\ D [У] = —-----.
р У я	р2 \ 2 л/
21.27.	М[Г]=е“г(1_С05й,со8 (х sin by, D [У] =-b[l-P~x(1-cos2Z,,X Xcos (Tsin2i)]—р.	21.28. a) 26,7 лг2; б) 22,0 м2; в) 10 л/2.
21.29.	M[ZJ = 2«	О[/] = а2(з-|)+^(4-л).
21.30.	М [Z] = 5 (/3 — 1); D [Z] = 7600. 21.31. rxv =	"!!
у К(2п —2)11
если п — четное; гХу = 0, если п — нечетное. 21.32. М [Z] = 0;
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
551
2а /1	4 \	\
D[Z] = 2A2o2.	21.33.^-;	21.34. г = а (1 + ^-\;
Ор'в^' /	\
D [/?] = —— 11--------2~) (где е — эксцентриситет).
§ 22. Законы распределения функций случайных величин
22.1.
при
при
а > О,
а < 0.
22.2.	/у (у) = Л (еУ) еУ.
22.3.
Л У) =
1	——
— е 2а°г при z > О, о у 2лаг
О	при z < 0.
22.4.
/у (Д’) =
2р -₽г (4)’
—-т=- е 4 ь ' при у > О, eV л
22.5.
/у (У) =
О	при у < 0.
л	1	2	,
----- при тг < У — arctg е, i лу-2	1  л	&
а	1	2 t
О при У < ~2 или У > агсЧ?е-
22.6.
1
2
Заг»3
О
при 0 < v < а3,
при v < 0 или v > а3.
22.7.	AW = l75_£_r (-со<л<оо).
22.8.
/у (У) =
при IУ I < й> (закон распределения арксинуса).
при | у | > а
1 л Уа2 — у2
О
552
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
22.9.	а) /у (у) =----------------—j-----------2"! б) если а > 0, то
ЗлН 4-(1 — у)2J (1 -У)3
/у (у)=	У а	при У>0, при у < 0;
	л (а Д- у) У"у 0	
если а < 0, то	— У а	при у < 0. при у > 0; ^2"’ я > У
/у (У) = в) /у (У) =	л(а-уу)У~у 0 Т при 1 у 1 0 при | у|	
------1 ду п
22.10.	Для нечетного /г fv(y') =-----У-----rrvi лля четного
лп \а -J- у2'")
I 2а v"	„
AW-j .„(„ + /Н пр" у>0-|	0 при у < 0.
22.11.	а) /у (у) = | у | е у' (— со < у < оо);
( 2уг
б)/у(У) = |	0
22.12.
при у > 0, при у < 0.
I ГД*+1.5)
I /лГ(М-1) /у (У) = |
2А? + 1 COS
у при
при
я
2’

0
22.14.
( 1 при 0 < у < 1, А (У) Q ПрИ у < о или у > 1.
1	2°Z	909
22.16. /г (z) = ——= е , где о" = ох-(-о2. ог У 2л
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
553
22.17. а) Л (г)=J 1 f (х, ) dx- J l/(x,’20dx; б) Д (г)= 6	-со
I Z I
— е~1г'; В) л(г) = —— е '’A'°y ;
2	2ол-оу
СО
22.18. а) /г (г) = J yf (zy, у) dy — j' yf (zy. у) dy; б) /г (г) •= О	-со
2г
~ (1+г2)2 ’
>и-1
2 (закон распреде-
одоу ]Л — г2
ления Стыодента); r) fz (z) = 	---------------, при г = О
л (о2г2 — 2гго..о,, 4-СГ.
дх	4 >	•' •> Л/
Оу
fz (г) = —----сгт (закон распределения Коши).
42+О
г
22.19. a) fr (г) = г I . 1........... [/(.г, fr2 - х2) +
и У г2 — х-
2л
б) /г (Г) =
в) fr (Г) =
f (х, — уУ2 — х2)] dx = г j f(r cos ср. г Sin q>) dtp;
О
2rp2 -^(тУ
-	 e	при 0 < г < со,
Е2
О	при г < 0;
2г	а
при 0 < г С а,
О при г > а или г < 0;
Г) fr(r) = -^e	2°2 /0	, где Zo (г) — бесселева функци!
нулевого порядка от мнимого аргумента;
Д) fr (г) = е аллу
4фу -
22.20. U =
= (X — х) cos а 4- (Y — у) sin а;
V = (X — х) sin а 4- (К — У) cos а;
554
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
tg2а — 2 -2-ж У2 ; а2 = о2х cos2 а-]-о2 sin2 a-}- гахау sin 2a; o2 = Qx	° у
~ a2 sin2 a o2 cos2 a — foxoy sin 2a (o2 + ay = au + Oo)-
22.21.
/a(a)=J 7<2~|a|) ПРИ M<2’
О при | a | >2;
/р (P) = f ~7,п| прн IPK1’
|	0 при | p | > 1.
/2 (1 ~rXy sin 2q>)
t	2('-dv)
22.22.	f (t, <f) =---- — - e '	. При rxy — 0
2л V 1 - r2 y
Ф равномерно распределена в интервале (0, 2л), а случайная величина Т подчиняется закону Рэлея.
22.23.	f (s 11) — плотность вероятности закона нормального рас-—	—	— t2
пределення с параметрами М [S | /] — s0 -j- vot -j- а D [S | /] =
= D [S9] + Z2D [Уо] + 7 D [a] + 2tkSeVo + t2ks,a + t2k^a.
22.24. fy (у)
ция случайной
2 (— j 2	ny2
-----г----уя-1е 2j . Характеристическая функ-
величины А2, если о2 = 1, х j = 0, равна Е (Z) =
= (1—2t) 2. Тогда характеристическая функция случайной Bean-fl
чины U = будет £„(/) = (!—2t) 2, а плотность вероят-/=1
ОО	п
1 р	1	А_ 1 _А
ности f (U) = I elat(\—2f) 2 dt =--------------и 2 е 2
Г (^2 2
Если случайные величины Xj имеют одну и ту же дисперсию о2, ----- t\	.г , , Г Q^U гт
а = то случайная зеличина Г — + 1/	• Поэтому
fy (У) = fu [ф (у)] I Ф' (У) |. где ф (у) =
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
555
22.25. н r"-1 COS"-^! COS«~3(p2 ... COS фл_2 -2^7
Г (f. <Pb Ч>2> • • • фл-l) —	„	е
(2л)~ол 22.26. (п	П	\
S а у.........2 aniyi ।Ai-A = \аи\-
/=1	;=1	/
2л
22.27. / (г, 6) = г2 cos ft J f (г cos 6 cos <f, r cos 6 sin ср, r sin ft) dip. о
§ 23. Характеристические функции систем и функции случайных величин
23.1. Воспользоваться тем, что для независимых случай-
п
1ых величин f (xt, х2, ..хп) = JJ (Л'А).	23.2. Ez (и) =
й = 1
= ..............И...............«)•
23.3. Еу (и) = eiuc f[ Е (aku). Л = 1	й
>3.4. Еу (м)=-(1 — 2/ио*) 2; mr=M [Г'] = 1-3-5 ... (2г — 1) о^. „ill (a+i>)_______________р'чЛ	,
>3.5. Еу (и) = ---------------23.6. Еу (и) = (14- 1и) тг =
= М [/г]=(— 1)гг!	23.7. Еу (и) = Ja (аи), где Ja (х) =
2л
=	[ е‘Х C°S tf — Функция Бесселя первого рода нулевого
о
порядка; fy (у) = j Jo (см) cos иу du- = —р====-.
23.8.
Ex, у («ь «2) = exp р (xui 4- yu2) — -j (а2«? 4- 2oloirulu2 4-23.9.
Exv х2....хп (“г к2........“п) =
п	п	п -1
О2 V 2	2 V
Чщ - "J- Zj ит — аа Zj ити, т = 1	и = 1	m = 1
= exp al
556
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
23.10.
„ .	Г. it (м 4“ 1) п (2л2 4~ D о”!
£у (и) = ехр	--------- 6 '	и2] •
23.11.	М [ (Л2 — о2) (х| — о2)] = 2£22.
23.12.	а) М [A’2.Y2X2] = 8*12*13£23 + 2а2 (*f2 + *23 + 4) + а6;
б)	М [(.Yf - а2) (А'2 - а2) (X2 - а2)] = 8*]2М23-
23.13.	М [Х)АГоХ3] = 0.
23.14.	М [А,А'2А'3Х.1] = А]2А34 + ki3k2i 4- kuk23.
23.15.	Для доказательства воспользоваться разложением характеристической функции
п п
т = 1 1=1
в бесконечный ряд по степеням ut, и2....ип.
23.16.	Для доказательства воспользоваться свойством характеристической функции/: п (и) = Е (ui.......ип) |и _ _и =1[. где
Е (Uj....ы„) — характеристическая функция системы, и формулой
для характеристической функции системы нормальных случайных величин.
23.17.
Е (U1, u2) = (Pleiu's> + q,eiu's^N' (р2е' s' 4- д2е‘	X
X (р3е1 + s> 4- взе‘	(р.е‘и^ 4-
kXy = 2SjS2 (N2p2g2 4- N3p3g3).
§ 24. Композиция законов распределения
24.1.
Л^) =
о
z — Ча
(Ь — а)2
2b~ г
(Ь — а)2
0
при при
при при
Ча,
2а < z ,«, а ~У Ь,
а 4- bt^z < 2b,
z 2b.
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
557
24.2.
Л/) =
1 _
I а 4~ 6 — -г — у 4- г
4 а b
О
при х-\-у	а-\- Ь,
при	х - i- у -f- b — а -С г	х 4~ У	4~ а 4~	6,
при	л- Ц-	У + а — b < z < х + у	+ b—а,
при	ху — а — b < 2	+ У	+	а~	Ь,
при	г -С	л' 4- У — а — Ь.
,	1	Г,», / г— а. — х \	.{г — b — л\1
24.3.	/, (г) =	-- Ф --- — Ф ------------------ ,
Jz ’	2(b — a) L \ ох /	\ ot /\
2	/2
где Ф (г) = j <? 2 М. о
24.4.
Л(4) =
о
(г-За)2
2 (Ь — а)3
(г — За)2 — 3 [г — (6 4- 2а)]2
2 (Ь — а)3	”
(36 —г)2 2(6 —а)3
О
при	z < За,
при	За z < 2а 4~ Ь,
при	2а 4~ b 2 а 4~ 26,
при	а 4- 26 < 2 < 36,
при	2 ЗЬ.
24.5.	Композиция закона нормального распределения с законом равной вероятности имеет плотность вероятности fг (г) =
= — Гф (-------2'г Ч — Ф {—-------------Ц]. Уравняв математнче-
41 L \ Е j ’ Е ,/]
ское ожидание и дисперсию для fz (г) и для плотности вероятностей закона нормального распределения /г (г), получим: fz (г) ~ (г-г)г
1	-о2	—	—	/ Ё2 Р —
=-----— е г . где г = 2х, <тг==1/ 9-7 4-“г- Если х = О,
oz /2л	У	J
то относительная ошибка такой замены в точке г = 0 равна /, (0) - /1 (0)
А % =------rv--------100 % (табл. 124).
Л (О)
558
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Таблица 124
/	Е	ЧЕ	3£	4£
Д?6	— 0,30	— 3,02	— 9,70	— 17,10
24.6.	Л(г) = 1.1+г2(гг_.-с)2-, где c = a + b,	(для
решения использовать характеристические функции случайных ве-2 z
личин X и Y). 24.7. fz (г) = —г	.
'	J * 4 ' itZ ch >
24.8.
24.9.
fz (г) =
^11 ^12 I. , ,	,	> *11 -~=
К21	К22 I
z I	z\
e 3 \1 — e 6 / при О	при
/o[4
/0 (г) — функция Бесселя нулевого порядка; А =
= 2Р [°1 + а2 +	— о|) sin2 а]; &22 = [ij 4- 62
fe12=4^(a2-&2)Sin 2а = *21-
24.12. М И] = — + —— 2; D [Л1 = -(- —iW——iV Pi Рг	Pi\Pi ) P2\Pi )
Fn (х) =	1 —• {(1—Pi) р2 [1— (1—А)”]— (1— P'f) Pi [ 1 — (1— pff} }•
P'2-P\ *	_
24.13. Требуемый запас прочности 0,37^] = 7,4 кг.
24.И.	.) Р = 4- f [1 - $ (24А)] [1 +« (^4±i)] <1,-о
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
559
24.15. Р(ЛД>АВ) = 1
2
1 +Ф
24.16. Л (г)=
= zJ^^re'}z-24-17- ^(^)=
X (1 — 6")]. 24.18. См. таблицу 125.
Таблица 125
ZI	0	1	2	3	4
Р (Z = г,)	1 6	11 24	_1_ 4	1 24	1 12
24.19. Р (Z = т) =	—е“2я. 24.20. Случайная величина Y
имеет биномиальное распределение. 24.21. Рг (и) = Р (Z < п) =
(«=]> 2. •••)
§ 25.	Линеаризация функций случайных величин
25.1.	Еп х 9100 кал. Q
р
25.2.	D [Й] « -7=7
16mZ
2® p® mT pm pm
2°p^lrpl	^nfll rml
pl	ml
25.5.	£s:66,66 m\ £y«38,60M. 25.6. £ «0.52м'сек. 25.7. Для принятых условий функция Vi — — V cos q не может быть линеаризована. 25.8. сгг~23,1 м', оу«14,Зж;(Тг«25 м. 25.9.	= оу«8,66 м\
ог«7,05.«. 25.10. £г« —£=£ 25.11. £Л = 43 м. 25.12. о^Ю-6.
Q + ®
560
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
25.13.	£л« 12,98 м.
25.14.	Срединное отклонение ошибок определения дальности по формуле с использованием данных радиолокационной станции «22.85 м.
25.15.	у « <jp(x)+-i-q/'(x)D[A'J; D [Г] « [<р' (л)]2 D [Л] +
1	-	ab ( ol\ _
+ т [гр" (л)]2 D2 [X].	25.16. М [S] « — ^1 —sin у;
с?Ь2 Го4	_	5	,1
О [S] «	[о2 cos2 у + -ту- (1 + cos2 Y) 4- — о» cos‘у] 
/~ Е2
& 1/ -=-2-sin2 а-ф-£2 cos2 а
25,17	. Г:к =-------- ; х = arc sin ( — sin а
j' а — b2 sin2 а	1a I
25.18	. a) При удержании двух первых членов разложения в ряд Тейлора функции Y = Д будем иметь у«—0,2; D [И«0,16; б) при удержании трех первых членов разложения в ряд Тейлора функции Y — —будем иметь у и— 1,00; D [X] и 1,44.
А
24.19	. а) По точным формулам v = (Зо2 -j- г2); D|lz| = = -^р-[Зо® + 12r2o4-j-Зг4о2]; б) по формулам метода линеаризации и« 1 D [ И]«16л2г4о2.
25.20	. а) При измерении высоты конуса D [И]« 4л2; б) при измерении длины образующей D [ И] «3,57л2.
25.21	. 19,9 мг. 25.22. £д, =	[/ -‘р(£; + 2£^,) + Д-=
= 4,67 см.'сек2. 25.23. D [Z] «
§ 26.	Композиция двумерных и трехмерных нормальных законов распределения с использованием понятия векториальных отклонений
26.1.	Нормальный закон распределения с главными полуосями единичного эллипса а — 48,4 м, b = 12,4 м. наклоненными к векториальному отклонению с, под углами а= 19 40' и 109 10'.
26.2.	При у = 0— вырожденный нормальный закон (векториальное отклонение) j/c2С; = 50 м, При у = 90' — нормальный закон
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
561
распределения с главными полуосями единичного эллипса о = с,= =- 30 м. Ь = с2~М> м, совпадающими с направлениями векториальных отклонений.
26.3. Главные полуоси а =1,2 м, 6=1,1 м наклонены к оси абсцисс под углами 33' и 123'.
26.4. Главные полуоси а = Ь~ 100 м, т. е. суммарное рассеива-
нне круговое.
26.5.	а = 30,8 м, b = 26.0 .и. а = 18Г15'. 26.6. a) а = Ъ = 25 /5 м\ б) а ~ 68,9 м, b = 38,8 м, а = 15 ’.
26.7.	Из системы уравнений для определения сопряженных полудиаметров т и и: т2 4~ п'2 = а2 + Ь-', тп =
п = 15 м и Р = Ф
= 0,556.
26.8.	| т | = 73,2 м, [ п | = 68,1 м, е.= 74X21'.
26.9.	a) f(x, у )= 1,17.10~ 5схр {—7.06Х X IO'2 (0,295 л2 — 0,670ху 4~ 1.31 у2) } ; б) а =126,5 м, 6 = 53,8 м, а = 12’10'. 26.10. а = 880 м, 6 = 257 м, о. = 39X2'.
26.11.	Закон распределения определяется двумя векториальными ошибками БЕ,, sin X (рис. 42): ai = СС, = х-ЦрГ+КГ’
БЕа sin р,
Рис. 42.
вследствие чего
Б~Е«
k'1 = 2р2 sirX (Р7+ЙГ (Sin? ₽1 C0S2 Pl + Sin2 ₽2 Cos2
Б2 E2
622 = о .,  a ,/ Ta X (sin’ Pt + sin’ Pa)’ 2p2 sin4 (pl 4- p2)	11	1
Б2£я
к,- =	(sir,s Pl cos ₽ — sin3 Рг cos₽2).
-9 sill4 (Pt -f- p2)
sin2 pj sin 2(3] — sin'2 p2 sin 2p2
sin2 р, cos 2p। 4- sin2 (V cos 2p2 '
26.12.	a= 18,0 km, 6 = 7,39 km, a = 85336'. < -> < ->
26.13.	К векториальным ошибкам н a2 прибавляется еще
<->	Е\ sin2 р, 4- £2 cos2 р,
векториальная ошибка «3: а3 — --------------;——тгт------------ при
SIH (р] 4- р2/
562
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
«з = ₽0' что дает в точке С единичный эллипс ошибок с главными полуосями а = 41,2 м, b — Yd.7 м, образующими с направлением базы углы 74°20' и 164°20'.
26.14.	£о= 2,1 М'сек, Eq — QS№2 рад.
26.15.	а =156 л, b = 139 м\ главная полуось направлена вдоль курса судна.
26.16.	а = 64,0 м, 1> = с=78,1 м', полуось а направлена вдоль курса судна.
_ (Х-45Г- _ (У—15)2 _ (z + 75)2
26.17.	f(x, у, z) =-----J—— е	60	32	72 .
120 (2л) '2
26.18.
26.19.
Уравнение единичного суммарного эллипсоида
(* —30)2 , у2 г2 2100	1125 ‘ 64 ~
7421
— 2568
— 7597
— 2568
8406
2322
— 7597
2322
9672
fyj I! —
26.20.	р = — 1,47-107; q = — 8,9 • 109; <р = 65345';	= 4106;
ы2 = — 622; «з = —3484; а = 89,3; b = 57,0; с = 19,3; cos (а, х) = = ± 0,6179; cos (а, у) = + 0,3528; cos (а, г) = т 0,7025.
26.21.	Если выбрать (рис. 43) за ось Ох направление В/<2, а за ось Оу — перпендикулярное направление, то с помощью метода линеаризации находим три векториальные ошибки: а-. =	t
У D2 — H2
D,En	________
ai = a; я2 =	, a2 = 0; а3 = у D2 — H2E„, a3 = 90°.
У D\ — H2	2	“
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
563
Отсюда находим:
E~D / £>2cos2a £>2	\
2Р2" \ £>2—№	£>2 —W2 / ’
E2d L>2 sin a cos а 'Ip2"	D\~H2
26.22.	Векториальные ошибки a2 и a3 остаются по величине и направлению такими же, как и в предыдущей задаче. Величина
векториальной ошибки а-, из-за ошибки в дальности Dx и ее направление at = / К'2К2В" определяются по формулам (рис. 44):
at — К2К‘> = £2% cose, sin otx = у sin a,
где

2Dj sin e tg e cos a
У £>2 —	sin2 e
” z 1
D2 sin2 e tg2 e
£>2 — sin2 6
564
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
Глава V
ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ
§ 27.	Энтропия случайных событий и величин
27.1.	Так как = Нг = 1,4 1g 2 — у — 0,2 1g 3 = —0,073 дес. ед. < 0, то для первой урны исход опыта более определенный. 27.2. /> = у.
27.3.	----------------------------" \ ig/i--------"L
3/3	3/3	\	3/3 )	3/3 ]
аопт U	з/з, з/з	I,	з/з\. /,	3/'3\
= 0,297	дес. ед., Н2==--£— 1g -2-----1-------J— 1g 1------£—	-=
4л 4л \ 4л I \ 4л /
= 0,295 дес. ед., т. е. неопределенность практически одинакова.
27.4.	а) Н = — cos2 loga cos2-2- — sin2 ~ loga sin2-2-; б) n = 4.
27.5.	Так как Р (X = k) = р (I — р)к~ то Н [Х\
р 1о8я Р + (1 — Р) 1о8а (1 ~ Р)	1 л
= —-— ———s2-2 С уменьшением р от 1 до 0 энтропия монотонно возрастает от 0 до со.
27.6.	а) II [X] = — п [/? loga р + (1 — р) loga (1 — р) —
- 2 С'пР”1 О - Р)П~т 10йа Сп-. б) И [X] = 1,5 loga 2. т = 1
27.7.	a) loga(d — с); б) loga [п.г /2л7]; в) loga у.
27.8.	II [Х]= loga(0,5/7).	27.9. Н [X [ у] = Ну [X]
= loga (о v /2лг (1 — г2)), Н [ YI л] = Нх [ Г] = loga (оу /2л<? (1 — г2))-где ох и Пу — средние квадратические отклонения, г — коэффициент корреляции между Хи/.
27.10.
II [Х„ Х„ ..., Х„] =
оо оО	I
/'	/*	1 -'ГТГ| 4-. г 1 Y1 ,	,
= / ... /	-	-...—	е	I	тп 7 . a;iX;Xi 1о2л е 4-
J J К(2л)« ИI	21 k I '7 1
— оо—оэ	L i> /
+ loga /(2л)'1 j *|1 rfX] ... dxn = loga / ^)п 1 k I-
где l&l—определитель корреляционной матрицы.
27.11.	Нх [Г] = II [Г] - Н [X] + //у [X].
27.12.	Закон равномерного распределения:
I 1	,
------------- при а х < Ь, /(л)= Ь-а
I 0 при х < а, х > Ь.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
565
27.13.	Закон экспоненциального распределения:
/(х)=| М[А]еХр[	М [Л ]] При г>0’
I	0	при х < 0.
У 2лт2
27.15. Нормальный закон:
/(-V1. *2,
I (2л)"|^| ,.	1 v
Хехр ~2Tk\L
L i.j
й7(л-.-М[.У.])(у.-М{Г.])
27.16. Рч = ^< P2j=^-~- 27-17. loga. Ю50 и loga 30.
., Yn\~H[Xlt X2,
27.18. H{YX, Y2,
*2.......*n)	10ga
где
— определитель Остроградского — Якоби
для преобразова-
ния от (К], Y2, ..., Yn) к (Xlt Х2, .... Х„). 27.19. а) Логарифм абсолютного значения определителя | б) 1.85 дес. ед.
§ 28.	Количество информации
28.1.	а) 5 дв. ед.; б) 5 дв. ед., в) 3 дв. ед.
28.2.	Для числа монет, удовлетворяющего неравенству У ~1 <jV-<3ft, надо k взвешиваний. При 6 = 5 можно найти фальшивую монету, если общее число монет не больше 243.
28.3.	/ = 500 (— 0,51 log2 0,51 — 0,31 log2 0,31 — 0,12 log2 0,12 —
— 0,06 log2 0,06) = 815 дв. ед.
28.4.	Первый опыт дает количество информации IX — HQ — Н{~ = logs N — [k logs & + (27 — k) log2 (M—&)]. a второй опыт У Г-Ну- Н2 ~[k logs k + (N - k) logs (N - £)] - ± [i logs I + + (k — l) logs (* — I) + r logs r 4- (N — k — r) logs (N — k — r)].
28.5.	Минимальное число проверок равно трем, например, в последовательностях № 6, № 5 и № 3. Указание. Определить количество информации, которое дает каждая проверка, и выбрать в качестве первой проверки одну из тех. которым соответствует наибольшее количество информации. Аналогично выбирать номера
566
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
последующих проверок, пока энтропия системы не станет равной нулю. Для расчета количества информации воспользоваться ответом к предыдущей задаче.
2 Р Mi) iog2 р Mi)
28.6.	-~=----------—----------------> гДе Р (а7) = Р М<). если
ZJ Р (ар Г/
j
символу алфавита И,- соответствует символ кода а;. Для кода № 1 /	1,782 поп, .	_	.. ' 1	1,782
с о- - = 0,304 дв. ед./ед. вр. Для кода № 2 -=• == — ОА- — Т 5,85	Т 6,30
= 0,283 дв. ед./ед. вр.
28.7.	Для наиболее эффективного кода символам алфавита, расположенным в порядке убывания их вероятностей, должны соответствовать символы кода, занимающие те же порядковые номера при их расположении в порядке возрастания длительностей, т. е. символам Др Л4, Д3 и Аг должны соответствовать символы кода d, с, b и а. Эффективность такого кода равна
/	1,782
=	= 01391 дв- ед-/ед- вр-
288 ;	! Н	0,81og20,8 + 0,llog20,l+0,llog20,l	о12
^max	l0g23
28.9.	а) См. таблицу 126.
Таблица 126
б) См. таблицу 127.
Буквенные сочетания .............
Таблица 127
АВ
BA ВВ
Вероятности . . .	0,64	0,16	0,16	0,04
Кодовые обозначения 		1	01	001	000
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
567
в) См. таблицу 128.
Таблица 128
Буквенные сочетания	ААА	ААВ	АВА	ВАЛ	АВВ	ВАВ	ВВА	ВВВ
Вероятности . .	0,512	0,128	0,128	0,128	0,032	0,032	0,032	0,008
Кодовые обозначения . . .	1	011	010	001	00011	00010	00001	00000
б)
б)
_	. 0,722 пп
Экономности кодов соответственно равны: а) —j— = 0,722;
1,444	Q0„	2,166 Q
Tgg- = 0,926; в) Ж = 0,992.
28.10. а) Р (1) = 0,8. Р (0) = 0,2,
Р(1) = ттлт =0,615,	Р(0) = 0,385,
v 7	1,56	7
Р (1) =	= 0,528, Р (0) = 0.472, /3 = 1 — 0,9977 = 0,0023.
28.11. 1) См. таблицы 129 и 130.
la = 1 — 0,722 = 0,278;
/б = 1 — 0,962 = 0,038;
в)
Таблица 130
Двухбуквенные сочетания . .	АА	АВ	ВА	АС	СА	ВВ	ВС	СВ	сс
Вероятности .	0,49	0,14	0,14	0,07	0,07	0,04	0,02	0,02	0,01
Кодовые обозначения . .	1	011	010	ООН	0010	0001	00001	000001	000000
2) Экономности кодов соответственно равны 0.890 и 0,993.
3) Избыточности кодов соответственно равны 0,109 и 0,0007.
568
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
28.12	. См. таблицу 131.
Таблица 131
Буквы	Кодовые обозначения	Буквы	Кодовые обозначения	Буквы	Кодовые обозначения	Буквы	Кодовые обозначения
		111	р	01011	Я	001001	X	0000100
О	по	в	01010	ы	001000	Ж	0000011
е, ё	1011	л	01001	3	000111	Ю	0000010
а	1010	к	01000	ь, ъ	000110	ш	00000011
и	1001	м	00111	б	000101	Ц	ооосоою
т	1000	д	00101	г	000100	1Ц	00000001
н	0111	п	001101	ч	000011	3	000000001
с	оно	У	001100	й	0000101	ф	000000000
28.13	. Во спользоваться тем, что кодовое обозначение буквы Aj будет состоять из kj символов.
28.14	. При отсутствии помех количество информации равно энтропии входной схемы сообщений: / = — Р (Л,) log2 Р (Л,)— — Р (А2) log2 Р (Л2) = 1 дв. ед. При наличии помех / = 0,919 дв. ед.; оно уменьшается на величину средней условной энтропии, равной — Р («i) [Р (^i I a,) log2 Р (А, | aj 4- Р (Л2 | a,) log2 Р (Л21 а,)] — — Р («г) [Р (41 | а2) log2 Р (Л, | а2) 4- Р (А21 а2) log2 Р (Л2 | а2)], где
28.15	. При отсутствии помех I = Нх — log2 т; при наличии помех
/= Hi — Н2 = iog2 т 4-р log2Р 4-Q log2 ] •
28.16	. /= log2 m 4- У, У, Р (а,) Р (Л;-| а() log2 Р (Лу| az), где ‘ i
Р (аЛ — — V\р.., Р (А . I а.) =  _ ^'7—.
' " т	у j\ I’ у „
i	ч
Глава VI
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
§ 29.	Закон больших чисел
29.1.	a) P(|V —	>4£)<0,1375; б) P(|V — 7|>3a)<-i.
29.2.	Доказывается так же, как неравенство Чебышева. В ходе доказательства использовать очевидное неравенство / / (х) dx <4
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
569
е?х лf (х) dx, где Q — множество всех х, удовлетворяющих
72 + 1п7
помощью рассуждении, аналогичных доказательству Чебышева, получается цепь неравенств Р(А'>е)<.;
еах dF (еах) < <Г оеМ [<?аЛ'].
условию .г >
29.3. С неравенства
f е',х^ ес
29.4.	Воспользоваться неравенством Чебышева, учтя при этом, что х — т -|- 1, а М [X2] = (т + 1) («4-2) и, следовательно, Р (0 < X < 2 (т 1)) = Р (| X — х\ <. т-у 1) >1 — _ ° Iх!
(т +1)2
29.5.	Обозначая Ха случайное число появлений события А в ре-950
зультате п опытов, имеем Р (| Хп — 500 | < 100) > 1 —	= 0,975.
Следовательно, сказанное в задаче справедливо.
Случайные величины Xk взаимно независимы и имеют оди-математические ожидания xk — 0 и дисперсии D[2Q,] = свидетельствует о выполнении условий теоремы Чебы-
29.6. паковые = 1, что шева.
29.7.
При s < -у, так как в этом случае lim D /г->со п
= lim -4- У k2S = 0.
— П Й
п
29.8. lim D
7 'Ос
= lim Д- In (и!) = п2
п
к = 1
г 1 , < lim —In ->со п2 k
г 1
lim —~
П2
, , ,/-S— 1	1ПИ
-|- In У 2л >= lim --= О, что доказывает применимость зако-
1 п -> со я
на больших чисел.
г п з 1 V3
29.9.	а) Не выполняются, так как lim D — /, п->ъо п
L *=1
[ 1 п
= нт ~7„1} — со- б) выполняются, так как lim D { — V Xk
570
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
= lim — = 0; в) не выполняются, так как lim D П -> ОО И	„ .
re(re-f-l)	1
л " оо 2ге2	2
29.10.	Применим, так как прн Л,-,- < 0 справедливо неравенство п
0<о	•
. й = 1	J
D[^] для всех
( п
где с — верхняя граница
к=\ £ = 1. 2,
ге. Из неравенства следует
п
= 0.
п
л = 1
29.11.	Для доказательства достаточно оценить D У] Хк
п
k = i
1 .
Ls=i
М[№-акак+1 п
значением Ь, получим D — - /г = 1
, где o2 = D[^], a r#> ft+1 =
k + 2 7j rk, k+ i°kak+1
_ ft=1 _
*a) (Xfe+i-, Заменяя все ак их наибольшим
Зге — 2
—— ° • откуда немедленно
п
следует lim D — V Хк п ““
= 0.
L fe=i
29.12.	Применим, так как выполнены условия теоремы Хинчина.
л л
п
29.13. Рассмотрим
DiZJ-0
п2
riiOiOi
А = 1
л л
о, — среднее квадратическое отклонение слу-
чайной величины Х[. Так как г(-7->0 при [Z— j | ->со, то по любому е>0 можно указать такое N, что для всех |Z— у| > N справедливо неравенство |г(-у|<е. Это значит, что в матрице || Г/у ||. насчитывающей п2 элементов, не более Nn элементов превосходит е (их мы заменим единицей), остальные же меньше е. Из сказанного сле-
Л Л
дует неравенство
^.+ _к(п2_№)е = £ +
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
571
N
_]----(1 — г), указывающее на то, что lim D [г„] = 0; это и дока-
п	п ->со
зывает теорему.
29.14.	Закон больших чисел неприменим, так как ряд
— /j -—I------’ определяющий М [Л"/], не является абсолютно схо-
Л2 ** К
/? = 1
дящимся.
§ 30.	Теоремы Муавра — Лапласа и Ляпунова
30.1.	Р ^0,2 < -у < o,4j = 0,97.	30.2. Р (70 < т < 86) = 0,927.
30.3.	а) Р (т > 20) — 0,5; б) Р (т < 28) = 0,9772;
в) Р (14 < т < 26) = 0,8664.
30.4.	В предельном равенстве теоремы Муавра — Лапласа поло-,	1 /~ п
жить о = — а = & у ’ а затем воспользоваться интегральными представлениями функций Ф (х) и Ф (х).
30.5.	Ввиду того, что вероятность события неизвестна, дисперсию числа появлений события следует принять максимальной, т. е. положить pq — 0,25. При этом допущении: а) п и 250 000; б) п = 16 600.
30.6.	В задачах, где верхний предел допустимого числа появлений события равен числу произведенных опытов, Ь оказывается настолько большим, что Ф (b) я 1. При этом допущении п х 108.
30.7.	п х 65. 30.8. р = 0,943. 30.9. 67,5. 1
30.10.	J = J" х2 dx можно рассматривать как начальный момент о
второго порядка случайной величины, равномерно распределенной в интервале [0, 1]; тогда его статистическим аналогом, определяе-п
1	2
мым методом Монте-Карло, будет величина Jn — — V Xk, гда
k = l
— случайные числа из интервала [0,1]. С помощью теоремы Ляпунова находим Р(|/1000— /| < 0,01) =0,71.
п
л
30.11.	п « 1,55  10е. Положить Jn = sin где % к ~~ СЛУ'
*=1
чайные числа из интервала (о, ^-j.
30.12.	1) Так как разность Р (С)—Рп (С) =	— Р (Л)j X
X [1 — Р (В | Л)], то с точки зрения закона больших чисел оба метода приводят к правильным результатам; 2) в первом
572
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
случае потребуется более 9759 опытов, во втором случае — 4590 опытов.
30.13.	1) 3100; 2) 1500.
30.14.	Во всех трех случаях предельная характеристическая
функция равна е 2. 30.15. lim Е («) = е п	‘ tl
Глава VII
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 31.	Общие свойства корреляционных функций и законов распределения случайных функций
31.1.	Обозначая закон распределения второго порядка для случайной функции X (/) через / (х,. х21t2), по определению Кх (t\, t2)
имеем Кх (Zp f f (^i — -ri) (хг — х^ f хг I ^2) dx2.
Применение неравенства Буняковского дает | Кх (Л. ti) I2
J J (-<1— X\Y f (x\. *2 Ир t2)dxi dx2 J* J (x'2 — x2)2 X
X/(-*•]. x'i IЛ» ^2) dxi ^x'i = ar ((,Дл-и2у чт0 эквивалентно первому неравенству. Для доказательства второго неравенства достаточно рассмотреть очевидное соотношение М { | [X (/,)— х (/,)] —
-[Х(О-^(С)Н2}>0.
31.2.	Доказывается аналогично предыдущему.
31.3.	Следует из определения корреляционной функции.
31.4.	Так как X (/) = V Ду ф- с. где с — неслучайная постоянная, ап — число скачков за время t, то D [X (/)] — М [по2] = А/о2.
31.5.	Корреляционная функция Лг(т) равна вероятности того, что за время т произойдет четное число перемен знака, за вычетом вероятности нечетного числа перемен знака, т. е.
31.6.	Так как М [X (/) X (I ф- т)] отлично от 0 только в том случае, когда оба конца интервала т попадают в один единичный интервал, вероятность чего равна 0 при | т ] > 1 и (1—| т|) при |т|<1. то при |т|^1 /\ЛДТ) = (1— j т |) М [X2] = (1 — |т|)Х
ОТВЕТЫ I! РЕШЕНИЯ
573
СО
X f %2 г'й~_1_п е~Л ~ 4~2) 4~ О О—I т |). Следовательно, «	1 \Л “7“ 1)
О
( (Х + 2)(?.+ 1)(1-|т|),	|т|<1,
31.7.	Обозначая ©i = 0 (Z0, O2 = O(Zt4-i), для условного закона распределения 02 имеем / (021 0t = 5°) = /	, где
,,	,,	J (01)
/ (Эр 0з) — нормальный закон распределения системы случайных величин с корреляционной матрицей
/<е<0) Ке(т)
К0 (О (0)
Подставляя данные из условия задачи, получим
Р = I /(0210, =5°)Ж= у [1 — Ф(2,68)] =0,0037.
15
31.8.	Обозначая углы крена в моменты t и t + т через Oj и 02 соответственно, а их закон распределения через f (0,. 02), для условного закона распределения угла крена в момент второго измерения е, f f (Эр^ЭДЖ
получим / (021 — 00 <. 0j < 0О) = —6з~. Иско-/(0р 02) d02
— 9 — оо мая вероятность
31.9.	Обозначая Х,=0(0, Az2 = 0(Z), Х3 = 0 (Z + т0), для корреляционной матрицы системы Х2. Х3 получим

Ке (0) О	(т0)
О	-/<е(0) -/<(т0)
^е(то) —7<е (т0)	К0(0)
574
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
что после подстановки чисел дает
36 О 36е-°-5
О
36 (0.252 +1.572) О
36с? "°-5 О
36
Определяя по закону распределения / (xv х2, х3) условный закон распределения
J / (х„ х2, х3) dx2
f (*з1 = 2, x2 > 0) = 	------------------------
f f f (.Xx, x2. x3) dx2 dx3
— coO
для искомой вероятности, получим ю
Р = f f (х3 [ xt = 2, х2 > 0) dx3 = 0,958.
31.10. у (t) = а (0 х (t) + b (0; Л'у (Л. t2) = (Q a (t2) Кх (fIt t2).
31.11. f{x)dx = J* J fa (a) fQ (0) da dQ\
cos0 < x+dx
31.12.	Вероятность того, что интервал Т будет заключен между т и т 4- dr, равна вероятности того, что в интервале (0, т) будет п точек, а в интервале (т, г 4- dr) — одна точка. Так как по условию
эти события независимы, то Р (т Г < т 4~ dr) =	, е dr,
и!
31.13. /(«)
15,8 V2л
и2
498
§ 32.	Линейные операции над случайными функциями
32.1.	Так как Кх (г) не имеет разрыва при т = 0, то
(1 —а| т |).
32.2.	Ху (т) = а (а24-[32)е"а!т 1 (cos 0т—sin 0 1 г | j, О[Г(0]=Ку(0) = а(а24-₽2).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
575
32.3.	Пользуясь определением корреляционной функции связи, получим R . (т) = М j [X* (0 — **]	(L+ Т) 1 =
JCJC	\	tZ *	I
= ~ м {[X* (0 - Л*] [X (t + т) -1]} = А кх (т).
32.4.	Так как любая производная Кх (т) непрерывна в нуле, то X (t) дифференцируема любое число раз.
(1'2	(1^
32.5.	Два раза, так как -j^Kx (t) |т=0 и — ^(T)|t=0 суще-d5
ствуют, Кх (т) терпит разрыв в нуле. 32.6. Существует только
d2
первая производная, так как -^g-X.rCO существует при т=0, d3
а Кх (г) терпит разрыв в этой точке.
32.7.	Я. (т)=«У(т-/0)Г“|т''"1.	32.8. 0{У(0] = а2,
D [Z (0) = а\?х. 32.9. Ху (т) = 2ц2а2Л-аЧг (1 — 2а2г).
32.10.	Закон распределения f (v) нормальный с дисперсией о2 = а (а2	₽2) и v = 0, Р — 0,3085.
32.11.	г (г1) = х (t) -]- у (t); Хг (Х> X) = Хх (X-X) 4-Ху X) 4* 4~ ХЛ-у (ti, t2) 4- RyX (tv t2).
32.12.	x(t) = 2 *i (0; ХДХ- X) = 2 x^. (4. 94-
7=1	J=1	'
z=i /=1 1 1
d2	d4
32.13.	Ху (г) = Xr (т) + Кх (t) 4- Kx (t).
32.14.	Kz (т) = o^-a ,г|р4-а|т|4~ а2т2 4-
9(1.2	\
4—5— (a2T2 — a I т j — 1)4- “o' fa2*2 — 5« I т 1 4-3) >. О	О	J
6 ^2
32.15.	Так как Xy (X- X) = J” J” Xx (<2 — ^i) Лг то> полагая о о
— f2 = ft переходя к новым переменным интегрирования и выполняя t
одно интегрирование, получим D	(Л /) = 2 J"
о
576
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
32.16.	Рештя задачу аналогично предыдущей, после преобразо-^2
вания двойного интеграла получим Кх (Л- ^з) = J" (t2-y)Ky (т) </т+ 0
Л
+ J (*I— T)Ky(T)rfT — J (t2 — t\ — t) /<у (t) Л.
о	о
32.17.	Rxy (/„ t2) = f Kx (/,.	32.18. D [Y (20)] = 1360 cm2.
0
_	t
32.19.	y(t) = aox (/) + « ^-+&> I
6
к	. I „ Г dKx (fl’ , M<X (ff h) I ;
о у (rr f z) —	Vv C2) + a0al [ --------------------1---------------j +
r2 d'2Kx(fl’
1 dt} 0t2
tn
/•>
-?-Z2 d-
./e
0
./
-0
J Lo
о 0
32.20.	Ryz (Л, t2) = ас ~.Kx^’	-f- ad ~ x 4.
dt2	dt2
dtx dt.2	dtx dt22
32.21.	Так как дисперсия D [0 (Z)] мала, то sin 0 ~ 0, D [W (£)] = t
= 2g2 1“ (t — t) Kq (t) dx —	— 0 — e'	< 410 после П°Д"
о
становии числовых величин дает а. = 1,86 м;сек.
32.22.	Используя определение корреляционной функции как математического ожидания произведения отклонений ординат случайной функции и формулы для моментов нормальных случайных величин, получим Кх(х) = a2K^v\x)-[-Ь2Кв (т) -|-2с2Ку (т) — 2аЬКд(х).
32.23.	Кт (т) = 2а2K2q (т) + 2Ь2К2 (т) - с2 Кв (т) /<ф (т).
32.24.	Ку (т) = e'a’’2 [1 4- 2а2 (1 — 2а2т2)].
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
577
32.25.	R_ry (т) = —у аа2е “1 т 1 (1 4- а) х | — а2т2).
32.26.	Ку (tv t2) = а* (^) а (72) Кх (х) + (^) b (t2)	+
ь [а* (7,) b (t2) + b* (7>) а О -ДД-.
32.27.	Не существует. 32.28. а) Стационарна; б) не стационарна.
32.29.	о2 = 6,5 • Ю8ст2 [О,If — 0,2 + 0,1 cos (2,48 • 10“3/) —
-8,Osin (2,48- Ю-30]. При t= 1 час. ffy ~ 1,5 км.
СО
32.30.	D [а (0] ~ a{t\ D [₽ (0] « bxt\ а{ = J [\cos Лх 4-2) X о
, 1 .9	. ,	, ч , ,2 COS А.Т	,	/ч*1,
< — k arc sin k . (т) 4- kn----arc sin k . (т) dx\
pi	ф v 7 1 2 q	ev/J’
\ = ~	[(cos?^+2)7/e2arc sinft^W+^^^y^arcsinft^T)] dx.
. (т)ий.(т) — нормированные корреляционные функции Т (/) ф	и
32.31.	D [Z (<)] = J J exp {a2 (xj 4- x2) 4- ~ [3<f (x0 4-0 0
? Зф (T2) — Ф (т2 — Ti)} Kx (T2 — Tj) dxx dx2, где
т
Ф (Т) = 2 J (т — Xj) Ку (Xi) dTj. о
§ 33.	Задачи о выбросах
1
33.1. та= Юл [1 — Ф (1)] е2 =16,45 сек. 33.2. D [V (/)] = = 0,25 см2/сек2.
33.3. Число выбросов снизу вверх за уровень а — 25° равно числу выбросов сверху вниз за уровень <Zj =--—25°; следовательно, а1
искомое
число
выбросов 27" 2^-]Лх2 4-₽2 е 26 = 11,9
раза.
33.4.	Л  а0,9 [ 1 — Ф f ~ 9,91 сек. 33.5. Начиная с i =
‘1,5 L \ 5 /J
^(^л2/?2 —а2) .
37 Б. Г. Володин и др.
578
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
33.6.	Задача сводится к определению числа выбросов случайной функции к (£) за уровни 1/ вверх и — Т/ -^2. (вниз).
f ti	т к
Ответ: -i- /a2 p2 e 2ka .
33.7.	Так как радиус кривизны R равен , то чувствительный элемент будет доходить до упора, когда т (/) выйдет за пре-
«у	1	,
делы полосы ±~п~, что дает в единицу времени —ya24~ps X Rq	Л
I	V2 }	,
X ехр J------7-5---57—7 I сек-1.
I 2а(а2 + ₽2И/
( а' 1
33.8.	При й>54,5 м. 33.9. Q = expl — ^-е 2Ь |.
33.10.	Обозначив плотность вероятности системы нормальных величин X (t), X (t) и X (t) через f (х, xit х2), для искомой плотности вероятности получим
о
J f (х, 0, х2) dx2
. , .	—со
f (Х) = -------------------------------
j" f f (х’ O’ x^ ^X Xi dx
Учитывая, что корреляционная матрица системы имеет вид
кио) о
о -Кх(0)
КИ°) 0
после интегрирования получим /(х) =
1 г । ф
33.11. f(x)
1
-==Г в
2of2
33.12.	Искомое число равно числу выбросов (в обе стороны) за нулевой уровень; следовательно,
X 1 / D 1^(01
л И D[X(0] л
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
579
33.13. о о	___
_ ______1____ [* Г ф / ^55 V^3^4 + ^35^3 +	\ 1
8л2 /лгл? J L \ Кайт /
Аз Кг3г4 —Л35г3 —Л45г4
г3^4 X
X ехР 2Д^ ^ззгз~УА44£4 + 2Л34г3г4
(A^3 + A5A)2n dZi dz ^35 J J
где
Д1 = kuk22 k212, Д2 =
Ajl (./,/ = 3,4,5)
— алгебраические дополнения определителя Д2, а кц приведены в ответе к задаче 33.14.
33.14.	п равно плотности вероятности р перемены знаков у А и су вблизи точки с координатами х, у, определяемой формулой
, , I <9g (х, у) dt, (х 4- dx, у) п
р dx dy = Р —2-4—12- > 0;	ъ А--------3-2- < 0;
Г J \ дх	дх
% (х У) 0.	(х, уdy) Л _
ду ’ ду	) '
= р(о<^ У).<_!%(-*/) dx.
\ дх	дх2
л <% (*. У) . _	[х, у) \
ду	ду2 У)'
Вероятность р dx dy может быть вычислена, если учесть, что К (£, т)) c>g ag <э2? d2z однозначно определяет закон распределения	т—
Выполнив вычисления, получим:
где
—	^2	1 I ^34 (г 4 ^34 \
п = р = —т—7 '	1 4--= V + arctg —7=
4л2j/A^ [	]/Л2	]Л\2/
А — ^11^22	^12’ А — ^33^44	^34>
йп = I I (ир и2) <о2 rftO] da>2;
к22 = I I 5^ (Ир <о2) <о2 da>i d&2,
580
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
9 9 и2)
'Cdj, Cd2) COj Adj Ad,;
®1> ®г) ®2	^®2’>
о)], и2) oijWj Adj da>.2;
>fc2
®i> ®г) ®1и2 ^®i ^®2>
S& (ир ш2) o)jtt>2 dwj Ао2.
§ 34.	Спектральное разложение стационарных случайных функций
34.1.	/< (т) = 2а	34.2, К (т) = 2с2 (2 cos шот — 1)
34.3.	Обозначив J (а, о) =
— i(i)T 1
dx = . „ , имеем л (и2-|-а2)
с , .	, dJ	2а а3
S (и) = J — a = — . „ , 
' '	da	л (и2 4-
34.4. S (о) =
/ . и \ 2 о2 ( S,n 2 \ 2л I и I
\ 2 J
о4 = О ,.й _ «21 ю2 + а2 + Р2 _ •	л (и24-а24-р2)2 — 4р2и2 —
__ аа2 и24-а2 + Р2 _______________ аа2 и2-|-«2 + ₽2
л (и2 — а2 — Р2)24-4а2и2 л (о24-«2 — Р2)24-4а2(52‘
34 6 S(Ml-2g2 «(«2 + Р2)	_
л (И2_|_а2 + р2)2_4р2и2 ~
2g2________а (а2 4- р2)	= 2g2 а (а2 + р2)
л (о2 — а2 — р2)24-4а2и2 л (и24-«2 — Р2)2 -f-4a2p2 ’
, ч о2 16д3и4
34.7.	Решая задачу аналогично 34.3, получим S (и) — — (№2'^|_a2^4 •
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
581
34.8.	S (®) = п[(а2 + ц2 + р2)2_4р2ю2] • 34-9- производные, так п
1	1 V1 aJaj
как Sx (и) с ростом о убывает, как —ц. 34.10. S (й) = — 7,-5----s.
®	-^й2 + а;
;=1 }
34.11.	dS.^ = —--------------22Ct^2u 1 л 2R212 И₽2 («2 + ₽2) —
dffl л [(о2 —а2 — р2)2 4-4а2р2]2 1 1 '	11 '
— (а2-|-₽2 + й2)2}. Следовательно, при и = 0 всегда будет экстремум. Если при й = 0 выражение в фигурных скобках отрицательно, то знак производной в этой точке меняется с плюса на минус; в этой точке будет максимум, и других максимумов не может быть. Таким образом, условием отсутствия максимумов, кроме нулевой точки, будет а2 > Зр2. При а2 = Зр2 S (и) —	_|_4рг ’ т- е> $ (®)
тоже имеет только один максимум в начале координат. Таким образом, если а2 > Зр2, то имеется один максимум в начале; если а2 < Зр2, то в начале будет минимум и появятся два максимума
4	__________________
в точках и = ± й2, и, = jCa2 р2 ]/2 /р2 — /а2 + р2 .
34.12.	Так как S • (и) = -	, то D [X (/)] =
х (coz + a2)2
со
(О2
34.13.	Так как Sx (и) =---------а е 4“2, а R • (т) =
2a у л
etotSA-(®)rfffl-ToS^(®)=z®s^(®)=“T7=e 4“2=—sb(®)--CO	'
34.14.	Так как /<д (т) = ае~а^ т I [А2 (1 -|- а | т |) + a2^ (1—«1 т|)]> то преобразование Фурье дает
34.15.	(т) -К, (т + т0) = f	(о) dK S„ (о) =
= eiax°Sx (и).
34.16.	Sxy (и) = (/й)* е‘“То [S„ (и) + Svu (и)].
34.17.	Так как Kz (т) = Kx (т) К-у (т) = аха2 (a2 + р2) (а2 + р2) X х е_(а‘+а2)| х ^cos Р,т — sin р! |т| Wcos p2t — -^-sinp21 т 11, то
\	Pl	J \	P2	/
582
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
•X (го) = а
обращение по Фурье дает
a cos у' 4- (®—₽') sin у' a cos у' 4~ (©4" РЭ sin У' । (a —P')24-d2	(«4- ₽')2 + «2	+
, а cosy"-U (го—р") sin у" a cos у" (© 4” Pz/) sin У" )
(о— Р")24-а2	(® + ₽//)24-а2 Г
где а = а14-а2, ₽'= Pi + ₽2, P"=Pi — Р2> y' = Yi+Y2, y" = Yi~ Уг.
<4	а2 _ «i^PiPl
gY1 Pl ’	p2 ’ a ~ 4л COS3 cos3 y2 '
34.18.	Так как Kz (т) = Kx (т) Ky (т) 4- x2Ky (т) + y2Kx (t), to о Z y. 	«1«2 («1 4-«г)	1	-^2tt2«2 I y2fl|al
г л [or 4- (<4 4- a2)2] л (го2+ «2)	л(<л>24-а2)
34.19.	Так как /<д (т) = 1<^ (т) Kq (т), то преобразование Фурье дает
„ .	aia2 fa cosy' — (и—р') sin у'
Д W 4Я cos cos у21 (го — р')2 4” о2
а cos у' — (a— Р') sin у' , а cos у" — (©— р") sin у" (<о4-р')24-а2	1 (го — р")2 4- а2
а cos у" — (a — Р") sin у" )
(®4-Р")2 + «2 Г
где а = cq 4~ «2» Р' — Pi + р2' P'z = Pi — ₽2> У' — Yi 4" Y2’ У" = Yi—Y2’ ,	«11	«2
'^’ = -рГ- ‘^’2 = -рГ-
00
34.20.	Применяя общую формулу Sy(a) — 2 § (и — ©i)2 X
X (® — ®i) ®iSx (®j) rffflj и результаты задачи 34.17, получим „ 2й2ар< (1	4 (d2 4- р2)	)	d
л cos2 у (<о2 4-4d2 ' (о2 4-4а2 — 4Р2)2 4-16а2Р2 J ’ gY р'
с / ч 4ad /а . х2 \
34.21.	«S v (о)------| “2—j—~j—2 4“ —9—i 9* 1 *
у v 1 л \(о2 4- 4а2 1 со2 4- а2 /
34.22.	Sy (ю) = и2 U2« /2л <?-4а2 4- ахе~2и / .
34.23.	5Д (го) = 5ф (а) 4- cos4 q f Зф (го — И1) S0 (Ю1)	4-
4- -j- sin2 2q
S0(ro —ro1)Se(ro1)fifroJ4- y	(ro—<4) Зф (©4 A»! ,
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
583
где S(| (и) = Sj (и), S0 (со) = S2 (со), (со) = S3 (со); S у. (со) = 2йуИу	а у -J- р у
= ——ттт---------------------7=1. 2, 3, а все интегралы мо-
я (у + а2 + ₽2)2 — 4₽JCO2
гут быть вычислены в конечном виде, однако ввиду громоздкости окончательного результата в данном случае предпочтительней прибегнуть к численным методам интегрирования.
34.24.	Так как К (т) = 2К2 (т) + 4x2Kv (т), то S (со) =
,4	о
4ох а _ о^а
= —ю2 + 4а2 +4л5я(оУ + ,Р) ”меет один максимум при со = 0.
„	1 — сиг —
34.25. Sj (со) = — --------—-
1 ’ л [_ со2
I 1 Г1 гс(п —1)г~1 ла2 (ЗаТ' L ' 2л J
п-’Г А
4 л J ’
, где а2 =
2 л а2 То2 л
Г. . п(п —1)Г1	„	4л2	2(й,+й2)
+ 2л ]’ Т й,Ри2 ’ а у > a /о сила фототока, возникающего при попадании в просвет диафрагмы одного отверстия.
§ 35.	Вычисление вероятностных характеристик случайных функций на выходе динамических систем
35.1.	Y (t) — стационарная функция; следовательно, Sy (со) =
~	ц2~’ что после обратного преобразования Фурье дает
35.2.	Так как Y (t) стационарна, то, находя математические ожи--	-	~ bi — „
дания ооеих частей уравнения, получаем у = —- х. Для спектраль-нои плотности имеем
что после интегрирования в бесконечных пределах дает D [У (^)] =* _ 4 ai^oa + flo^
(1q<2 । CL\ (2qC(
4 co2rS. (co) + c2co2S0 (w)l
35.3.	=	V_„V+W.,. ’ Г“ 4(“> =
_	2a1a1 (a2 + ₽2)	______2o2a2 (a2 -ф- p|)
- л[(со2-₽?-а?)2 + 4«Я ' ° ' л [(co2 - p2 - a2)2 + 4a2co2j '
584
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
35.4.	Так как по условию задачи я (!) можно считать стацио-
е2 со2 + е2
нарной, то Sa (со) =
Su (со), где Su (со) получена в задаче 35.3.
Интегрируя Sa (со) в бесконечных пределах с помощью вычетов,
получим о2 = 2,13 -10 6 рад1, оа= 1,46-10 3 рад.
__ _ с .	2о2а (а2	₽2)	д	I,
35.5.	Sv(co) =—г—5----„	„ ,т.где обозначено: а=й,
> ' л [(со2 — а2 — Р)24~4а2со2]
Р=у£2 — Л2, о2 — Т -. Применение обратного преобразования
Фурье к Sy (со) дает /<у (т) = о2е~а 1 т 1 ^cos рт 4--|- sin р'| т | j. 2<^а(а2-Н2)
35.6.	Se (со) = л [(щ2 _ а2 _ р2)2 + 4с&2со2] ;
Kq (t) = Oge"a 1 T 1 (cos + у Sin p | т I ),
где <У2в=~, «=|у, P^^-K4^-/-2.
MJ. dy((0)- n(w2+1)2(w2+4) (w2 + 9) •
35.8.	He может, так как корни характеристического уравнения имеют положительные вещественные части и, следовательно, система. описываемая уравнением, неустойчива.
cOqS^. (со) 35.9. Так как (t) стационарна, то Sf (со) = -j-5--------л-гт,
с | — со 4“ 2ftzco —р- cOq j аа (а2	р2) со4
D [Sc (0] = Г(₽1 - Р)2 + («1 - а)2] [(₽> + Р)2 + («с - «)2] X Х X [(Р1 — Р)2 + («1 + а)2] [(Pi р)2 -j- (а] 4- я)2] f (—Pi 4" Р2“Р" я2 4" ai)2 +4 (а'Р) — 2а2рр 4" ai—2я2яр4"а1Р2) , х|	а1(«?4-Р?)	+
(_ р2 4- ₽2 4- а2 4- а2)2 4- 4 (а2р2 - 2а2р2 4- а4 - 2а?а2 4- а2₽2) 1 а(а24-Р2)	J’
dj = h, Pt = /со2 — h2 .
35.10.	Обозначив со0 = п, д = 3-10-4^2, получим D [е.(0] = = D[gc(Z)], где D [gc (/)] указана в ответе к задаче 35.9. Подставляя числовые данные, получим D [е (/)] = 0,06513; ag = 0,255.
35.11.	Формула является следствием общей формулы, данной во введении.
35.12.	Положив ®0 = k, получим D [0 (/)] = D l£c (1)], где D (£)] дана в ответе к задаче 35.9.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
585
35.13.	Svv (со) = -т-	,
5	>	— со2)— 2hi<ii
RyAx) = k* f -ЛНю) .. J (k2— co2) — ‘2hia
35.14.	Независимые частные интегралы однородного уравнения e~l, e~7t, весовая функция />(Z)=g-(e~<— e~7t) > , 1	,	12,25
X { 1 + Ф [j/2- (ат--v)] | 4- 7?+ 4аг { 1 -ф [к2 (ат +	-
,	12,25
>.15. D [Г (Z) - Z (0] = D [Z (0] + f f X (т.) р (т2) - о
X Кх (тг — Т[) dti dx2— 2 Re j p* (т) Rxz (т) dx, где знак минус в о-
нижних пределах интегрирования обозначает, что точка 0 включена в область интегрирования.
at. Г 2« 4- а	1
35.16.	D [Г (0] = , , < t2 + 0 2 , , ч (1 -2а0 .
1 ' а (а 4- a) L 2<z2 (а 4- а)	' J
35.17.	а = const, значение которой можно принять равным нулю, выбрав соответствующим образом начало отсчета; D [а (7)] =
о2,Р2 (	w\2 Чо^Р2 Г
= 4Н1 + 7/ P+~lkl (t-x)Kw{r)dx.
b
35.18.	Заменяя X (t) спектральным разложением, получим спек-
тральное разложение для Yl (t) = j' _____а2 _j_ 2hi® 4- k2 (e~g<+<ffl<4~
—(<a4~<ao)~i~(g—c-(h-ia2tt 1 —(«0—a)—(й—K}i	.
2co^	2a~0	J
где coo=Kk2—h'2. Отсюда следует (<v t2) = J“	X
x к-а(Л + у + гсо(6-Л)_|_2_е-Л(Л-/2'!ГГ/(0_с,) \2_|_(а_Л)2Ь-сао(/2-б)_|_
I	4cog	114	7
586
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4~[(со + ®0)2 + (а — A)2]	4- [®2 — (со — ai 4- Аг)2] с?'Я) (/‘+4) 4.
+ [со2 - (со + az - hi)2] ₽-‘><6+^] + -J— е-<а+1«»^Мг |(ю _ +
4-ai — hi) e~la^ 4- (—со — ®0 4- ai — Ai) 4-JCOq
X [(® — ®о — аг' + Ai) eIK>0<1 + (— ® — ®о — ai 4- Ai) е~(а»6] что после подстановки выражения Sx (а) и интегрирования с помощью вычетов дает окончательный результат в конечном виде rz .х _2 f [ela-0)/1-Afia-^]k-(a+a)^4-zW2a-zV2] , ду, 41-r2) — °.vtt [	a[(a24-A2 —2Aa + a2)2 — 4a2 (A — a)2]-	+
,	+ (ip — y) — X,] [eW-M2(i₽—Y)—X2]\
+	2Y₽[(₽2-Y24-a2)4-2i₽Y](₽4-zY)	J’
_/p. sin Bi.	-ht-l	h — a Y
Mj — e 1—£—> Nj—e 1 cos(5i;4-------5—sin pZy 1, /=1,2;
P	X	P	/
Y = I h — a I, ₽ = ®0.
an 4(^^2a2)(
35.19.	KyG., /2) = ^-е	|[Ф(Л-а)+Ф(а)]Х
X [Ф (fz + «) + Ф (t\ + «)]
4 f -H~a)2
-7= e 2	Ф(М-а)^
у 2л v

35.20.	7 =	(-1 4- e 1 );/<y(4, i2) =
olA2/2S	P2
2 /a2 4- 2a2	J
a1 (a24-4a2) t2
2(a2+2a2)
СфГ(^+2«2±22°Ч1+фг..	. 11 л
I l Иаг+2«2 J LlWso’IJ
t
35.21.	y(t) = y04-1J x (I) Idl = 1 4- (y0-1); Ky (4, t2) =
= T77 f f * ',ч - TT7 { « -'»)+-S7 <4 - 4) +
’ f? 2	2 \
--- “b —2~ Hr —г / , a 1 a2	ad /
X
,	/ ^2	2	2 \	, 1 1
^a/,+U+^^+de Jr
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
587
35.22.	у (0 = |	Л7Л(0<7 + f Р	/Су (0,0) =
к, j=l	о
п	(?
= ’да" -^]'т-^1кУт 01) X (^^/гЧ- J Р (9 1) Р (fy 9 X k, J, I, т-1	0 0
ХКг (й> 11) ^6 ^’1' гДе X (0> • • •> Уп (0 — независимые частные интегралы соответствующего однородного уравнения,
У1(0)	у2(0)	...у„(0)
д= /(0)	Уг(О)	...^(0)
#'!’(0) у^-'Чо)... /"-^(О)
a A;i — алгебраические дополнения этого определителя. J	t
35.23.	Так как решение системы дает Y2 (/) = —2 J*	.
о
-	X (0) dtx + 2 [Г2 (0) - Yt (0)] е~‘ + [2Y} (0) - Y2 (0)] e~2t<
а Кх(г) = 2<?-1-т1 то D [Г2 (/)] == 4 [-?-+ (1 - 2С) <?~2< 4-+ (4z — 7г) e~3t + e~4t] + (2Х-г"9 D [Г2 (0)]+(2е~2/—2е“02Х у о У /	J
х D [rt (0)] 4- 2 (2z?-^ — z?-29 (2^?“2i — 2^-9 ^,1(0) Уг{Оу D[H2(0,5)] = = 0,624.
35.24.	D [Г, (/)] = 4 e-4t + -I (- /2 + 4/ - e~3t +
+(т'г-2‘+4)''г'+(9’-|‘+и): DOTWI-X'-- A (3/2 - 6/ + 14) e~3t + (2/2 - 4i + 1) e~2t + (| ^ ~ ^ + §) •
35.25. D [Г, (0,5)1 = 0,01078; D [Y2 (0,5)] = 0,00150.
35.26. Так как Y (t) и Z (/) по условию можно считать стацио-
лЬ2 (со2+а2) (»2 +±
нарными, то 0 9 9	2
а аотхо	асх
е	х	Sz(?) =------------Х--------р-,
Лб2 (й2 + а2) (®2'+-£г)
9	9
<гао^. что после интегрирования дает D [Y(/)] = р  D [Z (/)] =
ab 4 1 ’	—
35.27.	Нормальный закон с параметрами у = 0,	— 0,78.
588
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
35.28. Sx(®) = ^-
?Si (®)+	/,®i5-	(®i)Scp(®~
~c	'c
.2
®? (® — ®i)2 5ф (® — 5ф (И1)	+
+ 4 I (® —(И —®j)S^ («!)</©! +
2
’45ф(®)+ У (® — ®1)4Дф(® — ®j) Se (®0 d®j+
+ 4 у" (и —®1)2Scp(® — ®j) ®?Se (®j) d®! 4-
-®1) Se(ffll) d®j
Sy (®) —	®2 [5 (®) + p'
<5 L

35.29. Для нахождения асимметрии и эксцесса нужно определить моменты Y (t) до четвертого включительно. При вычислении этих моментов необходимо определить математические ожидания: М[Х^)ХЦ^], М [№ (Л) № (t2) Х^ (/,)] и М [X2 (i,) X? (i2) X X X2 (i3) X2 (i4)j, для определения которых нужно взять производные соответствующих порядков от характеристической функции системы нормальных случайных величин. Например,
Г 2	]
k.M.U.	,
d4
M (fl) № O = —2-y du[ du^
exp
ul = u2 = 0
где || A,71|—корреляционная матрица системы случайных величин X(i,). JX^), X (t2), X (t >).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
589
М р2 (4) X2 (/2)] = ЧК2Х (i2 - 4) + К2Х (О);
М [X2 (4) X2 (4) X2 (73)] = 7<з (0) + 27<; (72 - (,) Кх (0) + + 2К; (4 - h) Кх (0) + 2К? (73 - 4) Кх (0) 4-4" 8/(v (4 — 7^ кх (is — 4) Кх (4 — 4);
М \Х2 (4) X2 (72) X2 (/3) X2 (74)] = Кх (0) + 2К2 (0) [к2 (t3 - 74) + + Кх (^2— ^4) 4* Кх (/2 — 4)4* Кх (f3 — i2) 4* Кх (/4 — 4) -J-+ к2х (?з - Л)]+4 [к2 (4 - 4) к2 (4 - 4) + 4* Кх (4 — 4) Кх (4 — 72) 4* Кх (4 — 4) К2 (4 — 4)] -ф--Ь *КХ (О) [7( v (4 — 4) кх (4 — 4) Кх (К — Ю 4* 4- Кх (4 — 4) Кх (4 — 4) Кх (4 — 4) 4* 4- Кх (4 — 4) Кх (4 — 4) Кх (4 — 4) 4" 4- Kx(ts — h) Кх (is — 4) Kx(is — 4)] 4-4~ 16 [/<4 (4 — 4) Кх (4 — 4) Кх (is — it) Кх (is — 4) 4* 4- Кх (is — 4) Кх (4 — 4) Кх (4 — 4) Кх (4 — 4) 4~ 4- Кх (4 — 4) Кх (4 — 4) Кх (is — 4) Кх (is — 4)]-
Подставляя полученные выражения в общие формулы для моментов решения дифференциального уравнения, гГолучим
Sk = тхх- ^‘2k ^ + ‘2аУ’ Ex = з Г	-11 •
z	L (^ + а) (Зй 4-2ct) J
35.30.	При т ;> 0 будем иметь
й2
,2 ,,2
-h2X “Г "27	ш2‘ — 1Ш2—Ш1—V'l И* "2; J Sin®2T
К®2 — ®i)2 4- (^i 4- ^г)2] [(®2 4- ®02 4- (Л14- hs)2] ’ при т <0 будет

®1
2®; (/ij 4- h‘i) cos ®jT 4* [(®2 — ®i) 4* (Л1 + ^)2] sin ®iT I(®2 — ®i)2 4- (h\ + M2] I(®2 4- ®1)2 + (^1 4- hs)2}
®, = У~к2, — h2,, ®2 — Уk22 — h2v 1 *1	1 1 4.  4	4
§ 36.	Оптимальные динамические системы
36.1.	Определяя Кх (г) как корреляционную функцию суммы связанных случайных функций и применяя к полученному равенству обратное преобразование Фурье, получим Sx (а) — Su (®) 4-	(®) 4-
4- ^uv (®) 4“ ^uv ^К)' 36’2'	= гй)
•[(1 + l) + iw.'l !-.Э = (®?) 7 ‘6'9£ \-0_ э = И) 7 ‘8'9£
Ow -j- «) u4l + [S(I;/ + w) — [w — zwj .	U1 + ш
StJ
'sd — Л H~ »£l Ay\ — u
да_Л5_ = г0)э]а smr	J u
s0 + -J + + »fl yl /[ = ,w
‘sd + + *, <1 А/ = ш
sl'j
(!wz — lw + ro) Qin —
ui — w — <o
'w — ? [ (4/ + w) ? — w]
in + ш —
(’wz — xui + m) (xwz — ’w — o) ’wz — [(4/ + w) ? + wd)
—:-----------------:--------------о--------,----;----------j s—_ =
г/г — ш 4- о	in -f- ш J zm  1
T9£
W [(®) a"s + (®) anS + (®) aS + (®) ”?] sl (®?) 7 I J —
— юр (m) ns s| (®?) N I J = [(?) 3] Q
•9-96
•gWgg + gdgg Л у = P 4~ ggyt = 3 , (pi — m) (p 4- ») ,э	, v
svJ •—i=--------------; ,. T- . — = (ro?) 7 -s-9e
(fl? — ®) (0 + ») s»
____g? + gp _ г»г<? + gtlg»
g? +	_
Is» —gdl 9»
’i + g^ + g’i Л Д U -ri — гл. + g-ri Д Д ~Ш
StfJ
, (Г/ । s	I 'oi 4- in 4- ш \,
U(w? + Ш “ W) ^-3	+	+ W) +
+ (w?4-ю + m)	э	(w; _ w)]	-
х^ип+и) 4-щ — ui)  J g(d?~w)g(»?—®)
- iro,g(gd + g®) ®} A” + ^^..+ dg(j4-g®)gf = (w/) 7 .F9g
’0 = l(?) з] а 4га/ -зю! = (®z) 7 '£'9£
ВИНЗШЗс! И I413S1O
обе
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
591
#	( Г	/ а \	1
36.10, L (/со) = —-j со |_cos ₽т —	---j sin ₽тJ
4- i [(2f> — a) sin рт — a cos fir] |;
ла2 f (а24~2р2) -2Вг Г о /т «\ . о I2
D [е (т)] = у	~ е ₽t cos ₽т — 11 — sin ₽т —
->^[cos₽T + (l-^)sin₽T]2}.
... . a2 (а 4~ P) -аг и— гр	, . ,, ,,
36.11.	L (га) = ,; ' *4- е ------— , где с2 = а24-63, d2 =
v '	c2(d4-a) о — id	1
= 7Г<а2₽а + ^«2)-
36.12.
L - Х'+юР+и -('STsk‘" <" -	ф)} •
где
а2 = 1 (аа2 + ра2), z>2 = _L^.(pa2+ao2), с2 =
я V а 1 1 v' а2 я и 1	я
36.13.	L (го) — е at (cos ат 4- sin ат -|-1 sin ат).
36.14.	L (га) = 2р	[₽-г (а-у)] (а-р_/а) +
4-	Л1Т° [₽ 4- г (а — у)] (а 4- ₽ — га)); D [е (/)] = [л24- л2(а24- р2)]о^— — 2а2п2л 1 А |2 — Ini(j^-^-)], где а2 = ~ а (а2 4-р2) 4 Л = -^-е~(а~'|3)т°(Р4-г’а — г’У)’ Y = -~-
36.15.	Искомая величина характеризуется средней квадратической ошибкой оптимальной динамической системы, равной соответ-
6a
ственно 1,67; 0,738; 0,0627 м/сек.	у г(й+^аТ+ ^Т2У
36.16.	D [е (i)J = 4o2a2d, где d —--i---у---, у = аТ,
4 4-4Y4-Y2_|___ Y3
что дает для оЕ значения 1,62; 0,829; 0,0846 м/сек.
С с? 21 с, I2
36.17. D [е (i)] = о2 (а2 + р2) - -Л U 4-
1	о2 а
X[₽£>'— (сс4-«г>)(. где а2 = —2-^-.;	k2 =
, 2ci
Р24-(а4-а0)2 2о|а(а24-р2) _
ь2 — л2 а й2- с____________________—________________'
1 W, 4- (аг, + а1)(а.04-р1)[р24-(аг,-а)2Г
592
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2	(Р 4” id -|- idj) (р -|- id -f- f'Pi) (f> ~F— ^v)
«5 = «г-₽!+4+/

— e~iaT
4)2-(«2+₽2)2-feK
36.18. L (Zco) = З^ГГ-2- 7 _h_ + У + -------------±2----
v '	4a3	[ a y-zui (a4-/'»)2 zco co*
V \ ,	_ M I _ (m — fa)2 v
(ay-Zw)2/ ' Zco co2J J 4a3	*
x I3ap - Y 4- 2aA, - A2 - Zco (P -f- A,)] -	X
X Iе aT (a (P + Y^) + Y] + 2« (A] 4- h2T) 4- A2 ~b tto [(P X yT) e иГ —
+ Р4+А2Г)]}, где A! ----- ~Й~У-------J-A2 = - 0,015202 сек.-* 1-
“p* di	z
4 |~a2p2 — «P+Y+
a _ L	2
—I------------------------------= — 0,0112 сек. *, Ц1 = 1,
~ a3?3 + a2?2 + 4aT X 4
".2 —
М2 = To, ₽ = (1 + “To) e aTo, y = ae aT°; D [e (Z)] = a2 |j X A44 4-4~ ^2^2 — (2“P — 2y 4~ «Ai — A2)-(y 4- M] = 0,4525.
36.19. Общая формула для L (Zco) та же, что и в предыдущей задаче, но 14=0; )i2 = 1; Р = — a2r0^ - “То; у — — и?е~ах°', А] = 4,58 • 10-3; А2 = — 2,54 • IO-4; D [с (Z)] = о3 ja24-А2ц2-— у (2a₽ — 2y4-«^i — ?“2)~4‘Г (Y + м] = 0,0110 сек.-2.
36.20. Z (т) = б (т); D [г (Z)] = 0.
36.21. Для первой системы L (Zco) = [(со2 4~ а2 — ₽2)2 4~ 4«2₽2] X Ч/ I ^1 _ ^2 |	^-3 Н~ г'^4		^3 -г~^-4 _р~^аТ Г ^1 4~	^2 I
1 Zco со2 2 (Q — со) + 2 (8 + со)	[ Zco со2 '
+тпй)-«'“+иг]} -1«‘ - <»'+Р) - 2».] X х [2а (А] 4- А4) — А2 — А3Й — z (Ai 4- Х4) со] — e~iaT [со2 — (а2 4- ₽2) X X 2Zaco] [2а (А[ + А2 Д + А3 sin Q.T 4- X cos Q.T) 4- А2 4- cos — — A4Q sinQ? 4"гш (А[ + А2У X А3 sin ЙГ X А4 cos ЙГ)], где постоянные Ар А2, А3 и А4 определяются системой:
А, X ЮА2Х 0,1244А2 Х 0,9903А4 = 0,000578,
Aj X 13,4034А2 Х0,1728А3 Х0,9620А4 = 0,
А! — 0,8752А2 X 0,1657А3 X 0,9837А4 = 0,
Ai + 10,1831А2 X 0,1236А3 X 0,9889А4 = 0,000584,
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
593
которая имеет решение: Xj= —0,0018; Л2 = 0,000011; Л3 = — 0,0106; Л4 = 0,0036. Дисперсия для оптимальной системы первого типа D [е (0]= 0,135 • 10-4. Для второй системы вид L (zco) сохраняется тем же, но Aj = ?ь2 = 0, а ?,3 и Л4 определяются из системы
Л3 + 5,937а4 = 0,
/..3 + 8,ооз;.4 = 0,0047,
что дает Х3 = — 0,0136; Х4 = 0,0023. Дисперсия для этой системы D [е (0] =0,266-10"4.
36.22	. й = <ГаТ2; D [е(0] = (1
36.23	. а = г'ат (cos ₽т 4- j- sin ; b = i е~ах sinfSr; D [е (/)]= = о2 [1 — е~'<ах (1 4-2-^-sin0тcos 0т Д-2~ sin2
L	\ Р	р / J
36.24	. а =	D [е (/)] = о2 ( 1----g~2aTl1
+ <	\ аи + <
36.25	. а = — °'2	sin Rt, = — 0,09721 £ек."1;
b = е~ах'' |cos р-г0 —2- sin 0То) = 0,9736; с = 0; D [е (/)] = = 0,404 град2/сек2.
36.26	. а = г~ат“ (cos р-Го-}--sin ₽т0^ =0,99; Ь = £~ат<)з!п[5т0 = = 0,20 сек.; с = 0.
§ 37.	Метод огибающих
37.1.
Ка (т) = о2 [2Е (1 - q2) - ?2К (1 - q2) -1],
где q2 =
= 1 — k2 (г) - г2 (т); k (т) = е а 1 х I; г (т) = Г d(i> = JV fJ	'JJ “ 1Л
0
= — te~aT El (ar)—eax Ei (—ar)]; Ei (x) — обозначение интеграль-л
Г еи
ной показательной функции. Ei (х) — / — du. 37.2. Так как
. о 2ci^	2ci	п //?ч
S „(со) = 07.-—Г—.---ггу, то (0t =-------,	(02 = «-	Р(Ф>0) =
х V 7 х Л (О)2 4- CZ2)2	1 л
= 1 (1 +	= 0,818; Р (ф < 0) = -Ц1 — Ф = 0,182, они не зави-
2 \ л/	7	2 \ л/
сят от а.
594
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
37.3.
P(O>0) = ifl-|-
Р(Ф<0) = 1
37.4.
1-^’/а’+1,,(т+а'с‘е
P = 0,5 и не зависит от i.
2
а2
/(Т} = -г77---277~—7---------4>' 37Л фазарас-
2Цф-~)
пределена равномерно в интервале [0, 2л].
/ 2 । й2\Г, о? 4-р2 /л , р2
. (а Н- Р ) 1 tt2R2 I 9 arc S 1
37.7. /(ср) =
37.5.
2
а2 + Р2 лр
+ (а2 + Р2)[1-
37.8. / (а, а) =
а
\2 1	6	2
а2 + р2
2X2
а2
1 2а2г
......ехр
1—А л2
37.9. Так как k (т) =	1 т 1 (1 + а | т [), k (2) = 0,982,
Г(2)=2 f л (со2 + a2)2 sin 2ю	[1 ~°;2 Ei (0,2)—0,8 Ei (-0,2)] =
о = 0,122, то
•3
аат.
а2
48,08a	Г	24,04a2
f (a21 aj = av) = —-— exp ।------------y—
cd	I at
37.10. Так как А2 = <о| — со2 — (a2	1----- 	(-5- 4~
л2р2 \ 2
-4-arctg -oC~'l 1 = 0,0089, — == 0,0135<<//1, то пригодна прибли-zap ) J	g>2
4 4ол • 10”^
женная формула /(т) к ———-------------
Т2 _ 0,693 Г + 8,9 • 10-у
0,041л
23,2
37.11. /(т) = — т2
Искомое
37.12.
s/2 ’
среднее число выбросов равно вероятности
выбросу
произойти = 0,083а сек.”1.
в единицу времени р =2
2л
2	9
(Он-- 0),
-е~2 =
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
595
37.13.	0,0424а сек.-* 37.14.	/ (ф21 Ф1) =	1
г'(1	[у + arcsin |	’ где ?2 = 1 —	(т)	— г2 (т);
л2Р 7 л ,	, Р2— а2 \~1	.
r = -tf+Fb + arc§~wH = 4,53 сек': Нт) = -°,95;
г (т) =2 f	sin ат dx’ — ?2 cos (Ф2 — Y);
0
у = 179°; D [X (Z-}-t)] я M [А2] M [cos2®] —{M [Л] M [cos ф]}2; 2п	2л
M[cos®]=J" /(ф21ч>1)созф2йф2; M[cos2®]=J* / (<р21Ф1) cos2 <p2^?>2-о	о
37.15.	/?Л.у (т) = 2о2 Sx (a) sin ат da = о
2а (а2	Р2)	7*	sin ат
~ л ./ (а2 —р24-а2)2+4а2В2 da' о
Глава VIII
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
§ 38.	Цепи Маркова
38.1.	Следует из равенства <?а+$ =	38.2. р (3) = R'p(Q),
где /? =	= \\ги гг = гп = г22 = г33 = а| + а^ + а| +
+ 6а;а2а3; г2 = г12 = г31 = г23 = 3 (а2а2 -f- а2а3 а;а|); г3 = г13 = = г21 = Ий = 3 (а1а| 4- а2а3 + а2а2); р (3) = { ^а^- г3р + г2у; г2а + + Г1Р + г3у; r3a + r2₽4-riY}.
38.3.	Состояния: Qj — все встречи выиграны, Q2 — имеется один ничейный исход, Q3 — спортсмен выбыл из соревнований. По формуле Перрона 4”'= Л1’= Т’й = °> Лз)==1> Pn) = a"> Р22 = y"> ^’=1-Yn,
nPa” 1 при у = а.
38.4.	Состояния: (?!—прибор исправен, Q2 — вышло из строя блокирующее устройство, Q3 — прибор не работает; р‘$ — р^ —
596
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
= № = 0, р’/р = (1 - а - ₽)", Р%> = (1 - У)", № = 1. № = 1 --(1-Y)", P^’ = l-pff-Pi'P,
on f V-------jr [(1 — а —₽)'г — (1 — у)"] при а-Н=£у.
(	ла (1—у)”-1	при а-[--fi = у.
38.5.	Состояние Qj —	1, 2, 3) — в соревнованиях участ-
вуют у членов команды. При i < k р<!$ = 0 (/, k — 0,1, 2,3), р$ — 1, P(n’ = a". Р$- Р". Р^-=Чп, Р($=\-ап, № =
Р$ = * 1 — P$ — P("i< Р{22 = У1/ (Р> У), Рз"’ = У?/ (а> У)+Р1У1Ф (а, Р, У), Р$ = 1 — Раз — Рз" ' — Рз"’> гдс f (а> *) =	= паП -1’
пап 1 ап — у”
<р (а, а, у) -= -------— —---------,
' а — у (а — у)2
<р (а, а, а) = л (п — 1) а"-2.
38.6. Воспользоваться формулой Перрона при простых характе-т
ристических числах Z. = р. (/г — О, r	Rrky
При i > k Akl (Z) = 0, Akk (Z) =
I Zg — ^ | Dkl (Z) k
1,..., m). |Zg —c^|= JJ(Z—pv).
При k > 1 AM (P) =
*~Pk
II(Z~Pv)
V=4
38.7. Воспользоваться формулой Перрона, когда характеристическое число Z = р имеет кратность т, а характеристическое число
Л = 1 простое. | Zg — | = (Z — p)m (Z — 1); A,n, m (Z) = '
=	(^ = 0. 1...m-l).	При i>PA^(X) = 0,
Ami (^-) = 2"'	При k > i, k m Akl (I) =
(Z— P)	(Z —1)
|Zg-^|O^(Z)
(Z—P)*"^1
38.8. Состояние Qj — после извлечения в урне останется /белых s>i-jr,m~i + j
i
шаров. При j>t рij = 'A, при z>y Pt.=------------ Характе-
Czv
Cm
ристические числа Zo = 1, Kk =—N~	(P=l, 2, ..., m) простые.
Cyy
Транспонированная матрица <SP' — верхняя треугольная; вероят
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
597
ности определяются с помощью формул из условия задачи 38.6. При N = 6, т = 3 р$ = р$ = р^ = р$ = р^ = р$ = 0, р$ = 1, P\ni = — ’ Р22=~^’ Раз = ~^п ’ Pw = 1 ~ ^7- Рю — 1 —	+
+ 4г>	+ Р^ =
_3(_L_А  _L\ р(»)_зМ________________L\
\2п	5« "Г 20" ) ’ 1л ~ к 5"	20я / ’
38.9.	Состояние Qy— наибольшее число выбитых очков равно
N + J', Рц = -~< Pij^^ ПРИ z>7; Pij^-^ ПРИ «<7 (см. пример 38.1);
/’'т = (/“р p'ik = ° при z > k> Ри = (4)" - ПРИ ; <k-38.10. Состояние Оу— на участке длины L осталось j цилиндров (/ = 0, 1, .... т). Вероятность столкновения шара с цилиндром 2(г+Я)	.	,	.	„
равна ja, где а = ——; pj: J_l = ja,	pfl=O
при г =/= у и г =г= /—1 (г, j = 0, 1.т).	Характеристические числа
= 1 — ka {k = 0, 1, ..., т), р^ — 0 при I < k. При
. и i\ 1 / F ___eJ5 I
Aki (Л) =	f --------!--. По формуле Перрона при
JJ (7. — 1 + va) v = fe т
Л" (Л — Лу)
П^—1+х’а) - v = fe
/I у (~1)У~* О—/<»)"
~ kl Zi —	—
j=k
38.11.	Состояние Qy (/=1,2, находятся в j частях области D', p..
-U = X .
l-k
= С* % (—l)v СУ_к [1 - (*+ V) af.
v=0
т)— поставленные точки
L D =i_i
т '	1> 7+1 т
Характеристические числа Лг=— (г = 1, 2........т).	Из &H~HJ
Сг-у
следует h^—	(Л]*=1), а из — JH~ 1 и Н~ {Н = &
следует = (— 1)Г~! Сг~< С^.	=	р($ = 0 при
k-i
i>k, а при I < k pW = V	Crk_i (другое
г=0
решение — см. задачу 38.10).
598
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2Л1
38.12.	Положить е, = е т . Тогда Н= ЦЛ/^11 =	,
= i l|e-(ft-1)(y-1)H.	^ = H\\bjk^\\H-\ где
^ = 2a^r-1)(ft-1) (^ = 1. 2, .... и). =
r=l	r=l
(у, k = l, 2, .... m).
1 m
38.13.	Состояние Q. — частица находится в точке х.; р. .	,
i	i гI, г-i т
p.t г+1 = 1—— (/ = 0, 1 т). Матричное равенство Н~х& = = ||5.	эквивалентно уравнениям (1 — |2) R• (£) =
= т 0ч -1) R-t © (Z = 0. 1.....т), где Rt © = J ^h\~k l> =
Л = 0
уМ;)
= С[ (1 — g) 2	' (1 -|- 2	. Так как Rt (£) — многочлен, то
2/
характеристические числа Л/ = 1 — — (г = 0, 1,..., т). Из НН~Х = g
следует V = 2	= 2 hURj Полагая £ = т~Е|, Q = 2 2,
»=о	;=о	1 1 £
для определения элементов = матриц Н = Н~х получим выражения
2 hifiJ = 2 A'j’V =2~“(1-S)Z (1	(' = 0, 1...т).
j = 0	7 = 0
Вероятности являются элементами матрицы
II/ 91 \п II
=	^[/7.
38.14. Состояние Qj — в приемнике автомата j монет по 5 коп.; Роо=^ Ртт = Р’ Ppj+l^P’	и = °- 1....т> ХаРак-
теристические числа: А.о = 1, Ки = 2 V~pq cos —-r-y (A = l, 2,..., т).
, где йУо=1 (у=0,1...т),	hjk
jka sm —г т-р I
/ + 1
2	. (J - 1 ) kn	/ • Л	I	Д1П
sin —--rAj—	(7	= 0,	k = 1, 2. m)t
m -f-1	’
Г * . k
Sin-A----
m + 1
h(-V-C (P-Y n0k “ ° 11 n I
(k = 0, 1.....т),
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
599
£-1
sin ---	(/=1,2.m; k = 0, 1,	,m). Постоян-
m
ные Cj определяются из условия H~XH = g: Со =---
1 +
„	_ , i	\ q I
Ck = —1-2/^cos—(Й = 1, 2, .... m), /^’ =
R m + 1 L	m+lJ	’
m
l-'i 2 W/
= 2	<z- fe = °- ь ••• m\
j=o
38.15.	Состояние Qi —попадание в мишень, Q2— промах; pn = a, P21 = P. Pi (0) = j (a 4- P), p2 (0) = 1 — 1 (a + P), {jc-j (n); p2 (n)} = = (cT1')" {Pi (0); Рг (0)}- Характеристические числа: X, = 1, X2 = a — p. По формуле Лагранжа — Сильвестра при Л.2=#1	__a р
X [^ - (a - Р) g - (а - Р)" (с?5 - g)], Рх (п) = 2(1.Д + |,у [2р + 4- (1 — а — р) (а — Р)я+1]- Если Х2 = 1, то &п — g, р, (n) = -i.
т	т
38.16.	Из =1-2 PijP^ j=i	i=i
дует, что р^ = — (/ = 1, 2, ..., т).
., т) сле-
38.17. Состояние Qj — в первой урне / белых шаров;
2/ (т — j)	(т — jyl	/2 .. „ .
рл/+1= -^F-’ ^,/-1 = 4^^ = 011........т}-
Цепь неприводимая и непериодическая, рО^ = р^\ Из системы pV = P^iPk-i, k + P^Pkk + Pk°+iPk+i, k(k = 0- 1........m) ПОЛУ"
m
чается P^ = Ш	= 2	= C^’	=
(rky	Pq
(fe = o, 1, .... m).
38.18.	Состояние Qj — частица находится в середине /-го интервала деления отрезка; рп = q, Р,пт = р. Pjtj+1 = P> Pj^^^Q (/= 1, 2,..., т). Цепь неприводимая и непериодическая. Вероятности р^ находятся из системы
др^ +др^ =/’<Г).
РРт-1 +РР[т} =Рт}>
РРГЛ +	= Р^ (^ = 2. 3... т	- 1).
600
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Тогда	р^\ У,Р{^ = \- При p = q pM = -L
\ Ц '	лВа	н1
k=\
а при Р Ф q р(^ =------г-3—	(6 = 1,2.....т).
ности р<£°> можно также получить из р^ при п -> сю дачу 38.14).
38.19.	Цепь неприводимая и непериодическая. Из ОО	со
Вероят-
(см. за-
снете мы
,. . „ .	1 V г‘
ир ==it 0 = 1, 2,...)следует, что «. = — «(, щ = 2,гд-гИ( =
V f т V 1	1
L	U{' Так как руур = 1, то ненулевое решение
i=i	t=i
существует. При этом | uj I = Mi — = ul(e — 1) < сю. т. е. ;=i	7=1
11 1
цепь эргодическая, рхр = — р^°\ —= е — 1, р(р =-------jy-y
(/ = 1,2,...).
38.20.	Цепь неприводимая и непериодическая. Из системы
У и^.. = и. (/=1,2,...) следует, что щ = q У иг, и} = щр1 1
гг	V, . V 1-1
При этом | Uj | — Uj р}	= —“ < со; поэтому цепь эргоди-
;=1 ;=1
ческая; р^ — р^^р^, P^ — q, т. е. р^ = qp^x (7=1' 2, ...).
38.21.	Цепь неприводимая и непериодическая. Из системы
2, ...) следует.что =2^~1у (7 = 2, 3, ...).
1 = 1
Ряд 2l«yl = «i
J=1	L 7=2
расходится, т. е.
цепь не
эргодическая. Это нуль-регулярная цепь, для которой
„(оо) Pik
(г, 6=1, 2. ...).
38.22. Состояние Qj — частица находится в точке с координатой Л (7 = 1, 2, ...); pn = 1 — a, pJt.+1 = a, pJ+b у = ₽, p}j = = 1—а — р (7=1, 2, ...). Цепь неприводимая и непериодическая.
= 0
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
601
Из системы У и^. — и,. следует, что	и, (Л=1,2,...).
При j < 1 ряд | ик\ = fe = i
ская; = (i)	р^\
X р /
---!— < со, поэтому цепь
1—д
n(jo) — 1  £. т е	„,со' —
Pl — 1	р ’ т- е-	Pk
эргодиче-
нуль-регу-
X 11 — ~ | (k = 1, 2, ...). Когда — > 1, цепь Маркова \ Р /	Р
лярная; р{^ == 0 (у, й = 1, 2, ...).
38.23. Так как Ц7'= О, то Ptj= У, =1 (/ = s -j- 1, v = i
s + 2.....m).
38.24. Из системы />*/ = а У, p*v + (5 (j = r 1, r -f- 2, ..tn) v = r +1
получается Pst]= , _^—_ry (j = r+^ r + 2..............m).
33.25. Состояние Qj — у игрока А имеется j рублей (j ~ = 0. 1, .... tn)\ /,00=l. Pmm==L Pp;^P- Ppj-i-Ч <1 -= 1, 2....m— 1). Вероятности p*j — pffl разорения игрока A
определяются из системы
Pt.i = P»lP + 4, P,.m-i = РР*т-Ъ P,t^qP»j-i + PPtj + \ (j = ‘2. 3, .... m -2).
Положив ptj — a— b > находим: при p q ptJ- ~
= I /ру,г~ ’ a при p = q PtJ = 1 {J ~ *’ 2................ m
Вероятности разорения игрока В p^j (В) = 1 — р*] (Л). Другое решение задачи получается из выражения для р($ при п->со (см. пример 38.2). 2л <
38.26. //== || Л;7; || =	где е. = е "г . Тогда <^Н =
=	где /.f-t'1'1 (*=1, 2........т).	Так как j А.* | = 1, то
период и = т. И~ 1 = Д- 'fc_1*||. р^ = Д е(',-1К'»+У-*)> v=i
602
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
т. е. Рд = 1, если п 4-/ — k делится на т, и p(fy = 0 в противном случае (/, й=1, 2..т). р(р1п+г'> = 1, если гj—k делится
на т, и	= O в противном случае (r = 0, 1, .... т — 1).
т — 1
Pj*^ ’i" ^р№+г!= 7Г (•/’ *=1- 2.........
*	Л->со
г=0
1 ап U II
38.27. ^"=0	Л"|; |7.£-^| = (Л-а)(Л’-1), X, = 1.
2 л i
?.2 = а, Л3 = с, ?.4 = а2, где с = е 3 . Период х = 3. При J, k = = 2, 3, 4 Рд = 1, если п + /— k делится на 3, и р^ — О в противном случае. По формуле Перрона
(«) _ _1_ _ а" (а2р + аб + у) , е" 1 (Ре2 + бе + у) _
12	3	1—а3 ‘ (а — е) (1 — с)2
е2"'1 (ре4 -f- de2 -f- у) 3 (а — с2)
(л) = JL _ а” («2У 4- аР 4- б) I еп~1(уе2 + ре4-д) _
Р13	3	1 —а3 -г (а —е)(1—е)2
е2«-1 (уе4_|_ре2_|_ у)
3 (а — е2)
<П) _ _1 _ «" (а26 4- «У 4- Р) | е"~ 1 (де24-уе4- р) _
Pii	3	1—а3 -Г" (а — е)(1— е)2
е2л 1 (бе4 4- уе2 4- Р) 3 (а — е2)
=4 х» +р^+1'+
— 1 — г/2__ „<Л)_ „(")
— 1— а —Р12—Рц,
РЛ=0 (/=1,2,3, 4),	= ~ (й = 2, 3, 4; /=1,2,3, 4).
38.28.	Цепь неприводимая и периодическая с периодом х = 2. Первая группа — состояния с нечетными номерами, вторая — с четными. Тогда Jim p^ = Pk> а ,im — если /4*^ — чет-
ное число, и lim = а Нт = pk, если /4-й—не-п оо J	п •> со J
четное
= _L 2w
число. Средние предельные абсолютные вероятности рк = (й = 1, 2.....2т)	определяются с помощью равенства
^'Р-Р, Pk=^Pii-
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
603
38.29.	Состояние Qj— частица находится в точке xj (J — 0, 1........."О! Р01 = I- Рт, = 1. Р}, 7+1 = Р’ Ph j.i = 9 (/= I, 2,...
т—1). Цепь неприводимая и периодическая с периодом -л = 2; 9Р1=Ро> Ро“Ь 4Pi = Pl< РРт-2~\~ Рт= Рт-1> РРт-1 — Рт.’ PPk-\~\~
1
+ 9A-+I = Л (А = 1. 2, .... от — 1). При р q р9 = у -л“ГлГ >
1-1-1 \q)
, _Р	1 Р
1 (р\т~'1 q -	1 (p\k	q ,. , 0
Pm~2\q) l_(P\m,Pk 2Pw)	Й== ’2”"
.... m — 1). При p = q Pi—Pm = 2~> Рц = ^ (* = 1’ 2- • • • .... от —1).
§ 39. Марковские процессы
с дискретным числом состояний
39.1.	Рп (t) = e~tpt
39.2.	[(Л1+^2)
v	п!
t
39.3.	Pn(t) =	где л (0 = Л J [1 — P(x)]dx;
О
_	со
рп— lim Pn(t) — ^7 е~и . где Т= С [1 — Р (х)] dx— матема-t -> со	J
О
тпческое ожидание времени полета электрона.
ЗМР-/ 7^-
39.5. Fn (t) =
Л(0 =
л-1	.
i-V	если /->0
1	। в I Cv.iH I V»
Л=0
0, если t < 0;
Л	—тгг е~и, если />0,
(п — 1)!
0,	если t < 0;
n(n+l) ...(« + k — 1) mk =---------p---------
Л
604
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
39.6. Решая первую систему уравнений	—— ^м(0 +
4-	Ъ-Pi, k-1 (0 ПРИ начальных условиях (0) = методом надук» ции от Pi, fe+i (/) к Pik(t), получим:
I с"если 0 k i
/ЛИ0 = { <i-k)\e	'
I 0,
если k > (.
1
39.7. При Л ~ р неравенство рт ~ — ~— < 0,015 даст т = 4.
/1=0
39.8.	Система уравнений для предельных вероятностей ра: т'/.рь =	>
((m — п) л -+- н] ptl (т — п 4- 1) z^-i + VPn * ь (
ЦРт ~ '^Рт- 1'	j
т\ [)Дп
имеет решения: рп =	—"п)Т	где 0,1Ределяется из
т
условия У рп ~ 1. Математическое ожидание числа автоматов л = 0
.	Л i t .,	.
в очереди Lq = т-------~~ (1 — /?0).
39.9.	Система уравнений для предельных вероятностей р,р тХр0 = щ>1,
{(и — п)7. пр] рп = (т — п 4-1) Xpn-i 4- (п + 1) ЦРп +1
для 1 < п < г,
[(« — п) 7.4- гр] рп = (т — п 4- 1) '^рп-\ + гу.рп+1
для г < п < т — 1
Г»Рт = lPm-1-
имеет решения:
(	т!	1 /
—ГТ-------ГГ — Ро> если 1 < п < г,
J п! (т — п)! \р J г
Рп'^ j «!	/Л\«
I --------------(— л если п > г\
I г" гг! (тп — п){	)
математическое ожидание числа автоматов в очереди па ремонт т
. ml V n — r l'h\n
La = Рй--- 71--------------- —	.
г! г" г(т — п)! \ц / п-г
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
605
39.10.	Вероятность того, что электронно-вычислительная машина работает, равна предельной вероятности отсутствия в системе требований на обслуживание р0 = где р — среднее число ремонтов в час. Математическое ожидание экономии от применения более падежных элементов за 1000 часов работы
а + 1000с
д\"| Г	/
1 — е 11 /] —Ь+ ЮООс U—е
= 161с —(ft—а).
39.11.	а) Система уравнений для предельных вероятностей
Д-Ро= рр„
(Л4-£р) pft =	+	l)ppft + 1.	(1 < < п),
(Л4-ир)рЛ, = Лр^_14-лррА+1	(£>п)
имеет решения:
| 7г(рР°	при1<*</!’
рк ~ 1	1	/	.
,	- Ро при А > П,
( п\гг \р /
где р0 — вероятность того, что все аппараты будут свободны от
обслуживания, определяемая из условия Рк = \> — равна р0 = * = о
при условии, что
к<пр; б) р*= У pfe=-——гг(-Г; в) 1-^(0 = ' r	k (п — 1)! (/гр —X) \р /	1
k-n
— Рк^к (Т > -)> гле (У > 0 — вероятность того, что ожида-k = n
ние в очереди продлится более t при условии, что в системе к
k-n требований:	(?>/)= V е~^п‘.
j^o м k-n
, _л 2j ——-—
Подставляя это значе-
е ц"/; учитывая, что
к = ;i
606
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
р„ (V'"
—— = 1—— I	, и меняя порядок суммирования, получим в ре-
Рп \/
зультате
00.00
у=0 k=n+j
 ЩРп .-(пц-Ш
а так как 2£- = 1—А, т0 Л (О = 1 —	(для/>0); Г=
р	Г1г
= _у =_£_; г) И1 = ^k-n}Pk =Рп £ k =
о	k=n	k=o
ОО
••	*	н — л	••	•
+- 2	• '».=	
»=1	'	k=o	*=0
39.12.	Применить формулы задачи 39.11; t = -jyg- часа.
39.13.	Подобрать п так, чтобы p*e~<‘nil~^ < 0,01; п — 4 (см. задачу 39.11).
39.14.	а) Система уравнений для предельных вероятностей
1-Pq = МРГ
(X + ftp) Pk = \Pk _ j + (k +1) \f.Pk+1	(1 < ft < n),
(K + np) = XPf!_1 + nppft+1	(n < ft < I — 1),
Apz_! = Wz.
где I = n 4- m, имеет решения
если 1 < ft < n,
если n k I,
где Ps) — вероятность отсутствия требований в системе:
I ft! \р /
Рк р° МУ I п\пк-п \р/
И/ j________
пр
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
607
б) вероятность отказа р. —-----j—- (— 1 ; в) вероятность занятости
1 п\п1~п \ц/
ол	81	32	.	52	264	1550	„
39.15.	А>-665. Р 665’ Р — 133>	665>	6б5 ~ 2"
39.16.	Система уравнений для предельных вероятностей
т/.ра = ррн
[(« — п) X 4- /гр] рп = (т — п + 1) j + (л +1) ЦАц-р тУРт^Рт-х
имеет решения
/ и \тп—п/	>	\п
п —Сп I И 1	—Л 1
Рп~ т U + и/ U+и/
39.17.	Система уравнений для вероятностей Рп (/):	23
= —/гЛРп(0 + (п —	(0> ПРИ начальных условиях Ря(0)=6„|
имеет решение Рп (t) = e~Kt (1—
39.18.	Система уравнений
^^.=_Л(л, + 1Л)Рп(04-(Л_1)^п_,(0 +
4* (п + 01*^+ j (0	(л^1)
608
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
при начальных условиях />,!(0) = д„1 решается с помощью произ-ОО
водящей функции G (t, и) = Рп (t) и'1, для которой получается п = 0
,,	dG (t, и)	dG(t,u)
дифференциальное уравнение ---—- = (Ли— р)(и— 1) ------
с начальным условием G (0, и) = и. Оно имеет решение G (t, и) = - нх + И 11 — (А 4- Н) X} г_р
1—uZx ’ де
1 -------:--т- . если Z -Л и.
-т—;—г,	если — и,
'	14- 1^
из которого следует, что Рй (/) =рх, Рп (0 = (1 — 7.x) (1 — рх) (7.x)” -1 (л> 1).
39.19.	Система уравнений
=	(0^(0-
= ~ z«(° р”(/) + 1 (/) р“-1 (/) (” >
_£
при начальном условии Рп (0) = Ъм имеет решения: Рй (t) — (1-{-а/) а,
§ 40. Непрерывные марковские процессы
40.1.	aj (t, лу, х2,..., xn) = фу (t, xh x2,.... x„); Ьц (t, xv x2,... .... Х„)=фу(Л x,, x2, .... xn)<ft(/, xt, x2, .... x„).
40.2.	aj(t, Xi, .... хя) = фу(<, xt.xn), /=1, .... /г; <2„ + ,=r
“ ’T/iT-S? ^ZT + 2 =	3»	^4 + 3 = “ а3Хя+1 — 3ct2Xrt4-2 — ЗЯ-^Л+3»
3,	n+з = °2' остальные bji =. 0.
40.3.	U (t) Щ (t) — компонента двумерного марковского процесса, для которого <21 — хг; а2 — — (а24~р2).г1 — 2ах2; 6ц = с2; 6J2 = — 2ас2; &22 = 4а?с2.
40.4.	а} (I, х,. ..., хп) = фу (t, xt..... х„); bjt = фу, (t, х„ ..., х„).
40.5.	Марковский процесс имеет r-j-n измерений; ву = =Фу(/, xt..... xr),J=l,‘2,	г; artl = xr+l+l, Z=l,2, .... п — 1;
остальные fey; = 0; здесь с, t* = Гач m-л — 2 “Л-/с/+г
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
609
1	1	,___	.	1	v
40.7. Ut = - U2 4- - /Ж (0; U2 = - Ф ОЛ) + 4 £2 0). где II	fv	It	U,
41(0 11	(0 — взаимно независимые случайные функции, об.тада-
ощпе свойством «белого шума».
"	У1
40.8. /(уР у2) = с ехр
а2 /* . , , а2 2 1
-^J Ф(П)^1--2^ У2 , где
Л’1 определяется из условий нормировки. При ф(ц) = р2н5
f «Т 4
•Z=fieXP[—Ж''1
а2 о
2о2 2
!	2а2 у"л Г
a p^afj J — ОО
foo
2 /* -т~- dt}
Ф W ’ I J Ф 01)
I о ио
условия I /(у) dy — 1.
, где с определяется из
40.10. Обозначив U\ = g (7), U2 ~ Ut — U, для U2 получаем уравнение, не зависящее от U\. Уравнение Колмогорова для U-, будет ^_±[ГА + 1Лу2) a_lJLJV=0, его } дх ду2 [L RC С -Г )	2 nRC б>Уг
л 9 2л7?	I
— -52->’2—jr-y /’(n)rfnh 6	)
где с определяется из условия нормировки. Искомая плотность вероятности f (у) есть композиция f (у2) и нормального закона распределения с нулевым математическим ожиданием. В упомянутом
| лу2 2"R k „	1
частном случае / (у2) = ct exp j — --— уг, (1 4- sgn у,) j,
2 /14- kR	с, (	1
ГД-‘ С‘Ж14-/ЯЖ)’ / Н /21/Г+2Л
ЯП2
<‘2л 4- tin2.	1	( 1 i ,i, /
стационарное решение: / (у,) = с ехр
о2
\a V14Ж
е-11' rf>].
a(l + kfl) и1 ч2л+2л*У?+1) о!
ay3
f (т, V) = аУ _ ~ ч (aa2+«2> .
аа2 4- то2
Уравнение Колмогорова для £7 = ехр{—aV} имеет вид
а2а3
nc^i(ylny~aioR)e 2
4Э.11.
40.12.
ах 1
дх
, 1 (aia\2 9 О2/ „
+ 2\ЖJ ~df- Стационар-
д
610
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ное решение: — 2ai0Re-a2°'y]
f (у) = ЛГ1 exp J — . "IS;- p2 б" У — 7) -
| [ai0R) L \	2/
где a? = ea2°2 [£; (— a2a2) — 2 Inaa—0,57721...]
(cp. [44], стр, 243).
40.13. /(y) = cexp
у
— -^2 J Ф (n) rfn
0
У
где с-1=
~^rf q>(n)d’1 dy-
6
40.14. Уравнение Колмогорова: '^' +	{(“ (T) + ₽ (т) У] /) —
1 d2
—2 ду2	~ 0’ УРавненне для характеристической функ-
л р	r)P	v2
ции Е (т, г): -т----iza(x)E— гф (т) —------|--^-.г2£ = 0, £(т, г) =
U »	\) Z	л/
%
1	J В (Т,) dr,
= ехр (— у а2г2Н-/гу I, у = е
X а(т2)г/т2 1 а:
т
'y = f ехР
40.15.	Уравнение
— 2 у p (T|) dt! у2 (т2) dx2.
IT	df 1 d
Колмогорова:
(y-~y)2
= -	/ 2°y ;
<Jy у2л
T7W{yf}~
Г» .
2 Т-2 <3у2	’
.9 2 Г
02 в= 22^1 [1 _ е
у 2Та L
40.16.	Обозначив Uv (i) = U (Z), U2 (t) = Ul (Z), для коэффициентов уравнения Колмогорова получим: at = xs; а2 — — 2hx2—k2xf, Z>n = 0; *12 = 0; b22 = c2; f (t, yt) =—-^^ехр* --У1------------
<?! У 2л
у — хе
2 (г-П Го
20\
где у, = xe h (х~() (cos ®0 (т — Z) + sin соо (т — Z) j; a2 = X X |(1 —-^-£-2ЙТ|) +~о" *~2Лт‘ Iй cos2®o*i — «о sin 2io0e!)l; Tt=x—Z;
U ®g 1 og	J
®o = Vk2 — h2.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
611
4W- 4r-«w(/sgn>,)-4^=0-
49.18. f (t. x; т, y) =
fo,!
_ 7₽y2ygЦ 2/J yi 2nPt °2 n!
“U4 a Lke	Г(„+2н4-1)х
л=0
где =	---g’V a —обобщенные полиномы Лагерра.
₽	°° _х2т
40.19. W (Г) = J w(aT, yt) dyt; w (т„ >j) = e y 1 X
_ i y2	-p	;=i
Xe 4 1Da (У1)с/. где Da(x)— четное решение уравнения Вебе-d^y /1	\
ра ) (функция параболического цилиндра):	—а) У = 0;
Х2=а/ —0,5; а—корень уравнения Da (р) = 0, т, ==ат; г-	?	1.2
у, = ^у; ₽=I^uo;Cy = ^±Da.(O);	= f /2^Х
X Da. (уО rfyP ₽	“ -?2г
40.20. W (Г) = f w (аГ, у,) dyi:	w (т„ у,) = J}е~ 'J 1 X
-оо	; = 1
1 2	а I 1
Х/7?1^(У1)^ где Va(x) = -^2~2 \2~4Г /1_1й)х
У я I \4	2 /
хо^> (X) sin л «)+2 4 г — Tfl) D'a (•*) cos п (т+4 а) j:
£>й") (х) и D'g (х) — соответственно четное и нечетное решения rf2y /1	\
уравнения Вебера *):	-f-1-^- х2 — «1 у = 0;	— корень уравне-
ния Va (Р) = 0; Z2 = aj — 0,5; Tj = ат; ух = у; ₽ =	и0;
г-	“ -- V2
4 vaj (°); Nj = f 2 \ м ^1-
612
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава IX
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
§ 41. Определение моментов случайных величии по результатам опытов
41.1. 10,58л. 41.2. а) 814,87м\ б) 921.86м2. 41.3. v= 424,'73м/сек-, av = 8,84 м!сек.	41.4. v — 33 м:сек\ Ev = 3,07 м;сек.
41.5. л=404,85 мкв\ ov= 133 мкв. 41.6. При Р (Л) — 0,5 £>тах =
41.7. d [о2] =	°2 Hl;D р2] = yzzT D l'Yb41-8- Sk=-0-85;
л
2П(П — 1)
41.12. Aj =
п
— — , где К— произвольное число. 41.13. * = — X х,,;
° 7	____________________ k = 1
п	Г	п
у = 'ЕУ-
fe = l	г	/? = ]
/	2
= рАл1/ ---------г’УлУь — У)2 > значения kn даны в таблице 23.
9 П ------ I ЯяЛ Х	'
Г ~
41.14. л* —48,31 .и; у = 53,31 Ех~ 10,75 м\ Еу =12,50 м. п	п
41.IX	?»±Уу,;
п .Ы к 1 п
Ё* = р У 2 У о 2 cos2 а + *ry sin 2а о 2 sin* а; £ = р У 2 у о2 sin2 а — Лxy sin 2а + а 2 cos2 а.
я	п
-2	1 V -о	IV ->
ах =	>. (л-, - ху- оу =	(У, “ ХП *
/?=1
п
= 7Г=тЕ(хл~^^_у)’ a угол
2^^у	~~
уравнения tg2а =	41.16. х — 1
а2- а2
а определяется решением
л; у = 40 л; = 23 л;
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
613
Г Р’у1 j _ /?ч=1,07.«. 41,17, k =------,	' -	. Предварительно дока-
Г Ы
зать, что плотность вероятности случайной величины о определяется формулой fn (о) = ,	}	1 (а)п~2е	2о’ .
41.18	. См. таблицу 132.
Табл а ц а 132
'J	1-10	11-20	21-30	31—10	41-50	51-60	61-70	71-80	81-99	91—100
ъ	0,107	0,100	0,127	0,087	0,093	0,127	0,093	0,073	0,087	0,106
	0,107	0,207	0,334	0,421	0,514	0,641	0,734	0,807	0,804	1,0
7=48,50; б[Х] = 829.18.
41.19	. См. таблицу 133.
Таблица 133
h	0—3	3-6	G—9	9-12	12-15	15—18	18—21	21—24
Pj	0,000	0.002	0,006	0,040	0,070	0,114	0,156	0,164
Л	24—27	27—30	30—33	33-36	36—39	39—42	42—45
~Pj	0,180	0,122	0,108	0,030	0,004	0,004	0,000
х = 22J35; D [X] = 40,08.
41.20	. а2 и а2 являются несмещенными оценками дисперсии
(М - М РУ - О И- gf. D РЗ - *=£.1
при любом л >2 Dp2] < Dp2] (см. табл. 134).
614
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Таблица 131
п	3	5	7	10	15	СО
и и Г——1 я—Ч Q ? Q > tO Ю *- ЬЭ	0,80	0.73	0,71	0,69	0.68	0,67
§ 42.	Доверительные вероятности и доверительные интервалы
42.1.	(92,36 .и, 107,64 м). 42.2. л= 116-^- .и; (115,53 м; 116,57 м).
42.3.	0,55; 0,34. 42.4. а) х = 10,57 м. ах= 2.05 м; б) 0,26; в) 0,035. 42.5. (5,249 сек., 5,751 сек.); (1,523 сек., 1,928 сек.). 42.6. (867,6 м/сек, 873,0 м/сек), 42.7. Не менее И измерений. 42.8. (24 846 м, 25 154 м); (130.7 м, 294,9 м). 42.9. (4,761 • Ю"10; 4,805 • 10~10); х = 4,783 • Ю-30. 42.10. а) (420,75 м/сек, 428,65 м/сек)', (6,69 м/сек, 12,70 м/сек); б) 0,61; 0,76. 42.11. Не менее трех дальномеров. 42.12. Не менее 15 измерений. 42.13. 0,44; 0,55; 0,71; 0,91. 42.14. См. таблицу 135.
Таблица 135
п	3	5	10	25
а = 20 м	±18,98 м	±14,71 м	±10,40 м	±6,58 м
о = 20 м	±33,72 м	± 19,05 м	±11,59 м	±6,84 м
42.15.	<= 425 час.; (270,70 часа, 779,82 часа). 42.16. (410,21 часа, 1036,56 часа). 42.17. (50,75 часа, 85,14 часа). 42.18. (0,123; 0,459). 42.19. (0,303; 0,503); (0,276; 0,534). 42.20. (0,000; 0,149); (0,000; 0,206); (0,000; 0,369).	42.21. Для стрелка А (0,128; 0,872), для стрелка В
(0,369; 0,631). 42.22. (1,15; 3,24). 42.23. (3,721; 4,020). 42.24. (0; 4,6).
42.25.	При а = 0,99	при а = 0,95
для	г12	(0,42;	0,68),	для	г12	(0,45;	0,65),
для	г13	(0,13;	0,47),	для	г13	(0,17;	0,43),
для	г14	(0,21;	0,53);	для	г|4	(0,25;	0,49).
42.26.	9,82 < х < 11,18; 1,624 <	< 2,632; 70,58 < у < 77,42;
8,12 <	< 13,16; 0,369 <	< 0,796.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
615
§ 43.	Критерии согласия
43.1.	Л = 0,928;	= 2,17'2; й = 4; Р (у2 /2) = 0,705. Отклоне-
ние не значимо, гипотеза о согласии наблюдений с законом распределения Пуассона не опровергается.
43.2.	Л =1,54; у2 = 7,953; * = 6; Р (%2 > у2) = 0,246. Отклоне-ние не значимо.
43.3.	х = 5; р = 0,5; у2 = 3,156; k = 9; Р (у2 > у2) = 0,944. Гипотеза о том, что при каждой из стрельб имелась постоянная вероятность попадания одним выстрелом, не опровергается-
43.4.	у2 = 10,32; k = 7; Р (у2 > у2) = 0,176. Отклонения не значимы.
43.5.	£)гип = 0,1068; Лгип= 1.068; Р (Лгип) = 0,202; Обин = 0,1401; Хбин= 1,401; Р (Лбин) = 0,039. Гипотеза о согласии наблюдений с гипергеометрическим законом распределения не опровергается; отклонение статистического закона распределения от биномиального значимо, и гипотезу о согласии с биномиальным законом распределения следует отвергнуть.
43.6.	х = 11,8 г; а = 4,691 г; k = 2; у2 = 1,16; Р (у2 >у2) = 0,568. Гипотеза о согласии наблюдений с законом нормального распределения не опровергается.
43.7.	х = 22,85; а = 6,394; k = 6; у2 = 5,939; Р (у2 > у2) = 0,436. Гипотеза о согласии статистического распределения с законом нормального распределения не опровергается, так как отклонения не значимы.
43.8.	M[Z] = 4,5; D [Z] == 8.25, где Z— случайная цифра; М [X] = 22,5; D[X] = 41,23; о = 6,423; £)0 = 0,0405; Л = 0,6403; Р(Л)=0,807. Гипотеза о согласии статистического распределения с законом нормального распределения не опровергается.
43.9.	у2 = 5,012; /г = 9; Р (у2 > у2) = 0,831. Отклонения не значимы; гипотеза о том, что первые 800 десятичных знаков в числе л подчиняются закону равномерного распределения, не опровергается.
43.10.	£)0 = 0,0138; Л = 0,3903; Р (Л) = 0,998. Гипотеза о согласии распределения первых 800 десятичных знаков числа л с законом равномерного распределения не опровергается.
43.11.	у2 = 4; й = 9; Р (у2	— 0,91. Гипотеза о согласии
наблюдений с законом равномерного распределения не опровергается.
43.12.	О0 = 0,041; Л = 0.5021; Р (Л) =0,963. Гипотеза о согласии наблюдений с законом равномерного распределения не опровергается, так как отклонения не значимы.
43.13.	у2 = 24,9; k — 9; Р (у2 > у2) = 0,0034. Отклонения значимы; гипотезу о согласии опытных данных с законом равномерного распределения следует отвергнуть. Результаты отсчетов содержат систематическую ошибку.
616
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
43.14.	л-= 8,75; ? = 16,85; Х2Н= 11,83; ka = 5; Р (Х2 > £„) = — 0,0398; для параметра 6 закона распределения Симпсона получается оценка S = У 6 о = 41,28; Х2С = 17,06; kc = 5; Р (%2 > Х2) = = 0,00402. Гипотеза о согласии наблюдений с законом распределения Симпсона опровергается, а гипотезу о согласии наблюдений с законом нормального распределения можно считать неопро-вергнутой.
43.15.	х = 1g у; л = — 0,1312; о2 = 0,3412; од = 0,5841; п = 9; k = 6; Р (Х2 > Х2) = 0,890. Гипотеза о согласии опытных данных с законом логарифмически нормального распределения не опровергается (отклонения не значимы).
43.16.	л = 2,864; т2 = 11,469; М [X] = w; а = |/	где
~. . п Т , .	®	(v) 4-0,5vd) (v)
v — корень уравнения Т (у) = 0,4229; Т (v) = у	=
у 1 v2
= -.^	. при v=l,2 Т (v) = 0,4200; при v = 1,3 Т (v) = 0,4241;
2 У т2
v « 1,271; М [X] = 2,662; а = 2,094; Х2 = 5,304; k = 9; Р (Х2 > Х2) = -0,894. Гипотеза о том, что X есть абсолютное значение нормально распределенной величины, не опровергается.
43.17.	х — 87,46; а = 2,471; а = 80,02; р = 94,90; Х2Н > 590; k_r = 7; Р (Х2 > Х2Н) к 0. Плотность вероятности ’Г (х) для компози-ции законов нормального и равномерного распределений имеет вид чг <х\ =	1-----Гф (	89’9.?Л _1- ф ('Л:99..~.-у. 11 • Х21 = 2,949;
W 2-14,88 L \ 2,471 Р \ 2,471 /]’	Х‘7ф’
У = 6; Р (Х2> Х^|,) = 0,814. Гипотеза о согласии опытных данных с законом нормального распределения опровергается. Гипотеза о согласии опытных данных с композицией законов нормального и равномерного распределений не опровергается.
43.18.	г = 50,13; о = г |/*у =40,0; Х2 =2,73; й=8; р(/.2>7.2)= = 0.95. Гипотеза о согласии наблюдений с законом распределения Рэлея не опровергается.
43.19.	х = 508,6; 0 = 123,7; 72 = 2,95; k = 7; Р (X2 > X2 ) = = 0,888. Параметр а для закона распределения Максвелла определяется из формулы а = Л' *°- = 193,4; Х2М= 1,383; /гм = 7;
1,иУО	‘
р(х2 >Х2М) = 0,986. Наблюдения лучше согласуются с законом распределения Максвелла, чем с законом нормального распределения.
43.20.	Г=871,5 часа; а=0,001148; k = 8; 7.2 = 4,495; Р (/.2>7.2) = = 0,808. Гипотеза о согласии наблюдений с экспоненциальным законом распределения не опровергается (отклонения не значимы).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
617
43.21.	7 = 394,5 часа, 3 = 228,1 часа; vm — 0.5782; т~ 1,789; Ьт — 0,8893; Х2= 13,44; k = 7; Р (Х2 7? ) = 0,0629. Гипотеза о согласии наблюдений с законом распределения Вейбулла не опровергается.
Z
43.22.	Функция распределения арктангенса F (z) = J f(z')dz=-= -j -i- arctg -g-; Do=O,O195; 1 = 0,6166; P (2.) = 0,842. Гипотеза о согласии статистического распределения величин г с законом распределения Коши и, следовательно, величин Y с законом нормального распределения не опровергаются.
43.23.	Функция распределения арксинуса F (г) =	arcsin^;
D0 = 0,0290; Л = 0,917; Р (Л) = 0,370. Гипотеза о том, что маятник совершает гармонические колебания, не опровергается.
43.24.	о2 = 0,1211; А: = 2; X2=l,629; Р (X2 > X2 ) = 0,59. Отклонения не значимы; гипотеза о согласии наблюденных значений qi с законом %2-распределения с числом степеней свободы к' = 19 и, следовательно, гипотеза об однородности ряда дисперсий не опровергаются. Указание. Значения ql следует расположить в порядке возрастания и разбить на интервалы с тем, чтобы в каждый попало не менее пяти значений qi-
. 1
1	2
43.25.	£0],) =—0^ = 0,126; 1 = 0,797; Р (Л) = 0,549.
Гипотеза о согласии наблюденных значений т]4 с законом распределения Стьюдента и. следовательно, гипотеза о согласии наблюденных значений x-t с законом нормального распределения не опровергаются.
43.26.	х = 115,3; а = 21,43; Х2Н = 10,20; kn = 10; Р (Z2 > Х2Н) = = 0,43; цз = 2046; £ = 6137 • 102; 'Sk = 0,2079; Ex = — 0,0912. Функция распределения для Л-ряда Шарлье: F (г) = 0,5 -J- 0,5Ф (г) — — 0,03465<р2 (z) — 0.0038<рз (г), где z = — ^5’3- I '^ш = 8’ЗЭ4;
= 8; Р (X2 > Х2Ш) = 0,411. Гипотезы о согласии наблюдений с законами нормального распределения и распределения, определяемого Л-рядом Шарлье, не опровергаются, причем последний не улучшает согласия наблюдений с теоретическим законом распределения.
43.27.	цз = —221,12; ц4 = 1560.102; Sk = —0,06961; Ex = 0,3406. Функция распределения для Л-ряда Шарлье /7(г) = 0,5-|-0,5Ф(г)4' + 0,01160(р2(г)-|-0,01417фз(г), где z= с~2^73.’81; X2 = 17,25;
618
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
А = 6; Р (х2 X2 ) = 0,0085. Отклонения значимы. Гипотеза о согласии наблюдений с законом распределения, определяемым Л-рядом Шарлье, опровергается.
43.28.	Х2 = 20,48; k = 2; Р(Х2>Х2) = 0,001. Отклонения значимы. Гипотеза о независимости характера размеров от номера партии опровергается. Следует признать, что для второй партии характерно систематическое занижение размеров.
§ 44.	Обработка результатов наблюдений по способу наименьших квадратов
44.1.	й = 0,609 4-0,12425; Мо< 0 = 0,3896; Mh 1= 0,00001156; о2 = 1,464; о2 =0,5704; S2 = 0,0000169.
' «о	'	#1
44.2.	h =0,6794-0,1245; о2=1,450; о2 =0,5639; о2 =0,00001672. Совпадение с результатами задачи 44.1 вполне удовлетворительное. Точность результата в задаче 44.2 выше, чем в задаче 44.1, так как при решении задачи 44.1 производилось большое количество вычислительных операций, в том числе вычитание близких по величине чисел.
44.3.	5=9.144-65.89/4-489,285; о2 = 0,001245; ag= 1,177 см/сек2. 44.4. А = 65,021 4-5,17651113(х)-134-1,087Р2,13(л). 13, где л: = 30/—1. или /г = 9,133 4-65,895/4-489,285; 0^.= 1,167 см/сек2. 44.5. у — = 0,8057 4- 0,2001л — 0,1018л:2; о2 = 0,0002758; % = 0,00009192; о = = 0,000009848; 2^= 0,000003283.
44.6.	у = 26,97-f-О,30125111в(/) = 29,38 —0,3012/; у = 26,974-4-0,30125,,16(/)—0,000916Р2,|6 (/)4-0,0171853,16 (/) = 29,82—0,7133/4-4-0,067825 — 0,0028645, где 5*, 16 — табличные значения полиномов Чебышева. Для линейной зависимости о = 0,3048; при а = 0,90 имеем 0,2362 < о < 0,4380. Для зависимости третьей степени о = 0,1212; при а = 0,90 имеем 0,0924 < а < 0,1800.
44.7.	у = 21,07 4- 5,954л-; айо = 2,90; ай1 = 0,0889;	= —0,2041.
Доверительные интервалы для а* при а = 0,90: 14,3 < аа < 27,9; 5,75 <	<6,16. о2 (л) = 2,900 — 0,4082л:	0,0889л:2. Доверительные
границы для у = F (х) при а = 0,90 даны в таблице 135.
Т а б л и ц а 136
1	0	1	2	3	4
У1 — YOy (•*»)	45,3	72,7	140,0	258,4	366,8
y<4-Y<Jy (Xi)	57,3	83,3	148,7	268,8	383,6
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
619
44.8.	у = 0,3548 -|~ 0,065/4.v ~|- 0,00130л2 j	= 0,0147j <Ja = 0,010fy
пл =0,00156. «2
44.9.	у = 1,1188 -J-	= 0,2316;	= 0,6157; при а = 0,95
имеем: 1,065 < а0 < 1,172; 8,831 < а, < 9,115; КЙ0>О1 =—0,0854. Доверительные границы для у = Г (х) при а = 0,95 даны в таблице 137.
Таблица 137
XI	1	2	3	5	10	20	30	50	100	200
У~\оу (х$	10,03	5,55	4,06	2,87	1,97	1,52	1.37	1,25	1,16	1.11
уг+\оу (х-)	10,27	5,66	4,16	2,96	2,06	1,62	1,47	1,35	1,26	1,22
ч пПг«, 0Л708 . 0,3790 о; (+ = 0,05364-------------—.
44.10.	U = 100,8е"0’3127'; 89,97 < t/0 < И2.9; 0,2935 < а < 0,3319.
44.11.	5 =204',9--^=^-;	=4',36; 5„ =504.
В	* UQ	* U|
(х—117.25)2
44.12.	р = 0,1822<?	2'462>91 ; I emax I = 0.04633;
*	г| 111 (1Л I	*
^ = 7^ = 011854-
44.13.	д>' = 62° подобрано по формуле у = a' sin (®/—<р'), где а' = 1 У°’°51 ~Ы-У^481.+1 Уа'951 = 33; у = 30.75 sin (fit — 59°59'); | у — у |гаах = 18°,4. 44.14. у = 1,0892—1,2496 cos л + 2.0802 sin х + 4* 0,9795 cos lx + 0.4666 sin 2аг;	|emax] = ®’24 при л = 120°.
44.15.	у = — 3,924 + 1,306л:; |ега„ 1 = 1,41.
*	•	j Шс1Л |
§ 45.	Статистические методы контроля качества
45.1.	Для однократной выборки а = 0,0323; 3 = 0,0190; для двукратной выборки а = 0,0067; 3 = 0,0100. Средний расход изделий для 100 партий при двукратной выборке 48,36 • 15 +51,64-30 = = 2275 изделий. Расход для 100 партий при однократной выборке составляет 2200 изделий. Расход изделий почти одинаков, ио при двукратной выборке значительно меньше вероятности ошибок а и &
620
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
А = 30,38; В = 0,01963; Ig А = 1,4825; 1g В = — 1,7069. Для хорошей йартии при р — 0 л|п1|1 = 13; 1g у (12;0) = — 1,6288: Igy (13;0) =
= — 1,7771. Для негодной партии при р = 1 лП11п = 2; 1g у (1; 1) = = 0,8451; 1g у (2; 2) = 1,9590.
45.2.	Для однократной выборки а = 0,049; Р — 0,009; для двукратной выборки а = 0,046;	0 = 0,008. А — 19,8; В — 0,01053;
/г, = — 3,758; h2 = 2,424; h3 = 0,02915; М [л | />0] = 244,2; М [п | />,] = = 113,6; М [н]тах = 321,9. Для 100 партий при двукратной выборке
средний расход изделий 35,1 • 22064,9 • 440 = 36 278 изделий; при однократной выборке средний расход 41 000 изделий. При последовательном анализе на 100 хороших партий средний расход — не более 24420 изделий.
45.3.	Применим нормальный закон распределения: а — 0,0023; Р = 0,0307. Л = 415,9; В = 0,03077; 1ц = — 4,295; h2 = 7,439; А3 = = 0,1452. Для хорошей партии при р — 0 пп1]п = 30; для негодной партии при р=1 япн,1 = 9; М [л|0,10] = 94,52; М [л 0,201 = 128,9; М [л],пзх = 257,4; с = 2,153; Р (л < 300) = 0,9842; Р (л < 150)=0,8488.
45.4.	а) л0 — 285; v = 39 (применим нормальный закон распределения); А = 98; В — 0,0202; h{= — 4,814; h2 = 5,656; А3 = 0,1452; М [л1р(|] = 102,1; М [n|pj = 101,0; М [л1п1ах = 219,4; б) л0 = 65; v = 8; А = 8; В = 0.2222; Aj —1,861; А2 = 2,565; А3 = 0,1452; М[п|Д>] = = 21,6; М (л|р! ] = 38,6; М [л]тах = 38,6.
45.5.	Применить переход от закона распределения Пуассона к ^-распределению: v ~ 9; л0 — 180; А = 18; В = 0,1053; Aj = = — 2,178; А2 = 2,796; А3 = 0,05123; М [л|р0] = 90,86; М [n|pi] = 79,82; М [л]„1ах = 125,2. Для хорошей партии прир = 0 nmI„ = 43; для негодной партии при р — 1 nnljn = 3.
45.6. 2о =	л0 =
где zp — квантили нормального распределения: В (zp) = 0,5 4~ -]-0,5Ф(Zp) = р', ^0.97— 1,881;	= 1,405;	= 1,645; ^o,9O=
= 1,282; г0= 1,613; л0 = 87. Объем однократной выборки при контроле по величине при тех же а, р, р0, pt значительно меньше, чем при контроле доли дефектных изделий.
45.7.	При использовании биномиального закона распределения (с переходом к закону нормального распределения) а = 0,1403; 6=0,1776; л0 = 49; v = 6; Л = 5,864; В = 0,2065; А, = — 1,945; А2 = 2,182; А3=0,1452; М [п|р0]=30,3; М [ф,] = 26,4; М [n]max = = 34,2. Средний расход изделий при двукратной выборке на 100 партий составляет 64,34 • 30 4~ 35,66 • 60 = 4070 изделий. При однократной выборке на 100 партий расход изделий 4900 шт.; при последовательном анализе средний расход на 100 хороших партий— ие более 3030 изделий. При использовании закона распределения Пуассона а = 0,1505; § — 0,2176; па = 49; v = 6 (переход к х2-распре-делению).
45.8.	Применить нормальный закон распределения: п0 = 286; v=15; Л = 9900; В = 0,01; Aj = 3.529; А2 = 7,052; А3 = 0,04005;
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
621
М («10.021 = 176,0; М[п|0,07] = 231,9; М («]п1ах = 647,1; с = 3,608; Р (п < М {«10.021) = 0,5993; Р (n < 2М («|0,02J) = 0,9476; Р (п < па)= = 0,8860.
45.9.	При п0 = 925 v = 12. При ta = 1000 час. Л = — 2,197;
В = 2,197; /,=237,6; /2 = —237,6; t3 = 74,99; М [Г|10~5] = 613.2; М [Z|2 -10-5] = 482,9; М [7']гаа. = 750,6.
/0, час.	500	1000	2000	5000
«0	1849	925	463	185
45.10.	Для метода однократной выборки применить переход от закона распределения Пуассона к х2 = распределению: v = 6; па = 122; А = 184; В = — 0.08041; h, = — 1,487; Л2 = 3,077; h3 = = 0,0503. Для хорошей партии при р = 0 лга,п = 30; для негодной партии при р=1 пШ1П = 4. М [л|0,02] = 48,3; М [л|0.10] =54,6; М Иглах = 95.9; с = 5,286; Р (п < па) = 0,982; Р (л < -1 паj = = 0,714.
45.11.	Для двукратной выборки а = 0,001486; 0 = 0,0009152; для однократной выборки па = 62; v = 13 (переход к закону нормального распределения); А = 671,0; В = 0,0009166; й, = — 4,446; й2 = 4,043; ft3 = 0,2485; М [« | «о] = 29.2; М [л | at] = 16,0; М [л]тах = 70,7. На 100 отсеков при двукратной выборке средний расход картофеля равен 62,88 • 40 -j- 37,12 • 60 = 4743 шт. На 100 отсеков при однократной выборке расход картофеля 6200 шт.; при последовательном анализе средний расход на 100 хороших партий — не более 2920 шт.
45.12.	Для двукратной выборки а = 0,0896; 0 = 0,0233; для однократной выборки «0=15; v= 12.45; А = 10,90; В = 0,0'2560; Л, = — 977,7; й2 = 637,2; Л3 = 184,9; М [н|о0] = 9,81; М [л 1а,] = 2,78; М [л]тах = 10. При двукратной выборке средний расход изделий на 100 хороших партий 85,66 • 13	14,44 • 26 = 1488; при однократной
выборке расход изделий 1500 шт.; при последовательном анализе средний расход — не более 981 изделия.
45.13.	При однократной выборке а = 0,0000884; 0 = 0,00621; В = 0,00621; А = 1124 -10; /г, =6,506; й2 = —11,94; й3 = 5,15; М [л | ^] = 26,02; М]л|£,] = 47,32; М [л]шах= 121,4; с = 2,542; Р (л < 300) > 0,99 (< 0,999); Р (л < 150) = 0,9182.
45.14.	пв = 86; v = 66.7 часа; .4 = 999; В = 0,001001; Л) =690,8; Л2 = —690.8; Л3 = 69.33; V = 0,01442; М [л | Хо] = 22,48; М[л|Л,] = = 35,67; М [л]тах = 99,31.
45.15.	Для одиночного контроля доли ненадежных конденсаторов л0 = 246, v = 5. Для последовательного контроля надежности конденсаторов А = 9999; В = 0,0001; hx = 1152 • 101; h2 = —1152 • 10*; А3 = 6384  102, л* = 0,000001566.
622
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
45.16.	t„ = 952,6 часа; v = 72,8 часа; In А = 2,197; In В — — 2,197;
.	1пЛ7’07\	1пВ7’07'|	.
/,=-=—-^Л = 219,7 часа;	=	= —219,7 часа; tz =
J \ — * О	Ч -- * о
Wn-p-
= —=----=-2- = 69,3 часа. Для худшей из хороших партий
7 1 — 1 о
(Т = То =100) Zmin = 715,7 часа; для лучшей из плохих партий (7 = Т, = 50) /„нп = 569,2 часа.
§ 46.	Определение вероятностных характеристик случайных функций по опытным данным
т
46.1.	Нужно доказать, что если х = -у- £ х (/) dt, то М [х] = х, о
lim D [х] = 0.	46.2. Нет, так как lim М (й)] = Sx (со),
r->oo
но D [S (о>)] =	(и) и, следовательно, не стрехмится к нулю при
т-х
росте Т. 46.3. В1Кг(т)] = рЛ- 2 J (Т — т — ц) [Кх (tj-f-о
+ К-х (Х1 + т) Кх (т, — т)] Лр
Т+х
46.4.	М [К, (т)] = К (х) - ^i)2 У (Г - т - х,) К (х.) rfx,;
о
Т-Х
М [Т<2 (х)] = К (т) — ^. '1. Т)2 f (T—'t—Ti'lKb + xijdTi; о
Т-Х
D [К, (х)]= (у-2 т)2 f (г~ т“ ПЖ2(Т1) + о
+К (X, + X) К (X,-X)] dx, + ууг—
г Т-Х
f (Т—т—TOKCxOrfTj
-6
Т-т Т-х Т-х
ооо
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
623
Т-Х
D 1К> ^(Tl xy2-J (Т-х-х,) [№ (Tl) + К (т1 + т) К (Т1-т) + о
+ К (т) К (т + тО + К(т) К (И - т)] dx, -
Т-х Т-х Т-х
-Тт^ху f f f
ООО
+ К (t2 -t, + т) К (t3 -t,— т)] dt, dt2 dt3 +
Т-Х
j (Г-т-т1)[/<(т1 + т)4-/<(т1-т)Пт1 + о
Т-Х
2
2 (Г-!)4
2
4 (Г-т)4
т —П)К(П) dx.
Т-Х
46.5.
4
(Г —т)<
2
Т—h)K(t4-Tj) dx, .
l-e-ar aT
о
о
т
46.6. D [S' (o)] = ^p- f (Т~Ъ 0
[X (Z + n) +
+ K(i-n)] sin(f
e lx®K(t — x)dx
dt.
46.7. oy уменьшится на 2%. 46.8. ту уменьшится на 3%.
46.9. D [/<в (0)] = 22 град1*', D [Кв (3)] = 2,8 град*. 46.10. Значение первого нуля функции К. (т) равно: а) 2,20 сек.; б) 2,30 сек.
45.1 L D (К, W) -	( _"±^_ +	[2 , ео, 2f>r +
+1 si" 2р, +1 cos 2f>, + °IOS pP,sl"211’] j; »[«, <0)1 -= 5,82 град*; D [tfe (2,09)] = 5,35 град*; D [£0 (4,18)] = 4,80 град*; D [Ke (16,72)] = 2,92 град*, а соответствующие средние квадратиче
ские отклонения равны 2,41; 2,32; 2,19 и 1,71 град'1.
46.12. При росте t отношение t,/t сходится по вероятности к вероятности Р совпадения знаков ординат случайных функции X (t)
624
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
и X (i 4~ т), связанной для нормального процесса с нормированной корреляционной функцией k (т) соотношением k (т) = cos л (1 — Р), которое может быть доказано путем интегрирования двумерного нормального закона распределения ординат случайной функции в соответствующих пределах.
46.13. Обозначая Z (Z) = 1Г1 4- - * ‘2	1  р — ве-
2 L 1 А (О X (t -у- т) | J
роятпость совпадения знаков А (/) и Х(/-|-т), имеем z = Р\ kx (т) — cos л (1 — z) « cos л (1 — z) 4- л (г — г) sin л (1 — г). Следовательно. D (/г (т)] я* n2D [г] sin2 л (1 — Р) — л2 [ 1 — k\ (т)] D [г];
/ С7" —*i) 7<z(Ti)
0
( со со оо о- « х О О О О О О
<’> ./ ///+fj'fhffff+
( 0	0	0	0	0	0	— со —со —оо —оо —со —со
0	0 со со |
+ I J I' I }/(-*! х2. Л'з. x.}dx, dx2 dx3 dx4—~z2, где
— оо -оо 0 0 J
f (х{, x2, x3, x,)— закон распределения системы нормальных величин X (ft), X (t, 4- т), X (t2). X (^4- т).
46.14.	Кх (т) = giUi (т) 4- g2K? (т) 4- g3K3 (т), где приближенно
—	rJ
gj~—.--------j- (/=1.2,3);	I ау - т) 7(у (т) </т.
— + — 4- —	Г> и
а1 °2	«3
При Тj, значительно превосходящих время затухания Кх(х), при-
ближенно можно считать
ОО
b — J" xK(x)dx, а за значение К (т) можно принять подходящее о
значение, полученное по любой нз реализаций.
m-Z-l
46.15.	D (т)] = -—ур-	(sA) + Z< v + /д) X
1
X Кх (зД - /Д)] (m -1 - з) г [Л'2 (0) +К'-Х (ZA)].
46.16.	На 9%.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	625
т	г
46.17.	а0 = у- У* Kx(x)dx-, a.j = ~ j Кх (т) cos dx, J > О, о	°
Т	tn
Лот = / K^(x)dx- ra2--^Va2. б	/=1
46.18.	Так как
j^Y.IJ{t}dt'10 D[-71 = ^r[1-ir(1“<?’a7')J =
°	= = (0,86  10-8)2 л2.
Срединная ошибка Е~ = ?V‘2s~ = 0,58 • 10 8Л.
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТАБЛИЦЫ СО ССЫЛКАМИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1Т. Биномиальные коэффициенты С"!: [10] — стр. 393; [23] — стр. 564—567; [33] — стр. 265.
2Т. Факториалы nl или логарифмы факториалов lgnt: [2] — стр. 2, 3; [5] — стр. 350—353; [6] — стр. 42; [10]—стр. 394; [23]— стр. 568, 569; [41] —стр. 393; [45] —стр. 311.
ЗТ. Степени некоторых десятичных дробей Qx: [23] — стр. 571,572.
4Т. Биномиальная функция распределения Р (d < т + 1) = т
= Р (d < от) = 2 C„Pk <Д—Р)п'к- [23] — стр. 573—578.
fe = 0
5Т. Значения гамма-функции Г (х) или логарифмов гамма-функции 1g Г (ж): [5] —стр. 353; [6]—стр. 75; [33] — стр. 284; [41] — стр. 353—391; [51] — стр. 528; [56] —стр. 115.
6Т. Вероятности Р (от, а) — е~а для закона распределения Пуассона: [5] — стр. 357, 358; [10] — стр. 395; [13] — стр. 385, 386; [21] —стр. 492—494; [52] — стр. 343; [57]—стр. 195—204.
00 ь
Vi а*	1
7Т. Суммарные вероятности Р (й > от) = V е~а для за
кона распределения Пуассона: [5]—стр. 359, 360; [13]—стр. 387, 388; [21]—стр. 495—497; [57] —стр. 205—214.
8Т. Функция Лапласа (интеграл вероятностей) при аргументе, выраженном в средних квадратических отклонениях Ф (г) =
* --
— J е 2 dx: [1]—стр. 226; [4] — стр. 410, 411; [6] — стр. 81,
82; [10] —стр. 396; [12] —стр. 215, 216; [14] —стр. 144; [20] — стр. 415—417; [21] —стр. 501; [25] — стр. 608; [29] —стр. 367—369; [34] —стр. 366; [38] —стр. 154, 155; [45] —стр. 288—290; [51] — стр. 494—496; [52] — стр. 344.
В некоторых книгах приведена таблица -i-Ф (г) =
z Х2
-±=fe~dx:
/2я -/
[13] —стр. 384; [17] —стр. 352- 354; [20] —стр. 415—417; [21] — стр. 499, 500; [23] — стр. 584; [42] — стр. 400.
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТАБЛИЦЫ СО ССЫЛКАМИ НА ЛИТЕРАТУРУ 627
1 --
9Т. Плотность вероятности нормального закона ср (г) = —==. е 2 при аргументе, выраженном в средних квадратических отклонениях: [1] _ стр. 226; [5] — стр. 354—356; [9] — стр. 555; [10] — стр. 398, 399; [13]—стр. 383; [17] —стр. 352—354; [20] —стр. 414; [21] — стр. 498, 499; [23] — стр. 584; [29] — стр. 370; [42]— стр. 39; [45] — стр. 281; [51] —стр. 497—507; [52] — стр. 342; [53] —стр. 733;	[57] —
стр. 112.
ЮТ. Производные от плотности вероятности нормального закона <р (х) : ф2 (а) = (а2—1) ф (х); Фз (х) = ср"' (х)= — (х3—Зх) ф (х): [10] — стр. 400. 401; [51] — стр. 497—507.
НТ. Приведенная функция Лапласа при аргументе, выражен-Z
ном в срединных отклонениях, Ф(г) =	/ е~р2х2 dx: [9] —
/л./
стр. 552—554; [10] —стр. 397, 398; [16] —стр. 421—426; [45] — стр. 296—301.
12Т. Плотность вероятности нормального закона прн аргументе, выраженном в срединных отклонениях, ф (г) — ? 	: [10] —
У л стр. 402, 403; [45]—стр. 291—295.
г
13Т. Функция p(z) = ~= I е~р2х2 dx—2г —e~pV = Ул d	ул
= ф (г) — 2гф (г): [10] — стр. 415; [45] — стр. 316.
14Т. Функция распределения Стьюдента Р (Т < t) = г(*±_ц /, г _л±1
= —А—-—I (1 + 4г1 2 dx: [10] — стр. 404; [13] — стр. 393, г (4)y^0J '	7
394; [21] —стр. 516, 517; [53] —стр. 736, 737; [57] —стр. 121, 122.
15Т. Вероятности Ф, (ta, k) = Р (J Т | < Za) = 2Р (Т < ta) — 1 для закона распределения Стыодента: [51] — стр. 508.
16Т. Значения у, отвечающие доверительной вероятности а — Р (| Т | < у) и числу степеней свободы k, для закона распределения Стьюдента: [1] — стр. 227; [9] — стр. 556, 557; [10] — стр. 406, 407; [20] — стр. 424; [21] — стр. 520 (q = (1 — a) • 100); [23] — стр. 587; [25] — стр. 611; [28] — стр. 344; [45] — стр. 306, 307; [51] — стр. 508.
ь х
1	/’ —-1 -т-
I7T. Вероятности Р (х2 > X?) —-----/ х2 е 2 dx для
г(|)22 X2
закона х2"Распределения в зависимости от и числа степеней
628 ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТАБЛИЦЫ СО ССЫЛКАМИ НА ЛИТЕРАТУРУ
свободы k: [10]—стр. 408—410; [13]—стр. 389—392; [21]—стр. 505—507; [34] —стр. 370—373; [45] —стр. 302. 303; [57] — стр. 113, 114.
18Т. Значения /2 в зависимости от вероятности Р(/2>/2) и числа степеней свободы k для закона /^-распределения: [5] — стр. 361, 362; [9] —стр. 558 (г = k)- [21] —стр. 503—505; [23] — стр. 588, 589; [25] —стр. 610; [34] — стр. 368, 369; [42] — стр. 403, 404; [46] — стр. 328; [51] — стр. 517—519 (р = 1 — а); [53] — стр. 735; [57] — стр. 115—118.
19Т. Нижняя у] и верхняя у2 границы доверительного интервала
для среднего квадратического отклонения о в зависимости от доверительной вероятности а и числа степеней свободы k для закона /^-распределения: [10] — стр. 411; [21] — стр. 515; [28] — стр. 346; [42] — стр. 405.
20Т. Вероятности L (q, k) = Р	) для закона
/-распределения: [10] — стр. 412, 413; [20] — стр. 425; [45] — стр. 308, 309.
21Т. Плотность вероятности для /-распределения /(у. k) =
yk-'e 2 ----------: [51] —стр. 511, 512.
f k \
2 2 Г
22Т. Вероятности Р (у < q уТ) для величины у. подчиненной за-
Ч 1 А?	у.
кону /-распределения, Р (у <. q У'/г) — —yt:~1e 2dy:
2	2 Г (4) °
[51] — стр. 508—510.
д-2
23Т. Функция распределения Рэлея Р (Л < х) = 1 —е 2а* : [51] — стр. 507.
24Т. Функция р (х) = 1 —	[10] — стр. 415; [45] — стр. 315.
25Т. Вероятности Р (О Уп > А) = Р (А) — 1 — К (А), К (А) =
= У, (—1)* е~2А’2?2, для закона распределения Колмогорова: [1] — k- - JO
стр. 241, 242 (К (А)); [10] —стр. 414; [13] —стр. 395, 396 (К (А)); [20] —стр. 426; [21] —стр. 539—540 (К (А)); [34] — стр. 380; [57] — стр. 421.
26Т. Значения у (/^-квантили) в зависимости от параметра с и функции распределения Вальда
Р = Wc	] У 2 е У ) аУ-
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТАБЛИЦЫ СО ССЫЛКАМИ НА ЛИТЕРАТУРУ 629
27Т. Таблицы случайных чисел: [20] — стр. 426; [22]; [23] — стр. 579; [34] — стр. 386, 387; [51] — стр. 528—530; [57] — стр. 231—234.
28Т. Функция т] (р) — — р log2 р: [9] — стр. 560; [10] — стр. 415; [54] — стр. 305—308.
29Т. Ортогональные полиномы Чебышева
Р („х _ V (_ И Ci С1	...(x-j+\) .
rk,	... (n —/4- 1) '
/=о
[10]	—стр. 416—419; [33] —стр. 274-282.
ЗОТ. Двусторонние доверительные пределы для оценки вероятности по частоте при биномиальном законе распределения: [21] — стр. 520—529,
1	14-г
31Т. Значения г — — In : [21] — стр. 550.
32Т. Соотношения между параметрами bm, vn и т для закона распределения Вейбулла: [51] — стр. 50.
ЛИТЕРАТУРА
1.	А р л е й Н. и Бух К., Введение в теорию вероятностей п математическую статистику, ИЛ, 1951,
2.	Барлоу П., Таблицы квадратов, кубов, квадратных корней, кубических корней и обратных величин, ИЛ, 1950.
3.	Б а ш а р и н о в А. Е. и Ф лейшм а и Б. С., Методы статистического последовательного анализа и их приложения, «Советское радио», 1962.
4.	Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, Гостехиздат, 1946.
5.	Боев Г. П., Теория вероятностей, Гостехиздат, 1956.
6.	Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А., Справочник по математике, Физматгиз, 1959.
7.	Б у н и м о в и ч В. И., Флуктуационные процессы в радиоприемных устройствах, «Советское радио», 1951.
8.	В а л ь д А., Последовательный анализ, Физматгиз, 1960.
9.	В е н т ц е л ь Е. С., Теория вероятностей, Изд-во «Наука», 1964.
10.	В о л о д и н Б. Г., Ганин М. П., Д и н е р И. Я., Комаров Л. Б., Свешников А. А., С т а р о б и н К- Б., Руководство для инженеров по решению задач теории вероятностей, Судпром-гиз, 1962.
11.	Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, Гостехиздат, 1953.
12.	Гливенко В. И., Курс теории вероятностей, ГОНТИ, 1939,
13.	Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, Физмаг-гиз, 1961.
14.	Гнеденко Б. В. и X и и ч и н А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, Физматгиз, 1961.
15.	Голдман С., Теория информации, ИЛ, 1957.
16.	Гончаров В. Л., Теория вероятностей, Оборонгиз, 1939.
17.	Гутер Р. С. и Овчинский Б. В., Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта, Физматгиз, 1962.
18.	Гюнтер Н. М. и Кузьмин Р. О., Сборник задач по высшей математике, ч. 111, Гостехиздат, 1951.
19.	Девенпорт В. Б. и Рут В. Л., Введение в теорию случайных сигналов и шумов, ИЛ, 1960.
20.	Д л и н А. М., Математическая статистика в технике, «Советская наука», 1958.
21.	Дунин-Барковский И. В. и Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике (общая часть), Гостехиздат, 1955.
ЛИТЕРАТУРА
631
22.	К а дыров М., Таблицы случайных чисел, Ташкент, 1936.
23.	К о у д е н Д„ Статистические методы контроля качества, Физматгиз, 1961.
24.	К о ш л я к о в Н. С., Г л и н е р Э, Б„ С м и р н о в М. М., Основные дифференциальные уравнения математической физики, Физматгиз, 1962.
25.	Крамер Г., Математические методы статистики, ИЛ, 1948.
26.	К р ы л о в А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, Гостехиздат, 1954.
27.	Левин Б. Р., Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике, «Советское радио», 1957.
28.	Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений, Физматгиз, 1962.
29.	Лукомский Я. И., Теория корреляции и ее применение к анализу производства, Госстатиздат, 1961.
30.	Л э н и н г Д. X. и Б э т т и и Р. Г., Случайные процессы в задачах автоматического регулирования, ИЛ, 1958.
31.	Месяцев П. П., Применение теории вероятностей и математической статистики при конструировании и производстве радиоаппаратуры, Воениздат, 1958.
32.	Миддлтон Д., Введение в статистическую теорию связи, «Советское радио», т. 1, 1961, т. 2, 1962.
33.	Милн В. Э., Численный анализ, ИЛ, 1951.
34.	На л и м о в В. В., Применение математической статистики при анализе вещества, Физматгиз, 1960.
35.	Пугачев В. С., Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления, Физматгиз, 1960.
36.	Р о м а н о в с к и й В. И., Дискретные цепи Маркова, Гостехиздат, 1949.
37.	Р о м а и о в с к и й В. И., Математическая статистика, ГОНТИ, 1938.
38.	Р у м ш и с к и й Л. 3., Элементы теории вероятностей, Физматгиз, 1960.
39.	С а р ы м с а к о в Т, А., Основы теории процессов Маркова, Гостехиздат, 1954.
40.	С в е ш н и к о в А. А., Прикладные методы теории случайных функций, Судпромгиз, 1961.
41.	Сегал Б. И. и Семендяев К. А., Пятизначные математические таблицы, Физматгиз, 1962.
42.	Смирнов Н. В. и Дунин-Барковский И. В.. Краткий курс математической статистики, Физматгиз, 1959.
43.	С о л о д о в н и к о в В. В., Введение в статистическую динамику систем автоматического управления, Гостехиздат, 1952.
44.	С т р а т о н о в и ч Р. Л., Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике, «Советское радио», 1961.
1 5 45. У н к о в с к и й В, А., Теория вероятностей, Воепморнздат,
46.	Уорсинг А. и Геффнер Д., Методы обработки экспериментальных данных, ИЛ, 1953.
47.	Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, ИЛ, 1955,
632
ЛИТЕРАТУРА
48.	Хальд А., Математическая статистика с техническими приложениями, ИЛ, 1956.
49.	X и н ч и и А. Я., Работы по математической теории массового обслуживания, Физматгиз, 1963.
50.	Ш е р с т о б и т о в В. В. и Ди и ер И. Я., Сборник задач по стрельбе зенитной артиллерии, Воениздат, 1948.
51.	Шор Я. Б„ Статистические методы анализа и контроля качества и надежности, «Советское радио», 1962.
52.	Щ и г о л е в Б. М., Математическая обработка наблюдений, Физматгиз, 1962.
53.	Юл Дж. Э. и Кен дел М. Дж., Теория статистики, Гостехиздат, 1960.
54.	Я гл о м А. М. и Яглом И. М., Вероятность и информация, Физматгиз, 1960.
55.	Я г л о м А. М. и Яглом И. М., Неэлементарные задачи в элементарном изложении, Гостехиздат, 1954.
56.	Я н к е Е. и Эм де Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, Гостехиздат, 1948.
57.	Янко Я., Математико-статистические таблицы, Госстат-издат, 1961.
58.	Bachelier L., Calcul des probabrllies, Paris, 1942.
59.	В e r t г a n d I., Calcul des probabilites, Paris, 1897.
60.	Borel E., Elements de la theorie des probabilites, Paris, 1924.
61.	C zuber E., Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwen-dung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung, Leipzig und Berlin, 1910.
62.	S a a t у T. L., Resume of uselul formulas in queuing theory, Operations Research, № 2, 1957.
63.	T a k a c s L., Stochastic processes, Problems and solutions, New York, 1962.