Автор: Потоскуев Е.В. Звавич Л.И.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа геометрия топология задачник
ISBN: 978-5-358-13865-0
Год: 2014
Текст
МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич
ГЕОМЕТРИЯ
ЗАДАЧ Н И К
МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич
ГЕОМЕТРИЯ
ЗАДАЧНИК
УГЛУБЛЁМЫЙ YNKR
10
класс
ШВМмЬЙШ
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
2-е издание,стереотипное
ВЕРТИКАЛЬ
МОСКВА
2014
(ф'<
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
П64
Потоскуев, Е. В.
П64 Математика : алгебра и начала математического анали-
за, геометрия. Геометрия. 10 кл. Углублённый уровень :
задачник / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. — 2-е изд.,
стереотип. — М. : Дрофа, 2014. — 255, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-358-13865-0
Задачник из состава УМК углублённого уровня Е. В. Потоскуева и
Л. И. Звавича для 10 класса содержит более 1000 задач по стереометрии
(дифференцированных по уровню сложности) и обеспечивает формирова-
ние умений и навыков использования утверждений теорем и определений,
а также различных приёмов (векторного, координатного) при решении
геометрических задач.
Задачник УМК Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича может быть исполь-
зован для подготовки к дальнейшему изучению математики в высшей
школе, а также при изучении геометрии по учебникам других курсов.
Учебник соответствует Федеральному государственному образователь-
ному стандарту среднего (полного) общего образования, рекомендован
Министерством образования и науки РФ и включён в Федеральный пере-
чень учебников.
УДК 373.167.1:514
______________________________________________________ББК 22.151я72
Учебное издание
Потоскуев Евгений Викторович, Звавич Леонид Исаакович
МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЯ. 10 класс. Углублённый уровень
Задачник
Зав. редакцией О. В. Муравина. Редактор Т. С. Зелъдман
Художественный редактор А. А. Шувалова. Технический редактор
И. В. Грибкова. Компьютерная верстка С. Л. Мамедова
Корректор Г. И. Мосякина
В соответствии с Федеральным законом от 29.12.2010 г. № 436-ФЗ
знак информационной продукции на данное издание не ставится
Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 16508.
Подписано к печати 15.05.14. Формат 60 х 90 Vio- Бумага офсетная. Гарнитура
«Школьная». Печать офсетная. Уел, печ. л. 16,0. Тираж 1500 экз. Заказ Кз 6156.
ООО «ДРОФА». 127254, Москва, Огородный проезд, д. 5, стр. 2.
Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги
просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»:
127254, Москва, а/я 19. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа»
обращаться по адресу: 127254, Москва, Огородный проезд, д. 5, стр. 2.
Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.
Сайт ООО «ДРОФА»: www.drofa.ru
Электронная почта: sales@drofa.ru
Тел.: 8-800-200-05-50 (звонок по России бесплатный)
^1, Отпечатано в ОАО «Можайский полиграфический комбинат».
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
www.oaompk.ru, иллм.оаомпк.рф тел • (495) 745-84-28, (49638) 20-685
ISBN 978-5-358-13865-0 ©ООО «дрофа»,2013
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебный комплекс Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича «Мате-
матика: алгебра и начала математического анализа, гео-
метрия. Геометрия. Углублённый уровень. 10 класс» вклю-
чает учебник, задачник, рабочую программу, методическое
пособие для учителя.
Настоящая книга представляет собой задачник по стерео-
метрии для 10 классов с углубленным изучением матема-
тики.
Учебный комплекс соответствует программе курса гео-
метрии классов с углублённым изучением математики.
В задачнике имеется более 1000 задач, соответствующих
теоретическому материалу, изложенному в учебнике.
Помимо этого в задачнике имеется следующее.
• Дополнение, посвящённое планиметрии, которое содер-
жит перечень важных теорем планиметрии и более 150 пла-
ниметрических задач разной степени сложности на постро-
ение, вычисление и на доказательство. Оно предназначено
для повторения планиметрии и решения задач как учебного
содержания, так и задач вступительных экзаменов в вузы.
• Список задач на построение в пространстве, в котором
содержатся опорные задачи, лежащие в основе решения
большинства стереометрических задач курса.
• Метрические формулы планиметрии и стереометрии;
они в определённой мере заменят справочный материал.
Активное и эффективное изучение стереометрии возмож-
но лишь при условии решения достаточно большого числа
задач различной степени сложности. Поэтому в задачнике
изложению теоретического материала каждого параграфа
учебника соответствует определённый подбор задач. Зада-
чи по каждой теме систематизированы по принципу от прос-
того — к сложному.
Авторы, разумеется, не считают, что каждый должен ре-
шить все задачи или, наоборот, ограничиться решением за-
дач только данного учебника — существует много замеча-
тельных задачников по стереометрии. В нашей книге в ос-
4
Предисловие
новном помещены наиболее типичные «учебные» задачи,
как лёгкие, так и посложнее.
В связи с большим количеством задач специальным знач-
ком © отмечены те задачи, которые наиболее необходимы
для решения в классе и дома, трудные задачи отмечены
значком Этот значок присутствует среди задач, соответст-
вующих каждому из параграфов. В задачах, относящихся к
главе в целом, мы такого ранжирования не делали, так как
считаем, что учитель сам выберет понравившиеся ему зада-
чи. К абсолютному большинству задач даны ответы, а к не-
которым задачам — краткие указания. Для ряда стереомет-
рических задач в тексте приводятся подробные решения.
Задачник может быть полезен и отдельно от учебника для
всех изучающих или повторяющих курс стереометрии. Его
можно использовать на факультативах и спецкурсах, он
пригодится и для подготовки к поступлению в вузы.
Авторы выражают благодарность рецензентам учебника
профессору Ирине Михайловне Смирновой, доктору педа-
гогических наук Борису Петровичу Пигареву , заслужен-
ному учителю России, кандидату педагогических наук; Илье
Евгеньевичу Феоктистову, учителю школы 1741 г. Москвы.
Авторы отмечают неоценимую помощь в подготовке ру-
кописи к печати учителя математики Тамары Николаевны
Потоскуевой.
Авторы будут благодарны за все замечания, присланные
по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, д. 49, стр. 1,
издательство «Дрофа», редакция математики и информа-
тики или на сайт издательства «Дрофа» www.drofa.ru.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Геометрические фигуры
А, В, С, ..., М, Р, Q — точки;
а, Ь, с, т,р, q — прямые;
АВ — прямая, проходящая через точки А и В;
а, Р, у — плоскости;
(АВС) — плоскость, проходящая через точки А, В и С
(т. е. плоскость АВС);
(а, А) — плоскость, проходящая через прямую а и точ-
куА;
A(BC)D — двугранный угол с ребром ВС и гранями АВС и
DBC;
ааР — двугранный угол с ребром а и гранями а и Р;
Z (а, Ь) — угол между прямыми а и Ь;
Z (а, а) — угол между прямой а и плоскостью а;
Z (а, Р) — угол между плоскостями аир.
Отношения между геометрическими фигурами
= — равенство;
~ — подобие;
|| — параллельность;
± — перпендикулярность;
е — принадлежность элемента множеству;
с — включение одного множества в другое;
п — пересечение множеств;
и — объединение множеств.
Например:
Д АВС = Д А1В1С1 — треугольник АВС равен треугольни-
ку А^Ср
Д АВС ~ Д А1В1С1 — треугольник АВС подобен треуголь-
нику А1В1С1;
а || а — прямая а параллельна плоскости а;
а X а — прямая а перпендикулярна плоскости а;
6
Условные обозначения
А е а — точка А принадлежит плоскости а или плоскость
а проходит через точку А;
a cz а — прямая а лежит в плоскости а или плоскость а
проходит через прямую а;
A g а — точка А не принадлежит плоскости а или плос-
кость а не проходит через точку А;
a jZ а — прямая а не лежит в плоскости а или плоскость а
не проходит через прямую а;
a п а = А — прямая а пересекает плоскость а в точке А или
плоскость а пересекает прямую а в точке А.
Величины
АВ, [АВ|, р(А; В) — длина отрезка АВ или расстояние
между точками А и В;
р(Фр Ф2) — расстояние между фигурами Фх и Ф2;
A{BC)D — величина двугранного угла;
(а; Ь) — величина угла между прямыми а и Ь;
(а; а) — величина угла между прямой а и плоскостью а;
(а; р) — величина угла между плоскостями аир.
Прочие символы
=> — знак следования; заменяет слова «следовательно»,
«поэтому» и т. п.;
<=> — знак равносильности; заменяет слова «тогда и только
тогда», «равносильно» и т. п.;
Ilp.ga — проекция вектора а на ось вектора b;
п. 23.4 — пункт 23.4;
т. 3 — теорема 3.
Глава
ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ
Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них
1.001. Укажите среди перечисленных фигур плоские и не-
плоские фигуры: а) треугольник; б) ромб; в) окружность;
г) параллелепипед; д) куб; е) пирамида; ж) сфера; з) ломаная
АВСЕН, вершины А и Н которой не принадлежат плоскости
ВСЕ; и) фигура, состоящая из рёбер РА, РВ и PC треуголь-
ной пирамиды РАВС.
1.002. Назовите некоторые понятия геометрии, которым да-
ются определения: а) в планиметрии; б) в стереометрии.
1.003. Какие основные понятия геометрии используются
при определении: а) отрезка; б) окружности; в) треугольни-
ка; г) пирамиды?
1.004. © Центр О данной окружности и две её точки А и В
принадлежат плоскости а. Всякая ли точка этой окружности
принадлежит плоскости а? Ответ обоснуйте.
1.005. © Запишите символически и сделайте рисунки:
а) плоскость а проходит через точки А и С; б) плоскость а
проходит через прямую р; в) прямая р = АВ пересекает плос-
кость а в точке М; г) плоскости аир пересекаются по пря-
мой с.
1.006. Прочитайте символическую запись, выполните рису-
нок и докажите: (a n р = а, Р е a, Q g Р) => PQ </. р.
1.007. Постройте (с обоснованием) прямую, лежащую в дан-
ной плоскости.
1.008. Постройте (с обоснованием): а) прямую, пересекаю-
щую данную плоскость; б) плоскость, пересекающую данную
плоскость; в) плоскость, пересекающую данную прямую.
1.009. Две плоскости имеют две общие точки. Какая фигура
является их пересечением? Ответ обоснуйте.
8 | Глава 1
Введение в стереометрию
D 1.010. © Вершина В параллелограмма
Лч С ABCD принадлежит плоскости а. Пря-
\ мая AD пересекает плоскость а в точке Af,
хГрЛ а пРямая CD — в точке Р (рис. 1). Верно
vL • М ли выполнен рисунок? Ответ обоснуйте.
/ 1.011. Нарисуйте четыре различные точ-
Рис. 1 ки: а) принадлежащие одной плоскости;
б) не принадлежащие одной плоскости.
1.012. Можно ли провести плоскость через четыре произ-
вольные точки пространства? Ответ обоснуйте.
1.013. © Точки А, В, С и D не принадлежат одной плоскости,
а) Могут ли какие-то три из них принадлежать одной пря-
мой? б) Могут ли прямые АС и BD пересекаться? Ответ обо-
снуйте.
1.014. Каждые четыре точки некоторой фигуры Ф принадле-
жат одной плоскости. Докажите, что эта фигура является
плоской.
1.015. Даны прямая а и точка В, не принадлежащая прямой
а. Докажите, что все прямые, проходящие через точку В и
пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.
1.016. ©Прямые а и b пересекаются в точке С. Докажите,
что все прямые, не проходящие через точку С и пересекаю-
щие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в
одной плоскости все прямые, проходящие через точку С?
1.017. Лежат ли в одной плоскости прямые а, b и с, если лю-
бые две из них пересекаются, но не существует точки, прина-
длежащей всем трём прямым? Выполните рисунок.
1.018. Каждые две из трёх прямых а, b и с пересекаются, но
не существует плоскости, содержащей все три прямые. Ка-
ким образом расположены данные прямые? Выполните ри-
сунок.
1.019. © Через точку пересечения прямых АВ и АС проведе-
на прямая т, не лежащая с ними в одной плоскости. Дока-
жите, что прямые m и ВС не пересекаются.
1.020. Прямые а, & и с, лежащие в одной плоскости, пересе-
каются в точке О. Докажите, что существует плоскость, не
проходящая через точку О, которая пересекает три данные
прямые а, & и с.
9
Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них
1.021. Прямые a, Ь и с проходят через точку М. Плоскость,
не проходящая через точку М, пересекает прямые а, b и с в
точках, не принадлежащих одной прямой. Докажите, что
прямые а, b и с не лежат в одной плоскости.
1.022. © Прямая а лежит в плоскости а, а прямая b пересе-
кает эту плоскость в точке С, не принадлежащей прямой а.
Докажите, что прямые а и & не пересекаются.
1.023. Прямые р и q не лежат в одной плоскости. На прямой
с, пересекающей прямыер и q в точках Р и Q соответственно,
отмечена точка А, отличная от точек Р и Q. Можно ли через
точку А провести ещё одну прямую, отличную от с и пересе-
кающую pviq?
1.024. Прямые а и & не лежат в одной плоскости. Прямые ш
и п пересекают каждую из прямых а и b в попарно различ-
ных точках. Верно ли, что прямые m и п не пересекаются?
1.025. Точки Н, Е, F, К — середины рёбер соответственно
PC, АС, АВ, РВ тетраэдра РАВС. Можно ли провести плос-
кость через прямые: а) PC и HF; б) PC и КЕ; в) PC и EF;
г) НЕ и KF; д) EF и КН; е) HF и КЕ?
1.026. § Дана плоскость а и три прямые АВ, ВС и АС, пере-
секающие её соответственно в точках Аг, Вх и Сг. Докажите,
что точки Ар Вг и Сх принадлежат одной прямой.
1.027. ©Точка М лежит вне плоскости, проходящей через
точки А, В и С. Может ли четырёхугольник АВСМ быть тра-
пецией? Ответ обоснуйте.
1.028. (Устно.) Справедливо ли утверждение: если верши-
ны треугольника лежат в одном полупространстве относи-
тельно данной плоскости, то он весь лежит в этом полупрост-
ранстве? Верным ли будет это утверждение, если вместо вер-
шин треугольника взять середины всех трёх его сторон?
Ответ обоснуйте.
1.029. Плоскости аир пересекаются по прямой а. В плос-
кости а дана точка А, а в плоскости р — такие точки В и С,
что прямые ВС и а пересекаются. Постройте прямые пересе-
чения плоскости, проходящей через точки А, В и С, с плос-
костями аир.
10 | Глава 1
Введение в стереометрию
1.030. © Плоскости аир пересекаются по прямой а. Через
точку А прямой а проведена плоскость у, не содержащая
прямую а. Докажите, что плоскость у пересекает плоскости а
и р по двум различным прямым.
1.031. Плоский четырёхугольник ABCD и треугольник
AMD не лежат в одной плоскости. По какой прямой пересе-
каются плоскости: а) АВМ и AMD; б) АВС и CDM; b)ABD
и АСМ; г) АВС и BMD?
1.032. Две различные плоскости АВС и ABD проходят через
точку М. При этом AM = 5, ВМ = 9. Найдите длину отрез-
ка АВ.
1.033. Нарисуйте тетраэдр РАВС и выберите произвольные
точки М е АВ, К е АР. Постройте прямые пересечения плос-
костей: а) АВР и СМ К; б) СМ К и АВС; в) СМ К и АРС. Какая
фигура получилась в сечении данного тетраэдра плоскостью
СМК?
1.034. Плоскость а проходит через вершину Р тетраэдра
РАВС и точки М е АВ и К е ВС. Постройте сечение тетраэд-
ра плоскостью а. Плоскость [3 пересекает рёбра РА, РВ и PC
соответственно в точках D, Е и F. Постройте сечение тетраэд-
ра плоскостью Р и укажите отрезок прямой пересечения
плоскостей аир, лежащий внутри тетраэдра.
1.035. © Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте прямую, по ко-
торой пересекаются плоскости: а)АА1В1 б) ААгС и
ВССр в) АВ1С1 и AAjB; г) ACDX и CDDX; л}АхВС и ACD.
1.036. (Устно.) На рисунке 2 изо-
бражён куб ABCDA^B^C^D^; К — сере-
дина отрезка ВС, О = AC n BD, Ог =
= А1С1 n B1D1. Постройте отрезки, по
которым плоскость AtBCx пересекает
грани ABBXAX, A^B^C^D^ и BCCVBX дан-
ного куба. Выясните, лежит ли: а) пря-
мая ВОХ в плоскости АгВСг; б) прямая
ВХО в плоскости BDDX; в плоскости
А1ВС1; в) прямая АгО в плоскости АССг; в плоскости BDC^.
Пересекает ли прямая CVK прямые: а) АВ; б) ВВг; в) АС?
11
Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них
1.037. © Начертите куб ABCDAlB1C1D1 и выберите две про-
извольные точки М и К внутри грани ABCD. Постройте:
а) прямую пересечения плоскости А\МК и плоскости грани
ABCD куба; б) точки пересечения плоскости АХМК с пря-
мыми, содержащими рёбра AD, ВС и DDr куба; в) отрезки
прямых, по которым плоскость АуМК пересекает грани
ABBjAp ADDXAX и куба.
1.038. Через концы трёх рёбер куба, исходящих из одной
вершины, проведена плоскость. Постройте линии пересече-
ния этой плоскости с гранями куба. Найдите периметр и пло-
щадь фигуры, образованной полученными линиями, если
ребро куба равно 1.
1.039. Постройте линии пересечения куба и плоскости, про-
ходящей через середины трёх его рёбер, исходящих из одной
вершины. Найдите периметр и площадь фигуры, получив-
шейся при этом пересечении, если ребро куба равно 1.
1.040. § Дан правильный тетраэдр EFGS, у которого EF = 12.
Точки L и N лежат на рёбрах SG и SE соответственно, при-
чём SL = 3, SN = 3. Точка Т — середина ребра SF. 1) По-
стройте: а) точку Уг пересечения прямой TL и плоскости
EFG; б) точку У2 пересечения прямой TN и плоскости EFG',
в) точку пересечения прямой TN и плоскости ELF-,
г) прямую пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE. 2) Найдите:
а) длину отрезка Y1Y2; б) отношение, в котором плоскость
LY1Y2 делит отрезок SE, считая от точки S.
1.041. На рисунке изобразите четыре прямые так, что они не
лежат в одной плоскости, а любые две из них пересекаются.
1.042. © Четыре прямые проходят через одну и ту же точку,
но ни какие три из них не лежат в одной плоскости. Сколько
существует плоскостей, каждая из которых содержит ка-
кие-либо две из данных прямых? Выполните рисунок.
1.043. Как могут быть расположены прямые а, Ь, с и d, если
известно, что все они не лежат в одной плоскости, а через лю-
бые две из них можно провести плоскость? Выполните рису-
нок.
1.044. (Устно.) © Нарисуйте два треугольника АВС и АВН,
не лежащие в одной плоскости. Возьмите на отрезках АС и
12 | Глава 1
Введение в стереометрию
ВС соответственно точки К и Н. Пусть L — точка пересече-
ния прямых КН и АВ. Найдите точку пересечения прямой
КН и плоскости АВН. Ответ обоснуйте. Будет ли прямая КН
пересекать плоскость АВН, если точки К и Н — середины
отрезков АС и ВС? Ответ обоснуйте.
1.045. Фигура состоит из треугольников АВС и АСН, не ле-
жащих в одной плоскости. Постройте сечение этой фигуры
плоскостью, которая проходит через: а) точки М, О и Р — се-
редины отрезков соответственно АН, СН и АВ; б) точку В,
точки К и О — середины отрезков АС и СН.
1.046. Дан правильный тетраэдр РАВС; М — центроид (точ-
ка пересечения медиан треугольника) грани АВС; К и L —
середины рёбер соответственно ВС и АС. Постройте сечения
тетраэдра плоскостями АКР, РМС и BPL. Постройте общий
отрезок (если он существует), принадлежащий всем трём се-
чениям.
1.047. Основание четырёхугольной пирамиды PABCD — че-
тырехугольник ABCD, не являющийся трапецией. 1) По-
стройте прямую, по которой пересекаются плоскости: а) РАС
и PBD; б) РВМ и РСН, где М и Н — середины рёбер соответ-
ственно PC и РА. 2) Постройте сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через ребро АВ и точку К — середину ребра PD.
1.048. © Пусть РАВС — тетраэдр. Постройте его сечение
плоскостью а = (МЕК), если: а) точки М, К и Е принадлежат
рёбрам соответственно РА, РВ и АС так, что AM : МР = 3:1,
ВК : КР = 1:2, АЕ : ЕС = 1 : 1; б) точки М и Е лежат на ме-
дианах PH и CF треугольников соответственно РАВ и РВС,
а точка К — середина ребра PC.
1.049. © ABCDA^tCyD} — куб. Постройте его сечение плос-
костью а = (РМК), если: а) точки Р, М и К принадлежат со-
ответственно рёбрам ВВР ССг и DDt так, что ВР : РВг =
= 1:3, СМ : MCj = 3:1, DK ; KDX = 3 : 2; б) точки М, Р и
К — середины рёбер соответственно АВ, ВС и DDi.
1.050. © Постройте сечение куба ABCDA1BlC1Dl плоско-
стью, проходящей через точки Р, М и К, если: а) точки Р и М
лежат внутри квадрата ABCD, точка К — середина ребра
ААг; б) точки Р, М и К — середины рёбер соответственно
AjBp BjCi и ССр
13
Задачи к § 3-4. Аксиомы и следствия из них
1.051. © На рисунке 3 изображены три JW „
попарно пересекающиеся прямые, кото- l\/p
рые пересекают плоскость а. Верно ли _
сделан рисунок? \С )
1.052. § Вершина А ромба ABCD со сто- ( / a
роной а принадлежит плоскости а, а ос-
тальные его вершины лежат в одном по- f Q
лупространстве относительно плоскости рис 3
а. Известно, что прямая BD пересекает
плоскость а в точке К. а) Постройте точки Р и Q пересечения
плоскости а с прямыми ВС и CD. б) Найдите отношение
РА : AQ, если BD : DK = 3 : 1.
1.053. © Определите вид треугольника DEF, если: а) через
прямую, содержащую сторону FD, и точку пересечения вы-
сот треугольника можно провести, по крайней мере, две раз-
личные плоскости; б) через медиану DK и центр вписанной в
треугольник окружности можно провести, по крайней мере,
две различные плоскости; в) существует прямая, не лежа-
щая в плоскости DEF, но пересекающая биссектрису DK и
содержащая центр окружности, описанной вокруг треуголь-
ника KDF.
1.054. Докажите, что через точку пересечения диагоналей
трапеции и середины её оснований можно провести более
чем одну плоскость.
1.055. Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на
правильный треугольник ACD со стороной 10 и прямоуголь-
ный треугольник АВС с гипотенузой АС и катетом АВ, рав-
ным 5. Этот четырёхугольник перегнули по диагонали АС
так, что точка В не лежит в плоскости ACD. На прямой АС
взяли точку М так, что сумма длин отрезков ВМ и MD — на-
именьшая. Найдите значение этой суммы.
1.056. Точка В не принадлежит плоскости правильного тре-
угольника ACD со стороной 10. Длина отрезка АВ равна 5,
угол АВС — прямой. Точка М принадлежит прямой АС.
Найдите наименьшее значение длины ломаной BMD.
1.057. АВСАуВуС^ — правильная треугольная призма, все
рёбра которой имеют длину а. Точка М — середина АгВа;
14 J Глава 1
Введение в стереометрию
точка Р — середина ВС. Постройте сечение призмы плоско-
стью АМР, определите его вид и длины всех его сторон.
1.058. ABCDAXBXCXDX — куб с ребром а. Точка Р — середи-
на AjBp точка К — середина ССр точка D — середина AM.
Постройте сечение куба плоскостью РМК и найдите его сто-
рону на грани АХВХСХВХ.
1.059. MABCD — правильная четырёхугольная пирамида.
МО — её высота; АВ = МО = а; точка Р — середина МС. Точ-
ка К лежит на отрезке МО так, что МК =
2а
3 '
Постройте се-
чение пирамиды плоскостью KPD, определите его вид и най-
дите его сторону на грани СМВ.
1.060. § ABCDA^ByC^D^ — куб с ребром а. О — точка пере-
сечения диагоналей грани A^ByC^D^, точка К — середина
DC’, точка М лежит на луче ВВХ, ВХМ = 2а. Постройте сече-
ние куба плоскостью ОКМ и определите его вид.
1.061. ©В кубе ABCDA^ByC^^ с ребром 6 точка К прина-
длежит ребру ВВХ и ВК: КВг = 5:1, точка Р принадлежит
ребру DDV и DP : РВ1 = 1:5. Найдите расстояние от верши-
ны С до общей точки трёх плоскостей АХКР, ABD и КРСг.
1.062. В правильном тетраэдре МАВС с ребром 4 точки Т и
N принадлежат ребру AM, точка Р — середина ребра МВ,
точка К принадлежит ребру МС и МК = ЗКС. Найдите рас-
стояние от общей точки плоскостей МАВ, NKP и ТРК до
прямой АВ.
1.063. § В кубе ABCDA-tB^C^Dy с ребром длины 4 точка М
принадлежит ребру ААг и AM = 3, точка Р принадлежит
ребру ССХ и PCr = 1, точка К делит ребро DDy в отношении
1 : 3, считая от D. Найдите расстояния от вершины В до пря-
мой пересечения плоскостей КМР и ADC.
1.064. Ребро правильного тетраэдра МАВС равно 18. Точки
Р и К являются соответственно серединами рёбер AM и ВМ,
а точка Т делит ребро МС в отношении МТ : ТС = 4:1. Най-
дите расстояние от вершин А, В и С до общей прямой плос-
костей ТРК и АВС.
15
Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них
Графическая работа № 1 ©
Тема: «Следствия из аксиом стереометрии»
Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные
в них обозначения.
1. Прямая МР лежит в плоскости а.
2. Прямая АВ пересекает плоскость а в точке М.
3. Плоскость а проходит через прямую а и точку М, не
принадлежащую прямой а, и пересекает прямую b в точ-
ке М.
4. Прямые МС и МВ пересекают плоскость Р в одной и той
же точке.
5. Прямые МС и МВ пересекают плоскость у в разных точ-
ках.
6. Прямые а и Ъ, изображённые на рисунке параллельны-
ми, на самом деле не параллельны.
7. Прямые а и Ъ, изображённые на рисунке пересекающи-
мися, на самом деле не имеют общих точек.
8. Плоскости аир имеют общую прямую а и пересекают
прямую КМ соответственно в точках К и М.
9. Плоскости аир пересекаются по прямой с, а плоскости а
и у также пересекаются по этой же прямой с.
10. Плоскости аир пересекаются по прямой МР, а плоскос-
ти а и у пересекаются по другой прямой — прямой МТ.
11. Прямые а, b и с имеют общую точку О и лежат в одной
плоскости.
12. Прямые а, b и с имеют общую точку О, но не существует
плоскости, в которой лежат все эти три прямые.
13. Плоскости а, р и у имеют единственную принадлежащую
всем трём плоскостям точку О.
14. Прямые АВ и МТ таковы, что точка А не принадлежит
плоскости ВМТ, а точка В не принадлежит прямой МТ.
15. На прямой а, пересекающей плоскость а в точке А, вы-
браны по разные стороны от А точки М и Т. Прямые
ММ1 и ТТг параллельны между собой и пересекают
плоскость а соответственно в точках М1 и Tv
16. Две вершины треугольника АВС лежат в плоскости а,
а вершина С не лежит в а. Прямая d пересекает стороны
СВ и СА соответственно в точках М и Т, а плоскость а —
в точке К.
16 | Глава 1
Введение в стереометрию
Задачи к главе 1
1.0 65. На рисунках 4—18 показаны точки М, Р и R. Пост-
ройте сечение этого куба плоскостью MPR в каждом из за-
данных расположений точек М, Р и R.
1.066. ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром 1. Точка Q — центр
грани ABCD, точка М — центр грани ВСС1В1, точка Р —
центр грани АВВ1А1, точка К — центр грани A1B1C1Z>1.
Найдите длины отрезков: a) MQ-, б)МР; в) ВК; г)АСг;
Рис. 10 Рис. 11
Рис. 8 Рис. 9
MeiAiBtCJ М е
Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15
Задачи к главе 1
Рис. 16
R е (АВС)
Рис. 17
Р е (AAiBJ
Я е (A^CJ
М е (DD^J
Рис. 18
1.0 67. В правильном тетраэдре РАВС с ребром 1 точки Н, R
и М — центры его граней соответственно АВС, РАС и РВС;
точки DaF — середины рёбер соответственно РВ и ВС. Най-
дите длины отрезков: а) PH; б) RH; в) AM; г) RM; д) DF.
1.0 68. РАВС — правильный тетраэдр. Все рёбра имеют дли-
ну 8; М — середина АР; К — середина ВР; точка Е лежит на
ребре PC; РЕ = 6.1) Постройте: а) точку пересечения пря-
мой ME и плоскости АВС; б) точку Х2 пересечения прямой
КЕ и плоскости АВС; в) точку пересечения прямой ME и
плоскости АКС; г) прямую пересечения плоскостей МХ{К и
Х2РС. 2) Найдите: а) длину отрезка ХгХ2; б) отношение,
в котором плоскость МХгХ2 делит отрезок РВ (считая от
точки В).
1.0 69. ABCDA^jCjHj — куб с ребром 8; точка М — середи-
на ААР точка N лежит на ребре DDX; DXN = 6. 1) Постройте:
а) точку Х1 пересечения MN и плоскости АВС; б) точку Х2
пересечения MN и плоскости AjBjCp в) точку Х3 пересече-
ния ВХг и плоскости DD^; г) общую прямую плоскостей
XrX2Xs и ААгВ. 2) Найдите: а) длину отрезка ХгХ2; б) отно-
шение, в котором точка Х3 делит отрезок DC (считая от D).
1.0 70. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1,
все рёбра которой имеют длину а. Точка С — середина от-
резка СГР, К — точка пересечения диагоналей грани
18 | Глава 1
Введение в стереометрию
АА^С^С, М — точка пересечения диагоналей грани ВВ^^С.
Постройте сечение призмы плоскостью РКМ и определите
длины его сторон, лежащие в плоскостях АВС и A^BjCp
1.0 71. g MABCD — правильная четырёхугольная пирами-
да. О — точка пересечения диагоналей ABCD. МО = АВ = а.
Точка О — середина отрезка МР\ точка К — середина MD;
точка Т принадлежит лучу ВС, СТ = , и С лежит между В
О
и Т, Постройте сечение пирамиды плоскостью РКТ, опреде-
лите его вид и найдите длину стороны сечения, лежащую на
основании пирамиды.
Глава
ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи к § 6. Классификация взаимного
расположения двух прямых
2.001. © Точки А, В, С и Р не лежат в одной плоскости. До-
кажите, что прямые ВС и АР скрещиваются.
2.002. © Нарисуйте куб АВС-ОА^/^-Ор 1) Выделите в нём
ребро ВВг и назовите все рёбра куба: а) параллельные ему;
б) пересекающие его; в) скрещивающиеся с ним. 2) Выдели-
те диагональ AD1 грани ADD1A1 куба и назовите диагонали
других граней: а) параллельные ADX; б) пересекающие её;
в) скрещивающиеся с ней. Ответ обоснуйте.
2.003. Каково взаимное расположение прямых, содержа-
щих рёбра А1В1 и BBY куба ABCDArBlCiDl‘? Существуют ли
в плоскости грани АА^В^В прямые, пересекающие каждую
из прямых AjBj и BBj? Если существуют такие прямые, то
каково их число?
2.004. © Прямая а лежит в плоскости а. Прямая Ъ парал-
лельна прямой а и имеет общую точку М с плоскостью а. До-
казать, что прямая Ъ также лежит в плоскости а.
Решение. Так как прямые аиЬ параллельны, _______
то через них можно провести плоскость. Обо- а
значим её Р (рис. 19). Прямая b проходит че- /tAf Ь )
рез точку М, поэтому плоскость Р проходит а у'
через прямую а и точку М. Но через М и а
проходит и плоскость а. По теореме 1 плос- Рис. 19
кости аир совпадают. Это означает, что Ь с а.
Заметим, что можно рассуждать и так. Предположим, что
прямая Ъ не лежит в плоскости а, а имеет с ней только одну
общую точку М, т. е. прямая b пересекает плоскость а
в точке М.
20
Глава 2
Прямые в пространстве
Так как прямые аиЪ параллельны, то они не пересекают-
ся. Значит, точка М пересечения прямой b с плоскостью а не
принадлежит прямой а, которая, в свою очередь, лежит в
плоскости а. Тогда по признаку скрещивающихся прямых
прямые а и b должны скрещиваться. Это противоречит усло-
вию задачи: а || Ь. Следовательно, предположение о том, что
прямая b не лежит в плоскости а, неверно. Это означает, что
& с а.
2.005. Прямые а и b параллельны. Прямая b лежит в плос-
кости а. Может ли прямая а пересекать плоскость а?
2.006. Дано: а || Ь, ах || а, || Ь. Каково взаимное положение
прямых а1иЬ1? Ответ обоснуйте.
2.007. Даны четыре попарно параллельные прямые а, Ь, с и
d, никакие три из которых не лежат в одной плоскости.
Нарисуйте все плоскости, проходящие через каждые две из
данных прямых. Сколько таких плоскостей можно про-
вести?
2.008. © Дано: прямые а и b скрещиваются, аг || а, Ьг || Ь. Ка-
ким может быть взаимное расположение прямых а1и.Ь11 От-
вет обоснуйте.
2.009. ©Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. Точки
Alt А2, А3 лежат на прямой а, точки Bv В2, В3 — на прямой
Ь. Могут ли отрезки А2В2 и А3В3 иметь общую середину? От-
вет обоснуйте.
2.010. © Докажите, что середины рёбер АР, СР, ВС и АВ тет-
раэдра РАВС лежат в одной плоскости. Определите вид фи-
гуры, вершинами которой служат эти точки.
2.011. © Прямые а и b параллельны. Докажите, что все пря-
мые пространства, пересекающие обе прямые а и Ь, лежат в
одной плоскости.
2.012. Даны два параллелограмма ABCD и АВРК, не лежа-
щие в одной плоскости. Докажите, что треугольники AKD и
ВСР равны.
2.013. Треугольник АВС лежит в плоскости а. Через его вер-
шины проведены параллельные прямые, не лежащие в плос-
21
Задачи к §6. Классификация взаимного расположения двух прямых
кости а. На них отложены равные отрезки AAlt ВВ} и СС1 по
одну сторону от а. Докажите, что треугольники АВС и
А1В1С1 равны.
2.014. © Плоскости а и 0 пересекаются по прямой р. Точка А
лежит в плоскости а, точка В — в плоскости 0, причём ни од-
на из них не лежит на прямой р. Докажите, что прямые р и
АВ скрещиваются.
2.015. © Конец В отрезка АВ лежит в плоскости a; С — внут-
ренняя точка отрезка АВ. Через А и С проведены параллель-
ные прямые, пересекающие а соответственно в точках Ах и
Сг Найти длину отрезка ССР если: а) ВС = 12, АВ : AAt =
= 3:5; 6)AAj = 15, AC: СВ = 2 : 3; в)ААх = 21, АС : АВ =
= 2:7.
Решение. Параллельные отрезки ААг и
ССг определяют плоскость 0, которая со-
держит отрезок АВ и пересекает плос-
кость а по прямой А1С1, проходящей че-
рез точку В (рис. 20).
Для вычисления длины отрезка ССХ ис-
пользуем обобщённую теорему Фалеса в
плоскости 0.
Исходя из условия CCt || AAlf имеем:
а) АВ: ААг = ВС: ССХ = 3 : 5, откуда СС, = | ВС = 20;
О
б) АС : СВ = 2 : 3 => ВС : АВ = 3 : 5 => ВС = f АВ.
5
Далее, А СВС1 ~ Д АВАг => ВС : АВ = ССХ : ААг => ССг =
ВОАА. 0,6АВ-АА,
= ~~АВ~~ =--АВ—1==0’6-15 = 9;
в) АС : АВ = 2 : 7 => ВС : АВ = 5 : 7 => ВС = ^АВ. Тогда
ВС • АА
А СВС, ~ A АВА, => CCj : АА, = ВС : АВ => СС, =-—1 =
1111 1 АВ
= = 15.
Ответ: а) 20; б) 9; в) 15.
22
Глава 2
Прямые в пространстве
2.016. § Прямая АВ пересекает плоскость а. Через концы
отрезка АВ и его середину С проведены параллельные пря-
мые, пересекающие плоскость а в точках Аг, Вг и Сх. Рас-
смотрите случаи: 1) отрезок АВ не пересекает плоскость а;
2) отрезок АВ пересекает а. В каждом случае найдите:
а) длину отрезка ССр если: ААг = 7, ВВ1 = 5; б) длину отрез-
ка AAlt еслиВВ} = 7, CCY = 11.
2.017. Даны прямые а и Ь. Какую фигуру заполняют все пря-
мые пространства, пересекающие а и параллельные Ь, если
прямые а и Ь: а) скрещиваются; б) пересекаются; в) парал-
лельны?
2.018. Дан тетраэдр РАВС. Точки Kv, К2, К3, К4, К5, К6 —
середины рёбер соответственно АР, АВ, ВС, СР, РВ, АС. Как
расположены прямые: а) АР и ВС; б) КгК5 и ВС; в)К2К5 и
^3^4; г) КХК2 и К3К4; д) КГК. и #2#4; е) К2С и 7f3tf6; ж) К5К6
кК.К2; з) К2К4 и К.КЛ
2.019. § Через вершины А, В, С и D параллелограмма
ABCD, расположенного в одном полупространстве относи-
тельно плоскости а, точку О пересечения его диагоналей и
центроид М треугольника BCD проведены параллельные
прямые, которые пересекают данную плоскость а соответ-
ственно в точках Ар Вр Ср Dx, О}, Mv Найдите ММГ, ООг и
£>Вр если AAj = 17, СС} = 5, ВВ} = 15.
2.020. Каким может быть взаимное расположение двух пря-
мых, если: а) они обе лежат в одной плоскости; б) не сущест-
вует плоскости, в которой они обе лежат; в) одна из них
лежит в плоскости а, другая — в плоскости р; г) одна из них
лежит в плоскости а, а другая пересекает эту плоскость?
Сделайте соответствующие рисунки.
2.021. © Каждая из двух прямых а и & скрещивается с треть-
ей прямой с. Верно ли, что прямые а и b скрещиваются? От-
вет обоснуйте.
2.022. © Даны две скрещивающиеся прямые а и b и не при-
надлежащая им точка С. Через точку С проведите прямую р,
чтобы она пересекала прямые а и Ъ. Всегда ли задача имеет
решение?
23
Задачи к §6. Классификация взаимного расположения двух прямых
2.023. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. Точки Ар
А2, А3 принадлежат прямой а, точки Вр В2, В3 — прямой Ь;
точка Вг — середина отрезка АгСг, точка В2 — середина
А2С2, точка В3 — середина А3С3. а) Могут ли совпадать точки
С\ и С2? б) Чему может быть равно расстояние С2С3, если
CiC3 = С4С2 — 7?
2.024. © В треугольнике АВС точка К — середина АС, М —
центроид треугольника. Через точки А, В, С, М и К прове-
дены параллельные прямые, пересекающие плоскость у
в точках Вр Ср Мг и КА соответственно; АА4 — 8,
BBj = 11, ККХ = 5. Найдите ММХ и ССр если плоскость у
не пересекает треугольник.
2.025. Докажите, что отрезки, соединяющие середины про-
тиволежащих рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и
делятся этой точкой пополам.
2.026. © Дан тетраэдр ABCD", К, Р — произвольные точки
рёбер соответственно ВС и AD. Определите фигуру, образо-
ванную серединами всех таких отрезков РК.
2.027. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки Рр Р2, Р3, Р4, Р5, Р6,
Р7 — середины рёбер соответственно АгВр ВхСр ВВ4, ССр
ВРр АВ и AD. Как расположены прямые: а) Р1Р2 и Р3Р4;
б) Р2Р3 и ^6^7’ в) ^2^3 И ^5^7’ г) ^5^*7 И ЛА? Д) ^2^5 И ^*3^*7’
е) РХР2 и Р4Р5; ж) РХР3 и Р6Р7?
2.028. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС.
Точки Мр М2, М3, М4 — центроиды треугольников соответ-
ственно BDC, ACD, ABD и АВС; точки Кг, К2, К3 — середи-
ны отрезков соответственно ВС, CD и АВ. 1) Определите вза-
имное положение прямых: а)АМ1 и ВС; б)ВМ4 и АВ;
в)АМ3 и BD; г)М1М4 и AD; r)DK2 и ВК3; е}СКх и AD.
2) Найдите отношение: а) М2М4 : КгК2; б) М2М4 : BD.
2.029. § Пусть точка D не лежит в плоскости АВС; точка К —
середина АВ; точка Р — середина CD; точка М — центроид
треугольника АВС. а) Докажите, что фигура ADPB не может
быть трапецией, б) Докажите, что прямые DM и КР пересе-
каются. в) В каком отношении (считая от D) прямая КР
24
Глава 2
Прямые в пространстве
делит отрезок DM1 г) Определите взаимное положение пря-
мых МР и AD. Ответы обоснуйте.
2.030. © В тетраэдре РАВС точки Кх, К2, Pit Р2 — середины
рёбер соответственно АР, СР, АВ, СВ. Докажите, что отре-
зок, по которому пересекаются треугольники ВКХК2 и
РРХР2, параллелен ребру АС и равен | АС.
О
Задачи к § 7. Угол между лучами.
Угол между прямыми в пространстве.
Перпендикулярные прямые
2.031. Прямая AM не лежит в плоскости квадрата ABCD,
угол MAD — прямой, а угол МАВ равен 30°. Найдите угол:
1) между лучами: a) DC и AM; б) ВС и МА; в) AM и CD;
2) между прямыми: a) DC и AM; б) ВС и МА; в) АС и AD.
2.032. Является ли верным утверждение: две прямые в про-
странстве, перпендикулярные третьей прямой, параллель-
ны, если: а) все три прямые лежат в одной плоскости; б) все
три прямые параллельны одной плоскости; в) каждые две из
них скрещиваются?
2.033. Прямые аиб параллельны, прямая с перпендикуляр-
на прямой а. Перпендикулярны ли прямые b и с? Может ли
прямая а пересекать плоскость, в которой лежат прямые Ъ
и с?
2.034. В кубе ABCDAjBjCjDj диагонали АС и BD грани
ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между прямы-
ми: a) ADX и А1С1; б) АВ и DC1; в) АВ и C1D1; r)ADr и ODr;
д) АА1 и OD^
2.035. Точка Е — середина ребра СС} куба ABCDA1B1C1D1.
Постройте угол между прямыми АХВ и ВгЕ и найдите его ве-
личину, если длина ребра куба равна а.
2.036. Пусть Е и F — середины рёбер соответственно АВ и
AD куба ABCDAlB1C1Dl. Опустите перпендикуляры из вер-
шины А} на следующие прямые: a) ADX; б) D^E; в) BD; г) EF;
z)CxD.
_______________________________________________________I 25
Задачи к главе 2
2.037. g EFGHE1FlGlH1 — куб. Точки L, N vlT — середины
рёбер FXGX, G^H-l и НгН соответственно; К — точка пересече-
ния диагоналей грани EE^F.
Заполните таблицу расположения прямых и величин уг-
лов между ними.
№ Прямые Расположение Величина угла между прямыми
1 LNnEG
2 F^aFH
3 FtN и КТ
4 TN и EG
5 FJmKN
6 КНГ и LN
2.038. © Найдите угол между непересекающимися диагона-
лями двух соседних граней куба.
2.039. Точка Е — середина ребра РВ правильного тетраэдра
РАВС. Опустите перпендикуляры из точки Е на прямые:
а) АР; ВС и АВ; б) АС. Найдите длину каждого перпендику-
ляра, если ребро тетраэдра равно а.
Задачи к главе 2
2.040. Даны скрещивающиеся прямые а и Ъ; прямая с пере-
секает каждую из данных прямых. Докажите, что любая
прямая, параллельная прямой с, скрещивается по крайней
мере с одной из прямых а, Ь.
2.041. § Из всех вершин и точки М пересечения диагоналей
трапеции ABCD, расположенной в одном полупространстве
относительно плоскости а, проведены параллельные прямые
ААр ВВХ, ССр DDV ММ{ до пересечения с плоскостью а.
26 J Глава 2
Прямые в пространстве
Точки Ар Вр Ср Вр Мх принадлежат плоскости а. Найдите
ММ4 и ССр если ВС || AD; ВС = АА} = 18; ВВ} = 7;
DDX= 10.
2.042. Пусть точка D не принадлежит плоскости треуголь-
ника АВС. а) Докажите, что прямые AD и ВС скрещивают-
ся. б) Докажите, что прямые DMх и АМ2 пересекаются (Мх и
М2 — точки пересечения медиан треугольников АВС и DBC).
в) В каком отношении (считая от точки D) прямая АМ2 де-
лит отрезок DMJ г) Определите взаимное расположение
прямых AD и МХМ2. Ответ обоснуйте.
2.043. В тетраэдре А1А2А3А4 с ребром 6 точки Рр Р2, Р3, Р4,
Р5, Р6 — середины рёбер соответственно АгА2, А^^ А3Аг,
А4АГ, А4А2, А4А3; Мг> М2, М3, М4 — центроиды граней соот-
ветственно А2А3А4, А3А4Ар А4АгА2, А1А2А3 (рис. 21). 1) До-
кажите, что: а) прямая А4М4 скрещивается с каждой из сто-
рон треугольника AjAgA^ б) четырёхугольник АХА4Р6А2 —
не трапеция; в) рёбра тетраэдра М]М2М3М4 параллельны со-
ответствующим рёбрам данного тетраэдра. 2) Проверьте, не
является ли тетраэдр М1М2М3М4 правильным. Если этот
тетраэдр — правильный, найдите длины его рёбер. 3) Найди-
27
Задачи к главе 2
те углы между следующими прямыми: а) М1М4 и А^^,
б) М4М2 и Р]Р6; в) Р2Р4 и АгА4; г) М2М4 и А2Р4.
2.044. РАВС — правильный тетраэдр с ребром 6. Точка Н
лежит на ребре АВ так, что АН : НВ = 1:3. Проведите через
точку Н перпендикуляры на следующие рёбра тетраэдра:
а) АС и АР; б) ВС и ВР; в) АВ (в каждой из граней АВС и
АВР). Найдите длину каждого перпендикуляра.
2.045. ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром а; Ог, О2, О3, О4, О5,
О6 — центры граней соответственно АВВ1А1, ВСС1В1,
C1D1DC, AAjjDj.0, ABCD, A^^Df, M4 — центроид тре-
угольника АСВХ (рис. 22). Определите: 1) взаимное положе-
ние прямых: а) £>1М1 и АС; б) АС и ВС4; в)О1О2 и О3О4;
г) ОгО2 и BD; д) В1О5 и ВС4; 2) какой фигурой является четы-
рёхугольник О1О2О3О4; 3) отношение отрезков: а) О4О5 и
В1С1; б) О4О5 и ВгВ; в) М4О5 и А4А; 4) величину угла между
прямыми: a) A^j и AD4; б) АХВ и АС; в) А4В и DC4; г) CD4 и
ВО6; д) А4В и CD.
2.046. § Точки А, В, С и D не принадлежат одной плоскости.
Точки К, М,LaN принадлежат соответственно отрезкам BD,
AD, АС и ВС так, что DK: КВ = DM: МА = CL : LA =
= CN : NB =1:4. Определите периметр четырёхугольника
KMLN, если АВ = 25, CD = 30.
28
Гпава 2
Прямые в пространстве
2.047. В кубе ABCточкаМ — середина BjCp точ-
ка F — середина BjCp точка К — середина DC, О — точка пе-
ресечения диагоналей квадрата ABCD. Заполните таблицу.
№ Прямые Расположение Величина угла между прямыми
1 ААХ и ССХ
2 AxCj и B1Z)1
3 АХСХ и ClD1
4 АХМ и ССТ
5 AxDkDCx
6 AjCj и BD
7 AyCnAC
8 АгВ и DXC
9 А1СиВВ1
10 AXD и АС
11 А^МвВС
12 А^МиВК
13 С^иВ^
14 С1ОиАВ1
15 А}В и BrD
2.048. Дан правильный тетраэдр РАВС. Точка К — середина
ребра РВ. Опустите из точки К перпендикуляры на прямые:
а) АР; б) АС; в) ВН, где точка Н — середина ребра АС.
2.049. В правильной треугольной пирамиде РАВС с верши-
ной Р углы АР В, ВРС и АРС — прямые. Точка Н — центр
правильного треугольника АВС. Опустите из точки Н пер-
пендикуляры на прямые: а) СР; б) ВР; в) АР.
29
Задачи к главе 2
2.050. В основании пирамиды РАВС лежит правильный
треугольник АВС, а треугольники РАВ и РАС — прямо-
угольные, причём АР = АВ. Точка М — середина ребра РА.
Опустите перпендикуляры из точки М на следующие пря-
мые: а) ВС; б) PC; в) АН, где точка Н — середина ребра ВР.
2.051. В правильной пирамиде РАВС с вершиной Р углы
АР В, ВРС и АРС — прямые. Точка Н — середина апофемы
РК грани ВРС. Опустите из точки Н перпендикуляры на
прямые: а) СР; б) АС; в) АР.
2.052. Пусть точка М — середина ребра АВ пирамиды
ABCD, а точка N делит ребро АС в отношении 1 : 2, считая от
вершины А. Докажите, что в плоскости грани BCD нет ни
одной прямой, параллельной прямой MN.
2.053. § Равнобедренные трапеции АВСР и РСМК имеют
общую боковую сторону и лежат в разных плоскостях, при-
чём ВС = 3, АР = 12, РК = 24. Определите взаимное располо-
жение прямых АВ и МК при каждом из следующих значе-
ний длины отрезка МС’. а) 5; б) 6; в) 7; г) 8.
2.054. § ABCD — правильный тетраэдр с длиной ребра 7.
Точки М и К — середины рёбер BD и АС соответственно.
Точка Р делит ребро АС в отношении 5 : 2, считая от точки С.
Найдите длину заключённого внутри тетраэдра отрезка пря-
мой, проходящей через точку Р параллельно прямой КМ.
2.055. ABCDBFA1B1C1D1B1B1 — правильная шестиугольная
призма, все рёбра которой равны 1. Найдите величину угла
между прямыми: а) АС и DEX; 6)АХВ и CXD; ъ)АхВ и BjD;
г) AjB и СГВ; д) АХВ и B^F.
прямая и плоскость
В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи к § 8. Параллельность прямой и плоскости
3.001. Через данную точку А, не принадлежащую данной
плоскости а, проведите прямую, параллельную а.
3.002. Верно ли утверждение: если прямая параллельна
плоскости, то она не пересекает ни одной прямой: а) лежа-
щей в этой плоскости; б) параллельной этой плоскости? От-
вет обоснуйте.
3.003. Известно, что прямая т параллельна плоскости а.
Параллельна ли эта прямая любой прямой, лежащей в плос-
кости а? Ответ обоснуйте.
3.004. Через данную прямую а проведите плоскость, парал-
лельную данной прямой Ь. (Рассмотрите возможные случаи
взаимного расположения прямых а и &.)
3.005. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. Через каж-
дую точку прямой а проводится прямая, параллельная пря-
мой Ъ. Доказать, что все такие прямые лежат в одной плос-
кости. Как расположена эта плоскость по отношению к пря-
мой &? Ответ обосновать.
Решение. Отметим на прямой а произвольную точку В и про-
ведём через неё прямую с (единственную!), параллельную
прямой Ь. Через пересекающиеся прямые а и с проводим
плоскость (единственную!). Обозначим её через а (рис. 23).
Эта плоскость (по признаку параллельности прямой и плос-
кости) параллельна прямой Ь.
Рис. 23
Пусть М — произвольная точка пря-
мой а, т — прямая, проходящая через
точку М параллельно прямой Ъ. Тогда
прямая т параллельна прямой с (т. 7) и
лежит в плоскости а (почему?). В силу
произвольного выбора точки М на пря-
________________________________________________I3:
Задачи к §8. Параллельность прямой и плоскости
мой а можно сделать вывод: все прямые пространства,
параллельные прямой Ъ и пересекающие прямую а,
лежат в плоскости, которая проходит через пря-
мую а и параллельна прямой Ь.
Самостоятельно докажите единственность плоскости а.
3.006. © В тетраэдре ABCD точки К, F, N и М — середины
рёбер соответственно AD, BD, ВС и АС. Заполните таблицу,
выбрав (обведя в кружок) определённое вами расположение
указанных прямой и плоскости: А — пересекаются, Б — па-
раллельны, В — прямая лежит в плоскости, Г — невозможно
определить.
№ Прямая и плоскость Взаимное расположение
1 DB иAMN АБВГ
2 MN и АВС АБВГ
3 КС и DMN АБВГ
4 MN и ABD АБВГ
5 KF и DMN АБВГ
6 FN и KMF АБВГ
7 CFиADN АБВГ
8 FN и DM К АБВГ
3.007. © Прямая а параллельна плоскости а и лежит в плос-
кости р. Плоскости аир пересекаются по прямой Ь. Как рас-
положены прямые а и 6? Ответ обоснуйте.
3.008. Прямая а параллельна плоскости а. Прямая b пересе-
кает прямую а. Каким может быть взаимное расположение
прямых & и а?
3.009. Прямая а параллельна плоскости а. Каким может
быть взаимное расположение прямых а и Ь, если прямая Ь
лежит в плоскости а?
3.010. Даны плоскости а и р и прямая а. Причём а п р = Ь,
а || а, а || р. Каково взаимное расположение прямых а и д?
32
Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
3.011. Докажите, что через каждую из двух скрещивающих-
ся прямых можно провести плоскость, параллельную другой
прямой, и притом только одну.
3.012. Справедливо ли утверждение: a) a || а, Ь || а => а || Ь;
б) а || ct, Р || a => а || 0; в) а Ц а, Ь Ц а => а Ц &? Ответ обоснуйте и
сделайте соответствующий рисунок.
3.013. Дано: a || a, a || b, b || Р, а || р. Какое из четырёх утверж-
дений является следствием трёх оставшихся? Ответ обоснуй-
те и сделайте соответствующий рисунок.
3.014. Через данную точку М проведите: а) прямую, парал-
лельную каждой из двух данных пересекающихся плоскос-
тей а и Р; б) плоскость, параллельную каждой из двух дан-
ных скрещивающихся прямых а и Ь.
3.015. © В правильном тетраэдре DABC, все рёбра которого
равны 6, точка К лежит на ребре BD так, что DK = 2; точка
М лежит на ребре ВС так, что ВМ = 4; точка Р — середина
ребра АВ. а) Докажите, что прямая КМ параллельна плос-
кости ADC. б) Докажите, что прямая РМ не параллельна
плоскости ADC. в) Проведите через точку Р прямую, па-
раллельную плоскости ADC и пересекающую ребро DB в точ-
ке L. Найдите длину отрезка LK. г) Постройте сечение тетра-
эдра плоскостью, проходящей через точки Р и К параллель-
но прямой АС.
3.016. © Постройте сечение тетраэдра РАВС плоскостью,
проходящей через внутреннюю точку Н грани АВС парал-
лельно прямым ВС и АР.
3.017. © Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD
является параллелограмм ABCD. Постройте её сечение плос-
костью, проходящей через прямую АВ и точку К, лежащую
в грани: а) ВСР-, б) DCP. Какая фигура получается в сечении?
3.018. § Основанием правильной четырёхугольной пирами-
ды PABCD является квадрат ABCD. Постройте сечение этой
пирамиды плоскостью, проходящей через АВ и точку К —
середину ребра PC. Найдите площадь этого сечения, если все
рёбра пирамиды равны 8.
33
Задачи к §8. Параллельность прямой и плоскости
3.019. © Постройте прямую, которая: а) лежит в данной
плоскости а и параллельна данной прямой а; б) лежит в дан-
ной плоскости а и параллельна данной плоскости Р; в) прохо-
дит через данную точку А и параллельна данной плоскости
Р; г) параллельна каждой из двух данных пересекающихся
плоскостей а и Р; д) параллельна данной плоскости а и пере-
секает каждую из двух данных прямых а и Ъ.
3.020. Постройте плоскость, которая: а) проходит через дан-
ную точку А и параллельна данной прямой иг; б) проходит
через данную прямую а и параллельна данной прямой пт,
в) проходит через данную точку А и параллельна данным
прямым а и тп.
3.021. Даны три попарно скрещивающиеся прямые а, Ь и с.
Всегда ли существует плоскость: а) параллельная каждой из
этих прямых; б) пересекающая каждую из них? Ответ обо-
снуйте и выполните соответствующий рисунок.
3.022. Дан куб ABCDA1B1C1Dl. Пусть Рр Р2, Р3, Р4, Р5, Р6,
Р7, Р8 — середины рёбер соответственно АВ, ВВг, В^р АгА,
CD, ССР Cj-Dp DDp Каково взаимное положение таких пря-
мых и плоскостей, как: а) Р3Р4 и Р1Р2Р6', б) Р7Р8 и Р1Р2Р6;
в)Р4Р7 и PiP2P^ г)Р4Р6 и AByD; д)АС и Р3Р4Р5; е)ВР> и
P^PJ
3.023. § Дан параллелепипед ABCZ>A1B1C1Z>1, Р и Q — внут-
ренние точки граней соответственно ABCD и А1В1С1В1.
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходя-
щей через точки Р и Q и параллельной прямой CCV
3.024. § Через вершину Р правильного тетраэдра РМВН с
ребром, равным 8, проведите сечение, параллельное ребру
МВ. Сколько таких сечений тетраэдра можно провести? Ка-
кие фигуры при этом получаются в сечениях? Найдите пло-
щадь сечения, проходящего через середину К ребра ВН.
3.025. § В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD с
вершиной Р все рёбра равны 4. Постройте сечение этой пира-
миды, проходящее через центр О её основания параллельно
ребру ВС и медиане РК грани ВСР. Установите форму полу-
ченного сечения; найдите его периметр и площадь.
34
Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
3.026. § Дан правильный тетраэдр РАВС с ребром 6. Через
центр О основания АВС тетраэдра проведена плоскость а,
параллельная ВС и пересекающая ребро АР в некоторой точ-
ке К. Постройте сечение тетраэдра плоскостью а. Укажите
границы изменения периметра и площади этого сечения при
всевозможных положениях точки К на ребре АР.
3.027. Дан куб ABCDA1B1C1D1; точки Р и Q — середины рё-
бер АВ и ВС соответственно. Постройте сечение куба плоско-
стью, проходящей через точки Р и Q параллельно диагонали
BDX куба.
3.028. Дан куб ABCBAjBjCjBp точка Р — середина ребра
ААг. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через
точки Р и Dj параллельно диагонали АС грани ABCD куба.
Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 10.
Задачи к § 9—10. Перпендикулярность прямой
и плоскости.
Перпендикуляр и наклонная к плоскости
3.029. (Устно.) Докажите, что отрезок, соединяющий цент-
ры двух противоположных граней куба, перпендикулярен
этим граням.
3.030. (Устно.) Через центр О окружности, описанной око-
ло треугольника АВС, проведена прямая перпендикулярно
плоскости этого треугольника. Докажите, что каждая точка
этой прямой равноудалена от вершин треугольника.
3.031. Через точку М прямой а проводятся прямые, перпен-
дикулярные прямой а. Докажите, что все они лежат в одной
плоскости.
3.032. (Устно.) Из точки М вне плоскости а проведены к
ней три равные наклонные МА, МВ и МС. Докажите, что ос-
нование Н перпендикуляра, опущенного из точки М на
плоскость а, является центром окружности, описанной око-
ло треугольника АВС.
3.033. Расстояние от точки М до плоскости правильного
шестиугольника со стороной 8 равно 8. Найдите расстояния
35
Задачи к §9—10. Перпендикулярность прямой и плоскости
от точки М до сторон шестиугольника, если она равноудале-
на от каждой из них.
3.034. Точка Р удалена от каждой стороны правильного тре-
угольника на 30 см. Найдите расстояние от точки Р до плос-
кости треугольника, если площадь вписанного в этот тре-
угольник круга равна 576л см2.
3.035. Точка М удалена от плоскости прямоугольного тре-
угольника на расстояние, равное 5л/3, и равноудалена от
каждой его стороны. Найдите расстояние от точки М до каж-
дой из сторон этого треугольника, если его гипотенуза и один
из катетов равны соответственно 25 и 15.
3.036. Точка О — центроид правильного треугольника АВС;
ОР — прямая, перпендикулярная плоскости АВС; М — про-
извольная точка прямой OP (М # О). Докажите, что: а) рас-
стояния от точки М до вершин треугольника АВС рав-
ны; б) расстояния от точки М до сторон треугольника АВС
равны; в) Z МАО = Z МВО = Z МСО; г) Z AMO = Z ВМО =
= Z СМО.
3.037. © Прямая АК перпендикулярна к плоскости квадра-
та ABCD. Докажите, что: а) прямая KD перпендикулярна
прямой CD; б) прямая ВС перпендикулярна прямой ВК;
в) прямая КС перпендикулярна прямой BD.
3.038. © Из точки М проведён перпендикуляр МВ к плос-
кости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники
AMD и CMD — прямоугольные. Перпендикулярны ли пря-
мые MD и АС?
3.039. © Прямая АК перпендикулярна плоскости паралле-
лограмма ABCD. Оказалось, что прямая KD перпендику-
лярна прямой CD. Докажите, что четырёхугольник ABCD —
прямоугольник.
3.040. Прямая АК перпендикулярна плоскости параллело-
грамма ABCD. Оказалось, что прямая КС перпендикулярна
прямой BD. Докажите, что четырёхугольник ABCD — ромб.
3.041. © Два прямоугольных треугольника АСВ и АСМ с
прямым углом в вершине С имеют общий катет АС. Прямые
АС и ВМ скрещиваются. Докажите, что: а) СМ — проекция
наклонной ВС на плоскость АМС; б) СВ — проекция наклон-
ной МС на плоскость АВС.
36 | Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
3.042. Прямая ВМ перпендикулярна плоскости треуголь-
ника АМС, а прямая ВК перпендикулярна прямой АС, где
точка К — середина отрезка АС. Докажите, что треугольник
АМС — равнобедренный, и укажите его равные углы.
3.043. Прямая ВМ перпендикулярна плоскости треуголь-
ника АМС, а прямая ВС перпендикулярна прямой АС. Дока-
жите, что треугольник АМС — прямоугольный, и укажите
его прямой угол.
3.044. Прямая ОВ перпендикулярна плоскости окружности
с центром О. Прямая а касается этой окружности в точке К.
Докажите, что прямая ВК перпендикулярна прямой а.
3.045. Равные треугольники имеют общую сторону. Какую
фигуру заполняют высоты всех таких треугольников, опу-
щенные на эту сторону?
3.046. Два равнобедренных треугольника РМК (РМ = РК) и
PHT (PH = РТ) имеют общую медиану РО. Докажите, что
прямая РО перпендикулярна плоскости МНК.
3.047. © Точка О — центр симметрии параллелограмма
ABCD, М — точка вне плоскости этого параллелограмма.
При этом МА = МС, МВ = MD. Докажите, что МО ± (АВС).
3.048. Прямая а пересекает плоскость а в точке М и не пер-
пендикулярна этой плоскости. Докажите, что в плоскости а
через точку М проходит прямая, перпендикулярная прямой
а, и притом только одна.
3.049. К плоскости правильного шестиугольника ABCDEF
проведён перпендикуляр СМ. Докажите перпендикуляр-
ность прямых: а) МА и AF; б) ME и EF.
3.050. К плоскости прямоугольного треугольника АВС
(Z.C = 90°) проведён перпендикуляр ВР. На наклонных РА
и PC отмечены соответственно такие точки Е и К, что отре-
зок ЕК параллелен прямой АС (рис. 24).
Верно ли, что треугольник ВКЕ— пря-
& моугольный?
Решение. Имеем ВР ± (АВС) => ВР 1 АС.
Кроме того, АС 1 ВС (Z АСВ = 90°). Сле-
X/ довательно, по признаку перпендикуляр-
В С ности прямой и плоскости АС ± (ВСР).
Рис. 24 Тогда АС 1 ВК. А так как КЕ || АС и
________________________________________________LZT
Задачи к §9—10. Перпендикулярность прямой и плоскости
АС ± ВК, то KE ± ВК. Это означает, что Z ВКЕ = 90°, т. е.
Л ВКЕ — прямоугольный.
3.051. В треугольнике АВС угол С прямой. Прямая AM
перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что отрезок
ВС перпендикулярен плоскости АСМ. Будет ли отрезок ВС
перпендикулярен плоскости АСМ, если: a) Z С ф 90°;
б) AM Z (АВС)?
3.052. § Через точку М высоты АН равнобедренного тре-
угольника АВС (АВ = АС) проведён к его плоскости перпен-
дикуляр МР. Докажите, что ВС ± LH, где L — любая точка
прямой АР.
3.053. В кубе ABCDAlB1C1D1 точки Е, F и М — середины
рёбер соответственно АХВХ, ВХСХ и ВВР Докажите, что пря-
мая В] В перпендикулярна плоскости EFM.
3.054. В правильном тетраэдре РАВС опустите перпендику-
ляры на плоскость РВС из точек: а) Н — середины ребра АР;
б) М — середины ребра АВ; в) К — середины медианы РТ
грани АВР; г) L — середины РМ.
3.055. © Точка О — центр основания АВС правильного тет-
раэдра РАС В, точка К — середина ребра АР. Постройте сече-
ние тетраэдра плоскостью, проходящей: а) через точку О
перпендикулярно прямой АС; б) через точку О перпендику-
лярно прямой ВР; в) через точку К перпендикулярно
прямой АР; г) через точку К перпендикулярно прямой ВС;
д) через точку К перпендикулярно прямой ОР.
3.056. § Отрезок ВМ перпендикулярен плоскости треуголь-
ника АВС. Докажите, что: а) высоты треугольников AM С и
АВС пересекаются в точке на прямой АС; б) углы АСВ и
АСМ либо оба — острые, либо оба — прямые, либо оба — ту-
пые.
3.057. Отрезок МВ перпендикулярен плоскости четырёх-
угольника ABCD. На прямой AD взята такая точка К, что
МК ± AD. Найдите МК, если: a) ABCD — прямоугольник;
б) ABCD — ромб со стороной а и острым углом а; в) ABCD —
ромб со стороной а и тупым углом а; г) ABCD — равнобед-
ренная трапеция (ВС || AD), у которой AD = а, ВС = Ь(а> Ь).
38
Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
3.058. На высоте АЕ треугольника АВС взята любая точка
М, из которой восставлен перпендикуляр MN к плоскости
этого треугольника. Докажите, что для любой точки Р пря-
мой MN имеет место: АР ± ВС.
3.059. ©ABCD — ромб. Точка С — середина отрезка АК;
KF ± (АВС). Какие из прямых ВС, BD, CD перпендикулярны
AF?
3.060. Прямоугольный треугольник MNL (Z MLN = 90°)
вписан в окружность. Отрезок NQ перпендикулярен плос-
кости MNL. Докажите, что Z MLQ = 90°.
3.061. В правильном тетраэдре ABCD точка К — середина
АС, точка F — середина BD. Докажите, что: а) AC ± (BDK);
б) АС 1 BD; в) отрезок KF — общий перпендикуляр прямых
АС и BD.
3.062. Дан куб ABCDAlBlClDl. Докажите, что:
a) BBlCAAiC); б) BDIAC^, в) DAy lAC^ г) АСХ1 (AXBD).
3.063. О — точка пересечения диагоналей ромба ABCD.
Ромб перегнули по диагонали АС так, что точка В оказалась
вне плоскости ADC. Докажите, что: а) проекцией наклон-
ной ВО на плоскость ADC служит прямая DO', б) перпенди-
куляр, опущенный из точки D на плоскость АВС, пересечёт
прямую ВО.
3.064. Основание AD трапеции ABCD является диаметром
описанной около трапеции окружности. О — точка пересече-
ния диагоналей этой трапеции. Прямая ОМ перпендику-
лярна прямым ОА и ВС. Докажите, что прямая МС перпен-
дикулярна прямой CD.
3.065. © Прямая ВМ перпендикулярна плоскости треуголь-
ника АМС, а прямая ВК перпендикулярна прямой АС.
Точка С лежит на отрезке АК. Докажите, что треугольник
АМС — тупоугольный, и укажите его тупой угол.
3.066.^0 — точка пересечения диагоналей квадрата
ABCD. РО — перпендикуляр к плоскости АВС; точка М —
середина стороны ВС. Докажите, что: а) прямая РМ являет-
ся проекцией наклонной ОМ на плоскость РВС; б) перпенди-
39
Задачи к § 9—10. Перпендикулярность прямой и плоскости
куляр, опущенный из точки О на плоскость АВР, пересечёт
медиану РРг треугольника АВР.
3.067. © В треугольник АВС вписана окружность с центром
О, касающаяся его сторон ВС, АС и АВ соответственно в точ-
ках Ар Вг и Ср Прямая МО перпендикулярна плоскости
треугольника АВС. Докажите, что: а) прямая МСг перпен-
дикулярна АВ; б) прямая ОВГ — проекция наклонной МВГ
на плоскость АВС; в) прямая МСг — проекция наклонной
ОСГ на плоскость АВМ; г) длина высоты ОН треугольника
МОВ} равна расстоянию от точки О до плоскости МАС.
3.068. Из некоторой точки проведены к данной плоскости
перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен (р.
Найдите: а) наклонную и её проекцию на данную плоскость,
если длина перпендикуляра h; б) перпендикуляр и наклон-
ную, если длина проекции наклонной равна Ъ; в) перпенди-
куляр и проекцию наклонной, если наклонная равна а.
3.069. Через вершину прямого угла равнобедренного прямо-
угольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпен-
дикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки М до
прямой АВ, если АС = 4 см, СМ = 2^/7 см.
Решение. Пусть точка К — середина гипотенузы АВ тре-
угольника АВС (рис. 25). Так как АС = СВ, то СК LAB, и по
теореме о трёх перпендикулярах отрезок МК перпендикуля-
рен АВ. Это означает, что длина отрезка МК — искомое рас-
стояние от точки М до прямой АВ.
Далее, так как МС 1 (АВС), то МС 1 СК (по определению
прямой, перпендикулярной плоскости). Поэтому Д МСК —
прямоугольный, значит, МК2 = МС2 + СК2.
Так как Д АВС — равнобедрен-
ный прямоугольный (Z С = 90°) и
СК — его медиана, то А СВК —
равнобедренный прямоугольный
(Z К = 90°). Тогда СК2 = ± ВС2 = 8.
Учитывая, что МК2 = МС2 + СК2,
получаем МК = 6.
Рис. 25
Ответ: МК - 6 см.
40 J Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
3.070. © Расстояние от точки М до каждой из вершин пра-
вильного треугольника АВС (АВ = 6) равно 4. Найдите рас-
стояние от точки М: а) до плоскости треугольника АВС; б) до
каждой его стороны.
3.071. Сторона АВ, равная 8, правильного треугольника
АВС лежит в плоскости а, а длины проекций двух других его
сторон на эту плоскость равны 2 ^7 . Найдите: а) длину про-
екции медианы СК данного треугольника на плоскость а;
б) расстояние от точки С до плоскости а.
3.072. Плоскость а содержит катет АС равнобедренного пря-
моугольного треугольника ABC (Z С = 90°) и не перпендику-
лярна катету ВС. Найдите длину проекции гипотенузы АВ
на плоскость а, если известно, что длина катета ВС равна Ь,
а расстояние от вершины В до плоскости а равно а.
3.073. © Точка К — середина гипотенузы АВ прямоугольно-
го треугольника АВС. Отрезок КМ перпендикулярен плос-
кости этого треугольника. Проведите через точку М пер-
пендикуляры к прямым АС и ВС и найдите их длины, если
АС = 8, ВС = 6, КМ = 5.
3.074. § Боковая сторона равнобедренного треугольника
равна 10 см, а основание 12 см. Точка М удалена от каждой
его стороны на 15 см. Найдите: а) расстояние от точки М до
плоскости треугольника; б) площадь круга, вписанного в
треугольник.
3.075. Точка М одинаково удалена от всех сторон тре-
угольника АВС, у которого АВ = 13 см, ВС = 15 см, АС =
= 14 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника
равно 3 см. Найдите расстояния от точки М до сторон тре-
угольника.
3.076. § Диагонали ромба равны 30 см и 40 см и пересекают-
ся в точке Н. Длина перпендикуляра НМ к плоскости ромба
равна 5 см. Найдите расстояние от точки М до каждой сторо-
ны ромба.
3.077. Из вершин параллелограмма ABCD, его центра О и
центроида М треугольника BCD опущены перпендикуляры
ААР ВВр ССр DDX, ОО1 и ММ} на плоскость а. Причём
AAj = 34 см, CCj = 10 см, ВВ} = 30 см. Найдите длины отрез-
ков: а) ООр б) ВВр в) ММг.
41
Задачи к§ 11. Угол между прямой и плоскостью
3.078. (Устно.) Около окружности радиуса 8 дм описан
ромб со стороной а. Точка М, находящаяся на расстоянии
15 дм от плоскости ромба, равноудалена от его сторон. Най-
дите расстояние от точки М до сторон ромба. Будет ли изме-
няться это расстояние с изменением длины стороны а?
3.079. К плоскости ромба ABCD проведён перпендикуляр
СИ длиной 9 см. Найдите расстояния от точки Н до прямых,
на которых лежат стороны ромба, если Z BAD = 60°, а сторо-
на ромба — 6 см.
3.080.1 В правильном тетраэдре РАВС с ребром, равным 2,
точка О — центр основания АВС. Найдите расстояние от точ-
ки О до плоскости грани РВС.
3.081. § Точка Р равноудалена от всех сторон прямоуголь-
ной трапеции с острым углом в 60° и большей боковой сторо-
ной, равной 8а/3 . Найдите расстояния от точки Р до сторон
трапеции, если известно, что расстояние от этой точки до
плоскости трапеции равно 8.
3.082. РАВС — правильный тетраэдр с основанием АВС', точ-
ка Aj — середина ребра АР', точка Вг — середина ребра ВР;
точка С\ — середина ребра СР. а) Постройте сечение тетраэдра
плоскостью СВА1. б) Докажите, что АР 1 (ВСАг). в) Найдите
площадь треугольника ВСАР если ребро тетраэдра равно 2.
Задачи к § 11. Угол между прямой
и плоскостью
3.083. (Устно.) Под каким углом к плоскости а следует про-
вести отрезок АВ, чтобы он был вдвое больше своей проек-
ции на эту плоскость?
3.084. (Устно.) Гипотенуза АВ равнобедренного прямо-
угольного треугольника АВС лежит в плоскости а. Может ли
катет АС этого треугольника образовывать с плоскостью а
угол в 60°? Найдите наибольшее значение, которое может
принимать угол между катетом АС и этой плоскостью.
3.085. Катет АС равнобедренного прямоугольного треуголь-
ника АВС лежит в плоскости а, а катет ВС образует с этой
плоскостью угол в 45°. Докажите, что гипотенуза этого тре-
угольника образует с плоскостью а угол в 30°.
42
Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
3.086. Наклонная АВ образует с плоскостью а угол в 45°.
В этой плоскости через основание А наклонной под углом 45°
к её проекции проведена прямая АС. Найдите угол между
прямой АС и наклонной АВ.
3.087. § Прямоугольник ABCD и прямоугольный треуголь-
ник DCP лежат в разных плоскостях. Вершина Р проектиру-
ется в точку В; ВР = 4 см, АВ = 4 J2 см, AD = 4 см. Найдите
угол между прямыми: a) DP и АВ', б) PC и AD.
3.088. ©ABCD — параллелограмм. Найдите угол между
прямой АВ и плоскостью а, если прямая CD образует с плос-
костью а угол ср.
3.089. ABCDAlBlClDl — куб. Найдите угол между плоско-
стью А1СС1 и прямой а, если прямая а образует с плоскостью
АСВГ угол 45°.
3.090. Прямая AM перпендикулярна плоскости а. Найдите
угол между прямой КР и плоскостью а, если угол между
прямыми AM и КР равен 60°.
3.091. Угол АВС равен 100°. Найдите угол между прямой
АВ и плоскостью ВМК, если прямая ВС перпендикулярна
этой плоскости.
3.092. © ОМ — наклонная на плоскость а. Точка О лежит в
а, а расстояние от М до а равно р(М; а). Докажите, что синус
- г,™ р(М; а)
угла между наклонной ОМ и плоскостью а равен •
3.093. © Прямая АВ пересекает плоскость а в точке О и об-
разует с ней угол ф; ОВ = Ь; О А = а. Найдите расстояния от
точек А и В до плоскости а.
3.094. © Прямая МС перпендикулярна к плоскости тре-
угольника АВС; ВС = МС = 3; АС = J3 . Найдите углы, кото-
рые образуют прямые ВМ и AM с плоскостью треугольника.
3.095. Катет АС равнобедренного прямоугольного треуголь-
ника АВС лежит в плоскости а, гипотенуза АВ равна 4,
а вершина В удалена от плоскости а на расстояние 2. Опреде-
лите величину угла между плоскостью а и прямой: а) АВ;
43
Задачи к§ 11. Угол между прямой и плоскостью
б) ВС; в) прямой, содержащей медиану CCt; г) прямой, со-
держащей медиану ВВг; д) прямой, содержащей медиану
3.09 6. § О — точка пересечения диагоналей ромба ABCD.
Сторона ромба равна 8, Z АВС = 120°. Длина перпендикуля-
ра ОК к плоскости АВС равна 6. Точка О удалена от плоскос-
ти АВК на 3. Найдите величину угла, который образует
с плоскостью АВК прямая: а) ОК; б) АО; в) BD; г) КС; д) KD;
е) CD.
3.09 7. § Прямая DM перпендикулярна плоскости квадра-
та ABCD. О — точка пересечения диагоналей квадрата; точ-
ка К — середина стороны CD. Заполните таблицу, если
DM = AD.
№ Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла
1 МСиАВС
2 МВ иАВС
3 МА иАВС
4 МО и АВС
5 АС и MDC
6 AD и MDC
7 АВ и MDC
8 ОК и MDC
9 ОМ и MDC
10 АС и О AM
11 АО иADM
3.09 8. © Прямая ВК перпендикулярна плоскости равносто-
роннего треугольника АВС. ВК = АВ; точка М — середина
АС. Заполните таблицу.
44
Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
№ Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла
1 КА и АВС
2 КМ и АВС
3 СА и МВК
4 ВА и ВМК
5 АС и КВА
6 ВМ и КВА
7 АКи ВКМ
8 ВК и АСК
9 ВМ и АСК
10 АК и ВСК
3.09 9. § О — точка пересечения медиан правильного тре-
угольника АВС. МО — перпендикуляр к плоскости АВС;
МА = АВ = а; точка К — середина стороны ВС; Р — точка пе-
ресечения медиан треугольника МВС. Заполните таблицу.
№ Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла
1 МСи АВС
2 МК и АВС
3 СВ и AM К
4 СА и AM К
5 ОС и AM К
6 СМ и AM К
7 РВ и АМК
8 АР и МВС
9 ОМ и МВС
10 АК и МВС
___________________________________________________LJ5
Задачи к § 12. Параллельное проектирование и его свойства
Окончание таблицы
№ Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла
11 МВтлАСР
12 ВС и АСР
3.100. ©В кубе ABCDAlB1ClDl точка М — середина ребра
BjCp точка F — середина ребра В1С1, точка К — середина
ребра DC, О — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.
Заполните таблицу.
№ Прямая и плоскость Величина угла
1 АВ^пАВС
2 АСтлАА^В
3 MF и DDyC
4 MF и DDXB
5 AM и ABC
6 АС и MKF
7 АК и MKF
8 ACx иBCCj
9 ClDwACC1
10 B1DnACCl
11 AA^AMF
12 DDX и AMF
Задачи к§ 12. Параллельное проектирование
и его свойства. Ортогональное проектирование
3.101. Какая фигура может служить параллельной проекци-
ей: а) прямой; б) отрезка; в) луча; г) угла; д) плоскости? Вы-
полните рисунки.
46
Гпава 3
Прямая и плоскость в пространстве
3.102. Даны три точки. Как они должны быть расположены
в пространстве, чтобы их проекциями были: а) одна точка;
б) две точки; в) три точки, лежащие на одной прямой; г) три
точки, не лежащие на одной прямой? Выполните рисунки.
3.103. В каком случае: а) проекция точки совпадает с этой
точкой; б) проекция прямой совпадает с этой прямой?
3.104. Какая фигура может служить параллельной проек-
цией двух прямых, если эти прямые: а) параллельны; б) пе-
ресекаются; в) скрещиваются? Выполните рисунки.
3.105. Какая фигура может служить параллельной проек-
цией: а) окружности; б) треугольника; в) плоского много-
угольника; г) неплоского многоугольника? Выполните ри-
сунки.
3.106. Докажите, что параллельная проекция многоуголь-
ника, плоскость которого параллельна плоскости проекций,
есть многоугольник, равный данному.
3.107. Скрещивающиеся прямые а и Ъ проектируются на
плоскость а, пересекающую обе прямые, причём прямая a
проектируется параллельно прямой Ь, а прямая b — парал-
лельно прямой а. Докажите, что проекции данных прямых
параллельны.
3.108. Точки А, В и С лежат на прямой и проектируются на
плоскость а в точки Ар и соответственно. Найдите
AjBp если АВ = 7, АС = 3, а В^ = 5.
3.109. © Можно ли параллелограмм ABCD так перегнуть по
диагонали АС, чтобы проекцией треугольника АВС на плос-
кость ADC был треугольник АВС? Возможно ли, чтобы тре-
угольник ADC был ортогональной проекцией треугольника
АВС?
3.110. Точки А и В лежат по одну сторону от плоскости а.
Точки Aj и Bj — проекции точек соответственно А и В на
плоскость а; АВ = А1В1. Прямая АВ пересекает плоскость а
в точке К. Найдите угол КМВ, если М — середина ВВР
3.111. © Из точки А, лежащей вне плоскости а, проведены к
ней две наклонные АВ и АС, образующие между собой угол
Р, а с плоскостью а — угол <р. Найдите угол между ортого-
нальными проекциями данных наклонных на плоскость а.
47
Задачи к главе 3
3.112. ©Две вершины А и В разностороннего треугольника
АВС лежат в плоскости а, а С не лежит в этой плоскости.
Существует ли направление проектирования на плоскость а
(и если существует, то какое), при котором проекцией тре-
угольника АВС является треугольник АВСХ'. а) равный АВС;
б) подобный АВС; в) равный некоторому данному треуголь-
нику; г) подобный некоторому данному треугольнику;
д) имеющий данную площадь; е) имеющий угол АСгВ, рав-
ный углу АСВ; ж) прямоугольный треугольник; з) правиль-
ный треугольник; и) квадрат; к) трапеция; л) треугольник,
имеющий пересечением медиан данную на плоскости а точ-
ку М, не лежащую на прямой АВ; м) треугольник, имеющий
пересечением биссектрис данную на плоскости а точку L, не
лежащую на прямой АВ; н) треугольник, имеющий пересе-
чением высот данную на плоскости а точку Н, не лежащую
на прямой АВ?
3.113. § Ортогональной проекцией ромба ABCD на плос-
кость, проходящую через вершину А ромба и параллельную
его диагонали BD, является квадрат ABjC^j со стороной а.
Найдите периметр ромба, если его диагональ АС равна т.
3.114. § Ортогональной проекцией плоского четырёхуголь-
ника ABCD является квадрат A jBjCjZJj со стороной 4; ААг =
= 3, ВВХ = 6, ССХ = 9. Найдите длину DD}, вид, периметр и
площадь четырёхугольника ABCD. Точки А, В, С и D лежат
по одну сторону от плоскости проектирования.
Задачи к главе 3
3.115. Дан правильный тетраэдр РАВС, ребро которого рав-
но 5. Постройте его сечение плоскостью, которая проходит
через вершину Р, центроид М треугольника АВС и парал-
лельна ребру АВ. Найдите площадь полученного сечения.
3.116. Дан правильный тетраэдр РАВС; точка О — центроид
грани АВС, точка К — середина отрезка РО. Постройте сече-
ние тетраэдра плоскостью, которая проходит через точку К и
параллельна: а) грани АВС; б) грани РВС. Вычислите пло-
щади получившихся сечений, если ребро тетраэдра равно 8.
48
Гпава 3
Прямая и плоскость в пространстве
3.117. Что представляет собой множество всех точек про-
странства, равноудалённых от: а) двух данных точек А и В;
б) трёх неколлинеарных (не принадлежащих одной прямой)
точек А, В и С?
3.118. ТочкаМ равноудалена от двух соседних вершин квад-
рата ABCD. Докажите её равноудалённость от двух других
вершин этого квадрата. Будет ли это верно, если вместо
квадрата взять: а) прямоугольник; б) ромб?
3.119. Внутри диагоналей смежных граней куба, лежащих
на скрещивающихся прямых, найдите такие точки К и Н,
что прямая КН параллельна грани куба. В каких границах
изменяется длина отрезка КН в кубе с ребром 1?
3.120. Две правильные пирамиды имеют одно и то же осно-
вание. Докажите, что их вершины и центр основания прина-
длежат одной прямой.
3.121. Докажите, что скрещивающиеся рёбра правильного
тетраэдра перпендикулярны.
3.122. Докажите, что диагональ ACt куба ABCDA1B1C1D1
перпендикулярна плоскости СВ1Р1.
3.123. § В прямоугольнике ABCD сторона АВ = , AD =
О
= 14. Две равные равнобедренные трапеции APFD и BCKL
(AD || PF и ВС || KL) имеют общую точку О; АР = 10, PF = 2.
Трапеции лежат вне плоскости прямоугольника. Найдите
длину общего отрезка MR данных трапеций и площадь тре-
угольника PFK, если точка О — середина отрезков АР и BL.
3.124. Пусть в прямоугольнике ABCD сторона АВ = 16,
AD = 3. Два треугольника АВМ и CDN (причём AM = ВМ =
== DN = CN = 10) имеют общую точку О, лежащую вне плос-
кости прямоугольника. Найдите длину общего отрезка дан-
ных треугольников и расстояние между их вершинами М и
N, если О — точка пересечения медиан этих треугольников.
3.125. § Основанием параллелепипеда ABCDA1BlC1Dl слу-
жит ромб. В вершине В сходятся равные углы трёх его гра-
ней. Докажите, что ACCjAj — прямоугольник.
49
Задачи к главе 3
3.126. Прямая ВМ перпендикулярна плоскости прямо-
угольника ABCD. Докажите, что прямая пересечения плос-
костей ADM и ВСМ перпендикулярна плоскости АВМ и па-
раллельна плоскости АВС.
3.127. § Через каждую из двух скрещивающихся диагона-
лей боковых граней правильной треугольной призмы прово-
дятся два сечения так, что они параллельны другой из этих
диагоналей. Докажите, что эти сечения равны.
3.128. Равные равнобедренные трапеции ABCD и АВМК
с общим основанием АВ лежат в разных плоскостях;
AC YAM. Докажите: а) прямая BD перпендикулярна пря-
мой ВК; б) прямая BD не перпендикулярна прямой ВМ;
в) прямая BD не перпендикулярна плоскости МСР, где
точка Р — середина прямой AD.
3.129. Через центры граней правильного тетраэдра проведе-
ны прямые, перпендикулярные плоскостям этих граней. Ка-
ково взаимное положение этих прямых?
3.130. Рёбра АВ и СР, АР и ВС тетраэдра РАВС взаимно пер-
пендикулярны. Докажите, что рёбра АС и ВР также взаимно
перпендикулярны.
3.131. § В тетраэдре РАВС ребро АВ перпендикулярно ребру
СР и ребро АР перпендикулярно ребру ВС. Докажите, что
АВ2 + СР2 = АР2 + ВС2.
3.132. Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведе-
на к этой плоскости наклонная АВ. Через точку В проводят-
ся в плоскости а всевозможные прямые, к каждой из кото-
рых проводится перпендикуляр из точки А. Определите фи-
гуру, образованную основаниями этих перпендикуляров.
3.133. В тетраэдре РАВС плоские углы APB, ВРС и СРА
прямые. Докажите, что ортогональной проекцией вершины
Р на плоскость АВС является точка пересечения высот (ор-
тоцентр) треугольника АВС.
3.134. В правильном тетраэдре РАВС опустите перпендику-
ляры на плоскость грани ВСР из следующих точек: а) Е —
середины ребра АВ; б) К — середины ребра АР; в) Н — сере-
дины медианы РМ грани АРС.
50
Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
3.135. Точка Е — середина ребра ССг куба ABCDA1B1C1Dl.
Постройте и найдите угол между прямыми АгВ и ВгЕ, если
ребро куба а.
3.136. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена
прямая АР, перпендикулярная плоскости прямоугольника.
Известно, что PD = 6 см, ВР = 7 см, PC = 9 см. Найдите рас-
стояние между прямыми: а) АР и ВС; б) АР и CD; в) ВР и CD;
г) PD и ВС.
3.137. Дан куб ABCZ>A1B1C1Z)1. Постройте его сечение плос-
костью, которая проходит через вершину А и перпендику-
лярна прямой: a) BD; б) B1D1; в) CDX; г) CXD; д) ADX; е) B^D.
3.138. Точка Е — середина ребра PC пирамиды РАВС, в ос-
новании которой лежит правильный треугольник АВС, бо-
ковое ребро РА перпендикулярно плоскости основания и
АР = АВ. Опустите из точки Е перпендикуляры на прямые:
а) ВР; б) ВС; в) АВ.
3.139. Пусть Е и F — середины соответственно рёбер AD и
CD куба АВСВА1В1С12>1. Опустите перпендикуляры из вер-
шины Аг на следующие прямые: a) D^E; б) D^F; в) C^D; г) BD.
3.140. Сторона ВС треугольника АВС (АВ = 13, ВС = 14,
АС =15) лежит в плоскости а; расстояние от точки А до
плоскости а равно 6. Найдите расстояния от точек Вг и Сх до
плоскости а, где ВВГ и ССг — высоты треугольника АВС.
3.141 ABCD — параллелограмм со сторонами АВ = 6,
ВС = 14. Сторона AD лежит в плоскости р, расстояние от
точки В до плоскости р равно 3, М — точка пересечения бис-
сектрис углов А и D параллелограмма. Найдите расстояние
от точки М до плоскости р.
3.142. В правильном тетраэдре РАВС с ребром 2 точка М —
середина ребра PC. а) Через центроид грани АВР проведите
прямую, перпендикулярную плоскости АВМ. б) Найдите
длину отрезка этой прямой внутри тетраэдра, в) Найдите от-
ношение, в котором плоскость АВМ делит данный отрезок.
3.143. Основанием параллелепипеда АВСВА1В1С1£>1 слу-
жит квадрат ABCD со стороной а, а боковое ребро равно Ь.
Вершина Bt параллелепипеда равноудалена от точек А, В, С,
D. Найдите площадь диагонального сечения САА1С1.
51
Задачи к главе 3
3.144. В правильном тетраэдре РАВС точка О — центр его
основания АВС, точка К — середина ребра PC. Проведите
перпендикуляры: а) из точки К на (АВС); б) из точки К на
(АВР); в) из точки О на (ВСР); г) из точки О на (АСР). Найдите
длины этих перпендикуляров, если ребро тетраэдра равно 2.
3.14 5.1 ABCDA1B1C1D1 — куб. Точка Е — середина ребра
ВВг, точка К — середина ребра СС}, точка М — середина
ребра Aj-Вр Проведите перпендикуляры: а) из точки А на
плоскость BBj-D; б) из точки В на (АСВ^); в) из точки А1 на
(AB^i); г) из точки В на (AjCjD); д) из точки Е на (ADD});
е) из точки К на (ВВХВ); ж) из точки М на (AB^Dy). Найдите
длину каждого из этих перпендикуляров, если ребро куба
равно а.
3.146. Точка Е — середина ребра РВ правильного тетраэдра
РАВС. Опустите перпендикуляры из точки Е на прямые:
а) АР; б) АС; в) СМ, где М — середина ребра АВ. Найдите дли-
ну каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно а.
3.147. Точки Р, Q, R — середины рёбер соответственно АВ,
AD и ССХ куба АВСВА1В1С1В1 с ребром а. Постройте сечение
куба плоскостью PQR и найдите площадь полученного сече-
ния и расстояние от вершины С\ до секущей плоскости.
3.148. Найдите угол между скрещивающимися: а) диаго-
налью куба и диагональю грани; б) диагоналями соседних
граней куба.
3.149. В правильном тетраэдре РАВС точка О — центр осно-
вания АВС, точка Е — середина ребра ВР. Найдите угол
между прямой ОЕ и следующими прямыми: а) АВ; б) ВС;
в) АС.
3.150. Что представляет собой множество всех точек про-
странства, равноудалённых от всех сторон данного: а) тре-
угольника; б) плоского выпуклого п-угольника?
3.15 1.1 В кубе АВСРА1В1С1В1 с ребром а найдите расстоя-
ние от центра грани CDDlC1 до плоскости АВ,С.
52 J Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
3.152. Плоскость а проходит через высоту ААГ треугольни-
ка АВС перпендикулярно стороне ВС, плоскость Р проходит
через высоту ВВг этого треугольника перпендикулярно сто-
роне АС. Докажите, что прямая пересечения плоскостей а и
Р перпендикулярна плоскости АВС.
3.153. § Боковая сторона AD трапеции ABCD лежит в плос-
кости а, а расстояние от точки пересечения диагоналей тра-
пеции до плоскости а равно 12; АВ = 3CD. Найдите расстоя-
ния от точек В и С до плоскости а.
3.154. В кубе АВСВА1В1С1В1 с ребром 2 точка М — середи-
на ребра В1С1. а) Через точку М проведите прямую, перпен-
дикулярную плоскости BlCDl. б) Найдите длину отрезка
этой прямой внутри куба, в) Найдите отношение, в котором
плоскость BlCDl делит данный отрезок.
3.155. Дан куб АВСРА1В1С12)1. Точка К — середина ребра
АВ, точка М — середина ребра ВС. Опустите перпендикуля-
ры из точки At на следующие прямые: а) ВХК и BtM; б) BD и
КМ', в) СХВ и CVM.
3.156. § В треугольной пирамиде К АВС на рёбрах КА, КВ и
АС взяты соответственно точки М (КМ: МА = 3 : 5),
N (KN : NB = 7 : 5) и Р (АР : PC = 2:3). Найдите отноше-
ние, в котором плоскость MNP делит ребро ВС, считая от
точки В.
3.157. Точка А находится на расстоянии 9 от плоскости
КМТ, а прямые АК и АТ образуют с плоскостью КМТ углы
соответственно 30° и 60°. В каких пределах изменяется дли-
на отрезка КТ1
3.158. § На грани ABCD куба ABCDA^B^CyDy найдите все
такие точки К, что прямая DXK образует с плоскостью АВС
угол 45°. Определите длину линии, образованной этими точ-
ками, если ребро куба равно 4.
3.159. На грани CDD^C^ куба ABCZM найдите такую
точку К, что углы, образованные прямыми ВК и ВгК с плос-
костью CDD}, равны 45°. Определите расстояние от этой точ-
ки до плоскости АВС, если ребро куба равно 2.
______________________________________________I53
Задачи к главе 3
3.160. § МО — высота правильного тетраэдра МАВС, точка
К делит ребро АС в отношении АК : КС =1:3. Найдите угол
между прямой МО и плоскостью МВК.
3.161. Точка К лежит на окружности радиуса 1 с центром А.
Прямая ВК перпендикулярна плоскости окружности и
ВК = 1. Точка Р лежит на окружности. Составьте функцию,
выражающую зависимость величины угла между прямой ВР
и плоскостью окружности от величины х угла РАК (0 < х л).
3.162. ABCDEFA^B^C^D-^E^F^ — правильная шестиугольная
призма, все рёбра которой равны 1. Найдите синус угла
между: а) прямой В^Е и плоскостью ВСХС; б) прямой АВ и
плоскостью BFXC\ в) прямой BDX и плоскостью BFXC‘, г) пря-
мой АуВ и плоскостью ВВ^С; д) прямой CXF и плоскостью
BFXC.
Глава
ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Графическая работа № 2 ©
Тема: «Параллельность в пространстве»
Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в
них обозначения.
1. Прямая МР параллельна плоскости а, а прямая МТ пе-
ресекает эту плоскость в точке Т.
2. Плоскость а пересекает три параллельные прямые a, b и
с соответственно в точках А, В и С, принадлежащих од-
ной прямой.
3. Плоскость а пересекает три параллельные прямые а, Ъ и
с соответственно в вершинах треугольника АВС.
4. Основание AD трапеции ABCD лежит на плоскости а,
а прямые ВК и СК пересекают эту плоскость соответ-
ственно в точках и СР
5. Плоскость а проходит через середины сторон АВ и АС
треугольника АВС и не содержит вершины А.
6. Прямая МР параллельна плоскости а, а плоскость РМТ
пересекает плоскость а по прямой КТ.
7. Прямая а параллельна каждой из пересекающихся плос-
костей а и р.
8. Прямая а параллельна каждой из параллельных плос-
костей аир.
9. Плоскости аир имеют общую прямую а, плоскости а
и у — общую прямую Ь, а плоскости Р и у — общую пря-
мую с. Прямые аиЬ пересекаются в точкеМ.
10. Плоскости аир имеют общую прямую а, плоскости а
и у — общую прямую b, а плоскости Р и у — общую пря-
мую с. Прямые а и б параллельны.
11. Плоскости аир имеют общую прямую а, плоскости а
и у — общую прямую b, а плоскости Р и у параллельны.
12. Сторона ВС треугольника АВС лежит на плоскости а.
Через вершину А и точку М — середину стороны АС —
проведены соответственно плоскости Р и у, пересекаю-
щие плоскость треугольника АВС по прямым АК и МТ.
55
Задачи к § 13. Параллельность плоскостей
Задачи к § 13. Параллельность плоскостей
4.0 01. ©Плоскости аир пересекаются, точка А не прина-
длежит ни а, ни р. Докажите, что любая плоскость, проходя-
щая через А, пересекает, по крайней мере, одну из плоскос-
тей аир.
4.0 02. Плоскости аир параллельны. Прямая а пересекает
плоскости аир соответственно в точках А и В, а параллель-
ная ей прямая b — соответственно в точках Аг и ВР Докажи-
те, что отрезки АВ и А1В1 равны.
4.0 03. Плоскости аир параллельны. В плоскости а лежит
четырёхугольник ABCD. Через его вершины проведены па-
раллельные прямые, пересекающие р в точках соответствен-
но Вр Ср Вр Докажите, что A1B1C1Dl — четырёхуголь-
ник, равный данному.
4.0 04. © Три прямые a, Ь и с проходят через точку О и пере-
секают плоскость а соответственно в точках А, В и С, а па-
раллельную ей плоскость р — соответственно в точках Ар Вг
и Ср Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны.
4.0 05. В тетраэдре РАВС проведено сечение А1В1Р1, парал-
лельное грани АВР. Определите взаимное расположение ме-
диан РЕ и Р1Е1 треугольников соответственно АВР и
Л^Рг
4.0 06. Постройте сечение треугольной пирамиды РАВС
плоскостью, которая проходит через внутреннюю точку К
основания АВС и параллельна грани РАВ.
4.0 07. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE
плоскостью а, которая проходит через внутреннюю точку М
основания ABCDE параллельно грани РАВ (рис. 26).
Решение. Так как прямые, по кото-
рым две параллельные плоскости
пересечены третьей плоскостью, па-
раллельны, а плоскость а парал-
лельна грани РАВ, то: а) прямая пе-
ресечения плоскости а с плоскостью
АВС (плоскостью основания пира-
миды) должна быть параллельна
АВ; б) прямая пересечения плоское-
56
Глава 4
Плоскости в пространстве
ти а с гранью РАЕ — параллельна АР; в) прямая пересече-
ния а с плоскостью грани РВС — параллельна РВ; г) прямая
пересечения плоскости а с плоскостью PAD — параллельна
РА, поэтому проводим: 1) через точку М прямую KF || АВ,
К е ВС, F е АЕ; 2) прямую FH || РА, Н е РЕ; 3) прямую
KR || РВ, R g PC; 4) прямую ML || АР, L е PD. Пятиугольник
HLRKF — искомое сечение.
Доказательство проделайте самостоятельно.
4.0 08. © Точки А, В и С лежат в плоскости а и не лежат на
одной прямой. Равные и параллельные отрезки ААР ВВХ и
ССХ расположены по одну сторону от плоскости а. Докажите,
что (AjBjCj) || (АВС).
4.0 09. Докажите, что противоположные грани параллеле-
пипеда параллельны (т. е. лежат в параллельных плоскос-
тях).
4.0 10. (Устно.) По какой прямой пересекаются плоскости се-
чений ArBCDx и BDDrBr параллелепипеда АВСЕ>А1В1С1Е>1?
4.0 11. ©Точка В не лежит в плоскости треугольника АЕС,
точки М, К и Р — середины отрезков соответственно АВ, ВС
и BE. а) Докажите, что плоскости МКР и АЕС параллельны,
б) Найдите площадь треугольника МКР, если площадь тре-
угольника АЕС равна 48 см2.
4.012. Три отрезка АгА2, В1В2 и СгС2, не лежащие в одной
плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскос-
ти AjBjCj и А2В2С2 параллельны.
4.013. Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
плоскость А 1Е>В параллельна плоскости В1СВ1.
4.014. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
плоскостью MNL, если М е ВХСР N е ВВР L е DDV
4.015. § На рёбрах РА, РВ и PC тетраэдра РАВС отмечены
точки М, К и Н так, что РМ : МА = РК : КВ = PH : НС. До-
кажите, что плоскости МКН и АВС параллельны. Найдите
площадь треугольника МКН, если площадь треугольника
АВС равна 10 см2 и РМ : МА = 2:1.
4.016. § Постройте сечение правильной шестиугольной
призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего
57
Задачи к § 13. Параллельность плоскостей
основания и противолежащую сторону верхнего основа-
ния. Найдите площадь этого сечения, если боковые грани
призмы — квадраты со стороной 4 см.
4.017. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведите параллельные сече-
ния, одно из которых проходит через прямую АС, а другое —
через прямую ВСг. Найдите отношение площадей этих сече-
ний.
4.018. § Прямая DF пересекает параллельные плоскости а,
Р и у соответственно в точках D, Е и F, при этом DF = 3,
EF = 9. Прямая EG пересекает плоскости а и у соответст-
венно в точках G и Н, при этом EG =12. Найдите длину от-
резка GH.
4.019. Даны плоскость а и не принадлежащая ей точка А.
Докажите, что все прямые пространства, проходящие через
точку А и параллельные плоскости а, лежат в одной плос-
кости. Как эта плоскость расположена относительно плос-
кости а?
4.020. Плоскости а, Р и у попарно параллельны, прямые а и
Ь скрещиваются. Прямая а пересекает плоскости а, р и у со-
ответственно в точках А, В и С; прямая Ъ — соответственно в
точках At, Вг и СР Докажите, что АВ : ВС = А1В1 : BjCp
4.021. § Скрещивающиеся прямые а и b параллельны плос-
кости а. Через произвольную точку М плоскости а проведе-
на прямая с, пересекающая прямые а и b соответственно в
точках А и В. Докажите, что отношение AM : МВ не зависит
от выбора точки М в плоскости а.
4.022. § Точка О — центр основания ABCD правильной че-
тырёхугольной пирамиды PABCD. Постройте сечение этой
пирамиды плоскостью а, проходящей: а) через О параллель-
но грани РАВ-, б) через середину отрезка О В параллельно ди-
агонали АС основания и ребру PD‘, в) через середину отрезка
РО параллельно основанию пирамиды. В каждом случае оп-
ределите вид сечения и найдите его площадь, если ВС =12,
РВ = 10.
4.023. © Параллельные плоскости а и Р пересекают сторону
АВ угла ВАС соответственно в точках Р и Н, а сторону АС
этого угла — соответственно в точках Q и К. Найдите: а) АН
58 | Глава 4
Плоскости в пространстве
и АК, если PH = 2РА, РЯ = 12 см, AQ = 5 см; б) НА" и АН, ес-
ли PQ = 18 см, АР = 24 см, АН = | PH.
4.024. Плоскости аир пересекаются по прямой с. Через точ-
ки А и В, расположенные вне этих плоскостей, проводятся
параллельно плоскости р и параллельные между собой пря-
мые АС и BD (С е a, D е а), а также — параллельно плоскос-
ти а и параллельные между собой прямые АЕ и BF (Е е Р,
F е Р). Докажите: а) плоскости АСЕ и BDF параллельны;
б) плоскости АСЕ и BDF пересекают плоскости а и Р по
параллельным прямым.
4.025. Дан правильный тетраэдр РАВС; О — центроид грани
АВС, точка К — середина отрезка РО. Постройте сечение
тетраэдра плоскостью, которая проходит через точку К и па-
раллельна: а) грани АВС; б) грани РВС. Найдите площади
получившихся сечений, если ребро тетраэдра равно 8.
4.026. На трёх попарно параллельных прямых, не лежащих
в одной плоскости, выбраны три равных отрезка ААР ВВХ и
ССХ так, что точки Ар Вх и Сх оказались по одну сторону от
плоскости АВС. Докажите, что: а) плоскость АВС парал-
лельна плоскости А1В1С1; б) Л В1А1С1 = Z ВАС; в) прямая
пересечения плоскостей ВХАС и ВА1С1 параллельна плоскос-
тям АВС и АССг; г) прямая, проходящая через точку пересе-
чения медиан треугольников АВС и А1В1С1, параллельна
прямым ААр BBY и СС1.
4.027. © На трёх лучах, исходящих из точки Е и не лежа-
щих водной плоскости, взяты отрезки AAV ВВг, ССг та-
кие, что ЕА : ЕАХ = ЕВ : ЕВг = ЕС : ЕСХ = 1:5. Докажите,
что: а) плоскость АВС параллельна плоскости Aj-BjCp
б) Z AjBjCj = Z АВС; в) прямая пересечения плоскостей
АВ1С1 и АГВС параллельна плоскостям А1В1С1 и ВСгС;
г) прямая, проходящая через точки пересечения медиан тре-
угольников АВС иА1В1С1, содержит точку Е.
4.028. § В правильной треугольной призме АВСА1В1С1
все рёбра равны а. Точка М лежит на ребре АВ, причём
| 59
Задачи к § 13, Параллельность плоскостей
AM: МВ =3:1, точка N — середина BXCV а) Постойте
сечение призмы плоскостью, проходящей через точку М па-
раллельно плоскости АгВС. б) Найдите периметр сечения,
в) Найдите площадь сечения, г) В каком отношении плос-
кость сечения делит отрезок AN, считая от А?
4.029. © В кубе ABCDA1B1ClD1 точка М — середина ребра
AjBj, точка А — середина ребра BjCp точка К — середина
ребра АЛ, точка Р — середина ребра DC, точка L — середина
ребра СгС, О — точка пересечения диагоналей квадрата
ABCD. Точка Ах — середина отрезка AQ. Заполните табли-
цу, выбрав (обведя в кружок) необходимое расположение
указанных плоскостей: А — параллельны, Б — пересекают-
ся, В — совпадают, Г — невозможно определить.
№ Плоскости Взаимное расположение
1 А1В1С1 W.ADC АБВГ
2 МРК и BBrD АБВГ
3 MN К и MNP АБВГ
4 DXKP и BMN АБВГ
5 QBO и МКР АБВГ
6 QB1D1 w.AxDO АБВГ
7 MN К и PLN АБВГ
8 ВгКР и DMN АБВГ
9 A1DCl и АВ}С АБВГ
10 QBD и МОВ АБВГ
11 А^СпМКР АБВГ
12 QClDl nAyBJ) АБВГ
4.030. © На рисунках 27—41 точки М, Р и R расположены
либо на рёбрах, либо на гранях куба. Пользуясь свойствами
параллельных прямых и плоскостей, постройте сечение это-
60 | Глава 4
Плоскости в пространстве
го куба плоскостью MPR в каждом из заданных расположе-
Рис. 35
М е (BBjCJ
М е (AjBjCj)
М е (A^CJ
Рис. 36 Рис. 37 Рис. 38
R е (АВС)
Р е (АА^)
R е
М е (PPiCj)
Рис. 41
Рис. 39
Рис. 40
61
Задачи к § 13. Параллельность плоскостей
4.031. © Постройте линию пересечения секущей плоскости
NKF с плоскостью PQM, которые заданы точками, располо-
женными на рёбрах и в вершинах куба (рис. 42—44).
Рис. 42 Рис. 43 Рис. 44
4.032. © На рисунках 45—50 точки Q, F, К, N и Р распо-
ложены либо в вершинах, либо на рёбрах, либо на гранях
куба. Постройте точку пересечения плоскости NKF с прямой
PQ.
Рис. 48
Рис. 49
Рис. 50
62
Гпава 4
Плоскости в пространстве
Задачи к § 14. Двугранные углы.
Угол между двумя плоскостями
4.033. © Точка А лежит на одной из граней двугранного уг-
ла, равного 30°, и удалена от ребра двугранного угла на 8.
Найдите расстояние от точки А до плоскости второй грани
двугранного угла.
4.034. © Точки А и В лежат на разных гранях двугранного
угла. Прямая АВ перпендикулярна ребру двугранного угла,
а точки А и В удалены от этого ребра на 3 и 4 соответственно.
Найдите величину двугранного угла, если АВ = 5.
4.035. © Точка А лежит внутри острого двугранного угла ве-
личины а и удалена от каждой из его граней на расстояние Л.
Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла.
4.036. © Точка А лежит внутри двугранного угла и удалена
от его граней на расстояния, равные 1 и л/2 , а от ребра дву-
гранного угла — на расстояние, равное 2. Найдите величину
двугранного угла.
4.037. Точка А лежит внутри двугранного угла так, что угол
между перпендикулярами, опущенными из точки А на грани
двугранного угла, равен 131°. Найдите величину этого угла.
4.038. ©Точки Аг и А2 — проекции точки А на плоскости
граней двугранного угла, при этом Z АХАА2 = 100°. Найдите
величину двугранного угла.
4.039. Точки Ап В лежат на разных гранях двугранного уг-
ла, величина которого 60°. Точки A j и Вх — проекции точек
А и В на ребро двугранного угла. АА} = A:Bj = BBT = 2. Най-
дите длину отрезка АВ.
4.040. § Точка А лежит внутри двугранного угла. Точки Aj
и А2 — проекции точки А на грани двугранного угла, а точка
К — проекция точки А на ребро двугранного угла. Докажи-
те, что около четырёхугольника ААгКА2 можно описать ок-
ружность, диаметр которой равен АК.
4.041. © Точка А лежит внутри двугранного угла а. Точки
Aj и А2 — проекции точки А на грани двугранного угла, при-
чём АгА = а, а AgA = Ь. Используя планиметрическую теоре-
му косинусов, найдите расстояние от точки А до ребра дву-
гранного угла.
63
Задачи к § 14. Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями
4.042. В правильном тетраэдре РАВС точки М и К — сере-
дины рёбер соответственно ВС и АР. Докажите, что Z АМР и
Z ВКС — линейные углы двугранных углов соответственно
А(ВС)Р и В(АР)С.
4.043. Точка М лежит внутри двугранного угла величиной
60° и удалена от его граней на расстояния соответственно 3
и 5. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного
угла.
4.044. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС с пря-
мым углом С лежит в плоскости а, а угол между плоскостя-
ми АВС и а равен 60°. Найдите расстояние от точки А до
плоскости а, если ВС — 9, АВ = 15.
4.045. Через вершину А квадрата ABCD проведен к его
плоскости перпендикуляр AM, равный 10. Угол между плос-
костями АВС и МВС равен 45°. Найдите площадь треуголь-
ника МВС.
4.046. © Ребро PC тетраэдра РАВС перпендикулярно к плос-
кости АВС; АВ = ВС = С А = 6, ВР = 3^7 . Найдите двугран-
ные углы Р(АС)В, Р(АВ)С, В(СР)А.
4.047. Докажите, что все двугранные углы правильного тет-
раэдра равны. Найдите их величину.
4.048. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости
ромба ABCD (Z ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и
16. Найти углы между плоскостями: а) АВС и МВС; б) AMD
nCMD.
Решение: а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 51). Тогда
по теореме о трёх перпендикулярах ME ± ВС и Z DEM = <р —
линейный угол двугранного уг-
ла, образованного плоскостями
АВС и МВС. Найдём величину
этого угла.
По условию задачи DM ±
1 (АВС), поэтому Д MDE — пря-
DM
моугольныи, значит, tg <р = —— .
DE
Так как DE — высота ромба
ABCD, то DE = , где S — пло-
64 | Глава 4
Плоскости в пространстве
щадь этого ромба. Сторона ВС ромба является гипотенузой
прямоугольного треугольника ВОС, катеты ОВ и ОС которо-
го равны 6 и 8. Значит, ВС = *]ОВ2 + ОС2 = 7б2 + 82 =10.
Учитывая, что S = i • АС • BD = i•12•16 = 96, находим:
пг 96 о а гр DM 3,2 1
DE = — = 9,6. Тогда tg <р = — = д"б = 3, откуда
Ф = arctg i .
О
б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости
ромба ABCD, то AD 1 DM, CD 1 DM, значит, Z ADC = ф —
линейный угол двугранного угла, образованного пересекаю-
щимися плоскостями ADM и CDM. Найдём этот угол.
В треугольнике ACD по теореме косинусов находим
AD2 + CD2-AC2 102 + 102-162 7
т 2AD-CD 2-10-10 25’
откуда ф = arccos
f 7
I 25 J
Ответ: a) arctg |; б) arccos
о
( 7 \
V 25 Л
4.049. Докажите, что биссектрисы всех линейных углов
данного двугранного угла лежат в одной полуплоскости.
4.050. Через центр О правильного треугольника КМР со
стороной, равной a л/3, проведён к его плоскости перпенди-
куляр ОН. Угол между прямой НМ и плоскостью треуголь-
ника КМР равен 45°. Найдите угол между плоскостями:
а) НОМ и КОМ; б) КМР и НРК.
4.051. Через сторону АВ основания АВС правильной тре-
угольной пирамиды РАВС проведена плоскость а, пересе-
кающая ребро PC в точке К. Найдите площадь сечения АВК,
если плоскость а перпендикулярна ребру PC и образует угол
в 30° с плоскостью основания. Сторона основания пирамиды
равна 8 см.
4.052. Полуплоскость, границей которой является ребро
двугранного угла, делящая его на два равных двугранных
угла, называется биссектором двугранного угла. Докажи-
| 65
Задачи к § 15. Перпендикулярность плоскостей
те, что биссектор двугранного угла есть множество всех то-
чек этого угла, равноудалённых от его граней.
4.053. § Найдите угол между гранями тетраэдра, верши-
нами которого служат концы трёх рёбер куба, выходящих из
одной его вершины.
4.054. В кубе ABCDA1BlC1Dl найдите угол между плоскос-
тями: а)АССг и BDD}; 6)ABDr и ABD; b)BCyD и ABC;
г) ABCj и BCrD.
4.055. © Дан куб ABCZ)A1B1C1D1, точка М — середина реб-
ра BjCp Заполните таблицу.
№ Плоскости Взаимное расположение плоскостей Величина угла между плоскостями
1 АХВА и DXCD
2 AyB^CyViDD^C
3 AXBD и BXDXC
4 ВХАС и ADC
5 AXBD и CXDB
6 AXBD и CCTA
7 АВ1С1 и ADC
8 А}МА и ВХСХС
9 A^MAuBB^D
10 МА^иСА^
Задачи к § 15. Перпендикулярность плоскостей
4.056. Докажите, что смежные грани куба взаимно перпен-
дикулярны.
4.057. Докажите, что в кубе ABCDA^B^C^D^ взаимно пер-
пендикулярны: а) плоскости сечений ACCpAj и BDD^B^;
б) плоскости А1ВС1 и ВВ^^.
4.058. В правильном тетраэдре РАВС точка К — середина
ребра ВС, точка D — середина ребра АР. Докажите, что вза-
имно перпендикулярны плоскости: а) АКР и ВСР; б) АКР и
BCD.
66
Глава 4
Плоскости в пространстве
4.059. (Устно.) Взаимно перпендикулярные плоскости аир
пересекаются по прямой а. Любая ли прямая плоскости а
перпендикулярна плоскости р? Ответ обоснуйте.
4.060. (Устно.) Плоскости аир взаимно перпендикулярны.
Каким может быть взаимное расположение двух прямых,
одна из которых лежит в плоскости а, а другая — в плоскос-
ти р? Выполните соответствующие рисунки.
4.061. Докажите, что все прямые пространства, перпенди-
кулярные данной плоскости а и пересекающие данную пря-
мую т, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плос-
кости а. Выполните рисунок.
4.062. © Можно ли через данную точку провести три попар-
но перпендикулярные плоскости? Ответ обоснуйте и выпол-
ните рисунок.
4.063. § Плоскости аир взаимно перпендикулярны. Пря-
мая р пересекает плоскости а и Р в точках соответственно А и
В, образуя при этом с каждой из плоскостей углы, равные ф.
Найдите длину отрезка, концами которого являются проек-
ции точек А и В на линию пересечения данных плоскостей,
если длина отрезка АВ равна а.
4.064. Концы А и В отрезка АВ, длина которого равна
1072 см, принадлежат перпендикулярным плоскостям со-
ответственно аир. Углы между прямой АВ и плоскостями а
и Р равны соответственно 30° и 45°. Найдите: а) расстояния
от концов отрезка АВ до линии пересечения плоскостей а и
Р; б) длины проекций отрезка АВ на плоскости а и р.
4.065. Плоскости равнобедренного треугольника ABF и
квадрата ABCD перпендикулярны. Найдите расстояние:
а) от точки F до прямой CD; б) от точки F до центра окруж-
ности, проходящей через точки А, В и центр О квадрата, ес-
ли сторона квадрата равна 32 и AF = BF = 20.
4.066. © Через середины сторон АВ и ВС треугольника АВС
проведены плоскости а и Р, перпендикулярные этим сторо-
нам. Точка М принадлежит прямой пересечения плоскостей
аир. Докажите, что точка М одинаково удалена от вершин
треугольника АВС.
67
Задачи к § 15. Перпендикулярность плоскостей
4.067. § ABCD — ромб с углом 60°. Прямая МА перпенди-
кулярна плоскости ромба, причём АВ = AM = а. Найдите
угол между плоскостями: а)АМВ и АВС; б)АМВ и AMD;
в) MDC и АВС; г) MAD и МВС; д) найдите тот двугранный
угол, образованный плоскостями MDC и ВСМ, который со-
держит точку А.
4.068. § Плоскости АВС и ABD образуют угол в 45°. Извест-
но, что AD = 3, АВ = 5, ВС = 72 ; DA 1 АВ, СВ 1 АВ. Найдите:
a) CD; б) угол между прямой CD и плоскостью АВС.
4.069. Прямоугольники ABCD и АВМК лежат во взаимно
перпендикулярных плоскостях. Верно ли, что: а) АС ± АК;
б) AM 1 AD; в) АС 1 AM?
4.070. РАВС — правильный тетраэдр с ребром 8. Через вер-
шину С проведена плоскость а, перпендикулярная ребру АР.
Найдите периметр и площадь треугольника, вершинами ко-
торого служат точки пересечения плоскости а с рёбрами дан-
ного тетраэдра.
4.071. § В треугольной пирамиде МАВС боковые грани
МАС и МВС взаимно перпендикулярны и перпендикулярны
основанию пирамиды, которым служит равнобедренный
треугольник АСВ. Через вершину С проведена плоскость а,
перпендикулярная плоскости грани МАВ и параллельная
АВ. Найдите периметр и площадь фигуры, получившейся
при пересечении пирамиды и плоскости а, если МС = 10 см,
АВ = 20 см.
4.072. ©Дан куб ABCDA^B^CyD^. Докажите взаимную пер-
пендикулярность следующих пар плоскостей: а)АССг и
BZJZJjj б) АВСг и AjBjC; в) BBXD и ВА1С1; г) BDAt и ACCt.
4.073. © Равносторонние треугольники АВС и ABD распо-
ложены в перпендикулярных плоскостях. Найдите угол
между: а) прямой CD и плоскостью АВС; б) плоскостями
ACD и BCD.
4.074. Изобразите куб ABCDA1B1C1D1 и постройте его сече-
ние плоскостью, проходящей через: а) ребро ВВг перпендику-
лярно плоскости АССг; б) ребро АВ перпендикулярно плос-
кости CDAr; в) ребро ВС перпендикулярно плоскости АВ1С1.
68 | Глава 4
Плоскости в пространстве
Задачи к § 16. Общий перпендикуляр
скрещивающихся прямых
4.075. © Прямая AM перпендикулярна плоскости а, прохо-
дящей через точку А. Докажите, что расстояние между пря-
мой AM и любой прямой а, лежащей в плоскости а, равно
расстоянию от точки А до прямой а.
4.076. © Прямая а не лежит в плоскости а и параллельна
прямой Ь, лежащей в плоскости а. Докажите, что расстояние
между прямой а и любой прямой в плоскости а, пересе-
кающей прямую Ь, равно расстоянию от прямой а до плос-
кости а. Верно ли, что расстояние между прямыми а и Ь так-
же равно расстоянию от прямой а до плоскости а?
4.077. § Плоскости квадрата ABEF и ромба ABCD перпен-
дикулярны; CD = 6, X С = 60°. Найдите расстояние между
прямыми: a) EF и CD; б) AF и ВС.
4.078. На двух скрещивающихся прямых АВ и СК выбраны
точки А и С так, что угол ВАС равен углу АСК и равен 90°;
АС = 6. Найдите расстояние между прямыми АВ и КС.
4.079. § На двух скрещивающихся прямых АВ и СК выбра-
ны точки А и С так, что
ВАС равен углу АСК и равен 90°; АВ = КС = 6. Найдите ВК,
если расстояние между прямыми АВ и СК равно 3 и АВ пер-
пендикулярна СК.
4.080. § Угол между двумя скрещивающимися прямыми
АВ и СК равен 60°, а расстояние между ними равно 3. Точки
А и С выбраны так, что Z ВАС = ХАСК = 90°; АВ = 4; КС = 2.
Найдите ВК.
4.081. Точки АиВ лежат на ребре двугранного угла М(АВ)Т,
АВ — 4. МАК и ТВР — два линейных угла данного двугранно-
го угла. Определите, чему может быть равно расстояние меж-
ду прямыми: а) МА и ВТ; б) АК и РВ; в) МК и РТ.
4.082. © Плоскости аир параллельны. Прямая а лежит в
плоскости а, а прямые КМ и КТ — в плоскости р. Расстоя-
ние между прямыми а и КМ равно 5, а между прямыми а и
КТ равно 8. Определите: а) взаимное расположение прямых
а и КМ; б) взаимное расположение прямых а и КТ; в) рас-
стояние между плоскостями аир.
69
Задачи к § 16. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых
4.083. § АС — перпендикуляр, опущенный на плоскость
ВСР. Проекция наклонной АВ перпендикулярна прямой СР.
Найдите расстояние между прямыми АВ и СР, если АС = 4,
вс = з.
4.084. § Из точек А и В на плоскость а опущены перпенди-
куляры ААг и ВВ1 и наклонные АР и ВТ, перпендикуляр-
ные прямой АрВр Найдите расстояние между прямыми АР и
ВТ, если АгР = 0,5, ВгТ = 3,5, аРТ = 5.
4.085. ABCD — квадрат со стороной 4. Точка М лежит на
стороне CD и делит её в отношении 3:1, считая от D. Пря-
мая ТМ перпендикулярна плоскости квадрата. Найдите рас-
стояния между прямой ТМ и каждой из прямых, проходя-
щих через две вершины квадрата.
4.086. © Квадрат ABCD со стороной Ь перегнули по прямой
МТ (точка М — середина ВС, точка Т — середина AD) так,
что образовавшийся двугранный угол А(МТ)С равен а. За-
полните таблицу.
№ Прямые Расстояние между прямыми
1 МС АТ
2 АВ CD
3 МТ АС
4 АС BD
5 АВ MD
4.087. § Дан куб ABCDA1BlC1D1 с ребром а. Точка ВТ — сере-
дина ребра BjCj. Заполните таблицу.
№ Прямые Расстояние между прямыми
1 ААг DC
2 ВВг DCX
3 DC ArK
4 DDX AXK
70 I Глава 4
Плоскости в пространстве
Окончание таблицы
№ Прямые Расстояние между прямыми
5 BXD АС
6 АК ВС
7 ВгС CJ)
8 АК BD
9 DK АСг
4.088.1МАВС — правильный тетраэдр с ребром 6. Точка
О — центр треугольника АВС. Точка К — середина ребра
МВ. Точка Р — середина ребра АС. Заполните таблицу.
№ Прямые Расстояние между прямыми
1 АС МО
2 ВС AM
3 ОК РМ
4 МО КС
5 во AM
Графическая работа № 3 ©
Тема: «Перпендикулярность в пространстве»
Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в
них обозначения.
1. Прямая AM перпендикулярна плоскости треугольника
АВС.
2. Прямая ОК проходит через точку О пересечения диаго-
налей квадрата ABCD и перпендикулярна его плоскости.
3. Прямая ОК проходит через точку О пересечения диаго-
налей трапеции ABCD (AD — большее основание) и пер-
пендикулярна её плоскости.
4. Плоскости равносторонних треугольников АВС и АВК
перпендикулярны.
5. Прямые ОМ, ОК и ОТ попарно перпендикулярны друг
другу.
________________________________________________I "
Задачи к § 17. Площадь ортогональной проекции многоугольника
6. Плоскость КТС перпендикулярна плоскостям ТМС и
ТВК.
7. Прямая КМ перпендикулярна плоскости квадрата
КТРС, а прямая МА перпендикулярна прямой РТ.
8. Прямая КМ перпендикулярна плоскости квадрата
КТРС, а прямая МА перпендикулярна прямой СТ.
9. Вершина А треугольника АВС лежит в плоскости а, па-
раллельной прямой ВС. Прямые ВВг и ССг перпендику-
лярны плоскости а и пересекают её соответственно в точ-
ках В1 и СР
10. Прямая АВ лежит в плоскости АВС, прямая СК перпен-
дикулярна этой плоскости. Прямая КА перпендикуляр-
на прямой АВ. Прямая АТ лежит в плоскости АВС и пер-
пендикулярна прямой АВ.
11. Прямая КМ перпендикулярна плоскости равнобедрен-
ного треугольника АВС (АВ = ВС) и пересекает её в точке
Т — середине отрезка КМ. Из точек К и М на прямую АС
опущены перпендикуляры.
Задачи к § 17. Площадь ортогональной проекции
многоугольника
4.08 9. © Величина двугранного угла А(ВС)М равна 60°. От-
резок AM перпендикулярен плоскости ВСМ. Найдите отно-
шение площади треугольника АВС к площади треугольника
МВС.
4.09 0. Квадрат ABCD перегнули по его диагонали ВС так,
что образовался острый двугранный угол а. Найдите отно-
шение площади ортогональной проекции треугольника АВС
на плоскость BDC к площади треугольника BDC.
4.09 1. © В кубе с ребром 10 проведено сечение плоскостью,
пересекающей четыре параллельных ребра и образующей
с каждым из них угол в 45°. Определите площадь сечения.
Все ли такие сечения равны или только равновелики?
4.09 2. § В кубе ABCZ>A1B1C1Z)1 с ребром 6 проведено сече-
ние плоскостью, которая проходит через середины рёбер ВСХ
и ВА, пересекает рёбра AAlt СС15 DDt и образует с каждым
из них угол в 60°. Определите площадь сечения.
72
Глава 4
Плоскости в пространстве
4.09 3. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы
ABCDEFA^B^C^D^E^F^ равно а. Определите площадь сече-
ния, проходящего через: а) вершины А, С и Dr; б) сторону
АВ и вершину Ev
4.09 4. Сумма площадей всех боковых граней правильной
пятиугольной пирамиды в шесть раз больше площади её ос-
нования. Найдите двугранный угол при ребре основания пи-
рамиды.
4.09 5. § В правильной треугольной пирамиде МАВС все бо-
ковые рёбра образуют с плоскостью основания углы, равные
60°. Найдите отношение площади основания пирамиды к
площади сечения, проведённого через вершины В и С пер-
пендикулярно ребру МА.
4.09 6. § В правильной треугольной пирамиде МАВС прове-
дено сечение через середину ребра МС и вершины А и В.
тт 8
Площадь этого сечения составляет - площади основания пи-
рамиды. Определите: а) угол наклона плоскости сечения к
плоскости основания пирамиды; б) угол, который образует
плоскость сечения с боковым ребром пирамиды; в) угол на-
клона бокового ребра пирамиды к плоскости её основания.
4.09 7. § В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD
через ребро АВ и середину ребра МС проведено сечение, пло-
щадь которого в 1,125 раза больше площади основания. Най-
дите величину угла между плоскостью сечения и плоскостью
основания, а также двугранный угол при ребре основания
данной пирамиды.
4.098 . § К плоскости треугольника АВС по одну сторону от
неё проведены перпендикуляры АК и ВМ. Найдите угол
между плоскостями АВС и СКМ, если АВ = АС = ВС = АК =
= 0,5ВМ.
4.099 . § Угол между плоскостями а и Р равен ф. Треуголь-
ник АВС, лежащий в плоскости а, спроектировали на плос-
кость р и получили треугольник AjBjCp Затем треугольник
А1В1С1 спроектировали на плоскость а и получили треуголь-
ник А2В2С2 и так далее. После десятого проектирования по-
лучился треугольник площадью S. Найдите площадь тре-
73
Задачи к главе 4
угольника АВС и сумму площадей всех треугольников, на-
чиная с треугольника АВС до треугольника А10В10С10.
4.100. Через вершину А квадрата ABCD проведён к его
плоскости перпендикуляр AM, равный 10. Угол между плос-
костями АВС и МВС равен 45°. Найдите площадь треуголь-
ника МВС.
4.101. В основании прямого параллелепипеда квадрат со
стороной а. Через середины двух смежных сторон основания
проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра па-
раллелепипеда и наклонённая к плоскости основания под уг-
лом ф. Найдите площадь полученного сечения.
4.102. Равнобедренные треугольники АВС и АВК с общим
основанием АВ лежат в различных плоскостях. Найдите
площадь ортогональной проекции треугольника АВС на
плоскость АВК, если АВ = 24 дм, АС =13 дм, АК = 37 дм,
СК = 35 дм.
4.103. Через сторону АВ основания АВС правильного тетра-
эдра РАВС проведена плоскость, перпендикулярная ребру
PC, Найдите площадь сечения, если сторона основания тет-
раэдра равна 8 см.
4.104. В правильной четырёхугольной призме постройте се-
чение, проходящее через середины двух смежных сторон ос-
нования и середину отрезка, соединяющего центры основа-
ний. Найдите площадь этого сечения, если сторона основа-
ния призмы равна 2 см, а высота — 4 см.
4.105. § В правильной треугольной призме, каждое ребро
которой равно 9 дм, постройте сечение, проходящее через
сторону основания и середину отрезка, соединяющего цент-
ры оснований призмы. Найдите: а) угол между плоскостью
сечения и плоскостью основания призмы; б) площадь сече-
ния.
Задачи к главе 4
4.106. Дана правильная треугольная пирамида. Нарисуйте
два её параллельных сечения, проходящие через: а) среднюю
линию основания и среднюю линию боковой грани; б) сред-
74
Глава 4
Плоскости в пространстве
нюю линию основания и медиану боковой грани; в) медианы
двух боковых граней; г) высоту и среднюю линию боковой
грани; д) высоту и медиану боковой грани. (Каждый раз вы-
бираются два отрезка, лежащие на скрещивающихся пря-
мых.)
4.107. ABCDA1B1C1D1 — куб. Постройте два его сечения, па-
раллельные между собой и проходящие через прямые: а) АС
и BjDp б) АС и C1D; в) АС и KL, где точки К и L — середины
рёбер соответственно AjBj и CD; г) АС и 0^2, где точки Oj и
О2 — центры граней соответственно AAjBjB и А^СрОр
4.108. Точки А и В принадлежат разным граням прямого
двугранного угла. Точки Ах и Вг — проекции точек А и В на
ребро двугранного угла; ААг = а, А^В^ = Ь, ВВГ = с. Докажи-
те, что АВ = Ja2 + b2 + с2 .
4.109. Точка А лежит внутри двугранного угла в 60°; точки
Aj и А2 — проекции точки А на его грани, причём АгА = 5,
A?A = 3. Используя планиметрическую теорему косинусов,
найдите расстояние между точками Aj и А2.
4.110. ABCD и АВМК — прямоугольники с общим основа-
нием АВ, AC ± AM. Докажите: a) BD ± ВК; б) прямая BD не
перпендикулярна прямой ВМ.
4.111. Известно, что в прямоугольном тетраэдре РАВС пло-
ские углы APB, ВРС и СРА — прямые; РА = а, РВ = b, PC =
= с. Найдите расстояние между прямыми, содержащими
каждые два скрещивающиеся ребра данного тетраэдра.
4.112. В тетраэдре РАВС ребро АВ перпендикулярно ребру
СР и ребро АР перпендикулярно ребру ВС. Докажите, что
АВ2 + СР2 = АР2 + ВС2.
4.113. Рёбра АВ и СР, АР и ВС тетраэдра РАВС взаимно пер-
пендикулярны. Докажите, что рёбра АС и ВР также взаимно
перпендикулярны.
4.114. Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведе-
на к этой плоскости наклонная АВ. Через точку В проводят-
ся в плоскости а всевозможные прямые, к каждой из кото-
рых проводится перпендикуляр из точки А. Определите фи-
гуру, образованную основаниями этих перпендикуляров.
75
Задачи к главе 4
4.115. В тетраэдре РАВС плоские углы APB, ВРС и СРА пря-
мые. Докажите, что ортогональной проекцией вершины Р на
плоскость АВС является точка пересечения высот (орто-
центр) треугольника АВС.
4.116. В кубе ABCDAlB1C1Dl с ребром а найдите расстояние
от центра грани CDD^C^ до плоскости АВХС.
4.117. § В параллельных плоскостях 0 и Рр расстояние меж-
ду которыми Ъ, лежат два равных квадрата ABCD и
A^B^iDj^ со стороной а, причём АВ || АХВР ААг перпендику-
лярна плоскости Р, прямые ВВг и DDt не перпендикулярны
плоскости р; точка К — середина стороны CD. а) Постройте
прямую пересечения плоскости рх и плоскости, проходящей
через точку Вх перпендикулярно прямой АК. б) Докажите,
что прямая BD перпендикулярна плоскости АА1С1. в) Най-
дите расстояния от точки К до плоскостей ААХВ и АА1С1.
г) Найдите расстояние между прямой BD и плоскостью
В^К.
4.11 8.1 В параллельных плоскостях а и ар расстояние меж-
ду которыми равно с, лежат равные правильные треугольни-
ки АВС и AjBjC^ со стороной а. Соответственные стороны
треугольников попарно параллельны, прямая ААХ перпен-
дикулярна плоскости а, прямые ВВХ и ССг не перпендику-
лярны плоскости а, точка К — середина стороны ВС.
а) Докажите, что прямая ВХСХ перпендикулярна плоскости
ААХЛГ. б) Постройте прямую I, проходящую через точку К
перпендикулярно плоскости ABBV в) Найдите расстояние от
точки Сх до плоскости АВВг. г) Найдите расстояние от точки
А до плоскости ВСС1.
4.119. § Основанием параллелепипеда ABCDA1BxC1Dl явля-
ется ромб со стороной а и острым углом А, равным а. Извест-
но, что вершина Ах удалена на расстояние а от точек А, В и
D. Докажите, что основание перпендикуляра, проведённого
из точки Аг на плоскость АВС, принадлежит прямой АС.
Найдите длину этого перпендикуляра.
76
Глава 4
Плоскости в пространстве
4.120. § Расстояние между скрещивающимися диагоналя-
ми двух смежных граней куба равно ш. Найдите ребро этого
куба.
4.121. § Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через любую точку К реб-
ра АВ куба проведена плоскость а, параллельная плоскости
BDDV Найдите угол между прямой ADr и плоскостью а.
4.122. § Дан куб ABCDArBxCxDr с ребром а. Точка К — сере-
дина ребра ВС. Найдите расстояние между прямыми АС и
СГК.
4.123. § В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD
высота РО вдвое больше стороны основания ABCD. Найдите
расстояние между прямыми АВ и PC, если сторона основа-
ния пирамиды равна 17.
4.124. ABCDEFA1BlClDlE1Fl — правильная шестиуголь-
ная призма, все рёбра которой равны 1. Найдите синус угла
между плоскостями: а) АВС и BCXF; б) FB1Dl и АВС; в) АгВС
иАВ/; г) ВСи АВС; д) А1СЕ1 и ABC; e)ABCnBFDv
Глава
РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи к § 18. Расстояние от точки до фигуры
5.001 .© Прямая АВ пересекает плоскость а в точке О;
р(А; а) = 4. Найдите расстояние от точки В до плоскости, ес-
ли: а) точка О — середина АВ; б) точка В — середина О А;
в) точка А — середина ОВ.
5.002. © Прямая АВ пересекает плоскость а в точке О;
р(А; а) = 4. Найдите расстояние от точки В до плоскости а,
если ОА = 8, АВ = 6.
5.003. Точки АиВ лежат по разные стороны от плоскости а.
Расстояния от точек А и В до плоскости а соответственно
равны 7 и 10. В каком отношении (считая от точки А) плос-
кость а делит отрезок АВ?
5.004. Точки А и В лежат по разные стороны от плоскости а.
Расстояния от точек А и В до плоскости а соответственно
равны 7 см и 10 см. Плоскость а пересекает отрезок АВ в точ-
ке О. Найдите длины отрезков О А и ОВ, если длина отрезка
АВ равна 51 см.
5.005. Точки А и В лежат по одну сторону от плоскости а.
Расстояния от точек А и В до плоскости а соответственно
равны 7 см и 10 см. Плоскость а пересекает прямую АВ
в точке О. Найдите длины отрезков ОА и ОВ, если длина от-
резка АВ равна 51 см.
5.006. © Точка М равноудалена от вершин прямоугольника.
Равноудалена ли точка М от сторон этого прямоугольника?
5.007. Точка М равноудалена от вершин правильного много-
угольника. Равноудалена ли точка М от сторон этого много-
угольника?
5.008. Точка Р удалена от каждой вершины правильного
треугольника АВС на расстояние л/21, а от каждой его сто-
78
Глава 5
Расстояния в пространстве
роны — на расстояние 2^/3 . Найдите: а) расстояние от точки
Р до плоскости треугольника; б) площадь данного треуголь-
ника; в) угол между плоскостями АВР и АВС.
5.009. © Точка К находится на одинаковом расстоянии от
каждой из прямых, содержащих стороны ромба ABCD, и
равноудалена от каждой его вершины. Найдите углы ромба.
5.010. § Вершины А и В квадрата ABCD лежат в плоскости
а, а вершина С удалена от этой плоскости на 4. Найдите рас-
стояние до плоскости а от: а) точки D; б) точки О пересече-
ния диагоналей квадрата; в) точки М — середины DO’,
г) точки К пересечения медиан треугольника ADO', д) точки
Т пересечения медиан треугольника DOC.
5.011. © Вершины AwB треугольника АВС лежат в плоскос-
ти а, а точка М — середина стороны АС, удалена от плоскос-
ти а на 6. Найдите расстояние от плоскости а до: а) точки С;
б) середины ВС; в) середины средней линии треугольника,
параллельной ВС; г) точки пересечения медиан.
5.012. © Катет АВ прямоугольного треугольника АВС ле-
жит в плоскости а, а вершина С удалена от этой плоскости на
расстояние 8. Найдите расстояние от данной плоскости до
центра окружности, описанной около треугольника.
5.013. В треугольнике АВС сторона АС = 4, АВ = 6, ВС = 8.
Вершины А и С лежат в плоскости а, а точка В удалена от
этой плоскости на 4. Найдите расстояния до этой плоскости от
точек: а)М — середины биссектрисы BBt; б)Ар где ААг —
биссектриса треугольника; в) Cv где ССг — биссектриса тре-
угольника; г) центра вписанной в треугольник окружности.
5.014. © Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответ-
ственно 8 и 10. Точки А и D лежат в плоскости а, а вершина
В удалена от плоскости а на 18. Найдите расстояние от плос-
кости а до: а) точки С; б) точки пересечения средней линии
трапеции с её диагональю АС; в) точки О пересечения диаго-
налей трапеции.
5.015. § Вершина D тетраэдра ABCD удалена от плоскости
АВС на 6. На какое расстояние от этой плоскости удалены:
а) точка К — середина BD; б) точка М — точка пересечения
79
Задачи к § 19. Расстояние между фигурами
медиан треугольника ABD; в) точка N пересечения медиан
треугольника ВСМ; г) середина МК; д) точка пересечения
медиан треугольника СМК.
5.016. В кубе АВСВА1В1С1В1 проведено сечение через вер-
шины Alf С и ВРасстояние от вершины В до плоскости се-
чения равно 8. Найдите расстояния до плоскости сечения от
вершин: А; С1; D1.
5.017. В кубе АВСВА1В1С1В1 проведено сечение через вер-
шины Ар и В. Расстояние от вершины Bt до плоскости се-
чения равно 4. Найдите расстояния до плоскости сечения от
вершин: А; С; Bp D.
5.018. © ABCDAlB1CrD1 — куб. Точка М лежит на ребре АВ
и делит его на отрезки AM = 3 и ВМ = 5. Найдите расстояние
от точки М до каждой из плоскостей: ADA}; ВСВХ; А1В1С1;
DCCV
5.019. В кубе ABCDA^B^C^D^ его диагонали АгС и ВВг пере-
секаются в точке М. Найдите расстояния от точки М до каж-
дой из плоскостей ABXDX и BC^D, если ребро куба равно 6.
5.020. © Сторона АВ параллелограмма ABCD лежит в плос-
кости а; К — середина ВС. Расстояние от точки пересечения
диагоналей параллелограмма до плоскости а равно 5. Най-
дите расстояние от точки Е до плоскости а, если точка К —
середина АЕ.
Задачи к § 19. Расстояние между фигурами
5.021. ©Расстояние между двумя параллельными плоскос-
тями равно 5. Чему равно расстояние от точки, принадлежа-
щей одной из этих плоскостей, до второй плоскости?
5.022. © Расстояние от точки до каждой из двух параллель-
ных плоскостей равно 6. Найдите расстояние между данны-
ми плоскостями.
5.023. © Расстояние между двумя параллельными плоскос-
тями равно 8. Точка удалена от одной из этих плоскостей на 3.
На какое расстояние эта точка удалена от второй плоскости?
80
Глава 5
Расстояния в пространстве
5.024. © Расстояние между двумя параллельными плоскос-
тями равно 5. Точка удалена от одной из этих плоскостей на
10. На какое расстояние эта точка удалена от второй плос-
кости?
5.025. © Расстояния от точки до двух параллельных плос-
костей равны соответственно 3 и 7. Найдите расстояние меж-
ду этими плоскостями.
5.026. © Точки АиВ принадлежат соответственно двум па-
раллельным плоскостям аир, расстояние между которыми
6. Длина отрезка АВ равна 12. Точка М принадлежит отрез-
ку АВ и удалена от плоскости а на 2. Найдите длины отрез-
ков AM и ВМ.
5.027. Точки АиВ принадлежат соответственно двум парал-
лельным плоскостям а и Р, расстояние между которыми 10.
Длина отрезка АВ равна 30. Точка М принадлежит прямой
АВ и удалена от плоскости а на 2. Найдите длины отрезков
AM и ВМ.
5.028. Плоскости равностороннего треугольника АВС со
стороной 6 и равнобедренного треугольника АВК (АК = ВК =
= 9) перпендикулярны. Найдите расстояние между: а) точ-
кой К и центром О треугольника АВС', б) прямыми АВ и СК.
5.029. § ABCD — квадрат со стороной 4. Точка М принадле-
жит стороне CD и делит её в отношении 3:1, считая от D.
Прямая ТМ перпендикулярна плоскости квадрата. ТМ = 4.
Найдите расстояние между прямыми: a) TD и АВ; б) TD и
ВС; в) ТС и AD; г) ТВ и DC.
5.030. © Стороны основания прямоугольного параллелепи-
педа ABCDAXBXCXDX равны а и Ь. Найдите расстояние между
диагональю BDr параллелепипеда и непересекающим её бо-
ковым ребром AAV
5.031. В правильном тетраэдре РАВС с ребром а точки М
и К — середины рёбер соответственно ВР и СР, точка О —
центр основания АВС. Найдите расстояние между прямыми:
а) МК и ОР; б) АР и ВС; в) АВ и МК.
5.032. § Дан куб MNPQM1N1P1Q1 с ребром а. Точка К — се-
редина ребра N1P1. Заполните таблицу.
81
Задачи к § 20. Геометрические места точек
№ Прямые Расстояние между прямыми
1 мм1 QP
2 NNX QPr
3 QP MXK
4 QQ} MrK
5 MP
6 МК NP
7 NXP PiQ
8 МК NQ
9 QK MPX
Задачи к § 20. Геометрические места точек,
связанные с расстоянием в пространстве
5.033. © Даны пересекающиеся плоскости аир. Найдите
множество всех точек пространства, принадлежащих плос-
кости а и удалённых на расстояние ш от плоскости 0.
5.034. © Даны пересекающиеся плоскости аир. Найдите
множество всех точек пространства, каждая из которых уда-
лена от плоскостей аир соответственно на расстояния а и &
(а # 0, b # 0).
5.035. © Найдите множество всех точек пространства, равно-
удалённых от трёх данных попарно параллельных прямых.
5.036. © Даны плоскость а и не принадлежащие ей точки А
и В. На плоскости а найдите множество всех точек, равно-
удалённых от точек А и В.
5.037. © Сумма двух противоположных углов плоского че-
тырёхугольника равна 180°. Найдите множество всех точек
пространства, равноудалённых от всех вершин данного че-
тырёхугольника.
5.038. © Суммы противоположных сторон плоского четы-
рёхугольника равны. Что собой представляет множество
всех точек пространства, равноудалённых от прямых, содер-
жащих стороны данного четырёхугольника?
82
Глава 5
Расстояния в пространстве
5.039. Точка М не принадлежит плоскости а, а точка В при-
надлежит этой плоскости. Что собой представляет множест-
во оснований всех перпендикуляров, проведённых из точки
М ко всем прямым плоскости а, проходящим через точку В?
5.040. Точка А удалена от плоскости а на расстояние, рав-
ное 4 см. В плоскости а найдите множество всех точек, уда-
лённых от точки А на расстояние, равное 5 см.
5.041. Плоскости аир перпендикулярны, точка А принад-
лежит плоскости а и удалена от плоскости р на расстояние,
равное 8 см. В плоскости р найдите множество всех точек,
удалённых от точки А на расстояние, равное 10 см.
Задачи к главе 5
5.042. Плоскость а пересекает стороны АВ и ВС параллело-
грамма ABCD соответственно в точках К (середина АВ) и Р
(ВС : PC = 3). Расстояние от точки В до этой плоскости равно
6. Найдите расстояния от остальных вершин параллелограм-
ма до плоскости а.
5.043. Плоскость а, пересекая отрезок АВ, делит его в отно-
шении 7 : 5, считая от точки В. Найдите расстояние от точки
А до плоскости а, если расстояние от середины отрезка АВ
до этой плоскости равно 2.
5.044. Все вершины куба, кроме двух противоположных А и
С\, лежащих на одной диагонали, одинаково удалены от не-
которой плоскости а. Найдите расстояние от каждой из этих
вершин (исключая А и С\) до плоскости а, если ребро куба
равно 6.
5.045. MABCD — правильная четырёхугольная пирамида.
Ребро основания пирамиды равно 6, а её высота равна 4.
Найдите расстояние от вершины А до плоскости MDC.
5.046. g Прямая АВ перпендикулярна прямой СР, прямая
АР перпендикулярна прямой АВ. Прямая АР перпендику-
лярна прямой СР; АВ = АР = СР = 4. Найдите расстояние
между прямыми АР и СВ.
5.047. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скре-
щивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба
и его ребро; б) диагональ куба и диагональ его грани; в) ди-
агонали двух соседних граней.
83
Задачи к главе 5
5.048. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответ-
ственно 8 и 10. Точки С и D принадлежат плоскости а, а вер-
шина В удалена от плоскости а на 4. Найдите расстояния от
плоскости а до: а) точки А; б) точки пересечения средней ли-
нии с диагональю АС; в) точки О пересечения диагоналей
трапеции.
5.049. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение через точки
М, N и К — середины рёбер соответственно AXDV ClD1 и
DDr. Расстояние от вершины Dr до плоскости сечения рав-
но 9. Найдите расстояния до плоскости сечения от вершин:
АрСр^ВрС; А;В.
5.050. В правильном тетраэдре РАВС с ребром а точка О —
центр основания АВС. Найдите расстояние от точки К — се-
редины высоты РО тетраэдра до его грани АВР.
5.051. В основании пирамиды MABCD лежит параллело-
грамм ABCD. Точка О пересечения диагоналей параллело-
грамма удалена от плоскости MDC на 6. Найдите расстояние
до этой плоскости от: а) точки А; б) точки В; в) точки К, где
МК — медиана треугольника AMD; г) точки пересечения
медиан треугольника АВС; д) точки пересечения медиан тре-
угольника МВС.
5.052. ABCD — параллелограмм со сторонами АВ = 6 см и
ВС = 14 см. Сторона AD лежит в плоскости р, расстояние от
точки В до плоскости Р равно 3; М — точка пересечения бис-
сектрис углов А и D параллелограмма. Найдите расстояние
от точки М до плоскости р.
5.053. Основанием тетраэдра РАВС служит равнобедренный
прямоугольный треугольник АВС (АС = ВС = а). Известно,
что РА = РВ = PC = b. Найдите расстояние между прямыми
АВ и СР.
5.054. Дано множество всех плоскостей, проходящих через
данную прямую т, и точка А, не принадлежащая этой пря-
мой. Найдите множество точек, являющихся основаниями
перпендикуляров, проведённых из точки А ко всем данным
плоскостям.
5.055. Плоскости а и Р перпендикулярны, точка А удалена
от плоскости а на 6 см, а от плоскости Р — на 8 см. Найдите в
каждой из плоскостей а и Р множества всех точек, удалён-
ных от точки А на расстояние, равное 10 см.
84 I Гпава 5
Расстояния в пространстве
5.056. На поверхности куба ABCDA^B^C^D^ найдите и пост-
ройте множество всех точек, равноудалённых от: а) вершин
А и В; б) вершин А и С; в) вершин В и Dx; г) точки пересече-
ния диагоналей грани ABCD и середины ребра А1В1.
5.057. На поверхности куба ABCDAlB1C1D1 найдите и пост-
ройте множество всех точек, удалённых от вершины А на
расстояние, равное длине ребра куба.
5.058. На поверхности куба ABCDAXBXCXDX найдите и пост-
ройте множество всех точек, удаленных от ребра АВ на рас-
стояние, равное половине длины ребра куба.
5.059. На поверхности куба ABCDA^B^Cнайдите и пост-
ройте множество всех точек, равноудалённых от плоскостей:
а) АВС и АВСХ; б) АВСХ и AXCD.
5.060. На поверхности тетраэдра ABCD найдите и постройте
множество всех точек, равноудалённых от: а) вершин А и В;
б) середины ребра АС и вершины D; в) плоскостей DAC и
ВАС.
5.061. На поверхности правильного тетраэдра ABCD найди-
те и постройте множество всех точек, удалённых от вершины
А на расстояние, равное половине длины ребра тетраэдра.
5.062. § Ребро куба ABCDAlB1C1D1 равно а. Какую наи-
меньшую площадь может иметь треугольник АСМ, если
точка М принадлежит прямой BXDX?
5.063. § Ребро куба ABCDA1BlC1Dl равно а. Какую наи-
меньшую площадь может иметь треугольник BDT, если
точка Т принадлежит прямой А ХС?
5.064. § Ребро правильного тетраэдра МАВС равно а. Точ-
ка ТС — середина ребра АС. Какую наименьшую площадь
может иметь треугольник МКТ, если точка Т лежит на пря-
мой АВ?
5.065. § В прямоугольном параллелепипеде ABCDAlB1C1Dl
ребро ААХ = а, АВ = За и AD = 4а. Какую наименьшую пло-
щадь может иметь треугольник ADXM, если точка Т лежит
на ребре АВ?
85
Задачи к главе 5
5.066. § Ребро основания правильной призмы АВСА1В1С1
равно а. Боковое ребро призмы равно 2а; точка Р — середина
ребра ВВХ. Какую наименьшую площадь может иметь тре-
угольник АВгК, если точка К лежит на прямой СР?
5.067. Все вершины тетраэдра находятся на одинаковом рас-
стоянии от плоскости. Сколько существует таких плоскос-
тей?
5.068. Точка М удалена на расстояние 4л/2 от каждой из
трёх вершин квадрата со стороной 8. Докажите, что точка М
принадлежит плоскости этого квадрата.
5.069. 2 Точка А принадлежит окружности радиуса 1. От-
резок АВ длины 2 перпендикулярен плоскости этой окруж-
ности; С — такая точка окружности, что длина дуги АС равна
х (0 < х л). Задайте функцию расстояния между точками В
и С от х.
5.070. § ABCD — прямоугольник со сторонами АВ = 3 и
ВС = 4. Треугольники АВС и ADC вращаются вокруг диаго-
нали АС. В каких пределах изменяется длина отрезка BD?
5.071. Трапецию ABCD со сторонами АВ = ВС = CD = 6 и
AD = 12 перегнули по диагонали АС так, что вершина D ока-
залась вне плоскости данной трапеции. Может ли при этом
расстояние между точками В и D быть равным: а) 7; б) 5;
в) 10; г) 11?
5.072. ABCDEFAlBlC1D1E1Fl — правильная шестиуголь-
ная призма, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние
от вершины В до прямой: s^E^F; G^D^F^; BjCpDp rJADp
Д) CDr
5.073. ABCDEFA^B^C^D^E^Fr — правильная шестиуголь-
ная призма, все рёбра которой равны 1. Найдите: а) расстоя-
ние от вершины Aj до плоскости ВССр б) от вершин Аг и D1
до плоскости АСг Е1; в) от вершин FnBl до плоскости AFrD.
5.074. ABCBBFA1B1C1P1£1F1 — правильная шестиуголь-
ная призма, рёбра которой равны 1. Найдите расстояние
между прямыми: a) BrF и СЕг; б) АХВ и ВХС; в)ВхВ и АхВ;
г) ВЕ1 и ВХС.
Глава
ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД
В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи к § 21. Понятие вектора.
Линейные операции над векторами
6.001. © Может ли длина суммы двух векторов быть:
а) меньше длины каждого из слагаемых; б) равной сумме
длин слагаемых; в) больше суммы длин слагаемых? Ответ
обоснуйте.
6.002. {Устно.) © Дан тетраэдр РАВС. Точки К’1, К2, К3, К4,
К5, К& — середины рёбер соответственно PC, РВ, РА, АВ,
-------------------------------------------------->
ВС, АС. Назовите все векторы: 1) равные вектору: а) К^К2;
------> -------> --------------------------------->
б) К3К4 ; в) К2К3 ; 2) противоположные вектору: а) К4К5 ;
б) К3К6 ; в) К4К6 .
6.003. © Изобразите параллелепипед ABCDAlB1C1D1. Назо-
вите вектор, равный сумме векторов: а) АВ + ArDr; б) АВ +
+ AD}; в) DA + В^В ; г) DDl + DB ; д) ЛВг + ~BC;e)AD +
+ AjBj + ССг; ж) AD + Z)jCj + DD^ + СВ + В^А .
6.004. Начертите параллелепипед ABCDA^B^C^D^ и обо-
-----------* - ----* >
значьте ClDl = а, В А t = b, AD = с . Изобразите на рисунке
векторы: a)a-b;6)b - а;в)а-с;г)а + с- Ь;д)с + b - а;
е) -а — Ь.
6.005. ©Упростите выражение: а) АВ - НМ + ВС - АС +
+ РЕ + НМ; б) СК - ЕМ - АЕ + AM + КМ + PC;
в) КМ + BE + АС -КЕ + СА - ВС + МР; г) АВ + СЕ +
+ МН +ВА+ЕС+ НМ .
_________________________________________Is7
Задачи к§ 21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
6.006. (Устно.) Даны точки А, В, С, Е. Представьте вектор
АВ в виде линейной комбинации следующих векторов:
а) AC, ЕС, BE ; б) ЕА , ЕС , СВ ; в) ЕА , СЕ, ВС; г) АС ,
BE,ЕС,СВ,ВА.
6.007. Дан параллелограмм ABCD, О — произвольная точка
пространства. Докажите, что О А + ОС = ОВ + OD.
6.008. © . Дан параллелепипед ABCDA1BlC1D1, О — произ-
вольная точка пространства. Докажите, что: а) ОА + ОС j
= ОС + OA1;6)OD + ОВ1 = ОВ +ODr.
----> -----> -----> ----->
6.009. Докажите, что МгА - МгВ - М2А - М2В .
6.010. (Устно.) РАВС — тетраэдр с вершиной Р. Найдите
точку М, если: а) РМ = РА + РВ; б) РМ = ВА + ВС;
в) AM = АВ + АС + АР; г) СМ = РА - РВ; д) AM =
= РВ+АС+РА-РВ;е) РМ = РА + ВС + РВ.
6.011. © Известно, что АВ = 2АО . Докажите, что точки А и
В симметричны относительно точки О.
6.012.0 — точка пересечения диагоналей куба ABCDA1B1ClDl.
Найдите число х такое, что: а) АВ = xCD ; б) AC j = хАО ;
--> -----> -----> ----> -----> ---->
в) ОВ ! = xDB х; г) В^О = xDB 1; д) А1С = хСО .
6.0 13. Векторы а и Ь, а также векторы а и с коллинеарны.
Докажите, что коллинеарны векторы: а)п+Ьис;б)а-6и
с; в) a + 2b и с; г) -За + 26 и с.
6.0 14. Векторы a + b и a - b коллинеарны. Докажите, что
векторы а и b коллинеарны.
88 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
6.015. ©Докажите, что если точка М — середина отрезка
АВ, а О — произвольная точка пространства, то ОМ =
= ±(ОА + ОВ).
6.016. Докажите, что если точка М — центроид треугольни-
ка АВС, то МА + МВ + МС =б.
6.017. © Докажите, что если точка М — центроид треуголь-
ника АВС, а О — произвольная точка пространства, то
ОМ = \{ОА +ОВ+ ОС).
О
6.018. § В тетраэдре РАВС точки Мх и М2 — центроиды гра-
ней соответственно РАВ и РВС. Докажите, что МгМ2 II АС и
мхм2 = |ас.
О
6.019. (Устно.) Дан куб ABCDAXBXCXDX. Точки Кх, К2, К3,
К4, К5, К6 — середины рёбер соответственно ААР ВВХ, ССХ,
DDX, АВ, CXDX. Назовите векторы: 1) равные вектору:
а) КХК5 ; б) К3В ; в) Вс\; г) ; д) ; е) АК*3; 2) про-
------------------------------> ------> ------> ------->
тивоположные вектору: a)X"47f6; 6)ADX; в)К2Сх; г) DXK2;
д)КхС1;е)СКх.
6.020. Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD
с вершиной Р. Докажите, что сумма векторов АО , РВ , PC ,
OP , DP , BA , ВС равна сумме векторов АР , DA , DC , ВС ,
В А , PC , где точка О — центр основания пирамиды.
6.021. © ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Начертите век-
тор AM, если:
а) AM = АВ + ВС + DD\; б) AM = АВ + ВС + CD;
в) AM = АВ + BD + СС^; г) AM = АВ + ВС + DA ;
89
Задачи к § 21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
д) AM = АВ + АС + ВС; е) AM = АВ + С^ + АС;
ж) AM = ВС + вв[ + CXDX; з) AM = DC1 + ВС + В^А х;
и) AM = АВ х + + ADX + ССХ; к) AM — AD^ + C^D-^ +
+ BXCX + ВгВ + AB; л) AM = A1b[ + C^ + Cc\ + AC +
+ A^A ; m) AM = AB- C^ - A^ ; h) AM = BC - C^ -
- ccj + АуЦ + CA.
6.022. © Начертите тетраэдр РАВС и постройте направлен-
ный отрезок, задающий вектор: а) АВ + ВС; б) АС + АР;
в) РВ + Тс; г) АС - АВ; д) АВ -СВ; е) -ВР + ВС;
ж) -ВР -PC + ВС.
6.023. АВС.АХВХСХ — призма. Укажите точку М, если:
а) ВМ = ВА + СХВХ + АХСХ; б) ВХМ = В^А + В^В + АА^ ;
в) АВ + ВМ = АС} - ВХСХ
6.024. § ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Укажите та-
кую точку М, что справедливо равенство:
МА + МВ + МС +MD + MA1 + МВ1 + Ж. + МВХ = б.
6.025. РАВС — тетраэдр. Постройте такую точку М, что
справедливо равенство РА + РВ + PC - РМ = 0.
6.026. АВСЛАХВХСХ£>Х — параллелепипед. Пусть АВ = а,
—> -> ----*
AD = b, AAt = с. С помощью этого параллелепипеда убе-
дитесь в справедливости следующих векторных равенств:
а) а + (Ь + е) = (а + Ь) + с = (с + а) + Ь; б) а + (Ь - с) == (а - с) + Ь;
ъ)а-(Ь-с) = [а-Ь) + с = (а+с)-Ь;
г) а - (b + с) = (а - Ь) - с = (а-с)-Ь.
90
Глава 6
Векторный метод в пространстве
6.027. § Два треугольника АВС и А1В1С1 произвольно рас-
----------------------------------------> ----> ---->
положены в пространстве. Верно ли, что АА^ + ВВг + ССг =
— АВ^А- ВСг + СА^
6.028. © Векторы a - 2b и a + 3b коллинеарны. Докажите,
что векторы а и & коллинеарны.
6.029. ABCDA1B1ClD1 — паралле-
лепипед. На диагонали АС грани
ABCD взята такая точка М, что
AM: МС = 1:4, а на диагонали
АСГ параллелепипеда — такая точ-
ка N, что AN: A'Cj = 1:5. До-
казать, что точки М, N и Аг лежат
на одной прямой. Найти отноше-
ние, в котором точка N делит отре-
зок МАХ.
Решение. Для доказательства принадлежности трёх точек
М, N и At одной прямой достаточно показать, что векторы
---> -----» -------------------> ----->
МАГ и MN коллинеарны, т. е. MN = Z МА1 (рис. 52). Поль-
---------------------------------------------------->
зуясь условием задачи, находим: AM : МС = 1 : 4 => AM =
= 1 AC; AN’.NCi = 1 : 5 => AN = 1 АС} = j (АА^ + АС). Тог-
да MN = AN - AM = |(Aa"J + AC) - | AC = ^-(5AA^ -
- AC). Далее, MA J = Xa, - AM = AA? - 1 AC = 1 (5 АЛ, -
5 5
—> -------------------------------> । > —>
- AC). Таким образом, получили: MN = — (5AAt - AC),
---1 ---у ---
MAr = -(5AAi - AC), откуда следует MA,t = QMN. Этоозна-
□
чает, что точки М, N и А! лежат на одной прямой и
-1:5.
6.030. Для данной неплоской замкнутой ломаной, состоя-
щей из шести звеньев, построены два треугольника, верши-
нами каждого из которых служат середины несмежных
звеньев. Докажите, что центроиды этих треугольников сов-
падают.
91
Задачи к § 22. Разложение вектора по базису
Задачи к § 22. Разложение вектора по базису
6.031. © В параллелограмме ABCD точки К и Р делят сторо-
ны АВ и AD на части в отношении АК : КВ = АР : PD =1:4.
Выразите вектор КР через векторы АВ и AD.
6.032. К центру правильного шестиугольника приложены
три силы, направленные в три последовательные вершины.
Найдите величину и направление равнодействующей, если
величина каждой из данных сил равна 2Н.
6.033. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Пусть
АС = a, АЕ = Ъ. Разложите по базису (а; Ъ) следующие век-
торы: a) AD; б) CD; в) АВ; г) ВС; a)DE; е) АЕ; ж) FC;
з) EF; и) ОВ; к) BE.
--->
6.034. Пусть МК — равнодействующая трёх сил, прило-
женных в точке М и равных МА, МВ и МС, где А, В иС —
вершины правильного треугольника, вписанного в окруж-
ность с центром О. Найдите отношение длин отрезков МК и
МО.
6.035. (Устно.) Дан параллелепипед ABCBA^^D^. Какие
-----------------------------------------------> -->
из следующих троек векторов компланарны: а)ААр ССР
DD\; б) АВ, AD, Вв\; в) AC, Сс[, DD^; г) AD, Вв[, D^;
д) Xdv В^С, АВ; е) DAr, ВСХ, AD?
6.036. ©Основанием пирамиды с вершиной Р является па-
раллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в
точке О; точка Е — середина ребра PC. Разложите векторы
PD, РО, АЕ и ЕО по векторам а = РА, b = РВ, с = PC.
6.037. © ABC DA 1В1С1В1 — куб. Пусть АВ = a, AD = Ъ,
---) -» _ - _
A A J = с . В базисе (а; b; с) найдите координаты следующих
-------------> ------------> -----> -----> ---->
векторов: a) ACt; б) AD1; в) АВг; г) АС; д) А1С; е) DjB.
92 J Глава 6
Векторный метод в пространстве
6.038. Векторы a, b и с образуют базис в пространстве. Бу-
дут ли образовывать базис пространства векторы: а) ха, уЪ, гс ;
б) а + Ь, b + с, с + а?
6.039. © ABCDA1BlC1D1 — параллелепипед; точка О — центр
---* -------* -> ----* -
основания ABCD. Обозначим А^А = а, АХВ = b, AXD = с.
_ _ ----------------------------->
Разложите в базисе (а; Ь; с) следующие векторы: а) АгО;
б) АО; в) САр г) АСр д) D^B; е) С^В.
6.040. © РАВС — правильный тетраэдр. Точки К и М — се-
редины рёбер соответственно PC и ВС; точки Н и Е — цент-
роиды треугольников соответственно АВС и РВС. Обозначим
РА = а, РВ = b, PC = с . В базисе (а; Ъ; с) найдите координа-
ты векторов: а) ВК; б) РМ; в) PH; г) АЕ; д) КН.
6.041. Точки М и М^ — центроиды треугольников соответ-
---------------------------------------> ----> ---->
ственно АВС и А1В1С1. Докажите, что ААХ -I- ВВг + ССГ =
= ЗММр
6.042. Даны параллелограммы ABCD и AB1C1D1. (А — об-
щая вершина.) Докажите, что при любом их взаимном рас-
положении прямые ВВг, ССг и DDX параллельны некоторой
плоскости.
А
а
Рис. 53
6.043. § В наклонной треугольной
призме проведено сечение, пересе-
кающее все её боковые рёбра. До-
кажите, что центроиды сечения и
оснований призмы лежат на од-
ной прямой.
6.044. ABCBA1B1C1D1 — куб. До-
казать, что центроид М треуголь-
ника ACD1 принадлежит диагона-
ли B}D и делит её в отношении
1:2, считая от вершины D.
93
Задачи к § 22. Разложение вектора по базису
Решение. Для решения задачи достаточно убедиться, что
-----------> —>
векторы DM и DBr (рис. 53) коллинеарны (почему?).
--------------------> _> > х >
Введём базис a. — DA , Ъ = DC, с = DDX и найдём разложе-
—> --------------->
ние векторов DBr и DM по этому базису.
По правилу параллелепипеда имеем
DBt= DA + DC + DD^ = a+ Ь+с. (1)
Так как точка М — центроид треугольника ACD1, то
DM = UDA + DC + Z>BJ = l(a + & + c ). (2)
3 3
—* 1 —>
Из (1) и (2) следует, что DM = - DBX, поэтому векторы
3
---> ---->
DM и DB} коллинеарны и сонаправлены. Это означает, что
точка М принадлежит диагонали DBX и DM : DBt = 1:3, от-
куда DM : МВХ = 1:2, что и требовалось доказать.
6.045. § Дан параллелепипед ABCDA^B^C^^. Точки Р, Н и
К — середины рёбер соответственно А1В1, ССХ и АВ. Дока-
жите, что плоскость НРК проходит через точку О пересече-
ния диагоналей параллелепипеда.
6.046. § Даны два параллелограмма ABCD и А1В1С1В1. Точ-
ки М, Р, К и Н — середины отрезков соответственно ААР
ВВР ССХ и DDV Докажите, что отрезки МК и PH пересека-
ются в одной точке и делятся ею пополам.
6.047. § В тетраэдре РАВС точки К и М — середины рёбер
соответственно РА и ВС. Докажите, что прямые АВ, КМ и
PC параллельны некоторой (одной) плоскости.
--> > —>
6.048. § Векторы МА , МВ и МС некомпланарны, точка .К”
лежит в плоскости треугольника АВС. Найдите значение
------------------» --------> -------> —> ---------->
числа х, если: а) МК = 0,1 МА + 0,4МВ + хМС; б) МК =
= 7МА + хМВ + 0,38 МС.
Для каждого найденного значения х определите: лежит
точка К внутри треугольника или нет.
94 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
6.049.1 Векторы МА, МВ и МС некомпланарны. Опре-
делите взаимное расположение отрезка МК и плоскости
АВС, если: а) МК = 0,3 МА + 0,4МВ 4- 0,2МС; б) МК =
= 0,37МА + 0,25МВ + 0,38МС; в) МК = 0,7МА - 0,4 МВ +
+ 0,8МС; г) МК = 0,38 МА 4- 0,43МВ - 0,81МС.
---> -------->
6.050. ©Векторы МА, МВ и МС некомпланарны. Извест-
----------> ------> -----> ------>
но, что МК = ЗМА 4- ЗМВ 4- ЗМС. В каком отношении
плоскость АВС делит отрезок МК, считая от точки М?
6.051. Векторы МА , МВ и МС некомпланарны. Известно,
-------> ------> -----> —>
что МК = 5МА - 2МВ - МС. В каком отношении плос-
кость АВС делит отрезок МК, считая от точки М?
---> ---> ---->
6.052. © Векторы МА, МВ и МС некомпланарны. Извест-
----------> ------> —> —>
но, что МК = ЗМА 4- 2МВ 4- ЗМС. В каком отношении
плоскость АВС делит отрезок МК, считая от точки М?
----> --> ---->
6.053. Векторы МА, МВ и МС некомпланарны. Известно,
что МК = 0,ЗМА 4- 0,07МВ 4- 0,13 МС. Прямая МК пересе-
кает плоскость АВС в точке Т. Найдите отношение длин от-
резков МК и ТК.
6.054. © Векторы МА, МВ и МС некомпланарны. Извест-
----------» -----» ------> ------>
но, чтоМК = 1,ЗМА - 2МВ 4- 0,9МС. Прямая МК пересе-
кает плоскость АВС в точке Т. Найдите отношение длин от-
резков МТ и МК.
6.055. Векторы МА, МВ и МС некомпланарны. Известно,
------> ------> --------» —»
что МК — 0,3 МА 4- 0,7МВ - 2МС. Прямая МК пересекает
плоскость АВС в точке Т. Найдите отношение длин отрезков
МК и ТК.
6.056. © О — точка пересечения диагоналей грани DD^C^C
куба ABCDA^B^C^D^. а) Разложите вектор АО по векторам
95
Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов
--->
ААг; АВ и AD. б) В каком отношении плоскость A^D де-
лит отрезок АО, считая от О?
6.057. © На продолжении рёбер МА, МВ и МС правильного
тетраэдра МАВС взяты соответственно точки Аг, Вг и Сг та-
кие, что точка А — середина отрезка МАг, МВХ = ЗМВ и
МСг = 1,ЪМС. Точка К — центроид (точка пересечения ме-
----------------------------------------------------->
диан) треугольника А1В1С1. а) Разложите вектор МК по
векторам МА, МВ и МС. б) В каком отношении плоскость
АВС делит отрезок МК, считая от М? в) Найдите расстояние
от точки К до плоскости АВС, если ребро тетраэдра равно а.
Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов
п. 23.1—23.3
6.058. (Устно.) В параллелограмме ABCD угол BAD равен
53°, а угол ADB равен 62°. Найдите углы между векторами:
а) АВ и AD; б) ВС и DC; в) СВ и DC; г) СВ и AD; д) BD и
CD; е) АВ и BD.
6.059. ©Дан куб АВСВА1В1С1В1. Найдите угол между век-
------------> ---> ----> ---> ----> --> ---->
торами: a) -Aj-Dj и ССр б) ААг и СгС; в) AD и СВ1; г) DA и
СВр д) ВС1ИвХ;е) АС и БсР
6.060. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD слу-
жит квадрат ABCD, каждое боковое ребро пирамиды равно
стороне квадрата. Найдите угол между векторами: а) РА и
Й;б)ЛиЙ;в)ЙиРС;г)АВи АС; д) СА и BD.
6.061. (Устно.) Какой знак имеет скалярное произведение
двух векторов, если угол между ними: а) острый; б) тупой?
6.062. Определите вид угла между векторами а и b, если их
скалярное произведение: а) равно нулю; б) больше нуля;
в) меньше нуля.
96 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
6.063. © Вычислите скалярное произведение векторов а и
Ь, если их длины и угол между ними равны соответственно:
а) 4; 5; 60°; 6)2; 7; |; в) 4; 5; 120°; г) 7; 9; 90°; д) 14; 0,35;
180°; е) 2; 2; 0.
6.064. ABCDEF — правильный шестиугольник с центром О
и стороной 2. Вычислите скалярное произведение векторов:
а) ОА • ОВ;б)ОА • ОС; в) ОА ♦ OD; г) АВ • АС; д) АВ • ~АЕ.
6.065. Для данных ненулевых векторов а и Ь известно, что
(a + 5) • (а — Ь) = 0. Докажите, что |а| = \Ъ|, и выясните геомет-
рический смысл данного равенства.
6.066. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпенди-
кулярны, используя векторы.
6.067. g В тетраэдре РАВС рёбра АР и ВС, а также АВ и СР
взаимно перпендикулярны. Докажите перпендикулярность
рёбер АС и ВР, используя векторы.
6.068. § Векторы а, b, с — единичные; (а; Ь) = 30°, (а; с) =
= 45°, (Ь; с) = 60°. Вычислите скалярные произведения:
а) а • Ь; б) а • с; в) Ь ♦ с; г) (а + b - с) • а; д) (а - b + с) • (Ь - с);
е) (а + Ь - с) • (а - b - с); ж) (а + b + с)2; з) (35 - с) • (2а - 3£).
6.069. © Найдите скалярное произведение векторов а и Ь,
если: а) |а| = 1, |£| = 2, |а + = 3; б) |а| = 3, |Ь| = 4, |а - Ь\ = 5;
в) |а + 5| = \а - 5|; г) |а + = 2, |а — Ь| = 1; д) |а + 2б| = |а - 2£>| =р.
6.070. © Векторы а,Ь,с — единичные; (а; Ь) = 90°, (а; с) =
= 90°, (Ь; с) = 120°. Найдите длины векторов:
а) а + Ь; б) 4а + Зе ; в) 56 + Зе; г) а + Ь — 2с; д) —а — 4Ъ + Зе.
6.071. Длины векторов а, Ь ,с соответственно равны 2; 4; 1;
(а; 6) = 60°, (а; с) = 60°, (6; с) = 90°. Найдите длины векторов:
а) а - Ь; б) Ь + 2с; в) а + b - с; г) а - 0,55 + с.
97
Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов
6.072. Длины векторов а, Ь, с соответственно равны 1; 2; 2;
(а; Ь) = 90°, (а; с) = 120°, (6; с) = 120°. При каких значениях х
вектор а - b перпендикулярен вектору а + Ь - х • с?
6.073. Пусть а + Ъ + с — нуль-вектор и длины векторов а, b
и с равны соответственно 3; 1 и 4. Найдите а • b + b •<? + с • а.
6.0741. Найдите скалярное произведение векторов —2а + 36 -
- с и 7а + 7Ь - 4с.
6.075. Найдите косинусы углов между вектором 6а - 36 +
+ 2с и каждым из векторов а,Ьис.
6.076. § Найдите разложение вектора m в базисе (а; Ь; с),
если длина этого вектора равна 2, а углы между ним и векто-
рами b и с соответственно равны 60° и 120°.
6.077. Координаты векторов р и q в базисе (а; Ь; с) равны
соответственно (4; 0; 5) и (7; 1; 3). Найдите координаты еди-
ничного вектора, сонаправленного с вектором q - р .
6.078. Определите: при каких значениях х ортогональны
векторы ха - 36 + 2с и а + 2Ь - хс?
6.079. § Найдите координаты вектора m в базисе (а; Ь; с),
если он ортогонален векторам р = а - 2Ь + с и q = 2а + b — Зс
и образует с вектором с острый угол, причём |йг| = </3.
6.080. § Единичный вектор m перпендикулярен вектору
46 - Зс и вектору п, образующему с базисными векторами а,
Ь и с углы, соответственно равные
я я
4 ’ 4
и . Найдите коор-
&
динаты вектора m в этом базисе, если m • а > 0.
1 В задачах № 6.074—6.080 векторы а, Ь, с — единичные и по-
парно взаимно перпендикулярные.
98 J Глава 6
Векторный метод в пространстве
6.081. § а) Следует ли из a • Ь = а<с, что Ъ = ? б) Известно,
что для любого вектора р верно а-р = Ь 'р. Верно ли, что
а = д?
(Если вы считаете, что «верно», то докажите утвержде-
ние, в противном случае — приведите опровергающий при-
мер.)
6.082. © Треугольник АВС является основанием правильно-
го тетраэдра РАВС с ребром а; точки М, К, Н — середины рё-
бер соответственно АР, СР, АВ. Вычислите скалярные про-
изведения: а) АВ • АС; б) РА • ВР; в) КН • КВ; г) МК • АВ;
д) КМ- ВС; е) МЯ • ВС.
6.083. ABCDA^B^CyD-i — куб с
ребром 2. Точка М — центр осно-
вания AjBjCjZ)j. Точки Е иН взя-
ты соответственно на отрезках
BBt и АС так, что BE : BBt =
= 1:2, АН-.AC = 1:4. Найти:
1) длину отрезка: а) AM; б) ЕН;
в) МН; 2) угол между векторами:
a) BCi и АС; б) A^D и BDr;
в) НМ и CBi (рис. 54).
-» ---> ---г ---------
Решение. Введём базис а = АВ, b = AD, с = ААР Так как
грани куба — равные квадраты со стороной 2, то
а2 = Ь2 = с2 = 4, а • Ъ = а • с = b - с = 0. (*)
Рассмотрим некоторые случаи.
1.6) Длина отрезка ЕН равна длине вектора ЕН. Раз-
ложим вектор ЕН по базису (а; Ь; с). По правилу лома-
ной ЁН = ЁВ + ВА + АН = -1 AaJ - АВ + i АС =
2 1 4
= -ic-a + i(a+d) = -|a + l&-|c. Тогда |ЯЯ|2 = ЁН2 =
( । 1 Ё 1 —9 ->9 । 1 । 1 —>9 3 7* । 3 -* ->
\ 4 4 2 16 16 4 8 4
_____________________________L"
Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов
~±Ь*с. Учитывая (*), получаем |ЕН|2 = • 4 + • 4 +
+ 7 *4 = ~ , откуда \ ЕН| = . Следовательно, ЕН = .
4 2 А/ 2 ^2
~~ ") ~~ у- ВС> • АС
2. а) Обозначим (ВСХ; АС) = ф. Тогда cos ф = . *——.
IbcJ • |ас|
Находим: BCt • АС = (Ь + с) • (a + b) = b 'а+Ь2 + с -а+с'Ь.
Учитывая (*), получаем ВСХ • АС = Ь2 = 4.
iBCjl - J(b + с)2 = Jb2 + 2b-c + с2 = 74 + 2*0 + 4 = 2 72 ;
|АС| = J(a + b)2 = Ja2 + 2а -b + b2 = 272 .
Получаем
4 1
cos ф = ——--— = - , откуда ф = 60°.
272*272 2
Ответ: 1.6) Д; 2. а) 60°.
6.084. © Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды
PABCD имеют длину, равную 1. Найдите угол между векто-
рами РМ и DK, где точки М и К — середины рёбер соответ-
ственно ВС и СР.
6.085. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды
PABCD равны 1. Точка О — центр грани ABCD. Точки Е, F,
Н — середины рёбер соответственно ВР, СР, АР.
а) длину отрезка ОР; б) длину от-
резка СН; в) угол между вектора-
ми АЕ и BF; г) угол между ме-
дианой РМ грани ВРС и высотой
АЕ грани АРВ (рис. 55), исполь-
зуя векторы.
Решение пунктов а) и в). Введём
базис В А = а, ВС = Ъ, ВР = с.
Так как боковые грани пирами-
Найти:
Рис. 55
ды — правильные треугольники,
100 I Глава 6
Векторный метод в пространстве
а основание — квадрат, то |a| = |b| = с = 1, (а; с) = (Ь;с) =
= 60°, (fob) = 90°.
Поэтому имеем
a • с = |а| • |с| • cos 60° = |, b • с = |Ь| • |с | • cos 60° = A a • b = 0. (*)
а) Длина отрезка OP равна длине вектора OP. Разложим
этот вектор по базису (а; Ь; с).
--> ----> ----> ---> --->
По правилу треугольника ОР = ОВ + ВР = ВР - ВО =
= ВР - i BD. По правилу параллелограмма BD = В А +
+ ВС. Значит, ОР ВР - ^(ВА + ВС) = -Ад - ±Ь +с. Тог-
Ct Л
да |ОР|2 = OP2 = [-ia-ib+c] = a2 + ± b2 + с 2 + • b -
- a • с - b • с . Учитывая (*), получаем |ОР|2 = А, откуда |ОР| =
= , т. е. ОР = .
Ct Ct
в) Пусть (АЕ; BF) = <р. Тогда cos ф = , ‘ • Разло-
|ае| • |вр|
жим векторы АЕ и BF по базису (а; Ь; с). Имеем: АЕ =
= АВ + ВР = -а + А с; ВТ = А (ВС + ВР) = А (Ь + с).
Находим:
АЕ • BF = (-а + 0,5с) • (0,5b + 0,5с) =
= -0,5а • Ь - 0,5а • с 4- 0,25b • с + 0,25с 2;
| ~АЕ\2 = (-а + 0,5с)2 = а2 - а • с + 0,25с2;
|BF|2 = A (g 4- с)2 = A (b2 + 2b • с + с2).
Принимая во внимание (*), получаем: AE-BF = 0,125,
\AE\-\BF\=^.
101
Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов
т-г 0,125 1 1
Поэтому cos ф = —— = - , значит, ф = arccos - .
уз. Уз 6 6
2 ’ 2
J2 1
Ответ: а) ; в) arccos - .
2 о
6.086. В правильном тетраэдре РАВС точки М и К — сере-
дины рёбер соответственно АР и ВС. Докажите, что отрезок
МК перпендикулярен каждому из отрезков АР и ВС.
6.087. РАВС — правильный тетраэдр с ребром 1. Точка О —
центроид основания АВС; точки Н, Е и К — середины рёбер
соответственно ВС, СР и АВ. Найдите: 1) длину отрезка:
а) РО; б) КЕ; 2) угол между векторами: а) РА и PH; б) РА и
BE; в) IIP и СК.
6.088. ©РАВС — правильный тетраэдр с ребром 1. Точ-
ка О — центр основания АВС; точки М, Е и F — середины
рёбер соответственно ВС, PC и ВР. Найдите: 1) длину отрез-
ка ОЕ; 2) угол между: а) медианами AM и РМ граней АВС и
РВС; б) векторами AF и BE.
6.089. J В правильном тетраэдре РАВС на ребре PC взята
точка Е такая, что РЕ : ЕС = 1 : 2, и на медиане AF грани
АР В отмечена точка М — центроид грани АР В. Найдите
длину отрезка ME, если длина ребра тетраэдра равна а.
6.090. § В правильной треугольной призме АВСА^Е^С^ сто-
рона основания равна а, высота ВВ} равна h. Найдите угол
между прямыми АВХ и ВСг.
п. 23.4
6.091. Дана правильная четырёхугольная пирамида
------------------> ----> --> --->
MABCD. Векторы МА, МВ, МС, MD — единичные. Выра-
зить вектор MD через МА, МВ, МС.
Решение. Так как ABCD — квадрат (рис. 56, а), то МА +
+ МС = МВ + MD = 2МО, где О — точка пересечения диа-
гоналей АС и BD. Тогда MD = 1 • МА - 1 • МВ + 1 • МС.
102
Гпава 6
Векторный метод в пространстве
6.092. Дана правильная шестиугольная пирамида MABCDEF.
----------> ---> —> -----> > >
Векторы МА, МВ, МС, MD, ME, MF — единичные век-
торы. Выразить:
---> > —> ----------------> > —>
а) векторы MD, ME, MF через векторы МА, МВ, МС;
------------> --> ----> ------------> ---> -->
б) векторы MB, MD, MF через векторы МА, МС, ME.
Решение, а) Пусть точка О — центр правильного шестиуголь-
ника ABCDEF (рис. 56, б); К — точка пересечения диагона-
лей ромба АВСО. Тогда 2МК = МВ + МО = МА + МС, от-
куда МО = 1 • МА - 1 • МВ + 1 • МС.
Из равенств 2М0 = МВ + ME = МС + MF = МА + MD
находим:
ME = 2МО - МВ = 2МА - ЗМВ + 2МС;
MF = 2МО - МС = 2МА - 2МВ + МС;
MD = 2МО - МА = МА - 2МВ + 2МС.
б) Пусть точка О — центроид треугольника АСЕ. Это
означает, что МО = \(МА + МС 4- ME). Тогда из равенств
3
>
2МО = МВ + ME = МА + MD = МС 4- MF находим:
--> ---> ---> 1 --> о --> о --->
MD = 2МО - МА = МА + з МС + ~ ME;
3 3 3
103
Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов
--> --> --> о --> о -> 1 ->
МВ = 2 МО - ME = 5 МА + 5 МС - ± ME;
MF = 2МО - МС = %МА- 1-МС+ -ME.
ООО
6.093. В правильной четырёх-
угольной пирамиде MABCD точ-
ка F — середина ребра МВ, К —
такая точка ребра MD, что МК =
= 5KD. В каком отношении
плоскость AFK делит: а) ребро
МС; б) высоту МО данной пира-
миды?
Решение, а) Выберем пространст-
---------------------* -- -->
венный базис: a = МА, Ъ = МВ,
d = MD (рис. 57). Тогда 2 МО =
= MB -I- MD = МА + МС, откуда
MC = -MA + MB + MD = -a + b+d. (1)
Обозначим L = МС n (AFK). Так как точка L лежит в
плоскости AFK, то
ML = Х-МА + y~MF + z-МК,
где
х + i/+ z = 1. (2)
Учитывая условие задачи, получаем
ML = x-a + ±yb + |z-d. (3)
Из условия коллинеарности векторов МС и ML имеем:
—* —* 1 'Ч 6
ML = t • МС => х = -t, - у = t, z = t => х = -t, у = 2t, z = ^t,
2y 6 y 5
где t — коэффициент пропорциональности.
Из условия (2) находим значение t:
-t + 2t + = 1 => -5t + lOt + &t = 5 => t = Л •
5 11
„ ML 5 _ ML 5
Го,вш‘-=-=ё'
104 J Глава 6
Векторный метод в пространстве
б) Обозначим Р = МО r\ (AFK). Точка О — середина BD,
значит, МО = 1 (b + d). Так как точки К, F иР лежат на од-
ной прямой, то
МР = mMF -I- пМК = ;; mb 4- nd, где m 4- n = 1. (4)
2 о
Из коллинеарности векторов МР и МО имеем: МР =
ТТХ _ 1 1 5 1 3 ТЛ
= ими => -т = - и, - п = - и или т = и, п = - и. Из условия
2 2 6 2 5
3 5
(4) получаем и 4- - и = 1 или 8и = 5, откуда и = - . Это означа-
о о
ет, что МР : МО = 5:8 или МР : РО = 5:3.
Ответ: а) 5 : 6; б) 5 : 3.
6.094. В тетраэдре МАВС боковые рёбра МА, МВ и МС по-
парно взаимно перпендикулярны и МА = 1, МВ = 2, МС = 3;
точка К — середина ВС; F — внутренняя точка ребра AM та-
кая, что AF : FM = 3:1. Найти расстояние между прямыми
AKhCF (рис. 58).
Решение. В качестве базисных примем векторы a = МА,
b = МВ, с = МС. Имеем:
АК =-а 4- ±b + 1с, CF = ^а + О’Ь-с.
2 2 4
Пусть PL — общий перпендикуляр пря-
мых АК и CF, где Р е АК, L е CF. Тогда
PL = РК + КС + CL =
= хАК 4- КС 4- yCF =
= -ха 4- 1 хЬ 4- 1 хс 4- 1 с - 1 Ь 4-
& Zu ZU ZU
+ У -с + 1 d
-х+ ii/ja 4-
+ (Iх-Ik+(tx-v+Ik- (1)
105
Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов
Коэффициенты разложения (1) вектора PL по базису
(а; Ъ; с) найдём из условия перпендикулярности PL к пря-
мым АК и CF.
Имеем:
PL±AK> PL •АК = О,
PL LCF=> PL • CF = 0
или
1,1(1 11,1(1 ,11 Л
откуда
[ 2х - у = О,
|-12х + 17i/= 8
и
4
11 ’
8
11 ’
Тогда, подставив в (1) вместо х и у их найденные значе-
ния, получаем: PL = (4a + 7b + с). Значит,
\PL\ = \PL\= 1. 716- 1 + 49-4 + 9
Ответ: 7221.
6.095. На рёбрах MA, MB и AC тет-
раэдра MABC отмечены соответ-
ственно такие точки К, F и Т, что
АК : КМ =1:2, точка F — середина
ребра ВМ, точка Т — середина
ребра AC; KF = 3. Точки Р и Q при-
надлежат соответственно прямым
KF и ВТ, при этом PQ || AM
(рис. 59). Найти длину отрезка КР.
106 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
* 7 ' 7 * 7
Решение. Выберем векторы a = МА, Ь — МВ, с — МС в каче-
стве базисных. По правилу ломаной PQ = РК + КА + АТ +
-I- TQ. Имеем:
АК : КМ = 1: 2 => КА = ±a; Р е KF =>
О
----( 1 -* 9 _Л --* 1 —* 1 ->
=> РК = xKF = X ib-^a\;АТ—ТС=>АТ = ± АС = ±(с -а);
QeTB=>
=> TQ = уТВ = -уВТ = -у(ВМ + МТ) = -у[ | а + | с - Ъ).
Тогда
—1 /1 -* 9 Л 1 (_> _Л f 1 1 _> -Л
PQ = ±a + x±b-^a+|c-a-i/|a+±c-d =
= (~lx~ \у~ s]5 + (lx + i/^ + (*)
1 о 2 О I Ixi J /
Так как PQ || AM, то векторы PQ и МА = а коллинеарны.
Следовательно, координаты ^х + г/и|(1-г/)в разложении
(*) вектора PQ в базисе (а; Ь; с) должны быть одновременно
равны нулю, т. е.
. ^х + у = О,
I - у~ О,
откуда х = -2, у = 1. Тогда РК = xKF = -2KF или
КР = 2KF. Значит, \КР\ = |КР\ = |-2KF\ = 6. Это означает,
что точка F — середина отрезка КР.
Ответ: 6.
6.096. Дан параллелепипед АВСРА1В1С1В1. Точки Р, М и Q
выбраны на рёбрах соответственно ААг, АВ и AD так, что
АР = РАг = 3:1, AQ : QD = 1:4, AM = МВ (рис. 60). В каком
отношении плоскость PMQ делит диагональ АСХ параллеле-
пипеда?
107
Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов
Решение. Примем в качестве базисных векторы АР = а,
AM = b, AQ = с.
------------* 4 _ --* -> ---*
Тогда ААг = 5 а, АВ = 2b, AD = 5с;
3
АС, = АА1 + АВ + AD = + 2Ь + 5с.
3
Пусть F = ACr n (PMQ). Для точек М, Р, Q и F, принадле-
жащих одной плоскости, имеем
AF = хАР + у AM + zAQ = ха + yb + zc,
где
X + у + Z = 1. (*)
--> ---->
Так как AF || АС1г то одноимённые координаты этих век-
4
торов пропорциональны, т. е. х = - £, i/ = 2t, z = 5f. Подстав-
3
ляя эти значения х, у и z в левую часть соотношения (*), по-
лучаем t + 2t + 5t = 1, откуда t = . Это означает:
3 Зэ
AF : АСг = 3 : 25 => АР:РСг = 3:22.
Ответ: AF : FCV = 3 : 22.
6.097. Все плоские углы трёхгранного угла МАВС равны а.
Прямая МР образует со всеми его рёбрами углы, равные ф,
а со всеми гранями — углы, равные ф. Найти величины уг-
лов ф и ф.
108 J Глава 6
Векторный метод в пространстве
Решение. Пусть МА = а, МВ = b, МС =с — единичные век-
торы базиса в пространстве; точка О — центроид треугольни-
ка АВС (рис. 61); МК = a + b +
с.
----* -------------------> 1 _> -* ->
Так как вектор МК коллинеарен вектору МО = -(а + b + с),
о
то Z(MK, a) = Z (МК, b) = Z (МК, c) = <$vlZ (МР, (АМВ)) =
= Z(MP, (АМС)) = Z(MP, (СМВ)) = Z(MK, ML) = где
ML = a + b — направляющий вектор прямой ML, являю-
щейся проекцией прямой МК на плоскость АМВ. Прямая
ML содержит биссектрису угла АМВ, так как каждая точка
прямой МР, образующей равные углы с рёбрами трёхгранно-
го угла, равноудалена от каждого из этих рёбер. Имеем:
ML2 = (a+b -I- с )2 = 3 + 6 cos а => \ML\ = J3(l + 2cos а).
Тогда
МК *a a + (£ + с) • а 1 + 2cos а
cos ср = i----я-=
|лглг| • |а| |ЛГАГ| • |а) */3(1 + 2cos а)
1 + 2cos а , ___ /1 + 2cos а
=> ф = arccos
3
3
109
Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов
рпч ш = MK'ML = (a + b + c)'(a + b)
|м^| . \^£\ |а+3 + с|-|а+3|
_______2(1 + 2cos а)_____ = /2(1 + 2cos а) _
73(1 + 2cos а)72(1 + cos а) V 3(1 + cos а)
1 /1 + 2cos а 1 /1 + 2cos а
---- /---о---- => \|/ = arccos---- /--------
Ответ: ср = arccos
1 + 2cos а 1 /1 + 2cos ос
----------; у = arccos — j-------------
cos 2
6.098. © В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD
с вершиной М величина угла между смежными боковыми
гранями равна arccos — и длина бокового ребра равна 1.
1 о
Точка К — середина ребра ВМ. Найдите: а) скалярное произ-
ведение векторов AM и АВ; б) длину вектора АК.
6.09 9. § В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD
длины стороны основания и высоты равны соответственно 1
и 2. Найдите расстояние между прямыми BD и МА.
6.100. © Точка К лежит на ребре ВВХ куба ABCDA1B1C1D1
так, что ВК : КВг = 2:1. Найдите: а) величину угла между
прямыми CD^ и KD‘, б) расстояние между прямыми CDX и
KD, если длина ребра куба 743 .
6.101. Точка К лежит на ребре ВВГ куба ABCDA1BlC1Dl так,
что ВК : КВг = 3, точка Р делит ребро АА1 в отношении
АР : PAt = 1:4. Найдите: а) величину угла между прямыми
СР и КЛг; б) расстояние между прямыми СР и KDr, если
длина ребра куба 2.
6.102. © Длины рёбер ААр АВ и AD прямоугольного парал-
лелепипеда ABCDA^B^C^D^ равны соответственно 12, 3 и 4.
>
Найдите величину угла между векторами АС1 и B1D1.
110 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
6.103. Длины рёбер ААг, АВ и АВ прямоугольного паралле-
лепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 6, 4 и 1.
Найдите расстояние между прямыми АСг и B1D1.
Задачи к главе 6
6.104. Точки М и Н — середины рёбер соответственно АВ и
--------------------------------------> —» —»
СР тетраэдра РАВС. Докажите, что 2МН = АС + ВР =
= АР + ВС.
6.105. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Нарисуйте век-
-------> ---------> ---> ----> ---->
тор AM, если: а) AM = АВ + ВСг + A хА ;
б) AM = ВС - ССХ + СВр в) AM = -АА[ + АВ + ВС - В^В;
г) AM = АА\ +АС + С^АХ + С^С .
6.106. § Можно ли составить: а) треугольник из медиан дан-
ного треугольника; б) замкнутую ломаную из отрезков, иду-
щих из каждой вершины тетраэдра в точку пересечения ме-
диан противоположной грани?
6.107. § Точки Ар Вх и С1 взяты на сторонах соответственно
ВС, АС и АВ треугольника АВС так, что АСг : СХВ =
= ВАХ: АХС = СВХ: ВХА. Докажите, что отрезки, равные ААр
ВВХ и ССР являются сторонами некоторого треугольника.
6.108. 2 Отрезок, соединяющий середины, противополож-
ных рёбер тетраэдра, называется его бимедианой. Дока-
жите, что все бимедианы тетраэдра пересекаются в одной
точке и делятся ею пополам.
6.109. Центроиды треугольников АВС и А1В1С1 совпадают.
Докажите, что прямые ААр ВВг и ССг параллельны некото-
рой плоскости.
6.110. 2 Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с
центроидом противолежащей грани, называется медиа-
ной тетраэдра. Докажите, что медианы тетраэдра пересека-
ются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в от-
ношении 3:1, считая от вершины.
Ill
Задачи к главе 6
6.111. Центроидом тетраэдра называется точка пересе-
чения его медиан. Точки М и Мг — центроиды тетраэдров
----------------------------------> ----> ----* —>
РАВС и Р1А1В1С1. Докажите, что ААг + BBr + CCr + РРt =
= 4Мм[.
6.112. Докажите, что не существует плоскости, которой бы-
ли бы параллельны диагонали всех боковых граней тре-
угольной призмы.
6.113. Даны два параллелограмма MNPQ и М}Р 1Q1. Точ-
ки А, В, С, D — середины отрезков соответственно ММг,
NN19 РРг, QQr. Докажите, что четырёхугольник ABCD —
параллелограмм.
6.114. В параллелепипеде ABCZ)A1B1C1Z>1 точки М и К — се-
редины отрезков соответственно А}С} и ВВ1. Докажите, что
прямые КМ, АХВХ и ВСг параллельны некоторой плоскости.
6.115. Докажите, что точка пересечения медиан тетраэдра
совпадает с точкой пересечения его бимедиан.
6.116. § К АВС — тетраэдр. Какую фигуру образуют точки М
такие, что: а) КМ = КА+КВ + хКС; б) КМ = КА+ + уКВ
+ хКС; в) КМ = zKA + у КВ + хКС, где 0 х 1, О <С у 1,
0^2^ 1.
6.117. На диагоналях АВХ и САг боковых граней треуголь-
ной призмы АВСА1В1С1 расположены точки Е и F соответ-
ственно так, что EF || ВСг. Найдите отношение длин отрезков
EF и ВСР
6.118. Дан тетраэдр РАВС. Найдите все такие точки М про-
----------------> ----> ----> ----> ->
странства, что МР + МА + МВ + МС = 0.
6.119. § В основании пирамиды MABCD лежит трапеция
ABCD (AD || ВС, AD = ЗВС). На ребре MD отметили такую
точку К, что КМ : KD = 2:3; точка Р — середина МВ. В ка-
ком отношении, считая от точки М, плоскость АКР делит
ребро МС?
112
Глава 6
Векторный метод в пространстве
6.120. § РАВС — тетраэдр; Ьх, Ь2, Ь3 — биссектрисы соответ-
ственно углов ВРС, CPA, АРВ. Докажите, что если биссект-
рисы Ьг, Ь2 взаимно перпендикулярны, то каждая из них
перпендикулярна биссектрисе Ь3.
6.121. § Три ребра прямоугольного параллелепипеда, имею-
щие общую вершину, «видны» из точки пересечения его
диагоналей под углами а, р и у. Докажите, что
cos а + cos р + cos у = 1.
6.122. § Из точки О пересечения диагоналей прямоуголь-
ного параллелепипеда ABCDA1BlC1D1 диагонали BAt, BD
и BCj трёх его граней, имеющих общую вершину, «вид-
ны» под углами соответственно а, Р и у. Докажите, что
cos а + cos Р + cos у = -1.
6.123. В параллелепипеде ABCDAiB1C1Dl точка М — сере-
дина диагонали А1С1 грани А1В1С1Р1, точка К — середина
ребра ВВг. Докажите, что прямые AjBp КМ и ВСХ парал-
лельны одной некоторой плоскости.
6.124. Из вершины параллелепипеда проведены три диаго-
нали его граней. На этих диагоналях (как на рёбрах) постро-
ен новый параллелепипед. Докажите, что противолежащая
вершина данного параллелепипеда является серединой диа-
гонали построенного параллелепипеда.
6.125. Точки К и Е — середины рёбер соответственно АВ и
СР тетраэдра РАВС. Докажите, что прямые АР, ВС и КЕ па-
раллельны некоторой плоскости.
Г л эв а
Н КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД
В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система
координат в пространстве
7.001. АВСВА1В1С1В1 — куб с реб-
ром 1. Пусть AD = i , АВ = j, ААг =
= /г. Найти в базисе (i ; j; /г) коор-
-------------------------
динаты векторов: а)АСр б) САг;
в) АК, где К = BCr п ВгС (рис. 62).
Рис. 62
Решение. а) Так как ССг = AAt = k,
АС = AD + АВ = i + у, то АС< =
= АС + ААг = i + j + k, значит, вектор АСГ имеет координа-
ты (1; 1; 1), т.е. АС1(1; 1; 1); б) СА х = АА*г - АС = k - (i + J) =
= -i - j + /?, т. е. СА х(-1; -1; 1); в) АК = АС + СК = АС +
+ 1(СС^ + CB)=i+j + |£ + |(-Ь = р + J + Т.е.
Lt Li L и
Ответ: а) (1; 1; 1); б) (-1; -1; 1); в) ±; 1; ± .
\ Z Li I
7.002. Коллинеарны ли векторы: а)а(3; 4; 5) и Ь(6; 8; 10);
б) р(2; -3; 3) и д(4; -6; 2)?
Решение, а) Векторы а и Ь коллинеарны, так как 3:6 =
= 4:8 = 5: 10; б) координаты вектора q не пропорциональны
одноимённым координатам вектора р, например, 2 : 4 3 : 2.
Поэтому векторы р и q не коллинеарны.
114 J Глава 7
Координатный метод в пространстве
Попытайтесь установить, компланарны ли векторы a, b и
р, если: а)а(-1; 4; 6), Ь(1; 7; 3), р(0; 11; 9); б)а(-3; 14; 6),
&(6; -8; 7), р(-9; 62; 37); в) а(-1; 0; 0), 6(0; 7; 0), р(0; 0; 9)?
7.003. Найти длины векторов р = 2а + 3b, q = 2а - ЗЬ,
их скалярное произведение и угол между ними, если
а = i - j + 2&, b = 2i + 2j .
Решение. Найдём координаты векторов р и q в базисе (i ;/;£).
Имеем: 3(1; -1; 2) => 2а (2; -2; 4),
&(2;2;0)=>3& (6; 6; 0).
Тогда 2а + ЗЪ = р(8; 4; 4), 2а - 3b = д(-4; -8; 4). Значит,
|£|= 78 2 4- 42 4- 42 = 476; |д| = 7(-4)2 4- (-8)2 4- 42 =4^6;
р • q = 8 • (-4) + 4 • (-8) + 4 • 4 = -48;
cos ф = - -f- = , откуда ф = Z (р, q) = 120°.
IpI-IqI 4j6«4j6 2
Ответ: 4 Тб ; 4 Тб ; -48; 120°.
П. 24.1—24.3
7.004. ©Запишите координаты векторов: а = 2i 4- 3j - 5k;
b = i -4j+6k;c=-3i 4- 2j - 51г; p = i + k;m = j -21; n = -1г.
7.005. ©Даны векторы: a(3; 7; -2), fe(0; -5; -2), c(-l; 2; 0),
p(2; 0; -3), g(0; 0; 5). Запишите их разложения в базисе
(i; 7; £)•
7.006. Даны векторы 3(-1; 2; 0), 6(0; -5; -2), с(2; 1; -3). Най-
дите координаты векторов p=a-2b+3cnq = c-2a + 3b.
7.007. © При каких тип вектор а = 3i - 2j + mH коллине-
арен вектору b = ni + j - 2k?
7.008. Компланарны ли векторы: а) 3(1; -2; -1), b(3; 1; 2),
с(5;-3; 0); б)р(2; 0; -3), I, ]; в) т(2; 0; -3), i, Н; г) 3(1; -1; 2),
&(5; -1; 0), с(-2; 0; 1); д) 3(0; 5; 3), Ь(3; 3; 3), с(1; 1; 4)?
115
Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
Решение, а) Векторы 5(1; -2; -1) и 6(3; 1; 2) не коллинеарны,
так как их одноимённые координаты не пропорциональны
(1 : 3 * -2 : 1). Если вектор с(5; -3; 0) можно разложить по
векторам а и Ь, то векторы а, Ь и с компланарны (т. 35); в
противном случае векторы а, Ъ и с не компланарны. Таким
образом, для решения задачи достаточно установить, су-
ществуют ли числа х и у такие, что с = ха + yb. В координа-
тах это означает, имеет ли решение система уравнений отно-
сительно х и у
х + Зу = 5,
•< -2х + у = -3,
—х + 2у = 0.
Складывая первое и третье уравнения этой системы, полу-
чаем у = 1. Тогда х = 2. Поэтому с = 2а + b. Это означает, что
вектор с является линейной комбинацией векторов а и Ь,
следовательно, векторы а, Ъ и с компланарны.
7.009. © Найдите длины векторов: 5(5; -1; 7), 6(6; 2^/3; -1),
с = z + ) + £, 6г = -3/г, р = г - 3;.
7.010. Даны векторы: 5(5; -1; 7), 6(—2; 3; 1), с(-3; 2; 1). Най-
дите: а) |а + 6|; б) |5| + |6|; в) |5 - 6|; г) |5| - |б|; д) |3с |; е) |25 - Зс|;
ж) 2|5| - 3|с |.
7.011. (Устно.) Даны векторы:
5(1; -1; 2), 6(-1; 1; 1), с(5; 6; 2). Найдите: 5 • с ; 5 • 6; 52; л/б2 .
7.012. Проекции вектора р на оси координат равны соответ-
ственно: 3; -8; 5. Найдите координаты вектора р.
7.013. (Устно.) Даны векторы 5(5; —1; 3) и 6(4; 2; 3). При ка-
ком значении числа х Пр.^(25+ xb) = 0?
7.014. (Устно.) Даны векторы 5(3; -1; 1), 6(-5; 1; 0),
с(-1; -2; 1). Выясните, какой угол (острый, прямой или ту-
пой) между векторами: а) 5 и 6; б) 6 и с ; в) 5 и с .
7.015. (Устно.) Острый, прямой или тупой угол образует
вектор 6(4; -6; 0) с базисными векторами i , j vik?
116 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
7.016. Найдите угол между векторами:
а) а(2;-2; 0) и 6(3; 0; -3); б) а(0; 5; 0)и6(0;-73; 1);
в) a(- J2 ; 72 ; -2) и б[; -1
I " "
7.017. Известно, что (а; с) = (6; с) = 60°; |а| = 1, |6| = |с| = 2.
Найдите: а) (а + Ь) • с ; б) (2а - ЗЬ) • с .
7.018. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между вектора-
ми: а) ВгВ и ВгС; б) DA и B}Dв) АХСХ и А1В;г) ВС и АС;
д) ВВХ и АС; е) ВХС и АРХ; ж) AXDX и ВС; з) ААг и С ХС.
7.019. © Найдите все такие значения х, при которых векто-
ры а(3; 5 - х; х) и 6(5 + х; 7х + 1; 2) коллинеарны.
7.020. Даны векторы 2(1; О; О), 6(1; 1; О) и с(1; 1; 1). Разло-
жите по данным векторам вектор т(3; -7; 11).
7.021. Известно, что m = 7а + 26. Найдите координаты век-
тора а, если 6(-1; 5; 3) и fn(O; 1; 8).
7.022. При каких значениях п векторы а(3; п; 5) и 6(-4; 3; п)
перпендикулярны?
7.023. Векторы а и 6 перпендикулярны вектору с, (а; 6) =
= 120°, |а| = |6| = |с| = 1. Найдите: а) скалярные произведения
26 • (а + 6 + с) и (а - с) • (а - 6 + с); б) \а - 6|; в) |а + 6 - с|.
7.024. ©Дан куб ABCDAlBlClDl с ребром 2. Точка М —
центр основания А1В1С1В1. Точки Е иН взяты соответствен-
но на отрезках ВВХ и АС так, что BE : ВВХ = 1:2, АН : АС =
= 1:4. Выберите ортонормированный базис в пространстве
и, пользуясь разложением вектора в этом базисе, найдите:
1) длину отрезка: а) AM; б) ЕН; в) МН; 2) угол между векто-
рами: а) ВСХ и АС; б) A^D и BD1; в) НМ и СВГ
7.025. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды
PABCD равны 1. Точка О — центр грани ABCD. Точки Е, F,
Н — середины рёбер соответственно ВР, СР, АР. Выберите
117
Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
ортонормированный базис в пространстве и, пользуясь раз-
ложением вектора в этом базисе, найдите: а) длину отрезка
ОР; б) длину отрезка СН; в) угол между векторами АЕ и
BF; г) угол между медианой РМ грани ВРС и высотой АЕ
грани АР В.
7.026. Найти расстояние от вершины А треугольника АВС до
его центроида М, если А(-2; 1; -3), В(-1; 0; 4), С( 1; 2; 6).
Решение. Пусть ААг — медиана
Л АВС (рис. 63). Точка Аг — середи-
на стороны ВС — имеет координаты:
-1 + 1 п 0 + 2 1
х = —— — -1’
г*1+! т- е. АДО; 1; 5).
Рис. 63
Далее, точка М делит медиану ААг в отношении Х =
= AM : МАг = 2:1 = 2. Поэтому координаты точки М равны:
-2 + 2’0 _ 2 _ 1 + 2-1 , _ -3+2•5 _ 7
1 + 2 3,У 1 + 2 ,г 1 + 2 3’
I 2
Таким образом, М\ --
7 I
1; - .Тогда
О /
|АМ| = + 2? + (1 - I)2 + (? + 3? = | 717 .
'V V о у о
Ответ: | 717.
О
Замечание. Координаты точки М можно найти проще,
---------------------> I --> ---> -->
если учесть, что ОМ = -^{ОА + О В + ОС). Кроме того,
О
AM = |AAP
О
7.027. Дан треугольник АВС, координаты вершин которого:
А(1; 5; 3), В(3; 6; 5), С(1; 1; 0). Найти координаты точки пе-
ресечения стороны ВС и биссектрисы угла А.
Решение. АВ = 722 + I2 + 22 = 3; АС = 702 + (~4)2 + (-3)2 =
= 5. Если биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точ-
118 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
ке А^х; у; г), то по свойству биссектрисы внутреннего угла
треугольника
ВАг
АгС
АВ
АС
= 0,6, т. е. точка Аг делит отрезок
ВС в отношении X = 0,6. Тогда:
_ 3 + 0,6 • 1 _ 9
Х 1 + 0,6 4
_6 + 0,6-1_33 _5 + 0,6-0_25
У 1 + 0,6 8 ’ Z 1 + 0,6 8 ’
„ (9 33
Ответ: -; —
^4 8
25
8 У
п. 24.4-24.5
7.028. © В прямоугольной системе координат Oxyz построй-
те точки А(1; 1; 2), В(-1; 1; 2), С(2; -1; 1), Р(2; 2; -1),
Е(-5; -3; 1), В(0; 3; 1), (7(3; 0; 1), Р(3; 1; 0), А7(0; 3; 0),
М(0; 0; 3),Н(3; 0; 0).
7.029. Даны векторы ОА (2; 3; 4), ОВ(-3; 2; -5), ОС(0; -1; 1).
Какие координаты имеют точки А, В и С, если О — начало
системы координат?
7.030. (Устно.) Даны точки А(-2; 2; 0), В(4; -4; 3), С(7; 0; -9).
Какие координаты имеют векторы ОА, ОВ, ОС, АВ, ВС,
где точка О — начало системы координат?
7.031. ©Найдите координаты вектора АВ, если А(3; 8; 7),
В(-1; 8; -3).
7.032. Найдите координаты точки М, если даны координа-
------------------------------>
ты точки N(-3; 3; 8) и вектора MN(1; 0; 5).
7.033. Найдите координаты точки Р, если даны координаты
точки К(—3; 3; 8) и вектора КР(11; —2; —2).
7.034. Вершины треугольника АВС имеют координаты:
А(1; 6; 2), В(2; 3; -1), С(-3; 4; 5). Разложите векторы АВ,
ВС и АС по базисным векторам i, j, k. Найдите координа-
ты центроида треугольника АВС.
119
Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
7.035. ABCDAlB1ClD1 — куб с ребром 1. Выберите прямо-
угольную систему координат с началом в вершине А и най-
дите координаты вектора: а) АК, где К = ArC п (АВ!-^);
б) DO}, где точка О, — центр грани ВСС^^ в) СМ, где точ-
кам — центр куба.
7.036. © Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если:
а) А(3; -7; 8), В(-5; 4; 1), С(27; -40; 29);
б) А(-5; 7; 12), В(4; -8; 3), С(13; -23; -6);
в) А(-4; 8; -2), В(-3; -1; 7), С(-2; -10; -16)?
7.037. § Найдите координаты такой точки С плоскости Оху,
которая лежит на одной прямой с точками А(3; -8; 7) и
В(-1; 2; -7). Какая из точек А, В, С лежит между двумя
другими?
7.038. § Существует ли на оси Oz точка, лежащая на одной
прямой с точками А(-1; 3; 5) и В(2; 2; 8)?
7.039. (Устно.) Найдите координаты середины отрезка АВ,
еслиА(-1;8; 3)иВ(1; 5; 7).
7.040. © Найдите координаты точек М1? М2, М3, М4 и М5,
делящих отрезок АВ соответственно в отношениях X = 1,
X = -3, X = 5, X = , X = |, если А(0; -1; 3) и В(5; 2; 8). Запи-
шите эти точки по порядку на прямой в направлении АВ.
7.041. КточкеА(2; -1; 3) приложены две силы FJ1; 2; -2) и
F2(-1; 3; 2). Найдите точку, в которую перейдёт точка А под
действием их равнодействующей.
7.042. § Лежат ли точки А, В, С иЕ в одной плоскости, если;
а) А(-2; -13; 3), В(1; 4; 1), С(-1; -1; -4), В(0; 0; 0);
б) А(0; 1; 0), В(3; 4; -1), С(-2; -3; 0), В(2; 0; 3);
в) А(5; -1; 0), В(-2; 7; 1), С(12, -15; -17), В(1; 1; -2)?
7.043. Даны точки А(1; 3; 5) и В(2; 1; -7). Найти на оси абс-
цисс все такие точки С, что треугольник АВС — прямоуголь-
ный.
120
Глава 7
Координатный метод в пространстве
Решение. Пусть С(х; 0; 0) — искомая точка. Тогда имеем:
АВ(1; -2; -12), АС(х - 1; -3; -5), ВС(х - 2; -1; 7). Может
представиться один и только один из трёх случаев: в тре-
угольнике АВС прямым окажется или угол при вершине А,
или угол при вершине В, или, наконец, угол при вершине С.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
a) Z ВАС — прямой, если АВ' АС = 0. В координатной
форме это означает: х—1+6 + 60 = 0, откуда х = -65, т. ё.
вершина прямого угла имеет координаты: С^-бб; 0; 0).
б) Z АВС — прямой, если АВ • ВС = 0. В координатах это
равносильно уравнению х-2 + 2-84 = 0, откуда х = 84, т. е.
вершина прямого угла имеет координаты: С2(84; 0; 0).
в) Z АСВ — прямой, если АС • ВС = 0. В координатах это
равносильно уравнению
(х - 1)(х - 2) + 3 - 35 = 0 или х2 - Зх - 30 = 0, откуда
3 - л/129 3 + 7129
хг =-------, х2 = ---------, т. е. существуют два прямо-
Ci
угольных треугольника, вершинами прямых углов которых
являются точки С3[ 3 ~ ; 0; 0^ и С4| 3 + ; 0; о).
Ответ: СД-65; 0; 0); С2(84; 0; 0); С3(3 ~ ; 0; о1;
С4( ; 0; oL
7.0 44. © Найдите координаты точек, удалённых от каждой
из координатных плоскостей на 8.
7.0 45. Где может быть расположена точка, если:
а) ровно одна её координата равна нулю;
б) ровно две её координаты равны нулю?
7.046. Дана точка М(2; —3; 4). Каковы координаты точек,
ближайших к ней и лежащих: а) на каждой из координат-
ных плоскостей; б) на каждой из осей координат?
121
Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
7.047. Даны точки А(5; 0; 1) и С(0; —3; 4). Найдите коорди-
наты точки В, если ВО = С А; О — начало координат.
7.048. Даны точки А(3; 5; 6), В(4; 7; 8) и С(3; 8; 10). Найдите
координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.
7.049. Докажите, что четырёхугольник ABCD является
ромбом, если А(2; 3; 4;), В(4; -2; 2), С(0; -1; -2), В(-2; 4; 0).
7.050. Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координа-
ты: а) точки М, если А(0; 3; -4), В(-2; 2; 0); б) точки В, если
А(14; -8; 5), М(3;-2;-7).
7.051. Известны координаты вершин треугольника АВС’.
А(0; 3; 4), В(4; -1; 2), С(1; 1; 2). Найдите длину его медианы,
проведённой из вершины С, и расстояние от начала коорди-
нат до центроида треугольника.
7.052. © На оси Ох найдите точку, равноудалённую от точек
В(3;-2; 4) и С(0; 5;-1).
7.053. Даны вершины параллелограмма ABCD’. А(-3; -6; -1),
В(—1; 2; —3), С(3; 1; 1). Найдите координаты четвёртой вер-
шины.
7.054. Определите вид треугольника АВС, если: а)А(9; 3; -5),
В(2; 10; -5), С(2; 3; 2); б) А(3; 7; -4), В(5; -3; 2), С(1; 3; -10);
в) А(-5; 2; 0), В(-4; 3; 0), С(-5; 2; -2).
7.055. Найдите углы, периметр и площадь треугольника
АВС, если А(1;-1; 3), В(3;-1; 1), С(-1; 1; 3).
7.056. © Точки (1; 1; 1), (2; 1; 1), (2; 2; 1), (1; 2; 1) являются
вершинами куба. Каковы координаты остальных его вер-
шин?
7.057. © В правильном тетраэдре РАВС с ребром 2 основание
АВС лежит в плоскости Оху. Найдите координаты вершин В
и Р, если: а) А(-1; 0; 0), С(1; 0; 0); б) А(0; 0; 0), С(2; 0; 0).
7.058. Дана точка Р(-1; 3; 8). Найдите координаты проек-
ций точки Р на координатные плоскости и на координатные
оси. Вершинами какого многогранника являются эти проек-
ции вместе с точкой Р и точкой О — началом координат?
Найдите объём и полную поверхность этого многогранника.
122 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
7.059. g Даны точки А(-1; 3; 8)иВ(-1; 2; 9). Найдите все та-
кие точки С плоскости Оу г, что треугольник АВС — равно-
сторонний.
7.060. © Середина отрезка АВ лежит на оси Ох. Найдите m и
л, если: а) А(-3; иг; 5), В(2; -2; л); б) A^l; i ; -4^, В(1; иг; 2п);
в) А(0; m; п + 1), B(l; л; 1 - т).
7.061. © На каждой из осей координат найдите такую точку,
расстояние от которой до точки А(-2; 4; V3) является на-
именьшим среди всех расстояний от точек этой прямой до
точки А.
7.062. Найдите на оси Oz точку, равноудалённую от точек
С(-1; 3; 5) и В(3;-7; 1).
7.063. Даны точки А(0; 1; 2), B(j2; 1; 2), С(^2; 2; 1),
0(0; 2; 1). Докажите, что четырёхугольник ABCD — квад-
рат.
7.064. Определите вид четырёхугольника ABCD, если
А(-1; 2; -3), В(-5; 2; 1), С(-9; 6; 1), Р(-9; 10; -3).
7.065. Дан куб ABCDA^B^C^D^ с ребром 1. Выберите прямо-
угольную систему координат и найдите расстояния между
прямыми: а) АВ! и ВСг; б) AAj и BD^, в) АХС и ВСг.
7.066. g Основание АВС правильного тетраэдра РАВС ле-
жит на плоскости Оху так, что вершины А и С имеют коор-
динаты: А(0; 0; 0), С(4; 0; 0). Найдите координаты: а) осталь-
ных вершин тетраэдра; б) центроидов всех его граней.
7.067. Основание ABCD куба ABC DA ^^C^D^ лежит на плос-
кости Оху. Найдите координаты вершин: а)А1? Вр Сг и Dv
если А(2; 1; 0), В(3; 2; 0), С(2; 3; 0), 0(1; 2; 0); б) A, Вр С, D,
Z>! и центров всех граней куба, если А(2; 2; 3), В(5; 2; 0),
Сг(б; 5; 3).
7.068. Точки Мг, М2, М3, М4 — центры граней соответ-
ственно ВСР, АВР, АСР, АВС правильного тетраэдра РАВС с
ребром 2. Выберите прямоугольную систему координат и
найдите: 1) расстояния от вершин тетраэдра до противоле-
123
Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
--->
жащих граней; 2) величину угла между векторами: a) AMt
и ВМ3; б) СМ2 и РМ4; в) BE и CF, гдеЕ nF — середины рё-
бер соответственно PC и РА.
7.069. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 точки М} и М2 —
центроиды сечений АВ^^ и BCrD соответственно. Выберите
прямоугольную систему координат и найдите расстояние:
а) от вершины Aj до плоскости AJ^D^ б) от вершины С до
плоскости ВС^; в) от вершины до плоскости ВС^;
г) между точками Мг и М2. В каком отношении плоскости
AB1Z>1 и BC^D делят диагональ А ХС куба?
7.070. © Даны точки А(3; 1; 5) и В(-2; 2; 4). Найдите на оси
аппликат все такие точки С, что треугольник АВС — равно-
бедренный.
7.071. © Найдите четвёртую вершину правильного тетраэд-
ра РАВС, если А(0; 0; 4), В(0; 4; 0), С(4; 0; 0).
7.072. § Даны точки А(2; 3; 1) и В(-1; -2; 3). Найдите все та-
кие точки С на оси Oz, что Д АВС — прямоугольный.
Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями
и неравенствами
п. 25.1—25.2
7.073. Напишите уравнения всех плоскостей, проходящих
через точки А(8; 0; 0), В(0; 0; 5) и пересекающих ось ординат
в точке, удалённой от начала координат на 7.
7.074. © Напишите уравнение сферы с центром в точке
М(-1; 3; 5) и радиусом 4.
7.075. © Напишите уравнение сферы с центром в точке
М(2; 0; -3), проходящей через начало координат.
7.076. © Напишите уравнение сферы с диаметром АВ, если
А(-3; 5; 0)иВ(1; -7; 2).
7.077. Даны точки А(4; 1; 0), В(-1; -2; -5), С(2; 4; 3),
В -
. Укажите, какая из них принадлежит плоскос-
ти 2х - 5у + z - 3 = 0.
124 j Глава 7
Координатный метод в пространстве
7.078. Даны точки А(3; 2; 5), В(-1; -2; 8), С(2; 1; 3), 0(0; 0; 0)
и плоскость х + Зу - 2- 4 = 0. Назовите: а) точки, принадле-
жащие данной плоскости; б) точки, не принадлежащие дан-
ной плоскости; в) пары точек, расположенные по одну сторо-
ну от данной плоскости.
7.079. Для каждой из данных плоскостей укажите её распо-
ложение относительно координатных плоскостей Оху, Oxz,
Oyz и координатных осей Ох, Оу, Oz (совпадение, пересе-
чение, параллельность): а) х = 0; б) у = 2; в) 2х + Зу = 0;
г) Зу - 5з = 0; д) у + 3z - 5 = 0; е) 2х + у - z + 3 = 0.
7.080. Найдите точки пересечения осей координат с плоско-
стью 2х + Зу - 2 - 5 = 0.
7.081. ©Составьте уравнение плоскости, проходящей через
начало координат перпендикулярно вектору ОМ, если:
а) М(2; 0; -2); б) М(1; 1; 1); в) М(-1; -2; 7).
7.082. © Напишите уравнение плоскости, проходящей через
точку К(-2; 7; 1) и перпендикулярной вектору АВ, если
А(-1; 2; 8) и В(1;-1; 3).
7.083. Составьте уравнение плоскости, проходящей через
точку М и перпендикулярной вектору р, если: а) М(2; 0; -2),
р(3; -4; 5); б) М(0; 0; 0), р(-2; -3; 4); в) М(-2; 3; 0), р(5; 1; -4).
7.084. © Составьте уравнение плоскости, если она проходит:
а) через точку М(3; 0; 0) и перпендикулярна оси абсцисс;
б) через точку К(0; 3; 0) и перпендикулярна оси ординат;
в) через точку Р(0; 0; 3) и перпендикулярна оси аппликат;
г) через точку В(0; 0; -4) и параллельна осям Ох и Оу;
д) через точки (3; 0; 0), (0; 0; 3) и параллельна оси ординат.
7.085. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки: а)Р(2; 0; 0), АГ(О; 2; 0), Н(0; 0; 2); б) Р(2; -1; 2),
7f(l;-2; 3), Н(-1; 2; 0).
Решение, а) Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках.
В нашем случае a = b = с = 2, поэтому уравнение плоскости
РКН запишется в виде ^ + ^ + | = 1 или x + y + z- 2 = Q.
Zj Zj
б) Пусть плоскость а = (РКН) имеет уравнение
Ах + By + Cz + D = 0. (1)
125
Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
Чтобы составить уравнение плоскости а, нужно найти ко-
эффициенты А, В, С и свободный член D. Для этого исполь-
зуем условие принадлежности точек Р, К и Н плоскости а.
Так как точки Р, К и Н принадлежат плоскости а, то их ко-
ординаты удовлетворяют уравнению (1), т. е.
Р(2; -1; 2) е а => А • 2 + В • (-1) + С • 2 + D = О,
< #(1; -2; 3) е а => А • 1 4- В • (-2) 4- С • 3 4- D = О,
Н(-1; 2; 0) е а => А • (-1) + B- 2 + C- 0 + D- 0
или
2А - В + 2С 4- D = 0,
< А - 2В + ЗС + D = 0,
-А + 2В 4- D = 0.
Решая эту систему уравнений, выразим коэффициенты А,
В и С через D: А = , В = , С = • Полагая D = -9,
имеем А = 1,В = 5,С = 6. Подставив найденные значения А,
В и С в уравнение (1), получаем искомое уравнение плоскос-
ти РКП: х 4- 5у 4- 6г - 9 = 0.
7.08 6. Напишите уравнение плоскости, проходящей через
середину отрезка MN и перпендикулярной этому отрезку,
если М(-3; 1; 5) и Л'(3; 9; -1).
7.08 7. © Одно из оснований призмы лежит в плоскости
2х — Зу 4- г - 5 = 0. Напишите уравнение плоскости, в кото-
рой лежит другое основание, если одна из вершин призмы
имеет координаты (8; 1; 0).
7.08 8. © Уравнение плоскости Зх 4- 2у - 6z - 12 = 0 приведи-
те к виду в отрезках.
7.08 9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через
точку А(2; —1; 3) и перпендикулярной прямой ВС, если
В(-2; 0; 1), С(4; 2; -1).
7.09 0. Составьте уравнение плоскости, проходящей через
точку М(-1; 2; 1) и параллельной плоскости: а) Оху; 6)Oyz;
в) Oxz; г) 2х - у 4- Зг 4- 5 = О.
7.09 1. (Устно.) Найдите точки пересечения плоскости
2х - у + 2г — 5 = 0 с координатными осями. Напишите урав-
нение этой плоскости в отрезках.
126 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
7.09 2. Нарисуйте плоскость, заданную уравнением: а) х = 3;
б)у = -3; в) г = 4; г) х - 2у = 0; д) у - 2г — 0; е) х + у = 1; ж) х 4-
+ Зг = 2; з) х + 2у — Зг = 6; и) х + 2у + Зг = 6; к) х 4- у — г = 0.
7.09 3. © Составьте уравнение плоскости, проходящей че-
рез точки: а)(0; 0; 3), (0; 3; 0), (3; 0; 0); б) (0; 1; 1), (1; 0; 1),
(1; 1; 0); в) (2; 3; 0), (2; 0; -5), (0; 3; -5).
7.09 4. Напишите уравнения всех сфер, радиусом которых
служит отрезок PQ, если Р(-1; 2; 1) и Q(0; 3; 2).
7.095 . © Какие из приведённых ниже уравнений являются
уравнениями сферы: а) х2 + у2 4- г2 = 3; б) (х - З)2 + (у + 2)2 4-
+ г2 = 7; в) х2 + у2 + г2 - 4х + бу - 10г + 35 = 0; г) х2 + у2 +
+ г2 - х + Зг/ - 5г + 7 = 0; д) х2 + у2 + г2 - х 4- Зу - бг + 9 = 0?
Найдите центр и радиус каждой сферы.
7.096 . Напишите уравнение сферы: 1) с центром в точке
(3; -3; 3) и касающейся всех координатных плоскостей;
2) с центром в точке (2; -3; 4) и касающейся координатной
плоскости: а) Оху, б) Охг; в) Оуг.
7.097 . © Напишите уравнение плоскости, состоящей из то-
чек, равноудалённых от точек: а) (2; 0; 0) и (—2; 0; 0);
б) (0; 2; 0) и (0; 4; 0); в) (3; 1; 3) и (-3; 1; 3); г) (2; 1; 5) и
(2; -1; -5); д) (-1; -2; 3) и (2; 1; 5).
7.098 . Изобразите множество точек пространства, для кото-
рых хуг = 0.
7.099 . © Изобразите множество точек пространства, для ко-
торых |х| 4- |у| = 1.
7.100. © Изобразите множество точек пространства, для ко-
торых х2 4- 4гу = у2 + 4г2.
7.101. Найдите геометрическое место таких точек М(х; г/; г),
которые равноудалены от начала координат и от точки
Р(2; -3; 8).
7.102. § На плоскости 2х 4- Зу - 5г - 1 = 0 найдите такую
точку М0(х; у, г), что отрезок ММ0 перпендикулярен этой
плоскости, если М(1; 2; -1).
7.103. Найдите величину угла между плоскостями
2х4-2г/-г-2 = 0и5х4- 12г/ -2 = 0.
127
Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
7.104. ©Найдите величину двугранного угла, образованно-
го плоскостями х + 2у - 2z - 7 = 0 и Зх + 4у + 12z -I-1 = 0 и со-
держащего начало координат.
7.105. § Сфера задана уравнением (х - З)2 + (у - З)2 + г2 = 4.
Найдите координаты точки этой сферы: а) ближайшей к
началу О системы координат; б) самой далёкой от точки О;
в) ближайшей к каждой из координатных плоскостей; г) са-
мой далёкой от каждой из координатных плоскостей; д) бли-
жайшей к каждой из координатных осей; е) самой далёкой
от каждой из координатных осей; ж) ближайшей к точке
(3; 3; 6); з) самой далёкой от точки (3; 3; 6).
7.106. Для каждого а определите множество точек, задан-
ных уравнением х2 + 4х + у2 - 2у + z2 = а.
7.107. § Найдите длину линии, состоящей из всех об-
щих точек двух сфер (х - I)2 + (у + З)2 + (z - 5)2 = 196 и
(х + З)2 + (у + 6)2 + (з + 7)2 = 225.
7.108. § Напишите уравнение плоскости, в которой лежат
все общие точки сфер х2 + у2 + z2 = 4 и
(х - I)2 + (у - 2)2 + (2 - 2)2 = 4.
7.109. ©Напишите уравнение плоскости, касающейся сфе-
ры х2 + 2х + у2 + 2у + 22 - 4г = 0 в начале координат.
7.110. Напишите уравнение сферы с центром (1; 1; 2), касаю-
щейся сферы х2 + у2 + 22 = 24.
7.111. Напишите уравнения сфер, расстояния от любой точ-
ки которых до сферы х2 + у2 + z2 = 4 равно 1.
7.112. § Найдите множество таких вершин С(х; у\ 2) тре-
угольника АВС, что угол С является прямым, если А(1; 2; 7)
иВ(3; -4; -1).
7.113. © Найдите множество точек, расстояние от которых
до сферы (х - I)2 + у2 + (2 + 2)2 = 9 равно 2.
7.1141. В правильном тетраэдре РАВС с ребром 2 точки Мх и
М2 — центроиды граней соответственно АВС и РВС. Выбе-
1 Творческая задача.
128 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
рите прямоугольную систему координат и найдите коор-
динаты точки пересечения: а) прямой РМ2 и грани АВС',
б) прямой AM] и грани РВС.
7.115. © Выберите прямоугольную систему координат Охуг.
1) Нарисуйте куб, заданный системой неравенств: -1 < х 1,
О < у 2, 0 z С 2. 2) Задайте системой неравенств:
а) куб с ребром 4;
б) прямоугольный параллелепипед с рёбрами 2, 3 и 4.
7.116. § Найдите все точки плоскости 5х + Зу - г - 2 = 0, рав-
ноудалённые от координатных плоскостей.
7.117. § Напишите уравнение плоскости, проходящей через
точки Af(-1; 2; 7) и ЛД1; -9; 5) параллельно оси Оу.
7.118. § Напишите уравнение плоскости, проходящей через
точки ЛГ(1; 3; 8) и N(2; 5; -1) перпендикулярно плоскости
2х - у + z = 0.
7.119. § Изобразите множество точек пространства, для ко-
торых | х| + \у\ + |г| = 1.
7.120. © Изобразите множество точек пространства, для ко-
торых |х| + |t/| + |г| = 2х + Зу + 4г.
7.121. Изобразите множество точек пространства, для кото-
рых |х| + |i/| - |г| = 4.
7.122. Найдите геометрическое место таких точек М(х; у; г),
сумма квадратов расстояний которых до точек А(3; 8; 1) и
В(1; -1; 3) равна сумме квадратов их расстояний до точек
С(0; -1; 3)иД1; 5; -2).
7.123. Найдите косинусы углов, образованных плоскостью
Зх-51/ + г- 8 = 0и координатными плоскостями.
7.124. § Докажите, что сумма квадратов косинусов углов,
образованных произвольной плоскостью с тремя попарно
перпендикулярными плоскостями, равна 1.
7.125. Напишите уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и перпендикулярной плоскостям
2х + Зу-2-5 = 0их + 2у + г-11 = 0.
7.126. Для каждого а определите множество точек, задан-
ных уравнением х2 + 2ах + у2 + г2 - 4г + 8 = 0.
129
Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
7.127. § Найдите площадь фигуры, состоящей из всех общих
точек двух шаров (х - З)2 + (у + 4)2 4- z2 = 64 и
(х - З)2 + (у - 2)2 + (z- 8)2 = 36.
7.128. © Напишите уравнение плоскости, в которой лежат
все общие точки сфер (х - I)2 4- (у + 2)2 4- (з 4- 5)2 = 9 и
(х - 4)2 4- (у 4- 6)2 4- (z 4- 5)2 = 16.
7.129. Напишите уравнение плоскости, касающейся сферы
х2 - 4х 4- у2 4- z2 = 9 в точке М(3; 2; 2).
7.130. © Напишите уравнение сферы с центром в точке
(5; 1; 1), касающейся сферы х2 4- у2 4- z2 = 3.
7.131. Найдите множество таких точек В(х; у; z), что угол
АВС является тупым, если А(3; -1; 0) и С(1; 3; 2).
7.132. Найдите множество таких точек К(х; у, z), что угол
MKN является острым, если М(1; 2; 0) и N(-l; -2; 4).
7.133. Составьте уравнение фигуры, состоящей из точек,
равноудалённых от точек (-2; 1; -1) и (4; -1; 3).
7.134. Напишите уравнение плоскости, равноудалённой от
плоскостей: а)х=1их = 5;б)х=0и!/ = 0;в)х + !/ + 2 = 3
hx + i/ + z- 9 = 0.
7.135. Дан куб ABCDAlB1ClDl с ребром 1. Выберите прямо-
угольную систему координат и найдите координаты точек
пересечений прямой BrD с плоскостями А1ВС1 и ACDr. Оп-
ределите отношение, в котором диагональ BrD делится эти-
ми плоскостями.
7.1361. Дан правильный тетраэдр РАВС с ребром 2. Выбери-
те прямоугольную систему координат и составьте уравне-
ния: а) его граней; б) плоскости, которая проходит через сто-
рону его основания и середину противолежащего ребра;
в) прямой, проходящей через вершину тетраэдра и центроид
противолежащей грани; г) прямой, проходящей через цент-
роиды двух граней тетраэдра; д) прямой, проходящей через
середины двух противоположных рёбер тетраэдра; е) плос-
кости, проходящей через центроид основания тетраэдра па-
раллельно его боковой грани.
1 Творческая задача.
130 I Глава 7
Координатный метод в пространстве
7.137. § Даны точки А(2; 0; 0), В(0; -2; 0), С(0; 0; 2). Найди-
те: а) точки, равноудалённые от точек А, В, С и отстоящие от
плоскости Oxz на расстоянии, равном 3; б) координаты цент-
ра сферы радиуса л/19 , проходящей через точки А, В и С.
7.138. Уравнением х2 + у2 + г2 - 6х - &у - 6z + + 15 = 0 зада-
на сфера S. Найдите координаты точки этой сферы: а) бли-
жайшей к началу О системы координат; б) самой далёкой от
точки О; в) ближайшей к каждой из координатных плоскос-
тей; г) самой далёкой от каждой из координатных плоскос-
тей; д) ближайшей к каждой из координатных осей; е) самой
далёкой от каждой из координатных осей; ж) ближайшей к
точке (3; 3; 5); з) самой далёкой от точки (3; 3; 5).
7.1391. Выберите прямоугольную систему координат Oxyz и
задайте системой неравенств: а) правильную треугольную
призму, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро
4; б) правильный тетраэдр с ребром, равным 2.
п. 25.3—25.4
7.140. Составить уравнения прямой, проходящей через точ-
ки А(1; -2; 3)иВ(2; 1; 5).
Решение. Пусть А(1; -2; 3) — «начальная» точка прямой
I = АВ, а АВ(1; 3; 2) — её направляющий вектор. Тогда пара-
метрические уравнения прямой I имеют вид:
х = 1 + t,
у = -2 + 3£,
г = 3 + 2t.
Уравнения прямой I по двум её точкам имеют вид
х - 1 у + 2 2 — 3 х - 1 у + 2 2-3
2-1 1+2 5-3 1 3 2
(*)
(**)
Заметим, что уравнения (**) являются каноническими
уравнениями прямой I.
1 Творческая задача.
I 131
Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
7.141. Найти точку пересечения прямой I:
[ х = 1 - 2t,
]y = 2 + 3t,
| г = -1+ t
и плоскости а: х 4- у 4- 2г - 3 = 0.
Решение. Обозначим К = I п а. Координаты точки К удовлет-
воряют уравнениям прямой I и плоскости а, поэтому явля-
ются решением системы уравнений
fr4-i/4-2z-3 = 0,
I х = 1 - 2t,
y = 2 + 3t,
.2 = -1 + t.
Подставив в уравнение х4-г/4-2г-3 = 0 вместо х, у, z их
выражения через t, имеем (1 - 2t) 4- (2 4- 3i) 4- 2(-1 4- £) - 3 = 0,
2 2
откуда t = -. При t = - получаем координаты точки К:
О о
*-1-2’1--! s'-2*3-! 4:2 ~1 + 1 --гт-е-
Проверьте, что точка К является искомой.
Ответ: -1; 4;-1
7.142. (Устно.) Прямая задана точками А(3; -1; 2)иВ(-1; 1; 2).
Определите взаимное положение прямой АВ и плоскости Оху.
7.143. Докажите, что прямая, заданная точками А(-6; 5; 1)
и В(-3; 5; -2), параллельна плоскости х — Зу 4-24-3 = 0.
7.144. Найдите точку пересечения прямой
x = 2-3i,
< у = 1 - t,
z = -4t
и плоскости х + 2у- 2 + 1 = 0.
7.145. © Найдите угол между прямой
х = 2 - 3t,
< у = 1 - t,
2 -4t
И ПЛОСКОСТЬЮ X + 2у - г4-1=0.
132 j Глава 7
Координатный метод в пространстве
7.146. Найдите угол между прямыми:
а) : х - 1 _ у + 2 2 3 2-3 X у + 1 z - 5 — и = Z = • 4-4 4 -1 ’
х = 1 - 2t, (х = t,
б) . у = 3 + 2t, И )y = -2 + t,
2 = 4t [ 2 = 1 - t.
7.147. ©Как расположены точки М(-1; 1; 2), N(3; 5; 8) и
/С(0; 3; 4) относительно прямой
х — -1 + t,
< у = 1 + 2t,
z = 2 + 2«?
7.148. § При каких значения а и Р точка М(1; 5; 8) лежит на
прямой
х = 3 + 2t,
< у = 7 - ai,
г = 8 + pt?
7.149. § Напишите параметрические уравнения каждой из
прямых, по которым плоскость Зх + Зу + z = 11 пересекается
с координатными плоскостями.
7.150. Напишите параметрические уравнения прямой АВ и
найдите точки пересечения этой прямой с координатными
плоскостями, еслиА(-8; 1; 3)иВ(1; -5; -1).
7.151 .© Напишите параметрические уравнения прямой,
проходящей через начало координат и делящей пополам от-
резок MN, если М(-3; 8; 1) и 2V(1; 0; 7).
7.152. Напишите уравнения прямой, проходящей через на-
чало координат и параллельной прямой
х = 2 - t,
< у = 3 + 2t,
z — 7t.
7.153. Какому условию должны удовлетворять числа а и Р,
чтобы прямые
х = 3 - 5i,
i/ = 2 + t,
z = at
X = u,
i/ = 5-pu,
z = 2 - u
были взаимно перпендикулярны?
_______________________________________|_^
Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
7.154. © Найдите величину угла между прямыми
х = 1 - 2t,
y = t,
г = 2
х = 1 + 3u,
у = 5 - и,
z = 3 - 2и.
7.155. © Найдите величину угла между осью аппликат и
прямой
х = 2 + t,
* у = 1 - 2t,
Z = 2t.
7.156. § Определите взаимное расположение прямых
х = 3 + 2t,
у = 5 - t,
2 = 2 + It
х = 1 - 2u,
1 у = Q + u,
г = -5 - 7u.
7.157. Определите взаимное расположение прямых
(х = 5 + 7t,
\y = 2-t,
I 2 = 9
x = 3 - 2u,
< у = 5 + 3u,
2 = 8 - u.
7.158. Дан куб ABCDA1B1C1Dl с ребром 1. Начало коорди-
нат находится в точке В, оси координат проходят через точ-
ки А, Вг и С. 1) Напишите уравнения: а) плоскостей, содер-
жащих его грани; б) плоскостей, проходящих через два его
параллельных ребра, не лежащих в одной грани; в) плоскос-
ти АВ^С; г) плоскости, проходящей через центр куба перпен-
дикулярно его грани; д) плоскости, проходящей через центр
куба перпендикулярно его диагонали. 2) Найдите расстоя-
ние: а) от вершины Сг до плоскости ArBD; б) между плоскос-
тями A^jD и ACBj в) между скрещивающимися диагона-
лями граней АВВ1А1 и ABCD.
7.159. Определите взаимное расположение прямой
х = 1 + 5t,
y = l-3t,
z = t
и плоскости 2х + Зу - z - 5 = 0.
134 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
7.160. Определите взаимное расположение прямой
х = 2 + 3t,
• У=1,
z = 6 + 2t
и координатных плоскостей.
7.161. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
М(0; 3; 4) и перпендикулярной плоскости 5х + 2у - z - 5 = 0.
Найдите координаты точки пересечения этой прямой и дан-
ной плоскости.
7.162. Найдите величину угла между прямой
х = 2 + 3t,
< y = l- t,
2 = 2 + t
и плоскостью 2х - Зу + z - 1 = 0.
7.163. Напишите уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и перпендикулярной прямой
х = 3 - t,
<y = 2t,
z = 5 + 3t.
Найдите координаты точки пересечения этой плоскости и
данной прямой.
7.164. В каком отношении плоскость 2х + Зу + 5г - 20 = 0 де-
лит отрезок прямой АВ, если А(2; 1; 1)иВ(7; 10; 0)?
7.165. Определите взаимное расположение прямой
х= 1 -3t,
< у = 2 + 2t,
2 = 4 + t
и сферы х2 + у2 + г2 = 25.
7.166. (Устно.) Докажите, что прямая * - = и
Z о о
плоскость х-у + 2-1 = 0 пересекаются.
7.167. Напишите уравнения прямой, проходящей через
середину отрезка MN и параллельной оси ординат, если
М(-3;1;5)иУ(7;-1; -5).
7.168. § Напишите параметрические уравнения прямой, по
которой пересекаются плоскости 2x + 3y-z = 6ux + y + z=l.
| 135
Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
7.169. Определите взаимное расположение прямой АВ и
прямых, соответствующих осям координат, если А(-1; 2; 4)
и В(8; 3; 6).
7.170. Напишите уравнения прямой, проходящей через точ-
ку Af(l; 3; -2) перпендикулярно оси ординат и прямой
х = 3 - 22,
< у = 7 + t,
2=1 — 5t.
7.171. Напишите уравнения прямой, проходящей через точ-
ку L(-1; 2; 3) перпендикулярно оси абсцисс, и прямой пере-
сечения плоскостей Зх + г/ + 2- 4 = 0их + 2г/-32 = 0.
7.172. Найдите расстояние от точки А(3; -1; 1) до прямой
х = 1 + 2t,
у = 7 -St,
2 = 5 — 4г.
7.173. Определите взаимное расположение прямых
х = 7 + 3t, х = 5 - 6u,
у = 2 - t, и < у = 8 + 2и,
2 = 8 + 0,5t 2 = 1 - и.
7.174. Дана точка А(2; 3; 5). Пусть А2, А3 — ортогональ-
ные проекции точки А на координатные плоскости соответ-
ственно Оху, Оу2, 0x2. 1) Составьте уравнение плоскости
а = (А^А^Ад). 2) Найдите: а) расстояния от начала координат
и от точки А до плоскости а; б) координаты точки пересече-
ния прямой ОА и плоскости а; в) отношение, в котором плос-
кость а делит отрезок О А, считая от точки А; г) угол между
плоскостями: а и Оху, а и OAAt; д) угол между прямой AgA3
и плоскостью ААрАд; е) расстояние от точки Aj до прямой
AgAg.
7.175. © Составьте уравнения прямой, проходящей через
точку М(1; 1; 1) и перпендикулярной прямым
x = 2 + 2t,
у =-3 + 3t,
2 = t
х = Зг,
У = -2 + t,
2 = 1 + 2t.
И
136
Глава 7
Координатный метод в пространстве
7.176. § Найдите расстояние между прямыми
х = t, х = 3 + t,
<y = 3 + 2t, и у = -1 + 2t,
z = 2 + t |г = 2 + t.
7.177. Определите взаимное расположение прямой
х = 3 - t,
< у = 5 + 2г,
2 = 3
и плоскости 2х + у - 52 - 1 = 0.
7.178. Определите взаимное расположение прямой
х = 1 - 3t,
< у = 2 + 2t,
2 = 5 - t
и плоскости х + у + 5г = 0.
7.179. § Напишите параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку М(3; 8; 1) параллельно плоскости
2х + г/ + г = 0и пересекающей ось Оу.
7.180. § Определите взаимное расположение прямой
х = 1 + 3t,
< у = 5- 12г,
2 = 12 + 5t
и сферы (х - I)2 + у2 + г2 = 169.
7.181. Определите взаимное расположение прямой
х = 2 + 3t,
< у = 7 -t,
2 = 15 +9г
и сферы х2 + у2 + г2 = 1.
Задачи к § 26. Расстояние от точки до плоскости
в координатах
7.182. Найти расстояние от точки /С(1; —2; 3) до плоскости
Зх + 2у - 62 + 5 = 0.
137
Задачи к § 26. Расстояние от точки до плоскости в координатах
Решение. Находим координаты вектора нормали п к плос-
кости: и(3; 2; -6). Тогда
d = |3 • 1 + 2 ♦ (-2) + (-6) • 3 + 5| = |-14| = 2
732 + 22 + (-6)2 7
Ответ: 2.
7.183. Найти множество точек, равноудалённых от плоскос-
тей 2х + 2у - z - 3 = 0 и Зх + 4у + 12а -13 = 0.
Решение. Пусть точка М(х; у; z) равноудалена от данных
плоскостей, тогда
|2х + 2у - z - 3| = |3х + 4у + 12г - 13|
72 2 + 22 + (-1)2 Уз2 + 42 + 122
|2х + 2у-2-3| = |3х + 4у + 122- 13|
' ’ 3 13 '
Данное уравнение распадается на совокупность двух урав-
нений
2х + 2,у - 2 - 3 _ Зх + 4у + 122 - 13
3 13
или
2х + 2у - 2 - 3 _ Зх + 4у + 12г - 13
3 13
После упрощения получим уравнения двух плоскостей
17х + 14г/ - 49г = 0 и 35х + 38i/+ 23z - 78 = 0.
Подумайте, почему эти плоскости получились взаимно
перпендикулярными и как они связаны с данными в задаче
плоскостями.
7.184. Найдите расстояние от точки М(-3; 1; 2) до плоскости
Зх + 4у - 12z + 2 = 0.
7.185. © Напишите уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и точку А(0; -2; 1), если расстояние от
этой плоскости до точки М(3; -1; 3) равно 3.
7.186. ^ Напишите уравнение плоскости, содержащей ось
Оу, если расстояние от этой плоскости до точки М(-3; 8; 1)
равно 1.
138 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
7.187. § Найдите геометрическое место точек, расстояние
которых до плоскости 2x-3i/ + 2-1=0 равно расстоянию до
плоскости 2х - Зу + z + 5 = О.
7.188. Найдите геометрическое место точек, удалённых от
плоскости х + 2у - 2г - 5 = 0 на расстояние 2.
7.189. Найдите геометрическое место точек, равноудалён-
ных от плоскостей
Зх + 12у - 4г - 1 = О и 4х - Зу + 12г + 5 = 0.
7.190. © В каком отношении плоскость Зх - Зу + 2z - 5 = О
делит отрезок АВ, если А(3; 2; 1) иВ(7; -1; 2)?
7.191 .© Найдите расстояние между плоскостью, заданной
уравнением 2х + Зу - 5z + 1 = 0, и прямой
х = 2 + f,
z = 3 + t.
7.192. © Найдите расстояние между параллельными плос-
костями Зх + 2у + 4г + 11 = 0 и 9х + Зу + 12г -5 = 0.
Задачи к главе 7
7.193. § Найдите центры всех сфер, проходящих через точ-
ки А(0; 5; 12), В(4; -3; 12) и С(12; -4; -3).
7.194. § Найдите координаты центра и радиус сферы, опи-
санной около тетраэдра, вершины которого имеют координа-
ты (0; 0; 0), (8; 0; 0), (0; -2; 0) и (0; 0; -6).
7.195. Найдите координаты центров всех сфер радиуса 1, ка-
сающихся каждой из плоскостей х = 0, у = 1, г = 5.
7.196. Найдите множество таких точек Р(х; у; г), что сумма
квадратов расстояний от них до точек А(3; 4; 0) и В(1; 2; 3)
равна 39.
7.197. Найдите множество точек пространства, сумма квад-
ратов расстояний которых до вершин треугольника АВС
равна 32, если А(1; 2; 3), В(0; 1; 4) и С(1; -1; 0).
7.198. § Докажите, что сумма квадратов расстояний от лю-
бой точки сферы, описанной около куба, до всех вершин ку-
ба есть величина постоянная. Найдите эту величину.
139
Задачи к главе 7
7.199. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой
точки шара, вписанного в куб, до всех вершин куба есть ве-
личина постоянная. Найдите эту величину.
7.200. Докажите, что геометрическое место точек, сумма
квадратов расстояний которых до всех вершин октаэдра с
ребром 1 равна 6, есть описанный около октаэдра шар.
7.201. Найдите геометрическое место точек таких, что сум-
ма квадратов расстояний от них до вершин правильной тре-
угольной призмы, все рёбра которой имеют длину 1, равна 5.
7.202. § Найдите множество точек, сумма квадратов рас-
стояний которых до осей координат равна 2.
7.203. § Найдите множество точек, сумма квадратов рас-
стояний которых до плоскостей х = 0, у — 2 = 0, z + 1 = 0 рав-
на 4.
7.204. § Напишите уравнение плоскости, параллельной
прямой
(х = 8 + t,
1 у = 1 - 8t,
| 2 = 3t
и содержащей ось Oz.
7.205. § Напишите уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и содержащей прямую
х = 3 + t,
< y = 5-t,
2 = t.
7.206. Существуют ли плоскости, проходящие через пря-
мые
f х = 5 - t,
\y = 2 + 7t,
[z = 1 - t
x = 5 + 2t,
y = 2-t,
z = 1?
Если да, то напишите все их уравнения.
7.207. Существуют ли плоскости, проходящие через прямые
[ х = 3 - t,
< у = 2 + 5t,
[z = t
х = 2 + u,
< у = 1 - 5u,
2 = 1 - U?
Если да, то напишите все их уравнения.
140
Глава 7
Координатный метод в пространстве
7.208. Найдите длину хорды, отсекаемой на прямой
х = 2 + 4*,
< у = t,
2=1-3*
сферой (х - I)2 + (у + 2)2 + (z + I)2 = 25.
7.209. § Найдите все точки на оси Oz, через которые прохо-
дит хотя бы одна прямая, касающаяся в точке Р(3; -1; -4)
сферы1 (х - I)2 + (у + 2)2 + (г + 2)2 = 9.
7.210. § Из начала координат проведены всевозможные пря-
мые, касающиеся сферы1 (х - 4)2 + (у - З)2 + (z - 12)2 = = 144.
Найдите уравнение плоскости, в которой лежат все точки
касания.
7.211. § Найдите уравнения всех сфер с центром в начале ко-
ординат, касающихся прямой1
х = 3 - 2t,
< y=l + t,
z = 5.
7.212. В плоскости х + у + 2z = 0 найдите все прямые, касаю-
щиеся сферы1 (х - 2)2 + (у - 4)2 + z2 = 8 и проходящие через
начало координат.
7.213. § Напишите уравнения проекций прямой
х = 3 - 2t,
< у = 1 + 3*,
2 = 5
на координатные плоскости.
7.214. § На сфере х2 + у2 + z2 = 1 найдите точки, расстояния
от которых до прямой
х = 3 + *,
< у = 2 - t,
2=1-2*:
а) наименьшее; б) наибольшее.
7.215. Напишите уравнения центров всех сфер, касающихся
всех координатных осей.
1 Прямая, касающаяся сферы, имеет со сферой одну общую
точку.
141
Задачи к главе 7
7.216. § Найдите геометрическое место центров таких ша-
ров, что все точки прямых
х = 3 - t, [x = 2 + 3u,
< у = 2 + 2t, и у = 2и,
z = 1 + t 2 = 6,
для которых t е [-1; 3], и е [0; 6], принадлежат шарам, а дру-
гие точки этих прямых шарам не принадлежат.
7.217. § Найдите геометрическое место точек пространства,
сумма квадратов расстояний от которых до вершин куба чис-
ленно в два раза больше площади полной поверхности этого
куба.
7.218. § Найдите геометрическое место точек М пространст-
ва, для которых выполняется условие AM : ВМ = 5:3, если
А(0;-1; 1)иВ(0; 1; 0).
7.219. ABCDEFAlB1C1D1E1Fl — правильная шестиуголь-
ная призма, все рёбра которой равны 1 и которая располо-
жена в системе координат Oxyz так, что центр её основания
совпадает с началом координат, а вершины В, С и Dr имеют
координаты: в[ |; о], С(0; 1; 0), dJ i ; 1). Ностро-
ить эту призму и найти координатным методом расстояние
от вершины В до прямой СВг.
Решение. Данная призма изображена на рисунке 64. Со-
ставим уравнение плоскости р, проходящей через точку В пер-
пендикулярно прямой СРр
Рис. 64
142 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
В качестве вектора нормали плоскости Р примем вектор
-> г~ ----(л/з 1 \
п(а/3 ; 1; -2), коллинеарный вектору DXC — ; - ; -1 . Тогда
плоскость Р имеет уравнение:
'3
Обозначим Т = р n CDX, тогда ВТ = р(В; DXC). Для нахож-
дения координат точки Т достаточно решить систему
j3x + y-2z-2 = 0,
teR,
у = 1 + t,
z = -2t,
составленную из уравнений плоскости Р и прямой CDX.
Получаем: • JUt + 1 + t - 2(-2t) -2 = 0<=>8£-l=0<=>
1 /3 9
о t = s . Значит, точка T имеет координаты: х = ; у = - ;
о о о
г = -1. Тогда: р(В; DXC) = ВТ = + Q - |Y(o + =
4 'у \ Z О J О J к 4/
- ф . Ответ: .
4 4
7.220. ABCDEFAXB ХС XD ХЕ XFt — правильная шестиуголь-
ная призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположе-
на в системе координат Oxyz так, что центр её основания сов-
падает с началом координат, а вершины А, В, F, Fx имеют ко-
ординаты: ; -1; (/[, в(|; о), F(0; -1; 0), /\(0; -1; 1).
Постройте эту призму и найдите координатным методом
расстояние от вершины В до прямой:
a) EXF; б) DXFX; в) CXDX’, г) ADX.
7.221. ABC DE FA XBXCXDXEXFX — правильная шестиугольная
призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположена в
системе координат Oxyz так, что центр её основания совпа-
дает с началом координат, а вершины В, С, D, Сх имеют ко-
ординаты: в( £ ; ; о], 0(0; 1; 0), d(-& ; |; о), ^(0; 1; 1).
143
Задачи к главе 7
Построить эту призму и найти координатным методом
расстояние до плоскости AFXD от точки: a) F; б) ВР
Решение. Если плоскость р ax + by + cz + d = 0 проходит
через данную точку М(х0; i/0; г0), то координаты этой точки
удовлетворяют уравнению плоскости Р, т. е. имеет место
axQ+ by0 + cz0 + d = 0. Воспользуемся этим утверждением
при составлении уравнения плоскости Р = (AFXD).
Пусть ах + by + cz + d = 0 — искомое уравнение плоскос-
ти р. На рисунке 65 изображено расположение данной приз-
мы относительно системы координат Oxyz, в которой точки
A, F, Вх имеют координаты: А[ -i; 0], F(0; -1; 0),
1 & & /
I I
Плоскость p = (AFtD) проходит через начало координат,
значит, d = 0. Далее, имеем:
ер=> а - | = 0; ^(0;-1; 1) е Р -Ь + с = 0;
z/-^;l;°Up^_^a+b = 0.
Решая систему из уравнений:
л/3 1 г А
-a-jf-O.
-Ь + с = 0,
_^а + |& = 0
находим: b = с, b = л/3 а.
144 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
Полагая a = Уз, получаем Ь = с = 3. Тогда уравнение
плоскости р имеет вид:
Уз (х - 0) + 3(i/ + 1) + 3(2 - 1) = 0 о Уз х + Зу + Зг = 0.
Теперь находим искомые расстояния p(F; Р) и р(В1; Р):
p(F; р) = lJ3-0 + 3-(-l) + 3-0| = УЛ .
73 + 9 + 9 7
/з • + 3* — + 3»1
р(Вр Р) =----2 - 2 ---- = ЦД . Ответ: а) Ж б) ЦР .
УЗ + 9 + 9 7 7 7
Замечание. При нахождении расстояния от точки до
плоскости координатным методом во многих случаях не тре-
буются аргументированные обоснования построения перпен-
дикуляра из данной точки на данную плоскость. Но если
FK ± (AF^D) («виртуально»), К е (AFyD) (см. рис. 65), то
FK = p(F; р); на этом рисунке перпендикуляр из вершины Bj
на плоскость AF^D не изображён.
7.222. ABCDEFA1B1C1D1£1F1 — правильная шестиугольная
призма, все рёбра которой равны 1 и которя расположена в
системе координат Охуг так, что центр её основания совпа-
дает с началом координат, а вершины В, С, В, Сх имеют ко-
ординаты: в(^; |;0],С(0; 1; 0), ; о\ С^О; 1; 1).
Постройте эту призму и найдите координатным методом:
а) расстояние от вершины Аг до плоскости ВСС\; б) от вер-
шин и до плоскости АС1Е1; в) от вершин ВиР1до плос-
кости AB^D.
7.223. ABCDEFAlB1C1D1E1F1 — правильная шестиуголь-
ная призма, все рёбра которой равны 1. Найти коорди-
натным методом расстояние между прямыми: a)BtC и АГВ;
б) ВгС и BEt.
Решение, а) Найдём расстояние между прямыми ВгС и
АгВ.
145
Задачи к главе 7
Во введённой системе координат Oxyz (рис. 66) вершины
( Zq 1 А
В, С, Bj и Аг имеют координаты: Вр^-; 0 ; 0(0; 1; 0);
I U /
о ( 1 • 1 V A ( 1 • 1
В\~2’ 2’ J'
Используем следующий факт: расстояние между двумя
скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой
точки одной прямой до плоскости, проходящей через вто-
рую прямую параллельно первой прямой.
Для нахождения искомого расстояния составим уравне-
ние плоскости (обозначим её а), проходящей через прямую
ВХС параллельно прямой АХВ.
В качестве вектора нормали плоскости а примем вектор
Н(а; &; с), перпендикулярный направляющим векторам
---* / /я 1 \ ----*
СВХ р^- ; - - ; 1 и AtB (0; 1; -1) прямых В^С и АХВ. Найдём
координаты этого вектора.
Имеем:
п ± СВ},
п ± АХВ
п-СВх = О,
П' А.В = О
7з 1, , п
±_а__(, + с-о,
b - с = О
с = - 7з а,
b = с.
а - Ь + 2с = 0,
1 b = с
Полагая а = 73, получаем: Ь = с = -3. Таким образом,
п(73 ; -3; -3). Тогда плоскость а (С е а) имеет уравнение:
73 (х - 0) - 3(у - 1) - 3(z - 0) = 0 о 73 х - Зу - Зг + 3 = 0.
146 J Глава 7
Координатный метод в пространстве
Теперь находим: р(АхВ; ВХС) = р(В; а) =
V3 • ^ + 3 • i + 3 • 0 + 3
Ci U
73 + 9 + 9
7з
21
721
7 ‘
Zyi . Ответ:
7.224. ABCDEFA^B^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная
призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположена в
системе координат Oxyz так, что центр её основания совпа-
дает с началом координат, а вершины Ар В, С, Вг имеют коор-
динаты: А^ ; -1; 1 j , В^ ; А ; oj, 0(0; 1; 0), В^ ; 1; 1).
Постройте эту призму и найдите координатным методом
расстояние между прямыми: a)AjB и CXD; 6)AjB и Е^;
в) AtBиАРр г) АгВ и BrD.
7.225. ABCDEFAlB1C1D1E1F1 — правильная шестиуголь-
ная призма, все рёбра которой равны 1. Найти величину угла
между прямыми ВАг и СВГ.
Решение. Обозначим: Z (ВАг, CBJ = ф.
В системе координат Oxyz (рис. 67) точки Av В, Вр С
имеют координаты:
|;0 , С(0; 1; 0),
7з. 1.
2’2’
---> ----->
Тогда направляющие векторы СВХ и ВАХ
прямых соответственно СВХ и ВАХ приобретают координаты:
----> ( /ч 1 А ------->
CBY и BAj (0;-1; 1).
) Ci Ci I
147
Задачи к главе 7
Теперь находим:
|ёв^-вХ|
И • м
cos <р =
V’0 + (-!)• (-D+ 1-1
к " J
у +1 +1 • 70 + 1 + 1
л/4 4
3 „ 3
=> Ф = arccos -т. Ответ: arccos - .
4 4
7.226. ABCDEFA^BlDlEг — правильная шестиуголь-
ная призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположе-
на в системе координат Oxyz так, что центр её основания
совпадает с началом координат, а вершины A, F, Fu Вх
имеют координаты:
-1; О], F(0; -1; 0), 2^(0; -1; 1),
/
л/З. 1.
2 ’ 2’
Постройте эту призму и найдите координат-
ным методом величину угла между прямыми: а) АВГ и CF^,
б) АВ и CDy, b^AF^ и A]B.
7.227. ABCDEFA1B1C1DlElF1 — правильная шестиугольная
призма, все рёбра которой равны 1. Найти синус угла между
прямой BDr и плоскостью BFXC.
Решение. Обозначим: Z(BDj, (BF^C)) = а.
Во введённой системе координат (рис. 68) точки В, С, Fx
имеют координаты: В
J3.
2 ’
01, 0(0; 1; 0), ^(0; -1; 1),
ш /
; 1
1 2’2’
148 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
Для прямой DrB направляющим является вектор
ВР^(-73;0; 1).
Найдём координаты вектора нормали плоскости
Р = (BF1C), для чего составим её общее уравнение.
Пусть ax + by + cz + d = 0 — искомое уравнение плоскости
Р = (BF1C). Имеем:
В(т;Г°) eP^^a+ib + d = O;
С(0; 1; 0) € р => b + d = 0; F^O; -1; 1) е р => -Ь + с + d.
Решением системы уравнений
^а+ l& + d = 0,
di di
b + d = O,
—b + c + d = 0
является a = 73 , b = 3, c = 6, d = -3. To есть, вектор нормали
плоскости р имеет координаты: п( а/З ; 3; 6). Тогда
• I // Т> Т\) "*\| |— л/з • л/з + 0*3 + 1’б| Л 1 ок /о
sin а = cos Z.(BD, ; и) = ' -— - = 0,12573 .
73 + 0+1 • 73 + 9 + 36
Ответ: 0,125 7^ .
D, Dr
7.228. ABCBBFA1B1C1D1B1F1 — правильная шестиуголь-
ная призма, все рёбра которой равны 1 и которая располо-
жена в системе координат Оху г так, что центр её основания
совпадает с началом координат, а вершины В, С,
имеют координаты: В| ; i; 01, С(0; 1; 0), ;
1 d di I 1 di
2 ’
1
i; 1 j. Постройте эту призму и найдите
динатным методом
плоскостью BCjC;
в) прямой BDX и
плоскостью ВВ]С.
коор-
синус угла между: а) прямой ВгЕ и
б) прямой АВ и плоскостью BFrC;
плоскостью BFjC; г) прямой AtB и
149
Задачи к главе 7
7.229. ABCDEFAiB1C1D1ElF1 — правильная шестиуголь-
ная призма, все рёбра которой равны 1. Найти синус угла
между плоскостями А1ВС и АВ^.
Решение. Обозначим: Z (а, 0) = ф. Найдём координаты
векторов нормалей плоскостей а = (А^С) и 0 = (ABjF).
Во введённой системе координат Oxyz (рис. 69) точки
В, С, A, Blt F имеют координаты:
-1; 1V в[^; 1; (Й, 0(0; 1; 0), а[ о],
в/; 1V F(0;-1; О).
Вектор п(а; &; с) нормали плоскости а перпендикулярен
векторам АгВ(0; 1; -1) и ВС
7з. 1,
2’2’
О . Координаты векто
pa п(а; Ь; с) найдём из условия его перпендикулярности
векторам AiB(0; 1; -1) и ВС (
Имеем:
Полагая а = л/3, получим Ъ = с = 3. Таким образом,
п(73; 3; 3).
150 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
Аналогично, вектор n1(a1; Ьг; сг) нормали плоскости 0
перпендикулярен векторам АВ1 (0; 1; 1) и FA 0 .
\ & I
Поэтому координаты аг, Ьг и Cj найдём, решая систему урав-
нений:
= -с,
&! = -7з а1.
[ bx + Cj = 0,
< 7з , 1. Л
| - “1 + 2 " °
Полагая а1 = -/3 , получим Ь, = -3, tj = 3. Таким образом,
ni
гр I //-г - Ч| |л/3 • л/з 4-3 • (—3)3 • з| 1
Тогда cos а = cos Z(n; n,) = 1 \ \ 7 — = -
73 + 9 + 9-73 + 9 + 9 7
473
sin <р = -2- .
„ 4л/3
Ответ: —.
7.230. ABCDEFA1BrClDxErFl — правильная шестиугольная
призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположена в
системе координат Oxyz так, что центр её основания
совпадает с началом координат, а вершины Ар В, С, D
имеют координаты:
1
2
|;0 , С(0;1;0),
/
T)f_V3. 1
2’2
О
Постройте эту призму и найдите координат-
ным методом синус угла между плоскостями: а) АВС и ВС^;
6)FBlD1 и АВС; в)ВС1О и ABC; rJAjCEj и АВС; д)АВС и
BFDV
Дополнения
-rr -fl МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ
/ / / | СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Ранее мы уже строили плоские сечения многогранни-
ков. Эти построения осуществлялись на основании аксиом
стереометрии и теорем о параллельности прямых и плос-
костей.
Вместе с тем, существуют определённые методы построе-
ния плоских сечений многогранников. Наиболее эффектив-
ными в школьном курсе геометрии являются следующие три
метода: 1) метод следов; 2) метод внутреннего проектиро-
вания; 3) комбинированный метод.
1.1. Метод следов
Определение. Прямая, по которой секущая плос-
кость а пересекает плоскость основания многогранни-
ка, называется следом плоскости а в плоскости этого
основания.
Из определения следа следует, что в каждой его точке пе-
ресекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плос-
кости, другая — в плоскости основания. Именно это свойст-
во следа используют при построении плоских сечений много-
гранников методом следов. Причём в секущей плоскости
удобно использовать такие прямые, которые пересекают рёб-
ра многогранника.
Рассмотрим метод следов на примерах. Секущую плос-
кость зададим её следом в плоскости основания призмы (пи-
рамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы
(пирамиды).
ЗАДАЧА 1. Построить сечение призмы ABCDEA1B1ClD1El
плоскостью а, которая задана следом I в плоскости АВС ос-
нования призмы и точкой М, принадлежащей ребру DDX.
152 I Дополнения
Решение.
Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR — иско-
мое сечение (рис. 70). Для построения этого плоского пяти-
угольника достаточно построить его вершины N, Р, Q, R
(точка М дана) — точки пересечения секущей плоскости а с
рёбрами соответственно ССг, ВВ1, АА}, ЕЕ} данной призмы
(или их продолжениями).
Для построения точки N = а п ССг достаточно построить
прямую MX пересечения секущей плоскости а с гранью
C-D-DjCp Эта прямая будет построена, если построить точку
X пересечения следа I с гранью CDD1C1.
Так как прямая I лежит в плоскости основания призмы,
то она может пересекать грань CDDXCX лишь в точке, ко-
торая принадлежит прямой CD пересечения плоскости
грани CDD^C^ с плоскостью основания призмы, т. е. точка
X = I r\ (CDDj) является точкой пересечения следа I с прямой
CD: LrACDD}) = X = l^CD.
Таким образом, для построения точки N достаточно по-
строить точку X = I с\ CD.
Аналогично, для построения точек Р, Q и R достаточно по-
строить точки Y = I п ВС, Z = I п АВ vlT — АЕ.
Построение. Строим: 1) X = I n CD', 2) N = MX CCt; 3) У =
= 1 n ВС; 4)P = NY n BBf, 5) Z = I n AB; 6) Q = PZoAA^;
7)T = I n AE; 8)7? = QT r\ EEX. Пятиугольник MNPQR —
искомое сечение.
Дополнения I 153
Рис. 71
154 I Дополнения
Доказательство. Так как прямая I — след секущей плоскости
а, то точки X, Y, Z и Т принадлежат этой плоскости. По-
этому:
М 6 а, X е а => MX <_ а => MX n ССХ = N е а; N = ап ССг;
N € а, У е а => NYс а => NYп ВВ} = Р е а; Р = ап BBj
Р е а, Z 6 а => PZ са=> PZ п AAt = Q е а; Q = а пАА1;
Q е а, Т € а => QT са=> QT п ЕЕХ = R е а; R = ап ЕЕХ.
Следовательно, MNPQR — искомое сечение.
Исследование. След I секущей плоскости а расположен в
плоскости основания призмы, а точка М секущей плоскости
принадлежит боковому ребру DDX призмы. Поэтому секущая
плоскость а не параллельна боковым рёбрам. Следовательно,
точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми
рёбрами призмы (или продолжениями этих рёбер) всегда су-
ществуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадле-
жит следу I, то определяемая ими плоскость а единственна.
Значит, задача имеет (всегда!) единственное решение.
Динамику этого построения плоского сечения призмы
можно видеть на рисунке 71.
ЗАДАЧА 2. Построить сечение пятиугольной пирамиды
PABCDE плоскостью, которая задана следом I и точкой К
ребра РВ.
Решение. Схематически построение искомого сечения можно
изобразить так (рис. 72):
7\ -> Q -> Т2 -> R -> Т3 -> М Т4 N.
«Цепочка» последователь-
ности построения вершин се-
чения такова:
l)T1 = ZnAE;
2)Q = T1A'nPA;
3) Т2 = ZnAB;
4)Я= T2QnPB;
5)T3 = ZnBC;
6)M = T3BnPC;
7) Т4 = I п СВ;
8) N = Т4М n PD.
Дополнения I 155
Пятиугольник MNKQR — искомое сечение.
Секущая плоскость чаще всего задаётся тремя точками,
принадлежащими многограннику.
ЗАДАЧА 3. Построить сечение призмы ABCDEAlB1C1DlE1
плоскостью а = (MPR), где М, РиВ являются точками соот-
ветственно рёбер ААр ССг и ЕЕ4 (рис. 73).
Решение. Построим след секущей плоскости а в плоскости
основания АВС данной призмы.
Прямые MR и PR лежат в секущей плоскости а, а пря-
мые АЕ и СЕ — в плоскости основания АВС. Тогда на осно-
вании свойства (какого?) точек следа секущей плоскости
строим точки: 1) Т1 = MR п АЕ; 2) Т2 = PR п СЕ; Т\, Т2 —
точки следа.
Значит, прямая Т\Т2 = I — след секущей плоскости в
плоскости основания призмы. Далее строим точки: 3) Т3 =
= I о АВ; 4) N = Т3М n ВВ^, 5)Т4 = 1гу BD; 6) Q = T4N n DDr.
MNPQR — искомое сечение.
ЗАДАЧА 4. Построить сечение пятиугольной пирамиды
PABCDE плоскостью а = (KQR), где К, Q — точки рёбер со-
ответственно РА и PC, а точка R лежит внутри грани DPE
(рис. 74).
Решение. Построим след секущей плоскости в плоскости ос-
нования пирамиды, для чего построим две любые его точки.
156 I Дополнения
Прямые QK и АС лежат в одной плоскости АСР и пересе-
каются в точке Т\, принадлежащей этому следу (почему?).
Далее — внимание! Ответственный момент!
Плоскость APR содержит прямую RK, лежащую в секу-
щей плоскости а, и пересекает сторону DE основания пира-
миды в некоторой точке F (F является точкой пересечения
прямых PR и DE). Тогда прямые KR и AF лежат в одной
плоскости APR и пересекаются в некоторой точке Т2 — вто-
рой точке следа (почему?). Значит, прямая 7\Т2 = I — след
секущей плоскости а в плоскости основания пирамиды.
След I пересекает стороны DE и АЕ основания пирамиды
соответственно в точках М и N, которые служат вершинами
искомого сечения.
Вершина Н искомого сечения получается при пересече-
нии прямых MR и PD. Далее, построив точку Т3 = I п АВ и
проведя прямую Т3К, получаем вершину L искомого сече-
ния: L = Т3К п РВ.
Таким образом, «цепочка» последовательности построе-
ния вершин искомого сечения такова: 1) Т} — QK п АС;
2) F = PR n DE; 3) Т2 = KR n AF; Т\Т2 = I — след; 4)М =
= I п Е; 5) N = I п АЕ; 6) Н = MR n PD; 7)Т3 = I п АВ;
8) L = Т3К п РВ. MNKLQH — искомое сечение.
Динамика построения этого сечения проиллюстрирована
на рисунке 75.
Дополнения I 157
Рис. 75
158 I Дополнения
Для построения следа секущей плоскости достаточно в
плоскости основания многогранника построить две любые
точки этого следа. Этими точками являются, как правило,
точки пересечения плоскости основания данного многогран-
ника и прямой, лежащей в секущей плоскости.
На рисунках 76—80 проиллюстрировано построение точ-
ки X пересечения прямой МК с плоскостью основания пира-
миды (призмы), если точки М и К, принадлежат:
1) боковым рёбрам одной грани многогранника (см.
рис. 76);
2) боковым рёбрам диагонального сечения многогранника
(см. рис. 77);
Рис. 78
Дополнения I 159
3) боковой грани многогранника и не принадлежащему ей
боковому ребру (см. рис. 78);
4) двум смежным боковым граням многогранника (см.
рис. 79);
5) двум несмежным боковым граням многогранника (см.
рис. 80).
Задачи
5. Постройте точку пересечения прямой с плоскостью осно-
вания четырёхугольной пирамиды (призмы), если прямая
задана двумя точками, которые принадлежат: а) боковым
рёбрам одной грани; б) боковым рёбрам, не лежащим в одной
грани; в) боковому ребру и боковой грани; г) двум смежным
боковым граням; д) двум несмежным боковым граням;
е) рёбрам диагонального сечения.
6. Секущая плоскость а задана тремя точками М, Р, К
(рис. 81). Постройте след секущей плоскости в плоскости
160 I Дополнения
основания треугольной пирамиды и треугольной призмы,
если:
1) точки принадлежат боковым рёбрам призмы (пирамиды)
(рис. 81, а, б);
2) две из них принадлежат боковым рёбрам, а третья — боко-
вой грани (рис. 81, в, г);
3) две из них принадлежат боковым граням, а третья — боко-
вому ребру (рис. 81, д, е).
7. Постройте сечение призмы ABCDBA1BlC1D1E1 плоско-
стью а, заданной следом I в плоскости основания и точкой
Дополнения I 161
М, которая принадлежит ребру DDX, если след: а) не имеет
общих точек с основанием призмы; б) проходит через сторо-
ну АВ основания призмы; в) пересекает стороны АЕ и ВС ос-
нования призмы.
8. Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью а, за-
данной следом I и точкой М, которая принадлежит ребру
РЕ, если след I: а) не имеет общих точек с основанием пира-
миды; б) проходит через сторону ВС основания; в) пересека-
ет стороны В А и ВС основания.
9. Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью, за-
данной: а) точками М, N, Q рёбер соответственно PC, РЕ,
РА; б) точками, две из которых принадлежат боковым рёб-
рам, третья — боковой грани.
10. Постройте сечение пятиугольной призмы
ABCDEAlB1C1D1E1 плоскостью, которая задана следом I,
проходящим через сторону АВ основания, и точкой Р, при-
надлежащей ребру ССГ. Точку Р выберите так, чтобы в сече-
нии получился: а) четырёхугольник; б) пятиугольник;
в) шестиугольник.
11. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью,
заданной тремя точками, принадлежащими трем боковым
граням.
12. Постройте сечение пятиугольной пирамиды плоско-
стью, заданной тремя точками, две из которых принадлежат
боковым рёбрам, а третья — стороне основания.
13. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью,
заданной тремя точками, две из которых принадлежат боко-
вым граням, а третья — основанию призмы.
В задачах 14—28 постройте сечение куба плоскостью
MRP методом следов (рис. 82—96).
Рис. 82
Рис. 83
Рис. 84
Рис. 85
162 I Дополнения
M
в, С,
Рис. 94
R е (АВС)
Рис. 95
Ре(ААхВх)
Re (A^Cj)
М е (DDXCX)
Рис. 96
1.2. Метод внутреннего проектирования
В некоторых учебных пособиях метод построения сечений
многогранников, который мы сейчас будем рассматривать,
называют методом внутреннего проектирования, или
методом соответствий, или методом диагональных
сечений. Мы примем первое название этого метода.
Дополнения I 163
Сущность метода внутреннего проектирования рассмот-
рим на примерах построения сечений призмы и пирамиды.
ЗАДАЧА 29. Построить сечение призмы ABCDEA^^lD1El
плоскостью а, заданной точками М & ВВУ, Р е DDX, Q е ЕЕХ.
Решение. Плоскость нижнего
основания призмы обозначим 0.
Для построения искомого се-
чения построим точки пересе-
чения плоскости а с рёбрами
(или их продолжениями) приз-
мы (рис. 97).
Построим точку пересечения
секущей плоскости а с ребром
ААг.
Плоскости АгАВ и ВЕЕХ пе-
ресекают плоскость 0 по пря-
мым соответственно AD и BE,
которые пересекаются в неко-
торой точке К: К = AD n BE. Эти плоскости проходят через
параллельные рёбра АА} и ВВг призмы и имеют общую точ-
ку К. Поэтому прямая их пересечения проходит через точку
К и параллельна ребру ВВХ (т. 11). Точку пересечения этой
прямой с прямой QM (почему они пересекаются?) обозначим
Кх = ККХ су QM, ККг || ВВР
Прямая РКг лежит в секущей плоскости а и пересекает
(почему?) ребро ААг в некоторой точке R. Точка R служит точ-
кой пересечения плоскости а и ребра ЛА}: R = РКг п АА} =
= а пААр т. е. точка R является вершиной искомого сече-
ния.
Аналогично строим точку N пересечения плоскости а и
ребра ССГ
Таким образом, последовательность «шагов» построения
искомого сечения такова: 1) К = AD n BE; 2) = ККг о MQ;
КК} || ВВр 3) В = РК} п ААГ; 4) Н = ЕС n AD; 5) Щ = HHi п
n PR, ННХ || ССХ; 6) N = QH} п ССР Пятиугольник MNPQR —
искомое сечение.
164 I Дополнения
ЗАДАЧА 30. Построить сечение пирамиды PABCDE плос-
костью а = (MFR), если точки М, F и R являются внутрен-
ними точками рёбер соответственно РА, PC и РЕ (рис. 98).
Решение. Плоскость основания пирамиды обозначим р.
секаются плоскости APD и С1
чему?) в некоторой точке Кх;
Для построения искомого
сечения построим точки пе-
ресечения секущей плоскос-
ти а с рёбрами (или с их про-
должениями) пирамиды.
Рассмотрим построение
точки пересечения секущей
плоскости с ребром PD пира-
миды.
Плоскости APD и СРЕ пе-
ресекают плоскость Р по пря-
мым соответственно AD и
СЕ, которые пересекаются в
некоторой точке К. Тогда
прямая РК, по которой пере-
Е, пересекает прямую FR (по-
Кг = РК n FR. Прямая МК{
лежит в секущей плоскости а (почему?). Поэтому точка Q пе-
ресечения прямой МК{ с ребром PD есть точка пересечения
этого ребра и секущей плоскости: Q = МК{ n PD = a n PD.
Аналогично строим точку пересечения плоскости а и реб-
ра РВ. Плоскости ВРЕ и APD пересекают плоскость Р по
прямым соответственно BE и AD, которые пересекаются в
точке Н. Прямая PH = (ВРЕ) n (APD) пересекает прямую
MQ в точке Н{. Тогда прямая RHX пересекает ребро РВ в точ-
ке N.
Таким образом, последовательность «шагов» построения
искомого сечения такова:
l)K = ADn ЕС; 2)КГ = РК о RF; 3)Q = МК{ n PD;
4) H = BE n AD; 5) H} = PH n MQ; 6) N = RHr n PB.
MNFQR — искомое сечение.
Динамика построения этого сечения пирамиды проиллю-
стрирована на рисунке 99.
Дополнения I 165
Рис. 99
166 I Дополнения
Задачи
31. На рисунках 100—102 секущая плоскость задана точка-
ми 1, 2 и 3.
а) На рисунках 100, б, 101, а прокомментируйте построение
точек пересечения секущей плоскости с боковыми рёбрами.
Рис. 102
Дополнения I 167
б) Используя рисунки 100, а, 101, б, 102, а, б, постройте точ-
ки пересечения секущей плоскости с боковыми рёбрами мно-
гогранников.
В задачах 32—34 (рис. 103—105) постройте прямую пересе-
чения плоскости NKF с плоскостью PQM.
Рис. 103
Рис. 104 Рис. 105
35. Постройте сечение четырёхугольной призмы плоско-
стью, заданной тремя точками на её боковых рёбрах.
36. Постройте сечение четырёхугольной пирамиды плоско-
стью, заданной тремя точками на её боковых рёбрах.
37. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью,
которая проходит через три точки, если: а) две из них прина-
длежат боковым граням призмы, а третья — её боковому
ребру, не принадлежащему этим граням; б) две из них при-
надлежат боковым рёбрам призмы, а третья — боковой гра-
ни, не содержащей эти рёбра.
38. Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью, про-
ходящей через точки М и К, принадлежащие граням соот-
ветственно АВР и АВС, и внутреннюю точку бокового ребра
РЕ.
39. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью,
проходящей через три точки, две из которых принадлежат
боковым несмежным граням, а третья точка совпадает с вер-
шиной нижнего основания, не принадлежащей этим граням.
В задачах 40—54 (рис. 106—120) постройте сечение куба
плоскостью MRP методом внутреннего проектирования.
168 I Дополнения
M
Рис. 113
Рис. 111
Рис. 112
Рис. 110
М е (BBjCj)
М ё (AjBjCJ М е (AjBjCj)
Рис. 115
Рис. 114
Рис. 116
Рис. 117
Р е (AA^BJ
Re (A^CJ
М е (PBjCi)
Рис. 120
Рис. 118
Рис. 119
Дополнения I 169
1.3. Комбинированный метод
Сущность комбинированного метода построения сечений
многогранников состоит в том, что на некоторых этапах по-
строения сечения применяется или метод следов, или метод
внутреннего проектирования, а на других этапах построение
этого сечения осуществляется с использованием теорем, изу-
ченных в разделе «Параллельность в пространстве» и др.
Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим
следующую задачу.
ЗАДАЧА 55. Построить сечение параллелепипеда
плоскостью а, заданной точками Р, Q и В,
если точка Р лежит на диагонали А1С1, точка Q — на ребре
ВВХ и точка R — на ребре DDX (рис. 121).
Решение, а) Решим эту задачу с применением метода следов и
теорем о параллельности прямых и плоскостей.
Прежде всего построим след секущей плоскости а =
= (PQR) на плоскости АВС. Для этого строим точки Т\ =
= PQ п РХВ, где РР} || ААг, Р{ е АС иТ2 = RQ n BD. Построив
след ТГТ2, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А1В1С1,
которая параллельна плоскости АВС. Это означает, что секу-
щая плоскость а пересекает плоскость AjBjCj по прямой,
проходящей через точку Р и параллельной прямой Т1Т2-
Пусть эта прямая пересекает рёбра AjBj и A1D1 соответ-
ственно в точках М и Е. Тогда прямая ER — это прямая, по
которой секущая плоскость а пересекает плоскость грани
ADD^y, прямая QM — это прямая, по которой секущая
плоскость пересекает плоскость грани АВВ1А1.
Рис. 121
Рис. 122
170 I Дополнения
Далее, так как плоскость ВССГ параллельна плоскости
грани ADDjAp то секущая плоскость пересекает грань
BCCjBj по прямой QF, параллельной прямой ER. Пяти-
угольник ERFQM — искомое сечение. (Точку F можно полу-
чить, проведя RF || MQ.)
б) Решим эту задачу, применяя метод внутреннего про-
ектирования и теоремы о параллельности прямых и плос-
костей.
Пусть Н — точка пересечения диагоналей АС и BD
(рис. 122). Проведя прямую ННХ параллельно ребру ВВГ
(Нх е RQ), построим точку F: F = РН{ п СС1. Точка F — это
точка пересечения секущей плоскости с ребром ССг (поче-
му?). Тогда прямая RF — это прямая, по которой секущая
плоскость пересекает плоскость грани CC^-Dj-D, прямая
QF — это прямая, по которой секущая плоскость пересекает
плоскость грани ВСС1В1.
Так как плоскость АВВг параллельна плоскости CBDp то
секущая плоскость пересекает грань ABBjAj по прямой QM
(М е AjBJ, параллельной прямой FR. Далее, если Е — точка
пересечения прямых МР и ArD19 то эта точка является точ-
кой пересечения секущей плоскости и ребра AjBj (почему?).
Пятиугольник ERFQM — искомое сечение. (Точку Е можно
построить, проведя прямую RE || FQ. Тогда М = РЕ n AjBp)
Задачи на построение сечений многогранников
56. Точки Р, Q и R взяты на рёбрах параллелепипеда
ABCDA-^B^C^D^ следующим образом: точка Р лежит на ребре
СС15 точка Q — на ребре DD}, точка R — на ребре А^. По-
стройте след секущей плоскости PQR на плоскостях:
а) ВССр б) ABC; b)ADDj.
57. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA^B^C^D^
плоскостью PQR, если Р е CClt Q е DDX, R е АХВХ. Задачу ре-
шите: а) методом следов; б) методом внутреннего проектиро-
вания; в) комбинированным методом.
58. Точки Р, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда
ABCDA^B^CyD-i следующим образом: точка Р лежит на гра-
ни CCjDjZ), точка Q — в грани AA^^D, точка R — на ребре
ВВР Постройте сечение параллелепипеда плоскостью PQR:
Дополнения I 171
а) методом внутреннего проектирования; б) комбинирован-
ным методом; в) методом следов.
59. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA^B^C^D^
плоскостью PQR, если точка Р лежит в грани ССХПХР, точка
Q — в грани ВВ1СС1, точка R — на ребре ВВГ
60. Точки Р, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда
АВСРАХВХСХВХ следующим образом: точка Р лежит на диа-
гонали ВХВХ, точка Q — на ребре АВ, точка R — на ребре CCV
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью PQR, если
отношения ВгР : B1D1, AQ : АВ и CR : СС1 имеют следующие
значения: а) 1 : 3, 1 : 3 и 2 : 3; б) 2 : 3, 1 : 2 и 2 : 3; в) 1 : 4, 1 : 2
и 3 : 4; г) 1 : 4, 1 : 3 и 1 : 2; д) 1 : 2, 1 : 2 и 1 : 2; е) 1 : 3, 1 : 4 и
3 : 2.
61. Точки P,QiaR взяты соответственно на рёбрах ВХСХ, ААГ
и АВ параллелепипеда ABCDAlBlC1D1. Постройте следы се-
кущей плоскости PQR на следующих плоскостях: a) AAjD;
б) ААХВ; в) ВВХС; г) АВС; д) АХВХСХ; е) ССХВХ.
62. Точки Р, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда
ABCDAlBlClD1 следующим образом: точка Р лежит в грани
ССХВХР, точка Q — в грани ААХВХР, точка R — на прямой
ВВХ (вне отрезка ВВХ). Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью PQR: а) методом внутреннего проектирования;
б) комбинированным методом; в) методом следов.
63. На рёбрах ВС и АХВХ параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
взяты соответственно точки Р и Q. Постройте сечение парал-
лелепипеда плоскостью, проходящей через прямую CQ па-
раллельно прямой АР: а) комбинированным методом; б) ме-
тодом следов.
64. На рёбрах А1В1 и DD} параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
взяты соответственно точки Р и К, а в гранях ВВ1СХС и
AA^D^D — соответственно точки Q и R. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К па-
раллельно плоскости PQR.
65. На поверхности параллелепипеда ABCDAtBХСХВ>х взяты
точки Р, Q и R следующим образом: точка Р лежит на ди-
агонали СХВ, точка Q — на диагонали AXZ>, а точка R — на
прямой АВ. Постройте сечение параллелепипеда плоско-
172 I Дополнения
стью PQR, если отношения DP : DCX, DQ : DAX и AR : AB
имеют соответственно следующие значения: а) 1 : 2, 1:2,
1 : 2; б) 1 : 2, 1 : 3, 1 : 3; в) 1 : 2, 1 : 3, 1 : 4; г) 1 : 3, 2 : 3, 2 : 3;
д) 1 : 3, 1 : 2, 2 : 3; е) 1 : 3, 1 : 2, 2 : 1.
66. Точка Р взята на продолжении ребра ААг параллелепи-
педа ABCDA1B1C1D1, а точки Q и R — соответственно на рёб-
рах и ВС. Постройте линию пересечения плоскости
PQR с плоскостью BCrD, если отношения АР: АХР,
C]Q : Z>1Q и BR : CR принимают соответственно значения:
а) 1:2, 2:3, 3:2; 6)2:3, 1:1, 2:3; в) 2: 5, 2:1, 1:1;
г) 2 : 1, 3 : 2, 1 : 3; д) 3 : 2, 1 : 2, 1 : 2; е) 5 : 1, 1 : 3, 1 : 4.
67. На рёбрах ССг и AtBr параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих рёбер, а
на рёбрах AD, ВВг и C1D1 взяты соответственно точки М, Т и
R. Постройте линию пересечения плоскостей PQD и MTR,
если отношения AM : DM, A}Q : BXQ и CXR : DtR принимают
соответственно следующие значения: а) 1:2, 1:1, 1:1;
6)1:1, 1:1, 2:1; в) 1 : 1, 1:2, 1:1; г) 1 : 3, 1:1, 1:2;
д) 1 : 1, 1 : 3, 2 : 1; е) 2 : 1, 2 : 3, 1 : 1.
68. РАСВ — изображение правильного тетраэдра, точка К —
середина ребра BP. 1) Постройте: а) отрезки КМ и КН, пер-
пендикулярные соответственно рёбрам РА и PC; М е РА,
Н е PC; б) точку пересечения плоскости МКН с прямой РО,
где О — центроид треугольника АВС. 2) Найдите площадь
треугольника МКН.
69. Постройте сечение куба ABCDA^B^C^D^ плоскостью,
проходящей через середины рёбер ААг, ВС и CCY. Найдите
длины сторон сечения, если длина ребра куба равна а.
70. В прямоугольном параллелепипеде АВСВА1В1С1В1 дли-
ны рёбер АВ, ВС и ВВХ пропорциональны числам 3, 2, 1.
Постройте точку пересечения: а) ребра АВ с биссектрисой уг-
ла BBjAj; б) прямой ССХ с биссектрисой угла ВВ^С^.
Дополнения
-f-f о| МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
/ / и УГЛУБЛЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИИ
Настоящий раздел задачника посвящён повторению плани-
метрии в задачах. Заметим, что не ставится цели рассматри-
вать только сложные задачи. Напротив, предлагаются раз-
ные задачи: и простые, и средней, и повышенной трудности.
Курс планиметрии полезно системно повторить путём
решения задач из таких основополагающих её разделов,
как «Треугольники», «Четырёхугольники», «Окружность»,
«Площади».
Прежде чем приступить к решению задачи, постарайтесь
наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуры, о ко-
торых идёт речь.
Алгоритмов решения геометрических задач, как правило,
нет. Удачный же выбор в каждом конкретном случае подхо-
дящей теоремы достигается путём решения достаточно боль-
шого количества задач. Поэтому можно пожелать: хотите
научиться решать задачи — решайте их!
Успешность решения геометрической задачи во многом
зависит от знания теорем и умения их применять. Безуслов-
но, все теоремы важны. Но из них выделяются «рабочие тео-
ремы», которые наиболее активно используются при реше-
нии задач.
Ниже приводятся наиболее полезные, на наш взгляд, «ра-
бочие теоремы».
2.1. «Рабочие теоремы» планиметрии
Теорема 1 (о замечательных точках и линиях в треуголь-
нике)’. а) три медианы треугольника пересекаются в
одной точке (эта точка называется центроидом тре-
угольника) и делятся этой точкой в отношении 2 :1,
считая от вершины (рис. 123); AM: MD = 2 : 1 =>
=> AM : AD = 2:3, MD : AD = 1 : 3;
174 I Дополнения
б) три высоты треугольника пересекаются в од-
ной точке (эта точка называется ортоцентром тре-
угольника) (рис. 124);
в) три биссектрисы треугольника пересекаются в
одной точке (эта точка является центром окружности,
вписанной в данный треугольник) (рис. 125);
г) три серединных перпендикуляра к сторонам
треугольника пересекаются в одной точке (эта точка
является центром окружности, описанной около данного
треугольника) (рис. 126);
д) ортоцентр Н треугольника, его центроид М и
центр О описанной окружности лежат на одной пря-
мой (она называется прямой Эйлера), причём
ОМ : МН =1:2 (рис. 127).
Не можем удержаться, чтобы не привести здесь формули-
ровку не очень рабочей, но зато очень красивой теоремы:
основания высот треугольника, середины его сто-
рон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр
треугольника с его вершинами, лежат на одной
Рис. 126
Рис. 127
Рис. 128
Дополнения I 175
окружности (она называется окружностью Эйлера или
окружностью девяти точек) (рис. 128); центр этой
окружности совпадает с серединой отрезка, соеди-
няющего ортоцентр и центр описанной окружнос-
ти; радиус её равен половине радиуса описанной ок-
ружности.
Теорема 2 (теорема Менелая; названа по имени древне-
греческого учёного Менелая (I в.), доказавшего её для сфери-
ческого треугольника). Пусть Вги С1 — три точки,
лежащие соответственно на сторонах ВС, СА и АВ
треугольника АВС или на их продолжениях (рис. 129).
Точки Alf Bt и Сг тогда и только тогда лежат на од-
ной прямой, если:
АСг .|ВЛХ| . СВг|
СгВ ВгЛ|
Теорема 3 (теорема Чевы; названа по имени доказавшего
её в 1678 г. итальянского учёного Джованни Чева (1648—
1734)). Пусть А1,В1иС1 — три точки, лежащие соот-
ветственно на сторонах ВС, СА и АВ треугольника
АВС или на их продолжениях (рис. 130 а, б). Для того
чтобы, прямые AAlr ВВг и ССг пересекались в одной
точке или были все параллельны, необходимо и до-
статочно, чтобы:
Рис. 129
Рис. 130
176 I Дополнения
Рис. 131
Теорема 4. Биссектриса внутреннего угла треуголь-
ника делит противоположную сторону на части,
пропорциональные сторонам этого треугольника, за-
ключающим данный угол: BD : DC = АВ : АС (рис. 131).
Теорема 5. Средние линии треугольника делят его на
четыре равных треугольника (рис. 132).
Теорема 6. Середины сторон выпуклого четырёх-
угольника являются вершинами параллелограмма
(рис. 133).
Теорема 7 (о средней линии трапеции):
а) средняя линия трапеции равна полусумме её ос-
нований;
б) средняя линия трапеции (и только она) делит
пополам любой отрезок с концами на основаниях
трапеции.
Теорема 8 (признак прямоугольного треугольника).
Если в треугольнике одна из медиан равна полови-
не стороны, к которой она проведена, то этот тре-
угольник прямоугольный.
Теорема 9. В прямоугольном треугольнике:
а) высота, проведённая из вершины прямого угла
на гипотенузу, является средней пропорциональной
величиной между проекциями катетов на гипотену-
зу (рис. 134): CD2 = AD • BD;
б) каждый катет является
средней пропорциональной вели-
чиной между гипотенузой и проек-
цией этого катета на гипотенузу
(рис. 134):
AC2 = AB-AD; BC2 = AB-BD.
Дополнения I 177
Теорема 10. Если R и г — радиусы соответственно
описанной и вписанной окружностей прямоугольно-
го треугольника, катеты которого равны аиЬ,а гипо-
а + Ъ — с г,. а + Ъ
тенуза — с, то г = , R + г — —— .
Теорема 11. Сумма квадратов диагоналей параллело-
грамма равна сумме квадратов его сторон.
Теорема 12 {теорема синусов). Во всяком треугольнике
АВС со сторонами ВС = а, С А = Ь, АВ = с выполняется
соотношение .с „ = 2R, где R — радиус
sin A sin В sin С г
описанной окружности.
Теорема 13 {теорема косинусов). Во всяком треугольни-
ке АВС со сторонами ВС — а, СА = Ь, АВ = с выполня-
ется соотношение
а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos А.
Теорема 14 {об измерении углов, связанных с окружно-
стью)’.
а) центральный угол измеряется дугой, на кото-
рую он опирается (рис. 135);
б) вписанный угол измеряется половиной дуги, на
которую он опирается (рис. 135);
в) угол с вершиной внутри круга измеряется полу-
суммой дуг, заключённых между его сторонами и их
продолжениями за вершину угла (рис. 136);
г) угол с вершиной вне круга (рис. 137) измеряется
полуразностью дуг, заключённых между его сторо-
нами (предполагается, что каждая из сторон угла пересека-
ется с данной окружностью);
Рис. 135
Рис. 136
Рис. 137
178 I Дополнения
д) угол между касательной и хордой (рис. 138) из-
меряется половиной дуги, заключённой между ними.
Теорема 15 (о свойствах касательных, секущих и хорд ок-
ружности)'.
а) радиус, проведённый в точку касания, перпенди-
кулярен касательной (рис. 139);
б) если из точки проведены две касательные к
окружности, то длины отрезков касательных от
этой точки до точек касания равны и центр окруж-
ности лежит на биссектрисе угла между ними
(рис. 140);
в) если из точки А проведены к окружности каса-
тельная АВ и секущая АС, то АС • AD = АВ2 (рис. 141);
г) если хорды АВ и CD пересекаются в точке М
(рис. 142), то МА • МВ = МС • MD;
д) если из точки М проведены к окружности две се-
кущие МАВ и MCD (рис. 143), то МА • МВ = МС • MD.
Теорема 16 (теорема Птолемея; названа по имени дока-
завшего её древнегреческого учёного Птолемея Клавдия
(II в.)). Во всяком выпуклом четырёхугольнике, впи-
Дополнения I 179
Рис. 144 Рис. 145 Рис. 146
санном в окружность, произведение длин диагоналей
равно сумме произведений длин его противополож-
ных сторон, т. е. имеет место равенство (рис. 144):
АС • BD = АВ -CD + BC- AD.
Теорема 17 (об окружности и четырёхугольнике)'
а) около выпуклого четырёхугольника можно опи-
сать окружность (рис. 145) тогда и только тогда,
когда сумма величин его противоположных углов
равна 180°:
Z А + Z С = ZB + Z £> = 180°;
б) в выпуклый четырёхугольник можно вписать
окружность (рис. 146) тогда и только тогда, когда
равны суммы длин его противоположных сторон:
а + с = Ь + d;
в) из всех параллелограммов только около прямо-
угольника можно описать окружность',
г) около трапеции можно описать окружность
тогда и только тогда, когда она равнобедренная',
д) если для четырёх точек плоскости А, В, М и К
выполняется одно из следующих двух условий:
• точки М и К расположены по одну сторону от прямой
АВ и при этом Z AM В = Z АКБ;
• точки М и К расположены по разные стороны от прямой
АВ и при этом Z AM В + Z АКБ = 180°,
то точки А, В, М и К лежат на одной окружности.
(Эту формулировку мы взяли из замечательного учебника
И. Ф. Шарыгина «Геометрия 7—9». М.: Дрофа, 2013.)
180 I Дополнения
Теорема 18 (о площади треугольника):
а) площадь треугольника равна половине произве-
дения основания на высоту (рис. 147):
S= ^ah;
б) площадь треугольника равна половине произве-
дения двух его сторон на синус угла между ними
(рис. 148):
S = - аЬ sin С;
в) площадь треугольника равна половине произве-
дения периметра треугольника на радиус вписанной
в него окружности (рис. 149):
S = | (а + b + с) • г;
и
г) площадь треугольника со сторонами а, Ь, с вы-
числяется по формуле {формула Герона):
S= Jp{p - а){р - Ь){р - с),
_ а _ „ _ а _ Ъ + с .
где р =-------;
д) площадь треугольника со сторонами а, Ъ, с вы-
числяется по формуле
а _ аЬс
S 4Я ’
где R — радиус описанного круга:
е) отношение площадей двух подобных треуголь-
ников равно квадрату коэффициента подобия этих
треугольников:
Рис. 147
Рис. 148
Рис. 149
Дополнения I 181
Рис. 152
ж) отношение площадей двух треугольников,
имеющих общее основание, равно отношению высот
этих треугольников (рис. 150):
«д авс : Sд abd = СЕ • DK;
з) отношение площадей двух треугольников, имею-
щих равные высоты, равно отношению длин основа-
ний этих треугольников (рис. 151):
-8д лес • «д вес = АЕ : BE',
и) отношение площадей двух треугольников,
имеющих равный угол, равно отношению произведе-
ний сторон, содержащих этот угол:
8 авс _ АВ • АС Д = / Д 1
Теорема 19 (о площади четырёхугольника}'.
а) площадь выпуклого четырёхугольника равна по-
ловине произведения длин его диагоналей на синус уг-
ла между ними (рис. 152):
а 1
S = - тп sin (f;
б) площадь описанного четырёх-
угольника равна половине произве-
дения его периметра на радиус впи-
санного круга (рис. 153):
S = i (а + Ы- с 4- d) • г;
£
182 I Дополнения
1<Р
Рис. 154
в) площадь трапеции равна
произведению полусуммы её ос-
нований на высоту (произведе-
нию средней линии трапеции на вы-
соту);
г) площадь параллелограмма
равна произведению длин двух
его сторон на синус угла между
ними (рис. 154):
S = ab sin <р;
д) площадь ромба равна половине произведения
длин его диагоналей.
Теорема 20. Если точка М — середина отрезка АВ,
О — произвольная точка (рис. 155, а), то справедливо
векторное равенство
ОМ = i(OA + ОВ).
&
Теорема 21. Если точка М — центроид треугольника
АВС, О — произвольная точка (рис. 155, б), то спра-
ведливо векторное равенство
ОМ = 1(ОА +ОВ + ОС).
О
Дополнения I 183
2.2.Задачи на построение
при помощи циркуля и линейки
71. Постройте середину отрезка.
72. Постройте биссектрису угла.
73. Постройте прямую, проходящую через данную точку и
перпендикулярную данной прямой.
74. Постройте прямую, проходящую через данную точку и
параллельную данной прямой.
75. Постройте треугольник по:
а) стороне и проведённым к ней медиане и высоте;
б) двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих
сторон;
в) двум сторонам и медиане, проведённой к третьей сто-
роне;
г) двум медианам и стороне (два случая);
д) трём медианам;
е) стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе этого
угла;
ж) стороне и двум высотам;
з) трём точкам, являющимся серединами его сторон.
76. Постройте прямоугольный треугольник по:
а) гипотенузе и катету;
б) катету и высоте, опущенной на гипотенузу;
в) высоте и биссектрисе, проведённым из вершины прямо-
го угла;
г) сумме катетов и гипотенузе;
д) катету и сумме гипотенузы с другим катетом.
77. Используя подобие, постройте треугольник по:
а) двум углам и биссектрисе третьего угла;
б) двум углам и радиусу описанной окружности;
в) двум углам и сумме высот.
78. Дан отрезок а. Постройте отрезки, длины которых выра-
жены формулами:
а) За; б) у а; в)а-^3.
184 I Дополнения
79. Даны два отрезка а и Ь (а > Ь). Постройте отрезки, длины
которых выражены формулами:
а) За + 56; д) Ja • b ;
б) Ja2 + 4b2 ; е) *ja2 - а • b ;
в) Ja2 + 2b2 ; ж) — ;
а
г) Ja2 - b2 ; 3) -г- •
о
80. Постройте прямоугольник с данной диагональю, равно-
великий данному квадрату.
81. Постройте трапецию по:
а) четырём сторонам;
б) двум основаниям и двум диагоналям.
82. Постройте центр окружности, описанной около данного
треугольника.
83. Постройте центр окружности, вписанной в данный тре-
угольник.
84. Постройте центры вневписанных окружностей для дан-
ного треугольника.
85. К данной окружности проведите касательную, проходя-
щую через данную точку (все случаи).
86. К данным двум окружностям проведите все общие каса-
тельные.
87. В данный угол впишите окружность данного радиуса.
88. В данный угол впишите окружность, проходящую через
данную точку, лежащую внутри угла.
89. Через данную точку, лежащую внутри данного угла,
проведите отрезок с концами на сторонах этого угла и сере-
диной в данной точке.
90. Через данную точку проведите прямую, делящую на две
равные фигуры:
а) данный круг;
б) данный параллелограмм.
Дополнения I 185
91. Постройте образ точки А при:
а) центральной симметрии относительно данной точки В;
б) осевой симметрии относительно данной прямой Ь;
в) повороте на угол 45° вокруг данной точки О;
г) параллельном переносе на вектор МР, заданный точка-
ми М и Р;
д) гомотетии с данным центром О и коэффициентом 3;
е) гомотетии с данным центром О и коэффициентом -0,5.
92. Постройте образ прямой а при:
а) центральной симметрии относительно данной точки В;
б) осевой симметрии относительно данной прямой Ь;
в) повороте на угол 60° вокруг данной точки О;
г) параллельном переносе на вектор МР, заданный точка-
ми М и Р;
д) гомотетии с данным центром О и коэффициентом
2
7 '
93. Постройте образ данной окружности при:
а) центральной симметрии относительно данной точки В;
б) осевой симметрии относительно данной прямой Ь;
в) повороте на угол 30° вокруг данной точки О;
г) параллельном переносе на вектор МР, заданный точка-
ми М и Р;
з
д) гомотетии с данным центром О и коэффициентом - .
ЗАДАЧА 94. Даны две прямые р и q и не принадлежащая им
точка А. Построить правильный треугольник с вершиной А,
чтобы две оставшиеся его вершины принадлежали по одной
данным прямым.
Решение.
1. Анализ. Пусть А АВС — искомый (рис. 156), т. е. А АВС —
правильный и В е р, С е q.
Треугольник АВС будет построен, если построены его вер-
шины В е р, С е q (третья вершина треугольника находится
в данной точке А). Но так как треугольник АВС равносто-
ронний, то АВ = АС и Z С АВ = 60°. Это означает, что при по-
вороте /?д0° вокруг точки А на угол 60° точка С отображается
на точку В (Лд°° (С) = В), а при повороте 7?/°° вокруг точки А
186 I Дополнения
на угол -60° точка В отображается на точку С (ВЛ60° (В) = С).
Поэтому для построения треугольника АВС достаточно по-
строить одну из вершин: В или С.
Итак, треугольник АВС будет построен, если построим,
например, точку В.
Так как вершина В треугольника должна принадлежать
прямой р, а вершина С — прямой q и В = 7?®°° (С), то точка В
является точкой пересечения прямых pnq'= Яд0 (<?). Поэто-
му для построения точки В достаточно построить прямую
q' — образ прямой q при повороте ВД°°.
Схематически рассуждения анализа можно изобразить
так:
Д АВС <— В и С <— В или С <— В = р r q' q' = ЯД°° (q).
В <=р,
В = /?6О° (С), С е q,
C=R-a&0°{B) R^ (С) = В,\ => В = р r\q'.
R^{q) = q'
2. Построение. Строим: l)g' = R^° (q); 2) В = p n q'; 3) C =
= 2?a60° (B); 4) Д ABC — искомый.
3. Доказательство. B=pr\q'=>Beq',Вер. Докажем, что
точка С = Я/0’ (В) принадлежит прямой q.
Дополнения I 187
Поворот jR®°° отображает прямую q на прямую q' = (д)
взаимно однозначно (биективно). Следовательно, на прямой
q найдётся единственная (!) точка, которая отображается на
точку В е q' при повороте /?Д°°. Этой точкой является точ-
ка С = (В). А так как В е q', то С е q = /?Д°° (д').
4. Исследование. Анализируя каждый шаг построения, заме-
чаем, что внимания заслуживает вопрос о существовании
точки В пересечения прямых р и q': В = р n q'.
С одной стороны, угол между прямой и её образом при по-
вороте равен углу поворота, т. е. (д; д') — 60°. С другой сторо-
ны, точка В пересечения прямых р и д' существует, если
д' Ц р и д' р. Это возможно, когда (р; д) 60°.
Кроме того, можно построить прямую д{ — образ прямой
д при повороте Вд60° (рис. 156), которая пересекает прямую
р в некоторой точке Br = р с\ q{. Тогда точки А, Вг и =
= .КДО0 (BJ являются вершинами другого треугольника-реше-
ния.
Таким образом, если (р; q) 60°, то задача имеет два ре-
шения.
Если же (р; д) = 60°, то:
а) задача имеет одно решение, когда расстояния от точки
А до прямых р и q различны;
б) задача имеет одно решение, когда точка А лежит на
биссектрисе острого угла между прямыми р и д, и два реше-
ния, когда точка А лежит на биссектрисе тупого угла между
рид.
95. Постройте отрезок, равный и параллельный данному от-
резку АВ, чтобы его концы принадлежали данным прямой и
окружности.
96. Даны острый угол и точка М внутри его. Постройте на
одной стороне угла такую точку А, что расстояние от точки
А до другой стороны угла равно расстоянию AM.
188 I Дополнения
97. Постройте квадрат, чтобы три его вершины по одной
принадлежали трём данным прямым.
98. Даны две прямые и окружность. Постройте окружность,
касающуюся данных прямых и окружности.
99. Постройте окружность, касающуюся данной окружнос-
ти в данной точке А и данной прямой (окружность и прямая
не пересекаются).
100. Постройте треугольник, если даны его сторона, приле-
жащий к ней угол и сумма двух других сторон.
101. В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы две
его вершины лежали на одной стороне, а две другие — по од-
ной на каждой из остальных сторон.
102. В данную окружность впишите треугольник, подобный
данному.
103. В одной полуплоскости относительно прямой с лежат
точки А и В на разных расстояниях от с. Постройте на пря-
мой с такую точку М, чтобы:
а) длина ломаной АМВ (AM + МВ) была наименьшей;
б) точка М лежала между проекциями A j и Вх точек А и В
на прямую с и угол АМА} был равен углу ВМВ^,
в) точка М лежала между проекциями Aj и Вх точек А и В
на прямую с и угол АМА} был вдвое больше угла ВМВР
104. Внутри данного острого угла дана произвольная точка
М. Постройте на сторонах этого угла такие точки А и В, что-
бы периметр треугольника МАВ был наименьшим.
105. На числовой прямой отмечены точки А и В, координа-
ты которых соответственно равны 1 и л/2 . Постройте на этой
прямой точку с координатой 0.
2.3. Тематическая подборка задач
на вычисление и доказательство
Треугольник
ЗАДАЧА 106. Две стороны треугольника равны соответствен-
но 6 и 8. Медианы, проведённые к этим сторонам, пересе-
каются под прямым углом. Найти третью сторону треуголь-
ника.
Дополнения I 189
Решение. Пусть AC = 6, ВС = 8 и медианы АЕ и BD пересека-
ются под прямым углом в точке М (рис. 157). Найдём длину
стороны АВ.
Так как М — точка пересечения медиан АЕ и BD тре-
угольника АВС, то ВМ : MD = AM : ME = 2:1. Поэтому, ес-
ли ME = a, MD = Ь, то AM = 2а, ВМ = 2Ь.
По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках
AMD и ВМЕ имеем: AM2 + DM2 = AD2, ЕМ2 + ВМ2 = BE2.
Учитывая, что AD = ^АС = 3, BE = i ВС = 4, получаем
14а2 + Ь2 = 9,
la2 + 4b2 = 16.
Сложив эти равенства, находим а2 + Ь2 = 5 = DE2, откуда
DE = л/5 . Так как DE — средняя линия треугольника АВС,
то АВ = 2DE = 2j§ .
Ответ: 2 Тб .
107. Расстояния от точки М, лежащей внутри треугольника
АВС, до его сторон АС и ВС соответственно равны 2 см и
4 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если
АВ = 10 см, ВС =17 см, АС = 21 см.
ЗАДАЧА 108. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС)
на стороне ВС взята точка М так, что ВМ : МС = 1 : 4. В ка-
ком отношении прямая AM делит медиану BE треугольника
АВС, считая от вершины В?
Решение. Проведём EF || AM (рис. 158), F & МС. Тогда EF —
средняя линия треугольника АМС => F — середина МС. По-
этому ВМ : МС = 1:4, MF : МС =1:2, откуда ВМ : MF =
Рис. 157
Рис. 158
190 I Дополнения
= 1:2, значит, ВМ : BF =1:3. По теореме Фалеса ВК : BE =
= ВМ : BF =1:3, следовательно, ВК : КЕ = 1:2.
Ответ: 1:2.
109. Найдите третью сторону остроугольного треугольника,
если две его стороны равны а и b и известно, что медианы
этих сторон пересекаются под прямым углом.
110. В остроугольном треугольнике АВС сторона АВ = 8,
ВС = 6. Высоты AL и СК пересекаются в точке Р. Через точ-
ки А и Р проведены прямые, перпендикулярные прямой KL
и пересекающие прямую ВС соответственно в точках Н иТ.
Найдите длину отрезка TH.
111. В треугольнике АВС проведены биссектрисы ВМ и АЕ,
пересекающиеся в точке О. При этом АВ = ВМ, ВО = 2 • ОМ
и периметр треугольника АВМ равен 14. Найдите АВ.
112. Найдите отношение суммы квадратов длин сторон тре-
угольника к сумме квадратов длин его медиан.
Прямоугольный треугольник
113. Медианы, проведённые из вершин острых углов прямо-
угольного треугольника, равны 2 и 3. Найдите площадь это-
го треугольника.
114. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ
проведены медиана СМ и высота СН. Площадь треугольника
АВС равна 10 см2, а треугольника СНМ — 3 см2. Найдите
длину гипотенузы.
115. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12.
Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис
и точкой пересечения медиан этого треугольника.
116. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а
острый угол равен р. Найдите длину биссектрисы прямого
угла треугольника.
Теорема Менелая
117. В треугольнике АВС отрезки AD и ВМ, проведённые
из вершин АиВ соответственно к сторонам ВС и АС, пересе-
каясь в точке Р, делятся в отношении АР: PD = 3:2 и
ВР : РМ = 4:5. В каком отношении точки D и М делят сто-
роны треугольника, считая от С?
Дополнения I 191
118. В треугольнике АВС точка D делит сторону ВС в отно-
шении BD : DC = 3:4. Точка М делит сторону АС в отноше-
нии AM : МС = 2:5. Отрезки AD и ВМ пересекаются в точке
К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь тре-
угольника BKD равна 45.
119. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отно-
шении АК : КВ = 1 : 2, а точка Р делит сторону ВС в отноше-
нии СР : РВ = 2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке
М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь тре-
угольника ВМС равна 4.
120. Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в от-
ношении АК: КВ = 2:1, а сторону ВС — в отношении
ВР : PC = 3:1. Медиана ВВг пересекает прямую КР в точке
М. При этом площадь четырёхугольника В-^МРС равна 17.
Найдите площадь треугольника АВС.
121. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и
Т, так что АР < АТ. Прямые ВР и ВТ делят медиану AM на
три равные части. Найдите АС, если РТ = 3.
122. В треугольнике АВС площади 18 проведены отрезки
ВМ и АК, причём точки М и К делят соответственно сторо-
ны АС и ВС в отношении AM : МС = 3 : 4 и ВК : КС = 2:7.
Найдите площадь четырёхугольника СМРК, где Р — точка
пересечения отрезков ВМ и АК.
123. На сторонах треугольника АВС взяты точки М, К и Р
такие, что AM : МВ = ВК : КС = СР : РА = 2:1. Отрезки СМ
и ВР пересекаются в точке Аг, АК и СМ — в точке Вг, АК
и ВР — в точке Ср Найдите площадь треугольника АВС, ес-
ли площадь треугольника А1В1С1 равна 1.
Треугольник и окружность
124. В треугольнике АВС известны стороны: ВС = а, СА = Ь,
АВ = с. Найдите отрезки сторон, на которые они делятся точ-
ками касания с вписанной окружностью.
125. Докажите, что в треугольнике со сторонами а, b и с вы-
сота ha к стороне а вычисляется по формуле ha = , где R —
& XX
радиус описанной окружности.
192 I Дополнения
126. В окружность радиуса 32,5 см вписан треугольник, две
стороны которого равны 25 см и 39 см. Найдите третью сто-
рону треугольника.
127. В треугольнике АВС площади S вписана окружность
радиуса г, которая касается сторон АС и ВС соответственно в
точках DhE таких, что AD : DC = 2 : 3 и BE : ЕС = 5:6. Най-
дите длину стороны АС.
128. На основании АС равнобедренного треугольника АВС
как на диаметре построена окружность, которая пересекает
сторону АВ в точке D, а ВС — в точке Е. Определите сторону
АВ, если AD = 30 см, а хорда DE равна 14 см.
129. Пусть основание равнобедренного треугольника равно
а, боковая сторона равна Ъ, высота, опущенная на основание,
равна h. Выразите радиус описанной около этого треуголь-
ника окружности через любые две из трёх величин: a,bn h.
130. В прямоугольный треугольник, периметр которого ра-
вен 15, вписана окружность радиуса 1. Найдите стороны это-
го треугольника.
131. На основании АС равнобедренного треугольника АВС
расположена точка D, при этом AD = a, DC = Ь. Окружности,
вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются прямой
BD в точках Е и Н, а прямой АС — соответственно в точках
К и М. Найдите длину отрезка ЕН.
132. Около равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС)
с основанием АС = 6 и боковой стороной АВ = 5 описана ок-
ружность. Найдите радиус окружности и расстояния от вер-
шин А и В до касательной, проведённой через точку С.
ЗАДАЧА 133. В равнобедренный треуголь-
ник АВС (АВ = ВС) вписана окружность,
которая касается сторон АС и ВС соответ-
ственно в точках D н Е; проведены отрез-
ки DF и ЕК, параллельные стороне АВ
(F & ВС, К е АС). Найти длину стороны
ВС, если EF = a, KD = Ь.
Решение. Пусть CD = х. Тогда СК = CD —
- KD = х - b, СЕ = CD = х (как отрезки
касательных), CF = СЕ + EF = х + а
(рис. 159).
Дополнения I 193
Из подобия треугольников СКЕ и CDF следует СК : CD =
= СЕ : CF или (х - Ь): х = х : (х + а), откуда находим:
х = аЬ . Тогда CF = , + а = а..- . А так как DF || АВ и
а - b а - b а - о
точка D — середина АС, то DF — средняя линия треугольни-
2 /7 2
ка АВС. Значит, F — середина ВС и ВС = 2CF =---- .
а и
гч 2а2
Ответ:-----.
а - о
134. В равнобедренный треугольник АВС вписана окруж-
ность, касающаяся боковых сторон треугольника в точках К
и Е. Найдите периметр треугольника АВС, если хорда КЕ
равна 12 см, а отрезок касательной, заключённый между бо-
ковыми сторонами и параллельный основанию, равен 10 см.
135. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана
окружность и к окружности проведена касательная, парал-
лельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС соот-
ветственно в точках D и Е. Найдите длину отрезка DE и ра-
диус окружности, описанной около четырёхугольника
ADEC, если AD = 15 см, BD = 30 см.
136. Докажите, что в непрямоугольном треугольнике АВС
расстояние от ортоцентра до вершины В вдвое больше рас-
стояния от центра описанной окружности до стороны АС.
137. AD и СЕ — высоты остроугольного треугольника АВС,
периметр которого равен 15 см. Периметр треугольника
BDE равен 9 см, а радиус окружности, описанной около не-
го, равен 1,8 см. Найдите длину АС.
138. Из вершины В треугольника АВС проведены биссект-
рисы внутреннего и внешнего углов треугольника, пересекаю-
щие сторону АС и её продолжение в точках D и Е соответ-
ственно. Найдите радиус окружности, описанной около тре-
угольника BDE, если известно, что АС = а и АВ : ВС = 2:3.
139. Боковая сторона и основание равнобедренного тре-
угольника равны соответственно 50 см и 60 см. Найдите рас-
стояние между точкой пересечения высот треугольника и
центром вписанной в него окружности.
194 I Дополнения
140. BD и АЕ — высоты равнобедренного треугольника АВС
(АВ = ВС). Радиусы окружностей, вписанных в треугольни-
ки ABD и АЕС, равны соответственно 5 см и 6 см. Найдите
радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
141. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 см и
50 см. Найдите радиус окружности, которая касается мень-
шего катета и проходит через середины двух других сторон.
142. Окружность радиуса R проходит через вершину А рав-
нобедренного треугольника АВС, касается основания ВС в
точке В и пересекает АС в точке К. Найдите длину боковой
стороны, если КС = ЗАК.
143. Сторона треугольника равна 48 см, а высота, проведён-
ная к этой стороне, равна 8,5 см. Найдите расстояние от
центра окружности, вписанной в треугольник, до вершины,
противолежащей данной стороне, если радиус вписанной ок-
ружности равен 4 см.
144. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С пря-
мого угла проведена высота СК. Радиусы окружностей, впи-
санных в треугольники АСК и ВСК, равны соответственно
и г2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
АВС.
145. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С пря-
мого угла проведена высота СК. Радиусы окружностей, впи-
санных в треугольники АВС, АСК и ВСК, равны соответ-
ственно г, и г2. Найдите длину высоты СК.
146. В треугольнике АВС сторона АВ = 2, ВС = 3, С А = 4.
Окружность проходит через вершины А и С, середину сторо-
ны АВ и пересекает сторону ВС. Найдите радиус этой окруж-
ности.
147. В треугольник со сторонами 3; 5 и 6 вписана окруж-
ность. Найдите отношение площади данного треугольника к
площади треугольника с вершинами в точках касания.
148. В треугольник с углами 42° и 84° вписана окружность.
Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания.
149. В треугольник вписана окружность. Найдите углы это-
го треугольника, если углы треугольника с вершинами в
точках касания 68° и 50°.
Дополнения I 195
150. В остроугольном треугольнике АВС (АВ > ВС) проведе-
ны высоты АТ и CM; BN — диаметр окружности, описанной
около треугольника АВС. Известно, что величина острого уг-
ла между высотами АТ и СМ равна 45°, АС = 4. Найдите пло-
щадь четырёхугольника NMBT.
151. В треугольнике АВС угол ВАС равен 75°, АВ = ,
АС — л/2 . На стороне ВС выбрана точка М так, что угол ВАМ
равен 30°. Прямая AM пересекает окружность, описанную
около треугольника, в точке N. Найдите длину AN.
152. Продолжение медианы треугольника АВС, проведён-
ной из вершины А, пересекает описанную около этого тре-
угольника окружность в точке D. Найдите длину отрезка
ВС, если длина каждой из хорд АС и DC равна 1.
153. Через точку D основания АВ равнобедренного треуголь-
ника АВС проведена прямая CD, пересекающая описанную
около этого треугольника окружность в точке Е. Найдите
длину отрезка АС, если СЕ = 6 и DE = DC.
154. В треугольнике АВС сторона АВ = 6, ВС =16. Центр ок-
ружности, проведённой через вершину В и середины сторон
АВ и АС, лежит на биссектрисе угла С. Найдите АС.
155. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты
ААг, ВВг и CCt. Найдите величину тупого угла, образованно-
го при пересечении ВВХ с биссектрисой АХР треугольника
А1В1С1, если величина угла АСВ равна 23°.
156. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты
ААг, ВВ1 и ССг, пересекающиеся в точке К. Найдите пло-
щадь круга, вписанного в треугольник А1В1С1, если расстоя-
ние от точки К до прямой АгСг равно 5.
Площадь треугольника
157. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 13 см,
АС = 15 см и длина медианы AM равна 7 см.
158. В треугольнике АВС отношения сторон АВ : ВС : СА =
= 5:7:9; ВР и СМ — биссектрисы, К — середина ВС. Най-
дите отношение площадей треугольников АВС и РМК.
196 I Дополнения
159. Площадь прямоугольного треугольника равна 60 дм2,
а периметр равен 40 дм. Найдите катеты треугольника.
160. Точки К и М расположены соответственно на стороне
ВС и высоте ВН остроугольного треугольника АВС так, что
треугольник АКМ является равносторонним. Найдите пло-
щадь треугольника АКМ, если известно, что АН = 3,
НС = , СК : КВ = 1 : 10.
Л
161. В треугольнике АВС отношения сторон АВ : ВС : С А =
= 2:3:4; АК и ВР — биссектрисы; М — середина АВ. Най-
дите отношение площадей треугольников АВС и КМР.
162. Найдите углы треугольника, если известно, что пло-
щадь S этого треугольника выражается через длины а и b его
сторон формулой S = i(a2 + Ь2).
163. Внутри прямоугольного треугольника АВС (угол В —
прямой) взята точка D так, что площади треугольников ABD
и BDC соответственно в 3 и 4 раза меньше площади треуголь-
ника АВС. Найдите длину отрезка BD, если AD = a, DC = с.
164. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты соот-
ветственно точки К и Р так, что АК : КВ = 1:2, СР : РВ =
= 2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке Е. Найдите
площадь треугольника АВС, если площадь треугольника
ВЕС равна 4.
165. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС
лежит точка N. На прямой АВ выбрана точка Р так, что В ле-
жит между N и Р, а угол NCP — прямой. Найдите площадь
треугольника NBC, если площади треугольников АВС и
NCP равны соответственно а и Ь, а угол АСР равен 150°.
166. В треугольнике АВС сторона АС = 5, АВ + ВС = 7, угол
ВАС равен arccos 0,8. Найдите площадь треугольника АВС.
167. Найдите площадь треугольника, если его медианы рав-
ны 5; 4 и »/17 .
168. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС с острым углом
при вершине В взяты точки Р и М, причём Р — середина сто-
Дополнения I 197
роны АВ. Известно, что АВ = 4, ВС = 5, ВМ = 3. Найдите
7 715
длину отрезка РМ, если площадь треугольника АВС на ——
больше площади треугольника РВМ.
Подобие треугольников
ЗАДАЧА 169. В треугольник АВС
вписан параллелограмм ADEF
так, что угол А у них общий,
а вершина Е лежит на стороне
ВС. Площадь параллелограмма
равна 36 см2, а треугольника
BDE — 24 см2. Найти площадь
треугольника АВС.
Н F
Рис. 160
Решение. Обозначим площади
треугольников ABC, DBE, DFE соответственно S, S2,
а их высоты — ВН = h, ВК = йр FL = h2 (рис. 160).
Из подобия треугольников АВС и DBE (DE || АС) следует,
что отношение площадей этих треугольников равно квадра-
S f .. h
ту отношения их высот: = — . Найдем отношение — .
о । \ Л |/
Треугольники DBE и DFE имеют общее основание DE, по-
этому отношение Sj : S2 площадей этих треугольников равно
отношению : h2 их высот: Sx'. S2 — hx'. h2.
Учитывая, что Sx = 24, S2 = S,DFE = | SADEF = 18, получа-
Q
ем 24 : 18 = hx : h2, значит, h2 = - hv Поэтому h = ВН = BK +
+ КН = Л, + h.9 = h. + h. = h.. Следовательно, Д = -? • Тог-
1 z 1 4 1 4 1 hy 4
да S : S. = 49 : 16, откуда S = S, = • 24 = 73,5 (cm2).
lb lo
Ответ: 73,5 см2.
170. Пусть ААр ВВ1 — высоты треугольника АВС. Докажи-
те, что треугольник АгВгС подобен треугольнику АВС. Чему
равен коэффициент подобия?
198 I Дополнения
171. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты
AM и ВК. Найдите площадь треугольника СМК, если пло-
щадь треугольника АВС равна S, а величина угла АСВ — р.
172. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка Т и че-
рез неё проведены прямые ТМ и ТР, параллельные соответ-
ственно прямым АС и АВ (М g АВ; Р е АС). Площадь тре-
угольника ВМТ равна а площадь треугольника ТРС —
S2. Найдите: а) площадь треугольника АВС; б) площадь па-
раллелограмма АМТР.
173. Внутри треугольника АВС взята точка М, через кото-
рую проведены прямые, параллельные всем его сторонам.
Площади трёх образовавшихся треугольников с общей вер-
шиной М равны Sp 52и S3. Найдите площадь треугольника
АВС.
Параллелограмм
174. Найдите стороны параллелограмма, диагонали которо-
го равны 50 см и 78 см, а площадь — 1680 см2.
175. Из вершины тупого угла параллелограмма опущены
высоты на его стороны, расстояние между основаниями ко-
торых равно 52 см. Найдите стороны параллелограмма, если
его высоты равны 56 см и 60 см.
176. В параллелограмме со сторонами а и b (а > Ь) проведены
биссектрисы внутренних углов. Найдите длины диагоналей
четырёхугольника, вершинами которого служат точки пере-
сечения биссектрис.
177. Из вершины В параллелограмма ABCD проведены его
высоты ВК и ВН. Известны длины отрезков: КН = a, BD = Ь.
Найдите расстояние от вершины В до точки пересечения вы-
сот треугольника ВКН.
Ромб, прямоугольник, квадрат
178. ABCD — прямоугольник, в котором АВ = 1, ВС — 2.
На сторонах ВС и AD взяты точки М и Р так, что четырёх-
угольник MBPD — ромб. Найдите сторону ромба.
Дополнения I 199
179. Стороны прямоугольника ABCD равны соответственно
АВ = 11 см, ВС = 7 см. Биссектрисы угловА и В пересекают-
ся в точке М, а биссектрисы углов С и D — в точке К. Найди-
те МК.
180. Высота ВК ромба ABCD, опущенная на сторону AD, пе-
ресекает диагональ АС в точке М. Найдите длину МС, если
известно, что ВК = 4; АК : KD = 1:2.
181. Окружность, центр которой лежит вне квадрата ABCD,
проходит через точки В и С. Найдите угол между касатель-
ными к окружности, проведёнными из точки D, если отно-
шение длины стороны квадрата к диаметру окружности рав-
но 0,6.
182. Точки М, К, Р, Q — середины сторон соответственно
АВ, ВС, CD и DA ромба ABCD. Найдите площадь фигуры,
являющейся пересечением четырёхугольников AKCQ и
BPDM, если площадь ромба равна 100 см2.
183. Около круга радиуса R описаны квадрат и равносторон-
ний треугольник, причём одна из сторон квадрата лежит на
стороне треугольника. Найдите площадь общей части тре-
угольника и квадрата.
184. В ромбе ABCD со стороной 6 и углом BAD, равным 60°,
на стороне ВС взята точка Е так, что СЕ = 2. Найдите рас-
стояние от точки Е до точки пересечения диагоналей ромба.
Трапеция
185. В равнобедренной трапеции большее основание равно а,
боковая сторона равна 4, угол при основании 60°. Найдите
радиус окружности, описанной около этой трапеции.
186. Через вершины В и С тупых углов равнобедренной тра-
пеции ABCD проведены отрезки СЕ || АВ и BF || CD (Е е BD,
F е АС). Периметры ABCD и BCEF равны соответственно
60 см и 40 см. Найдите длину стороны АВ, если EF = 8 см.
187. Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 12 и 9.
Найдите высоту трапеции и отрезок, соединяющий середи-
ны оснований.
188. Площадь равнобедренной трапеции равна 100, а её ди-
агонали взаимно перпендикулярны. Найдите высоту этой
трапеции.
200 I Дополнения
189. В прямоугольную трапецию с основаниями а и b вписа-
на окружность. Найдите площадь этой трапеции.
190. В равнобедренной трапеции ABCD угол А равен 60°.
Прямоугольник MCNK расположен так, что точка М лежит
на стороне АВ, точка N — на стороне CD, точка К — на сто-
роне AD, при этом АК = ВС = 1. Найдите стороны прямо-
угольника MCNK.
191. Дана равнобедренная трапеция, средняя линия которой
равна 9 дм, площадь равна 54 дм2 и диагональ перпендику-
лярна боковой стороне. Найдите основания трапеции.
192. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пе-
ресекаются на другом её основании. Найдите все стороны
трапеции, если её высота равна 12 см, а длины биссектрис —
15 см и 13 см.
193. В окружность вписана трапеция, боковая сторона ко-
торой равна 15 см, средняя линия 16 см и большее основание
является диаметром окружности. Найдите площадь тра-
пеции.
194. Основания равнобедренной трапеции, в которую можно
вписать окружность, равны 1 и 3. Найдите радиус окружнос-
ти, описанной около этой трапеции.
195. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапе-
цию, удалён от концов её боковой стороны на расстояния
3 см и 9 см. Найдите стороны трапеции.
196. Найдите среднюю линию равнобедренной трапеции с
высотой h, если боковая сторона трапеции «видна» из центра
описанной около неё окружности под углом 120°.
ЗАДАЧА 197. Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р —
середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне
CD выбрана так, что 2CD = 3RD. Прямые AR и PD пересека-
ются в точке Q. Найти площадь треугольника APQ, если
AD = 2ВС.
Решение. Рассмотрим несколько способов решения задачи.
Первый способ (геометрический метод). Достроим
трапецию ABCD до параллелограмма ABMD (рис. 161). Тогда
Дополнения I 201
ВМ = AD = 2ВС => С — середина ВМ. Значит, СР || AM (по-
чему?).
Пусть L = AM о BD (в параллелограмме ABMD). Из этого
следует, что L — середина BD. Тогда DC и ML — медианы
треугольника BMD', точка пересечения этих медиан делит
каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Но от-
резок CD в отношении 2 : 1 делит точка R (2CD = 3RD =>
=> DR : CD = 2 : 3 => DR : RC = 2 : 1). Это означает, что точка R
принадлежит диагонали AM параллелограмма ABMD (по-
чему?), т. е. точки L и М лежат на прямой AR. Но точка
Q = AR n PD также лежит на прямой AR, т. е. точки Q, L, R
лежат на диагонали AM.
Далее, CR : CD = 1 : 3, СР || AM => CR: CD = PQ : PD =
= 1 : 3 => S^APD = 3SAPQ.
Кроме того, треугольники ABD и BCD имеют общую вы-
соту (равную высоте трапеции) и AD = 2ВС, поэтому 8Д ABD =
= 2вдВСП. А так как ShABD + S^BCD = 30, то 3S^BCD = 30, от-
куда S&BCD = 10, S^ABD = 20.
Поскольку точка Р — середина АВ, то 8ЛРГ) = |-8для0 =
= 10. Учитывая, что <8ДЛРП = 3SAAPQ, получаем SLAPq =
10 , \ ГЛ 10
= — (кв. ед.). Ответ: — кв. ед.
О о
Второй способ (геометрический метод). Пусть PN —
средняя линия трапеции ABCD (рис. 162). Тогда из условия
AD = 2ВС получаем
ВС : PN = 2:3. (1)
Учитывая, что N — середина стороны CD, и принимая во
внимание условие 2CD = 3RD, получаем
CR:ND = 2:3.
(2)
202 I Дополнения
Из (1) и (2) следует, что Д BCR ~ Д PND (Z С = Z PND,
так как ВС || PN). Отсюда BR || PD и PQ — средняя ли-
ния (почему?) треугольника ABR. Значит, Q — середина
отрезка AR. Если М — середина BR, то отрезки PQ, QM и
МР — средние линии треугольника ABR. Это означает, что
Найдём S^ABR.
Из рисунка 156 видно, что S^ABR = = SABCD - S^BCR -
& к ADR'
Так как CR: CD =1:3, RD : CD = 2 : 3, то высоты и h2
2
треугольников ADR и BCR соответственно равны: hx = - h,
О
h2 = i h, h — высота данной трапеции. Тогда
О
S^ADR=±AD-hv = ±-lAD-h=\AD'h=\BC‘h,
£ zl о о о
S^cR-\BC-h2-\-\BC-h-\BC-h,
Q _______ ВС “I" %ВС 1 _ 3 ДАТ Г
^ABCD 2--- * Л 2
Таким образом, S&ABR = |вС • h - $BC'h - ^BC'h =
2 11
= - ВС • h. Поэтому S APQ = - S^ABR = - ВС • h. Следователь-
(Q \ f 1 \
-BC'hj = 9, t. e. S^APQ =
= Isabcd = у = у (кв- еД-)- Ответ: у кв. ед.
Третий способ (комбинированный метод). Пусть
Е = АВ n CD (рис. 163). Имеем ВС = \ AD, ВС || AD => ВС —
средняя линия Д ADE => 8Д ADE = 4S^BCE (почему?).
Если 8д ВСЕ = а, то, учитывая, что S^ADE = SABCD + 8дВ£С,
получаем 4а = а + 30, откуда а = 10. Таким образом,
s-bec = 10’ значит, 8дЛР£ = 40.
Обозначим:
«Л APQ = Х’ & Л DQR = У' & Л ADQ = z'
Дополнения I 203
Тогда АЕ = 2АВ = 2 • 2АР =
= 4АР РЕ = ЗАР => S^QPE =
= ^^QAP’ т" е-
S&qpe = 3x; (1)
ED = 2CD = 2 • | RD = 3DR =>
=> ER = 2RD => qER = 25д едо,
т. e.
2l/. (2)
Кроме того,
£P = ЗАР => 5д DEP = ЗЗд DAP', (3)
ER — 2DR => S^AER 2S^adr; (4)
S&ADE ®д aqe + ^Д £>QE + 5д adq 40. (5)
Из рисунка 163 и соотношений (3)—(5) с учётом (1), (2) по-
лучаем
I Зх + Зу = 3(х + г),
< 4х + 2у = 2(у -I- г),
[ 4х -I- Зу + z = 40
У = ?>
z = 2х,
4х + 6х + 2х = 40,
10 „ о 10 , х
откуда х = — . Итак, S.APO = — (кв. ед.).
О о
10
Ответ: — кв. ед.
о
Анализ приведённых способов решения этой задачи сви-
детельствует о многообразии путей к творческому поиску
решения той или иной задачи. Вот ещё подтверждение вы-
сказанного ранее: хотите научиться решать задачи — решай-
те их!
198. Около окружности описана прямоугольная трапеция,
боковые стороны которой равны 20 см и 25 см. Найдите пло-
щадь четырёхугольника, вершинами которого являются
точки касания окружности со сторонами трапеции.
199. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана ок-
ружность и около которой описана окружность. Отношение
длины описанной окружности к длине вписанной окружнос-
ти равно 2 л/5 . Найдите углы трапеции.
204 |Дополнения
Рис. 164
ЗАДАЧА 200. Дана равнобедренная
трапеция, в которую вписана окруж-
ность и около которой описана ок-
ружность. Площадь описанного круга
в 12 раз больше площади вписанного
круга. Найти углы трапеции.
Решение. Обозначим: AD = а, ВС = Ь,
АВ = CD = с, СЕ = h (высота трапе-
ции) (рис. 164); R — радиус описан-
ной окружности, г — радиус вписан-
ной окружности. Тогда
^опис. кр ’
G* — ТГ 7*^
впис. кр ’
S = 12S
опис. кр ^впис. кр
=>nR2 = 12nr2 => R = 2r . (1)
Далее выразим дважды длину диагонали АС через г и а,
где а = Z ADC.
АС
Имеем, с одной стороны, в ДАСП —--- = 2R. Учитывая
sin а
(1), получаем
АС = 2R sin а = 4г л/3 sin а . (*)
С другой стороны, в ЛАСЕ (ААЕС = 90°) по теореме Пи-
фагора:
АС2 = АЕ2 + ЕС2. (**)
Выразим АЕ и ЕС через г и а.
Трапеция ABCD описана около окружности радиуса г, по-
этому высота ЕС = 2г и а + Ь = 2с, откуда с = а . Кроме то-
а
го, трапеция ABCD — равнобедренная, значит, АЕ =
ВС + AD а + Ъ гр Л т-,
=-------- = —-— . Таким образом, АЕ = с.
В прямоугольном треугольнике DEC находим: с = CD =
= СЕ = 2г . Следовательно, АЕ = с = 2г . Подставив в
sin a sin а sin а
(**) вместо АЕ и ЕС их найденные значения, получаем
АЕ = - sin ct . {***)
sin а
Дополнения I 205
тт л fa 2rjl + sin2 a
Из (*) и (***) имеем 4r 73 sin a = —-—----- или
sin a
J 12 sin4 a - sin2 a - 1 = 0,
I sin a# 0.
Сделав подстановку sin2 a = t (t > 0), приходим к уравне-
нию 12£2 - t - 1 = 0, корнями которого являются tr =
(не удовлетворяет условию t > 0) и t2 = |. Тогда sin2 а = | <=>
О о
sin а = —1: (не удовлетворяет условию, так как a < 90°),
7з
. 1
sin a = —.
л/3
Итак, sin a = 4, откуда a = arcsin 4 . Таким образом,
Уз Уз
Z А = Z D = arcsin 4 , следовательно,
Уз
ZB = ZC = 7r - arcsin 4.
Уз
Ответ: arcsin -4= ; it - arcsin .
Уз Л
Попытаемся решить эту задачу другим способом, для чего
выразим дважды площадь трапеции через г и а.
тл а AD + ВС fit + Ъ >
Имеем, 8трап =---------СЕ = —— • h.
С одной стороны, в трапеции ABCD, описанной около ок-
fl + b
ружности радиуса г, имеют место соотношения —-— = с,
Л = 2г, а в прямоугольном £\ECD сторона с = £ . Поэтому
S = * h = с • h = = 4^-. (2)
трап 2 sin a sin а
С другой стороны, а = АЕ (трапеция ABCD — равно-
бедренная). Найдём АВ:
Д АСЕ (ХЕ= 90°): по теореме Пифагора АЕ = *]АС2 - СЕ2 .
206 I Дополнения
A ACD: AC = 2R sin а. Учитывая, что R = , получаем
AE = 74T?2sin2 a - 2r2 = 2rJ12sin2 a - 1. Тогда
STpan = AE • CE = 2r712sin2 a - 1 • 2r = 4r712sin2 a - 1. (3)
Из (2) и (3) получаем 4r«/12sin2 a - 1 = или
sin a
. 9 , 1 [ 12 sin4 a - sin2 a - 1 = 0,
12 sin2 a - 1 = —5— <=>
sin2 a [sina^O.
Решением этого уравнения (см. выше) является
sin а = -5= , откуда a = arcsin -4= . Таким образом,
7з 7з
Z А = Z D = = arcsin -4= , ZB=ZC=n- arcsin .
7з 7з
Ответ: arcsin -1= , л - arcsin .
7з 7з
201. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана ок-
ружность и около которой описана окружность. Отношение
высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно
72
. Найдите углы трапеции.
7з
202. Длина одного из оснований трапеции равна 7, а длина
отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на
две равновеликие части, равна 5. Найдите длину второго ос-
нования трапеции.
203. Длина одного из оснований трапеции равна 5, а длина
отрезка, параллельного основаниям и проходящего через
точку пересечения диагоналей трапеции, равна 3,75. Найди-
те длину второго основания трапеции.
204. Длина одного из оснований трапеции равна 8, а длина
отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на
две подобные друг другу трапеции, равна 4. Найдите длину
второго основания трапеции.
205. Произведение длин оснований прямоугольной трапе-
ции, в которую можно вписать окружность, равно 37. Най-
дите площадь этой трапеции.
Дополнения I 207
206. В трапеции ABCD (ВС || AD) диагонали пересекаются в
точке М; ВС = b, AD = а. Найдите отношение площадей тре-
угольника АВМ и трапеции.
207. Основания трапеции равны 7 и 21, а боковые стороны
равны 13 и 15. Найдите площадь трапеции.
Четырёхугольники
208. В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка,
соединяющего середины сторон АВ и CD, равна 3. Прямые
ВС M.AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соеди-
няющего середины диагоналей АС и BD.
209. В выпуклом четырёхугольнике ABCD длины диагона-
лей равны 2 и 3. Найдите площадь четырёхугольника, зная,
что длины отрезков, соединяющих середины его противопо-
ложных сторон, равны.
210. Площадь выпуклого четырёхугольника ABCD равна
4 см2. Его стороны продолжены: АВ за точку В так, что АВ =
= 2В7С; ВС за точку С так, что ВС = 2CL; CD за точку D так,
что CD = 2DM; DA за точку А так, что DA = 2АР. Найдите
площадь четырёхугольника KLMP.
211. Диагонали BD и АС выпуклого четырёхугольника
4
ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке О, ОА = - ,
О
ОС = 3. Точка М лежит на стороне АВ, причём AM : МВ =
= 1:3. Треугольник DMC — равносторонний. Найдите его
площадь.
212. Площадь треугольника АВС равна Р. Прямая DE, па-
раллельная основанию АС, отсекает от треугольника АВС
треугольник BDE, площадь которого равна Q. На стороне АС
взята произвольная точка М и соединена отрезками пря-
мых с точками D и Е. Чему равна площадь четырёхугольни-
ка BDME1
ЗАДАЧА 213. В выпуклом четырёхугольнике ABCD через се-
редину диагонали BD проведена прямая, параллельная ди-
агонали АС. Эта прямая пересекает сторону AD в точке Е.
Доказать, что прямая СЕ разбивает четырёхугольник ABCD
на две равновеликие части.
208 I Дополнения
Решение. Пусть К — середина диаго-
нали BD, Р — точка пересечения
данной прямой со стороной CD че-
тырёхугольника ABCD (рис. 165).
Тогда S^ACE = SLACM, где М — любая
точка прямой РЕ (почему?). Значит,
&АВСЕ = ВАВСМ'
Возьмём в качестве М точку К —
середину диагонали BD. Тогда SABCE =
= SABCK = | ВК • AC • sin а, где a —
угол между диагоналями данного че-
тырёхугольника. Так как ВК= ^BD,
то S
'АВСК = § • [ IBD •АС • sin a j. Значит, SABCE = 1SABCD, что
и требовалось доказать.
214. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересе-
каются в точке Н. Известно, что AD = 2 л/5 , а треугольники
АВН и CDH равновелики. Найдите длину стороны ВС, если
&ABCD 20, S^ABH = S^CDH = 5.
215. Докажите, что площадь четырёхугольника, имеющего
равные диагонали, равна произведению отрезков, соединяю-
щих середины противоположных сторон.
216. Два равнобедренных прямоугольных треугольника
АВМ и CDM с гипотенузами АВ и CD расположены так, что
ABCD — четырёхугольник. Одна диагональ этого четырёх-
угольника равна а. Найдите его площадь.
217. В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезки, соеди-
няющие середины противоположных сторон, пересекаются
под углом 60°, а их длины относятся как 1:3. Чему равна
меньшая диагональ четырёхугольника ABCD, если большая
равна J13?
Четырёхугольник и окружность
218. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, у кото-
рого АВ = 19 см, ВС = 7 см, CD —15 см, AD = 21 см. Стороны
АВ и CD продолжены до взаимного пересечения в точке М.
Найдите длины отрезков МВ и МС.
Дополнения I 209
219. Вершины В, С и D четырёхугольника ABCD расположе-
ны на окружности с центром О, которая пересекает сторону
АВ в точке М, а сторону AD — в точке Е. Известно, что угол
BAD — прямой, длина хорды ME равна длине хорды ВМ и
длины хорд ВС, CD и ED равны между собой. Найдите вели-
чину угла АВО.
220. Найдите сумму квадратов расстояний от произвольной
точки окружности до всех вершин прямоугольника, вписан-
ного в эту окружность, если длины сторон прямоугольника
равны 6 и 8.
221. Около выпуклого четырёхугольника ABCD описана ок-
ружность радиуса 2. Найдите длину стороны CD, если диаго-
нали АС и BD взаимно перпендикулярны и АВ = 3.
Окружности
222. Две окружности радиусов R1 и R2 (Лг > Л2) касаются
внутренним образом в точке А. Через точку В большей ок-
ружности проведена прямая, касающаяся меньшей окруж-
ности в точке С. Найдите АВ, если ВС = а.
223. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и
делит каждую из двух других его сторон на отрезки, равные
2 см и 23 см. Найдите радиус окружности.
224. Через точки пересечения двух окружностей проведены
параллельные прямые. Докажите, что они пересекают ок-
ружности в вершинах параллелограмма.
225. На отрезке АС длиной 12 см взята точка В так, что
АВ = 4 см. На отрезках АВ и АС, как на диаметрах, в одной
полуплоскости с границей АС построены полуокружности.
Найдите радиус окружности, касающейся построенных по-
луокружностей и прямой АС.
226. К двум внешне касающимся окружностям радиусов R и
г проведена секущая так, что окружности отсекают на ней
три равных отрезка. Найдите длины этих отрезков.
227. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены
от некоторой прямой, касающейся окружности, на 18 и 12.
228. Две окружности радиусов г и Л касаются внешним об-
разом в точке Р. К ним проведены внешняя касательная АВ
и внутренняя касательная РК. (А и В — точки касания пря-
210 I Дополнения
мой АВ и окружностей, К лежит на АВ.) Найдите: а) АВ;
б) РК; в) величину угла АР В.
229. Две окружности радиусов г и R(R> г) касаются внеш-
ним образом. К ним проведена внешняя касательная. Най-
дите радиусы всех окружностей, касающихся двух данных
окружностей и проведённой общей касательной.
230. Две окружности радиусами 8 и 6 пересекаются в точках
А и В. Через центры Ог и О2 проведена прямая; Сг и С2 —
две из четырёх точек пересечения этой прямой с окруж-
ностями, точка С] лежит на окружности с центром Ор
а СгС2 > 20. Найдите расстояние между центрами окружнос-
тей, если -5лвс2о2 = 336-
231. Две окружности, отношение радиусов которых равно
9-473 , касаются внутренним образом. Проведены две рав-
ные хорды большей окружности, касающиеся меньшей ок-
ружности. Одна из этих хорд перпендикулярна отрезку, со-
единяющему центры окружностей. Найдите острый угол
между этими хордами.
232. В треугольнике АВС, в котором сторона АВ = 3, АС = 5
и ВС = 7, проведена биссектриса AM. Вокруг треугольника
АВМ описана окружность, а в треугольник АСМ вписана ок-
ружность. Найдите произведение их диаметров.
233. Три данные окружности одинакового радиуса попар-
но касаются друг друга. Найдите отношение радиусов двух
окружностей, каждая из которых касается трёх данных.
(В ответе записать отношение большего радиуса к мень-
шему.)
Многоугольники
234. В правильном шестиугольнике со стороной 5 на одной
из сторон взята точка А на расстоянии 1 от ближайшей вер-
шины шестиугольника. Найдите расстояние от точки А до
центра шестиугольника.
235. Около правильного шестиугольника со стороной 2 опи-
сана окружность. Найдите сумму квадратов расстояний от
произвольной точки этой окружности до всех вершин данно-
го шестиугольника.
Дополнения I 211
236. В выпуклом пятиугольнике ABCDE площадь каждого
из треугольников ABC, BCD, С DE, DEA равна S, а площадь
g
треугольника ВАЕ равна - S. Найдите площадь пятиуголь-
О
ника.
Векторы и координаты
237. Найдите множество всех таких точек В, что р4В| = р, где
А — произвольная точка данной прямой I и р z- 0.
-->
238. Дан вектор АВ 0. Найдите множество всех таких то-
чек С, что: а) |АВ + ВС | = \АВ |; б) |АВ - ВС | = |АВ |.
--> ->
239. Дан вектор АВ 0. Найдите множество всех таких то-
чек С, что: a) |Zb + ВС| = | ВС|; б) | АВ - ВС | = |ВС|.
--> ---->
240. Даны два неколлинеарных вектора АВ и АС. Найдите
множество всех таких точек М, что: a) AM = а* АВ + АС,
где a е R; б) AM — АВ + р* АС, где Р е [0; 1]; в) AM =
= a • АВ + р • АС, где а е [0; 1]; Р е [0; 1].
241. Пусть О — точка пересечения диагоналей четырёх-
--------------------------> ----> ----
угольника ABCD, причём ОА + ОВ + ОС + OD = 0. Верно
ли, что ABCD — параллелограмм?
242. Докажите, что в трапеции середины оснований, точка
пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений
боковых сторон лежат на одной прямой.
243. В треугольнике АВС точка К делит сторону АС в отно-
шении 3 : 2, считая от точки А; отрезок ВК пересекает ме-
диану АР в точке М. Найдите отношения ВМ: МК и
AM : МР.
244. В треугольнике АВС точка К делит сторону ВС в отно-
шении 1:2, считая от точки В; точка Н делит сторону АС
в отношении 2:3, считая от точки А; отрезки ВН и АК пе-
ресекаются в точке М. Найдите отношения ВМ : МН и
AM : МК.
212 I Дополнения
245. В треугольнике АВС точка К делит сторону ВА в отно-
шении 3:5, считая от точки В; точка Н делит сторону ВС в
отношении 1:2, считая от точки В; медиана ВМ пересекает
отрезок КН в точке О. Найдите отношение ВО : ОМ.
246. Найдите уравнение множества всех таких точек М, что
--------->
вектор AM имеет ту же длину, что и вектор «(7; 1), если точ-
ка А имеет координаты (1; -5).
247. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны
и равны 6 и 8. Найдите третью медиану треугольника.
248. В треугольнике АВС известны стороны: АВ = 6, АС = 8,
ВС = 7. Найдите биссектрису ААР
249. Найдите условие, которому удовлетворяют координаты
вершины прямого угла треугольника с гипотенузой АВ, если
А(3; 5),В(7;-11).
250. Найдите условие, которому удовлетворяют координаты
середины гипотенузы прямоугольного треугольника с вер-
шиной прямого угла С(3; 5) и длинами катетов 2 и 8.
251. Найдите геометрическое место таких точек К, что
КА = ЗКВ, где А(1; 0), В(5; 0).
252. Выясните взаимное расположение окружностей
х2 + у2 - 6х + 8у = 0 и х2 + у2 + 4х - бу = 3.
253. Составьте уравнение окружности радиуса 10, касаю-
щейся окружности х2 + (у - 5)2 = 25 в точке М(3; 1).
254. Какое множество точек задает уравнение
х4 + г/4 + 2х2у2 - 6х2 - 26г/2 + 25 = 0?
255. Через точку М(3; 4) проведена прямая, высекающая на
окружности х2 + у2 = 100 хорду, которая точкой М делится
пополам. Составьте уравнение прямой и найдите длину
хорды.
256. Через точку М(5; 12) проведена хорда, наиболее уда-
лённая от центра окружности х2 + у2 = 194. Найдите длину
этой хорды.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Список задач на построение в пространстве
1. Построение прямой, проходящей через данную точку параллель-
но данной прямой.
2. Построение прямой, проходящей через данную точку параллель-
но данной плоскости.
3. Построение плоскости, проходящей через данную точку парал-
лельно данной прямой.
4. Построение плоскости, проходящей через данную прямую па-
раллельно данной прямой.
5. Построение плоскости, проходящей через данную точку перпен-
дикулярно данной прямой.
6. Построение прямой, проходящей через данную точку перпенди-
кулярно данной плоскости.
7. Построение плоскости, проходящей через данную точку парал-
лельно данной плоскости.
8. Построение двух параллельных плоскостей, каждая из которых
проходит через одну из двух данных скрещивающихся прямых.
9. Построение плоскости, проходящей через данную точку парал-
лельно каждой из двух скрещивающихся прямых.
10. Построение «общего перпендикуляра» двух данных скрещи-
вающихся прямых.
11. Построение линейного угла данного двугранного угла.
12. Построение плоскости, проходящей через данную точку пер-
пендикулярно данной плоскости.
13. Построение плоскости, проходящей через данную прямую пер-
пендикулярно данной плоскости.
14. Построение точки пересечения данной прямой, лежащей на од-
ной из граней данного многогранника, с плоскостью грани, не па-
раллельной этой прямой.
15. Построение прямой пересечения плоскости грани данного мно-
гогранника с непараллельной ей плоскостью.
214 I Приложения
Список основных теорем 10 класса
1. О плоскости, проходящей через прямую и не принадлежащую ей
точку.
2. О плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
3. О плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
4. Признак скрещивающихся прямых.
5. О двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плос-
кость.
6. О прямой, параллельной данной прямой и проходящей через
данную точку пространства, не принадлежащую данной прямой.
7. О транзитивности параллельности прямых в пространстве.
8. Об углах между сонаправленными лучами.
9. Признак параллельности прямой и плоскости.
10. О линии пересечения плоскостей, одна из которых проходит че-
рез прямую, параллельную другой плоскости.
11. О линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых про-
ходит через одну из параллельных прямых.
12. О прямой, параллельной каждой из двух пересекающихся плос-
костей.
13. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
14. О двух параллельных прямых, одна из которых перпендику-
лярна плоскости.
15. О двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости.
16—17. Теоремы о трёх перпендикулярах.
18—19. Признаки параллельности плоскостей.
20. О прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей
плоскостью.
21. О прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей.
22. О плоскости, пересекающей одну из параллельных плоскостей.
23. О плоскости, проходящей через точку и параллельной другой
плоскости, не проходящей через эту точку.
24. О двух плоскостях, параллельных третьей плоскости.
25. Об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя
параллельными плоскостями.
26. О прямой, перпендикулярной одной из двух параллельных
плоскостей.
27. О линейных углах двугранного угла.
28. Признак перпендикулярности плоскостей.
Приложения I 215
29. О прямой, лежащей в одной из двух взаимно перпендикуляр-
ных плоскостей и перпендикулярной линии пересечения этих
плоскостей.
30. О перпендикуляре к одной из двух взаимно перпендикулярных
плоскостей, имеющем с другой плоскостью общую точку.
31. О линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных
третьей плоскости.
32. О площади ортогональной проекции многоугольника.
33. Признак коллинеарности векторов.
34. О разложении вектора по двум компланарным векторам.
35. Признак компланарности векторов.
36. О разложении вектора в пространстве.
216 I Приложения
Формулы планиметрии
Треугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = а + b + с; а 4- b + с Р 2 a,b, с — длины сторон; р — полупери- метр
Сумма внутрен- них углов А + В + С = 180° А, В, С — вели- чины углов
Теорема косинусов а2 = Ъ2 + с2 - 26ccos А; Ь2 = а2 + с2 - 2accos В; с2 = а2 + Ъ2 - 2a£cos С; Л Ь2 4- с2 - а2 cos А = — 2Ьс а, Ь, с — длины сторон; А, В, С — вели- чины углов
Теорема синусов а = b с sin A sin В sin С
Радиус описанной окружности (Я) 2R = —— = —— = —— sin A sin В sin С
Площадь (S) S= lafla= lbflb= | Cfle', S = lab sin C = lac sin В = = 1 be sin A; S = pr; о _ abc ~ Tr а, Ь, с — длины сторон; ha,hb, ^ — дли- ны высот; А, В, С — вели- чины углов; р — полупери- метр; г — радиус впи- санной окруж- ности; R — радиус описанной окружности
Формула Герона S = Jp(p - a)(p - b)(p - c)
Приложения I 217
Окончание таблицы
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Связь между медианой и сторонами 2 2Ь2 + 2с2-а2 т2а ~ 4 а9 Ь9 с — длины сторон; та — длина ме- дианы к стороне а; т9 п — длины отрезков, на ко- торые биссект- риса угла С де- лит сторону с; hc — ДЛИ' ны высот; г — радиус впи- санной окруж- ности
Свойство бис- сектрисы внут- реннего угла т _ а п b
Связь между высотами и радиусом вписанной окружности т—1 I к. II ЧЧ + -к? + ЧЧ
Отношение площадей тре- угольников АВС иА1В1С1, имею- щих равные углы с вершина- ми А и А1 Здавс _ АВ * АС ^ДАВС И площади треугольников АВСпА^В^
Прямоугольный треугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Сумма острых углов А + В = 90° А, В — величины острых углов
Теорема Пифагора а2 4- Ъ2 = с2 а9 Ъ — длины кате- тов; с — длина гипоте- нузы; hc — длина высоты
Метрические соотношения h2 =а{•др а2 = с • Пр д2 = с • Ьх
218 I Приложения
Окончание таблицы
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Зависимость меж- ду сторонами, ради- усами вписанной и описанной окруж- ностей D_c.„_a + fe-c. R 2’Г 2 ’ = а + ft ~ Уд2 + ъ2. г 2 7? + г= 1(а + Ь) Л ар — длины про- екций катетов на гипотенузу; г — радиус вписан- ной окружности; R — радиус описан- ной окружности
Площадь (В) СЛ II Ю1 ь-i О о* а, b — длины кате- тов
Правильный треугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = 3а а — длина стороны
Величина угла А = В С-60° А, В, С — величи- ны углов
Зависимость меж- ду высотой и сторо- ной й- II h — длина высоты; а — длина стороны; R — радиус описан- ной окружности; г — радиус вписан- ной окружности
Зависимость меж- ду стороной, ради- усами вписанной и описанной окруж- ностей и и ft; k и а
Выражение площа- ди (В) через: сторо- ну, радиус описан- ной окружности, радиус вписанной окружности а2л/3. Ь 4 ’ с_ 3R2j3 , Ь 4 ’ S = 3r2j3 а — длина стороны; R — радиус описан- ной окружности; г — радиус вписан- ной окружности
Приложения I 219
Четырёхугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Сумма углов A + B + C + D = 360° А, В, C, D — вели- чины углов; А, С и В, D — вели- чины пар противо- положных углов
Свойство сумм ве- личин противопо- ложных углов впи- санного четырёх- угольника A +C=B+D= 180°
Свойство сумм длин противопо- ложных сторон описанного четы- рёхугольника a + с = b + d а, с и b, d — длины пар противополож- ных сторон; ш, п — длины диагоналей; четырёхугольник вписан в окружность
Теорема Птолемея mn = ac + bd
Площадь (S) S = | mnsin ip; S=pr т.п — длины диагоналей; Ф — величина угла между ними; р — полупериметр; г — радиус вписан- ной окружности
Параллелограмм
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (В) Р = 2(а + Ь) а, b — длины сторон; т.п — длины диагоналей; ha.hb — длины высот; В — величина угла между сторонами; т.п — длины диагоналей; ф — величина угла между диагоналями
Соотношение меж- ду квадратами длин сторон и ди- агоналей т2 + п2 = 2(а2 + Ь2)
Площадь (S) S = а • ha = b • hb\ S = absin В; е 1 S = - znnsin ф
220 I Приложения
Окончание таблицы
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Свойства углов А + В + С + D = 360°; А = С;В = В; А+В=В+С= 180° А, В, С, D — вели- чины углов
Прямоугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = 2(а + Ь) а, Ь — длины сторон; d — длина диагонали; <р — величина угла между диагоналями
Площадь (8) S = ab; S = i d2sin <р &
Ромб
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = 4а а — длина стороны; h — длина высоты; т, п — длины диагоналей
Площадь (8) 8 = ah*, 8 = тп £
Квадрат
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Углы А= B = C = D = 90° A,B,C,D — величины углов
Связь между дли- ной стороны и ра- диусом описанной окружности а = Ял/2;Я= а — длина стороны; R — радиус описан- ной окружности; г — радиус вписан- ной окружности
Приложения I 221
Окончание таблицы
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Связь между дли- ной стороны и ра- диусом вписанной окружности Г= 5 ; a = 2г a — длина стороны; R — радиус описан- ной окружности; г — радиус вписан- ной окружности
Площадь (S) S = a2; S = 2R2
Трапеция
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Свойство средней линии _ a + b т 2 т — длина средней линии; а, b — длины осно- ваний; h — длина высоты
Площадь (S) Со со II II & 3 + • о-
Правильный многоугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Сумма внутренних углов(I) Х = (п-2)’180° n — число сторон; A — величина угла; an — длина сторо- ны; г — радиус вписан- ной окружности; R — радиус описан- ной окружности
Угол А _ 180°(п - 2) п
Связь между дли- ной стороны и ра- диусом вписанной окружности о , 180° an = 2rts —; r=—^2—; 2tg^ n
Связь между дли- ной стороны и ра- диусом вписанной окружности a _ 2flSln . n n a3 = R^3 ; a4 = R ^2 ; a6 = R
222 I Приложения
Окончание таблицы
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь (S) S = iагп; 5=1/^ 360: 2 п а — длина стороны; п — число сторон; г — радиус вписан- ной окружности; R — радиус описан- ной окружности
Окружность И круг
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Длина окружности (С) С = 2лЯ С — длина окруж- ности; R — радиус окруж- ности; п — градусная мера дуги; ср — радианная ме- ра дуги; R — радиус круга; d — диаметр; Ъ — основание сег- мента; h — высота сегмен- та
Длина дуги(0
Площадь круга (S) S = лЯ2; S = 4
Площадь сектора (S) с __ nR2n ь 360
Площадь сегмента (S) to II to й * * Wire О 4° сг 1+ to [>
Тригонометрические тождества
sin2 а + cos2 а = 1;
tga =
ctg а =
sin (-а) = -sin а;
cos (-а) = cos а;
tg (-а) = -tg а;
ctg (-а) = -ctg а;
tg а • ctg а = 1;
1 + tg2 а = —;
cos2 а
1 + ctg2 а =
sin2 а
sin а .
cos а ’
cos а .
sin а ’
Приложения I 223
cos (a - P) = cos a cos P + sin a sin P;
cos (a + P) = cos a cos p - sin a sin P;
sin (a + p) = sin a cos P + sin P cos a;
sin (a - P) = sin a cos p - sin P cos a;
tg (a + P) = tga + tgp ; tg (a - P) = tg a ~ tg P ;
P7 1 - tg a • tg P P7 1 + tga-tgp’
sin 2a = 2sin a cos a; cos 2a = cos2 a - sin2 a;
1 + cos 2a о 1 - cos 2a . о , n 2tga
---- ----------------- = cos2 a; -------- = sin2 a; tg 2a = -—;
2----------------------------------------2-1 - tg2 a
i-o n • a + P a-P
sin a + sin P = 2sin ——- cos —;
л &
• n o a + p.a-p
sin a - sin p = 2cos ——- sin —;
Ct u
. „ о a+P a-P
cos a + cos p = 2cos —y2- cos —;
o o . a + P . a-p
cos a - cos p = -2sm ——- sin —;
Ci
tg a + tg P =
sin (a + P) .
cos a • cos P ’
tg a - tg p =
sin (a - P)
cos a • cos P ’
Формулы стереометрии
Векторы и координаты
Содержа- ние формулы Формула Символы (обозначения)
Правило треуголь- ника АВ + ВС = АС А, В, С — про- извольные точки
Правило паралле- лограмма ОА +ОВ =ОС ОАСВ — парал- лелограмм
Правило много- угольни- ка > > > А1А2 + ^2^3 + ••• + = = А2, ...»Ап_р Ап — произ- вольные точки
224 I Приложения
Продолжение таблицы
Содержа- ние формулы Формула Символы (обозначения)
Правило паралле- лепипеда ОА + ОВ + ОС = ОС1 ОА, ОВ, ОС — ребра паралле- лепипеда; ОС2 — диаго- наль паралле- лепипеда
Формула вычита- ния ОВ - ОА =АВ А, В, О — про- извольные точки
Признак коллине- арности двух не- нулевых векторов аг • <34 — II II аг 1 k — число, от- личное от ну- ля, а б, Ъ б
Признак компла- нарности трёх век- торов р = ха, + у$ х, у — числа
Середина отрезка ОМ = ±(ОА + ОВ) М — середина отрезка АВ; О — произ- вольная точка
Точка пересече- ния меди- ан (цент- роид) ОМ = Ьоа + ОВ + ОС) О М — центроид треугольника АВС; О — произ- вольная точка
Скаляр- ное про- изведе- ние век- торов а • b = \а\ • \b|cos Z (а; Ь) а, Ъ — ненуле- вые векторы
Приложения I 225
Продолжение таблицы
Содержа- ние формулы Формула Символы (обозначения)
Сложение и вычита- ние векто- ров в ко- ординатах а ± 5 (xt ± х2; ух ± у2; ± z2) a(Xp y^ zj; ^(x2; y2-, z2)
Умноже- ние век- тора на число ka(kx; ky\ kz) k — число; a(x; у, г)
Скаляр- ное про- изведе- ние a-S = xxx2 + yYy2 + zxz2 aix^y^Zy)-, b(xz; y2; z2); Ф — величина угла между векторами
Косинус угла меж- ду векто- рами cos ip = XXX2 + yiV2 + Z,22 7*i + y% + zf • 7*2 + Уг + г2
Длина вектора |а| = Jx2 + у2 + z2 а(х; у; г)
Расстоя- ние меж- ду точка- ми А и В AB = = 7<X2 - *1)2 + (Уг - У1)2 + (22 - 21)2 A(xr; yi', Zj); В(х2; у2; z2)
Уравне- ние плос- кости A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 а(А;В; С)— вектор, перпен- дикулярный плоскости; го) точка, прина- длежащая плоскости
Общее уравне- ние плос- кости Ax + By + Cz + D = 0 М(х; у; z) — произвольная точка плоскос- ти
226 I Приложения
Продолжение таблицы
Содержа- ние формулы Формула Символы (обозначения)
Косинус угла меж- ду двумя плоскос- тями COS ф = = |^1^2 ^1-^2 + С1С2| Ja2 + в2 + cf. Ja i + в22 + cj + BYy + 4- + Dj = 0 и A2x + B2y + + C2z + D2 = 0 — плоскости; Ф — величина угла между этими плоскос- тями
Условие перпенди- кулярнос- ти двух плоскос- тей
Условие парал- лельности двух плос- костей d'ld' 11 aflcq II 4K
Расстоя- ние от точки до плоскости (rf) d = + -Bj/Q + Cz0 + D\ JA2 + В2 + C2 2о) точка; Ах + By + Cz + + D = 0 — плос- кость
Парамет- рические уравне- ния пря- мой $ f + + + + ° о о о И Si N II II II II TU н Si N г — радиус- вектор произ- вольной точки прямой; г 0 — радиус- вектор данной точки прямой; k — параметр; Mq(Xq\ у0; г0) данная точка прямой; М(х; у; з) — произвольная точка прямой; р(аг;а2;а3) — направляю- щий вектор прямой
Приложения I 227
Окончание таблицы
Содержа- ние формулы Формула Символы (обозначения)
Уравне- ния пря- мой по двум её точкам X - хг = у ~ Уг = 2 -zr Х2~Х1 У2~У1 22~21 j/pZj), М2(х2, у2, г2) — данные точки; Р1(ар а2; п3), ^2’ направляю- щие векторы прямых; Ф — величина угла между ни- ми
Косинус угла меж- ду двумя прямыми COS ф = 111 2 2; —2—31 7а2 + а2 + а2 • 7^1 + ьг +
Условие перпенди- кулярнос- ти двух прямых а1Ь1 1 0^6^ 1 0
Условие парал- лельнос- ти двух прямых cr] о tO 1 ГС II <3-1 О w 1 W
Синус уг- ла между прямой и плоско- стью LAa, + Ва9 4- СаЛ sin <р = 1 ? 2, 31 — л/а2 4- В2 4- С2 • + а2 Ах + By + Сг + 4- D — 0 — плос- кость; а2\ <2д) направляю- щий вектор прямой; Ф — величина угла между прямой и плос- костью
Условие парал- лельнос- ти пря- мой и плоскости Ааг 4- Ва2 + Са3 — 0
Условие перпенди- кулярнос- ти пря- мой и плоскости А = В = £ а1 а2 а3
228 I Приложения
Многогранники
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь поверхно- сти куба (S) S = ба2 a — длина ребра куба
Площадь боковой поверхности пря- мой призмы (S6oK) «бок = ^-Л Р — периметр осно- вания; h — высота (длина бокового ребра)
Площадь боковой поверхности на- клонной призмы («бок) «бок = ^*( Р — периметр пер- пендикулярного сечения; 1 — длина бокового ребра
Площадь боковой поверхности прямо- го параллелепипеда («бок) «бок = Р’' Р — периметр осно- вания; 1 — длина бокового ребра
Площадь боковой поверхности пра- вильной пирамиды («бок) «бок=7>Р,а s = Q бок COS ф Р — периметр осно- вания; a — апофема; Q — площадь осно- вания; Ф — величина дву- гранного угла при стороне основания
Площадь боковой поверхности пра- вильной усеченной пирамиды (S6oK) <? _р + р1 .Ь °бок 2 П Р, Рх — периметры оснований; h — апофема
Объём куба (И) V=a3 a — длина ребра куба
Объём прямоуголь- ного параллелепи- педа (У) V = abc а, Ь, с — измерения параллелепипеда
Объём призмы (па- раллелепипеда) (И) II И Зосн — площадь основания; h — высота; Q — площадь пер- пендикулярного сечения; 1 — длина бокового ребра
Приложения I 229
Окончание таблицы
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Объём пирамиды (V) «осн ~ площадь основания; h — высота
Объём усеченной пирамиды (И) v= = о hfa + JQ1Q2 + ©2^ 0 \ / Qi, Q2 — площади оснований; h — высота
Отношение объёмов тетраэдров ABCD и A1B1C1D1, имею- щих равные трёх- гранные углы с вер- шинами А и Аг BCD = Va^C'Di _ АВ-AC-AD А1В1 • AjCj • AjDj ^ABCD и К11В1С1П1 объёмы тетраэдров ABCD и A1B1C1D1
Фигуры вращения
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь боковой поверхности ци- линдра (S6oK) «бок ” - h В — радиус основа- ния; h — высота
Площадь полной поверхности ци- линдра (вполн) «ПОЛИ = 2лД(Л + Я) R — радиус основа- ния; h — высота
Площадь боковой поверхности конуса («бок) «бок _ R — радиус основа- ния; 1 — длина образую- щей
Площадь полной поверхности конуса («поли) 3ПОЛН = 7ЕЙ(/ + Я) R — радиус основа- ния; 1 — длина образую- щей
Площадь боковой поверхности усе- чённого конуса («бок) «бок = nl(R + Г) R, г — радиусы оснований; 1 — длина образую- щей
230 I Приложения
Окончание таблицы
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь сферы (S) S = 4п/?2 R — радиус сферы
Площадь сегмент- ной поверхности (S) S = 2nR • Н R — радиус сферы; Н — высота сегментной поверхности
Площадь шарового пояса (S) S = 2itR-H R — радиус шара; Н — высота шаро- вого пояса
Площадь поверхно- сти шарового секто- pa(S) S = = п/?-(2й + j2Rh -h2) R — радиус шара; h — высота шарово- го сегмента
Объём цилиндра (V) V = itR2’H R — радиус основа- ния; Н — высота
Объём конуса (V) V = - nR2 • H 3 R — радиус основа- ния; Н — высота
Объём усечённого конуса (V) v = = | itH(r2 + Rr + R2) R, г — радиусы оснований; Н — высота
Объём шара (V) V= In/?3; V = Ind3 3 6 R — радиус шара; d — диаметр шара
Объём шарового слоя (V) v = = ^(3rf + 3r2 +H2) г2 — радиусы оснований шарового слоя; Н — высота
Объём шарового сегмента (V) V= nH2^R- V= *ll(3r2+H2) R — радиус шара; Н — высота; г — радиус основа- ния шарового сегмента
Объём шарового сектора (V) V=-nR2‘H 3 R — радиус шара; Н — высота
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Глава 1. Введение в стереометрию
1.004. Указание. Рассмотрите случаи: а) АВ — диаметр окруж-
ности*, Ъ)АВ — хорда, не являющаяся диаметром окружности.
1.009. Прямая. 1.010. Нет. 1.012. Можно, если одна (любая) из то-
чек находится в плоскости, которая проходит через три оставшие-
ся точки. 1.013. а) Нет; б) нет. 1.014. Указание. Через любые три
точки данной фигуры проведите плоскость и докажите, что все
остальные точки фигуры принадлежат этой плоскости.
1.015. Указание. Через прямую и не лежащую на ней точку прохо-
дит плоскость. 1.016. Указание. Через две пересекающиеся пря-
мые проходит плоскость. 1.017. Лежат в одной плоскости.
1.018. Три прямые проходят через одну точку. 1.019. Указание.
Эти прямые не лежат в одной плоскости. 1.020. Указание.
Проведите прямую, пересекающую все три данные прямые.
1.023. Нельзя. 1.024. Верно. 1.025. а) Можно; б) нельзя; в) нельзя;
г) можно; д) можно; е) можно. Л.020. Указание. Три данные пря-
мые лежат в одной плоскости. 1.027. Не может. 1.031. а) AM;
б) CD; в) AC; r)BD. 1.032.4 или 14. 1.035. а) ААХ; б) ССр в)АВх;
rfCD^ д)ВС. 1.038. Зл/2; 1.039.^; 1.040. в) 6;
г) У2; д^У2; е) 1 : 3. 1.042. Шесть. 1.043. Прямые проходят че-
рез одну точку или параллельны. 1.051. Неверно. 1.052.4:1.
1.053. а) Треугольник прямоугольный, так как его ортоцентр ле-
жит на прямой, содержащей его сторону; б) треугольник равнобед-
ренный (DE = DF), так как его медиана является его и биссектри-
сой; в) треугольник DEF — прямоугольный, так как треугольник
KDF — прямоугольный. Центр описанной около треугольника KDF
окружности лежит на его стороне DK. 1.055. 5 а/7. 1.056. 5^/7.
1.057. Трапеция; . 1.058. = а.
1.059. Трапеция; 1.060. Трапеция. 1.061 • 1.062.73.
1.063.572. 1.064. Зл/З; 1273; 12^3 . 1.066. а) б) ; в) ;
£
г) 7з ; д) . 1.067. а) ; б) 1; в) ; г) 1; д) 1.1.068. в)4; г)Х15
Z О о О О
д)ХХ2; е> 1: 1. 1.069. в) 8717 ; д)1:1; е)ВМ. 1.070. .
о о
1.071. Равнобедренный треугольник; 2а?^ .
о
232
Ответы и указания
Глава 2. Прямые в пространстве
2.001. Указание. Примените признак скрещивающихся прямых.
2.003. Любая прямая грани ААХВГВ, проходящая через точку
пересекает скрещивающиеся прямые ApDj и ВВХ. 2.005. Нет.
2.006. Параллельны. 2.007. Шесть. 2.008. Могут пересекаться,
скрещиваться. 2.009. Не могут. 2.010. Параллелограмм. Указа-
ние. Воспользуйтесь свойством средней линии треугольника.
2.011. Указание. Примените теорему 3 и аксиому прямой и плос-
кости. 2.016. 1) а) 6; б) 15; 2) а) 1; б) 29. 2.017. а) Плоскость;
б) плоскость; в) 0. 2.018. а) Скрещиваются; б) скрещиваются;
в) скрещиваются; г) параллельны; д) скрещиваются; е) пересекаются;
ж) скрещиваются; з) пересекаются. 2.019.ММг = 9; ООХ = 11;
DD1 = 7. 2.020. а) Могут быть параллельными, пересекаться; б) мо-
гут только скрещиваться; в) могут быть параллельными, пересе-
каться, скрещиваться. 2.021. Нет. 2.022. Указание. Рассмотрите
плоскость а = (а, С) и точку её пересечения с прямой Ъ. Найдите
множество всех точек С, для которых задача не имеет решения.
2.023. а) Не могут; б) 0 < СХС2 < 14. 2.024. 7; 2. 2.026. Параллело-
грамм, плоскость которого параллельна ВС и AD. 2.027. а) Скре-
щиваются; б) пересекаются; в) параллельны; г) пересекаются; д) па-
раллельны; е) скрещиваются; ж) скрещиваются. 2.028. 1) а) Скре-
щиваются; б) скрещиваются; в) пересекаются; г) параллельны;
д) скрещиваются; е) скрещиваются; 2) а) 2 : 3; б) 1 : 3. 2.029. в) 3 : 1.
2.030. Указание. Концы этого отрезка — центроиды граней
тетраэдра. 2.031. 1) а) 30°; 6)90°; в) 150°; 2) а) 30°; 6)90°; в) 45°.
2.032. а), б) Да; в) нет. 2.033. Не перпендикулярны. Не может.
2.034. а) 60°; б) 45°; в) 0°; г) 30°; д) arctg . 2.035. arccos .
№ Прямые Расположение Угол между прямыми
1 LNhEG Скрещиваются 90°
2 FJ'nFH Пересекаются arctg
3 F^nKT Параллельны 0°
4 TN и EG Скрещиваются 60°
5 F^TtaKN Пересекаются Тб arccos 5
6 KHX и LN Скрещиваются 30°
Ответы и указания I 233
2.038. 60°. 2.039. а) ; б) 2.040. Указание. Обозначим а =
= (а, с). Все прямые пространства, параллельные с и пересекаю-
щие а, лежат в плоскости а, и ни одна из них не пересекает пря-
мую Ь, Аналогично, все прямые пространства, параллельные с и
пересекающие Ь, скрещиваются с а. Все остальные прямые, па-
раллельные с, скрещиваются и с а, и с Ь. 2.041.8 и 3.
2.042. в) 3 : 1. 2.043. 2) Тетраэдр М1М2М3М4 — правильный с реб-
ром 2. 3) а) 60°; б) 90°; в) 90°; г) 30°. 2.044. а) ; б) ; в) .
2.045. 1) а) Скрещиваются; б) скрещиваются; в) параллельны;
г) скрещиваются; 3) а) 1 : 2; б) 1 : J2 ; в) 1 : 7б ; 4) а) 60°; б) 60°;
в) 90°; г) 30°; д) 45°. 2.046. 58.
№ Прямые Расположение Угол между прямыми
1 ААг и CCt Параллельны 0°
2 АХСХ и B^Dy Пересекаются 90°
3 А1С1 и Пересекаются 45°
4 АГМ и ССГ Скрещиваются 90°
5 AYD и DCX Пересекаются 60°
6 и BD Скрещиваются 90°
7 АХС и АС Пересекаются arctg —
8 АХВ и DyC Параллельны 0°
9 АХС и BBj Скрещиваются arctg а/2
10 ArD и АС Скрещиваются 60°
11 А^МиВС Скрещиваются arctg 2
12 А}М и ВК Скрещиваются 90°
13 C^KnB^F Скрещиваются 2 arcsin 7о,4
14 С1ОпАВ1 Скрещиваются 30°
15 АгВ и BjD Скрещиваются 90°
234
Ответы и указания
2.053. При длине 6 прямые пересекаются, при остальных — скрещи-
ваются. 2.054. 2 а/2 . 2.055. a) arccos ; 6)arccos в)arccos ;
4 4 4
ч Ло х Л
г) arccos -i— ; д) arccos .
10 о
Глава 3. Прямая и плоскость в пространстве
3.002. а) Да; б) нет. 3.003. Нет. 3.004. Указание. Рассмотрите
случаи, когда прямые: а) параллельны; б) пересекаются;
в) скрещиваются. 3.006. 1 — А; 2 — В; 3 — А; 4 — Б; 5 — Б; 6 — В;
7 — А; 8 — Б. 3.007. Параллельны. 3.008. Могут пересекаться или
быть параллельными. 3.009. Могут скрещиваться или быть парал-
лельными. 3.010. Они параллельны. 3.012. а) Нет; б) нет; в) нет.
3.015. 1. 3.017. Трапеция. 3.018. 12 JT1.3.021. Нет. 3.022. а) Па-
раллельны; б) параллельны; в) параллельны; г) параллельны;
д) параллельны; е) пересекаются. 3.024. Равнобедренные треуголь-
ники; 4л/11.3.025. Равнобедренная трапеция периметра 10 и пло-
щади ЗТЗ. 3.026.4(1 + Уз ) Р <С 4(1 + ); 4^2 S <С 4-Уб.
3.028. 20 75.3.033. 4^7.3.034. 18 см. 3.035. 10. 3.045. Правиль-
но: один круг или два равных круга. 3.046. Указание. Исполь-
зуйте свойство медианы равнобедренного треугольника.
3.051. а) Нет; б) вообще говоря, нет. 3.053. Указание. Восполь-
зуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах. 3.056. Указание. Вос-
пользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах. 3.057. а) 0;
б) a cos а; в) -a cos а; г) —. 3.059. Прямая BD. 3.060. Указание.
Угол MLN — прямой. 3.063. Указание. Прямая АС перпендику-
лярна плоскости (BOD). 3.064. Указание. Прямая ОМ перпенди-
кулярна плоскости трапеции, а угол ACD — прямой. 3.065. Угол
АСМ. Указание. Воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикуля-
рах. 3.066. Указание, а) Плоскости ОМР и ВСР взаимно перпен-
дикулярны, б) плоскости ОРРг и АВР взаимно перпендикулярны.
3.070. а) 2; б) . 3.071. а) 2 УЗ; 6)6. 3.072. J2b2 - а2 .
3.073. У34 ; 741.3.074. 6 Уб см; 9л см2. 3.075. 5 см. 3.076. 13 см.
3.077. а) 22 см; б) 14 см; в) 18 см. 3.078.17 при любом а.
3.079.9 см; бУЗ см. 3.080. |J|. 3.081.10. 3.082. в) 72.
3.083.60°. 3.084. Нет. 45°. 3.086.60°. 3.087. а) 45°; 6)45°.
Ответы и указания I 235
3.088. <р. 3.089. 45°. 3.090. 30°. 3.091. 10°. 3.093. b sin ф и a sin ф.
3.094. 45° и 60°. 3.095. а) 30°; б) 45°; в) 30°; г) arcsin ;
О
д) arcsin . 3.096. а) 30°; б) arcsin ; в) arcsin |; г) arcsin ;
ч . зЛз
д) arcsin —— ; е) 0.
1 о
№ Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла
1 МСиАВС Угол MCD 45°
2 МВ иАВС Угол MBD arctg
3 МА и АВС Угол MAD 45°
4 МО и АВС Угол MOD arctg л/2
5 АС и MDC Угол ACD 45°
6 AD и MDC — 90°
7 АВ и MDC — 0°
8 ОК и MDC — 90°
9 ОМ и MDC Угол ОМК . 75 arctg э
10 АС и О AM — 0°
11 АО и ADM Угол CAD 45°
№ Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла
1 КА и АВС Угол К АВ 45°
2 КМ и АВС Угол КМ В arctg
3 С А и МВК — 90°
4 ВА и ВМК Угол АВМ 30°
236 I Ответы и указания
Окончание таблицы
№ Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла
5 АС и КВА Угол СВ А 60°
6 ВМ и КВА Угол MBA 30°
7 АКиВКМ Угол АКМ . 72 arcsin 4
8 ВКиАСК Угол ВКМ _ 7з arctg
9 МВ иАСК Угол ВМК arctg О
10 АК и ВСК — arctg О
3.099.
№ Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла
1 МС и АВС Угол МСО 7з arccos 2— о
2 МК и АВС Угол МКО arccos i о
3 СВ и AM К — 90°
4 С А и AM К Угол САК 30°
5 ОС и AM К Угол СОК 60°
6 СМ и AM К Угол СМ К 30°
7 РВ и AM К Угол ВРК 60°
8 АР и МВС — 90°
9 ОМ и МВС Угол ОМ К arcsin | о
10 АК и МВС Угол МКА 1 arccos - о
11 МВ и АСР — 90°
12 ВС и АСР Угол ВСР 30°
Ответы и указания I 237
3.100.
№ Прямая и плоскость Величина угла
1 АВГ и АВС 45°
2 АС и АА^В 45°
3 MFи DD^ 45°
4 MF и DDrB 0°
5 AM и ABC * 2л/5 arctg -%- э
6 АС и MKF 90°
7 АК и МKF arctg 3
8 АСХ и ВССг . 72 arctg —
9 C1DnACC1 30°
10 B1DnACC1 arctg а/2
11 AA^AMF . Зл/2 arctg
12 DD1 и AMF . Зл/2 arctg -2-
3.104. а) Две точки; прямая; две параллельные прямые; б) пря-
мая; прямая и принадлежащая ей точка; две пересекающиеся пря-
мые; в) прямая и не принадлежащая ей точка; две параллельные
прямые; две пересекающиеся прямые. 3.108.3,5 или 8,75.
3.109. Можно. Невозможно. 3.110. 90°. 3.111. 2 arcsin
sin 2
cos ip / *
3.113. 2 Jm2 + 2a2.3.114. Ромб, DDX = 6, периметр 20 и площадь
4л/34.3.115. Ц72. 3.116. а) 473; б) 122^. 3.119. < КН 1.
3.123.8; . 3.124.^; 6. 3.129. Пересекаются в одной точке.
3 3
3.131. Указание. Спроектируйте рёбра РА, РВ и PC на плоскость
АВС и воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах.
238
Ответы и указания
3.132. Окружность с диаметром ВС, где С — основание перпенди-
куляра из А на а. 3.133. Указание. Спроектируйте рёбра РА, РВ и
PC на плоскость (АВС) и воспользуйтесь теоремой о трёх перпен-
дикулярах. 3.136.в)4Т2; г)3-У5. 3.140. 3.141.3,5.
3.142. б) в) 1:1. 3.143. abj2. 3.144. а) 2^; б) ; в) .
О О О У
3.145. а) ; б) ; ж) . 3.147.
2 3b
7Vila2. 7Vila
24 ’ 22
3.148. а) 90°;
6)60°. 3.149. а) 60°; в) 90°. 3.150. Прямую, перпендикулярную
плоскости этого многоугольника и проходящую через центр впи-
санной в него окружности. 3.151. -^= . 3.153. 48; 16. 3.154. б) ;
-Уз
в) 1:2. 3.156.2:7. 3.157. [6^; 12-/3 ]. 3.158.2л. 3.159.1.
3.161. arctg g-;-1.-. . 3.162. а) 0,2 J15; б)0,25л/3; в) 0,125^3;
2sin 0,5х
г) 0,25л/б ; д) 0,2л/15 .
Глава 4. Плоскости в пространстве
4.005. Указание. Используйте теорему о пересечении двух парал-
лельных плоскостей третьей плоскостью. 4.011.6)12.
4.015. 4g см2. 4.016. 48 см2. 4.017. 1. 4.018. 6 или 3. 4.020. Указа-
ние. Через точку проведите прямую с || Ь. 4.021. Указание. Че-
рез прямые а и Ь проведите плоскости, параллельные а.
4.022. а) Равнобедренная трапеция; 36; б) равнобедренный тре-
15/2
угольник; —; в) квадрат; 36. 4.023. а) 18 см; 15 см; б) 54 см;
72 см. 4.025. а) 4 73 ; б) 122^1 . 4.028. б) 3(1 + 2л^)а . в) JLgof ;
9 4 64
г) |. 4.029. 1 — А; 2 — Б; 3 — В; 4 — А; 5 — Б; 6 — А; 7 — В; 8 —
А; 9 — А; 10 — В; 11 — Б; 12 — А. 4.033.4. 4.034.90°.
4.035. -%— . 4.036. 75°. 4.037. 49°. 4.038. 100° или 80°.
. a
sin 2
4.039. 2 72. 4.041. + Ь* + 2ab cos a . 4.043. . 4.044. 6л/3.
sin a 3
Ответы и указания
239
4.045. 50 72. 4.046.90°; 45°; 60. 4.047. arccos |. 4.050. а) 90°;
О
б) arctg 2. 4.051.24 см2. 4.053. arccos ; 90°. 4.054. а) 90°; б) 45°;
о
/б
в) arctg 72 ; г) arccos .
О
№ Плоскости Взаимное расположение Угол между плоскостями
1 АХВА и DXCD Параллельны 0°
2 А1В1С1 и DDrC Пересекаются 90°
3 ArBD и B^DyC Параллельны 0°
4 B^ACvlADC Пересекаются arctg J2
5 AxBDvlCxDB Пересекаются 2 arctg
6 A^BD и CCjA Пересекаются 90°
7 и ADC Пересекаются 45°
8 AXMA и ByCyC Пересекаются arctg 0,5
9 A,MA nBBfi Пересекаются 0,75л - arctg 2
10 MAJ) и CAXD Пересекаются arctg 72
4.059. Нет. 4.062. Да. 4.063. a Jcos 2<р . 4.064. а) 5л/2 см и 10 см;
б)5л/б см и 10 см. 4.065. а) 4 а/73 ; 6)12. 4.067. а) 90°; 6)60°;
в) arctg ; г) arctg ; д) 2 arcsin или 2 arcsin .
о 2 7 7
4.068. а) 730 ; б) arcsin . 4.069. а) Да; б) да; в) нет. 4.070. 8(1 +
+ 73)и 1672.4.071. 10(73 + 1) и 2572.4.073. а) 45°; б) arccos |.
5
4.076. Неверно. 4.077. a) 3/f; 6)373. 4.078.6. 4.079.9.
4.080. 721 или Т37.4.081. а) 4; б) 4; в) не менее 4. 4.082. а) Скре-
240 I Ответы и указания
между
щиваются; б) параллельны; в) 5. 4.083.2,4* 4.084.4 или 3.
4.085. Расстояние между ТМ и DC равно 0; между ТМ и ВС — 1;
/2
ТМ и AD — 3; между ТМ и АВ — 4; между ТМ и АС — ;
между
4.086
ТМ и BD —
№ Прямые Расстояние между прямыми
1 МС АТ ъ
2 АВ CD b sin S
3 МТ АС 0,5b cos 2
4 АС BD 0
5 АВ MD 0,5d sin a
4.087.
№ Прямые Расстояние между прямыми
1 AAX DC a
2 ввх DCX a
3 DC AXK a
4 DDV AXK 2aj5 5
5 BXD AC ajf) ~6~
6 AK BC aj2 2
7 BXC CXD ajb 3
8 AK BD 2 a-/17 17
9 DK ACX 0
Ответы и указания I 241
4.088.
№ Прямые Расстояние между прямыми
1 АС МО 7з
2 ВС AM 3 72
3 ок РМ 0
4 МО КС 377 7
5 во AM 6 722 11
4.089. 2. 4.090. COS Ct. 4.091. 100 72 ; только равновелики.
4.092. 21 л/З. 4.093. а) а2 Тб; б) За2. 4.094. arccos 1. 4.095.^2.
6 3
4.096. a) arccos 0,75; в) arctg . 4.097.60° и arctg (ЗУЗ).
о
4.098. arccos 2Д . 4.099. —*
5 COS10 ф
4.101. O7q2 . 4.102.22 дм2.
8cos а 7
и jS(l—cos11 ф) . 4.100.5072.
2sin2 cos10 ф
4.103. 1672 см2. 4.104. 9см2.
4.105. а) 60°; б)3б7з дм2. 4.106. Указание. Воспользуйтесь при-
знаком параллельности плоскостей. 4.107. Указание. Восполь-
зуйтесь признаком параллельности плоскостей. 4.109. 7.
4.111. - — -; Ьс ; _ас 4.113. Указание. Спроектируй-
Ja2 + b2 Jb2 + с2 Ja2 + с2
те рёбра РА, ВР и PC на плоскость (АВС) и воспользуйтесь теоре-
мой о трёх перпендикулярах. 4.114. Окружность с диаметром ВС,
где С — основание перпендикуляра из А на а. 4.116. . 4.117. в) а;
Уз
aj2 . ч abj2 . х х асУ§
4 2У2д2 + Ь2 2 2^/За2 + с2
4.119. —— • л/2соза + 1 . 4.120. тУЗ. 4.121.30°. 4.122. %.
2cos
4.123.4717 . 4.124. а) р; 6)^2; в) ; г) ; д) 2^2;
2 13 7 5 13
е) 2^2
' 13 •
242
Ответы и указания
Г лава 5. Расстояния в пространстве
5.001. а) 4; б) 2; в) 8. 5.002. 1 или 7. 5.003. 7 : 10. 5.004. 21 см и
30 см. 5.005. 119 см и 170 см. 5.006. Нет. 5.007. Да. 5.008. а) 3;
6)9^3; в) 60°. 5.009.90°. 5.010. а) 4; 6)2; в) 3; г) 2; д)з|.
О
5.011. а) 12; 6)6; в) 3; г) 4. 5.012. 4. 5.013. а) 2; 6) 1,6; в) 1|; г) 1|.
О 1
5.014. а) 18; 6) 9; в) 10. 5.015. а) 3; 6) 2; в) |; г) 2,5; д) 1? . 5.016. 8;
О о
8; 8. 5.017. 4; 4; 4; 8. 5.018. 3; 5; 8; 8. 5.019. 7з; 7з . 5.020. 10.
5.021.5. 5.022. 12. 5.023. 5 или 11. 5.024. 5 или 15. 5.025. 4 или
10. 5.026. 4 и 8. 5.027. 6 и 24 или 36 и 6. 5.028. а) 5^3 ; 6) .
5.029. а) 4; 6)3,2; в) -Ц- ; г) 2 ^2 . 5.030.-=^=. 5.031. а)
У17 7а2 + Ь2 12
б) aV2 ; В) ^6 .
J о
№ Прямые Расстояние между прямыми
1 MMY QP a
2 NN1 QPr a
3 QP MYK a
4 QQr MYK 2 a 75 5
5 N.Q MP aj6
6 MK NP aj2 2
7 nyp P1Q CL л/З
8 MK NQ 2 a J17 17
9 QK NPX 0
Ответы и указания
243
5.033. Две прямые пересечения плоскости а и двух плоскостей, па-
раллельных плоскости р. 5.034. Четыре прямые, параллельные
прямой пересечения плоскостей аир. 5.035. Прямая, параллель-
ная данным прямым, или пустое множество. 5.036. Прямая пере-
сечения плоскости а и плоскости серединных перпендикуляров от-
резка АВ или пустое множество, или плоскость а. 5.037. Прямая,
проведённая перпендикулярно плоскости четырёхугольника через
центр описанной около него окружности. 5.038. Прямая, про-
ведённая перпендикулярно плоскости четырёхугольника через
центр вписанной в него окружности. 5.039. Окружность диаметра
АВ, где А — основание перпендикуляра AM к плоскости а.
5.040. Окружность радиуса 3 см, центром которой является орто-
гональная проекция точки А на плоскость а. 5.041. Окружность
радиуса 6 см, центром которой является ортогональная проекция
точки А на линию пересечения плоскостей аир. 5.042. 3; 6; 15.
5.043.10. 5.044. л/3 . 5.045.4,8. 5.046. 2 Д. 5.047. а) 2^?;
б) ; в) . 5.048. а) 5; б) 2,5; в) 2? . 5.049. 9; 9; 9; 27; 27; 27;
6 3 У
45. 5.050.2^. 5.051. а) 12; 6)12; в) 6; г) 8; д)4,5. 5.052.3,5.
ZTf /о 2 ZJ 2 u
5.053. —-——----. 5.054. Окружность, плоскость а которой прохо-
дит через точку А и перпендикулярна прямой иг. Диаметром ок-
ружности является отрезок АВ, где В — точка пересечения m и а.
5.055. В плоскости а окружность радиуса 8 см, а в плоскости р —
окружность радиуса 6 см. Центрами этих окружностей являются
a2j2
ортогональные проекции точки А на плоскости аир. 5.062. —— .
5.063. 2^Д . 5.064. 21Д® . 5.065. . 5.066. . 5.067. Семь.
6 44 13 3
5.069.Дх) = 2 Jl +(sin2 |). 5.070.[1,4; 5]. 5.071.а)Да; б) нет;
в) да; г) нет. 5.072. а) Д; б) ; в) ; г) д) •
е л-го \ -Уз з Дз Дз . Д1 2 Д! е Л-,и . , Д1
5.073. а) Д; б) -Д- и Д-; в) Д- и Д—. 5.074. а) 1; б) Д-;
В) ; г) .
244
Ответы и указания
Глава 6. Векторный метод в пространстве
6.001. а) Да; б) да; в) нет. 6.003. а) АС; б) АС\; b)CjB; rjDBp
д) DCy; е) АС ,; ж) 0. 6.005. а) РЕ. 6.012. а)-1; б) 2. 6.014. Указа-
ние. Воспользуйтесь признаком коллинеарности двух векторов.
6.016. Указание. Воспользуйтесь свойством медиан треугольни-
ка. 6.021. а) М = Ср б) М = D; в) AM = 2АС ; г) AM = 2 AD;
ку AM = 2 АВ. 6.027. Да. 6.030. Указание. См. 6.015, 6.017.
6.031.0,2 AD - Q,2AB. 6.032. ЗН. 6.033. а) f а + 5 Ъ; б) -±а +
О О о о
в) 5 а - i b; г) ia + ±Ь; е) ° • а + Ь. 6.034. 3. 6.036. PD = а - b + с;
О О о о
АЕ = -а + 0,5с. 6.037. АХС(1; 1; -1). 6.038. Да. 6.039. а) 0-а +
+ 0,56 + 0,5с; д) а + b - с; е) 2а + 0 • b - с. 6.040. а) (0; -1; 0,5);
б) (0; 0,5; 0,5); г) ( -1; 1; 1 |. 6.041. Указание. См. 6.017. 6.042. Ука-
\ о о
зание. Используйте признак компланарности трёх векторов.
6.043. Указание. Воспользуйтесь признаком коллинеарности
двух векторов. 6.045. Указание. Докажите компланарность век-
торов ОР, ОН и ОК. 6.046. Указание. См. 6.015. 6.047. Указа-
ние. Воспользуйтесь признаком компланарности трёх векторов.
6.048. а) 0,5; лежит внутри треугольника; б) -6,38; лежит вне тре-
угольника. 6.049. а) Не имеют общих точек; б) точка К — общая;
в) отрезок пересекает плоскость; г) отрезок параллелен плоскости.
6.050.1:8. 6.051.1:1. 6.052.1:12. 6.053.1:1. 6.054.5:4.
6.055.1:2. 6.056. б) Пополам. 6.057. а) МТС = i МА + МВ +
о
+ i МС ; б) 6 : 7; в) . 6.059. а) 90°; г) 45°; е) 60°. 6.060. а) 60°;
3 1о
б) 120°. 6.063. а) 10; б) 7^2 ; в) -10; г) 0; д) -4,9; е) 4. 6.064. а) 2;
д) 0. 6.068. а) ; б) ; в) 1; д) ~ ~ 2 . 6.069. а) 2; г) 0,75.
6.070. a) 72; 6)5; в) 719 ; г) 272; д) 738 . 6.071. а) 273; б) 2 Л ;
в) 3 7з ; Г) 719.6.072. -3. 6.073. -13. 6.074. 11. 6.075. 5 ; у •
6.076. т = J2 -а + b - с. 6.077. | -|= ; -L ; —|. 6.078. -6.
I 714 714 714 J
Ответы и указания I 245
6.079.(1; 1; 1). 6.080. ( JL ; -2=; --£=]. 6.081. а) Нет; б) да.
\ 734 734 734)
6.082. а) 0,5а2; б)-0,5а2; г) 0,25а2; д)-0,25а2. 6.085.6)^;
г) arccos |. 6.086. Указание. Воспользуйтесь признаком перпен-
6.088. 2) a) arccos |;
о
б) arccos
6.089.
О
дикулярности двух векторов. 6.087. 1) а) ; б) ; 2) a) arccos | .
о 2 о
1
6
6-090-arK0S • 6-098.а)-£; 6.099. |.
а <лл л 7П «х о а ч -/187 ,.3172
6.100. a) arccos 7—; 6)3. 6.101. a) arccos ; б) „„ .
22 эЬ1 29
7 1 2 --
6.102. arccos — . 6.103.^. 6.105. а) АС; в) АС . 6.106. а) Да;
об 13
б) да. 6.107. Указание. Докажите, что ААг + ВВ^ + ССг = 0.
6.109. Указание. Воспользуйтесь признаком компланарности
трёх векторов. 6.114. Указание. Воспользуйтесь признаком
компланарности трёх векторов. 6.116. а) Отрезок; б) параллело-
грамм; в) параллелепипед. 6.117. 1:3. 6.118. Указание. Исполь-
зуйте центроид треугольника АВС. 6.119. 2 : 3. 6.120. Указание.
Введите единичные векторы на рёбрах трёхгранного угла и
используйте свойство диагоналей ромба делить его углы попо-
лам. 6.121. Указание. Отложите единичные векторы от точ-
ки пересечения диагоналей параллелепипеда. 6.123. Указание.
Воспользуйтесь признаком компланарности трёх векторов.
6.124. Указание. Воспользуйтесь сложением векторов по правилу
параллелепипеда. 6.125. Указание. Воспользуйтесь признаком
компланарности трёх векторов.
Глава 7. Координатный метод в пространстве
7.004.3(2; 3; -5); 6(1; -4; 6); с(-3; 2; -5); р(1; 0; 1); m(-2; 1; 0);
3(0; 0; -1). 7.005. а = Зг + 7] - 2*; Ь = 0 • i - 5у - 2k; с = -I + 2/ +
+ 0-Л; р = 2г + О*/ - 3k; q = 0 • i + 0•; + 5k. 7.006. p(5; 15; -5);
9(4; -18; -9). 7.007. m = 4; n = -1,5. 7.009. |a| = 5^3; |6| = 7;
|e| = 73 ; |p| = 710. 7.011. a • c = 3; a • b = 0; a2 = 6; = 73.
246
Ответы и указания
7.012. (3; -8; 5). 7.013. При r = -2. 7.014. a) (a; b) > 90°; 6) (b; c)
90°; в) (а; с) = 90°. 7.015. Острый угол с i; тупой — с j ; прямой —
c k. 7.016. a) 60°; 6)150°; в) 90°. 7.017. a) 3; 6)-4. 7.018. a) 45°;
6)135°; в) 60°; r) 45°; д)90°; e) 90°; ж)0°; з) 180°. 7.019.1.
7.020. m = 10a - 186 + 11c. 7.021. 7.022. При n =
72 . 7.024. 1) а) Тб ; 6) П; B)arccos|;
N 2 о
2) a) 60°; 6) 90°; в) arccos i . 7.025. a) ; 6) ;
o 2 2
2 ’
г) arccos 1. 7.029. А(2; 3; 4); В(-3; 2; -5);
О
7.030. О А (-2; 2; 0); ОВ(4; -4; 3); ОС(7;0; -9);
1 1 1
в) arccos -- ;
I о /
С(0; -1; 1).
АВ(6; -6; 3);
ВС (3; 4; -12). 7.031. (-4; 0; -10). 7.032. (-4; 3; 3). 7.033. (8; 1; 6).
7.034. АВ = i - 3; - 3k; ВС = -5i + j + 6k; AC = -4i -2j + 3k;
13 ।
0; — ; 2 . 7.036. Указание. Исследуйте, коллинеарны ли векто-
о /
ры АВ и АС. 7.037. С(1; -3; 0); точка С лежит между А и В.
7.038. Нет. 7.039. (0; 6,5; 5). 7.040. (-2,5; -2,5; 0,5), | |; 0; |,
\ о о /
(2,5; 0,5; 5,5), . 7.040.(2; 4; 3). 7.042. а) Да; б) нет;
I о 2 о /
в) да. Указание. Проверьте компланарность векторов АВ, АС
и АЕ. 7.044. (8; 8; 8), (8; 8; -8), (-8; 8; 8), (-8; 8; -8), (-8; -8; 8),
(-8; -8; -8), (8; -8; 8), (8; -8; -8). 7.045. а) На координатной оси
Оху, Oyz или Oxz', б) на оси Ох, Оу или Oz. 7.047. В(5; 3; -3).
7.048. ( 3^ ; б|; 8|. 7.050. а)(-1; 2,5; -2); б)(-8; 4; -19). 7.051. 72;
loo /
7.052.(0,5; 0; 0). 7.053.(1; -3; 3). 7.054. а) Правильный;
3
б) прямоугольный. 7.055.120°; 30°; 30°; 272(2+ 73); 273.
7.056. (1; 1; 0), (2; 1; 0), (2; 2; 0), (1; 2; 0) или (1; 1; 2), (2; 1; 2),
Ответы и указания I 247
(2; 2; 2), (1; 2; 2). 7.057. а) Указание. Возможны 4 случая располо-
жения тетраэдра относительно системы координат. В одном из
них В(0; 73; 0),Р 0;
. 7.058. (-1; 3; 0), (-1; 0; 8), (0; 3; 8),
(-1; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; 8); этот многогранник — прямоугольный
параллелепипед; V = 24; S = 70. 7.059. (0; 2; 8) или (0; 3; 9).
7.060. в) т = 1; п = -1. 7.061. (-2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 7з).
7.062. (0; 0; -3). 7.064. Трапеция. 7.065. а) ; б) ; в) .
3 2 о
7.066. Указание. Рассмотрите 4 случая расположения тетраэд-
ра относительно системы координат. В одном из случаев:
D/о о /5 ЛЛ о/ о 27з 4^6^ Л (8 8^3 476^
В(2;2л/3; 0), Р 2; -±-; -±- ; центроиды: -; ; -5- ;
\ 3 3/ I 3 У У /
(|; j. 7.067. а) (2; 1; ±72 ); (3; 2; ±72);
(2; 3; ±72); (1; 2; ±2). 7.068. 1) 2) arccos [-1 1. 7.069. а)
3 13/ 3
б) ; в)^Д; г)^; 1:1:1. 7.070.(0; 0; 5,5), (0; 0; 5 - 717),
3 3 3
(0; 0; 5 ± 717 ), (0; 0; 4 - 719 ), (0; 0; 4 + 719 ). 7.071. (4; 4; 4) или
[-1; _< 7.072.(0; 0; 9,5), (0; 0; -9,5), (0; 0; -1), (0; 0; 5).
13 3 3 I
7.073. |±£±|=1или|+-^±|=1. 7.074. (х ± I)2 ± (у - З)2 ±
± (г - 5)2 = 16. 7.075. (х - 2)2 + у2 + (г + З)2 = 13. 7.076. (х + I)2 +
+ (у + I)2 + (z- I)2 - 41. 7.077. Точки А, В, Е. 7.078. а) А; б) В, С, О;
в) В и С, В и О, О и С. 7.080. Мг(2,5; 0; 0), МА 0; |; 01, МАО; 0; -5).
7.081. а) х - г - 0; в) х + 2у - 7 г = 0. 7.082. 2х - Зг/ - 5z + 30 = 0.
7.083. а) Зх - 4у ± 5z ± 4 = 0; б) 2х + Зу - 4z = 0; в) 5х ± у - 4z ± 7 — 0.
7.084. а) х - 3 = 0; б) у - 3 = 0; в) г - 3 = 0; г) г + 4 = 0; д) х + г - 3 = 0.
7.086. Зх + 4у - Зг - 14 = 0. 7.087. 2х - Зу ± z - 13 = 0. 7.088. +
+ 2 + -L - 1. 7.089. 3x±t/-z-2 = 0. 7.090. a) z = 1; б) х + 1 = 0;
в) у - 2 = 0; г) 2х - у + 3z ± 1 = 0. 7.091. (2,5; 0; 0); (0; -5; 0); (0; 0; 2,5);
248
Ответы и указания
2L + JL + _£_ = 1. 7.093. a)x + y + z- 3 = 0;6)x + i/ + z- 2 = 0;
в) 15х + 10i/ - 6z - 60 = 0. 7.094. (х + I)2 + (у - 2)2 + (г - I)2 = 3 и
х2 + (г/- З)2 + (z - 2)2 = 3. 7.095. в) (2;-3; 5); 7з ; г) (1; | j ; .
7.096. 2) а) (х - 2)2 + (у + З)2 + (г - 4)2 = 16. 7.097. а) х = 0; б) у = 3;
в) х = 0; г) у + 5г = 0; д) Зх + Зу + 2z - 8 = 0. 7.098. Совокупность то-
чек координатных плоскостей. 7.099. Совокупность точек беско-
нечной цилиндрической поверхности с образующей, параллель-
ной оси аппликат; сечением этой поверхности плоскостью Оху яв-
ляется квадрат (как замкнутая ломаная) с вершинами (±1; 0; 0),
(0; ±1; 0). 7.100. Совокупность точек двух пересекающихся плос-
костей х-1/ + 2г = 0их + г/-2г = 0. 7.101. х - бу + 16г - 77 = 0.
-у Л/Г ( ^6 11 —9 4АО 34 -у 1
7.102. Мо — ; —; — . 7.103. arccos — . 7.104. arccos - .
\ 1У 1У 1У I оУ о
7.105. а) (3- 72; 3 - 72 ; 0); б) (3 + 72 ; 3 + 72 ; 0). 7.106. Ес-
ли a < -5 — пустое множество; если a = -5 — точка (-2; 1; 0); если
a > -5 — сфера радиуса 7^ + 5 с центром (-2; 1; 0). 7.107. 25л.
1 о
7.108. 2х + 4г/ + 4г = 9. 7.109. х + у - 2г = 0. 7.110. (х - I)2 + (у - I)2 +
+ (г - 2)2 = 6 или (х - I)2 + (у - I)2 + (г - 2)2 = 54. 7.111. х2 + у2 + г2 = 1;
х2 + у2 + г2 = 9. 7.112. Сфера радиуса 726 с центром (2; -1; 3); точ-
ки А и В — концы диаметра сферы — исключены. 7.113. Две
сферы: (х - I)2 + у2 + (г + 2)2 = 1 и (х - I)2 + у2 + (г + 2)2 = 25.
7.116.(3; 2. 2W2. 2. _2у(2;_2;2) ,(|;-|;-|j.7.117.x + z-
-6 = 0. 7.118. 7х + 19г/ + 5г - 104 = 0. 7.119. Поверхность октаэдра
с вершинами (±1; 0; 0), (0; ±1; 0), (0; 0; ±1). 7.120. Поверхность
шестигранного угла с вершиной в начале координат. Каждое ребро
угла находится в соответствующем октанте, за исключением двух
октантов со всеми положительными или всеми отрицательными
координатами. 7.121. Поверхность октаэдра с вершинами (±4; 0; 0),
(0; ±4; 0), (0; 0; ±4). 7.122. 2х + 2у + 2г - 15 = 0. 7.123. arccos ;
735
arccos ; arccos -^= . 7.125. 5х - Зу + г = 0. 7.126. Если а е (-2; 2) —
пустое множество; если a = -2 — точка (2; 0; 2); если a = 2 — точка
Ответы и указания I 249
(-2; 0; 2); если a е (-оо; -2) и (2; +оо) — сфера радиуса Ja2 - 4
с центром (-а; 0; 2). 7.127.23,04л. 7.128. 6х -Sy -47-0.
7.129. х + 2у + 2z - 11 = 0. 7.130. (х - 5)2 + (у - I)2 + (г -I)2 = 12 или
(х - 5)2 + (у - I)2 + (z - I)2 = 48. 7.131. Множество всех внутренних
точек шара радиуса Тб с центром (2; 1; 1), за исключением то-
чек диаметра АС. 7.132. Все точки К(х; у\ г), лежащие вне сферы
х2 + у2 + (г - 2)2 = 9, за исключением тех из них, которые лежат
на прямой х 1 * = V • % = = ~2 9 содержащей точки М и Ж
7.133. Зх - у + 2z - 5 = 0. 7.134. 6)x-i/ = 0;b)x + z/ + 2- 6 = 0.
7.135. 1:1:1. 7.137. а) (3; -3; 3) и (-3; 3; -3); б)
(3; -3; 3). 7.138. а) (1; 1; 1); б) (5; 5; 5); в)(3; 3; 3 -2 73 ), (3; 3 - 2 73 ; 3),
(_5, 5. _5 ].
I 3 ’ 3 ’ 3 /’
(3 - 2ТЗ; 3; 3); г)(3; 3; 3 + 2Л), (3; 3 + 2УЗ ; 3), (3 + 2УЗ; 3; 3);
д) (3; 3 - Уб; 3 - Уб), (3 - Уб; 3; 3 - Уб), (3 - Уб; 3 - Уб; 3);
е) (3; 3 + Уб; 3 + Уб), (3 + Уб; 3; 3 + Уб), (3 + Уб; 3 + Уб; 3);
ж)(3;3; 3 + 2УЗ); з)(3; 3; 3 - 2УЗ). 7.142. Параллельны.
7.144. (-13; -4; -20). 7.145. arcsin —1= . 7.146. а) 90°; б) arccos .
2У39 3
7.147. Точки М и К принадлежат прямой,
7.148. а--2; р - 0. 7.149.
а точка — нет.
Х= - \ t, t е R.
о о
у = о,
z = t;
z = t;
х=И -8,
3 3
y = t,
2 = 0.
х = -8 + 0t, г
7.150. \y=l-Ot, teR;
2 = 3 - 4t; 3 9
— ;0;-
2 ’ ’ 3
-M:0- 7151
X = -t,
у = 4t, t e R. 7.152.
z = 4t;
x = -t,
у = 2t, t e R.
z = 7f,
7.153. a + p = -5. 7.154. arccos У0,7 . 7.155. arccos |. 7.156. Пря-
О
мые совпадают. 7.157. Прямые пересекаются в точке А(5; 2; 9).
7.158. 2) а) ; б) ; в) . 7.159. Прямая лежит в плоскости.
О О о
7.160. Прямая параллельна плоскости Oxz и пересекает плоскость
250 I Ответы и указания
Оху в точке (-7; 1; 0), а плоскость Оу г — в точке
(о;1;4|1.
\ *•* J
7.161.
х = 5£,
у = 3 4- 2t, t Е /?;
z = 4 - t.
(0,5; 3,2; 3,9).
«о Ю
7.162. arcsin .
7154
7.163. х - 2у - 3z = 0; 3® ;
-1|; 2? . 7.164. 1 : 3. 7.165. Прямая
и сфера пересекаются в
точках А(4; 0; 3) и в(|;2у;4?
х = 2, x = -3 - 4t,
7.167. < y = t, t g R. 7.168. < у = 4 + 3t, t G R. 7.169. Ox и
z = 0; г = i;
АВ пересекаются; Оу и AB, Oz и AB скрещиваются.
x = 1 - 5t, x = -1,
7.170.1 y = 3, t G R. 7.171. <i/ = 2 + 3f, t G R. 7.172.0.
z = -2 + 2t; z = 3 - 7t;
7.173. Прямые параллельны. 7.174. 1) | = 1; 2) б) [ ; 1; | 2 3 5 \3 3 !
в) 1 : 2; r)cos<p =
6 25 ч 2 ч 19
is - га; д) ата1П 7га: е) 7га' 7'175'х '
- 1 + 51, у - 1 - t, г - 1 - 11. 7.176. . 7.177. Прямая парал-
лельна плоскости. 7.178. Прямая пересекает плоскость в точке
-13; 111; 1 . 7.179.
О О 1
х = 3 + 3t,
у = 8 - 7t, t g R. 7.180. Прямая и сфера
г = 1 4-1\
касаются в точке (1; 5; 12). 7.181. Прямая и сфера не имеют общих
точек. 7.184. .7.185. 2х + 3z/ + 6г = 0. 7.186. 2 = 0 и Зх + 4г = 0.
7.187. 2х - Зу + 2 + 2 = 0. 7.188. Две плоскости х + 2у - 2г - 11 = 0
и х 4- 2у - 2г 4- 1 = 0. 7.189. Две плоскости 7х 4- 9у + 8г 4- 4 = 0
и х- 15</ + 16г + 6 = О. 7.190. 4 : 25. 7.191. • 7.192. .
738 3729
7.193.
х = 2t,
у = t, t G R.
2 —
7.194.(4; -1; -3); 726- 7.195.(1; 2; 6),
(1; 2; 4), (1; 0; 6), (1; 0; 4), (-1; 2; 6), (-1; 2; 4), (-1; 0; 6), (-1; 0; 4).
7.196. Множество всех точек сферы радиуса 715,25 с центром
Ответы и указания I 251
(2; 3; 1,5). 7.197. Множество всех точек сферы радиуса Уб с цент-
(2 2 7 \
о ; 5 ; о 7.198. 12а2, где a — ребро куба. 7.199. 8а2, где а —
О о о /
ребро куба. 7.201. Множество всех точек сферы радиуса 0,5 с цент-
ром в центре призмы. 7.202. Множество всех точек сферы радиуса
2 с центром в начале координат. 7.203. Множество всех точек
сферы радиуса 2 с центром (0; 2;-1). 7.204. 8х + у = 0. 7.205. 5х-
- 3i/ - 8z = 0. 7.206. Да; х + 2у + 13г - 22 = 0. 7.207. Да; х + z - 3 = 0.
7.208. 8. 7.209. Такая точка единственная: (0; 0; -6,5). 7.210. 4х +
+ Зг/ + 12г - 25 = 0. 7.211. Такая сфера единственная: х2 + у2 + г2 =
X = t, х = t,
= 30. 7.212. Таких прямых две: и y = t, И < г/ = -1П, t е R,
г = -t 2 = 5t;
х = 3 - 2/, х = 0, х = 3 - - 2v,
7.213. у = 1 + 3t, < у = 1 + За, < у = 0, t, U, V G R,
г == 0; z = 5и; г === 5 и;
7 О1Л ( 19 . 1 1 . 4 Y ( 19 . 11 . 1 - 4 7 215 x =
17498 ’ 7498 ’ 7498 Г ' к 7498’ 7498’ l I • 1 ъ 1 sJ 7498 J
= у = z, х = у = -г, х = -у = г, х = -у - -z.
7.216.
х = 2t,
у = 22,5 ~ 3t,
z = -37 + 8t;
t G R. 7.217. Сфера, описанная около куба. 7.218. Сфера с радиусом
и центром (0; 2,125; -0,5625). 7.219. рА . 7.220. а) 73;
1о 4
б) ; в) ; г) . 7.221. а) ; б) ЦД . 7.222. а) ; б) ;
в) ^21 и ЦД.7.223. а) ; б) . 7.224. а) ; б) ; в) ;
г) . 7.225 . arccos |. 7.226. a) arccos ; б) arccos ;
в) arccos 7.227. 0,12573 . 7.228. а) 0,2-715 ; б) 0,25-УЗ;
в) 0.125 73; г)0,25л/б. 7.229. Ар. 7.230. а) р ; б) Др ; в) ;
I 2 1 о Э
Г) . л) 2713
7 13 ’ 13 *
252 I Ответы и указания
Д2. Материалы для повторения
и углубления планиметрии
107.5,8 см. 109. /д2 t . 110.6. 111.5,6. 112.4:3. 113. РД .
7 5 15
114. 5 Л см. 115. 1. 116. -с' (zsnin 2]У- . 117. и В . 118. 16. 119. 7.
2sin (р 4 45°) 2 1
120. 52. 121. 10. 122. 9^ . 123. 7. 124. р - а; р - Ь; р - с, гдер — по-
35
28 2
луперимепгр треугольника. 126.56 см. 127.—. 128. 41-см.
3 Г 3
130. 2,5; 6; 6,5. 131. • 132. ; 4; . 134. 90 см. 135. 12 см;
2 о 2о
см. 137. 4,8 см. Указание. Треугольники АВС и DBE подоб-
о
ны. 138. 5 а. 139.7,5 см. 140.7,5 см. 141.13 см. 142. Я.
5 2
143. 5 СМ. 144. Уrf 4- rf . Указание. Воспользуйтесь подобием тре-
угольников. 145. г 4- 4- г2. Указание. Воспользуйтесь соотноше-
нием между катетами, гипотенузой и радиусом вписанной в пря-
моугольный треугольник окружности. 146. • Указание. Вос-
пользуйтесь теоремой о касательной к окружности и секущей.
147. 148.69°; 48° и 63°. 149.44°; 80° и 56°. 150.8. 151.2.
О
152.72. 153.3^2. 154.18. 155.157°. 156.25л. 157.84 см2.
158. 192 : 49. 159. 15 дм; 8 дм. 160. Р . 161.30 : 7. 162. 45°; 45°; 90°.
7з
Указание. Воспользуйтесь неравенством ~
164.7. 165. а + Ь ~ 7д^ + aft + . 166.6. 167. ю|. 168. 710 .
2 3
170. cos С. 171.S*cos2p. 172. а) (7^ + JS~2 )2! б)2 7«! • S2 .
173. (JS\ + 7^2 + Т^з )2- 174.34 см и 56 см. 175.70 см; 75 см.
176. а - Ь. 177. 7b2 - а2. 178.1,25. 179.4 см. 180. ЗТЗ.
181.2 arcsin —. 182. 20 см2. 183. д273(б73—4) 184 Дд
7109 3
5:2.163. 2
7 35
Ответы и указания I 253
185. М2 4f + 1^. 186.15 см. 187.7,2; 7,5. 188.10. 189. a -b.
у о
190.1; УЗ. 191.5дм; 13дм. 192.29,4см; 12,5см; 14см; 16,9см.
193.192 см2. 194. см. 195. 9^/10 см; 18^/10 с _/19 см;
/ 3 5 5 5
3 /16 см. 196. . 198. 180 см2. 199. 30°; 150°. 201Л ; . 202. 1.
3 4 4
203. 3. 204. 2. 205. 37. 206. a'b ,. 207. 168. 208. 3. 209. 3.
(a + b)2
210. 10 см2. 211. . Указание. Если DC = а, Л АСМ = а, то
О
а = 4 : cos а = 3 : cos (60° - а). 212. JP • Q . 214. 2 /б . 215. Указание.
Средние линии треугольника разбивают его на четыре равнове-
ликих треугольника. 216. . 217. J1 . 218.8 см; 9 см. 219. .
220. 200. 221. Л . 222. а / Д* . 223. 17 см. 224. Указание. Тра-
пеция, вписанная в окружность, является равнобедренной.
225. 3 см. 226. i MRr ~ . 227. 30. 228. а) 27^7; б) /я"7;
„j о
в) 90°. 229. —и —. 230. 6 + 2 Л . 231.30°. 232. 4? .
(Jr + Jr)" (Jr - JrJ °
233. 7 + 4л/3.234. J21.235. 48. 236. 5S. 237. Полоса, заключён-
ная между двумя параллельными прямыми, расстояние между ко-
торыми равно 2р, а прямая I делит их общий перпендикуляр попо-
лам. 238. а) Окружность с центром А и радиусом АВ; б) окруж-
ность с радиусом, равным отрезку АВ, и с центром в точке
симметричной точке А относительно точки В. 239. а) Серединный
перпендикуляр к отрезку АВ; б) прямая, перпендикулярная пря-
мой АВ и проходящая через точку, симметричную середине отрез-
ка АВ относительно точки В. 240. а) Прямая, проходящая через
точку С параллельно прямой АВ; б) отрезок BD такой, что BD =
= АС; в) параллелограмм ABDC, где CD = АВ. 241. Да. Указание.
Покажите, что диагонали данного четырёхугольника, пересекаясь,
делятся пополам. 243. ВМ: МК 5:3; AM: МР — 3:1.
244. ВМ : МН =5:4; AM : МК = 2:1. 245. 6:11. 246. (х - I)2 +
+ (у + 5)2 = 50. 247. 10. Указание. Возведите в квадрат векторное
254 I Ответы и указания
равенство МСХ = | (МА + МВ), где М — точка пересечения меди-
ан треугольника АВС, С\ — середина стороны АВ. 248. 6. Указа-
ние. Используйте равенство АуЦ = - АВ + - АС. 249. (х - 5)2 +
+ (у + З)2 = 68, кроме точек (3; 5) и (7; -11). 250. (х - З)2 + (у - 5)2 =
= 17. 251. Окружность с центром (5,5; 0) и радиусом 1,5. 252. Ок-
ружности пересекаются. 253. (х - 9)2 + (у + 7)2 = 100 или (х + З)2 +
+ (у - 9)2 = 100. 254. Две концентрические окружности с центром в
начале координат и радиусами 1 и 5. 255. Зх + 4у - 25 = 0; 1073 .
256. 10.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....................................... 3
Условные обозначения .............................. 5
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ
Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них......... 7
Графическая работа № 1.
Тема: «Следствия из аксиом стереометрии».......... 15
Задачи к главе 1.................................. 16
Глава 2. ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи к § 6. Классификация взаимного расположения
двух прямых....................................... 19
Задачи к § 7. Угол между лучами. Угол между прямыми
в пространстве. Перпендикулярные прямые........... 24
Задачи к главе 2.................................. 25
Глава 3. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи к § 8. Параллельность прямой и плоскости .. 30
Задачи к § 9—10. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Перпендикуляр и наклонная к плоскости............. 34
Задачи к § 11. Угол между прямой и плоскостью..... 41
Задачи к § 12. Параллельное проектирование и его свойства.
Ортогональное проектирование...................... 45
Задачи к главе 3.................................. 47
Глава 4. ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Графическая работа № 2.
Тема «Параллельность в пространстве».............. 54
Задачи к § 13. Параллельность плоскостей.......... 55
Задачи к § 14. Двугранные углы. Угол между двумя
плоскостями....................................... 62
Задачи к § 15. Перпендикулярность плоскостей...... 65
Задачи к § 16. Общий перпендикуляр скрещивающихся
прямых............................................ 68
Графическая работа № 3.
Тема: «Перпендикулярность в пространстве»......... 70
Задачи к § 17. Площадь ортогональной проекции
многоугольника.................................... 71
Задачи к главе 4.................................. 73
256 I Оглавление
Глава 5. РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи к § 18. Расстояние от точки до фигуры..... 77
Задачи к § 19. Расстояние между фигурами......... 79
Задачи к § 20. Геометрические места точек, связанные
с расстоянием в пространстве..................... 81
Задачи к главе 5................................. 82
Глава 6. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи к § 21. Понятие вектора. Линейные операции
над векторами.................................... 86
Задачи к § 22. Разложение вектора по базису...... 91
Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов... 95
Задачи к главе 6.................................110
Глава?. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ
Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат
в пространстве...................................113
Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями
и неравенствами..................................123
Задачи к § 26. Расстояние от точки до плоскости
в координатах....................................136
Задачи к главе 7.................................138
ДОПОЛНЕНИЯ. Д1. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
МНОГОГРАННИКОВ
1.1. Метод следов................................151
1.2. Метод внутреннего проектирования............162
1.3. Комбинированный метод.......................169
ДОПОЛНЕНИЯ. Д2. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
И УГЛУБЛЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИИ
2.1. «Рабочие теоремы» планиметрии...............173
2.2. Задачи на построение при помощи циркуля и линейки 183
2.3. Тематическая подборка задач на вычисление
и доказательство.................................188
ПРИЛОЖЕНИЯ
Список задач на построение в пространстве........213
Список основных теорем 10 класса.................214
Формулы планиметрии..............................216
Тригонометрические тождества.....................222
Формулы стереометрии .......................... 223
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ...............................231