Л. А. КАЛУЖНИН
ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКИ
в школьном
КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга предназначается в первую очередь для учителей
математики общеобразовательных средних школ; она может
оказаться небесполезной и будущим учителям — студентам
пединститутов, а также школьникам старших классов, интересующимся
математикой. Книга посвящена роли и месту идей современной
математики в школьном преподавании. Даже при беглом
просмотре наших (да и зарубежных) школьных учебников можно
заметить появление в них вопросов, относящихся к двум разделам
современной математики: теории множеств и математической
логике. Освоение этой новой и непривычной тематики проходит
далеко не безболезненно, причем в особенно трудном положении
оказываются учителя старших поколений, во время своей учебы не
изучавшие эти разделы. Сейчас, конечно, положение изменилось:
появилась довольно обширная общедоступная литература по этим
вопросам. Особенно популярной (благодаря многочисленным ее
применениям в кибернетике) стала одна из глав математической
логики — так называемая алгебра логики.
Теоретико-множественные и логические основы школьной математики неоднократно
обсуждались на страницах журнала «Математика в школе» и в
другой методической литературе.
Таким образом, тема «Множества и логика» перестала быть для
школьной математики в полном смысле terra incognita (так на
средневековых картах обозначались далекие и неизвестные
материки). И все же области эти и их значение для школьной
математики освещены явно недостаточно — явление, характерное для
эпохи научно-технической революции, когда общеобразовательная
школа оказалась на переломном этапе своего развития.
Для успешного преодоления этого этапа нужна разнообразная
литература. Наша книга не претендует на систематичность в
изложении теории множеств и математической логики — это не
учебник и не учебное пособие. Наша цель — показать, как многие темы
алгебры, геометрии и анализа, такие, как «Системы уравнений и
неравенств», «Графики функций» и «Элементы аналитической
а

геометрии», могут рассматриваться с единой точки зрения. Такой
синтез приводит и к лучшему пониманию материала, и к экономии
во времени.
В качестве центральных, синтезирующих понятий мы берем
понятие высказывательной формы (посвященный ему пятый параграф —
основной всего текста) и, конечно, основное понятие
математической логики — понятие логического следования, без четкого
представления о значении которого нельзя понять, что представляет
собой математическое доказательство (об этом говорится во всех
параграфах).
Теория множеств и логика — относительно новые темы для
школьной математики. Однако истоки многих их основных
положений уходят в классическую древность, к «отцу логики»
Аристотелю, а основные идеи современной математической логики были
сформулированы Г. В. Лейбницем. Не затрагивая эту
предысторию, трудно оценить по существу и современный этап. Поэтому
наше изложение, насколько позволяет объем, содержит некоторые
исторические сведения. Мы хотели бы показать читателю, что
современный этап школьной математики, в котором существенную
роль играет логика, не является временной «модой», а опирается
на многовековую традицию, ставшую по ряду причин особенно
актуальной во время научно-технической революции.
Вообще же наше изложение носит популярный характер, причем
многое (важное даже в рамках нашей темы) здесь не затрагивается,
а иные вопросы упоминаются лишь вскользь. Для расширения и
углубления сказанного нужна дополнительная литература, к
которой мы отсылаем читателя в довольно обширной библиографии.
В нашей стране теория множеств и математическая логика
имеют давние замечательные традиции, связанные с именами
Н. Н. Лузина, М. Я. Суслина, П. С. Урысона, Л. В. Келдыш,
И. И. Жегалкина, В. И. Гливенко, М. И. Шейнфинкеля и
плодотворно работающих до сих пор А. Н. Колмогорова, П. С.
Александрова, А. А. Маркова и Д. А. Бочвара. Приобрели мировую
известность следующие научные школы: теория множеств и
математическая логика академика П. С. Новикова (1901—1974),
математическая логика и алгебра академика А. И. Мальцева (1909—
1967), основавшие новые глубокие направления на стыке алгебры
и логики. П. С. Новиков долгие годы работал в Московском
пединституте и Московском университете, а А. И. Мальцев — в
Ивановском пединституте и Новосибирском университете. К ним в первую
очередь восходят идеи внедрения представлений и методов теории
множеств и математической логики в школьную математику.
Воздействие их идей постоянно ощущает и автор настоящей книги.

§ 1. КАК ВОЗНИКЛА ФОРМАЛЬНАЯ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Единственное средство усовершенствовать наши
умозаключения состоит в том, чтобы сделать их столь же
наглядными, как у математиков, — такими, что их
ошибочность можно было бы попросту увидеть, увидеть
глазами, а в случае возникновения разногласий
достаточно ^было бы только сказать: «Посчитаем, милостивый
государь!», чтобы без дальнейших околичностей стало
ясно, кто прав.
Г. В. Лейбниц
Математика — наука
«доказательная». Истинность ее утверждений устанавливается не на основании
наблюдений или результатов опыта, а логически выводится из
небольшого числа исходных утверждений — аксиом; такой вывод
называется (математическим) доказательством. Каждый, кто
изучает математику, должен уяснить этот ее характер независимо от
того, посвятит ли он себя в дальнейшем этой науке, будет ли ею
пользоваться в качестве мощного инструмента исследований в
других областях знания или же, наконец, знакомится с ней с
общеобразовательными целями.
Но что значит «логически выводится»? Ниже мы постараемся
раскрыть такие часто встречающиеся в математике термины, как
«логическое следование», «логический вывод» и многие другие
обороты, в которых явно встречается или хотя бы подразумевается
эпитет «логический». Он ясно указывает на то, что речь идет об
области, известной как логика. Более точно к математике с
древних времен примыкала так называемая формальная логика, а в
последние десятилетия говорят о математической логике, еще более
подчеркивая связь логика — математика.
В этом параграфе мы кратко и пока достаточно поверхностно
проследим историю возникновения математической логики; более
содержательному изложению этой науки, особенно ее «школьным
аспектам», мы посвятим последующие параграфы.
В своей целенаправленной практической деятельности человек
опирается на законы природы и общества. Знания о них он
получает в основном тремя способами: наблюдая явления и вещи в
естественных .условиях и накапливая таким образом сведения об
окружающем мире; «задавая природе вопросы», т. е. ставя
эксперименты в искусственно созданных им условиях; рассуждая и в ходе
этих рассуждений получая новые знания из полученных ранее. Эти
три метода — источники науки. Доля и вес трех основных методов
в разных науках различны, и в зависимости от того, какой метод
преобладает, различают описательные (дескриптивные), опытные
5

(экспериментальные, эмпирические) и дедуктивные науки. К
дескриптивным наукам относят астрономию, комплекс географических
наук (географию, геологию и др.), ботанику, зоологию. К
экспериментальным наукам причисляют физику, химию и отчасти
биологию. Дедуктивные науки — это математика, логика (а также
теоретическая механика и подобные ей «формализованные» разделы
других наук).
В дедуктивных науках главным методом является вывод
следствий из небольшого числа исходных положений. Конечно, эти
исходные положения в свою очередь являются результатом опыта и
наблюдений, но содержание и форма дедуктивных наук
характеризуются главным образом тем богатством следствий, которые
удается получить рассуждениями. Достаточно сослаться на пример
геометрии: какая стройная, многогранная система утверждений
вырастает из небольшого числа «очевидных» аксиом Евклида!
А закономерности, изучаемые в теоретической механике,
получающиеся из законов Ньютона, основанных в свою очередь на
наблюдениях Кеплера, Тихо Браге и опытах Галилея! Конечно,
следует еще раз подчеркнуть, что указанное различие не вполне четко:
подразделение наук на описательные, экспериментальные и
дедуктивные довольно-таки относительно. В ходе развития науки
соотношение между наблюдением, экспериментом и логическим
рассуждением меняется. В частности, в настоящее время явно
наблюдается тенденция проникновения логических и математических
методов во многие разделы наук, считавшихся до сих пор науками
описательными: биологию, экономику, лингвистику. Впрочем,
эти вопросы выходят за рамки нашей книги.
В последние десятилетия наблюдается усиление интереса к
методам логических заключений. Одна из важнейших причин —
зарождение вычислительной техники. В свое время появление и
распространение паровых машин ознаменовало начало эры
техники, начало первой научно-технической революции, в ходе которой
человек в невиданной до того мере приумножил свои физические
силы; появление электрической энергии во второй половине
прошлого века еще во много раз увеличило эту тенденцию. Научной
базой новой техники была физика. А сейчас на наших глазах
появились быстродействующие электронно-вычислительные машины
с программным управлением, и так же как в свое время паровые
машины, электрогенераторы и электромоторы увеличили силу
человека и его энерговооруженность, так теперь ЭВМ умножают
умственные способности человека («вторая научно-техническая
революция»). Теперь научная база намного шире. К ней относится,
конечно, и физика, особенно радиоэлектроника, но прежде всего
логика и математика, что относится уже к нашей теме. Причем,
как в свое время (в прошлом столетии и в начале нашего века) рост
техники на основе пара и электричества стимулировал широкое
развитие термодинамики и электродинамики — центральных
разделов физики, так в наше время количественный рост и быстрое
6

усовершенствование ЭВМ стимулирует развитие формальной
логики и некоторых разделов математики, числящихся среди самых
абстрактных,— общей алгебры, теории множеств,
математической логики и др.
В научно-популярных журналах и научно-фантастической
литературе за последние годы много говорилось об «электронном
мозге», поэтому актуален вопрос о том, что представляет собой
наш собственный человеческий мозг — согласно каким законам
и правилам сам Человек, а не машина получает следствия из
имеющихся или предполагаемых данных. А это как раз область
формальной логики, но также, если внимательно присмотреться,
и область математики.
Формальная логика возникла около 2,5 тыс. лет назад в
Древней Греции, главным образом в трудах Аристотеля и его
последователей. Достигнув относительно высокой ступени развития, она
в отличие от математики прошла затем долгий период застоя и
стала снова интенсивно развиваться примерно сто лет назад. При
этом она сблизилась с математикой и превратилась в науку,
которая теперь называется математической логикой.
У истоков формальной логики, как мы уже говорили, стоял
древнегреческий мыслитель Аристотель (384—322 гг. до н.э.),
родом он был из города Стагира на фракийском побережье
полуострова Халькидика; по месту рождения его часто называют Ста-
гиритом. Отец Аристотеля Никомах был врачом и другом
македонского царя Аминта II (393—369 гг. до н. э.). Аристотель рос и
учился совместно с сыном Аминта — будущим царем Филиппом II
Македонским, и на протяжении всей жизни его судьба была тесно
связана с македонским царским домом.
Для продолжения образования Аристотель в возрасте 18 лет
отправился в Афины к великому афинскому мыслителю Платону
(427—347 гг. до н. э.) и провел в его школе — «академии»1 20 лет,
вплоть до смерти Платона в 347 г. до н. э.
Аристотель был, несомненно, самым выдающимся из учеников
Платона,глубоко усвоившим его знания и идеи. Но это был очень
самостоятельно мыслящий ученый, далеко не всегда согласный со
своим учителем, особенно в том, что касается мировоззрения.
Платон, как известно, был создателем системы объективного
идеализма. Аристотель же в основном вопросе философии занимал
среднюю позицию между идеализмом и материализмом. Об
отношениях между Аристотелем и Платоном часто цитируют изречение:
«Платон мне друг, но истина еще дороже» (впрочем, дословно в такой
форме это изречение не встречается в трудах Аристотеля). В 343 г.
1 Название «академия» (от него идет и современный термин «академия»)
происходит от имени мифического древнегреческого героя Академа. О
«Платоновской академии» (она просуществовала с перерывами до эпохи
Возрождения) см., например, в «Философской энциклопедии» (М., 1960) статью
«Академия Платоновская».
7

до н. э. царь Филипп пригласил друга своей юности, ставшего тем
временем величайшим ученым, в качестве наставника своего сына
Александра при царском дворе в г. Пелла. Когда же Александр
через несколько лет сам стал царем, знаменитым Александром
Македонским, Аристотель вновь вернулся к науке. В 335 г. до н. э.
он возвращается в Афины и здесь в предместье Ликей1 собирает
вокруг себя учащуюся молодежь, которой читает курсы
различных наук. Эта школа известна в истории науки и философии как
«перипатетическая школа» («перипатос» — прогулка и место
прогулки, греч.). Именно в это время Аристотель стал, по словам К.
Маркса, Александром Македонским греческой философии (см. Маркс К. и
Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е, т. 40, с. 156). Следует иметь в виду, что
философия в ту эпоху означала совокупность всех наук —
энциклопедию. В современном смысле Аристотель был и физиком, и
биологом, и психологом, и социологом, и собственно философом
(метафизика, этика, эстетика), и, наконец, что существенно для
нас, логиком.
В 323 г. до н. э. умер Александр Македонский, и в Афинах
победила антимакедонская партия. Аристотель, как друг и учитель
Александра, должен был покинуть Афины. Год спустя он умер на
острове Евбея.
Логическое учение' Аристотеля содержится в его знаменитых
книгах: «Категории», «Об истолкованиях», «Первая аналитика»,
«Вторая аналитика», «Топика», «Софистические опровержения».
Эти труды были объединены комментаторами Аристотеля под
общим заглавием «Органон» (инструмент). По тогдашним
убеждениям его логика представляла собой метод для получения
научных знаний, т. е. то, что мы сегодня называли бы методологией
науки.
В «Аналитиках» Аристотель впервые строго обосновал один
из первых разделов логики — учение о суждениях и силлогизмах.
На протяжении многих столетий, вплоть до возникновения
математической логики, этот раздел с некоторыми его разветвлениями
отождествлялся со всей формальной логикой. Значение этого труда
огромно, его часто сопоставляют с «Началами» Евклида, на которые
он, несомненно, оказал большое влияние. Об этом мы поговорим
более подробно в § 4. Сейчас же мы вкратце остановимся на
силлогистике, чтобы на простых примерах пояснить, что
представляет собой логический вывод и какие выводы следует считать
правильными, а какие — неправильными.
Вот простой пример:
«Все птицы — животные»,
«Все воробьи — птицы»,
следовательно, «Все воробьи — животные».
1 Отсюда латинизированная форма «лицей».
8

Первые два предложения называются посылками, последнее —
заключением. Здесь все три предложения истинны, причем
истинность заключения следует по определенной схеме из истинности
посылок. Схема выглядит так:
«Все В суть С»,
«Все А суть В», (1)
следовательно, «Все А суть С».
Эта схема всегда приводит от верных посылок к верному
заключению. Поэтому вывод по такой схеме считается логически
правильным. В предыдущем примере это не вызовет сомнения. Но
логически правильным будет и такой вывод по схеме (1):
«Все птицы — животные»,
«Все цветы — птицы»,
следовательно, «Все цветы — животные».
То, что заключение — ложное утверждение, происходит не
от неправильности схемы, а связано с тем, что одна из посылок
ложна и хорошо налаженная машина может выдать брак, если ее
загрузить недоброкачественным сырьем.
А вот пример неправильного вывода:
«Некоторые французы — блондины»,
«Некоторые курящие — французы»,
следовательно, «Некоторые курящие — блондины».
Такой вывод содержит логическую ошибку, несмотря на то что
здесь обе посылки и заключение — истинные утверждения. Но
вывод был сделан по такой схеме:
«Некоторые В суть С»,
«Некоторые А суть В»,
следовательно, «Некоторые А суть С».
А так заключать нельзя. Например, по такой схеме мы имели бы:
«Некоторые выпуклые фигуры — круги»,
«Некоторые многоугольники — выпуклые фигуры»,
истинные утверждения, а вывод по схеме (II) давал бы
«Некоторые многоугольники — круги».
То есть по схеме (II) можно было бы получить из истинных
посылок ложное заключение, а правильными считаются лишь те схемы
логических выводов, которые всегда из истинных посылок приводят
к истинным заключениям.
Отметим еще одно обстоятельство — логические выводы
делаются по некоторой определенной схеме, и, как мы теперь знаем,
аристотелевские силлогизмы представляют собой лишь очень малую
часть возможных и употребительных схем. В следующих параграфах
9

мы познакомимся с более общими подходами. Выводы согласно
определенным схемам напоминают математические выкладки,
аналогичные преобразованиям, используемым при нахождении
решений систем уравнений и неравенств. Это обстоятельство было
подмечено многими учеными еще в средние века, но особенно на этой
стороне логических выводов настаивал великий немецкий ученый
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716), предложивший
детальную программу логических исследований методами математики.
Как и Аристотель, Лейбниц был универсальным ученым, внесшим
существенный вклад в философию, юриспруденцию, историю,
физику и математику. Его имя упоминается наряду с именем И.
Ньютона как одного из создателей дифференциального и интегрального
исчисления. Но его вклад в математику не ограничивается этим
достижением: Лейбница можно считать одним из создателей
комбинаторики. Значителен его вклад и в алгебру: к нему восходит теория
определителей. Что касается логики, то с аристотелевской
силлогистикой Лейбниц познакомился еще 14-летним мальчиком. Как
и Аристотель, Лейбниц воспринимал логику как «органон наук»,
считая, что систему логических рассуждений следует превратить
в математическое алгебро-арифметическое исчисление. Но если
введенные Лейбницем и Ньютоном понятия производной,
первообразной и интеграла сразу же получили дальнейшее развитие в
руках современных им математиков, физиков и астрономов, то
логические изыскания Лейбница, существенно опередившие эпоху,
остались неизвестными до конца XIX столетия, когда они были
найдены в его архиве и опубликованы французским математиком
Л. Кутюра. Правда, после этого программа логических
исследований Лейбница 200-летней давности с учетом, конечно,
последующего развития оказала и продолжает оказывать влияние на
развитие математической логики.
Г. В. Лейбниц родился в г. Лейпциге (в Саксонии) в 1646 г.; его
отец был профессором этики, а дед с материнской стороны —
профессором права Лейпцигского университета.
От отца, которого Лейбниц потерял в возрасте 6 лет, он
унаследовал обширную библиотеку, в которой способный юноша
параллельно со своим гимназическим образованием смог почерпнуть
глубокие познания как древней классической, так и современной
науки. В частности, он познакомился с логикой Аристотеля.
В 1661 г. Лейбниц становится студентом и изучает философию,
юриспруденцию и математику в университетах Лейпцига, Иены и
Альтдорфа. В 1666 г. он защищает сразу две диссертации на
звание доцента: одну — по юриспруденции, другую — по математике.
Затем Лейбниц служит при дворах немецких князей в качестве
юриста и находится на дипломатической работе. С 1676 г. и до
своей смерти в 1716 г. Лейбниц состоял советником и
библиотекарем при дворе ганноверского герцога Эрнста Августа, затем его
сына Георга Людвига, ставшего в 1714 г. английским королем
Георгом I. На протяжении этих 40 лет Лейбниц вел научные иссле-
10

дования, публиковал многочисленные труды, поддерживал
научную переписку со всеми ведущими учеными эпохи. Очень
значительна и научно-организаторская деятельность Лейбница.
Достаточно сказать, что он является основателем Прусской Академии
наук в Берлине. Во время заграничных поездок в 1711—1716 гг.
с Лейбницем несколько раз встречался Петр I, советовавшийся с
ним по поводу организации Академии наук в Петербурге.
Становление математической логики в сегодняшнем понимании
этого слова задержалось еще примерно на 150 лет, до середины
XIX столетия.
Отцом математической логики по праву считается английский
математик и логик Джордж Буль (1815—1864). Именно он построил
один из разделов формальной логики (исчисление классов) в виде
некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся
к ней. Д. Буль не получил нормального университетского
образования, а изучил математику самоучкой. Этим может быть отчасти и
объясняется, что, не связанный традицией, он пошел своим
оригинальным путем.
Д. Буль родился в 1815 г. в г. Ливерпуле; отец его был
сапожником. Рассказывают, что это был человек очень
любознательный, интересовавшийся астрономией, физикой, математикой и
философией. Окончив начальную школу, Буль поступил в
коммерческое училище, но вскоре покинул школу, продолжая дальнейшее
образование с помощью частных уроков и самоучкой. Так он за
несколько лет изучил латынь, древнегреческий, немецкий и
французский языки и прочел основные философские трактаты. В
возрасте 16 лет Буль поступает помощником учителя в частную школу
и именно здесь, в основном по книгам, изучает математику и
начинает проводить собственные исследования по математике.
Результаты своих исследований Буль сообщал в письмах
профессорам математики знаменитого Кембриджского университета и
вскоре получил известность как крупный и оригинально мыслящий
математик. В 1849 г. в г. Корк (Ирландия) открылось новое высшее
учебное заведение — Куинз колледж, по рекомендации коллег-
математиков Буль получил здесь профессуру, которую сохранил
до своей смерти в 1864 г.
Знаменитые труды Д. Буля по началам математической
логики — «Математический анализ логики», «Исчисление логики» ,и
особенно «Исследование законов мысли» — возникли в конце 40-х —
начале 50-х гг. В них отразилось убеждение Буля о возможности
изучения свойств математических операций, осуществляемых не
обязательно над числами. Он говорил о символическом методе,
который он применял как к изучению дифференцирования и
интегрирования, так и к логическому выводу и к
теоретико-вероятностным рассуждениям. Вся глубина и плодотворность его
подхода к этим вопросам обнаружилась лишь много лет спустя.
Необходимость и возможность расширения формальной логики
с применением аппарата алгебры стали тогда уже очевидны; это
11

видно хотя бы из того, что в большой мере независимо друг от
друга аналогичные исследования стали проводиться в различных
странах. В частности, в России, в Казанском университете,
начиная с 70-х гг., преподавал и работал крупный русский математик,
астроном и логик П. С. Порецкий (1846—1907), построивший
оригинальный метод логического исчисления, при котором
некоторые классы логических задач решались аналогично тому, как
решаются уравнения в элементарной алгебре. Исчисление Порецкого
сейчас, спустя сто лет, привлекает вновь внимание, так как
оказалось, что оно полезно при решении проблем, возникающих при
конструировании автоматов и вычислительных устройств.
Следует также запомнить таких ученых конца XIX в.,
участвовавших в становлении математической логики, как итальянец
Джузеппе Пеано (1858—1932), предложивший аксиоматический
подход к изучению арифметики, немецкие математики Эрнст
Шредер (1841—1902), давший развернутое построение алгебры
отношений, и Готтлоб Фреге (1848—1925), считающийся основателем
так называемой логической семантики, и французский
математик Луи Кутюра (1868—1914), известный, в частности, и тем,
что он изучил и опубликовал наследие Лейбница в области
логики.
§ 2. НАЧАЛА ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Под многообразием, или множеством, я понимаю
вообще всякое многое, которое можно мыслить как
единое, т. е. всякую совокупность определенных
элементов, которая может быть связана в одно целое с
помощью некоторого закона...
Георг Кантор
Понятие «множество» — одно из
основных понятий математики. Не следует пытаться искать его явное
определение: ведь таковое может быть только сведением к чему-то
более простому. Поэтому обычно термин «множество» лишь
поясняется на примерах, а затем указываются правила его
употребления в математических рассуждениях. Современный человек
воспринимает их очень легко, так как он к ним привык с детства. Уже на
страницах школьного учебника по математике для I класса ребенок
видит изображение различных множеств: множества различных
зверюшек, мячей, книг и других объектов. Он их считает,
сравнивает: в одном множестве больше объектов, в другом меньше,
и что такое множество, ему становится ясно без всякого
определения.
Рассматривая какие-либо объекты (абстрактные или
конкретные), можно в рассуждениях из всех или некоторых
рассматриваемых объектов мысленно образовать новый объект: множество
12

этих объектов. О последних тогда говорят, что они принадлежат
данному множеству, или же, что они являются его элементами.
Например, рассуждая об учениках какой-либо школы, мы можем
ввести такие новые объекты, как множество учеников VIII А
класса, множество учеников, пропустивших занятие в последний
четверг, и пр.; мы можем, наконец, говорить также о множестве всех
учеников данной школы. Рассматривая книги какой-либо
библиотеки, можно говорить о множестве книг по математике, множестве
книг в картонном переплете, множестве книг на английском языке
и т. д. Для нас, конечно, важны примеры множеств объектов,
рассматриваемых в математике: чисел, точек плоскости, фигур,
функций и др.; это обычно (но не всегда) множества бесконечные. В
этой связи мы говорим о множестве натуральных чисел, множестве
четных чисел, множестве простых чисел, множестве, состоящем
из чисел 2, 7, 1021, о множестве прямоугольных треугольников,
множестве квадратов, множестве непрерывных функций,
определенных на интервале (0, 1), и т. д.
Дело здесь, конечно, не в словосочетании «множество
таких-то и таких-то объектов», а в том, что это
словосочетание вводит в рассмотрение новый объект, отличный от исходных,
обладающих рядом специфических свойств. Так, например,
конечное множество содержит некоторое определенное число
элементов; из двух множеств А и В одно может быть больше другого; одно
может содержать другое. Все это свойства множеств, а не
свойства входящих в них элементов.
Для отношения принадлежности принято пользоваться
символом €. Выражение а € А означает утверждение «Объект а
принадлежит множеству А» или «Объект а является элементом
множества Л».
Для однозначного описания множества, образованного из
каких-либо элементов, мы будем пользоваться двумД способами
обозначения.
Для любых объектов аъ аъ ..., ап множество этих объектов
обозначается через
{аг, а21 ..., ап} (1)
(здесь в фигурных скобках перечислены обозначения всех
названных элементов).
Следует отметить, что объект а и множество {а} — это
различные вещи: первое — это объект, обозначенный через а, второе —
это множество, состоящее из (единственного) объекта а. Отметим,
что а 6 {а} — истинное утверждение, между тем как {а} € а —
утверждение ложное.
Другая форма обозначения состоит в указании общего свойства
объектов, из которых мы образуем множество. Оно имеет вид:
М = {х\ Р (х)}. (2)
13

Читается: «множество всех х таких, что Р (х)», где Р обозначает
свойство, характеризующее в точности все элементы данного
множества. Например,
{х\х— целое число, делящееся на 2}
обозначает множество четных чисел, или
{х\х — действительное число и х > л}
— множество действительных чисел, больших числа л.
Приведенное обозначение множеств связано с так называемым
принципом абстракции (или принципом свертывания), положенным
в основу образования множеств создателем теории множеств Г.
Кантором (1845—1918). Согласно Кантору, для произвольного
свойства объектов мы можем образовать новый объект — множество вс;ех
объектов, обладающих данным свойством. Возможность перехода
от формулировки свойства к множеству объектов, обладающих
данным свойством, и есть принцип абстракций.
Обе формы обозначений вполне естественны: для того чтобы
указать какое-то определенное множество, нужно либо
перечислить его элементы (что, строго говоря, возможно лишь тогда,
когда таких элементов лишь конечное число), либо указать
характерное свойство его элементов.
Два множества считаются равными тогда и только тогда,
когда они состоят из одних и тех же элементов.
Это принятое в теории множеств положение называется
принципом объемности (или принципом протяженности). Вместе с
принципом абстракции оно указывает на существенную разницу между
понятием свойства и понятием множества: одно и то же множество
может быть определено различными свойствами. Часто приводят
шуточный пример, согласно которому множество людей в
одинаковой мере может быть определено любым из свойств: «животные,
обладающие даром речи» или «двуногие животные без перьев».
В математике установление равенства двух множеств, полученных
в результате абстракции двух существенно различных свойств,
может оказаться трудной теоремой. Так, например, далеко не
сразу видно, что множество простых нечетных чисел, которые можно
представить в виде суммы двух квадратов, равно множеству
простых чисел, дающих при делении на 4 остаток 1. А равно или не
равно множество целых чисел, являющихся суммой двух нечетных
простых чисел, множеству четных чисел, больших чем 2, до сих
пор не решенный вопрос, известный как проблема Гольдбаха.
Самое первое и самое важное свойство конечных множеств
состоит в том, что каждому из них соответствует некоторый объект,
называемый «числом элементов данного множества». Например,
множеству пальцев моей левой руки, множеству диагоналей
некоторого десятиугольника, множеству корней уравнения х2 — Зх +
+ 2 = 0 соответствуют числа 5, 35, 2. Но что же это такое — число
элементов какого-либо множества? Этот вопрос в науке до XIX сто-
14

летия вообще не ставился. Когда-то это понятие считалось изна-
лальным, врожденным. Знаменитый немецкий математик Л. Кро-
некер (1823—1891) так и говорил: «Натуральные числа — от бога,
все остальное — творение человека». Но данные педагогики
показывают, что ребенок лишь постепенно и с большим трудом
формирует понятие числа, начиная с самых малых; лингвистика,
археология и этнография говорят о том, что в доисторические времена
люди не приписывали конечным множествам, с которыми имели
дело, никаких чисел. Анализ различных языков показывает, что
на протяжении многих сотен тысяч лет люди знали лишь
количества, описываемые словами «один», «два», «много». Формирование
же понятия «число элементов произвольного множества» — одно
из величайших достижений человека, сравнимое по своему
значению с изобретением письменности. И оно отнюдь не столь просто,
как может на первый взгляд показаться в силу давней привычки
к повседневному употреблению.
Что такое натуральное число, можно пояснить примерно так:
человек, даже не знающий чисел, тем не менее может сравнивать
конечные множества, устанавливая для двух множеств М и N,
содержат ли они одинаковое число элементов или одно из них
содержит больше элементов, чем другое. Возможность такого сравнения
представляет собой нечто, что предшествует понятию «число
элементов некоторого множества». Сравнение осуществляется так:
если, скажем, М — мешок с белыми шариками О, а N — мешок с
черными •, то для сравнения нужно, очевидно, сопоставить
каждому белому шарику один черный, образуя пары:
м о о о ... о...
$ t г $
n • • • «...
Если при этом белые и черные шарики одновременно исчерпаются,
то сопоставление называется взаимно-однозначным соответствием
между множествами М и N, а о множествах М и N говорят, что
они равночисленны, или равномощны.
Если же при сопоставлении некоторые элементы одного из
множеств, скажем М, останутся без напарников, то о нем
говорят, что оно содержит больше элементов, чем другое. Как видно,
для количественного сравнения двух множеств числа не нужны и
не обязательно уметь считать: понятие равночисленносги
предшествует понятию натурального числа. Все конечные множества можно
мысленно рассортировать, относя в один и тот же класс все между
собой равночисленные множества (так же как какие-либо предметы
можно рассортировать по цвету, весу или еще по какому-нибудь
свойству), и то общее, что присуще такому классу, и есть «число
элементов любого множества данного класса». Например, 5 — это
то общее свойство, которое имеют все конечные множества,
которые равночисленны множеству пальцев моей правой руки.
15

Приведенное обоснование понятия натурального числа
относится к конечным множествам: оно в неявной форме лежит в
основе начал арифметики в младших классах школы. Такие
рассуждения развивались и уточнялись на протяжении XIX столетия.
Проблемы анализа побудили немецкого математика Г. Кантора
в 70-х гг. XIX в. применить аналогичные идеи при рассмотрении
бесконечных кардинальных чисел, обобщающих обычные
натуральные числа. Мы должны на этом остановиться, несмотря на то что
указанная тема находится несколько в стороне от традиционной
«школьной» математики, так как ее разработка ознаменовала
рождение теории множеств.
Но сначала скажем несколько слов о самом Георге Канторе —
одном из величайших математиков нового времени. Созданием
теории множеств он во многом определил лицо современной
математики.
Георг Кантор родился 2 марта 1845 г. в Петербурге в семье
немецкого коммерсанта, который занимался экспортом товаров из
России в Германию. Мать Кантора М. Бём происходила из семьи
известных венсягих музыкантов. Отмечают, что музыкальная
культура с детства оказала влияние на формирование личности
будущего ученого. Семья Кантора была тесно связана с Россией: здесь
проживали многие их родственники. Дядя матери, известный
прогрессивный юрист Димитрий Мейер, был профессором
Казанского университета. Начальную школу Кантор посещал еще в
Петербурге. Затем семья возвращается в Германию, в западный
немецкий город Дармштадт, где мальчик оканчивает реальное
училище, получив как в школе, так и дома прекрасное и очень
широкое образование: он владел несколькими иностранными
языками, был замечательным знатоком древних языков — латыни и
греческого. Знание языков открыло ему доступ к трудам
мыслителей прошлого — классической античности и средневековья. Это
обстоятельство сыграло немаловажную роль при становлении
теории множеств: Г. Кантор был знаком со всеми тонкостями в
рассуждениях о понятии бесконечности в трудах математиков и философов
прошлых веков.
Математике Кантор учился в 60-х гг. в Берлинском
университете под руководством знаменитого аналитика К. Вейерштрасса
(1815—1897). Это была эпоха критического переосмысления начал
анализа бесконечно малых. Под грозными ударами критики основ
математического анализа в трудах К. Вейерштрасса и Р. Дедекинда
(1831—1916) началась перестройка всей математической науки,
приобретшей постепенно свое современное лицо. Созданием теории
множеств Г. Кантор внес сюда, возможно, самый существенный
вклад.
В очень упрощенном виде исходные идеи Г. Кантора можно
сегодня задним числом примерно представить так. Нельзя ли и
бесконечным множествам приписывать «кардинальные числа»,
сопоставляя одно и то же «число» бесконечным множествам, между ко-
16

торыми можно установить взаимно-однозначное соответствие? Ведь
взаимно-однозначные соответствия устанавливаются в математике
не только для конечных множеств, но и для бесконечных. После
нескольких лет упорного труда, его попытка осуществить эту идею
увенчалась успехом.
Чтобы уяснить себе, как возникли кардинальные числа
бесконечных множеств, надо, очевидно, рассмотреть примеры
взаимнооднозначных соответствий между бесконечными множествами, с
которыми мы сталкиваемся в математике.
Одно из самых первых бесконечных множеств — это множество
N всех натуральных чисел:
N= {1, 2, 3, ...},
и очень естественно попытаться сравнить именно это множество
с рядом других бесконечных множеств.
Рассмотрим, например, множество М всех натуральных чисел,
больших 3. Оказывается, оно равномощно множеству N, что
показывает нижеприведенное взаимно-однозначное соответствие:
N 1 2 3 4 ... п ...
М 4 5 6 7 ... п + 3 ...
Пусть Р — множество всех положительных четных чисел. Оно
также равномощно множеству N, что показывает взаимно-однозначное
соответствие п <-> 2/г, которое каждому натуральному числу п
сопоставляет число 2/г.
Больше того, множество N оказывается равномощным
множеству Q всех положительных рациональных чисел. Для
установления этого интересного факта воспользуемся схемой, предложенной
Кантором. Выпишем все рациональные числа в виде бесконечной
схемы: в первом ряду все целые положительные числа, во втором —
последовательно все числа со знаменателем 2, в третьем — со
знаменателем 3 и т. д. (рис. 1). В этой схеме встретится каждое
рациональное число (и не один раз, но это не страшно). Теперь выпишем
все числа последовательно в том порядке (по диагоналям), как
указано на рисунке 1, опуская
каждый раз рациональное
число, если равная ему
сокращенная дробь уже встретилась, и
подпишем под каждым числом
следующее натуральное число.
Легко видеть, что тем самым
устанавливается
взаимно-однозначное соответствие:
Q 1 2 i 3 - 4 - - i ...
2 3 2 3 4
$ $ t $$$$ t $
N 123 45678 9... Рис. 1
17

Может показаться, что предложенное определение
равночисленное™ кажется «слишком хорошо» работает, так что все
бесконечные множества между собой равномощны. Если бы так оказалось,
то понятие кардинального числа для бесконечных множеств теряло
бы всякий интерес: всем бесконечным множествам следовало бы
приписать одно и то же кардинальное число «бесконечность». Тем
более существенным оказалось открытие Г. Кантора о
существовании бесконечных множеств, не равномощных множеству N. Приведем
его рассуждение. Покажем, что множество действительных чисел
из интервала (0, 1) не может быть поставлено во
взаимно-однозначное соответствие множеству N всех натуральных чисел. Заметим,
что каждое действительное число из (0, 1) можно рассматривать
как бесконечную десятичную дробь 0, аг а2 а3 ..., где разряды
at — это одна из цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Предположим
теперь, что нам удалось установить такое соответствие:
1~0, а^ау ... <> ...
2^0, а™ а™ ... ат ...
3^0, a<j>af ... a(3) _
m<->0, cfif a{%) ... <2(,nn>...
что каждому натуральному числу т отвечает некоторое число
0, а{т1г) a<;2n) ... аИ ... Тогда мы можем указать действительное число
Ь = 0, &! 62 ..., которое наверняка в этом списке не встречается.
Цифры bL числа Ъ определим так:
bt = 5, если i-я цифра a(j) t'-ro чиста не равна 5,
bt = 9, если i-я цифра снО £-го числа равна 5.
Ясно, что b в предполагаемом бесконечном списке не встречается,
так как оно отличается от* каждого из чисел этого списка по
меньшей мере одним разрядом: от /-го числа в i-м разряде. Тем самым
показано, что N и множество чисел на (0, 1) не равномощны.
Итак мы получили пример двух неравно*мощных бесконечных
множеств. Нетрудно показать, что существуют бесконечные
множества, не равномощные ни множеству натуральных чисел, ни
множеству действительных чисел из отрезка (0, 1). Следуя тому же
принципу, который приводит в случае конечных множеств к
натуральному числу, можно ввести в рассмотрение и бесконечные
кардинальные числа, а именно говорят, что два множества Мг и М2
равномощны, если между ними можно установить
взаимно-однозначное соответствие. Это приводит к разбиению всевозможных
множеств на классы равномощных. Тогда под мощностью, или
кардинальным числом, следует понимать то общее свойство, которым
обладают равномощные множества. Классы равномощных
конечных множеств определяют таким образом обычные натуральные
числа, бесконечные множества приводят к новым бесконечным кар-
18

динальным числам. Множества, равномощные множеству N
натуральных чисел, называются счетными, им приписывается
кардинальное число «счетное»; множествам, равномощным отрезку (0, 1),
приписывается мощность «континуума»; как уже говорилось, есть
и другие бесконечные мощности.
Рассмотрим теперь кратко простые теоретико-множественные
понятия и теоретико-множественные операции: пересечение,
объединение, дополнение, декартово произведение и др. Для случая
конечных множеств они лежат в основе арифметических действий
над натуральными числами и поэтому очень важны для школьной
математики. Учитывая, что за последние годы об этом много
писалось в учебниках и учебных пособиях, мы ограничимся совсем
краткими определениями и пояснениями.
Наряду со всевозможными множествами рассматривается так
называемое пустое множество, не содержащее ни одного элемента;
оно обозначается знаком 0. Пустое множество можно определить
любым противоречивым свойством, например
0 = {х\ хфх),
в области множеств оно играет как бы роль нуля.
Множество N называется подмножеством множества М
тогда и только тогда, когда каждый элемент множества N
принадлежит множеству М. Отношение между множеством М и любым его
подмножеством N называется включением и обозначается символом
=>: М з N. Пишут также: N ^ М.
Отметим следующие элементарные утверждения о понятиях
подмножества и включения, прямо вытекающих из определения.
а) Каждое множество М является подмножеством самого себя:
М s М. Любое подмножество N множества М, отличное от М,
называется собственным подмножеством множества М;
соответствующее включение также называется собственным и
обозначается zd или cz: М =) N или N cz M.
Принято считать, что пустое множество 0 является
подмножеством любого множества М.
б) Отношение включения транзитивно, т. е. из N s M и
Р s N следует, что Р s M. Транзитивно также отношение
собственного включения.
в) Очень важно не смешивать отношения принадлежности €
и включения & если {а} <= М, то а € М, и наоборот; но из {а} ^
<= М не следует {а} € М. Так, например, если М = {1, 2}, то
это означает, что 1 € М и 2 (; М, но для всех других объектов х
справедливо х $ М\ для включения же правильны следующие
утверждения:
0 <= М, {1} <= М, {2} <= М, {1, 2} с= М.
Другой пример. Пустое множество 0 не имеет элементов х $ М
для любого объекта х. Между тем 0 содержит одно подмножество,
а именно само себя.
19

М N Введем несколько операций над
множествами.
а) Пересечением множеств М \\ N
называют множество тех объектов, которые
принадлежат множествам М и N
одновременно.
Обозначение: М f| N = {х \ х € М и
х ZN}.
б) Объединением множеств М и N
называют множество тех элементов,
которые содержатся по крайней мере в одном из множеств
М или N. Обозначение: M\JN={x\x€M или х € N}.
в) Разностью множеств М и N называют множество тех
элементов, которые принадлежат множеству Мине принадлежат
множеству N.
Обозначение: M\N={x\x€Muxi N}.
г) Симметрической разностью множеств М и N называют
множество тех элементов, которые принадлежат только множеству М
или только множеству N.
Обозначение: MAN ={х | (х € М и х i N) или (х € N и х <£ М)}.
Введенные теаретико-множественные операции наглядно
иллюстрируются рисунком 2, где множества М и N изображены
пересекающимися кругами:
М П N— точки области II;
М U N— точки областей I, II, III;
М \ N — точки области I;
N \ М — точки области III;
MAN —точки областей I и III.
Отметим следующие тождества:
MAN = (М \ N) U (N \ М)\
М = (M\N)\j (М П N);
N = (N \ M) U (N П М)\
(М \ N) П (N \ М) = 0 (антикоммутативность разности);
М [} N = N [} М (коммутативность пересечения);
М (J N = N (J M (коммутативность объединения);
М U М = М (идемпотентность объединения);
М О М = М (идемпотентность пересечения).
Если N (} М = 0, то множества М и N называют
непересекающимися.
Отметим, что включение может быть выражено как через
операцию П , так и через операцию (J :
равенство М [] N = N имеет место в том и только в том
случае, когда N <=: М\
равенство М [} N = М имеет место в том и только в том
случае, когда N <=: М.
20

д) Полезны бывают следующие тождества для трех множеств:
ассоциативный закон для пересечения:
ЛП(ВПС) = (ЛПВ)ПС;
ассоциативный закон для объединения:
A\j(B[jC) = (^UB)UC;
распределяет объединение:
ЛП(В11С) = (ЛПВ)и(ЛПС);
распределяет пересечение:
A\J(B{\C) = (A[)B)(](A[)Q;
разность «антираспределяет» пересечение:
А \(В{)С) = (А\В)[)(А \С);
разность «антираспределяет» объединение:
A\(B\j С) = (А\В)(] (А\ С).
Читателю предлагается уяснить себе эти тождества с помощью
диаграммы (рис. 3), называемой «трилистником».
Например, для тождества «пересечение распределяет
объединение» множество B[JC равно объединению множеств II, III, IV,
V, VI и VII, так что множество А (](В [} С) равно объединению II,
III и IV; с другой стороны, множество A f| В — это объединение
II и III, а множество А (] С — объединение III и IV, так что (А П
(} В) U {А П С) равно объединению II, III и IV.
е) В конкретных математических областях бывает полезно
ввести в рассмотрение столь обширное множество U, что все
рассматриваемые множества окажутся его подмножествами. Такое множество
U принято называть универсальным множеством или универсумом.
Отметим, что «универсальное множество» — понятие
относительное: оно выбирается для какого-нибудь определенного раздела
науки и притом часто даже явно не определяется, а просто
подразумевается .
Так, например, в элементарной планиметрии в качестве
универсального множества принято рассматривать множество всех то
чек плоскости. Различные фигуры,
изучаемые в планиметрии, можно считать
множествами точек, т. е. подмножествами так
выбранного универсального множества.
В элементарной арифметике
универсальным множеством считается множество
Z всех целых рациональных чисел и т. д.
ж) Если выбрано некоторое
универсальное множество U, то возникает
новая теоретико-множественная операция —
дополнение. Для всякого множества М
(при этом подразумевается, что М —
пересечение
объединение
21

подмножество универсального множества И) его дополнение,
обозначаемое через М, — это множество всех элементов универсума,
которые не принадлежат множеству М:
М =* {х | х £ U пх iM).
Таким образом, дополнение — это частный случай разности:
К= U \ А*,
все отличие здесь состоит в том, что разность «берется относительно
фиксированного множества, содержащего все множества,
которые в данной связи рассматриваются.
Среди тождеств, относящихся к операции дополнения, отметим
лишь следующие:
I = А; _
А П В = А_\} В\
А \]"В = А {] В.
Последние два тождества называются правилами де Моргана.
Они получаются как частные случаи соответствующих
антираспределительных законов для теоретико-множественной разности:
А~ГГВ = U\(A П B) = (U \А) U (U \В) =_Л U_£;
A U В = U \ (A U В) - <V \ А) П (U \ В) = А П В.
Рассмотрим теперь операции декартового произведения
множеств. Пусть А и В — два множества. Тогда множество
С = {(а, Ь)\а £ Л, Ъ € В}
всех пар (а, Ь), где а и Ь независимо друг от друга принимают все
значения соответственно из множеств А и В, называется
декартовым произведением множеств А и В и обозначается через А х В.
Если А и В — конечные множества, содержащие соответственно
тип элементов, то сразу видно, что множество А х В содержит тп
элементов.
Самостоятельный интерес предста-вляет тот частный случай,
когда множества А и В совпадают: А = В. Чтобы его рассмотреть,
вы введем новый термин.
Упорядоченной парой элементов множества А будем называть
объект (а19 а2)1 состоящий из двух (не обязательно различных)
элементов а±, а2 € А, с указанием, какой из них следует считать
первым, а какой — вторым. Так, например, если А = {1, 2, 3,
4, 5}, то упорядоченные пары (2, 3) и (3, 2) следует считать по
определению различными. Упорядоченными парами элементов из А
считаются также объекты <1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5).
Упорядоченные пары мы будем заключать в круглые скобки и
обозначать жирными строчными латинскими буквами: а = (а1у я2),
в отличие от неупорядоченных пар, которые, как и множества
элементов, записываются в фигурных скобках: {а±, а2).
Назовем множество
С = {(alt а2)\ аг € Л, а2 € А)
22

всех упорядоченных пар (аъ а2) элементов из А декартовым
квадратом множества А и будем обозначать его через Л2.
Рассмотренные свойства множеств и операции над ними в
неявном виде присутствуют в начальном преподавании арифметики.
Мы особенно подчеркиваем, что речь идет об их неявном
присутствии: бессмысленно было бы в I или II классе давать явные
определения арифметических действий. Само слово «действие» для
арифметических операций указывает на то, что на начальном уровне
развития детей сложение, вычитание, умножение и деление
возникают как действия над конкретными множествами из мира,
свойственного школьникам. Вековой опыт обучения на всех уровнях
показывает, что человек обычно сначала делает нечто, а лишь
затем задумывается над тем, какими же общими свойствами
обладают его действия.
Но преподавание должно вестись так, чтобы последующие
этапы обучения естественно надстраивались над уже привычной
деятельностью и не требовали переучивания. Учитель в отличие от
школьника должен знать общие свойства и закономерности
школьного материала. В данной книге теоретико-множественное
обоснование арифметических действий над натуральными числами дается
довольно элементарно, так как более строгое обоснование
оказывается достаточно трудоемким и мы не имеем возможности
провести его здесь со всей необходимой тщательностью.
Как мы уже говорили^ с точки зрения теории множеств
натуральные кардинальные числа отвечают классам равномощных
конечных множеств, к ним, естественно, присоединяется и число нуль
как кардинальное число, соответствующее пустому множеству.
Тогда элементарные отношения и действия над натуральными
числами вводятся следующим образом.
1. Отношение «равно», «больше», «меньше». Пусть тип —
два натуральных числа и пусть М и N — два множества,
кардинальные числа которых суть соответственно тип. Тогда т меньше
п (а п больше т), если множество М равномощно некоторому
собственному подмножеству множества N. Как видно из этого же
определения, т = п означает, что множества М и N равномощны.
Для оправдания такого определения необходимо, конечно,
показать, что оно не зависит от выбранных множеств М и N. Иначе
говоря, надо доказать, что если М' и N' —два других множества
с числом элементов т и п соответственно и если при этом М
равномощно собственному подмножеству множества N, то и М' равно-
мощно собственному подмножеству множества ЛГ, и наоборот. Это
доказательство мы предоставим читателю.
Отметим, что определение неравенства для бесконечных
кардинальных чисел получается более сложным.
2. Сложение. Для определения суммы кардинальных чисел
поступают так. Пусть т и п — два натуральных числа. Выбираем
опять произвольно два непересекающихся множества Мсти
N с п элементами соответственно, и пусть S — их объединение:
23

Т Т Т###Т Т f • • •
Iff Iff
S' S = M U N, Тогда по опреде-
-jp A < rp > лению сумма s = m + /г — это
кардинальное число множества S.
Покажем, что сумма s от выбора
множеств Ми N не зависит, а
зависит только от их мощностей.
Пусть М' и ЛГ — другие множе-
ч М N ства, равномощные множествам М
$ и N соответственно, и пусть при
этом также М' fl ЛГ = 0; тогда
Рис 4 и S' = М' U ЛГ равномощно
множеству S = М (J АЛ Это легко
увидеть из рисунка 4.
Следует все время иметь в виду, что кардинальное число
объединения есть сумма кардинальных чисел объединяемых множеств,
только если последние не имеют общих элементов (имеют пустое
пересечение). В случае пересекающихся множеств имеет место
более общее правило:
\M\JN\ = \М\ + | N\ — \M[]N\
(где через \А\ обозначается кардинальное число множества А).
3. Вычитание. Вычитание натуральных чисел поясняется в
младших классах на такой модели из теории конечных множеств:
пусть тип — натуральные числа и пусть М и N — два множества
с | М | = т и \N\ = п такие, что N =эМ (рис. 5). Тогда d = п — т
есть кардинальное число теоретико-множественной разности
D = N \М.
Легко видеть, что это общий вид той схемы, которая
используется для пояснения действия вычитания в младших классах.
4. Умножение. Действие умножения натуральных чисел
отвечает образованию декартова произведения множеств. А именно имеет
место равномощность
\М х Щ = \М\ • \Щ.
Так что, если \М\ = т и \N\ = /г, то р = т • п — это мощность
декартова произведения М х М.
Отметим, что Г. Кантор перенес определения арифметических
действий и на случай бесконечных кардинальных чисел. Делается
это вполне аналогично, но требу-
^ ет более тщательной подготовки.
' ™ п ^ ^ ^ ^ На этом останавливаться не бу-
О О О О CJ*#*vJ ___\ дем, но вполне целесообразно
4 м ' N 77-д/чм предложить такую тему для фа-
культативных занятий в старших
Рис. 5 классах.
24

§ 3. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
И АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
Первые основы всякой науки действительно далеко
не ослепляют своим блеском: они скорее скромны,
сухи и почти безобразны
Томас Гоббс.
Теперь мы вновь возвращаемся к
логике. В этом параграфе мы рассмотрим самый элементарный ее
раздел — алгебру высказываний. Это та тема, которая особенно важна
для школьной математики. Кроме того, не овладев ее основными
действиями, нельзя понять последующие темы, как, не овладев
таблицами сложения и умножения, нельзя научиться арифметике
и тем более алгебре. В дальнейших параграфах мы затронем
и более сложные темы. В конце параграфа мы вернемся
к введенным выше теоретико-множественным понятиям.
Алгебра высказываний строится так же, как многие другие
разделы математики: арифметика, алгебра, геометрия, исчисление
вероятностей и т. д. В основу кладется некоторый класс объектов
вместе с некоторым набором свойств и отношений между ними. Эти
понятия рассматриваются как исходные и внутри данного раздела
не требуют дальнейшего определения. С другой стороны, исходные
свойства и отношения выбираются так, чтобы соответствовать
содержательной практике, которую эта математическая теория
собирается описывать. Можно сказать, что если основные понятия
и не требуют определения внутри самой теории, то они требуют
некоторого оправдания в виде ответа на вопрос: какой
содержательный смысл вкладываем мы в эти исходные понятия? Иногда
(как в этом параграфе) само наименование объектов и их
основных свойств подсказывает содержательный смысл.
Исходные объекты алгебры высказываний — это простые
высказывания. В этом параграфе их будем обозначать строчными
латинскими буквами а, Ъ, с, ..., х, у, z. Предполагается, что всякое
простое высказывание обладает одним и только одним из двух свойств:
оно либо истинно, либо ложно. Внутри алгебры высказываний не
говорится о том, что такое простое высказывание и что такое
«истинность» и «ложность». Однако содержательный смысл легко
улавливается из примеров: «Шесть больше трех», «Дважды два — пять»,
«я — число иррациональное», «Среди натуральных чисел
существует наибольшее»; все это простые высказывания, причем первое и
третье истинны, а второе и четвертое ложны. Вообще, многие
математические утверждения можно считать простыми высказываниями;
принято считать, что они либо истинны, либо ложны, даже если
нам неизвестно, каким из двух свойств данное высказывание
обладает. Так, например, «Всякое четное число является суммой двух
25

простых чисел» — высказывание, и оно истинно или ложно, хотя
мы не знаем, каким из двух свойств оно в действительности
обладает: это нерешенная проблема Гольдбаха.
Из простых высказываний с помощью небольшого числа
операций строятся сложные высказывания. Операции, называемые
логическими связками или логическими функциями, примерно
соответствуют тому, что в обыденной речи описывается словами «не»,
«и», «или», «если..., то» и т. п.
Сложные высказывания также обладают одним из двух свойств:
«быть истинным» или «быть ложным». При этом истинность или
ложность сложного высказывания зависит исключительно от
истинности или ложности простых высказываний, из которых они с
помощью связок получаются.
В дальнейшем мы будем пользоваться почти повсеместно
принятой терминологией: свойства истинности (и) и ложности (л)
мы будем называть значениями истинности высказываний: что и
является значением истинности истинных высказываний, а л есть
значение истинности ложных высказываний. При такой
терминологии значение истинности сложного высказывания есть функция от
значений истинности простых высказываний; такая функция
называется логической связкой. Связка полностью может быть
описана таблицей, указывающей, какие значения истинности
принимает сложное высказывание при различных значениях
истинности простых. Такая таблица называется матрицей истинности
(или иногда таблицей истинности), соответствующей
данной связке.
1. Определения основных логических связок
а) Отрицание (знак ~|)- Если а — высказывание, то Пя
(читается: «не а») также высказывание; оно истинно или ложно в
зависимости от того, ложно или истинно высказывание а.
Таким образом, операция отрицания описывается следующей
таблицей:
а
и
Л
~\а
л
и
Мы видим, что операция ~] в теории высказываний вполне
соответствует понятию отрицания в обыденном смысле слова. Если,
например, а — высказывание «Число три делит число шесть», то
отрицанием ~] а этого высказывания будет «Число три не делит число
шесть». Высказывание а при этом истинно, высказывание ~\а —
ложно.
26

Если же в качестве высказывания а взять какое-нибудь ложное
высказывание, например «Число три делит число пять», то его
отрицание"] а будет высказывание «Число три не делит число пять» —
истинное высказывание.
б) Конъюнкция, В качестве знака для конъюнкции мы будем
употреблять знакД1.
Если а и Ь — высказывания, то а/\Ь (читается: «а и Ьт>) — но-
Еое высказывание; оно истинно тогда и только тогда, когда а
истинно и Ь истинно.
В отличие от операции отрицания, зависящей от одного
элементарного высказывания, конъюнкция, как и все последующие
приводимые нами связки, зависит от двух элементарных
высказываний, поэтому они называются двуместными связками,
отрицание же — связка одноместная.
Для задания двуместных связок удобно записывать матрицы
истинности в виде таблиц с двумя входами: строки соответствуют
значениям истинности одного элементарного высказывания,
столбцы — значениям другого элементарного высказывания, а в клетке
пересечения столбца и строки помещается значение истинности
соответствующего сложного высказывания.
Значение истинности сложного высказывания а Л Ь задается
матрицей
1 с^^
и
и
и
л
л
л
л
Как видно, определение операции конъюнкции вполне
соответствует обыденному значению союза «и».
в) Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции мы будем
употреблять знак V-
Если а и b — высказывания, то а V Ъ (читается: «а или Ь») —
новое высказывание, оно ложное, если а& b ложны; во всех
остальных случаях а V b истинно.
Таким образом, матрица истинности для операции дизъюнкции
выглядит так:
а
и
Л
b
и
и
и
л
и
Л
1 Очень употребителен также знак & (сокращенное английское and —
союз «и»),
27

Операция дизъюнкции довольно хорошо соответствует
обыденному значению союза «или». Детальный анализ показывает, что в
русском языке слово «или» употребляется в двух различных
значениях: существуют исключающее «или» и неисключающее «или».
Различие состоит в следующем: пусть а и b — два истинных
высказывания, например а — «Число три делит число шесть», Ь —
«Число шесть больше, чем число три». Следует ли рассматривать
сложное высказывание а\1 Ь — «Число три делит число шесть
или число шесть больше, чем число три» как истинное или как
ложное? В обыденной русской речи встречаются оба понимания:
утверждение «а или Ь» может означать, что одно и только одно из
предложений а и Ъ истинно, тогда говорят, что слово «или»
употребляется в исключающем смысле, или же «а или Ь» означает, что
истинно по меньшей мере одно из предложений (но могут быть
истинны оба), в этом случае говорят, что «или» употребляется в
не исключающем смысле. Именно неисключающему «или» и
соответствует дизъюнкция. Исключающему «или» соответствует,
очевидно, матрица истинности
\& 1
^^1
и
л
1
и
1
л
и
Л
и
Л
А *в неисключающем смысле:
«Три делит пять или три больше шести» ложно;
«Три делит шесть или три больше шести» истинно;
«Три делит шесть или три меньше шести» истинно.
г) Импликация. В качестве знака для импликации будем
употреблять знак =>.
Если а и Ъ — два высказывания, то а => Ь (читается: «а
имплицирует 6») — новое высказывание; оно всегда истинно, кроме того
случая, когда а истинно, а Ь ложно.
Матрица истинности операции импликации следующая:
\\ ь
«\
и
л
и
и
и
Л
л
U !
В импликации а => Ь первый член а называется антецедентом,
второй Ъ — консеквентом.
Операция => описывает в некоторой мере то, что в обыденной
речи выражается словами «Если а, то Ь», «Из а следует Ь», «а —
достаточное условие для &», но на этой аналогии не следует слиш-
23

ком настаивать. Действительно, учитывая определение импликации,
данное выше, и интерпретируя выражение а =Ф b как «если а,
то 6», мы получаем: «Если дважды два — четыре, то трижды три —
девять» — истинное высказывание; «Если дважды два — пять,
то трижды три — восемь» — истинное высказывание и только
высказывание типа «Если дважды два — четыре, то трижды три —
восемь» ложно.
По определению импликации сложное высказывание а =Ф b
всегда истинно, если консеквент истинный или если антецедент
ложный, что в очень малой мере отражает обыденное значение
выражения «Если а, то Ь» или «Из а следует 6». Ни в какой мере не
следует рассматривать высказывание импликации как означающее,
что антецедент является причиной, а консеквент — следствием в
том смысле, как это понимается в естественных науках.
Несколько позже мы убедимся, что операция импликации
достаточно точно выражает понятие логического следования в той форме,
как оно употребляется в математике.
д) Эквиваленция. Для этой операции мы будем употреблять
знак <=». Операция эквиваленции определяется так: если а и b —
два высказывания, то а<^Ь (читается: «а эквивалентно 6»; <=»
соответствует словесному выражению «...тогда и только тогда,
когда...»)— новое высказывание, которое истинно, если либо оба
высказывания истинны, либо оба — ложны.
Из этого определения связки <=» следует, что ее матрица
истинности выглядит так:
1 а
и
л
ъ
и
и
л
л
Л
и
Введенными пятью связками (~|, A,V, =>, <=>) мы ограничимся.
2. С помощью уже введенных связок мы можем строить
сложные высказывания, зависящие не только от двух, но и от любого
числа элементарных высказываний1.
Делается это аналогично тому, как в элементарной алгебре
с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления
строятся сколь угодно сложные рациональные выражения. А
именно, предположим, что мы уже построили два каких-нибудь
сложных высказывания, которые мы ради удобства сокращенно
1 Отметим в этой связи, что так называемое нестрогое неравенство
а ^ Ь (читается: «а меньше или равно 6») представляет собой дизъюнкцию
(а < b) V(a = Ь)\ оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из
входящих в него простых высказываний. Хорошими примерами сложных
высказываний, встречающихся в школьной практике, являются так называемые
двойные неравенства. Так, формула а < b < с означает (а < b)/\(b < с),
а, например, а < b < с означает сложное высказывание (а < Ь) л ((Ь < с) V
W(b = с)).
29

обозначим большими латинскими буквами А и В (при этом мы
условимся, что элементарные высказывания следует рассматривать
как частный случай сложных). Тогда новые высказывания можно
получить, соединив А и В одним из знаков Л, V, ==Ф, <=> или же
построив высказывание 1Л и заключив результат в скобки.
Сложными высказываниями будут, например, высказывания
следующего вида:
((а => Ь) Л (с V а)); ((а => Ь) «=> (с => 1 а)).
При этом предполагается, что встречающиеся здесь буквы
являются сокращенными обозначениями каких-либо высказываний.
Таким образом, в принципе зная эти высказывания, можно
было бы построить русские фразы, выражающие эти сложные
высказывания. Только словесное описание сложных высказываний
быстро становится малообозримым, и именно введение
целесообразной символики позволяет проводить более глубокое и точное
исследование логических связей между различными высказываниями.
Располагая значением истинности простых высказываний,
легко подсчитать на основании определения связок значение
истинности сложного высказывания. Пусть, например, дано сложное
высказывание
((& V с)^(Ь А а))
и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют
следующие значения истинности: а = л,Ь = и,с = и. Тогда Ъ V с = и,
Ь Л я = л, так что (ф V с) ф=> (Ь Л я)), т. е. рассматриваемое
высказывание ложно.
3. Высказывания и булевы функции
Одной из основных задач алгебры высказываний является
установление значения истинности сложных высказываний в
зависимости от значения истинности входящих в них простых
высказываний. Для этого целесообразно рассматривать сложные
высказывания как функции входящих в них простых высказываний. С другой
стороны, так как значение истинности (и или л) сложного
высказывания зависит по определению логических связок не от самих
простых высказываний, а лишь от их значения истинности, то
можно считать, что любое сложное высказывание определяет
функцию, аргументы которой независимо друг от друга принимают
значения и или л, а значение самой функции также принадлежит
множеству {и, л}1. Такие функции называются булевыми функция-
ми(иоимени Д. Буля). Например, формула/7 (а, Ь, с) = (а/\Ь)=$>
=Ф (с Л а) описывает, учитывая определение входящих в нее
связок, булеву функцию, задаваемую следующей таблицей:
4»
1 Конечно, существенно не то, что речь идет о функциях от нескольких
аргументов из множества {и, л} в множество {а, л}, а лишь то, что данные мно-
ества двухэлементны. Эти множества зачастую обозначают не через {и, л},
например, через (0, 1}, считая, что 1 означает «истину», а 0 — «ложь».
10

а
и
и
и
и
Ь
и
и
л
л
с
и
л
и
л
F {а, Ь, с)
и
Л
и
и
а
Л
Л
л
л
ь
и
и
л
л
с
и
л
и
л
F(a, b,
и
и
и
и
с)\
Читатель легко это может проверить. Заметим, что булевых
функций от п аргументов имеется лишь конечное число, а именно
столько, сколько возможно функциональных таблиц. Число
возможных наборов аргументов равно 2Л, а каждому набору аргументов
можно независимо друг от друга сопоставлять одно из значений и
или л. Таким образом, число всевозможных булевых функций от п
аргументов равно 22П- Оно очень быстро растет с ростом п.
Изучение свойств булевых функций приобретает в настоящее время все
большее значение как для алгебры и математической логики, так
и для их приложений в кибернетике и теории автоматов.
Естественно распространить определение высказывательных связок, так
как мы их определили выше, на булевы функции. Мы ограничимся
рассмотрением лишь связок Д, V, "1, называемых булевыми
связками (или булевыми операциями). Такое ограничение оправдано
тем, что, как легко проверить, связки =Ф и ф=> могут быть выражены
через другие булевы связки. При помощи таблиц истинности*
приведенных выше, легко проверяются следующие тождества:
а=> b = (~\а) V Ь\ а<^> Ъ = (а А Ь) V (~]а Д lb),
которые позволяют повсеместно заменить связки =Ф, ф=> на Д, V, ~1 *
Если мы теперь имеем булевы функции {F (xl9 x2l ..., хп),
G (хъ х2, ..., хп)} от п переменных, то действие связок над ними
определяется естественным образом:
г (х1, х2у ..., хп) Д и (xl9 Хо} ..., xn)i
г (х1, х2, ..., хп) V и (Xi, x2l ..., хп), I г (xlt х2, ..., хп)
это такие булевы функции, которые принимают значения,
предписываемые соответствующими таблицами для каждого возможного
значения аргументов. Кратко: булевы операции так переносятся на
булевы функции, как действия арифметики переносятся на обычные
функции числовых аргументов. Вообще имеет место далеко идущая
аналогия между обычной алгеброй чисел и числовыми функциями,
с одной стороны, и высказываниями и булевыми функциями —
с другой. При этом можно отметить, что в одном определенном
смысле алгебра булевых функций проще алгебры числовых
функций: если рассматривать лишь функции некоторого конечного
числа аргументов, то таких функций лишь конечное число. Поэтому
выкладки с булевыми функциями вполне доступны пониманию
школьников старших классов.
ai

Естественно, закономерности булевой алгебры менее привычны
и вызывают удивление и недоверие: это судьба всякого новшества.
Выпишем законы булевой алгебры. Большими латинскими
буквами Л, В, ..., X, У, Z мы обозначим объекты, над которыми
осуществляются булевы операции Д, V, "1- Для определенности
будем считать, что эти объекты — булевы функции некоторого
фиксированного числа переменных. Среди них есть два особых
элемента: 1, О1. Это соответственно функции, принимающие для всех
аргументов значения 0 и 1 (постоянные функции — нуль и единица).
Тогда
А Д В = В Л А, А V В = В V А,
А Л (В Л С) = (А Л В) Л С, Л V (В V С) = (Л V В) V С,
А Л А = A, Ay A = А,
А Л 1 = Л, Л V 1 = Л,
лдо=о, л v о = л,
1(Л Л В) = ~\А V 1В, ПИ V В) -1ЛЛ ПА,
Л Д (В V С) - (Л Л В) V Л V (В Л С) = (Л V В) Л
V (А Л С), Л И V С),
11Л - Л.
Если, как это обычно делают, булевы операции V, Л. 1 считать
аналогом сложения, умножения и перехода к
противоположному числу (а в электротехнике и в вычислительной технике принято
говорить о логическом сложении и умножении и употреблять
знаки + и •), то некоторые из вышеприведенных законов те же, что
для числового сложения и умножения, другие же существенно
отличаются от привычных.
Мы говорили о том, что элементами булевой алгебры можно
считать булевы функции. Но оказывается, что в точности такие
же законы выполняются для теоретико-множественных операций,
о которых шла речь в предыдущей главе. Более точно: если считать
в вышеприведенной таблице тождеств, что большие латинские
буквы означают подмножества некоторого фиксированного
множества U (универсального множества), и заменить повсеместно
конъюнкцию Л на пересечение Г)» дизъюнкцию V на объединение U ,
отрицание П на дополнение, 1 на универсальное множество, а О
на пустое множество, то можно проверить, что будут выполняться
все законы: как принято говорить, алгебра множеств есть лишь
другая интерпретация булевой алгебры. Отмеченный параллелизм
алгебр функций, фигурирующих в алгебре высказываний и в
алгебре множеств, не случаен, а вполне закономерен. На нем следует
остановиться и пояснить его, так как ввиду новизны тематики часто
не сразу усматривается то глубокое родство, которое имеет место
между алгеброй множеств и алгеброй высказываний.
1 Можно было бы сохранить старые обозначения и и л, но мы сознательно
не делаем этого, чтобы не связывать непременно произвольную булеву алгебру
с алгеброй высказываний (см. примечание на с. 30, а также ниже об алгебре
множеств).
32

Покажем, как булевым функциям можно сопоставить некоторые
конечные множества объектов, причем так, что конъюнкция,
дизъюнкция и отрицание будут соответствовать для сопоставляемых
множеств действиям пересечения, объединения и дополнения.
Будем для этой цели рассматривать для определенности булевы
функции F (х1У х2, ..., хп) от п переменных. С другой стороны, введем
в рассмотрение в качестве универсального множества U множество
всех булевых векторов (иногда говорят кортежей), т. е. множество
всех последовательностей (а19 а2, ..., ап) длины /г, составленных
из букв и, л. Множество U содержит 2п элементов. Теперь каждой
булевой функции F (хъ х2, ..., хп) можно сопоставить некоторое
подмножество F' множества U, а именно множество тех булевых
векторов (а19 а2, ..., ап), для которых F (х19 х2, ..., хп)
принимает значение и. Тогда, конечно, для всех других булевых
векторов, т. е. для всех элементов (bl9 Ъ2, ..., Ьп) дополнения
/^множества f, F (bl9 b2, ..., bn) = л, и тем самым булева функция
F (х19 х2, ..., хп) однозначно определяется множеством F/. Множество
F' называют множеством истинности функции F. Функции,
принимающей для всевозможных значений аргументов значение и
(тождественно-истинной функции) соответствует все множество /У, а
функции, тождественно-равной л (тождественно-ложной функции)
отвечает пустое множество 0.
Пример. Пусть F (хг, х2) и G (хъ х2) — функции, заданные
таблицами:
xt
и
и
л
л
*2
и
1 Л
и
Л
F Ui> x2)
1
и
и
л
л
G {xlt x2)
л
и
и
л
Области истинности F (хъ х2) и G (х1у х2) будут тогда
соответственно F' = {(и, и), (и, л)} иС= {(и, л), (л, и)}.
Теперь совсем нетрудно себе уяснить, хотя бы на
вышеприведенных примерах, соответствие между связками Л, V, "1, с одной
стороны, и теоретико-множественными операциями — с другой.
А именно если области истинности функций F (xl9 х2, ..., хп) и
G (хц х2, ..., хп) суть соответственно F/ иС, то области истинности
г (xl9 x2, ..., хп) Л G (хъ х2, ..., хп)',
г (xlt х2, ..., хп) V G (х1у х2, ..., хп)\
| Г (Хъ Х2, ..., Хп)
будут F' П G'; F' U G'; ¥'.
Соответствие между булевыми функциями алгебры логики, с
одной стороны, и алгебры множеств — с другой, мы показали на
33

частном примере булевых функций от п аргументов и алгебры
подмножеств некоторого множества из 2п элементов в качестве
универсального множества. Заметим, что совсем нетрудно
распространить наше рассуждение на случай произвольного универсального
множества, как конечного, так и бесконечного. Но для этого
понадобилось бы введение некоторых новых понятий.
4. Логическое следование для формул алгебры высказываний
Понятие области истинности булевой функции, введенное в
предыдущем пункте, нам сейчас понадобится для уточнения понятия
логического следования — центрального понятия формальной и
математической логики, о котором мы вскользь говорили в первом
параграфе. Говоря об аристотелевских силлогизмах, мы так
характеризовали правильные силлогизмы: силлогизм правилен, если он
всегда из истинных посылок приводит к истинному заключению.
В различных вариантах именно эта идея главенствует при
пояснении того, что следует понимать под логическим следованием. Мы
сейчас рассмотрим один такой вариант: понятие логического
следования для формул алгебры высказываний.
Сложное высказывание алгебры высказываний зависит от
входящих в него простых высказываний: для некоторого набора этих
простых высказываний оно истинно, для других — ложно. Таким
образом, сложное высказывание можно рассматривать как булеву
функцию и можно говорить о его области истинности.
Пусть А (хи х2, ..., хп) = АиВ (хъ х2, ..., хп) = В — две
формулы логики высказываний от переменных хъ х2, ..., хп. Мы
будем говорить, что формула В (хъ х2, ..., хп) является логическим
следствием формулы A (xlt х2, •••, *„), если принимает
значение и для всех наборов значений истинности, для которых А
истинна. Это означает также, что если представить обе формулы их
таблицами истинности, то множество наборов, для которых А
истинна, содержится в множестве наборов, для которых истинна формула В.
Например, согласно этому определению формула В = (х V А
является логическим следствием формулы А = ((х V у) Л z). Это
видно из соответствующих таблиц истинности:
X
и
и
и
и
л
Л
л
л
У
и
и
л
л
и
и
л
Л
г
и
л
и
л
и
л
и
Л
(XVУ) Л2
и
л
и
л
и
л
л
л
хмг
и
и
и
и
и
л
и
Л
1 1
34

Две формулы А и В называются равносильными тогда и только
тогда, когда каждая из них является логическим следствием другой.
Из определения также явствует, что всякая формула является
логическим следствием тождественно-ложной формулы.
Действительно, так как в этом случае формула А никогда не принимает
значения и, то множество наборов, для которых А истинна, пусто и
содержится, следовательно, в множестве наборов истинности для
любой формулы В. Также очевидно, что тождественно-истинная
формула является логическим следствием любой формулы.
Очень существенным для алгебры высказываний оказывается
следующее обстоятельство: отношение логического следствия между
двумя формулами А (х±, х2, ..., хп) и В (xlt х2, •••, хп) от тех же
самых переменных высказываний сводится к тождественной
истинности формулы вида А =Ф В.
Формула В (х±, х2, ..., хп) является логическим следствием
формулы А (хг, х2, ..., х„) тогда и только тогда, когда тождественно-
истинна формула А (хх, х2, ..., хп) =Ф В (х±, х2, •••, хп).
Действительно, пусть В (xl9 х2, ..., хп) является логическим
следствием формулы А (хг, х2, ..., хп). Если для какого-нибудь
набора (аъ а2, ..., ап) значение истинности А (аг, а2, ..., ап) есть и,
то В (аг, а2, ..., ап) имеет значение и\ следовательно, для (%, а2,
..., ап) имеем, что А (аъ а2, ..., ап)=Ф В \аг, а2, ..., ап) истинна.
Если же А (ах, а2, ..., ап) имеет значение л, то, каково бы ни было
значение истинности В (аг, а2, ..., ап), из определения импликации
получаем, что A (at, а2, ..., ап)=ФВ (а±, а2, ..., ап) истинна.
Значит, в этом случае А (хг, х2, ..., хп)=ФВ (хъ х2,..., хп) всегда
истинна, т. е. это тождественно-истинная формула.
Предположим наоборот, что В (хъ х2, ..., хп) не является
логическим следствием формулы А (хи х2, ..., хп). Это означает, что
для некоторого набора (аъ а2, ..., ап) формула А (аг, а2, ..., ап)
будет истинна, а В (аг, а2, ..., ап) ложна. Но тогда для этого
набора А (аг, а2, ..., ап) => В (ах, а2, ..., ап) будет ложной, а
значит, формула Л=ФВ не тождественно-истинна.
Если принять во внимание то существенное огрубление
логических понятий, которое имеет место в логике высказываний, то
можно признать, что приведенное определение достаточно точно
отражает то интуитивное понятие логического следования,
которым мы пользуемся при дедуктивных заключениях в точных
науках, в особенности в математике. Отметим, что введенное нами
отношение относится не к единичным высказываниям, как это
имело место для понятия импликации, а к целым множествам
высказываний определенной формы, описываемых формулами A (xlf
х2, ..., хп) и В (хг, х2, ..., хп). Формулу А (хъ х2, ..., хп) можно
рассматривать как условие, которое может быть выполнено или
не выполнено в зависимости от истинности или ложности формулы
А. Отношение логического следования выражает тот факт, что
всегда, когда выполнено условие, описываемое формулой Л (хъ х%> ...; хп}9
имеет место ситуация, описываемая формулой В (хг, х2, ..., хп).
35

Мы считаем, что В (х19 х2, ..., хп) является логическим следствием
А (хъ х21 ..., хп) потому, что знание об истинности А позволяет
нам утверждать истинность В во всех случаях и без знания какой-
либо дополнительной информации. Если, наоборот, A (alt a2i ..., ап)
ложна, то В (аъ а2, ..., ап) при этом может быть и истинной, и
ложной, что не нарушает известную нам тождественную
истинность
А =Ф В.
В этом случае без дальнейшей информации мы не можем
утверждать истинность высказывания В (аъ а2, ..., ап). Как видим, эта
ситуация вполне соответствует нашему повседневному пониманию
логического заключения.
Любая тождественно-истинная формула теории высказываний
вида
A {xlt х2, •••, хп) =Ф и (х^у х2, ..., хп)
соответствует некоторой общей схеме логического заключения.
Чтобы уяснить это себе, рассмотрим пример одной схемы
логического заключения, часто применяемой в математических
доказательствах, а именно установление истинности некоторого
утверждения путем приведения противоположного утверждения к абсурду.
Схема такого заключения выглядит так. Предположим, что нужно
доказать истинность некоторого утверждения вида ~~]А.
Предполагается, что истинно утверждение Л. После этого показывается,
что тогда можно найти такое утверждение В, что истинными
являются А =ФВ Д "1 В. Это и есть то, что называется абсурдом. Как
доказывается истинность импликаций, нас в настоящее время не
интересует. Мы предполагаем, что они уже доказаны. Тогда мы
утверждаем, что истинно высказывание ~|Л. Спрашивается, на
основании какого логического закона делается это заключение.
Оказывается, что это заключение основано на
тождественно-истинной формуле логики высказываний:
(*=Ф(у Л ~1у))=> ~1*. (*)
(Читатель легко проверит, что (*) — тождественно истинная
формула.) Формула (*) имеет вид А (х, у)=ФВ (х, у). Формула ~| х
является логическим следствием формулы х=Ф(уЛ "1 у).
Если нам уже известно, что х=>(у Л ~1 у) истинна, то мы
отсюда заключаем, что истинно утверждение "1 х. Это и есть схема
заключения приведением противоположного утверждения к аб-
СУРДУ« В качестве примера схемы заключения (*) приведения к
абсурду рассмотрим известное доказательство иррациональности
числа 1/2. Пусть а — высказывание «для сокращенной
рациональной дроби — имеет место (—] = 2».
36

Тогда имеем (*) 2п2 = т2 и число т четное, а так как тип
взаимно-простые, то имеет место утверждение Ь — «число п
нечетное». Но число т2 делится на 4, а формула (*) показывает, что
тогда имеет место ~| b — «число п четное», и мы видим, что
истинна импликация а=ФЬ Л "1 6, а применение схемы (*) показывает,
что имеет место ~] а: «j^j Ф2». Дальше заключаем так: так
т
как произвольное рациональное число, то квадрат
произвольного числа — отличен от 2 и число ]/~2 есть число иррацио-
п
нальное. Это последнее заключение уже не относится к алгебре
высказываний, а относится к следующему разделу математической
логики — к алгебре предикатов.
§ 4. ОТНОШЕНИЯ И СООТВЕТСТВИЯ,
ПРЕДИКАТЫ, КВАНТОРЫ
1. Обобщая понятие упорядоченной
пары, введенное во втором параграфе, определим понятия
упорядоченной тройки (аъ а2, а3), упорядоченной четверки (а1у а2,
а31 я4) и» вообще, упорядоченной м-ки, где п — произвольное
число.
Упорядоченная n-ка элементов из Л — это п (не обязательно
различных) элементов множества Л, данных в определенной
последовательности (а19 а2, ..., ап), так, что равенство
{аъ а2, ..., ап) = (а\, a'2i ..., а'п)
означает, что аг = а\, а2 = а2, ..., ап = а'п. Как и
упорядоченные пары, упорядоченные n-ки для любого п мы записываем в
круглых скобках и обозначаем жирными строчными буквами
а = (а1, а2, ..., ап).
Упорядоченные /г-ки элементов из множества А назьшают
иногда кортежами над А (термин, который мы тоже иногда будем
использовать).
Определение декартова произведения двух множеств
естественно обобщается на случай произвольного конечного числа множеств.
Если Alt А2, ..., Ап — п множеств, то под их декартовым
произведением понимается множество
С = {{аъ а21 ..., ап) \ аг € А±, а2 € Л2, ..., ап € Ап)
всех последовательностей (аъ а2, ..., ап) = а, где i-й член
последовательности, называемый i-й координатой последовательности
а, принадлежит множеству Аг Декартово произведение С
обозначается через С = А± х А2 х ... X Ап. В случае, когда все
множества Аъ Л2, ..., Ап совпадают (Аг = А2 = ... = Ап),
37

говорят об /г-й декартовой степени Ап множества Л, которая,
очевидно, является множеством всех упорядоченных /г-к из А.
Случай, когда п = 2, несомненно, самый важный, и именно
его мы рассмотрим более подробно.
Всякое подмножество Р <= А х В декартова произведения
А X В называется соответствием из А в В. А мы будем называть
множеством отправления, а множество В — множеством прибытия
соответствия Р.
Подмножество Р s А2 декартова квадрата называют бинарным
отношением (или двухместным предикатом) на множестве А.
Введенные понятия «соответствия» и «отношения» — одни из
самых общих понятий математики и играют большую роль в
анализе, геометрии и алгебре. Это видно хотя бы уже из того, что такое
важнейшее понятие, как понятие «функции», является лишь
частным случаем соответствий или отношений.
Соответствия и отношения целесообразно описывать и
представлять себе, основываясь на «геометрической интуиции», используя
так называемые графики. Привычные теперь уже в школе и столь
важные для анализа задание и представление функций с помощью
графиков вполне отвечают смыслу графика соответствий и
отношений.
Пусть сперва An В — конечные множества и пусть Р ^ А х В —
какое-нибудь соответствие из Л в В. Пусть для определенности
А = {1, 2, 3, 4, 5}, а В = {а, Ь, с, d) и пусть при этом Р =
= {(1, а), (1, с), (2, d), (4, а), (5, с)}. Соответствие Р можно
однозначно и обозримо описать таблицей с двумя входами, так как это
показано на рисунке 6. Элементам множества А ставятся в
соответствие вертикальные оси, элементам множества В —
горизонтальные, а кружками отмечаются те пересечения осей aL и fry,
которые отвечают парам (ah b;-), принадлежащим соответствию. Это
дает обозримую картину заданного соответствия — его график.
Отношение Р s A2 — это частный случай соответствия;
естественно, что на отношения переносится и понятие графика.
Например, если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а отношение Р состоит из пар
{(1, 1), (1, 4), (2, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 5)}, то его можно представить
графиком, приведенным на рисунке 7.
В случае бесконечных множеств Л и В, конечно, нет
возможности выписать график — таблицу какого-либо соответствия или
отношения полностью. В этом случае принято приводить лишь
какую-то конечную часть графика, оставляя фантазии читателя
или слушателя «представить» себе весь график полностью.
Приведем в этой связи такой пример. Пусть N — множество
натуральных чисел и пусть Р — отношение на N, состоящее из
пар \аъ а2), для которых
Р = (К, а2) | а1 < а2}.
Тогда приведенная на рисунке 8 часть графика этого отношения
дает вполне обозримую картину.
38

т—т—i—i—i
T————t
i———I—I
d
с
b
a
A' 12 3 4 5
РЧ(1Л(Ьс)А*),(4,а),(5,с)}
Рис. 6
Особенно важный для
многочисленных применений
никает случай, когда
12 3 4 5
РЧ(1Л(1^(2Л(Щ(3>5),М}
Рис. 7
воз-
А — это
множество R действительных
чисел. Для представления
отношений на R следует заметить,
что множество R2 есть обычная
числовая плоскость. Выбирая на
плоскости две координатные
оси, соотносим каждой точке
плоскости пару координат (а, Ь)
этой точки, являющиеся
действительными числами, и,
обратно, каждой паре действительных
чисел отвечает некоторая точка
плоскости.
Произвольное бинарное
отношение на R может теперь
рассматриваться как множество «отмеченных» точек
Например, отношения
Pi= {(х,у) \х* + у2= 1}
Р* =» {(*, У) I У = *2}
соответствуют множествам точек, частично представленных
6
5
ц-
J
2
1
i i
| 4
| |
9 Я
|
9
1
2 3 4
Рис. 8
5 6
и
на плоскости.
на
рисунках 9 и 10. Мы видим, что привычные представления графи*
Рис. 9
39

ков функций и неравенств принципиально ничем не отличаются
от общей схемы представления графиками-таблицами произвольных
соответствий и отношений.
Имеются два тривиальных соответствия из Л в В, а именно:
само множество Л х В — полное соответствие из Л в В и
пустое подмножество 0 s Л х В, называемое пустым соответствием
из Л в В.
Для соответствий Р, Q из Л в В, как для подмножеств Л х В,
может иметь место включение Р ^ Q, означающее, что все пары,
принадлежащие Р, принадлежат также и Q. В этом случае
говорят, что Р — более тонкое соответствие, чем Q, a Q — более
грубое, чем Р. В такой терминологии пустое соответствие 0 ^ А х В—
«самое тонкое», а полное соответствие — «самое грубое» среди
всех соответствий из Л в В.
Как над подмножествами множества А х В, так и над
соответствиями можно осуществлять булевы операции: пересечения,
объединения и дополнения. Если Р и Q — соответствия из Л в В^то
таковыми будут также множества Р fl Q» Р U Q и» наконец, Р =
= (А х В) \ Р. Как и в общем случае булевых операций, между
операциями П , U , \ для соответствий выполняются все
тождества, отмеченные в § 3. Все сказанное для соответствий
дословно повторяется для отношений над Л, т. е. для подмножеств
множества Л2.
2. Соответствия и отношения — понятия
теоретико-множественные; в математической логике им отвечают понятия предиката
и высказывательной формы. О последних мы поговорим в
следующей главе, а о предикатах сообщим некоторые сведения сейчас же:
алгебра предикатов — тот раздел математической логики, который
непосредственно надстраивается над алгеброй высказываний.
Как мы видели, одной из основных задач алгебры
высказываний является изучение истинности или ложности высказываний
в зависимости от истинности или ложности входящих в них
высказываний. Несмотря на большую важность этой области логики, она
оказывается слишком бедной для описания и для изучения даже
простейших заключений науки и практики. В рамки алгебры
высказываний не укладываются ни аристотелевская теория
силлогизмов, ни простейшие заключения арифметики и геометрии, не
говоря уже о довольно сложных логических выводах, с которыми
мы сталкиваемся в других науках и в повседневной жизни.
Действительно, рассмотрим следующие простейшие заключения.
Из истинных высказываний «3 меньше 5» и «5 меньше 7» мы
заключаем, что «3 меньше 7». Из истинных высказываний «Все птицы —
животные» и «Все воробьи — птицы» мы делаем заключение: «Все
воробьи — животные». Из высказываний «Петр — сын Ивана» и
«Павел — сын Петра» мы заключаем: «Павел — внук Ивана» и т. д.
Заметим, что во всех рассмотренных примерах истинность
заключения зависит не только от истинности посылок, но и от их
содержания. Если изменить вид посылок, то может оказаться, что
40

заключение будет неверным. Так (в первом примере) из истинных
высказываний «3 меньше 5» и «5 не равно 7» нельзя делать
заключение (которое оказывается истинным), что «3 меньше 7», или,
изменив немного второй пример, из истинных высказываний «Все
птицы — животные» и «Никакие рыбы не птицы» нельзя выводить
ни ложное высказывание «Никакие рыбы не животные», ни
истинное высказывание «Все рыбы — животные». Наконец, видоизменив
последний пример, из истинных высказываний «Петр — сын Ивана»
и «Павел — родственник Петра» мы не имеем права делать
заключение (которое в действительности может быть как истинным, так
и ложным), что «Павел — внук Ивана» (но можем вывести
истинное заключение: «Павел — родственник Ивана»).
Чтобы построить систему правил, позволяющую логически
выводить правильные заключения, учитывающие в какой-то мере
содержание посылок, мы должны проанализировать строение простых
высказываний. И здесь нам опять кое-что может подсказать
грамматика. Следуя по такому пути, мы придем к разделу логики,
называемому алгеброй предикатов. Она предполагает алгебру
высказываний уже известной, но идет дальше: простые высказывания, из
которых состоят сложные, в свою очередь расчленяются. Некоторые
авторы поэтому говорят, что алгебра высказываний —
«молекулярная логика», а алгебра предикатов — «атомарная». В некоторых
физических терминах, например в молекулярной теории газов,
отвлекаются от внутреннего строения молекул, учитывают лишь
их взаимосвязи как целых, в других же, наоборот, скажем в
физической химии, одновременно рассматриваются и взаимосвязь
между молекулами, и отчасти их внутреннее строение из атомов.
Конечно, не стоит слишком уж далеко проводить эту аналогию,
так как логика и физика все же очень разные науки.
Теория предикатов исходит из следующей установки. Простые
высказывания выражают, что некоторые объекты обладают
некоторыми свойствами или находятся между собой в некоторых
отношениях.
При этом понятия «свойство» и «отношение» рассматриваются
как частные случаи общего понятия «предиката». Объекты, о
которых говорится в высказываниях, называются «термами».
Постараемся выяснить смысл этих понятий на примерах.
Рассмотрим сначала некоторое число простых предложений —
высказываний, выражающих, что некоторый объект обладает
некоторым свойством:
«Сократ — грек»;
«Платон — ученик Сократа»;
«Три — простое число»;
«Москва — столица СССР»;
«Василий — студент» и т. д.
Все приведенные примеры — простые предложения. С точки
зрения грамматики они состоят из подлежащего («Сократ»,
«Платон», «три», «Москва», «Василий») и сказуемого («есть грек», «есть
41

ученик Сократа», «есть простое число», «есть столица СССР», «есть
студент»). Подлежащее является наименованием некоторого
объекта — конкретного или абстрактного, сказуемое выражает
некоторое свойство. В латинской грамматике сказуемое называется
предикатом, и этим термином принято теперь пользоваться в
математической логике в рассматриваемых ситуациях. Основным для
алгебры предикатов является второй член предложения —
сказуемое-свойство. Как же алгебра предикатов трактует понятие
«свойство»? Она рассматривает его как некоторую функцию следующим
образом.
Возьмем первый пример: «Сократ есть грек».
Вместо человека Сократ мы можем подставить имена
всевозможных людей и будем получать всегда осмысленные предложения.
Одни предложения будут истинными, другие — ложными:
«Сократ есть грек» — истинно;
«Платон есть грек» — истинно;
«Наполеон есть грек» — ложно;
«Ньютон есть грек» — ложно и т. д.
Более обще можно рассматривать выражение вида «X есть
грек», где буква X указывает место, на которое нужно подставить
имя некоторого человека, чтобы получить высказывание —
истинное или ложное. Но, как нам уже известно, существенным
свойством высказывания является его значение истинности и или л.
Становясь на эту точку зрения, логика предикатов считает
выражение «X есть грек» функцией, аргумент которой X пробегает
класс всех людей, а сама функция принимает в качестве значений
и или л. Если мы будем, как это принято в математике, «X есть
грек» записывать сокращенно, например в виде Гр (X), то для
значения X = Сократ получим Гр (Сократ) — и, а скажем Гр
(Наполеон) — л и т. д. Относительно других приведенных примеров
можно дословно повторить все то, что было сказано относительно
первого.
Таким образом, предикатом или, лучше, предикатом-свойством
будем считать функцию, определенную на некотором универсальном
множестве и принимающую значения и и л. Те элементы, для
которых значение предиката «истинно», обладают данным свойством,
остальные не обладают.
Отсюда сразу видно, что в действительности всякий предикат-
свойство вполне определяется подмножеством тех объектов, на
которых данная функция принимает значение «истинно». Полезно
привести примеры предикатов-свойств из области арифметики.
Такими будут, например, свойства натуральных чисел «быть
простым числом», «быть четным числом», «быть квадратом» и т. д.
Остановимся на примере «три есть простое число» и на
соответствующем предикате-свойстве «быть простым числом». Введем
для этого свойства сокращенное обозначение Пр (X). Предикат
Пр (X) определен на множестве натуральных чисел. Имеем Пр(1) =
= л (поскольку 1 не принято рассматривать как простое число).
42

Пр (2) = и, Пр (3) = и, Пр (4) - л, ..., Пр (10) = л, Пр (11) = и
и т. д. Подобный предикат, определенный на множестве
натуральных чисел, удобно представить в виде таблицы:
X
Пр(Х)
12 3 4 5 6 7...
л и и л и л и. ..
Сверху в таблице последовательно записаны натуральные числа,
снизу стоит буква и для тех чисел, которые являются простыми,
и л для тех, которые этим свойством не обладают. Вообще
произвольную таблицу подобного вида мы рассматриваем как
представление некоторого предиката-свойства, определенного на множестве
натуральных чисел. Два свойства рассматриваются как
одинаковые, если совпадают их таблицы, т. е. если они истинны для одних
и тех же значений аргумента.
3. Подобно приведенным предикатам-свойствам,
математическая логика рассматривает более общее понятие
предиката-отношения. В зависимости от того, между каким числом объектов
устанавливается отношение, мы различаем двухместные (бинарные),
трехместные (тернарные) и т. д., в общем случае — /г-местные
отношения. Рассмотренные выше предикаты-свойства считаются
унарными предикатами. Наконец, оказывается удобным в понятие
предиката-отношения как частный случай включить и высказывания
в качестве «0 — местных предикатов».
Рассмотрим несколько более подробно понятие бинарного
отношения. В качестве примеров из повседневной жизни для понятия
отношения удобно брать различные отношения родства,
описываемые словами «брат», «сестра», «отец», «мать», «дядя», «тетя», «муж»,
«жена», «зять» и т. д. Все математические дисциплины имеют дело
с предикатами-отношениями, причем самыми распространенными
являются бинарные отношения. Они описываются различными
словами: «равны», «не равны», «больше», «меньше», «делить»,
«перпендикулярны», «параллельны» и т. д.
По аналогии с предикатом-свойством двухместным предикатом
считается опять функция, на этот раз от двух аргументов,
определенных на некотором универсальном множестве, принимающая
значение и (истинно) и л (ложно): те пары элементов, для которых
функция принимает значение и, находятся в рассматриваемом
отношении, остальные пары в этом отношении не находятся.
Рассмотрим два примера бинарных отношений, определенных на
множестве натуральных чисел, а именно отношение, описываемое
словом «больше», и отношение, описываемое словом «делить». Если
рассматривать эти отношения как функции от двух переменных X
и У (на множестве натуральных чисел), принимающие значения и
или л в зависимости от того, будет ли соответствующее отношение
выполняться или нет, то эти функции определяют два предиката,
которые мы обозначим через > (X, У) и Дел (X, У). Тогда для
предиката > (X, У) имеем, например, > (3, 2) = и, > (1, 3) = л,
43

> (7, 5) = и и т. д., а для предиката Дел (X, Y) имеем, например,
Дел (3,6) = и, Дел (5, 10) = и, Дел (7,9) = л и т. д. Более полно
и обозримо двухместные предикаты > (X, Y) и Дел (X, Y) можно
представить в табличной форме.
Таблица предиката >
\ к
1
2
3
4
5
6
7
1 • • •
1
л
л
л
Л
л
л
л
2
и
л
л
л
л
л
л
...
3
и
и
л
л
л
л
л
...
4
и
и
и
л
л
л
л
...
3
и
и
и
и
Л
л
л
6
и
и
и
и
и
Л
л
...
7
и
и
и
и
и
и
Л
...
Таблица предиката Дел
|V
1
2
3
4
5
6
...
1
и
и
и
и
и
и
2
л
и
Л
и
Л
и
3
Л
л
и
л
Л
и
• •.
4
л
Л
л
и
Л
Л
5
Л
Л
Л
Л
и
Л
. . .
6
Л
Л
л
Л
Л
и
7
Л
Л
Л
Л
Л
Л
• • '
8 !
Л
Л
Л
Л
Л
Л
• • •
...
Приведенные примеры — двухместные (бинарные) предикаты.
Конечно, совсем нетрудно указать в элементарной математике
примеры трехместных предикатов и предикатов от еще большего числа
аргументов. Так, трехместным предикатом является в геометрии
отношение, описываемое словом «между»: «Точка Y лежит между
точками X и Z». В арифметике хорошо известны понятия
наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух целых
чисел: фраза «Число d является наибольшим общим делителем
чисел а и 6» описывает трехместный предикат. Трехместные
предикаты на множестве действительных чисел задают действия
сложения, вычитания, умножения и деления: X + Y = Z, X — Y = Z,
X • Y = Z, X : Y = Z. Примером четырехместного предиката
может служить отношение между членами пропорции X : Y =
= Z:W
44

Предикаты с большим чем 2 числом аргументных мест лишь
технически, а не принципиально сложнее, чем бинарные. Поэтому
в нашем кратком изложении мы ограничимся лишь их упоминанием.
Напротив, разница между предикатами-свойствами и
предикатами-отношениями оказалась в истории развития логики очень
существенной. Как мы уже говорили, понятие предиката было
подсказано логике грамматикой. Предикат в исходном понимании этого
слова — это сказуемое простого предложения, а сказуемое
характеризует в предложениях одно подлежащее, и исторически первые
разделы формальной логики — от Аристотеля до середины
прошлого столетия — имели дело исключительно с взаимосвязью
между подлежащим и сказуемым. То, что без рассмотрения
многоместных предикатов невозможен логический анализ
математических рассуждений даже в пределах элементарной школьной
математики, — исключительно плодотворное достижение
методологии математики нового времени. Многие видные
педагоги-математики считают совершенно необходимым как можно раньше
заложить основы интуитивного понимания бинарных предикатов
у ребенка. В этой связи можно указать на недавно вышедшую книгу
Ф. Папи [21]. О том, какую роль играют многоместные
предикаты в средних классах школы (IV—VII классы), мы
поговорим в следующем параграфе, где предикаты появляются в виде так
называемых высказывательных форм.
я-местные предикаты на некотором множестве А находятся в
естественно определяемом взаимно-однозначном соответствии с
/г-местным отношением над А. А именно если Р (Хг, Х2, ..., Хп)
есть предикат над А, то ему можно сопоставить его область
истинности — множество тех кортежей а = (а19 а2, ..., ап), для которых
Р (аъ а2, ..., ап) = и. Это некоторое однозначно определенное
/г-арное отношение над А. Обратно, всякому д-арному отношению
F' г Ап сопоставляется предикат F (Х1э Х2, ..., Хп), областью
истинности которого является F':
F {аъ аъ ..., ап) = и для (аи а2, ..., ап) € F' и
F {аъ а2, ..., ап) = л для (al9 а2, ..., ап) i F'.
F (#1, х2, ..., хп) называют характеристической функцией
множества F'. Вообще говоря, характеристической функцией какого-
либо множества в анализе называют числовую функцию, равную
единице на элементах множества и равную нулю на всех остальных.
Согласно широко принятой условности часто пишут 1 вместо и
и 0 вместо л, чем и оправдывается применение термина в нашем
случае.
4. Выше мы рассматривали не только отношения на некотором
множестве Л, но и соответствия между различными множествами,
т. е. произвольные множества Р s Ax x А2 или, более обще,
Р^Л1хЛ2х... X Ani где сомножители не обязательно равны
между собой. Им отвечают в математической логике так
называемые многосортные предикаты, аргументы которых не обязатель-
4Ь

но принадлежат одному и тому же множеству. Важным примером
многосортного предиката из области элементарной геометрии
является предикат инцидентности. Обозначим множество точек
плоскости через Р, а множество прямых— через Q. Важному
соответствию, описываемому предложением «Точка Р лежит на прямой
q» (или «Прямая q проходит через точку Р»), соответствует
функция J (X, Y) со значениями и и л, называемая инцидентностью.
J (P, q) принимает значение и, если точка Р лежит на прямой q,
и л в противном случае. Первый и второй аргументы здесь относятся
к различным множествам: предикат двусортный. Нетрудно
привести примеры и других многосортных предикатов.
Существенным является то обстоятельство, что столь важные
понятия, как «функция» и «функциональное соответствие»,
естественно вкладываются как частные случаи в более общие понятия
соответствия и предиката. Эта тема подробно трактуется в
учебнике алгебры для VI класса.
5. Ознакомившись с понятием предиката, мы переходим теперь
к рассмотрению операций, позволяющих из некоторых исходных
предикатов строить новые. Начнем изучение с простейшего случая
одноместных предикатов. Пусть Р (X) и Q (X)—два
одноместных предиката, определенных на некотором множестве М. С
помощью операций алгебры высказываний мы можем строить новые
предикаты на множестве М. Конъюнкция Р (X) Л Q (X) — это
предикат R± (X) = Р (X) Л Q (X), который истинен для тех
объектов а из iW, для которых оба предиката Р (X) и Q (X) истинны.
Аналогично определяется дизъюнкция Р (X) V Q (X): R2 (X) =
= Р (X) V Q (X) — это предикат на М, который истинен в
точности для тех а (; М, для которых истинен по меньшей мере один
из предикатов Р (X) и Q (X). Так же определяется отрицание
~]Р (X): R3 (X) = ~1Р (X) — предикат на М, истинный для тех
и только тех а € М, для которых Р (X) ложен.
Как видно, определение операции алгебры высказываний над
предикатами вполне естественно. Их общая схема такова: пусть
у—какая-нибудь операция алгебры высказываний. Тогда она
определяет операцию над предикатами: R (X) = Р (X) у Q (X).
Ведь предикат R (X) определен, если для всякого объекта а из М
установлено, будет R (а) значением и или л. А это устанавливается
так: по значениям истинности Р (а) и Q (а) согласно таблице
истинности для операции у находится значение истинности Р (а) у Q (#).
Так найденное значение истинности и считается значением
истинности R (а) предиката R (X) для X = а.
Если, например, Р (X) — предикат-свойство «быть
англичанином», Q (X) — предикат «быть студентом» (множество М будем
считать множеством всех людей), то Р (X) Л Q (X) обозначает
свойство «быть англичанином и быть студентом». Этим свойством
обладают те и только те люди, которые одновременно являются
англичанами и студентами. Предикат Р (X) V Q (X) обозначает
свойство «быть англичанином или быть студентом», предикат ~1 Р (X)—
46

свойство «быть не англичанином» (ему удовлетворяют те люди,
которые не являются англичанами).
Булевы операции Л, V, "1 над одноместными предикатами
соответствуют операциям над множествами: пересечению,
объединению, дополнению.
Операции логики высказываний над многоместными
предикатами определяются вполне аналогично. Нужно только следить за
тем, какие переменные обозначены одинаковыми буквами, а
какие — различными. Мы не будем давать общего определения.
Приведем только несколько примеров, на основании которых
читатель легко уяснит себе, как следует поступать в любом случае.
Имеем, скажем, два двухместных предиката Р (X, Y) и Q (X, Y),
определенных на некотором множестве М. Р (X, Y) Л Q (У, Z) —
это трехместный предикат R (X, У, Z) от X, У, Z на М. Как
увидеть, для каких значений переменных X, У, Z R (X, Y, Z) =
= Р (X, Y) Л Q (У, Z) принимает значение и, а для каких — л?
Пусть а, Ь, с — три объекта из М. Значение истинности R (а, Ь, с)
для X = а, Y = Ьу Z = с получается так:
R (а, Ь,с) = Р (а, Ь) Л Q (6, с).
Р (а, Ь) и Q (Ь, с) имеют вполне определенные значения истинности.
R (а, Ъ, с) имеет значение и тогда и только тогда, если Р (а, Ь) и
Q (Ь, с) оба имеют значение и. Если Р (X) и Q (X) — два
одноместных предиката, то не следует смешивать предикаты Р (X) V Q (X) и
Р (X) V Q(Y). Р (X) V Q (X) — это, как нам уже известно,
одноместный предикат. Напротив, Р (X) V Q (У) — двухместный
предикат от переменных X, У:
R (X, У) = Р (X) V Q (У).
R (а, Ь) имеет значение и в точности тогда, когда Р (а) V Q (Ь)
имеет значение и.
6. В алгебре предикатов наряду с операциями логики
высказываний важнейшую роль играют операции, называемые
кванторами. Именно употребление кванторов делает алгебру предикатов
значительно более богатой, чем алгебру высказываний. Кванторы
соответствуют по смыслу тому, что на обычном языке выражается
словами «все» («для каждого», «для всех» и т. п.) и «существует»
(«некоторый», «найдется» и т. п.).
Понятие, обозначаемое словом «все», лежит в основе квантора
всеобщности (или квантора общности). Если через Гр (X)
обозначен предикат «X есть грек», определенный на множестве М всех
людей, то из этого предиката с помощью слова «все» мы можем
построить высказывание «Все люди — греки» (конечно, ложное
высказывание). Это пример применения квантора всеобщности.
Вообще же квантор всеобщности определяется так. Пусть
Р (X) — какой-нибудь предикат. Тогда квантор всеобщности —
это операция, которая сопоставляет Р (X) высказывание
«Все X обладают свойством Р (X)». (*)
Для этой операции («все») употребляется знак V (пере-
47

вернутая латинская буква А, напоминающая о немецком слове
«alle» или английском «all» — все). Высказывание (*)
записывается так:
V (X) Р (X)
(читается: «для всех X Р от X»). В соответствии со смыслом слова
«все» V (X) Р (X) — ложное высказывание, кроме того
единственного случая, когда Р (X) — тождественно-истинный предикат.
Если множество М состоит только из конечного числа объектов,
например из пяти: а±, а2, а3, а4, аь, то высказывание легко
записывается в виде конъюнкции единичных высказываний.
Действительно, в приведенном примере множества из пяти объектов оно
означает, что Р (аг) = и, Р (а2) = и, Р (а3) = и, Р (а4) = и,
Р (аь) = и. Таким образом, в этом случае V (X) Р (X) равносильно
высказыванию
Р (аг)АР (а2)АР (а3)ЛР (а4)АР (а5).
Если же М — бесконечное множество (например, множество всех
натуральных чисел), то, поскольку конъюнкция бесконечного числа
высказываний не определена, V (X) Р (X) не может подобным
образом быть сведено к конъюнкции единичных высказываний.
V (X) Р (X) — высказывание нового вида. Тем не менее
для многих целей удобно представлять квантор всеобщности V
в качестве обобщения конъюнкции единичных высказываний
Р (а), когда а пробегает все (возможно бесконечное) множество М.
Наряду с квантором всеобщности в логике предикатов
рассматривается другой квантор — «двойственный» ему квантор
существования, обозначаемый знаком 3 (это перевернутая латинская
буква Е, напоминающая немецкое слово «existieren» или
английское «exist» — существовать):
3 (X) Р (X)
(читается: «существует такое X, что Р от X») — высказывание,
которое истинно тогда и только тогда, когда Р истинно по меньшей
мере для одного объекта а из области определения М. Тем самым
3 (X) Р (X) — истинное высказывание для всех предикатов Р (X),
кроме одного — тождественно-ложного.
Если М — конечное множество (например, М = {а±1
я4, а5}), то опять-таки значение истинности высказывания
3 (X) Р (X) совпадает со значением истинности дизъюнкции всех
единичных высказываний Р (а) для всех а из М. Так, в нашем
примере имеем:
3 (X) Р (X) в Р (аг) V Р (а2) V Р (ав) V Р (a4)V P (аь).
Квантор существования обобщает операцию дизъюнкции в том
же смысле, в каком квантор всеобщности обобщает операцию
конъюнкции.
43

Между кванторами V и 3 имеют место отношения
равносильности, позволяющие сводить любой из этих кванторов к другому:
-|V(X)P(X)<=> 3(Х) 1 Р(Х)
(«Неверно, что все X обладают свойством Р (X)» равносильно
тому, что «Существует такой объект X, для которого истинно не
Р (X)»). Отсюда имеем: V (X) ф=> 1 3 (X) 1 Р (X).
Аналогично, имеет место двойственный закон:
1 3 (X) Р (X) фф V (X) -| Р (X)
(«Неверно, что существует X, обладающее свойством Р (X)»
равносильно «Все X обладают свойством не Р (X)»).
Отсюда 3 (X) Р (X) <=> ~| V (X) 1 Р (X). По бросающейся в
глаза аналогии с аналогичными равносильностями,
связывающими конъюнкцию (пересечение) с дизъюнкцией (объединением),
эти равносильности называют правилами де Моргана для
кванторов.
С помощью квантора существования легко выражается
суждение типа «Некоторые Р суть Q» (например, «Некоторые англичане
курят», «Некоторые нечетные числа — простые» и т. п.), т. е. что
по крайней мере один объект а, обладающий свойством Р, обладает
также свойством Q. Этот факт записывается формулой 3 (X) (Р (X) Д
Д Q (X)) («Существует такой X, что Р от X и Q от X»). Эта формула
утверждает также, что пересечение множеств истинности Р и Q
предикатов Р (X) и Q (X) непусто.
Аналогично с помощью кванторов записывается ряд других
отношений между одноместными предикатами.
Гораздо более богатые возможности открывает применение
кванторов к многоместным предикатам. Остановимся вкратце на
этом вопросе.
Пусть А (X, У) — некоторый двухместный предикат,
определенный на некотором множестве М. Квантор всеобщности и квантор
существования можно применять к нему как для переменной X,
так и для переменной У: V(X) А (X, У); V (У) А (X, У); 3 (X) Л(Х, У);
3 (Y) А (X, У). Переменная, к которой применен квантор,
называется связанной, другая переменная — свободной. Все четыре
приведенных выражения являются записями одноместных
предикатов от соответствующей свободной переменной. V (X) Л (X, У)
(читается: «для всех X, Л от X и У») — одноместный предикат от
переменной У: V (X) А (X, У) = F (У). Он истинен в точности
для тех b € М, для которых одноместный предикат А (X, Ь)
истинен для всех X. Если представить предикат А (X, У) его таблицей,
то предикат F (У) = V (X) А (X, У) истинен для тех Ь, для
которых столбец с входом b содержит исключительно букву и.
На таблицах а) —д) мы приводим пример предиката,
определенного на множестве М из пяти элементов (аъ а2, а3> а4, аь) и
одноместных предикатов, получающихся из него применением
кванторов.
49

1 У
а1
! #2
а3
а*
а5
VU) Мх, у)
л
и
л
и
л
h
°1
<ч
аз
а*
а-э
аг
и
Л
и
л
и
й2
и
и
и
и
и
с3
л
л
л
л
л
а*
и
и
и
и
и
аь
л
л
и
и
и
У
ах
а2
°3
й*
аь
2{х)А(х, у)
и
и
л
и
и
X
<*1
а2
аз
й*
аъ
¥(У) Aix. у)
л
л
л
л
л
X
fll
02
«3
а4
аъ
3(У) А(х. У)
и
и
и
U 1
и
У(Х)У(У)Д(Х, Y) = V(Y)V(X)A(X9 У) = л;
3(Х)3(У)Л (X, У)^3(У)3(Х)Л(Х, У) = u\
3 (Y) V (X) A (X, Y) = u\ 3 (X) V (Y) A (X, Y) = л;
\f(Y)3(X)A {ХУ)=л\ У(Х)3(У)Л(Х,У) =u.
Подобным же образом V (Y) A (X, Y) = G (X) — предикат от Х.
Он истинен для тех а € М, для которых строка с входом а содержит
только букву и. Предикат 3 (X) А (X, Y) = Н (У) истинен для
тех b € М, для которых соответствующий столбец содержит по
меньшей мере один раз букву и, а предикат 3 (У) А (X, Y) = К (X)
истинен для тех а € М, для которых в соответствующей строке
встречается буква и.
Применение квантора к одной из переменных двухместного
предиката превращает его в одноместный. В случае трехместных
предикатов применение квантора приводит к двухместному предикату.
Аналогично и для предикатов с большим числом мест применение
квантора превращает д-местный предикат в (д — 1)-местный. Более
подробно мы на этом останавливаться не будем.
К свободной переменной X одноместного предиката V (У) А (X, У)
в свою очередь можно применять квантор всеобщности или
квантор существования. Получаются выражения
V (X) (V (У) А (X, У)); 3 (X) (V (У) А (X, У)),
которые, опуская скобки, принято записывать несколько проще:
V (X) V (У) А (X, У); 3 (X) У(У) А(Х, У).
50

Это — высказывания. Первое истинно, если все строки, а тем
самым и вся таблица предикатов, содержат только букву и, второе
истинно, если соответствующая матрица содержит по меньшей
мере одну тождественно-истинную строку. Три другие предиката
V (X) Л (X, У), 3 (У) А (X, У) и 3 (X) А (X, Y)
также допускают квантификацию, так что в общей сложности мы
получаем из одного предиката восемь формально различных
высказываний: V (X) V (Y) А (X, У); 3 (X) V (У) А (X, У); V (X) 3
3 (Y) А (X, У); 3 (X) 3 (У) А (X, У); V (У) V (X) А (X, У);
3 (Y) V (X) А (X, У); V (Y) 3 (X) А (X, У); 3 (Y) 3 (X) А (X, Y).
Нетрудно убедиться в том, что четыре высказывания, содержащие
одинаковые кванторы, попарно эквивалентны:
V (X) V (У) А (X, Y) *> V (Y) V (X) А (X, Г),
3 (X) 3 (У) Л (X, У) ^ 3 (У) 3 (X) Л (X, У).
V (X) V (У) Л (X, У), так же как и V (У) V (X) Л (X, У), истинно
тогда и только тогда, когда Л (X, У) — тождественно-истинный
предикат, 3 (X) 3 (У) Л (X, У) и 3 (У) 3 (X) Л (X, У) оба
истинны во всех случаях, кроме одного, когда Л (X, У) — тождественно-
ложный предикат. Все остальные высказывания существенно
различны, что нетрудно показать на примерах. Особенно следует
помнить, что порядок следования разноименных кванторов очень
важен. Высказывания V (Х)3 (У) Л (X, У) и 3 (У) V (X) Л (X, У),
вообще говоря, не эквивалентны. В табличном представлении
предиката Л (X, У) истинность первого высказывания означает, что
во всякой строке встречается по меньшей мере один раз буква и
(на произвольном месте), между тем как второе высказывание
истинно тогда и только тогда, когда имеется по меньшей мере один
столбец, заполненный буквами и. Как видно, если выполняется
второе требование, то автоматически выполняется и первое.
Таким образом, если 3 (У) V (X) Л (X, У) истинно, то истинно также
V (X) 3 (У) Л (X, У). Следовательно, каков бы ни был предикат
А (X, У), имеет место импликация
3 (У) V (X) Л (X, К)=> V (X) 3 (У) А (X, У),
но обратная импликация, вообще говоря, не имеет места. Пусть,
например, Л (X, У) — предикат, определенный на множестве из
двух элементов {аъ а2} таблицей
X \.
<*1
а2
а± а2
л и
и л
Тогда, очевидно, V (X) 3 (У) Л (X, У) имеет значение и, а
3 (У) V (X) Л (X, У) — значение л.
Приведем еще один пример. Пусть Л (X, У) — рассмотренный
уже нами предикат Дел(Х, У), определенный на множестве нату-
51

ральных чисел и означающий «X делит Y». Тогда утверждение
V (X) 3 (У)Дел(Х, Y) («Для всякого X существует такое Y, что X
делит У»), очевидно, истинно, между тем как 3 (Y) V (X) Дел (X, Y)
(«Существует такое У, что любое X делит Y») ложно.
Особое значение приобретают кванторы в началах анализа,
занимающих сейчас значительное место в программах IX и X
классов. Некоторые педагоги считают даже, что главные трудности для
правильного понимания определений основных понятий анализа
происходят из-за того, что в них встречаются чередующие кванторы.
Так, известный бельгийский математик и педагог Ж- Папи в своей
книге «Первое обучение анализу» пишет: «Трудности анализа
происходят из-за использования кванторов... Введение кванторов
должно быть постепенным и начинаться в простых ситуациях».
Действительно, ряд грубейших логических ошибок учащихся
возникает из-за неправильного употребления слов «для каждого»
и «некоторого». Приведем несколько примеров.
1) Пусть / = (а, Ь) — некоторый интервал. Тогда «Для всякого
х € / существует такой у, что у = f (х)» (V (х) 3 (у) (у = f (x)))
означает, что функция / (х) всюду определена на /. Напротив,
«Существует такое у, что для всякого х у = f (х)» (3 (у) V (х) (у =
= / (х))) означает, что функция f(x) принимает для всех х некоторое
фиксированное значение у, т. е. постоянна.
2) Корректное определение периодичности всюду определенной
функции / (х) выглядит с использованием кванторов так:
3(с)Ч (х)(сфО Af(x + c) = f (х)),
между тем если переставить кванторы и сформулировать
утверждение «Для каждого х существует такое с, что с Ф 0 и что / (х + с) =
= / М»:
V (х) 3 (с) (с Ф О Д / (х + с) = f (x)),
то это означает лишь, что функция принимает каждое значение
больше чем один раз, т. е. нечто совсем иное.
3) Более сложным являются понятия предела
последовательности и предела функции: в их определении участвуют уже три
разноименных квантора. На странице 61 учебника «Алгебра и
начала анализа» для IX класса находим такое определение предела
последовательности: «Число а называется пределом
последовательности (хп), если для любого положительного числа е найдется
такое натуральное число N, что при всех п > N выполняется
неравенство
\хп — а\ < е».
В кванторном обозначении это определение записывается так:
V(e >0)3(ЛГ€ЛО V(m €Л0((л > Ы)^=>\хп-а\<г)К
1 При записи кванторов часто указывают область значения переменной,
на которую распространяется квантор. В данном случае то, что 8
—действительное число, подразумевается и явно не выписывается, но п п N —
натуральные числа, и это специально оговаривается.
52

Переставлять кванторы нельзя: именно тот факт, что N под
квантором существования 3 следует за выражением V (г > 0),
указывает на зависимость N от выбранного е.
Как выразить утверждение, что последовательность (хп)
сходится? Надо указать на то, что предел а существует. С помощью
кванторов это утверждение формулируется так:
3 (а) V (8 > 0) 3 (N € N) V (л€ N) ((п > N) =» (\хя — а\ < е)).
Такая запись имеет еще и то преимущество, что она почти
автоматически позволяет формулировать отрицание существования
предела, означающее свойство расходимости. Для этого достаточно
несколько раз применить правило де Моргана для кванторов:
(хп) расходится »1(3 (а) V (е > 0) 3 (N£ N) V (л€ N)) (n>N)=>
=>(\хя—а\<ъ) « V (а) 3 (е>0) V (N € N) 3 (п € АО ((л > АО Л
Л \хп — а\ > е).
Аналогично определяется предел функции в некоторой точке а:
число b называется пределом функции / (х) при х, стремящемся
к а, если для любого положительного числа 8 найдется такое
положительное число б, что при всех х Ф а, удовлетворяющих
неравенству \х — а\ < б, будет выполнено неравенство \f (х) — Ь\ < 8.
Структура этого определения хорошо усматривается при записи
с кванторами.
lim / (х) = Ь& V (е> 0) 3 (б > 0) V (х) ((х Ф а)Л(\х — а\ < 6)=>
=Ф|/(х)-Ь| <е)).
Существенно, что б > 0, существование которого здесь
утверждается, зависит от е. Именно это выражается в последовательности
кванторов V (е > 0) 3 (б > 0). («Для каждого 8 существует (свое)
б»).
§ 5. ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ
В начале урока учитель сказал:
«К доске пойдет Иванов». В середине урока сказал: «К доске пойдет
Сидоров». А незадолго до конца он сказал: «К доске пойдет Петров».
Все три предложения очень похожи между собой. В них меняется
только фамилия ученика. Фамилия здесь переменная. Учитель
мог вызвать к доске и других учеников. Вызов учителем какого-
либо ученика можно записать в таком виде: «К доске пойдет...»
Вместо многоточия можно поставить фамилию любого ученика
этого класса. В таких случаях можно писать не многоточие, а
букву. Например, предложение «К доске пойдет ...» запишем так:
«К доске пойдет X». Вместо переменной X можно подставить
фамилию любого ученика, который учится в этом классе. То, что
53

подставляется вместо переменной, называется значением переменной.
Значениями переменной могут быть и числа.
(Математика для 4 класса. Под ред. А. И. Мар-
кушевича. «Просвещение», 1975, с. 38.)
1. Так в современном курсе школьной математики маленький
школьник впервые знакомится с одним из центральных понятий
математики — с понятием переменной. В дальнейшем понятие
переменной будет расширяться и уточняться, охватывая постепенно все
важнейшие темы математики. Стоит остановиться на этом более
подробно, чем это может быть сделано в школьном учебнике.
Сразу же после приведенной цитаты приводится другой пример
употребления переменной: «В школьном буфете продают /С» — и
вместо буквы К предлагается подставлять слова из совокупности
{молоко, чай, пирожки, сосиски}. Помещая в выражение вместо
буквы К многоточие, его можно записать так: «В школьном буфете
продают ...» Если вместо многоточия записать одно из
вышеуказанных слов, то получится повествовательное предложение, или,
как мы говорим, высказывание, например, «В школьном буфете
продают молоко», и такое высказывание будет истинным или
ложным. Выражение же «В школьном буфете продают ...» — это еще
не высказывание, а лишь некоторая «форма для высказывания».
Говорят поэтому о высказывательной форме (или, иначе, о
пропозициональной форме-, от лат. слова «propositio» — основное
положение, тема). Такая высказывательная форма становится
высказыванием всякий раз, когда вместо многоточия или заменяющей его
буквы подставляется наименование некоторого объекта из заранее
определенного множества, называемого множеством (возможных)
значений переменной. А о самой форме говорят, что она
определена на данном множестве.
В учебнике говорится: «Значениями переменной могут быть и
числа». Это сказано даже слишком слабо: в математической
практике в подавляющем большинстве случаев значениями переменной
являются именно числа из какой-либо явно определенной или
подразумеваемой числовой совокупности. Кроме того, в арифметике,
алгебре и анализе высказывательные формы уже с XVII в. принято
записывать не на разговорном, например русском, языке, а на
специфическом «математическом» языке с использованием хорошо
зарекомендовавшей себя символики:
1) х2 + х — 2 = 0, 2) х2 > 3, 3) Зх + 5 = 7.
1), 2), 3) — примеры высказывательных форм, встречающихся
в школьном преподавании. Более точно, приведенные выражения —
высказывательные формы, если для каждой из них еще
дополнительно сказано (или подразумевается), какие числа допускаются
как возможные значения для переменной х.
О высказывательной форме можно говорить только после того,
как обусловлено множество М возможных значений переменных.
Об этом следует сказать более подробно. В школе именно не-
54

осознание этого обстоятельства часто приводит к досадным
ошибкам. Выражения Зх + 5 = 7, где х принимает целочисленные
значения, и Зх + 5 = 7, где х принимает в качестве значений
рациональные числа, — это две различные высказывательные формы:
первая определена на множестве Z целых чисел, а вторая — на
множестве Q всех дробных чисел. Что это различные формы, видно
хотя бы потому, что в первом случае ни для какого значения
переменной форма не превращается в истинное высказывание, во
втором же она истинна для значения х — —. Впрочем, дело не только
о
в этом, и отмеченное явление лишь подтверждает целесообразность
требования., согласно которому высказывательная форма считается
заданной лишь после того, как зафиксирована область значений
содержащейся в ней переменной.
Сказанное, конечно, не означает, что и в школьном
преподавании каждый раз, когда записывается уравнение с одной
неизвестной, всегда обязательно надо говорить, на каком множестве оно
рассматривается. Это был бы излишний педантизм: обычно в
средних классах областью значений переменных являются
рациональные числа, позже — действительные числа. Но если и не
обязательно настаивать каждый раз на уточнении области значений
переменной, то ученик должен во всяком случае чувствовать, что
такое уточнение можно сделать и что его нужно делать, если это
понадобится.
Итак, пропозициональная форма представляет собой
словесное или формульное выражение, содержащее незаполненное место —
пробел, помеченный, например, многоточием или каким-либо
специальным символом, скажем буквой х латинского алфавита, и
указанием некоторого множества объектов (обычно чисел, но не
только), которые можно подставить на место пробела, после
чего форма становится высказыванием истинным или ложным; сам же
пробел или символ, его обозначающий, называется переменной.
Таким образом, из высказывательной формы 3... + 5 — 7, или,
как обычно пишут, Зх + 5 = 7, а при подстановке вместо
переменной возможных значений из области целых чисел Z получаются
высказывания:
3-2+5 = 7,
3 . 1+5-7,
3-0 + 5-7,
3 • (-1) +5-7,
3 • (-2) + 5-7,
Они все ложны. Мы знаем, что высказывательная форма на каком-
то множестве определяет одноместный предикат на этом
множестве. В приведенном примере это тождественно-ложный предикат на
множестве Z целых чисел.
55

2. Более общим является понятие высказывательной формы от
нескольких переменных: такие формы соответствуют многоместным
предикатам. В математике к ним относятся уравнения и
неравенства с несколькими переменными. Отметим, что высказывательные
формы, содержащие несколько переменных, встречаются
повсеместно и в обыденной жизни. К ним, в частности, относятся формуляры
различного назначения, содержащие не один, а несколько
пробелов. Например:
СПРАВКА
является учеником класса
(фамилия, имя) (№ класса)
школы, города_
(„\° школы) (город)
(подпись директора)
Переменные — это незаполненные графы такого формуляра, их
принято обозначать словами, сразу указывающими на область
значения соответствующей переменной. Заполненный формуляр — это
высказывание (истинное или ложное):
Петров Иван
(фамилия, имя)
^"^ школы.
(v№ ОНКОЛЬ!)
СПРАВКА
V Л
является учеником v л
(№ класса)
гооода Свердловска
(город)
класса
Иванов
(подпись директора)
В элементарной математике же, как и в случае форм от одной
переменной, значения переменных берутся чаще всего из числовых
областей, причем зачастую для различных переменных
предусматриваются различные области значений1. Например, в одной и той
же формуле могут встретиться обозначения длин и углов (в
градусах): хг cos ф + 2 = х2 + 1. Но в большинстве случаев все
переменные какой-либо высказывательной формы, особенно в
школьной математике, имеют одну и ту же область значений, и мы в
дальнейшем будем это, как правило, подразумевать.
Приведем несколько примеров:
1) Зх + Ъу = 13 2) (Зх + Ъу = 13, 3) х2 + у2 = 25,
а) на множестве Z, \6х — 2у = 2 х,у k R\
б) на множестве Q; на множестве
:2 v2 . у2
4) — 4- — 4- — = 1. действительных
4 9 25 " чисел;
1 Хотя, конечно, и не всегда. Как раз в этой книге нам особенно интересен
случай, когда переменные принимают значения из двухэлементной области
{и, л}.
56

Отметим сразу, что для высказывательных форм от нескольких
переменных в отличие от случая от одной переменной буквенные
обозначения переменных становятся необходимыми — одними
многоточиями уже не обойтись. Запись, скажем, примера 1) в виде
3... +5... = 13 нам бы никак не указала, что вместо первого и
второго пробелов не обязательно подставлять одно и то же
значение. I2 + З2 - 25, 22 + 22 - 25, З2 + 42 = 25 — все это
допустимые реализации пропозициональной формы х2 + у2 = 25.
Хорошо известно и обычно явно не формулируется правило подстановки
значений вместо переменных: вместо одинаковых букв следует
подставлять одно и то же значение, вместо различных букв можно
подставлять разные.
Такая процедура столь привычна, что формулировка правила
может показаться излишним педантизмом. Но ведь сама запись
уравнений с переменными (или, как принято говорить, с
неизвестными) возникла сравнительно недавно, в XVI—XVII вв. благодаря
трудам Ф. Виета (1540—1603), С. Стевина (1548—1620), Р.
Декарта (1596—1650) и сыграла выдающуюся роль в развитии науки.
До этого уравнения записывались словесно, переменные
назывались «вещью», «числом» и т. п., из-за чего восприятие задачи было
крайне затруднено. Много поучительного по этому поводу сказано
в книге Г. Г. Цейтена [30].
3. Из приведенных примеров мы видим, что в школьной
математике высказывательные формы появляются как уравнения,
системы уравнений, неравенства и системы неравенств и уравнений.
Системы уравнений и неравенств принято в школьной практике
записывать с применением фигурных скобок {. По определению
фигурная скобка в данном случае означает то же, что и знак
конъюнкции. Таким образом «школьная» запись
Зх + 5у = 11
4Х + 1у = 15
в переводе на язык высказывательных форм записывалась бы в
виде
(Зх + Ъу = 11) Л (4х + 1у = 15).
Всякая высказывательная форма от одной или нескольких
переменных обладает некоторой областью истинности —
совокупностью числовых кортежей, для которых данное уравнение или
система принимает значение и. С давних пор такую область
истинности принято называть совокупностью решений, а каждый
элемент такой совокупности — решением1. Так, для высказывательной
1 Обратим в этой связи внимание на досадную двусмыслицу в русском
и большинстве европейских языков: слово «решение» имеет и вышеуказанный
смысл, но часто «решением» называют и действие по нахождению решений в
первом смысле. Мы в этом случае будем в явном виде говорить о нахождении
решений. (Другой встречающийся вариант: говорят о корнях уравнений и
об их нахождении, т. е. решении.)
57

формы х2 — Ъх + 6 > 0 область истинности будет: М {t \ t > 3 V
V t <2}.
Задача, естественно возникающая каждый раз, когда дана
система уравнений или неравенств, состоит в нахождении
совокупности решений, т. е. в установлении области истинности
соответствующей высказывательной формы. Ответ дается или в виде явного
перечисления всех решений, если таковых конечное и не слишком
большое число, либо же указанием хорошо обозримого
характеристического свойства. Последнее особенно принято, когда дело идет
о решениях неравенств.
Иногда область истинности уместно задавать в «геометрическом»
виде — в виде графика. Ведь высказывательной форме однозначно
соответствует предикат, а предикаты, как мы видели в предыдущем
параграфе, можно задавать графиками. Мы поговорим об этом в
конце параграфа.
4. Высказывательные формы (х + у) (х — у) = х2 — у2 и
(х + у)2 = х2 + 2ху + у2 на множествах целых, рациональных,
действительных чисел принимают значения и для всех значений
переменных. Такие высказывательные формы называются
тождественно-истинными равенствами (или тождествами) на
рассматриваемых областях значений переменных. Опять-таки при
понятии тождества следует иметь в виду область, на которой данная
высказывательная форма рассматривается. Например* выражение
(х + у) (х — у) = х2 — у2 не будет тождеством, если его
рассматривать как определенное на области, в которой не выполняется
закон коммутативности для умножения. (Такие области с
некоммутативным умножением широко распространены как в чистой
математике, так и в ее приложениях; к ним относится, например,
«алгебра матриц».) Для школьной практики это замечание может
показаться не столь существенным, так как в 99% случаев в школе
область значений переменных — действительные числа. И все-
таки в школьной математике понятие тождества (тождественного
равенства) имеет свои трудности, так что к нему все вновь и вновь
возвращаются. Главная причина состоит в существовании
многочисленных высказывательных форм, близких к тождествам, но с
ними не совпадающих, — тождеств с точностью до некоторого
числа «исключений». Будут ли нижеследующие выражения
тождествами на множестве R действительных чисел:
Ответы естественно формулировать так: выражение 1) — тождество
на множестве R \ {1} (так как правая часть не определена для
х = 1); выражение 2) — тождество на R \ {2, 3}; наконец,
выражение 3) — тождество на R \ |— • п\, п € Z. Вообще, во
избежание ошибок и трудностей при трактовке понятий тождества
целесообразно говорить не просто о тождестве, а о «тождестве на
58

некотором множестве». Конечно, на практике, чтобы не быть
педантичным, допустимо говорить и о тождестве, не упоминая явно
множество значений, на котором тождество выполняется, но ученик
всегда должен быть готовым уточнить выражение.
Практическое значение тождеств состоит в том, что они лежат
в основе тождественных преобразований, применяемых для того,
чтобы возникающие высказывательные формы можно было
преобразовать в более простые и обозримые, но имеющие ту же самую
область истинности. К этой теме относится большая часть
элементарной алгебрь!. Не останавливаясь на ней, следует предупредить
о возможных ошибках при использовании «тождеств с
исключениями». Область истинности высказывательной формы естественно
может измениться при применении тождественного преобразования
за счет чисел, не входящих в область, в которой выполняется при-
мененное тождество: их должны проверять отдельно. Так, -==
= х — 2 есть тождество лишь на множестве R \ {2}.
5. Высказывательные формы и предикаты —
близкородственные понятия. Естественно возникает вопрос: есть ли между ними
разница? Отчасти это вопрос терминологии. Но мы предлагаем
всегда различать высказывательные формы и предикаты. Как
сказано в предыдущем параграфе, предикат F (хъ х2, ..., хп) на
множестве М — это функция от п переменных, определенная на М,
принимающая значения {и, л}\ она в свою очередь однозначно
определяется своей областью истинности, которая есть некоторое
/г-местное отношение на М. Высказывательная же форма — это
некоторое словесное или формульное выражение, содержащее
переменные и становящееся высказыванием, когда вместо переменных
подставляется значение. Как сказано выше, высказывательная
форма определяет некоторый предикат, но различные
высказывательные формы могут соответствовать одному и тому же предикату;
в таком случае говорят, что они равносильны. Скажем,
высказывательные формы (определенные на множестве R) х2 > 0 и х4 > О,
конечно, различны, но им соответствует один и тот же предикат,
принимающий значение и для всех действительных чисел, отличных
от 0.
6. Перейдем к рассмотрению одного из самых важных типов
задач, решаемых в школе — к нахождению решений уравнений,
неравенств, систем уравнений и неравенств. Перечисленные
объекты, как мы видели, являются высказывательными
формами, а под решением этих форм понимается их область
истинности. Тема «Системы уравнений и неравенств» появляется
в школьном преподавании в различных классах, причем уравнения
и неравенства, подлежащие решению, становятся все более
сложными: сначала это линейные уравнения с одной неизвестной, потом
системы линейных уравнений с несколькими неизвестными, далее
рассматривают уравнения и неравенства, в которых встречаются
рациональные выражения от переменной, появляются алгебраические
59

уравнения второй степени (уравнения более высоких степеней
систематически в школе не изучаются) и, наконец, уравнения и
неравенства, в которых участвуют переменные, входящие в
различные элементарные функции: показательные, логарифмические,
иррациональные, тригонометрические, обратно
тригонометрические. Обычно уравнения, неравенства и системы
классифицируются, с одной стороны, по числу переменных (которые обычно
называют неизвестными), с другой — по типам функций,
встречающихся в формах, и, наконец, в связи с тем, идет ли речь об уравнениях
или о неравенствах. Однако независимо от таких характерных
признаков можно и нужно выявить общие черты возникающих
задач и выяснить такие вопросы: в чем состоит процедура
нахождения решения? Откуда появляются «лишние решения»? Подобные
вопросы получают разумный ответ в рамках системы понятий
теории множеств и математической логики, в первую очередь
в связи с понятием высказывательной формы. Можно поэтому
только приветствовать, что это понятие появляется теперь уже
в IV классе в простой и ясной ситуации. Затем в IV и в
последующих классах приводятся многочисленные другие примеры выска-
зывательных форм: уравнения, системы уравнений и системы
неравенств. В этом случае пользуются укоренившейся
терминологией: переменные называются неизвестными, область истинности
высказывательной формы называется множеством или
совокупностью решений, а каждый элемент этого множества — решением.
Если область истинности пуста, то говорят, что система
несовместна. Например, такова система
Зх + 5у = 7,
вх + Юу = 8.
О несовместности принято говорить, когда речь идет о системе,
т. е. о конъюнкции нескольких форм, но естественно было бы
говорить и о несовместности одного уравнения, рассматривая
уравнение как систему из одного уравнения. Например, уравнение вида
х2 + f + 1 = О,
определенное на множестве действительных чисел, решений не
имеет — оно несовместно.
Задачи, возникающие в связи с уравнениями и неравенствами,
могут быть различными: все они попадают под общую и
достаточно расплывчатую формулировку: «Дайте нетривиальную
информацию о решениях!» В школе обычно ставят задачу так: «Найти
совокупность всех решений». Если система имеет лишь конечное и не
слишком большое множество решений, то надо перечислить их все;
если решений бесконечно много, — так обычно бывает в случае
неравенств, но иногда и для уравнений (тогда принято говорить о
«неопределенности»), — то требуется указать область истинности
некоторым единообразным способом. Например, 2х + Зу — 10 имеет
60

множество решений вида ltl9 -1. Иногда приходится быть.
более скромным и уметь находить хотя бы одно решение. Бывает,
наконец, и так, что мы очень рады узнать, что система совместна,
что она вообще имеет решение. Такие ситуации встречаются в
анализе, в теории дифференциальных уравнений, но могут встретиться
и в школьном преподавании. (Например, при исследовании
квадратного трехчлена возникает вопрос: когда вообще квадратное
уравнение имеет решение?)
В основе общей логической схемы нахождения совокупности
решений уравнений и неравенств лежит понятие логического
следования (знак =>) и логической равносильности (знак ф^)1. Дадим
определения этим важнейшим понятиям.
Говорят, что высказывательная форма Q (xl9 х2, .., хп) следует
(или является следствием, или является логическим следствием)
высказывательной формы Р (xl9 х2, ..., хп),
г (Xi, Х2, •••> Хп) —Р Ц (#1, X2t •••, Xn/i
если всякий раз, когда Р (xlt x2, ..., хп) принимает значение и,
Q (*ъ #2» ..., хп) также принимает значение и. Другими словами,
Р (xl9 хъ ..., хп) => Q (xl9 хъ ..., хп) означает, что множество
истинности Q (xlt х2, ..., хп) содержит множество истинности Р (х19 х2,
-..., хп). Если множества истинности высказывательных форм
Р (^i, х2, ..., хп) и Q (хъ х2, ..., Хп) совпадают, то говорят, что они
равносильны (или логически равносильны), и это записывается так:
г (Х±, Х2, ..., Хп) £=> Ц (Х1, Х2, ..., Хп).
С использованием квантора всеобщности утверждение о логическом
следовании записывается в виде
V (хх) V (х2) ... V (хп) (Р (х19 х2, ..., хп) =$>Q (xl9 x2, ..., хп))9
а логической равносильности в виде
V (хг) V (х2) ... V (хп) (Р(х19 х2, ..., хп) » Q (х19 х%9 ..., хп)).
Неясно, назрело ли уже время вводить кванторные
обозначения в школьную математику, особенно в средних классах, а ведь
именно в средних классах должно проясниться это важнейшее
отношение между высказывательными формами. Такое прояснение
можно и нужно достичь как на основании примеров из
повседневной жизни и различных областей знания, так и особенно, на
примерах из математики:
«х есть рыба»=><а есть животное»;
«х есть итальянец»=Ф«х есть европеец»;
«х есть ромб»=>«л: есть параллелограмм»;
1 Мы обозначаем здесь следование так же, как во втором параграфе
обозначали импликацию, а равносильность — как эквивалентно. Это оправдано
тесной связью между этими понятиями, на чем, однако, мы здесь не имеем
возможности останавливаться подробнее.
61

«х есть параллелэграмм» => «х есть четырехугольник» и т. д.
Для целых чисел:
«х делится на четыре» =><а; делится на два»;
«х больше 5» =Ф «х больше 3».
Двухместные предикаты:
«х делит у» =>«х делит 2у»;
«х = у» => «х2 = у2»;
<ос < у» =Ф «х ^ у».
Для действительных чисел
<а3 = у3» =Ф «х = у»,
но для комплексных чисел неверно, что
<а3 = у3» =Ф «х = у».
Важно отметить, что для большинства указанных примеров
истинно лишь отношение =>, но не отношение <?=». Следует указать
учащимся, что (х = у) =Ф (х2 = у2) — истинное., а (х2 = у2) ф=>
$=$ (х = у) — ложное утверждение. Нужно привести как можно
больше примеров логического следования и отработать у учащихся
понимание различия между понятиями логического следования и
логической равносильности.
В связи с этим мы хотим отметить равносильность следующего
вида для уравнений над множествами действительных чисел, с
которыми часто приходится иметь дело в элементарной алгебре.
1) Если сумма квадратов каких-то выражений, содержащих
переменные (неизвестные), равна нулю, то такое уравнение
равносильно конъюнкции (системе) уравнений, в которых каждое из
выражений приравнивается нулю. Например,
(Зх + 5у — I)2 + (4* + Зу — 4)2 = 0 «=> (3* + 5у = 1)Д
д(4х + 3у = 4), т. е.
Зх + 5у = 1,
4Х + Зу = 4.
2) Если произведение выражений, содержащих переменные,
равно нулю, то такое уравнение равносильно дизъюнкции1
уравнений, в которых каждый из сомножителей приравнивается нулю.
Например,
(х2 + у2 — 9) • (Зх + 5у — 7) - 0 & (х2 + у2 = 9)V(3x+5y=7).
Основной принцип решения уравнения, системы уравнений или
неравенств состоит в последовательной замене одной системы
другой, являющейся ее логическим следствием или ей логически
равносильной вплоть до получения явного описания некоторого
множества — подмножества универсального множества, содержащего
искомое множество решений. Если в процессе преобразования одна
1 В этих случаях теперь часто говорят о «совокупности уравнений».
62

система заменяется не равносильной, а лишь логически следующей
из предыдущей, то полученное множество будет, вообще говоря,
шире, чем множество всех решений: оно может содержать «лишние
элементы». Например,
У*2 + 6х — 2 = 2х — I,
х2 + 6х — 2 = 4*2 — 4л- + 1,
г
(Х = 3)Wx = I.
Решением здесь является только х = 3.
Во всяком случае, искомые решения находятся среди
полученных и могут быть из них отобраны подстановкой в исходное
уравнение (неравенство или систему). Если же в процессе решения
производятся лишь преобразования с заменой уравнений или неравенств
на логически равносильные, то область истинности полученного
окончательного выражения должна быть той же самой, что у
исходной высказывательной формы, и подстановка в исходное выражение
не нужна (либо нужна только для проверки того, что в ходе
преобразования не были допущены ошибки).
Приведенные краткие соображения показывают, в какой
значительной мере логические понятия способны прояснить
педагогически трудные положения теории уравнений и неравенств. Однако
в какой последовательности и на каком материале их следует
развивать в школьном преподавании — это далеко не полностью
разработанная задача.
7. Перейдем, наконец, к последней теме параграфа: роль
высказывательных форм в аналитической геометрии и принципы
графического нахождения решения системы уравнений и неравенств.
Чтобы избежать чисто технических трудностей, мы ограничимся
высказывательными формами от двух переменных и геометрией на
плоскости. Переменные будем, как обычно, обозначать буквами
х и у. Если Р (х, у) — высказывательная форма над множеством
действительных чисел, то ее область истинности — это некоторое
множество пар действительных чисел. Если теперь на плоскости
ввести декартову систему координат, то каждой паре
действительных чисел (а, Ь) соответствует точка плоскости, имеющая а и Ь
своими координатами, и наоборот, каждой точке плоскости
соответствует некоторая пара чисел. Каждому множеству пар чисел
соответствует некоторое множество точек, т. е. некоторая фигура
на плоскости. Таким образом на плоскости областями
истинности высказывательных форм от двух переменных над множеством
действительных чисел становятся фигуры плоскости, вообще
говоря, конечно, разные, но равносильным высказывательным
формам соответствует одна и та же фигура, так что мы можем
геометрически представлять и исследовать области истинности
высказывательных форм типа уравнений или неравенств.
63

Уравнения от двух неизвестных имеют в качестве области
истинности обычно кривые на плоскости: линейным уравнениям
вида ах + by + с отвечают прямые, уравнения вида (х — а)2 +
+ (у — Ь)2 = /*2 — окружности, уравнению у = sin x —синусоида
и т. д. Но есть, конечно, и «вырожденные» случаи, когда область
истинности состоит из отдельных изолированных точек или просто
пуста, как, например, в случае уравнений х2 + у2 = —1 или
(х2 + у2)-((х — I)2 + (у — 2)2) = 0. Неравенствам в качестве
области истинности отвечают обычно двумерные куски плоскости:
линейному неравенству ах + by ^ с соответствует полуплоскость,
неравенству (х — а)2 + (у — Ь)2 ^ г2 — круг, неравенству у >х2 —
внутренняя часть параболы у = х2 и т. д. Но и здесь имеются
случаи «вырождения»: часть плоскости, являющаяся областью
истинности неравенства, может оказаться пустой или состоять из
отдельных точек. Как и раньше, область истинности некоторой
высказывательной формы естественно называть графиком этой
высказывательной формы. Далеко идущие применения получает
известное уже нам соответствие: конъюнкции высказывательных
форм соответствует пересечение их графиков, дизъюнкции
высказывательных форм соответствует объединение их графиков,
отрицанию высказывательной формы соответствует дополнение ее
графика.
Хорошо известно, что основанное на этом соответствии
«графическое» решение задачи получается обычно быстрее и дает более
ясную картину области решений. Так, для системы
(Зх + у = 3,
\х2 + у2 < 4
совокупность решений представляет собой хорду некоторого круга
(рис. 11). «Численный» способ нахождения решений здесь тоже не
слишком труден, но все-таки требует большей затраты сил и дает
менее ясную картину. Поэтому и в школе все большее место
завоевывают графические представления. Принципиальная
трудность возникает, конечно, при переходе от высказывательных форм
от двух переменных к трем переменным. Здесь графическое
представление надо реализовать в трехмерном
пространстве и графики уже не нарисуешь,
но геометрическое представление и здесь
остается в силе и позволяет зачастую
прояснить ситуацию (в этих случаях
говорят обычно о пользе «пространственного
воображения»). Для числа переменных
больше трех привычной геометрической
картины уже нет, но открытый вопрос о
полезности всякого рода геометрических
ассоциаций безусловно интересен.
Мы говорили пока о том, как после
выбора системы координат высказыва-
64

тельным формам соответствуют геометрические фигуры,
появляющиеся в качестве областей истинности. Обратно, кривым
и плоским фигурам соответствуют высказывательные формы типа
систем уравнений, неравенств. И если в первом случае можно
геометрическую интуицию применить для исследования задач
алгебры, то, сопоставляя кривым уравнения, можно
алгебраическими методами исследовать геометрические свойства кривых.
Это и есть знаменитый метод координат, положенный Р. Декартом
в основу аналитической геометрии. Пока она, можно сказать,
находится на «периферии» школьной математики, но
совершенно ясно, что в самом скором времени займет существенное
место в школьной геометрии. Теоретико-множественные и матема-
тико-логические принципы этого раздела опять-таки группируются
вокруг понятия высказывательной формы.
§ 6. АРИСТОТЕЛЕВСКОЕ УЧЕНИЕ О СУЖДЕНИЯХ
И СИЛЛОГИЗМАХ
Основным содержанием логики Аристотеля
является теория дедукции, хотя он излагал учение и о других
формах вывода... Хотя логика Аристотеля формальная,
но она непосредственно связана с учением об истине и
с теорией познания вообще, а также с учением о бытии,
ибо логические формы Аристотель понимал вместе с
тем как формы бытия
В. Асмус, А. Ахманов. Аристотель-
(«Философская энциклопедия», т. 1. М., 1960.)
1. В настоящей главе мы
расскажем, как в рамках алгебры предикатов описывается аристотелевское
учение о суждениях и силлогизмах; это учение иногда кратко
называют силлогистикой. Аристотелевская силлогистика (изложенная
в «Аналитиках») имеет громадное культурно-историческое значение:
она явилась первым примером строго построенной
формально-логической системы. В течение двух тысячелетий — вплоть до
возникновения математической логики в середине прошлого столетия —
силлогистика была по существу единственным разделом формальной
логики.
Еще на рубеже XIX в. немецкий философ И. Кант (1724—
1804) считал, что все существенное, что вообще может быть сказано
о законах формальной логики, уже было сказано Аристотелем в его
учении о силлогизмах и что поэтому формальная логика в некотором
смысле мертвая, неразвивающаяся наука. К мнению Канта
философы очень прислушивались, и эхо обстоятельство сыграло
некоторую роль в том, что исследования Буля и других пионеров
математической логики, относящиеся к темам более общим, чем
силлогизмы, не встретили сразу понимания и одобрения.
Дальнейшее бурное развитие математической логики и ее многочисленные
65

применения в самой математике и вне ее полностью опровергли эту
кантианскую точку зрения.
В современной математической логике аристотелевская
силлогистика представляет собой небольшую и довольно элементарную
часть, относящуюся к алгебре предикатов, причем к алгебре
одноместных предикатов. Сразу же подчеркнем, что та логическая
система, которую мы излагаем, называя аристотелевской
силлогистикой, в действительности не содержится в трудах Аристотеля.
Современная форма силлогистики является результатом работы
многочисленных комментаторов и последователей Аристотеля —
древнегреческих, древнеримских, арабских и средневековых логиков.
Силлогистика Аристотеля зачастую называется просто
традиционной формальной логикой и противопоставляется современной:
формальной логике, возникшей в XIX в. и базирующейся на
математических методах. Нужно отметить, что вплоть до XVII—XVIII вв.
знание традиционной формальной логики считалось неотъемлемой
частью всякого образования и занимало в нем примерно то же место,
какое сегодня занимает элементарная математика. В дальнейшем
традиционная логика стала отступать на задний план, уступая
свое место естественным наукам и математике.
2. В аристотелевской логике рассматривались четыре вида
так называемых категорических суждений:
1. «Все S суть Р»— общеутвердительное суждение.
2. «Никакое S не есть Р» — общеотрицательное суждение.
3. «Некоторые S суть Р» — частноутвердительное суждение.
4. «Некоторые S не суть Р» — частноотрицательное суждение.
Согласно давно установившейся традиции принято эти четыре
типа суждений обозначать заглавными латинскими буквами:
А — обще утвердительное суждение,
Е — общеотрицательное суждение,
/ — частноутвердительное суждение,
О — частноотрицательное суждение.
Суждения делили, во-первых, «по качеству»: 1) Л, / —
утвердительные суждения, 2) Е, О — отрицательные суждения) во-вторых,
«по количеству»: 1)-Л, Е — общие суждения, 2) /, О — частные
суждения.
Рассмотрим все четыре типа суждений несколько более
подробно.
Общеутвердительное суждение: «Все 5 суть
Р».
Примерами могут служить следующие суждения: «Все рыбы —
животные», «Все люди смертные», «Все квадраты—прямоугольники»
и т. д.
Смысл суждения «Все S суть Р» состоит в том, что некоторый класс
объектов S содержится в некотором классе объектов Р: класс всех
рыб содержится в классе всех животных, класс всех людей
содержится в классе всех смертных существ, класс всех квадратов
содержится в классе всех прямоугольников и т. д. Объекты классов
GS

S и P называются терминами суждения. В первом суждении
терминами будут «рыбы» и «животные», во втором — «люди» и
«смертные», в третьем — «квадраты» и «прямоугольники».
Суждение «Все S суть Р» есть высказывательная форма. S и Р
суть переменные, вместо которых нужно подставить конкретные
термины («рыбы», «животные» и т. д.), чтобы получилось
высказывание — истинное или ложное. Но, как мы уже знаем, классы
объектов однозначно соответствуют одноместным предикатам,
определенным на совокупности всех объектов. Класс «рыбы»
соответствует предикату-свойству «быть рыбой», а класс «животные» —
предикату «быть животным».
Утверждение «Все S суть Р» в терминах логики предикатов
естественно понимать так: если некоторый объект х обладает свойством
5 (т. е. S (х) истинно), что он также обладает свойством Р (т. е.
Р (х) истинно).
Это утверждение записывается с использованием квантора
всеобщности, очевидно, так:
V (х) (S (х) => Р (*)).
(«Для всех х, если х обладает свойством S, то х обладает свойством
Р».)
Обсуждение трех остальных типов суждений мы можем
провести более кратко, так как большинство соображений вполне
аналогично уже рассмотренному случаю общеутвердительных
суждений.
Общеотрицательное суждение: «Никакое S
не есть Р».
Примерами могут служить суждения: «Никакие рыбы не
являются птицами»., «Никакие камни не являются животными», «Никакие
треугольники не являются квадратами» и т. д.
Смысл общеотрицательного суждения такой: если некоторый
объект х обладает свойством S (т. е. если 5 (х) истинно), то он не
обладает свойством Р (т. е. Р (х) ложно). Это записывается
следующим образом: V (х) (S (х) => ~[ Р (х)).
Частноутвердительное суждение: «некоторые
S суть Р».
Примерами являются следующие суждения: «Некоторые люди
курят» (буквально: «Некоторые люди курящие»), «Некоторые
швейцарцы говорят по-французски» (аналогично: «Некоторые
швейцарцы суть говорящие по-французски»). «Некоторые простые числа
четны» и т. д. Из анализа употребления частноутвердителъных
суждений в традиционной формальной логике видно, что слово
«некоторые» в них следует понимать как «по меньшей мере один». В этом
смысле суждение «Некоторые простые числа четные» истинно, так
как одно простое число, а именно 2, четно. Частноутвердительному
суждению «Некоторые S суть Р» соответствует следующая формула:
3(x)(S(x)/\P(x)).
67

(«Существует такой объект х, обладающий свойством S, который
также обладает свойством Р».)
Частноотрицательное суждение: «Некоторые
S не суть Р».
Примерами являются следующие суждения:
«Некоторыеживотные не дышат легкими», «Некоторые грибы несъедобные»,
«Некоторые треугольники не равнобедренны» и т. д.
Это суждение записывается так:
3(x)(S(x) Л1РМ).
Приведенные выражения для суждений не единственны; для
установления других можно воспользоваться тождествами алгебры
предикатов. Так, например, тождество "IV (х) А (х) =s 3 (х) ~|А (х)\
связывающее квантор всеобщности с квантором существования,
позволяет все четыре вида суждений записывать как с квантором
всеобщности, так и с квантором существования. Общеутвердитель-
ное суждение V (х) (S (х)=>Р(х)) можно, используя правила де
Моргана, преобразовать так:
V (х) (S (х) =*> Р (х)) =1 3 МП ((IS (x))WP {х))=
= 1 3 (х) {miS (x))A-]P(x))) ^1 3 (х) (S (х)А-]Р (х)).
Для других суждений мы сразу приведем окончательный результат,
оставляя их вывод в качестве упражнений на применение алгебры
высказываний и алгебры предикатов:
Е: V (х) (S (х) => ~] Р (х)) =13 (х) (S (х) А Р (*));
/: 1V (х) (S (х) =ФП Р (х)) = 3 (х) (S (х) А Р (*));
О: IV (х) (S (х) => Р (х))я 3 (х) (S (x) A IP (*)).
Приведенные тождества позволяют легко усмотреть некоторые
отношения между суждениями, которые подробно изучались в
аристотелевской логике. Мы видим, например, что суждения Ли О являются
отрицаниями друг друга, так же как суждения Е и /. В
традиционной логике говорилось, что Л и О, так же как и Е и /,
находятся в отношении противоречия друг с другом.
Суждения Е и / допускают обращение:
-] 3 (х) (S (х)АР М)=1 3 (х) (Р (x)AS (*)); 3 (х) (S (х)АР {*)) =
= 3 (х) (Р (х) A S (х)).
«Никакое S не есть Р» тогда и только тогда, когда «Никакое Р не
есть 5», и аналогично суждение «Некоторые S суть Р» истинно тогда
и только тогда, когда «Некоторое Р суть 5». Это свойство
обращения суждений Е и /сразу вытекает из закона коммутативности для
операции Л, как это видно из-записи Е и / в виде ~13(лг) (S (х)АР(х))
и 3 (х) (S (л')ДР (#))• Ана-логичная запись с квантором
существования для Л и О показывает, что в них термины S и Р переставлять
нельзя, эти суждения обращения не допускают.
В традиционной логике формулировались и некоторые другие
отношения между суждениями, которые не вполне укладываются в
трактовку суждений внутри алгебры предикатов. Это связано, в
G8

частности, с тем, что Аристотель (и его последователи) всегда
неявно предполагал, что в суждениях, наверное, речь идет о
свойствах, которые выполняются по меньшей мере для одного объекта.
Логика того времени еще не созрела до мысли о целесообразности
введения в рассмотрение свойств с пустым множеством истинности
(тогда вообще не осознавали понятие пустого множества, как,
кстати, в арифметике «обходились» без нуля).
Аристотелевские силлогизмы представляют собой схемы
логических выводов, состоящих из трех суждений одного из четырех
вышеуказанных видов Л, £, /, О: два первых суждения — посылки,
третье — заключение. Приведем три примера, на которых мы
будем пояснять основные положения учения о силлогизмах.
Самый известный и самый простой силлогизм — силлогизм
Barbara1:
«Все М суть Р»,
«Все S суть Л4»,
«Все 5 суть Р».
Черта должна означать, что заключение является логическим
следствием посылок. Здесь как и посылки, так и заключение —
общеутвердительные суждения. А вот другой пример схемы,
называемой Darii, в которой участвуют также частноутвердительные
суждения:
«Все М суть Р»,
«Некоторые S суть ЛЬ,
«Некоторые 5 суть Р».
Здесь первая посылка — общеутвердительное суждение (Л), а
вторая посылка и заключение — частноутвердительное (/).
Оба приведенных примера — правильные силлогизмы. Именно
такие позволяют делать логический вывод: как только вместо букв
подставить какие угодно конкретные термины так, что обе посылки
станут истинными суждениями, так, наверное, истинным будет с теми
же терминами и заключение. А теперь повторим пример из первого
параграфа неправильного силлогизма (мы там пользовались,
правда, другими буквами):
«Некоторые М суть Р»,
«Некоторые S суть Л4»,
«Некоторые S суть Р».
Здесь все три суждения частноутвердительные. В первом параграфе мы
приводили пример конкретных терминов, при которых обе посылки
истинны, а заключение ложно. Главная задача о силлогизмах сос-
1 Гласные в латинских наименованиях силлогизмов указывают на типы
(Л, Е, I, О) посылок и заключений, согласные же подобраны так, чтобы
получались осмысленные латинские слова, легкие для запоминания (латынь
была универсальным языком науки вплоть до нового времени).
69

тоит в нахождении всех правильных силлогизмов. Это совсем
нетривиальная задача была полностью решена самим Аристотелем,
а затем на протяжении 2000 лет ее формулировка и решение
образовывали как бы ядро формальной логики. И если сейчас, как уже
говорилось, силлогистика находится на самой периферии
формальной логики, то огромное историческое значение ее основного
результата — нахождения списка всех правильных силлогизмов, —
несомненно, заслуживает того, чтобы о нем знали все, кто хочет
приобщиться к математической логике.
Для более подробного описания силлогизмов мы должны ввести
ряд понятий и обозначений. В суждениях мы часто первый термин
будем называть подлежащим, второй — сказуемым1. Это в
точности соответствует грамматическому обозначению. Например, в
суждении «Все птицы — животные» термин «птицы» — подлежащее,
«животные» — сказуемое; в суждении «Некоторые швейцарцы
говорят по-французски» термин «швейцарцы» — подлежащее,
«говорят по-французски» — сказуемое. В силлогизмах участвуют три
термина S, М, Р, называемые S — малый термин, М —средний
термин, Р — большой термин. Силлогизмы состоят из трех
суждений, каждое из которых содержит два из трех терминов S, М, Р,
две посылки и заключение. Заключение всегда является суждением,
в котором S — подлежащее, а Р — сказуемое. Посылки являются
суждениями, содержащими средний термин М и один из терминов
Р и S. Посылка с терминами М и Р называется большой посылкой, с
терминами S и М — малой посылкой.
Устанавливается, что во всяком силлогизме сначала
помещается большая посылка, потом малая. Таким образом, общий вид
всякого силлогизма таков:
большая посылка — суждение, содержащее М иР,
малая посылка — суждение, содержащее М и S,
заключение — суждение., в котором S — подлежащее, Р —
сказуемое.
Таким образом, в классическом силлогизме некоторое суждение
о терминах S и Р выводится из двух суждений-посылок, в которых
участвует некоторый термин М, не встречающийся в заключении.
Силлогистическое правило позволяет исключать общий термин двух
суждений.
Суждение с терминами U и V, в котором U — подлежащее, а
V — сказуемое, будем сокращенно записывать UV. Во всяком
силлогизме заключение должно иметь вид SP, а в посылках порядок
следования терминов может быть различным: большая посылка
может иметь вид MP или РМ, малая — вид SM или MS. В
зависимости от порядка следования терминов в посылках совокупность
1 В традиционной логике для подлежащего в суждении употребляется
его латинский прообраз «субъект», для сказуемого — соответственно
«предикат» (отсюда и буквы 5 и Р). Мы этой терминологией пользоваться не будем,
так как слово «предикат» в логике предикатов имеет более широкий смысл.
Для нас оба термина 5 и Р являются одноместными предикатами.
70

силлогизмов распадается- на четыре возможных типа, называемых
фигурами силлогизмов. К первой фигуре относят силлогизмы, в
которых средний термин М — подлежащее в большой и сказуемое
в малой посылке; во второй фигуре М — сказуемое в обеих
посылках; в третьей фигуре М — подлежащее в обеих посылках и,
наконец, в четвертой фигуре М — сказуемое в большой и подлежащее
в малой посылке. Нетрудно видеть, что этим исчерпываются
возможные фигуры. Выпишем их все в схематической форме.
I фигура II фигура III фигура IV фигура
MP РМ MP РМ
SM SM MS MS
SP SP SP SP
Каждое из суждений вида UV может быть одного из четырех типов:
А, Е, I, О. Будем их записывать так: UaV — общеутвердительное
суждение, UeV — общеотрицательное суждение, UiV — частноут-
вердительное суждение, UoV — частноотрицательное суждение.
В зависимости от того, какой из четырех типов имеют посылки
и заключения, каждая фигура распадается на так называемые
модусы. Всякая фигура силлогизмов содержит три суждения, и
каждое из этих суждений независимо друг от друга может иметь
один из четырех типов: А, £, /, О. Таким образом, для всякой
фигуры возможны в общей сложности 4 • 16 = 64 модуса, а всех
возможных модусов силлогизма, относящихся ко всем четырем
фигурам, имеется 4 • 64 = 256.
К ним относятся, например, уже упоминавшиеся силлогизмы
Barbara и Darii, являющиеся модусами первой фигуры:
МаР МаР
SaM SiM
SaP SiP
А вообще для первой фигуры мыслимы модусы:
МаР МаР MiP
SeM SiM SoM
SaP SaP ' " ' SoP'
Аналогичные модусы мыслимы для других фигур.
Классификация возможных форм силлогизмов по фигурам и
модусам — это только начало силлогистики. Самой существенной
частью является установление тех среди них, которые являются
правильными. Аристотель поступал по существу так: некоторые
из них он объявил основными и принял их в качестве аксиом в силу
их очевидной правильности; среди них модус Barbara. Остальные
правильные он вывел из них известными ему допустимыми
преобразованиями суждений, обращением для суждений Е и /,
использованием закона противоречия и др. Таким образом, он получил среди
256 возможных 19 правильных. Оставалось еще показать, что все
71

остальные неправильные. Это делалось подбором
конкретных терминов, для которых обе посылки истинны, а заключение
ложно.
Опираясь на интерпретацию суждений в виде формул алгебры
предикатов, можно получить правильные силлогизмы
преобразованиями, использующими тождества алгебры логики. На примере
модуса Barbara покажем, как это примерно делается. Предположим, что
обе посылки модуса истинны. Это означает, что истинна формула
V (х) (S (х)==>М (x))AV (х) (М (х)=>Р (х)).
В алгебре предикатов легко устанавливается дистрибутивность
(распределительность) квантора общности относительно
конъюнкции:
V (х) (А (х))АV (х) (В (х)) & V (х) (А (х)АВ (х)).
Используя это правило, получаем, что конъюнкция посылок
равносильна формуле
V (х) ((S (х)=>М (х))ММ (*)=>Р (*))),
которая, следовательно, тоже истинна. А среди тождественно
истинных формул алгебры высказываний имеется формула
((А => В) Л (В => С)) => (А => С),
которая называется законом силлогизма. На ее основании
выражение в скобках можно заменить на S (х)=ФР (х), откуда
и получается формула
V(x)(S(x)=>P(x))
— заключение модуса Barbara.
Алгебра одноместных предикатов позволяет аналогичным
образом доказать правильность 15 модусов и неправильность всех
остальных.
Аристотель получил 19 правильных модусов. Расхождение
объясняется тем, что, как мы уже говорили, Аристотель всегда
неявно предполагал, что термины S, М, Р непустые, т. е. что 5 (х),
М (х), Р (х) не тождественно-ложные предикаты; в современной же
формальной логике такие «вырожденные» случаи не исключают.
Очевидная «старомодность» силлогистики на фоне современной
математической логики не умаляет ее общеобразовательного
значения. Во всяком случае, это хорошая тема для факультативных
занятий в школе.
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Наряду с доказательствами в
логической структуре математики большую роль играют определения.
Изучение всякого раздела математики состоит не только в
72

последовательном выводе все более сложных и глубоких
утверждений, но и во введении новых понятий, строящихся последовательно
из некоторого небольшого набора простых исходных. Такое
введение осуществляется с помощью логических процедур, называемых
определениями, или, более точно, при помощи номинальных
определений. Дело в том, что слово «определение» употребляется часто
и в другом смысле, а именно как установление и описание основных
и характерных свойств какого-либо объекта или класса объектов,
уже известных и обозначенных в науке и нуждающихся в данной
ситуации в однозначной характеризации. В таком случае говорят
о реальных определениях. Вот пример реального определения:
«Корень растения — это та его часть, с помощью которой оно
извлекает питание из почвы». Номинальные и реальные определения—
это разные понятия и играют в методологии наук различную роль.
В исследовании логических основ математики основную роль играют
номинальные определения, и лишь о них мы будем в дальнейшем
говорить; они повсеместно встречаются и в школьной математике.
Для выяснения того, что представляют собой номинальные
определения, рассмотрим в качестве примера постепенное
наращивание понятий в элементарной арифметике (или, как ее еще часто
называют, элементарной теории чисел). Исходными и далее не
определяемыми в рамках арифметики объектами будем считать
натуральные числа вместе с операциями над ними — сложением,
вычитанием и умножением (+, —, •), а также понятие равенства (=).
Общелогические понятия — логические связки, кванторы — также
считаются базовыми, исходными (с некоторой точки зрения, в эту
группу понятий включают и равенство, не специфичное именно для
арифметики). В дальнейшем вместо «натуральное число» будем
говорить просто «число». Такие понятия школьной арифметики,
относящиеся к отношению делимости между числами, как НОД, НОК,
взаимно-простые числа, простое число, остаток при делении и т. д.,
определяются последовательно через исходные понятия.
Вначале дается определение бинарного предиката делимости
«Число Ь делит число а» (или «Число Ь является делителем числа а»,
принятое обозначение: Ь \ а) через исходные термины: «Число Ъ делит
число а» означает (эквивалентно по определению) «Существует число
с такое, что а =Ь • с». Тем самым предикат у\х однозначно
описывается через имеющиеся понятия — умножение, равенство и квантор
существования. В символических обозначениях
опр
у\х ф=> 3 (z) (х = у • г).
То, что определяется — в данном примере предикат — отношение
«у делит х» называется определяемым (по-латыни definiendum,
сокращенно Dfd). 3 (z) (х = у • z) («Существует такое число г,
что х = у • г») называется определяющим (по-латыни definiens,
сокращенно Dfn); между определяемым и определяющим помещается
опр
особый знак <=», который читается: «эквивалентно по определению»
73

или «означает». В словесной формулировке употребляются и другие
выражения. Общая же схема номинального определения выглядит
так:
опр
Dfd <=* Dfn.
Теперь можно считать, что, кроме исходных понятий, мы
обладаем и предикатом у | л: и его можно использовать в дальнейших
определениях. Введем трехместный предикат «с есть общий делитель
чисел а и Ь», который мы сокращенно будем записывать:
ОД(£, а, Ь). В логической записи его определение будет выглядеть так:
опр
ОД (с, а, Ь)**(с\а)Л(с\Ь)
(«с есть общий делитель чисел а и Ь» означает, что с делит а и с
делит 6).
В определяющем содержится уже известное выражение у\х.
Его в свою очередь можно заменить согласно его определению и
выразить новый предикат через исходные арифметические и
общелогические понятия:
опр
ОД (с, а, Ъ) & 3 (k) (а = k • с) А 3 (/) ф = I • с).
Имея понятие «общий делитель чисел а и 6», можно пойти дальше
и ввести с помощью определения важное для элементарной теории
чисел понятие «наибольший общий делитель» — трехместный
предикат НОД (d, a, b) «d есть наибольший общий делитель чисел а
и Ь». Обычно в школьной практике НОД (d, a, b) вводится как
наибольший среди общих делителей, но мы дадим несколько иное
определение, так как, во-первых, отношения «больше» пока еще нет
ни среди исходных, ни среди уже определенных понятий (что,
впрочем, нетрудно было бы исправить), во-вторых, то определение,
которое мы собираемся дать, более удобно для доказательства
основных положений теории чисел. Предлагаемое определение НОД
(d, a, b) выглядит следующим образом: «Наибольший общий делатель
d двух чисел а и b — это по определению такой их общий делитель,
который делится на все другие общие делители чисел а и &»; в
логической записи это записывается так:
опр
НОД (d, а, Ъ) «=> ОД (d, а, b)AV (с) (ОД (с, a,b)=>c\d).
Конечно, предикаты ОД (х, у, г), как и у\х, можно выразить через
исходные термины, и мы получим вполне корректное определение,
в котором определяющее содержало бы лишь исходные понятия.
Но такое определяющее выражение было бы очень громоздким
и малообозримым; мы его не будем приводить. Затем можно
определить дальнейшие понятия: НОК, взаимно простые числа и др.,
придерживаясь той же схемы, что и выше. Читателю будет полезно
это сделать самому. Мы же приведем еще лишь в виде примера
74

определение двухместного предиката «больше» (>) и одноместного
предиката «х — простое число» (Пр (х)):
опр
х > у <=> 3 (г) (х = у + г);
опр
Пр (х)& хф 1AV (у) V (г) ((х = у • z)=>(x = у)\/(х = г)).
Аналогично можно с помощью номинальных определений
развертывать систему понятий элементарной геометрии, анализа и
других разделов математики, что с большей или меньшей строгостью
осуществляется и в школьных учебниках. Мы выбрали
элементарную арифметику, поскольку считаем, что именно на этом примере
особенно удобно пояснить процедуру номинальных определений.
2. Несмотря на то что в словесной формулировке номинальное
определение имеет вид повествовательного предложения, его нельзя
считать «высказыванием» в смысле математической логики:
номинальные определения не имеют значения истинности; про
номинальное определение нельзя сказать, что оно «истинно» или «ложно».
Оно и не доказывается, и не опровергается. С логической точки
зрения номинальные определения ближе к повелительному, чем к
повествовательному предложению. На повседневном языке их
естественнее выражать так: «Пользуйся вместо(определяющее)
выражеиием(определяемое)». Например, при определении понятия
общего делителя вместо «Число с является делителем числа а и число
с является делителем числа Ь» говори: «Число с является общим
делителем чисел а и Ь». Это не констатация какого-либо обстоятельства,
а «руководство», как следует действовать в данном случае.
Отмеченное отсутствие у определения значения истинности
относится именно к номинальным определениям. Реальные
определения, напротив, могут быть истинными или ложными в зависимости
от того, выделены ли или нет в определяющем предложении
характерные черты определенного предмета.
3. Если про какое-либо номинальное определение нет смысла
говорить об его истинности или ложности, то для него должны
выполняться некоторые правила, обеспечивающие возможность его
использования в построении какой-либо области математики. Если
все эти правила выполнены, то про определение говорят, что оно
корректно. Правила эти относят как к отдельно взятому
определению, так и к системе определений в целом, когда из нескольких
исходных понятий определяется ряд новых понятий, как мы это
видели на фрагменте системы последовательно вводимых понятий
элементарной арифметики. Первое и самое важное требование,
предъявляемое к номинальному определению, — отсутствие порочного
круга и связанная с ним возможность исключения (элиминируемости)
нововведенных терминов. Для взятого в отдельности определения
это требование означает, что определяющее не должно содержать
определяемого термина. Если это условие выполнено, то можно
повсеместно во всех предложениях — в высказываниях и в других
определениях, в которых встречается нововведенный термин, —
75

исключить его, заменяя на определяющее его выражение, содержащее
лишь базовые или ранее введенные термины. Таким образом,
новый термин оказывается тогда «не нужным», так как все, что может
быть сказано с его использованием, может быть сказано через
определяющие его термины. Правда, на практике использование
определяемого термина нужно в том смысле, что повсеместное
использование определяющего выражения вместо определяемого более
громоздко и в силу этого может оказаться необозримым и
непонятным.
Порочный круг может относиться не к отдельному определению,
а к цепочке последовательных определений. Например, выше
делимость была определена через понятие произведения, общий
делитель — через делимость, наибольший общий делитель — через
общий делитель и делимость, и можно было бы пойти дальше: например,
определить взаимно-простые числа как такие числа, наибольший
общий делитель которых равен 1. Требование отсутствия порочного
круга означает, что не только определяющее не должно содержать
определяемого, но более того, термины, в нем содержащиеся, сами
не должны быть определены ни через определяемое, ни через какие-
либо термины, определенные через определяемое и т. д. Если это
условие выполняется, то все определенные термины можно
исключить так, чтобы они в конечном счете были выражены через
базовые исходные понятия. Если же это условие нарушается, мы при
попытке исключить определяемое понятие, заменяя
последовательно определяемые через определяющее, через несколько шагов вновь
на него наталкиваемся, и процедура исключения «зацикливается».
4. Другое естественное требование, которое надо наложить на
систему определ-ений, — «отсутствие омонимии»: нельзя, чтобы
один и тот же термин более чем один раз встречался в качестве
определяемого. Если это правило нарушается, то, конечно, никак
нельзя гарантировать однозначность исключения. Именно это
требование часто нарушается учащимися: многие ошибки проистекают
из того, что одно и то же слово, один и тот же термин употребляется
в различных смыслах. При этом оказывается, что это не столь
опасно, когда значения существенно отличны и оба смысла ничего
общего между собой не имеют. Конечно, никто не спутает слово
«поле» в сочетании «поля и леса» и специфический термин «поле»
в алгебре — «поле рациональных чисел». Более того, даже внутри
самой математики слово «поле» в алгебре мало кто спутает со
словом «поле» в анализе в сочетании «векторное поле» или «поле
скалярных величин». Здесь возможность недоразумения исключается,
так как слово употребляется в связи с разными ситуациями:
говорят, что оно употребляется в разных контекстах и именно контекст
однозначно указывает на смысл. Куда более опасно употребление
одного и того же слова в различных, но близких смыслах в том же
самом разделе, и именно на это надо все вновь и вновь указывать
учащимся, требуя от них при устном и письменном изложении
точных определений используемых терминов. Как часто путают
76

строгое и нестрогое неравенства, пользуясь словом «больше» и для
обозначения отношения >, и для отношения !>, или же в геометрии,
пользуясь словом «круг» и для обозначения множества точек
плоскости х2 + у2 = г2, и для фигуры х2 + у2 ^ г2.
5. Некоторые номинальные определения называют явными,
другие — неявными или контекстными. В явном определении опреде-
опр
ляемое — это один термин: «простое число означает...», «ромб «=>
... ». В неявном определении определяемое не есть изолированный
термин, а появляется в целом словосочетании. Подавляющее
большинство определений, встречающихся в школьном курсе, — неявные.
Например: «Областью определения выражения с одной переменной
называется множество значений переменной, при которых это
выражение имеет смысл» («Алгебра» для 7 класса, с. 7). Определяемое
здесь — это не термин «область определения», а более подробное
словосочетание «область определения выражения с одной
переменной». Или: «Логарифмом числа b по основанию а (а > 0 и а Ф 1)
называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы
получить число Ь» («Алгебра» для 8 класса, с. 162). Опять-таки
определяется не просто «логарифм», а сложное выражение «логарифм
числа b по основанию а». Надо иметь в виду, что в контекстных
определениях при исключении нововведенного термина через,
определяющее надо заменять все определяемое словосочетание.
Это в общем случае достаточно сложная процедура, и мы на ней
останавливаться не будем. Но для неявных определений также
естественно выдвигается требование отсутствия порочного круга:
новый термин, появляющийся в определяемом словосочетании, не
должен встречаться в определяющем1.
6. Важный и трудный вопрос, возникающий в связи с
номинальным определением, — это вопрос о существовании и
единственности определяемого термина. Вполне возможно, что в
универсальном множестве, рассматриваемом в данной области математики,
вообще не существует объекта, описываемого в определяющем, или,
напротив, такой объект существует, но их существует много
(больше чем один). И в том и другом случае что же обозначает тогда
определяемое? Примеров таких определений можно привести много:
в одних случаях несуществование или неединственность
определяемого «сразу видна», в других случаях установление
существования или несуществования, единственности или неединственности
может потребовать более или менее трудного доказательства и,
наконец, вопрос о том или другом вообще пока может не иметь ответа.
Нетрудно привести примеры. Несуществование определяемого
сразу видно в различных шуточных терминах, приводимых в качестве
абсурдных: всякие «круглые квадраты» или «пятисторонние четы-
1 В исследованиях по аксиоматическому методу (классический пример —
«Основания геометрии» Д. Гильберта) термин «неявные определения»
употребляется в несколько ином смысле. Его рассмотрение, однако, выходит за
рамки этой книги.
77

рехугольники» (определяемые, скажем, с помощью определяющего
«четырехугольник с пятью сторонами»). Построим также такое
определение: «Сверхтупоугольный треугольник» означает «треугольник,
у которого все три угла тупые». Что такой термин ничего не
обозначает, знает лишь тот, кто знает, что сумма углов в треугольнике
не может быть больше чем 180°.
Отметим в этой связи вышеприведенное определение «логарифма
Ь при основании а», в котором в скобках добавлено (а > 0 и а Ф 1).
А почему не рассматривается логарифм при основании а = 1?
Очевидно, потому, что в случае а=1иЬ>0иЬф1 такого
показателя степени вообще нет, т. е. нарушается условие существования
определяемого, а в случае а = 1 и b = 1 любой показатель степени
удовлетворяет условию 1 = Iх для любого вещественного х,
т. е. нарушается условие единственности.
А вот еще один пример, когда вопрос о существовании и
единственности определяемого требует анализа. Выше мы определили
НОД (d, а, Ь) как такое натуральное число, которое делит и а,
и b и которое делится на все другие общие делители чисел а и Ь.
Сразу возникает вопрос: «А существует ли для всяких двух чисел
а и b такое число?», а если ответ положительный, то: «Существует
ли для всяких данных а и b лишь одно такое число?». В случае
натуральных чисел оба ответа положительны, но они требуют не
слишком трудного, но вполне содержательного доказательства.
А вот, наконец, пример возможного определения, в котором
вопрос о существовании определяемого объекта открыт. Введем с
помощью номинального определения понятие «негольдбахового
числа» (мы выбрали такое несколько странное название, чтобы
напомнить о нерешенной проблеме Гольдбаха). «С — число негольдба-
опр
хово» фф «наименьшее натуральное четное число, которое нельзя
представить в виде суммы двух простых чисел». Если гипотеза
Гольдбаха, согласно которой всякое четное число представимо в
виде суммы двух простых чисел, верна, то такого числа нет, если
же неверна, то такое число есть, причем оно однозначно определено.
Следует ли включать требование о существовании определяемого
объекта в качестве одного из условий корректности определения?
Мнения специалистов-логиков по этому поводу расходятся: одни
считают, что без существования определяемого объекта нельзя
считать, что определение правильно, другие же считают, что
определение не предрешает существование определяемого объекта (или
объектов), так же как, например, грамматически правильно
построенная фраза может быть ложной или даже абсурдной. В пользу
каждого из этих мнений можно привести ряд аргументов, на чем
мы останавливаться не будем. Конечно, все логики рассматривают
вопрос о существовании определяемого объекта как очень
существенный, и обычно после введения нового термина с помощью
номинального определения, если существование определяемого
объекта не очевидно, формулируется и доказывается соответствую-
78

щая теорема существования, без чего определение может быть еще
и можно было рассматривать как правильное, но во всяком случае
как не очень хорошее и не очень полезное. Вопрос о единственности
или неединственности определяемого объекта не менее важен, но
еще более спорен: есть типы определений, в которых явно нужно
требовать единственность, в других же достаточно бывает
рассматривать (не обязательно одноэлементное) множество всех объектов,
удовлетворяющих условию, сформулированному в определяющем.
7. К первым относится, например, тип определений,
называемых дескрипциями. Они часто встречаются в самых различных
ситуациях в повседневной жизни, в различных науках, в частности
в математике, включая школьную. Приведем, как обычно, сперва
некоторые примеры, а затем некоторые общие соображения о
дескрипциях.
Вместо того чтобы назвать имя А. С. Пушкина, можно сказать
«автор «Евгения Онегина» (или «тот, который написал роман
«Евгений Онегин»); Наполеон — «тот, который выиграл сражение под
Аустерлицем» (или «тот, кто проиграл битву под Ватерлоо»); Юрий
Гагарин — «тот, кто первый поднялся в космос». Но мы прекрасно
чувствуем, что мы не можем сказать «тот, кто написал роман
«Золотой теленок», так как этот роман написали два автора, и, сказав
в данном случае «тот, который...» мы не будем знать, о ком же идет
речь: об Ильфе или о Петрове; словосочетание «тот, который»
использовано здесь не корректно.
Рассмотрим теперь пр-имеры из математики. «То число, которое
будучи умноженным на длину диаметра круга, дает длину его
окружности» — одна из возможных дескрипций (именно та, которой
пользуются в школьной геометрии) числа п. Или «предел
последовательности (1 +—■) ; п = 1,2, ...» (то число, к которому сходится
последовательность 11 + — } ; /г= 1,2,...) — одна из дескрипций
числа г — основания натуральных логарифмов.
Некорректной дескрипцией является определяющее: «корень
уравнения х2 + х — 6 = 0» («то число, которое удовлетворяет
уравнению х2 + х — 6 = 0»), так как это уравнение имеет два
корня {—3; 2}, но корректной была бы дескрипция
«положительный корень уравнения х2 + х — 6», так как он, очевидно,
однозначно определен: это число 2.
И конечно, некорректна дескрипция «то число, которое является
оо
пределом гармонического ряда \ — », так как такого предела нет.
/7 = 1
Дескрипции — это определения следующего вида: имеется
некоторая высказывательная форма Р (х), зависящая от одной
переменной (над некоторым универсальным множеством) и такая, что
она принимает значение и для одного и только для одного значения
переменной. Предпосылая такой высказывательной форме
79

выражение «то х, для которого высказывание Р(х) истинно» мы
получаем новое выражение, обозначающее некоторый вполне определенный
объект. Если подобная дескрипция служит для введения в
рассмотрение некоторого нового понятия, как в вышеприведенных
примерах введения чисел е и я, то ее можно рассматривать как
определяющее некоторого номинального определения. Если же речь
идет уже об определенном объекте и дескрипция служит для его
дальнейшей характеристики, то это реальное определение.
В символической записи дескрипции записываются так. Пусть
Р (х) — такая высказывательная форма, что она выполняется в
точности для одного элемента универсального множества, на котором
она определена. Тогда этой форме предпосылается символ i (x),
читаемый как «тот, который». Символ этот, введенный английским
логиком и математиком Б. Расселом (1872—1970), называется
дескриптором (i — это строчная греческая буква йота).
Номинальное определение числа е выглядит так:
опр / , j ч П\
е ф=> i (x)lx = liml 1 ~\— ,
г. е. е — это по определению то число, которое является пределом
последовательности (1 +—) , /г -> оо.
Мы уже неоднократно указывали на взаимосвязи между логикой
и грамматикой, например, на происхождение теоретико-высказыва-
тельных связок из грамматических союзов. Грамматическое
происхождение имеет также и дескриптор i (англ. the, франц. 1е, 1а,
нем. der, die, das, исп. el, la и т. п.), указывающий на то, что речь
идет о некотором вполне определенном предмете (или хотя бы
о таком, который уже ранее упоминался в данном тексте)1.
Фактически он довольно точно соответствует определенному артиклю.
В русском языке смысл дескриптора столь же точно передается
сочетанием слов «тот, который...» (или «та, которая...»).
Неопределенному же артиклю соответствовало бы русское слово «некоторый»
или сочетание слов «некоторый такой, что». Конечно, не следует
искать точного соответствия между грамматикой и логикой, но между
обеими науками существуют многочисленные взаимосвязи, что и
не удивительно, так как и язык, и логика имеют дело с
определенными сторонами мышления. На современном этапе школьного
преподавания следовало бы в большей мере, чем это было до сих пор,
подчеркивать эти взаимосвязи, в частности, в том, что касается
определений.
8. Нужно сказать несколько слов об определениях, идущих еще
от логики Аристотеля: так называемые определения «через род и
видовое отличие» (definitio fit per geniis proximum et differentia
1 Неопределенным артиклям (англ. a, an, нем. ein, eine, франц. un, une,
исп. un, una) также соответствуют в логике виды определений (порождающие
целые классы объектов), выходящие, однако, за возможности наших
рассмотрений.
80

specificam). Таковы хорошо известные из школьной математики
определения:
параллелограмм — это четырехугольник, противоположные
стороны которого параллельны;
ромб — это параллелограмм, стороны которого конгруэнтны;
квадрат — это ромб, углы которого прямые, и т. д.
Определения через род и видовое отличие называют часто
классическими. На примерах хорошо видна их общая структура: в
определяющем указывается некоторое множество (род), в котором
содержатся определяемые, а затем то свойство, которое выделяет
определяемый объект среди других объектов того же рода.
Аристотель пользовался определениями через род и видовое отличие в
качестве реальных определений: не для введения новых терминов,
а для характеристики уже известных объектов. Но конечно,
классическим определением можно пользоваться и как номинальным.
Так поступают, например, ботаники и зоологи, когда вводят
обозначение для некоторого нового вида.
Относительно классических определений можно частично
повторить то, что мы сказали в предыдущем параграфе о силлогизмах.
Авторитет Аристотеля был настолько велик, что многие века
«классические» определения считались единственными «полноправными»
определениями (так же как силлогизмы — единственными
«полноправными» правилами заключения). Сейчас же эти определения
занимают довольно ограниченное и скромное место среди широкого
круга других определений.
Мы рассказали далеко не о всех видах определений,
встречающихся в школьной математике и играющих в построении школьного
курса важную роль; в стороне остались такие важные темы, как
аксиоматические (неявные1) определения и индуктивные
(рекурсивные) определения. И те и другие связаны с школьными темами,
и их общекультурное значение и важность в методологии
математики быстро увеличивается. Но для того чтобы их осветить, нам
понадобилось бы существенно увеличить объем этой брошюры за счет
предварительного введения большого числа важных и достаточно
сложных понятий.
Впрочем, и те типы определений, которые мы затронули,
представлены здесь «в самом первом приближении»: на выбранном
нами элементарном уровне трудно было бы развить эти вопросы
подробнее.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Подведем итоги и дадим советы
читателю, где он может найти дальнейшие сведения по затронутым
выше и родственным им темам. Мы сознательно не касались круга
1 См. примечание на с 77.
81

проблем, стоящих на стыке математики и кибернетики (теория
алгоритмов, теория автоматов, программы и программирование для
электронно-вычислительных машин). Их общеобразовательная
важность в эпоху научно-технической революции очевидна и
естественна, если они скоро займут весомое место и в школьном
преподавании. До появления специального руководства по этой тематике
применительно к средней школе позволим порекомендовать
читателю ряд уже имеющихся изданий, одновременно содержательных,
серьезных и популярных. Назовем в первую очередь книги
Б. А. Трахтенброта [26, 27], а также серьезный труд об автоматах
Н. Е. Кобринского и Б. А. Трахтенброта [17]. Самым элементарным
автоматам — релейно-контактным схемам — посвящены книги
М. А. Гаврилова [7] и румынского ученого Г. Моисила [20]. Самые
первые и начальные сведения о релейно-контактных схемах
можно почерпнуть в брошюре автора [13]. Подробно вся область
изложена в книге М. А. Айзермана и др. [1]. Очень полезны в этой
связи книги В. М. Глушкова [9, 10]. Имеются и совсем популярные
изложения, которые, на наш взгляд, особенно хорошо соответствуют
тем направлениям, которые постепенно войдут в школьное
преподавание. Это книга Э. Беркли [3] и особенно удачная книга
американских авторов [15]. Конечно, мы привели лишь выборку из большой
литературы по теме «Алгоритмы и автоматы».
Дадим теперь краткий обзор отдельных параграфов нашей книги,
сделаем небольшое число дополнительных замечаний и укажем
литературу.
В первом параграфе говорилось об истории возникновения
логики, в частности логики математической. Нужно сказать, что в
формальной логике, больше чем во многих других науках, знание
основных фактов ее истории особенно важно для понимания ее
современного состояния. К сожалению, доступная литература по этому
вопросу довольно бедна. В первую очередь здесь стоит назвать
труд Н. И. Стяжкина [25], содержащий очень богатый материал
по древней и средневековой формальной логике и подробно
освещающий эпоху становления математической логики в XIX столетии.
Библиография содержит 773 наименования, здесь читатель сможет
найти координаты многочисленных статей по истории
математической логики. Труды самого Аристотеля также неоднократно
издавались на русском языке; некоторое знакомство с ними, несомненно,
полезно каждому, кто заинтересовался логикой. Укажем, в
частности, на издание «Аналитик» [2]. В настоящее время в серии
«Философское наследие» выходит в свет собрание сочинений
Аристотеля.
Второй параграф содержит элементы теории множеств.
Теория множеств — это фундамент математики, как высшей,
университетской, так и школьной; поэтому понятия этой науки во
всевозрастающей мере используются в школьном преподавании.
Подходящее для этой цели изложение содержится у Н. Я. Виленкина[4, 5].
Историю возникновения теории множеств можно найти в
82

книге Ф. А. Медведева [19]. Достаточно систематическое
изложение в книге Р. Р, Столла [22].
Многими авторами отмечалось, что учение о
теоретико-множественных операциях и отношениях, примененное к конечным
множествам, во многом совпадает с комбинаторикой. Такая точка
зрения представлена, например, в брошюре А. В. Скорохода и др. [12].
Нам она кажется полезной по двум причинам. Элементарной
комбинаторике не хватало до сих пор объединяющих идей, и она
представлялась учащемуся набором разрозненных понятий и задач.
Теоретико-множественные операции и отношения позволяют
рассматривать ее с некоторой единой позиции. С другой же стороны,
как показывает опыт, теоретико-множественным понятиям в школе
не хватает содержательных примеров и задач для лучшего уяснения
этой области и приобретения навыков. Здесь оказываются
полезными именно задачи и понятия комбинаторики. Не входя в детали,
отметим лишь такие классические задачи, как вывод формулы для
числа подмножеств конечного множества, как доказательства того,
что число подмножеств с четным числом элементов равно числу
подмножеств с нечетным числом и др. Эти и другие факты легко
усматриваются из указания подходящих взаимно-однозначных
отображений. Биномиальные коэффициенты С™ лучше всего
вводить как число т -элементных подмножеств во множестве с п
элементами, откуда особенно просто и наглядно усматриваются все
свойства чисел С™ и теорема о биноме Ньютона. Все это лишь
начало, возможно, очень плодотворного раздела в школьной
математике.
Третий и четвертый параграфы трактуют элементы
математической логики — алгебру высказываний и алгебру
предикатов, включая учение о кванторах, в плане их применений в
школьной математике. Это классические разделы математической
логики, хорошо представленные богатой и разнообразной
литературой — монографиями и учебниками. Мы особенно хотели бы
рекомендовать книгу С. Клини [16] и уже упомянутую книгу Столла
[22]. Но и здесь не хватает пока литературы, специально
посвященной логике в школьном курсе математики. Особенно это
касается анализа доказательств в элементарной алгебре и геометрии
и их классификации с точки зрения алгебры логики и учения о
логическом выводе. Начала такого анализа имеются в книгах
А. А. Столяра [23, 24]. Очень хорошее изложение начал логики в
связи с грамматикой естественных языков в небольшой книжке
X. Фрейденталя [28].
Высказывательные формы (§ 5) занимают центральное
место в школьной математике. Учебники средних классов (IV по VIII)
содержат много примеров их применений. То же относится и к
ряду зарубежных школьных курсов. Применения развиваются
главным образом в двух направлениях: в алгебре — системы уравнений
и неравенств, в геометрии — метод координат (начала
аналитической геометрии). Но теория и методика здесь еще недостаточно
83

разработаны. Кроме тех сведений, которые мы сообщили в пятом
параграфе, можно указать на книжечку В. А. Вышенского [6] и
уже упомянутые книги А. А. Столяра.
Шестой параграф посвящен аристотелевским суждениям и
силлогизмам. Знания о них принадлежат к общекультурному
фонду человечества — это самые начала формальной логики. На эту
тему имеется содержательная книга польского логика Я- Лукасеви-
ча [18]. В самом же первом приближении достаточными могут быть
те сведения, которые мы даем в шестом параграфе. Несколько более
подробно об этом сказано в [13], а более полное изложение
силлогистики имеется в книге Гильберта и Аккермана [8] (первом
серьезном руководстве по математической логике на русском языке).
По тематике седьмого параграфа (теория определений)
достаточно полный обзор содержится в статье Д. П. Горского [11].
Об определениях в естественных языках и в математике очень просто
рассказано у X. Фрейденталя [28]. К затронутым темам автор
намеревается еще вернуться и будет благодарен читателям за замечания и
советы.

ЛИТЕРАТУРА
1. Айзерман М. А , Гусев Л. А , Розоноэр Л. Я., Смирнова И. М.,
Таль А. А. Логика. Автоматы. Алгоритмы. М., Физматгиз, 1963.
2. Аристотель. Аналитики. М., Госполитиздат, 1952.
3. Беркли Э. Символическая логика и разумные машины. М., ИЛ,
1961.
4. Виленкин Н. Я- Рассказы о множествах. М., «Наука», 1965.
5. Виленкин Н. Я- Элементы теории множеств. В сер. «Дополнительные
главы по курсу математики для 7—8 классов». М., «Просвещение», 1969.
6. Вышенский В. А. Отношения и функции (на укр. яз.). Киев, изд.
«Виша школа», 1972.
7. Гаврилов М. А. Теория релейно-контактных схем. М., Изд-во
АН СССР, 1950.
8. Гильберт Д., Аккерман Вк Основы теоретической логики. М., ИЛ,
1947.
9. Глушков Б, М. Синтез цифровых автоматов. М., Физматгиз, 1962.
10. Глушков В. М. Введение в кибернетику. Киев, Изд-во АН УССР,
1964.
11. Горский Д. П. 40 видов определений и их значение в науке. —В
сб. «... Проблемы логики научного познания...». М., «Наука», 1964.
12. Ежов И. #., Скороход А. В , Ядренко М. И. Элементы
комбинаторики (на укр. яз.). Киев, изд. «Виша школа», 1972.
13. Калужнин Л А. Что такое математическая логика. М., «Наука»,
1964.
14. Калужнин Л. А Введение в общую алгебру. М., «Наука», 1973.
15. Камени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную
"математику. М., ИЛ, 1963.
16. Клини С. К. Математическая логика. М., «Мир», 1973.
17. Кобринский Н. Е., Трахтенброт Б. А. Введение в теорию конечных
автоматов. М., Физматгиз, 1962.
18. Лукасевич Я- Аристотелевские силлогизмы с точки зрения
современной формальной логики. М., ИЛ, 1959.
19. Медведев Ф. А Развитие теории множеств в XIX веке. М., «Наука»,
1965.
85

20. Моисил Г, Алгебраическая теория дискретных автоматических
устройств. М., ИЛ, 1963.
21. Папи Ж. Дети и графы. М., «Педагогика», 1974.
22. Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.,
«Просвещение», 1968.
23. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики.
Минск, «Высшая школа», 1965.
24. Столяр А. Д., Рогановский Н. М. Основы современной школьной
математики. Минск, «Народная Асвета», 1975.
25. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М., «Наука»,
1967.
26. Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и машинное решение задач. М.,
Физматгиз, i960.
27. Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и вычислительные автоматы. М.,
«Советское радио», 1974.
28. Фрейденталь X. Язык логики. М., «Наука», 1968.
29. Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.—Л.,
Гостехиздат, 1938.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
§ 1 Как возникла формальная и математическая логика 5
§ 2. Начала теории множеств 12
§ 3. Алгебра высказываний и алгебра множеств • 25
§ 4. Отношения и соответствия, предикаты, кванторы 37
§ 5. Высказывательные формы • • 53
§ 6. Аристотелевское учение о суждениях и силлогизмах . 65
§ 7. Определения 72
Заключение и обзор литературы 81
Литература 85

Калужнин Л. А.
К17 Элементы теории множеств и математической логики в
школьном курсе математики. Пособие для учителей. М.,
«Просвещение», 1978. 88 с. с. ил.
Б книге дается краткое изложение элементов теории множеств и
математической логики и показывается, как некоторые темы алгебры,
геометрии и математического анализа могут рассматриваться с единой точки
зрения. Приводятся исторические сведения о возникновении и развитии
теории множеств и математической логики.
60501—647
К 157 — 78 517
102(02) -78
@ Издательство «Просвещение», 1978 г.

ИБ JSfe 3283
ЛЕВ АРКАДЬЕВИЧ КАЛУ ЖН И Н
Элементы теории множеств
и математической логики
в школьном курсе математики
Редактор С. В. Пазельский
Художник обложки Л. М. Чернышов
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Т. В. Самсонова
Корректор Т. Ф. Алексина
Сдано в набор 20/XII.1977 г. Подписано к печати 9/VI.1978 г. 60X90Vie.
Бум, тип. № 3. Гарн. литер. Печать высокая. Усл. печ л. 5,5.
Уч,-изд. л, 5,39 Тираж 80 000 экз. Заказ 5837. Цена 15 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение»
Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Отпечатно с матриц Саратовского ордена Трудового Красного Знамени
полиграфического комбината в областной типографии управления
издательств, полиграфии и книжной торговли Ивановского облисполкома,,
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 68