2
поуЛТЧные
разработки
ПО ГЕОМЕТРИИ
Универсальное издание
ласс

В ПОМОЩЬ ШКОЛЬНОМУ УЧИТЕЛЮ
Н.Ф. ГАВРИЛОВА
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ
ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
2-е издание, переработанное и дополненное
7
класс
МОСКВА • «ВАКО» • 2010

УДК 372.8:514
ББК 74.262.21
Г12
Гаврилова Н.Ф.
Г12 Универсальные поурочные разработки по геометрии:
7 класс. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ВАКО, 2010. -
304 с. - (В помощь школьному учителю).
ISBN 978-5-408-00210-8
Второе издание подробных поурочных разработок по геометрии для
7 класса существенно переработано и дополнено: расширена
объяснительная часть уроков, даются новые материалы для закрепления и проверки
знаний учащихся. Особенностью пособия является дифференцированный
подход к планированию, позволяющий проводить уроки в классах разного
профиля и уровня подготовки - как в гуманитарных и коррекционных, так
и технико-математических. Издание содержит справочные и тестовые
материалы, варианты уроков для углубленного изучения геометрии в 7 классе.
Приводятся задачи из рабочей тетради, обобщающие таблицы и карточки
для индивидуальной работы.
Пособие адресовано прежде всего учителям, работающим с учебным
комплектом Л.С. Атанасяна и др. (М: Просвещение). Полноценно может
использоваться практически со всеми учебниками для основной школы.
УДК 372.8:514
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-408-00210-8 © ООО «ВАКО», 2010

От автора
Переработанное и дополненное 2-е издание пособия представляет
собой подробные поурочные планы по геометрии для VII класса и
ориентированно прежде всего на работу с учебным комплектом: Атана-
сян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: 7-9 классы. - М.: Просвещение;
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: 7 класс. Рабочая тетрадь. -
М.: Просвещение.
Перед автором была поставлена задача — максимально обеспечить
подготовку учителя к уроку и организацию работы на уроке.
В данной книге учитель сможет найти подробные поурочные
разработки, методические советы и рекомендации, тексты самостоятельных
и контрольных работ, тестовые задания, дополнительные задачи по
каждой теме, задачи повышенной сложности. Пособие будет полезно в
первую очередь начинающему учителю, который сможет позаимствовать
полностью предлагаемые сценарии уроков, а также опытному педагогу
для использования их частично, встраивая в собственный план урока.
Для удобства работы предлагается почасовое тематическое
планирование учебного материала в соответствии с данным пособием, а также в
начале каждой главы курса дается выписка из тематического
планирования учебного материала программы для общеобразовательных школ.
Поурочные разработки в своей основе ориентированны на
организацию работы класса по технологии дифференцированного обучения.
Каждый урок начинается с организационного момента, сообщения темы и
целей урока. Практически в каждом сценарии урока присутствуют
задачи на готовых чертежах. Наличие уже готовых рисунков поможет
учителю наиболее рационально использовать рабочее время на уроке. Эти
задачи решаются, как правило, устно, но по мере необходимости можно
порекомендовать учащимся записать краткое решение задачи. Тестовые
задания позволяют своевременно выявить затруднения учащихся-и
предупредить устойчивые пробелы в их знаниях.

4 От автора
В пособии достаточно дополнительных задач для организации
работы с одаренными учащимися, которые также можно использовать в
качестве задач для решения на факультативных занятиях по предмету.
Контрольные и самостоятельные работы даны в трех уровнях
сложности, что позволяет осуществить дифференцированный контроль.
Первый уровень соответствует обязательным программным требованиям,
второй - среднему уровню сложности, задания третьего уровня
предназначены для учащихся, проявляющих повышенный интерес к
математике, а также для использования в классах и школах повышенного
уровня. Для каждого уровня приведено два расположенных рядом
равноценных варианта. Практически все самостоятельные и контрольные
работы сопровождаются решениями, указаниями для учащихся или
ответами для эффективной организации работы над ошибками.
Все поурочные разработки, содержащиеся в данном пособии,
являются примерными. В зависимости от степени подготовленности и
уровня развития как целого класса, так и конкретных учащихся, учитель
может и должен вносить коррективы как в методику проведения урока, так
и в саму структуру урока, включая подбор заданий для организации
классной, самостоятельной и домашней работы.
Примечание: знаком * в самостоятельных и контрольных работах
обозначены задания повышенного уровня сложности.

Тематическое планирование учебного материала
Параграф
учебника
Урок,
№
Тема урока
Глава I. Начальные геометрические сведения
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Прямая и отрезок
Луч и угол
Сравнение отрезков и углов
Измерение отрезков
Решение задач по теме «Измерение отрезков»
Измерение углов
Смежные и вертикальные углы
Перпендикулярные прямые
Решение задач. Подготовка к контрольной работе
Контрольная работа № 1
Работа няд ошибками
Глава II. Треугольники
1
2
3
4
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Треугольники
Первый признак равенства треугольников
Решение задач на применение первого признака равенства
треугольников
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Свойства равнобедренного треугольника
Решение задач по теме «Равнобедренный треугольник»
Второй признак равенства треугольников
Решение задач на применение второго признака равенства
треугольников
Третий признак равенства треугольников
Решение задач на применение признаков равенства
треугольников
Окружность
Примеры задач на построение
Решение задач на построение
Решение задач на применение признаков равенства
треугольников
Решение задач
Решение задач. Подготовка к контрольной работе
Контрольная работа № 2
Работа над ошибками
Глава III. Параллельные прямые
1
2
30
31
32
33
34
35
36
37
Признаки параллельности прямых
Признаки параллельности прямых
Практические способы построения параллельных прямых
Решение задач по теме «Признаки параллельности прямых»
Аксиома параллельных прямых
Свойства параллельных прямых
Свойства параллельных прямых
Решение задач по теме «Параллельные прямые»

Тематическое планирование учебного материала
Параграф
учебника
Глава 1
1
2
3
4
Урок,
№
38
39
4а
41
42
Тема урока
Решение задач по теме «Параллельные прямые»
Решение задач
Подготовка к контрольной работе
Контрольная работа № 3
Работа над ошибками
[V. Соотношения между сторонами и углами треугольника
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
Сумма углов треугольника
Сумма углов треугольника. Решение задач
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Неравенство треугольника
Решение задач. Подготовка к контрольной работе
Контрольная работа № 4
Анализ контрольной работы
Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства
Решение задач на применение свойств прямоугольного
треугольника
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Прямоугольный треугольник. Решение задач
Расстояние от точки до прямой. Расстояние между
параллельными прямыми
Построение треугольника по трем элементам
Построение треугольника по трем элементам
Построение треугольника по трем элементам. Решение задач
Решение задач на построение
Решение задач. Подготовка к контрольной работе
Контрольная работа № 5
Анализ контрольной работы
Глава V. Повторение
63
64
65
66
67
68(1)
68(2)
Повторение темы «Начальные геометрические сведения»
Повторение темы «Признаки равенства треугольников.
Равнобедренный треугольник»
Повторение темы «Параллельные прямые»
Повторение темы «Соотношения между сторонами и углами
треугольника»
Повторение темы «Задачи на построение»
Итоговая контрольная работа
Итоговый контрольный тест
Приложение 1. (Контрольные работы)
Приложение 2. (Обобщающие таблицы)
Приложение 3. (Карточки для индивидуальной работы с
учащимися)

ГЛАВА I
НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
(уроки 1-11)
Начальные понятия планиметрии. Геометрические фигуры. Понятие
о равенстве фигур. Отрезок. Равенство отрезков. Длина отрезка и ее
свойства. Угол. Равенство углов. Величина угла и ее свойства. Смежные и
вертикальные углы и их свойства. Перпендикулярные прямые.
Основная цель — систематизировать знания учащихся об основных
свойствах простейших геометрических фигур, ввести понятие равенства
фигур.
Материал данной темы посвящен введению основных
геометрических понятий. Введение основных свойств простейших геометрических
фигур проводится на основе наглядных представлений учащихся путем
обобщения очевидных или известных из курса математики I-VI классов
геометрических фактов. Принципиальным моментом данной темы
является введение понятия равенства геометрических фигур на основе
наглядного понятия наложения.
Основное внимание в учебном материале этой темы уделяется двум
аспектам: понятию равенства геометрических фигур (отрезков и углов)
и свойствам измерения отрезков и углов, что находит свое отражение в
заданной системе упражнений.
Изучение данной темы должно также решать задачу введения
терминологии, развития навыков изображения планиметрических фигур и
простейших геометрических конфигураций, связанных с условиями
решаемых задач. Решение задач данной темы следует использовать для
постепенного формирования у учащихся навыков применения свойств
геометрических фигур как опоры при решении задач, первоначально
проговаривая в ходе решения устных задач.
На изучение темы отведено 10 часов плюс 1 час за счет часов
повторения на анализ контрольной работы.
Урок 1. Прямая и отрезок
Цели урока:
1) систематизация знаний о взаимном расположении точек и прямых;
2) познакомить учащихся со свойством прямой (через любые две
точки можно провести прямую и притом только одну);
3) рассмотреть прием практического проведения прямых на
плоскости (провешивание).

8 Глава I Начальные геометрические сведения
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать цели.
П. Вводная беседа
Вводную беседу можно провести, используя текст введения к
учебнику, приложение 2 учебника и дополнительную литературу.
Геометрия - одна из наиболее древних наук. Первые геометрические
факты найдены в вавилонских клинописных таблицах и египетских
папирусах (III тысячелетие до нашей эры), а также в других источниках.
Название науки «геометрия» древнегреческого происхождения, оно
составлено из двух древнегреческих слов: «ge» — «земля» и «metreo» —
«измеряю» (землю измеряю).
Появление и развитие геометрических знаний связано с
практической деятельностью людей. Это отразилось и в названиях многих
геометрических фигур. Например, название фигуры трапеция
происходит от греческого слова trapezion — «столик», от которого произошло
также слово «трапеза». Термин линия возник от латинского Нпит - «лен,
льняная нить». Практические потребности людей (сооружение жилищ,
храмов, желание украсить одежду, рисовать картины) способствовали
приобретению и накоплению геометрических сведений, которые
изначально передавались в устной форме из поколения в поколение.
Новые сведения и факты добывались опытным путем, выводились
некоторые правила (например, правило вычисления площадей) и данная
наука не являлась точной. И только в VI веке до нашей эры
древнегреческий ученый Фалес начал получать новые геометрические сведения
с помощью доказательств. В III веке до нашей эры греческий ученый
Евклид написал сочинение «Начала» и почти два тысячелетия
геометрия изучалась по этой книге, а наука в честь ученого была названа
евклидовой геометрией.
В настоящее время геометрия — это целая наука, занимающаяся
изучением геометрических фигур.
Далее целесообразно продолжить беседу, опираясь на ранее
полученные знания в курсе математики 1-6 классов, в виде ответов на вопросы.
- Какие геометрические фигуры вам известны?
Возможные ответы учащихся можно записать на доске, распределив
их на две группы следующим образом:
прямая -
ломаная
цилиндр
отрезок v
г шар
луч
J конус
прямоугольник J
пирамида
квадрат к
* параллелепипед
многоугольник

Урок 1 Прямая и отрезок
— По какому принципу данные геометрические фигуры записаны в
двух различных группах? (В первой группе записаны фигуры,
существующие на плоскости, а во второй группе — фигуры,
существующие в пространстве).
Часть геометрии, в которой рассматриваются фигуры на плоскости,
называется планиметрией, а та часть, в которой рассматриваются
фигуры в пространстве, называется стереометрией. Мы начнем изучение
геометрии с планиметрии.
III. Изучение нового материала
В курсе математики учащиеся уже знакомы с понятиями прямая,
отрезок, умеют их обозначать, чертить, знают о принадлежности точек
прямой и отрезку, поэтому нет необходимости повторять уже известные
факты. Будет целесообразнее организовать повторение данной темы в ходе
выполнения следующих упражнений при параллельном введении новых
понятий, определений и т.д.
К доске вызывается один из учащихся, остальные работают в
тетрадях. Учитель читает задание и по мере необходимости вводит новые
понятия, символы, делает необходимые записи на доске.
1. Начертите прямую. Как ее можно обозначить? (Прямая а или АВ,
см. рис. 1.1.)
2. Отметьте точку С, не лежащую на данной прямой, и точки D, Е, К,
лежащие на этой же прямой {рис. 1.2).
В математике существуют специальные символы, позволяющие
кратко записать какое-либо утверждение. Символы е и ё означают
соответственно «принадлежит» и «не принадлежит» и называются
символами принадлежности.
3. Используя символы принадлежности, запишите предложение
«Точка D принадлежит прямой АВ, а точка Сне принадлежит прямой а».
(De АВ, С£ а.)
4. Используя-рисунок 1.3 и символы е и £, запишите, какие точки
принадлежат прямой Ь, а какие — нет. (F, В, А, Се Ь; К, Е, N ё Ь.)
— Сколько прямых можно провести через заданную точку А! (Через
заданную точку А можно провести множество прямых.)
— Сколько прямых можно провести через две точки? (Одну прямую.)
— Через любые две точки можно провести прямую? (Да.)
Итак, через любые две точки можно провести прямую и притом только
одну.
Это утверждение назовем свойством прямой.
5. Начертите прямые XYи МК, пересекающиеся в точке О (рис. 1.4).
.о
а-5— Е °
J £— А В В А
В "К -N
Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис 13

10
Глава I Начальные геометрические сведения
Рис. 1.4
К
Y
а
А
В
Рис.
С
1.5
D
Рис. 1.6
Для того, чтобы кратко записать, что прямые АТи МКпересекаются в
точке О, используют символ п и записывают так: XY n МК= О.
— Сколько общих точек может быть у двух прямых? (Две прямые
могут иметь или одну общую точку или ни одной общей точки.)
6. На прямой а отметьте последовательно точки А, В, С, D. Запишите
все получившиеся отрезки. (Получились отрезки АВ, ВС, CD, AC,
AD, BD, рис. 1.5).
7. Начертите прямые аи Ь, пересекающиеся в точке М. На прямой а
отметьте точку N, отличную от точки М.
а) Являются ли прямые MN и а различными прямыми?
б) Может ли прямая Ь проходить через точку 7V?
Решение (см. рис. 1.6):
а) Прямая MNn прямая а совпадают, то есть это одна и та же прямая.
б) Прямая Ь не может проходить через точку N, так как она уже
проходит через точку Л/, а через точки Л/ и N можно провести
прямую и притом только одну (это прямая а).
8. Дана прямая EF, А £ EF, В е EF. Может ли прямая АВ не
пересекать отрезок EF1 (Не может. Рис. 1.7.)
Для решения задач 6—8 можно преложить учащим-
ся сделать рисунки и дать 1-2 минуты на обдумывание
ответа, а затем обсудить различные варианты ответов.
ГУ' Закрепление изученного материала
В зависимости от подготовленности учащихся
можно предложить задания для самостоятельного решения следующим
образом:
I уровень
Решить задачи № 2, 5, 6 учебника.
II уровень
Решить задачи:
1) Сколько точек пересечения могут иметь три прямые? Рассмотрите
все возможные случаи и сделайте соответствующие рисунки.
(Ответ: см. рис. 1.8: а) 3 точки пересечения; б) 1 точка пересечения; в)
2 точки пересечения; г) ни одной точки пересечения.)
2) На плоскости даны три точки. Сколько прямых можно провести
через эти точки так, чтобы на каждой прямой лежали хотя бы две
из данных точек? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте
рисунки. (Ответ: см. рис. 1.9: а) 1 прямая; б) 3 прямые.)
Желательно, чтобы в ходе самостоятельного решения задач учитель
контролировал работу учащихся, решающих задачи I уровня сложности
Рис 1 7

Урок 2 Луч и угол
с целью проверки успешности
усвоения темы урока и своевременной
помощи при возникающих у
учащихся затруднениях.
В конце урока заслушать уча- f
щихся, выполняющих задачи II
уровня сложности, выполнив на а)
доске необходимые рисунки. При
этом учитель должен обратить вни-
мание на то, чтобы учащиеся, не ре-
шавшие данные задачи, поняли суть /
решения. '
в) г)
Домашнее задание
1. § 1, 2, вопросы 1-3. Рис. 1.8
2. Решить задачи. I уровень —
№1—4 из рабочей тетради;
II уровень - № 1, 3, 4, 7.
3. Дополнительная задача:
Сколько различных прямых
можно провести через четыре точки?
Рассмотрите все случаи и сделайте а) 5) *
рисунки.
В конце данного урока желатель- Рис 19
но обратить внимание учащихся на то, что дома надо внимательно
прочитать пункты 1 и 2, и к следующему уроку подготовить ответы на
вопросы 1—3 на стр. 25 учебника. Пункт 2 на уроке не рассматривался,
ученики дома должны самостоятельно с ним ознакомиться. Задачи № 1,3,
4, 7 решить в тетради всем учащимся, а дополнительную задачу —
желающим, но за верное решение дополнительной задачи можно получить
хорошую оценку.
Такие же напоминания можно сделать еще на нескольких уроках.
Урок 2. Луч и угол
Цели урока:
1) повторить, что такое луч, начало луча, угол, его стороны и вершины;
2) ввести понятие внутренней и внешней областей неразвернутого
угла;
3) ознакомить учащихся с различными обозначениями луча и угла.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели.
П. Проверка домашнего заданиях
1. Теоретический опрос по вопросам 1-3.

12
Глава I Начальные геометрические сведения
2. Как называется прием для «проведения» длинных отрезков
прямых на местности? Для чего и как он используется?
3. Проверить письменную часть домашнего задания — решения задач
№ 3, 4 и дополнительной задачи попросить подготовить у доски трех
учащихся до урока. Задачу № 7 можно проверить устно.
Задана № 3
Рис. 1.10.
а) a n b= О, b n с= О, с п а= О. Получилась одна точка
пересечения.
б) д п Ь= М, Ь п с= К, с п а = Р. Получилось три точки
пересечения.
Задача № 4
Рис. 1.11.
4 прямые: AC, BD, CD, AD.
Задана № 7
На рисунке всего 6 отрезков: АВ, AC, AD, ВС, BD, CD.
а) точка С лежит на отрезках AC, AD, ВС, BD, CD.
б) точка /? лежит на отрезке CD.
Дополнительная задана
Через четыре точки можно провести одну, четыре или шесть прямых
(см. рис. 1.12).
III. Дифференцированное решение задач
Индивидуальная работа в рабочих тетрадях: 3—4 ученика решают
задачи №5—8 и тетради сдают на проверку до начала изучения нового
материала.
Задана №5
Прямые тип пересекаются в точке С, а точка Н, отличная от точки
С, лежит на прямой т. Лежит ли точка Яна прямой я?
а)

Урок 2 Луч и угол
13
Н
Рис. к задаче 7
Объясните ответ.
Решение. HSLn, так как по условию задачи прямые тип имеют общую
точку С, а двух общих точек две прямые иметь не могут. (Ответ: Точка
Яне лежит на прямой п.)
Задача № 6
Отметьте на прямой МК две точки: точку А,
лежащую на отрезке МК, и точку В, которая не
лежит на отрезке МК. Какая из точек — А или В —
лежит между точками М и А? (Ответ: Между Рис к задаче №6
точками Ми АлежитточкаА.)
Задача № 7
Пересекаются ли на рисунке: а) отрезки ЕН
и АВ, ЕНи ВС, НКи АВ; б) отрезок ЕНи прямая
ВС, отрезок НК и АВ? (Ответ: а) Отрезки ЕН и
АВ пересекаются: отрезки ЕНи ВС не
пересекаются: б) Отрезок ЕН и прямая ВС
пересекаются; отрезок АК и прямая АВ не пересекаются.)
Задача № 8
Выпишите все отрезки, изображенные на
рисунке к задаче 7:
а) на которых точка В лежит, но не является их концом;
б) концом которых является точка В.
(Ответ: а) АС. ОС: б) ВС. ВО. АВ.)
I уровень
(Математический диктант с последующей проверкой. Учащиеся
записывают ответы в тетрадях, которые проверяют они сами в конце
диктанта по ответам, заранее подготовленным на доске.)
Используя рисунок 1.13:
а) Назовите все отрезки. (АВ, BD, AD, DC, ВС, DM, AM.)
б) Назовите все прямые. (AD, ВС.)
в) Какие точки принадлежат прямой AD, а какие не принадлежат?
Ответ запишите, используя математические символы. (A, D, Me
прямой AD; В, Е, С £ прямой AD.)
г) Какие точки принадлежат отрезку BD, а какие не принадлежат?
Ответ запишите, используя математические символы. (В, D е
отрезку BD; A, M,E,C£ BD.)
д) Укажите такую точку, которая принадлежит и прямой ВС, и
прямой AM. Как еще можно назвать
указанную точку? (D; D — точка пересечения
прямых ВС, AM.)
II уровень
(Самостоятельная работа обучающего
характера. Тетради учащихся по их желанию можно
собрать на проверку в конце урока.)
1. Сколько точек надо взять между точками А
и В (см. рис. 1.14), чтобы вместе с отрезком АВ рис у у
М
Е*

14
Глава I Начальные геометрические сведения
С D
Рис 1.14
б)
получилось шесть различных отрезков? (2 точ-
ки: С и D. Получаются отрезки АВ, AC, AD, CD,
СВ, DB.)
2. Сколько точек пересечения могут иметь
четыре попарно пересекающиеся прямые? Для
каждого случая сделайте рисунок. (Рис. 1.15: а) 6
точек пересечения; б) 4 точки пересечения; в) 1
точка пересечения.)
IV. Изучение нового материала
Тема «Луч и угол», как и предыдущая,
рассматривались в курсе математики 5—6 классов,
поэтому изучение темы можно организовать, опираясь
на уже имеющиеся у учащихся знания, в ходе
решения следующих задач (при решении задач №1,
5, 8 один ученик работает у доски, остальные — в
тетрадях; задачи №2, 3, 4, 6 решаются устно. Все
задачи читает учитель и постепенно вводит
новые понятия.)
Задача 1
Начертите прямую а и отметьте на ней точку
О. Как называется часть прямой, состоящая из
всех точек, лежащих по одну сторону от точки О?
Как называется точка СР. {Ответ. Луч, О —
начало луча.)
На доске и в тетрадях учащихся рисунок (см.
рис. 1.16).
Задача 2
Назовите лучи, изображенные на рис. 1.17.
(Ответ: Лучи а, АВ, АС, ЕК.)
Учителю необходимо обратить внимание учащихся на то, что в
случае обозначения луча двумя большими латинскими буквами первая буква
обозначает начало луча, а вторая — какую-нибудь точку на луче.
Задача 3
Сколько лучей, выходящих из точки А, изображено на рис. 1.18?
Какие лучи совпадают? Какие лучи вместе с их обычным началом
составляют прямую? (Ответ: 3 луча: АК, АВ, AN; совпадают лучи АВ и АЕ, AM
и AN; прямую, вместе с их общем началом составляют лучи АКи АЕ, ВК
и BE.)
Задача 4
— Как называется фигура, изображенная на рис. 1.19? (Угол.)
115
ч-
О
Рис 1 16
Г
Рис. 1 17
Рис 1 18

Урок 2 Луч и угол
15
Рис. 1.19
область угла
внутренняя
область угла
внешняя
область угла
— Из каких геометрических фигур состоит угол?
(Угол - это геометрическая фигура, состоящая
из точки и исходящих из нее двух лучей.)
- Как называется точка, из которой исходят
данные лучи? Как она обозначена на рисунке?
(Вершина угла, точка О.)
- Как называются лучи, исходящие из вершины угла? Назовите
указанные лучи на рисунке. (Стороны угла, О А и О В.)
— Как обозначается угол, изображенный на рисунке? (/.ЛОВ.)
Угол можно обозначить еще одним способом: Z ab, где лучи a, b —
стороны угла.
Задача 5
Начертите развернутый и неразвернутый углы. Чем они отличаются
друг от друга? (Ответ: Стороны развернутого
угла с вершиной угла составляют одну прямую,
каждая сторона развернутого угла является
продолжением другой стороны.)
Задана б
На сколько частей делится плоскость
сторонами угла? (На две.)
У неразвернутого угла стороны делят
плоскость на внутреннюю и внешнюю область
данного угла. У развернутого угла любая из двух
частей может считаться его внутренней
областью.
На доске и в тетрадях учащихся: рис. 1.20,
рис. 1.21.
Задача 7
По рис. 1.22 назовите точки,
принадлежащие:
а) внешней области угла;
б) внутренней области угла;
в) сторонами угла.
(Ответ: а) Д Р, N; б) Е, К, М\ в) А, В, О, С.)
Задача 8
Начертите угол MNK и проведите луч NE,
исходящий из вершины данного угла и
проходящий внутри угла. На сколько углов поделил
этот луч данный угол? Сколько всего углов
получилось? (Ответ: Рис. 1.23. Луч поделил
данный угол на два угла. Всего получилось три
угла: Z MNK, / MNE, Z ENK.)
V. Закрепление изученного материала
Изучение нового материала построено
таким образом, что большинству учащихся мож- р
Рис. 1.20
внутренняя
область угла
внутренняя
область угла
Рис. 1.21
В
•М
•К
•N
Рис. 1.22
М
N
К

16
Глава I. Начальные геометрические сведения
но уже предложить задания II уровня сложности для самостоятельного
решения.
I уровень
Решить задачи учебника № 8, 9, 10, 12. (Учащимся, не усвоившим
или недостаточно усвоившим новый материал, можно предложить
решить задачи №9—12 из рабочей тетради. Работу этих учащихся учитель
держит под постоянным контролем.)
// уровень
Решить дополнительные задачи:
Задача 1
Дан неразвернутый угол ABC. Проведите лучи с началом в точке В
так, чтобы образовалось шесть углов, один из которых был бы
развернутым. (Ответ: Рис. 1.24. Проведены лучи BD
и ВК. Образовались углы: ZABD, /.ЛВС,
/АВК, /ВВС, /DBK, /СВК; /АВК-
развернутый.
Задача 2
Сколько неразвернутых углов образуют три
прямые? (Ответ: Возможны различные случаи в
зависимости от расположения прямых. Рис. 1.25:
а) 12 неразвернутых углов: /АОВ, / ВОС, /COD, /DOE, /EOF,
/FOA, /AOC, /BOD, /СОЕ, / DOF, / EOA, / FAB; 6) 12
неразвернутых углов; в) 8 неразвернутых углов; г) ни одного неразвернутого
угла.)
В
Рис 1 24
Домашнее задание
1. § 2, вопросы 4—6.
2. Решить задачи. I уровень — задачи №13—16 из рабочей тетради; II
уровень-№11, 13, 14.
3. Дополнительные задачи № 71, 72.
Урок 3. Сравнение отрезков и углов
Цели урока:
1) ввести понятие равенства геометрических фигур;
б)
1/2
Рис 1 25

Урок 3 Сравнение отрезков и углов 17
Рис. 1.27
2) научить сравнивать отрезки и углы;
3) ввести понятия середины отрезка и биссектрисы угла.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать цели.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Теоретический опрос по вопросам 4-6.
2. Проверить решение задач № 11, 13, 14 у части учащихся, собрав
тетради.
3. Проверить решение дополнительных задач № 71, 72 через графоп-
роектор или попросить успешно справившихся с заданием учащихся
заранее подготовить на доске решение.
Задача № 71
См. рис. 1.26. 6 прямых.
Задана № 72
См. рис. 1.27. 6 точек пересечения.
III. Изучение нового материала
Изучение нового материала проводится в форме беседы учителя с
учащимися. Важно, чтобы учитель и класс выслушали разные варианты
ответов на поставленные вопросы, при этом учащиеся сами должны
выбрать, какое из предложенных решений является верным.
— Как можно сравнить два прямоугольника? (Учителю необходимо
заготовить заранее 2 прямоугольника, вырезанные из картона или
другого материала, одинаковые на первый взгляд.)
Чтобы сравнить два прямоугольника, надо один прямоугольник
наложить на другой, если из-за верхнего прямоугольника будет виден
нижний, значит верхний прямоугольник меньше нижнего и наоборот. А если
они совместятся, то данные прямоугольники равны.
— Как сравнить два треугольника, изображенных на доске (внешне
два треугольника должны быть почти равными)? (Скопировать один
треугольник на прозрачный материал, например кальку, и наложить
на второй.)
— Какие две геометрические фигуры можно назвать равными? (Две
геометрические фигуры называются равными, если при наложении
они совмещаются.)
— Сравните отрезки АВ и СД изображенные на рис. 1.28, с
помощью линейки без делений.

18 Глава I. Начальные геометрические сведения
Решение:
а) наложить линейку на отрезок АВ и отметить начало и конец
данного отрезка;
б) наложить линейку на отрезок CD так, чтобы отмеченное начало
отрезка АВ совпадало с точкой С. Если отмеченнный конец
отрезка АВ совпадает с точкой Д то отрезки АВ и CD равны. Если
отмеченный конец отрезка АВ будет лежать на отрезке CD, то отрезок
АВ меньше отрезка CD, а если будет лежать на
прямой CD, но не на отрезке CD, то отрезок АВ больше
— с N <Щ*зка CD.
Если отрезки АВ и CD равны, пишут АВ = CD.
Рис. 1.29 Если отрезок АВ меньше (больше) отрезка CD,
пишут АВ< CD(AB> CD).
— На рис. 1.29 точка С — середина отрезка MN. Что можно сказать об
отрезках МС и C7V? А об отрезке ММ (МС = CN, MN = 2MC =
= 2CN.)
— Как с помощью шарнирной модели угла можно сравнить два
угла?
Решение:
а) Зафиксировать с помощью модели один из углов;
б) наложить зафиксированную модель на другой угол таким образом,
чтобы у них совпали вершины и по одной стороне.
Если вторая сторона модели угла будет проходить
между сторонами второго угла, то первый угол меньше
второго. Если вторая сторона модели угла не будет
проходить между сторонами второго угла, а во
внешней области второго угла, то первый угол больше вто-
Рис 1 30 рото. Если вторая сторона модели угла совместится со
второй стороной другого угла, то данные углы равны.
— Сравните углы, изображенные на рисунке, с помощью
шарнирной модели угла. Результат запишите с помощью знаков < , > , =
(на доске заранее заготовить различные углы, среди которых есть
равные).
— Сравните Z АОВ и Z CED, если известно, что А АОВ-
развернутый, Z CED - неразвернутый. (Z АОВ > Z CED.)
Луч — исходящий из вершины углы и делящий его на два равныех угла,
называется биссектрисой угла.
На доске и в тетрадях учащихся: рис. 1.30.
ОА — биссектриса угла, если Z АОС = Z BOA.
— С помощью какого инструмента и как можно построить
биссектрису данного угла? (Биссектрису угла молено построить с помощью
транспортира. Для этого нужно изменить градусную меру данного угла и
провести луч, исходящий из вершины этого угла так, чтобы градусные меры
образовавшихся углов были равны.)
— Постройте А АОВ =118°, Z MNK= 68° и биссектрисы этих углов
с помощью транспортира.

УрокЗ Сравнение отрезков и углов
19
- Постройте неразвернутый угол CED и на глаз проведите его
биссектрису. Результат построения проверьте с помощью
транспортира.
IV. Закрепление изученного материала
I уровень
Решить задачи в учебнике № 19, 21, 22 самостоятельно под
контролем учителя. (Ответы: №19 а) Да; б) Нет. №21 ZAOB>ZAOC. №22
а) Да; б) Нет.)
II уровень
Решить самостоятельно дополнительные задачи а
(см. ниже) с последующим обсуждением решения за
3—5 минут до конца урока.
Задача 1
На прямой а от точки А отложены два отрезка АВ
и АС, причем АВ < АС < \,99АВ. Сравните отрезки
ВСи АВ. (Ответ: Рис. 1.31:а)ЛС< \,99АВ,АС<АВ +
+ 0,99ЛД тогда ВС < 0,99АВ следовательно ВС < АВ;
6)АВ- часть ВС, поэтому ВС < АВ.)
Задача 2
На рис. 1.32. ZAOC= ZBOD, ОМ и ON-
биссектрисы углов АОВ и COD. Сравните углы MONw
АОС. (Ответ: ZAOB = Z COD, так как ZAOC =
= Z BOD, a Z ВОС- общая часть углов А ОС и BOD.)
В
а)
Домашнее задание
1. §3, вопросы 7-11.
2. Решить задачи. I уровень - №18, 19, 22, 23 из
рабочей тетради; II уровень — №18, 20, 23 из
учебника.
Задача № 18
На луче, исходящем из точки А, отмечены три
точки К, Ми Ртак, что точка Млежит между
точками А и Р и точка А'лежит между точками А и
М. Сравните отрезки АК и АР. Сделайте
чертеж и объясните ответ.
Решение: По условию задачи А—М-Р,
поэтому отрезок AM — часть отрезка АР.
Аналогично А—К—М, поэтому отрезок АК— часть
отрезка AM. Следовательно, АК < АР. (Ответ:
АК < АР.)
Задача № 19
а) С помощью циркуля сравните отрезки АВ
и CD, АВ и BD, АС и CD. Запишите
результат сравнения и выясните, какая из
точек - В или С - служит серединой
отрезка AD.
Рис. 1.32
Рис. к задаче 18
М
А С В
Рис к задаче 19

20 Глава I Начальные геометрические сведения
б) На прямой AD отметьте точку М так, чтобы точка С была
серединой отрезка DM. {Ответ: a) AB<CD,AB = BD, АС < CD; середина
отрезка AD - точка В.)
Задача № 22
Луч AM делит угол ВАС на два угла. Сравните углы
ВАМ и ВАС. Сделайте чертеж и объясните ответ.
Решение: Углы ВАМ и ВАС имеют общую сторону АВ,
луч AM делит угол ВАС на два угла, поэтому луч AM
проходит внутри угла ВАС, значит, угол ВАМ - часть угла
ВАС, поэтому /ВАМ < Z ВАС. (Ответ: /ВАМ <
Рис к задаче 22 Z ВАС.)
Задана № 23
Три луча h, k и т исходят из точки О, луч h является
продолжением луча к. Сравните углы Ик и km. Сделайте
чертеж и объясните ответ.
Решение: По условию задачи луч И является
продолжением луча к, значит, угол М - развернутый. Угол km -
\К неразвернутый, поэтому он составляет часть угла М, т.е.
Zhk > /km. (Ответ: /hk> /km.)
Рис. к задаче 23 з. Дополнительная задача:
ОС — луч, принадлежащий внутренней области угла
АОВ. Как нужно провести луч OD, чтобы / AOD = / COWt Покажите на
рисунке возможные варианты.
Урок 4. Измерение отрезков
Цели урока:
1) ввести понятие длины отрезка;
2) рассмотреть свойства длин отрезков;
3) ознакомить учащихся с различными единицами измерения и
инструментами для измерения отрезков.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели.
II. Проверка домашнего задания
Теоретический опрос по вопросам 7—11.
III. Самостоятельная работа
Вариант I
1. На прямой а от точки А в одном направле-
нии отложены два отрезка АВ и АС так, что АО
в С Е > АВ- О1 т°чки Сна этой прямой отложите такой
отрезок СЕ, чтобы АС = BE. Сравните отрезки
Рис 1 33 СЕиАВ.
Решение: см. рис. 1.33: АС = BE, ВС — общая
часть АС и BE, значит АВ = СЕ.

Урок 4 Измерение отрезков
21
2. Дано: ZAOC = Z BOD, ОМ -
биссектриса ZAOB (см. рис. 1.34). Доказать: ОМ-
биссектриса Z COD.
Решение: Так как ОМ— биссектриса А АОВ,
то ZAOM = Z ВОМ. По условию задачи
АОС = Z ДОД значит части углов АОМи ВОМ
равны, т.е. Z СОЛ/ = Z /ЮЛ/и ОМ-
биссектриса ZCOD.
3*. На сколько частей могут разделить
плоскость три прямые? (Ответ: Рис. 1.35: а) на 6
частей; б) на 4 части; в) на 7 частей.)
Вариант II
1. На прямой т от точки А
отложены два отрезка так, что АО АВ и
точка А лежит между точками Ви С.
Отточки С отложен отрезок СЛ/так,
что ВМ = АС. Сравните отрезки Л/С
нАВ.
Решение (см. рис. 1.36): ВМ= АС,
AM - общая часть ВМ и ЛС, значит
АВ=МС
2. Дано: ZAOC = ZBOC,
ZAOE= ZBOF(cM.pnc. 1.37).
Доказать: ОС - биссектриса
ZEOF.
Решение: Так как Z AOC= Z ВОС
и ZAOE = Z£0/% то ZEOC =
= Z F0C, значит ОС — биссектриса
ZEOF.
3*. Даны три прямые, каждая из которых
пересекает хотя бы одну другую. Сколько всего
точек пересечения могут иметь такие прямые?
(Ответ: Рис. 1.38: а) 1 точка пересечения;
б) 2 точки пересечения; в) 3 точки пересечения.)
Устное — решение задач №20, 21,24, из
рабочей тетради.
Рис. 1 34
в)
Рис. 1.35
А М
Рис. 1.36

22 Глава I Начальные геометрические сведения
IV. Изучение нового материала
Прочитать самостоятельно § 4 «Измерение отрезков» и ответить на
вопросы (вопросы записать на доске):
- Какие основные единицы измерения длины нам известны? А
дополнительные? (Основные единицы измерения длины отрезка: мм,
см, дм, му км. Дополнительные единицы измерения длины отрезка:
световой год (путь, который проходит свет в течение одного года),
морская миля (1,852 км). Старинные единицы измерения длины:
аршин (0,7112м), сажень (2,1336м), косая сажень (2,48м), маховая
сажень (1,76м), локоть (0,45м) и другие.)
- Как найти длину отрезка, если точка делит его на два отрезка,
длины которых известны? (Если точка делит отрезок на два отрезка,
то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.)
- Какими инструментами пользуются для измерения расстояний?
(Для измерения расстояний используются масштабная
миллиметровая линейка, штангенциркуль, рулетка.)
Ответы на вопросы заслушать через 4—5 минут.
V. Закрепление изученного материала
1. Решить устно задачи №25 и №26 из рабочей тетради и задачу №26
из учебника.
Задача № 26. (Ответ: a) CD = 6KL; EF= 5KL; PQ = 3AI; АВ = 2АХ;
б) CD = ЗАВ; EF = 2У5АВ; PQ = \,5AB; KL = 1/2 АВ.)
2. Решить задачу № 32 письменно (один ученик у доски, остальные —
в тетрадях).
12см 13,5 см, Дано: А, В, Сё а,АВ= 12 см, ВС= 13,5 см.
Найти: АС.
Решение: на прямой а отметим точки А, В, С.
Возможны случаи (см. рис. 1.39):
а) Точка 2? лежит между точками А и С, тогда
АС=АВ+ ВС, АС= 12 см + 13,5 см = 25,5 см.
б) Точка А лежит между точками В и С, тогда
АС = СВ-АВ, АС= 13,5 см - 12 см = 1,5 см.
б) в) Точка С не может лежать между точками А
и В, так как АВ < ВС.
Рис- L39 (Ответ: 25,5 см или 1,5 см.)
3. Самостоятельное решение задач.
А В I уровень
Решить задачи № 28, 27, 31, 34 из учебника.
9 М I Л- Задана № 27
О 1/2 1 2 Примем за единицу измерения отрезок АВ
Рис. 1.40 и отложим его на луче от его начала, отметим 1
(см. рис. 1.40). Тогда 2АВ = ОС = 2, 1/2 АВ =
= ОК= 1/2, 1/4 АВ= OD= 1/4.
Задача № 31
Дано: a) Be AC,AB= 3,7 см, АС = 7,2см;
б) Be АС,АВ = 4мм,АС=4см.
А
В
а)
12 см
С
А
13,5 см
С
В

Урок 4. Измерение отрезков 23
Найти: ВС. * + *
Решение (см. рис. 1. 41): Так как В * АС, то и
АВ+ВС = АС,ВС = АС-АВ. Рис. 1.41
а) ВС = 7,2 см - 3,7 см = 3,5 см;
б) ВС= 4 см - 4 мм = 3,6 см. .
(Ответ: а) ДС = 3,5 см; б) ВС = 3,6 см.) a D С В
Задача№34
Дано: АВ = 64 см, С — середина АВ, D лежит Рис. 1.42
на луче СА, CZ) =15 см.
Найти: BD, DA.
Решение (см. рис. 1.42): АВ = 64 см, С - середина Л2?, тогда ЛС = СВ =
= 32 см. CD= 15 см, Д4 = AC- DC= 32 см - 15 см = 17 см. BD=DC +
+ СВ = 15 см + 32 см = 47 см. (Ответ: BD = 47 см, DA = 17 см.)
II уровень
Решить задачи № 27, 34 и дополнительные задачи 1, 2 (см. ниже).
Задача 1
Длина отрезка АВ равна 14 см. Найдите на прямой все такие точки Д
для которых DA = 3DB.
Решение (см. рис. 1.43):
а) Если D е АВ, то AD+ DB = АВ. Так как DA = 3DB, АВ=Н см, то
3DB + DB = 14 см, DB = 3,5 см, тогда AD =
= 10,5 см. 1 i
б)Если£е AD,7oAB+BD = AD.T*KKSiKDA= A D B
= 3DB, АВ = 14 см, то 14 + DB = 3/)Я, ДЯ = а>
= 7 см, тогда AD = 21 см.
в) Точка А € BD, так как DA > DB по условию i 1 1
задачи. А В D
(Ответ: если D е АВ, то AD = 10,5 см, DB = б)
= 3,5 см; если В е ЛД то DB = 7 см, AD = 21 см.)
AiAiia 2 ^ 1 43
2) Точки А, В и С лежат на одной прямой,
причем длина отрезка ВС больше длины отрезка АС в 3 раза, а длина АВ
меньше длины ВС на 3,6 см. Найдите длину отрезка АС.
Решение: Так как по условию задачи ВС = ЗАС, ВС = АВ+ 3,6, то ВС
больше АС и больше АВ, поэтому точка А лежит между В и С и
выполняется равенство А4 + АС = ДС. Так как ВС = ЗЛС, то АС = 1/3 ЯС; ЯС =
= АВ + 3,6, то ЛЯ = ЯС- 3,6; тогда ЯС- 3,6 + 1/3 ЯС= ВС, ВС= 10,8 см,
ЛС= 3,6 см. (Ответ: АС= 3,6 см.)
В ходе самостоятельного решения задач учитель оказывает
индивидуальную помощь менее подготовленным учащимся и учащимся, у
которых возникли вопросы. В конце урока можно выборочно или у всего
класса собрать тетради.
Домашнее задание
1. § 4, вопросы 12—13.
2. Решить задачи. I уровень - №27, 28, 29 из рабочей тетради; II
уровень - №25, 29, 33 из учебника.

24
Глава I Начальные геометрические сведения
Задача № 27
На рисунке с помощью масштабной линейки отметьте на прямой АВ
точку М так, чтобы ВМ = 20 мм.
а) Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ1
б) Измерьте в миллиметрах длину отрезка AM в каждом из случаев.
{Ответ: а) две: б) AM = 10 мм или AM =
= 30 мм.)
Задача № 28
Точки К, Р и О лежат на одной прямой.
Каким может быть расстояние КО, если КР = 3 см,
РО= 1,5 см?
Решение: Расстоянием между точками К и О
называется длина отрезка КО. Возможны два
случая:
а) Точка О лежит на луче РА'(сделайте чертеж).
В этом случае КО+ ОР= КР, т.е. #0 + 1,5 =
= 2, откуда КО = 1*5 см.
б) Точка О лежит на продолжении луча РК(сдс-
лайте чертеж). В этом случае КР + РО= КО,
т.е. КО = 4^5 см.
(Ответ: КО = _Ц5 см или КО = 4^5 см.)
Задача М 29
Длина отрезка ВС на рисунке равна а.
Известно, что точка — Мсередина отрезка ОС.
Отметьте точки М и К на рисунке. Найдите
расстояние МК.
Решение: По условию задачи точка М— середина отрезка ВО, поэтому
МО = 1/2 ВО; точка К - середина отрезка ОС, поэтому ОК = 1/2 ОС.
МК= МО+ ОК= 1/2 ВО + 1/2 ОС = 1/2 (ВО + OQ = 1/2 ВС = \/2а.
(Ответ: МК= 1/2 д.;
3. Дополнительная задача:
Дано: AF= FB, ВК= КС, АС= 5 см (см. рис. 1.44).
Найти: FK
м, м
н 1 I н
А В
Рис к задаче 27
РОК
Рис к задаче 28а
"к р о
Рис. к задаче 286
Урок 5. Решение задач по теме «Измерение отрезков»
Цели урока:
1) научить учащихся решать задачи на нахождение длины части
отрезка или всего отрезка;
2) развивать логическое мышление.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели.
II. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Проверить решение дополнительной домашней задачи.

Урок 5. Решение задач по теме «Измерение отрезков» 25
Решение задачи желательно попросить оформить на доске одного из
учащихся до начала урока.
Решение: По условию задачи AF= FB, ВК= КС, тогда AF+FB+ ВК+ КС =
=АС, 2FB + 2ВК=5 см, FB+BK = 2,5 см, FB+ ВК= FK, поэтому FK =
= 2,5 см. (Ответ: FK= 2,5 см.)
2. Решение задач по готовым чертежам (устно,
рисунки подготовить на доске заранее).
а) ВС= 2,5 см (рис. 1.45).
Найти: АС. (Ответ: АС =5 см.) Рис 1.45
б) AD = 42 см, ВС = 11 см (рис. 1.46).
Найти: АВ. (Ответ: АВ = 20 см.)
в) АВ:АС= 5 :4(рис. 1.47).
Найти: АВ. (Ответ: АВ = 10 дм.)
3. Решение задач (письменно) № 38, 40. п
Задана №38 Рис146
(Один ученик решает у доски, остальные — в тетрадях.)
Дано: О, А, /? лежат на одной прямой, О А = 12 см, ОВ = 9 см.
Найти: расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ.
Решение: Пусть М — середина отрезка ОА, N — середина отрезка ОВ.
Возможны два случая (см. рис. 1.48):
а) Если точка О лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см, N0 =
= ВО : 2 = 4,5 см. Расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ
равно длине отрезка MN, a MN= МО + ON= 6 см + 4,5 см = 10,5 см.
б) Если точка О не лежит на отрезке АВ, то МО = АО: 2 = 6 см, N0 =
= ВО: 2 = 4,5 см. MN= МО- ON= 6 см - 4,5 см = 1,5 см.
(Ответ: а) 10,5 см; б) 1,5 см.)
Наводящие вопросы к задаче М38 (задавать по мере необходимости).
а) 1) Что вы можете сказать об отрезках AM и Л/О? Чему равны их
длины?
2) Чему равны длины отрезков ON и NB?
3) Чему равно расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ?
б) Какая из трех точек О, А или /? лежит между двумя другими, если
точка О не лежит на отрезке АВ, ОА= 12 см, ОВ = 9 см?
2) Где расположены точки М и 7V? Почему?
3) Как найти длину отрезка MN1
Задача №40
(Предложить учащимся решить самостоятельно, а затем проверить
решение задачи с помощью графопроектора.)
Дано: АВ = 28 см, QDe АВ,М- середина AC, N- середина DB. MN=
= 16 см.
Найти: CD.
I И 1 III I II
М ONBO NMB
а) б)
Рис. 1.47 Рис. 1 48

26 Глава I Начальные геометрические сведения
, „, , „, , , , Решение (см. рис. 1.49): АВ = AM + MN +
А М С D N В + NB= 28 см- 16 см = 12 см. М- середина
АС, значит АМ= MQ N- середина BD, зна-
Рис. 1.49 4mBN= М).ТаккакЛМ+ NB= 12см,ЛЛ/=
= МС, BN= ND, то MC+DN= 12 см. MN =
= С+ CD+DN^ 16см, МС+ DN= 12см,значит CD= MN-{MC + DN) =
= 16 см - 12 см = 4 см.
Если учащиеся с решением задачи не справились, то можно задать
наводящие вопросы.
1) На сколько отрезков разбит отрезок АВ точками М, N, С, UI
2) Что вы можете сказать об этих отрезках?
3) Длина какого отрезка равна 16 см?
4) Чему равна сумма длин отрезков AM и NB? А сумма длин отрезков
MChDW
5) Чему равна длина отрезка CDI
III. Самостоятельная работа
I уровень
Вариант I
1. На отрезке АВ взяты точки С и D. Найдите длину отрезка CD,
АВ= 12см,ЛС=Зсм, BD = 4см.
2. На отрезке АВ длиной 36 см взята точка К. Найдите длину отрезков
АКи ВК, если АКбольше ВКнэ. 4 см.
3. На прямой отмечены точки А, В, С так, что АВ = 27 м, АС = 11 м,
ВС = 16 м. Какая из этих точек лежит между двумя другими?
Вариант II
1. На отрезке АВ взяты точки С, а на отрезке СВ - точка D. Найдите
длину отрезка BD, если АВ = 15 см, CD = 7 см, АС = 6 см.
2. На отрезке АВ длиной 36 см взята точка К. Найдите длину отрезков
АКи ВК, если АК больше ВК в 3 раза.
3. На прямой отмечены точки А, В, С так, что АВ = 7 м, АС = 21 м,
ВС = 28 м. Какая из этих точек лежит между двумя другими?
// уровень
Вариант I
1. На отрезке АВ взяты точки М и N. Известно, что АВ = 12 см,
АМ= 8 см, BN= 10 см. Найдите длину отрезка MN.
2. На отрезке АВ длиной 36 см взята точка К Найдите длину отрезков
АКи ВК, если АК: ВК= 4 : 5.
3. Дан отрезок АВ = 16 см. Точка М — середина отрезка АВ, точка
К— середина отрезка MB. Найдите длину отрезка АК.
Вариант II
1. На отрезке АВ длиной 12 см взяты точки С так, что АС = 10 см, и
точка D так, что CD = 5 см. Найдите длину отрезка BD.
2. На отрезке MNдлиной 36 см взята точка К. Найдите длину отрезков
МКи NK, если МК: NK= 1: 5.
3. Точка М — середина отрезка АВ, точка К — середина отрезка MB.
Найдите длину отрезка АК, если ВК=Ъ см.

Урок 6 Измерение углов 27
III уровень
Вариант I
1. На отрезке АВ взята точка С. Известно, что АВ = 9 см, ВС = 4 см.
Какую длину может иметь отрезок АС?
2. На отрезке АВ длиной 36 см взята точка К. Найдите длину отрезков
АКи ВК, если 1/2 АКравна 1/4 Ж
3. На отрезке АВ = 40 см взята точка Р. Найдите расстояние между
серединами отрезков АР и />Я.
Вариант II
1. На отрезке Л2? взята точка С Известно, что АВ = 5 см, АС = 7 см.
Какую длину может иметь отрезок ЯС?
2. На отрезке Л/? длиной 21 см взята точка К. Найдите длину отрезков
АКи ВК, если 1/4 АК равна 1/3 Я£
3. На отрезке АВ взята точка Р. Расстояние между серединами
отрезков АР и РВ равно 20 см. Найдите длину отрезка АВ.
Домашнее задание
1. Решить задачи № 35, 36, 37, 39.
2. Дополнительная задана:
Длина отрезка АВ = 6 см. Внутри отрезка взята точка Л/. Найдите
длину отрезка ЯЛ/, если:
а)АМ=2ВМ;
6)2АМ=ЗВМ;
в)АМ:ВМ=\:5;
т)АМ:ВМ=3:4;
д)АМ-ВМ=2;
е)2ЯЛ/+ЗЛЛ/ = 14.
Решение: Ме АВ,значит,AM + МВ = АВ,АВ= 6см,следовательно,AM+
МВ = 6.
a)AM= 2BM, тогда 2ВМ+ МВ = 6,МВ=2 см.
б) 2АМ= ЪВМ, тогда AM = \,5ВМ, 1,5ЯЛ/+ ВМ= 6, MB =2,4 см.
в) AM: ВМ= 1 : 5, значит, АМ/ВМ= 1/5, АЛ/ = 1/5ЯЛ/, тогда 1/5ЯЛ/ +
г) AM: ЯЛ/ = 3 : 4, значит, АЛ//ЯЛ/ = 3/ЛАМ = 3/4ЯЛ/, тогда 3/4ЯЛ/ +
+ ВМ=6, ДЛ/=3-3/7см.
л) AM - ВМ = 2, значит, ЛЛ/ = ЯЛ/ + 2, тогда ЯЛ/ + 2 + ВМ = 6,
ЯЛ/=2см.
е) 2ЯЛ/+ ЗЛЛ/= 14, тогда 2 • (АМ+ ВМ) + ЛЛ/= 14. Так как АВ = АМ+
+ MB = 6, то 2 • 6 + ЛЛ/= 14, ЛЛ/= 2, ЯЛ/= 4 см.
Урок 6. Измерение углов
Цели урока:
1) ввести понятие градуса и градусной меры угла;
2) рассмотреть свойства градусных мер угла, свойство измерения
углов;

28 Глава I Начальные геометрические сведения
3) повторить виды углов;
4) ознакомить учащихся с приборами для измерения углов на
местности.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Проверка домашнего задания
Проверяется решение дополнительной домашней задачи.
Учитель заранее готовит на доске рисунок к задаче и записывает
условие задачи. По указанию учителя один из учащихся выходит к доске и
рассказывает решение задачи под буквой а, остальные учащиеся
слушают его, а затеЪ! идет обсуждение решения. Таким же образом проверяют
решение задачи под буквой б и т.д.
III. Анализ ошибок самостоятельной работы
1. Общий анализ самостоятельной работы.
2. Работа над ошибками с использованием готовых решений задач
самостоятельной работы. (Каждый из учащихся получает лист с
готовым решением.)
Решения задан самостоятельной работы:
I уровень
Вариант I
1.Рис. 1.50.АВ = АС+ CD + DB. Так как АВ= 12 см, АС= 3 см, BD =
= 4 см, то CD = 12 - (3 + 4) = 5 см. (Ответ: CD =5 см.)
2. Рис. \.5\.АК+КВ=АВ.ТакшкАВ=36см,аАК6олъшеВКна4см,
то АК= ВК+ 4, тогда ВК+ 4 + ВК= АВ, 2ВК+ 4 = 36, ВК= 16. Так как
ВК= 16 см, то АК= 20 см. (Ответ: ВК= 16 см, АК= 20 см.)
3. ТаккакА#=27м,ЛС= 11 м, ВС= \6м,то АВ = АС + ВС, то есть С
лежит между точками А и В. (Ответ: С лежит между точками А и В.)
Вариант II
1. Рис. 1.52. АВ = АС + CD+ DB. Так как АВ = 15 см, CD = 7 см,
АС = 4 см, то BD = 15 - (7 + 6) = 2 см. (Ответ: BD=2 см.)
2. Рис. 1.53. АК+ KB = АВ. Так как АК больше ВКъ 3 раза, то АК =
= ЪВК. АВ= 36 см, тогда ЗЯАГ+ Я*= 36, ВК = 9 см, АК = 27 см. (Ответ:
ВК= 9 см, АК= 27 см.)
3. Так как АВ = 7 м, ЛС = 21 м, ВС = 28 м, то ВС = АВ + ЛС, то есть
точка Л лежит между точками В и С.
II уровень
Вариант I
1. Рис. 1.54. Так как Aff= \2 cm, BN= 10 см, ЛЛ/= 8 см, то точки А, В,
Nn Мрасположены так, как показано на рисунке. АВ — АМ= MB, MB =
= 12 - 8 = 4 см. MN= BN-MB=\0-4 = 6cm. (Ответ: MN= 6 см.)
А С D В А К В А С D В
Рис. 1.50 Рис 1 51 Рис 1 52

Урок 6 Измерение углов 29
A KBAN МВА К В
Рис. 1.53 Рис. 1.54 Рис 1.55
2. Рис. 1.55. АК+ КВ = АВ. Так как АК: ВК= 4 : 5, то ЛК= Ах, ВК= 5х,
АВ = 36 см, тогда Ах + 5х = 36 см, х = 4 см, значит, ЛА^ 16 см, 2?^= 20 см.
(Ответ: АК = 16 см, /МГ = 20 см.)
3. Рис. 1.56. Так как АВ = 16 см, а М- середина АВ, то AM = 8 см. Так
как К - середина MB, то МК = 4 см. АК = AM + Л//Г = 8 + 4 = 12 см.
(Ответ: АК= 12 см.)
Вариант II
1. Рис. 1.57. Так как ЛЯ = 12 см, ЛС = 10 см, CD =5 см, то точки D
лежит между Л и С. СВ = АВ-АС= 12- 10 = 2 см. /)С+ СЯ= ЯД значит,
Д£> = 2 + 5 = 7 см. (Ответ: BD=1 см.)
2. Рис. 1.58. Л/#+ AW= ЛЛУ. Так как МК: NK= 7 : 5, то Л/#= 7хсм,
NK = 5х см, Л/N = 36 см, тогда 1х + 5х = 36 см, х = 3 см, значит, МЙГ =
= 21 см, NK= 15 см. (Ответ: ШГ= 21 см, NK= 15 см.)
3. Рис. 1.59. К- середина MB, ВК= 3 см, тогда MB = 6 см. Так как М-
середина АВ, то АМ= MB = 6 см. АК=АМ+ МК= 6 + 3 = 9 см. (Ответ:
АК= 9 см.)
III уровень
Вариант I
1. Рис. 1.60. Возможные случаи:
а) АС = АВ- ВС= 9 - 4 = 5 см.
б) АС = АВ + ВС = 9 + 4 = 13 см.
(Ответ: 5 см или 13 см.)
2. Рис. 1.61. \/2АК= 1/4 Ж Так как Л#= 1/2 Ж ААГ+ЯЯ = ЛЯ,ЛЯ =
= 36 см, значит, 1/2 KB + KB = 36 см, KB = 24 см, тогда АК= 1/2 • 24 =
= 12 см. (Ответ: АК= 12 см, Ж= 24 см.)
3. Рис. 1.62. Если М — середина АР, N — середина РВ, то AM = МР,
PN= NB,AB = AM+ MP+ /W+ NB=2MP+2PN= 2(Л/Р+ /W) = 2Л/ЛГ.
ЛЯ = 40 см, тогда MN = 20 см. (Ответ: Расстояние между серединами
отрезков АР и РВ равно 20 см.)
Вариант II
1. Рис. 1.63.Возможные случаи:
а) ВС = АС - АВ = 1 - 5 = 2 см.
б) ЯС= ВА + АС =7 + 5 = 12 см.
(Ответ: 2 см или 12 см.)
МКВА DCBM N К
/>ыс. 1.56 Рис. 1.57 Рис. 1.58
i | | i i i i i i
МКВАСВ А ВС
а) б)
Рис. 1.59 Рис. 1.60

30 Глава I Начальные геометрические сведения
hi i in i и i и ■ i
К В А М Р N В А ВС
Рис. 1.61 рис L62 a>
А
A KBAMPNB б)
Рис. 1.64 Рис. 1 65 Рис. 1 63
2. Рис. 1.64. 1/4 АК = 1/3 ВК. Тогда АК = 4/3 ВК АК + KB = АВ,
АВ = 21 см, значит 4/3 KB + KB = 21 см, ВК= 9 смуАК = 12 см. (Ответ:
ВК= 9 см, АК= 12 см.)
3. Рис. 1.65. Если М- середина АР, N- середина РВ, то АМ= МР, PN=
= NB,AB = AM+ MP+ PN+ NB=2MP+2PN= 2 • (МР+ PN) = 2MN.
MN = 20 см, тогда АВ = 40 см. (Ответ: АВ = 40 см.)
IV. Изучение нового материала
Понятие градуса, градусной меры угла, развернутого и прямого углов
было введено еще в 5 классе. Возможно, учащиеся знакомы еще и с
острыми и тупыми углами. Поэтому можно предложить учащимся
небольшую викторину, а ответы на вопросы викторины порекомендовать
найти в пункте 9 и записать их в тетрадях.
Викторина
1. Единица измерения углов. (Градус.)
2. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и
его части укладываются в данном угле. (Градусная мера угла.)
3. 1/180 часть развернутого угла. (Градус.)
4. 1/60 часть градуса. (Минута.)
5. 1/60 часть минуты. (Секунда.)
6. Градусная мера развернутого угла. (180°.)
7. Градусная мера прямого угла. (90°.)
8. Градусная мера неразвернутого угла. (Меньше 180°.)
9. Угол, градусная мера которого меньше 90°. (Острый.)
10. Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.
(Тупой.)
После того, как проверены ответы викторины, осталось рассмотреть
свойства:
1. Равные углы имеют равные градусные меры.
2. Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
3. Если луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна
сумме градусных мер этих углов.
Это можно сделать в процессе решения устных задач (условия задач
необходимо записать на доске):
1. ZA= /.В, ZA = 50°, ZB=?(ZB=50°)
2. ААВС= AMNK, ZA = 60\ ZN=70\ ZC=50°.
Найти: Z В, Z M, Z К.

Урок 6. Измерение углов
31
Рис. к задаче 35
- Сформулируйте свойство о градусной мере равных углов.
3. А ОРК= Л STL. Известно, что Z О меньше Z К. Сравните ZSn
ZL
4. Z А = 90°, Z В меньше Z А. Каким (тупым, острым, прямым и т.д.)
может являться угол В1 Ответ поясните. Сформулируйте свойство о
градусной мере меньшего угла.
5. См. рис. 1.66.
а) Дано: ZAOC = 72°, Z СОВ = 37е.
Найти: ZAOB.
б) Дано: Z АОВ = 86°, Z СОВ = 29°.
Найти: ZAOC
6. Как найти градусную меру угла, если
некоторым лучом он делится на два угла, градусные рис. 1.66
меры которых известны?
Пункт 10 «Измерение углов на местности»
можно порекомендовать прочить дома.
V. Закрепление изученного материала
1. Фронтальная работа с классом. Устно
решить задачи №32, 33, 34, 37, 38 из рабочей
тетради и разобрать решение задач N° 44, 47(6).
Задача №35
С помощью транспортира отложите от луча ОА
угол АОС, равный 35°.
а) Сколько таких углов можно отложить от
луча ОА?
б) Измерьте угол СОВ в каждом из случаев.
(Ответ: а) два; б) Z СОВ = 25! или Z СОВ =
= 251.)
Задача № 36
Луч АВ делит угол КАР на два угла так, что угол
КАВ тупой. Сделайте чертеж. Может ли угол ВАР Рис. к задаче 36
быть тупым или прямым?
Решение: Так как луч АВ делит угол КАР на два
угла,то Z KAP= Z KAB+ Z BAR. Предположим,
что угол ВАР тупой или прямой. Тогда Z КАР >
> 180°, что невозможно. Значит, угол ВАР -
острый. (Ответ: не может.)
Задача № 39
С помощью транспортира постройте
биссектрисы углов КМС и СЫТ. Измерьте угол,
образованный построенными биссектрисами, и
запишите результат измерения. (Ответ: 90°.)
Задача № 40 А ^^ ^-^ В
С помощью транспортира разделите угол
АОВ на Три равных угла. Рис. к задаче 40
к
К М Т
Рис. к задаче 39

32
Глава I. Начальные геометрические сведения
Рис. 1 67
2. Задана № 44.
Попросить выйти к доске трех учащихся и решить задачу в случае,
если угол ЛОВ острый, прямой или тупой.
Задана № 47(6)
ZAOB = ZAOE + Z ЕОВ = 12°37' = 108°25' = 120°62' = 12Г2'.
3. Самостоятельное решение задач.
(Учитель контролирует работу менее подготовленных учащихся и по
мере необходимости оказывает индивидуальную помощь.)
I уровень
Задачи по учебнику: № 47(а), 49, 51, 53.
Задана № 49
Рис. 1.67.
ZAOC на 15° больше Z СОВ, значит
ZAOC= ZCOB+ 15°. ZAOB= ZAOC +
+ Z COB= 155°,тогда Z COB+ Z COB+ 15° =
= 155°, Z COB =70°. ZAOC= 70° + 15° = 85°.
(Ответ: ZAOC=S5°.)
Задана № 51
ZAOD- прямой, ZAOB= ZBOC= Z COD = 30°, так как ZAOD =
= 90°. Пусть ОМ— биссектриса ZAOB, a ON— биссектриса Z COD, тогда
MOB=\5°, ZCON= 15°, ZMON = Z MOB + ZBOC+ ZCON = 15° +
+ 30° + 15° = 60°. (Ответ: 60°.)
Задана № 53
Градусная мера неразвернутого угла hk меньше 180°. Луч /, являясь
его биссектрисой, делит угол hk на два равных угла, градусные меры
которых меньше 90°, то есть на два острых угла. Поэтому угол hi не может
быть прямым или тупым. (Ответ: не может.)
II уровень
№ 49, 51, 53, дополнительные задачи (см.
ниже).
1. Угол АОВ принадлежит внутренней
области угла COD; Z COD= 140°, ZAOB= 100°.
Найдите угол, образованный биссектрисами
углов АОС и ВОD, луч О В принадлежит
внутренней области угла AOD.
Решение (см. рис. 1.68): Пусть ОМ и ON —
биссектрисы углов АОС и BOD
соответственно, тогда Z COM= ZAOM, Z DON= Z BON.
Z COD = Z COA + ZAOB + Z BOD, тогда
Z COA + Z BOD = Z COD - ZAOB = 140° -
- 100° = 40°. Ho Z COA + Z BOD = 2 Z AOM +
+ 2 Z BON = 2 • (ZAOM + Z BON), тогда
ZAOM+ Z BON =20°. ZM0N= ZAOM +
D t<n +ZAOB+ Z BON=100° + 20° =120°. (Ответ:
Рис 169 ,Ж)
2. Прямой угол разделен лучом, исходящим из его вершины на два угла,
такие, что половина одного угла равна трети другого. Найдите эти углы.
Рис 1 68

Урок 7 Смежные и вертикальные углы 33
Решение (см. рис. 1.69): Z BON= 90°. 1/2 Z ДОС= 1/3 Z.40C,
тогда ZBOC = 2/3 Z/ЮС. Z50C + ZAOC= 2/3 Z^OC+ Z,40C =
= 5/3 ZAOQ но Z£0C + ZAOC= Z OB = 90°, тогда 5/3 Z/J0C= 90°,
Z/4OC = 54°, Z Я0С= 36°. (0/яве/и: 54° и 36°.)
Домашнее задание
1. § 5, вопросы 14-16;
2. Решить задачи. I уровень — №35, 36, 39,40 из рабочей тетради; II
уровень — № 42, 46, 48, 52 из учебника.
3. Дополнительная задача (см. рис. 1.70):
Дано: ZDRQ = 130°, Z DRF = Z FRM, D\ \ / у'
Z M/W = Z AWQ.
Ядйт^ Z/7W.
Решение: ZDRF= Z FRM, ZMRN= Z NRQ,
ZDRQ= 130°, тогда ZDRQ = ZDRF+ ZFRM+
+ Z M/W + Z AW(? = 2 Z FRM + 2 Z ЛШУ = />MC / 70
= 2 • (Z FRM+ Z MRN) = 2 Z FRN= 130°, отсюда
Z /WV = 65°. (Ответ: Z FRN = 65°.)
Урок 7. Смежные и вертикальные углы
Z/ie/ш урока:
1) ознакомить учащихся с понятиями смежных и вертикальных
углов, рассмотреть их свойства;
2) научить строить угол, смежный с данным углом, изображать
вертикальные углы, находить на рисунке вертикальные и смежные
углы.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Проверка домашнего задания
1. Проверить ршение дополнительной домашней задачи и задачи № 52.
(Решения данных задач с целью экономии времени можно
попросить оформить на доске учащихся, справившихся с решением задачи.)
Задана № 52
OV- биссектриса ZZOY, тогда ZZOV= Z YOV. OU- биссектриса
ZXOY, тогда ZXOU= Z YOU. ZZOX= ZZOV+ ZYOV+ ZXOU +
+ ZYOU=2ZYOV+2ZYOU=2(ZYOV+ Z YOU) = 2 Z VOU. Так
как Z VOU= 80°, то ZZOX= 160°. (Ответ: 160°.)
III. Самостоятельная тестовая работа с последующей самопроверкой
Варианты ответов можно попросить написать на небольших
листочках и сдать учителю на проверку, а решение в тетрадях учащиеся сами
проверят по готовым ответам непосредственно после выполненной
самостоятельной работы.

34 Глава I Начальные геометрические сведения
I уровень
Вариант I
Х.Дано: ZAOB= 122°, ZAOD = 19°, Z COB = 23° (рис. 1.71).
Найти: Z COD.
а) 90°; б) 80°; в) 164°.
2. Луч ОС проходит между сторонами утла ЛОВ, равного 120°.
Найдите ZAOC, если ZAOC меньше Z СОВ в 2 раза.
а) 80°; б) 60°; в) 40°.
3. Может ли луч с проходить между сторонами Z ab, если Z ab = 130°,
Zac = 40°, Zcb = 90°?
а) да; б) нет;
в) не хватает условий.
Вариант II
Х.Дано: ZAOD = 22°, ZDOC= 47°, ZAOB= 132° (рис. 1.72).
Найти: Z СОВ.
а) 63°; б) 53°; в) 157°.
2. Луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, равного 120е.
Найдите Z СОВ, если ZAOC на 30° больше Z СОВ.
а) 75°; б) 90°; в) 45е.
3. Может ли луч с проходить между сторонами Z ab, если Zab = 50°,
Zac= 120°, Zcb = 70°?
а) да; б) нет; в) не хватает условий.
II уровень
Вариант I
Х.Дано: ZAOB= 53е, ZBOC= 91° (рис. 1.73).
Ядй/ww: Z COD.
а) 36°; б) 142°; в) 46е.
2. Между сторонами угла ВОС, равного 160°, проходит луч ОК.
Найдите Z ВО К, если разность углов ВОКи КОСравна 48°.
а) 112°; 6)56°; в) 104°.
3. Какой из лучей а,Ьис проходит между двумя
другими, если Z ab = 122°, Zac = 34°, Zcb = 78°?
а) а; б) Ь\ в) с.
Вариант II
D 1. Дано: ZAOB = 34°, Z DOC = 27° (рис. 1.74).
Рис j 74 Найти: Z ВОС.
а) 129°; б) 119°; в) 173°.

Урок 7 Смежные и вертикальные углы
35
2. Между сторонами угла ВОС, равного 160°, проходит луч ОК.
Найдите ZKOC, если ZBOK меньше А КОС на 12°.
а) 86°; б) 74°;в) 148°.
3. Какой из лучей а, Ьис проходит между двумя другими, если Zab =
= 65°, Zac = 91°, Zcb = 26°?
а) я; б) Ь\ в) с.
/// уровень
Вариант I
Х.Дано: ZAOD= 140°, ZAOC= 94°, ZBOD= 76° (рис. 1.75).
Ядшш/: Z50C.
а) 18°; б) 15°; в) 30°.
2. Между сторонами угла /Ш2?, равного 120°,
взята точка С. Найдите Z АОС, если разность
углов АОС и С02? составляет 1/6 их суммы.
а) 20°; б) 70°; в) 50°.
3. Какое наибольшее число лучей можно
провести из одной точки, чтобы все углы,
ограниченные соседними лучами, были тупыми?
а) 3; б) 2; в) 4.
Вариант II
1. Дано: Z ВОС = 30°, ZAOC = 78°, Z BOD = 69° (рис. 1.76).
Найти: ZAOD.
а) 107°; 6)117°; в) 87°.
2. Между сторонами угла АОВ, равного 120°,
взята точка С. Найдите ZAOC, если известно, что
разность углов АОС и СОВ меньше их суммы в 4
раза.
а) 75°; б) 45°; в) 30°.
3. Какое наименьшее число лучей можно
провести из одной точки, чтобы все углы,
ограниченные соседними лучами, были острыми?
а) 6; 6)4; в) 5.
Ответы к тестам:
Рис. 1 76
1 задание
2 задание
3 задание
/уровень
/в
б
в
а
Не
а
в
б
II уровень
/в
а
в
в
Ив
б
а
б
III уровень
/е
в
б
в
Ив
б
а
в
IV. Изучение нового материала
1. Ввести понятие смежных углов.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две
другие являются продолжениями одна другой,
называются смежными.
См.рис. 1.77: ZAOCu Z СОВ-смежные.Лучи
ОВ и ОА образуют одну прямую.
О В
Рис 1 77

36 Глава I Начальные геометрические сведения
2. Вывести свойство смежных углов в ходе выполнения следующих
упражнений:
— Сколько углов изображено на рисунке? Какие это углы? (3 угла,
ZAOC и Z СОВ — смежные, a Z АО В — развернутый.)
— Существует ли какая-нибудь взаимосвязь между этими углами?
(Да, ZAOC + Z СОВ = ZAOB.)
— Как по-другому можно записать данное равенство? Почему?
(ZAOC+ Z СОВ = 180°, так как ZAOB- развернутый и его
градусная мера равна 180°.)
— Для всякой ли пары смежных углов выполняется это равенство?
(Да.)
— Данные равенства — математическая запись свойства смежных
углов. Сформулируйте само свойство смежных углов. (Сумма
смежных углов равна 180°.)
3. Ввести понятие вертикальных углов в ходе выполнения
следующих упражнений:
— Начертите неразвернутый угол МОК.
— Проведите лучи ОС и OD, являющиеся продолжениями сторон
угла МОК.
— Сколько неразвернутых углов получилось? (Четыре — Z МОК,
ZMOC, ZCOD, ZKOD.)
— Назовите углы, которые не являются смежными. (ZMOK и
Z COD, Z MOD и Z КОС.)
— Запишите в тетради: Z МОКи Z COD — вертикальные; Z MOD и
Z КОС — вертикальные.
— Попробуйте сформулировать свойство вертикальных углов и
доказать его, т.е. найдите взаимосвязь между вертикальными углами.
Учитель предлагает учащимся подумать в течение 3—5 минут, а затем
идет обсуждение вариантов ответов.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Доказательство (см. рис. 1.78):
, Z МОК + Z DOM = 180%так как Z МОК и
м Z DOM - смежные и их сумма равна 180°, отсюда
Z М0К= 180° - Z DOM. Z COD + Z DOM = 180е,
к так как Z COD и Z D0M — смежные и их сумма
равна 180°, отсюда Z COD = 180° - Z DOM. Полу-
Рис. 1.78 чили, что Z МОК = 180° - Z D0M и Z COD =
= 180° - Z DOM, значит Z M0K= Z COD, а это
вертикальные углы. Итак, вертикальные углы равны.
V. Закрепление изученного материала
1. Устно решить задачи №41,43,44 из рабочей тетради и №59,60, 63
из учебника.
Задача № 59. (Ответ: прямым.)
Задана № 60. (Ответ: да.)
Задана № 63. (Ответ: да.)
2. Всем классом решить письменно задачи № 62, 65(а).

Урок 7 Смежные и вертикальные углы 37
(Один из учащихся решает задачу у доски, остальные — в
тетрадях.)
Задана № 62
Дано: Z BOD = Z COD, Z СОВ = 148е.
Найти: ZAOD.
Решение: так как Z BOD = A COD, Z COB = Z COD + Z DOB =148°,
то ZCOB = 148°: 2 = 74°.
ZAOCn Z COB- смежные, значит, ZAOC= 180е - Z COB= 180° -
- 148° = 32°. ZAOD = ZAOC + Z COD = 32° + 74° = 106°. (Ответ:
ZAOD= 106°.)
Наводящие вопросы к задаче № 62.
1) Представьте угол AOD в виде суммы двух углов.
2) Можно ли вычислить градусную меру угла COW Как?
3) Что вы можете сказать об углах АОС и СОВ)
4) Чему равна градусная мера угла АОС? А угла AOU!
Задана № 65(а)
Дано: АВ n CZ) = 0. ус
Сумма двух углов равна 114°. /
Найти: Z 1, Z 2, Z 3, Z4. А 2 и/3 В
Решение: Сумма двух смежных углов равна 180°,
значит, данные углы не являются смежными, так как их
сумма равна 114е, поэтому эти углы вертикальные.
Вертикальные углы равны, следовательно Рис' кзадаче б5а
Z\= Z3 = 114e:2 = 57\
Zl + Z2= Z3+ Z4= 180°,таккак Zl и Z2-смежные и Z3h
Z4 - смежные, значит Z 2 = Z4 = 180° - 57° = 123°. (Ответ: 57е, 123°,
57е, 123°.)
Наводящие вопросы к задаче № 65 (а).
1) Сумма каких двух из образовавшихся углов может быть равна
114°? Почему?
2) Чему равен каждый из этих углов?
3) Как найти градусные меры двух оставшихся углов? Объясните.
3. Самостоятельное решение задач:
I уровень
№ 58, 61 (а, в, г), 64(а).
II уровень
№ 61 (в, г), 64(а), дополнительную задачу.
Дополнительная задача:
Найдите угол, образованный:
а) биссектрисами двух смежных углов;
б) биссектрисами двух вертикальных углов.
а)Дано: ZAOCn Z СОВ- смежные, ОМ- биссектриса ZAOC, ON-
биссектриса Z СОВ (рис. 1.79 а).
Найти: ZM0N.
Решение: ОМ- биссектриса ZAOC, значит ZAOM= Z COM. ON-
биссектриса Z СОВ, значит Z CON= Z NOB. ZAOCn Z СОВ-
смежные, поэтому ZAOC + Z СОВ = 180е, ZAOC = 2ZCOM, Z СОВ =

38 Гпава I. Начальные геометрические сведения
о
а)
Рис. 1.79
= 2ZC0N, значит 2 АСОМ + 2ZCON=2 • (ZCOM + Z СОЛО =
= 2ZM0N= 180°, поэтому ZMON = 90°. (Ответ: ZMON = 90°.)
6) Дано: ZAOBn Z COD — вертикальные, ОМ— биссектриса ZAOB,
ON- биссектриса Z COD (рис. 1.79 б).
Найти: ZMON.
Решение: так как ОМ — биссектриса ZAOB, то ZAOM= ZBOM, а
ZAOM= 1/2 ZAOB. Так как OW- биссектриса Z COD, то Z CON =
= Z /)O#, a Z CON= 1/2 Z COZ). Но ZAOBn Z COD - вертикальные,
значит ZAOB = Z COD, следовательно, 1/2 ZAOB = 1/2 Z COD, то
есть ZAOM= ZBOM= ZCON= ZDON ZMON= ZAOM+ ZAOC +
+ Z CON Заменим Z CON на Z BOM, так как Z CON = Z BOM,
поэтому ZMON= ZAOM+ ZAOC+ Z BOM = ZAOC + (ZAOM +
ZBOM)= ZAOC+ ZAOB= 180°,таккак ZAOCn Z AOB - смежные.
(Ответ: ZMON= 180°.)
В ходе самостоятельного решения задач учитель контролирует работу
менее подготовленных учащихся и оказывает индивидуальную помощь
остальным по мере необходимости.
Задача № 58
а) 180°- 111° = 69°;
б) 180° - 90° = 90°;
в) 180° - 15° = 165°.
Задача № 61
a) Zkl= Zhk + 40° по условию задачи.
Zkl+ Zhk= 180°, так как Z kl и Zhk — смежные, поэтому Zkl +
+ Zhk = (Zhk + 40°)+ Zhk = 2- Zhk + 40° = 180°, откуда Zhk =
= 70°, значит, Z kl = 70 + 40° = 110°.
в)По условию задачи Zhk— Zkl+ 47° 18'.
Zhk и Zkl — смежные, значит Zhk + Zkl = 180°, тогда Zhk +
+ Zkl=(Zkl + 4TW)+ Zkl=2- Zkl + 47° 18'= 180°,откуда Zkl =
= (180° - 47е 18'): 2 = 66°2Г, Zhk = 66°2Г + 47°18' = 113°39'.
г) По условию задачи Zhk= 3 • Zkl.
Zhk и Zkl — смежные, поэтому Zhk+ Zkl= 180°, тогда Zhk +
+ Zkl=3- Zkl+ Zkl= 180°,4- Zkl=\W, Zkl = 45°, Zhk= 135°.
(Ответ: a) Zhk = 70°, Zfc/= 110°; в) Zfc/=66°2l', ZM=113°39/;
r) ZA:/=45°,
Z 2 и Z 4 — вертикальные, значит Z 4 = Z 2 = 117°.

Урок 7. Смежные и вертикальные углы
39
Рис. к задаче 42
Рис. к задаче 45
О Т
Рис. к задаче 46
Z 1 и Z2-смежные,поэтому Z 1 + Z2= 180°, Z 1 = 180°- 117е = 63°.
Z 1 и Z 3 - вертикальные, Z 1 = Z 3 = 63е. (Ответ: Z 1 = Z 3 = 63°,
Z4= 117°.)
Домашнее задание
1.§ 11, вопросы 17, 18.
2. Решить задачи. I уровень — №42, 45, 46 из рабочей тетради; II
уровень - №61 (б, д), 64 (б), 65 (б) из учебника.
Задача № 42
а) Проведите луч ОС так, чтобы углы ЛОВ и СОВ были смежными, а
луч ОМ- так, чтобы углы ЛОВ и MOB были смежными.
б) Вычислите градусные меры углов СОВи МОА, если ZAOB = 100е.
(Ответ:-Ь) Z СОВ = Щ_, ZМОА = Ж)
Задана № 45
На рисунке ZABC = 83°, ZABK = 65е. Найдите ZPBM.
Решение: Z РВМ = Z СВК. так как эти углы вертикальные; Z СВК =
=АВС- ZABK= 83° - 65! = Ж. Следовательно, Z РЯЛ/= Ж. (Ответ:
Задана № 46
Прямые АВ и ОГпересекаются в точке С, Z.4OC = 40°. Сделайте
чертеж. Найдите ZBCT, ZACT, ZBCO.
Решение:
1) ZBCT= ZACO, так как эти углы
вертикальные, поэтому Z BCT= 4Q1;
2) Z^Cr+ Z,4CO= 180°. так как эти углы смеж-
ные, поэтому ZACT=1M.- ZACO=\W-
- 40° = 140°:
3) Z BCO = ZACT. так как эти углы
вертикальные, следовательно, Z ВСО = 140°.
(Ответ: Z ВСО = 40е. Zy4C7= 140°.
Z ДСО = 140°Л
3. Дополнительна задача:
Известно, что Zhk= 120°, Z Am = 150°.
Найдите: a) Z km; б) угол между
биссектрисами ZhkH Zhm.
Решение (см. рис. 1.80): б)
а) Возможны два случая: р j 80
Zkm = 360° - (120° + 150°) = 90е.

40
Глава I Начальные геометрические сведения
Zkm = 150°- 120° = 30°.
(Ответ: 90° или 30°.)
б) В первом случае 1/2 Z hk = 60°, 1/2 Z.hm = 75°, тогда угол между
биссектрисами Z hk и Z Лт равен 60° + 75° = 135°. Во втором случае:
75°-60° =15°.
(Ответ: 135° или 15°.)
Урок 8. Перпендикулярные прямые
Цели урока:
1) повторить понятие перпендикулярные прямые;
2) рассмотреть свойство перпендикулярных прямых;
3) совершенствовать у учащихся умение решать задачи.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Проверить дополнительную домашнюю задачу и задачу №
65(6).(Решения задач попросить оформить на доске двух учеников во время
решения задач по готовым чертежам и заслушать всем классом перед
изучением материала.)
Задача № 65 (б)
Z1+ Z2+ Z3 = 220°.
Z4 = 360°-220° = 140°.
Z2 = Z4 = 140° (вертикальные).
Zl= Z3=180°-140° = 40°(Z1h Z2, Z3h Z4-
смежные).
Рис к задаче 656 (Ответ: 40°, 140°, 40°, 140°.)
2. Решение задач по готовым чертежам.
I уровень
(устно, фронтальная работа с учащимися)
1. Рис. 1.81.
Найти: Z CBD.
2. Рис. 1.82.
Найти: Z FBD, ZABF, Z.CBD.
3. Рис. 1.83.
Дано:ААВВ в 5 раз меньше Z BDC.
Найти: ZADB, Z BDC.
4. Рис. 1.84.
Дано: Z NM0: Z LMN= 1 : 3.
Найти: Z NMO, Z LMN, Z RMO, Z LMR.
II уровень
(самостоятельно с последующей проверкой по
собранным в конце урока тетрадям)
Рис 1 83

Урок 8 Перпендикулярные прямые
41
L"^w^ \
R 0
Рис. 1.84 puc, i 85
1. РИС. 1.85.
Дано: а - p = 30°.
Найти: а , p .
(Ответ: a = 105°, p = 75°.)
2. Рис. 1.86.
Дано-..ZABD: Z CBD -1:5.
Найти: ZABD, Z CBD.
(Ответ: ZABD= 30°, ZCBD= 150°.)
3. Рис. 1.87.
Дано: ОЕ- биссектриса Z COD, Z DOE= 32°.
Найти: ZBOC, ZAOF.
(Ответ: Z BOC = 180°- Z COD = 116°,
ZAOF= ZCOE= 32°.)
4. Рис. 1.88.
Ддно: Z Л0Я = 1/8 (Z ЯОС + Z CO/) +
D
А В
Рис.
В
\
-г"-—o^
A
Рис 1
1.86
\
.87
r
.88
С
С
у
E
п
и
ч
Найти: ZAOB, ZBOC.
(Ответ: ZAOB= 1/8(360°- ZAOB), ZAOB= 40°, ZBOC= 140°.)
III. Изучение нового материала
При изучении нового материала желательно опираться на
имеющиеся у учащихся знания по данной теме за курс математики 6 класса.
Можно предложить учащимся следующие упражнения:
- Какие прямые называются перпендикулярными? (Две прямые
называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют
четыре прямых угла.)
- Запишите, используя математические символы, «прямая АВ
перпендикулярна прямой CD». Выполните соответствующий рисунок
и укажите все углы. (АВ 1 CD. ZAOC = Z СОВ = Z BOD =
= ZAOD = 90°.Puc. 1.89.)
- Пересекаются ли две прямые, перпендикулярные третьей? (Нет.)
(Учащиеся могут вспомнить, что такие прямые параллельны.)
Две прямые, перпендикулярные третьей, не
пересекаются - это свойство перпендикулярных прямых.
Докажем это свойство (пункт 12 учебника). Это
свойство лучше доказать самому учителю.
Пункт 13 «Построение прямых углов на
местности» можно порекомендовать прочитать дома.
IV. Закрепление изученного материала
1, Выполнить практическое задание № 57.
Рис 1.89

42
Глава I Начальные геометрические сведения
Рис. 1.90
С О А
Рис. 1.92
2. Решить задачу № 69 (один ученик работает у доски, остальные -в
тетрадях).
3. При наличии времени можно решить следующие задачи:
Задана 1
Два тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны взаимно
перпендикулярны. Найдите величину тупого угла, если известно, что
тупые углы равны.
Указание (см. рис. 1.90): ZAOB = ZAOC. ВО 1 ОС, значит Z ВОС =
= 90°. 2 Z АОВ = 360° - 90е = 270°, Z АОВ = 135°.
Задана 2
Из вершины развернутого угла проведены два луча, которые делят
его на три равные части. Докажем, что биссектриса среднего угла
перпендикулярна сторонам развернутого угла.
Решение (см. рис. 1.91): ZAOB = Z ВОС = Z COD = 60°. OK-
биссектриса Z ВОС, тогда Z COK= Z ВОК= 30°, следовательно, Z Z>Otf=
= 60° + 30° = 90°, ZAOK= 60° + 30° = 90°, т.е. OK I ОА, OK I OD.
Задана 3
Углы АОВ и ДОС смежные, OAf — биссектриса ZAOB, луч CW
принадлежит внутренней области угла ВОС и перпендикулярен ОМ.
Является ли ON биссектрисой угла BOO Почему?
Решение (см. рис. 1.92): ZAOBn Z ВОС смежные, значит ZAOB =
= 180° - ZBOC, а так как ОМ - биссектриса Z^05, то Z ВОМ =
= Z Л/О4 = 1/2 (180° - Z Я0С) = 90° - 1/2 Z ДОС Так как ON 1 ОМ,
то Z Ж?ЛГ= 90°, a Z ВОМ= 90° - Z Я<Ж Получили, что Z Я0Л/= 90° -
- 1/2 Z ДОС = 90° - Z ДОЛГ, откуда следует 1/2 Z ДОС = Z ДО#, т.е.
ОЛГ является биссектрисой Z ДОС
У. Самостоятельная работа
I уровень
Вариант I
1. Смежные углы относятся как 1 : 2. Найдите эти смежные углы.
2. Один из углов, образовавшихся при
пересечении двух прямых, равен 2Г. Найдите
остальные углы.
3. Дано: а = 30°, р = 140° (рис. 1.93).
Найти: Z 1, Z2, Z3, Z4.
Вариант II
1. Один из смежных углов больше другого на
20°. Найдите эти смежные углы.
Рис. 1.93

Урок 8. Перпендикулярные прямые 43
2. Один из углов, образовавшихся при
пересечении двух прямых, равен 102°. Найдите
остальные углы.
3. Дано: а = 20°, j3 = 130е (рис. 1.94).
Найти: Z 1, Z2, Z3, Z4.
II уровень Рис. 1.94
Вариант I
1. Один из смежных углов составляет 0,2 другого. Найдите эти
смежные углы.
2. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых,
равна 325е. Найдите остальные углы.
3. Даны углы а , j3 и у. Известно, что а > /J, у < /3 . Найдите
среди этих углов тот, смежный с которым будет наибольшим.
Вариант II
1. Один из смежных углов составляет 0,8 другого. Найдите эти
смежные углы.
2. Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых,
равна 78°. Найдите остальные углы.
3. Даны углы а , р и у. Известно, что а > /5 , а у < /J. Найдите
среди углов тот, смежный с которым будет наименьшим.
/// уровень
Вариант I
1.4/7 одного из смежных углов и 1/4 другого составляют в сумме
прямой угол. Найдите эти смежные углы.
2. Сумма вертикальных углов в 2 раза меньше угла, смежного с
каждым из них. Найдите эти вертикальные углы.
3. Один из четырех углов, образовавшихся при пересечении двух
прямых, в 11 раз меньше суммы трех остальных углов. Найдите эти четыре угла.
Вариант II
1. Меньший из смежных углов в 4 раза меньше разности этих
смежных углов. Найдите эти смежные углы.
2. Сумма вертикальных углов на 30° меньше угла, смежного с каждым
из них. Найдите эти вертикальные углы.
3. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых,
на 280° больше четвертого угла. Найдите эти четыре угла.
Тетради с выполненными работами в конце урока учителю
необходимо собрать для проверки.
Домашнее задание
1.§ 12, 13, вопросы 19-21.
2. Решить задачи. I уровень — №66, 68 из учебника, №48, 49 из
рабочей тетради; II уровень — №66, 68, 70 из учебника и
дополнительную задачу.
Задача № 48
Прямые КМ к ВС пересекаются в точке О, Z. СОМ = 89°.
Перпендикулярны ли прямые КМ и ВС! Объясните ответ.

44 Глава I Начальные геометрические сведения
Решение: Две пересекающиеся прямые называются
перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. По условию задачи
Z СОМ= £21, т.е. он не прямой, поэтому прямые КМи ВС не
перпендикулярные. (Ответ: нет.)
Задана № 49
Прямая b пересекает стороны угла С в точках Аи В. Могут ли обе
прямые СА и СВ быть перпендикулярными к прямой Ы
Решение: Предположим, что CALb и CBLb, тогда две прямые,
перпендикулярные к прямой Ь, пересекаются в точке С, что невозможно.
Следовательно, обе прямые СА и СВ быть перпендикулярными к
прямой b не могут. (Ответ: нет.)
3. Дополнительная задача:
Докажите, что сумма каждых трех углов, не прилежащих один к
другому и образуемых тремя прямыми, проходящими через одну точку, равна
двум прямым углам.
Доказательство (см. рис. 1.95): Z 1, Z 2, Z 3 — три угла, не
прилежащих один к другому, и образованы тремя прямыми,
проходящими через одну точку. Z 1 и Z 4 -
вертикальные, Zl= Z 4. Z2h Z5 — вертикальные, Z2 =
= Z5. Z3h Z6 — вертикальные, Z3 = Z6. Z 1 +
+ Z2+ Z3= Zl + Z6+ Z2= 180е. Два прямых
угла в сумме так же составляют 180°, следовательно,
Рис. 1.95 сумма Z 1 + Z 2 + Z 3 равна двум прямым углам,
что и требовалось доказать.
Урок 9. Решение задач. Подготовка к контрольной работе
Цели урока:
1) повторение, закрепление материала главы I;
2) совершенствование навыков решения задач;
3) подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Проверка домашнего задания
Проверяются решения домашних задач №66, 68.
(Решение задач предложить подготовить на доске заранее учащимся,
справившимся с заданием.)
Задана № 66
a) Z 2 и Z 4 - вертикальные, значит Z 2 = Z 4.
Так как Z2 + Z4 = 220°,to Z2=110°h Z4= 110°, тогда Zl=70°,
Z 3 = 70° (Z 1 и Z2, /Зи Z4- смежные, Z 1 + Z 2 = 180°,
Z3+ Z4 = 180°). (Ответ: Z2= Z4=110°, Zl= Z3 = 70°.)
6)3(Z1 + Z3)= Z2 + Z4.
Z 1 = Z3, Z2= Z4 как вертикальные.

Урок 9 Подготовка к контрольной работе 45
Z 1 + Z2 = 180°, так как Z1 и Z2 - смежные, следовательно,
Z2 = 180e- Z 1, тогда 3(Z1 + Zl) = (180°- Zl) + (180°- Zl).
6Z1 = 36O°-2Z1, Zl =45°, Z2= 135°, Z3 = 45°, Z4 = 135°.
(Ответ: Zl= Z3 = 45°, Z2= Z4=135\)
в) Z2 - Z 1 = 30°, тогда Z2 = Z 1 4- 30°.
Так как Z1+ Z 2 - смежные, то Z1+ Z2= Z1 + Z 1+30°= 180°,
получаем Z 1 = 75°, Z 2 = 105°, а значит Z 3 = 75°, Z 4 = 105°. (Ответ:
Zl= Z3 = 75°, Z2= Z4=105°.)
Задача № 68
/.ЛОВ и Z DOE - вертикальные, значит Z DOE = ZAOB = 50°.
/FOEn ZBOC- вертикальные, значит, ZBOC= ZFOE= 70°. Z>40£ +
+ ZЯ0С + Z CO/) = 180°, следовательно, / COD = 180° - (ZAOB +
+ Z 500 = 60°.
Z COZ) и Z>4OF- вертикальные, значит, ZAOF= Z COD = 60°.
Тогда ZAOC= ZAOB+ ZBOC =50° + 70° = 120°.
Z BOD = Z BOC + Z COZ) = 70° + 60° = 130°, Z CO£ = Z COZ) +
+ ZDOE= 60° + 50° = 110°. (Ответ: ZAOC= 120°, ZtfOZ) = 130°,
ZCOE= 110°, Z COZ) = 60°.)
HI. Анализ самостоятельной работы
1. Общий анализ самостоятельной работы, проведенной на
прошлом уроке;
2. Работа над ошибками по готовым решениям.
(Решения задач раздаются каждому ученику.)
Решения задан самостоятельной работы:
I уровень
Вариант I
1. См. рис. 1.96.
Так как Z 1 : Z 2 = 1 : 2, то Z 1 = х, Z 2 = 2х. Но Z 1+ Z 2 = 180°,
тогда х + 2jc = 180°, х = 60, значит Z 1 = 60°, Z 2 = 120°.
2. См. рис. 1.97.
Пусть Z 1 = 21°, тогда Z 3 = Z 1 как вертикальные и Z 3 = 2Г. Z 1 и
Z 2 - смежные и Z 1 + Z 2 = 180°.
Тогда Z2= 180°- Zl = 159°. Но Z2= Z 4 как вертикальные и Z4 =
= 159°. (Ответ: Z\= Z3 = 21°, Z2= Z4= 159°.)
3. a =30°, тогда Z 4 = 30е, так как Z 4 и угол с градусной мерой а —
вертикальные.
/J =140°, тогда Z 2 = 140°, так как Z 2 и угол с градусной мерой
Р - вертикальные.
Z2+ Z3+ Z4= 180°, тогда Z3=180e-(Z2+ Z4)=10\
Рис. 1.96

46
Глава I Начальные геометрические сведения
Рис. 1.98
Рис. 1.99
Рис. 1.100
Z 3 и Z 1 — вертикальные, поэтому Z 3 = Z 1, Z 1 = 10°. (Ответ:
Z3= Zl = 10°, Z2=140°, Z4 = 30°.)
Вариант II
1. См. рис. 1.98.
Z 2 на 20° больше Z 1, тогда Z 1 = х, Z 2 = х + 20°.
Но Z 1 + Z 2 = 180°, тогда х + х + 20 = 180, х = 80°, значит Z 1 =
= 80°, Z2= 100°.
2. См. рис. 1.99.
Пусть Z 1 = 102е, тогда Z 3 = Z 1 как вертикальные и Z 3 = 102е.
Z 1 и Z2 - смежные и Z 1 + Z2 = 180°, тогда Z2 = 180° -
— Z 1 = 78е. Но Z 2 = Z 4 как вертикальные и Z 4 = 78°. (Ответ: Z 1 =
= Z3= 102°, Z2= Z4 = 78°.)
3. а = 20°, тогда Z 4 = 20°, так как Z 4 и угол с градусной мерой а -
вертикальные.
Р =130°, тогда Z2 = 130°, так как Z2 и угол с градусной мерой
Р — вертикальные.
Z2 + Z3+ Z4= 180°, тогда Z3= 180°-(Z2+ Z4) = 30°.
Z 3 и Z 1 - вертикальные, поэтому Z 3 = Z 1, Z 1 = 30е. (Ответ:
Z3= Zl=30°, Z2=130°, Z4 = 20°.)
// уровень
Вариант I
1. См. рис. 1.100.
Пусть Z 1 составляет 0,2 Z2, тогда Z 1 = 0,2 • Z 2. Но Z 1 и
Z2 - смежные и Z1 + Z2 = 180°, тогда 0,2 • Z2 + Z2 = 180°,
150° = 30°. (0/ти7я:ЗО°и15О°.)
2. См. рис. 1.101.
Пусть Zl+Z2+Z3 = 325°, тогда Z4 =
= 360° - 325° = 35°, Z 4 = Z 2 как
вертикальные, тогда Z 2 = 35°.
Z 1 + Z2 = 180°, Z4 + Z3 = 180е, тогда
Z 1 = Z3 = 145°. (Ответ: 145°, 35е, 145°.)
3.Таккак а > р , у < /5 ,то у < р < а ,
т.е. наименьшим среди углов а , р , у будет
у, а смежный с ним угол будет наибольшим
среди углов, смежных с углами а , р , у.
Вариант II
1. См. рис. 1.102.
Пусть Z 1 составляет 0,8 Z 2, тогда Z 1 =
= 0,8 • Z 2. Но Z 1 и Z 2 - смежные и Z 1 +
Z2=150°,a Z 1=0,2
Рис. 1.101
I
Рис 1 102

Урок 9 Подготовка к контрольной работе
47
Рис. 1.103
Рис. 1.105
+ Z2 =180°,тогда0,8- Z2 + Z2=180e, Z2 = 100\a Z 1 =0,8 • 100° =
= 80°. (Ответ: 80е и 100°.)
2. См. рис. 1.103.
Сумма смежных углов равна 180°, поэтому 78° — это сумма
вертикальных углов. Но вертикальные углы равны и получаем, что Z 1 = Z 2 = 39°.
(Ответ: 39°, 39е.)
3. Так как a >/3,y</J,Toy</J < а, т.е. наименьшим среди
углов а , /J , / будет у, а наименьшим среди смежных с ними углов
будет угол, смежный с углом а .
III уровень
Вариант I
1. Пусть Z 1 и Z 2 - смежные и 4/7 Z 1 + 1/4 Z 2 = 90°.
Так как Z 1 + Z2 = 180е, то Z2 = 180° - Z 1, тогда 4/7 Z 1 +
+ 1/4 (180е - Z 1) = 90е, Z 1 = 140°, Z 2 = 40е. (Ответ: 140° и 40е.)
2. См. рис. 1.104.
Пусть Z 1 и Z 3 - вертикальные, Z 2 - смежный с каждым из углов
lH3,Toraa2-(Zl+ Z3)= Z2.
Но Zl= Z3,a Z2=180e- Z 1, тогда 2 • (Z 1 + Z 1) = 180° - Z 1,
Z 1 = 36е. (Ответ: Z 1 = Z 3 = 36°.)
3. См. рис. 1.105.
Пусть данные углы - Z 1, Z2, Z3, Z4.
Тогда Z4- 11= Z1+ Z2+ Z3. Zl= Z 3 как вертикальные, Z2 =
= Z4=180°- Zl.
Тогда 11 • (180° - Z 1) = Z 1 + (180° - Z 1) + Z 1, Z 1 = 150°,
Z2 = 30°, Z3 = 150°, Z4 = 30е. (Ответ: 30е, 30е, 150°, 150е.)
Вариант II
1. Пусть Z 1 и Z 2 - смежные h4Z1= Z2- Zl.
Так как Z 1 + Z 2 = 180е, то Z2 = 180е - Z 1, тогда 4Z 1 = 180° -
- Z 1 - Z 1, Z 1 = 30е, Z2 = 150°. (Ответ: 30е и 150°.)
2. См. рис. 1.106.
Пусть Z 1 и Z 3 — вертикальные Z 2 — смежный
с каждым из углов 1 и 3.
Тогда Z 1 = Z 3, Z 2 = 180е -Z1,hZ1+Z3
+ 30°= Z2,T.e. Z1+ Z 1 + 30°= 180е- Zl, Zl =
= 50°. (Ответ: Z 1 = Z 3 = 50°.)
3. См. рис. 1.107.
Пусть данные углы — Zl, Z2, Z3, Z4, тогда
Z4 + 280° = Z1 + Z2+ Z3.
Z 1 = Z 3 как вертикальные, Z2= Z4= 180° —
~ ^ *• Рис. 1.107
Рис. 1.106

48 Глава I. Начальные геометрические сведения
Тогда 180° - Z 1 + 280° = Z 1 + (180° - Z 1) + Z 1, Z 1 = 140°, Z 3 =
= 140°, Z2 = Z4 = 40°. (Ответ: 40°, 40°, 140°, 140°.)
IV. Проверочный тест
Проводится тест с последующей самопроверкой с целью повторения
теоретического материала.
(Ответы теста учащиеся записывают в тетрадях. Учителю во
избежание списывания желательно предупредить учащихся, что оценки за
данный тест выставляться не будут, учащиеся сами оценят уровень своих
знаний и основная цель данного теста — повторение теории и
устранение пробелов в их знаниях.)
1. Точка С лежит на луче АВ. Какая из точек А, В, С лежит между
двумя другими?
а) А; б) В или С;
в) С; г) В.
2. Отрезок ХМ пересекает прямую а. Отрезок XD пересекает прямую
а. Пересекает ли прямую а отрезок МГР.
а) да; б) может не пересекать;
в) никогда не пересекает; г) нет правильного ответа.
3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых —
прямой. Остальные углы ...
а) острые и прямой; б) тупые и прямой;
в) прямые; г) нет правильного ответа.
4. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых,
равна 180°. Эти углы:
а) смежные; б) вертикальные;
в) нет правильного ответа;
г) могут быть смежными, могут быть вертикальными.
5. Если точка В принадлежит отрезку АС, то ...
а) АВ + ВС=АС; б)АВ + АС= ВС;
в) ВС + АС = АВ; г) нет правильного ответа.
6. Если луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, то ...
a) ZAOC= ZBOC; б) ZAOC + ZBOC= ZAOB;
в) ZAOB+ ZBOC= ZAOC; г) ZAOC+ ZAOB= ZBOC
7. Если точка В — середина отрезка А С, то ...
а) АВ + ВС = АС; б) АС= ВС;
в)АВ=2АС; г)АС=2АВ.
8. Если луч ОС — биссектриса ZAOB, то
a) ZAOB= ZAOC+ ZBOC; б) ZAOC= ZAOB;
в) ZAOC= ZBOC; г) ZAOB * ZBOC
Ответы к тесту:
1 б); 2 а); 3 в); 4 г); 5 а); 6 б); 7 г); 8 в).
V. Решение задач
I уровень
Решение задач на готовых чертежах устно:
1.Рис. 1.108.
Дано: ZBOC= ZAOC+ 90°.

Урок 9 Подготовка к контрольной работе
49
А О В
Рис. I 108
М N К
Рис 1 109
Рис 1 НО
Рис 1.111
Найти: ZAOC, Z ВОС
2. Рис. 1.109.
Дано: Z MNP в 3 раза больше Z KNP.
Найти: ZMNP, Z KNP
3. Рис. 1.110.
Дано: ZAOD + Z DOC + Z СОВ = 220°.
Найти: ZAOB, ZAOD, Z ВОС, ZDOC
4. Рис. 1.111.
Дано: Z ВВС на 80° меньше ZABD.
Найти: Z DBC, ZFBC
5. Рис. 1.112.
Дано: ZAFP: ZKFP = 1 : 5.
Найти: ZAFP, Z KFP.
Самостоятельное решение задач с последующей
самопроверкой по готовым ответам:
1.Рис. 1.113.
Дано: Z ВОС - прямой, Z 2 = 70°.
Найти: Z 1.
(Ответ: Z 1 = 20°.)
2. На отрезке Z Я отложены точки Ки М так,
что точка Улежит между точками Z и М, НК =
= 53,5 см, Z М= 535 мм. Сравните отрезки Z К и
НМ. (Ответ: РК= ИМ.)
3. Развернутый угол АОВ разделяет плоскость на две части. Точка Е
лежит в одной части, точка Р - в другой; Z ЕОВ = 50°, Z РОВ = 130°.
а) Равны ли углы ЕОВ и РОАЧ
б) Являются ли углы ЕОВ и РОА вертикальными?
(Ответ: а) Да; б) Z ЕОВ + Z РОВ = Z РОЕ. Значит, Z РОЕ = 180°,
т.е. угол РОЕ является развернутым и точки Р, О, Е лежат на одной
прямой. Следовательно, Z ЕОВ и Z РОА - вертикальные.)
II уровень
Самостоятельное решение задач с последующей самопроверкой по
готовым ответам:
1. Точка С — середина отрезка АВ, точка D — середина отрезка АС,
BD = 15,3 см. Найдите длину отрезка АС и выразите ее в миллиметрах.
(Ответ: АС= 10,2 см = 102 мм.)
2. Отрезки РЕ и НМ лежат на перпендикулярных прямых и
пересекаются в точке К. Внутри угла РКН взята точка А, а внутри угла МКЕ -
точка Я, Z АКН = 40°, Z МКВ = 50°.

50
Глава I Начальные геометрические сведения
а) Найдите углы РКА и ВКЕ.
б) Лежат ли точки А, К, В на одной
прямой? Ответ объясните.
(Ответ: а) 50°, 40°; б) Если бы точки А, К,
В лежали на одной прямой, то углы АКН и
МКВ были бы вертикальны, но эти углы не
равны. Значит, точки А, К, В не лежат на
одной прямой.)
3. Развернутый угол АОВ разделяет
плоскость на две части. Луч ОМ лежит в одной
части, а луч ОК— в другой. Известно, что углы
МОА и КОВ - прямые.
а) Равны ли углы ВОМи КОА ?
б) Являются ли прямые МК и АВ взаимно
перпендикулярными?
(Ответ: а) Да; б) Да.)
4. Можно ли расположить шесть точек на
четырех отрезках, не лежащих на одной
прямой, так, чтобы каждому отрезку
принадлежало по три точки? (Ответ: Можно. См. рис.
1.114.)
5. Расположите шесть отрезков так, чтобы каждый из них имел
общие точки ровно с тремя другими и число всех этих точек было равно
пяти. (Ответ: См. рис. 1.115.)
Рис 1.115
Домашнее задание
1. Решить задачи № 74, 75, 80, 82.
2. Дополнительная задача:
Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух
прямых, если разность двух из них равна 37°.
Урок 10. Контрольная работа №1
«Основные свойства простейших геометрических фигур.
Смежные и вертикальные углы»
(см. Приложение 1)
Урок 11. Работа нал ошибками
Цели урока:
1) устранение пробелов в знаниях учащихся;
2) совершенствование навыков решения задач.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

Урок 11 Работа над ошибками 51
II. Общий анализ контрольной работы
а) общий результат контрольной работы;
б) объяснение заданий, с которыми не справились большинство
учащихся;
в) демонстрация лучших работ.
III. Работа над ошибками
I уровень
1. Наметить устно план решения задач контрольной работы,
используя заранее подготовленные рисунки.
2. Предложить учащимся самостоятельно решить те задания, с
которыми они не справились, и осуществить самопроверку по готовым
ответам.
3. Решить задачи контрольной работы II уровня с последующей
самопроверкой по готовым ответам и указаниям к задачам.
II уровень
1. Найти свои ошибки по готовым ответам и указаниям к задачам;
2. Решить задачи контрольной работы III уровня с последующей
самопроверкой по готовым ответам и указаниям к задачам.
/// уровень
1. Найти свои ошибки по готовым ответам и указаниям к задачам;
2. Решить дополнительные задачи с последующей самопроверкой по
готовым решениям.
Ответы и указания к задачам контрольной работы:
I уровень
Вариант I
1.С. 2. 36° и 144е 3.60е 4. 16°
Вариант II
\.В. 2. 55° и 125° 3.60° 4. 13°
II уровень
Вариант I
1. Рассмотрим два случая:
а) Рис. 1.120 а. АС= 12,7 см.
б) Рис. 1.120 б. ЛС= 7,9 см.
2. См. рис. 1.121.
Z2=Zl+42\ Z1+Z2=180°,отсюда Z1+Z1+42°= 180°, Zl =
= Z3 = 69°, Z2= Z4=lll°.
3. См. рис. 1.122.
Так как ZKOB = SZAOKn ZAOK + ZKOB = 180°, то ZAOK =
= 30°, ZKOB= 150°. ZKOC= ZCOB= 75°, тогда ZAOC= 105°.
(Ответ: ZKOC=15\ ZAOC= 105°.)
a)
Pur 1 ПП
Рис. 1 121

52
Глава I Начальные геометрические сведения
Рис. 1.123
В
а)
С В
б)
Рис. 1.124
Рис. 1.125
4. См. рис. 1.123.
Z СОК= 118°, Z COK= Z COA+ Z/ЮА.Таккак ZAOK= 1/2 ZAOD,
a ZAOD= 180° - Z СОА, то ZAOK= 1/2 • (180° - Z СОА), тогда Z СОК =
= Z СОА + 1/2 • (180е - Z СОА) = 118°. Z СОА = 56е, а значит, Z BOD =
= 56°. (Ответ: 56°.)
Вариант II
1. Рассмотрим два случая:
а) Рис. 1.124 а. ЛЯ= 5,3 см.
б) Рис. 1.124 б. АВ= 10,3 см.
2. См. рис. 1.125.
Zl= Z2 + 22°, Z1+ Z2= 180°,отсюда Z2+ Z2 + 22°=180°, Z2 =
= Z4 = 79e, Z3= Zl = 101°.
3. См. рис. 1.126.
TaKKaKZCO5 = 4Z^OCn ZCOB+ ZAOC= 180е,то ZAOC=36°,
Z COB = 144°. Z COD = Z /)O4 = 18°, тогда Z ЯШ) = 162е.
4. См. рис. 1.127.
Z C£tf= 137°, Z C£#= Z С£Л/+ Z ЛШГ.
Так как Z С£Л/= 1/2 Z MEK, a Z Л/£/>= 180° - Z ЛШГ, то Z CEM=
=>\/2 (180°- ZMEK).
Тогда Z C£tf= 1/2 • (180° - Z M£A) + Z MEK= 137°.
94°, т. e. Z АИ/= 94°. (Ответ: Z KEM= 94е.)
Вариант I
1. Возможны два случая:
а) Рис. 1.128 а. BD= 9,3 см.
б) Рис. 1.128 6. BD = 0,9 см
2. См. рис. 1.129.
(Z2+ Z3)-3= Z2+ Z4. Так как Zl = Z3, Z2= Z4= 180°-
- Zl.
о в
Рис. 1.126
Рис. 1.127
В
С
а)
б)
Рис. 1.128
В D

Урок 11 Работа над ошибками
53
Рис. 1.129
В D
а)
б)
Рис. 1.131
,, л :i+Zl)-3=180°-Zl + 180°-Zl, Z 1=45°. (Ответ: Zl =
= Z3= Z5°, Z2= Z4= 135е.)
3. См. рис. 1.130.
ZAOB= a , ОС- биссектриса ZAOB, тогда ZAOC= Z COB= a/2.
DO L ОС, ZCOD = 90°, Z DOA = 90° - a /2, Z DOB = 90° + a/2.
(Ответ: Z DOA = 90° - a /2, Z DOB = 90е + а /2.)
4. Z C0Z) - Z KOD = 61°, тогда Z KOD на 6Г меньше Z COD,
Z COD - Z КОС = 53°, тогда Z КОС на 53° меньше Z COD. Пусть
ZJTO/) = Jt,тогда ZJTOC=;t+ 8, ZCOD = x+ 61.
jc + x+8 + x + ;c+61 = 360\jt=97e, Z C0/) = 158°. (Ответ: ZCOD =
= 158е.)
Вариант II
1. Возможны два случая:
а) Рис. 1.131 a. BD= 6,3 см.
б) Рис. 1.1316.5/)= 1,1см.
2. См. рис. 1.132.
(Z1+ Z3)-5= Z2+ Z4. Так как Zl= Z3, Z2= Z4= 180°-
Z 1, тогда (Z 1 + Z 1) • 5 = 180° - Z 1 + 180° - Z 1, Z 1 = 30°. (Ответ:
Zl= Z3 = 30°, Z2= Z4=150°.)
3. См. рис. 1.133.
Z DOA = p , DO 1 ОС, Z COD = 90°, тогда ZAOC = 90° - /3 .
ZAOC= Z COB, тогда Z/10£= 180° - 2/3 . (Ответ: ZAOB= 180° -
-2)3.)
4. Z/405- Z^0C= 27°, тогда Z/10C на 27° меньше ZAOB, ZAOB-
- Z BOC = 42°, тогда Z BOCна 42° меньше ZAOB.
Пусть Z Я0С = x, тогда Z Л0С = x + 15, Z Л0Я = x + 42.
Значит, x + jt+ 15 + jc + x + 42 = 360,jc= 101°, Z^05= 143°. (Ответ:
ZAOB= 143°.)
IV. Дополнительные задания
(Предложить учащимся, полностью справившимся с задачами
контрольной работы.)
Рис. 1.132

54 Глава I Начальные геометрические сведения
А
Рис. 1.134 Рис- 1135
Задача 1
Какой из двух углов больше и на сколько, если известно, что
сумма первого угла с углом, который является смежным со вторым, равна
200°?
Решение (см. рис. 1.134): Z 1 и Z 2 смежные, Z 1 + Z 2 = 180°. Z 3 и
Z 4 смежные. Сравнить Z 1 с Z 3, если Z 1 + Z 4 = 200е.
Z 1 + Z2 = 180°, тогда Z 1 = 180° - Z2. Z 1 + Z4 = 200°, тогда
Z 1 = 200° - Z4. Получили, Z 1 = 180° - Z2 = 200° - Z4. Z4 =
= 20° + Z 2, т.е. Z 4 на 20° больше Z 2, значит Z 3 на 20° меньше Z 1.
{Ответ: первый угол на 20° больше другого.)
Задача 2
Четыре пересекающиеся в одной точке прямые делят плоскость на 8
углов. Три из этих углов равны 52°, 94° и 16°. Чему равны остальные углы?
Чему равны углы между парами прямых?
Решение (см. рис. 1.135): Пусть Z 1 = 52°, Z 2 = 94°, Z 3 = 16°, тогда
Z4= 180°-(Zl + Z2+ Z3)= 18°.
Zl = Z5 = 52°, Z2= Z6 = 94°, Z3= Z2= 16°, Z4= Z8= 18°.
{Ответ: 52°, 94°, 16°, 18°, 18°.)
Задача З
Через вершину угла, равного 2а , проведена прямая,
перпендикулярная его биссектрисе. Какие углы образует эта прямая со сторонами
угла?
Решение (см. рис. 1.136): ZAOB = 2 а , тогда ZAOC= Z СОВ= а .
OD 1 ОС, тогда Z COD = 90°.
ZDOB=90° + a , ZDOA = 90° - а . {Ответ: 90° + а , 90° -а.)
Задача 4
Из точки О на плоскости выходят 4 луча, следующих друг за другом
по часовой стрелке: ОА, ОВ, ОС и OD. Известно, что сумма углов АОВ и
COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов АОС и BOD
перпендикулярны.
Решение: ZAOB+ ZAOB= 180°.
Пусть Z ВОС = /J . Пусть ZAOB = а , тогда Z COD = 180° - а .
Возможны два случая:
а) См. рис. 1.137.
Z ВОС больше Z АОВ, тогда биссектриса ZAOC проходит во
внутренней области Z ВОС. {ОМ — биссектриса ZAOC, ON — биссектриса
Z BOD.)

Урок 11 Рабата над ошибками
Рис 1 137
Рис. 1.138
Z BON = Z DON = - (180° - a + /3) = 90° -
- | +1, тогда Z M0N = Z ЯОЛГ - Z ЯОЛ/ = 90° - f + f -
- ^-у~ , т.е. ОЛ/ 1 <Ж
б) См. рис. 1.138.
ZAOB больше Z /ЮС, тогда биссектриса ОМ утла АОС проходит во
сс-р
внутренней области ZAOBn ZBOM =
ZBON= j
2 '
Тогда ZM0N= Z BON + Z BOM = 90° - f + f-!
то есть 0Л/ 1 ОЖ
Домашнее задание
Решить задачи № 76-79.

ГЛАВА 11
ТРЕУГОЛЬНИКИ
(уроки 12-29)
Треугольник. Признаки равенства треугольников. Перпендикуляр к
прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Равнобедренный треугольник и его свойства. Основные задачи на построение с
помощью циркуля и линейки.
Основная цель — сформировать умение доказывать равенство данных
треугольников, опираясь на изученные признаки; отработать навыки
решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки.
При изучении темы следует основное внимание уделить
формированию у учащихся умения доказывать равенство треугольников, то есть
вьщелять равенство трех соответствующих элементов данных
треугольников и делать ссылки на изученные признаки. На начальном этапе
изучения темы полезно больше внимания уделять использованию средств
наглядности, решению задач по готовым чертежам.
На изучение темы отведено 17 часов + 1 час повторения на анализ
контрольной работы.
Урок 12. Треугольники
Цели урока:
1) повторить понятие треугольника и его элементов;
2) ввести понятие равных треугольников.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Проверка домашнего задания
(Решения задач предложить подготовить заранее трем ученикам.)
Задача № 76
АВ=а;АР= 2PQ = 2QB (рис. 2.1), тогда Р- середина АВ.
а) М -середина QB, тогда AM =AP+PQ+ QM = -а + -а + -а = -а .
Z 4 о о
б) N- середина АР, тогда NM= NP + PQ+ QM= -a + -a + -a = -a.
(Ответ: a) -a ; б) -а.)

Урок 12 Треугольники 57
С К D Р Е М В
Р Q В А С D В
Рис. 2.3
Рис. 2.1 Рис. 2.2
ВМА N СА М N В СА N М С В
а) б) в)
Рис. 2.4
Задача № 77
AB=m;AC=CD + DB(см. рис. 2.2).
. ,, л*~1 шм т\.п ... . m m m 2т
а) /V — середина А С, М — середина DB, тогда NM = — + — + — = — .
6 3 6 3
.... tti itti m 4/я
б) NM =— + — + — = —.
; 10 5 10 5
Л v 2m Am
{Ответ: а) — ; б) — .)
Задача № 78
ЛВ = 36 см; NM = 30 см, где W - середина АС, М - середина BE (см.
рис. 2.3). Тогда AN + MB = 6 см, тогда АС + ВЕ= 2AN + 2MB = 2(AN +
+ MB) = 12 см. Следовательно, CD + DE = 24 см, тогда KD + DP =
= 1/2 CD + 1/2 DE = i/2(CD + DE) = 12 см, где AT- середина CD,
P— середина DE. (Ответ: 12 см.)
Задача № 79
Возможны три случая (рис. 2.4):
а) ВС= ВА + АС= 2МА + 2NA = 2(МА + NA) = 2MN.
б) AM = MB, AN = NC. ВС = AC - AB = 2AN - 2AM = 2(AN -
-AM) = 2MN
b)BC = AB-AC=2AM-2AN=2(AM-AN) = 2MN.
III. Изучение нового материала
При изучении темы необходимо учесть, что учащиеся имеют
представление о треугольниках, его сторонах, углах и вершинах. Поэтому § 14 можно
изучить в ходе выполнения следующих упражнений:
— Начертите Л ABC. Укажите:
а) его стороны, вершины, углы;
б) сторону, противолежащую ZA, Z В, Z С;
в) между какими сторонами заключены Z A, Z В, Z.Q
г) углы, прилежащие стороне АВ, ВС, АС;
д) угол, противолежащий стороне АВ, ВС, АС;
е) периметр А АВС, если АВ = 5 см, ВС = 1 см, АС = 8 см;
ж) формулу для вычисления периметра А АВС.

53 Глава И. Треугольники
- Как выяснить, равны ли А ЛВС и A MNK? (Нужно А ЛВС
наложить на A MNK; если они совместятся полностью, то
ААВС= AMNK.)
- Сравнение треугольников способом наложения - процесс не очень
удобный. Нельзя ли каким-нибудь другим способом проверить,
равны ли данные треугольники? (Нужно проверить, равны ли
соответствующие элементы (стороны и углы) данных треугольников.)
Записать на доске и в тетрадях:
Если A ABC = A MNK, то АВ = M7V, ВС = NK, АС = МК и
£А= ZM, ZJ? = Z7V, ZC= ZK.
IV. Закрепление изученного материала
1. Решить устно задачи №50 и 52 из рабочей тетради.
Задача № 50
а) Запишите все возможные обозначения
данного треугольника.
б) Укажите: сторону, лежащую против угла С;
угол, лежащий против стороны СМ; углы,
прилежащие к стороне ЕС; угол между сторонами
ЕС и ЕМ.
в) Измерьте меньшую сторону данного
треугольника и его больший угол и запишите
результат измерений.
Рис. к задаче 50 (Ответ: а) А СЕМ, А ЕМС. А СМЕ. А ЕСМ.
A MCE. A MEC: б) Против угла С лежит сторона
ЕМ: против стороны СМ лежит угол Е: к стороне ЕС прилежат углы
Си Е: между сторонами ЕС и ЕМ— угол Е; в) ЕМ= 2 см; Z СЕМ=
1201.)
Задана № 52
При наложении треугольника ABC на треугольник МКН сторона
АВ совместилась со стороной МК, сторона АС - со стороной МН.
Совместилась ли сторона ВС со стороной КН? Объясните ответ.
Решение: Так как стороны АВи АС совместились со сторонами
МКи МН то точки В и С совместились соответственно с точками К
и Н. Следовательно, концы отрезков ВС и КН совместились, а
значит, ВС и КН совместились. (Ответ: совместилась.)
2. Выполнить практическое задание № 89 (а, б).
3. Решить задачу № 91 (один ученик решает у доски, остальные
в тетрадях):
Задана № 91
Дано: />АВС = 48 см, АС = 18 см, ВС - АВ = 4,6 см.
Найти: АВ и ВС.
Решение: Пусть АВ = х см, тогда ВС = (х + 4,6) см, так как ВС—
-АВ = 4,6см. РАВС = АВ+ ВС+ АС= 48см, тогдах+ (* + 4,6) + 18 =
= 48, откудах = 12,7 см. Итак, АВ= 12,7 см, ВС= 17,3 см. (Ответ:
АВ= 12,7 см, ВС= 17,3 см.)

Урок 12 Треугольники
59
Наводящие вопросы к задаче № 91.
1) Как вы понимаете условие «разность двух сторон равна 4,6 см»?
2) Известна ли сумма неизвестных сторон треугольника? Можно ли
ее найти?
3) Как найти два числа, если известны их сумма и разность?
4) Решить задачу устно:
ААВС= A MNP, причем ZA= ZM, ZB= ZN, Z C= ZP.
Найдите неизвестные стороны A ABC и A MNP, если известно, что АВ = 7 см,
NP= 5 см, АС = Зсм.
V. Самостоятельное решение задач
(Учитель контролирует работу учащихся, решающих задачи I уровня,
у учащихся, решающих задачи II уровня, в конце урока можно собрать
тетради на проверку.)
I уровень
1. Дано: AB = AC=BC,AD=DC (рис. 2.5).
ЛвС = 36 СМ> ^ADC = 40 СМ'
Найти: стороны A ABC, A ADC.
Решение: Р^с = 36 см, тогда АВ = АС = ВС =
= 12 см. PADC = AD + DC + AC =40 см. Так как
АС = 12 см, AD = DC, то AD = 14 см,
DC= 14см. (Ответ: АВ = АС'= ВС'= \2 см, AD =
= DC= 14 см.)
2. а) Дано: A ABD = A CDB, Z FAB = 160°
(рис. 2.6).
Найти: Z BCD.
Решение: Z BAD = 180° - Z FAB = 20°.
A ABD = A CDB, тогда Z BAD = Z BCD = 20°.
(Ответ: ZBCD= 20°.)
6) Дано: AJBD= A CDB, ZBCD: ZFAB =
= 1:5.
Найти: Z BAD.
Решение: A ABD = A CZ)£, тогда Z BAD =
Z BCD. Z BCD: Z FAB = 1: 5, значит, Z BAD:
: Z FAB = 1 : 5, а так как эти углы смежные, то
Z BAD + ZFAB= 180°, откуда Z BAD = 30°.
(Ответ: ZBAD= 30°.)
II уровень
1. В треугольнике ABC АВ = ВС, АС=$ см,
Е е ВС, причем ВЕ= ЕС. Точка £ делит
периметр А АВС на две части, из которых одна
больше другой на 2 см. Найдите АВ.
Решение (см. рис. 2.7): РА
ВЕ + АЕ =
= АВ+ Х/2АВ+АЕ, РАЕС=АЕ+ ЕС + АС=АЕ +
+ 1/2ЛЯ+8.
Puc2J

60
Глава II Треугольники
Возможны следующие случаи:
1)
РАЪЕ больше
РАЕС на 2 см, тогда АВ + 1/2 АВ + АЕ
Г = 10 см;
АЕ +
2) РАЕС больше РАВЕ на 2 см, тогда АВ + 1/2 АЯ
1/2АД+8, откуда ЛД= 6 см.
(Ответ: 10 см или 6 см.)
2. Дшю: А ЛЯ/) = A CBD, AD = DC, Z ABC= 110°,
Z BAD = 90° (рис. 2.8).
Найти: ZABD.
Доказать: ВС 1 CD.
Решение: A ABD = A CBD, AD = DC, тогда
ZABD= Z CBD,атаккак ZABC= 110°,то Z>4BZ)=
= 55°. (Ответ: ZABD= 55°.)
Доказательство: Z BAD = 90°, а так как А Л2?/) =
= A CBD, то и Z BCD = 90°, то есть ВС 1 CZ).
Рис к задаче 51
Домашнее задание
1. § 14, вопросы 1, 2.
2. Решить задачи № 90, 92.
3. Выполнить практическое задание: I уровень — задачи №51, 53 из
рабочей тетради; II уровень — задачи №83, 87 из учебника.
Задана № 51
а) С помощью масштабной линейки
закончите построение треугольника ABC, если АВ =
= 5 см, ЛС=4см.
б) Измерьте градусные меры углов В и С
построенного треугольника ABC и запишите
результат измерения.
в) Измерьте сторону ВС и найдите периметр
треугольника ABC.
(Ответ: б) ZB= 52\ Z С=90°: в) ВС= Зсм и
^авс = 12 см.)
ЗлАгсл JVCo 5J
На рисунке изображены равные треугольники ABC и РОТ.
а) Укажите соответственно равные эле-
В , _! Я менты этих треугольников.
б) Измерьте сотроны и углы
треугольника ABC и запишите результат
измерений.
в) Не измеряя, найдите длины сторон и
градусные меры углов треугольника
РОТ.
с о (Ответ: а) АС = РТ, СВ = ТО, АВ =
Рис. к задаче 53

Урок 13 Первый признак равенства треугольников 61
6)АВ = 35 мм. АС= 13 мм. ВС = 26 мм. ZA = 3T, ZB=\Sli ZC= 125°:
в) ТР= 13 мм. ТО= 26 мм. Р0 = 35 мм. А£=УГ, Z0=18°. У Г= 125°.
4. Дополнительная задана:
Треугольник А#С равен треугольнику Л,Я, С,. Периметр (Т7)
треугольника АвСравен 39 см. Сторона АХВХ треугольника АХВХ С, в 1,5 раза
меньше стороны BXCV а АХСХ на 3 см меньше стороны АХВХ. Найдите большую
сторону треугольника ABC.
Урок 13. Первый признак равенства треугольников
Цели урока:
1) ввести понятие теоремы и доказательства теоремы;
2) доказать первый признак равенства треугольников;
3) научить решать задачи на применение первого признака равенства
треугольников.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Теоретический опрос по вопросам 1, 2.
2. Выполнить практические задания (устно):
— Назовите углы: а) треугольника DEK, прилежащие к стороне ЕК\
б) треугольника MNP, прилежащие к стороне MN.
- Назовите угол: а) треугольника DEK, заключенный между
сторонами DE и DK\ б) треугольника MNP, заключенный между
сторонами NP и РМ.
- Между какими сторонами: а) треугольника DEK заключен угол К\
б) треугольника MNP заключен угол ЛГ?
— A ABC = A PSK. Назовите равные стороны и равные углы в этих
треугольниках.
3. Проверка решения дополнительной домашней задачи.
(Решение задачи попросить подготовить на доске одного из учащихся
до начала теоретического опроса.)
Решение: РАВС=39 см, ААВС= AAXBXCV ioyj&AB^ AXBV BC= BXCV
АС =АХСХ. Пусть АхВх=хсм, тогда ВхС, = 1,5дссм, АхСх = (х- 3) см.
Таккак ААВС= AAXBXCVтоРАВС= PAAq =jc + 1,5x + x-3 =
39,откуда х = 12 см, АХВХ = 12 см, Вх С, = 12 • 1,5 = 18 см, Ах С, = 9 см. Так как
ААВС= ААхВхСх,аъ А Ах Вх С, большая сторона равна 18 см, то и в А АВС
большая сторона равна 18 см. (Ответ: 18 см.)
III. Решение задач
I уровень
Устное решение задач по готовым чертежам:
(Рисунки и условия задач подготовлены учителем на доске заранее.)

62
Глава II Треугольники
Рис. 2.10
Рис. 2 И
1. Рис. 2.9.
Дано: А АРС= A MFB, ZP= ZM,FB = 17см, ZA = Z F, PC= 23см.
Найти: AC, MB.
2. Рис. 2.10.
Дано: AABC= A ADC, ZABC=70°,AB= 10 см.
Найти: Z MDC, AD.
3. Рис. 2.11.
= 36 м, PADC = 40 см.
Дано: АВ= ВС = AC, AD = CD, ^
Найти: стороны A ABC, A ADC.
II уровень
(Условия задач каждый ученик получает в распечатанном виде,
работу учащиеся выполняют на листочках и сдают на проверку учителю до
начала изучения нового материала.)
Решить самостоятельно:
1. Дано: в A ABC AB = АС. Внутри треугольника
выбрана точка О так, что ZAOB = ZAOC,
ZAOB= 120°.
Доказать: АО - биссектриса Z ВАС.
Найти: ZBOC.
Доказательство (см. рис. 2.12): Если наложить
А ВАО на А С АО, то Z BOA совместится с углом
АОС, АО — общая сторона, АВ совместится с АС,
и А ВА О совместится с А С АО, значит, ZBAO=
Z С АО, то есть АО — биссектриса Z ВАС.
Решение: ZВОС = 360° - (ZAOB + ZAOQ =
= 120°. (Ответ: ZBOC= 120°.)
2. Рис. 2.13.
Дано: A ABC = A CDA, АВ = CD = 20 см, ВО =
= DO = 5 см, Рдвс = 50 см, АО больше АС на 5 см.
Найти: РА0С.
Решение: Так как A ABC = A CDA, то АВ = CD,
BC = AD, АС = АС. Так как ВС= ADn BO= OD,
то АО = ОС. АО больше АС на 5 см.
Рис. 2.12
Рис. 2.13

Урок 13. Первый признак равенства треугольников 63
Тогда АО = АС+5 см.
Рж = АВ+ВС + АС=АВ+ ВО+ ОС+АС= 20 + 5 + АС+ 5 + ЛС= 50.
ТогдаЛС= 10см, АО= 15см, ОС= 15 см, РА0С = 40см. (Ответ: Р^ =
= 40 см.)
IV. Изучение нового материала
(Проводится в форме беседы учителя с учащимися, теорему лучше
доказать самому учителю.)
- Какие условия должны выполняться для того, чтобы А АВС был
равен А Л, Я, С,? (АВ = AXBV АС = Л, С,, ВС = BXCV ZA= ZAV
ZB = ZBV ZC= ZCX.)
- Нельзя ли уменьшить количество условий для доказательства
равенства двух треугольников?
Оказывается, не нужно проверять равенство всех сторон и углов
одного треугольника сторонам и углам другого треугольника. Достаточно
сравнить лишь три элемента одного треугольника с тремя элементами
другого. О том, какие именно элементы нужно сравнивать, нам
расскажут признаки равенства треугольников.
Сегодня мы изучим первый признак равенства треугольников,
который гласит:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно
равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Это утверждение нам необходимо доказать, а в математике каждое
утверждение, справедливость которого устанавливается путем
рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются
доказательством теоремы.
- Какие теоремы нам уже известны? (Свойство смежных углов и
свойство вертикальных углов.)
- Любая теорема состоит из условия и заключения. Как вы
понимаете, что может означать словосочетание «условие теоремы», а что —
«заключение теоремы»? (Условие — это уже известные факты, о
которых говорится в теореме, а заключение — это то, что нужно
получить, доказать.)
- Выделите условие теоремы первого признака равенства
треугольников. Выделите заключение.
Итак, докажем первый признак равенства треугольников:
Дано (условие): A ABC, А АХВХСГ АВ = АХВХ, АС = АХСХ, ZA= ZAX.
Доказать (заключение): А АВС = А АХВХ С,.
Доказательство: см. п. 15 учебника.
Первый признак равенства треугольников удобнее называть
признаком равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.
V. Закрепление изученного материала
1. Решить задачу №54 из рабочей тетради устно.
2. Устно решить задачи по готовым чертежам:

64
Глава II. Треугольники
Рис. 2.14
Рис. 2.15
Рис. к задаче 93
а) Рис. 2.14.
Доказать: A MEF= A DEC.
б) Рис. 2.15.
Доказать: ZB= ZD.
3. Письменно решить задачу № 93.
Задача №93
(Один из учащихся работает у доски,
остальные в тетрадях.)
а) В ААВСи AEBD:
\)АВ= BE (В- середина АЕ)\
2) СВ= BD(B- середина CD);
3) Z\ = Z2 (вертикальные) => ААВС =
= A EBD по двум сторонам и углу между ними,
б) Так как ААВС= A EBD по доказанному, то ZA = ZE= 42°, ZC =
= ZD = 47°. (Ответ: ZA = 42е, ZC= 47°.)
Наводящие вопросы к задаче № 93.
а) 1) Перечислите все известные вам способы доказательства
равенства двух треугольников.
2) Какой из этих способов подойдет для доказательства равенства
данных треугольников?
3) Сколько пар равных элементов и каких нужно найти для
доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу
между ними?
4) Укажите две пары равных сторон треугольников ABC и EBD.
5) Какие углы должны быть равны, чтобы треугольники ABC и EBD
были равны? Равны ли они? Почему?
б) 1) Мы доказали, что треугольник ABC равен треугольнику EBD.
О чем это говорит?
2) Назовите углы треугольника ABC соответственно равные углам
Е и D треугольника EBD. Чему равны их градусные меры.
4. Самостоятельно решить задачи:
Iуровень (под постоянным контролем учителя)
Решить задачу №55 из рабочей тетради.
1. Рис. 2.16.
Дано: ААХ = CCV ВС= BXCV ВС ± AC, BXCA _L АХСХ.
Доказать: ААВС= ААХВХСХ.

Урок 14 Решение задач
65
2. Рис. 2.17.
Дано:АВ=ВС, Z\= Z2.
Доказать: ZADB = Z CDB, DB -
биссектриса ZADC.
II уровень (с проверкой учителя
по окончании работы) В
1. Рис. 2.18.
Дано: ZBDC= ZВЕЛ, AD = ЕС, BD =
= ВЕ, ZBCE= 64°.
Доказать: A ABD = А СВЕ.
Найти: Z BAD.
2. Рис. 2.19.
Дано:АВ = АВ,АС=АЕ, ZBAD= ZCAE.
Найти: равны ли ВС и DE, Z МСА и
ZKEA1
A D ЕС
Рис 2.18
Рис. 2.19
Домашнее задание —
1. § 15, вопросы 3,4.
2. Решить задачи № 94, 95, 96.
3. Дополнительная задача:
Рис. 2.20.
Дано: Z 1 = Z 2, KF= ЕР, Н- середина КЕ.
Доказать: A KFH= A EPH
Н Е
Рис. 2.20
Урок 14. Решение задач на применение первого признака
равенства треугольников
Цели урока:
1) совершенствование навыков решения задач на применение
первого признака равенства треугольников;
2) закрепление умения доказывать теоремы.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

Глава II. Треугольники
П. Проверка домашнего задания. Повторение
1) Проверить решение домашних задач № 95, 96 и дополнительной
задачи. (Решения задач попросить оформить на доске трех учащихся до
начала урока.)
Задана №95
а) В ААВСи A CDABC=AD (по условию), АС- общая сторона, Z 1 =
= Z 2 (по условию) => A ABC = A CDA по двум сторонам и углу
между ними.
б) Так как ААВС= А CDA.to AB= CD= 14 см, BC=AD= 17 см.
(Ответ: АВ= 14 см; ВС= 17 см.)
Задача № 96
а)В ААОВи A DOCBO= ОС, ОА= OD(поусловию), ZAOB= ZDOC
(они вертикальные) => А АОВ = А /)0С по двум сторонам и углу
между ними.
б)Таккак ААОВ= A DOC, то Z0C/) = Z 1 = 74°.
Z^CZ)= ZACO+ ZOCD= 36е + 74° = 110°.
(Ответ: Zy4C7)= 110°.)
Решение дополнительной задачи:
В А ЯРЯ и A EPHKF= ЕР (по условию задачи), КН= ЕН(Н-
середина КЕ), Z FKH= Z PEH(Z I = Z 2 по условию => смежные с ними
углы равны) => A KFH= A EPH.
2) Решить устно задачи на готовых чертежах и тестовое задание:
1. Дано: А МРС= A DAB, МР= 12 см, СР = 8 см, ZA = 73°. Какое из
следующих высказываний верно?
а) DB = 8 см, АВ = 12 см;
б) ZA/=73°,v4£=8cm;
в) AD = 12 см, ZP=73°;
т)АВ= 12 см, ZP= 73е.
2. Рис. 2.21.
Дано: Z 1 = Z2,AD = AB, ZACB = 58°,
ZABC= 102°, Z)C= 8 см.
Ядй/ww: ZADC, ZACD, ВС
3. Рис. 2.22.
Дано: ВС= AD, Z 1 = Z 2, ZACD = 42°, Z Л/)С = 108°, CZ) = 6 см.
Ядштш: AS, Z CAB, ZABC.
3)Решить задачу № 58 из рабочей тетради.
Рис. 2.21 Рис 2 22

Урок 14 Решение задач
67
Рис. к задаче 56
А 'D
Рис к задаче 57
Рис, к задаче 58
Задача № 56
На рисунке к задаче точка О — середина отрезка АВ, АТ= ВР, ZOAT =
= Z ОВР. Докажите, что точка О — середина отрезка РТ.
Доказательство:
1) АО = ОВ, так как точка О - середина отрезка АВ.
2) ААОТ= A BQP, так как АО = QB, AT = Ж ZAOT = ZQBP(no
двум сторонам и углу между ними). Поэтому ОТ = ОР, т.е. точка О —
середина отрезка РТ.
Задана № 57
На рисунке Z CAD = Z ACB, AD = ВС. Докажите, что АВ = CD.
Доказательство:
1) АС - общая сторона треугольников ABC и CDA.
2) A CAD = А АСВ по двум сторонам и углу между ними (АС - общая
сторона, AD = BQ и A CAD = Z А£В по условию). Поэтому AB=CD.
Задача № 58
Дано:АВ= СВ, ZABH= Z СВН (см. рисунок).
Доказать: АН = НС.
Доказательство: ААВН= А СВН по двум сторонам и углу между ними
(ВН- обшая сторона. АВ= СВ. ZABH= Z СД/fl. Поэтому АН = СЯ.
На рисунке к задаче 58 Z >40#= Z СВН, АВ = СЯ.
Докажите, что Z АЯЯ = 90°.
Доказательство:
1) ААВН= А СВН по двум сторонам и углу между ними (ВН- обшая
сторона, А# = СВ и ZABH= Z СВН по условию).
2) Так как А ЛД#= А СЖ то Z ЛЯ#= Z СШ- Но углы АНВ и СЯЯ-
смежные, поэтому Z ЛЯЯ + Z СЯЯ = 180!, т.е. 2 Z ЛЯЯ = ШГ,
следовательно, ZAHB = W_.
4. Решить письменно задачу с полным оформлением решения на
доске и в тетрадях учащихся:
Дано: ZABE= Z ECD, ВЕ= СЕ, ВК= 1С, Z ВКЕ= 110° (рис. 2.23).
Доказать: А ВЕК= A ELC
Найти: ZELC
Возможное оформление решения задачи:
Дано: ZABE= Z ECD, ВЕ= СЕ, ВК= 1С, ZBKE= 110° (рис. 2.24).

68
Глава II. Треугольники
Доказать: АВЕК= AELC.
Найти: ZELC.
Доказательство: ZABEn Z КВЕ- смежные, ZABE+ ZKBE= 180е,
значит Z КВЕ = 180° - Z ABE. Z DCE и Z LCE - смежные, Z ВСЕ +
+ Z LCE= 180°, значит Z LCE= 180е - Z DCE.
По условию задачи ZABE- Z DCE, по доказанному ZKBE= 180° -
- ZABE, ZLCE= 180е- Z DCE, следовательно, ZKBE= ZLCE.
В А ВЕКи A CEL:
1) ВК= LC по условию задачи;
2) 2J£= С£по условию задачи;
3) Z KBE= Z LCEпо доказанному, следовательно, А ВЕК— A CEL
по двум сторонам и углу между ними.
Решение. Так как А ВЕК— A CEL по доказанному, то ZELC= Z ВКЕ=
= 110°. (Ответ: ZELC= 110°.)
Наводящие вопросы к задаче:
1) Назовите равные элементы треугольников ВЕКи ELC.
2) Почему Z EBK= Z ECU
3) Чему равен Z ЕЮ.
III. Самостоятельная работа
В конце урока тетради учащиеся сдают на проверку учителю.
I уровень
Вариант I
1. Рис. 2.25.
Дано: Z\= Z2,AB=BC.
Доказать: A ABD = A CBD.
2. Равные отрезки АВ и CD точкой пересечения
О делятся пополам. Докажите, что ААОС =
= A BOD, и найдите АС, если BD = 12 см.
Вариант II
1. Рис. 2.26.
Дано: АО = СО, ВО = DO.
Доказать: ААОВ= A COD.
2. Равные отрезки MN и LP точкой пересечения О делятся пополам.
Докажите, что A MOL = A NOP и найдите NP, если ML = 14 см.
Рис 2 26

Урок 14. Решение задач
69
Рис. 2.27
D А
Рис. 2.28
Рис. 2.29
II уровень
Вариант I
1. Рис. 2.27.
Дано: АВ = CD, Z 1 = Z 2, Е - середина AC, BE = 10 см.
Найти: DE.
2. Известно, что ААВС = AАХВХСХ, причем /.А= ZAX, ZB= ZBX.
На сторонах АС и Ах С, отмечены точки D и /), так, что С/) = С,Д.
Докажите, что A CBD= А СД/),.
Вариант II
1. Рис. 2.28.
Ддио: Z 1 = Z 2, АВ = CD, E - середина
AC, DE= 9 см.
В
Найти: BE.
2. Известно, что А МКР =
А МХКХРХ,
причем Z Л/= Z M,, Z tf= Z Ку На сторонах М/* А
и Л/,/1, отмечены точки Е и Ех так, что ME =
= MXEV Докажите, что А МЕК= А МХЕХКХ.
III уровень
Вариант I
1. Рис. 2.29.
Дано: АВЕС= A DFA.
Доказать:
1) АЛЯС= ACDA;
2) А Л£Я = A CFD.
2. Рис. 2.30.
Сколько пар равных треугольников на
рисунке? Запишите все пары.
Вариант II
1. Рис. 2.31.
Дано: А АЕВ = A CFD.
Доказать:
1) ААВС= ACDA\
2) АВЕС= ADFA.
2. Рис. 2.32.
Рис. 2.30
Рис 2.31
Рис. 2.32

7Q Глава II. Треугольники
Сколько пар равных треугольников на рисунке? Запишите все пары.
Домашнее задание
1. Решить задачи: I уровень - № 56, 57, 59 из рабочей тетради; II
уровень - № 97, 98, 99 из учебника.
2. Дополнительная задача:
В треугольниках ЛВС и АХВХС, АС = AXCV АВ = АХВХ и ZA = ZAV
De ВС, DC =2 BD, Dx e BXCV DXCX = 2 BXDX. Докажите, что AD = AXDX.
Урок 15. Медианы, биссектрисы
и высоты треугольника
Цели урока:
1) ввести понятие перпендикуляра к прямой, медианы, биссектрисы
и высоты треугольника;
2) доказать теорему о перпендикуляре;
3) научить строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Проверка домашнего задания. Повторение
Проверяются домашние задачи № 98, 99.
(Решение задач попросить оформить на доске двух учеников.)
Задача № 98
Решение (см. рис. 2.33): В ААВСи AAxBxC,:AB = AxBx,AC=AxCr ZA =
= ZAV тогда A ABC = А АХВХ С, по двум сторонам и углу между ними.
Так как АР = АХРХ и АВ = АХВХ, то РВ = РХВХ.
Так как А АВС = А АХВХС,, то ВС = BxCr Z B= ZBX. Тогда А ВРС =
= А ВХРХСХ по двум сторонам и углу между ними.
Задача № 99
Решение (см. рис. 2.34): АС = AD, АВ = АЕ, тогда A ABD = А АЕС по
двум сторонам и углу между ними (Z А — общий).
Таккак A ABD= ААЕС,то ZABD= ZAEC. Z CBDn ZABD-смеж-
ные, тогда Z CBD = 180° - ZABD.

Урок 15. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
71
Рис. 236
Z АЕС и Z DEC - смежные, тогда Z DEC = 180° - Z ЛЕС.
Таккак ZABD= ZAEC,to ZCBD = ZDEC.
Анализ самостоятельной работы
а) Сделать общий анализ самостоятельной работы и разобрать устно
задачи, с которыми учащиеся не справились.
б) Работа над ошибками.
Пока идет работа над ошибками, индивидуально проверить
дополнительную домашнюю задачу:
Решение (см. рис. 2.35): A ABC = ААХВХСХ по двум сторонам и углу
между ними (АВ = АХВХ, AC = AXCV ZA= ZAX), тогда ВС= ВХСХ.
Так как DC = 2 BD, DXCX = 2 BXDX и ВС= BXCV то BD=BXDX.
Так как АВ = AXBV BD = BXDV ZB= ZBx из равенства ААВС и
A AXBXCV то AABD= AAXBXDX, тоща AD = AxDr
III. Изучение нового материала
1. Практическое задание (учитель это же задание выполняет на доске):
- Начертите прямую а и отметьте точку А, не лежащую на прямой
(рис. 2.36).
- Через точку А проведите прямую, перпендикулярную прямой а.
Точку пересечения прямых обозначьте Я.
- Запишите в тетрадях:
Отрезок АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а, если:
1)АН 1 а; 2)А£ а, Н е а.
Теорема о перпендикуляре:
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой
прямой и притом только один.
Дано: а - прямая, точка А £ а.
Доказать:
1) из точки А к прямой а можно провести
перпендикуляр;
2) из точки А к прямой а можно провести
единственный перпендикуляр.
Доказательство: см. п. 16 учебника.
2. Определение: отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противолежащей стороны,
называется медианой треугольника.
На доске и в тетрадях рисунок (рис. 2.37) и запись:
Рис.2 37

72
Глава II Треугольники
Рис. 2 39
AM - медиана А АВС, если ВМ = МС, где М е ВС.
— Начертите A MNKn постройте его медианы.
(На доске это же задание выполняет один из учащихся по указанию
учителя.)
На доске и в тетрадях рисунок (рис. 2.38) и запись:
MB, KA, NC-медианы AMNK. MB n KA n NC = О.
3. Определение: отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны,
называется биссектрисой треугольника.
На доске и в тетрадях рисунок (рис. 2.39) и запись:
BL - биссектриса А АВС, если ZABL = Z CBL, где L е АС.
— Начертите A DEFn постройте его биссектрисы.
(На доске это же задание выполняет один из учащихся по указанию
учителя.)
На доске и в тетрадях рисунок (рис. 2.40) и запись:
DNy EK, FM - биссектрисы A DEF. DN п ЕК п
пЕМ= О.
4. Определение: перпендикуляр, проведенный из
вершины треугольника к прямой, содержащей
противоположную сторону, называется высотой
треугольника.
На доске и в тетрадях рисунок (рис. 2.41) и запись:
ВН - высота А АВС, если ВН 1 АС, Н е АС.
— Начертите остроугольный, прямоугольный и
тупоугольный треугольники и постройте их высоты.
Н
Рис 2.41
б) в
С С
Н3 (Н.Н.О)
Рис 2.42

Урок 15 Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
73
(К доске вызвать трех учеников, первый из них строит высоты для
остроугольного треугольника, второй для прямоугольного, третий —
тупоугольного.)
На доске и в тетрадях рисунок (рис. 2.42 см. на стр. 72) и запись:
АН19 ВН» СН3 - высоты A ABC. АН, п
ВН2 п
СН3 = О.
Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике находится
внутри треугольника, в прямоугольном треугольнике совпадает с
вершиной прямого угла, в тупоугольном треугольнике находится за пределами
треугольника.
IV. Закрепление изученного материала
1. Решить устно задачи № 60 (а) и № 63 из рабочей тетради.
2. Решить задачи № 105 (б), 106 (б) письменно у доски и в тетрадях
учащихся.
Задача № 105 (б)
Дано: AB±a,CD±a,AB=CD,Z ADB = 44°.
Найти: А АВС.
Решение'. A ABC = A CDB по двум сторонам и углу между ними (АВ =
= CD, BD - общая сторона, ZABD = Z CDB) => ZADB =
= ZCBD = 44°.
ZABC= ZABD- ZCBD = %°- 44° = 46°. (Ответ: ZABC = 46°.)
Наводящие вопросы:
1) Частью какого угла является угол АВС!
2) Знаете ли вы градусные меры углов ABD и CBU!
3) Что вы можете сказать о треугольниках АВСи CDR!
4) Чему равна градусная мера угла АВС!
Задача № 106 (б)
Дано: A ABC; AD - медиана; AD = DE\
ZACD = 56°; ZABD = 40°; А9 Д £ лежат на
одной прямой.
Найти: ZACE.
Решение: A ABD = A ECD по двум
сторонам и углу между ними (AD = DC, так как AD—
медиана, AD= DE, Z ADB = Z EDC как
вертикальные) => Z DCE = ZABD = 40° =>
ZACE= ZACD+ ZDCE= 56° + 40° = 96°.
(Ответ: ZACE = 96°.)
Наводящие вопросы:
1) Суммой каких двух углов является угол
АСЕ?
2) Известны ли градусные меры углов ACD
kDCE?
3) Что вы можете сказать о
треугольниках ABD и ECDR
4) Чему равна градусная мера угла АСЕ!
3. Самостоятельное решение тестовых
заданий с последующей самопроверкой:
Рис. к задаче 105 (б)
Рис. к задаче 106 (б)

74
Глава II Треугольники
М
Рис. к задаче 61
Рис. 2.43
Рис. 2.44
1) Рис. 2.43.
Дано: АО - медиана А ЛВС, АО = ОК,АВ = 6,3 см, ВС = 6,5 см, АС =
= 6,7 см.
Найти: СК.
а) 6,4 см; б) 6,7 см;
в) 6,5 см; г) 6,3 см.
2) Рис. 2.44.
Дано: ОНи ON- высоты А МОКи A EOF, OH= ON, EN= 7,8 см, 0Е=
= 8,6 см, НМ= 6,3 см.
Найти: МК.
а) 13,9 см; б) 14,1см;
в) 14,9 см; г) 16,4 см.
3) В треугольниках ABC и КРМпроведены биссектрисы ВОиРЕ,
причем А АВО = А КРЕ. Найдите отрезок ЕМ, если АС = 9 см, а ЕМ больше
А£наЗ,8см.
а) 6,4 см; б) 5,4 см;
в) 2,6 см; г) 4,8 см.
Ответы к тесту: 1 г); 2 б); 3 а).
Домашнее задание
1. § 16, 17, вопросы 5-9.
2. Решить задачи: I уровень - № 61, 62, 64, 65 из рабочей тетради;
II уровень - №65 из рабочей тетради, № 105 (а), 106 (а), 100 из учебника.
Задана № 61
Через точку О, не лежащую на прямой ВС, проведены прямые ОМ,
ОКи ОА, пересекающие прямую ВС. Какой из отрезков ОМ, OK, OA
является перпендикуляром, проведенным из точки О к прямой ВС, если:
а) ОМ1 ВС и Me ВС;
6)КеВСи ZBKO* 90°;
в) ОА±ВСиАеВС>
Сделайте чертеж.
Решение:
а) По условию 0ML ВС и Мё ВС, поэтому отрезок ОМ не является
перпендикуляром, проведенным из точки О к прямой BQ.
б) Ке ВС и Z ВКО* 20!, следовательно, отрезок ОК не является
перпендикуляром, проведенным из точки О к прямой ВС

Урок 15 Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
75
Е К В
Рис к задаче 64
Рис к задаче 65
Рис. к задаче 62
в) ОА _L ВС и Ае BQ, поэтому отрезок ОА является перпендикуляром.
проведенным из точки О к прямой ВС.
{Ответ: Отрезок ОА.)
Задана № 62
Даны: прямая а и три точки В, С, Я, такие, что В£ д, С£ а Не а, ВС± а.
Сделайте чертеж и докажите, что Z ВНСф 90°.
Доказательство:
1) По условию Вё а, ВС La, Сё я, поэтому отрезок ВС-
перпендикуляр, проведенный из точки В к прямой а.
2) Из точки Д не лежащей на прямой ау можно провести к этой
прямой только один перпендикуляр, следовательно, Z ВНСф 201.
Задача № 64
ЕА — медиана А ВСЕ; СК— биссектриса А ВСЕ; ВЫ— высота А ВСЕ.
На рисунке с помощью чертежных инструментов проведите:
а) медиану треугольника ВСЕ из вершины Е;
б) биссектрису треугольника из вершины С;
в) высоту треугольника из вершины В.
Задача № 65
На стороне КС треугольника ВКС отмечена точка Л/так, что Z ВМК=
= Z ВМС. Сделайте чертеж. Докажите, что отрезок ВЫ — высота
треугольника ВКС
Доказательство: По условию Z ВМК = Z ВМС. Но эти углы
смежные, следовательно, Z BMK= ZBMC= 90°. Поэтому отрезок ВМ —
перпендикуляр, проведенный из вершины В треугольника ВКС к прямой,
содержащей противоположную сторону
треугольника, т.е. отрезок ВМ- высота треугольника ВКС.
3. Дополнительная задача (рис. 2.45):
Дано: Z ADB = Z CDB, AD = DC
Доказать: ZBAC= Z BCA, BD 1 АС.
Доказательство: A ADB = A CDB по двум
сторонам и углу между ними (AD = DC по условию задачи,
BD - общая сторона, Z ADB = Z CDB по условию).
Тогда АВ= СВ, ZABD= Z CBD.
Продолжим BD до пересечения со стороной AC n
и обозначим точку пересечения BD и АС точкой К, рис. 2.45

76
Глава II. Треугольники
тогда А АВК = А СВК по двум сторонам и углу между ними (АВ = СВ,
ZABD = Z CBD по доказанному, ВК— общая сторона), следовательно,
Z ВАС = Z ЯС4, ZAKB = Z С£#. Углы АКВ и САЗ - смежные, и их
сумма равна 180е, а так как ZAKB = Z САЛ, то Z АО = 90°, Z С£# =
= 90е, то есть ВК 1 АС или BD 1 АС.
Урок 16. Свойства равнобедренного треугольника
Цели урока:
1) ввести понятия равнобедренного треугольника, равностороннего
треугольника;
2) рассмотреть свойства равнобедренного треугольника и показать их
применение на практике.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Проверка домашнего задания. Повторение
1. Теоретический опрос по вопросам 5-9.
2. Проверить решение дополнительной домашней задачи.
(Попросить оформить решение задачи на доске одного из учащихся
перед теоретическим опросом.)
3. Решение задач по готовым чертежам:
(Рисунки к задачам необходимо учителю подготовить на доске или на
листах A3 до начала урока.)
а) Рис. 2.46.
Дано: BE - медиана А АВС, АЕ = 5 см, ВС = 7 см, AC _L BF.
Найти: РАВС.
б) Рис. 2.47.
Дано: BD - высота и медиана A ABC, Z BCD = 40°30'.
Найти: Z BAD.
4. Практическое задание (самостоятельно с последующим
обсуждением).
— Начертите отрезок, являющийся общей высотой для всех
треугольников, изображенных на рисунке (рис. 2.48).
Рисунок 2.48 подготовить на доске, можно несколько. При
обсуждении учащиеся выходят к доске и чертят предполагаемый отрезок. Далее
Рис. 2.46

Урок 16. Свойства равнобедренного треугольника
77
Рис. 2.49
по нескольким чертежам учащимся предлагается выбрать наиболее
верное решение задачи.
III. Изучение нового материала
1. Определение: треугольник, две стороны которого равны,
называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, а
третья сторона — основанием равнобедренного
треугольника.
На доске и в тетрадях учащихся — рисунок (рис.
2.49) и запись:
А ЛВС - равнобедренный, так как АВ = ВС;
АВ, ВС — боковые стороны равнобедренного А ЛВС;
АВ - основание равнобедренного ААВС; ZA, ZC-
углы при основании равнобедренного A ABC; Z.B —
угол при вершине равнобедренного А АВС.
Определение: треугольник, все стороны
которого равны, называется равносторонним.
2. Докажем свойство углов при основании
равнобедренного треугольника.
Теорема:
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Дано: А АВ С, АВ = ВС.
Доказать: ZA= Z.C.
Доказательство (см. рис. 2.50): Проведем
биссектрису из вершины В к основанию АС.
(Далее можно предложить учащимся продолжить доказательство
самостоятельно, заслушать варианты доказательств, обсудить и записать в
кратком виде ход доказательства.)
3. Свойство биссектрисы, проведенной к основанию
равнобедренного треугольника, можно предложить учащимся получить
самостоятельно, поставив перед ними проблему: «Как известно, биссектриса
треугольника делит его угол пополам. Но в равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию, обладает еще одним очень важным
свойством. В чем заключается это свойство?»
Работа проводится в группах по 3-4 человека с последующим
обсуждением этого свойства с доказательством. При обсуждении важно
затронуть вопросы:
— Каждая ли биссектриса равнобедренного треугольника является его
высотой и медианой?
- Является ли высота равнобедренного треугольника его
биссектрисой и медианой? Если да, то какая из трех?
IV. Самостоятельная работа творческого характера
Вариант I
Исследуйте медианы равнобедренного треугольника и перечислите все
их особенности и свойства.

78
Глава II Треугольники
Вариант II
Исследуйте высоты равнобедренного треугольника и перечислите все
их особенности и свойства.
Далее идет обсуждение свойств медианы и высоты равнобедренного
треугольника.
V. Закрепление изученного материала
1. Решить устно задачи № 66, 67 из рабочей тетради.
2. Решение задач № 109 и 113 у доски и в тетрадях учащихся:
Задана № 109
Рис. 2.51.
Решение: A ABC- равнобедренный с основанием ВС, значит, АВ = АС.
AM- медиана, тогда ВМ= МС.
РАВС = АВ + АС+ ВС=2АВ+ (ВМ+ MQ = 2АВ+2 ВМ= 2(АЯ+ ВМ) =
= 32 см, тогда АВ + ВМ= 16 см.
РАВМ = АВ+ ВМ+АМ= 16 см + АМ= 24 см, тогда АМ= 8 см. (Ответ:
АМ = 8 см.)
Наводящие вопросы:
1) Что называют периметром треугольника?
2) Чему равен полупериметр треугольника ABC?
3) Можно ли вычислить длину стороны AM треугольника АВМ, если
его периметр равен 24 см, а полупериметр треугольника ABC 16 см?
Задача № 113
Рис. 2.52.
а) A M0N = A POQ по двум сторонам и углу между ними (MN = PQ
по условию задачи, NO = QO, так как О — середина NQ, Z MN0 =
= Z PQO = 90°, так как MN _L />, PQ _L b), тогда МО = РО.
А МОР - равнобедренный с основанием МР, так как МО = РО, тогда
Z OMP= Z ОРМ как углы при основании равнобедренного треугольника.
б) ZN0M+ ZMOP+ ZPOQ= 180°, Z МОР = 105°, тогда
Z N0M + Z POQ = 180° - 105° = 75°. Z N0M = Z POQ из равенства
треугольников M0N и POQ, тогда Z N0M = 37°30'. (Ответ: Z N0M =
37°30/.)
Наводящие вопросы:
а) 1) Что вы можете сказать о треугольниках Л/УУО и PQO? А о
треугольнике МОР?

Урок 17 Решение задач
79
Рис. 2.53
Рис. 2.54
Рис. 2.55
2) Что нам известно об углах равнобедренного треугольника?
б) 1) Чему равна сумма углов NOMn QOP>
2) Чему равен каждый из этих углов? Почему?
3. Самостоятельное решение задач № 107, 111, 114
(Для одной задачи записать полное решение, для двух других —
краткую запись решения.Тетради в конце урока можно собрать на проверку у
части учащихся.)
Задача № 107
Рис. 2.53.
Решение (краткая запись): Р = 50 см; х + 2х + 2х = 50 см; х = 10 см;
АВ= ВС= 20 см, АС= 10 см.
Задана № Щ
Рис. 2.54.
Решение (краткая запись): A ACD = A ABD (CD = DB, AD — общая
сторона, Z 2 = Z. 1). Тогда АС — АВ, А АВС — равнобедренный.
Задача № 114
Рис. 2.55.
Решение (краткая запись): A ADC = А СЕА (АС - общая сторона, AD =
= СЕ = 1/2АВ = 1/2ЯС, Z DAC = Z ЕСА). Тогда CD = АЕ.
Домашнее задание
1. § 18, вопросы 10-13.
2. Решить задачи № 108, ПО, 112.
Урок 17. Решение задач по теме
«Равнобедренный треугольник»
Цели урока:
1) закрепить теоретические знания по изучаемой теме;
2) совершенствовать навыки доказательства теорем, навыки решения
задач.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

30 Глава II. Треугольники
П. Актуализация знаний учащихся
Теоретический опрос
Доказать свойства равнобедренного треугольника (двум учащимся
подготовиться у доски: первый ученик — свойства углов при основании
равнобедренного треугольника, второй ученик — свойство биссектрисы,
проведенной к основанию равнобедренного треугольника).
Теоретический тест
Тест (с последующей самопроверкой) проводится, пока у доски идет
подготовка к доказательству теорем.
Ответы учащиеся записывают на двух листочках, один из них сдают на
проверку учителю, по другому — проверяют правильность своих ответов.
Ответы к тесту учитель записывает на доске после того, как учащиеся
сдали листочки. После проверки ответов теста заслушивают учащихся,
подготовивших доказательства свойств равнобедренного треугольника.
1. Медиана в равнобедренном треугольнике является его
биссектрисой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
2. Если треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный;
б) все его углы равны;
в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
3. В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на
два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
4. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и
высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
5. Если треугольник равнобедренный, то:
а) он равносторонний;
б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
в) ответы а) и б) неверны.
6. В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два
равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
Ответы к тесту: / б); 2 а), б), в); 3 б); 4 а); 5 в); 6 в).
Решение задач
1. Решить задачи № 68 и № 69 из рабочей тетради.

Урок 17 Решение задач
81
Рис. 2 58
2. Решаются задачи №115, 120 (дать учащимся 2—3 минуты на
обдумывание, затем обсудить).
Задана № 115
Решение (рис. 2.56): Z 1 = Z 2 как углы при основании
равнобедренного треугольника АМС. Z 3 = Z 4 как углы при основании
равнобедренного треугольникаАВМ,тогда Z 1 + Z3= Z2+ Z4.
Вопросы для обсуждения:
1) Медиана AM разбивает треугольник ABC на два треугольника. Что
вы можете сказать о полученных треугольниках?
2) Какой из углов треугольника ABC равен сумме двух других его
углов? Почему?
Задана № 120
Решение (см. рис. 2.57):
а) A BDE= A BDF(BD - общая сторона, ВЕ = BF, Z EBD = Z FBD,
так как BD — медиана и биссектриса).
б) A ADE = A CDF(AD = CD,AE= CF по условию задачи, ZA= ZC
как углы при основании равнобедренного треугольника).
Вопросы для обсуждения:
1) Когда один треугольник равен второму?
2) Можно ли доказать равенство треугольников BDE и BDF по
определению? Почему? А по первому признаку равенства треугольников?
Докажи.
3) Докажите равенство A ADEn A CDF.
III. Самостоятельная работа
(На доске учитель записывает только задания. Листочки с
краткими решениями и указаниями к задачам раздаются во время
проведения работы над ошибками. Писать на листочках через копировальную
бумагу.)
I уровень
Вариант I
Х.Дано: AD = СД АС 1 BD (рис. 2.58).
Доказать: А АВС — равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.59): A ABD = A CBD (AD = СД BD -
общая сторона, ZADB = 90°= ZADB), тогда АВ=ВСи А АВС-
равнобедренный.

Глава II. Треугольники
Рис. 2.64
2. Дано: А АВС - равнобедренный, АО = СО (рис. 2.60).
Доказать: А АВО = А СВО.
Доказательство (см. рис. 2.61): АВ= ВС, ZA= Z С (объясни), тогда
А АВО = А СВО (докажи).
3. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, основание —
10 см. Найдите боковую сторону этого треугольника.
Решение (см. рис. 2.62): АВ = ВС (объясни), РЛВС =
= АВ + ВС + АС = 36 см. АВ + ВС = 36 - 10 = 26 см.
АВ= ВС= 13 см (почему?). (Ответ: 13 см.)
Вариант II
1. Дано: D - середина AC, Z ADF= 90° (рис. 2.63).
Доказать: А АВС — равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.64): A ABD = A CBD
(AD = DC, BD - общая сторона, ZADB = Z CDB =
С = 90°), тогда АВ = ВС и А АВС - равнобедренный.
2. Дс«о: А АВС — равнобедренный, ВО —
биссектриса (рис. 2.65).
Доказать: А АВО = А СВО.
Доказательство (см. рис. 2.66): АВ = ВС, Z 1 = Z 2
(объясни), тогда А АВО = А СВО (докажи).
3. Периметр равнобедренного треугольника равен
48 см, боковая сторона - 15 см. Найдите основание
этого треугольника.
Решение (см. рис. 2.67): АВ= ВС= 15 см (объясни).
w />ABC = Aff+ДС+ЛС=48см. ЛС = 48-15 • 2= 18 см
Рис 2 66 (почему?). (Ответ: 18 см.)

Урок 17 Решение задач
83
А С
Рис. 2.67
Рис. 2.70
Рис. 2.71
II уровень
Вариант I
1. Дано: АВ=ВС, Z 1 = Z 2 (рис. 2.68).
Доказать: A ADC — равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.69): A ABD = A CBD (докажи). AD = DC
(почему?). Тогда AADC-...
2. Дано: А АВС - равнобедренный с основанием АС АОиСО-
высоты в АА5С(рис. 2.70).
Доказать: А А ОС — равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.71): АО и СО —
высоты, тогда ВО — также высота (объясни).
Так как ВО — высота, проведенная к ..., то
ВО -..„тогда Zl = Z2.
А АВО = АСВО (докажи), значит,
ААОС-....
3. Периметр равнобедренного треугольника
равен 37 см. Основание меньше боковой стороны на
5 см. Найдите стороны этого треугольника.
Решение (см. рис. 2.72): x + jt + x-5 = 37
(почему?). (Ответ: 14 см, 14 см, 9 см.)
Вариант II
Х.Дано: АВ = ВС, Z 1 = Z 2 (рис. 2.73}.
Доказать: A ADC - равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.74): A ABD =
= A CBD (докажи).
AD= CD (почему?).
Тогда AADC- ....

84
Глава II Треугольники
Рис. 2.75
Рис. 2.76
А х
Рис. 2.77
2. Дано: А ЛВС — равнобедренный с основанием АС,АОи СО —
медианы в А ЛВС (рис. 2.75).
Доказать: А АОС — равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.76): АО и СО — медианы, тогда ВО — также
медиана (объясни).
Так как ВО - медиана, проведенная к..., то ВО - ..., тогда Z 1 = Z 2.
А АВО = А СВО (докажи), значит,..., А АОС- ....
3. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см. Боковая
сторона меньше основания на 3 см. Найдите стороны треугольника.
Решение (см. рис. 2.77): х- 3 + дс- 3 + х = 45 (почему?). (Ответ: 17 см,
14 см, 14 см.)
III уровень
Вариант I
1. Дано: A ADC - равнобедренный, Z 1 = Z 2 (рис. 2.78).
Доказать: А АВС — равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.79): AD= DC (почему?). A ABD = A CBD
по.... А АВС-....
2. Дано: A MBN — равнобедренный с основанием MN, AN = CM
(рис. 2.80).
Доказать: А АВС — равнобедренный.
Доказательство (рис. 2.81): MB = BN, AM= CN(объясни).
Z 1 = Z 2, тогда Z 3 = Z 4 (объясни).
ААВМ= A CBNno..., тогда А АВС- ....
3. Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна 26 см, а
периметр равен 36 см. Какими могут быть стороны этого треугольника?
Рис. 2 78
Рис. 2.79
AM N С
Рис. 2.80

Урок 17 Решение задач
85
AM N С
Рис. 2.81
Рис. 2.82
Решение: АВ + ВС = 26 см, тогда АС = 10 см
(объясни).
Возможны два случая (рис. 2.82):
а) АВ=ВС=П см.
б)ЯС=16см.
(Ответ: 13 см, 13 см, 10 см или 10 см, 10 см,
16 см.)
Вариант II
{.Дано: А АВС - равнобедренный, 1 = Z2
(рис. 2.83).
Доказать: A ADC — равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.84): АВ = ВС (почему?).
AABD= A CBDпо.... AADC-....
2. Дано: А АВС— равнобедренный с основанием АС, АЕ— DC (рис. 2.85).
Доказать: A DBE — равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.86): AB=BC,AD=CE, Z 1 = Z 2
(объясни).
Тогда А ... = А ... по ..., значит, A DBE— ....
3. Одна из сторон равнобедренного треугольника равна 8 см, а
периметр равен 26 см. Какими могут быть другие стороны этого треугольника?
Решение: АВ = 8 см, тогда ВС + АС = 18 см (объясни).
Возможны два случая (см. рис. 2.87):
а)ЛС= 10 см.
В В
A D ЕС
Рис. 2.85

Глава II. Треугольники
Рис. 2.87
б) АС=ВС= 9 см.
(Ответ: 8 см, 8 см, 10 см или 9 см, 9 см, 8 см.)
IV. Самопроверка и работа над ошибками
Один из листочков учащиеся сдают на проверку учителю, а по
другому проводят самопроверку и работу над ошибками, используя готовые
решения и указания к решению задач.
Домашнее задание
Решить задачи № 116, 117, 118, 119.
Урок 18. Второй признак равенства треугольников
Цели урока:
1) доказать второй признак равенства треугольников;
2) выработать у учащихся навыки использования второго признака
равенства треугольников при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Проверка домашнего задания. Повторение
1. Проверка домашнего задания № 118, 119.
(Можно заранее попросить учащихся подготовить домашнее задание
у доски, или использовать проектор.)
Задача № 118
Дано: А ЛВС - равнобедренный, ВС -
основание; M,Ne BC;BM=CN
Доказать:
а) АВАМ= A CAN;
б) A AMN- равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.88):
а) Рассмотрим треугольники ВАМ и CAN. У
Рис. 2.88 них: 1) дв = АС, так как по условию задачи
А АВС — равнобедренный с основанием ВС;
2) ВМ= CNno условию задачи; 3) Z ABM= Z CANkbk углы при
основании равнобедренного треугольника.

Урок 18. Второй признак равнества треугольников
87
С F
Рис. 2.90
Рис. 2.91
Отсюда А ВАМ= A CAN по двум сторонам и углу между ними.
б) По доказанному в пункте а) А ВАМ = A CAN. В равных
треугольниках соответственные стороны равны, то есть AM = AN. Получили, что
в A AMNrbc стороны равны, т.е. A AMN— равнобедренный.
Задана № 119
Дано: A DEK— равнобедренный с основанием DK, DK= 16 см, EF—
биссектриса, ZDEF= 43е.
Найти: KF, ZDEK, ZEFD.
Решение (см. рис. 2.89): EF— биссектриса, проведенная из вершины
равнобедренного треугольника к его основанию, и по свойству
равнобедренного треугольника она является медианой и высотой. Если EF-
медиана, то DF= FK, значит, KF = -DK = — = 8 (см). Если EF-
высота, то EF I DK, значит, Z EFD = 90°. Если EF- биссектриса, то Z DEK=
= 2 • Z DEF= 2 • 43° = 86°. (Ответ: KF= 8 см, Z DEK= 86°, Z EFD =
= 90°.)
2. Решение задач по готовым чертежам с целью
повторения первого признака равенства
треугольников.
Рисунки к задачам можно подготовить заранее А1
на планшетах.
а) Рис. 2.90.
Дано: АВ = 15 см, AD = 2 дм.
Найти: PABCD.
б) Рис. 2.91.
Дано: ZACB: Z BCD: Z DCF= 2:3:4.
Найти: ZABC.
в) Рис. 2.92.
Доказать: АС 1 BD, DB - биссектриса ZADC
г) Рис. 2.93.
Дано: DC = AC, ZACB= 55°.
Найти: ZECM.
3. Практическое задание с целью подготовки
учащихся к восприятию нового материала (задание А С
учащиеся смогут выполнить самостоятельно, так рцС 2.93

Глава II Треугольники
как такие задачи встречались в курсе математики за 6 класс. Однбго из
учащихся можно попросить выполнить задание у доски, а затем
проверить правильность решения задачи всем классом):
Начертите A MNK— такой, что A MNK— А ABC, если известно, что
АВ = 4см, ZA = 54°, Z£ = 46°.
Построение:
1) отложить отрезок MN = 4 см, так как A MNK = А ЛВС, а значит,
MN=AB;
2) построить Z NMP = 54°;
3) построить Z MNE= 46° по ту же сторону от прямой MN, что и Z NMP,
4) МРп NE=K, A MNK- искомый.
III. Изучение нового материала
(Идет обсуждение практического задания. Учитель задает вопросы,
учащиеся отвечают на них.)
- Будут лиравны ААВСи A MNK, если АВ = MN, ZA = ZM, Z B =
= ZNl(JXa, AABC= A MNK.)
- Докажите равенство треугольников ABC и MNK.
Дано: A ABC, AMNK,AB=MN, ZA= Z M, ZB= Z N.
Доказать: A ABC = A MNK.
Доказательство: Наложим A ABC на A MNK так, чтобы АВ
совместилось с MN, а вершины Си А'лежали по одну сторону от MN
Так как по условию задачи АВ = MN, то вершина А совместится с
вершиной М, а вершина В - с вершиной N.
Луч А С совместится с лучом МК, так как ZA— Z М,а луч ВС
совместится с лучом NK, так как Z B= Z N.
Точка пересечения лучей АС и ВС совместится с точкой пересечения
лучей МКи NK, то есть точка С совместится с точкой К.
Получили, что треугольники ABC и MNK полностью совместились, а
это значит, что A ABC = A MNK.
- Итак, мы только что доказали второй признак равенства
треугольников. Сформулируйте его и дайте ему название.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников можно назвать признаком
равенства треугольников по стороне и
прилежащим к ней углам.
IV. Закрепление изученного материала
1. Решение задач по готовым чертежам
(рисунки должны быть заранее
подготовлены, в тетрадях кратко записать
доказательство).
1) Рис. 2.94.
Дано: Z АСВ = Z ACD, АС - биссектриса
Рис.2 94 D ZBAD
Доказать: ААВС= AADC.

Урок 18 Второй признак равнества треугольников
89
К
N
Рис. 2.95
= A DCO.
2) Рис. 2.95. М
Дано: М0= ON, ZM= ZN.
Доказать: А МОК= A NOP.
3) Рис. 2.96.
Дано: Z\ = Z2, Z3 = Z4.
Доказать: A SEF= A FAS.
4) Рис. 2.97.
Дано: Zl = Z2, Z3 = Z4.
Доказать: А ЛЯС = А /)СД
2. Самостоятельное решение задач № 121, 126, 127. Наиболее
подготовленные учащиеся смогут их решить самостоятельно, некоторым
учащимся потребуется индивидуальная помощь.
Задача № 126
Дано: Z DAB = Z CBA, Z CAB = Z DBA, AC =
= 13 см (рис. 2.98).
Найти: BD.
Решение: Рассмотрим треугольники DBA и CAB.
У них:
1) Z H4Z? = Z СВА по условию задачи;
2) Z G42? = Z /)А4 по условию задачи;
3) АВ - общая сторона. A DBA = А СВА по
стороне и двум прилежащим к ней углам.
Поэтому BD=ЛСкак соответственные стороны
равных треугольников. АС = 13 см, значит, BD = 13 см.
(Ответ: BD= 13 см.)
JeAiw JVC* /27
Дано: AABQ \AXB{CVAB = AXBVBC = B.CV ZB= ZB.,De AB9D.e
e A{BV ZACD= ZAXC,DX (рис. 2.99).
Доказать: A BCD = A 5,C,Z)r
Рис. 2.96
1) A ABC = A AxBx С, по двум сторонам и углу между ними (АВ = АХВГ
ВС= BXCV ZB= Z Вх по условию задачи).
Рис 2.97
В1
Рис. 2.99

90
Глава II. Треугольники
2) ZBCD= Z Вх С,/),, так как ZBCD= ZBCA- ZDCA, ZBXCXDX =
= ZBX СД - Z Dx СД, a Z BCA = ZBX CXAX из равенства треугольников
ABC и AXBX С,, Z DCA = ZDX CXAX по условию задачи.
3) A BCD = A Bx CjZ), по стороне и прилежащим к ней углам (ВС = 2?, С,
по условию задачи, Z В = ZBX по условию задачи, Z DCA = ZDX CXAX по
доказанному в пункте 2).
Домашнее задание
1. § 19, ответить на вопрос 14.
2. Решить задачи № 122-125.
Урок 19. Решение задач на применение второго признака
равенства треугольников
Цель урока:
совершенствование навыков решения задач на применение второго
признака равенства треугольников.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Доказать второй признак равенства треугольников.
(К доске вызывается один из учащихся, ответ его заслушивается всем
классом перед работой в группах.)
2. а) Фронтальная работа с классом — тестовые задания обучающего
характера с последующей самопроверкой.Самопроверку можно
провести следующим образом: учитель повторяет вопрос и просит 2—3
учащихся назвать свои ответы, далее идет выбор
правильного ответа с обоснованием.
1) Рис. 2.100.
Для доказательства равенства треугольников
ABC и MNK достаточно доказать, что:
a)AC=MN; 6)ZC=ZN;
в)ВС= NK.
2) Рис. 2.101.
Для доказательства равенства треугольников
ABC и EDF достаточно доказать, что:
a)AC=FE; 6)ZC=ZE;
в) ZA= ZF.
3) Чтобы доказать равенство равносторонних
треугольников ABC и MNK, достаточно
доказать, что:
a)ZA=ZM; 6)AB=MN;
Рис 2.101 в) ^авс = ^mnk-
в

Урок 19 Решение задач
91
С А,
Рис. 2.103
4) Чтобы доказать равенство двух равнобедренных
треугольников TOSn DEFc основаниями 7^ и DFсоответственно,
достаточно доказать, что:
a) ZO = ZE\ 6)TS=DFnZT= ZD;
в) TS=DF.
5) Рис. 2.102. Выберите верное утверждение:
a)BC=KN; 6)AB=KN\
b)BC=NM.
Ответы к тестовым заданиям: 1 в); 2 б); 3 б); 4 б); 5 а).
б) Индивидуальная работа в рабочих тетрадях (задание для слабо
подготовленных учащихся): решить задачи № 71, 72, тетради
сдать до начала работы в группах на проверку учителю.
3. Работа в группах.
Учащиеся распределяются в группы по 3—4 человека и решают
задачи № 130, 131, 133, выполняя рисунок к задаче и записывая краткое
решение.
Учитель контролирует правильность решения задач в группах, при
необходимости консультирует как целые группы, так и отдельных
учащихся.
Возможное оформление решения задач:
Задача № 130
Решение (см. рис. 2.103):
1) А ЛВС = А АХВХ С, по стороне и прилежащим к ней углам (ВС =
BCZB ZBZCZC)
2) ВО = 0А = ВХОХ = ОХАХ, так как СО и С,О, — медианы равных
треугольников.
3)АС = АХСХ, ZA= Z>4,,TaKKaK ААВС= ААхВхС,. АО = АХОХ,
значит, А АС О = ААХСХОХ по двум
сторонам и углу между ними. р N
Задана № 131
Решение (см. рис. 2.104):
1) A EFK= A NPMпо двум
сторонам и углу между ними (EF= NP,
DF=MP, ZF= ZP).
2) Z 1 = Z 2, так как ЕО и NK—
биссектрисы соответственных
углов равных треугольников.

92
Глава II Треугольники
D С
Рис. 2.105
3) Z 3 = Z 4, так как DO и МК- биссектрисы соответственных углов
равных треугольников.
4) A DOE = A MKN по стороне и прилежащим к ней углам (DE =
= MN9 Z\ = Z2, Z3= Z4).
Задана № 133
Решение (см. рис. 2.105):
BD — биссектриса и высота А ЛВС.
A ABD = A CBD по стороне и прилежащим к ней углам (BD — общая
сторона, ZABD= Z CBD, ZADB = Z CDB).
AB= ВС как соответственные стороны равных треугольников.
Так как АВ = ВС, то А ЛВС - равнобедренный.
III. Самостоятельная работа
(На доске записываются только условия задач. Решения задач на
листочках можно вывесить в конце урока в кабинете до следующего урока
геометрии в этом классе.)
I уровень
Вариант I
1. Рис. 2.106.
Дано: CO=OD, ZC= 90е, D= 90°.
Доказать: О - середина АВ.
2. Рис. 2.107.
Дано:АВ=ВС, ЛК= КС, ZAKE= Z РКС
Доказать: ААКЕ= А СКР.
Доказательство.Так как АВ = ВС, то А ЛВС — равнобедренный с
основанием АС.
ZA= ZC как углы при основании
равнобедренного треугольника. ААКЕ= А СКР
по стороне и прилежащим к ней углам (АК=
= КС, ZA= ZC, ZEKA= ZРКС).
Вариант II
1. Рис. 2.108.
Дано: Z\= Z2, Z3= Z4.
Доказать: АВ = AD.
2. Рис. 2.109.
Рис 2 108 Дано: АВ=ВС,МА = PC, Z AMO= Z ОРС

Урок 19 Решение задач
93
С а'
Рис. 2.109
Рис. 2.110
Доказать: А АМО = Л ОРС.
Доказательство: АВ = ВС, поэтому А АВС - равнобедренный с
основанием АС, и в А АЯСуглы при основании равны (Z А = ZC). А АМО=
= А СРО по стороне и прилежащим к ней углам (MA = PC, ZA= ZC,
ZAMO= ZOPQ.
II уровень
Вариант I
1. Рис. 2.110.
Дано: BD - биссектриса ZABC, Z 1 = Z 2.
Доказать: АВ = СВ.
Доказательство: BD - биссектриса A ABC, поэтому ZABD= Z CBD.
Z 1 = Z2, следовательно, ZADB = Z CDB (два угла равны, если
смежные с ними углы равны).
A ABD = A CBD по стороне и прилежащим к ней углам (BD — общая
сторона, ZABD = Z CBD, ZADB = Z CDB), следовательно, АВ = CD
как соответствующие стороны равных треугольников.
2. Рис. 2.111.
Дано: Z\= Z2, Z3= Z4.
Доказать: ААВС= A ADC.
Доказательство: A ADO = А АВО по стороне и прилежащим к ней
углам (АО — общая сторона, Z\— Z2, Z 3 =
= Z 4). A ABC = A ADC по двум сторонам и
углу между ними (AD = АВ как
соответствующие стороны равных треугольников, АС -
общая сторона, Z 3 = Z 4 по условию задачи).
Вариант II
1. Рис. 2.112.
Дано: О — середина АВ, Z\— Z 2.
Доказать: ZC= ZD.
Доказательство: О—середина АВ, значит,
АО=ВО.
А АСО = A DBO по стороне и
прилежащим к ней углам (АО = ВО, Z АОС = Z BOD Рис 2 п2

94
Глава И Треугольники
D Е
Рис. 2.115
как вертикальные, Z CAO= Z DBO, так как смежные им углы Z 1 и Z 2
равны).
Из равенства треугольников АСО и DBO следует равенство
соответствующих углов Си D.
2. Рис. 2.113.
Дано: Zl = Z2, Z3 = Z4.
Доказать: ААВО= A ADO.
Доказательство: A ADC = А АЯС по стороне и прилежащим к ней
углам (АС— общая сторона, Zl= Z2, Z3= Z4no условию задачи).
A ADO = А АВО по двум сторонам и углу между ними (АО - общая
сторона, AD = АВ как соответствующие стороны равных треугольников
ADChABQ.
Ill уровень
Вариант I
1. Рис. 2.114.
Дано:АВ = СВ, ZA= ZC.
Доказать: AM = CN.
Доказательство: A ABN = А СВМ по стороне и прилежащим к ней
углам (АВ= СВ по условию задачи, ZA= Z Спо условию задачи, ZB-
общий).
Так как A ABN= А СВМ, то ВМ= BN как соответствующие стороны
равных треугольников.
Так как BM=BNnAB = AC, то АМ= CN.
2. Рис. 2.115.
Дано: АМ=МС,АЕ= DC, Z BDA = Z FEC.
Доказать: АВ = FC
Доказательство: АМ= МС, следовательно, А АМС— равнобедренный
с основанием АС, а значит, Z А = Z С. AD = С£, так как AD = А£* - DE,
CE = CD-DE,aAE=DC
A A5Z) = A CFE по стороне и прилежащим к ней углам (AD = СЕ, ZA =
= ZC, ZBDA= Z FEC).
Так как A ABD = A CFE, то АВ = FC.

Урок 20 Третий признак равенства треугольников
95
Z4.
Вариант II
1. Рис. 2.116.
Дано: Zl = Z2, Z3
Доказать: АВ = Z)C.
Доказательство: А Л2Ш = A Z)G4 по стороне и
прилежащим к ней углам (AD - общая сторона, Z BAD =
= ZC/HTaKKaKZA4/)= Z 1 + Z3, Z CDA= Z2 +
+ Z 4, a Zl= Z2, Z3= Z4no условию задачи;
Z^/)5 = Z G4Z) по условию задачи, Z,4Z)£ = Z2,
Z OLD = Z 1). Значит, ЛЯ = CD.
2. Рис. 2.117.
Дано:АВ = ВС, AF= КС, Z/)£4 = Z£FC.
Доказать: AD = £C.
Доказательство: A >i5C — равнобедренный с
основанием ЛС, следовательно, Z A= Z С. A ADK= A C£F
по стороне и прилежащим к ней углам (АК = CF, так
K3KAK = AF+ FK, CF= CK+ FK, aAF= КСпоусловию
задачи; ZA= ZC; DKA = ZEFQ. Так как AADK =
= ACEF,toAD=EC
Домашнее задание
Решить задачи № 128, 129, 132, 134.
A F КС
Рис. 2.117
Урок 20. Третий признак равенства треугольников
Цели урока:
1) доказать третий признак равенства треугольников;
2) научить учащихся решать задачи на применение третьего признака
равенства треугольников.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и поставить цели урока.
II. Проверка домашнего задания. Повторение
1. Проверить домашнюю задачу № 132.
(Решение задачи предложить оформить на доске одного из учащихся.)
Дано: Z А, АК — биссектриса Z A, a J_ АК, а
пересекает стороны угла А в точках Ми N.
Доказать: A AMN — равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.118): Пусть АК п
n MN = Е. А АМЕ = A ANE по стороне и
прилежащим к ней углам (АЕ — общая сторона,
Z МАЕ — Z NAE, так как АК— биссектриса ZA,
Z МЕА = Z NEA, так как АК 1 MN, ZAEM +
+ Z NEA = 180°, Z МЕА = 90°, значит, и Z NEA =
= 90°). Рис. 2.118
К

Глава II Треугольники
Е
Рис. 2.120
Из равенства треугольников АМЕ и ANE следует равенство сторон AM
и AN, то есть A AMN— равнобедренный.
2. Решение задач на повторение и закрепление первого и второго
признаков равенства треугольников. (Условия задач заранее записаны на
доске. Один из учащихся решает на доске, остальные — в тетрадях. Наиболее
подготовленным учащимся можно предложить решить задачи
самостоятельно.)
Задача 1
В А АВС на продолжении стороны ВС за точку С отложен отрезок CD,
равный -СА, а точки Аи D соединены отрезком. СЕ — биссектриса
треугольника АСВ, 2lCF- медиана треугольника ACD.
Докажите, что CF1 СЕ.
Доказательство (см. рис. 2.119): По построению АС = CD,
следовательно, A ACD — равнобедренный с основанием AD.
CF— медиана, проведенная к основанию равнобедренного
треугольника ACD, и она является биссектрисой угла ACD, то есть ZACF= Z DCF.
CD- продолжение стороны ВС, поэтому Z BCD= 180°. Z BCD= Z BCE+
+ ZECA+ ZACF+ ZFCD=\W.
Так как ZBCE= ZECA, ZACF= ZFCD,to2 ZACE+2 ZACF =
= 180°, 2 • (ZACE + ZACF) = 180°.
Так как ZACE+ ZACF= Z ECF, то Z ECF= 90°, то есть СЕ 1 CF.
Задана 2
На одной стороне угла с вершиной А отмечены точки D и В, на другой
стороне — С и £так, что AD = АС = 3 см, АВ = АЕ = 4 см.
Докажите, что: а) ВС = ED;
б) KB = КЕ, где К— точка пересечения отрезков ВС и ED.
Доказательство (см. рис. 2.120):
a) A ABC = A AED по двум сторонам и углу между ними (АВ = АЕ =
= 4 см, АС = AD = 3 см по условию задачи, Z А — общий).
Так как A ABC = A AED, то ВС = ED.
6)TaKKSiKDB = AB-AD = 4см-Зсм = 1 см и СЕ = АЕ- АС =4см-
-3см = 1 см,тоDB= СЕ. ZBDK= 180°- ZADK, ZКСЕ= 180°-
— ZAKC, но ZADK= ZACK из равенства треугольников ABC и
AED, следовательно, ZBDK— ZKCE.
Z ABC = Z AED из равенства треугольников АВ С и AED.
A DBK = А СЕК по стороне и прилежащим к ней углам (DB =
= СЕ, ZBDK= ZKCE, ZABC= ZAED), следовательно, КВ= КЕ.

Урок 20 Третий признак равенства треугольников
97
В С,
АДА)
А(А)
ВДВ)
вхсхах
Рис 2.122
III. Изучение нового материала
Учитель сам читает формулировку третьего признака равенства
треугольников и доказывает его до рассмотрения первого случая.
Доказательство первого случая можно провести в виде беседы с учащимися.
Третий признак равенства треугольников:
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: A ABC, А АХВХСХ, АВ = АХВХ, ВС = ВХСХ, АС = АХСХ.
Доказать: ААВС= А АХВХ С,.
Доказательство (см. рис. 2.121): Приложим А АВС к треугольнику
АХВХ С, так, чтобы сторона АВ совместилась со стороной АХВХ (они
совместятся, так как по условию теоремы АВ = АХВХ), а вершины Си С,
находились по разные стороны от прямой АХВХ.
Возможны три случая:
1) луч ССХ проходит внутри угла
(рис. 2.122);
2) луч С, С совпадает с одной из сторон угла
ВХСХАХ (рис. 2.123);
3) луч ССХ проходит вне угла ВХСХАХ
(рис. 2.124).
Докажем первый случай.
Вопросы к учащимся:
- Что вы можете сказать о треугольниках
СхАхСи СХВХС! (Ониравнобедренные.)
- Равны ли углы АхСХВХ и АСВ? Почему? (ZAXCXBX= Z АСВ, так как
ZAXCXBX = ZAXCXC + ZBXCXC, ZACB= ZACCX + ZBCCX, a
ZAXCXC= ZACCV ZBXCXC= Z BCCX как углы при основании
равнобедренных треугольников.)
- Равны ли А АВС и А АХВХ С,? (А АВС = А АХВХ С, по двум сторонам
и углу между ними, так как АС = АХСХ, СВ= СХВХ, ZACB= ZAXCXBX
по доказанному.)
Итак, ААВС= ААХВХСХ.
Далее можно предложить учащимся доказать равенство
треугольников АВСиАхВх С, во втором или третьем случае, а оставшийся случай
рассмотреть дома.
ВДВ)
Рис. 2.124

98
Глава II Треугольники
Рис 2.126
Рис. 2.125
Рис. 2.127 D
Доказательство второго случая:
А ВХСХС — равнобедренный с основанием ССХ, так как ВхС, = ВС =
= Вх С по условию теоремы.
ВХАХ — медиана Л Вх С, С, так как СХАХ = АС по условию теоремы, а ЛС =
= Ах С. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного
треугольника, является его биссектрисой, то есть Z СХВХАХ = Z СВА.
А АВС = А АХВХ С, по двум сторонам и углу между ними
(АВ = АХВХ, ВС = ВхС, по условию теоремы, Z G42? = Z СХВХАХ по
доказанному).
Доказательство третьего случая:
А Вх С, С — равнобедренный с основанием СС,, так как 5, С, = ВС по
условию теоремы. ZBXCXC= Z ВССХ как углы при основании
равнобедренного треугольника. А Ах С, С — равнобедренный с основанием ССХ, так как
Ах С, = АС по условию теоремы. ZAXCXC= Z АССХ как углы при основании
равнобедренного треугольника. Z ВХСХАХ = Z ВСА, так как Z ВХСХАХ =
= ZBXCXC- ZAXCXC, ZBCA= ZBCCX- ZACCpa ZBXCXC= ZBCCru
ZAXCXC= Z ACCX по доказанному. A ABC = A Ax Bx С, по двум сторонам и
углу между ними (ВС = Я,С,, АС = AxCr Z ВСА = ZBXCXAX).
Далее можно ввести понятие жесткой фигуры или предложить
учащимся самостоятельно прочитать стр. 40 учебника - на уроке или дома.
IV. Закрепление изученного материала
1. Решение задач по готовым чертежам:
а) Рис. 2.125.
Дано: АВ =5 см, ВС = 0,9 дм.
Найти: AD, DC.
б) Рис. 2.126.
Лано: PAQK = 15 см, 7>AQRF = 18 см.
Найти: AR.
в) Рис. 2.127.
Доказать: BD — биссектриса Z АВС.
2. Решение задачи № 139 (один ученик работает у доски, остальные -
в тетрадях).
Дано: АВ= CDyAD= ВС, BE- биссектриса ZABC, DF- биссектриса
ZADC

Урок 20 Третий признак равенства треугольников 99
Доказать: a) ZABE = ZADF; б) ААВЕ =
= A CDF
Доказательство (см. рис. 2.128):
а) A ABC = A CDA по трем сторонам (АВ =
= CD, AD = ВС, АС - общая сторона).
Z CDA = ABC, так как ААВС= A CDA.
ZABE = 1/2 ZABC, так как #£ -
биссектриса ZABC
ZADF= 1/2 Z CDA, так как DF- биссектриса ZADC.
ZABE= ZADF,TaKK2iK ZABE= 1/2 ZABC, ZADF=\/2 Z CDA,
a ZABC= ZCDA.
б) A ABE = A CDF no стороне и прилежащим к ней углам (АВ = CD
по условию задачи, ZABE = Z CDF по доказанному в пункте а),
Z ВАЕ = Z DCFU3 равенства треугольников ABC и CDA.
Наводящие вопросы к задаче:
а) 1) Что вы можете сказать о треугольниках ABC и CDAI
2) Равны ли углы ABC и CDA1 Почему? А углы ABE и ADF1
б) 1) Сколько пар равных сторон в треугольниках ABE и CDF1А углов?
2) Какой из признаков равенства треугольников подходит для того,
чтобы А АВЕ был бы равен A CDF1
V. Самостоятельная работа обучающего характера
(На доске записываются условия задач, учащимся предлагается самим
выбрать, какие из задач они будут решать. Листочки с решениями можно
вывесить на стене для самопроверки. Учитель контролирует правильность
решения задач у слабоуспевающих учащихся и по необходимости
консультирует остальных. Учащиеся, самостоятельно справившиеся с
работой, по своему усмотрению могут сдать тетради на проверку учителю.)
I уровень
1. Решить задачу JNfe 136.
2. Дано: АВ = EF, CF= AD, CB = DE, Z BCF=
= 85° (рис. 2.129).
Найти: ZADB.
Решение: Рассмотрим A ABDn A FEC. У них:
1) АВ = FE по условию задачи;
2) AD = FC по условию задачи;
3) BD= EC, так как BD= BC+ CD, EC= £/) + Рис. 2.129
+ DC, a DC = DE по условию задачи.
Следовательно, A ABD = A FEC по трем сторонам.
Отсюда ZADB= Z ECF Z ECF= 180е - Z BCF= 180° - 85° = 95е, так
как ZECFn ZBCF- смежные. Значит, ZADB= 95°. (Ответ: ZADB =
= 95°.)
3. На стороне АС как на основании построены по одну сторону от нее
два равнобедренных треугольника АВСи АМС. Докажите, что прямая ВМ
пересекает сторону АС в ее середине.
Доказательство (см. рис. 2.130):
1) А АВМ = А СВМ по трем сторонам (ВМ - общая, АВ = ВС, AM =
=МС как боковые стороны равнобедренных треугольников ABC и АМС).

100
Глава II. Треугольники
С D
2) ZABM= Z СВМ, так как ААВМ= А СВМ. Следовательно, ВК-
биссектриса Z ЛВС и биссектриса А ЛВС.
3) Биссектриса ВК равнобедренного треугольника ЛВС проведена к
основанию АС, а по свойству биссектрисы равнобедренного
треугольника она является и медианой.
Отсюда получаем, что ЛК= КС, то есть ВК(ВМ) пересекает сторону
ЛС в ее середине.
II уровень
1. На отрезке ЛС как на основании построены по разные стороны от
него два равнобедренных треугольника ЛВС и ЛВС. Докажите, что BD _1_
±АС.
Доказательство (см. рис. 2.131):
1) A ABD = A CBD по трем сторонам (ЛВ = BC,AD = С/) как боковые
стороны равнобедренных треугольников ЛВС и ADC, BD — общая
сторона).
2) Так как A ABD= A CBD, то ZABD = Z CBD. Это значит, что BD-
биссектриса А АВС.
3) ВО - биссектриса, проведенная из вершины равнобедренного
треугольника ЛВС к его основанию ЛС, а по свойству биссектрисы
равнобедренного треугольника она является и его высотой.
Так как ВО - высота А ЛВС, то ВО 1 ЛС, а значит, и BD ± ЛС.
2. Отрезок прямой ЛВ точками Р и Q делится на три равные части.
Вне отрезка ЛВ по одну сторону от него взяты точки Си Dтак, что ЛВ =
= BDnCQ=DP, ZDPB+ ZCQA= 140е.
Найти: Z DPB и Z CQA.
Решение (см. рис. 2.132):
1) AACQ= A BDP по трем сторонам (ЛС = BD, CQ = DP по условию
задачи, Л(? = ВР, так как Л(? = 2/3 ЛВиВР= 2/3 ЛЯ).
2) ZDPB= ZCQA,таккак АЛС0= АЯЯР.
3) Так как Z /)РЯ = Z C04 и по условию задачи Z /)?/? + Z С0Л =
= 140°, то Z /)РЯ = 70° и Z CO4 = 70е.
(Ответ: Z DPB = 70°, Z Cft4 = 70е.)
3. ЛВС и Л,2?, Cj - равнобедренные треугольники с основаниями ЛС и
Л, С,, точки Ми Л/, — середины сторон ВС и 5, С,. Л2? = ЛХВХ, ЛМ= ЛХМХ.

Урок 21 Решение задач 101
Докажите, что А ЛВС = А АХВХ Сх.
Доказательство (см. рис. 2.133):
1) Так как АВ = АХВХ и треугольники
?САХВХ С, — равнобедренные с
основаниями АС и Л, С,, то и /JC = 5, С,.
2) Так как ЯС = Я,С,, Ми Мх -
середины ЯСи ВХСХ, то ЯЛ/= Я,Л/Г
3) А АВМ= А ЛДЛ/, по трем сторо- А
нам (АВ = АХВХ, BM= ВХМХ,АМ=АХМХ).
4) Так как ААВМ = АА.ВЖ, то
ZB = ZBX.
5) A ABC = А АХВХ С, по двум сторонам и углу между ними (А# = АХВХ,
ВС=ВХСХ, ZB = ZBX).
VI. Домашнее задание
1.§ 20, вопрос 15.
2. Решить задачи № 135, 137, 138.
3. Дополнительная задача:
Дан равнобедренный треугольник >4#С с
основанием АС. Точки /) и £ лежат соответственно на сторонах
АВ и ВС, AD = С£ Z)C пересекает АЕ в точке О.
Докажите, что ААОС— равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 2.134): А С
1) A ABE = A CBD по двум сторонам и углу между ^"с 2.134
ними (А# = СД, так как А АВС - равнобедренный;
BE = BD,t3kk2lkBE=BC-EC,BD = AB-ADhAB=BC,EC = AI>, ZB-
общий).
2) A ADO = А С£0 по стороне и прилежащим к ней углам (AD = СЕ
по условию задачи; ZDAO— Z ЕС О из равенства треугольников ABE и
CBD, Z ODA = Z ОЕС, так как Z ODA = 180° - ZBDO, Z ОЕС= 180° -
- Z ВЕО, a Z BDO = Z ВЕО из равенства треугольников ЛЯ£ и С2М>).
3) Так как A ADO = А С£Д то АО = СО, следовательно, АЛ0С -
равнобедренный.
Урок 21. Решение задач на применение признаков
равенства треугольников
Цель урока:
совершенствование навыков решения задач на применение
признаков равенства треугольников.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Актуализация знании учащихся
1. Теоретический опрос.

102
Глава II. Треугольники
Доказать третий признак равенства треугольников (можно трех
учащихся попросить подготовить у доски доказательство теоремы, один из
них готовит I случай, второй — II, третий — III).
2. Устное решение задач № 75, 76 из рабочей тетради.
3. Решение задач по готовым чертежам:
I уровень — устно
(фронтальная работа с классом)
1) Рис. 2.135.
Дано: КМ= DT, KT= DM.
Доказать: А ТКМ= A MDT.
2) Рис. 2.136.
Дано: BC = AD, ВЕ = DF,AE= CF.
Доказать: a) AADF= А СВЕ; б) ААВЕ= A CDF.
3) Рис. 2.137.
Дано: АО = 4 см, ВС =5 см, CD = 4,5 см.
Найти: РАВО.
4) Рис. 2.138.
Дано: Z EDC= Z KDQ DE= DK, Z ECD= 30°.
Найти: ZECK.
II уровень - решить самостоятельно, коротко
записать решение в тетрадях
1) Доказать: ZC= ZF(рис. 2.139).
Доказательство: А АСК = A AFB (АС = AF,
АК=АВ, ZA- общий).
Рассмотрим A CBD и A FKD. У них:
1) CB=KF;
2) Z C= Z Fиз равенства ААСКи AAFB;
3) ZCBD= Z FKD, так как Z CBD = 180° -
-ZAFB, ZFKD = 180° - ZAKC, a ZAFB =
= ZAKCиз равенства АЛС/Ги АЛ/Я.
Следовательно, A CZ?Z) = A FKD по стороне и
прилежащим к ней углам, а значит, ZC— ZF.
2)Дано:АС= 10 см, AC: BF= 2 : 1, ЯС=6см
(рис. 2.140).
Рмс. 2.138
К
Рис. 2.139

Урок 21 Решение задач
103.
Рис. 2.140
Рис. 2.142
Найти: Р.
ADF*
Решение: A AFD = A CFB по стороне и прилежащим к ней углам (AF~
= FC, Z FAD = Z FCB по условию задачи, Z CFB = Z AFD как
вертикальные).
Так как A AFD = A CFB, то y4F= ГСи Л/*= 5 см, FC = 5 см (АС = 10 см).
АС: BF= 2 : 1, то есть АС =2 BF. Отсюда BF- 2,5 см.
PBFC = BC+ BF+ FC= 6 см + 2,5 см +5 см = 13,5 см.
Так как A AFD = A CFB, то PAFD = 13,5 см. (Ответ: Р^ = 13,5 см.)
3) Доказать: МС — биссектриса Z BMD (рис. 2.141).
Доказательство: A AMF - равнобедренный с основанием AF, так
как AM = MF. Следовательно, Z А = ZF.
А АВМ= A FDM по двум сторонам и углу между ними (Afi = FD, АМ=
= FM, ZA= ZF). Так как ААВМ= A FDM, то ВМ = DM.
Следовательно, A MBD — равнобедренный с основанием BD, в
котором Л/С— медиана, проведенная к основанию. По свойству медианы
равнобедренного треугольника МС является биссектрисой Z BMD.
4) Доказать: СР= DQ (рис. 2.142).
Доказательство: A BCS= A KQTпо двум сторонам и углу между ними
(ВС= KQ, BS= KT, Z CBS= Z TKQ).
A BDT= A KSP по двум сторонам и углу между ними (BD = КР, ВТ=
= KS, ZCBS= ZTKQ).
СР= DQ, так как СР= С5+ SP, DQ= QT+ DT, a CS= QT из
равенства треугольников BCS и KQT, SP = TD из равенства треугольников
BDTvi KSP.
III. Самостоятельная работа
I уровень
Вариант I
\.Дано:АВ= CD, BC= DA, Z С= 40° (рис. 2.143).
Доказать: AABD= A CDB. Найти: ZA.
2. На боковых сторонах равнобедренного
треугольника ЛЯСотложены равные отрезки ВМи BN.
BD — медиана треугольника.
Докажите, что MD = ND.

104
Глава II Треугольники
DC
Рис. 2.146
3. В треугольниках ЛВС и АХВХСХАВ = Ах Вх, ZA = ZAV ZB = Z By
Точки 1) и D, лежат соответственно на сторонах АС и Л,С,,
причем CD= CXDV
Докажите, что A BDC= A BXDXCX. Сравните BDhBxDx.
Вариант II
Х.Дано: AD = AB,CD=CB,ZD = 120° (рис. 2.144).
Доказать: ADAC= ABAC.
Найти: Z В.
2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника ABC
отложены равные отрезки ВМи BN. BD - высота треугольника.
Докажите, что MD = ND.
3. В треугольниках ЛЯС и Л, Я, С, АВ = АХВХ, АС=АХСХ, /.A= /LAV
Точки/) и /), лежат соответственно на сторонах А С и Ах С,, ZDBC= ZDXBXCV
Докажите, что A BDC= A BXDXCX.
Сравните Z ВВС и ZBXCXDX.
II уровень
Вариант I
1. Дано: АВ = CD, ВС = AD (рис. 2.145).
Доказать: ZA= Z С.
2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника ABC с
основанием А С отложены равные отрезки AM к CN. BD, медиана А АВС,
пересекает отрезок MNb точке О. Докажите, что ВО — медиана A MBN.
Доказательство (рис. 2.146):
1) А АВС- равнобедренный с основанием АС, и медиана /Шявляется
его биссектрисой.
2) A MBN — равнобедренный с основанием MN, так как MB = BN
(MB =BA- MA; BN= ВС- NC, BA = ВС, MA = NQ. BD - биссектриса
Z MBN, и по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника она
является медианой, то есть ВО — медиана A MBN.
3. В треугольниках АВС и АХВХСХ АВ = АХВХ, ZA= ZAX, ZB= ZBV
На сторонах ВСи Вх С, отмечены точки D и Dx так, что Z CAD = Z CXAXDX.
Докажите, что:
а) AADC= AAXDXCX;
б) AADB= AAXDXBX.

Урок 21 Решение задач
105
Рис. 2 148
Доказательство (см. рис. 2.147):
а) А АВС = ААХВХСХ по стороне и прилежащим к ней углам (АВ =
=АХВХ, ZA = ZAX, ZB = Z Bx по условию задачи).
A ADC = AAXDXCX по стороне и прилежащим к ней углам (АС =
= АХСХ, ZC= ZCX из равенства А АВСи ААХВХСХ, Z CAD= Z CXAXDX no
условию задачи).
б) Так как A ADC = A AXDXСх, то DC = DXCX, следовательно, равны
отрезки BD и BXDX (ВС = Вх С, из равенства треугольников АВС и АХВХ С,).
Так как АВ= АХВХ, ZB= Z Вх из равенства треугольников АВС и Ах Вх С,
и BD= BXDX, то A ABD = A AXBXDX по двум сторонам и углу между ними.
Вариант II
1. Дано: AB = AD,BC=DC(рис. 2.148).
Доказать: ZB= ZD.
2. Дан равнобедренный А АВС с основанием АСи
высотой BD. На лучах ВА и ВС вне треугольника А5С
отложены равные отрезки AM и C7V. Луч Z?/) пересекает
отрезок Л/ЛГ в точке О.
Доказать, что ВО — высота A MBN.
Доказательство (см. рис. 2.149):
1) А АВС — равнобедренный с основанием АС, и
высота BD, проведенная из его вершины к основанию,
является и его биссектрисой, то есть ВО - биссектриса
ZABCn Z MBNтоже.
2) A MBN— равнобедренный с основанием MN(BM= ВА + AM, BN=
= ВС + CN; так как ВА = ВСи АМ= CN, то ЯЛ/= BN). В равнобедренном
А Л/ZMV биссектриса ВО, проведенная из его вершины к основанию,
является и его высотой.
3. В треугольниках DEC и DXEXCX DE= DXEV ZD= Z Dx, ZE= ZEV
На сторонах DEn DXEX отмечены точки Ри Рх так, что Z DCP= Z Dx CXPX.
Докажите, что: a) A DCP= A DXCXPX, 6) A CPE= A CXPXEV
Доказательство (рис. 2.150):
a) A DEC = A DlElCl по стороне и прилежащим к ней углам (DE =
= DXEX,ZD= ZDX, ZE= ZEX).
Так как A DEC= A DXEXCX, то DC= DXCX. Тогда A DCP= A DXCXPX
по стороне и прилежащим к ней углам (DC = DXCX, ZD= ZD,,
ZPCD= ZPXCXDX).
0 N
Puc. 2 149

106
Глава У/. Треугольники
Рис. 2.151
б) Так как A DEC = А DXEXСх, то ЕС = ЕХСХ, Z ECD = Z ЕхCxDr
Таккак ZECD= ZEXCXDX, Z DCP= Z DxCxPx,a ZECP= ZECD-
- ZDCP, ZEXCXPX = ZEXCXDX- ZDxCxPx,io ZECP= ZExCxPx.
Так как £C = .£,<:,, ZE= ZEX, Z ECP = ZEXCXPV то A PEC =
= A PtExCx по стороне и прилежащим к ней углам.
III уровень
Вариант I
\.Дано:АВ = CD, AC= BD(рис. 2.151).
Доказать: Z CAD = Z #/)А
2. Рис. 2.152.
A MNP— равнобедренный с основанием Л/Д точка
А'— середина отрезка МР, ME— PF. Докажите, что луч
KN- биссектриса угла EKF.
Доказательство: А МЕК= A PFK по двум сторонам
и углу между ними (ME = FP> MK= KP по условию
задачи, ZM = ZPкак углы при основании
равнобедренного A MNP). Следовательно, КЕ— KF.
A KEN= А А/ТУпотрем сторонам (КЕ= KF; KN-
общая сторона; NE= NFy так как NE=- MN— ME, NF=
= PN- PF, a MN = PN, ME = P/). Следовательно,
ZEKN= ZFKN.
Так как Z EKN= Z FKN, то KN- биссектриса угла
EKF
3. В равнобедренном треугольнике ЛВС точка D —
середина основания АС На лучах АВ и С# вне
треугольника ABC отмечены точки Л/и УУ соответственно —
так, что ЯЛ/= ЯМ
Докажите, что A BDM= A Я/W.
Доказательство (см. рис. 2.153): Так как Z) —
середина основания равнобедренного А АВС с
основанием АС, то Я/) - медиана, а значит, и биссектриса А АВС.
Следовательно, ZABD= ZCBD.
Z NBA = Z СВМ как вертикальные.
Z NBD = Z NBA + ZABD, a Z Л/Я/) = Z МВС +
+ Z CBD. Так как Z^5Z) = Z СЯД Z Л/ЯС = Z УУЯЛ, то Z NBD =
= Z Л/Я/).
м к
Рис. 2.152
N

Урок 21 Решение задач
107
Рис. 2.154
A NBD = A MBD по двум сторонам и углу между ними (NB = MB; BD -
общая сторона; Z NBD = Z MBD).
Вариант II
1. Дано: АВ = CD, АС = ЯЯ (рис. 2.154).
Доказать: ZACB= A DBC.
2. Рис. 2.155.
A MNP — равнобедренный с основанием МР, точка К— середина
отрезка МР, Z Л/ЯЕ= Z PtfF.
Докажите, что А #Ж= А 7УЖ.
Доказательство: А Л/^А" = А РЖ по стороне и прилежащим к ней
углам (МК= КР, так как К— середина МР; Z MKE= Z PKFпо условию
задачи; Z Л/= Z Ркак углы при основании равнобедренного А ММР.
Так как А МЕК= А РЖ, то ME = PF, следовательно, EN= FN(EN =
= MN- ME, FN= PN- PF, a MN = FN как боковые стороны
равнобедренного треугольника).
Так как А МЕК= A PFK, то КЕ= KF
A NEK= A NFK по трем сторонам (NK— общая сторона, WE = EF,
ЕК= FK).
3. В равнобедренном А АВС точка D — середина основания Л С. На
лучах АВи С/? вне А АВС отмечены точки Л/и 7Vсоответственно, так, что
ZBDM=ZBDN.
Докажите, что A BDM= A Я/W.
Доказательство (см. рис. 2.156): Так как D - середина основания АС
равнобедренного А АВС, то BD — медиана и биссектриса А АВС.
Следовательно, ZABD= ZCBD.
Z NBA = Z СЯЛ/ как вертикальные. Поэтому Z ЛГЯ0 = Z ЛШ)
(ZNBD= ZNBA+ ZABD, ZMBD = ZMBC+ Z CBD, a ZNBA =
= Z СЯЛ/, Z/4£/)= Z СЯ/)).
A BDM= A BDNno стороне и прилежащим к ней углам (BD — общая
сторона, ZNBD= ZMBD, ZBDM= Z BDN).
Домашнее задание
1. Решить задачи № 140, 141, 142.

Глава II Треугольники
2. Дополнительная задача:
Два равнобедренных треугольника ЛВС и ADC
имеют общее основание АС. Вершины В и D
расположены по разные стороны от АС. Точка Ележит на
отрезке BD, но не лежит на отрезке АС.
Докажите, что ZEAC= /.АСЕ.
Доказательство (см. рис. 2.157):
1) A ABD = A CBD по трем сторонам (АВ = ВС,
так как А АВС - равнобедренный; AD = CD, так
как A ADC — равнобедренный; BD — общая
сторона).
2) Так как A ABD = A CBD, то /АВЕ= Z СВЕ.
3) А АВЕ= А СВЕ по двум сторонам и углу между ними (АВ = ВС; BE—
общая сторона; Z.ABE= Z СВЕ).
4) Так как А АВЕ= А СВЕ, тоАЕ= СЕ, то есть А АЕС-
равнобедренный с основанием AC, a /EAC= Z ЛС£как углы при основании
равнобедренного треугольника.
Урок 22. Окружность
Цели урока:
1) систематизация знаний об окружности и ее элементах;
2) отработка навыков решения задач по заданной теме.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Актуализация знаний учащихся
1. Проверить домашнюю дополнительную задачу через проектор или
попросить одного из учащихся подготовить решение на доске.
2. Анализ ошибок самостоятельной работы.
(Устно решить задачи, с которыми не справились большинство
учащихся. Краткие условия и рисунки к этим задачам подготовить на доске
заранее. II способ: на доске написать одно из неправильных решений
задачи и предложить учащимся найти ошибки в решении.)
III. Изучение нового материала
Понятие окружности и ее элементов вводится в курсе математики
пятого класса, поэтому изучение нового материала можно организовать
следующим образом:
1. Прочитать самостоятельно § 21.
2. Выполнить задания теста (на каждую парту раздаются листочки с
тестовым заданием. Учитель читает первое задание, учащиеся
предлагают верный ответ. Таким же образом решается второе задание и т.д.):
1) Вычеркнуть ненужные слова текста в скобках:
а) Окружность — это (абстрактная, геометрическая, плоская)
фигура, состоящая из (множества, всех) точек, расположенных

Урок 22 Окружность
109
на (одинаковом, заданном) расстоянии от (некоторой,
центральной) точки.
б) Радиусом окружности называется (линия, прямая, отрезок),
соединяющая центр окружности с (заданной, какой-либо) точкой
окружности.
2) Диаметр окружности — это... (закончить определение):
а) два радиуса, лежащие на одной прямой;
б) хорда, проходящая через центр окружности;
в) прямая, проходящая через две точки и центр окружности.
3) Центр окружности - это... (закончить определение):
а) точка, куда ставится ножка циркуля при начертании
окружности;
б) середина окружности;
в) точка, равноудаленная от всех точек окружности.
4) Дуга окружности - это... (закончить определение):
а) часть окружности, выделенная точками;
б) часть окружности, ограниченная двумя точками;
в) часть окружности, ограниченная хордой.
5) Определить, на сколько дуг делят окружность две точки,
лежащие на окружности. Выбрать правильный ответ:
а) на одну;
б) на две.
6) Как изображается хорда на чертеже окружности? Выбрать
правильный ответ:
а) прямой линией;
б) дугой окружности;
в) отрезком с концами, лежащими на
окружности.
7) Как называется отрезок, соединяющий
центр окружности с любой точкой
окружности? Выбрать правильный ответ:
а) длина окружности;
б) радиус окружности;
в) половина диаметра окружности.
8) Выбрать на рисунке:
а) хорду (рис. 2.158);
б) диаметр (рис. 2.159).
IV. Закрепление изученного материала
1. Решить устно задачи № 77 и № 78 из
рабочей тетради.
2. Устно решить задачу № 143.
Задана №143
а) хорды окружности: CD, MN, АВ.
б) диаметры окружности: АВ.
в) радиусы окружности: ОВ, ОА, ОР.
3. У доски и в тетрадях решить задачу № 146. рис. 2.159

110
Глава II Треугольники
Рис. к задаче 146
Рис. 2 160
Рис. 2.161
Задана № 146
А СОВ = A DOA по двум сторонам и углу между ними (ОС = OD, ОВ =
= ОА как радиусы одной окружности, Z СОВ = Z DO А как
вертикальные) => AD = СВ = 13 см. Так как АВ — диаметр окружности, О — ее центр
иАВ= 16см, то АО= 0/)=8см,тогдаРА(Ю = Л0+ OD + AD= 8+8+13 =
= 29 (см). (Ответ: 29 см.)
Наводящие вопросы:
1) Что вы можете сказать о треугольниках СОВ и DOA1
2) Чем являются ОА, ОВ, ОС, OD по отношению к данной
окружности? Чему равны их длины?
3) Чему равен периметр треугольника АОШ
V. Самостоятельная работа обучающего характера
(На доске записать задачи I и II уровней и предложить учащимся
самим выбрать задачи, которые они будут решать. В ходе выполнения
самостоятельной работы учитель оказывает индивидуальную помощь при
необходимости.)
I уровень
1. Рис. 2.160.
Доказать: ZAOB= ZCOD.
2. Рис. 2.161.
Дано: ZMOP= ZNOK.
Доказать: MN = РК.
3. Рис. 2.162.
Дано: АВ = CD, E — середина АВ, F — середина
CD.
Доказать: ОЕ= OF.
4. В окружности с центром О проведены диаметр
АС и радиус ОВ так, что хорда ВС равна радиусу.
Найдите ZAOB, если ZBCO= 60е.
II уровень
7 1. Рис. 2.163.
' В окружности с центром О проведены хорды АВ
и CD.
Докажите, что если ZAOC = Z BOD, то АВ =
Рис. 2.163 = CD.

Урок 22 Окружность
111
Рис. 2.164
Рис. 2.165
D
Рис. 2.166
Доказательство:
1) По условию задачи ZAOC= Z BOD. ZAOB = ZAOC+ ZCOB,
Z COD= Z COB+ Z BOD. Отсюда следует, что ZAOB = Z COD.
2) A AOB = A COD по двум сторонам и углу между ними (ОА = ОС,
OB = OD как радиусы одной окружности, ZAOB= Z COD).
3) Так как A AOB = A COD, то АВ = CD.
2. Дано: MN= EF; OP 1 MN; OD J_ EF(pnc. 2.164).
Доказать: ОР= OD.
Доказательство:
1) А Л/М2 = A EFO по трем сторонам (MN = ii1/1 по условию задачи;
МО = EO, NO = FO как радиусы одной окружности). Отсюда следует, что
ZPNO= ZDEO.
2) A PNO = A DEO по стороне прилежащим к ней углам (PN= DE,
так как PN= 1/2 Л/TV, DE= 1/2 £F, а Л/#= EFno условию задачи; Z PNO =
= Z DEO по доказанному; Z NPO = Z EDO, так как OP I MN,
OD I EF). Отсюда следует, что ОР= OD.
3. Дано: AB=CD (рис. 2.165).
Доказать: АС = BD.
Доказательство (см. рис. 2.166):
1) A AOB = A COD по трем сторонам (АО =BO=CO=DO как
радиусы одной окружности; АВ = CD по условию задачи). Значит, ZABO =
= Z DCO.
2) А 0ЯС - равнобедренный с основанием ВС, и Z ОВС = Z ОСВ
как углы при основании равнобедренного треугольника.
3) ZABC = ZABO + Z ОВС, ZDCB = ZDCO + Z ОСВ, но
ZABO = ZDCO, a Z ОВС = Z ОСВ, следовательно,
4) А АВС = А /)С2? по двум сторонам и углу между ними (АВ = CD, ВС—
- общая сторона, ZABC = ZDCB). Отсюда следует, что
AC=BD.
4. Отрезок BD — высота А АВС. От вершины В на прямой С В по обе
стороны от точки В отложены отрезки BE и ВК, равные АВ. На АС от
точки D отложен отрезок DF, равный DA. Докажите, что точки А, Е, Ки F
лежат на одной окружности.

Глава II Треугольники
Доказательство (см. рис. 2.167):
1) По построению ВЕ= ВК= АВ.
2) Так как AD = DF, BD ± AF,to AABD =
A FDB по двум сторонам и углу между ними
(AD = DF, BD - общая сторона, ZADB =
= Z FDB = 90°), следовательно, АВ = BF.
3) Получили, что ВЕ= ВК=АВ= BF, то есть
точки А, Е, К, F равноудалены от точки В. Это
" ' w значит, что данные точки лежат на окружности
Рис 2Л67 с центром в точке В, а радиус этой окружности
равен длине АВ (BE, BK, BF).
Домашнее задание
1. §21, вопрос 16.
2. Решить задачи № 144, 145, 147.
3. Дополнительная задача:
АВи CD — два диаметра окружности с центром в точке О. Луч ОЕ —
биссектриса угла АОС. ОЕ пересекает окружность в точке К, причем КЕ= КО.
Периметр треугольника КСО в три раза больше радиуса окружности.
Докажите, что точки Е, А, С и О лежат на одной окружности.
Доказательство (см. рис. 2.168):
1) А ОКА= А ОКС по двум сторонам и углу
между ними (ОА= ОС как радиусы одной
окружности; ОК - общая сторона; ZAOK =
= Z СОК, так как ОЕ— биссектриса угла А ОС).
Отсюда КА = КС.
2) По условию задачи Рксо = 3 R, где R -
радиус окружности. ОК= R, ОС— R,
следовательно, КС = R.
3) По условию задачи КЕ= КО, а так как КО =
=Я, то КЕ= R. По доказанному КС= R, но КС =
= АК, следовательно, АК— R.
Итак, получили, что КО= R, KE= R, KA=R, KC= R,т.е.точки Е, А, С
и О равноудалены от точки К и лежат на одной окружности.
Урок 23. Примеры задач на построение
Цели урока:
1) дать представление о задачах на построение;
2) рассмотреть наиболее простые задачи на построение и научить
учащихся решать их.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать цели урока.
II. Повторение. Проверка домашнего задания

Урок 23 Примеры задач на построение 113
1. Теоретический опрос (вопрос 16).
2. Разобрать решение дополнительной домашней задачи (можно
заслушать одного из учащихся, справившихся с решением задачи). Для
проверки усвоения принципа решения данной задачи можно
задать менее подготовленным учащимся следующие вопросы:
— В каком случае точки Е, А, С и О будут лежать на одной
окружности? (Если найдется такая точка X, что ХЕ = ХЛ = ХС = ХО.)
— Какая точка, по вашему мнению, может служить центром такой
окружности? (Точка К.)
— Как доказать равенство отрезков КЕ, КА, КС, КСК (КО= КЕ по
условию задачи. Нужно еще доказать, что КА = КС. Это можно
сделать, доказав равенство треугольников OAK и ОС К.)
— Почему КС = КО? (По условию задачи периметр А КС О в три раза
больше радиуса окружности. Две стороны А КСО ОК и ОС равны
радиусу, значит, и третья сторона, КС, также равна радиусу.)
3. Для подготовки учащихся к восприятию нового материала можно
выполнить следующие упражнения:
— Какой инструмент используется для того, чтобы начертить
отрезок заданной длины? А угол заданной градусной меры? (Линейка с
миллиметровыми делениями, транспортир).
1) Начертите А ЛЯС такой, что АВ= 3,6 см, АС =2,7 см, ZA = 48°.
2) Начертите А АВС такой, что АВ = 4 см, Z А = 62°, Z С = 54°.
3) Начертите А АВС такой, что АВ = 5 см, ВС = 4 см, АС =6 см.
Задания можно дать по одному на ряд, по группам и т.д., а затем
заслушать учащихся.
Эти задачи мы решали с помощью линейки с миллиметровыми
делениями и транспортира. Но есть такие задачи, в которых бывает
оговорено, с помощью каких инструментов нужно построить нужную
геометрическую фигуру, например, такая: «С помощью циркуля и линейки
построить отрезок, равный данному (рис. 2.169)».
При этом линейка не содержит делений, и ставить на ' '
линейке деления нельзя. Новый отрезок должен иметь
такую же длину, как в задаче. (Можно объединить уча- ис'
щихся в небольшие группы и дать 3—5 минут на обдумывание решения.
После этого заслушать все варианты решений и обсудить их, при этом
попросить учащихся доказать, что новый отрезок имеет ту же длину, что
и отрезок в условии задачи. В заключение можно сделать вывод.)
Вывод: Очень многие построения в геометрии могут быть выполнены
с помощью циркуля и линейки без делений. Такие задачи мы будем
называть задачами на построение. Итак, тема сегодняшнего урока «Задачи
на построение».
III. Изучение нового материала
(Проводится в виде небольшой лекции учителя.)
Задачи на построение - это такие задачи, при решении которых
нужно построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую условиям
задачи, с помощью циркуля и линейки без делений.

Глава II. Треугольники
Схема решения задач на построение:
1) Анализ (рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между
данными задачи и искомыми элементами, и план построения).
2) Построение по намеченному плану.
3) Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи.
4) Исследование (при любых ли данных задача имеет решение, и если
имеет, то сколько).
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что при решении
простых задач достаточно только второго пункта схемы решения задач
на построение, а в некоторых используют второй и третий пункты. В 7
классе учащиеся решают самые простые задачи на построение.
IV. Отработка навыков решения задач на построение
(Разделить весь класс на шесть групп, каждая из которых готовит одну
из задач на построение по учебнику в течение 3—5 минут. Далее выходит
представитель первой группы и решает на доске первую задачу, все
остальные учащиеся работают в тетрадях. Затем таким же образом
решается вторая задача и т.д.)
- На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному
(§ 22);
— Отложить от данного луча угол, равный данному (§ 23);
- Построить биссектрису данного угла (§ 23);
— Построить прямую, проходящую через данную точку и
перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка (§ 23);
- Построить середину данного отрезка (§ 23);
— Построить прямую, проходящую через точку, не лежащую на
данной прямой, перпендикулярную этой прямой (задача № 153).
Домашнее задание
1. § 22, 23, вопросы 17-21.
2. Решить задачу № 153.
Урок 24. Решение задач на построение
Цели урока:
1) закрепить у учащихся навыки решения простейших задач на
построение;
2) научить решать задачи на построение.
Ход урока
I. Организационный момент
Сформулировать тему урока, сообщить цели урока.
П. Актуализация знаний учащихся
1. Теоретический опрос по вопросам 18-21 и задаче № 153.
Наиболее подготовленным учащимся можно дать решить задачи на
построение № 2—6 (см. план предыдущего урока) с доказательством
самостоятельно.

Урок 24. Решение задач на построение
115
Рис. 2.170
2. Фронтальная работа с менее подготовленными
учащимися — повторить решение задач на
построение № 1—6 (см. план предыдущего урока) у доски и в
тетрадях учащихся без доказательства.
III. Решение задач
1. Решить задачи № 79 и 80 из рабочей тетради.
2. Решить задачу № 150 (один ученик работает у
доски, остальные — в тетрадях).
Задача № 150
Построение (см. рис. 2.170):
Начертим окружность с центром в точке А и
радиусом, равным PQ. Точки пересечения построенной и данной по условию
задачи окружностей — искомые точки.
Таких точек может быть: 1) две, если окружности пересекаются в двух
точках; 2) одна, если окружности имеют одну общую точку; 3) ни одной,
если окружности не пересекаются. Таким образом, задача не всегда
имеет решение.
2. Самостоятельное решение задач.
Iуровень - решить задачи № 148, 151, 155.
IIуровень — решить задачу № 155 и дополнительные задачи:
Дополнительная задана 1
Начертите произвольный остроугольный треугольник ABC и постройте
точку пересечения высоты BD и биссектрисы AL этого треугольника.
Дополнительная задача 2
От данного луча отложите угол, равный 1/4 данного угла.
Дополнительная задача 3
От данного луча отложите угол, который в полтора раза больше
данного угла.
Дополнительная задача 4
Постройте угол, равный 135°. От его вершины А на сторонах отложите
два равных отрезка АВиАСи постройте окружность, проходящую через
точки А, В и С.
Построение (рис. 2.171):
Построить угол в 90е и его
биссектрису. Половина угла в 90°
со смежным ему углом в 90е
составляют угол в 135°: Z ВАС =
= 135е. АВ = АС. Построить
середины АВиАС- точки МиК
Через эти точки провести
прямые, перпендикулярные АВ и
несоответственно, которые
пересекутся в точке О. О- центр
окружности, проходящей через
точки А, В и С. Легко можно
доказать, что ОВ= ОА= ОС. Рис. 2.171

116
Глава II. Треугольники
Рис. 2.172
Рис. 2.173
Домашнее задание
1. Вопросы 17-21, задача № 153.
2. Решить задачи: I уровень — № 81, 82, 83
из рабочей тетради; II уровень — № 149,
152, 154 из учебника.
3. Дополнительные задачи:
Задана 1
Дан А АЯС(рис. 2.172). На прямых АС
и ВС постройте точки Хи Y— такие, что
ХА = ХВи YA= YB.
Построение (см. рис. 2.173): Построить
середину АВ - точку Л/, через нее провести
прямую а, перпендикулярную АВ. а п
п ВС = Y, а п АС = X. Легко можно
доказать, что ХА = ХВ и YA = YB
(воспользуйтесь равенством треугольников AMY и
BMY, АМХп ВМХ).
Задача 2
Как с помощью циркуля и линейки:
а) разделить угол в 54е на три равные
части;
б) разделить угол в 35° на семь равных частей?
Построение'.
а) 54е: 3 = 18е, 54° • 2 = 108°, 108° - 90° = 18е. Построить угол в 18е и
разделить угол в 54° на три равные части.
б) 35° : 7 = 5°, 35е • 5 = 175°, 180е - 175е = 5е. Построить угол в 5° и
разделить угол в 35° на семь равных частей.
Урок 25. Решение задач на применение признаков
равенства треугольников
Цели урока:
1) закрепить и совершенствовать навыки решения задач на
применение признаков равенства треугольников;
2) продолжить выработку навыков решения задач на построение с
помощью циркуля и линейки.
Ход урока
I. Организационный момент
Сформулировать тему урока, сообщить цели урока.
П. Проверка домашнего задания. Повторение
1. Проверить решение дополнительных домашних задач.
(К доске вызвать учащихся, справившихся с решением задач.)
2. Решение задач по готовым чертежам (устно) рисунки подготовить
на доске или на планшетах заранее.

Урок 25. Решение задач
117
D
Рис. 2.177
Рис. 2.174
1) Рис. 2.174.
ъ)Дано:АВ = АС, ZACE = ZABD.
Доказать: ААСЕ= AABD.
Ь)Дано:АЕ = 15 см, ЕС = 10 см, АС= 1 см.
Найти: стороны A ABD.
2) Рис. 2.175.
Дано: АО = ОС, Z ВАО = Z DCO.
Доказать: АВ = CD.
3) Рис. 2.176.
Ддко: ЛЯ = DC, AD = ДС, /^ = 15 см,
= 20 см.
Найти: АС.
4) Рис. 2.177.
uam:AB=BC,AD^DC, ZABD= 63°, ZADB =
= 37°.
Ядшяи: Z СЯД Z CZ)A
3. Решение задач № 158, 165 (письменно в тет- А
радяхиудоски).
Задача № 158
Дано: А АВС — равнобедренный (см. рис. 2.178),
АС — основание, АС = 8 см. AD — медиана. PABD больше /^ на 2 см или
наоборот.
Найти: боковую сторону А АВС.
Решение: Пусть BD = хсм, тогда DC = хсм, АВ = 2хсм. Пусть AD = уси.
Рассмотрим два случая:
1) если Рлво больше PADC на 2 см, то (АВ + BD + AD) - (AD + /)С+ЛС) =
= 2, то есть (2х + х + у) - (у + jc+ 8) = 2.
Откуда х = 5, то есть BD = 5 см, Aff = 10 см.
2) если PADC больше PABD на 2 см, то (у + jc + 8) — (2х + х + >>) = 2, откуда
х = 3, то есть /?Z> = 3 см, АВ = 6 см. (Ответ: 10 см или 6 см.)
Наводящие вопросы:
1) Что вы можете сказать о длинах отрезков АВ, BD и DC? Чему равны
АВ и Z)C, если BD = x см?
Рис. 2.178

Глава II. Треугольники
К2 К, В
Рис. 2.180
2) По условию задачи сказано, что периметр одного треугольника
больше периметра другого. Периметр какого треугольника больше? Сколько
решений имеет задача?
Задана М 165 (а)
Решение (см. рис. 2.179):
1) А АОС = A BOD по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО,
СО = DO, так как О - середина АВ и CD; Z АОС = Z BOD как
вертикальные). Следовательно, Z САО = Z DBO.
2) А АКО = А ВКХ О по двум сторонам и углу между ними (АК= ВКХ;
АО = ВО; Z КАО = Z КХВО, так как Z АОС = Z BOD). Отсюда следует,
что ОК= ОКУ
Наводящие вопросы:
1) Чтобы ОК = ОКР нужно равенство треугольников, содержащих в
себе отрезки ОКи ОК, в качестве своих сторон. Какие это треугольники?
2) Равны ли Z ОАКи Z ОВК{! Из равенства каких треугольников
следует равенство углов ОАКи ОВК{>
Задача № 165 (б)
Решение (см. рис. 2.180): Начертим луч ОК2 так, что точка О лежит на
отрезке КК,, тогда ZAOK= Z ВОК^ как вертикальные. Но по
доказанному выше А АКО = А ВКХО, следовательно, ZAOK= Z ВОКУ
Так как ZAOK= ZBOK^n ZAOK= ZBOKvto ZBOK2= ZBOKV
следовательно, луч OK2 совпадает с лучом OKV то есть точки О, Км Кх
лежат на одной прямой.
Наводящий вопрос:
1) Предположим, что точка О не лежит на прямой ККР а лежит на
прямой ККГ Что можно сказать в этом случае об углах АОКп В ОК. и
ВОК2?
III. Самостоятельное решение задач
/уровень: решить задачи № 157, 159, 162.
Задача № 157
Решение: Пусть А АВС — равнобедренный (АВ = ВС), тогда АС = АВ +
+ 2 см, и АС — АВ + ВС — 3 см. Но АВ = ВС, поэтому можно составить
равенство: АВ + 2 см = 2 АВ - 3 см, откуда АВ = 5 см.
Тогда ВС =5 см, АС =7 см. (Ответ: 5 см, 5 см, 7 см.)

Урок 25. Решение задач
119
D В СЕ
Рис. 2.182
Рис. 2.183
Задана № 162 (а)
Доказательство (рис. 2.181):
1) A ADE - равнобедренный с основанием DE, следовательно, ZD =
= ZE как углы при основании равнобедренного треугольника.
2) A ADB = А ЛЕС по двум сторонам и углу между ними (AD = АЕ,
DB= СЕ, ZD = Z Е), следовательно, АВ = AC, ZDAB = ZEAC.
3) ZCAD= ZCAB+ ZDAB, ZBAE= ZEAC+ ZCAB,ho ZDAB =
= Z EAC, поэтому Z CAD = Z BAE. Итак, AB = AC, Z CAD = Z BAE.
Задана № 162 (6)
Доказательство (рис. 2.182):
1) A ADE — равнобедренный с основанием DE, следовательно, ZD =
= ZE
2) ZDAC= ZEAB,ho ZDAC= ZDAB+ ZВАС, ZEAB= ZEAC +
+ Z ВАС, следовательно, Z DAB = Z EAC
3) ZDAB = ZEAC по стороне и прилежащим к ней углам (AD =
= АЕ, ZDAB= ZEAC, ZD= ZE), отсюдаAB = AC, DB= СЕ.
IIуровень: решить задачи № 157, 160, 162, 163.
Задана № 160
Доказательство (рис. 2.183):
а) Пусть К— произвольная точка прямой а. А АКВ — равнобедренный,
так как СО — медиана и высота, значит, АВ = ВС.
б) Пусть К— произвольная точка плоскости, такая,
что АК = КВ. Тогда КО - медиана, проведенная к
основанию, а значит, и высота. Получаем, что СО лежит
на прямой а, т.е. С е а.
Задана № 163
Доказательство (рис. 2.184):
1) А ЛВС— равнобедренный с основанием АС,
значит, ZA= ZC
2) А АМК= А СNK по двум сторонам и углу между
ними (AM = CN, так как Л/ и N — середины боковых
сторон равнобедренного треугольника; АК = СК, так
как К- середина AC; ZA= ZC).

120 Глава II. Треугольники
М,
Рис. 2.185 д с А|
Рис. 2.186
3) Так как А АМК— A CNK, то МК= NK, т.е. в треугольнике
стороны равны, следовательно, A MNK— равнобедренный.
Домашнее задание
1. Решить задачи № 156, 161, 164.
2. Дополнительная задача № 166.
Задача № 156
Решение (рис. 2.185): Пусть АВ = х см, тогда ВС = (х + 2) см, АС = (х +
+ 1) см. РАВС = 15 см, поэтомух + (х + 2) + (х+ 1) = 15, откудах = 4.
Значит, АВ = 4 см, ЯС= 6 см, ЛС= 5 см. (Ответ: АВ = 4 см, Ж7= 6 см,
ЛС=5см.)
Задана № 161
Доказательство (рис. 2.186):
1) ВС= BXCV Ми Мх - середины ВСи BXCV следовательно, ВМ= МС =
BM MC
BlMl MlCr
2) А АВМ = А АХВХЛ/, по двум сторонам и углу между ними (AM =
=AXMVMB= MXBV ZAMB= Z.AXM{BX),следовательно, АВ = AXBV ZB =
= ZBV
3) A ABC = A AXBX С, по двум сторонам и углу между ними (АВ = АхВр
BC=BXCV ZB= ZBX).
Задача № 164
Доказательство: 1) Так как А АВС — равносторонний, и ЕВ = FC =
= DA,ToAE=BF=CD,a ZA= ZB= ZC
2) A AED = A BFE= A CDF по двум сторонам и углу между ними (AD =
= BE=FC;AE=BF=CD; ZA= ZB= ZQ.
Следовательно, МК = MN = NK, то
есть треугольник MNK -
равносторонний.
Задача № 166
Доказательство (рис. 2.187):
1) А АОС = A BOD (АО = ВО, ОС =
= OD, ZAOC = ZBOD). Отсюда
ZA= ZB,AC=BD.
2) Так как АС= BD, Mu N-
середины АС и BD, то AM = BN.

Урок 26. Решение задач 121
3) А АМО = A BNO (AM = BN, АО = ВО, ZA = Z В). Отсюда
MO=NO.
4) Докажем теперь, что точки М, N, О лежат на одной прямой.
Предположим, что это не так. Но в этом случае найдется луч OL, являющийся
продолжением луча ОМ. Тогда ZAOM = Z BOL как вертикальные. Но
Z АОМ = Z BON из равенства треугольников АОМ и BON.
Так как ZAOM= ZBONn ZAOM= ZBOL,to ZBON= ZBOL.
Следовательно, лучи ON и OL совпадают.
Значит, точки М, N, О лежат на одной прямой, а так как МО = N0, то
О - середина отрезка MN.
Урок 26. Решение задач
Цели урока:
1) совершенствование навыков решения задач;
2) отработка навыков решения задач на построение с помощью
циркуля и линейки.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели и задачи урока.
П. Актуализация знаний учащихся
1. Устно решить задачи № 167, 169, 185 (рисунки к задачам заранее
заготовить на доске или на плакате).
2. Письменно решить задачу №171.
(Дать учащимся на обдумывание 2—3 минуты, затем выслушать
предложения по решению задачи, выполнить на доске рисунок, составить план
решения задачи. Полное решение учащиеся самостоятельно записывают
в тетрадях.)
Доказательство (рис. 2.188):
1) A ABC— A CDA по двум сторонам и углу между ними (ВС—AD, АС—
общая сторона, ZACB =Z CAD по условию задачи), следовательно,
ZB= ZD,AB= DC, ZBAC= ZDCA.
2) Так как Z ВАС = Z DCA, a Z ВАС = Z BAO + Z OAC, Z DCA =
= ZDCO+ ZOCAn ZOAC= Z OCA, то ZBAO= ZDCO.
3) A ABO = A CDO по стороне и прилежащим к ней углам (АВ =
= DC, ZB= ZD, ZBAO= ZDCO).
III. Самостоятельная работа
Цель работы — проверить готовность уча- ВА
щихся к предстоящей контрольной работе,
выявить пробелы в знаниях учащихся.
В конце урока учащиеся сдают тетради на
проверку учителю.
I уровень
Вариант I A
1. Рис. 2.189. Рис. 2.188

122
Глава II. Треугольники
Рис. 2.189
Р Е
Рис. 2.190
Дано: О - середина АВ,О- середина DC. Z OAD = \\2°,Ж = 7.см.
Найти: Z ОВС, AD.
2. Луч AD — биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки
Ви Стак, что ZADC= ZADB.
Докажите, что АВ = АС.
3. Начертите равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. С
помощью циркуля и линейки проведите медиану ВВХ к боковой стороне АС.
Вариант II
Х.Дано: MD = DE, KD = DP, Z MKD = 63°, DM =4 см. (рис. 2.190).
Найти: Z DPE, DE.
2. На сторонах угла D отмечены точки Л/и А'так, что DM= DK. Точка
Р лежит внутри угла Д и РК= РМ.
Докажите, что луч DP — биссектриса угла MDK.
3. Начертите равнобедренный А АВС с основанием АС и острым
углом В. С помощью циркуля и линейки проведите высоту из вершины А.
II уровень
Вариант I
1. Известно, что в треугольниках АВС и АХВХ С, Z А = ZAl,AB = AxBi,
AC = AxCrY[a сторонах ВСи Вх С, отмечены точки К и Кх, такие, что СК=
= СХКХ.
Докажите, что ААВК= ААХВХКХ.
2. В равнобедренном А АВС с основанием А С биссектрисы ААХ и ССХ
пересекаются в точке О.
Докажите, что прямая ВО перпендикулярна к прямой АС.
Доказательство (см. рис. 2.191):
1) А ААХС= А ССХА по стороне и прилежащим к
ней углам (АС — общая сторона; ZAXAC= ZCXCA,
так как ААХ и ССХ — биссектрисы равных углов;
Z СХАС = ZAXCA как углы при основании
равнобедренного треугольника), следовательно, ZOAXC =
= Z ОСХА, САХ = АСХ.
2) ААСХО= А САХ О по стороне и прилежащим к
(АС СЛ Z САО ZACO Z ОСА
Q
Рис. 2.191
С ней углам (АСХ = САХ; Z СХАО = ZAXCO; Z ОСХА =

Урок 26. Решение задач
123
Рис. 2.192
Следовательно, СХО = АхС.
3) Л ВСХ О = А ВАХ О по трем сторонам (ВО — общая сторона; С, О =
=АХО;ВСХ = ВАх,таккакАВ= ВСиАСх = G4,), следовательно, ZCXBO =
= Z АХВО, то есть ВО — биссектриса угла СХВАХ.
4) Если ВО — биссектриса угла СХВАХ, то BQ — биссектриса А АВС, и
по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника BQ - высота, то
есть BQ 1 АС.
3. Начертите равнобедренный тупоугольный А АВС с основанием ВС
и тупым углом А. С помощью циркуля и линейки проведите:
а) высоту треугольника АВС из вершины угла В;
б) медиану треугольника АВС к стороне АВ;
в) биссектрису треугольника АВС из угла А.
Вариант II
1. Известно, что в треугольниках АВС и АХВХ С,
Z В = Z Bv АВ = Л,ЯР ЯС= 5,С,. На сторонах АСи
АХС{ отмечены точки D и Z), так, что AD = Л,/),.
Докажите, что А Я/)С= А £,/),(:,.
2. В равнобедренном А АВС с основанием ВС
медианы /?/) и СЕ, проведенные к боковым сторонам,
пересекаются в точке М.
Докажите, что прямые AM и ВС перпендикулярны.
Доказательство (см. рис. 2.192):
1) А ВВС — А СЕВ по двум сторонам и углу между ними (ВС — общая
сторона; BE = DC, так как DC = 1/2 ЛС, Я£ = 1/2 АВ, а АС = АВ как
боковые стороны равнобедренного треугольника; Z 2?CZ) = Z СВЕ как
углы при основании равнобедренного треугольника). Следовательно,
ZBDC= ZCEBn ZDBC= ZECB.
2) ZEBM= ^EBC- ZDBC, Z DCM = ZDCB- ZECB. Так как
Z £ЯС= Z /)СЯ, a Z /)£C= Z £СЯ, то Z £ЯМ= Z /)СЖ
3) A EBM— A DCM no стороне и прилежащим к ней углам (ВЕ= CD;
Z EBM= Z DCM, Z BEM= Z CDM), значит, ЕМ= DM.
4) А ЕМА = A DMA по трем сторонам (АЕ = AD, EM = DM, AM -
общая сторона), следовательно, ZEAM— Z DAM, что означает, что
AM- биссектриса Z ВАС, а АР — биссектриса и высота А АВС, то есть
API ВС,иАМ ± ВС.
3. Начертите равнобедренный остроугольный A MNK с основанием
МК и острым углом N. С помощью циркуля и
линейки проведите:
а) медиану треугольника MNKk стороне MN;
б) биссектрису треугольника MNK из угла К;
в) высоту треугольника MNK из вершины М.
III уровень
Вариант I
1. Дано: АВ = С7), ВК = /)Л/, ЛЛ/ = СК
(рис. 2.193).
Доказать: AADM= А
/>ис. 2 795

124 Глава II. Треугольники
Доказательство:
1) АМ= СК, но АМ= АК+ KM, СК= CM+ МК, значит, СМ= АК.
2) A DCM= А ВАКпо трем сторонам (CD = AB,DM = ВК, СМ= АК),
следовательно, ZCMD= ZAKB.
3) Z CMD = 180е - ZAMD, ZAKB = 180° - Z СКВ, но Z CMD =
= ZAKB, значит, ZAMD = Z СКВ.
4) A ADM= А СВК по двум сторонам и углу между ними (DM= BK,
АМ=СК, ZAMD= ZCKB).
2. В равнобедренном А АВС на. основании АС взяты точки D и £так,
4toAD= СЕ.
Докажите, что ААВЕ= A CBD.
3. В равнобедренном А АВС на боковых сторонах АВ и СВ взяты
соответственно точки А/и Ntbk, что 1М/= BN. Отрезки AN и
СЛ/пересекаются в точке Е.
Докажите, что ЕВ — биссектриса угла MEN.
Вариант II
В С 1. Дано: ВЕ= ЕК= KD,AE= CK, BC = AD
(рис. 2.194).
Доказать: АВ = CD.
2. В равнобедренном А АВС на боковых
сторонах АВиСВ взяты соответственно точки
D и Етак, что AD = С/Г. Отрезки АЕ и CZ) пере-
" ~ секаются в точке О.
Ркс. 2.7 94 Докажите, что 50 — биссектриса угла АВС.
3. В равнобедренном А АВС на основании
/1С взяты точки М и ЛГтак, что ZABM= Z CBN.
Докажите, что AABN= A CBM.
Домашнее задание
1. Решить задачи № 168, 170, 172.
2. Дополнительная задача — № 174.
Урок 27. Решение задач.
Подготовка к контрольной работе
Цели урока:
1) систематизировать знания по темам второй главы, устранить
пробелы в знаниях учащихся;
2) подготовить учащихся к контрольной работе.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, поставить перед учащимися цели на урок.
П. Решение задач на построение
На предыдущих двух уроках большинство задач было направлено
на закрепление знаний, умений и навыков по темам «Признаки ра-

Урок 27. Решение задач 125
венства треугольников» и «Равнобедренный треугольник». Первую
половину настоящего урока отведем на закрепление темы «Задачи на
построение».
Решить задачи № 181, 183 (фронтальная работа с классом).
Задана № т
Дано\ радиус окружности; точки Аи В.
Построить: окружность с радиусом R, проходящую через точки А и В.
Наводящие вопросы:
1) Что нужно знать для построения искомой окружности? (Центр;
радиус нам дан.)
2) Как относительно друг друга расположены центр окружности (пусть
это будет точка О) и заданные точки А и Ш (Они образуют
равнобедренный треугольник АОВ с основанием АВ и боковой стороной,
равной заданному радиусу.)
3) Составьте план построения искомой окружности.
План построения:
1) Построить равнобедренный А АОВ с основанием АВ и боковой
стороной АО, равной заданному радиусу.
2) Построить окружность с центром в точке О и радиусом R.
Полученная окружность — искомая).
Далее учащимся предлагается самостоятельно построить искомую
окружность.
Задачам 183
Построение:
1) Соединим точки А и В отрезком АВ.
2) Так как вершина С лежит на окружности, а АС = PQ, то начертим
окружность с центром в точке А и радиусом, равным PQ.
а) Если окружность пересекает данную окружность в двух точках (С,
и С2), то искомых треугольников также будет два: А АВСХ и А АВС2.
б) Если построенная окружность имеет одну общую точку с заданной
окружностью, то эта точка и будет точкой С, и значит, можно
построить один А АВС.
в) Если окружности не пересекаются, то в этом случае задача не имеет
решения.
Ш. Анализ ошибок самостоятельной работы
Учащимся, допустившим серьезные ошибки при выполнении
самостоятельной работы, можно назначить консультантов или предложить
разобраться с помощью готового решения (см. урок 26).
Учащиеся, успешно справившиеся с самостоятельной работой, могут
решать задачи следующего уровня, а также задачи № 175, 177, 178, 179
учебника.
Задача № 175
Решение:
1) A OAD = А ОВС по двум сторонам и углу между ними (OD = ОС,
ОВ=ОА, ZO- общий), следовательно, Z ODA = Z ОСВ.

126 Глава II Треугольники
С А, К, С,
Рис. 2.195
2) ZBDE = /LACE, ZBED = ZЛЕС, значит, ZEBD = 180°- ZE-
- ZD= 180е- ZE- ZC= ZEAC. ABED= A AEC по стороне и
прилежащим к ней углам. Отсюда ВЕ= АЕ.
3) А АОЕ = А ВОЕ по трем сторонам. Значит, Z ВОЕ = Z ЕОА, то
есть ОЕ- биссектриса Z YOX.
Построение: Чтобы построить биссектрису угла, нужно отложить на
его сторонах две пары равных отрезков и соединить концы этих отрезков
так, чтобы они пересекались. Луч, проходящий через вершину угла и точку
пересечения полученных отрезков, является биссектрисой угла.
Задача № 177
Доказательство (рис. 2.195): A ABC = ААХВХСХ по двум сторонам и
углу между ними (АВ = АХВХ, АС = АХСХ, ZA= ZAX).
а) A LKC = A LXKX С, по двум сторонам и углу между ними (LC = Lx С,
по условию, ZC— Z С, из равенства треугольников ABC и АХВХ С,,
КС = АС - АК = Лх С, - ЛХКХ = К{ С,). Поэтому KL = KXLV
б) A LCA = A LXCXAX по двум сторонам и углу между ними (LC =
= LXCX,AC = AXCX, ZC= Z С,), значит, AL = AXLV
Задана М 178
Доказательство: Пусть точка В лежит на отрезке АС, Допустим, что
AD= BD= CD. Тогда A ADC, A ADB и A BDC - равнобедренные,
поэтому ZA = Z С, ZA = ZABD, ZC= Z DBC. Следовательно, ZABD =
= Z CBD. Но эти углы смежные, а так как они равны, то каждый из них
равен 90е.
Итак, ZAn Z ABD — прямые углы, то есть прямые AD и BD
перпендикулярны к прямой АС. Но это невозможно, так как они пересекаются
в точке D.
Значит, наше предположение, что AD = BD = CD, неверно, поэтому
хотя бы два из этих отрезков не равны друг другу.
Задана № 179
Доказательство (см. рис. 2.196): А ВРХ= А СДОло стороне и
прилежащим к ней углам (ВХ= СХпо условию, ZB= Z Скак углы при
основании равнобедренного A ABC, ZPXB= Z QXC по условию).
Отсюда ВР = CQ, и тогда А ВРС = A CQB по двум сторонам и углу
между ними (ВР= CQ, ВС- общая сторона, ZB= ZQ. Значит, BQ= СР.

Урок 29. Работа над ошибками
127
Домашнее задание
1. Решить задачи № 180, 182, 184.
2. Дополнительная задача: № 176.
Урок 28. Контрольная работа №2
по теме «Треугольники» (см. Приложение 1)
Урок 29. Работа нал ошибками
Цели урока:
1) устранение пробелов в знаниях учащихся;
2) совершенствование навыков решения задач по теме
«Треугольники».
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Подведение итогов контрольной работы
1. Сообщить учащимся общий анализ по итогам контрольной работы.
2. Наметить план работы над ошибками.
III. Работа над ошибками
I уровень
Учащиеся работают под руководством учителя следующим образом:
1) разобрать план решения задач контрольной работы устно по
заранее подготовленным рисункам;
2) самостоятельное решение
тех задач, с которыми ученик не
справился;
3) решение задач
контрольной работы II уровня с
помощью готовых подсказок.
Рисунки к задачам I уровня:
Вариант I
1. Рис. 2.199.
Найти: Р^.
2. Рис. 2.200.
Доказать: A BKD = A BMD.
3. Рис. 2.201.
ОА=ОВ= 1/2 PQ.
4. Рис. 2.202.
а) ААМВ= ААКВ;
б) ZAKM = ZBMK;
в) А МКА = А КМВ\
г) ZAMB = ZKBM.
Рис. 2.199
D
Рис. 2.200
Рис. 2.201
Рис. 2.202

128
Глава II. Треугольники
Рис. 2.203
Рис. 2.205
Рис. 2.206
Вариант II
1. Рис. 2.203.
Найти: Р^^.
2. Рис. 2.204.
Доказать: A AKD = A CMD.
3. Рис. 2.205.
OA = PQ, Z\= Z2.
4. Рис. 2.206.
a) A CAD= ABDA; б) ZDBA= Z CAB;
в) Z BAD = Z ВАС; г) ZADB = Z ВСА.
II уровень
Учащиеся работают самостоятельно следующим образом:
1) найти свои ошибки с помощью готовых подсказок для решения
задач, решить неверно решенные задачи;
2) решить задачи контрольной работы III уровня,
используя предоставленные указания и ответы к
задачам.
Подсказки для решения задач II уровня:
Вариант I
i5x 1. Рис. 2.207.
5х
Рис. 2.208
АВ: АС = 5 : 2, РАВС = 4S см, Р^^ АВ + ВС + АС.
(Ответ: АВ = АС = 20 см, АС = 8 см.)
2. С помощью циркуля и линейки:
1) разделите данный отрезок на четыре равные
части;
2) постройте окружность с центром в вершине
угла и радиусом, равным четверти данного
отрезка.
3. Рис. 2.208.
а) А ВРМ = А ВКМ по стороне и прилежащим к
ней углам (докажите, что Z PBM= Z КВМ).
б) Докажите, что А РВК- равнобедренный с
основанием РК, a BD — высота A PBK(D — точка
пересечения РКи ВМ).

Урок 29. Работа над ошибками
129
В О
Рис. 2.209
А 2х С
Рис. 2.210
Рис. 2.211
90°, а
4. Рис. 2.209.
1) ZBOD= 90° (DO 1 АВ).
2) СО - биссектриса Z BOD, тогда Z COD = 45°, Z DO A
ZCOA = 135°.
3) 135°: 2 = 67°30'. ОЕ- биссектриса Z СОА, Z>40£= 6Г30'.
// вариант
1. Рис. 2.210. ЛС: ЛЯ= 2 : 3, /^ = 56 см, /^ = ЛЯ+ ВС+АС. (Ответ:
АВ=ВС=2\ см, ЛС= 14 см.)
2. С помощью циркуля и линейки:
1) разделите данный отрезок на четыре равные части, возьми три
части;
2) постройте окружность с центром в вершине данного угла и
радиусом, равным трем четвертям данного отрезка.
3. Рис. 2.211.
а) A BMP = А ВКР по двум сторонам и углу между ними (докажи,
что ZMBP= ZKBP).
б) Докажите, что А МКР — равнобедренный с основанием МК.
4. Рис. 2.212.
1) ZAOB= 90°.
2) СО - биссектриса Z BOA. ^ СОА = 45°.
3) DO - биссектриса Z СОА. Z DOA = 22°30'.
4) РО - биссектриса Z DO A. Z РОА = 11°15'.
III уровень
Учащиеся работают самостоятельно следующим образом:
1) используя предоставленные указания и ответы к задачам, найти свои
ошибки и правильно решить все задачи;
2) предложить учащимся для самостоятельного решения
дополнительные задачи.
Ответы и указания к задачам III уровня: в
Вариант I
1. Ответ: 6 см, 6 см, 4 см.
2. а) Докажите, что А ВОА = А ВОС.
б) Докажите, что ВО — биссектриса и медиана
А АВС.
3. /cAK>atf:180o-54°-3=18\
II способ: 54° • 2 - 90° = 18°. Рис. 2.212

130 Глава II. Треугольники
Вариант II
1. Ответ: 8 см, 8 см, 4 см.
2. а) Докажите, что А AMP = А СКР, ВР - биссектриса Z МВК.
б) Докажите, что А МРК- равнобедренный, а РЕ- его
биссектриса и высота (Е = МК п ВР).
3. 34° • 3 - 90° = 12°.
Домашнее задание
Решить любые три дополнительные задачи:
Задача 1
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены
медианы АЕ и CD.
Докажите, что:
а) ААВЕ= ACBD;
б) A DOE и А АОС— равнобедренные, где О — точка пересечения АЕ
и CD;
в) ОВ - биссектриса Z DOE.
Задача 2
В равнобедренном А АВС с основанием АС на сторонах АВи ВС
отмечены соответственно точки Л/и Л^так, что ZACM= Z CAN.
Докажите, что:
а) A MBN— равнобедренный;
б) ВО JL MN, где О — точка пересечения ANn CM.
Задана 3
Треугольники АВСи DEFравны, и оба - равнобедренные.
Найти периметр А АВС, если DE = 4 см, EF— 5 см.
Задача 4
в J< Дд/ю: АВ = ЛЛ/, /1С = АК, Z А4/Г = Z САМ
^ (рис. 2.213).
Перечислите все пары равных треугольников с
вершинами в точках А, В, К, С, М.
чС Задача 5
На боковых сторонах равнобедренного
треугольника во внешнюю сторону построены
равносторонние треугольники.
Докажите, что отрезки, соединяющие вершины
равносторонних треугольников (отличные от вершин равнобедренного) с
серединой основания равнобедренного треугольника, равны между собой.
Задача 6
Докажите, что если у четырехугольника все стороны и все углы
равны, то его диагонали равны и перпендикулярны.
Задача 7
Три черепахи находятся в точках А, В и С, являющихся вершинами
равностороннего треугольника. Они одновременно с одинаковой
скоростью начинают ползти.
Черепаха, находившаяся в А, ползет по прямой АВ в направлении к В.

Урок 29. Работа над ошибками
131
Черепаха из /?ползет в С, черепаха из
Сползет в А.
Докажите, что во все моменты времени
черепахи располагаются в вершинах
равностороннего треугольника.
Задача 8
На рис. 2.214 изображена треугольная
пирамида с вершинами А, В, Си D.
Докажите, что все грани этой пирамиды
являются равными треугольниками, если:
а) АВ= CD, AC= BD,AD=BC;
6)AB=CD,AC=BD, ZABD= ZBDC;
в)АВ= CD, ZABD= Z CAB,
ZDAB= ZABC;
r) ZABD= ZBDC, ZADB= ZCBD, ZADC= ZBAD.

ГЛАВА 111
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
(уроки 30-42)
Признаки параллельности прямых. Аксиома параллельных прямых.
Свойства параллельных прямых.
Основная цель — дать систематические сведения о параллельности
прямых; ввести аксиому параллельных прямых.
Знание признаков параллельности прямых, свойств углов при
параллельных прямых и секущей находят широкое применение в дальнейшем
курсе геометрии при изучении четырехугольников, подобия
треугольников, а также в курсе стереометрии. Поэтому в ходе решения задач следует
уделить значительное внимание формированию умений доказывать
параллельность прямых с использованием соответствующих признаков,
находить равные углы при параллельных прямых и секущей.
На изучение отведено 13 часов.
Урок 30. Признаки параллельности прямых
Цели урока:
1) повторить понятие параллельных прямых;
2) ввести понятие накрест лежащих односторонних и
соответственных углов;
3) рассмотреть признаки параллельности двух прямых;
4) научить учащихся решать задачи на применение признаков
параллельности двух прямых.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и поставить цели.
П. Решение тестовых заданий с последующим обсуждением
Учащиеся решают задания самостоятельно. Важно подчеркнуть, что
за данный тест оценки в журнал выставлены не будут, что обеспечит
практически полную самостоятельность учащихся при выполнении задания.
1. Выбрать рисунки с пересекающимися прямыми.
а) рис. 3.1 а; б) рис. 3.1 б; в) рис. 3.1 в.
2. Завершить высказывания, выбрав нужный пункт:
Пересекающиеся прямые имеют...
а) на чертеже одну общую точку;
б) одну общую точку.

Урок 30. Признаки параллельности прямых
133
Рис. 3.2
3. Указать номера рисунков, на которых изображены параллельные
прямые.
а) рис. 3.2 а; б) рис. 3.2 б; в) рис. 3.2 в.
4. Указать неправильную концовку определения:
Две прямые на плоскости называются параллельными...
а) если они находятся на постоянном расстоянии друг от друга;
б) если они не пересекаются на плоскости;
в) если они обе перпендикулярны к третьей прямой;
г) если они не пересекаются на чертеже.
5) Указать рисунки, на которых приведены параллельные отрезки,
а) рис. 3.3 а; б) рис. 3.3 б;
в) рис. 3.3 в; г) рис. 3.3 г.
6) Указать правильную концовку определения:
Два отрезка называются параллельными, если они...
а) оба перпендикулярны третьей прямой;
б) лежат на параллельных прямых;
в) имеют одинаковое расстояние между концами;
г) не пересекаются на плоскости.
7) Указать рисунки, на которых приведены параллельные лучи,
а) рис. 3.4 а; б) рис. 3.4 б;
в) рис. 3.4 в; г) рис. 3.4 г.
Проверка ответов теста
(Учитель называет номер задания и просит 2-3 учеников назвать
вариант ответа. В случае разных ответов идет обсуждение задания.)
Рис. 3.3

134
Глава III. Параллельные прямые
А
С
Рис. 3.4
Ответы теста:
La, б; 2.6; 3. в; 4. г;
5. а,в; 6. б; 7. а, в, г.
III. Изучение нового материала
— Начертите прямые аи Ьи прямую с так, что аи b пересекаются с
прямой с.
— Сколько неразвернутых углов изображено на рисунке 3.5?
— Запишите в тетрадях:
с — секущая по отношению к прямым аи Ь.
Z3h Z 5; Z 4 и Z6- накрест лежащие углы.
Z4h Z5; Z3h Z6- односторонние углы.
ZIh Z5; Z2h Z6; Z4h Z8; Z3h Z7- соответственные углы.
Упражнения на закрепление углов, полученных при пересечении двух
прямых секущей (рис. 3.6):
— Назовите накрест лежащие углы при прямых аиЬи секущей с.
— Назовите односторонние углы при прямых Ьи си секущей а.
— Назовите соответственные углы при прямых аи си секущей Ь.
Дано: Z4= Z5 (рис. 3.7).
Докажите: Z3 = Z6; Z3= Z7; Z6= Z2; Z4 + Z6= 180°;
Z5+ Z2=180°.
Доказательство признаков параллельности прямых
1) Признак параллельности прямых, использующий накрест лежащие
углы, можно доказать по учебнику.
2) Признаки параллельности прямых, использующие односторонние
углы и соответственные углы, можно предложить учащимся в виде задач
на доказательство:
Рис. 3.5
Рис. 3.6

Урок 30. Признаки параллельности прямых
135
а-
b
Рис. 3.8
z
Рис. 3.9
Рис. 3.10
Задача 1 (Вариант I)
Две прямые пересечены третьей так, что
соответственные углы равны. Докажите, что прямые
параллельны.
Дано: Z 1 = Z 2, а п с, Ь п с.
Доказать: а \\ Ь.
Задана 2 (Вариант II)
Две прямые пересечены третьей так, что сумма
односторонних углов равна 180°. Докажите, что
прямые параллельны.
Дано: Z 1 + Z2 = 180°, а п с, Ь п с.
Доказать: а \\ Ь.
Решение задач 1 и 2 можно проверить следующим
образом: на доске подготовить рисунки и предложить
устно рассказать у доски решения задач желающих
учащихся.
После решения задач можно попросить учащихся
сформулировать признаки параллельности прямых,
использующие соответственные и односторонние
углы.
IV. Закрепление изученного
Задачи на закрепление признаков параллельности
прямых на готовых чертежах:
1. Рис. 3.8. Zl=32°, Z2 = 32e.
Доказать: а \\ Ь.
2. Рис. 3.9. Zl=48e, Z2=132°.
Доказать: а || Ь.
3. Рис. 3.10. Z 1 = 47е, Z 2 = 133е.
Доказать: а || Ь.
4. Рис. 3.11.
Доказать: а || Ь.
5. Рис. 3.12.
Доказать:АВ\ CD.
6. Рис. 3.13.
Доказать: РЕ || МК.
7. Рис. 3.14.
Доказать: АВ || CD; AD \\ ВС
в
Рис.
а
в
2
Рис.
А
/'
л
к задаче 1
7
У
к задаче 2
Г
/180°-а
/
Рис. 3.11
В
D С
Рис. 3.12
Pv II / Е
М/ К
Рис. 3.13

136 Глава III. Параллельные прямые
8. Рис. 3.15.
Доказать: АВ || CD', ВС \\ AD.
Задачи 1—4 лучше решить устно.
Задачу 5 можно решить письменно, записав
образец оформления на доске.
Задачи 6—8 можно предложить учащимся для само-
ис' ' стоятельного решения.
Запись решения задачи 5 на доске и в тетрадях
учащихся можем быть следующей:
Дано: AC n BD= О; АО = СО, ВО = DO.
Доказать: АВ \\ CD.
Доказательство: А АОВ = A COD по двум
сторонам и углу между ними (АО= СО, ВО = DO по усло-
Рис 3 15 вию задачи; /.АОВ = Z COD как вертикальные).
Таккак ААОВ= A COD, то Z OAB= Z OCD.
Углы ОАВ и OCD — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей
АС и они равны, значит, АВ \\ CD, что и требовалось доказать.
Домашнее задание
1. § 24, 25, вопросы 1-5.
2. Решить задачи №186, 187 учебника, №84—87 из рабочей тетради.
Урок 31. Признаки параллельности прямых
Цели урока:
1) совершенствование навыков доказательства теорем;
2) закрепление навыков решения задач на применение признаков
параллельности прямых.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Актуализация знании учащихся
Теоретический опрос
— Доказать признак параллельности прямых, использующий накрест
лежащие углы (это задание лучше дать наиболее подготовленному
ученику и его ответ заслушать всем классом с целью наиболее
основательного усвоения принципа доказательства).
— Доказать признак параллельности прямых, использующий:
а) односторонние углы;
б) соответственные углы.
(Каждый признак можно предложить доказать 2—3 ученикам
письменно на отдельных листах, а затем индивидуально проверить. Менее
подготовленным учащимся предложить решить задачи №91, 96 из
рабочей тетради.)

Урок 31. Признаки параллельности прямых
137
Тест на проверку теоретических знаний с
последующей проверкой
1. Рис. 3.16. Выберите верные
утверждения:
а) Z 1 и Z 3 - вертикальные;
б) Z 5 и Z 1 — односторонние;
в) Z 7 и Z 6 — соответственные;
г) Z 5 и Z 3 - накрест лежащие;
д) Z 2 и Z 4 — смежные;
е) Z 7 и Z 1 — накрест лежащие;
ж) Z 3 и Z 7 - односторонние.
2. Выберите верные утверждения (см. рис. 3.16):
Прямые а и b параллельны, если:
a)Zl=Z3; 6)Z8+Z5= 180°;
в) Z7= Z6; г) Z8+ Z3 = 180°;
д)Z5=ZЗ; e)Z2=Z6;
ж) Z1+ Z4= 180°; з) Z1 + Z7 = 180°.
3. Указать продолжения высказывания, не
соответствующие действительности.
Прямые не параллельны, если при пересечении
двух прямых секущей:
а) сумма односторонних углов не равна 180°;
б) сумма соответственных углов равна 180°;
в) вертикальные углы не равны;
г) накрест лежащие углы не равны;
д) сумма смежных углов не равна 180°;
е) соответственные углы не равны.
Ответы к тестовым заданиям:
1 - а), в), г), д), ж);
2-б),в),д),е),з);
3-а),г),е).
Решение задач по готовым чертежам (устно),
рисунки к задачам подготовить на доске заранее. В это
же время предложить 2—3 ученикам решить задачи
№90, 92 из рабочей тетради).
1. Параллельны ли прямые а и Ь (рис. 3.17)?
Почему?
2. Рис. 3.18. Доказать: АВ \\ DE.
3. Рис. 3.19. Доказать: ЛВ\ MN.
III. Решение задач
Задачи 1—5 решают более подготовленные
учащиеся самостоятельно, в конце урока они
сдают тетради на проверку учителю.
Остальные учащиеся работают в рабочих тетрадях:
№93,97 решают вместе с учителем, №94, 95 —
самостоятельно.
Рис. 3.16
\42
\
б)
см к
Рис. 3.19

138
Глава III. Параллельные прямые
Рис. 3.20
Рис. 3.21
Рис. 3.22
Рис. 3.23
1. Рис. 3.20. По данным рисунка определите, есть
ли там параллельные прямые. Ответ обоснуйте.
(Ответ: Ц14,12\\ 15.)
2. Рис. 3.21.
Докажите: NK\\ AC, MN\\ ВС.
Доказательство: A MNK= A BCA по двум
сторонам и углу между ними.
Z K= ZA, следовательно, NK= AC.
ZM= ZB, следовательно, MN\\ ВС.
3. Рис. 3.22.
Дано:АВ=ВС,ЕО = АЕ9 ZC= 80°, ZDAC =
= 40°.
Доказать: ED \\ AC.
Доказательство: ZC= ZBAC=W, так как
А АВС - равнобедренный (АВ = ВС), Z ВАС =
= 40°, тогда ZEAD = 40°.
АЕ= ED, тогда Z EDA = Z EAD = 40е.
Так как Z EDA = Z DAC, то ED || АС.
4. Рис. 3.23.
Дано: BD = BE, DC - биссектриса ZADE,
ZBDE =70°', ZDCA = 55°.
Доказать: DE\\ AC.
Доказательство: Z BDE= 70е, тогда Z EDA =
= 110°.
DC- биссектриса ZADE, тогда ZEDC= 55°.
Z EDC = ZDCA = 55°, тогда DE || AC.
5. Рис. 3.24.
Дано: Z\= Z2= Z3.
Доказать: й\Ь, т || /i.
Доказательство: Z 1 = Z 2, тогда /я || я. Z 2 = Z 3, тогда а Ц £.
Рис. 3.24
Домашнее задание
1. § 24, 25, вопросы 3-5.
2. Решить задачи № 188, 189, 190.

Урок 32. Практические способы построения параллельных прямых
139
3. Дополнительная задача (см. рис. 3.25):
Дано: Z 1 = 83°, Z 2 больше Z 1 на 14°.
Параллельны ли прямая MN и сторона АЕР.
Урок 32. Практические способы построения
параллельных прямых
Цели урока:
1) совершенствовать навыки решения задач на применение
признаков параллельности прямых;
2) ознакомить учащихся с практическими способами построения
параллельных прямых и научить их применять на практике.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать цели.
П. Самостоятельная работа
В начале урока проводится самостоятельная работа обучающего
характера с последующей самопроверкой.
I уровень
Вариант I
1. Рис. 3.26. Параллельны ли прямые а и
Ь, если: с V*
a)Zl=Z3; 6)Z1=Z4; i
в) Z1+ Z2=180°; r)Z5=Z6 = 90°;
д) Z 1 = Z 2.
2. Рис. 3.27.
Дано: А АВС= A CDE; BC= DE.
Доказать: ЛВ || CD.
Вариант II
1. Рис. 3.28. Параллельны ли прямые а и
Ь, если:
a) Zl= Z2 = 90°; б) Z3= Z4;
b)Z4=Z5; r)Z6=Z4;
д) Z4+ Z6= 180°.
2. Рис. 3.29.
Дано: AABD= AECF;AD= CF.
Доказать: АВ \\ EF.
j/
4
Рис. 3.26
С
Рис. 3.27
Puc. 3.28
Рис. 3.29

140 Глава III. Параллельные прямые
С
Рис. 3.30
II уровень
Вариант I
1. Рис. 3.30.
Дано: АВ= ВС; ZA = 60е; CD - биссектриса Z ВСЕ.
Доказать: DC \\ AB.
2. Рис. 3.31.
Рис. 3.33 Дано: AB = CD; ВС = AD.
Доказать: BC\\AD.
Вариант II
1. Рис. 3.32.
Дано: АВ=ВС; ZA = 30°; Z DCE = 1/5 Z ВСЕ.
Доказать: AB || CZ).
2. Рис. 3.33.
Дшю: ЛО = ОС; ВО = О/).
Доказать: ВС || у4/).
Самопроверка решения задан самостоятельной работы
Для организации самопроверки нужно заготовить решения задач в
письменном виде (возможна краткая запись).
I уровень
Вариант I
1. а) Да, так как Z1 и Z 3 - накрест лежащие при прямых а и b и
секущей d.
б) Да, так как Z 1 и Z 4 — соответственные при прямых а и b и
секущей d.
в) Да, так как Z 1 и Z 2 — односторонние при прямых а и b и
секущей d.
г) Да, так как две прямые, перпендикулярные третьей,
параллельны.
д) Нет, так как Z 1 и Z 2 — односторонние при прямых аиЬи
секущей d.
2. Так как ААВС= A CDE и ВС = DE, то ZBAC= Z DCE. ZBACn
Z DCE - соответственные при прямых АВи CD и секущей АЕ, а так как
ZBAC= ZDCE,toAB\\CD.
Вариант II
1. а) Да, так как две прямые, параллельные третьей, параллельны,
б) Да, так как Z 3 и Z 4 — накрест лежащие при прямых а и b и
секущей с.

Урок 32. Практические способы построения параллельных прямых 141
В> Н тзтС
A D
Рис. 3.34
в) Да, так как Z 4 и Z 5 — соответственные при прямых аиЬи
секущей с.
г) Нет, так как Z 4 и Z 6 — односторонние при прямых а и Ь и
секущей с.
д) Да, так как Z4 и Z6 — односторонние при прямых аи Ьи
секущей с.
2. Так как AABD= AECFnAD = CF, то Z5= Z£. /5и Z£-
накрест лежащие при прямых А5 и is1/1 и секущей 2?£, а так как ZB —
= ZE,toAB\\EF.
II уровень
Вариант I
1.ТаккакЛЯ=ЯСи ZA = 60\to ZBCA = 60°(ZA = Z5G4KaKynibi
при основании равнобедренного А АВС).
Так как CD - биссектриса Z ВСЕ, то Z /)С£ = Z ДС£: 2 = 120°: 2 =
= 60° (Z ЯС£ и Z ЛСЯ - смежные и Z ЯС£ = 180 - Z АСВ).
Получили, что соответственные углы ВАСи DCEnpn прямых АВи CD
и секущей /Нравны, следовательно, АВ \\ CD.
2. Рис. 3.34.
A ABC = A CDA по трем сторонам (АВ = CD, ВС = AD, АС - общая
сторона), следовательно, Z ВСА = Z CAD.
Но Z ВСА и Z С/Ш — накрест лежащие углы при прямых ВС и AD и
секущей АС и так как Z ЯС4 = Z С4Д то ВС || /Ш.
Вариант II
1.ТаккакЛЯ=ЯСи Z>4 = 30\to ZBCA = 30°(ZA= Z£C4KaKynibi
при основании равнобедренного А АВС).
Z ВСА и Z ВСЕ— смежные и их сумма равна 180°, поэтому Z ВСЕ =
= 180°-30°= 150°.
Z DCE= 1/5 Z ВСЕ= 1/5 • 150° = 30°.
Получили, что соответственные углы ВАСи DCEnpn прямых АВи CD
и секущей АЕ равны, следовательно, АВ \\ CD.
2. Рис. 3.35.
A AOD = А СОВ по двум сторонам и углу между ними (АО = ОС, ВО =
= OD, ZAOD= Z СОВкаквертикальные),следовательно, ZADO= Z СОВ.
Но Z AOD и Z С/?0 — накрест лежащие углы при прямых AD и ВС и
секущей #Z) и так как Z >Ш0 = Z СЯО, то ДС || AD.
III. Изучение нового материала
Практические способы построения параллельных прямых описаны в
пункте 26 учебника и учащиеся могут ознакомиться с содержанием
пункта самостоятельно.

142 Глава III. Параллельные прямые
• в
Рис. 3.36
Рис. 3.37
IV. Закрепление изученного материала
Решить задачи №103, 104 из рабочей тетради.
Практические задания:
(Задания выполняются самостоятельно, учитель контролирует
правильность у менее подготовленных учащихся.)
1. С помощью угольника и линейки проведите пять параллельных
прямых.
2. Рис. 3.36. С помощью угольника и линейки через точки А и В
проведите прямые, параллельные прямой а.
3. Рис. 3.37. С помощью угольника и линейки через вершины В и D
проведите прямые а и Ь, параллельные АС. Будет ли а || Ы Объясните.
4. Рис. 3.38. С помощью угольника и линейки через вершины А, Ви С
проведите прямые а, Ъ и с, параллельные прямой /. Параллельны ли эти
прямые между собой? Пересечет ли прямая АС прямую / ? Дайте
объяснение.
5. С помощью циркуля и линейки через вершину С треугольника ABC
проведите прямую, параллельную АВ.
Домашнее задание
1. § 26, вопрос 6.
2. Решить задачи № 191, 192, 194.
3. Дополнительные задачи:
Задача 1
С помощью циркуля и линейки постройте прямую, параллельную
одной стороне треугольника и проходящую через середину одной из двух
других его сторон.
Задача 2
В треугольнике ABC BD - биссектриса Z ABC, AM = MB. Постройте
прямую, проходящую через точку Л/и параллельную BDc помощью
циркуля и линейки.
Урок 33. Решение задач по теме
«Признаки параллельности прямых»
Цель урока:
совершенствование навыков решения задач на применение
признаков параллельности прямых.

Урок 33. Решение задач 143
В " М " С Рис. 3.40 Рис. 3.41
Рис. 3.39
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
Проверить решения домашних задач № 191, 192 и дополнительной
задачи 1. (Решения задач предложить оформить на доске трех учеников,
в то время пока остальные учащиеся работают в рабочих тетрадях.)
Задача № 191
Решение (см. рис. 3.39): Так как ВМ— МК, то А ВМК— равнобедренный
с основанием ВК, следовательно, Z MBK= Z ВКМ. Так как ВК-
биссектриса ZABC, то ZABK= Z КВМ, отсюда следует, что ZABK= ZBKM.
Но Z АВКи Z ВКМ— накрест лежащие при прямых АВ и КМ и
секущей ВК и так как они равны, то АВ \\ КМ.
Задана № 192
Решение (см. рис. 3.40): СК- биссектриса Z ВСЕ, а так как Z ВСЕ=
= 80°, то Z КСЕ =40°. Z ВАС и Z КСЕ - соответственные при прямых
АВи СКи секущей АЕ и так как Z ВАС = Z КСЕ, то АВ \\ С К, то есть
биссектриса Z ВСЕ параллельна прямой АВ.
Дополнительная задача 1
1) Построить середину отрезка АВ — точку М.
2) Построить перпендикуляр к стороне ВС, проходящий через точку
М(МЕ,Ее ВС).
3) Построить перпендикуляр к отрезку ME, проходящий через точку
М (МК, К g AC). MK - искомая прямая. МК \\ ВС, так как
МК± МЕиВС 1 ME.
Работа в рабочих тетрадях: решить задачи №98-100 самостоятельно с
последующей самопроверкой (один из учащихся читает свое решение,
остальные проверяют).
III. Самостоятельная работа
Iypoeem с с
Вариант I
1. Рис. 3.41.
Параллельны ли прямые (/ие?
2. Рис. 3.42.
Mqho:EO=LO\FO=KO.
Доказать: EF\ KL. рис. 3.42

144 Глава III. Параллельные прямые
М
а
b
с з/
А
А
У
Рис. 3.44
Рис. 3.43 ^р
Рис. 3.45
3. Рис. 3.43.
Дано: Z1=Z2;Z2+Z3 = 180°.
Доказать: а || с.
Вариант II
1. Параллельны ли прямые тип, изображенные на рис. 3.44?
2. Рис. 3.45.
Дано: NF= PF; MF= QF.
Доказать: MN\\ PQ.
3. Рис. 3.46.
Дано: Z1 + Z2=180°; Z2= Z3.
Доказать: а || с
II уровень
Вариант I
1. Рис. 3.47.
Какие из прямых а, Ь, с, изображенных на рисунке, являются
параллельными?
2. Рис. 3.48.
Дано:АВ=ВС; DE= EF; Z 1 = Z2.
Доказать: AB\\DE.
3. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (E e CD, К е
е MN). Угол DEKравен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и
MN могут быть параллельными?
. Вариант II
а у 1. Рис. 3.49.
b /2 Какие из прямых т, п, к, изображенных на
рисунке, являются параллельными?
2. Рис. 3.50.
7
/ Дано: MN= NK; РО = ОЕ; Z 1 = Z 2.
Доказать: MN\\ ОЕ.
Рис. 3.46 "
a CVs"2°
112
Яис. 3.47

Урок 33. Решение задач
145
PV2
Рис. 3.50
D С
Рис. 3.51
3/Прямая MNявляется секущей для прямых АВ и CD (Me АВ, N е
е CD). Угол AMNравен 78°. При каком значении угла CNM прямые АВ и
CD могут быть параллельными?
III уровень
Вариант I в
1. Рис. 3.51.
Дано: Z 1 = Z2; ВС= EF;AD= CF
Доказать: АВ \\ DE. A .
2. Рис. 3.52. \ D
Дано: Z 1 = Z2; BD J_ AC; АС-
биссектриса Z ВАЕ. \|
Доказать: ВС || Л£. />мс. 5 52
3. Рис. 3.53.
Дд//о: АМ = MD; DE =DF;AE = AF.
Доказать: MD \\ AF.
Вариант II м/ *\ D
1. Рис. 3.54.
Дано: Z 1 = Z2; ED= ВС; EF=AC.
Доказать: EF \\ АС. д^ ' F
2. Рис. 3.55.
Дано: АС- биссектриса Z BAD; BE 1 AC; Puc- 353
ЛЕ= ЕС.
Доказать: AD\\ ВС. -'• ^*f
3. Рис. 3.56.
Дано: АС - биссектриса Z ВАМ; Z BDA =
= ZBEC; AD=CE;BE=BD.
Доказать: AM \\ ВС.
Ответы и указания к задачам
самостоятельной работы:
I уровень
Вариант I
\.d\\e.
2. A EOF = A LOK, значит, Z Е = ZL.
ZE= ZL,3nmwT,EF\\KL.
3. Рис. 3.57.
Z1=Z2, Z2+Z3
i
Рис. 3.54
Z 4, тогда Z 4 + Z 3 = 180°, a || с.
180°, но Z 1 =
риа 3.55

146 Глава III. Параллельные прямые
Рис. 3.57 Рис. 3.58
Вариант II
1. /л || п.
2. A MFN= A QFP, значит, ZM= ZQ. ZM= ZQ, значит, MN\\ PQ.
3. Рис. 3.58.
Z1 + Z2=180\ Z2= Z3,ho Zl= Z4, значит, Z4+ Z3=180°.
Следовательно, а || с
II уровень
Вариант I
\.a\\b\\c.
2. А ЛЯСи A DEF- равнобедренные, Z 1 = Z 2, значит, ZA = Z /).
Z Л и Z .EDF — соответственные при прямых АВ и DE и секущей AF,
следовательно, АВ || /Ж
3. Рассмотрим два случая (рис. 3.59):
a) ZNKE= 115°; б) Z NKE =65°.
Вариант II
1. /я || я || *.
2. А Л/Л^Г и А Р02Г — равнобедренные, Z 1 = Z 2, тогда Z TVMAT =
= Z РЕО, но Z TVMAf и Z Р£"О — накрест лежащие при прямых MN и
Ш: и секущей ME, следовательно, MN\\ ОЕ.
3. Рассмотрим два случая (рис. 3.60):
a) Z CNM= 102°; б) Z С7УЛ/= 78°.
III уровень
Вариант I
1. АЛ2?С = A DEF по двум сторонам и углу между ними, значит,
ZBAC= Z EDF. ZBACn Z EDF- соответственные при прямых АВ и
DE и секущей AF, следовательно, АВ \\ DE.
2. A ABD = A CBD по стороне и прилежащим к ней углам,
следовательно, ZBAD= ZBCD.
АС - биссектриса Z ВАЕ, значит, Z BAD = Z DAE.
с \е d с \е d а /м в а /м в
7^ 7
М К\ N М К\ N D /N С D /N С
а) б) а) б)
Рис. 3.59 Рис. 3.60

Урок 34 Аксиома параллельных прямых 147
Получили, что накрест лежащие углы BCD и DAE при прямых ВС и АЕ
и секущей АС равны, значит, ВС \\ АЕ.
3. A AED = A AFD по трем сторонам, поэтому Z EAD = Z DAF.
A AMD — равнобедренный, значит, Z EAD = Z MDA.
Z MDA и Z DAF— накрест лежащие при прямых MD и АЕи секущей
AD и они равны, значит, MD \\ АС.
Вариант II
1. A ABC = A FDE по двум сторонам и углу между ними, значит,
Z CAB = Z EFD. Z CAB и Z EFD — накрест лежащие при прямых АС и
EFn секущей AF, следовательно, АС\\ EF.
2. А АВЕ = А СВЕ по двум сторонам и углу между ними, значит,
ZBAE = /.ВСЕ.
АС — биссектриса Z BAD, поэтому Z ВАЕ = Z EAD.
Получили, что накрест лежащие углы ВСЕи EAD при прямых BCnAD
и секущей ЛС равны, значит, ВС\\ AD.
3. А Л/)2? = А СЕВ по двум сторонам и углу между ними, отсюда АВ =
-ВС, значит, Z BAC= Z ВСА как углы при основании равнобедренного
А АВС. АС- биссектриса Z ВАМ, значит, Z BAC= Z С4Л/. Накрест
лежащие углы САМиАСВ при прямых AM и /?Си секущей ЛС равны,
значит, АМ\\ВС.
Домашнее задание
1. Решить задачи № 193,195 из учебника, №101,102 из рабочей тетради.
2. Дополнительная задача (см. рис. 3.61):
Дано: АВ= ВС= CD= DE\ ZABC= ZBCD= ZCDE.
Доказать: точки А, С, Е лежат на одной прямой.
Решение:
1) A ABC = A BCD по двум сторонам и углу
между ними, следовательно, ZACB = Z CBD, а отсюда
АС || BD, так как накрест лежащие углы при прямых
АС и BDu секущей ВС равны.
2) Из равенства треугольников BCD и CDE мож- в
но получить таким же образом, что BD \\ СЕ. Рис. 3.61
3) АС || BD, СЕ || DB. Но через точку С, не
лежащую на прямой BD, проходит только одна прямая, параллельная BD.
Это значит, прямые АС и СЕ совпадают, а точки А, С, if лежат на одной
прямой.
Урок 34. Аксиома параллельных прямых
Цели урока:
1) ввести понятие аксиомы;
2) рассмотреть аксиому параллельных прямых и ее следствия;
3) научить учащихся решать задачи на применение аксиомы
параллельных прямых.

148 Глава III. Параллельные прямые
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели на урок.
П. Актуализация знаний учащихся
1. Проверить домашнюю дополнительную задачу и задачи N9101, 102
рабочей тетради.
2. Анализ ошибок самостоятельной работы.
(I уровень - подготовить рисунки к задачам на доске, разобрать устно
решение задач; II и III уровень - раздать каждому ученику ответы и
указания к задачам и предложить самостоятельно найти ошибки в своей работе.)
III. Изучение нового материала
1. Беседа об аксиомах геометрии (см. пункт 27 и приложение 1
учебника).
2. Задача для самостоятельного решения с последующим обсуждением:
Задание: Через точку А, не лежащую на прямой д,
^-«^а/ провести прямую, параллельную прямой а.
Г^Т^ с Ход построения (рис. 3.62):
^ / 1) провести через точку А прямую b так, что alb;
a^^^j^^ 2) провести через точку А прямую с так, что b _L с.
I Доказательство: А 1 = Z 2 = 90°, т.е. накрест ле-
Рис 3 62 жащие углы при прямых а и с и секущей b равны,
следовательно, а || с.
Вопросы учащимся:
— Всегда ли через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести прямую, параллельную данной?
— Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через
точку, не лежащую на данной прямой?
Можно ли доказать, что через точку, не лежащую на данной прямой,
проходит только одна прямая, параллельная данной? Многие
математики, начиная с древних времен, пытались доказать данное утверждение, а
в «Началах» Евклида это утверждение называется пятым постулатом.
Попытки доказать пятый постулат Евклида не увенчались успехом, и лишь
в XIX веке было окончательно выяснено, что утверждение о
единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной
прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само
является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл
русский математик Николай Иванович Лобачевский. Итак, аксиома
параллельных прямых гласит: «Через точку, не лежащую на данной прямой,
проходит только одна прямая, параллельная данной».
— Является ли утверждение «Через точку, не лежащую на данной
прямой, можно провести прямую, параллельную данной»
аксиомой? Почему? (Это утверждение не является аксиомой, так как оно
доказывается.)
— Вопрос для учащихся: Чем отличаются вышеуказанные
утверждения? (Аксиома параллельных прямых говорит о единственности

Урок 34. Аксиома параллельных прямых
149
\ /
Рис. 3.63
Рис. 3.64
Рис. 3.65
такой прямой, а другое утверждение — о существовании такой
прямой.)
3. Понятие следствия и рассмотрение следствий аксиомы
параллельных прямых см. пункт 28 учебника.
IV. Закрепление изученного материала
Решить задачу №105 из рабочей тетради.
Решить задачи № 197, 199.
Один из учащихся работает у доски, остальные в тетрадях.
Задача № 197
1) Через точку, не лежащую на прямой р, может проходить только одна
прямая, параллельная данной, поэтому другие три не параллельны
прямой р, то есть эти прямые пересекаются с прямой р.
2) Может оказаться, что ни одна прямая, проходящая через
указанную точку, не параллельна прямой р, тогда все четыре прямые
пересекаются с прямой р. (Ответ: три или четыре.)
Задана № 199
Решение (см. рис. 3.63): Прямые ВС и АС имеют общие точки с
прямой АВ. По следствию аксиомы параллельности прямых «если прямая
пересекает одну их двух параллельных прямых, то она пересекает и
другую». А прямые ВС и А С пересекают прямую АВ, значит, они пересекают
и прямую р, так как по условию задачи АВ \\ р.
2. Самостоятельное решение задач:
Задана 1
Прямая d пересекает прямую Ь (рис. 3.64 ). Пересечет ли эта прямая
прямую а? Почему?
Решение (см. рис. 3.65): По условию задачи Z 2 = 80°. Z 2 и Z 3 —
смежные и Z 2 + Z 3 = 180°, тогда Z 3 = 100°.
Z 1 и Z 3 — соответственные углы при прямых а и Ь и секущей с, и
они равны, значит, а || Ь.
Прямая d пересекает прямую Ь,
параллельную прямой а. По следствию аксиомы
параллельных прямых прямая d пересекает прямую
а. (Ответ: прямая dпересечет прямую а.)
Задана 2
Пересечет ли прямая а прямую DE
(рис. 3.66)? Ответ поясните.
Рис. 3.66
150

150
Глава III. Параллельные прямые
150'
Рис. 3.68
Рис. 3.69
Рис. 3.67
Решение (см. рис. 3.67):
1. Пусть СК-биссектриса Z. BCD. Тогда ZABC= ZВСК= 30°, атак
как данные углы являются накрест лежащими при прямых АВ и СК и
секущей ВС, то АВ \\ СК. Так как а пересекает АВ, то а пересекает и СК.
2. Z EDP = 150°, тогда Z CDE = 30°. Но Z KCD = 30° тоже. Накрест
лежащие углы KCD и EDP равны, значит, КС\\ ED. А так как а пересекает
СК, то она пересекает и DE. (Ответ: прямая а пересечет прямую DE.)
Домашнее задание
1. § 27, 28, вопросы 7-11.
2. Решить задачи № 196, 198, 200.
3. Дополнительные задачи:
Задача 1
Дано: aLc, Ы-с, прямая d пересекает а (рис. 3.68).
Пересекает ли прямая d прямую Ы Почему?
Задача 2
Дано: Прямая т пересекает прямую DE (см. рис. 3.69).
Пересекает ли эта прямая прямую AS] Ответ поясните.
Урок 35. Свойства параллельных прямых
Цели урока:
1) рассмотреть свойства параллельных прямых;
2) показать учащимся применение свойств параллельных прямых;
3) закрепить знания, умения, навыки учащихся по теме «Аксиома
параллельных прямых».
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели на данный урок.
П. Актуализация знаний учащихся
1. Выполнение индивидуальных заданий у доски с последующим
заслушиванием ответов всеми учащимися:
— Доказать, что через данную точку, не лежащую на данной прямой,
проходит прямая, параллельная данной.
- Доказать, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных
прямых, пересекает и другую.

Урок 35. Свойства параллельных прямых 151
— Доказать, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они
параллельны.
2. Тест с последующей самопроверкой (задания 1 и 2 выполняются
одновременно: 3 ученика работают у доски, остальные в тетрадях).
1) Вычеркнуть лишние слова в скобках:
Аксиома - это (очевидные, принятые, исходные) положения
геометрии, не требующие (объяснений, доказательств, обоснований).
2) Выбрать окончание формулировки аксиомы параллельных прямых:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит:
а) только одна прямая, параллельная данной;
б) всегда проходит прямая, параллельная данной;
в) только одна прямая, не пересекающаяся с данной.
3) Что может быть следствием аксиомы или теоремы? Указать
неверные ответы.
а) Утверждение, не требующее доказательства.
б) Новая теорема, для доказательства которой использована
аксиома или теорема.
в) Утверждение, непосредственно выводимое из аксиомы или
теоремы.
4) Указать следствия аксиомы параллельных прямых.
а) Если отрезок или луч пересекает одну из параллельных
прямых, то он пересекает и другую.
б) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они
параллельны друг другу.
в) Если прямая пересекает одну их параллельных прямых, то
она пересекает и другую.
г) Если три прямые параллельны, то любые две из них
параллельны друг другу.
д) Если две прямые не параллельны третьей прямой, то они
не параллельны между собой.
е) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то
она не может не пересекать другую.
ж) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они не
могут быть не параллельны между собой.
5) Указать правильный ответ на вопрос.
Если через точку, лежащую вне прямой, проведено несколько
прямых, то сколько из них пересекаются с исходной прямой?
а) Неизвестно, так как не сказано, сколько прямых
проведено через точку.
б) Все, кроме параллельной прямой.
в) Все, которые имеют на рисунке точку пересечения с
исходной прямой.
6) Почему, если одна из прямых, проходящих через точку,
лежащую вне заданной прямой, параллельна этой прямой, то другие
прямые, проходящие через эту точку, не могут быть ей
параллельны? Указать неправильный ответ на этот вопрос.

А
С
А
С
ш
\
30'
\е
\
;зо
а)
;зо
0
\
0
В
D
В
D
152 Глава III. Параллельные прямые
а) Это противоречит аксиоме параллельных прямых.
б) Любая другая прямая, если она также параллельна
заданной, совпадет с первой.
в) Все другие прямые имеют точку пересечения с заданной
прямой, хотя она может находиться на сколь угодно
большом расстоянии от исходной точки.
Ответы к тесту:
1. Следует вычеркнуть слова: очевидно, принятые, объяснений,
обоснований; 2. а; 3. а, б; 4. б, в, е, ж; 5. б; 6. в.
III. Изучение нового материала
1. Решить задачу (рис. 3.70):
а) Доказать: АВ\\ CD.
б) Дано: АВ \\ CD.
Найти: ZEKC
Следует обратить внимание учащихся, что в первой
задаче а || b по первому признаку параллельности
прямых, а вторая задача является обратной первой и мы не
знаем, равны ли накрест лежащие углы, если прямые
параллельны. Таким образом, перед учащимися постав-
лена проблема, которую необходимо разрешить. Итак:
^ Пусть а || Ьу с — их секущая, Z 1 и Z 2 — накрест
б) лежащие углы, образованные данными прямыми.
Рис 3 70 Требуется выяснить, равны ли Z 1 и Z 2.
Решение этой задачи можно построить так же, как
доказательство свойства накрест лежащих углов при параллельных
прямых и их секущей по учебнику.
Вывод:
Если две параллельные прямые пересечены третьей, то накрест
лежащие углы равны.
Это утверждение называют свойством накрест лежащих углов при
параллельных прямых и их секущей.
2. Информация для учащихся:
Во всякой теореме различают две части: условие и заключение.
Условие теоремы - это то что дано, а заключение - то, что требуется доказать.
Далее можно попросить учащихся составить таблицу (см. стр. 153).
— В чем заключается разница между этими теоремами?
Вывод:
Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой
условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие
данной теоремы.
3. Беседа о методе доказательства от противного по учебнику.
4. Доказательства следствия свойства накрест лежащих углов при
параллельных прямых и их секущей и свойств соответственных и
односторонних углов при параллельных прямых и их секущей можно
предложить учащимся получить самостоятельно в ходе выполнения следующих
упражнений:

Урок 35. Свойства параллельных прямых
153
Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух
параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Сформулируйте теорему, обратную признаку параллельности
прямых, использующему соответственные углы. Дайте название
полученной теореме и докажите ее.
Сформулируйте теорему, обратную признаку параллельности
прямых, использующему односторонние углы. Дайте название
полученной теореме и докажите ее.
Название
теоремы
Формулировка
теоремы
Условие(дано)
Заключение
(доказать)
Признак
параллельности прямых
Если при пересечении
двух прямых секущей
накрест лежащие углы
равны, то прямые
параллельны.
а \с
\1
b X
\
прямые а, Ь; с — их
секущая; Zl, Z2 - накрест
лежащие углы; Zl = Z2
а\\Ъ
Свойство
параллельных прямых
Если две параллельные
прямые пересечены
секущей, то накрест
лежащие углы равны.
а ^
\1
b 2\
\
прямые а, Ь; о- их
секущая; Zl, Z2 - накрест
лежащие углы; а \\ Ь
ZA=Z1
IV. Закрепление изученного материала
1. Решение задач по готовым чертежам (устно).
1) Рис. 3.71.
Дано: Z 1 = 75°; а \\ Ъ.
Haumw. Z2, Z3, Z4.
2) Рис. 3.72.
Дано: Zl+Z2=160°;fl||k
Найти: Z3, Z4, Z5, Z6.
2. Решить задачи №106, 107, 108 из рабочей
тетради (в конце урока у менее подготовленных
учащихся собрать рабочие тетради на проверку.)
Рис. 3.71
Домашнее задание
1. §29, вопросы 12-15.
2. Решить задачи по готовым чертежам:
1) Рис. 3.73.
Дано: a\\b; Z 1 в 4 раза меньше Z 2.
Найти: Z3.
2) Рис. 3.74.
Дано:х\\у\ Z1+ Z2=100°.
Найти: Z 3.
Рис. 3.72
Рис. 3.73

154 Глава III. Параллельные прямые
. 2/а
Хз
2
\
V у
Рис. 3.74 Рис3'75 Рис. 3.76
3) Рис. 3.75.
Дано:д\\1; Zl: Z2 = 2:7.
Найти: 2.3.
4) Рис. 3.76.
Дано: Z 2 на 90° больше Z 1.
Найти: Z3.
Урок 36. Свойства параллельных прямых
Цели урока:
1) закрепить свойства параллельных прямых;
2) совершенствовать навыки доказательств теорем;
3) научить учащихся решать задачи на применение свойств
параллельных прямых.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить цели урока и тему урока.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Теоретический опрос.
Индивидуальные задания для работы у доски с последующим
заслушиванием готовых ответов:
- Доказать свойство накрест лежащих углов при параллельных
прямых и их секущей.
- Доказать свойство соответственных углов при параллельных
прямых и их секущей.
- Доказать свойство односторонних углов при параллельных прямых
и их секущей.
- Доказать, что если прямая перпендикулярна одной из двух
параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Работа в рабочих тетрадях: 2—3 ученика самостоятельно решают
задачу № 109, тетради сдают на проверку учителю.
Фронтальная работа с классом:
- Сформулируйте утверждение, обратное данному, и выясните,
верно ли оно:
а) вертикальные углы равны;
б) сумма смежных углов равна 180°;
в) если накрест лежащие углы при пересечении двух прямых их
секущей равны, то эти прямые параллельны;

Урок 36. Свойства параллельных прямых 155
b 5/8
6/7
Рис. 3.79
г) если С — середина отрезка А5, то Л С = СВ\
д) в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к
основанию, является его медианой и высотой.
2. Проверить домашнее задание на готовых чертежах.
III. Решение задач
1. Решить задачи №114, 115 из рабочей тетради (один из учащихся по
указанию учителя вслух читает задачу и решает ее, остальные учащиеся
внимательно слушают его и исправляют его ошибки).
2. Решить задачи № 202, 205 (один из учащихся по указанию учителя
решает задачу на доске, остальные работают в тетрадях).
3. Самостоятельно решить задачи № 203, 206.
(Учитель контролирует работу менее подготовленных учащихся и
оказывает индивидуальную помощь остальным по необходимости.)
4. Дополнительная задача (см. рис. 3.77):
MaHo\AB=CD,AK=DF, ZA= Z/) = 60°, ZAKB= ZKBC=90°.
Доказать: BK\\ CF, ВС \\ AD.
Задача № 202
Решение (см. рис. 3.78):
1) Z 1, Z 2 — односторонние углы при прямых аиЬи секущей d, Z 1 +
+ Z 2 = 42° + 140° = 182° Ф 180°, следовательно, прямые а и b не
параллельны.
2) Z 2 и Z 3 — соответственные углы при прямых си Ьи секущей d и
Z2* Z3(Z2= 140°, Z 3 = 138°), т.е. прямые с и Ь не параллельны.
3) Z 1 и Z 3 - односторонние углы при прямых аи си секущей d и
Z 1 + Z 3 = 42° + 138° = 180°, следовательно, прямые аи с параллельны.
(Ответ: а\\с.)
Наводящие вопросы:
1) Как проверить, параллельны ли прямые а и Ь? Как называются углы
1и2?
2) Параллельны ли прямые b и с? Какой из признаков
параллельности прямых позволяет это определить?
3) Укажите признак параллельности прямых, позволяющий
установить, параллельны ли прямые а и с.
Задача № 203
Решение (см. рис. 3.79):
а) Пусть Z 1 = 150°, тогда Z 3 = 150°, Z 2 = 30е, Z 4 = 30°, Z 8 = 30е,
Z6 = 30e, Z5=150e, Z7=150\

156
Глава III. Параллельные прямые
73
А
107
/
1
Е
1
0 /
(0
1р
Рис.
3.80
S
Ti
— в
к
Рис. 3.81
б) Пусть Z 1 на 70е больше, чем Z2. Так как Z 1 + Z2 = 180е, то
Z2 = 55e, Zl = 125°,ToraaZ3=125°, Z 4 = 55°. Так как а || b, то Z 8 = 55°,
Z5=125°, Z6 = 55e, Z7=125e.
Решение (см. рис. 3.80): Z MPS = ZAPO как вертикальные, значит,
Z.4PO+ Z С0Р= 73е + 107° = 180е, a ZAPOn Z СОР-
односторонние углы при прямых АВ и CD и секущей Л/ls, значит,
АВ\\ CD. Так как АВ \\ CD, то Z NSB = Z 5ТД следовательно, Z MSfl =
= 92° (т.е. Z 1 = 92е).
Наводящие вопросы:
1) Есть ли на рисунке параллельные прямые? Какие?
2) Чему равна градусная мера угла 1?
Задана № 206
Решение:
а) АВ может быть параллельна CD (см. рис. 3.81 а);
б) АВ и CD могут пересекаться (см. рис. 3.81 б).
Дополнительная задана:
1) Z КВС = ZAKB = 90е, а так как это накрест лежащие углы при
прямых ВС и AD и секущей KB, то ЯС II AD.
2) A yiiMf = A DCF по двум сторонам и углу между ними (АВ = CD,
АК= DF, ZA= ZD), следовательно, ZAKB = Z С/7) = 90е.
3) Так как Z CFD = 90е, то Z KFC = 90°.
4) Z АКВ = Z £FC = 90°, а так как эти углы соответственные при
прямых ВКи CFn секущей AD, то ВКII CF.
Домашнее задание
1. § 29, вопросы 13-15.
2. Решить задачи: I уровень - № 110-113 из рабочей тетради; II
уровень - № 204, 207, 209 из учебника.
3. Дополнительные задачи по готовым
чертежам:
Задача 1
Рис. 3.82.
Найти: Z С.
Задача 2
Рис. 3.83.
Доказать: АВ - биссектриса угла XAZ.
Рис. 3.82

Урок 37. Решение задач 157
Решение:
1) ZA+ ZB= 180°,следовательноBC\\AD.
Так как ВС || AD, то ZBCD + Z CDA =
= 180°, тогда ZC= 130°.
2) Z £/?Z+ Z RZA = 180°, следовательно,
ЛК || AZ. А ЛЛЯ — равнобедренный, значит, А рис
Л7? || AZ, следовательно, Z ЛГА4 = Z A4Z= 30°.
Так как Z XI» = 30° и Z A4Z= 30°, то АВ - биссектриса Z XAZ.
Урок 37. Решение задач по теме «Параллельные прямые»
Цели урока:
1) закрепить признаки параллельных прямых, свойства параллельных
прямых и аксиому параллельных прямых;
2) совершенствовать навыки решения задач на применение
признаков и свойств параллельных прямых.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему и цель урока.
II. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Индивидуальный письменный теоретический опрос по вопросам
13-15 (от трех до шести учащихся).
2. Проверка решения дополнительных домашних задач.
(На доске заранее подготовить рисунки к задачам. Один из учащихся
по указанию учителя выходит к доске и устно рассказывает решение
задачи, делая краткие записи непосредственно на рисунке. Учащиеся
внимательно его слушают, а затем исправляют его ошибки.)
3. Фронтальная работа с учащимися:
- Ученик, отвечая на вопросы учителя, дал
соответствующие ответы. Проверьте, верны ли
они. В случае неверного ответа укажите
ошибки и сформулируйте правильный ответ:
а) Рис. 3.84.
Дано: а || Ь.
Найти: Z 1.
Решение: Z 1 = 85°, так как они накрест лежащие Рис 384
при параллельных прямых аи Ьи секущей с.
б) Рис. 3.85.
Дано: a\\b, Z3 = 148°.
Найти: Z 1, Z 2.
Решение: Z 2 = Z 3 = 148°, так как они
соответственные при параллельных прямых а и b и секу- и
щей с. Z 1 и Z 2 — смежные, поэтому Z 1 = 180° —
-Z2, Zl=42°. Рис. 3.85

Глава HI. Параллельные прямые
У
b_L
Рис. 3.86 Рис 387
в) Рис. 3.86.
Дано: а || Ъ. Параллельны ли а и с.
Решение: Ъ || с, так как равны накрест лежащие углы. Значит, и а || с.
Примечание: в каждом задании есть или ошибки, или неточности в
пояснениях.
III. Решение задач
1. Самостоятельно решить задачи на готовых чертежах, сделав в
тетрадях краткие записи:
Вариант I
1) Рис. 3.87.
Дано: a\\b, Z 1 больше Z2 в 2 раза.
Найти: Z 1, Z2.
2) Рис. 3.88.
Дано:а\\Ь, Z1+ Z2=122°.
Рис 389 Найти: Z3, Z4, Z5, Z6, Z7, Z8.
3) Рис. 3.89.
Дано: AD\\BC, Z 1 = 50°, Z2 = 65°.
Найти: А АВС
Вариант II
Дано: т || л, Z 2 больше Z 1 на 30°.
х Найти: Zl, Z2.
.. з.9О 2) Рис. 3.91.
Дано: a \\b, Z 2 + Z 5 = 240°.
Явшии: Zl, Z3, Z4, Z6, Z7, Z8.
а 3) Рис. 3.92.
Дано: CD \\ EF, Z 1 = 40°, Z 2 = 75°.
Найти: ZDEF.
Ответы для самопроверки (подготовить заранее на
переносной доске или на ее обратной стороне):
Вариант I
1) Z2 = 60°, Zl = 120°.
2) Z4= Z7 = 61°, Z3= Z5= Z6= Z8=119e.
Вариант II
1) Z 1 = 75°, Z 2 = 105°.
2) Z4= Z7=120°, Zl= Z3= Z6= Z8 = 60°.
3) ZDEF= \\5°.

Урок 37. Решение задач 159
а) Р„„ ? о? б> Рис. 3.94
2. Решить задачу (один ученик решает у доски, остальные в тетрадях):
Дано: АВ \\ DE (рис. 3.93 а).
Доказать: Z 1 + Z 2 = Z 3.
Подсказка: через точку С проведите прямую, параллельную АВ.
Доказательство (см. рис. 3.93 б): Через точку С, не лежащую на
прямой АВ, можно провести прямую, параллельную АВ, и притом только
одну.
Так как КС \\ АВ, а АВ || DE по условию задачи, то КС || DE.
Z. 1 = ZACK как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и
КС и секущей А С.
Z 2 = Z A'CZ) как накрест лежащие при параллельных прямых А'С и
DE и секущей /)С.
Так как Z 1 = ZЛС*, Z2 = Z /ГСД a Z 3 = Z,4Ctf + Z *СД то
Z 3 = Z 1 + Z 2, что и требовалось доказать.
Наводящие вопросы:
1) Для чего проведена прямая, проходящая через точку Си
параллельная прямой АШ
2) Параллельна ли прямая КС прямой DEP.
3) Что вы можете сказать об углах 1 и АСК, 2 и КСЕР.
4) Чему равна сумма углов АСКи KCD?
IV. Самостоятельное решение задач
(Учащиеся сами выбирают, задачи какого уровня они будут решать. В
конце урока тетради можно собрать на проверку.)
I уровень
1. Рис. 3.94.
Дано: Z 1 = 60°, Z 2 = 20°, а || Ь.
Найти: Z3.
Решение: Через точку С провести прямую, параллельную прямой а, и
доказать, что Z 3 = Z 1 + Z 2, Z 3 = 80°.
2. Рис. 3.95.
Дш/о: Z ЛОР = 80°, Z О/tf = 80°, Z ESP = 40°. / О
Найти: Z 0/tf, Z AFA А / \ в
Решение: ZAOP= Z OPS, тогдаЛД|| СД тогда
Z O/tf=40o, ZKEB= 140°.
3. Рис. 3.96.
Найти: х, у. /р s\
Решение: ZE+ ZE= 180°, тогда £АГ|| FP, по- N Е
этомух=50°,у= \30°. Рмс. 5.95

160
Глава III. Параллельные прямые
Рис. 3.99
N/ЧуТ У
Рис. 3.96
4. Рис. 3.97.
Дано: АЕ- биссектриса Z BAD.
Найти: ZABE, Z ВЕА.
Решение: ZC+ ZD = 180°, значит, ВС|| AD, тогда ZВЕА = Z EAD =
= 30°. АЕ- биссектриса Z BAD, поэтому Z BAE= Z EAD = 30°, a Z BAD =
= 60°. ДС|| AD, значит, Zy4££+ Z Я/LD = 180°, тогда ZABE = 120°.
II уровень
1. Рис. 3.98.
Найти: х, у.
Указание: Докажите, что РЕ \\ KF из
равенства углов, градусные меры которых 70°,
тогда у= 52°, х= 128°.
2. Рис. 3.99.
Яашш/: х, если Z ЛЯ£= Z СВЕ.
Решение: ZC + ZD = 180°, значит, ВС\\
|ИД тогда Z АЕВ = Z £ЯС = 52°. Z ЛЯ£ =
= Z СЯ£, поэтому ZA5C= 104°.
Так как ВС \\ AD, a ZABC = 104°, то
= 76°, то есть х = 76°.
3. Рис. 3.100.
Дано: РТ— биссектриса Z ЯРЛ/.
Найти: х.
Решение: Z М + Z N = 180°, значит,
МР, тогда Ztf= ZKPM= 68°. РГ-
биссектриса Z /Г7М/, значит, Z 77W= 34°.
МГЦ ^Л тогда Z 77W= Z ^7^= 34°, то
есть дс = 34°.
4. Рис. 3.101.
Дано: а || 6.
Ядй/яи: Z МОЕ=90°.
Указание: Через точку О провести
прямую, параллельную прямой МА, и доказать
ZMOE= ZAMO+ ZOEB.
Ь, то Z ЛЛ№ + Z Л/£Я = 180°, но ZAMO = 1/2 Z,W£,
, тогда ZAMO + Z 0£Д = 1/2 (ZAME +
= 90°.
112°
v68°
Mi
Рис. 3.100
Рис. 3.101
Так как
Z ОЕВ = 1/2
+ Z МЕВ) = 90°, то есть

Урок 38 Решение задач 161
Домашнее задание
Решить задачи № 208, 210, 211, 212.
Урок 38. Решение задач по теме
«Параллельные прямые»
Цель урока:
совершенствование навыков решения задач на применение свойств и
признаков параллельности прямых.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Проверка домашнего задания. Повторение
1. Проверить домашнее задание — № 211.
(Предложить двум ученикам заранее подготовить решение задачи на
доске.)
Задана № 211 (а)
Рис. 3.102.
Дано: а \\ Ь, с - секущая, ZABC и Z BCD -
накрест лежащие, BE — биссектриса ZABC, CK—
биссектриса A BCD.
Доказать: BE \\ CK.
Доказательство: Так как ZABC и Z BCD -
накрест лежащие при параллельных аи Ьи секущей с,
то ZABC = ZBCD.
Учитывая, что BE и КС- биссектрисы углов ABC Puc- 3102
и BCD, получаем Z ЕВС = Z ВСК, то есть накрест
лежащие углы ЕВС и ВСК при прямых BE и КС и се- д / В
кущей ЯСравны, значит, ВЕ\\ КС.
Итак, биссектрисы накрест лежащих углов
параллельны. __^
Задана № 211 (б) "~С7 D
Рис. 3.103.
Дано: АВ \\ CD, АС - секущая, АЕ - биссектриса Рис. 3.103
ABAC, СЕ-биссектриса ZACD, ZBACn ZACD-
односторонние.
Доказать: АЕ J_ СЕ.
Доказательство: Так как АВ || CD, то Z ВАС + Z ACD = 180е.
АЕ- биссектриса ZBAC, СЕ— биссектриса ZACD, поэтому Z САЕ =
= 1/2 ZBAC, ZACE= 1/2 ZACD, получаем Z САЕ + ZACE =
= 1/2 (Z ВАС + ZACD) = 90°, следовательно, Z АЕС = 90°.
Итак, биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
2. Решение задач по готовым чертежам.
Iуровень (устно - фронтальная работа с менее подготовленными
учениками, рисунки к задачам подготовить на доске заранее.)

162
Глава III. Параллельные прямые
А
1/2
3/4
/б
У*
Рис. 3.104
А
Рис. 3.105
s\
А
А
В
А/ \В
/ \
4
Рыс. 3./07
в
с
Л/с. 3.70Я
п
и
•»^
Рис. 3.109
0
V
Е
D
^г
"Е
1) Рис. 3.104.
Дано: а\Ь\ Z3 - 58е.
Найти остальные углы.
2) Рис. 3.105.
Дано: Z 1 меньше Z 2 на 40е.
Яайти: Z3, Z4.
3) Рис. 3.106.
Дано: AD \\ ВС, Z АСВ = 50°, АС -
биссектриса Z BAD.
Найти: ZABC.
II уровень (самостоятельно с последующей
самопроверкой)
Условия задач раздать каждому ученику,
ответы и указания к задачам раздать учащимся,
испытывающим трудности при решении задач.
1) Рис. 3.107.
Дано: Z 1 = Z2 = 35е, Z3 меньше Z4 на
50е.
Найти: Z3, Z4.
2) Рис. 3.108.
Дано: АВ\\ СЕ; Z ВАС= 20°; Z ВСЕ: Z ECD =
= 4:1.
Найти: /.BCD.
3) Рис. 3.109.
Дано: /А= /Д ZACD= ZECD.
Доказать: АВ \\ CD.
Ответы и указания для самопроверки:
1) Z 1 = Z2 = 35°, значит, АВ\\ CD, тогда Z 3 = Z BDC, но ZBDCn
Z4-смежные и ZBDC+ Z4=180°.
Z 3 + Z BDC на 50° меньше Z 4, поэтому Z BDC + 50° + Z BDC =
= 180е, откуда Z BDC= 65°, значит, Z 3 = 65°, Z4 = 115е. (Ответ: Z 3 =
= 65°, Z4=115°.)
2) АВ || СЕ, значит, Z A4C = Z £СЯ = 20е. Z ДС£ : Z £С7) = 4:1,
значит, Z ЯС£= 80е. Z ДО) = Z ЯС£+ Z £О) = 100°. (Ои*е/я: Z ЯСЯ =
= 100°.)
3) Пусть ZA = Z В = х, тогда Z/IC£ = 180е - 2х, a ZACE = 180е -
- ZACB=2x.

Урок 38. Решение задач
а У\
/
ь г/ b ,
Рис. 3.110
а-
у
' X
Рис. 3.111
\ is
d A
М
л
И.
Рис.
Х„.
3.112
\
В
Так как Zv4CZ)= Z£CA a Z^C£=2x,to ZyiCZ) = x
Получили, что ZA= ZACD = x, значит, АВ\\ CD.
III. Самостоятельная работа
(Тетради в конце урока собрать на проверку.)
I уровень
Вариант I
1. Рис. 3.110.
Дано: a\\b, Z 2 в 3 раза больше Z 1.
Найти: Z 1, Z2.
2. Рис. 3.111.
Найти: Z 1, Z2, Z3.
3. Дан прямоугольный треугольник ABC (ZC= 90°), Ее AC, Fe АВ,
EF\\ СВ, ЕК- биссектриса треугольника AEF. Чему равен угол АЕК1
4*. Рис. 3.112.
Дано: АВ \\АХ Вх, АК - биссектриса Z МАВ, с
АХКХ — биссектриса Z MAXBV a д_
Доказать: Z МАХКХ = Z Л£4£ Могут ли
пересекаться прямые А{К{ и ЛА?
Вариант II
1. Рис. 3.113.
Ддно: а || b, Z 1 на 40° меньше Z 2.
Найти: Z 1, Z2.
2. Рис. 3.114.
Яяйти: ^ 1, Z2, Z3. ^ ^т
3. Дан прямоугольный треугольник MEF / >.
(Z£=90°), CeME,DeMF, CD||EF,KeMD. b 2/ N^00
Чему равен Z Л/С/Г, если Z #C7) = 40е? -yt :2V-
4*. Рис. 3.115. c/ d4
Дд«о: D£|| >4C, EM- биссектриса Z /)£C, Pwc 3 m
CN- биссектриса Z BCK.
Доказать: Z MEC= Z ECN. Имеют ли об- /\ N7
щие точки прямые ME и CN?
II уровень
Вариант I _
1. Рис. 3.116. А М С К
Дано: AC || BD, AC=AB, Z MAC = 40е. рис. 3.115

164
Глава III. Параллельные прямые
m d
ХбО° \l
/В D
Рис. 3.116
71
/^120° \
Рис. 3.117
Рис. З.
Рис. 3.119
70°,
X
Рис. 3.120
Найти: Z СЯ/J.
2. Рис. 3.117.
Дано: Z 1 на 38° больше Z 2.
Ядшяи: Zl, Z2, Z3.
3. Отрезки CD и АВ пересекаются в точке О
так, что АО = OB, AC || DB.
Докажите, что А Л0С= A DOB.
4*. Рис. 3.118.
Длко: ЛЯ || DE, Z ЛЯС = 30°, Z £Z)C = 40°.
Ядш?ш: /.BCD.
Вариант II
1. Рис. 3.119.
Дд/ю: АВ || СД ЛС = АВ, Z ДС7) = 35°.
Найти: Z С4Я.
2. Рис. 3.120.
Дано: Z 1 на 24е меньше Z 2.
Найти: Zl, Z2, Z3.
3. В четырехугольнике ABCD ВС = Л/) и
BC\\AD.
Докажите, что А ЛЯС = A ADC.
4*. Рис. 3.121.
Дшю: ЛЯ || DE, /АВС= 110е, Z CDE= 160°.
Докажите: ВС 1 CD.
Ill уровень
Вариант I
1. Рис. 3.122.
Дано: AB=BD= ВС, BE \\ DC.
Доказать: DC I AC.
2. Рис. 3.123.
Дано: BE || AF, АВ || DE, АВ = CD.
Доказать: АВСЕ= AADF.
3. Рис. 3.124.
Дано: Z Я£/> = 70°, Z £#С = 20е, ЛЯ || CD.
Найти: А АВС.
4*. Внутри треугольника ABC отмечена точка
F. Через нее проведены прямые, параллельные сторонам ЛС и ЛЯ и
пересекающие сторону ВС соответственно в точках Л/и Е, FM= MC, FE= ЕВ.
Докажите, что F- точка пересечения биссектрис А АВС.
Рис. 3.121
Е С
Рис. 3.122

Урок 38. Решение задач
165
Вариант II
1. Рис. 3.125.
Дано: AB = AC,AD = DE, DE \\ АС
Доказать: АЕ 1 ВС
2. Рис. 3.126.
Дано: АВ = CD, ВС \\ AD, DF\\ BE.
Доказать: A FAD = А СВЕ.
3. Рис. 3.127.
Дано:АВ\\ CD, /АВС = 30°, Z CDE-
Найти: /.BED.
4*. Внутри A ABC выбрана точка М. Через нее
проведена прямая, параллельная стороне АС и
пересекающая стороны АВ и ВС соответственно
вточках /)и Е, причем MD = ADnME= EC.
Докажите, что М — точка пересечения
биссектрис треугольника.
= 40°.
А С
Рис. 3.125
Рис. 3.126
30°
Домашнее задание
Решить задачи:
Задана 1
Рис. 3.128.
Дано: Zl: Z2 = 5:4.
Найти: Zl, Z2, Z3, Z4.
Решение (см. рис. 3.129): Z 5 = 128°,
следовательно, а || Ь. а || Ъ, тогда Z2=Z3=Z6, aZl+ b-
+ Z6 = 180°,тогда Z 1 + Z2 = 180°.
Так как Z 1 : Z 2 = 5 : 4, то Z 1 = 5x, Z 2 =
= 4jc, тогда 5x + 4jc = 180°, x = 20°.
Значит, Z 1 = 100°, Z4 = 100°, Z2 = 80°,
Z3 = 80°. (Ответ: Zl= Z4=100°, Z2= Z3 =
= 80°.)
Задана 2
Рис. 3.130. b-
Дано: АС\\ BD, AB = AC, ZACB= 25°.
Найти: ZDBE.
40°
Рис. 3.127
7 «V
Рис. 3.128
7 A2
Pwc. 3.129

Глава III. Параллельные прямые
А
А/
/^
D
Рис. 3.130
С
У^
D
В
\
Рис.
3.131
А
Е
D
К
В
ч
Рис.
Ч
3.732
А
Е
Решение: АС\\ BD, поэтому ZACB = Z CBD = 25е.
АВ = АС, тогда А АВС - равнобедренный, ZABC = ZACB = 25°,
значит, ZABD= 50°, a ZDBE= 130°. (Omeem: ZDBE= 130°.)
Задача 3
Рис. 3.131.
Длно:ЛЯ||/)£, ZBCD = 70\ ZABC: ZEDC=3:4.
Найти: ZABC, ZEDC.
Решение (см. рис. 3.132): САГЦ ЛЯ, по условию АВ || Z)£, тогда СА'Ц
\\DE, значит, Z ЛЯС = Z BCK, Z KCD = Z CDE, a Z ЯСД = Z BCK +
+ ZKCD= ZABC +ZCDE = 70°.
Так как Z,4£C: ZEDC=3:4,to ZABC=3x, Z EDC = 4x, тогда Зх +
+ 4x = 70°, x = 10°. Z>LBC = 30°, Z£Z)C = 40°. (Ответ: ZABC = 30°,
ZEDC = 40°.)
Задача 4
Рис. 3.133.
Дшю: ЯС || Я£, Z С/)Я = 40°, Z C5Z) на 20°
больше Z СД£
Найти: ZABC
Решение: DC || BE, Z CDB = 40°, значит,
Рис. 3.133 Z ABE = Z СЯЯ = 40°.
Z ЛЯ£ = 40°, тогда Z £Я£> = 140°, а так как
ZEBD= ZEBC+ ZCBDn Z CBD на 20° больше Z £ЯС, то 2 Z ЕВС +
+ 20°= 140°, ZEBC= 60°.
Так как Z^^C = Z^L&E1 + Z £ЯС, Z^£ = 40°, Z £ЯС = 60е, то
ZABC= 100°. (0/я*?т: ZABC= 100°.)
Урок 39. Решение задач
Цели урока:
1) подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе по теме
«Параллельные прямые»;
2) совершенствовать навыки решения задач по теме «Параллельные
прямые».
Ход урока
I. Организационный момент
Сформулировать тему урока и его цели.
П. Актуализация знаний учащихся
1. Заслушать устно решение задач домашней работы.

Урок 39. Решение задач
167
(На доске заранее подготовить рисунки с условиями задач. По
указанию учителя один из учащихся выходит к доске и рассказывает решение
первой задачи, остальные учащиеся внимательно его слушают, а затем
исправляют его ошибки. Таким же образом решаются другие задачи.)
2. Решение задач самостоятельной работы предыдущего урока.
I уровень
(Работа ведется устно по готовым чертежам.)
1. Рис. 3.134. a .U
Дано: a\\b, Z 2 на 24° меньше Z 1.
Найти: Z 1, Z2.
Решение: Z\ — Z3, Z2= Z4 как вертикальные.
Так как а || Ъ, то Z 3 + Z 4 =180°.
Z 2 на 24° меньше Z 1, тогда Z 2 = х. рис з 134
Z 1 = х + 24е, тогда х + х + 24е = 180°, х = 78е.
Z2 = 78°, Z 1 = 102е. (Ответ: Z 1 = 102°, Z2 = 78°.)
2. Рис. 3.135.
Найти: Zl, Z2, Z3.
Решение: Сумма односторонних углов при прямых а и Ь и секущей
равна 180°, значит, а || Ь.
Угол, равный 140е, и Z 1 — смежные, значит, Z 1 =40°.
Z 1 = Z 2 как накрест лежащие углы при параллельных прямых а и Ь
и секущей d, значит, Z 2 = 40е.
Z 1 + Z 3 = 180е, так как Z 1 и Z 3 - соответственные при прямых а
и £ и секущей </, значит, Z 3 = 140°. (Ответ: Z 1 = 40е, Z 2 = 40°, Z 3 =
= 140°.)
3. Рис. 3.136.
Дано: ВС\\ EF, ZC= 90°, Z KEF= 30е.
Найти: ZKEA.
Решение: ВС \\ EF, тогда Z С = Z FEA = 90е.
Так как ZFEA = 90е, Z KEF= 30е, то Z *Е4 = 60°. (Ответ: ZKEA =
= 60°.)
4. Рис. 3.137.
Дано: АВ \\ CD, BE - биссектриса Z DBA, DF- биссектриса Z CDM.
Пересекаются ли прямые DFn BE!
Решение: CD\\AB, поэтому Z MDC= Z DBA. BE-биссектриса Z DBA,
DF- биссектриса Z CDM, значит, Z MDF= Z DBE, поэтому ВЕ\\ DB, a
значит, BE и DBue пересекаются.
140°
50»^
2\3
Puc. 3.135
./I
A EC
Рис. 5.756
Рис. 5.757

158 Глава III. Параллельные прямые
/А
в/ „
Рис. 3.138
С
D
80^
Ь
а
\
■у оо
\
? /?9
ч
d
А^
С
Рис.
"—»—
3.140
D
в
//, III уровни
Решить самостоятельно в группах по 3-4 ученика. Наиболее
подготовленных учащихся можно назначить консультантами, по
необходимости можно пользоваться ответами и указаниями к данным задачам.
1. Рис. 3.138.
Дано: AD || ВС, АВ=ВС, Z ЛВС = 140°.
Найти: ZACB.
Решение: ZABC = 140°, AD \\ ВС, значит, Z BAD = 40°. А АВС-
равнобедренный, поэтому ZBAC= ZBCA.
Но Z ВСА = Z С4Д так как ВС|| ЛД следовательно, ZBAC= Z CAD =
= 20° и Z АСВ = 20° тоже. (Ответ: Z АСВ = 20°.)
2. Рис. 3.139.
Дано: Z\ : Z2 = 3: 1.
Яш/mw: Zl, Z2, Z3.
Решение: а\Ь, Z2+ Z3= 180°. Так как а || 6, то Z 3 = Z 1,
следовательно Zl + Z2= 180°.
Z 1 : Z 2 = 3 : 1, значит, Z 1 = Зх, Z 2 = х, тогда Зх + х = 180°,
х = 45°. Тогда Z 1 = 135°, Z 3 = 135°, Z2 = 45°. (Ответ: Z 1 = Z3 =
= 135°, Z2 = 45°.)
3. Отрезки CD и АВ пересекаются в точке О так, что АО = ВО, Z АОС=
= Z BDO.
Докажите, что СО = DO.
Доказательство (рис. 3.140): Так как ZACO = Z BDO, то ЛС || ДД
значит, Z C40 = Z DBO.
в - Z>40C= Z BOD как вертикальные. ДЛ0С =
= A BOD по стороне и прилежащим к ней углам,
значит, СО = DO.
4. Рис. 3.141.
Дано: АВ\\ DE, ВС 1 CD, ZABC= 30°.
Е Найти: Z CDE.
Рис. 3.141 Решение (см. рис. 3.142):
Проведем СК\\ АВ, так как АВ \\ DE, то СК\\ DE.
Тогда Z КСВ = ZCBA = 30°, Z tfCZ) = Z С7Ж
Так как ВС 1 СД то Z BCD = 90°, a Z KCD =
= 60°, значит, Z С7)£= 60°. (Ответ: Z CDE= 60°.)
5. Рис. 3.143.
Дшю: ЛЯ = АС, АЕ = Ж, ЕК\\ АС.
Доказать: ВК= КС.
Рис. 3.142

Урок 40. Подготовка к контрольной работе
169
AM N " С
Рис. 3.145
Доказательство: АЕ = ЕК, значит, А АЕК- равнобедренный, Z ЕАК=
= Z ЕКА. Но ЕК\\ АС, значит, Z ЕКА = Z А^Си АК- биссектриса
равнобедренного А АВС (АВ = AQ, а значит, и медиана, т.е. ВК= КС.
6. Рис. 3.144.
Дано: АВ \\ DE, DB 1 СЕ, A CED = 50°.
Найти: А АВС
Решение аналогично задаче 4.
7. Внутри треугольника АВС отмечена точка К. Через нее проведены
прямые, параллельные сторонам АВ и ВС и пересекающие стороны АВ и
несоответственно в точках Мн N, причем МК = М4, A^r= 7VC. Докажите,
что А'— точка пересечения биссектрис треугольника АВС.
Решение (см. рис. 3.145): АМ= МК, тогда А АМК— равнобедренный и
Z MAK= Z МКА. МК\\ АВ, тогда Z Л/А/4 = Z А>10.
Z Л/ЛАГ = Z А>1Д тогда АК- биссектриса Z A4C.
МГ= NC, тогда А &УС - равнобедренный и Z AtffC= Z NCK
KN\\ ВС, тогда Z NKC = Z #СД.
Z NCK= Z АО, тогда САГ- биссектриса ZACB, а точка А"- точка
пересечения биссектрис А АВС.
Домашнее задание
Выполнить работу над ошибками.
Решить задачи самостоятельной работы И, III уровней (по одному
из вариантов по усмотрению ученика из тех, которые он еще не
решал).
Урок 40. Подготовка к контрольной работе
Цели урока:
1) подготовить учащихся к контрольной работе;
2) систематизировать знания учащихся по изучаемой теме.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся

170 Глава III. Параллельные прямые
а
b
/
Рис.
У
3.146
а-
b
с m
/ ^
Рис. 3.147
44
о -^<
а
b
А
А
Рис. 3.148
Нет смысла давать подготовительный вариант контрольной работы
наиболее подготовленным учащимся, поэтому для таких учащихся
данный урок можно посвятить решению задач повышенной сложности, а
на дом дать подготовительный вариант контрольной работы II, III
уровней.
Решение задач подготовительного варианта контрольной работы I, II
уровней - такую цель можно поставить перед менее подготовленными
учащимися, а на дом дать задачи на готовых чертежах. Работу на уроке с
такими учащимися в зависимости от особенностей класса можно
организовать по-разному: это и самостоятельная работа с последующей
самопроверкой по готовым решениям, и работа в группах по 3-4 человека
также с последующей проверкой, и фронтальная работа со всем классом
с подробным анализом и оформлением на доске и в тетрадях учащихся
решений задач.
Итак, подготовительный вариант контрольной работы:
I уровень
1. Рис. 3.146.
Дано: Z1+ Z2 = 88°, а\\Ъ.
Найти все образовавшиеся углы при пересечении прямых а и b и их
секущей с.
2. Рис. 3.147.
Дано: Z 1 + Z2 = 180°, Z3 = 48е.
Найти: Z4, Z5, Z6.
3. Отрезок DM— биссектриса A CDE. Через точку Мпроведена
прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DEb точке N.
Найдите углы треугольника DNM, если Z CDE = 68°.
4*. Прямая Жявляется секущей для АВ и CD (Ее АВ,Ке CD). ZAEK=
= 49°. При каком значении Z СКЕ прямые АВ и CD могут быть
параллельными?
II уровень
1. Рис. 3.148.
Дано: а\\Ь,с — секущая, Z 1 : Z 2 = 4 : 5.
Найти все образовавшиеся углы.
2. Рис. 3.149.
Дано: Z 1 = Z 2, Z 3 на 30° больше Z 4.
А С Найти: Z3, Z4.
Рис. 3.149

Урок 40. Подготовка к контрольной работе
171
V
Рис. 3.150
с /
/2
Рис.
А
3.151
z.
в
Л V
N К
Р«с. 3./52
Е
/
D
3. Отрезок AD — биссектриса треугольника ЛВС. Через точку D
проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К, так что DK= AK.
Найдите углы треугольника ADK, если Z BAD = 35е.
4*. На прямой последовательно отложены отрезки АВ, ВС, CD. Точки
En Pлежат по разные стороны от этой прямой так, что Z ABE= Z PCD =
= 143°, ZPBD = 49°, ZACE=4S°.
а) Докажите, что ВЕ\\ PC.
б) Докажите, что прямые РВи СЕ пересекаются.
III уровень
1. Рис. 3.150.
Дано: а\\Ь, с — секущая, Z 3 меньше суммы углов 1 и 2 на 150°.
Найти: Z 1, Z2, Z3.
2. Рис. 3.151.
Дано: Z1+ Z2 = 180°, BD-биссектриса ZABC, Z3+ Z4+ Z5 =
= 186°.
Найти: Zl, Z2, Z3, Z4, Z5.
3. Рис. 3.152.
Дано: MN \\ РК, КЕ - биссектриса Z PKD,
В
а) Найти: Z ВКЕ.
б) Пересекаются ли прямые АВ и J£E, если
ZBMN= 51°?
4. В треугольнике /WCZ/1: Z5: ZC=5:6:7.
Через вершину С проведена прямая AW так,
Найдите Z MCD, где CD — биссектриса
ZACB.
Задачи повышенной сложности
1. Рис. 3.153.
Дано: АС\\ BD, CK\\ DM, ZACK= 48°, Z CDKb
3 раза больше Z £/)Л/.
Найти: Z KDE.
2. Рис. 3.154.
Дяио: АЕ - биссектриса А АВ С, AD= DE,AE=
= ЕС, Z АСВ = 37°.
Найти: ZBDE.
Рис. 3.153
Рис. 3.154

172
Глава III. Параллельные прямые
Рис. 3.155
Рис. 3.156
В
3. Рис. 3.155.
Дано: AD - биссектриса А ЛВС, АО = 0D, МО 1 AD.
Доказать: АВ || MD.
4. Рис. 3.156.
Дано: АВ = ВС, АО = 0D, ВО = ОС.
Доказать: BD - биссектриса Z ЕВС.
5. На отрезке АВ взята точка С. Через точки А
и В проведены по одну сторону от АВ
параллельные лучи. На них отложены отрезки AD = АС и
ВЕ= ВС. Точка С соединена отрезками прямых
с точками Z) и Е. Докажите, что DC _L CE.
Задачи на готовых чертежах
(Задание на дом для менее подготовленных
учащихся.)
1. Рис. 3.157.
Дано: AM = AN, ZMNC= 117°, ZABC= 63е.
Доказать: MN\\BC
2. Рис. 3.158.
Дано:AD=DC,DE\\AC, Z\ = 30°.
Найти: Z2, Z3.
3. Рис. 3.159.
Дано: BD \\ АС, ВС - биссектриса ZABD,
ZEAB=\W.
Найти: ZBCA.
4. Рис. 3.160.
Дано: Z\= Z2, Z3= Z4,BM=MO,NO =
= NC.
Доказать: точки М, О, Улежат на одной
прямой.
Ответы и указания к задачам:
I уровень
1. а || Ь, тогда Z 1 = Z 2 = 44°. Другие углы
равны 136° и 44°.
2. Z 1 + Z 2 = 180°, тогда а \\ Ь,
следовательно, Z3= Z5= Z6 = 48°, a Z3+ Z4=180°,
Рис. 3.158
В
Е -JK
Рис. 3.159
Рис. 3.160
тогда Z4= 132е.

Урок 40 Подготовка к контрольной работе
173
/
/
А
0
\
V
м
Рис.
К
3.161
\
Е
В
С
V
\
^49
а)
кЧ
А
D
Рис.
А
С
3.162
49°
/
/к
Е/
/
б)
В
D
3. Рис. 3.161.
DM - биссектриса A CDE, Z CDE = 68°, тогда Z CDM =
= Z MDN = 34°. CD || MN, тогда Z DMN = Z CDM = 34е. CD || MN, тогда
ZNDC+ ZDNM=№°.
Значит ZDNM= 180°- ZNDC= 112°. (Ответ: ZNDM= ZNMD =
= 34°, ZDNM= 112е.)
4. Рис. 3.162.
Возможны два случая:
а) Zv4Etf= Z CA£, Z С*£= 49°, так какАВ|| CZ).
б) ZM+ Z СЯЕ = 180е, так как АВ|| СД тогда ZCKE= 131е.
II уровень
1. Рис. 3.163.
Zl= Z3, Z2= Z4 как вертикальные.
д || ^, тогда Z3 + Z4 = 180е, значит, Z 1 + Z2 = 180°. Z 1 : Z2 =
= 4:5, тогда Z 1 = 4jc, Z2 = 5*. 4х + 5х = 180е, х = 20е, тогда
Z 1 = 80е, Z 2 = 100°. (Ответ: 4 угла по 80°, 4 угла по 100°.)
2. Z 1 = Z 2, тогда а \\ Ьу значит, Z 3 + Z 4 = 180°. Z 3 на 30° больше
Z4, тогда Z4 + 30°+ Z4=180e, Z4 = 75°, Z3 = 105°. (Ответ: Z3 =
= 105°, Z4 = 75e.)
3. Рис. 3.164.
AK = DK, тогда A ADK - равнобедренный и Z DAK = Z ADK> но
ZDAK = ZBAD (AD - биссектриса Z&4Q, поэтому Z BAD =
= ZADK= 35°, значит, ВА || /Ж. Так как BA \\ DK, то Z &4ЛГ+ Z^T/) =
= 180°, ZylKZ)= 110°. (Ответ: ZDAK= ZADK= 35°, Z/4*Z)= 110°.)
4. Рис. 3.165.
a) ZABE= ZKBC как вертикальные. ZKBC= ZPCD= 143е, значит
ЕВ || PC, так как соответственные углы при прямых ВЕи PC и секущей
AD равны.
а И
Рис. 3.163
Рис. 3.164
Рис. 3.165

174 Глава III. Параллельные прямые
б) Z ЕСВ = 48°, Z СВР = 49°, Z ЕСВ * Z СВР, значит ЕС и ДР не
параллельны, то есть пересекаются.
III уровень
\. а\\ Ь, тогда Zl= Z 2, a Z2+ Z3= 180°, но Z 3 меньше суммы
углов 1 и 2 на 150°, тогда Z3 = 2 • Z2 - 150°. Z2 + 2 • Z2 -
- 150° = 180°, Z 2 = 110°. Тогда Z 1 = 110°, Z 2 = 110°, Z 3 = 70°. (Ответ:
Zl= Z2=110°, Z3 = 70°.)
2. Z 1 + Z 2 = 180°, тогда АВ || СД 5Z) - биссектриса Z ЛЯС, тогда Z 3 =
= Z 4. ЛЯЦСА значит, Z3= Z5,пoлyчaeм Z3= Z4= Z5. Z3+ Z4 +
+ Z5 = 186°, Z3 = Z4 = Z5 = 62°, A ABC = 124°,
Z 2 = 124°, Z 1 = 180° - 124° = 56°. (Ответ. Z 1 = 56°, Z 2 = 124°, Z 3 =
= Z4= Z5 = 62\)
3. a) MN || PK, Z BNM = 78°, тогда Z BKP = 78°, Z PtfZ) = 102°.
KE - биссектриса Z />*/), тогда Z />#£ =51°, Z £*£ = Z BKP +
6) ZBMN=5V, MN\\PK, тогда ZBPK=5V. ZBPKn ZPKE-ш-
крест лежащие при прямых АВ и КЕ, и ZBPK = 51°, Z РКЕ =
= 51°, значит, АВ || АЕ, то есть прямые АВи КЕие пересекаются.
4. Рис. 3.166. Возможны два случая:
a)MN|| АВ, тогда Z£= ZjBCM, Zy4= Z/1C7V.
Z>4: Z£: ZC=5:6:7,a ZBCM+ ZBCA+ ZACN= 180°, тогда
ZA+ ZB+ ZC= 180° и ZA = 50°, ZJ8=60e, ZC= 70°.
CD - биссектриса Z ВСА, тогда Z BCD = 35°, ZMCD =
= ZMCB+ ZBCD= 60° + 35° = 95°.
б) Если точки М и N переставить, то получим Z Л/CZ) = Z ЛС/) +
+ ZACM= 35е + 50° = 85°.
Решение задач повышенной сложности
1. Рис. 3.167.
Так как AC \\ BD, CK \\ DM, то ZACK = Z Я/W = 48°. Z CDK +
- 180° - Z Я/W. Z С7Ж в 3 раза больше Z £7)М, тогда
ZEDM= 180° -48°, 4ZEDM= 132е, ZEDM= 33°.
Тогда Z AZ>£= 48° + 33° = 81°. (Ответ: ZKDE= 81е.)
2. Л/) = /)£, тогда Z ZM£ = Z DEA. AC - биссектриса A ABC, тогда
ZDAE = ZiL4C, значит ZEAC = Z DEA, следовательно,
DE || ЛС. АЛ.Е'С - равнобедренный (АЕ = £Q, тогда ZEAC =
= Zy4C£'= 37°, следовательно, ZDAC= 74е.
/)£ || ЛС, Z Д4С = 74°, тогда Z ЯД£ = 74е. (Ответ: Z BDE = 74е.)
/n
Рис. 3.166 /N Рис. 3.167

Урок 42. Работа над ошибками 175
3. А АОМ = A DOM по двум сторонам и
углу между ними, значит, Z МАО = Z MDO.
ZMAO = ZBAO, ZMAO= ZMDO, тогда
Z BAO = Z MDO, значит АВ || MD.
4. A BOD = A CQ4 по двум сторонам и углу
между ними, тогда Z ОСА = Z OBD, то есть
BD \\АСи Z ВАС = Z EBD.
Но Z ОСА = Z A4C, так как А АВС- равнобедренный (AB=BQ,
тогда Z A4C= Z ОЯ/). Z A4C= Z £ЛД Z BAC= Z ОДД значит, Z EBD =
= Z ОЯД то есть BD - биссектриса Z ЕВС
5. Рис. 3.168.
Л/) || Я£. Проведем от точки С луч СК \\ AD \\ BE, тогда ZADC =
= ZZ)Ctf, ZKCE= ZCEB.
A ADC и А С#£" — равнобедренные, поэтому ZADC = ZACD,
ZBCE = Z££C, тогда ZACD = Z Z)Ctf, Z ВСЕ = Z *С£ и
ZACD+ZDCK+ ZKCE+ ZBCE= 180°, a Z/)Ctf+ ZKCE= 90°,
т.е. Z)C I C£.
Решение задач на готовых чертежах
1. Z Л/ЛГС= 117°, тогда Z Л/М4 = 63е. A AMN-равнобедренный (АМ=
= AN), тогда ZMNA= ZNMA = 6V.
Получили, что соответственные углы NMA и СВА при прямых Л/ЛГ и
ВС и секущей АВ равны, значит, MN\\ ВС.
2. AADC - равнобедренный (AD = DC), значит Z DAC = Z.4CZ).
/)£|| АС, тогда ZZ)C4 = Z1 = 30°, тогда Z3 = 30°. Z2 и Z3 -
соответственные при параллельных прямых DEnACn секущей АВ, значит, Z 2 =
= Z3 = 30°. (Ответ: Z2= Z3 = 3O°.)
3. BD || АС, тогда Z EAB = ZABD = 116°. ВС - биссектриса ZABD,
тогда Z DBC = 58°. BD \\ AC, значит, Z DBC = Z ДС4, тогда Z ЯС4 = 58°.
(Omeem: ZBCA = 58е.)
4. А ЯЛ/0 - равнобедренный (ЯЛ/= MO), Z МВО = Z Л/0Я.
Таккак Zl= Z2, a Zl= ZMOB, то Z2= Z МОД значит, МО ||
|| ВС А ЛГОС - равнобедренный (NO = JVC), Z M)C = Z 4, а так как
Z3= Z4,to ZNOC= Z 3, значит, NO\\BC
Через точку О, не лежащую на прямой ВС можно провести только одну
прямую, параллельную ВС, то есть ОМ и ON - это одна прямая, а это
значит, что точки М, О, Улежат на одной прямой.
Урок 41. Контрольная работа №3 по теме
«Параллельные прямые» (см. Приложение 1)
Урок 42. Работа нал ошибками
Цели урока:
1) устранить пробелы в знаниях учащихся;
2) научить учащихся находить и исправлять свои ошибки;

176 Глава III Параллельные прямые
3) привить навыки самостоятельной работы.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Работа по поиску и исправлению своих ошибок
На уроке подготовки к контрольной работе учащимся был предложен
подготовительный вариант контрольной работы, задания которого не
существенно отличались от заданий контрольной работы. В ходе
решения данных задач у ученика в тетради должны были появиться
подробные решения одного-двух уровней, поэтому работу учащихся на данном
уроке можно организовать следующим образом:
1) Объединить учащихся в группы по 2—4 человека таким образом,
чтобы в каждой группе находились те учащиеся, которые решали один
вариант контрольной работы. Учащимся группы предоставить текст
контрольной работы с ответами и предложить им найти свои ошибки,
исправить их. По необходимости можно консультироваться с учителем.
2) Предложить учащимся решить самостоятельно задачи контрольной
работы другого варианта того же уровня в случае, если ученик в
контрольной работе допустил серьезные ошибки, и задачи контрольной
работы следующего уровня в случае, если в контрольной работе серьезных
ошибок нет или их мало.
3) Задание на дом — решить задачи следующего уровня.
Если ученик успешно справился с контрольной работой, то он сразу
же приступает к решению задач следующего уровня. В случае, если
ученик успешно решил задачи III уровня, то ему предложить
дополнительные задачи для решения в классе и дома.
Ответы и указания к задачам контрольной работы:
I уровень
Вариант I
1. Рис. 3.183.
Zl = Z2 = 51°, Z6 = 51°, Z7 = 51°, Z3*=Z4=Z5 = Z8=129e.
2. Рис. 3.184.
Z3= Z4=120°,/i||m(Zl= Z2).
3. Рис. 3.185.
ZDAF= 1/2 Z ВАС= 36°\DF\\AB, ZADF=36°, ZAFD= 144°.
4. Возможны два случая (рис. 3.186):
a) ZNKE= 115°; б) ZNKE= 65°.
В
а 5/6
4/2
Рис. 3.183

Урок 42 Работа над ошибками
177
'65°
а)
N N
Рис. 3.186
б)
b 4/
Рис.
h ....
Рис.
<
3.187
В
iA
л
с
3.188
С
Вариант II
1. Рис. 3.187.
Z2 = 39°, Z1 = 141°, Z3=Z8= Z5 = 39°,
Z4= Z6= Z7= 141°.
2. Рис. 3.188.
a\\b(Z\= Z2), Z3 + Z4= 180°, Z4 = 40°.
3. Рис. 3.189.
ZKAN = 1/2 Z C4£ = 39°, NK|| ЛС, ZylKTV =
= 39°, ZANK=\4V.
4. Возможны два случая (рис. 3.190):
a) Z С7Ш= 105°; б) Z С7Ш= 75°.
II уровень
Вариант I
1. Рис. 3.191. А
Zl = 140°, Z2 = 40°, Z7= Z3= Z5= 140°,
Z4= Z6= Z8 = 40°.
2. Рис. 3.192.
a\\b(Zl= Z2), Z3+ Z4= 180°, Z3 = 36°, A
Z4=144°
3. Рис. 3.193.
Z DMN= Z MDN= 1/2 Z CDE= 37°, MN\\ CD,
тогда ZDNM= 143°.
4. Рис. 3.194.
а) ЛС || ДД тогда Z Afi/) = 63°;
б) ZA* ZC,AB n CZ).
Вариант II
1. Рис. 3.195.
Zl = 75°, Z2= 105°, Z7= Z3= Z5 = 75°, ° /N
Z4= Z6= Z8=105°. 6)
N E
Pmc. 5.759
A
С
a)
A
M/
75°V
'/
/N
M /
в
D
В
Рис. 3.190
6/7
3/2
1/ХЗ
Рмс. 5.79/
/>мс. 5.792
N Е
Рмс. 5.795

178
Глава III. Параллельные прямые
Рис. 3.194
Рис. 3.195
4/с
2. Рис. 3.196.
a\\b(Zl + ^2 =
3. Рис. 3.197.
В
А
Рис..
3.197
/
ytf7o 45^
Х43О
А
Рис.3
М
>Ч37°
А
N
>Ч37°
С
.79*
В
1 65
D
а)
В
/ 65°/
С
N
°Л
С
м
D
6)
Рис. 3.199
0°), Z3 + Z4=180°, Z3 = 55e, Z4=125°
ZEAD= ZEDA= 1/2 ZBAC= 32°, ED \\ AC,
тогда Z Z)£4 = 148°.
4. Рис. 3.198.
a) AC\\ BD, тогда ZACD = 135°;
b) ZB* ?D,ABn CD.
Ill уровень
Вариант I
1. Z3 = 4(Z1+Z2), Z1=Z2, Z2+Z3 =
= 180°.
Тогда 180е- Z2 = 4-(Z2+ Z2), Z2= Zl =
= 20°, Z3=160°.
2.a\\b(Z4= Z2), Zl= Z3(AC=BQ.
Z3 + Z4 = 110°, тогда Zl + Z2 = 110°,
Z5 = 70e, Z3 = 70e, Z2 = 40e, Z4 = 40e.
3. AB || KM, тогда Z AME = 34°.
ZKMN= 1/2 ZAMC= 73е, тогда ZEMN =
= 107°.
4. Возможны два случая (см. рис. 3.199):
а) ZАШ)= Z.Л/А4 + ZABD= 37° + 1/2(180е-
- 37° - 65°) = 76е (ZMBA + Z,4£C +
ZCBN= 180°).
б) Z ЛШ)= Z MBC+ Z CBD=65° + 1/2 (180° -
- 37е - 65°) = 104е (ZNBA + ZABC +
+ ZCBM= 180°).
Вариант II
1.7Z2=Z3-Z1, Z1=Z2, Z2+Z3 =
= 180°.
Тогда7- Z2 = (180e- Z2)- Z2, Zl= Z2 =
= 20°, Z3=160e.
2.a\\b(Z2= Z5), Zl= Z2(/iff = ^C).
Zl + Z3= 130°, Z5 = 50°, Z2 = 50°, Zl =
= 50°, Z4 = 80°.
3. MN\\ CD, тогда Z>4CZ) = 28°, ZDCE =
= 1/2 ZDCB=76°, значит, Z/4C£= 104°.

Урок 42 Работа над ошибками
179
= 39°
4. Возможны два случая (см. рис. 3.200):
а) ZADC + ZCDE= ZEDB=№°, ZADK= ZADC + ZCDK=
+ 1/2 (180°-39°-57°) = 81°.
б) ZBDC+ ZCDE+ ZEDA=№°, ZADK= ZADE+ ZEDK=5T +
+ 1/2 (180° - 39° - 57°) = 99°.
Дополнительные задачи
Задача 1
На прямой MN между точками Ми N выбрана точка А, и проведены
по одну сторону от MN лучи АВ, АС и AD. На луче АВ выбрана точка К, и
через нее проведена прямая, параллельная MNn пересекающая лучи АС
и AD соответственно в точках Р и Е, КР = РА = РЕ.
Докажите, что АВ A. AD.
Доказательство (см. рис. 3.201): Пусть Z РКА = х и Z PEA = у. Так
юкКР= РАи РЕ= РА,то ZKAP=xn Z РАЕ = у. По условию КЕ || MN,
значит, Z KAM= x, Z EAN= у. Так как Z MAN= 180°, то 2х + 2у = 180°,
х + 3^=90°, то есть ZKAE=90\AB I AD.
Задача 2
Дано: BD - медиана А АВС, АВ = 2BD (см. рис. 3.202).
Доказать: ВС - биссектриса Z DBF.
Доказательство: Продолжим BD за точку D и отложим отрезок DE,
равный BD.
Точки А и Е соединим отрезком;
A BDC= A ADEno двум сторонам и углу
между ними, значит Z СВЕ = Z ВЕА, а
ВС\\АЕ.
Так как АВ = 2BD, то АВ = BE и
ЬАВЕ - равнобедренный, а значит А
ZBEA= ZCBF. ZEBC= ZCBFfBC-
биссектриса ZDBF.
Задача 3
Даны треугольник ABC и точки М и
Этакие, что середина отрезка 2?Мсовпа-
дает с серединой стороны АС, а
середина отрезка CN— с серединой стороны АВ.
Докажите, что точки М, Nn А лежат
на одной прямой.
Доказательство (см. рис. 3.203):
А ВСК = А МКА по двум сторонам и Рис. 3.203

180
Глава III. Параллельные прямые
Рис-3205
15° D
Рис. 3.206
углу между ними (ВК= КМ, СК= АК, Z ВКС= Z МКА), значит, Z КВС=
= ZKMAnBC\\AM.
А ВСЕ = A ANE по двум сторонам и углу между ними (BE = АЕ, СЕ=
= ЛГ£, ZBEC= ZAEQ, значит, ZCBE= ZNAEnBC\\AN.
Через точку Л, не лежащую на прямой ВС, можно провести только
одну прямую, параллельную ВС, следовательно, ANn AM- это одна
прямая, то есть точки N, А и А/лежат на одной прямой.
Задана 4
Найти: углы фигуры ABDE (рис. 3.204).
Решение. 78е + 102е = 180°, значит, АЕ\\ BD, следовательно, ZEDB +
+ ZAED= 180°, но AD=DEn ZADE= ZAED,totj& ZBDA+ ZADE+
+ ZAED= 180°, Z ДЯЛ = 48°, тогда ZADE= ZAED = 66°.
Итак, ZAED = 66°, ZBDE= 114°, ZABD=1%\ ZBAE= 102°.
Задача 5
Рис. 3.205.
Дшю: CF1 AF, СУ^ ± ЯС, ZyiBF: Z A4F: ZAFB=1: 8 : 3.
Найти: углы A i?/?/*.
Рвш^ив: Z,4££+ Z,W+ ZCW= 180°; ZA0£= ZA4is Z CBF=
= Z ЯД4 (ЯСЦ AF, так как CF1 AF, CF 1 BQ, тогда
Но так как Z,4AF: ZBAF: ZAFB=1: 8 : 3,то ZABF=70\ ZBAF
80°, ZAFB= 30°, тогда Z/»C= 30°, ZBCF= 90° (5C 1 CF), ZBFC
Z Л/U- Z ДД4 = 90° - 30° = 60°.
Задача б
Рис. 3.206.
Дано: ZCBE меньше Z/iff^ на 87° и меньше ZABDhsl 33°.
Найти: углы A Z?CD.
Решение: 65° + 115е = 180°, тогда Я£|| ЛС, ZABE= 115°.
Z С#£ меньше Z ABE на 87°, тогда Z СЯ£= 28е.
Z СЯ£ меньше Z АЯЯ на 33°, тогда Z A0Z) = 28°.
ZDBC= ZABE-(ZABD+ ZCBE) = 26°. ZBCD= ZCBE=2S°.
ZBDC= ZKBD = 65° + 61° =126°.

ГЛАВА IV
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
(уроки 43-62)
Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами
треугольника. Неравенство треугольника. Некоторые свойства
прямоугольных треугольников. Признаки равенства прямоугольных
треугольников. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между
параллельными прямыми. Задачи на построение.
Основная цель — расширить знания учащихся о треугольниках.
В данной теме рассматривается одна из важнейших теорем курса —
теорема о сумме углов треугольника, в которой впервые формулируется
неочевидный факт. Теорема позволяет получить важные следствия —
свойство внешнего угла треугольника, некоторые свойства и признаки
прямоугольных треугольников.
При введении понятий расстояния между параллельными прямыми у
учащихся формируется представление о параллельных прямых как
равноотстоящих друг от друга (точка, движущаяся по одной из
параллельных прямых, все время находится на одном и том же расстоянии от
другой прямой), что будет использоваться в дальнейшем курсе геометрии и
при изучении стереометрии.
При решении задач на построение в 7 классе рекомендуется
ограничиваться только выполнением построения искомой фигуры циркулем и
линейкой. В отдельных случаях можно проводить устно анализ и
доказательство, а элементы исследования могут присутствовать лишь тогда,
когда это оговорено условием задачи.
На изучение темы отводится 20 часов.
Урок 43. Сумма углов треугольника
Цели урока:
1) доказать теорему о сумме углов треугольника, ее следствия;
2) научить решать задачи на применение нового материала.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать цели.
II. Актуализация знаний учащихся
Решить задачи по готовым чертежам (дать учащимся 2—3 минуты на
обдумывание, а далее обсудить возможные варианты решений).

182
Глава N. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.2
Рис. 4.3
1. Рис. 4.1.
Дано: AF\\BD, AB=BF9 ZB= 30°.
Доказать: BD - биссектриса Z CBF.
Найти: ZA, /.F, сумму углов A ABF.
2. Рис. 4.2.
Дано: DE\\AC.
Найти: сумму углов А АВС.
Вторую задачу учащиеся должны решить, если на предыдущих уроках
они решали похожие задачи, а их было немало.
После решения данных двух задач учитель задает классу вопрос, в
обсуждении которого должен участвовать весь класс.
— Случайно ли сумма углов треугольника АВС оказалась равной 180е
или этим свойством обладает любой треугольник? (Укаждого
треугольника сумма углов равна 180°.)
Это утверждение носит название теоремы о сумме углов
треугольника. Итак, тема сегодняшнего урока «Сумма углов треугольника».
III. Изучение нового материала
1. Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.
— Составьте план доказательства данной теоремы, запишите его в
тетради, выполните рисунок.
Двух-трех учеников можно попросить поработать на переносных
досках. Возможные записи в тетрадях учащихся и на доске:
План доказательства:
а) Построить DE \\ АС через вершину В
А ЛЯС (рис. 4.3);
б) Доказать, что А А = Z 1, Z C= Z 3;
в) Доказать, что если Z 1 + Z 2 + Z3 =
= 180°, значит, Z/*+Z2+ZC= 180°.
—q" 2. Определение: Внешним углом
треугольника называется угол, смежный с
внутренним.
Z BCD - смежный с Z Стреугольника АВС (рис. 4.4), значит, Z BCD -
внешний угол этого треугольника.
Задание классу (дать на обдумывание 2—3 минуты, а затем заслушать
варианты ответов):
Рис. 4.4

Урок 43. Сумма углов треугольника 183
- Докажите, что /BCD = /А + /В и сформулируйте свойство
внешнего угла треугольника.
Доказательство: /АСВ и /.BCD - смежные и ZACB + /BCD =
= 180е, значит, / BCD = 180° - /АСВ.
Нотаккак /А+ /В+ /АСВ= 180е,то /А+ /В=№°- /АСВ,
отсюда следует, что 180° - / АСВ = / BCD = / А + / В, что и
требовалось доказать.
Свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника
равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
IV. Закрепление изученного материала
1. Устно решить задачи № 223 (б, в, г), 225, 226.
Ответы и указания к задачам:
Задача № 223
6)26°; в) 180°-За; г) 60е.
Задача № 225
/А = /В = /С, /А+ /В+ /С= 180°, значит, /А = 60°,
ZB= 60°, /С= 60°.
Задача № 226
Если бы углы при основании равнобедренного треугольника были
прямыми или тупыми, то сумма этих углов была бы уже равна или
больше 180°, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.
2. Решить задачи №116 и 117 из рабочей тетради (один из учащихся
по указанию учителя читает задачу и предлагает свое решение,
остальные внимательно слушает его и исправляют допущенные им ошибки).
3. Письменно решить задачи № 228 (в), 227(6) (один ученик работает
у доски, а остальные - в тетрадях).
Задана № 228 (в)
Используя задачу JSfe 226, имеем, что 100° - это градусная мера угла,
противолежащего основанию равнобедренного треугольника. Значит,
сумма углов при основании равна 80°. С учетом того, что углы при
основании равнобедренного треугольника равны, имеем, что каждый угол
равен 40е. (Ответ: 40°, 40°, 100°.)
Наводящие вопросы:
1) Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть
равным 100°?
2) Чему равна сумма углов при основании в
данного треугольника? А каждый из них?
Задача № 227(6)
Рис. 4.5.
Пусть / С= х, тогда / BCD= Зх Но / С+
+ Z BCD = 180°, тогда х + Зх = 180°, х = 45е,
тогда /А= /С= 45°, /В=90°. (Ответ:45е,
45е, 90°.) м Рис 4 5 ^
Наводящие вопросы:
1) Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если
он в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним?

184
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.6
2) Чемы равны другие углы данного треугольника?
V. Самостоятельное решение задач
Самостоятельно решить задачи № 227 (а), 229.
(Учитель контролирует работу менее подготовленных учащихся и
консультирует по необходимости остальных.)
Задача № 227 (а)
Рис. 4.5.
Пусть ZB=x,тогда ZA = Z С=2хТаккак ZA + ZB+ ZC= 180°,
то х + х + 2х = 180°, откуда х = 36°, т.е. Z В = 36°, ZA = ZC= 72°.
(Ответ: 36°, 72°, 72°.)
Задача № 229
Рис. 4.6.
А ЛВС — равнобедренный с основанием АС, тогда Z BAC= Z BCD =
= 50°. AD — биссектриса, значит, ZDAC— 25е.
ZDAC+ ZACD+ ZADC= 180°, откуда ZADC= 180° -(ZDAC +
+ ZACD) = 105°. (Ответ: ZADC= 105°.)
Дополнительные задачи:
1. Рис. 4.7.
Дано: DK - биссектриса, Z EDK = 28°,
ZCDK= 75°.
Найти: углы A CDE.
(Ответ: ZCDE=56°, ZDCE=1Т, ZCED =
= 47°.)
2. Рис. 4.8.
Дано:АВ= ВС, ZA = 50°, ДЛ/- высота.
Яайтг/: Z СВМ.
(Ответ: ZCBM= 40°.)
3. Рис. 4.9.
Дшю: 05= ОА, ОС= CD, ZBOC= 137°.
Найти: углы А Л0Я и A CDO.
(Ответ: ZAOB = 43°, ZA = /5= 68°30',
Z СО/) = Z CZ)O = 43е, Z OCD = 94°.)
В
137
Рис. 4.9
В
120°
С
Рис. 4.10
4. Рис. 4.10.
Дано: АВ=ВС=5ш, Z BCD = 120°.
Найти: АС.
(Ответ: АС = 5 см.)

Урок 43. Сумма углов треугольника
185
Домашнее задание
1. § 30, вопросы 1, 2.
2. Решить задачи № 224, 228 (а), 230.
Задача № 224
(Ответ: ZA = 40°, ZB = 60°, ZC= 80°.)
Задача М 228 (а)
Возможны два случая:
1) 40° — градусная мера угла при основании, тогда углы данного
треугольника равны 40°, 40°, 100°.
2) 40° — градусная мера угла, противолежащего основанию, тогда углы
данного треугольника равны 40°, 70°, 70°.
Задача № 230
Рис. 4.11.
Решение: AD и BE - биссектрисы А АВС, тогда ZABM =
= 96е: 2 = 48°, Z ВАМ= 58°: 2 = 29°.
В ААВМ ZABM + ZBAM+ ZAMB=\W.
Тогда ZAMB= 180° - (48° + 29°) = 103°. (Ответ: ZAMB= 103°.)
3. Дополнительные задачи:
Задача 1
Рис. 4.12.
Дано: ZA = 90°; CF, DB - биссектрисы A ACD.
Найти: Z COD.
Решение: ZA = 90°, тогда ZACD+ ZADC= 180°- ZA = 90°.
CF, DB - биссектрисы A ACD, тогда ZDCO = 1/2 ZACD,
Z CDO = 1/2 ZADC, a Z DCO + Z CDO = 1/2 (ZACD + ZADC) =
= 1/2 • 90° = 45°.
В A CDO Z DCO + Z CDO + Z COD = 180°, тогда Z COD =
= 180° - (Z DCO + Z CDO) = 180° - 45е = 135е. (Ответ: Z COD = 135°.)
Задача 2
Рис. 4.13.
Дано: AB= BD, ZD= 70°, AC - биссектриса A ABD.
Найти: ZACB.
Решение: AB = BD, тогда Z BAD = Z BDA = 70°.
AC - биссектриса A ABD, тогда Z CAD = 35°.
В A ACD Z CAD + ZADC+ ZACD= 180°, тогда ZACD= 75°.
ZACD+ ZACB= 180°, тогда ZACB= 105°. (Ответ: ZACB= 105°.)
E
Рис. 4.11
A F D
Рис. 4.12
A D
Рис. 4.13

186
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Урок 44. Сумма углов треугольника. Решение задач
Цели урока:
1) ввести понятие остроугольного, прямоугольного, тупоугольного
треугольников;
2) совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о
сумме углов треугольника.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Теоретический опрос по вопросам 1 и 2. Опрос проводится
индивидуально на карточках в письменном виде.
2. Проверить домашние задачи № 228 (а), 230 и дополнительные
домашние задачи №1,2. (На доске предложить 4 ученикам подготовить
рисунки к задачам и записать краткое решение. Заслушать их после
решения задач по готовым чертежам.)
3. Решение задач по готовым чертежам.
(Чертежи у рисункам подготовить на доске или планшетах заранее.
Фронтальная работа с классом.)
1) Рис. 4.14.
Найти: Z С.
2) Рис. 4.15.
Найти: ZA, ZC, ZCBD.
3) Рис. 4.16.
Дано: А АСЕ — равносторонний.
Найти: ZAFB.
4) Рис. 4.17.
Дано: ВС = АС.
Найти: ZABD.
4. Индивидуальная работа в рабочих тетрадях: решить
задачи № 118 и № 119 и тетради сдать на проверку учителю до начала
изучения нового материала (задание учащиеся получают в начале урока).
III. Изучение нового материала
Материал урока учащимся знаком, поэтому достаточно его
повторить, например, в форме устного теста. Задания теста и варианты отве-
В
А С
Рис. 4.14
Рис. 4.15
Рис. 4.17

Урок 44. Сумма углов треугольника
187
тов зачитываются учителем, учащиеся предлагают вариант ответа с
пояснением.
• Устный тест:
1. В треугольнике ABC Z А = 90°, при этом другие два угла:
а) один острый, другой может быть прямым или тупым;
б) оба острые;
в) могут быть как острыми, так и прямыми или тупыми.
2. В треугольнике ABC Z В — тупой, при этом другие два угла могут
быть:
а) только острыми;
б) острыми и прямыми;
в) острыми и тупыми.
3. В тупоугольном треугольнике могут быть:
а) прямой и острый углы;
б) тупой и прямой углы; п
в) тупой и острый углы.
4. В остроугольном треугольнике могут быть:
а) все углы острые;
б) один тупой угол;
в) один прямой угол.
5. В прямоугольном треугольнике могут быть:
а) прямой и тупой углы;
б) два прямых угла;
в) два острых угла.
Ответы к тесту: / (б), 2 (а), 3(в), 4 (а), 5 (в).
Далее вводятся понятия гипотенузы и катетов прямоугольного
треугольника.
На доске и в тетрадях чертится рисунок и запись: ЛВ — гипотенуза;
АС, ВС- катеты (см. рис.).
IV. Закрепление изученного материала
1. Решить устно задачу №232 и задачу №129 из рабочей тетради.
2. Решить письменно задачу №231.
Рис. 4.18.
Дано: А ЛВС, AM- медиана, АМ= 1/2 ВС.
Доказать: А АВС — прямоугольный.
Доказательство: А АВМ — равнобедренный с
основанием АВ, тогда Z МВА = Z МАВ.
А АМС- равнобедренный с основанием А С, тогда
ZMAC= ZMCA.
По теореме о сумме углов треугольника
ZABC+ ZBAC+ ZACB= 180°.
Так как Z ВАС = Z МАВ + Z MAC, Z МВА =
= ZMABn ZMAC= ZMCA,to ZABM+ ZMAB +
+ Z MAC+ Z MCA = 180°, 2 Z MAB+2 Z MAC= 180°,
тогда ZMAB + Z MAC = 90°, Z ВАС = 90°, т.е. A
Л ABC - прямоугольный.
Рис.
в
Рис. 4.18

188
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
А
Л
к
\
Vl30»
А С с В
Рис. 4.19 Рис. 4.20
3. Самостоятельное решение задач на готовы>
В
Д
А
/
\ч25°
с
Рис. 4.21
i чертежах
(в тетрадях
можно записать только ответы) с последующей самопроверкой по
готовым ответам.
I уровень
1) Рис. 4.19.
Найти: ZA, ZC.
(Ответ: ZA = 70е, ZC= 70е.)
2) Рис. 4.20.
Найти: ZB, ZA.
(Ответ: ZB= 50°, ZA = 40е.)
3) Рис. 4.21.
У Найти: ZA, ZBy
*Л™<> (Ответ: ZA = 55\
/Ят 4) Рис. 4.22.
/ \ Найти: Z A, Z Д
s V iin° (Ответ: ZA = 50\
/ \Ч10 ^Рш,4?Л
А С Найти: Z A, Z В,
Рис- 4'22 (Ответ: ZA = 40°,
в 6) Рис. 4.24.
А Найти: ZA, ZВ,
/\ (Ответ: ZA = 70°,
/ \ 7) Рис. 4.25.
/ Дано:АВ\\СЭ.
У \ RSo Найти: ZA, ZB,
40^А С 8) Рис. 4.26.
Рис. 4.23 Найти: ZABC, Z
(Ответ: ZABC={
ZC
ZC= 55°,
ZC
ZB= 60°,
ZC
ZC= 95°,
ZC.
ZB= 40°,
ZC.
Z^=60°,
С
?o°, zc=
ZB=70\)
ZC= 70е.)
Z£ = 45\)
ZC= 70е.)
ZC= 70°.)
60°.)
Рис. 4.26

Урок 44. Сумма углов треугольника
189
Рис. 4.27
Рис. 4.28
Рис. 4.29
Рис. 4.30
Рис. 4.31
В
9) Рис. 4.27.
Найти: ZE9 Z CFE.
(Ответ: ZE=42\ ZCFE= 103°.)
II уровень
1) Рис. 4.28.
Найти: ZABC.
(Ответ: ZЛВС =90°.)
2) Рис. 4.29.
Найти: ZABC.
(Ответ: ZABC=S0°.)
3) Рис. 4.30.
Доказать: ZABC< ZADC.
Доказательство: Z ABC = 180е - (Z ВАС +
ZBCA). А
ZADC= 180° -(ZDAC+ ZDCA), ZBAC
> ZDAC, ZBCA > ZDCA, отсюда ZBAC +
ZBCA> ZDAC+ ZDCA,a№°-(ZBAC +
Z BCA) < 180° - (Z DAC + Z DCA).
Значит, ZABC< ZADC
4) Рис. 4.31.
Доказать: Z\> Z2.
Доказательство: Z 1 = Z 3, так как А АВС-
равнобедренный, тогда Z BDC = 180° — Z 3 =
= 180°- Z\.
В A BDC Z2+ ZCBD+ ZBDC = 180°,
тогда Z2= 180°- (ZBDC+ ZCBD)= 180° -
- (180° - Z 1 + Z CBD) = Z 1 - Z CBD.
Получили Z 2 = Z 1 - Z CBD, то есть
Zl> Z2.
5) Рис. 4.32.
Найти: а + j3 + у.
(Ответ: а + j3 + у = 360°.)
6) Рис. 4.33.
Дано: а \\ b.
Доказать: Z\ + Z2 + Z3 = 360°. (Ответ: Через точку В провести
прямую, параллельную прямой а, получится две пары односторонних
углов при параллельных прямых, сумма их равна 180° • 2 = 360е.)
Рис. 4.33

190
Глава IV. Соотношения между аоронами и углами треугольника
2\4
Рис. 4.34
Рис. 4.36
7) Рис. 4.34.
Найти ошибку. Z 1 = Z 2, Z3= Z4.
(Ответ: Z2+ Z4=180°, Z1+ Z3< 180е.)
8) Рис. 4.35.
Найти: ZA.
(Ответ: ZA = 20°.)
9) Рис. 4.36.
Найти: ZEKC.
(Ответ: 180°-(а + /3 +/)•)
Домашнее задание
1. § 31, вопросы 3-5.
2. Решить задачи: I уровень — №120, 121, 123 из рабочей тетради;
II уровень - №233, 234, 235 из учебника.
Задача № 234
Решение (см. рис. 4.37):
Возможны два случая:
а) ZDBC= 115е, тогда ZABC= 65°, a ZA+ ZC= 115°.
Так как ZA = Z С, то ZA = 57°30', ZC= 57°30'.
б) Z BCD =115°, тогда Z A4C = Z ДС4 = 65°, a Z A0C = 50е.
(Ответ: 57°30', 57°30', 65° или 65°, 65°, 50°.)
б)

Урок 45 Соотношения между сторонами и углами треугольника
191
Рис. 4.39
Рис- 4.40
Рис. 4.38
Задана № 235
Решение (см. рис. 4.38): Если Z ADB = 110е, то Z DAC + Z ACD = 110°,
так как Z ADB - внешний угол A ADC.
Так как А ЛВС - равнобедренный с основанием AC, AD - его
биссектриса, то ZDAC = 1/2 ZACD, тогда 1/2 ZACD + ZACD= 110е,
откуда ZACD = 73°20', тогда Z ВАС = 73°20', Z/4£C= 33°20'. (Ответ:
73°20\ 73°20', 33°20'.)
3. Дополнительные задачи:
Задана 1
В равнобедренном треугольнике CDEc основанием СЕ и углом Д
равным 102е, проведена высота СН.
Найдите ZDCH.
Решение (см. рис. 4.39): Z D = 102°, тогда Z CDH= 78°.
ZH= 90°, тогда ZDCH= 180° - (Z#+ ZCZ)#) = 12°. (Ответ:
ZDCH= 12°.)
Задаче 2
В треугольнике Aff С проведены биссектрисы AM и 2W,
пересекающиеся в точке А', причем Z АЮУ = 58°.
Найдите ZACB.
Решение (см. рис. 4.40): ZAKN= 58°, тогда ZAO = 122°,
следовательно, Z 1+ Z 2 = 180° - ZAKB = 58°.
Z>tfC=2Z2, ZA4C=2Z1.
Тогда ZABC+ ZBAC=2(Z2+ Z 1) = 2 • 58е = 116е.
Следовательно, ZACB = 180° - (ZABC + ZBAQ = 64°. (Ответ:
Z АСВ = 64°.)
Урок 45. Соотношения между сторонами
и углами треугольника
Цели урока:
1) рассмотреть теоремы о соотношениях между сторонами и углами
треугольника и их применение при решении задач;
2) совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о
сумме углов треугольника.

192
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Проверка домашнего задания
Проверить домашние задачи № 234, 235, дополнительные домашние
задачи. (Попросить подготовить 4 учащихся краткие решения задач на
доске до начала урока.)
III. Самостоятельная работа
Можно предложить учащимся записать краткое решение задач на двух
листах через копировальную бумагу.
I уровень
Вариант I
1. Рис. 4.41.
Найти: углы А АВС.
2. Внутренние углы треугольника ЛВС пропорциональны числам 2, 5, 8.
а) Найдите углы А ЛВС.
б) Найдите внешние углы А ЛВС.
3. В треугольнике АВ С проведена биссектриса BD. Z.A = 50°, ZB= 60°.
Найдите углы треугольника CBD.
Вариант II
1. Рис. 4.42.
Найти: углы А ЛВС.
2. Внутренние углы треугольника АВ С пропорциональны числам 3, 5, 7.
а) Найти: углы А АВС.
б) Найти: внешние углы А АВС.
3. В треугольнике АВС проведена биссектриса BD.
ZADB =120°, ZB=W.
Найти: углы треугольника CBD.
II уровень
Вариант I
1. Рис. 4.43.
Дано: АВ = ВС. Найти углы А АВС.
2. Внешний угол треугольника равен 140°, а
внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3:4.
Найдите все внутренние углы треугольника.
В "
А С
Рис. 4.41
Рис. 4.42
Рис. 4.43

Урок 45. Соотношения между сторонами и углами треугольника 193
140° \ л D Е
Рис4М Рис. 4.45
3. А АВС— равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при
основании пересекаются в точке D. ZADB =100°.
Найдите угол С.
Вариант II
1. Рис. 4.44.
Дано: АВ = ВС.
Найти углы А АВС.
2. Один из внутренних углов треугольника в 3 раза больше другого, а
внешний угол, смежный с третьим внутренним углом, равен 100°.
Найдите все внутренние углы треугольника.
3. А АВС— равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при
основании пересекаются в точке D. ZC= 100°.
Найдите ZADB.
Ill уровень
Вариант I
1. Рис. 4.45.
Дано: AD = BD; BE = EC; Z BDE = 80°, Z BED = 60°.
Найти: ZABC
2. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если один
из них на 40° меньше суммы двух других?
3. Один из углов треугольника равен сумме двух других.
Докажите, что данный треугольник — прямоугольный.
Вариант II
1. Рис. 4.45.
Дано: AD = BD; BE= EC; ZA = 40°, ZC= 30°.
Найти: ZDBE.
2. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если один
из них в 5 раз меньше суммы двух других?
3. Один из углов треугольника равен разности двух других.
Докажите, что данный треугольник — прямоугольный.
IV. Самопроверка задач самостоятельной работы по готовым ответам
Учащиеся проверяют на одном листочке свои ответы, а второй лист
сдают на проверку учителю. Если ответ неверный, то ученик должен
записать правильный ответ и дома решить задачу повторно.
Ответы к задачам самостоятельной работы:
I уровень
Вариант I
1. ZA = %0°, ZB = 40°, ZC= 60°.

<ig4 Глава IV. Соотношения между аоронами и углами треугольника
2. а) 24е, 60°, 96°; б) 156е, 120е, 84°.
3. Z CBD = 30е, Z BDC = 80е, Z BCD = 70е.
Вариант II
1. Z^=30e, Z£=110e, ZC= 40°.
2. а) 36е, 60е, 84е; б) 144°, 120е, 96е.
3. Z CBD = 40е, Z Д/)С = 60е, Z BCD = 80е.
II уровень
Вариант I
1. Z/4 = 55\ ZC= 55е, ZB= 70°.
2. 60е, 80°, 40°.
3. ZC= 20е.
Вариант II
1. Z^ = 40°, ZC= 40е, Z£=100\
2. 25°, 75е, 80°.
3. ZADB = 140е.
III уровень
Вариант I
1. Z ЛВС =110°.
2. 55е, 55е, 70е или 70е, 70е, 40е.
3. Z4+ Z£= ZC, Z>4 + Z5+ ZC= 180е.
2ZC=180°, ZC= 90е.
ВариантП
1. ZDBE =40°.
2. 75°, 75е, 30е или 30е, 30е, 120°.
3. ZC= ZA- ZB, ZA+ ZB+ ZC= 180°.
ZA + ZB+(ZA- ZB)=lS0\ ZA = 90°.
V. Изучение нового материала
1. Решить задачу (см. рис. 4.46):
Дано: А МОС, К е СМ, МО = МК.
Доказать:
a) Zl> Z3; б) ZMOO Z3.
Доказательство:
а) Так как МО = Л/К, то А МОК —
равнобедренный с основанием ОК, значит, Z 1 = Z 2.
Так как Z 2 - внешний угол А СОК, то Z 2 =
= Z 3 + Z СОК, следовательно, Z 2 больше Z 3.
Так как Z 1 = Z 2, a Z 2 больше Z 3, то и Z 1
больше Z 3, что и требовалось доказать.
м б) Z МОС = Z СОК + Z 1, следовательно,
Z МОС больше Z 1, но Z 1 больше Z 3, поэтому
Z Л/ОС больше Z 3, ч.т.д.
2. Доказательство теоремы о соотношениях между сторонами и
углами треугольника (пункт 32 учебника).
VI. Закрепление изученного материала
1. Решить устно задачи №130, 131 из рабочей тетради.
2. Решить задачи устно:

Урок 46. Соотношения между сторонами и углами треугольника 195
Рис. 4.47
1) Рис. 4.47.
Дано\ ZC — тупой.
Доказать: MB < АВ.
2) Рис. 4.48.
Дано: ВС = DC.
Доказать: ZВ> ZA.
3) Рис. 4.49.
Сравнить Z С и Z N.
4. Дано: A ABC, A МРК, АС = Ж,
ZA= ZM= 60е, ZC= ZK= 50°.
Сравнить отрезки АВ и РК.
Домашнее задание
1.§ 32, вопрос 6.
2. Решить задачи № 236, 237.
3. Выполнить работу над ошибками.
Урок 46. Соотношения между сторонами
и углами треугольника
Цели урока:
1) рассмотреть следствия теоремы о соотношениях между сторонами
и углами треугольника;
2) научить учащихся решать задачи на применение теорем о
соотношениях между сторонами и углами треугольника.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать цели.
П. Актуализация знаний учащихся
1. Теоретический опрос.
Двое учащихся готовят у доски доказательства I и II частей теоремы о
соотношениях между сторонами и углами треугольника с последующим
заслушиванием их ответов всем классом.
2. Решение задач (устно).
1) Рис. 4.50.
Дано: ZA= Z В.

196
Глава IV. Соотношения между аоронами и углами треугольника
Рис. 4.50
Рис. 4.51
Рис. 4.52
Доказать: А ЛВС — равнобедренный.
2) Рис. 4.51.
Сравните углы А ЛВС.
3) Рис. 4.52.
Укажите наибольшую и наименьшую
стороны А ЛВС.
4) Рис. 4.53.
Сравните отрезки AD и DC.
3. Индивидуальная работа в рабочих
тетрадях: решить задачи №132, 133.
III. Изучение нового материала
Задача 1
Доказать, что в прямоугольном
треугольнике гипотенуза больше катета.
Задача 2
Доказать, что если два угла
треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Для решения данных задач можно дать
2—3 минуты на обдумывание, а затем
заслушать все варианты доказательств. В конце
следует подчеркнуть, что доказанные
утверждения являются следствиями теоремы о
соотношениях между сторонами и углами
треугольника, а второе следствие называется признаком равнобедренного
треугольника.
IV. Закрепление изученного материала
1. Решить задачу № 243 (один ученик работает у доски, остальные — в
тетрадях).
Задача № 243
Дано: A ABC, АЛХ - биссектриса, CD || AAV D е АВ.
Доказать: АС = AD.
Доказательство (см. рис. 4.54): Z ВААХ = Z CAAV так как ААХ —
биссектриса.
/Ц || DC, значит, Z СААХ = Z.ACD. Z ВАС- внешний угол треуголь-
никаЛСД ZBAC=2ZCAA{= ZACD+ ZADC
Рис. 4.54

Урок 46. Соотношения между сторонами и углами треугольника 197
С,
Рис. 4.55 Рис. 4.56
Так как ZACD = Z СААХ, то и ZADC = Z СААХ, т.е. в A ACD углы
ACD и ADC равны, а по признаку равнобедренного треугольника A ACD-
равнобедренный с основанием DC, откуда следует, что AD = АС.
Наводящие вопросы:
1) Сравните ZBACn ZACD.
2) Каким является Z ВАС по отношению к A DACI Чему равна его
величина?
3) Сравните ZACDn ZADC.
О чем это говорит?
2. Решить задачу №134 из рабочей тетради.
3. Самостоятельно решить задачи № 240, 241, 246, 247.
Задача № 240
Решение (см. рис. 4.55): А АВС — равнобедренный, значит Z ВАС =
= ZBCA.
AAV ССХ — биссектрисы двух равных углов, следовательно, ZAXAC =
= ZCXCA.
В А АОС Z ОАС = Z ОСА, значит, А АОС - равнобедренный.
Задача № 241
Решение (см. рис. 4.56): А АВС - равнобедренный, значит Z B= ZC.
MN\\ ВС, откуда ZAMN= Z В, ZANM= Z С.
Получили, что Z AMN= Z ANM, т.е. в A AMNдва угла равны,
следовательно, AAMN- равнобедренный.
Задача № 246
Решение: Так как ВО — биссектриса, то Z АВО = Z ЕВО.
ОЕ || АВ, следовательно, Z ABO = Z ВОЕ, отсюда Z ВОЕ = Z ЕВО, а
А ВОЕ- равнобедренный с основанием ВО, т.е. ВЕ= ОЕ. Так как СО-
биссектриса, то ZACO= ZDCO.
OD\\AC, следовательно, ZACO= Z COD, отсюда Z DCO= Z COD, a
A DCO — равнобедренный с основанием ОС, т.е. OD = DC.
PED0 = ОЕ+ ED+ DO, но ОЕ = BE, OD = DC, тогда PED0 = BE +
+ ED+ DC=BC.
Задача № 247
Решение:
a) A ABQ = A ACP по двум сторонам и углу между ними (АВ = AC, AQ =
=АР, ZA-общий), следовательно, ZABQ= ZACP.

igg Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
А ЛВС - равнобедренный (АВ = АС), тогда Z ABC = Z АСВ.
Таккак ZABC = ZACBu ZABQ = ZACP,to ZOBC = ZOCB,t.c.
в А ВОСдва. угла равны, а это значит, что А ВОС — равнобедренный.
б) Так как А ВОС — равнобедренный, то ВО = СО, тогда А АВО =
= ААСО по трем сторонам (АВ = АС, АО - общая сторона, ВО =
= СО), следовательно, Z ВАО = Z САО, т.е. АО — биссектриса Z ВАС, а
биссектриса, проведенная из вершины равнобедренного треугольника к
его основанию, является его медианой и высотой. Таким образом,
прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.
Домашнее задание
1.§ 32, вопросы 6-8.
2. Решить задачи № 242, 244, 245.
3. Дополнительная задана:
В А АВС проведена биссектриса BD, ZA =
= 75°, ZC= 35°.
а) Докажите, что A BDC равнобедренный.
б) Сравните отрезки AD и DC.
Решение (см. рис. 4.57):
а) В A ABC ZA= 75°, ZC= 35°, тогда
д б g ZABC= 180°-(ZA+ ZQ = 70°.
Так как BD — биссектриса Z ABC, равного
Рис. 4.57 Жто ZDBC=35°
В A BDC два угла (Z DCB и Z Z>#Q равны,
значит, A BDC — равнобедренный и BD = /)С.
б) В A ABD ZA= 75°, Z ЛЯЯ = 35°, Z /ШЯ = 70°, тогда по теореме о
соотношениях между сторонами и углами треугольника
BD>AD.
Так как DC=BD,aAD< BD, то AD < DC. (Ответ: AD < DC.)
Урок 47. Неравенство треугольника
Цели урока:
1) рассмотреть теорему о неравенстве треугольника и показать его
применение при решении задач;
2) совершенствовать навыки учащихся при решении задач на
применение теоремы о соотношениях между сторонами и углами
треугольника.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать цели урока.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Теоретический опрос по вопросам 6-8 можно провести письменно
для 4 учащихся.

Урок 47. Неравенство треугольника 199
2. Проверить дополнительную домашнюю задачу, после чего можно
менее подготовленным учащимся дать аналогичную задачу (№ 1), а
остальным учащимся задачи N° 2, 3 для самостоятельного решения.
(Учитель контролирует работу учащихся, за правильно решенные
задачи можно поставить оценки.)
Задана 1
В треугольнике CDE проведена биссектриса EF, Z. С — 90°,
Z/)=30°.
а) Докажите, что A DEFравнобедренный.
б) Сравните отрезки CFn DF.
Задана 2
В треугольнике ABC Z С = 90°. Точка Млежит на стороне АС.
Докажите, что ВС < ВМ < АВ.
Задана 3
В А ЛВС АВ = ВС. На продолжении сторон АС и ВС за вершину С
отмечены точки D и Е соответственно. Известно, что DE\\ АВ.
Докажите, что A CDE равнобедренный.
III. Изучение нового материала
Решить задачу с последующим обсуждением:
Построить треугольник ABC такой, чтобы:
а) АВ = 4 см, ВС = 5 см, АС =6 см;
б)АЯ=5см, ВС=Зсм,АС=2см;
в) АВ = 8 см, ВС = 4 см, АС = 3 см.
Задачу под буквой а можно предложить менее подготовленным
учащимся, остальных учащихся разделить на два варианта, первый из них
решает задачу под буквой б, а второй - под буквой в. На решение задачи
дается 2-3 минуты, а затем учитель вызывает ученика, решавшего задачу
а, и весь класс слушает решение этой задачи. Таким же образом
проверяются задачи б и в.
В ходе решения данной задачи и последующего ее обсуждения
учащиеся должны прийти к тому, что не всегда можно построить
треугольник из трех отрезков.
- Итак, возникла проблемная ситуация. Даны три отрезка, длины
которых известны. Как определить, не выполняя построения,
существует ли такой треугольник? (Для того, чтобы определить,
существует ли треугольник с данными сторонами, нужно каждую
сторону сравнить с суммой двух других сторон треугольника. Если
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон, то
такой треугольник существует.)
- Действительно, каждая сторона треугольника меньше суммы двух
других сторон. Это утверждение получило название теоремы о
неравенстве треугольника, которую нам с вами необходимо
доказать.
На доске и в тетрадях учащихся.
Дано: А АВС.
Доказать: АВ<АС+ СВ.

200 Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника
A D
Рис. к задаче
Доказательство:
l)A-C-D, CD=BQ
2) A BCD - равнобедренный => Z 1 = Z 2;
3) ZABD> Z 1 => ZABD> Z2=> AD>AB\
4)AD = AC+ CD = AC+BC=>AB<AC+BC.
В ходе доказательства теоремы учащимся можно задавать следующие
вопросы:
1) Что вы можете сказать о треугольнике ВСГР.
2) Сравните Z ABD и Z 2.
3) Какая из сторон (AD или АВ) треугольника ABD больше? Почему?
4) Сравните АОиАС+ВС,АВиАС+ ВС.
IV. Закрепление изученного материала
1. Решить устно задачи №137, 135 из рабочей тетради.
2. Решить письменно задачи № 253, 250 (б) (один ученик работает у
доски, остальные - в тетрадях).
Задана № 253
Решение (см. рис. 4.58): Один из внешних углов треугольника острый,
тогда внутренний угол, смежный с указанным - тупой. В
равнобедренном А АВС тупым может быть только угол при вершине.
Пусть в треугольнике АВС АВ = ВС, ZB> 90°, тогда АВ < АС, ВС < АС
по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Так
как разность двух сторон равна 4 см, то А С на 4 см больше, чем АВ и ВС.
Тогда АС= АВ + 4, ВС= АВ.
Р^ = 25 см, тогда РАВС = АВ+ ВС+ АС=АВ + АВ + АВ + 4 = 25, откуда
АВ = 7 см, значит, ВС= 7 см, АС= 11 см. (Ответ: 7 см, 7 см, 11 см.)
Наводящие вопросы:
1) Что вы можете сказать об углах этого треугольника, если известно,
что один из них острый?
2) Предположим, что тупым является угол В. Сравните стороны
треугольника АВС.
3) Чему равны стороны данного треугольника, если его периметр
равен 25 см?
Задача № 250 (б)
Решение (см. рис. 4.59): Каждая сторона треугольника меньше суммы
двух других сторон. А АВС — равнобедренный (АВ = BQ, поэтому
достаточно проверить 2 условия: АВ < АС + ВС, АС < АВ = ВС.

Урок 47 Неравенство треугольника 201
Возможны два случая:
1) АВ = ВС = 2 см, АС = 8 см. Условие АС < АВ + ВС не выполняется,
следовательно, такого быть не может.
2) АВ = ВС = 8 см, ЛС = 2 см. Оба условия выполняются, такой
треугольник существует.
(Ответ: 8 см, 8 см, 2 см.)
Наводящие вопросы:
1) Известна ли по условию задачи длина основания равнобедренного
треугольника? А длина боковой стороны? Какие значения может
принимать длина основания?
2) Существует ли равнобедренный треугольник с боковой стороной 2 см,
с основанием 8 см? Объяснить.
3) Существует ли равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см,
с основанием 2 см? Доказать.
3. Самостоятельно решить задачи № 249, 252, 238.
Задана № 249
Решение: Пусть основание равно 10 см, боковые стороны по 25 см. По
теореме о неравенстве треугольника должны выполняться условия
10 < 25 + 25; 25 < 10 + 25. Такой треугольник существует, значит,
основание равно 10 см.
Пусть основание равно 25 см, боковые стороны по 10 см.
Условие 25 < 10 + 10 не выполняется, такой треугольник не существует.
(Ответ: основание равно 10 см.)
Задача № 252
Решение: Два внешних угла треугольника при разных вершинах
равны, значит, равны и смежные с ними внутренние углы данного
треугольника, следовательно, указанный треугольник равнобедренный. Пусть
основание равно 16 см.
Тогда боковые стороны равны (74 — 16): 2 = 29 см.
В треугольнике со сторонами 16 см, 29 см, 29 см каждая сторона
меньше суммы двух других его сторон. Если боковые стороны равны 16 см, то
основание равно 74 — 16 • 2 = 42 см, получаем 42 < 16 + 16 — неверно,
следовательно, боковые стороны не могут быть равными 16 см. (Ответ:
29 см, 29 см.)
Задана № 238
Решение (см. рис. 4.60): Возьмем произвольную
точку Л" на основании АС равнобедренного А АВС и
докажем, что ВХ< ВС. ВХ— сторона, противолежащая Z С.
ВС- сторона, противолежащая Z ВХС.
Сравним Z Си Z ВХС
Из A ABC ZC=\S0°-(ZA+ ZABQ;
из А ВСХ ZBXC= 180°- (ZC+ ZCBX).
ZA + ZABC > ZC+ Z СВХ, так как ZA = Z С, " " ~
ZABO Z СВХ, следовательно, 180° - (ZA + ZABQ < Fuc' 46U
< 180° - (Z С + Z СВХ), то есть ZC< Z ВХС, а против меньшего угла
лежит меньшая сторона, то есть ВХ< ВС.

202 Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
D А В
Рис. 4.62 VE Рис. 4.63
Дополнительные задачи
I уровень
1. В треугольнике ABC ZB= 90°, СМ— медиана треугольника.
Докажите, что Z СМВ > Z CAB > A ACM.
Решение (см. рис. 4.61):
1) Из А СМВ Z СМВ = 180° - (90е + ZВСМ) = 90° - Z ВСМ.
Из A ABC ZCAB= 180° - (90° + А АСЕ) = 90° - ZACB.
Таккак ZBCM< ZACB,to90°- ZBCM>90°- ZACB,t.c. ZCMB>
> ZCAB.
2) A CBM — прямоугольный, гипотенуза CM > катета BM, а так как
ВМ= MA, то СМ> МА. В А СМА СМ> МА, но против большей стороны
лежит больший угол, т.е. Z САМ > ZACM, следовательно, Z CAB >
> ZACM.
3) Таккак Z CMB> Z CAB, a Z CAB> ZACM, то Z CMB> Z САВ>
> ZACM.
2. В треугольнике ABC АС = ВС. Отрезки ВСи ВА продолжены за
вершины С и А. На продолжениях отмечены точки Е и D соответственно.
Известно, что DE\\ AC.
Докажите, что треугольник BDE равнобедренный.
Доказательство (см. рис. 4.62): А АВС - равнобедренный, значит,
ZB= Z CAB. DE|| АС, значит, ZEDA = Z CAB, отсюда получаем, что
ZB= Z EDA и по признаку равнобедренного треугольника A BDE-
равнобедренный.
II уровень
1. В треугольнике ABC BD - медиана, Z ABD < Z ВАС + Z BCA.
Докажите, что BD > 1/2 ВС.
Доказательство (см. рис. 4.63): Продолжим медиану BD за точку D на
отрезок DE, равный BD. Тогда A ADE = A CDB по двум сторонам и углу
между ними, значит, ВС = АЕ, Z САЕ = Z ВСА.
Тогда получаем, Z ВАС + Z ВСА = Z BAD + Z САЕ = Z ВАЕ. Так
как ZABD< ZBAC+ ZBCA,to ZABE< ZBAE, тогда в ААВЕАЕ<
BE, т.е. АЕ < 2BD или BD > 1/2 АЕ.
Так кякАЕ= ВС, то BD > 1/2 АЕ.

Урок 48 Подготовка к контрольной работе
203
2. Дан треугольник ЛВС. Прямая CD
параллельна биссектрисе внешнего угла
треугольника при вершине В и пересекает сторону АВ
в точке D. Из точки D к прямой ВС проведен
перпендикуляр DK.
Сравните отрезки ДАТ и ВС.
Решение (см. рис. 4.64): BE - биссектриса,
тогда Z 1 = Z 2.
BE || DC, тогда Z 2 = Z BCD, a Z 1 =
= Z BDC, а так как Z 1 = Z 2, то Z BCD =
= Z BDC, т.е. A DBC — равнобедренный с
основанием DCnDB= СВ.
A DBK— прямоугольный (Z K = 90°), значит гипотенуза DB больше
катета DK, а так как DB - ВС, то ВС > DK. (Ответ: ВС > DK)
Рис. 4.64
Домашнее задание
1.§ 33, вопрос 9.
2. Решить задачи № 250 (а, в), 251, 239.
3. Дополнительные задачи:
Задача 1
В треугольнике ABC BD - медиана, АВ > 2BD.
Докажите, что Z ВАС + Z BCD < Z DBC.
Задача 2
В треугольнике ABC через вершину С проведена прямая,
параллельная биссектрисе BD и пересекающая прямую АВ в точке К. BE — высота
треугольника ABC. Сравните отрезки BE и ВК.
Урок 48. Решение задач.
Подготовка к контрольной работе
Цели урока:
1) совершенствовать навыки решения задач;
2) подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать его цели.
П. Актуализация знаний учащихся
1. Урок можно начать с решения задач по
готовым чертежам. (Рисунки к задачам нужно
заранее подготовить на доске или на планшетах.)
1) Рис. 4.65.
Может ли длина АВ быть равной 27 см?
2) Рис. 4.66.
Дано: R1 = 5cm,R2 = 4 см. Каким может быть
расстояние от точки О, до точки О2?
D
Рис. 4.65

204
Глава IV. Соотношения между аоронами и углами треугольника
А В
Рис. 4.66
Рис. 4.67
50°,
Рис. 4.68
М
Рис. 4.69
3) Рис. 4.67.
Доказать: ZABO ZC.
4) Рис. 4.68.
Сравните АСи ВС.
5) Рис. 4.69.
Доказать: ВС< ВМ< ВА.
6) Рис. 4.70.
Доказать: BD+ DO AD.
2. Решить задачу (один ученик решает у
доски, остальные - в тетрадях):
Рис. 4.71.
Дано: Отрезок ЕК- биссектриса
треугольника DEC.
Доказать, что КС < ЕС.
Доказательство: Z ЕКС - внешний угол
A DKE, значит он больше Z 1, следовательно,
ZEKO Z2(Z1= Z 2, так как ЕК-
биссектриса). Так как Z ЕКС > Z 2, то по теореме о
соотношениях между сторонами и углами
треугольника ЕС > КС, т.е. КС < ЕС, что и требовалось
доказать.
Наводящие вопросы:
1) Сравните угол 1 и угол ЕКС, угол 2 и угол
ЕКС. Почему?
2) Какая из сторон (ЕС или КС) треугольника
ЕКС больше?
III. Самостоятельное решение задач
(С последующей самопроверкой по готовым
ответам и указаниям. Учитель оказывает
индивидуальную помощь наименее подготовленным учащимся и остальным
по необходимости.)
I уровень
1. Рис. 4.72.
Дано: ZBAE= 112°, Z DBF= 68°, ВС =9 см.
Найти: АС.
Рис. 4.71

Урок 48. Подготовка к контрольной работе
205
Рис. 4.74
2. Рис. 4.73.
Дано: Z CBM= ZACF, Р^ = 34 см, ВС = 12 см.
Найти: АВ.
3. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см
меньше другой.
Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см.
4. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании
образуют при пересечении угол, равный 52е. Найдите угол при вершине
этого треугольника.
5. В треугольнике ABC ZB = 70°, ZC = 60°. Сравните стороны
треугольника.
6. Рис. 4.74.
Дано: Z C=90\ ZB=27\ CD-высота A ABC, САГ-биссектриса А АВС.
Найти: ZDCK.
II уровень
1. В треугольнике МКРмедиана Л/С равна половине стороны КР.
Найдите угол М треугольника МКР.
2. Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку В. На
продолжении отмечена точка D так, что ВС = BD. Найдите угол ACD, если
ZACB = 60е, Z АВС =50°.
3. В А АВС биссектрисы ААХ и ВВХ пересекаются в точке О,
Z АВС = 30°, Z АОВ = 107е. Докажите, что треугольник АВС не является
остроугольным.
4. На сторонах угла А, равного 45°, отмечены точки В и С, а во
внутренней области угла - точка D так, что ZABD = 95°,
ZACD = 90°. Найдите Z BDC
5. В треугольнике ABC ZB = 60°. Внутри треугольника отмечена
точка О, равноудаленная от его вершин. Докажите, что треугольник АОС
является тупоугольным.
6. В А АВС ВВХ - медиана. Докажите, что ВВХ < 1/2 (АВ + ВС).
1. В треугольнике ABC ZA = 40°, Z В = 70°. Из вершины С вне
треугольника проведен луч CD так, что Z BCD равен 109°59'.
Может ли выполняться равенство AD = АС + CW
Ответы и указания к задачам дня самопроверки:
I уровень
1. АС = 9 см, так как А АВС - равнобедренный (Z ABC = ZBAQ.

206
Глава IV. Соотношения между аоронами и углами треугольника
А С
Рис. 4.75
А С
Рис. 4.76
А В
Рис. 4.77
2. АВ = 11 см, так как А АВС - равнобедренный с основанием ВС
(ZABC = ZACB).
3. 20 см, 20 см, 37 см.
4. Решение {см. рис. 4.75): ZAOC ф 52°, т.к. тогда Z 1 + Z 2 =128° и
Z 3 + Z 4 = 128°, a Z ВАС + Z ВСА = 256°, чего быть не может, значит,
ZАОС} = 52°,тогда Z1 + Z2 = 52°, Z3+Z4 = 52°,a ZA4C+Z£C4 =
= 104°, значит Z/10C= 76°. (Ответ: ZABC= 76°.)
5. Z 2? = 70°, Z C= 60°, тогда ZA= 50°. Следовательно, по теореме о
соотношениях между сторонами и углами треугольника
ВС<АВ< АС. (Ответ: ВС<АВ< АС.)
6. ZACK= 45°, ZBAC = 63°, тогда Z>4CZ) = 27°, Z DCK =
= Zy4C#- Z^CZ) = 45° -27°= 18°. (Ответ: ZDCK=\S°.)
II уровень
1. ZM= 90°.
2. Рис. 4.76.
Z /4CZ> = 85° (см. решение по рисунку).
3. Рис. 4.77.
Zl = 180°-(107е+15°) = 58°.
Z 2 = 58°, Z CAB = 116°, значит, А АВС-
тупоугольный.
4. Рис. 4.78.
Z ЯЖ7= Z BDA + Z СО!
ZA4/)+ ZABD+ ZBDA=lS0o, ZDAC +
" + ZACD + Z CZM = 180°. Тогда (ZBAD +
+ ZABD++ ZBDA) + (ZDAC+ ZACD +
+ Z CDA) = 360°.
(ZA4Z)+ ZZ)^Q+ ZABD+ ZACD +
+ (Z BDA + Z C7X4) = 45° + 95° + 90° +
+ Z BDC = 230° + Z Я/)С = 360°, откуда
ZBDC= 130°.
5. Рис. 4.79.
CO= OB,тогда Z\= Z2.OB=OA,тогда
A ^3= Z4. Z£ = 60°, т.е. Zl + Z3 = 60°,
Рис. 4.79 тогда Z 2 + Z 4 = 60°.
Рис. 4.78
В

Урок 50. Работа над ошибками
207
Рис. 4.82
Рис. 4.80
ZA+ ZB+ ZC= 180°,тогда Z5 + Z6 = 60е,откуда ZAOC = 120е,
т.е. А АОС — тупоугольный.
6. Рис. 4.80.
Продолжим ВВ{ за точку В1 на отрезок BXD = 55,
Тогда А АВВ, = А С/)Д,. BD < ВС + CD, но ДД
тогда 2ДД, < ДС + АВ, т.е. 2Ю; < 1/2 (ЛЯ + ДС).
7. Рис. 4.81.
Не может, так как если AD = АС + СД то С е ЛД т.е. точки Л, С,
лежат на одной прямой. В этом случае Z BCD = 110е.
,, a CD = АВ,
Домашнее задание
1. Решить задачи № 296, 297, 298.
2. Дополнительные задачи:
Задана 1
Радиус окружности, изображенной на рис. 4.82, равен 6 см. Отрезок АВ
пересекает окружность, АО = 13 см. Может ли отрезок АВ равняться 4 см?
Задана 2
Треугольники ABD и BCD расположены по разные стороны от
прямой ЯД ZADB= ZBDQ ZABD= ZDBC
Докажите, что BD<AB+ ВС.
Урок 49. Контрольная работа №4
по теме «Сумма углов треугольника. Соотношения между
сторонами и углами треугольника» (см. Приложение 1)
Урок 50. Анализ контрольной работы
Цели урока:
1) устранение пробелов в знаниях учащихся;
2) совершенствование навыков решения задач
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать цели урока.

208
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
П. Общий анализ контрольной работы
1. Сообщить общие результаты контрольной работы.
2. Объяснить задания, с которыми не справилось большинство
учащихся, или заслушать тех, кто успешно справился с этими заданиями;
3. Продемонстрировать лучшие работы.
III. Работа над ошибками
Учащиеся работают следующим образом:
1. Находят свои ошибки, используя готовые ответы и указания к
задачам контрольной работы (можно их объединить в небольшие группы в
зависимости от уровня и варианта контрольной работы, в этом случае им
будет легче находить свои ошибки).
2. Решают по своему усмотрению или другой вариант контрольной
работы, или переходят к решению задач следующего уровня. Если
ученик успешно справился с задачами III уровня контрольной работы, он
решает дополнительные задачи.
3. Задание на дом — продолжить решение задач контрольной работы
или дополнительных задач (можно сделать оговорку, что каждый ученик
должен решить не менее трех задач).
Ответы и указания к задачам контрольной работы
I уровень
Вариант I
1. АВ > ВОЛС, значит, Z О ZA> ZB.
Третий угол треугольника равен 180° — (120° + 40°) = 20°, отсюда ZC =
= 120°, ZA = 40°, ZB= 20°. (Ответ: ZC = 120°, ZA = 40°, ZB= 20°.)
2. ZA+ ZB+ ZC= 180°, тогда Z£ + ZC= 130°.
ZB+ 12- ZB= \30\ ZB= 10°, ZC= 120°. (Ответ: ZB= 10°, ZC =
= 120°.)
3. Рис. 4.85.
ZA = 55°, тогда ZACD = 35°, Z CDA = 90°. (Ответ: ZACD = 35°,
ZA = 55°, ZCDA = 90°.)
4*. Рассмотрим два случая (см. рис. 4.86):
а)х+ 12 + Х+ 12 + jc = 45, х= 7. АС= 7, АВ= \9,ВС= 19.
19 < 19 + 7 (верно), 7 < 19 + 19 (верно).
б)х + х + х+ 12 = 45,*= \\.АВ=ВС= \\, АС =23.
23 < 11 + 11 (неверно).
(Ответ: 19 см, 19 см, 7 см.)
В
С А
Рис. 4.85

Урок 50. Работа над ошибками
209
С А
Рис. 4.87
х
а)
С А
Рис. 4.88
Вариант II
1. АВ < ВС<АС, значит, ZC< ZA< Z В.
Третий угол треугольника равен 180° - (90° + 30°) = 60°, отсюда ZC=
= 30°, ZA = 60°, ZB= 90°. (Ответ: ZC= 30°, ZA = 60\ ZB= 90°.)
2. Z>4 + Z£ + ZC= 180°, тогда ZB+ ZC=90e.
Z C+ (Z C+ 40°) = 90°, Z C= 25°, Z Я= 65°. (Олюети: Z C= 25°, Z 5=
= 65°.)
3. Рис. 4.87.
Z£=20°, ZBCD = 45°, ZBDC=U5°.
4*. Рассмотрим два случая (см. рис. 4.88):
21< 21 + 8 (верно), 8 < 21 + 21 (верно).'
1 1 1
13 = 50, jc = 12 - . АВ = ВС = 12 - , АС = 25 - .
1
1
1
25-< 12— +12- (неверно).
(Ответ: 21 см, 21 см, 8 см.)
II уровень
Вариант I
1. Рис. 4.89.
Z CMD - острый, тогда Z DME - тупой, значит, в A DME DE > DM.
2. Рис. 4.90.
ZA+ ZB+ ZC= 180°, Z^ = 30°, Z£=90\ ZC= 60°.
3. Рис. 4.91.
ZCAO= 30°, тогда Z CAB = 60°, Z ABC = 30°.
Рис. 4.90
E
Рис.

210
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.92
Рис. 4.94
Рис. 4.95
4*. Рис. 4.92.
ZABC = 180е -х, ZACB = 180е - 2х
ZBAC+ ZABC+ Z АСВ= 180°, х= 75е, тогда 2х-х =
= 75°. (Ответ: 75е.)
Вариант II
1. Рис. 4.93.
Z NKP - острый, тогда Z РКМ - тупой, значит, в
АРКМКР<МР.
2. Рис. 4.94.
в ZA+ ZB+ ZC= 180е, Z,4 = 20e, 5 = 60°, ZC =
= 100°.
3. Рис. 4.95.
Z СВО = 40е, тогда Z ЛВС = 80°, ZCAB= 10е.
4*. Рис. 4.96.
ZABC= 180е-х, ZACB=\m-2x.
ZBAC+ ZABC+ ZACB= 180е, х= 80°, тогда 2х-х= 80°. (Оя«тя: 80е.)
III уровень
Вариант I
1. Рис. 4.97.
A KPN- равнобедренный с основанием KN, тогда £Р = 7VP.
В A MPNNP> РМ, тогда КР> РМ.
2. Рис. 4.98.
Z /Х4Я = 180° - jc, Z ABE = 180° - Зх
Z DAB - Z ABE = 40°, тогда х = 20°.
ZA4C=20°, ZABC =60°, ZC= 100°.
3. Рис. 4.99.
Я/)С= ZDBC= 45°, тогда Z^5Z)= 25°, Z>iD5= 135°, Z^ = 20°.
Рис. 4.98

Урок 50 Работа над ошибками
211
Рис. 4.102
Рис. 4.104
4*. Рис. 4.100.
Zy4+Z£+ZC+Z/)+Z£=(Zl+Z6+Z7)+Z2
+ Z4) + (Z5+ Z8)+ Z9 = (Z1+ Z2 + Z3)+ (Z4 + Z5 + Z6) +
+(Z7+ Z8+Z9)=180° + 180°+ 180° = 540°.
a,+ a2+a3+a4+ a5 = (180°- ZA) + (\W - ZB)+ (180е-
- ZQ + (180°- Z/)) + (180°- Z£)=180°-5-(Z,4 + Z5+ ZC +
+ ZD+ ZE) = 180° • 5 - 180° • 3 = 360°.
Вариант II
1. Рис. 4.101.
A EKC- равнобедренный с основанием ЕС, тогда СК= ЕК.
В A DKE ЕК > KD, тогда КС > DK
2. Рис. 4.102.
ZBAC= 180° -2х, ZABC=\m-x. ZЛВС-Z A4C = 80°, тогдах =
= 80°. Z^C= 100°, ZA4C= 20°, ZC= 60е.
3. Рис. 4.103.
ZC4Z)= ZC7)y4 = 45°, ZABD= 110°,тогда ZA4/)=25°.
4*. Рис. 4.104.
(Z6+Z8) + (Z9+Z11)+Z12 = (Z1+Z2 +
+ (Z4+Z5 + Z6) + (Z7+Z8+Z9) + (Z10+Zll+Z12) =
180° + 180° + 180° + 180° = 720°.
«1+a2+a3+a4+a5+ a6 = (180° -Z^)+ + (180е- Z£) +
(180e- ZO + (180°-ZZ)) + (180o- Z£) + (180°- Z/)= 180° • 6 -
= 180° -6- 180° -4 = 360°.

212
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.105
Рис. 4.107 DV
Дополнительные задачи
Задача 1
На сторонах угла А, равного 127°, отмечены точки Ви С, а внутри угла -
точка D так, что Z ABD = 25°, a Z ACD = 19°.
Найти угол BDC
Решение (см. рис. 4.105): ZBDE= ZBAD+ ZABD, ZEDC= ZCAD +
+ ZACD.
Тогда ZBDC= ZBDE+ ZEDC=(ZBAD + ZABD) + (ZCAD +
+ Z>iC7)) = (Z &4Я + Z GiD) + ZABD + ZACD = 127°+ 25°+ 19° =
= 171°. (Ответ: ZBDC= 17Г.)
Задача 2
Треугольники ABC и DAC имеют общую сторону АС. Отрезок BD
пересекает отрезок АС. Известно, что BD = AD= CD.
Докажите, что A ADC является тупоугольным, если ZABC= 130°.
Доказателство (см. рис. 4.106): Так как AD = DB, то ZADB = 180е -
-2ZD2M.
ZЯ/)С= 180° - 2Z/)ДС, значит, ZADC= 360° - 2(ZZ)A4 + Z/)ДС) =
360° - 2 Z ABC = 100е, т.е. A ADC - тупоугольный.
Задана 3
В треугольнике ABC BBt — медиана.
Докажите, что BBt > 1/2 (АВ - ВС).
Доказательство (см. рис. 4.107): Продолжим BBf на отрезок /?;£> = ВВп
тогда А А5/?7 = A CDBr следовательно, АВ = CD.
В А Я/)С BD<BC+ CD, значит, BD<CD- ВС.
Так как ДЯ = 2ЯЯ;, a CD = АВ, то 2ВВ, <АВ-ВС, ВВ} < 1/2 (АВ - ВС).
Задача 4
В треугольнике ABC ZA = 35°, Z B= IV.Hsl продолжении стороны
АС за вершину С взята точка Z). Из вершины С проведен луч С£так, что
точки Е и В лежат по разные стороны от прямой AD и Z ECD = 74° Г.
Может ли выполняться равенство BE — СЕ = ВС ?
Решение (см. рис. 4.108): ZACB = 74°. ZACB * ZDCE. Если ВЕ-
СЕ= ВС, то точки Е, С, Z?лежат на одной прямой, тогда Z АСВ = Z DCE,
следовательно, равенство BE- СЕ= ВС выполняться не может.
Задача 5
Отрезки АС и BD пересекаются так, что АВ > АС.

Урок 51. Прямоугольные треугольники и их свойства
213
D В
Рис. 4.109
Рис. 4.108
Рис. 4.110
Докажите, что BD > CD.
Доказательство (см. рис. 4.109): ЛВ > АС, значит, ZBCA > ZABC,
тогда Z BCD > Z ВСА > Z ABC > Z DBC, значит, в A BDC BD > CD.
Задана б
В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке М. Известно, что
ZMAB= ZMBA, ZMCB= ZMBC
Найдите угол ABC.
Указание'. Докажите МА = MB = МС, следовательно, медианы А АВС
являются его высотами, значит, А АВС - равносторонний.
Задача 7
В равнобедренном треугольнике АВС угол £ равен 100°. Внутри
треугольника взята такая точка М, что Z МАВ = 10°, Z МВА = 20°.
Найдите угол ВМС.
Решение (см. рис. 4.110): Построим BD = BM, Z CBD = 20°, тогда
Z MBD = 60е и A MBD — равносторонний.
ААВМ = A CBD по двум сторонам и углу между ними, тогда
Z BCD = 10°, Z BDC = 150е, Z MDC = 360° - 60° - 150° = 150°.
Тогда A BCD = A MCD по двум сторонам и углу между ними,
Z DMC = 20°, Z ВМС = 60° + 20° = 80°. (Ответ: Z ВМС = 80°.)
Урок 51. Прямоугольные треугольники
и некоторые их свойства
Цели урока:
1) рассмотреть свойства прямоугольных треугольников;
2) научить решать задачи на применение свойств прямоугольных
треугольников.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать его цели.
П. Актуализация знаний учащихся
Решить задачи по готовым чертежам (рисунки к задачам заранее
подготовить на доске, идет фронтальная работа с классом):
1. Рис. 4.111.
Найти: ZA, ZC.

214
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.111
С В
Рис. 4.112
В
Рис. 4.113
D
Рис. 4.114
D
Рис. 4.115
2. Рис. 4.112.
ZA: ZB=\:2.
Найти: ZA, Z В.
3. Рис. 4.113.
Z С на 20° меньше, чем Z В.
Найти: Z В, Z С.
4. Рис. 4.114.
Доказать: AD = 1/2 АВ.
5. Рис. 4.115.
AD= 1/2 АВ.
Найти: углы А Л2ДО.
Цель решения данных задач — подготовить
учащихся к изучению и доказательству свойств
прямоугольных треугольников.
III. Изучение нового материала
Свойства прямоугольного треугольника можно
сформулировать в виде задач на доказательство и
предложить учащимся решить их самостоятельно.
(Задачу 1 можно предложить менее подготовленным учащимся,
остальных учащихся разделить на два варианта и предложить I варианту
решить задачу 2, II варианту — задачу 3. На решение задачи отводится 5—
7 минут. Через 2—3 минуты от начала решения можно сделать подсказку
к задачам 2 и 3.
Подсказка. Достройте свой треугольник до равностороннего со
стороной, равной его гипотенузе.)
Задача 1
Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов
равна 90°.
Задача 2
Докажите, что катет в прямоугольном треугольнике, лежащий против
угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Задача 3
Докажите, что, если катет прямоугольного треугольника равен
половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Различные способы решения данных задач необходимо заслушать,
выбрать наиболее рациональный способ и отметить, что эти три
утверждения являются свойствами прямоугольных треугольников.

Урок 51. Прямоугольные треугольники и их свойства
215
N37°
А С С В
Рис. 4.116 Рис. 4.117
А С
Рис. 4.118
Рис. 4.119
IV. Закрепление изученного материала
1. Устно решить задачи по готовым чертежам:
1) Рис. 4.116.
Найти: А В.
2) Рис. 4.117.
Найти: АА, АВ, ADCB.
Доказать: A ADC и A BDC — равнобедренные.
3) Рис. 4.118.
Найти: A CAD.
4) Рис. 4.119.
Найти: ВС.
5) Рис. 4.120.
Найти: АС.
6) Рис. 4.121.
Найти: А А, АС.
2. Решить задачу N9 257 (один ученик работает у
доски, остальные - в тетрадях).
Задана № 257
Рис. 4.122.
Дано: ААВС, А С=90\ ABAD= \20\AC+AB =
= 18 см.
Найти: АСУ АВ.
Решение: A CAB + A BAD = 180°, A BAD = 120°, А 8,4 см
тогда АСАВ= 180е - A BAD = 60°.
А АВС - прямоугольный (А С = 90°), значит, Рис. 4.121
В
4 см
В А
Рис. 4.120
= 30°.
Катет АС лежит против угла в 30° и он равен
половине гипотенузы, т.е. АС = 1/2 АВ. Так как АС +
АВ= 18 см, то 1/2АВ + АВ= 18см, отсюда АВ= 12
см,ЛС=6см. (Ответ: АВ= 12 см, АС= 6 см.)
Наводящие вопросы:
1) Чему равны углы данного треугольника? О
чем это говорит?
2) Чему равны стороны АС и АВ, если их сумма
равна 18 см?
4 см
С А
Рис. 4.122

216
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.123
С А
Рис. 4.125
3. Самостоятельно решить задачи: I уровень — №138, 139, 140, 141 из
рабочей тетради; II уровень - №259, 260 из учебника и дополнительные
задачи.
Задача № 259
Решение (си. рис. 4.123): А АВС- равнобедренный, т.е. ZA = ZBCA=
= (180° - 120°): 2 = 30°. ААСН- прямоугольный, в нем ZA = 30°, а НС-
катет, лежащий против угла в 30°, значит, АС=2НС= \8см.(Ответ: 18см.)
Задача № 260
Решение (см. рис. 4.124): А АВС— прямоугольный, BD = 1/2 АВ, тогда
ZA = 30°.
А АВС- равнобедренный, тогда ZC= ZA = 30\ Z ABC'= 120е.
(Ответ: 30°, 30°, 120°.)
Дополнительные задачи:
Задача 1
Найти углы прямоугольного треугольника, если угол между
биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла, равен 15°.
Решение (см. рис. 4.125): CD — биссектриса, СИ — высота, ZDCH =
= 15°, Z DCA = 45°, тогда Z НСА = 30°.
А НСА — прямоугольный, в нем Z НСА = 30°, тогда Z САН = 60°.
А АВС— прямоугольный, в нем ZA = 60°, тогда Z В = 30°. (Ответ: 30°,
60°, 90°.)
Задача 2
В равнобедренном треугольнике один из
углов 120°, а основание равно 4 см. Найдите
высоту, проведенную к боковой стороне.
Решение (см. рис. 4.126): 120° — угол при
вершине равнобедренного треугольника, тогда ZA=
= ZC= 30°. АН- высота А АВС, тогда А АНС-
прямоугольный, в нем ZC= 30°, значит, АН =
= 1/2 АС =2 см. (Ответ: 2 см.)
Задача 3
Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного
треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой. Найдите
углы равнобедренного треугольника.
Решение (см. рис. 4.127): AD — биссектриса Z ВАС, АН— высота А АВС,
ZDAH= ZCAH.
В
4 см
Рис. 4.126

Урок 52. Решение задач 217
Рис. 4.128
А С
Рис. 4.127
Так как AD - биссектриса Z ВАС, то Z BAD = Z DAC, но Z DAC =
= Z /Х4Я+ Z САН, причем Z DAH= Z С4Я, тогда Z САН= 1/4 Z A4C
А АВС- равнобедренный, поэтому Z A4C= Z ZJG4, значит, Z С4Я =
= 1/4 Z ЯСА А АСН - прямоугольный, значит, Z САН + ZHCA = 90°,
тогда 1/4 Z #С4 + Z НСА = 90е, Z #СЛ = 72°, следовательно, Z ЯС4 =
= Z ВАС =72°, ZABC= 36е. (О*ии?/я: 72°, 72°, 36е.)
Домашнее задание
1. § 34, вопросы 10, 11.
2. Решить задачи № 255, 256, 258.
3. Дополнительные задачи:
Задача 1
Докажите, что, если медиана треугольника равна половине стороны,
к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
Дано: СМ=ВМ=МА (см. рис. 4,128).
Доказать: А АВС - прямоугольный.
Доказательство: А СВМ — равнобедренный, значит, Z 1 = Z 2.
А СМА — равнобедренный, значит, Z 3 = Z 4.
Z1+ Z2+ Z3+ Z4= 180е, так как ZB+ ZBCA+ ZA= 180°.
2 • (Z2 + Z3) = 180°, значит, Z2 + Z3 = 90°, т.е. ZBCA = 90°.
Задача 2
Докажите, что, если треугольник прямоугольный, то медиана,
проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Доказательство (см. рис. 4.127): Пусть СМ ф МА и СМ * MB.
Для определенности пусть СМ > МА, тогда СМ > MB,
следовательно, Z4> Z3, Zl > Z2, но Zl + Z4 = 90°, тогда Z2+ Z3 > 90°,
что противоречит тому, что ZC— 90°.
Таким же образом можно получить противоречие для случая СМ < МА,
СМ< MB. Значит, СМ= МА = MB.
Урок 52. Решение задач на применение свойств
прямоугольных треугольников
Цели урока:
1) закрепить основные свойства прямоугольных треугольников;

218
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
2) рассмотреть признак прямоугольного треугольника и свойство
медианы прямоугольного треугольника;
3) совершенствовать навыки решения задач на применение свойств
прямоугольного треугольника.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать цели урока.
П. Актуализация знаний учащихся
1. Теоретический опрос.
Подготовить у доски доказательства свойств прямоугольных
треугольников с последующим заслушиванием всем классом:
а) свойство острых углов прямоугольного треугольника;
б) свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против
угла в 30°;
в) свойство катета прямоугольного треугольника, равного половине
гипотенузы.
2. Самостоятельное решение задач (пока у доски готовятся свойства
прямоугольного треугольника) с последующим обсуждением решения.
I уровень
Заполнить пропуски в решении задачи:
В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен 60°,
высота, проведенная к боковой стороне, равна 5 см. Найдите основание
треугольника.
Решение (см. рис. 4.129): Так как внешний угол равен 60°, то смежный
с ним внутренний угол равен ...
Этот угол может быть только углом, противолежащим основанию, так
как он...
Так как А ЛВС - равнобедренный с основанием AQ то Z А = ... = ...
Так как АН- высота, то А АНС - ...
В А АНС ZC= 30°, значит, АН= ...
ТаккакЛ#=5см, то АС = .... (Ответ: АС= ....)
II уровень
Продолжить решение задачи:
Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника,
разделили его угол на три равные части. Найдите углы треугольника.
Решение (см. рис. 4.130): Пусть СИ- высота, СМ- медиана ААВС,
Z\= Z2= Z3.
Рис. 4.129

Урок 52 Решение задач
219
Проведем ОМ JL СВ, тогда ААСН- А МСНпо ...
АСЛ/Я= А СМОпо...
ТогдаЛЯ= #Л/ = Л/О = 1/2 М4 = 1/2 Л/А (Ответ: Z.4 = 60°, ZB =
= 30°, ZC= 90°.)
3. Индивидуальное решение задач №142, 143 из рабочей тетради (3-4
ученика, тетради собрать на проверку в конце урока).
4. Обсуждение решения дополнительных домашних задач.
(Рисунки к задачам подготовить на доске заранее.)
После обсуждения нужно отметить, что эти две задачи — еще два
свойства прямоугольных треугольников, они очень часто используются при
решении задач. Итак:
1) Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной из
вершины прямого угла:
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины
прямого угла, равна половине гипотенузы.
2) Признак прямоугольного треугольника:
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она
проведена, то этот треугольник прямоугольный.
III. Решение задач
1. Решить задачи №144, 145 из рабочей тетради (один из учащихся по
указанию учителя читает задачу с решением, заполняя пропуски,
остальные внимательно слушают и исправляют ошибки).
2. Решить задачу с подробным обсуждением:
Гипотенуза прямоугольного
треугольника в четыре раза больше
проведенной в ней высоты. Найдите острые
углы треугольника.
Решение (см. рис. 4.131): СИ—
высота. Пусть С#= х, тогда ЛВ = 4х
Проведем медиану СМ, СМ = 1/2 ЛВ = 2х,
ВМ=АМ=2х.
В А СИМ ZH = 90°, С#= х, СМ= 2х, тогда Z НМС = 30°,
следовательно, ZAMC= 150°.
ААМС — равнобедренный, тогда ZA= ZMCA = 15°.
A ABC- прямоугольный, ZA= 15°, тогда ZB= 75°. (Ответ: 15°, 75°.)
Наводящие вопросы:
1) Пусть С#= х. Чему равно АВ?
2) Проведите медиану СМ. Чему она равна?
3) Чему равны углы А СИМ?
4) Чему равен Z А треугольника ACW. в
5) Чему равен Z В треугольника ABC?
3. Самостоятельное решение задач с последующей
самопроверкой по готовым указаниям и ответам.
I уровень
1) Рис. 4.132.
Найти: ВС Рис. 4.132
В
2х
Рис. 4.131

220
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
0°,
Рис. 4.133
А Е 7 С
В Рис. 4.134
Л 7
Рис. 4.135
15
С Е
Рис. 4.136
С А,
Рис. 4.138
D
Рис. 4.139
С,
8
В С
Рис. 4.140
С Ю В
Рис. 4.141
Рис. 4.137
2) Рис. 4.133.
Найти: АВ.
3) Рис. 4.134.
Найти: АЕ.
4) Рис. 4.135.
Найти: ZB, ZD.
5) Рис. 4.136.
Найти: СЕ, Z С.
6) Рис. 4.137.
Найти: САУ
7) Рис. 4.138.
Найти: ZMCA.
8) Рис. 4.139.
Найти: ZA, ZABC
II уровень
1) Рис. 4.140.
Найти: Z CAD.
2) Рис. 4.141.
Найти: AD.
3) Рис. 4.142.
Дано: АС= DC= 4.
Найти: BF.
4) Рис. 4.143.
Найти: MD.
5) В треугольнике АЯСугол 5 — тупой.
Продолжения высот AAV BBr ССХ пересекаются в
точке О, ZAOC= 60°.
Найдите ZABC
6) В треугольнике ABC ZB= 90°, 5/)-
высота, АВ =!

Урок 52. Решение задач
221
A F D
Рис. 4.142
С D
Рис. 4.143
Докажите, что ЪАС = 4AD.
7) В треугольнике ABC Z С = 90°, Z В = 40°. На сторонах ЛД и ВС
отмечены точки D и £ соответственно, Z £4/) = 5°, Z £С7) =10°.
Найдите ZEDC.
8) На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC взята точка Е,
а внутри треугольника — точка D. ЕМ 1. AC, AM = CM, Z В = 45°,
ZCDA = 90°, ZDCA = 60°.
Докажите, что £Л/ = /)С.
Ответы и указания для самопроверки:
I уровень С
1)ДС=5.
2)ЛД=16.
3)Л£=14.
4) Z5= ZZ)=60°.
5)С£=4,5;РС=13,5. В"
6) С4, = 10. рис. 4.145
7) ZMCA = 20°. А
8) Z>4 = 65e, Z ABC =90°.
II уровень
1) ZG1D= 150е.
)
4)М)=2.
5) Рис. 4.144.
В
Рис. 4.146
Z ОАСХ = 30°, тогда ZAXBA = 60е, ZABC = С
= 120°.
6) Доказательство (см. рис. 4.145.): А# = 22?Д
тогда ZA = 30°, Z С = 60°, значит, Z С#£> = 30°, тогда CD = 1/2 СЯ, т.е.
CB=2CD. CB = 1/2 АС, тогда 2С/) = 1/2 АС
CD = AC- AD, тогда 2 • (АС - AD) = 1/2 АС, 3/2 ЛС = 2AD, т.е.
7) Решение (см. рис. 4.146): А АСЕ — равнобедренный, так как
Z CAE= Z СЕЛ = 45°, тогда СА = СЕ. А ЛСД - равнобедренный, так как
ZCAD= ZCDA = 50°, тогда СА = CD.
СА= СЕ= CD, тогда A CDE- равнобедренный с основанием DE,
значит, Z CED = Z CDE= 85°. (Ответ: Z EDC= 85е.)

222
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
8) Доказательство (см. рис. 4.147): В А АВС
ZB= Z ВАС= 45°, тогда ZAEM = 45° пАМ= ME.
В A CDA Z CD A = 90°o Z DC A = 60°, тогда
Z C4Z) = 30° и CZ) 1/2 ЛС=ЛЛ/, следовательно, CD =
= ЕМ.
М
Рис. 4.147
Домашнее задание
§35, вопросы 12, 13.
Признаки равенства прямоугольных
треугольников по двум катетам и по катету и прилежащему к нему
острому углу смогут самостоятельно доказать все учащиеся. Большинство
учащихся с помощью учебника разберется с доказательством признака
равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Более
подготовленные учащиеся смогут подготовить доказательство признака
равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
Урок 53. Признаки равенства прямоугольных
треугольников
Цели урока:
1) рассмотреть признаки равенства прямоугольных треугольников;
2) научить решать задачи на применение признаков равенства
прямоугольных треугольников.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока и сформулировать цели.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Сформулировать и доказать у доски признаки равенства
прямоугольных треугольников:
(К доске вызвать 4 учащихся для подготовки вопросов, остальные
учащиеся решают задачи по готовым чертежам.)
а) по двум катетам;
б) по катету и прилежащему к нему острому углу;
в) по гипотенузе и острому углу;
г) по гипотенузе и катету.
2. Решение задач по готовым чертежам.
(Рисунки к задачам подготовить на планшетах или раздать на каждую
парту.)
1) Рис. 4.148.
Доказать: A ABD = A DCA, АВ = CD.
2) Рис. 4.149.
Доказать: ААВС= A CDA.
3) Рис. 4.150.
D Дано-.ABWCD.
Рис. 4.148 Доказать: BF= ED.
В

Урок 53. Признаки равенства прямоугольных треугольников
223
Рис. 4.149
A D
Рис. 4.150
A D
Рис. 4.151
4) Рис. 4.151.
Доказать: BF= ED, AF= ЕС.
5) Рис. 4.152.
Доказать: АЕ= MB.
6) Рис. 4.153.
Доказать: О — середина отрезка АВ.
Ш. Решение задач
1. Решить задачу №149 из рабочей тетради. (Один из учащихся
читает задачу и предлагает свой способ доказательства, остальные,
выслушав его ответ, исправляют ошибки или соглашаются с предложенным
решением.)
2. Решить задачу № 263 письменно у доски и в тетрадях.
ЗадачаМ 263
Решение (см. рис. 4.154): А ВСХС = А СВХВ по гипотенузе и острому
углу (Z СХВС = Z Вх СВ, ВС - общая гипотенуза).
Следовательно, Z. СХСВ = Z ВХВС, но тогда А МВС —
равнобедренный с основанием ВС и Z МВС = Z МСВ = 20°.
В А ВСХС Z С, = 90°, тогда Z CXBC+ Z ВССХ = 90°, значит, Z СХВС =
= 70°.
Так как А ЛЯС - равнобедренный, то ZABC = ZACB = 70°, а
ZВАС= 40°. (0m*?m: 70°, 70°, 40°.)
Наводящие вопросы:
1) Что вы можете сказать о треугольниках ВСгС и СВ75? А о
треугольнике ВМС?
2) Вычислите углы треугольника ВМС.
3) Знаем ли мы величину хотя бы одного из углов треугольника ABC?
Вычислите остальные углы этого треугольника.
Рис. 4.152
Рис. 4.153
Рис. 4.154

224 Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.155
3. Самостоятельно решить задачи: I уровень - №146, 147, 148 из
рабочей тетради; II уровень — №261, 265, 267 из учебника.
Задача № 265
Решение (см. рис. 4.155): А АВС — равнобедренный, тогда ZBAC =
= Z ВСА = (180° - 112°) : 2 = 34°. AF - биссектриса Z ВАС, значит,
ZBAF=\7°.
В AABF ZBFA=\W-(ZABF+ ZBAF) = 5V.
В A AHF Z HAF± 90° - Z HFA = 90° - 51е = 39°. (Ответ: ZAHF=
= 90°, Z HAF= 39°, Z HFA = 51°.)
Задана М 267
Доказательство (см. рис. 4.156): Пусть ААВСи А АХВХ С, -указанные
остроугольные треугольники, в которых АР = AXPV CR = С,Л,; АР, AXPV
CR, ClRl - высоты. А АРС= А АХРХ С, по гипотенузе и катету, ZC= Z С,.
A ARC = AAXRX С, по гипотенузе и катету, отсюда Z А = ZAV
следовательно, А АВС = А АХВХ С, по стороне и прилежащим к ней углам.
Дополнительные задачи:
Задача 1
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки D и Е
соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры DKn ЕР к прямой АС,
DK= ЕР, Z ADK= Z PEC Докажите, что АВ = ВС
Задана 2
В треугольниках АВСиАхВх С, высоты BDn BXDX равны, причем ZC=
= Z С,, AD = AXDX. Докажите, что ZA= ZAX.
Домашнее задание
1. §35, вопросы 12, 13.
2. Решить задачи № 262, 264, 265.
Урок 54. Прямоугольный треугольник. Решение задач
Цели урока:
1) привести в систему знания учащихся по теме «Прямоугольный
треугольник»;
2) совершенствовать навыки решения задач на применение свойств
прямоугольного треугольника, признаков равенства прямоугольных
треугольников.

Урок 54. Прямоугольный треугольник. Решение задач
225
С
Рис. 4 157
С
Рис. 4.158
В
Ход урока
I. Организационный момент
Сформулировать тему и цели урока.
П. Актуализация знаний учащихся
Решение задач на готовых чертежах с целью повторения свойств
прямоугольного треугольника и признаков равенства прямоугольных
треугольников.
(Рисунки к задачам подготовить на доске или на планшетах заранее.
Идет фронтальная работа с классом.)
1. Рис. 4.157.
Доказать: ВС 1 CD.
2. Рис. 4.158.
Найти: А АСЕ.
3. Рис. 4.159.
Дано: ВН= 4 см.
Найти: АН.
4. Рис. 4.160.
Дано: АВ \\ CD.
Найти: углы A CDO.
5. Рис. 4.161.
Дано: О — общая середина АВ и CD,
АВ 1 CD.
Доказать: АС = DB.
6. Рис. 4.162.
Доказать: МС — медиана A KMN.
7. Рис. 4.163.
Дано: BD — биссектриса А АВС.
Доказать: DB — биссектриса Z ADC.
Рис. 4.159
В
Рис. 4.160
D
Рис. 4.161
С
Рис. 4.162

226
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.166
8. Рис. 4.164.
Дано: ВМ= 5 см.
Найти: ME.
III. Самостоятельная работа
I уровень
Вариант I
1. Рис. 4.165.
Найти острые углы треугольника ABC.
2. Высота остроугольного треугольника ABC образует со сторонами,
выходящими из той же вершины, углы 18° и 46е.
Найдите углы треугольника ABC.
3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе
и острому углу.
Вариант II
1. Рис. 4.166.
Найти острые углы треугольника ABC.
2. Высота остроугольного треугольника ABC образует со сторонами,
выходящими из той же вершины, углы 24° и 38°.
Найдите углы треугольника ABC.
3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и
противолежащему углу.
II уровень
Вариант I
1. Рис. 4.167.
Дано: AD — биссектриса угла А.
Найти: острые углы треугольника ADC.
2. Биссектриса прямого угла
прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы,
один из которых равен 70°.
Найдите острые углы этого треугольника.
3. Докажите равенство прямоугольных
треугольников по катету и высоте, опущенной на
гипотенузу.
Вариант II
1. Рис. 4.168.
Дано: AD — биссектриса угла А.
Найти: острые углы треугольника ABC.
150°
D
Рис. 4.167
В
D В
Рис. 4.168

Урок 54. Прямоугольный треугольник. Решение задач
227
Рис. 4.171
Рис. 4.169
Рис. 4.170
2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу,
образует с одним из катетов угол 55°.
Найдите острые углы этого треугольника.
3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу
и высоте, опущенной на гипотенузу.
III уровень
Вариант I
1. Рис. 4.169.
Дано: ZACB= 90°, Z DCB = 50°, CD - высота.
Найти: острые углы треугольника ЛВС.
2. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины
наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 14е.
Найдите острые углы данного треугольника.
3. Докажите равенство остроугольных треугольников по двум углам и
высоте, проведенной из вершины третьего угла.
Вариант II
1. Рис. 4.170.
Дано: ZACB= 90°, Z В = 40°, CD - высота.
Найти: острые углы треугольника ACD.
2. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины
наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 22е.
Найдите острые углы данного треугольника.
3. Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и
проведенным к ней медиане и высоте.
Домашнее задание
1. § 36.
2. Решить задачи № 268, 269, 270.
Задана № 270
Анализ (см. рис. 4.171): Пусть Ви С— искомые
точки, т.е. ОВ= ОС, тогда А ОВС —
равнобедренный, а точка А принадлежит его основанию ВС.
Биссектриса 0^данного треугольника является его
высотой, т.е. ОК 1 ВС.
Построение (см. рис. 4.172):
1. Построим биссектрису (Ж угла О.
Рис. 4.172
2. Построим перпендикуляр к прямой ОК, проходящий через точку А.

228
Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника
А,
АС, В
Рис. 4.173
3. Перпендикуляр пересекает стороны угла О в точках В и С. ВС -
искомая прямая.
Доказательство: Прямоугольные треугольники ОВКи ОСК равны по
катету и острому углу (Z ВОК= Z СОК, так как ОК- биссектриса Z ВОС,
ОК- общий катет), тогда OB = OC.(Z ВКО = 90°, Z СКО = 90е, так как
AKL ОК).
3. Дополнительные задачи:
Задана 1
В А ЛВС угол Ступой. Продолжения высот ААХ, ВВХ и ССХ
пересекаются в точке О. Докажите, что ZABC= ZAOCn Z OAC= Z OBC.
Решение (см. рис. 4.173):
1) В А ВССХ Z СХВС= 90°- Z ВССХ = ZABC В А ОСЛХ ZAXOC= 90°-
- ZAXCO= ZAOC. ZBCCX= Z Ax CO как вертикальные, тогда ZABC=
= ZAOC.
2) В AAXAC ZAXAC= 90° - ZAXCA = Z OAC. В A BXBC ZBXBC =
= 90° -ZBXCB= Z OBC. ZAXCA= Z BXCB как вертикальные, тогда
ZOAC= ZOBC.
Задача 2
Через середину стороны АВ треугольника АВС проведена прямая,
перпендикулярная к АВ, пересекающая ВС в точке Е. ВС = 24 см, периметр
треугольника АЕС равен 30 см.
Найдите АС.
Решение (см. рис. 4.174): ААЕМ = А ВЕМ по двум катетам, тогда
АЕ=ВЕ.
РАЕС = АС + АЕ+ СЕ, но так как АЕ = BE, то РАЕС= АС + (BE + СЕ) =
= АС+СВ=24 + АС= 30, откуда АС= 6 см. (Ответ: АС =6 см.)
Урок 55. Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми
Цели урока:
1) ввести понятие наклонной, проведенной из точки, не лежащей на
данной прямой, к этой прямой; расстояние от точки до прямой;
расстояние между параллельными прямыми;
2) рассмотреть свойство параллельных прямых;
3) научить учащихся решать задачи на нахождение расстояния от
точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми.

Урок 55. Расстояние от точки до прямой 229
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Актуализация знаний учащихся
1. Проверить дополнительные домашние задачи и задачу №270,
последнюю рассмотреть подробно, так как данная задача является одной
из первых задач на построение, при решении которой не обойтись без
анализа.
(Предложить двум ученикам, справившимся с решением
дополнительных задач, подготовить на доске краткую запись их решения и заслушать
в начале урока. К задаче №270 заранее подготовить рисунок,
соответствующий условиям задачи и предложить одному из учащихся показать
ход построения.)
2. Повторить понятие перпендикуляра, проведенного из данной
точки к данной прямой (фронтальная работа с классом):
— Какие прямые называются перпендикулярными?
— Что называют перпендикуляром, проведенным из данной точки к
данной прямой?
— Сколько перпендикуляров можно провести из точки, не лежащей
на данной прямой, к данной прямой?
3. Используя рис. 4.175, укажите (фронтальная работа с классом):
а) отрезок, который является перпендикуляром, проведенным из точки
А к прямой а;
б) отрезки не являющиеся перпендикулярами, проведенными из
точки А к прямой а;
в) основание перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой а;
г) отрезок наименьшей длины, проведенный из точки А к прямой а.
III. Изучение нового материала
1. Ввести понятие наклонной (рис. 4.176).
В тетрадях учащихся и на доске записи:
АС - перпендикуляр; АВ, AD - наклонные.
АС < АВ, АС< AD, так как АС — катет в прямоугольных треугольниках
ABC и ADC, ABuAD-ux гипотенузы.
Вывод:
Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой
наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.
D
Рис. 4.176

230
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
В Y
Рисунок к теореме
2. Ввести понятие расстояния то точки до прямой.
Определение:
Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется
расстоянием от этой точки до прямой.
3. Доказать свойство параллельных прямых.
Теорема:
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от
другой прямой.
Доказательство: Пусть а II Ь, А — произ-
А X вольная точка прямой а,АВ±Ь,Ве Ь.
Нужно доказать, что расстояние от
любой точки Л"прямой а до прямой Ь равно АВ
(см. рис.).
Дальнейшее доказательство теоремы
можно провести совместно с учащимися.
Вопросы для учащихся:
1) Чему равно расстояние от точки X
прямой а до прямой В! (Ответ: длине
перпендикуляра, опущенного из точки ЛГна прямую Ь.)
2) Отметим основание перпендикуляра буквой Y. Каково взаимное
расположение ЛУи прямой Ы Почему? (Ответ: XY I b, так как XY1
1 а, а II Ь.)
3) Что вы можете сказать о треугольниках ABY и YXA1 (Ответ:
AABY= A YXA по гипотенузе и острому углу (AY — общая гипотенуза,
Z 1 = Z 2 как накрест лежащие при параллельных прямых аиЬи
секцией ЛУ).
4) Сравните ABuXY. (Ответ:XY= АВ.)
Вывод: любая точка Упрямой а находится на расстоянии АВ от
прямой Ь.
4. Ввести понятие расстояния между параллельными прямыми.
Определение:
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до
другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.
5. Рассмотреть и доказать теорему, обратную свойству параллельных
прямых.
Теорема:
Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной
прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.
Пусть произвольные точки А и В
расположены по одну сторону от прямой а и расстояние от
точки А до прямой а равно расстоянию от точки
В до прямой я, т.е. АС= BD, где АС 1 a, BD 1 а.
Докажем, что АВ \\ а.
Доказательство (см. рис. 4.177): Так какЛС _L a
и BD _1_ а, то AC \\ BD, значит, накрест лежащие
Рис. 4.177 углы АСВ и CBD равны.

Урок 55. Расстояние от точки до прямой
231
А АСВ = A DBC по двум сторонам и углу между ними (АС = BD по
условию теоремы, ВС- общая сторона, ZACB= Z. CBD как накресгле-
жащие при параллельных прямых АС и BDn секущей ВС),
следовательно, ZABC= ZBCD.
Z ABC и Z BCD - накрест лежащие углы при прямых АВ и CD и
секущей ВС и они равны, следовательно, АВ || CD, т.е. АВ \\ а, что и
требовалось доказать.
6. Знакомство с рейсмусом.
IV. Закрепление изученного материала
1. Решить задачи №150, 151 из рабочей тетради. (Один из учащихся
читает задачу, а затем решает ее, остальные внимательно слушают его и
исправляют ошибки.)
2. Решить задачи №273,276 (один ученик работает у доски, остальные
в тетрадях).
Задача № 273
Решение (см. рис. 4.178): СЕ+ CD= 31 см, СЕ- CD= 3 см, тогда СЕ=
= CD+3см, значит, СЕ+ CD= (CD+ 3) + CD=3\ см, откуда CD= 14см.
Расстояние от вершины Сдо прямой DEравно CD, т.е. 14 см. (Ответ:
14 см.)
Задача № 276
Решение (см. рис. 4.179): О - середина АВ, тогда АО =BO.ADnBC-
расстояние от концов отрезка АВ до прямой a (AD J_ а, ВС _L a). A AOD =
= А ВОС по гипотенузе и острому углу (АО = OB, Z AOD = Z ВОС как
вертикальные), тогда AD — СВ, то есть концы отрезка АВ равноудалены
от прямой а.
3. Самостоятельно решить задачи: I уровень - №152-155 из рабочей
тетради; II уровень -№271, 275, 278 из тетради.
Задача № 271
Решение (см. рис. 4.180): АВ — перпендикуляр, АС — е
наклонная. АС — АВ = 1 см, тогда АС = АВ + 1 см,
АС + АВ = АВ+ \+АВ= 17 см, отсюда АВ= 8 см, т.е.
расстояние от точки А до прямой а равно 8 см.
(Ответ: 8 см.)
Задача № 275
Решение (см. рис. 4.181): ME 1 АС, МК ± ВС,
ME = МК. А АВС - равнобедренный, тогда
Рис. 4.178
Рис. 4.179
Рис. 4.180
А М В
Рис. 4.181

232
Глава IV Соотношения, между сторонами и углами треугольника
/.А — А В. А ЕМЛ = А КМВ по катету и
прилежащему к нему острому углу {ME = МК, Z ЕМЛ =
= Z КМВ.
Так как ZЕМЛ = 90° - АЛ = 90° - Z5 =
= Z AM5), тогда АЛ/= MB и СМ- медиана, про-
и и веденная из вершины равнобедренного треуголь-
Рис 4182 ника к его основанию, а значит, и его высота.
Задача №278
Решение (см. рис. 4.182): Расстояние между прямыми ЛВи CD равно
Л С. А ЛСВ - прямоугольный, Z D = 30°, тогда ЛС = 1/2 ЛЯ = 3 см.
{Ответ: 3 см.)
Домашнее задание
1. § 37, вопросы 14-18.
2. Решить задачи №272, 277.
3. Выполнить работу над ошибками самостоятельной работы
предыдущего урока, используя готовые указания и ответы к задачам.
Ответы и указания к задачам самостоятельной работы
I уровень
Вариант I
= ZBV
2. 72°, 44°, 64°.
3. Рис. 4.183.
ZB=90°- АЛ,
Тогда А ЛВС
=Л{ВГ ZA= /L
Вариант II
1. ZA = 60\ ZB=30°.
2. 66°, 52°, 62°.
3. Рис. 4.184.
ZB=90°- ZA, ZB{ = 90°- Z Л,. Так как Z/4= ^ v
тогда А АЯС = AAlBlCl по стороне и прилежащим к ней углам {ВС =
= £,<:,, ZB= ZBV ZC= ZC, = 90°).
II уровень
Вариант I
1. ZCAD= 30°, Z^Z)C= 60°.
A A{BX С, по стороне и прилежащим к ней углам {ЛВ =
V ZB= ZB{).
ZB= ZBv
A C,
Рис. 4.183
A C,
Pmc. 4.184

Урок 55. Расстояние от точки до прямой
233
В,
А С, А,
Рис. 4.185
С А,
Рис. 4.188
2. 65°, 25°.
3. Рис. 4.185.
A BCD= A BXCXDX по гипотенузе и катету, тогда Z B= Z Вх. А АВС=
= А АХВХ С, по катету и прилежащему к нему острому углу.
Вариант II
1. Z ВАС =40°, ZABC= 50°.
2. 35°, 55°.
3. Рис. 4.186.
А 2?С7) = А В1 С, Z), по катету и прилежащему к нему острому углу, тогда
ВС= ВХСУ А АВС = АА{ВХС, по катету и прилежащему к нему острому
углу.
III уровень
Вариант I
1. ZB = 40°, Z/4 = 5O°.
2. 31°, 59°.
3. Рис. 4.187.
АЛЯ/)= А ЛД/),, тогда ЛЯ = >!,#,, AD = AlDl.
А СЯ/) = A CXBXDV тогда Z)C = /),С,, следовательно, AD + DC =
AD /)С,,т.е. AC=AxCr
AABC(AB AB
AABC
Вариант II
1. ZA = 50°,
2. 23°, 67°.
3. Рис. 4.188.
BC= 5,С„ /
40°.
= AlCr ZA= ZA{).
V BM= MC, ВЖ = Л/.С.

234
Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника
ААМН= A AXMXHV тогда МН= М{НГ ААВН = А Л,ОД, тогда ЛЯ =
=АУВУ ААСН*= А Л, С.Я,, тогда ЛС = Л, Сг
А ЛВС = А ЛД С, по трем сторонам.
Урок 56. Построение треугольника по трем элементам
Цели урока:
1) рассмотреть задачи на построение треугольника по трем
элементам;
2) совершенствовать навыки решения задач на построение.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Актуализация знаний учащихся
(Фронтальная работа с классом. Рисунки к задачам подготовить на
доске заранее.)
1. Теоретический опрос по вопросам 14—18.
2. Решение задач по готовым чертежам:
1) Рис. 4.189.
Найти: расстояние от точки А до прямой а.
2) Рис. 4.190.
Найти: расстояние от точки А до прямой а.
3) Рис. 4.191.
Найти: расстояние от точки А до прямой а.
4) Рис. 4.192.
Дано: КА = 7 см.
Найти: расстояние от точки А до прямой а.
3. Решение задач с целью подготовки учащихся
к восприятию нового материала (разделить
учащихся на три группы, каждая группа выполняет свое
задание, затем весь класс заслушивает решение
задач).
I группа
1) С помощью циркуля, линейки и транспортира
постройте А АВС, в котором АВ = 4 см, ВС = 5 см,
ZB= 70°.
4 см
Рис. 4.189
14 см
/45
45°V a
А
Рис. 4.190
Рис. 4.192

Урок 56. Построение треугольника по трем элементам 235
Mi IN
Pi
Ri
Рис. 4.195
2) С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный данному
(примерный угол задать на доске).
// группа
1) С помощью циркуля, линейки и транспортира постройте А ЛВС, в
котором АВ = 6 см, Z А = 50°, Z В = 80°.
2) С помощью циркуля и линейки без делений на сторонах данного
угла отложите отрезки, равные данному.
/// группа
1) С помощью циркуля и линейки с делениями постройте A ABC^
такой, что АВ = 5 см, ВС =6 см, АС =7 см.
2) С помощью циркуля и линейки без делений на данном луче
отложите отрезок, равный данному.
III. Изучение нового материала
1. Продолжить работу в группах (групп может быть больше, тогда
несколько групп получают одинаковое задание).
При выполнении задания учащиеся могут общаться друг с другом,
обсуждать решение задачи.
/ группа
Дано: Рис. 4.193.
Построить: А АВС такой, что АВ = PQ, ZA= Z Л/, Z В = Z N, с
помощью циркуля и линейки без делений.
// группа
Дано: Рис. 4.194.
Построить: А АВС такой, что АВ = MN, AC= RS, ZA= Z Q, с
помощью циркуля и линейки без делений.
/// группа
Дано: Рис. 4.195.
Построить: А АВС такой, что АВ = MN, ВС = PQ, AC= RS, с
помощью циркуля и линейки без делений.
Общий вопрос для всех групп:
- Всегда ли можно построить такой А АВС, который удовлетворял
бы всем условиям задачи?
2. Когда группы будут готовы, заслушать решение каждой задачи,
обсудить правильность решения.
3. Самостоятельно решить каждому ученику в тетради каждую задачу,
озаглавив их следующим образом:

236 Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
А В
п о пл
Рис. 4.196
Рис. 4.198
1) первая задача - «Построение треугольника по стороне и
прилежащим к ней углам»;
2) вторая задача - «Построение треугольника по двум сторонам и углу
между ними»;
3) третья задача — «Построение треугольника по трем сторонам».
IV. Закрепление изученного материала
1. Решить задачу № 286 (дать учащимся 2—3 минуты на обдумывание,
а затем заслушать и обсудить варианты решений).
Задача № 286
Дано (см. рис. 4.196): сторона треугольника PQ; биссектриса РМ,
выходящая из вершины /* угол Р, прилежащий к стороне PQ.
Построить: A АВС, где АВ = PQ, ZA= ZP, биссектриса AL = РМ.
Построение (см. рис. 4.197): Возьмем произвольную точку А, отложим
от нее угол MAN, равный углу Р.
На стороне AM отложим отрезок АВ, равный PQ.
Построим биссектрису угла MAN и отложим на ней от точки А
отрезок AL, равный РМ.
Построим прямую через точки Ви L.
AN* BL= С. А АВС - искомый.
2. Решить самостоятельно N° 288.
3. Решить самостоятельно задачу №157 из рабочей тетради.
Домашнее задание
1.§ 38, вопросы 19,20.
2. Решить задачи № 287, 289, 274.
Задана № 287
Построение (см. рис. 4.198):
1) Построить угол А, равный углу между данной стороной и данной
медианой.
2) На одной стороне угла отложить отрезок АВ, равный стороне
треугольника, а на другой - отрезок AM, равный медиане треугольника.
3) Построить прямую ВМи на луче ВМ от точки М отложить отрезок
МС, равный отрезку ВМ.
4) Соединить точки А и С отрезком. А АВС - искомый, в нем АМ-
медиана (ВМ= МС), Z МАВ — угол между медианой и стороной АВ.
3. Прочитать задачу № 284.

Урок 57. Построение треугольника по трем элементам
237
Урок 57. Построение треугольника по трем элементам
Цель урока:
совершенствование навыков построения треугольников по трем
элементам и решения задач на построение.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Теоретический опрос по вопросам 19а, 196, 20 — три ученика
готовятся у доски, а затем рассказывают всему классу после проверки
домашних задач №287 и №284.
2. Проверить домашнюю задачу № 287.
3. Обсудить решение задачи № 284 по рис. 142 учебника:
1) Составить план решения задачи.
2) Почему прямая р параллельна прямой а?
3) Почему расстояние между прямыми аир равно АШ
4) Сколько решений имеет задача? Почему?
III. Решение задач
1. Решить задачи № 285, 291 (д) с последующим обсуждением (дать
учащимся на каждую задачу по 2—3 минуты, решение записать в тетрадях
и на доске).
Задача № 285
Построение (см. рис. 4.199):
1) Построим прямую /, перпендикулярную
прямой Ь и проходящую через произвольную
точку Упрямой Ъ.
2) Отложим от точки ^на прямой / отрезок
XY, равный PQ.
3) Построим прямую с, перпендикулярную
прямой / и проходящую через точку Y.
4) Точку пересечения а и с обозначим А.
Точка А прямой а удалена от прямой Ь на
расстояние PQ, т.е. А - искомая точка.
Задача имеет два решения: отрезок AT на
прямой / можно отложить в разные стороны от
прямой Ь.
Задана № 291 (д)
Дано: медиана PQ, проведенная к
основанию; основание равнобедренного
треугольника ST.
Построение (рис. 4.200): Так как медиана,
проведенная к основанию равнобедренного
треугольника, является его высотой, то ход
построения будет следующим:
Рис. 4.199
М В
Рис. 4.200

238
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
-н
Рис. 4.201
Рис. 4.202
1) На прямой а отложим отрезок АВ, равный ST.
2) Постоим середину отрезка АВ - точку М.
3) Через точку Мпостроим прямую Ь, перпендикулярную прямой а, и
отложим на этой прямой Ь от точки М отрезок Л/С, равный PQ.
4) Соединим точки Аи С, В и С отрезками. А АВС - искомый.
Задача имеет два решения: на прямой Ь от точки М можно отложить
два отрезка, равных PQ.
2. Самостоятельно решить задачи № 291 (а), (в), 292 (б).
3. Дополнительные задачи.
Задана 1
Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте,
проведенной из вершины при основании.
Построение (см. рис. 4.201): Высота, проведенная из вершины при
основании равнобедренного треугольника, перпендикулярна боковой
стороне, поэтому ход построения будет следующим:
1) Начертим прямую а и отметим на ней произвольную точку Я.
2) Построим прямую, проходящую через точку Я и
перпендикулярную прямой а.
3) На прямой Ъ от точки Я отложим отрезок НА, равный высоте,
проведенной из вершины при основании.
4) Построим окружность с центром в точке А и радиусом, равным
основанию. Прямая а пересекается с окружностью в точке В.
5) Соединим точки А и В отрезком - это и будет основанием
треугольника.
6) Построим прямую с, проходящую через середину основания АВ
перпендикулярно АВ. На прямой с будут лежать биссектриса, медиана,
высота и вершина искомого треугольника, а на прямой а — боковая
сторона. Следовательно, точка пересечения прямых а и Ь - это и есть точка
С - вершина треугольника. А АВС - искомый.
Задача имеет два решения.
Задана 2
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и
высоте, проведенной из вершины при основании.
Построение (см. рис. 4.202):
а) На прямой а отложим отрезок АВ, равный боковой стороне
треугольника.

Урок 58. Построение треугольника по трем элементам 239
б) Построим окружность с центром в точ- р i iQ
ке А и радиусом, равным ЛВ. д \^
в) Построим прямую Ь, параллельную
прямой а и удаленную от нее на расстояние,
равное высоте, проведенной из вершины при
основании.
г) Прямая b пересекается с окружностью в В КС
точке С. />ма 4.203
д) Л ЛВС — искомый, в нем АВ = ВС, а
высота CD, проведенная из вершины при основании, равна расстоянию
между прямыми аи Ь.
Задача имеет два решения.
Домашнее задание
1. Решить задачи № 290, 291 б, г, 292 а, 280.
Задача № 280
См. рис. 4.203.
Луч MNтакой, что М е ВА, MN\\ ВС, KN 1 ВС, NK= PQ.
Урок 58. Построение треугольника по трем элементам.
Решение задач
Цель урока:
совершенствование навыков решения задач на построение,
нахождение расстояния от точки до прямой и расстояния между
параллельными прямыми.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Повторение. Проверка домашнего задания
1. Проверить домашнюю задачу № 280.
(Вызвать к доске одного из учащихся и
предложить продемонстрировать ход
построения.)
2. Устное решение задач на готовых
чертежах. А~
(Фронтальная работа с классом, рисунки к
задачам подготовить на доске заранее.)
1) Рис. 4.204. £
Дано: ВС = 5 см.
Найти: расстояние от точки В до прямой
АС
2) Рис. 4.205. А60°
Найти: расстояние от точки С до прямой А В
AR
/Ш' Рис. 4.205

240 Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.207
Рис. 4.208
3) Рис. 4.206.
Дано: R= 12 см.
Найти: расстояние от центра окружности до хорды BD.
4) Рис. 4.207.
Дано: a\\b,CD = 6 см.
Найти: расстояние между прямыми а и Ь.
3. Письменно решить задачу. (Один из учащихся по указанию
учителя работает у доски, остальные в тетрадях.)
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и внешнему
углу при вершине острого угла.
Дано (см. рис. 4.208): внешний угол при вершине острого угла,
гипотенуза PQ.
Построить: прямоугольный треугольник.
Построение (см. рис. 4.209):
1) Проведем прямую, отметим на ней точку
В и отложим отрезок ВС, равный PQ.
2) Отложим от луча BD, являющегося
продолжением луча ВС, угол DBM, равный углу hk.
3) Построим прямую, проходящую через
точку С и перпендикулярную к прямой ВМ, и
Рис. 4.209 обозначим буквой А точку пересечения этой
прямой с лучом ВМ. А АВС — искомый.
Доказательство: По построению А АВС — прямоугольный, гипотенуза
2?С равна данному отрезку PQ, а внешний угол ABD построенного
треугольника равен углу hk, то есть А АВС удовлетворяет всем условиям задачи.
III. Самостоятельная работа
(Тетради в конце урока сдать на проверку учителю.)
I уровень
Вариант I
1. В треугольнике ABC Z С= 30°, АС= 10 см, ВС= 8 см. Через
вершину А проведена прямая а, параллельная ВС.
Найдите:
а) расстояние от точки В до прямой АС;
б) расстояние между прямыми а и ВС.
2. Постройте равносторонний треугольник, у которого сторона в два
раза меньше данного отрезка.

Урок 58 Построение треугольника по трем элементам 241
Вариант II
1. В треугольнике ABC ZA = 30°, АС= 12 см, АВ= 10 см. Через
вершину С проведена прямая я, параллельная АВ.
Найдите:
а) расстояние от точки В до прямой АС;
б) расстояние между прямыми а и АВ.
2. Постройте равнобедренный треугольник, у которого боковая
сторона равна данному отрезку, а основание в два раза меньше боковой
стороны.
II уровень
Вариант I
1. В треугольнике МКР сторона МР равна 20 см. Расстояние от точки
А'до прямой МР равно 1/2 КР. Через точку М проведена прямая я,
параллельная КР.
Найдите:
а) Z МРК;
б) расстояние между прямыми а и КР.
2. Даны неразвернутый угол и отрезок. Постройте треугольник, у
которого одна сторона в два раза больше другой и равна данному отрезку, а
угол, заключенный между этими сторонами, равен данному углу.
Вариант II
1. В треугольнике МКР сторона МР~ 16 см. Сторона АР вдвое больше
расстояния от точки К до прямой МР. Через точку Л/проведена прямая Ь,
параллельная КР.
Найдите:
а) Z КРМ;
б) расстояние между прямыми Ь и КР.
2. Даны два острых угла и отрезок. Постройте треугольник, у которого
сторона равна половине данного отрезка, а прилежащие к ней углы -
двум данным углам.
III уровень
Вариант I
1. В треугольнике ABC ZA = 70°, Z В = 80°, BE- биссектриса. Через
точку Е проведена прямая а, параллельная ВС, ЕС = х.
Найдите:
а) расстояние между прямыми а и ВС;
б) расстояние от точки Ецр прямой АВ.
2. Постройте остроугольный равнобедренный треугольник по
основанию и разности двух неравных сторон.
Вариант II
1. В треугольнике ABC ZA= 50°, ZB= 100°, BE- биссектриса. Через
точку £ проведена прямая а, параллельная ВС, ЕС = у.
Найдите:
а) расстояние между прямыми а и ВС;
б) расстояние от точки Ецр прямой АВ.
2. Постройте равнобедренный треугольник по периметру и боковой
стороне.

242
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Домашнее задание
1. Прочитать задачу № 293.
2. Решить задачи № 294, 295, 281.
Урок 59. Решение задач на построение
Цели урока:
1) привести в систему умения и навыки решения задач на
построение;
2) подготовить учащихся к контрольной работе.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Анализ самостоятельной работы
1. Сделать общий анализ самостоятельной работы.
2. Обсуждение принципов решения задач на построение (на доске
подготовить условия всех шести задач на построение и заслушать
учащихся, выполнявших данные задания, - только анализ, без выполнения
самого построения).
3. Работа над ошибками (самостоятельно):
а) найти свои ошибки в решении задачи № 1, используя готовые
ответы, рисунки к задачам и указания;
б) решить правильно задачу Nq 2, если она решена неверно; в случае
верного решения по своему усмотрению перейти к решению
задачи № 2 следующего уровня или дополнительной
задачи.
Ответы и указания к первой задаче
самостоятельной работы:
I уровень
Вариант I
См. рис. 4.210.
а) BD = 4 см;
б) СК = 5 см.
Докажите, что Z САК= 30°.
Вариант II
См. рис. 4.211.
a) BD = 5 см;
Рис. 4.210
10 см
Рис. 4.211
Докажите, что ZACK= 30°.
II уровень
Вариант I
См. рис. 4.212.
а) Z МРК= 30°, так как KD = 1/2 Щ
б) РЕ =10 см.
Докажите, что Z РМЕ= 30°.

Урок 59. Решение задач на постороение
243
Рис. 4.212
Вариант II
См. рис. 4.213.
а) А КРМ = 30°, так как КР = 2 KD;
Докажите, что Z РМЕ= 30°.
III уровень
Вариант I
См. рис. 4.214.
а) ЕК= л/2, так как Z С= 30°;
Докажи, что А ВЕК
// вариант
См. рис. 4.215.
а) £* = у/2, так как Z С= 30°;
Докажите, что А ВЕК= А ВЕМ.
Дополнительные задачи:
Задана I
Дан треугольник ABC (см. рис. 4.216). Постройте треугольник МРК, в
котором МР— 2 АВ, Z М= А А, а высота КЕ равна высоте CD
треугольника ABC.
Построение (см. рис. 4.217):
1) На произвольной прямой а отложим отрезок МР, равный 2 АВ.
2) От луча МР отложим угол РМВ, равный Z А.
3) Построим прямую Ь, удаленную от прямой а на расстояние, равное
CD. Прямая b пересекается с лучом MB в точке К.
В/
D В
Рис. 4.216
Рис. 4.217

244
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.218
Рис. 4.219
Pi-
Si-
-Ю
Рис. 4.220
4) Соединим точки А'и Р отрезком. А МРК— искомый.
Доказательство: В А МРКMP=2AB,ZM=ZA,CD=KE.
Задана 2
Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе,
проведенной к основанию, и углу, противолежащему основанию (рис. 4.218).
Построение (см. рис. 4.219):
1) Построим Z PAK= Z (hk) и проведем его биссектрису AL.
2) На луче AL от точки А отложим отрезок AD, равный PQ.
3) Построим прямую Ь, перпендикулярную прямой AL и проходящую
через точку D (так как биссектриса, проведенная к основанию
равнобедренного треугольника, является его высотой).
4) Ь п АР= С, Ь п АК= В. А ЛВС- искомый.
Доказательство: А ЛВС — равнобедренный, так как АВ = АС из
равенства прямоугольных треугольников ABD и ACD по катету и прилежащему
к нему острому углу.
Биссектриса, проведенная к основанию, равна PQ, а угол,
противолежащий основанию, равен Z (hk).
Задача 3
Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане,
проведенной к другому катету.
Дано (см. рис. 4.220): катет PQ\ медиана 5Т,
проведенная к другому катету.
Построение (рис. 4.221):
1) Построим прямую а и прямую Ь,
перпендикулярную ей и проходящую через произвольную
точку С прямой a(ZC= 90°).
2) На прямой а от точки Сотложим отрезок СВ,
равный PQ.
3) Построим окружность с центром в точке В и
радиусом, равным ST. Окружность пересекается
с прямой Ь в точке М. ВМ— медиана искомого
треугольника.
4) На прямой b отложим отрезок G4, равный
2 см.
В
Рис. 4.221
5) Соединим точки А и В отрезком. А АВС— искомый.

Урок 59. Решение задач на постороение
245
Рис. 4.222
-Ю
Рис. 4.223
Доказательство: A ABC - прямоугольный, в нем Z С = 90° по
построению, катет 2?С равен PQ, медиана ВМравна ST(M- середина АС, так
Задана 4
Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и высоте,
проведенной из вершины прямого угла.
Дано (рис. 4.222): Z (hk) - острый угол, PQ - высота, проведенная из
вершины прямого угла.
Построение (рис. 4.223):
1) Построим ZSAT= Z(hk).
2) Построим прямую а, удаленную от прямой AT на расстояние,
равное PQ, a nAS= С.
3) Построим прямую Ь, перпендикулярную прямой AS и проходящую
через точку С. b п АТ= В. А АВС -
искомый.
Доказательство: А АВС- прямоугольный
(Z С = 90° по построению), в нем ZA =
= Z (hk), а высота CD = PQ.
Задана 5
Постройте остроугольный треугольник по
высоте и двум острым углам, которые эта
высота образует со сторонами треугольника.
Дано (рис. 4.224): Z (hk) и Z (1р) -
острые углы, которые образует высота со
сторонами треугольника, PQ — высота
треугольника.
Построение (рис. 4.225):
1) На прямой а отложить отрезок АН,
равный PQ.
2) От луча АН по разные стороны от него
построить Z НАМ = Z (hk) и Z HAN =
Pi-
Рис. 4.224
3) Провести прямую Ь,
перпендикулярную прямой а и проходящую через точку Н.
N
рис

246
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.226
Рис. 4.227
4) b n АМ= B,bn AN= С. А ЛВС- искомый.
Доказательство: В А ЛВС АН- высота по построению (a J_ b) и АН=
= PQ. Острые углы, которые образует высота АН со сторонами АВи АС
треугольника ABC, равны Z (hk) и Z (/?/) соответственно.
Задача 6
Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу,
противолежащему этому основанию.
Дано (рис. 4.226): Z (hk) — угол, противолежащий основанию; PQ -
основание.
Построение (рис. 4. 227):
1) Построим ZMAN= Z(hk).
2) Построим биссектрису AL угла MAN.
3) Построим прямые аи Ь, удаленные от прямой AL на расстояние,
равное 1/2 PQ, и расположенные по разные стороны от нее.
4) AM п а = В, AN п Ь= С. Соединим точки В и С отрезком. А АВС
— искомый.
Доказательство: а \\ AL, тогда Z 1 = Z2; b || AL, тогда Z3 = Z4.
Так как Z2 = Z4, то Z 1 = Z3, a ZABC= ZACB, отсюда ААВС-
равнобедренный.
Z BAC= Z (hk) по построению, ВС = PQ, так как а \\ Ь, а прямые д и £
удалены на расстояние, равное PQ.
Домашнее задание
I уровень - решить задачи № 315 (а, б, в), 314.
II уровень - решить задачи № 315 (а, г, е), 317.
Урок 60. Решение задач.
Подготовка к контрольной работе
Цели урока:
1) закрепить знания, умения, навыки по темам «Прямоугольные
треугольники» и «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между
параллельными прямыми»;
2) подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе.

Урок 60. Решение задач Подготовка к контрольной работе
247
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Проверка домашнего задания. Повторение
1. Проверить решение домашних задач № 315, 317.
(Решения задач попросить двух учащихся подготовить на доске до
начала урока.)
Задана № 315
Решить задачу полуустно (объяснить принцип построения с помощью
схематических рисунков).
Построение:
1) Построить прямоугольный треугольник, в котором один из катетов
в два раза меньше гипотенузы.
2) То же, что и в 1).
3) Построить угол в 30° и провести его биссектрису.
4) Построить угол в 60° (см. 2) и угол, смежный с ним.
5) Построить угол в 90° и его биссектрису. Далее построить угол,
равный сумме углов в 90° и в 45°.
Задана № 317
Построение (см. рис. 4.228):
1) Построить биссектрисы углов ВАСи ВСА. К- точка пересечения
биссектрис.
2) Через точку К провести прямую, параллельную прямой АС,
которая пересекает АВ и ВС в двух точках, DnE.
Отрезок DE — искомый.
Доказательство: AADK— равнобедренный, так как Z 1 = Z2 (АК —
биссектриса), Z 2 = Z 3 (AC || DK), тогда Z 1 = Z 3, AD = DK.
Z 4 = Z 5 (СК- биссектриса), Z 4 = Z 6 (АС\\
|| DK), тогда Z 5 = Z 6, А КЕС —
равнобедренный, КЕ = ЕС.
DE=DK+ KE = AD+ EC
2. Решение задач на готовых чертежах на
повторение свойств прямоугольных треугольников,
признаков равенства прямоугольных
треугольников, расстояния между параллельными
прямыми и расстояния от точки до прямой —
самостоятельно с последующей проверкой (в
тетрадях записать только ответы задач, рисунки к
задачам и их условия подготовить заранее на
доске или раздать на каждую парту).
1) Рис. 4.229.
Найти: Z ВЕА, СЕ, АС
(Ответ: Z ВЕА= 120°, СЕ= Зсм,ЛС=9см.)
2) Рис. 4.230.
Найти: AD, AB.
(Ответ: AD = 4 см, AB=S см.) Рис. 4.229
Рис. 4.228
В

248
Глава IV. Соотношения между аоронами и углами треугольника
С Зсм А
Рис. 4.232
к8см
18 см
Рис. 4.238
Рис. 4.235
3) Рис. 4.231.
Найти: ЛВ, Z BCM, ZAMC.
(Ответ: АВ = 12 см, Z ВСМ = 40°,
ZAMC=S0°.)
4) Рис. 4.232.
Найти: ZA,AB.
(Ответ: ZA = 60°, АВ=6 см.)
5) Рис. 4.233.
Найти: АС.
(Ответ: АС = 8,5 см.)
6) Рис. 4.234.
Найти: DC, AC
(Ответ: DC = 4 см, АС= 12 см.)
7) Рис. 2.235.
Дано: а \\ Ь.
Найти: расстояние между прямыми а и Ь.
(Ответ: 10 см.)
8) Рис. 4.236.
Найти: расстояние от точки А до
прямой а.
(Ответ: 9 см.)
9) Рис. 4.237.
Найти: расстояние от точки К до
прямой а.
(Ответ: 2 см.)
10) Рис. 4.238.
Укажите равные треугольники.

Урок 60. Решение задач. Подготовка к контрольной работе
249
Найти: /.BCD.
(Ответ\ ААВС= AADC, ZBCD = 130°.)
11) Рис. 4.239.
Укажите равные треугольники.
Найти: ZEAD, ZAED.
(Ответ: AABD = A DCA, ZAED= 110°,
ZEAD= 35°.)
12) Рис. 4.240.
Укажите равные треугольники.
Найти: АВ.
(Ответ: А АВМ= А СВМ, АВ=6 см.)
13) Рис. 4.241.
Дано: CL - биссектриса.
Найти: ZA, Z В.
(Ответ: ZA = 25°, ZB = 65°.)
14) Рис. 4.242.
Дано: СМ— медиана.
Найти: ZA, ZB.
(Ответ: ZA = 35°, ZB= 55°.)
15) Рис. 4.243.
Дано: Z\: Z2 = 2:3.
Найти: ZA, ZC
(Ответ: ZA = 72°, ZB=\S°.)
3. Проверка ответов к задачам на готовых
чертежах.
Учащимся, более подготовленным, чем
остальные, предложить проверить задачи
самостоятельно по готовым ответам, исправить
ошибки, а затем перейти к решению
дополнительных задач.
При проверке задач наиболее слабо
успевающим учащимся можно задавать,
например, такие вопросы:
- Объясните, почему Z ВЕА = 120°, СЕ=
= 3 см, АС = 9 см? Определите вид
А ВСЕ, А ВАЕ. Почему, если АС= 9 см,
СЕ= 3 см, то АЕ= 6 см?
Почему AD = 4 см? Что вы можете
сказать о A CDA1 Докажите, что AD = BD.
3 см
Рис. 4.240
Рис. 4.241
Рис. 4.242
Рис. 4.243
И так далее. Для большинства учащихся этих задач хватит на всю
оставшуюся часть урока, а тем, кто успешно их решит, можно предложить
дополнительные задачи.
III. Решение дополнительных задач
Задача 1
На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC взята точка Е, а
внутри треугольника - точка D. Перпендикуляр ЕМ к прямой АС делит

250 Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
катет АС пополам, Z В = 45°, Z CDA = 90°, Z DCA = 60°. Докажите, что
ЕМ= DC
Задача 2
В треугольнике ABC высоты ААХ и ССХ равны, АСХ = ВАУ Найдите угол В.
Задача 3
Из точки А к некоторой прямой проведены наклонные АВ и АС и
перпендикуляр AD так, что точка С является серединой отрезка BD. Может
ли выполняться неравенство АВ > 2 АС?
Домашнее задание
Решить задачи № 308, 309, 315 (ж), (з), (и).
Урок 61. Контрольная работа №5
по теме «Прямоугольный треугольник.
Построение треугольника по трем элементам»
(см. Приложение 1)
Урок 62. Работа нал ошибками
Цели урока:
1) совершенствование навыков решения задач;
2) устранение пробелов в знаниях учащихся;
3) развитие навыков самопроверки выполненных работ, умения
находить свои ошибки.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Общий анализ контрольной работы
1. Общее впечатление о выполненной работе.
2. Решение (или обсуждение) задач, с которыми не справились
большинство учащихся.
3. Демонстрация лучших работ.
III. Работа над ошибками
1. Найти свои ошибки в решениях задач и устранить их, используя
готовые ответы и указания.
2. Решить задачи одного из вариантов
следующего уровня. Если ученик выполнял контрольную
работу III уровня, решить дополнительные задачи.
Ответы и указания к задачам контрольной работы
I уровень
Вариант I
В 4 А 1. ZADB= Z CBD= 15е, значит, AD\\ ВС
2. Рис. 4.246.
Рис. 4.246 ^ = 4 см.

Урок 62. Работа над ошибками
251
А М В
Рис. 4.247
С
В
Рис. 4.248
10 В
Рис. 4.249
А М В
Рис. 4.250
Рис. 4.251
В
3. Рис. 4.247.
АВ — основание, Л/С — высота и медиана, АМ= MB, MC _L AB.
Постройте А АВС.
4*. Рис. 4.248.
Постройте прямоугольный А АВС, в котором АВ =2 АС, тогда Z В =
30°, a ZABD= 150°.
Вариант II
1. Z OAD = Z ОЯС = 70°, значит, AD || ЯС
2. Рис. 4.249.
Z CAB = 60°. х
3. Рис. 4.250.
АВ — основание, Л/С — медиана и высота, Л/С _1_
1 АВ,АМ=МВ.
Постройте А АВС.
4*. Рис. 4.251.
Постройте прямоугольный А АВС, в котором
ЛД = 2 АС, тогда Z 5 = 30°. 5/) 1 АВ, тогда
ZCBD= 120°.
Рис. 4.253
Вариант I
1. Рис. 4.252.
Докажи, что A MOF= А Л/0#, тогда OF= 9 см.
2. Рис. 4.253.
Рис. 4.254
3. Рис. 4.254.
АВ - гипотенуза, Z А - данный острый угол.

252
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Рис. 4.255
Рис. 4.256
Рис. 4.257
15°
Рис. 4.258
Рис. 4.259
Рис. 4.260
Построй прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через
точку В.
4*. Рис. 4.255.
АС= 2 СВ, тогда Z САВ= 30°, ZEAD= 15° 4- 90° = 105е.
Вариант II
1. Рис. 4.256.
Докажи, что A CEF= A KEF, тогда FK= 13 см.
2. Рис. 4.257.
2х - х = 15 см, ЛВ = 30 см.
3. Рис. 4.258.
ЛВ— катет, Z Л—прилежащий к нему острый угол.
Построй прямую, перпендикулярную АВ и
проходящую через точку В.
4*. Рис. 4.259.
АС =2 СВ, тогда ZCAB= 30°, Z EAD = 180° -
- 15° = 165°.
Ill уровень
Вариант I
1. Рис. 4.260.
ZA+ ZC= 90°. 1/2 ZA + 1/2 Z С= 45°.
Z/40C= 180° -45° =135°.
2. Рис. 4.261.
BD=DC= 8 см, АС= 12 см, /Ж= 4 см.
3. Рис. 4.262.
ВН — высота, ВС — катет, а — прямая, на
которой лежит гипотенуза. Построй второй катет и ги-
Рис. 4.262 потенузу.
30

Урок 62. Работа над ошибками
253
Рис. 4.263
Рис. 4.264
В С
Рис. 4.265
4*. 67°30' = 3/4 прямого угла. 90°: 4 • 3 = 67°30'.
Вариант II
1. Рис. 4.263.
ZB=90°. 1/2 ZA + 1/2 ZB = 45°.
= 180°-45° =135°.
2. Рис. 4.264.
A BDC - равносторонний, тогда A ABD - равнобедренный, BD = AD =
= 5см,ЛС= 10 см, /Ж=2,5см.
3. Рис. 4.265.
ВС - катет, BL - биссектриса прямого угла,
а - прямая, на которой лежит второй катет (а _1_
1 ВС). Построй гипотенузу и второй катет.
4*. 11Г30' = 90° + 22*30', 22°30' = 1/4
прямого угла.
Дополнительные задачи:
Задана 1
Через точку К, взятую на стороне
АВтреугольника ЛВС, проведена прямая, перпендикулярная
АВ и пересекающая сторону АС в точке D.
Известно, что Z KDB = Z KDA, АС = 30 см,
ВС= 15 см.
Найдите периметр треугольника ВВС.
Решение (см. рис. 4.266): A ADK= A BDK по
катету и прилежащему к нему острому углу,
тогда AD= BD.
PBDC = BD+ DC+ CB=(AD+ DQ + СВ =
= АС+ СВ = 30 см + 15 см = 45 см. (Ответ:
/>bdc = 45cm.)
Задача 2
Докажите, что биссектриса угла А
треугольника ABC проходит через точку пересечения
прямых, содержащих биссектрисы внешних углов
при вершинах В и С.
Доказательство (см. рис. 4.267): ВО и СО —
биссектрисы Z МВС и Z РСВ соответственно.
А К В
Рис. 4.266

254
Глава IV. Соотношения между аоронами и углами треугольника
Рис. 4.269
Рис. 4.268
Докажем, что АО — биссектриса Z ВАС. Проведем ОМ _1_ АВ, ОК 1
± ВС, ОР 1 АС, тогда А ВОМ= А ВОК, А СОК- А СОРпо гипотенузе
и острому углу. Следовательно, ОМ= ОК= ОР.
А АОМ= А АОРпо катету и гипотенузе, отсюда Z МАО = Z РАО, то
есть АО — биссектриса Z ВАС
Задана 3
Рис. 4.268.
Дано: точки Л/и Г равноудалены от прямой РК, Z KMT— Z РТМ.
Доказать: АРМК= А РКТ.
Доказательство (см. рис. 4.269): Z KMT = Z РТМ, тогда Z ЕМК =
= Z 5TP, значит, А ЕМК— A STP по катету и прилежащему к нему
острому углу, следовательно, Z M£P= Z 7Ж, а .ШГ= 77*
А РМК= А КТР по двум сторонам и углу между ними.
Домашнее задание
Повторить главу I, вопросы 1—21.

ГЛАВА V
ПОВТОРЕНИЕ
(уроки 63-68)
Основная цель — систематизация знаний и умений, навыков
учащихся, приобретенных в процессе изучения тем курса геометрии VII класса.
Основное внимание на этих уроках следует уделить формированию у
учащихся умения применять приобретенные знания, умения, навыки в
комплексе, решению задач повышенной сложности с одаренными
учащимися.
Повторение курса геометрии VII класса организовано следующим
образом:
Урок 63. «Измерение отрезков и углов. Длина отрезка и ее свойства.
Величина угла и ее свойства. Смежные и вертикальные углы.
Перпендикулярные прямые».
Урок 64. «Треугольник. Признаки равенства треугольников.
Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Равнобедренный, равносторонний треугольник и их свойства».
Урок 65. «Признаки параллельности прямых. Аксиома параллельных
прямых. Свойства параллельных прямых».
Урок 66. «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами
и углами треугольника. Неравенство треугольника. Прямоугольный
треугольник и его свойства. Признаки равенства прямоугольных
треугольников. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между
параллельными прямыми».
Урок 67. «Основные задачи на построение с помощью циркуля и
линейки. Построение треугольника по трем элементам. Более сложные
задачи на построение».
Урок 68. «Итоговая контрольная работа или итоговый контрольный
тест».
На повторение отведено 6 часов.
Урок 63. Повторение темы
«Начальные геометрические сведения»
Цели урока:
1) привести в систему знания, умения, навыки учащихся по теме;
2) совершенствовать навыки решения задач.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

256 Глава V. Повторение
II. Игра (проверка теоретических знаний)
Оборудование:
доска; мел; карточки с вопросами для повторения к первой главе (стр.
25—26) — всего 21 вопрос по одному на карточку.
Условия игры:
1. Класс делится на три команды (I, И, III ряд), выбирается капитан
команды и ее учетчики.
2. Перед тем, как вытянуть одну из приготовленных карточек,
капитан команды называет фамилию и имя члена команды, который будет
отвечать. При этом отвечающие каждый раз должны быть разными.
3. Если назначенный ученик дал верный ответ на вопрос — команда
получает 2 балла, если нет - на помощь приходит команда, но в этом
случае команде начисляется только 1 балл. Если команда не смогла
ответить, отвечает та команда, которая первая изъявила желание, и
получает 1 балл.
4. Карточки капитаны команд вытягивают друг за другом по очереди,
учетчики ведут учет общего количества баллов, заработанных каждым
членом команды.
5. Количество баллов, заработанных каждой командой, учитывается
на доске и подсчитывается учителем.
6. Команде-победителю дается право поставить членам своей
команды две «пятерки» и две «четверки» в зависимости от количества баллов,
набранных учащимися; команде, занявшей второе место — одну
«пятерку» и одну «четверку»; команде, занявшей третье место — две «четверки».
III. Решение задач по готовым чертежам (самостоятельная работа)
1. Ко всем задачам написать ответы в тетрадях, рассуждения можно
вести устно или на черновике.
Задана 1
Рис. 5.1.
Дано:АВ:ВС = 4 : 3, АС= 21 см.
Найти: АВ, ВС.
Задана 2
Рис. 5.2.
Дано: СВ на 3 см меньше, чем АС; АВ = 15 см.
Найти: АС, СВ.
Задана 3
Рис. 5.3.
Дано:АВ = 12 см, АМ= 8 см, BN= 10 см.
Найти: MN.
Задана 4
Рис. 5.4.
Дано: М- середина АВ, АВ = 20 см.
Найти: АК.
w _ Задана 5
К В Рис. 5.5.
Рис. 5.5 Дано: 1/3 АК = 1/4 ВК, АВ=\4 см.
А
А
А
А
В
Рис. 5.1
С
Рис. 5.2
N М
Рис. 5.3
М К
Рис. 5.4
С
В
В
В

Урок 63. Повторение темы «Начальные геометрические сведения»
257
Найти: АК, ВК.
Задана б
Рис. 5.6.
Дано: АВ = 30 см.
Найти: СЕ.
Задана 7
Рис. 5.7.
Дано: ZAOB= 125°, ZAOD=3\\ Z COB=42°.
Найти: Z DOC.
Задана 8
Рис. 5.8.
Дано: ZAOC в два раза больше ZBOC,
ZAOB= 120°.
Найти: ZAOC, ZBOC
Задана 9
Рис. 5.9.
Дано: ZBOC= 63°, ZAOD= 57°, ZAOB=S5°.
Найти: Z DOC.
Задана 10
Рис. 5.10.
: ZBOC- ZAOC= 18°,
С D Е В
Рис. 5.6
Рис. 5.11.
Дано: ZAOE=U6°.
Найти: ZBOD.
Задана 12
Рис. 5.12.
Дано: Z\: Z2 = 4:5.
Найти: Z 1, Z 2.
Jadew /i
Рис. 5.13.
Дшю: Z 1 = 0,8- Z2.
Найти: Z 1, Z2.
Рис. 5.14.
Найти: Z 1, Z 2.
Рис. 5.15.
Найти: Z 1, Z2, Z3.
с. 5.70
Рис. 5.8
О А
Рис. 5.9
Рис. 5.12
Рис. 5.13
Рис. 5.14

258
Глава V Повторение
Рис. 5.16
Рис. 5.17
Рис. 5.18
М
Рис. 5.19
3.
4. АК= 15 см.
5.Л*=6см, М=8см.
6. С£=15см.
7. ZDOC= 52°.
8. ZAOC=W, ZBOC= 40°.
9. ZDOC = 35°.
10. Zy40C= 26°, ZBOC= 44°.
11. ZBOD=5S°.
12. Zl = 80°, Z2=100e.
13. Zl = 80°, Z2=100\
14. Zl=42°, Z2=138°.
15. Zl = 110°, Z2 = 30e, Z3 = 40°.
16. Z 1 = 50°, Z 2 = 130°, Z 3 = 50°.
17. Zl=40e, Z3 = 140°.
18.yiC= 13,2 см или АС= 8,4 см.
19. Zy4OC= 131° или ZAOC= 39°.
Задача 16
Рис. 5.16.
Zl+Z2+Z3 = 230°.
: Zl, Z2, Z3.
/7
Рис. 5.17.
Дано: Z 1 + Z 2 на 60° меньше, чем Z 3.
Найти: Z 1, Z3.
Дано: А, В, С лежат на одной прямой,
ЛЯ =10,8 см, ЯС=2,4см.
Найти: АС.
Задача 19
Дано: Z АОВ = 46°, Z ВОС = 85°.
Найти: ZAOC
Задача 20
Рис. 5.18.
Дано: Z2- Z 1 = 38°.
Найти: Z3, Z4.
Задача 21
Рис. 5.19.
Дано:АВ=5 см, AM1 - MW = 5.
Найти: AM, ВЫ.
IV. Самопроверка решений задач по готовым
ответам
Ответы к задачам для самопроверки:
\.АВ=16см9ВС=9см.
2. АС=9 см, #С=6см.

Урок 64. Повторение темы «Признаки равенства треугольников. . .»
259
20. Z3 = 71°, Z4=109°.
2\.АМ=Зсм, ВМ= 2 см.
Домашнее задание
Повторить главу II (§1, §2, §3 без доказательств), вопросы 1—15.
Iуровень: написать подробное решение к задачам № 3, 10, 16, 20.
IIуровень: решить задачи № 324, 325, 327.
Урок 64. Повторение темы «Признаки равенства
треугольников. Равнобедренный треугольник»
Цели урока:
1) систематизировать знания, умения, навыки учащихся по данной
теме;
2) совершенствовать навыки решения задач по теме «Признаки
равенства треугольников. Равнобедренный треугольник».
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Актуализация знаний учащихся
I уровень — теоретический тест
с последующим обсуждением ответов (самостоятельно)
Учитель по своему усмотрению может раздать на каждую парту
обобщающие таблицы №1.
1. Рис. 5.20.
Для доказательства равенства А АВСи А /)£/достаточно доказать, что:
&)AB=DF\ 6)AC=DE; b)AB=DE.
2. Рис. 5.21.
Для доказательства равенства А АВСи А £/)/достаточно доказать, что:
a)ZA=ZD; 6)ZB=ZD; b)ZA=ZE.
3. Рис. 5.22.
Из равенства А АВС и A FDE следует, что:
a)AB=FD; 6)AC=DF; b)AB=EF
4. Рис. 5.23.
Из равенства А АВС и A DEF следует, что:
a)ZB=ZD; 6)ZA=ZE; b)ZC=ZF

250 Глава V. Повторение
Е
Рис. 5.23
5. В A ABC все стороны равны, и в A DEFвсе стороны равны. Чтобы
доказать равенство А ЛВС и A DEF, достаточно доказать, что:
a) Z5= ZD; 6)AB=DE; в) Рж = PDEF.
6. «Медиана в равнобедренном треугольнике является биссектрисой
и высотой». Это утверждение:
а) всегда верно;
б) всегда неверно;
в) может быть верно.
7. В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на
два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
8. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник:
а) равнобедренный;
б) равносторонний;
в) прямоугольный.
9. Если треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный;
б) все его углы равны;
в) любая его биссектриса является его медианой и высотой.
IIуровень — обсуждение домашних задач № 324, 325, 327.
Задана № 324
Решение: Прибавим Z hk к обеим частям равенства Zhk+ Z hl= 180°,
тогда 2ZM+ Z hi = 180° + Z hk, 2 Z hk = 180° - Z hi + Z hk,
Zhk = 90° - 1/2 (Z hi- Z hk).
Если прибавить к обеим частям равенства Zhk+ Z hi = 180е еще Z hi,
то получим Z hi = 90° + 1/2 (Z hi - Z hk).
Задача № 325
Решение. Сумма пяти данных углов равна сумме пяти равных им
вертикальных углов. Сумма всех десяти углов равна 360°, поэтому сумма пяти
углов равна 180°.
Задача № 327
Доказательство (см. рис. 5.24): Предположим, что не все точки лежат
на одной прямой. Пусть какие-то три данные точки Аг А2, Аъ не лежат на
одной прямой; пусть АХА2 = а, АХАЪ = Ь, А7АЪ = с.

Урок 64. Повторение темы «Признаки равенства треугольников. ...»
261
По условию задачи на прямых а, Ъ,
с лежит еще по одной данной точке,
пусть это соответственно точки А4, А5,
А6. Все эти шесть точек различны,
поэтому никакая другая точка данной уже
не является.
На прямой d=АуА4 лежат только две а
точки, что противоречит условию.
Следовательно, Av А2, А^ лежат на одной
прямой, аналогично на ней лежит и
каждая из остальных точек.
Далее проводится проверка ответов теста с их
обсуждением. В этом виде работы участвует весь класс.
Ответы к тесту:
1 в); 2 в); 3 а); 4 в); 5 б), в); 6 в); 7 б); 8 а); 9 а),
б), в).
III. Решение задач
Запишите кратко решение задач 1—6:
1. Рис. 5.25.
Доказать: DB - биссектриса ZADC.
2. Рис. 5.26.
Доказать: О — середина АВ.
3. Рис. 5.27.
Дано: С - середина АЕ, ВС + CD =10 см.
Найти: ВС
4. Рис. 5.28.
Доказать: ВС = DC
5. Рис. 5.29.
Доказать: ВЕ=АС, ED = DC.
6. Рис. 5.30. в
Дано: ААВЕ = A CDF.
Доказать: ААВС = A CDA, ABEC= A DFA.
Запишите только ответы в задачах 7—12.
7. Дано: А АВС - равнобедренный, АВ + ВС =
= 26 см, ^ = 36 см.
Найти: АВ, ВС, АС
Рис. 5.24
Рис. 5.26
Рис. 5.28
Рис. 5.29
Рис. 5.30

262
Глава V. Повторение
А С
Рис. 5.33
Рис. 5.34
А Е DC
Рис. 5.36
Рис. 5.37
Рис. 5.38
8. Рис. 5.31.
Найти: ZBFC.
9. Рис. 5.32.
Найти: ZAFD.
10. Рис. 5.33.
Найти: ABAC.
с 11. Рис. 5.34.
Найти: АВ.
12. Рис. 5.35.
Найти: A ABC, ZAA{B.
Запишите подробно решение задач 13-15.
13. Рис. 5.36.
Доказать: А АВС — равнобедренный.
14. Рис. 5.37.
Дано: ВС = Ш
Доказать: АВ = CD.
15. Рис. 5.38.
Доказать: BD _1_ АС.
Домашнее задание
Повторить главу III, вопросы 1—15.
Не все учащиеся на уроке успеют решить все задачи, поэтому дома
нужно продолжить решение задач.
Дополнительные задачи: № 328-332 на выбор учащихся.

Урок 65. Повторение темы «Параллельные прямые» 263
Урок 65. Повторение темы «Параллельные прямые»
Цели урока:
1) привести в систему знания, умения, навыки по теме
«Параллельные прямые»;
2) совершенствовать навыки решения задач.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Актуализация знании учащихся
1. Тест на проверку теоретических знаний (самостоятельно) с
последующим обсуждением. Пока учащиеся решают тест, учитель может
индивидуально или, объединяя учащихся в небольшие группы, беседовать
по решению задач № 328—332 в зависимости от того, какие задания
вызвали затруднения.
Учитель по своему усмотрению может раздать менее подготовленным
учащимся обобщающие таблицы №2.
Задания теста:
1. Если a _L с, Ь JL с, то:
а) а || Ь\ б) a J_ b\ в) ответы а и б неверны.
2. Если а || с, b || с, то:
a) a L Ь\ б) а || Ь; в) ответы а и б неверны.
3. Рис. 5.39.
Если а || Ь, с - секущая, то:
a) Z2+ Z3 = 180°; б) Z5= Z2; в) Z 1 + Z3 = 180°.
4. Рис. 5.40.
Для того, чтобы прямые а и b были параллельными, нужно, чтобы:
a) Z1+ Z4= 180°; 6)Z1=Z2; b)Z3=Z2.
5. Рис. 5.41.
PR || QD, так как:
a)Z3=Z7; 6)Z8=Z4; b)Z2=Z6.
6. Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей
равен 52°. Остальные углы равны:
а) 52° и 132е; б) 52° и 128°; в) 52°.
7. Известно, что MyN,Pe jc, MN\\ x, NP\\ x. Тогда:
а) MN\\ NP;
б) MN совпадает с NP;
в) MN n NP.
Рис. 5.40

264
Глава V. Повторение
8. Прямая АВ пересекает параллельные прямые РК и MN (A e РК, В е
е MN). Сумма углов РАВ и МВА равна 116°. Какие из следующих
высказываний верны?
а) Точки К и М лежат в одной полуплоскости относительно прямой
АВ;
б) Точки Р и N лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой АВ;
в) Сумма углов РАВ и NBA равна 180°.
9. Прямая MN является секущей для прямых АВ и CD (М е АВ,
N е CD). Угол AMN равен 78°. При каком значении угла CNM прямые
АВ и CD могут быть параллельны?
а) 102°; б) 12°;
в) 78°; г) 78° и 102°.
Ответы к тесту:
1 а); 2 б); 3 в); 4 в); 5 в); 6 б); 7 б); 8 а), в); 9 г).
Решения задач № 328-332:
Задача № 328
Доказательство (см. рис. 5.42): Пусть О — середина отрезка АВ.
Тогда ААОСХ = A BOCV откуда ZAOC2 =
= Z ВОС2. Следовательно, Z С, ОС2 = Z АОСХ +
+ ZAOC2= ZAOCX + (180°- ZBOC2)= 180°,
т.е. ОСХ и ОС2 лежат на одной прямой.
Задача № 329
Доказательство (см. рис. 5.43): Пусть в
треугольниках ABC и AxBj С, ZA= ZAVAC=AXCV
АВ+ ВС = АХВХ + ВХСХ. На продолжениях
сторон АВ и АХВХ отложим отрезки BD = ВС и Вх Dx
= вхсг
Тогда AACD= AAXCXDV откуда ZD =
= ZDV ZACD= ZAXCXDV
В треугольниках BCD и BXCXDX Z BCD =
= ZDn ZBxCxDx= ZDv тогда ZBCD =
= ZBXCXDV& ZACB= ZAxCxBy
Следовательно, AABC= A Ax Bx С, по
стороне и прилежащим к ней углам.
Задача № 330
Решение (рис. 5.44): В А АВС АС = СВ > АВ,
тогда между Ви С существует точка D такая,
что AD = АВ. Тогда A ABC ± A ABD, хотя они
и удовлетворяют всем условиям задачи.
(Ответ: могут.)
Задача № 331
Решение (рис. 5.45): Если в А АВС АС = ВС,
a D — точка на продолжении стороны АВ, то
A ADC Ф A BDC, хотя они и удовлетворяют
рис 5 44 всем условиям задачи. (Ответ: могут.)
В
Рис. 5.42
Рис. 5.43

Урок 65. Повторение темы «Параллельные прямые»
265
Рис. 5.46
N
'60°
"а а
110°
м
Задана № 332
Доказательство (рис. 5.46): Л DBO = А САО, так как они
равнобедренные с равными боковыми сторонами и равными углами при
основании (углы при вершине Z Я = Z Л = 180° - 2 Z BOD = 180° - 2 Z А ОС),
значит, DO^ ОС.
III. Решение задач m
Задана 1 я 47°Х
Рис. 5.47.
Найти: параллельные прямые.
(Ответ: а\\с.)
Задана 2
Рис. 5.48.
Найти: параллельны ли прямые а и Ь.
(Ответ: да.)
Задана 3
Рис. 5.49.
Найти: параллельны ли прямые аи Ь.
(Ответ: нет.)
Задана 4
Рис. 5.50.
Дано: а || Ь.
Найти: Z 1, Z 2.
(Ответ: Z 1 = 100°, Z 2 = 80е.)
Задана 5
Рис. 5.51.
Дано: а || Ь.
Рис. 5.47
М
Рис. 5.48
h
\
Рис. 5.49
Рис. 5.50
Рис. 5.51

266
Глава V. Повторение
Рис. 5.52
Рис. 5.53
Рис. 5.55
V55'
Рис. 5.56
Рис. 5.57
Рис. 5.58
Найти: Z 1, Z 2.
(Ответ: Z 1 = 50°, Z2 = 130°.)
Задана б
Рис. 5.52.
Найти: Z 1, Z 2.
Г (Ответ: Z 1 = 130°, Z 2 = 50°.)
Задана 7
Рис. 5.53.
Найти: Z 1, Z2.
(Ответ: Z 1 = 70°, Z2 = 70°.)
Задана 8
Рис. 5.54.
Найти: Z 1.
(Ответ: Z1 =76°.)
Рис. 5.55.
Найти: Z 1.
(Ответ: Z1 =34°.)
Задана 10
Рис. 5.56.
Найти: Z3.
(Ответ: Z3 = 80°.)
Задана 11
Рис. 5.57.
Яш/mw: /.МОЕ.
(Ответ: /МОЕ =90°.)
Задана 12
Рис. 5.58.
Найти: параллельны ли ЛВ и СЕР.
(Ответ: да.)
Задача 13
Рис. 5.59.
Дшю: а || £, /)£- секущая, DE= 3,9 см.
Найти: MN.
(Ответ: MN= 7,8 см.)

Урок 65. Повторение темы «Параллельные прямые»
267
Задана 14
Рис. 5.60.
Дано: Z 2 - Z 1 = 44°.
Найти: Z 1, Z2.
(Ответ: Z 1 = 68°, Z2 = 112°.)
Задача 15
Рис. 5.61.
Найти: Z ABC. puc 5 62
(Ответ: ZABC=5%°.)
Задана 16
Рис. 5.62.
Найти: Z EMN.
(Ответ: ZEMN= 106°.)
Задана 17
Рис. 5.63.
Дано: ZABD: ZDBK= 1 : 2, DB\\ EC.
Найти: ZECP.
(Ответ: ZECP= 150°.)
Задача 18
Рис. 5.64.
Найти: ZACK.
(Ответ: ZACK=U°.)
Примечание: учащиеся за урок могут не решить все
задачи. В зависимости от уровня класса можно отобрать
нужное количество задач.
М
Рис. 5.63
К
Рис. 5.64
Домашнее задание
1. Повторить главу IV (§ 1, 2, 3), вопросы 1—18 (без доказательства).
2. Записать полное решение:
Iуровень — к задачам № 7, 12, 15;
IIуровень — к задачам № 16, 17, 18.
3. Дополнительные задачи: № 333, 335, 337.

268
Глава V. Повторение
Урок 66. Повторение темы «Соотношения между
сторонами и углами треугольника»
Цели урока:
1) систематизировать знания, умения, навыки учащихся по теме
урока;
2) совершенствовать навыки решения задач.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Устный математический диктант
(Тексты раздать учащимся, работает весь класс, учащиеся по очереди
читают текст, по своему усмотрению учитель до начала математического
диктанта может дать 2—3 минуты на повторение теории, используя
обобщающие таблицы №3.)
Закончите предложения:
Сумма углов треугольника равна.... Треугольник, у которого есть
прямой угол, называется .... Гипотенузой прямоугольного треугольника
называется ..., другие стороны называются .... Треугольник, в котором все
три угла острые, называется.... Треугольник, в котором один угол тупой,
называется ....
Угол, смежный с внутренним углом треугольника,
называется .... Внешний угол треугольника равен ....
В треугольнике против большего угла лежит... сторона, а против
большей стороны лежит ... угол. В прямоугольном треугольнике ... больше
катета. Если два угла треугольника равны, то треугольник.... Каждая
сторона треугольника меньше ....
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна ....
Катет прямоугольного треугольника,..., равен
половине гипотенузы. Если катет прямоугольного
треугольника ..., то угол ... равен 30°.
Признак равенства прямоугольных
треугольников по двум катетам гласит: .... По признаку
равенства прямоугольных треугольников по катету
и прилежащему к нему острому углу .... Если
гипотенуза и острый угол одного прямоугольного
треугольника .... Это утверждение называют ..., а
утверждение «Если гипотенуза и катет одного
прямоугольного треугольника...» называют....
III. Решение задач на готовых чертежах
Рисунки начертить в тетрадях и на них
записать промежуточные результаты. Записать ответы.
Задана 1
Рис. 5.65.
Рис. 5.66 Дано: АС— 50°, ZAhsl 20° больше Z В.
Рис. 5.65
В

Урок 66. Повторение темы «Соотношения между сторонами ...»
269
Рис. 5.67
Найти: ZA, ZB.
{Ответ: ZA = 15\ ZB = 55°.)
Задача 2
Рис. 5.66.
Дано: ZA: ZB: ZC = 11:4:3.
Найти: ZA, ZB, ZC.
{Ответ: ZA= \\0\ ZB = 40°, ZC= 30°.)
Задана 3
Рис. 5.67.
Дано: ZAb 1,5 раза меньше ZВ.
Найти: ZA, ZВ.
{Ответ: ZA = 36°, ZB= 54°.)
Задача 4
Рис. 5.68.
Найти: ZA, ZC.
{Ответ: ZA = 65°, ZC= 65°.)
Задана 5
Рис. 5.69.
Найти: ZACD.
{Ответ: ZACD= 140°.)
Задана 6
Рис. 5.70.
Найти: ZB.
{Ответ: ZB= 70°.)
Задана 7
Рис. 5.71.
Найти: АС.
{Ответ: АС = 15.)
5 С
Рис. 5.71
Рис. 5.72
Рис. 5.72.
Найти: АВ.
{Ответ: АВ= 16.)
Задача 9
Рис. 5.73.
£ — биссектриса.
Рис. 5.73

270
Глава V Повторение
А С
Рис. 5.74
A F С
Рис. 5.75
Рис. 5.76
Рис. 5.77
Рис. 5.78
Рис. 5.80
Найти: ZA, ZB.
(Ответ: ZA = 65°, ZB= 25\)
Задана 10
Рис. 5.74.
Дано: АВ = ВС.
Найти: ZB.
(Ответ: ZB = 40е.)
Задана 11
Рис. 5.75.
Найти: Z DFE.
(Ответ: ZDFE= 130°)
Задана 12
Рис. 5.76.
Найти: Z BAD.
(Ответ: Z BAD =50°)
Задана 13
Рис. 5.77.
Дано: СЕ - медиана.
Найти: ZA, Z В.
(Ответ: ZA = 53°, Z£=37°.)
Задана 14
Рис. 5.78.
Найти: Z В.
(Ответ: ZB= 80°.)
Задана 15
Рис. 5.79.
Найти: ZA.
(Ответ: ZA = 40°.)
Задана 16
Рис. 5.80.
Задача /7
Рис. 5.81.
= 135°.)

Урок 66. Повторение темы «Соотношения между сторонами .. »
271
Рис. 5.82
Рис. 5.83
Рис. 5.81
Сравнить: Z 1 и Z 2.
(Ответ: Zl > Z2.)
Задача 18
Рис. 5.82.
Сравнить: ZABCn ZADC
(Ответ: ZABC< ZADC.)
TV. Проверка домашнего задания
Пока учащиеся решают задачи, учитель индивидуально проверяет
домашнее задание у отдельных учащихся.
Задача М 333
Решение (см. рис. 5.83): Z ВОС= 180° - Z ОВС- Z ОСВ.
Пусть ZABC = Р , ZACB = у, тогда Z ОВС = Z 1, a Z 1 =
= 1/2(180°- р), ZOCB= Z2= 1/2(180°- у).
Тогда ZBOC = 180° - 1/2 (180° - р ) - 1/2 (180° - у) = 180° -
Р У а
-90°+ т"-90°+ т-=1/2(/3 + у) = 1/2(180°- а) = 90°- -,таккак
а + 0 + у = 180°.
Задача № 335
Решение:
а)В ААВСпоусловию Z/1+ Z#>90°,a
так как Z А + Z5 + ZC =
= 180°, то Z С< 90°. Так же можно получить,
что ZA < 90°, Z Я < 90°, то есть А АВС-
остроугольный.
б) В А АВСпо условию ZA< ZB+ ZC,
а так как ZB + ZC = 180° -
Рис. 5.84
-Z А, то Z.4 < 180° - ZA, ZA< 90°, тогда А АВС - остроугольный.
Jkutove .Л& JJ7
Решение (см. рис. 5.84): Пусть О — точка пересечения биссектрисы угла
А и прямой ВМ.
Тогда Z О4Д = Z ОЛС= 40°, Z/4£C= Z^C5= (180° - 80°): 2 = 50°.
А ВАО = А САО, тогда Z.4CO = 20°, a Z 0<Ж= 20°, Zy40£ = 120°.
Z 0Л/С - внешний угол треугольника ВМС, Z OMC = 40°.

272 Глава V. Повторение
А АОС= А МОС по стороне и прилежащим к ней углам, значит, ОА =
— ОМ, тогда АЛОМ— равнобедренный, и Z OAM= Z ОМА = 30°, тогда
ZAMC= 70°. (Ответ: ZAMC= 70°.)
Домашнее задание
1. Повторить § 4 (глава И, IV); прочитать тему «Задачи на построение»
на стр. 95 учебника.
2. Записать полное решение задач: Iуровень — № 5,7,9,17; IIуровень —
№ 11, 13, 15, 18.
Урок 67. Повторение темы «Задачи на построение»
Цели урока:
1) повторить основные задачи на построение;
2) совершенствовать навыки решения задач на построение.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
П. Повторение основных задач на построение
1. Шестеро учеников готовят у доски следующие задания:
- на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному;
- отложить от данного луча угол, равный данному;
- построить биссектрису данного неразвернутого угла;
- построить прямую, проходящую через данную точку и
перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка;
- построить середину данного отрезка;
- построить прямую, проходящую через данную точку и
перпендикулярную к прямой, не проходящей через данную точку.
Пока учащиеся готовятся у доски, класс выполняет
дифференцированные задания:
I уровень
Построить треугольник:
1) по двум сторонам и углу между ними;
2) по стороне и прилежащим к ней углам;
3) по трем сторонам.
II уровень
Построить треугольник по углу и двум высотам, проведенным к
сторонам этого угла.
III. Обсуждение темы «Задачи на построение»
(См. стр. 95 учебника.)
- По какой схеме решаются более сложные задачи на построение?
- Что вы понимаете под анализом задачи на построение? Для чего
он нужен?
- Для чего нужно доказательство? А исследование?

Урок 67. Повторение темы «Задачи на построение»
273
Рис. 5.85
Рис. 5.86
Рис. 5.87
Рис. 5.88
IV. Решение задач
1. Решить задачу № 353 (один ученик работает у доски, остальные — в
тетрадях).
Задача № 353
Анализ (см. рис. 5.85): Пусть X— искомая точка,
т.е. АХ= ХВ, тогда А АХВ— равнобедренный, и XY—
медиана, высота и биссектриса. Отсюда получаем
план построения.
План построения:
1) Построить точку Y- середину АВ.
2) Построить прямую, проходящую через Уи
перпендикулярную АВ.
3) Прямая b пересекается с окружностью в
точках Хи Z. Хи Z- искомые точки.
Построение (см. рис. 5.86).
Доказательство: AAYX= A BYX по двум катетам (они
прямоугольные, т.к. YX1 АВ, AY= YB, так как Y- середина АВ), тогда АХ= ВХ, т.е.
точка Л"лежит на данной окружности и равноудалена от концов отрезка
АВ. Таким же образом можно доказать, что точка Z удовлетворяет всем
условиям задачи.
Исследование: Задача может иметь:
а) два решения (см. план построения и построение);
б) одно решение, если прямая b имеет одну общую точку (касается) с
окружностью (рис. 5.87);
в) ни одного решения, если прямая b не имеет общих точек с
окружностью (рис. 5.88).
2. Решить самостоятельно задачи № 354, 360, 362 (одну задачу решить
по полной схеме).
Домашнее задание
Решить задачи № 352, 356, 361 (одну задачу решить по полной схеме).

274 Глава V Повторение
Урок 68 (1). Итоговая контрольная работа
(см. Приложение 1)
Урок 68 (2). Итоговый контрольный тест
(слл. Приложение 1)

ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Контрольные работы
V р о к 10. Контрольная работа №1
«Основные свойства простейших геометрических фигур.
Смежные и вертикальные углы»
I уровень
Вариант I
1. На луче с началом в точке А отмечены точки Ви С.
Найдите отрезок ВС, если АВ = 9,2 см, АС = 2,4 см. Какая из точек
лежит между двумя другими?
2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в
четыре раза меньше другого. Найдите эти углы.
3. Луч с — биссектриса Z (ab). Луч d — биссектриса Z (ас).
Найдите Z (bd), если Z (ad) = 20°.
4*. Рис. 1.116.
Дано: ZBOC= 148°, ОМ 1 ОС, ОК- биссектриса Z СОВ.
Найти: Z КОМ.
Вариант II
1. На луче с началом в точке А отмечены точки В и С.
Найдите отрезок ВС, если АВ =3,8см,ЛС=5,6см. Какая из точек
лежит между двумя другими?
2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на
70° больше другого.
Найдите эти углы.
3. Луч с — биссектриса Z (ab). Луч d—
биссектриса Z(ac). ^
Найдите Z(bd), если Z(ab) = 80°.
4* Рис. 1.117.
Дано: ZAOK= 154°, ОС 1 ОК, ОМ
-биссектриса ZKOA.
Найти: ZCOM.
II уровень
Вариант I
1. На луче с началом в точке А отмечены точки
В и С. Известно, что АВ = 10,3 см, ВС = 2,4 см.
Какую длину может иметь отрезок АС?
2. Разность двух углов, образовавшихся при
пересечении двух прямых, равна 42°.
Найдите все образовавшиеся углы.
3. Один из смежных углов в пять раз больше
другого.
О
Рис. 1.116
Рис. 1.117

276 Приложение 1
Найдите углы, которые образует биссектриса большего угла со
сторонами меньшего.
4*. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ОК— биссектриса угла
AOD, ZCOK = 118°.
Найдите ZBOD.
Вариант II
1. На луче с началом в точке А отмечены точки В и С. Известно, что
АС = 7,8 см, ВС = 2,5 см. Какую длину может иметь отрезок АЕ>
2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на
22° меньше другого.
Найдите все образовавшиеся углы.
3. Один из смежных углов в четыре раза меньше другого.
Найдите углы, которые образует биссектриса меньшего угла со
сторонами большего.
4*. Прямые MN и РК пересекаются в точке Е. ЕС - биссектриса угла
MED, ZCEK=\3T.
Найдите /.КЕМ.
III уровень
Вариант I
1. На прямой отмечены точки Д Си/). Какую длину может иметь
отрезок BD, если ВС = 4,2 см, CD = 5,1 см.
2. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых,
если сумма двух из них в 3 раза меньше суммы двух других.
3. Из вершины угла, равного а , проведен луч, равный биссектрисе
угла. Какие углы образует этот луч со сторонами данного угла?
4*. Рис. 1.118.
Дано: Z COD - Z KOD = 61е, Z COD -
Z КОС = 53е.
Найти: ZCOD.
Вариант II
1. На прямой отмечены точки В, Си D. Какую
длину может иметь отрезок BD, если CD = 2,6 см,
ЯС=3,7см.
2. Сумма двух углов, образовавшихся при
пересечении двух прямых, в пять раз меньше суммы
двух других.
/С
о
Найдите все образовавшиеся углы.
3. Из вершины угла проведен луч,
перпендикулярный его биссектрисе и образующий со сто-
роной данного угла угол, равный (J .
Рис. 1.119 Найдите величину данного угла.
4*. Рис. 1.119.
Дано: ZAOB- ZAOC= 27°, ZAOB- ZBOC= 42°.
Найти: ZAOB.

Контрольная работа №2 277
Урок 28. Контрольная работа №2
по теме «Треугольники»
I уровень
Вариант I
1. Дано: АО = ВО, СО = DO, СО =5 см, ВО = 3 см, BD = Л см (рис.
2.197).
Найти: периметр А САО.
2. В равнобедренном треугольнике ЛВС точки Ки М являются
серединами боковых сторон ЛВ и несоответственно. BD — медиана треугольника.
Докажите, что A BKD = A BMD.
3. Даны неразвернутый угол и отрезок. На сторонах данного угла
постройте точки, удаленные от вершины угла на расстояние, равное
половине данного отрезка.
4*. Прямая МК разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек
М и К в разные полуплоскости проведены равные отрезки МА и KB,
причем Z АМК = Z ВКМ. Какие из высказываний верные?
а) ААМВ= ААКВ; б) ZAKM = ZBMK,
в) А МКА = А КМВ; г) ZAMB= Z КМВ.
Вариант II
\.Дано:АВ= CD, BC=AD, AC= 1 см, AD = 6 см, АВ = 4 см (рис. 2.198).
Найти: периметр AADC
2. В равнобедренном АЛ2?Сточки Ки Мявляются серединами
боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD — медиана треугольника.
Докажите, что A AKD = A CMD.
3. Дан неразвернутый угол и отрезок. На биссектрисе данного угла
постройте точку, удаленную от вершины угла на расстояние, равное
данному отрезку.
4*. Прямая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек А
и В в разные полуплоскости проведены равные отрезки AD и ВС, причем
Z BAD = Z ABC. Какие из высказываний верные?
a) A CAD = A BDA; б) Z DBA = Z CAB;
в) ZBAD= ZBAC; г) ZADB= ZBCA.
II уровень
Вариант I
1. В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боковая
сторона относится к основанию как 5 : 2.
Найдите стороны треугольника.
Рис. 2.198

278 Приложение 1
2. Дан неразвернутый угол и отрезок. Постройте все точки,
удаленные от вершины угла на расстояние, равное четверти данного отрезка.
3. В треугольнике ЛВСЛВ = ВС. На медиане BE отмечена точка М, а на
сторонах ЛВ и ВС — точки Ри ^соответственно (точки Р, Ми А'не лежат
на одной прямой). Известно, что Z BMP= Z ВМК.
Докажите, что:
а) углы ВРМи /Ш/равны;
б) прямые РКи ВМ взаимно перпендикулярны.
4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 67°30'?
Вариант II
1. В равнобедренном треугольнике с периметром 56 см основание
относится к боковой стороне как 2:3.
Найдите стороны треугольника.
2. Дан неразвернутый угол и отрезок. Постройте все точки, удаленные
от вершины угла на расстояние, равное трем четвертям данного отрезка.
3. На высоте равнобедренного А ЛВС, проведенной к основанию АС,
взята точка Р, а на сторонах АВ и ВС - точки Л/и #соответственно
(точки М, Р и К не лежат на одной прямой). Известно, что ВМ = ВК.
Докажите, что:
а) углы BMP и ВКР равны;
б) углы КМР и РКМ равны.
4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 1Г15'?
III уровень
Вариант I
1. Периметр равнобедренного треугольника в четыре раза больше
основания и на 10 см больше боковой стороны.
Найдите стороны треугольника.
2. Внутри A ABC взята точка О, причем Z ВОС = Z BOA, АО = ОС
Докажите, что:
а) углы ВАС и ВСА равны;
б) прямая ВО проходит через середину отрезка АС.
3. Даны неразвернутый угол и отрезок. Постройте угол, равный
половине данного угла, и на его сторонах постройте точки, удаленные от
вершины угла на расстояние, равное четверти данного отрезка.
4*. Дан угол в 54°. Можно ли с помощью циркуля и линейки
построить угол в 18е?
Вариант II
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника в два раза больше
основания и на 12 см меньше периметра треугольника.
Найдите стороны треугольника.
2. На сторонах АВ, ВС, АС равнобедренного треугольника ABC с
основанием АС отмечены точки М, К и Р соответственно так, что Z AMP =
= ZPKCnAM=KC.
Докажите, что:
а) РВ - биссектриса угла МРК;
б) прямые МКи 2?Р взаимно перпендикулярны.

Контрольная работа №3 279
3. Даны неразвернутый угол и отрезок. Постройте угол, равный
четверти данного угла, и на его сторонах постройте точки, удаленные от
вершины угла на расстояние, равное половине данного отрезка.
4*. Дан угол в 34°. Можно ли с помощью циркуля и линейки
построить угол в 12°?
Урок 41. Контрольная работа №3 по теме
«Параллельные прямые»
I уровень
Вариант I
1. Рис. 3.169.
Дано: а\\Ь,с- секущая, Z 1 + Z 2 = 102°.
Найти: все образовавшиеся углы.
2. Рис. 3.170.
Дано: Zl = Z2, Z3 = 120°.
Найти: Z4.
3. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC Через точку D
проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в
точке F.
Найти углы треугольника ADF, если Z ВАС = 72°.
4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (Е e CD,
Ке MN).
Z DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN
могут быть параллельными?
Вариант II
1. Рис. 3.171.
Дано: а \\ Ь, с - секущая, Z 1 - Z 2 = 102°.
Найти: все образовавшиеся углы.
2. Рис. 3.172.
Дано: Z 1 = Z 2, Z 3 = 140е.
Найти: Z4.
3. Отрезок АК— биссектриса треугольника САЕ.
Через точку А'проведена прямая, параллельная стороне СА и
пересекающая сторону АЕ в точке 7V.
Найдите углы треугольника AKN, если Z САЕ = 78°.
а
b
с
/
/
1
I
Рис. 3.169
А
\2 /
\ /
V
/
Рис. 3.170
В
'4
а
b
А
/
Рис.
У.
/\
f
3.171

280
В
\Л
/\
а г/ Л
~ А С
Рис. 3.172
а
b
с
Л
Рис. 3.173
Приложение 1
а А
.Л
В 4\€
Рис. 3.174
4*. Прямая JI/JV является секущей для прямых АВ и CZ) (Af e АВ,
Ne CD). Угол AMN равен 75°.
При каком значении угла CNM прямые АВ и CD могут быть
параллельными?
II уровень
Вариант I
1. Рис. 3.173.
Дано: а\\Ь,с- секущая, Z 1 : Z 2 = 7 : 2.
Найти: все образовавшиеся углы.
2. Рис. 3.174.
Дя«о: Zl= Z2, Z3b4 раза меньше Z 4.
Найти: Z3, Z4.
3. Отрезок DM- биссектриса треугольника CDE. Через точку
Мпроведена прямая, пересекающая сторону DEb точке ЛГтак, что DN= MN.
Найдите углы треугольника DMN, если Z С/)£" = 74°.
4*. Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены
перпендикуляры АС и BD к этой прямой, Z A4C = 117°.
а) Найдите угол ABD.
б) Докажите, что прямые Л/? и CZ) пересекаются.
Вариант II
1. Рис. 3.175.
Ддно: я || Ь, с - секущая, Z 1 : Z 2 = 5 : 7.
Найти: все образовавшиеся углы.
2. Рис. 3.176.
Дано: Z 1 + Z 2 = 180°, угол 3 на 70° меньше угла 4.
Найти: Z3, Z4.
3. Отрезок AD — биссектриса А АВС. Через точку D проведена
прямая, пересекающая сторону АВ в точке £так, что АЕ = ED.
Найдите углы треугольника AED, если Z ВАС = 64°.
а
b
Ч
Рис.
/
(
3.175
В
\
2\/
А
Рис.
4/
/
? /76
'С
-Ь

Контрольная работа №3 281
1
7
?
Рис. 3.177
4*. На сторонах угла А, равного 43е, отмечены точки В и С, а внутри
угла - точка D так, что Z ABD = 137е, Z Д0С = 45е.
а) Найдите угол ЛС/).
б) Докажите, что прямые А# и DC имеют одну общую точку.
III уровень
Вариант I
1. Рис. 3.177.
Дано: а \\ Ь, с — секущая, Z 3 больше суммы Z 1 + Z 2 в четыре раза.
Найти: все образовавшиеся углы.
2. Рис. 3.178.
Дано:АС=ВС, Z4= Z2, Z3+ Z4 = 110°.
Найти: Z 1, Z2, Z3, Z4, Z5.
3. Рис. 3.179.
Дано: АВ 1 ED, KM _L ED, ZABE= 34°, MN - биссектриса Z KMC.
Найти: ZEMN.
4*. В треугольнике ABC ZA = 37°, ZC= 65°. Через вершину В
проведена прямая MN\\ AC
Найдите угол MBD, где BD - биссектриса угла ABC.
Вариант II
1. Рис. 3.180.
Дано: а \\ Ъ, с — секущая, Z 2 меньше разности Z 3 — Z 1 в 7 раз.
Найти: все образовавшиеся углы.
2. Рис. 3.181.
Дано:АВ = АС, Z2= Z5, Z1+ Z3= 130°.
Найти: Z\, Zl, Z3, Z4, Z5.
3. Рис. 3.182.
Дано: CD 1 AK, MN 1 AK, ZAMN= 28°, СЕ - биссектриса
Найти: ZACE.
I
Рис. 3.180

282 Приложение 1
4*. В треугольнике CDE ZC = 39°, Z Е = 57°. Через вершину D
проведена прямая АВ || СЕ.
Найдите угол /Ш/Г, где DK - биссектриса угла CDE.
Урок 49. Контрольная работа №4
по теме «Сумма углов треугольника. Соотношения между
сторонами и углами треугольника»
/ уровень
Вариант I
1. В А ЛВС АВ > ВС > АС.
Найдите ZA, Z В, Z С, если известно, что один из углов
треугольника равен 120°, а другой 40°.
2. В треугольнике АВСугол А равен 50°, а угол В в 12 раз меньше угла С
Найдите углы В и С.
3. В треугольнике АВСугол Сравен 90°, а угол 2?равен 35°, CD - высота.
Найдите углы треугольника ACD.
4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из
его сторон больше другой на 12 см.
Найдите стороны треугольника.
Вариант II
1.В ААВСАВ<ВС<АС.
Найдите ZA, ZB, Z С, если известно, что один из углов
треугольника прямой, а другой равен 30°.
2. В треугольнике ABC угол А равен 90°, а угол С на 40° больше угла В.
Найдите углы В и С.
3. В треугольнике АЯС угол С равен 90°, угол А равен 70°, CD -
биссектриса.
Найдите углы треугольника 5CD.
4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из
его сторон на 13 см меньше другой.
Найдите стороны треугольника.
II уровень
Вариант I
1. В треугольнике CDE точка М лежит на стороне СЕ, причем угол
CMD острый.
Докажите, что DE > DM.
2. Найдите углы треугольника ABC, если угол А на 60° меньше угла В
и в 2 раза меньше угла С.
3. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC= 90°) биссектрисы CD и
АЕ пересекаются в точке О. ZAOC= 105°.
Найдите острые углы треугольника ABC.
4 *. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого
внешнего угла.
Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол
треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45е.

Контрольная работа №4
283
Вариант II
1. В треугольнике MNP точка А'лежит на стороне MN, причем угол
MNP острый.
Докажите, что АР < ЛТР.
2. Найдите углы треугольника А5С, если угол В на 40° больше угла Л,
а угол С в пять раз больше угла Л.
3. В прямоугольном треугольнике ЛВС (Z С = 90°) биссектрисы CD и
BE пересекаются в точке О. Z ВОС = 95°.
Найдите острые углы треугольника ABC
4*. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого
внешнего угла этого треугольника.
Найдите разность между этими внешними углами, если
внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами,
равен 60°.
III уровень
Вариант I
1. В треугольнике MNK ZK= 37°, Z М = 69°, NP - биссектриса
треугольника.
Докажите, что МР < РК.
2. В треугольнике ЛВС угол Л меньше угла В в три раза, а внешний
угол при вершине Л больше внешнего угла при вершине В на 40°.
Найдите внутренние углы треугольника ЛВС
3. В треугольнике ЛВС угол С равен 90°, а угол 2? равен 70°. На катете
АС отложен отрезок CD, равный СВ.
Найдите углы треугольника ABD.
4*. Рис. 4.83.
Найдите сумму внутренних и сумму внешних
углов, взятых по одному при каждой вершине
пятиугольника ABCDE.
Вариант II
1. В треугольнике CDE £Е= 76°, Z /) = 66°,
ЕК — биссектриса треугольника.
Докажите, что КС > DK.
2. В треугольнике ЛВС угол Л меньше угла В
на 80е, а внешний угол при вершине Л больше
внешнего угла при вершине В в два раза.
Найдите внутренние углы треугольника ЛВС
3. В треугольнике ABC угол С равен 90°, а угол
В равен 70е. На луче СВ отложен отрезок CD,
равный СЛ.
Найдите углы треугольника ABD.
4*. Рис. 4.84.
Найдите сумму внутренних и сумму
внешних углов, взятых по одному при каждой
вершине шестиугольника ABCDEF.
В
Рис. 4.84

284
Приложение 7
Урок 61. Контрольная работа №5
по теме «Прямоугольный треугольник.
Построение треугольника по трем элементам»
I уровень
Вариант I
1. Рис. 4.244.
Дано: Z BAD = Z BCD = 90°, Z ADB = 15°, Z BDC = 75°.
Доказать: AD || ВС.
2. В треугольнике ABC ZC = 60°, ZВ = 90°. Высота ВВХ равна 2 см.
Найдите АВ.
3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте,
проведенной к нему из вершины треугольника.
4*. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150°.
Вариант II
1. Рис. 4.245.
Дано: ZAOD = 90°, Z OAD = 70°, Z ОСЯ = 20°.
Доказать: AD \\ ВС
2. В треугольнике ABC ZC= 90е, ССХ - высота, ССХ = 5 см, ЯС = 10 см.
Найдите Z CAB.
3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане,
проведенной к нему из вершины треугольника.
4*. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 120е.
II уровень
Вариант I
1. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М
пересекает высоту Шъ точке О, причем ОК= 9 см.
Найдите расстояние от точки О до прямой MN.
2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма
гипотенузы и меньшего катета равна 42 см.
Найдите гипотенузу.
3. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому
углу.
4*. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 105°.
Вариант II
1. В прямоугольном треугольнике DCEc прямым углом С проведена
биссектриса EF, причем FC= \Ъ см.
Найдите расстояние от точки /'до прямой DE.
В
А
Рис. 4.244
С
D
Л ■■--
0
Ь
Рис. 4.245

Итоговая контрольная работа 285
2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность
гипотенузы и меньшего катета равна 15 см.
Найдите гипотенузу.
3. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему
к нему острому углу.
4*. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 165°.
III уровень
Вариант I
1. В треугольнике ABC Z В = 90°, а биссектрисы углов А и С
пересекаются в точке О.
Найдите угол АОС.
2. В треугольнике ABC ZA = 90°, Z В — 60°. На стороне АС отмечена
точка D так, что Z DBC = 30°, DA = 4 см.
Найдите АСи расстояние от точки D до стороны ВС.
3. Постройте прямоугольный треугольник по катету и высоте,
проведенной к гипотенузе.
4*. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 67°30'.
Вариант II
1. В треугольнике ABC Z С = 90°, а биссектрисы углов А и В
пересекаются в точке Е.
Найдите: Z АЕВ.
2. В треугольнике ABC Z С = 60°. На стороне АС отмечена точка D
так, что Z BDC= 60е, ZABD = 30е, CD = 5 см.
Найдите АСи расстояние от точки D до стороны АВ.
3. Постройте прямоугольный треугольник по катету и биссектрисе
прямого угла.
4*. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 112°30'.
Урок 68 (1). Итоговая контрольная работа
I уровень
Вариант I
1. Рис. 5.89.
Дано: BO=DO, ZABC= 45°, ZBCD = 55°, ZAOC= 100е.
Найти: Z D.
Доказать: A ABO = A CDO. В
2. В равнобедренном треугольнике ABC с
основанием АС угол В равен 42°.
Найдите два других угла треугольника ABC
3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях
относительно прямой АС. Треугольники ABC и ADC —
равносторонние.
Докажите, что АВ || CD.
4*. Рис. 5.90. Иис'
Дано: Z ЕРМ = 90°, Z МЕР = 30°, ME = 10 см.
а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР?

286
Приложение 1
Рис. 5.92
Рис. 5.90
Рис. 5.91
б) Найдите длину медианы PD.
Вариант II
1. Рис. 5.91.
Дано:АВ= CD, Z ABC =65°, Z ADC =45°, ZAOC= 110°.
Найти: Z С
Доказать: A ABO = A Z>C0.
2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС сумма углов
А и С равна 156°.
Найдите углы треугольника ABC
3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой
АС Треугольники АВ С и ADC - равнобедренные прямоугольные (Z В =
= ZZ)= 90°).
Докажите, что А# || С/).
4*. Рис. 5.92.
Дано: Z DBC = 90°, Z Я/)С = 60°, Я/) = 4 см.
а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС!
б) Найдите длину медианы PD.
II уровень
Вариант I
1. Рис. 5.93.
Дано: ZB= ZC= 90°, ZADC= 50°,
Доказать:
В
Рис. 5.93
Рис. 5.94
= A Z)C4.
2. В равнобедренном треугольнике угол
между боковыми сторонами в три раза
больше угла при основании.
Найдите углы треугольника.
3. Параллельные прямые а и Ь
пересечены двумя параллельными секущими АВ и
CD, причем точки А и С лежат на прямой а,
а точки В и D — на прямой Ь.
Докажите, что АС — BD.
4*. Рис. 5.94.
Дано: АВ = ЯС, ВТ =4 см.
а) Между какими целыми числами
заключена длина отрезка АС?
б) Найдите сумму длин отрезков,
соединяющих точку Тс серединами сторон АВ и ВС.

Итоговая контрольная работа
287
Рис. 5.95
Рис. 5.97
Рис. 5.96
Вариант II
1. Рис. 5.95.
Дано: ZB = ZC=90°, ZADB = 40°, ZBDC=\O°.
Доказать: A ABD = A DCA.
2. В равнобедренном треугольнике угол при основании в четыре раза
больше угла между боковыми сторонами.
Найдите углы треугольника.
3. Параллельные прямые аи b пересечены двумя параллельными
секущими АВ и CD, причем точки А и С принадлежат прямой а, а точки В
и D — прямой Ь.
Докажите, что АВ = CD.
4*. Рис. 5.96.
Дано: АВ = ВС, АС = 10 см.
а) Между какими целыми числами заключена длина высоты
ААВС!
б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Г с
серединами сторон АВ и ВС.
III уровень
Вариант I
1. Рис. 5.97.
Дано: ZB= ZC= 90°, АВ = DC, ZAOB = 40е.
Найдите углы треугольника AOD.
Найдите углы треугольника.
3. Докажите, что основание равнобедренного треугольника
параллельно биссектрисе одного из внешних углов.
4*. В треугольнике ABC ZB= 90°, ZA = = 45°, AC = 12 см, BD -
биссектриса.
а) Между какими целыми числами
заключено расстояние от точки D до
стороны АВ?
б) Найдите длину отрезка MN, где DM _L
АВ, DN 1 ВС.
Вариант II
1. Рис. 5.98.
Дано: ZB= ZC= 90°, АВ= DC, Z CDO = A
= 40°' Рис. 5.98

288 Приложение 1
Найдите углы треугольника AOD.
2. В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен 130°.
Найдите углы треугольника.
3. Докажите, что если биссектриса внешнего угла параллельна одной
из его сторон, то этот треугольник - равнобедренный.
4*. В треугольнике ABC ZB= 90°, ZC= 45°, AC = 16 см, BD-
биссектриса.
а) Между какими целыми числами заключено расстояние от точки
D до стороны ВС
б) Найдите длину отрезка MN, где DM I AB, DN 1 ВС.
Урок 68 (2). Итоговый контрольный тест
Число рекомендуемых заданий может меняться в зависимости от
уровня подготовленности класса и каждого ученика.
Если в классе организовано дифференцированное обучение, можно
предложить, например, такую схему:
Iуровень — решить задания № 1,2, 3, 4, 5, 10;
IIуровень — решить задания № 2, 3, 4, 6, 8, 10;
IIIуровень - решить задания № 4, 6, 7, 8, 9, 10.
Оценка «пять» ставится за пять верно выполненных заданий.
Вариант I
1. Величины смежных углов пропорциональны числам 5 и 7.
Найдите разность между этими углами:
а) 24°; 6)30°; в) 36°; г) 40°.
2. Рис. 5.99.
в В прямоугольном треугольнике ABC ZC= 90°,
ZA = 30°, АС = 10см, CD 1 АВ, DE 1 AC.
Найдите АЕ.
a) 8 см; 6) 6 см; в) 5 см; г) 7,5 см.
3. Прямые аиЬпараллельны, с — секущая. Раз-
с Е А ность двух углов, образованных этими прямыми,
равна 130°.
Рис. 5.99 Найдите отношение большего из этих углов к
меньшему,
а) 3,8; 6)4,5; в) 6,2; г) 5,6.
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 15 см, а одна из его
сторон на 4 см меньше другой.
Найдите сумму боковых сторон этого треугольника.
2 1 1
а) 8 ~ см; б) 6 см; в) 6 см или 11 ~ см; г) 11 - см.
5. Хорда АВ равна 18 см. ОА и ОВ - радиусы окружности, причем
ZAOB= 90°.
Найдите расстояние от точки О до хорды АВ.
а) 13,5 см; б) 6 см; в) 9 см; г) 12 см.

Итоговый контрольный тест 289
6. Б треугольнике МРК угол Р составляет 60% угла К, а угол М на 4°
больше угла Р.
Найдите угол Р.
а) 64°; 6)48°; в) 52°; г) 56°.
7. В треугольнике ABC углы В и С относятся как 5 : 3, а угол А на 80°
больше их разности.
Найдите углы, на которые высота треугольника AD разбивает угол А.
а) 60°, 40°; б) 50°, 30°; в) 40е, 70°; г) 50е, 60°.
8. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные из вершин
при основании, при пересечении образуют угол в 140°.
Найдите угол, противолежащий основанию,
а) 70°; 6)100°; в) 40°; г) 50°.
9. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника
равна стороне треугольника.
Определите угол при основании.
а) 45°; 6)36°; в) 60°; г) 72°.
10. На какое наибольшее число равнобедренных треугольников
можно разделить данный равнобедренный треугольник тремя отрезками?
а) 6; 6)4; в) 3; г) 2.
Ответы к тесту: 1 6); 2 г); 3 в); 4 г); 5 в); 6 6); 7 а); 8 в); 9 г); 10 6).
Вариант II
1. Величины смежных углов пропорциональны числам 4 и 11.
Найдите разность между этими углами:
а) 84°; 6)76°; в) 96°; г) 68°.
2. Рис. 5.100.
В прямоугольном треугольнике ABC AC—
= 90°, Z В=30\ ВС= IS см, СК LAB, КМ 1 С М В
1 ВС.
Найдите MB.
а) 9 см; б) 13,5 см; в) 12 см; г) 10 см.
3. Прямые тип параллельны, с — секущая.
Разность двух углов, образованных этими
прямыми, равна 132°. Рис. 5.100
Найдите отношение большего из этих
углов к меньшему.
а) 4,8; 6)5,8; в) 6,5; г) 6,2.
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 22 см, а одна из его
сторон на 5 см меньше другой.
Найдите сумму боковых сторон этого треугольника.
1 1
а)11~см; б) 18 см; в) 18 см или 11-см; г) 17 см.
5. Расстояние от центра окружности О до хорды Справно 13 см. Угол
COD равен 90°.
Найдите длину хорды CD.
а) 18 см; б) 13 см; в) 19,5 см; г) 26 см.

290 Приложение 1
6. В треугольнике BDE угол В составляет 30% угла Д а угол Е на 19°
больше угла D.
Найдите угол В.
а) 21°; 6)32°; в) 70°; г) 51°.
7. В треугольнике ЛВС угол А на 50° больше угла В, а угол С составляет
пятую часть их суммы.
Найдите углы, которые образует биссектриса угла А со стороной ВС.
а) 70е, 110°; б) 80°, 100°; в) 60°, 120°; г) 90°, 90°.
8. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные из вершины
при основании и из вершины, противолежащей основанию, при
пересечении образуют угол 140°.
Найдите угол, противолежащий основанию,
а) 40°; 6)50°; в) 70°; г) 110°.
9. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника
пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании.
Найдите угол при основании.
а) 72°; 6)36°; в) 45°; г) 60°.
10. На какое наибольшее число равносторонних треугольников
можно разделить данный равносторонний треугольник тремя отрезками?
а) 2; 6)6; в) 4; г) 3.
Ответы к тесту: 1 а); 2 б); 3 в); 4 в); 5 г); 6 а); 7 б); 8 г); 9 а); 10 в).

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Обобщающие таблицы
Признаки равенства треугольника
Таблица 1
По двум
сторонам
и углу между
ними
ААВС = ASTP,
если
1)AB=ST,
2)AC=SP,
3) ZA = ZS
По стороне
и двум
прилежащим
к ней углам
ААВС= AMNK,
если
\)АС=МК;
2) ZA= ZM;
3) ZC= ZK
Потрем
сторонам
ААВС = ADEF,
если
1)АВ= DE;
2) ВС= EF\
3)AC=DF
Равнобедренный треугольник
Определение
АВ, ВС - боковые
стороны;
АС — основание;
А АВС -
равнобедренный, если
АВ= ВС
А С
Признак равнобедренного
треугольника
с, m
Если в А АВС
ZA= ZB,to
А АВС -
равнобедренный с
основанием АВ
В
Свойства равнобедренного
треугольника
В равнобедренном
треугольнике углы
при основании
равны
BD — медиана,
высота
биссектриса
A D С
3) В равнобедренном
треугольнике медианы (высоты,
биссектрисы), проведенные к боковым
сторонам, равны

292
Приложение 2
Таблица 2
Параллельные прямые и углы
Углы, образованные при пересечении прямых
\
d\
\
с
ZABDn
смежные
ZABD +
= 180°
В А
ZCBD-
ZCBD =
A D
^^^^-^
С ь
Z^OCh ZDOB-
вертикальные;
ZAODn ZBOC-
вертикальные;
ZAOC= ZDOB;
ZAOD= ZBOC
2/
3/4
ZIh Z6, Z2h
Z3h Z7, Z4h
соответственные;
Z3h Z5, Z4h
односторонние;
Z4h Z5, Z3h
накрест лежащие
/
Z5,
Z8-
Z6-
Z6-
Свойства параллельных прямых
з V
Если а || Ь, с — их секущая, то:
1)Z1=Z5, Z4=Z8, Z2=Z6, Z3
(соответственные углы равны);
2) Z4= Z6, Z3= Z5
(накрест лежащие углы равны);
3) Z4+ Z5= 180е, Z3+ Z6= 180°
(сумма односторонних углов равна 180°)
Z7
Признаки параллельности прямых
3/4
2/1
b и с \\ Ь,то
Если а п с, b n си
1) Z1=Z6(Z2= Z5),
то а || />;
2) Z4= Z5(Z3= Z6,
Z 2 = Z 7, Z 1 = Z 8), то
а II b;
3) Z1+ Z5=180°(Z2 +
+ Z6= 180°),тод || b
Аксиома параллельности прямых
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна
прямая, параллельная данной.

Обобщающие таблицы
293
Таблица 3
Соотношение между сторонами и углами треугольника
1) Z1 + Z2 + Z3=180°;
2) Если Z\< Z 3 < Z 2 => ЯС< АВ < АС;
Ъ)АВ< ВС+АС, ВС<АВ + АС,АС<АВ+ ВС;
4) Z4 = Zl + Z2
Прямоугольный треугольник и его свойства
1) ZA+ ZB= 90°;
2)если ZJff=30°
то ЯС = \/2АВ)\
3) если CD - медиана, то CD= BD = AD;
4) если CD — медиана и CD = BD = AD, то
A ABC — прямоугольный
Признаки равенства прямоугольных треугольников
По двум кате- В
там
ААВС= AMNK,
если
\)BC=NK,
2)АС= МК
По катету и В
прилежащему к
нему острому
углу
ААВС= AMNK,
если
\)АС=МК,
2) ZA= ZM
По гипотенузе В
и острому углу
A ABC = A MNK,
если
\)АВ= MN,
2) ZA= ZM
По гипоте- В
нузе и катету
A ABC = A MNK,
если
\)AB=MN,
2)АС= МК

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Карточки для инливилуальной работы
с учащимися
Начальные геометрические сведения
С л #М
D
1. Назовите точки, принадлежащие прямой айне принадлежащие
ей.
2. Сколько прямых можно провести через точки А' и Я?
3. Пересекаются ли:
а) прямая а и отрезок AD\
б) прямая а и отрезок СМ.
4. Верно ли, что:
*)AN+ NC = AQ
б) DB+BM=DAf>
5. Укажите точки, принадлежащие лучу NB.
Начальные геометрические сведения
•М
D
II
1. Назовите точки, принадлежащие отрезку АС и не
принадлежащие ему.
2. Сколько прямых можно провести через точки Аи В!
3. Пересекаются ли:
а) прямые а и DK;
б) прямая А С и отрезок /)А?
4. Верно ли, что:
а)АВ+ ВС = АС;
b)KB+BF=KF.
5. Принадлежат ли лучу ВС точки А, М, А?

Карточки для индивидуальной работы с учащимися
295
Начальные геометрические сведения
1. Перечислите все углы, изображенные на рисунке.
2. Найдите градусную меру угла АОС, если
Z ЛОВ =50°, ZBOC= 30°.
3. Найдите фадусную меру угла АОВ, если Z АОС = 100°, a Z
на 25° меньше, чем
Начальные геометрические сведения
1. Перечислите все углы, изображенные на рисунке.
2. Найдите фадусную меру угла NEK, если Z МЕК= 70°,
3. Найдите фадусную меру угла MEN, если Z МЕК= 80°,
a Z NEKn три раза меньше, чем
II

296
Приложение 3
3
Найдите углы 1
Смежные
3) \
,2,3,4.
и вертикальные углы
1
X
в)
Zl: Z2 = 3:2
\2
б)
С /
3
\
I
3
Найдите
ч
>
а
углы
Смежные
140°
X
1,2,3,4.
и
b
вертикальные углы
ь/
Ты
1 •
J
Z 1 на 80° меньше Z 2
с
3
60°^
II

Карточки для индивидуальной работы с учащимися
297
Признаки равенства треугольников
К в)
1. Докажите, что A MNK= A MEK.
2. Является ли биссектрисой угла NMEiryn MKI
3. Равны ли треугольники MNFn MEf?
4. Перпендикулярны ли МК и NE?
Признаки равенства треугольников
1. Докажите, что ААВС= AADC.
2. Является ли биссектрисой угла BCD луч СА?
3. Равны ли треугольники ABFn ADF>
4. Перпендикулярны ли АС и ВТР.

298
Приложение 3
Медиана, высота и биссектриса треугольника
Дано: A ABC, BD = DE,
DA - биссектриса Z BDE.
Доказать: AD - биссектриса А ЛВС.
Дано: А ЛВС,
BD - медиана и высота А ЛВС
Доказать: а) АВ = ВС;
б) BD - биссектриса А ЛВС.
Медиана, высота и биссектриса треугольника
II
Дано: AKMN,PM= РЕ,
РН - биссектриса Z МРЕ.
Доказать: HP — биссектриса A KMN.
Дано: A MNP,
NE — медиана и высота A MNP.
Доказать: a) MN= NP;
б) NE - биссектриса A MNP.

Карточки для индивидуальной работы с учащимися
299
6
а) с
а \
b
Укажите
\
X
Признаки параллельности прямых
67° в)
v А В
^0°
5о\
D
параллельные прямые.
б)
а
b
\
с
\ 118°
\
130'
Г> А
/
i
в
F7
7
D
Признаки параллельности прямых
б) с
а)
Укажите параллельные прямые.

300
Приложение 3
Свойства параллельных прямых
б)
а)
b
V
/
<50°
'^1
/
V
х
\
А ' b
ВА — биссектриса Z DEC —
7с
в)
Дано: а || Z>.
Найдите градусные меры углов 1, 2, 3.
Свойства параллельных прямых
II
а /70°
/с
в)
b
а
3
/
137°
ч. 150°
- биссектриса Z. ABD
Дано: а || ^.
Найдите градусные меры углов 1, 2, 3.

Карточки для индивидуальной работы с учащимися
301
Сумма углов треугольника
Z2-Z1 = 10е
Zl: Z2 = 5:3
Найдите градусные меры углов 1 и 2.
Сумма углов треугольника
Zl-Z2= 10°
Найдите градусные меры углов 1 и 2.
Zl : Z2 = 2:3

302
Приложение 3
Соотношения между сторонами и углами
треугольника
1) В А ЛВС биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке Д
AD= DC, ZA = 40°. Докажите, что АВ > ВС.
2) Могут ли стороны треугольника относиться как 2:3:6?
3) Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10 см.
Какой длины может быть основание этого треугольника?
Соотношения между сторонами и углами
треугольника
II
1) В А АВСутоя Л^Сравен 70°. Биссектриса этого угла пересекает
сторону АС в точке Д BD = DC. Докажите, что АВ < АО
2) Могут ли стороны треугольника относится как 3:5:8?
3) Основание равнобедренного треугольника равна 30 см. Какой
длины может быть боковая сторона этого треугольника?

Карточки для индивидуальной работы с учащимися
303
10
Прямоугольный треугольник
2)
В
1) Является ли A ABC прямоугольным?
2) Найдите градусные меры углов 1, 2, 3, 4, 5.
3) Укажите равные прямоугольные треугольники.
10
Прямоугольный треугольник
F
3)
II
1) Является ли А ЛВС прямоугольным?
2) Найдите градусные меры углов 1, 2, 3, 4, 5.
3) Укажите равные прямоугольные треугольники.

Содержание
От автора 3
Тематическое планирование учебного материала 5
Поурочные разработки по геометрии 7
Глава I. Начальные геометрические сведения (уроки 1-11) 7
Глава II. Треугольники (уроки 12-29) 56
Глава III. Параллельные прямые (уроки 30-42) 132
Глава IV. Соотношения между сторонами
и углами треугольника (уроки 43-62) 181
Глава V. Повторение (уроки 63-68) 255
Приложения 275
Приложение1. Контрольные работы 275
Приложение 2. Обобщаюшие таблицы 290
Приложение 3. Карточки для индивидуальной работы
с учашимися 295
Учебно-методическое пособие
В ПОМОЩЬ ШКОЛЬНОМУ УЧИТЕЛЮ
Гаврилова Нина Федоровна
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
7 класс
Дизайн обложки Екатерины Бедриной
Налоговая льгота -
Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93-953000.
Издательство «ВАКО»
Подписано к печати с диапозитивов 20.04.2010.
Формат 84x108/32. Печать офсетная. Гарнитура Тайме.
Усл. печ. листов 15,96. Тираж 7000 экз. Заказ № 3525.
Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени
«Чеховский полиграфический комбинат»
142300, г. Чехов Московской области
Сайт: www.chpk.ru, e-mail: marketing@chpk.ru
Факс: 8(496) 726-54-10; телефон: 8(495) 988-63-87

ВмЩре издание подробных поурочных
разработок по геометрии содержит обновленный комп-
'лект уроков, новые варианты их проведения и
адресовано прежде всего учителям, работающим по
учебнику Л. С. Атанасяна для 7 класса и рабочей
тетради к нему. Отличительной особенностью
издания является дифференцированный подход к
планированию, позволяющий проводить уроки
в классах разного уровня подготовки.
Пособие содержит весь необходимый учителю
материал для подготовки и проведения
полноценных уроков в 7 классе.