Двухзонные следящие системы - Шеваль В.В., Дорохов Е.И., Исаков С.А., Земцов В.И.

Автор: Шеваль В.В. Дорохов Е.И. Исаков С.А. Земцов В.И.
Теги: автоматика системы автоматического управления и регулирования интеллектуальная техника технология управления оборудование систем управления техническая кибернетика электроника электротехника
Год: 1984
Похожие
Бортовые системы и комплексы радиоэлектронного подавления
Электротехнический справочник. В 4 томах. Том 4. Использование электрической энергии
Электроприводы переменного тока с частотным регулированием
Основы теории и элементы систем автоматического регулирования
Текст
                    БИБЛИОТЕКА
— ПО
АВТОМАТИКЕ
Выпуск С \Ь
ДВУХЗОННЫЕ
СЛЕДЯЩИЕ
СИСТЕМЫ
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1984

ББК 32.965.8
Д 25
УДК 681.513.3
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
И. В. Антик, Г. Т. Артамонов, А. А. Воронов, Л. М, Закс,
В. К. Левин, В. С. Малов, В. Э. Низе, Д. А, Поспелов,
И. В. Прангишвили, Ф. Е. Темников, Ю. М. Черкасов,
Г. М. Уланов, А. С. Шаталов
Рецензент А. М. Шубладзе
Двухзонные следящие системы/ В. В. Шеваль,
Д25 Е. И. Дорохов, С. А. Исаков, В. И. Земцов. — М.:
Энергоатомиздат, 1984. — 88 с, ил.— (Б-ка по
автоматике; Вып. 646).
Изложены основные понятия и особенности реализации двух-
зонных следящих систем — систем, изменяющих свою структуру в
зависимости от положения' изображающей точки в фазовом прост-
ранстве этих систем. Разработаны инженерные методы расчета, ба-
зирующиеся на понятиях фазового пространства и гармонической ли-
неаризации. Приведены примеры построения отдельных узлов двух-
зонных следящих систем.
Для инженеров, занимающихся разработкой следящих систем
с повышенными требованиями к их качеству.
30 К.
3500 экз.
2404000000-476
051(01)-84
257-84
ББК 32.965.8
6Ф6.5
© ^нфгоатомиздат, 1984

ПРЕДИСЛОВИЕ
Совершенствювание производства ведет к значительному ужесточе-
нию требований к качественным показателям следящих систем, таким,
как точность, быстродействие и т. п. Выполнение поставленных требо-
ваний часто оказывается не под силу системам, синтезированным ши-
роко известными линейными методами. Ситуация осложняется также
и тем фактом, что требования к современным системам являются про-
тиворечивыми, взаимно исключающими друг друга. Поэтому в конкрет-
ных разработках все чаще находят применение нестандартные методы
построения следящих систем, например используются нелинейные
управляющие устройства, реализующие нелинейные законы управления.
Во многих случаях это приводит к улучшению следящих систем более
простым, а иногда и единственно возможным способом. Кроме того,
желательно, чтобы управляющее устройство могло активно изменять
характеристики системы и поддерживать ее параметры на требуемом
качественном уровне, который должен, быть максимально приближен
к теоретически оптимальному. Оптимальные качественные характеристи-
ки следящих систем служат для определения ее потенциальных воз-
можностей при решении задач автоматизации, а также для отыскания
конкретных путей совершенствования следящих систем и выявления
неиспользованных резервов.
Возникающие на практике трудности реализации теоретически
оптимальных систем привели к интенсивному развитию методов про-
ектирования систем, простых в аппаратурной реализации, но в то же
время достигающих более высоких качественных показателей, чем си-
стемы, синтезированные обычными, неоптимальными методами. Ввиду
того что подобные системы имеют промежуточные качественные харак-
теристики, их часто называют квазиоптимальными. Дальнейшее разви-
тие теории и практики квазиоптимальных систем открывает новые пер-
спективы для усовершенствования и самих следящих систем, и тех
технических комплексов, в состав которых они входят.
В предлагаемой книге рассматриваются основные понятия и тех-
нические приложения систем, при построении которых используются
принципы адаптации и нелинейной коррекции и которые могут быть
названы квазиоптимальными. Так как такие системы синтезируются из
условия минимизации в различных зонах фазового пространства двух
критериев качества, то они получили название двухзонных следящих
3

систем. Основным их отличием от известных систем является нялйчин
двух поверхностей переключения в фазовом пространстве. При этом ре-
гулятор имеет существенно нелинейную характеристику, а сами систе-
мы могут быть отнесены к классу систем с переменной структурой
(СПС).
В основу синтеза таких систем положены основы синтеза релейных
оптимальных систем, развитые в работах А. А. Фельдбаума, и методы
синтеза систем с переменной структурой, разработанные С. В. Емелья-
новым и его учениками. Такое сочетание двух направлений в теории
автоматического -управления вызвано прежде всего желанием расши-
рить функциональные возможности оптимальных систем и упростить их.
аппаратурную реализацию на соответствующей современному состоя-
нию техники элементной базе электромеханических следящих систем.
Практическая реализация и методы синтеза двухзонных следящих
систем пока еще недостаточно освещены в технической литературе, что;
и предопределило круг вопросов, исследуемых в данной книге. Изложе-
ние материала производится в том порядке, в котором должен прохо-
дить синтез этих систем.
Гл. 1 посвящена отысканию путей наилучшего использования энер-
гетических возможностей электромеханических следящих систем с точ-
ки зрения построения пары «усилитель мощности — исполнительный
двигатель». Эти пути позволяют обосновать двухзонное построение сле-
дящей системы.
В гл. 2 излагаются методы синтеза квазиоптимального по быстро-
действию управления в случае ограничения различных координат ся*
стемы, а также освещаются вопросы сохранения высокого быстродей-
ствия в условиях вариаций параметров объекта управления.
В гл. 3 подробно рассмотрены возможности приближения реальных
режимов СПС к идеальному скользящему режиму, обладающему ря-
дом преимуществ: высоким быстродействием, малой чувствительностью
к вариациям параметров объекта управления и т. п.
Гл. 4 посвящена вопросам устойчивости двухзонных следящих си-
стем и возможностям их использования в практических задач'ах.
Книга предназначена для инженеров, занимающихся автоматиче-
ским управлением, и может быть полезна аспирантам и студентам
старших курсов вузов.
Авторы выражают искреннюю благодарность и признательность
д-ру техн. наук А. М. Шубладзе за полезные замечания, сделанные при
рецензировании рукописи, а также Ю. А. Грабарскому за большую
помощь по оформлению рукописи.
Авторы

ВВЕДЕНИЕ
Электромеханические следящие системы играют заметную роль
в автоматизации современных сложных технологических процессов.
С их помощью решаются многие важные практические задачи [13],
например:
достижение более высоких КПД; улучшение качества изделий и
снижение расходов на их изготовление;
реализация опасных для здоровья человека процессов, управление
которыми должно осуществляться без его участия;
реализация быстроизменяющихся процессов и экономически более
целесообразных режимов, которые без автоматического управления
были бы нестабильны и осуществление которых непосильно для челове-
ка из-за его ограниченной скоростной реакции.
Нагрузка —JfL>-
Рис. В.1. Структурная схема системы автоматического регу-
лирования:
ИЭ — исполнительный элемент
Электромеханическая следящая система предназначена для преоб-
разования входного воздействия в перемещение инерционной нагрузки,
и ее структура соответствует обобщенной структуре системы автомати-
ческого регулирования, изображенной на рис. В.1, где g(t) —входное
воздействие; f(t)—возмущающее воздействие; u(t)—управление;
Ф (0 — выходная координата; е(/)—ошибка следящей системы.
Неизменяемая часть рассматриваемой системы состоит из исполни-
тельного элемента и нагрузки, выходной координатой которых является
ф(/). Изменение во времени ф(0 описывается следующим линейным
дифференциальным уравнением:
I
Регулятор
ИЗ
) *
(B.l)
5

где аи ап\ си ..ст+\ — постоянные коэффициента; п и т —по-
рядок старших производных; Q — добротность неизменяемой части си-
стемы.
Используя уравнение замыкания
в(0=*(')-ф(0. (В.2)
запишем уравнение движения неизменяемой части системы относитель-
но ошибки е(/):
EW(t)+ane<n-l4t)+ ... Jta2E/(t)+aMt)=g{n)(t)+
+fln^n-1>(0+ •■• -H2^,(0+fli«f(0-cm+1/(«)(/) —
—Cm№-l4t)- ... -c\f(t)-Qu(t). (B.3)
Синтез следящей систему заключается в отыскании такого управле-
ния u(t), при котором свободное движение системы [g(/)=0, /(f) =
н=0] характеризуется быстрыми переходными процессами без перере-
гулирования, а режим отработки внешних воздействий [g(t)=£0, f(t)-=£
ф0] соответствует максимальному приближению выходной координа-
ты ф(0 к входному воздействию g(t).
Для следящих систем существует два основных линейных способа
синтеза желаемого управления u(t). В первую очередь необходимо
отметить способ получения управляющего воздействия в виде
Qu(t)=di+&W{t)+dlBil-V(t)+ ... +d2e'(t)+dVE(t), (В.4)
где du • •di+\ — постоянные коэффициенты; / — порядок производной.
В этом случае или / раз дифференцируют сигнал ошибки «(/)> или
формируют обратные связи по внутренним измеряемым координатам
неизменяемой части системы. Требование высокого качества следящих
систем (высокие точность и быстродействие, низкая колебательность
и т. п.) не может быть обеспечено лишь за счет-увеличения коэффи-
циента d\y так как это ведет к потере устойчивости следящей систе-
мой. Увеличение d2 улучшает условия устойчивости, но ухудшает бы-
стродействие, а увеличение d$, ..., di+i приводит к усилению высоко-
частотных помех, что, в свою очередь, вызывает ухудшение точности
системы. Кроме того, увеличение указанных коэффициентов может
улучшать условия устойчивости лишь до определенных значений, пока
не начнет сказываться ограниченность линейных зон в изменяемой ча-
сти системы.
Перечисленные здесь недостатки линейных следящих систем, рабо-
тающих по отклонению, еще более усугубляются в случае вариаций па-
раметров неизменяемой части системы. Действительно, уравнение дви-
жения следящей системы, работающей по отклонению, имеет вид:
е(-">(0+а»е<»-1>-(0 + ... е(')(0+ ... +(a2+d2)e'(0 +
+(fli-Mi)e(0=^n)(0+fln^n-1).(0+ ... H-atf'W+flitfW-
-Cm + l/(™)(0-C«/(w-1>(0- ••• —ClW). (B.5)
6

Изменение значений коэффициентов аь ..., ап-\ может привести к по-
явлению положительных корней соответствующего характеристического
уравнения, т. е. к неустойчивости замкнутой системы. Эти же измене-
ния, а также изменения значений коэффициентов си ... ст+\ вызы-
вают (при соблюдении условий устойчивости) понижение точности
отработки входного воздействия g(t).
Вторым важным способом получения линейных управляющих воз-
действий является так называемый принцип компенсации, который для
формирования управления предполагает использование информации
о величине внешних воздействий. Из (В.З) видно, что если сформиро-
вать управляющее воздействие в виде
■Qb(0-4+i*wW+ ... +dMt)+g(»)(t)+ang(«-D{t)+ ... +e*(0-
-c«+i/<»>(0- ... -с,/(О, (В.6)
то движение замкнутой системы будет соответствовать свободному
движению по (В.5) при f(f)=0 и g(/Js=0. При этом, как и в случае
систем, работающих по отклонению, достижение высокого качества си-
стемы за счет выбора коэффициентов du ..., dl+\ невозможно.
Физический смысл принципа компенсации заключается в создании
двух каналов воздействия на неизменяемую часть системы: по сигналу
отклонения и по замерам внешних воздействий. Формирование компен-
сационного канала затруднено условием физической реализуемости.
Если же попытаться получить управление по (В.6), то канал компенса-
ции будет представлять собой звено с передаточной функцией, степень
числителя которой выше степени- знаменателя. Поэтому физически
реализуемые системы лишь частично компенсируют внешние воздейст-
вия. Кроме того, системы, использующие принцип компенсации, имеют
область применения гораздо более узкую, чем системы, работающие по
отклонению. Это связано с тем, что не всегда удается измерить все
внешние воздействия, а если и удается, то управляющее устройство
оказывается сложным и громоздким.
Вариации параметров неизменяемой части таких систем приводят
к большему ухудшению качества по сравнению с системами, работаю-
щими по отклонению, так как условие компенсации (В.6) требует точ-
ного знания параметров неизменяемой части системы.
Более эффективным средством повышения качества следящих си-
стем оказывается использование принципов нелинейной коррекции, ко-
торые позволяют улучшать не одно, а сразу несколько свойств следя-
щей системы, например, улучшить качество переходного процесса и по-
высить точность. Нелинейные корректирующие устройства разделяются
по способу включения на последовательные и параллельные. И в том и
в другом случае нелинейная коррекция, в отличие от линейной, может
обеопечить подъем фазовой характеристики системы без существенного
изменения амплитудной характеристики. В этом случае проще обеспе-
чить выполнение условий устойчивости при одновременном улучшении
точности и быстродействия.
7

Среди нелинейных способов коррекции можно отметить следующие.
Первым важным классом нелинейной коррекции является такая, со-
гласно которой во время протекания переходных процессов на опре-
деленных интервалах времени вместо управляющего сигнала по откло-
нению формируют специальные сигналы: это может быть и нулевой
сигнал, и проинтегрированный сигнал управления по отклонению, и сиг-
нал максимально возможной амплитуды. Подобная коррекция эквива-
лентна уменьшению постоянных времени неизменяемой части системы,
поэтому данная нелинейная коррекция особенно эффективна для улуч-
шения быстродействия следящих систем. К рассматриваемому классу
систем могут быть отнесены и релейные системы, которые, как показа-
но в основополагающих работах А. А. Фельдбаума, являются оптималь-
ными по критерию быстродействия.
К недостаткам указанного типа нелинейной коррекции следует
отнести возникновение колебательных режимов при отработке медленно
изменяющихся входных воздействий. Для демпфирования колебаний
в нелинейное корректирующее устройство вводятся дифференциаторы,
что понижает точность нелинейной следящей системы, работающей
в условиях шумов. К ухудшению точности следящей системы с нели-
нейной коррекцией ведут и вариации параметров неизменяемой части
системы (особенно ярко это проявляется в релейных системах).
Несмотря на отмеченные недостатки, данный тип коррекции во
многих практических случаях более эффективен, чем линейная коррек-
ция, и позволяет несколько улучшить качество синтезированных на его
основе следящих систем.
Вторым и наиболее важным классом систем с нелинейной коррек-
цией является класс систем с переменной структурой (СПС), в которых
связи между функциональными элементами изменяются тем или иным
образом в зависимости от состояния системы. Теория и ме?оды синте-
за систем с переменной структурой разработаны С. В, Емельяновым и
его учениками, и в настоящее время они находят широкое применение
в практике следящих систем, в том числе и электромеханических.
Основная идея СПС заключается в следующем. В зависимости от по-
ложения изображающей точки в определенной области фазового про-
странства системы, а также в зависимости от предъявляемых к системе
конкретных требований дифференциальное уравнение замкнутой систе-
мы (В.5) может принимать тот или иной вид. Соответственно изменяет-
ся и вид траектории изображающей точки в фазовом пространстве, и
свойства следящей системы. Причем, что очень важно, в отдельных
областях фазового пространства замкнутая система, описываемая диф-
ференциальным уравнением вида (В.5), может быть и неустойчивой.
В СПС используется следующая особенность линейных следящих
систем [4]. Если неустойчивость вызвана тем, что один из корней ха-
рактеристического уравнения положителен, а остальные корни имеют
отрицательные действительные части, то в фазовом пространстве систе-
мы существует совокупность устойчивых траекторий, по которым изо-
а

бражающая точка приближается к началу координат. Соответствующим
переключением неустойчивых структур в СПС обеспечивается движение
изображающей точки именно по такой вырожденной траектории. Кро-
ме того, вырожденная траектория асимптотического движения к нача-
лу координат фазового пространства может быть сформирована искус-
ственно. Искусственное вырожденное движение в идеальном случае не
зависит от параметров неизменяемой части системы, а поэтому СПС
с использованием такого движения являются абсолютно нечувствитель-
ными к вариациям параметров. Правда, обеспечение идеального вы-
рожденного движения невозможно *из-за невыполнения условий физи-
ческой реализуемости, но, как и в случае линейных систем, использую-
щих принцип компенсации, реальное приближение к идеальным режи-
мам повышает качество СПС.
Рассмотренные методы синтеза следящих систем (линейные и не-
линейные) могут быть реализованы, исходя из условия экстремума
критерия, соответствующего определенному показателю качества систе-
мы. Синтезированные таким образом системы носят название оптималь-
ных следящих систем, и, Теоретически, они должны обеспечивать полу-
чение наилучших (среди возможных) показателей качества. К сожале-
нию, на практике системы, действительно обеспечивающие достижение
экстремума показателя качества, применяются крайне редко. Это
объясняется рядом причин, таких как:
ограниченность круга задач оптимизации, имеющих строгое мате-
матическое решение;
невозможность одновременного удовлетворения нескольким раз-
личным критериям оптимизации;
значительное (более резкое, чем для неоптимальных систем) ухуд-
шение показателей качества оптимальной системы в случае вариаций
параметров;
неточное знание характеристик внешних воздействий;
значительное аппаратурное усложнение оптимальных систем и т. п.
Для того, чтобы максимально использовать положительные стороны
оптимальных систем и, по возможности, избежать указанных выше не-
желательных явлений, в последнее время проектируются системы, хо-
тя и уступающие теоретически оптимальным, но все же несколько луч-
шие, чем системы, синтезированные обычными линейными и нелинейны-
ми методами. К числу важных достоинств подобных систем (называе-
мых квазиоптимальными) относится обязательный учет сложности
аппаратурной реализации, как одного из условий достижения независи-
мости от изменения внешних условий и от вариаций параметров.
Анализ качества систем, синтезированных вышеперечисленными
способами* показывает* что наилучших результатов можно достичь
(с учетом многих практических ограничений) в случае совместного
использования различных способов получения управления. Перспективно
синтезировать электромеханические следящие системы (т. е. системы,
поведение которых описывается дифференциальными уравнениями до-
9

статочно низкого порядка из условия максимального приближения
к оптимальным характеристикам, соответствующим своим критериям
качества в различных областях фазового пространства (при ограниче-
нии на сложность аппаратурной реализации), -что приводит к появле-
нию двух поверхностей переключения в фазовом пространстве системы.
За основу описания неизменяемой части электромеханической сле-
дящей системы в данной книге взят транзисторный усилитель мощно-
сти с двигателем постоянного тока (ДПТ), т. е. электропривод. Элек-
тропривод широко используется в разнообразных технических комплек-
сах и находит применение в различных отраслях техники. Используя
специфику такого объекта управления, можно на основе известных ме-
тодов синтеза высококачественных систем обосновать сравнительно
малоизученный путь построения квазиоптимальных двухзонных электро-
механических следящих систем. При этом основная новизна излагаемо-
го здесь материала заключается как в нестандартном совместном
использовании ранее известных нелинейных следящих систем, так и
в вытекающей из такого совместного использования простоте методик
синтеза. Доведение приведенных в данной книге методик расчета двух-
зонных следящих систем до достаточно простой аппаратурной реализа-
ции позволяет использовать унифицированные блоки нелинейной коррек-
ции, которые могут найти применение во многих квазиоптимальных
следящих системах.
Двухзонное построение следящей системы значительно упрощает и
использование принципов адаптации, позволяющих еще более умень-
шить чувствительность следящих систем. Простота применения параме-
трической адаптации в данном случае связана с тем, что различные пе-
реключения структур должны происходить в определенных заранее
областях фазового пространства, и отклонения от этих областей легко
измеряются и могут быть использованы для параметрической настройки
следящей системы. Эти же принципы могут быть использованы и для
предварительной настройки следящей системы. Реализация параметри-
ческой адаптации и настройки осуществляется также с помощью уни-
фицированных электронных узлов и поэтому предлагаемые в данной
книге технические решения могут быть распространены и на другие
следящие системы, использующие подобные принципы адаптации.
Безусловно, в данной работе ввиду ее ограниченного объема не
удалось провести исследование всех аспектов функционирования двух*
зонных следящих систем, однако авторы считают, полезным привлечь
внимание к подобным нестандартным структурам следящих систем, ко^
торые могут, по мнению авторов, помочь в решении технически слож*
ных задач. Вообще, современный этап развития следящих систем й,
конкретно, электромеханических следящих систем, поставил на повестку
дня вопросы создания единого подхода к синтезу квазиоптимальных
систем, использующих принципы адаптации. Можно ожидать, что кон-
кретные разработки и отдельные примеры методов синтеза должны
сыграть при этом особенно важную роль.
10

Глава 1
ПУТИ УЛУЧШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ
1.1. Постановка задачи синтеза следящих систем,
квазиоптимальных по быстродействию
Из практических соображений ясно, что требования, предъявляемые
к следящим системам, определяются их назначением и условиями функ-
ционирования. Наиболее часто встречаются требования уменьшения
ошибок слежения, увеличения быстродействия отработки начального
рассогласования, обеспечения низкой колебательности воспроизведения
входного воздействия,"достижения малой чувствительности к вариациям
параметров объекта управления и управляющего устройства («гру-
бость» системы). Для оценки следящей системы на возможность вы-
полнения перечисленных, а также ^некоторых других требований исполь-
зуется понятие качества системы, т. е. степени обеспечения наилучшего
в том или ином смысле режима функционирования. Качество следящей
системы определяется численной характеристикой — показателем каче-
ства. В общем виде показатели (критерии) качества представляют
собой функционалы, в которых роль независимых переменных играют
функции, характеризующие следящую систему [20].
По мере развития техники и совершенствования различных техни-
ческих комплексов ужесточаются требования к качеству самих ком-
плексов и соответственно к качеству всех систем, входящих в эти ком-
плексы. Во многом благодаря повышенным требованиям к качеству
возникла и получила быстрое развитие теория оптимальных систем.
Понятие оптимальности относится-к какому-либо критерию (показателю
качества) и означает достижение экстремального (чаще всего мини-
мального) значения этого показателя. Однако развитие теории опти-
мальных систем выявило и очевидные трудности практического исполь-
зования этой теории, а также получения новых теоретических резуль-
татов для систем высокого порядка. Так, для весьма важных на
практике задач быстродействия, т. е. задач получения минимального
времени перехода изображающей точки системы из одной точки фазового
пространства в другую, необходимо точно определить траекторию, опи-
сываемую изображающей точкой системы в этом пространстве. Следо-
вательно, во-первых, обязательным условием является знание всех
координат изображающей точки в фазовом пространстве [т. е. знание
(п— 1)-й производной для линейной системы, описываемой дифферен-
циальным уравнением л-го порядка], во-вторых, необходимо уметь рас-
считывать экстремальные траектории в фазовом пространстве. Но в том
и другом случаях обычно встречаются со значительными трудностями,
11

особенно для систем, описываемых дифференциальными уравнениями
выше третьего порядка.
Обычно на практике разработчики весьма осторожно используют
методы построения оптимальных систем как из-за отсутствия точного
решения задачи оптимизации для большинства прикладных задач, так
и «з-за сложности аппаратурной реализации оптимальных по быстро-
действию систем. В то же время часто желательно получать быстро-
действие, близкое к оптимальному, так как это значительно улучшает
качество электромеханических следящих систем. Обычно такие системы
используются для перемещения инерционной нагрузки из одной точки
пространства в другую по командам с центрального управляющего
устройства. Затем в течение определенного времени, необходимого для
выработки команды на следующее перемещение, инерционная нагрузка
должна очень точно выдерживать свое положение в пространстве. Сле-
довательно, эта задача характеризуется необходимостью перемещения
инерционной нагрузки из точки покоя, имеющей координату х0 и нуле-
вые значения всех производных, в другую точку покоя, имеющую ко-
ординату Xqi (не снижая общности, можно считать, что #oi=0) и так-
же нулевые значения всех производных.
В данной книге рассматриваются электромеханические следящие
системы, объекты управления которых с высокой степенью приближе-
ния могут быть описаны дифференциальным уравнением третьего по-
рядка. И конкретно рассматриваются исполнительные двигатели
с «жесткой» механической характеристикой, которые совместно с тран-
зисторным усилителем мощности могут быть представлены двумя инте-
граторами и апериодическим звеном. Весьма полезным является в этом
случае тот факт, что дли такого объекта управления имеется анали-
тическое решение задачи оптимального быстродействия, позволяющее
строить оценки приближения к оптимальному быстродействию. Полу-
чаемая при этом следящая система является релейной, и моменты пе-
реключения знака управления, а также общее время управления нахо-
дятся из решения системы трансцендентных уравнений [16]:
ехр(^)-2ехр(^) + 2ехрА_1=0;
^-2^ + 2^ = 0, (1.1)
t*3-2t\ + 2t\+ 2х0-^- = 0;
для объекта управления:
х + ^гх= -kU„, (1.2)
* Э
где Xq — начальное положение, изображающей точки в фазовом про-
странстве; ит — максимальное значение напряжения управления; k —
12

коэффициент усиления объекта управления; Тэ — постоянная времени
объекта управления.
Построение на практике оптимальной по быстродействию системы,
моменты переключения управления которой определяются из вышепри-
веденной системы трансцендентных уравнений, затруднено, так как
даже небольшое изменение параметров объекта управления (Гэ, k)
приводит к возникновению в области конечной точки управления авто-
колебательных режимов или даже к неустойчивости системы. Поэтому
и в данном случае возникает настоятельная необходимость поиска
отличных от оптимальных (квазиоптимальных) методов построения
(быстродействующих систем.
При этом следует отметить, что для весьма распространенных на
практике задач перемещения инерционной нагрузки из одной точки по-
;коя в другую с максимальным быстродействием можно, используя оче-
видные практические допущения, получить аналитическое решение зада-
чи быстродействия, обеспечивающее качественные характеристики, не-
сколько уступающие строго оптимальным.
Знание первой и второй производных выходной координаты объек-
та управления, описываемого дифференциальным уравнением третьего
порядка, достаточно для синтеза оптимального по быстродействию
управления. Для электромеханических следящих систем имеется воз-
можность получения информации о первых двух производных с по-
мощью тахометрических машин и измерителей тока якоря исполнитель-
ного двигателя. При этом могут быть использованы достаточно
яомехозащищенные измерители, позволяющие получить достоверную
информацию. Кроме того, специфика работы электромеханических сле-
дящих систем заключается в том, что максимальное быстродействие
исполнительного двигателя соответствует максимальному ускорению,
которое может сообщить этот двигатель инерционной нагрузке. Поэто-
му всегда следует стремиться к обеспечению максимального ускорения
нагрузки, а для этого необходимо достижение максимально допустимо-
го тока якоря исполнительного двигателя. Но при максимальном токе
якоря исполнительного двигателя порядок дифференциального уравне-
ния объекта управления понижается до второго, что позволяет на фа-
зовой плоскости получить аналитическое решение для моментов пере-
ключения знака управления. Чтобы окончательно свести задачу полу-
чения максимального быстродействия электромеханических следящих
систем к рассмотрению траекторий движения изображающей точки на
фазовой плоскости,- следует строить усилитель мощности с возможно-
стью достижения максимально допустимого тока якоря за конечное и
известное время.
Для используемых на практике электромеханических следящих си-
стем требуемые ошибки всегда конечны, поэтому максимальное бы-
стродействие необходимо обеспечить лишь до определенной области
вокруг начала координат фазовой плоскости, имеющей конечные разме-
13

ры, сравнимые с заданными величинами ошибок. В этом случае тре-
буется лишь одно переключение знака управления, и определение мо-
мента переключения заменяется на определение аналитического описа-
ния линии переключенияч на которой происходит переключение знака
управления. Очевидно, что такой подход приводит как к аппаратур-
ному упрощению быстродействующих электромеханических следящих
систем, так и к упрощению их методов синтеза. На последнем этапе
управления исходя из вышеприведенных соображений имеется возмож-
ность отказаться от использования квазиоптимальной по быстродей-
ствию системы и применять методы управления, менее чувствительные
к вариациям параметров объекта управления.
Задача синтеза электромеханических следящих систем, квазиопти-
мальных по быстродействию, формулируется следующим образом.
Известен вид дифференциального уравнения объекта управления:
dt* ^ Тэ dt* ь К }
^<Рвых
измеряются величины: — и ток?якоря исполнительного двигателя
at
iy, а также определено время Гэ.м, за которое достигается макси-
мальное значение тока якоря /т. Задается область выходной коорди-
наты Афвых.к, которая удовлетворяет требованиям по точности рабо-
ты следящей системы. Требуется найти вид линии переключения, на
которой происходит переключение знака управления, а также момент
перехода от квазиоптимального по быстродействию закона управления
к произвольному, но малочувствительному к вариациям параметров
объекта закону управления. Решению данной задачи и анализу качест-
венных показателей синтезированной следящей системы посвящена дач-
ная книга.
1.2. Особенности построения электромеханических следящих систем
Для электромеханических следящих систем максимальные значения
ускорения инерционной нагрузки определяются энергетическими воз-
можностями исполнительного двигателя и усилителя мощности. Поэто-
му рассмотрим возможности получения высокого быстродействия с точ-
ки зрения выбора пары «усилитель мощности — исполнительный двига-
тель». Как отмечается в работе [18], оптимальные по быстродействию
системы — это релейные системы. Для случая электромеханических
следящих систем наивысшее быстродействие соответствует случаю пе-
реключения знака максимального значения движущего момента (Мт).
Следовательно, возможность выполнения поставленной задачи (обес-
печения высокого быстродействия) во многом зависит от выбираемого
типа двигателя. Для конкретизации вопросов построения пары «усили-
тель мощности — исполнительный двигатель» в электромеханических
следящих системах в качестве исполнительных двигателей будем рас-
сматривать двигатели постоянного тока (ДПТ).
14

В общем виде структурная схема ДПТ изображена на рис. 1.1, где
и7 —• управляющее напряжение на входе усилителя мощности; к7 —
коэффициент усиления по напряжению усилителя мощности; Rn —
активное сопротивление якорной обмотки ДПТ; Тд — электромагнит-
ная постоянная времени; 1у — ток управления; kM — коэффициент мо-
мента двигателя; М — движущий момент; / — суммарный момент инер-
ции; фс — угол поворота выходного вала.
Ч
1
1
Фс
1
р
J
Р
Рис. 1.1. Структурная схема двигателя постоянного тока (ДПТ) с
транзисторным усилителем мощности
В случае абсолютно «жесткой» механической характеристики дви-
гателя, т. е. когда движущий момент не зависит от скорости переме-
щения выходного вала фс, дифференциальное уравнение двигателя сов-
местно с усилителем мощности имеет вид:
¥с + «о? с = kQUm, (1.4)
где a0—l/T9; kQ = kykM/JRaT3\ Um — напряжение управления, соответ-
ствующее максимальному току управления Im.
С учетом начальных условий фс(0)=0 запишем выражение для
ФсМ:
тс(0 = -^L(l -exp(^OeO) =fcm(l-exp(-a00), (1.5)
«о
где фот —максимальное ускорение подвижных частей.
Следовательно, в случае двигателей с абсолютно «жесткой» меха-
нической характеристикой достаточно подать на вход усилителя мощ-
ности напряжение управления Um, чтобы через время ЗТ9 инерцион-
ная нагрузка набрала ускорение фст.
Так как в реальных ДПТ имеется связь по противо-ЭДС, то диф-
ференциальное уравнение двигателя с усилителем мощности имеет вид:
9с + я0?с + *о fc =* Ьфт (1.6)
Где е0*е\/ТнТв\ Тч — электромеханическая постоянная времени.
При начальных условиях фс(0)=ф(0)^0 получаем:
fc(t)=zkQUtn ^ • (exps2t — exps^), (1.7)
15

Анализ (1.7) показывает, что для поддержания постоянного значе-
ния фст необходимо формировать следующее напряжение управления:
Wm = Um + e.Vm
\ -С2 ~ St
exp 521 + •
■ exp 52 £
(1.8)
s2 sx
Такое управление автоматически реализуется, если строить релей-
ный усилитель мощности с обратной связью по току (рис. 1.2) [25],
где koc—коэффициент, устанавливающий соответствие между напря-
жением управления и током управления.
кос '
ку/К,
1у
ТэР + 1
L
Рис. 1.2. Структурная схема релейного усилителя мощности
В случае возникновения в замкнутом контуре скользящего режима
с достаточно малой амплитудой колебаний релейный ^элемент можно
считать звеном с бесконечно большим коэффициентом усиления &<».
Тогда:
к&> у
1
f 1 +
/jy&OC^oO
(1.9)
Из (1.9) следует, что при большом напряжении питания двигателя
противо-ЭДС не может привести к снижению значения /у, а это соот-
ветствует абсолютно «жесткой» механической характеристике двя-
гателя.
Кроме того, в этом случае осуществляется форсировка электромаг*
нитных процессов- с коэффициентом форсировки кф\
кф — Уп rnax/Vпнои
(110)
где Un max, Упвом— максимальное ■ и номинальное напряжение пита*
•ния, что поясняется рис. 1.3.
При этом можно оперировать новыми уменьшенными значениями
электромагнитной постоянной времени Гэм:
?'т=* — 7'э1п nJ)H НуЛе
вых начальных условиях;
^"эм =^-*- Ь (^ -Y при ненулевых начальных условиях.
\ кФ + 1 /
(1.П)
16

Следовательно, с точки зрения простоты и надежности построения
электромеханических следящих систем, оптимальных по быстродей-
ствию, следует за счет построения соответствующего усилителя мощ-
ности стремиться к выбору неизменяемой части системы (усилитель
мощности-|-ДПТ-{-нагрузка), имеющей вид:
?с + *о?с = fyV (1-12)
Исполнительный двигатель при этом может быть выбран из усло-
вия прохождения заданного расстояния в расчетное время:
М„
(1 — ехр( — a0t))
2J
■t2
t.
(1.13)
Полная принципиальная схема усилителя мощности, соответствую-
щего рис. 1.2, приведена на рис. 1.4.
Входной сигнал с выхода суммирующего усилителя D1 поступает
на вход компаратора D3, где сравнивается с сигналом, пропорциональ-
ным току двигателя, поступающим с усилителя D2. Резистор R25,
включенный в цепи положительной обратной связи компаратора, регу-
лирует ширину петли гистерезиса, а на логических элементах D4 про-
исходит формирование парафазного сигнала управления силовыми
транзисторами.
Предположим, что при UBX=0 /^S-триггер, выполненный на логи-
ческих элементах. Z)4./, D4.2, установлен в таком положении, что тран-
зистор V2 открыт, а транзистор V14 — закрыт. При этом транзистор
V13 открыт, так как через его
переход б-э протекает ток, опре-
деляемый генератором тока, вы-
полненным на элементах V15,
V16, R24, R28. Через открытый
транзистор V13 протекает вход-
ной ток силовых транзисторов по
цепи: +£/Пит, переход э-б тран-
зистора V6, резистор R22, откры-
тый переход транзистора V13,
резистор R21, переход б-э тран-
зистора VII, резистор R16. Сило-
вые транзисторы V6 и VII от-
крываются, и через двигатель
начинает протекать ток. Скорость
нарастания тока двигателя опре*
деляется электромагнитной по-
стоянной времени с учетом напря-
жения питания. Превышение на-
пряжения питания в 3—5 раз над
номинальным ведет к форсИроВке
электромагнитных процессов. На-
2— II
Рис. 1.3. Диаграмма изменений
тока при форсировкё электромаг-
нитных процессов:
А— точка, соответствующая моменту
переключения знака управления
17

пряжение на резисторе R16, пропорциональное току двигателя, через уси-
литель D2 поступает на вход компаратора D3. При превышении этим
напряжением порога срабатывания компаратора, определяемого шири-
ной петли гистерезиса, он срабатывает и перебрасывает триггер в дру-
гое положение. При этом запирается транзистор V2 и отпираются
транзисторы V14 и V4, через которые потечет управляющий ток сило-
вых транзисторов другой диагонали моста V5 и V12. .Отпирание тран-
зисторов V6 и VII происходит в той же последовательности, что и от-
пирание транзисторов V5 и V12, только при этом транзистор V4 отпира-
ется от генератора тока, выполненного на элементах Vlt V3, R4, R5,
а через резисторы R7 и R8 протекает входной ток транзисторов V5
и V12. После переключения транзисторов моста ток двигателя изме-
няет свое направление, а напряжение, пропорциональное этому току, —
свой знак, так как оно поступает с измерительного резистора R14 на
другой вход операционного усилителя D2. При достижении этим на-
пряжением на входе компаратора величины, превышающей ширину
петли гистерезиса, происходит переброс компаратора, в результате чего
транзисторы V5 и V12 запираются, а транзисторы V6 и VII — отпи-
Рис. 1.4. Принципиальная схема релейного усилителя мощности
18

раются. Начинается автоколебательный процесс, при этом напряжение
на двигателе скачком изменяется от +£/ПИт до —£/Пит с частотой авто-
колебаний. Амплитуда пульсаций тока определяется шириной петли
гистерезиса компаратора, электромагнитной постоянной времени и на-
пряжением питания. Обычно амплитуда 'пульсаций тока составляет
(0,5—5) % от его максимального значения, а частота лежит в диапа-
зоне 3—15 кГц.
При подаче на вход усилителя сигнала он работает в последова-
тельности, аналогичной вышеописанной, но только пульсация тока про-
исходит относительно уровня, определяемого входным сигналом, в. ре-
зультате чего ток двигателя следит за входным сигналом.
Имея выбранную выше пару «усилитель мощности — исполнитель-
ный двигатель», можно строить оптимальное по быстродействию управ-
ление вида
uy=±Um,
где Um — максимально допустимое напряжение управления. Но, как
указано в [11], такое управление в задаче точного воспроизведения
входного воздействия может привести к неустойчивости следящей си-
стемы. К тому же при малых значениях ошибок отработки это управ-
ление становится чувствительным к вариациям параметров объекта
управления. Все это указывает на тот факт, что в практических раз-
работках задача оптимизации наталкивается на трудности при реали-
зации, так как существует целый ряд требований, которые не учиты-
ваются при нахождении оптимального управления. Учет таких требова-
ний во многом зависит от опыта и мастерства разработчика и
проводится им, как правило, эмпирически. К подобным относятся тре-
бования:
к надежности следящих систем^ к устойчивости по отношению
к климатическим условиям;
к простоте настройки и обслуживания следящих систем;
к массам и габаритам;
к технологичности изготовления следящих систем;
определяемые функцией, выполняемой системой в сложной системе.
Таким образом^ можно сделать вывод о том, что пара «усилитель
мощности — исполнительный двигатель» с «жесткой^ механической ха-
рактеристикой потенциально может обеспечить получение максималь-
ных быстродействия и добротности, но реализация таких показателей
качества все же затруднена как высокими требованиями к другим по-
казателям качества, так и некоторыми иными практическими сообра-
жениями. Поэтому необходимо, опираясь на выбранный вид пары «уси-
литель мощности — исполнительный двигатель» как на неизменяемую
часть системы, определить такое управление, которое удовлетворяло
бы всем поставленным требованиям, мало уступало бы теоретически
2* 19

оптимальному управлению и, кроме того, было бы мало чувствитель-
ным к вариациям параметров объекта управления и легко воспроизво-
димым в аппаратуре.
1.3. Двухзонные следящие системы
До настоящего времени термин «квазиоптимальные системы» стро-
го не обоснован и не существует общепринятой оценки близости
к оптимальному закону управления. Те оценки, которые можно встре-
тить в технической литературе, как правило, субъективны и поэтому не
могут считаться удовлетворительными. Поэтому под термином «квази-
оптимальные системы» мы будем понимать системы, имеющие неболь-
шие отклонения от экстремальных значений показателей качества (что
также субъективно), но обладающие простотой аппаратурной реализа-
ции и «грубостью» к вариациям параметров объекта управления. Кроме
того, подобные квазиоптимальные системы должны использовать
принципы адаптации как перспективный и эффективный метод обеспе-
чения близости к теоретическому оптимуму во всех режимах работы.
Последнее соображение позволяет придать синтезируемой следя-
щей системе следующие свойства [21]:
характеристики и координаты системы находятся под постоянным
контролем;
наблюдаемое поведение выражается в виде некоторого показателя
качества;
при изменении показателя качества параметры системы варьируют-
ся для поддержания его на заданном уровне.
Согласно классификации адаптивных систем [21] под понятие
«квазиоптимальных систем» попадают системы с адаптацией контро-
лируемых переменных и адаптацией характеристик системы
Приведенные здесь предварительные соображения позволяют вы-
брать двухзонную структуру управления, основываясь на имеющихся
примерах построения следящих систем, аналогичных по поставленным
требованиям и использующих нестандартные структуры. Отметим неко-
торые из них.
Как правило, большинство промышленных регуляторов настраи-
ваются исходя из требований отсутствия перерегулирования. Вслед-
ствие этого следящие системы, имеющие в своем составе такие регу-
ляторы, крайне медленно реагируют на значительные возмущения, что
приводит к увеличению динамических ошибок. С целью ликвидации
указанного недостатка, как показано в [26], был разработан регуля-
тор типа Micro-Scan 1300, в котором коэффициент усиления (КУ) вы-
полнен подстраиваемым. В зоне малых значений рассогласованный ре-
гулятор является обычным-ПИД-регулятором с малой величиной КУ,
а при больших значениях рассогласования КУ постепенно увеличивает-
ся. Таким образом, в этом решении просматривается идея использо-
20

вания нескольких показателей качества, каждый из которых относится
к своей области фазового пространства автоматической системы.
О подобном методе построения следящих систем говорится также
в [27], причем отмечается, что в случае, если в зоне больших рассо-
гласований используются нелинейные методы управления, синтезиро-
ванные по критерию быстродействия (кусочно-постоянное управление),
то удается при сохранении малой колебательности и чувствительности
системы к вариациям параметров объекта управления значительно
уменьшить время переходного процесса. Для этого в начальный мо-
мент после возмущения на исполнительный орган подается максималь-
ный сигнал в течение промежутка времени, который необходимо рас-
считать так, чтобы регулируемая переменная по возможности ближе
подходила к заданию, но без риска появления перерегулирования.
И лишь затем управление становится линейным, что должно обеспе-
чить «тонкое» регулирование [28].
Аналогичные идеи высказываются в [1, 2], посвященных вопро-
сам улучшения показателей качества следящих электроприводов подач
станков с ЧПУ. При этом можно использовать различные методы
управления в каждой из зон работы следящей системы. Так, в работе
[1] предлагается на низких скоростях отработки - управлять за счет
изменения движущего момента, а при высоких скоростях — за счет
изменения мощности. В работе [2] управление подразделяется на
оптимальное по быстродействию и традиционное линейное.
С учетом всех приведенных выше примеров можно отметить сле-
дующее важное свойство следящих систем: высокое быстродействие
требуется при больших значениях координат систем (рассогласований),
а при достижении малых значений координат системы основной зада-
чей становится необходимость удержания изображающей точки систе-
мы в начале координат фазового пространства.
В [9] предлагается эффективный способ построения следящих
систем, заключающийся в использовании нескольких показателей каче-
ства, каждый из которых оптимизируется в различные промежутки
времени.
С точки зрения улучшения качества управления перспективно
строить следящие системы, фазовое пространство которых условно раз-
бито на две области, одна из которых находится внутри другой, каж-
дая со своим критерием оптимизации. При этом переход из одной обла-
сти в другую можно рассматривать как смену структур, синтезирован-
ных по различным показателям качества [22]. Внутреннюю область,
непосредственно примыкающую к началу координат фазового
пространства, будем называть в дальнейшем областью G.
Внутри области G целесообразно использовать системы с перемен-
ной структурой (СПС), которые реализуют скользящий режим, позво-
ляющий получить минимальную колебательность Как известно [4],
в таких системах достигаются низкие значения ошибок системы при
21

поддержании более высокого, чем в линейных системах, быстродей-
ствия. Кроме того, скользящий режим обладает повышенной «грубо-
стью» к вариациям параметров объекта управления. Системы просты
в изготовлении, наДежны в эксплуатации, рентабельны. Они строятся
путем набора типовых нелинейных звеньев, названных в теории W-
ячейками. С помощью определенного числа Т-ячеек может быть до-
стигнута заданная точность с учетом устойчивой работы всей системы.
Хотя ^-ячейки имеют существенно нелинейную характеристику, СПС
обладают свойством инвариантности к масштабу входного сигнала: при
любом изменении входного сигнала -в k\ раз выходной сигнал нели-
нейного звена также изменяется в kt раз, не меняя своей формы. Такое
сочетание нелинейного управления с линейностью к величине входного
сигнала есть признак, присущий именно* СПС.
Объект управления
Li
ТэР + 1
Li L_.
Li
Ь_4-
МБ
спил
i—i i:4
БПС
Л
Рис. 1.5. Структурная схе-
ма двухзонной следящей
системы
Имеется еще одно положительное свойство двухзонного построения
следящих систем, Попадание на поверхность скользящего режима мо-
жет произойти с достаточно больших промежутков границы области
G, тем самым отклонения траектории изображающей точки от расчет-
ного значения после переключения структур аннулируются и не сказы-
ваются на величине установившейся ошибки системы. Следовательно,
необходимо лишь обеспечить, чтобы; в результате выполнения квази-
оптимального по быстродействию управления изображающая точка си-
стемы кратчайшим путем попадала бы в область G.
Структурная схема двухзонной следящей системы изображена на
рис. 1.5, где БПС— блок .переключения структур; Л Б — логический
блок; Li — поверхности переключения в фазовом пространстве си-
стемы.
22

Для объекта управления типа «усилитель мощности — исполнитель-
ный двигатель» можно записать следующее дифференциальное урав-
нение:
x + OqX = —kQuy + ^at (1.14)
где |1н = -Ме//Гэ; Мп — статический момент нагрузки.
Уравнению (1.14) соответствует система нормальных дифферен-
циальных уравнений:
х = xlf
(1.15)
%i — Xj,
Х2 = Х3,
н = — ~~ а°Хз +
Структура, работающая во внешней области фазового простран-
ства, призвана обеспечить высокое быстродействие и за минимальное
время доставить изображающую точку системы в область G.
В этом случае решается задача о минимуме линейного функциона-
ла [11]:
ТГ 3 / 3 \
о L *=i \ /=1 /.
Л,
где mi(t) — множитель Лагранжа; а1а = 1, а28 =а 1, д38 « а0, при усло-
вии, что интегра
л J<
dt при е -* оо принимает заданное значение Т.
(116)
Из [11] известно, что решение уравнений Эйлера в этом случае
приводит к следующим результатам:
з
/=1
Сравним следующие дифференциальные уравнения:
и
xr\-doX^A {t),
Где dm и C2m — постоянные интегрирования; Л (t) — некоторый поли-
ном от t.
Можно сделать вывод, что поведение т3(0 повторяет поведение
#з(0 при отработке следящей системой линейного входного воздей-
ствия при произвольных начальных условиях, т. е. можно утверждать,
что при больших рассогласованиях основное значение Имеют лишь дёа
интервала управления: разгон й торможение исполнительного двигате-
ля. В системах третьего порядка второе и последующее изменения зна-
ка xz(t) будут происходить лишь при согласований с входным воздей-
23
(1.17)

ствием, но при этом в работу должна вступать вторая структура.
Все сказанное выше верно лишь для систем вида
хз-}~ахз=—ku,
т. е. при астатизме второго порядка. Это может служить дополнитель-
ным доказательством полезности применения «жесткой» механической
характеристики исполнительного двигателя в задачах быстродействия.
Итак, два интервала управления при работе первой структуры сле-
дящей системы позволяют достичь высокого быстродействия в задачах
перевода изображающей точки в область G.
При работе первой структуры на объект управления подается сиг-
нал управления Um со*знаком, соответствующим определенной обла-
сти фазового пространства рассматриваемой системы. Будем считать,
что входным воздействием является «единичный скачок» \[t) величи-
ной хо. Для определенности примем, что на первом интервале требует-
ся управление *^-Um.
Обозначим через Х3т максимальное ускорение, достигаемое при
Un max- Тогда для координат системы можно записать следующие вы-
ражения [учитывая, что начальные условия х3(0) =л,2(0)=1у (0) =0].
При 0^<СГэм:
х3(0 = ( - Хзт + *зн) (1 - ехр( - t/T9)),
iy(t) =/т(1-ехр(-*/Гэ)),
*i(0 = (Хш- ^зн)^э(1 - ехр( - t/T9)) + ( - X3m +
^1(0 = (-^зт+^зн)7,2э(1-ехр(-//Г9)+ М1Л8>
+ —— t2 — ( — Хзт + X3H)T3t + х0,
где Хзн — отрицательное ускорение, вызываемое статическим момен*
том нагрузки; 1т — максимальный ток.
При Т'эм <: t ^ /п (tn—момент переключения знака управления):
Где *' = *"Гвм.
24

Условно примем, что в момент переключения знака управления ко-
ординаты Х\ и х% принимают значения:
Для второго интервала управления решение дифференциального
уравнения (1.14) имеет следующий вид.
При tn^t< T'3'M + tn:
Х8(<") = (**п+*ам) [1~ех9(—'Тг)) ~
ц—М-тг;1
iy(t")= -I„
i,+-t
x
X (l-exp(--^-j) +(^зт+^зн)<"+.
-2П>
Xi(t") = XmT*9 [I + — ) ( 1 - exp
J X3m -f- Ar3H
1 э J /
(t")* + x2nt"-X9mT3 1 +
&Ф )
1Ш
(1.20)
)
где /" = t-tn.
При ^п + Т'эм^^ *G (^o ~ момент попадания изображающей точки
в область G):
*•('"') = г.
«ф
^"sm + ^ф-^зн 2Хзт
*■(<"') = Ц -^-^ + (Хзт+Хзн)Тт+х2Т1,
Хзт + &ф^зн Г 2Хзт
*!(*'") = С")2 - [-]^-Т9-(Хт+Хал)Т9и-
~~Х2П
■^э-1 +
ХзпгТ ЭТ -f-
(1.21)
где Г' = /-^-Г9М.
25

Как было показано ранее, для высокого быстродействия при боль-
ших рассогласованиях рассматриваемой двухзонной системы достаточ-
но двух интервалов релейного управления. Затем в области G реали-
зуются алгоритмы СПС, для чего напряжение управления задается
Прямо пропорциональным координате хь причем коэффициент пропор-
циональности является кусочно-постоянным и его изменение осуществи
дяется в зависимости от состояния системы [4];
u7*=W*xu (1.22)
{+а при X,L>0,
(1.23)
— а при Хх1<0; ,
LreXs + ^Xa + ^Xi. (1.24)
Для СПС решение дифференциального уравнения (1.14) можно
записать:
t
*•(') = СХя ехр( - a0t) - kWехр( - a0t) Г^(f )ехр(вьОЛ + —.
о
Постоянная интегрирования Сх9 находится из следующих сообра-
жений. Движение СПС начинается из точки, где Х\(0)=Xig — коорди-
ната границы области G и х8(0) = ^з^+У^зн ^ отсюда:
СУ
где у¥ха — начальное значение коэффициента передачи звена с пере-
менной структурой, которое для определенности примем равным —а.
Тогда
kaxiG
|*Х!(0ехр(а00^
Л
Шх \ X!(0exp(a00^ ехр( — ffoO +
+ **" + *ф*3" ехр( - flbO + — (1 ~ «р( - V)) • (1-25)
«ф ао
Ток управления может быть найден из уравнения
di4 . kyiiy
Ао^-б1^. (1-26)
1_
&ф
Решение этого уравнения с учетом *у(0) = —/т —— записывается:
i (t) = г -\ -— 0о I Х!(Оехр(а00^
L О
ехр( — a0t) —
_ Js-expt-floO. 0-27)
#ф
26

Сравнивая (1.25) и (1.27), можно записать:
'*8(0= --у-МО+^вн- (1.28)
Выражение (1.28) показывает, что при синтезе СПС есть возмож-
ность пользоваться вспомогательной координатой iy(t), но при этом
появляется дополнительная составляющая статической ошибки.
В дальнейшем будет показано (см. § 3.1), что из условий получе-
ния устойчивого скользящего режима необходимо, чтобы координаты
х3, х2 и Х\ были связаны вполне определенными соотношениями. В свя-
зи с этим в момент начала работы СПС координата х3 не может пре-
вышать некоторого значения. Для обеспечения устойчивой работы двух-
зонной следящей системы необходимо ввести третий режим работы,
основной задачей которого является быстрейшее снижение величины
координаты xz(t) с • до приемлемых низких значений.
Работав третьем режиме продолжается не дольше времени Г"эм,
и координата хг при этом изменяется по следующему закону:
Xa(*IV)= -A^[l-^tiexp(-^IV)] + ^3H, (1-29)
где t™*=t—tG.
Так как рассматриваются быстродействующие следящие системы, то
^3/72 + зн
т ^> Хзн и достаточно понизить координату х3 со значения
т до значения Хзн, Следовательно, переключение на кусоч-
«Ф
но-линейное управление должно произойти через время /доп после до-
стижения границы области G, которое определяется из уравнения
£ф(1—ехр (—а0*доп))=ехр (—а0*доп)
и, окончательно:
W=-^in^q-r (1.30)
Для остальных двух координат можно записать:
xt(tlV) =Т^ (VH)[l-exp(-VIV)m*SH-*3m)<IV+x2G.
*i(*'V) = - -ГТ" (*ф + 0 [ 1 - ехр( - a0tw)] +
(1.31)
27

Через время /доп после попадания на границу области G коорди-
наты Х[ и х2 принимают следующие значения:
Х*Ы = ^ аа 1П ( — ) + *20
(1.32)
W + 1/
х1(/дои) = - - [ Of. + *JL (*ф + 1)1 Ш (_%-) +
+ ln(vFiJ + XlG-
Полученные координаты относятся ко второй области (назовем ее
область М). Область М является именно той областью, где непосред-
ственно реализуется скользящий режим. Следовательно, область G
разбивается на две подобласти: область М и промежуточную область,
расположенную между границами областей G и М, которая условно
может быть названа областью захвата на скользящий режим. Появле-
ние промежуточной области объясняется необходимостью повысить на-
дежность перехода системы на функционирование по алгоритмам СПС.
Таким образом, двухзонные следящие системы работают по сле-
дующему алгоритму:
1. Во внешней области реализуются два интервала квазиоптималь-
ного по быстродействию управления.
2. При достижении границы области G происходит противовклю-
ч.ение в целях уменьшения значений координаты хъ (режим захвата).
3. После снижения значений координаты, х3 до приемлемых вели-
чин включается в работу система с переменной структурой.
Глава 2
БЫСТРОДЕЙСТВИЕ ДВУХЗОННЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ
2.1. Синтез управления, нвазиоптимального по быстродействию
Синтез управления следящей системы является главным моментом
при ее разработке. Всегда желательно использовать при этом не-
сложные вычислительные операции, что достигается разумным выбором
допущений при постановке зада-
чи синтеза. Такими практическими
допущениями (соответствующими
многим реальным задачам) явля-
ется принятие модели объекта
управления в виде двух интегра-
торов и апериодического звена
(например, моментный двигатель)
и выбор усилителя мощности
Рис. 2.1. Фазовый нортрет двух- с Ф°РСИР™ электромагнитных
зонной следящей системы процессов (ограничение координа-
28

ты *3). Получаемые в этом. случае расчетные формулы просты
и позволяют оценить быстродействие при больших рассогласованиях
двухзонных следящих систем. Простота реализации выбранного ква-
зиоптимального управления гарантируется тем, что формируется лишь
одна поверхность переключения L.
Для синтеза квазиоптимального по быстродействию управления не-
обходимо отыскать аналитическое выражение поверхности переключе-
ния, на которой происходит изменение знака управления. Такая поверх-
ность переключения позволяет при изменяющихся начальных условиях
попадать в узкую зону на границе области G (в предельном случае
в точку на границе с координатами Хю, х2о
тт ^зт ЗН
На рис. 2.1 показана проекция фазового портрета системы при
отработке больших рассогласований, где Р — точка фазового простран-
ства, в которой происходит -набор максимального ускорения
•—Хзт\ П — точка переключения с первого интервала управления на
второй; Т — точка, в которой происходит набор максимального уско-
рения Хът.-
После точки Т движение происходит по траектории:
^{Лзт-ГКфл Зн)
Непосредственно из третьей и второй формул системы (1.20) видно,
что при /=Т"ЭМ получаемые значения х2(Т//Эм) всегда отличаются на
одно и то же значение от координат х2ц точки переключения,
а именно:
Д*2 = х.(0 ~*2П -Цг~Тэ + ( - Х*п +'*.Хм- (2-2)
#ф
Приращение координаты х\ зависит, в свяю очередь, от текущей
координаты *2п> т- е-:
с
= ХЛ"_) —Х,~=:1
а /т" \ 2Х31П ,
= х±{Т9М) - х1П = —— Тэ -
Ф
Хзт(Ьф + 1) ,, Хзт + X
■ф
Тэ?эм + 5 (Гэм)2 ~ *2П7эм. (2-3)
- - am ^ф^3н\
наты х3 = — -— 1 имеет следующий вид:
Следовательно, линия переключения ^линия, а не поверхность, так
как переключение происходит при одном и том же значении коорди-
= О/У Y 1 ~ <X2G +>2)2] +*1G + A*L (2-4)
3m -+- КфЛ3н)
Формула (2.4) представляет собой математическое выражение квази-
оптимального по быстродействию алгоритма управления.
29

Координаты точки Р находятся с помощью подстановки в четвер-
тое и третье уравнения системы (1.18) значения t=T'9M:
(Хзт — X3ii) ^ ^ Тэ + |Г'ЭМ j,
Обозначим через Вк величину отрезка, отсекаемого на оси 0xt
фазовой траекторией:
= ~ ■ 9/у ** у v (4(0 -*!р) +xip
z 1лзш — «фл зн>
и найдем эту величину с помощью значений хц> и *2р из (2.5):
р _^2з'п(^ф-2) + 2Л^3н-^2зн
2(^3^ — ^фА'зи)
(i.r.. + r.r№)_
- Хз'"2 Хш (-Г'э,.)2 + *о = Вк + х0. (2.6)
Уравнение траектории на первом интервале управления можно за-
писать в следующем виде: -
Xl(t) = -2<ХкфХЧЬ)Х , + Дк + *»- (2-7>
Обозначим через к величину отрезка, отсекаемого на оси О*! па-
раболой (2.4), и найдем эту величину, используя (2.2) и (2.3):
4Х*т(кф - 1) - 4£ф(2&ф + 3)ХшХ9л + 3k%x*3H Т у„
4^ф(^372 + ^ф^зн) * эм
-|- ~~ ^Ф ~~ О^3'71 + "~ О^зт^зн + &2ф^2зи ^2_^
2(^372 + ^Ф^Зн) ЭМ
2Аг371Л'зн ^ ^фх2(-(^з^ + ^зн)
^зтг + ^ф^зн 2(^3^ + ^ф^зн) эм
_ X3mx2G у, кфХ220 (2 8)
^з-vz + ^ф^зн %(Хзт + k§X9Xi)
В результате уравнение линии переключения можно записать
в виде
ХМ = ^X^fJx \ + Г« + (2-9)
^(^3W "г «ф^зн)
Будем искать координаты точки Я, для этого запишем:
У°2п , 7"+х = _ *Ф*2п ^ ~ +^
2 (^з/тх + ^Ф^зн) 2п эм 2(^3,^ — *фХ3н)
что можно представить в следующем виде:
kfaX*.
Х\:
30
* 372 4 + %С + ^А-^0. (2.10)
^23.71 ^2ф^2ЗН

Обозначим:
ЬфХ3т А
г-——— = Ля.
и, учитывая соотношения
Лз>0, Гэм>0, (к—Яи—*>)«),
запишем
%1!
С - V(T'J> + 4A3(BK-* + x0)
*1П!
таг
(8.11)
2 (^sm — ^ф«^зн)
Координаты точки Т определяются по следующим выражениям
2Х<
(2.12)
хат — ( — Хзт + Х3н)Т^м + —-ОН Тэ + х2П>
*ф
^Зт + Х3н /Т» \ 2Хзт
(6ф + О^зт
(2.13)
Оценку быстродействия найденного алгоритма управления прове-
дем, используя формулу для времени движения системы, приведенную
в [12] для траектории в виде параболы:
*2К *2Н
(X3m)i
(2.14)
где индекс «к» означает конец пути; индекс «ih» означает начало пути;
индекс i указывает, что должны по смыслу употребляться значения
Х3т — &ф^3н Хзт 4" &ф^3н
^ф ^ф
С помощью (2.14) время движения системы от точки с координа-
тами [х0; 0; 0] до границы области G (точка с координатами
\хю', X2G\
ЗН
£ф
Jj определяется следующим образом:
(X2Yl Х2р) Ьф грп
Хзтп — ЬфХ Зн эм
л зт Т" "фл Зн
+ VCtJn + с(5(Т'т)* + с„ (О» + с,тг»9 + с„гэгэм +
+ CjtT3T3'M + С;10ГЭ + С/1Ь
(2.15)
31

с У2о . с _ {Щ - 2) Х3нХзт - Х*зт - к\Х\н
_ (кф+\)Х3,,-2кфХзн (кф+1)Хзт
W2 ' —
Х3>п — кфХ3.А Х3 п + кфХза
_ 2£2фЛ"2С?Л'3,„(Л'3.,г + Хзи)
W4 —
(Хзп + кфХ3[,)2 (Хзп1 — ^Y3„)
-(^ф-АкфЛ\)ХзпХ
к*ф(2к*ф-3)Х3,пХ*зн
ch = уз—2?2 У2 [^VH+(^-4V[i)i3A1+^(^-i)fiH];
л з.'я « ф -Л зм
С/, = 1 -
(Х3,п + кфХ3,У(Хзп-кфХзл)
ЩХ»,, Ш + 1)хзп + Х3,(к% - 2кф + 1)] _
■ к*ьХ*:
'Фл Зн
кф(Х%п — 62фЛ231)
(<^зм + *ф^"зн)2 (Л"3'« — ^ф^зн)
кф(кф - I)2 Х*т + 6ф(2/гф - 3) ХзтХзл - (/;ф - 2) Х\п _
Х\п-к\Х*зл
г- -ay Х23т(Зкф~\)+кф(2кф-\)ХзтХзп-2к\Хзн
С/о — **Л3т
С/в = 4
Qio = ■
(^Зтг + £ф^3н)2(^3ю — ^ф^Зн)
4кфХ20Х\т
(Хзт + ^ф^зн)2 (Х3>п — ^ф^зн)
Qn = 2Хйп [2(Х0 - Хю)(Хзт + кфХ3.л) + кфХ\0\X
X [{Х9п + кфХгн)* (Хш - кфХ3н)]-1.
Данная формула, несмотря на ее громоздкость, достаточно проста
в вычислении.
На рис. 2.2 приведены графики времени отработки различных вход-
ных воздействий двухзонной следящей системы при &ф = 3; Тэ =
==Ы0_3 с; Хзп=50 рад/с2; х2о = 0,1 рад/с:
Хзт = 500 рад/с2 — кривая 1;
Л"3т=1000 рад/с2 — кривая 2;
А"3т = 3000 рад/с2 — кривая 3.
Таким образом, для синтеза квазиоптималыной по быстродействию
системы необходимо определить линию переключения (2.9). Затем по
(2.15) проверяется реальное быстродействие системы.
Важным моментом в определении параметров двухзонной следя-
щей системы является нахождение значений границы области G. Этот
вопрос будет рассмотрен в дальнейшем в связи с изучением устой-
32

о 0,20,4-
а, рад
зависимости
двухзонной
Рис. 2.3. Фазовый портрет двух-
зонной системы при ограничении
координаты х2
чивости двухзонной следящей си-
стемы (см. § 4.1).
Несколько другой подход к
синтезу таких систем будет в слу-
чае ограничения координаты х2.
Этот случай иллюстрируется на
рис. 2.3. Независимо от величины
х0 переключение на второй ин-
тервал управления происходит
при одном и том же значении ко-
ординаты х\, (точка П2).
Найдем аналитические выражения для х1П2.
Так как на участке П1—П2 движение происходит с постоянной
скоростью Х2т, следовательно, в точке переключения П2 координата
х3=0, и уравнения для координат системы на участке П2—Т2 имеют
вид:
х8(0 = (X3m + X3ll)[\ — ехр( — a0t)],
Рис. 2.2. Графики
времени отработки
следящей системой входных воз-
действий g=A-l(t) при ограни-
чении координаты х3 (У, 2, 3) и
при ограничении координат х2
и *з (/', 2\ 3')
Для участка Т2—область G уравнение фазовой траектории по-преж-
нему имеет вид (2.1), что позволяет записать:
ЧТ2
(О =-
Кф
(Х2Т2
(О
A2G
)+Х
1G*
(2.17)
2(^з^ + &ф^зн;
В то же время при t = T'0m уравнения системы (2.16) принимают вид:
Хзт + кфХзн
з—ю
33

cT6 —
2 (А"3ш + ^Ф^зн) '1 °
Из третьего уравнения системы (2.16) при подстановке (2.18) по-
лучаем:
*,П2 = СшТ2э + С2п(^^м)2 + СзПГэГ^м+64пГу+С5ПГ,м+Сш, (2.19)
где
Х\п + 6Х,нХзт(2к*ф - Щ + 1)
^2П —
2&ф (Хт + кфХзп)
(кф - \)Х\п + (2^ф - 5^ф — + 2*У^-3)*»8Н
2(^3^ + /^фА'зн)
(Лф-1)»Ан .
Х3т + A'g
A3.7z ~Ь ^ф^зн
С4П~ А -г; i ь у '
л ЗШ "Г '^фЛ ЗН
С
51V
А'зш + кфХ3н
ст = х*2
кф
2(Хзт + кфХ311)
По этому выражению можно рассчитать значение координаты хи при
котором -происходит переключение на второй интервал управления.
Значение координаты х2 в точке Р определяется по первому урав-
нению системы (2.5), а значение координаты х2 в точке Т2 равно:
*гт2 = х2-п + А"-Т'- 7 Х': Тъ + (Х3„ + А'311)ГЭМ. (2.20)
34

Координата х1П1 вычисляется по формуле:
Inl 2(Х3,п— кфХзн)
где Вк берется из формулы (2.6).
Время управления в случае ограничения координаты х2 опреде-
ляется по следующему выражению:
Т\ = СЪ1ТЭ + С,2ГЭМ + С^Т% + С24(ГЭМ)2 + СиТэГэк + Cse, (2.22)
где
с „ ^зн(2^ф-1)-^ , с 2кф(кф - 2) Хзн - (кф - 3) Хт
X3m — ^зн^ф Хзт — ЬфХ311
(^ф-Щ+1)Х\1 + 2ХзтХ31{ 9
CS3 —
CS4 —
^фХ2,п(Хат — ^ф^зн)
£2ф(4£ф-5)*2зн- (2к\-кф-2)ХзтХ3н а
2Х2т(Хзт — ^ф^зи)
(62ф-2£(
25 :
(62ф - Щ - 2)Х\* - (кф - 4) ХзтХзл
cSft =
Х2т(Хзт ^ф^зн)
^ *о(^2зтг — ^2ф^2зн) + ^фХ20Х2.п(Хзт — кфХ3л) — ЗкфХ22тХзт
^6 Х2т(Х%;п-к*фХ*зи)
Эта формула, несмотря на свою громоздкость, также проста в рас-
четах. Графики времени отработки различных входных воздействий
двухзонной следящей системы при ограничении координаты х2 приве-
дены на рис. 2.2 при &ф=3; Гэ=Ы0_3 с; Х3н = 50 рад/с2; Х2т=5 рад/с;
a:2g = 0,1 рад/с:
Х3т = 500 рад/с2 — кривая Г;
7(зт=10ОО рад/с2—кривая 2'\
= 3000 рад/с2 — кривая 3'.
При синтезе квазиоптимальных по быстродействию двухзонных си-
стем следует пользоваться или (2.15), или (2.22). Следовательно, не-
обходимо уметь определять то максимальное значение координаты ;с2,
которое может быть достигнуто при отработке начального значения х0.
Такое максимальное значение находится из уравнения (2.11) и равно:
%! = Ст С - VcmT\ + Ст (Г'эм)1 + СП4 (О» + СтТ^ + "*
+СпбГ*Тш+Сп7Гэ+СтТ'^ + Ст, (2.23)
где
П' 2Л'зт£ф
3* 35

л _3X33m - кф(кф - 3)Х*зн-(6кф+4)ХзиХ*зп - (5к>ф-1)ХзтХ>
СП2 ■ -
2к\Х
Зт
Ст = Хш^фХзн [2(кф - 1)Х\п - Аф(А1ф - 4кф+ 1) Х\н -
*КфЛ зт
-{к\ + кф-2)ХзлХзт\;
{кф- \)Х*ш + 2к*фХ*ш-
-Х33тХзн(к\ + 1) +7кфХ\тХ\н-к*фХзтХ*3^
С„.=-
'm ~ 2Х*зткф
Х3т — ^фХзн
^П5 = — к2фХ3т №фХзтХ31{ + (£ф — 1) Х2зт\\
(£ф — 1) (Хзт + кфХ3ъ)Х2ЗН ^ x2q (Хзпг — кфХ3н)
'П6~ Аф*«* ' -П7-
X2G (^зт — ^фА'зн) (Х3н — Х3т)
^гто —
СП8~ 2,V3..„ - '
(Хзт — кфХзн) [2{Хзт + кфХ3н) (х„ — х10) + ^фХ220]
'а"~' 2^3,^ф
Если х2ц^х2/л» то при определении общего времени управления"
следует пользоваться (2.22).
Реализация первого алгоритма носит более общий характер и
принципиально достаточна для любого варианта двухзонной следящей
системы. Если стремиться к аппаратурному упрощению и ввести искус-
ственное ограничение координаты х2, произойдет потеря быстродей-
ствия. Это видно из сравнения кривых, показанных на рис. 2.2. Так,
например, при х0=1 рад, Л"3т=1000 рад/с2 время отработки без огра-
ничения х2—/=0,068 с, с ограничением /=0,184 с, т. е. время отработ-
ки ухудшается в 2,71 раза.
2.2. Чувствительность квазиоптимального по быстродействию
управления к вариациям параметров
При практической реализации следящих систем разработчик стал-
кивается с.тем, что работа системы в реальных условиях отличается от
предписанной. Это происходит вследствие воздействия многих факто-
ров, не учтенных в процессе синтеза следящей системы, таких, как:
случайные возмущения, действующие на объект управления (это могут
быть изменение температуры, загрязнение трущихся поверхностей,
внешние механические, электромагнитные, электрические помехи и
т. д.), погрешности измерительных приборов, вследствие чего коорди-
наты состояния объекта и его характеристики известны лишь с опре-
деленной достоверностью, а некоторые из них вообще недоступны не-
посредственному измерению.
36

Преимуществом двухзонных следящих систем, как указывалось
ранее (ом. § 1.2), является то, что возмущения, приводящие к измене-
нию фазовой траектории изображающей точки системы при переходе
в область G, аннулируются, т. е. двухзонные следящие системы можно
считать менее чувствительными к вариациям параметров, чем системы
без переключения структур. Однако и для этих систем высокий уро-
вень возмущений и помех может привести к неустойчивости.
Из практических соображений можно заметить, что необходимым
условием устойчивости двухзонных следящих систем является попада-
ние фазовой траектории изображающей точки в 6-окреетность на гра-
нице области G после окончания работы во внешней области фазового
пространства системы:
6^|x1G— *<Ч. (2.24)
где x\g — расчетная координата пересечения фазовой траектории с гра-
ницей области G, выбранная из условия обеспечения требуемых пока-
зателей качества; xq\ — текущее значение координаты пересечения фа-
зовой траектории границы области G.
Более полно вопрос об устойчивости двухзонных следящих систем
будет рассмотрен в § 4.1.
Анализ работы двухзонной следящей системы при наличии возму-
щающих воздействий для наглядности проведем лишь для одного част-
ного случая — изменения температуры обмоток исполнительного двига-
теля, которое приводит к изменению сопротивления якоря Яя.
Так как граница области G задается прямыми Xi=X\g\ x2 = x2g
(см. рис. 2.1), то возможные изменения фазовых траекторий изобра-
жающей точки системы приводят к изменению значения координаты
xGi. Поэтому чувствительность двухзонной следящей системы к вариа-
циям сопротивления якоря RH будем определять по изменению значе-
ния координаты Х\ при достижении заданного значения x2 = x2G. Для
определения координаты xG\ точки пересечения выразим уравнение
фазовой траектории изображающей точки, пересекающей границу обла-
сти G, через координаты точки Т (см. рис. 2.1):
*i<f> = 2(Хзп + кфХзн) - 4т) + *it • (2-25)
Как указывалось ранее, граница области G пересекается траекто-
рией изображающей точки системы при x2=x2Gi отсюда значение коор-
динаты Х\ в точке пересечения
с_ ,ж M*22G -*22т) j
*! -xiV>\x2=x2G- 2(Хзп + кфХ3,ух1Т, (2.26)
где значения х1т и х2т берутся из (2.13).
При проектировании быстродействующих систем обычно динамиче-
ская нагрузка значительно превышает статическую (/Y3m>X3H), по-
37

этому будем считать Л,3н=0. В результате получим:
х? ^ xig + X^tnT2^^ — T3C2G -f-
+ WaC30 l/^- + ThC5Q + ^+^ , (2-27)
Г л лзт лзт
где
Сю = —г— In
'о- Лф^Аф+ц1-^- 2 ,nv+L
C2G = x2g [1 + —ln ^qrj;;
c3G = ^[(^ + i)in(^) + i|;
Caq = 2*22G; ^5G e 2*ф(*Ф~ l)ln« [-j^-J -2 + (1 - 2кф + 2*«ф)Х
&Ф — 1 &ф — 1
/ £ф ^ф — i \
^70 ~ 4(хо хю) *
Электромагнитная постоянная времени Гэ и максимальное ускоре-
ние Х3т зависят от Rn:
Гэ=1я//?я; Xtm^kykuUm/JRn, (2.28)
где La — индуктивность якоря исполнительного двигателя.
Подставив значения Тэ и XZm в (2.27), получим аналитическое вы-
ражение #°1=/(#я), определяющее зависимость координаты точки пе-
ресечения xGi от значения варьируемого параметра Rn'
х\ = ^i(0U2=:x2a = X1G + jrT c\g — ~щс20 +
kykMUmLn r 7Щ, JT ZJ
-■ г m., „ _^
JR\ °3g V {kykJJm)* cag + R\ c5g + kykJJm C6G +
"* + //?, • (2.29)'
kyknUm c7g
В случае вариаций параметра (2.29) может быть записано
в виде
дх?
х?[ку, kM, Um, /, L*, Rn, *ф, x2G) =4+т^-| /?я. (2.30)
38

х? д*1
где Sp = — функция чувствительности к вариациям параметра Яя;
я дЯя
xfQ = xlG — номинальное значение хг в точке пересечения границы об-
ласти G; /?яном — номинальное значение сопротивления якоря. Функция
G
чувствительности SRl определяется из (2.29) следующим образом:
Ч ~ dR,
2ДЯ „
С4о +
+ б^э' яС50 + J* + у Я ^7G
-* /"с^ —г 1 (2-31)
ХК ^+T%C5G + ^C6Q+^C7G
Анализ функции чувствительности (2.31) показывает, что чувстви-
тельность двухзонной следящей системы к вариациям Яя зависит от
параметров объекта управления Хгт, Гэ, кф и величины входного сиг-
нала. Причем, чем больше ускорение, развиваемое исполнительным дви-
гателем, и величина входного сигнала, тем более чувствительна си-
стема к вариациям сопротивления якоря. Увеличением коэффициента
форсировки &ф можно значительно уменьшить чувствительность двух-
зонной системы, однако выпускаемые в настоящее время промышлен-
ностью электродвигатели и силовые транзисторы не позволяют полу-
чить высоких значений &ф.
Вариации Яя приводят к тому, что изменяется координата точки
пересечения xG\ границы области G, и если нарушается неравенство
(2.24), то фазовая траектория изображающей точки системы либо
вообще не будет попадать в область (?, либо будет покидать ее сразу
после пересечения границы области G.
Следует отметить, что обычно величину б, т. е. отрезок на прямой
X2G, являющейся границей области G, выбирают из условия обеспече-
ния требуемых показателей качества двухзонной следящей системы, и
поэтому нарушение неравенства (2.24) приводит к увеличению колеба-
тельности системы, уменьшению быстродействия и т. п.
а
Особенности поведения функции чувствительности при изме-
нении параметров объекта управления рассмотрим на примере следя-
щей системы с характеристиками: х2с = 0,1 рад/с; Гэ=Ы0~3 с; Х3т =
39

= 1000 рад/с2. Подставив данные численные значения в (2.31), по-
лучим:
?*1 =-.
6,33- ю-2
( к
*Ф+21п^_Г) уХо_Х{(}в (2<32)
На рис. 2.4 показан график, иллюстрирующий поведение отклоне-
ния координаты точки пересечения с границей области G при различ-
ных значениях k$ и входном сигнале Xo=H*ig. Из приведенного гра-
фика видно, что с увеличением коэффициента форсировки "величина
отклонения координаты xG\ уменьшается. Увеличение k$ уменьшает
значения Г'эм и 7"эМ, что приводит, практически, к исключению влия-
ния вариаций /?я на участках фазовой траектории х0 — Р и П — Т
(см. рис. 2.1).
о
0,25
0,5\
0,75
5 Щ
1,25\
ctT /
'чЧ? 1,75\
2,0
2,25
2,5
2,75\
1 2 3 Ч 5 6 7 8кф
Рис. 2.4. Зависимость величины
отклонения координаты точки пе-
ресечения с границей области G
от коэффициента форсировки k$
усилителя мощности при Тэ —
= 0,001 с; X3m = \000 \/c2^x2G =
= 0,1 1/с; *o=11*ig
Рис. 2.5. Зависимость величины
отклонения координаты точки пе-
ресечения с границей области G
от коэффициента форсировки k$
усилителя мощности в случае
ограничения х2 — Ъ 1/с при Гэ =
= 0,001 с; x2G=0,l 1/с; Хдт =
= 1000 1/с2
Ранее говорилось о том (см. § 2.1), что работа двухзонной следя-
щей системы во внешней области может происходить с ограничением',
накладываемым на скорость изменения сигнала ошибки х2. В этом
случае функция чувствительности системы определяется по той же ме-
тодике, но для расчета значений х[Т и х2т используются уравнения
(2.18) и (2.20). Функция чувствительности двухзонной следящей си-
стемы в данном случае запишется в виде
1 п —
, *2Ф — ^ + 1
2£*
■ кф\
40
п2 .
\ Яф /
+
(2.33)

Сравнительный анализ (2.31) с (2.33) показывает, что функция чув-
ствительности при ограничении скорости х2 также зависит от характе-
ристик исполнительного двигателя Х3т, Тэ и усилителя мощности, но
не зависит от величины входного сигнала. При этом возможно полу-
чение двухзонной системы «абсолютно грубой» к вариациям /?я- Усло-
вие «абсолютной грубости» двухзонной системы к вариациям Ra по-
лучим, приравняв нулю левую часть уравнения (2.33):
При выполнении этого условия после окончания работы систем во
внешней области будет выполняться равенство
Для предыдущего примера следящей системы с теми же характе-
ристиками функция чувствительности при Х2т=—5 рад/с принимает
вид:
Условия «абсолютной грубости» в данном случае могут быть достиг-
нуты при Х2т=—8,75 рад/с.
На рис. 2.5 изображена зависимость отклонений координаты xGi
точки пересечения от коэффициента форсировки при ограничении ско-
рости изменения сигнала ошибки системы. Из графика рис. 2.5 видно,
что меньшие значения величины отклонения координаты xG\ полу-
чаются при малых значениях &ф. Вариации RH приводят к тому, что
изменение фазовой траектории на участках 172 — Т2 и Т2 — xG\ (см.
рис. 2.3) происходит в разные стороны, например, точка Т2 смещается
вверх, а точка xG\ — влево. Поэтому уменьшение k$ увеличивает дли-
ну участка П2—Г2, что позволяет скомпенсировать изменение фазо-
вой траектории на участке Т2—xG\. Следовательно, реализация усло-
вия «абсолютной грубости» осуществляется за счет выбора величины
Х2т, при которой устанавливается такое соотношение между длинами
участков П2 — Т2 и Т2 — х°и что изменение координаты точки Т2
парирует изменение координаты xG\.
Сравнение величин отклонений на графиках рис. 2.4 и 2.5 показы-
вает, что при ограничении х2 двухзон'ная следящая система менее чув-
ствительна к вариациям Rn. Однако следует помнить, что введение
ограничения скорости изменения сигнала ошибки снижает быстродей-
ствие системы (см. рис. 2.2),
(2.34)
XGl=XlG-
(2.35)
(2.36)
41

0
\
&
Вк хо _
\ г 4
Li
Двух-
Рис. 2.6. Фазовый портрет
зонной системы:
/ — при отсутствии возмущающих воз
действий; 2 — при наличии возмущаю
щих воздействий
При анализе чувствительности
системы к вариациям величины
сопротивления якоря исполнитель-
ного двигателя удалось в явном
виде построить зависимость xG\
от варьируемого параметра.
Обычно же получение аналитиче-
ского выражения xG\=f(z), где
z — варьируемый (настраиваемый
или нестабильный) параметр, в
большинстве практических задач
оказывается недостижимым.
Принципы построения двухзонных
следящих систем, «грубых» к ва-
риациям параметров, в таком случае несколько изменяются. Для
выяснения этого факта рассмотрим действие на объект случайных воз-
мущений hB(t), измерить которые не представляется возможным, но
считается известным, что возмущающее воздействие Лв(0 можно
принять постоянным в процессе движения изображающей точки во
внешней области фазового пространства.
Наличие возмущающего воздействия, как указывалось ранее, при-
водит к изменению координаты точки пересечения фазовой траектории
с границей области G— xG\. На рис. 2.6 показан фазовый портрет си-
стемы при наличии и отсутствии возмущающего воздействия. Фазовая
траектория (кривая /) системы, построенная для постоянных пара-
метров объекта управления, после окончания работы во внешней обла-
сти будет проходить через точку [x\G\ x2g]- При этом обеспечиваются
требуемые показатели качества системы. Появление оговоренных выше
возмущающих воздействий приводит к изменению фазовой траектории
системы (кривая 2) и соответственно к изменению координат точки
пересечения х°\Фх1С.
Из свойства фазовых траекторий перемещаться, не деформируясь,
вдоль оси абсцисс при изменении начальных условий следует, что кри-
вая 2 рис. 2.6 будет приходить в точку [x\G\ x2g], если при отработке
воздействия g(t) либо изменить начальное значение сигнала ошибки
х0, либо переместить линию переключения квазиоптимальной по бы-
стродействию системы L в зависимости от величины возмущающего
воздействия.
Информацию о реакции системы на возмущающее воздействие
можно получить, например, по результатам предыдущей отработки на-
чального рассогласования в момент пересечения фазовой траекторией
границы области G, т. е. по разности между желаемой координатой
точки пересечения xiG и действительной координатой xG\.
Таким образом, задачу построения двухзонной следящей системы,
«грубой» к вариациям параметров, можно сформулировать следующим
42

образом. Для построения двухзонной следящей системы, мало чувстви-
тельной к вариациям параметров, необходимо выбрать такой алгоритм
управления, при котором после окончания работы системы во внешней
области фазового пространства выполнялось бы следующее условие:
|*ю—*Gi|^6nK, (2.37)
где 6п.к — некоторое положительное наперед заданное число, выбран-
ное из условия обеспечения требуемых показателей качества.
Рис. 2.7. Структурная схема двухзонной следящей системы, мало
чувствительной к вариациям параметров:
/ — выпрямитель; 2 — синхронный детектор; 3 — исполнительный орган; 4—объ-
ект управления; 5, 15, 17 — усилители; 6 — переключатель; 7 — коммутатор; 8 —
блок дифференцирования; 9 — блок формирования сигнала ошибки; 10 — порого-
вый элемент; // — инвертор; /2—блок памяти; 13, 14 — сумматоры; /5—порого-
вый элемент
Структурная схема двухзонной следящей системы, «грубой» к ва-
риациям параметров, показана на рис. 2.7 [24], Представленная здесь
двухзонная следящая система работает следующим образом. В фазо-
вом пространстве системы формируются две поверхности переключе-
ния L\ и L2, в коммутаторе 7 устанавливаются значения хю и x2g.
При появлении начального рассогласования [л:0; 0; 0] изображающая
точка системы оказывается вне области G, и на выходе коммутатора 7
появляется сигнал «О» для управления переключателем 6, который вы-
43

бирает значения коэффициентов линии переключения, формируемой на
выходе усилителя 17:
Ll=1(l\Xi-\-d2X2-\-dQ,
где da=ki sgn Х\.
Выходной сигнал. усилителя 17 соответствует линии переключения
квазиоптимальной по быстродействию следящей системы, по алгорит-
мам которой производится работа во внешней области фазового про-
странства. На синхронном детекторе 2 происходит умножение сигнала
модуля ошибки с выхода выпрямителя / на сигнал, пропорциональный
знаку (sgn Li) выходного сигнала усилителя 17, поступающий с по-
рогового элемента 16. На вход исполнительного органа 3 подается
сигнал Um, соответствующий максимальному значению напряжения
управления. После первого переключения знака Um изображающая
точка достигает окрестности точки с координатами [хю\ x2g\ *з(0]-
При выполнении условий
<*\g\ \Х2\ <X2g,
где X\g и x2g — координаты границ области G, на выходе коммута-
тора 7 появляется сигнал «1». При этом устанавливаются такие зна-
чения коэффициентов линии переключения, которые соответствуют вы-
ходному сигналу усилителя 17 в виде
L2=df \X\-^-df 2х2—d3iy.
Далее работа рассматриваемой системы происходит по алгоритмам си-
стем с переменной структурой.
Изменения фазовой траектории, возникшие из-за возмущающих
воздействий, определяются в момент появления сигнала «1» на выходе
коммутатора 7, т. е. в момент пересечения границы области G, по ве-
личине отклонения z координаты точки пересечения xG\ от эталонного
значения x3 = X\G, определяемого в сумматоре 13.
Для обеспечения работы системы при различных полярностях сиг-
нала ошибки величина хэ должна изменять свой знак в зависимости
от знака сигнала ошибки, поэтому хэ формируется на выходе порого-
вого элемента 10 как сигнал вида x3 = k2sgn х{. Величина отклонения
z запоминается в блоке памяти 12, и при отработке следующего на-
чального рассогласования [*0; 0; 0] она поступает на коммутатор 6,
при этом на выходе усилителя 17 будет формироваться сигнал
Li = diXi-^d2x2—d0-]-diZ.
Введение z при формировании линии переключения квазиоптималь-
ной по быстродействию системы приводит к изменению момента пере-
ключения знака управляющего сигнала при вариациях параметров, что
позволяет поддержать в этом случае устойчивую работу системы.
44

2.3. Влияние точности измерителей координат системы
на быстродействие двухзонных следящих систем
Как показано выше, для реализации квазиоптимального по быстро-
действию управления необходимо иметь точно измеренные значения
координат системы. Процесс измерения связан с операцией дифферен-
цирования, которая чувствительна к внутренним шумам системы. По-
этому важно исследовать возможности построения измерителей коор-
динат системы на основе принципов цифрового дифференцирования.
Согласно (2.9) уравнение линии переключения имеет вид:
- 2(Х9п + кфХ9и) "^"эмМО + *'
где Г"эм определяется по (1.11), и —по (2.8).
Измерение координаты x2(t) производится путем дифференцирова-
ния сигнала ошибки, поэтому может происходить усиление высокочас-
тотных помех и измеренная координата x2(t) будет состоять из двух
составляющих — истинного значения скорости изменения сигнала
ошибки х2и и шумовой составляющей Х2Ш- В результате переключе-
ние на второй интервал управления будет происходить при движении
по траектории:
*i(0-- 2(Х3гп-кфХ3н) +Як + *о>
но не в точке с координатами (2.12), а с некоторым разбросом, опре-
деляемым шумовой составляющей х;2Ш.
Для отыскания истинного значения координат точки П (см.
рис. 2.1) воспользуемся следующим квадратным уравнением:
^з(х2ПИ + ;с2Пш)2 + ^',эм(%1И+х2Пш) + х — — Н = 0» (2.38)
где х2ПШ и Х2ПИ — шумовая составляющая и истинное значение коорди-
наты переключения.
Решая (2.38), получ'аем:
~ Ггдм-У(Т»9М)* + 4А3(ВК - х + х0)
Х2ПИ :
2А
3
Л2ПШ,
к*2Пр i n i *2ПрХ2ПШ х22Ш
з;Л Л з n ZA Зт
. Х2ПрХ2ПШ х22Ш
где х2пр и ^щр — расчетные значения координаты переключения
(2.39)
(2.40)
45

Рис. 2.8. Диаграмма напряжений, по-
ясняющая работу цифрового дифферен-
циатора:
а — входной сигнал; б — квантованный сигнал
изменения крутизны входного сигнала; в —
экстраполяция входного сигнала
Из (2.39) и (2.40) следует, что при
значительных мгновенных значениях
Х2 щ, которые определяются среднеквад-
ратическим отклонением этого .случай-
ного процесса, могут быть существен-
ные отклонения от расчетных траекто-
рий, причем эти отклонения зависят так-
же и от_*2ГТр)т. е., по существу от х0.
Следовательно, необходимо иметь дифференциатор, который при
незначительных фазовых искажениях мог бы максимально подавлять
помехи. Такой дифференциатор, например, предложен в [10].
Принцип работы дифференциатора поясняется временной диаграм-
мой, изображенной на рис. 2.8. Входной сигнал квантуется с постоян-
ным временным интервалом на основе аналогового запоминающего
устройства (АЗУ). При вычитании из входного сигнала дифференциато-
ра его квантованных уровней на выходе получается сигнал, характе-
ризующий крутизну входного сигнала на отрезке квантования. Чем
меньше период квантования, тем точнее величина выходного сигнала
характеризует первую производную входного сигнала, но при этом па-
дает чувствительность дифференцирующего устройства в целом.
При отличии частот входного сигнала и сигнала квантования более
чем в 200 раз погрешность дифференцирующего устройства не превы-
шает долей процента, причем основную погрешность вносит АЗУ.
На рис. 2.9 показана схема дифференциатора, который выполнен
на основе серийно выпускаемых операционных усилителей 140УД6 и
46

аналогового ключа 284КН1. Генератор выполнен на логических эле-
ментах серии 133, 155. Длительность импульса записи 0,5—1,5 мкс.
Временная задержка между управляющими импульсами на аналого-
вые ключи порядка 5—10 мкс необходима для устранения неопреде-
ленности информации в период подключения второго аналогового за-
поминающего устройства.
Xi(t)
Двух канальная ли-
нейная система
~1 Г"
ё~РТо
Цифровой
фильтр
'1
>(t)
Рис. 2.10. Модель цифрового дифференциатора
Структуру подобного дискретного устройства можно представить
как последовательное соединение двухканальной линейной системы и
цифрового фильтра (рис. 2.10), где Ф(/)—переходная функция фор-
мирователя, который осуществляет ступенчатую несимметричную ин-
терполяцию «вперед» методом прямоугольников; Г0 — период кванто-
вания.
То
То
ЧК 01
То
Чк
То
6г
То
Рис. 2.11. Амплитудная характе-
ристика двухканальной линейной
системы
То
Рис. 2.12. Амплитудная ха-
рактеристика формирователя
Запишем передаточную функцию двухканальной линейной системы:
Фл(/о>) = 1 - ехр( - /соГ0) = 2 sin^p- ехр [ - / (^уЧу) ] . (2-41)
На рис. 2.11 представлена амплитудная характеристика двухка-
нальной линейной системы.
Практически все сигналы электромеханической следящей системы
являются ограниченными по спектру. Введем понятие частоты среза
сигнала ошибки следящей системы сос [14]. Полоса частот сигнала
x(t) ограничена интервалом (—сос; сос) на уровне е, если сигналы
Ui{t) и u2(t) действительно не различимы на уровне е, т. е. энергия
00
-МО] = J[«i(0 - и»(0]*л<«.
47

где и1(<о) = х(со); —оо =^ со оо;
fx(co), |<0|<0>с,
2V ' 10, |co|>toc.
Здесь под ii{(со), и2(со), л:(со) понимается Фурье-изображение сигналов
ui(t), u2(t) и X\(t) соответственно.
Учитывая, что согласно теореме отсчетов [15] для полного вос-
становления дискретного сигнала необходимо, чтобы
со0 = 2я/Го>2сОс, (2.42)
ограниченный спектр сигнала ошибок x(t) расположен в первой поло-
вине амплитудной характеристики двухканальной линейной системы.
LV4
Ugblx—ступенчатый сигнал
ик
W
г-П-
Рис. 2.13. Структурная схема адаптивного цифрового дифференциа-
тора:
/ — генератор; 2 —дискретный делитель частоты; 3 — коммутатор; 4 — блок па-
мяти; 5 —триггер; 6 — блок выделения модуля; 7 — дифференциатор цифровой
Рассмотрим работу цифрового фильтра.
Для решетчатой функции времени A(tK) спектральная характери-
стика записывается в виде [20]:
00
Д*(/со)=— У Д[/(со-£со0)]. (2.43)
£=—оо
С учетом (2.42) для исследования помехозащищенности предло-
женного дифференциатора достаточно рассмотреть спектральную ха-
рактеристику на входе формирователя при & = 0:
2п
А* (/со) = А(усо). (2.44)
48

Передаточная функция формирователя может быть представлена:
Фф(/«) - Sa ( ^) Г0ехр [ - / (-^ - *я)], (2.45)
где Sa (соГ0/2) —- функция отсчетов.
На рис. 2.12 представлена амплитудная характеристика формиро-
вателя.
Окончательно передаточную функцию цифрового дифференциатора
можно представить в виде (&=0):
4 sin2—
Фдиф(/а>) = 1_ ехр Г _ j2n — I, (2.46)
w I <*о J
где о)о>2сос.
Следовательно, получается малоинерционный фильтр, который со-
ответствующим выбором Г0 может осуществлять значительное подав-
ление помех.
Основным недостатком подобного цифрового дифференциатора
является его ограниченный частотный диапазон. В целях преодоления
этого недостатка можно предложить следующую схему адаптивного
дифференциатора (рис. 2.13). Здесь используется тот факт, что понятие
частоты предполагает наличие экстремальных значений дифференци-
руемой функции. Следовательно, такая функция будет иметь и экстре-
мальные значения своей первой производной, анализируя которые,
всегда можно определить, в какую сторону следует изменить частоту
квантования, чтобы чувствительность дифференцирующего устройства
не опускалась ниже требуемого уровня, а чистое запаздывание не пре-
вышало определенных значений. Для этого в блоке памяти запомина-
ются экстремальные значения первой производной, которые затем
сравниваются в коммутаторе с заданными уровнями, и в зависимости
от их соотношения выдается команда либо на увеличение частоты
квантования, либо на уменьшение. Кроме того, возможен случай, когда
частота не изменяется.
Как уже указывалось, основным источником погрешности приве-
денного выше дифференциатора является АЗУ. Поэтому подробнее
рассмотрим принципы действия современных аналоговых запоминаю-
щих устройств.
Наиболее распространенные схемы АЗУ основаны на принципе
хранения аналогового сигнала на конденсаторе. Различаются замкну*
тые и разомкнутые схемы АЗУ. Работа разомкнутого АЗУ конденса-
торного типа иллюстрируется на рис. 2.14, где Dl, D2—-буферные
устройства. Когда ключ К замкнут, напряжение на конденсаторе С
с ошибкой, определяемой Постоянной времени входной цепи
4—10
49

где Яя — сопротивление источника сигнала, Rs— сопротивление за-
мкнутого ключа, повторяет входное напряжение. При размыкании клю-
ча (режим хранения) конденсатор разряжается с постоянной времени
Три** (/?a-fi/?0) С,
где R0 — сопротивление открытого ключа; R* — сопротивление на-
грузки.
Так как значение Rn обычно невелико, то для повышения времени
хранения сигнал передается через буферное устройство с большим
входным сопротивлением.
Вход
а)
Рис. 2.14. Схемы аналоговых за-
поминающих устройств:
а — эквивалентная схема; б — принци-
пиальная схема
Рис. 2.15. Замкнутые аналоговые
запоминающие устройства
Буферное устройство вносит значительные погрешности в работу
АЗУ. Эти погрешности могут быть значительно ослаблены введением
глубокой отрицательной обратной связи. При этом АЗУ называют
в литературе замкнутыми, а принцип их действия поясняется рис. 2.15,
где показано: а — замкнутое АЗУ с обратной связью по напряжению;
б — замкнутое АЗУ со сравнивающим усилителем.
Введение обратной связи по напряжению приводит к уменьшению
статической ошибки УПТ, на основе которого выполнено ЗУ, в kuv раз,
где £Пр — коэффициент усиления разомкнутой цепи.
Схема АЗУ по рис. 2.15,6 работает следующим образом. В режиме
записи ключ К2 находится в положении. У, в режиме хранения —в по-
ложении 2, т. е. в обоих режимах используется один и тот же сравни-
вающий усилитель, и именно поэтому погрешности АЗУ уменьшаются,
50

Глава 3
РЕЖИМЫ РАБОТЫ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
3.1. Модель формирования квазискользящего режима
Применение внутри области G принципов работы систем с пере-
менной структурой (СПС) объясняется желанием использовать ценные
для рассматриваемой задачи достоинства этих систем: более высокое
по сравнению с линейными системами быстродействие, возможность по-
лучения высокой точности, низкая колебательность отработки входного
воздействия, повышенная «грубость» к вариациям параметров объекта
управления. Правда, указанные достоинства СПС реализуются в до-
статочно идеальных условиях: при точном знании координат системы
и отсутствии помех в канале формирования переключающей функции.
На практике же разработчики СПС сталкиваются и с проблемой неточ-
ного замера координат системы, и с проблемой искажающего влияния
шумов, особенно в канале формирования переключающей функции.
В СПС реализуется специфический вид движения автоматических си-
стем— скользящий режим [4], в котором достигается высокое каче-
ство следящей системы. Скользящий режим возникает, например,
в окрестности поверхности переключения, на которой функция управ-
ления претерпевает разрывы, а фазовые траектории направлены на-
встречу друг другу. После попадания на поверхность переключения
изображающая точка не может в течение любого, даже сколь угодно
малого, но конечного интервала времени двигаться по_ траекториям,
примыкающим к этой поверхности. Изображающая точка движется
лишь вдоль поверхности переключения — это движение и есть сколь-
зящий режим, который может быть наделен свойствами, необходимыми
разработчикам следящих систем. При идеальной модели скользящего
режима изображающая точка совершает колебательное движение око-
ло поверхности переключения с бесконечно большой частотой и беско-
нечно малой амплитудой.
На практике реализация идеального скользящего режима невоз-
можна по нескольким причинам.
При формировании закона управления динамические погрешности
в получении информации о координатах системы значительно изменяют
характер работы СПС. Такое же изменение вызывают различные малые
неидеальности элементов управляющего устройства, такие, как: запаз-
дывание, гистерезис, зона нечувствительности и т. п. Отклонения от
идеальной модели скользящих режимов возникают при наличии не-
учтенных малых постоянных времени объекта управления. Искажают
идеальный скользящий режим и аппаратурные шумы, реально всегда
присутствующие в сигналах системы.
Все перечисленные причины приводят к тому, что структура систе-
мы будет переключаться не точно на поверхности переключения L,
а с некоторым запаздыванием. Если при этом качественно движение
4* 51

напоминает скользящее, но с конечными значениями частоты и ампли-
туды, такой режим называют квазискользящим [5]. В случае увеличе-
ния времени запаздывания СПС начинает работать в режиме переклю*
чения [5]. Условия возникновения этих режимов можно пояснить сле-
дующим образом.
Уравнение рассматриваемой системы при работе во внутренней
области имеет вид:
*4+ + 7^", (3-D
где Мн — Л1Т sgn фс — момент сопротивления типа «сухое» трение.
В частном случае входного воздействия g(t) = l[t):
Мп——Мт sgn х.
В соответствии с работой [4] в случае наличия в характеристи-
ческих уравнениях
s*+aoS*+kQ4r* = 0, (3.2)
где ЧГж = ±(х, двух корней с отрицательной действительной частью, су-
ществует траектория в фазовом пространстве системы, называемая вы-
рожденной. Координаты системы являются при этом линейно зависи-
мыми, и такая поверхность служит касательной для всех фазовых тра-
екторий. Обозначим уравнение вырожденной траектории следующим
образом:
LB=A,i*i-f Х2х2-\-Х2г=0. (3.3)
Если справедливо неравенство:
LL<0, (3.4)
где L = L(t)—сигнал переключения, L = L(()—первая производная
сигнала переключения, то выполняются необходимые и достаточные
условия для существования скользящего режима, а для условий (3.4),
в свою очередь, необходимо:
Lli=o>4=0- <3-5)
Используя методику, приведенную в [4], условия (3.4) можно за-
писать в виде
d\=d2(d2—а0),
а^ ("IT +a°dl~~dld*) IkQ- (3*6)
Режим переключений возникает в случае, если переключение струк-
тур произойдет в той области фазового пространства, где LB<0. Та-
ким образом, при наличии динамических погрешностей измерения фа-
зовых координат системы, т. е. при поверхности переключения:
N{p) '
52

dxxl9 (3.7)
условия существования мвазискользящего режима могут быть запи-
саны
?Л + Ttdx + d2 ч ^ dx
(3.8)
Wi + 7V2 + 1 ' "u " + (T1 + T2)p+ 1
Условия (3.8) позволяют предварительно определить требования
к динамическим характеристикам измерителей координат системы.
Второе уравнение системы (3.6) показывает, что срыв сколь-
зящего режима происходит также при малых значениях х{ за
счет увеличения члена
Р-н
Считая, что соблюдены условия суще-
ствования квазискользящего режима, рассмотрим модель формирова-
ния реального режима работы СПС (рцс. 3.1). Такая модель предло-
жена в [5].
N(p)
М(р)
Рис. 3.1. Модель формирования квазискользящего
режима
В данной книге рассматривается лишь один частный случай реа-
лизации переменной структуры — одинаковые коэффициенты усиления
при смене знака обратной связи. В этом случае уравнение звена с пе-
ременной структурой можно записать следующим образом:
uv = a\x\ sgn L, (3.9)
т. е. сигнал управления всегда можно представить как результат про-
хождения через релейный элемент с ограничением а|*| сигнала пере-
ключения L. Для постоянных составляющих и первых гармоник сиг-
налов ошибки и переключения можно записать [5]:
x\(t)=x\o{t)-\-A*(t) sinQ/,
L{t)=U{t)-\-A.L{t) sinQf, (3.10)
где Ax(t) и Ль (0амплитуды первой гармоники сигнала ошибки и
сигнала переключения; *ю(/) и L0(t)—медленно изменяющиеся со-
ставляющие сигналов ошибки и переключения.
С точки зрения возможности практического использования СПС
разработчика высококачественных следящих систем может интересо-
53

вать лишь случай достижения таких величин Q, чтобы
aQ
\мт^\ <ЗЛ1)
Другими словами, частота квазискользящего движения должна значи-
тельно превышать частоту среза системы по среднему движению изо*
бражающей точки.
Введение двух различных " моделей [см. уравнения (3.10)] для
формирования квазискользящего колебательного движения и для сред-
него движения объясняется следующими причинами. Колебательное
квазискользящее движение представляет собой движение изображаю-
щей точки около плоскости 1=0 за счет получения информации о фа-
зовых координатах изображающей точки системы, и на характер этого
движения оказывают влияние как фазовые, так и амплитудные харак-
теристики всех динамических звеньев системы, т. е., по существу, по-
лучается обыкновенная релейная система. Среднее движение изобра-
жающей точки системы, как известно [5], формируется вдоль поверх-
ности L=0, и поэтому на это среднее движение амплитудная характе-
G(P)
ристика
N(p)
г л I G(p)
ность L=0 не зависит от 1—
оказывает незначительное влияние, так как поверх-
N{p)
В соответствии с (3.9) при формировании сигнала управления
участвует сигнал переключения Lit), а так как обычно среднее дви-
жение L0 незначительно отличается от L==0, то величиной L0 можно
пренебречь.
В [5] показано, что коэффициент передачи по первой гармонике
звена с переменной структурой (ЗПС)
k„ =4a|*i0-|/jti4L. (3.12)
Ввиду того что |*ю | есть медленно меняющаяся функция, то и
k„ будет переменной величиной. Это значительно усложняет исполь-
зование модели по рис. 3.1 для анализа качества реальных движений
СПС. Поэтому желательно определить некоторое предельное значение
1*101 в зависимости от параметров объекта управления и управляю-
щего устройства. Наиболее целесообразно в качестве такого предель-
ного значения |*ю| взять наименьшее значение медленно меняющейся
составляющей ошибки, при котором еще не происходит срыва сколь-
зящего режима |хтред|. Из системы (3.6) при строгом равенстве сле-
дует, что:
I *3н 1 g0^2
]Xl^]= Qaa0d2 + d\9 (ЗЛЗ)
где
"-ж
54

В случае отработки ступенчатого входного воздействия значение
|*тред| является установившейся ошибкой системы, что облегчает
практическую проверку предлагаемой методики. Следует обратить вни-
мание на то, что существование конечной величины |*1пред| указы-
вает на наличие также и предельного значения |*2Пред|, ниже кото-
рого невозможно обеспечить получение плавных скоростей перемеще-
ния изображающей точки системы.
Следовательно, в дальнейшем будем пользоваться установившимся
значением коэффициента ЗПС по первой гармонике:
k ^уст = 4а|д:1пр-вд| /яЛх,. (3.14)
Если соблюдены условия существования квазискользящего режи-
ма, то параметры этого режима определяются из уравнений системы
на границе устойчивости. В логарифмической форме они запишутся
следующим образом:
QG(jQ)
20 lg ,
arg
=20 lg k„.
уст»
(3.15)
В соответствии с данной моделью формирования квазискользящего
режима рассмотрим методику расчета параметров квазискользящего
режима, определяемую предложенной моделью, на примере реальной
следящей электромеханической системы. В таком случае имеется воз-
можность сравнить результаты расчетов с практическими данными.
Пример 3.1.
В качестве объекта управления примем двигатель постоянного тока
совместно с усилителем мощности, имеющий согласно (1.14) следую-
щую передаточную функцию:
W0.y (р) = Q/M (р) = Q/p2 (Гэр+1),
где Q—kMky/JRR и в качестве исходных данных имеем: ku=25X
Х10-3 Н-м/А; £у=10; Дя=10 Ом; /=10"4 кг-м2; Г8 = 0,002 с, момент
сопротивления на валу двигателя AfH=2,5-10~3 Н«м.
Порядок расчета.
1. Определение параметров сигнала переключения. В качестве
уравнения поверхности переключения используем (3.7):
L = 2lEL \ £—hi v id dlXv
ВД 1 (TlP+i)(T2p+i)
где di = 20 1/с2; d2=l 1/с; rf3=0,005; ^ = 0,0034 с; Г2=0,0066 с, что
соответствует использованию двух дифференциаторов для формирова-
ния сигнала переключения.
Коэффициент усиления сигнала управления выбираем равным
а=5.
55

5000
2. Расчет- передаточных функций линейной Wa(p) и нелинейной
q(A) частей системы.
Для передаточной функции
WAp) - ~- К.у(р) - <WX
+ r8 -^+^-) р* + (г, + г, + A J р +,
Х ^(7'э/>+1)(Г1р+1)(7'^4:1) '
подставив численные значения, после приведения числителя к простей-
шим типовым звеньям имеем:
= 5000 (0.06/>+1)(0.0»Р+1)
RV^' /72(0,002/?+ 1) (0,0034/7 + 1) (0,0066/?+ 1)
^(15Ь-^+1)(1й-^,)(^ + 1)'
<7(Л) согласно (3.12) и (3.13) имеет вид:
q^a) - tzAl - j(l+*q)rAL -\(\ + \250)nAL~K)fU/ AL '
3. Построение логарифмических частотных характеристик и опре-
деление частоты Q квазискользящего режима и амплитуды AL первой
гармоники сигнала переключения.
На рис. 3.2 приведены логарифмические частотные характеристи-
ки при пересечении фазовой характеристикой линейной части системы
угла —180°. Вертикаль, проведенная через найденную точку пересече-
ния, пересекает ось частот при значении Q=500 1/с, являющейся ча-
стотой квазискользящего режима, и амплитудную Lm\Wл(/(о)| харак-
теристику линейной части при —2,5 дБ.
Амплитуда первой гармоники сигнала переключения определяется
следующим образом:
— 20 lg^(^) = —2,5 дБ; lg^(^) =0,125 дБ; q(A) = 1,33=0,127-j^,
откуда Аь = 0,0956 рад.
4. Определение амплитуды Ах первой гармоники сигнала ошибки.
Для определения амплитуды строится амплитудная характеристик
1 ^(fo) 1 и ищется модуль передаточной функции на частоте Q.
, определяем Ах\
At
л _ 1 =^=0,000171 рад,
56

Пример 3.2.
Предположим, что в выбранном ранее объекте управления имеет-
ся дополнительная постоянная времени Гн = 0,0025 с, появление кото-
рой объясняется, например, инерционностью усилителя мощности. Рас-
смотрим влияние дополнительной постоянной времени на параметры
квазискользящего режима.
ft
град
120
Рис. 3.2. Логарифмические амплитудно-фазовые характеристики СПС
при W0.y(p) = {ptTQ3p+l)
Передаточная функция объекта управления запишется теперь еле-
дующим образом:
ГоУ(р)=д/^(р)=с/[р2(ГэР+1)(гнр+1)].
1. Параметры сигнала переключения выбираем такими, чтобы обес-
печить отсутствие режима переключения, например: d\ = 20 1/с2; d2—
=1,9 1/с; ^з=0,005; 7^ = 0,0034 с; Г2=0,0066 с; а=5.
2. Передаточная функция нелинейной части системы q(А) остается
прежней, а передаточная функция линейной части, с учетом неучтен-
ной постоянной времени, запишется так:
WdP)=^-W0.y(p)=d1QX
5—10 К7

X
= 5650
(г-г-+г-х+т)'"+(г-+'--+|-)''+
РЧТэР + l)(T1p+l)(Tap+\)(Tllp+l)
piikp+l)[ikrp+l)(ikp+l)i-wp+1)'
3. На рис. 3.3 приведены логарифмические частотные характери-
стики системы. По ним определяем параметры квазискользящего ре-
жима из условия его существования (3.15). Наличие дополнительной
постоянной времени Тп приводит к изменению фазовой и амплитудной
характеристик системы. Отсюда: Q=*250 1/с; —201g ^(Л) =9,5 дБ;
lg Я 0,475 дБ; ?(Л)=0,335, откуда Лх, = 0,38 рад;
A.-Atj
N(jQ)
п0,000539 рад-
Рис, 3.3. Логарифмические амплитудно-фазовые характеристики СПС
при наличии дополнительной постоянной времени Тн в объекте управ-
ления
58

Таким образом, наличие дополнительной постоянной времени при-
водит к ухудшению параметров квазискользящего режима.
Из [5] известно, что коэффициент передачи ЗПС по медленно ме-
няющейся составляющей равен:
^ЗПС
M(jQ)N(jQ)
QG(jQ)
23
sin 23 '
(3.16)
где
: arcsin
:JL0
Динамика средней составляющей движения может быть записана
в виде
АЧР) *o + QU3iicLo = °,
N(p)L0=G(p)x0. (3.17)
Или, в общем виде,
[M(p)N{p) + QQ3ncG(p)] х0 = О, (3.18)
Для заданного диапазона изменения
как показано в [5], с достаточной точностью выполняется:
2p/sin 2р = 1/р,
где р — коэффициент, который зависит от Ль.
Следовательно, уравнение медленного движения принимает вид:
Щр)М(р) +•
1
M(!Q)N{jQ)
GijQ)
Hp) J *o =
0.
(3.19)
Анализ (3.19) показывает, что в общем случае медленное движе-
ние системы зависит и от амплитудной характеристики звена форми-
рования сигнала переключения 1 u ;
N(jio)
Но чем выше частота Q, тем меньше сказывается на динамике си-
стемы составляющая M(p)N(p), и уравнение медленного движения
приближается к уравнению идеального скользящего режима
G(p)*i = 0. (3.20)
Таким образом, с помощью методики определения параметров ква-
зискользящего режима и (3.19) можно полностью описать динамику
движения СПС в квазискользящем режиме и одновременно понять,
какие имеются возможности для улучшения этих параметров. Рассмот-
рению некоторых из таких возможностей посвящен следующий па-
раграф.
5* 59

%Л. Пути улучшения параметров реальных режимов СПС
Режим переключений не может устроить разработчиков высокока-
чественных следящих систем ввиду значительных динамических оши-
бок, получающихся в этом режиме, поэтому будем считать, что усло-
вия (3.8) определенно выполняются. Следовательно, в дальнейшем
будем изучать лишь квазискользящий режим работы СПС.
у.'
9(tH(t)
\d-2P
Ну
Тэр+1
ОУ
di
Рис. 3.4. Структурная схема СПС с токовой связью
Рассмотрим следующие, наиболее вероятные на практике причины,
вызывающие увеличение динамической ошибки:
наличие динамических искажений при формировании информации
о фазовых координатах системы;
воздействие механической нагрузки типа «сухое» трение»;
присутствие в канале сигнала переключения составляющих, откло-
няющих плоскость переключения от начала координат пространства
состояний.
В § 1.3 указывалось, что информацию о координате хъ можно
получать с помощью тока управления исполнительным двигателем.
Если не учитывать шумовой составляющей в токе управления, то
использование тока управления в- качестве информации о координа-
те хъ формально учитывается равенством Г2=0.
Кроме того, имеется еще один аспект формирования функции пе-
реключения L с участием тока управления. Для выяснения этого
аспекта воспользуемся квазирелейным представлением СПС [4]. На-
\di+d2p\
ky/R*
ОУ
Рис. 3.5. Модель СПС с токовой связью
60

пряжение управления в этом случае представляется в виде (3.9).
В скользящем режиме сигнал переключения L совершает колебатель-
ные движения относительно нулевого положения квазирелейного эле-
мента. При этом, чем выше частота, тем ближе амплитуда этих коле-
баний к нулю. В то же время напряжение направления значительно
отличается от нуля, что позволяет, в первом приближении, считать
квазирелейный элемент в скользящем (и квазискользящем) режиме
усилительным звеном с бесконечным коэффициентом усиления.
С учетом таких представлений на рис. 3.4 показана структура СПС
в случае использования тока управления в качестве информации о ко-
ординате хъ при ki=\.
Если соблюдены условия возникновения скользящего режима, то
можно рассматривать эквивалентную схему СПС, как представлено на
рис. 3.5. Нетрудно показать, что в этом случае передаточная функция
Wi(p)—\/ki} следовательно, при анализе динамики СПС уже "можно
не учитывать электромагнитную постоянную времени.
В случае квазискользящего режима передаточная функция Wi(p)
определяется исходя из гармонической линеаризации звена с перемен-
ной структурой, т. е.:
"11р)=1№ъ+;Х)]+1- <3-2,)
где k„ берется из (3.14).
Условия (3.15) примут теперь следующий вид:
20 lg
QGt№
Ыг(Р)Мх(1£>)
-201g
*Л'(«я + Му)
(3.22)
где
arg ^)млт =-"+arg *(*_)7-,о*)-и - (3-23)
NAP) (TlP+l) 11 lW р к h
4(^)=«я/(«я + иу). (3-24)
Поясним на примере электромеханической следящей системы поло-
жительный эффект от введения тока управления в сигнал переклю-
чения.
Пример 3.3.
Объект управления остается таким же, как и в примере 3.2. По-
рядок расчета остается прежним.
1. Передаточная функция в цепи сигнала переключения согласно
(3.23) имеет вид:
Oi(P) d Pi + dt/djp+l _2Q 0,1/?+1
Wi(/>)= 1 (TlP+l) (0,0034/7+1) "
61

В соответствии с (3.21) передаточная функция нелинейной части
WH(p)
k^ky I_
2. В данном случае передаточная функция линейной части объекта
управления имеет вид:
W0y(p)=Qi/M(p),
где Qi = kM/J; М(р)=рЦТэр+\).
Перенесем постоянный множитель kY/Ra из передаточной функции
нелинейной части системы в передаточную функцию линейной части
объекта управления, тогда:
Qi ky = Q _ Q
R*k„ 1
Wn(p) =
Rnk^ky + [КяТэР/№я + Ь„ку)] + 1
62

Передаточная функция линейной части системы принимает вид:
(T1 + d2/d1)p+l
GAp)
WJp) = w\
= 5000
p*{TlP+l)(T9p + "l)
(0ЛР+1)
= 5000
/?2(0,0034/7+ 1) (0,0025/7+ 1)
(i/iop+i)
/?2(1/294/7 + 1) (1/400/7 +- 1)
3. На рис. 3.6 приведены логарифмические частотные характери-
стики системы,
Для определения параметров квазискользящего режима Q и AL
строится фазовая граница устойчивости (ФГУ) [12]. Построение ФГУ
производится следующим образом.
Задаваясь различными значениями
k^t определяем семейство амплитуд-
ных характеристик нелинейной части.
Точки пересечения амплитудной ха-
рактеристики линейной части с ам-
плитудными характеристиками не-
линейной части сносятся по верти-
кали на соответствующие фазовые
характеристики нелинейной части.
Кривая, проведенная через получен-
ные точки на фазовых характери-
стиках нелинейной части, и является
фазовой границей устойчивости.
Условия существования квазискользящего режима (3.22) выпол-
няются при пересечении фазовой характеристики линейной части ФГУ
на частоте й=320 1/с:
k~ \ 0,127
— 20 lg ( —]=4 дБ; /е_ = 1,73; ЛL =-j-^-=0,0734 рад;
sgnL;
-h
L
Рис. 3.7. Релейная характери-
стика с опережающим гистере-
зисом
1 + К
G(jQ)
= 0,000104 рад.
Полученные данные показывают, что использование тока управле-
ния в качестве информации о координате хг улучшает параметры ква-
зискользящего режима. Следовательно, с точки зрения улучшения па-
раметров квазискользящего режима введение токовой связи является
эффективным средством и можно ожидать улучшения динамических
свойств ©сей системы. Но введение обратной связи по току управле-
ния усиливает, как правило, шумовую составляющую, а это, как будет
показано ниже, может ухудшать параметры квазискользящего режима.
Кроме того, сигнал тока управления содержит постоянную состав-
ляющую за счет действия «сухого» трения, что приводит к появлению
дополнительной статической ошибки.
63

В целях преодоления указанных выше недостатков в цепь форми-
рования сигнала, соответствующего знаку функции L(t), введем нели-
нейное звено со статической характеристикой, изображенной -ч.на
рис. 3.7. Такую характеристику будем называть опережающим гисте-
резисом. Результаты гармонической линеаризации звена с опережаю-
щим гистерезисом представлены ниже:
W<m(AL; p)=a(AL) \z7TTP+l\' <3-25)
где
^>=^[/Ч^У]: (,26)
ь^=— (3-27)
Передаточная функция (3.25) соответствует форсирующему звену,
дающему опережение по фазе от 0 до я/2. Коэффициент усиления
этого звена £ф0Р может быть найден по (3.26), а постоянная времени
определяется следующим образом:
Условия (3.15) имеют теперь следующий вид:
QG(jQ)
20 lg
N(jQ)M(jQ)
N(jQ)M(jQ)
= -20 lg I a(ЛА) (7ФОР/2+
(3.29)
Проиллюстрируем на конкретном примере расчет параметров ква-
зискольэящего режима при наличии звена с опережающим гистере-
зисом.
Пример 3.4.
Порядок расчета и объект регулирования аналогичны ранее ука-
занным (см. § 3.1).
1. Передаточная функция нелинейной части согласно (3.25) опре-
деляется следующим образом:
W*(AL; P)=a{AL) \——р+\
Yl-(h/AL)* f h
= 0,127 - j ГР+1
\Y\-{h/ALy
Выберем /i = 0,0135 ряд.
64

2. Передаточная функция линейной части та же, что и в приме-
ре 3.2:
Гл(,)= 5650 (1/12.1,+1)(1/104,+1)
Р2(1/Ь00р+ 1) (1/294/?+ 1) (1/152/7+ 1)(1 400/7+ 1)
3. Логарифмические характеристики исследуемой системы пред-
ставлены на рис. 3.8.
Рис. 3.8. Логарифмические амплитудно-фазовые характеристики при
наличии в СПС звена с опережающим гистерезисом
Условия (3.29) выполняются при частоте й = 630 1/с, на которой
происходит пересечение фазовой характеристикой линейной части си-
стемы фазовой границы устойчивости:
0,0276
=0,0000304 рад.
AL = 0,0276 рад; Ах =
G(jQ)
M(jQ)
Так как запаздывание при переключении структур определяется
динамикой всей системы, то величина h должна сложным образом за-
66

висеть от изменения хи х% и *з» поэтому наиболее рационально при-
нять h=Lj\khy где kn>\. В первом приближении эту зависимость
можно упростить, т. е. использовать характеристику, изображенную на
рис. 3.9.
Для реализации подобной характеристики можно применить схе-
му, показанную на рис. 3.10,- где DI, D2 — ключевые устройства, ра-
ботающие в противофазе; D3 — операционный усилитель в масштаб-
ном режиме; D4 — компаратор.
Рис. 3.9. Статическая ха- Рис. 3.10. Структурная схема,
рактеристика зависимости реализующая релейное звено с
h=f(x\) опережающим гистерезисом
Показанные пути улучшения параметров реальных режимов СПС
дают возможность во всех практических задачах получать амплитуду
вспомогательного (квазискользящего) колебательного движения мень-
ше допустимых значений. Следовательно, основной вывод, который
можно сделать, заключается в подтверждении перспективности приме-
нения СПС в тех задачах, какие были рассмотрены в начале данной
работы.
Воздействие статического момента нагрузки типа «сухое» трение
приводит к срыву квазискользящего (скользящего) режима и к по-
явлению статической ошибки, рассчитанной по (3.13). Здесь необходи-
мо указать, что срыв квазискользящего режима препятствует получе-
нию в системе низких скоростей. В целях борьбы с этим недостатком
воспользуемся предложенной в [4] идеей охвата исполнительного эле-
мента нелинейной обратной связью. Структурная схема с нелинейной
токовой связью изображена на рис. 3.11.
Дифференциальное уравнение рассматриваемой системы записы-
вается в виде
66
(3.30)

Hp)
N(p)
I
ky/Rp
Тэр + 1
Объект
Рис. 3.11. Структурная схема СПС с нелинейной токовой связью
где
{а* при lyL > О,
— а* при iyL < 0.
Если справедливо условие
|Р<н1/1Ч<а/.
то, как видно из (3.30), выполняется условие существования скользя-
щего режима в начале координат, т. е. условие полной воспроизво-
димости.
Схема, показанная на рис. 3.11, кроме того, подтверждает перспек-
тивность охвата обратными связями динамических элементов следя-
щих систем с точки зрения повышения точности таких систем. Заме-
тим, что этот вывод в полной мере относится и к параметрическим
обратным связям.
3.3. Анализ помехоустойчивости СПС
В [5], а также в «некоторых других работах неоднократно под-
черкивалось, что наличие шумов в СПС, особенно в канале формиро-
вания управляющей функции, может значительно изменить характер
движения таких систем. Наличие помех в различных каналах СПС
вызывается как присутствием помех во входном воздействии, так и
аппаратурными шумами. Все это приводит к тому, что уровень помех
после суммирования сигнала с дифференциатора и сигнала тока управ-
ления может оказаться таким, что система ухудшит свои статические
и динамические свойства из-за изменения ее характеристик по полез-
ному сигналу. Шумы линеаризуют релейное звено в канале формиро-
вания управляющей функции, что, как уже подчеркивалось выше, ве-
дет к ухудшению параметров квазискользяш;его режима или даже
к срыву этого режима.
Используя методику расчета параметров квазискользящего режи-
ма, предложенную в § 3.1, найдем условия поддержания устойчивого
квазискользящего режима при наличии помех в канале формирования
управляющей функции. При этом основным допущением является тот
факт, что полезный сигнал и помеха не коррелированы друг с другом.
На практике это допущение почти всегда выполняется, так как вели-
чина помехи обычно не зависит от величины сигнала ошибки.
67

Будем анализировать структуру, изображенную на рис. 3.12, с по-
мощью которой можно определить параметры квазискользящего режи-
ма, где Ф — шум, некоррелированный с сигналом ошибки.
. Шум Ф будем считать центрированным случайным процессом
с нормальным законом распределения. Последнее предположение впол-
не оправдано, так как объект управления обладает хорошими филь-
трующими свойствами и происходит приближение закона распределе-
ния случайной функции к нормальному.
N(p)
И*
а
м(Р)
Рис. 3.12. Модель формирования квазискользящего режима
В [6] показано, что совместная статистическая и гармоническая
линеаризация имеет для релейного звена с опережающим гистерезисом
следующий вид:
MO^fViodi+(a+pb*)i4L smQt-\-(k*l+k*2p)Ly (3,31)
где f*o — средняя в вероятностном смысле статистическая характери-
стика нелинейности; а* и 6*— гармонические коэффициенты усиления
по первой гармонике для неоднозначной нелинейности; k*\ и k*2 — ста-
тистические коэффициенты усиления по случайной составляющей,
о
имеющие гармонический характер; L — центрированная случайная со-
ставляющая сигнала L(t).
В соответствии с предложенной выше методикой определения па-
раметров реальных режимов квазискользящего движения (см. § 3.1)
определим коэффициенты а* и Ь*, которые в данном случае зависят и
о
от параметров случайной составляющей L.
Проведем статистическую линеаризацию релейного звена с опере-
жающим гистерезисом с учетом нормального закона распределения:
-2Ф
nJTmL
+
+
ф(—
LL
L U
exp
(h — mL)2
г (^ + ^)2ill
где
mL = xXod\-\-AL sin Q/;
m- = ALQcos2/;
(3.32)
(3.33)
(3.34)
68

Ol — среднеквадратическое отклонение сигнала L; a'L — средне-
квадратическое отклонение продифференцированного сигнала L; oLl —
совместное среднеквадратическое отклонение сигналов L и L;
Y
Наиболее тяжелый случай будет при значительном превышении
шума над полезным сигналом:
mL'<3L<^^^ * " ^l<^aL' (3.35)
Условия (3.35) соответствуют значительному превышению помехи над
полезным сигналом.
Используя результаты [5], можно записать:
/ h + mL \ i
\ °L J V2k
Ф
Ф
h — гпт
1
h-\- mL
h — rtij
If
exp
exp
exp
1 f h + mL
X_( h-mL у
2
1.
Подставим (3.36) в (3.32):
fo = a*io 2
• + 2-
3L K2tx
Используя (3.33) и (3.34), запишем формулу в виде:
2=сАЛЛйх10
• cosQ/.
Следовательно:
f о —
2aXt
2aXi
->lV2k
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
В результате передаточную функцию (по первой гармонике) не-
линейного форсирующего звена с учетом статистической и гармониче-
ской линеаризации можно записать так:
где
^оЛР) =^%р(^ПфорР+ 1),
фор •
(3.40)
коэффициент усиления форсирующего звена;
69

— 1/ — — -"постоянная времени форсирующего звена. (3.41)
W тс о.
П р и м е р 3.5. Для передаточной функции линейной части си-
стемы
w (D) = %со 0/12,1/? + 1)(1/104/7+ 1)
ЛР) ° /?2(1/500/> + 1) (1/294/7 + 1) (1/152/?+ 1)( 1/400/? + 1)
определим предельное значение ^ ^ при котором еще существует ква-
зискользящий режим.
Уравнение фазовой характеристики нелинейного звена можно за-
писать так:
Рис. 3.13 Логарифмические амплитудно-фазовые характеристики СПС
при наличии шумов
70

т. е. фазовая характеристика проходит ниже —я. Так как условия су-
ществования квазиокользящего режима выполняются лишь при пере-
сечении фазовых характеристик линейной и нелинейной частей систе-
мы, то можно найти такое значение при котором это условие
нарушается. На рис. 3.13 показана предельная фазовая характеристика
нелинейного звена при ГшфОр=0,0004 с.
Показанные на рис. 3.13 характеристики позволяют определить
предельное значение ^ , ниже которого не выполняются условия су-
ществования квазискользящего режима и в системе возникает режим
переключений. Это связано с тем, что меньшие значения ск при по-
стоянных Оь соответствуют более низкочастотному спектру. Чтобы
восстановить условия существования квазискользящего режима, не-
обходимо уменьшать величину А, т. е. нелинейное форсирующее эв-ено
несколько сужает зону устойчивой работы СПС в шумах.
Большая величина амплитуды колебаний AL соответствует боль-
шим значениям колебаний сигнала ошибки:
(3.42)
В целях уменьшения Ах необходимо увеличить частоту Q, для
чего существуют следующие возможности: уменьшение Тэ и т — по-
стоянной времени измерения фазовых координат, увеличение Q; умень-
шение Оь.
Увеличение Q и уменьшение Гэ в*едет к расширению полосы про-
пускания системы! и, следовательно, к увеличению о*, так как в этом
случае увеличивается Оь. Следовательно, необходимо пользоваться
предварительной фильтрацией сигнала ошибки в целях уменьшения оь-
В то же время уменьшение т, как указано в {17], не приводит к рас-
ширению полосы пропускания линейной модели СПС. Но задача умень-
шения т (получения достоверной информации о фазовых координатах
системы) может оказаться в противоречии с предварительной филь-
трацией сигнала ошибки. Таким образом, получение удовлетворитель-
ных параметров квазискользящего режима в условиях шумов является
сложной задачей, требующей для своего решения использования тео-
рии оптимальной фильтрации. В связи с ограниченным объемом дан-
ной книги вопросы оптимальной фильтрации здесь не рассматриваются.
В [3] показано, что при значительном превышении шума над по-
лезным сигналом, т. е. при
mb/aL<l,
а также при малых уровнях помех в основном канале
тж/а*>1
71

(часто встречающийся на практике случай) дисперсия случайного сиг-
нала на выходе звена с переменной структурой имеет вид:
c(1-0,64y)V)+/^ 1-0,8— (1-^L)2 -
L ' °L
-1,28^—
(3.43)
где T}xL — коэффициент корреляции между сигналами ошибки и пе-
реключения.
Графики, приведенные на рис. 3.14 и 3.15, показывают, что зави-
симость дисперсии на выходе эвена с переменной структурой от взаи-
мокорреляционной функции воздействий x(t) и L(t) имеет экстремум.
Ю0,3б\
то
99
98
97
96
95
94
93
г*
—
—
—
7
\
/
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 nxL
Рис. 3.14. График зависимости
дисперсии на выходе ЗПС от вза-
имокорреляционной функции воз-
действий x(t) и L(t) при
тх/вх~Ю; mL/o-L==0,l
0,2 0,4
0,8 1f0nxL
Рис. 3.15. График зависимости
дисперсии на выходе ЗПС от вза-
имокорреляционной функции воз-
действий x(t) и L(t) при
тх/вх=10; ть/о*ь = 0,01
Следовательно, всегда можно найти такой коэффициент корреляции
г)хь, что дисперсия на выходе зв1ена с переменной структурой будет
минимальной.
Коэффициент корреляции равен:
(3.44)
где kxL(x)—взаимная корреляционная функция сигнала ошибки и сиг-
нала переключения.
Взаимная спектральная плотность этих же сигналов [18]
00
Sxl(<*) = ^ kxL(x)exp( — j<oi)dz. (3-4$)
72

Для этой же взаимной спектральной плотности можно записать
выражение согласно теореме Винера — Хинчина [19]:
sxl{<») = Hm —M{xT(ja>)t М~/«)}»
Г->эо l
(3.46)
где хг(/со) и LT(—/со) — спектральные характеристики финитных сиг-
налов хт(/) и LTСО-
Формулу (3.46) можно представить в виде
Г->эо / I
G(/«)
N(jm)
N(jm)
(3.47)
где. Sx(co)—спектральная плотность сигнала ошибки.
Таким образом, от вида амплитудной характеристики
зависит и величина дисперсии на выходе звена с переменной структу-
рой. В то же время, как было показано выше, от той же амплитудной
|G(/«)
характеристики
/V (/<■>)
зависит и амплитуда колебаний в квази-
скользящем режиме, т. е. всегда можно найти оптимальное значение
G(jto)
при котором СПС функционирует наилучшим образом в слу-
N(jio) у
чае помех в канале сигнала переключения. На рис. 3.16 показан один
из вариантов построения экстремального регулятора, оптимизирующе-
го»)
го амплитудную характеристику
Л/(/<о)
[23].
ии
1
8 ki\uy\
10
Рис. 3.16. Структурная схема СПС с экстремальным регулятором:
/ — сумматор; 2 — блок выделения модуля; 3— синхронный детектор; 4 — объект
управления; 5 — управляемый фильтр; 6 — компаратор; 7 — блок выделения моду-
ля; 8 — сумматор; 9 — блок выделения среднеквадратического отклонения; 10 —
Сл;х определения экстремума
6—10
73

Информацией, по которой происходит поиск экстремума, является
разность между модулями сигнала управления и сигнала ошибки, взя-
•тыми со своими весовыми коэффициентами. Тем самым при определе-
нии параметров помехи в значительной мере удается избавиться от
полезного сигнала, которым следовало бы управлять объектом в слу-
чае отсутствия этой помехи. Следовательно, среднеквадратическое
отклонение а* характеризует ту часть дисперсии Dv которая вызва-
на действием помехи. В остальном экстремальный регулятор работает
по известным принципам: блок определения экстремума задает поиско-
вое движение по частоте среза амплитудной характеристики, в ре-
зультате чего находится то значение г\хь, при -котором систему с пе-
ременной структурой можно считать максимально помехозащищенной.
Расчетные примеры, а также испытания реальных электромехани-
ческих следящих систем показывают, что в рассматриваемых здесь
условиях имеется возможность при двухзонном построении системы
получить высокие, близкие к предельным, значения показателей каче-
ства. Этот важный вывод показывает целесообразность использования
двухзонных следящих систем во многих практических задачах, в том
числе и в тех, которые совсем недавно не поддавались удовлетвори-
тельному решению.
Глава 4
ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ДВУХЗОННЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ
4.1. Анализ устойчивости двухзонных следящих систем
Все положительные стороны двухзонных следящих систем реали-
зуются, естественно, только в случае поддержания устойчивой работы
этих систем. Обеспечение широкого диапазона устойчивой работы двух-
зонной следящей системы позволяет от рассмотрения свободного дви-
жения перейти к определению возможностей использования этих си-
стем в разнообразных задачах, где требуется высокое качество вы-
нужденного движения. Этот аспект важен для данной книги, так как
позволяет установить принципиальные возможности двухзонных следя-
щих систем.
Двухзонная следящая система рассматривается как система, знак
управляющего напряжения которой изменяется на специально сфор-
мированных в фазовом пространстве поверхностях, переключения. Под-
ход к выбору этих поверхностей переключения может быть самым раз-
личным, но обязательно обеспечивающим устойчивость системы и поз-
воляющим достичь заданные качественные показатели функциониро-
вания. Аппаратурно двухзонная следящая система строится таким
образом: измеренные координаты системы суммируются в соотноше-
нии, определяемом положением изображающей точки в фазовом про-
странстве системы, затем устанавливается знак полученной суммы,
74

расположения
режима в об-
который и умножается или на постоянную величину, или на сигнал
ошибки. В этом случае аппаратурная реализация получается унифици-
рованной, а следящая система в зависимости от вида функции коор-
динат системы, знак которой участвует в управлении, может решать
разнообразные технические задачи.
Очевидным становится и подход к реализации параметрической
адаптации. Наиболее ответственными моментами работы двухзонной
следящей системы являются мо-
менты перехода от одной поверх-
ности переключения к другой.
Именно здесь реализуются усло-
вия устойчивой работы двухзон-
ной следящей системы, причем
численные параметры этих усло-
вий не зависят от входных воз-
действий, а только от вида объ-
екта управления и управляющего
устройства. Данный факт и позво-
ляет за счет контроля моментов
перехода от одной поверхности
переключения к другой произво-
дить корректировку параметров
такого переключения. И чем эф-
фективней удается соблюдать
условия устойчивой работы двух-
зонной следящей системы, тем в
большем числе различных технических задач она может быть исполь-
зована.
Высокие качественные показатели двухзонных следящих систем,
свойственные для их свободного движения, показывают перспектив-
ность использования таких систем для большого числа прикладных
задач. В то же время в двухзонных системах осложнен подход к опре-
делению условий устойчивости в общем виде. Дело в том, что предла-
гаемые системы, представляющие наглядный пример систем с перемен-
ной структурой, по определению И. Е. Казакова [7], имеют две раз-
личные структуры, смена которых в общем виде является случайным
процессом. По определению И. Е. Казакова — это такие динамические
системы, поведение которых на случайных интервалах времени харак-
теризуется различными структурами и описывается различными урав-
нениями. Анализ устойчивости вынужденных движений следящих си-
стем .с переменной структурой представляет сложную задачу, требую-
щую отдельного изучения.
В данной книге проводится анализ устойчивости лишь свободных
движений двухзонных следящих систем. Подход к устойчивости сво-
бодного движения двухзонных следящих систем может быть значи-
тельно упрощен в связи с тем, что имеется возможность рассматри-
Рис. 4.1. Схема
линии скользящего
ласти М:
1 — номинальное положение линии
скользящего режима; 2 — предельное
положение линии скользящего режи-
ма

вать эти вопросы последовательно. При этом условия устойчивости
разбиваются на три группы:
1) условия попадания в определенную область фазового простран-
ства системы;
2) условия захвата изображающей точки системы структурой вну-
тренней области;
3) условия устойчивости скользящих режимов СПС.
На рис. 4.1 показано расположение линии квазискользящего ре-
жима в области М.
После попадания изображающей точки системы в область М на-
чинает работать система с переменной структурой, при этом движе-
ние изображающей точки характеризуется амплитудой колебательного
движения Лх. Исходя из геометрических соображений, найдем пре-
дельно допустимые значения этой амплитуды. Будем считать точку О'
расчетной точкой втягивания в квазискользящий режим. Эта точка
имеет координату jcjm, равную половине размера области М по коор-
динате х. При этом коэффициент передачи ЗПС по первой гармонике
принимает вид:
4а | хт |
*~=-^7~- (4Л>
По этой формуле и приведенной выше методике расчета парамет-
ров реальных режимов СПС определяется /максимальное значение
амплитуды колебаний Лмь:
\xm\V[dl(T1 + T2)+d2V + d\
di(Ti + Tt)+dt
Очевидно, для того, чтобы изображающая точка системы не по-
кинула области М после включения в работу СПС, необходимо обес-
печить выполнение следующего неравенства:
А1 < AfeA =
а так как
то
Ам¥
Xm\V[di(Ti + T2) + dt]* + d\
d1{T1+T2)+d2
AM ll '— ЛМ
A x~ G(jQ) A £*
I *im I YldiVi + T,) +d2]* + d\
G(jQ)
N(jQ)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
IdtFi + TJ +d2]
Условие (4.5) практически лучше использовать в несколько ином
виде, так как параметры системы Т{ и Т2 определяются аппаратурной
реализацией, d\ и d2 — условиями получения максимального быстро-
действия и условиями непопадания в режим переключения, а значение
/о

частоты Q — в основном динамикой объекта управления. Следова-
тельно:
\х
1М I
G(jQ)
N(jQ)
Из треугольника 00'О" определяем:
1*1м1Ш1(Л + 7^+<У2 + ^1}
00" =
и соответственно
di №ЛТг + Т2) +d2]
l^mlildA^ + T,) +d2V + d\}
(4.6)
(4.7)
(4.8)
d1[d1(T1 + T2)+d2\
Условия (4.6) и (4.8) являются необходимыми, но не достаточны-
ми, так как линия скользящего режима может перемещаться в пло-
скости [хи х2] на разные расстояния 7?см в зависимости от величины
координаты Хг в момент начала втягивания в квазискользящий ре-
жим. Линия скользящего режима занимает исходное положение толь-
ко тогда, когда траектория изображающей точки пересекает плоскость
скользящего режима при х3=0 (рис. 4.2). В остальных случаях сле-
Рис. 4.2. Фазовое пространство двухзонной следящей системы:
/ — область g; 2 — плоскость скользящего режима; 3 — номинальное положение
линии скользящего режима; 4 — предельно* положение линии скользящего
режима
77

дует потребовать выполнения условия
A"L<AV**-RW, (4.9)
где
Ясм= (TxWv\T*l*±\)x£™\ (4.10)
я3захв — значение координаты хъ в момент попадания изображающей
точки на плоскость скользящего режима.
При #см^4ьпред двухзонная система переходит в режим пере-
ключений, что из принятых нами условий нормальной работы двух-
зонной системы может считаться потерей устойчивости. Обозначим
ЛГд-*см = !; (4-П)
и будем называть эту величину запасом устойчивости двухзонной сле-
дящей системы. Таким образом, чтобы получить достаточно большой
запас устойчивости, наиболее эффективный путь — переключать систе-
му для работы в СПС при очень малых значениях х$.
х2,
/#/ узах6
х3
1
-Х2М
' (Ti + T2Hi+dL2~
T1T2d1+T2cL2+1
Рис. 4.3. Схема выбора наклона линии скользящего режима:
/ — линия скользящего режима
Как уже отмечалось ранее (см. § 2.2), расширения зоны устойчи-
вой работы можно добиться введением .параметрической адаптации.
Так, увеличение запаса устойчивости происходит в случае изменения
коэффициента d2 в уравнении поверхности переключения L. Рассмот-
рим рис. 4.3. Как видно из этого рисунка, в случае уменьшения угла
arctg I — — —— I например, за счет уменьшения d2 можно
понизить Rcu даже <в случае конечного х3захв. Причем, чем больше
*ззахв, тем меньше должно быть d2. Следовательно, параметрическая
адаптация в виде
d2 = f(\/x3) (4.12)
может практически всегда обеспечивать приемлемые значения g, в том
числе и в случае вариаций параметров системы.
78

Так, например, если известно предельно допустимое значение
»ния
(Pi+ Pi)<*i + f О/*»)
^ш^у из соотношения
Х3
'^(Щ + ТУ (1/х,) + 1)» + [ (Г, + Га)^ + f( !/*,)]■ /?преД
(4.13)
всегда можно определить необходимую зависимость (4.12), например,
графическим путем.
Запишем условия (4.6) и (4.8), необходимые для определения
границ области G, в следующем виде:
[ * N(jQ) ^ см j
|#2м | ~
у^пред
V l(T1 + T2)d1 + d2]2 + d\'
dl
(4.14)
^[(Tt+TJdt+J^+d^
Границы области G будем определять, исходя из времени /доп,
вычисленного по (1.30). Воспользовавшись системой уравнений (1.32),
где
*2(^доп) =#2М И *1(Гдоп)=#1М,
определим координаты точки переключения структур:
X2G — X,
2М"
\G -*1М-Г кфа2
M2o L a0
*ф+1
2a02
In2
L a0 кфао'
Цln (vb)"
(4.15)
надежного перехода к квазискользящему режиму
Условиями
являются:
область G с координатами [2хю\ x2G], определяемыми из (4.15);
подключение СПС при х3-+0\
формирование коэффициента d2 плоскости переключения L по за-
кону (4.12).
Для устойчивого движения в квазискользящем режиме необходи-
мо выполнение условий (3.6) и (3.8).
Для устойчивости двухзонной следящей системы необходимо вы-
полнение условия (2.37), а также условия S^z^o.
Следует еще раз подчеркнуть, что полученные выше условия отно-
сятся лишь к свободному движению двухзонных следящих систем.
Анализ полученных необходимых и достаточных условий устойчи-
вости свободного движения двухзонных следящих систем показывает,
это эти условия на практике обычно выполняются. Причем объект
79

управления представляет собой два интегратора и апериодическое зве-
но, что в линейных системах вызывает определенные трудности с обес-
печением устойчивости. Интересно, что для рассматриваемого случая
устойчивость (и точность) системы зависит в основном от качества
получаемой информации о координатах системы. Этот факт позволяет
перейти от изучения только свободного движения двухзонных следя-
щих систем к определению возможностей их использования и в дру-
гих задачах, решаемых следящими системами. Для этого необходимо
оптимизировать процесс измерения координат системы как в части
точности измерения, так и в отношении минимальных динамических
искажений.
4.2. Основные направления использования двухзонных
следящих систем
Чтобы оценить возможности использования предложенной выше
нелинейной системы, воспользуемся ее функциональной схемой, изо-
браженной на рис. 4.4, где £ — оценка сигнала рассогласования;
Fa(t) —внешние возмущения по нагрузке;
ч берется из формулы (2.8);
^-х1-2(Хт + кфХяи) Т" <4Л6)
(4.17)
= TlP+i х«- —*У =
7>4 + Ч + (Tidx + d2)x2 + dxxx — Хзн
| A*8H| = const.
Двухзонная следящая система работает следующим образом.
В фазовом пространстве формируются две поверхности переключения
L\ и L2. Кроме того, в память системы закладываются значения хю
и x2G, принадлежащие области G, и величина координаты *3захв, при
которой происходит переключение в область М. ^-ячейки работают по
координате рассогласования и току управления. При появлении на-
чального рассогласования [х0, х°2, х%] изображающая точка системы
оказывается вне области G, и, следовательно, компаратором переклю-
чения устанавливаются значения коэффициентов, соответствующие по-
верхности переключения L\\ = и принимает свое максималь-
ное значение Vym с соответствующим знаком. После первого пере-
ключения знака Uym изображающая точка достигает окрестности точ-
ки с координатами [*iG, x2G, *з(01- При этом в логическом блоке 2
значение х, формируемое из sgnx, изменяет свой знак на противопо-
ложный, что заставляет, в свою очередь, поменять знак и Uy . Ток
80

управления |ty| начинает поступать на компаратор, который сраба-
тыва'ет при некотором малом значении iy. Обратная связь вокруг этого
компаратора символизирует память, работающую до тех пор, пока
изображающая точка системы не покинет область G. Компаратором
устанавливаются значения коэффициентов, соответствующие поверхно-
сти переключения что способствует возникновению квазискользя-
щего режима, и в этом режиме изображающая точка системы по-
падает в окрестность начала координат фазового пространства си-
стемы.
WyH(p)
h(t)
ж
Щ1
I
sgnx
Логич.
5лок1
Логич.
блок 2
ky/R,
ТэР+1
iy
Ключ
Квадратор
И:
f(l/ly)
f-1 i
Блок
координат
области G
Компаратор
Е
I
Ключ
Ключ
jP<
Y(t)
Ж.
Рис. 4.4. Функциональная схема двухзонной следящей системы
Как было показано выше, такой алгоритм управления имеет сле-
дующие преимущества:
достижение высокого, близкого к предельному, быстродействия;
получение высокой статической точности;
обеспечение «грубости» системы к вариациям параметров;
простота и универсальность аппаратурной реализации.
Система устойчиво работает (как показали исследования на по-
мехозащищенность) и на фоне возмущений и шумов, причем и здесь
имеются возможности к дальнейшему улучшению качества работы
двухзонной следящей системы. Так, используя принципы параметри-
61

ческой адаптации, можно подстраивать порог срабатывания компара-
тора в зависимости от сигнала ошибки Х\> при котором происходит
срабатывание этого компаратора. Возможный вариант построения
структуры параметрической адаптации показан на рис. 4.5, где {Уэи
является расчетным значением порога компаратора.
И»тг
I,
Блок
памяти
Компаратор
М
-1
6U,
'эт1
Рис. 4.5. Структурная схема коррекции границы области М
Согласно предлагаемой схеме, в момент срабатывания компарато-
ра в блок памяти заносится текущее значение модуля jci, которое
сравнивается с напряжением (/ЭТ2, соответствующим значению |*im|.
В случае отличия запомненного значения \хх\ от значения |*im| по-
рог компаратора — UdT\ изменяется на величину, пропорциональную
разности |*im| — что вызывает в следующем цикле смещение
значения |jci| в момент срабатывания компаратора области М в сто-
рону приближения его к значению |#im|.
Приведенный выше материал показывает, что незначительным
аппаратурным усложнением может быть достигнуто дальнейшее улуч-
шение показателей качества исследуемой в данной книге двухзонной
следящей системы.
Как указывается в [7], автоматизация сложных процессов управ-
ления приводит к необходимости использования систем с переменной
структурой. Поэтому было бы интересно просмотреть возможность
использования двухзонных, систем при произвольных входных воздей-
ствиях, различных возмущающих воздействиях, а также в случае адди-
тивной смеси полезного сигнала и шума. Кроме 'того, подобные си-
стемы обладают большими возможностями в случае непредвиденных
срывов потока входной информации в случайные моменты времени,
так как восстановление нормальной работы происходит здесь за более
короткий промежуток времени, чем в обычных следящих системах.
Запишем дифференциальное уравнение рассматриваемой системы
в общем виде:
п . /п—т+1 n—m-\-\
**+!■= -2 «iXi-Qi4Xx*i-vy[ 2 bfi!- 2
/=3 \ /=1 /=1
\ n m
+2 2 (4.18)
/ /=1 /=1 1
82

где Qj — коэффициент передачи по постоянной составляющей разомкну-
той части системы; ау-, bj— постоянные коэффициенты дифференциаль-
ного уравнения» системы; т == q + k + 1; q — порядок ф(р)', k — порядок
dxjl(gl), (fr)]
WyM(p); - 1 ^xy+i [tey+i), ^ )]; Ф(Р) — передаточная
at y + i
функция оценочного фильтра (об этом фильтре см. ниже); wy.u(p) —
передаточная функция усилителя напряжения.
. Обозначим
П—/72+1
2 */*/-Л. = Г(0 (4.19)
/=1
и заменим для составляющей
п—т+1
*'у 2 вл
связь по току управления на связь по составляющим сигнала ошибки:
п п—т+1
*я+1«-2 2 0/ф\--*уг(о+г,я(0-(4-20)
/=з /=1
Согласно [4], полная воспроизводимость (*j = 0) возможна
в ^случае
Чтобы оценить возможность выполнения неравенства (4.21), рас-
смотрим один частный случай:
q=k=0. (4.22)
Это соответствует отсутствию оценочного фильтра Ф(р) в канале
сигнала ошибки и безынерционному транзисторному усилителю мощ-
ности.
Неравенство (4.21) принимает вид:
|Г'(01
■ -<1аЧ. (4.23)
|Г(01 1 1 '
В [4] отмечается, что класс функций Г(/), для которых выпол-
няется неравенство (4.23), достаточно широк. Но на практике не всег-
да выполняется равенство (4.22). Это относится к системам большой
мощности, а также к случаю входной помехи, аддитивной полезному
входному воздействию.
В последнем случае, как известно [15], наилучшую оценку сигна-
ла х дает фильтр Калмана — Бьюси или фильтр Винера — Колмого-
рова. Теорема разделения [8] в частных приложениях позволяет рас-
сматривать отдельно задачи фильтрации и управления динамическим
83

объектом, например, пю критерию обобщенной работы. Следовательно,
наличие фильтра Ф(р) в этом случае обязательно.
Чтобы свести неравенство (4.21) к неравенству (4.23), создадим
добавочные нелинейные связи по произвол* ым тока управления:
п n—m + l т—1 /у.
*«+1=2ал- 2 °УЧ--2 Ч(о+r<w>(o. (4.24)
/=з / = 1 /=1
Нетрудно показать, что в этом случае можно пользоваться нера-
венством (4.23).
Тем самым удалось выявить возможность применения СПС в слож-
ных задачах полного воспроизведения и фильтрации. Покажем также,
что использование двухзонного принципа построения систем действи-
тельно улучшает показатели качества таких систем. Как известно [5],
работу СПС можно разбить на два этапа: квазискользящий режим и
этап попадания в этот режим. Основным качественным показателем
второго этапа является время до попадания в квазискользящий
режим.
Выше было показано, что двухзонная следящая система обладает
быстродействием, близким к предельному, и поэтому она с этой точки
зрения может считаться квазиоптимальной.
Но поверхность переключения L{ в этом случае уже не может
оставаться стационарной, а должна зависеть от входного воздействия
g(t). В первом приближении от gx и g2 ^g2 = -^Slj должны зави-
сеть как величина х, так и величина коэффициента при координате х2.
Решение этой задачи на функциональной схеме* рис. 4.4 осуществляет
логический блок 1.
Изложенное в этой книге двухзонное построение следящих систем
может найти применение в очень широком круге задач, решаемых сле-
дящими системами. Причем структура управляющего устройства оста-
ется постоянной во всех задачах, а изменяться при этом может лишь
число Ч'-ячеек. Несомненно, отмеченные выше достоинства двухзонных
следящих систем приведут к их широкому использованию в разно-
образных задачах автоматического управления.
Так, например, применение двухзонных следящих систем в станко-
строении позволит в станках с ЧПУ:
повысить производительность;
уменьшить объем информации, вводимой в вычислительное
устройство;
расширить класс обрабатываемых деталей за счет повышения ди-
намических качеств следящей системы, а в случае сверлильных стан-
ков с ЧПУ получить наивысшую для используемого типа исполнитель-
ного двигателя производительность.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бай Ф. Д., Фельдман А. В., Чабанов А. И. Применение различ-
ных типов двигателей в следящих электроприводах подачи станков с
ЧПУ. — Изв. вузов. Электромеханика, 1978, № 4, с. 28—30.
2. Синтез позиционных систем программного управления/ А. А. Ва-
вилов, А. Д. Вальчихин, И. А. Карасин и др.; Под ред. А. А. Вавило-
ва.—Л.: Машиностроение, 1977. — 280 с.
3. Гацко Ю. Ф., Лапин В. А., Хлыпало Е. И. Влияние случайной
помехи па работу нелинейного корректирующего устройства. — Вопро-
сы судостроения. Автоматика и телемеханика, 1977, вып. 3, с. 3—19.
4. Теория систем с переменной структурой/ С. В. Емельянов,
В. И. Уткин, В. А. Таран и др.; Под ред. С. В. Емельянова. — М.:
Наука, 1970. —592 с.
5. Жильцов К. К. Приближенные методы расчета систем с пере-
менной структурой. — М.: Энергия," 1974. — 224 с.
6. Казаков И. Е. Статистические методы проектирования систем
управления. — М.: Машиностроение, 1969. — 261 с.
7. Казаков И. Е. Статистическая динамика систем с переменной
структурой. — М.: Наука, 1977. — 416 с.
8. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управ-
ления. — М.: Мир, 1977.— 650 с.
9. Колесников А. А. О построении быстродействующих автомати-
ческих регуляторов. — Изв. вузов. Энергетика, 1975, № 10, с. 45—52.
10. Ноулт Д. Цифровое дифференциальное устройство. — Электро-
ника, 1975, № 9, с. 45—52.
И. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального
управления. — Л.: Энергия, 1977. — 279 с.
12. Проектирование следящих систем/ Л. В. Рабинович, Б. И. Пет-
ров, В. Г. Терсков и др.; Под ред. Л. В. Рабиновича. — М.: Машино-
строение, 1969.— 498 с.
13. Райниш К. Кибернетические основы и описание непрерывных
систем.— М.: Энергия, 1978.—456 с.
14. Слепян Д. О ширине полосы. — ТИИЭР, Труды инженеров по
электротехнике и радиоэлектронике, 1976, т. 64, с. 4—14.
15. Солодов А. В. Методы теории систем в задаче непрерывной
линейной фильтрации. — М.: Наука, 1975. —263 с.
16. Справочное пособие по теории автоматического регулирования
и управления/ Под ред. Е. А. Санковского. — Минск: Вышэйшая шко-'
ла, 1973. —584 с.
17. Нелинейные корректирующие устройства в системах автомати-
ческого управления/ В. П. Алекперов, В. Р. Андриевский, Л. Е. Баха-
нов и др.; Под ред. Ю. И. Топчеева. — М.: Машиностроение, 1971.—
466 с.
18. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических
систем. — М.: Наука, 1966. —623 с.
85

19. Цейтлин Я. М. Проектирование оптимальных линейных си-
стем.— Л.: Машиностроение, 1973. — 240 с.
20. Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. — М.:
Наука, 1977. —640 с.
21. Чаки Ф. Современная теория управления. Нелинейные опти-
мальные и адаптивные системы. — М.: Мир, 1975. — 424 с.
22. А. с. 519683 (СССР). Устройство для управления инерцион-
ным объектом/ В. В. Шеваль и др. Опубл. в Б. И., 1976, № 34.
23. А. с. 840797 (СССР). Система управления с переменной струк-
турой/ В. В. Сычев, В. В Шеваль. Опубл. в Б. И., 1981, № 23.
24. А. с. 1003016 (СССР). Следящая система/ В. В. Шеваль и др.
Опубл. в Б. И., 1983, № 9.
25. Широков В. П. Следящие приводы на БПМ и МБП с форси-
рованием электромагнитных процессов в муфтах. — В кн.: Динамиче-
ские свойства нелинейных приводов/ Под ред. С. В. Костина. — М.:
МАИ, вып. 275, с. 174—182.
26. Andreiev N. A process controller that adapts to signal and pro-
cess conditions. — Contr. Eng., 1977, v. 24, N 12, p. 38—40.
27. Palmer R. Nonlinear feed-forward can reduce servo setting ti-
me.—Contr. Eng., 1978, v. 25, N 3, p. 53—55.
28. Rushing A. J. Modify a PT-controller for fast response without
overs hoot. —ISA Trans., 1977, v. 16, N 2, p. 21—25.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение ..... .
Глава 1. Пути улучшения показателей качества следящих
систем • • 11
1.1. Постановка задачи синтеза следящих систем, квазиоп-
тимальных по быстродействию 11
1.2. Особенности построения электромеханических следящих
систем 14
1.3. Двухзонные следящие системы 20
Глава 2. Быстродействие двухзонных следящих систем . . 28
2.1. Синтез управления, квазиоптимального по быстродей-
ствию 28
2.2. Чувствительность квазиоптимального по быстродейст-
вию управления к вариациям параметров .... 36
2.3. Влияние точности измерителей координат системы на
быстродействие двухзонных следящих систем ... 45
Глава 3. Режимы работы системы с переменной структурой 51
3.1. Модель формирования квазискользящего режима . . 51
3.2. Пути улучшения параметров реальных режимов СПС 60
3.3. Анализ Помехоустойчивости СПС ...... 67
Глава 4. Особенности функционирования и использования
двухзонных следящих систем 74
4.1. Анализ устойчивости двухзонных следящих систем . . 74
4.2. Основные направления использования двухзонных сле-
дящих систем 80
Список литературы 85

ВАЛЕРИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ ШЕВАЛЬ
ЕВГЕНИЙ ИВАНОВИЧ ДОРОХОВ
СЕРГЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ ИСАКОВ
ВИКТОР ИВАНОВИЧ ЗЕМЦОВ
Двухзонные следящие системы
Редактор С. А. Шаталов
Редактор издательства 3. И. Михеева
Художественный редактор Т. Л. Дворецкова
Технический редактор Г. В. Преображенская
Корректор И. Л. Володяева
ИБ № 149
Сдано в набор 08.06.84 Подписано в печать 10.09.84 Т-17085
Формат 84 X 1081/8а Бумага типографская № 3 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 4,62 Усл. кр.-отт. 4,83 Уч.-изд. л. 5,64
Тираж 3500 экз. Заказ 10 Цена 30 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Зна-
мени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, М-54, Ва-
ловая, 28